harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l } { - a _ { 2 } ^ { \prime } a _ { 4 } + a _ { 2 } a _ { 4 } ^ { \prime } } & { = - \frac { k a _ { 2 } - \overline { { k a _ { 2 } } } } { a _ { \xi } } \cdot a _ { 4 } + a _ { 2 } \cdot \frac { k a _ { 4 } - m _ { 2 } } { a _ { \xi } } } \\ & { = \frac { \overline { { k a _ { 2 } } } a _ { 4 } - m _ { 2 } a _ { 2 } } { a _ { \xi } } } \\ & { = \frac { ( a _ { \xi } \iota _ { X } - a _ { 1 } ) a _ { 4 } - d _ { 2 } a _ { 2 } } { a _ { \xi } \iota _ { X } } } & & { \mathrm { L i n e a r i t y ~ o f } \, \mathbf { p _ { \xi } } \implies m _ { 2 } = \frac { d _ { 2 } } { \iota _ { X } } , \, \, \overline { { k a _ { 2 } } } = a _ { \xi } - \frac { a _ { 1 } } { \iota _ { X } } } \\ & { = \frac { a _ { \xi } \iota _ { X } a _ { 4 } - a _ { \xi } a _ { 2 } - a _ { 4 } a _ { \xi } } { \iota _ { X } a _ { \xi } } } & & { \mathrm { L i n e a r i t y ~ o f } \, \mathbf { p _ { \xi } } \implies d _ { 2 } = a _ { \xi } + a _ { 4 } , \, \, a _ { \xi } = a _ { 1 } + a _ { 2 } } \\ & { = \frac { a _ { 4 } ( \iota _ { X } - 1 ) - a _ { 2 } } { \iota _ { X } } } \\ & { = \frac { a _ { 4 } - a _ { 2 } } { 2 } } & & { \iota _ { X } = 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert p ^ { \prime } ( \varrho ( t ) ) \nabla _ { x } \varrho ( t ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { k } } } & { \lesssim \Vert p ^ { \prime } ( \varrho ( t ) ) \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } \Vert \nabla _ { x } \varrho ( t ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { k } } + \Vert p ^ { \prime } ( \varrho ( t ) ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { k } } \Vert \nabla _ { x } \varrho ( t ) \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } } \\ & { \lesssim \Vert p ^ { \prime } ( \varrho ( t ) ) \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } \Vert \varrho ( t ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { k + 1 } } + \Vert p ^ { \prime } ( \varrho ( t ) ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { k } } \Vert \nabla _ { x } \varrho ( t ) \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } , } \end{array}
\left( \mathrm { ~ E ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ F ~ o ~ r ~ N ~ e ~ w ~ M ~ a ~ t ~ e ~ r ~ i ~ a ~ l ~ P ~ a ~ r ~ t ~ i ~ c ~ l ~ e ~ } \cdot x + \Delta E \cdot x \mathrm { ~ \textsubscript ~ { ~ c ~ r ~ e ~ a ~ t ~ e ~ } ~ } \right)
F _ { i } ( \zeta , \upsilon + \chi ) \equiv \frac { ( \upsilon + \chi ) f _ { i } } { 2 \sqrt { 2 } ( \zeta + k ) ^ { 2 } ( \zeta + b ) ^ { 1 / 2 } } [ \zeta ^ { 2 } + ( 3 h _ { i } - k ) \zeta + 2 b ( h _ { i } - k ) + k h _ { i } ] , \qquad i = E ^ { \prime } , U ^ { \prime } , D ^ { \prime } .
