harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
x ^ { i } = x _ { 0 } ^ { i } + \pi ^ { i } \frac 1 { H _ { D } - e A _ { 0 } } t - \frac 1 4 \alpha _ { 0 } ^ { i } e ^ { - 2 i ( H _ { D } - e A _ { 0 } ) t } \frac 1 { ( H _ { D } - e A _ { 0 } ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \left| B _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 1 ( 3 ) } \right| } & { = \left| B _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 1 ( 3 ) } \cap \left( \frac { 2 n } { 5 } , \frac { n } { 2 } \right] \right| + \left| B _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 1 ( 3 ) } \cap \left[ \frac { 2 n } { 5 } \right] \right| } \\ & { \leqslant \frac { n } { 1 8 } + 2 - \frac { \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } { 6 } + \frac { n } { 1 5 } + 2 - \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| } { 5 } } \\ & { \leqslant \frac { 1 1 n } { 9 0 } + 4 - \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| } { 5 } - \frac { \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } { 6 } . } \end{array}
R ^ { \, \prime } ( u , v ) ~ = ~ ( g ( u ) \otimes g ( v ) ) \biggl ( R ( u , v ) \, - \, \sum _ { j = 1 } ^ { r } \, A _ { j } ( u ) \otimes H _ { j } \biggr ) ( g ^ { - 1 } ( u ) \otimes g ^ { - 1 } ( v ) ) ~ .
\begin{array} { r l } { \hat { l } _ { - } \Psi _ { n } ^ { 0 } = } & { { } \hbar \mathrm { e } ^ { - i \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n + 1 ) ! } } \sqrt { n + 1 } \mathrm { e } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \vec { r } } & { = \langle \sin \theta \cos \phi , \sin \theta \sin \phi , \cos \theta \rangle \, d r + \langle r \cos \theta \cos \phi , r \cos \theta \sin \phi , - r \sin \theta \rangle \, d \theta } \\ & { \quad + \langle - r \sin \theta \sin \phi , r \sin \theta \cos \phi , 0 \rangle \, d \phi } \\ & { = \langle \sin \theta \cos \phi , \sin \theta \sin \phi , \cos \theta \rangle \, d r + \langle \cos \theta \cos \phi , \cos \theta \sin \phi , - \sin \theta \rangle \, r d \theta } \\ & { \quad + \langle - \sin \phi , \cos \phi , 0 \rangle \, r \sin \theta d \phi } \\ & { = \hat { r } d r + \hat { \theta } r d \theta + \hat { \phi } r \sin \theta d \phi } \end{array}
\omega _ { \nu } ^ { 2 } \eta _ { \nu \rho } + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } \left( \eta _ { k \rho } \delta _ { 0 \nu } + \eta _ { 0 \rho } \delta _ { k \nu } \right) = \eta _ { \nu \rho } \Omega _ { \rho } ^ { 2 } \; .
