harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathrm { i } \, \mathcal { I } _ { _ { D C } } \, \mu _ { _ { D C } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \overline { { \hat { \eta } } } _ { 1 } ^ { A _ { 2 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 2 _ { \mathrm { d y n } } } ^ { F ^ { 2 } } + \overline { { \hat { \Phi } } } _ { 1 } ^ { A _ { 2 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 2 _ { \mathrm { k i n } } } ^ { F ^ { 2 } } \right) \, r \mathrm { d } r ,
\begin{array} { r l } { \left[ \left( \frac { \partial } { \partial t } \right) \nabla ^ { 2 } - U ^ { \prime \prime } \frac { \partial } { \partial x } - \frac { 1 } { R e } \nabla ^ { 4 } \right] v } & { { } = 0 , } \\ { \left[ \frac { \partial } { \partial t } + U \frac { \partial } { \partial x } - \frac { 1 } { R e } \nabla ^ { 2 } \right] \eta } & { { } = - U ^ { \prime } \frac { \partial v } { \partial z } , } \end{array}
T _ { L , i } ( y ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \rho ( y , \tau ) \mathrm { d } \tau = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \langle u _ { i } ( y , 0 ) u _ { i } ( y , \tau ) \rangle } { \sqrt { \langle u _ { i } ( y , 0 ) ^ { 2 } \rangle \langle u _ { i } ( y , \tau ) ^ { 2 } \rangle } } \mathrm { d } \tau ,
\Psi _ { \sigma , n , \mathbf { K } } ^ { ( \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } ) } ( \mathbf { r } ) = \sum _ { \mathbf { G } } C _ { \sigma , n , \mathbf { K } } ( \mathbf { G } ) \, e ^ { i ( \mathbf { K } + \mathbf { G } ) \cdot \mathbf { r } } ,
Y _ { v } ( H ) ^ { \sharp } \overset \sim \rightarrow Y _ { v } ( H ) ^ { \ast } , \quad w \to w ^ { \ast } , \quad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ w ~ i n ~ H ~ w i t h ~ } w | v , \quad \mathrm { ~ w h e r e ~ } w ^ { \ast } ( w ^ { \prime } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { ~ i f ~ } w ^ { \prime } = w , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ i f ~ } w ^ { \prime } \ne w , } \end{array} \right.
H = \int _ { - L } ^ { L } d x \big [ T r ( F ^ { 2 } - A \lambda ) \big ] = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \big [ T r ( a _ { k } a _ { - k } ) - { \frac { i \pi } { L } } k T r ( a _ { k } b _ { - k } ) \big ] .
\omega _ { \theta , \pm } ^ { ~ ~ ~ \mp } = \mp ~ \Delta ^ { 1 / 2 } , \; \; \omega _ { \phi , \pm } ^ { ~ ~ ~ \pm } = \mp ~ \imath \cos { \theta } , \; \; \omega _ { \phi , \pm } ^ { ~ ~ ~ \mp } = \imath \sin { \theta } \Delta ^ { 1 / 2 } ~ .
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } E _ { - } } a ( E _ { - } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { - ( 1 - u ) ^ { 1 / 2 } ( 3 - ( 1 - u ) E _ { - } ) } { [ u ( 2 - ( 1 - u ) E _ { - } ) ^ { 3 } ] ^ { 1 / 2 } } \mathrm { d } u .
