harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \mathbf { v } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \left( \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } , 0 , - \frac { 1 } { 2 \sqrt { 3 } } , - \frac { 1 } { 2 \sqrt { 3 } } , \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \right) } \\ { \mathbf { v } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \left( - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , 0 , - \frac { 1 } { 2 \sqrt { 3 } } , - \frac { 1 } { 2 \sqrt { 3 } } , \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \right) } \\ { \mathbf { v } ^ { ( 3 ) } } & { = } & { \left( \frac { 1 } { 2 \sqrt { 3 } } , \frac { 1 } { 2 \sqrt { 3 } } , - \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } , - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , 0 \right) } \\ { \mathbf { v } ^ { ( 4 ) } } & { = } & { \left( 0 , 0 , 0 , \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } , \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } , \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \right) } \\ { \mathbf { v } ^ { ( 5 ) } } & { = } & { \left( \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } , \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } , \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } , 0 , 0 , 0 \right) } \\ { \mathbf { v } ^ { ( 6 ) } } & { = } & { \left( - \frac { 1 } { 2 \sqrt { 3 } } , - \frac { 1 } { 2 \sqrt { 3 } } , \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } , - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , 0 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { m _ { 1 } \, \frac { d \mathbf v } { d t } = - F _ { c } \, \mathbf n \quad \Rightarrow } \\ & { m _ { 1 } \, \int _ { \mathbf u _ { 1 } } ^ { \mathbf v _ { 1 } } = - \int F _ { c } \, \mathbf n \, d t = - \lambda \mathbf { n } } \\ & { m _ { 1 } \, ( \mathbf v _ { 1 } - \mathbf u _ { 1 } ) = - \lambda \, \mathbf n } \end{array}
\Lambda _ { \nu \mu } = - \pi \hbar \int \mathop { } \mathrm { d } \epsilon \left( \partial _ { \nu } h + ( \epsilon - h ) \frac { \partial _ { \nu } \Gamma } { \Gamma } \right) \left( \partial _ { \mu } h + ( \epsilon - h ) \frac { \partial _ { \mu } \Gamma } { \Gamma } \right) A ^ { 2 } ( \epsilon ) \frac { \partial f } { \partial \epsilon }
A _ { 4 } = p _ { z } ( - \Omega _ { 0 } - \mu ^ { 2 } E ^ { 2 } + 2 \mu E \frac { d } { d r } + \mu E ^ { \prime } + \mu E \frac { 1 } { r } + \frac { 1 } { 2 } \frac { d k ^ { - 2 } } { d r } ( \frac { d } { d r } + \frac { l - 1 } { r } - \mu E )
{ \frac { \mathrm { d } \ \operatorname { I m } \{ V _ { c } \cdot e ^ { i \omega t } \} } { \mathrm { d } t } } + { \frac { 1 } { R C } } \operatorname { I m } \{ V _ { c } \cdot e ^ { i \omega t } \} = { \frac { 1 } { R C } } \operatorname { I m } \{ V _ { s } \cdot e ^ { i \omega t } \}
\begin{array} { r l } { \Lambda } & { = \log \left( \frac { \hat { \mathcal { L } } } { \mathcal { L _ { 0 } } } \right) } \\ & { = \sum _ { i } \frac { - \left( X _ { i } - \mu _ { i } \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma } - \sum _ { i } \frac { - \left( X _ { i } \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma } } \\ & { = \sum _ { i } \frac { 2 \mu _ { i } X _ { i } - \mu _ { i } ^ { 2 } } { 2 \sigma } } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l } { f _ { 1 } ^ { + } } & { f _ { 1 } ^ { - } } \\ { g _ { 1 } ^ { + } } & { - g _ { 1 } ^ { - } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { E _ { 1 } ^ { + } } \\ { E _ { 1 } ^ { - } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { f _ { 2 } ^ { + } } & { f _ { 2 } ^ { - } } \\ { g _ { 2 } ^ { + } } & { - g _ { 2 } ^ { - } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { E _ { 2 } ^ { + } } \\ { E _ { 2 } ^ { - } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } & { < \Vert \Delta W \Vert _ { \mu } ^ { 4 } > = < ( \sum _ { x \in Z ^ { d } } \mu ( x ) ( ( W ( t _ { 2 } , x ) - W ( t _ { 1 } , x ) ) ^ { 2 } ) ^ { 2 } > } \\ & { = < \sum _ { x _ { 1 } , x _ { 2 } \in Z ^ { d } } \mu ( x _ { 1 } ) \mu ( x _ { 2 } ) \Delta ^ { 2 } W ( \cdot , x _ { 1 } ) \Delta ^ { 2 } W ( \cdot , x _ { 2 } ) > } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| x ( t ) - x ( s ) - x ^ { \prime } ( s ) ( t - s ) \| } & { = \left\| \int _ { s } ^ { t } ( x ^ { \prime } ( \tau ) - x ^ { \prime } ( s ) ) d \tau \right\| } \\ & { \leqslant \left| \int _ { s } ^ { t } \| x ^ { \prime } ( \tau ) - x ^ { \prime } ( s ) \| d \tau \right| } \\ & { \leqslant \left| \int _ { s } ^ { t } M L | \tau - s | d \tau \right| } \\ & { = \frac { M L } { 2 } ( t - s ) ^ { 2 } . } \end{array}
a \frac { d } { d a } \lambda _ { i } ^ { ( j ) N } = \gamma _ { i } ^ { ( j ) } \lambda _ { i } ^ { ( j ) N } + \sum c _ { \vec { n } , r , s } \alpha ^ { n _ { 1 } } \left( \frac { \alpha } { \epsilon } \right) ^ { n _ { 2 } } \left( \alpha \ln ( \frac { a } { z _ { h } } ) \right) ^ { n _ { 3 } } \left( \frac { a } { z _ { h } } \right) ^ { \gamma _ { 1 } ^ { ( 0 ) } r + \tilde { \gamma } s } .
{ \begin{array} { r l } { \sin n x } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } { \binom { n } { k } } ( \cos x ) ^ { k } \, ( \sin x ) ^ { n - k } \, \sin { \frac { ( n - k ) \pi } { 2 } } } \\ { \cos n x } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } { \binom { n } { k } } ( \cos x ) ^ { k } \, ( \sin x ) ^ { n - k } \, \cos { \frac { ( n - k ) \pi } { 2 } } . } \end{array} }
M _ { i j k } = \lambda _ { 1 } \underbrace { \epsilon _ { i j k } } _ { \mathrm { ~ T ~ e ~ r ~ m ~ 1 ~ } } + \lambda _ { 2 } \underbrace { p _ { i } \epsilon _ { j k q } p _ { q } } _ { \mathrm { ~ T ~ e ~ r ~ m ~ 2 ~ } } + \lambda _ { 3 } \underbrace { p _ { j } \epsilon _ { i k q } p _ { q } } _ { \mathrm { ~ T ~ e ~ r ~ m ~ 3 ~ } } + \lambda _ { 4 } \underbrace { p _ { k } \epsilon _ { i j q } p _ { q } } _ { \mathrm { ~ T ~ e ~ r ~ m ~ 4 ~ } }
r - \bar { r } = \frac { 4 } { m _ { \sigma _ { 1 } } ^ { 2 } ( m _ { \sigma _ { 1 } } ^ { 2 } - m _ { \sigma _ { 3 } } ^ { 2 } ) } \frac { I m T r \left( ( \mu ^ { 2 } ) ( \mu ^ { 2 } ) ^ { \dagger } \lambda _ { 1 } ^ { \dagger } \lambda _ { 1 } ^ { \prime } \lambda _ { 3 } ^ { \dagger } \lambda _ { 3 } ^ { \prime } \right) } { T r ( \lambda _ { 1 } ^ { \dagger } \lambda _ { 1 } ) } I m I ( m _ { \sigma _ { 1 } ^ { \prime } } / m _ { \sigma _ { 1 } } , m _ { \sigma _ { 3 } ^ { \prime } } / m _ { \sigma _ { 1 } } )
\operatorname* { l i m } _ { s \to \infty } C ( s ) = \frac { 1 } { \gamma + \alpha } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \operatorname* { l i m } _ { s \to \infty } s C _ { v } ( s ) = \frac { \alpha ^ { 2 } } { ( \gamma + \alpha ) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \eta } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \eta _ { i } } \right)
\alpha _ { u _ { i } v } ^ { \mathcal { X } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } \cos ( \frac { \pi | | \vec { \mathbf { e } } _ { u _ { i } v } | | } { d _ { 0 } } + 1 ) , | | \vec { \mathbf { e } } _ { u _ { i } v } | | \leq d _ { 0 } ; } \\ { 0 , | | \vec { \mathbf { e } } _ { u _ { i } v } | | > d _ { 0 } , } \end{array} \right.
