harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
| \zeta ( \sigma ) ^ { 3 } \zeta ( \sigma + i t ) ^ { 4 } \zeta ( \sigma + 2 i t ) | = \exp \sum _ { p ^ { n } } p ^ { - n \sigma } { \frac { 3 + 4 \cos ( t \log p ^ { n } ) + \cos ( 2 t \log p ^ { n } ) } { n } }
\delta \omega ^ { \alpha } [ \eta ] = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d x ^ { 1 } \left( A ^ { \alpha } ( x ^ { 1 } ) \, \delta \phi ^ { \alpha } ( x ^ { 1 } ) \, \, + \, \, B ^ { \alpha } ( x ^ { 1 } ) \, \delta \pi ^ { \alpha } ( x ^ { 1 } ) \right) ,
{ \check { H } } ^ { q } ( { \mathcal { U } } , { \mathcal { F } } ) : = H ^ { q } ( ( C ^ { \bullet } ( { \mathcal { U } } , { \mathcal { F } } ) , \delta ) ) = Z ^ { q } ( { \mathcal { U } } , { \mathcal { F } } ) / B ^ { q } ( { \mathcal { U } } , { \mathcal { F } } )
\begin{array} { r l } { ( \mathrm { D } _ { 2 } ( D _ { \mathfrak { t } } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) , D _ { \mathfrak { t } } ) } & { = ( \mathrm { D } _ { 2 } ( { \mathrm { d } } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \cap \mathrm { D } _ { 2 } ( { \mathrm { d } ^ { \ast } } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) , \, \mathrm { d } + \mathrm { d } ^ { \ast } ) \mathrm { , ~ } } \\ { ( \mathrm { D } _ { 2 } ( D _ { \mathfrak { n } } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) , D _ { \mathfrak { n } } ) } & { = ( \mathrm { D } _ { 2 } ( { \delta ^ { \ast } } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \cap \mathrm { D } _ { 2 } ( { \delta } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) , \, \delta ^ { \ast } + \delta ) \mathrm { , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { i } ( t ) - u _ { 0 , i } } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( \normalfont { \mathrm { d i v } } ( a _ { i } \cdot \nabla u _ { i } ) + \normalfont { \mathrm { d i v } } ( F _ { i } ( \cdot , u ) ) + f _ { i } ( \cdot , u ) \Big ) \, d s } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( { { \bf 1 } } _ { [ 0 , \sigma _ { j } ] } \big [ ( b _ { n , i } \cdot \nabla ) u + g _ { n , i } ( \cdot , u ) \big ] \Big ) _ { n \geq 1 } d W _ { \ell ^ { 2 } } ( s ) . } \end{array}
\mathcal X _ { T + R } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ c ~ y ~ c ~ } } = \left[ \begin{array} { l } { \overline { { \boldsymbol X } } _ { T + 1 } , \overline { { \boldsymbol X } } _ { T + 2 } , \cdots , \overline { { \boldsymbol X } } _ { T + R } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r } { \partial _ { z } \boldsymbol { \rho } ( \vec { x } , z , \omega ) + \nabla _ { X } \cdot \left[ \boldsymbol { \rho } ( \vec { x } , z , \omega ) \circ \vec { \bf v } ( \vec { x } , z , \omega ) \right] = 0 , } \end{array}
S ( x ^ { \prime } ) : = { \left\{ \begin{array} { l l } { m a x _ { c \neq C ( x ) } { F ( x ^ { \prime } ) _ { c } } - F ( x ^ { \prime } ) _ { C ( x ) } , } & { { \mathrm { ( U n t a r g e t e d ) } } } \\ { F ( x ^ { \prime } ) _ { c ^ { * } } - m a x _ { c \neq c ^ { * } } { F ( x ^ { \prime } ) _ { c } } , } & { { \mathrm { ( T a r g e t e d ) } } } \end{array} \right. }
{ \cal L } _ { \mathrm { c o n t a c t } } ^ { ( 4 ) } = \biggl ( 1 3 . 1 \lambda _ { D } - 1 0 . 6 \lambda _ { K } - 8 1 . 6 { \cal C } + 2 . 4 \lambda _ { Q } \biggr ) \ \eta _ { 0 } \ \mathrm { T r } \biggl ( { \bar { B } } i \gamma _ { 5 } B \biggr ) \ \mathrm { T r } \biggl ( { \bar { B } } B \biggr ) .