\begin{array} { r } { | \Delta _ { p h } | = l n ( \frac { ( a _ { 1 } - a _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) ^ { 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { A ( x , v ) = \frac { 3 } { 2 } \lambda _ { r } \Big ( b ( \lvert \nabla \psi ( x ) \rvert ^ { 2 } - \Delta \psi ( x ) ) + 2 \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) + \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle \Big ) , } \\ & { B ( x , v ) = \frac { 3 } { 2 } \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) \Big ( \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle - \langle R ( x ) v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) R ( x ) v \rangle \Big ) + \frac { 1 } { 2 } \langle v , \nabla _ { x } ( \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle ) \rangle , } \\ & { C ( x , v ) = 3 \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) \big ( - 2 \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle + \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle ^ { 2 } \big ) - \langle v , \nabla ( \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle ) \rangle , } \\ & { D ( x , v ) = \frac { 3 } { 2 } \lambda _ { r } \Big ( b ( \lvert \nabla \psi ( x ) \rvert ^ { 2 } - \Delta \psi ( x ) ) + \! \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle + \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \big ( 3 \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) + \lambda _ { 1 } ( x , v ) \big ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( \boldsymbol { y ; \theta } ) = } & { c ( \boldsymbol { y } ) \hat { u } ( \boldsymbol { y } ) + \int _ { \Gamma _ { 1 } } \frac { \partial \phi ( \boldsymbol { x ; \theta } ) } { \partial \boldsymbol { n } } u ^ { s } ( \boldsymbol { x ; y } ) d \Gamma - \int _ { \Gamma _ { 2 } } \frac { \partial u ^ { s } ( \boldsymbol { x ; y } ) } { \partial \boldsymbol { n } } \phi ( \boldsymbol { x ; \theta } ) d \Gamma } \\ & { - \int _ { \Gamma _ { 1 } } \frac { \partial u ^ { s } ( \boldsymbol { x ; y } ) } { \partial \boldsymbol { n } } \bar { u } ( \boldsymbol { x } ) d \Gamma + \int _ { \Gamma _ { 2 } } \bar { q } ( \boldsymbol { x } ) u ^ { s } ( \boldsymbol { x ; y } ) d \Gamma + \int _ { \Omega } f ( \boldsymbol { x } ) u ^ { s } ( \boldsymbol { x ; y } ) d \Omega , \quad \boldsymbol { y } \in \Gamma , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathsf { P } [ A ( t - x ) - D ( t ) \ge 0 ] } \\ & { \le \mathsf { P } \biggl [ \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , t - x ] } \{ A ( \tau , t - x ) - S _ { P _ { L } } ( \tau , t ) \} \ge 0 \biggr ] } \\ & { \, + \mathsf { P } \biggl [ \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ t - x , t ] , } \{ - A ( t - x , \tau ) - S _ { P _ { L } } ( \tau , t ) \} \ge 0 \biggr ] . } \end{array}
\hat { \psi } _ { ( 0 , 0 ) } ( \hat { y } ) = 1 , \qquad \hat { \psi } _ { ( 1 , 1 ) } ( \hat { y } ) = - 1 , \qquad \hat { \psi } _ { ( 2 , 2 ) } ( \hat { y } ) = \frac { 1 } { 2 } .
\frac { d \vec { v } _ { S } } { d t } = \frac { \partial \vec { v } _ { S } } { \partial t } + ( \vec { v } _ { S } \cdot \vec { \nabla } ) \vec { v } _ { S } = - \vec { \nabla } \frac { Q } { m _ { e } } + \frac { e } { m _ { e } } ( \vec { E } + \vec { v } \times \vec { B } )
I _ { n } = ( c _ { \mu } + c _ { \sigma } M _ { n } ) N \left( 1 + K _ { n } \log _ { 1 0 } N \right) , \, \, K _ { n } : = \frac { m _ { \mu } + m _ { \sigma } M _ { n } } { c _ { \mu } + c _ { \sigma } M _ { n } } .
\begin{array} { r l } { A _ { N } = M _ { N } + M _ { - N } } & { { } = 2 | J _ { N } | ^ { 2 } | w | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | L _ { N } | ^ { 2 } } \\ { B _ { N } = M _ { N } - M _ { - N } } & { { } = 2 \operatorname { R e } { \{ J _ { N } L _ { N } ^ { * } w \} } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \boldsymbol { v } ^ { \top } \boldsymbol { y } } { | \boldsymbol { v } | | \boldsymbol { y } | } = \; } & { \frac { m \boldsymbol { v } ^ { \top } \boldsymbol { x } + \frac { m ( m - 1 ) } { 2 } \mu c \boldsymbol { v } ^ { \top } \boldsymbol { v } } { | \boldsymbol { v } | \left| m \boldsymbol { x } + \frac { m ( m - 1 ) } { 2 } \mu c \boldsymbol { v } \right| } } \\ { = \; } & { \frac { \boldsymbol { v } ^ { \top } \boldsymbol { x } } { | \boldsymbol { v } | \left| \boldsymbol { x } + \frac { ( m - 1 ) } { 2 } \mu c \boldsymbol { v } \right| } + \frac { \frac { ( m - 1 ) } { 2 } \mu c | \boldsymbol { v } | } { \left| \boldsymbol { x } + \frac { ( m - 1 ) } { 2 } \mu c \boldsymbol { v } \right| } . } \end{array}
c ( x ) = - \frac { N ^ { 2 } x ^ { 3 } } { 8 } \int _ { 0 } ^ { \infty } k ^ { 2 } J _ { 1 } ( k x ) \Psi \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1 + e ^ { 2 \lambda } k ^ { 2 } } \right) d k \, .
