harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
V \, = \, \left( \mathbf { e } _ { 1 } ; \mathbf { e } _ { 2 } ; \mathbf { e } _ { 3 } \right) \, = \, \mathbf { e } _ { 1 } \cdot ( \mathbf { e } _ { 2 } \times \mathbf { e } _ { 3 } ) \, = \, \mathbf { e } _ { 2 } \cdot ( \mathbf { e } _ { 3 } \times \mathbf { e } _ { 1 } ) \, = \, \mathbf { e } _ { 3 } \cdot ( \mathbf { e } _ { 1 } \times \mathbf { e } _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { d _ { G } ( v _ { 1 } ) } & { \leq | V ( Q _ { 1 } ) \setminus \{ v _ { 1 } \} | + | S \setminus \{ u _ { 0 } \} | } \\ & { \leq \left( \frac { n - | S | } { | { \mathcal { Q } } | } - 1 \right) + ( | S | - 1 ) } \\ & { = \frac { n + ( | { \mathcal { Q } } | - 1 ) | S | } { | { \mathcal { Q } } | } - 2 . } \end{array}
\left[ \nabla ^ { 2 } - \frac { n ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial t ^ { 2 } } \right] \vec { E } = \mu _ { 0 } \frac { \partial } { \partial t ^ { 2 } } \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \chi } _ { \tiny N } \cdot \vec { E } \right) .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \int _ { s } ^ { T } \left( u _ { t } ^ { 2 } + 1 - 2 \operatorname { t a n h } \left( X _ { t } \right) u _ { t } - \operatorname { s e c h } ^ { 2 } \left( X _ { t } \right) \right) d t \right] } \\ { = } & { \mathbb { E } \left[ \int _ { s } ^ { T } \left( u _ { t } ^ { 2 } - 2 \operatorname { t a n h } \left( X _ { t } \right) u _ { t } + \left( 1 - \operatorname { s e c h } ^ { 2 } \left( X _ { t } \right) \right) \right) d t \right] } \\ { = } & { \mathbb { E } \left[ \int _ { s } ^ { T } \left( u _ { t } ^ { 2 } - 2 \operatorname { t a n h } \left( X _ { t } \right) u _ { t } + \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( X _ { t } ) \right) d t \right] } \\ { = } & { \mathbb { E } \left[ \int _ { s } ^ { T } \left( u _ { t } - \operatorname { t a n h } ( X _ { t } ) \right) ^ { 2 } d t \right] } \end{array}
S _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { N } ( D ( \widetilde { \mathcal { R } } ) ) , } & { i \notin \mathrm { W a t e r } } \\ { \mathcal { N } ( D ( \widetilde { \mathcal { R } } ) ) - S _ { i } ^ { ( 0 ) } , } & { i \in \mathrm { W a t e r } } \end{array} \right.
\left\{ Q _ { \alpha } , Q _ { \beta } \right\} = 2 m _ { 2 } \gamma _ { \alpha \beta } ^ { 0 ^ { \prime } \mu } Z _ { 0 ^ { \prime } \mu } = 2 m _ { 2 } \left( \gamma ^ { 0 ^ { \prime } } \gamma ^ { \mu } \right) _ { \alpha \beta } \, \, p _ { 1 \mu }
\begin{array} { r l } { h ( \mathbf { r } , \phi ) : } & { \textbf { I n p u t } ( \mathbf { r } ) \to \textbf { L i n e a r } ( 2 , 1 0 0 ) \to \textbf { R e L U } } \\ & { \to \textbf { L i n e a r } ( 1 0 0 , 1 0 0 ) \to \textbf { R e L U } } \\ & { \to \textbf { L i n e a r } ( 1 0 0 , 1 0 0 ) \to \textbf { R e L U } } \\ & { \to \textbf { L i n e a r } ( 1 0 0 , 2 ) \to \textbf { O u t p u t } ( \mathbf { x } _ { \mathbf { r } } ) . } \end{array}
{ \frac { 2 } { g ^ { 2 } } } \sin \alpha _ { j } + { \frac { 4 \sin \alpha _ { j } } { m ^ { 4 } + 4 m ^ { 2 } + 4 \cos ^ { 2 } ( { \frac { \alpha _ { j } } { 2 } } ) } } \; = \; \sum _ { k \neq j } \cot \left| { \frac { \alpha _ { j } - \alpha _ { k } } { 2 } } \right| .
