harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { m ( h _ { 1 } , \ldots , h _ { i - 2 } , h _ { i - 1 } + k _ { i } ) = ( h _ { i - 1 } + k _ { i } ) e _ { i - 1 } + \sum _ { \ell = 0 } ^ { i - 2 } e _ { \ell } h _ { \ell } \geq } & { } \\ { \geq e _ { i } - e _ { i - 1 } \sum _ { \ell = 0 } ^ { i - 2 } \frac { \gamma _ { \ell + 1 } ^ { ( i ) } } { \gamma _ { i } ^ { ( i ) } } h _ { \ell } + \sum _ { \ell = 0 } ^ { i - 2 } e _ { \ell } h _ { \ell } = e _ { i } + \sum _ { \ell = 0 } ^ { i - 2 } \left( e _ { \ell } - \frac { \gamma _ { \ell + 1 } ^ { ( i ) } } { \gamma _ { i } ^ { ( i ) } } e _ { i - 1 } \right) h _ { \ell } . } & { } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { V } \left[ \nabla f _ { i } ( x ^ { t } ) \ | \ x ^ { t } \right] } & { \leq } & { 4 L _ { \operatorname* { m a x } } D _ { f } ( x ^ { t } ; x ^ { * } ) + 2 \sigma _ { F } ^ { * } } \\ & { \leq } & { 4 L _ { \operatorname* { m a x } } \left( F ( x ^ { t } ) - \operatorname* { i n f } F \right) + 2 \sigma _ { F } ^ { * } . } \end{array}
( \Lambda ) _ { \mu , \nu } = \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \theta } \left\{ \zeta ( \alpha , \alpha ) \psi _ { \nu , j , \alpha } \psi _ { \mu , j , \alpha } + \sum _ { \beta = 1 } ^ { \alpha - 1 } \zeta ( \alpha , \beta ) ( \psi _ { \mu , j , \alpha } \psi _ { \nu , j , \beta } + \psi _ { \nu , j , \alpha } \psi _ { \mu , j , \beta } ) \right\} ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \left[ - z ^ { 2 } \partial _ { r } ^ { 2 } - \frac { z ^ { 2 } } { r } \partial _ { r } - \frac { z ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \partial _ { \phi } ^ { 2 } \right] \Psi _ { n } ^ { m } } \\ & { = } & { 2 \frac { z ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n - m ) ! } } a ^ { - m / 2 } \mathrm { e } ^ { - a / 2 } \mathrm { e } ^ { i m \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } } \\ & { } & { \cdot \left[ - 2 L _ { n } ^ { - m + 1 } ( a ) + ( 4 n - 2 m + 3 ) L _ { n } ^ { - m } ( a ) \right. } \\ & { } & { \left. - m ( m + 1 ) \frac { 1 } { a } L _ { n } ^ { - m } \left( a \right) - a L _ { n } ^ { - m } \right. } \\ & { } & { \left. 2 L _ { n } ^ { - m + 1 } \left( a \right) - L _ { n } ^ { - m } \left( a \right) \right. } \\ & { } & { \left. + \frac { m } { a } L _ { n } ^ { - m } \left( a \right) + \frac { m ^ { 2 } } { a } L _ { n } ^ { - m } \left( a \right) \right] } \\ & { = } & { 2 \frac { z ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n - m ) ! } } a ^ { - m / 2 } \mathrm { e } ^ { - a / 2 } \mathrm { e } ^ { i m \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } } \\ & { } & { \cdot \left[ 2 ( 2 n + m + 1 ) L _ { n } ^ { - m } \left( a \right) - a L _ { n } ^ { - m } \left( a \right) \right] . } \end{array}
Z _ { 2 } = \Biggl ( \frac { a _ { 1 } + Z _ { 1 } } { { \bar { a } } _ { 1 } + Z _ { 1 } ^ { - 1 } } \Biggr ) = Z _ { 0 } ^ { - 2 } \Biggl ( \frac { a _ { 0 } + Z _ { 0 } } { { \bar { a } } _ { 0 } + Z _ { 0 } ^ { - 1 } } \Biggr ) \Biggl ( \frac { \mu _ { + } + Z _ { 0 } } { { \bar { \mu } } _ { + } + Z _ { 0 } ^ { - 1 } } \Biggr ) \Biggl ( \frac { \mu _ { - } + Z _ { 0 } } { { \bar { \mu } } _ { - } + Z _ { 0 } ^ { - 1 } } \Biggr )
\Gamma \! _ { \mathrm { e x c } } = \pi ^ { 2 } f _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } S _ { \epsilon } ( 2 f _ { \mathrm { m } } ) \propto f _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } I _ { \mathrm { t o } } ^ { 2 } ,
