harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \sinh ^ { 4 } } { \mu ^ { 2 } } \dot { \mathcal { E } } ( t ) } & { = \frac { 2 \sinh \cosh } { \sqrt { \mu } } \left( f ( X ) - f \left( x ^ { T } \right) \right) - \sqrt { \mu } \coth \left\Vert X - x ^ { T } \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \quad + \sqrt { \mu } \coth \cosh ^ { 2 } \left( \left\Vert X - x ^ { T } \right\Vert ^ { 2 } + \frac { \operatorname { t a n h } ^ { 2 } } { \mu } \left\Vert \dot { X } \right\Vert ^ { 2 } + \frac { 2 \operatorname { t a n h } } { \sqrt { \mu } } \left\langle X - x ^ { T } , \dot { X } \right\rangle \right) } \\ & { \quad - \frac { \sinh \cosh } { \sqrt { \mu } } \left( f ( X ) - f \left( x ^ { T } \right) \right) + \frac { \sinh ^ { 2 } } { \mu } \left\langle \nabla f ( X ) , \dot { X } \right\rangle - \left\langle X - x ^ { T } , \dot { X } \right\rangle } \\ & { \quad - \frac { \sqrt { \mu } \sinh \cosh } { 2 } \left( \left\Vert X - x ^ { T } \right\Vert ^ { 2 } + \frac { \operatorname { t a n h } ^ { 2 } } { \mu } \left\Vert \dot { X } \right\Vert ^ { 2 } + \frac { 2 \operatorname { t a n h } } { \sqrt { \mu } } \left\langle X - x ^ { T } , \dot { X } \right\rangle \right) } \\ & { \quad - \cosh ^ { 2 } \bigg ( \left\langle X - x ^ { T } , \dot { X } \right\rangle + \frac { \operatorname { t a n h } } { \sqrt { \mu } } \left\Vert \dot { X } \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \qquad \quad + \frac { \operatorname { t a n h } } { \sqrt { \mu } } \left\langle X - x ^ { T } , \nabla f ( X ) \right\rangle + \frac { \operatorname { t a n h } ^ { 2 } } { \mu } \left\langle \dot { X } , \nabla f ( X ) \right\rangle \bigg ) } \\ & { = \left( \frac { 2 \sinh \cosh } { \sqrt { \mu } } - \frac { \sinh \cosh } { \sqrt { \mu } } \right) \left( f ( X ) - f \left( x ^ { T } \right) \right) } \\ & { \quad + \left( - \sqrt { \mu } \coth + \sqrt { \mu } \coth \cosh ^ { 2 } - \frac { \sqrt { \mu } \sinh \cosh } { 2 } \right) \left\Vert X - x ^ { T } \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \quad + \left( \frac { \sinh \cosh } { \sqrt { \mu } } - \frac { \sinh ^ { 2 } \operatorname { t a n h } } { 2 \sqrt { \mu } } - \frac { \sinh \cosh } { \sqrt { \mu } } \right) \left\Vert \dot { X } \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \quad + \left( 2 \cosh ^ { 2 } - 1 - \sinh ^ { 2 } - \cosh ^ { 2 } \right) \left\langle X - x ^ { T } , \dot { X } \right\rangle } \\ & { \quad + \left( \frac { \sinh ^ { 2 } } { \mu } - \frac { \sinh ^ { 2 } } { \mu } \right) \left\langle \nabla f ( X ) , \dot { X } \right\rangle } \\ & { \quad - \frac { \sinh \cosh } { \sqrt { \mu } } \left\langle X - x ^ { T } , \nabla f ( X ) \right\rangle } \\ & { = \frac { \sinh \cosh } { \sqrt { \mu } } \left( f ( X ) - f \left( x ^ { T } \right) \right) } \\ & { \quad + \frac { \sqrt { \mu } \sinh \cosh } { 2 } \left\Vert X - x ^ { T } \right\Vert ^ { 2 } - \frac { \sinh ^ { 2 } \operatorname { t a n h } } { 2 \sqrt { \mu } } \left\Vert \dot { X } \right\Vert ^ { 2 } - \frac { \sinh \cosh } { \sqrt { \mu } } \left\langle X - x ^ { T } , \nabla f ( X ) \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \| \nabla F ( x _ { t } ) \| \leq \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \big [ \| w _ { t } - \nabla F ( x _ { t } ) \| + \frac { 1 } { \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| \big ] \leq \frac { \sqrt { 2 \breve { M } } m ^ { 1 / 6 } } { \sqrt { T } } + \frac { \sqrt { 2 \breve { M } } } { T ^ { 1 / 3 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho _ { 1 } = \, ( 1 - \eta ) \frac { I } { \bar { n } } \otimes \frac { I } { \bar { n } } \otimes \left( U | 0 \rangle \langle 0 | U ^ { \dag } \right) + \, \eta \, { \bf U } | 0 0 0 \rangle \langle 0 0 0 | { \bf U } ^ { \dag } . } \end{array}
\displaystyle \left\{ \begin{array} { l l l l l l l l l } { \mathbb { D } _ { T } ^ { \gamma } \phi ^ { i , \tau } + \displaystyle { \mathcal D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } \, ( \beta ^ { i } \, { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i , \tau } ) + q \, \phi ^ { i , \tau } } & { = } & { y ^ { i , \tau } ( u ^ { \tau } , 0 ) - y ^ { i } ( 0 , 0 ) } & { \mathrm { ~ i n ~ } } & { Q _ { i } , i = 1 , \dots , N } \\ { \displaystyle ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \phi ^ { i , \tau } ) ( \cdot , a ^ { + } ) - ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \phi ^ { j , \tau } ) ( \cdot , a ^ { + } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } } & { ( 0 , T ) , i , j = 1 , \dots , N } \\ { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta ^ { i } ( a ) { \mathbb D } _ { a } ^ { \alpha } \phi ^ { i , \tau } ( \cdot , a ^ { + } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \phi ^ { i , \tau } ( \cdot , b _ { i } ^ { - } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = 1 , \dots , m } \\ { \displaystyle ( \beta ^ { i } { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i , \tau } ) ( \cdot , b _ { i } ^ { - } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } } & { ( 0 , T ) , i = m + 1 , \cdots , N } \\ { I _ { T } ^ { 1 - \gamma } \phi ^ { i , \tau } ( T , \cdot ; u ^ { \tau } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } } & { ( a , b _ { i } ) , i = 1 , \cdots , N . } \end{array} \right.
\vert \phi _ { I } \rangle = A ( I ) ( \vec { c } ^ { \; \dagger 2 } ) ^ { k } \; Y _ { I 0 } \left( \frac { \vec { c } ^ { \; \dagger } } { \sqrt { \vec { c } ^ { \; \dagger 2 } } } \right) \vert 0 \rangle ,
\begin{array} { r l r } { h _ { \eta } } & { { } = } & { L \sqrt { ( \eta _ { 0 } ^ { 2 } - \xi _ { 0 } ^ { 2 } ) / ( \eta _ { 0 } ^ { 2 } - 1 ) } } \\ { h _ { \xi } } & { { } = } & { L \sqrt { ( \eta _ { 0 } ^ { 2 } - \xi _ { 0 } ^ { 2 } ) / ( 1 - \xi _ { 0 } ^ { 2 } ) } . } \end{array}
2 \varepsilon \left( \sqrt { q ( t ) } + 4 \pi \| v _ { * } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } t \right) \leq ( C \varepsilon ^ { 3 / 2 } + 4 \pi \| v _ { * } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \varepsilon ) t \leq 2 \varepsilon C ^ { 2 } t
