harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { F _ { \mathrm { g } } : = \left[ \begin{array} { c } { m \mathrm { g } e _ { 3 } } \\ { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } m _ { i } \mathrm { g } \left( \hat { \mu } _ { i } + \widehat { A _ { i } \kappa _ { i } } \right) A _ { B } ^ { \top } e _ { 3 } } \\ { m _ { 1 } \mathrm { g } \hat { \kappa } _ { 1 } \left( A _ { 1 } ^ { \top } A _ { B } ^ { \top } e _ { 3 } \right) } \\ { m _ { 2 } \mathrm { g } \hat { \kappa } _ { 2 } \left( A _ { 2 } ^ { \top } A _ { B } ^ { \top } e _ { 3 } \right) } \\ { m _ { 3 } \mathrm { g } \hat { \kappa } _ { 3 } \left( A _ { 3 } ^ { \top } A _ { B } ^ { \top } e _ { 3 } \right) } \\ { m _ { 4 } \mathrm { g } \hat { \kappa } _ { 4 } \left( A _ { 4 } ^ { \top } A _ { B } ^ { \top } e _ { 3 } \right) } \end{array} \right] . } \end{array}
\langle \psi | { \hat { H } } | \psi \rangle = \int \psi ^ { * } ( \mathbf { r } ) \left[ - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \nabla ^ { 2 } \psi ( \mathbf { r } ) + V ( \mathbf { r } ) \psi ( \mathbf { r } ) \right] d ^ { 3 } \mathbf { r } = \int \left[ { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } | \nabla \psi | ^ { 2 } + V ( \mathbf { r } ) | \psi | ^ { 2 } \right] d ^ { 3 } \mathbf { r } = \langle { \hat { H } } \rangle
\frac { \partial V _ { S } } { \partial \Lambda } = - \frac { M } { 2 \pi ^ { 2 } } | \psi _ { L } ( \Lambda , R ) | ^ { 2 } \frac { \Lambda ^ { 2 } } { p ^ { 2 } - \Lambda ^ { 2 } } V _ { S } ^ { 2 } ( p , \kappa , \Lambda ) ,
\begin{array} { r l } { \hat { U } _ { t + 1 } } & { = \operatorname* { m i n } _ { \nu _ { t } > 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \zeta _ { t } > 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \tau _ { t } \geq 0 } \left( h ( \zeta _ { t } , \nu _ { t } , \tau _ { t } ) \hat { U } _ { t } + \left( 1 + \frac { 1 } { \nu _ { t } } \right) \sigma _ { t } ^ { 2 } \right) \right) \right) } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { \nu _ { t } > 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \zeta _ { t } > 0 } \, \, \left( \hat { h } ( \zeta _ { t } , \nu _ { t } ) \hat { U } _ { t } + \left( 1 + \frac { 1 } { \nu _ { t } } \right) \sigma _ { t } ^ { 2 } \right) \right) } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { \nu _ { t } > 0 } \, \, \left( \left( \operatorname* { m i n } _ { \zeta _ { t } > 0 } \hat { h } ( \zeta _ { t } , \nu _ { t } ) \right) \hat { U } _ { t } + \left( 1 + \frac { 1 } { \nu _ { t } } \right) \sigma _ { t } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } \times \nabla \times \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ) _ { i } } & { { } = } & { \epsilon _ { i j k } E _ { j } \epsilon _ { k l m } \partial _ { l } A _ { m } = \epsilon _ { k i j } \epsilon _ { k l m } E _ { j } \partial _ { l } A _ { m } = } \end{array}
S _ { j , 2 2 ( m , m ) } = \big [ H _ { m } ^ { ( 2 ) } ( k _ { 0 } b ) / H _ { m } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 0 } b ) \big ] \cdot ( A _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ I ~ } } / B _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ I ~ } } ) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { n \in \mathbb N } \operatorname { R e } \eta ( x _ { n } ) - } & { \operatorname* { s u p } _ { \xi \in A } \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \operatorname { R e } \xi ( x _ { n } ) } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { n \in \mathbb N } \operatorname { R e } \eta ( x _ { n } ) - \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \operatorname { R e } \zeta ( x _ { n } ) + \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \operatorname { R e } \zeta ( x _ { n } ) - \operatorname* { s u p } _ { \xi \in A } \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \operatorname { R e } \xi ( x _ { n } ) } \\ & { \le \operatorname* { i n f } _ { n \in \mathbb N } \operatorname { R e } \eta ( x _ { n } ) - \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \operatorname { R e } \zeta ( x _ { n } ) \le \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \operatorname { R e } ( \eta ( x _ { n } ) - \zeta ( x _ { n } ) ) \le \left\| \eta - \zeta \right\| . } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { s } = \frac { \Omega _ { s } } { k } = \sqrt { \frac { \left( \gamma _ { i } T _ { i } + \gamma _ { e } T _ { e } \right) } { m _ { i } } } = \sqrt { \frac { \gamma _ { i } p _ { i } } { \varrho _ { i } } + \frac { \gamma _ { e } p _ { e } } { \varrho } } = \sqrt { v _ { s i } ^ { 2 } + v _ { s e } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ^ { \prime \prime } ( x ) g ^ { \prime \prime } ( x ) d x } & { = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } G _ { x x } ( x , \tau ) ( \alpha f ^ { \prime \prime } ( \tau ) - \mathcal H f ^ { \prime } ( \tau ) ) g ^ { \prime \prime } ( x ) d x } \\ & { \quad + \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { \gamma } { 6 } ( 3 x ^ { 2 } - 1 ) g ^ { \prime \prime } ( x ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ^ { 2 } ( \underline { { u } } _ { h } ) = } & { \frac { 1 } { 6 } \big ( \epsilon ^ { 2 } ( \underline { { u } } _ { h } ) \epsilon ^ { 2 } ( \underline { { u } } _ { h } ) + \omega ^ { 2 } ( \underline { { u } } _ { h } ) \omega ^ { 2 } ( \underline { { u } } _ { h } ) \big ) + \frac { 2 } { 3 } \epsilon ^ { 2 } ( \underline { { u } } _ { h } ) \omega ^ { 2 } ( \underline { { u } } _ { h } ) } \\ & { + 2 \operatorname { t r } \big ( \epsilon ( \underline { { u } } _ { h } ) \epsilon ( \underline { { u } } _ { h } ) \omega ( \underline { { u } } _ { h } ) \omega ( \underline { { u } } _ { h } ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H e _ { n } ( x ) } & { { } = n ! \oint \frac { d z } { 2 \pi i } \frac { \mathrm { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } z ^ { 2 } + x z } } { z ^ { 1 + n } } } \end{array}
\lambda ^ { U } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { \lambda ^ { 4 } } } \\ { { 0 } } & { { \sqrt { 2 } \lambda ^ { 4 } } } & { { \lambda ^ { 2 } / \sqrt { 2 } } } \\ { { \lambda ^ { 4 } } } & { { \lambda ^ { 2 } / \sqrt { 2 } } } & { { 1 } } \end{array} \right) , \ \ \lambda ^ { D } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 2 \lambda ^ { 4 } } } & { { 0 } } \\ { { 2 \lambda ^ { 4 } } } & { { 2 \lambda ^ { 3 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\hat { \mathcal { H } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \equiv \left[ \begin{array} { l l } { S _ { g } - i \frac { \gamma } { 2 } } & { \tilde { \Omega } \left( 1 - \frac { i } { q } \right) } \\ { \tilde { \Omega } \left( 1 - \frac { i } { q } \right) } & { - \Delta - i \frac { \Gamma } { 2 } } \end{array} \right] ,
\mathsf { G } _ { ( 7 , 8 ) } ^ { t + 2 } , \mathsf { G } _ { ( 8 , 7 ) } ^ { t + 2 } , \mathsf { G } _ { ( 7 , 9 ) } ^ { t + 2 } , \mathsf { G } _ { ( 9 , 7 ) } ^ { t + 2 } , \mathsf { G } _ { ( 8 , 9 ) } ^ { t + 2 }
\operatorname* { P r } _ { \mathcal { S } } \left\{ E _ { a ^ { n } } ^ { \dagger } E _ { b ^ { n } } \in N \left( { \mathcal { S } } \right) \right\} = { \frac { 2 ^ { n + k } - 1 } { 2 ^ { 2 n } - 1 } } \leq 2 ^ { - \left( n - k \right) } .