I _ { A E } ( d , Q ) = \log _ { 2 } ( d ) + ( F _ { E } - Q ) \log _ { 2 } \left( \frac { F _ { E } - Q } { 1 - Q } \right) + ( 1 - F _ { E } ) \log _ { 2 } \left( \frac { 1 - F _ { E } } { ( d - 1 ) ( 1 - Q ) } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { \mathrm { R R , c l a s s i c a l } } } & { = \frac { 2 } { 3 } \alpha _ { f } \xi _ { L } \bigg \lbrace \gamma \bigg [ \bigg ( \frac { \partial } { \partial t } + \frac { \mathbf { p } } { \gamma } \cdot \nabla \bigg ) \mathbf { E } + \frac { \mathbf { p } } { \gamma } \times \bigg ( \frac { \partial } { \partial t } + \frac { \mathbf { p } } { \gamma } \cdot \nabla \bigg ) \mathbf { B } \bigg ] } \\ & { + \bigg [ \mathbf { E } \times \mathbf { B } + \frac { 1 } { \gamma } \mathbf { B } \times ( \mathbf { B } \times \mathbf { p } ) + \mathbf { E } ( \mathbf { p \cdot E } ) \bigg ] } \\ & { - \gamma \mathbf { p } \bigg [ \bigg ( \mathbf { E } + \frac { \mathbf { p } } { \gamma } \times \mathbf { B } \bigg ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } ( \mathbf { E \cdot p } ) ^ { 2 } \bigg ] \bigg \rbrace , } \end{array}
\ln ( { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta \mid X ) ) = ( \alpha - 1 ) \sum _ { i = 1 } ^ { N } \ln X _ { i } + ( \beta - 1 ) \sum _ { i = 1 } ^ { N } \ln ( 1 - X _ { i } ) - N \ln \mathrm { B } ( \alpha , \beta )
\begin{array} { r l } { L ( z ) } & { { } = \int _ { z } ^ { \infty } ( u - z ) \varphi ( u ) \, d u = \int _ { z } ^ { \infty } [ 1 - \Phi ( u ) ] \, d u } \\ { L ( z ) } & { { } \approx { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 4 1 1 5 \left( { \frac { p } { 1 - p } } \right) - z , } & { p < 1 / 2 , } \\ { 0 . 4 1 1 5 \left( { \frac { 1 - p } { p } } \right) , } & { p \geq 1 / 2 . } \end{array} \right. } } \\ { { \mathrm { o r , ~ e q u i v a l e n t l y , } } } \\ { L ( z ) } & { { } \approx { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 4 1 1 5 \left\{ 1 - \log \left[ { \frac { p } { 1 - p } } \right] \right\} , } & { p < 1 / 2 , } \\ { 0 . 4 1 1 5 { \frac { 1 - p } { p } } , } & { p \geq 1 / 2 . } \end{array} \right. } } \end{array}
h _ { 1 1 } ( t ) - h _ { 2 2 } ( t ) = - i \, \frac { A _ { 1 2 } ( t ) \, A _ { 2 1 } ( t ) } { \operatorname * { d e t } { \bf A } ( t ) } \; \frac { \partial } { \partial t } \ln \Big ( \frac { A _ { 1 2 } ( t ) } { A _ { 2 1 } ( t ) } \Big ) .