\mathfrak C _ { 2 } \lesssim \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \delta ^ { - 2 } L ^ { 3 d - 4 \gamma } , } & & { \mathrm { i f } \, \, \gamma \leq 1 / 2 } \\ & { \delta ^ { - 2 } L ^ { 3 ( d - \gamma ) - \gamma _ { 0 } - 1 0 \eta } , } & & { \mathrm { i f } \, \, \gamma > 1 / 2 } \end{array} \right\} \lesssim \delta ^ { - 2 } L ^ { 3 ( d - \gamma ) - \gamma _ { 0 } } .
v ^ { \mu } ( x _ { + } , \theta ) = a ^ { \mu } + 2 i \theta \sigma ^ { \mu } \bar { \xi } + w _ { ~ \nu } ^ { \mu } x _ { + } ^ { \nu } + \lambda x _ { + } ^ { \mu } - 2 \theta \sigma ^ { \mu } ( x _ { + } \cdot \tilde { \sigma } ) \tilde { \zeta } + b ^ { \mu } x _ { + } ^ { 2 } - 2 x _ { + } ^ { \mu } b \cdot x _ { + }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \frac { \mathsf { n a t s } ( f _ { h , \delta } ^ { ( n ) } ( G ^ { ( n ) } ) ) - m ^ { ( n ) } \log n } { n } } & { \leq H ( P ) + \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { c \in \mathcal { C } ^ { ( \delta , h ) } } \mathbb { E } _ { \mu } \left[ D _ { c } ( [ T , o ] ) \right] \log \mathbb { E } _ { \mu } \left[ D _ { c } ( [ T , o ] ) \right] - \mathbb { E } _ { \mu } \left[ D _ { c } ( [ T , o ] ) \right] \right) } \\ & { \quad - \sum _ { c \in \mathcal { C } ^ { ( \delta , h ) } } \mathbb { E } _ { \mu } \left[ \log D _ { c } ( [ T , o ] ) ! \right] } \\ & { \quad + \eta _ { 1 } ( \mu ; h , \delta ) \left( | \Xi | ^ { 2 } \log 2 + \log | \Theta | + 2 - 2 \log \eta _ { 1 } ( \mu ; h , \delta ) \right) } \\ & { \qquad \qquad + \eta _ { 2 } ( \mu ; h , \delta ) \log 4 + 2 ( | \Xi | \times | \Theta | ) ^ { 2 } \eta _ { 4 } ( \mu ; h , \delta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \theta _ { S } \| _ { 1 } ^ { 2 } | 1 - b ^ { 2 } | } & { \gg \gamma N ^ { 2 } \cdot \frac { ( \frac { \log \frac { n e } { N } } { \gamma N } + 1 ) \log ( \frac { \log \frac { n e } { N } } { \gamma N } + 1 ) } { \log \big [ ( \frac { \log \frac { n e } { N } } { \gamma N } + 1 ) \log ( \frac { \log \frac { n e } { N } } { \gamma N } + 1 ) \big ] } \gtrsim N \log \frac { n e } { N } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d N _ { \gamma , n } } { d \phi } } & { { } = } & { - \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \eta ( \phi ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } d s ( \phi ) \, \int _ { 0 } ^ { \infty } d \left[ r ^ { 2 } ( \phi ) \right] \frac { s ( \phi ) } { 2 \eta ( \phi ) } } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } x ^ { \mu } } { d s ^ { 2 } } } = - \Gamma ^ { \mu } { } _ { \alpha \beta } { \frac { d x ^ { \alpha } } { d s } } { \frac { d x ^ { \beta } } { d s } } \ + { \frac { q } { m } } { F ^ { \mu \beta } } { \frac { d x ^ { \alpha } } { d s } } { g _ { \alpha \beta } } .
