harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { v ( \boldsymbol { m } , \omega , s , \widetilde { \boldsymbol { m } } ) = ( 1 , 0 ) \, \mathscr { S } _ { \boldsymbol { m } , \omega } \, \mathcal { G } _ { \boldsymbol { m } , \omega } \left( \begin{array} { l } { \widetilde { m } u ( \boldsymbol { m } , \omega , s ) } \\ { \widetilde { m } u ( \boldsymbol { m } , \omega , s ) \vert _ { \partial \Omega } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \mathbf { s } _ { \mathcal { V } _ { i } } = x _ { \mathcal { V } _ { i } } ) = } & { { } \frac { 1 } { Z } \sum _ { \mathbf { s } \backslash \mathbf { s } _ { \mathcal { V } _ { i } } } e ^ { - \beta [ \sum _ { ( i j ) \in \mathcal { E } } E _ { i j } ( s _ { i } , s _ { j } ) + \sum _ { i \in \mathcal { V } } \theta _ { i } ( s _ { i } ) ] } } \\ { = } & { { } \frac { 1 } { Z } \sum _ { \mathbf { s } \backslash \mathbf { s } _ { \mathcal { V } _ { i } } } \prod _ { ( i j ) \in \mathcal { E } } e ^ { \beta J _ { i j } s _ { i } s _ { j } } \prod _ { i \in \mathcal { V } } e ^ { \beta h _ { i } s _ { i } } } \end{array}
H = \left. \left( \frac { \partial _ { r } L } { \partial \dot { q } } \dot { q } - L \right) \right| _ { \frac { \partial _ { r } L } { \partial \dot { q } } = P } , \, \, \, \, \, \, q = ( x , e , \chi , \psi ^ { n } ) , \; P = ( p , P _ { e } , P _ { \chi } , P _ { n } ) \; .
\zeta ( s ) = { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } [ { \frac { \sigma ^ { 2 - s } } { ( s - 1 ) ( s - 2 ) } } - { \frac { 1 } { 6 } } \sigma _ { i i } \sigma ^ { - s } + { \frac { 1 } { 1 2 } } s \sigma ^ { - s } { \frac { \sigma _ { i } ^ { 2 } } { \sigma } } ] + \cdots .
\begin{array} { r l } { d p _ { 2 } ^ { 1 } ( t ) = } & { \ - \biggl ( u ( t ) p _ { 2 } ^ { 1 } ( t ) + \sigma _ { 2 } ( t , \alpha ( t - ) ) q _ { 2 2 } ^ { 1 } ( t ) + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \eta ( t - , e _ { i } , z ) r _ { 2 } ^ { 1 } ( t - , z ) \nu ( d z ) \biggr ) d t } \\ & { + q _ { 2 1 } ^ { 1 } ( t ) d W _ { 1 } ( t ) + q _ { 2 2 } ^ { 1 } ( t ) d W _ { 2 } ( t ) + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } r _ { 2 } ^ { 1 } ( t - , z ) \tilde { N } ( d t , d z ) + w _ { 2 } ^ { 1 } ( t ) d \tilde { \Phi } ( t ) , } \\ { p _ { 2 } ^ { 1 } ( T ) = } & { \ - 2 X _ { 2 } ( T ) , } \end{array}
E _ { \gamma } = \frac { E _ { p } ( 1 - \beta \cos \phi ) } { ( 1 - \beta \cos \theta _ { \gamma } ) + \frac { E _ { p } } { m _ { 0 } c ^ { 2 } } \sqrt { 1 - \beta ^ { 2 } } ( 1 - \cos ( \theta _ { \gamma } - \phi ) ) } ,
\Omega _ { \mathrm { c o r e } } = \frac { \int _ { 0 } ^ { r _ { \mathrm { g } } } { \Omega \mathrm { N _ { \mathrm { B V } } d r / r } } } { \int _ { 0 } ^ { r _ { \mathrm { g } } } \mathrm { N _ { \mathrm { B V } } d r / r } }
\left\{ \begin{array} { l l } { u ( s , 0 ) \in \mathrm { S y m } ^ { k } ( \phi _ { s _ { 1 } } ) ( S y m ^ { k } ( \underline { { L } } ) ) } \\ { u ( s , 1 ) \in \mathrm { S y m } ^ { k } ( j _ { s _ { 1 } } ) ( S y m ^ { k } ( \underline { { L } } ) ) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { s \to - \infty } u ( s , t ) = j _ { s _ { 1 } } y _ { 0 } } \\ { \operatorname* { l i m } _ { s \to + \infty } u ( s , t ) = j _ { s _ { 1 } } y _ { 1 } } \\ { \partial _ { s } u ( s , t ) + J _ { t } ^ { s _ { 1 } } \partial _ { t } u ( s , t ) = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { k _ { h } } & { = \frac { 1 } { 8 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } H + \frac { 1 } { 8 