harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } ( x - t , y ) \sim - \left\{ \mathbf { e } _ { x } \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } - \frac { 2 ( x - t ) ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } \right] + \mathbf { e } _ { y } \left[ - \frac { 2 ( x - t ) y } { r ^ { 4 } } \right] \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G _ { \mu \nu } } & { = } & { \left( { \frac { \gamma \, r ^ { 2 } } { 2 } } \right) ^ { - \frac { ( 2 \alpha - 1 ) ( 1 - \mu ) } { 4 } } \; F _ { 1 } \left( \frac { \alpha ( 4 \nu + 1 - \mu ) } { 2 } , - \mu \alpha , - \frac { \gamma r ^ { 2 } } { 2 } \right) , } \\ { Q _ { \mu \nu } } & { = } & { \left( { \frac { \gamma \, r ^ { 2 } } { 2 } } \right) ^ { \frac { ( 2 \alpha - 1 ) ( 1 + \mu ) } { 4 } } \; F _ { 1 } \left( \frac { \alpha ( 4 \nu + 1 + \mu ) } { 2 } , \mu \alpha , - \frac { \gamma r ^ { 2 } } { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { s } ( \tilde { \phi } ^ { n + 1 } , \tilde { \mu } ^ { n + 1 } ) } & { + \| \nabla _ { h } \tilde { \mu } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - ( A _ { h } \phi ^ { n } \nabla _ { h } \tilde { \mu } ^ { n + 1 } , \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } ) } \\ & { = ( A _ { h } \tilde { \phi } ^ { n } \hat { \boldsymbol { U } } ^ { n + 1 } , \nabla _ { h } \tilde { \mu } ^ { n + 1 } ) + ( \tau _ { \phi } ^ { n + 1 } , \tilde { \mu } ^ { n + 1 } ) + \frac { 1 } { s } ( \tilde { \phi } ^ { n } , \tilde { \mu } ^ { n + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { \vec { v } } M _ { H } } & { = } & { \partial _ { \vec { v } } \sum _ { k = 1 } ^ { 4 } \varepsilon _ { k } \partial _ { j _ { k } } f _ { i _ { 4 } } M _ { k } } \\ & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { 4 } \varepsilon _ { k } \Big ( \partial _ { \vec { v } } \left( \partial _ { j _ { k } } f _ { i _ { 4 } } \right) M _ { k } + \left( \partial _ { j _ { k } } f _ { i _ { 4 } } \right) \partial _ { \vec { v } } M _ { k } \Big ) . } \end{array}
T _ { \phantom { \mu } \nu } ^ { \mu } = 5 G _ { ( 5 ) } ^ { \mu \alpha \beta \gamma \delta } G _ { ( 5 ) \nu \alpha \beta \gamma \delta } - \frac { 1 } { 2 } \delta _ { \phantom { \mu } \nu } ^ { \mu } G _ { ( 5 ) } ^ { 2 } \ , \qquad \mathrm { a n d } \quad G _ { ( 5 ) } = d C _ { ( 4 ) } ,
\begin{array} { r } { \kappa ^ { 2 } \sinh { \psi _ { D } } + 4 \pi l _ { \mathrm { B } } \gamma c _ { \mathrm { g e l } } \Big ( \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { \bar { \alpha } _ { n } - \psi _ { D } } \! + \! 1 } - \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { \psi _ { D } - \bar { \alpha } _ { p } } \! + \! 1 } \Big ) = 0 \ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r l } { P } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { p _ { 1 } } & { p _ { 2 } } & { p _ { 3 } } & { p _ { 4 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { P _ { j , k } } \end{array} \right) _ { j , k = 1 } ^ { 4 } } \\ { Q } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { q _ { 1 } } & { q _ { 2 } } & { q _ { 3 } } & { q _ { 4 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { Q _ { j , k } } \end{array} \right) _ { j , k = 1 } ^ { 4 } , } \end{array}
m _ { s c h a } = \frac { 2 } { \sqrt { K } } \, \left( 4 \pi \, K \right) ^ { \frac { 1 } { 2 - 4 K } } \, \mu ^ { \frac { 1 } { 1 - 2 K } } \, \lambda _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 - 4 K } } .
