harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbf { a } \mathbf { a } \mathbf { a } } & { + ( - 1 + 2 y ) \mathbf { a } \mathbf { a } \mathbf { b } + ( 1 + 2 y ) \mathbf { a } \mathbf { a } \mathbf { b } + y ( 2 + y ^ { 2 } ) \mathbf { b } \mathbf { a } \mathbf { a } + ( 2 y ^ { 2 } - 1 ) \mathbf { a } \mathbf { b } \mathbf { b } } \\ & { + ( - y ^ { 3 } + 2 y ^ { 2 } ) \mathbf { b } \mathbf { a } \mathbf { b } + y ^ { 2 } ( 2 + y ) \mathbf { b } \mathbf { b } \mathbf { a } + y ( 3 y ^ { 2 } + 2 y - 2 ) \mathbf { b } \mathbf { b } \mathbf { b } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta h _ { \mathrm { ~ s ~ } } \equiv h _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { \prime \prime } + \frac { 1 } { r } h _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { \prime } = \frac { h _ { \mathrm { ~ s ~ } } } { l _ { c } ^ { 2 } } , \quad r > R , \quad h _ { \mathrm { ~ s ~ } } ( R ) = - \delta , \quad h _ { \mathrm { ~ s ~ } } \rightarrow 0 \quad \mathrm { ~ a ~ s ~ } \quad r \rightarrow \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { B a c k f l o w ~ p r o p o r t i o n } } & { = 1 - \Delta \Tilde { \phi } | _ { b = \sqrt { \frac { l _ { 1 } } { l _ { 2 } } } } } \\ & { = 1 - \frac { 1 } { \pi } \operatorname { a r c c o s } ( \frac { - 2 } { \sqrt { \frac { l _ { 1 } } { l _ { 2 } } } + \sqrt { \frac { l _ { 2 } } { l _ { 1 } } } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { v o l } ( S ^ { \prime } ) } { \mathrm { v o l } ( H ) } } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 1 - c \delta } ^ { 1 } \operatorname* { P r } ( x \cdot a > 1 \mid x _ { i } ) \; d x _ { i } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 1 - c \delta } ^ { 1 } \operatorname* { P r } ( \bar { x } \cdot \bar { a } \ge 1 - x _ { i } \cdot a _ { i } ) \; d x _ { i } } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \Psi _ { 1 } \left( \left. \begin{array} { l } { N + 1 , 1 } \\ { N + 1 , 1 } \end{array} \right| x , y \right) \, = \, \frac { \Gamma ( \epsilon ) } { \Gamma ( N ) \Gamma ( \epsilon - N - 1 ) } \, \times } \\ { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \, \mathrm { d } \xi \, \mathrm { d } \eta \, \frac { \eta ^ { N } ( 1 - \xi ) ^ { N - 1 } ( 1 - \eta ) ^ { \epsilon - N - 2 } } { ( 1 - x \xi ) ^ { N + 1 } } \, } \\ { \displaystyle \times \, \exp \left( - \frac { y \eta } { x \xi - 1 } \right) \, { } _ { 1 } F _ { 1 } \left( 1 - \epsilon ; 1 ; \frac { y \eta } { x \xi - 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left[ \operatorname* { s u p } _ { n \in \left\{ 0 , \ldots , \lfloor T N \rfloor \right\} } \left| \nabla \phi _ { L } \left( \frac { n } { N } , e \right) \right| \geq \frac { K } { 2 } \right] } & { \leq \sum _ { n = 0 } ^ { \lfloor T N \rfloor } \mathbb { P } \left[ \left| \nabla \phi _ { L } \left( \frac { n } { N } , e \right) \right| \geq \frac { K } { 2 } \right] } \\ & { \leq C K ^ { r } T \exp \left( - c K ^ { r } \right) } \\ & { \leq C T \exp \left( - c K ^ { r } \right) , } \end{array}
{ C _ { T , 1 } } = \frac { 1 } { { | { V ^ { S } } | } } \sum _ { i = 1 } ^ { | { V ^ { S } } | } \left| \left| { \operatorname* { m a x } ( | { v } _ { y , i } ^ { S , o p t } | - | { v } _ { y , i } ^ { S , i n i t } | , 0 ) } \right| \right| ^ { 2 } \; \; ,
\vert \psi ^ { m } \rangle = \left( \sum _ { j } ^ { N } \beta _ { j } ^ { m } \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } + \sum _ { p } ^ { n _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ } } } \alpha _ { p } ^ { m } \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } \right) \vert \phi _ { 0 } \rangle
\widetilde { F } _ { \gamma } ^ { 3 \pi } ( s , t ^ { \prime } ) = 1 . 0 3 1 9 - 0 . 0 0 0 6 5 ( \bar { s } + \bar { t ^ { \prime } } ) + 0 . 0 0 0 2 2 ( \bar { s } ^ { 2 } + \bar { s } \bar { t ^ { \prime } } + \bar { t ^ { \prime } } ^ { 2 } ) \, ,
\mathsf { Q } ^ { \sf T } \left[ \tau \right] \left( \sf { D i v } _ { \mathsf { X } } \left[ \sf { Q } [ \tau ] \mathsf { C } \mathsf { H } _ { \tau } ^ { \star } \right] - \rho _ { 0 } \sf { A } _ { \tau } \left[ \sf X \right] \right) \cdot \mathsf { c } _ { 2 } \left[ \mathsf { X } \right] = 0 .
