harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \binom { C } { r } F } & { = H ( W _ { d _ { 1 } } , W _ { d _ { 2 } } , . . . . . W _ { d _ { K } } ) } \\ & { = I ( W _ { d _ { 1 } } , W _ { d _ { 2 } } , . . . . . W _ { d _ { K } } ; X , Z _ { 1 } , Z _ { 2 } , . . . Z _ { C } ) + H ( W _ { d _ { 1 } } , W _ { d _ { 2 } } , . . . . . W _ { d _ { K } } | X , Z _ { 1 } , Z _ { 2 } , . . . Z _ { C } ) } \\ & { = I ( W _ { d _ { 1 } } , W _ { d _ { 2 } } , . . . . . W _ { d _ { K } } ; X , Z _ { 1 } , Z _ { 2 } , . . . Z _ { C } ) } \\ & { = I ( W _ { d _ { 1 } } , W _ { d _ { 2 } } , . . . . . W _ { d _ { K } } ; X ) + I ( W _ { d _ { 1 } } , W _ { d _ { 2 } } , . . . . . W _ { d _ { K } } ; Z _ { 1 } , Z _ { 2 } , . . . Z _ { C } | X ) } \\ & { = I ( W _ { d _ { 1 } } , W _ { d _ { 2 } } , . . . . . W _ { d _ { K } } ; Z _ { 1 } , Z _ { 2 } , . . . Z _ { C } | X ) } \\ & { \leq H ( Z _ { 1 } , Z _ { 2 } , . . . Z _ { C } ) } \\ & { \leq \sum _ { c = 1 } ^ { C } H ( Z _ { c } ) } \\ & { \leq C M F } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 3 0 0 0 k c a l s } & { { } = } & { 8 0 k g \cdot 1 \frac { k c a l } { k g \cdot ^ { \circ } C } \cdot \Delta T } \\ { \Delta T } & { { } \approx } & { + 3 7 . 5 ^ { \circ } C } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t } \left[ \| \tilde { \nabla } _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \; \middle | \; u ^ { t + 1 } \right] - \| \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leq A _ { 1 } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) + A _ { 2 } \| \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } + A _ { 3 } } \\ & { \leq A _ { 1 } B + A _ { 2 } C + A _ { 3 } = \sigma ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { A B } ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { = - \frac { \delta _ { \tau _ { - } , \tau ^ { \prime } } } { \Delta t } \alpha k _ { 3 } \mu _ { A } ( \tau ^ { \prime } ) + ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } R _ { A A } ( \tau _ { - } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) R _ { B B } ( \tau _ { - } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) \mu _ { A } ( \tau ^ { \prime } ) } \\ & { + ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } R _ { A B } ( \tau _ { - } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) R _ { B A } ( \tau _ { - } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) \mu _ { A } ( \tau ^ { \prime } ) } \end{array}
\langle \, \partial _ { - } f ^ { R } ( \sigma ) \partial _ { - } f ^ { R } ( \sigma ^ { \prime } ) \, \rangle \, _ { \mathrm { { i n } } } = \langle \, \partial _ { - } f ( \sigma ) \partial _ { - } f ( \sigma ^ { \prime } ) \, \rangle \, _ { \mathrm { i n } } \, .