\begin{array} { r l } { \frac { | k _ { 2 } | ^ { s - 2 \alpha + 1 } } { | h | ^ { s + 1 } | \tilde { m } | ^ { s + 1 } } } & { \sim \frac { | m _ { 2 } | ^ { s - 2 \alpha + 1 } } { ( | h _ { 1 } | ^ { 2 } + | h _ { 2 } | ^ { 2 } ) ^ { \frac { s + 1 } { 2 } } ( | h _ { 1 } | ^ { 2 } + | m _ { 2 } | ^ { 2 } ) ^ { \frac { s + 1 } { 2 } } } } \\ & { \leq \frac { | m _ { 2 } | ^ { s - 2 \alpha + 1 } } { | m _ { 2 } | ^ { s + 1 } } \leq \frac { 1 } { | m _ { 2 } | ^ { 2 \alpha } } } \end{array}
\alpha _ { M } \simeq \frac { \tau _ { c } \vec { A } \cdot \vec { B } } { \rho R _ { L } ^ { 2 } } \simeq 0 . 0 1 \frac { \epsilon e ^ { 4 } } { \alpha ^ { 3 } } \approx 3 \times 1 0 ^ { 1 2 } \epsilon \; \mathrm { c m / s e c } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { R } _ { \mathrm { t o p } } ^ { ( \alpha ) } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 4 } & { 4 } & { \dots } & { 4 } \\ { 2 } & { 2 } & { 6 } & { \dots } & { 6 } \\ { 2 } & { 6 } & { 2 } & { \dots } & { 6 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 2 } & { 6 } & { 6 } & { \dots } & { 2 } \end{array} \right] _ { \mathrm { t o p } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 \} \cap B _ { \rho } } W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } \leq C _ { k } ( 1 + \rho ^ { - 2 k } \varepsilon ^ { 2 k } ) \varepsilon ^ { 2 } \int _ { B _ { 2 \rho } } | f _ { \varepsilon } | ^ { 2 } + C _ { k } \rho ^ { - 2 k } \varepsilon ^ { 2 k } \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 \} \cap B _ { 2 \rho } } W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } } \end{array}
{ \frac { m _ { i } ^ { ( d ) } } { m _ { j } ^ { ( d ) } } } = { \frac { \mu _ { i } ^ { ( d ) } } { \mu _ { j } ^ { ( u ) } } } \left[ { \frac { \lambda _ { j } ^ { ( d ) } \lambda _ { j } ^ { ( u ) } } { \lambda _ { i } ^ { ( d ) } \lambda _ { i } ^ { ( u ) } } } \right] ^ { 1 / 2 }
f ^ { c e b [ 1 ] } f ^ { { b [ 1 ] \beta b [ 2 ] } } = f ^ { c b [ 2 ] b [ 1 ] } f ^ { { \beta e b [ 1 ] } } + f ^ { { c \beta b [ 1 ] } } f ^ { e b [ 2 ] b [ 1 ] } \; .
