harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \bf \hat { s } } _ { 1 } \cdot { \bf \hat { p } } _ { 2 } \rightarrow ( { \bf \hat { s } } _ { 1 } \cdot { \bf \hat { l } } ) ( { \bf \hat { l } } \cdot { \bf \hat { p } } _ { 2 } ) = { \bf \hat { s } } _ { 1 } \cdot { \bf \hat { l } } \, y _ { 0 } ,
\begin{array} { r } { \Phi _ { \tilde { Z } ( \mathsf { H } ) } ( t ) : = \mathbb { E } \left[ e ^ { \iota t \tilde { Z } ( \mathsf { H } ) } \right] = \frac { e ^ { \iota t h ^ { 2 } \sum _ { s = 1 } ^ { \infty } \lambda _ { s } L _ { s } ^ { 2 } - \sum _ { s = 1 } ^ { \infty } \left\{ \iota \gamma \lambda _ { s } t + \frac { \gamma h ^ { 2 } \lambda _ { s } ^ { 2 } L _ { s } ^ { 2 } t ^ { 2 } } { ( 1 - 2 \iota \lambda _ { s } \gamma t ) } \right\} } } { \prod _ { s = 1 } ^ { \infty } \sqrt { 1 - 2 \iota \gamma \lambda _ { s } t } } . } \end{array}
\langle w ^ { 2 } \rangle = \langle \theta ^ { 2 } \rangle = \langle w \theta \rangle = \frac { 1 } { 2 } ( A _ { 1 } ^ { 2 } + A _ { 2 } ^ { 2 } ) = \frac { 6 } { \sqrt { R a } } \left( 1 - \sqrt { \frac { R a _ { c } } { R a } } \right) ,
\begin{array} { r l r l } & { \mathbf { I } , \quad } & { z } & { \in \Lambda _ { 1 } \cup \Lambda _ { 8 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - e ^ { - 2 \pi i \alpha } } & { 1 } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \Lambda _ { 2 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { - \pi i \alpha } } & { 0 } \\ { - e ^ { \pi i \alpha } } & { e ^ { \pi i \alpha } } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \Lambda _ { 3 } , } \\ & { e ^ { - \pi i \alpha \sigma _ { 3 } } , \quad } & { z } & { \in \Lambda _ { 4 } , } \\ & { e ^ { \pi i \alpha \sigma _ { 3 } } , \quad } & { z } & { \in \Lambda _ { 5 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { \pi i \alpha } } & { 0 } \\ { e ^ { - \pi i \alpha } } & { e ^ { - \pi i \alpha } } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \Lambda _ { 6 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { e ^ { 2 \pi i \alpha } } & { 1 } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \Lambda _ { 7 } , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { W _ { \alpha \beta } } } & { { \quad = \quad } } & { { W _ { \alpha \beta } ^ { ( 0 ) } \, \left( m _ { b } , v \right) } } \\ { { } } & { { \quad = \quad } } & { { \delta \left( m _ { b } ^ { 2 } - 2 m _ { b } \left( E _ { \ell } + E _ { \nu } \right) + q ^ { 2 } - m _ { j } ^ { 2 } \right) } } \\ { { } } & { { } } & { { \times \left\{ \, - { \frac { 1 } { 2 } } g _ { \alpha \beta } \left( m _ { b } - E _ { \ell } - E _ { \nu } \right) \: + \: m _ { b } \, v _ { \alpha } v _ { \beta } \: - \: { \frac { 1 } { 2 } } i \epsilon _ { \alpha \beta \mu \nu } v ^ { \mu } q ^ { \nu } \right\} . } } \end{array}
{ } \bar { G } ( x _ { \mu } ; x _ { \mu } ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { 4 \pi } \delta ( \tau ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } - 2 \tau \tau ^ { \prime } \cosh ( \eta - \eta ^ { \prime } ) - r _ { \bot } ^ { 2 } ) .
