harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \mathrm { V a r } \left( S _ { \infty | - \infty } \right) = \left\langle S _ { \infty | - \infty } ^ { 2 } \right\rangle - \left\langle S _ { \infty | - \infty } \right\rangle ^ { 2 } = } \\ & { = 8 \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } u ^ { \prime \prime } \ \int _ { - \infty } ^ { u ^ { \prime \prime } } \mathrm { d } u ^ { \prime } \ \int _ { u ^ { \prime } } ^ { \infty } \mathrm { d } u ^ { \prime \prime \prime \prime } \ \int _ { - \infty } ^ { u ^ { \prime \prime \prime \prime } } \mathrm { d } u ^ { \prime \prime \prime } \ e ^ { - 2 ( V ( u ^ { \prime } ) - V ( u ^ { \prime \prime } ) + V ( u ^ { \prime \prime \prime } ) - V ( u ^ { \prime \prime \prime \prime } ) ) } - } \\ & { - 4 \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } u ^ { \prime \prime } \ \int _ { - \infty } ^ { u ^ { \prime \prime } } \mathrm { d } u ^ { \prime } \ \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } u ^ { \prime \prime \prime \prime } \ \int _ { - \infty } ^ { u ^ { \prime \prime \prime \prime } } \mathrm { d } u ^ { \prime \prime \prime } \ e ^ { - 2 ( V ( u ^ { \prime } ) - V ( u ^ { \prime \prime } ) + V ( u ^ { \prime \prime \prime } ) - V ( u ^ { \prime \prime \prime \prime } ) ) } = } \\ & { = \left\langle S _ { \infty | - \infty } \right\rangle ^ { 2 } - 8 \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } u ^ { \prime \prime } \ \int _ { - \infty } ^ { u ^ { \prime \prime } } \mathrm { d } u ^ { \prime } \ \int _ { - \infty } ^ { u ^ { \prime } } \mathrm { d } u ^ { \prime \prime \prime \prime } \ \int _ { - \infty } ^ { u ^ { \prime \prime \prime \prime } } \mathrm { d } u ^ { \prime \prime \prime } \ e ^ { - 2 ( V ( u ^ { \prime } ) - V ( u ^ { \prime \prime } ) + V ( u ^ { \prime \prime \prime } ) - V ( u ^ { \prime \prime \prime \prime } ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( a , b ) } & { = 3 a ^ { 4 } b ^ { 3 } + 9 a ^ { 3 } b ^ { 4 } + 1 2 a ^ { 4 } b ^ { 2 } + 1 6 a ^ { 3 } b ^ { 3 } + 1 2 a ^ { 2 } b ^ { 4 } - 9 a ^ { 4 } b - 1 5 a ^ { 3 } b ^ { 2 } } \\ & { \quad + 3 a ^ { 2 } b ^ { 3 } - 3 a b ^ { 4 } + 4 4 a ^ { 3 } b - 8 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 2 0 a b ^ { 3 } - 6 a ^ { 3 } + 6 1 a ^ { 2 } b } \\ & { \quad + 7 9 a b ^ { 2 } + 6 b ^ { 3 } + 2 0 a ^ { 2 } - 3 0 4 a b - 5 2 b ^ { 2 } + 1 6 a + 1 1 2 b + 6 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big ( G - M \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } = } & { - \big ( \underline { { W G } } \big ) _ { \boldsymbol { x } ( M \boldsymbol { y } ) } + \langle G - M \rangle \big ( G - M \big ) _ { \boldsymbol { x } ( M \boldsymbol { y } ) } } \\ & { + \left[ \frac { \langle \boldsymbol { x } , M E _ { - } M \boldsymbol { y } \rangle } { \langle M E _ { - } M E _ { - } \rangle } + \frac { \langle \boldsymbol { x } , M ^ { 2 } \boldsymbol { y } \rangle } { 1 - \langle M ^ { 2 } \rangle } \right] \big [ \langle \underline { { W G } } E _ { - } M \rangle - \langle G - M \rangle \langle ( G - M ) E _ { - } M \rangle \big ] \, . } \end{array}
f ( t ) = \frac { 4 } { \pi } \frac { h ^ { 2 } t } { \left( t ^ { 2 } + h ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \, , \quad g ( t ) = \frac { 4 } { \pi } \frac { h ^ { 3 } } { \left( t ^ { 2 } + h ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \, .
