harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \frac { d E } { d t } } & { = } & { - \int _ { \Omega } \left\{ \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { D _ { i } C _ { i } } { R T } | \nabla \tilde { \mu } _ { i } | ^ { 2 } + R T \mathcal { R } \ln \left( \frac { \mathcal { R } _ { f } } { \mathcal { R } _ { r } } \right) \right\} d x - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { \partial \Omega } \tilde { \mu } _ { i } j _ { i , 0 } d S . } \end{array}
. T h e c o r r e s p o n d i n g L e g e n d r i a n r e a l i s a t i o n s a r e s h o w n i n F i g u r e . S i n c e t h e r o t a t i o n n u m b e r s o f t h e s e t h r e e L e g e n d r i a n r e a l i s a t i o n s a r e d i f f e r e n t , t h e C h e r n n u m b e r s o f t h e c o r r e s p o n d i n g S t e i n s t r u c t u r e s a r e d i f f e r e n t . T h e n , b y T h e o r e m , t h e t h r e e c o n t a c t s t r u c t u r e s a r e n o n i s o t o p i c . S i n c e t h e y a r e S t e i n f i l l a b l e ( u s i n g L e m m a ) t h e y h a v e z e r o G i r o u x t o r s i o n . T h i s t e l l s u s t h a t t h e r e a r e a t l e a s t t h r e e t i g h t c o n t a c t s t r u c t u r e s o n
\begin{array} { r } { \tilde { Q } _ { i } = \frac { \partial F _ { 2 } } { \partial \tilde { P _ { i } } } \, , \quad P _ { i } = \frac { \partial F _ { 2 } } { \partial Q _ { i } } \, , \quad i = 1 , 2 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d { \tilde { Q } } } { d \eta } } & { = \tilde { \Omega } _ { k } - \frac { 3 } { 2 } ( \omega + 1 ) \left( { \tilde { Q } } ^ { 2 } + 2 \tilde { \Omega } _ { k } - 1 \right) , } \\ { \frac { d { \tilde { \Omega } _ { k } } } { d \eta } } & { = ( 3 \omega + 1 ) { \tilde { Q } } \tilde { \Omega } _ { k } , } \end{array}
\| \nabla _ { x } P _ { \varepsilon , n } ( \varphi ) \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { \varepsilon , n } ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } = \varepsilon ^ { \alpha } \| \nabla _ { y } \widetilde { P } _ { \varepsilon , n } ( \varphi ) \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { 1 } ( 0 ) ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } \leq c \Vert \nabla _ { x } \varphi \Vert _ { L ^ { 2 } ( B _ { \varepsilon , n , \delta _ { 0 } } \setminus B _ { \varepsilon , n } ) } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \sum _ { p } g ( | \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x } _ { p } | ) \boldsymbol { F } _ { p } \approx \frac { 1 } { V _ { \mathrm { c e l l } } ( \boldsymbol { x } ) } \sum _ { p \in \Omega _ { \mathrm { c e l l } } ( \boldsymbol { x } ) } \boldsymbol { F } _ { p } , } \end{array}
s = b \left[ F \left( \operatorname { g d } v \, { \Biggr | } - { \frac { a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } \right) - E \left( \operatorname { g d } v \, { \Biggr | } - { \frac { a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } \right) + { \sqrt { 1 + { \frac { a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } \operatorname { t a n h } ^ { 2 } v } } \, \sinh v \right] _ { \operatorname { a r c o s h } { \frac { x _ { 1 } } { a } } } ^ { \operatorname { a r c o s h } { \frac { x _ { 2 } } { a } } }
