harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \{ \tilde { \bf L } _ { 1 } ^ { \pm } ( { \bf s } , x _ { 3 } ) \} ^ { * } } & { = } & { { \bf J } _ { 1 1 } { \tilde { \bar { \bf L } } } _ { 1 } ^ { \mp } ( - { \bf s } , x _ { 3 } ) { \bf K } _ { 1 2 } , } \\ { \{ \tilde { \bf L } _ { 2 } ^ { \pm } ( { \bf s } , x _ { 3 } ) \} ^ { * } } & { = } & { { \bf J } _ { 2 2 } { \tilde { \bar { \bf L } } } _ { 2 } ^ { \mp } ( - { \bf s } , x _ { 3 } ) { \bf K } _ { 1 2 } , } \end{array}
G _ { i j } ^ { \prime } = G _ { i r } R _ { r m } ^ { - 1 } \ensuremath { Q _ { m n ^ { \prime } } ^ { \scriptscriptstyle \dag } } \ensuremath { \phi _ { n ^ { \prime } j } ^ { \scriptscriptstyle \dag } } = \phi _ { i n } \ensuremath { \phi _ { n j } ^ { \scriptscriptstyle \dag } } = G _ { i j }
\pi = 3 + { \frac { 4 } { 2 \times 3 \times 4 } } - { \frac { 4 } { 4 \times 5 \times 6 } } + { \frac { 4 } { 6 \times 7 \times 8 } } - { \frac { 4 } { 8 \times 9 \times 1 0 } } + \cdots
\mathcal { A } _ { x } = - \frac { \mathcal { B } } { 2 } y - \delta \frac { y } { r ^ { 2 } } , \quad \mathcal { A } _ { y } = \frac { \mathcal { B } } { 2 } x + \delta \frac { x } { r ^ { 2 } } ,
\begin{array} { l l } { { a = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { { I _ { R } + V _ { R } } } & { { - T } } \\ { { - S } } & { { I _ { L } + V _ { L } } } \end{array} \right) } } & { { b = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { { I _ { R } - V _ { R } } } & { { - T } } \\ { { S } } & { { - I _ { L } + V _ { L } } } \end{array} \right) } } \\ { { } } & { { } } \\ { { c = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { { I _ { R } - V _ { R } } } & { { T } } \\ { { - S } } & { { - I _ { L } + V _ { L } } } \end{array} \right) } } & { { d = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { { I _ { R } + V _ { R } } } & { { T } } \\ { { S } } & { { I _ { L } + V _ { L } } } \end{array} \right) } } \end{array} .
\mathbf P ( \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 2 } ) = \left[ \begin{array} { l } { p ( \zeta _ { 2 } ) + p ( \zeta _ { 1 } ) } \\ { \displaystyle \frac { p ( \zeta _ { 2 } ) - p ( \zeta _ { 1 } ) } \Delta } \end{array} \right] = \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \mathbf F _ { k } ( \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 2 } ) ,
\psi _ { m } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } ( x _ { 1 2 } ) = \psi _ { m } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } ( 0 ) [ 1 + ( 1 / 2 ) | x _ { 1 2 } | + O ( x _ { 1 2 } ^ { 2 } ) ]
F \left( \kappa ; x , y \right) \equiv \exp \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { \left( - 1 \right) ^ { n } } { n } } \kappa ^ { n } \left\{ \left( x ^ { n } + y ^ { n } \right) - { \frac { n } { n + 1 } } \left( x ^ { n + 1 } - y ^ { n + 1 } \right) \right\} \right] \ ,
\begin{array} { r } { \mathcal { H } _ { q } \psi = - \frac { \hbar ^ { 2 } c ^ { 2 } } { f _ { q } ^ { 2 } } \gamma _ { 0 } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } { \left( \partial _ { \mu } \varphi ^ { 2 } \right) } \psi \, , } \end{array}
T ( x ) = T _ { 0 } \; \mathrm { a r c s i n h } \left[ \sqrt { \frac { E ^ { 2 } T _ { 2 } ^ { 2 } } { \Pi ^ { 2 } ( 1 - E ^ { 2 } ) } - 1 } \; \sin \left( \frac { \sqrt { 1 - E ^ { 2 } } } { T _ { 0 } } x \right) \right] .
