harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { \Psi } ( \vec { x } , t ) = \sum _ { r k } \sqrt { \frac { m } { E ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \left( \hat { b } ( k ) u _ { r } ( k ) e ^ { - i k x } + \hat { d } ^ { \dag } ( k ) u _ { r } ^ { * } ( k ) e ^ { i k x } \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { m , n + q } ^ { \kappa , \rho } ( z , \overline { { z } } ) } & { = z ^ { q } \sum _ { j = 0 } ^ { m } \sum _ { \ell = 0 } ^ { j \wedge q } \mathbf { a } _ { q , j , \ell , k } ^ { \kappa , \rho , m , n } \left( \frac { 1 - | z | ^ { 2 } } { z } \right) ^ { m + \ell - j } \mathcal { Z } _ { j - \ell , n } ^ { \kappa + m + \ell - j } ( z , \overline { { z } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \widehat { \mathcal { H } } _ { 3 } ( f ) - \mathcal { H } _ { 3 } ( f ) \right| } & { = \Big | \iint _ { [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } D ( f \| \hat { f } ) - D ( \hat { f } \| f ) d x d y + \iint _ { [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } f \log \hat { f } + ( 1 - f ) \log ( 1 - \hat { f } ) - \hat { f } \log f - ( 1 - \widehat { f } ) \log ( 1 - f ) \ d x d y \Big | } \end{array}
\alpha ^ { 4 } + 2 \left( \frac { k ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { 2 m ^ { 4 } } { \phi _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \alpha ^ { 2 } + \left( \frac { k ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { 4 m ^ { 4 } } { \phi _ { 0 } ^ { 2 } } \right) k ^ { 2 } = 0 .
d \Gamma = \frac { 1 } { 2 E _ { B } } \sum _ { n } \left| { \cal M } \right| ^ { 2 } \frac { d ^ { 3 } P _ { l } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { l } } \frac { d ^ { 3 } P _ { \nu } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { \nu } } \Big [ \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { d ^ { 3 } P _ { i } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { i } } \Big ] ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { 4 } ( P _ { B } - q - \sum _ { i = 1 } ^ { n } P _ { i } ) ,
\begin{array} { r } { A = \Bar { A } \left( 1 - \frac { \mathcal { R } } { 6 } R _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } ^ { 2 } f ( n ) + \mathcal { O } ( R _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } ^ { 4 } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \mathrm { P o r t \ 4 ^ { \prime } } \rangle } & { { } = } & { \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 1 } } , \pi / 2 ) \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 1 } } , \delta \phi _ { \mathrm { p } } ) | \mathrm { P o r t \ 4 } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { \partial \varphi } { \partial \tau } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 m } \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial \kappa ^ { 2 } } , } \\ { i \frac { \partial \psi } { \partial t } } & { { } = - \frac { w } { 2 m } \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { m \omega ^ { 2 } x ^ { 2 } \psi } { 2 w } . } \end{array}
