harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \left( \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } , T _ { \varepsilon } ( u _ { n } - u _ { \nu } ) \right) _ { Q _ { T } } + \left( \gamma \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } , \partial _ { x } \left( T _ { \varepsilon } ( u _ { n } - u _ { \nu } ) \right) \right) _ { Q _ { T } } } \\ { = } & { \left( - \gamma \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } , T _ { \varepsilon } ( u _ { n } - u _ { \nu } ) \right) _ { Q _ { T } } + \left( - \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } , T _ { \varepsilon } ( u _ { n } - u _ { \nu } ) \right) _ { Q _ { T } } + \left( g _ { 0 } \left( \tilde { u } _ { n } - \frac { 1 } { n } \right) , T _ { \varepsilon } ( u _ { n } - u _ { \nu } ) \right) _ { Q _ { T } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { u _ { 0 } } & { { } \in \{ - 0 . 2 , 0 . 0 , 0 . 5 \} } \\ { v _ { 0 } } & { { } \in \{ - 0 . 2 , 0 . 0 , 0 . 2 \} } \\ { r _ { 0 } } & { { } \in \{ - 0 . 1 , 0 . 0 , 0 . 1 \} } \\ { n _ { \mathrm { P } 0 } } & { { } \in \{ 0 . 0 , 1 2 . 5 \} } \\ { \delta _ { s 0 } } & { { } \in \{ - 3 5 , 0 , 4 5 , 6 0 , 9 0 \} } \\ { \delta _ { p 0 } } & { { } \in \{ 3 5 , 0 , - 4 5 , - 6 0 , - 9 0 \} \enspace . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { \mathrm { M C , P V } } ( \theta , i ) } & { { } = v _ { \mathrm { M C } } ( \theta ) \cos ( i + \theta + \pi ) } \\ { p _ { \mathrm { M C , P V } } ( \theta , i ) } & { { } = v _ { \mathrm { M C } } ( \theta ) \sin ( i + \theta + \pi ) t _ { \mathrm { s i m } } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } } & { = \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } - \frac { 1 } { \lambda } ( \mathbf { x } _ { i , K } ^ { t } - \mathbf { x } _ { i , 0 } ^ { t } ) } \\ & { \overset { ( a ) } { = } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } + \frac { \eta _ { l } } { \lambda } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \bigl ( 1 - \frac { \eta _ { l } } { \lambda } \bigr ) ^ { K - 1 - k } ( \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } - \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } ) } \\ & { = \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } + \frac { \eta _ { l } } { \lambda } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \bigl ( 1 - \frac { \eta _ { l } } { \lambda } \bigr ) ^ { K - 1 - k } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } - \frac { \eta _ { l } } { \lambda } \Bigl ( \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \bigl ( 1 - \frac { \eta _ { l } } { \lambda } \bigr ) ^ { K - 1 - k } \Bigr ) \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } } \\ & { = \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } + \frac { \eta _ { l } } { \lambda } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \bigl ( 1 - \frac { \eta _ { l } } { \lambda } \bigr ) ^ { K - 1 - k } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } - \frac { \eta _ { l } } { \lambda } \frac { 1 - ( 1 - \frac { \eta _ { l } } { \lambda } ) ^ { K } } { \frac { \eta _ { l } } { \lambda } } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } } \\ & { = ( 1 - \frac { \eta _ { l } } { \lambda } ) ^ { K } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } + \frac { \eta _ { l } } { \lambda } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \bigl ( 1 - \frac { \eta _ { l } } { \lambda } \bigr ) ^ { K - 1 - k } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } } \\ & { = ( 1 - \gamma ) \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } + \gamma \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } . } \end{array}
\Delta _ { \mathrm { L T } } \; \; = \; \; \frac { 1 } { 2 } \left[ | V _ { c d } | - \frac { 1 } { | V _ { c d } | } \left( \frac { m _ { d } } { m _ { s } } - \frac { m _ { u } } { m _ { c } } \right) \right] \left( \frac { m _ { u } } { m _ { c } } + \frac { m _ { d } } { m _ { s } } \right) \; .