\tilde { \rho } _ { { \left| 1 \right\rangle } _ { \theta } } ( \omega ) = \frac { ( 2 N + 1 ) e ^ { - \frac { | \omega | } { 2 } } - e ^ { - \left( \frac 1 2 - \xi - i \chi \right) | \omega | } - e ^ { - \left( \frac 1 2 - \xi + i \chi \right) | \omega | } - 1 } { 2 \left( e ^ { - | \omega | } + 1 \right) } + \Delta \tilde { \rho } _ { \theta } ( \omega ) .
\phi _ { C } = \mathrm { a c o s } \left\{ \mathrm { M i n } \left[ 1 , { \frac { 1 } { 2 S c } } \mathrm { a t a n h } \left( \mathrm { s i n } { \frac { | \Delta | } { 2 } } \right) \right] \right\}
\frac { \partial \underline { { \hat { Q } } } } { \partial \underline { { \mathcal { T } } } } + \frac { \partial \underline { { \hat { E } } } _ { e } } { \partial \underline { { \xi } } } + \frac { \partial \underline { { \hat { F } } } _ { e } } { \partial \underline { { \eta } } } + \frac { \partial \underline { { \hat { G } } } _ { e } } { \partial \underline { { \zeta } } } = \frac { M _ { j } } { R e } \left( \frac { \partial \underline { { \hat { E } } } _ { v } } { \partial \underline { { \xi } } } + \frac { \partial \underline { { \hat { F } } } _ { v } } { \partial \underline { { \eta } } } + \frac { \partial \underline { { \hat { G } } } _ { v } } { \partial \underline { { \zeta } } } \right) \, \mathrm { ~ , ~ }
\sigma _ { 0 } ^ { n } ( \lambda ) = s ( \lambda - { \frac { ( - ) ^ { n } } { \alpha _ { 0 } } } ) = { \frac { 1 } { 2 \cosh \Bigl ( \pi ( \lambda - { \frac { ( - ) ^ { n } } { \alpha _ { 0 } } } ) \Bigr ) } } \, ,
\mathbf { A } \cdot \mathbf { U } = A ^ { \mu } U _ { \mu } = { \frac { d U ^ { \mu } } { d \tau } } U _ { \mu } = { \frac { 1 } { 2 } } \, { \frac { d } { d \tau } } ( U ^ { \mu } U _ { \mu } ) = 0
\begin{array} { r l r } { \left\vert \nabla \theta _ { A \left( t \right) s } \right\vert } & { \leq } & { e ^ { C t \left\vert \xi \right\vert } \left( \left\vert \nabla \theta _ { s } \right\vert + t \left\vert \nabla d \xi \right\vert \right) } \\ & { } & { + C e ^ { C t \left\vert \xi \right\vert } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - C \tau \left\vert \xi \right\vert } \left( \left\vert b _ { A \left( \tau \right) s } \right\vert \left\vert d \xi \right\vert \left\vert \theta _ { A \left( \tau \right) s } \right\vert + \left\vert d b _ { A \left( \tau \right) s } \right\vert \left\vert \xi \right\vert \left\vert \theta _ { A \left( \tau \right) s } \right\vert \right) d \tau } \\ & { \leq } & { e ^ { C t \left\vert \xi \right\vert } \left( \left\vert \nabla \theta _ { s } \right\vert + t \left\vert \nabla d \xi \right\vert \right) } \\ & { } & { + C e ^ { C t \left\vert \xi \right\vert } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - C \tau \left\vert \xi \right\vert } \left( \left\vert d \xi \right\vert \left\vert \theta _ { A \left( \tau \right) s } \right\vert + \left\vert \theta _ { A \left( \tau \right) s } \right\vert ^ { 2 } \left\vert \xi \right\vert \right) d \tau } \end{array}
1 0 0 \uparrow \uparrow 4 = ( 1 0 \uparrow ) ^ { 2 } ( 2 \times 1 0 ^ { 2 0 0 } + 0 . 3 ) = ( 1 0 \uparrow ) ^ { 2 } ( 2 \times 1 0 ^ { 2 0 0 } ) = ( 1 0 \uparrow ) ^ { 3 } 2 0 0 . 3 = ( 1 0 \uparrow ) ^ { 4 } 2 . 3
\sigma ( B ) - \sigma ( 0 ) = + { \frac { e ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } \hbar } } \left[ \ln \left( { \frac { B _ { \phi } } { B } } \right) - \psi \left( { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { B _ { \phi } } { B } } \right) \right]
