harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Omega ( \theta ) : = } & { \prod _ { \theta ( a , b ) > \theta ( i , j ) } \frac { ( q ^ { a } t ^ { b } - q ^ { i } t ^ { j } ) ^ { * } ( q ^ { a } t ^ { b } - q ^ { i + 1 } t ^ { j + 1 } ) ^ { * } } { ( q ^ { a } t ^ { b } - q ^ { i + 1 } t ^ { j } ) ^ { * } ( q ^ { a } t ^ { b } - q ^ { i } t ^ { j + 1 } ) ^ { * } } } \\ & { \qquad \times \prod _ { \theta ( a , b ) = \theta ( i , j ) + 1 } \frac { q ^ { a } t ^ { b } } { q ^ { a } t ^ { b } - q ^ { i + 1 } t ^ { j + 1 } } \prod _ { \theta ( i , j ) \neq 1 } \frac { 1 } { q ^ { i } t ^ { j } - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E _ { I } ( \varepsilon _ { F } \otimes ( e _ { 1 } \wedge e _ { 2 } \wedge \omega ^ { \prime } ) ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \pi ( F ) + 1 } ( \varepsilon _ { F } \otimes ( e _ { 2 } \wedge \omega ^ { \prime } ) ) + ( - 1 ) ^ { \pi ( F ) + 1 } ( \varepsilon _ { F } \otimes ( e _ { 1 } \wedge \omega ^ { \prime } ) ) } \\ & { \quad + ( - 1 ) ^ { \pi ( F ) + 2 } \varepsilon _ { F } \otimes ( e _ { 1 } \wedge e _ { 2 } \wedge E _ { I } ( \omega ^ { \prime } ) ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \pi ( F ) } \varepsilon _ { F } \otimes ( e _ { 1 } \wedge e _ { 2 } \wedge E _ { I } ( \omega ^ { \prime } ) ) } \end{array}
n _ { \mathrm { e q } } ( T ) = \frac { A _ { C } } { \bar { m } \, A _ { \mathrm { f f } } } \frac { E _ { r } ( T _ { \mathrm { C , e f f } } - T ) } { a T ^ { 4 } - \ensuremath { E _ { r , \mathrm { s } } } } \, T ^ { 3 . 5 } .
\begin{array} { r l } { m ( x ) } & { = \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { \mathrm { w } ( \kappa ) - \mathrm { w } ( \lambda ) - \mathrm { w } ( \mu ) } { 2 } , \frac { \mathrm { w } ( \lambda ) - \mathrm { w } ( \kappa ) - \mathrm { w } ( \mu ) } { 2 } , \frac { \mathrm { w } ( \mu ) - \mathrm { w } ( \kappa ) - \mathrm { w } ( \lambda ) } { 2 } \right\} + 1 } \\ { M ( x ) } & { = \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { \mathrm { w } ( \lambda ) + \mathrm { w } ( \mu ) - \mathrm { w } ( \kappa ) } { 2 } , \frac { \mathrm { w } ( \kappa ) + \mathrm { w } ( \mu ) - \mathrm { w } ( \lambda ) } { 2 } , \frac { \mathrm { w } ( \kappa ) + \mathrm { w } ( \lambda ) - \mathrm { w } ( \mu ) } { 2 } \right\} - 1 \, . } \end{array}
( \bullet ) ^ { \mathsf { T } } { \mathbf { Y } } ( \theta _ { s } ) [ \mathbf { B } ( \theta _ { s } ) \quad \mathbf { B } _ { e } ( \theta _ { s } ) ] + \lambda _ { 1 } \left[ \begin{array} { c c c } { - \mathbf { I } _ { n } } & { \bf 0 } & { \bf 0 _ { 1 2 } } \\ & { \bf 0 } & { \bf 0 _ { 1 2 } } \\ & & { \bf 0 _ { 2 2 } } \end{array} \right] + \lambda _ { 2 } \left[ \begin{array} { c c c } { \bf 0 } & { \bf 0 } & { \bf 0 _ { 1 2 } } \\ & { - \mathbf { I } _ { n } } & { \bf 0 _ { 1 2 } } \\ & & { \bf 0 _ { 2 2 } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { c c c } { \bf 0 } & { \bf 0 } & { \bf 0 _ { 1 2 } } \\ & { \bf 0 } & { \bf 0 _ { 1 2 } } \\ & & { - \gamma ^ { 2 } \mathbf { I } _ { 2 n } } \end{array} \right] \preceq 0
\ln 2 = { \frac { 2 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( { \frac { 1 } { 2 k } } + { \frac { 1 } { 4 k + 1 } } + { \frac { 1 } { 8 k + 4 } } + { \frac { 1 } { 1 6 k + 1 2 } } \right) { \frac { 1 } { 1 6 ^ { k } } } .