U = \left\{ ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , \ldots , u _ { N } ) ^ { T } \in \mathbb { R } ^ { N } \mid u _ { j } = 0 \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } j > k \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \sum _ { j = 1 } ^ { N } u _ { j } = 0 \right\} .
\mathcal { G } ^ { i , l } = \mathcal { G } ^ { i , l - 1 } + \mathrm { L a y e r N o r m } ( A ( \mathcal { Q } ^ { i , l } , \mathcal { K } ^ { i , l } , \mathcal { V } ^ { i , l } , \mathcal { R } ^ { i , l } ) ) .
\dot { Q } ( t ) = \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { D } } \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { A } } \mathbf { E } ( \mathbf { r } _ { A _ { m } } , \mathbf { r } _ { D _ { n } } , t ) \cdot \dot { \mathbf { p } } _ { A _ { m } } ( t ) ,
\widetilde { L L } _ { L L C _ { i } } ^ { \prime } = \widetilde { L L } _ { L L C _ { i } } - \frac { 1 } { 1 0 0 } \displaystyle \sum _ { j \in B } { ( \widetilde { L L } } _ { L L C _ { j } } - \widetilde { L L } _ { V I I R S _ { j } } )
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 2 q ^ { 2 } } { q ^ { 2 } + \Omega _ { n } ^ { 2 } } = \frac { \ell ^ { 2 } q ^ { 2 } } { z } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 2 z } { z ^ { 2 } + \lambda _ { n } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { L \phi } & { = \phi \left( B + ( 1 - \epsilon ) f _ { t } - ( 1 - \epsilon ) ^ { 2 } | \nabla f | ^ { 2 } - ( 1 - \epsilon ) \Delta f - ( 1 - \epsilon ) \langle \nabla f , X \rangle \right) } \\ & { = \phi \left( B + \epsilon ( 1 - \epsilon ) | \nabla f | ^ { 2 } - \frac { n ( 1 - \epsilon ) } { 2 \bar { \tau } } + ( 1 - \epsilon ) R - ( 1 - \epsilon ) \langle \nabla f , X \rangle \right) } \\ & { \ge \phi \left( B + \epsilon ( 1 - \epsilon ) | \nabla f | ^ { 2 } - C _ { 1 } | \nabla f | - \frac { n ( 1 - \epsilon ) } { 2 ( 1 - b ) } \right) , } \end{array}
\langle x _ { i } x _ { j } \rangle = ( - i ) ^ { 2 } \left. { \frac { \partial ^ { 2 } \phi ( { \bf u } ) } { \partial u _ { i } \partial u _ { j } } } \right| _ { { \bf u } = 0 } = C _ { i j } + \mu _ { i } \mu _ { j } \, ,
\partial _ { + } \psi _ { + } ^ { 1 } - \frac { m } { 6 } \gamma ^ { 4 } \psi _ { - } ^ { 2 } = 0 ~ , ~ ~ ~ \partial _ { - } \psi _ { - } ^ { 2 } + \frac { m } { 6 } \gamma ^ { 4 } \psi _ { + } ^ { 1 } = 0 ~ ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ u ^ { 2 } ( k _ { 0 } ) \right] } \\ { = } & { \left( 1 - a ^ { 2 } \left( k _ { 0 } \right) \right) \mathbb { E } \left[ x ^ { 2 } ( k _ { 0 } ) \right] - 2 a ( k _ { 0 } ) \mathbb { E } \left[ x ( k _ { 0 } ) \right] \mathbb { E } \left[ u ( k _ { 0 } ) \right] } \\ { + } & { \omega _ { k _ { 0 } } \left( \mathbb { E } \left[ x _ { T } ^ { 2 } \right] - \mathbb { E } \left[ x ^ { 2 } ( k _ { 0 } ) \right] \right) } \end{array}
\tau _ { \mathrm { ~ f ~ w ~ d ~ } } = 0 . 4 3 7 \, \mathrm { ~ s ~ } , \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ v ~ } } = 2 . 1 9 \, \mathrm { ~ s ~ } , \mu = 1 . 2 4 \cdot 1 0 ^ { - 2 }
