harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
a _ { n } = \left( b _ { 1 } \lambda _ { 1 } ^ { n } + b _ { 2 } n \lambda _ { 1 } ^ { n } + b _ { 3 } n ^ { 2 } \lambda _ { 1 } ^ { n } + \cdots + b _ { r } n ^ { r - 1 } \lambda _ { 1 } ^ { n } \right) + \cdots + \left( b _ { d - q + 1 } \lambda _ { * } ^ { n } + \cdots + b _ { d } n ^ { q - 1 } \lambda _ { * } ^ { n } \right)
\begin{array} { r l } { \left| \zeta ( s ) - \sum _ { n = 1 } ^ { \lceil t \rceil } n ^ { - s } \right| } & { < \frac { ( t + 1 ) ^ { 1 - \sigma } } { \sqrt { \sigma ^ { 2 } + t ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { 2 t ^ { 1 - \sigma } } + \frac { \sqrt { \sigma ^ { 2 } + t ^ { 2 } } } { 1 2 t ^ { 1 + \sigma } } + \frac { 1 } { 6 ( 1 + \sigma ) t ^ { 1 + \sigma } } } \\ & { \le \frac { ( 1 + t _ { 0 } ^ { - 1 } ) } { t _ { 0 } ^ { \sigma _ { 0 } } } + \frac { 1 } { 2 } + \frac { \sqrt { t _ { 0 } ^ { - 2 } + 1 } } { 1 2 t _ { 0 } ^ { \sigma _ { 0 } } } + \frac { 1 } { 6 ( 1 + \sigma _ { 0 } ) t _ { 0 } ^ { 1 + \sigma _ { 0 } } } } \\ & { \le 0 . 5 0 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \, \mathrm { d } \mu ( \alpha ) } & { \triangleq \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { 4 } { S _ { o } ^ { 2 } - S _ { i } ^ { 2 } } \left( 1 - \eta ^ { 2 } \right) ^ { \alpha } \left( 1 - t ^ { 2 } \right) ^ { \alpha } \, \widetilde { h } ( t ) ^ { 2 \chi _ { h } \alpha } \, \mathrm { d } V } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \left( 1 - \eta ^ { 2 } \right) ^ { \alpha } \left( 1 - t \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } \chi _ { o } + \alpha } \left( 1 + t \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } \chi _ { i } + \alpha } \, \widetilde { h } ( t ) ^ { \left( 2 \alpha + 1 \right) \chi _ { h } } \, \mathrm { d } \phi \, \mathrm { d } \eta \, \mathrm { d } t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \partial _ { s } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi , p ) \right] _ { ( c ) } = } & { - \int _ { \omega , q } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 2 , 1 ) } ( \omega , q , \varpi , p ) \bar { R } _ { \kappa } ( - \omega - \varpi , - p - q ) \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 2 , 1 ) } ( \omega + \varpi , p + q , - \omega , - q ) \; \tilde { \partial } _ { s } \bar { C } _ { \kappa } ( \omega , q ) } \\ & { \stackrel { p \to \infty } { = } - p ^ { 2 } \int _ { \omega } \left[ \frac { \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \omega + \varpi , p ) - \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi , p ) } { \omega } \right] ^ { 2 } \bar { R } _ { \kappa } ( - \omega - \varpi , p ) \; \tilde { \partial } _ { s } \int _ { q } \bar { C } _ { \kappa } ( \omega , q ) \, , } \end{array}
\delta _ { \epsilon } \Phi ^ { \alpha _ { 0 } } = Z _ { \; \; \alpha _ { 1 } } ^ { \alpha _ { 0 } } \epsilon ^ { \alpha _ { 1 } } , \; \alpha _ { 0 } = 1 , \cdots , M _ { 0 } , \; \alpha _ { 1 } = 1 , \cdots , M _ { 1 } ,
\begin{array} { r l } { \dot { V } _ { F } } & { = \sum _ { j \in \mathcal { N } } [ \frac { \dot { M } _ { j } } { 2 } ( \omega _ { j } - \omega _ { j } ^ { * } ) ^ { 2 } } \\ & { + ( \omega _ { j } - \omega _ { j } ^ { * } ) ( - p _ { j } ^ { L } + s _ { j } - \sum _ { k \in \mathcal { N } _ { j } ^ { s } } p _ { j k } + \sum _ { l \in \mathcal { N } _ { j } ^ { p } } p _ { l j } ) ] , } \end{array}
r _ { i } = y _ { i } - f ^ { k } ( x _ { i } , { \boldsymbol { \beta } } ) - \sum _ { k = 1 } ^ { m } J _ { i k } \, \Delta \beta _ { k } = \Delta y _ { i } - \sum _ { j = 1 } ^ { m } J _ { i j } \, \Delta \beta _ { j } .
