harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } _ { \omega } \bigg [ \sum _ { j = 0 } ^ { N _ { m } } F _ { p _ { n } } ( j , m ) \bigg ] } & { = \rho _ { p _ { n } } \mathrm { E } _ { \omega } F _ { p _ { n } } = 2 W _ { p _ { n } } } \\ { \mathrm { V a r } _ { \omega } \bigg [ \sum _ { j = 0 } ^ { N _ { m } } F _ { p _ { n } } ( j , m ) \bigg ] } & { = \rho _ { p _ { n } } \mathrm { V a r } _ { \omega } F _ { p _ { n } } + \rho _ { p _ { n } } ( 1 + \rho _ { p _ { n } } ) \left( \mathrm { E } _ { \omega } F _ { p _ { n } } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { Y } } & { { } = \left[ \frac { 4 \Gamma C } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left| \chi ( \omega ) \right| ^ { 2 } \left( \left| f ( \omega ) \right| ^ { 2 } + 1 \right) \mathrm { d } \omega \right] ^ { 1 / 2 } } \\ { g _ { X } } & { { } = - \frac { 1 } { g _ { \mathrm { Y } } } \frac { 8 \Gamma C } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \chi ( \omega ) | ^ { 2 } \Im { ( \phi ( \omega ) ) \Im { ( f ( \omega ) ) } } \mathrm { d } \omega . } \end{array}
\frac { E _ { \gamma _ { + } } } c - \frac { E _ { \gamma _ { - } } } c = - \frac { \delta v } { c ^ { 2 } } \frac { ( E _ { \gamma _ { + } } ^ { \prime \prime } + E _ { \gamma _ { - } } ^ { \prime \prime } ) } { \sqrt { 1 - \frac { ( \delta v ) ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } = - \frac { \delta v } { c ^ { 2 } } L , \eqno ( 6 0 )
H = \left( \begin{array} { l l } { { p + \frac { m _ { L } ^ { 2 } } { 2 p } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { p + \frac { m _ { S } ^ { 2 } } { 2 p } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { { \tilde { E } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \tilde { E } } } \end{array} \right) + { \frac { 1 } { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { { \Delta E } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \Delta E } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \epsilon ( \phi ) : = \frac { \mu } { 2 } g ^ { - 1 } ( \nabla \phi ^ { \dagger } , \nabla \phi ) - \frac { 1 } { 2 } \| \mathcal { A } _ { B } \| _ { g ^ { - 1 } } ^ { 2 } } \end{array}
\nu _ { t } \left( \eta \right) = \frac { \nu } { 2 } \left\{ 1 + \frac { \kappa ^ { 2 } R e _ { \tau } ^ { 2 } } { 9 } \left( 1 - \eta ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( 1 + 2 \eta ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \exp \left[ \left( \left| \eta \right| - 1 \right) R e _ { \tau } / A \right] \right) ^ { 2 } \right\} - \frac { \nu } { 2 }
\operatorname { v a r } \left[ { \frac { 1 } { 1 - X } } \right] = \operatorname { E } \left[ \left( { \frac { 1 } { 1 - X } } - \operatorname { E } \left[ { \frac { 1 } { 1 - X } } \right] \right) ^ { 2 } \right] = \operatorname { v a r } \left[ { \frac { X } { 1 - X } } \right] =
\begin{array} { r l } { T _ { L } ( a _ { i j } , \beta _ { j } ) } & { = \operatorname* { m a x } ( 0 , \, \, \beta _ { j } - u _ { i j } ) } \\ & { = \operatorname* { m a x } ( 0 , \, \, [ \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq k \leq n } \, a _ { k j } \underset { L } { \longrightarrow } \overline { { b } } ( \delta ) _ { k } ] - u _ { i j } ) } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq k \leq n } \, \operatorname* { m a x } ( 0 , \, \, [ a _ { k j } \underset { L } { \longrightarrow } \overline { { b } } ( \delta ) _ { k } ] - u _ { i j } ) } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq k \leq n } \, ( [ a _ { k j } \underset { L } { \longrightarrow } \overline { { b } } ( \delta ) _ { k } ] - u _ { i j } ) ^ { + } . } \end{array}
\Bar { P } ^ { 2 } x ^ { 4 } - \left( n ^ { 2 } \Bar { P } + 1 \right) \Bar { P } x ^ { 3 } + 3 \left( n ^ { 2 } \Bar { P } + 1 \right) q _ { m } ^ { 2 } x - 9 q _ { m } ^ { 4 } = 0 .
