harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Lambda _ { Q C D } ^ { ( n _ { f } ) } = \Lambda _ { Q C D } ^ { ( n _ { f } + 1 ) } \biggl ( \frac { m _ { n _ { f } + 1 } } { \Lambda _ { Q C D } ^ { ( n _ { f } + 1 ) } } \biggr ) ^ { \frac { 2 } { 3 \beta _ { 0 } ( n _ { f } ) } } \; .
\Delta _ { m , m + 1 } = \tilde { \mu } _ { m } ^ { \mathrm { ( s ) } } \tilde { \mu } _ { m + 1 } ^ { \mathrm { ( s ) } } + \tilde { \mu } _ { m } ^ { \mathrm { ( p ) } } \tilde { \mu } _ { m + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } } - \tilde { \mu } _ { m } ^ { \mathrm { ( s ) } } \tilde { \mu } _ { m + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } } ,
\Omega = i { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { 2 } \int { \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \big ( ( D _ { R } ( k ) + D _ { A } ( k ) ) ( S _ { A } ( k - q ) + S _ { R } ( k - q ) ) + D _ { K } ( k ) S _ { K } ( k - q ) \big ) .
\Gamma _ { H i P I M S } ( \Phi ) = 0 . 4 5 + 0 . 5 5 \cdot \frac { 1 } { A } \left( 0 . 1 5 \cdot \Gamma _ { n e u t r a l s , d i r e c t } ( \Phi ) + 0 . 8 5 \cdot \Gamma _ { i o n s , d i r e c t } ( \Phi ) \right)
\begin{array} { r l r l } { g } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad x = 1 , } \\ { \frac { \d g } { \d x } } & { { } = - B _ { 0 } ^ { \alpha } } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad x = 1 , } \\ { \frac { \d g } { \d x } } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad x = 0 . } \end{array}
\tilde { W } _ { e f f } ^ { \prime } = \tilde { S } \left( \ln { \frac { \Lambda ^ { 3 } \tilde { S } } { g _ { Y } ^ { 4 } \mathrm { P f } \tilde { V } } } - 1 \right) - { \frac { 1 } { 2 } } m \ \mathrm { t r } \left( J \tilde { V } \right) + { \cal F } ( \tilde { V } ) ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { I m } \, \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } G _ { 2 } \right] } & { { } = } & { 1 6 m ^ { 7 } ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \cdot \frac { k \nu } { m ^ { 2 } } \, \cos ^ { 2 } \theta \cdot u ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Phi ( X ) - u ( X ) | } & { = \Big | \iint \Lambda _ { \varepsilon } ( X , Y ) ( \Phi _ { 0 } ( Y ) - u ( X ) ) \, d Y \Big | } \\ & { < \varepsilon \| u \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } + \iint \Lambda _ { \varepsilon } ( X , Y ) \left| u ( Y ) - u ( X ) \right| \, d Y } \\ & { \le \varepsilon \| u \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } + \iint \Lambda _ { \varepsilon } ( X , Y ) \, C \Big ( \frac { | X - Y | } { \frac { 1 } { 4 } \delta ( X ) } \Big ) ^ { \alpha } \Big ( \fint _ { B ( X , \frac { 1 } { 2 } \delta ( X ) ) } | u ( Z ) | ^ { 2 } \, d Z \Big ) ^ { 1 / 2 } \, d Y } \\ & { \le \varepsilon \| u \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } + C \left( 2 \xi _ { \varepsilon } \right) ^ { \alpha } \| u \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } \iint \Lambda _ { \varepsilon } ( X , Y ) \, d Y \le 2 \varepsilon \| u \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } } \end{array}
