harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Delta _ { \mathrm { G } _ { 2 } } ( E , x ) = \Big [ ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } - E ^ { 2 } \Big ] \Big [ ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - E ^ { 2 } \Big ] \Big [ x _ { 1 } ^ { 2 } - E ^ { 2 } \Big ] \Big [ x _ { 2 } ^ { 2 } - E ^ { 2 } \Big ] \Big [ ( 2 x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - E ^ { 2 } \Big ] \Big [ ( x _ { 1 } + 2 x _ { 2 } ) ^ { 2 } - E ^ { 2 } \Big ]
\begin{array} { r l } { x _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ r ~ e ~ t ~ c ~ h ~ } } = x + \frac { x } { a _ { x } } { \bigg [ } } & { { } \log \left( \cosh \left( \frac { a _ { x } ( x - x _ { a } ) } { L } \right) \right) + } \end{array}
= \frac { G _ { \mathrm { F } } } { \sqrt { 2 } } \overline { { { v } } } _ { r } \overline { { { M } } } _ { f _ { r } } A ( D ^ { 0 } \to f _ { \pm } ) \left[ 1 + \frac { v _ { r } } { \overline { { { v } } } _ { r } } \frac { M _ { f _ { r } } } { \overline { { { M } } } _ { f _ { r } } } \frac { A ( \overline { { { D ^ { 0 } } } } \to f _ { \pm } ) } { A ( D ^ { 0 } \to f _ { \pm } ) } \right] .
\begin{array} { r l } { \left[ \bar { \rho } u ^ { \prime } + \bar { u } \rho ^ { \prime } \right] - \left[ \bar { \rho } \right] \left( X _ { t } + \bar { v } X _ { y } + \bar { w } X _ { z } \right) } & { = 0 , } \\ { \left[ p ^ { \prime } + 2 \bar { \rho } \bar { u } u ^ { \prime } + \bar { u } ^ { 2 } \rho ^ { \prime } \right] } & { = 0 , } \\ { \left[ v ^ { \prime } \right] + \left[ \bar { u } \right] X _ { y } } & { = 0 , } \\ { \left[ w ^ { \prime } \right] - \left[ \bar { u } \right] X _ { z } } & { = 0 , } \end{array}
\phi = \left( \begin{array} { c c } { { \; \phi _ { 1 } ^ { 0 } \; \; \; \; \phi _ { 1 } ^ { + } } } \\ { { \; \phi _ { 2 } ^ { - } \; \; \; \; \phi _ { 2 } ^ { 0 } } } \end{array} \right) \; \; ,
{ \cal A } _ { p } ^ { a } = \Delta ^ { a } M _ { p - 1 } + i \left( M _ { p } , S \right) ^ { a } + i V ^ { a } M _ { p } + i \sum _ { q = 1 } ^ { p - 1 } \left( M _ { q } , M _ { p - q } \right) ^ { a }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta _ { m } ^ { \beta } ( R ) } \big \| E _ { \theta } \big [ \widetilde \theta \big ] - \theta \big \| _ { 2 } ^ { 2 } \leq \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta _ { m } ^ { \beta } ( R ) } \big \| E _ { \theta } \big [ \widehat \theta \big ] - \theta \big \| _ { 2 } ^ { 2 } , \mathrm { ~ a n d , ~ } } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta _ { m } ^ { \beta } ( R ) } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \operatorname { V a r } _ { \theta } \big ( \widetilde \theta _ { i } \big ) \leq \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta _ { m } ^ { \beta } ( R ) } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \operatorname { V a r } _ { \theta } \big ( \widehat \theta _ { i } \big ) . } \end{array}
\mathrm { B } ( b , c - b ) \, _ { 2 } F _ { 1 } ( a , b ; c ; z ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { b - 1 } ( 1 - x ) ^ { c - b - 1 } ( 1 - z x ) ^ { - a } \, d x \qquad \Re ( c ) > \Re ( b ) > 0 ,
\left( \begin{array} { l } { \tilde { c } } \\ { \tilde { d } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { \cos ( \theta ) } & { } & { \sin ( \theta ) } \\ { - \sin ( \theta ) } & { } & { \cos ( \theta ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { c } \\ { d } \end{array} \right) ,
\sum _ { i = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { i ! } } = { \frac { 1 } { 0 ! } } + { \frac { 1 } { 1 ! } } + { \frac { 1 } { 2 ! } } + { \frac { 1 } { 3 ! } } + { \frac { 1 } { 4 ! } } + \cdots = e