\mathfrak { Z } ^ { \ast k } : = \{ \mu \in H ^ { \ast } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) \mid \delta \mu = 0 \} , \quad \mathring { \mathfrak { Z } } ^ { \ast k } : = \{ \mu \in \mathring { H } ^ { \ast } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) \mid \delta \mu = 0 \} ,
\begin{array} { r l } & { c | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } - \Theta _ { 0 1 } | | _ { F } ^ { 2 } + c | | \widetilde { \Theta } _ { 2 } - \Theta _ { 0 2 } | | _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + \lambda \Big \{ | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } ^ { - } | | _ { 1 } - | | \Theta _ { 0 1 } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \widetilde { \Theta } _ { 2 } ^ { - } | | _ { 1 } - | | \Theta _ { 0 2 } ^ { - } | | _ { 1 } \Big \} } \\ { \leq } & { \lambda _ { 0 } \Big \{ | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } ^ { - } - \Theta _ { 0 1 } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \widetilde { \Theta } _ { 2 } ^ { - } - \Theta _ { 0 2 } ^ { - } | | _ { 1 } \Big \} + \rho \Big \{ | | \Theta _ { 0 1 } ^ { - } - \Theta _ { 0 2 } ^ { - } | | _ { 1 } - | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } ^ { - } - \widetilde { \Theta } _ { 2 } ^ { - } | | _ { 1 } \Big \} } \\ & { + | | \widehat { \Sigma } _ { 1 } ^ { + } - \Sigma _ { 0 1 } ^ { + } | | _ { F } | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } ^ { + } - \Theta _ { 0 1 } ^ { + } | | _ { F } + | | \widehat { \Sigma } _ { 2 } ^ { + } - \Sigma _ { 0 2 } ^ { + } | | _ { F } | | \widetilde { \Theta } _ { 2 } ^ { + } - \Theta _ { 0 2 } ^ { + } | | _ { F } . } \end{array}
\rho ( \Delta \Omega ) = \frac { 1 } { Z _ { \Omega } } \exp \left\{ - \beta _ { 0 } \left( \frac { \hbar \Omega _ { 0 } \gamma _ { c } } { 2 \Gamma _ { 0 } } \left[ - \frac { 2 m w ^ { 2 } } { 3 \hbar } \Delta \Omega - \frac { \left( \gamma _ { a } - \Gamma _ { 0 } \right) } { \gamma _ { c } } \right] ^ { 2 } \right) \right\} \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r l r } { \left\langle w _ { i } \left( \mathbf { r } \right) w _ { j } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } \right) \right\rangle } & { { } = } & { \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) \delta \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } \right) \delta _ { i j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q } & { { } = Q _ { 1 } ^ { \textsf { T } } Q _ { 2 } ^ { \textsf { T } } = { \left( \begin{array} { l l l } { 0 . 8 5 7 1 } & { - 0 . 3 9 4 3 } & { 0 . 3 3 1 4 } \\ { 0 . 4 2 8 6 } & { 0 . 9 0 2 9 } & { - 0 . 0 3 4 3 } \\ { - 0 . 2 8 5 7 } & { 0 . 1 7 1 4 } & { 0 . 9 4 2 9 } \end{array} \right) } } \\ { R } & { { } = Q _ { 2 } Q _ { 1 } A = Q ^ { \textsf { T } } A = { \left( \begin{array} { l l l } { 1 4 } & { 2 1 } & { - 1 4 } \\ { 0 } & { 1 7 5 } & { - 7 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 3 5 } \end{array} \right) } . } \end{array}
< T _ { i j } > = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { - 1 . 4 2 \times 1 0 ^ { - 3 } ( \mathrm { G e V } ) ^ { 3 } M _ { Z } d _ { i j } ^ { Z } } } & { { f o r \sqrt { s } = M _ { Z } } } \\ { { 3 . 9 5 ( \mathrm { G e V } ) ^ { 3 } \sqrt { s } d _ { \tau } ^ { Z } s _ { i j } } } & { { f o r \sqrt { s } = 1 0 ~ G e V } } \end{array} \right. \right. .