\left| \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { k = 1 } ^ { m } \alpha _ { j } \beta _ { k } K ( x _ { j } , E _ { k } ) \right| \leq \frac { 1 } { 2 } \left[ \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } \alpha _ { j } C _ { Z } ( x _ { i } , x _ { j } ) \overline { { \alpha _ { k } } } + \sum _ { k , l = 1 } ^ { m } \beta _ { k } C _ { M } ( E _ { k } \times E _ { l } ) \overline { { \beta _ { l } } } \right] .
D = \alpha A ^ { 2 } , \quad \alpha = \frac { 1 } { 2 } \frac { ( 1 + 4 i k _ { | | } \eta _ { 0 } / \rho _ { 0 } v _ { A } ) } { ( 1 - \beta + ( 8 / 3 ) i k _ { | | } \eta _ { 0 } / \rho _ { 0 } v _ { A } ) } .
\Omega = d \omega + \omega \wedge \omega = d \omega + 0 = { \frac { - 4 \, d x \wedge d y } { ( 1 - | \mathbf { x } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) } .
\hat { \beta } _ { e x p } = \frac { 4 + \sqrt { B o } } { 4 } \left[ \left( \frac { \textrm { d } \Delta { h } } { \textrm { d } \Omega ^ { 2 } } \right) _ { e x p } \frac { 2 \left( \Gamma \rho { g } \right) ^ { 1 / 2 } } { a } + \frac { \rho { a } ^ { 2 } } { 2 + \sqrt { B o } } \right] .
S _ { \mathrm { c l } } = \frac { 4 } { H ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } } \; \frac { ( 1 - \bar { k } ^ { 2 } ) K ( \bar { k } ) - E ( \bar { k } ) } { \sqrt { 1 - 2 \bar { k } ^ { 2 } } } .
E = \left( \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) , \, \, A = \left( \begin{array} { l l } { { - 1 } } & { { \, \, \, \, 0 } } \\ { { \, \, \, 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) , \, B = \left( \begin{array} { l l } { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { \, \, \, \, 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) , \, C = \left( \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { \, \, \, \, 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) .
N _ { R _ { 1 } R _ { 2 } } ^ { \ell } = \sum _ { m } S _ { \Lambda _ { R _ { 2 } } \Lambda _ { m } } \left( { \frac { S _ { \Lambda _ { R _ { 1 } } \Lambda _ { m } } } { S _ { 0 { \Lambda _ { m } } } } } \right) S _ { \Lambda _ { m } \Lambda _ { \ell } } ^ { * } ~ ,
1 / \lambda _ { f } ^ { ( g ) } = \sigma _ { q g } \rho _ { q } + \sigma _ { g g } \rho _ { g } \approx \frac { 2 \pi \alpha _ { s } ^ { 2 } } { \mu _ { D } ^ { 2 } } 9 \times 7 \zeta ( 3 ) \frac { T ^ { 3 } } { \pi ^ { 2 } } ,
\eta _ { \mathrm { a p p } } ( R , Z , t ) \, = \, \sum _ { m = 0 } ^ { 4 } \epsilon ^ { m } \eta _ { m } ( R , Z , \beta _ { \epsilon } ) \, , \qquad \phi _ { \mathrm { a p p } } ( R , Z , t ) \, = \, \sum _ { m = 0 } ^ { 4 } \epsilon ^ { m } \phi _ { m } ( R , Z , \beta _ { \epsilon } ) \, ,
V _ { \mathbf { d } } = \{ \mathbf v \in [ W ^ { 1 , 1 + \frac { 1 } { n } } ( \Sigma ) ] ^ { 2 } , \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } \mathbf v = \mathbf { d } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma _ { d } \}
1 7 2 . 3 \frac { b u } { a c r e } \cdot \frac { 5 6 l b s ~ c o r n } { b u } \cdot \frac { 4 5 3 . 6 ~ g r a m s } { l b s } \cdot \frac { 3 6 5 ~ k c a l } { 1 0 0 ~ g r a m s } = 1 5 , 9 7 4 , 6 5 7 \frac { k c a l } { a c r e }
