harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { E } [ | L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) - 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } | ] } \\ & { \leq } & { C _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 } \exp ( - c _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 8 } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 4 } ) + C _ { L } ^ { \prime } + C L ^ { 1 \slash 2 } e ^ { - 4 L ^ { 2 } } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } } \\ & { } & { + 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \operatorname* { m a x } \Big \{ 1 - e ^ { - 6 L ^ { - 1 } } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) , } \\ & { } & { \quad \quad e ^ { 3 L ^ { - 1 } } ( 1 + C _ { L } r _ { s } ^ { - 1 \slash 2 5 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) - 1 \Big \} . } \end{array}
F r = \frac { \mathrm { ~ I ~ n ~ e ~ r ~ t ~ i ~ a ~ l ~ f ~ o ~ r ~ c ~ e ~ f ~ r ~ o ~ m ~ l ~ e ~ g ~ f ~ l ~ a ~ i ~ l ~ i ~ n ~ g ~ } } { \mathrm { ~ G ~ r ~ a ~ v ~ i ~ t ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ a ~ l ~ f ~ o ~ r ~ c ~ e ~ o ~ f ~ l ~ e ~ g ~ } } = \frac { m v ^ { 2 } / r } { m g } = \frac { v ^ { 2 } } { r g }
- \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( g ^ { D } \right) ^ { a b } \left( g ^ { D } \right) ^ { m n } + \underbrace { \left( g ^ { H } \right) ^ { a b } \left( g ^ { H } \right) ^ { m n } } _ { = 0 } \right] \hat { R } _ { m n } .
\begin{array} { r l } { \widehat { \sigma } _ { X _ { j } , \mathtt { R B } } ^ { \mathrm { 2 } } = } & { \ \sigma _ { X _ { j } } ^ { 2 } \Bigg ( 1 - \frac { 1 } { \eta ^ { 2 } } \frac { A _ { j , + } \phi ( A _ { j , + } ) - A _ { j , - } \phi ( A _ { j , - } ) } { 1 - \Phi ( A _ { j , + } ) + \Phi ( A _ { j , - } ) } + \frac { 1 } { \eta ^ { 2 } } \Big ( \frac { \phi ( A _ { j , + } ) - \phi ( A _ { j , - } ) } { 1 - \Phi ( A _ { j , + } ) + \Phi ( A _ { j , - } ) } \Big ) ^ { 2 } \Bigg ) , } \end{array}
\mathrm { H a m } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } ( \mathbf { q } , \mathbf { p } ) = \sum _ { k = 0 } ^ { r _ { \infty } - 4 } \nu _ { \infty , k + 1 } ^ { \boldsymbol { ( \alpha ) } } H _ { \infty , k } - \hbar \sum _ { j = 1 } ^ { g } \sum _ { k = 0 } ^ { r _ { \infty } - 1 } c _ { \infty , k } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } q _ { j } ^ { k } - \hbar \nu _ { \infty , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } \sum _ { j = 1 } ^ { g } p _ { j } - \hbar \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } \sum _ { j = 1 } ^ { g } q _ { j } p _ { j }
\begin{array} { r l } & { \alpha _ { 1 } \otimes _ { _ { T } } \alpha _ { 2 } \otimes _ { _ { T } } \cdots \otimes _ { _ { T } } \alpha _ { n } } \\ { = } & { \left\langle T ^ { ( n ) } ( \mu _ { 1 } , \ldots , \mu _ { n } ) , T ^ { ( n ) } ( \eta _ { 1 } \! + \mu _ { 1 } , \ldots , \eta _ { n } \! + \mu _ { n } ) \right. } \\ & { \left. \quad \! - T ^ { ( n ) } ( \mu _ { 1 } , \ldots , \mu _ { n } ) , S ^ { ( n ) } ( \nu _ { 1 } , \ldots , \nu _ { n } ) \right\rangle , } \end{array}
P ( q , q ^ { \prime } ) = \sum _ { k = 0 , k ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! k ^ { \prime } ! } q ^ { n _ { 1 } } . . . q ^ { n _ { k ^ { \prime } } } q ^ { \prime } { } ^ { m _ { 1 } } . . . q ^ { \prime } { } ^ { m _ { k } } P _ { \{ m _ { 1 } . . . m _ { k } | n _ { 1 } . . . n _ { k ^ { \prime } } \} } ( \partial _ { l } )
{ \cal H } = { \frac { p ^ { 2 } } { 2 m _ { q } } } + { \frac { p ^ { 2 } } { 2 m _ { Q } } } - { \frac { 4 \alpha _ { s } } { 3 r } } + a r + { \frac { 8 \pi \alpha _ { s } \mathbf { S _ { Q } } \cdot \mathbf { S _ { q } } } { 3 m _ { q } m _ { Q } } } \delta ^ { 3 } ( \mathbf { r } ) .
