harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { H } _ { 2 } ( q , Q ) } & { = \frac { 1 } { 2 } ( Q _ { 1 } ^ { 2 } + Q _ { 2 } ^ { 2 } + Q _ { 3 } ^ { 2 } + Q _ { 4 } ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } ( q _ { 1 } ^ { 2 } + q _ { 2 } ^ { 2 } + q _ { 3 } ^ { 2 } + q _ { 4 } ^ { 2 } ) \; , } \\ { \Xi ( q , Q ) } & { = q _ { 1 } Q _ { 2 } - Q _ { 1 } q _ { 2 } + q _ { 3 } Q _ { 4 } - Q _ { 3 } q _ { 4 } \; , } \\ { L _ { 1 } ( q , Q ) } & { = q _ { 3 } Q _ { 4 } - Q _ { 3 } q _ { 4 } - q _ { 1 } Q _ { 2 } + Q _ { 1 } q _ { 2 } \; , } \\ { K ( q , Q ) } & { = \frac { 1 } { 2 } ( - ( q _ { 1 } ^ { 2 } + Q _ { 1 } ^ { 2 } ) - ( q _ { 2 } ^ { 2 } + Q _ { 2 } ^ { 2 } ) + ( q _ { 3 } ^ { 2 } + Q _ { 3 } ^ { 2 } ) + ( q _ { 4 } ^ { 2 } + Q _ { 4 } ^ { 2 } ) ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \Big [ \exp \Big ( \frac { s } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( f ( \boldsymbol { X } _ { i } ) - \mathbb { E } [ f ( \boldsymbol { X } _ { i } ) ] ) \Big ) \Big ] \leq \exp \Bigg ( \frac { s ^ { 2 } V a r ( f ( \boldsymbol { X } ) ) } { 2 l \Big ( 1 - \frac { s | b - a | } { 3 l } \Big ) } \Bigg ) + \frac { s } { l } \exp ( l - 1 + s | b - a | ) \theta ( k ) , } \\ & { \mathbb { E } \Big [ \exp \Big ( \frac { s } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( \mathbb { E } [ f ( \boldsymbol { X } _ { i } ) ] - f ( \boldsymbol { X } _ { i } ) ) \Big ) \Big ] \leq \exp \Bigg ( \frac { s ^ { 2 } V a r ( f ( \boldsymbol { X } ) ) } { 2 l \Big ( 1 - \frac { s | b - a | } { 3 l } \Big ) } \Bigg ) + \frac { s } { l } \exp ( l - 1 + s | b - a | ) \theta ( k ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Sigma _ { t } = \Big ( { \sigma ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } H _ { i } ( r ) H _ { j } ( r ) \mathrm { d } r \Big ) _ { i , j \in \mathbb { N } } \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \Sigma _ { \infty } = \Big ( { \sigma ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } H _ { i } ( r ) H _ { j } ( r ) \mathrm { d } r \Big ) _ { i , j \in \mathbb { N } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { \hat { H } } _ { \mathrm { d \cdot E } } ( k _ { z } = 0 ) } & { { } = \sum _ { { k _ { x } , k _ { y } } } \hat { a } _ { \boldsymbol k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \boldsymbol k } \omega _ { c } ( { \boldsymbol k } ) + \sum _ { k _ { x } , m } \epsilon ( k _ { x } ) \cdot \hat { d } _ { k _ { x } , m } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } , m } + \sum _ { { k _ { x } , k _ { y } } , m } g _ { \boldsymbol k } \big ( d _ { k _ { x } , m } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } ^ { \dagger } + d _ { k _ { x } , m } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } + d _ { - k _ { x } , m } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } ^ { \dagger } + d _ { - k _ { x } , m } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } \big ) \sin ( { k _ { y } } Y _ { m } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { \textrm { Q } } ^ { y } ( t ) = \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { a , b } \sum _ { \sigma } v _ { a b \sigma } ^ { ( \textrm { Q } ) y } ( \mathbf { k } , t ) c _ { \mathbf { k } a \sigma } ^ { \dagger } ( t ) c _ { \mathbf { k } b \sigma } ( t ) , } \end{array}
5 F _ { 5 } ^ { 2 } = 1 2 5 \equiv 4 { \pmod { 1 1 } } \; \; { \mathrm { ~ a n d ~ } } \; \; 5 F _ { 6 } ^ { 2 } = 3 2 0 \equiv 1 { \pmod { 1 1 } }