H : ~ \vert 0 \rangle \rightarrow \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \vert 0 \rangle + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \vert 1 \rangle ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ \vert 1 \rangle \rightarrow \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \vert 0 \rangle - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \vert 1 \rangle
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \left( \left| \frac { 1 } { s } \left\langle { \boldsymbol Y } _ { * j } ^ { ( k ) } , \tilde { { \boldsymbol u } } ^ { ( k ) } \right\rangle - \| \tilde { { \boldsymbol u } } ^ { ( k ) } \| _ { 2 } \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } r _ { j } ^ { ( k ) } \cos \theta \right| > \frac { \delta _ { 1 } \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } } { 2 } \right) < \epsilon / 2 , } \\ { \mathbb { P } \left( \left| \| \tilde { { \boldsymbol u } } ^ { ( k ) } \| _ { 2 } \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } r _ { j } ^ { ( k ) } \cos \theta - \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } r _ { j } ^ { ( k ) } \right| > \frac { \delta _ { 1 } \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } } { 2 } \right) < \epsilon / 2 . } \end{array}
d \, \sigma _ { a b } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \frac { \Phi _ { a b } } { 2 \, s _ { a b } } \left| { \cal M } _ { a b } \right| ^ { 2 } \ d \, P ( a b \to V \ + \ 0 , ~ 1 \, \mathrm { p a r t o n s } ) .
\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \epsilon ( n ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } { d n } \, \epsilon ( n ) + { \frac { 1 } { 2 } } \, \epsilon ( 0 ) - { \frac { 1 } { 1 2 } } \, \epsilon ^ { \prime } ( 0 ) + { \frac { 1 } { 7 2 0 } } \, \epsilon ^ { \prime \prime \prime } ( 0 ) - { \frac { 1 } { 3 0 2 4 0 } } \, \epsilon ^ { ( v ) } ( 0 ) + \cdots ,
\left[ \hat { r } ^ { \alpha } , \hat { \mathcal { O } } \right] _ { a b } \equiv i \left[ \hat { \mathcal { D } } ^ { \alpha } , \hat { \mathcal { O } } \right] _ { a b } = i \partial ^ { \alpha } \hat { \mathcal { O } } _ { a b } + \left[ \hat { \mathcal { A } } ^ { \alpha } , \hat { \mathcal { O } } \right] _ { a b } \mathrm { ~ , ~ }
\Vert u \Vert _ { \mathcal { D } ( \mathcal { A } ) } : = \Vert \mathcal { A } u \Vert _ { \mathbb { L } ^ { p } ( \mathcal { U } ) } + \Vert u \Vert _ { \mathbb { L } ^ { p } ( \mathcal { U } ) } , \quad \forall u \in \mathcal { D } ( \mathcal { A } ) .
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } ( i _ { 1 } + 1 , i _ { 2 } ) ^ { \top } \boldsymbol { P } _ { 1 } x _ { 1 } ( i _ { 1 } + 1 , i _ { 2 } ) + x _ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } + 1 ) ^ { \top } \boldsymbol { P } _ { 2 } x _ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } + 1 ) } & { \leq x _ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) \boldsymbol { P } _ { 1 } x _ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) + x _ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) ^ { \top } \boldsymbol { P } _ { 2 } x _ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ & { + \left( \begin{array} { l } { u ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { y ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \end{array} \right) ^ { \top } \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { R } } & { \boldsymbol { S } } \\ { \boldsymbol { S } ^ { \top } } & { \boldsymbol { Q } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { u ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { y ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \end{array} \right) } \end{array}
\hat { P } ( l , t ) = A ( l ) \exp { \left[ \left( i \langle u _ { \mathrm { ~ S ~ } } \rangle l - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } l ^ { 2 } - \Lambda + \Lambda \left( 1 - i \frac { l } { \beta } \right) ^ { - \alpha } \right) t \right] } ,
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } + x _ { 4 } } & { = b _ { 1 } } \\ { x _ { 1 } + x _ { 5 } + x _ { 6 } + x _ { 7 } } & { = b _ { 2 } } \\ { x _ { 2 } + x _ { 5 } + x _ { 7 } + x _ { 8 } } & { = b _ { 3 } } \\ { x _ { 3 } + x _ { 6 } + x _ { 8 } + x _ { 1 0 } } & { = b _ { 4 } } \\ { x _ { 4 } + x _ { 7 } + x _ { 9 } + x _ { 1 0 } } & { = b _ { 5 } } \end{array}
{ \bar { \delta } } _ { b } ( m _ { Z } ^ { 2 } ) _ { S M } = - 0 . 0 0 9 9 - 0 . 0 0 0 9 { \frac { m _ { t } - 1 7 5 \mathrm { G e V } } { 1 0 \mathrm { G e V } } }
\begin{array} { r l } { \left( \sqrt { A ( T ) } - \sqrt { B ( T ) } \right) ^ { 2 } \leq C ( T ) + B ( T ) } & { \Longrightarrow \sqrt { A ( T ) } - \sqrt { B ( T ) } \leq \sqrt { C ( T ) } + \sqrt { B ( T ) } } \\ & { \Longrightarrow \sqrt { A ( T ) } \leq \sqrt { C ( T ) } + 2 \sqrt { B ( T ) } } \\ & { \Longrightarrow A ( T ) \leq 2 C ( T ) + 4 B ( T ) . } \end{array}
T _ { -- } = \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { n } \tilde { L } _ { n } e ^ { - i n ( \sigma - \tau ) } , \; \; \; T _ { + + } = \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { n } L _ { n } e ^ { - i n ( \sigma + \tau ) } .
