harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { ~ \theta _ { 1 } X _ { n } ( s ) + \theta _ { 2 } X _ { n } ( t ) } \\ { = } & { ~ - ( \tilde { \theta } _ { 1 } + \tilde { \theta } _ { 2 } ) \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { 1 } } I ( \xi _ { j } + j > n _ { 2 } ) - \tilde { \theta } _ { 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { 1 } } I ( \xi _ { j } + j \in ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ] ) - \tilde { \theta } _ { 2 } \sum _ { j = n _ { 1 } + 1 } ^ { n _ { 2 } } I ( \xi _ { j } + j > n _ { 2 } ) } \\ & { ~ + ( \tilde { \theta } _ { 1 } + \tilde { \theta } _ { 2 } ) \sum _ { j \leq 0 } I ( \xi _ { j } + j \in ( 0 , n _ { 1 } ] ) + \tilde { \theta } _ { 2 } \sum _ { j \leq 0 } I ( \xi _ { j } + j \in ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ] ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { n } ( { \bf P } , t , \tau ) } & { { } = n \hbar \omega t - \int _ { t - \tau } ^ { t } d t ^ { \prime \prime } \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu } [ { \bf P } + \frac { e } { \hbar } { \bf A } ( t ^ { \prime \prime } ) ] ^ { 2 } } \end{array}
G _ { \hat { R } ( j ) } ^ { I ^ { \prime } , I } \equiv G _ { \hat { R } ( j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } ) } ^ { I ^ { \prime } , I } = \chi ^ { ( \Gamma _ { I ^ { \prime } } ) } ( \hat { R } ^ { - 1 } ) \chi ^ { ( \Gamma _ { I } ) } ( \hat { R } ^ { - 1 } ) G _ { ( j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } ) } ^ { I ^ { \prime } , I } .
\begin{array} { r l } { I } & { = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { ( 2 ) } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { \lambda _ { D } ( m ) } { m ^ { s + \beta } } \frac { x ^ { s } } { s ( s + 1 ) ( s + 2 ) } d s } \\ & { = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { \lambda _ { D } ( m ) } { m ^ { \beta } } \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { ( 2 ) } \frac { ( x / m ) ^ { s } } { s ( s + 1 ) ( s + 2 ) } d s } \\ & { = \sum _ { m < x } \frac { \lambda _ { D } ( m ) } { m ^ { \beta } } \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \frac { m } { x } ) ^ { 2 } } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \frac { 1 } { x } ) ^ { 2 } } \\ & { \gg 1 } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { d _ { 1 } \in L ^ { \infty } ( 0 , l _ { 1 } ) \ \mathrm { s u c h ~ t h a t } \ d _ { 1 } ( x ) \geq d _ { 1 } > 0 \quad \mathrm { i n } \quad ( a _ { 1 } , b _ { 1 } ) \subset ( 0 , l _ { 1 } ) , } \\ { d _ { 2 } \in L ^ { \infty } ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) \ \mathrm { s u c h ~ t h a t } \ d _ { 2 } ( x ) \geq d _ { 2 } > 0 \quad \mathrm { i n } \quad ( a _ { 2 } , b _ { 2 } ) \subset ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) , } \\ { d _ { 3 } \in L ^ { \infty } ( l _ { 2 } , L ) \ \mathrm { s u c h ~ t h a t } \ d _ { 3 } ( x ) \geq d _ { 3 } > 0 \quad \mathrm { i n } \quad ( a _ { 3 } , b _ { 3 } ) \subset ( l _ { 2 } , L ) . } \end{array} \right.
\mathcal { V } ( 0 , 0 , Q ) = - \frac { \Gamma ( 1 / 2 ) \Gamma ( ( 5 - d ) / 2 ) \Gamma ^ { 2 } ( ( d - 3 ) / 2 ) } { \Gamma ( d - 3 ) Q ^ { 1 + 2 \varepsilon } } = - \frac { \pi ^ { 2 } } { Q } + \mathcal { O } ( \varepsilon ) .
