harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \displaystyle H _ { \mu \nu } = \eta _ { \mu \nu } + 2 { \Pi } _ { \mu \nu } - \eta ^ { \alpha \beta } { \Pi } _ { \mu \alpha } { \Pi } _ { \beta \nu } } = \eta _ { \mu \nu } + h _ { \mu \nu } - \eta _ { a b } \nabla _ { \mu } \phi ^ { a } \nabla _ { \nu } \phi ^ { b }
\begin{array} { r } { \Delta G ( X ) = \mp \frac { I } { 2 I _ { 0 } } \biggl ( \frac { \tan ^ { - 1 } \frac { 2 X } { W } \sqrt { \frac { \gamma } { 4 - \gamma } } } { \tan ^ { - 1 } \sqrt { \frac { \gamma } { 4 - \gamma } } } \pm \mathrm { s g n } ( I ) \biggr ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ d W ( s ) \right] ^ { 2 } } & { = \left[ d \chi ( s ) \right] ^ { 2 } + 2 \, d \chi ( s ) \left[ - \eta W ( s ) \, d s - \theta ( W ( s ) ) \, d s + d L ( s ) \right] } \\ & { \qquad \qquad + \left[ - \eta W ( s ) \, d s - \theta ( W ( s ) ) \, d s + d L ( s ) \right] ^ { 2 } } \\ & { = \sigma ^ { 2 } \, d s . } \end{array}
{ H } _ { i n t } = \bar { \psi } * e \gamma ^ { \mu } \bar { B } _ { \mu } \left[ 1 + \frac { e } { 2 } \gamma ^ { + } \frac { 1 } { i \partial _ { - } - e \bar { B } _ { - } } e \gamma ^ { \nu } \bar { B } _ { \nu } \right] \ast \psi = \bar { \psi } \ast { \cal V } [ \bar { B } _ { \mu } ] \ast \psi .
m _ { s } ^ { 2 } ( \frac { m _ { s } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } ) ^ { n } ( \ln \frac { \mu ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } ) ^ { \alpha } ( \ln \frac { \mu ^ { 2 } } { m _ { s } ^ { 2 } } ) ^ { \beta } ,
{ \cal A } _ { N } ( \xi _ { - } ) = \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \mathrm { e } ^ { i \xi _ { - } ( p - k ) _ { + } } ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { ( 4 ) } ( k + P ^ { \prime } - P ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } g ^ { 2 n } A _ { N } ^ { ( n ) } ( k ) \, ,
\lambda _ { i j } ^ { a b } = P ( i j ) \lambda _ { i j } ^ { a b } = P ( a b ) \lambda _ { i j } ^ { a b } = P ( i j ) ( a b ) \lambda _ { i j } ^ { a b } = \frac { 1 } { 2 } ( t _ { i j } ^ { a b } + t _ { i j } ^ { b a } )
L ^ { A } \, = \, \frac { 1 } { 2 R } \sum _ { n \geq 0 } \left[ \omega _ { n + \frac { 1 } { 2 } } ( a _ { n } \dot { b _ { n } } \, - \, \dot { a _ { n } } b _ { n } ) \, \, - \, \, \omega _ { n + \frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 } ( a _ { n } ^ { 2 } \, + \, b _ { n } ^ { 2 } ) \right] .
\mu _ { g } = 1 + \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } m ^ { - 2 \epsilon } } { ( 4 \pi ) ^ { d / 2 } } \frac { \Gamma ( \epsilon ) } { 2 ( d - 3 ) } \left[ 2 ( d - 4 ) ( d - 5 ) C _ { F } - ( d ^ { 2 } - 8 d + 1 4 ) C _ { A } \right] + \cdots
\zeta _ { d _ { k } ^ { * } d _ { k } } ( s ) = \zeta _ { \Delta _ { k } } ( s ) - \zeta _ { \Delta _ { k - 1 } } ( s ) + \zeta _ { \Delta _ { k - 2 } } ( s ) - \cdots + ( - 1 ) ^ { k } \zeta _ { \Delta _ { 0 } } ( s ) ,
\begin{array} { r l r l } { \mu _ { \alpha } = } & { \partial _ { \phi _ { \alpha } } \Psi ( \phi _ { \mathbb { C } \mathbb { H } } ) + \partial _ { \phi _ { \alpha } } \Phi ( \phi _ { \mathbb { A } } ) - \varepsilon _ { \alpha } ^ { 2 } \Delta \phi _ { \alpha } , } & & { \alpha \in { \mathbb { C } \mathbb { H } } , } \\ { \mu _ { \beta } = } & { D _ { \beta } \phi _ { \beta } + \partial _ { \phi _ { \beta } } \Phi ( \phi _ { \mathbb { A } } ) , } & & { \beta \in { \mathbb { R } \mathbb { D } } , } \\ { \mu _ { \gamma } = } & { \partial _ { \phi _ { \gamma } } \Phi ( \phi _ { \mathbb { A } } ) , } & & { \gamma \in { \mathbb { O } \mathbb { D } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \big ( R - \rho _ { 0 } + \frac { a \tau } { \rho _ { 0 } } H ( \cdot - z _ { 1 } ) + \frac { b \tau } { \rho _ { 0 } } H ( \cdot - z _ { 2 } ) \big ) ( z _ { i } ) = 0 , } \\ { \mathrm { a n d } \qquad } & { \big ( R - \rho _ { 0 } + \frac { a \tau } { \rho _ { 0 } } H ( \cdot - z _ { 1 } ) + \frac { b \tau } { \rho _ { 0 } } H ( \cdot - z _ { 2 } ) \big ) ^ { \prime } ( z _ { i } ) = 0 . } \end{array}
p ( { \mathbf { \hat { Y } } _ { T } | \mathbf { \hat { X } } _ { T } } ) = \int _ { \mathbf { w } } p ( \mathbf { \hat { Y } } _ { T } | \mathbf { w } , \mathbf { \hat { X } } _ { T } ) \mathrm { ~ d ~ } \mathbf { w }
\langle R ^ { 4 } ( s ) \rangle \approx 6 0 D ^ { 2 } \sum _ { \alpha = a , b , c } \langle \tilde { s } _ { \alpha } ^ { 2 } [ s , \{ A \} _ { \alpha } ] \rangle _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ e ~ l ~ o ~ o ~ p ~ } } ,
\begin{array} { r l } { A } & { : = \frac { \mathbb { V } \{ A _ { \mathrm { M } } ( \theta , m ) \} - ( \omega A _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathbb { V } \{ j ( \theta , m ) \} } { 2 } , } \\ { B } & { : = \mathbb { V } \{ n _ { \mathrm { P I } } ( \theta , m ) \} + \frac { ( \omega A _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathbb { V } \{ j ( \theta , m ) \} + \mathbb { V } \{ A _ { \mathrm { M } } ( \theta , m ) \} } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \Big | _ { t = 0 } ( R - \frac { 1 } { 1 2 } | H | ^ { 2 } + 2 \triangle f - | \nabla f | ^ { 2 } ) } \\ & { = \Big ( R ^ { \prime \prime } - \frac { 1 } { 1 2 } ( | H | ^ { 2 } ) ^ { \prime \prime } + 2 \triangle ^ { \prime \prime } f + 4 \triangle ^ { \prime } f ^ { \prime } + 2 \triangle f ^ { \prime \prime } - ( | \nabla f | ^ { 2 } ) ^ { \prime \prime } \Big ) \Big | _ { t = 0 } } \\ & { = - 1 4 u ^ { 2 } \mu + \frac { 7 } { 2 } | \nabla u | ^ { 2 } + 2 \triangle f ^ { \prime \prime } . } \end{array}
\frac { d } { d \ln \mu } \, T ( l _ { + } , \mu ) = \left[ \Gamma _ { \mathrm { c u s p } } ( \alpha _ { s } ) \, \ln \frac { \mu } { l _ { + } } + \gamma ( \alpha _ { s } ) \right] T ( l _ { + } , \mu ) + \int _ { 0 } ^ { \infty } \! d \omega \, \Gamma ( \omega , l _ { + } , \alpha _ { s } ) \, T ( \omega , \mu ) \, ,
\begin{array} { r l } { u ^ { \prime \prime } + \frac { 2 } { x } u ^ { \prime } } & { = \frac { \mu _ { u } u } { 1 + \lambda _ { u } u + \lambda _ { v } v + \lambda _ { w } w } \; , } \\ { v ^ { \prime \prime } + \frac { 2 } { x } v ^ { \prime } } & { = \frac { \mu _ { v } v - \mu _ { u } u } { 1 + \lambda _ { u } u + \lambda _ { v } v + \lambda _ { w } w } \; , } \\ { w ^ { \prime \prime } + \frac { 2 } { x } w ^ { \prime } } & { = \frac { \mu _ { w } w } { 1 + \lambda _ { u } u + \lambda _ { v } v + \lambda _ { w } w } \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { \mathcal { L } } [ f ] : = \left\{ \vec { x } \in \mathbb { X } _ { \mathcal { L } } \, | \, \forall s \in V ( \mathcal { L } ) \, : \, f ( \mathfrak { u } _ { s } ( \vec { x } ) ) = 1 \right\} \, . } \end{array}
g _ { \mu \nu } = ( 1 - \Psi ) ^ { y / l } \left[ h _ { \mu \nu } ( x ) + g _ { \mu \nu } ^ { ( 1 ) } ( h _ { \mu \nu } , \Psi , T _ { \mu \nu } ^ { A } , T _ { \mu \nu } ^ { B } , y ) \right] \ ,
\hat { S } _ { 1 } ^ { + } \hat { S } _ { 2 } ^ { + } \hat { S } _ { 3 } ^ { + } \hat { S } _ { 4 } ^ { - } \hat { S } _ { 5 } ^ { - } \hat { S } _ { 6 } ^ { - } \hat { S } _ { 7 } ^ { + } \hat { S } _ { 8 } ^ { - } \hat { S } _ { 9 } ^ { + } \hat { S } _ { 1 0 } ^ { - } \hat { S } _ { 1 1 } ^ { + } \hat { S } _ { 1 2 } ^ { - }
\hat { H } _ { \mathrm { i n t } } ^ { ( 2 ) } \sim a _ { 2 } \left[ \hat { S } _ { y } \left\{ \hat { j } _ { x } , \hat { j } _ { y } \right\} + \hat { S } _ { x } \left( \hat { j } _ { x } ^ { 2 } - \hat { j } _ { y } ^ { 2 } \right) \right] .
F _ { T } ^ { 2 } \approx \frac { 2 \mu ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { x _ { 0 } } \, d x \, e ^ { 2 \, ( x - x _ { 0 } ) } \, \sin ^ { 2 } \left( \frac { \pi \, x } { 2 x _ { 0 } } \right) = \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \, \frac { 8 x _ { 0 } ^ { 2 } + \pi ^ { 2 } \, ( 1 - e ^ { - 2 x _ { 0 } } ) } { 4 x _ { 0 } ^ { 2 } + \pi ^ { 2 } } \approx \frac { \mu ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } \; .
\begin{array} { r l } { g ( y ^ { * } ) } & { \geq g ( \tilde { y } _ { t + 1 } ) + \langle w _ { t } , y ^ { * } - \tilde { y } _ { t + 1 } \rangle + \langle \nabla _ { y } g ( y _ { t } ) - w _ { t } , y ^ { * } - \tilde { y } _ { t + 1 } \rangle + \frac { \mu } { 2 } \| y ^ { * } - y _ { t } \| ^ { 2 } - \frac { L } { 2 } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \geq g ( \tilde { y } _ { t + 1 } ) + \gamma \| w _ { t } \| ^ { 2 } + \langle w _ { t } , y ^ { * } - y _ { t } \rangle + \langle \nabla _ { y } g ( y _ { t } ) - w _ { t } , y ^ { * } - \tilde { y } _ { t + 1 } \rangle + \frac { \mu } { 2 } \| y ^ { * } - y _ { t } \| ^ { 2 } - \frac { L \gamma ^ { 2 } } { 2 } \| \omega _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \geq g ( \tilde { y } _ { t + 1 } ) + \langle w _ { t } , y ^ { * } - y _ { t } \rangle + \langle \nabla _ { y } g ( y _ { t } ) - w _ { t } , y ^ { * } - \tilde { y } _ { t + 1 } \rangle + \frac { \mu } { 2 } \| y ^ { * } - y _ { t } \| ^ { 2 } + \left( \gamma - \frac { L \gamma ^ { 2 } } { 2 } \right) \| \omega _ { t } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { E } \left[ \sum _ { z \in { \pmb { \Lambda } } ( \ell ) } \sum _ { w , q \in { \pmb { \Lambda } } _ { z } ( 1 ) } | { \pmb { \Lambda } } _ { w } ( h - \ell - 1 ) | \cdot | { \pmb { \Lambda } } _ { q } ( h - \ell - 1 ) | \right] } } \\ & { = \mathbb { E } \left[ { \mathbb { E } \left[ \sum _ { z \in { \pmb { \Lambda } } ( \ell ) } \sum _ { w , q \in { \pmb { \Lambda } } _ { z } ( 1 ) } | { \pmb { \Lambda } } _ { w } ( h - \ell - 1 ) | \cdot | { \pmb { \Lambda } } _ { q } ( h - \ell - 1 ) | \middle | { \pmb { \Lambda } } ( \ell ) \right] } \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ | { \pmb { \Lambda } } ( \ell ) | \cdot { \mathbb { E } \left[ \sum _ { w , q \in { \pmb { \Lambda } } ( 1 ) } | { \pmb { \Lambda } } _ { w } ( h - \ell - 1 ) | \cdot | { \pmb { \Lambda } } _ { q } ( h - \ell - 1 ) | \right] } \right] \enspace , } \end{array}
e \boldsymbol { \beta } e ^ { j \omega R ( t ^ { \prime } ) / c } \rightarrow \sum _ { \mathrm { m = 1 } } ^ { N } e _ { \mathrm { m } } \boldsymbol { \beta } _ { \mathrm { m } } e ^ { j \omega R _ { \mathrm { m } } ( t ^ { \prime } ) / c }
\Pi _ { J } ( { \bf x } ) \equiv \langle \langle J ( { \bf x } ) J ( { \bf 0 } ) \rangle \rangle _ { T } \, - \, \langle \langle J ( { \bf x } ) \rangle \rangle _ { T } \langle \langle J ( { \bf 0 } ) \rangle \rangle _ { T }
\begin{array} { r l } { V _ { 2 k } ( R ) } & { { } = { \frac { \pi ^ { k } } { k ! } } R ^ { 2 k } \, , } \\ { V _ { 2 k + 1 } ( R ) } & { { } = { \frac { 2 ^ { k + 1 } \pi ^ { k } } { ( 2 k + 1 ) ! ! } } R ^ { 2 k + 1 } = { \frac { 2 ( k ! ) ( 4 \pi ) ^ { k } } { ( 2 k + 1 ) ! } } R ^ { 2 k + 1 } \, . } \end{array}
\bigg [ \sum _ { \ell \in \mathcal { K } ^ { * } } d _ { \ell } v _ { \ell } r _ { \ell } \frac { \ell - 1 } { \ell ^ { 2 } } \bigg ] ^ { \frac { 1 } { \rho } } = \bigg [ r _ { \ell ^ { * } } \frac { \ell ^ { * } - 1 } { \ell ^ { * } } \sum _ { \ell \in \mathcal { K } ^ { * } } d _ { \ell } v _ { \ell } \frac { 1 } { \ell } \bigg ] ^ { \frac { 1 } { \rho } } = \bigg [ r _ { \ell ^ { * } } \frac { \ell ^ { * } - 1 } { \ell ^ { * } } \frac { V } { n } \bigg ] ^ { \frac { 1 } { \rho } } ,
\varepsilon _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = \varepsilon _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \perp } \left( \hat { x } \hat { x } + \hat { y } \hat { y } \right) + \varepsilon _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \parallel } \hat { z } \hat { z }
\tilde { D } _ { 3 } ^ { 2 } = 0 , \ \tilde { D } _ { 3 } ^ { \bar { 2 } } = - \frac { 1 } { 3 \sqrt { 2 } } S ^ { + + + - } , \ \tilde { D } _ { 3 } ^ { \bar { 1 } } = \tilde { D } _ { 3 } ^ { 1 } = \frac { 1 } { 3 \sqrt { 2 } } B _ { 4 } ^ { 0 }
\begin{array} { r l } { { \Phi _ { H } ( \xi , \eta ) } : = } & { { { \frac { { 1 } } { 4 } } \int _ { \eta } ^ { \xi } \int _ { 0 } ^ { \eta } \widetilde { \mu } ( \tau , s ) H ( \tau , s ) \mathrm { d } s \mathrm { d } \tau } + { { \frac { { 1 } } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { 0 } ^ { \tau } \widetilde { \mu } ( \tau , s ) H ( \tau , s ) \mathrm { d } s \mathrm { d } \tau } + \frac { 1 } { 4 } \int _ { \eta } ^ { \xi } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { z } ^ { z + \eta - s } \widehat { H } ( \tau , s , z ) \mathrm { d } \tau \mathrm { d } s \mathrm { d } z } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { 0 } ^ { z } \int _ { z } ^ { 2 z - s } \widehat { H } ( \tau , s , z ) \mathrm { d } \tau \mathrm { d } s \mathrm { d } z , } \\ { \widehat { H } ( \xi , \eta , z ) : = } & { f \left( \frac { \xi - \eta } { 2 } , z - \frac { \xi + \eta } { 2 } \right) H ( \xi , \eta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \alpha } ( m _ { \beta } \circ h ) ( z ) } & { = \frac { \omega ( \alpha ) } { m _ { \alpha } ( z ) } \frac { m _ { \beta } \circ h ( z ) - m _ { \beta } \circ h ( \alpha ) } { 1 - \overline { { m _ { \beta } \circ h ( \alpha ) } } m _ { \beta } \circ h ( z ) } = \frac { \omega ( \alpha ) } { m _ { \alpha } ( z ) } \frac { \frac { h ( z ) - \beta } { 1 - \bar { \beta } h ( z ) } - \frac { h ( \alpha ) - \beta } { 1 - \bar { \beta } h ( \alpha ) } } { 1 - \frac { \overline { { h ( \alpha ) } } - \bar { \beta } } { 1 - \beta \overline { { h ( \alpha ) } } } \frac { h ( z ) - \beta } { 1 - \bar { \beta } h ( z ) } } } \\ & { = \varepsilon ( \alpha , \beta , h ) \frac { \omega ( \alpha ) } { m _ { \alpha } ( z ) } \frac { h ( z ) - h ( \alpha ) } { 1 - \overline { { h ( \alpha ) } } h ( z ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { a } \cdot \mathbf { b } } & { { } = a _ { 1 } b _ { 1 } + a _ { 2 } b _ { 2 } + a _ { 3 } b _ { 3 } } \\ { \mathbf { a } \wedge \mathbf { b } } & { { } = ( a _ { 2 } b _ { 3 } - a _ { 3 } b _ { 2 } ) \mathbf { e } _ { 2 3 } + ( a _ { 3 } b _ { 1 } - a _ { 1 } b _ { 3 } ) \mathbf { e } _ { 3 1 } + ( a _ { 1 } b _ { 2 } - a _ { 2 } b _ { 1 } ) \mathbf { e } _ { 1 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| \hat { \Theta } _ { k } - \Theta \right\| ^ { 2 } \leq \left\| \hat { \Theta } _ { k } - \Theta \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left\| e _ { j } ^ { \top } ( \hat { \Theta } _ { k } - \Theta ) \right\| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { 2 n \left\| V _ { k } ^ { - 1 } \right\| \left[ \log \left( \frac { 1 } { \delta } \right) + \frac { n } { 2 } \log ( 1 + \| V _ { k } \| ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { l } = } & { { } \Big ( ( \mathbb { J } _ { B } ^ { \mu } ) ^ { - 1 } \big [ ( \frac { \nu _ { 1 } \cdot \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } } { \mu _ { 1 } - \mu _ { 0 } } , \frac { \nu _ { 2 } \cdot \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } } { \mu _ { 2 } - \mu _ { 0 } } , \ldots , \frac { \nu _ { l _ { 0 } } \cdot \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } } { \mu _ { l _ { 0 } } - \mu _ { 0 } } ) ^ { T } \big ] \Big ) _ { l } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \beta } { r ^ { 2 } } \left( \beta + 2 r { \frac { \partial \beta } { \partial r } } \right) \! \! } & { = } & { \! \! 8 \pi \rho \; , } \\ { \frac { \beta } { r ^ { 2 } } \left( \beta + 2 r \frac { \partial \beta } { \partial r } \right) + \frac { 2 } { r } \frac { \partial \beta } { \partial t } \! \! } & { = } & { \! \! - 8 \pi p _ { r } \; , } \\ { \beta ^ { 2 } + r \frac { \partial \beta } { \partial t } - r ^ { 2 } \left[ { \frac { \partial } { r } \left( \beta { \frac { \partial \beta } { \partial r } } \right) + \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial \partial t \partial r } } \right] \! \! } & { = } & { \! \! 8 \pi r ^ { 2 } \Delta \; , \; \; \; \; \; } \end{array}
n _ { \mathrm { B } } ( T ) = \frac { 2 } { 3 } \frac { A _ { C } } { \bar { m } \, A _ { \mathrm { f f } } } \frac { E _ { r } T _ { \mathrm { C , e f f } } } { a T ^ { 4 } - ( 1 1 / 3 ) \ensuremath { E _ { r , \mathrm { s } } } } \, T ^ { 3 . 5 } .
P _ { c d } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { 2 } \! - \! \frac { 1 } { 2 } \! \int \! d \boldsymbol { k } \! \! \int \! d \boldsymbol { k } ^ { \prime } \left| \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ) \right| ^ { 2 } \left| \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) \right| ^ { 2 } e ^ { i ( k _ { z } - k _ { z } ^ { \prime } ) z _ { 0 } } .
\mathrm { ~ N ~ o ~ - ~ f ~ l ~ u ~ x ~ c ~ o ~ n ~ d ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ s ~ a ~ t ~ t ~ h ~ e ~ c ~ h ~ a ~ n ~ n ~ e ~ l ~ w ~ a ~ l ~ l ~ s ~ : ~ } \frac { \partial c } { \partial y } = 0 ~ \mathrm { ~ a ~ t ~ } ~ y = \pm \frac { 1 } { 2 } ,
{ \begin{array} { r l } & { m _ { A B } \cdot m _ { B C } } \\ { = } & { { \frac { \sin \theta } { \cos \theta + 1 } } \cdot { \frac { \sin \theta } { \cos \theta - 1 } } } \\ { = } & { { \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { \cos ^ { 2 } \theta - 1 } } } \\ { = } & { { \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { - \sin ^ { 2 } \theta } } } \\ { = } & { { - 1 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathsf { A C V } _ { \mathcal P } ^ { 2 } \hat { P } _ { \mathrm { o p t } } ^ { - 1 } } & { = \mathsf { a c v } _ { 0 } + 6 \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 3 } + \mathcal O ( \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 5 } ) } \\ { \mathsf { A C V } _ { \mathcal P } ^ { 2 } \bar { P } _ { \mathrm { o p t } } } & { = a \mathsf { a c v } _ { 0 } + b \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 3 } + \mathcal O ( \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 5 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { t } ( v _ { t } ) ^ { 2 } } & { = d _ { t } \vert \partial _ { u } C ( t , u ) \vert ^ { 2 } = 2 \langle d _ { t } \partial _ { u } C ( t , u ) , \partial _ { u } C ( t , u ) \rangle + \langle d _ { t } \partial _ { u } C ( t , u ) , d _ { t } \partial _ { u } C ( t , u ) \rangle } \\ & { = 2 v _ { t } \left( v _ { t } \rho _ { t } \left( ( - \rho _ { t } + 2 h _ { t } ) d t + \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) + \partial _ { u } \alpha _ { t } d t \right) + 2 v _ { t } ^ { 2 } \rho _ { t } ^ { 2 } d t . } \end{array}
B _ { \mu \nu } ( q ) \equiv \sum _ { n } \delta ^ { 4 } ( P _ { B } - q - P _ { n } ) \int \prod _ { f = 1 } ^ { n } \frac { d ^ { 3 } f } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { f } } \langle P _ { B } | J _ { \mu } ^ { W \dagger } ( 0 ) | n \rangle \langle n | J _ { \nu } ^ { W } ( 0 ) | P _ { B } \rangle .
\begin{array} { r l } & { \quad \mathcal { M } ( K , L ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \partial } { \partial t } \mathcal { M } ( K , H ( t ) ) d t } \\ & { = \int _ { X } \mathrm { t r } \bigg ( \big ( - 4 \sqrt { - 1 } \Lambda _ { \omega } G _ { K } \big ) s \bigg ) \frac { \omega ^ { n } } { n ! } + \sum _ { i , j = 1 } ^ { r } \int _ { X } | ( D s ) _ { i } ^ { j } | _ { \omega } ^ { 2 } \Psi ( \lambda _ { i } , \lambda _ { j } ) \frac { \omega ^ { n } } { n ! } } \\ & { = \int _ { X } \mathrm { t r } \bigg ( \big ( - 4 \sqrt { - 1 } \Lambda _ { \omega } G _ { K } \big ) s \bigg ) \frac { \omega ^ { n } } { n ! } + \int _ { X } \langle \Psi ( s ) ( D s ) , D s \rangle _ { K } \frac { \omega ^ { n } } { n ! } . } \end{array}
\mathrm { T r } \, \log ( 1 - \sum _ { i = 0 } ^ { N } A _ { i } ) ~ = ~ \mathrm { T r } \, \log ( 1 - \sum _ { k = 1 } ^ { N } \sum _ { m = 0 } ^ { k - 1 } A _ { k } \phi ^ { m } ) + \mathrm { T r } \, \log ( 1 - \phi ) ~ .
R _ { \varphi , \nabla ^ { F } } ^ { e } ( \sigma ) = \left\{ \begin{array} { l l } { | R _ { \varphi , \nabla ^ { F } } ( \sigma ) | } & { \mathrm { i f ~ \dim ( M ) ~ i s ~ o d d } ; } \\ { R _ { \varphi , \nabla ^ { F } } ( \sigma ) / | R _ { \varphi , \nabla ^ { F } } ( \sigma ) | } & { \mathrm { i f ~ \dim ( M ) ~ i s ~ e v e n } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } \, [ \, f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k + 1 ) } ) \, ] \lesssim \, } & { \mathrm { E } \, [ \, f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \, ] - \frac { 1 } { 2 } \, ( t + \theta _ { k } \, \tau _ { 2 } + \alpha _ { k } ) \, \mathrm { E } \, [ \, \Vert \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \, \Vert ^ { 2 } \, ] . } \end{array}
\Gamma ( \mu ^ { 2 } ) = \Bigl ( 1 - \frac { 4 m ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \Bigr ) ^ { 1 / 2 } \Bigl ( 1 + \frac { 2 m ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \Bigr ) + \mathrm { ~ m u l t i - l o o p ~ c o n t r i b u t i o n s }
\begin{array} { r l } { \mathring { A } ^ { { e + \mathrm { i } \eta , e + \mathrm { i } \eta } } } & { = \mathring { A } ^ { { e + \mathrm { i } \eta , x + \mathrm { i } \tilde { \eta } } } + \mathcal { O } \big ( | x - e | + \eta \big ) E _ { + } + \mathcal { O } \big ( | x - e | + \eta \big ) E _ { - } \, , } \\ { \mathring { ( A ^ { \prime } ) } ^ { { e + \mathrm { i } \eta , e + \mathrm { i } \eta } } } & { = \mathring { ( A ^ { \prime } ) } ^ { { x + \mathrm { i } \tilde { \eta } , e + \mathrm { i } \eta , } } + \mathcal { O } \big ( | x - e | + \eta \big ) E _ { + } + \mathcal { O } \big ( | x - e | + \eta \big ) E _ { - } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { F } ^ { S } = } & { { } \alpha _ { J } ^ { S } , } \\ { \alpha _ { F } ^ { T } = } & { { } - ( - 1 ) ^ { J + I + F } \sqrt { \frac { 2 F ( 2 F - 1 ) ( 2 F + 1 ) } { 3 ( F + 1 ) ( 2 F + 3 ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { 3 } } & { ( f _ { H } , \omega ) = ( \frac { L _ { H } \sum _ { k = 1 } ^ { K } a _ { k } } { f _ { H } } + t _ { H } ^ { b c } ) + \omega \Big [ ( \zeta _ { H } f _ { H } ^ { 2 } L _ { H } \sum _ { k = 1 } ^ { K } a _ { k } + p _ { H } ^ { b c } t _ { H } ^ { b c } ) - { { E } } _ { H } ^ { \operatorname* { m a x } } \Big ] . } \end{array}
\big \langle \big ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } - M ( w _ { 1 } , \mathring { A } _ { 1 } , w _ { 2 } ) \big ) \mathring { A } _ { 2 } \big \rangle = - \big \langle \underline { { W G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } ^ { \prime } } } \big \rangle + \mathcal { O } _ { \prec } \big ( \mathcal { E } _ { 2 } ^ { \mathrm { a v } } \big ) \, ,
\begin{array} { r l } { \kappa _ { n } ^ { d } ( L _ { d , m } ) } & { = \frac { ( - d ) ^ { n - 1 } } { ( n - 1 ) ! } e ^ { - 2 n t } \sum _ { \pi \in \mathcal { P } ( n ) } \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \frac { ( - t _ { d } ) ^ { k } } { k ! } \left( \sum _ { V \in \pi } \sum _ { l = 2 } ^ { \infty } \frac { 1 } { l } \frac { ( 2 | V | ) ^ { l } } { d ^ { l - 1 } } \right) ^ { k } \mu _ { n } ( \pi , 1 _ { n } ) + O ( d ^ { - 1 } ) } \\ & { = \frac { ( - d ) ^ { n - 1 } } { ( n - 1 ) ! } e ^ { - 2 n t } \underbrace { \sum _ { \pi \in \mathcal { P } ( n ) } \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \frac { ( - t _ { d } ) ^ { k } } { k ! } \left( \sum _ { V \in \pi } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { l + 1 } \frac { ( 2 | V | ) ^ { l + 1 } } { d ^ { l } } \right) ^ { k } \mu _ { n } ( \pi , 1 _ { n } ) } _ { = : M _ { n } ( d ) } + O ( d ^ { - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \phi ^ { \prime } \xi ^ { \prime } \eta ^ { \prime } } } } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { p } } w _ { k } \left( \overline { { \phi } } _ { k } - \overline { { \phi } } \right) \left( \overline { { \xi } } _ { k } - \overline { { \xi } } \right) \left( \overline { { \eta } } _ { k } - \overline { { \eta } } \right) , } \end{array}
\Delta z _ { w e e } \; \equiv \; \frac { 1 } { 2 \, ( k _ { z } ) _ { w e e } } \; \simeq \; \frac { 1 } { 2 \, x \; E ^ { + } } \; \approx \; 0 . 1 - 1 \; f m \; \; \; \; \; \; \; \; ( \mathrm { f o r ~ x ~ \approx ~ 1 0 ^ { - 2 } - 1 0 ^ { - 3 } ~ } ) \; .
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { C } \sum _ { i = 1 } ^ { M } } & { \operatorname* { P r } ( \theta \! = \! i ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \! - \! U _ { i } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) \! \mid \! \theta \! = \! i ] } & \\ & { \le \left( 1 + 2 ^ { - C _ { 2 } } \frac { 1 - 2 ^ { - N C _ { 2 } } } { 1 - 2 ^ { - C _ { 2 } } } \right) \frac { C _ { 2 } } { C } - \frac { \mathbf { U } ( Y ^ { 0 } ) } { C } \, , } & \end{array}
\gamma _ { 1 } = \left\langle \sum _ { X _ { i } \in ( { \it G } _ { 1 } ) _ { X _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } } \sum _ { \stackrel { i _ { \alpha _ { 1 } } < j _ { \alpha _ { 1 } } } { \left\{ i _ { \alpha _ { 1 } } , j _ { \alpha _ { 1 } } \right\} \in J _ { X _ { i } } } } t _ { i _ { \alpha _ { 1 } } } t _ { j _ { \alpha _ { 1 } } } { \bf 1 } _ { ( w ( t _ { i _ { \alpha _ { 1 } } } ) = w ( t _ { j _ { \alpha _ { 1 } } } ) ) } \chi \left( \left( i _ { \alpha _ { 1 } } , j _ { \alpha _ { 1 } } \right) \in i _ { \alpha _ { 1 } } ^ { \prime } \right) \right\rangle _ { w ^ { \prime } } ^ { l . c . } \; \mathrm { ~ a n d }