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { h f } } = - \frac { \mu _ { r } \mu _ { 0 } \gamma _ { I } } { 4 \pi } } & { { } } & { \int d ^ { 3 } r \left[ \frac { 8 \pi \delta ^ { 3 } \left( \mathbf { r } \right) } { 3 } \mathbf { M } \left( \mathbf { r } \right) \cdot \mathbf { I } \right. } \end{array}
\langle A | \exp { ( - S _ { r o t } ) } | A _ { i } \rangle = \sum _ { { n \atop ( Y T T _ { 3 } ) } \atop ( Y ^ { \prime } J J _ { 3 } ) } \psi _ { ( Y T T _ { 3 } ) ( Y ^ { \prime } J J _ { 3 } ) } ^ { ( n ) } ( A ) \psi _ { ( Y T T _ { 3 } ) ( Y ^ { \prime } J J _ { 3 } ) } ^ { ( n ) * } ( A _ { i } ) \exp { \left( - \frac { J ( J + 1 ) } { 2 I } \mathrm { T } \right) } ,
\begin{array} { r l } { f _ { B ^ { - } } ( x ) } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t } } \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { ( ( - 1 ) ^ { k } x - 2 k L ) - x _ { 0 } } { \sigma \sqrt { t } } \right) ^ { 2 } \right\rbrace } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d r } \left[ \frac { r } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } ( V - c ) D g \right] } \\ { - g \left[ \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d r } \left( \frac { r D V } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right) + \frac { 1 } { r } ( V - c ) + \frac { r } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } \frac { D V ^ { 2 } } { 4 ( V - c ) } \right] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \tilde { W } } ^ { ( 2 ) } ( \hat { s } ^ { u } , \delta ^ { u } ) - x _ { 0 } ^ { u } } & { = 0 , } \\ { \Phi _ { T ^ { u } / m ^ { u } } ( x _ { i } ^ { u } ) - x _ { i + 1 } ^ { u } } & { = 0 , \qquad i = 0 , \dots , m ^ { u } - 1 , } \\ { { \tilde { W } } ^ { ( 1 ) } ( \hat { s } ^ { s } , \delta ^ { s } ) - x _ { 0 } ^ { s } } & { = 0 , } \\ { \Phi _ { T ^ { s } / m ^ { s } } ( x _ { i } ^ { s } ) - x _ { i + 1 } ^ { s } } & { = 0 , \qquad i = 0 , \dots , m ^ { s } - 1 , } \\ { g ( x _ { m ^ { u } } ^ { u } ) } & { = 0 , } \\ { H ( x _ { m ^ { u } } ^ { u } ) - h } & { = 0 , } \\ { x _ { m ^ { u } } ^ { u } - x _ { m ^ { s } } ^ { s } } & { = 0 , } \end{array}
\bar { \alpha } _ { k } \leftarrow \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { - \langle z ^ { k } , B d ^ { k } \rangle + \sqrt { \langle z ^ { k } , B d ^ { k } \rangle ^ { 2 } - \langle d ^ { k } , B d ^ { k } \rangle ( \langle z ^ { k } , B z ^ { k } \rangle - 1 ) } } { \langle d ^ { k } , B d ^ { k } \rangle } , - \frac { z _ { i } ^ { k } } { d _ { i } ^ { k } } , i \in \mathcal { I } ^ { k } \right\} ;
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { z _ { i } ^ { 0 } } \\ { z _ { i } ^ { 1 } } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { l } { ( t _ { i } \hat { x } _ { i } - k _ { i } \hat { y } _ { i } \sin \phi _ { i } ) + j k _ { i } \hat { y } _ { i } \cos \phi _ { i } } \\ { t _ { i } \hat { y } _ { i } \cos \phi _ { i } + j ( k _ { i } \hat { x } _ { i } + t _ { i } \hat { y } \sin \phi _ { i } ) } \end{array} \right) } \end{array}