N ( \tau ) = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \Lambda / M _ { R } } q ^ { 2 } d q \left\{ \left| U _ { q } ^ { + } ( \tau ) \right| ^ { 2 } + \frac { \left| \dot { U } _ { q } ^ { + } ( \tau ) \right| ^ { 2 } } { \sqrt { q ^ { 2 } + 1 + \eta ^ { 2 } ( 0 ) } } - 2 \right\}
\Psi _ { A } ( { \vec { r } } _ { 1 } , { \vec { r } } _ { 2 } ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } [ \Phi _ { a } ( { \vec { r } } _ { 1 } ) \Phi _ { b } ( { \vec { r } } _ { 2 } ) - \Phi _ { b } ( { \vec { r } } _ { 1 } ) \Phi _ { a } ( { \vec { r } } _ { 2 } ) ]
\begin{array} { r l r } { \rho ( \xi _ { x } ) } & { = } & { \frac { \rho ( \alpha _ { x } ) } { d \xi _ { x } / d \alpha _ { x } } = \frac { 1 } { 2 } \exp [ - 2 \alpha _ { x } ] [ \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; u [ H _ { 0 } ^ { \prime } ( \alpha _ { x } u ) - H _ { 1 } ^ { \prime } ( \alpha _ { x } u ) ] ^ { - 1 } } \\ { H _ { n } ( z ) } & { \equiv } & { \exp [ - z ] I _ { n } ( z ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \delta n } & { ( \mathbf { r } _ { 1 } ; z _ { 1 } ) \delta n ( \mathbf { r } _ { 2 } ; z _ { 2 } ) \rangle } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } d ^ { 2 } \boldsymbol { \kappa } \Phi _ { n } ( \boldsymbol { \kappa } ; \kappa _ { z } { = } 0 ) e ^ { i \boldsymbol { \kappa } \cdot ( \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { 2 } ) } \delta ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) , } \end{array}
D _ { 0 } ( p ^ { 2 } , q ^ { 2 } ) = \frac { 2 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \beta \mathrm { s i n } ^ { 2 } \beta D ( p ^ { 2 } + q ^ { 2 } - 2 p q \mathrm { c o s } \beta ) , . . .
\begin{array} { r l } { \hat { H } ^ { \prime } = } & { { } 4 \mathbb { 1 } _ { 8 } - 0 . 1 5 2 9 5 6 \mathbb { 1 } _ { 4 } X - 0 . 5 \mathbb { 1 } _ { 4 } Z - 0 . 1 2 2 8 9 * \mathbb { 1 } X X - 0 . 0 6 2 9 9 4 8 \mathbb { 1 } Y Y - 1 \mathbb { 1 } Z \mathbb { 1 } + 0 . 0 2 3 7 6 2 7 \mathbb { 1 } Z X - 0 . 0 2 8 0 2 5 2 X \mathbb { 1 } X } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { _ z ^ { A } P } & { \rightarrow _ { z + 1 } ^ { A } D + e ^ { - } + \bar { \nu } } & { Q _ { \beta ^ { - } } } & { = ( M _ { P } - M _ { D } ) c ^ { 2 } } \\ { _ z ^ { A } P } & { \rightarrow _ { z - 1 } ^ { A } D + e ^ { + } + { \nu } } & { Q _ { \beta ^ { + } } } & { = ( M _ { P } - M _ { D } ) c ^ { 2 } - 2 m _ { e } c ^ { 2 } } \\ { e ^ { - } + _ { z } ^ { A } P } & { \rightarrow _ { z + 1 } ^ { A } D + \nu } & { Q _ { E C } } & { = ( M _ { P } - M _ { D } ) c ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \langle C _ { P r } ^ { 2 } \rangle _ { n } - \langle C _ { P r } \rangle _ { n } ^ { 2 } } { \langle C _ { P r } \rangle _ { n } ^ { 2 } } } & { { } } & { = \frac { 1 } { 4 } \sqrt { \frac { ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ^ { 2 } ( n + 4 ) ^ { 2 } } { 4 ! 4 ( k c T ) ^ { 4 } ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 ) } - 1 } } \end{array}