\varepsilon _ { 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { { - 1 } } \\ { { - i } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) , \, \varepsilon _ { 0 } = \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) , \, \varepsilon _ { - 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { - i } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { \eta = } & { \tau ^ { \! - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \tau \Big ( \tau ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \tau \left( \eta _ { \alpha _ { i } } \! + \mu _ { \alpha _ { i } } \right) \right. \Big . \Bigg . } \\ & { \quad \quad \left. \! + q \cdot \tau \left( \eta _ { \alpha _ { j } } \! + \mu _ { \alpha _ { j } } \right) \right) \! - \tau ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \tau \left( \mu _ { \alpha _ { i } } \right) \! + q \cdot \tau \left( \mu _ { \alpha _ { j } } \right) \right) } \\ & { \Bigg . \Big . \quad \quad \! + \zeta ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \zeta \left( \nu _ { \alpha _ { i } } \right) \! + q \cdot \zeta \left( \nu _ { \alpha _ { j } } \right) \right) \Big ) \Bigg ) } \\ & { \! - \tau ^ { \! - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \tau \Big ( \zeta ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \zeta \left( \nu _ { \alpha _ { i } } \right) \! + q \cdot \zeta \left( \nu _ { \alpha _ { j } } \right) \right) \Big ) \Bigg ) , } \end{array}
\frac { d \sigma } { d t } ( b \bar { b } \to \phi _ { 1 } \phi _ { 2 } ) = \frac { G _ { F } ^ { 2 } m _ { W } ^ { 4 } } { 3 \pi s } \left[ | P | ^ { 2 } + p _ { T } ^ { 2 } ( | V | ^ { 2 } + | A - T _ { + } | ^ { 2 } ) \right] ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \omega } { \partial t } } & { { } = - \frac { \partial \psi } { \partial y } \frac { \partial \omega } { \partial x } + \frac { \partial \psi } { \partial x } \frac { \partial \omega } { \partial y } + \nu \Delta \omega , } \\ { \omega } & { { } = - \Delta \psi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle ( \mathcal { H } _ { K } - \mathcal { E } _ { \mathrm { K P } } ( t _ { * * } ^ { 1 } , \lambda ) ) e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } \Phi _ { 0 } , S ^ { 1 } \Phi _ { 0 } \rangle } & { { } = \langle e ^ { - ( T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } ) } ( \mathcal { H } _ { K } - \mathcal { E } _ { \mathrm { K P } } ( t _ { * * } ^ { 1 } , \lambda ) ) e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } \Phi _ { 0 } , ( e ^ { T _ { * * \rangle + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } ^ { 0 } ) ^ { \dag } S ^ { 1 } \Phi _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { e f f } } = } & { - } & { \frac { \Delta } { 2 } \left( \left| A T \right\rangle \left\langle A T \right| - \left| A ^ { * } T ^ { * } \right\rangle \left\langle A ^ { * } T ^ { * } \right| \right) } \\ & { - } & { J \left( \left| A T \right\rangle \left\langle A ^ { * } T ^ { * } \right| + \left| A ^ { * } T ^ { * } \right\rangle \left\langle A T \right| \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { J } ^ { \prime \prime } ( \hat { \Omega } ) [ V , W ] } & { = } & { \langle h _ { 1 } , y ^ { \prime } ( 0 ) [ W ] \rangle + \langle h _ { 2 } , W \rangle = \langle g , e _ { y } ( 0 , \hat { y } ) [ y ^ { \prime } ( 0 ) [ W ] ] \rangle + \langle h _ { 2 } , W \rangle } \\ & { = } & { - \langle g , e _ { V } ( 0 , \hat { y } ) [ W ] \rangle + \langle h _ { 2 } , W \rangle = \langle h _ { 2 } + h _ { 3 } , W \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| ( \hat { u } _ { t } ) _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq \| \hat { u } _ { i } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } , \qquad \| ( \hat { v } _ { t } ) _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq \| \hat { v } _ { i } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } , } \\ & { \| \partial _ { i } \partial _ { j } \hat { u } _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } , \| \partial _ { i } \partial _ { i } \hat { u } _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } , \| \partial _ { j } \partial _ { j } \hat { u } _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq \| \hat { u } _ { i } \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega ) } , } \\ & { \| \partial _ { j } ( \hat { u } _ { t } ) _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq \| ( \hat { u } _ { t } ) _ { i } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } \leq \| \hat { u } _ { i } \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega ) } , \qquad \| \partial _ { j } \hat { v } _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq \| \hat { v } _ { i } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } , } \\ & { \| \hat { u } _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } \leq \| \hat { u } _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega ) } \leq C _ { h _ { \Omega } , d + 1 , \rho _ { \Omega } } \| \hat { u } _ { i } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } , } \\ & { \| \hat { v } _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } \leq \| \hat { v } _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega ) } \leq C _ { h _ { \Omega } , d + 1 , \rho _ { \Omega } } \| \hat { v } _ { i } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } , } \\ & { \| \partial _ { j } ( \hat { u } ) _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } \leq \| \partial _ { j } ( \hat { u } ) _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega ) } \leq C _ { h _ { \Omega } , d + 1 , \rho _ { \Omega } } \| \hat { u } _ { i } \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega ) } , } \\ & { \| \hat { v } _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( \Gamma _ { D } \times [ 0 , t ] ) } \leq \| \hat { v } _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega ) } \leq C _ { h _ { \Omega } , d + 1 , \rho _ { \Omega } } \| \hat { v } _ { i } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } , } \\ & { \| \partial _ { i } \hat { u } _ { i } n _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( \Gamma _ { N } \times [ 0 , t ] ) } , \| \partial _ { j } \hat { u } _ { i } n _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( \Gamma _ { N } \times [ 0 , t ] ) } , \| \partial _ { j } \hat { u } _ { i } n _ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \Gamma _ { N } \times [ 0 , t ] ) } \leq C _ { h _ { \Omega } , d + 1 , \rho _ { \Omega } } \| \hat { u } _ { i } \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega ) } . } \end{array}
( \mathrm { M a s s } ) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 4 \lambda _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } ( \hat { \alpha } _ { L } ) ^ { 2 } + N _ { L } - 1 \right] = { \frac { 1 } { 4 \lambda _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } ( \hat { \alpha } _ { R } ) ^ { 2 } + N _ { R } - \delta \right] ~ .
S _ { I } = { \frac { - k _ { 1 } k _ { 2 } } { \pi } } \int d ^ { 2 } z \mathrm { T r } ^ { 2 } ( g _ { 1 } ^ { - 1 } \partial g _ { 1 } ~ S ~ \bar { \partial } g _ { 2 } g _ { 2 } ^ { - 1 } ) ,
\frac 1 { \sqrt { N _ { C } ^ { 2 } - 1 } } \sum _ { \{ q \bar { q } \} } \: \Gamma _ { q \bar { q } ; \gamma ^ { * } } ^ { ( 0 ) i } ( q _ { R } ) \: \Gamma _ { q \bar { q } ; \gamma ^ { * \prime } } ^ { ( 0 ) i } ( q _ { R } ^ { \prime } ) ^ { * } = f _ { q \bar { q } } ( x _ { \pm } , \mathrm { \boldmath ~ \ell ~ } _ { \pm } , \mathrm { \boldmath ~ q ~ } _ { R } , \mathrm { \boldmath ~ q ~ } _ { R } ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l r } { \hat { m } _ { r } } & { { } = } & { - \hbar m \frac { z } { r } \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \\ { \hat { m } _ { \phi } } & { { } = } & { - \hbar k r \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \\ { \hat { m } _ { z } } & { { } = } & { \hbar m \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) + \frac { \hbar } { i } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \end{array}
\mathrm { ~ N } _ { 2 } \left( \mathrm { ~ A } _ { 3 } , \mathrm { ~ B } _ { 3 } , \mathrm { C } _ { 3 } , \mathrm { a } _ { 1 } \right) + \mathrm { H } _ { 2 } \mathrm { O } \longrightarrow \mathrm { N } _ { 2 } + \mathrm { O H } + \mathrm { H }
\begin{array} { r } { 0 = \int _ { Y ^ { * } } \frac { \omega ^ { 4 } - 2 ( a - i b ) ( C ^ { \alpha } ) _ { 1 1 } \omega ^ { 2 } + ( a - i b ) ^ { 2 } \operatorname* { d e t } ( C ^ { \alpha } ) } { \omega ^ { 4 } - 2 a ( C ^ { \alpha } ) _ { 1 1 } \omega ^ { 2 } + \lvert ( a + i b ) \rvert ^ { 2 } \operatorname* { d e t } ( C ^ { \alpha } ) } d \alpha . } \end{array}
E = \int d ^ { 4 } x \left\{ \frac 1 2 \left( F _ { 1 2 } + s ( | T | ^ { 2 } - \zeta ) \right) ^ { 2 } + | D _ { 1 } T - i s D _ { 2 } T | ^ { 2 } + s \zeta F _ { 1 2 } \right\} .
