harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( \delta F _ { p } \right) \left( \phi _ { 0 } , \cdots , \phi _ { p + 1 } \right) = \sum _ { i = 0 } ^ { p + 1 } ( - 1 ) ^ { i } \, F _ { p } \left( \phi _ { 0 } , \cdots , \phi _ { i - 1 } , \widehat { \phi } _ { i } , \phi _ { i + 1 } , \cdots , \phi _ { p + 1 } \right)
[ \mathrm { ~ X ~ e ~ } ] \, 4 f _ { 5 / 2 } ^ { 1 . 3 6 } \, 4 f _ { 7 / 2 } ^ { 0 . 1 1 } \, 5 d _ { 3 / 2 } ^ { 0 . 4 1 } \, 5 d _ { 5 / 2 } ^ { 0 . 1 2 } \, 6 s _ { 1 / 2 } ^ { 2 }
\phi _ { f } = 2 \, \mathrm { a r g } ( V _ { j r } ^ { \ast } V _ { j b } ) = \left\{ \begin{array} { c c } { { - 2 \gamma } } & { { \mathrm { ( ~ j = u ~ ) } } } \\ { { 0 } } & { { \, \mathrm { ( ~ j = c ~ ) . } } } \end{array} \right.
\langle \phi | \psi \rangle \langle e | e \rangle \equiv \langle \phi | _ { A } \langle e | _ { B } | \psi \rangle _ { A } | e \rangle _ { B } = \langle \phi | _ { A } \langle e | _ { B } U ^ { \dagger } U | \psi \rangle _ { A } | e \rangle _ { B } = e ^ { - i ( \alpha ( \phi , e ) - \alpha ( \psi , e ) ) } \langle \phi | _ { A } \langle \phi | _ { B } | \psi \rangle _ { A } | \psi \rangle _ { B } \equiv e ^ { - i ( \alpha ( \phi , e ) - \alpha ( \psi , e ) ) } \langle \phi | \psi \rangle ^ { 2 } .
\Phi = U _ { 1 } ^ { - 1 } ( { \bf r } ) \left( \begin{array} { l l l l } { { t _ { 4 } - { \frac { 1 } { 2 y _ { R } } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { t _ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 y _ { L } } } + { \frac { 1 } { 2 y _ { R } } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { t _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { t _ { 1 } + { \frac { 1 } { 2 y _ { L } } } } } \end{array} \right) U _ { 1 } ( { \bf r } )
\begin{array} { r l r } { I } & { { } = } & { \frac { - \kappa K ^ { \prime } } { \epsilon ^ { n + 2 - m } } \left( \frac { 1 } { \hbar \omega } \right) ^ { m - 2 } + \frac { \pi K } { 2 \epsilon } \tan \left( \frac { m \pi } { 2 } \right) \left( \frac { 1 } { \hbar \omega } \right) ^ { m - 1 } + \left( \frac { 2 ^ { - m + 3 } K } { ( m - 3 ) \epsilon ^ { m - 2 } } + \frac { ( 1 - 2 ^ { - n + 3 } ) K ^ { \prime } } { ( n - 3 ) \epsilon ^ { n - 2 } } \right) \left( \frac { 1 } { \hbar \omega } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { p _ { a } ( t ) = } & { p _ { a 0 } \mathsf { c } _ { r _ { \lambda _ { 0 } } } ( t ) - \left( a x _ { a 0 } + p _ { c 0 } \right) \mathsf { s } _ { r _ { \lambda _ { 0 } } } ( t ) } \\ { p _ { b } ( t ) = } & { p _ { b 0 } } \\ { p _ { c } ( t ) = } & { p _ { c 0 } } \\ { x _ { a } ( t ) = } & { \frac { \left( { r _ { \lambda _ { 0 } } } x _ { a 0 } + p _ { c 0 } \right) \mathsf { c } _ { r _ { \lambda _ { 0 } } } ( t ) - p _ { c 0 } } { a } + p _ { a 0 } \mathsf { s } _ { r _ { \lambda _ { 0 } } } ( t ) } \\ { x _ { b } ( t ) = } & { p _ { b 0 } t + x _ { b 0 } } \\ { x _ { c } ( t ) = } & { x _ { c 0 } + \frac { p _ { a 0 } ( 1 - \mathsf { c } _ { r _ { \lambda _ { 0 } } } ( t ) ) - p _ { c 0 } t + ( { r _ { \lambda _ { 0 } } } x _ { a 0 } + p _ { c 0 } ) \mathsf { s } _ { r _ { \lambda _ { 0 } } } ( t ) } { a } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { r _ { \mathrm { s p } } ( \hbar \omega ) = } & { { } \left( \frac { P ^ { 2 } n _ { r } e ^ { 2 } \hbar \omega } { 6 \pi ^ { 3 } \hbar ^ { 4 } c ^ { 3 } \varepsilon _ { 0 } } \right) \sum _ { v } \left( \frac { 2 m _ { c , v } ^ { * } } { \hbar ^ { 2 } } \right) k _ { 0 , v } } \\ { R _ { \mathrm { r a d } } ( x ) = } & { { } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \biggl [ r _ { \mathrm { s p } } ( E , x ) - r _ { \mathrm { s p } } ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } ( E , x ) \biggr ] \mathrm { d } E } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mu _ { 1 } ( a ) } & { { } = } & { - \frac { 8 } { 3 } \, a \left[ \ln { \left( \frac { 2 \, a + 1 } { ( \sqrt { 2 a } + 1 ) ^ { 2 } } \right) } + \frac { 2 } { \sqrt { 2 a } + 1 } \right] } \\ { \mu _ { 2 } ( a ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 3 } \left[ \ln { \left( \frac { 2 \, a + 1 } { ( \sqrt { 2 a } + 1 ) ^ { 2 } } \right) } + \frac { \sqrt { 8 a } } { \sqrt { 2 a } + 1 } \right] \, , } \end{array}
g ( u ) = \int _ { 1 } ^ { u } d z \eta ( z ) = { \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } } \int _ { 1 } ^ { u } d x \int _ { - 1 } ^ { 1 } d y { \frac { y - x } { \sqrt { ( x ^ { 2 } - 1 ) ( y ^ { 2 } - 1 ) } } } \log \left[ { \frac { 2 u - x - y + 2 \sqrt { ( u - x ) ( u - y ) } } { x - y } } \right] .
{ { D } _ { 3 , 4 } } \left( \! \, { { Q } _ { 1 } } \, \! \right) ( \, { x } , { y } , { \theta 1 } , { \theta 2 } \, ) = { \frac { { \partial } ^ { 2 } } { { \partial } { \theta 2 } \, { \partial } { \theta 1 } } } \, { { Q } _ { 1 } }
\begin{array} { r } { E _ { r e f } = \sqrt { \rho } E _ { c c w } + i \sqrt { 1 - \rho } E _ { c w } , } \\ { E _ { o u t } = \sqrt { \rho } E _ { c w } + i \sqrt { 1 - \rho } E _ { c c w } . } \end{array}
{ \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) : { \mathcal { D } } ( { \mathbf v } ) = { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) : \nabla { \mathbf v } ^ { t } + { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) : \nabla { \mathbf v } = 2 { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) : \nabla { \mathbf v } ^ { t }
\begin{array} { r l } { \delta \mathcal { L } \left( { { \bf { \bar { v } } } ; { C _ { n } } } \right) } & { = \delta { \mathcal J } \left( { { \bf { \bar { v } } } ; { C _ { n } } } \right) - \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } { { { \left\langle { { R _ { k } } \left( { \delta { \bf { \bar { v } } } ; { C _ { n } } } \right) , { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } } \right\rangle } _ { { \bf { x } } , t } } } - \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } { { { \left\langle { { R _ { k } } \left( { { \bf { \bar { v } } } ; \delta { C _ { n } } } \right) , { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } } \right\rangle } _ { { \bf { x } } , t } } } , } \\ & { = \delta { \mathcal J } \left( { { \bf { \bar { v } } } ; { C _ { n } } } \right) - { \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } \left\langle { { \frac { { \partial { R _ { k } } \left( { { \bf { \bar { v } } } ; { C _ { n } } } \right) } } { { \partial { \bf { \bar { v } } } } } \cdot \delta { \bf { \bar { v } } } } , { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } } \right\rangle _ { { \bf { x } } , t } } - \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } { { { \left\langle { \frac { { \partial { R _ { k } } \left( { { \bf { \bar { v } } } ; { C _ { n } } } \right) } } { { \partial { C _ { n } } } } \cdot \delta { C _ { n } } , { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } } \right\rangle } _ { { \bf { x } } , t } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( Y ^ { K _ { n } } = y ^ { K _ { n } } | X ^ { n } = x ^ { n } ) } & { = \prod _ { j : S _ { j } \neq 0 } \operatorname* { P r } ( ( Y _ { K _ { j - 1 } + 1 } , \dots , Y _ { K _ { j } } ) = ( y _ { K _ { j - 1 } + 1 } , \dots , y _ { K _ { j } } ) | X _ { j } = x _ { j } ) } \\ & { = \prod _ { j : S _ { j } \neq 0 } \prod _ { s = 1 } ^ { S _ { j } } p _ { Y | X } ( y _ { K _ { j - 1 } + s } | x _ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \vert c _ { i } \sigma _ { n } / \sigma _ { i } \vert ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } 1 0 ^ { - 2 \alpha ( \frac { n - i } { n - 1 } ) } } \\ & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } 1 0 ^ { - 2 \alpha ( \frac { j } { n - 1 } ) } } \\ & { = \frac { 1 } { n } \frac { 1 - 1 0 ^ { - 2 \alpha ( \frac { n } { n - 1 } ) } } { 1 - 1 0 ^ { \frac { 2 \alpha } { n - 1 } } } } \\ & { \approx \frac { n - 1 } { 2 \alpha \ln 1 0 n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \bigg [ \Big ( \sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \big ( e ^ { - t \lambda _ { k } } - 1 \big ) ^ { 2 } \vert \widehat { \mu ^ { n } } ( k ) - \widehat { \rho } ( k ) \vert ^ { 2 } \Big ) ^ { p } \bigg ] ^ { \frac { 1 } { p } } } \\ & { \lesssim p ^ { 2 } \frac { 1 } { n } \sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 1 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \big ( e ^ { - t \lambda _ { k } } - 1 \big ) ^ { 2 } \bigg ( \log ^ { \frac { 1 } { \eta } } ( n ) + \frac { \lambda _ { k } ( 1 + \log ^ { 2 } ( n ) ) } { n } \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { j } \left( \mathbf { r } \right) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left( \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { k } ) \hat { p } _ { k } + \hat { p } _ { k } ^ { \dagger } \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { k } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { T ( \xi , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { T _ { l i q } + \xi ( T _ { l i q } ) _ { \xi } \quad } & { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \lambda _ { l i q } = c o n s t . , k _ { l i q } = c o n s t . \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \xi < 0 , } \\ { T _ { g a s } + \xi ( T _ { g a s } ) _ { \xi } \quad } & { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \lambda _ { g a s } = c o n s t . , k _ { g a s } = c o n s t . \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \xi \geq 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \eta _ { n } } ( a , b ) } & { = 2 \int _ { - 1 } ^ { 1 } \sqrt { W ( \gamma _ { n } ( t ) ) } | \gamma _ { n } ^ { \prime } ( t ) | d t } \\ & { \geq C d _ { h o m } ( a , b ) \sqrt { M } \int _ { t _ { 1 } ^ { n } ( M ) } ^ { t _ { 2 } ^ { n } ( M ) } | \gamma _ { n } ^ { \prime } ( t ) | d t } \\ & { \geq C d _ { h o m } ( a , b ) M ^ { 3 / 2 } , } \end{array}
F _ { \mathrm { o u t 1 } } = F _ { \mathrm { i n 2 } } , \; F _ { \mathrm { o u t 2 } } = F _ { \mathrm { i n 3 } } , \ldots \; F _ { \mathrm { o u t K } } = F _ { \mathrm { i n K + 1 } }
( 2 \tilde { \mu } \sigma _ { 0 } ) ^ { 2 / 3 } a ( n ) = 3 \mu _ { 1 } ^ { 2 } , ~ ~ ~ ~ 3 m _ { 2 } ^ { 2 } + ( 2 \tilde { \mu } \sigma _ { 0 } ) ^ { 2 / 3 } a ( n ) = 3 \mu _ { 2 } ^ { 2 } .
