harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { | \psi _ { 0 } ( x ^ { \prime } + i y ^ { \prime } ) | \leq \Big | e ^ { - \frac { [ ( x ^ { \prime } + i y ^ { \prime } ) - \delta ] ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } \Big | + \Big | e ^ { - \frac { [ ( x ^ { \prime } + i y ^ { \prime } ) + \delta ] ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } \Big | = e ^ { \frac { y ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } \Big ( e ^ { - \frac { ( x ^ { \prime } - \delta ) ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } + e ^ { - \frac { ( x ^ { \prime } + \delta ) ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } \Big ) } \end{array}
\mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\lVert \prod _ { j = 1 } ^ { n } \exp \left( \frac { \theta e ^ { i \phi } } { 2 } F _ { j } ( s _ { j } ) \right) \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] \leq d \exp \left( \theta ^ { 2 } \cdot \alpha ( \lambda ) \cdot \frac { \cos ( \varphi ) ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( b _ { j } - a _ { j } ) ^ { 2 } } { 8 } \right) ,
P \beta _ { \mu } ^ { ( - ) } \beta _ { \nu } ^ { ( - ) } P = \delta _ { \mu \nu } \varepsilon ^ { 0 , 0 } + \frac 1 4 e _ { \lambda \mu \rho \omega } e _ { \lambda \nu \sigma \alpha } \varepsilon ^ { [ \rho \omega ] [ \sigma \alpha ] }
{ \frac { < \pi | H | \eta > \ \mathrm { s l o p e \ a t } \ q ^ { 2 } = 0 } { < \rho | H | \omega > \ \mathrm { s l o p e \ a t } \ q ^ { 2 } = 0 } } \simeq { \frac { g _ { \pi } g _ { \eta } } { f _ { \rho } g _ { \omega } } }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } _ { f k , i } ^ { p } } & { = } & { \int d \Omega _ { 1 } \Sigma _ { i } \left\{ \left( m _ { i } \textbf { v } _ { i } + \frac { q _ { i } } { c } \textbf { A } ( x , t ) \right) \boldsymbol { \boldsymbol { \cdot } } \dot { x } - \frac { 1 } { 2 } m _ { i } | \textbf { v } _ { i } | ^ { 2 } + q _ { i } \phi _ { 1 } ( x , t ) \right\} , } \end{array}
{ \frac { \mathrm { d e n s i t y ~ o f ~ o b j e c t } } { \mathrm { d e n s i t y ~ o f ~ f l u i d } } } = { \frac { \mathrm { w e i g h t } } { { \mathrm { w e i g h t } } - { \mathrm { a p p a r e n t ~ i m m e r s e d ~ w e i g h t } } } } .
\begin{array} { r l r } { \langle \hat { n } \rangle } & { { } = } & { \mathcal { N } ^ { 2 } \{ \left| \alpha \right| ^ { 2 } + \sinh ^ { 2 } r + 2 c \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } \, e ^ { - 2 \left| \alpha \right| ^ { 2 } \left[ \cosh 2 r + \cos \theta \sinh 2 r \right] } } \end{array}
- i { \cal M } _ { f i } - ( i { \cal M } _ { f i } ) ^ { * } = ( g ) ^ { 2 } ( 2 \pi ) \delta ( P ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) - 2 g ^ { 2 } I m \left( { { \frac { \Pi ( P ^ { 2 } ) } { ( P ^ { 2 } - M ^ { 2 } + i \varepsilon ) ^ { 2 } } } } \right)
\iota _ { \partial _ { t } } ( d t \wedge \iota _ { \partial _ { t } } { \tilde { \mu } } ) = ( \iota _ { \partial _ { t } } d t ) \iota _ { \partial _ { t } } { \tilde { \mu } } - d t \wedge \iota _ { \partial _ { t } } \iota _ { \partial _ { t } } { \tilde { \mu } } = \iota _ { \partial _ { t } } { \tilde { \mu } } .