\begin{array} { r l } { \tilde { m } _ { k , n } } & { = \operatorname* { m i n } _ { i \in \mathcal { I } _ { k } ^ { n } } \big ( \epsilon _ { i } + \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } ( W _ { t _ { i } ^ { n } } - W _ { k h _ { n } } ) \big ) \, , ~ \mathrm { a n d } } \\ { \tilde { m } _ { k - 1 , n } ^ { * } } & { = \operatorname* { m i n } _ { i \in \mathcal { I } _ { k - 1 } ^ { n } } \big ( \epsilon _ { i } - \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } ( W _ { k h _ { n } } - W _ { t _ { i } ^ { n } } ) \big ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underset { 0 \leq p _ { 1 } , \leq p _ { 3 } \leq 1 } { \mathrm { m i n i m i z e ~ } } } & { \; \; \frac { 2 ( 1 - p _ { s } ) p _ { 1 , 0 } ^ { X } p _ { 0 , 1 } ^ { X } } { ( p _ { 0 , 1 } ^ { X } + p _ { 1 , 0 } ^ { X } ) \left( 1 + ( 1 - p _ { s } ) \left( p _ { 1 , 0 } ^ { X } - p _ { 0 , 0 } ^ { X } \right) \right) } , } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { \; \; \frac { 1 } { p _ { s } } \left( 1 - p _ { s } \mathbb { P } \{ \hat { X } = 0 \} \right) \leq \bar { A } , } \\ & { \; \; c _ { 1 } p _ { 1 } + c _ { 3 } p _ { 3 } \leq \bar { C } , \; \; p _ { 1 } + p _ { 3 } \leq 1 . } \end{array}
{ \mathcal { H } } _ { A } = - J \sum _ { j } \left( { a } _ { j } ^ { \dagger } { a } _ { j - 1 } + \textrm { h . c . } \right) + \frac { U } { 2 } \sum _ { j } { n } _ { j } \left( { n } _ { j } - 1 \right) ,
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Phi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( p \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Psi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( p \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\operatorname* { d e t } ( A ) = \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } , \ldots , i _ { n } = 1 } ^ { n } \varepsilon _ { i _ { 1 } \cdots i _ { n } } a _ { 1 , i _ { 1 } } \cdots a _ { n , i _ { n } } ,
e _ { 1 } \frac { { \partial } { \phi } ^ { \mathrm { s e l f } } ( 1 ) } { { \partial } t _ { 2 } } = e _ { 2 } \frac { { \partial } { \phi } ^ { \mathrm { s e l f } } ( 2 ) } { { \partial } t _ { 1 } } ,
A _ { n } ( \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { Z _ { 1 } ^ { n } + v _ { n } Z _ { 2 } ^ { n } } & { n = 0 \& n = 1 } \\ { Z _ { 1 } ^ { n } } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
( \overline { { A } } _ { 1 } \overline { { D } } _ { 1 } - \sigma ^ { 2 } ( 1 + \overline { { A } } _ { 1 } ) \overline { { C } } \overline { { A } } _ { 1 } ^ { 2 } ) = \overline { { A } } _ { 1 } \overline { { B } } _ { 1 } + \sigma ^ { 2 } ( 1 + \overline { { A } } _ { 1 } ) \overline { { A } } _ { 1 } \overline { { C } } = \frac { t _ { 1 } \delta \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) ( t _ { 1 } \gamma + \sigma ^ { 2 } ( 1 + t _ { 1 } \delta ) \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ) } { \Delta }