P ( \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { e } ) \simeq 1 - 4 | V _ { 1 1 } ^ { l } V _ { 1 2 } ^ { l } | ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } } { 4 } \frac { L } { E } \right) .
\langle \hat { A } \rangle \approx \frac { \sum _ { k } \overline { { W } } _ { k } ^ { m + n } \langle s _ { k } A _ { k } \rangle _ { | D _ { k } | } } { \sum _ { k } \overline { { W } } _ { k } ^ { m + n } \langle s _ { k } \rangle _ { | D _ { k } | } } \, .
\langle \exp | \varphi - \langle \varphi \rangle _ { I } | \rangle _ { I } \leqslant \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { \varepsilon } , } & { \quad 0 \leqslant \varepsilon \leqslant \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \frac { e ^ { 1 - \varepsilon } } { 2 - 2 \varepsilon } , } & { \quad \frac { 1 } { 2 } \leqslant \varepsilon < 1 , } \\ { + \infty , } & { \quad \varepsilon \geqslant 1 } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { A ( k , \omega _ { 0 } t ) = k | f _ { T } ( k \cos \omega _ { 0 } t , k \sin \omega _ { 0 } t ) | , \ \ \ \ \ \phi ( k , \omega _ { 0 } t ) = \mathrm { A r g } [ f _ { T } ( k \cos \omega _ { 0 } t , k \sin \omega _ { 0 } t ) ] . \ } \end{array}
\begin{array} { r l } { | A | } & { = \left| B _ { 1 } \setminus A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } ] } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| } \\ & { \leqslant \frac { 2 n } { 9 } + 3 + \frac { \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| } { 3 } } \\ & { \leqslant \frac { 2 n } { 9 } + 4 + \frac { \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } { 2 } \leqslant \frac { 1 1 n } { 3 6 } + 1 6 , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { q _ { 1 } } & { = { \frac { Q _ { x } + P _ { y } } { \sqrt { 2 } } } } & { q _ { 2 } } & { = { \frac { Q _ { x } - P _ { y } } { \sqrt { 2 } } } } \\ { p _ { 1 } } & { = { \frac { P _ { x } - Q _ { y } } { \sqrt { 2 } } } } & { p _ { 2 } } & { = { \frac { P _ { x } + Q _ { y } } { \sqrt { 2 } } } } \end{array} }
\rho ( \mathbf { y } | \mathbf { X } , { \boldsymbol { \beta } } , \sigma ^ { 2 } ) \propto ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - { \frac { v } { 2 } } } \exp \left( - { \frac { v s ^ { 2 } } { 2 { \sigma } ^ { 2 } } } \right) ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - { \frac { n - v } { 2 } } } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 { \sigma } ^ { 2 } } } ( { \boldsymbol { \beta } } - { \hat { \boldsymbol { \beta } } } ) ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { X } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { X } ) ( { \boldsymbol { \beta } } - { \hat { \boldsymbol { \beta } } } ) \right) ,
\begin{array} { r l r l } { \mathbf { U } \; } & { = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { U } \mathbf { x } + \mathbf { b } ^ { U } ) } & & { } \\ { \mathbf { V } \; } & { = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { V } \mathbf { x } + \mathbf { b } ^ { V } ) } & & { } \\ { \mathbf { y } ^ { 1 } } & { = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { 1 } \mathbf { x } + \mathbf { b } ^ { 1 } ) } & & { } \\ { \mathbf { Z } ^ { l } } & { = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { l } \mathbf { y } ^ { l - 1 } + \mathbf { b } ^ { l } ) , } & & { 2 \le l \le L } \\ { \mathbf { y } ^ { l } } & { = ( 1 - \mathbf { Z } ^ { l } ) \otimes \mathbf { U } + \mathbf { Z } ^ { l } \otimes \mathbf { V } , } & & { 2 \le l \le L } \\ { \mathbf { y } \; } & { = \mathbf { y } ^ { L + 1 } = \mathbf { W } ^ { L + 1 } \mathbf { y } ^ { L } + \mathbf { b } ^ { L + 1 } } & & { } \end{array}
