harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
x \cdot { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } } \psi = x \cdot \psi ^ { \prime } \ \neq \ \psi + x \cdot \psi ^ { \prime } = { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } } \left( x \cdot \psi \right)
\begin{array} { l l } { { } } & { { R _ { 2 } ^ { \mathrm { i n } } = e ^ { - i \omega v _ { * } } \, , } } \\ { { } } & { { R _ { 2 } ^ { \mathrm { o u t } } = e ^ { - i \omega v _ { * } } e ^ { 2 [ i ( \omega - \omega _ { 0 } ) - C ] r _ { * } } \, , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( r > r _ { H } ) \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta = \frac { e v \mathcal { E } _ { 0 } } { \mathrm { i } \hbar \omega } \bigg \{ } & { { } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \bigg [ A _ { j } ^ { + } \, \hat { \bf v } \cdot \hat { \bf e } _ { j } ^ { + } \; \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( k _ { x } v _ { x } - \omega ) z _ { j } / v _ { z } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { j z } d _ { j } } - \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( k _ { x } v _ { x } - \omega ) z _ { j - 1 } / v _ { z } } } { k _ { x } v _ { x } + k _ { j z } v _ { z } - \omega } } \\ { + } & { { } \hat { \bf v } \cdot \hat { \bf e } _ { 0 } ^ { + } \; \frac { 1 - T \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( k _ { x } v _ { x } - \omega ) z _ { n } / v _ { z } } } { k _ { x } v _ { x } + k _ { z } v _ { z } - \omega } } \\ { + } & { { } \hat { \bf v } \cdot \hat { \bf e } _ { 0 } ^ { - } \; \frac { R } { k _ { x } v _ { x } - k _ { z } v _ { z } - \omega } \bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathscr { Q } _ { n } ( w ) = \int _ { \Omega } \left( \theta | \nabla w | ^ { p _ { n } } + P _ { h } u ^ { p _ { n } } \right) \, d x , \quad w \in W _ { n } : = \{ w \in W ^ { 1 , p _ { n } } ( \Omega ) : \, w \mathrm { ~ s ~ a ~ t ~ i ~ s ~ f ~ i ~ e ~ s ~ C ~ o ~ n ~ s ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ t ~ ~ ~ } \} , } \end{array}
\mathbf { F } = { \frac { \gamma ( \mathbf { v } ) ^ { 3 } m _ { 0 } } { c ^ { 2 } } } \left( \mathbf { v } \cdot \mathbf { a } _ { \parallel } \right) \, \mathbf { v } + \gamma ( \mathbf { v } ) m _ { 0 } \, ( \mathbf { a } _ { \perp } + \mathbf { a } _ { \parallel } ) \, .
\Delta m ^ { 2 } \equiv m _ { u } ^ { 2 } + m _ { d } ^ { 2 } - \frac { 4 m _ { u } ^ { 2 } m _ { d } ^ { 2 } } { m _ { u } ^ { 2 } - m _ { d } ^ { 2 } } \ln \frac { m _ { u } } { m _ { d } } .
\begin{array} { r l r l r } { \hat { H } _ { 0 } ^ { i } } & { = \sum _ { a , b = 1 } ^ { { B } \nu _ { i } } [ \Lambda _ { i } ] _ { a b } \dag , f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } - \sum _ { a , b = 1 } ^ { B \nu _ { i } } [ \Lambda _ { i } ^ { c } ] _ { a b } \dag , b _ { i a } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag } & { + \sum _ { a , b = 1 } ^ { B \nu _ { i } } \left( \left[ \mathcal { D } _ { i } ^ { 0 } \right] _ { b a } \dag , f _ { i a } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } + \mathrm { H . c . } \right) \dag } & { = \sum _ { a , b = 1 } ^ { { B } \nu _ { i } } [ \Lambda _ { i } ] _ { a b } \dag , f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } - \sum _ { a , b = 1 } ^ { B \nu _ { i } } [ \Lambda _ { i } ^ { c } ] _ { a b } \dag , b _ { i a } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag } & { + \sum _ { a = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \nu _ { i } } \left( \left[ \mathcal { D } _ { i } \right] _ { b \alpha } \dag , c _ { i \alpha } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } + \mathrm { H . c . } \right) \dag , , } \end{array}
{ \mathcal L } _ { h i d } \supset \int d ^ { 4 } \theta { \mathcal Z } _ { 0 } T _ { J } ^ { \dag } T ^ { J } , \qquad { \mathcal Z } _ { 0 } = 1 + \frac { c _ { j } ^ { i } } { M _ { * } ^ { 2 } } Q _ { i } ^ { \dag } Q ^ { j } .