\begin{array} { r } { \lvert \Tilde { \kappa } _ { u } ( \psi ) \rvert \lesssim _ { s , p , n } ( \lVert u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \mathrm { d } u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } ) \lVert \psi \rVert _ { { \mathrm { B } } _ { p ^ { \prime } , p ^ { \prime } } ^ { \frac { 1 } { p } - s } ( \mathbb { R } ^ { n - 1 } ) } \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle I ^ { \prime } , \gamma ^ { \prime } | \bigg [ \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \big [ B _ { M } ( r _ { k } ) - B _ { M } ( \bar { r } ) \big ] \hat { l } _ { k } ^ { 2 } \bigg ] | I , \gamma \rangle } & { = } & { \sum _ { \kappa ^ { \prime } , \kappa } \sum _ { \rho } \sum _ { j } \bigg [ \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \langle \kappa ^ { \prime } | \hat { l } _ { k } ^ { 2 } | \kappa \rangle \big [ B _ { M } ( r _ { k , j _ { k } } ) - B _ { M } ( \bar { r } ) \big ] \bigg ] } \\ & { } & { \times \langle I ^ { \prime } | \rho , \kappa ^ { \prime } \rangle \langle \rho , \kappa | I \rangle \langle \gamma ^ { \prime } | j \rangle \langle j | \gamma \rangle . } \end{array}
G _ { ( n ) } \ = \ \bigg ( \frac { n ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \: + \: e ^ { 2 } v ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \beta \bigg ) ^ { - 1 / 2 } \bigg ( \, \frac { n } { R } \, A _ { ( n ) 5 } \: + \: e v \cos \beta \, \chi _ { 1 ( n ) } \, \bigg ) \, .
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega } e _ { \eta } ^ { i } \wedge [ \eta , d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) ] _ { 1 } = - \int _ { \Omega } e _ { \eta } ^ { i } \wedge \ast \Big ( ( \ast e _ { \eta } ^ { j } + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) ) \wedge ( \ast d \eta ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { 1 } = { - } \delta _ { 1 } m ^ { \dag } m + \left( G \sigma ^ { + } m + \Omega _ { 1 } \sigma ^ { + } + \Omega _ { 2 } e ^ { i \delta _ { 2 } t } \sigma ^ { + } + \mathrm { H . c . } \right) , } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d x } { x ^ { 1 / 2 } } \Big ( \cos \big ( \frac { \mu _ { E } ^ { 2 } } { 2 } x \big ) - \sin \big ( \frac { \mu _ { E } ^ { 2 } } { 2 } x \big ) \Big ) = 0 .
\begin{array} { r l } { \| x _ { i } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \left\| x _ { i - 1 } - \frac { \langle A _ { t _ { i } } ^ { T } , x _ { i - 1 } \rangle - ( b _ { t _ { i } } + e _ { t _ { i } , \ell _ { t _ { i } } } ) } { \| A _ { t _ { i } } \| _ { 2 } ^ { 2 } } A _ { t _ { i } } ^ { \top } - x ^ { * } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \| x _ { i - 1 } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { ( \langle A _ { t _ { i } } ^ { T } , x _ { i - 1 } - x ^ { * } \rangle - e _ { t _ { i } , \ell _ { t _ { i } } } ) ^ { 2 } } { \| A _ { t _ { i } } \| _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { ~ - \frac { 2 } { \| A _ { t _ { i } } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \langle x _ { i - 1 } - x ^ { * } , A _ { t _ { i } } ^ { T } \rangle ( \langle A _ { t _ { i } } ^ { T } , x _ { i - 1 } - x ^ { * } \rangle - e _ { t _ { i } , \ell _ { t _ { i } } } ) } \\ & { = \| x _ { i - 1 } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { \langle A _ { t _ { i } } ^ { T } , x _ { i - 1 } - x ^ { * } \rangle ^ { 2 } } { \| A _ { t _ { i } } \| _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { e _ { t _ { i } , \ell _ { t _ { i } } } ^ { 2 } } { \| A _ { t _ { i } } \| _ { 2 } ^ { 2 } } } \end{array}