\frac { \partial } { \partial t } \left( h \phi \right) + \frac { 1 } { 4 r } \frac { \partial } { \partial r } \left[ r \left( h u \phi - \frac { h } { \mathrm { ~ P ~ e ~ } } \frac { \partial \phi } { \partial r } \right) \right] = 0
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { d i s p } } } & { { } = \int \hat { \psi } ^ { \dagger } ( Z ) \left[ \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { \hbar g _ { 0 } ^ { 2 } } { \Delta _ { a } } \cos ^ { 2 } ( k Z ) \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \right] \hat { \psi } ( Z ) \, d Z - \hbar \delta _ { d } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + \hbar \sqrt { \kappa _ { 1 } } \left( \alpha _ { d } \hat { a } ^ { \dagger } + \alpha _ { d } ^ { * } \hat { a } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k _ { D } R \partial _ { r } c _ { B } ( r , \theta , t ) \mid _ { R } } & { { } = } & { - k _ { 2 } \Theta _ { u } c _ { I } ( R , \theta , t ) , } \\ { k _ { D } R \partial _ { r } c _ { I } ( r , \theta , t ) \mid _ { R } } & { { } = } & { k _ { 2 } \Theta _ { u } c _ { I } ( R , \theta , t ) , } \end{array}
[ \mathbf { d } _ { \alpha } , \mathbf { d } _ { \beta } ] = \epsilon _ { \alpha \beta } ^ { ~ ~ ~ \! \gamma } \mathbf { d } _ { \gamma } , \qquad [ \mathbf { d } _ { \alpha } , \mathbf { s } _ { m } ^ { a } ] = \mathbf { s } _ { m } ^ { b } ( \sigma _ { \alpha } ) _ { b } ^ { ~ a } , \qquad \{ \mathbf { s } _ { m } ^ { a } , \mathbf { s } _ { m } ^ { b } \} = - m ^ { 2 } ( \sigma ^ { \alpha } ) ^ { a b } \mathbf { d } _ { \alpha } ,
\begin{array} { r l } { \Big | \int _ { \Omega } ( f _ { 2 } - f _ { 1 } ) \mathscr E _ { 1 } d \mu _ { \gamma _ { 1 } } \Big | } & { \leq \| f _ { 2 } - f _ { 1 } \| _ { L _ { \rho } ^ { 2 } ( \Omega , \gamma _ { 1 } ) } \| \mathscr E _ { 1 } \| _ { L _ { \rho ^ { - 1 } } ^ { 2 } ( \Omega , \gamma _ { 1 } ) } } \\ & { \leq C \| f _ { 2 } - f _ { 1 } \| _ { L _ { \rho } ^ { 2 } ( \Omega , \gamma _ { 1 } ) } \| \mathscr E _ { 1 } \| _ { \mathcal B _ { 0 } ( \Omega ) } } \\ { \Big | \int _ { \Omega } ( f _ { 2 } - f _ { 1 } ) \mathscr E _ { 2 } d \mu _ { \gamma _ { 1 } } \Big | } & { = \Big | \int _ { \Omega } \rho L _ { \gamma _ { 1 } } ^ { * } ( f _ { 2 } - f _ { 1 } ) \cdot _ { \gamma _ { 1 } } [ ( L _ { \gamma _ { 1 } } ^ { * } - L _ { \gamma _ { 2 } } ^ { * } ) ( f _ { 2 } ) ] d \mu _ { \gamma _ { 1 } } \Big | } \\ & { \leq C \| \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 2 } \| _ { C ^ { 2 } ( \Omega ) } \| f _ { 2 } \| _ { H _ { \rho } ^ { 2 } ( \Omega , \gamma _ { 1 } ) } \| f _ { 2 } - f _ { 1 } \| _ { H _ { \rho } ^ { 2 } ( \Omega , \gamma _ { 1 } ) } . } \end{array}
l _ { i } ^ { \, ( N _ { \mathrm { f } } + 1 ) } ( x , m _ { h } ^ { 2 } ) \: = \: l _ { i } ^ { \, ( N _ { \mathrm { f } } ) } ( x , m _ { h } ^ { 2 } ) + \delta _ { m 2 } \: a _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \: A _ { q q , h } ^ { \mathrm { N S , ( 2 ) } } ( x ) \otimes l _ { i } ^ { \, ( N _ { \mathrm { f } } ) } ( x , m _ { h } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l r } { \ell / L } & { { } \sim } & { R a ^ { 1 / 2 } \, E k \, P r ^ { - 1 / 2 } , } \\ { N u - 1 } & { { } \sim } & { R a ^ { 3 / 2 } \, E k ^ { 2 } \, P r ^ { - 1 / 2 } , } \\ { R e } & { { } \sim } & { R a \, E k \, P r ^ { - 1 } , } \\ { ( L ^ { 4 } / \nu ^ { 3 } ) \epsilon _ { u } } & { { } \sim } & { R a ^ { 5 / 2 } \, E k ^ { 2 } \, P r ^ { - 5 / 2 } . } \end{array}