\left\{ \begin{array} { l l } { \lambda _ { 1 } = u - \sqrt { Y _ { 1 } + Y _ { 2 } } , } \\ { \lambda _ { 2 } = u - \sqrt { Y _ { 1 } - Y _ { 2 } } , } \\ { \lambda _ { 3 } = u + \sqrt { Y _ { 1 } - Y _ { 2 } } , } \\ { \lambda _ { 4 } = u + \sqrt { Y _ { 1 } + Y _ { 2 } } , } \end{array} \right. \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \left\{ \begin{array} { l l } { Y _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \left( a _ { p } ^ { 2 } + a _ { T } ^ { 2 } \right) , } \\ { Y _ { 2 } = \sqrt { a _ { p T } ^ { 4 } + Y _ { 3 } ^ { 2 } } , } \\ { Y _ { 3 } = \frac { 1 } { 2 } \left( a _ { p } ^ { 2 } - a _ { T } ^ { 2 } \right) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Delta e _ { i } ( t ) = } & { ~ x _ { i } ^ { ( N ) } ( t ) - y _ { i } ^ { ( N ) } ( t ) + d _ { i } ^ { ( N ) } ( t ) - c _ { i } ^ { ( N ) } ( t ) + z _ { i } ^ { ( N ) } ( t ) + \sum _ { \forall k \in \mathcal { I } \backslash i } ( u _ { i k } ^ { \prime } ) ^ { ( N ) } ( t ) - e _ { i } ^ { ( N ) } ( t ) . } \end{array}
S ( { \cal M } ) = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { b } } & { { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { \operatorname * { d e t } G ^ { - 1 / 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \operatorname * { d e t } G ^ { 1 / 2 } G ^ { - 1 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { b ^ { T } } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \left| \theta - \frac { K _ { n , j + 1 } + i Y _ { n , j + 1 } } { K _ { n , j } + i Y _ { n , j } } \right| } & { = } & { \left| \frac { K _ { n , j + 1 } + \varepsilon _ { n , j + 1 } + i Y _ { n , j + 1 } } { K _ { n , j } + \varepsilon _ { n , j } + i Y _ { n , j } } - \frac { K _ { n , j + 1 } + i Y _ { n , j + 1 } } { K _ { n , j } + i Y _ { n , j } } \right| } \\ & { \le } & { \frac { | \varepsilon _ { n , j + 1 } | } { | K _ { n , j } + \varepsilon _ { n , j } + i Y _ { n , j } | } + \frac { | \varepsilon _ { n , j } | } { | K _ { n , j } + \varepsilon _ { n , j } + i Y _ { n , j } | } \cdot \frac { | K _ { n , j + 1 } + i Y _ { n , j + 1 } | } { | K _ { n , j } + i Y _ { n , j } | } } \\ & { \le } & { | \Theta _ { n } ^ { ( M ) } \tau | ^ { - 1 } \cdot ( | \varepsilon _ { n , j + 1 } | + | \varepsilon _ { n , j } | \cdot 3 b ) } \\ & { \le } & { ( 1 + 3 b ) | \Theta _ { n } ^ { ( M ) } \tau | ^ { - 1 } \cdot \operatorname* { m a x } \{ | \varepsilon _ { n , j } | , | \varepsilon _ { n , j + 1 } | \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bar { x } } } & { { } = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } } \\ { \mu _ { 0 } ^ { \prime } } & { { } = { \frac { n _ { 0 } \mu _ { 0 } + n { \bar { x } } } { n _ { 0 } + n } } } \\ { n _ { 0 } ^ { \prime } } & { { } = n _ { 0 } + n } \\ { \nu _ { 0 } ^ { \prime } } & { { } = \nu _ { 0 } + n } \\ { \nu _ { 0 } ^ { \prime } { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { \prime } } & { { } = \nu _ { 0 } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } + { \frac { n _ { 0 } n } { n _ { 0 } + n } } ( \mu _ { 