harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
u { \frac { \partial \upsilon } { \partial x } } + \upsilon { \frac { \partial \upsilon } { \partial y } } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial p } { \partial y } } + { \nu } \left( { \frac { \partial ^ { 2 } \upsilon } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } \upsilon } { \partial y ^ { 2 } } } \right)
\forall ( s , i ) , ( s ^ { \prime } , i ^ { \prime } ) \in \Omega ( n ) , \quad \left( Q _ { \lambda , \gamma } ( n ) \right) _ { ( s , i ) , ( s ^ { \prime } , i ^ { \prime } ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l } { - \lambda s i - \gamma i \; \; } & { \mathrm { ~ i f ~ } ( s ^ { \prime } , i ^ { \prime } ) = ( s , i ) ; } \\ { \lambda s i \; \; } & { \mathrm { ~ i f ~ } ( s ^ { \prime } , i ^ { \prime } ) = ( s - 1 , i + 1 ) ; } \\ { \gamma i \; \; } & { \mathrm { ~ i f ~ } ( s ^ { \prime } , i ^ { \prime } ) = ( s , i - 1 ) ; } \\ { 0 \; \; } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e . } } \end{array} } \end{array} \right.
\operatorname* { l i m } _ { \substack { \tau _ { \downarrow } \rightarrow 0 \, \tau _ { \uparrow } \rightarrow \infty } } P _ { \tau } ( \lambda \tau ) = \operatorname* { l i m } _ { \substack { \tau _ { \downarrow } \rightarrow 0 \, \tau _ { \uparrow } \rightarrow \infty } } \lambda ^ { - \alpha } P _ { \tau } ( \tau ) ,
{ \cal B } _ { N _ { 1 } , \ldots , N _ { 1 0 } } : = { S } _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } \alpha _ { 4 } } ^ { N _ { 1 } N _ { 2 } N _ { 3 } N _ { 4 } } \ { S } _ { \alpha _ { 4 } \alpha _ { 5 } \alpha _ { 6 } \alpha _ { 7 } } ^ { N _ { 4 } N _ { 5 } N _ { 6 } N _ { 7 } } \ { S } _ { \alpha _ { 7 } \alpha _ { 3 } \alpha _ { 8 } \alpha _ { 9 } } ^ { N _ { 7 } N _ { 3 } N _ { 8 } N _ { 9 } } \ { S } _ { \alpha _ { 9 } \alpha _ { 6 } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 1 0 } } ^ { N _ { 9 } N _ { 6 } N _ { 2 } N _ { 1 0 } } \ { S } _ { \alpha _ { 1 0 } \alpha _ { 8 } \alpha _ { 5 } \alpha _ { 1 } } ^ { N _ { 1 0 } N _ { 8 } N _ { 5 } N _ { 1 } } .
P ( { \overline { { x } } } ( t ) ) \leq { \overline { { P } } } ( t ) { \mathrm { ~ } } , { \mathrm { } } Y _ { i } ( { \overline { { x } } } ( t ) ) \leq { \overline { { Y } } } _ { i } ( t ) { \mathrm { ~ } } \forall i \in \{ 1 , \ldots , K \}
\left[ \begin{array} { l l } { \cos \left( { \frac { \pi } { 6 } } \right) } & { - \sin \left( { \frac { \pi } { 6 } } \right) } \\ { \sin \left( { \frac { \pi } { 6 } } \right) } & { \cos \left( { \frac { \pi } { 6 } } \right) } \end{array} \right]
L _ { i n t } ^ { \prime } = \frac { 1 } { a } \phi ^ { a } D _ { m } { \phi ^ { a } } ^ { ( 1 ) } { H _ { k } } ^ { ( e x t ) } = \frac { 1 } { 2 a } \varepsilon _ { m n k } F _ { m n } ^ { a } \phi ^ { a } H _ { k } ^ { ( e x t ) }
E _ { z x , x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } = { \frac { 3 } { 2 } } n l ( l ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) V _ { d d \sigma } + n l [ 1 - 2 ( l ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ] V _ { d d \pi } - n l [ 1 - ( l ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) / 2 ] V _ { d d \delta }
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } M ( t ) = 4 \pi \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \int \rho ( a ( t ) l , t ) \, a ^ { 3 } ( t ) \ l ^ { 2 } \, \mathrm { d } l \overset { ! } { = } 0 .