\left( { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } - 1 { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \right) { \left( \begin{array} { l } { v _ { 2 1 } } \\ { v _ { 2 2 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { v _ { 2 1 } } \\ { v _ { 2 2 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { s ^ { \sigma } ( t , \zeta ) } & { = \frac { \mathrm { i } } { 2 } H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( \kappa _ { \sigma } | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | ) , } \\ { k ^ { \sigma } ( t , \zeta ) } & { = \frac { \mathrm { i } \kappa _ { \sigma } } { 2 } n ( t ) \cdot [ \gamma ( \zeta ) - \gamma ( t ) ] \frac { H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( \kappa _ { \sigma } | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | ) } { | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { A } _ { 1 } = \int \frac { s \mathrm { d } H ( s , t ) } { ( 1 + s { \underline { g } } + t { \underline { m } } ) ^ { 2 } } , } \\ & { \hat { B } _ { 1 } = \int \frac { t \mathrm { d } H ( s , t ) } { ( 1 + s { \underline { g } } + t { \underline { m } } ) ^ { 2 } } , } \\ & { \hat { A } _ { 2 } = \int \frac { s t \mathrm { d } H ( s , t ) } { ( 1 + s { \underline { g } } + t { \underline { m } } ) ^ { 2 } } , } \\ & { \hat { B } _ { 2 } = \int \frac { t ^ { 2 } \mathrm { d } H ( s , t ) } { ( 1 + s { \underline { g } } + t { \underline { m } } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
{ \cal A } _ { o p e n } \sim \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d s } { 2 s } } \, s ^ { - { \frac { p + 1 } { 2 } } } \left[ \mu _ { p } ^ { 2 } - 2 \mu _ { p } \sin ( { \frac { \pi } { 4 } } \nu ) \right] r ^ { - 1 } ~ ~ .
\begin{array} { r l } { I _ { \varepsilon } ( u _ { t } , D ) } & { = \int _ { D } | d [ \phi _ { - t } ^ { * } u ] | _ { g } ^ { 2 } + \mathcal { F } _ { \varepsilon } ( \phi _ { - t } ^ { * } u ) \, \mathrm { v o l } _ { g } ( y ) = \int _ { D } \left( \phi _ { t } ^ { * } ( | d [ \phi _ { - t } ^ { * } u ] | _ { g } ^ { 2 } ) + \mathcal { F } _ { \varepsilon } ( u ( x ) ) \right) ( \phi _ { t } ^ { * } \mathrm { v o l } _ { g } ) ( x ) } \\ & { = \int _ { D } ( h _ { t } + \mathcal { F } _ { \varepsilon } ( u ) ) \nu _ { t } , \quad \mathrm { w h e r e ~ } \nu _ { t } : = \phi _ { t } ^ { * } \mathrm { v o l } _ { g } \quad \mathrm { a n d } } \\ { h _ { t } } & { : = \phi _ { t } ^ { * } ( | d [ \phi _ { - t } ^ { * } u ] | _ { g } ^ { 2 } ) = \phi _ { t } ^ { * } \left[ \bar { g } \left( d \phi _ { - t } ^ { * } u , d \phi _ { - t } ^ { * } u \right) \right) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K ( s , \alpha , \beta ) } & { { } = \ln ( \langle \exp ( s \Delta G ^ { ( 2 ) } ( I _ { 0 } , \alpha , \beta ) ) \rangle ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \kappa _ { n } ( \alpha , \beta ) \frac { s ^ { n } } { n ! } } } \end{array}
\mathrm { L F } _ { \mathbb H } ^ { ( \beta _ { 2 W + 2 } , 0 ) , ( \alpha , i ) } \left[ e ^ { - \mu \nu _ { \phi } ( \mathbb R ) } \right] \mathbb E \left[ | \psi _ { \eta } ^ { \prime } ( i ) | ^ { 2 \Delta _ { \alpha } - 2 } \right] = C _ { W } \cdot \mathcal M _ { 0 , 2 } ^ { \mathrm { d i s k } } ( W ) \left[ e ^ { - \mu R _ { W } } \cdot | \mathrm { Q D } _ { 1 , 1 } ( \alpha , \gamma ; L _ { W } ) | \right] .
