harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } _ { m } } & { \leq \mathcal { B } _ { 0 } ^ { 2 ^ { - m } } [ 1 + \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , p } ( \Omega ) } + ( 2 ^ { 3 m 2 ^ { - m } } ) \mathcal { A } _ { m - 1 } ] } \\ & { \leq \mathcal { B } _ { 0 } ^ { 2 ^ { - m } } [ 1 + \| u _ { 0 } \| _ { \mathcal { C } ^ { 1 } ( \bar { \Omega } ) } + ( 2 ^ { 3 m 2 ^ { - m } } ) \mathcal { A } _ { m - 1 } ] } \\ & { \leq \mathcal { B } _ { 0 } ^ { 2 ^ { - m } } [ 1 + \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 2 , 2 } ( \Omega ) } ] + ( 2 ^ { 3 m 2 ^ { - m } } ) \mathcal { A } _ { m - 1 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal I } _ { a b c } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { 2 \Big \{ \Big ( 4 m _ { a } m _ { b } m _ { c } + 3 k _ { a } k _ { b } m _ { c } \Big ) \Big \{ \frac { 1 } { b } \Big ( \frac { 1 } { r \big ( r + ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) \big ) } - \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { 2 r ^ { 3 } } \Big ) - { \textstyle \frac { 3 } { 8 } } b \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { r ^ { 5 } } \Big \} + } \end{array}
\delta _ { 2 i _ { 0 } - 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \delta _ { d e l } ^ { \prime } , \; \; \; \ i _ { 0 } = 1 } \\ { i _ { 0 } \times \delta _ { d e l } - ( i _ { 0 } - 1 ) \times \delta _ { d e l } ^ { \prime } , \; \; \; \ i _ { 0 } > 1 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \theta _ { k } } L _ { k } ( \theta _ { k } ) } & { \! \approx \! \frac { 1 } { N _ { b a t c h } } \! \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { b a t c h } } \! \Big [ \left( Q _ { \mu } \left( s _ { i } , \mu ( s _ { i } ; \theta _ { a } ) ; \theta _ { k } \right) - y _ { i } \right) } \\ & { \quad \nabla _ { \theta _ { k } } { { Q } } _ { \mu } ( s _ { i } , \mu ( s _ { i } ; \theta _ { a } ) ; \theta _ { k } ) \Big ] , \; k = 1 , 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { \hat { \boldsymbol B } } } & { { } = } & { - \boldsymbol \nabla \times \hat { \boldsymbol E } _ { c } ^ { \perp } + c g _ { a \gamma \gamma } \boldsymbol \nabla \times \left( \hat { a } \hat { \boldsymbol B } \right) , } \\ { \dot { \hat { \boldsymbol E } } _ { c } ^ { \parallel } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } \boldsymbol J ^ { \parallel } , } \\ { \dot { \hat { \boldsymbol E } } _ { c } ^ { \perp } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } \boldsymbol J ^ { \perp } + c ^ { 2 } \boldsymbol \nabla \times \hat { \boldsymbol B } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \beta } _ { \alpha } = } & { { } ~ \frac { 1 } { 2 } \hat { \gamma } _ { \alpha } \left( \mathbf { w } _ { \alpha } + \mathbf { w } _ { N } + 2 \mathbf { v } \right) , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \alpha = 