harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { A ( j , k ) } & { = 2 j k \left( \frac { \alpha } { 2 } \left( \frac { ( j + k ) ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( k ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j + k ) - T _ { \alpha } ) ^ { 2 } } { ( j + k ) m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j + k ) - j m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) - k m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( k ) } + \frac { ( j - k ) ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( k ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j - k ) - T _ { \alpha } ) ^ { 2 } } { ( j - k ) m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j - k ) - j m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) + k m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( k ) } \right) \right. } \\ & { \left. - \left( ( { \alpha + 4 } ) ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( k ) ) + \frac { \alpha } { 2 } ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( 0 ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j + k ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j - k ) ) - m _ { 3 , \alpha } ^ { \circ } ( j , k ) - ( \alpha + 2 ) T _ { \alpha } \right) \right) . } \end{array}
\mathbb { E } [ H _ { a \alpha } ^ { 2 } | \Omega _ { \varepsilon } ] = \mathbb { E } ( \mathbb { E } [ H _ { a \alpha } ^ { 2 } | \Omega _ { \varepsilon } ] ) + { \mathcal O } ( N ^ { - D _ { 0 } } ) = \frac 1 { N } + { \mathcal O } ( \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 2 } \| { \boldsymbol v } \| _ { \infty } ^ { 2 } ) + { \mathcal O } ( N ^ { - D _ { 0 } } )
\begin{array} { r } { \varphi = \left( \{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 m } \ln \displaystyle \sum _ { i \in I } e ^ { 2 \psi _ { s _ { i } } + 2 \lambda _ { i } } \quad \mathrm { i f } \; k \; \mathrm { i s } \; \mathrm { A r c h i m e d e a n } } \\ { \frac { 1 } { m } \operatorname* { m a x } _ { i \in I } \{ \psi _ { s _ { i } } + \lambda _ { i } \} \quad \mathrm { i f } \; k \; \mathrm { i s } \; \mathrm { n o n - A r c h i m e d e a n } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r c l } { p ^ { 1 } ( t , x , \Lambda ) } & { = } & { - \mu _ { S } - \Lambda } \\ { p ^ { 2 } ( t , x , \Lambda ) } & { = } & { - \mu _ { I } - \kappa - \vartheta } \\ { p ^ { 3 } ( t , x , \Lambda ) } & { = } & { - \mu _ { H } - \eta } \\ { p ^ { 4 } ( t , x , \Lambda ) } & { = } & { - \mu _ { R } } \end{array} \qquad \begin{array} { r c l } { q ^ { 1 } ( t , x , u , \Lambda ) } & { = } & { 0 } \\ { q ^ { 2 } ( t , x , u , \Lambda ) } & { = } & { \Lambda \; u _ { 1 } } \\ { q ^ { 3 } ( t , x , u , \Lambda ) } & { = } & { \kappa \, u _ { 2 } } \\ { q ^ { 4 } ( t , x , u , \Lambda ) } & { = } & { \vartheta \, u _ { 2 } + \eta \, u _ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| A \xi \| _ { p } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } | \sum _ { j = 1 } ^ { n } a _ { i j } x _ { j } | ^ { p } ) ^ { 1 / p } } & { 1 \le p < \infty } \\ { \operatorname* { m