harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \lambda ( \| A y \| - \| A y ^ { \prime } \| ) \left( \| c \| ^ { 2 } - r ^ { 2 } \frac { c ^ { T } y ^ { \prime } c ^ { T } y } { \| A y \| \| A y ^ { \prime } \| } \right) } \\ { = } & { \lambda \left( \sqrt { r ^ { 2 } y _ { c } ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) y _ { o } ^ { 2 } } - \sqrt { r ^ { 2 } y _ { c } ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) y _ { o } ^ { 2 } } \right) \left( \| c \| ^ { 2 } - r ^ { 2 } \frac { c ^ { T } ( y _ { c } + y _ { o } ) c ^ { T } ( y _ { c } ^ { \prime } + y _ { o } ^ { \prime } ) } { \sqrt { r ^ { 2 } y _ { c } ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) y _ { o } ^ { 2 } } \sqrt { r ^ { 2 } y _ { c } ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) y _ { o } ^ { 2 } } } \right) } \\ { = } & { \lambda \left( \frac { ( r ^ { 2 } y _ { c } ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) y _ { o } ^ { 2 } ) - ( r ^ { 2 } y _ { c } ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) y _ { o } ^ { 2 } ) } { \sqrt { r ^ { 2 } y _ { c } ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) y _ { o } ^ { 2 } } + \sqrt { r ^ { 2 } y _ { c } ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) y _ { o } ^ { 2 } } } \right) \left( \| c \| ^ { 2 } - r ^ { 2 } \frac { c ^ { T } y _ { c } c ^ { T } y _ { c } ^ { \prime } } { \sqrt { r ^ { 2 } y _ { c } ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) y _ { o } ^ { 2 } } \sqrt { r ^ { 2 } y _ { c } ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) y _ { o } ^ { 2 } } } \right) } \\ { = } & { \lambda ^ { 2 } \left( \frac { r ^ { 2 } c ^ { T } ( y _ { c } + y _ { c } ^ { \prime } ) } { \sqrt { r ^ { 2 } y _ { c } ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) y _ { o } ^ { 2 } } + \sqrt { r ^ { 2 } y _ { c } ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) y _ { o } ^ { 2 } } } \right) \left( \| c \| ^ { 2 } - r ^ { 2 } \frac { c ^ { T } y _ { c } c ^ { T } y _ { c } ^ { \prime } } { \sqrt { r ^ { 2 } y _ { c } ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) y _ { o } ^ { 2 } } \sqrt { r ^ { 2 } y _ { c } ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) y _ { o } ^ { 2 } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 3 } } & { \leq \mathbb { E } \left( \left\vert \int _ { \tau _ { n } \wedge T _ { A } ^ { n } } ^ { ( \tau _ { n } + \delta _ { n } ) \wedge T _ { A } ^ { n } } \int _ { B _ { 1 } ^ { c } } \sigma _ { s } ( X _ { s ^ { - } } ^ { \mu ^ { n } } , \mu _ { s } ^ { n } ) z \, \mathcal { N } ( d s , d z ) \right\vert ^ { \beta } \right) } \\ & { \leq \mathbb { E } \left( \int _ { \tau _ { n } \wedge T _ { A } ^ { n } } ^ { ( \tau _ { n } + \delta _ { n } ) \wedge T _ { A } ^ { n } } \int _ { B _ { 1 } ^ { c } } | \sigma _ { s } ( X _ { s ^ { - } } ^ { \mu ^ { n } } , \mu _ { s } ^ { n } ) | ^ { \beta } | z | ^ { \beta } \, \mathcal { N } ( d s , d z ) \right) } \\ & { \leq C ( 1 + A ^ { \beta } + R ^ { \beta } ) \left( \mathbb { E } \int _ { \tau _ { n } \wedge T _ { A } ^ { n } } ^ { ( \tau _ { n } + \delta _ { n } ) \wedge T _ { A } ^ { n } } \int _ { B _ { 1 } ^ { c } } | z | ^ { \beta } \, d \nu ( z ) \, d s \right) } \\ & { \leq C ( 1 + A ^ { \beta } + R ^ { \beta } ) | \delta _ { n } | . } \end{array}
