harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\rho _ { i } ^ { * 1 / 2 } \Pi _ { i j } \rho _ { j } ^ { * - 1 / 2 } = \rho _ { i } ^ { * - 1 / 2 } \Pi _ { j i } \rho _ { j } ^ { * 1 / 2 } = ( \rho _ { j } ^ { * - 1 / 2 } \Pi _ { i j } \rho _ { i } ^ { * 1 / 2 } ) ^ { T } .
\begin{array} { r l } { \alpha } & { { } = 1 , } \\ { \beta ^ { x } } & { { } = - v _ { s } ( t ) f { \big ( } r _ { s } ( t ) { \big ) } , } \\ { \beta ^ { y } } & { { } = \beta ^ { z } = 0 , } \\ { \gamma _ { i j } } & { { } = \delta _ { i j } , } \end{array}
e ^ { i \Delta \Gamma _ { e f f } [ H , q ] } = \int [ d \tilde { Q } ^ { \dagger } ] [ d \tilde { Q } ] [ d \tilde { g } ] e ^ { i ( S _ { 0 } [ \tilde { q } ] + S _ { 0 } [ \tilde { g } ] + S [ \tilde { g } , \tilde { q } , q ] + S [ H , \tilde { q } ] ) } .
\overline { { \tilde { { \bf y } } _ { c } ^ { f } } } = \frac { 1 } { N _ { e } } \sum _ { \substack { i = 1 } } ^ { N _ { e } } { \tilde { { \bf y } } _ { c } ^ { f , i } } \in \mathbb { R } ^ { n _ { o b s } } .
\left( \begin{array} { c c c c c c } { r _ { m } } & { t _ { m } ^ { \perp } } & { t _ { m } ^ { \perp } } & { t _ { m } } & { t _ { m } ^ { \perp } } & { t _ { m } ^ { \perp } } \\ { t _ { m } ^ { \perp } } & { r _ { m } } & { t _ { m } ^ { \perp } } & { t _ { m } ^ { \perp } } & { t _ { m } } & { t _ { m } ^ { \perp } } \\ { t _ { m } ^ { \perp } } & { t _ { m } ^ { \perp } } & { r _ { m } } & { t _ { m } ^ { \perp } } & { t _ { m } ^ { \perp } } & { t _ { m } } \\ { t _ { m } } & { t _ { m } ^ { \perp } } & { t _ { m } ^ { \perp } } & { r _ { m } } & { t _ { m } ^ { \perp } } & { t _ { m } ^ { \perp } } \\ { t _ { m } ^ { \perp } } & { t _ { m } } & { t _ { m } ^ { \perp } } & { t _ { m } ^ { \perp } } & { r _ { m } } & { t _ { m } ^ { \perp } } \\ { t _ { m } ^ { \perp } } & { t _ { m } ^ { \perp } } & { t _ { m } } & { t _ { m } ^ { \perp } } & { t _ { m } ^ { \perp } } & { r _ { m } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { 2 m ~ \psi ^ { - 1 } \left( \frac { \epsilon } { 4 m } \right) } & { \leqslant 2 m ~ \psi ^ { - 1 } \left( \frac { \epsilon - \delta } { 2 m } \right) } \\ & { \leqslant 2 m ~ \psi ^ { - 1 } \left( \frac { \| x _ { k } ( T _ { k } ) - x ^ { * } \| - \| x _ { k } ( t ^ { * } ) - x ^ { * } \| } { 2 m } \right) } \\ & { \leqslant 2 m ~ \psi ^ { - 1 } \left( \frac { \| x _ { k } ( T _ { k } ) - x _ { k } ( t ^ { * } ) \| } { 2 m } \right) } \\ & { \leqslant 2 m ~ \psi ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { 2 m } \int _ { t ^ { * } } ^ { T _ { k } } \| x _ { k } ^ { \prime } ( t ) \| d t \right) } \\ & { \leqslant f ( x _ { k } ( t ^ { * } ) ) - f ( x _ { k } ( T _ { k } ) ) } \\ & { \leqslant m ~ \psi ^ { - 1 } \left( \frac { \epsilon } { 4 m } \right) + f ( x ^ { * } ) - f ( x _ { k } ( T _ { k } ) ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \psi _ { z , w } ^ { u , v } [ M ] , } & { \mathrm { i f ~ } ( u , v ) = ( u ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) \land ( z , w ) = ( z ^ { \prime } , w ^ { \prime } ) ; } \\ { \{ \phi _ { u , v } ( z ) \} \cup \{ ( \phi _ { u , v } ( z ) , a ) : a \in A \} \cup P , } & { \mathrm { i f ~ } \phi _ { u , v } ( z ) = \phi _ { u ^ { \prime } , v ^ { \prime } } ( z ^ { \prime } ) \land \phi _ { u , v } ( w ) \neq \phi _ { u ^ { \prime } , v ^ { \prime } } ( w ^ { \prime } ) ; } \\ { \{ \phi _ { u , v } ( w ) \} \cup \{ ( \phi _ { u , v } ( w ) , b ) : b \in B \} \cup P , } & { \mathrm { i f ~ } \phi _ { u , v } ( z ) \neq \phi _ { u ^ { \prime } , v ^ { \prime } } ( z ^ { \prime } ) \land \phi _ { u , v } ( w ) = \phi _ { u ^ { \prime } , v ^ { \prime } } ( w ^ { \prime } ) ; } \\ { P , } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
\left( \begin{array} { c c } { \epsilon - \omega ^ { 2 } } & { - \, i \, \omega } \\ { i \, \omega } & { \epsilon - \omega ^ { 2 } } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { c } { \overline { { x } } } \\ { \overline { { y } } } \end{array} \right) \; = \; 0 ,
\begin{array} { r l } { \hat { Q } } & { { } = \sum _ { I } ^ { n } | \Phi _ { I } ( r ; R ) \rangle \, \langle \Phi _ { I } ( r ; R ) | ~ , } \\ { \hat { P } } & { { } = 1 - \hat { Q } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d E | \chi _ { E } \rangle \langle \chi _ { E } | } \end{array}
D _ { x x } = 1 - \frac { c ^ { 2 } k _ { \parallel } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } + \sum _ { s } \frac { \omega _ { p s } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \sum _ { \ell = - \infty } ^ { \infty } \frac { \ell ^ { 2 } \Lambda _ { \ell } ( \lambda _ { s } ) } { \lambda _ { s } } \mathcal { A } _ { \ell } ,
\langle Y _ { j } ^ { i } ( Y ^ { \dagger } ) _ { l } ^ { k } \rangle = \frac { 1 } { \Sigma [ 0 ] } \int [ d X ] [ d Y ] Y _ { j } ^ { i } ( Y ^ { \dagger } ) _ { l } ^ { k } e ^ { - \mathrm { T r } ( X A _ { x } X ^ { \dagger } ) - \mathrm { T r } ( Y A _ { y } Y ^ { \dagger } ) } = \delta _ { l } ^ { i } ( A _ { y } ^ { - 1 } ) _ { j } ^ { k } = \delta _ { l } ^ { i } ( B _ { y } ) _ { j } ^ { k }
A _ { m } ( \omega , \gamma ) = { \frac { 4 } { 3 \pi } } { \frac { 1 } { | m | ! } } { \frac { \gamma ^ { 2 } } { 1 + \gamma ^ { 2 } } } \sum _ { n > v } ^ { \infty } e ^ { - ( n - v ) \alpha ( \gamma ) } w _ { m } \left( { \sqrt { { \frac { 2 \gamma } { \sqrt { 1 + \gamma ^ { 2 } } } } ( n - v ) } } \right)
\frac { d ^ { 2 } \sigma ^ { \nu ( \bar { \nu } ) F e } ( x , y , E _ { k } ^ { c } ) } { d x d y } = \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { x } } \sum _ { m = 1 } ^ { n _ { y } } \phi _ { i } ( x ) \psi _ { j } ( y ) \frac { d ^ { 2 } \sigma ^ { \nu ( \bar { \nu } ) F e } ( x _ { l } ^ { c } , y _ { m } ^ { c } , E _ { k } ^ { c } ) } { d x d y } .