\left\{ \begin{array} { l l } { a ( \textbf { u } _ { N } , \textbf { v } _ { N } ; y ) + b ( \textbf { v } _ { N } , p _ { N } ; y ) = F ( \textbf { v } _ { N } ; y ) , \mathrm { \ \ \ ~ \forall ~ \textbf { v } _ { N } \in ~ V _ { N } ~ } , } \\ { b ( \textbf { u } _ { N } , q _ { N } ; y ) = G ( q _ { N } ; y ) , \mathrm { ~ \ \ ~ \forall ~ q _ { N } ~ \in ~ Q _ { N } , ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \frac { \Phi ( \omega ) } { A } \leq \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } d ^ { 2 } } \frac { | \chi _ { 1 } | ^ { 2 } } { \operatorname { I m } \chi _ { 1 } } \frac { | \chi _ { 2 } | ^ { 2 } } { \operatorname { I m } \chi _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d \vec { Q } _ { 1 } } { d t } \sim ( \vec { Q } _ { 2 } - \vec { Q } _ { 1 } ) + ( \vec { Q } _ { 3 } - \vec { Q } _ { 1 } ) + ( \vec { Q } _ { 4 } - \vec { Q } _ { 1 } ) = \vec { \Delta } _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } _ { 0 } ^ { ( 4 ) } = ~ } & { { } \frac { 1 } { 2 } ( W ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } + W ^ { ( 1 ) } W ^ { ( 3 ) } + \frac { 1 } { 2 } W _ { s q } ^ { ( 1 ) } \zeta _ { x } ^ { ( 2 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { U n a r y \ e n c o d i n g : \quad } s } & { { } = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { 2 ^ { N _ { b i t s } } } y _ { j } } \\ { \mathrm { B i n a r y \ e n c o d i n g : \quad } s } & { { } = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { N _ { b i t s } - 1 } 2 ^ { k } y _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { R } _ { 1 2 , 1 } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { x } ) } & { \le } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } | u _ { 1 } | ^ { \upsilon _ { 1 } } \delta _ { \lambda , 1 } ( \boldsymbol { u } ) \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } | ( 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i u _ { j } x _ { j } } ) / u _ { j } | ^ { 2 } \mathrm d \boldsymbol { u } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { 1 } } & { = } & { \frac { q ^ { 2 } } { 2 } + 2 g _ { 1 1 } | \psi _ { 1 } | ^ { 2 } - \mu - g _ { 1 2 } | \psi _ { 2 } | ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } g _ { L H Y } | \psi _ { 1 } | ^ { 3 } } \\ { H _ { 2 } } & { = } & { \frac { q ^ { 2 } } { 2 } + 2 g _ { 2 2 } | \psi _ { 2 } | ^ { 2 } - \mu - g _ { 2 1 } | \psi _ { 1 } | ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } g _ { L H Y } | \psi _ { 2 } | ^ { 3 } } \\ { A } & { = } & { g _ { 1 1 } + \frac { 3 } { 2 } g _ { L H Y } | \psi _ { 1 } | } \\ { B } & { = } & { g _ { 2 2 } + \frac { 3 } { 2 } g _ { L H Y } | \psi _ { 2 } | } \\ { C } & { = } & { V _ { 0 } | \Psi | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 0 } ( t ) } & { { } = \int _ { - t _ { 0 } } ^ { t } \frac { \partial } { \partial \tilde { t } } [ A ( \tilde { t } ) \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( X _ { 0 } - \tilde { t } , Y _ { 0 } ) ] \, d \tilde { t } } \end{array}
F ^ { * } ( t ^ { * } ) = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { R ^ { * } } r ^ { * } E ^ { * } ( r ^ { * } ) \, \mathrm { ~ d ~ } r ^ { * } = 4 D ^ { * } ( c _ { s } ^ { * } - c _ { \infty } ^ { * } ) R ^ { * } .