A ( u , v ) = - \frac { 1 } { 3 } \log ( f ( u ) + g ( v ) ) + \frac { 1 } { 2 } \log ( f ^ { \prime } ( u ) g ^ { \prime } ( v ) ) + \frac { 1 } { 3 } ( f ( u ) + g ( v ) ) ^ { 2 } + a
\begin{array} { r l } { ( I ( t ) + \alpha Y ( t ) ) ^ { \prime } = } & { \beta S ( t ) \left( I ( t ) + \alpha Y ( t ) \right) - \gamma _ { 1 } I ( t ) + \alpha \nu \beta P ( t ) \left( I ( t ) + \alpha Y ( t ) \right) - \gamma _ { 2 } \alpha Y ( t ) } \\ { \leq } & { \left( I ( t ) + \alpha Y ( t ) \right) \left( \beta ( S ( t ) + \alpha \nu P ( t ) ) - \gamma _ { 1 } \right) } \\ { = } & { \beta \left( I ( t ) + \alpha Y ( t ) \right) \left( ( S ( t ) + \alpha \nu P ( t ) ) - \frac { 1 } { \mathcal { R } _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { x x } u } & { = 2 \log ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) + \frac { 8 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - 2 \left( \frac { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } , } \\ { \partial _ { y y } u } & { = - 2 \log ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) - \frac { 8 y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + 2 \left( \frac { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , 1 ] } \rVert \partial _ { \varphi _ { j } } ^ { \mathtt { b } } \left( d _ { i } \Psi _ { k } ( \tau ) ( i ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \right) | D | ^ { - ( 1 + b ) ( 1 + m ) } \rVert _ { s } } & { \le _ { s , \mathtt { b } _ { 0 } , m } | d _ { i } \mathfrak { a } ( i ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { m , s _ { 0 } + \mu _ { 0 } , \eta _ { 0 } } \rVert h \rVert _ { s } + | d _ { i } \mathfrak { a } ( i ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { m , s + \mu _ { 0 } , \eta _ { 0 } } \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } } } \\ { \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , 1 ] } \rVert | D | ^ { - ( 1 + b ) ( 1 + m ) } \partial _ { \varphi _ { j } } ^ { \mathtt { b } } \left( d _ { i } \Psi _ { k } ( \tau ) ( i ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \right) \rVert _ { s } } & { \le _ { s , \mathtt { b } _ { 0 } , m } | d _ { i } \mathfrak { a } ( i ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { m , s _ { 0 } + \mu _ { 0 } , \eta _ { 0 } } \rVert h \rVert _ { s } + | d _ { i } \mathfrak { a } ( i ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { m , s + \mu _ { 0 } , \eta _ { 0 } } \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } ( | K _ { T _ { n } } ( x , Z ) | ^ { 2 } ) } & { \geq \int _ { \mathbb { S } ^ { d } } | K _ { T _ { n } } ( x , z ) | ^ { 2 } d \nu ( z ) \cdot \operatorname* { i n f } _ { x \in \mathbb { S } ^ { d } } f _ { X } ( x ) } \\ & { = \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } \| ( ( \tilde { \phi } ^ { l } ( f _ { U } ) ) ^ { - 1 } ) ^ { \mathstrut \scriptscriptstyle { \top } } B ^ { l } ( x ) \| ^ { 2 } \cdot \operatorname* { i n f } _ { x \in \mathbb { S } ^ { d } } f _ { X } ( x ) } \\ & { \geq \mathrm { ( c o n s t . ) } \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } \| B ^ { l } ( x ) \| ^ { 2 } ( \sigma _ { \mathrm { m i n } } ( ( \tilde { \phi } ^ { l } ( f _ { U } ) ) ^ { - 1 } ) ) ^ { 2 } } \\ & { \geq \mathrm { ( c o n s t . ) } \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } \| B ^ { l } ( x ) \| ^ { 2 } \| ( \tilde { \phi } ^ { l } ( f _ { U } ) ) ^ { - 1 } \| _ { \mathrm { o p } } ^ { 2 } } \\ & { \geq \mathrm { ( c o n s t . ) } \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } N ( d , l ) \| ( \tilde { \phi } ^ { l } ( f _ { U } ) ) ^ { - 1 } \| _ { \mathrm { o p } } ^ { 2 } . } \end{array}
h ^ { I } \equiv \frac { 1 } { \omega } ( \Psi _ { 0 , 0 } ( x , y ) ) ^ { - 1 } H _ { I } ( x , y ) \Psi _ { 0 , 0 } ( x , y ) | _ { t = \omega x ^ { 2 } , u = \omega y ^ { 2 } } =
[ \delta _ { \eta } \, , \, \delta _ { \omega } ] \; = \; \int d ^ { 3 } x \, \Sigma _ { \mu \nu } ^ { a b } ( \theta ) \, \frac { \delta S _ { i n v } } { \delta \theta _ { \mu } ^ { a } ( x ) } \frac { \delta } { \delta \theta _ { \nu } ^ { b } ( x ) } \; .