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } H ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } H \delta _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } H - \frac { 1 } { 8 } \lambda _ { 1 } H ^ { 3 } + \frac { 7 } { 8 } \lambda _ { 1 } H \delta _ { 1 } ^ { 2 } + } \\ & { + \frac { 3 } { 2 } \lambda _ { 1 } \delta _ { 1 } \delta _ { 1 , 1 } - \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { 2 } H ^ { 2 } + \lambda _ { 3 } H - \frac { 1 } { 8 } H ^ { 4 } - \frac { 1 } { 4 } H ^ { 3 } \delta _ { 1 } + \frac { 1 } { 8 } H ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } H \delta _ { 1 } ^ { 3 } + } \\ & { + \frac { 3 } { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \Big [ \big \lVert \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k } } f ( \boldsymbol { x } , y ) \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { y } ^ { d } ) } ^ { 2 } \Big ] \leq 2 \sum _ { n = 0 } ^ { k } \binom { k } { n } n ! \sum _ { \sigma \in \mathcal { A } ( k , n ) } \mathbb { E } \Big [ \sum _ { ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { \tilde { x } } ) \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { 2 k } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \delta ( x _ { \sigma _ { i } } - \tilde { x } _ { \sigma _ { i } } ) } { \rho } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } f ( \boldsymbol { x } , y ) \overline { { f ( \boldsymbol { \tilde { x } } , y ) } } \, d y \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { A } \circ { \bf S h } ( F ) } & { = C _ { A } \circ C _ { \pi _ { \mathcal { C } } } \circ { \bf S h } ( \pi _ { \mathcal { D } } ) , } \\ & { \simeq C _ { \pi _ { \mathcal { E } } } \circ C _ { H } \circ { \bf S h } ( \pi _ { \mathcal { D } } ) , } \\ & { = C _ { \pi _ { \mathcal { E } } } \circ { \bf S h } ( \pi _ { \mathcal { F } } ) \circ C _ { \pi _ { \mathcal { F } } } \circ C _ { H } \circ { \bf S h } ( \pi _ { \mathcal { D } } ) , } \\ & { \simeq { \bf S h } ( G ) \circ C _ { B } \circ C _ { \pi _ { \mathcal { D } } } \circ { \bf S h } ( \pi _ { \mathcal { D } } ) , } \\ & { = { \bf S h } ( G ) \circ C _ { B } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { I _ { h } ^ { 4 } } & { \leq c _ { \varepsilon } \, \mathrm { o s c } _ { h } ( f , v _ { h } ) + \varepsilon \, \rho _ { \varphi _ { \vert \nabla v _ { h } \vert } , \Omega } \big ( h _ { \mathcal { T } } ^ { - 1 } ( e _ { h } - I _ { h } ^ { \textit { a v } } e _ { h } ) \big ) \, . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb P \left( \left\{ \omega \in \Omega : \Delta _ { n } ^ { ( \omega ) } \leq e ^ { - M n } \right\} \right) } & { \geq \mathbb P \left( \bigcup _ { k \geq k _ { 0 } } \left( A _ { k } \cap \left\{ \omega \in \Omega : \Delta _ { n } ^ { ( \omega ) } \leq e ^ { - M n } \right\} \right) \right) } \\ & { \geq \mathbb P \left( \bigcup _ { k = k _ { 0 } } ^ { n } \left( B _ { \lfloor n / k \rfloor , k , M k } \cap \{ \omega \in \Omega : | \mathbb { X } _ { k \lfloor n / k \rfloor } ^ { ( \omega ) } | > 1 \} \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( J _ { \xi } ) _ { p } ^ { \nu + 1 / 2 } = \frac { 1 } { \Delta \xi _ { p } ^ { \nu } } \sum _ { s \in \nu } \sum _ { i } S _ { 1 } \left( \xi _ { i + 1 / 2 } - \xi _ { p } ^ { s + 1 / 2 } \right) J _ { \xi , i + 1 / 2 } \Delta \xi ^ { s } , } \end{array}
J _ { \varphi _ { 1 } } ( \varphi _ { 1 } ^ { - 1 } ( P ) ) = J _ { \varphi _ { 0 } } ( \varphi _ { 0 } ^ { - 1 } ( P ) ) \cdot J _ { \varphi _ { 0 1 } } ( \varphi _ { 1 } ^ { - 1 } ( P ) ) .