\frac { \delta \mathcal { L } } { \delta \psi _ { k , \sigma } ^ { ( i ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) } = - 2 w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) ) \frac { \partial \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) } { \partial \psi _ { k , \sigma } ^ { ( i ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) } + \hat { \mathcal { { H } } } _ { \sigma } p _ { k , \sigma } ^ { ( i ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \sum _ { j } ^ { m _ { k , \sigma } } p _ { j , \sigma } ^ { ( j ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) E _ { i j } + \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { k , \sigma } } ( D _ { k , \sigma , i j } + D _ { k , \sigma , j i } ) \psi _ { k , \sigma } ^ { ( j ) } \, .
\begin{array} { r l } { \left\langle \left| a _ { i } \left( t , \mathbf { x } \right) \right| ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = \left( 1 + t \right) / \Delta A _ { x } . } \\ { \left\langle \left| a _ { i } \left( t , \mathbf { k } \right) \right| ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = \left( 1 + t \right) / \Delta A _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau ( 1 ( y _ { 1 } \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } y _ { 1 } \rho _ { 2 } \rho _ { 1 } ) ^ { 3 } 1 ) } & { = } & { ( \gamma ( y _ { 1 } \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) \gamma ( 1 , \rho _ { 2 } ) ) ^ { 3 } = ( \beta _ { 2 } ^ { - 1 } \alpha _ { 2 } ) ^ { 3 } , } \\ & { } & \\ { \tau ( y _ { 1 } ( y _ { 1 } \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } y _ { 1 } \rho _ { 2 } \rho _ { 1 } ) ^ { 3 } y _ { 1 } ) } & { = } & { ( \gamma ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) \gamma ( y _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) ) ^ { 3 } = ( \alpha _ { 2 } ^ { - 1 } \beta _ { 2 } ) ^ { 3 } , } \\ & { } & \\ { \tau ( \rho _ { 1 } ( y _ { 1 } \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } y _ { 1 } \rho _ { 2 } \rho _ { 1 } ) ^ { 3 } \rho _ { 1 } ) } & { = } & { ( \gamma ( \rho _ { 1 } , y _ { 1 } ) \gamma ( y _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) \gamma ( y _ { 1 } \rho _ { 1 } , y _ { 1 } ) \gamma ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) ) ^ { 3 } = ( \delta \beta _ { 2 } \delta ^ { - 1 } \alpha _ { 2 } ^ { - 1 } ) ^ { 3 } , } \\ & { } & \\ { \tau ( y _ { 1 } \rho _ { 1 } ( y _ { 1 } \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } y _ { 1 } \rho _ { 2 } \rho _ { 1 } ) ^ { 3 } \rho _ { 1 } y _ { 1 } ) } & { = } & { ( \gamma ( y _ { 1 } \rho _ { 1 } , y _ { 1 } ) \gamma ( 1 , \rho _ { 2 } ) \gamma ( \rho _ { 1 } , y _ { 1 } ) \gamma ( y _ { 1 } \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) ) ^ { 3 } = ( \delta ^ { - 1 } \alpha _ { 2 } \delta \beta _ { 2 } ^ { - 1 } ) ^ { 3 } . } \end{array}
\Phi _ { \mathrm { M } } \equiv 1 - \bigg | \frac { \mathrm { T r } ( \hat { U } _ { \pi } ^ { \dagger } \hat { U } _ { \mathrm { M } } ) } { \mathrm { T r } ( \hat { U } _ { \pi } ^ { \dagger } \hat { U } _ { \pi } ) } \bigg | ^ { 2 } .