M _ { q } ( n ) = \bigoplus _ { p = 0 } ^ { \infty } \; \bigoplus _ { I ( p ) } \; M _ { q } ( I ( p ) ) = \; \bigoplus _ { p = 0 } ^ { \infty } \; \bigoplus _ { I ( p ) } \; \left\{ k x ^ { I ( p ) } \right\}
\begin{array} { r l } { G _ { \mu i } } & { { } = \sum _ { \lambda } w _ { i } A _ { \mu \lambda i } F _ { \lambda i } , } \\ { \tilde { K } _ { \mu \nu } } & { { } = \sum _ { i } G _ { \mu i } \Phi _ { \nu i } , } \\ { K _ { \mu \nu } } & { { } \approx \frac { 1 } { 2 } \left( \tilde { K } _ { \mu \nu } + \tilde { K } _ { \nu \mu } \right) , } \end{array}
1 \sigma _ { g } ^ { - 1 } 1 \sigma _ { u } ^ { 2 } 2 \sigma _ { g } ^ { 2 } 2 \sigma _ { u } ^ { 2 } 1 \pi _ { u } ^ { 4 } 3 \sigma _ { g } ^ { 2 } \; ^ { 2 } \Sigma _ { g } ^ { + }
\begin{array} { r } { \widetilde { u } ( t ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { u ( t ) , \ \ } & & { t \in [ 0 , T _ { \varepsilon } ^ { \star } ] , } \\ & { \chi ( t - T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) \sum _ { k = 0 } ^ { N _ { u } } \partial _ { t } ^ { k } u ( T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) \frac { ( t - T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) ^ { k } } { k ! } , \ \ } & & { t \geq T _ { \varepsilon } ^ { \star } , } \\ & { \chi ( - t ) \sum _ { k = 0 } ^ { N _ { u } } \partial _ { t } ^ { k } u ( 0 ) \frac { t ^ { k } } { k ! } , \ \ } & & { t \leq 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { h _ { 1 1 } } & { \mathrel { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \left. { \frac { V _ { 1 } } { I _ { 1 } } } \right| _ { V _ { 2 } = 0 } } & { h _ { 1 2 } } & { \mathrel { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \left. { \frac { V _ { 1 } } { V _ { 2 } } } \right| _ { I _ { 1 } = 0 } } \\ { h _ { 2 1 } } & { \mathrel { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \left. { \frac { I _ { 2 } } { I _ { 1 } } } \right| _ { V _ { 2 } = 0 } } & { h _ { 2 2 } } & { \mathrel { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \left. { \frac { I _ { 2 } } { V _ { 2 } } } \right| _ { I _ { 1 } = 0 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { ( \phi _ { \mu \nu } p ) _ { \mathrm { ~ d ~ h ~ } } } & { { } = \frac { g _ { I } ( \psi p ) _ { \mathrm { ~ d ~ h ~ } } } { 2 [ I ] } \left\langle \frac { 2 N ( N + 1 ) [ I ] ^ { 2 } - 3 Y _ { \mu , \nu } ^ { + } } { ( 2 N - 1 ) ( 2 N + 3 ) } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { l } { { A ( r ) = - \displaystyle \frac { \delta m ^ { 2 } } { 4 E } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } G _ { F } \left[ N _ { e } ( r ) - N _ { n } ( r ) \right] , } } \\ { { C ( r ) = \displaystyle \mu _ { \nu } B ( r ) , } } \end{array}
C _ { V } = \sum _ { n , w } \int _ { 0 } ^ { \infty } [ d t ] e ^ { - y } \left[ 4 t ^ { 2 } ( { \frac { w ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } } } - { \frac { \alpha ^ { \prime } \pi ^ { 2 } n ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } } ) ) ^ { 2 } - 2 t ( { \frac { w ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } } } + 3 { \frac { \alpha ^ { \prime } \pi ^ { 2 } n ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } } ) \right] .
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { \mathrm { p o l } } = \sum _ { \boldsymbol { q } n } \hbar \omega _ { \boldsymbol { q } n } \hat { \gamma } _ { \boldsymbol { q } n } ^ { \dagger } \hat { \gamma } _ { \boldsymbol { q } n } , } \end{array}
^ { 7 0 } _ { 3 2 } \mathrm { G e } ( n , \gamma ) \rightarrow \ _ { 3 2 } ^ { 7 1 } \mathrm { G e } \xrightarrow { \mathrm { ~ E ~ C ~ , ~ } T _ { 1 / 2 } = 1 1 . 4 3 \mathrm { ~ d ~ } } \ _ { 3 1 } ^ { 7 1 } \mathrm { G a }
\begin{array} { r l } & { x ^ { * } \approx ( 6 . 6 \cdot 1 0 ^ { - 9 } , - 9 . 9 \cdot 1 0 ^ { - 8 } ) , \, z ^ { * } \approx ( 6 \cdot 1 0 ^ { - 9 } , - 1 . 7 \cdot 1 0 ^ { - 5 } ) , } \\ & { \lambda ^ { * } = ( 6 . 4 \cdot 1 0 ^ { - 1 0 } , 3 . 4 \cdot 1 0 ^ { - 5 } ) , \, f ( x ^ { * } ) \approx 1 . 8 \cdot 1 0 ^ { - 9 } , \, g ( x ^ { * } , z ^ { * } ) \approx 2 . 9 \cdot 1 0 ^ { - 1 0 } . } \end{array}
\; \; \; = \frac { 1 } { 4 } { \eta } _ { \mu \nu } { \eta } _ { \rho \sigma } \sum _ { n = 1 } ^ { m - 1 } \sum _ { s = 1 } ^ { m - 1 } \langle 0 \mid \left( { \alpha } _ { m - n } ^ { \mu } \left[ { \alpha } _ { n } ^ { \nu } , { \alpha } _ { s - m } ^ { \rho } \right] { \alpha } _ { - s } ^ { \sigma } + \right.
