harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { | K _ { 1 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) | } & { { } \leqslant C \big | ( f _ { 1 } - f _ { 2 } ) ( \varphi ) - ( f _ { 1 } - f _ { 2 } ) ( \varphi ^ { \prime } ) \big | \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - 2 } } \end{array}
\zeta = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { Z _ { 1 2 } + Z _ { 1 3 } Z _ { 3 2 } } } & { { Z _ { 1 3 } Z _ { 3 3 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { Z _ { 3 2 } } } & { { Z _ { 3 3 } - 1 } } \end{array} \right) = { \cal O } ( \alpha _ { s } )
\begin{array} { r l } { T - T _ { \mathrm { i n i } } } & { = L + T _ { \mathrm { i n i } } + j - 1 } \\ { \Rightarrow j } & { = T - L + 1 - 2 T _ { \mathrm { i n i } } = ( n _ { u } + n _ { \mathrm { n l } } ) ( L + T _ { \mathrm { i n i } } ) + \textbf { n } ( \mathcal { B } ) } \\ { \Rightarrow T } & { = ( n _ { u } + n _ { \mathrm { n l } } + 1 ) ( L + T _ { \mathrm { i n i } } ) + \textbf { n } ( \mathcal { B } ) + T _ { \mathrm { i n i } } - 1 . } \end{array}
H _ { c } = \int \mathrm { d } ^ { 2 } x \left[ \Pi _ { \alpha } ^ { * } \Pi _ { \alpha } + \partial _ { i } Z _ { \alpha } ^ { * } \partial _ { i } Z _ { \alpha } - ( Z _ { \alpha } ^ { * } \partial _ { i } Z _ { \alpha } ) ( Z _ { \beta } \partial _ { i } Z _ { \beta } ^ { * } ) \right]
\omega _ { \mathrm { s p } } ^ { ( - ) } = \begin{array} { r l } & { \left\{ \begin{array} { l l } & { \omega _ { \mathrm { s p } } ^ { ( - 1 ) } = \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { c } } + \omega _ { \mathrm { m } } } \\ & { \omega _ { \mathrm { s p } } ^ { ( - 2 ) } = \frac { ( \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } - \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { c } } ) + \sqrt { ( \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { c } } - \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } ) ^ { 2 } + 2 ( 2 \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { c } } + \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } \omega _ { \mathrm { m } } + \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { c } } \omega _ { \mathrm { m } } ) } } { 2 } } \end{array} \right. } \end{array}
R ( \lambda , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { S ( \lambda , t ) \left( P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) \right) ^ { - 1 } , } & { \qquad \lambda \in \mathbb { C } \setminus \left( \overline { { D ( - 2 \lambda _ { 0 } , \delta ) } } \cup \overline { { D ( \lambda _ { 0 } , \delta ) } } \right) , } \\ { S ( \lambda , t ) \left( P ( \lambda , t ) \right) ^ { - 1 } , } & { \qquad \lambda \in D ( - 2 \lambda _ { 0 } , \delta ) , } \\ { S ( \lambda , t ) \left( Q ( \lambda , t ) \right) ^ { - 1 } , } & { \qquad \lambda \in D ( \lambda _ { 0 } , \delta ) . } \end{array} \right.
[ { \bar { K } } _ { a } ^ { - } ( p ) , { \bar { K } } _ { b } ^ { - } ( k ) ] = i f _ { a b c } { \bar { K } } _ { c } ^ { - } ( p + k ) - 2 { \pi } ^ { 2 } C p { \delta } _ { a b } { \delta } _ { p + k , 0 } .
