harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \frac { 6 } { \pi ^ { 2 } } } e ^ { \gamma } \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { t \rightarrow + \infty } { \frac { 1 / | \zeta ( 1 + i t ) | } { \log \log t } } \leq { \frac { 1 2 } { \pi ^ { 2 } } } e ^ { \gamma }
\begin{array} { r } { \frac { I ( t ) } { I _ { 0 } } = \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \big [ - \alpha _ { \mathrm { V } } \cdot l \big ] = \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \big [ - \alpha _ { \mathrm { M } } \cdot \rho _ { \mathrm { a e r o s o l } } \cdot l \big ] = \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left[ - K _ { \mathrm { e } } \cdot \frac { \rho _ { \mathrm { a e r o s o l } } } { \rho _ { \mathrm { p a r t } } } \cdot \frac { l } { \lambda _ { \mathrm { i n } } } \right] . } \end{array}
d s _ { Q ^ { 1 , 1 , 1 } } ^ { 2 } = \frac { 3 } { 8 \Lambda } ( d \psi - { \cal A } ) ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 \Lambda } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \left( d \theta _ { i } ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta _ { i } \, d \phi _ { i } ^ { 2 } \right) \, ,
\hat { H } ( t ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d p } { 2 \pi } } \Big ( \hat { \Pi } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \Pi } ( p ) + ( m ^ { 2 } ( t ) + p ^ { 2 } ) \; \hat { \Phi } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \Phi } ( p ) \Big ) \; ,
\begin{array} { r l } { f _ { H H } ( \theta ) } & { = \frac { \cos ( \theta _ { l } ) - \sqrt { \varepsilon _ { r } - \sin ^ { 2 } ( \theta _ { l } ) } } { \cos ( \theta _ { l } ) + \sqrt { \varepsilon _ { r } - \sin ^ { 2 } ( \theta _ { l } ) } } , } \\ { f _ { V V } ( \theta ) } & { = ( \varepsilon _ { r } - 1 ) \frac { \sin ^ { 2 } ( \theta _ { l } ) - \varepsilon _ { r } \left( 1 + \sin ^ { 2 } ( \theta _ { l } ) \right) } { \left( \varepsilon _ { r } \cos ( \theta _ { l } ) + \sqrt { \varepsilon _ { r } - \sin ^ { 2 } ( \theta _ { l } ) } \right) ^ { 2 } } , } \end{array}
i ^ { \alpha } \frac { \partial ^ { \alpha } } { \partial t ^ { \alpha } } \psi _ { 2 } ( x , t ) = - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \psi _ { 2 } ( x , t ) + \gamma e ^ { - i \omega t } \psi _ { 1 } ( x , t ) .
\begin{array} { r } { \nabla _ { \phi } \operatorname { E L B O } \left( \phi \vert \lambda \right) = - \operatorname { \mathbb { E } } \left[ \nabla _ { \phi } \ h _ { \beta } \left( g _ { \phi } \left( \epsilon \right) , t \Big | \lambda \right) \right] + \nabla _ { \phi } \mathbb { H } \left[ q _ { \phi } ( w ) \right] . } \end{array}
E ( t ) \sim 9 3 8 \, \, A ( t ) \, \, \Gamma \, \, \, \mathrm { M e V } \nonumber \, \sim E _ { 0 } \, \exp \left[ \frac { - \left. R ( \Gamma ) \right| _ { _ \mathrm { F e } } \, t } { 5 6 } \right] \, .