{ \mathcal { A } } _ { \mathrm { t o t } } = { \frac { A B \cdot B D \cdot D A } { 4 R } } + { \frac { B C \cdot C D \cdot D B } { 4 R } } = { \frac { B D \cdot ( A B \cdot D A + B C \cdot C D ) } { 4 R } }
{ \begin{array} { r c r c c c c c c } { x _ { 1 } } & { = } & { - t F _ { 2 } ( t ) } \\ { x _ { 2 } } & { = } & { - F _ { 1 } ( t ) } & { + } & { { \frac { 1 } { 4 } } t F _ { 2 } ( t ) } & { + } & { { \frac { 5 } { 3 2 } } t ^ { 2 } F _ { 3 } ( t ) } & { + } & { { \frac { 5 } { 3 2 } } t ^ { 3 } F _ { 4 } ( t ) } \\ { x _ { 3 } } & { = } & { F _ { 1 } ( t ) } & { + } & { { \frac { 1 } { 4 } } t F _ { 2 } ( t ) } & { - } & { { \frac { 5 } { 3 2 } } t ^ { 2 } F _ { 3 } ( t ) } & { + } & { { \frac { 5 } { 3 2 } } t ^ { 3 } F _ { 4 } ( t ) } \\ { x _ { 4 } } & { = } & { - i F _ { 1 } ( t ) } & { + } & { { \frac { 1 } { 4 } } t F _ { 2 } ( t ) } & { - } & { { \frac { 5 } { 3 2 } } i t ^ { 2 } F _ { 3 } ( t ) } & { - } & { { \frac { 5 } { 3 2 } } t ^ { 3 } F _ { 4 } ( t ) } \\ { x _ { 5 } } & { = } & { i F _ { 1 } ( t ) } & { + } & { { \frac { 1 } { 4 } } t F _ { 2 } ( t ) } & { + } & { { \frac { 5 } { 3 2 } } i t ^ { 2 } F _ { 3 } ( t ) } & { - } & { { \frac { 5 } { 3 2 } } t ^ { 3 } F _ { 4 } ( t ) } \end{array} }
\mathbf { J } _ { \beta } ( y , z ) = \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } { \frac { I _ { \beta } } { d } } e ^ { - j k _ { 0 } \sin \theta _ { \mathrm { i } } y _ { m } } \delta ( y - y _ { m } , z + h ) \hat { x }
H = \left[ \begin{array} { l l l } { \hbar \omega _ { 1 } } & { \mathbf { E \cdot \mu _ { 1 2 } } } & { \mathbf { E \cdot \mu _ { 1 3 } } } \\ { \mathbf { E \cdot \mu _ { 2 1 } } } & { \hbar \omega _ { 2 } } & { 0 } \\ { \mathbf { E \cdot \mu _ { 3 1 } } } & { 0 } & { \hbar \omega _ { 3 } } \end{array} \right]
\int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \phi \, \mathrm { d } \mu ( x , t ) + \frac 1 2 \int _ { \Omega } \phi ( x , T ) \, \mathrm { d } \lambda ( x ) = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \phi \, \mathrm { d } \overline { \varepsilon } [ u ] ( x , t ) ,
\begin{array} { r } { \textrm { C E } _ { \textrm { s a t } } = \frac { { r _ { \textrm { E F } } } ^ { 2 } } { 4 } \frac { | 1 - r | ^ { 2 } } { 2 - r _ { \textrm { E F } } \textrm { R e } [ r ] } . } \end{array}
p _ { A } ( r , \boldsymbol { \Omega } , t ) = \sum _ { i } \operatorname* { m a x } ( \lambda _ { i } ( \boldsymbol { \Omega } , t ) , 0 ) \left| \overline { { \varphi } } _ { i } ( r , \boldsymbol { \Omega } , t ) \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } _ { 2 } ^ { 1 } ( t _ { 0 } ) = } & { \sum _ { i = 1 , i \neq \iota ( k ) } ^ { k - 2 } \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k } } \left( \frac { i \lambda } { \hbar } \right) ^ { | \alpha | + 1 } \int _ { [ 0 , t _ { 0 } ] ^ { | \alpha | } } \boldsymbol { 1 } _ { [ 0 , t ] _ { \leq } ^ { k } } ( s _ { k , \beta _ { k } } , \dots , s _ { 1 , \beta _ { 1 } } ) U _ { \hbar , \lambda } ( - s _ { k , \beta _ { k } } ) U _ { \hbar , 0 } ( s _ { k , \beta _ { k } } ) V _ { \hbar , x _ { i } } ^ { t _ { | \alpha | } } } \\ & { \phantom { \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k _ { 0 } } \times \{ 1 \} } } \times \Big [ \prod _ { m = 1 } ^ { k } \boldsymbol { 1 } _ { [ 0 , s _ { m - 1 , \beta _ { m - 1 } } - s _ { m , \beta _ { m } } ] } \big ( \sum _ { i = \beta _ { m - 1 } + 1 } ^ { \beta _ { m } - 1 } s _ { m , i } \big ) \Big \{ \prod _ { i = \beta _ { m - 1 } + 1 } ^ { \beta _ { m } } U _ { \hbar , 0 } ( - s _ { m , \beta _ { i } } ) ) V _ { \hbar , x _ { m } } \Big \} } \\ & { \phantom { \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k _ { 0 } } \times \{ 1 \} } } \times \Big \{ \prod _ { i = \beta _ { m - 1 } + 1 } ^ { \beta _ { m } } U _ { \hbar , 0 } ( s _ { m , i } ) ) \Big \} \Big ] \, \prod _ { m = 1 } ^ { k } d \boldsymbol { s } _ { m , ( \beta _ { m - 1 } + 1 , \beta _ { m } ) } U _ { \hbar , 0 } ( - t _ { 0 } ) } \\ { = } & { \mathcal { E } _ { 2 , j } ^ { \mathrm { r e c } } ( k , 0 , \boldsymbol { x } , t _ { 0 } ; \hbar ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { B _ { x } ( \mathbf { r } ) } & { = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } m _ { 1 } \left( { \frac { 3 \cos ^ { 2 } \theta - 1 } { r ^ { 3 } } } \right) } \\ { B _ { y } ( \mathbf { r } ) } & { = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } m _ { 1 } \left( { \frac { 3 \cos \theta \sin \theta } { r ^ { 3 } } } \right) , } \end{array} }
{ \cal L } _ { H E } ^ { ( 1 ) } ( B ) = { \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } } \int _ { s _ { o } } ^ { \infty } { \frac { d s } { s ^ { 3 } } } e ^ { - i s m ^ { 2 } } \, [ 1 + i s e B \, L ( i s e B ) ]
\rho _ { 1 2 , D } ( \Delta _ { c } ) = \frac { \Delta v _ { i } } { v _ { \sigma } \sqrt { 2 \pi } } \sum _ { v _ { i } = - 3 v _ { \sigma } } ^ { 3 v _ { \sigma } } \rho _ { 1 2 } \left( v _ { i } , \Delta _ { c } \right) \exp \left( - \frac { v _ { i } ^ { 2 } } { 2 v _ { \sigma } ^ { 2 } } \right)
\left[ J ^ { \alpha \beta } ( x ) , S _ { + } ^ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } } ( y ) \right] = \delta ( x - y ) \left( \delta ^ { \beta \alpha ^ { \prime } } S _ { + } ^ { \alpha \beta ^ { \prime } } ( x ) + \delta ^ { \beta \beta ^ { \prime } } S _ { + } ^ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ( x ) \right) ~ ~ ,
\begin{array} { r } { A _ { \mathrm { p a r } } ( p , r , s , d ) : = \, \frac { A _ { \mathrm { Y } } ( p , q , r , d ) } { ( 4 \pi ) ^ { \frac { d } 2 ( \frac 1 r - \frac 1 p ) } q ^ { \frac { d } { 2 q } } } \frac { \Gamma ( \frac { d } 2 ( \frac 1 r - \frac 1 p ) + \frac { s } 2 ) } { \Gamma ( \frac { d } 2 ( \frac 1 r - \frac 1 p ) ) } \, . } \end{array}
\mathbf { u } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A } \mathbf { v } = \langle \mathbf { u } , \mathbf { v } \rangle _ { \mathbf { A } } : = \langle \mathbf { A } \mathbf { u } , \mathbf { v } \rangle = \langle \mathbf { u } , \mathbf { A } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { v } \rangle = \langle \mathbf { u } , \mathbf { A } \mathbf { v } \rangle .
