harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
u = u _ { w } \frac { d f } { d \eta } ~ , ~ ~ v = \frac { 1 } { 1 + \alpha } \left( \frac { K u _ { w } ^ { 2 \alpha - 1 } } { \rho x \alpha } \right) ^ { \frac { 1 } { \alpha + 1 } } \left( \eta \frac { d f } { d \eta } - f \right) .
\begin{array} { r l r } { \| ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { p } ) - ( \boldsymbol { u } _ { k } , \boldsymbol { p } _ { k } ) \| _ { D G } ^ { 2 } + \rho \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { k } , \boldsymbol { p } _ { k } ; \mathcal { T } _ { k } ) } & { \leq } & { C \bigg ( \| \vert \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { k } \vert \| _ { k } ^ { 2 } + \rho \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { k } , \boldsymbol { p } _ { k } ; \mathcal { T } _ { k } ) \bigg ) } \\ & { \leq } & { \delta ^ { k } \widetilde { C } _ { \delta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( I _ { m } , 0 _ { m \times p } ) \widetilde { V } _ { k } = U _ { k } B _ { k } , } \\ & { Q Q ^ { T } \left( \begin{array} { l } { U _ { k } } \\ { 0 _ { p \times k } } \end{array} \right) = \widetilde { V } _ { k } B _ { k } ^ { T } + \beta _ { k } \tilde { v } _ { k + 1 } ( e _ { k } ^ { ( k ) } ) ^ { T } , } \\ & { ( 0 _ { p \times m } , I _ { p } ) \widetilde { V } _ { k } P = \widehat { U } _ { k } \widehat { B } _ { k } , } \end{array}
\alpha _ { P s } = 2 5 6 \cdot 3 ^ { - 3 / 2 } \alpha ^ { 3 } \pi \left( \frac { \hbar ^ { 2 } } { m _ { e } e ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \sqrt { \frac { 4 k T } { \pi m _ { e } } } \frac { R y } { 2 k T } \phi \left( \frac { R y } { 2 k T } \right) \bar { g } \left( \frac { R y } { 2 k T } \right) ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial \left\langle \phi _ { a } | { v } ^ { \mathrm { ~ e ~ m ~ b ~ } } | \phi _ { i } \right\rangle } { \partial P _ { b j } } = \left\langle \phi _ { a } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) \phi _ { b } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ^ { \prime } ) \left| \frac { \delta v _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { e m b } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ^ { \prime } ) } \right| \phi _ { i } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) \phi _ { j } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ^ { \prime } ) \right\rangle . } \end{array}
\Delta _ { 2 } ^ { \mathrm { E C C } } ( u _ { * } ; u , u ^ { \prime } ) \geq \gamma _ { * } ^ { \mathrm { e f f } } \Vert \Delta \hat { U } \phi _ { 0 } \Vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } - C \mathcal G _ { \mathrm { E C C } } ( \hat { U } _ { * } ) \Vert \Delta \hat { U } \phi _ { 0 } \Vert _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \tau _ { x x } } & { { } = 2 \mu \left( u _ { x } - \frac { u _ { x } + v _ { y } } { 3 } \right) , } \\ { \tau _ { y y } } & { { } = 2 \mu \left( v _ { y } - \frac { { u } _ { x } + { v } _ { y } } { 3 } \right) , } \\ { \tau _ { x y } } & { { } = \mu \left( u _ { y } + { v } _ { x } \right) . } \end{array}
C _ { i j } \; = \; ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { 4 } ( k _ { 1 } + k _ { 2 } - P ) \; { \frac { \pi ^ { 2 } \alpha _ { s } ^ { 2 } } { 9 m _ { c } ^ { 2 } } } \left[ \delta ^ { j i } - { \hat { z } } ^ { j } { \hat { z } } ^ { i } \right] \, .