\begin{array} { r l } { \varepsilon \biggl ( \alpha + \Re \frac { \overline { { { \xi } ^ { ( \tau ) } } } \beta } { | \xi ^ { ( \tau ) } | } \biggr ) } & { = \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } } { l ^ { ( 1 ) } } + \frac { a _ { 3 } ^ { 2 } } { l ^ { ( 3 ) } } + \bigl | \xi ^ { ( \tau ) } \bigr | - \frac { l ^ { ( 1 ) } + l ^ { ( 3 ) } } { 3 } \varepsilon ^ { 2 } z } \\ & { + \frac { 1 } { 6 } z \varepsilon ^ { 2 } \bigl | \xi ^ { ( \tau ) } \bigr | ^ { - 1 } ( a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 3 } ^ { 2 } ) + \biggl ( \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } l ^ { ( 3 ) } } { l ^ { ( 1 ) } } + \frac { a _ { 3 } ^ { 2 } l ^ { ( 1 ) } } { l ^ { ( 3 ) } } \biggr ) \cos \tau + O ( \varepsilon ^ { 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! \! \! d t \, \left[ \partial _ { t } | \psi _ { s } ( t , z ) | ^ { 2 } \right] ^ { 2 } = \frac { 8 } { 3 } \eta _ { m } ^ { 5 } \left[ \frac { 3 \eta } { \eta _ { m } } - \frac { 2 \eta ^ { 3 } } { \eta _ { m } ^ { 3 } } - 3 \left( 1 - \frac { \eta ^ { 2 } } { \eta _ { m } ^ { 2 } } \right) \mathrm { a r c t a n h } \left( \frac { \eta } { \eta _ { m } } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi \left( \eta ^ { ( k - 1 ) } , \eta ^ { ( k ) } , \tilde { \xi } \right) } & { = 4 \left[ \frac { \tilde { \xi } ^ { 2 } } { \eta ^ { ( k - 1 ) } } + \frac { 5 } { 2 } \frac { \tilde { \xi } ^ { 2 } } { \eta ^ { ( k - 1 ) } } \frac { \tilde { \xi } ^ { 2 } } { \eta ^ { ( k ) } } + \frac { 3 } { 2 } \frac { \tilde { \xi } ^ { 4 } } { \left( \eta ^ { ( k ) } \right) ^ { 2 } } + \frac { \tilde { \xi } ^ { 4 } } { \left( \eta ^ { ( k - 1 ) } \right) ^ { 2 } } \right] } \\ & { \leq 4 \left[ 2 \tilde { \xi } ^ { 2 } \xi ^ { k - 1 } + \frac { 5 } { 2 } \tilde { \xi } ^ { 4 } \xi ^ { k - 1 } \xi ^ { k } + 6 \tilde { \xi } ^ { 4 } \xi ^ { 2 k } + 4 \tilde { \xi } ^ { 4 } \xi ^ { 2 [ k - 1 ] } \right] } \\ & { = 8 \tilde { \xi } ^ { 2 } \xi ^ { k - 1 } + 1 0 \tilde { \xi } ^ { 4 } \xi ^ { k - 1 } \xi ^ { k } + 2 4 \tilde { \xi } ^ { 4 } \xi ^ { 2 k } + 1 6 \tilde { \xi } ^ { 4 } \xi ^ { 2 [ k - 1 ] } } \\ & { \leq \frac { 8 } { 1 6 } \xi ^ { k + 1 } + \frac { 1 0 } { 2 5 6 } \xi ^ { 2 k + 3 } + \frac { 2 4 } { 2 5 6 } \xi ^ { 2 k + 4 } + \frac { 1 6 } { 2 5 6 } \xi ^ { 2 k + 2 } } \\ & { < \frac { 1 7 8 } { 2 5 6 } \xi ^ { k + 1 } . } \end{array}
\mathrm { ~ R ~ R ~ E ~ } ( n _ { g } ) = \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { g } } \varepsilon _ { i _ { j } } ^ { ( k ) } } { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \varepsilon _ { i _ { j } } ^ { ( k ) } } . \mathrm { ~ , ~ }
