harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
u ( x , t ) = 1 + \cosh \frac { x } { \sqrt 2 } \cos \frac { x } { \sqrt 2 } \sin t + \sinh \frac { x } { \sqrt 2 } \sin \frac { x } { \sqrt 2 } \cos t + \frac { 1 } { 2 } \left( \sinh \frac { x } { \sqrt 2 } \cos \frac { x } { \sqrt 2 } + \cosh \frac { x } { \sqrt 2 } \sin \frac { x } { \sqrt 2 } \right) ( \sin t + \cos t ) + \frac { 1 } { 2 } \left( \cosh \frac { x } { \sqrt 2 } \sin \frac { x } { \sqrt 2 } - \sinh \frac { x } { \sqrt 2 } \cos \frac { x } { \sqrt 2 } \right) ( \sin t - \cos t )
\begin{array} { r l } { \phi _ { G _ { 1 } ^ { \prime } } } & { = 1 _ { f _ { 2 } } * \theta _ { 1 } : f _ { 2 } f _ { 1 } \to f _ { 2 } h _ { 2 } h _ { 1 } , } \\ { \phi _ { G _ { 2 } ^ { \prime } } } & { = \theta _ { 2 } * 1 _ { h _ { 1 } } : f _ { 2 } h _ { 2 } h _ { 1 } \to g _ { 2 } h _ { 3 } h _ { 1 } , } \\ { \phi _ { G _ { 3 } ^ { \prime } } } & { = 1 _ { g _ { 2 } } * \theta _ { 3 } : g _ { 2 } h _ { 3 } h _ { 1 } \to g _ { 2 } g _ { 1 } . } \end{array}
T _ { \ell } - T _ { t } = { \frac { 2 L } { c } } \left( { \frac { 1 } { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } - { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } \right)
\left( c { \frac { d \tau } { d q } } \right) ^ { 2 } = - g _ { \mu \nu } { \frac { d x ^ { \mu } } { d q } } { \frac { d x ^ { \nu } } { d q } } = \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } \right) c ^ { 2 } \left( { \frac { d t } { d q } } \right) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } } } \left( { \frac { d r } { d q } } \right) ^ { 2 } - r ^ { 2 } \left( { \frac { d \varphi } { d q } } \right) ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial \eta } { \partial t } = w ( x , 0 , t ) } \\ & { } & { \frac { \partial u } { \partial z } ( x , 0 , t ) + \frac { \partial w } { \partial x } ( x , 0 , t ) = 0 } \\ & { } & { \rho _ { b } ( 0 g \eta - \left( \frac { U ^ { 2 } } { g L } \right) p ( x , 0 , t ) + \left( \frac { U ^ { 2 } } { g L } \right) \frac { 2 } { R e } \frac { \partial w } { \partial z } ( x , 0 , t ) - \frac { 1 } { B o } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \eta } { \partial x ^ { 2 } } \right) = 0 } \\ & { } & { \rho ( x , 0 , t ) = 0 } \\ & { } & { u ( x , - H , t ) = w ( x , - H , t ) = \rho ( x , - H , t ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { p } _ { m n } ^ { \textbf { k } _ { 0 } + \textbf { A } ( t ) } } & { { } = \langle \varphi _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) | \left[ \hat { \textbf { p } } + \textbf { A } ( t ) \right] | \varphi _ { n , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( 2 , - 7 ) , ( 3 , - 3 ) , ( 5 , 3 ) , ( 7 , - 9 ) , ( 1 1 , - 4 ) , ( 1 3 , - 3 ) , ( 1 7 , 3 7 ) , ( 1 9 , - 7 5 ) , } \\ & { ( 2 3 , 1 0 ) , ( 2 9 , 2 1 2 ) , ( 3 1 , - 6 ) , ( 3 7 , - 8 8 ) , ( 4 1 , - 3 ) , ( 4 3 , 5 4 7 ) , ( 4 7 , - 1 4 7 ) , } \\ & { ( 5 3 , - 1 0 8 ) , ( 5 9 , - 4 5 ) , ( 6 1 , 1 4 6 ) , ( 6 7 , - 6 3 2 ) , ( 7 1 , - 6 5 0 ) , ( 7 3 , 8 5 9 ) , ( 7 9 , - 9 7 8 ) , } \\ & { ( 8 3 , 9 3 1 ) , ( 8 9 , - 5 7 1 ) , ( 9 7 , 4 5 3 ) , } \\ & { ( 1 0 1 , 8 3 0 ) , ( 1 0 3 , 1 2 4 6 ) , ( 1 0 7 , 7 0 7 ) , ( 1 0 9 , - 3 7 8 ) , ( 1 1 3 , - 2 2 5 ) , } \\ & { ( 1 2 7 , 1 6 0 7 ) , ( 1 3 1 , - 1 3 9 9 ) , ( 1 3 7 , - 8 6 1 ) , ( 1 3 9 , 1 9 3 8 ) , ( 1 4 9 , 1 5 7 ) , } \\ & { ( 1 5 1 , 2 3 5 6 ) , ( 1 5 7 , - 4 1 4 ) , ( 1 6 3 , - 1 1 ) , ( 1 6 7 , - 1 8 5 2 ) , ( 1 7 3 , - 2 0 2 1 ) , ( 1 7 9 , 1 4 4 4 ) , } \\ & { ( 1 8 1 , 4 4 2 ) , ( 1 9 1 , - 3 6 6 ) , ( 1 9 3 , - 2 7 9 0 ) , ( 1 9 7 , - 8 1 5 ) , ( 1 9 9 , - 2 7 5 3 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { e } _ { n , t } } & { \triangleq [ e _ { n , 1 , t } , e _ { n , 2 , t } , \hdots , e _ { n , L , t } ] ^ { \intercal } , \: n \in [ N ] , \: t \in [ T ] , } \\ { \mathbf { z } _ { t } } & { \triangleq [ z _ { 1 , t } , z _ { 2 , t } , \hdots , z _ { N , t } ] ^ { \intercal } , \: t \in [ T ] , } \\ { \mathbf { z } } & { \triangleq [ \mathbf { z } _ { 1 } ^ { \intercal } , \mathbf { z } _ { 2 } ^ { \intercal } , \hdots , \mathbf { z } _ { T } ^ { \intercal } ] ^ { \intercal } \: } \end{array}
\mathbf { E _ { \mathrm { i n c } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ T ~ E ~ } } } = ( 0 , \sin \alpha , 0 ) , \; \; \mathbf { H _ { \mathrm { i n c } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ T ~ E ~ } } } = ( 0 , 0 , - \sin \alpha ) .
\left( \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho u } \\ { E } \end{array} \right) _ { t } + \left( \begin{array} { l } { \rho u } \\ { \rho u ^ { 2 } + P } \\ { u ( E + P ) } \end{array} \right) _ { x } = 0 ,
s ( t ) = \frac { k _ { \mathrm { B } } } { \kappa } \left( - 2 \Delta T \frac { t ^ { 3 } } { \Delta t ^ { 3 } } + 3 \Delta T \frac { t ^ { 2 } } { \Delta t ^ { 2 } } + T _ { \mathrm { R } } + T _ { i } \right) .
S = \int d ^ { 4 } x \ { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } a \partial _ { \mu } a + i a \ { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } f } } \mathrm { T r } F _ { \mu \nu } { F _ { \mu \nu } } ^ { * } \ .
I ( - 1 / 2 , y , \Omega , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \delta ( \Omega - e _ { x } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } y \in [ - 1 / 8 , 1 / 8 ] , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
\alpha ( \mu ) \ = \ { \frac { \alpha } { 1 - { \frac { \alpha } { 3 \pi } } \Bigl [ \ln \Bigl ( { \frac { \mu ^ { 2 } } { m _ { e } ^ { 2 } } } \Bigr ) - { \frac { 5 } { 3 } } \Bigr ] } } \, .
