harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { P ( v _ { i } \rightarrow e ) } & { { } = \frac { \mathcal { I } _ { i e } } { \lambda } \frac { Z _ { i } ( e ) } { \psi _ { i } } , } \\ { P ( e \rightarrow v _ { k } | v _ { i } ) } & { { } = \frac { \psi _ { k } \mathcal { I } _ { e k } ^ { T } ( 1 - \delta _ { i k } ) } { Z _ { i } ( e ) } , } \\ { Z _ { i } ( e ) } & { { } = \sum _ { k \neq i } \mathcal { I } _ { e k } ^ { T } \psi _ { k } . } \end{array}
\operatorname { c o v o l } \left( \boldsymbol { \sigma } ( \Lambda _ { \mathbf { Q } } ) \right) = \left| \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { \theta _ { 1 } } & { \theta _ { 1 } ^ { 2 } } & { \dots } & { \theta _ { 1 } ^ { n } } \\ { 1 } & { \theta _ { 2 } } & { \dots } & { \dots } & { \theta _ { 2 } ^ { n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \dots } & { \vdots } \\ { 1 } & { \theta _ { d } } & { \dots } & { \dots } & { \theta _ { d } ^ { n } } \end{array} \right) \right| = \prod _ { i < j } \left| \theta _ { j } - \theta _ { i } \right|
\begin{array} { r l } { I _ { 4 } } & { = \int _ { | t | > \log n } | t | ^ { - 1 } \exp ( - \frac { t ^ { 2 } } { 2 } ) \left| 1 + \sum _ { j = 2 } ^ { 9 } \left( \frac { i t } { \vartheta } \right) ^ { j } \gamma _ { j } \right| \mathrm { d } t } \\ & { \leq C \int _ { t > \log n } t ^ { - 1 } \exp ( - \frac { t ^ { 2 } } { 2 } ) \mathrm { d } t + \sum _ { j = 2 } ^ { 9 } \frac { | \gamma _ { j } | } { \vartheta ^ { j } } \int _ { t > \log n } t ^ { j - 1 } \exp ( - \frac { t ^ { 2 } } { 2 } ) \mathrm { d } t , } \end{array}
m _ { Q } ^ { 2 } , m _ { D } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { \lambda ^ { 3 } } } & { { \lambda ^ { 3 } } } \\ { { \lambda ^ { 3 } } } & { { 1 + \lambda ^ { 2 } } } & { { \lambda ^ { 2 } } } \\ { { \lambda ^ { 3 } } } & { { \lambda ^ { 2 } } } & { { O ( 1 ) } } \end{array} \right) m ^ { 2 } ,
\left( M _ { 5 } \right) _ { a _ { 2 } b _ { | 2 } } q ^ { b _ { | 2 } \left[ N _ { b _ { | 2 } } + n _ { 2 } \right] } + K _ { a _ { 2 } } ^ { \left( 2 \right) } \left( \cdots q ^ { b \left[ N _ { b } + n _ { 2 } - 1 \right] } \right) = 0 \, .
\begin{array} { r } { \sqrt { I + n + 1 } \left( \begin{array} { l } { \prod _ { j = i } ^ { K } \widehat f _ { j , n } - \prod _ { j = i } ^ { K } f _ { j , n } ( \mathcal { Q } _ { I , n } ) } \\ { i = 0 , \ldots , K } \end{array} \right) | \mathcal { Q } _ { I , n } \overset { d } { \longrightarrow } \mathcal { N } \left( 0 , \mathbf { \Sigma } _ { K , \prod f _ { j } } ^ { ( 2 ) } \right) } \end{array}
\mathcal { S } _ { C S } ( A ) = \frac 1 2 t r \int d ^ { 3 } x \varepsilon ^ { \mu \nu \rho } \left( A _ { \mu } \partial _ { \nu } A _ { \rho } + \frac 2 3 g A _ { \mu } A _ { \nu } A _ { \rho } \right) \; ,
\begin{array} { r l r } { [ L _ { X } , L _ { f Y } ] g } & { = } & { ( L _ { X } \circ L _ { f Y } ) g - ( L _ { f Y } \circ L _ { X } ) g } \\ & { = } & { ( L _ { X } ( f ( L _ { Y } g ) ) ) - f L _ { Y } ( L _ { X } g ) } \\ & { = } & { ( L _ { X } f ) ( L _ { Y } g ) + f L _ { X } ( L _ { Y } g ) - f L _ { Y } ( L _ { X } g ) } \\ & { = } & { ( L _ { X } f ) ( L _ { Y } g ) + f [ L _ { X } , L _ { Y } ] g , } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { b u l k } } + { \cal L } _ { \mathrm { s o u r c e } } \sim \int d ^ { n } \xi \; \Bigl [ { \frac { 1 } { g _ { \mathrm { I } } ^ { 2 } } } ( \partial _ { \xi } m _ { a } ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { g _ { \mathrm { I } } } } \sum _ { s } f _ { s } ( m _ { a } ) \delta ( \xi - \xi _ { s } ) \Bigr ] .