\pi _ { i } = g \bar { \Gamma } \psi _ { i } ^ { \prime } \sqrt { 2 V _ { e f f } - \rho _ { f } - p _ { f } } e ^ { 3 T } , \ \ \ \pi _ { f } = g \bar { \Gamma } ( { \frac { n _ { f } ^ { 2 } \theta _ { f } ^ { \prime } } { \rho _ { f } + p _ { f } } } ) \sqrt { 2 V _ { e f f } - \rho _ { f } - p _ { f } ) } e ^ { 3 T } ,
{ \cal T } _ { \pi ^ { 0 } \gamma \gamma } \equiv 2 i N _ { c } e ^ { 2 } \frac { Q _ { u } ^ { 2 } - Q _ { d } ^ { 2 } } { \sqrt { 2 } } \epsilon _ { \mu } ( k , \sigma ) \epsilon _ { \nu } ( k ^ { \prime } , \sigma ^ { \prime } ) I ^ { \mu \nu } ~ ,
\begin{array} { r l r } { B _ { 1 } } & { \leqslant } & { \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla _ { U } \log p _ { T - t } ( Y _ { t } ) - e ^ { \frac { ( t - \lfloor t \rfloor ) } { 2 } } \nabla _ { U } \log p _ { T - \lfloor t \rfloor } ( Y _ { \lfloor t \rfloor } ) \right\| ^ { 2 } \right] } \\ & { } & { + \left( 1 - e ^ { \frac { ( t - \lfloor t \rfloor ) } { 2 } } \right) ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| \nabla _ { U } \log p _ { T - \lfloor t \rfloor } ( Y _ { \lfloor t \rfloor } ) \| ^ { 2 } ] } \\ & { = } & { \mathbb { E } [ \| \nabla _ { U } \log p _ { T - t } ( Y _ { t } ) \| ^ { 2 } ] - \mathbb { E } \left[ \left\| e ^ { \frac { ( t - \lfloor t \rfloor ) } { 2 } } \nabla _ { U } \log p _ { T - \lfloor t \rfloor } ( Y _ { \lfloor t \rfloor } ) \right\| ^ { 2 } \right] } \\ & { } & { + \left( 1 - e ^ { \frac { ( t - \lfloor t \rfloor ) } { 2 } } \right) ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| \nabla _ { U } \log p _ { T - \lfloor t \rfloor } ( Y _ { \lfloor t \rfloor } ) \| ^ { 2 } ] } \end{array}
\tau _ { j } ^ { R R * } = \frac { 4 } { 3 } \eta _ { j } \frac { U _ { j } ^ { R } - U _ { i j } ^ { R * } } { \Delta r _ { j } } , \quad \mathrm { ~ г ~ д ~ е ~ } \quad \Delta r _ { j } = \frac { \varkappa | \overrightarrow { r _ { j } } - \overrightarrow { r _ { i } } | } { 1 + \varkappa } = \frac { | \overrightarrow { r _ { j } } - \overrightarrow { r _ { i } } | } { 1 + \sqrt { \nu _ { i } / \rho _ { j } } } .
\begin{array} { r l } { u = 4 y - 4 y ^ { 2 } , \, v = 0 \quad } & { { } \forall ( x , y ) \in \{ 0 \} \times [ 0 , 1 ] } \\ { \frac { \partial u } { \partial x } = 0 , \, v = 0 \quad } & { { } \forall ( x , y ) \in \{ 1 0 \} \times [ 0 , 1 ] . } \end{array}
g _ { \pm } ( t ) = \frac { 1 } { 2 } \left( e ^ { - i m _ { L } t } e ^ { - \frac 1 { 2 } \Gamma _ { L } t } \pm e ^ { - i m _ { H } t } e ^ { - \frac 1 { 2 } \Gamma _ { H } t } \right) .