\begin{array} { r } { G = \kappa \sqrt { | a _ { 0 } | ^ { 4 } - \left( \zeta _ { 0 } + \frac { D _ { 2 } } { \kappa } \mu ^ { 2 } - 4 | a _ { 0 } | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { p } ^ { n } } & { { } = - \partial _ { 1 } \mathcal { L } _ { h } ( \mathbf { x } ^ { n } , \mathbf { x } ^ { n + 1 } ) } \\ { \mathbf { p } ^ { n + 1 } } & { { } = \partial _ { 2 } \mathcal { L } _ { h } ( \mathbf { x } ^ { n } , \mathbf { x } ^ { n + 1 } ) } \end{array}
C l _ { 4 , 1 } ^ { + } = \{ 1 , \xi _ { x } \xi _ { y } , i \xi _ { x } \} ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ ~ ~ ~ C l _ { 4 , 1 } ^ { - } = \{ \xi _ { x } , i \xi _ { x } \xi _ { y } , i \} ~ .
\begin{array} { r l } { \gamma } & { { } = \frac { 4 \eta _ { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } \Lambda _ { 1 } ( \eta _ { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ) } { 1 - \Lambda _ { 0 } ( \eta _ { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ) } \left[ \ln \frac { 2 \eta _ { \mathrm { ~ d ~ } } } { 1 - \Lambda _ { 0 } ( \eta _ { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ) } \right] ^ { - 1 } , } \\ { r _ { 0 } } & { { } = a _ { R } \left[ \ln \frac { 2 \eta _ { \mathrm { ~ d ~ } } } { 1 - \Lambda _ { 0 } ( \eta _ { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ) } \right] ^ { - \frac { 1 } { \gamma } } , } \end{array}
\mathbf { U } = \left[ \begin{array} { c c c } { \mathbf { u } _ { 0 } } & { \ldots } & { \mathbf { u } _ { 8 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c } { u _ { 1 1 } } & { \cdots } & { u _ { 1 9 } } \\ { u _ { 2 1 } } & { \cdots } & { u _ { 2 9 } } \end{array} \right] .
\eta X _ { A ^ { \prime } } ^ { \pm } X _ { B ^ { \prime } } ^ { \mp } g ^ { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = - \eta ^ { 2 } ( q _ { T } F _ { S } + q _ { S } F _ { T } ) - 2 H ^ { 2 } \pm ( N - 2 ) H + \frac { 4 } { N } C
\begin{array} { r l } & { M _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } ( Q ( k + 1 ) - Q ( k ) ) M _ { f } ^ { r } ( k ) - ( Q ( k + 1 ) - Q ( k ) ) } \\ & { = - ( ( M _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } - M _ { f } ^ { r } ( k - 1 ) ^ { \top } ) Q ( k ) M _ { f } ^ { r } ( k ) } \\ & { \ \ \ \ + M _ { f } ^ { r } ( k - 1 ) ^ { \top } Q ( k ) ( M _ { f } ^ { r } ( k ) - M _ { f } ^ { r } ( k - 1 ) ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { K u r t } [ X + Y ] = { \frac { 1 } { \sigma _ { X + Y } ^ { 4 } } } { \big ( } } & { { } \sigma _ { X } ^ { 4 } \operatorname { K u r t } [ X ] + 4 \sigma _ { X } ^ { 3 } \sigma _ { Y } \operatorname { C o k u r t } [ X , X , X , Y ] } \end{array}
\widetilde { r } _ { 1 } \widetilde { h } _ { i } \widetilde { r } _ { 1 } ^ { - 1 } = t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } } } t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { l ^ { \prime } + 1 } } t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } + 1 } } \cdots t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { l ^ { \prime } + k - 2 } } t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } + k - 2 } } t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { l ^ { \prime } + k - 1 } } t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } + k - 1 } }
