harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \nu = } & { { } ~ \nu _ { 1 } \frac { 1 + \phi } { 2 } + \nu _ { 2 } \frac { 1 - \phi } { 2 } , } \\ { \hat { \nu } = } & { { } ~ \frac { \nu _ { 1 } } { 2 \rho _ { 1 } } - \frac { \nu _ { 2 } } { 2 \rho _ { 2 } } , } \\ { \breve { \nu } = } & { { } ~ - \frac { \nu _ { 1 } } { 2 \rho _ { 1 } ( 1 + \phi ) } + \frac { \nu _ { 2 } } { 2 \rho _ { 2 } ( 1 - \phi ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb S ^ { 2 } } m ( \Omega ) \left[ \beta ( g ( 0 , x , \Omega ) ) - I _ { 0 } ( x , \Omega ) \right] \, \mathrm { d } \Omega } & { { } = 0 , \quad \forall x \in \mathbb { R } ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } Q ( k { + } 1 ) M _ { f } ^ { r } ( k ) { - } M _ { f } ^ { r } ( k { - } 1 ) ^ { \top } Q ( k ) M _ { f } ^ { r } ( k { - } 1 ) } \\ { { = } Q ( k { + } 1 ) { - } Q ( k ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { d } } & { = 1 - \operatorname { t a n h } { \left( { 1 6 r _ { d } } ^ { 3 } \right) } \ \ \ \mathrm { a n d } } \\ { r _ { d } } & { = \frac { \nu + \nu _ { t } } { \sqrt { \sum _ { i , j } { \left( \partial u _ { i } / \partial x _ { j } \right) } ^ { 2 } } \kappa ^ { 2 } d _ { w } ^ { 2 } } \ \ \ \mathrm { w i t h } \ \ \ \nu _ { t } = \frac { \Tilde { k } } { \omega } = \frac { \widetilde { v _ { i } ^ { \prime \prime } v _ { i } ^ { \prime \prime } } } { 2 \omega } \ \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { H \# } + \mathrm { C H _ { 2 } O H \# } \longrightarrow \mathrm { C H _ { 3 } O H \# } } \\ & { \mathrm { H \# } + \mathrm { C H _ { 3 } O \# } \longrightarrow \mathrm { C H _ { 3 } O H \# } } \\ & { \mathrm { O H \# } + \mathrm { C H _ { 3 } \# } \longrightarrow \mathrm { C H _ { 3 } O H \# } } \end{array}
\begin{array} { r l } { D \colon \mathbb R ^ { 4 \times 4 } } & { { } \to L ( V ^ { 1 } \oplus V ^ { 3 } , V ^ { 1 } \oplus V ^ { 3 } ) } \\ { A } & { { } \mapsto e ^ { - 1 } \circ A \circ e } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \, \Psi ( \gamma P J ) \, \| { \bf T } ^ { ( 1 ) } \| \, \Psi ( \gamma ^ { \prime } P ^ { \prime } J ^ { \prime } ) \, \rangle } & { = } & \\ { \sum _ { j , k } c _ { j } c _ { k } ^ { \prime } \; \langle \, \Phi ( \gamma _ { j } P J ) \, \| { \bf T } ^ { ( 1 ) } \| \, \Phi ( \gamma _ { k } ^ { \prime } P ^ { \prime } J ^ { \prime } ) \, \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { k } ^ { k - 1 } } & { = F _ { k - 1 } C _ { k - 1 } F _ { k - 1 } ^ { T } + Q _ { k - 1 } \; . } \\ { Q _ { k - 1 } } & { = \left( \begin{array} { l l } { \theta _ { 0 } ^ { 2 } t ^ { 2 } \Delta z ^ { 2 } / 3 } & { \theta _ { 0 } ^ { 2 } t ^ { 2 } \Delta z / 2 } \\ { \theta _ { 0 } ^ { 2 } t ^ { 2 } \Delta z / 2 } & { \theta _ { 0 } ^ { 2 } t ^ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { u } ^ { q G } ( 0 ; q > 1 ) } & { { } = \frac { \beta \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 3 - q } { 2 q - 1 } \right) } { \beta \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 5 - q } { 2 q - 1 } \right) } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { Z _ { \Sigma } } & { { = } Z _ { \mathrm { E S L } } + R _ { \mathrm { l e a d } } + ( Z _ { \mathrm { C } } \parallel G _ { \mathrm { d i e l e c t r i c } } ) } \\ & { { = } j \omega \cdot { \mathrm { E S L } } + R _ { \mathrm { l e a d } } + { \frac { 1 } { j \omega \cdot C + G _ { \mathrm { d i e l e c t r i c } } } } . } \end{array} }
\Delta _ { d } ^ { a , b } : = ( a + b ) \left\lfloor \frac { d ^ { 2 } } { 4 } \right\rfloor - b \left\lfloor \frac { d } 2 \right\rfloor = \left\{ \begin{array} { l l } { ( a + b ) \left( \frac { d } { 2 } \right) ^ { 2 } - b \left( \frac { d } 2 \right) } & { d \mathrm { ~ e v e n } } \\ { ( a + b ) \left( \frac { d - 1 } { 2 } \right) \left( \frac { d - 1 } { 2 } + 1 \right) - b \left( \frac { d - 1 } 2 \right) } & { d \mathrm { ~ o d d } . } \end{array} \right.