1 , \dots , N - 1 , } \\ { \boldsymbol { \beta } _ { N } = } & { { } ~ - \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 , \dots , N - 1 } \boldsymbol { \beta } _ { \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rightarrow } & { { } H _ { x } = - \frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } + k _ { 0 } \kappa \chi _ { x x } } \left( i k _ { z } \frac { \mathrm { ~ d ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } x } + k _ { 0 } \kappa \chi _ { x z } \right) H _ { z } . } \end{array}
\Delta { \bf { t m } } ^ { k } \gets \textit { L - B F G S } [ f ( { \bf { t m } } _ { i t e r - 1 } ^ { k } ) , \frac { \partial f } { \partial { \bf t m } ^ { k } } | _ { { \bf t m } _ { i t e r - 1 } ^ { k } } ]
\begin{array} { r c l } { S ( \xi ) } & { = } & { \left( \begin{array} { c c c c } { 1 - \xi _ { 4 } } & { 0 } & { 0 } & { \xi _ { 1 } } \\ { 0 } & { 1 - \xi _ { 4 } } & { 0 } & { \xi _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 - \xi _ { 4 } } & { \xi _ { 3 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 3 } f ^ { + } ( x ) } & { { } = \operatorname* { m a x } \{ f ( x ) , 0 \} } & { { } = { } } & { { } { \left\{ \begin{array} { l l } { f ( x ) , } & { { \mathrm { i f ~ } } f ( x ) > 0 , } \\ { 0 , } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right. } } \\ { f ^ { - } ( x ) } & { { } = \operatorname* { m a x } \{ - f ( x ) , 0 \} } & { { } = { } } & { { } { \left\{ \begin{array} { l l } { - f ( x ) , } & { { \mathrm { i f ~ } } f ( x ) < 0 , } \\ { 0 , } & { { \mathrm { o t h e r w i s e . } } } \end{array} \right. } } \end{array}
E = { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { M ^ { \frac { n } { 3 } } } { n ! } } \operatorname* { l i m } _ { \theta \to 0 } \left( { \frac { \mathrm { d } ^ { \, n - 1 } } { \mathrm { d } \theta ^ { \, n - 1 } } } \left( { \frac { \theta } { \sqrt [ [object Object] ] { \theta - \sin ( \theta ) } } } ^ { n } \right) \right) , } & { \epsilon = 1 } \\ { \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { M ^ { n } } { n ! } } \operatorname* { l i m } _ { \theta \to 0 } \left( { \frac { \mathrm { d } ^ { \, n - 1 } } { \mathrm { d } \theta ^ { \, n - 1 } } } \left( { \frac { \theta } { \theta - \epsilon \cdot \sin ( \theta ) } } ^ { n } \right) \right) , } & { \epsilon \neq 1 } \end{array} \right. }
\frac 1 2 { M _ { S } } \sum _ { m = - 2 } ^ { 2 } \dot { a } _ { m } ^ { 2 } = \frac 1 2 M _ { \mathrm { e f f _ { 1 } } } \overline { { v _ { a } ^ { 2 } } } = \frac 1 2 M _ { \mathrm { e f f _ { 1 } } } \frac { \alpha ^ { 2 } } { 4 \pi } \sum _ { m = - 2 } ^ { 2 } \dot { a } _ { m } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \Pi \left( W _ { r } ^ { r } ( G , G _ { 0 } ) \leq ( 2 ^ { r } + 1 ) \epsilon ^ { r } \right) \geq \frac { \Gamma ( \gamma ) \gamma ^ { D } } { ( 2 D ) ^ { D - 1 } } \left( \frac { \epsilon } { \mathrm { D i a m } ( \Theta ) } \right) ^ { r ( D - 1 ) } \operatorname* { s u p } _ { S } \prod _ { i = 1 } ^ { D } H _ { n } ( S _ { i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { L } _ { X ^ { \perp } } g _ { T } ) ( Y , Z ) } & { = ( \mathcal { L } _ { X } g _ { T } ) ( Y , Z ) } \\ & { = X \big ( g _ { T } ( Y , Z ) \big ) - g _ { T } ( [ X , Y ] , Z ) - g _ { T } ( Y , [ X , Z ] ) } \\ & { = X \big ( g ( Y , Z ) \big ) - g ( [ X , Y ] , Z ) - g ( Y , [ X , Z ] ) } \\ & { = ( \mathcal { L } _ { X } g ) ( Y , Z ) = 0 \, . } \end{array}
K K ( \mathbb { C } , L ( A ) \underset { r } { \rtimes } \widehat { \mathbb { G } } ) \times K K ( \mathbb { C } , B ) \overset { \widetilde { \tau } _ { \mathbb { C } } } { \longrightarrow } K K ( \mathbb { C } , L ( A ) \underset { r } { \rtimes } \widehat { \mathbb { G } } \otimes B ) \cong K K ( \mathbb { C } , L ( A \otimes B ) \underset { r } { \rtimes } \widehat { \mathbb { G } } ) ,
\operatorname * { l i m } _ { N \to \infty } { \cal W } _ { 0 } = \sqrt { \frac { A _ { 1 } + A _ { 2 } } { \hat { g } ^ { 2 } A _ { 1 } A _ { 2 } } } J _ { 1 } \Bigl ( \sqrt { \frac { 4 \hat { g } ^ { 2 } A _ { 1 } A _ { 2 } } { A _ { 1 } + A _ { 2 } } } \Bigr )
M _ { R R } = \left( \begin{array} { c c c } { { 2 a \eta ( 1 + 2 \epsilon ) \lambda ^ { 1 2 } } } & { { \eta \epsilon \lambda ^ { 8 } } } & { { \eta \epsilon \lambda ^ { 6 } } } \\ { { \eta \epsilon \lambda ^ { 8 } } } & { { a \lambda ^ { 4 } } } & { { - ( a - \eta ) \lambda ^ { 2 } } } \\ { { \eta \epsilon \lambda ^ { 6 } } } & { { - ( a - \eta ) \lambda ^ { 2 } } } & { { a } } \end{array} \right) \frac { v _ { R } } { 2 a \eta }
\begin{array} { r l r } { \frac { { Q } _ { \mathrm { A } } ^ { \star } } { Q _ { \mathrm { P } } } } & { = } & { \frac { C _ { a } N _ { a } } { N _ { p } ^ { 2 J } \kappa _ { I } ^ { 2 ( J - 1 ) } ( C _ { t } \kappa _ { U } ^ { 2 } + C _ { a } M \kappa _ { B } ^ { 2 } ) } ( 1 + \rho _ { 2 } ) } \\ & { \overset { \sigma ^ { 2 } \rightarrow 0 } { \longrightarrow } } & { \frac { C _ { a } N _ { a } } { N _ { p } ^ { 2 J } \kappa _ { I } ^ { 2 ( J - 1 ) } ( C _ { t } \kappa _ { U } ^ { 2 } + C _ { a } M \kappa _ { B } ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\Theta ^ { ( 2 ) } ( i , j ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \cos ( m ^ { - } \varphi ) } & { h ( i , j ) = 1 } \\ { \sin ( m ^ { - } \varphi ) } & { h ( i , j ) = 2 } \\ { 0 } & { h ( i , j ) = 3 } \\ { 0 } & { h ( i , j ) = 4 } \\ { 0 } & { h ( i , j ) = 5 } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { E _ { 1 } } & { = \omega _ { A } + \omega _ { B } + \sqrt { ( \omega _ { A } - \omega _ { B } ) ^ { 2 } + 4 \lambda ^ { 2 } } , } \\ { E _ { 2 } } & { = E _ { 3 } = \omega _ { A } + \omega _ { B } , } \\ { E _ { 4 } } & { = \omega _ { A } + \omega _ { B } - \sqrt { ( \omega _ { A } - \omega _ { B } ) ^ { 2 } + 4 \lambda ^ { 2 } } , } \end{array}
