harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \lambda } ( X , Y ) = \operatorname* { i n f } \big \{ c > 0 : \, \, \mathrm { ~ \forall \, ~ T ~ \in ~ \mathcal { L } ( X , ~ Z ) ~ \, \, ~ \exists ~ \, \, ~ a n ~ e x t e n s i o n \, ~ \widetilde { T } \in ~ \mathcal { L } ( Y , ~ Z ) ~ \, ~ w i t h ~ \| \widetilde { T } \| ~ \leq ~ c \, \| T \| ~ } \big \} \, . } \end{array}
n _ { \mathrm { ~ M ~ G ~ , ~ a ~ p ~ p ~ r ~ o ~ x ~ } } ( f ) = p _ { 1 , \mathrm { ~ M ~ G ~ } } f ^ { 2 } + p _ { 2 , \mathrm { ~ M ~ G ~ } } f + p _ { 3 , \mathrm { ~ M ~ G ~ } } \, ,
\begin{array} { r l } { C \left\vert \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } { \frac { \partial { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) } { \partial \nu } } u _ { N } ^ { \prime } ( \mathbf x ) \mathrm d \sigma \right\vert } & { \le \mathrm { T } ( \varepsilon ) h + \mathrm { T } ( \varepsilon ) h + \mathrm T ( \varepsilon ) h + \left( { \frac { 1 } { { \tau ^ { N + 1 } } } } + { \frac { { e ^ { - { \frac { \tau h } { 2 } } } } } { \tau } } \right) } \\ & { + \left( { \frac { 1 } { { \tau ^ { N + 2 } } } } + { \frac { { e ^ { - { \frac { \tau h } { 2 } } } } } { \tau } } \right) + \left( { \frac { 1 } { { \tau ^ { N + 2 } } } } + { \frac { { e ^ { - { \frac { \tau h } { 2 } } } } } { \tau } } \right) + \left( { \frac { 1 } { { \tau ^ { N + 3 } } } } + { \frac { { e ^ { - { \frac { \tau h } { 2 } } } } } { \tau } } \right) } \\ & { + \left( { \frac { 1 } { { \tau ^ { N + 1 } } } } + { { { e ^ { - { \frac { \tau h } { 2 } } } } } } \right) + { e ^ { - { \frac { h } { 2 } } \tau } } + \tau { h ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } } { e ^ { - \alpha ^ { \prime } \tau h } } , } \end{array}
\frac { 1 } { 4 } \omega _ { \mu } ^ { i j } \left( n \right) \gamma _ { i j } \equiv \frac { i } { 2 } \omega _ { \mu } ^ { i } \left( n \right) \sigma _ { i } \quad \omega _ { \mu } ^ { i } \left( n \right) = \frac { 1 } { 2 } \epsilon ^ { i j k } \omega _ { \mu } ^ { \quad j k } \left( n \right) .
\mathrm { ~ M ~ S ~ D ~ } _ { T } = \sum _ { i } ^ { N } \left( z _ { i } - z _ { 0 } \right) ^ { 2 } \frac { \Delta T ( z _ { i } , t ) } { T _ { 0 } } = \sum _ { i } ^ { N } \left( z _ { i } - z _ { 0 } \right) ^ { 2 } \left[ e ^ { \varepsilon _ { \mathrm { ~ a ~ } } d | \Psi ( z _ { i } , t ) | ^ { 2 } } - 1 \right]
\partial _ { x } \eta = - 2 \lambda A _ { W } \eta , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \partial _ { x } \chi = - 2 \lambda A _ { W } \chi , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \Psi = \left( \begin{array} { l } { { \eta } } \\ { { \chi } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { \eta } } \\ { { - i \sigma _ { 1 } \eta } } \end{array} \right) .
\hat { \mathrm { H } } _ { 0 , \pm } ^ { s } = \frac { 2 \pi } { 2 \pi } { L } \hbar \sum _ { p > 0 } | { \lambda } { \varepsilon } _ { p , \pm } | ^ { - s } { \rho } _ { \pm } ^ { s } ( - p ) { \rho } _ { \pm } ^ { s } ( p ) .
