harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { K _ { + } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { a } } k _ { i } , \mathrm { ~ } K _ { - } = \sum _ { i = n _ { a } + 1 } ^ { N _ { a } } k _ { i } , } \\ { B _ { + } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { a } } b _ { i } , \mathrm { ~ } B _ { - } = \sum _ { i = n _ { a } + 1 } ^ { N _ { a } } b _ { i } . } \end{array}
\mathbf { e } \triangleq \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n } - ( \mathbf { S } \mathbf { S } ^ { T } \hat { \ensuremath { \mathbf { u } } } ^ { n } + \mathbf { S } ^ { \ast } \mathbf { S } ^ { \ast T } \hat { \ensuremath { \mathbf { u } } } ^ { n } )
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ f ( x _ { t + 1 } ) - f ^ { * } \middle | \mathcal { F } _ { t } \right] } \\ & { \leq \left( 1 + 6 \alpha _ { t } ^ { 3 } Q ^ { 3 } L ^ { 3 } + \frac { 2 \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 2 } C L } { n } \right) \left[ f ( x _ { t } ) - f ^ { * } \right] } \\ & { \quad - \frac { \alpha _ { t } Q } { 4 } \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } + \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } L Q ^ { 2 } D } { 2 n } } \\ & { \quad + 2 \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 2 } L \left( 3 \alpha _ { t } Q L ^ { 2 } + \frac { C } { n } \right) \left( f ^ { * } - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f _ { i } ^ { * } \right) } \\ & { \quad + \alpha _ { t } ^ { 3 } Q ^ { 3 } D L ^ { 2 } ( 1 + \frac { \alpha _ { t } C } { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { p } _ { y } } & { = } & { \frac { \hbar m } { r } \cos \phi \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \\ & { } & { - \frac { \hbar } { 2 i } \cos \phi \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { 1 } } & { : = \sqrt { r _ { f } ^ { 2 } - U _ { f , g } ^ { 2 } + U _ { f , g } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } + U _ { f , g } \cos \theta , \quad r _ { 2 } : = U _ { f , g } \cos \theta - \sqrt { r _ { f } ^ { 2 } - U _ { f , g } ^ { 2 } + U _ { f , g } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } , } \\ & { \qquad \quad \qquad \cos \theta _ { 1 } : = \frac { r _ { g } ^ { 2 } + U _ { f , g } ^ { 2 } - r _ { f } ^ { 2 } } { 2 r _ { g } U _ { f , g } } , \quad \mathrm { a n d } \quad \cos \theta _ { 2 } : = \frac { \sqrt { U _ { f , g } ^ { 2 } - r _ { f } ^ { 2 } } } { U _ { f , g } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } } & { \leq \frac { \tau ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { y } f ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { y } f ^ { ( m ) } ( \bar { x } , y _ { \bar { x } } ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { \tau ^ { 2 } L ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { x } _ { t } - x _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| \bar { y } _ { t } - y _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| y _ { \bar { x } _ { t } } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R e } ( \lambda ) } & { = } & { \bar { \mu } = 0 , } \\ { \mathrm { l m } ( \lambda ) } & { = } & { \frac { \sqrt { - \bar { a } _ { 1 1 } ^ { 2 } - 4 \bar { a } _ { 1 2 } \bar { a } _ { 2 1 } } } { 2 } \neq 0 , } \\ { \frac { d \mathrm { R e } ( \lambda ) } { d u } | _ { u = \frac { M - 1 } { N - M } } } & { = } & { - \frac { c ( N - 1 ) } { 2 \varepsilon ( u + 1 ) ^ { 2 } } = - \frac { c ( N - M ) ^ { 2 } } { 2 \varepsilon ( N - 1 ) } < 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathbb { V } _ { k + 1 } - \mathbb { V } _ { k } | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le - \frac { \xi \alpha _ { k } } { 2 } \| \nabla F ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } - \frac { \xi \alpha _ { k } } { 4 } \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] + \frac { \xi \alpha _ { k } } { 2 } \cdot 3 C _ { \lambda } ^ { 2 } \lambda _ { k } ^ { - 2 } + \frac { \xi ^ { 2 } l _ { F , 1 } } { 2 } ( \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } ) } \\ & { \quad + l _ { g , 1 } \underbrace { \mathbb { E } [ \lambda _ { k + 1 } \mathcal { I } _ { k + 1 } + \frac { \lambda _ { k } T \beta _ { k } \mu _ { g } } { 1 6 } \| y _ { k + 1 } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } - \lambda _ { k } \mathcal { I } _ { k } | \mathcal { F } _ { k } ] } _ { ( i ) } } \\ & { \quad + \frac { l _ { g , 1 } } { 2 } \underbrace { \mathbb { E } [ \lambda _ { k + 1 } \mathcal { J } _ { k + 1 } + \frac { \lambda _ { k } T \gamma _ { k } \mu _ { g } } { 3 2 } \| z _ { k + 1 } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } - \lambda _ { k } \mathcal { J } _ { k } | \mathcal { F } _ { k } ] } _ { ( i i ) } } \end{array}
+ ( - 1 ) ^ { i } { \tilde { x } } \left( n _ { 1 } + { \frac { n } { 2 } } , n _ { 2 } , n _ { 3 } \right) + ( - 1 ) ^ { i + j } { \tilde { x } } \left( n _ { 1 } + { \frac { n } { 2 } } + { \frac { n } { 2 } } , n _ { 2 } , n _ { 3 } \right)
\begin{array} { r } { \forall Z \ge 0 \qquad f ( l , Z ) \ge \left( 1 \! - \! \frac { M _ { d } ^ { \prime \prime } } { M _ { u } ^ { \prime } } \right) \operatorname* { m a x } _ { \xi } { f ( \xi , Z ) } \qquad \big ( \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ p ~ . ~ \: ~ \: ~ f ~ ' ~ ( ~ l ~ , ~ Z ~ ) ~ \ge ~ 0 ~ } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 1 1 } } & { = \frac { N | g _ { p 1 } | ^ { 2 } } { c } a _ { 4 1 1 } ^ { ( 3 ) } , } \\ { W _ { 1 2 } } & { = \frac { N | g _ { p 2 } | ^ { 2 } } { c } a _ { 4 1 2 } ^ { ( 3 ) } , } \\ { W _ { 2 2 } } & { = \frac { N | g _ { p 2 } | ^ { 2 } } { c } a _ { 4 2 2 } ^ { ( 3 ) } , } \\ { W _ { 2 1 } } & { = \frac { N | g _ { p 1 } | ^ { 2 } } { c } a _ { 4 2 1 } ^ { ( 3 ) } , } \end{array}
\eta _ { \mathrm { { t h } } } \equiv { \frac { W _ { \mathrm { { o u t } } } } { Q _ { \mathrm { { i n } } } } } = { \frac { { Q _ { \mathrm { { i n } } } } - Q _ { \mathrm { { o u t } } } } { Q _ { \mathrm { { i n } } } } } = 1 - { \frac { Q _ { \mathrm { { o u t } } } } { Q _ { \mathrm { { i n } } } } }
\begin{array} { r } { R \bar { \theta } \bar { u } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \overline { { \xi ( x ) } } \xi _ { x } ( x ) d x + R \bar { \theta } \bar { \rho } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \overline { { \xi ( x ) } } \eta _ { x } ( x ) d x + \lambda _ { 0 } \bar { \rho } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \overline { { \eta ( x ) } } \eta _ { x x } ( x ) d x + \bar { \rho } ^ { 2 } \bar { u } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \overline { { \eta ( x ) } } \eta _ { x } ( x ) d x } \\ { + R \bar { \theta } \bar { \rho } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \xi _ { x } ( x ) \overline { { \eta ( x ) } } d x + R \bar { \rho } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \overline { { \eta ( x ) } } \zeta _ { x } ( x ) d x + \frac { \bar { \rho } ^ { 2 } c _ { 0 } } { \bar { \theta } } \kappa _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \overline { { \eta ( x ) } } \zeta _ { x } ( x ) d x + \frac { \bar { \rho } ^ { 2 } c _ { 0 } } { \bar { \theta } } \bar { u } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \overline { { \eta ( x ) } } \zeta _ { x } ( x ) d x } \\ { + R \bar { \rho } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \eta _ { x } ( x ) \overline { { \zeta ( x ) } } d x + b \bar { \rho } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \xi _ { x } ( x ) \overline { { \eta ( x ) } } d x = \nu \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left\lvert \xi ( x ) \right\rvert ^ { 2 } d x + \nu \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left\lvert \eta ( x ) \right\rvert ^ { 2 } d x + \nu \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left\lvert \zeta ( x ) \right\rvert ^ { 2 } d x . } \end{array}
