harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathcal { P } _ { B } [ p ^ { \prime } ( a ) ] = \sum _ { b \in B } \mathcal { P } _ { B } [ p ^ { \prime } ( a ) | b ] \, p ( b ) = \sum _ { b \in B } \delta _ { p ^ { \prime } ( a ) , p ( a | b ) } \, p ( b ) = \sum _ { b \in B _ { p ^ { \prime } ( a ) } } p ( b ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { Q } _ { t } ( w ) } & { : = \frac { 1 } { t } \sum _ { j = 1 } ^ { t } \hat { \tau } _ { j } ( w ) : = \frac { 1 } { t } \sum _ { j = 1 } ^ { t } \frac { \mathbf { 1 } \{ W _ { j } = w \} Y _ { j } } { p _ { j \mid j - 1 } ( w ) } } \\ { S _ { t } ( w ) } & { : = \sum _ { j = 1 } ^ { t } \hat { \sigma } _ { j } ^ { 2 } ( w ) } \\ & { : = \sum _ { j = 1 } ^ { t } \frac { \mathbf { 1 } \{ W _ { j } = w \} Y _ { j } ^ { 2 } ( 1 - p _ { j \mid j - 1 } ( w ) ) } { p _ { j \mid j - 1 } ( w ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\frac { \sigma _ { b } ^ { 2 } } { \bar { b } ^ { 2 } } \approx \sigma _ { \epsilon } ^ { 2 } = \frac { x _ { * } - x _ { 0 } 2 ^ { - 2 \rho } } { c _ { 1 } ( 2 c _ { 2 } - c _ { 1 } ) } .
\begin{array} { r l } { I _ { o } } & { { } \propto R ^ { 0 } \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( x _ { i } + y _ { i } ) ^ { 2 } - R ^ { 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( x _ { i } + y _ { i } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( A _ { 1 } ^ { c } ) } & { = } & { \frac { ( k - s ) \cdot ( k - s + 1 ) \ldots ( k - s - t + 1 ) } { k ( k - 1 ) \cdots ( k - t + 1 ) } } \\ & { = } & { \frac { \left( 1 - \frac { s } { k } \right) \cdots \left( 1 - \frac { s + t - 1 } { k } \right) } { \left( 1 - \frac { 1 } { k } \right) \cdots \left( 1 - \frac { t - 1 } { k } \right) } . } \end{array}
\frac { - E _ { 0 } ^ { R } } { E _ { 2 } ^ { R } } = \frac { 4 } { M _ { 1 } ^ { L } M _ { 2 } ^ { R } } = \frac { ( m _ { 2 } + 2 ) ( m _ { 1 } + 2 ) } { m _ { 1 } m _ { 2 } } , \quad \frac { L _ { 0 } ^ { 2 } } { L _ { 2 } ^ { 2 } } = \frac { M _ { 1 } ^ { L } M _ { 0 } k _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 ( k _ { 2 } ^ { R } ) ^ { 2 } } = \frac { m _ { 1 } } { 1 6 m _ { 2 } ^ { 2 } ( m _ { 1 } + 2 ) } .