\left( \frac { p _ { 2 } ^ { \prime } } { p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } \right) ^ { \prime } + \mathrm { s g n } ( \mathsf { A } ) \frac { p _ { 2 } } { \mathsf { A } ^ { 2 } } \, { \psi _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { 2 } - \frac { p _ { 2 } p _ { 2 } ^ { \prime } } { p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } = 0 \, , \qquad \psi _ { 2 } ^ { \prime } = \frac { \mathsf { A } ^ { 2 } c _ { 1 } } { p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } \, ,
\alpha _ { n } = \frac { s _ { n } V _ { m } } { 4 \pi } \frac { \varepsilon ( \omega ) - 1 } { 1 + [ \varepsilon ( \omega ) - 1 ] \left( L _ { n } - i \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 \lambda ^ { 3 } } s _ { n } V _ { m } \right) } ,
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial } { \partial b } } \left( \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \, d x \right) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta b \to 0 } { \frac { 1 } { \Delta b } } \left[ \int _ { a } ^ { b + \Delta b } f ( x ) \, d x - \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \, d x \right] } \end{array}
h ( y ) = \frac { 1 } { 2 4 } - \frac { 1 } { 8 \pi } y - \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } y ^ { 2 } \left( \ln \frac { y } { 4 \pi } + \gamma - \frac { 1 } { 2 } \right) ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { \left\langle \nabla \otimes \nabla ^ { T } g ( x ) \right\rangle } & { = \int \rho \nabla \otimes \nabla ^ { T } g \, d ^ { D } x = \int g \nabla \otimes \nabla ^ { T } \rho \, d ^ { D } x } \\ & { = \int g \left( \Sigma _ { t } ^ { - 1 } \cdot x \otimes x ^ { T } \cdot \Sigma _ { t } ^ { - 1 } - \Sigma _ { t } ^ { - 1 } \right) \rho \, d ^ { D } x } \\ & { = \Sigma _ { t } ^ { - 1 } \cdot \left\langle x \otimes x ^ { T } g ( x ) \right\rangle \cdot \Sigma _ { t } ^ { - 1 } - \Sigma _ { t } ^ { - 1 } \left\langle g ( x ) \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { S } ^ { I } ( { \bf R } ) = } & { { } \sum _ { \boldsymbol { \mu n l } } c _ { \boldsymbol { \mu n l } } B _ { \boldsymbol { \mu n l } } ^ { I } ( { \bf R } ) , } \\ { V _ { S } ( { \bf R } ) = } & { { } \sum _ { I } E _ { S } ^ { I } ( { \bf R } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \theta ) = } & { \frac { \pi } { q | \log q | ^ { 2 } } \sum _ { n \in { \mathbb { Z } } } \exp ( ( \theta + 2 n \pi ) \pi / \log q ) ( 1 + \exp ( ( \theta + 2 n \pi ) \pi / \log q ) ) ^ { - 2 } } \\ { = } & { \frac { \pi } { q | \log q | ^ { 2 } } \sum _ { n \in { \mathbb { Z } } } \cosh \left( \frac { ( \theta + 2 n \pi ) \pi } { 2 \log q } \right) ^ { - 2 } . } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathrm { e } } = \mathcal { L } _ { 1 } + \mathcal { L } _ { 2 } + \mathcal { L } _ { 4 } + \mathcal { L } _ { 5 } , \quad \mathcal { L } _ { \mathrm { h } } = \mathcal { L } _ { 3 } ,
{ \Delta t } \, H _ { ( 0 ) } \, \nabla \cdot \nabla \eta _ { ( 2 ) } ^ { n + 1 } = \nabla \cdot \left( H _ { ( 0 ) } \mathbf { v } _ { ( 0 ) } \right) ^ { n } - { \Delta t } \, \nabla \cdot \left( \nabla \cdot \left( { \mathbf { v } _ { ( 0 ) } ^ { n } } \otimes ( H _ { ( 0 ) } \mathbf { v } _ { ( 0 ) } ) ^ { n } \right) \right) .