a x } \{ | \sum _ { j = 1 } ^ { n } a _ { i j } x _ { j } | : i = 1 , 2 , \ldots , n \} } & { p = \infty } \end{array} \right. } \\ & { \le \left\{ \begin{array} { l l } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \sum _ { j = 1 } ^ { n } a _ { i j } ) ^ { p } ) ^ { 1 / p } } & { 1 \le p < \infty } \\ { \operatorname* { m a x } \{ \sum _ { j = 1 } ^ { n } a _ { i j } : i = 1 , 2 , \ldots , n \} } & { p = \infty } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \alpha ^ { p } ) ^ { 1 / p } } & { 1 \le p < \infty } \\ { \operatorname* { m a x } \{ \alpha : i = 1 , 2 , \ldots , n \} } & { p = \infty } \end{array} \right. } \\ & { = \alpha n ^ { 1 / p } . } \end{array}
\alpha _ { V } \equiv { \frac { 1 } { p } } \left( { \frac { d p } { d T } } \right) = { \frac { 1 } { p } } \left( { \frac { 1 } { V } } \right) = { \frac { 1 } { p V } } = { \frac { 1 } { T } }
{ \frac { P ( \mu , \nu ) } { P ( \nu , \mu ) } } = { \frac { g ( \mu , \nu ) A ( \mu , \nu ) } { g ( \nu , \mu ) A ( \nu , \mu ) } } = { \frac { A ( \mu , \nu ) } { A ( \nu , \mu ) } } = { \frac { P _ { \beta } ( \nu ) } { P _ { \beta } ( \mu ) } } = { \frac { { \frac { 1 } { Z } } e ^ { - \beta ( H _ { \nu } ) } } { { \frac { 1 } { Z } } e ^ { - \beta ( H _ { \mu } ) } } } = e ^ { - \beta ( H _ { \nu } - H _ { \mu } ) } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \sigma _ { i } ^ { + } , \sigma _ { i } ^ { - } \in \left\{ 0 , 1 \right\} ^ { m } } \quad } & { f \left( x _ { 1 } , { \xi } \right) - \lambda \left\lvert \xi - { \xi } _ { i } \right\rvert } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \xi = \xi _ { i } + \left( \overline { { \xi } } - \xi _ { i } \right) \circ \sigma _ { i } ^ { + } - \left( \xi _ { i } - \underline { { \xi } } \right) \circ \sigma _ { i } ^ { - } } \\ & { \sigma _ { i } ^ { + } + \sigma _ { i } ^ { - } \leq 1 _ { m } . } \end{array}
A _ { j } \sim \mathcal { U } ( - 0 . 5 , 0 . 5 ) , \quad \omega _ { j } \sim \mathcal { U } ( - 0 . 4 , 0 . 4 ) , \quad l _ { j } \sim \{ 1 , 2 , 3 \} , \quad \phi _ { j } \sim \mathcal { U } ( 0 , 2 \pi )
\theta = f ^ { ( 2 ) } ( \psi , \lambda ) = \left[ \begin{array} { l l } { \psi - { \pi } / { 2 } , } & { \quad \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ i ~ s ~ t ~ r ~ a ~ l ~ : ~ } \ { \lambda } \in [ 0 , \pi ) , } \\ { \psi + { \pi } / { 2 } , } & { \quad \mathrm { ~ d ~ e ~ x ~ t ~ r ~ a ~ l ~ : ~ } \ { \lambda } \in ( - \pi , 0 ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { t } { 2 } ( 1 + R ^ { 2 } ) + \frac { S ^ { 2 } } { 2 t } + S R } & { \mathrm { i f ~ } t \geq \frac { d - S } { R } } \\ { \frac { t } { 2 } ( 1 - R ^ { 2 } ) - \frac { S ^ { 2 } } { 2 t } - R S + R d + \frac { S d } { t } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \end{array}
P _ { k } = \mu _ { t } \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { j } } \Bigg ( \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial U _ { j } } { \partial x _ { i } } \Bigg ) \to \tilde { P _ { k } } = \operatorname* { m i n } ( P _ { k } , 1 0 . \beta ^ { * } \rho k \omega ) .