P _ { i , t } ( \theta ) = \frac { \theta ^ { \hat { S } _ { i , t } } ( 1 - \theta ) ^ { \hat { F } _ { i , t } } P _ { 0 } ( \theta ) I _ { i , t } ( \theta ) } { \int _ { 0 } ^ { 1 } y ^ { \hat { S } _ { i , t } } ( 1 - y ) ^ { \hat { F } _ { i , t } } P _ { 0 } ( y ) I _ { i , t } ( y ) \, \mathrm { ~ d ~ } y } , \quad \theta \in [ 0 , 1 ] .
\mathbb { E } _ { X ^ { n } } \left\{ { \frac { 1 } { M } } \sum _ { m } 2 \left[ { \mathrm { T r } } \left\{ \left( I - \Pi _ { \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } , \delta } \right) \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \right\} + \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } { \mathrm { T r } } \left\{ \Pi _ { \rho _ { X ^ { n } \left( i \right) } , \delta } \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \right\} \right] ^ { 1 / 2 } \right\} .
\tau = i \ { \frac { { } _ { 2 } F _ { 1 } \left( { \frac { 1 } { 6 } } , { \frac { 5 } { 6 } } , 1 ; 1 - \alpha \right) } { { } _ { 2 } F _ { 1 } \left( { \frac { 1 } { 6 } } , { \frac { 5 } { 6 } } , 1 ; \alpha \right) } }
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } e ^ { - 1 . 5 { e ^ { * ( j - 1 ) } } } } & { = { e ^ { - 1 . 5 } } + { e ^ { - 1 . 5 e } } + { e ^ { - 1 . 5 e ^ { e } } } + \sum _ { j = 3 } ^ { \infty } e ^ { - 1 . 5 { e ^ { * ( j ) } } } } \\ & { \leq { e ^ { - 1 . 5 } } + { e ^ { - 1 . 5 e } } + { e ^ { - 1 . 5 e ^ { e } } } + \sum _ { j = 3 } ^ { \infty } e ^ { - 1 . 5 { j e ^ { e } } } } \\ & { \leq { e ^ { - 1 . 5 } } + { e ^ { - 1 . 5 e } } + { e ^ { - 1 . 5 e ^ { e } } } + \frac 1 { e ^ { 3 e ^ { e } } - 1 / e ^ { 1 . 5 e ^ { e } } } } \\ & { \leq 0 . 2 4 0 1 . } \end{array}
T _ { ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) } = g _ { s } ^ { - 3 / 2 } \sqrt { g _ { s } ^ { - 1 } p _ { 1 } ^ { 2 } + \left( p _ { 2 } + p _ { 1 } \chi _ { 0 } \right) ^ { 2 } g _ { s } } ~ T _ { 5 } ,
( \mathbf { a } \times [ \mathbf { b } \times \mathbf { c } ] ) _ { i } = ( \delta _ { i } ^ { \ell } \delta _ { j } ^ { m } - \delta _ { i } ^ { m } \delta _ { j } ^ { \ell } ) a ^ { j } b _ { \ell } c _ { m } = a ^ { j } b _ { i } c _ { j } - a ^ { j } b _ { j } c _ { i } = b _ { i } ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { c } ) - c _ { i } ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { b } ) \, .
