harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Lambda \eta \, = \, \frac { 1 } { 2 \pi } \Bigl ( \bigl \{ L \eta _ { 0 } \, , \eta \bigr \} + \bigl \{ L \eta \, , \eta _ { 0 } \bigr \} \Bigr ) \, , \qquad \eta \in D ( \Lambda ) \, = \, \Bigl \{ \eta \in \mathcal { Y } \, \Big | \, \bigl \{ L \eta _ { 0 } \, , \eta \bigr \} \in \mathcal { Y } \Bigr \} \, ,
\begin{array} { r l } { a _ { i , j } ^ { \{ S , F , i \} } } & { = c _ { i } ^ { \{ S \} } b _ { j } ^ { \{ F \} } , } \\ { a _ { i , \ell } ^ { \{ S , E \} } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { s ^ { \{ F \} } } b _ { k } ^ { \{ F \} } \omega _ { i , \ell } ( c _ { k } ^ { \{ F \} } ) = \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \Omega } - 1 } \omega _ { i , \ell } ^ { \{ k \} } b ^ { \{ F \} , T } c ^ { \{ F \} \times k } , } \\ { a _ { i , \ell } ^ { \{ S , I \} } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { s ^ { \{ F \} } } b _ { k } ^ { \{ F \} } \omega _ { i , \ell } \left( c _ { j } ^ { \{ F \} } \right) + \gamma _ { i , \ell } = \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \Omega } - 1 } \omega _ { i , \ell } ^ { \{ k \} } b ^ { \{ F \} , T } c ^ { \{ F \} \times k } + \gamma _ { i , \ell } . } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { x \in [ a , b ] } | \tilde { \psi } ( x , t ) - \psi ( x , t ) | \leq \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } \lambda _ { \ell } ^ { * } h ^ { 2 \ell } + \nu _ { m } ^ { * } h ^ { 2 m + 2 } ,
N _ { \oplus } ^ { c r i t } = 1 . 7 \times 1 0 ^ { 3 4 } \sqrt { \Omega _ { \tilde { \nu } } } \, h _ { 5 0 } \left( \frac { m _ { \tilde { \nu } } } { 1 0 G e V } \right) ^ { - 3 / 4 } \sqrt { \frac { \dot { N _ { \oplus } } } { 1 0 ^ { 1 7 } s e c ^ { - 1 } } }
E _ { g . s . } = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \frac { N } { 2 } } \epsilon _ { \alpha } = N \int _ { - \infty } ^ { \infty } \epsilon ( \lambda ) \rho ( \lambda ) d \lambda = - \frac { J N } { 4 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \lambda \frac { 1 } { \left( \lambda ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \right) \cosh \pi \lambda } = - J N \ln 2
\begin{array} { r l r } { u _ { 1 } ^ { \prime } { } ^ { \alpha } ( { \bf { k } } ; \tau ) } & { { } = } & { \frac { \partial U ^ { b } } { \partial X ^ { a } } \int _ { - \infty } ^ { \tau } \! \! \! d \tau _ { 1 } G ^ { \prime } { } ^ { \alpha b } ( { \bf { k } } ; \tau , \tau _ { 1 } ) u _ { 0 } ^ { \prime } { } ^ { a } ( { \bf { k } } ; \tau _ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta } & { { } = } & { \int _ { \Omega } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { D _ { i } C _ { i } } { R T } | \nabla \tilde { \mu } _ { i } | ^ { 2 } d x + \int _ { \Gamma } R T \mathcal { R } \ln \left( \frac { \mathcal { R } _ { f } } { \mathcal { R } _ { r } } \right) d S + \int _ { \Gamma } \frac { g } { F ^ { 2 } } ( \tilde { \mu } _ { e } - \tilde { \mu } _ { e x } ) ^ { 2 } d S , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left( { \boldsymbol { J } } _ { z } ^ { ( j ) } \right) _ { b a } } & { = ( j + 1 - a ) \delta _ { b , a } } \\ { \left( { \boldsymbol { J } } _ { x } ^ { ( j ) } \right) _ { b a } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \delta _ { b , a + 1 } + \delta _ { b + 1 , a } \right) { \sqrt { ( j + 1 ) ( a + b - 1 ) - a b } } } \\ { \left( { \boldsymbol { J } } _ { y } ^ { ( j ) } \right) _ { b a } } & { = { \frac { 1 } { 2 i } } \left( \delta _ { b , a + 1 } - \delta _ { b + 1 , a } \right) { \sqrt { ( j + 1 ) ( a + b - 1 ) - a b } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l } { u _ { k } = \tau _ { k } , \ k = 1 , \ldots , r - 1 \ \ \textup { i f } \ r \geq 2 , } \\ { v _ { k } = \eta _ { k } , \ k = 1 , \ldots , r - 1 \ \ \textup { i f } \ r \geq 2 , } \\ { w _ { k } = \lambda _ { k } , \ k = 1 , \ldots , \ell + \ell ^ { ' } - 2 r - 1 , } \\ { x = 2 ^ { J } \left( \lambda _ { 1 : \ell - r } ^ { + } + \tau _ { 1 : r } ^ { + } \right) , } \\ { y = 2 ^ { J } \left( \lambda _ { \ell - r + 1 : \ell + \ell ^ { ' } - 2 r } ^ { + } - \tau _ { 1 : r } ^ { + } \right) , } \\ { z = 2 ^ { J } \left( \lambda _ { 1 : \ell - r } ^ { + } + \eta _ { 1 : r } ^ { + } \right) } \end{array} \right. } \end{array}
d _ { n } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \left( - 1 \right) ^ { i } \left( \sum _ { \begin{array} { c } { { 0 < k _ { 1 } , k _ { 2 } , \ldots , k _ { i } \leq n } } \\ { { k _ { 1 } + k _ { 2 } + \ldots + k _ { i } = n } } \end{array} } \frac { 1 } { \left[ k _ { 1 } \right] ! \left[ k _ { 2 } \right] ! \ldots \left[ k _ { i } \right] ! } \right) }
( \phi _ { p } ^ { \dagger } ) _ { i j } = \frac { i g } { 4 \sqrt { 2 } \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { ( y ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } ) } \left\{ \left( \frac { N _ { c } - 2 } { 2 N _ { c } } \right) \delta _ { i j } \delta _ { i , j \leq 2 } - \frac { 1 } { N _ { c } } \delta _ { i j } \delta _ { i , j \geq 3 } \right\} \tilde { \eta } \eta .
P _ { j j ^ { \prime } } ^ { S U ( 2 ) } = \frac { 2 } { \sqrt { k + 2 } } \sin \left( \frac { \pi ( 2 j + 1 ) ( 2 j ^ { \prime } + 1 ) } { 2 ( k + 2 ) } \right) E _ { k + 2 j + 2 j ^ { \prime } } ~ ,
