harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { T _ { \mathrm { ~ C ~ A ~ S ~ } } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { C ^ { ( 1 ) } , } \\ { T _ { \mathrm { ~ C ~ A ~ S ~ } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { C ^ { ( 2 ) } - \frac { 1 } { 2 } [ C ^ { ( 1 ) } ] ^ { 2 } . } \end{array}
{ \cal Z } _ { \mathrm { m o n . } } = \int D \rho \exp \left\{ - \left[ \frac { \pi } { 2 e ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } x d ^ { 3 } y \rho ( { \bf x } ) \frac { 1 } { | { \bf x } - { \bf y } | } \rho ( { \bf y } ) + V _ { \mathrm { r e a l } } [ \rho ] \right] \right\} .
\begin{array} { r l r } { \nabla p _ { t } ( x _ { t } ) } & { = } & { \nabla _ { x _ { t } } \int \exp \left( - \frac { 1 } { 2 ( 1 - e ^ { - ( t - s ) } ) } \left\langle x _ { t } - e ^ { - \frac { ( t - s ) } { 2 } } x _ { s } , x _ { t } - e ^ { - \frac { ( t - s ) } { 2 } } x _ { s } \right\rangle \right) p _ { s } ( x _ { s } ) \mathrm { d } x _ { s } } \\ & { = } & { \int e ^ { \frac { ( t - s ) } { 2 } } \nabla _ { x _ { s } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 ( 1 - e ^ { - ( t - s ) } ) } \left\langle x _ { t } - e ^ { - \frac { ( t - s ) } { 2 } } x _ { s } , x _ { t } - e ^ { - \frac { ( t - s ) } { 2 } } x _ { s } \right\rangle \right) p _ { s } ( x _ { s } ) \mathrm { d } x _ { s } } \\ & { = } & { \int e ^ { \frac { ( t - s ) } { 2 } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 ( 1 - e ^ { - ( t - s ) } ) } \left\langle x _ { t } - e ^ { - \frac { ( t - s ) } { 2 } } x _ { s } , x _ { t } - e ^ { - \frac { ( t - s ) } { 2 } } x _ { s } \right\rangle \right) \nabla _ { x _ { s } } p _ { s } ( x _ { s } ) \mathrm { d } x _ { s } } \\ & { = } & { \int e ^ { \frac { ( t - s ) } { 2 } } p _ { t | s } ( x _ { t } | x _ { s } ) p _ { s } ( x _ { s } ) \nabla _ { x _ { s } } \log p _ { s } ( x _ { s } ) \mathrm { d } x _ { s } } \\ & { = } & { e ^ { \frac { ( t - s ) } { 2 } } \int p _ { s , t } ( x _ { s } , x _ { t } ) \nabla _ { x _ { s } } \log p _ { s } ( x _ { s } ) \mathrm { d } x _ { s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = { } } & { { } { \frac { d I ^ { \prime } } { d \varepsilon } } [ 0 ] } \\ { = { } } & { { } L [ \mathbf { q } [ t _ { 2 } ] , { \dot { \mathbf { q } } } [ t _ { 2 } ] , t _ { 2 } ] T - L [ \mathbf { q } [ t _ { 1 } ] , { \dot { \mathbf { q } } } [ t _ { 1 } ] , t _ { 1 } ] T - { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial \mathbf { q } } } { \dot { \mathbf { q } } } [ t _ { 2 } ] T + { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial \mathbf { q } } } { \dot { \mathbf { q } } } [ t _ { 1 } ] T } \end{array}
\frac { d } { d t } \frac { \partial T } { \partial \dot { \varphi } ^ { \bar { I } } } - \frac { \partial T } { \partial V _ { \mathrm { l o c } } ^ { \beta } } \mathcal { B } _ { I J } ^ { \beta } \dot { \varphi } ^ { \bar { J } } = Q _ { I }