K \Big ( \vec { q } _ { f } ( \vec { n } ) , t _ { f } ; \vec { q } _ { i } ( \vec { n } ) , t _ { i } \Big ) = \prod _ { \vec { n } } { \cal D } \vec { q } ( \vec { n } , t ) \, e ^ { i S [ \vec { q } ( \vec { n } , t ) ] }
\left[ h ( w ) h ^ { - 1 } ( x ) \psi ( x ) \right] ^ { a } \left[ h ( w ) h ^ { - 1 } ( y ) \psi ( y ) \right] ^ { b } \left[ h ( w ) h ^ { - 1 } ( z ) \psi ( l ) \right] ^ { c } \epsilon ^ { a b c } \, ,
\begin{array} { r } { \left\| E _ { 1 } \right\| _ { 2 \to 2 } \le C h _ { \ell - 1 } ^ { - d } h _ { \ell } ^ { d - 2 } \left( 2 \frac { \epsilon _ { \ell } } { 2 C _ { p r o } } + \frac { 2 ( C _ { i n v } ) ^ { 2 } \epsilon _ { \ell - 1 } h _ { \ell - 1 } ^ { - 2 d } } { 2 C _ { i n v } h _ { \ell - 1 } ^ { - d } } + \frac { \epsilon _ { \ell } } { 2 C _ { A } h _ { \ell } ^ { d - 2 } } \right) \le C h _ { \ell - 1 } ^ { - d - 2 } \epsilon _ { \ell - 1 } . } \end{array}
M _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( Q ^ { 2 } ) = \frac { \tilde { \lambda } } { \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \sigma \frac { 2 ( \sigma + 4 m ^ { 2 } ) } { ( Q ^ { 2 } + \sigma + 4 m ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \Psi ( u ) ,
\begin{array} { r l } { \dot { i u _ { j } } } & { { } = i \sqrt { \frac { g } { 2 m r } } p _ { j } + \frac { g } { r } \sqrt { \frac { m } { 2 } } \left[ 1 + \alpha \left( j - \frac { N } { 2 } \right) \right] y _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma ( t ) } & { { } = - i \frac { \Omega } { 2 } \eta e ^ { - i \delta t } e ^ { i \phi _ { \mathrm { m } } } , } \\ { \alpha ( t ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { t } \left( - i \frac { \Omega } { 2 } \eta e ^ { - i \delta t } e ^ { i \phi _ { \mathrm { m } } } \right) d t = \frac { \Omega \eta e ^ { i \phi _ { \mathrm { m } } } } { 2 \delta } \left( e ^ { - i \delta t } - 1 \right) , } \\ { \Phi ( t ) } & { { } = \mathrm { I m } \left( \int _ { 0 } ^ { t } \, \alpha ( t ^ { \prime } ) ^ { * } \mathrm { d } \alpha ( t ^ { \prime } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { \mathrm { ~ z ~ e ~ r ~ o ~ } } = 4 0 . 8 4 3 + 0 . 0 2 7 i } \\ { f _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ l ~ e ~ } } = 4 1 . 2 8 6 - 0 . 0 0 9 i } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E _ { \omega _ { \theta _ { 1 } , i } } ^ { \theta _ { 0 } } \left[ \log \sigma _ { 1 , i } ^ { 2 } + \frac { Y _ { 1 } ^ { 2 } } { \sigma _ { 1 , i } ^ { 2 } } \right] } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } E ^ { \theta _ { 0 } } \left[ \log \left( \frac { \delta _ { i } } { 1 - \beta _ { i } } + \alpha _ { i } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \beta _ { i } ^ { k } Y _ { n - 1 - k } ^ { 2 } \right) + \frac { Y _ { n } ^ { 2 } } { \frac { \delta _ { i } } { 1 - \beta _ { i } } + \alpha _ { i } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \beta _ { i } ^ { k } Y _ { n - 1 - k } ^ { 2 } } \right] } \\ { = } & { E ^ { \theta _ { 0 } } \left[ \log \left( \frac { \delta _ { i } } { 1 - \beta _ { i } } + \alpha _ { i } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \beta _ { i } ^ { k } Y _ { - ( k + 1 ) } ^ { 2 } \right) + \frac { Y _ { 0 } ^ { 2 } } { \frac { \delta _ { i } } { 1 - \beta _ { i } } + \alpha _ { i } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \beta _ { i } ^ { k } Y _ { - ( k + 1 ) } ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
( E ^ { - 1 } ) ^ { u v } \alpha _ { u j } \beta _ { v } g ^ { i j } ( \delta ^ { k } \! _ { i } + F ^ { k } \! _ { i } ) \left\{ \begin{array} { c } { { l } } \\ { { l k } } \end{array} \right\} = 0 \; .