\bar { \epsilon } _ { 2 } ( s ) = \frac { 1 } { 1 6 \pi } \, f r a c { 1 } { \cos ( \pi \alpha _ { 0 } / 2 ) } \, f r a c { e ^ { - i \pi \alpha _ { 0 } / 2 } } { s _ { 0 } \alpha ^ { \prime } \left( \ln ( s / s _ { 0 } ) - i \pi / 2 \right) } \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \tilde { u } _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial \tilde { u } _ { i } } { \partial t } + \tilde { u } _ { j } \frac { \partial \tilde { u } _ { i } } { \partial x _ { j } } } & { = - \frac { 1 } { \rho _ { f } } \frac { \partial \tilde { p } } { \partial x _ { i } } + \nu _ { \mathrm { f } } \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { u } _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } - \frac { \partial \tau _ { i j } } { \partial x _ { j } } - \frac { 1 } { \rho _ { \mathrm { f } } \tilde { V } _ { \mathrm { c e l l } } } \sum _ { p \in \tilde { \Omega } _ { \mathrm { c e l l } } } F _ { \mathrm { D } , i , p } ( \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } _ { p } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ( j ) } & { \overset = - \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { \alpha } ( j ) + \frac { T _ { \alpha } } 4 j } \\ & { = - \frac { \mathcal { C } _ { \alpha } } { 2 } j \lambda _ { \alpha - 1 } ( j ) + \left( \frac { \mathcal { C } _ { \alpha } } { 2 } \lambda _ { \alpha - 1 } ( 0 ) + \frac { T _ { \alpha } } { 4 } \right) j } \\ & { = - \frac { \mathcal { C } _ { \alpha } } 2 j | j | ^ { \alpha - 1 } + W _ { r } ( j ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \log L ( { _ k \ddot { \theta } } ; Y _ { 0 : n } ) = \log L ( { _ m \hat { \theta } } ; Y _ { 0 : n } ) } \\ & { \quad + \frac { n } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { q } \sum _ { j = 1 } ^ { q } ( { _ k \ddot { \theta } _ { i } } - { _ m \hat { \theta } _ { i } } ) ( { _ k \ddot { \theta } _ { j } } - { _ m \hat { \theta } _ { j } } ) \frac { 1 } { n } \frac { \partial ^ { 2 } \log L ( { _ m \theta } ; Y _ { 0 : n } ) } { \partial { _ m \theta _ { i } } \partial { _ m \theta _ { j } } } { \Big | } _ { { _ m \theta } = { _ m \hat { \theta } } + \alpha ( { _ k \ddot { \theta } } - { _ m \hat { \theta } } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \Phi ( u ) \| _ { X ^ { 1 } ( I ) } } & { \leq \| e ^ { i t \Delta } u _ { 0 } \| _ { X ^ { 1 } ( I ) } + C \| u \| _ { X ^ { 1 } ( I ) } \| u \| _ { Z ^ { \prime } ( I ) } ^ { 2 } + C \| u \| _ { X ^ { 1 } ( I ) } \| u \| _ { Z ^ { \prime } ( I ) } ^ { 4 } } \\ & { \leq C \| u _ { 0 } \| _ { H _ { x } ^ { 1 } } + C ( 2 C E ) ( 2 C \delta ) ^ { 2 } + C ( 2 C E ) ( 2 C \delta ) ^ { 4 } } \\ & { \leq C E ( 1 + ( 2 C ) ^ { 3 } \delta ^ { 2 } + ( 2 C ) ^ { 5 } \delta ^ { 4 } ) \leq 2 C E , } \\ { \| \Phi ( u ) \| _ { Z ^ { \prime } ( I ) } } & { \leq \| e ^ { i t \Delta } u _ { 0 } \| _ { Z ^ { \prime } ( I ) } + C \| u \| _ { X ^ { 1 } ( I ) } \| u \| _ { Z ^ { \prime } ( I ) } ^ { 2 } + C \| u \| _ { X ^ { 1 } ( I ) } \| u \| _ { Z ^ { \prime } ( I ) } ^ { 4 } } \\ & { \leq \delta + C ( 2 C E ) ( 2 C \delta ) ^ { 2 } + C ( 2 C E ) ( 2 C \delta ) ^ { 4 } \leq 2 \delta } \end{array}
\bar { P } _ { \pi } ^ { ( \pm ) } = 2 ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - { \frac { \omega } { v } } ) + \omega ^ { 2 } x ^ { 2 } ( 1 - v ^ { 2 } x ^ { 2 } ) \mp s \sqrt { 1 - v ^ { 2 } x ^ { 2 } } \; ( 2 - 2 x ^ { 2 } - \omega v x ^ { 2 } ) { \frac { M \omega } { p _ { \perp } } } \, .
