harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
S _ { h _ { i } } = \left( 1 - \frac { \Delta t } { 2 \tau _ { \phi } } \right) w _ { i } \frac { \mathbf { c _ { i } } \cdot \left[ \partial _ { t } ( \phi \mathbf { u } ) + c _ { s } ^ { 2 } \frac { 4 \phi ( 1 - \phi ) } { W } \mathbf { n } \right] } { c _ { s } ^ { 2 } }
\hat { I } _ { \mathrm { o u t } } ( t ) = e ^ { - i \Delta _ { \mathrm { L O } } t } \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } + \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } ^ { \dagger } e ^ { i \Delta _ { \mathrm { L O } } t } ,
\begin{array} { r l } { { \frac { d } { d t } } e ^ { X ( t ) } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { ( 1 - s ) X } X ^ { \prime } e ^ { s X } d s = e ^ { X } \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { A d } _ { e ^ { - s X } } X ^ { \prime } d s } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textup { r e s } _ { / \mathrm { P a n } } \, ( \delta ( T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { \emptyset } ) ) \, \, \bigcap \, \, \mathrm { i m } \left( \frac { H ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { + } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) } { \textup { r e s } _ { p } \left( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \emptyset } ) \right) } \longrightarrow \frac { H ^ { 1 } ( G _ { p } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) } { \textup { r e s } _ { p } \left( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \emptyset } ) \right) } \right) } \\ & { \qquad \qquad = \textup { r e s } _ { / \mathrm { P a n } } ( \delta ( T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { \emptyset } ) ) \, \bigcap \, \, \ker \left( \frac { H ^ { 1 } ( G _ { p } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) } { \textup { r e s } _ { p } \left( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \emptyset } ) \right) } \longrightarrow { H ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { - } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) } \right) = \{ 0 \} } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { J , \textbf { k } } ^ { ( \mathbf { h } ) } = \sum _ { m = 0 } ^ { \lfloor d / 2 \rfloor } ( - 1 ) ^ { m } \sum _ { P \in \mathcal { P } _ { m } ^ { ( d ) } } \prod _ { r = 1 } ^ { m } \mathbb { E } [ Z _ { J , k _ { \ell _ { r } } } ^ { ( h _ { \ell _ { r } } - 1 / 2 ) } Z _ { J , k _ { \ell _ { r } ^ { \prime } } } ^ { ( h _ { \ell _ { r } ^ { \prime } } - 1 / 2 ) } ] \prod _ { s = m + 1 } ^ { d - m } Z _ { J , k _ { \ell _ { s } } } ^ { ( h _ { \ell _ { s } } - 1 / 2 ) } , } \end{array}
\delta \left( K _ { _ 3 A } ^ { A } \right) = \Omega ^ { - 3 / 2 } \delta \ddot { Z } + 2 \Omega ^ { - 5 / 2 } ( 1 - q ^ { 2 } ) \sin ( \tau ) \cos ( \tau ) \delta \dot { Z } + \Omega ^ { - 5 / 2 } \left[ q ^ { 2 } - ( 1 - q ^ { 2 } ) \cos ^ { 2 } ( \tau ) \right] \delta Z .
\begin{array} { r l } { \operatorname { E } \left[ X _ { i } ^ { 4 } \right] } & { { } = 3 \sigma _ { i i } ^ { 2 } } \\ { \operatorname { E } \left[ X _ { i } ^ { 3 } X _ { j } \right] } & { { } = 3 \sigma _ { i i } \sigma _ { i j } } \\ { \operatorname { E } \left[ X _ { i } ^ { 2 } X _ { j } ^ { 2 } \right] } & { { } = \sigma _ { i i } \sigma _ { j j } + 2 \sigma _ { i j } ^ { 2 } } \\ { \operatorname { E } \left[ X _ { i } ^ { 2 } X _ { j } X _ { k } \right] } & { { } = \sigma _ { i i } \sigma _ { j k } + 2 \sigma _ { i j } \sigma _ { i k } } \\ { \operatorname { E } \left[ X _ { i } X _ { j } X _ { k } X _ { n } \right] } & { { } = \sigma _ { i j } \sigma _ { k n } + \sigma _ { i k } \sigma _ { j n } + \sigma _ { i n } \sigma _ { j k } . } \end{array}
c ^ { n + 1 } = c ^ { n } + 1 . 5 \tau g ( t _ { n } ) - 0 . 5 \tau g ( t _ { n - 1 } ) = c ^ { n } - 1 . 5 \tau \nabla \cdot ( \boldsymbol { v } c ) | _ { t _ { n } } + 0 . 5 \tau \nabla \cdot ( \boldsymbol { v } c ) | _ { t _ { n - 1 } } .