\begin{array} { r l } { - \nu \Delta \mathbf { u } + \mathbf { u } \cdot \nabla \mathbf { u } + \nabla p } & { = \mathbf { f } \quad \textup { i n } \quad \Omega } \\ { \nabla \cdot \mathbf { u } } & { = 0 \quad \textup { i n } \quad \Omega } \\ { \mathbf { u } } & { = \mathbf { g } \quad \textup { o n } \quad \partial \Omega . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { - \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { f = 0 } ^ { m } { \frac { ( m - f ) ! ( - 1 ) ^ { m + f + 1 } } { [ ( m + 1 ) ! ] ^ { 2 } } } { \frac { b _ { H } ^ { f } } { h ^ { 2 ( m + 1 ) } } } \cdot b _ { H } ^ { ( m + 3 / 2 - f ) / 2 } K _ { m + 3 / 2 - f } ( \sqrt { 4 b _ { H } } ) \cdot { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } } } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { { { \bf k } _ { T } ^ { 2 } \to 0 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \varphi } { 2 \pi } \overline { { { | M | ^ { 2 } } } } = \overline { { { | M _ { P M } | ^ { 2 } } } } \mathrm { , }
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } L I S ( \sigma | _ { \tilde { Q } _ { \Gamma , l } ^ { \prime } } ) } \\ & { \leq } & { \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { 4 L ^ { - 1 } } ( 1 + C _ { L } r _ { s } ^ { - 1 \slash 1 0 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) } \\ & { } & { + 2 0 L ^ { 1 \slash 2 } e ^ { - L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + 5 0 0 0 L ^ { 2 } e ^ { 2 L } . } \end{array}
W _ { \mu \nu } ^ { [ S ] } = ( - g _ { \mu \nu } - { \frac { q _ { \mu } q _ { \nu } } { Q ^ { 2 } } } ) W _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { M ^ { 2 } } ( p _ { \mu } + { \frac { p \cdot q } { Q ^ { 2 } } } q _ { \mu } ) ( p _ { \nu } + { \frac { p \cdot q } { Q ^ { 2 } } } q _ { \nu } ) W _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } )
\begin{array} { r l r } { \mathbf { P } } & { { } = } & { \mathbf { p } _ { + , T + \tau \left( \nu , \zeta , \beta , \ell \right) } , } \\ { \mathbf { p } _ { t } } & { { } \equiv } & { \mathbf { p } - M \mathbf { g } t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \left\| { \boldsymbol { w } } _ { k } - { \boldsymbol { \tilde { w } } } _ { k } \right\| } _ { 2 } } & { \leq 2 { \left\| { \boldsymbol { u } } _ { k } ^ { 1 } - { \boldsymbol { \tilde { u } } } _ { k } ^ { 1 } \right\| } _ { 2 } + { \tau } ^ { 2 } \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq j \leq 2 } { { \left\| { \boldsymbol { f } } _ { k } ^ { j } - { \boldsymbol { \tilde { f } } } _ { k } ^ { j } \right\| } _ { 2 } } } \\ & { + \frac { 2 \left| { q } _ { k } - { \tilde { q } } _ { k } \right| } { { q } _ { k } } \left( 1 + \frac { { \tilde { q } } _ { k } } { { q } _ { k } } \right) \left( 2 { \left\| { \boldsymbol { u } } _ { k } ^ { 1 } \right\| } _ { 2 } + { \tau } ^ { 2 } \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq j \leq 2 } { { \left\| { \boldsymbol { f } } _ { k } ^ { j } \right\| } _ { 2 } } \right) \, , } \end{array}