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { j k } ( x , s ) } & { = \widetilde { p } _ { j } ( x , s | a _ { k } ) [ \delta _ { j , k } + \delta _ { j , k + 1 } ] + \frac { 1 } { 2 } \Sigma _ { j k } ( x , s ) [ \widetilde { f } _ { k } ^ { - } ( a _ { k } ^ { - } , s ) + \widetilde { f } _ { k } ^ { + } ( a _ { k } ^ { + } , s ) ] } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \Sigma _ { j , k - 1 } ( x , s ) \widetilde { f } _ { k - 1 } ^ { + } ( a _ { k } ^ { - } , s ) + \frac { 1 } { 2 } \Sigma _ { j , k + 1 } ( x , s ) \widetilde { f } _ { k + 1 } ^ { - } ( a _ { k } ^ { + } , s ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { x } ^ { \prime } } & { { } = q _ { x } , } \\ { q _ { y } ^ { \prime } } & { { } = q _ { y } , } \\ { p _ { x } ^ { \prime } } & { { } = p _ { x } + 4 \, c _ { 2 0 } \cos ( \theta ) \, q _ { x } , } \\ { p _ { y } ^ { \prime } } & { { } = p _ { y } + 4 \, c _ { 0 2 } \sec ( \theta ) \, q _ { y } . } \end{array}
g ^ { 2 } ( q , t ) = \frac { g ^ { 2 } } { 1 + ( 1 1 N g ^ { 2 } / 4 8 \pi ^ { 2 } ) \ln ( q ^ { 2 } / M ^ { 2 } ) } = \frac { 4 8 \pi ^ { 2 } } { 1 1 N \ln ( q ^ { 2 } / \beta ^ { 2 } \Lambda _ { 0 } ^ { 2 } ) } = \frac { 2 4 \pi ^ { 2 } } { 1 1 N \ln ( q t ) }
\begin{array} { r l } { U ( \rho , \theta , \phi ) } & { { } = \tau \int \int U ^ { \prime } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) e ^ { - 2 \pi j ( \frac { \sin { \theta } \cos { \phi } } { \lambda } x ^ { \prime } + \frac { \cos { \theta } } { \lambda } y ^ { \prime } ) } \, d x ^ { \prime } d y ^ { \prime } , } \end{array}
| B | \lesssim \sum _ { 0 \le | k | < \delta } \lambda ^ { | k | } \, \mathbb { X } _ { 0 } ^ { k } ( \psi ) \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } \lambda ^ { \delta - | k | } \, 2 ^ { - n ( \delta - | k | ) } = \lambda ^ { \delta } \sum _ { 0 \le | k | < \delta } \frac { \mathbb { X } _ { 0 } ^ { k } ( \psi ) } { 1 - 2 ^ { - ( \delta - | k | ) } } \lesssim \lambda ^ { \delta } \, .
p ( 0 ) \leq \mathbb { P } \Big ( \frac { P _ { \textnormal { m a x } } ^ { s } \big ( [ \sqrt { 2 } \textnormal { R e } \{ h \} ] ^ { 2 } + [ \sqrt { 2 } \textnormal { I m } \{ h \} ] ^ { 2 } \big ) } { \tilde { P } _ { \textnormal { m i n } } ^ { i } \big ( \sum _ { u = 1 } ^ { U } [ \sqrt { 2 } \textnormal { R e } \{ g _ { u } \} ] ^ { 2 } + [ \sqrt { 2 } \textnormal { I m } \{ g _ { u } \} ] ^ { 2 } \big ) } \geq \beta \Big )
\begin{array} { r } { \sigma _ { r } = \sqrt { \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { \nu _ { c , 2 i } - R _ { \mathrm { e v e n / o d d } } \nu _ { c , 2 i - 1 } } { \nu _ { c , 2 i } } \right) ^ { 2 } } } \end{array}
\bigg [ \textbf { U } \epsilon - \frac { \alpha \epsilon } { \gamma } \bigg ] \frac { \mu _ { d e f } } { k _ { d e f } } - \bigg [ \textbf { U } \epsilon + \frac { \alpha \epsilon } { \gamma } \bigg ] \frac { \mu _ { i n j } } { k _ { i n j } } = \frac { 2 \sigma c o s ( \theta ) } { r }
\begin{array} { r l } { E _ { D } } & { { } = E _ { D } ( q _ { 0 , D } ) + 3 f _ { D } ( \Delta q _ { D } ) ^ { 2 } } \\ { E _ { A } } & { { } = E _ { A } ( q _ { 0 , A } ) + 3 f _ { A } ( \Delta q _ { A } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { \partial _ { z } { w } + \frac { 1 } { r } \partial _ { r } ( r { u } ) , } \\ { \partial _ { r } { p } } & { = } & { \frac { 1 } { r } \partial _ { r } ( r \tau _ { r r } ) + \partial _ { z } \tau _ { r z } - \frac { \tau _ { \theta \theta } } { r } , } \\ { \partial _ { z } { p } } & { = } & { \frac { 1 } { r } \partial _ { r } ( r \tau _ { r z } ) + \partial _ { z } \tau _ { z z } . } \end{array}
\Gamma _ { i j } = \left\{ { \begin{array} { l l l } { - 1 , } & { { \mathrm { i f ~ } } i \neq j } & { { \mathrm { a n d ~ } } R _ { i j } \leq r _ { c } } \\ { 0 , } & { { \mathrm { i f ~ } } i \neq j } & { { \mathrm { a n d ~ } } R _ { i j } > r _ { c } } \\ { - \sum _ { j , j \neq i } ^ { N } \Gamma _ { i j } , } & { { \mathrm { i f ~ } } i = j } \end{array} } \right.