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \| ( { \cal E } _ { 1 } y ) ( \Delta _ { 2 } ) - ( { \cal E } _ { 1 } y ) ( \Delta _ { 1 } ) \| ^ { 2 } } & { \leq } & { \mathbb { E } \| ( { \cal T } _ { q } ( \Delta _ { 2 } - s _ { i } ) - { \cal T } _ { q } ( \Delta _ { 1 } - s _ { i } ) ) { \cal K } _ { i } ( s _ { i } , g _ { s _ { i } } + \bar { y } _ { s _ { i } } ) \| ^ { 2 } . } \end{array}
\vert \Gamma _ { 2 } ( \phi _ { 1 } ^ { * } - \Delta \phi ) - \Gamma _ { 2 } ( \phi _ { 1 } ^ { * } + \Delta \phi ) \vert + \vert \Gamma _ { 0 } ( \phi _ { 1 } ^ { * } - \Delta \phi ) - \Gamma _ { 0 } ( \phi _ { 1 } ^ { * } + \Delta \phi ) \vert + \vert \Gamma _ { 1 } ( \phi _ { 1 } ^ { * } - \Delta \phi ) + \Gamma _ { 2 } ( \phi _ { 1 } ^ { * } + \Delta \phi ) \vert
\begin{array} { r l } { \nu } & { = d \psi ( z ) , } \\ { \beta : = \iota _ { B } \mu } & { = d F ( z ) \wedge d \theta _ { 1 } - d G ( z ) \wedge d \theta _ { 2 } , } \\ { B / f } & { = G ^ { \prime } ( z ) / \rho ( z ) \partial _ { \theta _ { 1 } } + F ^ { \prime } ( z ) / \rho ( z ) \partial _ { \theta _ { 2 } } , } \\ { f \mu } & { = \rho ( z ) d \theta _ { 1 } \wedge d \theta _ { 2 } \wedge d z } \end{array}
\mathsf { A C V } ^ { 2 } \bar { P } = \frac { 1 } { \sigma _ { \mathscr D } ^ { 2 } } \frac { \zeta } { ( 1 - \zeta ) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { n _ { 1 } } + \frac { \zeta } { n _ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l r l r } { C _ { l m } ^ { \sigma } = \frac { { g _ { l m } ^ { e } + \sigma g _ { l m } ^ { m } } } { \sqrt { 2 } } , } & { { } } & { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { { } } & { \boldsymbol { \Psi } _ { l m } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) = \frac { { \boldsymbol { N } } _ { l m } ^ { j } ( { \bf r } ) + \sigma { \boldsymbol { M } } _ { l m } ^ { j } ( { \bf r } ) } { \sqrt { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - H ( Y | Z ) - H ( Y | \tilde { Z } ) } & { { } = \mathbb { E } _ { p _ { \theta } ( \tilde { Z } , Z , Y ) } \left[ \log p _ { \theta } ( Y | \tilde { Z } ) + \log p _ { \theta } ( Y | Z ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { k ^ { I } ( s , t ) = a ^ { I } ( s , t ) \ln | s - t | + b ^ { I } ( s , t ) , } \\ & { a ^ { I } ( s , t ) = M _ { 1 } ^ { I } ( s , t ) + L _ { 1 } ^ { I } ( s , t ) , } \\ & { b ^ { I } ( s , t ) = M _ { 2 } ^ { I } ( s , t ) + L _ { 2 } ^ { I } ( s , t ) + M _ { 3 } ^ { I } ( s , t ) + L _ { 3 } ^ { I } ( s , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p ( z ^ { \Lambda } ( \cdot ) ) } & { = } & { z _ { t _ { i + 1 } } - { \cal T } _ { q } ( t _ { i + 1 } - s _ { i } ) { \cal K } _ { i } ( s _ { i } , z _ { s _ { i } } ^ { \Lambda } ) - \int _ { s _ { i } } ^ { t _ { i + 1 } } { \cal S } _ { q } ( t _ { i + 1 } - e ) { \cal F } ( e , z _ { e } ^ { \Lambda } ) d e } \\ & { } & { - \int _ { s _ { i } } ^ { t _ { i + 1 } } { \cal S } _ { q } ( t _ { i + 1 } - e ) { \cal G } ( e , z _ { e } ^ { \Lambda } ) d \hat { \cal W } ( e ) - \int _ { s _ { i } } ^ { t _ { i + 1 } } { \cal S } _ { q } ( t _ { i + 1 } - e ) \sigma ( e ) d { \cal B } ^ { \hat { \cal H } } ( e ) , } \\ & { } & { \forall \; t \in ( s _ { i } , t _ { i + 1 } ] , \; i = 0 , 1 , \ldots , m . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \Lambda _ { \gamma _ { 0 } } ( \varrho ) \varphi + \nabla \cdot ( v _ { w _ { 0 } } \varphi ) + N ^ { - 1 } L _ { m } \varphi = \psi , } & { \mathrm { i n ~ } \Omega , } \\ { \partial _ { n } ^ { m } \varphi = \cdots = \partial _ { n } ^ { 2 m - 1 } \varphi = 0 } & { \mathrm { i n ~ } \partial \Omega , } \end{array} \right.
k ( \omega ) = \bigg ( \frac { \sqrt { \varepsilon _ { 1 } ^ { 2 } ( \omega ) + \varepsilon _ { 2 } ^ { 2 } ( \omega ) } - \varepsilon _ { 1 } ( \omega ) } { 2 } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ,
\Phi ^ { ( \mathrm { A i } ) } ( \zeta ) = \mathbf { N } \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \left( \begin{array} { l l } { \mathrm { A i } ( \zeta ) } & { \mathrm { A i } ( w ^ { 2 } \zeta ) } \\ { \mathrm { A i } ^ { \prime } ( \zeta ) } & { w ^ { 2 } \mathrm { A i } ^ { \prime } ( w ^ { 2 } \zeta ) } \end{array} \right) e ^ { - i \frac { \pi } { 6 } \sigma _ { 3 } } , } & { \zeta } & { \in \mathrm { I } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { \mathrm { A i } ( \zeta ) } & { \mathrm { A i } ( w ^ { 2 } \zeta ) } \\ { \mathrm { A i } ^ { \prime } ( \zeta ) } & { w ^ { 2 } \mathrm { A i } ^ { \prime } ( w ^ { 2 } \zeta ) } \end{array} \right) e ^ { - i \frac { \pi } { 6 } \sigma _ { 3 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 1 } \end{array} \right) , } & { \zeta } & { \in \mathrm { I I } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { \mathrm { A i } ( \zeta ) } & { - w ^ { 2 } \mathrm { A i } ( w \zeta ) } \\ { \mathrm { A i } ^ { \prime } ( \zeta ) } & { - \mathrm { A i } ^ { \prime } ( w \zeta ) } \end{array} \right) e ^ { - i \frac { \pi } { 6 } \sigma _ { 3 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right) , } & { \zeta } & { \in \mathrm { I I I } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { \mathrm { A i } ( \zeta ) } & { - w ^ { 2 } \mathrm { A i } ( w \zeta ) } \\ { \mathrm { A i } ^ { \prime } ( \zeta ) } & { - \mathrm { A i } ^ { \prime } ( w \zeta ) } \end{array} \right) e ^ { - i \frac { \pi } { 6 } \sigma _ { 3 } } , } & { \zeta } & { \in \mathrm { I V } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \tilde { \Xi } _ { 1 } = \Xi _ { 1 } | _ { \hat { \sigma } = 0 } = \frac { 3 c \lambda _ { n } } { 2 } + { 2 c \beta \lambda _ { n } } + \frac { c \beta ^ { - 1 } \lambda _ { n } ^ { 2 } } { 2 \lambda _ { 2 } } , } \\ { \tilde { \Xi } _ { 2 } = \Xi _ { 2 } | _ { \hat { \sigma } = 0 } = \frac { 3 c \lambda _ { n } } { 2 } + \frac { c \beta ^ { - 1 } \lambda _ { n } ^ { 2 } } { 2 \lambda _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 \geqslant } & { \lambda _ { 1 } \left[ \langle \nabla f ( x _ { k } ) ; d _ { k - 1 } \rangle \right] + \lambda _ { 2 } \left[ \| d _ { k - 1 } \| ^ { 2 } - c _ { k - 1 } \| \nabla f ( x _ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } \right] + \lambda _ { 3 } \left[ - \| \nabla f ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } + \beta _ { k - 1 } \| \nabla f ( x _ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { n } } & { \rightharpoonup u \quad \mathrm { w e a k l y ~ i n } \quad L _ { 2 } ( ( 0 , T ) , W ^ { 2 , 2 } ( \Omega ) ) , } \\ { K * u _ { n } } & { \rightharpoonup K * u \quad \mathrm { w e a k l y ~ i n } \quad L _ { 2 } ( ( 0 , T ) , W ^ { 2 , 2 } ( \Omega ) ) , } \\ { u _ { n } } & { \rightarrow u \quad \mathrm { u n i f o r m l y } \quad \mathcal { C } ^ { \alpha ^ { * } , \frac { \alpha ^ { * } \nu } { 2 } } ( \bar { \Omega } _ { T } ) \quad \mathrm { f o r ~ a n y } \quad \alpha ^ { * } \in ( 0 , 1 ) , } \\ { f ( u _ { n } ) } & { \rightarrow f ( u ) \quad \mathrm { u n i f o r m l y } \quad \mathcal { C } ( \bar { \Omega } _ { T } ) , } \\ { \mathbf { D } _ { t } ^ { \nu } u _ { n } } & { \rightharpoonup \mathbf { D } _ { t } ^ { \nu } u _ { n } \quad \mathrm { w e a k l y ~ i n } \quad L _ { 2 } ( \Omega _ { T } ) , } \\ { \mathbf { D } _ { t } ^ { \nu _ { i } } u _ { n } } & { \rightharpoonup \mathbf { D } _ { t } ^ { \nu _ { i } } u _ { n } , \, i = 1 , 2 , . . . , M , \quad \mathrm { w e a k l y ~ i n } \quad L _ { 2 } ( \Omega _ { T } ) , } \\ { \mathbf { D } _ { t } ^ { \mu _ { j } } u _ { n } } & { \rightharpoonup \mathbf { D } _ { t } ^ { \mu _ { j } } u _ { n } , \, j = 1 , 2 , . . . , N , \quad \mathrm { w e a k l y ~ i n } \quad L _ { 2 } ( \Omega _ { T } ) , } \end{array}
D _ { \tilde { f } _ { 1 , 2 } } ( t ) = \frac { 1 } { m _ { \tilde { \chi } _ { 1 } ^ { 0 } } ^ { 2 } } \left( t - \frac { m _ { \tilde { f } _ { 1 , 2 } } ^ { 2 } } { m _ { \tilde { \chi } _ { 1 } ^ { 0 } } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { n } ^ { 2 \, \, B F } ( { \bf x } ) } & { { } = \left\langle { { \boldsymbol { \Xi } _ { 2 n } ^ { B F } ( { \bf x } ) \bigl ( \boldsymbol { \Xi } _ { 2 n } ^ { B F } ( { \bf x } ) \bigr ) ^ { T } } } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { l } { { { [ } U _ { a } , U ^ { b } { ] } = S _ { a } ^ { b } \in g ^ { 0 } } } \\ { { { [ } U _ { a } , U _ { b } { ] } = K _ { a b } \in g ^ { + 2 } } } \\ { { { [ } U ^ { a } , U ^ { b } { ] } = K ^ { a b } \in g ^ { - 2 } } } \\ { { { [ } S _ { a } ^ { b } , U _ { c } { ] } = U _ { ( a b c ) } \in g ^ { + 1 } } } \end{array}
\lambda _ { \mathrm { R } } = \frac { c _ { \mathrm { v } } } { 2 \pi } \frac { \Omega _ { \mathrm { E } } \Delta } { v _ { \mathrm { T } } } = \frac { c _ { \mathrm { v } } } { 2 \pi } \frac { \Omega _ { \mathrm { E } } } { \omega _ { \mathrm { p } } } \frac { \omega _ { \mathrm { p } } \Delta } { v _ { \mathrm { T } } } .
