harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { w _ { \eta } } & { : = \partial _ { t } - \Pi _ { T Y } ( \partial _ { t } ) } \\ & { = \partial _ { t } - g ^ { i j } g ( \partial _ { t } , v _ { i } ) v _ { j } } \\ & { = \partial _ { t } - ( \delta _ { i j } - \eta A _ { i j } + \tilde { O } ( ( D \eta ) ^ { 2 } ) ) \eta _ { i } ( \partial _ { s _ { j } } + \eta _ { j } \partial _ { t } ) } \\ & { = ( 1 + \tilde { O } ( \eta \eta _ { i } \eta _ { j } , ( D \eta ) ^ { 4 } ) \partial _ { t } - ( \eta _ { i } \delta _ { i j } + \tilde { O } ( \eta D \eta , ( D \eta ) ^ { 3 } ) ) \partial _ { j } } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } { \hat { w } } _ { n } } { d x ^ { 2 } } } = 0 ~ , ~ ~ { \frac { d ^ { 3 } { \hat { w } } _ { n } } { d x ^ { 3 } } } = 0 \quad { \mathrm { a t } } ~ ~ x = 0 \, { \mathrm { a n d } } \, L \, .
{ \begin{array} { r l } { \zeta ( - 1 ) } & { = - { \frac { 1 } { 1 2 } } } \\ { \zeta ( - 3 ) } & { = { \frac { 1 } { 1 2 0 } } } \\ { \zeta ( - 5 ) } & { = - { \frac { 1 } { 2 5 2 } } } \\ { \zeta ( - 7 ) } & { = { \frac { 1 } { 2 4 0 } } } \\ { \zeta ( - 9 ) } & { = - { \frac { 1 } { 1 3 2 } } } \\ { \zeta ( - 1 1 ) } & { = { \frac { 6 9 1 } { 3 2 7 6 0 } } } \\ { \zeta ( - 1 3 ) } & { = - { \frac { 1 } { 1 2 } } } \end{array} }
\phi _ { m n } = \frac { 1 } { \left( \sin \left( \theta _ { m n } \right) \right) ^ { 3 } } \left( 2 + \cos \left( \theta _ { m n } \right) \right) \left( 1 - \cos \left( \theta _ { m n } \right) \right) ^ { 2 } \mathrm { ~ . ~ }
\tilde { { \cal H } } ^ { 3 4 } = - \tilde { { \cal H } } ^ { 4 3 } = \sqrt { \frac { 1 + f _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 + f _ { 2 } ^ { 2 } } } f _ { 2 } + c _ { 0 } f _ { 1 } . \nonumber
\begin{array} { l } { I \equiv | E _ { x } | ^ { 2 } + | E _ { y } | ^ { 2 } = | E _ { a } | ^ { 2 } + | E _ { b } | ^ { 2 } = | E _ { r } | ^ { 2 } + | E _ { l } | ^ { 2 } } \\ { Q \equiv | E _ { x } | ^ { 2 } - | E _ { y } | ^ { 2 } , } \\ { U \equiv | E _ { a } | ^ { 2 } - | E _ { b } | ^ { 2 } , } \\ { V \equiv | E _ { r } | ^ { 2 } - | E _ { l } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \natural } \index { f e t a @ f _ { \natural } } = f _ { \natural } ( \omega , m , r ) } & { : = \left\{ \begin{array} { l l } { - \left( \frac { ( \omega - \omega _ { r } ) ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } v ^ { 2 } } - \operatorname* { i n f } _ { r \in ( r _ { + } , \infty ) } \frac { ( \omega - \omega _ { r } ) ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } v ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } } & { r < r _ { \natural } , } \\ { \left( \frac { ( \omega - \omega _ { r } ) ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } v ^ { 2 } } - \operatorname* { i n f } _ { r \in ( r _ { + } , \infty ) } \frac { ( \omega - \omega _ { r } ) ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } v ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } } & { r \geq r _ { \natural } , } \end{array} \right. } \\ { h _ { \natural } \index { h e t a @ h _ { \natural } } = h _ { \natural } ( \omega , m , r ) } & { : = \left\{ \begin{array} { l l } { - \left( 1 - \frac { v ^ { 2 } } { ( \omega - \omega _ { r } ) ^ { 2 } } \operatorname* { i n f } _ { r \in ( r _ { + } , \infty ) } \frac { ( \omega - \omega _ { r } ) ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } } & { r < r _ { \natural } , } \\ { \left( 1 - \frac { v ^ { 2 } } { ( \omega - \omega _ { r } ) ^ { 2 } } \operatorname* { i n f } _ { r \in ( r _ { + } , \infty ) } \frac { ( \omega - \omega _ { r } ) ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } } & { r \geq r _ { \natural } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { | C | \geq } & { | P _ { 4 } ( r ) | - 1 0 | \mathcal { E } | \cdot | P _ { 3 } ( r ) | - 3 | \mathcal { E } | ^ { 3 } \cdot q ^ { 2 d - 2 } \cdot | P _ { 1 } ( r ) | - | \mathcal { E } | ^ { 2 } \cdot | P _ { 2 } ( r ) | } \\ { \geq } & { \left( 0 . 9 6 5 3 6 | P _ { 4 } ( r ) | - 1 0 | \mathcal { E } | \cdot | P _ { 3 } ( r ) | \right) + \left( 0 . 0 2 3 5 7 | P _ { 4 } ( r ) | - 3 | \mathcal { E } | ^ { 3 } \cdot q ^ { 2 d - 2 } \cdot | P _ { 1 } ( r ) | \right) } \\ & { + \left( 0 . 0 1 1 0 5 | P _ { 4 } ( r ) | - | \mathcal { E } | ^ { 2 } \cdot | P _ { 2 } ( r ) | \right) } \\ { : = } & { I ^ { \prime } + I I ^ { \prime } + I I I ^ { \prime } . } \end{array}
\tilde { R } ( \tilde { g } ) = e ^ { U } \tilde { R } ( \tilde { \gamma } ) + ( d - 2 ) e ^ { U } D ^ { 2 } U - { \frac { 1 } { 4 } } ( d ^ { 2 } - 5 d + 8 ) e ^ { U } ( D U ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } e ^ { 3 U } V _ { i j } V ^ { i j } \ ,
T = \left| \frac { \delta _ { \textrm { s s } } } { \epsilon / \kappa } \right| ^ { 2 } = \left| \frac { \Delta ( i \kappa - \Delta + \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 3 } ) \kappa + \lambda _ { 1 } ( \Delta \kappa - i \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } ) } { ( \Delta - \lambda _ { 1 } ) ( \Delta - \lambda _ { 2 } ) ( \Delta - \lambda _ { 3 } ) } \right| ^ { 2 } ,
\vert \mathbf { b } - \lambda \mathbf { I } \vert = \lambda ^ { 3 } - \Psi _ { 1 } ^ { \mathbf { b } } \lambda ^ { 2 } + \Psi _ { 2 } ^ { \mathbf { b } } \lambda - \Psi _ { 3 } ^ { \mathbf { b } } = 0 ,
N ( \phi _ { i } \rightarrow \phi _ { f } ) \equiv \ell n \left( \frac { a ( t _ { f } ) } { a ( t _ { i } ) } \right) = \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } H d t = \int _ { \phi _ { i } } ^ { \phi _ { f } } \frac { H ( \phi ) } { \dot { \phi } } d \phi = - \int _ { \phi _ { i } } ^ { \phi _ { f } } \frac { 3 H ^ { 2 } ( \phi ) d \phi } { V ^ { \prime } ( \phi ) } ~ ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { l } x _ { l } x _ { l + m } } & { { } = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { k k ^ { \prime } } Q _ { k } Q _ { k ^ { \prime } } \sum _ { l } e ^ { i a l \left( k + k ^ { \prime } \right) } e ^ { i a m k ^ { \prime } } = \sum _ { k } Q _ { k } Q _ { - k } e ^ { i a m k } } \\ { \sum _ { l } { p _ { l } } ^ { 2 } } & { { } = \sum _ { k } \Pi _ { k } \Pi _ { - k } ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \bf W } _ { \alpha 1 } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) } & { { } = } & { - { \bf