X ^ { \prime } = \{ x _ { 1 } ^ { 6 } x _ { 2 } y _ { 3 } - x _ { 2 } ^ { 7 } y _ { 3 } - x _ { 1 } ^ { 6 } y _ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 5 } x _ { 2 } y _ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 6 } y _ { 2 } + x _ { 3 } y _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 6 } y _ { 3 } ^ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 5 } x _ { 2 } y _ { 3 } ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 6 } y _ { 3 } ^ { 2 } - x _ { 3 } y _ { 2 } y _ { 3 } ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 4 } x _ { 3 } + x _ { 3 } ^ { 2 } = 0 \} \; .
T _ { n } = T \left( \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { n } \end{array} \right) \right) , T _ { n } ^ { \prime } = T \left( \left( \begin{array} { l l } { n } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \right) , [ a ] _ { p } = [ a ] _ { p } ^ { \prime } = T \left( \left( \begin{array} { l l } { a } & { 0 } \\ { 0 } & { a } \end{array} \right) \right) .
\delta r ^ { 2 } = r ^ { 2 } ( ^ { 3 } \mathrm { H e } ) - r ^ { 2 } ( ^ { 4 } \mathrm { H e } ) = r _ { h } ^ { 2 } - r _ { \alpha } ^ { 2 } = 1 . 0 7 5 7 ( 1 5 ) \ \mathrm { f m ^ { 2 } }
{ \begin{array} { r l } & { \int ( d + e \, x ) ^ { m } ( A + B \, x ) \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p } d x = { \frac { ( d + e \, x ) ^ { m + 1 } \left( A \left( b \, c \, d - b ^ { 2 } e + 2 a \, c \, e \right) - a \, B ( 2 c \, d - b \, e ) + c ( A ( 2 c \, d - b \, e ) - B ( b \, d - 2 a \, e ) ) x \right) \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p + 1 } } { ( p + 1 ) \left( b ^ { 2 } - 4 a \, c \right) \left( c \, d ^ { 2 } - b \, d \, e + a \, e ^ { 2 } \right) } } \, + } \\ & { \qquad { \frac { 1 } { ( p + 1 ) \left( b ^ { 2 } - 4 a \, c \right) \left( c \, d ^ { 2 } - b \, d \, e + a \, e ^ { 2 } \right) } } \, \cdot } \\ & { \qquad \qquad \int ( d + e \, x ) ^ { m } ( A \left( b \, c \, d \, e ( 2 p - m + 2 ) + b ^ { 2 } e ^ { 2 } ( m + p + 2 ) - 2 c ^ { 2 } d ^ { 2 } ( 3 + 2 p ) - 2 a \, c \, e ^ { 2 } ( m + 2 p + 3 ) \right) - } \\ & { \qquad \qquad \qquad B ( a \, e ( b \, e - 2 c \, d m + b \, e \, m ) + b \, d ( - 3 c \, d + b \, e - 2 c \, d \, p + b \, e \, p ) ) + c \, e ( B ( b \, d - 2 a \, e ) - A ( 2 c \, d - b \, e ) ) ( m + 2 p + 4 ) x ) \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p + 1 } d x } \end{array} }
H _ { \mathrm { e f f } } ^ { \prime } = H _ { 0 } - \Gamma _ { 0 } \sum _ { i j \neq i , \sigma \sigma ^ { \prime } } G _ { i j } ^ { \perp } \left( b _ { s i \sigma } ^ { \dagger } b _ { p i \sigma } \right) \left( b _ { p j \sigma ^ { \prime } } ^ { \dagger } b _ { s j \sigma ^ { \prime } } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \underset { t \rightarrow \infty } { \mathrm { l i m } } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \tilde { h } _ { 0 } ( t ) = } & { - \tilde { h } _ { x } \tilde { u } _ { 0 } ( \infty ) - \tilde { h } _ { y } \tilde { v } _ { 0 } ( \infty ) } \\ { = } & { \frac { \bar { \tau } ( \tilde { h } _ { x } ^ { 2 } + \tilde { h } _ { y } ^ { 2 } ) } { F ^ { 2 } ( \bar { f } ^ { 2 } + \bar { \tau } ^ { 2 } ) } } \end{array}