\begin{array} { r l r } { v ^ { n + \frac { 1 } { 4 } } } & { = } & { v ^ { n } + \sqrt { \frac { c _ { 3 } } { c _ { 1 } } } \frac { \Delta { t } } { 2 m } \, f ^ { n } } \\ { r ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } & { = } & { r ^ { n } + \sqrt { \frac { c _ { 3 } } { c _ { 1 } } } \frac { \Delta { t } } { 2 } \, v ^ { n + \frac { 1 } { 4 } } } \\ { u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } & { = } & { \sqrt { c _ { 1 } } \, v ^ { n + \frac { 1 } { 4 } } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { ( 1 - c _ { 2 } ) \frac { k _ { B } T } { m } } \, \sigma ^ { n + 1 } } \\ & { = } & { \sqrt { c _ { 1 } } \, v ^ { n + \frac { 1 } { 4 } } + \frac { \sqrt { c _ { 3 } } } { 2 m } \, \beta ^ { n + 1 } } \\ { v ^ { n + \frac { 3 } { 4 } } } & { = } & { \frac { c _ { 2 } } { \sqrt { c _ { 1 } } } \, u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 c _ { 1 } } } \sqrt { ( 1 - c _ { 2 } ) \frac { k _ { B } T } { m } } \, \sigma ^ { n + 1 } } \\ & { = } & { \frac { c _ { 2 } } { \sqrt { c _ { 1 } } } \, u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } + \sqrt { \frac { c _ { 3 } } { c _ { 1 } } } \frac { 1 } { 2 m } \, \beta ^ { n + 1 } } \\ { r ^ { n + 1 } } & { = } & { r ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } + \sqrt { \frac { c _ { 3 } } { c _ { 1 } } } \frac { \Delta { t } } { 2 } \, v ^ { n + \frac { 3 } { 4 } } } \\ { v ^ { n + 1 } } & { = } & { v ^ { n + \frac { 3 } { 4 } } + \sqrt { \frac { c _ { 3 } } { c _ { 1 } } } \frac { \Delta { t } } { 2 m } \, f ^ { n + 1 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \mathbf { v } } \cdot \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { \Xi } \boldsymbol { \mathbf { v } } \ge c _ { 0 } \boldsymbol { \mathbf { v } } \cdot \boldsymbol { \mathbf { L } } \boldsymbol { \mathbf { v } } , \quad \mathrm { w h e r e } \quad \boldsymbol { \mathbf { L } } : = \left( \langle ( 1 - \Delta ) ^ { 1 / 2 } \chi _ { \xi } , ( 1 - \Delta ) ^ { 1 / 2 } \chi _ { \eta } \rangle \right) _ { \xi , \eta \in \Xi } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { n + 2 } ^ { > } ( t ) } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } G _ { n + 2 } ( t - t ^ { \prime } ) \times ( - i ) [ a _ { 1 } k _ { n } u _ { n + 3 } ^ { * > } ( t ^ { \prime } ) u _ { n + 4 } ^ { > } ( t ^ { \prime } ) } \end{array}
n ^ { \mathrm { o p t } } = \frac { 2 + 5 \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \mu _ { e \mathrm { ~ - ~ } } } + \left( ( 2 + 5 \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \mu _ { e \mathrm { ~ - ~ } } } ) ^ { 2 } - 1 2 \frac { \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { e \mathrm { ~ - ~ } } } \right) ^ { 1 / 2 } } { 2 \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \boldsymbol { u } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial \boldsymbol { u } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \boldsymbol { u } \otimes \boldsymbol { u } ) } & { { } = - \frac { 1 } { \rho _ { \mathrm { f } } } \nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol { \sigma } - \frac { 1 } { \rho _ { \mathrm { f } } } \sum _ { p } g ( | \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x } _ { p } | ) \boldsymbol { F } _ { p } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \xi ^ { n } \tilde { \nabla } _ { n } \xi ^ { a } = \mathbf { 0 } } & { { } \Leftrightarrow } & { \xi ^ { n } \nabla _ { n } \xi ^ { a } = - \nabla ^ { a } } & { { } \Leftrightarrow } & { \xi ^ { n } \check { \nabla } _ { n } \xi ^ { a } = - \varphi ^ { a } - \hat { F } { } ^ { a } { } _ { n } \xi ^ { n } = - F ^ { a } { } _ { n } \xi ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Theta _ { i } ( j ) : = \int _ { \gamma _ { i } ^ { ( h , j ) } } p _ { \theta } \, d \theta = \left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l } { 2 \pi j } & { , \mathrm { i f ~ } i = 2 , j > 0 } \\ { 0 } & { , \mathrm { i f ~ } i = 2 , j < 0 \mathrm { ~ o r ~ } i = 1 , j > 0 , } \\ { - 2 \pi j } & { , \mathrm { i f ~ } i = 1 , j < 0 , } \end{array} } \end{array} \right. } \\ { \int _ { \sigma _ { 0 } } p _ { z } \, d z = 2 \int _ { z _ { - } ^ { \varepsilon } ( h , j ) } ^ { { z _ { + } ^ { \varepsilon } ( h , j ) } } \sqrt { \left( h - \frac { j ^ { 2 } } { u ( z ) ^ { 2 } } - U _ { \varepsilon } ( z ) \right) \left( 1 + u ^ { \prime } ( z ) ^ { 2 } \right) } \, d z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathtt { a } } & { { } = { } ^ { ( 0 ) } \langle J _ { \tau } , m | \left( \ell _ { y Z } \ell _ { x Y } \ell _ { z X } + \ell _ { y Y } \ell _ { x Z } \ell _ { z X } \right) | J _ { \tau } , m \rangle ^ { ( 0 ) } , } \\ { \mathtt { b } } & { { } = { } ^ { ( 0 ) } \langle J _ { \tau } , m | \left( \ell _ { y X } \ell _ { x Z } \ell _ { z Y } + \ell _ { y Z } \ell _ { x X } \ell _ { z Y } \right) | J _ { \tau } , m \rangle ^ { ( 0 ) } , } \\ { \mathtt { c } } & { { } = { } ^ { ( 0 ) } \langle J _ { \tau } , m | \left( \ell _ { y Y } \ell _ { x X } \ell _ { z Z } + \ell _ { y X } \ell _ { x Y } \ell _ { z Z } \right) | J _ { \tau } , m \rangle ^ { ( 0 ) } , } \\ { \mathtt { A } } & { { } = \sum _ { J ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \tau ^ { \prime } = - J ^ { \prime } } ^ { J ^ { \prime } } \sum _ { m ^ { \prime } = - J ^ { \prime } } ^ { J ^ { \prime } } \frac { 2 } { E _ { J _ { \tau ^ { \prime } } ^ { \prime } , m ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } - E _ { J _ { \tau } , m } ^ { ( 0 ) } } } \\ { \mathtt { B } } & { { } = \sum _ { J ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \tau ^ { \prime } = - J ^ { \prime } } ^ { J ^ { \prime } } \sum _ { m ^ { \prime } = - J ^ { \prime } } ^ { J ^ { \prime } } \frac { 2 } { E _ { J _ { \tau ^ { \prime } } ^ { \prime } , m ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } - E _ { J _ { \tau } , m } ^ { ( 0 ) } } } \\ { \mathtt { C } } & { { } = \sum _ { J ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \tau ^ { \prime } = - J ^ { \prime } } ^ { J ^ { \prime } } \sum _ { m ^ { \prime } = - J ^ { \prime } } ^ { J ^ { \prime } } \frac { 2 } { E _ { J _ { \tau ^ { \prime } } ^ { \prime } , m ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } - E _ { J _ { \tau } , m } ^ { ( 0 ) } } } \end{array}
V _ { 2 } ^ { ( 2 ) } = \frac { 2 \omega k \alpha ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { 2 } - 1 - 4 k ^ { 2 } \alpha \tilde { c _ { s } } ^ { 2 } } \left( a _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } ,
\mathbb { P } \left[ \frac { 1 } { \tau _ { i _ { k } } } \sum _ { t = 1 } ^ { \tau _ { i _ { k } } } r _ { t } ( a _ { 1 } , X _ { t } ) - r _ { t } ( \hat { a } _ { t } , X _ { t } ) \geq 1 \mid \mathcal { E } _ { 0 } , \mathcal { E } , k \geq \hat { k } , d ( \hat { a } _ { \tau _ { i _ { k } } } , a _ { 0 } ) < \frac { d ( a _ { 0 } , a _ { 1 } ) } { 2 } \right] \geq \frac { 1 } { 2 } .