d S _ { n } ( t ) = S _ { n } ( t ) \left[ b _ { n } ( t ) d t + d A ( t ) + \sum _ { d = 1 } ^ { D } \sigma _ { n , d } ( t ) d W _ { d } ( t ) \right] , \quad \forall 0 \leq t \leq T , \quad n = 1 \ldots N .
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { \textrm { d e p h } } \rho = \gamma \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \sigma _ { j } ^ { + } \sigma _ { j } ^ { - } \rho \sigma _ { j } ^ { + } \sigma _ { j } ^ { - } - \frac { 1 } { 2 } \{ \sigma _ { j } ^ { + } \sigma _ { j } ^ { - } , \rho \} \right) , } \end{array}
w ( t ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \exp \left[ - \frac { 1 } { t ( 1 - t ) } \right] , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } t \in ( 0 , 1 ) } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } t \notin ( 0 , 1 ) } \end{array} \right. \, .
\left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial T } \right) _ { \rho } = \frac { 1 } { 2 } c \, A _ { \mathrm { f f } } \rho \, T ^ { - 4 . 5 } \left( a T ^ { 4 } + 7 \ensuremath { E _ { r , \mathrm { s } } } \right) + c A _ { C } E _ { r } .
\begin{array} { r l r } { \phi _ { n } ^ { * } ( x ) } & { = } & { \left( S _ { n } ^ { 0 } \mathbb { E } _ { \mu _ { 0 } } [ X _ { 0 } ] + \lambda \frac { S _ { n } ^ { 0 } } { S _ { N } ^ { 0 } } \Big ( \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { \ell _ { k } } { d _ { k - 1 } } + \frac { 1 } { d _ { n } } \Big ) - x \right) C _ { n + 1 } ^ { - 1 } \mathbb { E } R _ { n + 1 } } \\ & { = } & { \left( \Big ( \mathbb { E } _ { \mu _ { 0 } } [ X _ { 0 } ] + \frac { \lambda } { S _ { N } ^ { 0 } d _ { 0 } } \Big ) S _ { n } ^ { 0 } - x \right) C _ { n + 1 } ^ { - 1 } \mathbb { E } R _ { n + 1 } , \quad x \in E , } \end{array}
\mathbf { J } _ { \mathbf { f } } ( x , y ) = { \left[ \begin{array} { l l } { { \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial x } } } & { { \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial y } } } \\ { { \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial x } } } & { { \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial y } } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 2 x y } & { x ^ { 2 } } \\ { 5 } & { \cos y } \end{array} \right] }
F \left( \epsilon , \eta , \xi \right) \equiv 2 \left( 1 + \epsilon - { \frac { 3 } { 2 } } \eta + \epsilon ^ { 2 } - 2 \epsilon \eta + { \frac { 1 } { 2 } } \eta ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \xi ^ { 2 } \right) .