\begin{array} { r } { \kappa _ { v } ( G ) : = \frac { \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( A ^ { k } ) _ { v v } / k ! } { \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( \lvert A \rvert ^ { k } ) _ { v v } / k ! } = \frac { ( \exp A ) _ { v v } } { ( \exp \lvert A \rvert ) _ { v v } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \chi b ^ { * } v \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \int \chi ^ { 2 } ( x ) ( b ^ { * } v ( x ) ) ^ { 2 } \mathrm { d } x } \\ & { = \iint _ { b ^ { - 1 } ( 0 ) \times \mathbb R } \chi _ { 0 } ^ { 2 } ( y ) v ^ { 2 } ( s ) \varphi ^ { 2 } ( s ) \mathrm { d } y \mathrm { d } s } \\ & { = \| \chi _ { 0 } \| _ { 2 } ^ { 2 } \int _ { \mathbb R } v ^ { 2 } ( s ) \varphi ^ { 2 } ( s ) \mathrm { d } s = \| \chi _ { 0 } \| _ { 2 } ^ { 2 } \| v \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( \nu _ { t } , \tau _ { t } , \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } ) = \left( 1 + \nu _ { t } \right) } & { \left( 1 + \alpha _ { t } ^ { 2 } \tilde { X } _ { t } ( 1 , 1 ) \right) + 2 \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } \left( \tilde { X } _ { t } ( 2 , 1 ) - m _ { t } \right) } \\ { + } & { \tau _ { t } \left( \tilde { X } _ { t } ( 1 , 1 ) + ( \tilde { X } _ { t } ( 2 , 1 ) ) ^ { 2 } \right) + \frac { ( \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { t } \phi _ { t } ) ^ { 2 } } { \tau _ { t } } - 2 \alpha _ { t } \phi _ { t } \tilde { X } _ { t } ( 2 , 1 ) . } \end{array}
g ( r ) = \frac { V } { 4 \pi r ^ { 2 } N ( N - 1 ) } \bigg \langle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 , j \neq i } ^ { N } \delta ( r - | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } | ) \bigg \rangle ,
| S ^ { i } \rangle = ( \alpha _ { - 1 } ^ { p } \alpha _ { - 1 } ^ { p } - \alpha _ { - 1 } ^ { i } \alpha _ { - 1 } ^ { i } - \alpha _ { 0 } ^ { p } \alpha _ { - 2 } ^ { p } + \alpha _ { 0 } ^ { i } \alpha _ { - 2 } ^ { i } ) | 0 \rangle , \quad p - d + 1 \le i \le p - 1
\begin{array} { r l r } & { } & { y _ { 1 } ( x ; 0 ) = \mathbb { P } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ) = x } \\ & { } & { y _ { 2 } ( x ; 0 ) = \mathbb { Q } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ) = - 1 + \frac { x } { 2 } \ln \left( \frac { 1 + x } { 1 - x } \right) } \\ & { } & { y _ { 1 } ( x ; 1 ) = \mathbb { P } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ) = - \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \\ & { } & { y _ { 2 } ( x ; 1 ) = \frac { 1 } { 2 } \mathbb { Q } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ) = \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { - x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } + \frac { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } { 2 } \ln \left( \frac { 1 - x } { 1 + x } \right) \right] } \end{array}
[ - , - ] ^ { \mathrm { s e c } } : \boldsymbol { \mathfrak X } \times \boldsymbol { \mathfrak X } \to \boldsymbol { \mathfrak X } , \quad \left( \boldsymbol W , \boldsymbol U \right) \mapsto \left[ \boldsymbol W , \boldsymbol U \right] ^ { \mathrm { s e c } } : = \big [ \operatorname { p r } [ \overline { W } , \overline { U } ] ^ { \mathrm { f n } } \big ] ,
[ \tau ( \lambda ) Q ( \lambda ) \psi ] ( { \vec { x } } ) = \int d { \vec { y } } \prod _ { i = N } ^ { 1 } w _ { i } T r \left( { \tilde { L } } ( \lambda | x _ { N } , \partial _ { x _ { N } } ) \ldots { \tilde { L } } ( \lambda | x _ { 1 } , \partial _ { x _ { 1 } } ) \right) \psi ( { \vec { y } } ) \; .