\psi _ { \alpha } ( x ^ { \prime } ) = \left( { \frac { m \omega } { \pi \hbar } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } e ^ { { \frac { i } { \hbar } } \langle { \hat { p } } \rangle _ { \alpha } ( x ^ { \prime } - { \frac { \langle { \hat { x } } \rangle _ { \alpha } } { 2 } } ) - { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } ( x ^ { \prime } - \langle { \hat { x } } \rangle _ { \alpha } ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \left( 1 + 6 \alpha _ { t } ^ { 3 } Q ^ { 3 } L ^ { 3 } + \frac { 2 \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 2 } C L } { n } \right) ^ { T } } \\ & { \quad \leq \exp \left[ \left( 6 \alpha _ { t } ^ { 3 } Q ^ { 3 } L ^ { 3 } + \frac { 2 \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 2 } C L } { n } \right) T \right] \leq \exp ( 1 ) \leq 3 . } \end{array}
\Gamma ( \Phi \to g g ( g ) , q { \bar { q } } g ) = \frac { G _ { F } \alpha _ { s } ^ { 2 } m _ { \Phi } ^ { 3 } ( 9 / 4 ) } { 1 6 \sqrt { 2 } \pi ^ { 3 } } \Big | \sum _ { t , b } A _ { Q } ^ { \Phi } \Big | ^ { 2 } \, \left\{ 1 + \left[ \frac { 9 5 } { 4 } \left( \frac { 9 7 } { 4 } \right) - \frac { 7 } { 6 } N _ { F } \right] \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \right\}
\xi ^ { \pm } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } , t ) = \mathcal { N } \eta _ { m } ( \boldsymbol { r } , t + \tau ) \eta _ { m } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } , t ) \left[ e ^ { i m ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) } \pm e ^ { - i m ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) } \right] ,
\mathcal { J } _ { 2 } ^ { \prime } ( \iota ( c _ { s } ) ; \iota ^ { \prime } ( c _ { s } ) ) = \int _ { 0 } ^ { t _ { f } } \eta ^ { \prime } ( \iota ( c _ { s } ( t ) ) ; \iota ^ { \prime } ( c _ { s } ) ) \left[ \eta ( \iota ( c _ { s } ( t ) ) ) - \overline { { \eta } } ( \iota ( c _ { s } ( t ) ) ) \right] \, d t .
\begin{array} { r l } { f \left( x \right) - f \left( x _ { t + 1 } \right) } & { \geq \left\langle \frac { x _ { t } - x _ { t + 1 } } { \alpha _ { t } } - \nabla g \left( x _ { t } \right) | x - x _ { t + 1 } \right\rangle - \frac { \rho } { 2 } \left\Vert x - x _ { t + 1 } \right\Vert ^ { 2 } - \left\langle \frac { e _ { t } } { \alpha _ { t } } | x - x _ { t + 1 } \right\rangle - \varepsilon _ { t } . } \end{array}
T _ { \alpha \beta } = { \frac { 1 } { 4 } } \left( \nabla _ { \alpha } \tilde { \psi } \gamma _ { \beta } \psi + \nabla _ { \beta } \tilde { \psi } \gamma _ { \alpha } \psi - \tilde { \psi } \gamma _ { \alpha } \nabla _ { \beta } \psi - \tilde { \psi } \gamma _ { \beta } \nabla _ { \alpha } \psi \right) ~ .
\begin{array} { r } { \mathrm { S } _ { 1 } \lesssim \underset { 0 \leq t \leq T } { \operatorname* { s u p } } \left( \sum _ { \ell \in \mathbb Z ^ { d } } \underset { 0 \leq s \leq t } { \operatorname* { s u p } } \ \underset { \xi \in \mathbb R ^ { d } } { \operatorname* { s u p } } \, \left\lbrace ( 1 + \vert \ell \vert ^ { \alpha _ { 2 } } ) ( 1 + \vert \xi \vert ^ { \alpha _ { 1 } } ) \vert ( \mathcal { F } _ { x , v } \mathcal { G } ) ( t , s , \ell , \xi ) \vert \right\rbrace ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\mathrm { ~ S ~ p ~ a ~ c ~ e ~ } \quad \left\{ \begin{array} { l } { \mathrm { ~ A ~ b ~ s ~ o ~ l ~ u ~ t ~ e ~ } \quad \left\{ \begin{array} { l } { \mathrm { ~ E ~ x ~ t ~ r ~ i ~ n ~ s ~ i ~ c ~ } } \\ { \mathrm { ~ I ~ n ~ t ~ r ~ i ~ n ~ s ~ i ~ c ~ } } \end{array} \right. } \\ { \mathrm { ~ R ~ e ~ l ~ a ~ t ~ i ~ v ~ e ~ } \quad \left\{ \mathrm { ~ I ~ n ~ t ~ r ~ i ~ n ~ s ~ i ~ c ~ } \right. } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Psi _ { 1 } ( a , b ) = \omega _ { 0 } \phi - } & { { } \frac { r ^ { 2 } } { \sigma _ { \eta } ^ { 2 } } \frac { \eta } { \eta _ { 0 } } + ( 1 - a ) \theta } \end{array}