\Delta E _ { \mathrm { u p } } = \frac { 1 } { T ^ { ( 0 ) } } \frac { 4 e ^ { S ^ { ( 0 ) } } \tan ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } ( \phi _ { \alpha } + \phi _ { \gamma } ) + 4 e ^ { S ^ { ( 0 ) } } } { 4 e ^ { 2 S ^ { ( 0 ) } } \tan ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } ( \phi _ { \alpha } + \phi _ { \gamma } ) - 1 } ,
{ \begin{array} { r l } { { \bigg \langle } \Psi _ { \lambda } ( t ) { \bigg | } { \frac { \partial H _ { \lambda } } { \partial \lambda } } { \bigg | } \Psi _ { \lambda } ( t ) { \bigg \rangle } } & { = { \frac { \partial } { \partial \lambda } } \langle \Psi _ { \lambda } ( t ) | H _ { \lambda } | \Psi _ { \lambda } ( t ) \rangle - { \bigg \langle } { \frac { \partial \Psi _ { \lambda } ( t ) } { \partial \lambda } } { \bigg | } H _ { \lambda } { \bigg | } \Psi _ { \lambda } ( t ) { \bigg \rangle } - { \bigg \langle } \Psi _ { \lambda } ( t ) { \bigg | } H _ { \lambda } { \bigg | } { \frac { \partial \Psi _ { \lambda } ( t ) } { \partial \lambda } } { \bigg \rangle } } \\ & { = i \hbar { \frac { \partial } { \partial \lambda } } { \bigg \langle } \Psi _ { \lambda } ( t ) { \bigg | } { \frac { \partial \Psi _ { \lambda } ( t ) } { \partial t } } { \bigg \rangle } - i \hbar { \bigg \langle } { \frac { \partial \Psi _ { \lambda } ( t ) } { \partial \lambda } } { \bigg | } { \frac { \partial \Psi _ { \lambda } ( t ) } { \partial t } } { \bigg \rangle } + i \hbar { \bigg \langle } { \frac { \partial \Psi _ { \lambda } ( t ) } { \partial t } } { \bigg | } { \frac { \partial \Psi _ { \lambda } ( t ) } { \partial \lambda } } { \bigg \rangle } } \\ & { = i \hbar { \bigg \langle } \Psi _ { \lambda } ( t ) { \bigg | } { \frac { \partial ^ { 2 } \Psi _ { \lambda } ( t ) } { \partial \lambda \partial t } } { \bigg \rangle } + i \hbar { \bigg \langle } { \frac { \partial \Psi _ { \lambda } ( t ) } { \partial t } } { \bigg | } { \frac { \partial \Psi _ { \lambda } ( t ) } { \partial \lambda } } { \bigg \rangle } } \\ & { = i \hbar { \frac { \partial } { \partial t } } { \bigg \langle } \Psi _ { \lambda } ( t ) { \bigg | } { \frac { \partial \Psi _ { \lambda } ( t ) } { \partial \lambda } } { \bigg \rangle } } \end{array} }
{ \cal L } = \frac { 1 } { 2 } { \partial } _ { \mu } \phi \, { \partial } ^ { \mu } \phi - \frac { 1 } { 2 } \, m ^ { 2 } \, \phi ^ { 2 } + { \partial } _ { \mu } \phi \, { \partial } ^ { \mu } { \bar { \phi } } - m ^ { 2 } \, \phi \, { \bar { \phi } } \, ,
B _ { k \oplus } ^ { \mathrm { ~ M ~ A ~ P ~ } } = \left[ \frac { B _ { k \oplus } ^ { \bigstar } } { \sigma _ { \mathrm { ~ G ~ P ~ } } ^ { 2 } } + \frac { B _ { k \oplus } ^ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } } { \sigma _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ i ~ o ~ r ~ } } ^ { 2 } } \right] \left[ \frac { 1 } { \sigma _ { \mathrm { ~ G ~ P ~ } } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \sigma _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ i ~ o ~ r ~ } } ^ { 2 } } \right] ^ { - 1 }
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { D } _ { A } e _ { A } = \widetilde { Q } _ { A } - \pi _ { A } \mathcal { D } _ { A } ( 1 / \rho _ { A } ) , } \\ { \mathcal { D } _ { B } e _ { B } = \widetilde { Q } _ { B } - \pi _ { B } \mathcal { D } _ { B } ( 1 / \rho _ { B } ) , } \\ { \mathcal { D } _ { S } e _ { S } = \widetilde { Q } _ { S } - \pi _ { S } \mathcal { D } _ { S } ( 1 / \rho _ { S } ) , } \end{array} \right.