\begin{array} { r l r l r l } { A } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { - 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 2 } & { 1 } \end{array} \right] , } & { B _ { 1 } } & { = \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] , } & { B _ { 2 } } & { = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] , } \\ { C _ { 1 } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] , } & { D } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } ^ { - } ( t ) } & { = G \, \hat { a } _ { \mathrm { i n } } ( t ) + \sqrt { G ^ { 2 } - 1 } \, \hat { a } _ { \mathrm { G } } ^ { \dagger } ( t ) } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } ^ { + } ( t ) } & { = - \sqrt { \eta } \, \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } ^ { - } ( t ) + \sqrt { 1 - \eta } \, \hat { a } _ { 0 } ( t ) } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } ( t ) } & { = \sqrt { 1 - \eta } \, \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } ^ { - } ( t ) + \sqrt { \eta } \, \hat { a } _ { 0 } ( t ) } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { i n } } ( t ) } & { = \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } ^ { + } ( t - \tau ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { L } ( ( t + g ) \hat { c } _ { j + 1 , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \uparrow } + ( t - g ) \hat { c } _ { j , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 , \uparrow } ) ) } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { L } ( ( t + g ) \hat { c } _ { j , \downarrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 , \downarrow } + ( t - g ) \hat { c } _ { j + 1 , \downarrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \downarrow } ) ) } \\ & { - i \Delta \sum _ { j = 1 } ^ { L } ( \hat { c } _ { j + 1 , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \downarrow } - \hat { c } _ { j , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 , \downarrow } ) } \\ & { - i \Delta \sum _ { j = 1 } ^ { L } ( \hat { c } _ { j + 1 , \downarrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \uparrow } - \hat { c } _ { j , \downarrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 , \uparrow } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| { B _ { j } } \right\| _ { \mathrm { o p } } } & { \leq 2 2 C _ { 0 } \left( \frac { 1 } { \sqrt { n } } + \left\| { F _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { F _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { G _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { G _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } \right) \left( \frac { 1 + \sigma \sqrt { d } } { \sqrt { n p } } \right) . } \end{array}
\Delta ( t ) = 1 \otimes t + t \otimes 1 + \sum _ { \mathrm { \tiny ~ a d m . ~ c u t s ~ C ~ o f ~ t ~ } } P ^ { C } ( t ) \otimes R ^ { C } ( t ) = : 1 \otimes t + t \otimes 1 + \Delta ^ { \prime } ( t ) ,
\alpha = - 1 8 ( \frac { \mu } { m } ) ^ { 4 } = ( \frac { \mu } { m } ) ^ { 2 } \beta , \quad \gamma = 0 , \quad \delta = \frac { m ^ { 4 } } { 2 4 ( \mu ^ { 4 } + \mu ^ { 2 } m ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r l r } { - \Delta u } & { { } = f } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ a ~ d ~ o ~ m ~ a ~ i ~ n ~ } D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } , } \\ { u } & { { } = 0 } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ t ~ h ~ e ~ b ~ o ~ u ~ n ~ d ~ a ~ r ~ y ~ } \partial D , } \end{array}
C _ { k } = \frac { \mu _ { \updownarrow } \mu _ { \Updownarrow } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } | R _ { k } | ^ { 3 } } ( 1 - 3 \cos \theta _ { k } ^ { 2 } ) = 2 \pi \times 2 8 7 \, \mathrm { k H z } ( 1 - 3 \cos \theta _ { k } ^ { 2 } ) .