u _ { j } ^ { n , - } = r _ { j } ^ { n } ( x _ { { j - \frac { 1 } { 2 } } } ) = u _ { j } ^ { n } + \delta _ { j } ( x _ { { j - \frac { 1 } { 2 } } } - x _ { j } ) , \qquad u _ { j } ^ { n , + } = r _ { j } ^ { n } ( x _ { { j + \frac { 1 } { 2 } } } ) = u _ { j } ^ { n } + \delta _ { j } ( x _ { { j + \frac { 1 } { 2 } } } - x _ { j } )
\sigma _ { \mathrm { b a c k g r o u n d } } ^ { ( - ) } \sim \frac { ( N _ { c } + 1 ) ( N _ { c } - 1 ) } { 8 } \left( \frac { 1 } { \sqrt { N _ { c } } } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { N _ { c } } - \frac { ( N _ { c } - 1 ) ( N _ { c } - 3 ) } { 8 } \left( \frac { 1 } { \sqrt { N _ { c } } } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { N _ { c } } \sim 1 / N _ { c } ,
\begin{array} { r l } & { \| \nabla f ( w ^ { \prime } ) - \nabla f ( w ) \| } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \| \nabla f ( w _ { ( k + 1 ) / n } ) - \nabla f ( w _ { k / n } ) \| } \\ & { \overset { ( i i ) } { \le } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \| w _ { ( k + 1 ) / n } - w _ { k / n } \| \big ( L _ { 0 } + L _ { 1 } \| \nabla f ( w _ { k / n } ) \| \big ) \exp \big ( L _ { 1 } \| w _ { ( k + 1 ) / n } - w _ { k / n } \| \big ) } \\ & { \overset { ( i i i ) } { = } \| w ^ { \prime } - w \| \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { n } h \Big ( \frac { k } { n } \Big ) \exp \Big ( \frac { L _ { 1 } } { n } \| w ^ { \prime } - w \| \Big ) } \\ & { = \| w ^ { \prime } - w \| \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { n } h \Big ( \frac { k } { n } \Big ) + \| w ^ { \prime } - w \| \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { n } h \Big ( \frac { k } { n } \Big ) \Big [ \exp \Big ( \frac { L _ { 1 } } { n } \| w ^ { \prime } - w \| \Big ) - 1 \Big ] } \\ & { \le \| w ^ { \prime } - w \| \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { n } h \Big ( \frac { k } { n } \Big ) + \| w ^ { \prime } - w \| \operatorname* { m a x } _ { \theta \in [ 0 , 1 ] } h ( \theta ) \Big [ \exp \Big ( \frac { L _ { 1 } } { n } \| w ^ { \prime } - w \| \Big ) - 1 \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d a _ { a s } } { d t } } & { { } = } & { \left[ - i ( \omega _ { a s , 0 } + \Delta _ { 1 } ) - \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } \right] a _ { a s } ( k ) - i g _ { o m } b _ { a c } ( q ) + \sqrt { \gamma _ { \mathrm { o } } } \xi _ { a s } , } \\ { \frac { d b _ { a c } } { d t } } & { { } = } & { \left[ - i ( \omega _ { a c , 0 } + \Delta _ { 2 } ) - \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } \right] b _ { a c } ( q ) - i g _ { o m } a _ { a s } ( k ) + \sqrt { \Gamma _ { \mathrm { m } } } \xi _ { a c } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { \lambda } ( x ) = } & { { } \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { \frac { 1 } { 2 } ( \lambda + \frac { 1 } { x } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { x } ( \pm 1 - e r f ( \frac { \lambda + \frac { 1 } { x } } { \sqrt { 2 } } ) ) } \end{array}