\frac { 1 } { 2 } \left[ \nabla ^ { \nu } h _ { \mu \nu } ^ { \prime I } + 3 \nabla _ { \mu } \left( \frac { 3 } { 4 0 } h _ { 2 } ^ { I } - \frac { 1 } { 7 } h ^ { \prime I } + 6 \sqrt { 2 } b ^ { I } \right) \right] \nabla _ { \alpha } Y ^ { I } = 0 ,
\begin{array} { r l r } { \rho ^ { n + 1 } } & { { } = } & { \frac { \phi _ { \rho } ( \rho ^ { \star } , \mathbf { u } ^ { \star } ) } { a _ { \rho } } } \\ { \mathbf { u } ^ { n + 1 } } & { { } = } & { \frac { \phi _ { \mathbf { u } } ( \rho ^ { n + 1 } , \mathbf { u } ^ { \star } ) } { a _ { \mathbf { u } } } - \frac { \mathbf { g r a d } p ^ { \star } } { a _ { \mathbf { u } } } + \frac { \mathbf { f } } { a _ { \mathbf { u } } } } \\ { e ^ { n + 1 } } & { { } = } & { \frac { \phi _ { e } ( \rho ^ { n + 1 } , \mathbf { u } ^ { n + 1 } , e ^ { \star } ) } { a _ { e } } - \frac { d i v ( p ^ { \star } \mathbf { u } ^ { n + 1 } ) } { a _ { e } } + \frac { q } { a _ { e } } } \\ { p ^ { n + 1 } } & { { } = } & { \frac { \phi _ { p } ( p ^ { \star } , \rho ^ { n + 1 } , \mathbf { u ^ { n + 1 } } ) } { a _ { p } } + \frac { \phi _ { f p } ( \mathbf { f } ) } { a _ { p } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K _ { \alpha , i } } & { = } & { \left( M _ { \alpha , i } \right) ^ { - 1 / 2 } \sum _ { \beta = 1 } ^ { s } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 3 } } w _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \right. ) } \\ & { } & { \times \left( \frac { h _ { \alpha , k } ^ { \prime } } { \left( M _ { \alpha , k } ^ { \prime } \right) ^ { 1 / 2 } } + \frac { h _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } } { \left( M _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } \right) ^ { 1 / 2 } } - \frac { h _ { \beta , j \ast } } { M _ { \beta , j \ast } ^ { 1 / 2 } } \right) \, d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } d \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { t } & { { } = \kappa _ { E } ( \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } ) \left[ 1 + \frac { 1 } { 2 ( N _ { e } - 2 ) } \, \frac { \theta } { 1 + \theta } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { n } ^ { 2 } \leq \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \frac { \varepsilon _ { m - 1 } } { A R _ { \theta _ { 0 } } } \aftergroup \egroup \right) ^ { 2 n } + \frac { C } { \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 \gamma } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 2 } \biggl ( \frac { C } { A } \biggr ) ^ { 2 ( n - k ) } D _ { k } ^ { 2 } + \frac { C } { \varepsilon _ { m - 1 } ^ { \gamma } A ^ { 2 } } D _ { n - 1 } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Theta \Big ( \mathbf { C } _ { n } , \mathbf { C } _ { n ^ { \prime } } \Big ) ( 0 ) } & { = \displaystyle \sum _ { \mathbf { a } } \Theta \Big ( \psi _ { T } ( F ^ { \mathbf { a } , { n } } ) , \psi _ { T } ( F ^ { \mathbf { a } , { n ^ { \prime } } } ) \Big ) ( 0 ) } \\ & { = 3 \displaystyle \sum _ { \mathbf { a } } \Theta \Big ( \psi _ { \gamma } ( g ^ { \mathbf { a } , { n } } ) , \psi _ { \gamma } ( g ^ { \mathbf { a } , { n ^ { \prime } } } ) \Big ) ( 0 ) } \\ & { = 3 \Theta \Big ( \psi _ { \gamma } ( S _ { n } ) , \psi _ { \gamma } ( S _ { n ^ { \prime } } ) \Big ) ( 0 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left. \left. \left. D \left( p _ { L _ { 1 } L _ { 2 } | M } \right| \right| p _ { V _ { 1 } V _ { 2 } } \right| p _ { M } \right) = \sum _ { \scriptstyle ( a , k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \atop { \scriptstyle \in { \cal M } \times { \cal K } _ { 1 } \times { \cal K } _ { 2 } } } \sum _ { \scriptstyle ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) \atop { \scriptstyle \in { \cal L } _ { 1 } \times { \cal L } _ { 2 } } } 1 } \\ & { \quad \times p _ { M K _ { 1 } K _ { 2 } } ( a , k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \Upsilon _ { ( \varphi _ { 1 } ( k _ { 1 } ) , l _ { 1 } ) , ( \varphi _ { 2 } ( k _ { 2 } ) , l _ { 2 } ) } . } \end{array}
M _ { i j k } = \lambda _ { 1 } \underbrace { \epsilon _ { i j k } } _ { \mathrm { T e r m ~ 1 } } + \lambda _ { 2 } \underbrace { \delta _ { i 1 } \epsilon _ { j k 1 } } _ { \mathrm { T e r m 2 } } + \lambda _ { 3 } \underbrace { \delta _ { j 1 } \epsilon _ { i k 1 } } _ { \mathrm { T e r m 3 } } + \lambda _ { 4 } \underbrace { \delta _ { k 1 } \epsilon _ { i j 1 } } _ { \mathrm { T e r m 4 } }
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \theta _ { k + 1 } - \theta _ { k } } { \delta t } + \mathcal { L } \theta _ { k + 1 } + \frac { \nabla f ( \theta _ { k } ) } { \sqrt { f ( \theta _ { k } ) + C } } r _ { k + 1 } - \mathcal { L } \theta _ { k } = 0 , } \\ { \frac { r _ { k + 1 } - r _ { k } } { \delta t } = \left( \frac { \nabla f ( \theta _ { k } ) } { 2 \sqrt { f ( \theta _ { k } ) + C } } , \frac { \theta _ { k + 1 } - \theta _ { k } } { \delta t } \right) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Lambda } & { { } = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 / \cos ( \theta ) } & { 0 } & { - \tan ( \theta ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \tan ( \theta ) } & { 0 } & { 1 / \cos ( \theta ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \; , } \end{array}
\begin{array} { l } { h _ { 1 } = f _ { 2 } + \psi g _ { 2 } } \\ { G _ { 1 } = - [ ( f _ { n n } \phi + f _ { n p } + \psi ( g _ { n n } \phi + g _ { n p } ) ) ( Z _ { n 0 } + Z _ { n 1 } ) } \\ { \qquad + ( f _ { n p } \phi + f _ { p p } + \psi ( g _ { n p } \phi + g _ { p p } ) ) ( Z _ { p 0 } + Z _ { p 1 } ) + f _ { 3 } + \psi g _ { 3 } ] } \\ { G _ { 2 } = - [ ( f _ { n n } \phi + f _ { n p } + \psi ( g _ { n n } \phi + g _ { n p } ) ) ( Z _ { n 0 } + Z _ { n 2 } ) } \\ { \qquad + ( f _ { n p } \phi + f _ { p p } + \psi ( g _ { n p } \phi + g _ { p p } ) ) ( Z _ { p 0 } + Z _ { p 2 } ) + f _ { 3 } + \psi g _ { 3 } ] } \\ { f _ { 3 } = f _ { n n n } \phi ^ { 3 } + 3 f _ { n n p } \phi ^ { 2 } + 3 f _ { n p p } \phi + f _ { p p p } } \\ { g _ { 3 } = g _ { n n n } \phi ^ { 3 } + 3 g _ { n n p } \phi ^ { 2 } + 3 g _ { n p p } \phi + g _ { p p p } } \end{array}