{ \langle \Lambda \rangle } = 2 \sigma \frac { \sum _ { m } | C _ { l m } ^ { \sigma } | ^ { 2 } \mathrm { ~ R ~ e ~ } \{ a _ { l m } { b _ { l m } } ^ { * } \} } { \sum _ { m } | C _ { l m } ^ { \sigma } | ^ { 2 } \left( | a _ { l m } | ^ { 2 } + | b _ { l m } | ^ { 2 } \right) } = \frac { \sigma \sum _ { m } | C _ { l m } ^ { \sigma } | \mathrm { ~ R ~ e ~ } \{ a _ { l m } { b _ { l m } } ^ { * } \} } { k ^ { 2 } \sigma _ { \mathrm { { s c a } } } } ,
S _ { W V } = - T _ { p } { \int } d ^ { p + 1 } \sigma e ^ { - { \phi } / 2 } \sqrt { \operatorname * { d e t } ( h _ { \mu \nu } + b _ { \mu \nu } + 2 \pi F _ { \mu \nu } ) } - \nonumber \, f _ { ( p ) } { \int } d ^ { p + 1 } \sigma A _ { ( p + 1 ) }
W _ { 2 } + W _ { 3 } = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } S _ { i } ( H _ { i } \bar { H } _ { i } - \Sigma ^ { 2 } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } H _ { i } ( \Sigma + X _ { i } ) \bar { h } _ { i } + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \bar { H } _ { i } ( \Sigma + \bar { X } _ { i } ) { h } _ { i } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle | y | \rangle - 2 t = ( t + 1 ) \mathrm { e r f } \left( \frac { \sqrt { t } } { \sqrt { 2 } } \right) - t + \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } e ^ { - t / 2 } \sqrt { t } = 1 + O ( t ^ { - 3 / 2 } e ^ { - t / 2 } ) } \\ & { } & { \langle ( | y | - 2 t ) ^ { 2 } \rangle = 2 \left( t ^ { 2 } + 1 \right) \mathrm { e r f c } \left( \frac { \sqrt { t } } { \sqrt { 2 } } \right) - 2 \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } e ^ { - t / 2 } \sqrt { t } ( t - 1 ) + 4 t - 2 = 4 t - 2 + O ( t ^ { - 1 / 2 } e ^ { - t / 2 } ) } \\ & { } & { \langle ( | y | - 2 t ) ^ { 3 } \rangle = 1 2 t + 6 + O ( t ^ { 1 / 2 } e ^ { - t / 2 } ) } \\ & { } & { \langle ( | y | - 2 t ) ^ { 4 } \rangle = 4 8 t ^ { 2 } - 4 8 t - 2 4 + O ( t ^ { 3 / 2 } e ^ { - t / 2 } ) } \\ & { } & { \langle ( | y | - 2 t ) ^ { 5 } \rangle = 2 4 0 \, t ^ { 2 } + 2 4 0 \, t + 1 2 0 + o ( 1 ) } \\ & { } & { \langle ( | y | - 2 t ) ^ { 6 } \rangle = 9 6 0 \, t ^ { 3 } - 1 4 4 0 t ^ { 2 } - 1 4 4 0 t - 7 2 0 + o ( 1 ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { r _ { k j i } - 2 \sqrt { u _ { 0 0 k } r _ { k j i } } + u _ { 0 0 k } > - U _ { k j i } - c _ { k j i } \sum _ { l \in \mathcal { N } } w _ { l k i } u _ { l k i } } \\ & { \bigg ( \sqrt { r _ { k j i } } - \sqrt { u _ { 0 0 k } } \bigg ) ^ { 2 } > - U _ { k j i } - c _ { k j i } \sum _ { l \in \mathcal { N } } w _ { l k i } u _ { l k i } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { ( 1 + h | \xi | ) ^ { 2 t } ( \sum _ { j = 1 } ^ { d } \sin ^ { 2 } ( h \xi _ { j } ) ) ^ { k - s } } { | \xi | ^ { 2 ( k - r ) } ( 1 + 2 ^ { - a } | \xi | ) ^ { 4 r } } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { \quad \le C \int _ { | \xi | \le 2 ^ { a } } \frac { 1 \cdot ( h | \xi | ) ^ { 