J } _ { \alpha \alpha } { \tilde { \bar { \bf F } } } _ { \alpha } ^ { * } ( { { \bf x } } , - { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } \{ \tilde { \bf \Delta } _ { 1 } ( { \bf s } , x _ { 3 , F } ) \} ^ { - 1 } \tilde { \bf D } _ { 1 } ^ { - } ( { \bf s } , x _ { 3 , F } ) } \\ { \tilde { \bf W } _ { \alpha 2 } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) } & { { } = } & { { \bf J } _ { \alpha \alpha } { \tilde { \bar { \bf F } } } _ { \alpha } ^ { * } ( { { \bf x } } , - { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } \{ \tilde { \bf \Delta } _ { 1 } ( { \bf s } , x _ { 3 , F } ) \} ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { n } } \frac { \partial ( \rho E ) _ { n } } { \partial t } \varphi _ { i } d \Omega } & { { } - \int _ { \Omega _ { n } } ( \rho _ { n } E _ { n } + P _ { n } ) \textbf { u } _ { n } \cdot \nabla \varphi _ { i } d \Omega + \oint _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { ( \rho _ { n } E _ { n } + P _ { n } ) \textbf { u } _ { n } } \cdot \widehat { \textbf { m } } \varphi _ { i } d S = } \end{array}
V ( q _ { 1 x } , q _ { 1 y } , \dots , q _ { N x } , q _ { N y } , q _ { N z } ) = \sum _ { j < k } v ( q _ { j x } , q _ { j y } , q _ { k z } , q _ { k x } , q _ { k y } , q _ { k z } ) = \sum _ { j < k } v ( r _ { j k } )
\begin{array} { r l } { 0 } & { \le \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { ( 0 , T ) \times M } g _ { n } ( t , x ) \Bigl ( \rho ( t , x ) \partial _ { t } u _ { n } ( t , x ) - \Delta _ { \bar { g } } u _ { n } ( t , x ) + \kappa u _ { n } ( t , x ) \Bigr ) d \mu _ { \bar { g } } ( x ) d t } \\ & { = \int _ { ( 0 , T ) \times M } g ( t , x ) \Bigl ( \rho ( t , x ) \partial _ { t } \breve { u } ( t , x ) - \Delta _ { \bar { g } } \breve { u } ( t , x ) + \kappa \breve { u } ( t , x ) \Bigr ) d \mu _ { \bar { g } } d t } \\ & { \le - \int _ { ( 0 , T ) \times M } g ( t , x ) \rho ( t , x ) \varepsilon \mathrm { e } ^ { - \breve { \kappa } t } d \mu _ { \bar { g } } ( x ) d t \le - \int _ { \{ ( t , x ) \in ( 0 , T ) \times M \mid \breve { u } ( t , x ) > 0 \} } \rho ( t , x ) \varepsilon \mathrm { e } ^ { - \breve { \kappa } t } d \mu _ { \bar { g } } ( x ) d t . } \end{array}
E _ { \mathrm { X C } } ^ { \mathrm { L H } } = \int { a ( \mathbf { r } ) \epsilon _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { S S D } } ( \mathbf { r } ) d \mathbf { r } } + \int { [ 1 - a ( \mathbf { r } ) ] [ \epsilon _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { D F T } } ( \mathbf { r } ) ] d \mathbf { r } } + E _ { \mathrm { C } }
F _ { \mu \nu } = { \frac { - i } { g } } [ { \mathcal { D } } _ { \mu } , { \mathcal { D } } _ { \mu } ] = { \frac { - i } { g } } [ \partial _ { \mu } + i g A _ { \mu } ( x ) , \partial _ { \nu } + i g A _ { \nu } ( x ) ]
A ^ { 0 } = A ^ { 3 } = 0 \; \; , \qquad A ^ { i } = - \frac { \Phi } { 2 \pi } \frac { \epsilon ^ { \, i \, j } \, x ^ { \, j } } { { \bf r } ^ { 2 } } \; , \; i = 1 , 2 \; ,