\begin{array} { r l } { q _ { k } = \Bigg [ q _ { k - 1 } + } & { \gamma _ { k } \Bigg ( \frac { \partial h _ { k } ( \varphi , \xi ) } { \partial \varphi } \Bigg | _ { \varphi = q _ { k - 1 } , ~ \xi = \xi _ { k - 1 } } \Bigg ) ^ { \top } } \\ & { \times \Big ( v ^ { * } - h _ { k } \big ( q _ { k - 1 } , \xi _ { k - 1 } \big ) \Big ) \Bigg ] _ { \underline { { q } } _ { k } } ^ { \overline { { q } } _ { k } } . } \end{array}
\mathrm { B R } ( \tau ) \equiv \frac { \Gamma ( \Upsilon ( 1 S ) \to \tau ^ { + } \tau ^ { - } ) } { \Gamma ( \Upsilon ( 1 S ) \to \mathrm { a l l } ) } = 0 . 0 2 9 7 \pm 0 . 0 0 3 5 ,
{ \cal C } ( r ) = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 / ( 1 + 2 / \lambda ^ { 2 } ) } } & { { f o r r \rightarrow 0 } } \\ { { ( r / \lambda ) ^ { - 2 } } } & { { f o r r > \lambda , \ell } } \end{array} \right. \right. .
\begin{array} { r l } { \mathrm { K r o n } _ { 1 } } & { { } = \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \otimes \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \, \rho _ { \alpha \alpha } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \right] } & { { } = } & { \sum _ { i , k } \tilde { \bar { F } } _ { i i } \omega _ { k } ( f _ { i } + 1 / 2 ) ( f _ { k } + 1 / 2 ) } \end{array}
S = \tilde { \lambda } v - \tilde { k } a ^ { 2 } v \Bigl ( \Bigl ( \frac { \dot { v } } { v } \Bigr ) ^ { 2 } - \Bigl ( \frac { \dot { \tau } _ { 2 } } { \tau _ { 2 } } \Bigr ) ^ { 2 } \Bigr ) + \dots ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } { } = ( 2 u ^ { 2 } - 1 ) { \sqrt { \frac { 1 + u } { 2 } } } - 2 { \sqrt { 1 - u ^ { 2 } } } \cdot u { \sqrt { \frac { 1 - u } { 2 } } } } \\ { 2 { \sqrt { 1 - u ^ { 2 } } } \cdot u { \sqrt { \frac { 1 - u } { 2 } } } } & { { } { } = ( 2 u ^ { 2 } - 1 ) { \sqrt { \frac { 1 + u } { 2 } } } } \\ { 2 { \sqrt { 1 + u } } { \sqrt { 1 - u } } \cdot u { \sqrt { 1 - u } } } & { { } { } = ( 2 u ^ { 2 } - 1 ) { \sqrt { 1 + u } } } \\ { 2 u ( 1 - u ) } & { { } { } = 2 u ^ { 2 } - 1 } \\ { 2 u - 2 u ^ { 2 } } & { { } { } = 2 u ^ { 2 } - 1 } \\ { 0 } & { { } { } = 4 u ^ { 2 } - 2 u - 1 } \\ { u } & { { } { } = { \frac { 2 + { \sqrt { ( - 2 ) ^ { 2 } - 4 ( 4 ) ( - 1 ) } } } { 2 ( 4 ) } } } \\ { u } & { { } { } = { \frac { 1 + { \sqrt { 5 } } } { 4 } } } \end{array}
\delta \pi _ { C } = n _ { M s } T _ { s } \left( - \alpha _ { s } C \right) \frac { T _ { s } } { M _ { s } } \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 3 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) .
\sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \big ( e ^ { - t \lambda _ { k } } - 1 \big ) ^ { 2 } \vert \mathbb { E } [ \widehat { \mu ^ { n } } ( k ) ] - \mu _ { \infty } ( \phi _ { k } ) \vert ^ { 2 } \lesssim \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { k \geq 1 } e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } ( e ^ { - t \lambda _ { k } } - 1 ) ^ { 2 } \stackrel { , } { \lesssim } \frac { 1 } { n } \ll \frac { \log \log ( n ) } { n } .