{ d \tau } ^ { 2 } = - ( d x ^ { 0 } ) ^ { 2 } + 4 ( x ^ { 3 } ) ( d x ^ { 0 } ) ( d x ^ { 2 } ) - 2 ( d x ^ { 1 } ) ( d x ^ { 2 } ) - 2 ( x ^ { 3 } ) ^ { 2 } ( d x ^ { 2 } ) ^ { 2 } - ( d x ^ { 3 } ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 6 } \cdot \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 } { 3 } + \frac { 5 } { 6 } + \frac { 2 } { 3 } + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 } { 3 } \right) = \frac { 1 } { 6 } \cdot \frac { 2 3 } { 6 } = \frac { 2 3 } { 3 6 } . } \end{array}
| \langle n ^ { \prime } P _ { J ^ { \prime } } | | d | | n S _ { 1 / 2 } \rangle | ^ { 2 } = \frac { 1 } { \tau ( n ^ { \prime } P _ { J ^ { \prime } } ) } \frac { 3 \pi \epsilon _ { 0 } \hbar c ^ { 3 } } { \omega _ { 0 } ^ { 3 } } ( 2 J ^ { \prime } + 1 ) ,
\begin{array} { r } { \mathbf { I } _ { \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { J } } ^ { j } ( \boldsymbol { \xi } ; p , q , r ) = \left\{ \begin{array} { l } { I _ { \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { J } } ^ { j } ( \boldsymbol { \xi } ; p + 1 , q \phantom { + 1 } , r \phantom { + 1 } ) } \\ { I _ { \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { J } } ^ { j } ( \boldsymbol { \xi } ; p \phantom { + 1 } , q + 1 , r \phantom { + 1 } ) } \\ { I _ { \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { J } } ^ { j } ( \boldsymbol { \xi } ; p \phantom { + 1 } , q \phantom { + 1 } , r + 1 ) } \end{array} \right\} , \qquad \mathbf { I } _ { \mathbf { J } } ^ { j } ( \boldsymbol { \xi } ; p , q , r ) = \left\{ \begin{array} { l } { I _ { \mathbf { J } } ^ { j } ( \boldsymbol { \xi } ; p + 1 , q \phantom { + 1 } , r \phantom { + 1 } ) } \\ { I _ { \mathbf { J } } ^ { j } ( \boldsymbol { \xi } ; p \phantom { + 1 } , q + 1 , r \phantom { + 1 } ) } \\ { I _ { \mathbf { J } } ^ { j } ( \boldsymbol { \xi } ; p \phantom { + 1 } , q \phantom { + 1 } , r + 1 ) } \end{array} \right\} . } \end{array}
\int _ { r , \theta } w ^ { \prime } ( | u | ^ { 2 } + | h u ^ { \prime } | ^ { 2 } ) \lesssim \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \int _ { r , \theta } \langle r \rangle ^ { 2 s } | P _ { \varphi , E , \varepsilon } ^ { \pm } ( h ) u | ^ { 2 } + \frac { \varepsilon } { h } \int _ { r , \theta } | u | ^ { 2 } + \frac { \varepsilon } { h } \int _ { \substack { r , \theta \, r \geq \beta } } | h u ^ { \prime } | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \left\langle \hat { w } \right\rangle ^ { F } ( t ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( \mathrm { i } \hbar ) ^ { 2 } \sum _ { \alpha } \int \frac { \mathrm { d } \mathbf { k } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } \frac { \mathrm { d } \mathbf { p } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } Z _ { \alpha } ^ { 2 } \, G _ { \mathbf { k } \alpha } ^ { < } ( t ) \, G _ { \mathbf { p } \alpha } ^ { < } ( t ) \, w _ { \mathbf { k } - \mathbf { p } } = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { i } \hbar \sum _ { \alpha } ( \pm ) _ { \alpha } \int \frac { \mathrm { d } \mathbf { k } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } h _ { \mathbf { k } \alpha } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( t ) \, G _ { \mathbf { k } \alpha } ^ { < } ( t ) - \frac { 1 } { 2 } \left\langle \hat { T } \right\rangle ( t ) \, , } \end{array}