f _ { \ell } ^ { l } = ( \Pi _ { h } ^ { 0 } \vec { j } , \varphi _ { l } ^ { 1 } \vec { \psi } _ { \ell } ^ { \mathcal { N } } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } = \sum _ { k = 1 } ^ { N ^ { t } } \sum _ { \kappa = 1 } ^ { N _ { x } ^ { 0 } } j _ { \kappa } ^ { k } \, \underbrace { ( \varphi _ { k } ^ { 0 } , \varphi _ { l } ^ { 1 } ) _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } } _ { = M _ { h _ { t } } ^ { 1 , 0 } [ l , k ] } \, \underbrace { ( \vec { \psi } _ { \kappa } ^ { 0 } , \vec { \psi } _ { \ell } ^ { \mathcal { N } } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } _ { = M _ { h _ { x } } ^ { \mathcal { N } , 0 } [ \ell , \kappa ] } = F [ \ell , l ]
\frac { M } { M _ { 3 , 3 } } = \left( \begin{array} { c c c } { { \lambda ^ { \prime } \epsilon ^ { 8 } } } & { { \lambda \epsilon ^ { 3 } } } & { { \lambda \epsilon ^ { 3 } } } \\ { { - \lambda \epsilon ^ { 3 } } } & { { \lambda ^ { \prime \prime } \epsilon ^ { 2 } } } & { { \lambda ^ { \prime \prime } \epsilon ^ { 2 } } } \\ { { - \lambda \epsilon ^ { 3 } } } & { { \lambda ^ { \prime \prime } \epsilon ^ { 2 } } } & { { 1 + \lambda ^ { \prime \prime } \epsilon ^ { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { N M S } , i k } = H _ { \mathrm { N M S } , i k } ^ { \mathrm { c } } + H _ { \mathrm { N M S } , i k } ^ { \mathrm { t r 1 } } + H _ { \mathrm { N M S } , i k } ^ { \mathrm { t r 2 } } \, . } \end{array}
d \Xi = { \frac { U } { T ^ { 2 } } } d T + { \frac { P } { T } } d V + \sum _ { i = 1 } ^ { s } ( - { \frac { \mu _ { i } } { T } } ) d N _ { i } - { \frac { P } { T } } d V - { \frac { V } { T } } d P + { \frac { P V } { T ^ { 2 } } } d T
\cos { \frac { \pi } { 1 5 \times 2 ^ { 5 } } } = { \frac { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { { \sqrt { { \sqrt { 0 . 7 0 3 1 2 5 } } + 1 . 8 7 5 } } + { \sqrt { 0 . 3 1 2 5 } } + 1 . 7 5 } } } } } } } } } } { 2 } }
\begin{array} { r l } { \frac { A ( t , L ) } { A _ { \gamma } } } & { { } = \cos \left( \int _ { 0 } ^ { t } \omega _ { \gamma } ^ { D } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } + \phi _ { \gamma } ^ { \prime } \right) = \cos ( \omega _ { \gamma } ^ { S } t + \phi _ { \gamma } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f ( | \hat { A _ { 1 } } | , | \hat { A _ { 2 } } | ) \equiv \frac { \mathrm { d } | \hat { A _ { 1 } } | } { \mathrm { d } t } = | \hat { A _ { 1 } } | ( 1 - b _ { 0 } | \hat { A _ { 1 } } | ^ { 2 } - \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) | \hat { A _ { 2 } } | ^ { 2 } ) , } \\ & { g ( | \hat { A _ { 1 } } | , | \hat { A _ { 2 } } | ) \equiv \frac { \mathrm { d } | \hat { A _ { 2 } | } } { \mathrm { d } t } = | \hat { A _ { 2 } } | ( 1 - b _ { 0 } | \hat { A _ { 2 } } | ^ { 2 } - \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) | \hat { A _ { 1 } } | ^ { 2 } ) . } \end{array}