F ( s ) \, = \, \frac { 1 + \kappa ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - \kappa ^ { 2 } } } \, K ( k ) - \frac { 2 } { \sqrt { 1 - \kappa ^ { 2 } } } \, E ( k ) \, = \, \log \Bigl ( \frac { 4 } { \kappa } \Bigr ) \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } C _ { m } \kappa ^ { 2 m } \, + \, \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } D _ { m } \kappa ^ { 2 m } \, ,
\begin{array} { r l r l } { { \left| { \vec { k } _ { \mathrm { ~ I ~ R ~ F ~ } } ^ { \prime } } \right| } } & { { } = \frac { m n \eta _ { e } } { \sqrt { 1 + a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } } } , } & { \cos \theta _ { \mathrm { ~ I ~ R ~ F ~ } } } & { { } = 1 - 2 v . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \relax [ \omega _ { s } ^ { 2 } - | \mathbf { k } _ { s } | ^ { 2 } c ^ { 2 } - \omega _ { p } ^ { 2 } ] [ 1 + } & { { } \chi _ { e } ( \omega _ { e } \mathbf { k } _ { e } ) ] = } \end{array} } \end{array}
( \mathrm { P } ) \quad \begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } \ c ^ { T } } & { x + \frac { 1 } { 2 } x ^ { T } Q x , } \\ { \mathrm { s . t . } \; \; A x } & { = b , } \\ { x } & { \geq 0 , } \end{array} \qquad \qquad ( \mathrm { D } ) \quad \begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } \ b ^ { T } y - \frac { 1 } { 2 } x ^ { T } Q } & { x , \ \ } \\ { \mathrm { s . t . } \; \; A ^ { T } y + s - Q x } & { = c , } \\ { s } & { \geq 0 , } \end{array}
P = \operatorname* { m i n } _ { W } \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left[ \mathbf { W } ^ { \dagger } \mathbf { M } \mathbf { W } + \left( \mathbf { W } ^ { \dagger } \mathbf { H } - \mathbf { I } \right) \mathbf { \Lambda } + \mathbf { \Gamma } \left( \mathbf { H } ^ { \dagger } \mathbf { W } - \mathbf { I } \right) \right] .
\epsilon _ { 1 } ^ { i } = e ^ { { \frac { 1 } { 2 } } A } \tilde { \eta } _ { + } ^ { i } \ , \qquad \epsilon _ { 2 } ^ { i } = \left( e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } A } - 2 \kappa ^ { D - 2 } W ( \phi _ { 0 } ) e ^ { { \frac { 1 } { 2 } } A } x ^ { \mu } \Gamma _ { \underline { { \mu } } } \right) \tilde { \eta } _ { - } ^ { i } \ .
\int \, \prod _ { A = 1 , 2 , 3 , 4 } d \nu ^ { A } \, \exp \big [ \sqrt 8 \pi i g ^ { - 1 } \mathrm { t r } _ { k ^ { \prime } } \, \chi _ { A B } ( \nu ^ { A } ) ^ { t } \nu ^ { B } \big ] = 2 ^ { 6 k N - 6 { k ^ { \prime } } ^ { 2 } } ( \pi / g ) ^ { 4 k N - 4 { k ^ { \prime } } ^ { 2 } } \left( \mathrm { d e t } _ { 4 k ^ { \prime } } \chi \right) ^ { N ^ { \prime } / 2 - k ^ { \prime } } \ .
S = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \left[ \left( \frac { 1 } { 1 6 \pi G } + \xi \varphi { \varphi } ^ { \ast } \right) R + g ^ { \mu \nu } { \partial } _ { \mu } \varphi { \partial } _ { \nu } { \varphi } ^ { \ast } - U \right] .
