harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { r c l } { { d \hat { s } _ { E } ^ { 2 } } } & { { = } } & { { - H ^ { - 2 } W d t ^ { 2 } + H ^ { 2 } \left[ W ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega ^ { 2 } \right] \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { e ^ { - \hat { \phi } } } } & { { = } } & { { H / H = 1 \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \hat { A } ^ { ( 1 ) } { } _ { t } } } & { { = } } & { { 2 \alpha _ { 1 } \frac { | Q | } { M - r _ { 0 } } \left( H ^ { - 1 } - 1 \right) \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \hat { A } ^ { ( 2 ) } { } _ { \varphi } } } & { { = } } & { { - 2 \alpha _ { 2 } | Q | \cos \theta \, , } } \end{array} \right.
X _ { 8 } = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \lbrace - \frac { 1 } { 7 6 8 } ( \mathrm { { T r } } R ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 9 2 } ( \mathrm { T r } R ^ { 4 } ) \rbrace ,
\langle \hat { S } _ { \mathbf { r } , \mu } ^ { z } \hat { S } _ { \mathbf { r ^ { \prime } } , \nu } ^ { z } \rangle = \sum _ { k , l \in \{ x , y , z \} } ( \mathbf { e } _ { \mu } ) _ { k } ( \mathbf { e } _ { \nu } ) _ { l } \langle \hat { e } _ { \mathbf { r } , k } \hat { e } _ { \mathbf { r } ^ { \prime } , l } \rangle _ { 0 } ,
\mathbf { V } \bar { \ensuremath { \mathbf { u } } } _ { r } ^ { n } = \mathbf { V } ( \mathbf { V } ^ { T } \mathbf { B } \mathbf { V } ) ^ { - 1 } \mathbf { V } ^ { T } \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n - 1 } .
\begin{array} { c } { { \epsilon _ { c } = k ^ { a b } M _ { a b } + b ^ { a } P _ { a } + f ^ { a } K _ { a } + f D ; } } \\ { { M _ { a b } = x _ { a } p _ { b } - x _ { b } p _ { a } \; ; \; P _ { a } = p _ { a } \; ; \; K _ { a } = x ^ { 2 } p _ { a } - 2 ( x p ) x _ { a } \; ; \; D = ( x p ) . } } \end{array}
{ \frac { 2 \pi \varepsilon \ell } { \Lambda } } \left\{ 1 + { \frac { 1 } { \Lambda } } \left( 1 - \ln 2 \right) + { \frac { 1 } { \Lambda ^ { 2 } } } \left[ 1 + \left( 1 - \ln 2 \right) ^ { 2 } - { \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 } } \right] + O \left( { \frac { 1 } { \Lambda ^ { 3 } } } \right) \right\}
\mathrm { n g h } ( A _ { \mu a } ^ { \ast m } ) = - 1 , \; \; \; \; \mathrm { n g h } ( C _ { a b } ^ { \ast m } ) = - 2 , \; \; \; \; \mathrm { n g h } ( B _ { a } ^ { \ast m } ) = - 3 ,
\frac { \omega } { k } = V _ { d } \pm \left\{ \frac { 1 } { m _ { i } \gamma } \left( \frac { n _ { i 0 } T _ { e } T _ { p } } { n _ { e 0 } T _ { p } ( \frac { \kappa _ { e } - 0 . 5 } { \kappa _ { e } - 1 . 5 } ) + n _ { p 0 } T _ { e } ( \frac { \kappa _ { p } - 0 . 5 } { \kappa _ { p } - 1 . 5 } ) } + 3 T _ { i } \right) \right\} ^ { \frac { 1 } { 2 } }
\mathbf { Q } _ { d } = ( \mathbf { A } _ { d } ^ { \top } ) ^ { \top } ( \mathbf { A } _ { d } ^ { - 1 } \mathbf { Q } _ { d } ) = \mathbf { A } _ { d } ( \mathbf { A } _ { d } ^ { - 1 } \mathbf { Q } _ { d } ) .