\tau ( q ) = \left\{ \begin{array} { l l } { q \displaystyle \frac { \log ( \langle m _ { \mathrm { g e n } } \rangle / \langle \kappa \rangle ) } { \log \langle \lambda \rangle } } & { \mathrm { f o r ~ } q \ge \displaystyle \frac { \log \langle m _ { \mathrm { g e n } } \rangle } { \log \langle \kappa \rangle } } \\ { ( q - 1 ) \displaystyle \frac { \log \langle m _ { \mathrm { g e n } } \rangle } { \log \langle \lambda \rangle } } & { \mathrm { f o r ~ } q < \displaystyle \frac { \log \langle m _ { \mathrm { g e n } } \rangle } { \log \langle \kappa \rangle } } \end{array} \right. ,
\mathrm { l b } _ { i k } = d _ { \mathrm { m i n } } n _ { i } \mathrm { ~ i ~ f ~ } n _ { i } \geq 1 , \quad d _ { \mathrm { m i n } } \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } ; \quad \mathrm { u b } _ { i k } = d _ { \mathrm { m a x } } ( n _ { i } + a ) .
\begin{array} { r l } & { D _ { t } ^ { * } \rho = - \rho \partial _ { \alpha } u _ { \alpha } , } \\ & { D _ { t } ^ { * } u _ { \alpha } = - \frac { 1 } { \rho } \partial _ { \alpha } p - \frac { 1 } { \rho } \partial _ { \beta } { \sigma } _ { \alpha \beta } , } \\ & { D _ { t } ^ { * } p = - \frac { 5 } { 3 } p ( \partial _ { \alpha } u _ { \alpha } ) - \frac { 2 } { 3 } \sigma _ { \alpha \beta } ( \partial _ { \beta } u _ { \alpha } ) . } \\ & { D _ { t } ^ { * } \sigma _ { \alpha \beta } = \dot { \sigma } _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { N S F } } + \dot { \sigma } _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { n l i n } } + R _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \mathcal { G } } , } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \Omega ^ { z } } { \partial t ^ { 2 } } - \left( { - \frac { 5 C _ { \beta } C _ { \gamma } } { 7 } \frac { K ^ { 3 } } { \varepsilon ^ { 2 } } J ^ { z } \nabla ^ { 2 } J ^ { z } } \right) \Omega ^ { z } = R _ { \Omega 2 } ,
{ \cal D } ^ { \mu } { } _ { \nu } ( x , x ^ { \prime } ) : = ( 1 - 2 \xi ) \nabla ^ { \mu } \nabla _ { \nu ^ { \prime } } - 2 \xi \nabla ^ { \mu } \nabla _ { \nu } + ( 2 \xi - 1 / 2 ) \delta ^ { \mu } { } _ { \nu }
L ( \alpha _ { 1 } g _ { 1 } + \alpha _ { 2 } g _ { 2 } ) = \alpha _ { 1 } L ( g _ { 1 } ) + \alpha _ { 2 } L ( g _ { 2 } ) , \quad \forall \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } \in \mathbb { R } , \, \forall g _ { 1 } , g _ { 2 } \in U _ { a d } .
