harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
P = \left( \begin{array} { c c c c } { { h _ { \mu } / ( A ^ { 2 } - h _ { \tau } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { h _ { e } / ( A ^ { 2 } - h _ { \tau } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { h _ { e } h _ { \mu } h _ { \tau } / ( A ^ { 2 } - h _ { e } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { h _ { \tau } h _ { \mu } ^ { 2 } / ( A ^ { 2 } - h _ { \tau } ^ { 2 } ) ( A ^ { 2 } - h _ { e } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { - h _ { \mu } / ( A ^ { 2 } - h _ { e } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { 0 } } \\ { { ( h _ { e } m _ { \nu _ { P } } ^ { \prime } - A ^ { 2 } ) / D _ { 1 } } } & { { h _ { \mu } M / D _ { 1 } } } & { { h _ { \tau } M / D _ { 1 } } } & { { h _ { e } M / D _ { 1 } } } \\ { { h _ { e } ( h _ { e } m _ { \nu _ { F } } ^ { \prime } - A ^ { 2 } ) / D _ { 2 } } } & { { h _ { \mu } ( h _ { e } m _ { \nu _ { F } } ^ { \prime } - A ^ { 2 } ) / D _ { 2 } } } & { { h _ { \tau } ( h _ { e } m _ { \nu _ { F } } ^ { \prime } - A ^ { 2 } ) / D _ { 2 } } } & { { - A M ( h _ { e } m _ { \nu _ { F } } ^ { \prime } - A ^ { 2 } ) / D _ { 2 } } } \end{array} \right)
- \left. \frac { i } { 4 } \mathrm { T r } \, \log \widehat { \Omega } ^ { 2 } \right| _ { d i v } = \left. \frac { i } { 4 } \mathrm { T r } \, \log \left( - \Delta + { \frac { R } { 4 } } \hat { 1 } \right) \right| _ { d i v } = - { \frac { 1 } { 2 \epsilon } } \int d ^ { 2 } x \, \sqrt { g } \, { \frac { n } { 1 2 } } R \ .
h _ { s } = { \frac { { \bf p } _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 m _ { 1 } } } + { \frac { { \bf p } _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 m _ { 2 } } } + V ^ { ( 0 ) } + { \frac { V ^ { ( 1 , 0 ) } } { m _ { 1 } } } + { \frac { V ^ { ( 0 , 1 ) } } { m _ { 2 } } } + { \frac { V ^ { ( 2 , 0 ) } } { m _ { 1 } ^ { 2 } } } + { \frac { V ^ { ( 0 , 2 ) } } { m _ { 2 } ^ { 2 } } } + { \frac { V ^ { ( 1 , 1 ) } } { m _ { 1 } m _ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r l } & { \mathrm { F l u i d : } } & & { \varphi = U _ { \mathrm { L } } , \: \mathbf { H } = \mathbf { 0 } , } \\ & { \mathrm { S o l i d : } } & & { \varphi = U _ { \mathrm { L } } , \: \mathbf { H } = \left[ 0 , U _ { \mathrm { S } } , 0 \right] ^ { \mathrm { T } } , } \\ & { \mathrm { P o r o u s : } } & & { \varphi ^ { \mathrm { s } } = U _ { \mathrm { L 1 } } + U _ { \mathrm { L 2 } } , \: \mathbf { H } ^ { \mathrm { s } } = \left[ 0 , U _ { \mathrm { S } } , 0 \right] ^ { \mathrm { T } } , } \\ & { } & & { \varphi ^ { \mathrm { f } } = \mu _ { \mathrm { L 1 } } U _ { \mathrm { L 1 } } + \mu _ { \mathrm { L 2 } } U _ { \mathrm { L 2 } } , \: \mathbf { H } ^ { \mathrm { s } } = \mu _ { \mathrm { S } } \mathbf { H } ^ { \mathrm { s } } , } \end{array}
\mathbf { k } _ { j } = \mathbf { f } \left( t _ { n } + c _ { j } h _ { n } , \mathbf { y } _ { n } + \mathbf { u } _ { j } + c _ { j } h _ { n } \mathbf { k } _ { j - 1 } \right) - \mathbf { f } \left( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } \right) - \mathbf { f } _ { \mathbf { x } } \left( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } \right) \mathbf { u } _ { j } \ - \mathbf { f } _ { t } \left( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } \right) c _ { j } h _ { n } ,