A _ { \beta \dot { \beta } } ^ { \{ \alpha \gamma \} } = - 2 i \, \frac { 1 } { x ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } } \left( \delta _ { \beta } ^ { \alpha } x _ { \dot { \beta } } ^ { \gamma } + \delta _ { \beta } ^ { \gamma } x _ { \dot { \beta } } ^ { \alpha } \right) \, .
\begin{array} { r l } { J ( z , \tilde { \eta } _ { \gamma } ) } & { = \varepsilon \int _ { - \varepsilon ^ { - 1 } } ^ { T } \left\{ - \left[ Q ^ { \prime \prime } ( \varepsilon z ^ { \prime } ( t ) ) z ^ { \prime \prime } ( t ) \right] ^ { \prime } + F ^ { \prime \prime } ( z ( t ) ) z ^ { \prime } ( t ) \right\} z ^ { \prime } ( t ) \, d t } \\ & { \qquad + 2 \varepsilon \gamma \int _ { - \varepsilon ^ { - 1 } } ^ { T } \left\{ - \left[ Q ^ { \prime \prime } ( \varepsilon z ^ { \prime } ( t ) ) z ^ { \prime \prime } ( t ) \right] ^ { \prime } + F ^ { \prime \prime } ( z ( t ) ) z ^ { \prime } ( t ) \right\} \eta _ { 1 } ( t ) \, d t } \\ & { \qquad + \varepsilon \left[ - 2 \gamma Q ^ { \prime \prime } ( 0 ) z ^ { \prime \prime } ( - \varepsilon ^ { - 1 } ) + \mathcal { O } ( \gamma ^ { 2 } ) \right] , } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } x ^ { a } } { d \hat { s } ^ { 2 } } + \{ _ { m n } ^ { \; \; a } \} _ { h a t } \frac { d x ^ { m } } { d \hat { s } } \frac { d x ^ { n } } { d \hat { s } } - \frac { \psi _ { , n } } { 2 } ( \frac { d x ^ { n } } { d \hat { s } } \frac { d x ^ { a } } { d \hat { s } } - \hat { g } ^ { n a } ) = 0 ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { M } _ { 1 } ( z ) = \mathbb { E } \big \lbrace { \mathbf { G } } ( z ) \big \rbrace = 0 } \\ & { \mathbb { M } _ { 2 } ( z , z ^ { \prime } ) = \mathbb { E } \big \lbrace { \mathbf { G } } ( z ) \otimes { \mathbf { G } } ( z ^ { \prime } ) \big \rbrace = \phi ( z , z ^ { \prime } ; \xi ) , ~ ~ ~ ~ z , z ^ { \prime } \in \mathbb { I \! D } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 \sum _ { i _ { 2 } = 0 } ^ { K } \sum _ { i _ { 1 } = 0 } ^ { i _ { 2 } } \mu _ { i _ { 1 } } \mu _ { i _ { 2 } } \left( \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { i _ { 2 } - 1 } f _ { j _ { 1 } } \right) } \\ & { \quad \times \left\{ \sum _ { j _ { 3 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \frac { \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 3 } } } \left( \prod _ { j _ { 4 } = i _ { 2 } } ^ { j _ { 3 } - 1 } \left( f _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } + \frac { \sigma _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 4 } } } \right) \right) \left( \prod _ { j _ { 2 } = j _ { 3 } + 1 } ^ { I + n - 1 } \left( f _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 2 } } } \right) \right) \right. } \\ & { \qquad + \sum _ { j _ { 3 } = i _ { 2 } } ^ { K } \frac { \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 3 } } } \left( \prod _ { j _ { 4 } = i _ { 2 } } ^ { j _ { 3 } - 1 } \left( f _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } + \frac { \sigma _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 4 } } } \right) \right) \left( \prod _ { j _ { 2 } = j _ { 3 } + 1 } ^ { I + n - 1 } \left( f _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { j _ { 2 } , n } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 