F _ { C A } ^ { 2 } = { \frac { 3 } { 8 \pi ^ { 2 } } } k _ { 0 } ^ { 2 } z _ { 0 } ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { z _ { 0 } } d z \, { \frac { z B ^ { 2 } ( z _ { 0 } , z ) } { \{ z g ^ { 2 } ( z ) + B ^ { 2 } ( z _ { 0 } , z ) \} } } .
r ( x _ { j } ) = \operatorname* { m a x } _ { z \in { \mathcal { L } } _ { j } } r ( z ) \qquad { \mathrm { a n d } } \qquad r ( y _ { j } ) = \operatorname* { m i n } _ { z \in { \mathcal { L } } _ { j } } r ( z ) .
\begin{array} { r l r } { \left\{ \hat { \lambda } _ { i } , \hat { \lambda } _ { j } \right\} } & { { } = } & { \frac { 4 } { 3 } \delta _ { i j } + 2 \sum _ { k = 1 } ^ { 8 } D _ { i j k } \hat { \lambda } _ { k } , } \end{array}
\upgamma ( S ) = \frac { \mathrm { ~ \# ~ h ~ y ~ p ~ e ~ r ~ e ~ d ~ g ~ e ~ s ~ w ~ i ~ t ~ h ~ \textit ~ { ~ a ~ l ~ l ~ } ~ n ~ o ~ d ~ e ~ s ~ i ~ n ~ } S } { \mathrm { ~ \# ~ h ~ y ~ p ~ e ~ r ~ e ~ d ~ g ~ e ~ s ~ w ~ i ~ t ~ h ~ \textit ~ { ~ a ~ t ~ l ~ e ~ a ~ s ~ t ~ } ~ o ~ n ~ e ~ n ~ o ~ d ~ e ~ i ~ n ~ } S } \, , S \subseteq V \, .
C ( \mathbf { r } , \mathbf { r } + \Delta \mathbf { r } ) \approx \exp \! \left[ - \frac { 1 } { 2 } \{ \mathcal { R } _ { \mathbf { \Phi } ( \mathbf { r } ) } ^ { T } ( \Delta \mathbf { r } ) \} ^ { T } \mathbf { P } ( \mathbf { r } ) \{ \mathcal { R } _ { \mathbf { \Phi } ( \mathbf { r } ) } ^ { T } ( \Delta \mathbf { r } ) \} \right] .
\begin{array} { r l } { V _ { k + 1 } - V _ { k } } & { = - h ^ { 2 } ( r - 2 ) ( 2 k + r - 2 ) \langle q _ { k } - q ^ { * } , A ( q _ { k } - q ^ { * } ) \rangle } \\ & { \quad \quad + \frac { h ^ { 4 } } { 4 } ( 2 k + r - 2 ) ( r - 2 ) \| A ( q _ { k } - q ^ { * } ) \| ^ { 2 } } \\ & { = - h ^ { 2 } ( r - 2 ) ( 2 k + r - 2 ) \langle q _ { k } - q ^ { * } , B ( q _ { k } - q ^ { * } ) \rangle , } \end{array}
\langle \psi ( { \bf { x } } , t ) \psi ^ { \dagger } ( { \bf { 0 } } , 0 ) \rangle = \rho \langle e ^ { - i \mathrm { ~ } \Pi ( { \bf { x } } , t ) } e ^ { i \mathrm { ~ } \Pi ( { \bf { 0 } } , 0 ) } \rangle
G _ { \mathrm { B } } ( \Omega _ { \mathrm { m } } ) = Q _ { \mathrm { m } } \, \frac { 2 \omega _ { \mathrm { p } } } { m _ { \mathrm { e f f } } \, \Omega _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } } \, \left| \int f _ { \mathrm { M B } } \, \mathrm { d } \ell + \int f _ { \mathrm { P E } } \, \mathrm { d } A \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \left( \mathbf { I } - \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } \right) ^ { - 1 } } & { = \mathbf { I } + \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } + \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } ^ { 2 } + \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } ^ { 3 } + \ldots } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \left( \begin{array} { c c } { \tilde { \mathbf { x } } ^ { i } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { P } _ { i } \left( \tilde { \mathbf { x } } , \tilde { \mathbf { y } } \right) } & { \tilde { \mathbf { x } } ^ { i } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \tilde { x } } _ { i } = } & { A \tilde { x } _ { i } + L _ { i } C _ { i } \tilde { x } _ { i } + \gamma M _ { i } \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } ( t ) } { ( \tilde { x } _ { j } - \tilde { x } _ { i } ) } } \\ { = } & { ( A + L _ { i } C _ { i } ) \tilde { x } _ { i } - \gamma M _ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { N } l _ { i j } ( t ) { \tilde { x } _ { j } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac 1 2 \| y ( \cdot , T ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } + } & { \int _ { Q } \beta ( x ) \left| \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ( x , t ) \right| ^ { 2 } d x \, d t + \int _ { Q } q ( x ) | y ( x , t ) | ^ { 2 } \, d x \, d t } \\ { = } & { \frac 1 2 \| y ^ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { T } \langle f , \, y \rangle _ { V _ { 0 } ^ { \star } , V _ { 0 } } \, d t + \int _ { 0 } ^ { T } v ( t ) ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ) ( b ^ { - } , t ) \; d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { 0 , t } } & { ( x , \xi _ { 0 } ) } \\ & { = \xi _ { 0 } \exp \Big ( - \int _ { 0 } ^ { t } b ( \varphi _ { 0 , r } ( x ) ) \, \mathrm { d } r - \int _ { 0 } ^ { t } B ( \varphi _ { 0 , r } ( x ) ) \circ \mathrm { d } W _ { r } - \int _ { 0 } ^ { t } \beta ( \varphi _ { 0 , r } ( x ) ) \diamond \mathrm { d } Z _ { r } \Big ) . } \end{array}
\frac { \partial g _ { \delta \beta } } { \partial x ^ { \sigma } } \frac { d x ^ { \sigma } } { d \tau } \frac { d x ^ { \beta } } { d \tau } = \frac { \partial g _ { \delta \sigma } } { \partial x ^ { \beta } } \frac { d x ^ { \beta } } { d \tau } \frac { d x ^ { \sigma } } { d \tau } = \frac { \partial g _ { \delta \sigma } } { \partial x ^ { \beta } } \frac { d x ^ { \sigma } } { d \tau } \frac { d x ^ { \beta } } { d \tau }
( \ell _ { 1 } ^ { \prime } + \ell _ { 1 } ) + ( \ell _ { 1 } + \ell _ { 2 } ^ { \prime } + \ell _ { 2 } ) + \ldots + ( \ell _ { d - 1 } + \ell _ { d } ^ { \prime } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { d } \ell _ { i } ^ { \prime } + \sum _ { i = 1 } ^ { d - 1 } 2 \ell _ { i }
\left\{ \begin{array} { l l } { \nabla \cdot ( \varrho u ) + \tau \nabla \cdot ( v _ { w _ { 0 } } ( q + \mathfrak { g } \eta ) ) + N ^ { - 1 } L _ { m } ( q + \mathfrak { g } \eta ) = g } & { \mathrm { i n ~ } \Omega , } \\ { - \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \varrho \partial _ { 1 } u + \varrho \nabla ( q + \mathfrak { g } \eta ) - \gamma _ { 0 } \nabla \cdot \mathbb { S } ^ { \varrho } u = f } & { \mathrm { i n ~ } \Omega , } \\ { - ( \varrho q - \gamma _ { 0 } \mathbb { S } ^ { \varrho } u ) e _ { n } - \varsigma \Delta _ { \| } \eta e _ { n } = k } & { \mathrm { o n ~ } \Sigma , } \\ { u \cdot e _ { n } + \partial _ { 1 } \eta = N ^ { - 1 } ( - \Delta _ { \| } ) ^ { m - 1 / 4 } \eta } & { \mathrm { o n ~ } \Sigma , } \\ { u = 0 } & { \mathrm { o n ~ } \Sigma _ { 0 } , } \\ { \partial _ { n } ^ { m } q = \cdots = \partial _ { n } ^ { 2 m - 1 } q = 0 } & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \int d \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } A ( \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } ) \exp \left( i \mathbf { k } ^ { \prime } \cdot \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } \right) = \frac { 2 \pi a } { q ^ { \prime } } J _ { 1 } ( a q ^ { \prime } ) , } \end{array}
{ \cal Q } \, = \, \oint \frac { d z } { 2 \pi i } \, j _ { B R S T } ( z ) \, = \, \oint \frac { d z } { 2 \pi i } \, c ( z ) \left[ T ( z ) \, + \, \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } T _ { g h } ( z ) \right] \; .