\zeta _ { j , l } ( x _ { + } , x _ { - } ) = \log \left( a _ { j } \exp \left( \sqrt { 2 } m ( e \sp { - \eta _ { j } } x _ { + } - e \sp { + \eta _ { j } } x _ { - } ) \sin ( \theta _ { j } / 2 ) + i l \theta _ { j } \right) \right) .
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \psi \left( \frac { u _ { j } } { a } \right) a = } & { \int _ { \Omega } \overbrace { \psi \left( \frac { u _ { j } } { a } \right) a - \psi \left( \frac { u _ { j } } { a _ { n } } \right) a } ^ { = I } + \overbrace { \psi \left( \frac { u _ { j } } { a _ { n } } \right) a - \psi \left( \frac { u _ { j } } { a _ { n } } \right) a _ { n } } ^ { = I I } + \psi \left( \frac { u _ { j } } { a _ { n } } \right) a _ { n } . } \end{array}
q _ { r } ^ { 2 } \approx \frac { 2 q _ { \theta } ^ { 2 } } { r _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { r _ { \mathrm { c } } } - \frac { n ^ { \prime } ( r _ { \mathrm { c } } ) } { n ( r _ { \mathrm { c } } ) } \right) ( r - r _ { \mathrm { c } } ) ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { W \geq 0 } } & { \qquad g \left( \overline { { \texttt { m s e } _ { \mathrm { R R } } ^ { [ 1 ] } } } , \cdots , \overline { { \texttt { m s e } _ { \mathrm { R R } } ^ { [ K ] } } } \right) } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \qquad { \mathbb { E } } \left[ W ( m ) + \sum _ { k = 1 } ^ { K } Y ^ { [ k ] } \right] \geq \frac { K } { f _ { \operatorname* { m a x } } } , } \end{array}
{ { \bf D } ^ { ( r ) } } ( { \bf r } , t ) = \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left\{ { { \bf d } ^ { ( r ) } } ( { \bf k } ) e ^ { i \left[ { \bf k } \cdot { \bf r } + \omega _ { 2 } ( t - \tau ) \right] } \right\}
\begin{array} { r l } { [ D ^ { 2 } u ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 / 2 } ) } } & { \le C \left( \| u \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } + \| f \| _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } + \| D ^ { 2 } u \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } \right) } \\ { \textrm { \tiny ( b y i n t e r p o l a t i o n ) } } & { \le C \left( C _ { \varepsilon } \| u \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } + \| f \| _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } + \varepsilon [ D ^ { 2 } u ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } \right) } \\ & { \le C _ { \delta } \left( \| u \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } + \| f \| _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } \right) + \delta [ D ^ { 2 } u ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } , } \end{array}
\oint _ { C } \mathbf { H } \cdot \mathrm { d } { \boldsymbol { l } } = \iint _ { S } \left( \mathbf { J } _ { \mathrm { f } } + { \frac { \partial \mathbf { D } } { \partial t } } \right) \cdot \mathrm { d } \mathbf { S }