\begin{array} { r l r } & { } & { U ( \sigma ) = \frac { e ^ { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } } } { N \sigma } \oint \frac { d u } { 2 i \pi } e ^ { \sigma u } e ^ { N \mathrm { l o g } ( 1 + \frac { \sigma } { u } ) } } \\ & { = } & { \frac { e ^ { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } } } { \sigma } \oint \frac { d u } { 2 i \pi } e ^ { \sigma u } [ \mathrm { l o g } ( 1 + \frac { \sigma } { u } ) + \frac { N } { 2 } [ \mathrm { l o g } ( 1 + \frac { \sigma } { u } ) ] ^ { 2 } + O ( N ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q ( x ) } & { = } & { \sum _ { s \subset \{ 1 , \ldots , d \} } \mu ^ { k } ( \tilde { Q } _ { s , \ldots , s } ^ { ( k ) } ) ( x ( s ) ) } \\ & { = } & { \sum _ { s \subset \{ 1 , \ldots , d \} } \int \phi _ { u ( s ) } ^ { k } ( x ( s ) ) d \tilde { Q } _ { s , \ldots , s } ^ { ( k ) } ( u ( s ) ) } \\ & { = } & { \sum _ { s \subset \{ 1 , \ldots , d \} } \int \phi _ { u ( s ) } ^ { k } ( x ( s ) ) Q _ { s } ^ { ( k ) } ( d u ( s ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { l } ^ { 2 D } ( \alpha ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \pi \sin \alpha } & { [ \alpha < \alpha _ { s } ^ { 2 D } ] , } \\ { \sin 2 \alpha } & { [ \alpha _ { s } ^ { 2 D } < \alpha < \pi - \alpha _ { s } ^ { 2 D } ] , } \\ { - 2 \pi \sin \alpha } & { [ \alpha > \pi - \alpha _ { s } ^ { 2 D } ] , } \end{array} \right. } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { m _ { q } ( \tau ) \sim ( \lambda \tau ) ^ { q } \sim \sigma ^ { 2 q } ( \tau ) \ , \qquad } & { \forall q \leq 1 \ , } \\ { m _ { q } ( \tau ) \sim \lambda \tau \sim \sigma ^ { 2 } ( \tau ) \ , \qquad } & { \forall q \geq 1 \ . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { [ X , B ] ( [ X , B ] ) ^ { * } } & { = } & { | \downarrow \rangle \langle \downarrow | \otimes \sum _ { j \in { \mathord { \mathbb Z } } } ( \eta _ { j + 1 } ^ { - } ) ^ { 2 } | j \rangle \langle j | + | \uparrow \rangle \langle \uparrow | \otimes \sum _ { j \in { \mathord { \mathbb Z } } } ( \eta _ { j - 1 } ^ { + } ) ^ { 2 } | j \rangle \langle j | = { \mathchoice { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 . 5 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 5 m u l } } } _ { \mathcal { H } } . } \end{array}
\xi _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } = ( 1 + \lambda _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ g ~ } } ) \psi _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ g ~ } } - \epsilon ^ { 2 } \psi _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ g ~ } } ^ { \prime \prime } + 2 Y \psi _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ g ~ } } ^ { \prime } - \epsilon \frac { \psi _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ g ~ } } } { 1 + Y } .
\ensuremath { \mathbf { h } } _ { \mathrm { X 2 C } } = \ensuremath { \mathbf { R } } ^ { + \dagger } \{ \vec { h } _ { D } ^ { L L } + \vec { X } ^ { \dagger } \vec { h } _ { D } ^ { L S } + \vec { h } _ { D } ^ { S L } \vec { X } + \vec { X } ^ { \dagger } ( \vec { h } _ { D } ^ { S S } ) \vec { X } \} \ensuremath { \mathbf { R } } ^ { + }
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { g } ( \omega , z ) = - g _ { L } + \frac { 1 } { 2 } \left( g _ { 0 } + g _ { L } \right) \left[ \operatorname { t a n h } \left\lbrace \rho \left[ \omega + \beta ( z ) + W / 2 \right] \right\rbrace \right. } \\ & { } & { \left. - \operatorname { t a n h } \left\lbrace \rho \left[ \omega + \beta ( z ) - W / 2 \right] \right\rbrace \right] , \! \! \! \! \! \! \! } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi ( \omega ; \vec { r } _ { 1 } , \vec { r } _ { 2 } ) } & { { } = \frac { \omega ^ { 5 / 4 } \, \Gamma ( - \nu ) } { 2 ^ { 3 / 4 } \, \pi ^ { 9 / 4 } \, \bigl [ \psi ( - \nu ) - \psi ( - \nu - \frac { 1 } { 2 } ) \bigr ] ^ { 1 / 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | T ( i _ { n } ) \Pi _ { n } Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } } } & { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } \gamma ^ { - 1 } \left( | \Pi _ { n } Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } + \mu _ { \mathtt { p } } } + \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } | \mathfrak { I } _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } + \mu _ { \mathtt { p } } } | \Pi _ { n } Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } \right) } \\ & { \le \gamma ^ { - 1 } \left( N _ { n } ^ { 2 \mu _ { \mathtt { p } } } | Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } - \mu _ { \mathtt { p } } } + \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } | \mathfrak { I } _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } + \mu _ { \mathtt { p } } } | \Pi _ { n } Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } \right) } \\ & { \overset { , , } { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon ^ { 6 - 2 b } \gamma ^ { - 1 } \left( N _ { n } ^ { 2 \mu _ { \mathtt { p } } } N _ { n - 1 } ^ { \mathtt { k } } + \varepsilon ^ { 1 3 - 1 2 b } N _ { n - 1 } ^ { \mathtt { k } } N _ { n - 1 } ^ { - \sigma _ { 5 } } \right) } \\ & { \overset { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon ^ { 6 - 2 b } \gamma ^ { - 1 } ( N _ { n } ^ { 2 \mu _ { \mathtt { p } } } N _ { n - 1 } ^ { \mathtt { k } } + N _ { n - 1 } ^ { \mathtt { k } } ) } \\ & { \overset \le 2 \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n } ^ { \mathtt { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \theta } ( z ) } & { = \left( g _ { 1 } \circ \dots \circ g _ { n } \right) ( z ) } \\ { g _ { i } ( z _ { i } , \chi ) } & { = m ^ { ( i ) } ( z _ { i } ) + ( 1 - m ^ { ( i ) } ) \left( \tilde { \phi } e ^ { s ^ { ( i ) } ( m ^ { ( i ) } ( z _ { i } ) , \chi ) } + t ^ { ( i ) } ( m ^ { ( i ) } ( z _ { i } ) , \chi ) \right) } \\ { m ^ { ( i ) } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { m } & { i \mathrm { ~ e v e n } } \\ { 1 - m } & { i \mathrm { ~ o d d } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi ( e _ { i } ) } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 } e _ { i } - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } e _ { i + 8 } , } \\ { \psi ( e _ { i + 8 } ) } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 } e _ { i + 8 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } e _ { i } , } \\ { \psi ( e _ { 8 } ) } & { { } = } & { e _ { 8 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { S } _ { \mathrm { e x t } } ( t ) = \frac { 1 } { D } \int _ { 0 } ^ { \ell } \mathrm { d } x ~ \big [ } & { { } v ( J _ { R } ( x , t ) - J _ { L } ( x , t ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } ( R ) } & { { } = V _ { \mathrm { ~ M ~ V ~ } } ( R ) + V _ { \mathrm { ~ D ~ 1 ~ } } ( R ) + V _ { \mathrm { ~ D ~ 2 ~ } } ( R ) + V _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } ( R ) \ , } \end{array}
\exp ( - i H t ) = \Bigg ( \prod _ { j = 1 } ^ { m } \exp ( - i H _ { j } t / N ) \Bigg ) ^ { N } + \mathcal { O } \Bigg ( \sum _ { j , k } \bigg \vert \bigg \vert [ H _ { j } , H _ { k } ] \bigg \vert \bigg \vert t ^ { 2 } / N \Bigg )
{ \cal { L } } _ { \psi } = \frac { 1 } { 2 } \, \overline { { { \Psi } } } ^ { a } \left[ \sqrt { - \left( D ^ { 2 } \right) ^ { a c } + \left( F _ { \rho \sigma } ^ { b } S ^ { \rho \sigma } \right) \left( t ^ { b } \right) ^ { a c } } \right] \Psi ^ { c }
\left( \begin{array} { l } { 1 - 2 e ^ { - i 2 \lambda t } + e ^ { - i 4 \lambda t } } \\ { - 1 + e ^ { - i 4 \lambda t } } \\ { - 1 + e ^ { - i 4 \lambda t } } \\ { 1 + 2 e ^ { - i 2 \lambda t } + e ^ { - i 4 \lambda t } } \end{array} \right) .