\begin{array} { c c } { { Z _ { - } ( z ) = C ^ { - 1 } \bar { Z } _ { + } ^ { t } ( z ) \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \bar { \cal E } } } \end{array} \right) ~ ~ } } & { { ~ ~ \bar { Z } _ { - } ( z ) = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \bar { \cal E } } } \end{array} \right) Z _ { + } ( z ) { } ^ { t } C } } \end{array}
e ^ { i W [ \vec { H } ] } = \int { \cal D } \lambda { \cal D } { \vec { \Phi } } e ^ { i \int d ^ { d } x ( \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \mu } { \vec { \Phi } } ( x ) ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \lambda ( x ) ( { \vec { \Phi } } ^ { 2 } ( x ) - C ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 4 U } \lambda ^ { 2 } ( x ) + { \vec { H } } ( x ) \cdot { \vec { \Phi } } ( x ) }
\phi _ { 2 1 } = a _ { 1 } a _ { 2 } / ( D _ { p + 2 - 1 + 2 - 1 } D _ { s + 2 - 1 - 1 } / \beta _ { + 2 - 1 + 2 - 1 } - a _ { 1 } ^ { 2 } D _ { s + 2 - 1 - 1 } / D _ { s + 2 - 1 + 2 - 1 - 1 } - a _ { 2 } ^ { 2 } )
\frac { i } { \sqrt { 2 p ^ { + } } } \left[ \gamma _ { 0 } ( \tau ) - { \gamma _ { 0 } ^ { \dagger } } ( \tau ) \right] = \frac { i } { 2 \sqrt { \mu p ^ { + } } } \left( e ^ { - 2 i \mu \tau } a _ { 0 } + e ^ { 2 i \mu \tau } \bar { a } _ { 0 } \right) - \frac { m R _ { 1 } } { 2 \mu l _ { s } ^ { 2 } p ^ { + } } .
\begin{array} { r l } { \Delta \left( f _ { \vert _ { L ^ { \Psi } } } ^ { \mathrm { F W } ( k ) } , \mathcal { Y } \right) } & { \ge \frac { \langle \Psi ^ { \dagger } ( n _ { L } ^ { \mathrm { S D P } } ( X ) ) , n ^ { \mathrm { F W } } ( \mathcal { Y } ) \rangle _ { { ( n , k ) , \mathcal { Y } } } } { \vert \vert \Psi ^ { \dagger } ( n _ { L } ^ { \mathrm { S D P } } ( X ) ) \vert \vert _ { { ( n , k ) , \mathcal { Y } } } } , } \end{array}
( 2 \pi ) ^ { - { \frac { k } { 2 } } } \operatorname* { d e t } ( { \boldsymbol { \Sigma } } ) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \, e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } ( \mathbf { x } - { \boldsymbol { \mu } } ) ^ { \! { \mathsf { T } } } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { - 1 } ( \mathbf { x } - { \boldsymbol { \mu } } ) } ,
\begin{array} { r l } { I } & { { } = S _ { 0 } } \\ { p } & { { } = { \frac { \sqrt { S _ { 1 } ^ { 2 } + S _ { 2 } ^ { 2 } + S _ { 3 } ^ { 2 } } } { S _ { 0 } } } } \\ { 2 \psi } & { { } = \mathrm { a r c t a n } { \frac { S _ { 2 } } { S _ { 1 } } } } \\ { 2 \chi } & { { } = \mathrm { a r c t a n } { \frac { S _ { 3 } } { \sqrt { S _ { 1 } ^ { 2 } + S _ { 2 } ^ { 2 } } } } } \end{array}
1 + { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { U } { k ^ { 2 } + M ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 8 } } { \frac { U ^ { 2 } - U ^ { \prime \prime } } { ( k ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { k ^ { 2 } U ^ { \prime \prime } } { ( k ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) ^ { 3 } } } + . . .
\begin{array} { r l } { \relax ( \Delta _ { t } \ge \epsilon + G + \gamma _ { + } \cap K _ { i } ) } & { = \relax \left( \Delta _ { i } - \sum _ { j = i } ^ { t - 1 } ( \gamma _ { j } - \bar { g } _ { j } ) + \sum _ { j = i } ^ { t - 1 } \xi _ { j } \ge \epsilon + G + \gamma _ { + } \; \bigcap \; K _ { i } \right) } \\ & { \le \relax \left( \sum _ { j = i } ^ { t - 1 } \xi _ { j } \ge \epsilon + \sum _ { j = i } ^ { t - 1 } ( \gamma _ { j } - \bar { g } _ { j } ) \; \bigcap \; K _ { i } \right) } \\ & { \le \relax \left( \sum _ { j = i } ^ { t - 1 } \xi _ { j } \ge \epsilon + \sum _ { j = i } ^ { t - 1 } ( \gamma _ { j } - \bar { g } _ { j } ) \right) } \\ & { \le \relax \left( \sum _ { j = i } ^ { t - 1 } \xi _ { j } \ge \epsilon + ( t - i ) \alpha \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { \epsilon _ { 1 } } \partial _ { \epsilon _ { 2 } } \partial _ { \epsilon _ { 3 } } \Lambda _ { b ^ { ( k ) } , F ^ { ( k ) } , h ^ { ( k ) } } ( f ) | _ { \epsilon _ { 1 } = \epsilon _ { 2 } = \epsilon _ { 3 } = 0 } = ( \partial _ { \nu } \mathcal { U } _ { 3 } ^ { ( k ) } + \frac { 1 } { 2 } \langle b ^ { ( k ) } , \nu \rangle \mathcal { U } _ { 3 } ^ { ( k ) } ) | _ { ( 0 , T ) \times \partial \Omega } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 2 } } & { \leq \frac { 4 L ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| u _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 4 C _ { f } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } M ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { x y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { x y } g ^ { ( j ) } ( x _ { t } ^ { ( j ) } , y _ { t } ^ { ( j ) } ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 4 L ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| u _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 3 2 L _ { x y } ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 8 C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { n } ( c + x ) } & { \sim \frac { n ! h _ { p } ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) ^ { c + x } \sin \pi ( c + p + x + 1 ) \Gamma ( c + p + x + 1 ) } { \pi z _ { 1 } ^ { n - p } 2 ^ { c + x } ( z _ { 2 } + z _ { 1 } ) ^ { c + x } n ^ { c + p + x + 1 } } } \\ & { + ( - 1 ) ^ { n } \frac { n ! h _ { p } ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) ^ { c - x } \sin \pi ( c + p - x + 1 ) \Gamma ( c + p - x + 1 ) } { \pi z _ { 1 } ^ { n - p } 2 ^ { c - x } ( z _ { 2 } + z _ { 1 } ) ^ { c - x } n ^ { c + p - x + 1 } } } \end{array}
U ^ { - 1 } ( z _ { 1 } , \dots , z _ { N } ) = P \exp \left[ - { \frac { 1 } { 2 \pi \kappa } } \int _ { \Gamma } \sum _ { \alpha } d \zeta ^ { \alpha } \sum _ { \beta \not = \alpha } \hat { Q } _ { \alpha } ^ { a } \hat { Q } _ { \beta } ^ { a } { \frac { 1 } { \zeta _ { \alpha } - \zeta _ { \beta } } } \right] ,
\Delta _ { 1 2 } ^ { i j } = - [ ( \pi . \Lambda ) g ^ { i j } - \pi ^ { i } \Lambda ^ { 0 j } + { \frac { e } { m } } \epsilon ^ { j b c } F _ { ~ b } ^ { i } S _ { c } ] = - \Delta _ { 2 1 } ^ { j i } ~ ~ ; ~ ~ \pi . \Lambda = \pi _ { a } \Lambda ^ { 0 a }
a r e o b t a i n e d d e s p i t e b r o a d e n i n g , a n d t h a t t h e \textit { e n t i r e e n s e m b l e } c o n t r i b u t e s t o t h e m e a s u r e m e n t o f t h e s m a l l e n e r g y d i f f e r e n c e s