2 } } } \right) \right) \left( \prod _ { j _ { 4 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } f _ { j _ { 4 } } - 1 \right) } \\ & { \qquad + \sum _ { j _ { 3 } = i _ { 2 } } ^ { K } \frac { \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 3 } } } \left( \prod _ { j _ { 4 } = i _ { 2 } } ^ { j _ { 3 } - 1 } \left( f _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } + \frac { \sigma _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 4 } } } \right) \right) \left[ \prod _ { j _ { 2 } = j _ { 3 } + 1 } ^ { K } \left( f _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { j _ { 2 } , n } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 2 } } } \right) \left( \prod _ { j _ { 2 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \left( f _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 2 } } } \right) - 1 \right) \right] \left( \prod _ { j _ { 4 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } f _ { j _ { 4 } } \right) } \\ & { \qquad + \left. \sum _ { j _ { 3 } = i _ { 2 } } ^ { K } \frac { \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 3 } } } \left( \prod _ { j _ { 4 } = i _ { 2 } } ^ { j _ { 3 } - 1 } \left( f _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } + \frac { \sigma _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 4 } } } \right) \right) \left( \prod _ { j _ { 2 } = j _ { 3 } + 1 } ^ { K } \left( f _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 2 } } } \right) \right) \left( \prod _ { j _ { 4 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } f _ { j _ { 4 } } - 1 \right) \right\} , } \end{array}
\widetilde { \cal W } _ { n } ( \eta _ { 1 } , . . . , \eta _ { n } ) = ( r _ { 1 } \cdots r _ { n } ) ^ { - \Delta } { \cal W } _ { n } ^ { \infty } ( [ \tau _ { 1 } , \mathrm { e } _ { 1 } ] , . . . , [ \tau _ { n } , \mathrm { e } _ { n } ] ) .
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { y } [ h ( x , y ) - \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \Psi ( i ) x ^ { i } ] } & { = } & { a x h ( x , y ) + b h ( x , y ) + \frac { c } { x } h ( x , y ) , } \\ { h ( x , y ) [ 1 - ( a x + b + \frac { c } { x } ) y ] } & { = } & { \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \Psi ( i ) x ^ { i } , } \end{array}
\frac { | \delta T ( \omega ) | } { | \delta \Delta ( \omega ) | } = \frac { 2 \Delta _ { 0 } \kappa _ { \mathrm { e x } } \sqrt { ( \kappa - \kappa _ { \mathrm { e x } } ) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } } { \left( \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 } + \Delta _ { 0 } ^ { 2 } \right) \sqrt { \left( \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 } + \Delta _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { S _ { a \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) } & { { } = } & { \frac { \delta _ { a \alpha } } { r } + \frac { ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { a } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { \alpha } } { r ^ { 3 } } } \\ { P _ { \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) } & { { } = } & { 2 \frac { ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { \alpha } } { r ^ { 3 } } } \\ { \Sigma _ { a b \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) } & { { } = } & { 6 \frac { ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { a } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { b } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { \alpha } } { r ^ { 5 } } } \end{array}
