harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
F _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 d \cos \bar { \theta } _ { \mathrm { e } } } \left( M _ { 0 } \cos \psi + \sqrt { M _ { 0 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \psi + 8 m g d \bar { I } \cos \bar { \theta } _ { \mathrm { e } } } \right)
D _ { \mathrm { c a n . } } ( Q ^ { 2 } ) = a ^ { \overline { { \mathrm { M S } } } } ( Q ^ { 2 } ) \times \left[ 1 + d _ { 1 } ^ { ( 0 ) } a ^ { \overline { { \mathrm { M S } } } } ( Q ^ { 2 } ) + d _ { 2 } ^ { ( 0 ) } \left( a ^ { \overline { { \mathrm { M S } } } } ( Q ^ { 2 } ) \right) ^ { 2 } + d _ { 3 } ^ { ( 0 ) } \left( a ^ { \overline { { \mathrm { M S } } } } ( Q ^ { 2 } ) \right) ^ { 3 } + \cdots \right] \ ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { m \in \mathcal { S } } K ( \theta _ { 1 } ; i , m ) } & { K ( \theta _ { 2 } ; j , m ) K ( \theta _ { 3 } ; k , m ) } \\ & { = f ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } , \theta _ { 3 } ) K ( \pi - \theta _ { 1 } ; j , k ) K ( \pi - \theta _ { 2 } ; k , i ) K ( \pi - \theta _ { 3 } ; i , j ) , } \\ { \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } + \theta _ { 3 } } & { = \pi \, , } \end{array}
[ \mathrm { a d } _ { \mathbf { f } } ^ { k } \mathbf { \mathbf { g } } ] = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { \mathbf { f } } & { \cdots } & { j } & { \cdots } & { \mathbf { [ \mathbf { f } , \mathbf { g } ] } } \end{array} \right] } .
\mathbf { a } = \mathbf { c } \times \mathbf { d } = { \left( \begin{array} { l } { c _ { 2 } d _ { 3 } - c _ { 3 } d _ { 2 } } \\ { c _ { 3 } d _ { 1 } - c _ { 1 } d _ { 3 } } \\ { c _ { 1 } d _ { 2 } - c _ { 2 } d _ { 1 } } \end{array} \right) }
\mathrm { I s o p } ( C ) = \frac { 1 } { d } \frac { | \partial C | _ { d - 1 } } { | C | _ { d } } = \frac { 1 } { d } \frac { | \partial C | _ { d - 1 } } { | C | _ { d } ^ { d - 1 / d } } | C | _ { d } ^ { - 1 / d } \geq \frac { 1 } { d } \frac { | \partial B _ { 2 } ^ { d } | _ { d - 1 } } { | B _ { 2 } ^ { d } | _ { d } ^ { d - 1 / d } } | C | _ { d } ^ { - 1 / d } = \frac { \kappa _ { d } ^ { 1 / d } } { | C | _ { d } ^ { 1 / d } } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { k \in \mathcal { K } } d _ { k } \cdot v _ { k } \cdot \frac { k - 1 } { k ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 } { \lambda ^ { * } } } & { = \sum _ { k \in \mathcal { K } } d _ { k } \cdot h ( x _ { k } ^ { * } ) , } \\ { \sum _ { k \in \mathcal { K } } d _ { k } \cdot v _ { k } \cdot \frac { k - 1 } { k ^ { 2 } } \cdot \frac { \sum _ { \ell } d _ { \ell } } { \lambda ^ { u } } } & { = \sum _ { k \in \mathcal { K } } d _ { k } \cdot h ( x ^ { u } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbf Y } _ { D } } & { = { \textbf H } _ { S D } { \mathbf X } _ { S } + { \textbf H } _ { R D } { \mathbf X } _ { R } + { \mathbf W } _ { D } } \\ & { = [ { \textbf H } _ { S D } , { \textbf H } _ { R D } ] \left[ \begin{array} { l } { { \mathbf U } [ { \mathbf I } _ { N _ { S } } , \mathbf { 0 } _ { N _ { S } \times n _ { r } } , { \mathbf V } _ { S } ] } \\ { \mathbf { 0 } _ { n _ { r } \times N _ { S } } , { \mathbf I } _ { n _ { r } } , { \mathbf V } _ { R } } \end{array} \right] + { \mathbf W } _ { D } } \\ & { = [ { \textbf H } _ { S D } { \mathbf U } , { \textbf H } _ { R D } ] \Bigg [ { \mathbf I } _ { ( N _ { S } + n _ { r } ) } , \left[ \begin{array} { l } { { \mathbf V } _ { S } } \\ { { \mathbf V } _ { R } } \end{array} \right] \Bigg ] + { \mathbf W } _ { D } . } \end{array}