\begin{array} { r l } { \measuredangle ( T _ { x } , T _ { z _ { 0 } } ) } & { = \measuredangle ( T _ { x } , T _ { z _ { 0 } } ^ { S } ) - \frac { \pi } { 2 } } \\ & { = \measuredangle ( T _ { x } , T _ { z } ^ { S } ) + \measuredangle ( T _ { z } ^ { S } , T _ { z _ { 0 } } ^ { S } ) - \frac { \pi } { 2 } } \\ & { = \measuredangle ( T _ { x } , T _ { z } ^ { S } ) + \measuredangle ( N _ { z } ^ { S } , N _ { z _ { 0 } } ^ { S } ) - \frac { \pi } { 2 } } \\ & { = \beta _ { x } - \theta _ { x } + \measuredangle ( N _ { z } ^ { S } , N _ { z _ { 0 } } ^ { S } ) - \frac { \pi } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu ( S , T ) } & { = 1 . 2 5 7 \times 1 0 ^ { - 4 } + 1 . 2 6 5 \times 1 0 ^ { - 3 } e ^ { - 0 . 0 4 2 9 7 T } - 1 . 1 0 5 \times 1 0 ^ { - 3 } e ^ { 0 . 3 7 1 0 x } } \\ & { + 2 . 0 4 5 \times 1 0 ^ { - 4 } e ^ { - 0 . 4 2 3 1 ( 0 . 0 1 T + x ) } + 1 . 3 0 9 \times 1 0 ^ { - 3 } e ^ { - 0 . 3 2 6 0 ( 0 . 0 1 T - x ) } . } \end{array}
F e r m i o n i c ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ R : ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( L _ { o } - 1 ) | \Phi > _ { \alpha } = 0 , ~ ~ ~ ~ ~ ~ L _ { m } | \Phi > _ { \alpha } = 0 , ~ ~ ~ ~ ~ F _ { m } | \Phi > _ { \alpha } = 0 ; ~ ~ ~ m > 0
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u - d i \Delta u + \vec { \rho } _ { 1 } \cdot \nabla u + \rho _ { 0 } u = g , } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega \times ( 0 , T ) , } \\ { \partial _ { t } u + d i \partial _ { \nu } u - \delta i \Delta _ { \Gamma } u _ { \Gamma } + \vec { \rho } _ { \Gamma , 1 } \cdot \nabla _ { \Gamma } u _ { \Gamma } + \rho _ { \Gamma , 0 } u _ { \Gamma } = g _ { \Gamma } , } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 1 } \times ( 0 , T ) , } \\ { u = u _ { \Gamma } , } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 1 } \times ( 0 , T ) , } \\ { u = 0 , } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 0 } \times ( 0 , t ) , } \\ { ( u ( 0 ) , u _ { \Gamma } ( 0 ) ) = ( u _ { 0 } , u _ { \Gamma , 0 } ) , } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega \times \Gamma _ { 1 } , } \end{array} \right. } \end{array}
\delta { \cal I } _ { U ( 1 ) } = - \operatorname * { l i m } _ { \beta \rightarrow 0 } 2 ^ { N / 2 - 1 } \int [ d X ] \; \frac { e ^ { - ( X + X ) ^ { 2 } / 2 \beta } } { ( 2 \pi \beta ) ^ { ( D - 1 ) / 2 } } = - \frac { 2 ^ { N / 2 - 1 } } { 2 ^ { D - 1 } } = - \frac { 1 } { 4 } ,
\ell _ { \mathrm { { C } } } = 6 ^ { - 3 / 2 } ( 2 \pi ) ^ { - 1 / 2 } \sigma _ { W 0 } ^ { - 3 / 2 } \varepsilon ^ { 1 / 2 } \varepsilon _ { W } ^ { - 3 / 2 } W ^ { 3 / 2 } .