\tilde { \mathcal { Y } } _ { 1 } ^ { + \, \prime \prime \prime } = - ( a ( x ) \tilde { \mathcal { Y } } _ { 1 } ^ { + } ) ^ { \prime } + \tilde { \mathcal { Y } } _ { 3 } ^ { + \, \prime } = - ( a ( x ) \tilde { \mathcal { Y } } _ { 1 } ^ { + } ) ^ { \prime } + a ^ { \prime } ( x ) \tilde { \mathcal { Y } } _ { 1 } ^ { + } = - a ( x ) \tilde { \mathcal { Y } } _ { 1 } ^ { + \, \prime } .
\begin{array} { r l } { L _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } ^ { * } } [ f ] } & { { } = - \int \mathrm { ~ d ~ } x \bigg ( ( 1 - f ) ^ { 1 . 1 5 } p ( x \mid \theta _ { 0 } ) } \\ { L _ { \mathrm { ~ S ~ Q ~ R ~ } ^ { * } } [ f ] } & { { } = - \int \mathrm { ~ d ~ } x \bigg ( f ^ { - 0 . 0 5 } p ( x \mid \theta _ { 0 } ) + f ^ { 0 . 0 5 } p ( x \mid \theta _ { 1 } ) \bigg ) . } \end{array}
\alpha = \frac { 2 R e ( G _ { 2 } ^ { P V * } ( 0 ) G _ { 2 } ^ { P C } ( 0 ) ) } { | G _ { 2 } ^ { P V } ( 0 ) | ^ { 2 } + | G _ { 2 } ^ { P C } ( 0 ) | ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { u _ { t } + ( u \cdot \nabla ) u + 2 \Omega \times u + c _ { p } \theta \nabla \Pi } & { = - g \hat { z } , } \\ { \theta _ { t } + u \cdot \nabla \theta } & { = 0 , } \\ { D _ { t } + \nabla \cdot ( u D ) } & { = 0 , } \\ { \Pi ^ { \frac { 1 - \kappa } { \kappa } } } & { = \frac { R } { p _ { 0 } } D \theta , } \end{array}
{ \mathrm { a p p e n d } } \colon A ^ { * } \to A ^ { * } \to A ^ { * } = l _ { 1 } \mapsto l _ { 2 } \mapsto { \left\{ \begin{array} { l l } { l _ { 2 } } & { { \mathrm { i f } } \ l _ { 1 } = { \mathrm { n i l } } } \\ { { \mathrm { c o n s } } \, a \, ( { \mathrm { a p p e n d } } \, l _ { 1 } ^ { \prime } \, l _ { 2 } ) } & { { \mathrm { i f } } \ l _ { 1 } = { \mathrm { c o n s } } \, a \, l _ { 1 } ^ { \prime } } \end{array} \right. }
{ \frac { 1 } { 2 ^ { \frac { n } { 2 } } } } \sum _ { k = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } e ^ { 2 \pi i \theta k } \left( { \frac { 1 } { 2 ^ { \frac { n } { 2 } } } } \sum _ { x = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } e ^ { \frac { - 2 \pi i k x } { 2 ^ { n } } } | x \rangle \right) = { \frac { 1 } { 2 ^ { n } } } \sum _ { x = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } e ^ { - { \frac { 2 \pi i k } { 2 ^ { n } } } \left( x - 2 ^ { n } \theta \right) } | x \rangle .