\omega ^ { ( 2 ) } ( t ) = \left[ \frac { g ^ { 2 } N _ { c } \Gamma ( 1 - \epsilon ) ( \vec { q } ^ { \: 2 } ) ^ { \epsilon } } { ( 4 \pi ) ^ { D / 2 } \epsilon } \right] ^ { 2 } \left[ \frac { 1 1 } { 3 } + \left( 2 \psi ^ { \prime } ( 1 ) - \frac { 6 7 } { 9 } \right) \epsilon + \left( \frac { 4 0 4 } { 2 7 } + \psi ^ { \prime \prime } ( 1 ) - \frac { 2 2 } { 3 } \psi ^ { \prime } ( 1 ) \right) \epsilon ^ { 2 } \right] \; ,
\log \left( \frac { k _ { 1 } ( K _ { M } + s _ { 0 } ) ^ { 2 } } { k _ { 2 } K _ { M } } \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \right) = \log \left( \frac { k _ { 1 } ( K _ { M } + s _ { 0 } ) ^ { 2 } } { k _ { 2 } K _ { M } } \right) + \log \left( \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \right)
{ \bf U } = \left[ \begin{array} { c c } { \rho } \\ { \rho u } \\ { \rho E } \end{array} \right] , \qquad { \bf F } _ { c } = \left[ \begin{array} { c c } { \rho u } \\ { \rho u ^ { 2 } + p } \\ { \rho u H } \end{array} \right] , \qquad { \bf F } _ { d } = \left[ \begin{array} { c c } { 0 } \\ { \sigma ( \textbf { U } ; \theta ) } \\ { \sigma ( \textbf { U } ; \theta ) u - q ( \textbf { U } ; \theta ) } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r } { \psi = \psi _ { 0 } , \quad \mathrm { s u c h ~ t h a t } \quad \cos ^ { 2 } \psi _ { 0 } = \frac { I _ { ( 1 - 3 ) } } { I _ { ( 1 - 2 ) } } = \frac { I _ { 2 } ( I _ { 3 } - I _ { 1 } ) } { I _ { 3 } ( I _ { 2 } - I _ { 1 } ) } = \frac { g _ { 1 } ^ { 2 } - g _ { 3 } ^ { 2 } } { g _ { 1 } ^ { 2 } - g _ { 2 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname * { m i n } _ { t _ { H } ^ { b c } , p _ { H } ^ { b c } , f _ { H } } \quad } & { \tau ^ { D L } } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { t _ { H } ^ { b c } \geq t _ { H } ^ { \operatorname* { m i n } } , } \\ & { \zeta _ { H } f _ { H } ^ { 2 } L _ { H } Q _ { H } + p _ { H } ^ { b c } t _ { H } ^ { b c } \leq { { E } } _ { H } ^ { \operatorname* { m a x } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { N } = \left\langle \sigma _ { 1 } , \cdots , \sigma _ { N - 1 } \, \middle \vert \, \sigma _ { i } ^ { 2 } = e , ~ ~ \sigma _ { i } \sigma _ { i + 1 } \sigma _ { i } = \sigma _ { i + 1 } \sigma _ { i } \sigma _ { i + 1 } , ~ ~ \sigma _ { i } \sigma _ { j } = \sigma _ { j } \sigma _ { i } ~ ~ ( | i - j | \geq 2 ) \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { c l } { { } } & { { T r \{ D _ { \mu } \phi ( D _ { \mu } \phi ) ^ { \dag } - \eta \frac { \lambda ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } ( \phi { \phi } ^ { \dag } - \frac { { \mu } ^ { 2 } } { { \lambda } ^ { 2 } } ) ^ { 2 } \} } } \\ { { } } & { { = \frac { 1 } { 2 } { \partial } _ { \mu } \rho { \partial } ^ { \mu } \rho + \frac { g ^ { 2 } } { 4 } ( \rho _ { 0 } + \rho ) ^ { 2 } W _ { \mu } ^ { - } W _ { \mu } ^ { + } + \frac { 1 } { 8 } g ^ { 2 } ( \rho _ { 0 } + \rho ) ^ { 2 } W _ { \mu } ^ { 3 } W _ { \mu } ^ { 3 } } } \\ { { } } & { { ~ ~ ~ - \eta \frac { \lambda ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } { \rho } ^ { 2 } ( \rho _ { 0 } ^ { 2 } + \rho _ { 0 } \rho + \frac { { \rho } ^ { 2 } } { 4 } ) + c o n s t . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \langle \tilde { S } _ { + } \rangle = i \gamma _ { \mathrm { R b } } b ^ { + } \langle S _ { z } \rangle \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } J _ { n } ( \eta ) e ^ { i ( \Omega _ { 0 } + n \omega _ { 0 } + \omega ) t + \Gamma _ { \mathrm { R b } } t + i n \theta _ { \mathrm { a c } } } . } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } \sigma _ { \gamma } ( e p ) } { d x \: d Q ^ { 2 } } = \frac { 2 \pi \alpha ^ { 2 } } { x Q ^ { 4 } } ( 1 + ( 1 - y ) ^ { 2 } ) F _ { 2 } ^ { e m } ( x , Q ^ { 2 } )
