harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } W } { \mathrm { d } \omega \mathrm { d } \Omega } = } & { { } \frac { \left| J _ { \mathrm { a } } ( \omega ) \right| ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } c } f ( \phi , \theta ) } \\ { f ( \phi , \theta ) = } & { { } \frac { \sin ^ { 2 } \theta \sin ^ { 2 } \phi + \cos ^ { 2 } \theta } { \left( 1 - \cos \theta \right) ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \left( L k \sin ^ { 2 } \frac { \theta } { 2 } \right) } \end{array}
\left\langle \tau \right\rangle \propto \left\{ \begin{array} { l l } { N ^ { 1 / 3 } } & { f o r \mu _ { 1 } < 1 } \\ { N ^ { 1 / 3 + m _ { 1 } } ( p _ { c } - p ) ^ { \alpha _ { 1 } m _ { 1 } } } & { f o r \mu _ { 1 } > 1 } \end{array} \right. .
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in \left[ \eta _ { a } , \eta _ { b } \right] } \| D ^ { \alpha } \bar { v } ( t ) \| ^ { 2 } \leq 2 \mathbb { E } \| D ^ { \alpha } \bar { v } ( \eta _ { a } ) \| ^ { 2 } + C _ { \rho , \kappa } \mathbb { E } \int _ { \eta _ { a } } ^ { \eta _ { b } } \| \bar { u } \| _ { \widehat { s - 1 } } ^ { 2 } ( 1 + \| u ^ { 1 } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } + \| u ^ { 2 } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } ) d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq w ( x ) - w _ { \delta _ { k } } ^ { 0 } ( x ) } \\ & { \leq \mathbb { E } _ { x } \left[ e ^ { \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ( f ( X _ { s } ) - \lambda ) d s + \phi ( X _ { \tau _ { \varepsilon } } ) } \right] - \mathbb { E } _ { x } \left[ e ^ { \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \varepsilon } ^ { k } } ( f ( X _ { s } ) - \lambda ) d s + \phi ( X _ { \tau _ { \varepsilon } ^ { k } } ) } \right] + \varepsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ , ~ l ~ a ~ r ~ g ~ e ~ } } ( 0 ) } & { { } = p _ { 3 } = n _ { \mathrm { ~ h ~ } } \, , } \\ { n _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ , ~ l ~ a ~ r ~ g ~ e ~ } } ( 1 ) } & { { } = p _ { 1 } + p _ { 2 } + p _ { 3 } = n _ { \mathrm { ~ i ~ } } \, , } \end{array}
\tilde { m } _ { 0 } = m _ { 0 } { \frac { d \tilde { \lambda } } { d \lambda } } = m _ { 0 } \left[ { \cal W } - \left( { \frac { d y } { d \tilde { \lambda } } } \right) ^ { 2 } \right] ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } ,