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { = \| 2 E _ { 2 , n } S _ { 2 , n } \varphi - 2 E _ { 2 } S _ { 2 } \varphi \| _ { p + 2 } , } \\ { I _ { 2 } } & { = \| E _ { 2 , n } S _ { 2 , n } E _ { 2 , n } S _ { 2 , n } \varphi - E _ { 2 } S _ { 2 } E _ { 2 } S _ { 2 } \varphi \| _ { p + 2 } , } \\ { I _ { 3 } } & { = \| S _ { 0 , n } ( E _ { 3 , n } S _ { 1 , n } + E _ { 6 , n } S _ { 2 , n } ) \varphi - S _ { 0 } ( E _ { 3 } S _ { 1 } + E _ { 6 } S _ { 2 } ) \varphi \| _ { p + 2 } , } \\ { I _ { 4 } } & { = \| E _ { 1 , n } S _ { 2 , n } ( \frac { 1 } { 2 } E _ { 1 , n } S _ { 0 , n } + E _ { 3 , n } S _ { 1 , n } + E _ { 6 , n } S _ { 2 , n } ) \varphi } \\ & { \quad - E _ { 1 } S _ { 2 } ( \frac { 1 } { 2 } E _ { 1 } S _ { 0 } + E _ { 3 } S _ { 1 } + E _ { 6 } S _ { 2 } ) \varphi \| _ { p + 2 } . } \end{array}
\iint _ { S } \bigg [ r ^ { ( \alpha _ { \mathrm { G } } ) } - r _ { \mathrm { G } } ^ { ( \alpha _ { \mathrm { G } } ) } \bigg ] \bigg [ z ^ { ( \alpha _ { \mathrm { G } } ) } - z _ { \mathrm { G } } ^ { ( \alpha _ { \mathrm { G } } ) } \bigg ] ~ \omega ~ \mathrm { d } r \, \mathrm { d } z = 0 ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } N ( d , l ) \left\| ( \tilde { \phi } ^ { l } ( f _ { U } ) ) ^ { - 1 } \right\| _ { \mathrm { o p } } ^ { 2 } \leq } & { 1 + c _ { 1 } ^ { 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { [ T _ { n } ] } N ( d , l ) l ^ { 2 \alpha } \exp ( 2 \gamma \cdot T _ { n } ^ { \beta } ) } \\ { \leq } & { \mathrm { ( c o n s t . ) } T _ { n } ^ { 2 \alpha + d } \exp ( 2 \gamma \cdot T _ { n } ^ { \beta } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathinner { \varepsilon _ { e } ^ { \perp } \mathopen { \left( 0 \right) } } = } & { { } \left\langle \varepsilon \right\rangle \equiv \phi _ { p } \varepsilon _ { p } + \phi _ { q } \varepsilon _ { q } , } & { \mathinner { \varepsilon _ { e } ^ { z } \mathopen { \left( 0 \right) } } = } & { { } ( \phi _ { p } / \varepsilon _ { p } + \phi _ { q } / \varepsilon _ { q } ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\mu ^ { 2 } ( k ^ { 2 } ) = \mu _ { 0 } ^ { 2 } \left( { \frac { \log ( 4 \mu _ { 0 } ^ { 2 } / \Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } ) } { \log ( ( k ^ { 2 } + 4 \mu _ { 0 } ^ { 2 } ) / \Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } ) } } \right) ^ { 1 2 / 1 1 }
\begin{array} { r l r } { \hat { p } _ { x } } & { { } = } & { \frac { \hbar } { 2 i } \sin \phi \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ { \hat { p } _ { y } } & { { } = } & { - \frac { \hbar } { 2 i } \sin \phi \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ { \hat { p } _ { z } } & { { } = } & { \hbar k \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } ) } \\ { * } & { \leq \operatorname* { P r } \bigg \{ R _ { 1 , n } < R ( \hat { T } _ { X ^ { n } } , D _ { 1 } ) \mathrm { ~ o r } ~ R _ { 2 , n } + \frac { c _ { 2 } \log ( n + 1 ) } { n } < H ( \hat { T } _ { g ( X ^ { n } ) } ) } \\ & { \qquad \mathrm { o r } ~ R _ { 1 , n } + R _ { 2 , n } < \mathsf { R } ( R _ { 1 , n } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | \hat { T } _ { X ^ { n } } ) + H ( \hat { T } _ { g ( X ^ { n } ) } ) \bigg \} . } \end{array}
\mathbf { L } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \frac { ( \gamma - 1 ) \nu + c _ { a v e } \tilde { u } } { 2 c _ { a v e } ^ { 2 } } } & { \frac { ( 1 - \gamma ) u _ { a v e } - c _ { a v e } n _ { x } } { 2 c _ { a v e } ^ { 2 } } } & { \frac { ( 1 - \gamma ) v _ { a v e } - c _ { a v e } n _ { y } } { 2 c _ { a v e } ^ { 2 } } } & { \frac { ( \gamma - 1 ) } { 2 c _ { a v e } ^ { 2 } } } \\ { 1 - \frac { ( \gamma - 1 ) \nu } { c _ { a v e } ^ { 2 } } } & { \frac { ( \gamma - 1 ) u _ { a v e } } { c _ { a v e } ^ { 2 } } } & { \frac { ( \gamma - 1 ) v _ { a v e } } { c _ { a v e } ^ { 2 } } } & { \frac { ( 1 - \gamma ) } { c _ { a v e } ^ { 2 } } } \\ { \frac { ( \gamma - 1 ) \nu - c _ { a v e } \tilde { u } } { 2 c _ { a v e } ^ { 2 } } } & { \frac { ( 1 - \gamma ) u _ { a v e } + c _ { a v e } n _ { x } } { 2 c _ { a v e } ^ { 2 } } } & { \frac { ( 1 - \gamma ) v _ { a v e } + c _ { a v e } n _ { y } } { 2 c _ { a v e } ^ { 2 } } } & { \frac { ( \gamma - 1 ) } { 2 c _ { a v e } ^ { 2 } } } \\ { \frac { v _ { a v e } - \tilde { u } n _ { y } } { n _ { x } } } & { n _ { y } } & { \frac { n _ { y } ^ { 2 } - 1 } { n _ { x } } } & { 0 } \end{array} \right] ,
I _ { \mathrm { C S , e d g e } } ^ { i } = \int J _ { \mathrm { C S , e d g e } } ^ { i } d x _ { 2 } = { \frac { \sigma _ { x y } } { 2 } } \int \partial _ { 2 } f \epsilon ^ { i j } A _ { j } d x _ { 2 } = - { \frac { \sigma _ { x y } } { 2 } } \epsilon ^ { i j } A _ { j } ,
\frac { T } { T _ { \mathrm { r } } } = \frac { p V _ { T } } { N _ { T } R \left( 1 + ( B N / V ) _ { T } + \ldots \right) } \frac { N _ { \mathrm { r } } R ( 1 + ( B N / V ) _ { \mathrm { r } } + \ldots ) } { p _ { \mathrm { r } } V _ { \mathrm { r } } }
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \mathbf { D } } & { { } = 0 } \\ { \nabla \cdot \mathbf { B } } & { { } = 0 } \\ { \nabla \times \mathbf { E } } & { { } = i \omega \mathbf { B } } \\ { \nabla \times \mathbf { H } } & { { } = - i \omega \mathbf { D } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { d } u _ { t } ^ { \mathfrak { g } } = [ \Delta u _ { t } ^ { \mathfrak { g } } + \mathcal { F } ( u _ { t } ^ { \mathfrak { g } } ) + \mathfrak { g } _ { t } ] \mathrm { d } t + \sigma \mathrm { d } W _ { t } , \quad t \in [ 0 , T ] } \\ { u _ { 0 } ^ { \mathfrak { g } } = u \in L ^ { 2 } ( \Lambda ) , } \end{array} \right.
\widehat { \varphi } ( z , u ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 - \vartheta ) ^ { \lceil u / c \rceil } z ^ { \lceil u / c \rceil } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } u \geq u _ { 0 } } \\ { ( 1 - \vartheta ) z \, \varphi ( z , u - c ) + \vartheta z \, \varphi ( z , u + r ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } c < u < u _ { 0 } } \\ { ( 1 - \vartheta ) z + \vartheta z \, \varphi ( z , u + r ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 < u \leq c . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { G _ { \sigma ; \epsilon ^ { \prime \prime } } ( \cos ( \pi x / T ) ) = \sum _ { j = 0 } ^ { N } a _ { j } \cos ( 2 \pi j x / T ) \le \sum _ { j = 0 } ^ { N } a _ { j } \le 1 , ~ } & { { } ~ \forall x \in \mathbb { R } . } \end{array}
\| u - \Pi ^ { \bf { r } } u \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } \le C \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { N } \Big ( \displaystyle \frac { k _ { n } } { 2 } \Big ) ^ { 2 s _ { n } + 2 } \displaystyle \frac { \Gamma ( r _ { n } - s _ { n } + 1 ) } { \Gamma ( r _ { n } + s _ { n } - 1 ) } \displaystyle \frac { 1 } { ( r _ { n } - 2 ) ^ { 4 } } \| u \| _ { H ^ { s _ { n } + 1 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } ,
f _ { { \bf q } ( 0 ) } ( { \bf q } _ { 0 } ) = \frac { \exp [ - \frac { 1 } { 2 } { \bf q } _ { 0 } ^ { * } { \bf C } _ { 0 0 } ^ { - 1 } { \bf q } _ { 0 } ] } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { N } | { \bf C } _ { 0 0 } | } } \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r } { p _ { \beta } ( y , w , x _ { 0 } , \theta ) = \frac { p ( y | w , x _ { 0 } , \theta ) \exp \big \{ - \beta H ( w | x _ { 0 } , \theta ) \big \} p ( x _ { 0 } , \theta ) } { Z _ { \beta } ( x _ { 0 } , \theta ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { v } _ { i n } \left( r ; y \right) } & { = \widetilde { v } _ { o u t } \left( y \right) \left[ 1 - \exp \left( \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } K _ { v } \left( r - 1 \right) \right) \right] , } \\ { \widetilde { \tau } _ { i n } \left( r ; y \right) } & { = \widetilde { \tau } _ { o u t } \left( y \right) \left[ 1 - \exp \left( \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } \mathrm { P r } ^ { 1 / 2 } K _ { v } \left( r - 1 \right) \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { i n } } & { = \sum _ { q } D _ { i q } h _ { n q } + \sum _ { q r s } \tilde { D } _ { r s i q } g _ { r s n q } } \\ & { = 2 h _ { n i } + \sum _ { q r s } ( 2 \delta _ { i q } D _ { r s } - \delta _ { s i } D _ { r q } ) g _ { r s n q } } \\ & { = 2 h _ { n i } + \sum _ { r s } D _ { r s } ( 2 g _ { r s n i } - g _ { r i n s } ) } \\ & { = 2 ( ^ { I } F _ { n i } + ^ { A } F _ { n i } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { t _ { 1 , n - 1 } t _ { j + 1 , n } \cdot \delta _ { 0 } ^ { - 1 } t _ { 1 , j + 1 } \delta _ { 0 } = t _ { 1 , j } t _ { j + 1 , n - 1 } t _ { 1 , n } } \\ & { \Longleftrightarrow } & { t _ { 1 , n - 1 } = t _ { 1 , j } t _ { j + 1 , n - 1 } t _ { 1 , n } \cdot \delta _ { 0 } ^ { - 1 } t _ { 1 , j + 1 } ^ { - 1 } \delta _ { 0 } \cdot t _ { j + 1 , n } ^ { - 1 } } \\ & { \Longleftrightarrow } & { t _ { 1 , j } = t _ { 1 , n - 1 } t _ { j + 1 , n } \cdot \delta _ { 0 } ^ { - 1 } t _ { 1 , j + 1 } \delta _ { 0 } \cdot t _ { 1 , n } ^ { - 1 } t _ { j + 1 , n - 1 } ^ { - 1 } . } \end{array}
{ \mathbf { E } } = - \nabla \varphi - { \frac { \partial { \mathbf { A } } } { \partial t } } - \nabla { \frac { \partial { \psi } } { \partial t } } = - \nabla \left( \varphi + { \frac { \partial { \psi } } { \partial t } } \right) - { \frac { \partial { \mathbf { A } } } { \partial t } }
\frac { 1 } { \Delta t } \rho _ { i } ^ { n + 1 } \overline { { \mathbf v } } _ { i } ^ { n + 1 } - \sum _ { j } ( \overline { { \mu } } \nabla \overline { { \mathbf v } } ^ { n + 1 } ) _ { i , j } \cdot \textbf { A } _ { j } = \frac { 1 } { \Delta t } \rho _ { i } ^ { n + 1 } { \mathbf v } _ { i } ^ { n + 1 } .
k _ { e t } = { \frac { 2 \pi } { \hbar } } | H _ { A B } | ^ { 2 } { \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi \lambda k _ { B } T } } } \exp \left( - { \frac { ( \lambda + \Delta G ^ { \circ } ) ^ { 2 } } { 4 \lambda k _ { B } T } } \right)
\begin{array} { r } { U _ { L J } ^ { -- } = \frac { 1 } { 2 } \int \int _ { | x - x ^ { \prime } | \geq a _ { - } } - 4 \pi \epsilon _ { -- } c _ { - } ( x ^ { \prime } ) . . } \\ { . . c _ { - } ( x ) \left[ \frac { \sigma _ { -- } ^ { 6 } } { 2 ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 4 } } - \frac { \sigma _ { -- } ^ { 1 2 } } { 5 ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 1 0 } } \right] d x d x ^ { \prime } } \end{array}
{ \scriptsize \dot { g } _ { t } ^ { j , k } = \frac { - I \mathfrak R ( \dot { V } _ { t } ^ { j , k } ) } { \left( \mathfrak R ( V _ { t } ^ { j , k } ) \right) ^ { 2 } } \approx \frac { - I ( \mathfrak R ( \dot { V } _ { t } ^ { j , k , \mathrm { ~ \scriptsize ~ n ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } } ) + \mathfrak R ( \dot { V } _ { t } ^ { j , k , \mathrm { ~ \scriptsize ~ m ~ o ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } ) ) } { \left( \mathfrak R ( V _ { t } ^ { j , k } ) \right) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l r l r } { \Psi ^ { 0 } } & { = } & { \frac { - I \Psi _ { 0 } + R \Psi _ { 3 } } { f I + R ^ { 2 } } , ~ ~ ~ ~ ~ \Psi ^ { 1 } = \frac { 1 } { g ^ { - 1 } } \Psi _ { 1 } , ~ ~ ~ \Psi ^ { 2 } = \frac { 1 } { h } \Psi _ { 2 } , ~ ~ ~ \Psi ^ { 3 } = \frac { R \Psi _ { 0 } + f \Psi _ { 3 } } { f I + R ^ { 2 } } , ~ ~ ~ ~ ~ \Psi ^ { 0 1 } = \frac { \tilde { - D } \Psi _ { 0 1 } + R \Psi _ { 1 3 } } { ( R ^ { 2 } + f I ) g ^ { - 1 } } , \ ~ ~ \Psi ^ { 0 2 } } & { = } & { \frac { \tilde { - D } \Psi _ { 0 2 } } { ( R ^ { 2 } + f I ) h } , ~ ~ ~ ~ \Psi ^ { 0 3 } = \frac { ( f ^ { 2 } - f I ) \Psi _ { 0 3 } } { ( f I + R ^ { 2 } ) ^ { 2 } } , ~ ~ \Psi ^ { 1 2 } = \frac { 1 } { g ^ { - 1 } h } \Psi _ { 1 2 } , ~ ~ } \\ { \Psi ^ { 1 3 } } & { = } & { \frac { 1 } { g ^ { - 1 } ( f I + R ^ { 2 } ) } \Psi _ { 1 3 } , ~ ~ \Psi ^ { 2 3 } = \frac { f \Psi _ { 2 3 } + R \Psi _ { 0 2 } } { ( f I + R ^ { 2 } ) h } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle x _ { \mathrm { c / b } } ( t + \tau ) x _ { \mathrm { c / b } } ( \tau ) \rangle } & { \propto \frac { k _ { \mathrm { b } } T } { \Im ( \omega _ { i - } ) } \cos ( \Re ( \omega _ { i - } ) \tau ) e ^ { - \Im ( \omega _ { i - } \tau ) } } \\ { \langle x _ { \mathrm { c / b } } ( t + \tau ) y _ { \mathrm { c / b } } ( \tau ) \rangle } & { \propto \frac { k _ { \mathrm { b } } T } { \Im ( \omega _ { i - } ) } \sin ( \Re ( \omega _ { i - } ) \tau ) e ^ { - \Im ( \omega _ { i - } \tau ) } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \textrm { v } x _ { i } } \\ { \mathbf { r } _ { v } ^ { T } \mathbf { x } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { u _ { 1 } } \\ { 1 } & { u _ { 2 } } \end{array} \right] ^ { - 1 } \cdot \left[ \begin{array} { l } { w _ { 1 } } \\ { w _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { l } { w _ { 1 } } \\ { w _ { 2 } } \end{array} \right]
\mathcal { L } ^ { ( k ) } ( \rho _ { k } ) = - \mathrm { i } \left[ \frac { g } { 2 } \sigma _ { x } + \frac { h } { 2 } \sigma _ { z } , \rho _ { k } \right] + \gamma \sigma _ { - } \rho _ { k } \sigma _ { - } ^ { \dagger } - \frac { \gamma } { 2 } \left\{ \sigma _ { - } ^ { \dagger } \sigma _ { - } , \rho _ { k } \right\} .
\left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { l l } { \frac { \partial u } { \partial t } ( \mathbf { x } , t ) - \sum _ { i = 1 } ^ { d } \alpha _ { i } \frac { \partial u } { \partial x _ { i } ^ { 2 } } ( \mathbf { x } ) + \beta _ { i } \frac { \partial u } { \partial x _ { i } } ( \mathbf { x } ) = s ( \mathbf { x } , t ) , } & { ( \mathbf { x } , t ) \in \Omega \times [ 0 , 1 ] \subset \mathbb { R } ^ { d + 1 } , } \\ { u ( \mathbf { x } ) = g ( \mathbf { x } , t ) , } & { ( \mathbf { x } , t ) \in \partial \Omega \times [ 0 , 1 ) , } \end{array} } \end{array} \right.
\mathrm { i } \partial _ { t } u = ( \frac { 1 } { 2 } - \mathrm { i } \beta ) ( - \partial _ { x } ^ { 2 } ) ^ { \alpha / 2 } u + \mathrm { i } \delta u + ( \gamma + \mathrm { i } \varepsilon ) | u | ^ { 2 } u + ( - \nu + \mathrm { i } \mu ) | u | ^ { 4 } u .
K _ { 1 2 } \, \approx \, \, < K _ { T 1 2 } ( P _ { 0 } - h _ { 3 } ) > \, \, = \, \, { \frac { - 1 } { 2 i \pi } } \, \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } \, \Lambda _ { 1 2 } ^ { + + } \, V _ { 1 2 } ( P _ { 0 } \! - \! h _ { 3 } ) \, \Lambda _ { 1 2 } ^ { + + } \, , \cdots .