( u _ { 1 } ) _ { L } = \frac { 1 } { 2 } ( u _ { 1 } + u _ { 2 } ^ { c } ) = \frac { 1 } { 2 } ( u _ { 1 } + i \gamma _ { 2 } u _ { 2 } ^ { \star } ) = \frac { 1 } { 2 } ( \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { i \sigma _ { 2 } } \\ { - i \sigma _ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) )
\begin{array} { r } { \widetilde { f } \colon \xi x _ { 3 } + x _ { 4 } x _ { 2 } u + f _ { d _ { 1 } } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ) + u f _ { d _ { 1 } } ^ { \prime } ( u , x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 4 } , x _ { 3 } , x _ { 2 } ) = 0 } \\ { \widetilde { f } \colon \xi x _ { 4 } + x _ { 3 } ^ { \alpha } u + g _ { d _ { 2 } } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ) + u g _ { d _ { 2 } } ^ { \prime } ( u , x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 4 } , x _ { 3 } , x _ { 2 } ) = 0 } \end{array}
\frac { d I _ { \epsilon } } { d R } ( R ) = - \frac { 4 \pi } { R _ { 0 } } \left( \frac { R ^ { 2 } - R _ { 0 } ^ { 2 } } { R R _ { 0 } } \right) \left( \frac { R ^ { 2 } + R _ { 0 } ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \right) \int _ { \epsilon } ^ { \infty } \frac { d \tau _ { 2 } } { \tau _ { 2 } ^ { 1 / 2 } } e ^ { - \pi \tau _ { 2 } \left( \frac { R ^ { 2 } - R _ { 0 } ^ { 2 } } { R R _ { 0 } } \right) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } & { } & { z _ { k , j } = [ \tilde { x x } _ { 1 , j } ^ { \prime } , \cdots , \tilde { x x } _ { d , j } ^ { \prime } , \hat { x x } _ { j } ^ { \prime } , u x _ { j } ^ { ' } , u u _ { j } ^ { \prime } ] , } \\ & { } & { u u _ { j } = \underline { { \mathrm { v e c } } } \left( \mathrm { m a t } ( u _ { k - d , j } ) - \mathrm { m a t } ( K _ { j } x _ { k , j } | _ { k - d - 1 } ) \right) , } \\ & { } & { u x _ { j } = - 2 \mathrm { v e c } ( u _ { k - d , j } ( K _ { j } x _ { k , j } | _ { k - d - 1 } ) ^ { \prime } ) , } \\ & { } & { \hat { x x } _ { j } = \underline { { \mathrm { v e c } } } ( \mathrm { m a t } ( x _ { k , j } | _ { k - d - 1 } ) - \mathrm { m a t } ( x _ { k + 1 , j } | _ { k - d } ) ) , } \\ & { } & { \tilde { x x } _ { i , j } = \underline { { \mathrm { v e c } } } ( \mathrm { m a t } ( x _ { k , j } | _ { k - i - 1 } ^ { k - i } ) - \mathrm { m a t } ( x _ { k + 1 , j } | _ { k - i } ^ { k + 1 - i } ) ) , } \\ & { } & { r _ { k , j } = x _ { k , j } | _ { k - d - 1 } ^ { \prime } K _ { j } ^ { \prime } R K _ { j } x _ { k , j } | _ { k - d - 1 } + x _ { k , j } ^ { \prime } Q x _ { k , j } . } \end{array}
\begin{array} { r } { a _ { 0 } = \frac { b } { 8 C \left( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } ^ { 2 } + \| \dot { \alpha } \| _ { \infty } ^ { 2 } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } ^ { 2 } + 1 \right) } } \end{array}
