harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \quad u ( x ) = \int _ { \Omega } K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ) f ( y , u ( y ) ) \mathrm d y } \\ & { = \int _ { \Omega \cap B _ { \lambda } ( 0 ) } K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ) f ( y , u ( y ) ) \mathrm { d } y + \int _ { \Omega \setminus B _ { \lambda } ( 0 ) } K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ) f ( y , u ( y ) ) \mathrm d y } \\ & { = \int _ { \Omega \cap B _ { \lambda } ( 0 ) } K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ) f ( y , u ( y ) ) \mathrm d y + \int _ { \Omega \cap B _ { \lambda } ( 0 ) } { \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) } ^ { 2 n } K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ^ { \lambda } ) f \left[ y ^ { \lambda } , { \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) } ^ { 2 s - n } u _ { \lambda } ( y ) \right] \mathrm d y } \\ & { \quad + \int _ { ( \Omega \setminus B _ { \lambda } ( 0 ) ) ^ { \lambda } \setminus ( \Omega \cap B _ { \lambda } ( 0 ) ) } { \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) } ^ { 2 n } K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ^ { \lambda } ) f \left[ y ^ { \lambda } , { \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) } ^ { 2 s - n } u _ { \lambda } ( y ) \right] \mathrm d y . } \end{array}
s _ { i , j } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \ln p _ { i , j } \, } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } = q _ { j } = + 1 } \\ { - \ln ( 1 - p _ { i , j } ) \, } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } = q _ { j } = - 1 } \end{array} \right. \, .
\frac { \partial \Omega } { \partial z ^ { \alpha } } = \frac { 1 } { n ! } \frac { \partial h ( x ) } { \partial z ^ { \alpha } } \epsilon _ { { \mu } { \nu } \cdots { \rho } } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } \cdots d x ^ { \rho } + \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } h ( x ) \epsilon _ { { \mu } { \nu } \cdots { \rho } } \frac { \partial d x ^ { \mu } } { \partial z ^ { \alpha } } d x ^ { \nu } \cdots d x ^ { \rho } .
p ( \boldsymbol { \theta } | D ) = \frac { p ( D | \boldsymbol { \theta } ) p ( \boldsymbol { \theta } ) } { p ( D ) } = \frac { p ( D | \boldsymbol { \theta } ) p ( \boldsymbol { \theta } ) } { \int p ( D | \boldsymbol { \theta } ) p ( \boldsymbol { \theta } ) d \boldsymbol { \theta } } .
\begin{array} { r l } { v _ { x } } & { = \frac { \alpha _ { x x } } { \Lambda _ { + } } \bigg ( \frac { \pi _ { x x } ^ { \prime } ( m ^ { + } ) + \beta } { \zeta } \bigg ) \bigg [ 1 - \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { \pm } } \bigg ) \bigg ] \sinh \bigg ( \frac { x } { \Lambda _ { + } } \bigg ) , } \\ { v _ { y } } & { = \frac { \alpha _ { y y } } { \Lambda _ { - } } \bigg ( \frac { \pi _ { y y } ^ { \prime } ( m ^ { - } ) + \beta } { \zeta } \bigg ) \bigg [ 1 - \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { \mp } } \bigg ) \bigg ] \sinh \bigg ( \frac { y } { \Lambda _ { - } } \bigg ) , } \\ { \dot { \gamma } _ { x x } } & { = \frac { \alpha _ { x x } } { \Lambda _ { + } ^ { 2 } } \bigg ( \frac { \pi _ { x x } ^ { \prime } ( m ^ { + } ) + \beta } { \zeta } \bigg ) \bigg [ 1 - \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { \pm } } \bigg ) \bigg ] \cosh \bigg ( \frac { x } { \Lambda _ { + } } \bigg ) , } \\ { \dot { \gamma } _ { y y } } & { = \frac { \alpha _ { y y } } { \Lambda _ { - } ^ { 2 } } \bigg ( \frac { \pi _ { y y } ^ { \prime } ( m ^ { - } ) + \beta } { \zeta } \bigg ) \bigg [ 1 - \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { \mp } } \bigg ) \bigg ] \cosh \bigg ( \frac { y } { \Lambda _ { - } } \bigg ) . } \end{array}