2 ( k - s ) } } { | \xi | ^ { 2 ( k - r ) } \cdot 1 } \, \mathrm { d } \xi + C \int _ { 2 ^ { a } < | \xi | \le 1 / h } \frac { 1 \cdot ( h | \xi | ) ^ { 2 ( k - s ) } } { | \xi | ^ { 2 ( k - r ) } \cdot ( 2 ^ { - a } | \xi | ) ^ { 4 r } } + C \int _ { | \xi | > 1 / h } \frac { ( h | \xi | ) ^ { 2 t } \cdot 1 } { | \xi | ^ { 2 ( k - r ) } ( 2 ^ { - a } | \xi | ) ^ { 4 r } } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { \quad \le C 2 ^ { a d } h ^ { 2 ( k - s ) } 2 ^ { 2 a ( r - s ) } + C \frac { 1 } { h ^ { d } } 2 ^ { 4 a r } h ^ { 2 ( k - s ) } h ^ { 2 ( r + s ) } + C \frac { 1 } { h ^ { d } } 2 ^ { 4 a r } h ^ { 2 t } h ^ { 2 ( k + r - t ) } } \\ & { \quad \le C 2 ^ { a ( d + 2 r - 2 s ) } h ^ { 2 ( k - s ) } \left( 1 + 2 ^ { a ( 2 r + 2 s - d ) } h ^ { 2 r + 2 s - d } + 2 ^ { a ( 2 r + 2 s - d ) } h ^ { 2 r + 2 s - d } \right) } \\ & { \quad \le C 2 ^ { a ( d + 2 r - 2 s ) } h ^ { 2 ( k - s ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \mathbb { E } | f ( x ) - g ( x ) | ^ { 2 } = \mathrm { V a r } ( g ) } \\ & { \leq \sum _ { l = 1 } ^ { k } \Bigl [ \mathrm { V a r } ( \mathcal { K } _ { n } ( \phi _ { \sigma / \sqrt { k } } ( y _ { l } - Y _ { l } ^ { i } ) ) ) \prod _ { m \neq l } \mathbb { E } \big | \mathcal { K } _ { n } ( \phi _ { \sigma / \sqrt { k } } ( y _ { m } - Y _ { m } ^ { i } ) ) \big | ^ { 2 } \Bigr ] } \\ & { \leq k n ^ { - 1 } \prod _ { l = 1 } ^ { k } \mathbb { E } \big | \mathcal { K } _ { n } ( \phi _ { \sigma / \sqrt { k } } ( y _ { l } - Y _ { l } ^ { i } ) ) \big | ^ { 2 } } \\ & { \leq k n ^ { - 1 } \prod _ { l = 1 } ^ { k } \mathbb { E } | \phi _ { \sigma / \sqrt { k } } ( y _ { l } - Y _ { l } ) | ^ { 2 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \eta _ { i j } = r ^ { n + 1 - j } ( \bar { x } _ { i j } - \hat { \bar { x } } _ { i j } ) , \; j = 1 , \cdots , n + 1 , } \\ { \eta _ { i } = ( \eta _ { i 1 } , \cdots , \eta _ { i , n + 1 } ) ^ { \top } , \eta = ( \eta _ { 1 } ^ { \top } , \cdots , \eta _ { m } ^ { \top } ) ^ { \top } , } \\ { \hat { \bar { x } } _ { 0 j } = x _ { 0 j } , \; k = 1 , \cdots , n , } \\ { \varrho _ { i j } = \bar { x } _ { i j } - x _ { 0 j } , \hat { \varrho } _ { i j } = \hat { \bar { x } } _ { i j } - \hat { x } _ { 0 j } , \; j = 1 , \cdots , n , } \\ { \varrho _ { i } = ( \varrho _ { i 1 } , \cdots , \varrho _ { i n } ) ^ { \top } , \hat { \varrho } _ { i } = ( \hat { \varrho } _ { i 1 } , \cdots , \hat { \varrho } _ { i n } ) ^ { \top } , } \\ { \varrho = ( \varrho _ { 1 } ^ { \top } , \cdots , \varrho _ { m } ^ { \top } ) ^ { \top } , \hat { \varrho } = ( \hat { \varrho } _ { 1 } ^ { \top } , \cdots , \hat { \varrho } _ { m } ^ { \top } ) ^ { \top } , } \\ { \hat { \bar { x } } _ { i } = ( \hat { \bar { x } } _ { i 1 } , \cdots , \hat { \bar { x } } _ { i n } ) ^ { \top } , \hat { \bar { x } } = ( \hat { \bar { x } } _ { 1 } ^ { \top } , \cdots , \hat { \bar { x } } _ { m } ^ { \top } ) ^ { \top } , } \\ { \bar { u } _ { i } ( t ) = K \mathfrak { \vartheta } _ { i } ( t ) - \hat { \bar { x } } _ { i , n + 1 } ( t ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \quad \left( I _ { U , 1 } ^ { - 1 } \left( \left( I _ { P } ^ { G } ( \Phi ) \right) ( F _ { U } ) \right) \right) ( g ) } \\ & { = \left( \left( \left( I _ { P } ^ { G } ( \Phi ) \right) ( F _ { U } ) \right) ( g ) \right) ( 1 ) } \\ & { = \left( \Phi \left( F _ { U } ( g ) \right) \right) ( 1 ) } \\ & { = \int _ { M ( F ) } \phi ( y ) \cdot \left( F _ { U } ( g ) \right) ( y ^ { - 1 } ) d y } \\ & { = \int _ { K _ { M } z K _ { M } } \phi ( y ) \cdot \left( F _ { U } ( g ) \right) ( y ^ { - 1 } ) d y } \\ & { = \sum _ { y \in K _ { M } z K _ { M } / K _ { M } } \phi ( y ) \cdot \left( F _ { U } ( g ) \right) ( y ^ { - 1 } ) } \\ & { = \sum _ { k _ { M } \in K _ { M } / ( K _ { M } \cap z K _ { M } z ^ { - 1 } ) } \phi ( k _ { M } z ) \cdot \left( F _ { U } ( g ) \right) ( z ^ { - 1 } k _ { M } ^ { - 1 } ) } \\ & { = \sum _ { k _ { M } \in K _ { M } / ( K _ { M } \cap z K _ { M } z ^ { - 1 } ) } \left( \rho _ { M } ( k _ { M } ) \circ \phi ( z ) \right) \cdot \left( F _ { U } ( g ) \right) ( z ^ { - 1 } k _ { M } ^ { - 1 } ) } \\ & { = \sum _ { k _ { M } \in K _ { M } / ( K _ { M } \cap z K _ { M } z ^ { - 1 } ) } \left( \rho _ { M } ( k _ { M } ) \circ \phi ( z ) \right) \cdot \left( \delta _ { P } ( z ^ { - 1 } k _ { M } ^ { - 1 } ) ^ { 1 / 2 } \cdot f _ { U } ( z ^ { - 1 } k _ { M } ^ { - 1 } g ) \right) } \\ & { = \delta _ { P } ( z ) ^ { - 1 / 2 } \sum _ { k _ { M } \in K _ { M } / ( K _ { M } \cap z K _ { M } z ^ { - 1 } ) } \left( \rho _ { M } ( k _ { M } ) \circ \phi ( z ) \right) \cdot \left( f _ { U } ( z ^ { - 1 } k _ { M } ^ { - 1 } g ) \right) } \\ & { = \delta _ { P } ( z ) ^ { - 1 / 2 } \sum _ { k _ { M } \in K _ { M } / ( K _ { M } \cap z K _ { M } z ^ { - 1 } ) } \left( \rho _ { M } ( k _ { M } ) \circ \phi ( z ) \right) \cdot \left( \int _ { U ( F ) } f ( u z ^ { - 1 } k _ { M } ^ { - 1 } g ) d u \right) } \\ & { = \delta _ { P } ( z ) ^ { - 1 / 2 } \sum _ { k _ { M } \in K _ { M } / ( K _ { M } \cap z K _ { M } z ^ { - 1 } ) } \left( \rho _ { M } ( k _ { M } ) \circ \phi ( z ) \right) \cdot \left( \int _ { U ( F ) } f ( z ^ { - 1 } k _ { M } ^ { - 1 } ( k _ { M } z u z ^ { - 1 } k _ { M } ^ { - 1 } ) g ) d u \right) } \\ & { = \delta _ { P } ( z ) ^ { - 1 / 2 } \cdot \delta _ { P } ( k _ { M } z ) \sum _ { k _ { M } \in K _ { M } / ( K _ { M } \cap z K _ { M } z ^ { - 1 } ) } \left( \rho _ { M } ( k _ { M } ) \circ \phi ( z ) \right) \cdot \left( \int _ { U ( F ) } f ( z ^ { - 1 } k _ { M } ^ { - 1 } u g ) d u \right) } \\ & { = \delta _ { P } ( z ) ^ { - 1 / 2 } \cdot \delta _ { P } ( z ) \sum _ { k _ { M } \in K _ { M } / ( K _ { M } \cap z K _ { M } z ^ { - 1 } ) } \left( \rho _ { M } ( k _ { M } ) \circ \phi ( z ) \right) \cdot \left( \int _ { U ( F ) } f ( z ^ { - 1 } k _ { M } ^ { - 1 } u g ) d u \right) } \\ & { = \delta _ { P } ( z ) ^ { 1 / 2 } \sum _ { k _ { M } \in K _ { M } / ( K _ { M } \cap z K _ { M } z ^ { - 1 } ) } \left( \rho _ { M } ( k _ { M } ) \circ \phi ( z ) \right) \cdot \left( \int _ { U ( F ) } f ( z ^ { - 1 } k _ { M } ^ { - 1 } u g ) d u \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { L } } & { { } = } & { 0 . 2 0 \mathrm { ~ m ~ S ~ m ~ m ~ } ^ { - 1 } } \\ { \sigma _ { T } } & { { } = } & { 0 . 0 5 \mathrm { ~ m ~ S ~ m ~ m ~ } ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda ^ { n } T : \Lambda ^ { n } V } & { { } \rightarrow \Lambda ^ { n } V } \\ { v _ { 1 } \wedge v _ { 2 } \wedge \dots \wedge v _ { n } } & { { } \mapsto T v _ { 1 } \wedge T v _ { 2 } \wedge \dots \wedge T v _ { n } . } \end{array}
j _ { T } ^ { \pm } = - \frac { 1 } { L _ { T } } \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { T } } \left[ \left( q , \, \hat { n } _ { T } \left( \frac { \partial c ^ { + , t } } { \partial x _ { i } } + z ^ { + } c ^ { + , t } \; \frac { \partial \phi ^ { t } } { \partial x _ { i } } \right) \right) _ { \Gamma _ { l } } - \left( q , \, \hat { n } _ { T } \left( \frac { \partial c ^ { - , t } } { \partial x _ { i } } + z ^ { - } c ^ { - , t } \; \frac { \partial \phi ^ { t } } { \partial x _ { i } } \right) \right) _ { \Gamma _ { l } } \right] ,
\begin{array} { r l } & { - \int _ { \Omega } \left( \frac { 3 \beta } { 2 } | u _ { n } | ^ { 2 } | e _ { n } | ^ { 2 } + \beta | e _ { n } | ^ { 2 } u _ { n } e _ { n } + \frac { \beta } { 4 } | e _ { n } | ^ { 4 } - \frac { \beta } { 2 } | u ^ { * } | ^ { 2 } | e _ { n } | ^ { 2 } \right) } \\ { \leq } & { - \beta \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } ( | u _ { n } | ^ { 2 } - | u ^ { * } | ^ { 2 } ) | e _ { n } | ^ { 2 } + | e _ { n } | ^ { 2 } u _ { n } e _ { n } + \frac { 1 } { 4 } | e _ { n } | ^ { 4 } \right) } \\ { = } & { - \beta \int _ { \Omega } \left( - \frac { 1 } { 2 } | e _ { n } | ^ { 4 } + \frac { 1 } { 4 } | e _ { n } | ^ { 4 } \right) = \frac { \beta } { 4 } \left\Vert e _ { n } \right\Vert _ { L ^ { 4 } ( \Omega ) } ^ { 4 } \leq \frac { \beta C _ { 1 } ^ { 4 } } { 4 } \delta _ { n } ^ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ w ~ } = \mathrm { ~ w ~ } _ { 0 } - I = \mathrm { ~ w ~ } _ { 0 } + \frac { x _ { 0 } ^ { 1 - 2 S _ { 0 } } } { 1 - 2 S _ { 0 } } - \frac { x ^ { 1 - 2 S _ { 0 } } } { 1 - 2 S _ { 0 } } } \end{array}
\delta n ( \textbf { r } , \omega ) = \sum _ { m } ^ { N } \bigg \{ [ \varphi _ { m } ( \textbf { r } ) ] ^ { * } \delta \varphi _ { m } ( \textbf { r } , \omega ) + [ \delta \varphi _ { m } ( \textbf { r } , - \omega ) ] ^ { * } \varphi _ { m } ( \textbf { r } ) \bigg \}