\begin{array} { r l } { \Psi _ { 1 } ^ { k } } & { \; { : = } \; \left( \frac { 1 } { 2 \eta } + \frac { \lambda } { 4 } \right) \| { \tilde { x } } ^ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { 2 \sigma } + \frac { \gamma } { 2 } \right) \frac { 1 } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| y _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { * } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 \eta } \| x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + f ( x ^ { k } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) + m \left( f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { k } ) \right) + \frac { 1 } { N } \mathbb { E } _ { k } \langle A Y ^ { k } - A Y ^ { * } , x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \rangle } \\ & { \qquad + \frac { 3 ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta } \| e ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 2 1 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta n ^ { 2 } } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| e _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { 8 4 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { 5 \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } } \| h ^ { k } - u ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 1 5 1 2 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { 5 \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } n ^ { 2 } } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| h _ { \tau } ^ { k } - u _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int { \frac { \delta V } { \delta \rho ( { \boldsymbol { r } } ) } } \ \phi ( { \boldsymbol { r } } ) \ d { \boldsymbol { r } } } & { = \left[ { \frac { d } { d \varepsilon } } \int { \frac { \rho ( { \boldsymbol { r } } ) + \varepsilon \phi ( { \boldsymbol { r } } ) } { | { \boldsymbol { r } } | } } \ d { \boldsymbol { r } } \right] _ { \varepsilon = 0 } } \\ & { = \int { \frac { 1 } { | { \boldsymbol { r } } | } } \, \phi ( { \boldsymbol { r } } ) \ d { \boldsymbol { r } } \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l r l r l r l r l r l r l } { x ^ { * } } & { = \frac { x } { H _ { 0 } } , \quad } & { v ^ { * } } & { = \frac { v } { a _ { 0 } } , \quad } & { t ^ { * } } & { = \frac { t } { H _ { 0 } / a _ { 0 } } , \quad } & { \rho ^ { * } } & { = \frac { \rho } { \rho _ { 0 } } , \quad } & { T ^ { * } } & { = \frac { T } { T _ { 0 } } , \quad } & { p ^ { * } } & { = \frac { p } { \rho _ { 0 } a _ { 0 } ^ { 2 } } , \quad } & { m ^ { * } } & { = \frac { m } { m _ { O } } , } \\ { \mu ^ { * } } & { = \frac { \mu } { \mu _ { 0 } } , \quad } & { \kappa ^ { * } } & { = \frac { \kappa } { \kappa _ { 0 } } , \quad } & { g ^ { * } } & { = \frac { g } { g _ { 0 } } , \quad } & { \omega ^ { * } } & { = \frac { \omega } { \omega _ { 0 } } , \quad } & { \phi ^ { * } } & { = \frac { \phi } { H _ { 0 } ^ { 2 } } , \quad } & { I ^ { * } } & { = \frac { I } { a _ { 0 } / H _ { 0 } ^ { 3 } } , \quad } & { \lambda ^ { * } } & { = \frac { \lambda } { \lambda _ { 0 } } , } \end{array}
\frac { \tau \langle w ^ { 2 } \rangle _ { \tau } } { w _ { f } } = q R \int _ { - \theta _ { b } } ^ { \theta _ { b } } \mathrm { d } \theta \frac { w } { w _ { f } } = q R \int _ { - \theta _ { b } } ^ { \theta _ { b } } \mathrm { d } \theta \sqrt { 1 - \kappa ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \theta / 2 ) } ,
M _ { \infty } = \left( \begin{array} { l l l l l } { t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } } & { 0 } & { \dots } & & { 0 } \\ { t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 5 } } & { t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } } & { 0 } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & & { \vdots } \\ { t _ { \infty , 3 } } & & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } \\ { t _ { \infty , 1 } } & { t _ { \infty , 3 } } & { \dots } & & { t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } } \end{array} \right) .