\operatorname* { i n f } _ { \varphi \in \mathbb { T } } \big | \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) \big | \geqslant \delta _ { 0 } > 0 , \qquad \delta _ { 0 } \triangleq \operatorname* { i n f } _ { x \in [ \theta _ { 0 } - r , \theta _ { 0 } + r ] } | \sin ( x ) | \in ( 0 , 1 ) .
F ^ { ( 1 ) } = - i \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } d x _ { j } A _ { j } ^ { ( 1 ) } - \frac { i } { 2 } \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } d x _ { j } \, \epsilon ^ { m l } k _ { m } \, \partial _ { l } A _ { j } ^ { ( 0 ) } + \frac { i } { 2 } \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } d x _ { j } \, \epsilon ^ { m l } A _ { m } ^ { ( 0 ) } \, \partial _ { l } A _ { j } ^ { ( 0 ) } .
{ R ^ { \alpha } } _ { \beta } = { \frac { 1 } { 4 } } \left( 2 { f ^ { \alpha } } _ { \beta i } { f ^ { i } } _ { \gamma \delta } + { f ^ { \alpha } } _ { \beta \epsilon } { f ^ { \epsilon } } _ { \gamma \delta } - { f ^ { \alpha } } _ { \gamma \epsilon } { f ^ { \epsilon } } _ { \beta \delta } \right) e ^ { \gamma } \wedge e ^ { \delta } .
\begin{array} { r l } { P _ { \gamma } } & { { } = 2 \Re \bigg \{ \int \left( \vec { E } _ { \gamma } \times \vec { H } _ { \gamma } ^ { * } \right) \cdot \hat { z } d A \bigg \} , } \\ { m _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } & { { } = \int \rho \left( \frac { | \vec { u } | } { \operatorname* { m a x } | \vec { u } | } \right) ^ { 2 } d A . } \end{array}
X _ { m i x . } \equiv \frac { < B _ { q } ^ { 0 } | \overline { { { q } } } _ { \alpha } \gamma ^ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) b _ { \alpha } \overline { { { q } } } _ { \beta } \gamma ^ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) b _ { \beta } | \overline { { { B _ { q } ^ { 0 } } } } > _ { n o n - f a c t . } } { 2 m _ { B } ^ { 2 } f _ { B } ^ { 2 } } .
{ \mathrm { B R } } ( \ell _ { i } \to \ell _ { j } \gamma ) = \frac { 3 \alpha } { 4 s _ { 2 w } ^ { 2 } } \left( \frac { m _ { i } } { \Gamma _ { \ell _ { i } } } \right) \left( \frac { m _ { i } } { m _ { Z } } \right) ^ { 2 } | B ^ { i j } | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { U _ { i } } & { { } = U _ { i } ^ { F a x e n } + \frac { 1 } { R _ { i i } ^ { F U } } F _ { i } ^ { p o l y } \qquad \mathrm { ~ ( ~ n ~ o ~ s ~ u ~ m ~ m ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ o ~ v ~ e ~ r ~ i ~ ) ~ } } \\ { \Omega _ { i } } & { { } = \Omega _ { i } ^ { F a x e n } + \frac { 1 } { R _ { i i } ^ { T \Omega } } T _ { i } ^ { p o l y } \qquad \mathrm { ~ ( ~ n ~ o ~ s ~ u ~ m ~ m ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ o ~ v ~ e ~ r ~ i ~ ) ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } f ( \mathbf { x } , \mathbf { v } , t ) + \mathbf { v } \cdot \nabla _ { \mathbf { x } } f ( \mathbf { x } , \mathbf { v } , t ) } \\ & { + \frac { q } { m } ( \mathbf { E } ( \mathbf { x } , t ) + \mathbf { v } \times \mathbf { B } _ { 0 } ) \cdot \nabla _ { \mathbf { v } } f ( \mathbf { x } , \mathbf { v } , t ) = 0 , \mathrm { ~ o n ~ } \Omega \times \mathbb { R } ^ { 3 } \times ( 0 , T ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { A _ { p } ^ { d } / A _ { p } ^ { s } } } & { { = \frac { V _ { t d } } { V _ { t s } } [ 1 + \Delta ] } } \\ { { \ } } & { { \ } } \\ { { \Delta } } & { { \equiv \left( \frac { f _ { u } - f _ { c } } { f _ { t } - f _ { c } } \right) \left( \frac { V _ { u b } } { V _ { t d } } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { f } ( \mathcal { D } ) = } & { \Big ( P _ { s } ( s _ { 1 } ) - P _ { s } ( s _ { 0 } ) \Big ) \cdot \Big ( P _ { r } ( r _ { 1 } ) - P _ { r } ( r _ { 0 } ) \Big ) \cdot \Big ( P _ { \xi | r } ( \xi _ { 1 } | \bar { r } ) - P _ { \xi | r } ( \xi _ { 0 } | \bar { r } ) \Big ) \cdot } \\ & { \cdot \Big ( P _ { \psi | \xi , r } ( \psi _ { 1 } | \bar { \xi } , \bar { r } ) - P _ { \psi | \xi , r } ( \psi _ { 0 } | \bar { \xi } , \bar { r } ) \Big ) } \end{array}
\frac { d E _ { 0 } ^ { \prime } } { E _ { 0 } ^ { \prime } } = \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 } { 4 \gamma ^ { 2 } } } \frac { 2 X + X ^ { 2 } + X / \gamma } { X \left( 1 + X \right) } \frac { d \gamma } { \gamma }
\begin{array} { r } { { \cal U } ^ { ( 1 ) } ( { \bf R } , { \bf n } ^ { ( 0 ) } ) = { \cal E } ^ { ( 1 ) } ( { \bf R } , { \bf q } _ { \mathrm { m i n } } [ { \bf n } ^ { ( 1 ) } ] , { \bf n } ^ { ( 1 ) } ) + V ( { \bf R } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 - x } { 2 } \right) ^ { a } \left( \frac { 1 + x } { 2 } \right) ^ { b } J _ { k } ^ { ( a , b ) } ( x ) J _ { l } ^ { ( a , b ) } ( x ) \, \mathrm { d } x } \\ & { = \frac { 2 \Gamma ( k + a + 1 ) \Gamma ( k + b + 1 ) } { ( 2 k + a + b + 1 ) \Gamma ( k + 1 ) \Gamma ( k + a + b + 1 ) } \delta _ { k l } , \quad \Re ( a , b ) > - 1 . } \end{array}
\frac { \partial T ^ { * } } { \partial t ^ { * } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { L _ { \mathrm { { c e l l } } } / V _ { \mathrm { i n } } } } \frac { \rho ^ { * } c _ { p } ^ { * } } { \rho _ { \mathrm { { e f f } } } ^ { * } c _ { p , \mathrm { { e f f } } } ^ { * } } \vec { V } ^ { * } \cdot \nabla ^ { * } T ^ { * } - \alpha _ { \mathrm { { e f f } } } ^ { * } \left( \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { W _ { \mathrm { { c e l l } } } ^ { 2 } / \alpha _ { \mathrm { { e f f , 0 } } } } } \frac { \partial ^ { 2 } T ^ { * } } { \partial x ^ { * 2 } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { L _ { \mathrm { { c e l l } } } ^ { 2 } / \alpha _ { \mathrm { { e f f , 0 } } } } } \frac { \partial ^ { 2 } T ^ { * } } { \partial y ^ { * 2 } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { \delta _ { \mathrm { { D L } } } ^ { 2 } / \alpha _ { \mathrm { { e f f , 0 } } } } } \frac { \partial ^ { 2 } T ^ { * } } { \partial z ^ { * 2 } } \right) = \frac { S _ { \mathrm { { h } } } ^ { * } } { \rho _ { \mathrm { { e f f } } } ^ { * } c _ { p , \mathrm { { e f f } } } ^ { * } }