\hat { \mathcal { H } } _ { k } ^ { \mathrm { s } } \longrightarrow \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \cdot \hat { \mathcal { H } } _ { - k } ^ { \mathrm { s } } \cdot \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \mathrm { . }
{ \frac { 1 } { \lambda } } \left( { \frac { 1 } { D } } + { \frac { 1 } { R _ { A } } } \right) r ^ { 2 } = { \frac { 1 } { \lambda } } \; { \frac { R _ { B } + D } { D R _ { B } } } \, { \frac { \rho ^ { 2 } } { A ^ { 2 } } } \, .
\begin{array} { c c c c c c c } { { \beta _ { 1 } \, } } & { { = } } & { { \, \alpha _ { 2 } + 2 \alpha _ { 3 } + 3 \alpha _ { 4 } + 2 \alpha _ { 5 } + 2 \alpha _ { 6 } + \alpha _ { 7 } } } & { { ; } } & { { \beta _ { 2 } } } & { { = } } & { { \alpha _ { 1 } } } \\ { { \beta _ { 3 } \, } } & { { = } } & { { \, \alpha _ { 2 } } } & { { ; } } & { { \beta _ { 4 } } } & { { = } } & { { \alpha _ { 3 } } } \\ { { \beta _ { 5 } \, } } & { { = } } & { { \, \alpha _ { 4 } } } & { { ; } } & { { \beta _ { 6 } } } & { { = } } & { { \alpha _ { 6 } } } \\ { { \beta _ { 7 } \, } } & { { = } } & { { \, \alpha _ { 7 } } } & { { \null } } & { { \null } } & { { \null } } & { { \null } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { w } _ { i } ^ { ( k ) } } & { = - \theta _ { i } ^ { * } \left[ \hat { w } _ { i } ^ { ( k - 1 ) } \left( \sqrt { \frac { \kappa _ { i } } { \kappa _ { i + 1 } } } + \sqrt { \frac { \kappa _ { i + 1 } } { \kappa _ { i } } } \right) \left( \frac { \gamma _ { i } \gamma _ { i + 1 } } { \sigma _ { i } \sigma _ { i + 1 } } - 1 \right) + \frac { \hat { w } _ { i + 1 } ^ { ( k - 1 ) } } { \sigma _ { i + 1 } } \left( \sqrt { \frac { \kappa _ { i + 2 } } { \kappa _ { i + 1 } } } \frac { \gamma _ { i + 2 } } { \sigma _ { i + 2 } } - \sqrt { \frac { \kappa _ { i + 1 } } { \kappa _ { i } } } \frac { \gamma _ { i } } { \sigma _ { i } } \right) \right. } \\ & { \left. \kern - \nulldelimiterspace + \frac { \hat { w } _ { i - 1 } ^ { ( k - 1 ) } } { \sigma _ { i } } \left( \sqrt { \frac { \kappa _ { i - 1 } } { \kappa _ { i } } } \frac { \gamma _ { i - 1 } } { \sigma _ { i - 1 } } - \sqrt { \frac { \kappa _ { i } } { \kappa _ { i + 1 } } } \frac { \gamma _ { i + 1 } } { \sigma _ { i + 1 } } \right) - \sqrt { \frac { \kappa _ { i + 2 } } { \kappa _ { i + 1 } } } \frac { \hat { w } _ { i + 2 } ^ { ( k - 1 ) } } { \sigma _ { i + 1 } \sigma _ { i + 2 } } - \sqrt { \frac { \kappa _ { i - 1 } } { \kappa _ { i } } } \frac { \hat { w } _ { i - 2 } ^ { ( k - 1 ) } } { \sigma _ { i } \sigma _ { i - 1 } } \right] , } \\ { \hat { w } _ { N - 1 } ^ { ( k ) } } & { = - \theta _ { N - 1 } ^ { * } \left[ \hat { w } _ { N - 1 } ^ { ( k - 1 ) } \left( \sqrt { \frac { \kappa _ { N } } { \kappa _ { N - 1 } } } \left( \frac { \gamma _ { N - 1 } \gamma _ { N } } { \sigma _ { N - 1 } \sigma _ { N } } - 1 \right) + \sqrt { \frac { \kappa _ { N - 1 } } { \kappa _ { N } } } \left( \frac { \sigma _ { N } \gamma _ { N - 1 } } { \gamma _ { N } \sigma _ { N - 1 } } - 1 \right) \right) \right. } \\ & { \left. \kern - \nulldelimiterspace + \frac { \hat { w } _ { N - 2 } ^ { ( k - 1 ) } } { \sigma _ { N - 1 } } \left( \sqrt { \frac { \kappa _ { N - 2 } } { \kappa _ { N - 1 } } } \frac { \gamma _ { N - 2 } } { \sigma _ { N - 2 } } - \sqrt { \frac { \kappa _ { N - 1 } } { \kappa _ { N } } } \frac { \sigma _ { N } } { \gamma _ { N } } \right) - \sqrt { \frac { \kappa _ { N - 2 } } { \kappa _ { N - 1 } } } \frac { \hat { w } _ { N - 3 } ^ { ( k - 1 ) } } { \sigma _ { N - 1 } \sigma _ { N - 2 } } \right] . } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } } { \partial