C _ { i } ( s ) = \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \frac { 1 } { | \mathscr { D } ( s ) | } A d j ( \mathscr { D } ( s ) ) _ { i j } \bigg [ \mathscr { R } _ { j } ( s ) - \sum _ { m = 4 } ^ { 6 } C _ { m } ( s ) \mathscr { C } _ { j } ^ { ( m ) } ( s ) \bigg ]
\begin{array} { r l } { | G | _ { x } } & { = - \mathrm { i } \sum _ { j = 2 , k = 1 } ^ { N } ( p _ { j } - q _ { k } ) g _ { j k } G _ { j k } + \mathrm { i } \sum _ { j = 2 , k = 1 } ^ { N } G _ { j k } } \\ & { = - \mathrm { i } \mu | G | - \mathrm { i } \sum _ { k = 1 } ^ { N } q _ { k } G _ { 1 k } + \mathrm { i } \sum _ { j , k = 1 } ^ { N } G _ { j k } - \mathrm { i } \sum _ { k = 1 } ^ { N } G _ { 1 k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \eta _ { t } } \mathbb { E } \| \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) \big ] - G _ { t + 1 } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { \eta _ { t - 1 } } \mathbb { E } \| \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - G _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \big ( \frac { 1 } { \eta _ { t } } - \frac { 1 } { \eta _ { t - 1 } } - c _ { 4 } \eta _ { t } \big ) \mathbb { E } \| \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - G _ { t } \| ^ { 2 } + 4 L _ { g x y } ^ { 2 } \eta _ { t } \big ( \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) + 2 c _ { 4 } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 3 } \sigma ^ { 2 } , } \end{array}
\{ Q ^ { + } , Q ^ { + } \} = 2 \sqrt { 2 } P ^ { + } \, , \; \; \{ Q ^ { - } , Q ^ { - } \} = 2 \sqrt { 2 } P ^ { - } \, , \; \; \{ Q ^ { + } , Q ^ { - } \} = - 4 P _ { \perp } \, .
I _ { { ^ L _ { R } } _ { 1 } { ^ L _ { R } } _ { 2 } } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ) \propto \big | \tilde { \psi } _ { \pm _ { 1 } \pm _ { 2 } } - \tilde { \psi } _ { \mp _ { 1 } \mp _ { 2 } } + i \tilde { \psi } _ { \pm _ { 1 } \mp _ { 2 } } + i \tilde { \psi } _ { \mp _ { 1 } \pm _ { 2 } } \big | ^ { 2 } .
\delta \pi ^ { x x } = - \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } T ^ { 2 } \left[ \frac { 8 } { 3 } + \frac { 4 } { 9 } \frac { 1 } { T } \frac { K _ { 3 } \left( \frac { 1 } { T } \right) } { K _ { 2 } \left( \frac { 1 } { T } \right) } \right] P .
\hat { r } _ { s } ( s , t ) = \hat { R } _ { 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 4 0 } C _ { i } \left( \hat { t } _ { 0 } \right) y _ { i } ( s ) \cos \left[ \hat { \lambda } \left( \hat { t } - \hat { t } _ { 0 } \right) \right]
\Gamma _ { N _ { 1 } } = \frac { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } { 8 \pi } M _ { 1 } \ , \qquad \Gamma _ { h , s } = \frac { 3 \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \lambda _ { t } ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 5 } } \; \frac { T ^ { 3 } } { M _ { 1 } ^ { 2 } } \ , \qquad \Gamma _ { h , t } = \frac { 3 \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \lambda _ { t } ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 3 } } \; T \; \mathrm { l n } \frac { M _ { 1 } } { m _ { h } } \ ,
\begin{array} { r l } & { E _ { | F N G g \rangle } ^ { \mathrm { q h } } = \frac { e \langle q _ { 0 } ( R ) Q \rangle } { 4 I ( 2 I - 1 ) } \left( \frac { ( - 1 ) ^ { F - a } } { [ I ] } - \frac { 1 } { 2 } \right) } \\ & { \times \left\langle \frac { 3 X _ { F , \overline { { m } } } ( X _ { F , \overline { { m } } } - 1 ) - 4 N ( N + 1 ) F ( F + 1 ) } { ( 2 N - 1 ) ( 2 N + 3 ) } \right\rangle } \end{array}