d s ^ { 2 } = H ( x _ { \perp } ) ^ { - 4 \frac { \tilde { d } } { \Delta \, ( D - 2 ) } } \, d x _ { \parallel } ^ { \mu } \otimes d x _ { \parallel } ^ { \nu } \, \eta _ { \mu \nu } + H ( x _ { \perp } ) ^ { 4 \frac { d } { \Delta \, ( D - 2 ) } } \, d x _ { \perp } ^ { I } \otimes d x _ { \perp } ^ { J } \, \delta _ { I J }
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \langle p _ { 2 } ( t ) \rangle = \langle p _ { 1 } ( t ) k _ { 1 \rightarrow 2 } ( t ) \rangle - \langle p _ { 2 } ( t ) k _ { 2 \rightarrow 1 } ( t ) \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| I _ { \tau _ { n } } ( \vec { u } _ { h _ { n } , \tau _ { n } } \otimes \vec { u } _ { h _ { n } , \tau _ { n } } ) - \vec { u } \otimes \vec { u } \| _ { L ^ { 1 } ( Q ) } } & { \leq \| I _ { \tau _ { n } } ( \vec { u } _ { h _ { n } , \tau _ { n } } \otimes \vec { u } _ { h _ { n } , \tau _ { n } } - \vec { u } _ { \varepsilon } \otimes \vec { u } _ { \varepsilon } ) \| _ { L ^ { 1 } ( Q ) } + \| I _ { \tau _ { n } } ( \vec { u } _ { \varepsilon } \otimes \vec { u } _ { \varepsilon } ) - \vec { u } \otimes \vec { u } \| _ { L ^ { 1 } ( Q ) } } \\ & { \lesssim \| \vec { u } _ { h _ { n } , \tau _ { n } } \otimes \vec { u } _ { h , \tau } - \vec { u } _ { \varepsilon } \otimes \vec { u } _ { \varepsilon } \| _ { L ^ { 1 } ( Q ) } + \| I _ { \tau _ { n } } ( \vec { u } _ { \varepsilon } \otimes \vec { u } _ { \varepsilon } ) - \vec { u } \otimes \vec { u } \| _ { L ^ { 1 } ( Q ) } } \\ & { \leq \| \vec { u } _ { h _ { n } , \tau _ { n } } \otimes \vec { u } _ { h _ { n } , \tau _ { n } } - \vec { u } \otimes \vec { u } \| _ { L ^ { 1 } ( Q ) } + \| \vec { u } \otimes \vec { u } - \vec { u } _ { \varepsilon } \otimes \vec { u } _ { \varepsilon } \| _ { L ^ { 1 } ( Q ) } } \\ & { \quad + \| I _ { \tau _ { n } } ( \vec { u } _ { \varepsilon } \otimes \vec { u } _ { \varepsilon } ) - \vec { u } _ { \varepsilon } \otimes \vec { u } _ { \varepsilon } \| _ { L ^ { 1 } ( Q ) } + \| \vec { u } _ { \varepsilon } \otimes \vec { u } _ { \varepsilon } - \vec { u } \otimes \vec { u } \| _ { L ^ { 1 } ( Q ) } } \\ & { \leq \| \vec { u } _ { h _ { n } , \tau _ { n } } \otimes \vec { u } _ { h _ { n } , \tau _ { n } } - \vec { u } \otimes \vec { u } \| _ { L ^ { 1 } ( Q ) } } \\ & { \quad + \| I _ { \tau _ { n } } ( \vec { u } _ { \varepsilon } \otimes \vec { u } _ { \varepsilon } ) - \vec { u } _ { \varepsilon } \otimes \vec { u } _ { \varepsilon } \| _ { L ^ { 1 } ( Q ) } + 2 \varepsilon , } \end{array}
A _ { L R } ( \theta ) = \frac { \frac { d \sigma } { d \Omega } ( \theta , P = + 1 ) - \frac { d \sigma } { d \Omega } ( \theta , P = - 1 ) } { \frac { d \sigma } { d \Omega } ( \theta , P = + 1 ) + \frac { d \sigma } { d \Omega } ( \theta , P = - 1 ) }
\langle E ^ { * } ( r , t ) E ( r , t ) \rangle = \iint \ E ^ { * } ( \rho _ { 1 } ) E ( \rho _ { 2 } ) \langle e x p ( - i \phi ( \rho _ { 1 } , t ) ) \exp \left( i \phi ( \rho _ { 2 } , t ) \right\rangle _ { T } \ h ^ { * } ( r - \rho _ { 1 } ) h ( r - \rho _ { 2 } ) d \rho _ { 1 } d \rho _ { 2 }
\int ( \cosh a x ) ( \sinh b x ) \, d x = { \frac { 1 } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } } { \big ( } a ( \sinh a x ) ( \sinh b x ) - b ( \cosh a x ) ( \cosh b x ) { \big ) } + C \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } a ^ { 2 } \neq b ^ { 2 } { \mathrm { ) } }