C _ { \mathrm { b o u n d a r y } } ^ { ( 3 ) } = \frac { \sqrt { 2 } \beta } { 1 2 } \left( \sigma _ { 1 } e ^ { \beta \phi _ { 0 } / \sqrt { 2 } } - \sigma _ { 0 } e ^ { - \beta \phi _ { 0 } / \sqrt { 2 } } \right) ,
U ^ { \mathcal { B } } = G _ { N } ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c c c } { G _ { N / 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { G _ { N / 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { G _ { N / 3 } } \end{array} \right) .
\sum q ^ { \frac { 1 } { 2 } p ^ { 2 } } = \sum _ { n } q ^ { \frac { 3 } { 2 } \left( 2 n + 1 + \frac { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { 3 } \right) ^ { 2 } } = \sum _ { n } q ^ { 6 \left( n + \frac { m _ { 1 } + m _ { 2 } + 3 } { 6 } \right) ^ { 2 } } = \theta _ { 2 m _ { 1 } + 2 m _ { 2 } + 6 , 6 } \: ( \tau ) .
{ \lambda _ { 1 , 2 } } = - \frac { 1 } { 4 } \left( { d + { \mathrm { ~ i ~ } } { k _ { S } } \pm \sqrt { 4 A _ { \parallel } ^ { 2 } + { { \left( { d - { \mathrm { ~ i ~ } } { k _ { S } } } \right) } ^ { 2 } } } } \right) .
\sigma _ { t } = \sqrt { e ^ { \frac { 1 } { 2 } \beta _ { \mathrm { ~ d ~ } } t ^ { 2 } + \beta _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } t } - 1 } , \qquad s _ { t } = 1 / \sqrt { e ^ { \frac { 1 } { 2 } \beta _ { \mathrm { ~ d ~ } } t ^ { 2 } + \beta _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } t } } = 1 / \sqrt { \sigma _ { t } ^ { 2 } + 1 } ,
\frac { x } { U _ { e } u _ { * } } \frac { u _ { * } ^ { 2 } } { x } V _ { o } \frac { d U _ { e } } { d y _ { o } } = \frac { u _ { * } } { U _ { e } } V _ { o } \frac { d U _ { o } } { d y _ { o } } .