{ \mathcal Z } _ { A } ^ { r e g } [ J ] \, = \, \int { \mathcal D } { \mathcal A } _ { \mu } \, \, \exp \left\{ i \int d ^ { 3 } x [ - \frac { \xi ^ { 2 } } { 4 } { \mathcal F } _ { \mu \nu } { \mathcal F } ^ { \mu \nu } \, + \, \frac { \kappa } { 2 } \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } { \mathcal A } _ { \mu } \partial _ { \nu } { \mathcal A } _ { \lambda } + J ^ { \mu } { \mathcal A } _ { \mu } ] \right\} \, ,
\mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } \left( t _ { \mathrm { ~ A ~ P ~ } } \right) { \rightarrow } \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } \left( t _ { \mathrm { ~ A ~ P ~ } } \right) + p _ { \mathrm { ~ r ~ o ~ } } \left\langle t _ { \mathrm { ~ A ~ P ~ } } \right\rangle ^ { 2 }
\ddot { \varphi } _ { \bf k } ( t ) + \Bigl ( { \bf k } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 0 } ^ { 2 } \operatorname { t a n h } \Bigl ( \frac { t } { \tau } \Bigr ) \Bigr ) \varphi _ { \bf k } ( t ) = 0 .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \exp ( \iota t \widetilde { U } _ { \mathfrak { c } } ) } & { = \exp \left( - \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \right) \Big [ 1 + \frac { ( \iota t ) ^ { 2 } } { 2 } \left( \frac { \mathbb { E } [ \ell _ { 1 } ^ { 2 } ] } { \vartheta _ { \mathfrak { c } } ^ { 2 } n } - 1 \right) + \frac { ( \iota t ) ^ { 3 } } { 6 \vartheta _ { \mathfrak { c } } ^ { 3 } n ^ { 2 } } \mathbb { E } \ell _ { 1 } ^ { 3 } + O ( \mathcal { E } _ { 2 } ( t ) ) + o ( \mathcal { E } _ { 3 } ( t ) ) \Big ] } \\ & { \qquad \times \Big [ 1 + \frac { ( \iota t ) ^ { 2 } } { 2 \vartheta _ { \mathfrak { c } } ^ { 2 } } \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \mathbb { E } [ q _ { 1 2 } ^ { 2 } ] + \frac { ( \iota t ) ^ { 3 } } { \vartheta _ { \mathfrak { c } } ^ { 3 } n ^ { 2 } } \mathbb { E } \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } } \\ & { \qquad \qquad - \frac { 1 - \mathfrak { c } } { 2 } \frac { ( \iota t ) ^ { 2 } } { \vartheta _ { \mathfrak { c } } ^ { 2 } } \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \mathbb { E } [ q _ { 1 2 } ^ { 2 } ] - \left( \frac { \iota t + ( \iota t ) ^ { 3 } } { \vartheta _ { \mathfrak { c } } ^ { 3 } n ^ { 2 } } \right) \left( \frac { \mathbb { E } \ell _ { 1 } ^ { 3 } } { 2 } + 2 \mathbb { E } \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } \right) + O ( \mathcal { E } _ { 4 } ( t ) ) \Big ] } \\ & { \qquad + O ( \mathcal { E } _ { 1 } ( t ) ) , } \end{array}
\hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { \mathrm { C D C ^ { - } } } = p _ { \mathbb { S } } ( \hat { \boldsymbol { \Lambda } } - [ \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \cdot \hat { \mathbf { n } } ^ { D K } ] \hat { \mathbf { n } } ^ { D K } )
\mathbb { P } \left( \{ T \} \times \mathbb { S } ^ { 1 } \overset { \mathcal { L } _ { \mathtt { C } , \tau } ^ { \theta } } { \longleftrightarrow } \{ s T \} \times \mathbb { S } ^ { 1 } \right) \to \frac { \sin ( \pi \theta ) } { \pi } \int _ { s - 1 } ^ { \infty } t ^ { \theta - 1 } ( t + 1 ) ^ { - 1 } \mathrm { d } t \quad \quad \mathrm { a s } \quad T \to \infty .
\begin{array} { r l } { E _ { | F N G g \rangle } ^ { \mathrm { ~ s ~ r ~ } } = } & { { } \frac { ( - 1 ) ^ { F - a } \langle \gamma ( R ) \rangle } { [ I ] } \bigg ( \overline { { m } } \langle N \rangle + \frac { \overline { { m } } ( \overline { { m } } + 1 ) - F ( F + 1 ) } { 2 } \bigg ) } \end{array}
\nabla _ { x _ { t } } \log { p _ { t } ( x _ { t } ) } \approx \frac { D _ { \theta } ( \hat { x } _ { t } , \sigma _ { t } ) - \hat { x } _ { t } } { s _ { t } \sigma _ { t } ^ { 2 } } , \qquad \hat { x } _ { t } = x _ { t } / s _ { t } .