{ \begin{array} { r } { \mathbf { E } ( \mathbf { x } ) = \mathbf { E } _ { 1 } ( \mathbf { x } ) + \mathbf { E } _ { 2 } ( \mathbf { x } ) + \mathbf { E } _ { 3 } ( \mathbf { x } ) + \cdots = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } q _ { k } { \frac { { \hat { \mathbf { r } } } _ { k } } { r _ { k } ^ { 2 } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \hat { a } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \Omega ] = } & { { } \frac { \sqrt { \eta } + G e ^ { i \Omega \tau } } { 1 + G \sqrt { \eta } e ^ { i \Omega \tau } } \hat { a } _ { 0 } [ \Omega ] + \frac { \sqrt { G ^ { 2 } - 1 } \sqrt { 1 - \eta } } { 1 + G \sqrt { \eta } e ^ { i \Omega \tau } } \hat { a } _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { \dagger } [ \Omega ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \Delta ( \boldsymbol { \Theta } _ { t } ) | \boldsymbol { \Theta } _ { t } \right] + V \mathbb { E } [ - F _ { t } ^ { * } | \boldsymbol { \Theta } _ { t } ] } \\ & { \leq A + V \mathbb { E } [ - F _ { t } ^ { * } | \boldsymbol { \Theta } _ { t } ] + \sum _ { g \in { \mathcal { G } } } \hat { Q } _ { g , t } \mathbb { E } \left[ \hat { a } _ { g , t } - \hat { x } _ { g , t } ^ { * } | \boldsymbol { \Theta } _ { t } \right] } \\ & { + \sum _ { g \in { \mathcal { G } } } \check { Q } _ { g , t } \mathbb { E } \left[ \check { a } _ { g , t } - \check { x } _ { g , t } ^ { * } | \boldsymbol { \Theta } _ { t } \right] + \sum _ { g \in { \mathcal { G } } } \hat { Z } _ { g , t } \mathbb { E } \left[ - \hat { x } _ { g , t } ^ { * } | \boldsymbol { \Theta } _ { t } \right] } \\ & { + \sum _ { g \in { \mathcal { G } } } \check { Z } _ { g , t } \mathbb { E } \left[ - \check { x } _ { g , t } ^ { * } | \boldsymbol { \Theta } _ { t } \right] , } \\ & { \leq A + V \mathbb { E } [ - F _ { t } ^ { o f f } | \boldsymbol { \Theta } _ { t } ] + \sum _ { g \in { \mathcal { G } } } \hat { Q } _ { g , t } \mathbb { E } \left[ \hat { a } _ { g , t } - \hat { x } _ { g , t } ^ { o f f } | \boldsymbol { \Theta } _ { t } \right] } \\ & { + \sum _ { g \in { \mathcal { G } } } \check { Q } _ { g , t } \mathbb { E } \left[ \check { a } _ { g , t } - \check { x } _ { g , t } ^ { o f f } | \boldsymbol { \Theta } _ { t } \right] + \sum _ { g \in { \mathcal { G } } } \hat { Z } _ { g , t } \mathbb { E } \left[ - \hat { x } _ { g , t } ^ { o f f } | \boldsymbol { \Theta } _ { t } \right] } \\ & { + \sum _ { g \in { \mathcal { G } } } \check { Z } _ { g , t } \mathbb { E } \left[ - \check { x } _ { g , t } ^ { o f f } | \boldsymbol { \Theta } _ { t } \right] . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } \Big ( g _ { 1 } ^ { ^ 3 H } ( x , Q ^ { 2 } ) - g _ { 1 } ^ { ^ 3 H e } ( x , Q ^ { 2 } ) \Big ) d x = \frac { 1 } { 6 } g _ { A } | _ { t r i t o n } \Big ( 1 + O ( \frac { \alpha _ { s } } { \pi } ) \Big ) \ ,
\tilde { f } ( v x x ^ { - 1 } w ) = \tilde { f } ( v ) \tilde { \tau } ( x x ^ { - 1 } w ) + \tilde { \sigma } ( v ) \tilde { f } ( x x ^ { - 1 } w ) = \tilde { f } ( v ) \tilde { \tau } ( w ) + \tilde { \sigma } ( v ) ( \tilde { f } ( x x ^ { - 1 } ) \tilde { \tau } ( w ) + \tilde { \sigma } ( x x ^ { - 1 } ) \tilde { f } ( w ) ) = \tilde { f } ( v ) \tilde { \tau } ( w ) + \, \tilde { \sigma } ( v ) \tilde { f } ( x x ^ { - 1 } ) \tilde { \tau } ( w ) + \tilde { \sigma } ( v ) \tilde { f } ( w ) = \tilde { f } ( v ) \tilde { \tau } ( w ) + \tilde { \sigma } ( v ) \tilde { f } ( w ) = \tilde { f } ( v w )
\begin{array} { r l r } { \tilde { E } _ { 0 } } & { { } = } & { \left( \mathbb { 1 } _ { d } - \frac { \gamma t } { 2 } L ^ { \dag } L \right) U , \; \; \tilde { E } _ { 1 } = \sqrt { \gamma t } L U , } \\ { E _ { 0 } } & { { } = } & { \mathbb { 1 } _ { d } - \frac { \gamma t } { 2 } L ^ { \dag } L , \; \; \; \; \; \; \; \; \; E _ { 1 } = \sqrt { \gamma t } L . } \end{array}
\nu _ { q , { \bf n } } = ( q + n + 1 ) \left( \begin{array} { l } { { q + n - 1 } } \\ { { n - 1 } } \end{array} \right) = { \frac { ( q + n + 1 ) ( q + 1 ) \cdots \bigl ( q + ( n - 1 ) \bigr ) } { ( n - 1 ) ! } } .