F ( \beta ) = N _ { F } f _ { S } ( \beta ) = - 2 N _ { F } \int _ { 0 } ^ { \infty } d s s ^ { - 1 - \frac { d } { 2 } } \theta _ { 2 } \left( 0 \left| \frac { 2 i \beta ^ { 2 } } { \pi s } \right. \right) e ^ { - m ^ { 2 } s / 2 }
\begin{array} { r l } & { - ( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ^ { * } ) - \eta _ { k } \mathrm { K L } ( p _ { k } ^ { * } \| p _ { k - 1 } ^ { * } ) - \mathrm { B i L i n } _ { f } ( p _ { k } ^ { * } - p _ { k - 1 } ^ { * } , q _ { k } ^ { * } - q ) } \\ { \leq } & { - ( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ^ { * } ) - \eta _ { k } \mathrm { K L } ( p _ { k } ^ { * } \| p _ { k - 1 } ^ { * } ) + \sqrt { \mathrm { K L } ( p _ { k } ^ { * } \| p _ { k - 1 } ^ { * } ) } \sqrt { \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ^ { * } ) } } \\ { \leq } & { - \left( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } - \frac { 1 } { 4 \eta _ { k } } \right) \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ^ { * } ) . } \end{array}
\nabla _ { z _ { \alpha } } ^ { 0 } \left( \begin{array} { c } { { \langle v | } } \\ { { \hat { V } } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \theta _ { \alpha } } \left( \begin{array} { c } { { \langle v | \widehat { \bar { z } } _ { \alpha } } } \\ { { - \lbrack \widehat { \bar { z } } _ { \alpha } , \hat { V } \rbrack } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { H _ { \delta x _ { c } } = H _ { \delta y _ { c } } = } & { { } \frac { \sqrt { 2 \pi } k _ { \Lambda } ^ { 3 } } { w _ { D } } e ^ { - \frac { k _ { \Lambda } ^ { 2 } w _ { D } ^ { 2 } } { 2 } } \mathrm { E r f c } ( \frac { k _ { \Lambda } w _ { D } } { \sqrt { 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla _ { Y } f ( 0 , s ) } & { = } & { \frac { \partial f } { \partial s } ( 0 , s ) + \theta ( Y ) ( f ) ( 0 , s ) } \\ & { = } & { \frac { \partial } { \partial s } B _ { s } ( 0 , 0 ) ( v ) + \theta ( Y ) ( f ) ( 0 , s ) } \\ & { = } & { - \theta ( Y ) B _ { s } ( 0 , 0 ) ( v ) + \theta ( Y ) ( f ) ( 0 , s ) } \\ & { = } & { - \theta ( Y ) ( f ) ( 0 , s ) + \theta ( Y ) ( f ) ( 0 , s ) } \\ & { = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle i \| t _ { 1 } ^ { ( 0 ) } \| j \rangle } & { { } = } & { \frac { \kappa _ { i } + \kappa _ { j } } { 2 } \langle - \kappa _ { i } \| C ^ { 1 } \| \kappa _ { j } \rangle } \end{array}
\dot { T } ( r , t ) = \alpha N ^ { 2 } ( r , t ) - \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { ~ T ~ } } } [ T ( r , t ) - T _ { 0 } ] + D _ { \mathrm { ~ T ~ } } \nabla ^ { 2 } T ( r , t ) + \beta N ( r , t ) + \gamma G ( r , t )
R _ { \; B } ^ { A } \; = \; \left( \begin{array} { c c } { { \gamma ^ { \mu \nu } \, R _ { \mu \nu } ^ { ( 1 ) } \; _ { \; B } ^ { A } } } & { { k \, \gamma ^ { \mu } \, \gamma ^ { 5 } \, e ^ { - \sigma } \, P _ { \mu } \; _ { \; B } ^ { A } } } \\ { { k ^ { * } \, \gamma ^ { \mu } \, \gamma ^ { 5 } \, e ^ { - \sigma } \, Q _ { \mu } \; _ { \; B } ^ { A } \quad } } & { { \gamma ^ { \mu \nu } \, R _ { \mu \nu \; B } ^ { ( 2 ) \, A } \, + \, ( k ^ { * } k - 1 ) \, L _ { \; B } ^ { A } } } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { E r r o r } } & { { } = } & { \frac { \left< X ^ { 2 } ( t ) \right> - \left< Y ^ { 2 } ( t ) \right> } { \left< Y ^ { 2 } ( t ) \right> } = \frac { \left( t ^ { \alpha _ { 1 } } - ( t - \tau ) ^ { \alpha _ { 1 } } + ( t - \tau ) ^ { \alpha _ { 2 } } \right) - t ^ { \alpha _ { 2 } } } { t ^ { \alpha _ { 2 } } } } \end{array}
