harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \mathrm { P } \left( \operatorname* { s u p } _ { t \in T } \left\Vert \mathcal { X } _ { t } - \mathcal { X } _ { t _ { 0 } } \right\Vert _ { \alpha } \geq e ^ { 1 / \beta } \left( C _ { \beta } \gamma _ { \beta , p } ( T , d ) + u D _ { \beta } \Delta _ { d } ( T ) \right) \right) } & { \leq } & { \exp ( - u ^ { \beta } / \beta ) . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \Bigg ( \frac { 1 } { k ^ { 2 } ( k + p ) ^ { 2 } } - \sum _ { i } c _ { i } \frac { 1 } { \Big ( k ^ { 2 } + M _ { i } ^ { 2 } \Big ) \Big ( ( k + p ) ^ { 2 } + M _ { i } ^ { 2 } \Big ) } \Bigg ) .
\begin{array} { r l } { \textsc { I S } [ P _ { 0 } ] } & { { } = D _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 3 } { 3 } D _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 3 1 2 9 } { 8 0 } D _ { 3 } ^ { 2 } + \frac { 8 7 6 1 7 } { 1 4 0 } D _ { 4 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } D _ { 3 } D _ { 1 } + \frac { 2 1 } { 5 } D _ { 2 } D _ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ I ~ } = \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } \left\langle \partial _ { c } ^ { 2 } \left( x - \mu ( c ) \right) ^ { 2 } \right\rangle = \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \left\langle \left( \mu ^ { \prime } ( c ) \right) ^ { 2 } - \mu ^ { \prime \prime } ( c ) \left( x - \mu ( c ) \right) \right\rangle = \left( \frac { \mu ^ { \prime } ( c ) } { \sigma } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { P } } } & { : = - \frac { T } { 2 } \int d \tau d \sigma \, \sqrt { - h } h ^ { \alpha \beta } g _ { \alpha \beta } = - \frac { T } { 2 } \int d \tau d \sigma \, \sqrt { - h } h ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } X \cdot \partial _ { \beta } X } \\ & { = - \frac { T } { 2 } \int d \tau d \sigma \, \sqrt { - h } h ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } X ^ { \kappa } \partial _ { \beta } X ^ { \lambda } G _ { \kappa \lambda } ( X ) , } \end{array}
{ \mathrm d } s _ { A d S } ^ { 2 } = \left. \left( d { { X } ^ { 0 } } ^ { \, 2 } - d { { X } ^ { 1 } } ^ { \, 2 } - \cdots + d { { X } ^ { d + 1 } } ^ { \, 2 } \right) \right| _ { A d S _ { d + 1 } } .
\begin{array} { r l } & { Z _ { q } ( g _ { k _ { 1 } } \cdots g _ { k _ { r } } ) = \sum _ { 0 < m _ { 1 } < \cdots < m _ { r } } \frac { q ^ { k _ { 1 } m _ { 1 } + \cdots + k _ { r } m _ { r } } } { [ m _ { 1 } ] ^ { k _ { 1 } } \cdots [ m _ { r } ] ^ { k _ { r } } } , } \\ & { Z _ { q } ( e _ { k _ { 1 } } \cdots e _ { k _ { r } } ) = \sum _ { 0 < m _ { 1 } < \cdots < m _ { r } } \frac { q ^ { ( k _ { 1 } - 1 ) m _ { 1 } + \cdots + ( k _ { r } - 1 ) m _ { r } } } { [ m _ { 1 } ] ^ { k _ { 1 } } \cdots [ m _ { r } ] ^ { k _ { r } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \lambda _ { k } \left( f ( x _ { k } ) - f _ { * } \right) } & { \leq \frac { 2 D d _ { n + 1 } } { \gamma _ { n + 1 } } + \frac { D \sum _ { k = 0 } ^ { n } \gamma _ { k } \lambda _ { k } ^ { 2 } \| g _ { k } \| ^ { 2 } } { 2 d _ { n + 1 } } + \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { \gamma _ { k } } { 2 } \lambda _ { k } ^ { 2 } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p