\hat { u } = \frac { u } { u _ { \infty } } , \hat { t } = \frac { t } { L _ { \infty } / \sqrt { R _ { \infty } T _ { \infty } } } , \hat { P } = \frac { P } { \rho _ { \infty } R _ { \infty } T _ { \infty } } , \hat { \mu } = \frac { \mu } { \rho _ { \infty } L _ { \infty } \sqrt { R _ { \infty } T _ { \infty } } } ,
\begin{array} { r l r } { \mathbf { E } _ { \pm , r \omega } ^ { \perp } = } & { } & { \mathcal { E } _ { r \omega } e ^ { - \frac { \rho ^ { 2 } } { W _ { 0 } ^ { 2 } } } \left( \frac { \sqrt { 2 } \rho } { W _ { 0 } } \right) ^ { | \ell _ { r \omega } | } e ^ { \mathrm { i } \ell _ { r \omega } \theta } e ^ { \mathrm { i } \phi _ { r \omega } } } \\ & { } & { \times \frac { ( \mathbf { e } _ { x } - \mathrm { i } m _ { r \omega } \mathbf { e } _ { y } ) } { \sqrt { 2 } } , } \end{array}
\frac { \partial \hat { c } _ { 1 } } { \partial T } = \frac { \partial ^ { 2 } \hat { c } _ { 1 } } { \partial y ^ { 2 } } , ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ t ~ h ~ e ~ i ~ n ~ i ~ t ~ i ~ a ~ l ~ c ~ o ~ n ~ d ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } ~ ~ ~ ~ \hat { c } _ { 1 } ( T = 0 ) = - c _ { 1 } ^ { \infty } ( t = 0 ) ,
Z _ { n } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) Z _ { m } ( \theta _ { 3 } , \theta _ { 4 } ) = S _ { b _ { n } b _ { m } } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } , \theta _ { 3 } , \theta _ { 4 } ) Z _ { m } ( \theta _ { 3 } , \theta _ { 4 } ) Z _ { n } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) ~ .
\begin{array} { r l } { A } & { = \Big \vert \int _ { \hat { \mathcal { N } } ^ { c } } \operatorname { s g n } ( \hat { \theta } ( x ) ) \thinspace \hat { G } ( x ) \ d x \ - \int _ { \mathcal { N } ^ { c } } \operatorname { s g n } ( \theta ( x ) ) \thinspace \hat { G } ( x ) \ d x \Big \vert } \\ { B } & { = \Big \vert \int _ { \hat { \mathcal { N } } } \vert \hat { G } ( x ) \vert \ d x \ - \int _ { \mathcal { N } } \vert \hat { G } ( x ) \vert \ d x \Big \vert } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } ( \| e ^ { \frac { q _ { \alpha } | \xi | ^ { 2 } } { 2 } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \langle \nabla _ { \xi } \rangle ( \mu _ { \beta } e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } - \mu _ { \gamma ^ { \varepsilon } } e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } ) \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad \quad + \| e ^ { \frac { q _ { \alpha + 1 } | \xi | ^ { 2 } } { 2 } } \langle \nabla _ { \xi } \rangle ( \mu _ { \beta } e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } - \mu _ { \gamma ^ { \varepsilon } } e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } ) \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ) } \\ & { \lesssim _ { M } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } ( | \beta - \gamma ^ { \varepsilon } | + \| \phi ^ { 0 } - \psi ^ { \varepsilon } \| _ { H _ { x } ^ { s } } ) } \\ & { \lesssim _ { M } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ) - F _ { + } ^ { 0 } ( t ) \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 0 } ( K _ { 2 } ( \delta ) ) f - f } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( e ^ { \imath \delta ( \alpha - 2 k ) } - 1 ) ( z _ { 1 } ^ { k } f _ { 1 , k } + z _ { 2 } z _ { 1 } ^ { k } f _ { 2 , k + 1 } ) } \\ & { \quad + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( e ^ { \imath \delta ( \alpha - 2 k - 1 ) } - 1 ) ( z _ { 3 } z _ { 1 } ^ { k } f _ { 3 , k + 1 } + z _ { 4 } z _ { 1 } ^ { k } f _ { 4 , k + 1 } ) } \end{array}
M _ { n } = 4 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } d r ~ r ^ { 2 } \{ \frac { F _ { \pi } ^ { 2 } } { 8 } [ F ^ { 2 } + 2 \frac { s i n ^ { 2 } n F } { n ^ { 2 } r ^ { 2 } } ] + \frac { 1 } { 2 e ^ { 2 } } ~ \frac { s i n ^ { 2 } n F } { r ^ { 2 } } ~ [ \frac { s i n ^ { 2 } n F } { n ^ { 2 } r ^ { 2 } } + 2 F ^ { 2 } ] \}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial x } } & { = 1 + \lambda _ { 1 } x - 2 \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } x + 2 \lambda _ { 2 } = 0 } \\ { \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial y } } & { = \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } = 0 } \\ { y } & { = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 2 x } \\ { y } & { = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - 2 x + 4 } \end{array}
\begin{array} { r } { p = p _ { \mathrm { e x t } } + \frac { E } { 1 - \nu ^ { 2 } } \frac { \left( a - \langle a \rangle \right) } { e } - \sigma _ { \mathrm { a c t i v e } } + \frac { 1 } { a } \left\langle a \left( p - p _ { \mathrm { e x t } } + \sigma _ { \mathrm { a c t i v e } } \right) \right\rangle . } \end{array}
\left[ - \frac { 4 \kappa \xi } { \left( 1 + \kappa \xi \Phi ^ { 2 } \right) } \left( \frac { 1 } { \kappa } \Lambda - \frac { 1 } { 2 } \mu ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \lambda \Phi ^ { 4 } \right) - \mu ^ { 2 } + \lambda \Phi ^ { 2 } \right] \Phi = 0 .
v _ { y } ^ { \mathrm { s k y } } = \frac { 4 \pi q \left( 4 \pi \alpha v _ { \mathrm { m } } + F \right) } { \left( \alpha \int { \partial _ { x } \boldsymbol { n } \cdot \partial _ { y } \boldsymbol { n } d x d y } \right) ^ { 2 } + 1 6 \pi ^ { 2 } q ^ { 2 } }
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \tilde { \rho } _ { \Xi } ( t ) = \mathcal { L } _ { \mathrm { e } } ( \tilde { \rho } _ { \Xi } ( t ) ) , \quad t \in \left( t _ { m - 1 } , t _ { m } \right) , \quad m > 0 .
V _ { \mathrm { C } } = \left( \begin{array} { r c } { { \cos \theta _ { \mathrm { C } } } } & { { ~ \sin \theta _ { \mathrm { C } } } } \\ { { - \sin \theta _ { \mathrm { C } } } } & { { ~ \cos \theta _ { \mathrm { C } } } } \end{array} \right) \, .
I _ { 1 5 } = \frac { 1 } { q ^ { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } z ^ { n } \frac { 1 } { n } \Biggl [ - \frac { 1 } { n } \log ( - z ) - \zeta _ { 2 } + 3 \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } { \binom { 2 j } { j } } ^ { \! \! \! - 1 } \frac { 1 } { j ^ { 2 } } + \frac { 2 } { n ^ { 2 } } + 4 { \binom { 2 n } { n } } ^ { \! \! \! - 1 } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \Biggr ] .