F _ { w } ( f _ { o } ) = { \frac { C _ { d } } { 2 } } \rho u ^ { 2 } \, \pi \, R _ { 0 } ^ { 2 } \, { \biggl ( } { \frac { B ( R _ { 0 } ) } { B _ { m p } } } { \biggr ) } ^ { 2 / f _ { o } } = { \frac { C _ { d } } { 2 } } \rho u ^ { 2 } \, \pi \, R _ { 0 } ^ { 2 } \, { \biggl ( } { \frac { { \sqrt { \mu _ { 0 } } } I _ { c } C _ { 0 } } { 4 R _ { 0 } \, u { \sqrt { \rho \, C _ { S O } } } } } { \biggr ) } ^ { 2 / f _ { o } }
{ \frac { 3 } { 3 - 2 { \sqrt { 5 } } } } = { \frac { 3 } { 3 - 2 { \sqrt { 5 } } } } \cdot { \frac { 3 + 2 { \sqrt { 5 } } } { 3 + 2 { \sqrt { 5 } } } } = { \frac { 3 ( 3 + 2 { \sqrt { 5 } } ) } { { 3 } ^ { 2 } - ( 2 { \sqrt { 5 } } ) ^ { 2 } } } = { \frac { 3 ( 3 + 2 { \sqrt { 5 } } ) } { 9 - 2 0 } } = - { \frac { 9 + 6 { \sqrt { 5 } } } { 1 1 } }
g ( x , x ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { \eta } } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left[ - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { x - x ^ { \prime } } { \sigma _ { \eta } } \right) ^ { 2 } \right] \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left[ - i 2 \pi \frac { x - x ^ { \prime } } { \lambda _ { \eta } } \right] ,
\Delta T \sim \frac { \hslash } { 2 m _ { 0 } v _ { 0 } } \Bigl ( 1 - \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \Bigr ) ^ { 3 / 2 } \frac { 1 } { \Delta v } + \frac { T } { v _ { 0 } } \Delta v .
\sigma _ { j } = [ 0 ; a _ { j + 1 } , a _ { j + 2 } , \ldots , a _ { n } ] = \frac { 1 } { a _ { j + 1 } + \frac { 1 } { a _ { j + 2 } + \frac { 1 } { \ddots + \frac { 1 } { a _ { n - 1 } + \frac { 1 } { a _ { n } } } } } }
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { T 2 } ^ { E 2 } ( \omega ) } & { = } & { 9 \sqrt { \frac { 1 0 J _ { 0 } ( J _ { 0 } - 1 ) ( 2 J _ { 0 } - 1 ) ( 2 J _ { 0 } - 3 ) } { 7 ( 2 J _ { 0 } + 5 ) ( 2 J _ { 0 } + 4 ) ( 2 J _ { 0 } + 3 ) ( 2 J _ { 0 } + 2 ) ( 2 J _ { 0 } + 1 ) } } } \\ & { \times } & { \! \! \! \! \sum _ { n \pm } ( - 1 ) ^ { J _ { 0 } + J _ { n } } \! \left\{ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 2 } & { 4 } \\ { J _ { 0 } } & { J _ { 0 } } & { J _ { n } } \end{array} \right\} \! \frac { \Delta E _ { n 0 } | \langle n _ { 0 } J _ { 0 } \| T _ { E 2 } \| n J _ { n } \rangle | ^ { 2 } } { \Delta E _ { n 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\Delta f _ { \mathrm { ~ F ~ W ~ H ~ M ~ } } = \frac { 2 D } { 2 \pi } = \frac { k _ { \mathrm { B } } T _ { 0 } \Gamma _ { 0 } } { 4 \pi \langle N \rangle \hbar \Omega _ { 0 } } \mathrm { ~ . ~ }
\left( \frac { G _ { 0 } } { m _ { D } } \right) \left( \frac { m _ { D } } { \mu } \right) ^ { - 1 } \sim \frac { \alpha } { \mu } \quad , \quad \frac { m _ { D } ^ { 2 / 3 } G _ { 0 } ^ { 1 / 3 } } { \mu } \sim \frac { \alpha } { \mu } \quad .