V \left( \begin{array} { c } { { \tilde { W } ^ { + } } } \\ { { { i \tilde { H } _ { 2 } ^ { + } } } } \end{array} \right) \equiv \left( \begin{array} { c } { { \lambda _ { 1 } ^ { + } } } \\ { { \lambda _ { 2 } ^ { + } } } \end{array} \right) \, \, , \, \, \left( \tilde { W } ^ { - } \, , \, { i \tilde { H } _ { 1 } ^ { - } } \right) U ^ { \dagger } \equiv \left( \lambda _ { 1 } ^ { - } \, , \, \lambda _ { 2 } ^ { - } \right) \; .
\begin{array} { r l } { \| \phi _ { 1 } ( t ) - \phi _ { 2 } ( t ) \| _ { X } } & { \leq \| T ( t ) \| \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| _ { X } } \\ & { \qquad + \Big \| \int _ { 0 } ^ { t } T ( t - s ) B _ { 2 } \Big ( f ( \phi _ { 1 } ( s ) , u ( s ) ) - f ( \phi _ { 2 } ( s ) , u ( s ) ) \Big ) d s \Big \| _ { X } } \\ & { \leq M e ^ { \lambda t } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| _ { X } + c _ { t } \| f ( \phi _ { 1 } ( \cdot ) , u ) - f ( \phi _ { 2 } ( \cdot ) , u ) \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] , X ) } } \\ & { \leq M e ^ { \lambda t } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| _ { X } + c _ { t } L ( K ) \| \phi _ { 1 } ( \cdot ) - \phi _ { 2 } ( \cdot ) \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] , X ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sin \angle ( v _ { i } , \hat { v } _ { i } ^ { ( k ) } ) } & { \leq \sqrt { 1 + \frac { \beta _ { k } ^ { 2 } } { ( \delta _ { i } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } } \sin \angle ( v _ { i } , \mathcal { \hat { V } } ^ { ( k ) } ) , } \\ { \sin \angle ( u _ { i } , \hat { u } _ { i } ^ { ( k ) } ) } & { \leq \frac { \| A \| } { \hat { \sigma } _ { i } ^ { ( k ) } } \sin \angle ( v _ { i } , \hat { v } _ { i } ) , } \\ { | ( \hat { \sigma } _ { i } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } - \sigma _ { i } ^ { 2 } | } & { \leq \| A \| ^ { 2 } ( 3 \epsilon _ { k } ^ { 2 } + \epsilon _ { k } ^ { 4 } ) , } \\ { \sin \angle ( v _ { i } , \mathcal { \hat { V } } ^ { ( k ) } ) } & { = \mathcal { O } \biggl ( \biggl ( \frac { \gamma _ { p + 1 } } { \gamma _ { i } } \biggr ) ^ { k } \biggr ) , \ \epsilon _ { k } = \mathcal { O } \biggl ( \biggl ( \frac { \gamma _ { p + 1 } } { \gamma _ { p } } \biggr ) ^ { k } \biggr ) . } \end{array}
| \Psi _ { \{ n _ { i } \} } \rangle \equiv | n _ { 1 } , n _ { 2 } , \dots , n _ { i } , \dots \rangle = \prod _ { i } | n _ { i } \rangle = \prod _ { i } \frac { ( \hat { a } _ { i } ^ { + } ) ^ { n _ { i } } } { \sqrt { n _ { i } ! } } | 0 \rangle \; \; \; , \; \; \; E _ { \{ n _ { i } \} } = \sum _ { i } \epsilon _ { i } n _ { i }
