harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \psi _ { z } ^ { - } } & { = } & { + \frac { i } { \hbar } \Delta \mathrm { e } ^ { + \frac { i } { \hbar } \Delta t } \psi _ { z } + \mathrm { e } ^ { + \frac { i } { \hbar } \Delta t } \partial _ { t } \psi _ { z } } \\ { \partial _ { t } ^ { 2 } \psi _ { z } ^ { - } } & { = } & { - \frac { \Delta ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } \Delta \mathrm { e } ^ { + \frac { i } { \hbar } \Delta t } \psi _ { z } + 2 \frac { i } { \hbar } \Delta \mathrm { e } ^ { + \frac { i } { \hbar } \Delta t } \partial _ { t } \psi _ { z } + \mathrm { e } ^ { + \frac { i } { \hbar } \Delta t } \partial _ { t } ^ { 2 } \psi _ { z } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { Q _ { \rho } ^ { * } } | T _ { a } ^ { \varphi } \mathfrak { a } ( x ) | ^ { p } \, \mathrm { d } x \leq | Q _ { \rho } ^ { * } | ^ { 1 - \frac p 2 } \Big ( { \int _ { Q _ { \rho } ^ { * } } | T _ { a } ^ { \varphi } \mathfrak { a } ( x ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x } \Big ) ^ { \frac p 2 } } \\ & { \lesssim 2 ^ { - k _ { Q } n ( 1 - p / 2 ) } \| \mathfrak { a } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { p } \lesssim 2 ^ { - k _ { Q } n ( 1 - p / 2 ) } 2 ^ { n k _ { Q } } 2 ^ { - k _ { Q } p / 2 } = 1 . } \end{array}
\Gamma _ { B ^ { * } \to \rho N } ( \sqrt { s } ) = \frac { f _ { \rho B ^ { * } N } ^ { 2 } } { 4 \pi m _ { \rho } ^ { 2 } } \ \frac { 2 m _ { N } } { \sqrt { s } } \ \overline { { { S I } } } ( B ^ { * } \to \rho N ) \int _ { 2 m _ { \pi } } ^ { M _ { m a x } } \frac { M d M } { \pi } \ A _ { \rho } ( M ) \ q _ { c m } ^ { 3 } \ F _ { \rho B ^ { * } N } ( q _ { c m } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \| T ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) \| _ { L ^ { p } ( w ) } } & { \lesssim \sum _ { k ^ { 1 } , k ^ { 2 } , k ^ { 3 } = 2 } ^ { \infty } ( | k | + 1 ) ^ { 2 } \varphi ( k ) \operatorname* { m a x } _ { i } \{ k ^ { i } \} ^ { 2 } 2 ^ { k ^ { 1 } \eta } \| f _ { 1 } \| _ { L ^ { p _ { 1 } } ( w _ { 1 } ) } \| f _ { 2 } \| _ { L ^ { p _ { 2 } } ( w _ { 2 } ) } } \\ & { \lesssim \| f _ { 1 } \| _ { L ^ { p _ { 1 } } ( w _ { 1 } ) } \| f _ { 2 } \| _ { L ^ { p _ { 2 } } ( w _ { 2 } ) } , } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { \infty } d \kappa \frac { e ^ { c \kappa } } { \frac { 2 } { \kappa } \sinh \left( \frac { \kappa \pi } { 2 } \right) 2 \cosh ( \frac { \kappa \pi } 2 ) } = \frac { 1 } { 4 \cos ( { \frac { c } { 2 } } ) ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r } { \mathbb E ( \rho , \phi ) : = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { Q _ { i } } \beta ^ { i } ( x ) { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ( x , t ) { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \rho ^ { i } ( x , t ) \; d x d t + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { Q _ { i } } q ^ { i } ( x ) \phi ^ { i } ( x , t ) \rho ^ { i } ( x , t ) \; d x d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } ^ { k _ { 1 } } ( \hat { 1 } ) } & { = \mathrm { d } ^ { k _ { 1 } } ( \hat { 1 } ) \wedge ( G _ { 1 } \vee G _ { 2 } \vee G _ { 3 } ) } \\ & { = G _ { 1 } \vee ( \mathrm { d } ^ { k _ { 1 } } ( \hat { 1 } ) \wedge ( G _ { 2 } \vee G _ { 3 } ) ) \, ( \textrm { b y m o d u l a r i t y o f } \mathrm { d } ^ { k _ { 1 } } ( \hat { 1 } ) ) } \\ & { \leq G _ { 1 } \vee ( \mathrm { d } ^ { k _ { 1 } } ( \hat { 1 } ) \wedge G _ { 2 } ) \, ( \textrm { b y } k _ { 1 } \geq k _ { 2 } ) } \\ & { \leq G _ { 1 } \vee G _ { 1 } \, ( \textrm { b y d e f i n i t i o n o f } k _ { 1 } ) } \\ & { = G _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \omega } _ { \mathrm { ~ L ~ } } } & { { } = \frac { \omega _ { \mathrm { ~ L ~ } } + ( \omega _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } - i \kappa / 2 ) - \sqrt { 4 J ^ { 2 } + [ ( \omega _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } - i \kappa / 2 ) - \omega _ { \mathrm { ~ L ~ } } ] ^ { 2 } } } { 2 } , } \\ { \tilde { \omega } _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } } & { { } = \frac { \omega _ { \mathrm { ~ L ~ } } + ( \omega _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } - i \kappa / 2 ) + \sqrt { 4 J ^ { 2 } + [ ( \omega _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } - i \kappa / 2 ) - \omega _ { \mathrm { ~ L ~ } } ] ^ { 2 } } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \rho _ { \Xi } ( t ) \rangle = } & { { } \exp \left( \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } \lambda ( s , \omega ) \mathrm { d } \mu _ { \omega } \mathrm { d } s \right) \hat { U } \left( t , t _ { M } \right) \widehat { \widetilde { S } } \left( t _ { M } , \omega _ { M } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta ( Q ) } & { \geq \frac { n - 2 } { 2 } - | S | } \\ & { > \frac { n - 2 } { 2 } - c _ { k } \sqrt { n } - 1 } \\ & { \geq \frac { ( 4 c _ { k } \sqrt { n } + 2 k ^ { 2 } + 4 k + 4 ) - 2 } { 2 } - c _ { k } \sqrt { n } - 1 } \\ & { = c _ { k } \sqrt { n } + ( k + 1 ) ^ { 2 } - 1 } \\ & { > c _ { k } \sqrt { | V ( Q ) | } + ( k + 1 ) | X \cap V ( Q ) | - 1 ; } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \tau \left( 1 - \Gamma _ { k } \right) } { \epsilon _ { s { k } } } \right) = k _ { \parallel } ^ { 2 } v _ { A } ^ { 2 } \frac { b _ { k } } { 1 - \Gamma _ { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \mathbb { E } \left\| \tilde { \theta } _ { t + 1 } - \bar { \theta } _ { t + 1 } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leq \underbrace { \frac { 8 } { \operatorname* { m i n } \{ \mu _ { g } , \mu _ { q } \} } \, \left( \left[ \operatorname* { m i n } \left\{ \mathbb { E } _ { i _ { t } } \left[ \tilde { g } _ { t } \right] \right\} - \mathbb { E } _ { i _ { t } } \left[ \operatorname* { m i n } \left\{ \tilde { g } _ { t } \right\} \right] \right] + \left[ \operatorname* { m i n } \left\{ \mathbb { E } _ { i _ { t } } \left[ \tilde { q } _ { t } \right] \right\} - \mathbb { E } _ { i _ { t } } \left[ \operatorname* { m i n } \left\{ \tilde { q } _ { t } \right\} \right] \right] \right) } _ { : = \zeta _ { t } ^ { 2 } } } \\ { \implies 2 \mathbb { E } \left\| \tilde { \theta } _ { t + 1 } - \bar { \theta } _ { t + 1 } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leq \zeta _ { t } ^ { 2 } } \end{array}