z \, ( U + g z ) \, \omega _ { 1 - 1 } - ( U + g z ) \, t _ { \Phi } - g \, t _ { 1 - 1 \Phi } - \omega \, \omega _ { 1 - 1 } + c \, \omega _ { 1 \ 0 - 1 } + c \, \omega _ { - 1 - 1 - 1 } = 0
\begin{array} { r l } { \langle \; \textnormal { \texttt { c } } \; | \; \textnormal { \texttt { d } } \; \rangle } & { : \gamma ^ { \prime } \to \gamma ^ { \prime } } \\ { \langle \; \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime } \; | \; \textnormal { \texttt { d } } ^ { \prime } \; \rangle } & { : \gamma ^ { \prime } \to \gamma ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert ( a _ { 1 } , b ) \rVert + \lVert ( a _ { 2 } , b ) \rVert = \lVert ( a _ { 1 } , b ) - ( a _ { 2 } , b ) + ( a _ { 2 } , b ) \rVert + \lVert ( a _ { 2 } , b ) \rVert } & { \leq \lVert ( a _ { 1 } , b ) - ( a _ { 2 } , b ) \rVert + 2 \lVert ( a _ { 2 } , b ) \rVert } \\ & { = | a _ { 1 } - a _ { 2 } | + 2 \lVert ( a _ { 2 } , b ) \rVert . } \end{array}
{ \cal L } = - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \mu } \varphi ) ( \partial ^ { \mu } \varphi ) - \frac { e } { { 2 \sqrt \pi } } \varepsilon ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } \varphi + + m \sum \left( { \cos \left( { 2 \pi \varphi + \theta } \right) - 1 } \right) - A _ { 0 } J ^ { 0 } ,
\begin{array} { r l } { P ( 2 , 1 ) } & { { } = \cfrac { \gamma _ { 2 1 } + \gamma _ { 3 2 } + \Lambda } { D ^ { \prime } } \, \Lambda \int _ { 0 } ^ { \infty } | c _ { 1 2 } ( \tau ) | ^ { 2 } d \tau , } \\ { P ( 1 , 2 ) } & { { } = \cfrac { \gamma _ { 2 1 } + \Lambda } { D ^ { \prime } } \, ( \gamma _ { 2 1 } + \Lambda ) \int _ { 0 } ^ { \infty } | c _ { 1 2 } ( \tau ) | ^ { 2 } d \tau , } \\ { P ( 4 , 1 ) } & { { } = \cfrac { \gamma _ { 3 4 } } { D ^ { \prime } } \, \Lambda \int _ { 0 } ^ { \infty } | c _ { 4 1 } ( \tau ) | ^ { 2 } d \tau , } \\ { P ( 1 , 3 ) } & { { } = \cfrac { \gamma _ { 2 1 } + \Lambda } { D ^ { \prime } } \, ( \gamma _ { 3 4 } + \gamma _ { 3 2 } ) \int _ { 0 } ^ { \infty } | c _ { 1 3 } ( \tau ) | ^ { 2 } d \tau , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg \{ } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { \zeta ^ { 2 } } \frac { d } { d \zeta } ( \zeta ^ { 2 } \frac { d } { d \zeta } ) + \frac { 1 } { 2 } \zeta ^ { 2 } + \lambda _ { 0 } u - \mu ^ { \prime } \pm \lambda _ { 1 } \left( u _ { 1 } - u _ { - 1 } \right) } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { S D F } } = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \eta _ { j } \frac { \hbar \Omega } { 2 } ( \hat { a } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { - i \delta t } \mathrm { e } ^ { i \phi _ { \mathrm { m } , j } } + \hat { a } \mathrm { e } ^ { i \delta t } \mathrm { e } ^ { - i \phi _ { \mathrm { m } , j } } ) \hat { \sigma } _ { j } ^ { z } .
V ^ { 2 } ( r ) \equiv { \frac { \Delta ( r ) } { R ^ { 2 } ( r ) } } \left\{ \frac { \lambda } { R ^ { 2 } ( r ) } + \frac { 1 } { R ( r ) } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } r } \left[ \frac { \Delta ( r ) } { R ^ { 2 } ( r ) } \frac { \mathrm { d } R ( r ) } { \mathrm { d } r } \right] - { \frac { m ^ { 2 } a ^ { 2 } } { R ^ { 6 } ( r ) } } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } - Q ^ { 2 } + 2 M r ) \right\} ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i , j } \left\langle v \otimes \varphi , c _ { Y , X ^ { * } } ( y _ { i } \otimes x ^ { j } ) \right\rangle y ^ { i } \otimes x _ { j } = \sum _ { ( R ) , i , j } \left\langle v \otimes \varphi , R _ { ( 2 ) } x ^ { j } \otimes R _ { ( 1 ) } y _ { i } \right\rangle y ^ { i } \otimes x _ { j } } \\ { = \: } & { \sum _ { ( R ) , i , j } \left\langle x ^ { j } , S ( R _ { ( 2 ) } ) v \right\rangle \left\langle \varphi , R _ { ( 1 ) } y _ { i } \right\rangle y ^ { i } \otimes x _ { j } = \sum _ { ( R ) } \varphi ( R _ { ( 1 ) } ? ) \otimes S ( R _ { ( 2 ) } ) v . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { r } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } \, r u ^ { ( 1 ) } ( r ) } & { { } = \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( \frac { \partial } { \partial r } \sqrt { r } f ( r ) \right) } \end{array}
\frac { \partial } { \partial \ln Q ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c } { { q _ { i } ^ { P } ( z , Q ^ { 2 } ) } } \\ { { g ^ { P } ( z , Q ^ { 2 } ) } } \end{array} \right) = \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { 2 \pi } \int _ { z } ^ { 1 } { \frac { d \xi } { \xi } } \; \left( \begin{array} { c c } { { P _ { q q } \left( { \frac { z } { \xi } } \right) } } & { { P _ { q g } \left( { \frac { z } { \xi } } \right) } } \\ { { P _ { g q } \left( { \frac { z } { \xi } } \right) } } & { { P _ { g g } \left( { \frac { z } { \xi } } \right) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { q _ { i } ^ { P } ( \xi , Q ^ { 2 } ) } } \\ { { g ^ { P } ( \xi , Q ^ { 2 } ) } } \end{array} \right) ,
\nu _ { e f f , k } = \nu + \frac { \nu _ { t } } { \sigma _ { k } } , \quad \nu _ { e f f , \varepsilon } = \nu + \frac { \nu _ { t } } { \sigma _ { \varepsilon } } , \quad P _ { k } = - \pmb { \tau } : \nabla \pmb { u } .
\begin{array} { r l } { \frac { \left( \eta - 2 k + a \right) ! } { \left( \eta - k \right) ! } } & { \leq e \sqrt { 2 \pi \left( \eta - 2 k + a \right) } \left( \frac { \eta - 2 k + a } { e } \right) ^ { \eta - 2 k + a } \frac { 1 } { \left( \eta - k \right) ! } } \\ & { \leq e \sqrt { 2 \pi \left( \eta - k \right) } \left( \frac { \eta - k } { e } \right) ^ { \eta - 2 k + a } \frac { 1 } { \left( \eta - k \right) ! } } \\ & { \leq e \left( \frac { \eta - k } { e } \right) ^ { \eta - 2 k + a } \left( \frac { e } { \eta - k } \right) ^ { \eta - k } } \\ & { = e \left( \frac { e } { \eta - k } \right) ^ { k - a } . } \end{array}
\left( \mathrm { d } s \right) ^ { 2 } = - \left( 1 - { \frac { 2 M } { r } } \right) \, \left( \mathrm { d } t \right) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { \left( 1 - { \frac { 2 M } { r } } \right) } } \, \left( \mathrm { d } r \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \, \left( \mathrm { d } \Omega \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r } { V \propto \left( a _ { \mathrm { m o t i o n } } \, \sigma _ { + } ^ { \mathrm { ( V ) } } + a _ { \mathrm { m o t i o n } } ^ { \dagger } \; \sigma _ { - } ^ { \mathrm { ( V ) } } \right) } \end{array}
C = \left( \begin{array} { l l } { { < E _ { x } ^ { * } E _ { x } > } } & { { < E _ { y } ^ { * } E _ { x } > } } \\ { { < E _ { x } ^ { * } E _ { y } > } } & { { < E _ { y } ^ { * } E _ { y } > } } \end{array} \right) ,
p \left( t \right) = \left[ \begin{array} { c } { R \cos \left( \omega t \right) \cos \left( t \right) - R \sin \left( \omega t \right) \sin \left( t \right) } \\ { R \sin \left( \omega t \right) \cos \left( t \right) + R \cos \left( \omega t \right) \sin \left( t \right) } \\ { A \cos \left( n t \right) + A \sin \left( n t \right) } \end{array} \right]
{ \frac { 1 } { 1 } } + { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 6 } } + { \frac { 1 } { 1 0 } } + { \frac { 1 } { 1 5 } } + { \frac { 1 } { 2 1 } } + \cdots = 2 .