\begin{array} { r l } { \hat { U } _ { 0 } ^ { \dagger } \left( \sum _ { p } \epsilon _ { p } \hat { n } _ { p } \right) \hat { U } _ { 0 } + } & { { } \sum _ { \alpha } c _ { \alpha } \hat { U } _ { \alpha } ^ { \dagger } \left( \sum _ { p } \lambda _ { p p } ^ { ( \alpha ) } \hat { n } _ { p } \right) \hat { U } _ { \alpha } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi \in \mathcal { F } _ { K } ^ { - 1 } ( v ) \ } & { \Leftrightarrow \ \langle \psi , v - x \rangle \geq 0 , \ \mathrm { f o r ~ a l l } \ x \in K , } \\ & { \Leftrightarrow \ \langle \psi + J v - J v , v - x \rangle \geq 0 , \ \mathrm { f o r ~ a l l } \ x \in K } \\ & { \Leftrightarrow \ \psi + J v \in K _ { \pi } ^ { \perp } , } \end{array}
\Big ( \frac { d \hat { \phi } } { d t } , \hat { \psi } \Big ) _ { \hat { \Omega } } = \Big ( \sqrt { J } \phi _ { t } , \hat { \psi } \Big ) _ { \hat { \Omega } } + \Big ( \sqrt { J } D _ { m } \phi , \hat { \psi } \Big ) _ { \hat { \Omega } } = \Big ( \phi _ { t } , \psi \Big ) _ { \Omega } + \Big ( D _ { m } \phi , \psi \Big ) _ { \Omega } ,
\begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { c l u s t e r } } ( \{ \mathbf { p } _ { j } \} , \mathbf { q } ) } & { { } \equiv \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } D _ { \mathrm { K L } } ( \mathbf { p } _ { j } \| \mathbf { q } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { 1 } } \langle \mathbf Q _ { t - 1 } \odot \mathbf S _ { t } , \vec { \theta } _ { t } \rangle - Q _ { t - 1 , a _ { t } } S _ { t , a _ { t } } \right] \le \frac \epsilon 2 \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { 1 } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \right] + 3 K M ^ { 2 } m _ { 0 } \mathbb E \left[ \mathcal T _ { 1 } \right] + \mathbb E \left[ \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } h ( \tau _ { i + 1 } ^ { \prime } - \tau _ { i } ^ { \prime } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ddot { x } + \left[ a _ { x } ( x , y , z ) + 2 q _ { x } ( x , y , z ) \cos \left( \Omega t \right) \right] \frac { \Omega ^ { 2 } } { 4 } x } & { { } = \frac { Q \cdot E _ { x } } { m } , } \\ { \ddot { y } + \left[ a _ { y } ( x , y , z ) + 2 q _ { y } ( x , y , z ) \cos \left( \Omega t \right) \right] \frac { \Omega ^ { 2 } } { 4 } y } & { { } = \frac { Q \cdot E _ { y } } { m } , } \\ { \ddot { z } + \left[ a _ { z } ( x , y , z ) + 2 q _ { z } ( x , y , z ) \cos \left( \Omega t \right) \right] \frac { \Omega ^ { 2 } } { 4 } z } & { { } = \frac { Q \cdot E _ { z } } { m } . } \end{array}
Q _ { T } ( u ) ( x ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { u _ { i } ( x ) , \mathrm { ~ i f ~ x \in ~ Z _ i ~ , } } \\ { \eta ( - s ) u _ { 1 } ( - 1 , y ) e ^ { - p _ { T } ( s ) - T / 2 } , \mathrm { i f ~ x = ( s , y ) \in ~ [ - 1 , 0 ] \times ~ Y ~ , } } \\ { \eta ( s ) u _ { 2 } ( 1 , y ) e ^ { p _ { T } ( s ) - T / 2 } , \mathrm { i f ~ x = ( s , y ) \in ~ [ 0 , 1 ] \times ~ Y ~ . } } \end{array} \right.