\boldsymbol { E } _ { \mathrm { ~ T ~ H ~ z ~ } } \propto \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow 0 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \boldsymbol { \Ddot { r } } ( t ) e ^ { - i \omega t } d t = \boldsymbol { \dot { r } } ( \infty ) ,
\begin{array} { r l r } { \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \left| \left\langle L _ { F ^ { ( 2 ) } } e _ { l } , e _ { j } \right\rangle \right| } & { < } & { \left| \alpha ( j ) \right| + \eta \left( \alpha _ { 1 } ( j ) + 1 \right) \left( 1 + \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \frac { 2 ^ { 2 l - 1 } } { ( 2 l ) ! } \right) } \\ & { = } & { \left| \alpha ( j ) \right| + \eta \left( \alpha _ { 1 } ( j ) + 1 \right) \frac { \cosh ( 2 ) + 1 } { 2 } } \\ & { \leq } & { \left| \alpha ( j ) \right| \left( 1 + \frac { \eta } { 2 } \left( \cosh ( 2 ) + 1 \right) \right) . } \end{array}
x ^ { * } = x _ { 0 } \, e _ { 0 } - x _ { 1 } \, e _ { 1 } - x _ { 2 } \, e _ { 2 } - x _ { 3 } \, e _ { 3 } - x _ { 4 } \, e _ { 4 } - x _ { 5 } \, e _ { 5 } - x _ { 6 } \, e _ { 6 } - x _ { 7 } \, e _ { 7 } .
\Delta ( x _ { 1 } , \alpha _ { 1 } ) \equiv \int _ { \eta _ { 0 } } ^ { \infty } \mathrm { A i } ( \breve { \eta } ) \mathrm { d } \breve { \eta } - \left( \frac { \mu _ { w } } { 2 \alpha _ { 1 } x _ { 1 } T _ { w } } \right) ^ { 1 / 3 } \frac { \left( \mathrm { i } F ^ { \prime \prime } ( 0 ) \right) ^ { 5 / 3 } \mathrm { A i } ^ { \prime } ( \eta _ { 0 } ) } { \mathrm { i } \widetilde A _ { v } \alpha _ { 1 } F ^ { \prime \prime } ( 0 ) - ( 2 x _ { 1 } ) ^ { 1 / 2 } T _ { w } ^ { 2 } } = 0 ,
\begin{array} { r } { f _ { K } ( x , y ) = \sum _ { a = 0 } ^ { \infty } \sum _ { b = 0 } ^ { \infty } \frac { x ^ { a } } { \sqrt { a ! } } \frac { y ^ { b } } { \sqrt { b ! } } \langle a | \mathrm { e } ^ { \mathrm { \footnotesize ~ \mathrm { i } ~ K ( \mathfrak { a } ~ + ~ \mathfrak { a } ^ { \dagger } ) ~ } } | b \rangle = \mathrm { e } ^ { \mathrm { \footnotesize ~ x y ~ } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { \footnotesize ~ \mathrm { i } ~ K ( x + y ) ~ } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { \footnotesize ~ - \frac { K ^ { 2 } } { 2 } ~ } } \, , } \end{array}
( M , N ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 , 0 ) , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ q ~ u ~ a ~ s ~ i ~ - ~ a ~ x ~ i ~ s ~ y ~ m ~ m ~ e ~ t ~ r ~ y ~ } , } \\ { ( 1 , - 1 ) , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ q ~ u ~ a ~ s ~ i ~ - ~ h ~ e ~ l ~ i ~ c ~ a ~ l ~ s ~ y ~ m ~ m ~ e ~ t ~ r ~ y ~ } , } \end{array} \right.