{ \overline { { \mu } } } _ { k + 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \alpha } _ { k } + { \beta } _ { k } { \vartheta } _ { k } ^ { 2 } \right) { \overline { { \vartheta } } } _ { k + 1 } ^ { 2 } = { \overline { { \mu } } } _ { k } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \alpha } _ { k } + { \beta } _ { k } { \vartheta } _ { k } ^ { 2 } \right) { \overline { { \vartheta } } } _ { k - 1 } ^ { 2 } + { \overline { { \delta } } } _ { k } \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } _ { \rho _ { 1 } } ( \mu , \mu ^ { \prime } ) } & { \leq C \left[ \int _ { X \times X } \rho _ { 2 } ( u , w ) \pi _ { 1 , 2 } ^ { * } \tilde { \Gamma } ( d u , d w ) + \int _ { X \times X } \rho _ { 3 } ( w , v ) \pi _ { 2 , 3 } ^ { * } \tilde { \Gamma } ( d w , d v ) \right] } \\ & { = C \left[ \int _ { X \times X } \rho _ { 2 } ( u , w ) \Gamma ( d u , d w ) + \int _ { X \times X } \rho _ { 3 } ( w , v ) \Gamma ^ { \prime } ( d w , d v ) \right] } \\ & { < C \left[ \mathcal { W } _ { \rho _ { 2 } } ( \mu , \tilde { \mu } ) + \mathcal { W } _ { \rho _ { 3 } } ( \tilde { \mu } , \mu ^ { \prime } ) + 2 \tilde { \varepsilon } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { k , s } } & { = } & { N \sum _ { t = 1 } ^ { N } h ( ( a _ { k } ) _ { ( 1 ) } u _ { i _ { k } t } ) ( a _ { 0 } ) _ { ( 1 ) } \nu _ { i _ { 1 } } ( ( b _ { 1 } ) _ { ( 1 ) } ) u _ { i _ { 1 } , s _ { 1 } } ( a _ { 1 } ) _ { ( 1 ) } \dots \nu _ { i _ { k } } ( ( b _ { k } ) _ { ( 1 ) } ) u _ { i _ { k } , t } \nu _ { i _ { k } } ( ( b _ { k + 1 } ) _ { ( 1 ) } ) \dots ( a _ { n } ) _ { ( 1 ) } } \\ & { } & { \otimes ( a _ { 0 } ) _ { ( 2 ) } \dots ( a _ { n } ) _ { ( 2 ) } } \\ & { = } & { N \sum _ { t = 1 } ^ { N } h ( ( a _ { k } ) _ { ( 1 ) } u _ { i _ { k } t } ) ( a _ { 0 } ) _ { ( 1 ) } \nu _ { i _ { 1 } } ( ( b _ { 1 } ) _ { ( 1 ) } ) u _ { i _ { 1 } , s _ { 1 } } ( a _ { 1 } ) _ { ( 1 ) } \dots \nu _ { i _ { k } } ( ( b _ { k } ) _ { ( 1 ) } ( b _ { k + 1 } ) _ { ( 1 ) } ) u _ { i _ { k } , t } \dots ( a _ { n } ) _ { ( 1 ) } } \\ & { } & { \otimes ( a _ { 0 } ) _ { ( 2 ) } \dots ( a _ { n } ) _ { ( 2 ) } } \\ & { = } & { N \sum _ { t = 1 } ^ { N } h ( ( a _ { k } ) _ { ( 1 ) ^ { \prime } } u _ { i _ { k } t } ) ( a _ { 0 } ) _ { ( 1 ) } \nu _ { i _ { 1 } } ( ( b _ { 1 } ) _ { ( 1 ) } ) u _ { i _ { 1 } , s _ { 1 } } ( a _ { 1 } ) _ { ( 1 ) } \dots \nu _ { i _ { k } } ( ( b _ { k } ) _ { ( 1 ) } ( b _ { k + 1 } ) _ { ( 1 ) } ) u _ { i _ { k } , t } \dots ( a _ { n } ) _ { ( 1 ) } } \\ & { } & { \otimes ( a _ { 0 } ) _ { ( 2 ) } \dots ( a _ { k } ) _ { ( 1 ) ^ { \prime } } \dots ( a _ { n } ) _ { ( 2 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho } & { = 1 \qquad v _ { \varphi } = \left\{ \begin{array} { l l } { 5 r } & { r < 0 . 2 } \\ { 2 - 5 r } & { 0 . 2 \leq r < 0 . 4 } \\ { 0 } & { \mathrm { e l s e } } \end{array} \right. } \\ { p } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { p _ { 0 } + 1 2 . 