\Vec { \boldsymbol { j } } _ { \alpha } = - \rho \omega _ { \alpha } D _ { \alpha } ^ { m } \frac { \Vec { \boldsymbol { \nabla } } x _ { \alpha } } { x _ { \alpha } } + \rho \omega _ { \alpha } \sum _ { \beta = 1 } ^ { N } \omega _ { \beta } D _ { \beta } ^ { m } \frac { \Vec { \boldsymbol { \nabla } } x _ { \beta } } { x _ { \beta } }
S _ { p } = { \frac { 1 } { 2 \kappa _ { D } ^ { 2 } } } \int d ^ { D } x \sqrt { - G } \left[ { \cal R } - { \frac { 4 } { D - 2 } } ( \partial \phi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 \cdot n ! } } e ^ { - 2 a _ { p } \phi } F _ { n } ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { \mathrm { t r } \left( \mathbb { G } _ { p } ( x , y ) \right) } & { = - \frac { \mathrm { i } \sigma _ { p } } { 4 \pi c _ { p } ^ { 2 } } \left( f _ { 2 } ( k _ { p } | x - y | ) - \frac { d f _ { 1 } ( k _ { p } | x - y | ) } { k _ { p } | x - y | } \right) = \frac { \mathrm { i } \sigma _ { p } } { 4 \pi c _ { p } ^ { 2 } } f _ { 0 } ( k _ { p } | x - y | ) = \frac { 1 } { c _ { p } ^ { 2 } } \Phi _ { p } ( x , y ) , } \\ { \mathrm { t r } \left( \mathbb { G } _ { s } ( x , y ) \right) } & { = \frac { \mathrm { i } \sigma _ { s } } { 4 \pi c _ { s } ^ { 2 } } \left( d f _ { 0 } ( k _ { s } | x - y | ) - \frac { d f _ { 1 } ( k _ { s } | x - y | ) } { k _ { s } | x - y | } + f _ { 2 } ( k _ { s } | x - y | ) \right) } \\ & { = \frac { \mathrm { i } \sigma _ { s } ( d - 1 ) } { 4 \pi c _ { s } ^ { 2 } } f _ { 0 } ( k _ { s } | x - y | ) } \\ & { = \frac { d - 1 } { c _ { s } ^ { 2 } } \Phi _ { s } ( x , y ) , } \end{array}
{ \boldsymbol { \Lambda } } _ { n } = ( \mathbf { X } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { X } + \mathbf { \Lambda } _ { 0 } ) , \quad { \boldsymbol { \mu } } _ { n } = ( { \boldsymbol { \Lambda } } _ { n } ) ^ { - 1 } ( \mathbf { X } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { X } { \hat { \boldsymbol { \beta } } } + { \boldsymbol { \Lambda } } _ { 0 } { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } ) ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } - \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 1 } } } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ { = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } - \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ { + } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } - \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 1 } } } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ { = } & { I _ { 3 } + I _ { 4 } , } \end{array}
{ \epsilon } _ { \mu } ^ { ( 1 ) } ( k ) = \left( - \frac { k _ { \bot } } { k _ { - } } , \; 0 , \; - \frac { k ^ { + } k _ { 1 } } { k _ { - } k _ { \bot } } , \; - \frac { k ^ { + } k _ { 2 } } { k _ { - } k _ { \bot } } \right)
\alpha _ { S } ( \mu ^ { 2 } ) = { \frac { 4 \pi } { b \log ( \mu ^ { 2 } / \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } ^ { 2 } ) } } \qquad \mathrm { w i t h } \quad b = 1 1 - { \frac { 2 } { 3 } } n _ { f } .