( { \frac { \delta \tilde { \Sigma } } { \delta A } } , { \frac { \delta \tilde { \Sigma } } { \delta K } } ) + ( { \frac { \delta \tilde { \Sigma } } { \delta c } } , { \frac { \delta \tilde { \Sigma } } { \delta L } } ) + { \frac { \delta \tilde { \Sigma } } { \delta V } } \cdot { \frac { \delta \tilde { \Sigma } } { \delta M } } = 0
v _ { \mathrm { x } } ^ { \mathrm { B R } } ( \mathbf { r } ) = - \frac { 1 } { b ( \mathbf { r } ) } \left[ 1 - e ^ { - x ( \mathbf { r } ) } - \frac { 1 } { 2 } x ( \mathbf { r } ) e ^ { - x ( \mathbf { r } ) } \right] ,
F ( a , b ; z ) = 1 + { \frac { a } { b } } \; z + { \frac { a ( a + 1 ) } { b ( b + 1 ) } } \; { \frac { z ^ { 2 } } { 2 ! } } + { \frac { a ( a + 1 ) ( a + 2 ) } { b ( b + 1 ) ( b + 2 ) } } \; { \frac { z ^ { 3 } } { 3 ! } } + \cdots
\begin{array} { r l } & { ( n [ R _ { 1 } + R _ { 2 } ] ) ^ { - 1 } \Theta ( R _ { 1 } , R _ { 2 } , \varphi _ { \cal A } ^ { ( n ) } | p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } ^ { n } ) } \\ & { \leq 5 \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \mathrm { e } ^ { - n F ( R _ { \cal A } , R _ { i } | p _ { Z K _ { i } } ) } \leq 1 5 \mathrm { e } ^ { - n F _ { \operatorname* { m i n } } ( R _ { \cal A } , R _ { 1 } , R _ { 2 } | p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } ) } , } \end{array}
H _ { V } \simeq - V ( q _ { - } ) - { \frac { 1 } { 2 } } \omega _ { - } ^ { 2 } \left[ q ( \tau _ { 0 } ) - q _ { - } \right] ^ { 2 } + { \frac { 1 } { \lambda } } \omega _ { - } ^ { 2 } F ( \tau _ { 0 } ) \left[ q ( \tau _ { 0 } ) - q _ { - } \right] - { \frac { 1 } { 2 \lambda } } F ( \tau _ { 0 } ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \varphi } & { { } \to \varphi + \pounds _ { \chi } \varphi - \iota _ { \beta } \Lambda , } \\ { \varphi _ { \ell } } & { { } \to \varphi _ { \ell } + \pounds _ { \chi } \varphi _ { \ell } - \iota _ { \beta } \Lambda _ { \ell } . } \end{array}
{ _ { n } { \mathcal { C } } ^ { 0 } } , { _ { n } { \mathcal { C } } ^ { k } } , { _ { n } { \mathcal { C } } ^ { \infty } } , { _ { n } { \mathcal { C } } ^ { \omega } } , { _ { n } { \mathcal { O } } } , { _ { n } { \mathfrak { V } } }
\begin{array} { r l } { \psi ( \mathbf { x } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } ) } & { { } = f ( \mathbf { x } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } ) e ^ { i \theta ( \mathbf { x } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } ) } . } \end{array}