\mathbb { E } _ { \mathbf { q } ^ { t } } \! \left[ \left\| \mathbf { \bar { x } } ^ { t } - \mathbf { \bar { x } } ^ { t \sharp } \right\| ^ { 2 } \; | \; \mathcal { F } _ { t } \right] = n \sum _ { k = 1 } ^ { d } \mathbb { E } _ { \Omega _ { k } ^ { t } } \! \left[ \left( \frac { 1 } { s } \sum _ { i \in \Omega _ { k } ^ { t } } \hat { x } _ { i , k } ^ { t } - \frac { 1 } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \hat { x } _ { j , k } ^ { t } \right) ^ { 2 } \; | \; \mathcal { F } _ { t } \right] = \nu \left\| W \mathbf { \hat { x } } ^ { t } \right\| ^ { 2 } ,
{ \frac { z } { 1 - q } } \; _ { 2 } \phi _ { 1 } \left[ { \begin{array} { l } { q \; q } \\ { q ^ { 2 } } \end{array} } \; ; q , z \right] = { \frac { z } { 1 - q } } + { \frac { z ^ { 2 } } { 1 - q ^ { 2 } } } + { \frac { z ^ { 3 } } { 1 - q ^ { 3 } } } + \ldots
V = \omega \sum _ { I } g ^ { I } + \sum _ { A } p _ { A } \exp ( \sum _ { I } q _ { A } ^ { I } g ^ { I } ) | \Phi ^ { A } | ^ { 2 } + O ( \Phi ^ { 4 } ) = \omega \, G + O ( \Phi ^ { 2 } ) \, ,
S _ { 2 } [ x ^ { d } ] ( \alpha , \beta , \gamma ) = S _ { 2 } ( \alpha , \alpha + d , \beta , \beta , \gamma ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { x _ { 2 } } x _ { 1 } ^ { \alpha } x _ { 2 } ^ { d + \alpha } ( 1 - x _ { 1 } ) ^ { \beta } ( 1 - x _ { 2 } ) ^ { \beta } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) ^ { 2 \gamma } \, \mathrm { d } x _ { 1 } \, \mathrm { d } x _ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { k } \sum _ { i = 1 } ^ { L } \left( I ( X _ { i } ^ { k } ; X _ { i + 1 } ^ { k } , \cdots , X _ { L } ^ { k } ) \right) } & { = H ( X _ { 1 } , X _ { 2 } \cdots , X _ { L } ) - \sum _ { i = 1 } ^ { L } H ( X _ { i } ) } \\ & { = \Phi \left( \left\{ p _ { 1 } , p _ { 2 } , \cdots , p _ { L } \right\} \right) - \sum _ { i = 1 } ^ { L } H ( p _ { i } ) } \end{array}
( \sigma , \rho _ { \mathrm { t o t } } , s , \omega , \omega ^ { \prime } ) \mapsto ( 2 \pi ) ^ { - ( n - 1 ) } \iint _ { \mathbb { R } \times \mathbb { R } ^ { n - 2 } } e ^ { i \xi s } e ^ { i \eta \cdot ( \omega - \omega ^ { \prime } ) } a \Bigl ( \rho _ { \mathrm { t o t } } , \omega ; \frac { \sigma } { \rho _ { \mathrm { t o t } } } , \xi , \eta \Bigr ) \, { \mathrm d } \xi \, { \mathrm d } \eta .
b = \frac { 2 } { 3 \chi _ { e A } ( r , t ) } \frac { \xi } { 1 - \xi } = \frac { 2 } { 3 \chi _ { e \, m a x } } \frac { \xi } { 1 - \xi } \frac { \sigma _ { 0 A } } { r } = b _ { 0 } \frac { \sigma _ { 0 A } } { r } ,
L _ { D R } = - { \frac { a } { 4 } } ( B + \gamma A ) _ { \mu \nu } ( B + \gamma A ) ^ { \mu \nu } - { \frac { m } { 6 \pi } } B _ { \mu } B ^ { \mu } + \alpha \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } ( B + \gamma A ) _ { \mu } \partial _ { \nu } ( B + \gamma A ) _ { \lambda } .