G _ { n } = - [ \nu ( n ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) + i n U _ { 0 } ] G _ { n } } & { { } + \frac { k } { 2 } \left( \frac { 1 } { ( n - 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } - 1 \right) G _ { n - 1 } } \\ { p H _ { n } = - [ \eta ( n ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) + i n U _ { 0 } ] H _ { n } } & { { } - \frac { k } { 2 } \, H _ { n - 1 } + \frac { k } { 2 } \, H _ { n + 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } } \, G _ { n } . } \end{array}
E _ { 1 } = \left\{ \begin{array} { l l l } { { \left[ 4 / \lambda , \infty \right] } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { \lambda > 0 } } \\ { { \left[ 0 , 4 / | \lambda | \right] } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { \lambda < 0 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { r } & { > } & { \left( \frac { c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } } { a _ { 1 } \mu _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } + c _ { 2 } q _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \frac { K q _ { 1 } ( \mu _ { 2 } ( c _ { 1 } q _ { 1 } - a _ { 1 } \mu _ { 1 } ) - \mu _ { 1 } ( c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } ) ) } { m _ { 1 } ( K ( c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } ) - \mu _ { 2 } ) } , } \end{array}
d ( \Lambda ) = \ 3 - { \frac { M ^ { 2 } } { 3 H _ { 0 } ^ { 2 } } } - { \frac { M ^ { 2 } \Lambda } { 9 H _ { 0 } ^ { 4 } } } - { \frac { m } { 2 \sqrt \pi M _ { \mathrm { p } } } } \ .
\begin{array} { r l r l } { A } & { { } = 7 { \sqrt { 3 } } a ^ { 2 } } & { } & { { } \approx 1 2 . 1 2 4 \, 3 5 5 \, 6 5 a ^ { 2 } } \\ { V } & { { } = { \frac { 2 3 } { 1 2 } } { \sqrt { 2 } } a ^ { 3 } } & { } & { { } \approx 2 . 7 1 0 \, 5 7 5 \, 9 9 5 a ^ { 3 } . } \end{array}
U _ { j } \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \left( P - \phi \right) } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial ( 2 \left( \nu + \nu _ { t } \right) S _ { i j } ) } { \partial x _ { j } } - f _ { s , i } = 0 ,
{ \left( \begin{array} { l } { \rho _ { x _ { 1 } } } \\ { \rho _ { x _ { 2 } } } \\ { \rho _ { x _ { 3 } } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l } { { \frac { \csc ( \alpha _ { 2 } ) } { a _ { 1 } { \sqrt { 1 - ( \cot ( \alpha _ { 1 } ) \cot ( \alpha _ { 2 } ) - \csc ( \alpha _ { 1 } ) \csc ( \alpha _ { 2 } ) \cos ( \alpha _ { 3 } ) ) ^ { 2 } } } } } } & { 0 } & { 0 } \\ { { \frac { \csc ^ { 2 } ( \alpha _ { 1 } ) \csc ( \alpha _ { 2 } ) ( \cos ( \alpha _ { 1 } ) \cos ( \alpha _ { 2 } ) - \cos ( \alpha _ { 3 } ) ) } { a _ { 2 } { \sqrt { 1 - ( \cot ( \alpha _ { 1 } ) \cot ( \alpha _ { 2 } ) - \csc ( \alpha _ { 1 } ) \csc ( \alpha _ { 2 } ) \cos ( \alpha _ { 3 } ) ) ^ { 2 } } } } } } & { { \frac { \csc ( \alpha _ { 1 } ) } { a _ { 2 } } } } & { 0 } \\ { { \frac { \csc ( \alpha ) ( \cot ( \alpha _ { 1 } ) \csc ( \alpha _ { 2 } ) \cos ( \alpha _ { 3 } ) - \csc ( \alpha _ { 1 } ) \cot ( \alpha _ { 2 } ) ) } { a _ { 3 } { \sqrt { 1 - ( \cot ( \alpha _ { 1 } ) \cot ( \alpha _ { 2 } ) - \csc ( \alpha _ { 1 } ) \csc ( \alpha _ { 2 } ) \cos ( \alpha _ { 3 } ) ) ^ { 2 } } } } } } & { - { \frac { \cot ( \alpha _ { 1 } ) } { a _ { 3 } } } } & { { \frac { 1 } { a _ { 3 } } } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { r _ { x _ { 1 } } } \\ { r _ { x _ { 2 } } } \\ { r _ { x _ { 3 } } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { v , N } ^ { 4 } : = \sum _ { \mathbf { j } \in \gimel _ { v , N } ^ { 4 } } 2 ^ { j _ { 1 } ( 1 - h _ { 1 } ) + \cdots + j _ { d } ( 1 - h _ { d } ) } \sum _ { \mathbf { k } \in \mathbb { Z } ^ { d } } \left| \varepsilon _ { \mathbf { j } , \mathbf { k } } \right| \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \left\{ \left| \mathcal { A } _ { \mathbf { j } , \mathbf { k } } ( t ) \right| \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( a _ { 1 } , b _ { 1 } , c _ { 1 } ) } & { = ( - 1 , 0 , 1 ) , } \\ { ( a _ { n + 1 } , c _ { n + 1 } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { ( b _ { n } , c _ { n } ) , } & { \mathrm { i f ~ } \gamma ( b _ { n } ) \in Y _ { 1 } } \\ { ( a _ { n } , b _ { n } ) , } & { \mathrm { i f ~ } \gamma ( b _ { n } ) \in Y _ { 2 } } \end{array} \right. , } \\ { b _ { n + 1 } } & { = \frac { a _ { n + 1 } + b _ { n + 1 } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ^ { \scriptscriptstyle 0 } \big ( | { \mathcal C } _ { n } } & { ( 0 ) | \ge k , 0 \notin { \mathcal C } _ { n } ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } \big ) } \\ & { \ge \mathbb { P } ^ { \scriptscriptstyle 0 } \big ( { \mathcal A } _ { \mathrm { c o m p o n e n t s } } ^ { \scriptscriptstyle ( k ) } \cap { \mathcal A } _ { \mathrm { i s o l a t i o n } } ^ { \scriptscriptstyle ( k ) } \cap { \mathcal A } _ { \mathrm { i n s m a l l } } ^ { \scriptscriptstyle ( k ) } \cap { \mathcal A } _ { \mathrm { r e g u l a r } } ^ { \scriptscriptstyle ( k ) } ( \eta ) \big ) } \\ & { \ge \mathbb { P } ^ { \scriptscriptstyle 0 } \big ( { \mathcal A } _ { \mathrm { c o m p o n e n t s } } ^ { \scriptscriptstyle ( k ) } \cap { \mathcal A } _ { \mathrm { i s o l a t i o n } } ^ { \scriptscriptstyle ( k ) } \cap { \mathcal A } _ { \mathrm { r e g u l a r } } ^ { \scriptscriptstyle ( k ) } ( \eta ) \big ) - \mathbb { P } ^ { \scriptscriptstyle 0 } \big ( \neg { \mathcal A } _ { \mathrm { i n s m a l l } } ^ { \scriptscriptstyle ( k ) } \big ) } \\ & { = \mathbb { P } ^ { \scriptscriptstyle 0 } \big ( { \mathcal A } _ { \mathrm { c o m p o n e n t s } } ^ { \scriptscriptstyle ( k ) } \cap { \mathcal A } _ { \mathrm { r e g u l a r } } ^ { \scriptscriptstyle ( k ) } ( \eta ) \big ) \mathbb { P } ^ { \scriptscriptstyle 0 } \big ( { \mathcal A } _ { \mathrm { i s o l a t i o n } } ^ { \scriptscriptstyle ( k ) } \mid { \mathcal A } _ { \mathrm { c o m p o n e n t s } } ^ { \scriptscriptstyle ( k ) } \cap { \mathcal A } _ { \mathrm { r e g u l a r } } ^ { \scriptscriptstyle ( k ) } ( \eta ) \big ) - \mathbb { P } ^ { \scriptscriptstyle 0 } \big ( \neg { \mathcal A } _ { \mathrm { i n s m a l l } } ^ { \scriptscriptstyle ( k ) } \big ) . } \end{array}
: { \rho } _ { \pm } ( 0 ) : | m _ { 1 } ; m _ { 2 } ; . . . ; m _ { n } ; A ; \pm \rangle = \pm \sum _ { k = 1 } ^ { n } \mathrm { s i g n } ( { \varepsilon } _ { m _ { k } , \pm } ) | m _ { 1 } ; m _ { 2 } ; . . . ; m _ { n } ; A ; \pm \rangle .