\nabla _ { a } { \cal M } ^ { a \mu \nu } = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ 2 { \cal Q } ^ { a b } e ^ { \mu } { } _ { a } e ^ { \nu } { } _ { b } - \sqrt { - \gamma } \; L ^ { a b } { } _ { i } K _ { a b \, j } n ^ { \mu \, i } n ^ { \nu \, j } - ( \mu \leftrightarrow \nu ) ) \right] \, .
{ \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 0 0 1 } & { 0 0 0 } & { 9 2 8 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } \\ { 0 0 6 } & { 0 0 6 } & { 9 2 8 } & { 9 2 8 } & { 9 2 8 } & { 9 2 8 } & { 9 2 8 } \\ { 1 2 3 } & { 2 4 6 } & { 9 2 8 } & { 9 2 7 } & { 9 2 5 } & { 9 2 1 } & { 9 1 3 } \\ { 4 5 6 } & { 4 3 9 } & { 9 2 8 } & { 9 2 6 } & { 9 2 0 } & { 9 0 2 } & { 8 4 8 } \\ { 0 5 7 } & { 2 2 8 } & { 9 2 8 } & { 9 2 5 } & { 9 1 3 } & { 8 6 5 } & { 6 7 3 } \\ { 0 8 6 } & { 4 3 0 } & { 9 2 8 } & { 9 2 4 } & { 9 0 4 } & { 8 0 4 } & { 3 0 4 } \\ { 1 2 1 } & { 7 2 6 } & { 9 2 8 } & { 9 2 3 } & { 8 9 3 } & { 7 1 3 } & { 5 6 2 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { e _ { 0 } } \\ { e _ { 1 } } \\ { q _ { 0 } } \\ { q _ { 1 } } \\ { q _ { 2 } } \\ { q _ { 3 } } \\ { q _ { 4 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 0 0 } \\ { 9 2 3 } \\ { 4 3 7 } \\ { 5 4 1 } \\ { 0 1 7 } \\ { 6 3 7 } \\ { 2 8 9 } \end{array} \right] }
Z _ { N } ( \tau ) = \frac 1 { 2 N } \sum _ { k , l = 0 } ^ { 2 N - 1 } D _ { k / ( 2 N ) , l / ( 2 N ) } ( \tau ) = \frac 1 { | \eta ( \tau ) | ^ { 2 } } \sum _ { n = 0 } ^ { 4 N ^ { 2 } - 1 } \left| \Theta _ { n , 2 N ^ { 2 } } ( \tau ) \right| ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { { } = } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Phi _ { f } | D | \Phi _ { I } \rangle \langle \Phi _ { I } | H _ { W } | \Phi _ { i } \rangle } { { \cal E } _ { i } - { \cal E } _ { I } } } \end{array}
\bar { \Xi } _ { \lambda _ { 2 } } ^ { \lambda _ { 1 } } \otimes f _ { \dot { J } } ^ { \dot { I } } \otimes \Xi _ { \lambda _ { 4 } } ^ { \lambda _ { 3 } } \left( \bar { \phi } ^ { \rho _ { 1 } } \otimes s ^ { \dot { K } } \otimes \phi ^ { \rho _ { 2 } } \right) = \delta _ { \lambda _ { 2 } } ^ { \rho _ { 1 } } \delta _ { \dot { J } } ^ { \dot { K } } \delta _ { \lambda _ { 4 } } ^ { \rho _ { 2 } } \bar { \phi } ^ { \lambda _ { 1 } } \otimes s ^ { \dot { I } } \otimes \phi ^ { \lambda _ { 3 } } .