( \overrightarrow { \nabla A } ) _ { k } = ( \overline { { \nabla A } } ) _ { k } + \frac { \alpha } { \left| \vec { r } _ { i j } \cdot \hat { n } _ { k } \right| } \left( A _ { k _ { j } } - A _ { k _ { i } } \right) \hat { n } _ { k } \mathrm { ~ , ~ }
\rho ^ { ( 3 ) } ( \tau _ { 4 } ) = \left( \ensuremath { \mathrm { i } } d \mathcal { E } _ { L } \tau _ { L } \right) ^ { 3 } \mathscr { U } ( \tau _ { 4 } , \tau _ { 3 } ) \mathscr { D } \mathscr { U } ( \tau _ { 3 } , \tau _ { 2 } ) \mathscr { D } ^ { \dagger } \mathscr { U } ( \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } ) \mathscr { D } ^ { \dagger } \rho _ { 0 } .
\varphi ( x ) = \sqrt { \frac { \lambda } { 2 \pi } } \, e ^ { i \frac { N + 1 } { 2 } x } , \; \; \psi ( x ) = \sqrt { \frac { \lambda } { 2 \pi } } \, e ^ { - i \frac { N - 1 } { 2 } x } .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathcal { Z } ( \zeta ; q ) } { Z _ { \infty } ( q ) } } & { = \frac { \zeta } { 1 - \zeta } + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { \left( m ! \right) ^ { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { m } \oint \frac { { \mathrm { d } } u _ { j } } { 2 \pi i } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \oint \frac { { \mathrm { d } } v _ { i } } { 2 \pi i v _ { i } ^ { 2 } } \Bigg \{ \frac { \zeta \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( u _ { i } / v _ { i } \right) } { 1 - \zeta \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( u _ { i } / v _ { i } \right) } \cdot } \\ & { \cdot \left[ \operatorname* { d e t } \left( \frac { 1 } { 1 - u _ { i } / v _ { j } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m } \right] ^ { 2 } \prod _ { i , j = 1 } ^ { m } \prod _ { l = 1 } ^ { \infty } \left[ \frac { \left( 1 - q ^ { l } u _ { i } / u _ { j } \right) \left( 1 - q ^ { l } v _ { i } / v _ { j } \right) } { \left( 1 - q ^ { l } u _ { i } / v _ { j } \right) \left( 1 - q ^ { l } v _ { i } / u _ { j } \right) } \right] ^ { \hat { a } _ { l } } \Bigg \} . } \end{array}
[ \mathbf { M } _ { d } ] _ { i , j } = \langle W _ { i } ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { r } ) , [ \mathbf { \nabla } \cdot ] \mathbf { W } _ { j } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { r } ) \rangle ; i \in \mathcal { T } , j \in \mathcal { F }
\sigma _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \gamma N } - \sigma _ { \frac { 3 } { 2 } } ^ { \gamma N } = { \frac { 1 6 m \pi ^ { 2 } \alpha } { 2 m \nu - Q ^ { 2 } } } \Biggl ( m \nu G _ { 1 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) - Q ^ { 2 } G _ { 2 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) \Biggr )
\begin{array} { r l } { Y = } & { \frac { 1 } { 2 } \Im \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \overline { { u } } \nabla u \cdot \partial _ { t } \vec { q } \, d x d t - \frac { 1 } { 2 } \Im \int _ { \Omega } \overline { { u } } \nabla u \cdot \vec { q } \bigg | _ { 0 } ^ { T } d x } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } d \Re \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } ( \vec { q } \cdot \nu ) \overline { { u } } _ { \Gamma } \partial _ { \nu } u \, d \sigma d t - \frac { 1 } { 2 } \Im \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } ( \vec { q } \cdot \nabla _ { \Gamma } \nu ) ( \vec { \rho } _ { \Gamma , 1 } \cdot u _ { \Gamma } ) \overline { { u } } _ { \Gamma } \, d \sigma d t } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \Im \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } ( \nabla _ { \Gamma } u _ { \Gamma } \cdot \partial _ { t } \vec { q } ) \overline { { u } } _ { \Gamma } \, d \sigma d t - \frac { 1 } { 2 } \Im \int _ { \Gamma _ { 1 } } ( \vec { q } \cdot \nabla _ { \Gamma } u _ { \Gamma } ) \overline { { u } } _ { \Gamma } \bigg | _ { 0 } ^ { T } d \sigma } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } d \Re \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \overline { { u } } \nabla ( \mathrm { d i v } ( \vec { q } ) ) \cdot \nabla u \, d x d t + \frac { 1 } { 2 } d \Re \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } ( \partial _ { \nu } u ) \vec { q } \cdot \nabla _ { \Gamma } u _ { \Gamma } \, d \sigma d t } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \delta \Re \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \nabla _ { \Gamma } ( \mathrm { d i v } ( \vec { q } ) \cdot \nabla _ { \Gamma } u _ { \Gamma } ) \overline { { u } } _ { \Gamma } \, d \sigma d t + \frac { 1 } { 2 } \Im \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \mathrm { d i v } ( \vec { q } ) ( \vec { \rho } \cdot \nabla u ) \overline { { u } } \, d x d t } \\ & { + \Im \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \rho _ { 0 } ( \vec { q } \cdot \nabla \overline { { u } } ) u \, d x d t + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \mathrm { d i v } ( \vec { q } ) ( \vec { \rho } _ { \Gamma , 1 } \cdot \nabla _ { \Gamma } u _ { \Gamma } ) \overline { { u } } _ { \Gamma } \, d \sigma d t } \\ & { + \Im \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \rho _ { \Gamma , 0 } ( \vec { q } \cdot \nabla _ { \Gamma } \overline { { u } } _ { \Gamma } ) u _ { \Gamma } \, d \sigma d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathfrak { a } , \mathfrak { b } } ^ { 1 } ( x , \xi ) } & { = \frac { 1 } { 8 } \left( - \partial _ { x x } \mathfrak { a } \partial _ { \xi \xi } \mathfrak { b } + 2 \partial _ { x \xi } \mathfrak { a } \partial _ { x \xi } \mathfrak { b } - \partial _ { \xi \xi } \mathfrak { a } \partial _ { x x } \mathfrak { b } \right) , } \\ { \widehat { \sigma _ { \mathfrak { a } , \mathfrak { b } } ^ { 2 } } ( k , \xi ) } & { = ( a _ { 1 } b _ { 4 } + a _ { 2 } ( b _ { 3 } + b _ { 4 } ) + a _ { 3 } ( b _ { 2 } + b _ { 3 } + b _ { 4 } ) + a _ { 4 } ( b _ { 1 } + b _ { 2 } + b _ { 3 } + b _ { 4 } ) ) , \mathrm { ~ w h e r e ~ a _ i , b _ i ~ a r e ~ g i v e n ~ i n ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ I ~ } } & { { } = \underbrace { \int _ { \Omega } \mathbf { u } \cdot ( \mathcal { D } \mathbf { v } - Y \mathbf { v } ) } _ { \langle \mathbf { u } , \mathcal { F } \mathbf { v } \rangle } + \int _ { \partial \Omega } . . . } \end{array}
\lambda ^ { 2 n } H , E _ { \alpha } , \lambda ^ { 2 n } E _ { \pm \alpha } , F _ { \alpha _ { 1 } } , \lambda ^ { 2 n } F _ { \pm \alpha _ { 1 } } , F _ { \alpha _ { 2 } } , \lambda ^ { 2 n } F _ { \alpha _ { 2 } } , \lambda ^ { 2 n } F _ { - \alpha _ { 2 } } , \lambda H ^ { \prime } , \lambda ^ { 2 n + 1 } H ^ { \prime } , ~ ~ n > 0
{ \frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } } } , { \frac { d ^ { 3 } y } { d x ^ { 3 } } } , { \frac { d ^ { 4 } y } { d x ^ { 4 } } } , \ldots , { \frac { d ^ { n } y } { d x ^ { n } } } .