p r o x _ { \tau f } ( \mathbf { u } ) = \underset { \mathbf { x } } { \mathrm { m i n } } \; f ( \mathbf { x } ) + \frac { 1 } { 2 \tau } | | \mathbf { x } - \mathbf { u } | | _ { 2 } ^ { 2 } ,
\Pi _ { \mu \nu } ^ { G } ( p ) \; = \; i \, \int \, d ^ { 4 } x \, e ^ { i p x } \, \sum _ { q , q ^ { \prime } } \, e _ { q } \, e _ { q ^ { \prime } } \, \langle \, 0 \, | \, T \, \left( \, \overline { { { q } } } ( x ) \, \gamma _ { \mu } \, q ( x ) \, \right) \, ( \, \overline { { { q ^ { \prime } } } } ( 0 ) \, \gamma _ { \nu } \, q ^ { \prime } ( 0 ) \, ) \, | \, 0 \, \rangle \; \; \, ,
\begin{array} { r l } & { \| v \| _ { 1 , q , { \mathcal T } } = \big ( \| v \| _ { 0 , q , { \mathcal T } } ^ { q } + | v | _ { 1 , q , { \mathcal T } } ^ { q } \big ) ^ { 1 / q } , \quad \mathrm { w h e r e } } \\ & { \| v \| _ { 0 , q , { \mathcal T } } ^ { q } = \sum _ { K \in { \mathcal T } } \operatorname { m } ( K ) | v _ { K } | ^ { q } , \quad | v | _ { 1 , q , { \mathcal T } } ^ { q } = \sum _ { \sigma \in { \mathcal E } _ { \mathrm { i n t } } } \operatorname { m } ( \sigma ) { \operatorname { d } } _ { \sigma } \bigg | \frac { \mathrm { D } _ { \sigma } v } { { \operatorname { d } } _ { \sigma } } \bigg | ^ { q } \quad \mathrm { f o r ~ } v \in V _ { \mathcal T } . } \end{array}
\begin{array} { r } { d ( \mu _ { i } , \underline { { a } } ) \le \frac { ( \mu _ { i } - \underline { { a } } ) ^ { 2 } \cdot ( 1 - \mu _ { i } - \underline { { a } } ) ^ { 2 } } { \underline { { a } } ( 1 - \mu _ { i } - \underline { { a } } ) ^ { 2 } } = \frac { [ \mu _ { i } ( 1 - \mu _ { i } ) - \bar { \sigma } ^ { 2 } / K ] ^ { 2 } } { \underline { { a } } ( 1 - \mu _ { i } - \underline { { a } } ) ^ { 2 } } \le \frac { [ \mu _ { i } ( 1 - \mu _ { i } ) - \bar { \sigma } ^ { 2 } / K ] ^ { 2 } } { \underline { { a } } ( 1 / 2 - \underline { { a } } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\tan \theta = { \frac { { \sqrt { 1 - { \frac { V ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } c \sin \theta ^ { \prime } } { c \cos \theta ^ { \prime } + V } } = { \frac { { \sqrt { 1 - { \frac { V ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } \sin \theta ^ { \prime } } { \cos \theta ^ { \prime } + { \frac { V } { c } } } } .
\frac { 2 ( \vec { q } \, ^ { 2 } ) ^ { \epsilon + \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } - 1 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 + \epsilon } } \frac { B ( \epsilon + \delta _ { 1 } , \epsilon + \delta _ { 2 } ) \Gamma ( 1 - \delta _ { 1 } - \delta _ { 2 } - \epsilon ) } { \Gamma ( 1 - \delta _ { 1 } ) \Gamma ( 1 - \delta _ { 2 } ) } ~ ,
L = \underbrace { \underset { \tilde { x } \sim P _ { g } } { \mathbb { E } } [ D ( \tilde { x } ) ] - \underset { x \sim P _ { r } } { \mathbb { E } } [ D ( x ) ] } _ { \mathrm { ~ W ~ a ~ s ~ s ~ e ~ r ~ s ~ t ~ e ~ i ~ n ~ \, ~ d ~ i ~ s ~ t ~ a ~ n ~ c ~ e ~ } } + \underbrace { \lambda \underset { \hat { x } \sim P _ { \hat { x } } } { \mathbb { E } } [ ( \lVert \nabla D ( \hat { x } ) \rVert _ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } ] } _ { \mathrm { ~ g ~ r ~ a ~ d ~ i ~ e ~ n ~ t ~ \, ~ p ~ e ~ n ~ a ~ l ~ t ~ y ~ } }
U _ { N } = \sum _ { i < j } ^ { N } u _ { 2 } ( \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { x } _ { j } ) + \sum _ { i < j < k } ^ { N } u _ { 3 } ( \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { x } _ { j } , \mathbf { x } _ { k } ) + \ldots ,