\begin{array} { r } { \tilde { u } _ { i } = \sum _ { b } ^ { N _ { c } } \left[ \langle \tilde { b } | g _ { b i } | \tilde { b } \rangle | \tilde { i } \rangle - \langle \tilde { b } | g _ { b i } | \tilde { i } \rangle | \tilde { b } \rangle \right] , } \end{array}
\eta ( t ) \equiv { \frac { g ^ { 2 } ( t ) } { g _ { 0 } ^ { 2 } } } \equiv { \frac { \alpha ( t ) } { \alpha _ { 0 } } } = \left( 1 + { \frac { b ~ \alpha _ { 0 } } { 2 \pi } } t \right) ^ { - 1 } ~ .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \widehat { \mathcal { V } } \left( ( \widehat { U } _ { t } ^ { ( i ) } ) ^ { * } \left( k _ { \widehat { z } } - k _ { 0 } \right) \right) \leq } & { 2 \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } b _ { j j } ^ { ( i ) } \epsilon _ { j } \left| c _ { j } ^ { ( i ) } \right| ^ { 2 } \Re \left( \lambda _ { j } ^ { ( i ) } \right) } \\ & { + 2 \sum _ { j = 2 } ^ { \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { j - 1 } b _ { j k } ^ { ( i ) } \epsilon _ { j } \left| c _ { j } ^ { ( i ) } \right| ^ { 2 } \Re \left( \lambda _ { j } ^ { ( i ) } \right) + b _ { k j } ^ { ( i ) } \epsilon _ { k } \left| c _ { k } ^ { ( i ) } \right| ^ { 2 } \Re \left( \lambda _ { k } ^ { ( i ) } \right) + \epsilon _ { k } \Re \left( c _ { j } ^ { ( i ) } \bar { c } _ { k } ^ { ( i ) } \left\langle \widehat { e } _ { j } , L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } \right\rangle \right) } \end{array}
\gamma ^ { \prime } : \Gamma ^ { \prime } , x : A ( \gamma ^ { \prime } ) \vdash \tilde { f } ( \gamma ^ { \prime } , x ) \equiv f ^ { \prime } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \gamma ^ { \prime } ) , f ( \gamma ^ { \prime } , x ) ) : A ^ { \prime \prime } ( \textnormal { \texttt { f } } ^ { \prime } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \gamma ^ { \prime } ) ) )
\gg \sqrt { \frac { x } { \log x } } \left( \Big \| \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } | F ^ { ( R ) } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 4 V } { \log x } + i t ) | ^ { 2 } d t \Big \| _ { q } ^ { \frac { 1 } { 2 } } - \frac { C } { e ^ { V } } \Big \| \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } | F ^ { ( R ) } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 V } { \log x } + i t ) | ^ { 2 } d t \Big \| _ { q } ^ { \frac { 1 } { 2 } } - C \right) .