\begin{array} { r } { \hat { B } ( \mathbf x ) = \exp { \bigg ( - \tau \hat { H } _ { 1 } + i \sqrt { \tau } \sum _ { \mathbf q } \sum _ { g } x _ { \mathbf q g } \hat { \mathfrak L } _ { \mathbf q g } } \bigg ) , } \end{array}
( f \star g ) ( \tilde { \bf r } ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \sum _ { P ^ { \prime } , P ^ { \prime \prime } } \int _ { - \pi } ^ { + \pi } d \theta ^ { \prime } d \theta ^ { \prime \prime } e ^ { [ - 2 i A ( \tilde { \bf r } , \tilde { \bf r } ^ { \prime } , \tilde { \bf r } ^ { \prime \prime } ) ] } f ( \tilde { \bf r } ^ { \prime } ) g ( \tilde { \bf r ^ { \prime \prime } } )
\begin{array} { r l } { \phi _ { R } ^ { ( l ) } = \phi _ { L } ^ { ( l + 1 ) } \approx } & { \underbracket { \frac { 1 } { 2 } c _ { 0 , l } v _ { l M } + \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { n b } } c _ { j , l } ^ { - } v _ { l M - j } } _ { \textup { s t o r e d i n l e f t p r o c e s s o r } } + \underbracket { \frac { 1 } { 2 } c _ { 0 , l } v _ { l M } + \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { n b } } c _ { j , l } ^ { + } v _ { l M + j } } _ { \textup { s t o r e d i n r i g h t p r o c e s s o r } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \varphi _ { k } ^ { i } \right) _ { * } ( a ) = } & { + \left[ 0 , 2 ^ { i } , 2 ^ { 2 k - i - 1 } + 2 ^ { i } \right] - \left[ 0 , 2 ^ { 2 k - i - 1 } , 2 ^ { 2 k - i - 1 } + 2 ^ { i } \right] + } \\ & { + \left[ 2 ^ { 2 k - i - 1 } , 2 ^ { 2 k - i - 1 } + 2 ^ { i } , 2 ^ { 2 k - i } + 2 ^ { i } \right] - \left[ 2 ^ { 2 k - i - 1 } , 2 ^ { 2 k - i } , 2 ^ { 2 k - i } + 2 ^ { i } \right] } \\ { = } & { + \left[ 0 , 2 ^ { i } , 2 ^ { 2 k - i - 1 } + 2 ^ { i } \right] - \left[ 0 , 2 ^ { 2 k - i - 1 } , 2 ^ { 2 k - i - 1 } + 2 ^ { i } \right] + } \\ & { + \left[ 2 ^ { i } , 2 ^ { i + 1 } , 2 ^ { 2 k - i - 1 } + 2 ^ { i + 1 } \right] - \left[ 2 ^ { i } , 2 ^ { 2 k - i - 1 } + 2 ^ { i } , 2 ^ { 2 k - i - 1 } + 2 ^ { i + 1 } \right] } \\ { = } & { \left( \varphi _ { k } ^ { i + 1 } \right) _ { * } ( b ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \Delta \left< r _ { s } ^ { 2 } \right> } { \left< r _ { s } ^ { 2 } \right> } } & { \supset } & { - \frac { 3 \times ( 0 . 0 6 ) \, \kappa _ { s } } { m _ { \mathrm { n u c l e o n } } ^ { 2 } \left< r _ { s } ^ { 2 } \right> } \frac { \Delta m _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { \pi } ^ { 2 } } } \\ & { \simeq } & { 2 \times 1 0 ^ { - 3 } \, \frac { \Delta m _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { \pi } ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \widehat { V } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ } _ { k } } \right] = } & { { } V _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ } } \frac { N } { m } \mathbb { E } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { m / N } \left( \frac { { B _ { k } } _ { i } - \mathbb { E } ( q _ { B _ { k } } ) } { \sqrt { V _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ } } } } \right) ^ { 2 } \right] } \\ { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } \left[ \widehat { V } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ } _ { k } } \right] = } & { { } V _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ } } ^ { 2 } \left( \frac { N } { m } \right) ^ { 2 } \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { m / N } \left( \frac { { B _ { k } } _ { i } - \mathbb { E } ( q _ { B _ { k } } ) } { \sqrt { V _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ } } } } \right) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { S } } = } & { { } \int _ { V } \mathrm { d } \mathbf { { \boldsymbol { r } } } \frac { \sum _ { i } \big \langle \vert { { \boldsymbol { J } } } _ { i } ^ { \mathrm { d } } ( { \boldsymbol { r } } , t ) \vert ^ { 2 } \big \rangle } { \epsilon } + } \end{array}
\nu _ { \mathrm { { K } } } = \frac { 7 } { 5 } \beta = \frac { 7 } { 1 5 } \left[ { I \{ { G _ { b b } , Q _ { u u } } \} + I \{ { G _ { u u } , Q _ { b b } } \} - I \{ { G _ { b u } , Q _ { u b } } \} - I \{ { G _ { u b } , Q _ { b u } } \} } \right] ,
i \left\langle \dot { \hat { c } } _ { m } \right\rangle = m \omega _ { B } \left\langle \hat { c } _ { m } \right\rangle + \frac { V } { \left( 1 + \beta \left\langle \hat { N } _ { \mathrm { e f f } } \right\rangle / N \right) ^ { 2 } } \sum _ { m , n } J _ { m , n } \left\langle \hat { c } _ { n } \right\rangle ,
f _ { B M / \Sigma ^ { + } } ( y , k _ { \perp } ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \frac { m _ { \Sigma ^ { + } } m _ { B } } { y ( 1 - y ) } \frac { \vert V _ { I M F } \vert ^ { 2 } } { [ m _ { \Sigma ^ { + } } ^ { 2 } - M _ { B M } ^ { 2 } ( y , k _ { \perp } ^ { 2 } ) ] ^ { 2 } } .
C _ { n , n ^ { \prime } } = \sum _ { m = 1 } ^ { 9 } \frac { ( A _ { 3 \times 9 } ) _ { n , m } ( A _ { 9 \times 3 } ) _ { m , n ^ { \prime } } } { ( { \cal M } _ { D } ) _ { m + 3 , m + 3 } } .
\begin{array} { r l } & { \mathbb E [ A _ { n } ( \tau ) ] = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - t } A _ { n } ( t ) \ensuremath { \mathrm { d } } t } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - t } \Bigg | \int _ { T _ { n } ( t ) } \prod _ { j = 1 } ^ { n } ( s _ { j + 1 } - s _ { j } ) ^ { \beta + \gamma - 1 } E _ { \beta , \beta + \gamma } \left( - 2 ^ { - 1 } \nu ( s _ { j + 1 } - s _ { j } ) ^ { \beta } | \eta _ { j } | ^ { \alpha } \right) \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { s } \Bigg | ^ { 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } t \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \eta _ { j } | ^ { 1 - 2 H } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \eta } \\ & { \ge \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } \Bigg | \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - t } \int _ { T _ { n } ( t ) } \prod _ { j = 1 } ^ { n } ( s _ { j + 1 } - s _ { j } ) ^ { \beta + \gamma - 1 } E _ { \beta , \beta + \gamma } \left( - 2 ^ { - 1 } \nu ( s _ { j + 1 } - s _ { j } ) ^ { \beta } | \eta _ { j } | ^ { \alpha } \right) \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { s } \ensuremath { \mathrm { d } } t \Bigg | ^ { 2 } \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \eta _ { j } | ^ { 1 - 2 H } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \eta } \\ & { \ge \int _ { \left( 0 , ( 2 / \nu ) ^ { 1 / \alpha } \right) ^ { n } } \Bigg | \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - t } \int _ { T _ { n } ( t ) } \prod _ { j = 1 } ^ { n } ( s _ { j + 1 } - s _ { j } ) ^ { \beta + \gamma - 1 } E _ { \beta , \beta + \gamma } \left( - 2 ^ { - 1 } \nu ( s _ { j + 1 } - s _ { j } ) ^ { \beta } | \eta _ { j } | ^ { \alpha } \right) \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { s } \ensuremath { \mathrm { d } } t \Bigg | ^ { 2 } } \\ & { \quad \times \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \eta _ { j } | ^ { 1 - 2 H } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \eta . } \end{array}
\hat { \tau } _ { m } ( \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } \in D _ { m } } \frac { h _ { m } } { 2 | \mathbf { a } ( \mathbf { x } , \omega ) | } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } \in D _ { m } } \mathrm { P e } ( \mathbf { x } , \omega ) \geq 1 , } \\ { \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } \in D _ { m } } \frac { h _ { m } ^ { 2 } } { 1 2 \kappa ( \mathbf { x } , \omega ) } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } \in D _ { m } } \mathrm { P e } ( \mathbf { x } , \omega ) < 1 . } \end{array} \right.
\delta _ { \nu _ { 1 } \dots \nu _ { p } } ^ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p } } = \sum _ { \sigma \in \mathrm { S } _ { p } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) \, \delta _ { \nu _ { \sigma ( 1 ) } } ^ { \mu _ { 1 } } \cdots \delta _ { \nu _ { \sigma ( p ) } } ^ { \mu _ { p } } = \sum _ { \sigma \in \mathrm { S } _ { p } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) \, \delta _ { \nu _ { 1 } } ^ { \mu _ { \sigma ( 1 ) } } \cdots \delta _ { \nu _ { p } } ^ { \mu _ { \sigma ( p ) } } .
\frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( { \mathcal E } _ { T } ^ { ( k ) } - \frac { 1 } { K } \sum _ { s = 1 } ^ { K } { \mathcal E } _ { T } ^ { ( s ) } \right) ^ { 2 } \le \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( \frac { K - 1 } { K } \right) ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } = \left( \frac { K - 1 } { K } \right) ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } ,
\boldsymbol { X } = \left[ \begin{array} { l l l l } { | } & { | } & { } & { | } \\ { \boldsymbol { S } _ { \boldsymbol { \theta } , 1 } } & { \boldsymbol { S } _ { \boldsymbol { \theta } , 2 } } & { . . . } & { \boldsymbol { S } _ { \boldsymbol { \theta } , m } } \\ { | } & { | } & { } & { | } \\ { | } & { | } & { } & { | } \\ { \boldsymbol { S } _ { \boldsymbol { \dot { \theta } } , 1 } } & { \boldsymbol { S } _ { \boldsymbol { \dot { \theta } } , 2 } } & { . . . } & { \boldsymbol { S } _ { \boldsymbol { \dot { \theta } } , m } } \\ { | } & { | } & { } & { | } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { S _ { \alpha \beta } } & { { } = \langle \chi _ { \alpha } | \chi _ { \beta } \rangle } \\ { H _ { \alpha \beta } } & { { } = \langle \chi _ { \alpha } | - \frac 1 2 \Delta + V _ { \mathrm { t o t } } | \chi _ { \beta } \rangle } \\ { K _ { i \alpha \beta } ^ { + } } & { { } = \langle \chi _ { \alpha } | V _ { \mathrm { t o t } } G _ { 0 } ( + \omega + i \eta + \varepsilon _ { i } ) | \chi _ { \beta } \rangle } \\ { g _ { i \alpha } [ a , b ] } & { { } = \langle \chi _ { \alpha } | f _ { \mathrm { H X C } } \delta \rho [ a , b ] | \psi _ { i } \rangle } \\ { h _ { i \alpha } } & { { } = \langle \chi _ { \alpha } | \delta V _ { \mathcal P } | \psi _ { i } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big ( [ \mathrm { A } ] + \Delta ( [ \mathrm { A } ] ) \Big ) \Big ( \hat { \rho } _ { \mathrm { A } } + \Delta ( \hat { \rho } _ { \mathrm { A } } ) \Big ) - [ \mathrm { A } ] \hat { \rho } _ { \mathrm { A } } } & { { } = \Delta ( [ \mathrm { A } ] \hat { \rho } _ { \mathrm { A } } ) ; } \\ { \Big ( [ \mathrm { A B } ] + \Delta ( [ \mathrm { A B } ] ) \Big ) \Big ( \hat { \rho } _ { \mathrm { A B } } + \Delta ( \hat { \rho } _ { \mathrm { A B } } ) \Big ) - [ \mathrm { A B } ] \hat { \rho } _ { \mathrm { A B } } } & { { } = \Delta ( [ \mathrm { A B } ] \hat { \rho } _ { \mathrm { A B } } ) . } \end{array}
\overline { { { U } } } _ { W } ( T ) = \frac { \Delta n ^ { 2 } } { \pi a } \left( - \frac { 1 } { 9 6 } + \frac { \zeta ( 3 ) } { 4 \pi ^ { 2 } } t ^ { 3 } - \frac { 1 } { 3 0 } t ^ { 4 } + \frac { 8 } { 5 6 7 } t ^ { 6 } - \frac { 8 } { 1 1 2 5 } t ^ { 8 } + { \cal O } ( t ^ { 1 0 } ) \right) { . }
\begin{array} { r l } { \langle \psi , \, \tilde { K } _ { \delta } \psi \rangle } & { \leq \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } d y \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 d } } d u \, d v \, \overline { { \psi } } ( u + v / 2 ) \, f ( \sqrt { \delta } \, v ) \mathfrak { K } _ { 0 } \big ( u + F ( \delta \, y ) \, , \, v \big ) \, \times } \\ & { \qquad \qquad \times \left( \frac { \delta } { 4 \pi } \right) ^ { d / 2 } \, e ^ { - \delta \frac { | u - y | ^ { 2 } } { 4 } } \, { \psi } ( u - v / 2 ) + C \, \delta \, \Vert \psi \Vert ^ { 2 } , \quad 0 < \delta \leq 1 . } \end{array}
H _ { D } = \int { d ^ { 3 } \sigma \Big [ - A _ { \tau } ( \tau , \vec { \sigma } ) \Gamma ^ { \ast } ( \tau , \vec { \sigma } ) + \lambda ^ { \mu } ( \tau , \vec { \sigma } ) { \cal H } _ { \mu } ^ { \ast } ( \tau , \vec { \sigma } ) + \mu _ { \tau } ( \tau , \vec { \sigma } ) \pi ^ { \tau } ( \tau , \vec { \sigma } ) \Big ] }
\begin{array} { r l r } { 2 G ^ { + , f } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) } & { = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } F ^ { + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) R ( { \bf x } _ { F } , { \bf x } _ { S } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + \bar { F } ^ { - * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) , } \\ { 2 G ^ { - , f } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) } & { = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } F ^ { - } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) R ( { \bf x } _ { F } , { \bf x } _ { S } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + \bar { F } ^ { + * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) , } \end{array}
\bar { \mathcal { M } } : = \frac { \mathcal { M } } { L } = \frac { \int _ { 0 } ^ { L } { \frac { H ^ { 2 } ( y ) } { g ( H ( y ) ) } d y } } { \int _ { 0 } ^ { L } { \frac { d y } { g ( H ( y ) ) } } } .
\omega ^ { \ast } = g + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \operatorname* { l i m } _ { \omega \to g } \partial _ { \omega } ^ { n - 1 } \left( \frac { \omega - g } { \operatorname { s i n c } ( 2 \pi \omega / g ) } \right) ^ { n } \frac { z ^ { n } } { n ! } = g ( 1 + z + z ^ { 2 } + \mathcal O ( z ^ { 3 } ) ) ,
\Psi = \frac { \displaystyle N } { \frac { \displaystyle \mathrm { \bf q } _ { T } ^ { 2 } + m _ { 1 } ^ { 2 } } { \displaystyle \xi } + \frac { \displaystyle \mathrm { \bf q } _ { T } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } } { \displaystyle 1 - \xi } - M ^ { 2 } - i \varepsilon } ,
( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { c c } { ( 2 , - 0 . 5 , 0 . 0 1 \sin ( 2 \pi x / L ) , 2 . 5 ) , } & { | y | \leq 0 . 2 5 , } \\ { ( 1 , 0 . 5 , 0 . 0 1 \sin ( 2 \pi x / L ) , 2 . 5 ) , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ , ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \gamma , p \vdash f ^ { = } ( \gamma , p ) } & { = s _ { 1 } ( \alpha ( \gamma ) ) \bullet \alpha _ { 1 } ( \gamma , s _ { 1 } ( \gamma ) ) ^ { - 1 } \bullet f ( \gamma , p ) \bullet \alpha _ { 1 } ( \gamma , s _ { 2 } ( \gamma ) ) \bullet s _ { 2 } ( \alpha ( \gamma ) ) ^ { - 1 } } \\ & { = s _ { 1 } ( \alpha ( \gamma ) ) \bullet \alpha ( \gamma ) ^ { * } p \bullet s _ { 2 } ( \alpha ( \gamma ) ) ^ { - 1 } } \\ & { = \alpha ( \gamma ) ^ { * } p } \end{array}
1 - A - x \frac { d A } { d x } = x ^ { 2 } { \kappa } ^ { 2 } \left[ { \theta } ^ { 2 } { \sigma } ^ { 2 } B + U + \frac { 1 } { 2 e ^ { 2 } } { \left( \frac { d \theta } { d x } \right) } ^ { 2 } A B \right] ,
H = \overbracket [ 0 . 5 p t ] { ( A _ { m + 1 , k _ { m + 1 } } \cdots A _ { m + 1 , 1 } ) } ^ { \mathrm { o r ~ \varnothing ~ } } G _ { m } \cdots \overbracket [ 0 . 5 p t ] { ( A _ { 2 k _ { 2 } } \cdots A _ { 2 1 } ) } ^ { \mathrm { o r ~ \varnothing ~ } } G _ { 1 } \overbracket [ 0 . 5 p t ] { ( A _ { 1 k _ { 1 } } \cdots A _ { 1 1 } ) } ^ { \mathrm { o r ~ \varnothing ~ } }
M ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { l } ) = \sqrt { \frac { \varrho ( \mathbf { x } _ { l } ) } { \varrho ( \mathbf { x } _ { k } ) } } G _ { \varepsilon } ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { l } ) ,
\frac { 5 } { 3 } \alpha _ { 1 Y } ^ { - 1 } ( \Lambda _ { R } ) = \alpha _ { 2 R } ^ { - 1 } ( \Lambda _ { R } ) + \frac { 2 } { 3 } \alpha _ { 1 L R } ^ { - 1 } ( \Lambda _ { R } ) \ ,
\begin{array} { r l } & { 2 U \oplus 3 E _ { 8 } , \quad 2 U \oplus 2 E _ { 8 } , \quad 2 U \oplus E _ { 8 } , \quad 2 U \oplus E _ { 8 } ( 2 ) , \quad U \oplus U ( 2 ) \oplus E _ { 8 } ( 2 ) , \quad 2 U \oplus D _ { 8 } , \quad 2 U \oplus 2 D _ { 4 } , } \\ & { 2 U \oplus D _ { 8 } ^ { \prime } ( 2 ) , \quad 2 U ( 2 ) \oplus 8 A _ { 1 } , \quad 2 U \oplus D _ { 7 } , \quad 2 U \oplus A _ { 7 } , \quad 2 U \oplus E _ { 7 } , \quad 2 U ( 2 ) \oplus 7 A _ { 1 } , \quad 2 U ( 2 ) \oplus 6 A _ { 1 } , } \\ & { 2 U \oplus D _ { 6 } , \quad 2 U \oplus A _ { 6 } , \quad 2 U \oplus 2 A _ { 3 } , \quad 2 U \oplus 3 A _ { 2 } , \quad 2 U \oplus E _ { 6 } , \quad 2 U \oplus E _ { 6 } ^ { \prime } ( 3 ) , \quad U \oplus U ( 3 ) \oplus E _ { 6 } ^ { \prime } ( 3 ) . } \end{array}
\bar { \mathcal { F } } ( \omega , \phi _ { \partial } , \Sigma ) : \mathring { V } \Lambda ^ { 2 } ( \Omega ) \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \partial \Omega ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Sigma ) \to \mathbb { R }
H _ { 0 } ( t ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { \alpha = x , y , z } \omega _ { 0 } b _ { i \alpha } ^ { \dagger } b _ { i \alpha } \, + \sum _ { i \neq j } \sum _ { \alpha , \beta } J _ { \alpha \beta } ( { \bf r } _ { i j } ( t ) ) b _ { i \alpha } ^ { \dagger } b _ { j \beta }