p _ { k } ( u _ { j } ^ { \ast , \pm } ) = p _ { k } ( \theta _ { k } ( u _ { j } ^ { \ast , \pm } ) ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ v ~ } } + ( 1 - \theta _ { k } ) u _ { j } ^ { n } ) \ge \theta _ { k } p _ { k } ( ( u _ { j } ^ { \ast , \pm } ) ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ v ~ } } ) + ( 1 - \theta _ { k } ) p _ { k } ( u _ { j } ^ { n } ) \ge \epsilon _ { k }
\begin{array} { r } { \bar { v } _ { b } = i \frac { \alpha [ \hat { h } _ { c } ( \omega ) - \hat { h } _ { b } ( \omega ) ] - 2 ( \Delta _ { B } - 2 \Gamma A ^ { 2 } - 2 \Gamma B ^ { 2 } ) [ \hat { g } _ { c } ( \omega ) - \hat { g } _ { b } ( \omega ) ] } { 2 \sqrt { \alpha } \omega } . } \end{array}
C _ { p } \frac { \partial \langle \rho u _ { j } T \rangle _ { A , t } } { \partial x _ { j } } - \Big \langle u _ { j } \frac { \partial p } { \partial x _ { j } } \Big \rangle _ { A , t } = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \Big \langle k \frac { \partial T } { \partial x _ { j } } \Big \rangle _ { A , t } + \langle \sigma _ { i j } S _ { i j } \rangle _ { A , t }
\eta = \frac { z _ { 1 2 } z _ { 3 4 } } { z _ { 1 3 } z _ { 2 4 } } \qquad 1 - \eta = \frac { z _ { 1 4 } z _ { 2 3 } } { z _ { 1 3 } z _ { 2 4 } } \qquad \frac { \eta } { 1 - \eta } = \frac { z _ { 1 2 } z _ { 3 4 } } { z _ { 2 3 } z _ { 1 4 } }
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } } \sim \frac { \rho c _ { p } \frac { \partial T } { \partial t } } { \nabla \cdot ( k \nabla T ) } \sim \frac { ( 2 a ) ^ { 2 } \rho _ { 0 } c _ { p } f } { k } \left\{ 1 , \frac { \ell } { a } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbf { J } } \Psi ( { \mathbf { X } } , { \mathbf { r } } , m ) } & { { } = } & { ( { \mathbf { L } } _ { n } + { \mathbf { L } } _ { e } + { \mathbf { S } } ) \sum _ { k \mu } \psi _ { k \mu } ( { \mathbf { X } } ) \, \phi _ { k \mu } ( { \mathbf { X } } ; { \mathbf { r } } , m ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { C } _ { \chi } ^ { 1 / 2 } } & { : = \hat { C } _ { \chi } \frac { c _ { P } } { a _ { 0 } \Delta } \frac { \| \vec { u } \| _ { \mathrm { m a x } } } { \| \nabla s \| _ { \mathrm { m a x } } } , } \\ { { C } _ { \mu } ^ { 0 } } & { : = \hat { C } _ { \mu } \frac { \rho _ { \mathrm { m a x } } | ( \epsilon : \epsilon ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } | _ { \mathrm { m a x } } } { \big [ \rho | \nabla \cdot \vec { u } | H ( - \nabla \cdot \vec { u } ) \big ] _ { \mathrm { m a x } } } , } \\ { { C } _ { \beta } ^ { 0 } } & { : = \frac { \hat { C } _ { \beta } } { \Delta } \frac { \rho _ { \mathrm { m a x } } \| \vec { u } \| _ { \mathrm { m a x } } } { \big [ \rho | \nabla \cdot \vec { u } | H ( - \nabla \cdot \vec { u } ) \big ] _ { \mathrm { m a x } } } , } \\ { { C } _ { k } ^ { 1 / 2 } } & { : = \frac { \hat { C } _ { k } } { a _ { 0 } \Delta } \frac { R \rho _ { \mathrm { m a x } } \| \vec { u } \| _ { \mathrm { m a x } } } { ( \gamma - 1 ) \big [ ( \rho / T ) \| \nabla e \| \big ] _ { \mathrm { m a x } } } . } \end{array}