{ \frac { d } { d t } } \left( \iint _ { \Sigma ( t ) } \mathbf { F } ( \mathbf { r } , t ) \cdot d \mathbf { A } \right) = \iint _ { \Sigma ( t ) } { \big ( } \mathbf { F } _ { t } ( \mathbf { r } , t ) + \left( \mathbf { F \cdot \nabla } \right) \mathbf { v } + \left( \nabla \cdot \mathbf { F } \right) \mathbf { v } - ( \nabla \cdot \mathbf { v } ) \mathbf { F } { \big ) } \cdot d \mathbf { A } - \oint _ { \partial \Sigma ( t ) } \left( \mathbf { v } \times \mathbf { F } \right) \cdot d \mathbf { s } .
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { e f f } } = \frac { ( \pi R ) ^ { 2 } } { 3 } \frac { m _ { t } ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } \left[ \left( \overline { { { t } } } _ { L } \, t _ { R } \right) \left( \overline { { { t } } } _ { R } \, t _ { L } \right) + \sum _ { f , f ^ { \prime } } ^ { d , s , b } \left( \overline { { { f ^ { \prime } } } } _ { L } \, t _ { R } \right) \left( \overline { { { t } } } _ { R } \, f _ { L } \right) \, V _ { t f } V _ { t f ^ { \prime } } ^ { * } \right] \, .
\frac { \ell _ { 3 } ^ { \textrm { i } } } { \tilde { a } _ { 2 } ^ { \textrm { r } } } \rightarrow \frac { \left( y \frac { \partial R } { \partial x } - x \frac { \partial R } { \partial y } \right) \sqrt { - 2 E } } { r \left( \frac { \partial S } { \partial r } \frac { \partial R } { \partial y } + \frac { \partial S } { \partial y } \frac { \partial R } { \partial r } \right) } ,
\begin{array} { r l } { d y _ { \mathrm { f } } } & { = \left( d y = 0 , \left( d x _ { v } = 0 \right) _ { v \in S } , \left( \{ 0 \} _ { v \neq p } , \mathrm { t r } ^ { * } z _ { p } \right) \right) \in \widetilde { C } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { 2 } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathbf { g } } ) \, . } \end{array}
\Bigg \langle \frac { w } { w _ { f } } ( . . . ) \Bigg \rangle _ { \tau } = \frac { 1 } { \tau } \int \frac { \mathrm { d } \theta } { w } q R \frac { w } { w _ { f } } ( . . . ) = \frac { 2 \pi q R } { \tau w _ { f } } \langle . . . \rangle _ { \psi }
\begin{array} { r l } { \phi ( \Psi ( \mathbf { z } _ { i } ^ { t _ { 1 } } ) , \Psi ( \mathbf { z } _ { j } ^ { t _ { 1 } ^ { \prime } } ) ) ( \tau ) = } & { 2 \cdot \sum _ { m = 0 } ^ { l - 1 } \gamma \left( s _ { m } ^ { ( t _ { 1 } , i ) } , s _ { m } ^ { ( t _ { 1 } ^ { \prime } , j ) } \right) ( \tau ) + [ ( - 1 ) ^ { h _ { l - 1 } + h _ { l } } + ( - 1 ) ^ { h _ { 2 l - 1 } + h _ { 0 } } ] \gamma ^ { * } \left( s _ { 0 } ^ { ( t _ { 1 } ^ { \prime } , j ) } , s _ { 2 l - 1 } ^ { ( t _ { 1 } , i ) } \right) ( L - \tau ) } \\ & { + \sum _ { m = 0 } ^ { l - 2 } [ ( - 1 ) ^ { h _ { m } + h _ { m + 1 } } + ( - 1 ) ^ { h _ { m + l } + h _ { m + 1 + l } } ] \gamma ^ { * } \left( s _ { m + 1 } ^ { ( t _ { 1 } ^ { \prime } , j ) } , s _ { m } ^ { ( t _ { 1 } , i ) } \right) ( L - \tau ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \Big [ \operatorname* { s u p } _ { x \in I } \big | \bar { \Gamma } _ { n } ^ { * } ( x ) - \bar { \Gamma } _ { n } ( x ) \big | \Big \vert \{ \mathbf { Z } _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { n } \Big ] } & { \leq C \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname* { s u p } _ { x \in I } | \gamma _ { 0 } ( x ; \mathbf { Z } _ { i } ) | \mathbb { E } [ \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } | W _ { i , n } | ] n ^ { - 1 / 2 } } \\ & { \quad + C n ^ { - 1 / 2 } \operatorname* { m a x } _ { \lfloor \sqrt { n } \rfloor \leq k \leq n } \mathbb { E } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { x \in I } \Big | \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { i = \lfloor \sqrt { n } \rfloor } ^ { k } \bar { \gamma } _ { n } ( x ; \mathbf { Z } _ { R _ { i } } ) \Big | \bigg \vert \{ \mathbf { Z } _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { n } \bigg ] } \end{array}
\left. K _ { f } e ^ { { \frac { i } { \hbar } } S ( \Phi , \Phi _ { a } ^ { * } , \bar { \Phi } ) } \right| _ { \Phi _ { a } ^ { * } = \bar { \Phi } = 0 } = e ^ { { \frac { i } { \hbar } } [ S ( F ( \Phi ) , 0 , 0 ) + O ( \hbar ) ] } .
S ( t _ { \mathrm { m a x } } , \tilde { \nu } ) = \sum _ { n = - 4 } ^ { 4 } S _ { n } ( \tilde { \nu } ) \exp \left( { - \mathrm { i } n \Omega t _ { \mathrm { m a x } } } \right) \approx S _ { 0 } ^ { \mathrm { a i r } }
\begin{array} { r } { | \partial _ { v } ^ { m _ { 1 } } \partial _ { v ^ { \prime } } ^ { m - m _ { 1 } } \tilde { \chi } _ { 2 } ( v ) \tilde { \chi } _ { 2 } ( v ^ { \prime } ) \Phi _ { j , 1 } ^ { r e } ( v , v ^ { \prime } k ) | \leq C ( k ) \Gamma _ { s } ( m ) ( M ) ^ { m } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad j = 0 , 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Big | | \operatorname { N o r m a l i z e } ( x ) | - | \operatorname { N o r m a l i z e } ( y ) | \Big | = \Big | ( 2 n \pi - x ) - ( y - 2 n \pi ) \Big | \leq \Big | ( 2 n \pi - x ) + ( y - 2 n \pi ) \Big | = | x - y | . } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { \lambda } \approx 1 . 4 \times 1 0 ^ { 1 } 2 \times \left( \frac { ( k _ { B } T _ { e } ) ^ { 3 / 4 } } { N _ { e } } \right) \times \left( \frac { \Delta E } { M _ { A } f _ { 1 2 } ( g ) } \right) ^ { 1 / 2 } \times e ^ { \Delta E / 2 k _ { B } T _ { e } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \hat { n } _ { 1 } \right\rangle _ { s s } } & { { } = \frac { \Delta _ { 1 } - \beta _ { 1 } \left( \Delta _ { 2 } + 2 \beta _ { 2 } \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 2 } ^ { 2 } \right) } { \Delta _ { 3 } } } \\ { \left\langle \hat { n } _ { 2 } \right\rangle _ { s s } } & { { } = \frac { \Delta _ { 1 } - \beta _ { 2 } \left( \Delta _ { 2 } + 2 \beta _ { 1 } \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 1 } ^ { 2 } \right) } { \Delta _ { 3 } } } \\ { \left\langle \hat { \eta } \right\rangle _ { s s } } & { { } = \frac { 2 \mu \left( \beta _ { 2 } \gamma _ { 1 } - \beta _ { 1 } \gamma _ { 2 } \right) } { \Delta _ { 3 } } } \end{array}
