harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\nabla _ { A } W _ { B C D } = \nabla _ { \underline { { { A } } } } W _ { \underline { { { B C D } } } } - \frac { 1 } { 4 } \varepsilon _ { A B } \nabla ^ { E } W _ { E C D } - \frac { 1 } { 4 } \varepsilon _ { A C } \nabla ^ { E } W _ { E B D } - \frac { 1 } { 4 } \varepsilon _ { A D } \nabla ^ { E } W _ { E B C }
d s ^ { 2 } = \frac { P } { 2 Q } e ^ { \chi f } \left[ d T ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 6 P ^ { 2 } } \left( \frac { d A } { d \phi } \right) ^ { 2 } d r ^ { 2 } \right] - r ^ { 2 } d \theta ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \delta _ { n } ( t ) } & { = \bar { \mathbb { E } } \| \hat { M } _ { j } ^ { [ 1 ] } - M _ { j } ^ { [ 1 ] } \| + C \| M _ { j } ^ { [ 1 ] } \| \sqrt { \frac { t } { n } } } \\ & { \le C \| M _ { j } ^ { [ 1 ] } \| \left( \sqrt { \frac { r ( M _ { j } ^ { [ 1 ] } ) } { n } } \bigvee \frac { r ( M _ { j } ^ { [ 1 ] } ) } { n } \right) + C \| M _ { j } ^ { [ 1 ] } \| \sqrt { \frac { t } { n } } } \\ & { \le C \| M _ { j } ^ { [ 1 ] } \| \left[ \frac { 4 ( \sigma _ { j } ^ { 2 } + d _ { 1 } + 1 ) } { ( \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { j } ^ { 2 } + 1 ) n } + \sqrt { \frac { 2 \left( \frac { n } { 2 r ( M _ { j } ^ { [ 1 ] } ) } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } { n } } \right] } \\ & { \le C ( \sigma _ { j } ^ { 2 } + 1 ) \left[ \frac { \sigma _ { j } ^ { 2 } + d _ { 1 } + 1 } { ( \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { j } ^ { 2 } + 1 ) n } + n ^ { - \frac { 1 } { 3 } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { \partial \psi _ { 2 } } { \partial t _ { 2 } } } & { { } = \Bigg [ - i \frac { \partial \psi _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } \frac { \dot { b } } { b ^ { 3 } } x _ { 2 } - i \frac { \partial \psi _ { 1 } } { \partial y _ { 1 } } \frac { \dot { b } } { b ^ { 3 } } y _ { 2 } + i \frac { \partial \psi _ { 1 } } { \partial t _ { 1 } } \dot { t } _ { 1 } \frac { 1 } { b } - i \psi _ { 1 } \frac { \dot { b } } { b ^ { 2 } } - \frac { m } { 2 } \frac { \psi _ { 1 } } { b } \left\{ \frac { 1 } { w _ { 2 } } \frac { \ddot { b } b - \dot { b } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } - \frac { \dot { b } } { b } \frac { \dot { w } _ { 2 } } { w _ { 2 } ^ { 2 } } \right\} ( x _ { 2 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } ) \; + } \end{array}
{ \cal A } = { \cal A } _ { s } + { \cal A } _ { t } + { \cal A } _ { q } = - \frac { 1 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \alpha \langle ~ ( \int d ^ { 2 } z \mu _ { \alpha } ( z , \bar { z } ) J ^ { -- } ( z ) )
\frac { 1 } { x _ { 0 } } d x _ { 0 } \simeq \frac { 1 } { 2 } \left\langle \left( f + g \right) ^ { - 1 / 2 } \right\rangle ^ { - 1 } \left\langle \left( f + g \right) ^ { - 3 / 2 } \right\rangle d f .