5 r ^ { 2 } } & { r < 0 . 2 } \\ { p _ { 0 } + 4 \ln ( 5 r ) + 4 - 2 0 r + 1 2 . 5 r ^ { 2 } } & { 0 . 2 \leq r < 0 . 4 } \\ { p _ { 0 } + 4 \ln 2 - 2 } & { \mathrm { e l s e } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { ( \mathrm { I I A } ) \ \ \ \ \ } } & { { \ \ \mathrm { D } ( 2 3 4 5 ) \bigotimes \mathrm { D } ( 6 7 8 9 ) \hookrightarrow \mathrm { F } ( 1 ) } } \\ { { \ } } & { { } } \\ { { \ } } & { { \Biggl \downarrow { T { ( 6 ) \ \ \ } } } } \\ { { \ } } & { { } } \\ { { ( \mathrm { I I B } ) \ \ \ \ \ } } & { { \mathrm { D } ( 2 3 4 5 6 ) \bigotimes \mathrm { D } ( 7 8 9 ) \hookrightarrow \mathrm { F } ( 1 ) } } \\ { { \ } } & { { } } \\ { { \ } } & { { \Biggl \downarrow { S { \ \ \ \ \ \ } } } } \\ { { \ } } & { { } } \\ { { ( \mathrm { I I B } ) \ \ \ \ \ } } & { { \mathrm { N S } ( 2 3 4 5 6 ) \bigotimes \mathrm { D } ( 7 8 9 ) \hookrightarrow D ( 1 ) } } \\ { { \ } } & { { } } \\ { { \ } } & { { \Biggl \downarrow { T ( 5 6 ) } } } \\ { { \ } } & { { } } \\ { { ( \mathrm { I I B } ) \ \ \ \ \ } } & { { \ \ \ \ \ \ \mathrm { N S } ( 2 3 4 5 6 ) \bigotimes \mathrm { D } ( 5 6 7 8 9 ) \hookrightarrow \mathrm { D } ( 1 5 6 ) } } \end{array}
\mathbb E \left[ \left( \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { 1 } _ { \mathcal { G } ( k ) } | F _ { k } ^ { ( R ) } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { k } { \log x } + i t ) | ^ { 2 } d t \right) ^ { q } \right] \ll \left( \frac { \log x } { e ^ { k } \log R } \right) ^ { q } \Big ( \frac { C ( x ) } { \sqrt { \log \log x } } \Big ) ^ { q } .
\begin{array} { r l } { e _ { 1 } } & { { } : \mathrm { ~ ( ~ i ~ n ~ p ~ u ~ t ~ ) ~ } \to v _ { 1 } , } \\ { e _ { 2 } } & { { } : \mathrm { ~ ( ~ i ~ n ~ p ~ u ~ t ~ ) ~ } \to v _ { 2 } , } \\ { e _ { 3 } } & { { } : v _ { 1 } + v _ { 2 } \to v _ { 3 } , } \\ { e _ { 4 } } & { { } : v _ { 1 } \to v _ { 4 } , } \\ { e _ { 5 } } & { { } : v _ { 3 } + v _ { 4 } \to \mathrm { ~ ( ~ o ~ u ~ t ~ p ~ u ~ t ~ ) ~ } . } \\ { e _ { 6 } } & { { } : v _ { 4 } \to \mathrm { ~ ( ~ o ~ u ~ t ~ p ~ u ~ t ~ ) ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ^ { \prime } ( t ; T ) } & { { } = C ( t ; T ) + \bar { I } ^ { 2 } ( T ) - \frac { 1 } { T - t } \int _ { 0 } ^ { T - t } d t ^ { \prime } \, \bar { I } ( T ) I ( t ^ { \prime } ) - \frac { 1 } { T - t } \int _ { t } ^ { T } d t ^ { \prime } \, \bar { I } ( T ) I ( t ^ { \prime } ) } \end{array}
{ \delta } \varphi _ { A } + { \delta } { \cal T } _ { A } = 0 , \; \; \; { \delta } \varphi _ { B } + { \delta } { \cal T } _ { B } = 0 , \; \; \mathrm { a n d } \; \; { \delta } \varphi _ { C } + { \delta } { \cal T } _ { C } = 0 .