\begin{array} { r } { \hat { { \mathbf { q } } } _ { m } ^ { \left( k \right) } = \sum _ { j = 0 } ^ { N _ { \mathrm { F F T } } - 1 } { \mathbf { q } } ^ { \left( k \right) } \left( t _ { j + 1 } \right) \exp \left( - \frac { i 2 \pi j m } { N _ { \mathrm { F F T } } } \right) , } \\ { m = - \frac { N _ { \mathrm { F F T } } } { 2 } + 1 , \dots , \frac { N _ { \mathrm { F F T } } } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho ^ { 5 / 3 } \approx \rho _ { 0 } ^ { 5 / 3 } + \frac { 5 } { 3 } \rho _ { 0 } ^ { 2 / 3 } \rho _ { 1 } + \frac { 5 } { 9 } \rho _ { 0 } ^ { - 1 / 3 } \rho _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 5 } { 3 } \rho _ { 0 } ^ { 2 / 3 } \rho _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \operatorname { c u r l } \mathbf { A } ) _ { \phi } } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { S ^ { \perp { \boldsymbol { \hat { \phi } } } } \to 0 } { \frac { \int _ { \partial S } \mathbf { A } \cdot d \mathbf { \ell } } { \iint _ { S } d S } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } : = } & { 2 k _ { 1 } + \sigma _ { x } + \lambda _ { 1 } + b _ { x } h + \beta _ { x } , } \\ { A _ { 2 } : = } & { \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } b _ { y } + \sigma _ { y } + \beta _ { y } + b _ { y } h , } \\ { A _ { 3 } : = } & { \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 4 } + ( 1 + \lambda _ { 2 } ^ { - 1 } + \frac { 1 } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } \int _ { E } \gamma ^ { 2 } ( e ) \lambda ( d e ) \lambda _ { 3 } ^ { - 1 } ) f _ { z } \Delta t _ { n } , } \\ { A _ { 4 } : = } & { \lambda _ { 3 } + K _ { \gamma } ^ { 2 } \lambda _ { 5 } + ( 1 + \lambda _ { 2 } ^ { - 1 } + \frac { 1 } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } \int _ { E } \gamma ^ { 2 } ( e ) \lambda ( d e ) \lambda _ { 3 } ^ { - 1 } ) f _ { \Gamma } \Delta t _ { n } , } \\ { A _ { 5 } : = } & { 1 + 2 k _ { 2 } + \lambda _ { 4 } ^ { - 1 } f _ { z } + \lambda _ { 5 } ^ { - 1 } f _ { \Gamma } + ( 1 + \lambda _ { 2 } ^ { - 1 } + \frac { 1 } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } \int _ { E } \gamma ^ { 2 } ( e ) \lambda ( d e ) \lambda _ { 3 } ^ { - 1 } ) f _ { y } h , } \\ { A _ { 6 } : = } & { f _ { x } + \left( 1 + \lambda _ { 2 } ^ { - 1 } + \frac { \lambda _ { 3 } ^ { - 1 } } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } \int _ { E } \gamma ^ { 2 } ( e ) \lambda ( d e ) \right) f _ { x } h . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ u _ { 0 } , u _ { 1 } , u _ { 2 } ] } & { = u _ { 0 } + \cfrac { 1 } { u _ { 1 } + \frac { 1 } { u _ { 2 } } } } \\ & { = u _ { 0 } + \frac { u _ { 1 } ^ { - 1 } } { 1 + ( u _ { 1 } u _ { 2 } ) ^ { - 1 } } } \\ & { = u _ { 0 } + u _ { 1 } ^ { - 1 } + u _ { 1 } ^ { - 2 } u _ { 2 } ^ { - 1 } + u _ { 1 } ^ { - 3 } u _ { 2 } ^ { - 2 } + \cdots } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\Vert \mathbf { x } _ { - 1 } \right\Vert ^ { 2 } = \left\Vert H _ { 0 } \right\Vert = \mathcal { O } \left( n ^ { 2 } \right) , \ \left\Vert \nabla F ( \mathbf { x } _ { - 1 } ) \right\Vert ^ { 2 } = \mathcal { O } \left( n ^ { 2 } \right) , \ 1 / ( 1 - \lambda _ { 2 } ) = \mathcal { O } \left( n ^ { q } \right) . } \end{array}