\begin{array} { r l r } { | \vec { r } _ { 1 } - \vec { r } _ { 2 } + R \, \vec { e } _ { z } | ^ { - 1 } } & { = } & { \sum _ { l _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \, \sum _ { l _ { 2 } = 0 } ^ { \infty } \; \sum _ { m = - \operatorname* { m i n } ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) } ^ { \operatorname* { m i n } ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) } \, \, ( - 1 ) ^ { l _ { 2 } } \, C _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } , m } \; } \\ & { \times } & { \frac { r _ { 1 } ^ { l _ { 1 } } r _ { 2 } ^ { l _ { 2 } } } { R ^ { l _ { 1 } + l _ { 2 } + 1 } } Y _ { l _ { 1 } } ^ { m } ( \theta _ { 1 } , \varphi _ { 1 } ) \, Y _ { l _ { 2 } } ^ { - m } ( \theta _ { 2 } , \varphi _ { 2 } ) , } \end{array}
\left( e ^ { - \lambda _ { 2 } t } \psi _ { 2 } ( x ) , e ^ { - \lambda _ { 3 } t } \psi _ { 3 } ( x ) , . . . , e ^ { - \lambda _ { k } t } \psi _ { k } ( x ) , e ^ { - \lambda _ { k + 1 } t } \psi _ { k + 1 } ( x ) \right) .
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { \mathrm { { P L - X X } } } = \sum _ { i < j } J _ { i , j } \left( \hat { \sigma } _ { i } ^ { + } \hat { \sigma } _ { j } ^ { - } + \hat { \sigma } _ { i } ^ { - } \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } \right) } \end{array}
g _ { 1 } ( x ) + \omega g _ { 2 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( ( x ^ { n } - 1 ) / f _ { j } ( x ) ) ( s ( x ^ { - 1 } ) + \omega ) } & { \mathrm { i f } \ C = \langle \big ( ( x ^ { n } - 1 ) / f _ { i } ( x ) \big ) \big ( \omega + s ( x ) \big ) \rangle _ { \mathbb { F } _ { p } [ x ] } } \\ { ( x ^ { n } - 1 ) / f _ { j } ( x ) } & { \mathrm { i f } \ C = \langle ( x ^ { n } - 1 ) / f _ { i } ( x ) \rangle _ { \mathbb { F } _ { p } [ x ] } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { y \otimes x } & { \overset { \alpha _ { \widehat { \mathbb { G } } } } { \mapsto } y \ \underset { \mathbb { C } } { \widehat { \otimes } } x \overset { \eta _ { A \otimes B } ^ { \widehat { \mathbb { G } } } } { \mapsto } ( y \ \underset { \mathbb { C } } { \widehat { \otimes } } x ) \underset { L ( A \otimes B ) \underset { r } { \rtimes } \widehat { \mathbb { G } } } { \otimes } u \underset { r } { \rtimes } \widehat { \mathbb { G } } \cong ( y \ \underset { \mathbb { C } } { \widehat { \otimes } } x ) \underset { L ( A ) \underset { r } { \rtimes } \widehat { \mathbb { G } } \otimes B } { \otimes } \big ( u ^ { \prime } \underset { r } { \rtimes } \widehat { \mathbb { G } } \otimes i d \big ) = \big ( y \underset { L ( A ) \underset { r } { \rtimes } \widehat { \mathbb { G } } } { \otimes } u ^ { \prime } \underset { r } { \rtimes } \widehat { \mathbb { G } } \big ) \ \underset { \mathbb { C } } { \widehat { \otimes } } \big ( x \underset { B } { \otimes } i d ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t } & { { } = \tilde { t } \alpha / 2 t _ { R } } \\ { \tau } & { { } = \tilde { \tau } \sqrt { \alpha / | \beta _ { 2 } | L } } \\ { A } & { { } = \tilde { A } \sqrt { 2 \gamma L / \alpha } } \\ { P } & { { } = \sqrt { 8 \kappa P _ { \mathrm { i n } } \gamma L / \alpha ^ { 3 } } } \\ { \delta } & { { } = 2 ( \theta - J _ { \mathrm { M } } ) / \alpha } \\ { C } & { { } = J _ { \mathrm { M } } \Omega _ { \mathrm { M } } ^ { 2 } | \beta _ { 2 } | L / \alpha ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { 3 } } & { { } = } & { 2 a _ { 3 } ^ { 2 } k _ { n - 1 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \exp [ - \nu _ { n + 1 } k _ { n + 1 } ^ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) ] } \end{array}