\begin{array} { r l r l } { { 2 } S _ { \alpha } ( 1 ) } & { = \beta - \alpha \in [ 0 , 1 / \beta ^ { 3 } ) \subset J _ { 0 } , \ } & { S _ { \alpha } ( 1 - \alpha ) } & { = \beta - \beta \alpha \in [ - 1 , - 1 / \beta ) \subset J _ { - 1 } , } \\ { S _ { \alpha } ^ { 2 } ( 1 ) } & { = \beta ^ { 2 } - \beta \alpha \in J _ { 0 } \ \ \ \ \ \ \ \mathrm { a n d } \ \ \ \ \ \ \ } & { S _ { \alpha } ^ { 2 } ( 1 - \alpha ) } & { = \beta ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } \alpha + \alpha = \beta ^ { 2 } - \beta \alpha \in J _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \langle T \rangle } { d t } } & { + \frac { 5 } { 3 } \sum _ { i } \frac { \dot { \sigma } _ { i } ( t ) } { \sigma _ { i } ( t ) } \langle T \rangle } \\ & { \quad - \frac { m } { k _ { B } } \sum _ { i } \dot { \sigma } _ { i } ( t ) \left[ \ddot { \sigma } _ { i } ( t ) + \omega _ { i } ^ { 2 } \sigma _ { i } ( t ) \right] } \\ & { \quad \approx \frac { 2 } { 3 N k _ { B } } \sum _ { i , j , k , \ell } \frac { \dot { \sigma } _ { i } ( t ) } { \sigma _ { i } ( t ) } \delta _ { i , j } \left( \int d ^ { 3 } r \mu _ { i j k \ell } \right) \delta _ { k , \ell } \frac { \dot { \sigma } _ { \ell } ( t ) } { \sigma _ { \ell } ( t ) } } \\ & { \quad \quad - \frac { 1 } { N k _ { B } } \sum _ { i , j , k , \ell } \frac { \dot { \sigma } _ { i } ( t ) } { \sigma _ { i } ( t ) } \left( \int d ^ { 3 } r r _ { i } \partial _ { j } \mu _ { i j k \ell } \right) \delta _ { k , \ell } \frac { \dot { \sigma } _ { k } } { \sigma _ { \ell } } } \\ & { \quad \quad + \frac { 2 } { 3 N k _ { B } } \sum _ { i , j } \int d ^ { 3 } r \left[ \partial _ { i } ( \kappa _ { i j } \partial _ { j } T ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rVert u \rVert _ { E , \Omega } ^ { \operatorname* { s u p } } : = \operatorname* { s u p } _ { \omega \in \Omega } \rVert u ( \omega ) \rVert _ { E } , \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \rVert u \rVert _ { E , \Omega } ^ { \mathrm { l i p } } : = \operatorname* { s u p } _ { \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } \in \Omega , \omega _ { 1 } \ne \omega _ { 2 } } \frac { \rVert u ( \omega _ { 1 } ) - u ( \omega _ { 2 } ) \rVert _ { E } } { | \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } | } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n } \mathbb { E } \big [ S _ { n } S _ { n } ^ { T } \big ] - \frac { ( a - 2 \beta ) ( 1 - a ) ( \beta + 1 ) + \beta ( a + 1 ) } { ( 2 ( \beta + 1 ) ( 1 - a ) - 1 ) ( a - \beta ( 1 - a ) ) ( 1 - a ) } } & { \cdot \frac { 1 } { d } I d } \\ { \sim - ( C _ { 1 } n ^ { - 2 ( 1 - a ) ( \beta + 1 ) } } & { + C _ { 2 } n ^ { - 1 } ) \cdot \frac { 1 } { d } I d . \quad \quad \quad } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \hat { A _ { 2 } } } { \mathrm { d } t } = } & { \hat { A _ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \mathrm { d } \eta \int _ { 0 } ^ { t - 2 \eta } \mathrm { d } \chi \cdot \bigl [ \eta ^ { 2 } \cdot \bigl ( \hat { A _ { 2 } } ( t - \eta ) \hat { A _ { 2 } } ( t - \eta - \chi ) \hat { A _ { 2 } ^ { * } } ( t - 2 \eta - \chi ) } \\ & { + \hat { A _ { 2 } } ( t - \eta ) \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta - \chi ) \hat { A _ { 1 } ^ { * } } ( t - 2 \eta - \chi ) \cdot e ^ { - i p _ { 2 } \eta } \bigr ) } \\ & { + \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta ) \hat { A _ { 2 } } ( t - \eta - \chi ) \hat { A _ { 1 } ^ { * } } ( t - 2 \eta - \chi ) e ^ { - i p _ { 2 } ( 2 \eta + \chi ) } \cdot \eta ( \eta + u _ { 2 } ( \eta + \chi ) ) \bigr ] \cdot e ^ { - \hat { \nu } ( 2 \eta + \chi ) } , } \end{array}
R ( 1 + \omega _ { \mathrm { o u t l i e r } } ) = \frac { 1 } { \mu } \, , \qquad R ( \omega ) : = \frac { 1 } { N _ { t } } \Big [ \sum _ { i , j } R _ { i j } ( \omega ) \Big ] _ { \underline { { \mathbf { J } } } }