\left. \frac { n _ { B } } { n _ { \gamma } } \right| _ { \mathrm { m a x , n o w } } \approx \left[ 7 \, \delta _ { \mathrm { C P } } ^ { 1 } + 6 \, \delta _ { \mathrm { C P } } ^ { 2 } \right] 1 0 ^ { - 4 } \; \left( \frac { 1 0 0 \mathrm { ~ G e V } } { M } \right) ^ { 4 } ,
\begin{array} { r l } & { D _ { S , j } \frac { \partial } { \partial t _ { 0 } } S _ { j } ( c ( t _ { 0 } , t ) , t ) } \\ & { = - \frac { 1 } { c ^ { 2 } ( t _ { 0 } , t ) } \frac { \partial } { \partial t _ { 0 } } c ( t _ { 0 } , t ) \int _ { 0 } ^ { t _ { 0 } } c ^ { 2 } ( \tau , t ) r _ { S , j } ( { { \bf X } ( c ( \tau , t ) , t ) } , { { \bf S } } ( c ( \tau , t ) , t ) ) \frac { \partial } { \partial \tau } c ( \tau , t ) d \tau . } \end{array}
\Sigma _ { 1 } = \frac { 6 4 } { \pi ^ { 4 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \left( \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sigma _ { n , m , l } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \frac { \operatorname* { d e t } g _ { \tilde { C } } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } { \operatorname* { d e t } g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } } & { { } = \frac { \operatorname* { d e t } \left( \tilde { A } - 2 G _ { \tilde { C } i } ^ { s _ { 1 } } G _ { i \tilde { C } } ^ { s _ { 2 } } \right) } { \operatorname* { d e t } \left( \tilde { A } \right) } \left( \tilde { D } - \tilde { C } \tilde { A } ^ { - 1 } \tilde { B } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
T ^ { \alpha \beta } = \, - { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } } \left( { F ^ { \alpha } } ^ { \psi } { F _ { \psi } } ^ { \beta } + { \frac { 1 } { 4 } } g ^ { \alpha \beta } F _ { \psi \tau } F ^ { \psi \tau } \right)
\left\{ \begin{array} { l l } { u ^ { + } ( x ) = ( x - x _ { 0 } ) \cdot \nabla u ^ { + } ( x _ { 0 } ) + o ( | x - x _ { 0 } | ) \quad \mathrm { f o r ~ e v e r y } \quad x \in \Omega _ { u } ^ { + } , } \\ { u ^ { - } ( x ) = ( x - x _ { 0 } ) \cdot \nabla u ^ { - } ( x _ { 0 } ) + o ( | x - x _ { 0 } | ) \quad \mathrm { f o r ~ e v e r y } \quad x \in \Omega _ { u } ^ { - } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { ( f ^ { ( N ) } \lrcorner L ) _ { * } ( \lambda ^ { \alpha } Q _ { i \alpha } ) = V _ { \ \, \beta } ^ { \alpha } \lambda ^ { \beta } Q _ { i \alpha } , } \\ & { ( f ^ { ( N ) } \lrcorner L ) _ { * } ( \tilde { \lambda } ^ { \dot { \alpha } } \tilde { Q } _ { \dot { \alpha } } ^ { i } ) = \tilde { V } _ { \ \, \dot { \beta } } ^ { \dot { \alpha } } \tilde { \lambda } ^ { \dot { \beta } } Q _ { \dot { \alpha } } ^ { i } , } \\ { ( f ^ { ( N ) } \lrcorner L ) _ { * } } \end{array}
\begin{array} { r } { z _ { i } ^ { ( 0 ) } = \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \exp ( - \beta n _ { i } \omega _ { i } ) = \frac { 1 } { 1 - \exp ( - \beta \omega _ { i } ) } = f _ { i } + 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { m } ^ { \mathrm { ~ D ~ } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } } & { { } = - \int _ { - \infty } ^ { t } E _ { m } \textbf { ( } \textbf { k } ( \tau ) \textbf { ) } \mathrm { d } \tau , } \\ { \phi _ { m } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } } & { { } = - \int _ { - \infty } ^ { t } \textbf { F } ( \tau ) \cdot \mathbf { \Lambda } _ { m } ^ { \textbf { k } ( \tau ) } \mathrm { d } \tau . } \end{array}
X \to q ^ { m { \rho } ^ { \vee } } X { \bar { q } } ^ { m { \rho } ^ { \vee } } \, , \, \, \, { \rho } ^ { \vee } = \sum _ { i } { \Lambda } _ { i } ^ { \vee } \, \, \, ( \, \Rightarrow \, \, E _ { i } \to q ^ { m } E _ { i } \, , \, \, F _ { i } \to { \bar { q } } ^ { m } F _ { i } \, ) \, .