\nabla _ { \xi ^ { \prime } } \left( e ^ { i ( \vec { \xi } - \vec { \xi } ^ { \prime } ) \cdot \vec { x } ^ { \prime } } \right) = - i \vec { x } ^ { \prime } e ^ { i ( \vec { \xi } - \vec { \xi } ^ { \prime } ) \cdot \vec { x } ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { y _ { 2 } = 0 } ^ { 1 } \sum _ { y _ { 1 } = 0 } ^ { 1 } \phi _ { x _ { 1 } } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } , x _ { 2 } ) F ( \theta x _ { 2 } + \alpha ) ^ { y _ { 2 } } [ 1 - F ( \theta x _ { 2 } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { 2 } } F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ^ { y _ { 1 } } [ 1 - F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { 1 } } = 0 . } \end{array}
\mathrm { ~ N = 4 ~ W Z ~ g a u g e : } \qquad A ^ { + + } = ( \theta ^ { + } ) ^ { 2 a b } \phi _ { a b } ( x ) + ( \theta ^ { + } ) _ { a } ^ { 3 } u ^ { - \alpha ^ { \prime } } \chi _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { a } ( x ) + ( \theta ^ { + } ) ^ { 4 } u ^ { - \alpha ^ { \prime } } u ^ { - \beta ^ { \prime } } G _ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } } ( x ) \ ,
\begin{array} { r } { \Vert u _ { \varepsilon } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { k } ) } + \Vert u _ { \varepsilon } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { k + 1 } ) } \lesssim \left( 1 + T ^ { 1 / 2 } \Lambda ( T , R ) \right) \left( \Vert u ^ { \mathrm { i n } } \Vert _ { \mathrm { H } ^ { k } } + \Vert \varrho ^ { \mathrm { i n } } \Vert _ { \mathrm { H } ^ { k } } \right) + T ^ { 1 / 2 } \Lambda ( T , R ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta b _ { \widetilde { \rho } } ( x , \gamma ) - \delta b _ { \widetilde { \rho } } ( \gamma , \gamma ^ { - 1 } x \gamma ) = } & { b _ { \widetilde { \rho } } ( \gamma ) - b _ { \widetilde { \rho } } ( x \gamma ) + b _ { \widetilde { \rho } } ( x ) - \big ( b _ { \widetilde { \rho } } ( \gamma ^ { - 1 } x \gamma ) - b _ { \widetilde { \rho } } ( x \gamma ) + b _ { \widetilde { \rho } } ( \gamma ) \big ) } \\ { = } & { b _ { \widetilde { \rho } } ( x ) - b _ { \widetilde { \rho } } ( \gamma ^ { - 1 } x \gamma ) = \lfloor \tau ( \widetilde { \rho } ( x ) ) \rfloor - \lfloor \tau ( \widetilde { \rho } ( \gamma ^ { - 1 } x \gamma ) ) \rfloor . } \end{array}
\left\vert f \right\rangle = \sqrt { 2 E _ { \mathbf { p } ^ { \prime } } } \sqrt { 2 E _ { \mathbf { q } ^ { \prime } } } a _ { \mathbf { p } ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime \dagger } } a _ { \mathbf { q } ^ { \prime } } ^ { r ^ { \prime \dagger } } \left\vert 0 \right\rangle \equiv \left\vert \mathbf { p } ^ { \prime } \mathbf { , } s ^ { \prime } \mathbf { ; q } ^ { \prime } \mathbf { , } r ^ { \prime } \right\rangle .