\bar { P } _ { \mathit { d y n } } = \bar { P } + \frac { 1 } { 2 } \rho \left( \mathrm { ~ \boldmath ~ v ~ } _ { \mathit { r e l } } \cdot \mathrm { ~ \boldmath ~ \hat { ~ } { ~ n ~ } ~ } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { J _ { p ; R _ { 1 } , R _ { 2 } } ( K _ { 1 } K _ { 2 } | U ) - J _ { q ; R _ { 1 } , R _ { 2 } } ( K _ { 1 } K _ { 2 } | U ) } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { \leq } J _ { p ; R _ { 1 } , R _ { 2 } } ^ { ( q ) } ( K _ { 1 } K _ { 2 } | U ) - J _ { q ; R _ { 1 } , R _ { 2 } } ( K _ { 1 } K _ { 2 } | U ) } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 , 2 } d _ { p , q , { \cal T } _ { i } ^ { ( q ) } } ( H ( K _ { i } | U ) ) + d _ { p , q , { \cal T } _ { 3 } ^ { ( q ) } } ( H ( K _ { 1 } K _ { 2 } | U ) ) } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 , 2 } d _ { p , q } ( H ( K _ { i } | U ) ) + d _ { p , q } ( H ( K _ { 1 } K _ { 2 } | U ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { { } T _ { 2 q } ^ { 2 } ( N , N ) e ^ { - 2 i q \phi } | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \mathbf { u } } { \mathrm { d } \tau } } & { = \frac { \partial H ( \mathbf { u } , \mathbf { r } ) } { \partial \mathbf { r } } = \mathbf { r } , } \\ { \frac { \mathrm { d } \mathbf { r } } { \mathrm { d } \tau } } & { = - \frac { \partial H ( \mathbf { u } , \mathbf { r } ) } { \partial \mathbf { u } } = - \frac { \partial U ( \mathbf { u } ) } { \partial \mathbf { u } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| G _ { q } ( \psi _ { n } ) \right\| _ { L _ { t } ^ { \infty } L _ { x } ^ { q _ { 1 } } ( { \mathbf R } ^ { 2 } ) } } & { \leq C \left\| ( 1 + | \psi _ { q , n } | ^ { 2 \alpha } ) ( 1 - \chi ( \psi _ { n } ) \right\| _ { L _ { t } ^ { \infty } L _ { x } ^ { q _ { 1 } } ( { \mathbf R } ^ { 2 } ) } } \\ & { \leq C \left( { Z _ { T } ( \psi _ { n } ) } + Z _ { T } ( \psi _ { n } ) ^ { 2 \alpha } \right) \leq C \left( { M } + M ^ { 2 \alpha } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \rho _ { S } ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { { } = - \frac { \mathrm { i } } { \hbar } [ H _ { S } , \rho _ { S } ] - \mathrm { i } \sum _ { \alpha \neq \beta } \Omega _ { \alpha \beta } [ a _ { \alpha } ^ { \dagger } a _ { \beta } , \rho _ { S } ] } \end{array}
f _ { i } ( \mathbf { x } + \mathbf { e } _ { i } \delta _ { t } , t + \delta _ { t } ) - f _ { i } ( \mathbf { x } , t ) = - \left( \mathbf { M } ^ { - 1 } \mathbf { S } \right) _ { i j } \left[ \mathbf { m } _ { j } ( \mathbf { x } , t ) - \mathbf { m } _ { j } ^ { ( \mathrm { ~ e ~ q ~ } ) } ( \mathbf { x } , t ) \right] + \delta _ { t } F _ { i } ^ { \prime } ,
{ \mathrm { \boldmath ~ \ a l p h a ~ } } _ { 1 } ^ { * } \cdot { \bf h } - \frac { { \mathrm { \boldmath ~ \ a l p h a ~ } } _ { 1 } ^ { * } \cdot { \mathrm { \boldmath ~ \ a l p h a ~ } } _ { 2 } ^ { * } } { 4 \pi r _ { 1 2 } } \sqrt { 1 - { \bf v } _ { 2 } ^ { 2 } } \sqrt { g _ { 2 } ^ { 2 } + q _ { 2 } ^ { 2 } } .