Y _ { \ell } ^ { m } = { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( Y _ { \ell | m | } - i Y _ { \ell , - | m | } \right) } & { { \mathrm { i f } } \ m < 0 } \\ { \displaystyle Y _ { \ell 0 } } & { { \mathrm { i f } } \ m = 0 } \\ { \displaystyle { \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { \sqrt { 2 } } } \left( Y _ { \ell | m | } + i Y _ { \ell , - | m | } \right) } & { { \mathrm { i f } } \ m > 0 . } \end{array} \right. }
\psi _ { 0 } ^ { ( \pm ) } ( x ) = \frac { \sqrt { y m } } { 2 } \left( \begin{array} { r } { { \frac { 1 } { \cosh \xi _ { - } } } } \\ { { \mp \frac { 1 } { \cosh \xi _ { + } } } } \end{array} \right)
\langle \hat { A } \rangle _ { k } = \frac { \int d { \mathbf X } A _ { k } ( { \mathbf X } ) \, \Big | D _ { k } ( { \mathbf X } ) \Big | \, s _ { k } ( { \mathbf X } ) } { \int d { \mathbf X } \, \Big | D _ { k } ( { \mathbf X } ) \Big | \, s _ { k } ( { \mathbf X } ) } \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho _ { t } ( \theta ) } { \partial t } } & { = \nabla _ { \theta } \cdot ( \mathsf { f } ) } \\ { \mathsf { f } } & { = \Bigl ( \rho _ { t } ( \theta ) \int \kappa ( \theta , \theta ^ { \prime } , \rho _ { t } ) \rho _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) P ( \theta , \theta ^ { \prime } , \rho _ { t } ) \nabla _ { \theta ^ { \prime } } \bigl ( \log \rho _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) - \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ^ { \prime } ) \bigr ) \mathrm { d } \theta ^ { \prime } \Bigr ) } \end{array}
\Psi _ { 1 } = b _ { \alpha } ^ { \dot { \alpha } } \left( \bar { D } _ { \dot { \alpha } } \sigma ^ { \alpha } + k \beta _ { \dot { \alpha } } ^ { \alpha } \right) + \left( \bar { \sigma } ^ { \dot { \alpha } } D _ { \alpha } + \bar { k } \bar { \beta } _ { \alpha } ^ { \dot { \alpha } } \right) \bar { b } _ { \dot { \alpha } } ^ { \alpha } \, .
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { 2 } ^ { \mathrm { ( q u b i t ) } } = } & { { } a _ { 1 } \hat { \sigma } _ { x } \otimes \mathbf { I } + a _ { 2 } \mathbf { I } \otimes \hat { \sigma } _ { x } + a _ { 3 } \hat { \sigma } _ { z } \otimes \mathbf { I } + a _ { 4 } \mathbf { I } \otimes \hat { \sigma } _ { z } } \end{array}
\gamma _ { G } \equiv \frac { 1 } { \, 2 Z _ { 3 } \, } \frac { \partial Z _ { 3 } } { \, \partial \ln \mu \, } = \frac { g ^ { 2 } } { \, 8 \pi ^ { 2 } \, } \biggl \{ C _ { f } \biggl ( 2 \ln \frac { \, q ^ { + } \, } { \epsilon } - \frac { \, 1 1 \, } { 6 } \biggr ) + \frac { 2 } { \, 3 \, } T _ { f } N _ { f } \biggr \} \, ,
F _ { 2 } ^ { C C } ( x _ { t } ) = - x _ { t } \frac { 2 + 5 x _ { t } - { x _ { t } } ^ { 2 } } { 8 ( 1 - x _ { t } ) ^ { 3 } } - \frac { 3 { x _ { t } } ^ { 2 } \ln x _ { t } } { 4 ( 1 - x _ { t } ) ^ { 4 } } \: .