\left\{ \begin{array} { c l } { \displaystyle - \nabla \cdot ( c _ { 1 } \nabla w _ { 1 } ) + w _ { 1 } = f } & { \! \! \mathrm { i n } \ \Omega _ { 1 } , } \\ { \displaystyle w _ { 1 } = 0 } & { \! \! \mathrm { o n } \ \partial \Omega _ { 1 } , } \end{array} \right. \ \left\{ \begin{array} { c l } { \displaystyle - \nabla \cdot ( c _ { 1 } \nabla g _ { 1 } ) + g _ { 1 } = 0 } & { \! \! \mathrm { i n } \ \Omega _ { 1 } , } \\ { \displaystyle g _ { 1 } = 0 } & { \! \! \mathrm { o n } \ \partial \Omega _ { 1 } \cap \partial \Omega , } \\ { \displaystyle g _ { 1 } = u _ { \Gamma } ^ { [ k ] } } & { \! \! \mathrm { o n } \ \Gamma , } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l r l } { \mathbf { B } ( t ) } & { = ( 1 - t ) ^ { 5 } \mathbf { P } _ { 0 } + 5 t ( 1 - t ) ^ { 4 } \mathbf { P } _ { 1 } + 1 0 t ^ { 2 } ( 1 - t ) ^ { 3 } \mathbf { P } _ { 2 } + 1 0 t ^ { 3 } ( 1 - t ) ^ { 2 } \mathbf { P } _ { 3 } + 5 t ^ { 4 } ( 1 - t ) \mathbf { P } _ { 4 } + t ^ { 5 } \mathbf { P } _ { 5 } , } & & { 0 \leqslant t \leqslant 1 . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \overline { { T } } _ { \perp } } & { { } = } & { \frac { 3 2 ( 1 + \delta ^ { 2 } ) + 8 \delta ^ { 4 } + \delta ^ { 8 } } { 6 4 ( 1 + \delta ^ { 2 } ) + 1 6 \delta ^ { 4 } + \delta ^ { 8 } } , } \\ { \mathcal { D C T } _ { \perp } } & { { } = } & { \frac { 1 6 ( 4 - \delta ^ { 4 } ) } { 3 2 \left( 1 + \delta ^ { 2 } \right) + 8 \delta ^ { 4 } + \delta ^ { 8 } } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r } { \nabla ^ { 2 } u ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { x } ) } & { = 0 } & { i n \quad \Omega , } \\ { \frac { \partial u ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { x } ) } { \partial \boldsymbol { n } } } & { = - \| \boldsymbol { v } _ { 0 } \| n _ { 1 } } & { i n \quad \Gamma , } \\ { \nabla u ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { x } ) } & { = 0 } & { w h e n \quad \boldsymbol { x } \rightarrow \infty . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { d A } { d t } = } & { { } \alpha \bar { P } _ { z } A + \frac { \epsilon B } { 2 } - \frac { A } { T _ { 2 } } , } \\ { \frac { d B } { d t } = } & { { } - \frac { \epsilon A } { 2 } - \frac { B } { T _ { 2 } } , } \\ { \frac { d \bar { P } _ { z } } { d t } = } & { { } - \frac { \alpha A ^ { 2 } } { 4 } - \frac { \bar { P } _ { z } } { T _ { 1 } } + G ( P _ { 0 } - \bar { P } _ { z } ) , } \\ { \frac { d \theta } { d t } = } & { { } - \omega _ { c } . } \end{array}
g _ { \mathrm { s p } } \left( P , N \right) = \frac { 1 } { 2 } \frac { g _ { 0 } } { 1 + \varepsilon P } \log \left( 1 + \left( \frac { N } { N _ { \mathrm { t r } } } \right) ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { E } & { { } = \bar { E } + \delta E , } \\ { \bar { E } } & { { } = \frac { Q _ { \mathrm { e n c l } } } { 4 \pi r ^ { 2 } } , \quad \delta E = - \bar { E } \frac { \phi } { M _ { \gamma } } . } \end{array}
_ { 2 } F _ { 1 } [ a , b ; c ; z ] \ = \ \frac { \Gamma ( c ) } { \Gamma ( b ) \Gamma ( c - b ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \ u ^ { b - 1 } ( 1 - u ) ^ { c - b - 1 } ( 1 - z u ) ^ { - a }
f _ { X Y Z } ( x , y , z , \tau \vert x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) = \frac { 1 } { 2 \pi \nu ( \sqrt { 2 \sigma ^ { 2 } } ) ^ { 3 } } e r f c \left( \sqrt { \frac { \nu } { \tau } } \right)
\widehat { \Delta } ( r , k ) \; \; \equiv \; \; \widehat { \Delta } _ { [ \overline { { { A } } } ] } ( r , k ) \; \, = \; \, \widehat { \Delta } _ { [ \overline { { { 0 } } } ] } ( k ) \; \, + \; \, \delta \widehat { \Delta } _ { [ \overline { { { A } } } ] } ( r , k )
\lambda _ { k } ^ { \mathrm { t r u e } } = \frac { 1 } { N _ { k } L _ { k } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { k } } { \left( \frac { \beta _ { i } c P _ { i } } { 1 3 . 6 M e V } \right) ^ { 2 } s _ { i } ^ { 2 } } \; .
\hat { H } _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ R ~ E ~ - ~ P ~ T ~ } } = \sum _ { \substack { p q \, \Delta n _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } = 0 } } h _ { p q } \hat { E } _ { p q } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \substack { p q r s \, \Delta n _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } = 0 } } ( p q | r s ) \hat { e } _ { p q , r s }
\begin{array} { r l } & { [ \hat { k } _ { 1 } , \hat { k } _ { 2 } , \hat { x } _ { \Re } , \hat { x } _ { \Im } ] } \\ & { = \arg \! \operatorname* { m i n } _ { { k } _ { 1 } , { k } _ { 2 } , { x } _ { \Re } , { x } _ { \Im } } | \mathbf { y } _ { r } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \! - \! \sqrt { P _ { s } } \left( \beta _ { k _ { 1 } } x _ { \Re } \! + \! j \beta _ { k _ { 2 } } x _ { \Im } \right) | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { H } ( \mathcal { X } , \textrm { H } ( Z _ { \delta } ) ) } & { = \bigg | x _ { 0 } ^ { \top } n ( x _ { 0 } ) - \operatorname* { s u p } _ { z \in \textrm { H } ( Z _ { \delta } ) } z ^ { \top } n ( x _ { 0 } ) \bigg | = \bigg | \operatorname* { i n f } _ { z \in Z _ { \delta } } ( x _ { 0 } - z ) ^ { \top } n ( x _ { 0 } ) \bigg | = \bigg | ( x _ { 0 } - z ) ^ { \top } n ( x _ { 0 } ) \bigg | } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big ( \int _ { \Omega } | x - y | ^ { 2 } d \pi \big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } & { \le W ( \lambda \llcorner B _ { R } + f , \mu \llcorner B _ { R } + g ) } \\ & { + \big ( 2 \int _ { \Omega \cap { \{ \exists t \in [ 0 , 1 ] \; X ( t ) \in \partial B _ { R } \} } } | x - y | ^ { 2 } d \pi \big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mathrm { K P } } ( t _ { * * } ^ { 1 } ( \lambda ) , \lambda ) - \mathcal { E } } & { = \frac { \langle ( \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) - \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 0 } + \lambda t _ { * * } ^ { \angle } ) ) \Phi _ { 0 } , \Pi _ { \mathfrak { V } ^ { \angle } \rangle ( e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } ) ^ { \dag } C ^ { \angle } \Phi _ { 0 } } } { \langle e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } \Phi _ { 0 } , \Psi \rangle } } \\ & { = ( 1 - \lambda ) \frac { \langle \Gamma ( t _ { * * } ^ { 1 } , \lambda ) \Phi _ { 0 } , \Pi _ { \mathfrak { V } ^ { \angle } \rangle ( e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } ) ^ { \dag } C ^ { \angle } \Phi _ { 0 } } } { \langle e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } \Phi _ { 0 } , \Psi \rangle } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { s ( n , n - p ) } & { = { \frac { 1 } { ( n - p - 1 ) ! } } \sum _ { 0 \leq k _ { 1 } , \ldots , k _ { p } : \sum _ { 1 } ^ { p } m k _ { m } = p } ( - 1 ) ^ { K } { \frac { ( n + K - 1 ) ! } { k _ { 1 } ! k _ { 2 } ! \cdots k _ { p } ! ~ 2 ! ^ { k _ { 1 } } 3 ! ^ { k _ { 2 } } \cdots ( p + 1 ) ! ^ { k _ { p } } } } , } \end{array} }
\frac { d ^ { 2 } \sigma _ { h _ { 1 } h _ { 2 } } ^ { \gamma , c } } { d p _ { T } ^ { c } d p _ { T } ^ { \gamma } d y _ { c } d y _ { \gamma } d \phi } \sim \sum _ { i j } \int d x _ { 1 } d x _ { 2 } f _ { h _ { 1 } } ^ { i } ( x _ { 1 } , \mu _ { f } ) f _ { h _ { 2 } } ^ { j } ( x _ { 2 } , \mu _ { f } ) \frac { s d ^ { 2 } \hat { \sigma } _ { i j } ^ { \gamma , c } } { d t d u } ( s , p _ { T } , y , \phi ; \mu _ { f } ) .
\mathbf { x } = \sum _ { \mu = 1 } ^ { 8 } \tilde { \sigma } _ { \mu } x ^ { \mu } = \left( \begin{array} { c c } { { z _ { 2 } } } & { { z _ { 1 } } } \\ { { - \bar { z } _ { 1 } } } & { { \bar { z } _ { 2 } } } \end{array} \right) \, , \quad \mathbf { x } ^ { \prime } = \sum _ { \mu = 1 } ^ { 8 } \tilde { \sigma } _ { \mu } ^ { \prime } x ^ { \mu } = \left( \begin{array} { c c } { { z _ { 4 } } } & { { z _ { 3 } } } \\ { { - \bar { z } _ { 3 } } } & { { \bar { z } _ { 4 } } } \end{array} \right) \, ,
\left. { \frac { \partial } { \partial z } \frac { 1 } { 2 } ( u _ { z } ) ^ { 2 } } \right| _ { r = 0 } < \left. { \frac { \partial } { \partial z } \frac { 1 } { 2 } ( u _ { z } ) ^ { 2 } } \right| _ { r = r _ { \ast } } ,
\vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \odot \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } = \sum _ { u \in \{ x , y , z \} } \left( \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { m } } ^ { u } \right) \cdot \left( \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { m } } ^ { u } \right) .
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m } _ { \tau \to \infty } a _ { 1 , i } = - Q ( p _ { i } ) , } & { } & { \, \operatorname* { l i m } _ { \tau \to \infty } a _ { 2 , i } = T ( p _ { i } ) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \tau \to - \infty } a _ { 1 , j } = - Q ( p _ { j } ) , } & { } & { \, \operatorname* { l i m } _ { \tau \to - \infty } a _ { 2 , j } = T ( p _ { j } ) } \end{array}
R _ { \mathrm { N C } } ^ { \mathrm { E S } } = { \frac { 5 } { 9 } } \, { \frac { \displaystyle \int _ { E _ { \mathrm { t h } } ^ { \mathrm { E S } } } \left( \sigma _ { \nu _ { e } e } ( E ) + { \frac { 4 } { 5 } } \, \sigma _ { \nu _ { \mu } e } ( E ) \right) X ( E ) \mathrm { d } E } { \displaystyle \int _ { E _ { \mathrm { t h } } ^ { \mathrm { N C } } } \sigma _ { { \nu } d } ^ { \mathrm { N C } } ( E ) X ( E ) \mathrm { d } E } } \; .
\Delta \tilde { E } = \underbrace { \tilde { E } [ \tilde { n } ] - \tilde { E } [ n ] } _ { D ^ { \mathrm { ~ a ~ p ~ p ~ r ~ o ~ x ~ } } [ \Delta \tilde { n } ] } + \underbrace { \tilde { E } [ n ] - E [ n ] } _ { \Delta E _ { \mathrm { ~ F ~ } } }
C _ { 4 } = 4 L ^ { 4 } \frac { q } { 3 ! } \left( \psi \, \omega ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \, A \wedge \eta \wedge \omega \right) - \frac { r ^ { 4 } } { L ^ { 4 } } d ^ { 4 } x + \frac { q } { 9 } L ^ { 3 } ( \star _ { 5 } d A ) \wedge \eta \ .
{ \frac { 1 } { g ^ { 2 } } } = 4 \int _ { 0 } ^ { \Lambda } ~ { \frac { 2 p ^ { 2 } d p } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { p ^ { 2 } + m _ { f } ^ { 2 } } } = \frac { \Lambda - | m _ { f } | } { \pi } ,
\begin{array} { r l } { \left( \Lambda _ { A } \ast \beta _ { k } \right) ( n ) } & { = \sum _ { d \mid n } \Lambda _ { A } ( d ) \beta _ { k } \left( \frac { n } { d } \right) = \sum _ { p ^ { \alpha } | | n } \sum _ { i = 1 } ^ { i = \alpha } \Lambda _ { A } ( p ^ { i } ) \beta _ { k } \left( \frac { n } { p ^ { i } } \right) } \\ & { = \sum _ { p ^ { \alpha } | | n } \sum _ { i = 1 } ^ { i = \alpha } p \beta _ { k } \left( \frac { n } { p ^ { i } } \right) } \\ & { = \sum _ { p ^ { \alpha } | | n } \left( - p ^ { k + 1 } + p \sum _ { i = 1 } ^ { i = \alpha } \beta _ { k } \left( n \right) \right) } \\ & { = \sum _ { p ^ { \alpha } | | n } - p ^ { k + 1 } + \alpha p \beta _ { k } \left( n \right) } \\ & { = \beta _ { k } ( n ) \sum _ { p ^ { \alpha } | | n } \alpha p - \sum _ { p ^ { \alpha } | | n } p ^ { k + 1 } } \\ & { = \beta _ { k } ( n ) A ( n ) - \beta _ { k + 1 } ( n ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { 3 } = - \Delta _ { 3 } ^ { * } } & { { } = \frac { 1 } { \gamma _ { 0 } } \left( \omega - \omega _ { 0 } + i \frac { \gamma _ { 0 } } { 2 } \right) } \\ { \Delta _ { 1 , 2 } } & { { } = \frac { 1 } { \gamma _ { 0 } } \left( \omega - \omega _ { 0 } \right) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \hat { \mathbf { d } } ( t ) = \mathbf { d } _ { s } ( t ) - \mathbf { d } _ { s } ( 0 ) \; \mathrm { ~ o ~ n ~ } \; \hat { \Omega } \cap S } \\ { \hat { \mathbf { d } } ( t ) = \mathbf { 0 } \; \mathrm { ~ o ~ n ~ d ~ o ~ m ~ a ~ i ~ n ~ b ~ o ~ u ~ n ~ d ~ s ~ } . } \end{array} \right.