\begin{array} { r l } & { F _ { k } ( \mathbf { w } ) \leq F _ { k } ( \mathbf { w } ^ { \prime } ) + \langle \nabla F _ { k } ( \mathbf { w } ^ { \prime } ) , \mathbf { w } - \mathbf { w } ^ { \prime } \rangle + \frac { M } { 2 } \| \mathbf { w } - \mathbf { w } ^ { \prime } \| ^ { 2 } , } \\ & { F _ { k } ( \mathbf { w } ) \geq F _ { k } ( \mathbf { w } ^ { \prime } ) + \langle \nabla F _ { k } ( \mathbf { w } ^ { \prime } ) , \mathbf { w } - \mathbf { w } ^ { \prime } \rangle + \frac { u } { 2 } \| \mathbf { w } - \mathbf { w } ^ { \prime } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { I } } ( \boldsymbol { x } _ { k } ; \boldsymbol { y } _ { k } ) } & { = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \log \left( 1 + \frac { S _ { \boldsymbol { x } , k } ( x ) } { S _ { \boldsymbol { z } } ( x ) } \right) d x } \\ & { = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { - \frac { 1 } { 2 } - k } ^ { - k } \log \left( 1 + \frac { P } { S _ { \boldsymbol { z } } ( x ) } \right) d x + \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { k } ^ { k + \frac { 1 } { 2 } } \log \left( 1 + \frac { P } { S _ { \boldsymbol { z } } ( x ) } \right) d x } \\ & { = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { 0 } \log \left( 1 + \frac { P } { S _ { \boldsymbol { z } } ( x - k ) } \right) d x + \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \log \left( 1 + \frac { P } { S _ { \boldsymbol { z } } ( x + k ) } \right) d x . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \vartheta ( z , \tau ) = \vartheta _ { 3 } ( z , \tau ) } & { { } = 0 \quad } & { \Longleftrightarrow } & { { } } & { \quad z } & { { } = m + n \tau + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { \tau } { 2 } } } \\ { \vartheta _ { 1 } ( z , \tau ) } & { { } = 0 \quad } & { \Longleftrightarrow } & { { } } & { \quad z } & { { } = m + n \tau } \\ { \vartheta _ { 2 } ( z , \tau ) } & { { } = 0 \quad } & { \Longleftrightarrow } & { { } } & { \quad z } & { { } = m + n \tau + { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \vartheta _ { 4 } ( z , \tau ) } & { { } = 0 \quad } & { \Longleftrightarrow } & { { } } & { \quad z } & { { } = m + n \tau + { \frac { \tau } { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \mathscr E } _ { - , \alpha } ^ { \varepsilon } } & { : = \| e ^ { q _ { \alpha } | \xi | ^ { 2 } / 4 } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \{ F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } \} \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \quad + \| e ^ { q _ { \alpha + 1 } | \xi | ^ { 2 } / 4 } \{ F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \gamma ^ { \varepsilon } } e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } \} \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \end{array}
\gg _ { V } = \mathrm { ~ A ~ r ~ g ~ } \: V _ { n k } V _ { k l } V _ { l n } = \mathrm { ~ A ~ r ~ g ~ } ( \langle n ^ { 0 } \lvert V \lvert k ^ { 0 } \rangle \langle k ^ { 0 } \lvert V \lvert l ^ { 0 } \rangle \langle l ^ { 0 } \lvert V \lvert n ^ { 0 } \rangle )
S = - \frac { \mu _ { 5 } } { g | M | ^ { 2 } } \int d ^ { 6 } \xi \sqrt { - \operatorname * { d e t } \left( | M | G _ { a b } \right) } = - \frac { \mu _ { 5 } | M | } { g } \int d ^ { 3 } x \frac { 4 \pi r _ { 0 } ^ { 3 } } { 3 } \, ,
\partial _ { - } h _ { m + } = - \partial _ { i } h _ { i m } - e ^ { A } \left( \frac { D _ { 1 } - 2 } { 2 } A ^ { \prime } h _ { r m } + h _ { m \underline { { l } } ; } ^ { \quad \underline { { l } } } - \kappa ^ { 2 } \left( \phi ^ { \dagger } D _ { m } \Phi + ( D _ { m } \Phi ) ^ { \dagger } \phi + V _ { \underline { { l } } } F _ { n } ^ { \quad \underline { { l } } } \right) \right) ~ .