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { C O _ { 2 } } } } & { { } = \frac { a _ { \mathrm { C } } K _ { 1 } \gamma _ { \mathrm { O _ { 2 } } } f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } } { \alpha _ { \mathrm { C O _ { 2 } } } } , } \\ { P _ { \mathrm { C O } } } & { { } = \frac { a _ { \mathrm { C } } K _ { 2 } \left( \gamma _ { \mathrm { O _ { 2 } } } f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } P _ { 0 } \right) ^ { 1 / 2 } } { \alpha _ { \mathrm { C O } } } , } \\ { P _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } } & { { } = \frac { a _ { \mathrm { C } } K _ { 3 } \left( \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } } } P _ { \mathrm { H _ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } { \alpha _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } P _ { 0 } } , } \\ { P _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } } & { { } = \frac { K _ { 4 } \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } } } P _ { \mathrm { H _ { 2 } } } \left( \gamma _ { \mathrm { O _ { 2 } } } f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } } { \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } P _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } , } \\ { P _ { \mathrm { N H _ { 3 } } } } & { { } = \frac { K _ { 5 } ^ { 1 / 2 } \left( \alpha _ { \mathrm { N _ { 2 } } } P _ { \mathrm { N _ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } } } P _ { \mathrm { H _ { 2 } } } \right) ^ { 3 / 2 } } { \alpha _ { \mathrm { N H _ { 3 } } } P _ { 0 } } , } \\ { P _ { \mathrm { H C N } } } & { { } = \frac { K _ { 6 } \alpha _ { \mathrm { N H _ { 3 } } } \alpha _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } P _ { \mathrm { N H _ { 3 } } } P _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } P _ { 0 } ^ { 2 } } { \alpha _ { \mathrm { H C N } } \left( \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } } } P _ { \mathrm { H _ { 2 } } } \right) ^ { 3 } } , } \\ { P _ { \mathrm { S O _ { 2 } } } } & { { } = \frac { K _ { 7 } \gamma _ { \mathrm { O _ { 2 } } } f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } \left( \gamma _ { \mathrm { S _ { 2 } } } f _ { \mathrm { S _ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } } { \alpha _ { \mathrm { S O _ { 2 } } } P _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } , } \\ { P _ { \mathrm { H _ { 2 } S } } } & { { } = \frac { K _ { 8 } \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } P _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } \left( \gamma _ { \mathrm { S _ { 2 } } } f _ { \mathrm { S _ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } } { \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } S } } \left( \gamma _ { \mathrm { O _ { 2 } } } f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } } , } \end{array}
{ \frac { 1 } { 4 } } \ + { \frac { 1 } { 3 } } = { \frac { 1 \times 3 } { 4 \times 3 } } \ + { \frac { 1 \times 4 } { 3 \times 4 } } = { \frac { 3 } { 1 2 } } \ + { \frac { 4 } { 1 2 } } = { \frac { 7 } { 1 2 } } .
\begin{array} { r l r } { E ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ) } & { { } \! = \! } & { { \frac { 1 } { 4 a _ { 1 } a _ { 2 } } } \int _ { - a _ { 1 } } ^ { a _ { 1 } } d x _ { 1 } \int _ { - a _ { 2 } } ^ { a _ { 2 } } d x _ { 2 } \ f ( { \bf x } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi ^ { 2 } ( P _ { 0 } , \dots , P _ { M } ) _ { j , k } } & { = \exp ( \beta _ { j } ^ { \top } X ^ { \top } X \beta _ { k } ) - 1 } \\ & { \leq \exp ( n \beta _ { j } ^ { \top } \beta _ { k } + n s ^ { 2 } \operatorname { m c } ( X ) \| \beta _ { j } \| _ { \infty } \| \beta _ { k } \| _ { \infty } ) } \\ & { \leq \exp ( n \beta _ { j } ^ { \top } \beta _ { k } + \alpha ) } \\ & { \leq \exp ( n \beta _ { j } ^ { \top } \beta _ { k } + 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } { \mathbb { E } } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n } S _ { i + 1 } ^ { [ k ] } - S _ { i } ^ { [ k ] } \right] } & { = \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } { \mathbb { E } } \left[ S _ { n + 1 } ^ { [ k ] } \right] . } \end{array}
\cot { \frac { 7 \pi } { 3 0 } } = \cot 4 2 ^ { \circ } = { \frac { { \sqrt { 5 0 - 2 2 { \sqrt { 5 } } } } + 3 { \sqrt { 3 } } - { \sqrt { 1 5 } } } { 2 } }
F ( g , N ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } a _ { k } ( g - g _ { * } ) ^ { k } + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } b _ { k } ( g - g _ { * } ) ^ { k + \gamma } + O ( N ^ { - 2 } ) \ \ ( \gamma \in { \bf R } _ { + } \setminus { \bf Z } , b _ { 0 } \ne 0 ) .