\sin ^ { - 1 } x = { \cfrac { x } { 1 - { \cfrac { x ^ { 2 } } { 2 \cdot 3 + x ^ { 2 } - { \cfrac { 2 \cdot 3 ( 3 x ) ^ { 2 } } { 4 \cdot 5 + ( 3 x ) ^ { 2 } - { \cfrac { 4 \cdot 5 ( 5 x ^ { 2 } ) } { 6 \cdot 7 + ( 5 x ^ { 2 } ) - \ddots } } } } } } } } .
\begin{array} { r l } { \langle x \pm z , \left\| x \right\| _ { 2 } ^ { 2 } x \pm \left\| z \right\| _ { 2 } ^ { 2 } z \rangle _ { 2 } } & { = \left\| x \right\| _ { 2 } ^ { 4 } + \left\| z \right\| _ { 2 } ^ { 4 } \pm \langle x , z \rangle _ { 2 } ( \left\| x \right\| _ { 2 } ^ { 2 } + \left\| z \right\| _ { 2 } ^ { 2 } ) \geq \left\| x \right\| _ { 2 } ^ { 4 } + \left\| z \right\| _ { 2 } ^ { 4 } - 0 . 5 ( \left\| x \right\| _ { 2 } ^ { 2 } + \left\| z \right\| _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \\ & { = 0 . 5 ( \left\| x \right\| _ { 2 } ^ { 2 } - \left\| z \right\| _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \geq 0 } \end{array}
{ \cal L } _ { M } = - { \frac { D } { 2 } } \int d ^ { D } x \int \frac { d ^ { D } p } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \frac { 1 } { p ^ { 2 } + m ^ { 2 } } v ^ { 2 } + D \int d ^ { D } x \int \frac { d ^ { D } p } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \frac { 1 } { ( p ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ^ { 2 } } p \cdot v p \cdot v = 0 .
\ensuremath { \mathbf { P } } _ { 0 } ( x ^ { \prime } , x ) = \ensuremath { \mathbf { P } } _ { + } ^ { 0 } ( x ^ { \prime } , x ) + \ensuremath { \mathbf { P } } _ { - } ^ { 0 } ( x ^ { \prime } , x ) = \delta ( x - x ^ { \prime } ) \ensuremath { \mathbf { I } } _ { 2 }
\begin{array} { r l } & { \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , z ) ) = \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } s _ { l } ^ { - 1 } \frac { 2 l + 1 } { 4 \pi } \sum _ { q = 1 } ^ { 2 l + 1 } \cos ( ( q - l - 1 ) ( \varphi _ { x } - \varphi _ { z } ) ) d _ { q ( l + 1 ) } ^ { l } ( \theta _ { x } ) d _ { q ( l + 1 ) } ^ { l } ( \theta _ { z } ) , } \\ & { \mathrm { I m } ( K _ { T _ { n } } ( x , z ) ) = \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } s _ { l } ^ { - 1 } \frac { 2 l + 1 } { 4 \pi } \sum _ { q = 1 } ^ { 2 l + 1 } \sin ( ( q - l - 1 ) ( \varphi _ { x } - \varphi _ { z } ) ) d _ { q ( l + 1 ) } ^ { l } ( \theta _ { x } ) d _ { q ( l + 1 ) } ^ { l } ( \theta _ { z } ) . } \end{array}
T X = { \mathrm { S p e c } } \left( { \frac { \mathbb { C } [ x _ { 0 } , y _ { 0 } , x _ { 1 } , y _ { 1 } ] } { ( x _ { 0 } y _ { 0 } , x _ { 0 } y _ { 1 } + x _ { 1 } y _ { 0 } ) } } \right)
H \left( t \right) = T \left( t \right) \cdot R \left( t \right) = \left[ \begin{array} { l l l l } { \cos \omega t } & { - \sin \omega t } & { 0 } & { 0 } \\ { \sin \omega t } & { \cos \omega t } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { A \sin n t } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right]
\tilde { u } _ { \tilde { \omega } k m } = \frac { 1 } { \sqrt { 8 \pi ^ { 2 } } } e ^ { - i \tilde { \omega } t _ { + } + i m \varphi _ { + } + i k z } J _ { m } \left( \sqrt { ( \tilde { \omega } + m \Omega ) ^ { 2 } - k ^ { 2 } } R \right) ,
e _ { k } = S \frac { { \bf v } _ { s } ^ { 2 } } { 2 } + ( 1 - S ) \frac { { \bf v } _ { w } ^ { 2 } } { 2 } = \frac { { \bf v } ^ { 2 } } { 2 } + e _ { k } ^ { \mathrm { d i f f } } .