\begin{array} { r l } { R _ { g } } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { L } r _ { l } } \\ & { \leq 2 B \kappa + \sum _ { l = 2 } ^ { L } 4 \sqrt { 2 \kappa ^ { 2 } \log ( 1 / \beta ) } \sqrt { 2 ^ { ( 2 - \alpha ) ( l - 1 ) } } } \\ & { + \sum _ { l = 2 } ^ { L } 8 \sigma C \sqrt { 2 \gamma _ { T } \log ( 1 / \beta ) } \sqrt { 2 ^ { ( 1 - \alpha ) ( l - 1 ) } } } \\ & { + \sum _ { l = 2 } ^ { L } 8 \sigma B C \sqrt { \gamma _ { T } 2 ^ { l - 1 } } } \\ & { \leq 2 B \kappa + 4 \sqrt { 2 \kappa ^ { 2 } \log ( 1 / \beta ) } \cdot 4 \sqrt { 2 ^ { ( L - 1 ) ( 2 - \alpha ) } } } \\ & { + 8 \sigma C \sqrt { 2 \gamma _ { T } \log ( 1 / \beta ) } \cdot C _ { 1 } \sqrt { 2 ^ { ( 1 - \alpha ) ( L - 1 ) } } \quad \quad \quad \quad \quad \hfill \left( C _ { 1 } = \sqrt { 2 ^ { 1 - \alpha } } / ( \sqrt { 2 ^ { 1 - \alpha } } - 1 ) \right) } \\ & { + 8 \sigma B C \sqrt { \gamma _ { T } } \cdot 4 \sqrt { 2 ^ { L - 1 } } } \\ & { \leq 2 B \kappa + 1 6 \sqrt { 2 \kappa ^ { 2 } \log ( 1 / \beta ) } T ^ { 1 - \alpha / 2 } + 8 \sigma C _ { 1 } C \sqrt { 2 \gamma _ { T } \log ( 1 / \beta ) T ^ { 1 - \alpha } } + 3 2 \sigma B C \sqrt { \gamma _ { T } T } , } \end{array}
\sigma _ { s } ^ { 2 } { } \, ^ { 1 } ( \sigma _ { s } ^ { * } \overline { { \sigma _ { p } ^ { * } } } ) \left( \pi _ { y } ^ { 2 } \pi _ { x } ^ { * 2 } + \pi _ { x } ^ { 2 } \pi _ { y } ^ { * 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \gamma } & { { } = 2 \sum _ { \mathrm { k } } g _ { \mathrm { k } } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) ( t - t ^ { \prime } ) } , } \\ { C } & { { } = 2 \sum _ { \mathrm { q } } g _ { \mathrm { q } } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { q } } ) ( t ^ { \prime } - t ) } , } \\ { \mathcal { F } _ { a } ( t ) } & { { } = - i \sum _ { \mathrm { q } } g _ { \mathrm { q } } c _ { \mathrm { q } } ( 0 ) e ^ { i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } , } \\ { \mathcal { F } _ { \mathrm { + } } ( t ) } & { { } = - i \sum _ { \mathrm { k } } g _ { \mathrm { k } } b _ { \mathrm { k } } ^ { \dagger } ( 0 ) \sigma _ { \mathrm { z } } ( t ) e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } , } \\ { \mathcal { F } _ { \mathrm { z } } ( t ) } & { { } = 2 i \sum _ { \mathrm { k } } g _ { \mathrm { k } } \left[ - \sigma _ { \mathrm { + } } ( t ) b _ { \mathrm { k } } ( 0 ) e ^ { i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } + b _ { \mathrm { k } } ^ { \dagger } ( 0 ) \sigma _ { \mathrm { - } } ( t ) e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } \right] . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \left| \Gamma _ { 1 } \right| ^ { 2 } + \left| T _ { 2 1 } \right| ^ { 2 } = 1 } \\ { \left| \Gamma _ { 2 } \right| ^ { 2 } + \left| T _ { 2 1 } \right| ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.
\mathcal { L } _ { \chi } ^ { \mathit { l i g h t } } = - \frac { i g } { 2 M _ { W } } \left[ \overline { { { l } } } _ { L i } ^ { m } \left( m _ { i } \delta _ { i k } - M U _ { L 4 i } ^ { * } U _ { R 4 k } \right) l _ { R k } ^ { m } - h . c . \right] \chi .