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { r a d } } = \frac { \omega } { 2 } \mathbf { p } ^ { \dagger } \left[ \operatorname { I m } \mathbb { G } \left( \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { x } _ { 0 } \right) \right] \mathbf { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( u _ { t _ { n } , m } ^ { \pi } ) \leq } & { [ 1 + A _ { 5 } h ] [ 1 + A _ { 1 } h + A _ { 2 } h L ( u _ { t _ { n } , m - 1 } ^ { \pi } ) ] L ( u _ { t _ { n + 1 } , m } ^ { \pi } ) + A _ { 6 } h } \\ { \leq } & { \left\{ 1 + \left[ A _ { 1 } + A _ { 5 } + A _ { 1 } A _ { 5 } h + ( A _ { 2 } + A _ { 2 } A _ { 5 } h ) L ( u _ { t _ { n } , m - 1 } ^ { \pi } ) \right] h \right\} L ( u _ { t _ { n + 1 } , m } ^ { \pi } ) } \\ & { + A _ { 6 } h } \\ { \leq } & { \left\{ 1 + \left[ ( A _ { 1 } + A _ { 5 } + A _ { 1 } A _ { 5 } h + ( A _ { 2 } + A _ { 2 } A _ { 5 } h ) L ( u _ { t _ { n } , m - 1 } ^ { \pi } ) ) \vee 0 \right] h \right\} L ( u _ { t _ { n + 1 } , m } ^ { \pi } ) } \\ & { + A _ { 6 } h . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d L ( \tau ) } & { { } = \left( \gamma L + D \frac { \partial } { \partial L } \left( e ^ { - \frac { \gamma \left( L - L _ { f } e ^ { - \gamma ( T - \tau ) } \right) ^ { 2 } } { D \left( 1 - e ^ { - 2 \gamma ( T - \tau ) } \right) } } - e ^ { - \frac { \gamma \left( L + L _ { f } e ^ { - \gamma ( T - \tau ) } \right) ^ { 2 } } { D \left( 1 - e ^ { - 2 \gamma ( T - \tau ) } \right) } } \right) \right) d \tau + \sqrt { D } \; d W _ { \tau } } \end{array}
n ( \omega ) = \bigg ( \frac { \sqrt { \varepsilon _ { 1 } ^ { 2 } ( \omega ) + \varepsilon _ { 2 } ^ { 2 } ( \omega ) } + \varepsilon _ { 1 } ( \omega ) } { 2 } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ,
\widehat { \boldsymbol { \lambda } } ( \mathcal P _ { m , L } ( \ell _ { r , s } ^ { n } ) ) \prec _ { C ^ { m } } \, \| z \| _ { \ell _ { r } } ^ { m } \Big ( \frac { n } { m } \Big ) ^ { m / r ^ { \prime } } \log ( m - L ) ^ { m ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \Big ( \frac { m } { n } \Big ) ^ { \frac { m - L } { r ^ { \prime } } } \left( \frac { m - L } { m } \right) ^ { \frac { m } { r } } \, .
\begin{array} { r } { \alpha _ { i } ( \omega ) = 4 \pi \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { 1 } \frac { r _ { x } r _ { y } r _ { z } } { 3 } \frac { \varepsilon _ { \mathrm { ~ A ~ u ~ } } ( \omega ) - \varepsilon _ { 1 } } { L _ { i } \varepsilon _ { \mathrm { ~ A ~ u ~ } } ( \omega ) + \varepsilon _ { 1 } ( 1 - L _ { i } ) } . } \end{array}
V _ { i j } ^ { a } \ = \ \frac { 1 } { 2 \sqrt 2 } \, \Sigma ^ { 2 } \, f _ { x i j } ^ { a } \, K ^ { x } ~ , \qquad T _ { i j } ^ { a } \ = \ \frac 1 2 \, \Sigma ^ { - 1 } \, L _ { i } ^ { I } { } ^ { k } \, f _ { x k j } ^ { a } \, K _ { I } ^ { x } ,
N ( \psi ) = \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \kappa _ { n } r _ { i } \cos \psi } \sqrt { \pi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \frac { \pi } { 4 } } F ( \sqrt { 2 \kappa _ { n } r _ { i } } \cos \frac { 1 } { 2 } \psi ) ,