\begin{array} { r l } { f _ { c i r r u s } ( q _ { i } , \mathrm { R H } , T ) } & { { } = \frac { ( 3 . 0 0 8 \mathrm { R H } - 0 . 0 3 3 2 7 T + 8 . 2 4 5 ) ( 3 . 0 0 8 \mathrm { R H } + 3 7 3 3 0 0 0 q _ { i } - 1 . 5 5 8 ) } { 9 8 7 1 0 q _ { i } + 0 . 0 6 0 7 7 } } \\ { f _ { c u m u l u s } ( q _ { i } , q _ { c } , \mathrm { R H } ) } & { { } = 1 2 6 . 3 \mathrm { R H } - 1 8 7 1 0 0 0 q _ { c } - 8 . 0 4 6 - \frac { 5 . 2 1 5 } { 1 7 5 5 0 q _ { c } + 9 8 7 1 0 q _ { i } + 0 . 0 5 2 1 2 } } \\ { f _ { d e e p \, c o n v . } ( \mathrm { R H } , T , \partial _ { z } \mathrm { R H } ) } & { { } = - 3 4 8 6 0 \, \partial _ { z } \mathrm { R H } - 1 . 3 4 T + 3 8 7 } \\ { f _ { s t r a t u s } ( \mathrm { R H } , \partial _ { z } \mathrm { R H } ) } & { { } = 3 7 4 4 \, \partial _ { z } \mathrm { R H } + 3 9 3 1 0 0 0 0 \, \partial _ { z } \mathrm { R H } ^ { 2 } + 7 . 2 2 1 e ^ { 3 \, \mathrm { R H } } - 3 8 . 6 4 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { E } \circ \Lambda _ { 1 } \otimes \Lambda _ { 2 } \circ \mathcal { E } ^ { - 1 } ( \rho ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { d ^ { 2 n } } \sum _ { \vec { p } , \vec { q } } \Xi _ { \rho } ( \vec { p } , \vec { q } ) \mathcal { E } \circ \Lambda _ { 1 } \otimes \Lambda _ { 2 } \circ \mathcal { E } ^ { \dag } ( w ( \vec { p } , \vec { q } ) ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { d ^ { 2 n } } \sum _ { \vec { p } , \vec { q } } \Xi _ { \rho } ( \vec { p } , \vec { q } ) \mathcal { E } \circ \Lambda _ { 1 } \otimes \Lambda _ { 2 } ( w ( N g _ { 1 1 } \vec { p } , g _ { 0 0 } \vec { q } ) \otimes w ( - N g _ { 1 0 } \vec { p } , g _ { 0 1 } \vec { q } ) ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { d ^ { 2 n } } \sum _ { \vec { p } , \vec { q } } \Xi _ { \rho } ( \vec { p } , \vec { q } ) \mathcal { E } ( \Lambda _ { 1 } ( w ( N g _ { 1 1 } \vec { p } , g _ { 0 0 } \vec { q } ) ) \otimes \Lambda _ { 2 } ( w ( - N g _ { 1 0 } \vec { p } , g _ { 0 1 } \vec { q } ) ) ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { d ^ { 2 n } } \sum _ { \vec { p } , \vec { q } } \Xi _ { \rho } ( \vec { p } , \vec { q } ) \Lambda _ { 1 } ( w ( N g _ { 1 1 } \vec { p } , g _ { 0 0 } \vec { q } ) ) \boxtimes \Lambda _ { 2 } ( w ( - N g _ { 1 0 } \vec { p } , g _ { 0 1 } \vec { q } ) ) \; . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \int x ^ { m } \left( A + B \, x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } \right) ^ { p } \left( c + d \, x ^ { n } \right) ^ { q } d x = - { \frac { ( A \, b - a \, B ) x ^ { m + 1 } \left( a + b \, x ^ { n } \right) ^ { p + 1 } \left( c + d \, x ^ { n } \right) ^ { q } } { a \, b \, n ( p + 1 ) } } \, + \, { \frac { 1 } { a \, b \, n ( p + 1 ) } } \, \cdot } \\ & { \qquad \int x ^ { m } \left( c ( A \, b \, n ( p + 1 ) + ( A \, b - a \, B ) ( m + 1 ) ) + d ( A \, b \, n ( p + 1 ) + ( A \, b - a \, B ) ( m + n \, q + 1 ) ) x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } \right) ^ { p + 1 } \left( c + d \, x ^ { n } \right) ^ { q - 1 } d x } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { 1 } } & { { } = f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , } \\ { \dot { x } _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { \epsilon } g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , } \end{array}
g _ { 2 0 } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) = { \frac { g } { 4 } } ( { \frac { q _ { 1 } q _ { 2 } } { q _ { 1 } ^ { 2 } + q _ { 2 } ^ { 2 } + q _ { 1 } q _ { 2 } } } ) [ \hat { f } ^ { 2 } ( q _ { 1 } ) C ( g , q _ { 1 } ) + \hat { f } ^ { 2 } ( q _ { 2 } ) C ( g , q _ { 2 } ) + 2 \phi _ { 0 } ] .