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } ( W , p ) \triangleq } & { - \frac { 1 + R } { 2 ( 1 \! - \! R ) } \! + \! \left( \! \frac { R ^ { 2 } } { ( 1 \! - \! R ) ^ { 2 } } \! + \! \frac { R \! + \! 2 \beta W } { 1 \! - \! R } \! + \! \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { 0 . 5 } , } \\ { = } & { \frac { - 2 + ( 1 - p ) W } { 2 ( 1 - p ) W } + \! \Bigg ( \! \frac { ( 1 - ( 1 - p ) W ) ^ { 2 } } { ( 1 - p ) ^ { 2 } W ^ { 2 } } \! } \\ & { + \! \frac { 1 - ( 1 - p ) W \! + \! 2 \beta W } { ( 1 - p ) W } \! + \! \frac { 1 } { 4 } \Bigg ) ^ { 0 . 5 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { 0 } ^ { 1 , 2 } + Z _ { 1 } ^ { 1 , 2 } } & { = \mathbb { 1 } _ { \{ \hat { y } \in ( - \infty , \bar { t } ) , y \in ( - \infty , \bar { t } ) \} } [ a _ { 0 } ^ { \prime } ( y ) \nabla y - a _ { 0 } ^ { \prime } ( \hat { y } ) \nabla \hat { y } ] + \mathbb { 1 } _ { \{ \hat { y } \in ( \bar { t } , \infty ) , y \in ( \bar { t } , \infty ) \} } [ a _ { 1 } ^ { \prime } ( y ) \nabla y - a _ { 1 } ^ { \prime } ( \hat { y } ) \nabla \hat { y } ] } \\ & { = Z _ { y , \hat { y } } ^ { ( 1 ) } . } \end{array}
\delta Z _ { I J } ^ { L } = \frac { - e ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } } \zeta \frac { m _ { I } ^ { 2 } + 2 m _ { J } ^ { 2 } } { m _ { J } ^ { 2 } - m _ { I } ^ { 2 } } \sum _ { i ^ { \prime } } V _ { I i ^ { \prime } } V _ { J i ^ { \prime } } ^ { * } \frac { m _ { i ^ { \prime } } ^ { 2 } } { m _ { W } ^ { 2 } } \, + \, \delta \hat { Z } _ { I J } ^ { L }
M _ { Z - Z ^ { \prime } } ^ { 2 } = 2 \left( \begin{array} { l l } { { ( | m _ { H } | ^ { 2 } - { \frac { | Q _ { H } ^ { \prime } | } { | Q _ { S } ^ { \prime } | } } | m _ { S } | ^ { 2 } ) } } & { { { \frac { 2 g ^ { \prime } Q _ { H } ^ { \prime } } { G } } ( | m _ { H } | ^ { 2 } - { \frac { | Q _ { H } ^ { \prime } | } { | Q _ { S } ^ { \prime } | } } | m _ { S } | ^ { 2 } ) } } \\ { { { \frac { 2 g ^ { \prime } Q _ { H } ^ { \prime } } { G } } ( | m _ { H } | ^ { 2 } - { \frac { | Q _ { H } ^ { \prime } | } { | Q _ { S } ^ { \prime } | } } | m _ { S } | ^ { 2 } ) } } & { { { \frac { 4 g ^ { 2 } { Q ^ { \prime } } _ { H } ^ { 2 } } { G ^ { 2 } } } ( 1 - { \frac { | Q _ { S } ^ { \prime } | } { | Q _ { H } ^ { \prime } | } } ) ( | m _ { H } | ^ { 2 } - { \frac { | Q _ { H } ^ { \prime } | } { | Q _ { S } ^ { \prime } | } } | m _ { S } | ^ { 2 } ) + | m _ { S } | ^ { 2 } } } \end{array} \right) .