Q = \int _ { k _ { \perp i } } ^ { k _ { \perp f } } d \overline { { Q } } ( k _ { \perp } ) = \sum _ { k _ { \perp } } \delta \big ( \overline { { Q } } ( k _ { \perp } ) \big ) = \sum _ { k _ { \perp } } \delta ( 2 \gamma b _ { k } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { H _ { I } = \frac { 1 } { 2 } \hbar \Omega \left( \sigma _ { + } e ^ { - i ( \Delta t - \phi ) } + \sigma _ { - } e ^ { i ( \Delta t - \phi ) } \right) + } & { { } \frac { 1 } { 2 } \hbar \eta \Omega \left( a \sigma _ { + } e ^ { - i ( \Delta + \omega _ { z } ) t + i \tilde { \phi } } + a ^ { \dagger } \sigma _ { - } e ^ { i ( \Delta + \omega _ { z } ) t - i \tilde { \phi } } \right) } \\ { + } & { { } \frac { 1 } { 2 } \hbar \eta \Omega \left( a ^ { \dagger } \sigma _ { + } e ^ { - i ( \Delta - \omega _ { z } ) t + i \tilde { \phi } } + a \sigma _ { - } e ^ { i ( \Delta - \omega _ { z } ) t - i \tilde { \phi } } \right) \, , } \end{array}
\delta _ { \mathrm { s p } } \phi ( X ) = - \frac { i } { 2 } \omega ^ { \alpha \beta } \left[ \mathbf { Q } _ { \alpha \beta } , \phi \right] _ { \star } ( X ) = \frac { 1 } { 2 } \omega ^ { \alpha \beta } D _ { \alpha \beta } \phi ( X ) ,
\| v ^ { - 1 } \| _ { \infty } \leqslant C \, \bigl ( \| v ^ { - 1 } \| _ { 2 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( \| v _ { x x } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \nu ) ^ { \frac { 1 } { 4 } } + ( \| v _ { x x } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \nu ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \bigr ) \ \forall \, \nu \geqslant 0 .
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m } _ { \omega _ { 0 } / \beta \to \infty } \hat { H } _ { F } ( \hat { x } , \hat { p } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } d t \hat { H } ( t ) . } \end{array}
\frac { p ( F ( \Gamma _ { 0 \rightarrow 2 t + \tau } ) = A ) } { p ( F ( \Gamma _ { 0 \rightarrow 2 t + \tau } ) = - A ) } = \left< e ^ { - \Omega _ { 0 , 2 t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) } \right> _ { F ( \Gamma _ { 0 \rightarrow 2 t + \tau } ) = - A } ,
\begin{array} { r l } { P _ { \mathcal { F } } \left( \frac { \partial } { \partial x } \right) } & { = \frac { I J m + J m ^ { 2 } \sin ^ { 2 } { \left( \varphi \right) } } { L ( \varphi ) } Y ^ { 1 } - \frac { J m ^ { 2 } \sin { \left( \varphi \right) } \cos { \left( \varphi \right) } } { L ( \varphi ) } Y ^ { 2 } } \\ { P _ { \mathcal { F } } \left( \frac { \partial } { \partial y } \right) } & { = \frac { I m - J m ^ { 2 } \sin { \left( \varphi \right) } \cos { \left( \varphi \right) } } { L ( \varphi ) } Y ^ { 1 } + \frac { - I m + J m ^ { 2 } \cos ^ { 2 } { \left( \varphi \right) } } { L ( \varphi ) } Y ^ { 2 } } \\ { P _ { \mathcal { F } } \left( \frac { \partial } { \partial \theta } \right) } & { = \frac { - I J m \cos { \left( \varphi \right) } - I m \sin { \left( \varphi \right) } } { L ( \varphi ) } Y ^ { 1 } + \frac { I m \sin { \left( \varphi \right) } } { L ( \varphi ) } Y ^ { 2 } } \\ { P _ { \mathcal { F } } \left( \frac { \partial } { \partial \varphi } \right) } & { = \frac { - I J - J m \sin ^ { 2 } { \left( \varphi \right) } } { L ( \varphi ) } Y ^ { 1 } + \frac { J m \sin { \left( \varphi \right) } \cos { \left( \varphi \right) } } { L ( \varphi ) } Y ^ { 2 } , } \end{array}