\Sigma _ { i , 2 } ^ { \delta ^ { 2 } } = \delta ^ { 2 } \lambda _ { i } \eta _ { i } ^ { 2 } \left( \frac { N _ { i } + 2 } { 3 } \right) \left[ \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } \epsilon } - \frac { Y _ { i } ( T ) } { \Omega _ { i } ^ { 2 } } \right] \; ,
\bar { \psi } \gamma ^ { a } \lambda \equiv \bar { \psi } _ { i } \gamma ^ { a } \lambda ^ { i } , \qquad \bar { \psi } \vec { \tau } \gamma ^ { a } \lambda \equiv \bar { \psi } _ { i } \gamma ^ { a } \lambda ^ { j } ( \vec { \tau } ) ^ { i } { } _ { j }
\mathbf { \nabla } _ { \mathbf { k } } \mathcal { H } ( \mathbf { k } ) = \Omega _ { R } [ \hat { k } _ { x } \cos ( k _ { x } ) \sigma _ { x } - \hat { k } _ { y } \sin ( k _ { y } ) \sigma _ { y } - \hat { k } _ { z } \sin ( k _ { z } ) \sigma _ { z } ]
\begin{array} { r } { i _ { c e l l } = \sum _ { n _ { a } = 1 } ^ { N _ { a } } e R _ { n _ { a } } ^ { V } \frac { L _ { a } } { N _ { a } } = - \sum _ { n _ { c } = 1 } ^ { N _ { c } } e R _ { n _ { c } } ^ { V } \frac { L _ { c } } { N _ { c } } \qquad \qquad n = 1 , 2 , . . . , N } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { k } } & { { } = \sqrt { 1 + \left( \boldsymbol { p } / m \right) _ { k } ^ { 2 } / \mathbb { C } ^ { 2 } } , \quad \boldsymbol { v } _ { k } = \frac { \left( \boldsymbol { p } / m \right) _ { k } } { \gamma _ { k } } , } \\ { \varepsilon _ { k } } & { { } = \frac { \left( \boldsymbol { p } / m \right) _ { k } ^ { 2 } } { 1 + \gamma _ { k } } = \left( \gamma _ { k } - 1 \right) \mathbb { C } ^ { 2 } , } \end{array}
S _ { W } ( \Phi ) = - \frac { 1 } { g _ { o } ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { 2 } \langle \Phi , Q _ { B } \Phi \rangle + \frac { 1 } { 3 } \langle \Phi , \Phi * \Phi \rangle \right] ,
E = { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { M ^ { \frac { n } { 3 } } } { n ! } } \operatorname* { l i m } _ { \theta \to 0 ^ { + } } \! { \Bigg ( } { \frac { \mathrm { d } ^ { \, n - 1 } } { \mathrm { d } \theta ^ { \, n - 1 } } } { \bigg ( } { \bigg ( } { \frac { \theta } { \sqrt [ { 3 } ] { \theta - \sin ( \theta ) } } } { \bigg ) } ^ { \! \! \! n } { \bigg ) } { \Bigg ) } , } & { e = 1 } \\ { \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { M ^ { n } } { n ! } } \operatorname* { l i m } _ { \theta \to 0 ^ { + } } \! { \Bigg ( } { \frac { \mathrm { d } ^ { \, n - 1 } } { \mathrm { d } \theta ^ { \, n - 1 } } } { \bigg ( } { \Big ( } { \frac { \theta } { \theta - e \sin ( \theta ) } } { \Big ) } ^ { \! n } { \bigg ) } { \Bigg ) } , } & { e \neq 1 } \end{array} \right. }