\begin{array} { r l r l } { \gamma : H ^ { 1 } ( \Omega _ { 2 } ) } & { { } \rightarrow H ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \Gamma ) , } & { \gamma f ( x ) } & { { } : = \operatorname* { l i m } _ { \Omega _ { 2 } \ni \mathbf { y } \rightarrow \mathbf { x } \in \Gamma } f ( \mathbf { y } ) , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \; \frac { \lambda \, \widetilde { x } _ { - } } { \epsilon } \; = \; \frac { C _ { 2 } \, e ^ { 2 C _ { 0 } } } { 2 C _ { 0 } } \, , \qquad \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \; \frac { \epsilon \, \widetilde { x } _ { + } } { \lambda } \; = \; \frac { 2 C _ { 0 } } { C _ { 2 } \, e ^ { 2 C _ { 0 } } } \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \Xi _ { t } ^ { ( 0 ) } } { \mathrm { d } t } } & { = \Bar { Q } ^ { ( 0 ) } \circ H _ { t } ^ { ( 0 ) } + H _ { t } ^ { ( 0 ) } \circ Q _ { \mathfrak g } ^ { ( 0 ) } } \\ & { = [ Q , H _ { 0 } ] } \\ & { = \Psi _ { 0 } - \Phi _ { 0 } = \Bar { \Psi } ^ { ( 0 ) } - \Bar { \Phi } ^ { ( 0 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { r _ { x } ( t ) } & { = } & { r _ { x } \cos \left[ 2 \int _ { 0 } ^ { t } f ( t _ { 1 } ) \mathrm { d } t _ { 1 } \right] - r _ { y } \sin \left[ 2 \int _ { 0 } ^ { t } f ( t _ { 1 } ) \mathrm { d } t _ { 1 } \right] , } \\ { r _ { y } ( t ) } & { = } & { r _ { x } \sin \left[ 2 \int _ { 0 } ^ { t } f ( t _ { 1 } ) \mathrm { d } t _ { 1 } \right] + r _ { y } \cos \left[ 2 \int _ { 0 } ^ { t } f ( t _ { 1 } ) \mathrm { d } t _ { 1 } \right] , } \\ { r _ { z } ( t ) } & { = } & { r _ { z } , } \end{array}
S _ { P P } ( \mathbf { x } , \omega ) = \left( \frac { \omega b x _ { 3 } } { 2 \pi c _ { 0 } S _ { 0 } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \frac { L } { 2 } \left\vert I \left( \frac { \omega } { U _ { c } } , \frac { k x _ { 2 } } { S _ { 0 } } \right) \right\vert l _ { y } ( \omega ) \Phi _ { P P } ( \omega )
\begin{array} { r l r } { | \alpha _ { \sigma } \rangle } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { - \frac { | \alpha _ { \sigma } | ^ { 2 } } { 2 } } \mathrm { e } ^ { \alpha _ { \sigma } \hat { a } _ { \sigma } ^ { \dagger } } | 0 \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ G ^ { \lambda } \big ( s ( \tau , \cdot ) , \lambda \, \partial _ { \tau } s ( \tau , \cdot ) ; z + r \, A \big ) } \\ { = } & { \ \int _ { r \, A } \Big [ \frac { 1 } { \lambda } W \big ( s ( \tau , z + x ) , \lambda \, \partial _ { \tau } s ( \tau , z + x ) \big ) + \frac { 1 } { 4 \, \lambda } \int _ { r \, A } J ^ { \lambda } ( x - y ) \big ( s ( \tau , z + x ) - s ( \tau , z + y ) \big ) ^ { 2 } d y \Big ] d x } \\ { = } & { \ r ^ { d - 1 } \int _ { A } \Big [ \frac { r } { \lambda } W \big ( s ( \tau , z + r \, \tilde { x } ) , \frac { \lambda } { r } \, r \, \partial _ { \tau } s ( \tau , z + r \tilde { x } ) \big ) + \frac { r } { 4 \, \lambda } \int _ { A } J ^ { \frac { \lambda } { r } } ( \tilde { x } - \tilde { y } ) \big ( s ( \tau , z + r \, \tilde { x } ) - s ( \tau , z + r \, \tilde { y } ) \big ) ^ { 2 } d \tilde { y } \Big ] d \tilde { x } } \\ { = } & { \ r ^ { d - 1 } G ^ { \lambda / r } \big ( R _ { ( 0 , z ) , r } s ( \tau / r , \cdot ) , \lambda \, \partial _ { \tau } R _ { ( 0 , z ) , r } s ( \tau / r , \cdot ) ; A ) . } \end{array}
\vec { \nabla } _ { \vec { x } _ { 2 } } \times \left[ \partial _ { t } ^ { n - 2 } \vec { J } _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t ) R ^ { n - 3 } \right] = \vec { \nabla } _ { \vec { x } _ { 2 } } R ^ { n - 3 } \times \partial _ { t } ^ { n - 2 } \vec { J } _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t )
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \nabla } \cdot \boldsymbol { u } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial \boldsymbol { u } } { \partial t } + \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { \nabla u } } & { { } = - \boldsymbol { \nabla } p + \sqrt { \frac { P r } { R a } } \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { u } + T \boldsymbol { e _ { z } } + \boldsymbol { f } , } \\ { \frac { \partial T } { \partial t } + \boldsymbol { \nabla } \cdot ( \boldsymbol { u } T ) } & { { } = \sqrt { \frac { 1 } { R a \cdot P r } } \nabla ^ { 2 } T , } \end{array}
\rho ( 0 ) = \frac { 1 } { 2 } \left( | e _ { 1 } \rangle \langle e _ { 1 } | + | e _ { 2 } \rangle \langle e _ { 2 } | - | e _ { 1 } \rangle \langle e _ { 2 } | - | e _ { 2 } \rangle \langle e _ { 1 } | \right) \, .