\frac { \mu } { T _ { 0 } } = \iota _ { \beta } A + \left\{ \begin{array} { l l } { - \mathrm { d } \varphi , } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } q > 0 , } \\ { \mu _ { 0 } / T _ { 0 } , } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } q = 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \hat { \mu } ^ { 3 \tilde { j } } \hat { \mu } ^ { 3 \tilde { a } } - \hat { \mu } ^ { 3 \tilde { j } } \hat { \mu } ^ { 3 \tilde { a } } } & { = \left( \hat { \mu } ^ { 3 3 } \sqrt { \hat { \mu } ^ { 3 3 } } - \hat { \mu } ^ { 3 3 } \sqrt { \hat { \mu } ^ { 3 3 } } \right) \left( \tilde { \mu } ^ { \tilde { j } \tilde { a } } \frac { \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \varepsilon } } } { \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \mu } } } + \frac { \tilde { \mu } ^ { \tilde { j } \tilde { d } } \xi _ { \tilde { d } } } { \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \mu } } } \frac { \tilde { \varepsilon } ^ { \tilde { a } \tilde { b } } \xi _ { \tilde { b } } } { \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \varepsilon } } } \right. } \\ & { \left. - \tilde { \mu } ^ { \tilde { j } \tilde { d } } \xi _ { \tilde { d } } \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \varepsilon } } \frac { \tilde { \mu } ^ { \tilde { b } \tilde { a } } \xi _ { \tilde { b } } } { \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \mu } } ^ { 3 } } - \tilde { \varepsilon } ^ { \tilde { j } \tilde { a } } \frac { \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \mu } } } { \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \varepsilon } } } - \frac { \tilde { \varepsilon } ^ { \tilde { j } \tilde { d } } \xi _ { \tilde { d } } } { \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \varepsilon } } } \frac { \tilde { \mu } ^ { \tilde { a } \tilde { b } } \xi _ { \tilde { b } } } { \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \mu } } } + \tilde { \varepsilon } ^ { \tilde { j } \tilde { d } } \xi _ { \tilde { d } } \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \mu } } \frac { \tilde { \varepsilon } ^ { \tilde { b } \tilde { a } } \xi _ { \tilde { b } } } { \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \varepsilon } } ^ { 3 } } \right) . } \end{array}
w ( \epsilon ) \, = \, \frac { 1 } { 2 } \, \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \, \sqrt { n ^ { 2 } \, + \, \epsilon ^ { - 1 } } \, = \, \frac { 1 } { 4 } \, \left( \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \, \sqrt { n ^ { 2 } \, + \, \epsilon ^ { - 1 } } \, - \, \frac { 1 } { \sqrt { \epsilon } } \right) \, { , }
e _ { 1 } = s _ { 1 } + s _ { 2 } - s _ { 3 } \, , \quad e _ { 2 } = s _ { 1 } - s _ { 2 } + s _ { 3 } \, , \quad e _ { 3 } = - s _ { 1 } + s _ { 2 } + s _ { 3 }
G ( x , y ; B ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { 1 } { ( x - y ) ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { e ^ { - [ \chi ( x ) - \chi ( y ) ] } \; \overline { { { ( \tilde { x } - \tilde { y } ) } } } } } \\ { { e ^ { + [ \chi ( x ) - \chi ( y ) ] } \; ( \tilde { x } - \tilde { y } ) } } & { { 0 } } \end{array} \right) \; .
\{ \mathbf { S } _ { Q } , \mathbf { S } _ { Q } \} = - 2 \mathbf { Z } , \qquad \{ \mathbf { S } _ { Q } , \mathbf { \bar { Q } } _ { \mu } \} = - i \mathbf { P } _ { \mu } , \qquad \{ \mathbf { \bar { Q } } _ { \mu } , \mathbf { \bar { Q } } _ { \nu } \} = - 2 \delta _ { \mu \nu } \mathbf { \bar { Z } } .