\langle F _ { k k } ^ { ( 1 ) } \rangle _ { \Theta } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } F _ { k k } ^ { ( 1 ) } d \Theta = \frac { I _ { i } } { n _ { \mathrm { p i x } } \langle I \rangle } \left( 1 - \sqrt { 1 - v ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r } { T _ { \parallel r } = \frac { m _ { 1 } T _ { \parallel 2 } + m _ { 2 } T _ { \parallel 1 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } , ~ ~ T _ { \perp r } = \frac { m _ { 1 } T _ { \perp 2 } + m _ { 2 } T _ { \perp 1 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { Q = \frac { 1 } { 2 } \underbrace { Q + P Q ^ { T } P ^ { - 1 } } _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ g ~ a ~ t ~ i ~ v ~ e ~ s ~ e ~ m ~ i ~ - ~ d ~ e ~ f ~ i ~ n ~ i ~ t ~ e ~ } } + \frac { 1 } { 2 } \underbrace { Q - P Q ^ { T } P ^ { - 1 } } _ { \mathrm { ~ i ~ m ~ a ~ g ~ i ~ n ~ a ~ r ~ y ~ e ~ i ~ g ~ e ~ n ~ v ~ a ~ l ~ u ~ e ~ s ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } } & { { } = \sum _ { \boldsymbol { X } } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \hat { h } _ { i } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \hat { x } _ { i } ^ { t } } { 2 \pi } \left[ \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left( e ^ { \mathrm { i } \hat { x } _ { i } ^ { t } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } - x _ { i } ^ { t } \right) } - e ^ { \mathrm { i } \hat { x } _ { i } ^ { t } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } - 1 \right) } \right) + \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \mathrm { i } \hat { x } _ { i } ^ { t } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } - 1 \right) } \right] \right. \right. } \end{array}
p _ { \ell } ^ { \prime } ( \tilde { \mathbf { a } } _ { k } ^ { * } , \tilde { \mathbf { b } } _ { k } ^ { * } ) = w _ { 3 } ( \tilde { \mathbf { b } } _ { k } ^ { * } ) - \left[ w _ { 2 } ^ { \ell } ( \tilde { \mathbf { a } } _ { k } ^ { * } ) - v _ { \ell } ^ { \prime } ( \tilde { \mathbf { a } } _ { k } ^ { * } ) \right] = w _ { 3 } ( \mathbf { b } _ { k } ^ { * } ) - \left[ w _ { 2 } ^ { \ell } ( \tilde { \mathbf { a } } _ { k } ^ { * } ) - v _ { \ell } ^ { \prime } ( \tilde { \mathbf { a } } _ { k } ^ { * } ) \right] ,
0 = \int \left( { \frac { d x ^ { \mu } } { d \tau } } { \frac { d x ^ { \nu } } { d \tau } } \partial _ { \alpha } g _ { \mu \nu } \delta x ^ { \alpha } - 2 \delta x ^ { \mu } { \frac { d } { d \tau } } \left( g _ { \mu \nu } { \frac { d x ^ { \nu } } { d \tau } } \right) \right) \, d \tau = \int \left( { \frac { d x ^ { \mu } } { d \tau } } { \frac { d x ^ { \nu } } { d \tau } } \partial _ { \alpha } g _ { \mu \nu } \delta x ^ { \alpha } - 2 \delta x ^ { \mu } \partial _ { \alpha } g _ { \mu \nu } { \frac { d x ^ { \alpha } } { d \tau } } { \frac { d x ^ { \nu } } { d \tau } } - 2 \delta x ^ { \mu } g _ { \mu \nu } { \frac { d ^ { 2 } x ^ { \nu } } { d \tau ^ { 2 } } } \right) \, d \tau
{ \begin{array} { r l } { B = } & { \left( { \cfrac { \sigma _ { t } - \sigma _ { c } } { { \sqrt { 3 } } ( \sigma _ { t } + \sigma _ { c } ) } } \right) \left( { \cfrac { 4 \sigma _ { b } ^ { 2 } - \sigma _ { b } ( \sigma _ { c } + \sigma _ { t } ) + \sigma _ { c } \sigma _ { t } } { 4 \sigma _ { b } ^ { 2 } + 2 \sigma _ { b } ( \sigma _ { t } - \sigma _ { c } ) - \sigma _ { c } \sigma _ { t } } } \right) } \\ { C = } & { \left( { \cfrac { 1 } { { \sqrt { 3 } } ( \sigma _ { t } + \sigma _ { c } ) } } \right) \left( { \cfrac { \sigma _ { b } ( 3 \sigma _ { t } - \sigma _ { c } ) - 2 \sigma _ { c } \sigma _ { t } } { 4 \sigma _ { b } ^ { 2 } + 2 \sigma _ { b } ( \sigma _ { t } - \sigma _ { c } ) - \sigma _ { c } \sigma _ { t } } } \right) } \\ { A = } & { { \cfrac { \sigma _ { c } } { \sqrt { 3 } } } + B \sigma _ { c } - C \sigma _ { c } ^ { 2 } } \end{array} }
\lambda _ { \pi } ( P ^ { 2 } ) = \frac { 1 6 D _ { 0 } } { 3 } \int \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } f _ { 0 } ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) \left[ ( q ^ { 2 } - \frac { P ^ { 2 } } { 4 } ) \sigma _ { V } ^ { + } \sigma _ { V } ^ { - } + \sigma _ { S } ^ { + } \sigma _ { S } ^ { - } \right] ~ .