\cot \gamma ( t ) = \frac { r _ { 1 } ( t ) - r _ { 2 } ( t ) \cos \delta _ { 2 } \cos [ \phi _ { 2 } - \phi _ { 1 } ( t ) ] } { r _ { 2 } ( t ) \cos \delta _ { 2 } \sin [ \phi _ { 2 } - \phi _ { 1 } ( t ) ] } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { p r } _ { 1 3 } ^ { * } ( \theta ) } & { = \mathrm { p r } _ { 2 3 } ^ { * } ( \theta ) \mathrm { p r } _ { 1 2 } ^ { * } ( \theta ) } \\ & { = \mathrm { p r } _ { 2 3 } ^ { * } \left( f _ { T ^ { ( 2 ) } } ^ { * } ( \tau ) \right) \mathrm { p r } _ { 1 2 } ^ { * } \left( f _ { T ^ { ( 2 ) } } ^ { * } ( \tau ) \right) } \\ & { = f _ { T ^ { ( 3 ) } } ^ { * } \left( \mathrm { p r } _ { 2 3 } ^ { * } ( \tau ) \right) f _ { T ^ { ( 3 ) } } ^ { * } \left( \mathrm { p r } _ { 1 2 } ^ { * } ( \tau ) \right) } \\ & { = f _ { T ^ { ( 3 ) } } ^ { * } \left( \mathrm { p r } _ { 2 3 } ^ { * } ( \tau ) \mathrm { p r } _ { 1 2 } ^ { * } ( \tau ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \left\{ \sum _ { t = 1 } ^ { T } D ( \mu _ { t } | \mathcal { P } _ { t } , \beta _ { t } ) \right\} - R ( A | \{ \gamma _ { t } \} _ { t } ) \right] \leq \mathbb { E } \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mu _ { t } \cdot ( \lambda _ { t } - b _ { t } ( x _ { t } ^ { \prime } ) ) + \kappa \cdot \sum _ { t = \zeta _ { A } + 1 } ^ { T } b _ { t } ( x _ { t } ^ { \prime } ) \right] + \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } [ \mu _ { t } \cdot ( \beta _ { t } - \lambda _ { t } ) ] \, . } \end{array}
( I _ { 2 } \otimes U _ { \mathbf { k } } ) ^ { \dag } H ( \mathbf k ) ( I _ { 2 } \otimes U _ { \mathbf { k } } ) = \left[ \begin{array} { l l } { \omega _ { e } I } & { g I } \\ { g I } & { \Lambda ( \mathbf k ) } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l } { \tau _ { 0 } \frac { \partial f } { \partial t } } & { { } = \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \frac { \partial } { x } \left( \gamma ^ { 2 } Z _ { \parallel } f + \frac { \gamma ^ { 3 } } { \partial 2 x } \frac { \partial f } { \partial x } \right) } \end{array}
\| \widetilde { c } _ { j l } \| = \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { \widetilde { c } ^ { \prime } } } & { { \widetilde { c } ^ { \prime } } } & { { \widetilde { c } ^ { \prime } } } \\ { { \widetilde { c } ^ { \prime } } } & { { 1 } } & { { 1 / 2 } } & { { 1 / 2 } } \\ { { \widetilde { c } ^ { \prime } } } & { { 1 / 2 } } & { { 1 } } & { { 1 / 2 } } \\ { { \widetilde { c } ^ { \prime } } } & { { 1 / 2 } } & { { 1 / 2 } } & { { 1 } } \end{array} \right) , \quad \widetilde { c } ^ { \prime } = - \sqrt { \frac { 1 + 3 c } { 2 ( 1 + 2 c ) } } .