\mathbf { u } ( r ) = \left( \begin{array} { c c } { { ( \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } ( r ) ) _ { c } } } & { { ( \mathbf { u } ^ { ( 2 ) } ( r ) ) _ { c } } } \\ { { ( \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } ( r ) ) _ { 0 } } } & { { ( \mathbf { u } ^ { ( 2 ) } ( r ) ) _ { 0 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { 1 } ( f ^ { \flat } ) } & { = \gamma ( \frac { \boldsymbol { v } } { c } \mathbin { \lrcorner } \boldsymbol { F } ^ { \flat } , - \boldsymbol { F } ^ { \flat } ) } \\ { \mathcal { R } _ { 1 } ( U \mathbin { \lrcorner } F ) } & { = \gamma ( - \boldsymbol { v } \mathbin { \lrcorner } \mathscr { E } , c \mathscr { E } + \boldsymbol { v } \mathbin { \lrcorner } \mathscr { B } ) } \end{array}
F _ { 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad F _ { 2 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) , \quad F _ { 3 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) ,
S _ { S G } ( \theta ) = \frac { S _ { 0 } ( \theta ) } { x p - p ^ { - 1 } x ^ { - 1 } } \left( \begin{array} { c c c c } { { x p - p ^ { - 1 } x ^ { - 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { p - p ^ { - 1 } } } & { { x - x ^ { - 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { x - x ^ { - 1 } } } & { { p - p ^ { - 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { x p - p ^ { - 1 } x ^ { - 1 } } } \end{array} \right) \,
D _ { \mu } \langle q _ { a } ^ { \alpha } q _ { b } ^ { \beta } \rangle = \Bigl ( \partial _ { \mu } + e A _ { \mu } Q + g G _ { \mu } ^ { 8 } T _ { 8 } \Bigr ) \langle q _ { a } ^ { \alpha } q _ { b } ^ { \beta } \rangle \, .
\begin{array} { r } { \left| \begin{array} { l l } { p q - \lambda } & { 1 } \\ { p ( 1 - q ) } & { - \lambda } \end{array} \right| = 0 , } \\ { \lambda _ { 1 , 2 } = \frac { p q } { 2 } \pm \sqrt { \left( \frac { p q } { 2 } \right) ^ { 2 } + p ( 1 - q ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { k } ^ { v , \tau _ { i } } \left( t _ { i } , S _ { 1 } , S _ { 2 } \right) : } & { = \sum _ { \{ t _ { j } \} _ { j \leq k } } \prod _ { j \leq k } m _ { j \to \Psi _ { i } } ^ { v } ( t _ { i } , t _ { j } , \tau _ { i } ) \delta _ { S _ { 1 } , \sum _ { j \leq k } ( t _ { i } - t _ { j } - 1 ) _ { + } } \delta _ { S _ { 2 } , \sum _ { j \leq k } \theta ( t _ { i } - t _ { j } - 1 ) } } \end{array}
\left( { { \cal A } _ { 8 } ^ { - } } \right) _ { A B } ^ { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \Gamma _ { A ^ { \prime } A } ^ { c } \: \left[ \left( { \frac { - s } { - t } } \right) ^ { j ( t ) } - \left( { \frac { s } { - t } } \right) ^ { j ( t ) } \right] \: \Gamma _ { B ^ { \prime } B } ^ { c } \; .