\begin{array} { r l } { i 2 k \partial _ { z } W _ { i j } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) } & { + \left( \nabla _ { X _ { 2 } } ^ { 2 } - \nabla _ { X _ { 1 } } ^ { 2 } \right) W _ { i j } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) } \\ & { + k _ { 0 } ^ { 2 } \left[ \epsilon _ { 1 } ( \vec { x } _ { 2 } , z ) - \epsilon _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , z ) \right] W _ { i j } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) = 0 , ~ i , j \in \{ X , Y \} } \end{array}
T _ { H } = = \frac { 1 } { 4 \pi \beta ^ { 1 / 4 } \sqrt { q _ { m } } } \biggl ( \frac { 1 } { x _ { + } } - \frac { 4 \sqrt { 2 } x _ { + } ^ { 2 } } { ( 1 + x _ { + } ^ { 4 } ) D } \biggr ) ,
\Phi _ { S } ^ { o c } = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { Z } { Z ^ { 2 } - Z _ { c } ^ { 2 } } } & { 0 } & { \frac { Z _ { c } } { Z ^ { 2 } - Z _ { c } ^ { 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { - Z _ { c } } { Z ^ { 2 } - Z _ { c } ^ { 2 } } } & { 0 } & { \frac { Z } { Z ^ { 2 } - Z _ { c } ^ { 2 } } } \end{array} \right)
E \left( x \right) = \left( 0 . 8 + 0 . 2 i \right) E _ { 0 } ( x ) + 0 . 3 E _ { 1 } \left( x \right) + \left( - 0 . 0 9 9 - 0 . 0 1 i \right) E _ { 2 } \left( x \right) + 0 . 4 6 9 E _ { 3 } \left( x \right)
\mathrm { d } _ { t } \eta + \Big ( H \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { u } - \mathrm { ~ \scriptsize ~ \frac ~ { ~ 1 ~ } ~ { ~ 2 ~ } ~ } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } ( \boldsymbol { a } \boldsymbol { \nabla } \eta ) \Big ) \, \mathrm { d } t + \boldsymbol { \sigma } _ { t } \mathrm { d } \boldsymbol { B } _ { t } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } \eta = 0 ,
\left[ \begin{array} { c c c c c c c c } { b _ { 1 ~ ~ } } & { c _ { 1 ~ ~ } } & { } & { } & { } & { } & { a _ { 1 ~ ~ } } \\ { a _ { 2 ~ ~ } } & { b _ { 2 ~ ~ } } & { c _ { 2 ~ ~ } } & { } & { } & { } & { } \\ { c _ { n ~ ~ } } & { } & { } & { } & { } & { a _ { n ~ ~ } } & { b _ { n ~ ~ } } \end{array} \right] \left[ { \begin{array} { c } { \psi _ { 1 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { \psi _ { 2 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { \psi _ { n - 1 } ^ { ~ } } \\ { \psi _ { n ~ ~ } ^ { ~ } } \end{array} } \right] = \left[ { \begin{array} { c } { g _ { 1 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { g _ { 2 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { g _ { n - 1 } ^ { ~ } } \\ { g _ { n ~ ~ } ^ { ~ } } \end{array} } \right]
\left\{ \pi _ { \alpha } , \pi _ { \beta } \right\} _ { D B } \, = \, - \, \frac { \epsilon _ { \alpha \beta \gamma } S ^ { \gamma } } { a } \, = \, \pm \frac { \epsilon _ { \alpha \beta \gamma } \pi ^ { \gamma } } { \sqrt { - a } } \,
\begin{array} { l } { { \left| T r ( Q G _ { 1 } G _ { 3 } G _ { 2 } G _ { 4 } G _ { 5 } \cdots G _ { n } ) \right\rangle } } \\ { { = \left| T r ( Q G _ { 1 } ^ { \prime } G _ { 3 } ^ { \prime } G _ { 2 } ^ { \prime } G _ { 4 } ^ { \prime } G _ { 5 } ^ { \prime } \cdots G _ { n } ^ { \prime } ) \right\rangle } } \\ { { + \sum _ { k = 1 } ^ { n } \sum _ { \{ u _ { 1 } , \cdots , u _ { k } \} } ( - \frac 1 { N _ { c } } ) ^ { k } \left| 1 _ { u _ { 1 } } 1 _ { u _ { 2 } } \cdots 1 _ { u _ { k } } \right\rangle \left| T r ( Q G _ { v _ { 1 } } ^ { \prime } G _ { v _ { 2 } } ^ { \prime } \cdots G _ { v _ { n - k } } ^ { \prime } ) \right\rangle } } \end{array}
\begin{array} { r } { { { \bf { E } } _ { k , n } } = { { { \bf { \tilde { G } } } } _ { k , n - 1 } } { { \bf { E } } _ { k , 1 } } { \bf { \tilde { G } } } _ { k , n - 1 } ^ { H } + \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } { { { { \bf { \bar { G } } } } _ { k , n , i } } } { { \bf { \Sigma } } _ { k } } { { { \bf { \bar { G } } } } _ { k , n , i } ^ { H } } , } \end{array}
\mathcal { L } _ { N } \phi _ { N } ( f ) = \phi _ { N } ( - V ^ { \prime } \partial _ { x } f + \partial _ { x } ^ { 2 } f ) + \alpha \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } x \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } y \frac { f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( y ) } { x - y } \phi _ { N } ( x ) \varUpsilon _ { N } ( y ) = \varkappa _ { [ 1 ] , N } ( f ) .
\bar { \sum } \sum | t | ^ { 2 } = \frac { 4 } { 3 } e ^ { 2 } \left| \frac { M _ { \phi } G _ { V } } { f ^ { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \tilde { G } _ { K ^ { + } K ^ { - } } t _ { K \bar { K } , \pi \eta } ^ { I = 1 } + \frac { K } { f ^ { 2 } } \left( \frac { F _ { V } } { 2 } - G _ { V } \right) \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \tilde { G } _ { K ^ { + } K ^ { - } } t _ { K \bar { K } , \pi \eta } ^ { I = 1 } \right| ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } ^ { 1 , a , b } = } & { ( \{ x \} , \{ ( x , x ) \mapsto \{ \top , 1 , a , { \sim } b \} \} ) } \\ { \mathcal { N } ^ { 2 , a , b } = } & { ( \{ x , y \} , \{ ( x , x ) \mapsto \{ \top , 1 \} , ( x , y ) \mapsto \{ \top , a \} , } \\ & { ( y , x ) \mapsto \{ \top , { \sim } b \} , ( y , y ) \mapsto \{ \top , 1 \} \} ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { \prime } = 0 0 \ldots 0 } \\ { y ^ { \prime } = 1 1 \ldots 1 } \\ { z ^ { \prime } = z _ { 1 } z _ { 2 } \ldots z _ { n ^ { \prime } } } \end{array} \right.
M ( Y , X ) = \nabla _ { X } ^ { ( 1 ) } Y - \nabla _ { X } ^ { ( 2 ) } Y + \nabla _ { X } ^ { ( 2 ) } Y - \nabla _ { Y } ^ { ( 2 ) } X - [ X , Y ] = K ( Y , X ) + T ^ { ( 2 ) } ( X , Y ) = \nabla _ { X } ^ { ( 1 ) } Y - \nabla _ { Y } ^ { ( 1 ) } X + \nabla _ { Y } ^ { ( 1 ) } X - \nabla _ { Y } ^ { ( 2 ) } X - [ X , Y ] = T ^ { ( 1 ) } ( X , Y ) + K ( X , Y )
\begin{array} { r l } { \delta \dot { R L } } & { { } = b \, \delta \ell ( t ) - \delta R L ( t ) / { \tau _ { \mathrm { c } } } + \eta _ { c } ( t ) , } \\ { \delta \dot { x } ^ { * } } & { { } = \gamma \, \delta R L ( t ) - \delta x ^ { * } ( t ) / { \tau _ { \mathrm { r } } } + \eta _ { x } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi \colon \mathrm { M a t } _ { d } \mathbb C ) } & { \to \mathrm { M a t } _ { 2 d - 1 } ( \mathbb C ) } \\ { \left( \begin{array} { c c } { a } & { b ^ { t } } \\ { c } & { B } \end{array} \right) } & { \mapsto \left( \begin{array} { c c c } { a } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } b ^ { t } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } c ^ { t } } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } c } & { B } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } b } & { 0 } & { B ^ { t } } \end{array} \right) . } \end{array}