harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { R ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } & { { } = \bigg \{ \begin{array} { c } { 1 \; \mathrm { f o r } \; \rho _ { \mathrm { d i f f } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) > 0 . 1 \times \mathrm { m a x } \{ \rho _ { \mathrm { d i f f } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) \} , } \\ { 0 \; \mathrm { f o r } \; \rho _ { \mathrm { d i f f } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) \le 0 . 1 \times \mathrm { m a x } \{ \rho _ { \mathrm { d i f f } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) \} . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( q ) } & { { } = V ( q _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ) + V ^ { \prime } ( q _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ) { } ^ { T } \cdot ( q - q _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ) } \end{array}
{ \frac { { \sqrt { - g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } } } { \frac { d } { d \tau } } ( g _ { \lambda \nu } { \dot { x } } ^ { \nu } + g _ { \mu \lambda } { \dot { x } } ^ { \mu } ) - ( g _ { \lambda \nu } { \dot { x } } ^ { \nu } + g _ { \mu \lambda } { \dot { x } } ^ { \mu } ) { \frac { d } { d \tau } } { \sqrt { - g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } } } } { - g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } } } = { \frac { g _ { \mu \nu , \lambda } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } } { \sqrt { - g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } } } } \qquad \qquad ( 4 )
{ \bf R } = \left( \begin{array} { l l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { I } } & { { 0 } } & { { c } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { I } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { R _ { 0 } } } \end{array} \right)
G ( z , z ^ { \prime } , t ) = \alpha \sum _ { n } \frac { e ^ { i n ( \phi - \phi ^ { \prime } ) } } { 2 \pi } \int _ { o } ^ { \infty } \frac { r ^ { ( \alpha - 1 ) } } { \alpha } J _ { \frac { | n | } { \alpha } } ( \frac { k } { \alpha } r ^ { \alpha } ) ( k ^ { 2 } ) ^ { - i c t / l _ { P } } k d k \frac { { r ^ { \prime } } ^ { ( \alpha - 1 ) } } { \alpha } J _ { \frac { | n | } { \alpha } } ( \frac { k } { \alpha } { r ^ { \prime } } ^ { \alpha } ) .
\begin{array} { r l } { \dot { C } _ { A } } & { = \frac { F } { V } ( C _ { A , i n } - C _ { A } ) - k ( T ) C _ { A } C _ { B } , } \\ { \dot { C } _ { B } } & { = \frac { F } { V } ( C _ { B , i n } - C _ { B } ) - 2 k ( T ) C _ { A } C _ { B } , } \\ { \dot { T } } & { = \frac { F } { V } ( T _ { i n } - T ) + \beta k ( T ) C _ { A } C _ { B } , } \end{array}
\begin{array} { r } { F [ \theta _ { M + 1 } ] = \left| 1 - \int _ { - \infty } ^ { \infty } \rho ( \omega ) \, d \omega \right| ^ { 2 } + \lambda \int _ { - \infty } ^ { \infty } ( \rho ^ { \prime \prime } ( \omega ) ) ^ { 2 } \, d \omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { M D } ^ { o } \! } & { = \mathbb { P } ( T _ { w } ^ { o } > \tau | H _ { 1 } ) = \mathbb { P } ( k _ { a } ^ { o } + \sigma _ { w } ^ { 2 } < \tau ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \tau \! > \! k _ { a } ^ { o } \! + \! \rho \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } , } \\ { \frac { \ln ( \rho ( \tau - k _ { a } ^ { o } ) ) - \ln ( \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } ) } { 2 \ln ( \rho ) } , } & { k _ { a } ^ { o } \! + \! \frac { \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } { \rho } \leq \tau \! \leq \! k _ { a } ^ { o } \! + \! \rho \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } , } \\ { 0 , } & { \tau \! < \! k _ { a } ^ { o } \! + \! \frac { \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } { \rho } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { z } ^ { \mathrm { s c a } } ( \mathbf { r } ) \approx } & { { } } & { p _ { z } \frac { e ^ { j k _ { o } r } } { \sqrt { r } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi k _ { o } } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { \ell = - \ell _ { \mathrm { m a x } } } ^ { \ell _ { \mathrm { m a x } } } \bigg [ b _ { n \ell } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { M } u _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) G ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x \mathrm { d } s - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { 1 } v _ { * } ( x _ { 2 } , t ) G ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 2 } \mathrm { d } s \right| } & { { } = } \\ { \left| \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { M } \psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) G ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x \mathrm { d } s - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { 1 } \psi _ { * } ( x _ { 2 } , t ) G ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 2 } \mathrm { d } s \right| } & { { } \leq \varepsilon \| G ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , 1 ) } t } \end{array}
\frac { c _ { \mathrm { ~ E ~ u ~ l ~ e ~ r ~ } } ^ { 2 } } { g D } = \frac { \operatorname { t a n h } ( D k ) } { D k } = 1 - \frac { 1 } { 3 } ( D k ) ^ { 2 } + \frac { 2 } { 1 5 } ( D k ) ^ { 4 } + O \left( ( D k ) \right) ^ { 6 } \ ,
\begin{array} { r l } { \| \nabla \xi \| _ { p } } & { { } \leq C \| \nabla \chi \| _ { p } } \\ { \| \nabla ^ { 2 } \xi \| _ { p } } & { { } \leq C ( \| \nabla ^ { 2 } \chi \| _ { p } + \| \kappa \| _ { \infty } \| \nabla \chi \| _ { p } ) } \\ { \| \nabla ^ { 3 } \xi \| _ { p } } & { { } \leq C \left( \| \nabla ^ { 3 } \chi \| _ { p } + \| \kappa \| _ { \infty } \| \nabla ^ { 2 } \chi \| _ { p } + ( \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } + \| \kappa \| _ { \infty } ) \| \nabla \chi \| _ { p } \right) } \end{array}
\begin{array} { r c } { \hat { H } = } & { - J _ { A B } \sum _ { < i , m > } \boldsymbol { \hat { S } } _ { i } \cdot \boldsymbol { \hat { S } } _ { m } - J _ { A } \sum _ { \ll i , j \gg } \boldsymbol { \hat { S } } _ { \boldsymbol { i } } \cdot \boldsymbol { \hat { S } } _ { j } } \\ & { - J _ { B } \sum _ { \ll m , n \gg } \boldsymbol { \hat { S } } _ { m } \cdot \boldsymbol { \hat { S } } _ { \boldsymbol { n } } - h _ { \mathrm { e x t ~ } } ( \sum _ { i } \mu _ { A } \hat { S } _ { i } ^ { z } } \\ & { + \sum _ { m } \mu _ { B } \hat { S } _ { m } ^ { z } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \partial _ { x } \left( \tilde { c } ( x , t ) \rho _ { 0 } ( x , t ) M ( \tilde { v } \mid x , t ) \right) d \tilde { v } } & { { } = 0 } \\ { \partial _ { x } \left( \rho _ { 0 } ( x , t ) \int ( \tilde { v } - \varepsilon u _ { p } ( x , t ) ) M ( \tilde { v } \mid x , t ) d \tilde { v } \right) } & { { } = 0 } \\ { \partial _ { x } \left( \rho _ { 0 } ( x , t ) \left( \varepsilon u _ { p } ( x , t ) - \varepsilon u _ { p } ( x , t ) \right) \right) } & { { } = 0 } \\ { 0 } & { { } = 0 . \quad \checkmark } \end{array}
\partial _ { r } n _ { q } ( t , r , p , \eta ) \to \left\{ \begin{array} { c l l } { { \frac { 1 } { \Delta r } \left[ n _ { q } ( t _ { n + 1 } , r _ { i + 1 } , p _ { j } , \eta _ { k } ) - n _ { q } ( t _ { n + 1 } , r _ { i } , p _ { j } , \eta _ { k } ) \right] } } & { { , \quad } } & { { i = 1 } } \\ { { \frac { 1 } { 2 \Delta r } \left[ n _ { q } ( t _ { n + 1 } , r _ { i + 1 } , p _ { j } , \eta _ { k } ) - n _ { q } ( t _ { n + 1 } , r _ { i - 1 } , p _ { j } , \eta _ { k } ) \right] } } & { { , \quad } } & { { 1 < i < N _ { r } } } \\ { { \frac { 1 } { \Delta r } \left[ n _ { q } ( t _ { n + 1 } , r _ { i } , p _ { j } , \eta _ { k } ) - n _ { q } ( t _ { n + 1 } , r _ { i - 1 } , p _ { j } , \eta _ { k } ) \right] } } & { { , \quad } } & { { i = N _ { r } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \lvert E _ { S _ { r , k ; 3 } } ( T _ { v } ) \rvert } & { = \lvert E _ { G ^ { \prime } } ( T _ { v } ) \rvert + \lvert E _ { G ^ { \prime } } ( T _ { v _ { t } } ) \rvert - ( d _ { G ^ { \prime } } ( v _ { t } ) - 2 ) } \\ & { \geq \lvert E _ { G ^ { \prime } } ( T _ { v _ { t } } ) \rvert - ( d _ { G ^ { \prime } } ( v _ { t } ) - 2 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { A ( G , H , K ) = ( { \mathbb Q } ( \zeta _ { m } ) / F _ { G , H , K } , \overline { { f } } ) = \oplus _ { u \in N / H } t _ { u } { \mathbb Q } ( \zeta _ { m } ) , } \\ & { x t _ { u } = t _ { u } \sigma _ { u } ( x ) , \quad t _ { u } t _ { v } = t _ { u v } f ( u , v ) , \quad ( x \in { \mathbb Q } ( \zeta _ { m } ) , u , v \in N / K ) . } \end{array}
\mathcal E _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ p ~ c ~ a ~ } } ( \overline { { \boldsymbol X } } ) = \boldsymbol z : = \left[ \begin{array} { l } { \langle \overline { { \boldsymbol X } } , \boldsymbol v _ { 1 } \rangle , \cdots , \langle \overline { { \boldsymbol X } } , \boldsymbol v _ { 1 0 } \rangle } \end{array} \right] \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \mathcal D _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ p ~ c ~ a ~ } } ( \boldsymbol z ) = \sum _ { j = 1 } ^ { 1 0 } \boldsymbol z _ { i } \boldsymbol v _ { i }
{ \frac { d \ \ln W _ { n p } ^ { I } ( Q ^ { 2 } ) } { d \ \ln Q ^ { 2 } } } = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } } \int \! d n ( \rho ) \ \rho ^ { 4 } \ln { \left( \rho ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \right) } \equiv B _ { I } \ .