\mathrm { ~ d ~ i ~ m ~ } _ { \mathrm { ~ E ~ } } ( \mathbb { E } \left[ \mathcal { F } \right] , \epsilon _ { \mathbf { A } } ) = \mathcal { O } \left( n ^ { 2 } \log \left[ \frac { n \| \mathbf { A } \| _ { 1 } \| \mathbf { A } \| _ { \infty } \| \vec { x } \| _ { \operatorname* { m a x } } } { \epsilon _ { \mathbf { A } } } \right] \right)
\Delta _ { 0 } ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ) = i \phi ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ) \int { \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } e ^ { i k \cdot ( x ^ { \prime } - x ^ { \prime \prime } ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! { \frac { d s } { \cos e B s } } \, { \exp { \left[ - i s \left( \xi M ^ { 2 } - i \epsilon + k _ { \scriptscriptstyle { \parallel } } ^ { 2 } + k _ { \scriptscriptstyle { \perp } } ^ { 2 } { \frac { \tan e B s } { e B s } } \right) \right] } } ,
{ \begin{array} { r l } { S } & { = { \frac { 2 } { n } } \left( { \frac { 2 } { n } } \right) ^ { 2 } + \dots + { \frac { 2 } { n } } \left( { \frac { 2 i } { n } } \right) ^ { 2 } + \dots + { \frac { 2 } { n } } \left( { \frac { 2 n } { n } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { 8 } { n ^ { 3 } } } \left( 1 + \dots + i ^ { 2 } + \dots + n ^ { 2 } \right) } \\ & { = { \frac { 8 } { n ^ { 3 } } } \left( { \frac { n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) } { 6 } } \right) } \\ & { = { \frac { 8 } { n ^ { 3 } } } \left( { \frac { 2 n ^ { 3 } + 3 n ^ { 2 } + n } { 6 } } \right) } \\ & { = { \frac { 8 } { 3 } } + { \frac { 4 } { n } } + { \frac { 4 } { 3 n ^ { 2 } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \quad \sum _ { k \in \mathcal { K } } \frac { \left( 1 + \alpha _ { k } \right) \gamma _ { k } } { 1 + \gamma _ { k } } = \sum _ { k \in \mathcal { K } } \frac { \left( 1 + \alpha _ { k } \right) | \mathrm { A } _ { k } | ^ { 2 } } { \mathrm { B } _ { k } } } \\ & { = \sum _ { k \in \mathcal { K } } 2 \sqrt { 1 + \alpha _ { k } } \Re \{ { \beta } _ { k } ^ { \ast } \mathrm { A } _ { k } \} - | { \beta } _ { k } | ^ { 2 } \mathrm { B } _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \xi ( \Lambda _ { n } ) } \sum _ { x \in \Lambda _ { n } \cap \xi } \sum _ { i \in { \ensuremath { \mathbb Z } } \setminus \{ 0 \} } \sum _ { y \in \Lambda _ { n } ^ { i } \cap \xi } e ^ { - \delta | x - y | } | f _ { \zeta m } ( \tau _ { y } \omega ) | ^ { 2 } = } \\ & { = \frac { \xi ( \Lambda _ { n } ^ { i } ) } { \xi ( \Lambda _ { n } ) } \frac { 1 } { \xi ( \Lambda _ { n } ^ { i } ) } \sum _ { i \in { \ensuremath { \mathbb Z } } \setminus \{ 0 \} } \sum _ { y \in \Lambda _ { n } ^ { i } \cap \xi } \sum _ { x \in \Lambda _ { n } \cap \xi } e ^ { - \delta | x - y | } | f _ { \zeta m } ( \tau _ { y } \omega ) | ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { \tau _ { 2 } ^ { ( 3 ) } } { \tau _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } = \left| \frac { \sin ( \alpha _ { 2 } ^ { \prime } + \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) \sin ( \alpha _ { 3 } ^ { \prime } + \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) \sin \alpha _ { 2 } \sin \alpha _ { 3 } \sin ^ { 2 } \alpha _ { 1 } } { \sin \alpha _ { 2 } \sin \alpha _ { 3 } \sin \alpha _ { 1 } \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime \prime } \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime \prime } \sin ^ { 2 } \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } } \right| .