\dot { x } = 0 . 5 3 6 7 y + 1 . 3 1 6 6 y ^ { 3 } - 0 . 4 8 7 2 x ^ { 2 } y + 0 . 1 7 3 5 y ^ { 5 } + 0 . 1 6 8 1 x ^ { 2 } y ^ { 3 } + 0 . 1 1 7 9 x ^ { 4 } y
\begin{array} { r l r } { \vec { b } _ { 1 } = \left( \begin{array} { l } { - b _ { 2 3 } } \\ { b _ { 1 3 } } \\ { - b _ { 1 2 } } \end{array} \right) \, , } & { { } } & { \vec { b } _ { 2 } = \left( \begin{array} { l } { b _ { 1 4 } } \\ { b _ { 2 4 } } \\ { b _ { 3 4 } } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { k } f ( x , y ) = f _ { k } ( x , y ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \left( \int _ { \mathbb { T } } f ( x ^ { \prime } , y ) e ^ { - i k x ^ { \prime } } d x ^ { \prime } \right) e ^ { i k x } , } \end{array}
\bar { \varepsilon } ^ { \mathcal { B } } ( \rho ) \approx \frac { \sum _ { i = 0 } ^ { 4 } a _ { i } ^ { \mathcal { B } } \rho ^ { i } } { 1 + \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } b _ { j } ^ { \mathcal { B } } \rho ^ { j } } ,
\textup { a v g } _ { \pm } ( | \partial _ { \tau } u | ) ( \tau , z ) : = \frac { 1 } { \lambda } \int _ { [ r _ { * } ( \tau , z ) \pm \lambda , r _ { * } ( \tau , z ) ] } | \partial _ { \tau } u ( \sigma , z ) | \, d \sigma + \frac { 2 } { \lambda ^ { 2 } } \int _ { [ r _ { * } ( \tau , z ) \pm \lambda , r _ { * } ( \tau , z ) ] } \int _ { [ \sigma , r _ { * } ( \tau , z ) ] } | \partial _ { \tau } u ( k , z ) | \ d k \, d \sigma
S _ { 3 } ( \mathbf { k } ) = \frac { | b _ { + , \mathrm { c a v } } ( \mathbf { k } ) | ^ { 2 } - | b _ { - , \mathrm { c a v } } ( \mathbf { k } ) | ^ { 2 } } { | b _ { + , \mathrm { c a v } } ( \mathbf { k } ) | ^ { 2 } + | b _ { - , \mathrm { c a v } } ( \mathbf { k } ) | ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \sigma \left( t \right) } & { = } & { \left( \rho _ { p \left( t , 0 \right) } ^ { \left( s \right) } \right) ^ { - 1 } \left. \frac { d } { d \tau } p \left( t , \tau \right) \right\vert _ { \tau = 0 } } \\ & { = } & { \left. \frac { d } { d \tau } \left( p \left( t , \tau \right) / _ { s } p \left( t , 0 \right) \right) \right\vert _ { \tau = 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } ^ { \dagger } | 1 _ { 1 } , 1 _ { 2 } \rangle = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( c _ { 1 } ^ { \dagger } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } - c _ { 1 } ^ { \dagger } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } ) } \\ { = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \psi _ { 1 } \otimes _ { - } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } - { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \psi _ { 1 } \otimes _ { - } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } \right) } \\ { = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } ( \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } - \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } + \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } ) - { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } ( \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } ) \right) } \\ { = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \widetilde { r } \kappa _ { k } ^ { 2 } - O _ { p } \Big ( \sqrt { \widetilde { r } } \kappa _ { k } \kappa _ { k } ^ { - \frac { p } { 2 r } } ( \log ( \widetilde { r } \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { r } + 2 } ) + 1 ) \Big ) - o _ { p } ( \widetilde { r } \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { r } + 2 } ) \le } & { o _ { p } ( \widetilde { r } \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { r } + 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 5 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 4 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 3 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 2 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
\tilde { \cal H } _ { \mathrm { k i n } } = \tilde { \cal H } _ { Q , \mathrm { k i n } } + \tilde { \cal H } _ { \ell , \mathrm { k i n } } = { \frac { \vec { P } ^ { 2 } } { 2 M } } + { \frac { \vec { p } ^ { 2 } } { 2 \mu } } ,
P _ { \Sigma } ( \Omega ) = m \left[ \left( \Omega ^ { 2 } - \frac { G _ { 1 1 } \sin ( \Omega \tau ) } { m } \Omega - \frac { K _ { \Sigma } } { m } \right) - \frac { i \Omega } { m } \big ( \xi _ { \Sigma } + G _ { 1 1 } \cos ( \Omega \tau ) \big ) \right] ,
g _ { m _ { F } } ( \theta , \varphi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { 1 } ( \theta , \varphi ) } & { m _ { F } = - 3 / 2 } \\ { \frac { 2 } { 3 } f _ { 0 } ( \theta , \varphi ) + \frac { 1 } { 3 } f _ { 1 } ( \theta , \varphi ) } & { m _ { F } = - 1 / 2 } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { h _ { { p } } ( r ; z ) } & { = \frac { 4 } { w _ { z } ^ { 2 } } \exp \left( { - 2 \frac { r ^ { 2 } } { w _ { z } ^ { 2 } } } \right) \int _ { 0 } ^ { R _ { a } } \varrho \exp \left( { - 2 \frac { \rho ^ { 2 } } { w _ { z } ^ { 2 } } } \right) } \\ & { \times { I } _ { 0 } \left( \frac { 4 } { w _ { z } ^ { 2 } } r \varrho \right) \mathrm { ~ d } \varrho , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta } & { { } = 2 y - u ^ { 2 } - i \beta u , } \\ { f _ { 1 } } & { { } = - \zeta ^ { 2 } / 2 + \int d \tau \exp ( \beta y - \beta u ^ { 2 } - i ( { \beta ^ { 2 } } / { 4 } ) u - 2 i u y + ( { 2 } / { 3 } ) i u ^ { 3 } + i v ) , } \\ { f _ { 2 } } & { { } = - \int d \tau \partial _ { \tau } \zeta f _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \frac { \hbar ^ { 2 } \, e ^ { 2 } } 3 \, \int _ { k , p } \, { \mathrm { e } } ^ { - { \mathrm { i } } \, p \cdot ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } \, \tilde { \mathsf { D } } ( p ) ^ { 2 } \, \tilde { \mathsf { \Pi } } _ { \mu \sigma } ( p ) \, \tilde { \mathsf { \Pi } } _ { \lambda \nu } ( p ) \, \mathrm { T r } \big ( \tilde { \mathsf { S } } ^ { - } ( p - k ) \, \gamma ^ { \sigma } \, \tilde { \mathsf { S } } ^ { + } ( k ) \, \gamma ^ { \lambda } \big ) \ . } \end{array}
\begin{array} { c c } { { \overline { { { m } } } _ { n } ^ { 2 } = \left\{ \begin{array} { c } { { \overline { { { m } } } _ { \widetilde { b } _ { R } } ^ { 2 } \, f o r \, n = 0 , 1 } } \\ { { \overline { { { m } } } _ { \widetilde { b } _ { L } } ^ { 2 } \, f o r \, n = 2 , 3 } } \end{array} \right. } } & { { \overline { { { M } } } _ { n 1 } ^ { 2 } = \left\{ \begin{array} { c } { { \overline { { { m } } } _ { \widetilde { b } _ { R } } ^ { 2 } \, f o r \, n = 0 } } \\ { { \overline { { { m } } } _ { \widetilde { s } _ { R } } ^ { 2 } \, f o r \, n = 1 , 2 } } \\ { { \overline { { { m } } } _ { \widetilde { b } _ { L } } ^ { 2 } \, f o r \, n = 3 } } \end{array} \right. } } \end{array} .