Q ^ { r / l } ( \omega ) = \frac { \omega V _ { 1 } } { c n _ { 0 } } \cot \left( \frac { \omega n } { c } L \right) + \frac { 1 } { 2 } \bigg ( \frac { n } { n _ { 0 } } - \frac { n _ { 0 } } { n } \bigg ) \pm \frac { \omega V _ { 2 } } { c n } - \frac { \omega ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } n _ { 0 } n } \left( V _ { 1 } ^ { 2 } + V _ { 2 } ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \| y ( \cdot , T ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } \leq } & { C \left( \| y ^ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } + \| f \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ^ { \star } ) } ^ { 2 } + \| v \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } \right) } \\ { \| y \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ) } ^ { 2 } \leq } & { C \left( \| y ^ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } + \| f \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ^ { \star } ) } ^ { 2 } + \| v \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } \right) } \\ { \| y _ { t } \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ^ { \star } ) } ^ { 2 } \leq } & { C \left( \| y ^ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } + \| f \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ^ { \star } ) } ^ { 2 } + \| v \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in T } \left\Vert \mathcal { E } _ { t } \right\Vert _ { \mathrm { \tiny ~ s p e c } } ^ { p } \right) ^ { 1 / p } } & { \lesssim } & { \left( \frac { 1 } { \sqrt { n } } \gamma _ { 2 } ( T , d _ { 2 } ) + \frac { 1 } { n } \gamma _ { 1 } ( T , d _ { 1 } ) \right) + \sqrt { p } \frac { \sigma } { \sqrt { n } } + p \frac { \Upsilon } { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ s ~ a ~ g ~ i ~ t ~ t ~ a ~ l ~ p ~ l ~ a ~ n ~ e ~ } { : } \quad } & { { } \frac { 1 } { s _ { \mathrm { o b } } } + \frac { 1 } { s _ { \mathrm { i m } } } = - 4 \, c _ { 2 0 } \cos ( \theta ) , } \\ { \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ g ~ e ~ n ~ t ~ i ~ a ~ l ~ p ~ l ~ a ~ n ~ e ~ } { : } \quad } & { { } \frac { 1 } { t _ { \mathrm { o b } } } + \frac { 1 } { t _ { \mathrm { i m } } } = - 4 \, c _ { 0 2 } \sec ( \theta ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { E } _ { B } \Big [ ( p ( a | b ) - p ( a ) ) ^ { n } \Big ] \stackrel { * } { \rightarrow } { E } _ { B } \Big [ \Big ( p ( a | b ) - p ^ { \prime } ( a ) \Big ) ^ { n } \Big | b ^ { \prime } \Big ] = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { b ^ { 2 } } & { { } = m ^ { 2 } + d ^ { 2 } - 2 d m \cos \theta } \\ { c ^ { 2 } } & { { } = m ^ { 2 } + d ^ { 2 } - 2 d m \cos \theta ^ { \prime } } \end{array}
U _ { a r e a } = k _ { A } \frac { \left( A - A _ { 0 } \right) ^ { 2 } } { A _ { 0 } } , \quad U _ { v o l u m e } = k _ { V } \frac { \left( V - V _ { 0 } \right) ^ { 2 } } { V _ { 0 } } ,