\begin{array} { r l } { L _ { t } f ( x ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { A } \frac { D G _ { i } ( Z ( t ) ) \cdot x } { 1 + t } \cdot \frac { \partial } { \partial x _ { i } } f ( x ) + \sum _ { i = 1 } ^ { A } \frac { p _ { i } ( Z ( t ) ) ( 1 - p _ { i } ( Z ( t ) ) ) } { 2 ( 1 + t ) ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { i } ^ { 2 } } f ( x ) } \\ & { + \sum _ { i = 1 \atop i \ne j } ^ { A } \frac { p _ { i } ( Z ( t ) ) p _ { j } ( Z ( t ) ) } { ( 1 + t ) ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } f ( x ) } \end{array}
\mathcal { U } _ { L } \equiv \mathcal { U } _ { 0 } \overset { w _ { 1 } } { \longrightarrow } \mathcal { U } _ { 1 } \overset { w _ { 2 } } { \longrightarrow } \cdots \overset { w _ { m } } { \longrightarrow } \mathcal { U } _ { m } \equiv \mathcal { U } _ { R } ,
\begin{array} { r l } { \! \! \! \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { \Delta } , \boldsymbol { \alpha } , \boldsymbol { Z } } J = } & { \Phi _ { 1 } ( \boldsymbol { \Delta } ) + \Phi _ { 2 } ( \boldsymbol { \alpha } ) + \Phi _ { 3 } ( \boldsymbol { Z } ) - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { s } ^ { T } b _ { i } ( \boldsymbol { Z } ) , } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o ~ } \; \ F ( \boldsymbol { \Delta } , \boldsymbol { \alpha } , \boldsymbol { Z } ) = 0 , } \\ & { \boldsymbol { \Delta } \in \mathcal { D } , \boldsymbol { \alpha } \in \mathcal { A } , \boldsymbol { Z } \in \mathcal { Z } , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } \frac { 1 } { \varepsilon } \Big ( \mathcal H ( ( \mathrm { i d } + \varepsilon \zeta ) _ { \# } f ) - \mathcal H ( f ) \Big ) = \int _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } \int _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } \left( \begin{array} { l } { \nabla \mathcal V ( r - \hat { r } ) } \\ { v - \bar { v } } \end{array} \right) \cdot \zeta ( r , v ) \mathrm d f ( t , \hat { r } , \hat { v } ) \mathrm d f ( t , r , v ) .
\begin{array} { r l } { H [ \rho ] } & { { } = - \frac 1 2 \Delta + V _ { \mathrm { t o t } } [ \rho ] } \\ { V _ { \mathrm { t o t } } } & { { } = V _ { \mathrm { n u c l } } + V _ { \mathrm { H x c } } [ \rho ] } \\ { V _ { \mathrm { H x c } } [ \rho ] ( \mathbf r ) } & { { } = \int \frac { \rho ( \mathbf r ^ { \prime } ) } { | \mathbf r - \mathbf r ^ { \prime } | } d \mathbf r ^ { \prime } + v _ { \mathrm { x c } } ( \rho ( \mathbf r ) ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c c c } { { \lambda x ^ { + } } } & { { = } } & { { e ^ { \lambda \sigma ^ { + } } } } \\ { { \lambda \left( x ^ { - } + { \frac { M } { \lambda ^ { 3 } x _ { 0 } ^ { + } } } \right) } } & { { = } } & { { - e ^ { - \lambda \sigma ^ { - } } \; , } } \end{array} \right.