{ \biggl \{ \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 } } \, F { \biggl [ } \operatorname { a r c c o s } ( x ) ; { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 } } { \biggr ] } - { \sqrt { 2 } } \, E { \biggl [ } \operatorname { a r c c o s } ( x ) ; { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 } } { \biggr ] } { \biggr \} } _ { x = 0 } ^ { x = \infty } = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 } } { \biggl [ } 2 \, E { \bigl ( } { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 } } { \bigr ) } - K { \bigl ( } { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 } } { \bigr ) } { \biggr ] }
\begin{array} { r } { \frac { \partial u } { \partial t } = - u \frac { \partial u } { \partial x } - ( 4 . 9 6 8 0 \pm 0 . 0 0 0 8 ) u \frac { \partial u } { \partial x } - ( 1 . 0 1 0 5 \pm 0 . 0 0 0 2 ) \frac { \partial ^ { 3 } u } { \partial x ^ { 3 } } \, . } \end{array}
\mathrm { L C O E } = { \frac { \mathrm { s u m ~ o f ~ c o s t s ~ o v e r ~ l i f e t i m e } } { \mathrm { s u m ~ o f ~ e l e c t r i c a l ~ e n e r g y ~ p r o d u c e d ~ o v e r ~ l i f e t i m e } } } = { \frac { \sum _ { t = 1 } ^ { n } { \frac { I _ { t } + M _ { t } + F _ { t } } { \left( { 1 + r } \right) ^ { t } } } } { \sum _ { t = 1 } ^ { n } { \frac { E _ { t } } { \left( { 1 + r } \right) ^ { t } } } } }
{ \begin{array} { r l } { k _ { s } ^ { 0 } } & { = \Lambda _ { 0 } ^ { 0 } k _ { \mathrm { o b s } } ^ { 0 } + \Lambda _ { 1 } ^ { 0 } k _ { \mathrm { o b s } } ^ { 1 } + \Lambda _ { 2 } ^ { 0 } k _ { \mathrm { o b s } } ^ { 2 } + \Lambda _ { 3 } ^ { 0 } k _ { \mathrm { o b s } } ^ { 3 } } \\ { { \frac { \omega _ { s } } { c } } } & { = \gamma { \frac { \omega _ { \mathrm { o b s } } } { c } } - \beta \gamma k _ { \mathrm { o b s } } ^ { 1 } } \\ & { = \gamma { \frac { \omega _ { \mathrm { o b s } } } { c } } - \beta \gamma { \frac { \omega _ { \mathrm { o b s } } } { c } } \cos \theta . } \end{array} }
\begin{array} { r } { A ( x , t ) = \frac { \mathrm { e } ^ { \frac { \mathrm { { i } } } { 1 0 } t ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { ( 1 + \mathrm { { i } } ) x - \frac { t ^ { 2 } } { 2 } } } { 1 + \frac { \mathrm { e } ^ { - t ^ { 2 } + 2 x } } { 4 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S } & { = \left( \{ 1 , 2 \} , \tau , \nu , \{ \} \right) , } \\ { \tau } & { : \{ 1 , 2 \} \rightarrow \{ P _ { 1 } , P _ { 2 } \} , i \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { P _ { u } } & { i = 1 } \\ { P _ { c } } & { i = 2 } \end{array} \right. , } \\ { \nu } & { : \{ 1 , 2 \} \rightarrow \mathbb { N } , i \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { i = 1 } \\ { 2 } & { i = 2 } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - ( g - k - 1 ) e _ { k + 1 } ( \{ q _ { 1 } , \dots , q _ { g } \} ) } & { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { k + 1 } ( - 1 ) ^ { i - 1 } e _ { k + 1 - i } ( \{ q _ { 1 } , \dots , q _ { g } \} ) S _ { i } ( \{ q _ { 1 } , \dots , q _ { g } \} ) } \\ & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { k + 1 } ( - 1 ) ^ { i - 1 } e _ { k + 1 - i } ( \{ q _ { 1 } , \dots , q _ { g } \} ) S _ { i } ( \{ q _ { 1 } , \dots , q _ { g } \} ) - g e _ { k + 1 } ( \{ q _ { 1 } , \dots , q _ { g } \} ) } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } \, [ \, f ( \widetilde \mathbf { x } } & { ^ { ( k + 1 ) } ) \, ] \le \mathrm { E } \, [ \, f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \, ] - \mathrm { E } \, [ \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) ^ { T } \mathbf { d } ^ { ( k ) } \, ] + \frac { 1 } { 2 } \, L \, \mathrm { E } \, [ \, \Vert \mathbf { d } ^ { ( k ) } \Vert ^ { 2 } \, ] } \\ { = \, } & { \mathrm { E } \, [ \, f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \, ] - \! \! \sum _ { i \in { \mathcal { C } } _ { 1 } \cup \, { \mathcal { C } } _ { 2 } } \mathrm { E } \, [ \, t \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ^ { 2 } + t \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \, \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } + \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \, \sigma _ { 2 , i } ^ { ( k ) } - \frac { 1 } { 2 } \, L \, ( d _ { i } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } \, ] . } \end{array}
W [ \vec { V } ^ { R } ] = \int d ^ { 4 } x { \cal L } _ { \mathrm { r e d } } = \int d ^ { 4 } x { \frac { 1 } { 2 } } \left( \dot { V } _ { i } ^ { R } R _ { i j } ^ { - 1 } \dot { V } _ { j } ^ { R } - V _ { i } ^ { R } \left( \vec { \partial } ^ { 2 } - M ^ { 2 } \right) R _ { i j } ^ { - 1 } V _ { j } ^ { R } \right) ~ .
\begin{array} { r } { A = \frac { \phi _ { T } - \frac { 1 } { m _ { d } } ( \exp ( - m _ { - } \lambda ) - \frac { m _ { + } } { m _ { - } } \exp ( - m _ { + } \lambda + m _ { d } z _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ p ~ } } ) ) } { 1 - \frac { m _ { + } } { m _ { - } } \exp ( m _ { d } z _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ p ~ } } ) } } \end{array}
p ( t ) = \int _ { 0 } ^ { t } F _ { \Delta t } ( \tau ) \, d \tau = { \left\{ \begin{array} { l l } { P } & { t > \Delta t } \\ { P t / \Delta t } & { 0 < t \leq \Delta t } \\ { 0 } & { { \mathrm { o t h e r w i s e . } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l l } { { { \cal E } ( A , B ) = \int _ { M _ { 3 } } < ( H ^ { A } \otimes I _ { E } - I _ { E } \otimes K ^ { B } ) } } & { { \wedge } } & { { ( D ^ { A } \Phi _ { A } \otimes I _ { E } - I _ { E } \otimes D ^ { B } \Phi _ { B } ) > } } \\ { { - \int _ { M _ { 3 } } < ( D ^ { A } \Phi _ { A } \otimes I _ { E } ) } } & { { \wedge } } & { { ( H ^ { A } \otimes I _ { E } ) > } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle w , u ^ { n + 1 } \right\rangle + \left\langle \phi , D ^ { n + 1 } \right\rangle = } & { { } \left\langle w , u ^ { n } \right\rangle + \left\langle \phi , D ^ { n } \right\rangle } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \widehat { \vartheta } _ { t } = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { S _ { t } + \alpha } { t + \alpha + \beta } = \vartheta \quad \mathrm { ~ ( ~ a ~ l ~ m ~ o ~ s ~ t ~ s ~ u ~ r ~ e ~ l ~ y ~ ) ~ } .