\begin{array} { r l } { - \ln ( - u - i ) = } & { { } - \ln | u + i | - i \mathrm { ~ A ~ r ~ g ~ } ( - u - i ) } \\ { = } & { { } - \ln \sqrt { u ^ { 2 } + 1 } + i \left[ \frac { \pi } { 2 } + \arctan ( u ) \right] . } \end{array}
T _ { 2 } = \underbrace { \langle \theta _ { t - \tau } - \theta ^ { * } , g _ { t } ( \theta _ { t - \tau } ) - \bar { g } ( \theta _ { t - \tau } ) \rangle } _ { T _ { 2 1 } } + \underbrace { \langle \theta _ { t - \tau } - \theta ^ { * } , g _ { t } ( \theta _ { t } ) - { g } _ { t } ( \theta _ { t - \tau } ) + \bar { g } ( \theta _ { t - \tau } ) - \bar { g } ( \theta _ { t } ) \rangle } _ { T _ { 2 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \rho ( \xi _ { x } ) } & { { } = } & { \frac { \rho ( \alpha _ { x } ) } { d \xi _ { x } / d \alpha _ { x } } = \frac { 1 } { 2 } \exp [ - 2 \alpha _ { x } ] [ \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; u [ H _ { 0 } ^ { \prime } ( \alpha _ { x } u ) - H _ { 1 } ^ { \prime } ( \alpha _ { x } u ) ] ^ { - 1 } } \\ { H _ { n } ( z ) } & { { } \equiv } & { \exp [ - z ] I _ { n } ( z ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { y } _ { \mathrm { M } } ( t ) } & { = p \left( y _ { \mathrm { M } } ( t ) , \eta ( t ) \right) + \Gamma \left( \Phi ^ { - 1 } \left( y _ { \mathrm { M } } ( t ) , \eta ( t ) \right) \right) \, u ( t ) , \quad \ ( y _ { \mathrm { M } } ( 0 ) , \eta ( 0 ) ) = ( y _ { \mathrm { M } } ^ { 0 } , \eta ^ { 0 } ) = \Phi ( x ^ { 0 } ) , } \\ { \dot { \eta } ( t ) } & { = q \left( y _ { \mathrm { M } } ( t ) , \eta ( t ) \right) , } \end{array}
W _ { 2 } ( x ) = - \frac { m } { \sqrt 2 } \frac { t a n h ^ { 4 } \left( \frac { m } { \sqrt 2 } x \right) + 3 } { t a n h \left( \frac { m } { \sqrt 2 } x \right) [ 3 - t a n h ^ { 2 } \left( \frac { m } { \sqrt 2 } x \right) ] }
S ( h , A ) = S _ { 0 } + \frac { i k } { 2 \pi } \int _ { D \times R } d x d t d \tau \mathrm { T r } \partial _ { \tau } [ A _ { + } * \partial _ { x } h * h ^ { - 1 } ] + \frac { i k } { 4 \pi } \int _ { D \times R } d x d t d \tau \mathrm { T r } \partial _ { \tau } ( A _ { + } * A _ { x } ) ,
\begin{array} { l l l l } & { T _ { 1 } ( S , u ) ( x ) = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } \exp ( \frac { \operatorname* { m i n } ( x , t ) - t } { d _ { 0 } } ) f ( 1 - S ) u d t , } \\ & { T _ { 2 } ( S , u ) ( x ) = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } \exp ( \frac { \operatorname* { m i n } ( x , t ) - t } { d _ { 1 } } ) f ( 1 - S ) u d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { { x c } } } ^ { \mathrm { { R S H } } } } & { { } = \alpha E _ { \mathrm { { S R , } \ m u } } ^ { \mathrm { { F o c k } } } + ( 1 - \alpha ) E _ { \mathrm { { S R , } \ m u } } ^ { \mathrm { { D F A } } } + ( \alpha + \beta ) E _ { \mathrm { { L R , } \ m u } } ^ { \mathrm { { F o c k } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Y _ { t ^ { * } } ( t _ { N - k - 1 } ) } \\ { = } & { \sum _ { ( i _ { 1 } , \dots , i _ { N - k - 2 } ) } ( - 1 ) ^ { \sum _ { l = 1 } ^ { N - k - 2 } i _ { l } } e ^ { - \langle ( i _ { 1 } , \dots , i _ { N - k - 2 } , 