A _ { ( 1 ) } \longrightarrow \left( \begin{array} { l } { { A _ { ( 1 ) } ^ { + } } } \\ { { A _ { ( 1 ) } } } \\ { { A _ { ( 1 ) } ^ { - } } } \end{array} \right) \qquad \quad U ( 1 ) \longrightarrow S U ( 2 )
\begin{array} { r l } { C _ { C a } ( t ) } & { { } = N ( t - t _ { 7 } ) } \\ { C _ { K - C a } ( t ) } & { { } = N k _ { k 1 } C _ { K } \frac { ( t - t _ { 7 } ) ^ { 2 } } { 2 } } \\ { C _ { K - C a - C a } ( t ) } & { { } = N ^ { 2 } k _ { k 1 } k _ { k 2 } C _ { K } \frac { ( t - t _ { 7 } ) ^ { 4 } } { 2 \times 4 } } \\ { C _ { K - C a - C a - C a } ( t ) } & { { } = N ^ { 3 } k _ { k 1 } k _ { k 2 } k _ { k 3 } C _ { K } \frac { ( t - t _ { 7 } ) ^ { 6 } } { 2 \times 4 \times 6 } } \\ { C _ { K - C a - C a - C a - C a } ( t ) } & { { } = N ^ { 4 } k _ { k 1 } k _ { k 2 } k _ { k 3 } k _ { k 4 } C _ { K } \frac { ( t - t _ { 7 } ) ^ { 8 } } { 2 \times 4 \times 6 \times 8 } } \\ { C _ { P r } } & { { } = N ^ { 5 } k _ { k 1 } k _ { k 2 } k _ { k 3 } k _ { k 4 } k _ { p } C _ { K } \frac { ( t - t _ { 7 } ) ^ { 9 } } { 2 \times 4 \times 6 \times 8 \times 9 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } \left( \widehat { Q } ^ { \mathrm { ~ M ~ F ~ A ~ B ~ } } \right) } & { { } = \mathbb { E } \left[ \left( \widehat { Q } ^ { M F A B } - \mathbb { E } \left[ Q _ { H } \right] \right) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } ( m ( t ) | w ) } & { = ( m ( 0 ) | \partial _ { t } \mathrm { A d } _ { \varphi _ { t 0 } ^ { v } } w ) = - ( m ( 0 ) | \mathrm { A d } _ { \varphi _ { t 0 } ^ { v } } \mathrm { a d } _ { v ( t ) } w ) } \\ & { = - ( m ( t ) | \mathrm { a d } _ { v ( t ) } w ) = - ( \mathrm { a d } _ { v ( t ) } ^ { \ast } m ( t ) | w ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { w _ { m } ( x ) } & { = e ^ { - x ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { x } ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) ^ { m } e ^ { y ^ { 2 } } \, d y } \\ { \alpha ( \gamma ) } & { = 2 \left( \sinh ^ { - 1 } ( \gamma ) - { \frac { \gamma } { \sqrt { 1 + \gamma ^ { 2 } } } } \right) } \\ { v } & { = { \frac { E _ { i } } { \omega } } \left( 1 + { \frac { 2 } { \gamma ^ { 2 } } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { } & & { w _ { i } = \lambda _ { i } / k , \quad \forall i \in [ n ] \, , } \\ & { } & & { d _ { i } = f ( x , x ^ { i } ) , \quad \forall i \in [ n ] \, , } \\ & { } & & { d _ { i } \le d + M ( 1 - \lambda _ { i } ) , \quad \forall i \in [ n ] \, , } \\ & { } & & { d _ { i } \ge d + \varepsilon - M \lambda _ { i } , \quad \forall i \in [ n ] \, , } \\ & { } & & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lambda _ { i } = k . } \end{array}
\Pi ^ { ( 1 ) } = \{ { \bf e } _ { 1 } - { \bf e } _ { 2 } , { \bf e } _ { 2 } - { \bf e } _ { 3 } , \ldots , { \bf e } _ { r } - { \bf e } _ { r + 1 } , { \bf e } _ { r + 1 } - { \bf e } _ { 1 } \} ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } Y _ { l _ { 1 } } ^ { m _ { 1 } } ( \theta , \phi ) Y _ { l _ { 2 } } ^ { m _ { 2 } } ( \theta , \phi ) Y _ { l _ { 3 } } ^ { m _ { 3 } } ( \theta , \phi ) \sin \phi d \phi d \theta } \\ & { = \sqrt { \frac { \left( 2 l _ { 1 } + 1 \right) \left( 2 l _ { 2 } + 1 \right) \left( 2 l _ { 3 } + 1 \right) } { 4 \pi } } \left( \begin{array} { c c c } { l _ { 1 } } & { l _ { 2 } } & { l _ { 3 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c } { l _ { 1 } } & { l _ { 2 } } & { l _ { 3 } } \\ { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { m _ { 3 } } \end{array} \right) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } ( \rho _ { A } v _ { A } ) + \mathrm { { d i v } } ( \rho _ { A } v _ { A } \otimes v _ { A } - \mathcal { T } _ { A } ) = ^ { t } ( 0 , 0 , 0 ) } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { A , T } , } \\ { \partial _ { t } ( \rho _ { B } v _ { B } ) + { \mathrm { d i v } } ( \rho _ { B } v _ { B } \otimes v _ { B } - \mathcal { T } _ { B } ) = ^ { t } ( 0 , 0 , 0 ) } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { B , T } , } \\ { D _ { t } ^ { N } ( \rho _ { S } v _ { S } ) + \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } ( \rho _ { S } v _ { S } \otimes v _ { S } - \mathcal { T } _ { S } ) = \widetilde { \mathcal { T } } _ { B } n _ { \Gamma } - \widetilde { \mathcal { T } } _ { A } n _ { \Gamma } } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { T } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { ~ \textstyle \frac { 1 + \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } } { 2 } ( 1 + \alpha _ { 3 } ) + 4 8 \alpha ^ { 2 } \gamma _ { x } ^ { 2 } ( 1 + \alpha _ { 3 } ^ { - 1 } ) = \frac { 1 + \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } } { 2 } + 4 8 \alpha ^ { 2 } \gamma _ { x } ^ { 2 } + \frac { 7 \alpha \gamma _ { x } } { 1 - \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } } + \frac { 4 8 \alpha \gamma _ { x } ( 1 - \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } ) } { 7 } } \\ { \leq } & { ~ \textstyle \frac { 1 + \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 4 8 } { 6 0 ^ { 2 } } ( 1 - \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 4 } + \frac { 7 } { 6 0 } ( 1 - \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } ) + \frac { 7 } { 6 0 } ( 1 - \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 3 } \leq \frac { 1 + \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 - \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } } { 4 } = \frac { 3 + \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } } { 4 } , } \\ & { ~ \textstyle \frac { 2 \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } } { 1 - \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } } ( 1 + \alpha _ { 3 } ) + 4 8 \alpha ^ { 2 } \gamma _ { x } ^ { 2 } ( 1 + \alpha _ { 3 } ^ { - 1 } ) = \frac { 2 \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } } { 1 - \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } } + 4 8 \alpha ^ { 2 } \gamma _ { x } ^ { 2 } + \frac { 2 \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } } { 1 - \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } } \frac { 7 \alpha \gamma _ { x } } { 1 - \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } } + \frac { 4 8 \alpha \gamma _ { x } ( 1 - \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } ) } { 7 } } \\ { \leq } & { ~ \textstyle \frac { 1 } { 1 - \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } } \left( 2 \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } + \frac { 4 8 } { 6 0 ^ { 2 } } ( 1 - \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } ) + \frac { 1 4 \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } } { 6 0 } + \frac { 7 } { 6 0 } ( 1 - \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } ) \right) \leq \frac { 1 } { 1 - \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } } \left( 2 \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } + \frac { 4 8 } { 6 0 ^ { 2 } } + \frac { 7 } { 6 0 } \right) \leq \frac { 9 } { 4 ( 1 - \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta ^ { \prime } ( { \gamma } ^ { \prime } ) - \delta ( { \gamma } ) = } & { - ( \hom ( \delta ^ { \prime } , { \epsilon } ^ { \prime } ) - \hom ( \delta , { \epsilon } ) ) + ( \hom ( \delta ^ { \prime } , \tau l _ { \epsilon } ( \delta ) ^ { \prime } ) - \hom ( \delta , \tau l _ { \epsilon } ( \delta ) ) } & \\ { = } & { - ( \hom ( \delta ^ { \prime } , { \epsilon } ^ { \prime } ) - \hom ( \delta , { \epsilon } ) ) + ( \hom ( \delta ^ { \prime } , { \check { l } } ^ { \delta } ( { \epsilon } ) ^ { \prime } ) - \hom ( \delta , { \check { l } } ^ { \delta } ( { \epsilon } ) ) } & { \mathrm { ( b y ~ a n d ~ L e m m a ~ ) . } } \end{array}
A ^ { * } R ^ { T } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \vert } & { \vert } & & { \vert } \\ { A _ { : 1 } } & { A _ { : 2 } } & { \dots } & { A _ { : n } } \\ { \vert } & { \vert } & & { \vert } \end{array} \right] ^ { * } \left[ \begin{array} { l l l l } { \vert } & { \vert } & & { \vert } \\ { R _ { : 1 } } & { R _ { : 2 } } & { \dots } & { R _ { : k } } \\ { \vert } & { \vert } & & { \vert } \end{array} \right] .
