\begin{array} { r l } & { | A - A ^ { * } | } \\ { = } & { \left| \left( \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( V u ) , u \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } - \left( \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( V u ^ { * } ) , u ^ { * } \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \right| } \\ & { \qquad \qquad + \beta \left| \left( \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( | u | ^ { 2 } u ) , u \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } - \left( \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( | u ^ { * } | ^ { 2 } u ^ { * } ) , u ^ { * } \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \right| } \\ { \leq } & { \left| \left( \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( V u ) , u - u ^ { * } \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \right| + \left| \left( \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( V u - V u ^ { * } ) , u ^ { * } \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \right| } \\ & { \qquad \qquad + \beta \left| \left( \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( u ^ { 3 } ) , u - u ^ { * } \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \right| + \beta \left| \left( \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( u ^ { 3 } - ( u ^ { * } ) ^ { 3 } ) , u ^ { * } \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \right| } \\ { \leq } & { \left\Vert \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( V u ) \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \left\Vert \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( V u - V u ^ { * } ) \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \left\Vert u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { \qquad \qquad + \beta \left\Vert \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( u ^ { 3 } ) \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \beta \left\Vert \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( u ^ { 3 } - ( u ^ { * } ) ^ { 3 } ) \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \left\Vert u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ { \leq } & { C _ { 3 } ^ { 2 } \left\Vert \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( V u ) \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } + C _ { 3 } \left\Vert \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( V u - V u ^ { * } ) \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ & { \qquad \qquad + \beta C _ { 3 } ^ { 2 } \left\Vert \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( u ^ { 3 } ) \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } + \beta C _ { 3 } \left\Vert \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( u ^ { 3 } - ( u ^ { * } ) ^ { 3 } ) \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ { \leq } & { C _ { 3 } ^ { 3 } \left\Vert V u \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } + C _ { 3 } ^ { 2 } \left\Vert V ( u - u ^ { * } ) \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { \qquad \qquad + \beta C _ { 3 } ^ { 2 } \left\Vert u ^ { 3 } \right\Vert _ { H ^ { - 1 } ( \Omega ) } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } + \beta C _ { 3 } \left\Vert u ^ { 3 } - ( u ^ { * } ) ^ { 3 } \right\Vert _ { H ^ { - 1 } ( \Omega ) } } \\ { \leq } & { \left( 2 C _ { 3 } ^ { 3 } V _ { \operatorname* { m a x } } + \beta C _ { 3 } ^ { 2 } \left\Vert u ^ { 3 } \right\Vert _ { H ^ { - 1 } ( \Omega ) } + \beta C _ { 3 } L _ { u } \right) \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ { = } & { L _ { A } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } , } \end{array}