X _ { \mu _ { 0 } } \partial X ^ { \mu _ { 0 } } } B ^ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \ldots \mu _ { p } } = - \sum _ { i = 1 } ^ { p } ( - 1 ) ^ { p \cdot i } \frac { \partial } { \partial X _ { \mu _ { i } } } \frac { \partial } { \partial X ^ { \mu _ { 0 } } } B ^ { \mu _ { i + 1 } \mu _ { i + 2 } \ldots \mu _ { p } \mu _ { 0 } \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { i - 1 } } - \frac { g } { e } \frac { \partial } { \partial X ^ { \mu _ { 0 } } } \phi ^ { \mu _ { 0 } \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { p } } ,
\begin{array} { r l } { V \big ( \{ x \} , \{ y \} , \{ z \} , t \big ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big [ } & { { } { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \omega _ { x } ^ { 2 } ( t ) \, x _ { i } ^ { 2 } + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \omega _ { y } ^ { 2 } ( t ) \, y _ { i } ^ { 2 } } \\ { + } & { { } { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \omega _ { z } ^ { 2 } ( t ) \, z _ { i } ^ { 2 } + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { j \ne i } \frac { c _ { 1 } } { r _ { i j } } \Big ] \, , } \end{array}
d s ^ { 2 } = d \rho ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 4 } \left( d \chi ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } { \chi } N ^ { 2 } d \tau ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } d \Omega _ { 3 } ^ { 2 } \right)
\int _ { \Sigma _ { 5 } } \left( d X ^ { a } \wedge { d } X ^ { b } \wedge { d } X ^ { c } \wedge { d } X ^ { d } \wedge { d } X ^ { e } \right) ^ { \ast } \left( \frac { d X ^ { a } \wedge \cdots \wedge { d } X ^ { e } } { \sqrt { W } } \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { T } | \boldsymbol { \psi } } & { { } \sim \mathcal { N } ( 0 , \boldsymbol { \Sigma } _ { T } ) , } \\ { { \Sigma } _ { T , i j } = \sigma _ { i } \sigma _ { j } \exp } & { { } \left[ - \left( \frac { s _ { i } - s _ { j } } { L _ { s } } \right) ^ { 2 } - \left( \frac { n _ { i } - n _ { j } } { L _ { n } } \right) ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lvert S _ { 1 1 } \rvert ^ { 2 } } & { = A _ { 1 } ^ { 2 } \left( 2 \kappa _ { 1 } / \kappa _ { \mathrm { t o t } } - 1 \right) ^ { 2 } } \\ { \lvert S _ { 3 1 } \rvert ^ { 2 } } & { = A _ { 1 } A _ { 3 } \left( 2 \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } / \kappa _ { \mathrm { t o t } } \right) ^ { 2 } } \\ { \lvert S _ { 3 2 } \rvert ^ { 2 } } & { = A _ { 2 } A _ { 3 } \left( 2 \kappa _ { 2 } / \kappa _ { \mathrm { t o t } } - 1 \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } _ { 2 } ( \Bar { \nu } _ { k \eta } ^ { r } , \Bar { \pi } ^ { r } ) } & { \le \sqrt { 2 c _ { \mathrm { P } } ( \Bar { \pi } ^ { r } ) \chi ^ { 2 } \left( \mu _ { 0 } \| \Bar { \pi } ^ { r } \right) } \exp \left( - \frac { t } { 2 \beta c _ { \mathrm { P } } ( \Bar { \pi } ^ { r } ) } \right) } \\ & { \le \sqrt { 2 c _ { \mathrm { P } } ( \Bar { \pi } ^ { r } ) C _ { 2 } } \exp \left( - \frac { t } { 2 \beta c _ { \mathrm { P } } ( \Bar { \pi } ^ { r } ) } \right) . } \end{array}
{ \frac { \pi } { 4 } } = 1 - { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 5 } } - { \frac { 1 } { 7 } } + \cdots + { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { 2 n + 1 } } + \cdots
\delta B _ { \mathrm { m i n } } \approx \frac { \sqrt { 3 } \, \xi } { \epsilon } \frac { 1 } { 4 \, \gamma _ { \mathrm { n v } } \, C \, \tau _ { \mathrm { t o t } } \sqrt { n _ { \mathrm { n v } } \, V _ { \mathrm { s e n } } \, \phi } } .