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } ( A ) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \left( \operatorname { t r } ( A ) \right) ^ { 2 } - \operatorname { t r } \left( A ^ { 2 } \right) \right) , } \\ { \operatorname* { d e t } ( A ) } & { = { \frac { 1 } { 6 } } \left( \left( \operatorname { t r } ( A ) \right) ^ { 3 } - 3 \operatorname { t r } ( A ) ~ \operatorname { t r } \left( A ^ { 2 } \right) + 2 \operatorname { t r } \left( A ^ { 3 } \right) \right) , } \\ { \operatorname* { d e t } ( A ) } & { = { \frac { 1 } { 2 4 } } \left( \left( \operatorname { t r } ( A ) \right) ^ { 4 } - 6 \operatorname { t r } \left( A ^ { 2 } \right) \left( \operatorname { t r } ( A ) \right) ^ { 2 } + 3 \left( \operatorname { t r } \left( A ^ { 2 } \right) \right) ^ { 2 } + 8 \operatorname { t r } \left( A ^ { 3 } \right) ~ \operatorname { t r } ( A ) - 6 \operatorname { t r } \left( A ^ { 4 } \right) \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { i _ { \alpha - 1 } + 1 \le } & { { } i _ { \alpha } } & { \le \ 2 r + \alpha \ , } \\ { j _ { \beta - 1 } + 1 \le } & { { } j _ { \beta } } & { \le \ \ell - 2 r + 2 \beta - 1 \ , } \\ { j _ { \beta } + 1 \le } & { { } k _ { \beta } } & { \le \ \ell \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { h } ^ { + } ( A _ { \omega } ^ { + } ) } & { = - \frac { \tilde { c } _ { \omega } ^ { + } ( \theta ) } { c _ { \omega } } \partial _ { \theta } \gamma _ { \lambda } ^ { + } ( \theta ) e ^ { - \xi z _ { \omega } ^ { \pm } ( \theta ) } } \\ & { = ( - 1 + \mathcal O ( h ) ) e ^ { - \xi z _ { \omega } ^ { \pm } ( \theta ) } } \\ & { \equiv - e ^ { - \xi z _ { \omega } ^ { \pm } ( \theta ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell ( k ) } & { : = k - \arg \! \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq j \leq m ( k ) } { \Psi } ( u _ { k - j } ) \quad \mathrm { ~ f o r ~ } k \geq 0 , \mathrm { ~ w i t h ~ } k - m ( k ) \leq \ell ( k ) \leq k , } \\ { \nu ( k ) } & { : = \ell ( k { m _ { \mathrm { m a x } } } + k ) , \quad \mathrm { ~ f o r ~ } k \geq 0 . } \end{array}
{ \cal O } _ { \rho } ( \kappa , - \kappa ) = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - i \kappa ) ^ { j } } { j ! } n _ { \mu _ { 1 } } \dots n _ { \mu _ { j } } { \cal O } _ { \rho ; \mu _ { 1 } \dots \mu _ { j } } , \qquad \mathrm { w i t h } \qquad { \cal O } _ { \rho ; \mu _ { 1 } \dots \mu _ { j } } = \bar { \psi } { \mit \Gamma } _ { \rho } \, i \! \stackrel { \leftrightarrow } { \cal D } _ { \mu _ { 1 } } \dotsi \! \stackrel { \leftrightarrow } { \cal D } _ { \mu _ { j } } \psi ,
{ \mathbf O } \, \, { \mathbf R } \, \, { \mathbf O } ^ { - 1 } \: = \: - 8 m + { \cal M } _ { \nu } ^ { \mu } { \mathbf a } _ { \nu } ^ { \dagger } { \mathbf a } ^ { \mu } + { \cal N } _ { \nu } ^ { \mu } { \mathbf b } ^ { \dagger \nu } { \mathbf b } _ { \mu } .