K ^ { \mu } \, = \, - \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \, \varepsilon ^ { \mu \alpha \beta \gamma } \mathrm { t r } \left( F _ { \alpha \beta } A _ { \gamma } - \frac { 2 } { 3 } A _ { \alpha } A _ { \beta } A _ { \gamma } \right) \,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \alpha \beta } ^ { \scriptsize { \textrm { D e e P K S } } } [ \{ \phi _ { i } | \omega \} ] = } & { { } \sigma _ { \alpha \beta } ^ { \scriptsize { \textrm { b a s e l i n e } } } [ \{ \phi _ { i } | \omega \} ] - \frac { \partial E ^ { \delta } [ \{ \phi _ { i } | \omega \} , \omega ] } { \partial \varepsilon _ { \alpha \beta } } } \\ { = } & { { } \sigma _ { \alpha \beta } ^ { \scriptsize { \textrm { b a s e l i n e } } } [ \{ \phi _ { i } | \omega \} ] - \sum _ { I n l m m ^ { \prime } } \frac { \partial E _ { \delta } } { \partial D _ { n l m m ^ { \prime } } ^ { I } } \sum _ { i } \frac { d } { d \varepsilon _ { \alpha \beta } } [ f _ { i } \langle \phi _ { i } | \alpha _ { n l m } ^ { I } \rangle \langle \alpha _ { n l m ^ { \prime } } ^ { I } | \phi _ { i } \rangle ] . } \end{array}
\left. { \frac { z _ { 1 } d z _ { 2 } - z _ { 2 } d z _ { 1 } } { z _ { 0 } ^ { * } } } \right| _ { S } = \left. { \frac { z _ { 0 } d z _ { 2 } - z _ { 2 } d z _ { 0 } } { z _ { 1 } ^ { * } } } \right| _ { S } = \left. { \frac { z _ { 1 } d z _ { 0 } - z _ { 0 } d z _ { 1 } } { z _ { 2 } ^ { * } } } \right| _ { S }
\begin{array} { r l } { q ( \mathcal { C } _ { t } \vert \mathcal { C } _ { t - 1 } ) } & { { } = \mathcal { N } ( \mathcal { C } _ { t } ; \sqrt { \alpha _ { t } } \mathcal { C } _ { t - 1 } , \beta _ { t } I ) , } \\ { q ( \mathcal { C } _ { t } \vert \mathcal { C } _ { 0 } ) } & { { } = \mathcal { N } ( \mathcal { C } _ { t } ; \sqrt { \bar { \alpha } _ { t } } \mathcal { C } _ { 0 } , ( 1 - \bar { \alpha } _ { t } ) I ) . } \end{array}
K _ { r } ^ { + } : = \frac { 1 } { 2 } \left| \left| \boldsymbol { u } _ { r } ^ { + } \right| \right| _ { \Omega _ { h } } ^ { 2 } = \sum _ { k } \frac { 1 } { 2 } \left< \boldsymbol { u } _ { r } ^ { - } , ( \Phi _ { i + 1 } ) _ { , k } \right> _ { \Omega _ { h } } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \langle \mathrm { o u t p u t } | { \bf \hat { S } } | \mathrm { o u t p u t } \rangle } & { { } = \hbar N \left( \begin{array} { c } { \sin \theta \cos ( \phi + \Delta \phi ) } \\ { \sin \theta \sin ( \phi + \Delta \phi ) } \\ { \cos \theta } \end{array} \right) , } \end{array}
p _ { n } ( \mathcal { K } ) = p _ { n } ( 0 ) \exp \left( - \frac { \alpha _ { n } + 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \mathcal { K } } \frac { d \epsilon } { \gamma _ { n } + \alpha _ { n } \epsilon } \right) = p _ { n } ( 0 ) \left[ 1 + \Big ( \frac { \alpha _ { n } } { \gamma _ { n } } \Big ) \mathcal { K } \right] ^ { - \frac { 1 } { 2 \alpha _ { n } } - \frac { 1 } { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { ( R ^ { ( k _ { 1 } ) } \cdot S ^ { ( k _ { 1 } ) } ) ( U ^ { ( k _ { 2 } ) } \cdot { V ^ { ( k _ { 2 } ) } } ) } & { = \sum _ { Q } ( - 1 ) ^ { Q - k _ { 1 } - k _ { 2 } } } \\ { \times \{ R ^ { ( k _ { 1 } ) } \otimes U ^ { ( k _ { 2 } ) } \} ^ { ( Q ) } } & { \cdot { \{ S ^ { ( k _ { 1 } ) } \otimes V ^ { ( k _ { 2 } ) } } \} ^ { ( Q ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , t - x ] } \{ A ( \tau , t - x ) - S _ { P _ { L } } ( \tau , t ) \} } \\ { = } & { \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , t - x ] } \{ A ( \tau , t - x ) - \rho _ { A } ( t - x - \tau ) + \rho _ { A } ( t - x - \tau ) } \\ & { + \rho _ { S } ( t - \tau ) - l _ { \operatorname* { m a x } } - S _ { P _ { L } } ( \tau , t ) - \rho _ { S } ( t - \tau ) + l _ { \operatorname* { m a x } } \} } \\ { \le } & { Y _ { A } + Y _ { S } + \beta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { \mathrm { P } } ( \Bar { \pi } ^ { r } ) } & { \le \frac { 4 } { m \beta \left( d + \left( b + m \right) \beta \right) } } \\ & { \quad + \frac { 8 a \left( d + \left( b + m \right) \beta \right) } { m \beta } \exp \left( \beta \left( \frac { 2 5 } { 1 6 } \left\| \nabla U \right\| _ { \mathbb { M } } \left( 1 + \frac { 8 \left( d + \left( b + m \right) \beta \right) } { m \beta } \right) + U _ { 0 } \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \underset { \{ \mathbf { x } \} \in \mathcal { X } } { \operatorname* { m a x } } } & { f _ { 0 } \left( \left\{ \mathbf { x } \right\} \right) } & { \mathrm { s . t . } \, \, } & { f _ { i } \left( \left\{ \mathbf { x } \right\} \right) \geq 0 , \, \forall i , } \\ & { } & & { r _ { l k } \geq r ^ { t h } , \, \, \, \, \forall l , k , } \end{array}
S _ { M } [ \overline { { { \psi } } } , \psi ] = - \sum _ { b = 1 } ^ { N } m ^ { ( b ) } \int d ^ { 2 } x \; \chi _ { \Lambda } ( x ) \; \overline { { { \psi } } } ^ { ( b ) } ( x ) \psi ^ { ( b ) } ( x ) \; .
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } W _ { 1 } ^ { \gamma } } { \mathrm { d } s \mathrm { d } \phi } = \frac { \alpha m a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } } { 8 \pi } \left\{ 1 - s + \frac { 1 } { 1 - s } + \left[ \frac { 2 s ^ { 2 } } { \eta _ { e } ^ { 2 } ( 1 - s ) ^ { 2 } } - \frac { 4 s } { \eta _ { e } ( 1 - s ) } \right] \cos ^ { 2 } \phi \right\} ,
I _ { i } = \frac { h _ { 1 } ^ { i } + h _ { 2 } ^ { i } } { \alpha ^ { \prime } \pi } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \overline { { { b } } } _ { n } ^ { i } b _ { n } ^ { i } - \overline { { { a } } } _ { n } ^ { i } a _ { n } ^ { i } \right) - \frac { \left| \epsilon ^ { i } \right| } { \epsilon ^ { i } } \overline { { { a } } } _ { 0 } ^ { i } a _ { 0 } ^ { i } \right] ,
\begin{array} { r } { \displaystyle { \frac { \partial S } { \partial t } } + \displaystyle { \frac { \partial S V } { \partial x } } = 0 , } \\ { \displaystyle { \frac { \partial S V } { \partial t } } + \displaystyle { \frac { \partial S V ^ { 2 } } { \partial x } } + \frac { S } { \rho } \displaystyle { \frac { \partial P } { \partial x } } = F , } \\ { P ( S ) = P _ { 0 } + D ( S - S _ { 0 } ) , } \end{array}
\delta ( Z ^ { i } + \bigtriangleup ^ { - 1 } \epsilon ^ { i j k } \partial _ { j } \pi _ { k } ) = \delta ( Z ^ { L \, i } ) \delta ( Z ^ { T \, i } + \bigtriangleup ^ { - 1 } \epsilon ^ { i j k } \partial _ { j } \pi _ { k } )
\boldsymbol { \mathcal { M } } _ { F } \boldsymbol { \mathcal { M } } _ { H } ^ { - 1 } \boldsymbol { \mathcal { Q } } \boldsymbol { \mathcal { D } } \dot { \boldsymbol { \mathcal { X } } } _ { g e n } = \boldsymbol { \mathcal { K } } .