H = \frac { 1 } { 2 E } \left\{ U \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { \; 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \; 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \; 0 } } & { { \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } } } \end{array} \right) U ^ { \dagger } + \left( \begin{array} { c c c } { { a } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \right\}
{ \begin{array} { r l } { \rho ( x , y , z ) } & { = { \frac { 3 B } { r ^ { 2 } + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } \\ { p ( x , y , z ) } & { = { \frac { - A ^ { 2 } B } { \left( r ^ { 2 } + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) ^ { 3 } } } } \\ { \mathbf { u } ( x , y , z ) } & { = { \frac { A } { \left( r ^ { 2 } + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } { \left( \begin{array} { l } { 2 ( - r y + x z ) } \\ { 2 ( r x + y z ) } \\ { r ^ { 2 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \end{array} \right) } } \\ { g } & { = 0 } \\ { \mu } & { = 0 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { A } & { { } = { \sqrt { { \frac { 1 } { 2 } } ( I _ { p } + | L | ) } } } \\ { B } & { { } = { \sqrt { { \frac { 1 } { 2 } } ( I _ { p } - | L | ) } } } \\ { \theta = } & { { } { \frac { 1 } { 2 } } \arg ( L ) } \\ { h } & { { } = \operatorname { s g n } ( V ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 4 } \frac { d A _ { p } } { d Z } + \nu A _ { p } } & { { } = i \mu _ { p } A _ { s } A _ { i } } \\ { \frac { d A _ { s , i } } { d Z } + \nu A _ { s , i } } & { { } = i \mu _ { s , i } A _ { p } A _ { i , s } ^ { * } , } \end{array}
\int { \frac { \sinh ^ { m } a x } { \cosh ^ { n } a x } } d x = { \frac { \sinh ^ { m - 1 } a x } { a ( m - n ) \cosh ^ { n - 1 } a x } } + { \frac { m - 1 } { n - m } } \int { \frac { \sinh ^ { m - 2 } a x } { \cosh ^ { n } a x } } d x \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } m \neq n { \mathrm { ) } }
\begin{array} { r l } { { 1 } N _ { \ell } = } & { { } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { d k } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } d s \partial _ { k } E _ { \ell } ( k , s ) } \\ { + } & { { } \sum _ { m \neq \ell } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { d k } { 2 \pi i } \int _ { 0 } ^ { T } d t \langle \partial _ { k } \widetilde { \ell } ( k , t ) | m ( k , t ) \rangle \langle \widetilde { m } ( k , t ) | \partial _ { t } \ell ( k , t ) \rangle } \\ { - } & { { } \sum _ { m \neq \ell } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { d k } { 2 \pi i } \int _ { 0 } ^ { T } d t \langle \partial _ { t } \widetilde { \ell } ( k , t ) | m ( k , t ) \rangle \langle \widetilde { m } ( k , t ) | \partial _ { k } \ell ( k , t ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { p q } ( \mathbf k ) = t _ { p q } ( \mathbf k ) - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathbf k _ { r } } \sum _ { r } \langle p \mathbf k , r \mathbf k _ { r } | r \mathbf k _ { r } , q \mathbf k \rangle . } \end{array}
\varepsilon _ { A } \, \eta _ { B } + \varepsilon _ { A } \, \sigma _ { B } + \sigma _ { A } \, \eta _ { B } \, \geq \, { \frac { 1 } { 2 } } \, \left| \langle [ { \hat { A } } , { \hat { B } } ] \rangle \right|
X _ { \alpha \beta } ^ { a b } ( x , y ) = \left( \begin{array} { l r } { { 2 \delta ^ { a b } } } & { { 0 \nonumber } } \\ { { g f ^ { a b c } A _ { 0 } ^ { c } } } & { { \frac { 1 } { 2 } \delta ^ { a b } \nonumber } } \end{array} \right) \delta ( x - y )