S _ { F } ^ { - 1 } ( q ) = S _ { 0 } ^ { - 1 } ( q ) + i \frac { C _ { F } } { 4 } \int _ { k } g ^ { 2 } ( ( q - k ) ^ { 2 } ) i D ^ { \mu \nu } ( q - k ) \mathrm { t r } ^ { \mathrm { ( D ) } } [ S _ { F } ( k ) ] \gamma _ { \mu } \gamma _ { \nu } ,
\begin{array} { r } { R ( r , \theta ; \infty ) \approx { \frac { 1 } { \langle r \rangle } } \, \sum _ { \mu } \, a _ { \mu 0 } \, \left( { \frac { \gamma \, r ^ { 2 } } { 2 } } \right) ^ { \frac { ( N _ { 0 } - 1 ) ( \mu + 1 ) } { 4 } } \, F _ { 1 } \left( \frac { N _ { 0 } ( \mu + 1 ) } { 4 } , \frac { \mu N _ { 0 } } { 2 } , - \frac { \gamma r ^ { 2 } } { 2 } \right) \, \mathrm { e } ^ { - { \frac { ( \mu ^ { 2 } - 1 ) \, ( N _ { 0 } - 1 ) ^ { 2 } \, I _ { 0 } } { 4 \langle r \rangle } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d \tau } E _ { q } ^ { \{ n \} } ( \tau ) } & { = } & { - E _ { q - 1 } ^ { \{ n \} } ( \tau ) . } \\ { \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } E _ { q } ^ { \{ n \} } ( \tau ^ { \prime } ) } & { = } & { E _ { q + 1 } ^ { \{ n \} } ( 0 ) - E _ { q + 1 } ^ { \{ n \} } ( \tau ) , } \\ { E _ { q } ^ { \{ n \} } ( 0 ) } & { = } & { \frac { 1 } { q - 1 } , \quad \mathrm { f o r } \quad q = 0 , 2 , 4 , . . . } \\ { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } E _ { q } ^ { \{ n \} } ( 0 ) } & { = } & { \frac { 1 } { q - 1 } , \quad \mathrm { f o r } \quad q = 3 , 5 , . . . } \\ { \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau ^ { \prime } \, \tau ^ { \prime } E _ { q } ^ { \{ n \} } ( \tau ^ { \prime } ) } & { = } & { \frac { 1 } { q + 1 } , \quad \mathrm { f o r } \quad q = 0 , 2 , 4 , . . . } \\ { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau ^ { \prime } \, \tau ^ { \prime } E _ { q } ^ { \{ n \} } ( \tau ^ { \prime } ) } & { = } & { \frac { 1 } { q + 1 } , \quad \mathrm { f o r } \quad q = 1 , 3 , 5 , . . . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \sigma } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } = \frac { p _ { L } Q } { T } = \frac { \rho g H _ { L } Q } { T } = \frac { \pi \rho g H _ { L } U d ^ { 2 } } { 4 T } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { t } \ddot { x } + m d \ddot { \theta } \cos \theta - m d \dot { \theta } ^ { 2 } \sin \theta + c \dot { x } } & { = } & { F \cos \beta } \\ { m _ { t } \ddot { z } + m d \ddot { \theta } \sin \theta + m d \dot { \theta } ^ { 2 } \cos \theta + c \dot { z } } & { = } & { F \sin \beta } \\ { m d \ddot { x } \cos \theta + m d \ddot { z } \sin \theta + I _ { A } \ddot { \theta } + c _ { t } \dot { \theta } + m g d \sin \theta + \bar { M } _ { w } } & { = } & { 0 } \end{array}
S = \frac 1 { 2 \kappa ^ { 2 } } \int d ^ { d } x \sqrt { - g } \ \left[ \ R - \frac 1 2 \partial _ { \mu } \Phi \partial ^ { \mu } \Phi - \frac 1 2 g _ { I J } ( \phi ) \partial _ { \mu } \phi ^ { I } \partial ^ { \mu } \phi ^ { J } - V ( \phi ) \ \right] ,
h = { \frac { c _ { 0 } \alpha ^ { 2 } g _ { \mathrm { { e } } } } { 2 K _ { \mathrm { { J - 9 0 } } } R _ { \mathrm { { K - 9 0 } } } R _ { \infty } \Gamma _ { \mathrm { { p - 9 0 } } } ^ { \prime } ( \mathrm { { h i } } ) } } { \frac { \mu _ { \mathrm { { p } } } ^ { \prime } } { \mu _ { \mathrm { { e } } } } } .