\begin{array} { r l } & { \left| ( \mathsf { K } F _ { y } - \mathsf { K } F _ { x } ) ( \varphi _ { x } ^ { \lambda } ) \right| \le } \\ & { \le \mathrm { c s t } _ { K , \bar { \lambda } } \, \| F \| _ { \mathcal { G } _ { \mathrm { c o h } ; K , 2 ( \bar { \lambda } + \rho ) , r } ^ { \alpha , \gamma } } \Bigg \{ \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { \lambda } - 1 } 2 ^ { - \beta n } ( 2 ^ { n } \lambda ) ^ { c + 1 } 2 ^ { - n \alpha } ( | y - x | + 2 ^ { - n } ) ^ { \gamma - \alpha } } \\ & { \qquad + \sum _ { n = N _ { \lambda } } ^ { + \infty } 2 ^ { - \beta n } \lambda ^ { \alpha } ( | y - x | + \lambda ) ^ { \gamma - \alpha } \Bigg \} . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ | ( M _ { \infty } ^ { \gamma } - M _ { \varepsilon } ^ { \gamma } ) ( f ) | ^ { p } \right] = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ | ( M _ { t } ^ { \gamma } - M _ { t , \varepsilon } ^ { \gamma } ) ( f ) | ^ { p } \right] .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { i \partial _ { t } \phi + d \Delta \phi + i \vec { r } \cdot \nabla \phi + q \phi = f , } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega \times ( 0 , T ) , } \\ { i \partial _ { t } \phi _ { \Gamma } - d \partial _ { \nu } \phi + \delta \Delta _ { \Gamma } \phi _ { \Gamma } + i \vec { r } _ { \Gamma } \cdot \nabla _ { \Gamma } \phi _ { \Gamma } + q _ { \Gamma } \phi _ { \Gamma } = f _ { \Gamma } , } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 1 } \times ( 0 , T ) , } \\ { \phi = \phi _ { \Gamma } , } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 1 } \times ( 0 , T ) , } \\ { \phi = 0 , } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 0 } \times ( 0 , T ) , } \\ { ( \phi , \phi _ { \Gamma } ) ( T , \cdot ) = ( \phi _ { T } , \phi _ { \Gamma , T } ) , } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega \times \Gamma _ { 1 } , } \end{array} \right. } \end{array}
V _ { \mathrm { N B } } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { V _ { \mathrm { L J } } ( r ) - V _ { \mathrm { s h i f t } } , } & { r < r _ { c } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ , ~ } } \end{array} \right.
\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { a } \Upsilon _ { m , \alpha } ^ { i } ( r , \theta ) \Upsilon _ { n , \beta } ^ { j } ( r , \theta ) r d r d \theta = \delta _ { i j } \delta _ { m n } \delta _ { \alpha \beta } C ,
\begin{array} { r } { \nabla \psi _ { \omega } = \nabla _ { \mathbf x } \psi + \varepsilon ^ { - 1 } \nabla _ { \mathbf y } \psi = \nabla _ { \mathbf x } \psi + \omega ^ { - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \psi , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \frac { \partial \psi _ { \omega } } { \partial t } = \frac { \partial \psi } { \partial t } + \omega ^ { - 1 } \frac { \partial \psi } { \partial \tau } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { 3 0 } ^ { \prime } } & { = } & { { \textstyle \frac { 5 } { 2 } } R ^ { - 3 } { \cal T } _ { 3 3 3 } ^ { \prime } , \qquad C _ { 3 1 } ^ { \prime } = - { \textstyle \frac { 5 } { 4 } } R ^ { - 3 } { \cal T } _ { 1 3 3 } ^ { \prime } , \qquad C _ { 3 2 } ^ { \prime } = { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } R ^ { - 3 } \Big ( { \cal T } _ { 1 1 3 } ^ { \prime } - { \cal T } _ { 2 2 3 } ^ { \prime } \Big ) , \qquad C _ { 3 3 } ^ { \prime } = { \textstyle \frac { 1 } { 2 4 } } R ^ { - 3 } \Big ( 3 { \cal T } _ { 1 2 2 } ^ { \prime } - { \cal T } _ { 1 1 1 } ^ { \prime } \Big ) , } \\ { S _ { 3 1 } ^ { \prime } } & { = } & { - { \textstyle \frac { 5 } { 4 } } R ^ { - 3 } { \cal T } _ { 2 3 3 } ^ { \prime } , \qquad \, S _ { 3 2 } ^ { \prime } = { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } R ^ { - 3 } { \cal T } _ { 1 2 3 } ^ { \prime } , \qquad ~ ~ ~ S _ { 3 3 } ^ { \prime } = { \textstyle \frac { 1 } { 2 4 } } R ^ { - 3 } \Big ( { \cal T } _ { 2 2 2 } ^ { \prime } - 3 { \cal T } _ { 1 1 2 } ^ { \prime } \Big ) . ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { l } { { \dot { o } ^ { A } = \frac { 1 } { 2 } \dot { m } o ^ { A } - \i \phi \iota ^ { A } , } } \\ { { \dot { \iota } ^ { A } = \i \mu o ^ { A } - \frac { 1 } { 2 } \dot { \overline { { { m } } } } \iota ^ { A } + \acute { o } ^ { A } . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbb J } _ { 1 } } & { \approx } & { - \, { \mathbb K } _ { 3 } - \, { \mathbb L } _ { 3 } = - ( { \mathbb X } _ { 3 } + { \mathbb X } _ { 4 } ) , } \\ { { \mathbb J } _ { 2 } } & { \approx } & { + \, { \mathbb K } _ { 1 } - \, { \mathbb L } _ { 2 } = { \mathbb X } _ { 1 } , } \\ { { \mathbb J } _ { 3 } } & { \approx } & { - \, { \mathbb K } _ { 2 } - \, { \mathbb L } _ { 1 } = - \, { \mathbb X } _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( 1 - \varepsilon _ { \theta } ) ~ \tilde { \beta } _ { L | \mathcal Ḋ W Ḍ } ( \theta ) - \gamma _ { L } \varepsilon _ { \theta } ~ \le ~ \beta _ { L | \mathcal Ḋ W Ḍ } ( \theta ) ~ \le ~ ( 1 + \varepsilon _ { \theta } ) ~ \tilde { \beta } _ { L | \mathcal Ḋ W Ḍ } ( \theta ) + \gamma _ { L } \varepsilon _ { \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { * } \Delta _ { 2 } } & { = \left[ \begin{array} { c c c c c } { - 0 . 0 1 0 5 } & { 0 . 0 3 0 5 } & { 0 . 0 0 3 3 } & { 0 . 0 0 5 7 } & { 0 . 0 4 2 1 } \\ { 0 . 0 3 0 5 } & { - 0 . 0 8 0 6 } & { - 0 . 0 0 7 0 } & { - 0 . 0 3 4 0 } & { - 0 . 1 2 8 0 } \\ { 0 . 0 0 3 3 } & { - 0 . 0 0 7 0 } & { - 0 . 0 0 0 1 } & { - 0 . 0 0 7 7 } & { - 0 . 0 1 5 3 } \\ { 0 . 0 0 5 7 } & { - 0 . 0 3 4 0 } & { - 0 . 0 0 7 7 } & { 0 . 0 3 6 2 } & { - 0 . 0 0 9 5 } \\ { 0 . 0 4 2 1 } & { - 0 . 1 2 8 0 } & { - 0 . 0 1 5 3 } & { - 0 . 0 0 9 5 } & { - 0 . 1 6 4 3 } \end{array} \right] , } \\ { \varepsilon ^ { * } \Delta _ { 1 } } & { = \left[ \begin{array} { c c c c c } { 0 } & { 0 . 0 4 2 3 } & { - 0 . 0 0 0 4 } & { - 0 . 0 1 5 3 } & { 0 . 0 3 9 9 } \\ { - 0 . 0 4 2 3 } & { 0 } & { 0 . 0 2 7 1 } & { - 0 . 0 0 1 3 } & { - 0 . 0 0 8 1 } \\ { 0 . 0 0 0 4 } & { - 0 . 0 2 7 1 } & { 0 } & { 0 . 0 0 9 8 } & { - 0 . 0 2 5 5 } \\ { 0 . 0 1 5 3 } & { 0 . 0 0 1 3 } & { - 0 . 0 0 9 8 } & { 0 } & { 0 . 0 0 4 1 } \\ { - 0 . 0 3 9 9 } & { 0 . 0 0 8 1 } & { 0 . 0 2 5 5 } & { - 0 . 0 0 4 1 } & { 0 } \end{array} \right] , } \\ { \varepsilon ^ { * } \Delta _ { 0 } } & { = \left[ \begin{array} { c c c c c } { - 0 . 0 1 9 8 } & { 0 . 0 4 2 5 } & { 0 . 0 1 1 3 } & { - 0 . 0 2 6 8 } & { 0 . 0 4 3 4 } \\ { 0 . 0 4 2 5 } & { - 0 . 0 3 8 7 } & { - 0 . 0 2 3 1 } & { 0 . 0 5 6 1 } & { - 0 . 0 5 5 4 } \\ { 0 . 0 1 1 3 } & { - 0 . 0 2 3 1 } & { - 0 . 0 0 6 4 } & { 0 . 0 1 5 3 } & { - 0 . 0 2 4 0 } \\ { - 0 . 0 2 6 8 } & { 0 . 0 5 6 1 } & { 0 . 0 1 5 3 } & { - 0 . 0 3 6 2 } & { 0 . 0 5 7 7 } \\ { 0 . 0 4 3 4 } & { - 0 . 0 5 5 4 } & { - 0 . 0 2 4 0 } & { 0 . 0 5 7 7 } & { - 0 . 0 6 8 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\mathbf { x } _ { 2 } = \mathbf { x } _ { 1 } + \alpha _ { 1 } \mathbf { p } _ { 1 } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 2 3 5 6 } \\ { 0 . 3 3 8 4 } \end{array} \right] } + 0 . 4 1 2 2 { \left[ \begin{array} { l } { - 0 . 3 5 1 1 } \\ { 0 . 7 2 2 9 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 0 9 0 9 } \\ { 0 . 6 3 6 4 } \end{array} \right] } .