t _ { n , n + 1 } t _ { n , n + 1 } ^ { * } + r _ { n , n + 1 } r _ { n , n + 1 } ^ { * } = \frac { 4 \frac { k _ { n } } { k _ { n - 1 } } + ( 1 - \frac { k _ { n } } { k _ { n - 1 } } ) ^ { 2 } + ( \frac { \gamma } { k _ { n - 1 } } Z _ { n } ) ^ { 2 } } { ( 1 + \frac { k _ { n } } { k _ { n - 1 } } ) ^ { 2 } + ( \frac { \gamma } { k _ { n - 1 } } Z _ { n } ) ^ { 2 } } = 1
\begin{array} { r l } { \dot { m } _ { t } } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { F } } \dot { N } _ { p , k } \; \frac { \mathrm { d } m _ { p , k } } { \mathrm { d } t } \, \frac { 1 } { u _ { p , k } } , } \\ { \dot { h } _ { t } } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { F } } \dot { N } _ { p , k } \; \frac { \mathrm { d } H _ { p , k } } { \mathrm { d } t } \, \frac { 1 } { u _ { p , k } } , } \\ { \dot { Y } _ { i , t } } & { { } = \dot { m } _ { t } , \; \textbf { i f } i = \mathrm { O 2 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \cos \varphi _ { c } = 1 - ( 2 c - 1 ) \frac { \nu x _ { \tau } } { \pi d _ { x } N _ { x } f _ { 0 } } , } \\ { \cos \varphi _ { c } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle { H P - } } } = 1 - ( 2 c - 2 ) \frac { \nu x _ { \tau } } { \pi d _ { x } N _ { x } f _ { 0 } } , } \\ { \cos \varphi _ { c } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle { H P + } } } = 1 - ( 2 c ) \frac { \nu x _ { \tau } } { \pi d _ { x } N _ { x } f _ { 0 } } , } \end{array} \right.
\Psi _ { k } = - \frac { \phi _ { 0 } ^ { \prime } } { 4 k ^ { 2 } } ( v _ { k } / a ) ^ { \prime } \sim k ^ { - 3 / 2 } ~ \frac { 1 } { | k \eta | ^ { 2 } } ( k / a ) _ { H C } \; ,
\left| U _ { \mathrm { O } } + U _ { \mathrm { R } } \right| ^ { 2 } = U _ { \mathrm { O } } U _ { \mathrm { R } } ^ { * } + \left| U _ { \mathrm { R } } \right| ^ { 2 } + \left| U _ { \mathrm { O } } \right| ^ { 2 } + U _ { \mathrm { O } } ^ { * } U _ { \mathrm { R } }
w _ { \delta } ^ { m } ( x ) = \operatorname* { s u p } _ { \tau \in \mathcal { T } _ { x , b } ^ { \delta } } \ln \mathbb { E } _ { x } \left[ e ^ { \int _ { 0 } ^ { \tau \wedge \tau _ { B _ { m } } } ( f ( X _ { s } ) - \lambda _ { \delta } ^ { m } ) d s + M w _ { \delta } ^ { m } ( X _ { \tau \wedge \tau _ { B _ { m } } } ) } \right] , \quad x \in B _ { m } .