\frac { \langle \phi _ { 1 } \rangle } { \langle \phi _ { 2 } \rangle } , \frac { \langle \phi _ { 3 } \rangle } { \langle \phi _ { 4 } \rangle } , \frac { \langle \phi _ { 5 } \rangle } { \langle \phi _ { 6 } \rangle } \in \{ - 1 , 1 \} ,
\mathbf { E } ( \mathbf { r } ) = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \int { \frac { \rho ( \mathbf { s } ) ( \mathbf { r } - \mathbf { s } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { s } | ^ { 3 } } } \, \mathbf { d } ^ { 3 } \mathbf { s }
\dot { n } _ { b } ^ { h } = [ { \frac { f } { 1 - f } } ] [ - n _ { b } ^ { h } \lambda _ { h } + n _ { b } ^ { q } \lambda _ { q } + n _ { b } ^ { h } { \frac { \dot { f } } { f } } ] - n _ { b } ^ { h } { \frac { \dot { V } ( t ) } { V ( t ) } } ,
\frac { 1 } { | \vec { r } - \vec { r } ^ { \prime } | } = \sum _ { \ell m } \frac { 4 \pi } { 2 \ell + 1 } \frac { r _ { < } ^ { \ell } } { r _ { > } ^ { \ell + 1 } } X _ { \ell m } ( \hat { r } ) X _ { \ell m } ( \hat { r } ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { 2 } ^ { \prime } } & { = \frac 1 2 \rho _ { 2 } , } \\ { \mu _ { 2 } ^ { \prime } } & { = l _ { 2 2 } \mu _ { 2 } \left( l _ { 2 2 } ^ { 3 } \mu _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \delta \rho _ { 2 } ^ { 3 } - l _ { 2 2 } \right) , } \\ { l _ { 2 2 } ^ { \prime } } & { = - l _ { 2 2 } \left( l _ { 2 2 } ^ { 4 } \mu _ { 2 } ^ { 2 } - \delta l _ { 2 2 } \rho _ { 2 } ^ { 3 } - l _ { 2 2 } ^ { 2 } + \frac 1 2 \right) , } \end{array}
W _ { b } = \frac { 2 } { \lambda + g } \left( \int _ { 0 } ^ { s } d l \rho ( l ) \int _ { 0 } ^ { l } d t _ { 1 } + \int _ { s } ^ { \infty } d l \rho ( l ) \int _ { l - s } ^ { l } d t _ { 1 } \right)
\begin{array} { r l } { A _ { \phi } } & { { } = \pm \frac { \epsilon _ { \mathrm { w } } } { \cosh k h } \lambda \sqrt { \sinh ^ { 2 } ( Z + k h ) + \sin ^ { 2 } { 2 \Phi } } , } \\ { L _ { \phi } } & { { } = \arctan \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left[ - \frac { \operatorname { t a n h } ( Z + k h ) } { \tan { 2 \Phi } } \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right] . } \end{array}
\hat { \sigma } ( \hat { s } , g g \rightarrow \tilde { \chi } _ { 1 } ^ { + } \mu ^ { - } ) = \frac { 1 } { 1 6 \pi \hat { s } ^ { 2 } } \int _ { \hat { t } ^ { - } } ^ { \hat { t } ^ { + } } d \hat { t } ~ \bar { \sum _ { } ^ { } } | { \cal M } | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { f ( v , \theta , \phi ) d v { d \theta } d \phi } & { { } = c o n s t . { \times } ( v \cos { \theta } ) { \times } e ^ { - { \frac { m v ^ { 2 } } { 2 k _ { B } T } } } { \times } ( v ^ { 2 } \sin { \theta } d v { d \theta } d \phi ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { \zeta \in \Sigma _ { 1 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { \zeta \in \Sigma _ { 2 } \cup \Sigma _ { 4 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) , } & & { \zeta \in \Sigma _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textrm { I n s e t r i n g s : } \phi _ { 1 / 2 } } & { { } = ( 0 - 2 \pi ) } \\ { a _ { 1 / 2 } } & { { } = 0 } \\ { R _ { 1 } } & { { } = 0 . 7 } \\ { R _ { 2 } } & { { } = 1 . 3 } \end{array}
\hat { L } _ { I } = { l } _ { 0 } + \sum _ { a i } { l } _ { a } ^ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { a } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { a b i j } { l } _ { a b } ^ { i j } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { b } \hat { a } _ { a }