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 1 2 9 } ( \theta _ { 1 } ; t ) } & { = } & { - k _ { p } ( \eta ) \left( \theta _ { 1 } - \Theta _ { p } ^ { ( y ) } ( t ) \right) - \frac { \omega _ { 1 2 9 } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } , } \\ { \varphi _ { 1 3 1 } ( \theta _ { 1 } ; t ) } & { = } & { k _ { p } ( \eta ) \left( \theta _ { 1 } - \Theta _ { p } ^ { ( y ) } ( t ) \right) - \frac { \omega _ { 1 3 1 } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { } & & { \frac { \lambda } { \Delta x } \left[ q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) - ( x _ { { i } - 1 } , t ^ { n } ) + \frac { 1 } { 2 } \left( q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) - 2 q ( x _ { { i } - 1 } , t ^ { n } ) + q ( x _ { { i } - 2 } , t ^ { n } ) \right) \right. } \\ & { } & { - } & { \left. \frac { c } { 2 } \left( q ( x _ { { i } + 1 } , t ^ { n } ) - 2 q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) + q ( x _ { { i } - 1 } , t ^ { n } ) \right) \right] } \\ & { = } & & { \frac { \lambda } { \Delta x } \left\lbrace \partial _ { x } q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \Delta x - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } \partial _ { x } ^ { ( 3 ) } q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 3 } + \mathcal { O } \left( \Delta x ^ { 4 } \right) \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \frac { 1 } { 2 } \left[ \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 2 } - \partial _ { x } ^ { ( 3 ) } q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 3 } + \mathcal { O } \left( \Delta x ^ { 4 } \right) \right] \right. } \\ & { } & { - } & { \left. \frac { c } { 2 } \left[ \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 2 } \partial _ { x } ^ { ( 4 ) } q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 4 } + \mathcal { O } \left( \Delta x ^ { 5 } \right) \right] \right\rbrace } \\ & { = } & & { \lambda \partial _ { x } q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) - \frac { \lambda ^ { 2 } \Delta t } { 2 } \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) + \mathcal { O } \left( \Delta x ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| J u \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| J v \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \frac { 4 t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } } \\ & { + \frac { 4 t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \| v \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 8 \beta t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x \leq C t , \ \mathrm { f o r \ a n y } \ t > 0 . } \end{array}
\delta V _ { i a } = V _ { \mathrm { F S } } \, \delta R _ { i a } ^ { 2 } + \left( \frac { \delta V _ { i a } } { \delta R _ { i a } ^ { 2 } } - V _ { \mathrm { F S } } \right) \delta R _ { i a } ^ { 2 } \ .
\begin{array} { r l } { \dot { u } _ { p } } & { = - \frac { \beta \lambda } { \pi \mathrm { \textit { C r } } } \sin ( \pi \mathrm { \textit { C r } } ) \sin \phi - \lambda u _ { p } + \sigma \dot { W } , } \\ { \dot { \phi } } & { = r u _ { p } + \frac { 2 \gamma } { \pi } \sin ( \pi \mathrm { \textit { C r } } ) \sin \phi - \frac { \gamma } { 2 \pi } \sin ( 2 \pi \mathrm { \textit { C r } } ) \sin ( 2 \phi ) , } \end{array}
\gamma _ { \mathrm { { p } } } ^ { \prime } = { \frac { \mu _ { \mathrm { { p } } } ^ { \prime } } { \mu _ { \mathrm { { e } } } } } { \frac { g _ { \mathrm { { e } } } \mu _ { \mathrm { { B } } } } { \hbar } } .
