harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { e _ { s } v _ { 0 } ^ { b , c , \mu } } & { = e _ { s } v _ { 0 } ^ { b } \otimes v _ { 0 } ^ { 0 } } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { C G ( \frac { a } { 2 } , \, \frac { a } { 2 } - ( s - b ) ; \, \frac { b } { 2 } , - \frac { b } { 2 } \, | \, \frac { m } { 2 } , \frac { m } { 2 } - s ) \; \; v _ { s - b } ^ { a } \otimes v _ { 0 } ^ { 0 } , } & { \mathrm { i f ~ s \ge ~ b ~ } ; } \\ { 0 , } & { \mathrm { i f ~ s < b ~ } . } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { \frac { a ! \, s ! } { ( s - b ) ! \, m ! } } \; \; v _ { s - b } ^ { a } \otimes v _ { 0 } ^ { 0 } , } & { \mathrm { i f ~ s \ge ~ b ~ } ; } \\ { 0 , } & { \mathrm { i f ~ s < b ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
( a _ { 1 } + b _ { 1 } \, \mathbf { i } + c _ { 1 } \, \mathbf { j } + d _ { 1 } \, \mathbf { k } ) + ( a _ { 2 } + b _ { 2 } \, \mathbf { i } + c _ { 2 } \, \mathbf { j } + d _ { 2 } \, \mathbf { k } ) = ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) + ( b _ { 1 } + b _ { 2 } ) \, \mathbf { i } + ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \, \mathbf { j } + ( d _ { 1 } + d _ { 2 } ) \, \mathbf { k } \, ,
j _ { a 1 } = \frac { \widetilde { C C } + \widetilde { C D } + \widetilde { D C } + \widetilde { D D } } { 2 } \, , \qquad j _ { b 2 } = \frac { \widetilde { C C } + \widetilde { D C } + \widetilde { C D } + \widetilde { D D } } { 2 }
\delta \phi ^ { N R } ( \vec { k } ^ { 2 } ) = \frac { 4 } { 3 } \frac { 4 m } { s - M ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 3 } k ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \alpha _ { s } } { ( \vec { k } - \vec { k ^ { \prime } } ) ^ { 2 } } \phi ^ { N R } ( \vec { k ^ { \prime } } ^ { 2 } ) \mathrm { ~ . }
d s ^ { 2 } = e ^ { - 2 k | y | } \left[ - \left( 1 - \frac { U _ { T } ^ { 4 } } { k ^ { 4 } } e ^ { 4 k | y | } \right) d t ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } d x ^ { i } d x ^ { i } \right] + \frac { d y ^ { 2 } } { 1 - \frac { U _ { T } ^ { 4 } } { k ^ { 4 } } e ^ { 4 k | y | } }
\begin{array} { r l } & { { \mathbb A } _ { \mu , - m _ { \infty } ( i ) } \, y = - y ^ { \prime \prime } + q ( x ) y - \frac { y ^ { \prime } ( \ell ) + m _ { \infty } ( i ) y ( \ell ) } { \mu + m _ { \infty } ( i ) } [ \mu \delta ( x - \ell ) + \delta ^ { \prime } ( x - \ell ) ] , } \\ & { { \mathbb A } _ { \mu , - m _ { \infty } ( i ) } ^ { * } \, y = - y ^ { \prime \prime } + q ( x ) y - \frac { y ^ { \prime } ( \ell ) + m _ { \infty } ( - i ) y ( \ell ) } { \mu + m _ { \infty } ( - i ) } [ \mu \delta ( x - \ell ) + \delta ^ { \prime } ( x - \ell ) ] . } \end{array}
p _ { i + 1 / 2 , j + 1 / 2 } ^ { f } ( x , y ) = \sum _ { k = 0 } ^ { 2 \, m + 1 } \sum _ { \ell = 0 } ^ { 2 \, m + 1 } \frac { \partial ^ { k } p _ { x } ^ { \ell } ( x _ { i + 1 / 2 } ) } { \partial ^ { k } x } \frac { \Delta x ^ { k } \, \Delta y ^ { \ell } } { k ! \, \ell ! } \bigg ( \frac { x - x _ { i + 1 / 2 } } { \Delta x } \bigg ) ^ { k } \bigg ( \frac { y - y _ { j + 1 / 2 } } { \Delta y } \bigg ) ^ { \ell } .
\begin{array} { r } { \left\| \frac { A ^ { \prime } } { \pi _ { t } ( x _ { t } + z ) } - \frac { A } { \pi _ { t } ( x _ { t } ) } \right\| _ { U } \le \left| 1 - \frac { \pi _ { t } ( x _ { t } + z ) } { \pi _ { t } ( x _ { t } ) } \right| \left\| \frac { A ^ { \prime } } { \pi _ { t } ( x _ { t } + z ) } \right\| _ { U } + \frac { 1 } { \pi _ { t } ( x _ { t } ) } \| A ^ { \prime } - A \| _ { U } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { \mathrm { L } } } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { i ( \beta + \gamma ) } \frac { \cos \alpha - i \ \mathrm { e } ^ { i \delta } \sin \alpha } { \sqrt { 2 } } } \\ { C _ { \mathrm { R } } } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { i ( \beta + \gamma ) } \frac { \cos \alpha + i \ \mathrm { e } ^ { i \delta } \sin \alpha } { \sqrt { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { M } _ { \xi } ( z , X ) } & { = \frac { | X _ { N } | } { \delta ( z ) } + | X _ { H } | \sum _ { l = 2 } ^ { m _ { \xi } } \left( \frac { C _ { l } ^ { \xi } ( z ) } { \delta ( z ) } \right) ^ { \frac { 1 } { l } } \asymp \frac { | X _ { N } | } { | r ( z ) | } + | X _ { H } | \sum _ { l = 2 } ^ { m _ { \xi } } \left( \frac { C _ { l } ^ { \xi } ( z ) } { | r ( z ) | } \right) ^ { \frac { 1 } { l } } } \\ & { \asymp \frac { | b _ { 2 } | } { | r ( z ) | } + \left| b _ { 1 } + b _ { 1 } s ^ { 2 } - b _ { 2 } s \right| \sum _ { l = 2 } ^ { m _ { \xi } } \left( \frac { C _ { l } ^ { \xi } ( z ) } { | r ( z ) | } \right) ^ { \frac { 1 } { l } } } \\ & { \asymp \frac { | b _ { 2 } | } { | r ( z ) | } + | b _ { 1 } | \sum _ { l = 2 } ^ { m _ { \xi } } \left( \frac { C _ { l } ^ { \xi } ( z ) } { | r ( z ) | } \right) ^ { \frac { 1 } { l } } \pm | b _ { 2 } | \left| s \right| \sum _ { l = 2 } ^ { m _ { \xi } } \left( \frac { C _ { l } ^ { \xi } ( z ) } { | r ( z ) | } \right) ^ { \frac { 1 } { l } } } \\ & { \asymp M _ { \xi } ( z , X ) . } \end{array}
R _ { L } = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { \delta _ { e \mu } } } & { { O ( \bar { \epsilon } ^ { 4 } ) } } \\ { { - \delta _ { e \mu } } } & { { 1 } } & { { O ( \bar { \epsilon } ) } } \\ { { - O ( \bar { \epsilon } ^ { 4 } ) } } & { { - O ( \bar { \epsilon } ) } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { l } { \varepsilon \frac { d \Gamma ( x , y ) } { d t } = - \Gamma ( x , y ) } \\ { + \frac { 1 } { \alpha _ { \mathrm { ~ b ~ } } I _ { \mathrm { ~ b ~ } } ( x , y ) + \tilde { \alpha } _ { \mathrm { ~ g ~ } } ( I _ { 0 \mathrm { ~ g ~ } } + \xi ( x , y ) ) + \beta } + \gamma , } \\ { \tau _ { c } \frac { d \xi ( x , y ) } { d t } = - \xi ( x , y ) + \sqrt { 2 D _ { \mathrm { ~ g ~ } } \tau _ { c } } n ( x , y , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi _ { o p } ( x ) } & { { } = } & { \sqrt { \frac { 1 } { L } } \sum _ { k } \left[ \sin k x \; \hat { Q } _ { k } + \frac { 1 } { v | k | } \cos k x \; \hat { P } _ { k } \right] } \\ { \pi _ { o p } ( x ) } & { { } = } & { \sqrt { \frac { 1 } { L } } \sum _ { k } \left[ \sin k x \; \hat { P } _ { k } - v | k | \cos k x \; \hat { Q } _ { k } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { r } ( K ) } & { = \mathbb { P } \bigg ( \underset { \ell = r + 1 } { \overset { q } { \cap } } \Big \{ \underset { k = r + 1 } { \overset { \ell } { \sum } } Z _ { k } ^ { 2 } < K ( \ell - r ) \Big \} \bigg ) , } \\ { Q _ { r } ( K , \beta ^ { * } , \sigma ^ { 2 } ) } & { = \mathbb { P } \bigg ( \underset { \ell = 0 } { \overset { r - 1 } { \cap } } \Big \{ \underset { k = \ell + 1 } { \overset { r } { \sum } } \langle Y , u _ { k } \rangle ^ { 2 } > K \sigma ^ { 2 } ( r - \ell ) \Big \} \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta L _ { i } } & { { } = \sqrt { \left( r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i } \Delta r _ { i ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } - \left( r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i - 1 } \Delta r _ { i ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \mu _ { i } ^ { 2 } \right) } - \left( r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i - 1 } \Delta r _ { i ^ { \prime } } \right) \mu _ { i } , } \\ { \mu _ { i } ^ { 2 } } & { { } = 1 - \left( \frac { r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i - 1 } \Delta r _ { i ^ { \prime } } } { r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i } \Delta r _ { i ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \mu _ { i - 1 } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } & { { } = \hbar \Delta \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } ^ { \dagger } \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } + \hbar \Omega _ { \mathrm { ~ v ~ } } b ^ { \dagger } b + \hbar g _ { 0 } \bigg ( \frac { J } { \Delta } \bigg ) \sqrt { n _ { \mathrm { ~ L ~ } } } \big ( \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } ^ { \dagger } b + \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } b ^ { \dagger } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \sf T M w c [ 1 ] } { \sin \theta } = } & { { } - \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \frac { 3 } { 3 2 } \, x \, a ( - k n ) \bigg [ 4 \left( 1 - 3 x ^ { 2 } \right) \left( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \right) ^ { 2 } + 3 \left( 1 - x ^ { 2 } \right) \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } + \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) \bigg ] } \end{array}
\psi _ { \sigma } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \to \hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \; \; \; , \; \; \psi _ { \sigma } ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \to \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } )
i \frac { d } { d t } \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { e } } } \\ { { \nu _ { \mu } } } \\ { { \nu _ { \tau } } } \end{array} \right) = \left[ \frac { E _ { 1 } + E _ { 2 } } { 2 } { \bf 1 } + H \right] \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { e } } } \\ { { \nu _ { \mu } } } \\ { { \nu _ { \tau } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { x ^ { ( \pm ) } } & { { } = ( U _ { G } ^ { ( \pm ) } ) ^ { \dag } \frac { 1 } { 2 } w ( a _ { x } + a _ { x } ^ { \dag } ) U _ { G } ^ { ( \pm ) } , } \\ { ( U _ { G } ) _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } , n _ { x } , n _ { y } } ^ { ( \pm ) } } & { { } = \delta _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { x } } \delta _ { n _ { y } ^ { \prime } , n _ { y } } \exp \left[ \pm i \Psi _ { G } ( n _ { x } + n _ { y } + 1 ) \right] , } \end{array}
{ \frac { \mathrm { d } \Gamma } { \mathrm { d } E _ { \gamma } } } = { \frac { 4 G _ { F } ^ { 2 } \, | V _ { t s } ^ { * } \, V _ { t b } | ^ { 2 } \, C _ { 7 } ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } } \, E _ { \gamma } \, \mathrm { I m } \, T _ { 7 7 } \, .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r c r r c l } { \rho ^ { \prime } \colon S ^ { - 1 } \mathcal { E } _ { - 1 } } & { \longrightarrow } & { \mathrm { D e r } ( S ^ { - 1 } \mathcal O ) } & & & \\ { \frac { x } { s } } & { \longmapsto } & { \rho ^ { \prime } \left( \frac { x } { s } \right) : } & { S ^ { - 1 } \mathcal O } & { \longrightarrow } & { S ^ { - 1 } \mathcal O } \\ & & & { \frac { f } { u } } & { \longmapsto } & { \frac { 1 } { s } \cdot \left( \frac { \rho ( x ) [ f ] u - f \rho ( x ) [ u ] } { u ^ { 2 } } \right) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { \mathrm { C S } } ( p ( \mathbf { y } | \mathbf { x } _ { 1 } ) ; p ( \mathbf { y } | \{ \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } \} ) \approx \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { 1 } L _ { j i } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { 1 } ) ^ { 2 } } \right) \right) } \\ & { + \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { 1 2 } L _ { j i } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { 1 2 } ) ^ { 2 } } \right) \right) - 2 \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { 1 } L _ { j i } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { 1 } ) ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { 1 2 } ) } \right) \right) } \end{array}
\frac { 1 } { \tau _ { N } ^ { T A / T A ^ { \prime } } ( x ) } = \frac { k _ { B } ^ { 4 } \gamma _ { T A / T A ^ { \prime } } ^ { 2 } V } { M \hbar ^ { 3 } \nu _ { T A / T A ^ { \prime } } ^ { 5 } } \left( \frac { k _ { B } } { \hbar } \right) x T ^ { 5 }
\left( \eta _ { h } , \mathrm { E } _ { h , 0 } \right) _ { L _ { \epsilon } ^ { 2 } \Lambda ^ { 1 } ( \Omega ) } = \int _ { \Omega } \eta _ { h } \wedge \mathrm { D } _ { h } - \left( \eta _ { h } , \mathrm { E } _ { h , b } \right) _ { L _ { \epsilon } ^ { 2 } \Lambda ^ { 1 } ( \Omega ) } , \quad \forall \eta _ { h } \in X _ { h , 0 } ^ { 1 } .
\cot \delta _ { l } ( k ) = \frac { k R \, n _ { l } ^ { \prime } ( k R ) - ( \beta _ { l } - 1 ) \, n _ { l } ( k R ) } { k R \, j _ { l } ^ { \prime } ( k R ) - ( \beta _ { l } - 1 ) \, j _ { l } ( k R ) } .
\begin{array} { r l } { \frac { \textup { T w o s t e p H P O } } { \textup { ( T r a d i t i o n a l ) o n e s t e p H P O } } } & { { } = \frac { \textup { S t e p 1 H P O + S t e p 2 H P O } } { \textup { ( T r a d i t i o n a l ) o n e s t e p H P O } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { t } } & { { } = Q _ { 0 } + t m ^ { - 1 } \cdot P _ { 0 } , } \\ { P _ { t } } & { { } = P _ { 0 } , } \\ { S _ { t } } & { { } = S _ { 0 } + t T ( p _ { 0 } ) , } \end{array}
G \; = \; \sum _ { \mu _ { 1 } < \cdots < \mu _ { M + 1 } } \; \{ x ^ { \mu _ { 1 } } , \cdots , x ^ { \mu _ { M + 1 } } \} \; \{ x _ { \mu _ { 1 } } , \cdots , x _ { \mu _ { M + 1 } } \}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { [ b ] \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \, d s } & { { } + \partial _ { x } \left( c ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) V ( s ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \, d s \right) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { \xi } = \ } & { \{ g ( v _ { \bot } ^ { F } , T _ { 2 } ) , g ( v _ { \bot } ^ { G } , T _ { 2 } ^ { \prime } ) , g ( v _ { \bot } ^ { H } , T _ { 2 } ^ { \prime } ) , h ( v _ { \Delta } ^ { I } , T _ { 2 } ) , h ( v _ { \Delta } ^ { J } , T _ { 2 } ^ { \prime } ) , h ( v _ { \Delta } ^ { K } , T _ { 2 } ^ { \prime } ) , h ( v _ { \Delta } ^ { L 1 } , v _ { \Delta } ^ { L _ { 2 } } , T _ { 2 } ^ { \prime } , T _ { 2 } ) , } \\ & { \times h ( v _ { \Delta } ^ { M 1 } , v _ { \Delta } ^ { M 2 } , T _ { 2 } , T _ { 2 } ^ { \prime } ) , h ( v _ { \Delta } ^ { N _ { 1 } } , v _ { \Delta } ^ { N _ { 2 } } , T _ { 2 } ^ { \prime } , T _ { 2 } ^ { \prime } ) \} } \end{array}
\widetilde { W } _ { \mu \nu } \ \equiv \sum _ { X } \, \langle H _ { Q } | \widetilde { J } _ { \nu } ^ { \dagger } | X \rangle \langle X | \widetilde { J } _ { \mu } | H _ { Q } \rangle \, \delta ^ { 4 } ( p _ { B } - q - p _ { X } ) ,
\begin{array} { r l } { | \Psi \rangle = I | \Psi \rangle } & { { } = \int | x \rangle \langle x | \Psi \rangle d x = \int \Psi ( x ) | x \rangle d x , } \\ { | \Psi \rangle = I | \Psi \rangle } & { { } = \int | p \rangle \langle p | \Psi \rangle d p = \int \Phi ( p ) | p \rangle d p . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta g _ { \mathrm { r e c o i l } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s , { } ^ { 2 0 } \mathrm { ~ N ~ e ~ } ^ { 9 + } ) } & { { } = - 1 . 0 9 2 ( 1 4 ) \times 1 0 ^ { - 1 2 } \, , } \\ { \Delta g _ { \mathrm { r e c o i l } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s , { } ^ { 2 2 } \mathrm { ~ N ~ e ~ } ^ { 9 + } ) } & { { } = - 1 . 0 9 2 ( 1 4 ) \times 1 0 ^ { - 1 2 } \, . } \end{array}
E = \frac { 1 } { 2 } \frac { m } { \vert q _ { 1 } \vert ^ { 2 } } v _ { 1 } \cdot \Pi ( q _ { 1 } ) \cdot v _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \frac { m } { \vert q _ { 2 } \vert ^ { 2 } } v _ { 2 } \cdot \Pi ( q _ { 2 } ) \cdot v _ { 2 } .
d s ^ { 2 } = g _ { \mu \nu } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } = - { A } ^ { 2 } { N } d t ^ { 2 } + { N } ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } ( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta d \phi ^ { 2 } ) \ ,
s = \left( \begin{array} { c c } { i \left( 2 \tau / \pi + \tau _ { b } / 2 \right) \nu _ { r } ^ { \left( 1 \right) } } & { - i \exp \left( i \arg \Omega \right) } \\ { - i \exp \left( - i \arg \Omega \right) } & { - i \left( 2 \tau / \pi + \tau _ { b } / 2 \right) \nu _ { r } ^ { \left( 1 \right) } } \end{array} \right) .
S _ { c o l . } = - { \frac { 1 } { 4 } } \epsilon ^ { a b } \delta _ { a } \delta _ { b } \left[ \varphi ^ { A 1 } M ^ { A B } \varphi ^ { B 1 } - \varphi ^ { A 2 } M ^ { A B } \varphi ^ { B 2 } \right]
\left[ \int _ { 0 } ^ { + 1 } d ( \cos \theta ) \frac { d \Gamma ( H ^ { o } \to W ^ { + } W ^ { - } Z ) } { d ( \cos \theta ) } - \int _ { - 1 } ^ { 0 } d ( \cos \theta ) \frac { d \Gamma ( H ^ { o } \to W ^ { + } W ^ { - } Z ) } { d ( \cos \theta ) } \right] \ ,
\begin{array} { r l } { \left( \Phi _ { s } \left( f _ { v } ^ { G } \right) \right) ( k s k ^ { \prime } ) } & { = \int _ { G ( F ) } \phi _ { s } ( y ) \cdot f _ { v } ^ { G } ( y ^ { - 1 } k s k ^ { \prime } ) d x } \\ & { = \int _ { G ( F ) } \phi _ { s } ( k y ) \cdot f _ { v } ^ { G } ( y ^ { - 1 } s k ^ { \prime } ) d x } \\ & { = \int _ { K s K } \phi _ { s } ( k y ) \cdot f _ { v } ^ { G } ( y ^ { - 1 } s k ^ { \prime } ) d x } \\ & { = \sum _ { y \in K s K / K } \phi _ { s } ( k y ) \cdot f _ { v } ^ { G } ( y ^ { - 1 } s k ^ { \prime } ) } \\ & { = \sum _ { k ^ { \prime \prime } \in K / ( K \cap s K s ^ { - 1 } ) } \phi _ { s } ( k k ^ { \prime \prime } s ) \cdot f _ { v } ^ { G } ( s ^ { - 1 } ( k ^ { \prime \prime } ) ^ { - 1 } s k ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { i } \bar { n } _ { s } } & { { } = \frac { 1 } { n _ { 0 } } \int \mathrm { ~ d ~ } \hat { \mathcal { W } } \hat { \mathcal { F } } _ { { e q } _ { s } } \mathcal { J } _ { 0 s } g _ { s } , } \\ { d _ { i } \bar { u } _ { s } } & { { } = \sqrt { \frac { \tau _ { s } \beta _ { e } } { 2 \sigma _ { s } } } \frac { 1 } { n _ { 0 } } \int \mathrm { ~ d ~ } \hat { \mathcal { W } } \hat { \mathcal { F } } _ { { e q } _ { s } } v _ { \parallel } \mathcal { J } _ { 0 s } g _ { s } , } \\ { d _ { i } \bar { p } _ { s } } & { { } = \tau _ { s } \frac { 1 } { n _ { 0 } } \int \mathrm { ~ d ~ } \hat { \mathcal { W } } \hat { \mathcal { F } } _ { { e q } _ { s } } v _ { \perp } ^ { 2 } \mathcal { J } _ { 1 s } g _ { s } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { i i \alpha } ^ { - } } & { = h _ { i i } + ( i i | i i ) + ( i i | t t ) - ( i t | i t ) = - ( \mathrm { I P } ) _ { i _ { \alpha } } = \epsilon _ { i _ { \alpha } } } \\ { K _ { i i \beta } ^ { - } } & { = h _ { i i } + ( i i | i i ) + ( i i | t t ) = - ( \mathrm { I P } ) _ { i _ { \beta } } = \epsilon _ { i _ { \beta } } } \\ { K _ { t t \alpha } ^ { - } } & { = h _ { t t } + 2 ( t t | i i ) - ( t i | t i ) = - ( \mathrm { I P } ) _ { t } } \\ { K _ { t t \beta } ^ { + } } & { = h _ { t t } + 2 ( t t | i i ) - ( t i | t i ) + ( t t | t t ) = - ( \mathrm { E A } ) _ { t } } \\ { K _ { a a \alpha } ^ { + } } & { = h _ { a a } + 2 ( a a | i i ) + ( a a | t t ) - ( a i | a i ) - ( a t | a t ) = - ( \mathrm { E A } ) _ { a _ { \alpha } } = \epsilon _ { s _ { \alpha } } } \\ { K _ { a a \beta } ^ { + } } & { = h _ { a a } + 2 ( a a | i i ) + ( a a | t t ) - ( a i | a i ) = - ( \mathrm { E A } ) _ { a _ { \beta } } = \epsilon _ { c _ { \beta } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \int _ { a ^ { \prime } } ^ { b ^ { \prime } } x _ { 2 } ( z , t ) \, d z } & { = \int _ { a ^ { \prime } } ^ { b ^ { \prime } } \partial _ { t } x _ { 2 } ( z , t ) \, d z } \\ & { = \int _ { a ^ { \prime } } ^ { b ^ { \prime } } - \mathbf { d } _ { 0 } ^ { \ast } \mathcal { N } _ { 2 } ( x , c _ { 0 } , \overline { { c } } _ { 0 } ) ( z , t ) \, d z } \\ & { = \int _ { a ^ { \prime } } ^ { 0 } - \partial _ { z } \mathcal { N } _ { 2 } ^ { - } ( x ) ( z , t ) \, d z + \int _ { 0 } ^ { b ^ { \prime } } - \partial _ { z } \mathcal { N } _ { 2 } ^ { + } ( x ) ( z , t ) \, d z } \\ & { = \mathcal { N } _ { 2 } ^ { - } ( a ^ { \prime } , t ) - \mathcal { N } _ { 2 } ^ { + } ( b ^ { \prime } , t ) - \mathcal { N } _ { 2 } ^ { - } ( 0 ^ { - } , t ) + \mathcal { N } _ { 2 } ^ { + } ( 0 ^ { + } , t ) } \\ & { = \mathcal { N } _ { 2 } ( a ^ { \prime } , t ) - \mathcal { N } _ { 2 } ( b ^ { \prime } , t ) - e _ { I } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu } & { { } = \tau _ { 1 } \rho T , } \\ { \varsigma } & { { } = \left( \frac { 1 } { C _ { v } } - \frac { 2 } { D } \right) \mu , } \\ { \kappa } & { { } = \tau _ { 2 } \rho C _ { p } T . } \end{array}
\int d ^ { n } Q \left( { \partial } _ { p _ { j } } \right) ^ { \omega } f ( Q , \{ p _ { j } \} , \{ m _ { k } \} ) = \left( { \partial } _ { p _ { j } } \right) ^ { \omega } \Gamma ^ { 0 } ( \{ p _ { j } \} , \{ m _ { k } \} ) ,
\begin{array} { r l } { p _ { s , u | \psi , \xi } ( s , u | \psi , \xi ) } & { = A \cdot s ^ { - 1 - \bar { \alpha } } \cdot u ^ { - 1 - \bar { \gamma } } \cdot \left( \frac { \sin \psi } { \sin \left( \psi - \bar { K } _ { \psi } ( \xi ; \phi ) \right) } \right) ^ { - \bar { \gamma } } \cdot } \\ & { \cdot \Theta \left[ b s ^ { - \bar { \beta } } - \frac { u \sin \psi } { \sin \left( \psi - \bar { K } _ { \psi } ( \xi ; \phi ) \right) } \right] } \end{array}
\hbar \underset { i = 1 } { \overset { r _ { \infty } - 1 } { \sum } } i c _ { \infty , i } ^ { ( \mathbf { v } _ { X _ { s _ { 0 } } , k } ) } q _ { j } ^ { i - 1 } - \underset { s = 1 } { \overset { n } { \sum } } \underset { i = 1 } { \overset { r _ { s } - 1 } { \sum } } i c _ { { X _ { s } } , i } ^ { ( \mathbf { v } _ { X _ { s _ { 0 } } , k } ) } ( q _ { j } - X _ { s } ) ^ { - i - 1 }
\Omega _ { \mu } = - \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \varepsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } \mathrm { T r } \gamma _ { 5 } [ \eta ^ { 4 } \hat { A } _ { \nu } ( \hat { F } _ { \rho \sigma } - \frac { 2 } { 3 } \hat { A } _ { \rho } \hat { A } _ { \sigma } )
\begin{array} { r l } & { \mathcal { V } _ { + } : = \{ v \mid { \boldsymbol p } _ { v } = { \boldsymbol p } _ { + } \} ; } \\ & { \mathcal { V } _ { - } : = \{ v \mid { \boldsymbol p } _ { v } = { \boldsymbol p } _ { - } \} ; } \\ & { \mathcal { V } _ { N + } : = \{ v \mid { \boldsymbol p } _ { v } \in \mathcal { P } _ { N } , y _ { v } = + 1 \} ; } \\ & { \mathcal { V } _ { N - } : = \{ v \mid { \boldsymbol p } _ { v } \in \mathcal { P } _ { N } , y _ { v } = - 1 \} . } \end{array}
\phi \rho _ { p } \frac { \partial v _ { z } } { \partial t } = - \frac { \partial p _ { p } } { \partial z } - \phi ( \rho _ { p } \! - \! \rho _ { f } ) g - \frac { 9 \mu _ { a } \phi v _ { z } } { 2 a ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { R } f ( t ) \Gamma _ { 1 } ( r , t ) \, \mathrm { d } t } & { { } = \beta _ { 2 } \, \frac { h r } { \rho ^ { 3 } } \, , } \\ { \int _ { 0 } ^ { R } g ( t ) \Gamma _ { 2 } ( r , t ) \, \mathrm { d } t } & { { } = \frac { 1 } { \rho } \left( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } \, \left( \frac { h } { \rho } \right) ^ { 2 } \right) \, , } \end{array}
\Xi _ { n } ( \alpha , \zeta ) = \frac { 1 } { ( \alpha ^ { 2 } n ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } + 4 ) } [ 2 \zeta ( n ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } - 4 ) - \frac { 1 } { 2 } ( n ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } + 4 ) ] \ ,
\epsilon _ { a , 0 } ( \beta ) = T \sum _ { b = 1 } ^ { P } { \cal I } _ { a b } ^ { ( P ) } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d \beta ^ { \prime } } { 2 \pi } \frac { P - 1 } { \cosh [ ( P - 1 ) ( \beta - \beta ^ { \prime } ) ] } \ln \left( 1 + e ^ { - \epsilon _ { b , 0 } ( \beta ^ { \prime } ) / T } \right)
\begin{array} { r l } { \frac { ( \mu _ { a } + \sigma _ { a } ) ^ { p } ( \mu _ { b } + \sigma _ { b } ) ^ { p } } { t ( t + \mu _ { a } + \sigma _ { a } ) ^ { p } ( t + \mu _ { b } + \sigma _ { b } ) ^ { p } } = \frac { 1 } { t } } & { { } + \sum _ { k = 1 } ^ { p } \frac { 1 } { ( \mu _ { a } + \sigma _ { a } + t ) ^ { k } } \left[ - ( \mu _ { a } + \sigma _ { a } ) ^ { k - 1 } + ( - 1 ) ^ { p + 1 } ( \mu _ { a } + \sigma _ { a } - \mu _ { b } - \sigma _ { b } ) ^ { k - 2 p } \right. } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l } { u _ { 7 } } & { u _ { 8 } } & { u _ { 9 } } \\ { u _ { 4 } } & { u _ { 5 } } & { u _ { 6 } } \\ { u _ { 1 } } & { u _ { 2 } } & { u _ { 3 } } \end{array} \right] , ~ \left[ \begin{array} { l l l } { v _ { 4 } } & { v _ { 5 } } & { v _ { 6 } } \end{array} \right] , ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \left[ \begin{array} { l l l } { w _ { 4 } } & { w _ { 5 } } & { w _ { 6 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } & { u _ { 1 } \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t \right) = - \cos \left( x _ { 1 } \right) \sin \left( x _ { 2 } \right) { { e } ^ { - 2 t } } } \\ & { u _ { 2 } \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t \right) = \sin \left( x _ { 1 } \right) \cos \left( x _ { 2 } \right) { { e } ^ { - 2 t } } } \\ & { p \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t \right) = - 0 . 2 5 \left( \cos \left( 2 x _ { 1 } \right) + \cos \left( 2 x _ { 2 } \right) \right) { { e } ^ { - 4 t } } } \end{array}
Z = \int \big [ { \frac { ( \Pi _ { i = 0 } ^ { 2 } \mathrm { d e t } \Delta _ { 0 , i } ^ { ( - 1 ) ^ { i } } ) ^ { 2 } ( \Pi _ { i = 0 } ^ { 2 } \mathrm { d e t } \Delta _ { i , 0 } ^ { ( - 1 ) ^ { i } } ) ^ { 2 } } { ( \Pi _ { i = 0 } ^ { 2 } \mathrm { d e t } \Delta _ { i , 1 } ^ { ( - 1 ) ^ { i } } ) ^ { - 1 } ( \Pi _ { i = 0 } ^ { 2 } \mathrm { d e t } \Delta _ { 1 , i } ^ { ( - 1 ) ^ { i } } ) ^ { - 2 } ( \Pi _ { i = 0 } ^ { 2 } \mathrm { d e t } \Delta _ { 0 , i } ^ { ( - 1 ) ^ { i } } ) ^ { 2 } } } \big ] ^ { \frac { 1 } { 4 } } .