0 } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \chi ( \omega ) = \frac { \mu ^ { 2 } ( n _ { u } - n _ { l } ) } { \varepsilon \hbar L _ { p } } \frac { ( 1 + i \alpha ) ^ { 2 } } { \omega - \omega _ { 0 } - \frac { i } { T _ { 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { i j } ^ { \mathrm { P } } } & { { } = \frac { 1 } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left( \frac { \mathbf { K } _ { i j } ^ { - } } { \left| \mathbf { K } _ { i j } ^ { - } \right| ^ { 2 } } - \frac { \mathbf { K } _ { i j } ^ { + } } { \left| \mathbf { K } _ { i j } ^ { + } \right| ^ { 2 } } \right) \cdot \left( \mu \mathbf { I } + 4 \boldsymbol { \epsilon } \right) \cdot \hat { \mathbf { t } } _ { j } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { D } } ( x , y ) } & { = \frac { c \epsilon _ { 0 } } { 2 } \left| E _ { \mathrm { S } } ( x , y ) + E _ { \mathrm { R } } ( x , y ) \right| ^ { 2 } } \\ & { = \, \frac { c \epsilon _ { 0 } } { 2 } ( | E _ { \mathrm { S } } | ^ { 2 } + | E _ { \mathrm { R } } | ^ { 2 } ) + c \epsilon _ { 0 } \, R e \{ E _ { \mathrm { S } } E _ { \mathrm { R } } ^ { \ast } \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \left\| A x ^ { k + 1 } - A A ^ { \dagger } b \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \bigg | x ^ { k } \right] } & { = \left\| A x ^ { k } - A A ^ { \dagger } b \right\| _ { 2 } ^ { 2 } - \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { \| A _ { i , : } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| A \| _ { F } ^ { 2 } } \frac { \langle A A _ { i , : } ^ { \top } , A x _ { k } - A A ^ { \dagger } b \rangle ^ { 2 } } { \| A A _ { i , : } ^ { \top } \| _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { \leq \left\| A x ^ { k } - A A ^ { \dagger } b \right\| _ { 2 } ^ { 2 } - \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { \| A _ { i , : } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| A \| _ { F } ^ { 2 } } \frac { \langle A A _ { i , : } ^ { \top } , A x ^ { k } - A A ^ { \dagger } b \rangle ^ { 2 } } { \| A \| _ { 2 } ^ { 2 } \| A _ { i , : } \| _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { = \left\| A x ^ { k } - A A ^ { \dagger } b \right\| _ { 2 } ^ { 2 } - \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { \langle A A _ { i , : } ^ { \top } , A x ^ { k } - A A ^ { \dagger } b \rangle ^ { 2 } } { \| A \| _ { 2 } ^ { 2 } \| A \| _ { F } ^ { 2 } } } \\ & { = \left\| A x ^ { k } - A A ^ { \dagger } b \right\| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { \| A A ^ { \top } ( A x ^ { k } - A A ^ { \dagger } b ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| A \| _ { 2 } ^ { 2 } \| A \| _ { F } ^ { 2 } } } \\ & { \leq \left( 1 - \frac { \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 4 } ( A ) } { \| A \| _ { 2 } ^ { 2 } \| A \| _ { F } ^ { 2 } } \right) \left\| A x ^ { k } - A A ^ { \dagger } b \right\| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho _ { i } ^ { n + 1 } = \rho _ { i } ^ { * } - \Delta t c \mathcal { F } _ { i } ^ { w } + \Delta t \frac { c \sigma _ { i } ^ { n + 1 } } { \varepsilon ^ { 2 } } ( \phi _ { i } ^ { n + 1 } - \rho _ { i } ^ { n + 1 } ) , } \\ & { T _ { i } ^ { n + 1 } = T _ { i } ^ { * } + \Delta t \frac { c \sigma _ { i } ^ { n + 1 } } { \varepsilon ^ { 2 } C _ { v } } ( \rho _ { i } ^ { n + 1 } - \phi _ { i } ^ { n + 1 } ) , } \\ & { \phi ^ { n + 1 } = \phi ^ { * } + C _ { v } \beta ^ { n + 1 } ( T _ { i } ^ { n + 1 } - T _ { i } ^ { * } ) , } \end{array}