- i \, \alpha \int \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, \frac { 4 \pi } { q ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } } \, \frac { \! \! - 4 \pi Z \alpha } { ~ { \bf k } ^ { 2 } } \, \frac { { \mathrm T r } ( { \cal N } \wp ) } { \cal D } ~ ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial z } u _ { m } ( \tau , z ) } & { { } = - \frac { \mathrm { i } } { 2 } \beta _ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } u _ { m } ( \tau , z ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { 1 } } & { = [ \operatorname { A P C } ] , } \\ { y _ { 2 } } & { = [ \operatorname { L C } ] + [ \operatorname { V a } ] + [ \operatorname { V a } _ { 3 } ] + [ \operatorname { V a } _ { 3 6 } ] + [ \operatorname { V a } _ { 5 } ] + [ \operatorname { V a } _ { 5 3 } ] + [ \operatorname { V a } _ { 5 3 6 } ] + [ \operatorname { V a } _ { 5 6 } ] + [ \operatorname { V a } _ { \operatorname { L C } \cdot A _ { 1 } } ] , } \\ { y _ { 3 } } & { = [ \operatorname { L C } \cdot \operatorname { A P C } ] + [ \operatorname { V a } \cdot \operatorname { A P C } ] + [ \operatorname { V a } _ { 3 } \cdot \operatorname { A P C } ] + [ \operatorname { V a } _ { 3 6 } \cdot \operatorname { A P C } ] + [ \operatorname { V a } _ { 5 } \cdot \operatorname { A P C } ] } \\ & { + [ \operatorname { V a } _ { 5 3 } \cdot \operatorname { A P C } ] + [ \operatorname { V a } _ { 5 3 6 } \cdot \operatorname { A P C } ] + [ \operatorname { V a } _ { 5 6 } \cdot \operatorname { A P C } ] + [ \operatorname { V a } _ { \operatorname { L C } \cdot A _ { 1 } } \cdot \operatorname { A P C } ] . } \end{array}
c \frac { d } { d t } \left( ( 1 - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } | \frac { d { \bf x } _ { 1 } } { d t } | ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } \right) = \frac { 1 } { c } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \frac { d x _ { 1 } ^ { i } } { d t } \frac { d } { d t } \left( ( 1 - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } | \frac { d { \bf x } _ { 1 } } { d t } | ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } \frac { d x _ { 1 } ^ { i } } { d t } \right) .
\left. + 4 \int _ { 0 } ^ { \infty } d u \frac { s \left( x _ { 1 } \not e \left( \not k - \not k _ { 2 } \right) - x _ { 2 } \left( \not k + \not q \right) \not e \right) } { \left[ ( k + p + u p _ { 2 } ) ^ { 2 } - y _ { 3 } ( 1 - y _ { 3 } ) b ^ { 2 } - s u \left( ( 1 - y _ { 3 } ) y _ { 1 } x _ { 1 } - y _ { 2 } y _ { 3 } x _ { 2 } \right) + i \delta \right] ^ { 5 } } \right\} \frac { \not p _ { 2 } } { s } v _ { 2 } ~ ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } H _ { 4 , i } ^ { \prime } } & { = 2 5 \left( \frac { 8 k } { \beta n ( p - q ) } \right) ^ { 2 } \frac { k } { \beta n } \mathbb { E } \left( \sum _ { j \in S } A _ { i j } \right) ^ { 2 } \leq 2 \frac { 4 0 ^ { 2 } k ^ { 3 } p ^ { 2 } } { \beta ^ { 3 } n ( p - q ) ^ { 2 } } \exp \left( - 1 2 8 n p \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \varepsilon _ { V } , \varepsilon _ { V P } , \varepsilon _ { P } } \left( \frac { \lambda _ { V } } { \varepsilon _ { V } } + \frac { \lambda _ { V P } } { \varepsilon _ { V P } } + \frac { \lambda _ { P } } { \varepsilon _ { P } } \right) } \\ { \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } \quad ( 1 + \lambda _ { P } ) \varepsilon _ { V } + \varepsilon _ { V P } + \lambda _ { V } \varepsilon _ { P } = \varepsilon _ { \mathrm { t a r g } } \, . } \end{array}
--- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- \operatorname * { l i m } _ { N \to \infty } \frac { 1 } { N ^ { 1 + n / 2 } } \langle t r ( M ( x _ { n } ) . . . M ( x _ { 1 } ) ) \rangle = < \Phi ( x _ { n } ) . . . \Phi ( x _ { 1 } ) > .