{ \begin{array} { r l } { R _ { \alpha } ^ { A } } & { = \xi ^ { - 1 } Q _ { \alpha } ^ { A } + \xi \sigma _ { \alpha { \dot { \beta } } } ^ { 0 } { \bar { Q } } ^ { { \dot { \beta } } B } } \\ { T _ { \alpha } ^ { A } } & { = \xi ^ { - 1 } Q _ { \alpha } ^ { A } - \xi \sigma _ { \alpha { \dot { \beta } } } ^ { 0 } { \bar { Q } } ^ { { \dot { \beta } } B } } \end{array} }
\mu _ { \gamma } = 5 . 1 \times 1 0 ^ { - 8 } \, \mathrm { m } ^ { - 1 } \, \left( \frac { m _ { \gamma } } { 1 0 ^ { - 1 4 } \, \mathrm { e V / c ^ { 2 } } } \right) \, .
A 3 . 2 \frac { g _ { 1 } ^ { } } { 2 F ^ { 2 } } { \cal P } ^ { \cal N } \phi ^ { 0 } \left( \partial _ { \mu } \pi ^ { \! 0 } \partial _ { \mu } \pi ^ { \! 0 } + 2 \, \partial _ { \mu } \pi ^ { \! + } \partial _ { \mu } \pi ^ { \! - } \right) .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i + k \ge r , k \ge 2 } \frac { ( i + k ) ^ { r } } { ( i + k ) ! } \epsilon ^ { i } \bar { \epsilon } ^ { k } \| t ^ { i + k - r } \partial _ { t } ^ { i + 1 } \bar { \partial } ^ { k - 2 } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { = \frac { \bar { \epsilon } ^ { 2 } } { \epsilon } \sum _ { i + k \ge r - 1 } \frac { ( i + k + 1 ) ^ { r } } { ( i + k + 1 ) ! } \epsilon ^ { i } \bar { \epsilon } ^ { k } \| t ^ { i + k - r + 1 } \partial _ { t } ^ { i } \bar { \partial } ^ { k } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \le \frac { T \bar { \epsilon } ^ { 2 } } { \epsilon } \sum _ { i + k \ge r } \frac { ( i + k + 1 ) ^ { r - 1 } } { ( i + k ) ! } \epsilon ^ { i } \bar { \epsilon } ^ { k } \| t ^ { i + k - r } \partial _ { t } ^ { i } \bar { \partial } ^ { k } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } + \frac { \bar { \epsilon } ^ { 2 } } { \epsilon } \frac { r ^ { r } } { r ! } \sum _ { i + k = r - 1 } \epsilon ^ { i } \bar { \epsilon } ^ { k } \| \partial _ { t } ^ { i } \bar { \partial } ^ { k } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \le \frac { 2 ^ { r - 1 } T \bar { \epsilon } ^ { 2 } } { \epsilon } \sum _ { i + k \ge r } \frac { ( i + k ) ^ { r } } { ( i + k ) ! } \epsilon ^ { i } \bar { \epsilon } ^ { k } \| t ^ { i + k - r } \partial _ { t } ^ { i } \bar { \partial } ^ { k } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } + \frac { r ^ { r } } { r ! } \sum _ { i + k = r - 1 } \| \partial _ { t } ^ { i } \bar { \partial } ^ { k } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \alpha _ { 1 } = { \frac { 1 } { 2 } } ( e _ { 1 } - e _ { 2 } - e _ { 3 } - e _ { 4 } - e _ { 5 } - e _ { 6 } + \sqrt 2 e _ { 7 } ) , } } & { { \alpha _ { 2 } = e _ { 1 } + e _ { 2 } , } } \\ { { \alpha _ { 3 } = - e _ { 1 } + e _ { 2 } , } } & { { \alpha _ { 4 } = - e _ { 2 } + e _ { 3 } , } } \\ { { \alpha _ { 5 } = - e _ { 3 } + e _ { 4 } , } } & { { \alpha _ { 6 } = - e _ { 4 } + e _ { 5 } , } } \\ { { \alpha _ { 7 } = - e _ { 5 } + e _ { 6 } , } } & { { \alpha _ { 0 } = - \sqrt { 2 } e _ { 7 } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \lambda \mathscr { U } ( 0 ) + \left( 1 - \lambda \right) \tilde { \mathscr { U } } ( 0 ) , \cdots , \lambda \mathscr { U } ( K - 1 ) \right. } \\ & { \left. + \left( 1 - \lambda \right) \tilde { \mathscr { U } } ( K - 1 ) \right) \in \mathcal { U } _ { T } , \quad \forall \lambda \in \left( 0 , 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { K } _ { t } ^ { ( \alpha , \beta ) } ( n , m ) } & { = w _ { n } ^ { ( \alpha , \beta ) } w _ { m } ^ { ( \alpha , \beta ) } \frac { ( n + \alpha + \beta + 1 ) ( m + \alpha + \beta + 1 ) } { 2 ( n - m ) ( n + m + \alpha + \beta + 1 ) } t \Bigg ( \frac { 1 } { m + \alpha + \beta + 1 } H _ { t } ^ { ( \alpha , \beta ) } ( n , m ) } \\ & { \qquad - \frac { 1 } { n + \alpha + \beta + 1 } H _ { t } ^ { ( \alpha , \beta ) } ( m , n ) \Bigg ) , \quad n , m \in { \mathbb { N } } , \: \; n \neq m \mathrm { ~ a n d ~ } t > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { S } _ { K } : = - \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { I } } & { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { E } _ { I I } } & { \boldsymbol { G } _ { \iota I } ^ { T } } \\ { \boldsymbol { G } _ { \iota I } } & { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { E } _ { I B } } \\ { \boldsymbol { G } _ { \iota B } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { a _ { x } } } & { = \frac { \hat { a _ { x ^ { \prime } } } } { \sqrt { 3 } } - \frac { \hat { ( 3 + \sqrt { 3 } ) a _ { y ^ { \prime } } } } { 6 } + \frac { \hat { ( 3 - \sqrt { 3 } ) a _ { y ^ { \prime } } } } { 6 } } \\ { \hat { a _ { y } } } & { = \frac { \hat { a _ { x ^ { \prime } } } } { \sqrt { 3 } } + \frac { \hat { ( 3 - \sqrt { 3 } ) a _ { y ^ { \prime } } } } { 6 } - \frac { \hat { ( 3 + \sqrt { 3 } ) a _ { y ^ { \prime } } } } { 6 } } \\ { \hat { a _ { z } } } & { = \frac { \hat { a _ { x ^ { \prime } } } } { \sqrt { 3 } } + \frac { \hat { a _ { x ^ { \prime } } } } { \sqrt { 3 } } + \frac { \hat { a _ { x ^ { \prime } } } } { \sqrt { 3 } } } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { | f _ { 2 } ( 1 2 7 0 ) \rangle } } \\ { { | f _ { 2 } ^ { \prime } ( 1 5 2 5 ) \rangle } } \end{array} \right) = U \left( \begin{array} { c } { { | N \rangle } } \\ { { | S \rangle } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { i n t } } ( \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { x } _ { j } ) = } & { { } - \rho _ { A } ( \mathbf { x } _ { i } | \mathbf { x } _ { j } ) \rho _ { B } ( \mathbf { x } _ { j } | \mathbf { x } _ { i } ) - \int \mathrm { d } \mathbf { x } _ { k } \, \Gamma _ { A } ( \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { x } _ { k } | \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { x } _ { j } ) \rho _ { B } ( \mathbf { x } _ { j } | \mathbf { x } _ { k } ) } \end{array}
Z _ { k } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \exp \left[ - \beta \hbar \omega _ { k } ( n + 1 / 2 ) \right] = \frac { \exp \left[ - \beta \hbar \omega _ { k } / 2 \right] } { 1 - \exp \left[ - \beta \hbar \omega _ { k } \right] } ,
\mathbf { T } ( z ) = \widetilde { \mathbf { T } } _ { 0 } ( z ) z ^ { \alpha \sigma _ { 3 } } S _ { 1 } e ^ { - x ^ { 2 } g ( z ) \sigma _ { 3 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - \frac { \overline { { s } } _ { * } e ^ { - 2 \pi i \alpha } e ^ { - 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } { s _ { 1 } ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } ) } } & { 1 } \end{array} \right) ,
\vec { F } _ { 2 1 } ^ { [ 0 ] } = - k \int \int d ^ { 3 } x _ { 1 } d ^ { 3 } x _ { 2 } \rho _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } ) \rho _ { 2 } ( \vec { x } _ { 2 } ) \frac { 1 } { R ^ { 2 } } \hat { R } = - \vec { F } _ { 1 2 } ^ { [ 0 ] } .