\begin{array} { r } { P ^ { 0 } = ( \overline { { U } } _ { m } ^ { 0 } , 0 , \overline { { U } } _ { T } ^ { 0 } , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) = \alpha H ( 1 , 0 , \frac { l ^ { 2 } A } { \kappa } + \frac { 1 } { 2 } , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { m } \sim } & { { } \, \mathrm { B e t a } ( A _ { q } , B _ { q } ) , \, \, m = 1 : \infty , } \\ { b _ { m } \sim } & { { } \, \mathrm { B e r n o u l l i } ( q _ { m } ) , } \\ { I _ { A } \sim } & { { } \, \mathrm { G a m m a } ( \alpha _ { A } , \beta _ { A } ) , } \\ { \mathcal { B } \sim } & { { } \, \mathrm { G a m m a } \left( \alpha _ { \mathcal { B } } , \beta _ { \mathcal { B } } \right) , } \\ { \mathbf { \Pi } \sim } & { { } \, \mathrm { D i r i c h l e t } ( \alpha _ { \Pi } ) , } \\ { s _ { k } ^ { m r } | s _ { k - 1 } ^ { m r } , \mathbf { \Pi } \sim } & { { } \, \mathrm { C a t e g o r i c a l } ( \pi _ { s _ { k - 1 } ^ { m r } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w ( q _ { A } ( t ) , } & { \Delta _ { 0 } , \Delta ) = ( M ( q ( t ) , \Delta ) - M ( q ( t ) , \Delta _ { 0 } ) ) \ddot { q } _ { a } ( t ) + } \\ & { + ( C ( q ( t ) , \dot { q } ( t ) , \Delta ) - C ( q ( t ) ( t ) , \dot { q } ( t ) , \Delta _ { 0 } ) ) \dot { q } _ { a } + } \\ & { + G ( q ( t ) , \Delta ) - G ( q ( t ) , \Delta _ { 0 } ) . } \end{array}
\Delta _ { \ell _ { w } ^ { 1 } } ^ { \mathrm { S R } } ( x , S , j ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { m a x } \left\{ \| r \| _ { 2 } - \lambda w _ { j } | \langle r , a _ { j } \rangle | - \sqrt { ( 1 - ( \lambda w _ { j } ) ^ { 2 } ) ( \| r \| _ { 2 } ^ { 2 } - | \langle r , a _ { j } \rangle | ^ { 2 } ) } , 0 \right\} } & { j \notin S } \\ { \| r \| _ { 2 } - \sqrt { \widetilde { \rho } ^ { 2 } + \| r \| _ { 2 } ^ { 2 } } + \lambda w _ { j } \left( | x _ { j } | - \left| | x _ { j } | - \widetilde { \rho } \right| \right) } & { j \in S } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l r } { \rho _ { + } ^ { 1 } ( x ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi \sqrt { ( x - v _ { 0 } ) ^ { 2 } - 2 } } \int _ { - v _ { 0 } - \sqrt { 2 } } ^ { x } \sqrt { 2 - ( x ^ { \prime } + v _ { 0 } ) ^ { 2 } } d x ^ { \prime } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi \sqrt { ( x - v _ { 0 } ) ^ { 2 } - 2 } } \left( \frac { 1 } { 2 } ( x + v _ { 0 } ) \sqrt { 2 - ( x + v _ { 0 } ) ^ { 2 } } + \arcsin \left( \frac { x + v _ { 0 } } { \sqrt { 2 } } \right) + \frac { \pi } { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \mathcal { A } [ ( - 2 ^ { - 1 / 2 } k ^ { 1 / 2 } x ^ { - 1 / 2 } , k ) \xrightarrow { \infty } ( y _ { 2 } , 1 ) ] - \mathcal { A } [ ( - 2 ^ { - 1 / 2 } k ^ { 1 / 2 } x ^ { - 1 / 2 } , k ) } & { \xrightarrow { \infty } ( y _ { 1 } , 1 ) ] } \\ & { = \mathcal { S } ( x , y _ { 2 } ) - \mathcal { S } ( x , y _ { 1 } ) , } \end{array}
{ \hat { f } } ( { \boldsymbol { \xi } } ) = { \mathcal { F } } ( f ) ( { \boldsymbol { \xi } } ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } f ( \mathbf { x } ) e ^ { - 2 \pi i \mathbf { x } \cdot { \boldsymbol { \xi } } } \, d \mathbf { x }
\begin{array} { r } { x _ { i } ( k + 1 ) = \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } M _ { i j } x _ { j } ( k ) \right) \left( 1 - \sigma _ { i } ( u _ { i } - x _ { i } ^ { p } ( k ) ) \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
\langle M ^ { \prime } ( v ^ { \prime } ) | \, \bar { h } ^ { \prime } \, \Gamma \, h \, | M ( v ) \rangle = - \xi ( v \cdot v ^ { \prime } , \mu ) \, \mathrm { T r } \big \{ \, \overline { { { \cal { M } } } } ^ { \prime } ( v ^ { \prime } ) \, \Gamma \, { \cal { M } } ( v ) \, \big \} \, ,
E = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { - 1 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { | \mathbb { E } T _ { 2 d } | } & { \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } , \qquad \mathrm { V a r } ( T _ { 2 d } ) \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 8 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( X _ { m } = 2 \, \cap \, X _ { n } = 1 ) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n - 2 } \mathbb { P } ( ( T _ { 1 } , . . . , T _ { n } ) \in \mathcal { S } _ { n , k } ) \times \mathbb { P } ( X _ { n } = 1 \ | \ ( T _ { 1 } , . . . , T _ { n } ) \in \mathcal { S } _ { n , k } ) } \\ & { \qquad \qquad \times \mathbb { P } ( X _ { m } = 2 \ | \ X _ { n } = 1 \, \cap \, ( T _ { 1 } , . . . , T _ { n } ) \in \mathcal { S } _ { n , k } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { s \mathcal { L } \left( z _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } z _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } ^ { * } \right) - \left( z _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } z _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } ^ { * } \right) \mid _ { t = 0 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \epsilon J \left( 3 \right) } \end{array}
| \Psi \rangle = \sum _ { N _ { 1 , L } = 0 } ^ { N _ { 1 } } \sum _ { N _ { 2 , L } = 0 } ^ { N _ { 2 } } c _ { N _ { 1 , L } , N _ { 2 , L } } | N _ { 1 , L } , N _ { 2 , L } \rangle
V ^ { e } ( r , \epsilon ) = 2 e ^ { - 2 \sqrt 2 r } f _ { e } ( r , \epsilon ) \{ 1 - 2 ( { \frac { 3 - \epsilon } { 2 - \epsilon } } ) ( { \frac { 2 - \epsilon } { 4 - \epsilon } } ) ^ { ( 4 - \epsilon ) / 2 } e ^ { - ( 2 - \epsilon ) \sqrt 2 r } \} .
\begin{array} { r l r } & { } & { | 2 ( k _ { \delta } ) _ { u v } T + ( k _ { \delta } ) _ { v v } T ^ { 2 } | \leq C _ { 1 } | T | } \\ & { \leq } & { C _ { 1 } D u ( s ) [ b _ { 2 } ( \delta ) u ( s ) ^ { 2 } + \cdots + b _ { N - 1 } ( \delta ) u ( s ) ^ { N - 1 } + u ( s ) ^ { N } ( 1 + c ) l _ { \delta } ( 0 , 0 ) ] } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { 2 } [ b _ { 2 } ( \delta ) + \cdots + b _ { N - 1 } ( \delta ) u ( s ) ^ { N - 3 } + u ( s ) ^ { N - 2 } ( 1 + c ) l _ { \delta } ( 0 , 0 ) ] , } \end{array}
{ \tilde { m } _ { \Phi _ { i } } } ^ { 2 } \simeq ( q _ { \Phi _ { i } 1 } + \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ) m _ { 1 } ^ { 2 } + ( q _ { \Phi _ { i } 2 } + \lambda _ { 2 } ^ { 2 } ) m _ { 2 } ^ { 2 } .
\alpha _ { { \boldsymbol a } _ { i } } ( \eta _ { h } ) = \left\{ \begin{array} { c c } { \left[ \frac { \left[ { \sum _ { j \in I ( \Omega _ { { \boldsymbol a } _ { i } } ) } [ \! [ \nabla \eta _ { h } ] \! ] _ { i j } } \right] _ { + } } { \sum _ { j \in I ( \Omega _ { { \boldsymbol a } _ { i } } ) } 2 \{ \! \! \{ | \nabla \eta _ { h } \cdot \hat { \boldsymbol { r } } _ { i j } \} \! \! \} | _ { i j } } \right] ^ { q } } & { \mathrm { i f ~ } \sum _ { j \in I ( \Omega _ { { \boldsymbol a } _ { i } } ) } { { | \nabla \eta _ { h } \cdot \hat { \boldsymbol { r } } _ { i j } | } } _ { i j } \neq 0 , } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right.