\begin{array} { r l } { f ( 0 ) } & { = \sqrt { ( L + 2 \varepsilon ) ^ { 2 } - \operatorname* { m a x } ( 0 , L - 2 \varepsilon ) ^ { 2 } } + \sqrt { ( L + \varepsilon ) ^ { 2 } - L ^ { 2 } } - \varepsilon } \\ & { = \sqrt { 8 L \varepsilon } + \sqrt { 2 L \varepsilon + \varepsilon ^ { 2 } } - \varepsilon } \\ & { \leq ( \sqrt { 8 } + \sqrt { 3 } ) \sqrt { L \varepsilon } - \varepsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { { \sigma } _ { 3 } = ( s _ { 3 } ^ { ( a ) } , s _ { 3 } ^ { ( b ) } ) } \gamma ^ { - l _ { 3 } / 4 } = \sum _ { { \sigma } _ { 3 } = ( s _ { 3 } ^ { ( a ) } , s _ { 3 } ^ { ( b ) } ) } \gamma ^ { - ( l _ { 3 } - l _ { 1 } ) / 4 } \gamma ^ { - l _ { 1 } / 4 } } \\ & { } & { \le \sum _ { s _ { 3 } ^ { ( a ) } \ge s _ { 1 } ^ { ( a ) } } \gamma ^ { - ( s _ { 3 } ^ { ( a ) } - s _ { 1 } ^ { ( a ) } ) / 2 } \sum _ { s _ { 3 } ^ { ( b ) } \ge s _ { 1 } ^ { ( b ) } } \gamma ^ { - ( s _ { 3 } ^ { ( b ) } - s _ { 1 } ^ { ( b ) } ) / 2 } \gamma ^ { - l _ { 1 } / 4 } \le K _ { 1 } \cdot \gamma ^ { - l _ { 1 } / 4 } \ , } \end{array}
y = \frac { 1 } { h } \big ( \hat { \eta } _ { \boldsymbol 0 } ^ { \mathrm { s } } - \hat { \eta } _ { \boldsymbol 0 } ^ { \mathrm { b } } \big ) \beta + \hat { \eta } _ { \boldsymbol 0 } ^ { \mathrm { s } } + \sum _ { \boldsymbol j \neq \boldsymbol 0 } \frac { \sinh \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle ( \beta + h ) \big ) } { \sinh \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle h \big ) } \hat { \eta } _ { \boldsymbol j } ^ { \mathrm { s } } e ^ { i \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle \alpha } - \sum _ { \boldsymbol j \neq \boldsymbol 0 } \frac { \sinh \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle \beta \big ) } { \sinh \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle h \big ) } \hat { \eta } _ { \boldsymbol j } ^ { \mathrm { b } } e ^ { i \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle \alpha } .