\begin{array} { r l } { m _ { i \setminus j } ^ { t } } & { { } = \frac { \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } ( I ) \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } ( I ) } { \sum _ { x _ { i } ^ { t } } \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } ( x _ { i } ^ { t } ) \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } ( x _ { i } ^ { t } ) } } \\ { \mu _ { i \setminus j } ^ { t } } & { { } = \frac { \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } ( S ) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } } p ( \mathcal { O } _ { i } ^ { t } | S ) \left( \rho _ { t + 1 \leftarrow } ^ { i \setminus j } ( S ) - \rho _ { t + 1 \leftarrow } ^ { i \setminus j } ( I ) \right) } { \sum _ { x _ { i } ^ { t } } \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } ( x _ { i } ^ { t } ) \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } ( x _ { i } ^ { t } ) } , } \end{array}
e \left( - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } , \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } \right) , \; \, \nu _ { e } \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } , \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } \right) , \; \, u \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } , - \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } \right) , \, \, \, d \left( - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } , - \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } \right) ;
\begin{array} { r l } { D _ { l k } } & { \geq \mu ( \mathcal { A } ) e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { s u p } _ { u \in \mathcal { A } } u ^ { 2 } + \sqrt { \alpha _ { n } } \varepsilon _ { l k } \zeta _ { l } } \geq \mu ( \mathcal { A } ) e ^ { - C n \alpha _ { n } ( \sigma _ { l } ^ { 2 } + f _ { 0 , l k } ^ { 2 } ) + \sqrt { \alpha _ { n } } \varepsilon _ { l k } \zeta _ { l } } , } \end{array}
\frac { \mathrm { ~ d ~ } P _ { h } } { \mathrm { ~ d ~ } t } = ( \boldsymbol { 1 } _ { \omega } , f _ { h } ( \mathbf { u } ) ) _ { \omega } = ( \boldsymbol { 1 } _ { \Omega } , \mathbf { W } f _ { h } ( \mathbf { u } ) ) _ { \Omega } = ( \mathbf { 1 } _ { \Omega } , f _ { H } ( \bar { \mathbf { u } } ) + \mathbf { c } ( \mathbf { u } ) ) _ { \Omega } = ( \mathbf { 1 } _ { \Omega } , \mathbf { c } ( \mathbf { u } ) ) _ { \Omega } = 0 ,
\zeta _ { r } ( I _ { r } , \psi _ { r } ; \theta ) = - \sum _ { \pm } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \frac { \tilde { \epsilon } _ { k , \pm } ^ { r } e ^ { i ( \nu _ { 0 } \pm \nu _ { r } - k ) \theta ^ { \prime } } } { \nu _ { 0 } \pm \nu _ { r } - k }
\left( f _ { 1 } f _ { 2 } \cdots f _ { m } \right) ^ { ( n ) } = \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } + \cdots + k _ { m } = n } { \binom { n } { k _ { 1 } , k _ { 2 } , \ldots , k _ { m } } } \prod _ { 1 \leq t \leq m } f _ { t } ^ { ( k _ { t } ) } \, ,
u _ { l , m , n } ( x ) = \frac 1 { \sqrt { 2 \pi R ^ { 2 } L \omega _ { l , m , n } } J _ { l + 1 } \left( \alpha _ { m } ^ { ( l ) } \right) } J _ { l } \left( \frac { \alpha _ { m } ^ { ( l ) } } R r \right) e ^ { - i \omega _ { l , m , n } t + i l \theta + i \frac { n \pi } { 2 L } z }
E _ { 0 } ( K ) = \operatorname * { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \frac { < \psi _ { f } ( K ) | H \left( e ^ { - \varepsilon H } \right) ^ { N } | \psi _ { i } ( K ) > } { < \psi _ { f } ( K ) | \left( e ^ { - \varepsilon H } \right) ^ { N } | \psi _ { i } ( K ) > }
\frac { \partial } { { \partial x } } \overline { { { { \left( { \frac { { \partial u } } { { \partial x } } } \right) } ^ { 2 } } { { \left( { \frac { { { \partial ^ { 2 } } u } } { { \partial { x ^ { 2 } } } } } \right) } } } } \equiv 0 \mathrm { { } } \Rightarrow \mathrm { { } } 2 \overline { { \frac { \partial u } { \partial x } \left( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } } = - \overline { { \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 3 } u } { \partial x ^ { 3 } } \right) } } ,