\left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { j } _ { i } \cdot \boldsymbol { n } = - \gamma _ { i } \mathcal { R } , i = 1 \cdots N , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \Gamma , } \\ { F \frac { \partial C _ { e } } { \partial t } = \mathbb { C } _ { p } \frac { \partial ( \phi - \phi _ { p } ) } { \partial t } = j _ { e x } F - \Delta z F \mathcal { R } , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \Gamma } \\ { \boldsymbol { j } _ { i } \cdot \boldsymbol { n } = 0 , \phi = 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \partial \Omega / \Gamma , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { { { \Delta } } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } u = \sum _ { I \in \mathcal { I } _ { n - 1 } ^ { k } } \Delta _ { \mathcal { N } } u _ { I } \, \mathrm { d } { x _ { I } } + \sum _ { I ^ { \prime } \in \mathcal { I } _ { n - 1 } ^ { k - 1 } } \Delta _ { \mathcal { D } } u _ { I ^ { \prime } , n } \, \mathrm { d } { x _ { I ^ { \prime } } } \wedge \mathrm { d } x _ { n } \mathrm { . ~ } } \end{array}
l _ { s \mathbf { q } } ^ { \mathrm { ~ M ~ F ~ P ~ } } = \frac { \mathbf { F } _ { s \mathbf { q } } \cdot \mathbf { v } _ { s \mathbf { q } } } { k _ { \mathrm { ~ B ~ } } v _ { s \mathbf { q } } } ,
E _ { y } | _ { y = 0 ^ { + } } - E _ { y } | _ { y = 0 ^ { - } } = \frac { k _ { x } } { \omega \varepsilon _ { 0 } } \left( H _ { z } | _ { y = 0 ^ { + } } - H _ { z } | _ { y = 0 ^ { - } } \right) .
\begin{array} { r l r } { N } & { { } = } & { N _ { f } + N _ { b } , \ \ \Delta N = N _ { f } - N _ { b } , } \\ { v _ { p } } & { { } = } & { \frac { v _ { p } ^ { + } + v _ { p } ^ { - } } { 2 } , \ \ \Delta v _ { p } = v _ { p } ^ { + } - v _ { p } ^ { - } , } \\ { \sigma _ { S } } & { { } = } & { \frac { \sigma _ { f } + \sigma _ { b } } { 2 } = - K ( L - L _ { 0 } ) - \frac { \tilde { \xi } } { 2 } \left[ N \left( \frac { d L / d t } { 2 } - v _ { p } \right) + \Delta N \left( V _ { \mathrm { c e l l } } - \frac { \Delta v _ { p } } { 2 } \right) \right] , } \\ { \sigma _ { A } } & { { } = } & { \frac { \sigma _ { f } - \sigma _ { b } } { 2 } = - \frac { \tilde { \xi } } { 2 } \left[ N \left( V _ { \mathrm { c e l l } } - \frac { \Delta v _ { p } } { 2 } \right) + \Delta N \left( \frac { d L / d t } { 2 } - v _ { p } \right) \right] , } \end{array}
\mathbf { w } _ { ( 1 ) } = { \underset { \Vert \mathbf { w } \Vert = 1 } { \operatorname { \arg \, m a x } } } \, \left\{ \sum _ { i } ( t _ { 1 } ) _ { ( i ) } ^ { 2 } \right\} = { \underset { \Vert \mathbf { w } \Vert = 1 } { \operatorname { \arg \, m a x } } } \, \left\{ \sum _ { i } \left( \mathbf { x } _ { ( i ) } \cdot \mathbf { w } \right) ^ { 2 } \right\}
\frac { d } { d t } \left[ \frac { f _ { 2 } } { c } H - \frac { \dot { f } _ { 2 } } { 2 c } \sum _ { i } x _ { i } \, p _ { i } + \frac { \ddot { f } _ { 2 } \, c - \dot { f } _ { 2 } \, \dot { c } } { 4 c ^ { 3 } } \sum _ { i } x _ { i } ^ { 2 } \right] = 0 \, .