\begin{array} { r l } & { R _ { 1 } + R _ { 2 } \leq \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \log _ { 2 } \bigg ( 1 + \sigma _ { 0 } ^ { - 2 } S _ { 1 } ( \lambda ) + \sigma _ { 0 } ^ { - 2 } S _ { 2 } ( \lambda ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \sigma _ { 0 } ^ { - 4 } S _ { 1 } ( \lambda ) S _ { 2 } ( \lambda ) \left[ 1 - \left| \frac { G _ { 1 2 , \delta } ( \lambda ) } { G _ { \delta } ( \lambda ) } \right| ^ { 2 } \right] \bigg ) d \lambda \bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial H _ { x } } { \partial t } } & { { } = } & { - \frac { \partial E _ { z } } { \partial y } } \\ { \frac { \partial H _ { y } } { \partial t } } & { { } = } & { \frac { \partial E _ { z } } { \partial x } } \\ { \frac { \partial E _ { z } } { \partial t } } & { { } = } & { \frac { \partial H _ { y } } { \partial x } - \frac { \partial H _ { x } } { \partial y } . } \end{array}
\nabla \times \mathbf { E } \, = \, - \nabla \times { \frac { \partial \mathbf { A } } { \partial t } } \, = \, - { \frac { \partial } { \partial t } } { \big ( } \nabla \times \mathbf { A } { \big ) } \, = \, - { \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } } \, ,
A _ { f b } ( b \bar { b } ) = \frac { 3 } { 4 } \frac { 2 v _ { e } a _ { e } } { v _ { e } ^ { 2 } + a _ { e } ^ { 2 } } \frac { 2 v _ { b } a _ { b } } { v _ { b } ^ { 2 } + a _ { b } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { T r ( A _ { i } - \epsilon _ { i } H ) = B _ { i } ( - a - \gamma - \frac { \epsilon _ { i } } { B _ { i } } ) < 0 \Longleftrightarrow \epsilon _ { i } > - B _ { i } ( a + \gamma ) } \\ & { d e t ( A _ { i } - \epsilon _ { i } H ) = B _ { i } ^ { 2 } \left( 1 + a \left( \gamma + \frac { \epsilon _ { i } } { B _ { i } } \right) \right) > 0 \Longleftrightarrow \epsilon _ { i } > - B _ { i } \left( \gamma + \frac { 1 } { a } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \bar { y } _ { t + 1 } - y _ { \bar { x } _ { t + 1 } } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 + \frac { \mu \gamma \alpha _ { t } } { 4 } ) ( 1 - \frac { \mu \gamma \alpha _ { t } } { 2 } ) \| \bar { y } _ { t } - y _ { \bar { x } _ { t } } \| ^ { 2 } - ( 1 + \frac { \mu \gamma \alpha _ { t } } { 4 } ) \frac { \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t } } { 4 } \| \bar { \omega } _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + ( 1 + \frac { \mu \gamma \alpha _ { t } } { 4 } ) \frac { 4 \gamma \alpha _ { t } } { \mu } \| \nabla _ { y } g ( \bar { x } _ { t } , \bar { y } _ { t } ) - \bar { w } _ { t } \| ^ { 2 } + ( 1 + \frac { 4 } { \mu \gamma \alpha _ { t } } ) \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t } ^ { 2 } \| \bar { \nu } _ { t } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \sqrt { B \lambda _ { 0 } } \leq r \leq \sqrt { n B \lambda _ { 0 } } } \bigg \{ r ^ { 2 } R ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } B \frac { D ( r ) \log ( \frac { \log n } { \delta } ) } { n } \bigg \} } \\ & { \leq ( \sqrt { B \lambda _ { 0 } } ) ^ { 2 } R ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } B \frac { D ( \sqrt { B \lambda _ { 0 } } ) \log ( \frac { \log n } { \delta } ) } { n } = B R ^ { 2 } \lambda _ { 0 } + \frac { \sigma ^ { 2 } B D \log ( \frac { \log n } { \delta } ) } { n } \lesssim \frac { \sigma ^ { 2 } B D \log ( n / \delta ) } { n } . } \end{array}