\begin{array} { c c c c c c c c c c c c c c c c c } { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 2 8 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 7 0 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 2 8 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 1 } } \end{array}
\frac { d } { d t ^ { * } } \langle ( \theta ^ { * } - \langle \theta ^ { * } | q , r \rangle ) ^ { 2 } | q , r \rangle = - 2 \langle { \theta ^ { * } } ^ { 2 } | q , r \rangle + \langle { \theta ^ { * } } | q , r \rangle ^ { 2 } + ( \beta ( q , r ) ) ^ { 2 }
v _ { r e l } = { \sqrt { \frac { ( \mathbf { v _ { 1 } } - \mathbf { v _ { 2 } } ) ^ { 2 } - ( \mathbf { v _ { 1 } } \times \mathbf { v _ { 2 } } ) ^ { 2 } } { 1 - \mathbf { v _ { 1 } } \cdot \mathbf { v _ { 2 } } } } } .
T _ { K } \sim \sqrt { 2 { \cal B } ( B ^ { \pm } \to \pi ^ { 0 } \pi ^ { \pm } ) } \times f _ { K } / f _ { \pi } \times | V _ { u s } / V _ { u d } | \times a _ { 1 } / ( a _ { 1 } + a _ { 2 } )
\begin{array} { r } { \tilde { \psi } _ { j } ^ { ( \alpha ) } ( \tilde { x } ) = ( 2 ^ { j } \, j ! ) ^ { - 1 / 2 } \pi ^ { - 1 / 4 } \alpha ^ { 1 / 8 } \exp \left( - \frac { \sqrt { \alpha } } { 2 } \tilde { x } ^ { 2 } \right) H _ { j } \left( \alpha ^ { 1 / 4 } \tilde { x } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \theta ) } & { = \sqrt { ( L + 2 \varepsilon ) ^ { 2 } - \operatorname* { m a x } ( 0 , L | \cos \theta | - 2 \varepsilon ) ^ { 2 } } + \sqrt { ( L + \varepsilon ) ^ { 2 } - L ^ { 2 } | \cos ^ { 2 } \theta | } } \\ & { - 2 \operatorname* { m a x } ( 0 , L | \sin \theta | - 2 \varepsilon ) + \operatorname* { m a x } ( 0 , \varepsilon - L | \sin \theta | ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ M ~ M ~ D ~ } ( \mathcal { F } , p , q ) } & { { } = \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } } \left( \mathbf { E } _ { x _ { 0 } } [ f ( x _ { 0 } ) ] - \mathbf { E } _ { x _ { 1 } } [ f ( x _ { 1 } ) ] \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { C . } \, \mathcal { Z } = } & { { } \tilde { Z } ^ { 0 } \int \delta \left( \left( V o l ( \mathcal { M } ) - V o l ( \mathcal { M } ) \vert _ { \lambda = 0 } \right) ^ { 2 } \right) } \end{array}
I _ { n , B } = \frac 1 { ( 4 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \Lambda } \, | \varphi _ { k } \dot { \varphi } _ { k ^ { \prime } } - \dot { \varphi } _ { k } \varphi _ { k ^ { \prime } } | ^ { 2 } \frac { k ^ { 2 } k ^ { 2 } k ^ { 2 n } } { k ^ { 2 } - k ^ { 2 } } \coth \frac { \beta W _ { k } } 2 \coth \frac { \beta W _ { k ^ { \prime } } } 2 \, d k d k ^ { \prime } \ .
\begin{array} { c } { \frac { \partial W } { \partial t } = - [ \frac { | \nabla S | ^ { 2 } } { 2 m } + V + Q ] = - [ H _ { 0 } + Q ] } \\ { Q = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \frac { \nabla ^ { 2 } A } { A } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \, \partial _ { t } \rho + \mathrm { d i v } _ { \mathbf { x } } ( \rho \nabla _ { \mathbf { x } } \Phi ) = 0 \, , } \\ { \, \partial _ { t } \Phi + \frac { 1 } { 2 } | \nabla _ { \mathbf { x } } \Phi | ^ { 2 } + h ( \rho ) = B \, , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \widetilde { \rho } _ { \alpha } ( \boldsymbol { k } ) \widetilde { \rho } _ { \beta } ^ { * } ( \boldsymbol { k } ) \rangle } & { { } = \left\langle q _ { \alpha } q _ { \beta } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \alpha } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \beta } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \boldsymbol { k \cdot } ( \boldsymbol { r } _ { i } - \boldsymbol { r } _ { j } ) } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { 1 \le t \le T } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } \leq } & { \frac { 2 f ( \overline { { { \bf x } ^ { 1 } } } ) - 2 f ^ { * } } { T ( \eta K - 3 2 \eta ^ { 3 } K ^ { 2 } L ^ { 2 } ) } + \frac { \frac { \eta L ^ { 2 } K C _ { 1 } } { 2 } + 1 6 C _ { 2 } \eta ^ { 5 } K ^ { 2 } L ^ { 4 } \Big ( \frac { \lambda ^ { Q } + 1 } { ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } m ^ { 2 ( Q - 1 ) } } + \frac { \lambda ^ { Q } + 1 } { ( 1 - \lambda ^ { Q } ) ^ { 2 } } \Big ) } { \eta K - 3 2 \eta ^ { 3 } K ^ { 2 } L ^ { 2 } } . } \end{array}
B _ { s } ^ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { k } } ( m ) = 2 ^ { 2 s - D - k } A _ { s } ^ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { k } } ( 2 m ) - A _ { s } ^ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { k } } ( m ) .