\rho = 1 + \frac { 3 } { 4 } \frac { g _ { 2 } ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \times \frac { m _ { t o p } ^ { 2 } } { M _ { W } ^ { 2 } } + \mathrm { s m a l l e r ~ t e r m s ; }
[ \partial _ { \mu } ( \stackrel { k } { \otimes } \! P ) , \stackrel { k } { \otimes } \! P ] = \left( \partial _ { \mu } u \frac { \partial } { \partial u } - \partial _ { \mu } \bar { u } \frac { \partial } { \partial \bar { u } } \right) ( \stackrel { k } { \otimes } \! P ) .
\begin{array} { r l } { s _ { x } ^ { 2 } + s _ { y } ^ { 2 } + s _ { z } ^ { 2 } } & { = 1 } \\ { - \omega _ { B } s _ { z } - \frac { 2 V / \beta } { 1 + \beta ( \Omega _ { - 1 } s _ { x } + \Delta _ { - 1 } s _ { z } + \bar { \omega } ) } } & { = \omega _ { B } - \frac { 2 V / \beta } { 1 + \beta ( \bar { \omega } - \Delta _ { - 1 } ) } , } \end{array}
n _ { \mathrm { p e } } = \left( E _ { \mathrm { T } } \frac { \lambda } { h c } \right) G _ { \mathrm { t } } ~ \sigma _ { \mathrm { o c s } } ~ \left( \frac { 1 } { 4 \pi R ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } A _ { \mathrm { r } } ~ T _ { a } ^ { 2 } ~ \eta _ { \mathrm { t } } ~ \eta _ { \mathrm { r } } ~ \eta _ { \mathrm { d } }
\begin{array} { r l } { S ( t _ { e n d } , m ) } & { { } = S _ { s h o r t } ( t _ { e n d } , m ) , } \\ { \int _ { 0 } ^ { t _ { e n d } } p ( t , m ) d t } & { { } = \int _ { 0 } ^ { t _ { e n d } } p _ { s h o r t } ( t , m ) d t } \\ { \implies Z _ { 2 } ^ { - 1 } } & { { } = 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta L _ { \mathtt { S F } } ( \phi ) = E _ { \mathtt { S F } } ( \phi ) \wedge \delta \phi + \mathrm { d } \Theta _ { \mathtt { S F } } ( \phi ) , } \\ & { \delta \overline { { \ell } } _ { \mathtt { S F } } ( \phi ) - \jmath ^ { * } \Theta _ { \mathtt { S F } } ( \phi ) = b _ { \mathtt { S F } } ( \phi ) \wedge \; \delta \phi . } \end{array}
{ \cal D } _ { 1 } \left( x ^ { 2 } \right) = \frac { m } { 2 \pi ^ { 2 } x ^ { 2 } } \Biggl [ \frac { K _ { 1 } ( m | x | ) } { \left| x \right| } + \frac { m } { 2 } \Biggl ( K _ { 0 } ( m | x | ) + K _ { 2 } ( m | x | ) \Biggr ) \Biggr ] .
f ( \alpha , s ) = \frac { \alpha ( \alpha - 1 ) \delta ^ { 2 } } { 2 } s ^ { ( \alpha - 1 ) / 2 } ( 1 + s ) ^ { ( \alpha - 3 ) / 2 } \Delta ^ { \alpha - 2 } , \, \, \, g ( \alpha , s ) = \frac { \alpha ( \alpha - 1 ) ( 3 - \alpha ) \delta ^ { 2 } } { 4 } \mathrm { B } \left( \frac { s } { 1 + s } ; \frac { \alpha + 1 } { 2 } , 2 - \alpha \right) \Delta ^ { \alpha - 2 } .