I _ { \pi } = D _ { \pi } ( k ) - ( 1 { - } e ^ { - \beta E _ { k } } ) \, \int { \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \, L _ { \mathrm { B o l t z . } } ( \underline { { { k } } } { - } p ) \, S _ { \mathrm { f r e e } } ( p ) \, { \frac { D _ { \pi } ( p ) } { 2 \Sigma _ { I } ^ { \mathrm { B o l t z . } } ( p ) } } \; ,
{ \frac { d \sigma } { d t } } = { \frac { d \sigma _ { T } } { d t } } + \varepsilon { \frac { d \sigma _ { L } } { d t } } = { \frac { R } { 1 6 \pi \hat { w } ^ { 2 } } } \left[ | A ( T \rightarrow T ) | ^ { 2 } + \varepsilon | A ( L \rightarrow L ) | ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { \Phi ( r , \theta , \varphi , t ) = } & { \sum _ { l = 0 } ^ { n _ { \varphi } - 1 } \sum _ { j } \sum _ { k } \sum _ { n = 0 } ^ { n _ { \varphi } - 1 } \phi _ { j k } ^ { ( n ) } ( t ) \exp { \left( \frac { 2 \pi i } { n _ { \varphi } } n l \right) } } \\ & { \Lambda _ { j } ( r ) \Lambda _ { k } ( \theta ) \Lambda _ { l } ( \varphi ) } \end{array}
\int \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \mathbf { P } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \, d \boldsymbol { \textbf { r } } = \frac { \partial f _ { k , \sigma } ^ { \mu _ { \sigma } } } { \partial \epsilon _ { k , \sigma } } \left[ - 2 \int w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \, d \boldsymbol { \textbf { r } } + \eta _ { \sigma } \textbf { I } _ { m _ { k , \sigma } } \right] \, .