\Delta _ { 4 } ^ { S U S Y } = { \bf D } _ { \alpha \dot { \alpha } } { \bf D } ^ { \alpha \dot { \alpha } } + \frac { \imath } { 3 } \left( \nabla _ { \alpha } T _ { \dot { \alpha } } + \nabla _ { \dot { \alpha } } T _ { \alpha } \right) { \bf D } ^ { \alpha \dot { \alpha } }
\begin{array} { r l } & { ( \Gamma \circ w ) ( z , t ) = \frac { d } { d t } ( \Omega \circ w ) } \\ & { \qquad + 2 \, \mathrm { R e } \left[ \frac { ( \partial _ { z } h _ { t } [ w , \dot { \mu } ] ) \overline { { \partial _ { z } w } } } { | \partial _ { z } w | ^ { 2 } } \right] + 2 \, \mathrm { R e } \left[ \frac { \dot { \mu } \, \bar { \mu } } { 1 - | \mu | ^ { 2 } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | T | } & { \leq } & { 2 A u ( s _ { 0 } ) C [ 3 b _ { 2 } ( \delta ) u ( s _ { 0 } ) + \cdots + N b _ { N - 1 } ( \delta ) u ( s _ { 0 } ) ^ { N - 2 } + u ( s _ { 0 } ) ^ { N - 1 } N ( 2 + 2 c ) l _ { \delta } ( 0 , 0 ) ] } \\ & { \leq } & { 4 A C N u ( s _ { 0 } ) [ b _ { 2 } ( \delta ) u ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } + \cdots + b _ { N - 1 } ( \delta ) u ( s _ { 0 } ) ^ { N - 1 } + u ( s _ { 0 } ) ^ { N } ( 1 + c ) l _ { \delta } ( 0 , 0 ) ] } \\ & { \leq } & { D u ( s ) [ b _ { 2 } ( \delta ) u ( s ) ^ { 2 } + \cdots + b _ { N - 1 } ( \delta ) u ( s ) ^ { N - 1 } + u ( s ) ^ { N } ( 1 + c ) l _ { \delta } ( 0 , 0 ) ] . } \end{array}
{ \bf K } _ { 1 x } ^ { 2 } = - t { \bf K } _ { 1 y } ^ { 2 } \qquad { \bf K } _ { 1 x } ^ { 3 } = - t { \bf K } _ { 1 y } ^ { 3 } \qquad { \bf K } _ { 1 x } ^ { 4 } = - t { \bf K } _ { 1 y } ^ { 4 } .
\hat { w } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , z , \mathbf { x } , t ) = \hat { w } _ { + } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , z ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } ) } + \hat { w } _ { - } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , z ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r l r l r l } { x _ { 0 } } & { { } = 1 } & { } & { { } } & { f ( x _ { 0 } ) } & { { } = 1 } \\ { x _ { 1 } } & { { } = 2 } & { } & { { } } & { f ( x _ { 1 } ) } & { { } = 4 } \\ { x _ { 2 } } & { { } = 3 } & { } & { { } } & { f ( x _ { 2 } ) } & { { } = 9 . } \end{array}
R _ { n } ( \Delta ; \varepsilon ) : = - \int _ { z _ { 1 } ( \Delta ) } ^ { z _ { 2 } ( \Delta ) } \frac { \sqrt { f _ { \Delta } ( z ) } ( \sqrt { 2 ( 2 - \varepsilon ^ { 2 } f _ { \Delta } ( z ) ) } - 1 ) z ^ { n } } { \sqrt { 2 ( 2 - \varepsilon ^ { 2 } f _ { \Delta } ( z ) } ( \sqrt { 2 - \varepsilon ^ { 2 } f _ { \Delta } ( z ) } + \sqrt 2 ) } \, d z .