\bigtriangleup \phi = \left( { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } } + { \frac { d } { r } } { \frac { \partial } { \partial r } } + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { } ^ { ( d ) } \bigtriangleup \right) \phi ,
\begin{array} { r l r } { P _ { \perp 1 } } & { = } & { \frac { i \gamma B _ { L } e ^ { i \phi } } { \Gamma - i \Delta \omega } ( e ^ { - t / T _ { 1 } } - e ^ { - t / T _ { 2 } } e ^ { i \Delta \omega t } ) + P _ { \perp 1 } ^ { 0 } e ^ { - t / T _ { 2 } } e ^ { i \Delta \omega t } , } \\ { P _ { \perp 2 } } & { = } & { \frac { i \gamma B _ { R } e ^ { - i \phi } } { \Gamma - i \Delta \omega } ( e ^ { - t / T _ { 1 } } - e ^ { - t / T _ { 2 } } e ^ { i \Delta \omega t } ) + P _ { \perp 2 } ^ { 0 } e ^ { - t / T _ { 2 } } e ^ { i \Delta \omega t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { H } ^ { s , \alpha } ( [ 0 , \infty ) ) } & { : = \{ u \in H ^ { s , \alpha } ( \mathbb { R } ) \colon \operatorname { s u p p } u \subset [ 0 , \infty ) \} , } \\ { \bar { H } ^ { s , \alpha } ( ( 0 , \infty ) ) } & { : = \{ u | _ { ( 0 , \infty ) } \colon u \in H ^ { s , \alpha } ( \mathbb { R } ) \} } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \operatorname { R e } ( { \underline { { \varepsilon } } } ) } & { = { \frac { \mathrm { c } ^ { 2 } \varepsilon _ { 0 } } { \omega ^ { 2 } \mu / \mu _ { 0 } } } \! \left( k ^ { 2 } - { \frac { \alpha ^ { 2 } } { 4 } } \right) \quad { \mathrm { ( S I ) } } , \quad } & { \operatorname { R e } ( { \underline { { \varepsilon } } } ) } & { = { \frac { \mathrm { c } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } \mu } } \! \left( k ^ { 2 } - { \frac { \alpha ^ { 2 } } { 4 } } \right) \quad { \mathrm { ( c g s ) } } , } \\ { \operatorname { I m } ( { \underline { { \varepsilon } } } ) } & { = { \frac { \mathrm { c } ^ { 2 } \varepsilon _ { 0 } } { \omega ^ { 2 } \mu / \mu _ { 0 } } } k \alpha \quad { \mathrm { ( S I ) } } , } & { \operatorname { I m } ( { \underline { { \varepsilon } } } ) } & { = { \frac { \mathrm { c } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } \mu } } k \alpha \quad { \mathrm { ( c g s ) } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { H } \sum _ { h _ { k - 2 } = 0 } ^ { H - 1 } \operatorname* { s u p } _ { t } \Big | \frac { 1 } { H } \sum _ { h _ { k } = 0 } ^ { H - 1 } e ^ { 2 \pi i h _ { k } t } \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in A _ { k - 1 } ^ { k } } G _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , h _ { k } \epsilon _ { k } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } h _ { i } \epsilon _ { i } } \Big | ^ { 2 } } \\ & { \le \frac { C } { K } + \frac { C } { K } \sum _ { s = 1 } ^ { K } \frac { 1 } { H } \sum _ { h _ { k - 2 } = 0 } ^ { H - 1 } \Big | \frac { 1 } { H } \sum _ { n = 0 } ^ { H - 1 } \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in A _ { k - 1 } ^ { k } } G _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , n + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } h _ { i } \epsilon _ { i } } \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in A _ { k - 1 } ^ { k } } G _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , n + s + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } h _ { i } \epsilon _ { i } } \Big | } \\ & { \le \frac { C } { K } + \frac { C } { K } \sum _ { s = 1 } ^ { K } \Big ( \frac { 1 } { H } \sum _ { h _ { k - 2 } = 0 } ^ { H - 1 } \Big | \frac { 1 } { H } \sum _ { n = 0 } ^ { H - 1 } \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in A _ { k - 1 } ^ { k } } G _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , n + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } h _ { i } \epsilon _ { i } } \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in A _ { k - 1 } ^ { k } } G _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , n + s + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } h _ { i } \epsilon _ { i } } \Big | ^ { 2 } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \underset { \bar { \Omega } } { \operatorname* { s u p } } \bigg | \frac { \partial u } { \partial x } ( x , t ) \bigg | ^ { p } \bigg ) ( t ) } & { \leq \frac { \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } p ^ { 2 } } { 4 [ 1 - \varepsilon ^ { 2 } ] | \Omega | } I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } ( x , t ) \bigg ) ^ { p - 2 } \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } ( x , t ) \bigg ) ^ { 2 } d x \bigg ) ( t ) } \\ & { + \frac { C \sqrt { | \Omega | } } { \varepsilon _ { 0 } ( 1 - \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } ) } I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \bigg ( \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } ( x , t ) \bigg ) ^ { p / 2 } d x \bigg ) ^ { 2 } \bigg ) ( t ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { R = R _ { z } ( \gamma ) \, R _ { y } ( \beta ) \, R _ { x } ( \alpha ) } & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { \cos \gamma } & { - \sin \gamma } & { 0 } \\ { \sin \gamma } & { \cos \gamma } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { \cos \beta } & { 0 } & { \sin \beta } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - \sin \beta } & { 0 } & { \cos \beta } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos \alpha } & { - \sin \alpha } \\ { 0 } & { \sin \alpha } & { \cos \alpha } \end{array} \right] } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { \cos \beta \cos \gamma } & { \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \alpha \sin \gamma } & { \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \sin \alpha \sin \gamma } \\ { \cos \beta \sin \gamma } & { \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma + \cos \alpha \cos \gamma } & { \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma - \sin \alpha \cos \gamma } \\ { - \sin \beta } & { \sin \alpha \cos \beta } & { \cos \alpha \cos \beta } \end{array} \right] } } \end{array} }
A _ { n } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { \mathbf { 1 - r } } & { r } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \cdot } & { \mathbf { \cdot } } & { r } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \cdot } & { \cdot } & { \cdot } & { r } & { 0 } & { 0 } \\ { \cdot } & { \cdot } & { \cdot } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } \\ { \cdot } & { \cdot } & { \cdot } & { \cdot } & { \mathbf { \cdot } } & { r } \\ { \cdot } & { \cdot } & { \cdot } & { \cdot } & { \cdot } & { \mathbf { 1 - r } } \end{array} \right]
G _ { K } ^ { u } = G _ { K } ^ { d } = G _ { K } ^ { e } = { \frac { 9 } { 2 } } g _ { 1 } ^ { 2 } + { \frac { 9 } { 2 } } ( g _ { 2 L } ^ { 2 } + g _ { 2 R } ^ { 2 } ) ,
{ \cal Q } ^ { \prime } = { \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { D } } } \int _ { S ^ { 1 } \times S ^ { d - 1 } } * F _ { q + 2 } = ( d - 2 ) L \Omega _ { d - 1 } { \frac { I _ { d - 3 } } { L } } \tilde { Q } .