\gamma ^ { \prime } = \gamma + \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { \vdots } } \\ { { 1 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { \vdots } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { \! \operatorname* { m a x } _ { \pi _ { n , k } , P _ { n , k } } } & { \quad } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K _ { s } } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { c } } r _ { n , k } \pi _ { n , k } } \\ & { \mathrm { s . t . } } & { C _ { 1 } : } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K _ { s } } \pi _ { n , k } \leq 1 \quad \forall n , } \\ & { } & { C _ { 2 } : } & { \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { c } } r _ { n , k } \pi _ { n , k } \geq R _ { 0 } \quad \forall k , } \\ & { } & { C _ { 3 } : } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K _ { s } } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { c } } P _ { n , k } \leq \frac { P _ { t } \theta } { 3 6 0 } , } \\ & { } & { C _ { 4 } : } & { \pi _ { n , k } \in \{ 0 , 1 \} \quad \forall n , k , } \\ & { } & { C _ { 5 } : } & { P _ { n , k } \geq 0 \quad \forall n , k . } \end{array}
\Omega _ { 7 5 } \equiv 8 \pi \overline { { { G } } } \, \rho _ { 0 } ^ { \mathrm { m a t t e r } } / [ 3 ( 7 5 \ \mathrm { k m ~ s } ^ { - 1 } \mathrm { M p c } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } ] = \rho _ { 0 } ^ { \mathrm { m a t t e r } } / 1 . 0 5 6 8 \times 1 0 ^ { - 2 9 } \mathrm { g ~ c m } ^ { - 3 } \ .
\begin{array} { r l } { N ^ { - 2 / 3 } \bar { V } _ { N } } & { = N ^ { - 2 / 3 } \langle v _ { N } , \bar { \rho } _ { N } \rangle _ { H ^ { 1 } , H ^ { - 1 } } + N ^ { - 2 / 3 } \langle w _ { N } , \bar { \rho } _ { N } \rangle _ { H ^ { 1 } , H ^ { - 1 } } } \\ & { \to \langle v _ { \ast } , n \rangle _ { H ^ { 1 } , H ^ { - 1 } } + O ( r ^ { 3 / 2 } ) = \int _ { \Omega } v _ { \ast } n + O ( r ^ { 3 / 2 } ) , } \end{array}
- \frac { 1 + { \alpha } ^ { 2 } } { \gamma { \mu } _ { 0 } } \frac { d } { d t } \left( \begin{array} { c } { m _ { x ^ { { ' } } } } \\ { m _ { y ^ { { ' } } } } \end{array} \right) = { \bf { m } } \left( \begin{array} { c } { m _ { x ^ { { ' } } } } \\ { m _ { y ^ { { ' } } } } \end{array} \right) + \bf { { G } }
\begin{array} { r l } { \nabla p - \eta \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { v } } & { { } = \boldsymbol { f } + \sqrt { 2 k _ { B } T \eta } ~ \nabla \cdot \mathcal { Z } } \\ { \nabla \cdot \boldsymbol { v } } & { { } = 0 , } \end{array}
E \approx \sqrt { \frac { g _ { \mathrm { s } } e ^ { 2 } p _ { \mathrm { F } } ( r ) ^ { 2 } } { 2 m \varepsilon _ { \mathrm { a v g } } \hbar } q } = \sqrt { \frac { 2 \pi e ^ { 2 } \hbar n ( r ) } { m \varepsilon _ { \mathrm { a v g } } } q } ,
\begin{array} { r c l } { { \nu } } & { { = } } & { { \nu _ { o } + \frac { \displaystyle \left( E _ { q - \mathrm { r o t } } ( J + 2 ) - E _ { q - \mathrm { r o t } } ( J ) \right) } { \displaystyle h c } ~ , } } \\ { { } } & { { = } } & { { \nu _ { 0 } + B \left( [ J + 3 ] _ { q } [ J + 2 ] _ { q } - [ J + 1 ] _ { q } [ J ] _ { q } \right) ~ , } } \end{array}
2 f _ { \pi } ^ { 2 } ( m _ { \pi ^ { + } } ^ { 2 } - m _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } ) _ { S D } \approx \frac { 9 } { 8 \pi } \imath e ^ { 2 } \int _ { Q _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { d ^ { 4 } \, q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { - M _ { Z } ^ { 2 } } { q ^ { 2 } ( q ^ { 2 } - M _ { Z } ^ { 2 } ) } [ m _ { u } ( q ^ { 2 } ) + m _ { d } ( q ^ { 2 } ) ] ^ { 2 } \; .