S _ { \mathrm { g f } } \left[ A \right] = - \sum _ { c _ { 0 } = 1 } ^ { N - 1 } \int d ^ { 4 } x \frac { 1 } { 2 \xi } \left( \frac { 1 } { L } \int _ { 0 } ^ { L } d x _ { 3 } \partial ^ { \mu } A _ { \mu } ^ { c _ { 0 } } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { E } & { : = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { | { \mathcal D } _ { j } | } \sum _ { k \in { \mathcal D } _ { j } \setminus \{ \ell \} } | { \mathcal F } [ \varphi ] ( \lambda _ { k } - \lambda _ { \ell } ) | } \\ & { = } & { \sum _ { j = j _ { \ell } - 1 } ^ { n } \frac { 1 } { | { \mathcal D } _ { j } | } \sum _ { k \in { \mathcal D } _ { j } \setminus \{ \ell \} } | { \mathcal F } [ \varphi ] ( \lambda _ { k } - \lambda _ { \ell } ) | + \sum _ { j = 0 } ^ { j _ { \ell } - 2 } \frac { 1 } { | { \mathcal D } _ { j } | } \sum _ { k \in { \mathcal D } _ { j } } | { \mathcal F } [ \varphi ] ( \lambda _ { k } - \lambda _ { \ell } ) | } \\ & { = } & { E _ { + } + E _ { - } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } , \bar { f } ) : = \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } , \bar { f } ) + \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { { \mathrm { ~ S ~ D ~ } } , \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } , \bar { f } ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \hat { \rho } } & { { } = - i \sum _ { s , s ^ { \prime } = 1 } ^ { N } \left[ \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 1 2 } \hat { \rho } , \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } \right] J _ { s s ^ { \prime } } ^ { \left( 1 \right) } \left( \omega _ { s ^ { \prime } } \right) } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ p ~ } } \big ( \{ \theta ^ { n } \} \big ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { n } ^ { N } \| \textbf { u } ^ { n } - \boldsymbol { \Psi } ( \theta ^ { n } ) \| ^ { 2 } ,
\partial _ { { x } _ { i } } \Omega _ { 0 } = 2 i \int d \vec { q } q _ { i } e ^ { i \vec { q } \cdot \vec { x } } \int _ { 1 , 3 \mathrm { ~ s ~ m ~ a ~ l ~ l ~ } } d \vec { k } _ { 1 } d \vec { k } _ { 3 } T _ { \vec { k } + \vec { q } / 2 , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } - \vec { q } / 2 , \vec { k } _ { 3 } } b _ { \mathbf 1 } ^ { * } b _ { \mathbf 3 } \delta ( \vec { q } + \vec { k } _ { 1 } - \vec { k } _ { 3 } )
\delta C _ { 3 } = a ^ { - 3 / 2 } \frac { \sqrt { 2 \pi } } { 3 \Gamma ( \frac { 2 } { 3 } ) } \left( \frac { 3 } { \mu _ { k } H ^ { 1 / 2 } } \right) ^ { 1 / 3 } ,
M _ { + + } ^ { 2 } = \frac { \lambda _ { 9 } } { 2 } ( v _ { \rho } ^ { 2 } + v _ { \chi } ^ { 2 } ) - \frac { A } { \sqrt 2 } \left( \frac { 1 } { v _ { \rho } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { v _ { \chi } ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } ( t ) = } & { { } 1 - e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } , } \\ { C _ { 2 } ( t ) = } & { { } - \frac { \varepsilon } { \sigma } \left( 1 - e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } \right) + \frac { c } { \varepsilon } t _ { p } e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } + \frac { c ^ { 2 } \sigma } { 2 \varepsilon ^ { 3 } } t _ { p } ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } , } \\ { C _ { 3 } ( t ) = } & { { } - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { c \sigma } - \left( t ^ { n + 1 } - t \right) + \left( \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { c \sigma } + t ^ { n + 1 } - t \right) e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } } \end{array}
( W _ { \mu } ) ^ { \dot { f } \dot { g } } = \frac { i } { | v | ^ { 2 } } \left[ \bar { \phi } ^ { \dot { f } } { \cal D } _ { \mu } \phi ^ { \dot { g } } - ( { \cal D } _ { \mu } \bar { \phi } ^ { \dot { f } } ) \phi ^ { \dot { g } } \right] \, ,