0 , \dots , 0 ) , \Theta \rangle } X _ { { t _ { 1 } - i _ { 1 } } , \dots , t _ { N - k - 2 } - i _ { N - k - 2 } , t _ { N - k - 1 } , \dots , { t _ { N } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } ( \| F ^ { \widehat C _ { n , \varepsilon } } - F ^ { C _ { n , \varepsilon } } \| , \| F ^ { \widehat B _ { n , \varepsilon } } - F ^ { B _ { n , \varepsilon } } \| ) } \\ { \le } & { \frac 1 n { \mathrm { r a n k } } ( X _ { n } - \widehat X _ { n } ) \le \frac 1 n \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { N } I ( \vert x _ { i j } \vert \ge \eta _ { n } \sqrt { n } ) . } \end{array}
p ( \xi ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { k _ { 1 } ~ \xi + k _ { 2 } ~ \xi ^ { 2 } + k _ { 3 } ~ \xi ^ { 3 } + \Delta p } & { \qquad { \mathrm { C o m p r e s s i o n } } } \\ { k _ { 1 } ~ \xi } & { \qquad { \mathrm { T e n s i o n } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { ( \widetilde { B } _ { 3 } \varphi ) ( t ) : } & { = ( \widetilde { S } _ { 0 } E _ { 1 } \varphi ) ( t ) - ( E _ { 1 } \widetilde { S } _ { 0 } \varphi ) ( t ) } \\ & { = - \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \ln \Big ( 4 \sin ^ { 2 } \frac { t - \zeta } { 2 } \Big ) \Big ( | \gamma ^ { \prime } ( \zeta ) | ^ { 2 } - | \gamma ^ { \prime } ( t ) | ^ { 2 } \Big ) \varphi ( \zeta ) \, \mathrm { d } \zeta } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } } & { \frac { \varepsilon } { ( y ^ { 2 } + \varepsilon ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } y ^ { k - 1 } \left| \ell ( t , y ) - \ell ( t , 0 ) \right| d y } \\ & { \le C \varepsilon ^ { \frac { k } { 4 } - \frac { \delta ^ { \prime } } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \left( z ^ { 2 } + 1 \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } z ^ { \frac { k } { 2 } - \delta ^ { \prime } } d z } \\ & { \to 0 } \end{array}
g _ { i } ^ { \pm } = \frac { g _ { i } \pm g _ { \bar { i } } } { 2 } , \qquad g _ { i } ^ { \mathrm { e q \pm } } = \frac { g _ { i } ^ { \mathrm { e q } } \pm g _ { \bar { i } } ^ { \mathrm { e q } } } { 2 } .
\begin{array} { r l } { W ( z ) } & { { } = { \frac { z } { 2 \pi } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } { \frac { \left( 1 - \nu \cot \nu \right) ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } { z + \nu \csc \nu e ^ { - \nu \cot \nu } } } \, d \nu } \end{array}
\zeta + a _ { 0 } \frac { 1 } { \zeta } x _ { 1 } ^ { 4 - n } z ^ { 6 - n } \to \zeta + a _ { 0 } \frac { 1 } { \zeta } \prod _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } ( x _ { 1 } - m _ { i } ^ { 4 } ) \prod _ { j = 1 } ^ { N _ { f } } ( z - m _ { j } ^ { 2 } ) ,
\nabla _ { x } ^ { 2 } a \left( x _ { 1 } \right) \rightarrow \frac { 1 } { \Delta x ^ { 2 } } \left[ a \left( x _ { 2 } \right) - 2 a \left( x _ { 2 } \right) + a \left( x _ { N } \right) \right] .
A t t e n t i o n _ { m } ( Q , K , V ) = \frac { \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left\langle \varphi ( R _ { m } q _ { m } ) , \varphi ( R _ { n } k _ { n } ) \right\rangle v _ { n } } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left\langle \varphi ( R _ { m } q _ { m } ) , \varphi ( R _ { n } k _ { n } ) \right\rangle }