\begin{array} { r } { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { c ^ { n } } { n ! } x ^ { n } n ^ { \alpha n } \le \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } 2 ^ { - n } \frac { x ^ { n } } { ( n ! ) ^ { 1 - \alpha } } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } 2 ^ { - n } \big ( \frac { x ^ { n / ( 1 - \alpha ) } } { n ! } \big ) ^ { 1 - \alpha } \le \exp ( x ^ { 1 / ( 1 - \alpha ) } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { j = 0 } ^ { N } a _ { j } \cos ( 2 \pi j x / T ) - e ^ { - x ^ { 2 } / ( 2 \sigma ^ { 2 } ) } \right| \le \epsilon ^ { \prime \prime } , ~ } & { { } ~ \forall x \in [ - \pi , \pi ] . } \end{array}
\widetilde { T } _ { + } \equiv \frac { 1 } { \omega } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { p _ { i } ^ { 2 } } { 2 } , \quad \widetilde { T } _ { - } \equiv T _ { - } , \quad \widetilde { T } _ { 0 } \equiv T _ { 0 }
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { i n t } } } & { = \lambda \int d r \! \! \sum _ { a b , \tau \tau ^ { \prime } , \sigma \sigma ^ { \prime } } \! \! { \Psi } _ { \sigma , a , \tau } \bar { \Psi } _ { \sigma ^ { \prime } , a , \tau } { \Psi } _ { \sigma ^ { \prime } , b , \tau ^ { \prime } } \bar { \Psi } _ { \sigma , b , \tau ^ { \prime } } . } \end{array}
\frac { \dot { \tilde { \psi } } _ { 0 } } { 2 } = p - \sqrt { 2 - 3 \beta ^ { 2 } } \tan \left( \sqrt { 2 - 3 \beta ^ { 2 } } \ln \frac { m _ { 2 } } { Q _ { 1 } } \right) .
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { l } { T ^ { \mathcal { X } } \left( \begin{array} { l l l l l } { A ^ { k - 1 } B } & { A ^ { k - 2 } B } & { \cdots } & { B } & { 0 ^ { n \times ( N - k ) n } } \end{array} \right) } \\ { T ^ { \mathcal { X } } \left( \begin{array} { l l l l l } { A ^ { k - 1 } B } & { A ^ { k - 2 } B } & { \cdots } & { B } & { 0 ^ { n \times ( N - k ) n } } \end{array} \right) \cdot \left( I ^ { N } \otimes \Omega \right) } \end{array} \right) } \\ & { \quad \quad \cdot U + \left( \begin{array} { l } { T ^ { \mathcal { X } } A ^ { k } } \\ { T ^ { \mathcal { X } } A ^ { k } \Theta } \end{array} \right) x ( 0 ) \leq 1 , \: k = 1 , . . . , N - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \dot { \sigma } _ { i } ( t ) \left[ \ddot { \sigma } _ { i } ( t ) + \omega _ { i } ^ { 2 } \sigma _ { i } ( t ) \right] } \\ & { + \frac { \dot { \sigma } _ { i } ( t ) } { \sigma _ { i } ( t ) } \left[ \frac { 1 } { 3 } \sum _ { j } \left( \omega _ { j } ^ { 2 } \sigma _ { j } ^ { 2 } ( t ) + \dot { \sigma } _ { j } ^ { 2 } ( t ) \right) - \frac { 2 E _ { \mathrm { t o t a l } } } { 3 m } \right] } \\ & { \approx \frac { 3 } { 5 N m } \sum _ { j , k , \ell } \frac { \dot { \sigma } _ { i } ( t ) } { \sigma _ { i } ( t ) } \left( \int d ^ { 3 } r r _ { i } \partial _ { j } \mu _ { i j k \ell } \right) \delta _ { k , \ell } \frac { \dot { \sigma } _ { k } } { \sigma _ { \ell } } } \\ & { \quad - \frac { 2 } { 5 N m } \sum _ { j , k , \ell } \frac { \dot { \sigma } _ { i } ( t ) } { \sigma _ { i } ( t ) } \delta _ { i , j } \left( \int d ^ { 3 } r \mu _ { i j k \ell } \right) \delta _ { k , \ell } \frac { \dot { \sigma } _ { \ell } ( t ) } { \sigma _ { \ell } ( t ) } } \\ & { \quad - \frac { 2 } { 5 N m } \sum _ { j } \int d ^ { 3 } r \left[ \partial _ { i } ( \kappa _ { i j } \partial _ { j } T ) \right] . } \end{array}