\begin{array} { r l } { w _ { t + 1 } } & { = w _ { t } - \beta _ { t } D \varphi ( x _ { t - 1 } , w _ { t } ) ^ { T } \left( \nabla \mu ( x _ { t } ) - \nabla \mu ( z _ { t } ) \right) } \\ & { = w _ { t } - \beta _ { t } D \varphi ( x _ { t - 1 } , w _ { t } ) ^ { T } ( \nabla \mu ( x _ { t } ) } \\ & { \quad - \nabla \mu ( \nabla \mu ^ { - 1 } ( \nabla \mu ( x _ { t } ) - ( \alpha _ { t + 1 } \tilde { y } _ { t + 1 } + \alpha _ { t } \nabla f ( x _ { t } ) ) ) ) ) } \\ & { = w _ { t } - \beta _ { t } D \varphi ( x _ { t - 1 } , w _ { t } ) ^ { T } ( \alpha _ { t + 1 } \tilde { y } _ { t + 1 } + \alpha _ { t } \nabla f ( x _ { t } ) ) } \\ & { = w _ { t } - \beta _ { t } ( \alpha _ { t + 1 } \tilde { g } _ { t + 1 } + \alpha _ { t } ( D \varphi ( x _ { t - 1 } , w _ { t } ) ^ { T } \nabla f ( x _ { t } ) - \tilde { g } _ { t } ) ) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { - l _ { 0 } + i \epsilon } } \, { \frac { - 1 } { l _ { 0 } + i \epsilon } } \; - \; { \frac { 1 } { - l _ { 0 } + i \epsilon } } \, { \frac { 1 } { - l _ { 0 } + i \epsilon } } \; = \; 2 \pi i \delta ( l _ { 0 } ) \, { \frac { 1 } { - l _ { 0 } + i \epsilon } } .
L _ { m } ( v _ { 0 } ) \left( \begin{array} { c } { \mathbf { q } } \\ { \mathbf { r } } \end{array} \right) = \mathbf { f } , \mathrm { ~ \ \ w i t h ~ \ \ } L _ { m } ( v _ { 0 } ) = \left( \begin{array} { c c } { C _ { m } ( v _ { 0 } ) } & { \left| \begin{array} { c } { 0 _ { ( m + 1 ) \times ( n - m ) } } \\ { I _ { ( n - m ) \times ( n - m ) } } \end{array} \right. } \end{array} \right) .
G = \left\lbrace k = ( i , j ) | \: i \in \left\lbrace T _ { \mathrm { m } } , T _ { \mathrm { M } } \right\rbrace , j \in \left\lbrace \Phi _ { \mathrm { m } } , \Phi _ { \mathrm { M } } \right\rbrace \right\rbrace
\begin{array} { r } { \mathcal { A } _ { \mathrm { o l d } } ^ { \mathrm { k i n } } = ( S _ { \mathrm { o l d } } ^ { \mathrm { k i n } } , \mathcal { T } _ { \mathrm { o l d } } , + _ { \mathrm { o l d } } , \, \cdot _ { \mathrm { o l d } } \, , \times _ { \mathrm { o l d } } , \, \langle , \rangle _ { \mathrm { o l d } } \, , \mathrm { e v a l } , * _ { \mathrm { l i f t } } , \mathcal { M } _ { \mathrm { o l d } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbb { E } } \left( \left| n ^ { - 1 / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } W _ { i } \right| _ { \infty } \right) } & { \lesssim } & { n ^ { - 1 / 2 } \{ n ^ { 1 / 2 } \log ^ { 1 / 2 } ( p ) + \log ^ { 1 / \alpha } ( n p ) \log ( p ) \} } \\ & { \lesssim } & { \log ^ { 1 / 2 } ( n p ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { I } _ { \mathcal { E } _ { \mathbf { A } } } ( \mathbf { x } ) } & { { } { } = \int _ { S ^ { \prime } } \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) d S ^ { \prime } , } \\ { \mathbf { I } _ { \mathcal { E } _ { \Phi } } ( \mathbf { x } ) } & { { } { } = \int _ { S ^ { \prime } } \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \nabla ^ { \prime } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) d S ^ { \prime } , } \\ { \mathbf { I } _ { \mathcal { M } } ( \mathbf { x } ) } & { { } { } = \int _ { S ^ { \prime } } \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \times \nabla ^ { \prime } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) d S ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathsf { d i v } ( E ) } & { = } & { \frac { \rho } { \varepsilon _ { 0 } } , } \\ { \mathsf { d i v } ( B ) } & { = } & { 0 , } \\ { \nabla \times E + \frac { \partial B } { \partial t } } & { = } & { 0 , } \\ { \nabla \times B - \varepsilon _ { 0 } \mu _ { 0 } \frac { \partial E } { \partial t } } & { = } & { \mu _ { 0 } J . } \end{array}