\begin{array} { l c c c } { { \mathrm { F e r m i o n s : } } } & { { \displaystyle \psi _ { L } = \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { 1 L } } } \\ { { \psi _ { 2 L } } } \end{array} \right) \, , ~ ~ ~ ~ } } & { { \psi _ { 1 R } \, , ~ ~ ~ ~ } } & { { \psi _ { 2 R } \, ; } } \\ { { \mathrm { H y p e r c h a r g e : } } } & { { Y \, , ~ ~ ~ ~ } } & { { \displaystyle Y + \frac { 1 } { 2 } , ~ ~ ~ ~ } } & { { \displaystyle Y - \frac { 1 } { 2 } ; } } \end{array}
Z ^ { I J } = \left( \begin{array} { c c } { { Z _ { 1 } \epsilon } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { Z _ { 2 } \epsilon } } \end{array} \right) \ , \quad \mathrm { w h e r e } \quad \epsilon = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \hat { H } ^ { \mathrm { ~ T ~ P ~ E ~ } } ( t ) = - \frac { \hbar } { 2 } f ^ { \mathrm { ~ T ~ P ~ E ~ } } ( t ) } & { { } ( \vert g \rangle \langle x _ { H } \vert + \vert g \rangle \langle x _ { V } \vert } \end{array}
+ \left[ m _ { 1 } \left( \varepsilon ^ { \mu , \mu } + \varepsilon ^ { \widetilde { \mu } , \widetilde { \mu } } \right) + m _ { 2 } \left( \varepsilon ^ { 0 , 0 } + \frac 1 2 \varepsilon ^ { [ \mu \nu ] , [ \mu \nu ] } + \varepsilon ^ { \widetilde { 0 } , \widetilde { 0 } } \right) \right] _ { A B } \biggr \} \Psi _ { B } ( x ) = 0 .
I ( g , { \bf A } ) = I _ { W Z N W } + \frac { k } { 2 \pi } \int d ^ { 2 } z t r ( { \bf A } \overline { { { \partial } } } g g ^ { - 1 } - \overline { { { { \bf A } } } } g ^ { - 1 } \partial g + { \bf A } \overline { { { { \bf A } } } } - g ^ { - 1 } { \bf A } g \overline { { { { \bf A } } } } )
R _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } ^ { \mathrm { ~ n ~ e ~ t ~ } } = R _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } ^ { \mathrm { ~ n ~ e ~ q ~ } } - R _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } = B ( n p - n _ { 0 } p _ { 0 } )
\begin{array} { r l } & { \circ \qquad \operatorname { s p t } ( \varphi ) \subset ( 0 , 1 ) , \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad } \\ & { \circ \qquad 0 \leq \varphi \leq 1 , \mathrm { ~ a n d } \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } \\ & { \circ \qquad \int _ { 0 } ^ { 1 } \varphi ( t ) \, \mathrm { d } t = 1 . } \end{array}
e ^ { t ( X + Y ) } = e ^ { t X } \cdot e ^ { t Y } \cdot e ^ { - \frac { t ^ { 2 } } { 2 } [ X , Y ] } \cdot e ^ { \frac { t ^ { 3 } } { 6 } ( 2 [ Y , [ X , Y ] ] + [ X , [ X , Y ] ] ) } \cdots
+ c _ { 2 } \, x ^ { 1 - h } x ^ { * 1 - \widetilde { h } } F ( 1 - h , 1 - h , 2 - 2 h ; x ) \; F ( 1 - \widetilde { h } , 1 - \widetilde { h } , 2 - 2 \widetilde { h } ; x ^ { * } ) \, ,
\langle e ^ { \oint A _ { \mu } \partial _ { \tau } X ^ { \mu } } \rangle _ { \mathrm { d i s q u e } } = \int d ^ { D } x ~ e ^ { - \phi } \sqrt { \operatorname * { d e t } ( \eta _ { \mu \nu } + \alpha ^ { \prime } F _ { \mu \nu } ) }
\Delta \phi \leq \int _ { t _ { 0 } } ^ { \infty } \dot { \phi } d t = \dot { \phi } _ { 0 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { \infty } \left( { \frac { t _ { 0 } } { t } } \right) ^ { \frac { 2 } { 1 + \alpha } } d t = { \frac { 1 + \alpha } { 1 - \alpha } } ~ \dot { \phi } _ { 0 } t _ { 0 } .