\begin{array} { r l } { p _ { 3 } } & { : = \sqrt [ 3 ] { 4 } ( x _ { 1 } x _ { 2 } + x _ { 4 } x _ { 5 } ) + x _ { 3 } ^ { 2 } \in k _ { 0 } [ x _ { 0 } , \dots , x _ { 5 } ] , } \\ { c _ { 3 } } & { : = x _ { 0 } ^ { 3 } + x _ { 1 } ^ { 3 } + x _ { 2 } ^ { 3 } + x _ { 3 } ^ { 3 } + x _ { 4 } ^ { 3 } + x _ { 5 } ^ { 3 } \in k _ { 0 } [ x _ { 0 } , \dots , x _ { 5 } ] , } \\ { c _ { 2 } } & { : = c _ { 3 } + x _ { 6 } ^ { 3 } \in k _ { 0 } [ x _ { 0 } , \dots , x _ { 6 } ] , } \\ { c _ { 1 } } & { : = p _ { 1 } + x _ { 7 } ^ { 3 } \in k _ { 0 } [ x _ { 0 } , \dots , x _ { 7 } ] , } \\ { q _ { 2 } } & { : = p _ { 3 } + x _ { 6 } ^ { 2 } \in k _ { 0 } [ x _ { 0 } , \dots , x _ { 6 } ] , } \\ { f _ { 2 } } & { : = x _ { 0 } ^ { 3 } - x _ { 1 } ^ { 3 } + \rho x _ { 2 } ^ { 3 } - \rho x _ { 3 } ^ { 3 } + \rho ^ { 2 } x _ { 4 } ^ { 2 } - \rho ^ { 2 } x _ { 5 } ^ { 2 } \in k _ { 0 } [ x _ { 0 } , \dots , x _ { 5 } ] , } \end{array}
B ( K _ { L } \to \pi ^ { 0 } e ^ { + } e ^ { - } ) _ { \mathrm { C P V - d i r } } ^ { \mathrm { S M } } ~ = ~ ( 2 . 5 \pm 0 . 2 ) \times 1 0 ^ { - 1 2 } ~ \left[ \frac { \mathrm { I m } ( V _ { t s } ^ { * } V _ { t d } ) } { 1 0 ^ { - 4 } } \right] ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { \left| \mu ^ { - 1 } \int _ { \mathbb R ^ { 2 d } } \psi ( \mu \Omega ) \chi _ { 0 } \big ( \frac { x - a } { \lambda } \big ) \chi _ { 0 } \big ( \frac { y - b } { \lambda } \big ) \Phi ( x , y ) e ( x \cdot \xi + y \cdot \zeta ) \, \mathrm { d } x \mathrm { d } y - \right. } \\ & { \qquad \qquad \left. \left( \int \psi \right) \int _ { \mathbb R ^ { 2 d } } \boldsymbol { \delta } ( \Omega ) \chi _ { 0 } \big ( \frac { x - a } { \lambda } \big ) \chi _ { 0 } \big ( \frac { y - b } { \lambda } \big ) \Phi ( x , y ) e ( x \cdot \xi + y \cdot \zeta ) \, \mathrm { d } x \mathrm { d } y \right| \lesssim D \lambda ^ { 2 d } \mu ^ { 1 - 2 \eta } ( 1 + | \xi | + | \zeta | ) , } \end{array}
m _ { M } ^ { 2 } ( \mu _ { I R } ) = - [ \mathrm { l n } \frac { Z ^ { 2 } } { I } ] _ { \theta ^ { 2 } \bar { \theta } ^ { 2 } } - [ \mathrm { l n } c _ { M } ( \mu _ { I R } ) ] _ { \theta ^ { 2 } \bar { \theta } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \big ( \delta _ { t + 1 } \big | S _ { 1 : t } \big ) = \delta _ { t } ; \forall ( t + 1 ) ~ \mathrm { m o d } ~ q \ne 0 } \\ & { \mathbb { E } \big ( \| \delta _ { t + 1 } \| ^ { 2 } \big | w _ { t + 1 } \big ) \le \frac { 1 } { B } \big ( \Gamma ^ { 2 } \| \nabla f ( w _ { t + 1 } ) \| ^ { 2 } + \Lambda ^ { 2 } \big ) ; \forall ( t + 1 ) ~ \mathrm { m o d } ~ q = 0 } \\ & { \mathbb { E } \big ( \| \delta _ { t + 1 } \| ^ { 2 } \big | S _ { 1 : t } \big ) \le \| \delta _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { B ^ { \prime } } \big ( 1 + \| \nabla f ( w _ { t } ) \| ^ { 2 } \big ) } \end{array}