\begin{array} { r l r } { \left\Vert \sum _ { n > n ^ { \prime } } \mathcal { X } _ { \varpi _ { n } ( t ) } - \mathcal { X } _ { \varpi _ { n - 1 } ( t ) } \right\Vert _ { \alpha } } & { \leq } & { \sum _ { n > n ^ { \prime } } \left\Vert \mathcal { X } _ { \varpi _ { n } ( t ) } - \mathcal { X } _ { \varpi _ { n - 1 } ( t ) } \right\Vert _ { \alpha } } \\ & { \leq } & { u \sum _ { n > n ^ { \prime } } 2 ^ { n / \beta } d ( \varpi _ { n } ( t ) , \varpi _ { n - 1 } ( t ) ) } \\ & { \leq } & { u ( 1 + 2 ^ { 1 / \beta } ) \gamma _ { \beta , p } ( T , d ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho } & { = \phi ( \phi - s \phi ^ { \prime } ) , } \\ { \rho _ { 0 } } & { = \phi \phi ^ { \prime \prime } + \phi ^ { \prime } \phi ^ { \prime } , } \\ { \rho _ { 1 } } & { = - ( s \rho _ { 0 } - \phi \phi ^ { \prime } ) = - \left[ s ( \phi \phi ^ { \prime \prime } + \phi ^ { \prime } \phi ^ { \prime } ) - \phi \phi ^ { \prime } \right] , } \\ { \rho _ { 2 } } & { = - s \rho _ { 1 } = s \left[ s ( \phi \phi ^ { \prime \prime } + \phi ^ { \prime } \phi ^ { \prime } ) - \phi \phi ^ { \prime } \right] . } \end{array}
B = \left( \begin{array} { l l } { \nu ^ { 2 } \langle \rho _ { \mathsf { p } } ( v ^ { \mathrm { e f f } } - q _ { 1 } ) \varsigma _ { 0 } ^ { \mathrm { d r } } \varsigma _ { 0 } ^ { \mathrm { d r } } \rangle } & { - \nu \big \langle \rho _ { \mathsf { p } } ( v ^ { \mathrm { e f f } } - q _ { 1 } ) \varsigma _ { 0 } ^ { \mathrm { d r } } \big | F } \\ { - \nu F ^ { * } \big | \rho _ { \mathsf { p } } ( v ^ { \mathrm { e f f } } - q _ { 1 } ) \varsigma _ { 0 } ^ { \mathrm { d r } } \big \rangle } & { F ^ { * } \rho _ { \mathsf { p } } ( v ^ { \mathrm { e f f } } - q _ { 1 } ) F } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { v _ { x } } & { { } = \frac { 6 z } { h ^ { 2 } } ( h - z ) V _ { x } ( x , y ) , } \\ { v _ { y } } & { { } = \frac { 6 z } { h ^ { 2 } } ( h - z ) V _ { y } ( x , y ) , } \\ { v _ { z } } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { D } _ { x y } ^ { \textrm { ( a g g ) } } } & { { } = \! \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \frac { \mathcal { F } \{ \widetilde { D } _ { x y } ^ { \textrm { ( e s t ) } } + \aleph [ \partial _ { x } \widetilde { D } _ { x y } ^ { \textrm { ( e s t ) } } + \partial _ { y } \widetilde { D } _ { x y } ^ { \textrm { ( e s t ) } } ] \} } { 1 + i \aleph ( k _ { x } + k _ { y } ) } \right) . } \end{array}
D \! \! \! \! / ^ { ~ 2 } = \left[ { \frac { 1 } { \sqrt g } } \left( { \sqrt g } g ^ { \nu \lambda } \right) _ { , \lambda } + ( 1 - { \cal D } ) \phi ^ { \nu } - 2 \sigma ^ { q p } e _ { ~ q } ^ { \mu } e _ { ~ p } ^ { \nu } \phi _ { \mu } + \left( g ^ { \mu \nu } + 2 \sigma ^ { \mu \nu } \right) D _ { \mu } \right] D _ { \nu } .
\begin{array} { r } { \hat { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { n ^ { ( 4 ) } ( m ^ { \omega k _ { 4 } } ) ^ { - 1 } , } & { k \in \mathcal { D } _ { \omega k _ { 4 } } , } \\ { n ^ { ( 4 ) } ( m ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ) ^ { - 1 } , } & { k \in \mathcal { D } _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } , } \\ { n ^ { ( 4 ) } , } & { \mathrm { e l s e w h e r e } , } \end{array} \right. } \end{array}
\cosh \kappa = \frac { 2 + \bar { \kappa } \left( \bar { \kappa } + 2 \right) } { 2 \left( \bar { \kappa } + 1 \right) } \; , \quad \sinh \kappa = \frac { \bar { \kappa } \left( \bar { \kappa } + 2 \right) } { 2 \left( \bar { \kappa } + 1 \right) } \; .