{ \bar { F } } ( B ) = p ( A ) + { \frac { 1 } { 2 } } p ( B ) = { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 2 } } \cdot { \frac { 1 } { 4 } } = 0 . 4 5 8 3 3 3 3 . . .
\begin{array} { r l } { { T } _ { 0 } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 + q \mathrm { e } ^ { z } } & { ( z < 0 ) } \\ { 1 + q } & { ( z > 0 ) } \end{array} \right. , \quad { Y } _ { 0 } = \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 - \mathrm { e } ^ { L e z } } & { ( z < 0 ) } \\ { 0 } & { ( z > 0 ) } \end{array} \right. , } \\ { { V } _ { 0 } } & { { } = { T } _ { 0 } , \quad { R } _ { 0 } = { V } _ { 0 } ^ { - 1 } , \quad { P } _ { 0 } = 1 \quad ( z \gtrless 0 ) , } \\ { { P } _ { 1 } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l l } { b ^ { 2 } ( \nu - \gamma ) q \mathrm { e } ^ { z } } & { ( z < 0 ) } \\ { - b ^ { 2 } \gamma q } & { ( z > 0 ) } \end{array} \right. , \quad { Y } _ { 1 } = \left\{ \begin{array} { l l l } { C _ { Y } \mathrm { e } ^ { L e z } } & { ( z < 0 ) } \\ { 0 } & { ( z > 0 ) } \end{array} \right. , } \\ { { T } _ { 1 } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l l } { C _ { T } \mathrm { e } ^ { z } - b ^ { 2 } \frac { \gamma - 1 } { \gamma } q \left( ( \nu - \gamma ) z + \frac { q } { 2 } ( 2 \nu - \gamma ) \mathrm { e } ^ { z } \right) \mathrm { e } ^ { z } } & { ( z < 0 ) } \\ { b ^ { 2 } \frac { \gamma - 1 } { 2 } ( 1 - T _ { a d } ^ { 2 } ) } & { ( z > 0 ) } \end{array} \right. , } \end{array}
M _ { \mathrm { n d } } = \frac { \sum _ { n = 1 } ^ { \tilde { N } } 4 \, \overline { { \tilde { \rho } } } _ { n } \left( 1 - \overline { { \tilde { \rho } } } _ { n } \right) } { \tilde { N } } \times 1 0 0 \
{ \frac { 2 } { n ^ { 1 / 3 } 3 ^ { 2 / 3 } \Gamma ^ { 2 } ( { \frac { 1 } { 3 } } ) } } = { \frac { 1 } { n ^ { 1 / 3 } \cdot 7 . 4 6 4 0 8 0 9 2 6 5 8 . . . } }
[ S _ { \mu \nu } , S _ { \lambda \rho } ] = i ( \eta _ { \mu \lambda } S _ { \nu \rho } + \eta _ { \nu \rho } S _ { \mu \lambda } - \eta _ { \mu \rho } S _ { \nu \lambda } - \eta _ { \nu \lambda } S _ { \mu \rho } ) ~ ~ ~ ~ .
Z = n _ { \mathrm { A } } n _ { \mathrm { B } } \sigma _ { A B } { \sqrt { \frac { 8 k _ { \mathrm { B } } T } { \pi \mu _ { A B } } } } = 1 0 ^ { 6 } N _ { A } ^ { 2 } [ A ] [ B ] \sigma _ { A B } { \sqrt { \frac { 8 k _ { \mathrm { B } } T } { \pi \mu _ { A B } } } } = z [ A ] [ B ] ,
\begin{array} { r l } { L _ { P R T } ^ { Q S U } = \langle { P R T } | \mathcal P _ { 2 , 3 } ^ { 1 } ( } & { { } \nabla _ { 1 } u ( \vec { r } _ { 1 } , \vec { r } _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ( \tilde { \mathbf { T } } _ { c } ( \mathbf { k } ) , \mathbf { T } _ { c } } & { { } = \sum _ { A } ( \tilde { T } _ { c , A } ( \mathbf { k } ) - T _ { c , A } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } ( \mathbf { X } , t ) } & { { } = \mathbf { x } ( \mathbf { X } , t ) - \mathbf { X } } \\ { \nabla _ { \mathbf { X } } \mathbf { u } } & { { } = \nabla _ { \mathbf { X } } \mathbf { x } - \mathbf { I } } \\ { \nabla _ { \mathbf { X } } \mathbf { u } } & { { } = \mathbf { F } - \mathbf { I } } \end{array}
