harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathcal { J } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) = \sum _ { c h } \mathcal { J } _ { c h } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { i j } ^ { n } } & { { } = \Big \langle \frac { \partial u _ { n , \mathbf { k } } } { \partial k _ { i } } \Big | \frac { \partial u _ { n , \mathbf { k } } } { \partial k _ { j } } \Big \rangle } \end{array}
\Vert ( 1 + \mathcal { L } _ { G } ) ^ { \frac { N } { 2 } } \sigma _ { A } ( x , \cdot ) \Vert _ { L ^ { p } ( G , \mathscr { S } _ { p } ( \widehat { G } ) ) } = \left( \smallint _ { G } \Vert ( 1 + \mathcal { L } _ { G } ) ^ { \frac { N } { 2 } } \sigma _ { A } ( x , \cdot ) \Vert _ { \mathscr { S } _ { p } ( \widehat { G } ) } ^ { p } \textnormal { d } x \right) ^ { \frac { 1 } { p } } < \infty
\vec { E } \! \cdot \! \vec { B } = \frac { 2 Z ^ { 2 } e ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } M } \frac { \gamma ^ { 2 } } { R _ { A } ^ { 3 } R _ { 2 } ^ { 3 } } ( \vec { r } \! \cdot \! \vec { L } ) ,
\begin{array} { r l r } { U ^ { ( 0 ) } } & { { } = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] _ { L } , } \\ { \Omega ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } , } \\ { U ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } - \beta \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] _ { L } , } \\ { \Omega ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 2 ) } \Big ] _ { L } - \frac { \beta } { 2 } \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } , } \end{array}
{ \cal L } _ { c o r r } = - { \frac { i } { 2 } } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \, { \frac { d s } { s } } \, e ^ { - i ( m ^ { 2 } - i \epsilon ) s } \; K ( t , { \bf x } , s \vert t , { \bf x } , 0 ) ,
\begin{array} { r } { \Delta _ { 1 , 2 } \ln \Big ( \frac { T } { T _ { C 1 , C 2 } } \Big ) = - 2 \pi k _ { B } T \sum _ { n \geq 0 } \Big ( \frac { \Delta _ { 1 , 2 } } { \hbar \omega _ { n } } - \sin \theta _ { 1 , 2 } \Big ) . } \end{array}
4 s _ { \mathrm { o b } } a _ { 0 2 0 0 } a _ { 2 0 0 0 } ^ { 2 } ( 2 s _ { \mathrm { i m } } a _ { 0 2 0 0 } + 1 ) - 2 s _ { \mathrm { i m } } a _ { 2 2 0 0 } + a _ { 2 1 0 1 }
{ \cal L } _ { g K } = \frac { 1 } { 2 } \left[ i \overline { { { \Psi } } } _ { L } \left( \partial \! \! \! / + \frac { 1 } { 2 } ( i { \cal A } \! \! \! / \, \hat { C } + { \cal A } \! \! \! / \: \hat { C } i ) \right) \Psi _ { L } + \overline { { { \Psi } } } _ { L } \left( \partial \! \! \! / + \frac { 1 } { 2 } ( i { \cal A } \! \! \! / \, \hat { C } + { \cal A } \! \! \! / \: \hat { C } i ) \right) \Psi _ { L } i \right]
\Theta _ { \alpha } ^ { + } = \theta _ { \alpha } ^ { i } u _ { i } ^ { + } + \eta ^ { + } \tilde { \lambda } _ { \alpha } + { \bar { \eta } } ^ { + } { \bar { \tilde { \lambda } } } _ { \alpha } - i \eta ^ { + } { \bar { \eta } } ^ { + } { \dot { \theta } } _ { \alpha } ^ { i } u _ { i } ^ { - } ,