A = \left( \begin{array} { c c c c c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) ,
\psi _ { \alpha } ( x ) = \sum _ { k , j = 1 , 2 } U _ { { \alpha } k } \, \phi _ { k } ( x - x _ { R } ) \, T _ { k j } \, \phi _ { j } ( x _ { R } - x _ { 0 } ) \, U _ { e j } ^ { M } ( x _ { 0 } ) \, ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { R } r ^ { 4 } f _ { 0 } ^ { 2 } \, \textnormal { d } r } & { = \frac { 1 } { 5 } \int _ { 0 } ^ { R } \partial ( r ^ { 5 } ) f _ { 0 } ^ { 2 } \, \textnormal { d } r = \frac { 1 } { 5 } \left[ r ^ { 5 } f _ { 0 } ^ { 2 } \right] _ { 0 } ^ { R } - \frac { 1 } { 5 } \int _ { 0 } ^ { R } r ^ { 5 } \partial ( f _ { 0 } ^ { 2 } ) \, \textnormal { d } r } \\ & { = \frac { R ^ { 5 } } { 5 } \left[ 1 - \frac { a ^ { 3 } } { R ^ { 3 } } \right] ^ { 2 } - \frac { 2 } { 5 } \int _ { 0 } ^ { R } r ^ { 5 } f _ { 0 } \partial f _ { 0 } \, \textnormal { d } r = \frac { R ^ { 5 } } { 5 } - \frac { 2 } { 5 } R ^ { 2 } a ^ { 3 } + \frac { a ^ { 6 } } { 5 R } - \frac { 2 } { 5 } \int _ { 0 } ^ { R } r ^ { 5 } f _ { 0 } \partial f _ { 0 } \, \textnormal { d } r } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { E M } = } & { { } \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int d \mathbf { r } \left[ \mathbf { E } ^ { 2 } ( \mathbf { r } ) + c ^ { 2 } \mathbf { B } ^ { 2 } ( \mathbf { r } ) \right] . } \\ { \hat { H } _ { e p } = } & { { } \int d \mathbf { r } E ( \mathbf { r } ) \cdot ( e \hat { \mathbf { r } } ) . } \end{array}
\mathbf { u } _ { p } ^ { n + 1 } = \mathbf { u } _ { p } ^ { n } + \frac { \Delta _ { t } } { 2 4 } ( 9 \mathbf { a } _ { p } ^ { n + 1 } + 1 9 \mathbf { a } _ { p } ^ { n } - 5 \mathbf { a } _ { p } ^ { n - 1 } + \mathbf { a } _ { p } ^ { n - 2 } )
\mathrm { ~ d ~ } F _ { z } ( x _ { \mathrm { ~ m ~ } } , y _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) = \sigma _ { 0 } ( x _ { \mathrm { ~ m ~ } } , y _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) \mathrm { ~ d ~ } x _ { \mathrm { ~ m ~ } } \mathrm { ~ d ~ } y _ { \mathrm { ~ m ~ } }
\begin{array} { r l r l r l } { \omega \frac { ( \ensuremath { \mathbf { j } } \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } ^ { \prime } } ) } { j } } & { { } = } & { D k } & { { } \frac { ( \ensuremath { \mathbf { j } } \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } ^ { \prime } } ) } { j } } & { + k \left( w - \frac { C j } { \rho } \right) } & { { } \frac { ( \ensuremath { \mathbf { k } } \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } ^ { \prime } } ) } { k } , } \\ { \omega \frac { ( \ensuremath { \mathbf { k } } \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } ^ { \prime } } ) } { k } } & { { } = } & { F k } & { { } \frac { ( \ensuremath { \mathbf { j } } \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } ^ { \prime } } ) } { j } } & { + 2 k \left( w - \frac { j } { \rho } \right) \cos \theta } & { { } \frac { ( \ensuremath { \mathbf { k } } \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } ^ { \prime } } ) } { k } . } \end{array}
\frac { d \mathbf { P } } { d t } \sim - c _ { 0 } - c _ { 1 } \left( \mathbf { P } - P _ { L } \right) \qquad \implies \qquad \mathbf { P } \sim P _ { L } - \frac { c _ { 0 } } { c _ { 1 } } + C e ^ { - c _ { 1 } t } ,