\tilde { g } ( S ) = \left\{ \begin{array} { c l } { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } S < 0 , } \\ { S } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 \le S \le s _ { \mathrm { m a x } } , } \\ { s _ { \mathrm { m a x } } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } S > s _ { \mathrm { m a x } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { g ( { \mathbf y } ) + \frac { \bar { \rho } } { 2 } \| { \mathbf y } - { \mathbf x } \| ^ { 2 } \leq } & { ~ g ( { \mathbf x } ) + s ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) \cdot ( y _ { 1 } - x _ { 1 } ) + \frac { 2 + \bar { \rho } } { 2 } ( y _ { 1 } - x _ { 1 } ) ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ \bar { \epsilon } ^ { 2 } - \eta \left( 1 - \frac { 2 + \bar { \rho } } { 2 } \eta \right) [ s ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) ] ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ \bar { \epsilon } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { \underline { q } } { 2 } , \frac { 1 } { 2 + \bar { \rho } } \right\} [ s ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) ] ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ \bar { \epsilon } ^ { 2 } - 2 \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { \underline { q } } { 2 } , \frac { 1 } { 2 + \bar { \rho } } \right\} \underline { q } ^ { 2 } \leq - \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { \underline { q } } { 2 } , \frac { 1 } { 2 + \bar { \rho } } \right\} \underline { q } ^ { 2 } \leq - \theta , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { D } { D t } \frac { W } { K } } & { = } & { \frac { W } { K } \left( { \frac { 1 } { W } \frac { D W } { D t } - \frac { 1 } { K } \frac { D K } { D t } } \right) } \\ & { = } & { \frac { W } { K } \left( { \frac { 1 } { W } P _ { W } - \frac { 1 } { K } P _ { K } } \right) - \frac { W } { K } \left( { \frac { 1 } { W } \varepsilon _ { W } - \frac { 1 } { K } \varepsilon } \right) } \\ & { } & { + \frac { W } { K } \left( { \frac { 1 } { W } T _ { W } - \frac { 1 } { K } T _ { K } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta \xi _ { \parallel } = - \mathrm { ~ i ~ } \frac { \gamma \beta k _ { \parallel } v _ { A } ^ { 2 } } { \textrm { d } 2 \omega ^ { 2 } - \gamma \beta k _ { \parallel } ^ { 2 } v _ { A } ^ { 2 } } \nabla \cdot \delta \boldsymbol { \xi } _ { \perp } ; } \end{array}
\phi _ { 2 } = a r g \left[ - \frac { V _ { t d } V _ { t b } ^ { \ast } } { V _ { u d } V _ { u b } ^ { \ast } } \right] , \phi _ { 1 } = a r g \left[ \frac { - V _ { c d } V _ { c b } ^ { \ast } } { V _ { t d } V _ { t b } ^ { \ast } } \right]
\bar { \mathcal { H } } _ { t } ^ { 1 - \frac { 1 } { \alpha } } \geq \bar { \mathcal { H } } _ { t } ^ { 1 - \frac { 1 } { \alpha } } - \bar { \mathcal { H } } _ { C _ { 1 } L ^ { 2 } } ^ { 1 - \frac { 1 } { \alpha } } \geq c C _ { 2 } \Xi _ { t } ^ { - \frac { \beta + \gamma } { \alpha } } ( 1 + t ) ^ { 1 - \frac { \gamma ( p - d ) } { 2 \alpha } } = c C _ { 2 } \Xi _ { t } ^ { 1 - \frac { 1 } { \alpha } } ( 1 + t ) ^ { 1 - \frac { \gamma ( p - d ) } { 2 \alpha } } .
{ \cal T } _ { \mathrm { ~ C ~ M ~ P ~ } } ( { \bf x } _ { h } , { \bf x } _ { 0 } ) ^ { 2 } = \tau _ { 0 } ^ { 2 } + 4 \Delta { \bf x } _ { h } \cdot \left[ { \bf V } _ { \mathrm { ~ N ~ M ~ O ~ } } \right] ^ { - 2 } \Delta { \bf x } _ { h } \, ,
V _ { 1 } C _ { 1 } ^ { - 1 } { \cal P } C _ { F } V _ { 2 } ^ { \dagger } \left[ Q ^ { \mu i } ( \xi _ { i } ) - Q ^ { \mu j } ( V _ { 0 j } ^ { - 1 } V _ { F } \Gamma { \cal P } ^ { - 1 } \xi _ { E } ) \right] = 0 \ .