\operatorname { E } S _ { \alpha } ( L ) = { \frac { a } { 1 - \alpha } } { \Bigl [ } { \frac { \pi } { b } } \csc { \Bigl ( } { \frac { \pi } { b } } { \Bigr ) } - \mathrm { B } _ { \alpha } { \Bigl ( } { \frac { 1 } { b } } + 1 , 1 - { \frac { 1 } { b } } { \Bigr ) } { \Bigr ] }
Z = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { k + 1 } } \sum _ { s \in S _ { k + 1 } } { \frac { 1 } { i _ { 1 } + j _ { 1 } + \cdots + i _ { k } + j _ { k } + i _ { k + 1 } + j _ { k + 1 } } } { \frac { [ X ^ { ( i _ { 1 } ) } Y ^ { ( j _ { 1 } ) } \cdots X ^ { ( i _ { k } ) } Y ^ { ( j _ { k } ) } X ^ { ( i _ { k + 1 } ) } Y ^ { ( j _ { k + 1 } ) } ] } { i _ { 1 } ! j _ { 1 } ! \cdots i _ { k } ! j _ { k } ! i _ { k + 1 } ! j _ { k + 1 } ! } } , \quad i _ { r } , j _ { r } \geq 0 , \quad i _ { r } + j _ { r } > 0 , \quad 1 \leq r \leq k + 1 ,
S _ { 0 } = \int d ^ { 4 } x \{ p _ { i } \dot { A } _ { i } - \frac { p _ { i } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 1 } { 4 } ( \partial _ { i } A _ { j } - \partial _ { j } A _ { i } ) ^ { 2 } + A _ { 0 } \partial _ { i } p _ { i } + \lambda \tilde { \partial } _ { i } A _ { i } \}
\begin{array} { r l } { | W _ { 2 } | } & { = | ( \delta _ { \tau } ( \Pi _ { h } c ^ { n } ) - ( \partial _ { t } c ) ^ { n } , e _ { \mu } ^ { n } - \overline { { e _ { \mu } ^ { n } } } ) _ { \Omega } | \leq C _ { P } \| \delta _ { \tau } ( \Pi _ { h } c ^ { n } ) - ( \partial _ { t } c ) ^ { n } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \, \| \boldsymbol { e } _ { \mu } ^ { n } \| _ { 1 , h } } \\ & { \leq \frac { C _ { \mathrm { c o e r } } } { 4 } \| \boldsymbol { e } _ { \mu } ^ { n } \| _ { 1 , h } ^ { 2 } + C \left( \tau ^ { - 1 } h ^ { 2 s - 2 } \int _ { t ^ { n - 1 } } ^ { t ^ { n } } \| \partial _ { t } c \| _ { H ^ { s - 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \tau \int _ { t ^ { n - 1 } } ^ { t ^ { n } } \| \partial _ { t t } c \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
F ( z ) = \left\{ \begin{array} { c c } { \frac { 2 r _ { B } ^ { 2 } } { ( 1 + | z | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } & { \mathrm { i f } \ z \in \mathcal { C } , } \\ { \frac { C _ { 1 } } { ( | z - A _ { 1 } | ^ { 2 } + B _ { 1 } ) ^ { 2 } } } & { \mathrm { i f } \ z \in \mathbb { D } ( a _ { 1 } , R _ { 1 } ) , } \\ { \frac { C _ { 2 } } { ( | z - A _ { 2 } | ^ { 2 } + B _ { 2 } ) ^ { 2 } } } & { \mathrm { i f } \ z \in \mathbb { D } ( a _ { 2 } , R _ { 2 } ) , } \\ { \vdots } & { \vdots } \\ { \frac { C _ { N - 1 } } { ( | z - A _ { N - 1 } | ^ { 2 } + B _ { N - 1 } ) ^ { 2 } } } & { \mathrm { i f } \ z \in \mathbb { D } ( a _ { N - 1 } , R _ { N - 1 } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { l c l } { { \varepsilon ^ { \mu \nu } ( \pm 2 ) } } & { { = } } & { { \varepsilon ^ { \mu } ( \pm 1 ) \varepsilon ^ { \nu } ( \pm 1 ) , } } \\ { { \varepsilon ^ { \mu \nu } ( \pm 1 ) } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \varepsilon ^ { \mu } ( \pm 1 ) \varepsilon ^ { \nu } ( 0 ) + \varepsilon ^ { \mu } ( 0 ) \varepsilon ^ { \nu } ( \pm 1 ) \right) , } } \\ { { \varepsilon ^ { \mu \nu } ( 0 ) } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \left( \varepsilon ^ { \mu } ( + 1 ) \varepsilon ^ { \nu } ( - 1 ) + 2 \varepsilon ^ { \mu } ( 0 ) \varepsilon ^ { \nu } ( 0 ) + \varepsilon ^ { \mu } ( - 1 ) \varepsilon ^ { \nu } ( 1 ) \right) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ^ { \prime } ( t ) } & { = \sum _ { j = 1 , 2 } \bigl ( \beta _ { - , j } ( \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ( t ) ) \, f _ { - , j } ( t , 0 ) - \alpha _ { + , j } ( \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ( t ) ) \, g _ { + , j } ( \boldsymbol { f } _ { j } ( t , 0 ) ) \bigr ) + \gamma ( t ) , } \\ { \Lambda _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) } & { = \beta _ { + , 1 } ( \Lambda _ { 1 } ( t ) ) \, f _ { + , 1 } ( t , L _ { 1 } ( t ) ) - \alpha _ { - , 1 } ( \Lambda _ { 1 } ( t ) ) \, g _ { - , 1 } ( \boldsymbol { f } _ { 1 } ( t , L _ { 1 } ( t ) ) ) } \\ & { \qquad - c _ { 1 } h _ { 1 } ( \Lambda _ { 1 } ( t ) , L _ { 1 } ( t ) ) , } \\ { \Lambda _ { 2 } ^ { \prime } ( t ) } & { = \beta _ { + , 2 } ( \Lambda _ { 2 } ( t ) ) \, f _ { + , 2 } ( t , L _ { 2 } ( t ) ) - \alpha _ { - , 2 } ( \Lambda _ { 2 } ( t ) ) \, g _ { - , 2 } ( \boldsymbol { f } _ { 2 } ( t , L _ { 2 } ( t ) ) ) } \\ & { \qquad - c _ { 2 } h _ { 2 } ( \Lambda _ { 2 } ( t ) , L _ { 2 } ( t ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \! \! } & { \! \! \! \operatorname* { m a x } _ { \theta _ { j } ^ { r } } ( c _ { j } + \epsilon _ { j } ) ( \omega _ { j } d ^ { d } ) ^ { 2 } \! + \! \frac { \theta _ { j } ^ { r } { d ^ { r } } ^ { 2 } } { ( \sum _ { k \in \mathcal { G } } \theta _ { k } ^ { r } ) ^ { 2 } } \! - \! \frac { c _ { j } } { 2 } \! \! { \left( \! \! \omega _ { j } d ^ { d } \! + \! \frac { \theta _ { j } ^ { r } d ^ { r } } { \sum _ { k \in \mathcal { G } } \theta _ { k } ^ { r } } \! \! \right) \! \! } ^ { 2 } } \end{array}
B ^ { ( N ) } ( L , r , l | l ) = q ^ { ( - e _ { N - l + 1 } + e _ { 1 } - 2 e _ { l } ) C ^ { - 1 } m + g _ { \frac { N } { 2 } } ( l - 1 ) - g _ { [ 1 , l - 1 ] } ( N - l + 1 ) } ( 1 - q ^ { m _ { l } } )
\begin{array} { r l r } { T _ { 2 \parallel } } & { { } = } & { T _ { 1 \parallel } \left( \frac { n _ { 2 } } { n _ { 1 } } \right) ^ { 2 } , } \\ { T _ { 2 \perp } } & { { } = } & { T _ { 1 \perp } . } \end{array}
\ddot { Z } - k \left( S ( z ) - S ( - z ) \right) \dot { Z } + m _ { 0 } e ^ { - k | z | } Z = - \left( \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } - k _ { x } ^ { 2 } - k _ { y } ^ { 2 } \right) Z .