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { 3 L } ( 0 ) } | \nabla ^ { \prime } u | } & { \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { j \rightarrow \infty } \int _ { B _ { 3 L } ( 0 ) } | \nabla ^ { \prime } u _ { j } | \leq C ( L ) \left( \int _ { B _ { 3 L } ( 0 ) } | \nabla u _ { j } | ^ { 2 } \sqrt { 1 - \nu _ { j , n } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } P \left( E _ { n , i } \cap \left\{ | J _ { i } ^ { * } | = 0 \right\} \cap \left\{ | \mathcal { T } _ { i } ^ { c } ( t _ { n , i } ) | \neq | \mathcal { G } _ { i } ^ { ( n ) } | \right\} \right) } \\ & { \leq E \left[ 1 - e ^ { - C _ { f } \epsilon \Lambda _ { I _ { n } } ( t _ { n , I _ { n } } ) } \right] + E \left[ \frac { 2 a _ { I _ { n } } } { \epsilon I _ { n } } \wedge 1 \right] + P \left( t _ { n , I _ { n } } - \sigma _ { S _ { n } } + \sigma _ { S _ { I _ { n } } } > \epsilon / 2 \right) } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } P \left( | \mathcal { T } _ { i } ^ { c } ( t _ { n , i } ) | \neq | \mathcal { T } _ { i } ^ { c } ( \sigma _ { S _ { n } } - \sigma _ { S _ { i } } ) | \right) } \\ & { \to E \left[ 1 - e ^ { - C _ { f } \epsilon \Lambda ( \chi ) } \right] , \qquad n \to \infty , } \end{array}
\langle r \lvert \varphi _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \rangle = e ^ { - i \textbf { A } ( t ) \cdot \textbf { r } } \psi _ { m , \textbf { k } ( t ) } ( \textbf { r } ) = e ^ { i \textbf { k } _ { 0 } \cdot \textbf { r } } u _ { m , \textbf { k } ( t ) } ( \textbf { r } )
\begin{array} { r l } { \hat { F } ( x , u ; \bar { w } ) } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { \bar { \bar { x } } _ { 0 } } & { - } & { x _ { 0 } } \\ { \bar { f } _ { 0 } + \bar { A } _ { 0 } ( x _ { 0 } - \bar { x } _ { 0 } ) + \bar { B } _ { 0 } ( u _ { 0 } - \bar { u } _ { 0 } ) } & { - } & { x _ { 1 } } \\ { \bar { f } _ { 1 } + \bar { A } _ { 1 } ( x _ { 1 } - \bar { x } _ { 1 } ) + \bar { B } _ { 1 } ( u _ { 1 } - \bar { u } _ { 1 } ) } & { - } & { x _ { 2 } } \end{array} \right] , } \\ { F ( x , u ) } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { \bar { \bar { x } } _ { 0 } } & { - } & { x _ { 0 } } \\ { f ( x _ { 0 } , u _ { 0 } ) } & { - } & { x _ { 1 } } \\ { f ( x _ { 1 } , u _ { 1 } ) } & { - } & { x _ { 2 } } \end{array} \right] , } \end{array}
( x _ { 1 } \cdot x _ { 2 } ) \{ y _ { 1 } , \dots , y _ { n } \} = \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { \varepsilon } x _ { 1 } \{ y _ { 1 } , \dots , y _ { k } \} \cdot x _ { 2 } \{ y _ { k + 1 } , \dots , y _ { n } \} ,
T _ { \mathrm { ~ U ~ M ~ } } ^ { 0 } : \left\{ \begin{array} { l l } { y _ { n + 1 } ^ { * } = 1 - \frac { ( 1 - y _ { n } ) } { 1 - a _ { 1 } \sin ( x _ { n } ) } } \\ { x _ { n + 1 } ^ { * } = x _ { n } + \frac { 2 \pi } { q ^ { 0 } ( y _ { n + 1 } ^ { * } ) } + a _ { 1 } \cos ( x _ { n } ) } \end{array} \right. ~ ,