\begin{array} { r l } { \left\langle \sigma ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { u = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \lambda \neq \lambda _ { 0 } } { \lambda _ { C } ^ { 2 u } } , } \end{array}
\begin{array} { c c l } { | \Psi ^ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } } ( z _ { j } , t ) \rangle } & { = } & { ( \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } | \phi _ { 0 } \rangle \langle \phi _ { 0 } | \hat { \sigma } _ { j } ) | \Psi ( t ) \rangle } \end{array}
R _ { j k } = { \left\{ \begin{array} { l l } { \cos ^ { 2 } { \frac { \theta } { 2 } } + \sin ^ { 2 } { \frac { \theta } { 2 } } \left( 2 u _ { j } ^ { 2 } - 1 \right) , \quad } & { { \mathrm { i f ~ } } j = k } \\ { 2 u _ { j } u _ { k } \sin ^ { 2 } { \frac { \theta } { 2 } } - \varepsilon _ { j k l } u _ { l } \sin \theta , \quad } & { { \mathrm { i f ~ } } j \neq k } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \Vert h _ { s , x } ( t , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { \infty , \infty } ^ { \rho } } } & { = \Vert h _ { s , x } ( t , \cdot ) \Vert _ { L ^ { \infty } } + \operatorname* { s u p } _ { v \in ( 0 , 1 ] } v ^ { 1 - \frac { \rho } { \alpha } } \Vert \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , \cdot ) \star h _ { s , x } ( t , \cdot ) \Vert _ { L ^ { \infty } } } \\ & { = \Vert h _ { s , x } ( t , \cdot ) \Vert _ { L ^ { \infty } } + \mathcal { T } _ { \infty , \infty } ^ { \rho } [ h _ { s , x } ( t , \cdot ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { c _ { g ^ { \prime } , i } - c _ { g , i } } \\ & { = \frac { q } { 2 } \left( a _ { \pi ( \beta - 2 ) } g _ { \pi ( \beta - 1 ) } ^ { \prime } - a _ { \pi ( \beta - 2 ) } g _ { \pi ( \beta - 1 ) } + g _ { \pi ( \beta - 1 ) } ^ { \prime } a _ { \pi ( \beta ) } \right. } \\ & { \left. - g _ { \pi ( \beta - 1 ) } a _ { \pi ( \beta ) } \right) + p _ { \pi ( \beta - 1 ) } g _ { \pi _ { 2 } ( \beta - 1 ) } ^ { \prime } - p _ { \pi ( \beta - 1 ) } g _ { \pi ( \beta - 1 ) } } \\ & { \equiv \frac { q } { 2 } ( a _ { \pi ( \beta - 2 ) } + a _ { \pi ( \beta ) } ) + p _ { \pi ( \beta - 1 ) } ( 1 - 2 g _ { \pi ( \beta - 1 ) } ) \pmod q . } \end{array}
\left| \frac { \bar { \lambda } } { \lambda _ { S D M } } - 1 \right| = \left| \frac { \bar { \lambda ^ { * } } L ^ { 2 } / \nu } { \bar { \lambda ^ { * } } L ^ { 2 } / \bar { \nu } _ { m } } - 1 \right| = \left| \frac { \bar { \nu } _ { m } } { \nu } - 1 \right| \leq \frac { \sigma } { \lambda _ { S D M } } .
\frac { \partial I ^ { \mathrm { s c a } } ( \theta ) } { \partial \hat { b } _ { n \ell } } = \frac { 1 } { Z _ { o } } \gamma _ { n \ell } \left( \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { p = - \ell _ { \mathrm { m a x } } } ^ { \ell _ { \mathrm { m a x } } } \hat { b } _ { m p } \gamma _ { m p } \right) ^ { * }
x ^ { \prime } ( t ) = f { \Biggl ( } t , x { \biggl ( } t - \tau _ { 1 } ( t ) { \biggr ) } , x { \biggl ( } t - \tau _ { 2 } ( t ) { \biggr ) } , \ldots , x { \biggl ( } t - \tau _ { k } ( t ) { \biggr ) } { \Biggr ) } .