u ( \gamma ) = P \left\{ \gamma \left[ \alpha ( a ) , \beta ( b ) \right] | ( a , b ) \in U \right\} = \sum _ { ( a , b ) \in U } P \left\{ \gamma \left[ \alpha ( a ) , \beta ( b ) \right] \right\} \cdot P \left[ ( a , b ) | U \right] ,
\begin{array} { r l r } { \vec { \mathcal { E } } _ { 1 } ( 2 ) } & { { } = } & { \stackrel { \leftrightarrow } { \mathcal { G } } \left( 2 , 1 \right) \vec { \mathcal { P } } _ { 1 } \, . } \end{array}
\delta \mathrm { A } = \mathrm { A } ^ { \prime } \xi _ { \mathrm { B } } + \xi _ { \mathrm { B } } ^ { \prime } \mathrm { A } - [ \Lambda _ { \mathrm { B } } \, \mathrm { A } - \mathrm { A \, } \Lambda _ { \mathrm { B } } ] + k \, \mu \, \Lambda _ { \mathrm { B } } ^ { \prime } = 0 ,
\dot { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ y Ḍ Ḍ } ( t ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) = \mathbf J _ { 2 n } \nabla _ { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ y Ḍ Ḍ } H ( \ensuremath { \mathbf Ḋ y Ḍ } ( t ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) , \qquad \ensuremath { \mathbf Ḋ y Ḍ } ( 0 ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) = \ensuremath { \mathbf Ḋ y Ḍ } _ { 0 } ( \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) .
k _ { \perp } v _ { \mathrm { A } } t _ { \mathrm { s } } ^ { \mathrm { d a } } \approx \frac { \sqrt { 6 } } { 4 \alpha \sqrt { \beta _ { \mathrm { i 0 } } } } \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad k _ { \perp } v _ { \mathrm { A } } t _ { \mathrm { s } } ^ { \mathrm { s a } } \approx \frac { 1 2 \sqrt { 3 } } { 2 9 \alpha \sqrt { \beta _ { \mathrm { i 0 } } } } \simeq 1 . 1 7 k _ { \perp } v _ { \mathrm { A } } t _ { \mathrm { s } } ^ { \mathrm { d a } } .
I _ { \mathrm { n p } } ( \chi _ { D _ { k } } ) = \int _ { \Omega } \theta d | D \chi _ { D _ { k } } | + P _ { h } \mathrm { V o l } ( D _ { k } ) + \int _ { U _ { k } } \rho _ { s } U ^ { \mathrm { v d W } } ( x ) \, d x .
\Gamma _ { \pi } = \Gamma _ { \Delta } \bigg [ { \frac { P _ { \pi } ^ { * } } { P _ { \pi \Delta } ^ { * } } } \bigg ] ^ { 3 } \bigg [ { \frac { P _ { \pi \Delta } ^ { * 2 } + X ^ { 2 } } { P _ { \pi } ^ { * 2 } + X ^ { 2 } } } \bigg ] , \ \ \Gamma _ { \gamma } = \Gamma _ { \Delta } \bigg [ { \frac { K ^ { * } } { K _ { \Delta } ^ { * } } } \bigg ] ^ { 2 } \bigg [ { \frac { K _ { \Delta } ^ { * 2 } + X ^ { 2 } } { K ^ { * 2 } + X ^ { 2 } } } \bigg ] ,
\nu _ { c } = \sqrt { \frac { 1 } { 2 } - U _ { 0 } ^ { 2 } } \, , \quad \delta = \frac { P ^ { 2 } } { \nu _ { c } ^ { 2 } ( 1 - P ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } P ^ { 2 } } \, .