F _ { 5 } = - { \frac { 4 R ^ { 2 } } { H ^ { 2 } r ^ { 5 } } } ( R ^ { 4 } + r _ { 0 } ^ { 4 } ) ^ { 1 / 2 } ( 1 + * ) \, d t \wedge d x \wedge d y \wedge d z \wedge d r \, ,
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \zeta ( 3 / 2 ) } { \zeta ( - 1 / 2 ) } } } & { = - 4 \pi } \\ { { \frac { \zeta ( 5 / 2 ) } { \zeta ( - 3 / 2 ) } } } & { = - { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { 3 } } } \\ { { \frac { \zeta ( 7 / 2 ) } { \zeta ( - 5 / 2 ) } } } & { = { \frac { 6 4 \pi ^ { 3 } } { 1 5 } } } \\ { { \frac { \zeta ( 9 / 2 ) } { \zeta ( - 7 / 2 ) } } } & { = { \frac { 2 5 6 \pi ^ { 4 } } { 1 0 5 } } } \end{array} }
\hat { H } = \frac { \hbar } { 2 } \Omega _ { [ 1 ] } \Bigl ( \hat { A } _ { [ 1 ] } ^ { \dagger } \hat { A } _ { [ 1 ] } + \hat { A } _ { [ 1 ] } \hat { A } _ { [ 1 ] } ^ { \dagger } \Bigr ) + { \cal O } ( \lambda ^ { 2 } ) ,
\cos { \frac { 7 \pi } { 6 0 } } = \cos 2 1 ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 1 6 } } \left( 2 \left( { \sqrt { 3 } } - 1 \right) { \sqrt { 5 - { \sqrt { 5 } } } } + \left( { \sqrt { 6 } } + { \sqrt { 2 } } \right) \left( 1 + { \sqrt { 5 } } \right) \right)
u _ { \alpha \beta } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 . 7 } & { 0 . 2 } & { 0 . 1 } \\ { 0 . 1 } & { 0 . 7 } & { 0 . 2 } \\ { 0 . 1 } & { 0 . 2 } & { 0 . 7 } \end{array} \right)
\int d ^ { 2 K N } w = 2 ^ { N K - K ( K + 1 ) / 2 } \int \, \big | \operatorname * { d e t } _ { K } W \big | ^ { N - K } \, d ^ { K ^ { 2 } } W \, \Big \{ \prod _ { a = 1 } ^ { K } d ^ { 2 N - 2 a + 1 } \hat { \Omega } _ { a } \Big \} \ .
V _ { \mathbf { d } } ^ { \mathrm { ~ F ~ O ~ } } = \{ \mathbf v \in [ W ^ { 1 , 1 + \frac { 1 } { n } } ( \Omega ) ] ^ { 2 } , \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } \mathbf v = \mathbf { d } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma _ { d } \}
\delta \Psi _ { \hat { a } } = \partial _ { \hat { a } } \epsilon + { \frac { 1 } { 8 } } H ^ { - 1 } ( \partial _ { \hat { a } } H ) \epsilon + { \frac { 1 } { 8 } } W \gamma ^ { \underline { { { u x y } } } } \gamma _ { \underline { { { \hat { a } } } } } ( i \sigma _ { 2 } ) \epsilon = 0 \,
\begin{array} { r } { [ L _ { O , a } ^ { t } , U _ { O , a } ^ { t } ] = [ \hat { \mu } _ { O , a } ( t ) - \beta _ { O , a } ( t ) , \hat { \mu } _ { O , a } ( t ) + \beta _ { O , a } ( t ) ] , \ \ [ L _ { I , a } ^ { t } , U _ { I , a } ^ { t } ] = [ \hat { \mu } _ { I , a } ( t ) - \beta _ { I , a } ( t ) , \hat { \mu } _ { I , a } ( t ) + \beta _ { I , a } ( t ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb { E } } \big [ e ^ { ( 2 r - \beta _ { C } ) L } \big ] = } & { \ r \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { ( r - \beta _ { C } ) \ell } \textup { d } \ell = \frac { r } { \beta _ { C } - r } } \\ { \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad { \mathbb { E } } \big [ e ^ { ( r - \frac { \beta _ { C } } { 2 } ) L } \big ] = } & { \ r \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \frac { \beta _ { C } } { 2 } \ell } \textup { d } \ell = \frac { 2 r } { \beta _ { C } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \lambda : \mathbf { p } \wedge \mathbf { q } } & { = ( p _ { 1 } \mathbf { e } _ { 1 } + p _ { 2 } \mathbf { e } _ { 2 } + p _ { 3 } \mathbf { e } _ { 3 } + \mathbf { e } _ { 4 } ) \wedge ( q _ { 1 } \mathbf { e } _ { 1 } + q _ { 2 } \mathbf { e } _ { 2 } + q _ { 3 } \mathbf { e } _ { 3 } + \mathbf { e } _ { 4 } ) , } \\ & { = { \left| \begin{array} { l l } { p _ { 1 } } & { q _ { 1 } } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right| } \mathbf { e } _ { 1 } \wedge \mathbf { e } _ { 4 } + { \left| \begin{array} { l l } { p _ { 2 } } & { q _ { 2 } } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right| } \mathbf { e } _ { 2 } \wedge \mathbf { e } _ { 4 } + { \left| \begin{array} { l l } { p _ { 3 } } & { q _ { 3 } } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right| } \mathbf { e } _ { 3 } \wedge \mathbf { e } _ { 4 } + { \left| \begin{array} { l l } { p _ { 2 } } & { q _ { 2 } } \\ { p _ { 3 } } & { q _ { 3 } } \end{array} \right| } \mathbf { e } _ { 2 } \wedge \mathbf { e } _ { 3 } + { \left| \begin{array} { l l } { p _ { 3 } } & { q _ { 3 } } \\ { p _ { 1 } } & { q _ { 1 } } \end{array} \right| } \mathbf { e } _ { 3 } \wedge \mathbf { e } _ { 1 } + { \left| \begin{array} { l l } { p _ { 1 } } & { q _ { 1 } } \\ { p _ { 2 } } & { q _ { 2 } } \end{array} \right| } \mathbf { e } _ { 1 } \wedge \mathbf { e } _ { 2 } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \int _ { - \delta } ^ { \delta } \frac 1 2 e _ { i j } f _ { i j } | x | d x = \int _ { - \delta } ^ { \delta } \frac 1 2 a ^ { 2 } | x | c \omega ( x ) d x = \frac 1 2 E A a ^ { 2 } \to c = \frac { E A } { 2 \int _ { 0 } ^ { \delta } \omega ( x ) x d x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( \mathbf { A } _ { k } = \mathbf { a } _ { k } ) } & { = ( - 1 ) ^ { k } \Big ( b ^ { s ( \rho - 1 ) } \, \frac { b ^ { - s [ 0 ; \mathbf { a } _ { k } ] } - b ^ { - s [ 0 ; \mathbf { a } _ { k } + \mathbf { e } _ { k } ] } } { 1 - b ^ { - s } } } \\ & { + \, u \big ( [ 0 ; \mathbf { a } _ { k } + \mathbf { e } _ { k } ] - \rho \big ) \, \big ( 1 - b ^ { - s ( [ 0 ; \mathbf { a } _ { k } + \mathbf { e } _ { k } ] - \rho ) } \big ) } \\ & { - \, u \big ( [ 0 ; \mathbf { a } _ { k } ] - \rho \big ) \, \big ( 1 - b ^ { - s ( [ 0 ; \mathbf { a } _ { k } ] - \rho ) } \big ) \Big ) . } \end{array}
\frac { \partial L } { \partial \tau } = A _ { a \mu } \dot { x } ^ { \mu } \dot { I } ^ { a } + \phi _ { a } \dot { I } ^ { a } = f ^ { a b c } A _ { a \mu } A _ { b \nu } \dot { x } ^ { \mu } \dot { x } ^ { \nu } I ^ { c } + \phi _ { a } \dot { I } ^ { a } = \phi _ { a } \dot { I } ^ { a } .
{ \Gamma ^ { 0 } } _ { a } = \left\{ \left( \begin{array} { l l } { { \sigma _ { 3 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \sigma _ { 3 } } } \end{array} \right) , \quad \left( \begin{array} { l l } { { \sigma _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \sigma _ { 2 } } } \end{array} \right) , \quad \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { \sigma _ { 2 } } } \\ { { \sigma _ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \right\} .