r _ { t } = \beta _ { C } \mathrm { ~ c ~ l ~ i ~ p ~ } ( C _ { T } ^ { t } , - C _ { T } ^ { m } , C _ { T } ^ { m } ) - \beta _ { \mathcal { P } } \mathrm { ~ c ~ l ~ i ~ p ~ } ( C _ { \mathcal { P } } ^ { t } , - C _ { \mathcal { P } } ^ { m } , C _ { \mathcal { P } } ^ { m } )
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } N _ { \mathrm { B } } } { \mathrm { d } t } } & { { } = \Gamma _ { \mathrm { A } } N _ { \mathrm { A } } - \Gamma _ { \mathrm { B } } N _ { \mathrm { B } } , } \\ { \frac { \mathrm { d } N _ { \mathrm { A } } } { \mathrm { d } t } } & { { } = - \Gamma _ { \mathrm { A } } N _ { \mathrm { A } } + \Gamma _ { \mathrm { B } } N _ { \mathrm { B } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overrightarrow { S } } & { = } & { \left( \begin{array} { c } { S _ { 1 } } \\ { S _ { 2 } } \\ { S _ { 3 } } \\ { S _ { 4 } } \\ { S _ { 5 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 1 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \\ { \lambda _ { 3 } } \\ { \lambda _ { 4 } ^ { \prime \prime \prime } } \\ { \lambda _ { 5 } ^ { \prime \prime \prime } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c } { \sin \left( \theta _ { l } \right) \cos \left( \phi _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \theta _ { l } \right) \sin \left( \phi _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \cos \left( \theta _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \sqrt { \frac { 4 } { 3 } - \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \cos \left( \phi _ { y } \right) \sin \left( \theta _ { y } \right) } \\ { \sqrt { \frac { 4 } { 3 } - \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \sin \left( \phi _ { y } \right) \sin \left( \theta _ { y } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
A _ { n } = \frac { 1 } { 1 - \sigma ^ { 2 } \partial _ { m } ^ { 2 } } A _ { n - 1 } ; \quad B _ { n } = \frac { 1 } { 1 - \sigma \partial _ { m } } A _ { n } ; \quad B _ { n } ^ { \dag } = \frac { 1 } { 1 + \sigma \partial _ { m } } A _ { n }
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { R } _ { { \mathbf G } , \mathrm { h o m } } ) _ { i \alpha , j \beta } } & { = \frac { \mathbf { R } _ { i j } } { V ^ { 2 } } } \\ { ( \mathbf { N } _ { \mathbf { G } , \mathrm { h o m } } ) _ { i \alpha , j \beta } } & { = \frac { N _ { i } } { V _ { 1 } } \delta _ { i j } \delta _ { \alpha \beta } . } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { i j } ( t ) < \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { m i n } _ { x ^ { k } \neq x ^ { k ^ { \prime } } } | x ^ { k } - x ^ { k ^ { \prime } } | \leq | x _ { i } ( t ) - x _ { j } ( t ) | \, . } \end{array}
L [ \phi , \psi _ { i } ] = - \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } r ~ \left[ 4 \pi r ^ { 2 } \left\{ \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \mathrm { d } \phi } { \mathrm { d } r } \right) ^ { 2 } + U ( \phi ) \right\} + \sum _ { i } \sum _ { K M } \psi _ { i } ^ { \dagger } H _ { f } \psi _ { i } \right] ~ ~ ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i j } \left[ ( 1 - \alpha ( v _ { j } ) ) \mathsf { f } _ { i + \mathrm { n } ( v _ { j } ) , j } ^ { n , \star \star } + \alpha ( v _ { j } ) \mathsf { f } _ { i + \mathrm { n } ( v _ { j } ) + 1 , j } ^ { n , \star \star } \right] \mathsf { g } _ { i j } ^ { n + 1 } } \\ { = } & { \sum _ { i j } \mathsf { f } _ { i j } ^ { n , \star \star } \left[ ( 1 - \alpha ( v _ { j } ) ) \mathsf { g } _ { i - \mathrm { n } ( v _ { j } ) , j } ^ { n + 1 } + \alpha ( v _ { j } ) \mathsf { g } _ { i - \mathrm { n } ( v _ { j } ) - 1 , j } ^ { n + 1 } \right] \, . } \end{array}
\frac { E [ i ] ^ { 2 } } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } = \frac { \eta ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } f ^ { 2 } ( \Phi ) e ^ { 2 } } { \eta \Phi f ^ { 2 } ( \Phi ) 2 e ^ { 2 } B } \propto \Phi
x _ { s } ^ { ( k + 1 ) } = \arg \operatorname* { m i n } _ { x _ { s } } f _ { s } ( x _ { s } ) + \frac { \rho } { 2 } \| x _ { s } - z ^ { ( k ) } + y _ { s } ^ { ( k ) } / \rho \| _ { 2 } ^ { 2 } .