\mathrm { I _ { b s c } } \propto \mathrm { A _ { I F O } A _ { b s c , i n } } \left[ \left( - 1 + \frac { 2 \eta _ { e s c } } { 1 \pm x } \right) \cos \Phi - \left( - 1 + \frac { 2 \eta _ { e s c } } { 1 \pm x } \right) \sin \Phi \delta \phi \mp \frac { 4 \eta _ { e s c } x } { 1 - x ^ { 2 } } \sin \Phi \delta \theta \right] \; ,
\int _ { - { \frac { a } { 2 } } } ^ { \frac { a } { 2 } } x ^ { 2 } \cos ^ { 2 } { \frac { n \pi x } { a } } \, d x = { \frac { a ^ { 3 } ( n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } - 6 ) } { 2 4 n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } } \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } n = 1 , 3 , 5 . . . { \mathrm { ) } }
\left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - \hat { X } \left( K _ { k } ^ { ( B ) } \right) ^ { - H } \left( \underline { { H _ { k } } } ^ { ( B ) } \right) ^ { H } V _ { k + 1 } ^ { H } \vec { v } _ { k + 1 } } \\ { \vec { u } _ { h + 1 } ^ { H } U _ { h + 1 } \underline { { H _ { h } } } ^ { ( A ) } \left( K _ { h } ^ { ( A ) } \right) ^ { - 1 } \hat { X } } & { 0 } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { H _ { 1 D } = } & { { } \sum _ { j } ( m _ { z } + i \gamma _ { \downarrow } / 2 ) \bigr ( | j \uparrow \rangle \langle j \uparrow | - | j \downarrow \rangle \langle j \downarrow | \bigr ) - t _ { 0 } \bigr ( | j \uparrow \rangle \langle j + 1 \uparrow | - | j \downarrow \rangle \langle j + 1 \downarrow | + h . c . \bigr ) } \end{array}
\ln 2 = { \frac { 1 4 } { 3 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 9 6 1 ^ { k } ( 2 k + 1 ) } } + { \frac { 6 } { 1 6 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 5 9 2 1 ^ { k } ( 2 k + 1 ) } } + { \frac { 1 0 } { 4 9 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 4 0 1 ^ { k } ( 2 k + 1 ) } } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { R e a l } \left\{ r _ { k } ( y ) \right\} } & { = \frac { 2 } { D _ { k } ^ { 2 } } \left( C _ { 3 } ( y ) \cos \left( \frac { \ell } { 2 a } r _ { h } \sin \left( \frac { \theta _ { h } } { 2 } \right) \right) \cosh \left( \frac { \ell } { 2 a } r _ { h } \cos \left( \frac { \theta _ { h } } { 2 } \right) \right) \right. } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \left. + C _ { 4 } ( y ) \sin \left( \frac { \ell } { 2 a } r _ { h } \sin \left( \frac { \theta _ { h } } { 2 } \right) \right) \sinh \left( \frac { \ell } { 2 a } r _ { h } \cos \left( \frac { \theta _ { h } } { 2 } \right) \right) \right) , } \\ { \mathrm { I m a g } \left\{ r _ { k } ( y ) \right\} } & { = \frac { 2 } { D _ { k } ^ { 2 } } \left( C _ { 4 } ( y ) \cos \left( \frac { \ell } { 2 a } r _ { h } \sin \left( \frac { \theta _ { h } } { 2 } \right) \right) \cosh \left( \frac { \ell } { 2 a } r _ { h } \cos \left( \frac { \theta _ { h } } { 2 } \right) \right) \right. } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \left. - C _ { 4 } 3 y ) \sin \left( \frac { \ell } { 2 a } r _ { h } \sin \left( \frac { \theta _ { h } } { 2 } \right) \right) \sinh \left( \frac { \ell } { 2 a } r _ { h } \cos \left( \frac { \theta _ { h } } { 2 } \right) \right) \right) , } \\ { \mathrm { R e a l } \left\{ s _ { k } \right\} } & { = \frac { \ell ^ { 2 } r _ { \ell } } { D _ { k } ^ { 1 } } \left( C _ { k } ^ { 1 } \sin \left( \frac { h } { a } r _ { \ell } \sin \left( \frac { \theta _ { \ell } } { 2 } \right) \right) + C _ { k } ^ { 2 } \sinh \left( \frac { h } { a } r _ { \ell } \cos \left( \frac { \theta _ { \ell } } { 2 } \right) \right) \right) , } \\ { \mathrm { I m a g } \left\{ s _ { k } \right\} } & { = \frac { \ell ^ { 2 } r _ { \ell } } { D _ { k } ^ { 1 } } \left( C _ { k } ^ { 2 } \sin \left( \frac { h } { a } r _ { \ell } \sin \left( \frac { \theta _ { \ell } } { 2 } \right) \right) - C _ { k } ^ { 1 } \sinh \left( \frac { h } { a } r _ { \ell } \cos \left( \frac { \theta _ { \ell } } { 2 } \right) \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { \delta B _ { \parallel } } { B _ { 0 } } } & { { } = - \nabla \cdot \delta \boldsymbol { \xi } _ { \perp } - \left( \boldsymbol { \kappa } + \frac { \nabla _ { \perp } B _ { 0 } } { B _ { 0 } } \right) \cdot \delta \boldsymbol { \xi } _ { \perp } = } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { x , y , z } P _ { X } ( x ) P _ { \hat { X } _ { 1 } \hat { X } _ { 2 } | X } ( \hat { x } _ { 1 } , \hat { x } _ { 2 } | x ) d _ { 1 } ( x , \hat { x } _ { 1 } ) } & { = D _ { 1 } , } \\ { \sum _ { x , y , z } P _ { X } ( x ) P _ { \hat { X } _ { 1 } \hat { X } _ { 2 } | X } ( \hat { x } _ { 1 } , \hat { x } _ { 2 } | x ) d _ { 2 } ( x , \hat { x } _ { 2 } ) } & { = D _ { 2 } , } \\ { I ( P _ { X } , P _ { \hat { X } _ { 1 } | X } ) } & { = R _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { d ( \mathcal { B } _ { i } , \mathcal { B } _ { j } ) \mathrm { ~ \scriptsize ~ o d d } } \mathbb { P } ( ( a , b ) \mathrm { ~ m o n o c h r o m a t i c } | a \in \mathcal { B } _ { i } , b \in \mathcal { B } _ { j } ) \cdot \mathbb { P } ( a \in \mathcal { B } _ { i } , b \in \mathcal { B } _ { j } ) } \\ { = \frac { 1 } { 2 N ^ { 2 } } m _ { 3 } ^ { \prime } ( c _ { b } ^ { * } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left. { \frac { d } { d t } } \right| _ { t = 0 } E [ I + t h ] } & { = { \frac { d } { d t } } { \big | } _ { t = 0 } { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { \Omega } g \left( \| \nabla ( I + t h ) ( x ) \| ^ { 2 } \right) \, d x } \\ & { = \int _ { \Omega } g ^ { \prime } \left( \| \nabla I ( x ) \| ^ { 2 } \right) \nabla I \cdot \nabla h \, d x } \\ & { = - \int _ { \Omega } \operatorname { d i v } ( g ^ { \prime } \left( \| \nabla I ( x ) \| ^ { 2 } \right) \nabla I ) h \, d x } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { a _ { k } } & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } Z _ { t } \cos \omega _ { k } t , } & { \displaystyle k = 0 \mathrm { , ~ y ~ } k = \frac { n } { 2 } \mathrm { ~ s i ~ } n \mathrm { ~ e s ~ p a r , } } \\ { \displaystyle \frac { 2 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } Z _ { t } \cos \omega _ { k } t , } & { \displaystyle k = 1 , 2 , \hdots , \left[ \frac { n - 1 } { 2 } \right] , } \end{array} \right. } \end{array}
