harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { C _ { \mathrm { T } } ( \tau ) = \frac { c _ { 0 } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } } { ( 4 \pi \epsilon ) ^ { d / 2 } \, \left[ \left( \frac { b \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } \epsilon } + 1 \right) ^ { 2 } + \left( \frac { b \, \tilde { \omega } _ { d } \, \lvert \tau \rvert } { \epsilon } \right) ^ { 2 } \right] ^ { d / 4 } } \, } \\ & { \quad \quad \times \left[ \cos \left( \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert + \frac { d \phi } { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 \, \tilde { \omega } _ { d } \tilde { \tau } _ { c } } \sin \left( \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert + \frac { d \phi } { 2 } \right) \right] . } \end{array}
\left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { 2 \partial _ { 2 } p = \partial _ { 1 } ^ { 2 } p - 2 p ^ { 2 } q , } } \\ { { 2 \partial _ { 2 } q = - \partial _ { 1 } ^ { 2 } q + 2 p q ^ { 2 } , } } \end{array} \right. \right.
\begin{array} { r l } { 1 \! } & { = \! \| e _ { r } ( t ^ { * } ) \| \! \le \! \| e _ { r } ( 0 ) \| \! + \! \textstyle \int _ { 0 } ^ { t ^ { * } } \! \! \| \dot { e } _ { r } ( s ) \| \! \ \mathrm { d } s \! = \! \| e _ { r } ( 0 ) \| + \textstyle \int _ { 0 } ^ { t ^ { * } } \! \! \| J ( s ) \| \! \ \mathrm { d } s } \\ { \! } & { \le \! \| e _ { r } ( 0 ) \| + \textstyle \int _ { 0 } ^ { t ^ { * } } \kappa _ { 0 } \ \mathrm { d } s < \lambda + \kappa _ { 0 } \omega < 1 , } \end{array}
{ \frac { d y } { d x } } = y \quad \Rightarrow \quad { \frac { d y } { y } } = d x \quad \Rightarrow \quad \int { \frac { 1 } { y } } \, d y = \int 1 \, d x \quad \Rightarrow \quad \int { \frac { 1 } { y } } \, d y = x + C = \ln y + C .
\begin{array} { r l r } { ^ 3 C _ { 1 2 3 } } & { { } = } & { \int \frac { d \k _ { 4 } T _ { 1 2 3 } T _ { 2 4 6 } T _ { 2 3 4 5 } } { ( 2 \pi ) ^ { d } } V _ { 1 4 5 } V _ { 2 { \overline { { 4 } } } 6 } V _ { 3 5 \overline { 6 } } F _ { 4 } F _ { 5 } F _ { 6 } \ . } \end{array}
\Phi = \left( \begin{array} { c } { { \Theta } } \\ { { \chi } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { \Theta } } \\ { { \frac { i E \sigma ^ { 3 } } { k _ { z } - \lambda } \Theta } } \end{array} \right) , \Theta = \left( \begin{array} { c } { { \Theta _ { 1 } } } \\ { { \Theta _ { 2 } } } \end{array} \right)
F _ { i } ( s ) = { \frac { s ^ { m _ { i } } } { \pi } } \int _ { s _ { 0 } } ^ { \infty } \mathrm { d } x \, { \frac { 1 } { x ^ { m _ { i } } } } { \frac { 1 } { x - 4 } } { \frac { 1 } { x - s } } { \frac { \delta A _ { i } ( x ) } { G _ { i } ( x ) } } .
\mathbf { j } \left( t \right) = - \frac { 4 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int _ { \widetilde { B Z } } d \mathbf { k } _ { 0 } \left\{ \mathbf { v } _ { c } \left( \mathbf { k } _ { 0 } + \mathbf { A } \right) \mathcal { N } \left( \mathbf { k } _ { 0 } , t \right) \right.
\hat { H } _ { \mathrm { J C } } = \hat { H } _ { m } + \hat { H } _ { p } + \sqrt { \frac { \omega _ { \mathrm { c } } } { 2 } } \boldsymbol { \lambda } \cdot \mathbf { D } _ { g e } ( \hat { \sigma } \hat { a } ^ { \dag } + \hat { \sigma } ^ { \dag } \hat { a } ) ,
\frac { \mathrm { m a x } [ \Delta \dot { \phi } ] } { m _ { P l } m _ { \phi } } = \frac { \Delta \dot { \phi } ( t = 1 / 3 H _ { * } ) } { m _ { P l } m _ { \phi } } = \frac { N \lambda ^ { 5 / 2 } } { 6 e \pi ^ { 3 } } \, \frac { | \dot { \phi } _ { * } | ^ { 3 / 2 } } { H _ { * } m _ { P l } m _ { \phi } } \ ,
\begin{array} { r l } { J _ { \mathrm { ~ p ~ d ~ e ~ } } ( u ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { k } ; \Theta ) ) = } & { { } \frac { 1 } { n _ { s } n _ { p } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { s } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { p } } ( \| \nabla \cdot \boldsymbol { v } ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } } ^ { ( i ) } ) - f ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } } ^ { ( i ) } ) \| ^ { 2 } } \\ { + } & { { } \| \boldsymbol { v } ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } } ^ { ( i ) } ) + \exp ( \boldsymbol { k } ^ { ( j ) } ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } } ^ { ( i ) } ) ) \odot \nabla p ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } } ^ { ( i ) } ) \| ^ { 2 } ) , } \\ { J _ { \mathrm { ~ b ~ } } ( u ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { k } ; \Theta ) ) = } & { { } \frac { 1 } { n _ { b l } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { b l } } \| p ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } _ { l } } ^ { ( i ) } ) - 1 \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { n _ { b r } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { b r } } \| p ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } _ { r } } ^ { ( i ) } ) \| ^ { 2 } } \\ { + } & { { } \frac { 1 } { n _ { b t } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { b t } } \| \boldsymbol { v } ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } _ { t } } ^ { ( i ) } ) \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { n _ { b b } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { b b } } \| \boldsymbol { v } ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } _ { b } } ^ { ( i ) } ) \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } ( u _ { t } ) } & { = \mathcal { F } ( k u _ { x x } + b _ { u } { x } + c u ) = k \mathcal F ( u _ { x x } ) + b \mathcal F ( u _ { x } ) + c \mathcal F ( u ) } \\ { \frac { d } { d t } \hat { u } ( \omega , t ) } & { = - k \omega ^ { 2 } \hat { u } ( \omega , t ) + i b \omega \hat { u } ( \omega , t ) + \hat { u } ( \omega , t ) } \end{array}
R _ { S D } = { \frac { 1 6 m _ { \tilde { \chi } _ { 1 } } M _ { N } } { \left[ M _ { N } + m _ { \tilde { Z } _ { 1 } } \right] ^ { 2 } } } \lambda ^ { 2 } J ( J + 1 ) \mid A _ { S D } \mid ^ { 2 }
\left< \dot { n } ( t ) \right> = - \frac { 1 } { \Omega } \frac { d } { d t ^ { \prime } } \left. \left\{ \sum _ { k } C _ { k } \left< q ^ { + } ( t ^ { \prime } ) \, Q _ { k } ^ { - } ( t ) \right> + \frac { \delta \omega ^ { 2 } } { 2 } \left< q ( t ) q ( t ^ { \prime } ) + q ( t ^ { \prime } ) q ( t ) \right> \right\} \right| _ { t ^ { \prime } = t } ,
\sum _ { a _ { i } = 1 , 2 } \Gamma _ { 4 } ^ { a _ { 1 } \cdots a _ { 4 } } ( p _ { 1 } , \cdots , p _ { 4 } ) \prod _ { a _ { i } = 2 } e ^ { \sigma p _ { i } ^ { 0 } } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \left\langle w , u _ { t } \right\rangle + \left\langle q w , m ^ { \perp } \right\rangle - \left\langle \nabla \cdot w , \frac { 1 } { 2 } | u | ^ { 2 } + g ( D + b ) \right\rangle } & { { } = 0 , \, \quad \forall w \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } , } \\ { \left\langle \phi , D _ { t } + \nabla \cdot m \right\rangle } & { { } = 0 , \, \forall \phi \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \left\langle \gamma , q D \right\rangle + \left\langle \nabla ^ { \perp } \gamma , u \right\rangle - \left\langle \gamma , f \right\rangle } & { { } = 0 , \, \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle v , m - u D \right\rangle } & { { } = 0 , \, \forall v \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { 1 } ^ { \dagger } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } ( e _ { 1 } + i e _ { 5 } ) , \quad \alpha _ { 2 } ^ { \dagger } = \frac { 1 } { 2 } ( e _ { 2 } + i e _ { 6 } ) , \quad \alpha _ { 3 } ^ { \dagger } = \frac { 1 } { 2 } ( e _ { 3 } + i e _ { 7 } ) } \\ { \alpha _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } ( - e _ { 1 } + i e _ { 5 } ) , \quad \alpha _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } ( - e _ { 2 } + i e _ { 6 } ) , \quad \alpha _ { 3 } = \frac { 1 } { 2 } ( - e _ { 3 } + i e _ { 7 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { n > 0 } \exp ( ( \log 2 - 1 ) 2 ^ { n } u ^ { \beta } + 2 ^ { n } u ^ { \beta } / 4 ) } & { = } & { \sum _ { n > 0 } \exp ( 2 ^ { n } u ^ { \beta } ( \log 2 - 0 . 7 5 ) ) } \\ & { \leq _ { 1 } } & { \sum _ { n > 0 } \exp ( 2 ^ { n + 1 } ( \log 2 - 0 . 7 5 ) ) } \\ & { \leq } & { \sum _ { n > 0 } \exp ( 2 n ( \log 2 - 0 . 7 5 ) ) } \\ & { = } & { C _ { 1 } . } \end{array}
\frac { d \boldsymbol { v } ( \boldsymbol { r } ) } { d t } = \frac { 1 } { \rho ( \boldsymbol { r } ) } \left[ - \nabla p ( \boldsymbol { r } ) + \nabla \cdot \boldsymbol { \pi } ( \boldsymbol { r } ) \right] + \boldsymbol { g } ( \boldsymbol { r } ) \, ,
\frac { d \sigma ( h _ { 1 } h _ { 2 } \to Z ^ { 0 } X ) } { d Q ^ { 2 } \, d Q _ { T } ^ { 2 } \, d y } = \sum _ { j } \sigma _ { 0 , j } W _ { j \bar { \jmath } } ( Q , Q _ { T } , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \, + \, Y ( Q , Q _ { T } , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ,
\begin{array} { r } { \mathbf { X } _ { \perp } = \mathbf { x } _ { \perp } + \boldsymbol { \rho } , \qquad \boldsymbol { \rho } : = \frac { \mathbf { v } \times \mathbf { B } _ { 0 } } { \Omega _ { i , e } B _ { 0 } } , } \end{array}
\frac { 1 } { \sin ( \theta _ { 0 } ) } \partial _ { \varphi } \Big ( \big ( d _ { f } \Psi _ { p } \{ 0 \} [ h ] \big ) ( \theta _ { 0 } , \varphi ) \Big ) = \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 2 } \mathcal { H } h ( \varphi ) .
\begin{array} { r l r } { B _ { g } ^ { 1 } = \left( \vec { \nabla } \times \vec { w } \right) ^ { 1 } } & { { } = } & { - 1 2 \, k \nu \, \frac { x z } { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { 5 / 2 } } , } \\ { B _ { g } ^ { 2 } = \left( \vec { \nabla } \times \vec { w } \right) ^ { 2 } } & { { } = } & { - 1 2 \, k \nu \, \frac { y z } { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { 5 / 2 } } , } \\ { B _ { g } ^ { 3 } = \left( \vec { \nabla } \times \vec { w } \right) ^ { 3 } } & { { } = } & { - 4 \, k \nu \, \frac { 2 z ^ { 2 } - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { 5 / 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } & { \big | M _ { 2 } ( x , k ) - \sum _ { l = - 1 } ^ { p } \mathcal { M } _ { 2 } ^ { ( l ) } ( x ) ( k - 1 ) ^ { l } \big | \leq C | k - 1 | ^ { p + 1 } , \qquad | k - 1 | \leq \frac { 1 } { 2 } , \ k \in \bar { D } _ { 2 } , } \\ & { \big | M _ { 2 } ( x , k ) - \sum _ { l = - 1 } ^ { p } \widetilde { \mathcal { M } } _ { 2 } ^ { ( l ) } ( x ) ( k + 1 ) ^ { l } \big | \leq C | k + 1 | ^ { p + 1 } , \qquad | k + 1 | \leq \frac { 1 } { 2 } , \ k \in \bar { D } _ { 2 } } \end{array} \right. } \end{array}
H = \sum _ { i } { \frac { p _ { i } ^ { 2 } } { 2 } } + \sum _ { i < j } { \frac { m ^ { 2 } - m } { ( s _ { i } - s _ { j } ) ^ { 2 } } } + \sum _ { i } { \frac { B ^ { 2 } s _ { i } ^ { 2 } } { 2 } } .
v _ { t } = - 0 . 2 9 6 4 u v ^ { 2 } - 0 . 2 8 9 1 u ^ { 3 } - 0 . 5 4 5 1 v ^ { 3 } - 0 . 5 7 1 9 u ^ { 2 } v + 0 . 4 9 2 2 v - 0 . 6 4 2 3 u - 0 . 1 3 2 7 u ^ { 2 } v u _ { x } + 0 . 1 2 4 5 u ^ { 3 } u _ { x } - 0 . 3 4 8 0 u ^ { 2 } v u _ { y } + 0 . 2 1 3 3 u ^ { 2 } v v _ { x } + 0 . 0 9 7 1 v ^ { 3 } v _ { y } - 0 . 4 2 8 0 u v ^ { 2 } v _ { y }
\begin{array} { r l } { R ( P _ { X } , P _ { S | X } , D _ { s } , D _ { x } ) } & { \triangleq \operatorname* { m i n } _ { P _ { \hat { S } , \hat { X } | X } } I ( X ; \hat { S } \hat { X } ) , } \\ { \mathrm { s . t . } \qquad \mathbb { E } [ \hat { d } _ { S } ( X , \hat { S } ) ] } & { \leq D _ { s } , } \\ { \mathbb { E } [ d _ { X } ( X , \hat { X } ) ] } & { \leq D _ { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nu _ { \mu } \rightarrow \nu _ { \tau } , ~ ~ ~ \overline { { \nu } } _ { \mu } \rightarrow \overline { { \nu } } _ { \tau } } \\ & { \nu _ { \mu } \rightarrow \nu _ { e } , ~ ~ ~ \overline { { \nu } } _ { \mu } \rightarrow \overline { { \nu } } _ { e } } \\ & { \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { \tau } , ~ ~ ~ \overline { { \nu } } _ { e } \rightarrow \overline { { \nu } } _ { \tau } } \\ & { \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { \mu } , ~ ~ ~ \overline { { \nu } } _ { e } \rightarrow \overline { { \nu } } _ { \mu } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | ( N L ) J ( s ~ s _ { 3 } ) S ; } & { { } \mathcal { J } \mathcal { M } \rangle | i _ { 1 } m _ { i _ { 1 } } \rangle | i _ { 2 } m _ { i _ { 2 } } \rangle | i _ { 3 } m _ { i _ { 3 } } \rangle . } \end{array}
j ^ { 0 } = - \frac { J ^ { 0 } } { | \psi | ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } i \partial _ { \tau } \ln \left( \frac { \psi } { \psi ^ { * } } \right) + \varphi \ \ , \ \ \vec { j } = - \frac { \vec { J } } { | \psi | ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 2 } i \vec { \partial } \ln \left( \frac { \psi } { \psi ^ { * } } \right) + \vec { a } .
\Omega _ { 0 } \, = \, \left( \begin{array} { l } { { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } } \\ { { { \bf 0 } } } \\ { { - { \frac { \mathrm { i } } { \sqrt { 2 } } } } } \\ { { { \bf 0 } } } \end{array} \right) \qquad { \hat { \Omega } } \, = \, \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { Y ^ { I } } } \\ { { 0 } } \\ { { F _ { J } } } \end{array} \right) \qquad \Omega _ { 3 } \, = \, \left( \begin{array} { l } { { { \hat { Y } } _ { 0 } } } \\ { { { \bf 0 } } } \\ { { { \hat { F } } _ { 0 } } } \\ { { { \bf 0 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \textrm { G R S } _ { k + \Delta - r } ( \Omega _ { \alpha } \cup \Omega _ { \beta } ) = \{ u _ { 1 } h ( \alpha _ { 1 } ) , \ldots , u _ { \Delta } h ( \alpha _ { \Delta } ) , v _ { 1 } h ( \beta _ { 1 } ) , } \\ & { \ldots , v _ { k } h ( \beta _ { k } ) ) | h \in \mathbb { F } _ { q ^ { s } } [ \xi ] , \deg ( h ) < k + \Delta - r = k - t \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \big | e ^ { z ^ { 3 } p _ { e } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) } - e _ { 3 1 , N } ( t , z ) \big | \leq C | z ^ { 3 } p _ { e , e r r } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) | + C \bigg | \sum _ { j = N + 1 } ^ { \infty } \frac { ( z ^ { 3 } p _ { e , N } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) ) ^ { j } } { j ! } \bigg | } \\ & { \leq C | z | ^ { 3 } | z t ^ { - 1 / 3 } | ^ { N + 1 } + C | z ^ { 3 } p _ { e , N } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) | ^ { N + 1 } e ^ { | z ^ { 3 } p _ { e , N } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) | } } \\ & { \leq C | z | ^ { 3 } | z t ^ { - 1 / 3 } | ^ { N + 1 } + C | z | ^ { 3 ( N + 1 ) } | z t ^ { - 1 / 3 } | ^ { 2 ( N + 1 ) } , \qquad t \geq 1 , \ | z | \leq t ^ { \delta } . } \end{array}
\mathcal { I F } _ { i } ^ { ( 2 ) } ( y _ { i } , R _ { n , \beta } \left( 0 , \sigma ^ { 2 } , 0 , 1 \right) , \underline { { F } } _ { \left( 0 , \sigma ^ { 2 } , 0 , 1 \right) } ) = \frac { \exp \left\{ - \beta \frac { ( y _ { i } - i ) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right\} \left( \frac { ( y _ { i } - i ) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } - 1 \right) ^ { 2 } } { 2 \left( \frac { 2 \beta ^ { 2 } + 1 } { 2 ( 2 \beta + 1 ) ^ { 5 / 2 } } - \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 ( \beta + 1 ) ^ { 3 } } \right) } \frac { 3 i ^ { 2 } } { ( 2 n + 1 ) ( n ^ { 2 } - 1 ) } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \delta F _ { \lambda } \ensuremath { [ n ] } } { \delta n ( \mathbf { r } ) } } & { { } = \frac { \delta T _ { \mathrm { ~ s ~ } } \ensuremath { [ n ] } } { \delta n ( \mathbf { r } ) } + \lambda \frac { \delta E _ { \mathrm { ~ H ~ } } \ensuremath { [ n ] } } { \delta n ( \mathbf { r } ) } + \lambda \frac { \delta E _ { \mathrm { ~ x ~ } } \ensuremath { [ n ] } } { \delta n ( \mathbf { r } ) } + \frac { \delta E _ { \mathrm { ~ c ~ } , \lambda } \ensuremath { [ n ] } } { \delta n ( \mathbf { r } ) } , } \\ { - v _ { \lambda } ( \mathbf { r } ) } & { { } = - v _ { \mathrm { ~ s ~ } } ( \mathbf { r } ) + \lambda v _ { \mathrm { ~ H ~ } } ( \mathbf { r } ) + \lambda v _ { \mathrm { ~ x ~ } } ( \mathbf { r } ) + v _ { \mathrm { ~ c ~ } , \lambda } ( \mathbf { r } ) . } \end{array}
\chi ^ { ( 2 ) } = \frac { \partial ^ { 2 } P } { \partial E ^ { 2 } } = - \frac { \partial ^ { 2 } E } { \partial P ^ { 2 } } \left( \frac { \partial P } { \partial E } \right) ^ { 3 } = - 6 \beta P ( \chi ^ { ( 1 ) } ) ^ { 3 }
\begin{array} { r l } { H ( R ) } & { = H ( \theta ( [ T , o ] ) , D ( [ T , o ] ) ) \leq H ( \theta ( [ T , o ] ) , D ( [ T , o ] ) , X ) } \\ & { = H ( X ) + H ( \theta ( [ T , o ] ) , D ( [ T , o ] ) | X ) } \\ & { = H ( X ) + H ( \theta ( [ T , o ] ) , D ( [ T , o ] ) | X = 1 ) \mathbb { P } \left( X = 1 \right) } \\ & { \qquad + H ( \theta ( [ T , o ] ) , D ( [ T , o ] ) | X = 2 ) \mathbb { P } \left( X = 2 \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( 0 ) } & { { } = R ( 0 ) , } \\ { f ^ { \prime } ( 0 ) } & { { } = R ^ { \prime } ( 0 ) , } \\ { f ^ { \prime \prime } ( 0 ) } & { { } = R ^ { \prime \prime } ( 0 ) , } \\ { f ^ { ( m + n ) } ( 0 ) } & { { } = R ^ { ( m + n ) } ( 0 ) . } \end{array}
[ b _ { r } , b _ { r ^ { \prime } } ^ { \dagger } ] = \delta _ { r r ^ { \prime } } , ~ ~ ~ [ d _ { s } , d _ { s ^ { \prime } } ^ { \dagger } ] = \delta _ { s s ^ { \prime } } , ~ ~ ~ [ x ^ { \dagger } , p ] = [ x , p ^ { \dagger } ] = i , ~ ~ ~ \mathrm { o t h e r s ~ v a n i s h } .
\begin{array} { r l } { \| w _ { i } \| _ { L ^ { q _ { 0 } + h - 1 } ( \mathbb { T } ^ { d } ) } ^ { q _ { 0 } } } & { = \big \| | w _ { i } | ^ { q _ { 0 } / 2 } \big \| _ { L ^ { \frac { 2 ( d + 2 ) } { d } } } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \big \| | w _ { i } | ^ { q _ { 0 } / 2 } \big \| _ { H ^ { \theta } } ^ { 2 } } \\ & { \leq \big \| | w _ { i } | ^ { q _ { 0 } / 2 } \big \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 ( 1 - \theta ) } \big \| | w _ { i } | ^ { q _ { 0 } / 2 } \big \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 \theta } } \\ & { \lesssim \| w _ { i } \| _ { L ^ { q _ { 0 } } } ^ { q _ { 0 } } + \| w _ { i } \| _ { L ^ { q _ { 0 } } } ^ { q _ { 0 } ( 1 - \theta ) } \big ( \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } | w _ { i } | ^ { q _ { 0 } - 2 } | \nabla w _ { i } | ^ { 2 } \, d x \big ) ^ { 2 \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \gamma _ { A D } } { \omega _ { 0 , R } } = - \frac { 1 } { 4 } \frac { \nu b _ { \theta 0 } \hat { s } ^ { 2 } } { \sqrt { - \Gamma _ { l } \Gamma _ { u } } } \sim O ( 1 0 ^ { - 2 } - 1 0 ^ { - 1 } ) , } \end{array}
{ \frac { d G } { d t } } = 2 T + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \mathbf { F } _ { k } \cdot \mathbf { r } _ { k } = 2 T - \sum _ { k = 2 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } { \frac { d V } { d r } } r _ { j k } .
P ( \overline { { \Delta t } } | \vartheta ) \propto \mathbf { P } _ { \mathrm { i n } } \mathbb { Q } _ { 1 } ^ { \mathrm { n o n } } . . . \mathbb { Q } _ { k } ^ { \mathrm { r a d } } . . . { \mathbb { Q } } _ { N } ^ { \mathrm { n o n } } \, \mathbf { P } _ { \mathrm { n o r m } } ^ { T } .
\mathrm { R H S } \leq \varepsilon \left( \lVert \gamma \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } \rVert _ { L ^ { 1 } ( Q _ { T } ) } + \lVert \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } \rVert _ { L ^ { 1 } ( Q _ { T } ) } + \lVert g _ { 0 } \left( \tilde { u } _ { n } - \frac { 1 } { n } \right) \rVert _ { L ^ { 1 } ( Q _ { T } ) } \right)
\begin{array} { r } { \mathcal { \widetilde { A } } \= - \frac 1 2 \, f \, \cos 2 ( \psi { - } \psi _ { 0 } ) \, e ^ { 0 } \qquad \mathrm { a n d } \qquad \mathcal { \widetilde { F } } \= f \, \bigl \{ \sin 2 ( \psi { - } \psi _ { 0 } ) \, e ^ { \psi } \wedge e ^ { 0 } - \cos 2 ( \psi { - } \psi _ { 0 } ) \, e ^ { 1 } \wedge e ^ { 2 } \big \} \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta { g } _ { \mathrm { p o i n t } } ^ { \mathrm { l e p t . } } ( 1 s ) = \ } & { { } \frac { \alpha } { \pi } \left[ - \frac { 1 6 s ^ { 2 } ( Z \alpha ) ^ { 4 } } { 1 5 } + \frac { 5 \pi s ^ { 3 } ( Z \alpha ) ^ { 5 } } { 9 } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { ~ \exists ~ a ~ p a t h ~ i n ~ { \mathcal ~ G } _ { n , 2 } ~ f r o m ~ u ~ t o ~ s o m e ~ v e r t e x ~ i n ~ { \mathcal ~ C } _ \mathrm { b b } ( n , k _ n ) ~ , ~ w i t h ~ a l l } } \\ & { \mathrm { v e r t i c e s ~ ( e x c e p t ~ u ~ ) ~ h a v i n g ~ m a r k ~ i n ~ { \mathbb ~ R } ^ + \setminus [ m _ w , ~ 2 m _ w ) ~ } } \end{array}
\frac { 1 } { 3 8 6 } \sum ( a - b ) ^ { 2 } ( 3 0 8 8 a ^ { 6 } b ^ { 3 } + 3 3 9 6 a ^ { 5 } b ^ { 4 } + 2 5 5 7 8 a ^ { 5 } b ^ { 3 } c + 3 3 9 6 a ^ { 4 } b ^ { 4 } c + 3 0 8 8 a ^ { 3 } b ^ { 6 } + 2 5 5 7 8 a ^ { 3 } b ^ { 5 } c + 5 1 9 6 a c ^ { 6 } ( a - b ) ^ { 2 } + 4 1 b ^ { 2 } c ( c - a ) ^ { 4 } ( a - b ) ^ { 2 } + 5 1 9 6 b c ^ { 6 } ( a - b ) ^ { 2 } + 4 1 b c ^ { 2 } ( c - a ) ^ { 4 } ( a - b ) ^ { 2 } + 7 0 8 c ^ { 7 } ( a - b ) ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 3 8 6 } \sum a ( a ^ { 2 } - b c ) ( 6 4 8 4 a ^ { 3 } b ^ { 2 } c + 6 4 8 4 a ^ { 3 } b c ^ { 2 } + 1 0 8 8 a b ( b - c ) ^ { 4 } + 1 0 8 8 a c ( b - c ) ^ { 4 } + 1 5 9 ( b - c ) ^ { 6 } ) + \frac { 1 2 9 0 } { 1 9 3 } \sum a ( a ^ { 3 } - b c ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( b - c ) ^ { 4 } + \frac { 1 2 9 0 } { 1 9 3 } \sum a ( a ^ { 3 } - b ^ { 2 } c ) ^ { 2 } ( b - c ) ^ { 4 } \ge 0
\begin{array} { r l } { | \langle \sum _ { 1 \leq j < k \leq n } \mathfrak { R } ( \partial _ { j } , \partial _ { k } ) ( u ) , u \rangle | } & { \leq \int _ { \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } } | \langle \sum _ { j < k } \mathfrak { R } _ { t } ( \partial _ { j } , \partial _ { k } ) ( u _ { t } ) , u _ { t } \rangle | \mathrm { d } t } \\ & { \leq \int _ { \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } } | | \sum _ { j < k } \mathfrak { R } _ { t } ( \partial _ { j } , \partial _ { k } ) | | _ { 0 , 0 ; t } | | u _ { t } | | _ { 0 ; t } ^ { 2 } \mathrm { d } t } \\ & { \leq \int _ { \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } } | | \sum _ { j < k } \mathfrak { R } _ { t } ( \partial _ { j } , \partial _ { k } ) | | _ { \mathrm { o p } , t } | | u _ { t } | | _ { 1 ; t } ^ { 2 } \mathrm { d } t } \\ & { \leq \int _ { \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } } d ^ { 2 } / 2 \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } | | ( \partial _ { j } h ) ^ { \mathrm { o p } } | | _ { \mathrm { o p } , t } \right) ^ { 2 } | | u | | _ { 1 ; t } ^ { 2 } \mathrm { d } t } \\ & { < \int _ { \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } } 1 / 6 4 \cdot 4 ^ { - ( d + 1 ) } \cdot d ^ { 2 } / 2 \cdot \mathrm { l o w } ( t ) ^ { 2 } | | u _ { t } | | _ { 1 ; t } ^ { 2 } \mathrm { d } t } \\ & { < \int _ { \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } } 1 / 3 2 \mathrm { l o w } ( t ) ^ { 2 } | | u _ { t } | | _ { 1 ; t } ^ { 2 } \mathrm { d } t . } \end{array}
\left[ \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 } + \left( \Omega - 1 - \frac { 3 } { 8 } \beta A ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right] = \frac { \hat { F } _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 A ^ { 2 } }
\delta _ { j _ { 1 } , 0 } \delta _ { j _ { 2 } , 0 } = \int _ { 0 } ^ { \frac { 2 \pi } { l } } d k \int _ { 0 } ^ { l } d q e ^ { - i j _ { 1 } l k + i j _ { 2 } l \tau _ { 2 } q } | \tilde { c } ( k , q ) | ^ { 2 } | C _ { 0 } ( k , q ) | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { B } ^ { 2 } ( z ) } & { = \frac { 1 } { ( 2 \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left( ( 2 - \frac { 2 \left( ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) ^ { T } z \right) ^ { 3 } + 3 ( 2 \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) \| z \| ^ { 2 } ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) ^ { T } z } { \left( \left( ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) ^ { T } z \right) ^ { 2 } + ( 2 \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) \| z \| ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) ^ { T } } \\ & { \quad - \frac { \| z \| ^ { 2 } \left( ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) z ^ { T } + z ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) ^ { T } \right) } { \left( \left( ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) ^ { T } z \right) ^ { 2 } + ( 2 \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) \| z \| ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } + \frac { ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) ^ { T } z z z ^ { T } } { \left( \left( ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) ^ { T } z \right) ^ { 2 } + ( 2 \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) \| z \| ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } \\ & { \quad + \left( \frac { 1 } { 2 \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } } - \frac { ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) ^ { T } z } { ( 2 \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) \sqrt { \left( ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) ^ { T } z \right) ^ { 2 } + ( 2 \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) \| z \| ^ { 2 } } } \right) I \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \sqrt { ( [ D ^ { ( \gamma } , \bar { D } _ { ( \dot { \gamma } } ] { \mathcal J } ^ { \delta ) } _ { \dot { \delta } ) } ) [ D _ { ( \gamma } , \bar { D } ^ { ( \dot { \gamma } } ] { \mathcal J } _ { \delta ) } ^ { \dot { \delta } ) } } } \Big | _ { \theta = 0 } = \sqrt { \hat { T } ^ { \mu \nu } \hat { T } _ { \mu \nu } } + \cdots ~ . } \end{array}
\Pi _ { a b } ^ { \mu \nu } ( n ) = \Pi _ { a b } ^ { \mu \nu } ( n | n - 1 ) \times \overline { { \Pi _ { a b } ^ { \mu \nu } ( n - 1 | n - 2 ) } } \times . . . . . . . \times \overline { { \Pi _ { a b } ^ { \mu \nu } ( 2 | 1 ) } } \overline { { \Pi _ { a b } ^ { \mu \nu } ( 1 ) } } ,