\mathrm { R e } = \frac { \mathrm { U } \, \mathrm { L } } { \mathrm { \ n u } } , \qquad \mathrm { P e } = \frac { \mathrm { U } \, \mathrm { L } } { \mathrm { D } } , \qquad \mathrm { D a } = \frac { k _ { \mathrm { r } } } { \mathrm { U } } , \qquad \mathrm { P e D a } = \frac { k _ { \mathrm { r } } \mathrm { L } } { \mathrm { D } } .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { X _ { j k } = x _ { j } \partial _ { x _ { k } } - y _ { k } \partial _ { y _ { j } } - ( z _ { k } \partial _ { z _ { j } } + \frac { 1 } { 2 } \delta _ { j k } ) } & { 1 \leq j , k \leq m } \\ { Y _ { j k } = x _ { j } \partial _ { y _ { k } } + x _ { k } \partial _ { y _ { j } } - \partial _ { z _ { j } } \partial _ { z _ { k } } } & { 1 \leq j < k \leq m } \\ { Z _ { j k } = y _ { j } \partial _ { x _ { k } } + y _ { k } \partial _ { x _ { j } } + z _ { j } z _ { k } } & { 1 \leq j < k \leq m } \\ { Y _ { j j } = x _ { j } \partial _ { y _ { j } } - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { z _ { j } } ^ { 2 } } & { 1 \leq j \leq m } \\ { m a t h b b { Z } _ { j j } = y _ { j } \partial _ { x _ { j } } + \frac { 1 } { 2 } z _ { j } ^ { 2 } } & { 1 \leq j \leq m } \end{array} \right. } \end{array}
- i \tilde { \Pi } _ { r s } ^ { ( 2 ) a b , \mu } ( X ; P ) = g f ^ { e c b } f ^ { e a c } \int \frac { d ^ { 4 } K } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } ( P - K ) _ { \underline { { { \nu } } } } \tilde { \Delta } _ { r s } ( P - K ) \Delta _ { r s } ^ { \mu \underline { { { \nu } } } } ( K )
\left\{ C _ { e } \in \mathbb { R } ^ { + } \left| \frac { 4 \alpha _ { e } ^ { 2 } ( 1 - \gamma ) } { \omega \pi C _ { p } } \le C _ { e } \le \frac { 4 \alpha _ { e } ^ { 2 } ( 3 - 3 \gamma ) } { \omega \pi C _ { p } ( 1 + \gamma ) } \right. \right\} .
\begin{array} { r l } { \hat { O } = } & { { } \alpha v _ { \mathrm { x , S R } } ^ { \mathrm { e x } } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ; \gamma ) + ( \alpha + \beta ) v _ { \mathrm { x , L R } } ^ { \mathrm { e x } } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ; \gamma ) } \end{array}
A _ { \mu } ^ { I } = - { \frac { i } { g } } \rho _ { 1 } ^ { 2 } { \frac { \bar { u } ( \sigma _ { \mu } ( \bar { x } - \bar { x _ { 0 } } ) - ( x - x _ { 0 } ) _ { \mu } ) u } { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } ( ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } ) } }
k _ { L } ( P _ { i } , L _ { d _ { j } } ) \equiv L _ { i } \left[ L _ { d _ { j } } \left[ k ( \cdot , \cdot ) \right] \right] = L _ { d _ { j } } \left[ L _ { i } \left[ k ( \cdot , \cdot ) \right] \right] = \int _ { a } ^ { b _ { i + 1 } } k ( z , d _ { j } ) \textrm { d } z = \int _ { a } ^ { b _ { i + 1 } } k ( d _ { j } , z ) \textrm { d } z .
\Delta U _ { 2 } = \beta V { \frac { 1 } { 2 } } \lambda ( \Phi _ { 0 } ^ { 2 } + 2 | \Phi _ { 1 } | ^ { 2 } ) ( { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } + { \frac { 1 3 T ^ { 2 } } { 2 4 } } - { \frac { 3 \Lambda T } { 4 \pi ^ { 2 } } } ) .
\begin{array} { r l } { E _ { 1 1 1 } } & { { } = - \Delta _ { 1 } - \Delta _ { 3 } - \Delta _ { 5 } } \\ { E _ { 1 0 0 } } & { { } = - \Delta _ { 1 } - \Delta _ { 4 } } \\ { E _ { 0 0 1 } } & { { } = - \Delta _ { 2 } - \Delta _ { 5 } } \\ { E _ { 0 0 0 } } & { { } = - \Delta _ { 2 } - \Delta _ { 4 } \, , } \end{array}
S _ { y y y } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) = \int \int R _ { y y y } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) e ^ { - i 2 \pi ( f _ { 1 } \tau _ { 1 } + f _ { 2 } \tau _ { 2 } ) } d \tau _ { 1 } d \tau _ { 2 } ,
\sum _ { 0 \leq k \leq m } \Big ( \frac { n } { k } \Big ) ^ { \frac { k } { r ^ { \prime } } } \leq ( m + 1 ) \left( \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq k \leq m } \Big ( \frac { n } { k } \Big ) ^ { k } \right) ^ { \frac { 1 } { r ^ { \prime } } } \leq ( m + 1 ) \left( \sum _ { 0 \leq k \leq m } \binom { n } { k } \right) ^ { \frac { 1 } { r ^ { \prime } } } \leq ( m + 1 ) e ^ { \frac { m } { r ^ { \prime } } } \Big ( \frac { n } { m } \Big ) ^ { \frac { m } { r ^ { \prime } } } \, ,
\begin{array} { r l } & { \left| f ( \mathbf { x } ) - \mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { X } _ { T _ { l } } ) ^ { \top } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { X } _ { T _ { l } } \mathbf { X } _ { T _ { l } } } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } f ( \mathbf { X } _ { T _ { l } } ) \right| } \\ & { = \left| \varphi ( \mathbf { x } ) ^ { \top } f - \varphi ( \mathbf { x } ) ^ { \top } \Phi _ { T _ { l } } ^ { \top } ( \Phi _ { T _ { l } } \Phi _ { T _ { l } } ^ { \top } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \Phi _ { T _ { l } } f \right| } \\ & { = \left| \varphi ( \mathbf { x } ) ^ { \top } f - \varphi ( \mathbf { x } ) ^ { \top } ( \Phi _ { T _ { l } } ^ { \top } \Phi _ { T _ { l } } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \Phi _ { T _ { l } } ^ { \top } \Phi _ { T _ { l } } f \right| } \\ & { = \left| \lambda \varphi ( \mathbf { x } ) ^ { \top } ( \Phi _ { T _ { l } } ^ { \top } \Phi _ { T _ { l } } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } f \right| } \\ & { \leq \Vert f \Vert _ { k } \Vert \lambda ( \Phi _ { T _ { l } } ^ { \top } \Phi _ { T _ { l } } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \varphi ( \mathbf { x } ) \Vert _ { k } } \\ & { \leq B \sqrt { \lambda \varphi ( \mathbf { x } ) ^ { \top } ( \Phi _ { T _ { l } } ^ { \top } \Phi _ { T _ { l } } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \lambda \mathbf { I } ( \Phi _ { T _ { l } } ^ { \top } \Phi _ { T _ { l } } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \varphi ( \mathbf { x } ) } } \\ & { \leq B \sqrt { \lambda \varphi ( \mathbf { x } ) ^ { \top } ( \Phi _ { T _ { l } } ^ { \top } \Phi _ { T _ { l } } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } ( \Phi _ { T _ { l } } ^ { \top } \Phi _ { T _ { l } } + \lambda \mathbf { I } ) ( \Phi _ { T _ { l } } ^ { \top } \Phi _ { T _ { l } } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \varphi ( \mathbf { x } ) } } \\ & { \leq B \sqrt { \lambda \varphi ( \mathbf { x } ) ^ { \top } ( \Phi _ { T _ { l } } ^ { \top } \Phi _ { T _ { l } } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \varphi ( \mathbf { x } ) } } \\ & { = B \sigma _ { T _ { l } } ( \mathbf { x } ) , } \end{array}
- \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { 7 } x ^ { 6 } + \frac { 6 } { 3 5 } x ^ { 4 } + \frac { 8 } { 3 5 } x ^ { 2 } + \frac { 1 6 } { 3 5 } \right)
1 \wedge \exp \left( \frac { \log P ( \boldsymbol \uprho _ { t + 1 } , \vec { w } ^ { \prime } \, | \, \mathcal I ) - \log P ( \boldsymbol \uprho _ { t + 1 } , \vec { w } _ { t } \, | \, \mathcal I ) + \log g ^ { * } ( \vec { w } _ { t } | \vec { w } ^ { \prime } ) - \log g ^ { * } ( \vec { w } ^ { \prime } | \vec { w } _ { t } ) } { T ( t ) } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { D } } & { { } = \hat { \epsilon } \, \mathbf { E } + \hat { \alpha } \, \mathbf { B } , } \\ { \mathbf { H } } & { { } = \hat { \beta } \, \mathbf { E } + \hat { \zeta } \, \mathbf { B } , } \end{array}
\Theta ( t ) = \left[ \sum _ { \delta \neq { \bf 1 } } \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } { \frac { l ( \delta ) / 2 } { \mathrm { S i n h } ( p l ( \delta ) / 2 ) } } e ^ { - p ^ { 2 } l ^ { 2 } / 4 t } \right] { \frac { e ^ { - M ^ { 2 } t } } { ( \pi t ) ^ { 1 / 2 } } } \quad .