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { = \int _ { \partial B _ { r } ( x _ { 0 } ) \cap \Omega } \left\{ \frac { 1 } { 2 } | \nabla u | ^ { 2 } X _ { n } - X _ { n } | \partial _ { n } u | ^ { 2 } - X _ { \tau } \langle \partial _ { n } u , \partial _ { \tau } u \rangle \right\} d s } \\ & { \leq C r \int _ { \partial B _ { r } ( x _ { 0 } ) \cap \Omega } \left\{ \frac { 1 } { 2 } | \partial _ { \tau } u | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | \partial _ { n } u | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | \partial _ { n } u | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | \partial _ { \tau } u | ^ { 2 } \right\} d s } \\ & { = C r \int _ { \partial B _ { r } ( x _ { 0 } ) \cap \Omega } | \nabla u | ^ { 2 } \, d s . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf E } _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) } & { { } = } & { \frac { { \bf E } _ { \mathrm { { i n c } } } ( { \bf r } ) + \sigma \mathrm { i } Z { \bf H } _ { \mathrm { { i n c } } } ( { \bf r } ) } { 2 } = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { + l } \left( \frac { { g _ { l m } ^ { e } + \sigma g _ { l m } ^ { m } } } { \sqrt { 2 } } \right) \left( \frac { { \boldsymbol { N } } _ { l m } ^ { j } ( { \bf r } ) + \sigma { \boldsymbol { M } } _ { l m } ^ { j } ( { \bf r } ) } { \sqrt { 2 } } \right) = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { + l } C _ { l m } ^ { \sigma } \boldsymbol { \Psi } _ { l m } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) , } \end{array}
a r e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c s p i n a n g u l a r m o m e n t u m d e n s i t y o f l i g h t r e s p e c t i v e l y . H e n c e , t h e S A M a n d t o t a l O A M d e n s i t y f o r t h e r a d i a l l y ( a z i m u t h a l l y ) p o l a r i z e d L G (
\sum _ { j = J _ { 0 } + 1 } ^ { J } \| P _ { \varrho ^ { - 1 } b _ { j } } g - P _ { \varrho c _ { j } } g \| _ { \textup { L } ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } ^ { p } \leqslant C _ { 4 } \big ( \log _ { 2 } \varrho ^ { - 1 } \big ) ^ { p } \| g \| _ { \textup { L } ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } ^ { p } \leqslant C _ { 4 } \big ( \log _ { 2 } \varrho ^ { - 1 } \big ) ^ { p }
\phi = \frac { \pi } { 2 } \sqrt { \alpha ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } } - \left( | \alpha | + \frac { 1 } { 2 } \right) \frac { \pi } { 2 } - \Theta , \; \; \; \; \; \left( | \alpha | \geq \frac { 1 } { 2 } \right) .