\tau _ { i j } = \frac { \overline { { \Delta } } ^ { 2 } } { 1 2 } \frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial x _ { k } } \frac { \partial \overline { { u } } _ { j } } { \partial x _ { k } } - C _ { D } \overline { { \Delta } } ^ { 2 } | \overline { { S } } | \overline { { S } } _ { i j } ,
\partial _ { t t } \hat { u } _ { 1 , j } + L _ { j } \hat { u } _ { 1 , j } = - \Big [ \langle \Psi _ { j } , f _ { j } \rangle \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \Omega _ { j } t } + \mathrm { c . c . } \Big ] + \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ r ~ e ~ s ~ o ~ n ~ a ~ n ~ t ~ t ~ e ~ r ~ m ~ s ~ } ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \Xi } _ { \alpha , i i ^ { \prime } } ^ { c } } & { = \sum _ { k } A _ { i k \alpha } \tilde { g } _ { k \alpha } ^ { c } B _ { k \alpha i ^ { \prime } } + \frac { 1 } { 2 i } \sum _ { k } \frac { \partial \tilde { g } _ { k \alpha } ^ { c } } { \partial \omega } \left( \frac { d A _ { i k \alpha } } { d T } B _ { k \alpha i ^ { \prime } } - A _ { i k \alpha } \frac { d B _ { k \alpha i ^ { \prime } } } { d T } \right) + . . . = \tilde { \Xi } _ { ( 0 ) , \alpha , i i ^ { \prime } } ^ { c } + \tilde { \Xi } _ { ( 1 ) , \alpha , i i ^ { \prime } } ^ { c } + . . . , } \end{array}
\delta _ { S U S Y } V _ { m } = \delta _ { S U S Y } V _ { A } + \frac { 2 } { 3 } Y _ { L } s ^ { 2 } \ln ( \frac { m _ { \tilde { t } _ { L } } ^ { 2 } } { m _ { \tilde { b } } ^ { 2 } } ) + ( \frac { c ^ { 2 } - s ^ { 2 } } { 3 } ) h ( m _ { \tilde { t } _ { L } } , m _ { \tilde { b } } ) \; \; ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } w ( x , t ) + u ( x , t ) \cdot \nabla w ( x , t ) } & { { } = \nu \Delta w ( x , t ) + f ( x ) } \\ { \nabla \cdot u ( x , t ) = 0 , } & { { } \quad w ( x , 0 ) = w _ { 0 } ( x ) } \\ { f ( x ) } & { { } = A \left( \sin \left( 2 \pi ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) \right) + \cos \left( 2 \pi ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) \right) \right) } \end{array}
T ^ { \alpha \beta } = \varrho \, U ^ { \alpha } U ^ { \beta } - \left( \frac { c ^ { 2 } \varrho } { \Lambda _ { \rho } } + 1 \right) \left( \Lambda _ { \rho } \, \eta ^ { \alpha \beta } - \mathbb { W } ^ { \alpha \delta \gamma } \, \mathbb { W } _ { \; \delta \gamma } ^ { \beta } \right)
J ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , a _ { 4 } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { 2 } d x } { \prod _ { k = 1 } ^ { 4 } ( x + a _ { k } ) } } = \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } { \frac { a _ { i } ^ { 2 } \ln ( a _ { i } ) } { \prod _ { k \ne i } ( a _ { i } - a _ { k } ) } } \quad .