\Omega _ { 1 } ( x , z ) = \sum _ { ( n , j ) \in \mathcal { I } } \mathfrak { e } _ { ( n , j ) } ^ { ( 1 ) } \sqrt { \frac { \sigma _ { ( n , j ) } } { \ell \, \mu _ { \mathrm { m a x } } } } \, \mathrm { e } ^ { 2 i \pi n x / \ell } \Phi _ { ( n , j ) } ( z ) ,
\begin{array} { r l r } { \phi _ { H } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt 2 } ( \tilde { \phi } _ { H } + \tilde { \phi } _ { L } ) } \\ { \phi _ { L } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt 2 } ( \tilde { \phi } _ { H } - \tilde { \phi } _ { L } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P N L } _ { \tau ^ { \alpha ^ { \varepsilon } } } ^ { \alpha ^ { \varepsilon } } } & { = \; B \Big ( \frac { 1 } { \tau ^ { \alpha ^ { \varepsilon } } } \int _ { 0 } ^ { \tau ^ { \alpha ^ { \varepsilon } } } S _ { s } d s - S _ { \tau ^ { \alpha ^ { \varepsilon } } } \Big ) - \lambda ( B - Q _ { \tau ^ { \alpha ^ { \varepsilon } } } ^ { \alpha ^ { \varepsilon } } ) _ { + } } \\ & { \rightarrow \; B \Big ( \frac { 1 } { \bar { \tau } } \int _ { 0 } ^ { \bar { \tau } } S _ { s } d s - S _ { \bar { \tau } } \Big ) \; = \; \mathrm { P N L } _ { \bar { \tau } } ^ { \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla F ( \mathbf { y } ) - \nabla F ( { \mathbf x } ) - \nabla ^ { 2 } F ( { \mathbf x } ) ( \mathbf { y } - { \mathbf x } ) \| } & { = \left\| \int _ { 0 } ^ { 1 } \! ( \nabla ^ { 2 } F ( { \mathbf x } + t ( \mathbf { y } - { \mathbf x } ) ) - \nabla ^ { 2 } F ( { \mathbf x } ) ) ( \mathbf { y } - { \mathbf x } ) \, \mathrm { d } t \right\| } \\ & { \le \int _ { 0 } ^ { 1 } \! t J \| \mathbf { y } - { \mathbf x } \| ^ { 2 } \, \mathrm { d } t = \frac { J \| \mathbf { y } - { \mathbf x } \| ^ { 2 } } { 2 } \leq \frac { J \delta ^ { 2 } } { 2 } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { Y , Z } \mu ^ { + } ( X ) } & { = \mu ^ { + } ( ( X \| Y ) \vert \setminus Z ) - \mu ^ { + } ( X ) } \\ & { = \frac { \sum X + \sum Y - \sum Z } { N + M - K } - \frac { \sum X } { N } } \\ & { = \frac { \sum X } { N } \frac { N } { N + M - K } + \frac { \sum Y } { M } \frac { M } { N + M - K } - \frac { \sum Z } { K } \frac { K } { N + M - K } - \frac { \sum X } { N } } \\ & { = \frac { \sum X } { N } \frac { N - ( N + M - K ) } { N + M - K } + \frac { \sum Y } { M } \frac { M } { N + M - K } - \frac { \sum Z } { K } \frac { K } { N + M - K } } \\ & { = \mu ^ { + } ( X ) \frac { - ( M - K ) } { N + M - K } + \mu ^ { + } ( Y ) \frac { M } { N + M - K } - \mu ^ { + } ( Z ) \frac { K } { N + M - K } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { - l } } & { = u _ { 1 } * U ( u _ { 2 } ) * U ^ { 2 } ( u _ { 3 } ) * \ldots * U ^ { l - 2 } ( u _ { l - 1 } ) * U ^ { l - 1 } ( v _ { l } ) , } \\ { \phi _ { - l } } & { = u _ { 1 } * U ( u _ { 2 } ) * U ^ { 2 } ( u _ { 3 } ) * \ldots * U ^ { l - 2 } ( u _ { l - 1 } ) * U ^ { l - 1 } ( u _ { l } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi _ { t } } & { { } = \big ( \Phi _ { x } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } + \Phi _ { y } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } \eta _ { x } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } \big ) ( \xi _ { t } - c ) = \frac { \varphi _ { \alpha } } { \xi _ { \alpha } } \big ( \xi _ { \alpha } \big ( - H ^ { \coth } \Big [ \frac { \psi _ { \alpha } } { J } \Big ] + C _ { 1 } \big ) + \eta _ { \alpha } \frac { \psi _ { \alpha } } { J } - c \big ) } \end{array}
d \Gamma \, = \, { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { \gamma } } } { \frac { \alpha G _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 3 } } } \mid V _ { t b } V _ { t s } ^ { \star } \mid ^ { 2 } \, \mid c _ { 7 } ^ { \mathrm { e f f } } ( m _ { b } ) \mid ^ { 2 } \, \mathrm { I m } \, T ( v \cdot k ) .