\begin{array} { r l } { \delta ( T , \Delta ) R _ { \mathfrak { p } } } & { = \mathrm { i m } \left( \operatorname* { d e t } ( R _ { \mathfrak { p } } ^ { r + a } ) \longrightarrow { \bigwedge } _ { R _ { \mathfrak { p } } } ^ { r } R _ { \mathfrak { p } } ^ { r + a } \right) } \\ & { = \widetilde { \varphi } _ { a } \circ \cdots \circ \widetilde { \varphi } _ { 1 } ( e _ { 1 } \wedge \cdots \wedge e _ { r + a } ) R _ { \mathfrak { p } } } \\ & { = \pi ^ { \sum a _ { i } } { \bigwedge } _ { R _ { \mathfrak { p } } } ^ { r } ( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T , \Delta ) \otimes _ { R } R _ { \mathfrak { p } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \mu } \delta \mathcal { L } \left( \rho \right) \left( \theta \right) } & { = - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \nabla _ { \mu } \phi \left( X _ { i } ; \mu , \Sigma \right) } { \int \phi \left( X _ { i } ; \zeta \right) \rho \left( \mathrm { d } \zeta \right) } = - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } ; \mu , \Sigma \right) } { \int \phi \left( X _ { i } ; \zeta \right) \rho \left( \mathrm { d } \zeta \right) } \Sigma ^ { - 1 } \left( X _ { i } - \mu \right) } \end{array}
c _ { 0 } ^ { \pm } = \pm 1 , \quad c _ { k } ^ { \pm } = 0 \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } k \geq \frac 1 2 , \quad \nabla p _ { - 1 } ^ { \pm } = \nabla p _ { - \frac 1 2 } ^ { \pm } = 0 \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega ^ { \pm }
T ( z ) X ( 0 ) = \frac { 1 } { z } \partial X ( 0 ) + \mathrm { a n a l y t i c } , \qquad \tilde { T } ( \bar { z } ) X ( 0 ) = \frac { 1 } { \bar { z } } \bar { \partial } X ( 0 ) + \mathrm { a n a l y t i c } .
\begin{array} { r l } { J ^ { h } ( G ) - J ( \hat { G } ) } & { = J _ { 1 } ( u ^ { G , h } ) - J _ { 1 } ( u ^ { \hat { G } } ) + J _ { 2 } ( P _ { h } G ( \cdot , u _ { \cdot } ^ { { G , h } } ) ) - J _ { 2 } ( \hat { G } ( \cdot , u _ { \cdot } ^ { \hat { G } } ) ) } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Lambda } l ( t , x , u _ { t } ^ { G , h } ( x ) ) - l ( t , x , u _ { t } ^ { \hat { G } } ( x ) ) d x \, d t \right] } \\ & { \quad + \mathbb { E } \left[ \int _ { \Lambda } m ( x , u _ { T } ^ { G , h } ( x ) ) - m ( x , u _ { T } ^ { \hat { G } } ( x ) ) d x \right] } \\ & { \quad + \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \| P _ { h } G ( t , u _ { t } ^ { G , h } ) \| _ { H } ^ { 2 } - \| \hat { G } ( t , u _ { t } ^ { \hat { G } } ) \| _ { H } ^ { 2 } d t \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { \bar { E } } _ { 3 } [ \{ \nu _ { \mathfrak { n } } \} , \{ \bar { \phi } _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } ) \} ] } & { = } & { 4 \, \sum _ { \mathfrak { n } } \, \nu _ { \mathfrak { n } } \, h _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n } } + 2 \, R ^ { - 3 } \times } \\ & { \times } & { \, \operatorname* { m i n } _ { \{ \sigma _ { \mathfrak { n } } = \pm 1 \} } \; \sum _ { \mathfrak { n } } \sum _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } \, \sigma _ { \mathfrak { n } } \, \sigma _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } \, \sqrt { \nu _ { \mathfrak { n } } \, \nu _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } } \; I _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } \, , } \end{array}