\begin{array} { r l } { s ( \rho ) } & { = \bigg ( { { \frac { \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } } { \rho } } } + \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } \bigg ) \bigg ( { \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } } + \frac { { { \frac { \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } } { \rho } } } 2 \frac { \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } } { ( 1 - \rho ) } } { { { \frac { \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } } { \rho } } } + 2 \frac { \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } } { ( 1 - \rho ) } } \bigg ) } \\ & { = \frac { ( \rho \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } + \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } ) ( ( - 1 + \rho ) \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } - 2 \rho \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } - 2 \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } ) } { \rho ( ( - 1 + \rho ) \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } - 2 \rho \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\frac { \alpha _ { 1 } } { 1 - \alpha _ { 1 } } = f ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) \; , \; \; \; \; \frac { \alpha _ { 2 } } { 1 - \alpha _ { 2 } } = f ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) \; ,
T _ { j _ { 1 } ^ { \prime } \dots j _ { q } ^ { \prime } } ^ { i _ { 1 } ^ { \prime } \dots i _ { p } ^ { \prime } } [ \mathbf { f } \cdot R ] = \left| \operatorname* { d e t } R \right| ^ { - w } \left( R ^ { - 1 } \right) _ { i _ { 1 } } ^ { i _ { 1 } ^ { \prime } } \cdots \left( R ^ { - 1 } \right) _ { i _ { p } } ^ { i _ { p } ^ { \prime } } T _ { j _ { 1 } , \ldots , j _ { q } } ^ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { p } } [ \mathbf { f } ] R _ { j _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { j _ { 1 } } \cdots R _ { j _ { q } ^ { \prime } } ^ { j _ { q } } .
\begin{array} { r l } { w ( v _ { i } ) } & { = f ( v _ { i - 1 } ) + f ( v _ { i + 1 } ) + f ( e _ { i - 1 } ) + f ( e _ { i } ) } \\ & { = f ( v _ { i - 1 } ) + f ( v _ { i + 1 } ) + ( 2 n - ( i - 1 ) ) + ( 2 n - i ) ) } \\ & { = ( 4 n - 2 i + 1 ) + f ( v _ { i - 1 } ) + f ( v _ { i + 1 } ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 4 n - 2 i + 1 ) + i + ( i + 1 ) } & { \mathrm { i f ~ i ~ \equiv ~ 0 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \\ { ( 4 n - 2 i + 1 ) + ( i - 2 ) + ( i + 1 ) } & { \mathrm { i f ~ i ~ \equiv ~ 1 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \\ { ( 4 n - 2 i + 1 ) + ( i - 1 ) + ( i + 2 ) } & { \mathrm { i f ~ i ~ \equiv ~ 2 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \\ { ( 4 n - 2 i + 1 ) + ( i - 1 ) + i } & { \mathrm { i f ~ i ~ \equiv ~ 3 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 4 n } & { \mathrm { i f ~ i ~ i s ~ o d d } } \\ { 4 n + 2 } & { \mathrm { i f ~ i ~ i s ~ e v e n } . } \end{array} \right. } \end{array}
\Psi _ { 2 F } = A _ { 2 } ^ { \prime } I _ { 0 F } ( E , E _ { 2 } ) + \frac { p _ { 2 } l } { 4 \pi } \int _ { - 1 } ^ { 1 } d x \int _ { - 1 } ^ { 1 } d y \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \varphi _ { k } \left[ \left| { \sf M } ^ { \prime \prime \prime } \right| ^ { 2 } + \left| { \sf M } ^ { \mathrm { I V } } \right| ^ { 2 } \right] .
v _ { \parallel } + u \simeq ( v _ { \parallel f } + u _ { f } ) \Bigg \lbrace 1 - \frac { S _ { f } \left[ ( \mu B _ { f } - u _ { f } v _ { \parallel f } ) \left( B / B _ { f } - 1 \right) + Z e ( \phi _ { \theta } - \phi _ { \theta f } ) / m \right] } { ( v _ { \parallel f } + u _ { f } ) ^ { 2 } } \Bigg \rbrace .