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } } & { { } = \alpha \int \mathcal { D } w \, \exp \left\{ - \frac { \beta } { 2 } \iint \mathrm { d } \mathbf { r } \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, w ( \mathbf { r } ) \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) w ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) - N \ln z [ i w ] \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( P _ { * } \circ I _ { * } ) ( f _ { s } ) _ { s = 1 } ^ { n } } & { = P _ { * } ( \sum _ { s = 1 } ^ { n } i _ { s } f _ { s } ) } \\ & { = ( p _ { u } \circ \sum _ { s = 1 } ^ { n } i _ { s } f _ { s } ) _ { u = 1 } ^ { n } } \\ & { = ( \sum _ { s = 1 } ^ { n } p _ { u } i _ { s } f _ { s } ) _ { u = 1 } ^ { n } } \\ & { = ( f _ { u } ) _ { u = 1 } ^ { n } } \end{array}
\delta x \, \boldsymbol { \alpha } ^ { ( 1 ) } [ ^ { ( 1 ) } V _ { M } ^ { \mp } ] \cdot \tilde { \mathbf { f } } _ { \hphantom { ( } k _ { \pm } ^ { * } } ^ { ( 1 ) } = \boldsymbol { \alpha } ^ { ( 0 ) } [ ^ { ( 1 ) } V _ { M } ^ { \mp } ] \cdot \mathbf { f } _ { \hphantom { ( } k _ { \pm } ^ { * } } ^ { ( 0 ) } + \xi _ { - } \delta x ^ { 2 M + 2 } \boldsymbol { \alpha } ^ { ( 1 ) } [ ^ { ( 1 ) } V _ { M } ^ { \mp } ] \cdot \mathbf { f } _ { \hphantom { ( } k _ { \pm } ^ { * } } ^ { ( 2 M + 2 ) } ,
\begin{array} { r l } { \frac { D \rho } { D t } } & { { } = - \rho \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { j } } , } \\ { \rho \frac { D u _ { i } } { D t } } & { { } = - \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } - \rho g _ { i } \alpha T + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } ( \mu \Gamma _ { i j } ) , } \\ { \rho C _ { p } \frac { D T } { D t } - \alpha T \frac { D p } { D t } } & { { } = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \lambda \frac { \partial T } { \partial x _ { j } } \right) + \mu \Phi , } \end{array}
\tilde { U } = \sqrt { a ^ { 2 } \left( \omega ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } - n _ { 1 } ^ { - 2 } \mu _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } \right) } \, , \qquad \tilde { W } = \sqrt { - a ^ { 2 } \left( \omega ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } - n _ { 2 } ^ { - 2 } \mu _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } \right) } \, ,
\left( \mathbf { W } _ { \mathcal { \Bar { P } \Bar { P } } } - \lambda \mathbf { I } \right) ^ { - 1 } = \mathbf { Q } _ { \mathcal { \Bar { P } \Bar { P } } } \left( \mathbf { D } _ { \mathcal { \Bar { P } \Bar { P } } } - \lambda \mathbf { I } _ { s } \right) ^ { - 1 } \mathbf { Q } _ { \mathcal { \Bar { P } \Bar { P } } } ^ { - 1 } .