\left| \begin{array} { l l l } { T \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { x ^ { 1 } } \end{array} \right] } & { \dots } & { T \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { x ^ { d + 1 } } \end{array} \right] } \end{array} \right| = \operatorname* { d e t } ( T ) \left| \begin{array} { l l l } { 1 } & { \dots } & { 1 } \\ { x ^ { 1 } } & { \dots } & { x ^ { d + 1 } } \end{array} \right| = \left| \begin{array} { l l l } { 1 } & { \dots } & { 1 } \\ { x ^ { 1 } } & { \dots } & { x ^ { d + 1 } } \end{array} \right| .
\begin{array} { r l } { L _ { \lambda , B ^ { T } , \sigma } P _ { \sigma } B ^ { T } } & { { } = \sum _ { p , q } \left( \sum _ { r = 1 } ^ { \lambda } E _ { r r } + \sum _ { r = \lambda + 1 } ^ { m } ( \ b _ { \sigma ( j ) \lambda } E _ { r r } - b _ { \sigma ( j ) r } E _ { r \lambda } ) \right) b _ { \sigma ( q ) p } E _ { p q } } \end{array}
\boldsymbol { \mathbf { E } } _ { \mathrm { ~ S ~ } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } ) = \sum _ { l m } \frac { 1 } { k _ { 0 } r } \left[ \mathcal { E } _ { l m } ^ { \mathrm { ~ S ~ } } \boldsymbol { \mathbf { E } } _ { l m , \mathrm { ~ T ~ E ~ } } ^ { \mathrm { ~ S ~ } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } ) + c \mathcal { B } _ { l m } ^ { \mathrm { ~ S ~ } } \boldsymbol { \mathbf { E } } _ { l m , \mathrm { ~ T ~ M ~ } } ^ { \mathrm { ~ S ~ } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } ) \right] ,
H _ { n } = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { h _ { 1 , 1 } } & { h _ { 1 , 2 } } & { h _ { 1 , 3 } } & { \cdots } & { h _ { 1 , n } } \\ { h _ { 2 , 1 } } & { h _ { 2 , 2 } } & { h _ { 2 , 3 } } & { \cdots } & { h _ { 2 , n } } \\ { 0 } & { h _ { 3 , 2 } } & { h _ { 3 , 3 } } & { \cdots } & { h _ { 3 , n } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { h _ { n , n - 1 } } & { h _ { n , n } } \end{array} \right] } .
\mathcal { L } ^ { N } ( Q _ { n } ^ { \eta } ( x ) ) \leq \frac { 1 } { \eta ^ { 2 } } \int _ { Q } { | \mathcal { U } _ { \delta _ { n } } u _ { n } ( x , y ) - u _ { n } ( x ) | ^ { 2 } \; d y } = \frac { 1 } { \eta ^ { 2 } } \| \mathcal { U } _ { \delta _ { n } } u _ { n } ( x , \cdot ) - u _ { n } ( x ) \| _ { L ^ { 2 } ( Q ; \mathbb { R } ^ { M } ) } ^ { 2 } .
\left| \left( A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \! + \! A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right) \cap ( 6 \! + \! 1 2 \! \cdot \! \mathbf { N } ) \right| \geqslant \operatorname* { m i n } \left( \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { i ( 4 ) } \right| } { 3 } \! - \! 1 , \operatorname* { m a x } \left( 2 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { i ( 4 ) } \right| - \! \frac { n } { 1 8 } \! - \! 2 , 0 \right) \right) .