\xi ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } , t ) = \mathcal { N } \eta _ { m } ( \boldsymbol { r } , t + \tau ) \eta _ { m } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } , t ) \left[ e ^ { i m ( \varphi + \varphi ^ { \prime } ) } - e ^ { - i m ( \varphi + \varphi ^ { \prime } ) } \right] ,
\begin{array} { r l } { \lVert v _ { n } - v _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } ^ { * } \rVert _ { \infty } = } & { \gamma ^ { n } [ \frac { 1 } { 1 - \gamma } \epsilon _ { 1 } + \lVert v _ { 0 } - v _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } ^ { * } \rVert _ { \infty } ] + \frac { \epsilon _ { 1 } } { 1 - \gamma } } \\ { \leq } & { \gamma ^ { n } [ \frac { \epsilon } { 3 } + \lVert v _ { 0 } - v _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } ^ { * } \rVert _ { \infty } ] + \frac { \epsilon } { 3 } } \\ { \leq } & { \gamma ^ { n } \frac { \epsilon } { 3 } + \frac { \epsilon } { 3 } + \frac { \epsilon } { 3 } \leq \epsilon . } \end{array}
{ \mathsf { C o v } } \, ( \xi _ { ( j ) } ( x ) , \, \xi _ { ( j ^ { \prime } ) } ( x ) ) \approx \sum \frac { 2 \ell + 1 } { 4 \pi } H _ { j } ( \ell ) H _ { j ^ { \prime } } ( \ell ) \, f _ { \ell } ( x )
I _ { 0 } ( \kappa ) = - \frac { 1 5 \pi ^ { 2 } \mu ^ { 2 } C _ { 0 } ^ { 6 } } { 1 2 8 a ^ { 2 } h _ { 0 } } \left[ 5 - 1 8 A + 2 4 A ^ { 2 } - 1 6 A ^ { 3 } \right] ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { 2 | \langle \theta u \cdot \nabla \eta \rangle | } & { { } \leq \delta ^ { 6 } C ( a \epsilon ) ^ { - 1 } \langle | \partial _ { 2 } u | ^ { 2 } \rangle + a \epsilon \langle | \partial _ { 2 } ^ { 2 } u | ^ { 2 } \rangle + \frac { 1 } { 2 } \langle | \partial _ { 2 } \theta | ^ { 2 } \rangle } \end{array}
{ \cal A } = { \cal B } _ { + } \left( 1 - \frac { \lambda _ { - } } { \lambda _ { + } } \right) = { \cal B } _ { - } \left( \frac { \lambda _ { + } } { \lambda _ { - } } - 1 \right) = \frac { 1 } { \overline { { { D } } } \; \lambda _ { + } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d u \; \widetilde \gamma ( u ) e ^ { - \lambda _ { + } u } .
\frac { 2 \pi } { \alpha _ { s } } \frac { d q \downarrow ( x , Q ^ { 2 } ) } { d \log Q ^ { 2 } } = 2 q \downarrow ( x ) - \frac { 1 } { 3 } g ( x ) + \frac { 3 M ^ { 2 } R x } { 2 \pi } { \int } _ { x } ^ { 1 } f \downarrow ( z ) d z ,
\displaystyle \frac { 1 - e _ { 1 } - e _ { 2 } + 2 e _ { 1 } e _ { 2 } - e _ { 2 } ^ { 2 } + 2 e _ { 1 } e _ { 2 } ^ { 2 } + 2 e _ { 2 } ^ { 3 } - 4 e _ { 1 } e _ { 2 } ^ { 3 } } { 1 - e _ { 1 } + 2 e _ { 1 } e _ { 2 } }
{ \cal { L } } _ { \mathrm { l o o p } } = C _ { 1 } ( \psi \sigma ^ { \alpha } \psi ^ { \dagger } ) A _ { \alpha } + C _ { 2 } ( \bar { \psi } ^ { \dagger } \bar { \sigma } ^ { \alpha \beta } \psi ^ { \dagger } ) F _ { \alpha \beta }