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { E } _ { [ \imath ] } , \mathbf { U } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } } \quad \mathrm { T r } ( \mathbf { E } _ { [ \imath ] } ^ { - 1 } ) - \frac { 1 } { 2 \rho _ { 1 } } \left[ \mathrm { T r } ( \mathbf { U } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } ) - \| \mathbf { U } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } ^ { [ n - 1 ] } \| _ { 2 } - \mathrm { T r } ( \mathbf { \bar { u } } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } ^ { [ n - 1 ] } ( \mathbf { \bar { u } } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } ^ { [ n - 1 ] } ) ^ { H } ( \mathbf { U } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } - \mathbf { U } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } ^ { [ n - 1 ] } ) ) \right] , } \\ & { \quad \mathrm { s . t . } \quad , - , } \end{array}
V _ { C K M } ^ { L } \sim \left( \begin{array} { c c c } { { 1 - O ( \lambda ^ { 3 } ) } } & { { O ( \lambda ^ { 1 . 5 } ) } } & { { O ( \lambda ^ { 2 } ) } } \\ { { O ( \lambda ^ { 1 . 5 } ) } } & { { 1 - O ( \lambda ) } } & { { O ( \lambda ^ { 0 . 5 } ) } } \\ { { O ( \lambda ^ { 2 } ) } } & { { O ( \lambda ^ { 0 . 5 } ) } } & { { 1 - O ( \lambda ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \eta _ { t } = \sqrt { \frac { \left( Z ^ { * } e \right) ^ { 2 } } { \epsilon _ { t \infty } M _ { t } v } } , \; \; \; \eta _ { z } = \sqrt { \frac { \left( Z ^ { * } e \right) ^ { 2 } } { \epsilon _ { z \infty } M _ { z } v } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 / m } & { \ll 1 / r , \varepsilon \ll 1 / t , c , \varepsilon _ { k } , d _ { 2 } , \dots , d _ { k - 1 } , } \\ { c } & { \ll d _ { 2 } , \dots , d _ { k - 1 } , } \\ { 1 / t } & { \ll \varepsilon _ { k } \ll d _ { k } \leqslant 1 / k , \mathrm { a n d } } \\ { \varepsilon _ { k } } & { \ll \nu \ll { \theta } \ll \mu \ll 1 / k . } \end{array}
{ \cal M } _ { a b i j } = \delta _ { i j } \left\{ \left[ \frac { \mu } { 3 } + \frac { \pi | { \bf d } ( x _ { F } ) | ^ { 2 } } { 3 { \bar { g } } \mu } \right] \delta _ { a b } - \frac { \pi [ ( \phi _ { + } ^ { \dagger } \phi _ { + } ) _ { ( u u ) } ] _ { | { \bf k } | = \mu / 3 } } { 2 { \bar { g } } \mu } \right\} \ ,
{ \bf E } ( t ) = \mathbf { e } _ { j } \left( { E } _ { 0 1 } \sin \omega _ { 1 } t + { E } _ { 0 m } \sin \omega _ { m } t \right) / \sqrt { 2 } - \mathbf { e } _ { l } \left( { E } _ { 0 1 } \cos \omega _ { 1 } t + \eta \, { E } _ { 0 m } \cos \omega _ { m } t \right) / \sqrt { 2 } ,
\int { \frac { d ^ { 3 } { \bf q } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \left[ ( 2 \pi ) ^ { 3 } \delta ^ { 3 } ( { \bf p } - { \bf q } ) \left( { \frac { { \bf p } ^ { 2 } } { 2 m } } - { \frac { E ^ { 2 } - m ^ { 2 } } { 2 m } } \right) + v ( E ; { \bf p } , { \bf q } ) \right] \phi ( { \bf q } ) = 0