\left. \begin{array} { c c c c c c c c c l } { \phi _ { 2 } : } & { \mathbb { Z } _ { 4 } \longrightarrow \mathbb { Z } _ { 2 } ^ { 2 } } & & & { \phi _ { 3 } : } & { \mathbb { Z } _ { 8 } \longrightarrow \mathbb { Z } _ { 2 } ^ { 4 } } \\ & { 0 \mapsto ( 0 , 0 ) } & & & & { 0 \mapsto ( 0 , 0 , 0 , 0 ) } \\ & { 1 \mapsto ( 0 , 1 ) } & & & & { 1 \mapsto ( 0 , 1 , 0 , 1 ) } \\ & { 2 \mapsto ( 1 , 1 ) } & & & & { 2 \mapsto ( 0 , 0 , 1 , 1 ) } \\ & { 3 \mapsto ( 1 , 0 ) } & & & & { 3 \mapsto ( 0 , 1 , 1 , 0 ) } \\ & & & & & { 4 \mapsto ( 1 , 1 , 1 , 1 ) } \\ & & & & & { 5 \mapsto ( 1 , 0 , 1 , 0 ) } \\ & & & & & { 6 \mapsto ( 1 , 1 , 0 , 0 ) } \\ & & & & & { 7 \mapsto ( 1 , 0 , 0 , 1 ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { f _ { N } ( \rho , x ) } & { = \alpha _ { N + 1 } \widetilde { u } ( \rho , x _ { N + 1 } ) \widehat { s } _ { N + 1 } ( x - x _ { N + 1 } ) } \\ & { \quad + \sum _ { \overset { J \in \mathcal { J } _ { N + 1 } } { j _ { | J | } = N + 1 } } \alpha _ { J } \widetilde { u } ( \rho , x _ { j _ { 1 } } ) \left( \prod _ { l = 1 } ^ { | J | - 1 } \widehat { s } _ { j _ { l } } ( \rho , x _ { j _ { l + 1 } } - x _ { j _ { l } } ) \right) \widehat { s } _ { N + 1 } ( \rho , x - x _ { N + 1 } ) , } \end{array}
\psi _ { n } ( \tau ) = ( 2 ^ { n } n ! ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \pi ^ { - \frac { 1 } { 4 } } \exp \left( - \frac { \tau ^ { 2 } } { 2 a _ { \tau } ^ { 2 } } \right) H _ { n } \left( \frac { \tau } { a _ { \tau } } \right)
\left\{ a _ { p } , a _ { q } ^ { \dagger } { } \right\} : = a _ { p } a _ { q } ^ { \dagger } { } + a _ { q } ^ { \dagger } { } a _ { p } = \delta _ { p q } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \left\{ a _ { p } , a _ { q } \right\} : = a _ { p } a _ { q } + a _ { q } a _ { p } = 0 ,
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { \delta u } [ \| \hat { \boldsymbol { u } } ^ { B } - \boldsymbol { u } ^ { B } \| ] \ge } & { { } \mathbb { E } _ { \delta u } \left[ \left( \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } + \sum _ { i = N + 1 } ^ { N _ { t } } \right) \left| \sum _ { j = 0 } ^ { i - 1 } \lambda _ { m } ^ { j } \right| ^ { 2 } \delta u _ { m } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] } & { } \\ { \ge } & { { } \mathbb { E } _ { \delta u } \left[ \left( \sum _ { i = N + 1 } ^ { N _ { t } } ( 1 - \delta ) \frac { C _ { \lambda _ { m } } ^ { 2 i } } { | 1 - \lambda _ { m } | ^ { 2 } } \delta u _ { m } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] } & { \quad { \scriptstyle ( \mathrm { ~ L ~ e ~ m ~ m ~ a ~ ~ ~ } ) } } \\ { \ge } & { { } \alpha \mu \sqrt { N _ { t } } , } & { \quad { \scriptstyle ( N _ { t } - N \ge \frac { N _ { t } } { N + 1 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { m } \bigl \langle \mathbf { F } ^ { t } \mathbf { F } \bigr \rangle ( t ) } & { = \kappa _ { m } \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \kappa _ { m } \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \xi _ { m , k } ^ { 2 } ( t ) \, \Bigl \langle \bigl ( \bigl ( \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } \bigr ) ^ { t } \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \Bigr \rangle ( t ) } \\ & { = \kappa _ { m } \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \kappa _ { m } \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \xi _ { m , k } ^ { 2 } ( t ) \, \bigl \langle \bigl ( \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } \bigr ) ^ { t } \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } \bigr \rangle ( t ) = \mathbf { E } _ { m } ( t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rVert D G _ { \delta } ( \varphi , 0 , 0 ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \rVert ( D G _ { \delta } ( \varphi , 0 , 0 ) ) ^ { - 1 } [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } , } \end{array}
{ \cal Z } = \int D B _ { \mu } D \theta ^ { \mathrm { s i n g . } } D \theta ^ { \mathrm { r e g . } } \exp \left\{ - \int d ^ { 4 } x \left[ \frac 1 4 \left( F _ { \mu \nu } + F _ { \mu \nu } ^ { E } \right) ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 2 } } { 2 } \left( \partial _ { \mu } \theta - 2 g _ { m } B _ { \mu } \right) ^ { 2 } \right] \right\} ,
\begin{array} { r l r } { [ \Omega _ { v } ^ { ( k , 0 ) } , F ] P _ { v } } & { { } = } & { Q _ { v } V _ { r e s } ( \Omega _ { 0 } ^ { ( k - 1 , 0 ) } + \Omega _ { v } ^ { ( k - 1 , 0 ) } ) P _ { v } } \end{array}
\mathcal { D } ( { \tiny \begin{array} { c } { 3 } \end{array} } ) = \left\{ \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { 0 } \end{array} \right) : x , y \in \mathbb { R } \right\} , \qquad \mathcal { D } ( { \tiny \begin{array} { c c } { 1 } \\ { 2 } \end{array} } ) = \left\{ \left( \begin{array} { l } { x } \\ { - x } \\ { z } \end{array} \right) : x \geq 0 , z \in \mathbb { R } \right\} ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \overline { { F } } _ { 1 } ( u _ { 1 } ( t ) + x ( u _ { 1 } ( t ) - u _ { 1 } ( t / 2 ) ) ) } { \overline { { F } } _ { 1 } ( u _ { 1 } ( t ) ) } } & { = } & { \frac { \overline { { F } } _ { 1 } \big ( u _ { 1 } ( t ) ( 1 + x - x u _ { 1 } ( t / 2 ) / u _ { 1 } ( t ) ) \big ) } { \overline { { F } } _ { 1 } ( u _ { 1 } ( t ) ) } } \\ & { \ge } & { \frac { \overline { { F } } _ { 1 } \big ( u _ { 1 } ( t ) ( 1 + x - x u _ { 0 } ( t / 2 ) / u _ { 0 } ( t ) ) \big ) } { \overline { { F } } _ { 1 } ( u _ { 1 } ( t ) ) } } \\ & { \ge } & { \frac { \big ( \overline { { F } } _ { 0 } ( u _ { 0 } ( t ) + x ( u _ { 0 } ( t ) - u _ { 0 } ( t / 2 ) ) ) \big ) ^ { 1 - \varepsilon } } { ( \overline { { F } } _ { 0 } ( u _ { 0 } ( t ) ) ) ^ { 1 - \varepsilon } } , } \end{array}
{ \tilde { \nu } } _ { \tilde { \alpha } } ^ { ( 1 ) } \frac { \partial V _ { ( n = 1 ) } ^ { ( 1 ) } ( a _ { i } , p _ { i } , \theta ) } { \partial { \tilde { \xi } } _ { \tilde { \alpha } } ^ { ( 1 ) } } - \frac { \partial { \cal G } ^ { ( n = 2 ) } ( a _ { i } , p _ { i } , \theta ) } { \partial \theta } = 0 .