\int _ { 1 } ^ { \infty } d y \left( - \sqrt { \frac { y - 1 } { y - 1 + \epsilon / 4 } } + \ln ( \sqrt { y - 1 } + \sqrt { y - 1 + \epsilon / 4 } ) \right) \Phi ^ { \prime } ( y ) = O ( \epsilon \ln \epsilon ) .
\begin{array} { r l } { \dot { W } _ { u } ( x ) } & { = 2 \int _ { 0 } ^ { L } { x ( z ) \Big ( c x _ { z z } ( z ) + \frac { x ( z ) } { 1 + | z - 1 | x ( z ) ^ { 2 } } v ( z ) \Big ) } d z } \\ & { \leq - 2 c \int _ { 0 } ^ { L } \left( x _ { z } ( z ) \right) ^ { 2 } d z + 2 \int _ { 0 } ^ { L } { x ^ { 2 } ( z ) | v ( z ) | d z } . } \end{array}
\zeta _ { a , b } ^ { ( 2 ) } ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { 1 - | z | } H _ { \alpha _ { a , b } } ^ { ( 1 ) } \! \left( \sqrt { \tilde { E } } \left( 1 - | z | \right) \right) } & { \tilde { E } \neq 0 } \\ { \left\{ \begin{array} { l l } { { \left( 1 - | z | \right) } ^ { \frac { 1 } { 2 } - { \alpha _ { a , b } } } } & { { \alpha _ { a , b } } \neq 0 } \\ { \sqrt { 1 - | z | } \ln { \left( 1 - | z | \right) } } & { { \alpha _ { a , b } } = 0 } \end{array} \right. } & { \tilde { E } = 0 } \end{array} \right. \; .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \triangleright \, \, } & { \textrm { O f f - c e n t e r e d f i x e d p o i n t : } } \\ & { \quad \Gamma < \Gamma _ { \ast } ( 0 ) , } \\ & { \bullet \quad \textrm { C e n t e r a n d s a d d l e - p o i n t i n t h e l o w e r h a l f , } } \\ & { \bullet \quad \textrm { A c c u m u l a t i o n o f P D F a r o u n d c e n t e r } } \\ & { \quad \quad \textrm { a n d p i n n i n g c u r v e , } } \\ & { \bullet \quad \textrm { D e p l e t i o n o f o t h e r p a r t s o f t h e l o w e r h a l f } } \\ { \triangleright \, \, } & { \textrm { S t a b l e n e a r - w a l l f i x e d p o i n t : } } \\ & { \quad \Gamma _ { \ast } ( 0 ) \leq \Gamma \leq \Gamma _ { \ast \ast } ( 0 ) , } \\ & { \quad \Gamma _ { w } \simeq \Gamma _ { \ast } ( 0 ) , } \\ & { \bullet \quad \textrm { A c c u m u l a t i o n o f P D F a r o u n d } } \\ & { \quad \quad \textrm { t h e c e n t e r a n d p i n n i n g c u r v e } } \\ { \triangleright \, \, } & { \textrm { C h i r a l i t y - d o m i n a n t s w i m m i n g : } } \\ & { \quad \Gamma > \Gamma _ { \ast \ast } ( 0 ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\mathbf { E } \approx - \frac { 1 } { 4 \pi e n _ { e } } B _ { z } \mathbf { \nabla _ { \bot } } B _ { z } - \frac { 1 } { e n _ { e } c } ( \mathbf { J _ { d } } + \mathbf { J _ { 0 } } ) \times \mathbf { B _ { z } } - \frac { \nabla p } { e n _ { e } } \ .