u ( h , t ) = \frac { 3 P _ { A } } { 3 K + 4 G } \Bigg [ - h + \gamma \alpha \sum _ { n = 1 , 3 } ^ { \infty } E _ { 1 - \beta , 1 } \left( - { \frac { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \bar { \lambda } t ^ { 1 - \beta } } { 4 h ^ { 2 } } } \right) \frac { 8 h } { ( n \pi ) ^ { 2 } } \left( - 1 \right) ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } \sin \frac { n \pi } { 2 } \Bigg ] + c = 0
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \Big ( \hat { d } _ { 1 } < \epsilon + \frac { \hat { q } _ { 0 , \alpha } } { \sqrt { n } } \Big ) } & { = \mathbb { P } ( \sqrt { n } ( \hat { d } _ { 1 } - d _ { 1 } ) < \sqrt { n } ( \epsilon - d _ { 1 } ) + \hat { q } _ { 0 , \alpha } ) } \\ & { \leq \mathbb { P } ( \sqrt { n } ( \hat { d } _ { 1 } - d _ { 1 } ) < \hat { q } _ { 0 , \alpha } ) } \\ & { = \mathbb { P } ( \sqrt { n } ( \hat { d } _ { 1 } - d _ { 1 } ) < q _ { \alpha } - ( q _ { \alpha } - \hat { q } _ { 0 , \alpha } ) ) \xrightarrow { n \to \infty } \alpha , } \end{array}
d _ { i j } = \operatorname * { m i n } ( p _ { t , i } ^ { 2 } , p _ { t , j } ^ { 2 } ) \; \Delta R _ { i j } ^ { 2 } , \quad \left( \Delta R _ { i j } ^ { 2 } = ( \eta _ { i } - \eta _ { j } ) ^ { 2 } + ( \phi _ { i } - \phi _ { j } ) ^ { 2 } \right) .
\{ A , B \} = \sum _ { i } \frac { \partial A } { \partial q _ { i } ( 0 ) } \frac { \partial B } { \partial p _ { i } ( 0 ) } - \frac { \partial B } { \partial q _ { i } ( 0 ) } \frac { \partial A } { \partial p _ { i } ( 0 ) } \, .
\Delta _ { \mu \nu } ( p ) = \frac { 4 \pi } { \kappa } \frac { \mu } { p ^ { 2 } ( p ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } ) } ( \mu \epsilon _ { \mu \nu \lambda } p ^ { \lambda } + \delta _ { \mu \nu } p ^ { 2 } - p _ { \mu } p _ { \nu } )
Y _ { \{ 1 , 3 , 4 , 5 \} } = V _ { \{ 1 , 3 , 4 , 5 \} } \oplus B _ { \{ 1 , 3 \} , \{ 4 , 5 \} } \oplus T _ { \{ 1 , 3 \} , \{ 4 , 5 \} } \oplus B _ { \{ 1 , 4 \} , \{ 3 , 5 \} } \oplus T _ { \{ 1 , 4 \} , \{ 3 , 5 \} } \oplus B _ { \{ 1 , 5 \} , \{ 3 , 4 \} } \oplus T _ { \{ 1 , 5 \} , \{ 3 , 4 \} } \oplus B _ { \{ 3 , 4 \} , \{ 1 , 5 \} } \oplus T _ { \{ 3 , 4 \} , \{ 1 , 5 \} } \oplus B _ { \{ 3 , 5 \} , \{ 1 , 4 \} } \oplus T _ { \{ 3 , 5 \} , \{ 1 , 4 \} } \oplus B _ { \{ 4 , 5 \} , \{ 1 , 3 \} } \oplus T _ { \{ 4 , 5 \} , \{ 1 , 3 \} }
\begin{array} { r l } { \mathrm { e } ^ { - \beta \Delta } } & { { } = \frac { Z - Z _ { C _ { 3 } } } { Z + 2 Z _ { C _ { 3 } } } = \frac { 1 - \frac { Z _ { C _ { 3 } } } { Z } } { 1 + 2 \frac { Z _ { C _ { 3 } } } { Z } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H \left( \vec { x } _ { 2 } - \vec { x } _ { 1 } , q _ { 0 } \right) } & { { } = } & { - \frac { e ^ { - b x _ { 2 1 } } } { 4 \pi x _ { 2 1 } } } \\ { x _ { 2 1 } = \left| \vec { x } _ { 2 } - \vec { x } _ { 1 } \right| , } & { { } } & { b = - i \left( q _ { 0 } ^ { 2 } + i \delta \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , \, \Re ( b ) > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { n _ { 2 } = } & { { } \frac { 3 } { 4 c n _ { 0 } ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } } \Re e \left[ \chi ^ { ( 3 ) } \right] , } & { \alpha _ { 2 } = } & { { } \frac { - 3 \omega } { 2 c ^ { 2 } n _ { 0 } ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } } \Im m \left[ \chi ^ { ( 3 ) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { m _ { k } } ) \in { \mathcal { D } _ { n _ { 1 } , m _ { 1 } ; \ldots ; n _ { k } , m _ { k } } } } | I _ { m _ { k } } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { m _ { k } } ) | ^ { t + \frac { \varepsilon } { 2 } } } \\ { \le } & { \sum _ { ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { m _ { k } } ) \in { \mathcal { D } _ { n _ { 1 } , m _ { 1 } ; \ldots ; n _ { k } , m _ { k } } } } \Big ( \frac { 1 } { q _ { m _ { k } } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { m _ { k } } ) } \Big ) ^ { 2 t + \varepsilon } } \\ { \leq } & { \sum _ { a _ { 1 } , \ldots , a _ { \psi ( m _ { k } ) } \in \mathbb { N } } 2 ^ { k ( 2 t + \varepsilon ) } \Big ( \frac { 1 } { q _ { \psi ( m _ { k } ) } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { \psi ( m _ { k } ) } ) q _ { m _ { 1 } - n _ { 1 } } ( i , \ldots , i ) \cdots q _ { m _ { k } - n _ { k } } ( i , \ldots , i ) } \Big ) ^ { 2 t + \varepsilon } } \\ { \leq } & { \sum _ { a _ { 1 } , \ldots , a _ { \psi ( m _ { k } ) } \in \mathbb { N } } 4 ^ { k ( 2 t + \varepsilon ) } \Big ( \frac { 1 } { q _ { m _ { k } } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { \psi ( m _ { k } ) } , i , \ldots , i ) } \Big ) ^ { 2 t + \varepsilon } } \\ { \leq } & { \sum _ { a _ { 1 } , \ldots , a _ { m _ { k } - \lfloor m _ { k } ( \xi - \varepsilon ) \rfloor } \in \mathbb { N } } 4 ^ { k ( 2 t + \varepsilon ) } \Big ( \frac { 1 } { q _ { m _ { k } } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { m _ { k } - \lfloor m _ { k } ( \xi - \varepsilon ) \rfloor } , i , \ldots , i ) } \Big ) ^ { 2 s _ { m _ { k } } ( \xi - \varepsilon , { \tau ( i ) } ) + \varepsilon } } \\ { \leq } & { 4 ^ { k ( 2 t + \varepsilon ) } \Big ( \frac { 1 } { 2 } \Big ) ^ { \frac { m _ { k } - 1 } { 2 } \varepsilon } , } \end{array}
\int \operatorname { a r c s e c } { x } \, d x = x \operatorname { a r c s e c } { x } - \ln \left\vert x \, \left( 1 + { \sqrt { 1 - x ^ { - 2 } } } \, \right) \right\vert + C , { \mathrm { ~ f o r ~ } } \vert x \vert \geq 1
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \tau } } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \, \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { e } } _ { i } \times \left( \alpha \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { t } } _ { i } - \omega ^ { 2 } \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { e } } _ { i } + \mathbf { A } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { a } _ { \mathrm { t o t } , \mathrm { H E } _ { 1 1 } } ^ { \mathrm { J } } = \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { \mathrm { t o t , 1 } } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right] } \end{array}
G _ { \gamma } ( E _ { \gamma } , T _ { \gamma } ) = \frac { 8 \pi E _ { \gamma } ^ { 2 } } { h ^ { 3 } c ^ { 3 } } \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { E _ { \gamma } / k _ { \mathrm { B } } T _ { \gamma } } - 1 }