U _ { \alpha } ( t ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l } { { f _ { \alpha } ^ { ( - ) } ( t ) + f _ { \alpha } ^ { ( + ) } ( t ) } } \\ { { f _ { \alpha } ^ { ( - ) } ( t ) - f _ { \alpha } ^ { ( + ) } ( t ) } } \end{array} \right) , ~ ~ V _ { \alpha } ( t ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l } { { g _ { \alpha } ^ { ( - ) } ( t ) + g _ { \alpha } ^ { ( + ) } ( t ) } } \\ { { g _ { \alpha } ^ { ( - ) } ( t ) - g _ { \alpha } ^ { ( + ) } ( t ) } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \bullet \; } & { g _ { 1 } ( u ( x , t ) ) > 0 \mathrm { , ~ w h e n ~ } \tilde { z } ( x , t ) < - \frac { \left( \bar { \rho } \right) ^ { \theta } } { \theta } - E _ { 0 } , } \\ { \bullet \; } & { g _ { 1 } ( u ( x , t ) ) = 0 \mathrm { , ~ w h e n ~ } \tilde { z } ( x , t ) = - \frac { \left( \bar { \rho } \right) ^ { \theta } } { \theta } - E _ { 0 } , \; \int _ { - \infty } ^ { x } J ( u ( y , t ) ) d y = E _ { 0 } } \\ & { \mathrm { ~ a n d ~ } \rho ( x , t ) = \bar { \rho } , } \end{array} \right. } \\ & { \left\{ \begin{array} { l l } { \bullet \; } & { g _ { 2 } ( u ( x , t ) ) < 0 \mathrm { , ~ w h e n ~ } \tilde { w } ( x , t ) > \frac { \left( \bar { \rho } \right) ^ { \theta } } { \theta } , } \\ { \bullet \; } & { g _ { 2 } ( u ( x , t ) ) = 0 \mathrm { , ~ w h e n ~ } \tilde { w } ( x , t ) = \frac { \left( \bar { \rho } \right) ^ { \theta } } { \theta } , \; \int _ { - \infty } ^ { x } J ( u ( y , t ) ) d y = 0 } \\ & { \mathrm { ~ a n d ~ } \rho ( x , t ) = \bar { \rho } . } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { m } { m _ { i = { x , y , z } } } = 1 - \frac { 2 \hbar ^ { 2 } n } { V m } \sum _ { \mathbf { k } } \frac { \left[ V _ { \mathrm { ~ 1 ~ 2 ~ } } ( \mathbf { k } ) W _ { \mathbf { k } } \right] ^ { 2 } k _ { i } ^ { 2 } } { \left( \omega _ { \mathbf { k } } + \frac { \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 2 m } \right) ^ { 3 } } ,
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } ^ { d } = } & { { } { \overline { { \nu } } _ { e } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + } \\ { { d } ^ { r } { A _ { 1 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + } & { { } { d } ^ { g } { A _ { 2 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + { d } ^ { b } { A _ { 3 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + } \\ { \overline { { u ^ { r } } } { A _ { 3 } } { A _ { 2 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + } & { { } \overline { { u ^ { g } } } { A _ { 1 } } { A _ { 3 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + \overline { { u ^ { b } } } { A _ { 2 } } { A _ { 1 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + } \end{array}
\phi ^ { \prime } ( z _ { \mathrm { ~ s ~ } } ) = \phi _ { \mathrm { ~ o ~ } } ^ { \prime } ( z _ { \mathrm { ~ M ~ } } ) + \epsilon \left( \phi _ { \mathrm { ~ o ~ } } ^ { \prime \prime } ( z _ { \mathrm { ~ M ~ } } ) \, \delta z + \delta \phi ^ { \prime } ( z _ { \mathrm { ~ M ~ } } ) \right) .