\begin{array} { r l r } { J _ { k , k + 1 } ^ { R } } & { = } & { - \bar { H } _ { m } ^ { 3 } \frac { \mathbf { P } _ { k + 1 } - \mathbf { P } _ { k } } { D _ { k , k + 1 } } + \frac { \beta \mu } { 6 } D _ { k , k + 1 } ( 2 \mathbf { P } _ { k } + \mathbf { P } _ { k + 1 } - 3 \mathcal { P } _ { * } ) , } \\ { J _ { k - 1 , k } ^ { L } } & { = } & { - \bar { H } _ { m } ^ { 3 } \frac { \mathbf { P } _ { k } - \mathbf { P } _ { k - 1 } } { D _ { k - 1 , k } } - \frac { \beta \mu } { 6 } D _ { k - 1 , k } ( \mathbf { P } _ { k - 1 } + 2 \mathbf { P } _ { k } - 3 \mathcal { P } _ { * } ) , } \end{array}
{ \frac { \partial ^ { 2 } y } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } } = \sum _ { k } \left( { \frac { \partial y } { \partial u _ { k } } } { \frac { \partial ^ { 2 } u _ { k } } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } } \right) + \sum _ { k , \ell } \left( { \frac { \partial ^ { 2 } y } { \partial u _ { k } \partial u _ { \ell } } } { \frac { \partial u _ { k } } { \partial x _ { i } } } { \frac { \partial u _ { \ell } } { \partial x _ { j } } } \right) .
\begin{array} { r l r } { - \frac { 1 } { 2 } \le } & { { } \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \sqrt { \frac { \Delta t } { \tau } } C _ { 1 } ( \kappa + 1 ) ) \le } & { \frac { 3 } { 2 } } \\ { - 1 \le } & { { } 0 \le \frac { 1 } { 2 } ( \sqrt { \frac { \Delta t } { \tau } } C _ { 1 } ( \kappa + 1 ) ) \le } & { 1 } \\ { C _ { 1 } ( \kappa + 1 ) < } & { { } \sqrt { 2 } < } & { 2 \sqrt { \frac { \tau } { \Delta t } } } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { A } ( u ) = \frac { 1 } { 5 M } ~ \sum _ { i = 1 } ^ { 5 M } ~ \frac { \sqrt { | X _ { i } | } } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { b } } ~ \exp { \left( - \frac { ( u - X _ { i } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { b } ^ { 2 } } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r } { x _ { i , j , \boldsymbol { k } , \mathrm { c } } ( t = 0 ) = \frac { x _ { i , \mathrm { m a x } } - x _ { i , \mathrm { m i n } } } { 2 ^ { j } } ( k _ { i } + 1 / 2 ) + x _ { i , \mathrm { m i n } } . } \end{array}
S _ { 1 1 } ^ { s h } = S _ { 3 3 } ^ { s h } = \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } R T \bigg ( e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \bigg )
\overline { { J } } _ { \dot { \alpha } } ^ { 0 } = - { \frac { i } { 2 } } \overline { { \sigma } } ^ { 0 \dot { \beta } \beta } ( \overline { { D } } _ { \dot { \alpha } } R _ { \beta \dot { \beta } } - 2 \varepsilon _ { \dot { \alpha } \dot { \beta } } \overline { { D } } ^ { \dot { \gamma } } R _ { \beta \dot { \gamma } } ) \bigr | _ { \theta = \overline { { \theta } } = 0 } .
\begin{array} { r l } { Q _ { t } } & { { } = Q _ { 0 } , } \\ { P _ { t } } & { { } = P _ { 0 } - t V _ { 2 } ( q _ { 0 } , Q _ { 0 } ) \cdot Q _ { 0 } , } \\ { S _ { t } } & { { } = S _ { 0 } - t V _ { 0 } ( q _ { 0 } , Q _ { 0 } ) . } \end{array}
{ \frac { \delta ^ { 2 } } { \delta S ^ { \rho \sigma } ( z ( \tau ^ { \prime } ) ) \delta S ^ { \mu \nu } ( z ( \tau ) ) } } E _ { \mathrm { c o n f } } ( \bar { z } - \bar { z } ^ { \prime } , \dot { \bar { z } } , \dot { \bar { z } } ^ { \prime } ) = 0 \, .
- ( \mathrm { ~ I ~ P ~ } ) _ { p } = \langle \Psi _ { N } | \hat { H } | \Psi _ { N } \rangle - \langle \Psi _ { N - 1 } ^ { p } | \hat { H } | \Psi _ { N - 1 } ^ { p } \rangle = \langle \Psi _ { N } | ( \hat { a } _ { p \sigma } ^ { \dagger } \hat { a } _ { p \sigma } \hat { H } - \hat { a } _ { p \sigma } ^ { \dagger } \hat { H } \hat { a } _ { p \sigma } ) | \Psi _ { N } \rangle
\begin{array} { r l } { ( \phi ^ { \lambda } | _ { \mathcal { C } ^ { \prime \prime } } ) ^ { \alpha _ { 1 } } \cdot ( \phi ^ { \lambda } | _ { \mathcal { C } ^ { \prime \prime } } ) ^ { * } f _ { \mathcal { C } , j , \lambda } ^ { ( \alpha ) } } & { \leq \left( \frac { \partial \phi ^ { \lambda } | _ { \mathcal { C } ^ { \prime \prime } } } { \partial x _ { 1 } } \right) ^ { \alpha _ { 1 } } \cdot 2 ( \phi _ { 1 } ^ { \lambda } | _ { \mathcal { C } ^ { \prime \prime } } ) ^ { * } ( f _ { \mathcal { C } , j , \lambda } ^ { ( \alpha ) } \circ \gamma ^ { \mathcal { C } , j , \lambda } ) \leq } \\ & { \leq \frac { \partial \phi ^ { \lambda } | _ { \mathcal { C } ^ { \prime \prime } } } { \partial x _ { 1 } } \cdot 2 ( \phi _ { 1 } ^ { \lambda } | _ { \mathcal { C } ^ { \prime \prime } } ) ^ { * } ( f _ { \mathcal { C } , j , \lambda } ^ { ( \alpha ) } \circ \gamma ^ { \mathcal { C } , j , \lambda } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \alpha | ^ { 2 } \frac { d \tau _ { 1 } } { \tau _ { \mathrm { m } } } \exp \left( - | \alpha | ^ { 2 } \frac { d \tau _ { 1 } } { \tau _ { \mathrm { m } } } \right) \rightarrow | \alpha | ^ { 2 } \frac { d \tau _ { 1 } } { \tau _ { \mathrm { m } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = - \infty } ^ { - 1 } g ( x - k T ) + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } g ( x - k T ) } & { { } \le 2 \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } g ( ( l + 1 / 2 ) T ) } \end{array}
{ \cal D } _ { \mathrm { e r r } } ^ { Q } = \frac { \sum _ { p } n _ { p } ^ { \mathrm { R J } } | Z _ { p } ^ { Q } - 1 | } { \sum _ { p } n _ { p } ^ { \mathrm { R J } } ( Z _ { p } ^ { Q } + 1 ) } ,
\left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { 6 . 1 9 1 7 } & { - 0 . 3 4 1 1 } & { 1 . 2 4 1 8 } & { 0 . 1 4 9 2 } & { 0 . 1 5 8 3 } & { 0 . 2 7 4 2 } & { - 0 . 0 7 2 4 } & { 0 . 0 5 6 1 } \\ { 0 . 2 2 0 5 } & { 0 . 0 2 1 4 } & { 0 . 4 5 0 3 } & { 0 . 3 9 4 7 } & { - 0 . 7 8 4 6 } & { - 0 . 4 3 9 1 } & { 0 . 1 0 0 1 } & { - 0 . 2 5 5 4 } \\ { 1 . 0 4 2 3 } & { 0 . 2 2 1 4 } & { - 1 . 0 0 1 7 } & { - 0 . 2 7 2 0 } & { 0 . 0 7 8 9 } & { - 0 . 1 9 5 2 } & { 0 . 2 8 0 1 } & { 0 . 4 7 1 3 } \\ { - 0 . 2 3 4 0 } & { - 0 . 0 3 9 2 } & { - 0 . 2 6 1 7 } & { - 0 . 2 8 6 6 } & { 0 . 6 3 5 1 } & { 0 . 3 5 0 1 } & { - 0 . 1 4 3 3 } & { 0 . 3 5 5 0 } \\ { 0 . 2 7 5 0 } & { 0 . 0 2 2 6 } & { 0 . 1 2 2 9 } & { 0 . 2 1 8 3 } & { - 0 . 2 5 8 3 } & { - 0 . 0 7 4 2 } & { - 0 . 2 0 4 2 } & { - 0 . 5 9 0 6 } \\ { 0 . 0 6 5 3 } & { 0 . 0 4 2 8 } & { - 0 . 4 7 2 1 } & { - 0 . 2 9 0 5 } & { 0 . 4 7 4 5 } & { 0 . 2 8 7 5 } & { - 0 . 0 2 8 4 } & { - 0 . 1 3 1 1 } \\ { 0 . 3 1 6 9 } & { 0 . 0 5 4 1 } & { - 0 . 1 0 3 3 } & { - 0 . 0 2 2 5 } & { - 0 . 0 0 5 6 } & { 0 . 1 0 1 7 } & { - 0 . 1 6 5 0 } & { - 0 . 1 5 0 0 } \\ { - 0 . 2 9 7 0 } & { - 0 . 0 6 2 7 } & { 0 . 1 9 6 0 } & { 0 . 0 6 4 4 } & { - 0 . 1 1 3 6 } & { - 0 . 1 0 3 1 } & { 0 . 1 8 8 7 } & { 0 . 1 4 4 4 } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \lambda } = } & { { } \rho _ { \lambda } / \| T \| _ { 2 } , \; \tau _ { \lambda } = 1 / ( \rho _ { \lambda } \| T \| _ { 2 } ) , } \\ { \sigma _ { \mu } = } & { { } \rho _ { \mu } / \| P \| _ { 2 } , \; \tau _ { \mu } = 1 / ( \rho _ { \mu } \| P \| _ { 2 } ) . } \end{array}
c ^ { T } A ^ { G } c = \sum _ { l = 1 } ^ { G } \sum _ { i , j = 1 } ^ { M _ { t } } w _ { l } c _ { i } \psi _ { i } ( x _ { l } , y _ { l } ) \psi _ { j } ( x _ { l } , y _ { l } ) c _ { j }
\begin{array} { r l } { \tilde { Q } _ { 0 } ^ { h } } & { { } = c _ { 1 } e ^ { m _ { 1 } x _ { 0 } } - \frac { \alpha } { \beta } c _ { 2 } e ^ { m _ { 2 } x _ { 0 } } + c _ { 3 } e ^ { m _ { 3 } x _ { 0 } } - \frac { \alpha } { \beta } c _ { 4 } e ^ { m _ { 4 } x _ { 0 } } , } \\ { \tilde { Q } _ { 1 } ^ { h } } & { { } = c _ { 1 } e ^ { m _ { 1 } x _ { 0 } } + c _ { 2 } e ^ { m _ { 2 } x _ { 0 } } + c _ { 3 } e ^ { m _ { 3 } x _ { 0 } } + c _ { 4 } e ^ { m _ { 4 } x _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \gamma \lambda \partial _ { t } ^ { k } f ^ { \prime } ( \phi ) \| \leq } & { C \sum _ { a + b = k } \| \partial _ { t } ^ { a } ( \phi ^ { 2 } - 1 ) \partial _ { t } ^ { b } \phi \| } \\ { \leq } & { C \sum _ { a + b = k } \big ( 1 + \sum _ { a ^ { \prime } \leq a } \| \partial _ { t } ^ { a ^ { \prime } } \phi \| _ { L ^ { \infty } } ^ { 2 } \big ) \| \partial _ { t } ^ { b } \phi \| } \\ { \leq } & { C \sum _ { a + b = k } \Big [ 1 + \sum _ { a ^ { \prime } \leq a } \big ( \| \partial _ { t } ^ { a ^ { \prime } } \phi \| ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \Delta \partial _ { t } ^ { a ^ { \prime } } \phi \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } + \| \partial _ { t } ^ { a ^ { \prime } } \phi \| ^ { 2 } \big ) \Big ] \| \partial _ { t } ^ { b } \phi \| } \\ { \leq } & { C \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + E _ { j } ( t ) ) E _ { j } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t ) \, , } \end{array}
c _ { n } = N _ { s } + 2 ^ { { \frac { n } { 2 } } - 1 } ( n - 1 ) N _ { f } + { \frac { n ! } { 2 \left[ \left( { \frac { n } { 2 } } - 1 \right) ! \right] ^ { 2 } } } N _ { v }