\begin{array} { r l } { \delta _ { l , o u t - w } ( i n ) = } & { { } \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } A ^ { T } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { \mathrm { o u t } } ^ { - 1 } A D _ { \mathrm { i n } } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { i } ( r ) } & { { } = \frac { 1 } { M } \sum _ { j } \frac { D _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } , i } D _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } , j } } { d _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ n ~ } } } , \quad | \boldsymbol { r } _ { i } - \boldsymbol { r } _ { j } | = r \pm \Delta r , } \\ { C ( r ) } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i } C _ { i } ( r ) , } \end{array}
\Omega \equiv \sum _ { A } r _ { A } \, ( d \psi _ { A } + \cos \theta _ { A } \, d \psi _ { A } ) = \frac { i } { 4 } \sum _ { A } \left( \xi _ { A } ^ { * } d \xi _ { A } - \xi _ { A } d \xi _ { A } ^ { * } - \zeta _ { A } ^ { * } d \zeta _ { A } + \zeta _ { A } d \zeta _ { A } ^ { * } \right) ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial v _ { \theta } } { \partial t } = \nu ( \frac { \partial ^ { 2 } v _ { \theta } } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \partial v _ { \theta } } { \partial r } - \frac { v _ { \theta } } { r ^ { 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { G } _ { p h } ^ { K _ { 1 } M , s } ( [ a , b ] ^ { d } ) \subset \mathcal { G } _ { p h , 1 } ^ { M , s } ( [ a , b ] ^ { d } ) \subset \mathcal { G } _ { p h } ^ { K _ { 2 } M , s } ( [ a , b ] ^ { d } ) . } \end{array}
d s ^ { 2 } = H _ { p } ( u ) ^ { - 1 / 2 } [ - d t ^ { 2 } + ( d { { \vec { x } } ^ { \parallel } } ) ^ { 2 } + d \xi ^ { 2 } ] + H _ { p } ( u ) ^ { 1 / 2 } \, u ^ { 2 } \, d \Omega _ { 8 - p } ^ { 2 } \quad .
\begin{array} { l c l c l } { { S _ { 1 1 } ( q ) } } & { { = } } & { { - i \left\langle \, \psi ( q ) \bar { \psi } ( q ) \, \right\rangle } } & { { = } } & { { \left\{ \left( G _ { 0 } ^ { + } ( q ) \right) ^ { - 1 } - \gamma ^ { 0 } \, \Delta ^ { \dagger } ( q ) \, \gamma ^ { 0 } \, G _ { 0 } ^ { - } ( q ) \, \Delta ( q ) \right\} ^ { - 1 } \; , } } \\ { { S _ { 1 2 } ( q ) } } & { { = } } & { { - i \left\langle \, \psi ( q ) \bar { \psi } _ { C } ( q ) \, \right\rangle } } & { { = } } & { { - G _ { 0 } ^ { + } ( q ) \, \gamma ^ { 0 } \Delta ^ { \dagger } ( q ) \gamma ^ { 0 } \, S _ { 2 2 } ( q ) \; , } } \\ { { S _ { 2 1 } ( q ) } } & { { = } } & { { - i \left\langle \, \psi _ { C } ( q ) \bar { \psi } ( q ) \, \right\rangle } } & { { = } } & { { - G _ { 0 } ^ { - } ( q ) \, \Delta ( q ) \, S _ { 1 1 } ( q ) \; , } } \\ { { S _ { 2 2 } ( q ) } } & { { = } } & { { - i \left\langle \, \psi _ { C } ( q ) \bar { \psi } _ { C } ( q ) \, \right\rangle } } & { { = } } & { { \left\{ \left( G _ { 0 } ^ { - } ( q ) \right) ^ { - 1 } - \Delta ( q ) \, G _ { 0 } ^ { + } ( q ) \, \gamma ^ { 0 } \Delta ^ { \dagger } ( q ) \gamma ^ { 0 } \right\} ^ { - 1 } } } \end{array}
\Gamma _ { k } [ \phi ] \ { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ \left( - W \left[ J _ { k } [ \phi ] \right] + J _ { k } [ \phi ] \cdot \phi \right) - { \frac { 1 } { 2 } } \phi \cdot R _ { k } \cdot \phi .
\begin{array} { r l } { P \left( l , 2 i \right) } & { { } = \mathrm { s i n } \left[ \frac { l } { 1 0 0 0 0 ^ { 2 i / d _ { \mathrm { H } } } } \right] , } \\ { P \left( l , 2 i + 1 \right) } & { { } = \mathrm { c o s } \left[ \frac { l } { 1 0 0 0 0 ^ { 2 i / d _ { \mathrm { H } } } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - } & { { } \left( \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \right) \frac { k _ { r } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } \left\{ \mathcal { P } _ { r } \left[ ( D k _ { r } ^ { 2 } + \chi ) \Gamma _ { j } + \frac { Q _ { s } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } k _ { r } \Theta _ { j } \right] + \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \ensuremath { L } ( t ) - \nabla u ( t ) } & { = 0 } & & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \\ { - \nabla \! \cdot \! \ensuremath { L } ( t ) + \nabla p ( t ) } & { = f } & & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \\ { \partial _ { t } p ( t ) + \nabla \! \cdot \! u ( t ) } & { = 0 } & & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \\ { u ( t ) } & { = 0 } & & { \mathrm { ~ o n ~ } \partial \Omega , } \\ { p ( 0 ) } & { = p _ { 0 } } & & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \upsilon ^ { ( 2 ) } \left( t , \theta \right) } & { { } = \varepsilon _ { \upsilon } \left( t \right) \cos \left( \theta - \tau _ { \upsilon } \left( t \right) \right) } \\ { z ^ { ( 2 ) } \left( t , \theta \right) } & { { } = \varepsilon _ { z } \left( t \right) \cos \left( \theta - \tau _ { z } \left( t \right) \right) } \end{array}
\left( S ( | \mathbf { k } _ { 1 } + \mathbf { k } _ { 2 } | ) + S ( | \mathbf { k } _ { 1 } + \mathbf { k } _ { 3 } | ) + S ( | \mathbf { k } _ { 2 } + \mathbf { k } _ { 3 } | ) \right) < 2
\kappa ( \Delta ^ { - 1 } ) = \frac { ( 1 + 2 \Delta ^ { 2 } ) } { ( \Delta ^ { 2 } - 1 ) } - \frac { 3 \Delta ^ { 2 } \arctan \sqrt { \Delta ^ { 2 } - 1 } } { ( \Delta ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 / 2 } }
\hat { m } _ { k } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \alpha N } \sum _ { \ell = 0 } ^ { N - 1 } e ^ { i k \frac { 2 \pi } { N } \ell } \hat { \Phi } _ { \ell } ^ { \alpha } } & { \mathrm { i f ~ } k \neq 0 , } \\ { \frac { 1 } { \alpha } \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { \ell = 0 } ^ { N - 1 } \hat { \Phi } _ { \ell } ^ { \alpha } - 1 \right) } & { \mathrm { i f ~ } k = 0 . } \end{array} \right.
\mathrm { ~ S ~ u ~ m ~ [ ~ S ~ u ~ m ~ [ ~ } \cdots \mathrm { ~ B ~ o ~ o ~ l ~ e ~ [ ~ \, ~ c ~ o ~ n ~ d ~ 1 ~ \, ~ , ~ \, ~ c ~ o ~ n ~ d ~ 2 ~ \, ~ , ~ . ~ . ~ . ~ \, ~ ] ~ } \ a { \cdots } a \cdot \delta \cdots \delta \, , \{ i , 1 , \ell \} ] , ] , \{ j , 1 , \ell \} ] \cdots ] \ .
\begin{array} { r l } { \delta P } & { = s \delta T + n \cdot \delta \mu + n _ { \ell } \cdot \delta \mu _ { \ell } - { * \tilde { \mu } } \cdot \delta { * \tilde { n } } - { * \tilde { \mu } _ { \ell } } \cdot \delta { * \tilde { n } _ { \ell } } } \\ & { \qquad - \frac { 1 } { 2 } r ^ { \mu \nu } \mathrm { d } g _ { \mu \nu } , } \\ { \epsilon } & { = - P + T s + \mu \cdot n + \mu _ { \ell } \cdot n _ { \ell } . } \end{array}
\begin{array} { c l } { { } } & { { \displaystyle \frac { 1 } { ( q ) _ { \infty } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \left( q ^ { ( 2 \kappa + 1 ) ( ( 2 \kappa + 1 ) k + 2 ) n ^ { 2 } + ( \iota ( ( 2 \kappa + 1 ) k + 2 ) - ( k ( \kappa + 1 ) + 1 ) ( 2 \kappa + 1 ) ) n } \right. } } \\ { { - } } & { { \left. q ^ { ( ( 2 \kappa + 1 ) n + \iota ) ( ( 2 \kappa + 1 ) k + 2 ) n + ) ( k ( \kappa + 1 ) + 1 ) } \right) } } \\ { { = } } & { { \displaystyle \sum _ { n _ { 1 } \geq \cdots \geq n _ { k } \geq 0 } \frac { q ^ { n _ { 1 } ^ { 2 } \cdots + n _ { k } ^ { 2 } + ( \kappa - \iota + 1 ) ( n _ { 1 } + \cdots + n _ { k } ) } } { ( q ) _ { n _ { 1 } - n _ { 2 } } \cdots ( q ) _ { n _ { k - 1 } - n _ { k } } ( q ) _ { 2 n _ { k } + \kappa - \iota + 1 } } } } \\ { { \times } } & { { \displaystyle \sum _ { \nu _ { 1 } \geq \cdots \geq \nu _ { \kappa - 1 } \geq \nu _ { \kappa } = 0 \atop \nu _ { 1 } + \cdots + \nu _ { \kappa - 1 } \leq n _ { k } } q ^ { \nu _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + \nu _ { \kappa - 1 } ^ { 2 } + \nu _ { \iota } + \cdots + \nu _ { \kappa - 1 } } } } \\ { { \times } } & { { \displaystyle \prod _ { \mu = 1 } ^ { \kappa - 1 } \left[ \begin{array} { c } { { 2 n _ { k } + \kappa - \iota + 1 - 2 ( \nu _ { 1 } + \cdots + \nu _ { \mu - 1 } ) - \nu _ { \mu } - \nu _ { \mu + 1 } - \alpha _ { \iota \mu } ^ { ( \kappa ) } } } \\ { { \nu _ { \mu } - \nu _ { \mu + 1 } } } \end{array} \right] _ { q } . } } \end{array}
\int d ^ { 4 } \vec { t } _ { 2 } e ^ { - i \vec { p } \cdot ( \vec { t } _ { 1 } - \vec { t } _ { 2 } ) } \left[ G _ { M ^ { 2 } } ( \vec { t } _ { 1 } , \vec { t } _ { 2 } ) \right] ^ { 2 } = f ( \vec { p } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } \mathrm { R } ( g + \varepsilon h ) } \\ & { \quad = \left( \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } ( g + \varepsilon h ) ^ { a b } \right) \mathrm { R i c } ( g ) _ { a b } + g ^ { a b } \left( \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } \mathrm { R i c } ( g + \varepsilon h ) _ { a b } \right) } \\ & { \quad = - g ^ { a c } g ^ { b d } h _ { c d } \mathrm { R i c } ( g ) _ { a b } - \frac { 1 } { 2 } g ^ { a b } g ^ { c d } \left( \nabla _ { d } \nabla _ { a } h _ { b c } + \nabla _ { d } \nabla _ { b } h _ { a c } - \nabla _ { d } \nabla _ { c } h _ { a b } - \nabla _ { a } \nabla _ { b } h _ { c d } \right) } \\ & { \quad = - g ^ { a c } g ^ { b d } \left( \nabla _ { a } \nabla _ { c } h _ { b d } - \nabla _ { a } \nabla _ { b } h _ { c d } + h _ { c d } \mathrm { R i c } ( g ) _ { a b } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { r _ { T } ( \boldsymbol { \Lambda } ) ^ { 2 } - \frac { 2 C _ { 1 } } { \sqrt { T } } r _ { T } ( \boldsymbol { \Lambda } ) r _ { 0 } ( \boldsymbol { \Lambda } ) + \frac { C _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 0 } ( \boldsymbol { \Lambda } ) ^ { 2 } } { T } \le \frac { 2 } { \sqrt { T } } \left( C _ { 3 } r _ { 0 } ( \boldsymbol { \Lambda } ) ^ { 2 } + C _ { 2 } r _ { 0 } ( \boldsymbol { \Lambda } ) \right) + \frac { C _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 0 } ( \boldsymbol { \Lambda } ) ^ { 2 } } { T } . } \end{array}