K _ { m + \alpha } ( ( m + \alpha ) z ^ { \prime } ) \ \sim \ \sqrt { \frac { \pi } { 2 ( m + \alpha ) } } \frac { e ^ { - ( m + \alpha ) \eta ^ { \prime } } } { ( 1 + z ^ { 2 } ) ^ { 1 / 4 } } \left\{ 1 + \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { j } \frac { u _ { j } ( [ 1 + z ^ { 2 } ] ^ { - 1 / 2 } ) } { ( m + \alpha ) ^ { j } } \right\} \ ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { N } _ { [ i _ { 1 } \dots i _ { N } ] , [ j _ { 1 } \dots j _ { N } ] } ^ { [ k _ { 1 } \dots k _ { N } ] } = \sum _ { a , b = 0 } ^ { N - 1 } N _ { i _ { 1 + a } , j _ { 1 + b } } ^ { k _ { 1 } } \dots N _ { i _ { N + a } , j _ { N + b } } ^ { k _ { N } } \, , } \\ & { \mathcal { N } _ { [ i _ { 1 } \dots i _ { N } ] , [ j _ { 1 } \dots j _ { N } ] } ^ { k ^ { ( r ) } } = \sum _ { a = 0 } ^ { N - 1 } N _ { i _ { 1 + a } , j _ { 1 } } ^ { k } \dots N _ { i _ { N + a } , j _ { N } } ^ { k } \, , } \\ & { \mathcal { N } _ { [ i _ { 1 } \dots i _ { N } ] , j ^ { ( r ) } } ^ { k ^ { ( s ) } } = N _ { i _ { 1 } , j } ^ { k } \dots N _ { i _ { N } , j } ^ { k } \, , } \\ & { \mathcal { N } _ { i ^ { ( r ) } , j ^ { ( s ) } } ^ { k ^ { ( t ) } } = \delta _ { r + s , t } \, N _ { i j } ^ { k } \, . } \\ & { \mathcal { N } _ { i ^ { [ p ] ( r ) } j ^ { [ q ] ( s ) } } ^ { [ k _ { 1 } \dots k _ { N } ] } = \delta _ { p + q , 0 } \, \sum _ { \ell = 1 } ^ { M } \frac { S _ { i \ell } S _ { j \ell } \cdot S _ { k _ { 1 } \ell } \dots S _ { k _ { N } \ell } } { S _ { 1 \ell } ^ { N } } \, , } \\ & { \mathcal { N } _ { i ^ { [ p ] ( r ) } j ^ { [ q ] ( s ) } } ^ { k ^ { ( t ) } } = \frac { \delta _ { p + q , 0 } } { N } \sum _ { \ell = 1 } ^ { M } \left[ \frac { S _ { i \ell } S _ { j \ell } S _ { k \ell } ^ { N } } { S _ { 1 \ell } ^ { N } } + \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } \omega ^ { n p ( r + s - t ) } \frac { ( P _ { - n } ) _ { i \ell } ( P _ { n } ) _ { j \ell } S _ { k \ell } } { S _ { 1 \ell } } \right] \, , } \\ & { \mathcal { N } _ { i ^ { [ p ] ( r ) } j ^ { [ q ] ( s ) } } ^ { k ^ { [ m ] ( t ) } } = \frac { \delta _ { p + q , m } } { N } \sum _ { \ell = 1 } ^ { M } \left[ \frac { S _ { i \ell } S _ { j \ell } S _ { k \ell } } { S _ { 1 \ell } ^ { N } } + \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } \omega ^ { n ( r + s - t ) } \frac { ( P _ { p n ^ { - 1 } } ^ { \dag } ) _ { i \ell } ( P _ { q n ^ { - 1 } } ^ { \dag } ) _ { j \ell } ( P _ { m n ^ { - 1 } } ) _ { k \ell } } { S _ { 1 \ell } } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u _ { 2 i } } { \partial W _ { i j k } } } & { \simeq \frac { - 1 } { \sqrt n } v _ { 2 j } w _ { 2 k } Q _ { i i } ^ { 1 1 } ( \lambda _ { 2 } ) , \quad \frac { \partial v _ { 2 j } } { \partial W _ { i j k } } \simeq \frac { - 1 } { \sqrt n } u _ { 2 i } w _ { 2 k } Q _ { j j } ^ { 2 2 } ( \lambda _ { 2 } ) , \quad \frac { \partial w _ { 2 k } } { \partial W _ { i j k } } \simeq \frac { - 1 } { \sqrt n } u _ { 2 i } v _ { 2 j } Q _ { k k } ^ { 3 3 } ( \lambda _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { F } _ { \mathcal { P } _ { \mathrm { s } } \left( \gamma \right) } \left( x \right) \approx 1 - I _ { x } \left( \frac { M _ { 1 } \left( M _ { 1 } - M _ { 2 } \right) } { M _ { 2 } - M _ { 1 } ^ { 2 } } , \frac { \left( 1 - M _ { 1 } \right) \left( M _ { 1 } - M _ { 2 } \right) } { M _ { 2 } - M _ { 1 } ^ { 2 } } \right) , \quad x \in [ 0 , 1 ] , } \end{array}
\frac { Z _ { p } E _ { 0 } } { \Omega ^ { 2 } - \omega _ { P } ^ { \prime 2 } } + \frac { \omega _ { P } ^ { \prime 2 } + 2 \omega _ { P } ^ { 2 } } { 2 ( 4 \Omega ^ { 2 } - \omega _ { P } ^ { \prime 2 } ) } \sqrt { \frac { \omega _ { P } ^ { \prime 2 } } { 2 \alpha } } \lesssim \sqrt { \frac { \omega _ { P } ^ { \prime 2 } } { 2 \alpha } } .