\begin{array} { r } { \underbrace { \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } [ F _ { t } ^ { * } ] } _ { \mathcal { F } ^ { * } } \ge - \frac { A } { V } + \underbrace { \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } [ F _ { t } ^ { o f f } ] } _ { \mathcal { F } ^ { o f f } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle P _ { H } ^ { * } \left( \int _ { [ G ^ { \prime } ] } K _ { f , \chi } ( . , g ^ { \prime } ) \eta _ { G ^ { \prime } } ( g ^ { \prime } ) d g ^ { \prime } \right) } & { = 2 ^ { - \dim ( \mathfrak { a } _ { L } ) } \int _ { i \mathfrak { a } _ { M } ^ { L , * } } \sum _ { \phi \in \mathcal { B } _ { P , \pi } } P _ { H } ^ { * } ( E ( . , I _ { P } ( \lambda , f ) \phi , \lambda ) ) \overline { { \beta _ { \eta } ( W ( \phi , \lambda ) ) } } d \lambda } \\ & { = 2 ^ { - \dim ( \mathfrak { a } _ { L } ) } \int _ { i \mathfrak { a } _ { M } ^ { L , * } } \sum _ { \phi \in \mathcal { B } _ { P , \pi } } Z _ { \psi } ^ { R S } ( 0 , W ( I _ { P } ( \lambda , f ) \phi , \lambda ) ) \overline { { \beta _ { \eta } ( W ( \phi , \lambda ) ) } } d \lambda } \\ & { = 2 ^ { - \dim ( \mathfrak { a } _ { L } ) } \int _ { i \mathfrak { a } _ { M } ^ { L , * } } I _ { \Pi _ { \lambda } } ( f ) d \lambda . } \end{array}
F _ { _ { ( 2 ) } } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c c } { { \ \; \; f ^ { - 1 } - f ^ { - 1 } M _ { _ { ( 2 ) } } C _ { _ { ( 2 ) } } M _ { _ { ( 2 ) } } ^ { ^ T } f ^ { - 1 } \; \; } } & { { \; \; - f ^ { - 1 } M _ { _ { ( 2 ) } } \omega _ { _ { ( 2 ) } } ^ { - 1 } R _ { _ { ( 2 ) } } ^ { ^ T } \gamma _ { _ { ( 2 ) } } ^ { - 1 } \; \; } } & { { \; \; - f ^ { - 1 } M _ { _ { ( 2 ) } } C _ { _ { ( 2 ) } } \; \; } } \\ { { - \gamma _ { _ { ( 2 ) } } ^ { - 1 } R _ { ( 2 ) } \omega _ { ( 2 ) } ^ { - 1 } M _ { _ { ( 2 ) } } ^ { ^ T } f ^ { - 1 } } } & { { \gamma _ { ( 2 ) } ^ { - 1 } } } & { { - \gamma _ { ( 2 ) } ^ { - 1 } R _ { _ { ( 2 ) } } \omega _ { _ { ( 2 ) } } ^ { - 1 } } } \\ { { C _ { _ { ( 2 ) } } M _ { _ { ( 2 ) } } ^ { ^ T } f ^ { - 1 } } } & { { \omega _ { _ { ( 2 ) } } ^ { - 1 } R _ { _ { ( 2 ) } } ^ { ^ T } \gamma _ { _ { ( 2 ) } } ^ { - 1 } } } & { { C _ { _ { ( 2 ) } } } } \end{array} \right) \; ,
{ \nu _ { d n } } = \frac 1 { t _ { d n } } , \ { \nu _ { d i } } = \frac 1 { t _ { d i } } , \ { \nu _ { A } } = \frac 1 { t _ { d A } } , \ { \nu _ { n i } } = \frac 1 { t _ { n i } }
\begin{array} { r l } { \Big | \widehat { \sigma } _ { \infty } ^ { 2 } ( k ) - \breve { \sigma } _ { \infty } ^ { 2 } ( k ) \Big | = } & { \Big | \frac { 1 } { R } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \Big ( \frac { 1 } { \sqrt { S } } \sum _ { i \in { \mathcal { S } _ { r } } } \breve { Y } _ { i } \Big ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { R } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \Big ( \frac { 1 } { \sqrt { S } } \sum _ { i \in { \mathcal { S } _ { r } } } Y _ { i } \Big ) ^ { 2 } \Big | } \\ { = } & { \Big | \frac { 1 } { R } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \Big ( \frac { 1 } { \sqrt { S } } \sum _ { i \in { \mathcal { S } _ { r } } } \breve { Y } _ { i } - Y _ { i } \Big ) \Big ( \frac { 1 } { \sqrt { S } } \sum _ { i \in { \mathcal { S } _ { r } } } \breve { Y } _ { i } + Y _ { i } \Big ) \Big | } \\ { = } & { \Big | \frac { 1 } { R } \sum _ { r = 1 } ^ { R } I _ { 1 } I _ { 2 } \Big | } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathscr F } : = \{ f \in \mathscr { S } \cap L ^ { 2 } ( I , \mathfrak { m } ) : f ( j ) = 0 \mathrm { ~ i f ~ } j \notin I \mathrm { ~ i s ~ a p p r o a c h a b l e ~ f o r ~ } j = l \mathrm { ~ o r ~ } r \} , } \\ & { { \mathscr E } ( f , g ) : = \frac { 1 } { 2 } \int _ { I } \frac { d f } { d \mathbf { s } } \frac { d g } { d \mathbf { s } } d \mathbf { s } , \quad f , g \in { \mathscr F } , } \end{array}
\Delta _ { \mathrm { ~ a ~ e ~ p ~ } } = 4 \log _ { 2 } \left( \sqrt { d } + 2 \right) \sqrt { \log _ { 2 } \left( \frac { 1 8 } { p _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { 4 } } \right) } .