E = \sum _ { i < j } P ( { \bf r } _ { i } ) q _ { \alpha \gamma } ( { \bf r } _ { i } ) G _ { \alpha \beta , \gamma \delta } ( { \bf r } _ { i } - { \bf r } _ { j } ) P ( { \bf r } _ { j } ) q _ { \beta \delta } ( { \bf r } _ { j } ) ~ ,
\begin{array} { r l } { C \: \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \gamma } } & { { } = B \: \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \beta } \left( t _ { 1 } r _ { 2 } + r _ { 1 } t _ { 2 } \: \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \theta } \right) \: \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \phi } , } \\ { D \: \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \delta } } & { { } = B \: \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \beta } \left( t _ { 1 } t _ { 2 } + r _ { 1 } r _ { 2 } \: \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \theta } \right) . } \end{array}
{ \cal G } ^ { a } [ { \cal A } ^ { \theta ( x ) + \delta \theta ( x ) } ( x ) ] - { \cal G } ^ { a } [ { \cal A } ^ { \theta ( x ) } ( x ) ] = \int \, d ^ { \, 4 } y \, ( { \delta { \cal G } / \delta \theta } ) ^ { a \, b } ( x , y ) \delta \theta ^ { b } ( y ) \; .
\begin{array} { r l } { | } & { d _ { i } ( \mathcal { F } _ { \omega } ) ( i _ { n } ) ( I - \Pi _ { n } ) T ( i _ { n } ) \Pi _ { n } Z _ { n } | _ { s _ { 0 } } \le _ { \mathtt { p _ { e } } } \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n } ^ { \mathtt { k } + \mu _ { \mathtt { p } } - \mathtt { b } _ { 1 } } \overset \le \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n } ^ { - \sigma _ { 4 } } . } \end{array}
E \rightarrow E ^ { \prime } = ( a E + b ) ( c E + d ) ^ { - 1 } , \ \ \ \left( \begin{array} { l l } { { a } } & { { b } } \\ { { c } } & { { d } } \end{array} \right) \in O ( d + 1 6 , d + 1 6 , { \bf Z } ) ,
{ \begin{array} { r l } { F _ { 0 } } & { = \sum _ { ( i , j ) \in { \mathcal { P } } } \operatorname { T r } _ { i , j } V _ { i , j } ( \xi _ { i } , \xi _ { j } ) P _ { 0 } ^ { ( i ) } ( \xi _ { i } ) P _ { 0 } ^ { ( j ) } ( \xi _ { j } ) } \\ & { + k T \sum _ { i = 1 } ^ { N } \operatorname { T r } _ { i } P _ { 0 } ^ { ( i ) } ( \xi _ { i } ) \log P _ { 0 } ^ { ( i ) } ( \xi _ { i } ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } e ^ { ( 1 - \epsilon ) s } \| ( f - \tilde { f } ) ( s ) \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } } & { \leq e ^ { - \epsilon t } \| f _ { 0 } - \tilde { f } _ { 0 } \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \epsilon ( t - s ) } e ^ { ( 1 - \epsilon ) s } \| ( \Gamma ( f ) - \Gamma ( \tilde { f } ) ) ( s ) \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } d s } \\ & { \leq \| f _ { 0 } - \tilde { f } _ { 0 } \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } + \frac { 1 } { \epsilon } C _ { \delta } \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } e ^ { ( 1 - \epsilon ) s } \| ( f - \tilde { f } ) ( s ) \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } . } \end{array}
\hat { H } _ { e } = E _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ e ~ } } + \sum _ { i j } f _ { i j } { \hat { a } } _ { i } ^ { \dagger } { \hat { a } } _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j k l } g _ { i j k l } { \hat { a } } _ { i } ^ { \dagger } { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger } { \hat { a } } _ { l } { \hat { a } } _ { k } ,
\begin{array} { r l } { \lambda _ { n } } & { { } = \frac { n \pi } { L } , \; n = 1 , 2 , 3 , . . . , } \\ { Y _ { n } ( y ) } & { { } = \sin { \left( \frac { n \pi y } { L } \right) } , } \end{array}
\mathcal { R } ^ { A } { } _ { B C D } = \Gamma ^ { A } { } _ { C D , B } - \Gamma ^ { A } { } _ { B D , C } + \Gamma ^ { A } { } _ { B M } \, \Gamma ^ { M } { } _ { C D } - \Gamma ^ { A } { } _ { C M } \, \Gamma ^ { M } { } _ { B D }