{ } \dot { h } _ { i j } ( x ) = \{ h _ { i j } ( x ) , { \bf H } _ { T } \} = \int _ { M } d ^ { 3 } x ^ { \prime } N ^ { \mu } ( x ^ { \prime } ) \{ h _ { i j } ( x ) , H _ { \mu } ^ { G } ( x ^ { \prime } ) \} ,
U _ { M N S } = \left( \begin{array} { l l l } { { c _ { 1 2 } } } & { { s _ { 1 2 } } } & { { 0 } } \\ { { - s _ { 1 2 } / \sqrt { 2 } } } & { { c _ { 1 2 } / \sqrt { 2 } } } & { { 1 / \sqrt { 2 } } } \\ { { s _ { 1 2 } / \sqrt { 2 } } } & { { - c _ { 1 2 } / \sqrt { 2 } } } & { { 1 / \sqrt { 2 } } } \end{array} \right) ,
\varphi = \arg \frac { t _ { c } ( \ell + \delta \ell _ { s } ) } { t _ { c } ( \ell ) } \Bigr | _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ } , \ell \approx n \frac { \lambda } { 2 } } \approx \arctan ( \frac { 1 } { \tan ( k _ { l } \delta \ell _ { s } ) } ) ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } } & { \Big \{ ( 1 - M ^ { - p } ) ^ { - \frac { 1 } { p } } \Big ( 1 - \frac { M ^ { r } } { 2 } \Big ) ^ { - \frac { r + 1 } { r } } M ^ { r } ( k - k ^ { r + 1 } ) ^ { - 1 } \colon M \in ( 1 , 2 ^ { \frac { 1 } { r } } ) , k \in ( 0 , 1 ) \Big \} = } \\ & { = \frac { ( r + 1 ) ^ { \frac { r + 1 } { r } } } { r } \operatorname* { i n f } \Big \{ M ^ { r } ( 1 - M ^ { - p } ) ^ { - \frac { 1 } { p } } \Big ( 1 - \frac { M ^ { r } } { 2 } \Big ) ^ { - \frac { r + 1 } { r } } \colon M \in ( 1 , 2 ^ { \frac { 1 } { r } } ) \Big \} . } \end{array}
\widetilde { \Pi } = \left[ e \chi \left( \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } \right) + e ^ { 2 } \left( \frac 1 { \xi _ { 2 } } - \frac 1 { \xi _ { 1 } } \right) \right] \frac { { \it \Pi } _ { { \it 1 } } } 2
\begin{array} { r l r } & { } & { C _ { ( 1 ) } = \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 4 } , } \\ & { } & { C _ { ( 2 ) } = - ( \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 1 } \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 1 } \lambda _ { 4 } + \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 2 } \lambda _ { 4 } + \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } ) , } \\ & { } & { C _ { ( 3 ) } = \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 4 } + \lambda _ { 1 } \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } + \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } , } \\ & { } & { C _ { ( 4 ) } = - \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { t ^ { \prime } } & { { } = \gamma ( v ) \left( t - { \frac { v x } { c ^ { 2 } } } \right) \, , \quad } & { E ^ { \prime } } & { { } = \gamma ( v ) \left( E - v p _ { x } \right) } \\ { x ^ { \prime } } & { { } = \gamma ( v ) ( x - v t ) \, , \quad } & { p _ { x } ^ { \prime } } & { { } = \gamma ( v ) \left( p _ { x } - { \frac { v E } { c ^ { 2 } } } \right) } \\ { y ^ { \prime } } & { { } = y \, , \quad } & { p _ { y } ^ { \prime } } & { { } = p _ { y } } \\ { z ^ { \prime } } & { { } = z \, , \quad } & { p _ { z } ^ { \prime } } & { { } = p _ { z } } \end{array}
\beta _ { \nu } ^ { ( 1 ) } \overline { { { \Gamma } } } _ { 5 } = \overline { { { \Gamma } } } _ { 5 } \beta _ { \nu } ^ { ( \widetilde { 1 } ) } , ~ ~ \beta _ { \nu } ^ { ( \widetilde { 1 } ) } \overline { { { \Gamma } } } _ { 5 } = \overline { { { \Gamma } } } _ { 5 } \beta _ { \nu } ^ { ( 1 ) } .