\begin{array} { r l r l } { \operatorname* { m i n } \; } & { \sum _ { d \in D } \lambda _ { d } ^ { 2 } + \sum _ { e \in E } \lambda _ { e } ^ { 2 } + 1 0 \sum _ { f \in F } \lambda _ { f } ^ { 2 } } \\ { \mathrm { s u c h ~ t h a t } \; } & { \sum _ { i \in I : d _ { i } \in d } z _ { i } = \left\lfloor \frac { N } { \vert D \vert } \right\rceil + \lambda _ { d } } & & { \forall d \in D , } \\ & { \sum _ { i \in I : e _ { i } \in e } z _ { i } = \left\lfloor \frac { N } { \vert E \vert } \right\rceil + \lambda _ { e } } & & { \forall e \in E , } \\ & { \sum _ { i \in I : f _ { i } = f } z _ { i } \leq 2 + \lambda _ { f } } & & { \forall f \in F , } \\ & { z _ { i } = 0 } & & { \forall i \in I : \overline { { t } } _ { i } \leq 5 , } \\ & { z _ { i } = 0 } & & { \forall i \in I : i \not \in S , } \\ & { z \in \{ 0 , 1 \} ^ { \vert I \vert } , \lambda \in \mathbb { Z } ^ { \vert D \vert + \vert E \vert + \vert F \vert } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \tau _ { p } ^ { v } = \left( \frac { 1 2 \mathcal { E } _ { \Delta \tau } } { | \mathrm { d } a / \mathrm { d } \tau | ^ { v } } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } , } \end{array}
\sigma _ { T } ( t ) = \sum _ { \mu = 1 } ^ { n } \sum _ { \bf K } { \slash \! \! \! k } _ { \! { B } } \omega _ { \bf K } \left( \mid { \tilde { X } } _ { \bf K } ^ { \mu } \mid ^ { 2 } + \mid { \tilde { \alpha } } _ { \mu , { \bf K } } \mid ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ s ~ } _ { I + i } } & { { } = \mathbf { t } ^ { T } \boldsymbol { \mu } _ { I + i } = \mathbf { t } ^ { T } \mathbf { P } \boldsymbol { \mu } _ { I - i + 1 } = \tilde { \mathbf { t } } ^ { T } ( \mathbf { I } - \mathbf { P } ) ^ { T } \mathbf { P } \boldsymbol { \mu } _ { I - i + 1 } = \tilde { \mathbf { t } } ^ { T } ( \mathbf { I } \mathbf { P } - \underbrace { \mathbf { P } ^ { T } \mathbf { P } } _ { = \mathbf { I } } ) \boldsymbol { \mu } _ { I - i + 1 } } \end{array}
\gamma _ { g g } \; = \; \int _ { 0 } ^ { 1 } \: d x \: x ^ { \omega } P _ { g g } \; \approx \; \int _ { 0 } ^ { 1 } \: d x \: x ^ { \omega } \: \left( \frac { d _ { 1 } \alpha _ { S } } { x } \right) \; = \; d _ { 1 } \: \frac { \alpha _ { S } } { \omega } ,
\langle \psi _ { a } | \delta V _ { i a } | \psi _ { a } \rangle = F ^ { ( 1 ) } ( R _ { a } ) \delta R _ { i a } ^ { 2 } + \delta _ { R _ { i } } F ^ { ( 1 ) } ( R _ { a } ) \delta R _ { i a } ^ { 2 } \ .
f _ { + } ( \vec { P } _ { B } = 0 ) _ { H Q L } \ = \ \int d ^ { 3 } p ^ { \prime } I ( p ^ { \prime } ) \frac { M _ { B } + M _ { D } } { 4 M _ { B } M _ { D } } [ 1 + \frac { \tilde { \epsilon ^ { \prime } } } { m _ { d } } - \frac { ( \vec { P } _ { D } \cdot \vec { \tilde { q ^ { \prime } } } ) } { ( E _ { D } + M _ { D } ) m _ { d } } ]
\Gamma = \frac { g ^ { 2 } } { 6 4 \pi } \frac { m _ { t } ^ { 3 } } { m _ { W } ^ { 2 } } ( 1 - 3 \frac { m _ { W } ^ { 4 } } { m _ { t } ^ { 4 } } + 2 \frac { m _ { W } ^ { 6 } } { m _ { t } ^ { 6 } } ) \; .