m _ { L L } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 . 3 2 6 6 8 } } & { { - 0 . 7 4 1 6 3 } } & { { - 0 . 5 7 1 2 2 } } \\ { { - 0 . 7 4 1 6 3 } } & { { 0 . 1 7 0 1 4 } } & { { - 0 . 6 4 1 8 5 } } \\ { { - 0 . 5 7 1 2 2 } } & { { - 0 . 6 4 1 8 5 } } & { { 0 . 5 0 3 0 6 } } \end{array} \right) m _ { 0 }
\begin{array} { c c } { \tilde { { { \textbf A } } } _ { r } = \widetilde { \mathfrak { { A } } } _ { r } ^ { - 1 } } & { \tilde { { { \textbf B } } } _ { r } = \widetilde { \mathfrak { { A } } } _ { r } ^ { - 1 } { \textbf B } } \\ { \tilde { { { \textbf C } } } _ { r } = - \widetilde { \mathfrak { { C } } } _ { r } \widetilde { \mathfrak { { A } } } _ { r } ^ { - 1 } , \qquad } & { \tilde { { { \textbf D } } } _ { r } = \widetilde { \mathfrak { { D } } } _ { r } - \widetilde { \mathfrak { { C } } } _ { r } \widetilde { \mathfrak { { A } } } _ { r } ^ { - 1 } \widetilde { \mathfrak { { B } } } _ { r } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathbb { E } _ { E } \left[ \operatorname* { P r } _ { e \in { \mathrm { B S C } } _ { p } } [ D ( E ( m ) + e ) \neq m ] \right] } & { { } \leqslant 2 ^ { - { \epsilon ^ { 2 } } n } + \sum _ { y \in B _ { 0 } } p ( y | E ( m ) ) \mathbb { E } [ 1 _ { D ( y ) \neq m } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textnormal { T r } ( A _ { k } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \rightarrow \infty } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d _ { \xi } } d _ { \xi } ( A _ { k } \xi _ { i j } , \xi _ { i j } ) = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \rightarrow \infty } \sum _ { | \xi | \leq \lambda } d _ { \xi } \smallint _ { G } \textnormal { T r } [ \sigma _ { A _ { k } } ( x , \xi ) ] \textnormal { d } x } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } : 2 ^ { k - 1 } < \langle \xi \rangle \leq 2 ^ { k } } d _ { \xi } \smallint _ { G } \textnormal { T r } [ \sigma _ { A _ { k } } ( x , \xi ) ] \textnormal { d } x } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } 2 ^ { k m } \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } : 2 ^ { k - 1 } < \langle \xi \rangle \leq 2 ^ { k } } d _ { \xi } 2 ^ { - k m } \smallint _ { G } \textnormal { T r } [ \sigma _ { A _ { k } } ( x , \xi ) ] \textnormal { d } x } \\ & { \asymp \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } 2 ^ { k m } \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } : 2 ^ { k - 1 } < \langle \xi \rangle \leq 2 ^ { k } } d _ { \xi } \langle \xi \rangle ^ { - m } \smallint _ { G } \textnormal { T r } [ \sigma _ { A _ { k } } ( x , \xi ) ] \textnormal { d } x } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } 2 ^ { k m } \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } : 2 ^ { k - 1 } < \langle \xi \rangle \leq 2 ^ { k } } d _ { \xi } \smallint _ { G } \textnormal { T r } [ \sigma _ { A _ { k } } ( x , \xi ) \langle \xi \rangle ^ { - m } ] \textnormal { d } x } \\ & { \asymp \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } 2 ^ { k m } \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } : 2 ^ { k - 1 } < \langle \xi \rangle \leq 2 ^ { k } } d _ { \xi } \smallint _ { G } \textnormal { T r } [ \sigma _ { A _ { k } } ( x , \xi ) | \xi | ^ { - m } ] \textnormal { d } x } \\ & { \asymp \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } 2 ^ { k m } \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } : 2 ^ { k - 1 } < | \xi | \leq 2 ^ { k } } d _ { \xi } \smallint _ { G } \textnormal { T r } [ \sigma _ { \tilde { A } _ { k } } ( x , \xi ) ] \textnormal { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { D } _ { \mathrm { l c } } ( \mathbf { a } , \mathbf { b } ) \equiv \sqrt { ( a _ { 0 } - b _ { 0 } ) ^ { 2 } + \ldots + \mathrm { e } ^ { - \tau d ( l ) } ( a _ { l } - b _ { l } ) ^ { 2 } } ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathbb { S } _ { \widetilde { g } } \sigma \| _ { 0 , h , \widetilde { g } } ^ { 2 } } & { \le C \left( \| \sigma \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \sum _ { T } h _ { T } ^ { 2 } | \sigma | _ { H ^ { 1 } ( T ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { = C \left( \| g _ { h } - g \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \sum _ { T } h _ { T } ^ { 2 } | g _ { h } - g | _ { H ^ { 1 } ( T ) } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textstyle K ^ { ( n ) } ( x , x ^ { \prime } ) = \frac { \theta ^ { x - x ^ { \prime } } } { ( 2 \pi \mathrm { i } ) ^ { 2 } } \oint _ { \Gamma _ { 0 } } \mathrm { d } u \oint _ { \Gamma _ { \alpha , 1 } } \mathrm { d } w \, \frac { ( 1 - u ) ^ { n - 1 } } { ( 1 - w ) ^ { n - 1 } } \frac { w ^ { x ^ { \prime } + n - 1 } } { u ^ { x + n } } \frac { ( u - \alpha ) e ^ { t ( u - w ) } } { ( w - \alpha ) ( u - w ) } } \\ & { \textstyle \qquad + \frac { \theta ^ { x - x ^ { \prime } } } { ( 2 \pi \mathrm { i } ) ^ { 3 } } \oint _ { \Gamma _ { 0 } } \mathrm { d } v \oint _ { \Gamma _ { 0 } } \mathrm { d } u \oint _ { \Gamma _ { 1 } } \mathrm { d } w \, \frac { ( 1 - v ) ^ { n - 1 } } { ( 1 - w ) ^ { n - 1 } } \frac { w ^ { x ^ { \prime } + n - 1 } } { v ^ { x + n } } \frac { ( v - \alpha ) ( 2 u - \alpha ) e ^ { t ( v - w ) } } { ( u - \alpha ) ( u - w + 1 - \alpha ) ( u - v ) ( u + w - 1 ) } . } \end{array}
\overline { { \mathbf { X } } } _ { E L } ^ { [ n _ { F } ] } = \overline { { \mathbf { X } } } _ { L } ^ { [ n _ { F } ] } + \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { 0 } ^ { [ n _ { F } ] } } u _ { [ n _ { F } ] } ^ { m } ( \mathfrak { u } ) \left[ \mathbf { P } _ { ( m ) } ^ { [ n _ { F } ] } \right] ,
\begin{array} { r l } { \| ( - \Delta _ { h } ) ^ { t / 2 } u _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } = \| u _ { h } \| _ { \dot { H } _ { h } ^ { t } ( \Omega ) } } & { \leq \| u _ { h } \| _ { H _ { h } ^ { t } ( \Omega ) } \leq \| u _ { h } \| _ { H _ { h } ^ { s } ( \Omega ) } \leq 2 ^ { \frac { s + 1 } { 2 } } ( \| u _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { h } ) } + \| u _ { h } \| _ { \dot { H } _ { h } ^ { s } ( \Omega ) } ) } \\ & { \leq 2 ^ { \frac { s + 1 } { 2 } } ( c \| ( - \Delta _ { h } ) ^ { s / 2 } u _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { h } ) } + \| ( - \Delta _ { h } ) ^ { s / 2 } u _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { h } ) } ) } \\ & { = { c } \| ( - \Delta _ { h } ) ^ { s / 2 } u _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { h } ) } . } \end{array}
\sigma = \frac { 9 } { 1 6 } \gamma \epsilon \frac { 4 ( 3 \gamma + 2 n ) ^ { 2 } ( \gamma ^ { 2 } - N ^ { 2 } ) } { 9 \gamma ^ { 2 } ( 4 ( \gamma + n ) ^ { 2 } - N ^ { 2 } ) } .