\begin{array} { r l } { \lvert | Q ( k + 1 ) - Q ( k ) \rvert | } & { { } \leq \lvert | R _ { 1 } \rvert | ( 1 + \textstyle \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } m _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 1 } ^ { 2 j } ) } \end{array}
{ \frac { \sigma ( 3 0 ) } { 3 0 } } = { \frac { 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 1 0 + 1 5 + 3 0 } { 3 0 } } = { \frac { 7 2 } { 3 0 } } = { \frac { 1 2 } { 5 } }
w \left( a , \langle a \rangle , \langle a ^ { 2 } \rangle \right) = \left( \frac { 1 } { 2 \pi \langle a ^ { 2 } \rangle } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \exp { \left[ - \frac { ( a - { \langle a \rangle } ) ^ { 2 } } { \langle a ^ { 2 } \rangle } \right] }
U = \textrm { e x p } \left[ i \left( \omega _ { 1 } \sigma _ { \textrm { e } } + ( \omega _ { 1 } - \omega _ { \textrm { p } \mathrm { { ' } } } ) \sigma _ { \textrm { g } _ { 2 } } + \omega _ { \textrm { c } } a ^ { \dagger } a \right) t \right]
\begin{array} { r l r } { d f } & { = } & { \frac { 2 B _ { z 0 } ^ { 2 } } { | x _ { 0 } | ^ { 2 } } \left\langle \left( f + g \right) ^ { - 1 / 2 } \right\rangle ^ { - 2 } \left( \frac { 1 } { x _ { 0 } } d x _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \left\langle \left( f + g \right) ^ { - 1 / 2 } \right\rangle ^ { - 1 } \left\langle \left( f + g \right) ^ { - 3 / 2 } \right\rangle d f \right) } \\ & { } & { + \frac { 2 \left( p _ { 0 } ^ { \prime } + B _ { y 0 } B _ { y 0 } ^ { \prime } \right) } { | x _ { 0 } | ^ { 2 } } \left\langle \left( f + g \right) ^ { - 1 / 2 } \right\rangle ^ { - 2 } d x _ { 0 } } \\ & { } & { + \left( 2 \gamma \frac { p _ { 0 } } { | x _ { 0 } | ^ { \gamma } x _ { 0 } } - 2 \frac { p _ { 0 } ^ { \prime } } { | x _ { 0 } | ^ { \gamma } } \right) \left\langle \left( f + g \right) ^ { - 1 / 2 } \right\rangle ^ { - \gamma } d x _ { 0 } } \\ & { } & { - \gamma \frac { p _ { 0 } } { | x _ { 0 } | ^ { \gamma } } \left\langle \left( f + g \right) ^ { - 1 / 2 } \right\rangle ^ { - \gamma - 1 } \left\langle \left( f + g \right) ^ { - 3 / 2 } \right\rangle d f , } \end{array}
\hat { U } _ { \mu \nu } ^ { ( 2 ) } ( \theta ) = \exp \left[ - i \theta \hat { X } _ { 2 \mu - 1 } \hat { Y } _ { 2 \mu } \hat { X } _ { 2 \nu - 1 } \hat { X } _ { 2 \nu } \hat { Z } _ { 2 ( \mu + 1 ) } \hat { Z } _ { 2 ( \mu + 2 ) } \ldots \hat { Z } _ { 2 ( \nu - 1 ) } \right]
t _ { 0 } = \int d ^ { 2 } \vec { r } \phi _ { s } ( \vec { r } ) [ \frac { \hbar ^ { 2 } \vec { \nabla } ^ { 2 } } { 2 m } - V ( \vec { r } ) ] \phi _ { s } ( \vec { r } - a \vec { e } _ { k } )
\begin{array} { r } { \mathsf { S } ( \mathcal P , \pi _ { 2 } ) \left( \partial _ { V } ( \mu ; v ) \right) = ( \mu ; v ) = ( e _ { \mathcal P } ^ { - 1 } ( \mu ) \cdot 1 _ { \mathcal P } ; v ) = ( 1 _ { \mathcal P } ; e _ { \mathcal P } ^ { - 1 } ( \mu ) \cdot v ) = ( 1 _ { \mathcal P } ; \mathcal { E } _ { V } ( \mu , v ) ) = \eta _ { V } ( \mathcal { E } _ { V } ( \mu , v ) ) } \end{array}
\lambda ^ { - 1 } \, \sum _ { i = 1 } ^ { n } \, \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } \cap S _ { \lambda } ^ { n - 1 } ( 0 ) } x ^ { i } \, \partial _ { i } u \, \mathrm { d } \mu ( \bar { g } ) = \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } \cap S _ { \lambda } ^ { n - 1 } ( 0 ) } D ( g ) _ { \nu ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } \cap S _ { \lambda } ^ { n - 1 } ( 0 ) , g ) } u \, \mathrm { d } \mu ( g ) + O ( \lambda ^ { ( n - 2 ) - 2 \, \tau } ) .