\begin{array} { r l } { \lambda } & { : = \sum _ { b > H } \mathbf { 1 } _ { a \ge b } \prod _ { i \in [ b ] } ( f _ { j _ { i , b } } ( x _ { 2 } ) - f _ { j _ { i , b } } ( x _ { 1 } ) ) , } \\ { \sigma } & { : = \sum _ { b = 0 } ^ { H } \mathbf { 1 } _ { a \ge b } \prod _ { i \in [ b ] } ( f _ { j _ { i , b } } ( x _ { 2 } ) - f _ { j _ { i , b } } ( x _ { 1 } ) ) , } \end{array}
\tilde { W } _ { 1 } ^ { B C } ( \beta , \alpha , y , \eta ) = U ( \beta , \alpha , y ) + { \frac { ( \alpha - 1 ) ^ { 2 } } { 1 2 \alpha } } \ln \left[ { \frac { \eta \beta } { 2 \pi \alpha \mu } } \right] + { \frac { \alpha - 1 } { 2 4 } } \ln \alpha - { \frac { \alpha - 5 } { 4 } } + C ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { X } ~ ~ ~ ~ f \left( X \right) ; ~ ~ f \mathrm { ~ c o n v e x ~ i n ~ X ~ } } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o ~ ~ } X \in \mathcal { C } , ~ ~ \left[ \begin{array} { l l } { X } & { K ^ { \top } } \\ { K } & { I } \end{array} \right] \succeq 0 , } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { T r } ( A ) + \mathrm { T r } ( X ) - 2 \mathrm { T r } \left( \sqrt { A _ { i } } K \right) \leq d _ { A _ { i } } , \forall i . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d s } \bigg \vert _ { s = s _ { 0 } } H _ { - t } ^ { X } ( H _ { s } ^ { Y } ( H _ { t } ^ { X } ( H _ { - s } ^ { Y } ( p ) ) ) ) } \\ & { \qquad = \frac { d } { d s } \bigg \vert _ { s = s _ { 0 } } H _ { - t } ^ { X } ( H _ { s _ { 0 } } ^ { Y } ( H _ { t } ^ { X } ( H _ { - s } ^ { Y } ( p ) ) ) ) + \frac { d } { d s } \bigg \vert _ { s = s _ { 0 } } H _ { - t } ^ { X } ( H _ { s } ^ { Y } ( H _ { t } ^ { X } ( H _ { - s _ { 0 } } ^ { Y } ( p ) ) ) ) . } \end{array}
\textstyle \gamma _ { 1 } = \frac \gamma { \Delta - 1 } = \frac { 2 ^ { - \Delta - 1 } \pi ^ { - \frac d 2 } } { \Delta - 1 } \frac { \Gamma ( \Delta + 1 ) } { \Gamma ( \Delta + 1 - \frac d 2 ) } , \qquad \gamma _ { 2 } = - \Delta \gamma _ { 1 } - \gamma = - \gamma _ { 1 } .
\begin{array} { r l } { \delta \boldsymbol { a } _ { l } + \delta \boldsymbol { a } _ { c _ { S } } } & { { } \approx 0 , } \\ { \delta \boldsymbol { a } _ { c _ { I } } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho } \nabla _ { \boldsymbol { x } } \delta p . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { { \partial { r _ { m } } } } { { \partial \theta } } } & { = \frac { { - m { d _ { T } } \cos \theta } } { { \sqrt { 1 - 2 m { \varepsilon _ { T } } \sin \theta + { { ( m { \varepsilon _ { T } } ) } ^ { 2 } } } } } , } \\ { \frac { { \partial { r _ { m } } } } { { \partial r } } } & { = \frac { { 1 - m { \varepsilon _ { T } } \sin \theta } } { { \sqrt { 1 - 2 m { \varepsilon _ { T } } \sin \theta + { { ( m { \varepsilon _ { T } } ) } ^ { 2 } } } } } . } \end{array}
\left\langle \frac { 1 } { D } \frac { \delta F } { \delta \theta } \nabla \theta , \frac { \delta G } { \delta u } \right\rangle = \left\langle \frac { \delta F } { \delta \theta } , \frac { 1 } { D } \frac { \delta G } { \delta u } \cdot \nabla \theta \right\rangle ,
c _ { 7 , 8 } ( M _ { W } ) = c _ { 7 , 8 } ^ { S M } ( m _ { t } ^ { 2 } / M _ { W } ^ { 2 } ) + \kappa _ { \gamma , g } F _ { 1 _ { 7 , 8 } } ( m _ { t } ^ { 2 } / M _ { W } ^ { 2 } ) + \tilde { \kappa } _ { \gamma , g } F _ { 2 _ { 7 , 8 } } ( m _ { t } ^ { 2 } / M _ { W } ^ { 2 } ) \, .