\begin{array} { r l } { R ^ { x } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; y _ { 1 } ) T ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ; a , b ) T ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ; a , b ) } & { = T ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ; a , b ) T ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ; a , b ) R ^ { x } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; y _ { 1 } ) , } \\ { R ^ { y } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ; x _ { 2 } ) T ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ; a , b ) T ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ; a , b ) } & { = T ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ; a , b ) T ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ; a , b ) R ^ { y } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ; x _ { 2 } ) , } \\ { R ^ { x , y } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ; x _ { 2 } , y _ { 2 } ) T ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ; a , b ) T ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ; a , b ) } & { = T ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ; a , b ) T ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ; a , b ) R ^ { x , y } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ; x _ { 2 } , y _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c c } { V } & { 2 T } \\ { 2 T } & { \alpha ^ { 2 } U - 4 T } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \vec { a } _ { k } } \\ { \vec { b } _ { k } } \end{array} \right) = \frac { E _ { k } } { \mathrm { H a } } \left( \begin{array} { c c } { S } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 \alpha ^ { 2 } T } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \vec { a } _ { k } } \\ { \vec { b } _ { k } } \end{array} \right) , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } k = 1 , \dots , M \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { g } } _ { 0 , 0 , 1 } ^ { ( n ) } } & { = ( n - 1 / 2 ) \left[ \left( \overline { { g } } _ { 0 , 0 , 0 } ^ { ( n ) } + \overline { { g } } _ { 0 , 0 , 0 } ^ { ( n - 1 ) } \right) \frac { x } { \rho _ { + } ^ { 2 } } + \left( \overline { { g } } _ { 0 , 0 , 0 } ^ { ( n ) } - \overline { { g } } _ { 0 , 0 , 0 } ^ { ( n - 1 ) } \right) \frac { x } { \rho _ { - } ^ { 2 } } \right] , } \\ { \overline { { g } } _ { 0 , 0 , k + 1 } ^ { ( n ) } } & { = ( n - 1 / 2 ) \sum _ { q = 0 } ^ { k } \frac { 1 } { q ! ( k + 1 ) } \begin{array} { r } { [ t ] \biggl [ \left( \overline { { g } } _ { 0 , 0 , k - q } ^ { ( n ) } + \overline { { g } } _ { 0 , 0 , k - q } ^ { ( n - 1 ) } \right) \frac { \partial ^ { q } } { \partial x ^ { q } } \left( \frac { x } { \rho _ { + } ^ { 2 } } \right) + } \\ { \left( \overline { { g } } _ { 0 , 0 , k - q } ^ { ( n ) } - \overline { { g } } _ { 0 , 0 , k - q } ^ { ( n - 1 ) } \right) \frac { \partial ^ { q } } { \partial x ^ { q } } \left( \frac { x } { \rho _ { - } ^ { 2 } } \right) \biggr ] , } \end{array} } \\ { \rho _ { \pm } ^ { 2 } } & { = ( r \pm r _ { 1 } ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { C o v } ^ { * } \left\{ n ^ { - 1 / 2 } \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } Z _ { i } W _ { i } + { \tilde { C } } _ { n } \right\} = \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } \hat { { \mathbb { B } } } + \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } ^ { \top } + o _ { p } \{ n ^ { - 1 } \log ( n p ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { d _ { t } ^ { * } ( \epsilon ) \vert _ { \mathrm { k i n } } = \mathrm { e x p } ( - \epsilon \, \partial _ { t } ) \xrightarrow [ \mathrm { i n t . ~ a s } ] { \mathrm { s u r v i v e s } } G ( d _ { t } ( \epsilon ) ) = \mathrm { e x p } ( - \epsilon \, D _ { 0 } ) } \\ { d _ { x } ^ { * } ( \theta ) \vert _ { \mathrm { k i n } } = \mathrm { e x p } ( - \theta L _ { x } ) \xrightarrow [ \mathrm { i n t . ~ a s } ] { \mathrm { s u r v i v e s } } G ( d _ { x } ( \theta ) ) = \mathrm { e x p } ( - \theta D _ { 1 } ) } \\ { d _ { y } ^ { * } ( \theta ) \vert _ { \mathrm { k i n } } = \mathrm { e x p } ( - \theta L _ { y } ) \xrightarrow [ \mathrm { i n t . ~ a s } ] { \mathrm { s u r v i v e s } } G ( d _ { y } ( \theta ) ) = \mathrm { e x p } ( - \theta D _ { 2 } ) } \\ { d _ { z } ^ { * } ( \theta ) \vert _ { \mathrm { k i n } } = \mathrm { e x p } ( - \theta L _ { z } ) \xrightarrow [ \mathrm { i n t . ~ a s } ] { \mathrm { s u r v i v e s } } G ( d _ { z } ( \theta ) ) = \mathrm { e x p } ( - \theta D _ { 3 } ) . } \end{array}