( X ) _ { l l ^ { \prime } } = - \frac { \alpha } { n + \frac { \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } } { 2 } } \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { n - | m | - 1 } \left( 2 n _ { 1 } - n + | m | + \frac { \delta _ { 1 } - \delta _ { 2 } } { 2 } + 1 \right) \widetilde W _ { n l m } ^ { n _ { 1 } } ( \delta _ { 1 } , \delta _ { 2 } ) \widetilde W _ { n l ^ { \prime } m } ^ { n _ { 1 } } ( \delta _ { 1 } , \delta _ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { \frac { \hbar \omega } { e F _ { \mathrm { m a x } } } k _ { n } ( t _ { n } ^ { \prime } ) = \pm \sqrt { \frac { i \Gamma + \Delta } { 2 U _ { \mathrm { p } } } } \equiv \pm \zeta _ { 0 } \sqrt { \frac { \hbar \omega } { 2 U _ { \mathrm { p } } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \displaystyle x _ { \xi } = \frac { \partial x } { \partial \xi } \, \mathrm { ~ , ~ } } & { { } \displaystyle x _ { \eta } = \frac { \partial x } { \partial \eta } \, \mathrm { ~ , ~ } } & { \displaystyle x _ { \zeta } = \frac { \partial x } { \partial \zeta } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \displaystyle y _ { \xi } = \frac { \partial y } { \partial \xi } \, \mathrm { ~ , ~ } } & { { } \displaystyle y _ { \eta } = \frac { \partial y } { \partial \eta } \, \mathrm { ~ , ~ } } & { \displaystyle y _ { \zeta } = \frac { \partial y } { \partial \zeta } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \displaystyle z _ { \xi } = \frac { \partial z } { \partial \xi } \, \mathrm { ~ , ~ } } & { { } \displaystyle z _ { \eta } = \frac { \partial z } { \partial \eta } \, \mathrm { ~ , ~ } } & { \displaystyle z _ { \zeta } = \frac { \partial z } { \partial \zeta } \, \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
W = \frac { M _ { V } ( 1 - \frac { Q \overline { { { Q } } } } { M _ { V } M _ { S } } ) \Lambda _ { S U ( 3 ) } ^ { 6 } } { ( P \overline { { { U } } } ) ( P \overline { { { D } } } ) } + M _ { Q } Q \overline { { { Q } } } + \lambda P \overline { { { U } } } L .
\begin{array} { r } { j | j + k | ^ { \alpha - 2 } k \ge _ { \alpha } \left\{ \begin{array} { l l } { j k ^ { \alpha - 1 } \ge _ { \alpha } j ^ { \alpha - 1 } k , } & { \mathrm { ~ i f ~ k ~ < ~ j ~ \le ~ 2 k ~ , } } \\ { j j ^ { \alpha - 2 } k \ge _ { \alpha } j ^ { \alpha - 1 } k , } & { \mathrm { ~ i f ~ j ~ > ~ 2 k ~ . } } \end{array} \right. } \end{array}
T = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( { \frac { 1 } { 2 } } M \mathbf { V } _ { i } \cdot \mathbf { V } _ { i } + { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { \omega } } _ { i } \cdot [ I _ { R } ] { \vec { \omega } } _ { i } ) ,
\begin{array} { r l } { | \widetilde { A _ { t , j } ^ { k } } f ( y ) | } & { \lesssim _ { N } 2 ^ { j } ( c 2 ^ { d k } + 1 ) \int _ { \mathbb { R } } \frac { | \widetilde { A _ { s , j } ^ { k } } f ( y ) | } { ( 1 + 2 ^ { j } ( c 2 ^ { d k } + 1 ) | t - s | ) ^ { N } } d s + 2 ^ { - j N } ( c 2 ^ { d k } + 1 ) ^ { - N } \| f \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { \textup { b i a s } } \left( \frac L \lambda \cdot \left( \frac { \sqrt d } { \beta n } + \frac 1 { \sqrt n } \right) \right) \le \frac { \epsilon _ { \textup { o p t } } } { C _ { \textup { b a } } \lambda R } , } \\ { \frac { C _ { \textup { v a r } } L ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } \left( \frac { d } { \beta ^ { 2 } T _ { 3 } ^ { 2 } } + \frac 1 { T _ { 3 } } \right) \le \frac { \epsilon _ { \textup { o p t } } ^ { 2 } K } { C _ { \textup { b a } } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } R ^ { 2 } } . } \end{array}