P _ { n } ^ { - 1 } d _ { \hat { \rho } } F ^ { ( n ) } P _ { 0 } = ( I _ { 2 } + O ( \varepsilon _ { 2 } ) ) d _ { \hat { \rho } } F ^ { ( n ) } ( I _ { 2 } + O ( \varepsilon _ { 2 } ) ) = d _ { \hat { \rho } } F ^ { ( n ) } + O \left( | | d _ { \hat { \rho } } F ^ { ( n ) } | | \varepsilon _ { 2 } \right) = d _ { \hat { \rho } } F ^ { ( n ) } + O \left( \varepsilon _ { 2 } J _ { \mathbf { q } } ^ { u } \right)
\begin{array} { r l r } { R } & { { } = } & { N _ { 0 , g } \ \frac { e ^ { T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } - 1 } { e ^ { T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } + 1 } > 0 , } \\ { \kappa } & { { } = } & { \frac { \alpha } { N _ { 0 , g } } \ \Big ( 1 + e ^ { T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } \Big ) . } \end{array}
{ \left< { \Phi ^ { \ast } } _ { 0 1 2 3 } ^ { - 1 } ( \overline { { { \phi } } } _ { 0 1 2 3 } ) , \Phi _ { 0 1 2 3 } ( \psi _ { 0 1 2 3 } ) \right> } ^ { \tilde { } } = \left< \overline { { { \phi } } } _ { 0 1 2 3 } , \psi _ { 0 1 2 3 } \right> ,
\begin{array} { r } { P = - 2 \int _ { 0 } ^ { \Delta } \frac { \lambda _ { \rho } ^ { 2 } } { \hat { r } } \frac { \mathrm { ~ d ~ } \Psi } { \mathrm { ~ d ~ } \lambda _ { \rho } } \mathrm { ~ d ~ } \delta . } \end{array}
\Omega _ { p } = \frac { \vec { d } _ { 1 3 } . \hat { e } _ { p } } { \hbar } \mathcal E _ { 0 p } , ~ ~ \Omega _ { c } = \frac { \vec { d } _ { 1 2 } . \hat { e } _ { c } } { \hbar } \mathcal E _ { 0 c } , ~ ~ \Omega _ { q } = \frac { \vec { d } _ { 4 2 } . \hat { e } _ { q } } { \hbar } \mathcal E _ { 0 q } .
\delta a _ { \mu } ^ { Z ^ { \prime } } = \frac { g ^ { 2 } } { 3 c _ { W } ^ { 2 } } \frac { m _ { \mu } ^ { 2 } } { 1 2 \pi ^ { 2 } M _ { Z ^ { \prime } } ^ { 2 } } ( 1 - 4 s _ { W } ^ { 2 } ) .
D \geq 3 ^ { 9 } \cdot ( 8 4 A e ) C _ { \sharp } ^ { 5 } ( 1 + \epsilon ^ { - 2 } + \epsilon ^ { - 4 } ) ^ { 2 } \left( \frac { \sigma _ { \operatorname* { m a x } } } { \sigma _ { \operatorname* { m i n } } } \right) ^ { 4 } ( \epsilon ^ { 3 } \zeta ) ^ { - 2 } M ^ { a } L _ { 0 } ^ { 2 } L ^ { 3 } \log \left( \frac { M L } \delta \right) \log ( 2 L ) \ .
\begin{array} { r l } { \widehat { V } _ { k } \widehat { B } _ { k } ^ { T } \widehat { B } _ { k } } & { = Q _ { B } ^ { T } \widehat { U } _ { k } \widehat { B } _ { k } - \hat { \alpha } _ { k } \hat { \beta } _ { k } \hat { v } _ { k + 1 } ( e _ { k } ^ { ( k ) } ) ^ { T } + \widehat { V } _ { k } P ( D _ { k } B _ { k } + H _ { k } ) P + G _ { k } B _ { k } P , } \end{array}
J ^ { ( 3 ) } ( 3 ; 1 , 1 , 1 ) = - \frac { \mathrm { i } \pi ^ { 2 } } { 2 m _ { 1 } m _ { 2 } m _ { 3 } } \; \frac { \Omega ^ { ( 3 ) } } { \sqrt { D ^ { ( 3 ) } } }
\psi _ { 0 } ^ { ( 0 ) } ( { \vec { r } } _ { 1 } , { \vec { r } } _ { 2 } ) = \psi _ { 1 } ( { \vec { r _ { 1 } } } ) \psi _ { 1 } ( { \vec { r _ { 2 } } } ) = { \frac { Z ^ { 3 } } { \pi } } e ^ { - Z ( r _ { 1 } + r _ { 2 } ) }