\mathcal { H } = \sum _ { k } \left( | k , A \rangle , | k , B \rangle \right) \left[ h _ { x } ( k ) \sigma _ { x } + h _ { y } ( k ) \sigma _ { y } \right] \left( \begin{array} { l } { \langle k , A | } \\ { \langle k , B | } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \mu _ { 1 } } & { { } = \frac { I _ { 3 } - I _ { 2 } } { I _ { 1 } } , } \\ { \mu _ { 2 } } & { { } = \frac { I _ { 3 } - I _ { 1 } } { I _ { 2 } } , } \\ { \mu _ { 3 } } & { { } = \frac { I _ { 2 } - I _ { 1 } } { I _ { 3 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d I _ { j } } { d t } = } & { { } \tau _ { \mathrm { d a m p } } = g _ { \mathrm { d a m p } } a ^ { 2 } \left[ \mathbf { m } \times \left( \mathbf { m } \times \boldsymbol { \mu } \right) \right] _ { j } } \\ { \frac { d m _ { j } } { d t } = } & { { } \frac { g _ { \mathrm { d a m p } } a ^ { 2 } \mu m _ { j } } { \hbar I _ { p } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg | \mathfrak { R e } } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big ( i k U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } ( y ) \Phi _ { \mathrm { i n } , k } ( y ) + u _ { t , \mathrm { i n } , k } ( y ) + ( 1 + i k U _ { \mathrm { s h } } ( y ) ) u _ { \mathrm { i n } , k } ( y ) \Big ) \overline { { \omega _ { \tau , k } ( 0 , y ) } } d y \bigg | } \\ & { \leq \Big ( | k | \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \| \Phi _ { \mathrm { i n , k } } \| _ { L ^ { 2 } } + \| u _ { t , \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } + \big ( 1 + | k | \| U _ { \mathrm { s h } } \| _ { L ^ { \infty } } \big ) \| u _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) \| \omega _ { \tau , k } ( 0 ) \| _ { L ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { i j } } & { { } = \psi _ { \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ l ~ a ~ r ~ } } \left( h _ { i } , H _ { j } , \vec { v } _ { i } , \vec { V } _ { j } , \vec { p } _ { i } , \vec { P } _ { j } \right) } \\ { \vec { M } _ { i j } } & { { } = \psi _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ t ~ o ~ r ~ i ~ a ~ l ~ } } \left( h _ { i } , H _ { j } , \vec { v } _ { i } , \vec { V } _ { j } , \vec { p } _ { i } , \vec { P } _ { j } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial C _ { \mathrm { F } } ^ { i , j } } { \partial t } } & { = } & { \underbrace { D _ { \mathrm { a x } } ^ { i } \frac { \partial ^ { 2 } C _ { \mathrm { F } } ^ { i , j } } { \partial x ^ { 2 } } } _ { \mathrm { a x i a l ~ d i s p e r s i o n } } - \underbrace { u \frac { \partial C _ { \mathrm { F } } ^ { i , j } } { \partial x } } _ { \mathrm { c o n v e c t i o n } } + \underbrace { \frac { k _ { \mathrm { L } } a ^ { i } } { \epsilon } ( C _ { \mathrm { S } } ^ { i , j } - C _ { \mathrm { F } } ^ { i , j } ) } _ { \mathrm { d i f f u s i o n ~ t o ~ c a t a l y s t } } , } \\ { \frac { \partial C _ { \mathrm { S } } ^ { i , j } } { \partial t } } & { = } & { \underbrace { \mathrm { - } \frac { k _ { \mathrm { L } } a ^ { i } } { ( 1 \mathrm { - } \epsilon ) } ( C _ { \mathrm { S } } ^ { i , j } - C _ { \mathrm { F } } ^ { i , j } ) } _ { \mathrm { d i f f u s i o n ~ f r o m ~ c a t a l y s t } } + \underbrace { \rho _ { \mathrm { B } } \frac { v ^ { i } } { [ E ] } } _ { \mathrm { r e a c t i o n } } \ , } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { k } = \frac { \mu } { A _ { k } } \prod _ { 1 \leq j \leq k } \left( 1 + \frac { \mu } { A _ { j } } \right) ^ { - 1 } = ( 2 + \lambda ) \frac { \Gamma ( 3 + 2 \lambda ) } { \Gamma ( 1 + \lambda ) } \frac { \Gamma ( k + \lambda ) } { \Gamma ( k + 3 + 2 \lambda ) } \sim k ^ { - ( 3 + \lambda ) } \, . } \end{array}