\mathbf { A } \otimes \mathbf { B } = \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 1 } \mathbf { B } } & { a _ { 1 2 } \mathbf { B } } & { \cdots } & { a _ { 1 \mathbf { I } _ { { \mathbf { A } } _ { 2 } } } \mathbf { B } } \\ { a _ { 2 1 } \mathbf { B } } & { a _ { 2 2 } \mathbf { B } } & { \cdots } & { a _ { 2 \mathbf { I } _ { { \mathbf { A } } _ { 2 } } } \mathbf { B } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { \mathbf { I } _ { { \mathbf { A } } _ { 1 } } 1 } \mathbf { B } } & { a _ { \mathbf { I } _ { { \mathbf { A } } _ { 1 } } 2 } \mathbf { B } } & { \cdots } & { a _ { \mathbf { I } _ { { \mathbf { A } } _ { 1 } } \mathbf { I } _ { { \mathbf { A } } _ { 2 } } } \mathbf { B } } \end{array} \right]
\begin{array} { l l l l l l l l l } { \cdots } & { 0 } & { H _ { 2 } ( F ) } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { H _ { 2 } ( F ) } & { 0 } & { \cdots } \\ { \cdots } & { 0 } & { H _ { 1 } ( F ) } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { H _ { 1 } ( F ) } & { 0 } & { \cdots } \\ { \cdots } & { 0 } & { H _ { 0 } ( F ) } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { H _ { 0 } ( F ) } & { 0 } & { \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { T } \alpha ( t ) \int _ { \Omega } \partial _ { t } u ^ { N } \phi _ { j } d x d t } \\ & { = } & { - \beta \int _ { \Omega _ { T } } \alpha ( t ) \mu ^ { N } \phi _ { j } d x d t - \int _ { \Omega _ { T } } \alpha ( t ) M _ { \theta } ( u ^ { N } ) \nabla \frac { \mu ^ { N } } { g _ { \theta } ( u ^ { N } ) } \cdot \nabla \frac { \phi _ { j } } { g _ { \theta } ( u ^ { N } ) } d x d t } \\ & { = } & { - \beta \int _ { \Omega _ { T } } \mu ^ { N } \alpha ( t ) \phi _ { j } d x d t - \int _ { \Omega _ { T } } M _ { 0 } \alpha ( t ) \nabla \frac { \mu ^ { N } } { g _ { \theta } ( u ^ { N } ) } \cdot \nabla \phi _ { j } d x d t } \\ & { } & { + \int _ { \Omega _ { T } } \alpha ( t ) \sqrt { M _ { 0 } } \phi _ { j } \frac { g _ { \theta } ^ { \prime } ( u ^ { N } ) } { g _ { \theta } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( u ^ { N } ) } \nabla u ^ { N } \cdot \sqrt { M _ { \theta } ( u ^ { N } ) } \nabla \frac { \mu ^ { N } } { g _ { \theta } ( u ^ { N } ) } d x d t } \\ & { } & { = - A ^ { N } - I ^ { N } + I I ^ { N } . } \end{array}
\tilde { H } _ { P } = \int d ^ { 2 } x [ \frac { 1 } { 2 g ^ { 2 } } ( B _ { i } ^ { a } + \omega _ { i } ^ { a } ) ^ { 2 } + \frac { g ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } } F _ { i j } ^ { a } F _ { i j } ^ { a } ]
\begin{array} { r l r } { S _ { \alpha } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { X } } \circ \mathbf { K } _ { \mathbf { Y } } ) } & { \geq } & { S _ { \alpha } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { X } } ) } \\ { S _ { \alpha } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { X } } \circ \mathbf { K } _ { \mathbf { Y } } ) } & { \geq } & { S _ { \alpha } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { Y } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { h , k } } & { = \left( R _ { A } ^ { G } ( A ) \circ \vec { u } \left( R _ { A } ^ { G } ( \infty ) \right) ^ { - 1 } \right) \left( R _ { B } ^ { G } ( B ^ { H } ) \circ \vec { v } \left( R _ { B } ^ { G } ( \infty ) \right) ^ { - 1 } \right) ^ { H } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { B } } \left( R _ { A } ^ { G } ( A ) \circ \vec { u } \right) \left( { R _ { A } ^ { G } } ^ { H } ( \bar { z } I _ { b k } ) \circ ^ { - 1 } \tilde { \vec { y } } \right) ^ { H } V ^ { H } d z } \\ & { + \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { A } } U \left( { R _ { B } ^ { G } } ^ { H } ( z I _ { b h } ) \circ ^ { - 1 } \tilde { \vec { x } } \right) \left( R _ { B } ^ { G } ( B ^ { H } ) \circ \vec { v } \right) ^ { H } d z . } \end{array}