F _ { i } \left( x \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { - k _ { i } \left( x - x _ { 1 } \right) , } & { \quad x \leq x _ { 1 } , } \\ { 0 , } & { \quad x _ { 1 } < x < x _ { 2 } , } \\ { - k _ { i } \left( x - x _ { 2 } \right) , } & { \quad x \geq x _ { 2 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { i \partial _ { t } z + d \Delta z + i \vec { r } \cdot \nabla z + q z = 0 , } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega \times ( 0 , T ) , } \\ { i \partial _ { t } z _ { \Gamma } - d \partial _ { \nu } z + \delta \Delta _ { \Gamma } z _ { \Gamma } + i \vec { r } _ { \Gamma } \cdot \nabla _ { \Gamma } z _ { \Gamma } + q _ { \Gamma } z _ { \Gamma } = 0 , } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 1 } \times ( 0 , T ) , } \\ { z = z _ { \Gamma } , } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 1 } \times ( 0 , T ) , } \\ { z = 0 , } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 0 } \times ( 0 , T ) , } \\ { ( z , z _ { \Gamma } ) ( T ) = ( z _ { T } , z _ { \Gamma , T } ) , } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega \times \Gamma _ { 1 } , } \end{array} \right. } \end{array}
{ \bar { H } } _ { \mathrm { \scriptsize ~ I } } = H _ { \mathrm { \scriptsize ~ I } } \, \Xi + H _ { 0 } \, { \Xi } - \Xi \, { \cal X } H _ { 0 } + \left( 1 - \Xi \, { \cal X } \, \right) { \bar { H } } _ { \mathrm { \scriptsize ~ I } } \, .
\begin{array} { r l } { O ( \varepsilon ^ { 2 } ) : \partial _ { t _ { 2 } } f _ { j , \alpha } ^ { ( 0 ) } + D _ { 1 j } f _ { j , \alpha } ^ { ( 1 ) } + \frac { h } { 2 } D _ { 1 j } ^ { 2 } f _ { j , \alpha } ^ { ( 0 ) } = } & { { } - \tilde { \Lambda } _ { j k } f _ { k , \alpha } ^ { ( 2 ) } + \frac { h } { 2 } ( - \tilde { \Lambda } _ { j k } D _ { 1 k } f _ { k , \alpha } ^ { ( 1 ) } ) + \bar { G } _ { j , \alpha } ^ { ( 2 ) } + F _ { j , \alpha } ^ { ( 2 ) } } \end{array}
\frac { c ^ { 2 } k ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } = 1 - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \, \frac { ( \omega ^ { 2 } - \omega _ { p } ^ { 2 } ) } { ( \omega ^ { 2 } - \omega _ { h } ^ { 2 } ) } \, \; ,
\Pi _ { \mu \nu , \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } ( Q ^ { 2 } ) = \displaystyle { \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d s \frac { I m \Pi _ { \mu \nu , \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } ( - s ) } { s + Q ^ { 2 } } } .
\mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } _ { t } + ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { I } } } - \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } _ { 2 } ) ^ { - 1 } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } _ { 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { 2 } + \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } \right) = \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \mathbb { P } [ W _ { n } \in B _ { n } ] } & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \mathbb { P } [ W _ { n } \in B ^ { \delta / 2 } ] \leq \mathbb { P } [ W \in B ^ { \delta } ] \leq \mathbb { P } [ W \in B ] + \varepsilon } \\ { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \mathbb { P } [ W _ { n } \in B _ { n } ] } & { \geq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \mathbb { P } [ W _ { n } \in B ^ { - \delta / 2 } ] \geq \mathbb { P } [ W \in B ^ { - \delta } ] \geq \mathbb { P } [ W \in B ] - \varepsilon , } \end{array}
\tilde { B } _ { y } ( \tau , \mathbf { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { Z e \frac { 3 } { 8 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } \mathbf { x } ^ { \prime } \frac { \tau _ { f } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ; \mathbf { x } ) ^ { 2 } ( x ^ { \prime } - x _ { 0 } ) \sinh ( \eta _ { 0 } - \eta ^ { \prime } ) } { { [ ( r _ { \bot } ^ { \prime } - r _ { \bot 0 } ) ^ { 2 } + \tau _ { f } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ; \mathbf { x } ) ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } ( \eta ^ { \prime } - \eta _ { 0 } ) ] } ^ { 5 / 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { ( r _ { \bot } - r _ { \bot } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } ( \eta - \eta ^ { \prime } ) } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } ( \tau _ { 0 } < \tau _ { f } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ; \mathbf { x } _ { 0 } ) < \tau ) ~ \land } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\frac { 3 } { 8 \pi ^ { 2 } } \omega _ { i } ^ { ( 4 ) } + \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \sum \Omega _ { i j k } ^ { ( 2 ) } ~ \omega _ { i j k } ^ { ( 2 ) } + \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \sum \Omega _ { i j k l m } ^ { ( 4 ) } = \frac { 1 } { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \sqrt [ n ] { \frac { a + b i } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } } } & { = x } \\ { a + b \sqrt { - 1 } } & { = x ^ { n } \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \\ { b \sqrt { - 1 } } & { = x ^ { n } \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } - a } \\ { - b ^ { 2 } } & { = ( x ^ { n } \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } - a ) ^ { 2 } } \\ { 0 } & { = ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) x ^ { 2 n } - 2 a x ^ { n } \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } + a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \\ { 0 } & { = x ^ { 2 n } - \frac { 2 a } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } x ^ { n } + 1 } \end{array}
f _ { \textrm { H V D } } = \frac { \mu _ { \textrm { 5 1 1 ~ k e V } } ( \textrm { H V D 1 0 0 } ) } { \mu _ { \textrm { 5 1 1 ~ k e V } } ( \textrm { H V D 0 0 0 N o H } ) }
E \sim \int _ { 0 } d v ~ v ~ \left( c _ { 1 } ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } + c _ { 2 } ( \sin h ) ^ { 2 } + c _ { 3 } ( \sin h ) ^ { 2 } ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } + c _ { 4 } ( \sin h ) ^ { 4 } \right) ,
{ \cal A } \equiv \left( { \frac { ( D - 2 ) ( \Delta + 2 ) z _ { 0 } } { ( D - 2 ) ( \Delta + 2 ) + 4 } } \right) ^ { - 1 } \left( { \frac { \Delta + 2 } { \Delta } } Q z _ { 0 } \right) ^ { - { \frac { 4 } { ( D - 2 ) ( \Delta + 2 ) } } } ,
\bigg ( \frac { \omega _ { c r } | V | } { c } \bigg ) ^ { 2 } \cos { 2 \varphi _ { V } } + n ^ { 2 } + n _ { 0 } ^ { 2 } = 0 , \ \ \ \ | V | = \sqrt { V _ { 1 } ^ { 2 } + V _ { 2 } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } [ D _ { \mathrm { L O } } ^ { ( 0 , 0 ) } ] ( u ) \Big | _ { u = - 2 } } & { = - \frac { 2 / 9 } { ( 2 + u ) ^ { 2 } } - \frac { 7 / 5 4 } { ( 2 + u ) } + \mathrm { r e g u l a r ~ t e r m s } } \\ { \mathcal { B } [ D _ { \mathrm { L O } } ^ { ( 0 , 0 ) } ] ( u ) \Big | _ { u = 2 } } & { = \frac { 2 } { ( 2 - u ) } + \mathrm { r e g u l a r ~ t e r m s } \, , } \end{array}
R _ { 3 3 } ^ { V } = - \overline { { u _ { 3 } ^ { \prime } u _ { 3 } ^ { \prime } } } + \frac { 2 } { 3 } k = \zeta _ { 3 3 k l } \frac { \partial \overline { { u } } _ { l } } { \partial x _ { k } } = 0 .