\begin{array} { r l } { t _ { s } ( r _ { s } , \zeta ) = } & { { } t _ { s } ( r _ { s } ) \frac { ( 1 + \zeta ) ^ { 5 / 3 } + ( 1 - \zeta ) ^ { 5 / 3 } } { 2 } : = t _ { s } ( r _ { s } ) f _ { s } ( \zeta ) \; , } \\ { \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ } } ( r _ { s } , \zeta ) = } & { { } \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ } } ( r _ { s } ) \frac { ( 1 + \zeta ) ^ { 4 / 3 } + ( 1 - \zeta ) ^ { 4 / 3 } } { 2 } : = \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ } } ( r _ { s } ) f _ { \mathrm { ~ x ~ } } ( \zeta ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { M C C S } } } & { ( { \bf d } _ { \cal A } ; { \bf q } ) = { \sum _ { s = 0 } ^ { A - 1 } \sum _ { { \cal S } \in { \cal Q } _ { 1 } ^ { s + 1 } } | { \cal C } _ { \cal S } | } + { \sum _ { s = 0 } ^ { A - 1 } \sum _ { { \cal S } \in { \cal Q } _ { 2 } ^ { s + 1 } } | { \cal C } _ { \cal S } | } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { 1 / 2 } } | { \Phi } _ { k } | ^ { p } \, d x } & { = \int _ { B _ { 1 / 2 } } | \eta ( U _ { k } - U _ { 0 } ) | ^ { p } \, d x \le C ( p ) \int _ { B _ { 1 / 2 } } ( | U _ { k } | ^ { p } + | U _ { 0 } | ^ { p } ) \, d x \le C ( \mu , M , N , p ) . } \\ { \int _ { B _ { 1 / 2 } } | \nabla { \Phi } _ { k } | ^ { p } \, d x } & { = C ( p ) \Big [ \int _ { B _ { 1 / 2 } } | \nabla \eta | ^ { p } | U _ { k } - U _ { 0 } | ^ { p } \, d x + \int _ { B _ { 1 / 2 } } | \nabla ( U _ { k } - U _ { 0 } ) | ^ { p } \, d x \Big ] } \\ & { \le C ( p ) \int _ { B _ { 1 / 2 } } \Big ( | U _ { k } | ^ { p } + | U _ { 0 } | ^ { p } + | \nabla U _ { k } | ^ { p } + | \nabla U _ { 0 } | ^ { p } \Big ) \, d x \le C ( \mu , M , N , p ) . } \end{array}
\left( y ^ { \prime } - \frac { v _ { 0 } \textrm { c o t } \theta _ { 0 } } { g } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { \prime } + \frac { v _ { 0 } } { g } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { v _ { 0 } } { g \textrm { s i n } \theta _ { 0 } } \right) ^ { 2 }
e ^ { - K _ { B } ( A ) } = \int { \cal D } b _ { \mu } F ( \partial b ) ~ e ^ { - \eta S _ { C S } ( \widehat { b } ) + i \int d ^ { 3 } x ~ \varepsilon ^ { \mu \nu \rho } A _ { \mu } \partial _ { \nu } b _ { \rho } } \; ,
+ \, \, \nu _ { 3 } \mathcal { D } _ { z } ^ { \top } { \mathbf { r } } ^ { ( n + 1 ) } + \nu _ { 4 } \mathcal { D } _ { B } ^ { \top } { \mathbf { b } } ^ { ( n + 1 ) } + \mu \mathbf { t } ^ { ( n + 1 ) } )
{ K } _ { i j } ^ { k l } = \int \mathrm { d } { \mathbf { r } _ { 1 } } \mathrm { d } { \mathbf { r } _ { 2 } } \, \phi _ { k } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \phi _ { l } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \hat { K } [ u ] ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \phi _ { i } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \phi _ { j } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) ,
\begin{array} { r l } { \eta } & { { } = \frac { 8 1 a ^ { 4 } \beta ^ { 2 } k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \psi ) \left( \alpha \beta + \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { 1 6 \gamma ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } d ^ { 2 } l ^ { 2 } \left( \alpha ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \right) \left( \beta ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \right) \left[ \left( \beta ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } \right) \cos ( \psi ) + \alpha ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } + 2 \omega ^ { 2 } \right] } \epsilon ^ { 2 } \left[ 1 + O ( \epsilon ) \right] . } \end{array}