\mathcal { D } ( k _ { x } , k _ { z } , y ) : = \exp \left( - \left[ \frac { ( | k _ { x } | + m | k _ { z } | ) ^ { 2 } } { k _ { a } ^ { 2 } } + \frac { ( | k _ { z } | - m | k _ { x } | ) ^ { 2 } } { k _ { b } ^ { 2 } } \right] \right)
N _ { T } A _ { G _ { 1 } G _ { 2 } } \frac { g _ { 1 } g _ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } F _ { T } } \epsilon _ { \mu \nu \lambda \sigma } k _ { 1 } ^ { \mu } k _ { 2 } ^ { \nu } \varepsilon _ { 1 } ^ { \lambda } \varepsilon _ { 2 } ^ { \sigma } \ ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } x _ { 2 } } & { = - \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \frac { \cos 2 ( X - t ) } { 2 \cosh ^ { 2 } k h } , } \\ { \partial _ { t } y _ { 2 } } & { = 0 , } \\ { \partial _ { t } z _ { 2 } } & { = 0 , } \\ { \partial _ { t } { \phi _ { 2 } } } & { = - \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \mathrm { S } _ ( Z ) \lambda ^ { 2 } \cos 2 ( X - t ) \cos { 4 \Phi } + \lambda ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \mathrm { C } _ ( Z ) \sin 2 ( X - t ) \sin { 4 \Phi } } \\ & { \quad \; \; + \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \frac { \sin 2 ( X - t ) } { 2 \cosh ^ { 2 } k h } \sin { 2 \Phi } , } \\ { \partial _ { t } { \theta _ { 2 } } } & { = \frac { 1 } { 1 6 } \lambda \, \frac { \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } } { \cosh ^ { 2 } k h } \bigg [ \lambda \sin 2 ( X - t ) \sin { 4 \Theta } \, ( 1 + \cos { 4 \Theta } \cosh 2 ( Z + k h ) ) } \\ & { \quad \; + 4 \sin 2 ( X - t ) \sin { 2 \Theta } \, ( \lambda - \cos { 2 \Phi } - 4 \cos { 4 \Phi } \cosh 2 ( Z + k h ) ) \bigg ] } \\ & { \quad \; + \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \frac { \sin 2 ( X - t ) } { 2 \cosh ^ { 2 } k h } \sin { 2 \Phi } + \frac { 1 } { 8 } \lambda ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \, \mathrm { C } _ ( Z ) \sin 2 ( X - t ) \sin { 4 \Theta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { m a x } ( u _ { i } ) ^ { 1 / 2 } } & { \leq m ( K ) \leq 8 \sum _ { i = 1 } ^ { s } u _ { i } \ll \sqrt { D } ( \log D ) ^ { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { m a x } ( u _ { i } ) } & { \leq m _ { c l a s s } ( K ) \leq 8 \sum _ { i = 1 } ^ { s } u _ { i } \ll \sqrt { D } ( \log D ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { i , j } ^ { n + 1 } } & { { } = u _ { i , j } ^ { n } + { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { a \Delta t } { ( \Delta x ) ^ { 2 } } } { \big [ } ( u _ { i + 1 , j } ^ { n + 1 } + u _ { i - 1 , j } ^ { n + 1 } + u _ { i , j + 1 } ^ { n + 1 } + u _ { i , j - 1 } ^ { n + 1 } - 4 u _ { i , j } ^ { n + 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \Sigma _ { \boldsymbol { v } _ { 1 } } ^ { X _ { 1 } } ) _ { r , s } } & { = \sum _ { j , l = 1 } ^ { L } \mathbb E \left[ X _ { r - j } ^ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 1 , j } \boldsymbol { v } _ { 1 , l } X _ { s - l } ^ { 1 } \right] } \\ & { = \sum _ { j , l = 1 } ^ { L } \boldsymbol { v } _ { 1 , j } \mathbb E \left[ X _ { r - j } ^ { 1 } X _ { s - l } ^ { 1 } \right] \boldsymbol { v } _ { 1 , l } } \\ & { = \boldsymbol { v } _ { 1 } ^ { \top } \Gamma _ { r , s } \boldsymbol { v } _ { 1 } \, , } \end{array}