R _ { x r a y } = \frac { \alpha } { 4 \pi } \int N _ { p } N _ { N } v _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \, d s \left[ \mathrm { ~ e ~ V ~ c ~ m ~ } ^ { - 2 } \mathrm { ~ s ~ } ^ { - 1 } \mathrm { ~ s ~ r ~ } ^ { - 1 } \right] ,
\begin{array} { r l r } { \hat { \zeta } _ { 1 } } & { = } & { n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } R _ { i } ^ { - 1 } \left( 1 + R _ { i } ^ { - 1 } W _ { i } ^ { \top } \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } - 2 ^ { - 1 } R _ { i } ^ { - 2 } \| \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } \| ^ { 2 } + \tilde { \delta } _ { 1 i } \right) } \\ & { = } & { n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } R _ { i } ^ { - 1 } ( 1 + \tilde { \delta } _ { 3 i } ) , } \end{array}
{ \bf K } \, { \bf L } ^ { - 1 } = { \frac { 1 } { Q _ { 1 } } } \biggl [ \begin{array} { c c } { { Q _ { 1 } + K _ { 1 } } } & { { 0 } } \\ { { K _ { a } } } & { { Q _ { 1 } } } \end{array} \biggr ] ,
\begin{array} { r l } { P ( r | R _ { 0 } ) } & { { } = \sum _ { ( x , t ) \in \mathcal { V } ( R _ { 0 } ) } P ( r | x , t ) P ( x , t ) } \\ { P ( x , t ) } & { { } = \frac { N _ { A } ( x , t ) } { \sum _ { ( x , t ) \in \mathcal { V } ( R _ { 0 } ) } N _ { A } ( x , t ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 1 } ( \Sigma _ { g } \times S ^ { 1 } , \mathbb { Z } / 2 ) } & { = H _ { 0 } ( \Sigma , \mathbb { Z } / 2 ) \otimes H _ { 1 } ( S ^ { 1 } ) \oplus H _ { 1 } ( \Sigma , \mathbb { Z } / 2 ) \otimes H _ { 0 } ( S ^ { 1 } ) } \\ & { = H _ { 0 } ( \Sigma , \mathbb { Z } / 2 ) \oplus H _ { 1 } ( \Sigma , \mathbb { Z } / 2 ) . } \end{array}
{ \cal T } _ { S } \, = \, \left[ \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { \qquad 0 } } \\ { { } } & { { } } \\ { { 1 } } & { { \qquad 1 } } \end{array} \right] \qquad { \cal S } _ { S } \, = \, q \gamma _ { q } \left[ \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \qquad - 1 } } \\ { { } } & { { } } \\ { { 1 } } & { { \qquad 0 } } \end{array} \right]
\exp ( \varphi \tilde { \mathbf { n } } ) = \mathrm { c a y } \left( \tan \frac { \varphi } { 2 } \tilde { \mathbf { n } } \right) = \mathbf { I } + \frac { 2 } { 1 + \tan ^ { 2 } \frac { \varphi } { 2 } } \left( \tilde { \mathbf { n } } + \tilde { \mathbf { n } } ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r } { \begin{array} { l } { p _ { \mathrm { p r } } ( \ensuremath { \boldsymbol \nu } ) = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { n / 2 } } } { \frac { 1 } { \sqrt { | \ensuremath { \boldsymbol \Gamma _ { \! \mathrm { { p r } } } } | } } } \exp ( - { \frac { 1 } { 2 } } ( \ensuremath { \boldsymbol \nu } - \ensuremath { \boldsymbol \nu } _ { 0 } ) ^ { t } \ensuremath { \boldsymbol \Gamma _ { \! \mathrm { { p r } } } } ^ { - 1 } ( \ensuremath { \boldsymbol \nu } - \ensuremath { \boldsymbol \nu } _ { 0 } ) ) , } \end{array} } \end{array}
\mathbf { Q } ( \omega ) = - \mathbf { S } ^ { - 1 } \left( 2 \pi \frac { \varepsilon ( \omega ) + 1 } { \varepsilon ( \omega ) - 1 } \mathbf { I } + \mathbf { D A } \right) ^ { - 1 } \left( 2 \pi \mathbf { I } + \mathbf { D A } \right) .