\partial _ { - } \left( g ^ { - 1 } \partial _ { + } g \right) + \partial _ { + } \left( g ^ { - 1 } \partial _ { - } g \right) = - a \left[ g ^ { - 1 } \partial _ { + } g \, , g ^ { - 1 } \partial _ { - } g \right] _ { G } \, .
( \alpha _ { 1 } , t _ { 1 } ) : \ \ u _ { 2 } ^ { \ell } u _ { 1 2 } ^ { m } u _ { 1 } ^ { n } \to ( \alpha _ { 1 } ^ { - 1 } u _ { 2 } ) ^ { \ell } \left( \alpha _ { 1 } u _ { 1 2 } + t _ { 1 } \alpha _ { 1 } ^ { - 1 } u _ { 2 } \right) ^ { m } ( \alpha _ { 1 } u _ { 1 } \alpha _ { 1 } + t _ { 1 } ) ^ { n } \alpha _ { 1 } ^ { - \lambda _ { 2 } } \; .
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { \mathbb Q \in \mathbb W _ { \varepsilon _ { J } } ( \widehat { \mathbb P } _ { J } ) } \mathbb E _ { Z \sim \mathbb Q } \left[ \ell ( Z ) \right] \; \approx \; \mathbb E _ { \widehat Z \sim \widehat { \mathbb P } _ { J } } [ \ell ( \widehat Z ) ] + \varepsilon _ { J } \, \mathbb E _ { \widehat Z \sim \widehat { \mathbb P } _ { J } } [ \| D \ell ( \widehat Z ) \| ^ { q } ] ^ { \frac { 1 } { q } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u ( t , x ) \| \mu ( t , x ) } & { \leq \beta \, \| \psi ^ { ( \sigma ) } - x \| \, \mu ( t , x ) + C _ { P } \, \mu ( t , x ) \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \left( \| y - \psi ^ { ( \sigma ) } \| + \| x - \psi ^ { ( \sigma ) } \| \right) \, d \mu ( t , \, y ) } \\ & { \leq ( \beta + C _ { P } ) \, \| \psi ^ { ( \sigma ) } - x \| \, \mu ( t , x ) + C _ { P } \, \mu ( t , x ) \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \| y - \psi ^ { ( \sigma ) } \| \, d \mu ( t , \, y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { s _ { k } e ^ { 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \gamma _ { k } , \ k = 1 , 3 , 5 , 7 , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { x ^ { 2 } ( g _ { - } ( z ) - g _ { + } ( z ) ) } } & { 0 } \\ { - s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } e ^ { - x ^ { 2 } ( g _ { + } ( z ) + g _ { - } ( z ) ) } } & { e ^ { x ^ { 2 } ( g _ { + } ( z ) - g _ { - } ( z ) ) } } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \gamma _ { 4 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { - 2 \pi i \alpha } e ^ { x ^ { 2 } ( g _ { - } ( z ) - g _ { + } ( z ) ) } } & { 0 } \\ { s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } e ^ { - x ^ { 2 } ( g _ { + } ( z ) + g _ { - } ( z ) ) } } & { e ^ { 2 \pi i \alpha } e ^ { x ^ { 2 } ( g _ { + } ( z ) - g _ { - } ( z ) ) } } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \gamma _ { 8 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } = ( S _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } , \mathcal { T } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } , \dots , * _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ f ~ t ~ } } , \mathcal { M } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ) } \end{array}