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg ( \int _ { 0 } ^ { T _ { 1 } } \bigg | \sigma _ { t } ( \overline { { Y } } _ { t } ) \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } u _ { t } ^ { m } ( \overline { { Y } } _ { t } ) \bigg | ^ { 2 } \, \mathrm { d } t \bigg ) } & { \le \Lambda \mathbb { E } \bigg ( \int _ { 0 } ^ { T _ { 1 } } \left\lVert \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } u _ { t } ^ { m } \right\rVert _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \, \mathrm { d } t \bigg ) } \\ & { \le \Lambda \mathbb { E } \bigg ( \int _ { 0 } ^ { T _ { 1 } } \left\lVert u _ { t } ^ { m } \right\rVert _ { W ^ { 2 , 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \, \mathrm { d } t \bigg ) < \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \sigma _ { n 2 } ) ^ { 2 } + \frac { \mathbb { V } \{ a _ { \mathrm { j i t t e r } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} } { ( \omega V _ { 0 } ) ^ { 2 } } } & { { } = ( 4 5 . 9 \mathrm { p s } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } , \mathbf { u } , \mathbf { w } , d } } & { \quad e _ { h } g _ { k } ( x _ { k } , u _ { k } , w _ { k } , d ) } \\ { \quad \mathrm { s . t . ~ } } & { ( \mathbf { x } , \mathbf { u } ) = \mathbf { z } ( \mathbf { q } ^ { j } , r ^ { j } , \mathbf { w } , d ) } \\ & { ( \mathbf { w } , d ) \in \mathbb { W } ^ { N } \times \mathbb { D } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \alpha \in \Lambda ^ { L } ( m , n ) } c _ { \ell _ { r , s } ^ { n } } ( \alpha ) | z ^ { \alpha } | } & { \prec _ { C ^ { m } } \log ( L ) ^ { m ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \sum _ { \alpha \in \Lambda ^ { L } ( m , n ) } | [ \alpha ] | ^ { 1 / r } | z ^ { \alpha } | } \\ & { \prec _ { C ^ { m } } \left( \log ( L ) ^ { m ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \left| \Lambda ^ { L } ( m , n ) \right| ^ { 1 / r ^ { \prime } } \right) \| z \| _ { \ell _ { r } } ^ { m } } \\ & { \prec _ { C ^ { m } } \| z \| _ { \ell _ { r } } ^ { m } \log ( L ) ^ { m ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \left( \frac { n } { L } \right) ^ { L / r ^ { \prime } } } \\ & { = \| z \| _ { \ell _ { r } } ^ { m } \, \Big ( \frac { n } { m } \Big ) ^ { m / r ^ { \prime } } \log ( L ) ^ { m ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \Big ( \frac { m ^ { m } } { n ^ { m - L } L ^ { L } } \Big ) ^ { \frac { 1 } { r ^ { \prime } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle g ( T _ { a } , u , V ) \rangle = \underbrace { g ( \langle T _ { a } \rangle , \langle u \rangle , \langle V \rangle ) } _ { \mathrm { I } } + \underbrace { 1 / 2 g _ { T _ { a } T _ { a } } \sigma _ { T _ { a } } ^ { 2 } } _ { \mathrm { I I } } + \underbrace { g _ { T _ { a } u } \mathrm { c o v } ( T _ { a } , u ) } _ { \mathrm { I I I } } } \\ & { + \underbrace { g _ { T _ { a } V } \mathrm { c o v } ( T _ { a } , V ) } _ { \mathrm { I V } } + \underbrace { g _ { u V } \mathrm { c o v } ( u , V ) } _ { \mathrm { V } } + \underbrace { \langle \mathrm { H . O . T . } \rangle } _ { \mathrm { V I } } , } \end{array}
R _ { \mathrm { ~ G ~ W ~ - ~ I ~ P ~ A ~ } } ^ { y y y } ( \textbf { k } ) = { \mathrm { ~ I ~ m ~ } } [ \textbf { x } _ { m n } ^ { y } [ \textbf { x } _ { n m } ^ { y } ] _ { ; k _ { y } } ] / \left| \textbf { x } _ { m n } ^ { y } \right| ^ { 2 }
H _ { c o l l } = - L _ { c o l l } + \frac { \partial L _ { c o l l } } { \partial \Omega _ { i } } \Omega _ { i } \, \quad = \frac { 8 m } { \sqrt { \pi } } + \frac { 1 } { 2 { \cal I } } { \bf J } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 { \cal I } } ( J _ { 3 } ) ^ { 2 } .