W _ { i _ { A } j _ { B } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { P Q R } \sum _ { k _ { P } a _ { Q } b _ { R } } t _ { i _ { A } k _ { P } } ^ { a _ { Q } b _ { R } } ( j _ { B } k _ { P } | | a _ { Q } b _ { R } ) + t _ { j _ { B } k _ { P } } ^ { a _ { Q } b _ { R } } ( i _ { A } k _ { P } | | a _ { Q } b _ { R } )
\psi ( t ^ { \prime } , x ^ { i } , 0 ) = \big ( t ^ { \prime } \textnormal { e } ^ { \Upsilon ( x ) } , x ^ { i } , 0 \big ) \, , \qquad \psi ^ { * } \tilde { g } | _ { \rho ^ { \prime } = 0 } = 2 t ^ { \prime } \textnormal { d } \rho ^ { \prime } \textnormal { d } t ^ { \prime } + t ^ { 2 } g _ { i j } ^ { \prime } \textnormal { d } x ^ { i } \textnormal { d } x ^ { j } + 2 t ^ { 2 } a _ { i } ^ { \prime } \textnormal { d } x ^ { i } \textnormal { d } \rho ^ { \prime } \, ,
\frac { 1 } { k } F _ { i } ( k ) \sum _ { l = 1 } ^ { k } \frac { 1 } { F _ { i } ( l ) } = \frac { 1 } { k } \sum _ { l = 1 } ^ { k } \frac { F _ { i } ( k ) } { F _ { i } ( l ) } \ge c o n s t . \frac { 1 } { k } \sum _ { l = 1 } ^ { k } \frac { F _ { j } ( k ) } { F _ { j } ( l ) } = c o n s t . \frac { 1 } { k } F _ { j } ( k ) \sum _ { l = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { F _ { j } ( l ) }
\begin{array} { r l r } & { } & { \omega _ { p j } = v _ { t x j } q _ { x j } + v _ { t y j } q _ { y j } + \frac { U _ { j } } { \hbar } + \Omega _ { j } , } \\ & { } & { \omega _ { h j } = v _ { t x j } q _ { x j } + v _ { t y j } q _ { y j } + \frac { U _ { j } } { \hbar } - \Omega _ { j } , } \\ & { } & { \chi _ { p j } = \frac { \Omega _ { j } - \mu _ { j } } { \nu _ { j } } , ~ \chi _ { h j } = - \frac { \Omega _ { j } + \mu _ { j } } { \nu _ { j } } , } \\ & { } & { \Omega _ { j } = \sqrt { { \mu _ { j } } ^ { 2 } + { \vert \nu _ { j } \vert } ^ { 2 } } , ~ \mu _ { j } = \frac { M _ { j } } { \hbar } , ~ \nu _ { j } = v _ { x j } q _ { x j } - i v _ { y j } q _ { y j } , } \\ & { } & { q _ { x j } = k _ { x } + \frac { e A _ { x j } } { \hbar } , ~ q _ { y j } = k _ { y } + \frac { e A _ { y j } } { \hbar } , } \end{array}
\frac { \partial U } { \partial z } = \left\{ \sqrt { \frac { 1 } { v ^ { 2 } } - \left[ \frac { \partial t } { \partial g } \right] ^ { 2 } } + \sqrt { \frac { 1 } { v ^ { 2 } } - \left[ \frac { \partial t } { \partial s } \right] ^ { 2 } } \right\} \frac { \partial U } { \partial t }
F _ { \rho } ^ { \Lambda } = F _ { \rho } ^ { e , e } + F _ { \rho } ^ { e , c } + F _ { \rho } ^ { e , c ^ { 2 } } - F _ { \rho } ^ { e , t } - F _ { \rho } ^ { e , t c } - F _ { \rho } ^ { e , t c ^ { 2 } } .
k = { \frac { \gamma _ { 2 } - z _ { \infty } } { \gamma _ { 1 } - z _ { \infty } } } = { \frac { Z _ { \infty } - \gamma _ { 1 } } { Z _ { \infty } - \gamma _ { 2 } } } = { \frac { a - c \gamma _ { 1 } } { a - c \gamma _ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l r } { \tau _ { x , y } } & { { } = } & { \operatorname* { i n f } \left( n \geq 0 : X _ { n } \geq y { \mathbb \mid } \mathrm { ~ } X _ { 0 } = x \right) \mathrm { ~ i ~ f ~ s ~ u ~ c ~ h ~ a ~ n ~ } n \mathrm { ~ e ~ x ~ i ~ s ~ t ~ s ~ , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } ) } \\ { * } & { \geq \operatorname* { P r } \Big \{ R _ { 1 , n } < R ( \hat { T } _ { X ^ { n } } , D _ { 1 , n } ) ~ \mathrm { o r } ~ R _ { 2 , n } < H ( \hat { T } _ { g ( X ^ { n } ) } ) ~ \mathrm { o r } } \\ & { \qquad R _ { 1 , n } + R _ { 2 , n } < \mathsf { R } ( R _ { 1 , n } , D _ { 1 , n } , D _ { 2 , n } | \hat { T } _ { X ^ { n } } ) + H ( \hat { T } _ { g ( X ^ { n } ) } ) \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal { W } } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \omega ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + ( z - r _ { 1 } ) ^ { 2 } \right) - { \frac { G m } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + ( z - r _ { 0 } ) ^ { 2 } } } } } \end{array}