{ \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 3 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 7 } \end{array} \right] } { \xrightarrow { \mathrm { s u b t r a c t ~ 3 ~ � ~ ( r o w ~ 2 ) ~ f r o m ~ r o w ~ 1 } } } { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { - 2 2 } \\ { 0 } & { 1 } & { 7 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } & { \eta _ { t } + \nabla \! \cdot \! [ ( D + \eta ) \mathbf { u } ] + \nabla \! \cdot \! \left\{ a \nabla ( D ^ { 3 } \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } ) - b D ^ { 2 } \nabla \eta _ { t } \right\} = - \tilde { a } \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \nabla \zeta _ { t } ) - \zeta _ { t } \ , } \\ & { \mathbf { u } _ { t } + g \nabla \eta + \frac { 1 } { 2 } \nabla | \mathbf { u } | ^ { 2 } + \nabla \left\{ c g \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \nabla \eta ) - d \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \mathbf { u } _ { t } ) \right\} = - \tilde { c } D \nabla \zeta _ { t t } \ , } \end{array}
R _ { ( 0 ) } ( u , w ) = \left\{ \begin{array} { c c } { \frac { I _ { 0 } ( \gamma _ { 0 } u w ) } { I _ { 0 } ( \gamma _ { 0 } u ) } , } & { w < 1 } \\ { \frac { K _ { 0 } ( \gamma _ { 1 } u w ) } { K _ { 0 } ( \gamma _ { 1 } u ) } , } & { w > 1 } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } _ { ( \theta _ { 1 } , \dots , \theta _ { s } ) ^ { \top } } ( \widetilde \theta _ { i } ) } & { = \operatorname { V a r } _ { ( \theta _ { 1 } , \dots , \theta _ { s } , 0 , \dots , 0 ) ^ { \top } } \big ( E _ { ( \theta _ { 1 } , \dots , \theta _ { s } , 0 , \dots , 0 ) ^ { \top } } [ \widehat \theta _ { i } | X _ { 1 } , \dots , X _ { s } ] \big ) } \\ & { \leq \operatorname { V a r } _ { ( \theta _ { 1 } , \dots , \theta _ { s } , 0 , \dots , 0 ) ^ { \top } } ( \widehat \theta _ { i } ) } \end{array}
f _ { x } ^ { \prime \prime } ( x ) f _ { y } ( y ) f _ { z } ( z ) + f _ { x } ( x ) f _ { y } ^ { \prime \prime } ( y ) f _ { z } ( z ) + f _ { x } ( x ) f _ { y } ( y ) f _ { z } ^ { \prime \prime } ( z ) + k ^ { 2 } f _ { x } ( x ) f _ { y } ( y ) f _ { z } ( z ) = 0
\left( { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } - { \frac { E x ^ { 2 } + F x + G } { x ^ { 2 } ( 1 - x ) ^ { 2 } } } \right) f _ { J l } ( x ) = - { \frac { D } { C ^ { 2 } } } f _ { J l } ( x )
\begin{array} { r l } { | \mathtt { B } _ { 2 1 } ( \xi _ { 1 } , j _ { k } ) - \mathtt { B } _ { 2 1 } ( \xi _ { 2 } , j _ { k } ) | } & { \le | \mathtt { B } _ { 2 1 } ( \xi _ { 1 } , j _ { k } ) | + | \mathtt { B } _ { 2 1 } ( \xi _ { 2 } , j _ { k } ) | } \\ & { \overset { \le _ { \alpha , S _ { 0 } ^ { + } } } | \xi _ { 1 } | ^ { \alpha - 1 } + | \xi _ { 2 } | ^ { \alpha - 1 } \le _ { \alpha , S _ { 0 } ^ { + } } | \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } | ( | \xi _ { 1 } | + | \xi _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { t } ^ { 2 P M } } & { { } \propto \frac { 1 } { R _ { t } ^ { 2 } } \cdot \frac { q _ { \parallel , u } ^ { 1 0 / 7 } } { n _ { u } ^ { 2 } L _ { \parallel } ^ { 4 / 7 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { e ^ { \phi _ { p } } ( h _ { i } , h _ { j } ) = \alpha ^ { \phi _ { p } } \cdot \mathrm { ~ L ~ e ~ a ~ k ~ y ~ R ~ e ~ L ~ U ~ } ( [ W _ { \phi _ { p } } h _ { i } | | W _ { \phi _ { p } } h _ { j } | | \Pi _ { i } ^ { \phi _ { p } } | | \Pi _ { j } ^ { \phi _ { p } } ] ) , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Tilde { C } _ { + } ^ { v v , \infty } ( \omega ) } & { = \frac { k _ { B } T } { - i \omega m + \Tilde { \Gamma } _ { + } ^ { \infty } ( \omega ) } } \\ { \Tilde { C } _ { + } ^ { v v , \infty } ( \omega ) } & { = \frac { \Tilde { C } _ { + } ^ { v v , \mathrm { M D } } ( \omega ) } { 1 + ( k _ { B } T ) ^ { - 1 } \Tilde { C } _ { + } ^ { v v , \mathrm { M D } } ( \omega ) \Tilde { \Gamma } _ { + } ^ { \infty } ( \omega ) \Tilde { \Gamma } _ { + } ^ { \mathrm { M D } } ( \omega ) \Delta \Tilde { G } ^ { \mathrm { c o r r } } ( \omega ) } \, . } \end{array}
A = \frac { \Gamma \left( 1 - n + m \alpha _ { - } ^ { 2 } \right) } { \Gamma \left( - n + ( 1 + m ) \alpha _ { - } ^ { 2 } \right) \Gamma \left( 1 - \alpha _ { - } ^ { 2 } \right) } \, C _ { n m , 1 2 } ^ { n , m + 1 } A _ { n , m + 1 } ^ { \alpha }
\boxed { \begin{array} { r l } { C _ { 0 } ( t ) } & { { } = C _ { 0 } ( 0 ) e ^ { - k _ { 0 } t } } \\ { C _ { \mu } ( t ) } & { { } = k _ { 0 } k ^ { \mu - 1 } C _ { 0 } ( 0 ) e ^ { - k t } \cdot f _ { \mu } \ , \quad \mu \geq 1 } \\ { C _ { P } ( t ) } & { { } = C _ { 0 } ( 0 ) \left( 1 - k _ { 0 } e ^ { - k t } \sum _ { \mu = 0 } ^ { L - 1 } k ^ { \mu - 1 } \cdot f _ { \mu } \right) } \\ { f _ { \mu } } & { { } = \frac { e ^ { ( k - k _ { 0 } ) t } - { \displaystyle \sum _ { m = 0 } ^ { \mu - 1 } \frac { \left[ ( k - k _ { 0 } ) t \right] ^ { m } } { m ! } } } { ( k - k _ { 0 } ) ^ { \mu } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { H _ { 0 } ^ { 0 } ( \mathcal { S } [ \lambda ] , D _ { 2 } - \lambda D _ { 1 } ) \cong H _ { 0 } ^ { 0 } ( \mathcal { S } [ \lambda ] , D ^ { l o c } ) \cong \mathbb { R } [ \lambda ] ; } \\ & { H _ { 3 } ^ { 3 } ( \mathcal { S } [ \lambda ] , D _ { 2 } - \lambda D _ { 1 } ) \cong H _ { 3 } ^ { 3 } ( \mathcal { S } [ \lambda ] , D ^ { l o c } ) \cong \bigoplus _ { i = 1 } ^ { N } C ^ { \infty } ( \mathbb { R } , u ^ { i } ) . } \end{array}
G _ { \boldsymbol { \varepsilon } _ { k } } ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { l } ) = r ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { l } ) \sum _ { i } G _ { { \varepsilon } _ { k i } } ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { l } ) ,
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 0 } ( k ) } & { { } \to \bar { a } \, \frac { s + y ^ { 2 } ( 1 - s ) ( 2 - s ) } { 1 + y ^ { 2 } ( 1 - s ) ^ { 2 } } , } \\ { \beta _ { 0 } ( k ) } & { { } \to y \, \frac { 1 + ( 1 - s ) ^ { 2 } } { 1 + y ^ { 2 } ( 1 - s ) ^ { 2 } } \, \bar { a } , } \\ { \alpha _ { 1 } ( k ) } & { { } \to - 2 \bar { a } _ { 1 } \, ( k \bar { a } ) ^ { 2 } \, \frac { y ^ { 2 } s + ( s - 1 ) ( s - 2 ) } { y ^ { 2 } s ^ { 2 } + ( s - 2 ) ^ { 2 } } , } \\ { \beta _ { 1 } ( k ) } & { { } \to - 2 \bar { a } _ { 1 } \, ( k \bar { a } ) ^ { 2 } \, \frac { y ( 2 s - s ^ { 2 } - 2 ) } { y ^ { 2 } s ^ { 2 } + ( s - 2 ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\prod U \equiv U _ { 2 } U _ { 4 } U _ { 3 } ^ { - 1 } U _ { 3 } U _ { 5 } U _ { 1 } ^ { - 1 } U _ { 1 } U _ { 6 } U _ { 2 } ^ { - 1 } U _ { 2 } U _ { 6 } ^ { - 1 } U _ { 5 } ^ { - 1 } U _ { 4 } ^ { - 1 } U _ { 2 } ^ { - 1 } = 1 .