\int Q _ { 2 } ~ \mathrm { t a n } ~ \alpha _ { 2 } ~ ( C ^ { ( 9 ) } + C ^ { ( 8 ) } ~ d \chi ^ { \prime } + ( C ^ { ( 7 ) } + C ^ { ( 6 ) } ~ d \chi ^ { \prime } ) \wedge ( F _ { i } + B _ { i } ) )
\begin{array} { r l } { f ( \mathbf { u } ; \boldsymbol { \alpha } ( t , \mathbf { x } ) ) } & { { } = \exp ( \alpha _ { i } ( t , \mathbf { x } ) \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) ) ; i = 0 , \cdots , M } \end{array}
\rho _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ( v ) = e ^ { \delta _ { Y F S } } \; F ( \gamma ) \; \gamma v ^ { \gamma - 1 } \left\{ { \frac { 1 } { 4 } } \gamma v ^ { 2 } \right\} + { \cal O } ( \gamma ^ { 3 } )
\begin{array} { r l } { \nabla _ { m } h _ { i j } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \nabla _ { m } \gamma _ { i j } + \nabla _ { m } \gamma _ { j i } ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 4 } ( H _ { m i k } \gamma _ { k j } - H _ { m j l } \gamma _ { i l } + H _ { m j k } \gamma _ { k i } - H _ { m i l } \gamma _ { j l } ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } ( H _ { m i k } K _ { j k } + H _ { m j l } K _ { i l } ) , } \end{array}
{ \check { c } } _ { \gamma , \sigma \dot { \beta } } ^ { \enspace \enspace \enspace \, \sigma \dot { \sigma } } = \bar { c _ { a } } ^ { \sigma \dot { \sigma } } E _ { \gamma } { c _ { \sigma \dot { \beta } } } ^ { a } + { c _ { \sigma \dot { \beta } } } ^ { a } \bar { c _ { b } } ^ { \sigma \dot { \sigma } } { c _ { \gamma a } } ^ { b } - { c _ { \gamma \dot { \beta } } } ^ { \dot { \sigma } }
\frac { \partial } { \partial t } P ( x , t ) = - \langle u _ { \mathrm { S } } \rangle \frac { \partial } { \partial x } P ( x , t ) + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } P ( x , t ) - \Lambda P ( x , t ) + \Lambda \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } x ^ { \prime } P ( x ^ { \prime } , t ) J ( x - x ^ { \prime } ) .
d s _ { 6 } ^ { 2 } = e ^ { A } \left( - q d t ^ { 2 } + d z ^ { 2 } \right) + e ^ { - A } \left( \frac { d r ^ { 2 } } { q } + r ^ { 2 } d \Omega _ { 3 , k } ^ { 2 } \right) ,
f ^ { \prime \prime \prime } ( x ) = { \frac { d ^ { 3 } f } { d x ^ { 3 } } } = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { f ( x ) - 3 f ( x - h ) + 3 f ( x - 2 h ) - f ( x - 3 h ) } { h ^ { 3 } } }
\begin{array} { r l } { \oint _ { \partial \Sigma } } & { { } \mathbf { B } \cdot \mathrm { d } { \boldsymbol { \ell } } = { \frac { 1 } { c } } \left( 4 \pi \iint _ { \Sigma } \mathbf { J } \cdot \mathrm { d } \mathbf { S } + { \frac { \mathrel { \mathrm { d } } } { \mathrm { d } t } } \iint _ { \Sigma } \mathbf { E } \cdot \mathrm { d } \mathbf { S } \right) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { G [ k ] } & { \triangleq { \mathcal { F } } \{ g _ { _ { P } } \} [ k ] = { \frac { 1 } { P } } \int _ { P } g _ { _ { P } } ( x ) e ^ { - i 2 \pi k x / P } \, d x , \quad k \in \mathbb { Z } ; \quad \quad \scriptstyle { \mathrm { i n t e g r a t i o n ~ o v e r ~ a n y ~ i n t e r v a l ~ o f ~ l e n g t h ~ } } P } \\ { H [ k ] } & { \triangleq { \mathcal { F } } \{ h _ { _ { P } } \} [ k ] = { \frac { 1 } { P } } \int _ { P } h _ { _ { P } } ( x ) e ^ { - i 2 \pi k x / P } \, d x , \quad k \in \mathbb { Z } } \end{array} }
( 1 + { \mathbf { u } } ^ { \dag } { \mathbf { u } } ) \partial ^ { \mu } \partial _ { \mu } { \mathbf { u } } - 2 { \mathbf { u } } ^ { \dag } \partial _ { \mu } { \mathbf { u } } \partial ^ { \mu } { \mathbf { u } } = 0 .