\hat { h } ^ { x x } = \left. \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \dagger } \cdot \frac { \partial ^ { 2 } \hat { \mathcal { H } } _ { k } ^ { A } } { \partial A ^ { 2 } } \cdot \hat { \mathcal { U } } _ { k } \right\vert _ { A = 0 } \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } { \overline { { k } } _ { + 1 } } & { = k _ { - 1 } \frac { k _ { - 2 } + k _ { + 1 } n } { k _ { + 2 } + k _ { - 1 } n } \, , } \\ { \overline { { k } } _ { - 1 } } & { = k _ { + 1 } \frac { k _ { + 2 } + k _ { - 1 } n } { k _ { - 2 } + k _ { + 1 } n } \, , } \\ { \overline { { k } } _ { + 2 } } & { = k _ { - 2 } \frac { k _ { + 2 } + k _ { - 1 } n } { k _ { - 2 } + k _ { + 1 } n } \, , } \\ { \overline { { k } } _ { - 2 } } & { = k _ { + 2 } \frac { k _ { - 2 } + k _ { + 1 } n } { k _ { + 2 } + k _ { - 1 } n } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { z } ^ { s c t , p p } ( a ^ { p } , \phi ^ { p } ) = - { \frac { \omega \mu a ^ { p } } { 4 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } H _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( k R ^ { p p } ) J _ { z } ^ { p } ( a ^ { p } , \phi ^ { p } ) d \phi ^ { p } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } _ { a , n } ( \epsilon ) } & { : = \{ \hat { \kappa } _ { a } ( n ) \in [ \kappa _ { a } , \kappa _ { a } + \epsilon ] \} } \\ { \mathcal { A } _ { a , n } ( \epsilon ) } & { : = \{ \hat { \alpha } _ { a } ( n ) \in [ \alpha _ { a } - \epsilon _ { a , l } ( \epsilon ) , \alpha _ { a } + \epsilon _ { a , u } ( \epsilon ) ] \} } \\ { \mathcal { E } _ { a , n } ( \epsilon ) } & { : = \mathcal { K } _ { a , n } ( \epsilon ) \cap \mathcal { A } _ { a , n } ( \epsilon ) , } \end{array}
\langle V _ { N } ^ { ( 0 ) } | = { } _ { 1 \dots N } \langle 0 | \exp \left\{ \frac { 1 } { 2 } \, \sum _ { I , J = 1 } ^ { N } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \kappa \, a ^ { - ( I ) } ( \kappa ) \, \mu _ { N } ^ { I J } ( \kappa ) \, C a ^ { - ( J ) } ( \kappa ) \right\} .