\begin{array} { r l } { r _ { \textrm { E F } } } & { { } = \frac { 2 K } { K + 1 } = 2 ( 1 - \frac { \kappa _ { i } } { 2 \pi \Delta \nu } ) } \\ { r } & { { } = R e ^ { i \Phi } } \\ { \alpha } & { { } = 2 \Gamma / \Delta \nu . } \end{array}
\begin{array} { r } { { 2 } \left( \frac { u _ { h } ^ { n + 1 , i } - u _ { h } ^ { n } } { \tau ^ { n + 1 } } , \rho \right) + \sum _ { j = 1 } ^ { i } a _ { i j } L _ { h } ^ { 1 } ( \pmb { q } _ { h } ^ { n + 1 , j } ; \rho ) = 0 , } \\ { ( \pmb { q } _ { h } ^ { n + 1 , i } , \pmb { \theta } ) + L _ { h } ^ { 2 } ( u _ { h } ^ { n + 1 , i } , \pmb { s } _ { h } ^ { n + 1 , i } ; \pmb { \theta } ) = 0 , } \\ { ( \pmb { s } _ { h } ^ { n + 1 , i } , \pmb { \eta } ) + L _ { h } ^ { 3 } ( p _ { h } ^ { n + 1 , i } ; \pmb { \eta } ) = 0 , } \\ { ( p _ { h } ^ { n + 1 , i } , \varphi ) + L _ { h } ^ { 4 } ( u _ { h } ^ { n + 1 , i } ; \varphi ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { E } | \langle ( G - M ) A \rangle | ^ { 2 p } } \\ { = } & { \left\vert - \mathbf { E } \langle \underline { { W G } } { A ^ { \prime } } \rangle \langle ( G - M ) A \rangle ^ { p - 1 } \langle ( G - M ) ^ { * } A ^ { * } \rangle ^ { p } \right\vert + \mathcal { O } _ { \prec } \big ( ( \mathcal { E } _ { 1 } ^ { \mathrm { a v } } ) ^ { 2 p } \big ) } \\ { \lesssim } & { \, \mathbf { E } \, \frac { \big | \sum _ { \sigma } \sigma \langle G E _ { \sigma } G { A ^ { \prime } } E _ { \sigma } G A \rangle \big | + \big | \sum _ { \sigma } \sigma \langle G ^ { * } E _ { \sigma } G { A ^ { \prime } } E _ { \sigma } G ^ { * } A ^ { * } \rangle \big | } { N ^ { 2 } } \big \vert \langle ( G - M ) A \rangle \big \vert ^ { 2 p - 2 } } \\ & { + \sum _ { | \boldsymbol { l } | + \sum ( J \cup J _ { * } ) \ge 2 } \mathbf { E } \, \Xi _ { 1 } ^ { \mathrm { a v } } ( \boldsymbol { l } , J , J _ { * } ) \big \vert \langle ( G - M ) A \rangle \big \vert ^ { 2 p - 1 - | J \cup J _ { * } | } + \mathcal { O } _ { \prec } \big ( ( \mathcal { E } _ { 1 } ^ { \mathrm { a v } } ) ^ { 2 p } \big ) \, , } \end{array}
\begin{array} { c c c } { U = F ^ { \prime } ( \eta ) , \quad } & { V = ( 2 x \mathrm { R } _ { \lambda } ) ^ { - 1 / 2 } \left( \eta _ { c } T F ^ { \prime } - T F \right) , \quad } & { T = T ( \eta ) , } \end{array}
\Delta \Gamma ( x , \alpha _ { s } , \frac { 1 } { \epsilon } ) = 1 - \frac { 1 } { \epsilon } \left[ \left( \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } \right) \Delta P _ { q q } ^ { 0 } ( x ) + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } \right) ^ { 2 } \Delta P _ { q q } ^ { 1 } ( x ) + . . . \right] + { \cal O } ( \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } )
\begin{array} { r l } { [ N ^ { \varepsilon } ( \phi _ { \varepsilon } ) ] _ { t } } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \varepsilon ^ { 2 } \sum _ { x = 0 } ^ { \infty } \phi ^ { 2 } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) \mathscr { Z } _ { s } ^ { \varepsilon } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) ^ { 2 } d s + R _ { 1 } ^ { \prime } + R _ { 2 } ^ { \prime } + R _ { 3 } ^ { \prime } + R _ { 4 } ^ { \prime } , } \end{array}