\begin{array} { r l } { X _ { i } } & { { } = { \bar { M } } + ( { \bar { X } } - { \bar { M } } ) + ( X _ { i } - { \bar { X } } ) } \\ { Y _ { i } } & { { } = { \bar { M } } + ( { \bar { Y } } - { \bar { M } } ) + ( Y _ { i } - { \bar { Y } } ) } \\ { Z _ { i } } & { { } = { \bar { M } } + ( { \bar { Z } } - { \bar { M } } ) + ( Z _ { i } - { \bar { Z } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \mathcal { V } ^ { r } \big ( \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \tau ^ { P ( n ) } f : N \big ) \| _ { L ^ { p } ( X ) } + \operatorname* { s u p } _ { \lambda > 0 } \, \| \lambda \cdot N _ { \lambda } \big ( \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \tau ^ { P ( n ) } f : N \big ) ^ { 1 / 2 } \| _ { L ^ { p } ( X ) } } \\ & { \qquad \leq \mathbf { C } _ { p } \cdot ( 1 + \frac { r } { r - 2 } ) \cdot \| f \| _ { L ^ { p } ( X ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { i n t } } ^ { \pm } ( R ) = \ } & { V _ { \mathrm { B O } } ( R ) + V _ { \mathrm { r e l } } ( R ) + V _ { \mathrm { a d } } ( R ) } \\ & { \pm \sqrt { \left( \delta V _ { \mathrm { B O } } ( R ) \right) ^ { 2 } + \left( \delta V _ { \mathrm { r e l } } ( R ) \right) ^ { 2 } + \left( \delta V _ { \mathrm { a d } } ( R ) \right) ^ { 2 } } \ . } \end{array}
S = { \textstyle { \frac { g ^ { 2 } } { 2 } } } \int d t \int d ^ { 3 } { x } \int d ^ { 3 } { y } \left\{ \, - \dot { X } ^ { a x } ( \gamma ) \frac { 1 } { 4 \pi \mid x - y \mid } \dot { X } ^ { a y } ( \gamma ) - X ^ { a x } ( \gamma ) \, \delta ( x - y ) \, X ^ { a y } ( \gamma ) \, \right\}
\begin{array} { r l } { { \displaystyle Z _ { _ { N } } ^ { \prime } ( \vartheta ) } } & { { = N \left[ \displaystyle \frac { 1 } { \cosh ( \vartheta + \Theta ) } + \displaystyle \frac { 1 } { \cosh ( \vartheta - \Theta ) } \right] + \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { H } } 2 \pi G ( \vartheta - h _ { k } ) } } \\ { { } } & { { - \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { C } } 2 \pi G ( \vartheta - c _ { k } ) - \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { W } } 2 \pi G ( \vartheta - w _ { k } ) _ { I I } } } \\ { { } } & { { + 2 \Im m \displaystyle \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \rho G ( \vartheta - \rho - i \eta ) { \cal R } _ { \delta } ( \rho + i \eta ) \: , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { F } ( t - t ^ { \prime } ) } & { { } \equiv } & { \mathbb { E } [ { \bf { V } } ( t ) \cdot { \bf { V } } ( t ^ { \prime } ) ] - ( \mathbb { E } [ { \bf { V } } ] ) ^ { 2 } \ , \ { \mathrm { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } } } \\ { \tilde { G } ( t - t ^ { \prime } ) } & { { } \equiv } & { { \mathrm { ~ T ~ r ~ } } \left\{ \mathbb { E } [ { \bf { M } ^ { T } } ( t ) { \bf { M } } ( t ^ { \prime } ) ] - \mathbb { E } [ { \bf { M } } ] { \bf { ^ T } } \mathbb { E } [ { \bf { M } } ] \right\} \ , \ } \end{array}
\frac { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } } \left( n _ { \mu } \Gamma _ { \rho \sigma } ^ { \mu } - \frac { 1 } { 2 } g _ { \rho \sigma } n _ { \mu } \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { \mu } g ^ { \alpha \beta } - \Gamma _ { \alpha ( \rho } ^ { \alpha } n _ { \sigma ) } + \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { \beta \alpha } ^ { \alpha } n ^ { \beta } g _ { \rho \sigma } \right) = T _ { \rho \sigma } ^ { b r a } .