\begin{array} { r l } { \frac 1 \beta \int _ { - d \le \tau _ { 1 } \le s } d \tau _ { 1 } } & { \frac { 1 } { 1 + \tau _ { 1 } ^ { 2 } } ( 1 - \exp ( - K ( s - \tau _ { 1 } + \frac 1 3 ( s ^ { 3 } - \tau _ { 1 } ^ { 3 } ) ) ) ) } \\ & { = \frac 1 \beta \int _ { - d \le \tau _ { 1 } \le - s } d \tau _ { 1 } \frac { 1 } { 1 + \tau _ { 1 } ^ { 2 } } ( 1 - \exp ( - K ( s - \tau _ { 1 } + \frac 1 3 ( s ^ { 3 } - \tau _ { 1 } ^ { 3 } ) ) ) ) } \\ & { + \frac 1 \beta \int _ { - s \le \tau _ { 1 } \le s } d \tau _ { 1 } \frac { 1 } { 1 + \tau _ { 1 } ^ { 2 } } ( 1 - \exp ( - K ( s - \tau _ { 1 } + \frac 1 3 ( s ^ { 3 } - \tau _ { 1 } ^ { 3 } ) ) ) ) } \\ & { \le \frac 1 { \beta s } + \frac \pi \beta ( 1 - \exp ( - K ( 2 s + \frac 2 3 s ^ { 3 } ) ) ) } \\ & { \le \frac 1 { \beta s } + \frac \pi \beta K ( 2 s + \frac 2 3 s ^ { 3 } ) } \\ & { \le \frac 1 { \beta s } + \frac \pi \beta K s ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { e f f } } } & { \approx } & { \hbar \omega _ { \mathrm { p h } } \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } ^ { \dagger } \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } + \hbar \Omega _ { \mathrm { v } } b ^ { \dagger } b + \hbar g _ { 0 } \bigg ( \frac { J } { \Delta } \bigg ) \sqrt { n _ { \mathrm { L } } } \cdot } \\ & { } & { \big ( \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } ^ { \dagger } b + \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } b ^ { \dagger } \big ) , } \end{array}
\int x ^ { m } \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p } d x = { \frac { x ^ { m + 1 } \left( b + 2 c \, x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p } } { b ( m + 1 ) } } \, - \, { \frac { 2 c ( m + n ( 2 p + 1 ) + 1 ) } { b ( m + 1 ) } } \int x ^ { m + n } \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p } d x
\int _ { - \infty } ^ { \infty } C ( x , t ) d x = \int _ { 0 } ^ { \infty } C ( x , t ) d x = \int _ { - \infty } ^ { 0 } C ( x , t ) d x = \, \int _ { - \infty } ^ { \infty } K _ { 0 } \cdot \frac { 1 } { t ^ { 3 / 2 } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 D t } } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 D } \frac { x ^ { 2 } } { t } \right) d x = 0 ,
\mu _ { 1 } \! - \! \mu _ { 2 } = \frac { 1 } { \sqrt { 1 \! - \! \nu ^ { 2 } } } \left[ ( \chi _ { 1 } \! - \! \chi _ { 2 } ) + \nu ( \chi _ { 1 } \! + \! \chi _ { 2 } ) \right] ,
\begin{array} { r l } { P ( x _ { 2 } ) - P ( x _ { 1 } ) } & { = x _ { 1 } ^ { \alpha + 2 } f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) - x _ { 2 } ^ { \alpha + 2 } f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) + \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } f _ { + } ^ { \prime } ( t ) d t ^ { \alpha + 2 } } \\ & { \leq x _ { 1 } ^ { \alpha + 2 } f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) - x _ { 2 } ^ { \alpha + 2 } f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) + f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) ( x _ { 2 } ^ { \alpha + 2 } - x _ { 1 } ^ { \alpha + 2 } ) } \\ & { = x _ { 1 } ^ { \alpha + 2 } ( f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) - f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) ) \leq 0 } \end{array}