{ \frac { i } { k _ { 0 } ^ { 2 } - k ^ { 2 } - \overline { { { \Pi } } } ( k _ { 0 } / k ) + i k _ { 0 } \epsilon } } = \int _ { 0 } ^ { + \infty } { \frac { d E } { \pi } } E \overline { { { \rho } } } ( E , k ) { \frac { i } { k _ { 0 } ^ { 2 } - E ^ { 2 } + i k _ { 0 } \epsilon } } \; .
Q = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { q } } \\ { { s q ^ { T } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \qquad \bar { Q } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \bar { q } } } \\ { { s \bar { q } ^ { T } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } & { T _ { 1 } = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \delta _ { i j } \delta _ { j k } \delta _ { k \ell } W _ { \ell i } , \qquad \; \; T _ { 2 } = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \delta _ { i j } \delta _ { j k } \delta _ { k \ell } \widetilde { \Omega } _ { \ell i } , } \\ & { F = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \delta _ { i j } \delta _ { j k } \delta _ { k \ell } \delta _ { \ell i } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } & { \partial _ { t } u _ { 1 } = a + u _ { 1 } u _ { 2 } ^ { 2 } - ( b + 1 ) u _ { 1 } + \alpha \Delta u _ { 1 } , \textrm { i n } \Omega \times ] 0 , T ] } \\ & { \partial _ { t } u _ { 2 } = b u _ { 1 } - u _ { 1 } \ u _ { 2 } ^ { 2 } + \alpha \Delta u _ { 2 } , \textrm { i n } \Omega \times ] 0 , T ] , } \\ & { u _ { 1 } ( \textbf { x } , 0 ) = u ^ { 0 } ( \textbf { x } ) = 2 + 0 . 2 5 y , \textrm { i n } \Omega } \\ & { u _ { 2 } ( \textbf { x } , 0 ) = v _ { 0 } ( \textbf { x } ) = 1 + 0 . 8 x , \textrm { i n } \Omega , } \\ & { \partial _ { n } u _ { 1 } = 0 , \ \partial \Omega , } \\ & { \partial _ { n } u _ { 2 } = 0 , \ \partial \Omega . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \big \| \boldsymbol D ^ { * } \boldsymbol F ^ { * } \boldsymbol B _ { \mathrm { o p t } } ^ { * } \boldsymbol A - \boldsymbol I _ { | \mathcal I _ { \boldsymbol M } | } \big \| _ { \mathrm F } ^ { 2 } } & { = \big \| \boldsymbol A ^ { * } \boldsymbol B _ { \mathrm { o p t } } \boldsymbol F \boldsymbol D - \boldsymbol I _ { | \mathcal I _ { \boldsymbol M } | } \big \| _ { \mathrm F } ^ { 2 } } \\ & { \leq \big \| \boldsymbol A ^ { * } \boldsymbol B _ { \mathrm { o p t } } - \frac { 1 } { | \mathcal I _ { \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } } | } \boldsymbol D ^ { - 1 } \boldsymbol F ^ { * } \big \| _ { \mathrm F } ^ { 2 } \, \big \| \boldsymbol F \boldsymbol D \big \| _ { \mathrm F } ^ { 2 } . } \end{array}
\bar { \varepsilon } _ { i } \gamma _ { \mu _ { 1 } } \gamma _ { \mu _ { 2 } } \cdots \gamma _ { \mu _ { n } } \psi _ { m } ^ { i } = - \bar { \psi } _ { m i } \gamma _ { \mu _ { n } } \cdots \gamma _ { \mu _ { 2 } } \gamma _ { \mu _ { 1 } } \varepsilon ^ { i } = - ( \bar { \varepsilon } _ { i } \gamma _ { \mu _ { 1 } } \gamma _ { \mu _ { 2 } } \cdots \gamma _ { \mu _ { n } } \psi _ { - m } ^ { i } ) ^ { * } \, .