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { s t } } ( \Delta ) } & { = Z ^ { - 1 } \mathrm { e x p } \left[ \frac { - 2 N \Delta ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } } { \frac { 4 a } { h } + 1 - \varepsilon ^ { 2 } } \right] } \\ & { \times \left[ \left( \frac { a } { h } \right) \left( \frac { 4 a } { h } + 1 \right) + \left( \frac { 4 a } { h } + 1 - \varepsilon ^ { 2 } \right) \left( \frac { 1 } { 4 } - \Delta ^ { 2 } \right) \right] ^ { \lambda } , } \\ { \lambda = \frac { a } { h } } & { \frac { 2 N } { \left( \frac { 4 a } { h } + 1 - \varepsilon ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { 4 a } { h } + 1 \right) \left( \frac { 4 a } { h } + 1 - 2 \varepsilon ^ { 2 } \right) - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \epsilon _ { \mathrm { T x } } ^ { ( 1 ) } = 0 . 9 8 0 \pm 0 . 0 4 0 , } \\ { \epsilon _ { \mathrm { T x } } ^ { ( 2 ) } = 0 . 9 7 8 \pm 0 . 0 2 6 , } \\ { \epsilon _ { \mathrm { R x } } ^ { ( 1 ) } = 0 . 9 8 4 \pm 0 . 0 4 0 , } \\ { \epsilon _ { \mathrm { R x } } ^ { ( 2 ) } = 0 . 9 7 4 \pm 0 . 0 2 6 . } \end{array}
d * d A - i \frac { g ^ { \prime } } { 4 } \alpha ^ { 2 - 2 q } * \left( ( { \cal { D } } { \bf \Phi } ) ^ { \dagger } { \bf \Phi } - { \bf \Phi } ^ { \dagger } { \cal { D } } { \bf \Phi } \right) = 0 ,
\begin{array} { r l } { U _ { - } } & { = - \left( \delta \mathbf { x } ^ { + } \right) ^ { T } \mathbf { A } ^ { + - } \delta \mathbf { x } ^ { - } + } \\ & { + \left( \delta \mathbf { x } ^ { - } \right) ^ { T } \left[ \mathbf { A } ^ { -- } - \mathbf { A } ^ { - + } \left( \mathbf { A } ^ { + + } \right) ^ { - 1 } \mathbf { A } ^ { + - } \right] \mathbf { x } _ { 0 } ^ { - } . } \end{array}
\Delta { V _ { 1 } } = \frac { 1 } { 6 4 { \pi ^ { 2 } } } \mathrm { S t r } \left[ { \cal M } ^ { 4 } \left( \log { \frac { { \cal M } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } - \frac { 3 } { 2 } \right) \right]
\begin{array} { r l } { p _ { 2 } } & { = \int _ { \sigma _ { 2 } . \infty } ^ { \infty } f ( t ) ( t e _ { 1 } + e _ { 2 } ) ^ { 2 } d t } \\ & { = ( 0 . 3 4 6 5 0 2 - 0 . 6 0 0 1 6 0 i ) \binom { 2 } 2 e _ { 1 } ^ { 2 } + ( - 0 . 2 8 8 7 5 2 + 0 . 4 3 3 4 4 9 i ) \binom { 2 } 1 e _ { 1 } e _ { 2 } } \\ & { \quad + ( 0 . 2 3 1 0 0 1 - 0 . 3 1 1 1 9 4 i ) \binom 2 0 e _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { l , m } : } & { { } = \int _ { - L / 2 } ^ { L / 2 } d x \int _ { - L / 2 } ^ { L / 2 } d y \exp ( i l 2 \pi x / L ) \exp ( i m 2 \pi y / L ) \theta ( R - | \mathbf { r } | ) } \end{array}
V = e ^ { \kappa ^ { 2 } K } [ ( K ^ { - 1 } ) _ { i } ^ { j } ~ ( W ^ { i } + \kappa ^ { 2 } K ^ { i } W ) ~ ( W ^ { j } + \kappa ^ { 2 } K ^ { j } W ) ^ { \dagger } - 3 \kappa ^ { 2 } \vert ~ W \vert ^ { 2 } ] + V _ { D }