t ^ { - 1 } = ( 1 + r ^ { 2 } / 4 L ^ { 2 } ) ^ { 2 } \delta ^ { \mathrm { i j } } { \frac { \partial } { \partial x ^ { \mathrm { i } } } } \otimes { \frac { \partial } { \partial x ^ { \mathrm { j } } } } ,
\begin{array} { r l r } { | f _ { k } | = \left| \frac { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { h } ( \alpha _ { j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { k } ) \omega _ { j } ^ { k } \right) ^ { \frac { 1 } { k } } } { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { h } ( \alpha _ { j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ) \omega _ { j } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \right| } & { \leq } & { \frac { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { h } ( \alpha _ { j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { k } ) | \omega _ { j } | ^ { k } \right) ^ { \frac { 1 } { k } } } { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { h } ( \alpha _ { j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ) | \omega _ { j } | ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \leq \frac { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { h } ( \alpha _ { j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { k } ) | \omega _ { 1 } | ^ { k } \right) ^ { \frac { 1 } { k } } } { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { h } ( \alpha _ { j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ) | \omega _ { h } | ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \\ & { \leq } & { \left| \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { h } } \right| \frac { ( \bar { \alpha } _ { h } + \frac { 1 } { k } ) ^ { \frac { 1 } { k } } } { ( \bar { \alpha } _ { h } + \frac { 1 } { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } h ^ { \frac { 1 } { k } - \frac { 1 } { 2 } } \leq \left| \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { h } } \right| \bar { \alpha } _ { h } ^ { \frac { 1 } { k } - \frac { 1 } { 2 } } h ^ { \frac { 1 } { k } - \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu = \log \left\{ \frac { \operatorname* { m a x } \left[ E \left( 0 \le t \le 2 \tau \right) \right] } { \operatorname* { m a x } \left[ E \left( 0 \le t \le \tau \right) \right] } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \mathcal { N } _ { [ \, ] } ( \overline { { \mathrm { H \ddot { o } l } } } _ { L } ^ { \beta } ( \Omega , \mu ) , L _ { 1 } ( \mu ) , \varepsilon ) } & { \leq \log \mathcal { N } _ { [ \, ] } ( \widetilde { \mathrm { H \ddot { o } l } } _ { L } ^ { \beta } ( \Omega , \mu ) , L _ { 1 } ( \mu ) , \varepsilon ) } \\ & { \leq \mathcal { N } _ { \Omega } \left( \left( \frac { \varepsilon } { 1 2 8 L \log ( 1 / \varepsilon ) } \right) ^ { 1 / \beta } \right) \cdot \log \left( \frac { 1 6 \log _ { 2 } ( 1 / \varepsilon ) } { \varepsilon } \right) ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \Big [ \int _ { t } ^ { t + h } ( \Psi ( V _ { s } ) - \Psi ( V _ { t } ) ) d M _ { s } \Big ] + { \mathbb { E } \Big [ \Psi ( V _ { t } ) \Big ( ( M _ { t + h } - M _ { t } ) - \mathbb { E } \left[ M _ { t , h } - M _ { t } + X _ { t } ^ { 1 } ) _ { + } | { \mathcal F } _ { t } \right] \Big ) \Big ] } } \\ & { + \mathbb { E } \left[ \Psi ( V _ { t } ) { \mathbb { E } } \left[ ( M _ { t , h } - M _ { t } + X _ { t } ^ { 1 } ) _ { + } \left| \right. { \mathcal F } _ { t } \right] - { 2 } \sqrt h \Psi ( V _ { t } ) { \| A ^ { 1 } ( X _ { t } ) \| } { \cal H } ( \frac { M _ { t } - X _ { t } ^ { 1 } } { \sqrt h \| A ^ { 1 } ( X _ { t } ) \| } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \nabla \cdot \left[ T ( x ) \nabla u ( x ) \right] } & { { } = 0 , } & { } & { { } x \in D , } \\ { T ( x ) \nabla u ( x ) \cdot \vec { n } ( x ) } & { { } = - q _ { \mathcal { N } } ( x ) , } & { } & { { } x \in \Gamma _ { \mathcal { N } } , } \\ { u ( x ) } & { { } = u _ { \mathcal { D } } ( x ) , } & { } & { { } x \in \Gamma _ { \mathcal { D } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \mathcal { L } ^ { 4 } \Phi _ { 5 } = \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \mathcal { D } _ { \omega } \Phi _ { 5 } - \left( \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \mathcal { B } _ { 0 } \Phi _ { 5 } + \varepsilon \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \mathcal { B } _ { 1 } \Phi _ { 5 } + \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \mathcal { B } _ { 2 } \Phi _ { 5 } \right) + \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \mathcal { Q } \Phi _ { 5 } . } \end{array}
i \hbar \frac { \partial \hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) } { \partial t } = \sum _ { \sigma ^ { \prime } } h _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) + \int V ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) \sum _ { \sigma ^ { \prime } } \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } , t ) \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } , t ) d ^ { 3 } r ^ { \prime } \, \hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t )
\begin{array} { r l } { \widecheck \tau ^ { \varepsilon } } & { = \operatorname* { i n f } \Big \{ t \geq 0 \colon U _ { t } ^ { \varepsilon } \notin ( - \widecheck A \varepsilon , \widecheck A \varepsilon ) \Big \} , } \\ { \widehat \tau ^ { \varepsilon } } & { = \operatorname* { i n f } \Big \{ t \geq 0 \colon U _ { t } ^ { \varepsilon } \notin ( - \widehat A \varepsilon , \widehat A \varepsilon ) \Big \} } \end{array}
\bar { \sigma } = \sigma + \kappa \sigma _ { x x } \, , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \bar { \sigma } = \left( { \frac { \rho _ { 1 } h _ { 2 } + \rho _ { 2 } h _ { 1 } } { h _ { 2 } } } - { \frac { \rho _ { 2 } \zeta } { h _ { 2 } ^ { 2 } } } \right) \bar { u } _ { 1 } \, .