\sigma _ { \mathrm { ~ S ~ H ~ G ~ } , ( 1 ) } ^ { x x y y } ( \omega ) = - \frac { 4 i e ^ { 3 } } { \hslash ^ { 2 } } \frac { ( f _ { 1 2 } - f _ { 3 4 } ) t _ { x } t _ { y } \omega R _ { x } ^ { 2 } R _ { y } ^ { 2 } } { ( \omega ^ { 2 } - t _ { x } ^ { 2 } ) ( \omega ^ { 2 } - ( 2 t _ { y } ) ^ { 2 } ) } \mathrm { ~ . ~ }
{ \boldsymbol { \sigma } } = { \cfrac { 2 } { J } } ~ { \boldsymbol { V } } \cdot \left[ { \cfrac { 1 } { 2 \lambda _ { 1 } } } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial \lambda _ { 1 } } } ~ \mathbf { n } _ { 1 } \otimes \mathbf { n } _ { 1 } + { \cfrac { 1 } { 2 \lambda _ { 2 } } } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial \lambda _ { 2 } } } ~ \mathbf { n } _ { 2 } \otimes \mathbf { n } _ { 2 } + { \cfrac { 1 } { 2 \lambda _ { 3 } } } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial \lambda _ { 3 } } } ~ \mathbf { n } _ { 3 } \otimes \mathbf { n } _ { 3 } \right] \cdot { \boldsymbol { V } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { i d e a l } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } I _ { i } ( d _ { i } - d _ { i d e a l , i } ) ^ { 2 } , } \\ { \mathcal { L } _ { h o m } } & { { } = \frac { 1 } { N _ { t a r g e t } } \sum _ { i \in t a r g e t } ( d _ { i } - \mu ( t a r g e t , \mathbf { d } ) ) ^ { 2 } , } \\ { \mathcal { L } _ { m i n } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } | d _ { m i n , i } - d _ { i } | _ { + } , } \\ { \mathcal { L } _ { m a x } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } | d _ { i } - 1 . 0 5 D _ { p } | _ { + } , } \\ { \mathcal { L } _ { m e a n } ( o ) } & { { } = | \mu ( o , \mathbf { d } ) - \mu _ { c } ( o ) | _ { + } , } \\ { \mathcal { L } _ { m a x } ( o ) } & { { } = \sum _ { i \in o } \left| d _ { i } - M _ { c } ( o ) \right| _ { + } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb E g \left[ \int _ { I _ { \ell } } x ( E ) \chi ( E ) \right] = \mathbb E g \bigg [ \frac { \eta _ { \ell } } { \pi } \int _ { I _ { \ell } } \frac { \hat { p } _ { \ell } } { ( E - \lambda _ { \ell } ) ^ { 2 } + \eta _ { \ell } ^ { 2 } } \chi ( E ) \; \mathrm { d } E + \frac { \eta _ { \ell } } { \pi } \sum _ { i \neq \ell } \int _ { I _ { \ell } } \frac { \hat { p } _ { i } } { \left( \lambda _ { i } - E \right) ^ { 2 } + \eta _ { \ell } ^ { 2 } } \chi ( E ) \; \mathrm { d } E \bigg ] . } \end{array}
\varepsilon _ { p } ^ { m i n } = \kappa _ { T } N _ { 0 } ^ { 2 } \left( | \nabla _ { h } z _ { r } | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \right) \ge - \frac { \kappa _ { T } N _ { 0 } ^ { 2 } ( z _ { r } ) } { 4 }