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { M } _ { 3 } [ ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ( P _ { \neq } a \partial _ { v } P _ { 0 } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi ) ) ] \| _ { L ^ { 2 } } } & { { } \lesssim \| \mathrm { A } ^ { * } a \| _ { L ^ { 2 } } \langle t \rangle ^ { 3 } \| \partial _ { v } P _ { 0 } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi ) \| _ { \mathcal { G } ^ { s , \sigma - 6 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { b } _ { 1 } \cdot \vec { b } _ { 2 } = 0 \, , } & { { } } & { \vec { b } _ { 1 } \cdot \vec { b } _ { 1 } + \vec { b } _ { 2 } \cdot \vec { b } _ { 2 } = 1 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M ^ { n } \mathbf { e } _ { 1 } } & { { } = M ^ { n } \mathbf { u } = a ^ { n } \mathbf { e } _ { 1 } , } \\ { M ^ { n } \mathbf { e } _ { 2 } } & { { } = M ^ { n } \left( \mathbf { v } - \mathbf { u } \right) = b ^ { n } \mathbf { v } - a ^ { n } \mathbf { u } = \left( b ^ { n } - a ^ { n } \right) \mathbf { e } _ { 1 } + b ^ { n } \mathbf { e } _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { 1 } = \hat { H } _ { S S H } + \hat { H } _ { e } + \hat { H } _ { I } - i \big ( \frac { \gamma ^ { 2 } } { J } \big ) a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| h _ { q } \circ \ldots \circ h _ { 0 } - \widetilde { h } _ { q } \circ \ldots \circ \widetilde { h } _ { 0 } \| _ { \infty } \leq K _ { q } \prod _ { \ell _ { 0 } } ^ { q - 1 } ( 2 K _ { \ell } ) ^ { \beta _ { \ell + 1 } } \sum _ { u = 0 } ^ { q } \| | h _ { u } - \widetilde { h } _ { u } | _ { \infty } \| _ { \infty } ^ { \prod _ { \ell = u + 1 } ^ { q } \operatorname* { m i n } \{ \beta _ { \ell } , 1 \} } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ( z ^ { k } ) - \varphi ( x ^ { k } ) } & { \leq \varphi ( z ^ { k } ) - \varphi ( x ^ { * } ) \leq L _ { \varphi } \| z ^ { k } - x ^ { * } \| } \\ & { = L _ { \varphi } \| z ^ { k } - x ^ { * } \| ^ { 1 - q } \| z ^ { k } - x ^ { * } \| ^ { q } } \\ & { \leq L _ { \varphi } \left( \frac { 1 6 \gamma _ { F } C ^ { 2 } } { 1 - 4 \gamma _ { F } C } \right) ^ { 1 - q } \left( \frac { 2 C } { 1 - 2 \gamma _ { F } C } \right) ^ { q } \| F ( x ^ { k } ) \| ^ { 1 - q } \| F ( z ^ { k } ) \| ^ { q } } \\ & { \leq \eta \| F ( x ^ { k } ) \| ^ { 1 - q } \| F ( z ^ { k } ) \| ^ { q } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { k + \sqrt \lambda } & { k - \sqrt \lambda } \\ { \Big ( k + \frac { \sqrt \lambda } { 2 } \Big ) 2 ^ { \sqrt \lambda } } & { \Big ( k - \frac { \sqrt \lambda } { 2 } \Big ) 2 ^ { - \sqrt \lambda } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { A } \\ { B } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \operatornamewithlimits { m i n i m i z e } _ { \mathbf { w } } \ \ ( A - A ^ { * } ) ^ { 2 } + ( \iota - \iota ^ { * } ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { { n _ { \mathrm { ~ g ~ r ~ i ~ d ~ } } } } \operatorname* { m a x } ( B ( \mathbf { x } _ { i } ) - B _ { + } ^ { * } , 0 ) ^ { 2 } + \operatorname* { m a x } ( B _ { - } ^ { * } - B ( \mathbf { x } _ { i } ) , 0 ) ^ { 2 } , } \end{array}