\begin{array} { r } { D _ { h } ( U _ { h } \circ f _ { h } ) \mid _ { h = 0 } [ g ] ( x ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathrm { \normalfont ~ R e } \left[ \hat { g } _ { n } \int _ { \mathbb { D } } \left( \nu \frac { x ^ { n + 1 } - y ^ { n + 1 } } { x - y } - 2 ( n + 1 ) y ^ { n } \right) \frac { d y } { | x - y | ^ { \nu } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \rho ( x , z ) ^ { \beta } + \rho ( z , y ) ^ { \beta } } { \rho ( x , y ) ^ { \beta } } } & { \geq \frac { \rho ( x , z ) ^ { \beta } + \rho ( z , y ) ^ { \beta } } { ( \rho ( x , z ) + \rho ( z , y ) ) ^ { \beta } } = \left( \frac { \rho ( x , z ) } { \rho ( x , z ) + \rho ( z , y ) } \right) ^ { \beta } + \left( \frac { \rho ( z , y ) } { \rho ( x , z ) + \rho ( z , y ) } \right) ^ { \beta } } \\ & { \geq \left( \frac { \rho ( x , z ) } { \rho ( x , z ) + \rho ( z , y ) } \right) + \left( \frac { \rho ( z , y ) } { \rho ( x , z ) + \rho ( z , y ) } \right) = 1 ~ . } \end{array}
\alpha \le \operatorname* { m i n } \{ \frac { 2 B ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G + 3 \xi _ { 1 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) } { 4 B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 2 4 ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 2 L _ { 1 } \Gamma ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G + 6 4 0 0 c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } \tau ^ { 3 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 8 c _ { 1 } ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) } , 1 \}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { g } \left( \frac { \partial u _ { i } ^ { d , p } } { \partial t } + \frac { \partial u _ { j } u _ { i } ^ { d , p } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial u _ { j } ^ { d , p } u _ { i } ^ { u , p } } { \partial x _ { j } } \right) } & { { } = } & { { K _ { \mu } \mu } \frac { \partial ^ { 2 } { u _ { i } ^ { d , p } } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } + { \mathcal G } ^ { \sigma } ( \mathbf { x } _ { c v } - \mathbf { x } _ { q } ) F _ { i , p } ^ { t } . } \end{array}
\Delta _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \equiv - i 2 ^ { n _ { r } - 1 } \langle T _ { p } [ \phi _ { \alpha _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \phi _ { \alpha _ { 2 } } ( x _ { 2 } ) ] \rangle .
\begin{array} { r l } { \mathbb { L } } & { = \gamma \sum _ { k = 1 } ^ { D } \left( \sigma _ { - , \mathrm { I } } ^ { ( k ) } \sigma _ { - , \mathrm { I I } } ^ { ( k ) } - \frac { 1 } { 2 } { n } _ { \mathrm { I } } ^ { ( k ) } - \frac { 1 } { 2 } { n } _ { \mathrm { I I } } ^ { ( k ) } \right) - i \sum _ { k = 1 } ^ { D } \Omega \left( \sigma _ { x , \mathrm { I } } ^ { ( k ) } - \sigma _ { x , \mathrm { I I } } ^ { ( k ) } \right) + \, } \\ & { - i \sum _ { k \neq h } ^ { D } \frac { V } { 2 c _ { \alpha } | k - h | ^ { \alpha } } \left( n _ { \mathrm { I } } ^ { ( k ) } n _ { , \mathrm { I } } ^ { ( h ) } - n _ { \mathrm { I I } } ^ { ( k ) } n _ { , \mathrm { I I } } ^ { ( h ) } \right) } \end{array}
f ( r ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { - r ^ { - 1 } } & { 1 \leq r \leq 1 + \frac { 1 } { 4 } ( r _ { \mathrm { m a x } } - 1 ) = : r _ { 0 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } r _ { 0 } ^ { - 1 } \frac { \arctan ( r _ { * } ( r ) - r _ { * } ( r _ { \mathrm { m a x } } ) ) } { \arctan ( r _ { * } ( r _ { \mathrm { m a x } } ) - r _ { * } ( r _ { 0 } ) ) } } & { 1 + \frac { 1 } { 2 } ( r _ { \mathrm { m a x } } - 1 ) \leq r \leq 1 + 2 ( r _ { \mathrm { m a x } } - 1 ) = : r _ { 1 } } \\ { \frac { 3 } { 4 } c _ { 0 } + \frac { c _ { 0 } } { 8 } \frac { r - r _ { 2 } } { R _ { \infty } - r _ { 2 } } } & { r _ { 2 } : = 1 + 3 ( r _ { \mathrm { m a x } } - 1 ) < r \leq R _ { \infty } } \\ { c _ { 0 } } & { r > R _ { \infty } + 1 } \end{array} \right.