\begin{array} { r l } { A _ { a b , c d } } & { { } = \delta _ { a c } \delta _ { b d } ( \epsilon _ { a } + \epsilon _ { b } ) + \langle a b | | c d \rangle \mathrm { ~ , ~ } } \\ { B _ { a b , k l } } & { { } = \langle a b | | k l \rangle \mathrm { ~ , ~ } } \\ { C _ { i j , k l } } & { { } = - \delta _ { i k } \delta _ { j l } ( \epsilon _ { i } + \epsilon _ { j } ) + \langle i j | | k l \rangle \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\frac { \sin ( 2 \beta ) } { 3 2 \, \pi ^ { 2 } } \, I ( \tilde { \Omega } ) \rightarrow \frac { \sin ( 2 \beta ) } { 3 2 \, \pi ^ { 2 } } ( I ( \tilde { \Omega } ) + c _ { 2 } ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } \delta _ { 1 } I ( M _ { G } , M _ { G 1 } ) + c _ { 2 } ^ { 2 } s _ { 3 } ^ { 2 } \delta _ { 2 } I ( M _ { G } , M _ { G 2 } ) )
2 | u _ { 1 } ^ { h } | ^ { 2 } - | u _ { 2 } ^ { h } | ^ { 2 } - | u _ { 3 } ^ { h } | ^ { 2 } + 2 | u _ { 4 } ^ { h } | ^ { 2 } = 2 | \bar { u } _ { 1 } ^ { - h } | ^ { 2 } - | \bar { u } _ { 2 } ^ { - h } | ^ { 2 } - | \bar { u } _ { 3 } ^ { - h } | ^ { 2 } + 2 | \bar { u } _ { 4 } ^ { - h } | ^ { 2 } .
P _ { \nu } ^ { \mathrm { a c c } } = \frac { F _ { \nu } ^ { \mathrm { a c c } } \ell ^ { 2 } } { t _ { \mathrm { a c c } } } \sim { \cal B } \left( \frac { \hbar } { c ^ { 2 } } \right) \frac { g ^ { 2 } a ^ { 2 } } { 4 \pi } ,
\begin{array} { r l } { \| \mathbf { Q } \mathbf { Z } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \| _ { 2 } ^ { 2 } = \operatorname* { m a x } _ { \vec { x } } \frac { \| \vec { Q } \vec { Z } \vec { Q } ^ { \mathsf { T } } \vec { x } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| \vec { x } \| _ { 2 } ^ { 2 } } } & { = \operatorname* { m a x } _ { \vec { c } , \vec { d } } \frac { \| \vec { Q } \vec { Z } \vec { Q } ^ { \mathsf { T } } ( \vec { Q } \vec { c } + \vec { U } \vec { d } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| \vec { Q } \vec { c } + \vec { U } \vec { d } \| _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { \vec { c } , \vec { d } } \frac { \| \vec { Q } \vec { Z } \vec { c } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| \vec { c } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \vec { d } \| _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { \vec { c } } \frac { \| \vec { Q } \vec { Z } \vec { c } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| \vec { c } \| _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { \vec { c } } \frac { \| \vec { Z } \vec { c } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| \vec { c } \| _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { = \| \mathbf { Z } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \vert \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { k + 1 } \vert \| _ { k + 1 } ^ { 2 } + \rho \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { k + 1 } , \boldsymbol { p } _ { k + 1 } ; \mathcal { T } _ { k + 1 } ) \leq \delta \bigg ( \| \vert \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { k } \vert \| _ { k } ^ { 2 } + \rho \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { k } , \boldsymbol { p } _ { k } ; \mathcal { T } _ { k } ) \bigg ) . } \end{array}
v _ { \parallel } + u = \pm \sqrt { ( v _ { \parallel f } + u _ { f } ) ^ { 2 } - 2 S _ { f } \left[ ( \mu B _ { f } - u _ { f } v _ { \parallel f } ) \left( \frac { B } { B _ { f } } - 1 \right) + \frac { Z e } { m } ( \phi _ { \theta } - \phi _ { \theta f } ) \right] } \sim \sqrt { \epsilon } v _ { t } .