P _ { \uparrow } \left( t \right) = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - e ^ { - \left( { \bar { n } } _ { X } + \frac { 1 } { 2 } \right) \left| 2 \alpha \left( t \right) \right| ^ { 2 } - \left( { \bar { n } } _ { Y } + \frac { 1 } { 2 } \right) \left| 2 \beta \left( t \right) \right| ^ { 2 } } e ^ { - t / \tau } \right)
\begin{array} { r l } { \frac { \rho K } { 6 4 \lambda L ^ { 2 } } \bigg ( \frac { \mathbb { E } \| \bar { e } _ { \tau , I } \| ^ { 2 } } { \eta _ { \tau , I - 1 } } - \frac { \mathbb { E } \| \bar { e } _ { \tau , 0 } \| ^ { 2 } } { \eta _ { \tau - 1 , I - 1 } } \bigg ) } & { \leq - \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \frac { 3 \lambda \eta _ { i } } { 2 \rho } \mathbb { E } \| \bar { e } _ { \tau , i } \| ^ { 2 } + \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \frac { 5 \lambda ( I - 1 ) } { 4 K \rho } \sum _ { \ell = 1 } ^ { i } \eta _ { \ell } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \tau , \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \tau , \ell } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad + \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \frac { \eta _ { \tau , i } \rho } { 8 \lambda } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { \tau , i } \| ^ { 2 } + \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \frac { \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } \eta _ { \tau , i } ^ { 3 } \rho } { 1 6 \lambda L ^ { 2 } b _ { 1 } } } \\ & { \leq - \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \frac { 3 \lambda \eta _ { i } } { 2 \rho } \mathbb { E } \| \bar { e } _ { \tau , i } \| ^ { 2 } + \frac { 5 \lambda I ( I - 1 ) } { 4 K \rho } \sum _ { \ell = 1 } ^ { I } \eta _ { \ell } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \tau , \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \tau , \ell } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad + \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \frac { \eta _ { \tau , i } \rho } { 8 \lambda } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { \tau , i } \| ^ { 2 } + \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \frac { \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } \eta _ { \tau , i } ^ { 3 } \rho } { 1 6 \lambda L ^ { 2 } b _ { 1 } } } \end{array}
\frac { W ( N , k _ { 1 } , \ldots , k _ { s } ) } { ( P _ { N } ) ! } = \frac { 1 } { P _ { N } } \cdot \Bigg ( \Big ( \theta ^ { N - k _ { 1 } - 1 } \cdot P _ { k _ { 1 } } \cdot \sum _ { i = k _ { 1 } } ^ { k _ { 2 } - 1 } \frac { 1 } { P _ { i } } \Big ) + \Big ( \theta ^ { N - k _ { 2 } - 1 } \cdot P _ { k _ { 2 } } \cdot \sum _ { i = k _ { 2 } } ^ { k _ { 3 } - 1 } \frac { 1 } { P _ { i } }
\begin{array} { r l r } { \frac { \Delta a _ { \mu } } { 3 \! \times \! 1 0 ^ { - 9 } } \approx } & { } & { \left( \frac { 2 5 0 \, \mathrm { T e V } } { \Lambda } \right) ^ { 2 } \times } \\ & { } & { \left( C _ { e \gamma } ^ { \mu } - 0 . 2 C _ { T } ^ { \mu t } - 0 . 0 0 1 C _ { T } ^ { \mu c } - 0 . 0 5 C _ { e Z } ^ { \mu } \right) . } \end{array}
P ( R , \dot { R } ) = \left( P _ { 0 } - P _ { v } + \frac { 2 \sigma } { R _ { 0 } } \right) \left( \frac { R _ { 0 } } { R } \right) ^ { 3 \kappa } - \frac { 4 \mu \dot { R } } { R } - \frac { 2 \sigma } { R } \, .