{ _ { [ 0 , ~ 2 R e _ { \tau } ] } } ^ { T } D _ { y ^ { + } } ^ { \alpha ( y ^ { + } ) } \overline { { U ^ { + } } } ~ : = ~ - { \frac { y ^ { + } } { R e _ { \tau } } } + 1 ~ ; ~ \alpha ( y ^ { + } ) \in ( 0 , 1 ]
\left( \begin{array} { l } { F ^ { 1 } } \\ { F ^ { 2 } } \\ { F ^ { 3 } } \end{array} \right) = q \left( \begin{array} { l l l } { \mathcal { M } ^ { 1 } { } _ { 1 } } & { \mathcal { M } ^ { 1 } { } _ { 2 } } & { \mathcal { M } ^ { 1 } { } _ { 3 } } \\ { \mathcal { M } ^ { 2 } { } _ { 1 } } & { \mathcal { M } ^ { 2 } { } _ { 2 } } & { \mathcal { M } ^ { 2 } { } _ { 3 } } \\ { \mathcal { M } ^ { 3 } { } _ { 1 } } & { \mathcal { M } ^ { 3 } { } _ { 2 } } & { \mathcal { M } ^ { 3 } { } _ { 3 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { v ^ { 1 } } \\ { v ^ { 2 } } \\ { v ^ { 3 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \dot { \psi } } & { = \alpha ( D \psi - ( D \psi \cdot \psi ) \psi ) - U \sqrt { 1 + \alpha ^ { 2 } } m - D m \wedge \psi + D ( m \wedge \psi ) } \\ & { \qquad \qquad - \left( \psi \cdot D ( m \wedge \psi ) \right) \psi - \left( ( m \wedge \psi ) \cdot D m \right) m , } \\ { \dot { m } } & { = - \alpha \left( D m - ( D m \cdot m ) m \right) + m \wedge D m + U \sqrt { 1 + \alpha ^ { 2 } } \psi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma ( \phi _ { \mathrm { i } } ) } & { { } = - \frac { 1 } { R _ { 1 } } - \phi _ { \mathrm { i } } + 1 . 3 0 4 5 R _ { 3 } \phi _ { \mathrm { i } } ^ { 1 0 / 3 } + 0 . 0 7 2 3 R _ { 5 } \phi _ { \mathrm { i } } ^ { 1 4 / 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { E } ^ { ( i ) } } & { = U ^ { n } + \Delta t \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } a _ { i , j } ^ { E } K \left( U _ { E } ^ { ( j ) } , U _ { I } ^ { ( j ) } \right) } \\ { U _ { I } ^ { ( i ) } } & { = U ^ { n } + \Delta t \left( \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } a _ { i , j } ^ { I } K \left( U _ { E } ^ { ( j ) } , U _ { I } ^ { ( j ) } \right) + a _ { i , i } ^ { I } K \left( U _ { E } ^ { ( i ) } , U _ { I } ^ { ( i ) } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \hat { h } } _ { \mathrm { G T C } } ( k _ { x } ) } & { { } = \sum _ { { k _ { y } } } \hat { a } _ { \boldsymbol k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \boldsymbol k } \omega _ { c } ( { \boldsymbol k } ) + \epsilon ( k _ { x } ) \hat { d } _ { k _ { x } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } } + \sum _ { k _ { y } } { g _ { \boldsymbol k } } \big ( \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } } + \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } \hat { d } _ { k _ { x } } ^ { \dagger } \big ) \sin ( { k _ { y } } Y _ { 0 } ) , } \end{array}
\int _ { \Sigma _ { \tau } } \mathcal { E } _ { 2 } [ \phi ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r = \int _ { \Sigma _ { \tau } } \mathcal { E } _ { 2 } [ \widehat { \phi } + \Pi ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r \geq ( 1 - \epsilon ) \int _ { \Sigma _ { \tau } } \mathcal { E } _ { 2 } [ \Pi ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r - C \int _ { \Sigma _ { \tau } } \mathcal { E } _ { 2 } [ \widehat { \phi } ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r .