r = { \frac { \kappa _ { 2 } - \kappa _ { 3 } } { \kappa _ { 2 } + \kappa _ { 3 } } } + { \frac { 4 \kappa _ { 2 } \kappa _ { 3 } } { \kappa _ { 3 } ^ { 2 } - \kappa _ { 2 } ^ { 2 } } } d ^ { - 1 } ,
\langle \mathrm { T r } Z ^ { J } ~ \mathrm { T r } \bar { Z } ^ { J } \rangle = \frac { 1 } { J + 1 } \left( \frac { \Gamma ( N + J + 1 ) } { \Gamma ( N ) } - \frac { \Gamma ( N + 1 ) } { \Gamma ( N - J ) } \right)
\begin{array} { r l r } { L = } & { { } } & { \sum _ { s } \int \left( \left( \frac { e _ { s } } { c } \Vec { A } + m _ { s } v _ { \parallel } \Vec { b } \right) \cdot \Dot { \Vec { R } } + \frac { m _ { s } c } { e _ { s } } \mu \Dot { \theta } - H _ { s } \right) f _ { s } \mathrm { d } W \mathrm { d } V } \end{array}
B _ { - N } ( R _ { 1 } , R _ { m } ; \phi _ { 1 } , \phi _ { m } ) = ( - 1 ) ^ { N } B _ { N } ^ { \mathrm { * } } [ R _ { 1 } , R _ { m } ; \phi _ { 1 } , \phi _ { m } + ( m - 1 ) \pi ] .
\begin{array} { r l r l r l } { \| \varphi _ { h , m } ^ { \gamma } \| _ { L _ { h } ^ { 1 } } } & { = ( 2 \pi ) ^ { d } , } & { \| \varphi _ { h , m } ^ { \gamma } \| _ { L _ { h } ^ { 2 } } } & { = ( 2 \pi ) ^ { d / 2 } , } & { \| \varphi _ { h , m } ^ { \gamma } \| _ { H _ { h } ^ { l } } } & { \leq ( 1 + | m | ^ { 2 } ) ^ { l / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \beta \lefteqn { I m \int _ { \mathbb { R } } ( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } u ^ { j } ) _ { x } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } d x } } \\ { \leq } & { \ R _ { 1 } \left( \left\| [ ( u ^ { k } ) ^ { ( p - 1 ) / 2 } ] _ { x } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { + R _ { 2 } \left( \left\| [ ( v ^ { k } ) ^ { ( p + 1 ) / 2 } ] _ { x } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { + R _ { 3 } \left( \| u _ { x } ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { + R _ { 4 } \left( \| u _ { x } ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { + R _ { 5 } \left( \| [ ( u ^ { k } ) ^ { ( p - 1 ) / 2 } ] _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { + R _ { 6 } \left( \| [ ( v ^ { k } ) ^ { ( p + 1 ) / 2 } ] _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { + R _ { 7 } \left( \| [ ( u ^ { j } ) ^ { ( p - 1 ) / 2 ) } ] _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { + R _ { 8 } \left( \| [ ( v ^ { j } ) ^ { ( p + 1 ) / 2 } ] _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
h _ { d } = \frac { v h _ { \Psi } - \sqrt 2 V h _ { \bar { H } } } { \sqrt { v ^ { 2 } + 2 V ^ { 2 } } } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ h _ { u } = \frac { v h _ { \overline { { { \Psi } } } } - \sqrt 2 V h _ { H } } { \sqrt { v ^ { 2 } + 2 V ^ { 2 } } } ~ .