E ( x ) \propto \left\{ s i n h ^ { 2 } \left( \sqrt { 2 } m x \right) \left( 1 - \frac 1 3 t a n h ^ { 2 } \left( \frac { m } { \sqrt 2 } x \right) \right) ^ { 2 } \right\} ^ { - 1 } ,
{ \begin{array} { r l } { F ( \dots , A ^ { j _ { 1 } } , \dots , A ^ { j _ { 2 } } , \dots ) } & { = \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) \left( \prod _ { i = 1 , i \neq j _ { 1 } , i \neq j _ { 2 } } ^ { n } a _ { \sigma ( i ) } ^ { i } \right) a _ { \sigma ( j _ { 1 } ) } ^ { j _ { 1 } } a _ { \sigma ( j _ { 2 } ) } ^ { j _ { 2 } } } \end{array} }
G _ { + } ( \delta ) = \frac { 2 } { 1 - \delta } - \frac { 1 } { 2 - \delta } + \frac { 2 } { 3 } \sum _ { k > 2 } \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { ( k - \delta ) ^ { 2 } } ~ ~ ~ ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { \frac { d A } { d t } = } & { { } \alpha \bar { P } _ { z } A + \epsilon B / 2 - A / T _ { 2 } , } \\ { \frac { d B } { d t } = } & { { } - \epsilon A / 2 - B / T _ { 2 } , } \\ { \frac { d \bar { P } _ { z } } { d t } = } & { { } - \alpha A ^ { 2 } / 4 - \bar { P } _ { z } / T _ { 1 } + G ( P _ { 0 } - \bar { P } _ { z } ) , } \\ { \frac { d \theta } { d t } = } & { { } - \omega _ { c } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \big ( \lVert \dot { x } ( t ) \rVert _ { X } ^ { 2 } + \lVert \dot { \lambda } ( t ) \rVert _ { Y } ^ { 2 } } & { \big ) / 2 + \langle \nabla ^ { 2 } f ( x ( t ) ) \dot { x } ( t ) , \dot { x } ( t ) \rangle _ { X } } \\ { + \, \rho \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \big ( L ( \xi , \eta ) - L ( x ( t ) , \lambda ( t ) ) \big ) } & { + \rho \big ( \lVert \dot { x } ( t ) \rVert _ { X } ^ { 2 } + \lVert \dot { \lambda } ( t ) \rVert _ { Y } ^ { 2 } \big ) = 2 \rho \lVert \dot { x } ( t ) \rVert _ { X } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert \nabla f ( \bar { x } _ { k } ) - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \nabla f _ { i } ( x _ { i , k } ) \right\Vert ^ { 2 } } & { \leq \frac { L ^ { 2 } } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left\Vert x _ { i , k } - \bar { x } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } = \frac { L ^ { 2 } } { n } \left\Vert \mathbf { x } _ { k } - \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } \right\Vert ^ { 2 } \leq \frac { 2 L ^ { 2 } } { n } \left\Vert \check { h } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}
H _ { \mathrm { e - p h } } = \sum _ { \boldsymbol { R } \kappa } \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { R } \kappa } \cdot \nabla V ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { R } _ { \kappa } ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \kappa } \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { R } \kappa } \cdot \nabla \nabla V ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { R } _ { \kappa } ) \cdot \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { R } \kappa } ,
f _ { k } ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } ( t , \boldsymbol { x } ) = \omega _ { k } \rho \left[ 1 + \frac { \boldsymbol { c } _ { k } \cdot \boldsymbol { u } } { c _ { s } ^ { 2 } } + \frac { ( \boldsymbol { c } _ { k } \cdot \boldsymbol { u } ) ^ { 2 } } { 2 c _ { s } ^ { 4 } } - \frac { \boldsymbol { u } ^ { 2 } } { 2 c _ { s } ^ { 2 } } \right]
\frac { \mathrm { d } r _ { \mathrm { ~ f ~ } } } { \mathrm { d } t } = a G _ { \mathrm { ~ o ~ } } ^ { n } \equiv a \bigg ( \frac { \dot { m } _ { \mathrm { ~ o ~ } } } { \pi r _ { \mathrm { ~ f ~ } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { n }
\overline { { \omega } } _ { w , ( \mathcal { L } , \pi ) } ( \boldsymbol { u } ) = \overline { { \omega } } _ { w , ( P , \pi _ { 1 } ) } \left( \boldsymbol { \alpha ^ { \prime } } \right) + \overline { { \omega } } _ { w , ( Q , \pi _ { 2 } ) } \left( \boldsymbol { \gamma ^ { \prime \prime } } \right) \leq s M _ { w } + \tilde { \rho } ( C _ { 2 } ) .