g ( r ) : = \frac 1 { \rho ^ { 2 } 4 \pi r ^ { 2 } } \int d \mathbf y \ \delta ( | \mathbf y | - r ) \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \left< \delta ( \mathbf y - \mathbf x _ { i } ) \delta ( \mathbf x _ { j } ) \right> .
{ v _ { I I } } _ { n } ( w , t ) = E ( \psi _ { I } , \chi _ { I } ) { v } _ { n } ^ { + } ( w , t ) = E ( \psi _ { I } , \chi _ { I } ) \left( v _ { 0 } \sin { ( \beta ) } + \frac { 1 } { 2 } \Omega ( w , t ) \right) .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \quad = \langle [ E \cdot \nabla _ { v } , \langle v \rangle ^ { m } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } ] F _ { + } , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad \quad + \langle \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } Q ( F _ { + } , F _ { + } ) , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \quad \quad + \langle \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } Q _ { - + } ^ { \varepsilon } ( F _ { - } , F _ { + } ) , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { e ^ { - \phi \mathbf { n } \cdot \mathbf { K } } } & { = - \sum _ { n = 1 , 3 , 5 \ldots } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ! } } \phi ^ { n } ( \mathbf { n } \cdot \mathbf { K } ) ^ { n } + \sum _ { n = 0 , 2 , 4 \ldots } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ! } } \phi ^ { n } ( \mathbf { n } \cdot \mathbf { K } ) ^ { n } } \\ & { = - \left[ \phi + { \frac { \phi ^ { 3 } } { 3 ! } } + { \frac { \phi ^ { 5 } } { 5 ! } } + \cdots \right] ( \mathbf { n } \cdot \mathbf { K } ) + I + \left[ - 1 + 1 + { \frac { 1 } { 2 ! } } \phi ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 4 ! } } \phi ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 6 ! } } \phi ^ { 6 } + \cdots \right] ( \mathbf { n } \cdot \mathbf { K } ) ^ { 2 } } \\ & { = - \sinh \phi ( \mathbf { n } \cdot \mathbf { K } ) + I + ( - 1 + \cosh \phi ) ( \mathbf { n } \cdot \mathbf { K } ) ^ { 2 } } \end{array} }
h _ { m } ( m ^ { 2 } ) = \frac { c _ { 1 } } { { \cal I } _ { 1 } } \, \frac { 1 } { \pi } \, \frac { m _ { R } \Gamma _ { R } } { ( m ^ { 2 } - m _ { R } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + m _ { R } ^ { 2 } \Gamma _ { R } ^ { 2 } } + \frac { c _ { 2 } } { { \cal I } _ { 2 } } + \frac { c _ { 3 } } { { \cal I } _ { 3 } } \, \frac { 1 } { m ^ { 2 } } + \frac { c _ { 4 } } { { \cal I } _ { 4 } } \, \frac { 1 } { m ^ { 4 } } ~ .