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } & { = \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } \left( \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } , \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } \right) } \\ & { - \eta _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \delta \mathbf { U } _ { i - 1 , j } + \beta _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \delta \mathbf { U } _ { i , j } + \beta _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \delta \mathbf { U } _ { i + 1 , j } - \eta _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \delta \mathbf { U } _ { i + 2 , j } } \end{array} .
\begin{array} { r l r } { \int _ { m ^ { 2 } } ^ { m ^ { 2 } + \Lambda ^ { 2 } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! d M ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, x ( 1 - x ) } & { { } 2 } & { \underbrace { \int { \frac { d ^ { \, 4 } p / ( 2 \pi ) ^ { 4 } } { [ p ^ { 2 } + q ^ { 2 } x ( 1 - x ) - M ^ { 2 } ] ^ { 3 } } } } } \end{array}
\mathbf { Q } = \left[ \begin{array} { c c c } { \mathbf { Q } _ { 1 1 } } & { \mathbf { Q } _ { 2 1 } ^ { H } } & { \mathbf { Q } _ { 3 1 } ^ { H } } \\ { \mathbf { Q } _ { 2 1 } } & { \mathbf { Q } _ { 2 2 } } & { \mathbf { Q } _ { 3 2 } ^ { H } } \\ { \mathbf { Q } _ { 3 1 } } & { \mathbf { Q } _ { 3 2 } } & { \mathbf { Q } _ { 3 3 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { J _ { a b } ^ { ( 2 ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { , \; a \; \& \; b \mathrm { ~ d i f f e r e n t ~ p a r i t y } } \\ { 1 / 2 } & { , \; a = b = 0 } \\ { 3 / 2 } & { , \; a = b = 1 } \\ { \frac 1 2 ( 2 a + 1 ) } & { , \; a = b > 1 } \\ { \frac 1 2 \sqrt { M ( M - 1 ) } \, \delta _ { M - 2 , m } } & { , \; M \; \& \; m \mathrm { ~ s a m e ~ p a r i t y ~ a n d ~ } M \ge m + 2 } \end{array} \right. , } \end{array}
{ \boldsymbol { \mathsf { S } } } = { \frac { 1 0 } { 3 } } \pi \mu a ^ { 3 } \left[ 2 { \boldsymbol { \mathsf { E } } } ^ { \infty } + \left( 1 + { \frac { 1 } { 1 0 } } a ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } \right) \left( { \boldsymbol { \nabla } } \mathbf { u } ^ { \prime } + ( { \boldsymbol { \nabla } } \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { \mathrm { T } } \right) \right] ,
{ \cal A } = \frac { \mu ^ { 2 } } { 1 6 } \sum _ { s } < v _ { 1 } , \vec { Y } _ { 1 } , \theta _ { a } ^ { 1 } | \int _ { 0 } ^ { \infty } d l e ^ { - l H } | v _ { 2 } , \vec { Y } _ { 2 } , \theta _ { a } ^ { 2 } > _ { s }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { 1 \le t \le T } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } \leq \frac { 2 [ f ( \overline { { { \bf x } ^ { 1 } } } ) - f ^ { * } ] } { T ( \eta K - 3 2 \eta ^ { 3 } K ^ { 2 } L ^ { 2 } - 6 \eta ^ { 2 } K L ) } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \quad + \alpha ( K , \rho , \eta ) + { \bf \Phi } ( \lambda , m , Q ) \beta ( K , \rho , \eta ) , } \end{array}
4 \pi \beta _ { \alpha _ { \lambda } } ^ { \mathrm { { \scriptsize ~ M S } } } = 2 4 \alpha _ { \lambda } ^ { 2 } + 1 2 \alpha _ { \lambda } \alpha _ { t } - \frac { 9 } { 5 } \alpha _ { \lambda } \alpha _ { 1 } - 9 \alpha _ { \lambda } \alpha _ { 2 } + \frac { 2 7 } { 2 0 0 } \alpha _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 9 } { 2 0 } \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } + \frac { 9 } { 8 } \alpha _ { 2 } ^ { 2 } - 6 \alpha _ { t } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } [ \mu _ { \mathrm { p o p } } ] _ { p } } & { = \int d \mu _ { \mathrm { p o p } } \mu _ { \mathrm { p o p } } p ( \mu _ { \mathrm { p o p } } | \{ x _ { \mathrm { o b s } , i } \} , \sigma _ { \mathrm { o b s } } , \sigma _ { \mathrm { p o p } } ) } \\ & { = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { o b s } } } \sum _ { i } ^ { N _ { \mathrm { o b s } } } x _ { \mathrm { o b s } , i } . } \end{array}
\begin{array} { r } { v \big | _ { y = 0 } = 0 , } \\ { \left( \partial _ { t } \rho + 2 \, \partial _ { x } u + \sqrt { \frac { \nu } { 2 \pi } } \frac { E _ { x } } { B } \right) \bigg | _ { y = 0 } = 0 . } \end{array}