a _ { f } = \frac { \Gamma ( P ^ { + } \rightarrow f ) - \Gamma ( P ^ { - } \rightarrow \bar { f } ) } { \Gamma ( P ^ { + } \rightarrow f ) + \Gamma ( P ^ { - } \rightarrow \bar { f } ) } = \frac { 1 - | \frac { \bar { A } } { A } | ^ { 2 } } { 1 + | \frac { \bar { A } } { A } | ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r c l } { d \mu _ { p } ^ { ( m ) } } & { = } & { \mathcal { L } _ { p } ^ { ( m - 1 ) } \circ \mathcal { L } _ { p } ^ { ( m - 2 ) } \circ \cdots \circ \mathcal { L } _ { p } ^ { ( s - d ) } [ d \mu _ { p } ^ { ( s - d ) } ] } \\ & { \approx } & { C _ { p } \lambda _ { p } ^ { s - d } \Lambda _ { p } ^ { ( S + 1 ) } \circ \Lambda _ { p } ^ { ( S + 2 ) } \circ \cdots \circ \Lambda _ { p } ^ { ( d ) } [ d \nu _ { p } ] } \\ & { = } & { C _ { p } 2 ^ { - \zeta _ { p } m } 2 ^ { - \zeta _ { p } ( S - d ) } \Lambda _ { p } ^ { ( S + 1 ) } \circ \Lambda _ { p } ^ { ( S + 2 ) } \circ \cdots \circ \Lambda _ { p } ^ { ( d ) } [ d \nu _ { p } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { W } _ { i - 1 / 2 , R } } & { = } & { \mathbf { W } _ { i } - \frac { 1 } { 2 } \Phi ( \boldsymbol \Delta _ { R } ) \left( \mathbf { W } _ { i + 1 } - \mathbf { W } _ { i } \right) , } \\ { \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 , L } } & { = } & { \mathbf { W } _ { i } + \frac { 1 } { 2 } \Phi ( \boldsymbol \Delta _ { L } ) \left( \mathbf { W } _ { i } - \mathbf { W } _ { i - 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 \pi i } \sum _ { \d ( f ) \leq M } a ( f ) \int _ { \sigma - i T } ^ { \sigma + i T } \frac { ( q ^ { N } / | f | ) ^ { s } } { s } d s } & { = \sum _ { \d ( f ) \leq N } a ( f ) } \\ & { + O \left( q ^ { \sigma N } \sum _ { \d ( f ) \leq M } \frac { | a ( f ) | } { | f | ^ { \sigma } \big ( 1 + T | \log ( q ^ { N } / | f | ) \big ) } \right) . } \end{array}
P ( \nu _ { \mu } \rightarrow \nu _ { e } ) _ { \mathrm { L B } } ^ { ~ } \; = \; \frac { 1 6 } { 9 } \alpha ^ { 2 } \left( 1 \mp \beta \right) \sin ^ { 2 } \left( 1 . 2 7 ~ \frac { \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } L } { | { \bf P } | } \right) \; .
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } : \mathbb { C } / ( \mathbb { Z } + \mathbb { Z } z ) } & { { \, \longrightarrow \, } \mathbb { C } / ( \mathbb { Z } + \mathbb { Z } \lambda _ { 1 } z ) , } \\ { x _ { 2 } : \mathbb { C } / ( \mathbb { Z } + \mathbb { Z } z ) } & { { \, \longrightarrow \, } \mathbb { C } / ( \mathbb { Z } + \mathbb { Z } \lambda _ { 2 } z ) , } \\ { x _ { 3 } : \mathbb { C } / ( \mathbb { Z } + \mathbb { Z } \lambda _ { 2 } z ) } & { { \, \longrightarrow \, } \mathbb { C } / ( \mathbb { Z } + \mathbb { Z } \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } z ) , } \\ { x _ { 4 } : \mathbb { C } / ( \mathbb { Z } + \mathbb { Z } \lambda _ { 1 } z ) } & { { \, \longrightarrow \, } \mathbb { C } / ( \mathbb { Z } + \mathbb { Z } \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } z ) . } \end{array}
\prod _ { l = 1 } ^ { \frac { d } { L } } \hat { C } _ { L } ( \vec { G } _ { l } ) | \textrm { v a c } \rangle \simeq \sum _ { | B ^ { \prime } | = \frac { d } { L } } \textrm { d e t } ( G _ { B ^ { \prime } } ) | B _ { L } ^ { \prime } \rangle ,
\begin{array} { r } { \xi ( t , y ) = \frac { s _ { + } ( t ) - s _ { - } ( t ) } { s _ { + } ( t _ { 0 } ) - s _ { - } ( t _ { 0 } ) } \bigl ( y - s _ { - } ( t _ { 0 } ) \bigr ) + s _ { - } ( t ) , } \end{array}
\left[ \delta _ { C } ( \xi _ { 1 } ) , \delta _ { C } ( \xi _ { 2 } ) \right] = \delta _ { C } \left( \xi ^ { \mu } = \xi _ { 2 } ^ { \nu } \partial _ { \nu } \xi _ { 1 } ^ { \mu } - \xi _ { 1 } ^ { \nu } \partial _ { \nu } \xi _ { 2 } ^ { \mu } \right) \ .