x = [ a _ { 0 } + 1 ; a _ { 1 } + 1 , a _ { 2 } + 1 , \cdots ] = ( a _ { 0 } + 1 ) + { \frac { 1 } { ( a _ { 1 } + 1 ) + { \frac { 1 } { ( a _ { 2 } + 1 ) + \cdots } } } }
\begin{array} { r l } { ( m ( t ) | w ) } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { d } \left\langle v _ { i } ( t ) , w \right\rangle _ { V } = \sum _ { i = 0 } ^ { d } \left\langle \mathrm { A d } _ { \varphi _ { t 0 } ^ { v } } ^ { T } v _ { i } ( 0 ) , w \right\rangle _ { V } = \sum _ { i = 0 } ^ { d } \left\langle v _ { i } ( 0 ) , \mathrm { A d } _ { \varphi _ { t 0 } ^ { v } } w \right\rangle _ { V } } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { d } ( m _ { i } ( 0 ) | \mathrm { A d } _ { \varphi _ { t 0 } ^ { v } } w ) = ( m ( 0 ) | \mathrm { A d } _ { \varphi _ { t 0 } ^ { v } } w ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) - \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 0 } ) ) \Phi _ { 0 } } & { { } = [ \mathcal { F } _ { K } , T _ { * * } ^ { \angle } ] \Phi _ { 0 } + ( \mathcal { W } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) - \mathcal { W } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 0 } ) ) \Phi _ { 0 } } \end{array}
{ \mathsf { D T I M E } } \left( f \left( n \right) \right) \subseteq { \mathsf { D S P A C E } } \left( f \left( n \right) \right) \subseteq { \mathsf { N S P A C E } } \left( f \left( n \right) \right) \subseteq { \mathsf { D T I M E } } \left( 2 ^ { O \left( f \left( n \right) \right) } \right)
\mathcal { M } _ { \mathrm { s } Q } ( z ) = [ \rho _ { \mathrm { K } ^ { + } } ( z ) + \rho _ { \mathrm { C l } ^ { - } } ( z ) ] / \rho _ { \mathrm { t o t } } ( z ) \mathcal { M } _ { q Q } ( z ) N / V
\begin{array} { r l r } { S ( \mathbf { Q } ^ { \prime } , \mathbf { Q } ) } & { { } = } & { K ( \mathbf { Q } ^ { \prime } , \mathbf { Q } ) + U ( \mathbf { Q } ^ { \prime } , \mathbf { Q } ) , } \\ { K ( \mathbf { Q } ^ { \prime } , \mathbf { Q } ) } & { { } = } & { N \hbar \ln ( 4 \pi \lambda \tau / \hbar ) + \frac { \hbar ^ { 2 } s ^ { 2 } ( \mathbf { Q } ^ { \prime } , \mathbf { Q } ) } { 4 \lambda \tau } , } \end{array}
{ \begin{array} { l r l r l } { p ( 0 ) } & { = } & { m _ { 0 } + m _ { 1 } ( 0 ) + m _ { 2 } ( 0 ) ^ { 2 } } & { = } & { m _ { 0 } } \\ { p ( 1 ) } & { = } & { m _ { 0 } + m _ { 1 } ( 1 ) + m _ { 2 } ( 1 ) ^ { 2 } } & { = } & { m _ { 0 } + m _ { 1 } + m _ { 2 } } \\ { p ( - 1 ) } & { = } & { m _ { 0 } + m _ { 1 } ( - 1 ) + m _ { 2 } ( - 1 ) ^ { 2 } } & { = } & { m _ { 0 } - m _ { 1 } + m _ { 2 } } \\ { p ( - 2 ) } & { = } & { m _ { 0 } + m _ { 1 } ( - 2 ) + m _ { 2 } ( - 2 ) ^ { 2 } } & { = } & { m _ { 0 } - 2 m _ { 1 } + 4 m _ { 2 } } \\ { p ( \infty ) } & { = } & { m _ { 2 } } & & \end{array} }
w _ { v } ( \mu _ { e } ) = \frac { - q _ { u } + \frac { a _ { 1 } ^ { u } } { b _ { 1 } ^ { u } + \mu _ { e } } - \frac { a _ { 1 } ^ { u } \mu _ { e } } { ( b _ { 1 } ^ { u } + \mu _ { e } ) ^ { 2 } } - \frac { a _ { 2 } ^ { u } } { b _ { 2 } ^ { u } + \mu _ { e } } \frac { c _ { v } } { q _ { v } + \alpha _ { v } } + \frac { a _ { 2 } ^ { u } \mu _ { e } } { ( b _ { 2 } ^ { u } + \mu _ { e } ) ^ { 2 } } \frac { c _ { v } } { q _ { v } + \alpha _ { v } } - \alpha _ { u , 2 } ^ { \perp } } { \frac { a _ { 2 } ^ { u } } { b _ { 2 } ^ { u } + \mu _ { e } } \frac { \mu _ { e } } { q _ { v } + \alpha _ { v } } - \frac { a _ { 2 } ^ { u } \mu _ { e } } { ( b _ { 2 } ^ { u } + \mu _ { e } ) ^ { 2 } } \frac { \mu _ { e } } { q _ { v } + \alpha _ { v } } + \frac { a _ { 2 } ^ { u } \mu _ { e } } { b _ { 2 } ^ { u } + \mu _ { e } } \frac { 1 } { q _ { v } + \alpha _ { v , 2 } ^ { \perp } } } \, ,