\hat { F } _ { \infty , r _ { \infty } } = \left\{ \hat { L } ( \lambda ) = \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \infty } - 1 } \hat { L } ^ { [ \infty , k ] } \lambda ^ { k - 1 } \, \, / \, \, \{ \hat { L } ^ { [ \infty , k ] } \} \in \left( \mathfrak { g l } _ { 2 } ( \mathbb { C } ) \right) ^ { r _ { \infty } - 1 } \mathrm { ~ a n d ~ } \hat { L } ^ { [ \infty , r _ { \infty } - 1 ] } \mathrm { ~ i s ~ n o t ~ d i a g o n a l i z a b l e ~ } \right\} / { G L } _ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathbf { P P } _ { n } ( S ) } & { = \{ A \in \textbf { G L } _ { n } ( \mathbb { C } ) \cap S ^ { n \times n } \, | \, | a _ { i , k } ^ { ( k ) } | \le | a _ { k , k } ^ { ( k ) } | \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } i \ge k \} , } \\ { \mathbf { C P } _ { n } ( S ) } & { = \{ A \in \textbf { G L } _ { n } ( \mathbb { C } ) \cap S ^ { n \times n } \, | \, | a _ { i , j } ^ { ( k ) } | \le | a _ { k , k } ^ { ( k ) } | \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } i , j \ge k \} , } \\ { \mathbf { R P } _ { n } ( S ) } & { = \{ A \in \textbf { G L } _ { n } ( \mathbb { C } ) \cap S ^ { n \times n } \, | \, | a _ { i , k } ^ { ( k ) } | , | a _ { k , j } ^ { ( k ) } | \le | a _ { k , k } ^ { ( k ) } | \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } i , j \ge k \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { V ^ { k + 1 } } \\ { \leq } & { \left( 1 - \frac { 7 \theta _ { R } \gamma _ { x } } { 3 2 } \right) L ^ { 2 } \left\| \Pi _ { R } { \mathbf { X } } ^ { k } \right\| _ { R } ^ { 2 } + \left( 1 - \frac { \theta _ { C } \gamma _ { y } } { 4 } \right) A \left\| \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { C } ^ { 2 } } \\ & { + \left( 1 - \frac { \alpha _ { x } r \delta } { 4 } \right) B \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + \left( 1 - \frac { \alpha _ { y } r \delta } { 1 6 } \right) D \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { \beta } { 4 E } \left\| \nabla f ( \overline { { { \mathbf { X } } } } ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } + s _ { k } ^ { 2 } \zeta _ { 0 } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { ( \rho _ { L } , U _ { L } , p _ { L } ) = ( \rho _ { i } , \mathbf { v } _ { i } \cdot \mathbf { e } _ { i j } , p _ { i } ) } \\ { ( \rho _ { R } , U _ { R } , p _ { R } ) = ( \rho _ { j } , \mathbf { v } _ { j } \cdot \mathbf { e } _ { i j } , p _ { j } ) } \end{array} \right. ,
{ \bf g } = \left( \begin{array} { c c } { { g _ { 1 1 } } } & { { g _ { 1 2 } } } \\ { { g _ { 2 1 } } } & { { g _ { 2 2 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { \frac { \beta _ { P e t e r } } { 2 } } } & { { \sqrt { \frac { \beta _ { P e t e r } \beta _ { P a u l } } { 4 } } \cos \phi } } \\ { { \sqrt { \frac { \beta _ { P e t e r } \beta _ { P a u l } } { 4 } } \cos \phi } } & { { \frac { \beta _ { P a u l } } { 2 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { { E } _ { B } } & { { } = \frac 1 2 { h _ { 1 } \, h _ { 2 } } { \sigma } ^ { 2 } + \frac { \alpha } { 2 } ( h _ { 1 } - h _ { 2 } ) \zeta { \sigma } ^ { 2 } - \frac { \alpha ^ { 2 } } 2 { \zeta } ^ { 2 } \, { \sigma } ^ { 2 } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } 6 { h _ { 1 } } ^ { 2 } { h _ { { 2 } } } ^ { 2 } \sigma \, \sigma _ { { { \it x x } } } + \frac 1 2 { \zeta } ^ { 2 } \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 1 } } & { \displaystyle \left( i \hbar \partial _ { t } U + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \Delta _ { x } U \right) ( t , x ) = \left( \displaystyle \int _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { n } } \sigma _ { 1 } ( x - y ) \sigma _ { 2 } ( z ) \Psi ( t , y , z ) \, { \mathrm { d } } y \, { \mathrm { d } } z \right) u ( t , x ) , } \\ & { ( \partial _ { t t } ^ { 2 } \Psi - \varkappa ^ { 2 } \Delta _ { z } \Psi ) ( t , x , z ) = - \sigma _ { 2 } ( z ) \left( \displaystyle \int _ { \mathbb T ^ { d } } \sigma _ { 1 } ( x - y ) | U ( t , y ) | ^ { 2 } \, { \mathrm { d } } y \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle j ^ { \mu } ( \omega ^ { ( n ) } ) \right\rangle = \, \, } & { \sigma ^ { \mu \alpha _ { 1 } \hdots \alpha _ { n } } ( \omega ^ { ( n ) } ; \omega _ { 1 } , \hdots , \omega _ { n } ) } \\ & { \times E _ { \alpha _ { 1 } } ( \omega _ { 1 } ) \hdots E _ { \alpha _ { n } } ( \omega _ { n } ) \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { m T G D } ^ { \infty } } & { { } = 2 \ \epsilon ^ { ( N + 1 ) / 2 } \left( \frac { a } { \pi \epsilon } \right) ^ { 2 } D _ { m T G D } \ \rho _ { e q } ( \mathbf { x } _ { s } ) \times } \end{array}
{ \vec { z } } ^ { i d e a l } \ni { \vec { z } } _ { i } ^ { i d e a l } = { \underset { x \in X } { \operatorname* { i n f } } } \{ f _ { i } ( x ) \} { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } i = 1 , \ldots , k .
V ^ { \dagger } = \left( \begin{array} { c c c } { { c } } & { { s } } & { { 0 } } \\ { { - s / \sqrt { 2 } } } & { { c / \sqrt { 2 } } } & { { - 1 / \sqrt { 2 } } } \\ { { - s / \sqrt { 2 } } } & { { c / \sqrt { 2 } } } & { { ~ ~ 1 / \sqrt { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ r ~ a ~ y ~ c ~ u ~ r ~ v ~ a ~ t ~ u ~ r ~ e ~ } } & { { } \approx \frac { \mathrm { ~ v ~ o ~ r ~ t ~ i ~ c ~ i ~ t ~ y ~ } } { \mathrm { ~ g ~ r ~ o ~ u ~ p ~ v ~ e ~ l ~ o ~ c ~ i ~ t ~ y ~ } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \beta _ { 1 } ( \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 3 } ) + \beta _ { 2 } ( \alpha _ { 3 } - \alpha _ { 1 } ) + \beta _ { 3 } ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } ) } \\ & { = ( x - \alpha _ { 1 } y ) ( \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 3 } ) + ( x - \alpha _ { 2 } y ) ( \alpha _ { 3 } - \alpha _ { 1 } ) + ( x - \alpha _ { 3 } y ) ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { u } } & { { } : = [ u _ { 1 } ^ { T } \; u _ { 2 } ^ { T } \; . . . \; u _ { N } ^ { T } ] ^ { T } } \\ { \hat { \Delta u } } & { { } : = [ ( u _ { 1 } - u _ { 0 } ) ^ { T } \; \; ( u _ { 2 } - u _ { 1 } ) ^ { T } \; . . . \; ( u _ { N } - u _ { N - 1 } ) ^ { T } ] ^ { T } } \\ { \hat { w } } & { { } : = [ w _ { 1 } ^ { T } \; w _ { 2 } ^ { T } \; . . . \; w _ { N } ^ { T } ] ^ { T } } \\ { \hat { x } } & { { } : = [ x _ { 2 } ^ { T } \; x _ { 3 } ^ { T } \; . . . \; x _ { N + 1 } ^ { T } ] ^ { T } } \\ { \hat { y } } & { { } : = [ y _ { 2 } ^ { T } \; y _ { 3 } ^ { T } \; . . . \; y _ { N + 1 } ^ { T } ] ^ { T } } \\ { \hat { r } } & { { } : = [ r _ { 2 } ^ { T } \; r _ { 3 } ^ { T } \; . . . \; r _ { N + 1 } ^ { T } ] ^ { T } } \\ { \hat { e } } & { { } : = [ e _ { 2 } ^ { T } \; e _ { 3 } ^ { T } \; . . . \; e _ { N + 1 } ^ { T } ] ^ { T } } \\ { \hat { Q } _ { e } } & { { } : = \textbf { b l k d i a g ( } \underbrace { Q _ { e } , Q _ { e } \; . . . \; Q _ { e } } _ { \times N } \textbf { ) } } \\ { \hat { R } _ { u } } & { { } : = \textbf { b l k d i a g ( } \underbrace { R _ { u } , R _ { u } \; . . . \; R _ { u } } _ { \times N } \textbf { ) } } \\ { \hat { R } _ { \Delta u } } & { { } : = \textbf { b l k d i a g ( } \underbrace { R _ { \Delta u } , R _ { \Delta u } \; . . . \; R _ { \Delta u } } _ { \times N } \textbf { ) } } \\ { \hat { C } } & { { } : = \textbf { b l k d i a g ( } \underbrace { C , C \; . . . \; C } _ { \times N } \textbf { ) } } \end{array}
{ \mathbf { f } _ { \mathrm { R F } } } = \frac { \epsilon - 1 } { 8 \pi } \boldsymbol \nabla E ^ { 2 } + \frac { \epsilon - 1 } { 4 \pi c } { \partial _ { \mathrm { t } } } ( { \mathbf { E } } \times { \mathbf { B } } )
\begin{array} { r l r } & { } & { a ( \boldsymbol { p } , \boldsymbol { q } ) - b ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { q } ) = \ell _ { 1 } ( \boldsymbol { q } ) , \qquad \forall \boldsymbol { q } \in \boldsymbol { Q } , } \\ & { } & { d ( \boldsymbol { v } , \boldsymbol { p } ) + c ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } ) = \ell _ { 2 } ( \boldsymbol { v } ) , \qquad \forall \boldsymbol { v } \in \boldsymbol { U } . } \end{array}
\varepsilon ^ { \prime \prime } { } ^ { i j } = - 2 \nu \left\langle { \frac { \partial u ^ { \prime \prime } { } ^ { i } } { \partial x ^ { \ell } } \frac { \partial u ^ { \prime \prime } { } ^ { j } } { \partial x ^ { \ell } } } \right\rangle ,
\bar { \psi } _ { i , j } = \frac { 2 H _ { i , j } ( \bar { \psi } H ) _ { i , j } } { H _ { i , j } ^ { 2 } + \operatorname* { m a x } \{ H _ { i , j } ^ { 2 } , H _ { \epsilon } ^ { 2 } \} } ,
\left< u _ { b } \right> = \frac { 1 } { H - z _ { 0 } } \int _ { z _ { 0 } } ^ { H } u _ { b } ( z ) d z = \frac { u _ { b * } } { \kappa } \left[ \frac { H } { H - z _ { 0 } } \ln \left( \frac { H } { z _ { 0 } } \right) - 1 \right] ,
\frac { A _ { i } ( 0 , - 1 / 2 ) } { A _ { i } ( - 1 , - 1 / 2 ) } = \frac { 1 } { 2 } \frac { A _ { i } ( 1 , 1 / 2 ) } { A _ { i } ( 0 , 1 / 2 ) }
1 6 \pi G _ { N \pm } = \frac { \kappa _ { 5 } ^ { 2 } e ^ { - 2 A _ { \pm } - \alpha _ { \pm } ^ { ( 0 ) } } } { \int _ { w _ { - } } ^ { w _ { + } } d w ^ { \prime } e ^ { - 3 A ( w ^ { \prime } ) } } .
P _ { W } = \beta \frac { | B _ { I M F , \perp } | ^ { 2 } B _ { e x } ^ { 2 / 3 } } { \mu _ { 0 } ^ { 4 / 3 } } \left( \frac { v _ { s w } } { m _ { p } n _ { s w } } \right) ^ { 1 / 3 } R _ { e x } ^ { 2 } \pi \frac { 2 . 8 3 5 } { K ^ { 1 / 3 } }
S _ { \nu } = { \frac { \int d ^ { \nu ^ { 2 } } \Phi e ^ { - \mathrm { T r } U ( \Phi ) } \mathrm { T r } \left[ U ^ { 2 } ( \Phi ) \right] } { \int d ^ { \nu ^ { 2 } } \Phi e ^ { - \mathrm { T r } U ( \Phi ) } } } .