H _ { i , j } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \sum _ { l \neq i } C _ { i , l } \ \mathrm { c o t } ( k L _ { i , l } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } i = j . } \\ { C _ { i , j } \ \mathrm { e x p } ( - i A _ { i , j } L _ { i , j } ) \ \mathrm { c s c } ( k L _ { i , j } ) } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \mu ( Q _ { l } ) } & { \geq } & { \mu _ { \theta } ( Q _ { l } ) + \delta = \mu _ { \theta } ( Q _ { l } ^ { \epsilon } ) - \mu _ { \theta } ( Q _ { l } ^ { \epsilon } \backslash Q _ { l } ) + \delta } \\ & { \geq } & { \mu _ { \theta } ( Q _ { l } ^ { \epsilon } ) - 4 \epsilon M _ { \theta } + \delta \geq \mu _ { \theta } ( Q _ { l } ^ { \epsilon } ) + 2 \epsilon . } \end{array}
S _ { n } ( 1 ) = \left( \left( { \frac { - 1 } { p } } \right) p \right) ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } = p ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } ( - 1 ) ^ { { \frac { p - 1 } { 2 } } { \frac { n - 1 } { 2 } } } .
\begin{array} { r } { \mathscr { E } : = \frac { v ^ { 2 } } { 2 } , \qquad \mu : = \frac { v _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 B _ { 0 } } , \qquad \sigma : = \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } \left( v _ { \parallel } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { R } _ { x } \left( \frac { \pi } { 2 } \right) \mathcal { R } _ { y } \left( \frac { \pi } { 2 } \right) = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { | \mathbf { x } _ { 1 } - \mathbf { x } | } } = P _ { 0 } ( \cos \gamma ) { \frac { 1 } { r _ { 1 } } } + P _ { 1 } ( \cos \gamma ) { \frac { r } { r _ { 1 } ^ { 2 } } } + P _ { 2 } ( \cos \gamma ) { \frac { r ^ { 2 } } { r _ { 1 } ^ { 3 } } } + \cdots
\begin{array} { r l } { A } & { { } = \ln \left( { \frac { \ell } { r } } + { \sqrt { \left( { \frac { \ell } { r } } \right) ^ { 2 } + 1 } } \right) } \\ { B } & { { } = { \frac { 1 } { { \frac { r } { \ell } } + { \sqrt { 1 + \left( { \frac { r } { \ell } } \right) ^ { 2 } } } } } } \\ { C } & { { } = { \frac { 1 } { 4 + r { \sqrt { { \frac { 2 } { \rho } } \omega \mu } } } } } \end{array}
\overline { { { \overline { { { \alpha } } } } } } \, ( k ^ { 2 } ) \, = \, \frac { \alpha } { 1 \, + \, \alpha \, \frac { \eta } { 2 } \, \ln \, \left( \frac { k ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) } \, \, .
\begin{array} { r l } { \mathrm { V } _ { \mathrm { M C S } } ^ { \Omega , \, \mathrm { Q P D } _ { 1 } } } & { { } = \mathrm { E } _ { 0 } ^ { 2 } \epsilon m \Big ( - A _ { n } \beta _ { ( n , m ) , ( n + 2 , m ) } + A _ { m } \beta _ { ( n , m ) , ( n , m + 2 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { T } _ { 4 } } & { = \mathbf { 1 } _ { 4 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 4 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { + \mathbf { 1 } _ { 4 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 4 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
C = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } C _ { i } \ , \qquad C _ { i } = \frac { \mathrm { ~ \# ~ c ~ o ~ n ~ n ~ e ~ c ~ t ~ e ~ d ~ p ~ a ~ i ~ r ~ s ~ o ~ f ~ n ~ e ~ i ~ g ~ h ~ b ~ o ~ r ~ s ~ o ~ f ~ } i } { \mathrm { ~ \# ~ p ~ a ~ i ~ r ~ s ~ o ~ f ~ n ~ e ~ i ~ g ~ h ~ b ~ o ~ r ~ s ~ o ~ f ~ } i } = \frac { \sum _ { j , l } a _ { i j } a _ { j l } a _ { i l } } { k _ { i } ( k _ { i } - 1 ) } \ .
g _ { m \ell } = \sum _ { \nu _ { n } } \frac { \frac { d \nu _ { n } } { d \theta _ { 0 } } \frac { 2 \nu _ { n } + 1 ) } { \nu _ { n } ( \nu _ { n } + 1 ) } } { [ \nu _ { n } ( \nu _ { n } + 1 ) - m ( m + 1 ) ] [ \nu _ { n } ( \nu _ { n } + 1 ) - \ell ( \ell + 1 ) ] } .