[ L _ { i j } ^ { \prime } , L _ { k l } ^ { \prime } ] = i [ \delta _ { i k } L _ { j l } ^ { \prime } - \delta _ { i l } L _ { j k } ^ { \prime } - \delta _ { j k } L _ { i l } ^ { \prime } + \delta _ { j l } L _ { i k } ^ { \prime } ] \,
\begin{array} { r l } { S } & { { } = \mathrm { ~ ( ~ p ~ o ~ w ~ e ~ r ~ o ~ f ~ m ~ o ~ m ~ e ~ n ~ t ~ u ~ m ~ i ~ n ~ n ~ u ~ m ~ e ~ r ~ a ~ t ~ o ~ r ~ ) ~ - ~ ( ~ p ~ o ~ w ~ e ~ r ~ o ~ f ~ m ~ o ~ m ~ e ~ n ~ t ~ u ~ m ~ i ~ n ~ d ~ e ~ m ~ o ~ n ~ i ~ n ~ a ~ t ~ o ~ r ~ ) ~ } } \end{array}
^ { ( C ) } \! E _ { s } = \frac { S } { 1 5 } \, u _ { i j } u ^ { i j } + \frac 2 7 \, P ^ { i k } u _ { i j } u ^ { j } { } _ { k } + \frac 1 2 \, R ^ { i j k l } u _ { i j } u _ { k l } \, .
\begin{array} { r l r } { r _ { \mathrm { ~ p ~ } } + \theta } & { { } \rightarrow } & { \theta } \\ { r _ { \mathrm { ~ p ~ } } ^ { 2 } + G _ { \mathrm { ~ T ~ } } \theta r _ { \mathrm { ~ p ~ } } + G _ { \mathrm { ~ T ~ } } \theta ^ { 2 } } & { { } \rightarrow } & { G _ { \mathrm { ~ T ~ } } \theta ^ { 2 } } \\ { \mathrm { ~ E ~ q ~ u ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } ~ ( ) \Rightarrow \dot { Q } } & { { } \rightarrow } & { \frac { 8 \pi k ^ { * } } { G _ { \mathrm { ~ T ~ } } \theta } ( T _ { \mathrm { ~ p ~ } } - T _ { \mathrm { ~ g ~ } } ) r _ { \mathrm { ~ p ~ } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { a } \mathbf { b } | \mathbf { c } ) = } & { { } \sum _ { \mathbf { \tilde { p } } , \mathbf { \tilde { c } } } E _ { \mathbf { a b } } ^ { \mathbf { \tilde { p } } } E _ { \mathbf { c } } ^ { \mathbf { \tilde { c } } } ( \mathbf { \tilde { p } } | \mathbf { \tilde { c } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { s < 0 \; } & { { } \longleftrightarrow } & { \; \widetilde { a } \left( s \right) = a _ { 1 } \left( s \right) ^ { 2 } - a _ { 2 } \left( s \right) ^ { 2 } < 0 \; \; \; \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; a _ { 1 } \left( s \right) \ge 0 } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { \hbar \in ( 0 , \hbar _ { 0 } ] } \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { 0 } } \mathbb { E } \bigg [ \Big \lVert \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k } } \mathcal { I } _ { 0 , 0 } ( k , \boldsymbol { x } , t ; \hbar ) \varphi - \mathcal { I } _ { 0 , 0 } ^ { \gamma } ( k , \boldsymbol { x } , t ; \hbar ) \varphi \Big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \bigg ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leq \varepsilon ,
\hat { E } _ { e } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } U } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } U + \overline { { p } } \xi _ { x } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } U + \overline { { p } } \xi _ { y } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { w } U + \overline { { p } } \xi _ { z } } \\ { \left( \check { e } + \overline { { p } } \right) U - \overline { { p } } \xi _ { t } } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ , ~ }