\Gamma _ { W Z W } = - i \frac { N _ { c } } { 2 4 0 \pi ^ { 2 } } \int _ { \bar { M } } d ^ { 5 } x \, e p s i l o n ^ { \mu \nu \lambda \rho \sigma } \mathrm { T r } ( U ^ { \dagger } \partial _ { \mu } U U ^ { \dagger } \partial _ { \nu } U U ^ { \dagger } \partial _ { \lambda } U U ^ { \dagger } \partial _ { \rho } U U ^ { \dagger } \partial _ { \sigma } U ) ,
\begin{array} { r l } { { p _ { I I I } } - { p _ { 0 } } } & { { } = { } \frac { 1 } { 2 } \rho \left( 1 - E ^ { 2 } \right) \left( v _ { 0 } ^ { 2 } - { v _ { I } } _ { t } ^ { 2 } \right) + p _ { I I } - p _ { I } } \end{array}
\varepsilon _ { \mathrm { I P A } } ^ { " } = \frac { g _ { s } \pi e ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } N _ { k } V _ { c } } \sum _ { m n \textbf { k } } | \textbf { x } _ { m n \textbf { k } } \cdot \textbf { e } | ^ { 2 } \delta ( \omega - ( E _ { n \textbf { k } } ^ { \mathrm { Q P } } - E _ { m \textbf { k } } ^ { \mathrm { Q P } } ) ) .
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { \nabla _ { s } x } \\ { \partial _ { \theta } x } \\ { \partial _ { \sigma } x } \end{array} \right] } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l } { 1 - \sigma ( \cos ( \theta + \phi ) \kappa ) } & { - \sigma \sin ( \theta + \phi ) ( \omega + \nabla _ { s } \phi ) } & { \sigma \cos ( \theta + \phi ) ( \omega + \nabla _ { s } \phi ) } \\ { 0 } & { - \sigma \sin ( \theta + \phi ) } & { \sigma \cos ( \theta + \phi ) } \\ { 0 } & { \cos ( \theta + \phi ) } & { \sin ( \theta + \phi ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { X A S } ( \omega ) = \sum _ { m } | \langle m | D | g \rangle | ^ { 2 } \frac { \Gamma _ { m } / \pi } { ( E _ { m } - E _ { g } - \omega ) ^ { 2 } + \Gamma _ { m } ^ { 2 } } , } \end{array}
z ( \omega ) = \frac { 1 } { 2 } \operatorname { s g n } ( \omega ) \left[ \Phi _ { 2 } ( | \omega | - \Omega ) ^ { 2 } + \Phi _ { 1 } ( | \omega | - \Omega ) + \Phi _ { 0 } ) \right] + i \frac { 1 } { 2 } | \log \mathcal { A } | .
\gamma = \frac { \left( k ^ { 2 } - 1 \right) k \sinh \tau \sin \sigma } { \left( ( k ^ { 2 } + 1 ) \cosh \tau + ( k ^ { 2 } - 1 ) \cos \sigma \right) ^ { 2 } - 4 k ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } \tau } ,
\langle \mathcal { O } _ { \sigma _ { 1 } } ( X , Y ) ( \mathcal { O } _ { \sigma _ { 2 } } ( X , Y ) ) ^ { \dagger } \rangle = \sum _ { \gamma \in S _ { m } \times S _ { n } } \mathrm { T r } _ { V _ { N } ^ { \otimes m + n } } \left( B _ { x } ^ { \otimes m } \otimes B _ { y } ^ { \otimes n } \mathcal { L } _ { \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } } \right) \, .
\begin{array} { r l } & { \pi ( T _ { 0 } , r _ { T _ { 0 } } , \lambda _ { T _ { 0 } } ) } \\ & { \ \ \ = \left[ \kappa \sum _ { \ell = 1 } ^ { M } ( T _ { \ell } - T _ { \ell - 1 } ) h _ { \ell } ( T _ { 0 } , r _ { T _ { 0 } } , \lambda _ { T _ { 0 } } ) - \delta \left( g ( T _ { 0 } , r _ { T _ { 0 } } , \lambda _ { T _ { 0 } } ) - h ( T _ { 0 } , r _ { T _ { 0 } } , \lambda _ { T _ { 0 } } ) \right) \right] ^ { + } . } \end{array}
\frac { n _ { B } } { s } \sim \frac { 1 0 ^ { - 2 } } { g _ { * } } \, \vert { \bf h } \vert ^ { 4 } \, \delta _ { C P } \, \left( \frac { T _ { \mathrm { r e h } } } { T _ { \mathrm { d e c } } } \right) ^ { \frac { 3 ( 8 - n ) } { n } } , \qquad ( M o d e l \; B ) .