f _ { i } = - \frac { 1 } { 2 } C _ { T } ^ { \prime } A _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } \left( \overline { { u } } _ { \mathrm { ~ d ~ } , i } n _ { i } \right) ^ { 2 } \frac { \gamma _ { j , l } } { V _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } } ,
| P S \rangle = \sum _ { n , \lambda _ { i } } \int ^ { \prime } d x _ { i } d ^ { 2 } \kappa _ { \bot i } | n , x _ { i } P ^ { + } , x _ { i } P _ { \bot } + \kappa _ { \bot i } , \lambda _ { i } \rangle \Phi _ { n } ^ { S } ( x _ { i } , \kappa _ { \bot i } , \lambda _ { i } ) \, ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { n , m = 1 } ^ { \infty } \frac { e ^ { i ( t _ { 1 } m + t _ { 2 } n ) } - 1 } { n ( n + 1 ) m ( m + 1 ) } = } & { - i t _ { 1 } \log | t _ { 1 } | - \frac { \pi } { 2 } | t _ { 1 } | - i t _ { 2 } \log | t _ { 2 } | - \frac { \pi } { 2 } | t _ { 2 } | } \\ & { + O \left( t _ { 1 } ^ { 2 } \log \frac { 1 } { | t _ { 1 } | } + t _ { 2 } ^ { 2 } \log \frac { 1 } { | t _ { 2 } | } + | t _ { 1 } t _ { 2 } | \log \frac { 1 } { | t _ { 1 } | } \log \frac { 1 } { | t _ { 2 } | } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( t ) } & { = H _ { \mathrm { L P F } } \{ r _ { \mathrm { I } } ( t ) V ( t ) \} = \frac { 1 } { 2 } A _ { \mathrm { s } } ( t ) \cos ( \phi ( t ) ) } \\ { Q ( t ) } & { = H _ { \mathrm { L P F } } \{ r _ { \mathrm { Q } } ( t ) V ( t ) \} = \frac { 1 } { 2 } A _ { \mathrm { s } } ( t ) \sin ( \phi ( t ) ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { S + } } & { { } = } & { \mathsf { P } \, ( \mathcal { H } \, | \, \mathcal { T } ) } \\ { p _ { S - } } & { { } = } & { \mathsf { P } \, ( \mathcal { H } \, | \, \bar { \mathcal { T } } ) } \\ { p _ { B + } } & { { } = } & { \mathsf { P } \, ( \bar { \mathcal { H } } \, | \, \mathcal { T } ) \, = \, 1 - p _ { S + } } \\ { p _ { B - } } & { { } = } & { \mathsf { P } \, ( \bar { \mathcal { H } } \, | \, \bar { \mathcal { T } } ) \, = \, 1 - p _ { S - } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { j } _ { i } ^ { s } \cdot \boldsymbol { n } _ { s } = - \gamma _ { i } \zeta \mathcal { R } ^ { s } , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \Gamma , } \\ { - \nabla \phi _ { s } \cdot \boldsymbol { n } _ { s } = \lambda _ { s } ( \phi ^ { s } - \phi _ { p } ^ { s } ) , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \Gamma , } \\ { ~ \frac { \partial } { \partial t } ( - \nabla \phi _ { l } \cdot \boldsymbol { n _ { l } } ) + \frac { \zeta } { \delta ^ { 2 } } \Delta z _ { l } \mathcal { R } _ { l } = g \left( \ln ( \frac { C _ { e } ^ { r } } { C _ { e } ^ { l } } ) + \phi _ { p } ^ { l } - \phi _ { p } ^ { r } \right) , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \Gamma , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } ( - \nabla \phi _ { r } \cdot \boldsymbol { n _ { r } } ) + \frac { \zeta } { \delta ^ { 2 } } \Delta z _ { r } \mathcal { R } _ { r } = - g \left( \ln ( \frac { C _ { e } ^ { r } } { C _ { e } ^ { l } } ) + \phi _ { p } ^ { l } - \phi _ { p } ^ { r } \right) , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \Gamma , } \\ { \boldsymbol { j } ^ { s } \cdot \boldsymbol { n } = 0 , \phi ^ { s } = 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \partial \Omega / \Gamma , } \end{array} \right.
{ \begin{array} { l c l } { \delta ^ { \prime } ( q _ { 1 } , w , x _ { 1 } ) } & { \longrightarrow } & { ( p _ { 1 } , \epsilon ) } \\ { \delta ^ { \prime } ( p _ { 1 } , \epsilon , x _ { 2 } ) } & { \longrightarrow } & { ( p _ { 2 } , \epsilon ) } \\ & { \vdots } & \\ { \delta ^ { \prime } ( p _ { m - 1 } , \epsilon , x _ { m } ) } & { \longrightarrow } & { ( p _ { m } , \epsilon ) } \\ { \delta ^ { \prime } ( p _ { m } , \epsilon , \epsilon ) } & { \longrightarrow } & { ( p _ { m + 1 } , y _ { n } ) } \\ { \delta ^ { \prime } ( p _ { m + 1 } , \epsilon , \epsilon ) } & { \longrightarrow } & { ( p _ { m + 2 } , y _ { n - 1 } ) } \\ & { \vdots } & \\ { \delta ^ { \prime } ( p _ { m + n - 1 } , \epsilon , \epsilon ) } & { \longrightarrow } & { ( q _ { 2 } , y _ { 1 } ) . } \end{array} }
\psi _ { ( 2 ) i } ^ { \gamma } ( { \bf { r } } ) = - f ^ { \alpha \beta b } \, f ^ { b \delta \gamma } \, { \cal { X } } ^ { \alpha } ( { \bf { r } } ) \, { \cal { Q } } _ { ( 2 ) i } ^ { \beta } ( { \bf { r } } ) \, { \cal { X } } ^ { \delta } ( { \bf { r } } ) = - f ^ { \alpha \beta b } \, f ^ { b \delta \gamma } \, { \cal { X } } ^ { \alpha } ( { \bf { r } } ) \, [ a _ { i } ^ { \beta } ( { \bf { r } } ) + { \textstyle \frac { 2 } { 3 } } x _ { i } ^ { \beta } ( { \bf { r } } ) ] \, { \cal { X } } ^ { \delta } ( { \bf { r } } ) \; ,
( \partial _ { z } w ) _ { v } \approx \frac { ( D _ { x ^ { 1 } } u ^ { 1 } + D _ { x ^ { 2 } } u ^ { 2 } ) + i \, ( D _ { x ^ { 1 } } u ^ { 2 } - D _ { x ^ { 2 } } u ^ { 1 } ) } { 2 } .
\begin{array} { r } { C _ { i , j } \left[ 1 + \tau D _ { r } i ( i + 1 ) \right] + \; \; \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { f } \sum _ { n = 1 } ^ { 1 0 0 } \sum _ { m = - n } ^ { n } C _ { n , m } \int _ { S } \overline { { Y _ { i } ^ { j } } } \mathcal { H } ( Y _ { n } ^ { m } ) \mathrm { ~ d ~ } \boldsymbol { p } = - \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { f } C _ { 0 , 0 } \int _ { S } \overline { { Y _ { i } ^ { j } } } \mathcal { H } ( Y _ { 0 } ^ { 0 } ) \mathrm { ~ d ~ } \boldsymbol { p } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ \ } i \geq 1 , } \end{array}
\omega _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = - \frac { 3 \pi } { k _ { 0 } } \hat { \mathbf { P } } ^ { * } \cdot \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { N } e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r _ { j } } } \mathbf { G } \left( \mathbf { r } _ { j } , \omega _ { 0 } \right) \right] \cdot \hat { \mathbf { P } }
V _ { \infty } \left( \begin{array} { l } { \mu _ { 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \\ { \vdots } \\ { \vdots } \\ { \mu _ { g } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \nu _ { \infty , 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \\ { \nu _ { \infty , 2 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \\ { \vdots } \\ { \nu _ { \infty , r _ { \infty } - 3 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { E _ { s } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } A _ { s , n } = \sum _ { x , y = \pm 1 } x f _ { s } ( x , y ) \; , } \\ { E _ { s } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } B _ { s , n } = \sum _ { x , y = \pm 1 } y f _ { s } ( x , y ) \; , } \\ { E _ { s } ^ { ( 1 2 ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } A _ { s , n } B _ { s , n } = \sum _ { x , y = \pm 1 } x y f _ { s } ( x , y ) \; , } \\ { f _ { s } ( x , y ) } & { { } = } & { \frac { 1 + x \, E _ { s } ^ { ( 1 ) } + y \, E _ { s } ^ { ( 2 ) } + x y \, E _ { s } ^ { ( 1 2 ) } } { 4 } = \frac { 1 + x \, E _ { s } ^ { ( 1 ) } } { 2 } \frac { 1 + y \, E _ { s } ^ { ( 2 ) } } { 2 } + \frac { x y \left( E _ { s } ^ { ( 1 2 ) } - E _ { s } ^ { ( 1 ) } E _ { s } ^ { ( 2 ) } \right) } { 4 } \; } \end{array}
{ \cal L } _ { r e l } = \frac { 1 } { 2 } ( \partial \phi _ { r } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } \phi _ { r } ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 4 ! } \phi _ { r } * \phi _ { r } * \phi _ { r } * \phi _ { r } \, .
J _ { 1 } = \left[ \begin{array} { c c c } { - 1 + \epsilon } & { - 1 + \epsilon } & { - b + \beta + \epsilon } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 + b - \beta } \end{array} \right]
\sigma _ { \it e f f } ^ { \prime } = \frac { 1 - \psi } { 2 } + \frac { 1 + \psi } { 2 \sigma ^ { + } / \sigma ^ { - } } = \frac { 1 - \psi } { 2 } + \frac { 1 + \psi } { 2 \sigma _ { r } } .
\hat { u } _ { 1 } ^ { [ k ] } = \operatorname * { a r g \, m i n } _ { \hat { u } _ { 1 } \in H ^ { 1 } ( \Omega _ { 1 } ) } \frac 1 2 b _ { 1 } ( \hat { u } _ { 1 } , \hat { u } _ { 1 } ) - ( f , \hat { u } _ { 1 } ) _ { 1 } + \frac { \beta _ { D } } { 2 } \left( \lVert \hat { u } _ { 1 } \rVert _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega _ { 1 } \cap \partial \Omega ) } ^ { 2 } + \lVert \hat { u } _ { 1 } - u _ { \Gamma } ^ { [ k ] } \rVert _ { L ^ { 2 } ( \Gamma ) } ^ { 2 } \right)
{ \cal { S } } = \frac { 1 } { 1 6 \pi } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - \tilde { g } } [ \tilde { \Phi } \tilde { R } - \frac { \omega ( \tilde { \Phi } ) } { \tilde { \Phi } } \tilde { g } ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \tilde { \Phi } \partial _ { \nu } \tilde { \Phi } ] + { \cal { S } } _ { m } [ \psi _ { m } , \tilde { g } _ { \mu \nu } ]
\begin{array} { r l } & { | q _ { \theta + h } ( z ) - q _ { \theta } ( z ) | } \\ & { \quad = \left| \int _ { \mathcal X } q ( z | x ) \left[ \sqrt { p _ { \theta + h } ( x ) } - \sqrt { p _ { \theta } ( x ) } \right] \left[ \sqrt { p _ { \theta + h } ( x ) } + \sqrt { p _ { \theta } ( x ) } \right] \mu ( d x ) \right| } \\ & { \quad \le e ^ { \alpha } 2 \sqrt { \int _ { \mathcal X } \left( \sqrt { p _ { \theta + h } ( x ) } - \sqrt { p _ { \theta } ( x ) } \right) ^ { 2 } \mu ( d x ) } \xrightarrow [ h \to 0 ] 0 . } \end{array}