\begin{array} { r l r } { { \tilde { \epsilon } } _ { k } } & { \approx } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Delta \Omega _ { x } ( \theta ^ { \prime } ) e ^ { i ( \nu _ { 0 } \Phi ( \theta ^ { \prime } ) - ( \nu _ { 0 } - k ) \theta ^ { \prime } ) } d \theta ^ { \prime } } \\ & { = } & { - \frac { R ( 1 + G \gamma ) } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \Delta B _ { x } ( \theta ^ { \prime } ) } { B \rho } e ^ { i k \Phi ( \theta ^ { \prime } ) } d \theta ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R _ { 1 } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) } & { \sim } & { \frac { 1 } { \log \lambda } \int _ { \lambda \Pi } \frac { ( 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i x _ { 1 } u _ { 1 } } ) ( 1 - \mathrm e ^ { - \mathrm i y _ { 1 } u _ { 1 } } ) } { | u _ { 1 } | ^ { 2 } } \lambda f ( u _ { 1 } / \lambda , 0 ) \mathrm d u _ { 1 } } \\ & { } & { \times \int _ { \lambda ^ { \gamma } \Pi } \frac { ( 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i x _ { 2 } u _ { 2 } } ) ( 1 - \mathrm e ^ { - \mathrm i y _ { 2 } u _ { 2 } } ) } { | u _ { 2 } | ^ { 2 } } \mathrm d u _ { 2 } \ = : \ J _ { 1 } \times J _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \rho _ { s } ( t ) = - \frac { i } { \hbar } H _ { s , - } ( t ) \rho _ { s } ( t ) } \\ & { \quad + \sum _ { \alpha , \beta = L , R } \sum _ { \nu _ { 1 } \dots \nu _ { 4 } } ( - 1 ) ^ { \alpha + \beta } \hat { A } _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } } ^ { \alpha } ( t ) } \\ & { \qquad \qquad \times \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathrm { d } t _ { 1 } C _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } } ^ { \beta } ( t , t _ { 1 } ) \rho _ { s , \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } } ^ { ( 1 ) \beta } ( t , t _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert \Xi _ { i } ^ { \prime } \vert ^ { 2 } } & { { } = ( \ensuremath { \mathrm { ~ K ~ n ~ } } \tau ) ^ { 2 } \sum _ { k \neq i } \frac { \Xi _ { i } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \mathcal C _ { s } \Xi _ { k } \Xi _ { k } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \mathcal C _ { s } ^ { \dagger } \Xi _ { i } } { ( \lambda _ { k } - \lambda _ { i } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\mathrm { E S } ( w ) = \frac { \sum _ { n } | W _ { f } ^ { \mathrm { n } } ( w , x _ { n } ) - W _ { f } ^ { \mathrm { a } } ( w , x _ { n } ) | } { \sum _ { n } | W _ { f } ^ { \mathrm { a } } ( w , x _ { n } ) | } \times 1 0 0 \
\frac { 1 } { \tilde { \Delta } } = \frac { 1 } { \Delta } ( 1 + i \cot \theta _ { 0 } ( \theta - i \theta _ { 0 } ) + \cdots ) \quad ~ \mathrm { w i t h } ~ ~ \Delta = \frac { 1 } { 2 } m _ { a } m _ { b } \sin \theta _ { 0 }
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 2 } \hat { R } \hat { V } _ { 2 } | N \rangle \right] } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } ^ { { \mathrm { ~ d ~ e ~ n ~ o ~ m ~ . ~ } \neq 0 } } \frac { \tilde { \bar { F } } _ { i j } \tilde { \bar { F } } _ { i j } } { \omega _ { i } + \omega _ { j } } f _ { i } f _ { j } } \end{array}