\begin{array} { r } { R _ { n } ^ { V } = - ( 1 - \epsilon ) P _ { L } \sum _ { p = 1 } ^ { P } \widetilde { V } _ { n , p } \frac { \partial \overline { { c } } _ { { n , p } } } { \partial t } \qquad \qquad p = 1 , 2 , . . . , P } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c } { { V _ { u d } } } & { { V _ { u s } } } & { { V _ { u b } } } \\ { { V _ { c d } } } & { { V _ { c s } } } & { { V _ { c b } } } \\ { { V _ { t d } } } & { { V _ { t s } } } & { { V _ { t b } } } \end{array} \right) \! = \! \left( \begin{array} { c c c } { { c _ { 1 2 } c _ { 1 3 } } } & { { s _ { 1 2 } c _ { 1 3 } } } & { { s _ { 1 3 } \exp ( - i \delta ) } } \\ { { - s _ { 1 2 } c _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } \exp ( i \delta ) } } & { { c _ { 1 2 } c _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } \exp ( i \delta ) } } & { { s _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } } \\ { { s _ { 1 2 } s _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } \exp ( i \delta ) } } & { { - c _ { 1 2 } s _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } \exp ( i \delta ) } } & { { c _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \langle C _ { P r } \rangle _ { n } = } & { } & { \frac { 1 } { ( k c ) ^ { n } } \sum _ { P e r m u t a t e : \tilde { t } _ { 1 } , \tilde { t } _ { 3 } , \tilde { t } _ { 5 } , \tilde { t } _ { 7 } } \int _ { \tilde { t } _ { 1 } < \tilde { t } _ { 3 } < \tilde { t } _ { 5 } < \tilde { t } _ { 7 } < k c T } d \tilde { t } _ { 1 } d \tilde { t } _ { 3 } d \tilde { t } _ { 5 } d \tilde { t } _ { 7 } e ^ { - \tilde { t } _ { 1 } } e ^ { - \tilde { t } _ { 3 } } e ^ { - \tilde { t } _ { 5 } } e ^ { - \tilde { t } _ { 7 } } C ( k c T - \tilde { t } _ { 7 } ) ^ { n } } \\ & { } & { = \frac { 4 ! C } { 6 ( k c ) ^ { n } } \int _ { 0 } ^ { k c T } e ^ { - \tilde { t } _ { 7 } } \left( 1 - e ^ { - \tilde { t } _ { 7 } } \right) ^ { 3 } ( k c T - \tilde { t } _ { 7 } ) ^ { n } d \tilde { t } _ { 7 } } \\ { \langle C _ { P r } ^ { 2 } \rangle _ { n } } & { } & { = \frac { 4 ! C ^ { 2 } } { 6 ( k c ) ^ { 2 n } } \int _ { 0 } ^ { k c T } e ^ { - \tilde { t } _ { 7 } } \left( 1 - e ^ { - \tilde { t } _ { 7 } } \right) ^ { 3 } ( k c T - \tilde { t } _ { 7 } ) ^ { 2 n } d \tilde { t } _ { 7 } } \end{array}
\mathrm { ~ } h \left( x \right) = { \bf E } h \left( X _ { \tau _ { x } } \right) = h \left( 0 \right) { \bf P } \left( \tau _ { x , 0 } < \tau _ { x , y } \right) + { \bf E } h \left( X _ { \tau _ { x , y } } \right) { \bf P } \left( \tau _ { x , y } < \tau _ { x , 0 } \right) .
\frac { f ^ { 2 } } { 4 \pi } = \frac { g _ { \pi } ^ { 2 } } { 4 \pi } \left( \frac { m _ { \pi } } { 2 M _ { N } } \right) ^ { 2 } = 7 . 9 5 \times 1 0 ^ { - 2 }
{ \cal L } ^ { D } = \sqrt { - g ^ { D } } \left( R ^ { D } - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \Phi \partial _ { \nu } \Phi - { \frac { 1 } { 2 . 3 ! } } e ^ { - l \Phi } F _ { \mu \nu \sigma } ^ { ( 3 ) } F ^ { ( 3 ) \mu \nu \sigma } \right) \, ,
g _ { \mu \nu } = v _ { 0 } h _ { \mu \nu } + \kappa v _ { 0 } ( \varphi h _ { \mu \nu } + \varphi _ { \mu \nu } ) \; , \qquad \mathrm { a n d } \qquad I _ { \mu } ^ { \ \nu } = \left[ \delta _ { \mu } ^ { \ \nu } + \kappa \frac { \varphi _ { \mu \alpha } h ^ { \alpha \nu } } { ( 1 + \kappa \varphi ) } \right] \; .
\left( { \begin{array} { l } { { F _ { k } ( \vec { r } ) } } \\ { { G _ { k } ( \vec { r } ) } } \end{array} } \right) = \left( \begin{array} { l } { { f _ { 1 \, k } ( r ) - f _ { 2 \, k } ( r ) \left( \vec { \sigma } \cdot \vec { n } \right) } } \\ { { g _ { 1 \, k } ( r ) - g _ { 2 \, k } ( r ) \left( \vec { \sigma } \cdot \vec { n } \right) } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \dot { m } ( x , t ) } & { = } & { \frac { \omega _ { m } } { 1 + \left( \frac { p ( x , t ) } { p _ { t h r e s h } } \right) ^ { h } } \, f _ { G E N } ( x ) - \gamma _ { m } \, m ( x , t ) + D _ { m } \, \nabla ^ { 2 } m ( x , t ) } \\ { \dot { p } ( x , t ) } & { = } & { \omega _ { p } \; f _ { R I B } ( x ) \, m ( x , t ) - \gamma _ { p } \, p ( x , t ) + D _ { p } \nabla ^ { 2 } \, p ( x , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { n , m } ^ { ( j ) } ( x ) = } & { \beta _ { n , m } ^ { ( j ) } ( \Pi _ { 1 } ( x ) ) + \beta _ { n , m } ^ { ( j ) } ( x ) - \beta _ { n , m } ^ { ( j ) } ( \Pi _ { N } ( x ) ) } \\ & { + \sum _ { L = 2 } ^ { N } \left[ \beta _ { n , m } ^ { ( j ) } ( \Pi _ { L } ( x ) ) - \beta _ { n , m } ^ { ( j ) } ( \Pi _ { L - 1 } ( x ) ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { J _ { \infty } \big ( ( \gamma , \eta ) , \varphi \big ) = \left[ \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ] - d \right] \varphi } \\ { + } & { \left\{ \begin{array} { l l } { c \mathbf { P } ( U = 1 ) + ( 1 - \varphi ) \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] , } \\ { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm { i f ~ } \mathbf { P } ( U = 1 ) \le \bar { \kappa } } \\ { c \mathbf { P } ( U = 1 ) + ( 1 - \varphi ) \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ] , } \\ { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm { i f ~ } \mathbf { P } ( U = 1 ) > \bar { \kappa } . } \end{array} \right. } \end{array}
\hat { f } ( \boldsymbol { u } ) = \sum _ { ( \boldsymbol { v _ { 1 } , v _ { 2 } } ) \in \mathbb { Z } _ { m } ^ { n } } \chi ( \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { v } ) x ^ { ( s _ { 1 } + s _ { 2 } ) \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor - w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } , \pi ) } ( \boldsymbol { v } ) } y ^ { w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } , \pi ) } ( \boldsymbol { v } ) } .
\Gamma ( \tau \rightarrow \mu V ) = \frac { \pi K _ { V } ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 4 } } \frac { m _ { \tau } } { m _ { V } ^ { 2 } } \left[ m _ { \tau } ^ { 2 } { \left( 1 - \frac { m _ { V } ^ { 2 } } { m _ { \tau } ^ { 2 } } \right) } ^ { 2 } { \left( 1 + 2 \frac { m _ { V } ^ { 2 } } { m _ { \tau } ^ { 2 } } \right) } - 3 \frac { m _ { \mu } m _ { V } ^ { 2 } } { m _ { \tau } ^ { 3 } } \right] ,
\int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { i } ( x ) ^ { 2 } \, d x \sim { \frac { i ! } { \sqrt \pi } } 2 ^ { - 5 i - 4 } t ^ { - { \frac { 3 } { 2 } } i - { \frac { 5 } { 4 } } } \exp \left( { \frac { 8 } { 3 } } t ^ { 3 / 2 } \right) \, .