\tilde { \cal H } = \omega \, q \cdot \! { \frac { \partial } { \partial q } } - { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { r } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial q _ { j } ^ { 2 } } } - \sum _ { \rho \in \Delta _ { + } } { \frac { g _ { | \rho | } } { \rho \cdot q } } \rho \cdot \! { \frac { \partial } { \partial q } } .
q ^ { * } ( \mathbf { Z } _ { 2 } ) = { \frac { P ( \mathbf { X } ) } { \zeta ( \mathbf { X } ) } } { \frac { P ( \mathbf { Z } _ { 2 } \mid \mathbf { X } ) } { \exp ( D _ { \mathrm { K L } } ( q ^ { * } ( \mathbf { Z } _ { 1 } \mid \mathbf { Z } _ { 2 } ) \parallel P ( \mathbf { Z } _ { 1 } \mid \mathbf { Z } _ { 2 } , \mathbf { X } ) ) ) } } = { \frac { 1 } { \zeta ( \mathbf { X } ) } } \exp \mathbb { E } _ { q ^ { * } ( \mathbf { Z } _ { 1 } \mid \mathbf { Z } _ { 2 } ) } \left( \log { \frac { P ( \mathbf { Z } , \mathbf { X } ) } { q ^ { * } ( \mathbf { Z } _ { 1 } \mid \mathbf { Z } _ { 2 } ) } } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { W } _ { \rho _ { \alpha / ( 2 m K ) } } ( P _ { s } ( u _ { 0 } , \cdot ) , P _ { s } ( v _ { 0 } , \cdot ) ) } \\ & { \qquad \qquad \leq C \exp \left( \frac { \alpha } { 4 m K } \| u _ { 0 } \| ^ { 2 } \right) \rho ( u _ { 0 } , v _ { 0 } ) ^ { 1 / 2 } \exp \left( \frac { \alpha } { m K } C _ { 0 } \right) \exp \left( \frac { \alpha } { 2 m K } \psi ( s ) ( \| u _ { 0 } \| ^ { 2 } + \| v _ { 0 } \| ^ { 2 } ) \right) } \\ & { \qquad \qquad \leq C \exp \left( \frac { \alpha } { 4 m } \| u _ { 0 } \| ^ { 2 } \right) \rho ( u _ { 0 } , v _ { 0 } ) ^ { 1 / 2 } \exp \left( \frac { \alpha } { m K } C _ { 0 } \right) \exp \left( \frac { \alpha } { 2 m } ( \| u _ { 0 } \| ^ { 2 } + \| v _ { 0 } \| ^ { 2 } ) \right) } \\ & { \qquad \qquad \leq C \rho _ { \alpha / m } ( u _ { 0 } , v _ { 0 } ) } \end{array}
\frac { g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 3 } } \left\{ \int _ { 0 } ^ { p ^ { + } } \frac { d q ^ { + } } { q ^ { + } } \frac { d ^ { 2 } q _ { \perp } } { \frac { M ^ { 2 } + p _ { \perp } ^ { 2 } } { p ^ { + } / P ^ { + } } - \frac { M ^ { 2 } + ( { \bf p } _ { \perp } + { \bf q } _ { \perp } ) ^ { 2 } } { ( p ^ { + } - q ^ { + } ) / P ^ { + } } - \frac { \mu ^ { 2 } + { \bf q } _ { \perp } ^ { 2 } } { q ^ { + } / P ^ { + } } } - \mathrm { P - V ~ t e r m } \right\} \sim - \frac { g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \ln ( \mu _ { 1 } / \mu ) \, .