\begin{array} { r } { \mathcal { E } ( t _ { i } ) = \frac { { \lVert \eta ( x , y , t _ { i } ) - \tilde { \eta } ( x , y , t _ { i } ) \rVert } ^ { 2 } } { { \lVert \eta ( x , y , t _ { i } ) \rVert } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { | P _ { \sigma ; \epsilon ^ { \prime \prime } } ( x ) | = ( 1 - \epsilon ^ { \prime \prime } / 3 ) | \tilde { P } _ { \sigma ; \epsilon ^ { \prime \prime } } ( x ) | \le ( 1 - \epsilon ^ { \prime \prime } / 3 ) ( 1 + \epsilon ^ { \prime \prime } / 3 ) \le 1 , } \end{array}
R a _ { c w } ^ { \mathrm { \tiny { F T } } } = 0 . 9 0 8 6 \left( \pi E ^ { - 1 } \right) ^ { 4 / 3 } + 2 . 1 2 4 \left( \pi E ^ { - 1 } \right) ^ { 7 / 6 } = 4 . 1 8 E ^ { - 4 / 3 } + 8 . 0 8 E ^ { - 7 / 6 } ,
\delta _ { 1 } \triangleq \operatorname* { m a x } \left( C _ { \mathrm { m a x } } \log ^ { 2 } ( 2 C / \epsilon _ { 1 } ) , C _ { 4 } , C _ { 5 } , \frac { \operatorname* { m a x } ( 5 9 0 0 , \alpha , 7 ( d + 1 1 ) , \theta ) } { b } \right) ,
\Delta S _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ g ~ h ~ t ~ n ~ i ~ n ~ g ~ } } = \tilde { \epsilon } _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ g ~ h ~ t ~ n ~ i ~ n ~ g ~ } } \, S _ { 0 } \, A _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ r ~ r ~ } } \, t _ { \star }
\begin{array} { r l r } { \frac { a } { R _ { p } } = \frac { - 1 7 - 5 2 \hat { \lambda } + 2 4 4 \hat { \lambda } ^ { 2 } } { 4 ( 1 + 4 \hat { \lambda } ) ( 1 + 7 \hat { \lambda } ) } \qquad } & { } & { \frac { b } { R _ { p } } = \frac { 3 + 1 7 \hat { \lambda } } { 4 ( 1 + 3 \hat { \lambda } ) ( 1 + 4 \hat { \lambda } ) ( 1 + 7 \hat { \lambda } ) } \qquad \frac { e } { R _ { p } } = - \frac { 1 7 5 \hat { \lambda } } { 2 + 1 4 \hat { \lambda } } } \\ { \frac { c } { R _ { p } } = \frac { - 1 + 4 4 \hat { \lambda } + 1 1 2 \hat { \lambda } ^ { 2 } } { 4 ( 1 + 4 \hat { \lambda } ) ( 1 + 7 \hat { \lambda } ) } \qquad } & { } & { \frac { d } { R _ { p } } = \frac { 1 + 2 8 \hat { \lambda } + 1 2 7 \hat { \lambda } ^ { 2 } + 8 4 \hat { \lambda } ^ { 3 } } { 2 ( 1 + 3 \hat { \lambda } ) ( 1 + 4 \hat { \lambda } ) ( 1 + 7 \hat { \lambda } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \left( \partial _ { z _ { j _ { 1 } } } \cdot \cdot \cdot \partial _ { z _ { j _ { n } } } u _ { N } \right) ( t , Z ) \right] = \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } \left( \partial _ { z _ { j _ { 1 } } } \cdot \cdot \cdot \partial _ { z _ { j _ { n } } } u _ { N } \right) ( t , z ) ( 2 \pi ) ^ { - N / 2 } e ^ { - \frac { | z | ^ { 2 } } { 2 } } d z , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { A } \cdot \mathbf { B } } & { = - A _ { 1 2 } B _ { 1 2 } - A _ { 3 1 } B _ { 3 1 } - A _ { 2 3 } B _ { 2 3 } } \\ { \mathbf { A } \times \mathbf { B } } & { = ( A _ { 2 3 } B _ { 3 1 } - A _ { 3 1 } B _ { 2 3 } ) \mathbf { e } _ { 1 2 } + ( A _ { 1 2 } B _ { 2 3 } - A _ { 2 3 } B _ { 1 2 } ) \mathbf { e } _ { 1 3 } + ( A _ { 3 1 } B _ { 1 2 } - A _ { 1 2 } B _ { 3 1 } ) \mathbf { e } _ { 2 3 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { L _ { 1 } \| w ^ { \prime } - w \| } & { \ge \frac { L _ { 1 } \| w ^ { \prime } - w \| H ^ { \prime } ( \theta ^ { \prime } ) } { L _ { 0 } + L _ { 1 } \| w ^ { \prime } - w \| H ( \theta ^ { \prime } ) + L _ { 1 } \| \nabla f ( w ) \| } = \frac { d } { d \theta ^ { \prime } } \ln \big ( L _ { 0 } + L _ { 1 } \| w ^ { \prime } - w \| H ( \theta ^ { \prime } ) + L _ { 1 } \| \nabla f ( w ) \| \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \mathrm { { m e r g e d } } } } & { { } = \sum _ { s = 1 } ^ { N _ { \mathrm { { m e r g e d } } } } { d _ { s } } \frac { 1 } { N _ { \mathrm { { m e r g e d } } } } , } \\ { p _ { 3 , \mathrm { { m e r g e d } } } } & { { } = \sum _ { s = 1 } ^ { N _ { \mathrm { { m e r g e d } } } } { p _ { 3 , s } } . } \end{array}
( E _ { \alpha } - H _ { \mu \mu } ^ { \mathrm { e f f } } ) \langle \Phi _ { \vartheta } | e ^ { T ( \mu ) } | \Phi _ { \mu } \rangle = \langle \Phi _ { \vartheta } | H _ { N } ( \mu ) e ^ { T ( \mu ) } | \Phi _ { \mu } \rangle _ { C + D C , L }
\begin{array} { r l } { X _ { i } } & { { } = \xi _ { 1 } , } \\ { Y _ { i + l } } & { { } = X _ { i } + \xi _ { 2 } , } \\ { \xi _ { 1 } } & { { } \sim N ( \mu _ { 1 } , \delta _ { 1 } ) , } \\ { \xi _ { 2 } } & { { } \sim N ( \mu _ { 2 } , \delta _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { \alpha } ( x , k ) } & { = i \bar { m } ^ { \beta } ( x , k ) \nabla _ { \alpha } \left[ m _ { \beta } ( x , k ) \right] } \\ & { = i \bar { m } ^ { \beta } \left( \nabla _ { \alpha } + k _ { \gamma } \Gamma _ { \alpha \lambda } ^ { \gamma } \frac { \partial } { \partial k _ { \lambda } } \right) m _ { \beta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \sqrt { 4 0 0 0 ^ { 2 } + ( 6 0 0 t ) ^ { 2 } } ) \sin \theta } & { = \cfrac { 6 0 0 t } { \sqrt { 4 0 0 0 ^ { 2 } + ( 6 0 0 t ) ^ { 2 } } } } \\ { \sin \theta } & { = 6 0 0 t } \\ { \frac { d } { d t } [ \sin \theta ] } & { = \frac { d } { d t } [ 6 0 0 t ] } \\ { \frac { d \theta } { d t } \cos \theta } & { = 6 0 0 } \\ { \frac { d \theta } { d t } } & { = \frac { 6 0 0 } { 4 0 0 0 } = \frac { 3 } { 2 0 } \mathrm { ~ r a d ~ p e r ~ s e c } } \end{array}
\hat { e } _ { n } \equiv | e _ { n } \rangle \langle e _ { n } | \qquad \hat { \sigma } _ { n } ^ { - } \equiv | g _ { n } \rangle \langle e _ { n } | \qquad \hat { \sigma } _ { n } ^ { + } \equiv | e _ { n } \rangle \langle g _ { n } | .
g _ { \mu \nu \kappa } \lesssim \frac { e ^ { - \theta _ { \mu \nu \kappa \omega } R ^ { 2 } } } { R ^ { 2 } } \frac { Q _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { u } } N _ { \kappa } f _ { l } } { \sqrt { \pi } \omega } \Big ( \frac { \pi } { \alpha _ { \kappa } } \Big ) ^ { 3 / 2 } \Big ( \frac { 2 \omega ^ { 2 } R _ { \mathrm { c u t } } } { \alpha _ { \kappa } + \omega ^ { 2 } } \Big ) ^ { l _ { \kappa } } .