\Sigma = - \sum _ { L } { \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 3 } } } { \cal P } \int _ { 0 } { d k k ^ { 2 } } \left( { \frac { k } { m _ { X } } } \right) ^ { 2 L } { \frac { g _ { L } ^ { 2 } ( k ) } { { k ^ { 2 } + m _ { \pi } ^ { 2 } } } } ,
\partial _ { t } \sigma = J _ { \mu } \partial _ { t } X ^ { \mu } + X ^ { \mu } \partial J _ { \mu } = L _ { \mu \nu } X ^ { \mu } \partial _ { t } X ^ { \nu } + L ^ { \mu \nu } J _ { \mu } \partial _ { t } J _ { \nu } = 2 P
\begin{array} { r } { W _ { \mathcal { S } } = \left( \prod _ { k = 1 } ^ { \mathcal { N } } d \tau _ { k } \right) h ^ { \mathcal { N } } \exp \left\{ \sum _ { i , j } \int _ { 0 } ^ { \beta } \frac { J } { r _ { i j } ^ { \alpha } } \sigma _ { i } \left( \tau \right) \sigma _ { j } \left( \tau \right) d \tau \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { 2 2 } ^ { q } = \frac { e ^ { 2 } } { h } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E ( 2 ( f _ { 0 } ( E ) ( 1 - f _ { 0 } ( E + \hbar \omega ) ) + ( 1 - f _ { 0 } ( E ) ) f _ { 0 } ( E + \hbar \omega ) ) + T ^ { 2 } ( f ( E ) ( 1 - f ( E + \hbar \omega ) ) } \\ { + f ( E + \hbar \omega ) ( 1 - f ( E ) ) ) R T ( f _ { 0 } ( E ) ( 1 - f ( E + \hbar \omega ) ) + ( 1 - f _ { 0 } ( E ) ) f ( E + \hbar \omega ) + f ( E ) ( 1 - f _ { 0 } ( E + \hbar \omega ) ) } \\ { + f _ { 0 } ( E + \hbar \omega ) ( 1 - f ( E ) ) ) + R ^ { 2 } ( f _ { 0 } ( E ) ( 1 - f _ { 0 } ( E + \hbar \omega ) ) + f _ { 0 } ( E + \hbar \omega ) ( 1 - f _ { 0 } ( E ) ) ) ) . } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { ~ b ~ } } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { f } \left( \frac { 1 } { 2 } p _ { j , n } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \omega _ { j } ^ { 2 } q _ { j , n } ^ { 2 } \right) ,
\log \Delta _ { n s } = - \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d z ^ { \prime } } { z ^ { \prime } } \int _ { ( z ^ { \prime } q ) ^ { 2 } } ^ { k _ { t } ^ { 2 } } \frac { d q ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \frac { 1 } { \log ( q ^ { \prime } / \Lambda _ { Q C D } ) }
\begin{array} { r l r } { { \cal H } } & { = } & { \{ v \in { \cal P } ( \mathbb { X } \times \mathbb { Y } ^ { \mathbb { Z } _ { - } } \times \mathbb { U } ^ { \mathbb { Z } _ { - } } ) : } \\ & { } & { \quad v ( d x _ { 0 } , d y _ { ( - \infty , 0 ] } , d u _ { ( - \infty , - 1 ] } , d u _ { 0 } ) } \\ & { } & { \quad \quad = v ( d x _ { 0 } , d y _ { ( - \infty , 0 ] } , d u _ { ( - \infty , - 1 ] } ) P ( d u _ { 0 } | d y _ { ( - \infty , 0 ] } , d u _ { ( - \infty , - 1 ] } ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( \kappa , j , \nu ) } & { = h _ { \kappa } ( \lambda _ { j } , \lambda _ { j + 1 } , \ldots , \lambda _ { j + \nu } ) } \\ { A ( i , j ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { a _ { i } a _ { i + 1 } \cdots a _ { i + j } } & { \mathrm { ~ i f ~ } j \geq 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ } j < 0 } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { x } ( 0 , 0 ) } & { { } = 0 } \\ { f _ { y } ( 0 , 0 ) } & { { } = 1 } \\ { f _ { x x } ( 0 , 0 ) } & { { } = 0 } \\ { f _ { y y } ( 0 , 0 ) } & { { } = - 1 } \\ { f _ { x y } ( 0 , 0 ) } & { { } = f _ { y x } ( 0 , 0 ) = 1 . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { { G ^ { z z } } } & { { = } } & { { - H ^ { - 1 } \partial ^ { 2 } H \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { G ^ { i j } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { i j } H ^ { - 2 } \partial ^ { 2 } H \, . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \quad } & { \| \Pi _ { n } ( \cdot ) - P _ { \textsc { s k s } } ^ { n } ( \cdot ) \| _ { \textsc { t v } } = \frac { 1 } { 2 } \int | \pi _ { n } ( h ) - p _ { \textsc { s k s } } ^ { n } ( h ) | d h \leq } \\ & { \quad \ \ { \int } | \pi _ { n } ( h ) - \pi _ { n } ^ { K _ { n } } ( h ) | d h \ { + } { \int } | \pi _ { n } ^ { K _ { n } } ( h ) - p _ { \textsc { s k s } } ^ { n , K _ { n } } ( h ) | d h \ { + } { \int } | p _ { \textsc { s k s } } ^ { n } ( h ) - p _ { \textsc { s k s } } ^ { n , K _ { n } } ( h ) | d h , } \end{array} } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { f _ { j } ^ { t + 1 } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Delta f _ { i j } ^ { t } , } \\ { \Delta f _ { i j } ^ { t } \sim \mathrm { ~ B ~ i ~ n ~ o ~ m ~ i ~ a ~ l ~ } ( f _ { i } ^ { t } , { p } _ { i j } ^ { t } ) , } \\ { p _ { i j } ^ { t } = \left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l r } \end{array} } \end{array} \right. } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { { \bf C } = \frac { - 1 } { \hbar \omega } e ^ { - i { \pi D } / { 4 } } ( \frac { \mu \omega } { 2 \pi \hbar } ) ^ { { D } / { 2 } } { \bf d } ^ { * } { \bf d } \cdot { \bf F } _ { \mathrm { N I R } } , } \end{array}
G ( f ^ { c } \mid x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \omega ( A \longrightarrow f ^ { c ( x _ { 1 } , x _ { 0 } ) } ) G ^ { A } \omega ^ { - 1 } ( A \longrightarrow f ^ { c ( x _ { 2 } , x _ { 0 } ) } )
\widehat { x } _ { k , n } ^ { \epsilon } \, \leq \, x _ { N _ { ( k ) } ^ { \epsilon } + n } ^ { \epsilon } \, \leq \, \widetilde { x } _ { k , n } ^ { \epsilon } \qquad \mathrm { o r } \qquad \widehat { x } _ { k , n } ^ { \epsilon } \, \leq \, - \big ( x _ { N _ { ( k ) } ^ { \epsilon } + n } ^ { \epsilon } \big ) ^ { - 1 } \, \leq \, \widetilde { x } _ { k , n } ^ { \epsilon }
\begin{array} { r l } { C _ { 5 } } & { : = C _ { 1 } ( h _ { 0 } ) \mu _ { 3 } \left( \frac { 5 } { 8 2 } \right) + C _ { 2 } ( h _ { 0 } ) \mu _ { 4 } \left( \frac { 1 7 } { 3 2 8 } \right) + E _ { 1 } ( h _ { 0 } ) \mu _ { 3 } \left( \frac { 8 7 } { 1 6 4 } \right) t _ { 0 } ^ { - 2 7 / 3 2 8 } } \\ & { \quad + E _ { 2 } ( h _ { 0 } ) \mu _ { 4 } \left( \frac { 5 } { 2 4 6 } \right) t _ { 0 } ^ { - 4 2 7 / 8 3 6 4 } + E _ { 3 } ( h _ { 0 } ) \left( \frac { \frac { 3 } { 3 4 } \log t _ { 0 } - \log ( \theta _ { 2 } \sqrt { 2 \pi } ) } { \log h } + 1 \right) t _ { 0 } ^ { - 2 7 / 1 6 4 } , } \end{array}