d s _ { \mathrm { C F T } } ^ { 2 } = \gamma _ { a b } d x ^ { a } d x ^ { b } = - r _ { + } ^ { 2 } d t ^ { 2 } + l ^ { 2 } \cosh ^ { 2 } ( r _ { + } t / l ) ( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta d \chi ^ { 2 } ) + r _ { + } ^ { 2 } d \varphi ^ { 2 } .
\frac { d H ^ { i j } } { d ^ { 2 } b } \approx h ^ { i j } T _ { A } ( b ) + \frac { 1 } { 2 } T _ { A } ^ { 2 } ( b ) \left[ \sum _ { k } \frac { d ^ { 3 } p _ { k } } { E _ { k } } h ^ { i k } h ^ { k j } - ( \sigma _ { i } + \sigma _ { j } ) h ^ { i j } \right] .
\begin{array} { r l } { { \bar { \mathbf { x } } } } & { { } = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbf { x } _ { i } , } \\ { \mathbf { S } } & { { } = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \mathbf { x } _ { i } - { \bar { \mathbf { x } } } ) ( \mathbf { x } _ { i } - { \bar { \mathbf { x } } } ) ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w _ { a } ( { \pmb x } ) } & { } & { = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { m _ { \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } \alpha { \pmb \alpha } _ { m } } ( { \pmb \xi } ^ { \prime } , { \pmb \xi } ) \nabla _ { { \pmb \beta ^ { \prime } } _ { n } } u _ { \beta ^ { \prime } } ( { \pmb \xi } ^ { \prime } ) } { m ! n ! } \nabla _ { { \pmb \alpha } _ { m } } S _ { a \, \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) } \\ & { } & { = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { m _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { m } \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } ( { \pmb \xi } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) \nabla _ { { \pmb \beta ^ { \prime } } _ { n } } u _ { \beta ^ { \prime } } ( { \pmb \xi } ^ { \prime } ) } { m ! n ! } \nabla _ { { \pmb \alpha } _ { m } } S _ { a \, \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) } \end{array}
\frac { \partial q ^ { s } } { \partial q ^ { c } } = \frac { 1 } { \rho a } \left( \begin{array} { l l l l } { \Gamma k } & { - \Gamma u } & { - \Gamma v } & { \Gamma } \\ { - u a } & { a } & { 0 } & { 0 } \\ { - v a } & { 0 } & { a } & { 0 } \\ { \Gamma k - a ^ { 2 } } & { - \Gamma u } & { - \Gamma v } & { \Gamma } \end{array} \right)
( \mathrm { M a s s } ) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 1 6 \lambda _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } } \hat { \alpha } ^ { a } ( I + L ) _ { a b } \hat { \alpha } ^ { b } = { \frac { 1 } { 8 \lambda _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } } ( \hat { \alpha } _ { R } ) ^ { 2 } ~ ,
\overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ , ~ 1 ~ } } , \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ , ~ 2 ~ } } : [ 0 , 1 ] ^ { p } \times [ 0 , 1 ] ^ { p } \rightarrow [ 0 , 1 ]