\begin{array} { r l } { 2 \delta | ( \mathbf { v } ^ { n - 1 } \cdot \nabla \xi ^ { n } , \zeta ^ { n } ) | } & { \leq \tilde { c } \delta | \zeta ^ { n - 1 } | | \nabla \xi ^ { n } | | \zeta ^ { n } | ^ { 1 / 2 } | \nabla \zeta ^ { n } | ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq \tilde { c } \frac { \delta } { ( \nu \beta ) ^ { 1 / 2 } } | \zeta ^ { n - 1 } | ^ { 2 } | \nabla \xi ^ { n } | ^ { 2 } + \beta \delta | \zeta ^ { n } | ^ { 2 } + \nu \delta | \nabla \zeta ^ { n } | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { l , - w } ( - ) = } & { { } \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { ( - ) } ^ { - 1 } A _ { ( - ) } D _ { ( - ) } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } } \\ { = } & { { } \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { ( - ) } A _ { ( - ) } D _ { ( - ) } ^ { - 1 } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } \, , } \end{array}
v \left( t \right) = - \frac { e E _ { \omega } } { m _ { e } \omega } \sin \left( \omega t \right) - \frac { e E _ { 2 \omega } } { 2 m _ { e } \omega } \sin \left( \omega t + \theta \right) + v _ { d } \left( t ^ { \prime } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \rVert ( \Phi ^ { \pm } - I ) h \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon \left( \rVert h \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \right) } \\ & { \rVert d _ { i } \Phi ^ { \pm } ( i _ { 0 } ) h [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \left( \rVert h \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } + \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { 3 } ( t ) = } & { \; \left[ - \int _ { 1 } ^ { \infty } \left\{ \frac { 1 } { I ( s , t ) } \left( \int _ { 0 } ^ { s } \mathcal { V } ( \sigma , t ) I ( \sigma , t ) \, \mathrm { d } \sigma \right) + \frac { ( 1 - t ) } { \pi } - \frac { \alpha \sqrt { 1 - t } ( 1 - \sqrt { 1 - t } ) } { \pi s } \right\} \, \mathrm { d } s \right. } \\ & { \; \left. - \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { I ( s , t ) } \left( \int _ { 0 } ^ { s } \mathcal { V } ( \sigma , t ) I ( \sigma , t ) \, \mathrm { d } \sigma \right) \, \mathrm { d } s - \frac { ( 1 - t ) } { \pi } + \frac { \alpha } { \pi } ( 1 - ( 1 - \sqrt { 1 - t } ) ^ { 2 } ) \right. } \\ & { \; \left. + \frac { \alpha \sqrt { 1 - t } ( 1 - \sqrt { 1 - t } ) } { \pi } \log \left( \frac { 2 ( 1 - t ) } { ( 1 - \sqrt { 1 - t } ) ^ { 2 } } \right) \right] \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { I ( s , t ) } \, \mathrm { d } s \right) ^ { - 1 } , } \end{array}
E _ { r a d } ( \omega , \omega + \Delta \omega ) = \Delta \omega \cdot \Delta t \cdot \frac { \sqrt { 3 } } { 2 \pi } \cdot \frac { e ^ { 3 } H _ { e f f } ^ { * } } { m _ { e } ^ { * } c ^ { 2 } } ( 1 - \delta ) \left( F _ { 1 } ( z _ { q } ) + \frac { 3 } { 2 } \delta \chi ^ { * } z _ { q } F _ { 2 } ( z _ { q } ) \right)