\frac { 1 } { 4 } \, \frac { \partial \bar { S } ( l ) } { \partial t } + \frac { 1 } { 4 } \, \nabla _ { l } \cdot \bar { \mathbf { Y } } _ { l } ( l ) + \frac { 1 } { 8 } \, \nabla _ { l } \cdot \bar { \mathbf { H } } _ { l } ( l ) = \frac { 1 } { 2 } \, \bar { D } ( l ) - \epsilon ,
\rho ( \lambda ) \sigma ( \lambda ) + \int _ { - \pi / \phi } ^ { + \pi / \phi } d \lambda ^ { \prime } \frac { K _ { 2 } ( \lambda - \lambda ^ { \prime } ) } { 2 \pi } \rho ( \lambda ^ { \prime } ) \sigma ( \lambda ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \mathrm { ~ I ~ m ~ } [ \theta _ { 2 } ( \lambda - x _ { 0 } ) + \theta _ { 2 } ( \lambda + x _ { 0 } ) ] .
\begin{array} { r l } & { \left( \left( \frac { 1 } { \mathrm { S c } } \partial _ { t } - \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } \right) \left( \frac { 1 } { \kappa _ { 2 } } \partial _ { t } - \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } \right) + \frac { \Gamma _ { 0 } \mathrm { R e } \mathrm { P e } _ { s } \left( \sin \theta \right) ^ { 2 } } { \mathrm { F r } ^ { 2 } } \right) f _ { t } = 0 , } \\ & { \left. \partial _ { y _ { 2 } } f _ { t } \right| _ { y _ { 3 } = 0 , 1 } = 0 , \quad \left. f _ { t } \right| _ { t = 0 } = - f _ { s } . } \end{array}
\frac { \partial k _ { S G S } } { \partial t } + \frac { \partial ( k _ { S G S } \widetilde { u } _ { i } ) } { \partial x _ { j } } = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ ( \nu + \nu _ { t } ) \frac { \partial k _ { S G S } } { \partial x _ { j } } \right] - \epsilon - \tau _ { i j } \frac { \partial \widetilde { u } _ { i } } { \partial x _ { j } } .
\begin{array} { r l r } { Q _ { t } ^ { \lambda , n } } & { = e ^ { - \gamma ( t - j ) \lambda ) } Q _ { n \lambda } ^ { \lambda , n } - \int _ { n \lambda } ^ { t } e ^ { - \gamma ( t - s ) } h _ { M Y , \epsilon } ( p _ { s } ^ { \lambda , n } ) d s + \sqrt { 2 \gamma \beta ^ { - 1 } } \int _ { n \lambda } ^ { t } e ^ { - \gamma ( t - s ) } d W s p _ { t } ^ { \lambda , n } } & { = p _ { n \lambda } ^ { \lambda , n } + \int _ { n \lambda } ^ { t } Q _ { s } ^ { \lambda , n } d s . } \end{array}
\frac { \partial \boldsymbol { \rho } } { \partial t } + \frac { \partial \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { \rho } ) } { \partial x } + \frac { \partial \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \rho } ) } { \partial y } = \boldsymbol { L } ( \boldsymbol { \rho } ) .
+ \frac { i } { 4 } e \sqrt { 2 } \Lambda ^ { \ast } \chi ^ { \ast } + \frac { i } { 4 } e \sqrt { 2 } \Lambda \chi ^ { \ast } - \frac { i } { 4 } e \epsilon _ { i j k } ( \partial _ { i } \Lambda ) ^ { \ast } x _ { j } ^ { \ast } \psi _ { k } +
\hat { \mathcal { H } } _ { k } ^ { \mathrm { ~ o ~ } } = - \left( \begin{array} { l l l l } { \Delta } & { g _ { \mathrm { ~ o ~ } } ( k ) } & { 0 } & { t _ { y } } \\ { g _ { \mathrm { ~ o ~ } } ^ { * } ( k ) } & { - \Delta } & { t _ { y } } & { 0 } \\ { 0 } & { t _ { y } } & { - \Delta } & { g _ { \mathrm { ~ o ~ } } ^ { * } ( k ) } \\ { t _ { y } } & { 0 } & { g _ { \mathrm { ~ o ~ } } ( k ) } & { \Delta } \end{array} \right) \mathrm { ~ , ~ }