4 \zeta ^ { 2 } ( 1 - \zeta ) ^ { 2 } U _ { 0 } ^ { \prime \prime } + \left( \lambda ^ { 2 } \zeta + \zeta ^ { 2 } - ( \nu ^ { 2 } - 1 ) ( 1 - \zeta ) ^ { 2 } \right) U _ { 0 } = 0 \, ,
\begin{array} { r } { \textbf { M e a n f i e l d c a s e : } \ \ L ^ { i } = L , \ \ F ( \mathbf { x } ) = \mathcal { F } ( m _ { \mathbf { x } } ^ { n } ) , \ \ G ( \mathbf { x } ) = \mathcal { G } ( m _ { \mathbf { x } } ^ { n } ) , \quad m _ { \mathbf { x } } ^ { n } : = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \delta _ { x _ { i } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \biggl [ ( 1 - h _ { x } ^ { 2 } ) ( u _ { y } + v _ { x } ) - 2 ( u _ { x } - v _ { y } ) h _ { x } \biggr ] + \mu \biggl [ ( u _ { x } - v _ { y } ) ( 1 - h _ { x } ^ { 2 } ) + 2 ( u _ { y } + v _ { x } ) h _ { x } \biggr ] } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = ( - M a / C a \, \Gamma _ { x } + \tau ) \sqrt { 1 + h _ { x } ^ { 2 } } ~ ~ ~ \mathrm { a t } ~ ~ ~ ~ y = h ( x , t ) , } \end{array}
\Sigma \! \! \! \! \! \displaystyle { \int } d ^ { 4 } p E _ { p } ( x ) \bar { E } _ { p } ( y ) \equiv \sum _ { k } \int d p _ { 0 } d p _ { 2 } d p _ { 3 } E _ { p } ( x ) \bar { E } _ { p } ( y ) = ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { ( 4 ) } ( x - y ) ,
\begin{array} { r l } { A \big ( \theta _ { 0 } + \alpha \big ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } - 2 \theta _ { 0 } \big ) } & { = \log \Big ( \Gamma \Big ( \alpha _ { 0 } + \alpha \big ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } - 2 \alpha _ { 0 } \big ) \Big ) \Big ) } \\ & { - \Big ( \alpha _ { 0 } + \alpha \big ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } - 2 \alpha _ { 0 } \big ) \Big ) \log \Big ( \beta _ { 0 } + \alpha \big ( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } - 2 \beta _ { 0 } \big ) \Big ) . } \end{array}
\delta \varphi ^ { r s } = \left[ \eta _ { i } ^ { \mu } \eta _ { j } ^ { \nu } \delta ^ { i r } \delta ^ { j s } - ( \eta _ { o } ^ { \mu } \eta _ { j } ^ { \nu } - \eta _ { o } ^ { \nu } \eta _ { j } ^ { \mu } ) \frac { \delta ^ { i r } \delta ^ { j s } p ^ { j } } { p ^ { o } + \sqrt { p ^ { 2 } } } \right] \delta \omega _ { \mu \nu } .
q _ { m } \to \left( \frac { 3 \Gamma } { 2 \Omega k } \right) ^ { 2 } \sum _ { n } \frac { | x | } { d _ { n } ^ { 3 } } \left( 1 - \frac { z _ { n } ^ { 2 } } { d _ { n } ^ { 2 } } \right) e ^ { i k ( n _ { y } m _ { y } + n _ { z } m _ { z } ) a ^ { 2 } / d _ { n } }
\begin{array} { r l } { C _ { X } ( \cal { E } ) } & { = 0 _ { \cal { E } } ^ { * } \left( f ^ { ! } \bf { 1 } _ { X } \right) } \\ & { \simeq 0 _ { \cal { E } } ^ { * } \left( \pi ^ { ! } ( f ^ { \prime \prime } ) ^ { ! } \bf { 1 } _ { X } \right) } \\ & { \simeq 0 _ { \cal { E } } ^ { * } \pi ^ { * } \left( ( f ^ { \prime \prime } ) ^ { ! } \bf { 1 } _ { X } \right) \otimes 0 _ { \cal { E } } ^ { * } \left( \pi ^ { ! } \bf { 1 } _ { \mathrm { { V } ( \cal { E ^ { \prime \prime } } ) } } \right) } \\ & { \simeq 0 _ { \cal { E } ^ { \prime \prime } } ^ { * } \left( ( f ^ { \prime \prime } ) ^ { ! } \bf { 1 } _ { X } \right) \otimes 0 _ { \cal { E } ^ { \prime } } ^ { * } \left( i ^ { * } \pi ^ { ! } \bf { 1 } _ { \mathrm { V } ( \cal { E ^ { \prime \prime } } ) } \right) } \\ & { \simeq 0 _ { \cal { E } ^ { \prime \prime } } ^ { * } \left( ( f ^ { \prime \prime } ) ^ { ! } \bf { 1 } _ { X } \right) \otimes 0 _ { \cal { E } ^ { \prime } } ^ { * } \left( ( f ^ { \prime } ) ^ { ! } \bf { 1 } _ { X } \right) } \\ & { = C _ { X } ( \cal { E } ^ { \prime \prime } ) \otimes C _ { X } ( \cal { E } ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { t , a , a ^ { \prime } , a ^ { \prime \prime } } ( \sigma ) } & { = \beta \sum _ { k \leq a } y _ { k } \sigma _ { I ( 1 , k ) } \sigma _ { I ( 2 , k ) } + \beta \sum _ { k \leq a ^ { \prime } } y _ { k } ^ { \prime } \tau _ { I ^ { \prime } ( 1 , k ) } \tau _ { I ^ { \prime } ( 2 , k ) } + \beta \sum _ { k \leq a ^ { \prime \prime } } y _ { k } ^ { \prime \prime } \rho _ { I ^ { \prime \prime } ( 1 , k ) } \rho _ { I ^ { \prime \prime } ( 2 , k ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { \rho } _ { r } ^ { \langle \mu \nu \lambda \rangle } } & { = } & { C _ { r - 1 } ^ { \langle \mu \nu \lambda \rangle } + \frac { 1 } { 3 } \left[ ( r - 1 ) m ^ { 2 } \rho _ { r - 2 } ^ { \mu \nu \lambda } - ( r + 5 ) \rho _ { r } ^ { \mu \nu \lambda } \right] \theta + \frac { 6 } { 3 5 } \sigma ^ { \langle \mu \nu } \left[ ( r - 1 ) m ^ { 4 } \rho _ { r - 2 } ^ { \lambda \rangle } - ( 2 r + 5 ) m ^ { 2 } \rho _ { r } ^ { \lambda \rangle } + ( r + 6 ) \rho _ { r + 2 } ^ { \lambda \rangle } \right] + } \\ & { + } & { 3 \rho _ { r } ^ { \alpha \langle \mu \nu } \omega ^ { \lambda \rangle } _ { \alpha } + \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { \alpha } ^ { \langle \mu } \left[ m ^ { 2 } ( 2 r - 2 ) \rho _ { r - 2 } ^ { \nu \lambda \rangle \alpha } - ( 2 r + 7 ) \rho _ { r } ^ { \nu \lambda \rangle \alpha } \right] + r \dot { u } _ { \alpha } \rho ^ { \mu \nu \lambda \alpha } - \frac { 3 } { 7 } \nabla ^ { \langle \mu } \left( m ^ { 2 } \rho _ { r - 1 } ^ { \nu \lambda \rangle } - \rho _ { r + 1 } ^ { \nu \lambda \rangle } \right) + } \\ & { + } & { \frac { 3 } { 7 } \left[ r m ^ { 2 } \rho _ { r - 1 } ^ { \langle \mu \nu } - ( r + 7 ) \rho _ { r + 1 } ^ { \langle \mu \nu } \right] \dot { u } ^ { \lambda \rangle } - \Delta _ { \alpha \beta \sigma } ^ { \mu \nu \lambda } \nabla _ { \gamma } \rho _ { r - 1 } ^ { \alpha \beta \sigma \gamma } + ( r - 1 ) \sigma _ { \alpha \beta } \rho _ { r - 2 } ^ { \mu \nu \lambda \alpha \beta } . } \end{array}
= \; \mathrm { T r } ( \gamma _ { \mu } \gamma _ { \alpha } \gamma _ { \nu } \gamma _ { \beta } ) \int _ { x = 0 } ^ { 1 } d x \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { \omega } \Gamma ( 2 ) } \Bigg ( \frac { 1 } { 2 } \delta _ { \alpha \beta } \frac { \Gamma ( 1 - \omega ) } { [ m ^ { 2 } + k ^ { 2 } x ( 1 - x ) ] ^ { 1 - \omega } }
\begin{array} { r l } & { \mathrel { \phantom { = } } \Bigl \langle \Psi _ { \infty } ( \omega ; \vec { r } _ { 1 } , \vec { r } _ { 2 } ) \Big | \mathrm { \small ~ \displaystyle \frac { 1 } { 2 } ~ } \omega ^ { 2 } ( r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } ) \Big | \Psi _ { \infty } ( \omega ; \vec { r } _ { 1 } , \vec { r } _ { 2 } ) \Bigr \rangle } \\ & { = 2 \sum _ { \mathfrak { n } = 1 } ^ { \infty } \nu _ { \mathfrak { n } } v _ { \mathfrak { n } } = \omega \sum _ { \mathfrak { n } = 1 } ^ { \infty } \nu _ { \mathfrak { n } } = \omega \, , } \end{array}