\begin{array} { r l } { \sum _ { \substack { \mu \bmod m } } } & { E _ { f _ { 1 } , h } \left( \frac { \mu } { m } + \alpha \right) E _ { f _ { 2 } , h } \left( \frac { \mu } { m } + \alpha \right) } \\ & { = h ^ { 2 } \sum _ { \substack { \mu \bmod m } } \hat { f _ { 1 } } ( - h ( \overline { { \mu / m + \alpha } } ) ) \hat { f _ { 2 } } ( - h ( \overline { { \mu / m + \alpha } } ) ) } \\ & { \qquad + O \Big ( m h ^ { - 2 } + \sum _ { \substack { \mu \bmod m } } \hat { f } _ { 1 } ( - h ( \overline { { \mu / m + \alpha } } ) ) + \hat { f } _ { 2 } ( - h ( \overline { { \mu / m + \alpha } } ) ) \Big ) } \\ & { = h ^ { 2 } \sum _ { \substack { \mu \bmod m } } \hat { f _ { 1 } } ( - h \overline { { ( \mu / m + \alpha ) } } ) \hat { f _ { 2 } } ( - h \overline { { ( \mu / m + \alpha ) } } ) + O _ { f _ { 1 } , f _ { 2 } } \left( \operatorname* { m i n } \{ m , m ^ { 2 } h ^ { - 2 } \} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Delta ( x ) - x \otimes 1 - 1 \otimes x = 0 } \\ { \iff } & { \Delta ( x ) - ( \mathrm { I d } \otimes \epsilon ) \Delta ( x ) - ( \epsilon \otimes \mathrm { I d } ) \Delta ( x ) + ( \epsilon \otimes \epsilon ) \Delta ( x ) = 0 } \\ { \iff } & { ( \mathrm { I d } - \epsilon ) ^ { \otimes 2 } \Delta ( x ) = 0 } \\ { \iff } & { x \in Z _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { a } \left( \mathbf { k } _ { \mathbf { n } } \right) } & { { } = \prod _ { d = 2 } ^ { D } \left[ \frac { \Delta x _ { d } } { \sqrt { 2 \pi } } \right] \sum _ { j _ { 2 } = 1 } ^ { N _ { 2 } } \ldots \sum _ { j _ { d } = 1 } ^ { N _ { D } } e ^ { - i \mathbf { k } _ { n } \cdot \mathbf { x } _ { \mathbf { j } } } a \left( \mathbf { x } _ { \mathbf { j } } \right) \, } \\ { a \left( \mathbf { x } _ { \mathbf { j } } \right) } & { { } = \prod _ { d = 2 } ^ { D } \left[ \frac { \Delta k _ { d } } { \sqrt { 2 \pi } } \right] \sum _ { n _ { 2 } = 1 } ^ { N _ { 2 } } \ldots \sum _ { n _ { d } = 1 } ^ { N _ { D } } e ^ { i \mathbf { k } _ { \mathbf { n } } \cdot \mathbf { x } _ { \mathbf { j } } } \tilde { a } \left( \mathbf { k } _ { \mathbf { n } } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { V } _ { g } } u _ { g } \cdot v \, d v } \\ & { \quad = | \mathbb { S } _ { d - 2 } | \left( - \sum _ { i = 1 } ^ { d - 1 } u _ { g _ { i } } \sin \theta _ { i } \prod _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \cos \theta _ { j } + u _ { g _ { d } } \prod _ { j = 1 } ^ { d - 1 } \cos \theta _ { j } \right) \int _ { \pi - \theta _ { g } } ^ { \pi } \int _ { \frac { \cos \theta _ { g } } { \cos \theta } r _ { g } } ^ { r _ { g } } r ^ { d } \cos \theta ( \sin ^ { d - 2 } \theta ) \, d r d \theta } \\ & { \quad = | \mathbb { S } _ { d - 2 } | \left( - \sum _ { i = 1 } ^ { d - 1 } u _ { g _ { i } } \sin \theta _ { i } \prod _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \cos \theta _ { j } + u _ { g _ { d } } \prod _ { j = 1 } ^ { d - 1 } \cos \theta _ { j } \right) \frac { r _ { g } ^ { d + 1 } } { d + 1 } \int _ { \pi - \theta _ { g } } ^ { \pi } \left\{ 1 - \left( \frac { \cos \theta _ { g } } { \cos \theta } \right) ^ { d + 1 } \right\} \cos \theta ( \sin ^ { d - 2 } \theta ) \, d \theta } \\ & { \quad = - \frac { | \mathbb { S } _ { d - 2 } | } { ( d - 1 ) ( d + 1 ) } r _ { g } ^ { d + 1 } ( \sin ^ { d - 1 } \theta _ { g } ) \left( - \sum _ { i = 1 } ^ { d - 1 } u _ { g _ { i } } \sin \theta _ { i } \prod _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \cos \theta _ { j } + u _ { g _ { d } } \prod _ { j = 1 } ^ { d - 1 } \cos \theta _ { j } \right) } \\ & { \qquad + ( - 1 ) ^ { d + 1 } \frac { | \mathbb { S } _ { d - 2 } | } { ( d - 1 ) ( d + 1 ) } r _ { g } ^ { d + 1 } ( \sin ^ { d - 1 } \theta _ { g } ) \cos ^ { 2 } \theta _ { g } \left( - \sum _ { i = 1 } ^ { d - 1 } u _ { g _ { i } } \sin \theta _ { i } \prod _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \cos \theta _ { j } + u _ { g _ { d } } \prod _ { j = 1 } ^ { d - 1 } \cos \theta _ { j } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { n } } & { { } : = \sigma _ { B E | T _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } } ^ { n } = p _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } \tilde { \rho } _ { B E | T _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } } ^ { n } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { * } \ = \ \frac { \overline { { K } } \pm \sqrt { \overline { { K } } ^ { 2 } - | K | } } { \partial | K | } \ = \ \kappa _ { 1 } ^ { - 1 } , \, \kappa _ { 2 } ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { k _ { n } } ( \hat { s } - \hat { \tau } + \frac 1 3 ( \hat { s } ^ { 3 } - \hat { \tau } ^ { 3 } ) ) } & { = \kappa _ { k _ { n } } \frac 1 3 ( s - \tau ) ( \hat { s } ^ { 2 } + \hat { s } \hat { \tau } + \hat { \tau } ^ { 2 } + 1 ) } \\ & { \ge \frac 1 2 \kappa \operatorname* { m a x } ( { k _ { n } ^ { 2 } } , k _ { 0 } ^ { 2 } ) \eta ^ { 2 } ( s - \tau ) } \\ { \frac { 1 + \hat { s } ^ { 2 } } { 1 + \hat { \tau } } } & { \le 2 . } \end{array}
P ( x ) = \int d x ^ { \prime } \; d y ^ { \prime } \; d \tau ^ { \prime } \; w _ { 1 } ( x | y ^ { \prime } ) w _ { 2 } ( y ^ { \prime } , \tau ^ { \prime } | x ^ { \prime } ) e ^ { - \Gamma \tau ^ { \prime } } P ( x ^ { \prime } ) \; ,
\begin{array} { r l r l r l r } & { } & { \mathcal { L } [ { \Phi } , E ^ { c } ; \dag , \mathcal { R } , \Lambda ; \dag , \mathcal { D } , \Lambda ^ { c } ; \dag , \Delta , \Psi _ { 0 } , E ] = \langle \Psi _ { 0 } | \dag , \hat { \mathcal { H } } _ { \mathrm { q p } } [ \mathcal { R } , \Lambda ] \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle + E \dag ! \left( 1 \dag ! - \dag ! \langle \Psi _ { 0 } | \Psi _ { 0 } \rangle \right) \dag } & { } & { \quad \quad + \sum _ { i = 1 } ^ { \mathcal { N } } \left[ \langle \Phi _ { i } | \dag , \hat { \mathcal { H } } _ { i } ^ { \mathrm { e m b } } [ \mathcal { D } _ { i } , \Lambda _ { i } ^ { c } ] \dag , | \Phi _ { i } \rangle + E _ { i } ^ { c } \dag ! \left( \mathbf { 1 } - \langle \Phi _ { i } | \Phi _ { i } \rangle \right) \right] \dag } & { } & { \quad \quad - \sum _ { i = 1 } ^ { \mathcal { N } } \left[ \sum _ { a , b = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } \big ( \left[ \Lambda _ { i } \right] _ { a b } + \left[ \Lambda _ { i } ^ { c } \right] _ { a b } \big ) \left[ \Delta _ { i } \right] _ { a b } + \sum _ { c , a = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \nu _ { i } } \big ( \left[ \mathcal { D } _ { i } \right] _ { a \alpha } \left[ \mathcal { R } _ { i } \right] _ { c \alpha } \left[ \Delta _ { i } ( \mathbf { 1 } - \Delta _ { i } ) \right] _ { c a } ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \mathrm { c . c . } \big ) \right] \dag , , } \end{array}