\begin{array} { r } { \mathbf { F } _ { \mathrm { ~ b ~ e ~ n ~ d ~ } } = \frac { \delta E _ { \mathrm { ~ b ~ e ~ n ~ d ~ } } } { \delta \phi } \frac { \nabla \phi } { \epsilon | \nabla \phi | ^ { 2 } } = \frac { \kappa } { \epsilon ^ { 2 } } \left( \epsilon \nabla ^ { 2 } - \frac { 1 } { \epsilon } G ^ { \prime \prime } \right) \left( \epsilon \nabla ^ { 2 } \phi - \frac { 1 } { \epsilon } G ^ { \prime } \right) \frac { \nabla \phi } { | \nabla \phi | ^ { 2 } } . } \end{array}
\frac { d P } { d t } = \gamma r _ { \mathrm { E } } \cos \phi + \left. r h \bar { \sigma } _ { r r } \right| _ { r = r _ { \mathrm { E } } } - \int _ { r _ { 0 } } ^ { r _ { \mathrm { E } } } h \bar { \sigma } _ { \theta \theta } \, d r ,
{ \frac { 1 } { \gamma } } { \frac { \mathrm { { d } } \mathbf { m } } { \mathrm { { d } } t } } = \mathbf { m } \times \mathbf { H } _ { \mathrm { e f f } } - { \frac { \lambda } { \gamma m } } \mathbf { m } \times { \frac { \mathrm { { d } } \mathbf { m } } { \mathrm { { d } } t } }
\delta \Psi = \epsilon ^ { 2 } ( 1 + i \Psi \partial _ { \tau } \Psi ) , \quad \delta \Phi = - i \epsilon ^ { 2 } ( 2 \eta - \Psi \partial _ { \tau } \Phi ) = - i \epsilon ^ { 2 } ( 2 \eta - L ) , \quad L = \Psi \partial _ { \tau } \Phi = { \frac { \partial _ { \tau } \Phi D \Phi } { 1 + \sqrt { 1 - ( \partial _ { \tau } \Phi ) ^ { 2 } } } } ,
\begin{array} { r l } { f ( r ) } & { { } = \frac { L } { \sqrt { L ^ { 2 } / 4 + r ^ { 2 } } } \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } \left( \frac { \sqrt { L ^ { 2 } / 4 + r ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 } \sigma _ { r } } \right) } \end{array}
- \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { d } { d r } \frac { r ^ { 2 } } { ( 1 - { \phi _ { c } ^ { \prime } } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \frac { d } { d r } \psi _ { n } = \omega _ { n } \psi _ { n }
\begin{array} { r l } { M _ { 0 } } & { { } \! = \! \left( m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } \right) \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } , } \\ { T _ { x } } & { { } \! = \! t _ { | | } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! - \! i \frac { \lambda _ { | | } } { 2 } \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } , ~ ~ T _ { x } ^ { \dagger } \! = \! t _ { | | } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! i \frac { \lambda _ { | | } } { 2 } \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } , } \\ { T _ { y } } & { { } \! = \! t _ { | | } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! - \! i \frac { \lambda _ { | | } } { 2 } \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } , ~ ~ T _ { y } ^ { \dagger } \! = \! t _ { | | } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! i \frac { \lambda _ { | | } } { 2 } \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } , } \\ { T _ { z } } & { { } \! = \! t _ { z } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! - \! i \frac { \lambda _ { z } } { 2 } \sigma _ { z } \otimes \tau _ { x } , ~ ~ T _ { z } ^ { \dagger } \! = \! t _ { z } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! i \frac { \lambda _ { z } } { 2 } \sigma _ { z } \otimes \tau _ { x } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( b a ) x } & { = } & { \left( \beta a + \beta b + \sigma \right) \left( P a + \frac { P } { \beta } \sigma - \alpha c \right) } \\ & { = } & { 2 P a \sigma + \frac { P } { \beta } \sigma ^ { 2 } - \alpha c \sigma + \beta P a - \alpha \beta a c } \\ & { + } & { \beta P a b + P b \sigma - \alpha \beta b c } \\ & { = } & { [ . . . ] a + \left[ \beta ( \alpha - \beta ) P + \frac { P } { \beta } \theta + \beta ^ { 2 } P + P \delta ^ { f } \right] b } \\ & { + } & { \left[ \beta ( \alpha - \beta ) P + \frac { P } { \beta } \theta - \alpha \delta ^ { f } - \alpha \beta ^ { 2 } \right] c + [ . . . ] \sigma } \end{array}
\lambda _ { 2 N } ( \alpha ) = { \frac { 1 + \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } \left( { \frac { i \alpha } { 2 } } \right) ^ { 2 m + 1 } { \frac { ( 2 N + 2 m ) ! } { ( 2 m + 1 ) ! ( 2 N - 2 m - 2 ) ! } } } { \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } \left( { \frac { i \alpha } { 2 } } \right) ^ { 2 m } { \frac { ( 2 N + 2 m - 1 ) ! } { ( 2 m ) ! ( 2 N - 2 m - 1 ) ! } } - i \alpha ( 4 N + 1 ) } } \times \lambda _ { 0 } ( \alpha )