= \, { \mathopen { : } } { \hat { a } } _ { i } \, { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger } \, { \hat { a } } _ { k } \, { \hat { a } } _ { l } ^ { \dagger } \, { \mathclose { : } } + { \mathopen { : } } \, { \hat { a } } _ { i } ^ { \bullet } \, { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger } \, { \hat { a } } _ { k } \, { \hat { a } } _ { l } ^ { \dagger \bullet } \, { \mathclose { : } } + { \mathopen { : } } \, { \hat { a } } _ { i } \, { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger } \, { \hat { a } } _ { k } ^ { \bullet } \, { \hat { a } } _ { l } ^ { \dagger \bullet } \, { \mathclose { : } } + { \mathopen { : } } \, { \hat { a } } _ { i } ^ { \bullet } \, { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger \bullet } \, { \hat { a } } _ { k } \, { \hat { a } } _ { l } ^ { \dagger } \, { \mathclose { : } } + \, { \mathopen { : } } { \hat { a } } _ { i } ^ { \bullet } \, { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger \bullet } \, { \hat { a } } _ { k } ^ { \bullet \bullet } \, { \hat { a } } _ { l } ^ { \dagger \bullet \bullet } { \mathclose { : } }
\begin{array} { r l } { = } & { { } \beta _ { x } \beta _ { y } \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( \frac { p _ { i } ( \frac { \hat { \widetilde { x } } _ { i } } { \beta _ { x } } ) ^ { 2 } - p _ { i } ( \frac { \hat { \widetilde { y } } _ { i } } { \beta _ { y } } ) ^ { 2 } } { 2 } + 2 t _ { i } k _ { i } \frac { \hat { \widetilde { x } } _ { i } } { \beta _ { x } } \frac { \hat { \widetilde { y } } _ { i } } { \beta _ { y } } \sin - \phi _ { i } ) } \\ { = } & { { } \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } 2 k _ { i } \sqrt { 1 - k _ { i } ^ { 2 } } \hat { \widetilde { x } } _ { i } \hat { \widetilde { y } } _ { i } \sin - \phi _ { i } + \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \frac { p _ { i } } { 2 } ( \frac { \beta _ { y } } { \beta _ { x } } \hat { \widetilde { x } } _ { i } ^ { 2 } - \frac { \beta _ { x } } { \beta _ { y } } \hat { \widetilde { y } } _ { i } ^ { 2 } ) } \end{array} ,
\Phi ^ { U } = \left( \begin{array} { l l l } { { e ^ { i \pi / 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) , \quad \Phi ^ { D } = \left( \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { - i 3 \pi / 4 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\delta ^ { 3 } \mathbf { P } _ { 1 } \mathbf { H } _ { 0 } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { z } _ { 1 } ) = - 6 R _ { 0 } ^ { 3 } \mathbf { P } + \mathcal { O } ( \delta ^ { 4 } ) + \mathcal { O } ( \omega ) ,
\begin{array} { r } { q _ { m a x } ^ { s } = \left\{ \begin{array} { l l } { H / t } & { \mathrm { ~ t ~ > ~ H ~ / ~ Q ~ } } \\ { Q } & { \mathrm { ~ t ~ \leq ~ H ~ / ~ Q ~ } } \end{array} \right. . } \end{array}
M = \left( \begin{array} { l l l l } { \mathbb { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \lambda \hat { w } ^ { 0 \to 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \lambda \hat { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \hat { w } ^ { 1 \to 0 } } & { \hat { n } } & { \hat { w } ^ { 0 \to 1 } } & { \mathbb { 1 } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { F _ { 0 } } [ \mathcal { N } _ { 0 } ] } & { = \mathbf { A } [ \mathcal { N } _ { 0 } ] + \mathbf { B } [ \mathcal { N } _ { 0 } ] + \mathbf { C } } \\ & { = \mathbf { A } [ \phi - \phi _ { 1 } ] + \mathbf { B } [ \mathcal { N } _ { 0 } ] + \mathbf { B } [ \phi ] - \mathbf { B } [ \phi ] + \mathbf { C } } \\ & { = \mathbf { A } [ \phi ] + \mathbf { B } [ \phi ] + \mathbf { C } - \mathbf { A } [ \phi _ { 1 } ] + \mathbf { B } [ \mathcal { N } _ { 0 } ] - \mathbf { B } [ \phi ] } \\ & { = - \mathbf { A } [ \phi _ { 1 } ] + \mathbf { B } [ \mathcal { N } _ { 0 } ] - \mathbf { B } [ \mathcal { N } _ { 0 } + \phi _ { 1 } ] } \end{array}