\begin{array} { r l } { \left\lVert \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } ( ( k * \rho _ { t } ) \rho _ { t } ) \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } } & { \le 2 \left\lVert k \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \left\lVert \rho _ { t } \right\rVert _ { W ^ { 2 , 2 } ( \mathbb { R } ) } \left\lVert \rho _ { t } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } + 2 \left\lVert k \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \left\lVert \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { t } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } } \\ & { \le 4 \left\lVert k \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \left\lVert \rho _ { t } \right\rVert _ { W ^ { 2 , 2 } ( \mathbb { R } ) } \left\lVert \rho _ { t } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } , } \end{array}
C = \left( \begin{array} { l l } { C _ { 1 1 } } & { C _ { 1 2 } } \\ { C _ { 1 2 } } & { C _ { 2 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } & { \rho \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } \\ { \rho \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } & { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right) \, .
\frac { 2 } { R e } D \bar { w } ( s , z = 0 ) + ( 1 + B o ^ { - 1 } ) \bar { \eta } ( s ) = \frac { 1 } { R e } \Big ( D ^ { 2 } - 1 - s R e \Big ) D \bar { w } ( s , z = 0 ) + D \hat { w } ( z = 0 , t = 0 )
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ C ~ a ~ s ~ e ~ A ~ } \mathrm { ~ : ~ \ \ \ } } & { { } } & { \delta \pi _ { A } \sim R ^ { 2 } \rho ^ { 2 \Gamma - 1 } , } \\ { \mathrm { ~ C ~ a ~ s ~ e ~ B ~ } \mathrm { ~ : ~ \ \ } } & { { } } & { \delta \pi _ { B } \sim R ^ { \beta } \rho ^ { 2 \Gamma - 1 } . } \end{array}
\widetilde { R } ^ { - 2 } = \frac { \alpha ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } \frac { w _ { m a x } ^ { 2 } } { V _ { S R } ^ { 2 } } = \frac { \alpha ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } \left( \frac { \widetilde { E } } { \widetilde { v } ^ { 2 } } + 1 \right) .
\begin{array} { r l r } { \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ v ~ p ~ } } ( x , x ^ { \prime } ) } & { { } = } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } u } { 2 \pi } \; \Delta \ensuremath { \mathbf { G } } ( x , x ^ { \prime } ; \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } u ) . } \end{array}
\Psi ( x , t = 0 ) = \frac { \sum _ { n } e ^ { - \frac { ( n a ) ^ { 2 } } { D ^ { 2 } } } \phi ( x - n a ) } { \sqrt { \sum _ { n } e ^ { - 2 \left( \frac { n a } { D } \right) ^ { 2 } } } } ,
\begin{array} { r l } { R _ { \parallel } ( E ) } & { { } = \frac { 1 } { 1 5 } ( R _ { x } ( E ) + R _ { y } ( E ) + 3 R _ { z } ( E ) ) } \\ { R _ { { \perp } } ( E ) } & { { } = \frac { 1 } { 1 5 } ( 2 R _ { x } ( E ) + 2 R _ { y } ( E ) + R _ { z } ( E ) ) } \\ { R _ { \mathrm { ~ M ~ A ~ } } ( E ) } & { { } = R _ { t o t a l } ( E ) / 9 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { | \beta | = p - 1 } \left( \begin{array} { l } { p } \\ { \beta } \end{array} \right) a ^ { \beta _ { 1 } ^ { 2 } } } & { \left( a ^ { 2 \beta _ { 1 } + 1 } d _ { u , i } { u _ { i } } _ { x } + d _ { v , i } { v _ { i } } _ { x } \right) \left( u _ { i } ^ { \beta _ { 1 } } v _ { i } ^ { \beta _ { 2 } } \right) _ { x } } \\ & { = \sum _ { | \beta | = p - 2 } \left( \begin{array} { l } { p } \\ { \beta } \end{array} \right) a ^ { \beta _ { 1 } ^ { 2 } } u _ { i } ^ { \beta _ { 1 } } v _ { i } ^ { \beta _ { 2 } } \left( { u _ { i } } _ { x } \quad { v _ { i } } _ { x } \right) A _ { i } \left( \begin{array} { c } { { u _ { i } } _ { x } } \\ { { v _ { i } } _ { x } } \end{array} \right) , } \end{array}
\int _ { \widehat { { \mathcal { O } } } _ { \varepsilon } ^ { * } } u ( x ) \ d x = \int _ { { \mathcal { O } } _ { \varepsilon } ^ { * } } u ( x ) \ d x - \int _ { \hat { \Lambda } _ { \varepsilon } ^ { * } } u ( x ) \ d x = \frac { 1 } { | W ^ { * } | } \int _ { { \mathcal { O } } \times W ^ { * } } T _ { \varepsilon } ^ { * } ( u ) ( x , y ) \ d x d y .