\begin{array} { r } { \boldsymbol { u } ^ { \prime } ( \boldsymbol { x } ) = \displaystyle \sum _ { j = j _ { \mathrm { m i n } } } ^ { j _ { \mathrm { m a x } } } \sum _ { \boldsymbol { k } } \sum _ { \epsilon } d _ { \mathrm { d i v } , j , \boldsymbol { k } } ^ { \epsilon } \boldsymbol { \varPsi } _ { \mathrm { d i v } , j , \boldsymbol { k } } ^ { \epsilon } ( \boldsymbol { \xi } ( \boldsymbol { x } ) ) , } \end{array}
\rho _ { 1 } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } ) = - \sigma \delta ( y _ { 1 } ) \left\{ \begin{array} { c c } { 1 } & { - \frac { a } { 2 } < x _ { 1 } < \frac { a } { 2 } , \quad - \frac { b } { 2 } < z _ { 1 } < \frac { b } { 2 } } \\ { 0 } & { \mathrm { e l s e } } \end{array} \right.
\tilde { x } _ { 1 } = \frac { x ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + \frac { x ( x ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) } { x ^ { 2 } + z ^ { 2 } } , \ \ \ \mathrm { c y c l i c } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } [ \tau _ { s , \delta } ( \epsilon ) < \infty ] \le } & { \frac { \mathbb { P } _ { b _ { \delta } ^ { + } } [ \mathcal { R } _ { \delta } \mathrm { ~ h i t s ~ } \partial B _ { \delta } ( b _ { \delta } ^ { + } , s ) \mathrm { ~ b e f o r e ~ } ( a _ { \delta } b _ { \delta } ) ] } { \mathbb { P } _ { b _ { \delta } ^ { + } } [ \mathcal { R } _ { \delta } \mathrm { ~ h i t s ~ } ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) \mathrm { ~ b e f o r e ~ } ( a _ { \delta } b _ { \delta } ) ] } } \\ & { \times \operatorname* { m a x } _ { v _ { \delta } \in \partial B _ { \delta } ( b _ { \delta } ^ { + } , s ) } \mathbb { P } _ { v _ { \delta } } [ \mathcal { R } _ { \delta } \mathrm { ~ h i t s ~ t h e ~ } \epsilon \mathrm { - n e i g h b o u r ~ o f ~ } ( a _ { \delta } b _ { \delta } ) \mathrm { ~ a n d ~ h i t s ~ } ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) \mathrm { ~ b e f o r e ~ } ( a _ { \delta } b _ { \delta } ) ] } \\ { = } & { \frac { h _ { \partial B _ { \delta } ( b _ { \delta } ^ { + } , s ) } ( b _ { \delta } ^ { + } ) } { h _ { ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) } ( b _ { \delta } ^ { + } ) } } \\ & { \times \operatorname* { m a x } _ { v _ { \delta } \in \partial B _ { \delta } ( b _ { \delta } ^ { + } , s ) } \mathbb { P } _ { v _ { \delta } } [ \mathcal { R } _ { \delta } \mathrm { ~ h i t s ~ t h e ~ } \epsilon \mathrm { - n e i g h b o u r ~ o f ~ } ( a _ { \delta } b _ { \delta } ) \mathrm { ~ a n d ~ h i t s ~ } ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) \mathrm { ~ b e f o r e ~ } ( a _ { \delta } b _ { \delta } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { X } _ { 2 } } & { { } = - \frac { 3 a k Y _ { 1 } } { 2 \gamma d } \left[ m ( t ) - X _ { 1 } \right] - \alpha X _ { 2 } , } \\ { \dot { Y } _ { 2 } } & { { } = \frac { 3 a k Y _ { 1 } } { 2 \gamma d } \left[ h ( t ) - Y _ { 1 } \right] - \beta Y _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { k } } { d t ^ { k } } \frac { G ( x ) ^ { 2 } } { 1 - R ( x ) } } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { k } { \binom { k } { i } } \frac { d ^ { i } } { d t ^ { i } } ( 1 - R ) ^ { - 1 } \frac { d ^ { k - i } } { d t ^ { k - i } } G ^ { 2 } } \\ & { = k ! x ^ { k } ( 1 - R ) ^ { - k + 1 } G ^ { 2 } \ + } \\ & { \ \ k ( k - 1 ) ! x ^ { k - 1 } ( 1 - R ) ^ { - k } \cdot 2 \cdot G \cdot x \ + } \\ & { \ \ { \binom { k } { 2 } } ( k - 2 ) ! x ^ { k - 2 } ( 1 - R ) ^ { - ( k - 1 ) } 2 x ^ { 2 } } \\ & { = k ! \cdot x ^ { k } \cdot \left( G ^ { 2 } ( 1 - R ) ^ { - ( k + 1 ) } + 2 G ( 1 - R ) ^ { - k } + ( 1 - R ) ^ { - ( k - 1 ) } \right) } \\ & { = k ! \cdot x ^ { k } \cdot ( 1 - R ) ^ { - ( k + 1 ) } \cdot ( G + 1 - R ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \nu _ { 1 } = \frac { 1 } { \hbar } \sqrt { \sigma _ { { \bf { p } } _ { a _ { i } } { \bf { p } } _ { a _ { i } } } \sigma _ { { \bf { q } } _ { a _ { i } } { \bf { q } } _ { a _ { i } } } - \left( \sigma _ { { \bf { q } } _ { a _ { i } } { \bf { p } } _ { a _ { i } } } \right) ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\hat { T } _ { c } ^ { 2 } \log { \frac { \hat { T } _ { c } ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } } = \frac { 1 5 \pi ^ { 2 } } { 4 } \frac { \phi _ { c } ^ { 2 } } { \tau _ { c } ^ { 2 } } .
I = \sum _ { i } \Big [ { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } f _ { 2 } ( t ) \, p _ { i } ^ { 2 } + f _ { 1 } ( x _ { i } , t ) \, p _ { i } \Big ] + f _ { 0 } \big ( \{ x \} , t \big ) \, .
I _ { c o v } ( p ) = ( - i ) ^ { n + 1 } \int q . d ^ { 2 \omega } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \alpha _ { 1 } \cdots d \alpha _ { n } d \beta \cdot 2 q ^ { - } . e ^ { i [ \sum _ { 1 } ^ { n } \alpha _ { i } f _ { i } ( q , p ) + \beta 2 q ^ { + } q ^ { - } ] } ,
\begin{array} { r l } { \Big [ \delta _ { 0 } \log { ( n ) } + \delta _ { 1 } \Big ] \Gamma \Big ( \frac { n - 1 } { 2 } \Big ) } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { \delta _ { 2 } \Gamma \Big ( \frac { n } { 2 } \Big ) } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } , } \end{array}
S \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { i s o m o r p h i s m ~ c l a s s e s ~ o f ~ q u i n t u p l e s ~ } ( E , P , Q , C , D ) \mathrm { ~ w h e r e ~ ( E , P , Q ) ~ i s ~ a s ~ a b o v e , } } \\ { \mathrm { ~ P \in ~ C ~ i s ~ a ~ c y c l i c ~ s u b g r o u p ~ o f ~ E ~ o f ~ o r d e r ~ M u ~ , } } \\ { \mathrm { ~ Q \in ~ D ~ i s ~ a ~ c y c l i c ~ s u b g r o u p ~ o f ~ E ~ o f ~ o r d e r ~ N v ~ s u c h ~ t h a t } } \\ { \mathrm { ~ C ~ i s ~ c o m p l e m e n t a r y ~ t o ~ Q ~ a n d ~ D ~ i s ~ c o m p l e m e n t a r y ~ t o ~ P ~ } } \end{array} \right\}
\begin{array} { r } { D _ { K L } ( q | | \ p _ { \beta } ( \cdot | y ) ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { d _ { w } } \times \mathbb { R } ^ { d _ { x } } \times \Theta } d w d x _ { 0 } d \theta \ \log { \frac { q ( w , x _ { 0 } , \theta ) } { p _ { \beta } ( w , x _ { 0 } , \theta | y ) } } q ( w , x _ { 0 } , \theta ) . } \end{array}