\left[ Q , X \right] = \left( \xi ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } \right) \left[ X , \frac { 1 } { \xi ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } \right] \left( \xi ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } \right) \left( H - E \right) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { T } \alpha ( t ) \int _ { \Omega } \partial _ { t } u ^ { N } \phi _ { j } d x d t = \int _ { 0 } ^ { T } \alpha ( t ) \int _ { \Omega } M _ { \theta } ( u ^ { N } ) \nabla \frac { \mu ^ { N } } { g _ { \theta } ( u ^ { N } ) } \cdot \nabla \frac { \phi _ { j } } { g _ { \theta } ( u ^ { N } ) } d x d t } \\ & { = } & { \int _ { \Omega _ { T } } M _ { 0 } \alpha ( t ) \nabla \frac { \mu ^ { N } } { g _ { \theta } ( u ^ { N } ) } \cdot \nabla \phi _ { j } d x d t } \\ & { } & { - \int _ { \Omega _ { T } } \alpha ( t ) \sqrt { M _ { 0 } } \phi _ { j } \frac { g _ { \theta } ^ { \prime } ( u ^ { N } ) } { g _ { \theta } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( u ^ { N } ) } \nabla u ^ { N } \cdot \sqrt { M _ { \theta } ( u ^ { N } ) } \nabla \frac { \mu ^ { N } } { g _ { \theta } ( u ^ { N } ) } d x d t } \\ & { } & { = I - I I . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { \downarrow } ( \Delta , \alpha ) } & { { } = \frac { ( \alpha - 2 ) ( 1 - \Delta ^ { 1 - \alpha } ) } { ( \alpha - 1 ) ( 1 - \Delta ^ { 2 - \alpha } ) } , } \\ { \tau _ { \uparrow } ( \Delta , \alpha ) } & { { } = \Delta \tau _ { \downarrow } , } \\ { \eta ( \Delta , \alpha ) } & { { } = \frac { ( \alpha - 1 ) } { 1 - \Delta ^ { 1 - \alpha } } \tau _ { \downarrow } ^ { \alpha - 1 } , } \end{array}
\mathsf { u } _ { e } ^ { n + 1 } = ( 1 - \alpha _ { e } ) \mathsf { u } _ { e } ^ { H , n + 1 } + \alpha _ { e } \mathsf { u } _ { e } ^ { L , n + 1 } = \mathsf { u } _ { e } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Delta x _ { e } } [ ( 1 - \alpha _ { e } ) \mathsf { R } _ { e } ^ { H } + \alpha _ { e } \mathsf { R } _ { e } ^ { L } ]
\begin{array} { r } { c _ { i j } ^ { S } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \qquad i , j \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ o ~ n ~ t ~ a ~ c ~ t ~ } , } \\ { 0 \qquad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb E _ { Z \sim \mathbb Q } \left[ \ell ( \theta ^ { \star } , Z ) \right] \leq \mathbb E _ { Z \sim \mathbb Q ^ { \star } } \left[ \ell ( \theta ^ { \star } , Z ) \right] \leq \mathbb E _ { Z \sim \mathbb Q ^ { \star } } \left[ \ell ( \theta , Z ) \right] \quad \forall \theta \in \Theta , ~ \mathbb Q \in \mathbb B _ { \varepsilon } ( \widehat { \mathbb P } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb P ( \exists v _ { 1 } , \dots , v _ { M } \mathrm { ~ c o n n e c t e d ~ i n ~ b o t h ~ } G _ { k } \mathrm { ~ a n d ~ } G ^ { k } ) } \\ & { \le \mathbb P \bigg ( \operatorname* { m a x } _ { u \in [ n ] } | \mathcal { C } ^ { k } ( u ) | \ge n ^ { 3 / 4 } \bigg ) + \mathbb P \bigg ( \operatorname* { m a x } _ { u \in [ n ] } | \mathcal { C } _ { k } ( u ) | \ge \frac 2 { I _ { \lambda _ { k } } } \log n \bigg ) + \mathcal O \bigg ( \frac { ( \log n ) ^ { M - 1 } } { n ^ { \frac { M - 5 } { 4 } } } \bigg ) = o ( 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { k \setminus i } ^ { t } = m _ { k \setminus i } ^ { t } [ \boldsymbol { \mathcal { O } } ] } & { = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { k } } \int D \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] x _ { k } ^ { t } } \\ & { = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { k } } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \boldsymbol { s } _ { k } = 0 | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] x _ { k } ^ { t } , } \end{array}
\operatorname* { m a x } x _ { 0 } ( A _ { 0 0 } x _ { 0 } + A _ { 0 1 } x _ { 1 } ) + x _ { 1 } ( A _ { 1 0 } x _ { 0 } + A _ { 1 1 } x _ { 1 } ) \, x _ { 0 } ( P _ { 0 0 1 } x _ { 0 } + P _ { 0 1 1 } x _ { 1 } ) + x _ { 1 } ( P _ { 1 0 1 } x _ { 0 } + P _ { 1 1 1 } x _ { 1 } ) - k \le 0 \, x _ { 0 } ( P _ { 0 0 2 } x _ { 0 } + P _ { 0 1 2 } x _ { 1 } ) + x _ { 1 } ( P _ { 1 0 2 } x _ { 0 } + P _ { 1 1 2 } x _ { 1 } ) - k \le 0
\phi _ { \varepsilon } ( x ) = \mathbf { 1 } _ { \left\{ \mathbf { n } ( x ) = n , \mathbf { s } ( x ) = s \right\} } \Big ( \prod _ { \substack { j = 1 \, j \neq i } } ^ { n - s } \mathbf { 1 } _ { [ a _ { j } , b _ { j } ] } * \varphi _ { \varepsilon } ( \tau _ { j } ) \Big ) \mathbf { 1 } _ { { c } } * \varphi _ { \varepsilon } ( \tau _ { i } ) .