J _ { z } = I _ { x } + I _ { y } = { \frac { b h ^ { 3 } } { 1 2 } } + { \frac { h b ^ { 3 } } { 1 2 } } = { \frac { b h } { 1 2 } } \left( b ^ { 2 } + h ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { [ \mathcal { P } _ { 0 } , v ] \omega _ { s _ { 0 } } } & { = - ( G _ { g } \delta _ { g } ^ { * } \omega _ { s _ { 0 } } ) _ { \alpha \beta } ( \nabla ^ { \alpha } v ) + \delta _ { g } G _ { g } ( \nabla _ { \alpha } v \otimes _ { s } \omega _ { s _ { 0 } } ) } \\ & { = \Big ( ( - \frac { 1 } { 2 r ^ { 2 } } + \frac { \mathbf { m } _ { 0 } } { r ^ { 3 } } ) d v - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } d r \Big ) + \Big ( \frac { 1 } { 2 r ^ { 2 } } d v + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } d r \Big ) = \frac { \mathbf { m } _ { 0 } } { r ^ { 3 } } d v . } \end{array}
1 = N \frac { - i G } { \pi ^ { 3 } } \int d p _ { r } \; d p _ { z } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d p ^ { 0 } \: \frac { p _ { r } ( \mu ^ { 2 } - ( p ^ { 0 } ) ^ { 2 } - p _ { z } ^ { 2 } - 2 p ^ { 0 } p _ { z } ) } { W }
H ( P , Q ) = \frac { P _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 m _ { 1 } } + \frac { P _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 m _ { 2 } } + \frac { P _ { 3 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { P _ { 4 } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } } { | Q _ { 1 } - Q _ { 2 } | } - \sum _ { i = 1 , 2 } ^ { j = 3 , 4 } \frac { m _ { i } } { | Q _ { i } - Q _ { j } | } - \frac { 1 } { | Q _ { 3 } - Q _ { 4 } | } .
V _ { i } \cdot V _ { j } = \left( \begin{array} { c c c } { { - 1 } } & { { - 1 / 2 } } & { { - 1 / 2 } } \\ { { - 1 / 2 } } & { { - 1 / 3 } } & { { - 1 / 3 } } \\ { { - 1 / 2 } } & { { - 1 / 3 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ~ .
f ( x - y ) = \exp \left[ - \int \frac { d k } { w _ { k } } \left( \frac { w _ { k } - k } k \right) ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \frac { k ( x - y ) } 2 \right] , \quad w _ { k } = \sqrt { k ^ { 2 } + m ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \lVert \gamma \psi \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta / 2 } \lvert \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \rvert \rVert _ { L ^ { 1 } ( Q _ { T } ) } = } & { \left( \left( \gamma \psi \right) ^ { 1 / 2 } , \left( \gamma \psi \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \right) _ { Q _ { T } } } \\ { \leq } & { \lVert \left( \gamma \psi \right) ^ { 1 / 2 } \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) } \cdot \lVert \left( \gamma \psi \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) } } \\ { = } & { \lVert \left( \gamma \psi \right) ^ { 1 / 2 } \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) } \cdot \sqrt { \left( \gamma \psi , \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } \right) _ { Q _ { T } } } . } \end{array}
b _ { 0 } \gamma \omega \lambda _ { 1 } K ( x ) N ^ { 1 - \alpha } = \underbrace { \frac { 2 b _ { 0 } \gamma } { \lambda _ { 0 } } N ^ { 1 - \alpha } } _ { \substack { \mathrm { n u m b e r ~ o f } \, \textit { a n c e s t r a l } \, \textit { r e s i s t a n t c e l l s } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \underbrace { \left( \int _ { 0 } ^ { u } \omega b _ { 1 } e ^ { \lambda _ { 1 } ( u - s ) } \lambda _ { 0 } e ^ { - \lambda _ { 0 } s } d s \right) } _ { \substack { \Omega _ { 1 } } } \, \underbrace { \frac { \lambda _ { 1 } } { b _ { 1 } } e ^ { - x \frac { \lambda _ { 1 } } { b _ { 1 } } e ^ { \lambda _ { 1 } u } } } _ { \substack { \Delta _ { 2 } } } d u .
I ( m ) = \frac { 1 } { \beta } \sum _ { n = - \infty } ^ { n = + \infty } \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { 1 } { \omega _ { n } ^ { 2 } + q ^ { 2 } + m ^ { 2 } } \: ,
A ( \omega ) = \frac { 4 C _ { F } \pi } { b } \left[ \frac { \eta } { \eta ^ { 2 } + \pi ^ { 2 } } - \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \rho \exp ( - \rho \omega ) } { ( \rho + \eta ) ^ { 2 } + \pi ^ { 2 } } \right] ~ .