\left\{ \begin{array} { r l } { \frac { d M _ { e x } } { d t } } & { { } = - ( q ^ { 2 } D _ { e } + k _ { e x } ) M _ { e x } + k _ { i } M _ { i } , } \\ { \frac { d M _ { i } } { d t } } & { { } = k _ { e x } M _ { e x } - ( q ^ { 2 } D _ { i } + k _ { i } ) M _ { i } , } \end{array} \right.
L = ( 1 - \rho ) \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( E _ { i } - \hat { E _ { i } } ) ^ { 2 } + \frac { \rho } { 3 n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lVert \mathbf { F } _ { i } - \hat { \mathbf { F } _ { i } } \rVert ^ { 2 }
= \left( \frac { \alpha } { i } \nabla + \beta \left[ m + V ^ { S } \left( r \right) + \gamma ^ { 5 } V ^ { P S } \left( r \right) + \gamma ^ { \mu } V _ { \mu } ^ { V } \left( r \right) + \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { 5 } V _ { \mu } ^ { A } \left( r \right) + \sigma ^ { \mu \eta } V _ { \mu \eta } ^ { T } \right] \right) .
\big < ( \delta k ) ^ { 2 } \big > _ { u , \beta _ { S } } = \left( \frac { u } { 1 - 2 u } \right) \big < k \big > _ { u , \beta _ { S } } ^ { 2 } < \big < ( \delta k _ { 1 } ) ^ { 2 } \big > _ { u , \beta _ { S } } .
\frac { 2 \pi f ( r ^ { \prime } ) r ^ { \prime } e ^ { - a ( r ) | r - r ^ { \prime } | } } { r a ( r ) } - \frac { 2 \pi f ( r ^ { \prime } ) r ^ { \prime } e ^ { - a ( r ) ( r ^ { \prime } + r ) } } { r a ( r ) } \ ,
\begin{array} { r } { \rho _ { i } ( r , R _ { i j } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { r } ^ { 2 } } } \sum _ { j \neq i } ^ { M } Z _ { j } \exp { \left( - { \frac { ( r - R _ { i j } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { r } } } \right) } } \end{array}
\psi _ { i } ( \vec { k } ) = \frac { 8 \sqrt { \pi } a _ { i } ^ { 3 / 2 } } { \left[ 1 + a _ { i } ^ { 2 } \, \vec { k } ^ { 2 } \right] ^ { 2 } } \ , \quad a _ { i } = \frac { 1 } { m _ { r e d , i } Z \alpha } \ , \ ( i = 1 , 2 ) \ ,
\begin{array} { r l } & { ( A , \boldsymbol { a } ) \cdot w \cdot ( B , \boldsymbol { b } ) } \\ { = } & { ( A , \boldsymbol { a } ) ^ { m } ( B , \boldsymbol { b } ) ^ { m } } \\ { = } & { ( I , ( I + A + \cdots + A ^ { ( m - 1 ) } ) ( A \boldsymbol { b } + \boldsymbol { a } ) ) } \\ { = } & { ( I , ( I + A + \cdots + A ^ { ( m - 1 ) } ) \boldsymbol { x } ) } \\ { = } & { ( I , \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { i } \boldsymbol { x } _ { V } + \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { - i } \boldsymbol { x } _ { W } ) } \end{array}
- \partial _ { \rho } ^ { 2 } \chi + \frac { 2 } { \rho ^ { 2 } } \chi - \frac { \Lambda ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } ( 1 - \frac { l ( l + 1 ) k ^ { 2 } } { E ^ { 2 } } ) \chi = 0
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } f + v \cdot \nabla _ { x } f - E _ { f } ^ { \mathrm { t } } \cdot \nabla _ { v } f = 0 \, , } \\ { E _ { f } ^ { \mathrm { t } } = H + \nabla _ { x } V _ { f } \, , } \\ { \Delta V _ { f } = 1 - \rho _ { f } ( t , x ) = 1 - \int f \mathrm { d } { v } \, , } \end{array} \right.