\frac { \alpha _ { s } ^ { ( f ) } ( Q ^ { 2 } ) } { 4 \pi } \simeq \frac { 1 } { \beta _ { 0 } ^ { ( f ) } \ln ( Q ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) } - \frac { \beta _ { 1 } ^ { ( f ) } } { ( \beta _ { 0 } ^ { ( f ) } ) ^ { 3 } } \frac { \ln \ln ( Q ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) } { [ \ln ( Q ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) ] ^ { 2 } }
{ \sqrt [ [object Object] ] { - { \frac { q } { 2 } } + { \sqrt { { \frac { q ^ { 2 } } { 4 } } + { \frac { p ^ { 3 } } { 2 7 } } } } } } + { \sqrt [ [object Object] ] { - { \frac { q } { 2 } } - { \sqrt { { \frac { q ^ { 2 } } { 4 } } + { \frac { p ^ { 3 } } { 2 7 } } } } } } ,
\begin{array} { r l } { h ( X \otimes X ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { k , \ell \to \infty } \frac { \log | \mathcal { P } ( \mathbb { Z } _ { k \times \ell } , X \otimes X ) | } { k \ell } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \frac { \log | \mathcal { P } ( \mathbb { Z } _ { k n \times k } , X \otimes X ) | } { k ^ { 2 } n } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \frac { \log n + k ^ { 2 } \log 2 ^ { m } } { k ^ { 2 } n } } \\ & { = \frac { m \log 2 } { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { \rho } F ^ { ( 2 ) } f ^ { [ 2 ] } } & { = \frac 2 { \ensuremath { \mathrm { K n } } \tau } \sum _ { m } w _ { m } \left[ c ( \ensuremath { \mathbf { e } } _ { m } \cdot \rho \ensuremath { \mathbf { u } } ) ^ { 2 } + d \rho ^ { 2 } u ^ { 2 } \right] = \zeta _ { 2 } \rho ^ { 2 } } \\ & { = O ( ( \ensuremath { \mathrm { K n } } \tau ) ^ { - 1 } \rho ^ { 2 } u ^ { 2 } ) } \\ { \Phi _ { \rho } F ^ { ( 3 ) } f ^ { [ 3 ] } } & { = - \frac 1 { \ensuremath { \mathrm { K n } } \tau } \sum _ { m } w _ { m } \left[ c \rho ^ { 3 } ( \ensuremath { \mathbf { e } } _ { m } \cdot \ensuremath { \mathbf { u } } ) ^ { 2 } + d \rho ^ { 3 } u ^ { 2 } \right] = \zeta _ { 3 } \rho ^ { 3 } } \\ & { = O ( ( \ensuremath { \mathrm { K n } } \tau ) ^ { - 1 } \rho ^ { 3 } u ^ { 2 } ) } \\ { \Phi _ { \rho u } F ^ { ( 2 ) } f ^ { [ 2 ] } } & { = \frac 2 { \ensuremath { \mathrm { K n } } \tau } \sum _ { m } w _ { m } \ensuremath { \mathbf { e } } _ { m } \left[ c ( \ensuremath { \mathbf { e } } _ { m } \cdot \rho \ensuremath { \mathbf { u } } ) ^ { 2 } + d \rho ^ { 2 } u ^ { 2 } \right] = 0 } \\ { \Phi _ { \rho u } F ^ { ( 3 ) } f ^ { [ 3 ] } } & { = - \frac 1 { \ensuremath { \mathrm { K n } } \tau } \sum _ { m } w _ { m } \ensuremath { \mathbf { e } } _ { m } \left[ c \rho ^ { 3 } ( \ensuremath { \mathbf { e } } _ { m } \cdot \ensuremath { \mathbf { u } } ) ^ { 2 } + d \rho ^ { 3 } u ^ { 2 } \right] = 0 , } \end{array}
1 6 \sinh ^ { - 1 } \left( \left( { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { \csc ^ { 2 } \left( { \frac { \pi } { 7 } } \right) - 4 } } \right) \sin \left( { \frac { \pi } { 7 } } \right) \right) \approx 3 . 9 3 5 9 4 6 2 4 8 8 3 .