\begin{array} { r l r } { \textrm { t i m e r e v e r s i b i l i t y : } \quad } & { } & { \psi ^ { * } ( x , - t ) ; } \\ { \textrm { l e n s t r a n s f o r m a t i o n : \quad } } & { } & { \displaystyle \Psi ( \xi , \tau ) = \sqrt { L } \exp \left( - i \frac { L _ { t } } { L } \frac { x ^ { 2 } } { 4 } \right) \psi ( x , t ) , \ \xi = \frac { x } { L ( t ) } , \ \tau = \int _ { 0 } ^ { t } \frac { d s } { L ^ { 2 } ( s ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } V | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { k - 1 } G ^ { - 1 } ( v ) ^ { \prime } \psi _ { n } d x } \\ & { \le C _ { 1 } \biggl ( \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } V | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { k } d x \biggr ) ^ { 1 - 1 / k } \cdot \biggl ( \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } V | G ^ { - 1 } ( \psi _ { n } ) | ^ { k } d x \biggr ) ^ { 1 / k } } \\ & { \quad + C _ { 2 } \biggl ( \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } V | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { k } \biggr ) ^ { 1 - \alpha / k } \cdot \biggl ( \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } V | G ^ { - 1 } ( \psi _ { n } ) | ^ { k } d x \biggr ) ^ { \alpha / k } } \end{array}
p _ { 0 } \left( q _ { 0 } + q _ { 1 } X + \dots + q _ { n } X ^ { n } \right) = p _ { 0 } q _ { 0 } + \left( p _ { 0 } q _ { 1 } \right) X + \cdots + \left( p _ { 0 } q _ { n } \right) X ^ { n }
\begin{array} { l l } { \hat { H } } & { { = } { \mathit { \sum } } _ { k } [ \left[ \frac { A _ { k } { - } B _ { k } } { { 2 } } { + } \frac { \sqrt { \left( A _ { k } { + } B _ { k } \right) ^ { 2 } { - } { 4 } C _ { k } ^ { { 2 } } } } { { 2 } } \right] \hat { \alpha } _ { k } ^ { { \dagger } } \hat { \alpha } _ { k } } \\ & { \quad { + } \left[ \frac { { - } A _ { k } { + } B _ { k } } { { 2 } } { + } \frac { \sqrt { \left( A _ { k } { + } B _ { k } \right) ^ { 2 } { - } { 4 } C _ { k } ^ { { 2 } } } } { { 2 } } \right] \hat { \beta } _ { k } ^ { { \dagger } } \hat { \beta } _ { k } ] { + } c o n s t } \\ & { { \equiv } \sum _ { k } ( { w _ { k } ^ { \alpha } \hat { \alpha } _ { k } ^ { { \dagger } } \hat { \alpha } _ { k } { + } w _ { k } ^ { \beta } \hat { \beta } _ { k } ^ { { \dagger } } \hat { \beta } _ { k } } ) + c o n s t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu } & { { } = \tau P _ { 0 } , } \\ { \eta } & { { } = \left( \frac { 5 } { 3 } - \frac { \partial \ln P _ { 0 } } { \partial \ln \rho } \right) \tau P _ { 0 } . } \end{array}