\{ s _ { m } ^ { a } , s _ { n } ^ { b } { } ^ { \dagger } \} = \delta ^ { a , b } \delta _ { m , n } , ~ ~ ~ \{ \tilde { s } _ { m } ^ { a } , \tilde { s } _ { n } ^ { b } { } ^ { \dagger } \} = \delta ^ { a , b } \delta _ { m , n } , ~ ~ ~ \{ s _ { 0 } ^ { a } , s _ { 0 } ^ { b } { } ^ { \dagger } \} = \delta ^ { a , b }
\begin{array} { r l } { e _ { 1 } = \frac { x _ { i } - x _ { j } } { | | x _ { i } - x _ { j } | | } , } & { e _ { 2 } = \frac { x _ { i } \times x _ { j } } { | | x _ { i } \times x _ { j } | | } , e _ { 3 } = e _ { 1 } \times e _ { 2 } , } \\ { s _ { i j } } & { = ( x _ { i } \cdot e _ { 1 } , x _ { i } \cdot e _ { 2 } , x _ { i } \cdot e _ { 3 } ) } \end{array}
p _ { \mathrm { ~ 1 ~ x ~ } } [ T ( t ) ] \equiv \int _ { T ( t _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ) } ^ { T ( 0 ) } d T \, p _ { \mathrm { ~ 1 ~ x ~ } } \big ( T ; T ( t ) \big ) = \int _ { T ( t _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ) } ^ { T ( 0 ) } d T \, p _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ r ~ s ~ t ~ - ~ n ~ u ~ c ~ } } \big ( T ; T ( t ) \big ) \times p _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ - ~ s ~ e ~ c ~ - ~ n ~ u ~ c ~ } } \big ( T ; T ( t ) \big ) .
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { d i s p } } } & { = \int \hat { \psi } ^ { \dagger } ( Z ) \left[ \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { \hbar g _ { 0 } ^ { 2 } } { \Delta _ { a } } \cos ^ { 2 } ( k Z ) \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \right] \hat { \psi } ( Z ) \, d Z - \hbar \delta _ { d } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + \hbar \sqrt { \kappa _ { 1 } } \left( \alpha _ { d } \hat { a } ^ { \dagger } + \alpha _ { d } ^ { * } \hat { a } \right) } \\ & { = \int \hat { \psi } ^ { \dagger } ( Z ) \left[ \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { \hbar g _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { a } } \left( e ^ { i 2 k Z } + e ^ { - i 2 k Z } \right) \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \right] \hat { \psi } ( Z ) \, d Z - \hbar \Delta _ { d } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + \hbar \sqrt { \kappa _ { 1 } } \left( \alpha _ { d } \hat { a } ^ { \dagger } + \alpha _ { d } ^ { * } \hat { a } \right) , } \end{array}
\frac { d \mathbf v _ { s } ^ { \prime } } { d t } = \partial _ { t } \mathbf v _ { s } ^ { \prime } + \mathbf v _ { s } ^ { \prime } \cdot \boldsymbol \nabla ^ { \prime } \mathbf v _ { s } ^ { \prime } + 2 \boldsymbol \Omega \times \mathbf v _ { s } ^ { \prime } + \boldsymbol \Omega \times [ \boldsymbol \Omega \times \mathbf r _ { s } ^ { \prime } ] .
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ^ { \mathrm { ~ r ~ i ~ n ~ g ~ } } = } & { { } \frac { 4 ^ { 3 } \Gamma ^ { 2 } P _ { P } ^ { 2 } v _ { g } ^ { 4 } \omega _ { S } \omega _ { I } } { L ^ { 2 } \omega _ { P } ^ { 4 } \left( \omega _ { S } Q _ { I } + \omega _ { I } Q _ { S } \right) } } \end{array}
C ( \vec { r } _ { \perp } , r _ { \| } ) = b ^ { - 2 x } C ( b \vec { r } _ { \perp } , b ^ { \theta } r _ { \| } ) = r _ { \perp } ^ { - 2 x } \, \Omega ( r _ { \| } r _ { \perp } ^ { - \theta } )