\begin{array} { r l r } { I _ { 1 } v ( t ) } & { = } & { \rho _ { 1 } \circ v ^ { - } ( t ) } \\ & { = } & { \rho _ { 1 } \circ v ( - t ) } \\ & { = } & { \rho _ { 1 } \circ \Big ( \big ( \frac { 1 } { 2 } \big ) _ { * } v \Big ) \big ( - t - \frac { 1 } { 2 } \big ) } \\ & { = } & { \rho _ { 1 } \circ \Big ( \big ( \frac { 1 } { 2 } \big ) _ { * } v \Big ) ^ { - } \big ( t + \frac { 1 } { 2 } \big ) } \\ & { = } & { I _ { 1 } \Big ( \big ( \frac { 1 } { 2 } \big ) _ { * } v \Big ) \big ( t + \frac { 1 } { 2 } \big ) } \\ & { = } & { \Big ( \big ( \frac { 1 } { 2 } \big ) _ { * } v \Big ) \big ( t + \frac { 1 } { 2 } \big ) } \\ & { = } & { v \big ( t + 1 ) } \\ & { = } & { v ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \varepsilon _ { k } ( \mathcal { A } , \mathcal { P } , \mathcal { K } ) = \mathbb { E } _ { s \sim \mathcal { P } , \mathcal { D } \sim \mathcal { P } ^ { n } , \mathcal { A } } [ \mathcal { A } ( \mathcal { D } ) ^ { \top } s ] - \operatorname* { i n f } _ { x \in \mathcal { K } } \mathbb { E } _ { s \sim \mathcal { P } } [ x ^ { \top } s ] . } \end{array}
\mathrm { X } \left( { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { i \theta } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - i \theta } } \end{array} \right) } \right) ( e ^ { i \theta } - e ^ { - i \theta } ) = \left( e ^ { i ( m + 1 ) \theta } + e ^ { i ( m - 1 ) \theta } + \cdots + e ^ { - i ( m - 1 ) \theta } \right) - \left( e ^ { i ( m - 1 ) \theta } + \cdots + e ^ { - i ( m - 1 ) \theta } + e ^ { - i ( m + 1 ) \theta } \right) .
\begin{array} { r l } { g ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } \partial _ { \beta } g _ { \mu \nu } = F _ { \mu \nu } ( g ) ( \partial g , \partial } & { g ) + \partial _ { \mu } \phi \, \partial _ { \nu } \phi + \frac 1 2 g _ { \mu \nu } \phi ^ { 2 } , } \\ { g ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } \partial _ { \beta } \phi - \phi } & { = 0 . } \end{array}
\frac { D { \bf v } } { D t } + \frac { 1 } { \rho _ { \star } } \nabla p ^ { \prime } = - \frac { \rho ^ { \prime } g } { \rho _ { \star } } { \bf k } + + \nu \nabla ^ { 2 } { \bf v } , \qquad \nabla \cdot { \bf v } = 0 ,
\langle X \ell \, \bar { \nu } _ { \ell } | \, O _ { \ell } \, | B \rangle = \langle X | \, \bar { q } \, \gamma ^ { \mu } P _ { L } \, b \, | B \rangle \, \langle \ell \, \bar { \nu } _ { \ell } | \, \bar { \ell } \, \gamma _ { \mu } P _ { L } \, \nu _ { \ell } \, | 0 \rangle \, ,
\left( \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \partial \Delta t } M _ { T } + \kappa _ { \perp } L } & & { \sqrt { \kappa _ { \Delta } } G _ { b } ^ { T } } \\ { - \sqrt { \kappa _ { \Delta } } G _ { b } } & & { M _ { \zeta } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { T ^ { n + 1 } } \\ { \zeta ^ { n + 1 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { F _ { T } } \\ { F _ { \zeta } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { { V a r } _ { B , C } \Big [ p ( a | b , c ) \Big ] } & { = } & { { E } _ { B ^ { \prime } } \Bigg [ { V a r } _ { C } \Big [ p ( a | b ^ { \prime } , c ) \Big | b ^ { \prime } \Big ] \Bigg ] + { V a r } _ { B ^ { \prime } } \Big [ p ( a | b ^ { \prime } ) \Big ] } \\ & { = } & { { E } _ { B } \Bigg [ { V a r } _ { C } \Big [ p ( a | b , c ) \Big | b \Big ] \Bigg ] + { V a r } _ { B } \Big [ p ( a | b ) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { J _ { 2 } } & { = } & { \int _ { \Pi } \frac { f ( 0 , v ) } { | 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i v } | ^ { 2 } } \big ( 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i [ \lambda ^ { \gamma } x _ { 2 } ] v } - \mathrm e ^ { - \mathrm i [ \lambda ^ { \gamma } y _ { 2 } ] v } + \mathrm e ^ { \mathrm i ( [ \lambda ^ { \gamma } x _ { 2 } ] - [ \lambda ^ { \gamma } y _ { 2 } ] ) v } \big ) \mathrm d v } \\ & { \to } & { \int _ { \Pi } \frac { f ( 0 , v ) } { | 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i v } | ^ { 2 } } \mathrm d v \times \left\{ \begin{array} { l l } { 2 , } & { x _ { 2 } = y _ { 2 } , } \\ { 1 , } & { x _ { 2 } \ne y _ { 2 } , } \end{array} \right. } \end{array}