{ \frac { 1 } { S ( t _ { 0 } ) } } \int _ { 0 } ^ { \infty } t \, f ( t _ { 0 } + t ) \, d t = { \frac { 1 } { S ( t _ { 0 } ) } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { \infty } S ( t ) \, d t ,
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot { \bf D } + \frac { \mu _ { \gamma } ^ { 2 } } { \mu c ^ { 2 } } \phi } & { { } = } & { \rho _ { f } \, , } \\ { \nabla \times { \bf H } - \frac { \partial { \bf D } } { \partial t } + \frac { \mu _ { \gamma } ^ { 2 } } { \mu } { \bf A } } & { { } = } & { { \bf J } _ { f } \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { d x } { 2 + \cos x } } } & { = 2 \int _ { 0 } ^ { \pi } { \frac { d x } { 2 + \cos x } } = \operatorname* { l i m } _ { b \rightarrow \pi } { \frac { 4 } { \sqrt { 3 } } } \arctan \left( { \frac { \tan { \frac { x } { 2 } } } { \sqrt { 3 } } } \right) { \Biggl | } _ { 0 } ^ { b } } \\ & { = { \frac { 4 } { \sqrt { 3 } } } { \Biggl [ } \operatorname* { l i m } _ { b \rightarrow \pi } \arctan \left( { \frac { \tan { \frac { b } { 2 } } } { \sqrt { 3 } } } \right) - \arctan ( 0 ) { \Biggl ] } = { \frac { 4 } { \sqrt { 3 } } } \left( { \frac { \pi } { 2 } } - 0 \right) = { \frac { 2 \pi } { \sqrt { 3 } } } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { q _ { m } \sim } & { { } \, \mathrm { B e t a } \left( A _ { q } , B _ { q } \right) , \, \, m = 1 : \infty , } \\ { b _ { m } \sim } & { { } \, \mathrm { B e r n o u l l i } \left( q _ { m } \right) , } \\ { \lambda _ { m } \sim } & { { } \, \mathrm { G a m m a } \left( \alpha _ { \lambda } , \beta _ { \lambda } \right) , } \\ { \Omega _ { m } \sim } & { { } \, \mathrm { G P } \left( \nu _ { m } , \boldsymbol { K } \right) , } \\ { \nu _ { m } \sim } & { { } \, \mathrm { N o r m a l } \left( 0 , \sigma _ { \chi } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | a _ { 1 2 , k } | } & { = | v _ { 1 } ^ { H } A v _ { 2 } | = | \overline { { \gamma } } _ { 1 } v _ { 1 } ^ { H } A v _ { 2 } \gamma _ { 2 } | = | ( v _ { 1 , * } - E _ { 1 } ) ^ { H } A ( v _ { 2 , * } - E _ { 2 } ) | } \\ & { \geq | v _ { 1 , * } ^ { H } A v _ { 2 , * } | - | v _ { 1 , * } ^ { H } A E _ { 2 } | - | E _ { 1 } ^ { H } A v _ { 2 } | \geq | a _ { 1 2 , * } | - 2 \| E \| \| A \| \geq | a _ { 1 2 , * } | - 2 \kappa _ { 0 } \kappa _ { t } \| A \| \epsilon . } \end{array}
F _ { q } ( Q ^ { 2 } ) = \exp \left[ - \int _ { \lambda ^ { 2 } } ^ { Q ^ { 2 } } \! { \frac { d \xi } { 2 \xi } } \ \left( \ln { \frac { Q ^ { 2 } } { \xi } } \ \Gamma _ { c u s p } ( \alpha _ { s } ( \xi ) ) - { \frac { d \ \ln W _ { n p } ( \xi ) } { d \ \ln \xi } } \right) \right] \ ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { t r } ( J ( \frac { u } { 1 + u } , r ^ { * } ) ) } & { { } = } & { \bar { a } _ { 1 1 } < 0 , } \\ { \mathrm { d e t } ( J ( \frac { u } { 1 + u } , r ^ { * } ) ) } & { { } = } & { - \bar { a } _ { 1 2 } \bar { a } _ { 2 1 } = \frac { r ^ { * } ( 1 - r ^ { * } ) ( 1 + u ) } { \varepsilon } \binom { N - 1 } { M - 1 } ( \frac { u } { 1 + u } ) ^ { M } ( \frac { 1 } { 1 + u } ) ^ { N - M + 1 } b > 0 . } \end{array}