S = \int d ^ { 1 1 } x \sqrt { - g _ { 1 1 } } [ { \frac { 1 } { 4 } } R - { \frac { 1 } { 2 ^ { . } 4 ! } } \hat { F } _ { M _ { 1 } . . . M _ { 4 } } ^ { ( 4 ) } \hat { F } ^ { ( 4 ) M _ { 1 } . . . M _ { 4 } } ] + \int { \frac { 1 } { 3 } } A ^ { ( 3 ) } \wedge d A ^ { ( 3 ) } \wedge d A ^ { ( 3 ) }
{ \tilde { h } } = { \tilde { h } } _ { w } + ( { \tilde { h } } _ { r } - { \tilde { h } } _ { w } ) { \tilde { u } } - { \frac { \gamma - 1 } { 2 } } \mathrm { M } ^ { 2 } \mathrm { P r } \, { \tilde { u } } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } ^ { A } { } _ { B } } & { { } = \sum _ { C } ( \mathsf { L } _ { A B , C } + \mathsf { L } _ { A B } \mathsf { L } _ { A C } - \mathsf { L } _ { A C } \mathsf { L } _ { C B } ) \, \vartheta ^ { C } \wedge \vartheta ^ { A } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \mathcal { L } ( g _ { \widehat { j } } ) \leq \operatorname* { i n f } _ { \gamma > 0 } \bigg \{ ( 1 + \gamma ) \operatorname* { m i n } _ { j \in [ m ] } \mathcal { L } ( g _ { j } ) + C ( 1 + \gamma ^ { - 1 } ) \bigg ( \mathcal { L } ( \mathbb { E } \widetilde { g } ) + \frac { V ^ { 2 } ( 1 + \log m ) } { n } \bigg ) \bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 - \mathscr { P } _ { f ( t ) , \varrho ( t ) } ( x , \gamma , \tau , k ) } & { = 1 - \frac { p ^ { \prime } ( \varrho ( t , x ) ) \rho ( t , x ) } { 1 - \rho _ { f } ( t , x ) } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - ( \gamma + i \tau ) s } \frac { i k } { 1 + \vert k \vert ^ { 2 } } \cdot \left( \mathcal { F } _ { v } \nabla _ { v } f \right) ( t , x , k s ) \, \mathrm { d } s } \\ & { = 1 - \mathscr { P } _ { f ^ { \mathrm { i n } } , \varrho ^ { \mathrm { i n } } } ( x , \gamma , \tau , k ) + \mathbf { A } _ { 0 } ( t , x , \gamma , \tau , k ) + \mathbf { B } _ { 0 } ( t , x , \gamma , \tau , k ) , } \end{array}
I ( n _ { 1 } , \ldots , n _ { 5 } ) \, = \, \frac { 1 } { D - 2 n _ { 5 } - n _ { 2 } - n _ { 3 } } \Big [ n _ { 2 } { \bf 2 ^ { + } } \left( { \bf 5 ^ { - } } - { \bf 1 ^ { - } } \right) + n _ { 3 } { \bf 3 ^ { + } } \left( { \bf 5 ^ { - } } - { \bf 4 ^ { - } } \right) \Big ] \, I ( n _ { 1 } , \ldots , n _ { 5 } ) \, .
Z = \sum _ { h _ { i j } } \prod _ { n i } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! d A _ { i } ( n ) \; e x p \: ( - \frac { 1 } { 4 \kappa ^ { 2 } } { \sum _ { n i j } \: [ \bigtriangleup _ { i } A _ { j } ( n ) - \bigtriangleup _ { j } A _ { i } ( n ) + h _ { i j } ( n ) ] ^ { 2 } } ) .