T _ { \pm \pm } ^ { \mathrm { Q t } } ( \sigma ^ { \pm } ) = \left( \frac { \partial _ { \pm } y ^ { \pm } } { \partial _ { \pm } \sigma ^ { \pm } } \right) ^ { 2 } T _ { \pm \pm } ^ { \mathrm { Q t } } ( y ^ { \pm } ) .
\mathrm { s h o r t ~ r o o t } - \mathrm { s h o r t ~ r o o t } = \left\{ \begin{array} { l } { { \mathrm { l o n g ~ r o o t } \qquad \quad ( x ) } } \\ { { \mathrm { s h o r t ~ r o o t } \qquad ( x ^ { ( 1 / 2 ) } ) } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \int _ { k } E _ { \mathrm { k i n } } ( k ) \, d k } & { { } = } & { u _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } \, \langle \rho \rangle _ { V } / 2 , } \\ { \int _ { k } E _ { \mathrm { m a g } } ( k ) \, d k } & { { } = } & { B _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } / 2 \mu _ { 0 } , } \end{array}
{ } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \times \Bigg \{ \sum _ { \sigma \in Z _ { N } } \frac { w ( x _ { 1 3 } , x _ { 1 } u , x _ { 5 8 } | \sigma + j _ { 2 } + j _ { 3 } ) w ( x _ { 2 } x _ { 6 7 } , x _ { 2 } v , x _ { 6 } x _ { 2 4 } | \sigma ) s ( \sigma , j _ { 1 } ) } { w ( x _ { 5 } x _ { 1 3 } , \omega x _ { 1 } u , \omega x _ { 1 } x _ { 5 8 } | \sigma + j _ { 2 } ) w ( x _ { 6 7 } , x _ { 2 } v , x _ { 2 4 } | \sigma + i _ { 3 } ) } \Bigg \} _ { 0 } ~ ~
L = \frac { \phi ( a ) } { \theta ( a ) } - \frac { 1 } { \theta ( a ) ^ { 2 } } \left. \left( \frac { u ^ { \prime } ( r ) } { u ( r ) } - \frac { \theta ^ { \prime } ( r ) } { \theta ( r ) } \right) ^ { - 1 } \right| _ { r = a } .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 8 } \Big [ 8 + \alpha _ { 1 } - 2 ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } + \alpha _ { 5 } + \alpha _ { 6 } ) - 2 ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } - \alpha _ { 5 } + \alpha _ { 6 } ) \cos { 2 \theta _ { B } } } \\ { - \alpha _ { 1 } \cos { 4 \theta _ { B } } \Big ] u _ { 1 z z } - p _ { 0 x } } & { { } = 0 , } \\ { p _ { 0 z } } & { { } = 0 , } \\ { \hat { N } \theta _ { 1 z z } } & { { } = 0 , } \\ { u _ { 1 x } + w _ { 1 z } } & { { } = 0 , } \\ { p _ { 0 } + \frac { \gamma } { 2 } h _ { 0 x x } } & { { } = 0 , } \\ { - \frac { 1 } { 2 } ( \alpha _ { 1 } \cos { 2 \theta _ { B } } - \alpha _ { 5 } + \alpha _ { 6 } ) \sin { 2 \theta _ { B } } u _ { 0 x } } \\ { + \frac { 1 } { 4 } \Big [ 4 - 2 ( \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 5 } ) \cos ^ { 2 } { \theta _ { B } } + 2 ( \alpha _ { 3 } + \alpha _ { 6 } ) \sin ^ { 2 } { \theta _ { B } } + \alpha _ { 1 } \sin ^ { 2 } { 2 \theta _ { B } } \Big ] u _ { 1 z } } & { { } = 0 , } \\ { w _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } ( h _ { 1 t } + u _ { 1 } h _ { 0 x } + u _ { 0 } h _ { 1 x } ) } & { { } = 0 , } \\ { \theta _ { 1 } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \mathcal { E } } ( \mathbf { x } , t ) = \int \frac { \mathrm { d } \omega } { 2 \pi } \boldsymbol { \mathcal { E } } _ { c } ( \mathbf { x } , \omega ) e ^ { - i ( \omega _ { c } + \omega ) t } , } \end{array}
I _ { 0 } = \frac { 2 } { 3 \pi ^ { 2 } T ^ { 2 } } \, T \widetilde { \sum _ { k _ { 0 } } } \int _ { \eta } ^ { + \infty } d k \, k ^ { 2 } \Delta _ { - K } \left[ \gamma ^ { 0 } \left[ 3 + p ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { k } \partial _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { k } ^ { 2 } \right) \right] - i \gamma ^ { 3 } p \partial _ { k } + \dots \right] \, ^ { \ast } \Delta _ { l } \left( q _ { 0 } , k \right) \, .