\begin{array} { c } { { \zeta _ { \nu } ( s = 0 , x ) = \displaystyle { { - { \frac { \nu } { 2 } } - \frac { 1 } { 4 } } \, + } } } \\ { { \displaystyle { + \Re \left\{ - { \frac { \imath \, \nu \, } { \pi } } \left( { \sqrt { 1 + { e ^ { - \imath \, \pi } } \, { z ^ { 2 } } } } - \log ( 1 + { \sqrt { 1 + { e ^ { - \imath \, \pi } } \, { z ^ { 2 } } } } ) \right) \right. } } } \\ { { \displaystyle { \left. + { \frac { \imath } { 4 \, \pi } } \log ( 1 + { e ^ { - \imath \, \pi } } \, { z ^ { 2 } } ) + \right. } } } \\ { { \displaystyle { \left. + { \frac { \imath ( 2 + 3 z ^ { 2 } ) } { 2 4 \, \nu \, \pi \, { { \left( 1 + { e ^ { - \imath \, \pi } } { z ^ { 2 } } \right) } ^ { 3 / 2 } } } } \right\} + { \cal O } ( \nu ^ { - 2 } ) } , } } \end{array}
I _ { 2 3 4 5 5 } \equiv q ^ { 2 } T _ { 2 3 4 5 5 } - T _ { 2 3 5 5 } \; = \; - \int \frac { d ^ { n } k } { ( 2 \pi ) ^ { n } } \int \frac { d ^ { n } l } { ( 2 \pi ) ^ { n } } \frac { \mu ^ { 2 \epsilon } ( k ^ { 2 } + 2 k q ) } { ( l ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ( ( l - k ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ( k + q ) ^ { 2 } k ^ { 4 } }
\mathrm { V a r } [ x ( t | x _ { 0 } < b / 3 ) ] = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 x _ { 0 } t ^ { \gamma _ { s } } , } & { 0 < t < t _ { b } \ , } \\ { 3 a \left( \frac { b } { 3 } - x _ { 0 } \right) t ^ { 2 \gamma _ { s } } , } & { t _ { b } < t < t _ { c } \ . } \end{array} \right.
\mathcal { F } ^ { - 1 } \circ \tilde { \delta } _ { h } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi / h } ^ { \pi / h } \exp ( i k x ) \, d k = \frac { \sin ( x \pi / h ) } { x \pi } = \frac { 1 } { h } \mathtt { s i n c } ( \frac { \pi x } { h } ) = \delta _ { h } ( x ) ,
\phi ( x ) = \frac { 3 } { 4 \pi ( x _ { 2 } ^ { 3 } - x _ { 1 } ^ { 3 } ) ( p - 1 ) } ( e ^ { ( p - 1 ) \Sigma _ { t } x _ { 2 } } - e ^ { ( p - 1 ) \Sigma _ { t } x _ { 1 } } )
. I n i t i a l l y , m a t e r i a l a n d r a d i a t i o n e n e r g y a r e a t e q u i l i b r i u m . T h e s p e c i f i c i n t e n s i t y o n t h e l e f t b o u n d a r y i s k e p t a t a c o n s t a n t d i s t r i b u t i o n . T h e d i s t r i b u t i o n o n t h e l e f t b o u n d a r y i s i s o t r o p i c i n a n g u l a r v a r i a b l e , a n d i s a P l a n c k i a n d i s t r i b u t i o n a s s o c i a t e d w i t h a t e m p e r a t u r e o f
\begin{array} { r l } { S _ { \theta _ { \mathrm { t h } } } } & { { } = \frac { 2 } { A _ { \mathrm { r } } ^ { 2 } } S _ { \mathrm { t h } } } \\ { S _ { \theta _ { \mathrm { d } } } } & { { } = \frac { 2 } { A _ { \mathrm { r } } ^ { 2 } } S _ { \mathrm { d } } = \mathcal { K } ^ { 2 } S _ { \theta _ { \mathrm { t h } } } . } \end{array}
\mathcal { I } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ C ~ V ~ } } = \Re \mathcal { I } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } - c ( | 1 - \mathcal { I } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } | ^ { 2 } - 1 ) ,
R \ = \ 2 E _ { a } C ^ { a } { } _ { b } { } ^ { b } - C _ { a b } { } ^ { b } C ^ { a } { } _ { c } { } ^ { c } - \frac 1 2 C _ { a b c } C ^ { a c b } - \frac 1 4 C _ { a b c } C ^ { a b c } ~ .