\frac { 1 } { i \hbar } [ W _ { 1 } , W _ { 2 } ] = \{ W _ { 1 } , W _ { 2 } \} _ { M } = \frac { 2 } { \hbar } \sin \frac { \hbar } { 2 } ( \frac { \partial } { \partial p _ { 2 } } \frac { \partial } { \partial \lambda _ { 1 } } - \frac { \partial } { \partial p _ { 1 } } \frac { \partial } { \partial \lambda _ { 2 } } ) W _ { 1 } W _ { 2 }
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k + 1 - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k - 4 + 2 i , 4 k + 1 - 2 i } ^ { A , i - 1 } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 2 k - 5 + 2 i , 4 k + 1 - 2 i } ^ { A , i - 1 } \otimes v _ { 3 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \delta _ { x } ) _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } = } & { { } \biggl \{ \frac { \Bar { \beta } } { \beta _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \left( n \left[ \frac { 2 \pi } { N _ { d } } \left( \frac { \Delta B } { B } \right) _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } \right] ^ { 2 } + 2 ( \Delta q _ { x } ) _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } K _ { q } ^ { 2 } L _ { q } ^ { 2 } \right) + } \\ { ( \delta _ { y } ) _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } = } & { { } \biggl \{ \frac { \Bar { \beta } } { \beta _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \left( n \left[ \frac { L _ { d } } { \rho } \left( \Delta \theta \right) _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } \right] ^ { 2 } + 2 ( \Delta q _ { y } ) _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } K _ { q } ^ { 2 } L _ { q } ^ { 2 } \right) + } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { n } ( { \boldsymbol k } ) } & { = \Big ( \int \Big ( \exp ( - { \textstyle \frac 1 2 } \Phi ( { \boldsymbol x } ) ) - g _ { n } ( { \boldsymbol x } ) \Big ) \psi _ { \boldsymbol k } ( { \boldsymbol x } ) \lambda ( { \boldsymbol x } ) \mathrm { d } { \boldsymbol x } \Big ) ^ { 2 } , } \\ { g _ { n } ( { \boldsymbol x } ) } & { = \operatorname* { m i n } _ { h \in \mathcal { V } _ { \mathcal { K } _ { n } } } \int \Big ( \exp ( - { \textstyle \frac 1 2 } \Phi ( { \boldsymbol x } ) ) - h ( { \boldsymbol x } ) \Big ) ^ { 2 } \lambda ( { \boldsymbol x } ) \mathrm { d } { \boldsymbol x } . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \frac { 1 } { 2 \eta ^ { 2 } } \frac { 1 } { R } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \mathbb { E } \| x _ { r } - x _ { r - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 2 } { R } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \mathbb { E } \left\| \frac { 1 } { \eta } ( x _ { r - 1 } - x _ { r } ) - \nabla f ( x _ { r - 1 } ) \right\| ^ { 2 } \leq 2 \sigma _ { 1 } ^ { 2 } C _ { 1 } ^ { 2 } d . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Gamma _ { 4 } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ; z ) = \left\langle I ( \mathbf { r } _ { 1 } ; z ) I ( \mathbf { r } _ { 2 } ; z ) \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \Delta _ { 0 } ^ { \mathrm { B } } } ^ { 2 } } & { = \frac { 2 F ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } } \exp { \left( - C \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( k + 1 ) { \binom { \delta - 1 } { k - 1 } } \big ( - \frac { \eta } { F } \big ) ^ { k } \right) } - \frac { F ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } } \exp { \left( \frac { 2 C \eta } { F } \big ( 1 - \frac { \eta } { F } \big ) ^ { \delta - 1 } \right) } - \frac { ( F ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { 1 4 4 F ^ { 2 } } \exp { \left( - \frac { 2 C \eta } { F } \right) } } \\ & { - \frac { F ^ { 2 } - 1 } { 6 } \exp { \left( \frac { C \eta } { F } \Big ( \big ( 1 - \frac { \eta } { F } \big ) ^ { \delta - 1 } - 1 \Big ) \right) } - \frac { F ^ { 2 } } { \eta } \exp { \left( \frac { C \eta } { F } \big ( 1 - \frac { \eta } { F } \big ) ^ { \delta - 1 } \right) } + \frac { ( F ^ { 2 } - 1 ) \eta } { 1 2 } \exp { \left( - \frac { C \eta } { F } \right) } + \frac { F ^ { 2 } + 2 F - 3 } { 4 } } \end{array}