\mathbb { E } \{ \mathbf { \hat { h } } _ { m l , p } ^ { H } \mathbf { h } _ { m k , n } \mathbf { h } _ { m k , i } ^ { H } \mathbf { \hat { h } } _ { m l , p ^ { \prime } } \} = \mathrm { t r } ( \mathbf { R } _ { m k } ^ { n i } \mathbf { P } _ { m k l , \left( 1 \right) } ^ { p ^ { \prime } p } ) + \tau _ { p } ^ { 2 } \sum _ { q _ { 1 } = 1 } ^ { N } { \sum _ { q _ { 2 } = 1 } ^ { N } { \mathrm { t r } ( \mathbf { \tilde { P } } _ { m l k , \left( 2 \right) } ^ { q _ { 1 } p } \mathbf { \tilde { R } } _ { m k } ^ { n q _ { 2 } } \mathbf { \tilde { R } } _ { m k } ^ { q _ { 2 } i } \mathbf { \tilde { P } } _ { m l k , \left( 2 \right) } ^ { p ^ { \prime } q _ { 1 } } ) } } + \tau _ { p } ^ { 2 } \sum _ { q _ { 1 } = 1 } ^ { N } { \sum _ { q _ { 2 } = 1 } ^ { N } { \mathrm { t r } ( \mathbf { \tilde { P } } _ { m l k , \left( 2 \right) } ^ { q _ { 1 } n } \mathbf { \tilde { R } } _ { m k } ^ { n q _ { 1 } } ) \mathrm { t r } ( \mathbf { \tilde { P } } _ { m l k , \left( 2 \right) } ^ { p ^ { \prime } q _ { 2 } } \mathbf { \tilde { R } } _ { m k } ^ { q _ { 2 } i } ) } } ,
\Lambda _ { e f f } = \frac { \kappa } { 1 + \kappa \xi \Phi ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \kappa } \Lambda - \frac { 1 } { 2 } \mu ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \lambda \Phi ^ { 4 } \right) = \kappa _ { e f f } V _ { e f f } .
{ \cal A } _ { u . d . } = { \frac { \left( \int _ { 0 } ^ { \pi } - \int _ { \pi } ^ { 2 \pi } \right) n ( \phi ) d \phi } { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } n ( \phi ) d \phi } } = { \frac { D } { B } } { \frac { 9 \pi z ( 1 - 4 z ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - 2 z ) } { 1 6 ( 1 - 4 z + 1 2 z ^ { 2 } ) } } \left( { \frac { c _ { L } ^ { 2 } - c _ { R } ^ { 2 } } { c _ { L } ^ { 2 } + c _ { R } ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \; .
\begin{array} { r l } { | \mathrm { v a c } \rangle } & { \mapsto | { 0 } \rangle ^ { \otimes 2 M } , } \\ { { c } _ { p } ^ { \dagger } } & { \mapsto \sigma _ { p } ^ { + } \: \prod _ { n } { Z } _ { n } , } \\ { { c } _ { \bar { p } } ^ { \dagger } } & { \mapsto \sigma _ { \bar { p } } ^ { + } \: \prod _ { n } { Z } _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { L } } _ { f ^ { \prime } } p _ { 1 1 } } & { = 6 p _ { 2 } ^ { 2 } + 8 p _ { 1 } p _ { 3 } - 8 x _ { 3 } p _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( 9 p _ { 5 } + 7 p _ { 7 } ) = : p _ { 1 2 } } \\ { { \mathcal { L } } _ { f ^ { \prime } } p _ { 1 2 } } & { = 2 0 p _ { 2 } p _ { 3 } - 4 0 p _ { 1 } p _ { 2 } - 8 x _ { 3 } p _ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } ( 6 3 p _ { 4 } + 6 1 p _ { 6 } ) = : p _ { 1 3 } } \\ { { \mathcal { L } } _ { f ^ { \prime } } p _ { 1 3 } } & { = 2 0 p _ { 3 } ^ { 2 } - 1 2 0 p _ { 2 } ^ { 2 } - 4 8 p _ { 1 } p _ { 3 } + 3 2 x _ { 3 } p _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( 6 3 p _ { 5 } + 6 1 p _ { 7 } ) = : p _ { 1 4 } } \\ { { \mathcal { L } } _ { f ^ { \prime } } p _ { 1 4 } } & { = - 4 4 8 p _ { 2 } p _ { 3 } + 2 2 4 p _ { 1 } p _ { 2 } + 3 2 x _ { 3 } p _ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } ( 5 4 9 p _ { 4 } + 5 4 7 p _ { 6 } ) = : p _ { 1 5 } } \\ { { \mathcal { L } } _ { f ^ { \prime } } p _ { 1 5 } } & { = 2 0 1 6 p _ { 2 } ^ { 2 } - 4 4 8 p _ { 3 } ^ { 2 } + 2 5 6 p _ { 1 } p _ { 3 } - 1 2 8 x _ { 3 } p _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( 5 4 9 p _ { 5 } + 5 4 7 p _ { 7 } ) = : p _ { 1 6 } } \\ { { \mathcal { L } } _ { f ^ { \prime } } p _ { 1 6 } } & { = 7 8 7 2 p _ { 2 } p _ { 3 } - 1 1 5 2 p _ { 1 } p _ { 2 } - 1 2 8 x _ { 3 } p _ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } ( 4 9 2 3 p _ { 4 } + 4 9 2 1 p _ { 6 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( 1 4 8 5 p _ { 4 } + 1 2 1 5 p _ { 6 } ) - 2 5 6 p _ { 1 1 } - 1 4 4 p _ { 1 3 } - 2 4 p _ { 1 5 } . } \end{array}
\left( L ^ { \frac { 3 } { 2 } } \right) _ { + } = \left( L L ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) _ { + } = \partial ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 4 } } u \partial + { \frac { 1 } { 8 } } u _ { x } = \partial ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 8 } } ( \partial u + u \partial ) = { \frac { 1 } { 4 } } B
\begin{array} { r l } { D _ { 1 1 1 } } & { { } = \langle { ( \delta u ) ^ { 3 } } \rangle , } \\ { D _ { 1 1 1 1 } } & { { } = \langle { ( \delta u ) ^ { 4 } } \rangle , } \\ { D _ { 1 1 2 2 } } & { { } = \langle { ( \delta u ) ^ { 2 } ( \delta v ) ^ { 2 } } \rangle , } \\ { C ( r , t ) } & { { } = - \frac { 4 } { r ^ { 2 } } D _ { 1 1 1 } ( r , t ) + \frac { 4 } { r } \partial _ { r } D _ { 1 1 1 } + \partial _ { r } \partial _ { r } D _ { 1 1 1 } , } \\ { Z _ { 1 1 1 } } & { { } = 3 \left\langle { \delta u \left[ \left( \frac { \partial u } { \partial x _ { l } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial u ^ { \prime } } { \partial x _ { l } ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } \right] } \right\rangle . } \end{array}
\bar { \mathfrak { D } } _ { 2 , i ^ { * } } ^ { ( j ) } \equiv \mathfrak { D } _ { 2 , i ^ { * } } ^ { ( j ) } I \Bigg ( \frac { 9 \mathfrak { c } _ { m } ^ { 2 } } { 1 6 } - 1 \leq \mathfrak { D } _ { 2 , i ^ { * } } ^ { ( j ) } \leq 1 \Bigg ) + I \Bigg ( \mathfrak { D } _ { 2 , i ^ { * } } ^ { ( j ) } > 1 \Bigg ) + \Big ( \frac { 9 \mathfrak { c } _ { m } ^ { 2 } } { 1 6 } - 1 \Big ) I \Bigg ( \mathfrak { D } _ { 2 , i ^ { * } } ^ { ( j ) } < \frac { 9 \mathfrak { c } _ { m } ^ { 2 } } { 1 6 } - 1 \Bigg ) .
\varphi E _ { + } ^ { 1 } \varphi ^ { - 1 } \left( \varphi E _ { + } ^ { 1 } \varphi ^ { - 1 } ( y ) \right) = \varphi E _ { + } ^ { 1 } \varphi ^ { - 1 } \left( \varphi E _ { + } ^ { 1 } ( x ) \right) = \varphi \left( ( E _ { + } ^ { 1 } ( x ) ) ^ { 2 } \right) = \varphi \left( E _ { + } ^ { 1 } ( x ) \right) = \varphi E _ { + } ^ { 1 } \varphi ^ { - 1 } ( y ) .