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } P _ { N } = } & { { } - } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big \{ v _ { 0 } \, ( \hat { n } _ { i } \cdot \vec { \nabla } _ { i } ) \, P _ { N } + \partial _ { \theta _ { i } } \, \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \Big [ { \frac { \Gamma } { N _ { i } ^ { \beta } } } a _ { j i } \, \mathrm { s i n } ( \theta _ { j } - \theta _ { i } ) \Big ] P _ { N } \Big ) \Big \} } \end{array}
\vec { \Gamma } _ { \mu } ^ { \prime } = \vec { e } _ { 3 } ( \vec { e } _ { 3 } \vec { \Omega } _ { \mu } ) = ( \cos \theta - 1 ) \, \vec { e } _ { 3 } [ \vec { e } _ { 3 } \cdot \vec { e } _ { \phi } \wedge \partial _ { \mu } \vec { e } _ { \phi } ] = ( \cos \theta - 1 ) \partial _ { \mu } \phi \; \vec { e } _ { 3 } .
\begin{array} { r l } { H _ { l } ( C ^ { 2 } - 1 ) } & { \leq \sum _ { h = 1 } ^ { H _ { l } } 2 \Sigma _ { h - 1 } ^ { 2 } ( \mathbf { a } _ { h } ) T _ { l } ( \mathbf { a } _ { h } ) } \\ & { \leq 2 \sum _ { h = 1 } ^ { H _ { l } } \sum _ { \tau = \tau _ { h - 1 } + 1 } ^ { \tau _ { h - 1 } + T _ { l } ( \mathbf { a } _ { h } ) } \Sigma _ { h - 1 } ^ { 2 } ( \mathbf { a } _ { h } ) } \\ & { = 2 \sum _ { h = 1 } ^ { H _ { l } } \sum _ { \tau = \tau _ { h - 1 } + 1 } ^ { \tau _ { h - 1 } + T _ { l } ( \mathbf { a } _ { h } ) } \frac { \Sigma _ { h - 1 } ^ { 2 } ( \mathbf { a } _ { h } ) } { \sigma _ { \tau } ^ { 2 } ( \mathbf { a } _ { h } ) } \cdot \sigma _ { \tau } ^ { 2 } ( \mathbf { a } _ { h } ) } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } 2 \sum _ { h = 1 } ^ { H _ { l } } \sum _ { \tau = \tau _ { h - 1 } + 1 } ^ { \tau _ { h - 1 } + T _ { l } ( \mathbf { a } _ { h } ) } C ^ { 2 } \cdot \sigma _ { \tau } ^ { 2 } ( \mathbf { a } _ { h } ) } \\ & { \overset { ( b ) } { = } 2 C ^ { 2 } \sum _ { h = 1 } ^ { H _ { l } } \sum _ { \tau = \tau _ { h - 1 } + 1 } ^ { \tau _ { h - 1 } + T _ { l } ( \mathbf { a } _ { h } ) } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } ( \mathbf { x } _ { t _ { l } + \tau } ) } \\ & { = 2 C ^ { 2 } \sum _ { \tau = 1 } ^ { T _ { l } } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } ( \mathbf { x } _ { t _ { l } + \tau } ) } \\ & { \overset { ( c ) } { \leq } 4 \sigma ^ { 2 } C ^ { 2 } \gamma _ { T _ { l } } , } \end{array}
R ^ { p c } = 3 q ^ { 2 } [ 2 \epsilon _ { \lambda \sigma } ^ { \gamma \delta } \epsilon _ { \omega \nu } ^ { \sigma \eta } H _ { \gamma \delta } ^ { \nu } H _ { \eta } ^ { \lambda \omega } + \epsilon _ { \nu \lambda } ^ { \rho \eta } \epsilon _ { \alpha \beta } ^ { \lambda \nu } H _ { \sigma } ^ { \alpha \beta } H _ { \rho \eta } ^ { \sigma } ]
T ( - n ) = 3 , { \sqrt { 7 } } , 5 , { \frac { 2 5 { \sqrt { 7 } } } { 7 } } , 1 9 , { \frac { 1 0 3 { \sqrt { 7 } } } { 7 } } , { \frac { 5 6 3 } { 7 } } , 7 \cdot 9 { \sqrt { 7 } } , { \frac { 2 4 2 1 } { 7 } } , { \frac { 1 3 2 9 7 { \sqrt { 7 } } } { 7 ^ { 2 } } } , { \frac { 1 0 4 3 5 } { 7 } } , . . .