Z = \int \! { \cal D } U { \cal D } \psi ^ { \dagger } { \cal D } \psi e ^ { - \int \! d ^ { 4 } z \psi ^ { \dagger } D ( U ) \psi } = \int \! { \cal D } U e ^ { N _ { c } \mathrm { T r } \log [ D ( U ) ] } \equiv \int \! { \cal D } U e ^ { - S _ { \mathrm { e f f } } [ U ] }
N _ { b g } = \int _ { E _ { t h r e s h } } ^ { E _ { m a x } } n _ { b g } ( \varepsilon ) d \varepsilon = \int _ { E _ { t h r e s h } } ^ { E _ { m a x } } I _ { 0 } ^ { \prime } ( \varepsilon ) \eta ( \varepsilon ) A t _ { e x p } \exp \left( - \rho _ { b g } \mu _ { b g } ( \varepsilon ) s _ { b g } \right) d \varepsilon ,
A _ { 2 } = - \frac { i \sqrt { 2 } G \hbar D _ { 1 } \sin ( \frac { 1 } { \hbar } p _ { 3 } ^ { ( 1 ) } L ) } { ( E + p _ { 3 } ^ { ( 2 ) } ) \left[ e ^ { - \frac { i } { \hbar } p _ { 3 } ^ { ( 2 ) } L } - \frac { ( G \hbar D _ { 1 } ) ^ { 2 } } { ( E + p _ { 3 } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } } e ^ { \frac { i } { \hbar } p _ { 3 } ^ { ( 2 ) } L } \right] }
\begin{array} { r l r } { H X ^ { ( i + 1 ) } } & { { } = } & { H X ^ { ( i ) } C _ { 1 } ^ { ( i + 1 ) } + H W ^ { ( i ) } C _ { 2 } ^ { ( i + 1 ) } + H P ^ { ( i - 1 ) } C _ { 3 } ^ { ( i + 1 ) } , } \\ { H P ^ { ( i ) } } & { { } = } & { H W ^ { ( i ) } C _ { 2 } ^ { ( i + 1 ) } + H P ^ { ( i - 1 ) } C _ { 3 } ^ { ( i + 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \operatorname* { P r } ( T \geq x ) } & { = \operatorname* { P r } ( T ^ { k } \ge x ^ { k } ) } & & { \mathrm { s i n c e ~ t h e ~ e v e n t ~ } \big [ T \ge x \big ] } \\ & { } & & { \mathrm { i s ~ t h e ~ s a m e ~ a s ~ t h e ~ e v e n t ~ } \big [ T ^ { k } \ge x ^ { k } \big ] } \\ & { = \operatorname* { P r } ( S \ge s ) } & & { \mathrm { w h e r e ~ } S = X ^ { k } } \\ & { \le \frac { \operatorname E ( S ) } s } & & { \mathrm { T h i s ~ i s ~ M a r k o v ' s ~ i n e q u a l i t y . } } \\ & { \le \frac { \operatorname E [ T ^ { k } ] } { x ^ { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \check { v } _ { 5 _ { Y } } ^ { ( 3 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \frac { \Delta _ { 2 2 } } { \Delta _ { 1 1 } } \hat { r } _ { 1 } ( k ) e ^ { - \theta _ { 2 1 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { \Delta _ { 2 2 } } { \Delta _ { 3 3 } } r _ { 1 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) e ^ { \theta _ { 3 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) , \qquad \check { v } _ { 8 _ { Y } } ^ { ( 3 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { \Delta _ { 1 1 } } { \Delta _ { 2 2 } } \hat { r } _ { 2 } ( k ) e ^ { \theta _ { 2 1 } } } & { 1 } & { \frac { \Delta _ { 3 3 } } { \Delta _ { 2 2 } } r _ { 2 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) e ^ { - \theta _ { 3 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { x ^ { i } x ^ { j } } } & { { = } } & { { q x ^ { j } x ^ { i } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ i < j ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ i \not = - j ~ , } } \\ { { x ^ { i } x ^ { - i } } } & { { = } } & { { x ^ { - i } x ^ { i } + \lambda q ^ { i - 2 } L _ { i - 1 } } } \\ { { } } & { { = } } & { { q ^ { - 2 } x ^ { - i } x ^ { i } + \lambda q ^ { i - 2 } L _ { i } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ i > 0 ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } _ { \rho } ^ { * } \Phi _ { n } ^ { p _ { 1 } } } & { = R \bar { \theta } \bar { u } \xi _ { n } ^ { p _ { 1 } } ( 2 \pi ) + R \bar { \rho } \bar { \theta } \eta _ { n } ^ { p _ { 1 } } ( 2 \pi ) = R \bar { \theta } ( \bar { u } \beta _ { 1 } ^ { n } + \bar { \rho } \beta _ { 2 } ^ { n } ) = R \bar { \theta } \nu _ { 1 } ^ { n } \beta _ { 1 } ^ { n } \neq 0 , } \end{array}