\left[ \begin{array} { l } { V _ { N + 1 } } \\ { I _ { N + 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { C } & { D } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { V _ { N } } \\ { I _ { N } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { T _ { M , v i r } } & { { } = \frac { N } { 2 \beta } + \frac { 1 } { 2 M } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 N } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left( x _ { i } ^ { ( j ) } - \Bar { x } _ { i } \right) \partial _ { x _ { i } ^ { ( j ) } } V } \\ { T _ { M , p r i } } & { { } = \frac { 3 N M } { 2 \beta } - \frac { m M } { 2 \beta ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left( x _ { i } ^ { ( j ) } - x _ { i } ^ { ( j - 1 ) } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\frac { \partial p } { \partial x } = 1 2 \mu \left[ \dot { Z } \frac { x } { h ^ { 3 } } + \frac { \dot { \theta } } { 2 } \frac { x ^ { 2 } } { h ^ { 3 } } - \frac { \dot { X } } { 2 } \frac { 1 } { h ^ { 2 } } - J _ { 0 } \frac { 1 } { h ^ { 3 } } \right] \, ,
{ \cal Q } _ { 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( - i \frac { d } { d x } { \Sigma _ { 1 } } - W _ { - } ( x ) \Sigma _ { 2 } \right) , \quad { \cal Q } _ { 2 } = i \Sigma _ { 3 } { \cal Q } _ { 1 } ,
f _ { 4 1 } = 2 m _ { 1 } p ^ { 2 } + p _ { 0 } p ^ { 2 } - 2 m _ { 1 } p p ^ { \prime } + 4 p _ { 0 } p p ^ { \prime } + 2 p _ { 0 } ^ { \prime } p p ^ { \prime } - 1 0 m _ { 1 } p ^ { 2 } - 8 p _ { 0 } ^ { \prime } p ^ { 2 } - 1 2 m _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 0 } +
\begin{array} { r } { \left\langle t _ { \mathrm { b } } \right\rangle = \int _ { 0 } ^ { + \infty } d t _ { \mathrm { b } } t _ { \mathrm { b } } P ( t _ { \mathrm { b } } ) = ( 1 - p ) ( \tau _ { \mathrm { p h o t } } + \tau _ { \mathrm { d } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { a _ { 0 } ^ { ( k ) } = \frac { 1 } { \tau _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } \int _ { t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } } ^ { t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } \omega _ { 1 - \alpha } ( t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } - s ) d s = \frac { 1 } { \tau _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } \omega _ { 2 - \alpha } ( \tau _ { k - \frac { 1 } { 2 } } ) } \end{array}
\frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } + \mathbf { u } \cdot \nabla \mathbf { u } = - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \nabla P + \nu \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + g \beta ( T - T _ { 0 } ) \hat { \mathbf { y } }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \| x - x _ { k } \| } & { \leq \int _ { t _ { k } } ^ { t } \| f ( x ) + g ( x ) u _ { k } \| d t } \\ & { \leq ( t - t _ { k } ) M _ { k } } \\ & { \leq ( t - t _ { k } ) \frac { \operatorname* { m i n } \left( \frac { \varepsilon _ { \mathrm { c l f } } } { L _ { \mathrm { c l f } } } , \frac { \varepsilon _ { \mathrm { c b f } } } { L _ { \mathrm { c b f } } } \right) } { \Gamma ( x _ { k } ) } } \\ & { \leq \operatorname* { m i n } \left( \frac { \varepsilon _ { \mathrm { c l f } } } { L _ { \mathrm { c l f } } } , \frac { \varepsilon _ { \mathrm { c b f } } } { L _ { \mathrm { c b f } } } \right) } \\ { \Leftrightarrow \& \left\{ \begin{array} { l l } { \varepsilon _ { \mathrm { c l f } } - L _ { \mathrm { c l f } } \| x - x _ { k } \| \geq 0 , } \\ { \varepsilon _ { \mathrm { c b f } } - L _ { \mathrm { c b f } } \| x - x _ { k } \| \geq 0 . } \end{array} \right. } \end{array} } \end{array}
u _ { m } ^ { ( i ) } = \frac 1 8 ( v _ { \alpha A } ^ { + } \tilde { \sigma } _ { m } ^ { \alpha \beta } v _ { \beta \dot { A } } ^ { - } ) \gamma _ { A \dot { A } } ^ { i } = - \frac 1 8 ( v _ { A } ^ { \alpha - } \sigma _ { m \alpha \beta } v _ { \dot { A } } ^ { \beta + } ) \gamma _ { A \dot { A } } ^ { i } .