\{ e _ { 1 } \} = S t _ { h _ { 1 } } ( v _ { 1 } ) \cap S t _ { h _ { 1 } } ( v _ { 3 } ) , \{ e _ { 2 } \} = S t _ { h _ { 1 } } ( v _ { 2 } ) \cap S t _ { h _ { 1 } } ( v _ { 4 } ) , \{ f _ { 1 } \} = S t _ { h _ { 2 } } ( w _ { 1 } ) \cap S t _ { h _ { 2 } } ( w _ { 3 } ) , \{ f _ { 2 } \} = S t _ { h _ { 2 } } ( w _ { 2 } ) \cap S t _ { h _ { 2 } } ( w _ { 4 } )
\begin{array} { r l r } { T _ { 1 } } & { = } & { \frac { 1 } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l - 1 } ) } \left\{ \frac { 1 } { 2 } g _ { k } ( X _ { k } ^ { i , l } ) + \frac { 1 } { 2 } g _ { k } ( X _ { k } ^ { i , l , a } ) - g _ { k } ( X _ { k } ^ { i , l - 1 } ) \right\} } \\ { T _ { 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 [ \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l } ) ] [ \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l - 1 } ) ] } \left( g _ { k } ( X _ { k } ^ { i , l } ) - g _ { k } ( X _ { k } ^ { i , l , a } ) \right) \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } [ g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l - 1 } ) - g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l } ) ] \right) } \\ { T _ { 3 } } & { = } & { \frac { g _ { k } ( X _ { k } ^ { i , l , a } ) } { 2 [ \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l , a } ) ] [ \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l } ) ] [ \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l - 1 } ) ] } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } [ g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l , a } ) - g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l } ) ] \right) \times } \\ & { } & { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } [ g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l - 1 } ) - g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l } ) ] \right) } \\ { T _ { 4 } } & { = } & { - \frac { g _ { k } ( X _ { k } ^ { i , l , a } ) } { [ \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l , a } ) ] [ \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l - 1 } ) ] } \left\{ \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } [ \frac { 1 } { 2 } g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l } ) + \frac { 1 } { 2 } g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l , a } ) - g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l - 1 } ) ] . \right\} } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \gamma ( v ^ { \prime } ) \gamma ( v ) - v \delta ( v ^ { \prime } ) \gamma ( v ) } & { = - v ^ { \prime } \gamma ( v ^ { \prime } ) \delta ( v ) + \gamma ( v ^ { \prime } ) \gamma ( v ) } \\ { v \delta ( v ^ { \prime } ) \gamma ( v ) } & { = v ^ { \prime } \gamma ( v ^ { \prime } ) \delta ( v ) } \\ { { \frac { \delta ( v ) } { v \gamma ( v ) } } } & { = { \frac { \delta ( v ^ { \prime } ) } { v ^ { \prime } \gamma ( v ^ { \prime } ) } } . } \end{array} }
\operatorname * { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } f ( \varepsilon ) \left\{ \begin{array} { l l } { { \sim \ln \varepsilon } } & { { \mathrm { w h e n ~ } \left. \frac { d U } { d f } \right| _ { r = 0 } \ne 0 } } \\ { { = 0 ~ \mathrm { o r } ~ \sqrt [ [object Object] ] ] { 4 8 } } } & { { \mathrm { w h e n ~ } \left. \frac { d U } { d f } \right| _ { r = 0 } = 0 } } \end{array} \right. .