I _ { * } ( t ) \, = \, \bar { r } ( t ) ^ { 2 } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } ( 1 + \epsilon R ) ^ { 2 } \eta _ { * } ( R , Z , t ) \, \mathrm { d } X \, , \qquad \mu ( t ) \, = \, \mu _ { 0 } ( t ) + 2 \epsilon \mu _ { 1 } ( t ) \, .
\epsilon _ { i n t } ^ { s e l f } = - \frac { 6 N _ { f } } { \pi ^ { 3 } } \int d x x \left[ 1 - \frac { x } { ( x ^ { 2 } + A ^ { 2 } e x p ( - 2 b x ^ { 2 } ) ) ^ { 1 / 2 } } \right]
\begin{array} { r } { \langle \tilde { \Psi } _ { I } | = \langle \Phi _ { 0 } | e ^ { - \hat { T } } \hat { L } _ { I } } \\ { | \Psi _ { I } \rangle = \hat { R } _ { I } e ^ { \hat { T } } | \Phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
\vec { \nabla } ^ { \prime } \cdot \vec { J } ( \vec { x } ^ { \prime } , t _ { r e t } ) = \vec { \nabla } ^ { \prime } | _ { t _ { r e t } } \cdot \vec { J } ( \vec { x } ^ { \prime } , t _ { r e t } ) + \partial _ { t _ { r e t } } \vec { J } ( \vec { x } ^ { \prime } , t _ { r e t } ) \cdot \vec { \nabla } ^ { \prime } t _ { r e t } .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d x } \sin \left( x \right) } & { = \cos \left( x \right) , } \\ { \frac { d } { d x } \left( \sec \left( x \right) \right) } & { = \sec \left( x \right) \tan \left( x \right) , \mathrm { ~ o r ~ } } \\ { \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \left( \frac { \sin \left( x \right) } { x } \right) } & { = 1 ? } \end{array}
W _ { n } \Delta \mathcal { H } _ { k } ( u ) = \frac { 1 } { n \sqrt { n \log n } } \left( \begin{array} { l } { N _ { k } ( u ) \epsilon _ { k } ( u ) ^ { - 1 } - \frac { a ( \beta + 1 ) } { \beta - a ( \beta + 1 ) } a _ { k } \delta _ { k - 1 } } \\ { \frac { a ( \beta + 1 ) } { \beta - a ( \beta + 1 ) } a _ { k } \delta _ { n } } \end{array} \right) \epsilon _ { k } ( u ) .