T ^ { \dagger } Y _ { \nu } = \left( \begin{array} { c c c } { { { \bf u } ^ { \dagger } { \bf f } } } & { { { \bf u } ^ { \dagger } { \bf g } } } & { { 0 } } \\ { { { \bf v } ^ { \dagger } { \bf f } } } & { { { \bf v } ^ { \dagger } { \bf g } } } & { { 0 } } \\ { { { \bf w } ^ { \dagger } { \bf f } } } & { { { \bf w } ^ { \dagger } { \bf g } } } & { { z } } \end{array} \right) . \eqno ( A . 3 )
S = \left( \begin{array} { c c c } { { S _ { 1 1 } ^ { + + } \; } } & { { S _ { 1 2 } ^ { + } / \sqrt 2 \; } } & { { S _ { 1 3 } ^ { + } / \sqrt 2 \; } } \\ { { S _ { 1 2 } ^ { + } / \sqrt 2 \; } } & { { S _ { 2 2 } ^ { 0 } \; } } & { { S _ { 2 3 } ^ { 0 } / \sqrt 2 \; } } \\ { { S _ { 1 3 } ^ { + } / \sqrt 2 \; } } & { { S _ { 2 3 } ^ { 0 } / \sqrt 2 \; } } & { { S _ { 3 3 } ^ { 0 } } } \end{array} \right) \sim ( { \bf 6 } , + 2 / 3 ) ,
2 f _ { B _ { 2 } } ( q ) = a ^ { 2 } g _ { S } g _ { L } | \rho _ { L } | ^ { 2 } \times \left\{ \begin{array} { r l } { { 0 } } & { { \mathrm { r a t i o n a l } } } \\ { { 2 } } & { { \mathrm { h y p e r b o l i c } } } \\ { { - 2 } } & { { \mathrm { t r i g o n o m e t r i c } } } \end{array} \right. \! \! \! = a ^ { 2 } g _ { S } g _ { L } \sum _ { \rho \neq \sigma \in B _ { 2 + } } ( \rho \cdot \sigma ) \times \left\{ \begin{array} { r l } { { 0 } } & { { \mathrm { r a t i o n a l } } } \\ { { 1 } } & { { \mathrm { h y p e r b o l i c } } } \\ { { - 1 } } & { { \mathrm { t r i g o n o m e t r i c } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \sum _ { \alpha = 1 , 2 } \tilde { \rho } _ { \alpha } \| \mathbf { w } _ { \alpha } \| ^ { 2 } = \frac { \rho \| \mathbf { J } \| ^ { 2 } } { 2 \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } ( 1 - \phi ^ { 2 } ) } . } \end{array}
I ( L ) = \frac { 1 } { 2 \left( \frac { n - 1 } { 2 } \right) \! } \left( \frac { i } { 8 \pi } \right) ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } \int _ { S _ { \infty } ^ { n - 1 } } \mathrm { t r } [ U ( x ) ( d U ( x ) ) ^ { n - 1 } ] ,
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } \left( \frac { z } { h } \right) } & { { } \triangleq \int _ { - L / h } ^ { L / h } \int _ { - L / h } ^ { L / h } u _ { 1 } \left( \frac { \mathbf { x } } { h } \right) d \left( \frac { x } { h } \right) d \left( \frac { y } { h } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \mathbf { K } ^ { H } ) ^ { - 1 } = \frac { 1 } { \alpha } ( \mathbf { W } _ { S } ^ { H } ) ^ { - 1 } \mathbf { \Phi } ( \mathbf { F } _ { S } ^ { H } ) ^ { - 1 } , } \\ & { \mathbf { C } = \alpha ^ { 2 } \sigma _ { n } ^ { 2 } \mathbf { W } \mathbf { W } ^ { H } + \mathbf { W } _ { S } \mathbf { \tilde { W } } _ { D } ^ { H } \mathbf { D } _ { q } ^ { 2 } \mathbf { \tilde { W } } _ { D } \mathbf { W } _ { S } ^ { H } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { e } \geq } & { \sum _ { i } \sum _ { k > i } \frac { c } { ( \log n ) ^ { \frac { m } { 2 } } } e ^ { - \textup { D i v } ( [ { \lambda _ { i , y _ { v } } } , { \hat { \lambda } _ { i , y _ { v } } } ] , [ { \lambda _ { k , y _ { v } } } , { \hat { \lambda } _ { k , y _ { v } } } ] ) } } \\ { = } & { \sum _ { i } \sum _ { k > i } n ^ { - \textup { D i v } \big ( [ { g ^ { ( i , y _ { v } ) } } , { h ^ { ( i , y _ { v } ) } } ] , [ { g ^ { ( k , y _ { v } ) } } , { h ^ { ( k , y _ { v } ) } } ] \big ) + o ( 1 ) } , } \end{array}