G _ { d f } ^ { - , + } ( \textbf { x } _ { v } , \textbf { x } _ { v } ^ { \prime } , \omega ) = \int _ { \mathcal { D } _ { a c q } } G _ { M a r } ^ { - } ( \textbf { x } _ { v } , \textbf { x } _ { r } , \omega ) \mathcal { F } _ { 1 } ^ { + } ( \textbf { x } _ { r } , \textbf { x } _ { v } ^ { \prime } , \omega ) \, d \textbf { x } _ { r } ,
\kappa = \left\lfloor a + { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } b \right\rceil + \left\lfloor { \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } } b \right\rceil \omega \ \ { \mathrm { ~ a n d ~ } } \ \ \rho = { \alpha } - \kappa \beta .
\begin{array} { r l } & { \| \mathbb { E } \{ X ^ { \eta } ( t ) \} \| ^ { 2 } } \\ & { = \{ ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } \eta ^ { T } X ( 0 ) + [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } ] \zeta _ { 1 } \} ^ { 2 } } \\ & { \ge ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { 2 t } \| X ^ { \eta } ( 0 ) \| ^ { 2 } - 2 \lambda _ { 1 } t ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } \| X ^ { \eta } ( 0 ) \| | \zeta _ { 1 } | } \\ & { \| \mathbb { E } \{ X ^ { \xi } ( t ) \} \| ^ { 2 } } \\ & { = \Big \{ ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } \xi ^ { T } X ( 0 ) + \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } } [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } ] \zeta _ { 2 } \Big \} ^ { 2 } } \\ & { \ge ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { 2 t } \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| ^ { 2 } - 2 \lambda _ { 1 } t ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| | \zeta _ { 2 } | . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { A _ { 1 } ^ { r } } \\ { B _ { 1 } ^ { r } } \end{array} \right) = { \mathcal U } _ { 1 } ( s ) \left( \begin{array} { c } { A _ { 1 } ^ { l } } \\ { B _ { 1 } ^ { l } } \end{array} \right) + \frac { 1 } { \sqrt { s D _ { 1 } } } \left( \begin{array} { c } { \sinh ( \sqrt { s / D _ { 1 } } [ x _ { 0 } - a _ { 1 } ] ) } \\ { - \cosh ( \sqrt { s / D _ { 1 } } [ x _ { 0 } - a _ { 1 } ] ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { L } { 2 } \mathbb { E } \left\| \overline { { \mathbf { x } ^ { t + 1 } } } - \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } \right\| ^ { 2 } = \frac { L } { 2 } \mathbb { E } \left\| \overline { { \mathbf { z } ^ { t } } } - \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } \right\| ^ { 2 } } & { \leq \frac { L } { 2 } \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left\| \mathbf { y } ^ { t , K } ( i ) - \mathbf { x } ^ { t } ( i ) \right\| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { L } { 2 } \mathbb { E } \left\| \frac { - \eta \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \nabla F _ { i } ( \mathbf { y } ^ { t , k } + \delta _ { i , k } ; \xi ) } { m } \right\| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { \eta ^ { 2 } L } { 2 m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \mathbb { E } \| \nabla F _ { i } ( \mathbf { y } ^ { t , k } + \delta _ { i , k } ; \xi ) - \nabla F _ { i } ( \mathbf { y } ^ { t , k } ; \xi ) + \nabla F _ { i } ( \mathbf { y } ^ { t , k } ; \xi ) } \\ & { - \nabla f _ { i } ( \mathbf { x } ^ { t } ) + \nabla f _ { i } ( \mathbf { x } ^ { t } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { a ) } { \leq } \frac { 3 \eta ^ { 2 } K L } { 2 } \left( L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } + \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } \| \nabla f ( \mathbf { x } ^ { t } ( i ) \| ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c c } { { w _ { i } } _ { t } = D _ { i } { w _ { i } } _ { x x } - { w _ { i } } _ { x } + \phi ( w ) F _ { i } ( x , t , w ) , } & { x \in ( 0 , 1 ) , 0 < t < T , i = 1 , . . . , \tilde { m } , } \\ { - D _ { i } { w _ { x } } _ { i } ( 0 , t ) + w _ { i } ( 0 , t ) = \delta _ { i } , \, { w _ { i } } _ { x } ( 1 , t ) = 0 } & { 0 < t < T , i = 1 , . . . , \tilde { m } , } \\ { w _ { i } ( x , 0 ) = { w _ { 0 } } _ { i } ( x ) , } & { x \in ( 0 , 1 ) , i = 1 , . . . , \tilde { m } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \delta \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \left[ \mathbf { p } \cdot { \dot { \mathbf { q } } } - H ( \mathbf { q } , \mathbf { p } , t ) \right] d t } & { { } = 0 } \\ { \delta \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \left[ \mathbf { P } \cdot { \dot { \mathbf { Q } } } - K ( \mathbf { Q } , \mathbf { P } , t ) \right] d t } & { { } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ^ { * } ( x ) : = } & { \operatorname* { m i n } _ { \beta } J ( x ; \beta ) } \\ { = \operatorname* { m i n } _ { \beta } } & { \ \mathbb { E } \Big [ \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \gamma t } C ( X ( t ) , \ B ( t ) ) d t \Big \vert X ( 0 ) = x , B ( t ) } \\ { \sim \beta } & { ( X ( t ) ) , \ X ( t + d t ) \sim P _ { \mathrm { R } } ( \cdot \mid X ( t ) , B ( t ) ) \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 1 } \vec { I } + \alpha _ { 2 } \vec { T } } & { + \alpha _ { 3 } ( \nabla \rho \otimes \nabla \rho ) + \alpha _ { 4 } \vec { T } ^ { 2 } } \\ & { + \alpha _ { 5 } \left( \nabla \rho \otimes \vec { T } \nabla \rho + \vec { T } \nabla \rho \otimes \nabla \rho \right) + \alpha _ { 6 } \left( \nabla \rho \otimes \vec { T } ^ { 2 } \nabla \rho + \vec { T } ^ { 2 } \nabla \rho \otimes \nabla \rho \right) = \vec { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { j ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } ) } & { { } = j ( \mathbf { x } _ { 1 } ) j ( \mathbf { x } _ { 2 } ) \ldots { } j ( \mathbf { x } _ { N } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sqrt { n } \left( p _ { i } ^ { n } ( t ) - \Lambda _ { i } ^ { - 1 } \left( \lambda _ { i } ^ { * } \right) \right) = \frac { \left( \Lambda _ { i } ^ { - 1 } \right) ^ { \prime } \left( \lambda _ { i } ^ { * } \right) } { 2 \alpha _ { i } } v \left( \frac { W ^ { n } ( t ) } { \sqrt { n } } \right) + O \left( \frac { 1 } { \sqrt { n } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { x ^ { k - \tau _ { k } } } ( x ^ { k + 1 } , \xi ^ { k - \tau _ { k } } ) + \omega ( x ^ { k + 1 } ) + \frac { \gamma } { 2 } \| x ^ { k + 1 } - y ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ( 1 - \theta ) \left[ f _ { x ^ { k - \tau _ { k } } } ( x ^ { k } , \xi ^ { k - \tau _ { k } } ) + \omega ( x ^ { k } ) \right] + \theta \big [ f ( \hat { z } ^ { k } ) + \omega ( \hat { z } ^ { k } ) + \frac { \kappa } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - x ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } \big ] } \\ & { - \frac { \kappa \theta ^ { 2 } } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - x ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { \gamma \theta ^ { 2 } } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k } \| ^ { 2 } - \frac { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } . } \\ { = } & { ( 1 - \theta ) \left[ f _ { x ^ { k - \tau _ { k } } } ( x ^ { k } , \xi ^ { k - \tau _ { k } } ) + \omega ( x ^ { k } ) \right] + \theta [ f ( \hat { z } ^ { k } ) + \omega ( \hat { z } ^ { k } ) ] + \frac { \kappa \theta - \kappa \theta ^ { 2 } } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - x ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { \lambda \theta } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } } \\ & { + \frac { \gamma \theta ^ { 2 } } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k } \| ^ { 2 } - \frac { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ( 1 - \theta ) \left[ f _ { x ^ { k - \tau _ { k } } } ( x ^ { k } , \xi ^ { k - \tau _ { k } } ) + \omega ( x ^ { k } ) \right] + \theta [ f ( \hat { z } ^ { k } ) + \omega ( \hat { z } ^ { k } ) ] + \frac { \lambda \theta } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } } \\ & { + \frac { \gamma \theta ^ { 2 } } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k } \| ^ { 2 } - \frac { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } + \theta \kappa \beta [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } + \| \hat { z } ^ { k } - x ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } ] } \\ { \leq } & { ( 1 - \theta ) \left[ f _ { x ^ { k - \tau _ { k } } } ( x ^ { k } , \xi ^ { k - \tau _ { k } } ) + \omega ( x ^ { k } ) \right] + \theta [ f ( \hat { z } ^ { k } ) + \omega ( \hat { z } ^ { k } ) ] + \theta ( \kappa \beta + \lambda ) \| \hat { z } ^ { k } - x ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { + \lambda \theta \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } + \frac { \gamma \theta ^ { 2 } } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k } \| ^ { 2 } - \frac { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } + \theta \kappa \beta \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } , } \end{array}
S ^ { \star } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int d t \int d \xi _ { ( i ) } ^ { D - 1 } \dot { X } _ { ( i ) } ^ { \mu } ( t ; \xi ) v ^ { \mu } ( X _ { ( i ) } ) - ( \mathrm { ~ L a n d a u ~ g a u g e ~ Q E D } ) ,
\begin{array} { r l r } { \Delta E } & { { } = } & { 2 \partial _ { \lambda } E _ { 0 } + \frac { 1 } { 3 } \partial _ { \lambda } ^ { 3 } E _ { 0 } + \frac { 1 } { 6 0 } \partial _ { \lambda } ^ { 5 } E _ { 0 } + . . . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( \pi ) } & { { } = \underbrace { { { \mathbb { E } } _ { q ( \eta ) } } [ \ln { { q } _ { \mu } } ( \eta ) - \ln p ( \eta , b ) ] } _ { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ i ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ a ~ l ~ f ~ r ~ e ~ e ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 0 } ) \rightarrow \left( \partial _ { T _ { 0 } T _ { 0 } } ^ { 2 } + \frac { R _ { m s } } { M _ { m s } \omega _ { \infty } } \partial _ { T _ { 0 } } + 1 \right) v _ { 0 } = } & { 0 , } \\ { \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 1 } ) \rightarrow \left( \partial _ { T _ { 0 } T _ { 0 } } ^ { 2 } + \frac { R _ { m s } } { M _ { m s } \omega _ { \infty } } \partial _ { T _ { 0 } } + 1 \right) v _ { 1 } = } & { \frac { S _ { d } } { M _ { m s } \omega _ { m } } \partial _ { T _ { 0 } } \left[ 1 - \left( 1 - \frac { Z _ { m s } ( \omega _ { c } ) } { Z _ { t } \left( 1 + A \cos \left( T _ { 1 } + \phi _ { m } \right) \right) } \right) W ( \omega ) \right] p _ { f } ( T _ { 0 } ) } \\ & { - ( 2 \partial _ { T _ { 0 } T _ { 1 } } ^ { 2 } + \frac { R _ { m s } } { M _ { m s } \omega _ { \infty } } \partial _ { T _ { 1 } } ) v _ { 0 } . } \end{array}