\scriptstyle { \begin{array} { r l } { X } & { { } = R \cos \varphi } \\ { L } & { { } = R \sin \varphi } \\ { R ^ { 2 } } & { { } = X ^ { 2 } + L ^ { 2 } } \\ { \tan \varphi } & { { } = { \frac { L } { X } } } \end{array} }
c _ { n } = { \frac { 1 } { n } } \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { \bar { n } } \left( x - { \frac { 1 } { 2 } } \right) \, \mathrm { { d } } x = { \frac { 1 } { 2 n } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { k | s ( n , k ) | } { ( k + 1 ) ( k + 2 ) } } ,
\begin{array} { r l r } { \sup _ { t \in [ 0 , 1 ] } U ( \psi ( t ) ) - U ( x _ { i _ { 0 } } ) } & { = } & { \max _ { 0 \le j \le k } \sup _ { t \in [ 0 , 1 ] } U ( \phi _ { i _ { j } } ( t ) ) - U ( x _ { i _ { 0 } } ) } \\ & { \le } & { \max _ { 0 \le j \le k } \sup _ { t \in [ 0 , 1 ] } \big \{ U ( \phi _ { i _ { j } } ( t ) ) - U ( x _ { i _ { j } } ) \big \} < H _ { U } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi _ { D S } } & { { } = } & { 1 + \frac { ( \alpha ^ { 2 } - 2 a ^ { 2 } ) \exp { [ \alpha ( x - \beta _ { 1 } t ) - d ] } } { 2 a ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } \cosh { [ \alpha ( x - \beta _ { 1 } t ) + d ] } } , } \\ { \psi _ { B S } } & { { } = } & { \frac { i ( \alpha ^ { 2 } - 2 a ^ { 2 } ) \exp { ( 1 / 2 i \alpha ^ { 2 } t - d ) } } { 2 a ^ { 2 } \alpha \cosh { [ \alpha ( x - \beta _ { 1 } t ) + d ] } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } & { \pi ^ { * } C = \widetilde { C } + \sum _ { i = 1 } ^ { r } m _ { p _ { i } } ( C ) E _ { i } = C ^ { \sharp } + \sum _ { i = 1 } ^ { r } n _ { i } E _ { i } } & & { \Longrightarrow } & & { C ^ { \sharp } = \widetilde { C } + \sum _ { i = 1 } ^ { r } \left( m _ { p _ { i } } ( C ) - n _ { i } \right) E _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { - x } \Big ( 1 + \frac { x } { n } \Big ) ^ { k } } & { = e ^ { - x + ( n - d ) \ln ( 1 - \frac { x } { n } ) } = e ^ { - \frac { d } { n } x + \mathcal { O } ( \frac { x ^ { 2 } } { n } ) + \mathcal { O } ( \frac { x ^ { 3 } } { n ^ { 2 } } ) } } \\ & { = e ^ { - \frac { d x } { n } } \cdot \Big ( 1 + \mathcal { O } \big ( { \textstyle { \frac { x ^ { 2 } } { n } } } \big ) + \mathcal { O } \big ( { \textstyle { \frac { x ^ { 3 } } { n ^ { 2 } } } } \big ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { n + l } } & { = G _ { n } + n ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { l } \int _ { 0 } ^ { \varepsilon n } \int _ { x } ^ { \varepsilon n } f _ { n } ( x , y , W _ { n + i } ) d F _ { n } ( y ) d F _ { n } ( x ) } \\ & { \quad + n \sum _ { i = 1 , j > i } ^ { l } \int _ { 0 } ^ { \varepsilon n } f _ { n } ( x , W _ { n + i } , W _ { n + j } ) d F _ { n } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { \perp } } & { { } = \frac { x _ { c } ^ { 3 } } { Z _ { \perp } \gamma _ { c } } \tau _ { 0 } , } \\ { f _ { L } } & { { } \equiv \int _ { x _ { c } } ^ { \infty } 4 \pi x ^ { 2 } f _ { \mathrm { ~ M ~ J ~ } } ( x ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \ddot { r } } _ { \mathrm { S u n } } } & { { } = G m _ { \mathrm { E a r t h } } r _ { { \mathrm { S u n } } , { \mathrm { E a r t h } } } ^ { - 2 } { \hat { \mathbf { r } } } _ { { \mathrm { S u n } } , { \mathrm { E a r t h } } } + G m _ { \mathrm { M o o n } } r _ { { \mathrm { S u n } } , { \mathrm { M o o n } } } ^ { - 2 } { \hat { \mathbf { r } } } _ { { \mathrm { S u n } } , { \mathrm { M o o n } } } } \\ { \mathbf { \ddot { r } } _ { \mathrm { E a r t h } } } & { { } = G m _ { \mathrm { S u n } } r _ { { \mathrm { E a r t h } } , { \mathrm { S u n } } } ^ { - 2 } { \hat { \mathbf { r } } } _ { { \mathrm { E a r t h } } , { \mathrm { S u n } } } + G m _ { \mathrm { M o o n } } r _ { { \mathrm { E a r t h } } , { \mathrm { M o o n } } } ^ { - 2 } { \hat { \mathbf { r } } } _ { { \mathrm { E a r t h } } , { \mathrm { M o o n } } } } \\ { \mathbf { \ddot { r } } _ { \mathrm { M o o n } } } & { { } = G m _ { \mathrm { S u n } } r _ { { \mathrm { M o o n } } , { \mathrm { S u n } } } ^ { - 2 } { \hat { \mathbf { r } } } _ { { \mathrm { M o o n } } , { \mathrm { S u n } } } + G m _ { \mathrm { E a r t h } } r _ { { \mathrm { M o o n } } , { \mathrm { E a r t h } } } ^ { - 2 } { \hat { \mathbf { r } } } _ { { \mathrm { M o o n } } , { \mathrm { E a r t h } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { \bar { x } } ^ { { t _ { 1 } } } [ k , l ] \! = } & { \sqrt { { P _ { s } } } \sum _ { \omega = 1 } ^ { P _ { s \bar { x } } ^ { { t _ { 1 } } } } { \tilde { h } _ { s \bar { x } } ^ { { t _ { 1 } } , \omega } } } \\ & { \times \big \{ \sqrt { { \alpha _ { c } } } { x _ { c } } \big [ { \big ( k - k _ { s \bar { x } } ^ { { t _ { 1 } } , \omega } \big ) _ { N } } , { \big ( l - l _ { s \bar { x } } ^ { { t _ { 1 } } , \omega } \big ) _ { M } } \big ] } \\ & { + \sqrt { { \alpha _ { e } } } { x _ { e } } \big [ { \big ( k - k _ { s \bar { x } } ^ { { t _ { 1 } } , \omega } \big ) _ { N } } , { \big ( l - l _ { s \bar { x } } ^ { { t _ { 1 } } , \omega } \big ) _ { M } } \big ] \big \} + w _ { \bar { x } } ^ { { t _ { 1 } } } [ k , l ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } { \operatorname { d i v } \left( \frac { Z } { X } \right) } & { = 2 H ^ { \prime } + 2 \Omega _ { 2 } + 2 O ^ { \prime } + 2 \Omega _ { 1 } ) - ( H + H ^ { \prime } + 2 \Omega _ { 1 } + O + O ^ { \prime } + 2 \Omega _ { 2 } ) } \\ & { = H ^ { \prime } + O ^ { \prime } - H - O , } \end{array} } \\ & { \begin{array} { r l } { \operatorname { d i v } \left( \frac { ( X + Z ) ( Y + Z ) } { X Y } \right) } & { = ( 2 H ^ { \prime } + 2 \Omega _ { 2 } + 2 O ^ { \prime } + 2 \Omega _ { 1 } ) - ( H + H ^ { \prime } + 2 \Omega _ { 1 } + O + O ^ { \prime } + 2 \Omega _ { 2 } ) = } \\ & { = H ^ { \prime } + O ^ { \prime } - H - O , } \end{array} } \\ & { \begin{array} { r l } { \operatorname { d i v } \left( \frac { ( X - Z ) ( Y + Z ) } { X Y } \right) } & { = ( 2 H + 2 \Omega _ { 2 } + 2 O ^ { \prime } + 2 \Omega _ { 1 } ) - ( H + H ^ { \prime } + 2 \Omega _ { 1 } + O + O ^ { \prime } + 2 \Omega _ { 2 } ) = } \\ & { = H + O ^ { \prime } - H ^ { \prime } - O , } \end{array} } \\ & { \begin{array} { r l } { \operatorname { d i v } \left( \frac { ( Y + b Z ) \cdot X } { ( X - a Z ) \cdot ( Y - Z ) } \right) } & { = ( R + R ^ { \prime } + 2 \Omega _ { 1 } + O + O ^ { \prime } + 2 \Omega _ { 2 } ) - ( P + R + 2 \Omega _ { 2 } + 2 O + 2 \Omega _ { 1 } ) = } \\ & { = R ^ { \prime } + O ^ { \prime } - P - O . } \end{array} } \end{array}
{ \frac { 2 } { g } } \, Q _ { e } = n _ { e } - { \frac { 4 } { \pi } } \, n _ { m } \arg a + { \frac { n _ { m } } { 2 \pi } } \, \sum _ { f = 1 } ^ { N _ { f } } \arg ( m _ { f } ^ { 2 } - 2 a ^ { 2 } ) .