r = \frac { i ( a _ { 3 } a _ { 4 } ^ { * } + a _ { 1 } ^ { * } a _ { 4 } ) } { | a _ { 1 } | ^ { 2 } - | a _ { 3 } | ^ { 2 } } - \frac { i ( a _ { 3 } a _ { 2 } ^ { * } + a _ { 1 } ^ { * } a _ { 2 } ) } { | a _ { 1 } | ^ { 2 } - | a _ { 3 } | ^ { 2 } } q ,
\begin{array} { r l } & { \Delta V ( k , z ^ { r } ) < - 2 h ( z ^ { r } ) ^ { \top } M _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } Q ( k + 1 ) \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ( z ^ { \ell } ) B _ { f } ^ { r } z ^ { r } } \\ & { ~ ~ ~ + h ^ { 2 } ( z ^ { r } ) ^ { \top } B _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ( z ^ { \ell } ) Q ( k + 1 ) \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ( z ^ { \ell } ) B _ { f } ^ { r } z ^ { r } } \\ & { = ( z ^ { r } ) ^ { \top } \big ( h ^ { 2 } B _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } Q ( k + 1 ) \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } B _ { f } ^ { r } ( k ) } \\ & { ~ ~ ~ - 2 h ^ { 2 } B _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } Q ( k + 1 ) \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } B _ { f } ^ { r } ( k ) } \\ & { ~ ~ ~ - 2 h ( I - h D _ { f } ^ { r } ( k ) ) Q ( k + 1 ) \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } B _ { f } ^ { r } ( k ) \big ) z ^ { r } } \\ & { \leq ( z ^ { r } ) ^ { \top } \big ( h ^ { 2 } B _ { f } ^ { r } ( k ) \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } Q ( k + 1 ) \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } B _ { f } ^ { r } ( k ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ - 2 h ^ { 2 } B _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } Q ( k + 1 ) \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } B _ { f } ^ { r } ( k ) \big ) z ^ { r } } \\ & { \leq ( z ^ { r } ) ^ { \top } \big ( h ^ { 2 } B _ { f } ^ { r } ( k ) \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } Q ( k + 1 ) \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } B _ { f } ^ { r } ( k ) } \\ & { ~ ~ ~ - h ^ { 2 } B _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } Q ( k + 1 ) \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } B _ { f } ^ { r } ( k ) \big ) z ^ { r } } \\ & { { = } { - } ( z ^ { r } ) ^ { \top } \big ( h ^ { 2 } B _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } ( I { - } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } ) Q ( k { + } 1 ) \textstyle \sum _ { \ell { = } 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } B _ { f } ^ { r } ( k ) \big ) z ^ { r } { \leq } 0 , } \end{array}
Q _ { \operatorname* { m a x } } ( t _ { i } , g , \tau _ { i } ) = \operatorname* { m a x } _ { \ell } \frac { \binom { N _ { t _ { i } } p _ { t _ { i } , \ell } } { g } a _ { g , \ell } ^ { t _ { i } } } { \binom { N _ { t _ { i } } } { n _ { t _ { i } } } } \prod _ { s \in \tau _ { i } } \frac { b _ { g } ^ { s } } { \binom { N _ { s } } { n _ { s } } }
N _ { \tilde { g } } \int L ^ { 2 } \, d \Omega \, \exp \left( - \frac { ( \tilde { \bf v } _ { 0 } \times \tilde { \bf L } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } \, \tilde { \bf v } _ { 0 } ^ { 2 } } \right) = 1 \, .