\begin{array} { r l } { | \eta _ { i _ { 2 } } \eta _ { i _ { 3 } } \eta _ { i _ { 4 } } \eta _ { i _ { 2 } ^ { \prime } } \eta _ { i _ { 3 } ^ { \prime } } \eta _ { i _ { 4 } ^ { \prime } } \widetilde { \Omega } _ { i _ { 1 } i _ { 4 } } \widetilde { \Omega } _ { i _ { 1 } ^ { \prime } i _ { 4 } ^ { \prime } } | } & { \lesssim \theta _ { i _ { 2 } } \theta _ { i _ { 3 } } \theta _ { i _ { 4 } } \theta _ { i _ { 2 } ^ { \prime } } \theta _ { i _ { 3 } ^ { \prime } } \theta _ { i _ { 4 } ^ { \prime } } ( \beta _ { i _ { 1 } } \theta _ { i _ { 1 } } ) ( \beta _ { i _ { 4 } } \theta _ { i _ { 4 } } ) \theta _ { i _ { 1 } ^ { \prime } } ( \beta _ { i _ { 4 } ^ { \prime } } \theta _ { i _ { 4 } ^ { \prime } } ) } \\ & { \lesssim \beta _ { i _ { 1 } } \beta _ { i _ { 4 } } \beta _ { i _ { 4 } ^ { \prime } } \theta _ { i _ { 1 } } ^ { 1 + a _ { 1 } } \theta _ { j _ { 1 } } ^ { a _ { 2 } } \theta _ { i _ { 2 } } ^ { 1 + a _ { 3 } } \theta _ { j _ { 2 } } ^ { a _ { 4 } } \theta _ { i _ { 3 } } ^ { 1 + a _ { 5 } } \theta _ { j _ { 3 } } ^ { a _ { 6 } } \theta _ { i _ { 4 } } ^ { 2 } \theta _ { i _ { 4 } ^ { \prime } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { m \geq \frac { \xi n / p } { 1 - n ^ { - 1 / 4 } } } \mathbb P ( N - 1 - \sqrt { n } > m \mid B ) } & { \leq \sum _ { m \geq \frac { \xi n / p } { 1 - n ^ { - 1 / 4 } } } n \exp \left( - ( p / 2 ) m n ^ { - 1 / 2 } \right) } \\ & { \leq n \frac { \exp \left( - ( p / 2 ) n ^ { - 1 / 2 } \frac { \xi n / p } { 1 - n ^ { - 1 / 4 } } \right) } { 1 - \exp \left( - ( p / 2 ) n ^ { - 1 / 2 } \right) } } \\ & { \leq n \frac { \exp \left( - \xi n ^ { 1 / 2 } / 2 \right) } { 1 - \exp \left( - ( p / 2 ) n ^ { - 1 / 2 } \right) } } \\ & { = O \left( n ^ { 3 / 2 } e ^ { - \xi n ^ { 1 / 2 } / 2 } \right) } \\ & { = o ( 1 ) . } \end{array}
\int d ^ { D } p \, \, \, \frac { \partial } { \partial p _ { \varrho } } \left( p _ { \lambda } p _ { \tau } p _ { \kappa } p _ { \eta } p _ { \xi } \, \, \, e ^ { - \frac { 1 } { 2 } p \cdot R \cdot p } \right) = 0
\begin{array} { r l r } { { \Delta _ { E } } } & { = } & { \frac { 2 7 } { 4 } R _ { E } ^ { 2 } + Q _ { E } ^ { 3 } , } \\ { { Q _ { E } } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } ( - \mathcal { S } _ { i j } \mathcal { S } _ { i j } + \mathcal { R } _ { i j } \mathcal { R } _ { i j } ) } \\ { { R _ { E } } } & { = } & { \frac { - 1 } { 3 } ( \mathcal { S } _ { i j } \mathcal { S } _ { j k } \mathcal { S } _ { k i } + 3 \mathcal { R } _ { i j } \mathcal { R } _ { j k } \mathcal { S } _ { k i } ) } \end{array}
\rho _ { e } = \left\{ \begin{array} { r l } & { 1 , \quad \mathrm { i f ~ e ~ i s ~ o f ~ t y p e ~ \mathcal { M } _ { 1 } ~ } , } \\ & { N ^ { 2 } , \quad \mathrm { i f ~ e ~ i s ~ o f ~ t y p e ~ \mathcal { M } _ { 2 } ~ } , } \\ & { N , \quad \mathrm { i f ~ e ~ i s ~ o f ~ t y p e ~ \mathcal { M } _ { 3 } ~ o r ~ \mathcal { M } _ { 4 } ~ } . } \end{array} \right.