\mathbf { x } _ { j + 1 } ^ { ( n ) } = \mathbf { x } _ { j } ^ { ( n ) } + \mathbb { E } \left[ \, p _ { \hat { \theta } _ { j } } ( \mathbf { \Delta x } \mid \mathbf { \bar { y } } _ { j } ^ { ( n ) } ) \right]
\frac { d ^ { 3 } \sigma } { d \xi d x d Q ^ { 2 } } \sim \frac { F _ { 2 } ^ { h } ( x , Q ^ { 2 } ) } { x } \times \frac { F _ { 2 } ^ { s } ( \xi ) } { \xi } \otimes \xi - \mathrm { n o r m }
\partial _ { t } f _ { s } + \frac { \partial } { \partial z } \left( v _ { z } { f _ { s } } \right) + \frac { \partial } { \partial v _ { z } } \left( \left( \frac { q _ { s } } { m _ { s } } E _ { z } - \tilde { \mu } \partial _ { z } B \right) { f _ { s } } \right) = 0 .
\begin{array} { r l } & { \eta _ { t } = \cfrac { 1 } { \varepsilon } \, Z _ { \varepsilon } [ \varepsilon \eta , \beta b ] \psi \ , } \\ & { \psi _ { t } + \eta + \cfrac { \varepsilon } { 2 } | \nabla \psi | ^ { 2 } - \cfrac { \varepsilon } { \sigma ^ { 2 } } \cfrac { ( Z _ { \varepsilon } [ \varepsilon \eta , \beta b ] \psi + \varepsilon \sigma ^ { 2 } \nabla \eta \cdot \nabla \psi ) ^ { 2 } } { 2 ( 1 + \varepsilon ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } | \nabla \eta | ^ { 2 } ) } = 0 \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } ( \phi _ { T } , \phi _ { \sigma } ) = } & { \int _ { \Omega } \Psi ( \phi _ { T } ) + \frac { D _ { \sigma } } { 2 } \phi _ { \sigma } ^ { 2 } - \chi _ { c } \phi _ { T } \phi _ { \sigma } \mathrm { d } x } \\ & { + \frac 1 4 \int _ { \Omega } \int _ { \Omega } J ( x - y ) \big ( \phi _ { T } ( x ) - \phi _ { T } ( y ) \big ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } y \, \mathrm { d } x . } \end{array}
G _ { \mu } ^ { ( 3 ) } ( x _ { 1 } , \tau _ { 1 } , x _ { 2 } , \tau _ { 2 } , x _ { 3 } , \tau _ { 3 } ) = \langle 0 | \mathrm { T } \psi ^ { * } ( x _ { 1 } , \tau _ { 1 } ) \psi ( x _ { 2 } , \tau _ { 2 } ) a _ { \mu } ( x _ { 3 } , \tau _ { 3 } ) e ^ { i \int d ^ { 4 } y d \tau e _ { 0 } a _ { \mu } ( y , \tau ) j ^ { \mu } ( y , \tau ) } | 0 \rangle _ { \mathrm { t r e e } }
\begin{array} { r } { \frac { \partial { \mathcal F } _ { E S } ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , R ) } { \partial \sigma _ { i } } = 4 \pi R _ { i } ^ { 2 } ~ \psi \left( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , R _ { i } \right) , } \end{array}
\left( J ^ { \alpha } \right) \left( J ^ { \beta } f \right) ( x ) = { \frac { 1 } { \Gamma ( \alpha + \beta ) } } \int _ { 0 } ^ { x } \left( x - s \right) ^ { \alpha + \beta - 1 } f ( s ) \, d s = \left( J ^ { \alpha + \beta } f \right) ( x )
\begin{array} { r l r } { \vec { P } _ { 0 } } & { { } = } & { P _ { 0 } \hat { y } , } \\ { \vec { P } _ { 1 } } & { { } = } & { P _ { 1 } ( - \sin \beta _ { 1 } \hat { x } + \cos \beta _ { 1 } \hat { y } ) , } \\ { \vec { P } _ { 2 } } & { { } = } & { P _ { 0 } ( - \sin \beta _ { 2 } \hat { x } + \cos \beta _ { 2 } \hat { y } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \frac { \xi } { 2 } \mathbf { C } - \mathrm { P e } ^ { 2 } \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathbf { D } ( \mathbf { C } ) ^ { - 1 } \partial _ { \xi } \mathbf { C } + \mathbf { D } ( \mathbf { C } ) \partial _ { \xi } \mathbf { C } . } \end{array}
\Psi _ { \alpha } ^ { 0 } = \left( \begin{array} { c } { { N _ { \alpha , \beta } \Gamma _ { \beta } ^ { 0 } } } \\ { { N _ { \alpha , \beta } ^ { * } \bar { \Gamma } _ { \beta } ^ { 0 } } } \end{array} \right) = C \bar { \Psi } _ { \alpha } ^ { 0 T } \ .