A _ { C _ { 2 } ^ { 9 } } = - \sqrt 3 m _ { 3 / 2 } ( \sin \theta e ^ { - i \alpha _ { S } } + \cos \theta ( \Theta _ { 1 } e ^ { - i \alpha _ { 1 } } - \Theta _ { 2 } e ^ { - i \alpha _ { 2 } } ) ) ,
2 m ^ { 2 } d s ^ { 2 } = ( 1 - \frac { 2 m r } { \rho ^ { 2 } } ) d t ^ { 2 } - \frac { 4 a m r } { \rho ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \theta d t d \phi - ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } - \frac { 2 a ^ { 2 } m r } { \rho ^ { 2 } } ) \sin ^ { 2 } \theta d \phi ^ { 2 } - \rho ^ { 2 } ( \frac { 1 } { \Delta } d r ^ { 2 } + d \theta ^ { 2 } ) ,
\sigma _ { 0 } = \frac { \alpha ^ { 4 } Z _ { 1 } ^ { 2 } Z _ { 2 } ^ { 2 } } { \pi m ^ { 2 } } \, , \; \; L = \ln { \frac { P _ { 1 } P _ { 2 } } { 2 M _ { 1 } M _ { 2 } } } = \ln { \gamma ^ { 2 } }
h _ { \hphantom { ( } k + m } ^ { ( d _ { K } ) } = \left. \partial _ { x } ^ { d _ { K } } [ h ( x ) ] \right| _ { x = ( k + m ) \delta x } = \left( i n \right) ^ { d _ { K } } \exp ( i m \eta ) h _ { \hphantom { ( } k } ^ { ( 0 ) } = \frac { 1 } { \delta x ^ { d _ { K } } } \left( i \eta \right) ^ { d _ { K } } \exp ( i m \eta ) h _ { \hphantom { ( } k } ^ { ( 0 ) } = \exp ( i m \eta ) h _ { \hphantom { ( } k } ^ { ( d _ { K } ) } ,
G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, { \frac { z } { w } } \right) = w ^ { 1 - a _ { 1 } } \sum _ { h = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( 1 - w ) ^ { h } } { h ! } } \; G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { a _ { 1 } - h , a _ { 2 } , \dots , a _ { p } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z \right) , \quad n \geq 1 ,
\begin{array} { r l } { \langle \bar { \epsilon } _ { 3 , i } ^ { 0 } \rangle } & { = \operatorname* { m i n } _ { \{ f _ { m } \} } \langle \bar { \epsilon } _ { 3 , i m } ^ { 0 } \rangle } \\ { \langle \bar { \epsilon } _ { 3 , i } ^ { 1 } \rangle } & { = ( \operatorname* { m i n } _ { \{ f _ { m } \} } + 1 ) \langle \bar { \epsilon } _ { 3 , i m } ^ { 0 } \rangle } \\ { \langle \bar { \epsilon } _ { 3 , i } ^ { 2 } \rangle } & { = ( \operatorname* { m i n } _ { \{ f _ { m } \} } + 2 ) \langle \bar { \epsilon } _ { 3 , i m } ^ { 0 } \rangle \, , } \end{array}
{ \dot { G } _ { B 1 2 } } \dot { G } _ { B 2 1 } \dot { G } _ { B a b } \dot { G } _ { B b a } \rightarrow ( \dot { G } _ { B 1 2 } \dot { G } _ { B 2 1 } - G _ { F 1 2 } G _ { F 2 1 } ) ( \dot { G } _ { B a b } \dot { G } _ { B b a } - G _ { F a b } G _ { F b a } ) \quad
\begin{array} { r l } { r ^ { \prime } } & { = \theta _ { * } \nu r \cos ^ { 2 } u } \\ { \nu ^ { \prime } } & { = \theta _ { * } \cos ^ { 2 } u ( \frac { 1 } { 2 } \nu ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } + r ^ { 2 } U _ { r } ) = \theta _ { * } ( \frac { 1 } { 2 } \nu ^ { 2 } \cos ^ { 2 } u + \frac { \gamma ^ { 2 } } { \cos ^ { 2 } u } + r ^ { 2 } U _ { r } \cos ^ { 2 } u ) } \\ & { = \theta _ { * } \cos ^ { 2 } u ( - \frac { 1 } { 2 } \nu ^ { 2 } + 2 r h + 2 r U + r ^ { 2 } U _ { r } ) } \\ { u ^ { \prime } } & { = \frac { \gamma } { \cos u } } \\ { \gamma ^ { \prime } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \theta _ { * } \nu \gamma \cos ^ { 2 } u + \theta _ { * } r U _ { \theta } \cos ^ { 4 } u - 2 \tau ^ { 2 } \sin u \cos ^ { 2 } u , } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \theta _ { * } \nu \gamma \cos ^ { 2 } u + \theta _ { * } r U _ { \theta } \cos ^ { 4 } u - 2 \sin u \frac { \gamma ^ { 2 } } { \cos ^ { 2 } u } , } \end{array}