C _ { \partial D } = a ^ { 2 } | \partial D | ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \| u \| _ { C ^ { 1 } ( \partial D \times [ 0 , t ] ) } + | | u _ { \theta } | | _ { C ^ { 1 } ( \partial D \times [ 0 , t ] ) } )
\begin{array} { r } { \mathbf { G } _ { s e d } = - \left\{ \frac { 3 8 } { 9 } - \frac { 1 7 2 1 6 } { 9 4 5 \pi ^ { 2 } } \right\} \frac { l ^ { 3 } \rho _ { f } } { 8 } ( \mathbf { W . p } ) ( \mathbf { W } \times \mathbf { p } ) } \end{array}
u _ { m } ^ { o u t } = \frac { k _ { m } } { \lambda _ { 0 } } \Big ( a _ { m } + c _ { m } | \zeta | + d _ { m } \zeta ^ { 2 } \Big ) e x p \Bigg ( - \frac { \zeta ^ { 2 } } { b _ { m } } \Bigg ) ,
\begin{array} { r l r } { \textbf { G } _ { n w , 1 } ^ { - } = } & { { } } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ f ^ { e q } ( - v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { { } } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \ \hat { f } _ { 1 } ^ { e q } ( - v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { { } } & { ( - \lambda _ { 1 1 } n _ { 1 } - \lambda _ { 2 1 } n _ { 2 } ) ^ { - } f _ { 1 1 } ^ { e q } + ( \lambda _ { 1 1 } n _ { 1 } - \lambda _ { 2 1 } n _ { 2 } ) ^ { - } f _ { 2 1 } ^ { e q } + } \\ { = } & { { } } & { - ( \lambda _ { 1 1 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 1 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 1 1 } ^ { e q } - ( - \lambda _ { 1 1 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 1 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 2 1 } ^ { e q } - } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i _ { k _ { l } } + j _ { k _ { l } } = k } \prod _ { k = 1 } ^ { M } \prod _ { l = 1 } ^ { \lambda _ { k } - \lambda _ { k + 1 } } \left[ \frac { ( M - i _ { k _ { l } } ) ! ( M - j _ { k _ { l } } ) ! } { M ! ( M - k ) ! } \frac { ( N - i _ { k _ { l } } ) ! ( N - j _ { k _ { l } } ) ! } { N ! ( N - k ) ! } \right] } \\ { \stackrel { ? } { = } } & { C _ { \lambda ^ { ' } } ^ { v ^ { ' } , \mu ^ { ' } } \frac { \prod _ { s \in \lambda } [ l ( s ) + 1 ] } { \prod _ { s \in v } [ l ( s ) + 1 ] \cdot \prod _ { s \in \mu } [ l ( s ) + 1 ] } } \\ & { \cdot \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { M } \binom { M } { i } ^ { \lambda _ { i } - \lambda _ { i + 1 } } } { \prod _ { i = 1 } ^ { M } \binom { M } { i } ^ { v _ { i } - v _ { i + 1 } } \prod _ { i = 1 } ^ { M } \binom { M } { i } ^ { \mu _ { i } - \mu _ { i + 1 } } } \prod _ { m = 1 } ^ { M } ( N - m + 1 ) ^ { \lambda _ { m } - v _ { m } - \mu _ { m } } . } \end{array}