G _ { \dot { \alpha } } = \frac { 4 . 7 1 s ^ { 3 } + 5 . 1 1 s ^ { 2 } + 1 . 8 5 s + 0 . 0 9 } { s ( s ^ { 2 } + 0 . 3 5 s + 0 . 0 1 ) } ,
\begin{array} { r c l } { f ( \mu _ { e 1 } , { \bf e } _ { 1 } ^ { T } \left( q _ { v } I + \Theta _ { v } \right) ^ { - 1 } ( c _ { v } + w _ { v } \mu _ { e 1 } , c _ { v } + w _ { v } \mu _ { e 2 } ) ^ { T } ) - { \bf e } _ { 1 } ^ { T } \Theta _ { u } ( \mu _ { e 1 } , \mu _ { e 2 } ) ^ { T } } & { = } & { 0 } \\ { f ( \mu _ { e 2 } , { \bf e } _ { 2 } ^ { T } \left( q _ { v } I + \Theta _ { v } \right) ^ { - 1 } ( c _ { v } + w _ { v } \mu _ { e 1 } , c _ { v } + w _ { v } \mu _ { e 2 } ) ^ { T } ) - { \bf e } _ { 2 } ^ { T } \Theta _ { u } ( \mu _ { e 1 } , \mu _ { e 2 } ) ^ { T } } & { = } & { 0 \, . } \end{array}
\frac { G _ { N } M } { r ( t ) ^ { 3 } } \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { s ^ { 1 } ( t ) } \\ { s ^ { 2 } ( t ) } \\ { s ^ { 3 } ( t ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { d ^ { 2 } s ^ { 1 } / d t ^ { 2 } } \\ { d ^ { 2 } s ^ { 2 } / d t ^ { 2 } } \\ { d ^ { 2 } s ^ { 3 } / d t ^ { 2 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \Delta x } & { = \Delta X \left( 1 + \frac { \lambda } { \sqrt { 2 } } + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 4 } \right) } \\ { \Delta y } & { = \Delta Y \left( 1 + \frac { \lambda } { \sqrt { 2 } } + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 4 } \right) } \\ { \Delta z } & { = \Delta Z \left( 1 + \frac { \lambda } { \sqrt { 2 } } \right) } \\ { \Delta \ell } & { = R _ { 0 } \left( 1 + \frac { \lambda } { \sqrt { 2 } } + \frac { 3 } { 4 } \lambda ^ { 2 } \right) - \frac { \Delta z ^ { 2 } } { 4 R _ { 0 } } \lambda ^ { 2 } } \\ & { = R _ { 0 } \left( 1 + \frac { \lambda } { \sqrt { 2 } } + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 4 } \right) - \frac { \Delta Z ^ { 2 } } { 4 R _ { 0 } } \lambda ^ { 2 } } \end{array}
C _ { P , P } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = \left\langle \Psi _ { a } \left| \hat { P } _ { \textrm { I } } ( t _ { 1 } ) \hat { P } _ { \textrm { I } } ( t _ { 2 } ) \right| \Psi _ { a } \right\rangle
\varphi _ { 0 1 } ( x , y ) = \varphi _ { 0 } ^ { - 1 } \circ \varphi _ { 1 } ( x , y ) = \left( { \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , { \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \right)