\begin{array} { r } { - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \mathcal { C } _ { i } } u _ { i } ( t , \mathbf { x } ) ^ { 2 } \left( \mathbf { a } _ { i } \cdot \mathbf { n } \right) \exp ( \mu _ { i } ( \mathbf { x } ) ) \, \textup { d } \mathbf { x } \leq \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \Gamma _ { i } ^ { + } } w _ { i } ^ { 2 } \left( \mathbf { a } _ { i } \cdot \mathbf { n } \right) \exp ( \mu _ { i } ( \mathbf { x } ) ) \, \textup { d } \mathbf { x } . } \end{array}
\Vert u \Vert _ { \hat { \mathbf { E } } _ { T , \lambda } } ^ { 2 } : = \underset { 0 \leq t \leq T } { \operatorname* { s u p } } e ^ { - \lambda t } { \mathbb { E } \Vert u ( t ) \Vert _ { \mathbb { L } ^ { \infty } ( \mathcal { U } ) } ^ { 2 } } , \quad \forall u \in \hat { \mathbf { E } } _ { T , \lambda } , \quad \forall \lambda > 0 .
{ \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { \lambda _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { 2 } } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \ddots } & { } & { } & { } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { } & { \lambda _ { r _ { i } } } & { } & { } \\ { \vdots } & { \vdots } & { } & { } & { 0 } & { } \\ { 0 } & { \vdots } & { } & { } & { } & { \ddots } \\ { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { } & { } & { } & { 0 } \end{array} \right] } .
B _ { 0 i } ( T = 0 ) = - \frac { 2 v ^ { 2 } } { \pi \kappa } \epsilon _ { 0 i j } p ^ { j } \frac { \partial } { \partial m _ { \sigma } ^ { 2 } } \left\{ \frac { 1 } { m _ { \sigma } ^ { 2 } - M ^ { 2 } } \left[ \left( M \frac { e ^ { - \tilde { p } M } } { ( \tilde { p } ) ^ { 2 } } + \frac { e ^ { - \tilde { p } M } } { ( \tilde { p } ) ^ { 3 } } \right) - ( M \rightarrow m _ { \sigma } ) \right] \right\}
\delta A ^ { \dagger } ( { \bf k } ) = \left[ \frac { i m \epsilon _ { l n } k _ { n } } { k ^ { 2 } } \, A ^ { \dagger } ( { \bf k } ) - \omega _ { k } \frac { \partial } { \partial k _ { l } } \, A ^ { \dagger } ( { \bf k } ) \right] \delta \beta _ { l }
\begin{array} { r } { \| w ^ { \prime } - w \| H ( \theta ) \le 2 ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \Big ( 3 \big ( L _ { 1 } ( 1 - \alpha ) \| w ^ { \prime } - w \| \theta \big ) ^ { \frac { 1 } { 1 - \alpha } } + \| \nabla f ( w ) \| + \frac { L _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } { L _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \Big ) - \| \nabla f ( w ) \| - \frac { L _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } { L _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Big \langle \tilde { u } ( t ) , \phi \Big \rangle + \int _ { 0 } ^ { t } \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( \tilde { u } \partial _ { x } \tilde { u } + \tilde { w } \partial _ { z } \tilde { u } ) , \phi \Big \rangle d t ^ { \prime } } \\ & { = \Big \langle \tilde { u } ( 0 ) , \phi \Big \rangle + \int _ { 0 } ^ { t } \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( \tilde { u } ) , \phi \Big \rangle d \tilde { W } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \b { W _ { c } } } & { { } \approx \frac { \Delta \omega } { 2 \pi } \sum _ { k = 1 } ^ { m } \b { \Psi } ( \omega _ { k } ) \b { \Sigma } ( \omega _ { k } ) ^ { 2 } \b { \Psi } ( \omega _ { k } ) ^ { * } } \end{array}