\begin{array} { r l } { k ^ { [ M ] } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } ) } & { = \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \sum _ { m , m ^ { \prime } = 1 } ^ { M } k _ { 0 } ( x _ { m } , x _ { m ^ { \prime } } ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \sum _ { m , m ^ { \prime } = 1 } ^ { M } \langle k _ { 0 } ( \cdot , x _ { m ^ { \prime } } ^ { \prime } ) , k _ { 0 } ( \cdot , x _ { m } ) \rangle _ { k _ { 0 } } } \\ & { = \left\langle \frac { 1 } { M } \sum _ { m ^ { \prime } = 1 } ^ { M } k _ { 0 } ( \cdot , x _ { m ^ { \prime } } ^ { \prime } ) , \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } k _ { 0 } ( \cdot , x _ { m } ) \right\rangle _ { k _ { 0 } } = \langle f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } ^ { \prime } ] } ^ { k _ { 0 } } , f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } ] } ^ { k _ { 0 } } \rangle _ { k _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big \| \boldsymbol D ^ { * } \boldsymbol F ^ { * } \boldsymbol B _ { \mathrm { o p t } } ^ { * } \boldsymbol A - \boldsymbol I _ { | \mathcal I _ { \boldsymbol M } | } \big \| _ { \mathrm F } ^ { 2 } } & { \leq \varepsilon \, | \mathcal I _ { \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } } | \cdot \, \big \| \boldsymbol F \boldsymbol D \big \| _ { \mathrm F } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { x \in \mathbb { R } ^ { m } } \left\| \nabla _ { x } \boldsymbol { F } _ { x } ( p , q ) \right\| \leq } & { \gamma _ { m } \left[ ( \lambda _ { 2 } ) ^ { - 1 } L _ { 0 } + ( 2 \lambda _ { 1 } ) ^ { 1 / 2 } ( \lambda _ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } \right] , } \\ { \operatorname* { m a x } _ { y \in \mathbb { R } ^ { n } } \left\| \nabla _ { y } \boldsymbol { F } _ { y } ( p , q ) \right\| \leq } & { \gamma _ { n } \left[ ( \lambda _ { 2 } ) ^ { - 1 } L _ { 0 } + ( 2 \lambda _ { 1 } ) ^ { 1 / 2 } ( \lambda _ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } \right] , } \end{array}
\frac { d \sigma } { d t } = \frac { 1 } { 3 2 \pi ( s - m _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \sum _ { \lambda _ { \Phi } = 0 , \pm 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \vert H _ { i , \lambda _ { \Phi } } \vert ^ { 2 } \, .
\alpha = \mu \left[ E ^ { 2 } - M ^ { 2 } - 2 \frac { q ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right] \, , \quad \beta = E ^ { 2 } - M ^ { 2 } - \frac { q ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \, .
R ( z ) = \int _ { - 1 } ^ { + 1 } \beta \left[ f _ { W } \left( Q _ { i } + \frac { \tilde { u } } { \tilde { u } + \tilde { t } } \right) ^ { 2 } \right] G ( s , \tilde { t } , \tilde { u } , 0 , m ^ { 2 } ) \, d y
\begin{array} { r l } { x _ { k + 1 / 2 } } & { = \mathsf { J } _ { \alpha \mathsf { G } } ( z _ { k } ) , } \\ { z _ { k + 1 / 2 } } & { = 2 x _ { k + 1 / 2 } - z _ { k } , } \\ { x _ { k + 1 } } & { = \mathsf { J } _ { \alpha \mathsf { F } } ( z _ { k + 1 / 2 } ) , } \\ { z _ { k + 1 } } & { = 2 x _ { k + 1 } - z _ { k + 1 / 2 } . } \end{array}