\Psi _ { 2 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { r c l } { { i \xi ^ { 4 } } } & { { + } } & { { \xi ^ { 5 } } } \\ { { \psi } } & { { - } } & { { i \xi ^ { 8 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { V = \frac { 1 } { 4 } A _ { 1 } r ^ { 2 } + A _ { 2 } , } \\ { A _ { 1 } = \frac { 1 } { \mu } \frac { d p } { d x } , } \\ { A _ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } A _ { 1 } \left[ - 4 \kappa + \frac { 2 \sqrt { \kappa } R } { \alpha } - R ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta ( \sigma _ { t } ( \nu _ { i } ( a ) ) ) } & { = } & { \Delta ( \nu _ { i } ( \sigma _ { t } ^ { G } ( a ) ) ) = \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( \nu _ { i } \otimes \nu _ { j } ) ( \Delta _ { G } ( \sigma _ { t } ^ { G } ( a ) ) ) ( u _ { i j } \otimes 1 ) } \\ & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( \nu _ { i } \otimes \nu _ { j } ) ( ( \tau _ { t } ^ { G } \otimes \sigma _ { t } ^ { G } ) \Delta _ { G } ( a ) ) ( u _ { i j } \otimes 1 ) } \\ & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( \tau _ { t } \otimes \sigma _ { t } ) ( \nu _ { i } \otimes \nu _ { j } ) ( \Delta _ { G } ( a ) ) ( u _ { i j } \otimes 1 ) = ( \tau _ { t } \otimes \sigma _ { t } ) \Delta ( \nu _ { i } ( a ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 , 2 } \nabla \phi _ { \alpha } \otimes \frac { \partial \hat { \Psi } _ { \alpha } ^ { \mathrm { I I } } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } } & { ~ = \nabla \phi \otimes \frac { \partial \hat { \Psi } ^ { \mathrm { I I } } } { \partial \nabla \phi } } \\ & { ~ = \left( \frac { \rho _ { 1 } \kappa _ { 1 } \varepsilon } { 2 } + \frac { \rho _ { 2 } \kappa _ { 2 } \varepsilon } { 2 } \right. } \\ & { \quad \quad \left. + \phi \frac { \rho _ { 1 } \kappa _ { 1 } \varepsilon } { 2 } - \phi \frac { \rho _ { 2 } \kappa _ { 2 } \varepsilon } { 2 } \right) \nabla \phi \otimes \nabla \phi . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { c } { \mathrm { i } \hbar \dot { \beta } _ { \mathbf { k } } = \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { V } } V _ { \mathrm { 1 2 } } ( \mathbf { k } ) W _ { \mathbf { k } } + \Omega _ { \mathbf { k } } \beta _ { \mathbf { k } } , } \\ { \hbar \dot { \phi } ( t ) = V _ { \mathrm { 1 2 } } ( \mathbf { 0 } ) n + \frac { \mathbf { P } ^ { 2 } - \mathbf { P } _ { \textrm { B } } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { V } } \sum _ { \mathbf { k } } W _ { \mathbf { k } } V _ { \mathrm { 1 2 } } ( \mathbf { k } ) \mathfrak { R e } [ \beta _ { \mathbf { k } } ] , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { o u t , c } ^ { S A } \simeq \frac { 4 \left( m _ { 1 , \Lambda } m _ { 2 , \Lambda } \sigma ^ { 2 } \right) ^ { \frac { m _ { 1 , \Lambda } + m _ { 2 , \Lambda } } { 2 } } \left( 2 ^ { N \tilde { R } _ { c } } - 1 \right) ^ { \frac { m _ { 1 , \Lambda } + m _ { 2 , \Lambda } } { 2 } } } { \Gamma ( m _ { 1 , \Lambda } ) \Gamma ( m _ { 2 , \Lambda } ) ( m _ { 1 , \Lambda } + m _ { 2 , \Lambda } ) ( N p \alpha ^ { 2 } \Omega _ { \Lambda } ) ^ { \frac { m _ { 1 , \Lambda } + m _ { 2 , \Lambda } } { 2 } } } . } \end{array}
\bar { \Omega } \bar { L } \bar { \Omega } ^ { T } = \bar { L } , \ \ \ \bar { L } = \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { I _ { 7 } } } & { { 0 } } \\ { { I _ { 7 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { I _ { 1 6 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \| \nabla \eta _ { 3 } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } + \| \nabla \eta _ { 4 } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } + \| \eta \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } } & { { } + \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime } \cup \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime \prime } } W _ { \epsilon } \, \rho _ { \gamma } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \, \mathrm { d } X } \\ { \, } & { { } \le \, C _ { 1 0 } \bigl ( Q _ { \epsilon } [ \eta _ { 3 } ] + Q _ { \epsilon } [ \eta _ { 4 } ] \bigr ) + C _ { 1 1 } \Bigl ( \tilde { \mu } ^ { 2 } + \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime } } W _ { \epsilon } \eta ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \Bigr ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x \rho } & { { } = - \Sigma _ { t } \cdot \nabla \rho , } \\ { x \otimes x ^ { T } \rho } & { { } = \left( \Sigma _ { t } \cdot \nabla \otimes \nabla ^ { T } \cdot \Sigma _ { t } + \Sigma _ { t } \right) \rho . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E \hat { U } _ { i } ( \hat { \sigma } _ { i } ^ { * } , \hat { \bar { \sigma } } ^ { * } ) \leq } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { \theta _ { i } ^ { k - 1 } } ^ { \theta _ { i } ^ { k } } \int _ { \Theta _ { - i } } ( f _ { i } ( \sigma _ { i } ( \theta _ { i } ) , H ( \sigma _ { i } ( \theta _ { i } ) , \hat { \bar { \sigma } } _ { - i } ^ { * } ( \theta _ { - i } ) ) , \theta _ { i } ^ { k } ) p ( \theta _ { i } , \theta _ { - i } ) d \theta _ { i } d \theta _ { - i } } \\ & { + M L _ { p } ( \theta _ { i } ^ { k } - \theta _ { i } ^ { k - 1 } ) \mu ( \Theta _ { - i } ) \epsilon _ { 0 } ) } \\ { = } & { E U ( \sigma _ { i } , \hat { \bar { \sigma } } ^ { * } ) + M L _ { p } \mu ( \boldsymbol { \Theta } ) \epsilon _ { 0 } . } \end{array}