\begin{array} { r l } & { { \left[ L _ { - 2 } ^ { ( 0 ) } - \frac { 1 } { 2 g } \left( L _ { - 1 } ^ { ( 0 ) } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 g } \left( L _ { - 1 } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } \right] \cdot \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle \equiv 0 , } } \\ & { { \left[ L _ { - 2 } ^ { ( 1 ) } - \frac { 1 } { g } L _ { - 1 } ^ { ( 0 ) } L _ { - 1 } ^ { ( 1 ) } \right] \cdot \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle \equiv 0 \, , } } \end{array}
\{ a ( n _ { 1 } n _ { 2 } n k ; i ) , a ( n _ { 1 } ^ { \prime } n _ { 2 } ^ { \prime } n ^ { \prime } k ^ { \prime } ; i ^ { \prime } ) ^ { * } \} = N o r m ( n _ { 1 } n _ { 2 } n k ; i ) \delta _ { n _ { 1 } n _ { 1 } ^ { \prime } } \delta _ { n _ { 2 } n _ { 2 } ^ { \prime } } \delta _ { n n ^ { \prime } } \delta _ { k k ^ { \prime } } \delta _ { i i ^ { \prime } }
M _ { \nu } ^ { \dagger } M _ { \nu } = m _ { \nu _ { 3 } } ^ { 2 } \left( \begin{array} { c c c } { { \xi _ { \nu _ { 1 } } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 - C + \xi _ { \nu _ { 2 } } ^ { 2 } } } & { { - \sqrt { ( 1 - C ) ( C - \xi _ { \nu _ { 2 } } ^ { 2 } ) } \, e ^ { - i \theta _ { 1 } } } } \\ { { 0 } } & { { - \sqrt { ( 1 - C ) ( C - \xi _ { \nu _ { 2 } } ^ { 2 } ) } \, e ^ { i \theta _ { 1 } } } } & { { C } } \end{array} \right) ,
\frac { c h ^ { * } ( v ) } { h ( v ) } \geq \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 2 } { 5 } , } & { \mathrm { ~ i f ~ v \in ~ \{ v _ 2 , v _ 6 \} ~ } ; } \\ { \frac { 1 } { 1 5 } , } & { \mathrm { ~ i f ~ v \in ~ \{ v _ 1 , v _ 3 , v _ 4 , v _ 5 \} ~ a n d ~ v ' ~ i s ~ b a d } ; } \\ { \frac { 1 } { 5 } , } & { \mathrm { ~ i f ~ v = v _ 1 ~ a n d ~ v ' ~ i s ~ n o t ~ b a d } ; } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ i f ~ v \in ~ \{ v _ 3 , v _ 4 , v _ 5 \} ~ a n d ~ v ' ~ i s ~ n o t ~ b a d } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \dot { C } _ { m , q } = i \omega _ { m , q } C _ { m , q } + ( i + \alpha ) \sum _ { q ^ { \prime } } \sigma _ { m , + , q , q ^ { \prime } } e ^ { i \Omega t } C _ { m + 1 , q ^ { \prime } } + \sigma _ { m , - , q , q ^ { \prime } } e ^ { - i \Omega t } C _ { m - 1 , q ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { \beta } } } & { { } \quad L ( \boldsymbol { \beta } ; \mathbf { M } , \boldsymbol { \phi } ) = \log Z ( \boldsymbol { \beta } ; \boldsymbol { \phi } ) - \beta _ { i } \frac { M _ { i } } { n } - n ^ { 2 } \left( \log \beta _ { 0 } - \frac { \beta _ { 0 } } { n } \right) ; \quad i = 1 , \cdots , M , } \end{array}
\hat { D } ( \boldsymbol { \lambda } ) \approx - \left[ \operatorname* { m i n } _ { i } \frac { p ^ { \prime } ( X _ { i } ) } { p ( X _ { i } ) } \right] \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { p ( X _ { i } ) } { p ^ { \prime } ( X _ { i } ) } \log p ( \boldsymbol { \lambda } | X _ { i } ) .
u _ { 2 } ( \bar { \alpha } , 0 ) = \left( 1 + \left( \frac { \gamma _ { p } } { \gamma _ { r } + \gamma _ { p } } \right) ^ { \gamma _ { p } } \right) ^ { - 1 } < 1 \; , \; \; { \mathrm { a n d } } \; \; \; u _ { 2 } ( \bar { \alpha } , 1 ) = \left( 1 + \left( \frac { \gamma _ { r } } { \gamma _ { r } + \gamma _ { p } } \right) ^ { \gamma _ { p } } \right) ^ { - 1 } < 1 \; ,
| W _ { \gamma } ( t ) | \leq \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } } & { 0 \leq \gamma | t | \leq \theta , } \\ { 3 5 e ^ { 2 } ( \gamma | t | ) ^ { 4 } e ^ { - \frac { 2 } { 7 } \frac { \gamma | t | } { \log ( \gamma | t | ) ^ { 2 } } } } & { \gamma | t | > \theta , } \end{array} \right.