\tilde { \chi } _ { p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \, , } & { \boldsymbol { \xi } \in \tilde { \Omega } _ { p , q } \, , } \\ { 0 \, , } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } \, . } \end{array} \right.
{ \cal L } = \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \Phi \partial ^ { \mu } \Phi + \frac { 1 } { 2 } m _ { 0 } ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 4 ! } \Phi ^ { 4 } \, ,
\begin{array} { r l } { M _ { X _ { n } } ( t ) } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } e ^ { t k } \binom { n } { k } \left[ \frac { \lambda } { n } \right] ^ { k } \left[ 1 - \frac { \lambda } { n } \right] ^ { k } } \\ & { = \left[ \frac { e ^ { t } \lambda } { n } + 1 - \frac { \lambda } { n } \right] ^ { n } } \\ & { = \left[ 1 + \frac { \lambda ( e ^ { 1 } - 1 ) } { n } \right] ^ { n } . } \end{array}
\operatorname { H e s s } ( f ) = \nabla _ { i } \, \partial _ { j } f \ d x ^ { i } \! \otimes \! d x ^ { j } = \left( { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { i } \partial x ^ { j } } } - \Gamma _ { i j } ^ { k } { \frac { \partial f } { \partial x ^ { k } } } \right) d x ^ { i } \otimes d x ^ { j }
\begin{array} { l } { { [ \psi _ { i } , ~ \psi _ { j } ^ { \dag } ] = \delta _ { i j } \nonumber } } \\ { { \bigl [ ( X _ { 1 } ) _ { i j } , ~ ( X _ { 2 } ) _ { k l } \bigr ] = { \frac { i } { B } } \delta _ { i l } ~ \delta _ { j k } . } } \end{array}
M _ { \mathrm { s m e } } = \frac { V _ { p } \Omega _ { d - 2 } 2 \pi R _ { T } } { 1 6 \pi G } ( d - 3 ) r _ { 0 } ^ { d - 3 } \left[ \frac { d - 2 } { d - 3 } + \sinh ^ { 2 } \hat { \alpha } \right] \ .
| C _ { I _ { Z } } ( ( x _ { j } ^ { n } , x _ { k } ^ { m } ) , ( x _ { j ^ { \prime } } ^ { n } , x _ { k ^ { \prime } } ^ { m } ) ) C _ { M } ( ( I _ { j } ^ { n } \cap I _ { k } ^ { m } ) \times ( I _ { j ^ { \prime } } ^ { n } \cap I _ { k ^ { \prime } } ^ { m } ) ) | < \epsilon | C _ { M } | ( ( I _ { j } ^ { n } \times I _ { k } ^ { m } ) \cap ( I _ { j } ^ { n } \times I _ { k } ^ { m } ) ) .
\underset { s = 1 } { \overset { n } { \sum } } \left( P _ { X _ { s } , 2 } ^ { ( 1 ) } \delta _ { r _ { s } \geq 2 } + X _ { s } P _ { X _ { s } , 1 } ^ { ( 1 ) } \right) = \underset { s = 1 } { \overset { n } { \sum } } \left( ( t _ { X _ { s } ^ { ( 1 ) } , 1 } + t _ { X _ { s } ^ { ( 2 ) } , 1 } ) \delta _ { r _ { s } \geq 2 } + X _ { s } ( t _ { X _ { s } ^ { ( 1 ) } , 0 } + t _ { X _ { s } ^ { ( 2 ) } , 0 } ) \right)