\begin{array} { r l } & { = \langle Q _ { D } ( F _ { + } , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } ) , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } Q _ { D } ( F _ { + } , F _ { + } ) - Q _ { D } ( F _ { + } , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } ) , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } Q _ { T } ( F _ { + } , F _ { + } ) , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { h \in ( 0 , 1 ] } | \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { \xi } ^ { \beta } ( S _ { h } ( t , x , \xi ) - x \cdot \xi ) | } & { \leq C _ { \alpha \beta } , \quad | \alpha + \beta | \geq 1 , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { h \in ( 0 , 1 ] } \left| \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { \xi } ^ { \beta } \left( S _ { h } ( t , x , \xi ) - x \cdot \xi - t \psi ( p _ { \tilde { m } , h } ) ( x , \xi ) \right) \right| } & { \leq C _ { \alpha , \beta } | t | ^ { 2 } . } \end{array}
{ \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } = \prod _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( 1 - { \frac { 1 } { ( 4 k + 2 ) ^ { 2 } } } \right) = \left( 1 - { \frac { 1 } { 4 } } \right) \left( 1 - { \frac { 1 } { 3 6 } } \right) \left( 1 - { \frac { 1 } { 1 0 0 } } \right) \cdots
\begin{array} { r l } { | \xi _ { \geq 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) | } & { \leq \underbrace { C \rho ^ { 2 } ( s ( \log N ) ^ { 3 } ) ^ { 3 } ( a ^ { 3 } \rho \log ( b / a ) ) ^ { 4 } } _ { \textnormal { t y p e ( A ) d i a g r a m s } } + \underbrace { C \rho ^ { 2 } ( a ^ { 3 } \rho \log ( b / a ) ) ^ { 2 } } _ { \textnormal { t y p e ( B ) d i a g r a m s } } } \\ & { \leq C a ^ { 6 } \rho ^ { 4 } ( \log ( b / a ) ) ^ { 2 } \left[ s ^ { 3 } ( \log N ) ^ { 9 } a ^ { 6 } \rho ^ { 2 } ( \log ( b / a ) ) ^ { 2 } + 1 \right] } \end{array}
\frac { 1 } { m _ { \pm } ^ { 2 } } \equiv \frac { \sin ^ { 2 } ( \omega - \varphi ) } { m _ { h _ { 1 } } ^ { 2 } } + \frac { \cos ^ { 2 } ( \omega - \varphi ) } { m _ { h _ { 2 } } ^ { 2 } } \pm \frac { 1 } { m _ { \eta } ^ { 2 } } ; \nonumber
A _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \epsilon _ { \mu _ { 1 } } ^ { + } ( k _ { 1 } , p _ { A } ) \epsilon _ { \mu _ { 2 } } ^ { + } ( k _ { 2 } , p _ { B } ) = A _ { + + } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \, ,
T _ { H } ( x _ { + } ) = \frac { 1 } { 4 \pi \sqrt { \beta q } } \left( \frac { 2 C x _ { + } ^ { 2 } - 1 + B C ^ { 2 } x _ { + } ^ { 2 } g ^ { \prime } ( x _ { + } ) } { 2 x _ { + } ( 1 + C x _ { + } ^ { 2 } ) } \right) ,
D _ { a d } ^ { 2 } ( b ) = 2 \cot \left( \frac { \pi x } { 2 h } \right) \tan \left( \frac { \pi \left( 1 - x \right) } { 2 h } \right) \tan \left( \frac { \pi } { 2 h } \right) \mathcal { T } _ { 0 } \mathcal { T } _ { q - 1 } \mathcal { T } _ { h / 2 - q }
+ \sigma \int _ { 0 } ^ { 1 } d \beta \frac { { \bf r } ^ { 2 } } { \sqrt { b _ { 0 } + 2 b _ { 1 } \left( \beta - \frac { \mu _ { 1 } } { \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } } \right) + b _ { 2 } \left( \beta - \frac { \mu _ { 1 } } { \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } } \right) ^ { 2 } } } ,