\begin{array} { r l } & { 0 \to \Bbbk \leftarrow 0 \to 0 , \qquad 0 \to 0 \leftarrow 0 \to \Bbbk , \qquad \Bbbk \stackrel { 1 } { \to } \Bbbk \leftarrow 0 \to 0 , \qquad 0 \to \Bbbk \stackrel { 1 } { \leftarrow } \Bbbk \stackrel { 1 } { \to } \Bbbk , } \\ & { \Bbbk \stackrel { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \iota } \end{array} \right) } { \to } \Bbbk \oplus \Lambda \stackrel { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } { \leftarrow } \Bbbk \stackrel { 1 } { \to } \Bbbk , \qquad 0 \to \Bbbk \stackrel { 1 } { \leftarrow } \Bbbk \to 0 , \qquad 0 \to \Lambda \stackrel { \iota } { \leftarrow } \Bbbk \to \Bbbk , } \\ & { \Bbbk \stackrel { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \iota } \end{array} \right) } { \to } \Bbbk \oplus \Lambda \stackrel { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } { \leftarrow } \Bbbk \stackrel { \iota } { \to } \Lambda , \qquad 0 \to \Lambda \stackrel { \iota } { \leftarrow } \Bbbk \stackrel { \iota } { \to } \Lambda , \qquad \Bbbk \stackrel { \iota } { \to } \Lambda \leftarrow 0 \to 0 . } \end{array}
\psi _ { i } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) = \sum _ { j _ { 2 } = 1 } ^ { n } \sum _ { j _ { 3 } = 1 } ^ { n } \cdots \sum _ { j _ { d } = 1 } ^ { n } a _ { i j _ { 2 } j _ { 3 } \cdots j _ { d } } x _ { j _ { 2 } } x _ { j _ { 3 } } \cdots x _ { j _ { d } } \; \; { \mathrm { f o r ~ } } i = 1 , . . . , n
\left| \varphi \left( f ( M ^ { - 1 } ( z ) ) \right) \right| = \left| { \frac { f ( z _ { 1 } ) - f ( M ^ { - 1 } ( z ) ) } { 1 - { \overline { { f ( z _ { 1 } ) } } } f ( M ^ { - 1 } ( z ) ) } } \right| \leq | z | .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | v ^ { \prime } ( A \odot B ) v | } & { \leq \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | v ^ { \prime } A v | \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | v ^ { \prime } B v | , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | v ^ { \prime } ( A \odot B ) v | } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , \dots , d } ( \sqrt { A A ^ { ' } } ) _ { i i } \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | v ^ { \prime } B v | . } \end{array}
{ \hat { H } } = - \mathbf { B } ^ { \prime } \cdot { \hat { \boldsymbol { \mu } } } _ { S } = - \left( \mathbf { B } + { \frac { \mathbf { E } \times \mathbf { v } } { 2 c ^ { 2 } } } \right) \cdot { \hat { \boldsymbol { \mu } } } _ { S } \, .
\begin{array} { r l } { \eta _ { t , k + 1 } } & { - \mathbb { E } \left[ \eta _ { t , k + 1 } \vert \mathcal { F } _ { t , k } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { \mathsf { b } } \sum _ { i \in \mathcal { B } _ { t , k + 1 } } \xi _ { t , k + 1 , i } - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mu _ { t , k + 1 , i } } \\ & { = \frac { 1 } { \mathsf { b } } \sum _ { i \in \mathcal { B } _ { t , k + 1 } } \left\{ \xi _ { t , k + 1 , i } - \mu _ { t , k + 1 , i } \right\} } \\ & { + \frac { 1 } { \mathsf { b } } \sum _ { i \in \mathcal { B } _ { t , k + 1 } } \mu _ { t , k + 1 , i } - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mu _ { t , k + 1 , i } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { 3 } } & { [ { \mathbf B } \cdot \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } ] = 0 \qquad } & { \mathrm { o n } \quad \Gamma ^ { P W } , } \\ & { [ { \mathbf E } \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } ] = \mathbf { 0 } \qquad } & { \mathrm { o n } \quad \Gamma ^ { P W } , } \\ & { \mathbf V _ { i \perp } = \mathbf { 0 } \qquad } & { \mathrm { o n } \quad \Gamma ^ { P W } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | y ( s ) | } & { \leq } & { | y ( s _ { 0 } ) | + | T ( s _ { 0 } ) | [ | x ( s ) | + | x ( s _ { 0 } ) | ] } \\ & { \leq } & { ( 2 a _ { 2 } ( \delta ) x ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } + 2 h ( 0 , 0 ) x ( s _ { 0 } ) ^ { N } ) A C } \\ & { } & { + 2 ( 4 a _ { 2 } ( \delta ) x ( s _ { 0 } ) + 4 N x ( s _ { 0 } ) ^ { N - 1 } h ( 0 , 0 ) ) A C [ | x ( s ) | + | x ( s _ { 0 } ) | ] } \\ & { \leq } & { ( 2 a _ { 2 } ( \delta ) x ( s ) ^ { 2 } + 2 h ( 0 , 0 ) x ( s ) ^ { N } ) A C + 2 ( 4 a _ { 2 } ( \delta ) x ( s ) + 4 N x ( s ) ^ { N - 1 } h ( 0 , 0 ) ) A C \cdot 2 x ( s ) } \\ & { \leq } & { ( 1 8 a _ { 2 } ( \delta ) x ( s ) ^ { 2 } + 1 8 N h ( 0 , 0 ) x ( s ) ^ { N } ) A C . } \end{array}
\lambda _ { 8 } = ( K _ { 1 1 } - { \frac { K _ { 1 2 } ^ { 2 } } { K _ { 2 2 } } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \qquad \lambda _ { 0 } = ( K _ { 2 2 } - { \frac { K _ { 1 2 } ^ { 2 } } { K _ { 1 1 } } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } }
\frac { 1 } { 2 } G _ { i } \beta _ { i j } ^ { 0 G } ( t ) \beta _ { k l } ^ { 0 0 } ( t ) \left\langle \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { j k l }
\begin{array} { r } { v _ { s , d } ^ { ( i ) } = w ^ { ( i ) } \, v _ { s , d } ^ { ( i - 1 ) } + c _ { 1 } ^ { ( i ) } \, \left( p _ { s , d } ^ { ( i - 1 ) } - x _ { s , d } ^ { ( i - 1 ) } \right) + c _ { 2 } ^ { ( i ) } \, \left( p _ { g _ { s } , d } ^ { ( i - 1 ) } - x _ { s , d } ^ { ( i - 1 ) } \right) } \end{array}
( J _ { n \ge 0 } ^ { a } + \tilde { J } _ { n \ge 0 } ^ { a } ) \cdot ( J _ { - 1 } ^ { b } + { \frac { ( k + 4 c _ { V } ( H ) ) } { k } } \tilde { J } _ { - 1 } ^ { b } ) \phi ^ { b } | 0 \rangle = 0
< T _ { -- } ^ { \mathrm { f } } ( \sigma ^ { + } , \sigma ^ { - } ) > | _ { \sigma ^ { + } \rightarrow \infty } = \frac { \lambda ^ { 2 } } { 4 8 } \left[ 1 - \frac { 1 } { ( 1 + \frac { m } { \lambda } e ^ { \lambda ( \sigma ^ { - } - \sigma _ { 0 } ^ { + } ) } ) ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { r ^ { \ast } } & { { } = \frac { \left( d + 1 \right) ^ { 2 } \left( 2 \theta \left( N - 1 \right) + \left( 1 - \theta \right) \frac { d } { s } \frac { s - 1 } { d - 1 } \left( N - 2 \right) \right) } { 2 \theta \left( d + 1 \right) \left( N - d - 1 \right) + \left( 1 - \theta \right) \frac { d } { s } \frac { s - 1 } { d - 1 } \left( \left( \left( d - 1 \right) \mathcal { C } + d + 3 \right) N - 2 \left( d + 1 \right) ^ { 2 } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 2 \nu + m + 1 , m } \left( \chi _ { c } , \phi _ { c } \right) } & { { } = \frac { I ( 2 m ) ! ( 1 - ( - 1 ) ^ { m } ) } { 2 ^ { m - 1 } m ! \left( 2 \left( \nu + m \right) + 1 \right) ! } \ \times } \end{array}
\hat { X } _ { \mu } \hat { W } \equiv - \frac { \partial } { \partial p _ { \nu } } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - \frac { 1 } { 2 } s ) e ^ { - \frac { i ( 1 - s ) } { 2 } \bigtriangleup } F _ { \mu \nu } \hat { W } d s + \hat { W } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 - s } { 2 } e ^ { \frac { 1 } { 2 } i s \bigtriangleup } F _ { \mu \nu } d s \right)
\left( \left( \left( b _ { n + 1 } [ d _ { n } > < d _ { n } ] \right) + \left( b _ { n + 1 } [ d ^ { \prime \prime } > < d ^ { \prime \prime } ] \right) \right) \; \left/ \bigoplus _ { d ^ { \prime } \in R _ { d } ^ { \prime } } b _ { n + 1 } [ d _ { n } ^ { \prime } > < d _ { n } ^ { \prime } ] \right. \right)
\begin{array} { r l } & { q _ { 2 1 } ^ { 2 } ( t ) = 0 , } \\ & { q _ { 2 2 } ^ { 2 } ( t ) = - A ( t , e _ { i } ) X _ { 2 } ^ { - 1 } \sigma _ { 2 } ( t , e _ { i } ) , } \\ & { r _ { 2 } ^ { 2 } ( t ) = A ( t , e _ { i } ) X _ { 2 } ^ { - 1 } ( t ) \biggl ( ( 1 + \eta ( t - , e _ { i } , z ) ) ^ { - 1 } - 1 \biggr ) , } \\ & { w _ { 2 } ^ { 2 , j } ( t ) = X _ { 2 } ^ { - 1 } \left\{ A ( t , e _ { j } ) - A ( t , e _ { i } ) \right\} , \ \mathrm { f o r } \ i = 1 , 2 , \ldots , D . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { = \left[ \left( \tau _ { x } \otimes I _ { N } \right) \hat { \Gamma } \right] ^ { T } H \left[ \hat { \Gamma } ^ { \dag } \left( \tau _ { x } \otimes I _ { N } \right) \right] ^ { T } } \\ & { = - \hat { \Gamma } ^ { \dag } \left[ \left( \tau _ { x } \otimes I _ { N } \right) H ^ { T } \left( \tau _ { x } \otimes I _ { N } \right) \right] \hat { \Gamma } + \mathrm { T r } \, H , } \end{array}
\ln Z _ { \mathrm { I s i n g } } ( \mu ) = \ln Z _ { \mathrm { I s i n g } } ( 0 ) - \mu { \frac { \sum _ { i } Z _ { i } { \mathcal E } ^ { \prime } ( z _ { i } ) } { Z _ { \mathrm { I s i n g } } ( 0 ) } } - { \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 } } \left( { \frac { \sum _ { i } Z _ { i } ( { \mathcal E } ^ { \prime \prime } ( z _ { i } ) - { \mathcal E } ^ { \prime } ( z _ { i } ) ^ { 2 } ) } { Z _ { \mathrm { I s i n g } } ( 0 ) ^ { 2 } } } + { \frac { ( \sum _ { i } Z _ { i } { \mathcal E } ^ { \prime } ( z _ { i } ) ) ^ { 2 } } { Z _ { \mathrm { I s i n g } } ( 0 ) } } \right) + \ldots
\hat { \bf e } _ { i } \cdot \bar { \bf f } _ { i } = - \cos \psi \, , \quad \hat { \bf n } \cdot \bar { \bf f } _ { 1 } = \sin \psi \cos \phi \, , \quad \hat { \bf n } \cdot \bar { \bf f } _ { 2 } = \sin \psi \sin \phi \, .
\begin{array} { r l } { \tilde { I } _ { t , x } ( Z , u , \tau ) } & { = E \left[ \int _ { t } ^ { \tau \wedge T } \frac { 1 } { 2 } \vert u _ { s } \vert ^ { 2 } + V ( Z _ { s } ) d s + g ( Z _ { \tau \wedge T } ) \right] } \\ { \tilde { \Xi } ( t , x ) } & { = \operatorname* { i n f } _ { ( u , \tau ) \in { \cal U } \times { \cal T } } \tilde { I } _ { t , x } ( Z , u , \tau ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { p ( \omega _ { t } ) } [ \textbf { K L } ( q ( \boldsymbol { z } | \omega _ { t } ) | | p ( \boldsymbol { z } ) ) ] } & { { } } & { = \textbf { K L } ( q ( \boldsymbol { z } , \omega _ { t } ) | | q ( \boldsymbol { z } ) p ( \omega _ { t } ) ) } \end{array}
\tan 2 \rho = \frac { - 3 \sqrt { \frac { m _ { c } } { m _ { t } } } r _ { 2 } \sin \phi _ { 2 } \left( 1 + 9 \sqrt { \frac { m _ { c } } { m _ { t } } } \frac { m _ { c } } { m _ { t } } \right) } { \left[ 1 - 9 \sqrt { \frac { m _ { c } } { m _ { t } } } \cos \phi _ { 2 } + 9 \frac { m _ { c } } { m _ { t } } + 1 8 \frac { m _ { c } } { m _ { t } } r _ { 2 } ^ { 2 } - 2 7 \frac { m _ { c } ^ { 2 } } { m _ { t } ^ { 2 } } \cos \phi _ { 2 } \right] }
v ^ { \prime } * v ^ { \prime \prime } = ( b ^ { \prime } e ^ { - \lambda l _ { - } ^ { \prime \prime } } + e ^ { \lambda l _ { - } ^ { \prime } } b ^ { \prime \prime } , l _ { + } ^ { \prime } e ^ { - \lambda l _ { - } ^ { \prime \prime } } + e ^ { \lambda l _ { - } ^ { \prime } } l _ { + } ^ { \prime \prime } , l _ { - } ^ { \prime } + l _ { - } ^ { \prime \prime } )
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } P } { \mathrm { d } I } = \frac { N _ { \mathrm { p } } h \nu } { e } \frac { \alpha _ { \mathrm { m , 1 } } } { \alpha _ { \mathrm { t o t } } } \frac { \tau _ { \mathrm { e f f } } } { \tau _ { \mathrm { e f f } } + \tau _ { \mathrm { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla ( W _ { 2 , \left| \widetilde { \phi } _ { k } \right> \left< \widetilde { \phi } _ { k } \right| } u ) = \int \frac { ( x - y ) \widetilde { \phi } _ { k } ( x ) \widetilde { \phi } _ { k } ^ { * } ( y ) u ( y ) } { | x - y | ^ { 3 } } d y - \int \frac { \nabla \widetilde { \phi } _ { k } ( x ) \widetilde { \phi } _ { k } ^ { * } ( y ) u ( y ) } { | x - y | } d y . } \end{array}
\sum _ { 0 \leq j _ { 1 } < \ldots < j _ { \ell } \leq n - 1 } \left\langle \delta _ { k } , A _ { \eta _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } A _ { \eta _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } \ldots A _ { \eta _ { \ell } } ^ { ( j _ { \ell } ) } \delta _ { k } \right\rangle = \sum _ { 0 \leq j _ { 1 } < \ldots < j _ { \ell } \leq n - 1 } \left\langle \delta _ { k } , ( A _ { \eta _ { \ell } } ^ { ( j _ { 1 } ) } ) ^ { * } ( A _ { \eta _ { \ell - 1 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } ) ^ { * } \ldots ( A _ { \eta _ { 1 } } ^ { ( j _ { \ell } ) } ) ^ { * } \delta _ { k } \right\rangle .
H I A T \to { \left( \begin{array} { l } { H } \\ { I } \end{array} \right) } , { \left( \begin{array} { l } { A } \\ { T } \end{array} \right) } \to { \left( \begin{array} { l } { 7 } \\ { 8 } \end{array} \right) } , { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 9 } \end{array} \right) }
\mathbf { r } _ { s p E } : = \mathrm { ~ o ~ n ~ e ~ - ~ d ~ i ~ m ~ e ~ n ~ s ~ i ~ o ~ n ~ a ~ l ~ } \ \mathcal { B } _ { E } ( t _ { 0 } ) \cap \mathcal { W } , \ \ \gamma _ { s c E } : = \mathrm { ~ t ~ w ~ o ~ - ~ d ~ i ~ m ~ e ~ n ~ s ~ i ~ o ~ n ~ a ~ l ~ } \ \mathcal { B } _ { E } ( t _ { 0 } ) \cap \mathcal { W } ,
\hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \hbar } } [ \hat { \phi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + i \hat { \pi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ] \; \; \; ; \; \; \; \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \hbar } } [ \hat { \phi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) - i \hat { \pi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ]