harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
= \, \frac { \alpha _ { s } ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) } { ( \hat { s } ) ^ { 2 } } \, \vert M _ { p a r t } \vert ^ { 2 } \, x G ( x , q _ { 2 } ^ { 2 } ) \, y G ( y , q _ { 1 } ^ { 2 } ) ,
| \vec { E } _ { p } | ^ { 2 } = f ^ { 2 } | \vec { E } _ { x } | ^ { 2 } + g ^ { 2 } | \vec { E } _ { y } | ^ { 2 } + h ^ { 2 } | \vec { E } _ { z } | ^ { 2 } + 2 f g \Re ( E _ { x } E _ { y } ^ { * } ) + 2 f h \Re ( E _ { x } E _ { z } ^ { * } ) + 2 g h \Re ( E _ { y } E _ { z } ^ { * } ) ,
\left[ \begin{array} { l } { I _ { n } } \\ { A ^ { \top } } \\ { B ^ { \top } } \end{array} \right] ^ { \top } \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { - P } & { - P K ^ { \top } } \\ { - P } & { 0 } & { 0 } \\ { - K P } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { I _ { n } } \\ { A ^ { \top } } \\ { B ^ { \top } } \end{array} \right] > 0 ,
\begin{array} { r l r } & { } & { i \hbar \partial _ { t } \Psi = \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m ^ { * } } \nabla ^ { 2 } \Psi - \left[ \tilde { V } ( r ) + i \hbar \Gamma _ { p } + \hbar ( g _ { 2 } - i g _ { 1 } ) \rho \right] \Psi - ( H + i \tilde { H } ) | \Psi | ^ { 2 } \Psi , } \\ & { } & { \partial _ { t } \rho = - ( \Gamma _ { r } + 2 g _ { 1 } | \Psi | ^ { 2 } ) \rho + P ( \mathbf { r } , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 < \epsilon a _ { 0 } \leq \epsilon ^ { - \theta _ { 2 } } \omega ( | x _ { \delta } - y _ { \delta } | ) } & { + C \epsilon ^ { - a _ { 2 } } | \omega _ { 1 } ( | x _ { \delta } - y _ { \delta } | ) | \left( | \ln ^ { \epsilon } | + \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) } \\ & { + C \epsilon ^ { - 2 - a _ { 2 } } \bigg [ \omega _ { 2 } ( | x _ { \delta } - y _ { \delta } | ) + \omega _ { 3 } ( | x _ { \delta } - y _ { \delta } | ) \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { k _ { i j } = k ( \textbf { x } _ { i } , \textbf { x } _ { j } ) = \mathbb { E } \left[ \left( f ( \textbf { x } _ { i } ) - m ( \textbf { x } _ { i } ) \right) \left( f ( \textbf { x } _ { j } ) - m ( \textbf { x } _ { j } ) \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { P B C } } = \sum _ { j = - L } ^ { L } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { - i k j } H ( k ) \otimes ( \mathcal { E } _ { \mathrm { P B C } } ) ^ { j } d k . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 4 1 1 } ^ { ( 3 ) } = } & { { } \frac { \Omega _ { c } a _ { 4 3 1 } ^ { \ast ( 2 ) } - d _ { 3 1 } ( a _ { 4 4 1 } ^ { ( 2 ) } - a _ { 1 1 1 } ^ { ( 2 ) } ) } { X _ { 1 } } , } \\ { a _ { 4 1 2 } ^ { ( 3 ) } = } & { { } \frac { \Omega _ { c } a _ { 4 3 2 } ^ { \ast ( 2 ) } - d _ { 3 1 } ( a _ { 4 4 2 } ^ { ( 2 ) } - a _ { 1 1 2 } ^ { ( 2 ) } + a _ { 2 1 } ^ { ( 2 ) } ) } { X _ { 1 } } , } \\ { a _ { 4 2 2 } ^ { ( 3 ) } = } & { { } \frac { \Omega _ { c } a _ { 4 3 2 } ^ { \ast ( 2 ) } - d _ { 3 2 } ( a _ { 4 4 2 } ^ { ( 2 ) } - a _ { 2 2 2 } ^ { ( 2 ) } ) } { X _ { 2 } } , } \\ { a _ { 4 2 1 } ^ { ( 3 ) } = } & { { } \frac { \Omega _ { c } a _ { 4 3 1 } ^ { \ast ( 2 ) } - d _ { 3 2 } ( a _ { 4 4 1 } ^ { ( 2 ) } - a _ { 2 2 1 } ^ { ( 2 ) } + a _ { 2 1 } ^ { \ast ( 2 ) } ) } { X _ { 2 } } . } \end{array}
S _ { r s } = \frac { 1 } { 2 m } \int d ^ { D } x ~ h \psi _ { r } ^ { B \dagger } \left[ \partial ^ { \mu } \left( U \psi _ { r } \right) \right] ^ { \dagger } \partial _ { \mu } ( U \psi _ { s } ) \psi _ { s } ^ { B }
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { c o v } ( W _ { s } , W _ { t } ) } & { = s , } \\ { \operatorname { c o r r } ( W _ { s } , W _ { t } ) } & { = { \frac { \operatorname { c o v } ( W _ { s } , W _ { t } ) } { \sigma _ { W _ { s } } \sigma _ { W _ { t } } } } = { \frac { s } { \sqrt { s t } } } = { \sqrt { \frac { s } { t } } } . } \end{array} }
\Delta ^ { \alpha \beta } = \frac { 1 } { k ^ { 2 } + \Pi _ { t } } \left( \delta ^ { \alpha \beta } - \frac { p _ { 0 } ^ { \alpha } k ^ { \beta } + k ^ { \alpha } p _ { 0 } ^ { \beta } } { p _ { 0 } \cdot k } - \frac { k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } - \Pi _ { \ell } } ( \Pi _ { t } + \Pi _ { \ell } ) \frac { p _ { 0 } ^ { \alpha } p _ { 0 } ^ { \beta } } { ( p _ { 0 } \cdot k ) ^ { 2 } } \right) \; .
\begin{array} { r l } { \dot { E } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } & { { } = [ V ^ { \prime } ( q _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ) + V ^ { \prime \prime } ( q _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ) \cdot ( q _ { t } - q _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ) ] ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - \left( { \frac { 2 \pi n } { m _ { l } - m _ { r } } } \right) ^ { 2 } b _ { i } } } \\ { { b _ { i } } } & { { 0 } } \end{array} \right] , \; \; \; \; \; \left[ \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - \left( { \frac { 2 \pi n } { m _ { l } - m _ { r } } } \right) ^ { 2 } b _ { i } ^ { * } } } \\ { { b _ { i } ^ { * } } } & { { 0 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r c l } { { T _ { a } } } & { { = } } & { { \displaystyle + [ 3 D _ { m } ^ { 2 } ( k _ { 1 } ) D _ { m } ( k _ { 2 } ) + D ^ { 2 } ( k _ { 1 } ) D ( k _ { 2 } ) ] ( 2 + K _ { 1 2 } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + [ 3 D _ { m } ^ { 2 } ( k _ { 1 } ) D ( k _ { 2 } ) + D ^ { 2 } ( k _ { 1 } ) D _ { m } ( k _ { 2 } ) ] ( 2 - K _ { 1 2 } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + ( N - 1 ) [ 6 D _ { m } ^ { 2 } ( k _ { 1 } ) D ( k _ { 2 } ) + 4 D ^ { 2 } ( k _ { 1 } ) D ( k _ { 2 } ) + 2 D ^ { 2 } ( k _ { 1 } ) D _ { m } ( k _ { 2 } ) ] } } \\ { { } } & { { } } & { { + 4 ( N - 1 ) N D ^ { 2 } ( k _ { 1 } ) D ( k _ { 2 } ) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } \bigl ( ( - \log u ) _ { i \bar { j } } \bigr ) _ { 1 \leq i , j \leq n } = } & { \operatorname* { d e t } \Bigl ( - \frac { 1 } { m + 1 } R _ { i \bar { j } } ( 0 ) + \frac { Y } { 2 k } g _ { i \bar { j } } ( 0 ) \Bigr ) } \\ { = } & { \bigl ( \frac { 1 } { 2 k } \bigr ) ^ { n } \operatorname* { d e t } \Bigl ( Y \delta _ { i j } - \frac { 2 k } { m + 1 } R _ { i \bar { k } } ( 0 ) \, g ^ { j \bar { k } } ( 0 ) \Bigr ) \cdot \operatorname* { d e t } \bigl ( g _ { i \bar { j } } ( 0 ) \bigr ) } \\ { = } & { \bigl ( \frac { 1 } { 2 k } \bigr ) ^ { n } \, T ( Y ) \, G , } \end{array}
{ \frac { D _ { Q } E _ { N S } ( x , \xi , Q ^ { 2 } ) } { D \ln Q ^ { 2 } } } = { \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { 2 \pi } } \left[ \int _ { x } ^ { 1 } { \frac { d y } { y } } P _ { N S } ^ { \prime } ( { \frac { x } { y } } , { \frac { \xi } { y } } ) - \int _ { - 1 } ^ { x } { \frac { d y } { y } } P _ { N S } ^ { \prime } ( { \frac { x } { y } } , - { \frac { \xi } { y } } ) \right] E _ { N S } ( y , \xi , Q ^ { 2 } ) \ ,
\frac { d \tilde { \mathbf { u } } } { d t } = \texttt { v e c } \left( \gamma ( G _ { \tilde { \mathbf { u } } } , \hat { \pi } \hat { G } ) \right) \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \tilde { \mathbf { u } } ( 0 ) = \pi \mathbf { z }
\begin{array} { r l } { \mathrm { i } \hbar \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } G _ { i j } ^ { < } ( t ) = } & { { } \Big [ h ^ { \mathrm { H } } , G ^ { < } \Big ] _ { i j } ( t ) + \Big [ S + S ^ { \dagger } \Big ] _ { i j } ( t ) } \\ { \mathrm { i } \hbar \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Delta G _ { i j } ^ { \lambda } ( t ) = } & { { } \Big [ h ^ { \mathrm { H F } } , \Delta G ^ { \lambda } \Big ] _ { i j } ( t ) + \Big [ \Delta U ^ { \mathrm { H F } } , G ^ { < } \Big ] _ { i j } ( t ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname * { a r g m a x } _ { c } p ( c | z _ { 1 } , z _ { 2 } , . . . , z _ { t } ) } & { { } = \operatorname * { a r g m a x } _ { c } \sum _ { t } \ln { p ( z _ { t } | c ) } + l n { p ( c ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl \{ \phi _ { 3 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} } & { + \bigl \{ \phi _ { 2 } \, , \eta _ { 1 } - R \eta _ { 0 } \bigr \} + \bigl \{ \phi _ { 1 } \, , \eta _ { 2 } - R \eta _ { 1 } + R ^ { 2 } \eta _ { 0 } \bigr \} + \bigl \{ \phi _ { 0 } \, , \eta _ { 3 } - R \eta _ { 2 } + R ^ { 2 } \eta _ { 1 } - R ^ { 3 } \eta _ { 0 } \bigr \} } \\ & { - \frac { r _ { 0 } } { \Gamma } \Bigl ( \dot { \bar { r } } _ { 0 } \, \partial _ { R } \eta _ { 2 } + \bigl ( \dot { \bar { r } } _ { 2 } { - } \dot { \bar { r } } _ { 0 } \bigr ) \, \partial _ { R } \eta _ { 0 } + \dot { \bar { z } } _ { 0 } \, \partial _ { Z } \eta _ { 2 } + \bigl ( \dot { \bar { z } } _ { 2 } { - } \dot { \bar { z } } _ { 0 } \bigr ) \, \partial _ { Z } \eta _ { 0 } \Bigr ) } \\ { \, } & { = \, \delta \Bigl [ \bigl ( \mathcal { L } - { \textstyle \frac { 3 } { 2 } } \bigr ) \eta _ { 3 } + \partial _ { R } ( \eta _ { 2 } - R \eta _ { 1 } + R ^ { 2 } \eta _ { 0 } ) - t \partial _ { t } \eta _ { 3 } - \eta _ { 1 } \Bigr ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { u _ { t } = \ } & { { } \epsilon u _ { x x } - u _ { x } + F ( x , t ) , } & { } & { { } x _ { s } ( t ) < x < x _ { e } ( t ) , } & { } & { { } t > 0 } \\ { \epsilon u _ { x } - ( 1 - \dot { x } _ { s } ) u = \ } & { { } g _ { s } ( t ) , } & { } & { { } x = x _ { s } ( t ) , } & { } & { { } t > 0 } \\ { u = \ } & { { } 0 } & { } & { { } x = x _ { e } ( t ) } & { } & { { } t > 0 } \\ { u ( x , 0 ) = \ } & { { } u _ { 0 } ( x ) , } & { } & { { } x _ { s } < x < x _ { e } . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \alpha ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } , g ^ { \prime } ) _ { S } \ast ( \alpha , \beta , g ) _ { S } = \delta _ { \alpha ^ { \prime } , g \triangleright \alpha } \delta _ { \beta ^ { \prime } , g \triangleright \beta } \overline { { \psi ^ { \alpha } ( g ^ { \prime } , g ) } } \psi ^ { \beta } ( g ^ { \prime } , g ) ( \alpha , \beta , g ^ { \prime } g ) _ { S } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d v + \Big [ \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( u ^ { 1 } \partial _ { x } v _ { n } ^ { 1 } + w ^ { 1 } \partial _ { z } v ^ { 1 } - \nu \partial _ { z z } v ^ { 1 } ) } \\ & { \qquad \qquad - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( u ^ { 2 } \partial _ { x } v ^ { 2 } + w ^ { 2 } \partial _ { z } v ^ { 2 } - \nu \partial _ { z z } v ^ { 2 } ) \Big ] d t } \\ & { = \Big [ \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \partial _ { z } \sigma ( u ^ { 1 } ) - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \partial _ { z } \sigma ( u ^ { 2 } ) \Big ] d W , } \\ & { v ( 0 ) = v ^ { 1 } ( 0 ) - v ^ { 2 } ( 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { 5 } ( x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \varsigma _ { 4 } ( x ) } & { \mathrm { i f ~ } k _ { 2 } ( x _ { 0 } ) \geq 0 , } \\ { \varsigma _ { 5 } ( x ) } & { \mathrm { i f ~ } k _ { 2 } ( x _ { 0 } ) < 0 , } \end{array} \right. \quad \mathrm { a n d } \quad k _ { 6 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f ~ } k _ { 2 } ( x _ { 0 } ) \geq 0 , } \\ { k _ { 2 } ( x _ { 0 } ) \log { 3 } } & { \mathrm { i f ~ } k _ { 2 } ( x _ { 0 } ) < 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \cal H } _ { a } ^ { e f f } = \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \sum _ { Q ^ { ' } q } V _ { c b } V _ { Q ^ { ' } q } ^ { * } a _ { 1 } ( \overline { { { c } } } b ) ( \overline { { { q } } } Q ^ { ' } ) + h . c . ,
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \Delta _ { 2 } } = } & { { } \left( { { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } - { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 1 } } } \\ { + } & { { } \left( { { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } - { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } } \right) { D _ { 3 } } { \eta _ { 2 } } } \\ { + } & { { } \left( { { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } - { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } } \right) { D _ { 3 1 } } { \eta _ { 3 } } } \\ { + } & { { } \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 3 1 2 } } + { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } - { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } } \right) { \eta _ { 1 ^ { \prime } } } } \\ { + } & { { } \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 3 1 2 } } + { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } - { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } } \right) { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } { \eta _ { 2 ^ { \prime } } } } \\ { + } & { { } \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 3 1 2 } } + { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } - { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } } \right) { D _ { 2 ^ { \prime } } } { \eta _ { 3 ^ { \prime } } } . } \end{array}
\mathcal { H } _ { \lambda } = \bigoplus _ { \mu \in \mathcal { C } _ { 2 N } } \mathcal { H } _ { \lambda , \mu } = \bigoplus _ { \mu \in \mathcal { C } _ { 2 N } } \mathcal { V } _ { \lambda } ^ { \mu } \otimes \bar { \mathcal { V } } _ { \lambda ^ { * } } ^ { \mu ^ { * } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \eta } { \kappa ^ { 2 } } \| x _ { k } - \bar { x } \| ^ { 2 } } & { \le \varphi ( x _ { k } ) - \varphi ( \bar { x } ) \leq r \| x _ { k } - \bar { x } \| ^ { 2 } , } \\ { \quad \frac { 1 } { \kappa } \| x _ { k } - \bar { x } \| } & { \leq \| \nabla \varphi ( x _ { k } ) \| \leq L \| x _ { k } - \bar { x } \| } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underline { { \Delta q } } _ { k } } & { \leq \widetilde { \Delta q } _ { k } + \gamma _ { k } b _ { k } \nu _ { k } \leq \overline { { \Delta q } } _ { k } , } \\ { \underline { { \Delta q } } _ { k } } & { \leq \widetilde { \Delta q } _ { k } - \gamma _ { k } \alpha _ { k } \nu _ { k } \leq \overline { { \Delta q } } _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial G _ { a b } ( \theta ) } { \partial Y _ { j k } ( \theta ) } = - G _ { a j } ( \theta ) ( Y ( \theta ) ^ { T } G ( \theta ) ) _ { k b } - ( G ( \theta ) Y ( \theta ) ) _ { a k } G _ { j b } ( \theta ) , \qquad \frac { \partial Y _ { j k } ( \theta ) } { \partial \theta } = \gamma \sum _ { \ell = 1 } ^ { M } u _ { j } u _ { \ell } X _ { \ell k } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 + \delta } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } E | V _ { n , j } | ^ { 2 + \delta } } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 + \delta } } E \left| \frac { 1 } { \sqrt { n h _ { n } } } k _ { 2 } \left( \frac { Z _ { 2 } - t } { h _ { n } } \right) \right| ^ { 2 + \delta } \leq \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 + \delta } } \left| \frac { 1 } { \sqrt { n h _ { n } } } E \left( k _ { 2 } \left( \frac { Z _ { 2 } - t } { h _ { n } } \right) \right) \right| ^ { 2 + \delta } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 + \delta } ( n h _ { n } ) ^ { 1 + \frac { \delta } { 2 } } } \left| \int k _ { 2 } \left( \frac { z _ { 2 } - t } { h _ { n } } \right) f _ { Z _ { 2 } } ( z _ { 2 } ) d z _ { 2 } \right| ^ { 2 + \delta } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 + \delta } ( n h _ { n } ) ^ { 1 + \frac { \delta } { 2 } } } \left| \int k _ { 2 } ( m ) f _ { Z _ { 2 } } ( t + m h _ { n } ) h _ { n } d m \right| ^ { 2 + \delta } } \\ & { = } & { \frac { h _ { n } ^ { 2 + \delta } } { \sigma ^ { 2 + \delta } ( n h _ { n } ) ^ { 1 + \frac { \delta } { 2 } } } \left| \int k _ { 2 } ( m ) \left[ f _ { Z _ { 2 } } ( t ) + m h _ { n } f _ { Z _ { 2 } } ^ { ' } ( \xi _ { n } ) \right] d m \right| ^ { 2 + \delta } } \end{array}
\Gamma ( E ) \ { \stackrel { D } { \to } } \ \Gamma ( E \otimes \Omega ^ { 1 } M ) \ { \stackrel { D } { \to } } \ \Gamma ( E \otimes \Omega ^ { 2 } M ) \ { \stackrel { D } { \to } } \ \dots \ { \stackrel { D } { \to } } \ \Gamma ( E \otimes \Omega ^ { n } ( M ) )
\int \Psi _ { \infty } ( \omega ; \vec { r } _ { 1 } , \vec { r } _ { 2 } ) \psi _ { n l m } ( \omega ; \vec { r } _ { 2 } ) \, d ^ { 3 } \vec { r } _ { 2 } = \lambda _ { n l } \psi _ { n l m } ( \omega ; \vec { r } _ { 1 } ) \, ,
\begin{array} { r l } { E _ { r } ^ { 2 } - | { \vec { p } } \, | ^ { 2 } c ^ { 2 } } & { { } = m _ { 0 } ^ { 2 } c ^ { 4 } } \\ { E _ { r } ^ { 2 } - ( p c ) ^ { 2 } } & { { } = ( m _ { 0 } c ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \end{array}
( K _ { I J } ) = \frac { 2 } { R ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c c c c c c } { { - 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { + 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { - 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { - 1 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { \sin ^ { 2 } { \alpha } - \cos ^ { 2 } { \alpha } } } & { { - 2 R \sin { \alpha } \cos { \alpha } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { - 2 R \sin { \alpha } \cos { \alpha } \, \, \, \, } } & { { R ^ { 2 } ( \cos ^ { 2 } { \alpha } - \sin ^ { 2 } { \alpha } ) } } \end{array} \right) \, ,
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } x _ { n } ^ { 1 / ( \alpha - \varepsilon ) } = \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { 2 } - 1 } x _ { n } ^ { 1 / ( \alpha - \varepsilon ) } + \sum _ { n = { N _ { 2 } } } ^ { \infty } x _ { n } ^ { 1 / ( \alpha - \varepsilon ) } \leq \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { 2 } - 1 } x _ { n } ^ { 1 / ( \alpha - \varepsilon ) } + c _ { 2 } ^ { \frac { 1 } { \alpha - \varepsilon } } \sum _ { n = { N _ { 2 } } } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { \frac { \alpha } { \alpha - \varepsilon } } } < \infty ,
\begin{array} { r l r } & { } & { K = - \left( \frac { a _ { 0 } } { b _ { 0 } } \right) ^ { 2 } = - \tan ^ { 2 } \beta \, , } \\ & { } & \\ & { } & { 8 \pi G \rho _ { \mathrm { ( s t i f f ) } } = \frac { 3 v _ { 0 } ^ { 2 } } { b _ { 0 } ^ { 2 } } = 3 \left( \frac { 3 \eta v _ { 0 } } { \rho g \cos \beta } \right) ^ { 2 } \, , } \\ & { } & \\ & { } & { 8 \pi G \rho _ { \mathrm { ( r a d ) } } = - \frac { 6 a _ { 0 } v _ { 0 } } { b _ { 0 } ^ { 2 } } = - \frac { 1 8 v _ { 0 } \eta \sin \beta } { \rho g \cos ^ { 2 } \beta } < 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { 7 } \! \! } & { = } & { \! \! \! \frac { G ^ { 2 } } { 4 } \Bigg [ \frac { 1 } { \delta _ { 1 } { - } \Omega _ { 2 } } \left( m ^ { \dagger } m \sigma _ { z } { + } \sigma ^ { + } \sigma ^ { - } \right) { + } \frac { 1 } { \delta _ { 1 } { + } \Omega _ { 2 } } \left( - m ^ { \dagger } m \sigma _ { z } { + } \sigma ^ { - } \sigma ^ { + } \right) } \\ & { } & { \, \, \, \, \, \, + \frac { 1 } { \Omega _ { 2 } } m ^ { 2 } \sigma _ { z } e ^ { i 2 \delta _ { 1 } t } + \frac { 1 } { \Omega _ { 2 } } m ^ { \dagger 2 } \sigma _ { z } e ^ { - i 2 \delta _ { 1 } t } \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigoplus _ { i = 1 } ^ { n } \alpha _ { i } \triangleq } & { \alpha _ { 1 } \oplus _ { _ { T } } \alpha _ { 2 } \oplus _ { _ { T } } \cdots \oplus _ { _ { T } } \alpha _ { n } } \\ { = } & { \Bigg \langle \zeta ^ { \! - 1 } \left( \sum _ { i \! = 1 } ^ { n } \zeta \left( \mu _ { \alpha _ { i } } \right) \right) , \tau ^ { - 1 } \left( \sum _ { i \! = 1 } ^ { n } \tau \left( \eta _ { \alpha _ { i } } \! + \nu _ { \alpha _ { i } } \right) \right) } \\ & { \quad \! - \tau ^ { \! - 1 } \left( \sum _ { i \! = 1 } ^ { n } \tau \left( \nu _ { \alpha _ { i } } \right) \right) , \tau ^ { \! - 1 } \left( \sum _ { i \! = 1 } ^ { n } \tau \left( \nu _ { \alpha _ { i } } \right) \right) \Bigg \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { L } } & { { } = } & { - i \hbar \sum _ { \alpha = a , b } \int d ^ { 3 } r \Psi _ { \alpha } ^ { \dagger } ( \vec { r } ) \vec { r } \times \vec { \nabla } \Psi _ { \alpha } ( \vec { r } ) } \\ { \vec { L } ^ { ( \alpha ) } } & { { } = } & { - \frac { i \hbar } { N ^ { ( \alpha ) } } \int d ^ { 3 } [ ( \psi _ { \alpha _ { 1 } } ^ { * } ( \vec { r } , t ) + \psi _ { \alpha _ { 2 } } ^ { * } ( \vec { r } , t ) ) \vec { r } \times \vec { \nabla } ( \psi _ { \alpha _ { 1 } } ( \vec { r } , t ) + \psi _ { \alpha _ { 2 } } ( \vec { r } , t ) ) ] , } \end{array}
u _ { 2 } ^ { \prime } ( t , 0 ) = - \frac { r ^ { \gamma _ { p } } } { r ^ { \gamma _ { p } } + ( 1 - t ) ^ { \gamma _ { p } } } \left( r + ( 1 - t + r ) \frac { \gamma _ { p } ( 1 - t ) ^ { \gamma _ { p } } } { r ^ { \gamma _ { p } } + ( 1 - t ) ^ { \gamma _ { p } } } \right) \; .
P _ { i j } \approx \frac { \sum _ { \ell = 1 } ^ { J } \sum _ { t } \mathbf { 1 } _ { B _ { i } } ( \isvec { x } _ { \ell } ( t ) ) \mathbf { 1 } _ { B _ { j } } ( \isvec { x } _ { \ell } ( t + T ) ) } { \sum _ { \ell = 1 } ^ { J } \sum _ { t } \mathbf { 1 } _ { B _ { i } } ( \isvec { x } _ { \ell } ( t ) ) } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ M _ { n + 1 } | M _ { n } ] } & { \leq ( 1 - \lambda r \gamma ) M _ { n } + \lambda \left( \lambda \gamma ^ { 2 } \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 2 m } + \frac { 1 } { 4 } + \frac { r } { 2 } \gamma - \frac { \gamma } { 2 } \right) \mathbb { E } | \bar { Y } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } } \\ & { + \lambda \left( - \frac { m \gamma } { 4 } + r \gamma ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } \lambda m ^ { 2 } + \frac { m ^ { 3 } } { 1 6 } \right) \mathbb { E } | \bar { x } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + \sum _ { i = 2 } ^ { 4 } \delta _ { i } ( n ) + C _ { 0 } \lambda \gamma } \\ & { \leq ( 1 - \lambda r \gamma ) M _ { n } + \lambda \left( \lambda \gamma ^ { 2 } \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 2 m } + \frac { 1 } { 4 } + \frac { r } { 2 } \gamma - \frac { \gamma } { 2 } + C _ { 6 } ^ { \prime } \lambda \gamma ^ { 6 } \right) \mathbb { E } | \bar { Y } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } } \\ & { + \lambda \left( - \frac { m \gamma } { 4 } + r \gamma ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } \lambda m ^ { 2 } + \frac { m ^ { 3 } } { 1 6 } + C _ { 6 } ^ { \prime } \lambda \gamma ^ { 6 } \right) \mathbb { E } | \bar { x } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + C _ { 8 } ^ { \prime } \lambda \gamma } \end{array}
s h o w s p h a s e p o r t r a i t a n d p h a s e s p a c e d i a g r a m a b o u t P a r a c l e t e . \mu _ { 0 } v a l u e s a r e r e p r e s e n t e d b y t h e c o l o r b a r a t t h e r i g h t - h a n d s i d e . F i g u r e
y ^ { j } = \hat { u } _ { t } ^ { j } - \frac { \delta t } { \delta x ^ { 2 } } \left( ( \hat { u } _ { t } ^ { j + 1 } - \hat { u } _ { t } ^ { j } ) - ( \hat { u } _ { t } ^ { j } - \hat { u } _ { t } ^ { j - 1 } ) \right) , x _ { j } \neq \{ x _ { 1 } , x _ { d } \}
\mathscr { D } _ { t , m } \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m } - \mathscr { D } _ { t , m - 1 } \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } = \mathscr { D } _ { t , m - 1 } \ensuremath { \mathbf { v } } _ { m } + ( \ensuremath { \mathbf { v } } _ { m } \cdot \nabla ) \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m } \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial p _ { i } } { \partial t } = } & { { } - \frac { 1 } { \mathcal { N } } \frac { \partial } { \partial x } \Big ( ( I - \gamma x ) p _ { i } ( x , t ) \Big ) + \frac { 1 } { \mathcal { N } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \partial p _ { i } } { \partial x } \frac { w \xi ^ { n } } { K ^ { n } + \xi ^ { n } } p ( \xi , t - \tau _ { i } , \tau _ { j } ) d \xi } \end{array}
{ \vec { r } _ { \mathrm { ( I m ) } } } = { \vec { r } } - ( { \vec { R } _ { \mathrm { r e l } } } \cdot { \hat { n } } ) { \hat { n } } = { \vec { r } } - \left( \left( { \vec { r } } - { \vec { r } _ { \mathrm { C } } } \right) \cdot { \hat { n } } \right) { \hat { n } }