V ( \rho ) = N h \left[ \frac { 2 h ^ { 2 } } { 3 \pi } + { \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 \lambda } } + { \frac { 1 } { 4 \pi } } \rho ^ { 2 } \left( \ln { \frac { \rho ^ { 2 } } { 1 6 h ^ { 2 } } } - { \frac { 4 } { \sqrt { \pi } } } + 3 \right) \right] + O ( 1 ) ,
\begin{array} { r l } { \textbf { S o l - 1 : } \quad } & { a _ { 1 1 } = a _ { 1 2 } = a _ { 2 1 } = 0 , \quad a _ { 2 2 } = 1 , } \\ { \textbf { S o l - 2 : } \quad } & { a _ { 1 1 } = a _ { 2 1 } = a _ { 2 2 } = 0 , \quad a _ { 1 2 } = 1 , } \\ { \textbf { S o l - 3 : } \quad } & { a _ { 1 1 } = - \frac { 1 } { 3 } , \quad a _ { 1 2 } = 1 , \quad a _ { 2 1 } = \frac { 1 } { 3 } , \quad a _ { 2 2 } = 0 , } \\ { \textbf { S o l - 4 : } \quad } & { a _ { 1 1 } = \frac { 1 } { 3 } , \quad a _ { 1 2 } = 0 , \quad a _ { 2 1 } = - \frac { 1 } { 3 } , \quad a _ { 2 2 } = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { n + m } } & { = \operatorname* { s u p } _ { x \in X ^ { + } , \; \| x \| _ { X } = 1 } \| A ^ { m } ( A ^ { n } ( x ) ) \| _ { X } = \operatorname* { s u p } _ { x \in X ^ { + } , \; \| x \| _ { X } = 1 } \| A ^ { n } ( x ) \| _ { X } \Bigl \| A ^ { m } \Bigl ( \frac { A ^ { n } ( x ) } { \| A ^ { n } ( x ) \| _ { X } } \Bigr ) \Bigr \| _ { X } } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { x \in X ^ { + } , \; \| x \| _ { X } = 1 } \| A ^ { n } ( x ) \| _ { X } \cdot \operatorname* { s u p } _ { x \in X ^ { + } , \; \| x \| _ { X } = 1 } \| A ^ { m } ( x ) \| _ { X } = a _ { n } \cdot a _ { m } . } \end{array}
V _ { t } ( m _ { t } ) - \hat { V } _ { t } ( \hat { \sigma } _ { t } ( m _ { t } ) ) = | \operatorname* { m i n } _ { u _ { t } \in \mathcal { U } _ { t } } Q _ { t } ( m _ { t } , u _ { t } ) - \operatorname* { m i n } _ { u _ { t } \in \mathcal { U } _ { t } } \hat { Q } _ { t } ( \hat { \sigma } _ { t } ( m _ { t } ) , u _ { t } ) | \leq \operatorname* { m a x } _ { u _ { t } \in \mathcal { U } _ { t } } | Q _ { t } ( m _ { t } , u _ { t } ) - \hat { Q } _ { t } ( \hat { \sigma } _ { t } ( m _ { t } ) , u _ { t } ) | \leq \alpha _ { t }
\mathcal { N } ( \mathcal { H _ { \sigma } } ( L , N , B , F ) , \epsilon ) = \operatorname* { i n f } \left\{ m \ge 1 : \exists h _ { 1 } , . . . , h _ { n } \in \mathcal { H _ { \sigma } } ( L , N , B , F ) \; \mathrm { s u c h ~ t h a t } \; \mathcal { H _ { \sigma } } ( L , N , B , F ) \subset \bigcup _ { i = 1 } ^ { m } B ( h _ { i } , \epsilon ) \right\}