{ \begin{array} { r c r c r c r c r c r } { 3 ^ { 1 } } & { = } & { 3 ^ { 0 } \times 3 } & { \equiv } & { 1 \times 3 } & { = } & { 3 } & { \equiv } & { 3 { \pmod { 7 } } } \\ { 3 ^ { 2 } } & { = } & { 3 ^ { 1 } \times 3 } & { \equiv } & { 3 \times 3 } & { = } & { 9 } & { \equiv } & { 2 { \pmod { 7 } } } \\ { 3 ^ { 3 } } & { = } & { 3 ^ { 2 } \times 3 } & { \equiv } & { 2 \times 3 } & { = } & { 6 } & { \equiv } & { 6 { \pmod { 7 } } } \\ { 3 ^ { 4 } } & { = } & { 3 ^ { 3 } \times 3 } & { \equiv } & { 6 \times 3 } & { = } & { 1 8 } & { \equiv } & { 4 { \pmod { 7 } } } \\ { 3 ^ { 5 } } & { = } & { 3 ^ { 4 } \times 3 } & { \equiv } & { 4 \times 3 } & { = } & { 1 2 } & { \equiv } & { 5 { \pmod { 7 } } } \\ { 3 ^ { 6 } } & { = } & { 3 ^ { 5 } \times 3 } & { \equiv } & { 5 \times 3 } & { = } & { 1 5 } & { \equiv } & { 1 { \pmod { 7 } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \big | \operatorname* { s u p } _ { c _ { t } \in [ [ C _ { t } | m _ { t } , u _ { t } ] ] } c _ { t } - \operatorname* { s u p } _ { c _ { t } \in [ [ C _ { t } | \nu _ { t } ( { P } _ { t } ) , u _ { t } ] ] } c _ { t } \big | } \\ { = } & { \big | \operatorname* { s u p } _ { x _ { t } \in P _ { t } } d _ { t } ( x _ { t } , u _ { t } ) - \operatorname* { s u p } _ { \bar { x } _ { t } \in [ [ X _ { t } | \nu _ { t } ( { P } _ { t } ) ] ] ) } d _ { t } ( \bar { x } _ { t } , u _ { t } ) \big | } \\ { \leq } & { L _ { d _ { t } } \cdot \mathcal { H } ( P _ { t } , [ [ X _ { t } | \nu _ { t } ( { P } _ { t } ) ] ] ) } \\ { \leq } & { L _ { d _ { t } } \cdot \big ( \mathcal { H } ( P _ { t } , \nu _ { t } ( P _ { t } ) ) + \mathcal { H } ( \nu _ { t } ( P _ { t } ) , [ [ X _ { t } | \nu _ { t } ( { P } _ { t } ) ] ] ) \big ) , } \end{array}
P _ { c t } ( \bar { \phi } ) = - { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } + { \frac { \lambda ( 5 \bar { \phi } ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } ) } { 6 4 \pi ^ { 2 } } } \log { \frac { 4 \Lambda ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { E x _ { k + 1 } } \\ { 0 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l } { A _ { I } } & { B _ { I } } & { 0 } \\ { C _ { I } } & { D _ { I } } & { - I _ { m } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x _ { k } } \\ { e _ { k } } \\ { f _ { k } } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { A _ { I } } & { B _ { I } } & { 0 } \\ { C _ { I } } & { D _ { I } } & { - I _ { m } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { I _ { n } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } I _ { m } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } I _ { m } } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } I _ { m } } & { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } I _ { m } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x _ { k } } \\ { u _ { k } } \\ { y _ { k } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l l } { A _ { I } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } B _ { I } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } B _ { I } } \\ { C _ { I } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( D _ { I } - I _ { m } ) } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( D _ { I } + I _ { m } ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x _ { k } } \\ { u _ { k } } \\ { y _ { k } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { k _ { \mathrm { G P } } ( { \bf x } _ { i } , { \bf x } _ { j } ) = \sigma _ { 1 } ^ { 2 } \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { ( x _ { i } - x _ { j } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { x } ^ { 2 } } + \frac { ( z _ { i } - z _ { j } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { z } ^ { 2 } } \right) \right] } \end{array}