W ^ { 2 } ( a , x ) + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } W ^ { \prime } ( a , x ) = W ^ { 2 } ( a _ { 1 } , x ) - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } W ^ { \prime } ( a _ { 1 } , x ) + R ( a _ { 1 } ) ,
\begin{array} { c l } { \displaystyle \left< { \mathcal { H } ^ { \left( 2 \right) } } \right> _ { \theta } } & { = \displaystyle \left< { \frac { \partial V \left( \psi _ { 3 } , J , \theta \right) } { \partial J } \frac { \partial F ^ { ( 1 ) } } { \partial \psi _ { 3 } } } \right> _ { \theta } } \\ { \displaystyle } & { = \displaystyle \frac { 3 } { 4 } { J } ^ { 2 } \left\{ \sum _ { n = - \infty , n \neq l _ { 3 \nu _ { x } } } ^ { \infty } { 3 f _ { 3 , 0 , n } g _ { 3 , 0 , n } } + \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { f _ { 1 , 0 , n } g _ { 1 , 0 , n } } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta = } & { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { w } \{ ( \epsilon _ { p } - \epsilon _ { w } ) \kappa _ { D } w ^ { 2 } + \epsilon _ { p } \kappa _ { D } R ^ { 2 } } \\ & { + [ \epsilon _ { p } ( 1 + 2 \kappa _ { D } R ) - \epsilon _ { w } ( 1 + \kappa _ { D } R ) ] w + \kappa _ { D } R } \\ & { \times [ \epsilon _ { w } w ^ { 2 } \kappa _ { D } + \epsilon _ { p } R + \epsilon _ { w } ( 1 + \kappa _ { D } R ) w ] \coth ( \kappa _ { D } R ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle R ( t ) ^ { 2 } \rangle _ { t } \! } & { { } \approx } & { \! \langle R ( t ) \rangle _ { t } ^ { 2 } , \langle R ( t ) R ( t + 1 ) \cos \theta ( t + 1 ) \rangle _ { t } } \\ { \! } & { { } \approx } & { \! \langle R ( t ) \rangle _ { t } ^ { 2 } \cos \langle \theta ( t ) \rangle _ { t } = \langle R ( t ) \rangle _ { t } ^ { 2 } \cos ( 2 \pi w ) , } \end{array}
\log \left( 1 + \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \frac { C ^ { * } } { q } \right) = \frac 1 q \log \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } + \log \frac { C ^ { * } } { q } + \log \left( 1 + \frac { q \varepsilon _ { S S l } } { C ^ { * } } \right)
\begin{array} { r } { Z _ { k j } : = Z \left( \xi _ { k j } \right) = \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } { \frac { e ^ { - \zeta ^ { 2 } } } { \zeta - \xi _ { k j } } \, \mathrm { ~ d ~ } \zeta } } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { E } _ { i } = \sum _ { n } \tilde { E } _ { i } ^ { ( n ) } = \sum _ { a = 1 } ^ { N _ { \mathrm { f e a t u r e s } } } \omega _ { a } ^ { n } z _ { i , a } ^ { l _ { n } } + b ^ { n } . } \end{array}
\mathcal { S } _ { T e } = \alpha _ { T e } \left[ \frac { P ( \mathbf { r } ) } { n } - 3 \times 1 0 ^ { - 4 } E _ { \mathrm { ~ i ~ o ~ n ~ } } ^ { \mathrm { ~ e ~ V ~ } } ( 1 + T _ { e } ) \right] .
\frac { 1 } { 2 } \lbrack { \sigma } _ { ^ 2 \mathrm { ~ P ~ } ; ^ { 2 S _ { f } + 1 } L _ { f } } ^ { + { M } _ { { L } _ { i } } ; { M } _ { { L } _ { f } } } / { \sigma } _ { ^ 2 \mathrm { ~ P ~ } } ^ { + { M } _ { { L } _ { i } } } + { \sigma } _ { ^ 2 \mathrm { ~ P ~ } ; ^ { 2 S _ { f } + 1 } L _ { f } } ^ { - { M } _ { { L } _ { i } } ; { M } _ { { L } _ { f } } } / { \sigma } _ { ^ 2 \mathrm { ~ P ~ } } ^ { - { M } _ { { L } _ { i } } } \rbrack
{ \begin{array} { r l } { \langle 0 | 0 \rangle _ { J } } & { = \exp { { \Bigg [ } { \frac { i } { 2 } } \int d x d x ^ { \prime } ~ J ( x ) ~ { \Big ( } \gamma ^ { 0 } S ( x - x ^ { \prime } ) { \Big ) } ~ J ( x ^ { \prime } ) { \Bigg ] } } } \\ & { = \langle 0 | 0 \rangle _ { J _ { e } } \exp { { \Bigg [ } i \int d x d x ^ { \prime } ~ J _ { e } ( x ) ~ { \Big ( } \gamma ^ { 0 } S ( x - x ^ { \prime } ) ~ { \Big ) } ~ J _ { a } ( x ^ { \prime } ) { \Bigg ] } } \langle 0 | 0 \rangle _ { J _ { a } } . } \end{array} }
\sqrt { \pmb { \mu } } _ { \mathbf { S } _ { M } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { \pmb { \mu } } _ { \mathbf { S } _ { M } } ^ { \prime } } & { \mathrm { i f } \quad \mu _ { M _ { 0 } } \geq 0 , } \\ { ( \sqrt { \mu } / \lVert \sqrt { \pmb { \mu } } _ { \mathbf { S } _ { M } } ^ { \prime } \rVert ) \sqrt { \pmb { \mu } } _ { \mathbf { S } _ { M } } ^ { \prime } } & { \mathrm { i f } \quad \mu _ { M _ { 0 } } < 0 , } \end{array} \right.
a ^ { 2 } s i n h ^ { 2 } \gamma = - \kappa _ { 5 } ^ { 2 } \Lambda _ { 5 } / 6 = 1 , ~ ~ \Lambda _ { 5 } + \kappa _ { 5 } ^ { 2 } \Lambda _ { b } ^ { 2 } / 6 = 6 a ^ { 2 } / \kappa _ { 5 } ^ { 2 } > 0
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } x _ { i } ^ { k } } & { = v _ { i } ^ { k } , } \\ { \frac { d } { d t } v _ { i } ^ { k } } & { = - \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \psi _ { k } ( | x _ { i } ^ { k } - x _ { j } ^ { k } | ) ( v _ { i } ^ { k } - v _ { j } ^ { k } ) - \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \psi _ { c } ( | x _ { i } ^ { k } - x _ { j } ^ { \ell } | ) ( v _ { i } ^ { k } - v _ { j } ^ { \ell } ) } \\ & { \qquad - \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \nabla \mathcal V _ { k } ( x _ { i } ^ { k } - x _ { j } ^ { k } ) , } \end{array}
\Delta M _ { \mathrm { q } } ^ { ( 1 ) } \; = \; \frac { \chi _ { \mathrm { q } } } { 3 } \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { \delta _ { \mathrm { q } } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \delta _ { \mathrm { q } } } } \\ { { \delta _ { \mathrm { q } } } } & { { \delta _ { \mathrm { q } } } } & { { \varepsilon _ { \mathrm { q } } ^ { ~ } } } \end{array} \right) \; ,
\int d x ^ { 1 } d x ^ { 2 } ( \partial ^ { 1 } \partial ^ { 2 } - \partial ^ { 2 } \partial ^ { 1 } ) \chi = \int d S \enspace \mathrm { r o t } ( \nabla \chi ) = \oint _ { C } \nabla _ { \mu } \chi d x ^ { \mu } = \Delta \chi = 2 \pi n ,
\begin{array} { r l r } { \Omega ^ { ( 0 ) } } & { = } & { V _ { \mathrm { r e f } } - \sum _ { i } ^ { m } \frac { \omega _ { i } } { 2 } - \frac { 1 } { \beta } \sum _ { i } ^ { m } \ln f _ { i } , } \\ { U ^ { ( 0 ) } } & { = } & { V _ { \mathrm { r e f } } + \sum _ { i } ^ { m } \omega _ { i } ( f _ { i } + 1 / 2 ) , } \\ { S ^ { ( 0 ) } } & { = } & { k _ { \mathrm { B } } \sum _ { i } ^ { m } \left\{ - f _ { i } \ln f _ { i } + \left( f _ { i } + 1 \right) \ln \left( f _ { i } + 1 \right) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { p } \cdot \boldsymbol { A } ( \boldsymbol { k } , t ) } & { { } = \lambda _ { \boldsymbol { k } } \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( \mathrm { ~ u ~ } _ { \boldsymbol { k } } + \theta _ { \boldsymbol { k } } ) , \qquad - \boldsymbol { k } \cdot A ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } , t ) = \sigma _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( \mathrm { ~ u ~ } _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } } + \xi _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ) , } \\ { \frac { 1 } { 4 } \boldsymbol { a } ( \boldsymbol { k } ) \cdot \boldsymbol { a } ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) } & { { } = \Delta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { + } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( \dot { \iota } \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { + } ) , \qquad \frac { 1 } { 4 } \boldsymbol { a } ( \boldsymbol { k } ) \cdot \boldsymbol { a } ^ { * } ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) = \Delta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { - } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( \dot { \iota } \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { - } ) , } \\ { \rho _ { \boldsymbol { k } } = \frac { \lambda _ { \boldsymbol { k } } } { \eta _ { \boldsymbol { k } } } } & { { } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \alpha _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { \pm } = \frac { \Delta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { \pm } } { \eta _ { \boldsymbol { k } } \pm \eta _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } } } . } \end{array}
{ \cal F } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { F _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - F _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { F _ { 2 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - F _ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
u _ { y } ( x , - L _ { y } / 2 , z ) = f _ { a } ( x , z ) = a ( t ) V _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \left( \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( - \frac { ( z - L _ { z } / 4 ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) - \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( - \frac { ( z - 3 L _ { z } / 4 ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) \right) .
\begin{array} { r l } { \int _ { \partial T } \mathbb { S } \sigma ( n , \nabla v ) \omega _ { \partial T } - \int _ { \partial T } \mathbb { S } \sigma ( n , n ) \nabla _ { n } v \, \omega _ { \partial T } } & { = \sum _ { F \subset \partial T } \int _ { F } \mathbb { S } \sigma ( n , \nabla v - n \nabla _ { n } v ) \omega _ { F } } \\ & { = \sum _ { F \subset \partial T } \int _ { F } \mathbb { S } \sigma ( n , \nabla _ { F } v ) \omega _ { F } } \\ & { = \sum _ { F \subset \partial T } \int _ { F } \sigma ( n , \nabla _ { F } v ) \omega _ { F } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( 2 c ) } ( \omega ) = \frac { \pi } { 1 8 c \omega } \int _ { 0 } ^ { \infty } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } q \; q ^ { 2 } \Biggl [ \theta ( E ) \Biggl ( V ^ { \prime } ( q ) ^ { 2 } \frac { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { 3 } } { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } E ^ { 3 } } \tilde { \rho } _ { 3 , \mathrm { ~ W ~ } } \left( q , \sqrt { 2 E } \right) } \\ { + \left( V ^ { \prime \prime } ( q ) - ( 1 / q ) V ^ { \prime } ( q ) \right) \frac { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { 3 } } { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } E ^ { 3 } } \tilde { \tau } _ { 5 , \mathrm { ~ W ~ } } \left( q , \sqrt { 2 E } \right) } \\ { + ( 1 / q ) V ^ { \prime } ( q ) \frac { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { 3 } } { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } E ^ { 3 } } \tilde { \rho } _ { 5 , \mathrm { ~ W ~ } } \left( q , \sqrt { 2 E } \right) \Biggl ) \Biggl ] _ { E = \omega + E _ { 0 } - V ( q ) } , } \end{array}
\left( \nabla ^ { 2 } - { \frac { [ 1 - K ( r ) ] } { r ^ { 2 } } } \sigma ^ { a } l ^ { a } - { \frac { [ 1 - K ( r ) ] ^ { 2 } } { 2 r ^ { 2 } } } \right) _ { B } ^ { A } \Phi ^ { B } ( x ) = - ( E ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) \Phi ^ { A } ( x )
\begin{array} { r } { \mathcal { H } _ { 0 } + \mathcal { H } _ { \mathrm { ~ d ~ - ~ d ~ } } \! = - \Delta \sum _ { j , \nu } \sigma _ { j , \nu } ^ { \dagger } \sigma _ { j , \nu } ^ { \phantom { \dagger } } \! + \! \sum _ { j , j ^ { \prime } , \nu , \nu ^ { \prime } } \Omega _ { j j ^ { \prime } } ^ { \nu \nu ^ { \prime } } \sigma _ { j , \nu } ^ { \dagger } \sigma _ { j ^ { \prime } , \nu ^ { \prime } } ^ { \phantom { \dagger } } , } \end{array}
\Psi _ { 0 } [ { \tilde { \phi } } ] = \operatorname* { l i m } _ { \Delta k \to 0 } \; \prod _ { \vec { k } } \left( { \frac { \omega _ { \vec { k } } } { \pi } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \omega _ { \vec { k } } { \tilde { \phi } } ( { \vec { k } } ) ^ { 2 } { \frac { \Delta k ^ { 3 } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } } \to \left( \prod _ { \vec { k } } \left( { \frac { \omega _ { \vec { k } } } { \pi } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \right) e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \int { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \omega _ { \vec { k } } { \tilde { \phi } } ( | { \vec { k } } | ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \left\| { \Delta _ { j } } \right\| _ { \mathrm { o p } } } & { \leq \frac { 2 } { \sqrt { n } } \left( C _ { 1 } + C _ { 3 } \sigma \sqrt { \frac { \log n } { n p } } \right) \frac { 9 C _ { 0 } ( 1 + \sigma \sqrt { d } ) } { \sqrt { n p } } + 1 4 \left( C _ { 1 } \sqrt { \frac { \log n } { n p } } + C _ { 3 } \sigma \left( \frac { \log n } { n p } \right) ^ { \frac { 3 } { 4 } } \right) \left( \left\| { \Delta } \right\| _ { \mathrm { o p , \infty } } + \frac { 1 } { \sqrt { n } } \right) } \\ & { \quad + \frac { 2 6 C _ { 0 } + 2 C _ { 5 } } { \sqrt { n } } \frac { \sqrt { \log n } + \sigma \sqrt { d } + \sigma \sqrt { \log n } } { \sqrt { n p } } . } \end{array}
\operatorname* { i n f } _ { \phi \in M _ { U } } I ( \phi ) = \operatorname* { i n f } _ { \phi \in M _ { U } \cap \mathcal { A C } _ { x } } \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \lvert \partial _ { t } \phi ( t ) \rvert ^ { 2 } \mathrm { d } t = \operatorname* { i n f } _ { \phi \in M _ { U } \cap \mathcal { A C } _ { x } } \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \lvert \partial _ { t } \phi ( t ) \rvert ^ { 2 } \mathrm { d } t \ ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta ( s ) } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname { V a r } _ { \theta } \big ( \widehat \theta _ { i } \big ) \lesssim s + \frac { 1 } { \sqrt { \log ^ { 3 } ( n / s ^ { 2 } ) } } n \Big ( \frac { s ^ { 2 } } { n } \Big ) ^ { \frac { \gamma } { 2 } } \leq s + \frac { s } { \sqrt { \log ^ { 3 } ( n / s ^ { 2 } ) } } \lesssim s , } \end{array}
T r K _ { \bf a } ^ { ( 1 ) } = { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { { \bf a } ^ { 2 } } } t } \left( 1 - \Phi ( { \frac { 4 \pi } { \bf a } } \sqrt { t } ) \right) ~ ~ ,
\begin{array} { r } { ( \rho , u , v ) = e ^ { i k x - i \omega t } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 2 } C _ { \alpha } e ^ { s _ { \alpha } y } \; \left( 1 , \, \, \frac { \omega k - Q _ { \alpha } s _ { \alpha } } { k ^ { 2 } - s _ { \alpha } ^ { 2 } } , \, \, - i \frac { \omega s _ { \alpha } - Q _ { \alpha } k } { k ^ { 2 } - s _ { \alpha } ^ { 2 } } \right) \, , } \end{array}
I _ { 2 } = { \frac { 2 \pi ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { a \Gamma ( s ) } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \cosh \left( { \frac { 2 \pi j b } { a } } \right) \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \ t ^ { s - { \frac { 3 } { 2 } } } \exp \Bigl [ - ( c + \alpha n ^ { 2 } ) \, t - \frac { j ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { a ^ { 2 } t } \Bigr ]
\psi _ { \boldsymbol \theta } ^ { S } ( \mathbf { s } ) = \frac { 1 } { | \mathcal { S } | } \sum _ { \mathbf { s ^ { \prime } } \in \mathcal { S } ( \mathbf { s } ) } \exp \Big ( \chi _ { \boldsymbol \theta } \big ( \mathbf { s ^ { \prime } } \big ) \Big )
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { i ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { t } + ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x x } } } \\ & { = } & { | u ^ { k } | ^ { 2 p } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { 2 p } u ^ { j } + \beta ( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } u ^ { j } ) . } \end{array}