\begin{array} { r l r } { \Psi ^ { * } \ \hat { l } _ { + } ( r , \phi , z ) \ \Psi } & { { } = } & { \hbar \mathrm { e } ^ { i \phi } \left( - \frac { z } { r } m - i k r \right) , } \\ { \Psi ^ { * } \ \hat { l } _ { - } ( r , \phi , z ) \ \Psi } & { { } = } & { \hbar \mathrm { e } ^ { - i \phi } \left( - \frac { z } { r } m + i k r \right) , } \\ { \Psi ^ { * } \hat { l } _ { z } ( r , \phi , z ) \Psi } & { { } = } & { \hbar m . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bar { a } _ { 1 / 2 } } & { { } = \frac { \sqrt { \kappa _ { 1 / 2 } ^ { \mathrm { e x t 1 } } } } { \frac { \kappa _ { 1 / 2 } } { 2 } - i \Delta _ { p , 1 / 2 } } \alpha _ { p , i n } e ^ { - i \omega _ { p } t } } \end{array}
\left\langle P _ { \nu _ { e } \to \nu _ { \alpha } } \right\rangle = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left| \sum _ { \beta } A _ { \beta } ^ { e } \, U _ { { \beta } j } ^ { * } \right| ^ { 2 } = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { \beta } \left| A _ { \beta } ^ { e } \right| ^ { 2 } = { \frac { 1 } { N } } \; .
\begin{array} { r l r } { s _ { d } ^ { \prime } } & { = } & { - \frac { \nu \tau } { 2 \Omega _ { r } } \sin \frac { \Omega _ { r } \tau } { 2 } + i \left\{ \frac { 1 } { \Omega _ { r } } \sin \frac { \Omega _ { r } \tau } { 2 } + \frac { \nu ^ { 2 } \tau } { 2 \Omega _ { r } ^ { 2 } } \cos \frac { \Omega _ { r } \tau } { 2 } - \frac { \nu } { \Omega _ { r } ^ { 3 } } \sin \frac { \Omega _ { r } \tau } { 2 } \right\} , } \\ { s _ { a } ^ { \prime } } & { = } & { \frac { \Omega \nu } { \Omega _ { r } } \left( - \frac { 1 } { \Omega _ { r } ^ { 2 } } \sin \frac { \Omega _ { r } \tau } { 2 } + \frac { \tau } { 2 \Omega _ { r } } \cos \frac { \Omega _ { r } \tau } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \big ( 1 - H ( c u _ { H } ( t ) ) \big ) ^ { 1 - \varepsilon } } { 1 - G ( c u _ { G } ( t ) ) } } & { = } & { \frac { \left( 1 - H \Big ( \frac { u _ { G } ( \tilde { c } t ) } { u _ { G } ( t ) } u _ { H } ( t ) \Big ) \right) ^ { 1 - \varepsilon } } { 1 - G ( u _ { G } ( \tilde { c } t ) ) } } \\ & { \le } & { \frac { \left( 1 - H \Big ( \frac { u _ { G } ( \tilde { c } t ) } { u _ { G } ( t ) } \frac { u _ { H } ( \tilde { c } ^ { 1 + \delta } t ) } { u _ { G } ( \tilde { c } t ) } u _ { G } ( t ) \Big ) \right) ^ { 1 - \varepsilon } } { 1 - G ( u _ { G } ( \tilde { c } t ) ) } } \\ & { = } & { \frac { \left( 1 - H ( u _ { H } ( \tilde { c } ^ { 1 + \delta } t ) ) \right) ^ { 1 - \varepsilon } } { 1 - G ( u _ { G } ( \tilde { c } t ) ) } = \frac { ( \tilde { c } ^ { 1 + \delta } t ) ^ { - ( 1 - \varepsilon ) } } { ( \tilde { c } t ) ^ { - 1 } } = t ^ { \varepsilon } } \\ & { = } & { \frac { ( 1 - H ( u _ { H } ( t ) ) ) ^ { 1 - \varepsilon } } { 1 - G ( u _ { G } ( t ) ) } , } \end{array}