\mathcal { L } ( \boldsymbol { c } , \lambda ) = \left| \left| P ^ { T } C _ { h } ( \Phi \boldsymbol { a } ) - P ^ { T } M \boldsymbol { c } \right| \right| ^ { 2 } + \lambda \boldsymbol { a } ^ { T } \Phi ^ { T } M \boldsymbol { c } ,
\mathcal { R } _ { 1 } : = \left\lbrace \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq N } \left\lvert \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \epsilon _ { j , t } ^ { 2 } \right\rvert \leq C \log ( N ) \right\rbrace , ~ \mathcal { R } _ { 2 } : = \left\lbrace \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq N } \left\lvert \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \epsilon _ { j , t } ^ { 2 } \right\rvert \leq C N ^ { 2 / m } \right\rbrace ,
\begin{array} { r l } { f ( \theta _ { \mathrm { p l a n e } } ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \theta _ { 0 } } e x p ( - \frac { \theta _ { \mathrm { p l a n e } } ^ { 2 } } { 2 \theta _ { 0 } ^ { 2 } } ) \; ; } \\ { \theta _ { \mathrm { s p a c e } } } & { \approx \sqrt { \theta _ { x , \mathrm { p l a n e } } ^ { 2 } + \theta _ { y , \mathrm { p l a n e } } ^ { 2 } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { c } _ { \boldsymbol { k } _ { B } , \lambda } } & { { } = \left( R _ { \boldsymbol { k } } \hat { a } _ { \bar { \boldsymbol { k } } _ { A } , \lambda } + T _ { \boldsymbol { k } } \hat { b } _ { \boldsymbol { k } _ { B } , \lambda } \right) , } \\ { \hat { d } _ { \boldsymbol { k } _ { A } , \lambda } } & { { } = \left( T _ { \boldsymbol { k } } \hat { a } _ { \boldsymbol { k } _ { A } , \lambda } + R _ { \boldsymbol { k } } \hat { b } _ { \bar { \boldsymbol { k } } _ { B } , \lambda } \right) , } \end{array}
I D R _ { i } ^ { } ( t ) = \frac { s _ { i , f o o d } ^ { \mathrm { i n } } ( t ) } { P _ { i , f o o d } ( t ) + s _ { i , f o o d } ^ { \mathrm { i n } } ( t ) - s _ { i , f o o d } ^ { \mathrm { o u t } } ( t ) } ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } } & { \P _ { \pmb { \xi } , \pmb { r } } \left\{ | \hat { f } _ { B } ( x ) - \hat { f } _ { B } ^ { \setminus i } ( x ) | > \varepsilon + \sqrt { \frac { 2 } { B } \log \frac { 4 } { \delta ^ { \prime } } } \right\} } \\ & { \le \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \P _ { \pmb { \xi } , \pmb { r } } \left\{ | \hat { f } _ { B } ( x ) - \hat { f } _ { \infty } ( x ) | > \sqrt { \frac { 1 } { 2 B } \log \frac { 4 } { \delta ^ { \prime } } } \right\} } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ + \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbf { 1 } \left\{ | \hat { f } _ { \infty } ( x ) - \hat { f } _ { \infty } ^ { \setminus i } ( x ) | > \varepsilon \right\} } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ + \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \P _ { \pmb { \xi } , \pmb { r } } \left\{ | \hat { f } _ { \infty } ^ { \setminus i } ( x ) - \hat { f } _ { B } ^ { \setminus i } ( x ) | > \sqrt { \frac { 1 } { 2 B } \log \frac { 4 } { \delta ^ { \prime } } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { J } ^ { ( K ) } = } & { { } ( - 1 ) ^ { K + J + 1 } \sqrt { 2 K + 1 } \sum _ { i } \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 } & { K } & { 1 } \\ { J } & { J _ { i } } & { J } \end{array} \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { \Lambda } _ { 1 } ( x ; \ell ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { u } ^ { * } ( \ell - x ; \ell ) } & { ( 0 \leq x \le \ell ) , } \\ { \boldsymbol { u } ^ { * } ( x - \ell ; \ell ) } & { ( \ell \le x \le 2 \ell ) , } \end{array} \right. } \\ & { \boldsymbol { V } _ { 1 } ( x ; \ell ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { u } ^ { * } ( x ; \ell ) } & { ( 0 \leq x \le \ell ) , } \\ { \boldsymbol { u } ^ { * } ( 2 \ell - x ; \ell ) } & { ( \ell \le x \le 2 \ell ) , } \end{array} \right. } \\ & { \boldsymbol { U } _ { 1 } ( x ; \ell ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { u } ^ { * } ( x ; \ell ) } & { ( 0 \leq x \le \ell ) , } \\ { \boldsymbol { \Lambda } _ { 1 } ( x - \ell ; \ell ) } & { ( \ell \le x \le 3 \ell ) , } \end{array} \right. } \\ & { \boldsymbol { N } _ { 1 } ( x ; \ell ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { u } ^ { * } ( \ell - x ; \ell ) } & { ( 0 \leq x \le \ell ) , } \\ { \boldsymbol { V } _ { 1 } ( x - \ell ; \ell ) } & { ( \ell \le x \le 3 \ell ) } \end{array} \right. } \end{array}
\Leftrightarrow \qquad \delta _ { q p } u _ { \underline { { { m } } } } ^ { ~ + + } = v _ { q } ^ { + } \Gamma _ { \underline { { { m } } } } v _ { p } ^ { + } , \qquad \delta _ { \dot { q } \dot { p } } u _ { \underline { { { m } } } } ^ { -- } = v _ { \dot { q } } ^ { - } \Gamma _ { \underline { { { m } } } } v _ { \dot { p } } ^ { - } , \qquad \gamma _ { q \dot { p } } ^ { i } u _ { \underline { { { m } } } } ^ { i } = v _ { q } ^ { + } \Gamma _ { \underline { { { m } } } } v _ { \dot { p } } ^ { - } ,
\begin{array} { r l } { k _ { x x } ( x , y ) - k _ { y y } ( x , y ) = } & { { \mu ( x , y ) } k ( x , y ) + f ( x , y ) + \int _ { y } ^ { x } k ( x , z ) f ( z , y ) \mathrm { d } z , } \\ { 2 \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \left( k ( x , x ) \right) = } & { { \lambda _ { 0 } } , } \\ { k _ { y } ( x , 0 ) = } & { 0 , } \\ { k ( 0 , 0 ) = } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( \theta , \phi ) } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { { n _ { s m } } } R _ { 0 , n } \cos ( - n _ { \mathrm { ~ f ~ p ~ } } n \phi ) + \sum _ { m = 1 } ^ { { n _ { s m } } } \sum _ { n = - { n _ { s m } } } ^ { { n _ { s m } } } R _ { m , n } \cos ( m \theta - n _ { \mathrm { ~ f ~ p ~ } } n \phi ) , } \\ { Z ( \theta , \phi ) } & { { } = \sum _ { n = 1 } ^ { { n _ { s m } } } Z _ { 0 , n } \sin ( - n _ { \mathrm { ~ f ~ p ~ } } n \phi ) + \sum _ { m = 1 } ^ { { n _ { s m } } } \sum _ { n = - { n _ { s m } } } ^ { { n _ { s m } } } Z _ { m , n } \sin ( m \theta - n _ { \mathrm { ~ f ~ p ~ } } n \phi ) . } \end{array}