\phi _ { 1 } = \frac { m } { \sqrt \lambda } \left\{ - \frac { 3 } { 4 } m ^ { 2 } t ^ { 2 } { \eta } _ { 0 } - \frac { 1 } { 4 } { \eta } _ { k { _ 0 } } + a _ { 1 } e ^ { i \omega _ { 1 } t } \frac { ~ \mathrm { { s h } } ~ z } { \mathrm { { c h } } ^ { 2 } ~ z } + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } a _ { k } { \widetilde C } _ { k } ( t ) \eta _ { k } ( x ) \right\}
B _ { j , k } = \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { \displaystyle 2 ( r - j ) k } { \displaystyle r } \qquad } } & { { j \geq k } } \\ { { B _ { k , j } } } & { { j < k } } \end{array} \right. , \qquad \qquad b _ { j } = \frac { r - j } { r } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \cdot ) } & { = \mathcal { L } _ { 1 } ^ { C E } ( \cdot ) + \mathcal { L } _ { 2 } ^ { C E } ( \cdot ) - \gamma \mathcal { L } _ { 3 } ^ { M I } ( \cdot ) } \\ & { = - \sum _ { x \in \mathcal { X } } p _ { \mathbb { X } } ( x ) \log { p _ { \lambda } ( \widehat { x } | k ) } } \\ & { - \sum _ { \widehat { x } \in \mathcal { X } } p _ { \lambda } ( \widehat { x } | k ) \log p _ { \mu } ( \widehat { y } | k ) - \gamma \mathrm { I } ( \widetilde { \Omega } ; \overline { { \Omega } } ) } \\ & { = - \sum _ { x \in \mathcal { X } } p _ { \mathbb { X } } ( x ) \log \left( p _ { \lambda } ( \widehat { x } | k ) \frac { p _ { \mu } ( \widehat { y } | k ) } { p _ { \mu } ( \widehat { y } | k ) } \right) } \\ & { - \sum _ { \widehat { x } \in \mathcal { X } } p _ { \lambda } ( \widehat { x } | k ) \log \left( p _ { \mu } ( \widehat { y } | k ) \frac { p _ { \lambda } ( \widehat { x } | k ) } { p _ { \lambda } ( \widehat { x } | k ) } \right) - \gamma \mathrm { I } ( \widetilde { \Omega } ; \overline { { \Omega } } ) } \\ & { = - \sum _ { x \in \mathcal { X } } p _ { \mathbb { X } } ( x ) \log p _ { \mu } ( \widehat { y } | k ) + \delta ( { \lambda , \mu , k } ) } \\ & { - \sum _ { \widehat { x } \in \mathcal { X } } p _ { \lambda } ( \widehat { x } | k ) \log p _ { \lambda } ( \widehat { x } | k ) - \delta ( { \lambda , \mu , k } ) - \gamma \mathrm { I } ( \widetilde { \Omega } ; \overline { { \Omega } } ) } \\ & { = \mathcal { L } ^ { C E } ( \cdot ) + H ( \widehat { \mathbb { X } } | K ) - \gamma \mathrm { I } ( \widetilde { \Omega } ; \overline { { \Omega } } ) } \\ & { \le \mathcal { L } ^ { C E } ( \cdot ) - \gamma \mathrm { I } ( \widetilde { \Omega } ; \overline { { \Omega } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { 3 } ( t ) = \sum _ { \nu = 1 } ^ { N _ { q } } [ a _ { x } ^ { ( \nu ) } ( t ) \sigma _ { x } ^ { ( \nu ) } + a _ { y } ^ { ( \nu ) } ( t ) \sigma _ { y } ^ { ( \nu ) } ] + \sum _ { \nu = 1 } ^ { N _ { q } - 1 } g \sigma _ { z } ^ { ( \nu ) } \sigma _ { z } ^ { { ( \nu + 1 ) } } . } \end{array}
{ \cal Z } ( L ( q , p ) , K ) = - i V \mathrm { e x p } ( - i \frac { \pi } { 6 } ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) ) \frac { \mathrm { e x p } - \frac { 2 i \pi } { k } \frac { e } { q } ( \tilde { n } - 1 / 2 ) } { 2 \mathrm { s i n } \pi e / k q }
\mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } _ { i } \! \cdot \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } _ { k } \, q _ { k } ^ { \, \gamma } q _ { i } ^ { \, \alpha } = q _ { k } ^ { \, \gamma } q _ { i } ^ { \, \alpha } - 2 ( \sigma _ { 2 } ) _ { \gamma \alpha } \, ( q _ { i } ^ { \mathrm { T } } \sigma _ { 2 } q _ { k } ) \, ,
\begin{array} { r l } { \left\vert { x _ { m } ^ { 1 / p } - x _ { 0 } ^ { 1 / p } } \right\vert } & { \le \frac { 1 } { p } \sum _ { j = 1 } ^ { m } a _ { j } + \left( \sum _ { j = 1 } ^ { m } b _ { j } \right) ^ { 1 / p } } \\ & { \le 8 m \frac { p ^ { t } ( ( t + 2 ) L _ { 3 p , \infty } ) ^ { t + 1 } } { \eta ^ { t + 2 } } + \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 1 / p } m ^ { 1 / p } \frac { ( 2 ( t + 2 ) p L _ { 3 p , \infty } ) ^ { t + 1 } } { 2 ^ { ( t - 2 ) / p } \eta ^ { t + 2 } } } \\ & { \le ( 2 ^ { t + 2 } + 1 0 m / p ) \frac { ( ( t + 2 ) p L _ { 3 p , \infty } ) ^ { t + 1 } } { \eta ^ { t + 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { G } _ { \Delta \phi } \big [ \langle S _ { D } \rangle ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ; \Delta \phi ) \big ] ( \omega _ { j } ) = \int d Z \, \, \langle S _ { D } \rangle ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ; \Delta \phi ) \, e ^ { - i \omega _ { j } \, Z } \, , } \end{array}
\sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } h _ { \tau } ^ { 2 } \| R _ { 3 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } \lesssim C _ { 1 } \Big ( \left\| \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } \right\| _ { 0 , \Omega } ^ { 2 } + \left\| \boldsymbol { f } - \boldsymbol { f } _ { h } \right\| _ { 0 , \Omega } ^ { 2 } + \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } h _ { \tau } ^ { 2 } \| \nabla \cdot \left( \boldsymbol { f } - \boldsymbol { f } _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } \Big ) ,
\widehat { \widetilde { S } } ( t , \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \mathrm { i } I \otimes \sigma _ { z } ^ { ( j ) } \sigma _ { z } ^ { ( k ) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \omega = ( j , k , 1 ) , } \\ { \mathrm { i } { \sigma _ { z } } ^ { ( j ) } { \sigma _ { z } } ^ { ( k ) } \otimes I } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \omega = ( j , k , 2 ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r c l } { t _ { u } ( q ) } & { = } & { t _ { S S l } \frac { K _ { M } + s _ { 0 } } { K _ { M } + q s _ { 0 } } \log \left( 1 + \frac { C ( q ) } { \varepsilon _ { S S l } } \right) } \end{array}
\frac { d \Gamma ^ { h \! f } } { d x \, d \! \cos \theta _ { P } } = \frac { \alpha } { 1 2 \pi } \Gamma _ { 0 } \Big ( \Big [ ( 1 - x ) ^ { 2 } ( 5 - 2 x ) \Big ] - \Big [ ( 1 - x ) ^ { 2 } ( 1 + 2 x ) \Big ] P \cos \theta _ { P } \Big ) ,
- \frac { { \partial } ^ { 2 } F } { { \partial } \tau ^ { 2 } } + \frac { { \partial } ^ { 2 } F } { { \partial } \sigma ^ { 2 } } + \left( - \frac { b _ { 0 } ^ { 2 } } { ( b _ { 0 } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \right) F = 0
i g \left[ \delta ^ { i j } \delta ^ { k l } \gamma _ { ~ \alpha } ^ { \mu ~ \beta } \gamma _ { \mu \, \gamma } ^ { ~ ~ ~ \delta } ~ - ~ \delta ^ { i l } \delta ^ { k j } \gamma _ { ~ \alpha } ^ { \mu ~ \delta } \gamma _ { \mu \, \gamma } ^ { ~ ~ ~ \beta } \right] ~ .
a ^ { 6 } + b ^ { 6 } = { \overline { { Q } } } _ { 4 } ( a , b ) { \overline { { Q } } } _ { 1 2 } ( a , b ) = ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) ( a ^ { 4 } - a ^ { 2 } b ^ { 2 } + b ^ { 4 } ) ,
\begin{array} { r l } { \langle \hat { V } _ { \mathrm { a p p r } } ^ { \prime \prime } \rangle } & { = V ^ { \prime \prime } ( q _ { t } ) , } \\ { \langle \hat { V } _ { \mathrm { a p p r } } ^ { \prime } \rangle _ { i } } & { = V ^ { \prime } ( q _ { t } ) _ { i } + V ^ { \prime \prime \prime } ( q _ { t } ) _ { i j k } \Sigma _ { t , j k } / 2 , } \\ { \langle \hat { V } _ { \mathrm { a p p r } } \rangle } & { = V ( q _ { t } ) + \operatorname { T r } [ V ^ { \prime \prime } ( q _ { t } ) \cdot \Sigma _ { t } ] / 2 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { X _ { A } } & { = ( 1 / 2 ) \rho _ { A } U _ { A } ^ { 2 } A _ { T } \cdot C _ { X } } \\ { Y _ { A } } & { = ( 1 / 2 ) \rho _ { A } U _ { A } ^ { 2 } A _ { L } \cdot C _ { Y } } \\ { N _ { A } } & { = ( 1 / 2 ) \rho _ { A } U _ { A } ^ { 2 } A _ { L } L _ { O A } \cdot C _ { N } \enspace , } \end{array} } \end{array}
{ \frac { \partial J } { \partial y _ { m } } } = F _ { y } \left( t _ { m } , y _ { m } , { \frac { y _ { m + 1 } - y _ { m } } { \Delta t } } \right) \Delta t + F _ { y ^ { \prime } } \left( t _ { m - 1 } , y _ { m - 1 } , { \frac { y _ { m } - y _ { m - 1 } } { \Delta t } } \right) - F _ { y ^ { \prime } } \left( t _ { m } , y _ { m } , { \frac { y _ { m + 1 } - y _ { m } } { \Delta t } } \right) .