F ( x ^ { + } , x ^ { - } , 0 ) = \sum _ { n , m , s , t } \, \, \left( \frac { \pi } { 2 L ^ { 2 } l } \right) ^ { 2 } \langle 0 | \frac { L } { \pi } T ( n , m ) e ^ { - i P _ { o p } ^ { - } x ^ { + } - i P ^ { + } x ^ { - } } \frac { L } { \pi } T ( s , t ) | 0 \rangle \, ,
\begin{array} { r l } { \varepsilon \dot { x } } & { { } = x ( 1 - x ) [ \binom { N - 1 } { M - 1 } x ^ { M - 1 } ( 1 - x ) ^ { N - M } r b - c ] } \\ { \dot { r } } & { { } = r ( 1 - r ) [ \frac { 1 } { 1 + e ^ { \beta ( x - T ) } } - \frac { 1 } { 1 + e ^ { - \beta ( x - T ) } } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle h _ { 2 } h _ { 3 1 } \rangle } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \langle c _ { i } ( t ) \alpha _ { 1 j } ( t ) \rangle \varphi _ { i } ( x ) \varphi _ { j } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { \mathrm { ~ O ~ B ~ C ~ } } = - t _ { 1 } \big ( | 1 \rangle \langle L | + | L \rangle \langle 1 | \big ) - t _ { 2 } \big ( | 1 \rangle \langle L - 1 | + | L - 1 \rangle \langle 1 | + | 2 \rangle \langle L | + | L \rangle \langle 2 | \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 1 } ( k ) } & { = \frac { 2 \cdot ( 2 k ) ! } { \pi ^ { 2 k } ( 2 ^ { 2 k } - 1 ) } \frac { 3 ^ { 2 k } } { ( 3 ^ { 2 k } - \alpha ) } - \frac { 2 \cdot ( 2 k ) ! } { ( 2 \pi ) ^ { 2 k } ( 1 - 2 ^ { - 2 k } ) } } \\ & { = \frac { 2 \cdot ( 2 k ) ! } { \pi ^ { 2 k } ( 2 ^ { 2 k } - 1 ) } \left( \frac { 3 ^ { 2 k } } { 3 ^ { 2 k } - 1 } - 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { 1 } \stackrel { \gamma } { \cap } L _ { 2 } : = \left\{ \vec { x } ^ { \gamma _ { 1 } } \, \vec { y } ^ { \gamma _ { 2 } } \, | \, \vec { x } \in L _ { 1 } , \vec { y } \in L _ { 2 } , \forall _ { ( a , b ) \in \gamma } \, x _ { a } = y _ { b } \right\} , } \end{array}
\epsilon \equiv \Pi \epsilon _ { k } \leq \frac { T _ { 0 } } { T _ { k } } \prod ^ { K } ( 1 - \frac { T _ { k } ^ { \prime \prime } } { T _ { k + 1 } } ) ^ { - 1 } \approx \frac { T _ { 0 } } { T _ { k } } = \frac { E _ { 0 } } { E _ { m a x } }
\begin{array} { r l r } { v _ { r } ( x , y ) } & { { } = } & { \sqrt { v _ { e } ( x , y ) ^ { 2 } + v _ { n } ( x , y ) ^ { 2 } } } \\ { s ( x , y ) } & { { } = } & { v _ { n } ( x , y ) / v _ { r } ( x , y ) } \\ { c ( x , y ) } & { { } = } & { v _ { e } ( x , y ) / v _ { r } ( x , y ) } \end{array}
{ ^ { 2 } \mathfrak { G } _ { p q r s } = { ^ { 2 } } \mathfrak { G } _ { r s p q } ^ { * } = - ^ { 2 } \mathfrak { G } _ { p q s r } = { ^ { 2 } \mathfrak { G } _ { q p s r } } = - ^ { 2 } \mathfrak { G } _ { q p r s } }
\Phi = \left( \begin{array} { c c c } { { { \frac { \pi ^ { 0 } } { \sqrt 2 } } + { \frac { \eta _ { 8 } } { \sqrt 6 } } + { \frac { \eta _ { 0 } } { \sqrt 3 } } } } & { { \pi ^ { + } } } & { { K ^ { + } } } \\ { { \pi ^ { - } } } & { { - { \frac { \pi ^ { 0 } } { \sqrt 2 } } + { \frac { \eta _ { 8 } } { \sqrt 6 } } + { \frac { \eta _ { 0 } } { \sqrt 3 } } } } & { { K ^ { 0 } } } \\ { { K ^ { - } } } & { { \bar { K } ^ { 0 } } } & { { - { \frac { 2 \eta _ { 8 } } { \sqrt 6 } } + { \frac { \eta _ { 0 } } { \sqrt 3 } } } } \end{array} \right) \ ,