{ \cal D } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { 2 \beta p ^ { 2 } \theta _ { \mu \nu } + 2 \left( 1 + \frac { m \xi ^ { 2 } } { 2 \pi } \right) p ^ { 2 } \omega _ { \mu \nu } } } & { { - \frac { i m \xi \alpha } { 2 \pi } p _ { \mu } } } \\ { { \frac { i m \xi \alpha } { 2 \pi } p _ { \nu } } } & { { p ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } - \frac { m \alpha ^ { 2 } } { \pi } } } \end{array} \right) .
\frac { d E ( X ^ { 0 } ) } { d l } = 2 N \; \frac { \mid \cos ( H X ^ { 0 } ) \mid [ ( 1 + H ^ { 2 } r ^ { 2 } ( \sigma ) ) ^ { 2 } + H ^ { 2 } L ^ { 2 } \tan ^ { 2 } ( H X ^ { 0 } ) ] } { ( 1 + H ^ { 2 } r ^ { 2 } ( \sigma ) ) ^ { 3 / 2 } \sqrt { H ^ { 2 } r ^ { 2 } ( \sigma ) + \cos ^ { 2 } ( H X ^ { 0 } ) } } ,
\tilde { v } _ { l o c } ^ { \alpha } \left( q \right) = a _ { 0 } ^ { \alpha } \frac { q - a _ { 1 } ^ { \alpha } } { a _ { 2 } ^ { \alpha } \exp \left( a _ { 3 } ^ { \alpha } q ^ { 2 } \right) - 1 }
\begin{array} { r } { \bar { \theta } ( z _ { s } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \bar { \theta } ^ { ( 0 ) } ( z _ { s } ) + { O } \! \left( { \varepsilon } \right) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \alpha = 0 } \\ { 1 + { \varepsilon } \bar { \theta } ^ { ( 1 ) } ( z _ { s } ) + { O } \! \left( { \varepsilon } ^ { 2 } \right) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \alpha = 1 } \end{array} \right. \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { i , j } \left[ 1 + \tau D _ { r } i ( i + 1 ) \right] + \; \; \mathrm { P e } _ { f } \sum _ { n = 1 } ^ { 1 0 0 } \sum _ { m = - n } ^ { n } C _ { n , m } \int _ { S } \overline { { Y _ { i } ^ { j } } } \mathcal { H } ( Y _ { n } ^ { m } ) \mathrm { d } \boldsymbol { p } = - \mathrm { P e } _ { f } C _ { 0 , 0 } \int _ { S } \overline { { Y _ { i } ^ { j } } } \mathcal { H } ( Y _ { 0 } ^ { 0 } ) \mathrm { d } \boldsymbol { p } , \quad \mathrm { ~ f o r \ } i \geq 1 , } \end{array}
\dot { x } { } ^ { a } = \kappa ^ { - 1 } \bar { \pi } { } ^ { A } \pi ^ { A ^ { \prime } } , \, \, \, \, \acute { x } { } ^ { a } = i \zeta ( \dot { \bar { \pi } } { } ^ { A } \pi ^ { A ^ { \prime } } - \bar { \pi } { } ^ { A } \dot { \pi } { } ^ { A ^ { \prime } } ) .