\epsilon _ { \pm } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \epsilon ( x ) \pm g , \ \ } & { \ \ x \in [ - \frac { L } { 2 } - N ( L + L _ { 0 } ) , \frac { L } { 2 } + N ( L + L _ { 0 } ) ] , } \\ { \epsilon _ { 0 } , \ \ } & { \ \ \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \epsilon } & { { } \equiv } & { \int \tau ^ { T F } ( \mathbf { r } ) \Delta y _ { \alpha } ( \mathbf { r } ) d \mathbf { r } \ , } \\ { \zeta } & { { } \equiv } & { \int \tau ^ { T F } ( \mathbf { r } ) G ^ { \mathrm { y u k 3 } } ( p , q ) \Delta y _ { \alpha } ( \mathbf { r } ) d \mathbf { r } \ . } \end{array}
A _ { \mu } ^ { \prime } = \eta _ { \mu \nu } \eta ^ { \alpha \beta } \left( \delta _ { \alpha } ^ { \nu } + \frac { \partial \xi ^ { \nu } } { \partial x ^ { \alpha } } \right) A _ { \beta } ~ = ~ \left( \delta _ { \mu } ^ { \beta } + \eta _ { \mu \nu } \eta ^ { \alpha \beta } \frac { \partial \xi ^ { \nu } } { \partial x ^ { \alpha } } \right) A _ { \beta }
A _ { k } = \sum _ { \beta } A _ { \beta } ( x ^ { \alpha } + X ^ { \alpha } ; \xi ^ { B } ] \partial _ { k } X ^ { \beta } + \sum _ { A = 1 } ^ { 2 n - 2 } F _ { A } ( x ^ { \alpha } + X ^ { \alpha } ; \xi _ { B } ] \partial _ { k } \xi _ { A } \; \; .
\Delta E _ { F = I \pm 1 / 2 } = - { \frac { h \Delta W } { 2 ( 2 I + 1 ) } } + \mu _ { \mathrm { { N } } } g _ { I } m _ { F } B \pm { \frac { h \Delta W } { 2 } } { \sqrt { 1 + { \frac { 2 m _ { F } x } { I + 1 / 2 } } + x ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l r } { E _ { x } } & { { } = } & { A u _ { 0 } u _ { m } e ^ { i k z } } \\ { E _ { z } } & { { } = } & { \left( \frac { m ( x + i y ) } { k r ^ { 2 } } - \frac { i x } { i z - z _ { R } } - \frac { 4 i x } { k w ^ { 2 } } \right) A u _ { 0 } u _ { m } e ^ { i k z } \, . } \end{array}
\mathsf { F P d i m } \big ( \mathsf { R e p } _ { \mathsf { V e c t } _ { G } ^ { \omega } } ( A _ { H } ) \big ) = \frac { \mathsf { F P d i m } \big ( \mathsf { V e c t } _ { G } ^ { \omega } \big ) } { \mathsf { F P d i m } ( A _ { H } ) } = \frac { | G | } { \mathsf { d i m } _ { \Bbbk } ( A _ { H } ) } = \frac { | G | } { \frac { | G | } { | H | } } = | H | = \mathsf { F P d i m } \big ( \mathsf { V e c t } _ { H } ^ { \omega } \big ) .