\begin{array} { r } { B _ { z \rightarrow i , j \rightarrow z ^ { \prime } } = \left\{ \begin{array} { r l } { 1 \qquad } & { { } i f \quad z ^ { \prime } = z , j \neq i , } \\ { 0 \qquad } & { { } o t h e r w i s e . } \end{array} \right. } \end{array}
t ^ { a } \partial _ { a } = \partial _ { + } + \frac { \partial x _ { A } ^ { - } } { \partial x ^ { + } } \partial _ { - } = \partial _ { + } + \left( \frac { 1 } { ( 2 \lambda x ^ { + } ) ^ { 2 } } - { \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } } \widetilde { T } _ { + + } \right) \partial _ { - }
\begin{array} { r } { \rho _ { \sigma } ( x , t ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { i } \delta ( x _ { i } ( t ) - x ) \delta _ { \sigma _ { i } ( t ) , \sigma } \quad , \quad F _ { \sigma } ( \vec { x } ( t ) ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { i } f ( x _ { i } ( t ) ) \delta _ { \sigma _ { i } ( t ) , \sigma } = \int d x f ( x ) \rho _ { \sigma } ( x , t ) } \end{array}
\left\langle \prod _ { b = 1 } ^ { N } \left[ \chi _ { + } ^ { ( b ) } [ Q ^ { 0 , S } ] \right] ^ { q _ { b } } \left[ \chi _ { - } ^ { ( b ) } [ Q ^ { 0 , S } ] \right] ^ { 2 n _ { b } - q _ { b } } \right\rangle _ { Q ^ { 0 , M } }
\begin{array} { r l } { \left( \mathbf { \tilde { G } } _ { \mathrm { r d n } } ^ { \mathrm { s y m } } \mathbf { y } \right) _ { i \alpha } } & { { } = \sum _ { j \beta } \left( \mathbf { \tilde { G } } _ { \mathrm { r d n } } ^ { \mathrm { s y m } } \right) _ { i \alpha , j \beta } \mathbf { y } _ { j \beta } = \sum _ { j \beta } \sqrt { \frac { N _ { \alpha } N _ { \beta } } { N _ { i } N _ { j } } } \cdot \frac { \mathbf { R } _ { i j } } { N } \mathbf { x } _ { j } \sqrt { N _ { \beta } } = \frac { \sqrt { N _ { \alpha } } } { N } \sum _ { \beta } N _ { \beta } \sum _ { j } \mathbf { \tilde { C } } _ { i j } ^ { \mathrm { s y m } } \mathbf { x } _ { j } } \end{array}
B \bigg ( 1 - \frac { 1 } { r } ; 4 n , 2 - \frac { D } { 2 } \bigg ) = \int _ { 0 } ^ { 1 - \frac { 1 } { r } } t ^ { 4 n - 1 } ( 1 - t ) ^ { 1 - \frac { D } { 2 } } d t
\begin{array} { r } { \tau \partial _ { t t } \mathbf q + \partial _ { t } \mathbf q = \alpha _ { 1 } \nabla \nabla \cdot \mathbf q + \alpha _ { 2 } \nabla \nabla \cdot \partial _ { t } \mathbf q - \alpha _ { 1 } \nabla Q _ { v } - \alpha _ { 2 } \nabla \partial _ { t } Q _ { v } . } \end{array}