\begin{array} { r l r l } & { \mathcal { L } ( k ) = \mathcal { A } \mathcal { L } ( \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } , } & & { \mathcal { Z } ( k ) = \mathcal { A } \mathcal { Z } ( \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } , } \\ & { \mathsf { U } ( x , t , k ) = \mathcal { A } \mathsf { U } ( x , t , \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } , } & & { \mathsf { V } ( x , t , k ) = \mathcal { A } \mathsf { V } ( x , t , \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { _ { \mathbf { G } ^ { \ast } } \epsilon _ { \alpha } ( \varpi _ { E } ) } & { = \left( \begin{array} { l } { \frac { \alpha ( \varpi _ { E } ) } { k _ { F _ { \alpha } } ^ { 1 } } } \end{array} \right) , } \\ { \chi _ { \mathrm { T a m } , \alpha } ( \varpi _ { E } ) } & { = t _ { \boldsymbol { \mu } } ^ { 0 } ( _ { A ^ { \ast } } \mathfrak { V } _ { [ g ] } ^ { \langle \varpi \rangle } ) \cdot t _ { \langle \varpi \rangle } ^ { 0 } ( _ { A ^ { \ast } } \mathfrak { V } _ { [ g ] } ) \cdot t _ { \langle \varpi \rangle } ^ { 1 } ( _ { A ^ { \ast } } \mathfrak { V } _ { [ g ] } ) } \\ & { = t _ { \boldsymbol { \mu } } ^ { 0 } ( _ { A ^ { \ast } } \mathfrak { V } _ { [ g ] } ^ { \langle \varpi \rangle } ) \cdot t _ { \langle \varpi \rangle } ( _ { A ^ { \ast } } \mathfrak { V } _ { [ g ] } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathbf { p } ^ { ( n ) } } { \partial t } } & { { } = \mathbf { A } ^ { p } \left[ \mathbf { p } ^ { ( n ) } \left( t \right) , \mathbf { q } ^ { ( n - 1 ) } \left( t \right) \right] + \underline { { \mathbf { B } } } ^ { p } \left[ \mathbf { p } ^ { ( n ) } \left( t \right) , \mathbf { q } ^ { ( n - 1 ) } \left( t \right) \right] \cdot \mathbf { w } ^ { p } \left( t \right) \, } \\ { \frac { \partial \mathbf { q } ^ { ( n ) } } { \partial t _ { - } } } & { { } = \mathbf { A } ^ { q } \left[ \mathbf { p } ^ { ( n - 1 ) } \left( t _ { - } \right) , \mathbf { q } ^ { ( n ) } \left( t _ { - } \right) \right] + \underline { { \mathbf { B } } } ^ { q } \left[ \mathbf { p } ^ { ( n - 1 ) } \left( t _ { - } \right) , \mathbf { q } ^ { ( n ) } \left( t _ { - } \right) \right] \cdot \mathbf { w } ^ { q } \left( t _ { - } \right) \, , } \end{array}
x _ { k } - y _ { k } = - \frac { \tau _ { k } } { 1 - \tau _ { k } } \left( z _ { k } - y _ { k } \right) = - \frac { \frac { 2 \sqrt { s } } { \mathbf { t } _ { k + 1 } } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k + 1 } \right) - \mu s } { 1 - \frac { 2 \sqrt { s } } { \mathbf { t } _ { k + 1 } } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k + 1 } \right) } \left( z _ { k } - y _ { k } \right) .
\kappa = \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { \kappa _ { B R } } \\ { \kappa _ { R B } } & { 0 } \end{array} \right] , \; \; \Gamma = \left[ \begin{array} { c c } { \gamma _ { B } } & { 0 } \\ { 0 } & { \gamma _ { R } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \delta _ { 1 , \beta } ^ { * } ( \underline { { X } } ) } & { = \operatorname* { m i n } \{ \delta _ { 1 , \beta } ( \underline { { X } } ) , \alpha \delta _ { 1 , \beta } ( \underline { { X } } ) + ( 1 - \alpha ) \delta _ { 2 , \nu } ( \underline { { X } } ) \} } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \delta _ { 1 , \beta } ( \underline { { X } } ) , } & { \mathrm { ~ i f } \quad \delta _ { 1 , \beta } ( \underline { { X } } ) \leq \delta _ { 2 , \nu } ( \underline { { X } } ) } \\ { \alpha \delta _ { 1 , \beta } ( \underline { { X } } ) + ( 1 - \alpha ) \delta _ { 2 , \nu } ( \underline { { X } } ) , } & { \mathrm { ~ i f } \quad \delta _ { 1 , \beta } ( \underline { { X } } ) > \delta _ { 2 , \nu } ( \underline { { X } } ) } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { \phi ^ { r k } - \phi ^ { r k - 1 } } { { h ^ { r k } } } = { \beta ^ { r k } } \mathrm { ~ R ~ } ( \phi ^ { r k - 1 } ) + { \Pi ^ { r k } } \mathrm { ~ R ~ } ( \phi ^ { r k - 2 } ) \, .