A = \int _ { 0 } ^ { \theta } \int _ { 0 } ^ { r } d S = \int _ { 0 } ^ { \theta } \int _ { 0 } ^ { r } { \tilde { r } } \, d { \tilde { r } } \, d { \tilde { \theta } } = \int _ { 0 } ^ { \theta } { \frac { 1 } { 2 } } r ^ { 2 } \, d { \tilde { \theta } } = { \frac { r ^ { 2 } \theta } { 2 } }
C _ { i } ^ { \mathrm { u } } = C _ { i } ^ { Q _ { L } } + C _ { i } ^ { u _ { R } } + C _ { i } ^ { h _ { u } } , \qquad C _ { i } ^ { \mathrm { d } } = C _ { i } ^ { Q _ { L } } + C _ { i } ^ { d _ { R } } + C _ { i } ^ { h _ { d } } .
\begin{array} { r l } { \phi _ { 0 } ( t ) } & { = { \mathrm { s e c h } } ^ { \nu } \left( \frac { t } { t _ { 0 } } \right) , \quad \mathrm { a n d } , } \\ { \phi _ { 1 } ( t ) } & { = { \mathrm { s e c h } } ^ { \nu - 1 } \left( \frac { t } { t _ { 0 } } \right) \, { \mathrm { t a n h } } \left( \frac { t } { t _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \gamma } { \ell ( T + 1 ) } \sum _ { t = 0 } ^ { T } \| F ( x ^ { t } ) \| ^ { 2 } } & { \leq } & { \frac { \| x ^ { 0 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } - \| x ^ { T + 1 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } } { T + 1 } } \\ & { } & { \quad + \frac { 2 \gamma } { T + 1 } \sum _ { t = 0 } ^ { T } \langle x ^ { t } - x ^ { * } - \gamma F ( x ^ { t } ) , \omega _ { t } \rangle + \frac { \gamma ^ { 2 } } { T + 1 } \sum _ { t = 0 } ^ { T } \| \omega _ { t } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial x _ { r , k + 1 } } \sum _ { p = 1 } ^ { n } \kappa \log \Big ( \frac { \rho _ { k + 1 } ( x _ { p , k + 1 } ) } { \rho _ { \infty } } \Big ) \, m _ { p } = } \\ & { \sum _ { p = 1 } ^ { n } \kappa \Big [ \frac { \partial } { \partial x _ { r , k + 1 } } \log \Big ( \frac { \rho _ { k + 1 } ( x ) } { \rho _ { \infty } } \Big ) \Big ] _ { x = x _ { p , k + 1 } } \, m _ { p } + \kappa \nabla \rho _ { k + 1 } ( x _ { r , k + 1 } ) m _ { r } , } \end{array}
P _ { \mathrm { s i g } } = \frac { 1 } { 4 } \, \epsilon ^ { 2 } \, \frac { \beta } { \beta + 1 } \, V \, \frac { C } { 3 } \, m _ { A ^ { \prime } } ^ { 2 } \, \rho _ { A ^ { \prime } } \, \mathcal { F } ( m _ { A ^ { \prime } } , f _ { 0 } ) ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { E } _ { \ell } \left( \left( \mathbb { E } _ { \ell } ( A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ) \mathbb { E } _ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } ) - E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell } ( A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ) E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } ) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \le \mathcal { E } _ { \ell } \left( \left( \mathbb { E } _ { \ell } ( A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ) - E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell } ( A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ) \right) ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } ) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \quad + \mathcal { E } _ { \ell } \left( E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell } ( A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ) ^ { 2 } \left( \mathbb { E } _ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } ) - E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } ) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \le | \mathbb { E } _ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } ) | \mathcal { E } _ { \ell } \left( \left( \mathbb { E } _ { \ell } ( A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ) - E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell } ( A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \quad + \sqrt { 2 } | \mathbb { E } _ { \ell } ( A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ) | \mathcal { E } _ { \ell } \left( \left( \mathbb { E } _ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } ) - E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } ) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \quad + \sqrt { 2 } \mathcal { E } _ { \ell } \left( \left( E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell } ( A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ) - \mathbb { E } _ { \ell } ( A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \qquad \qquad \cdot \mathcal { E } _ { \ell } \left( \left( \mathbb { E } _ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } ) - E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } ) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( ( x , [ x ] ) - y ) \left( \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( 0 , - [ x ] ^ { n - k - 1 } ) y ^ { k - n } + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( x ^ { - k - 1 } , 0 ) y ^ { k } \right) } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( 0 , - [ x ] ^ { n - k } ) y ^ { k - n } - \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( 0 , - [ x ] ^ { n - k } ) y ^ { k - n } + ( 1 , 0 ) = ( 1 , 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { C | D } = } & { ~ w _ { I } ( - c + b ) + \frac { 1 - w _ { I } } { k } \left\{ - c + \sum _ { k _ { C } ^ { \prime } = 0 } ^ { k - 1 } { \frac { ( k - 1 ) ! } { k _ { C } ^ { \prime } ! ( k - k _ { C } ^ { \prime } - 1 ) ! } q _ { C | C } ^ { k _ { C } ^ { \prime } } q _ { D | C } ^ { k - k _ { C } ^ { \prime } - 1 } [ - ( k - 1 ) c + k _ { C } ^ { \prime } b ] } \right\} } \\ { = } & { - c + w _ { I } b + \frac { 1 - w _ { I } } { k } ( k - 1 ) q _ { C | C } b , } \end{array}
\begin{array} { r } { | \langle \Delta \mathbf { g } ^ { k } , \mathbf { w } ^ { k } \rangle | \leq \| \Delta \mathbf { g } ^ { k } \| _ { 2 } \| \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 2 } \leq \frac { 1 } { \mu } \| \Delta \mathbf { g } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { \mu } 4 \| \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\int _ { D } { \cal O } _ { i , 0 } \int _ { D } { \cal O } _ { { \bar { j } } , 2 } | \sigma _ { 1 } \rangle = \int _ { D } { \cal O } _ { { \bar { j } } , 2 } \int _ { D } { \cal O } _ { i , 0 } | \sigma _ { 1 } \rangle \,
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial t } + \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial \tau } \right) - \nabla _ { \mathbf x } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } ) - \omega ^ { - \gamma } [ \nabla _ { \mathbf x } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 0 } ) ] - \omega ^ { - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \cdot [ \textbf { D } ( \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 1 } ) ] + } \\ & { + \omega ^ { - \alpha } \nabla _ { \mathbf x } \cdot ( c _ { 0 } \mathbf v _ { 0 } ) + \omega ^ { 1 - \gamma - \alpha } \nabla _ { \mathbf y } \cdot ( \mathbf v _ { 0 } c _ { 1 } + \mathbf v _ { 1 } c _ { 0 } ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { c c c } { \psi _ { 2 l } ^ { ( j ) } = } & { \exp { ( \phi _ { l } ^ { ( n ) } ) } \psi _ { 1 l } ^ { ( j ) } \{ \pm \omega _ { l r } \pm s _ { l } ^ { ( n ) } , \pm \Delta _ { l } \pm \theta _ { l } ^ { ( n ) } \} , } \\ { \psi _ { 2 l } ^ { ( j ) } = } & { \exp { ( \phi _ { l } ^ { ( m ) } ) } \psi _ { 1 l } ^ { ( j ) } \{ \pm \omega _ { l r } \pm s _ { l } ^ { ( m ) } , \pm \Delta _ { l } \pm \theta _ { l } ^ { ( m ) } \} , } \end{array} \right. } \end{array}
\int d g \, ( \overline { { { R } } } _ { i } ) _ { m n } \, ( R _ { j } ) _ { m ^ { \prime } n ^ { \prime } } = { \frac { 1 } { \mathrm { d i m } _ { j } } } \delta _ { i j } \delta _ { m m ^ { \prime } } \delta _ { n n ^ { \prime } } .