\begin{array} { r } { v _ { i } ^ { \ell } \left( \mu ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } - \mu ^ { \ell } \right) \delta _ { i 1 } + v _ { i } ^ { \ell + 1 } \left( \mu ^ { \ell + 1 } - \mu ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \right) \delta _ { i 1 } + B _ { i } ^ { \ell } \left( \left( B _ { i } v _ { 1 } \right) ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } - \left( B _ { i } v _ { 1 } \right) ^ { \ell } \right) } \\ { + B _ { i } ^ { \ell + 1 } \left( \left( B _ { i } v _ { 1 } \right) ^ { \ell + 1 } - \left( B _ { i } v _ { 1 } \right) ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \right) = 2 \left( \left( v _ { 1 } \mu \right) ^ { \ell + 1 } - \left( v _ { 1 } \mu \right) ^ { \ell } \right) . } \end{array}
\prod _ { \substack { l , m , n \geq 1 \, l , m \leq n ; \, \operatorname* { g c d } ( l , m , n ) = 1 } } \left( \frac { 1 } { 1 - z ^ { n } } \right) ^ { \frac { l m ^ { 2 } } { n ^ { 4 } } } = \exp \left\{ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { n } { 2 } + \frac { n ^ { 2 } } { 2 } \right) \left( \frac { n } { 6 } + \frac { n ^ { 2 } } { 2 } + \frac { n ^ { 3 } } { 3 } \right) \frac { z ^ { n } } { n ^ { 4 } } \right\}
\begin{array} { r l } { \mathcal { V } ^ { s } ( 1 2 ) } & { = - \frac { 1 } { m _ { i } } \frac { \partial } { \partial ( \boldsymbol { r } _ { 1 } - \boldsymbol { r } _ { 2 } ) } \left( \frac { Z ^ { 2 } e ^ { 2 } } { | \boldsymbol { r } _ { 1 } - \boldsymbol { r } _ { 2 } | } \, \mathrm { e } ^ { - k _ { e } | \boldsymbol { r } _ { 1 } - \boldsymbol { r } _ { 2 } } | \right) \boldsymbol { \cdot } \left( \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { v } _ { 1 } } - \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { v } _ { 2 } } \right) . } \end{array}
{ \cal F } ( a , \Lambda ) = { 8 \pi i b _ { 1 } } \Lambda ^ { 2 } a ^ { 2 } \int _ { 4 \Lambda / \pi } ^ { a } d x { \cal G } _ { 1 } ( x ) x ^ { - 3 } - { \frac { i b _ { 1 } \pi ^ { 3 } } { 4 } } a ^ { 2 } ,
R _ { \alpha } ^ { j } \frac { \delta R _ { \beta } ^ { i } } { \delta \phi ^ { j } } - R _ { \beta } ^ { j } \frac { \delta R _ { \alpha } ^ { i } } { \delta \phi ^ { j } } = C _ { \alpha \beta } ^ { \gamma } R _ { \gamma } ^ { i } + M _ { \alpha \beta } ^ { i j } \frac { \delta I } { \delta \phi ^ { i } } , \; \; M _ { \alpha \beta } ^ { i j } = - M _ { \alpha \beta } ^ { j i }
\Delta _ { n } = \frac { \psi _ { n } ( x ) \psi _ { n } ^ { \prime } ( s x ) - s \psi _ { n } ( s x ) \psi _ { n } ^ { \prime } ( x ) } { s \psi _ { n } ( s x ) \xi _ { n } ^ { \prime } ( x ) - \xi _ { n } ( x ) \psi _ { n } ^ { \prime } ( s x ) } .
\frac { \partial I } { \partial V } ( \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \tilde { I } _ { T E S } ( f ) } { A _ { s g } \frac { 2 } { n \pi } } } & { \omega = 2 \pi n f _ { s g } \ \mathrm { f o r } \ n = 1 , 3 , 5 , . . . } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. ,
\lambda { \frac { 1 } { k _ { 1 } ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { k _ { 2 } ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { k _ { 3 } ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { k _ { 4 } ^ { 2 } } } \, .
K \left( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } \right) = \sigma ^ { 2 } \exp \left( \frac { - \left\| \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 l ^ { 2 } } \right) + \sigma _ { n } ^ { 2 } \delta _ { \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } }