harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { P ( { \bf T } _ { \mathrm { o b s } } | \boldsymbol { \theta } _ { T } , \boldsymbol { \theta } _ { v } ) } \\ & { = \frac { 1 } { Z } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } ( { \bf T } _ { \mathrm { o b s } } - { \bf f } _ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { T } ) ) ^ { \top } { \bf E } _ { \mathrm { o b s } } ^ { - 1 } ( { \bf T } _ { \mathrm { o b s } } - { \bf f } _ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { T } ) ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { \! \operatorname* { m a x } _ { \pi _ { n , k } , P _ { n , k } } } & { \quad } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K _ { s } } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { c } } r _ { n , k } } \\ & { \mathrm { s . t . } } & { C _ { 1 } , C _ { 4 } , C _ { 5 } , } \\ & { } & { C _ { 6 } : } & { \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { c } } r _ { n , k } \geq R _ { 0 } \quad \forall k , } \\ & { } & { C _ { 7 } : } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K _ { s } } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { c } } P _ { n , k } \leq \pi _ { n , k } \frac { P _ { t } \theta } { 3 6 0 } , } \\ & { } & { C _ { 8 } : } & { r _ { n , k } \leq \pi _ { n , k } R _ { m a x } \quad \forall n , k . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \bf A } } & { = } & { \frac { 1 } { i \omega } \frac { e _ { 0 } } { 2 } \left( ( \hat { a } _ { \mathrm { H } } \mathrm { e } ^ { i \beta } - \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { - i \beta } ) \hat { \bf x } + ( \hat { a } _ { \mathrm { V } } \mathrm { e } ^ { i \beta } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { - i \beta } ) \hat { \bf y } \right) } \\ & { = } & { \frac { a _ { 0 } } { 2 } \left( ( \hat { a } _ { \mathrm { H } } \mathrm { e } ^ { i \beta } - \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { - i \beta } ) \hat { \bf x } + ( \hat { a } _ { \mathrm { V } } \mathrm { e } ^ { i \beta } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { - i \beta } ) \hat { \bf y } \right) , } \end{array}
v \, = \, \frac { 1 } { 4 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \psi _ { 0 } \eta _ { 0 } \bigl ( 6 - | X | ^ { 2 } \bigr ) \, \mathrm { d } X \, = \, \frac { 3 } { 4 } \log ( 2 ) + \frac { 1 } { 4 } \gamma _ { E } + \frac { 1 } { 4 } \, .
V _ { C } \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { N } ; y _ { 1 } , \ldots , y _ { K } \right) = \sum _ { 1 \leq i < j \leq N } v \left( x _ { i } , y _ { j } \right) - \sum _ { i = 1 , \ldots , N \atop l = 1 , \ldots , K } Z _ { l } v \left( x _ { i } , v _ { l } \right) + \sum _ { 1 \leq l < k \leq K } Z _ { l } Z _ { k } v \left( y _ { l } , y _ { k } \right) \ .
G _ { \lambda } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ; y _ { 1 } , . . . , y _ { m } ) = \, < T \Phi _ { \lambda } ( x _ { 1 } ) . . . \Phi _ { \lambda } ( x _ { n } ) \Phi _ { 1 / \lambda } ( y _ { 1 } ) . . . \Phi _ { 1 / \lambda } ( y _ { m } ) > ,
\begin{array} { r l r } { \langle n ^ { \prime } | \hat { H } _ { n m } ( \hat { x } , \hat { p } ) | m ^ { \prime } \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int \int d k _ { x } d k _ { p } f _ { n m } ( k _ { x } , k _ { p } ) \langle n ^ { \prime } | e ^ { i ( k _ { x } \hat { x } + k _ { p } \hat { p } ) } | m ^ { \prime } \rangle } \end{array}
K = { \frac { [ \mathrm { S } ] ^ { \sigma } [ \mathrm { T } ] ^ { \tau } . . . } { [ \mathrm { A } ] ^ { \alpha } [ \mathrm { B } ] ^ { \beta } . . . } } \times { \frac { { \gamma _ { \mathrm { S } } } ^ { \sigma } { \gamma _ { \mathrm { T } } } ^ { \tau } . . . } { { \gamma _ { \mathrm { A } } } ^ { \alpha } { \gamma _ { \mathrm { B } } } ^ { \beta } . . . } } = K _ { \mathrm { c } } \Gamma
K _ { G } ( \alpha , \beta ) = \frac { \Gamma ( \alpha _ { i _ { 0 } } + \beta ) \prod _ { C \in \mathcal { C } _ { G ^ { \prime } } ^ { + } } \Gamma ( | \alpha _ { C } | + \beta ) } { \Gamma ( \beta ) ^ { m - 1 } \prod _ { i \in V } \Gamma ( \alpha _ { i } ) \cdot \Gamma ( \beta ) \prod _ { S \in \mathcal { S } _ { G } ^ { - } } \Gamma ( | \alpha _ { S } | + \beta ) } .
\begin{array} { r l } { m _ { e x } ( x , t ) } & { = R _ { c x } ( x , t ) \int \varepsilon f _ { 1 } ( x , v , t ) ( v - u _ { p } ( x , t ) ) d v } \\ & { = R _ { c x } ( x , t ) \int \varepsilon v f _ { 1 } ( x , v , t ) d v , } \\ { E _ { e x } ( x , t ) } & { = R _ { c x } ( x , t ) \int \varepsilon f _ { 1 } ( x , v , t ) \left( \frac { v ^ { 2 } } { 2 } - \frac { u _ { p } ^ { 2 } ( x , t ) + \sigma _ { p } ^ { 2 } ( x , t ) } { 2 } \right) d v } \\ & { = R _ { c x } ( x , t ) \int \varepsilon \frac { v ^ { 2 } } { 2 } f _ { 1 } ( x , v , t ) d v . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } ( \| \phi \| ^ { 2 } + \| \nabla \phi \| ^ { 2 } ) + \| \phi _ { t } \| ^ { 2 } + \| \nabla \phi \| ^ { 2 } = - \langle u \cdot \nabla \phi + \gamma \lambda f ^ { \prime } ( \phi ) + \gamma \rho ^ { \prime } ( \phi ) \frac { | u | ^ { 2 } } { 2 } \, , \phi + \phi _ { t } \rangle \, , } \end{array}
\frac { \Gamma ( \Sigma ^ { + } \to p \pi ^ { 0 } ) } { \Gamma ( \Sigma ^ { + } \to n \pi ^ { + } ) } \neq \frac { \Gamma ( \bar { \Sigma } ^ { - } \to \bar { p } \pi ^ { 0 } ) } { \Gamma ( \bar { \Sigma } ^ { - } \to \bar { n } \pi ^ { - } ) } \; \; .
\left\vert { \xi } \right\rangle = { \frac { 1 } { \left( { 1 + { \vert \xi \vert } ^ { 2 } } \right) ^ { J } } } \sum _ { m = 0 } ^ { 2 J } \xi ^ { m } { \binom { 2 J } { m } } ^ { 1 / 2 } \left\vert { J , \- J + m } \right\rangle \quad .
\int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x ) d x = \int _ { - \infty } ^ { - 1 } \frac 1 { g ( x ) } d x + \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac 1 { g ( x ) } d x + \int _ { 1 } ^ { \infty } \frac 1 { g ( x ) } d x - ( \int _ { - \infty } ^ { - 1 } \frac { x ^ { 2 } } { g ( x ) } d x + \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { x ^ { 2 } } { g ( x ) } d x + \int _ { 1 } ^ { \infty } \frac { x ^ { 2 } } { g ( x ) } d x )
- { \omega } \left( { \omega } ^ { 2 } - \left( \vec { v } _ { A } \cdot \vec { k } \right) ^ { 2 } \right) \left[ { \omega } ^ { 4 } - \left( v _ { A } ^ { 2 } + c _ { s } ^ { 2 } \right) k ^ { 2 } { \omega } ^ { 2 } + c _ { s } ^ { 2 } k ^ { 2 } \left( \vec { v } _ { A } \cdot \vec { k } \right) ^ { 2 } \right] = 0 \; ,
\begin{array} { r l } { ( R ^ { 2 } { - } Z ^ { 2 } ) \phi _ { 2 } + \phi _ { 3 } - \frac { \omega } { 2 } \, R ^ { 2 } \, = \, } & { { } \, \Phi _ { 0 } ^ { \prime } ( \eta _ { 0 } ) \Bigl ( ( R ^ { 2 } { - } Z ^ { 2 } ) \eta _ { 2 } + \eta _ { 3 } + ( \eta _ { 0 } - \eta _ { 1 } ) R ^ { 2 } \Bigr ) } \end{array}
T _ { \mu \nu } = ( \partial _ { \mu } \phi ) ( \partial _ { \nu } \phi ) - g _ { \mu \nu } \frac { 1 } { 2 } [ g ^ { \alpha \beta } ( \partial _ { \alpha } \phi ) ( \partial _ { \beta } \phi ) - m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } ] .
\mathbf { E } \left( \mathbf { R } \right) = { \frac { 3 \left( \mathbf { p } \cdot { \hat { \mathbf { R } } } \right) { \hat { \mathbf { R } } } - \mathbf { p } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } R ^ { 3 } } } \ .
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } } & { \bigg [ \int _ { t } ^ { T } \bigg ( L ( X _ { s } , \alpha ( s , X _ { s } ) ) + \mathcal { F } ( \mathcal { L } ( X _ { s } ) ) \bigg ) d s + \mathcal { G } ( \mathcal { L } ( X _ { T } ) ) \bigg ] } \\ & { = { \mathbb E } \bigg [ \int _ { t } ^ { T } \bigg ( \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } L ( X _ { s } ^ { i } , \alpha ^ { i } ( s , X _ { s } ^ { i } ) ) + F ^ { n } ( \mathbf { X } _ { s } ) \bigg ) d s + G ^ { n } ( \mathbf { X } _ { T } ) \bigg ] } \\ & { \ge \mathcal { V } _ { \mathrm { d i s t } } ^ { n } ( t , m , m , \ldots , m ) . } \end{array}
M _ { k } ( k ) = 2 \pi k ^ { 2 } \hat { M } _ { i i } ( k ) = \frac { k ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int M _ { i i } ( r ) e ^ { i \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { r } } ~ \mathrm { d } ^ { 3 } \boldsymbol { r } .
\begin{array} { r l } { e _ { 1 } } & { = \frac { \| \hat { u } - u _ { a } \| _ { 1 } } { \| u _ { a } \| _ { 1 } } , \quad \| u _ { a } \| _ { 1 } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } | u _ { a } ^ { i } | , } \\ { e _ { 2 } } & { = \frac { \| \hat { u } - u _ { a } \| _ { 2 } } { \| u _ { a } \| _ { 2 } } , \quad \| u _ { a } \| _ { 2 } = \sqrt { \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } | u _ { a } ^ { i } | ^ { 2 } } , } \\ { e _ { \infty } } & { = \frac { \| \hat { u } - u _ { a } \| _ { \infty } } { \| u _ { a } \| _ { \infty } } , \quad \| u _ { a } \| _ { \infty } = \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , \ldots , N } | u _ { a } ^ { i } | . } \end{array}
\sigma _ { \nu { \scriptscriptstyle \cal N } } = \frac { G _ { F } ^ { 2 } } { \pi } \, \frac { 2 m _ { \scriptscriptstyle \cal N } ^ { 4 } m _ { \nu } ^ { 4 } } { \left( m _ { \scriptscriptstyle \cal N } + m _ { \nu } \right) ^ { 2 } } \, \frac { v ^ { 2 } } { v _ { N } ^ { 2 } } \, \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \frac { U _ { j 3 } ^ { S } } { m _ { S _ { j } } ^ { 2 } } \left( \frac { k _ { d } U _ { j 1 } ^ { S } } { \cos \beta } + \frac { k _ { u } U _ { j 2 } ^ { S } } { \sin \beta } \right) \right] ^ { 2 } .
\left\{ \begin{array} { r l } { \partial _ { u _ { 0 } } u ( t ) = } & { \frac { \alpha u _ { 0 } u ( t ) + ( ( \alpha - 1 ) t u _ { 0 } - x _ { 0 } ) \dot { u } ( t ) } { 2 H \alpha } } \\ { \partial _ { v _ { 0 } } u ( t ) = } & { \frac { \alpha \left( 2 H - u _ { 0 } ^ { 2 } \right) u ( t ) + \left( t \left( \alpha \left( 2 H - u _ { 0 } ^ { 2 } \right) + u _ { 0 } ^ { 2 } \right) + u _ { 0 } x _ { 0 } \right) \dot { u } ( t ) } { 2 \alpha H v _ { 0 } } } \\ { \partial _ { x _ { 0 } } u ( t ) = } & { \frac { \alpha \left( 2 H - u _ { 0 } ^ { 2 } \right) u ( t ) + \left( ( \alpha - 1 ) t \left( 2 H - u _ { 0 } ^ { 2 } \right) + u _ { 0 } x _ { 0 } \right) \dot { u } ( t ) } { 2 H x _ { 0 } } } \\ { \partial _ { y _ { 0 } } u ( t ) = } & { 0 } \end{array} . \right.
\begin{array} { r l } { \hat { q } ( k _ { x } , k _ { z } , y ) } & { { } = F F T _ { 2 D } [ q ( x , y , z ) ] } \\ { q ^ { U } ( x , y , z ) } & { { } = i F F T _ { 2 D } [ \mathcal { D } ( k _ { x } , k _ { z } , y ) \hat { q } ( k _ { x } , k _ { z } , y ) ] , } \\ { q ^ { D } ( x , y , z ) } & { { } = i F F T _ { 2 D } [ \mathcal { D } ^ { c } ( k _ { x } , k _ { z } , y ) \hat { q } ( k _ { x } , k _ { z } , y ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \mathbb { P } _ { x } ^ { d } } \left[ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \| X _ { t } ^ { d } \| ^ { 2 } \right] \leq 3 \| \mathbf { P } _ { d } ( x ) \| ^ { 2 } \! + \! 3 \mathbb { E } _ { \mathbb { P } _ { x } ^ { d } } \left[ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \| H _ { t } ^ { d } \| ^ { 2 } \right] \! + \! 3 \mathbb { E } _ { \mathbb { P } _ { x } ^ { d } } \left[ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \| \bar { J } _ { t } ^ { d } \| ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\Gamma _ { ( a , b ) } ^ { \lambda } ( p | { \cal P } ) = - i \int \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } V ( p ^ { \bot } - q ^ { \bot } ) \rlap / \eta G _ { \Sigma _ { a } } \left( q + \frac { { \cal P } } { 2 } \right) \Gamma _ { ( a , b ) } ^ { \lambda } ( q | { \cal P } ) G _ { \Sigma _ { b } } \left( q - \frac { { \cal P } } { 2 } \right) \rlap / \eta ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { n , N } ^ { 1 } } & { \leq C _ { 2 } N ^ { \frac { d } { 2 } } 2 ^ { - N ( L - 1 ) } \sum _ { j _ { 1 } = - \infty } ^ { N - 1 } \cdots \sum _ { j _ { d } = - \infty } ^ { N - 1 } 2 ^ { j _ { 1 } ( 1 - h _ { 1 } ) + \cdots + j _ { d } ( 1 - h _ { d } ) } \sqrt { \prod _ { \ell = 1 } ^ { d } \log ( 3 + | j _ { \ell } | ) } } \\ & { \leq C _ { 3 } N ^ { \frac { d } { 2 } } \log ( 3 + N ) ^ { \frac { d } { 2 } } 2 ^ { - N ( h _ { 1 } + \cdots + h _ { d } + L - d - 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal V } _ { \Delta x } ( t ) } & { { } = { \cal V } _ { \Delta y } ( t ) = \frac { 2 k _ { B } T } k ( 1 - e ^ { - t / \tau _ { r } } ) } \\ { { \cal V } _ { \Sigma _ { F } } ( t ) } & { { } = 2 k _ { B } T \gamma \left[ t - \tau _ { r } ( 1 - e ^ { - t / \tau _ { r } } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( \boldsymbol { \theta } _ { T } , \boldsymbol { \theta } _ { v } | \mathbf { d } ) } & { { } = } & { \frac { P ( \mathbf { d } | \boldsymbol { \theta } _ { T } , \boldsymbol { \theta } _ { v } ) P ( \boldsymbol { \theta } _ { T } , \boldsymbol { \theta } _ { v } ) } { P ( \mathbf { d } ) } } \end{array}
Y _ { 1 } Z _ { 2 } X _ { 3 } = { \left[ \begin{array} { l l l } { c _ { 1 } c _ { 2 } } & { s _ { 1 } s _ { 3 } - c _ { 1 } c _ { 3 } s _ { 2 } } & { c _ { 3 } s _ { 1 } + c _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 3 } } \\ { s _ { 2 } } & { c _ { 2 } c _ { 3 } } & { - c _ { 2 } s _ { 3 } } \\ { - c _ { 2 } s _ { 1 } } & { c _ { 1 } s _ { 3 } + c _ { 3 } s _ { 1 } s _ { 2 } } & { c _ { 1 } c _ { 3 } - s _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 3 } } \end{array} \right] }
\left\{ \begin{array} { l l } { \bar { \mathbf { r } } = \mathbf { r } + \mathbf { v } \left[ \frac { ( \mathbf { r } \cdot \mathbf { v } ) } { v ^ { 2 } } ( \gamma _ { v } - 1 ) - t \gamma _ { v } \right] } \\ { \bar { t } = \gamma _ { v } \left( t - \frac { \mathbf { r } \cdot \mathbf { v } } { c } \right) } \end{array} \right.
\frac { \partial u _ { i , j } } { \partial t } + \frac { f _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { x } - f _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { x } } { \Delta x } + \frac { f _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { y } - f _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { y } } { \Delta y } = 0 .
\begin{array} { r l } { ( { \star \mu } ) _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { d + 1 - q } } } & { { } = \frac { 1 } { q ! } \epsilon _ { \nu _ { 1 } \ldots \nu _ { q } \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { d + 1 - q } } \mu ^ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { q } } , } \\ { ( \mathrm { d } \mu ) _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { q + 1 } } } & { { } = ( q + 1 ) \partial _ { [ \mu _ { 1 } } \mu _ { \mu _ { 2 } \ldots \mu _ { q + 1 } ] } , } \\ { ( \iota _ { X } \mu ) _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { q - 1 } } } & { { } = X ^ { \mu } \mu _ { \mu \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { q - 1 } } , } \\ { ( \iota _ { \partial } \mu ) _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { q - 1 } } } & { { } = \nabla ^ { \mu } \mu _ { \mu \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { q - 1 } } . } \end{array}
\mathbf { M } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l l l l } { 0 } & { 2 } & { 2 \beta ^ { 2 } } & { 0 } & { 2 \beta } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 2 } & { 0 } & { 2 \alpha ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 2 \alpha } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 2 \beta ^ { 2 } } & { 2 \alpha ^ { 2 } } & { 0 } & { - 2 \alpha \beta } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 2 \alpha \beta } & { - 1 } & { - \alpha } & { - \beta } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 2 \beta } & { 0 } & { 0 } & { - \alpha } & { - \alpha ^ { 2 } } & { \alpha \beta } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 \alpha } & { 0 } & { - \beta } & { \alpha \beta } & { - \beta ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right]
S _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { 1 - l } } = \pm \frac { 1 } { 2 } \ln \frac { \operatorname * { d e t } ( - \Delta + m ^ { 2 } + V ( \phi ( x ) ) ) } { \operatorname * { d e t } ( - \Delta + m ^ { 2 } ) }
{ \cal A } ( x ) = \operatorname * { l i m } _ { M \rightarrow \infty } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } e ^ { - \frac { l ( l + 1 ) } { M ^ { 2 } } } ( 2 l + 1 ) ( \frac { - 2 } { M ^ { 2 } } ) [ i \epsilon _ { i j k } x _ { k } ( \tilde { \cal L } _ { i } a _ { j } ) + 2 x _ { i } a _ { i } ] .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { { N } } = } & { \; \boldsymbol { { \overline { { \alpha } } } } \boldsymbol { { E } } _ { \mathrm { F v K } } ^ { 0 } + \boldsymbol { { \overline { { \beta } } } } \boldsymbol { { \kappa } } + \boldsymbol { { \overline { { \gamma } } } } ( \lambda ) , } \\ { \boldsymbol { { M } } = } & { \boldsymbol { { \tilde { \alpha } } } \boldsymbol { { E } } _ { \mathrm { F v K } } ^ { 0 } + \boldsymbol { { \tilde { \beta } } } \boldsymbol { { \kappa } } + \boldsymbol { { \tilde { \gamma } } } ( \lambda ) . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \sum _ { l = 1 } ^ { k } V a r \left( \frac { \tau _ { i } ( l ) } { a _ { i } ( l ) } \right) = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \sum _ { l = 1 } ^ { k } \frac { 1 } { F _ { i } ( l ) ^ { 2 } a _ { i } ( l ) ^ { 2 } } \le \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \sum _ { l = 1 } ^ { k } \frac { c o n s t . } { l ^ { 2 p } } < \infty \ ,
\begin{array} { r l } { I _ { \xi } = } & { \int _ { \widetilde { G } _ { \xi } N _ { n } ( F ) \backslash \mathrm { S p } _ { 2 n } ( \mathbb { A } ) } \int _ { N ( F ) \backslash N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ( \mathbb { A } ) } \phi ( h ) \times \omega _ { \psi } ( \alpha _ { T } ^ { k } ( u ) i _ { T } ( 1 , h ) ) \Phi ( \xi ) f _ { s } ( \gamma u t ( 1 , h ) ) \psi _ { k } ( u ) d u d h . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { W } _ { X \sim \mu _ { n } } [ \Lambda _ { f } ^ { \beta } ( X ) ] } & { = \operatorname* { s u p } _ { t > 0 } t \mu _ { n } ( M _ { f } ( t ) ) } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { 0 < t \leq K } t \mu _ { n } ( M _ { f } ( t ) ) + 2 \operatorname* { m a x } _ { j \in \{ 0 , 1 , \dots , N - 1 \} } 2 ^ { j } K \mu _ { n } ( M _ { f } ( 2 ^ { j } K ) ) + \operatorname* { s u p } _ { t \geq 2 ^ { N } K } t \mu _ { n } ( M _ { f } ( t ) ) ~ . } \end{array}
< \phi _ { \omega } , \phi _ { \sigma } > = { \frac { 1 } { ( \omega - \sigma ) } } \operatorname * { l i m } _ { r \rightarrow \infty } \int _ { C _ { r } } d \sigma ^ { i } \left( \nabla _ { i } \phi _ { \omega } ^ { * } \phi _ { \sigma } - \phi _ { \omega } ^ { * } \nabla _ { i } \phi _ { \sigma } - i ( \omega + \sigma ) a _ { i } \phi _ { \omega } ^ { * } \phi _ { \sigma } \right) ~ ~ .
\overline { { { t } } } _ { 0 } \simeq \frac { 0 . 9 } { \overline { { { H } } } _ { 0 } } = 1 8 ~ \mathrm { G y r ~ f o r ~ } \overline { { { H } } } _ { 0 } = 5 0 \mathrm { ~ K m / s e c M p c } ~ ,
{ \frac { F L } { k _ { \theta } } } = { \frac { 3 } { 2 } } \mp { \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } } \approx \left\{ { \begin{array} { l } { 0 . 3 8 2 } \\ { 2 . 6 1 8 } \end{array} } \right.
\begin{array} { r l r } { \left. d \left( \Phi \circ s \right) \right\vert _ { x } } & { = } & { \left. d \Phi \right\vert _ { s \left( x \right) } \left. d s \right\vert _ { x } } \\ & { = } & { \left( \left. d \Phi \right\vert _ { s \left( x \right) } \rho _ { s \left( x \right) } \right) \left( \rho _ { s \left( x \right) } ^ { - 1 } \left. d s \right\vert _ { x } \right) } \\ & { = } & { E \left( s \left( x \right) \right) \left( \theta _ { s } \right) _ { x } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { A _ { n } ( b ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \pi } f ( x ) \sin ( x ) \, d x } \\ & { = { \Big [ } - f ( x ) \cos ( x ) { \Big ] } _ { x = 0 } ^ { x = \pi } \, - { \Big [ } { - f ^ { \prime } ( x ) } \sin ( x ) { \Big ] } _ { x = 0 } ^ { x = \pi } + \cdots } \\ & { \ \qquad \pm { \Big [ } f ^ { ( 2 n ) } ( x ) \cos ( x ) { \Big ] } _ { x = 0 } ^ { x = \pi } \, \pm \int _ { 0 } ^ { \pi } f ^ { ( 2 n + 1 ) } ( x ) \cos ( x ) \, d x . } \end{array} }
{ \underset { i } { \mathop { \sum } } } \, \left( p - { { a } _ { i } } \right) = { \underset { i } { \mathop { \sum } } } \, \left[ { { n } _ { i } } * { { n } _ { i } } ^ { T } \right] * \left( p - { { a } _ { i } } \right)
\begin{array} { r l r } { \delta f _ { m } ^ { L } } & { { } = } & { - a _ { m } e ^ { - i m \Omega _ { d } t } \left[ \frac { 8 r ^ { 2 } } { 2 1 B _ { 0 } } ( \gamma _ { m } - i \omega _ { m } ) - \frac { i m \mu } { q B _ { 0 } \gamma } \right] \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } e ^ { i m \Omega _ { d } t ^ { \prime } - i \omega _ { m } t ^ { \prime } + \gamma _ { m } t ^ { \prime } } } \end{array}
\dot { G } ( t _ { 2 } , t _ { 1 } ) = \frac { 1 } { 3 ! } \sum _ { j , k , l } J _ { i j k l } \langle \phi _ { j } ( t _ { 2 } ) \phi _ { k } ( t _ { 2 } ) \phi _ { l } ( t _ { 2 } ) \phi _ { i } ( t _ { 1 } ) \rangle ~ ,
\tilde { D } _ { n } : = a _ { 1 } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \alpha _ { l } . ( I ) _ { s _ { l } , t _ { l } , B } + a _ { 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \alpha _ { l } . ( I I ) _ { s _ { l } , t _ { l } , A } \times ( I I ) _ { s _ { l } , t _ { l } , B , 2 } + a _ { 3 } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \alpha _ { l } . ( I I I ) _ { s _ { l } , t _ { l } , B } ,
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { { \bf d } } ^ { 2 } = { \bf d } ^ { \top } V { \bf d } } & { = } & { \left( \frac 1 2 V ^ { - 1 } \eta - \frac { { \bf 1 } _ { n } ^ { \top } V ^ { - 1 } \eta } { 2 } \times \frac { V ^ { - 1 } { \bf 1 } _ { n } } { { \bf 1 } _ { n } ^ { \top } V ^ { - 1 } { \bf 1 } _ { n } } \right) ^ { \top } \left( \frac 1 2 \eta - \frac { { \bf 1 } _ { n } ^ { \top } V ^ { - 1 } \eta } { 2 } \times \frac { { \bf 1 } _ { n } } { { \bf 1 } _ { n } ^ { \top } V ^ { - 1 } { \bf 1 } _ { n } } \right) } \\ & { = } & { \frac 1 4 \rho ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf x } _ { t + 1 } } & { { } = } & { { \bf x } _ { t } + \Delta t \left[ \alpha ( Q \cdot t a n h ( { \bf x } _ { t } ) + b ^ { T } ) - \beta { \bf x } _ { t } \right] , } \\ { \frac { d { \bf x } } { d t } } & { { } = } & { \alpha ( Q \cdot \operatorname { t a n h } ( { \bf x } ) + b ^ { T } ) - \beta { \bf x } . } \end{array}
\delta h _ { \mathit { d i f f } } \propto \frac { 2 \lambda f ^ { 2 } ( 2 p + s ) ^ { 2 } } { s ( 2 \lambda f ( 2 p + s ) + p s w ) } \approx \frac { 2 \lambda f ^ { 2 } ( 2 p + s ) ^ { 2 } } { p s ^ { 2 } w } .
\begin{array} { r l } { D _ { F M } ( \omega ) = } & { J _ { 0 } ( M ) J _ { 1 } ( M ) } \\ & { \times \left[ \phi ( \omega - \omega _ { m } ) + \phi ( \omega + \omega _ { m } ) - 2 \phi ( \omega ) \right] } \\ & { + J _ { 1 } ( M ) J _ { 2 } ( M ) } \\ & { \times \left[ \phi ( \omega - 2 \omega _ { m } ) + \phi ( \omega + 2 \omega _ { m } ) \right. } \\ & { \left. - \phi ( \omega - \omega _ { m } ) - \phi ( \omega + \omega _ { m } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \ \mathrm { S i n g l e t } \ \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( | \uparrow \ \rangle _ { \mathrm { s } } | \downarrow \ \rangle _ { \mathrm { o } } - | \downarrow \ \rangle _ { \mathrm { s } } | \uparrow \ \rangle _ { \mathrm { o } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle P ^ { - 1 } A x , z \right\rangle } & { = \| ( x , z _ { i } ) \| _ { N _ { i } ^ { k } } ^ { 2 } - \| ( x , z _ { i } ) \| _ { M _ { i } ^ { k } } ^ { 2 } \leq \beta \| ( x , z ) \| _ { N ^ { k } } ^ { 2 } , } \\ { \left\langle P ^ { - 1 } A x , z \right\rangle } & { = \| ( x , z _ { i } ) \| _ { \widetilde { M } _ { i } ^ { k } } ^ { 2 } - \| ( x , z _ { i } ) \| _ { N _ { i } ^ { k } } ^ { 2 } \geq - \beta \| ( x , z ) \| _ { N ^ { k } } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } ( - c s + b ( s ) - b ( 0 ) ) e ^ { - \frac { c ^ { 2 } } { 2 } s + c ( b ( s ) - b ( 0 ) ) } s ^ { n } f ( s ) \d s } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } ( - c s + b ( s ) - b ( 0 ) ) e ^ { - \frac { c ^ { 2 } } { 2 } s + c ( b ( s ) - b ( 0 ) ) } s ^ { n } \tilde { f } ( s ) \d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \eta _ { t } } \mathbb { E } \| \nabla _ { y } g ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) - v _ { t + 1 } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { \eta _ { t - 1 } } \mathbb { E } \| \nabla _ { y } g ( x _ { t } , y _ { t } ) - v _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq - \eta _ { t } \mathbb { E } \| \nabla _ { y } g ( x _ { t } , y _ { t } ) - v _ { t } \| ^ { 2 } + 4 L _ { g } ^ { 2 } \eta _ { t } \big ( \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) + 2 c _ { 3 } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 3 } \sigma ^ { 2 } . } \end{array}