\begin{array} { r l } & { \pi ( \alpha | \gamma ) \longleftarrow \alpha | \gamma , Y \sim \mathcal { N } \Big ( ( \tilde { \Sigma } _ { \alpha } ^ { - 1 } + \Phi ^ { \top } \Phi / \gamma ) ^ { - 1 } \Phi ^ { \top } Y / \gamma , \: ( \tilde { \Sigma } _ { \alpha } ^ { - 1 } + \Phi ^ { \top } \Phi / \gamma ) ^ { - 1 } \Big ) } \\ & { \pi ( \gamma | \alpha ) \longleftarrow \gamma | \alpha , Y \sim \Gamma \Big ( \frac { N } { 2 } , \: \frac { \| Y - \Phi \alpha \| ^ { 2 } } { 2 } \Big ) . } \end{array}
{ \bf Y } _ { 1 } ^ { - } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) | _ { x _ { 3 } = { x _ { 3 , F } } } = { \bf I } \delta ( { { \bf x } _ { \mathrm { H } } } - { { \bf x } _ { \mathrm { H } , F } } )
{ \frac { d s _ { 1 1 } ^ { 2 } } { \ell _ { p } ^ { 2 } } } = e ^ { - 2 \phi / 3 } { \frac { d s _ { I I A } ^ { 2 } } { \alpha ^ { \prime } } } + e ^ { 4 \phi / 3 } ( { \frac { d x ^ { 1 1 } } { R } } - { \frac { C _ { 1 } } { \sqrt { \alpha ^ { \prime } } } } ) ^ { 2 } \ ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } ( \{ \tau = \eta \} \cap \{ R = r , \mathscr { I } _ { 1 } = i _ { 1 } , \cdots , \mathscr { I } _ { r } = i _ { r } , \mathscr { J } _ { 1 } = j _ { 1 } , \cdots , \mathscr { J } _ { r } = j _ { r } \} | \mathcal { F } _ { s _ { 1 } ^ { \prime } } ) } \\ & { } & { = \frac { | M _ { r , \eta } | } { \prod _ { s \in \{ s _ { 1 } ^ { \prime } , \cdots , s _ { 4 } \} \cap \{ J _ { 1 } , \cdots , J _ { M } \} } \mathscr { N } _ { s } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { \mathrm { m i n } } = \left( \frac { 2 \lambda } { \pi } \right) \frac { \operatorname { I m } \xi ( \omega ) } { 1 - \operatorname { s i n c } ^ { 2 } \left( \omega h _ { \mathrm { m i n } } / c \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { ( \check { R } ^ { V _ { z _ { 1 } } , V _ { z _ { 2 } } ^ { * } } ) _ { j l ^ { * } } ^ { i ^ { * } k } } } & { { = } } & { { ( \check { R } ^ { V _ { z _ { 2 } } , V _ { z _ { 1 } } } ) _ { i j } ^ { k l } \displaystyle \prod _ { p = 2 } ^ { n - 1 } \frac { h ( - z _ { 1 } + z _ { 2 } + p w ) } { h ( w ) } , } } \\ { { ( \check { R } ^ { V _ { z _ { 1 } } ^ { * } , V _ { z _ { 2 } } } ) _ { i ^ { * } j } ^ { k l ^ { * } } } } & { { = } } & { { ( \check { R } ^ { V _ { z _ { 2 } } , V _ { z _ { 1 } + n w } } ) _ { j l } ^ { i k } \displaystyle \prod _ { p = 1 } ^ { n - 2 } \frac { h ( - z _ { 1 } + z _ { 2 } - p w ) } { h ( w ) } . } } \end{array}
d _ { w , ( \mathcal { L } , \pi ) } ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } ) = \overline { { \omega } } _ { w , ( \mathcal { L } , \pi ) } ( \boldsymbol { u } - \boldsymbol { v } ) = \sum _ { i \in M _ { \boldsymbol { u - v } } ^ { \mathcal { L } } } W _ { i } ( \boldsymbol { u } - \boldsymbol { v } ) + M _ { w } \left| I _ { \boldsymbol { u - v } } ^ { \mathcal { L } } \setminus M _ { \boldsymbol { u - v } } ^ { \mathcal { L } } \right| .
\epsilon _ { \alpha } = \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { g } } \frac { \Gamma ( N _ { \alpha } \rightarrow \psi _ { L j } \Phi ) - \Gamma ( N _ { \alpha } \rightarrow \psi _ { R j } ^ { c } \Phi ^ { c } ) } { \Gamma ( N _ { \alpha } \rightarrow \psi _ { L j } \Phi ) + \Gamma ( N _ { \alpha } \rightarrow \psi _ { R j } ^ { c } \Phi ^ { c } ) } ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { \overleftrightarrow { \mathbf { K } } ^ { a } = - i \frac { k _ { \parallel } } { | k _ { \parallel } | } \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { j , n } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } } & { { } \int \displaylimits _ { - \infty } ^ { \infty } d p _ { \parallel } d p _ { \perp } } \end{array}
\bar { \mu } _ { w , i } ( t ) \equiv \Bigg [ \widehat { R } _ { w , i } \, \mathbb { I } \{ W _ { i } = w \} \, Y _ { i } + \Bigg ( \prod _ { j \, | \, X _ { j } = X _ { i } } \mathbb { I } \{ W _ { j } \neq w \} \Bigg ) \Bigg ( \sum _ { k \, \in \, \mathbb { X } _ { n } \setminus \{ X _ { i } \} } \frac { N _ { k } } { n - N _ { X _ { i } } } \, \widehat { \mu } _ { w , k } ( t ) \Bigg ) \Bigg ]
L ^ { \alpha \alpha ^ { \prime } I } = e _ { \underline { { \alpha } } \underline { { { \alpha ^ { \prime } } } } \underline { { I } } } ^ { \alpha \alpha ^ { \prime } I } ( x , \theta ) d \theta ^ { \underline { { \alpha } } \underline { { { \alpha ^ { \prime } } } } \underline { { I } } }
P _ { m } ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) = \cosh ( { \frac { m } { 2 } } \ln { \frac { s _ { 1 } } { s _ { 2 } } } ) I _ { m } ( 2 \sqrt { s _ { 1 } s _ { 2 } } ) e ^ { - s _ { 1 } - s _ { 2 } } \ ( 2 - \delta _ { m 0 } ) \ ,
D ( \mathcal { E } + \mathrm { i } \mathfrak { E } ) = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \tilde { D } ( \Delta \mathfrak { t } ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \mathcal { E } \Delta \mathfrak { t } } \mathrm { e } ^ { - \mathfrak { E } \Delta \mathfrak { t } } \mathrm { d } { \Delta \mathfrak { t } } .
\begin{array} { r } { F _ { 0 } ^ { ( 3 ) } [ i ] = \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta ~ g _ { 0 } ( \theta , R _ { i j } , R _ { j k } , R _ { i k } ) ~ \rho _ { i } ( \theta , \theta _ { j i k } ) } \end{array}
\mathbf { \partial } \cdot \mathbf { A } = \partial ^ { \mu } \eta _ { \mu \nu } A ^ { \nu } = \partial _ { \nu } A ^ { \nu } = \left( { \frac { \partial _ { t } } { c } } , - { \vec { \nabla } } \right) \cdot \left( { \frac { \phi } { c } } , { \vec { a } } \right) = { \frac { \partial _ { t } } { c } } \left( { \frac { \phi } { c } } \right) + { \vec { \nabla } } \cdot { \vec { a } } = { \frac { \partial _ { t } \phi } { c ^ { 2 } } } + { \vec { \nabla } } \cdot { \vec { a } } = 0
\begin{array} { r l } { A ^ { ( 2 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { E _ { 1 } ( 2 R e _ { L } ^ { * } ) + \ln ( 2 R e _ { L } ^ { * } ) - e ^ { - 2 R e _ { L } ^ { * } } + \gamma + 1 } { 2 R e _ { L } ^ { * } } + E _ { 1 } ( 2 R e _ { L } ^ { * } ) + \ln ( 2 R e _ { L } ^ { * } ) + \gamma - 2 \right) , } \\ { A ^ { ( 3 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } & { { } = A _ { A } ^ { ( 3 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) + A _ { B } ^ { ( 3 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) + 2 A ^ { ( 2 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) \ln { ( 2 ) } , } \\ { A ^ { ( 4 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } & { { } = 3 \ln { ( 2 ) } \left( A _ { A } ^ { ( 3 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) + A _ { B } ^ { ( 3 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) \right) + 3 A ^ { ( 2 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) \ln { ( 2 ) } ^ { 2 } - 0 . 6 3 6 R e _ { L } ^ { * 0 . 7 6 2 } , } \end{array}