C _ { i _ { 1 } i _ { 2 } . . . i _ { n } } = \sqrt { \frac { [ r _ { 1 } ] _ { q ^ { 2 } } ! } { \left( [ r _ { 1 } ] _ { q } ! \right) ^ { 3 } } \cdot \frac { [ r _ { 2 } ] _ { q ^ { 2 } } ! } { \left( [ r _ { 2 } ] _ { q } ! \right) ^ { 3 } } \cdot . . . \cdot \frac { [ r _ { m } ] _ { q ^ { 2 } } ! } { \left( [ r _ { m } ] _ { q } ! \right) ^ { 3 } } } \mathrm { \quad ~ w i t h ~ \quad } m \le n
\begin{array} { r } { \left( \int _ { \Omega _ { \sigma } } \left\lvert { \vec { A } ^ { N } ( t ) } \right\rvert ^ { 2 } + \left\lvert { \partial _ { t } \vec { A } ^ { N } ( t ) } \right\rvert ^ { 2 } + \left\lvert { \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { A } ^ { N } ( t ) } \right\rvert ^ { 2 } \, \mathrm d x \right) ^ { 1 / 2 } \leq c _ { 2 } ( t ) ( z ^ { N } ) ^ { 1 / 2 } ( 0 ) + c _ { 3 } ( t ) \| \vec { j } _ { a } \| _ { 2 , 1 , Q } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \delta n _ { e } } { n _ { e 0 } } = } & { { } \frac { \delta n _ { r } } { n _ { e 0 } } + \frac { \delta n _ { z } } { n _ { e 0 } } } \\ { = } & { { } A \left[ \underbrace { 1 } _ { \mathrm { ~ L ~ o ~ n ~ g ~ . ~ } } + \underbrace { \left( \frac { 2 c } { \omega _ { p e } \sigma } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \frac { r ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) } _ { \mathrm { ~ R ~ a ~ d ~ i ~ a ~ l ~ } } \right] \times } \\ { A = } & { { } \frac { I \sqrt { \pi } } { c ^ { 3 } n _ { c } m _ { e } } \left( \frac { \omega _ { p e } \tau _ { L } } { 2 } \right) \exp \left[ - \left( \frac { \omega _ { p e } \tau _ { L } } { 2 } \right) ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\theta \sim - \delta ^ { - 1 } \left( \frac { z _ { c } \beta _ { 1 } } { 2 } \frac { z ^ { 2 } } { \epsilon ^ { 2 } } - \sqrt { 2 z _ { c } \beta _ { 1 } ( z _ { c } - c ) } \frac { z } { \epsilon } + z _ { c } - c \right) - \frac { z _ { c } \delta C _ { 0 } } { \sqrt { 2 z _ { c } \beta _ { 1 } ( z _ { c } - c ) } } \frac { z } { \epsilon } + \mathcal { O } ( \delta ^ { 3 / 2 } )
{ { \varphi } _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ u ~ r ~ c ~ e ~ } } } \left( x \right) = { { \varphi } _ { i } } \left[ \frac { { { \sigma } _ { L } } } { i \omega } \int _ { - \infty } ^ { 0 } { d { x } ^ { \prime } { { G } _ { { { q } _ { y } } } } \left( x - { x } ^ { \prime } \right) \left[ - q _ { y } ^ { 2 } + \frac { { { \partial } ^ { 2 } } } { \partial { { { { x } ^ { \prime } } } ^ { 2 } } } \right] { { e } ^ { i { { q } _ { i } } { x } ^ { \prime } } } } - { { e } ^ { i { { q } _ { i } } x } } \right] .
H _ { \chi } = \mathcal { F } \left( \chi ^ { \prime } \left( \frac { - 2 h _ { 0 } } { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } \widetilde { \partial } _ { r } { \mathbf { u } _ { \mathcal { T } } } + F ^ { { \widetilde { \tau } } } \widetilde { \partial } _ { { \widetilde { \tau } } } { \mathbf { u } _ { \mathcal { T } } } + F ^ { { \widetilde { \phi } } } \widetilde { \partial } _ { { \widetilde { \phi } } } { \mathbf { u } _ { \mathcal { T } } } + G _ { 1 } { \mathbf { u } _ { \mathcal { T } } } \right) + \chi ^ { \prime \prime } \left( G _ { 2 } { \mathbf { u } _ { \mathcal { T } } } \right) + \chi ^ { \prime } G _ { { \bf B } } { \mathbf { u } _ { \mathcal { T } } } \right)
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { q _ { j } } } \frac { 1 } { ( b _ { j } + u _ { j } ^ { \top } u _ { j } / 2 ) ^ { a _ { j } + q _ { j } / 2 } } d u _ { j } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \cdots \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { r ^ { q _ { j } - 1 } [ { \mathrm { I } } ( q _ { j } \ge 3 ) \prod _ { i = 1 } ^ { q _ { j } - 2 } ( \sin \theta _ { i } ) ^ { q _ { j } - 1 - i } + { \mathrm { I } } ( q _ { j } = 2 ) ] } { ( b _ { j } + r ^ { 2 } / 2 ) ^ { a _ { j } + q _ { j } / 2 } } \, d r \, d \theta _ { 1 } \, d \theta _ { 2 } \cdots d \theta _ { q _ { j } - 1 } } \\ & { \le \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \cdots \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { r ^ { q _ { j } - 1 } } { ( b _ { j } + r ^ { 2 } / 2 ) ^ { a _ { j } + q _ { j } / 2 } } \, d r \, d \theta _ { 1 } \, d \theta _ { 2 } \cdots d \theta _ { q _ { j } - 1 } , } \end{array}
\dot { \ln { \frac { [ i ] } { [ i - 1 ] } } } + ( \ln ( [ i ] [ i - 1 ] ) ^ { \prime \prime } + ( ( \ln { \frac { [ i ] } { [ i - 1 ] } } ^ { \prime } ) ^ { 2 } = 2 ( \bar { \alpha } _ { i - 1 , i } + \bar { \alpha } _ { i , i - 1 } - \bar { \alpha } _ { i - 1 } \bar { \alpha } _ { i } )
m _ { + } - m _ { - } \approx - \frac { \pi ^ { 2 } \langle \bar { q } { q } \rangle } { \mu ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { 5 m _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 8 \mu ^ { 2 } } \right) \; .
\Gamma ( \mathcal { D } ) = \widehat { { \boldsymbol \Sigma } } _ { \mathcal { S } \setminus \mathcal { D } , \mathcal { S } \setminus \mathcal { D } } - \widehat { { \boldsymbol \Sigma } } _ { \mathcal { S } \setminus \mathcal { D } , \mathcal { D } } \widehat { { \boldsymbol \Sigma } } _ { \mathcal { D } , \mathcal { D } } ^ { - 1 } \widehat { { \boldsymbol \Sigma } } _ { \mathcal { D } , \mathcal { S } \setminus \mathcal { D } } .
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial S _ { H J } [ \varphi ] } { \partial \xi _ { i } } } } & { = - { \frac { i } { 4 \pi } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \Bigg [ \, \int _ { \partial H _ { j } } e ^ { \varphi } \left( { \frac { \partial \gamma _ { j } } { \partial \xi _ { i } } } d \overline { { \gamma _ { j } } } - { \frac { \partial \overline { { \gamma _ { j } } } } { \partial \xi _ { i } } } d \gamma _ { j } \right) \Bigg ] + { \frac { i } { 4 \pi } } \int _ { | z - \xi _ { i } | = \epsilon } d \overline { { z } } \; \partial \varphi \, \overline { { \partial } } \varphi } \\ & { \quad \quad \quad + { \frac { i } { 4 \pi } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \int _ { | z - \xi _ { j } | = \epsilon } { \frac { \partial \varphi } { \partial \xi _ { i } } } \left( \overline { { \partial } } \varphi d \overline { { z } } - \partial \varphi d z \right) + \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \frac { \lambda _ { j } ^ { 2 } } { r _ { j } [ H _ { j } ] } } { \frac { \partial r _ { j } [ H _ { j } ] } { \partial \xi _ { i } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \psi _ { z z } ^ { ( n ) } ( { { \bf k } _ { \parallel } } , d , \omega , \omega _ { n } ) = \frac { 4 \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \omega _ { n } ^ { 2 } } { \hbar \omega } \sum _ { v } \int d z ^ { \prime } } \\ & { \times \left| \overline { G } _ { z v } ( { { \bf k } _ { \parallel } } , d , z ^ { \prime } , \omega , \omega _ { n } ) \right| ^ { 2 } . } \end{array}
E _ { 3 , n } ^ { \mathrm { ( P ) } } \left( u \right) = - \frac { 2 \delta _ { n } q } { r _ { c } ^ { 2 } } \sum _ { p = \pm 1 } \frac { Q _ { n } ( u ) } { W _ { n + p } ^ { I } } R _ { p , n } ^ { \mathrm { ( e ) } } ( u , r / r _ { c } ) .