\widetilde { \mathrm { \boldmath ~ \cal ~ P ~ } } _ { j } ( t ) = \left( \begin{array} { c c } { { \frac { w ( t | \alpha _ { p } ) } { n _ { j } ( \alpha _ { p } ) } { \cal P } _ { j } ^ { ( \alpha _ { p } ) } ( t ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \frac { w ( t | \alpha _ { p } ^ { \prime } ) } { n _ { j } ( \alpha _ { p } ^ { \prime } ) } { \cal P } _ { j } ^ { ( \alpha _ { p } ^ { \prime } ) } ( t ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r l r l } { { 4 } L _ { q + 1 } } & { { } = L _ { q } + 5 4 5 1 4 0 1 3 4 \, \, } & { } & { { } { \textrm { w h e r e } } \, \, L _ { 0 } } & { } & { { } = 1 3 5 9 1 4 0 9 } \\ { X _ { q + 1 } } & { { } = X _ { q } \cdot ( - 2 6 2 5 3 7 4 1 2 6 4 0 7 6 8 0 0 0 ) } & { } & { { } { \textrm { w h e r e } } \, \, X _ { 0 } } & { } & { { } = 1 } \\ { M _ { q + 1 } } & { { } = M _ { q } \cdot \left( { \frac { ( 1 2 q + 2 ) ( 1 2 q + 6 ) ( 1 2 q + 1 0 ) } { ( q + 1 ) ^ { 3 } } } \right) \, \, } & { } & { { } { \textrm { w h e r e } } \, \, M _ { 0 } } & { } & { { } = 1 } \end{array}
1 8 \alpha _ { 0 } \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } - 4 \alpha _ { 2 } ^ { 3 } \alpha _ { 0 } + \alpha _ { 2 } ^ { 2 } \alpha _ { 1 } ^ { 2 } - 4 \alpha _ { 3 } \alpha _ { 1 } ^ { 3 } - 2 7 \alpha _ { 3 } ^ { 2 } \alpha _ { 0 } ^ { 2 } \ge 0 \; .
\begin{array} { r } { \Delta _ { \perp } E _ { z } = 2 \nu K _ { 0 } ( r ) + \frac { \nu g } { 2 } \left\{ 6 r K _ { 0 } ( r ) - \left( r ^ { 2 } + 4 ) K _ { 1 } ( r ) \right) \right\} \cos \left( \phi \right) . } \end{array}
\left| \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { k = 1 } ^ { m } \alpha _ { j } \beta _ { k } K ( x _ { j } , E _ { k } ) \right| \leq \sqrt { \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } \alpha _ { j } C _ { Z } ( x _ { i } , x _ { j } ) \overline { { \alpha _ { k } } } } \sqrt { \sum _ { k , l = 1 } ^ { m } \beta _ { k } C _ { M } ( E _ { k } \times E _ { l } ) \overline { { \beta _ { l } } } } ,
\begin{array} { r l } { \left| - \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } \delta { u _ { N + 1 } ^ { \prime } ( \mathbf x ) { \frac { \partial { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) } { \partial \nu } } } \mathrm d \sigma \right| } & { \leq 2 \mathcal { R } \sqrt { { k ^ { 2 } } + 2 { \tau ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { h } { { r ^ { N + 1 } } { e ^ { - \alpha ^ { \prime } \tau r } } \mathrm d r } } \\ & { \leq 2 \mathcal { R } \sqrt { { k ^ { 2 } } + 2 { \tau ^ { 2 } } } \left[ { \frac { \Gamma ( N + 2 ) } { { { ( \alpha ^ { \prime } \tau ) } ^ { N + 2 } } } } + { \frac { 2 { e ^ { - { \frac { \tau h } { 2 } } } } } { \alpha ^ { \prime } \tau } } \right] } \\ & { \leq C _ { 8 } \left( { \frac { 1 } { { \tau ^ { N + 1 } } } } + { { { e ^ { - { \frac { \tau h } { 2 } } } } } } \right) . } \end{array}
{ \cal P } ( s _ { a } , s _ { b } , \lambda ) = \sum _ { s _ { b } ^ { \prime } } { \cal P } ( s _ { a } , s _ { b } ^ { \prime } , \lambda ) \sum _ { s _ { a } ^ { \prime } } { \cal P } ( s _ { a } ^ { \prime } , s _ { b } , \lambda ) \, ,