\begin{array} { r l } { \mathsf { F } _ { \mathrm { c u r } } } & { { } = \left( \begin{array} { l } { \mathsf { F } _ { C } } \\ { \mathsf { T } } \end{array} \right) \qquad \mathrm { a n d } } \\ { \mathsf { F } _ { \mathrm { v o l } } } & { { } = \left( \begin{array} { l } { \mathsf { F } _ { L } } \\ { \mathsf { T } ^ { \prime } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| e \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } \le } & { C \operatorname* { m a x } _ { 1 \le n \le N } \Big \{ \Big ( \displaystyle \frac { k _ { n } } { r _ { n } } \Big ) ^ { 4 } \Big \} \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { N } \Big ( \displaystyle \frac { k _ { n } } { 2 } \Big ) ^ { 2 s _ { n } - 2 } \displaystyle \frac { \Gamma ( r _ { n } - s _ { n } + 1 ) } { \Gamma ( r _ { n } + s _ { n } - 1 ) } \| u \| _ { H ^ { s _ { n } + 1 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } } \\ & { + C \left( \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { N } \Big ( \displaystyle \frac { k _ { n } } { 2 } \Big ) ^ { 2 s _ { n } - 2 } \displaystyle \frac { \Gamma ( r _ { n } - s _ { n } + 1 ) } { \Gamma ( r _ { n } + s _ { n } - 1 ) } \| u \| _ { H ^ { s _ { n } + 1 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \quad \times \left( \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { N } \Big ( \displaystyle \frac { k _ { n } } { 2 } \Big ) ^ { 2 s _ { n } } \displaystyle \frac { \Gamma ( r _ { n } - s _ { n } + 1 ) } { \Gamma ( r _ { n } + s _ { n } - 1 ) } \displaystyle \frac { 1 } { r _ { n } ( r _ { n } - 1 ) } \| u \| _ { H ^ { s _ { n } + 1 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \\ { \le } & { C \operatorname* { m a x } _ { 1 \le n \le N } \Big \{ \Big ( \displaystyle \frac { k _ { n } } { r _ { n } } \Big ) ^ { 4 } \Big \} \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { N } \Big ( \displaystyle \frac { k _ { n } } { 2 } \Big ) ^ { 2 s _ { n } - 2 } \displaystyle \frac { \Gamma ( r _ { n } - s _ { n } + 1 ) } { \Gamma ( r _ { n } + s _ { n } - 1 ) } \| u \| _ { H ^ { s _ { n } + 1 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } } \\ & { + C \operatorname* { m a x } _ { 1 \le n \le N } \Big \{ \Big ( \displaystyle \frac { k _ { n } } { r _ { n } } \Big ) ^ { 3 } \Big \} \left( \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { N } \Big ( \displaystyle \frac { k _ { n } } { 2 } \Big ) ^ { 2 s _ { n } - 2 } \displaystyle \frac { \Gamma ( r _ { n } - s _ { n } + 1 ) } { \Gamma ( r _ { n } + s _ { n } - 1 ) } \| u \| _ { H ^ { s _ { n } + 1 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
N = \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { - \frac { q _ { p } \Delta t } { 2 m _ { p } } \mathcal { B } _ { p , z } ^ { ( n ) } } & { \frac { q _ { p } \Delta t } { 2 m _ { p } } \mathcal { B } _ { p , y } ^ { ( n ) } } \\ { \frac { q _ { p } \Delta t } { 2 m _ { p } } \mathcal { B } _ { p , z } ^ { ( n ) } } & { 1 } & { - \frac { q _ { p } \Delta t } { 2 m _ { p } } \mathcal { B } _ { p , x } ^ { ( n ) } } \\ { - \frac { q _ { p } \Delta t } { 2 m _ { p } } \mathcal { B } _ { p , y } ^ { ( n ) } } & { \frac { q _ { p } \Delta t } { 2 m _ { p } } \mathcal { B } _ { p , x } ^ { ( n ) } } & { 1 } \end{array} \right] ,