( \rho _ { R } , u _ { R } , v _ { R } , p _ { R } ) \approx ( 1 . 1 6 9 \mathrm { ~ k g } / \mathrm { m } ^ { 3 } , 1 . 1 1 3 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 0 . 0 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 1 . 2 4 5 \mathrm { ~ P a } ) .
R \ = \ \frac 1 \zeta \left\{ \tilde { R } - \frac { 1 } { \sqrt { | \operatorname* { d e t } ( \tilde { g } ) | } } \partial _ { i } \big [ \sqrt { | \operatorname* { d e t } ( \tilde { g } ) | } \, \tilde { g } ^ { i j } \partial _ { j } \log ( | \zeta | ) \big ] \right\} ,
E _ { H } = 1 \mathrm { , ~ \ \ } \Psi _ { H } = [ e ^ { [ i ( 2 \pi / a _ { x } ) ( \pm x ) ] } , e ^ { [ i ( 2 \pi / a _ { x } ) ( \pm y ) ] } , e ^ { [ i ( 2 \pi / a _ { x } ) ( \pm z ) ] } ] \mathrm { . }
\begin{array} { r l } { R [ L ] ^ { G _ { 9 } } } & { = R [ f ^ { 4 } , g ] } \\ { R [ L ] ^ { G _ { 1 1 } } } & { = R [ f ^ { 4 } , g ^ { 3 } ] } \\ { R [ L ] ^ { G _ { 1 3 } } } & { = R [ f ^ { 2 } , g ] } \\ { R [ L ] ^ { G _ { 1 4 } } } & { = R [ f , g ^ { 3 } ] } \\ { R [ L ] ^ { G _ { 1 5 } } } & { = R [ f ^ { 2 } , g ^ { 3 } ] } \end{array}
C ( \Delta p _ { l } ) = \Theta + P _ { 1 2 } \cdot C 2 ( d _ { 1 2 } , \Delta p _ { l } ) + P _ { 1 3 } \cdot C 2 ( d _ { 1 3 } , \Delta p _ { l } ) + P _ { 2 3 } \cdot C 2 ( d _ { 2 3 } , \Delta p _ { l } )
\begin{array} { r l r } { G _ { m } ( \lambda ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { ( m + 1 ) ! } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \partial ^ { m + 1 } } { \partial { \xi ^ { m + 1 } } } \left( \frac { 1 } { w ^ { \prime } - 1 / \xi - \lambda ^ { 2 } \xi } \right) \Bigg \vert _ { 0 } F ( \omega ^ { \prime } ) d \omega ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { T } _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { f } p ( x ) } & { = c _ { 0 } \varphi _ { f } ^ { ( 0 ) } + c _ { 1 } \varphi _ { f } ^ { ( 1 ) } ( x ) + \sum _ { k = 2 } ^ { M } c _ { k } \varphi _ { f } ^ { ( k ) } ( x ) } \\ & { = p ( 0 ) \varphi _ { f } ^ { ( 0 ) } + p ^ { \prime } ( 0 ) \varphi _ { f } ^ { ( 1 ) } ( x ) - \sum _ { k = 2 } ^ { M } c _ { k } k ( k - 1 ) \mathbf { R } _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { f } \varphi _ { f } ^ { ( k - 2 ) } ( x ) } \\ & { = p ( 0 ) \varphi _ { f } ^ { ( 0 ) } + p ^ { \prime } ( 0 ) \varphi _ { f } ^ { ( 1 ) } ( x ) - \sum _ { k = 2 } ^ { M } c _ { k } k ( k - 1 ) \mathbf { R } _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { f } \mathbf { T } _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { f } \left[ x ^ { k - 2 } \right] } \\ & { = p ( 0 ) \varphi _ { f } ^ { ( 0 ) } + p ^ { \prime } ( 0 ) \varphi _ { f } ^ { ( 1 ) } ( x ) - \mathbf { R } _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { f } \mathbf { T } _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { f } p ^ { \prime \prime } ( x ) } \end{array}
\left\{ \delta _ { \nu } \frac { \partial } { \partial \psi _ { 3 } } + \frac { \partial } { \partial \theta } \right\} F ^ { ( 1 ) } = - \left( V \left( \psi _ { 3 } , J , \theta \right) - \left( \sqrt J \right) ^ { 3 } g _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } \cos { \left( 3 \psi _ { 3 } + \xi _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } \right) } \right) .