\begin{array} { c c } { \! \! \widehat { \Psi } _ { 2 } \! = \! \left[ \! \! \begin{array} { c c } { \mathbf { e } \otimes K _ { v } } & { \mathbf { e } \otimes B ^ { \top } } \\ { \mathbf { e } \otimes B } & { 0 } \end{array} \! \! \right] , } & { \! \! \widehat { \Theta } \! = \! \left[ \! \! \begin{array} { c c } { I _ { s } \otimes M _ { v } + \tau A _ { \mathrm { R K } } \otimes K _ { v } } & { \tau A _ { \mathrm { R K } } \otimes B ^ { \top } } \\ { \tau A _ { \mathrm { R K } } \otimes B } & { 0 } \end{array} \! \! \right] . } \end{array}
| \uparrow ^ { ( k ) } \rangle = \sum _ { u _ { i } } \frac { \langle \Downarrow ; u _ { i } ^ { ( k ) } | \hat { V } _ { \mathrm { a t o m - m o l } } ^ { ( k ) } | \Uparrow ; \downarrow ^ { ( k ) } \rangle } { C _ { k } ^ { * } } | u _ { i } ^ { ( k ) } \rangle .
\begin{array} { r } { \sum _ { j \in \mathbb Z } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { j } } \ell ( \gamma _ { i } ^ { j } ) \leq \sum _ { j \in \mathbb Z } \varepsilon 2 ^ { - | j | } = 3 \varepsilon \quad \textrm { a n d } \quad \sum _ { j \in \mathbb Z } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { j } } \int _ { \gamma _ { i } ^ { j } } \rho \, d s \leq 3 \varepsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { 1 } } & { { } = } & { \int \int d \rho d { \cal E } _ { N } ~ \rho \sqrt { 1 + \rho ^ { 2 } / R _ { a } ^ { 2 } } ( { \cal E } _ { F } - { \cal E } _ { N } ) { \cal E } _ { N } T ( { \cal E } _ { N } , \rho ) } \\ { S _ { 2 } } & { { } = } & { \int \int d \rho d { \cal E } _ { N } ~ \rho \sqrt { 1 + \rho ^ { 2 } / R _ { a } ^ { 2 } } ( { \cal E } _ { F } - { \cal E } _ { N } ) T ( { \cal E } _ { N } , \rho ) . } \end{array}
{ \cal F } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n _ { 1 } \geq n _ { 2 } \geq \cdots \geq n _ { N } \geq 0 } ^ { \infty } \operatorname * { d e t } \left[ d _ { n _ { j } + N - j , i } \right] \operatorname * { d e t } \left[ t _ { i } ^ { n _ { j } + N - j } + t _ { i } ^ { - ( n _ { j } + N - j ) } - \delta _ { j N } \delta _ { n _ { N } 0 } \right] .
{ \frac { \partial V ( \alpha ) } { \partial \alpha _ { k } } } = { \frac { \partial { \mathcal { L } } ^ { \ast } ( \alpha ) } { \partial \alpha _ { k } } } = { \frac { \partial { \mathcal { L } } ( x ^ { \ast } ( \alpha ) , \lambda ^ { \ast } ( \alpha ) , \alpha ) } { \partial \alpha _ { k } } } , k = 1 , 2 , \ldots , l
\begin{array} { r l } { \langle V _ { p } \rangle } & { { } = \frac { R e _ { p } } { 4 \pi ^ { 2 } } \, \, \Re \left\{ \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \, \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { \pm } ( k _ { 1 } , 0 ^ { \pm } , k _ { 3 } ) \, d k _ { 1 } \, d k _ { 3 } \right\} . } \end{array}
\mathbf { d } = { \left[ \begin{array} { l } { ( \lambda + \alpha ) ( C _ { 1 0 } ^ { j + 1 } + C _ { 1 0 } ^ { j } ) } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { ( \lambda + \alpha ) ( C _ { 2 0 } ^ { j + 1 } + C _ { 2 0 } ^ { j } ) } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { ( \lambda + \alpha ) ( C _ { 3 0 } ^ { j + 1 } + C _ { 3 0 } ^ { j } ) } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } .
{ \begin{array} { r l r l } { { 2 } \quad } & { ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \in A _ { 1 } \cap A _ { 2 } } & & { \iff ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \in A _ { 1 } \land ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \in A _ { 2 } } \\ & { } & & { \iff \psi _ { 1 } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , { \vec { Y } } ) \land \psi _ { 2 } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , { \vec { Y } } ) } \\ & { } & & { \iff \phi ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , { \vec { Y } } ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { Z } ^ { 2 } } & { = } & { \left( \frac { c } { B _ { 0 } } k _ { Z } k _ { \theta 0 } \lvert A _ { 0 } \rvert \right) ^ { 2 } \frac { b _ { 0 } } { b _ { Z } } \frac { \epsilon _ { 0 } } { \Lambda _ { T } } \frac { 4 \omega _ { 0 } / \omega _ { A } ^ { 2 } } { \partial D _ { 0 } / \partial \omega _ { 0 } } \left[ \frac { \Delta _ { T } } { \omega _ { 0 } } \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { \omega _ { A } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \hat { \chi } _ { i Z } } \left( \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { \omega _ { A } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 4 } \right) \right] - \Delta _ { T } ^ { 2 } , } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \pmb { \theta } ) } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { o p } } { \left( \frac { 1 } { N _ { R , j } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { R , j } } { \left\| \mathcal { N } _ { j } ( \mathbf { y } ( \mathbf { x } _ { R , j } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } \right) } + \frac { 1 } { N _ { D } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { D } } { \left\| \mathbf { y } \left( \mathbf { x } _ { D } ^ { i } \right) - \mathbf { y } ^ { i , * } \right\| ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \frac { u _ { 1 , j } ^ { n + 1 } - u _ { 1 , j } ^ { n } } { \Delta t } , v _ { 1 } ) + ( \nu _ { 1 } \nabla u _ { 1 , j } ^ { n + 1 } , \nabla v _ { 1 } ) + \int _ { \Gamma } { \kappa _ { \operatorname* { m a x } } } ( u _ { 1 , j } ^ { n + 1 } - u _ { 2 , j } ^ { n } ) v _ { 1 } \mathrm { d } s } \\ { + \int _ { \Gamma } ( \kappa _ { j } - { \kappa _ { \operatorname* { m a x } } } ) ( u _ { 1 , j } ^ { n } - u _ { 2 , j } ^ { n } ) v _ { 1 } \mathrm { d } s = ( f _ { 1 , j } ^ { n + 1 } , v _ { 1 } ) \ \ \ \ \forall v _ { 1 } \in X _ { 1 , h } , } \\ { ( \frac { u _ { 2 , j } ^ { n + 1 } - u _ { 2 , j } ^ { n } } { \Delta t } , v _ { 2 } ) + ( \nu _ { 2 } \nabla u _ { 2 , j } ^ { n + 1 } , \nabla v _ { 2 } ) + \int _ { \Gamma } { \kappa _ { \operatorname* { m a x } } } ( u _ { 2 , j } ^ { n + 1 } - u _ { 1 , j } ^ { n } ) v _ { 2 } \mathrm { d } s } \\ { + \int _ { \Gamma } ( \kappa _ { j } - { \kappa _ { \operatorname* { m a x } } } ) ( u _ { 2 , j } ^ { n } - u _ { 1 , j } ^ { n } ) v _ { 2 } \mathrm { d } s = ( f _ { 2 , j } ^ { n + 1 } , v _ { 2 } ) \ \ \ \ \forall v _ { 2 } \in X _ { 2 , h } . } \end{array}