\begin{array} { r l r } { g _ { t , u } ^ { H } } & { { } = g ( t , \mathfrak { j } ( x _ { k } ^ { H } ( t ) , \sigma ) ) - g ( t , x _ { k } ^ { H } ( t ) ) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad g _ { t , u } ^ { W } } & { = g ( t , \mathfrak { j } ( x _ { \ell } ^ { W } ( t ) , \sigma ) ) - g ( t , x _ { \ell } ^ { W } ( t ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { B _ { k } ^ { n - 1 / 2 } = ( \b u _ { k } ^ { n - 1 / 2 } - \b w _ { k } ^ { n } ) \cdot \nabla u ^ { n - 1 / 2 } \approx \left( \frac { 3 } { 2 } \b u ^ { n - 1 } - \frac { 1 } { 2 } \b u ^ { n - 2 } - \b w ^ { n } \right) \cdot \nabla u ^ { n - 1 / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { x } ( \theta ) = } & { { } - \frac { g M } { 4 \chi ( 2 \pi \gamma + \cos \theta - 1 ) ^ { 2 } } \Big [ \sin \alpha \big ( 1 6 \pi ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \chi - 1 6 \pi \gamma \chi - 4 \pi \gamma - \chi ^ { 2 } + 3 \chi + 2 } \\ { F _ { y } ( \theta ) = } & { { } \; \; \frac { g M } { 4 ( 2 \pi \gamma + \cos \theta - 1 ) ^ { 2 } } \Big [ \cos \alpha \big ( 6 - 1 6 \pi \gamma + 1 6 \pi ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } - 4 \chi + 2 \pi \gamma \chi } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mu \mu } ( \ensuremath { a _ { \mu \tau } } / \ensuremath { c _ { \mu \tau } } ) = \frac { \sin ^ { 2 } 2 \ensuremath { \theta _ { 2 3 } } } { 2 } \left[ 2 \sin ^ { 2 } \ensuremath { \theta _ { 1 3 } } \Delta - \mathbb { S } \right] \sin 2 \Delta , } \end{array}
\widetilde { \mathbf { q } } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } \gets \sum _ { r = 0 } ^ { k } [ \mathbf { c } _ { q k } ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { r } \, \left( \sqrt { \rho _ { q r } ^ { \mathrm { o u t } } } \, \widetilde { \mathbf { O } } _ { q r } ^ { \mathrm { o u t } } \, \overline { { \mathbf { Z } } } _ { q r } ^ { \mathrm { o u t } } + \widetilde { \boldsymbol { \Delta } } _ { q r } ^ { \mathrm { o u t } } \right) ,
\overline { { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } } } = { \frac { 1 } { T } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } } \int _ { T - t / 2 } ^ { T + t / 2 } U _ { i } d t = { \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { U _ { i } } } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } }
\hat { u } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } = \mathbf { u } _ { \mathrm { ~ L ~ B ~ } } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \cdot \mathbf { n } ( \left| \hat { u } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \right| < 0 . 3 c _ { s } )
\begin{array} { r l } { \bar { x } ( t _ { 0 } ) } & { = - \sum _ { j = 0 } ^ { r - 1 } \hat { A } ^ { j } \vec { \circ } \bar { B } \gamma _ { j } } \\ & { = - [ \begin{array} { l l l l } { \bar { B } } & { \hat { A } \vec { \circ } \bar { B } } & { \cdots } & { \hat { A } ^ { r - 1 } \vec { \circ } \bar { B } } \end{array} ] [ \begin{array} { c c c c } { \gamma _ { 0 } } & { \gamma _ { 1 } } & { \cdots } & { \gamma _ { r - 1 } } \end{array} ] ^ { T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \mathcal { P } + \partial _ { \mathscr { x } } \left( \left[ - \sigma ( \mathscr { x } - \mathscr { y } ) \right] \mathcal { P } \right) + \partial _ { \mathscr { y } } \left( \left[ - \mathscr { y } + ( r - \mathscr { z } ) \mathscr { x } \ \right] \mathcal { P } \right) + \partial _ { \mathscr { z } } \left( \left[ - b \mathscr { z } + \mathscr { x } \mathscr { y } \right] \mathcal { P } \right) } & { { } = 0 } \end{array}
f ( \Theta ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \left< \Theta ^ { 2 } \right> } } \exp \left( - \frac { \Theta ^ { 2 } } { 2 \left< \Theta ^ { 2 } \right> } \right) + O ( N _ { s } ^ { - 2 / 5 } ) + O ( \Delta t ^ { 3 / 2 } ) ,
R _ { \alpha { \bar { \beta } } \delta \bar { \gamma } } = g _ { \alpha { \bar { \beta } } } g _ { \delta \bar { \gamma } } + g _ { \alpha \bar { \gamma } } g _ { \delta { \bar { \beta } } } - C _ { \alpha \delta \epsilon } C _ { { \bar { \beta } } \bar { \gamma } \bar { \epsilon } } g ^ { \epsilon \bar { \epsilon } } \ .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 4 } \frac { d } { d t } \mathrm { T r } \rho _ { B } ^ { 2 } = \langle \boldsymbol { v } ^ { B } , \widehat { h } _ { B } \boldsymbol { v } ^ { B } \rangle + \langle \boldsymbol { v } ^ { B } , \widehat { H } _ { I b } \boldsymbol { v } ^ { A B } \rangle } \\ & { = \sum _ { r , s = 1 } ^ { 3 } \lambda _ { r s } \langle \boldsymbol { v } ^ { B } , T _ { s } ( v _ { ( r - 1 ) + 1 } ^ { A B } , v _ { ( r - 1 ) + 2 } ^ { A B } , v _ { ( r - 1 ) + 3 } ^ { A B } ) \rangle , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { T } _ { A } = \mathcal { T } _ { A } ( v _ { A } , \pi _ { A } ) : = \mu _ { A } D ( v _ { A } ) + \lambda _ { A } ( \mathrm { { d i v } } v _ { A } ) I _ { 3 \times 3 } - \pi _ { A } I _ { 3 \times 3 } , } \\ { \mathcal { T } _ { B } = \mathcal { T } _ { B } ( v _ { B } , \pi _ { B } ) : = \mu _ { B } D ( v _ { B } ) + \lambda _ { B } ( { \mathrm { d i v } } v _ { B } ) I _ { 3 \times 3 } - \pi _ { B } I _ { 3 \times 3 } , } \\ { \mathcal { T } _ { S } = \mathcal { T } _ { S } ( v _ { S } , \pi _ { S } ) : = \mu _ { S } D _ { \Gamma } ( v _ { S } ) + \lambda _ { S } ( \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } v _ { S } ) P _ { \Gamma } - \pi _ { S } P _ { \Gamma } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \bigg [ \bigg ( \bigg ( \frac { \partial } { \partial { t } } } & { { } + \omega _ { \nu } \bigg ) \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \eta } \right) + \omega _ { M } ^ { 2 } \bigg ) ^ { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \kappa } \right) + \omega _ { C } ^ { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \eta } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \kappa } \right) \bigg ] \hat { u } _ { z } } \end{array}
\Delta ( t _ { 0 } ) = 2 \mathrm { a t a n } \Bigg \{ \mathrm { s i n h } \Bigg [ \mathrm { a s i n h } \Big [ \mathrm { t a n } \bigg ( { \frac { \Delta ( t ) } { 2 } } \bigg ) \Big ] + { \frac { 2 \Gamma R } { v _ { 0 } } } \, \mathrm { c o s } \phi \; \mathrm { s g n } \Bigg ( \mathrm { s i n } { \frac { \Delta ( t ) } { 2 } } \Bigg ) \Bigg ] \Bigg \}
\begin{array} { c c c } { - \log p ( \theta , \lambda | d , r = 0 ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { s } \left[ \hat { \phi } ( x _ { j } ; \theta ) - d _ { j } \right] ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle { \Im G _ { 1 } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } ^ { t } A _ { 2 } } \right\rangle } & { = \Im m _ { 1 } \Im m _ { 2 } \left\langle { A _ { 1 } A _ { 2 } } \right\rangle + \Im m _ { 1 } \left\langle { A _ { 1 } ( \Im G _ { 2 } ^ { t } - \Im m _ { 2 } I ) A _ { 2 } } \right\rangle } \\ & { - m _ { 1 } \left\langle { \underline { { W \Im G _ { 1 } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } ^ { t } A _ { 2 } } } } \right\rangle - \Im m _ { 1 } \left\langle { \underline { { W G _ { 1 } ^ { * } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } ^ { t } A _ { 2 } } } } \right\rangle } \\ & { + \frac { m _ { 1 } } { N } \sum _ { \mu } \left\langle { N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } ^ { \circ } G _ { 1 } } \right\rangle \left\langle { \Im G _ { 1 } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } ^ { t } A _ { 2 } N \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ) } \right\rangle } \\ & { + \frac { m _ { 1 } } { N } \sum _ { \mu } \left\langle { N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } ^ { \circ } \Im G _ { 1 } } \right\rangle \left\langle { G _ { 1 } ^ { * } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } ^ { t } A _ { 2 } N \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ) } \right\rangle } \\ & { + \frac { \Im m _ { 1 } } { N } \sum _ { \mu } \left\langle { N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } ^ { \circ } G _ { 1 } ^ { * } } \right\rangle \left\langle { G _ { 1 } ^ { * } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } ^ { t } A _ { 2 } N \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ) } \right\rangle } \\ & { + m _ { 1 } \left\langle { G _ { 1 } - m _ { 1 } } \right\rangle \left\langle { \Im G _ { 1 } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } ^ { t } A _ { 2 } } \right\rangle + m _ { 1 } \left\langle { \Im G _ { 1 } - \Im m _ { 1 } } \right\rangle \left\langle { G _ { 1 } ^ { * } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } ^ { t } A _ { 2 } } \right\rangle } \\ & { + \Im m _ { 1 } \left\langle { G _ { 1 } ^ { * } - \overline { { m _ { 1 } } } } \right\rangle \left\langle { G _ { 1 } ^ { * } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } ^ { t } A _ { 2 } } \right\rangle } \\ & { + \frac { m _ { 1 } } { N ^ { 2 } } \sum _ { \mu } \left\langle { \Im G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } ^ { t } N \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ) A _ { 2 } ^ { t } \Im G _ { 2 } N \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ) } \right\rangle } \\ & { + \frac { m _ { 1 } } { N ^ { 2 } } \sum _ { \mu } \left\langle { \Im G _ { 1 } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } ^ { t } N \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ) A _ { 2 } ^ { t } G _ { 2 } ^ { * } N \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ) } \right\rangle } \\ & { + \frac { \Im m _ { 1 } } { N ^ { 2 } } \sum _ { \mu } \left\langle { G _ { 1 } ^ { * } A _ { 1 } G _ { 2 } ^ { t } N \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ) A _ { 2 } ^ { t } \Im G _ { 2 } N \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ) } \right\rangle } \\ & { + \frac { \Im m _ { 1 } } { N ^ { 2 } } \sum _ { \mu } \left\langle { G _ { 1 } ^ { * } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } ^ { t } N \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ) A _ { 2 } ^ { t } G _ { 2 } ^ { * } N \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ) } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \| { \boldsymbol { E } } - { \boldsymbol { E } } _ { h } \| _ { { \boldsymbol { X } } _ { p } ( { \cal M } ) } + \| \varphi _ { h } \| _ { M _ { p } ( { \cal M } ) } } \\ & { \le } & { C \Theta ^ { 1 / 2 } \frac { h ^ { \nu - 1 } } { p ^ { s - 3 / 2 } } \| { \boldsymbol { E } } \| _ { H ^ { s } ( \Omega _ { 1 } \cup \Omega _ { 2 } ) } + C \Theta ^ { 1 / 2 } \, \frac { k h } { p ^ { 1 / 2 } } ( \| { \boldsymbol { E } } - { \boldsymbol { E } } _ { h } \| _ { { \boldsymbol { X } } _ { p } ( { \cal M } ) } + \| \varphi _ { h } \| _ { M _ { p } ( { \cal M } ) } ) } \\ & { } & { \ + \, C \operatorname* { s u p } _ { 0 \not = \boldsymbol { v } \in { \boldsymbol { X } } _ { p } ( { \cal M } ) } \frac { | k ( \varepsilon ( { \boldsymbol { E } } - { \boldsymbol { E } } _ { h } ) , \boldsymbol { w } ) _ { \cal M } | } { \| \boldsymbol { v } \| _ { { \boldsymbol { X } } _ { p } ( { \cal M } ) } } . } \end{array}
- \mathbb { E } \left[ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > R \} } \right] \leq - \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \left[ | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > R \} } \right] \le - \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \left[ | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > R \} } \textbf { 1 } _ { \{ t < \tau _ { j } \} } \right] ,
\begin{array} { r } { \mathbf { x } _ { n + 1 } = \mathrm { a r g m a x } \Big \{ \mathbb { E } _ { n } \big [ \mathrm { m a x } ( 0 , f _ { n } ^ { * } - f ( \mathbf { x } ) ) \big ] \Big \} = \mathrm { a r g m a x } \big \{ \mathrm { E I } _ { n } ( \mathbf { x } ) \big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { N } & { { } = \# R r + \# R b + \# B r + \# B b , } \\ { r _ { e } } & { { } = \# R r + \# R b , } \\ { r _ { i } } & { { } = \# R r + \# B r , } \\ { r } & { { } = \# R r , } \\ { \# B b } & { { } = N - r _ { e } - r _ { i } + r , } \\ { \# R b } & { { } = r _ { e } - r , } \\ { \# B r } & { { } = r _ { i } - r , } \end{array}
{ \bf Z } _ { n } = \left\{ \left[ \begin{array} { l l } { { e ^ { 2 \pi i k / n } , } } & { { 0 } } \\ { { 0 , } } & { { e ^ { - 2 \pi i k / n } } } \end{array} \right] : k = 0 , 1 , \ldots , n - 1 \right\}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { J } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) = { f } _ { - , \omega _ { 1 } } ^ { \mathrm { ( 2 ) } } { f } _ { - , \omega _ { 2 } } ^ { \mathrm { ( 2 ) } } { f } _ { - , \omega _ { 3 } } ^ { \mathrm { ( 1 ) } } { f } _ { - , \omega _ { 4 } } ^ { \mathrm { ( 1 ) } } \mathcal { J } _ { \mathrm { s p a t i a l } } ^ { \mathrm { M Z I } } \ , } \end{array}
| \mathbb { P } _ { i } ( t ) | : = \sum _ { k \in M } \sum _ { J \in P ( M \backslash \{ k \} ) } \big ( R _ { J } I _ { k } ^ { i } ( t ) + R _ { J } E _ { k } ^ { i } ( t ) \big ) + \sum _ { J \in P ( M ) } R _ { J } ( t )
\begin{array} { r l } { S _ { 3 } ^ { d } = } & { { \overline { { \nu } } _ { \tau } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } + } \\ { { b } ^ { r } { C _ { 1 } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } + } & { { b } ^ { g } { C _ { 2 } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } + { b } ^ { b } { C _ { 3 } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } + } \\ { \overline { { t ^ { r } } } { C _ { 3 } } { C _ { 2 } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } + } & { \overline { { t ^ { g } } } { C _ { 1 } } { C _ { 3 } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } + \overline { { t ^ { b } } } { C _ { 2 } } { C _ { 1 } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } + } \\ & { \tau ^ { - } { C _ { 3 } } { C _ { 2 } } { C _ { 1 } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } } \end{array}
G _ { j } ( \tau ) = 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \, g _ { n } ^ { ( j ) } q ^ { n } , ~ ~ ~ H _ { j } ( \tau ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \, h _ { n } ^ { ( j ) } q ^ { n - \frac { 1 } { 3 } } .
\begin{array} { r l r } { \Phi _ { n } ( i \mathcal { L } z _ { l } ) } & { { } = } & { 2 \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left( B _ { j } ^ { ( 1 ) } a _ { j } - A _ { j } ^ { ( 1 ) } b _ { j } \right) \Phi _ { n - 1 } ( i \mathcal { L } z _ { l } ) + \Phi _ { n - 2 } ( i \mathcal { L } z _ { l } ) } \end{array}
\widehat { \sigma } ( q \overline { { { q } } } \rightarrow l ^ { \star } \overline { { { l } } } ^ { \star } ) = \frac { \pi \widetilde { v } } { 1 2 \widehat { s } } \left( \frac { \widehat { s } } { \Lambda ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( 1 + \frac { \widetilde { v } ^ { 2 } } { 3 } \right)
\tilde { S } ( \boldsymbol { x } ) : = \left[ \begin{array} { l l l } { \tilde { s } _ { 1 } ^ { [ 1 ] } ( \boldsymbol { x } ) } & { \ldots } & { \tilde { s } _ { M } ^ { [ 1 ] } ( \boldsymbol { x } ) } \\ { \vdots } & & { \vdots } \\ { \tilde { s } _ { 1 } ^ { [ Q ] } ( \boldsymbol { x } ) } & { \ldots } & { \tilde { s } _ { M } ^ { [ Q ] } ( \boldsymbol { x } ) } \end{array} \right] \in \mathbb { R } ^ { Q \times M } \quad \mathrm { w i t h } \quad \tilde { s } _ { m } ^ { [ q ] } ( \boldsymbol { x } ) : = \frac { s _ { m } ^ { [ q ] } \zeta _ { m } ( \boldsymbol { x } ) } { \sum _ { m = 1 } ^ { M } s _ { m } ^ { [ q ] } \zeta _ { m } ( \boldsymbol { x } ) } .
m _ { \nu } \simeq \frac { v ^ { 2 } } { M _ { N } } \frac { 1 } { 2 \pi M _ { \ast } R _ { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { { \epsilon ^ { 2 } } } & { { \epsilon } } & { { \epsilon } } \\ { { \epsilon } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { \epsilon } } & { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right) ,