R e _ { \epsilon } \left( \frac { { \partial } \bar { u } _ { r } } { { \partial } \bar { t } } + \bar { u } _ { r } \frac { { \partial } \bar { u } _ { r } } { { \partial } \bar { r } } + \bar { u } _ { z } \frac { { \partial } \bar { u } _ { r } } { { \partial } \bar { z } } \right) = - \frac { { \partial } \bar { p } } { { \partial } \bar { r } } + \left( \frac { { \partial } ^ { 2 } \bar { u } _ { r } } { { \partial } \bar { z } ^ { 2 } } + \frac { \epsilon } { \bar { r } } \frac { { \partial } } { { \partial } \bar { r } } \left( \bar { r } \frac { { \partial } \bar { u } _ { r } } { { \partial } \bar { r } } \right) \right)
\begin{array} { r l } { \frac { \overline { { \Pi } } } { \xi } \qquad } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad n T \le t < ( n + \xi ) T , } \\ { 0 \qquad } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad ( n + \xi ) T \le t < ( n + 1 ) T } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { ~ d ~ } \hat { s } _ { 0 } } { \mathrm { ~ d ~ } \hat { t } } } & { { } = - \frac { \Delta \hat { p } _ { g } } { 2 \hat { s } _ { 0 } \ln \left( \hat { s } _ { 0 } \right) } , \quad \textrm { w i t h } \quad \Delta \hat { p } _ { g } = 2 \mathcal { C } ^ { - 1 } \left( \hat { t } - \hat { s } _ { 0 } ^ { 2 } + \mathcal { S } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { Q _ { \mathcal { T } , \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ n ~ e ~ r ~ } } ^ { ( 2 ) } = Q _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ n ~ e ~ r ~ } } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { 4 } \left( - [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] - [ Y _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] \right) . } \end{array}
T ^ { \mu \lambda ( a b ) } = - F ^ { \mu \alpha ( a b ) } F _ { \, \, \, \, \alpha } ^ { \lambda ( a b ) } + \frac { 1 } { 4 } g ^ { \mu \lambda } F _ { \, \beta \alpha } ^ { ( a b ) } F ^ { \alpha \beta ( a b ) } ,
\begin{array} { c } { p _ { i } = \frac { \partial S } { \partial q ^ { i } } } \\ { \beta _ { A } = - \frac { \partial S } { \partial \alpha ^ { A } } } \\ { r a n k ( \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial \alpha ^ { A } \partial q ^ { i } } ) = n - m } \end{array}
W _ { \mathrm { S E P } } ( A ) = \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } A ^ { i j } \left( \hat { q } _ { 1 \to 0 } ^ { i } \, \hat { n } _ { 0 } ^ { j } + \hat { \sigma } _ { + } ^ { i } \, \hat { q } _ { 0 \to 1 } ^ { j } \right) \, .
\begin{array} { r } { E ( { \bf R , q } ) = \sum _ { I } \chi _ { I } q _ { I } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I } U _ { I } q _ { I } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I J } ^ { I \ne J } q _ { I } \gamma _ { I J } q _ { J } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \hat { j } _ { x } ^ { 2 } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { s , s ^ { \prime } } ( \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 1 2 } \rangle + \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 1 } \rangle + \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 1 2 } \rangle + \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 1 } \rangle ) , } \\ { \langle \hat { j } _ { y } ^ { 2 } \rangle } & { { } = - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { s , s ^ { \prime } } ( \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 1 2 } \rangle - \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 1 } \rangle - \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 1 2 } \rangle + \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 1 } \rangle ) , } \\ { \langle \hat { j } _ { z } ^ { 2 } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { s , s ^ { \prime } } ( \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 2 } \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 2 } \rangle - \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 2 } \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 1 1 } \rangle - \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 1 } \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 2 } \rangle + \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 1 } \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 1 1 } \rangle ) . } \\ { \langle \hat { j } _ { z } ^ { 2 } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { s , s ^ { \prime } } [ 4 \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 2 } \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 2 } \rangle - 2 ( \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 2 } \rangle + \langle \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 2 } \rangle ) + 1 ] } \end{array}
d s ^ { 2 } = - \left( 1 - { \frac { \sqrt { A / 4 \pi } } { \tilde { r } } } \right) ^ { 2 } d t ^ { 2 } + \left( 1 - { \frac { \sqrt { A / 4 \pi } } { \tilde { r } } } \right) ^ { - 2 } d \tilde { r } ^ { 2 } + \tilde { r } ^ { 2 } d ^ { 2 } \Omega \; \; .