\phi = \frac { 2 \pi N l } { ( 2 i + 1 ) ( 2 j _ { g } + 1 ) } \frac { \omega } { \Delta _ { D } \hbar c } \frac { E _ { z } } { \hbar \Delta _ { D } } | A | ^ { 2 } \biggl ( \frac { \partial g ( u , v ) } { \partial u } \delta _ { 1 } + 2 g ( u , v ) \gamma _ { 1 } \biggr ) .
\begin{array} { r l } { \left\lVert \sum _ { i } \alpha _ { i } | \langle \hat { n } _ { i } , \hat { x } \rangle | - \beta _ { d } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( S _ { d - 1 } ) } ^ { 2 } } & { \le \left\lVert \sum _ { i } \alpha _ { i } | \langle \hat { n } _ { i } , \hat { x } \rangle | - \beta _ { d } \right\rVert _ { L ^ { 1 } ( S _ { d - 1 } ) } \left\lVert \sum _ { i } \alpha _ { i } | \langle \hat { n } _ { i } , \hat { x } \rangle | - \beta _ { d } \right\rVert _ { L ^ { \infty } ( S _ { d - 1 } ) } } \\ & { \le \left\lVert \sum _ { i } \alpha _ { i } | \langle \hat { n } _ { i } , \hat { x } \rangle | - \beta _ { d } \right\rVert _ { L ^ { 1 } ( S _ { d - 1 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \omega , b , \xi , \eta , z } \quad } & { \frac { \Vert \omega \Vert ^ { 2 } } { 2 } + C _ { 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \xi _ { i } + C _ { 2 } ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } ) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { y _ { i } ( \omega ^ { \top } x ^ { i } + b ) \geq 1 - \xi _ { i } , \quad i \in [ 1 , n ] , } \\ & { \omega ^ { \top } c ^ { j } + b \leq z _ { j } M , \quad j \in [ 1 , k ] , } \\ & { \omega ^ { \top } c ^ { j } + b \geq - ( 1 - z _ { j } ) M , \quad j \in [ 1 , k ] , } \\ & { \tau - \eta _ { 1 } \leq \sum _ { j = 1 } ^ { k } e _ { j } z _ { j } \leq \tau + \eta _ { 2 } , } \\ & { \xi _ { i } \geq 0 , \quad i \in [ 1 , n ] , } \\ & { \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } \geq 0 , } \\ & { z _ { j } \in \{ 0 , 1 \} , \quad j \in [ 1 , k ] . } \end{array}
e ^ { \frac { p a } { 2 } \cdot \frac { \lfloor a / 2 \rfloor } { a } \left( 1 - \frac { \lfloor a / 2 \rfloor } { a } \right) } \ge e ^ { \frac { p a } { 2 } \cdot \frac { a - 1 } { 2 a } \left( 1 - \frac { a - 1 } { 2 a } \right) } = e ^ { \frac { p a } { 8 } - \frac { p } { 8 a } } \ge \exp \left( \frac { p a } { 8 } + \frac { 1 } { 2 } \log a - \frac { 1 } { 2 } \log \frac { p } { 6 4 } - \frac { p } { 8 } \right) ,
\sigma _ { \mathrm { p e a k } } ( \bar { \nu } _ { i } e \rightarrow \bar { \nu } _ { i } e ) \approx \frac { 8 \pi } { m _ { \tilde { e } _ { \mathrm { L } } ^ { k } } ^ { 2 } } \cdot \left( \frac { \Gamma ( \tilde { e } _ { \mathrm { L } } ^ { k } \rightarrow \bar { \nu } _ { i } e ) } { \Gamma _ { \mathrm { t o t } } ( \tilde { e } _ { \mathrm { L } } ^ { k } ) } \right) ^ { 2 } \; ,