f _ { S } ( \vec { k } _ { f } , \vec { k } _ { i } , n _ { f } , \Delta m ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( f ( \vec { k } _ { f } - \vec { k } _ { i } , n _ { f } , \Delta m ) + f ( \vec { k } _ { f } + \vec { k } _ { i } , n _ { f } , \Delta m ) \right) .
\mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , L i n e a r } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \left( \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , L i n e a r } - \mathbf { U } _ { i } \right) \left( \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , L i n e a r } - \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , M P } \right) \leq 1 0 ^ { - 2 0 } , } \\ { \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , N o n - L i n e a r } } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { V ( z , \dots , z ) = \frac { N ^ { 2 } } { 2 } + \beta z \log ( z ) + z \Gamma - \frac { 1 } { 2 } \left( z \beta + \beta z \log ( z ) + z \beta \log ( \beta ) \right) } \\ & { \frac { \partial V } { \partial w ^ { j } } ( z , \dots , z ) = \frac { 1 } { \alpha _ { j } } \log \left( \frac { z } { \alpha _ { j } } \right) - \frac { 1 } { 2 \alpha _ { j } } \log \left( z \beta \right) } \\ & { V ( z , \dots , z ) - z \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { \partial V } { \partial w ^ { j } } ( z , \dots , z ) = \frac { N ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \beta } { 2 } z } \end{array}
S _ { 2 } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } , \gamma ) \sim \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 + \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + 2 \gamma + k } \sum _ { \kappa , \varkappa , \varkappa ^ { \prime } = 0 } ^ { k } a _ { k , \kappa , \varkappa , \varkappa ^ { \prime } } \beta _ { 1 } ^ { \varkappa } \beta _ { 2 } ^ { \varkappa ^ { \prime } } \frac { \Gamma ( 1 + \alpha _ { 1 } + \kappa ) \Gamma ( 1 + 2 \gamma ) } { \Gamma ( 2 + \alpha _ { 1 } + 2 \gamma + \kappa ) }
\frac { \vec { u } _ { \mathrm { s p h e r e } } } { U } = \left( 1 - \frac { R ^ { 3 } } { r ^ { 3 } } \right) \cos ( \theta ) \widehat { \vec { r } } - \left( 1 + \frac { R ^ { 3 } } { 2 r ^ { 3 } } \right) \sin ( \theta ) \widehat { \vec { \theta } } ,
\begin{array} { r l } { \left| \pi ( x ; q , a ) - \frac { \operatorname { L i } ( x ) } { \varphi ( q ) } \right| } & { < \frac { \sqrt { x } \log { x } + \int _ { 2 } ^ { x } \frac { d t } { \sqrt { t } } } { 8 \pi \varphi ( q ) } } \\ & { \qquad + \left( \left( 1 - \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \right) \frac { \log { q } } { 2 \pi } + \Omega _ { 4 } ( x _ { 0 } ) \right) \left( 1 + \frac { \operatorname { E i } \! \left( \frac { \log { x _ { 0 } } } { 2 } \right) - \operatorname { E i } \! \left( \frac { \log { 2 } } { 2 } \right) } { \sqrt { x _ { 0 } } } \right) \sqrt { x } } \\ & { \qquad + \Omega _ { 2 } ( x _ { 0 } ) \left( \frac { 1 } { \log { x } } + \int _ { 2 } ^ { x } \frac { d t } { t ( \log { t } ) ^ { 2 } } \right) + \frac { 1 } { \log { 2 } } } \\ & { \leq \left( \frac { \log { x } } { 8 \pi \varphi ( q ) } + \frac { \Omega _ { 5 } ( x _ { 0 } ) \log { q } } { 2 \pi } + \Omega _ { 6 } ( x _ { 0 } ) \right) \sqrt { x } + \Omega _ { 7 } ( x _ { 0 } ) , } \end{array}