\begin{array} { r l } & { \tilde { \mathcal { J } } \big ( \hat { x } , \varphi \big ) = \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ] \varphi } \\ & { + \mathbf { E } \big [ \operatorname* { m i n } \{ ( 1 - \varphi ) \big [ \mu ( X - \hat { x } _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( 1 - \mu ) ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ] , } \\ & { ( 1 - \varphi ) ( 1 - \nu ) ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } + c \} \big ] - d \varphi . } \end{array}
\begin{array} { r } { \xi ^ { 2 } = \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { n } _ { \perp } } \frac { N \langle ( \Delta \hat { S } _ { \mathbf { n } _ { \perp } } ) ^ { 2 } \rangle } { | \langle \hat { \mathbf { S } } \rangle | ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { a t ~ t h e ~ p o i n t ~ } q : } & { e _ { 1 } \in T _ { q } \Sigma ^ { \perp } , e _ { 2 } , e _ { \alpha } \in T _ { q } \Sigma , } \\ { \mathrm { a t ~ t h e ~ p o i n t ~ } u : } & { \bar { e } _ { 1 } \in \ell , \bar { e } _ { 2 } , \bar { e } _ { \alpha } \in T _ { u } n ^ { \perp } , } \\ { e _ { \alpha } = \bar { e } _ { \alpha } } & { \mathrm { ~ f o r ~ } \alpha = 3 , \cdots , n . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { d \theta _ { \alpha _ { i } ^ { k } } \geq \frac { - \left( m _ { i } ^ { k } + L _ { \dot { \psi } _ { i } ^ { k } } | | d x | | ( 1 + L _ { F } ) + \frac { \partial \alpha _ { i } ^ { k } ( \psi _ { i } ^ { k } ) } { \partial \psi _ { i } ^ { k } } L _ { \psi _ { k } ^ { i } } | | d x | | \right) } { \frac { \partial \alpha _ { i } ^ { k } ( \psi _ { i } ^ { k } ) } { \partial \theta _ { \alpha _ { i } ^ { k } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { W \hat { W } } ( \ell ( W , \hat { W } ) ) } & { \geq \frac { - I _ { \varphi } ( W , \hat { W } ) - \mathcal { P } _ { W } \mathcal { P } _ { \hat { W } } \left( \varphi ^ { \star } ( - \lambda \ell ) \right) } { \lambda } } \\ & { \geq \frac { - I _ { \varphi } ( W , \hat { W } ) - \phi ( \lambda ) } { \lambda } } \\ & { = \frac { - I _ { \varphi } ( W , \hat { W } ) - \phi ( \phi ^ { - 1 } ( { \phi ^ { \star } } ^ { - 1 } ( I _ { \varphi } ( W , \hat { W } ) ) ) ) } { \phi ^ { - 1 } ( { \phi ^ { \star } } ^ { - 1 } ( I _ { \varphi } ( W , \hat { W } ) ) ) } } \\ & { = \frac { - I _ { \varphi } ( W , \hat { W } ) + \phi ^ { \star } ( { \phi ^ { \star } } ^ { - 1 } ( I _ { \varphi } ( W , \hat { W } ) ) ) - { \phi ^ { \star } } ^ { - 1 } ( I _ { \varphi } ( W , \hat { W } ) ) \phi ^ { - 1 } ( { \phi ^ { \star } } ^ { - 1 } ( I _ { \varphi } ( W , \hat { W } ) ) ) } { \phi ^ { - 1 } ( { \phi ^ { \star } } ^ { - 1 } ( I _ { \varphi } ( W , \hat { W } ) ) ) } } \\ & { = \frac { - I _ { \varphi } ( W , \hat { W } ) + \phi ^ { \star } ( { \phi ^ { \star } } ^ { - 1 } ( I _ { \varphi } ( W , \hat { W } ) ) ) } { \phi ^ { - 1 } ( { \phi ^ { \star } } ^ { - 1 } ( I _ { \varphi } ( W , \hat { W } ) ) ) } - { \phi ^ { \star } } ^ { - 1 } ( I _ { \varphi } ( W , \hat { W } ) ) } \\ & { > - { \phi ^ { \star } } ^ { - 1 } ( I _ { \varphi } ( W , \hat { W } ) ) . } \end{array}