\begin{array} { r l r } { E _ { f } ^ { n } } & { = } & { E _ { f } ^ { n } + \pi \, L R ^ { 2 } \, \Delta t \, P _ { f } \left( k T _ { i } ^ { n } \right) \, , } \\ { E _ { \alpha } ^ { n } } & { = } & { E _ { \alpha } ^ { n } + \pi \, L R ^ { 2 } \, \Delta t \, P _ { f } \left( k T _ { i } ^ { n } \right) \, , } \\ { E _ { n } ^ { n } } & { = } & { E _ { n } ^ { n } + \frac { 1 4 . 1 } { 3 . 5 } \, \pi \, L R ^ { 2 } \, \left( 1 - a \right) \, \Delta t \, P _ { f } \left( k T _ { i } ^ { n } \right) \, , } \\ { E _ { r } ^ { n } } & { = } & { E _ { r } ^ { n } + \pi \, L R ^ { 2 } \, \Delta t \, P _ { i e } \left( k T _ { i } ^ { n } \right) \, , } \\ { Q _ { F } ^ { n } } & { = } & { \frac { E _ { f } ^ { n } } { E _ { i } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( x , y , z , t , \nabla _ { h } ) } & { \rightarrow ( L _ { w } x _ { w } , L _ { w } y _ { w } , H _ { w } z _ { w } , T _ { w } t _ { w } , L _ { w } ^ { - 1 } \nabla _ { h } ) } \\ { ( \mathbf { u } , w , \theta , \pi , T , p ) } & { \rightarrow ( U \mathbf { u } , W w , T _ { 0 0 } \theta , \pi , T _ { 0 0 } T , p _ { 0 0 } p ) } \\ { ( f , g ) } & { \rightarrow ( { \varepsilon } ^ { 5 / 2 } \frac { g } { \sqrt { R T _ { 0 0 } } } f , g ) } \end{array}
A B = \gamma \gamma ^ { * } = ( a _ { 1 } b _ { 1 } - a _ { 2 } b _ { 2 } - a _ { 3 } b _ { 3 } - a _ { 4 } b _ { 4 } ) ^ { 2 } + ( a _ { 1 } b _ { 2 } + a _ { 2 } b _ { 1 } + a _ { 3 } b _ { 4 } - a _ { 4 } b _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( a _ { 1 } b _ { 3 } + a _ { 3 } b _ { 1 } + a _ { 4 } b _ { 2 } - a _ { 2 } b _ { 4 } ) ^ { 2 } + ( a _ { 1 } b _ { 4 } + a _ { 4 } b _ { 1 } + a _ { 2 } b _ { 3 } - a _ { 3 } b _ { 2 } ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { E } & { = } & { E _ { e n t } + E _ { i n t } + E _ { e l e } } \\ & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { \Omega } R T \left\{ C _ { i } \left( \ln { \left( \frac { C _ { i } } { c _ { 0 } } \right) } - 1 \right) \right\} d x + \int _ { \Omega } \sum _ { i = 1 } ^ { N } C _ { i } U _ { i } d x + \int _ { \Omega } \frac { \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { E } } { 2 } d x , } \end{array}
\tilde { m } _ { t } ^ { 2 } \equiv m _ { t } ^ { 2 } ( p _ { t } ^ { 2 } = - m _ { t } ^ { 2 } ) = m _ { t } ^ { 2 } ( 1 - 2 . 7 8 \frac { \hat { \alpha } _ { s } ( m _ { t } ) } { \pi } ) \; \; ,