c _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { i f ~ } i = 1 } \\ { x } & { \mathrm { i f ~ } i = 2 } \\ { c _ { i - 1 } + \Delta _ { 1 } } & { \mathrm { i f ~ i ~ i s ~ o d d ~ a n d ~ } 3 \leq i \leq \ell } \\ { c _ { i - 1 } + \Delta _ { 2 } } & { \mathrm { i f ~ i ~ i s ~ e v e n ~ a n d ~ } 3 < i \leq \ell } \\ { c _ { i - 1 } + \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } } & { \mathrm { i f ~ } \ell < i \leq n } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \frac { \partial u _ { t , i } ( { \bf z } _ { 0 : t - 1 } ) } { \partial u _ { t , i } } = \frac { \partial \big \langle u _ { t , i } , K _ { t } ( { \bf z } _ { 0 : t - 1 } , \cdot ) \big \rangle } { \partial u _ { t , i } } = K _ { t } ( { \bf z } _ { 0 : t - 1 } , \cdot ) , \: \: \forall \: \: i \in [ r _ { t } ] , \: \: t \in [ T ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { O P T _ { \lambda } ( \mu ^ { 0 } , \mu ^ { j } ) } & { = C ( \gamma ^ { j } ; \mu ^ { 0 } , \mu ^ { j } , \lambda ) } \\ & { = C ( \gamma ^ { j } ; \mu ^ { 0 } , \gamma ^ { j } , \lambda ) + \lambda ( | \mu ^ { j } | - | \gamma _ { 1 } ^ { j } | ) } \\ & { = C ( \hat { \gamma } ; \mu ^ { 0 } , \hat { \mu } ^ { j } , \lambda ) + \lambda ( | \mu ^ { j } | - | \hat { \mu } ^ { j } | ) } \\ & { = O P T _ { \lambda } ( \mu ^ { 0 } , \hat { \mu } ^ { j } ) + \lambda ( | \mu ^ { j } | - | \hat { \mu } ^ { j } | ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textrm { K L } ( q _ { \theta } \, | | \, p ) } & { = \mathbb { E } _ { q _ { \theta } } \left[ \ln \frac { q _ { \theta } ( \phi ) } { p ( \phi ) } \right] } \\ & { \approx \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( S ( \phi _ { i } ) + \ln q _ { \theta } ( \phi _ { i } ) \right) + \textrm { c o n s t . } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { g ( x _ { t + 1 } , y _ { t } ) - g ( x _ { t } , y _ { t } ) } \\ & { \leq \langle \nabla _ { x } g ( x _ { t } , y _ { t } ) , x _ { t + 1 } - x _ { t } \rangle + \frac { L _ { g } } { 2 } \| x _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { = \eta _ { t } \langle \nabla _ { x } g ( x _ { t } , y _ { t } ) - \nabla G ( x _ { t } ) , \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \rangle + \eta _ { t } \langle \nabla G ( x _ { t } ) , \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \rangle + \frac { L _ { g } \eta _ { t } ^ { 2 } } { 2 } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { \eta _ { t } } { 8 \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + 2 \eta _ { t } \gamma \| \nabla _ { x } g ( x _ { t } , y _ { t } ) - \nabla G ( x _ { t } ) \| ^ { 2 } + \eta _ { t } \langle \nabla G ( x _ { t } ) , \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \rangle + \frac { L _ { g } \eta _ { t } ^ { 2 } } { 2 } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { \eta _ { t } } { 8 \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + 2 L _ { g } ^ { 2 } \eta _ { t } \gamma \| y _ { t } - y ^ { * } ( x _ { t } ) \| ^ { 2 } + G ( x _ { t + 1 } ) - G ( x _ { t } ) } \\ & { \quad + \frac { \eta _ { t } ^ { 2 } L _ { G } } { 2 } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { \eta _ { t } ^ { 2 } L _ { g } } { 2 } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 4 L _ { g } ^ { 2 } \eta _ { t } \gamma } { \mu } \big ( g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) \big ) + G ( x _ { t + 1 } ) - G ( x _ { t } ) + ( \frac { \eta _ { t } } { 8 \gamma } + \eta _ { t } ^ { 2 } L _ { G } ) \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } , } \end{array}
u ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \overline { { a } } \, , } & { \ \ \mathrm { i f \ \ } w ( t ) > r \, \overline { { a } } \, , } \\ { w ( t ) / r \, , } & { \ \ \mathrm { i f \ \ } r \, \underline { { a } } \le w ( t ) \le r \, \overline { { a } } \, , } \\ { \underline { { a } } \, , } & { \ \ \mathrm { i f \ \ } w ( t ) < r \, \underline { { a } } \, ; } \end{array} \right.
d s _ { d } ^ { 2 } = R _ { T } ^ { 2 } \left( A _ { ( 0 ) } d R ^ { 2 } + \frac { A _ { ( 0 ) } } { ( K _ { ( 0 ) } ) ^ { d - 2 } } d v ^ { 2 } + K _ { ( 0 ) } R ^ { 2 } d \Omega _ { d - 2 } ^ { 2 } \right)
\langle \widehat { N } _ { \textnormal { t o t } } \rangle = \sum _ { k } \langle \hat { n } _ { k } \rangle + \langle \hat { a } _ { 0 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 0 } \rangle \leftrightarrow \langle z _ { 1 } \rangle + \langle z _ { 4 } z _ { 5 } \rangle ,