harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \ \operatorname* { s u p } _ { k \in \mathbb { N } } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } ^ { d } } \operatorname* { m a x } _ { 1 \le j \le 2 ^ { d } - 1 } \left( \mathbb { E } \left| \langle \phi _ { n } , g _ { j } ( 2 ^ { a } ( \cdot - x ) ) \rangle \right| ^ { p } \right) ^ { 1 / p } \le \frac { C } { 2 ^ { a ( d + t ^ { \prime } ) } } .
\begin{array} { c c c c c c } { { 0 } } & { { x _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { x _ { 2 } } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { x _ { 3 } } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { x _ { p - 1 } } } \\ { { x _ { 0 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i _ { n } } & { { } = } & { \nu \log p _ { n } \ , } \\ { s _ { n } } & { { } = } & { \frac { \lambda _ { n + 1 } - \lambda _ { n } } { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 0 } } \ , } \end{array}
\Psi _ { 0 } ( \underline { { q } } , x _ { c } ) = \underbrace { \left( \prod _ { i = 1 } ^ { N } \psi _ { \mathrm { O H } } ( q _ { i } ) \right) } _ { = \psi _ { N } ( \underline { { q } } ) } \varphi _ { 0 } ( x _ { c } ) \quad ,
\begin{array} { r } { \Bar W _ { j } ^ { n + 1 } = \Bar W _ { j } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Delta x } ( \Hat F _ { j + \frac { 1 } { 2 } } - \Hat F _ { j - \frac { 1 } { 2 } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { \beta } } & { = } & { \sqrt { { \frac { ( S _ { x x } + N \langle { x } \rangle ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } } { N \/ S _ { x x } } } } \ , } \\ & { \ = \ } & { \sqrt { { { \frac { \langle { x } ^ { 2 } \rangle \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ y _ { i } - ( \alpha \, x _ { i } + \beta ) ] ^ { 2 } \right) } { [ N - 2 ] N ( \langle { x } ^ { 2 } \rangle \ - \ \langle { x } \rangle ^ { 2 } ) } } } } \ , } \\ & { \ = \ } & { \sigma _ { \alpha } \, \sqrt { \langle { x } ^ { 2 } \rangle } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { k } } & { = \frac { \left( 1 - \frac { 2 } { k + 1 } \right) \frac { 2 } { k + 2 } } { \frac { 2 } { k + 1 } } = \frac { k - 1 } { k + 2 } } \\ { \gamma _ { k } } & { = \frac { \frac { 2 } { k + 2 } \cdot \frac { s ( k + 1 ) } { 2 } } { s } - \frac { \frac { 2 } { k + 2 } } { \frac { 2 } { k + 1 } } = 0 . } \end{array}
\kappa _ { \mathrm { R , K N } } = \kappa _ { \mathrm { T h } } \left[ 1 + \frac { 9 0 0 ~ \zeta ( 5 ) } { \pi ^ { 4 } } \left( \frac { k _ { B } T } { m c ^ { 2 } } \right) - \frac { 2 4 \pi ^ { 2 } } { 7 } \left( \frac { k _ { B } T } { m c ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right]
A _ { T T } = \frac { \sin ^ { 2 } \theta \cos 2 \phi } { 1 + \cos ^ { 2 } \theta } \frac { \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } h _ { 1 } ^ { q } ( x ) h _ { 1 } ^ { q } ( - y ) } { \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } f _ { 1 } ^ { q } ( x ) f _ { 1 } ^ { q } ( - y ) }
{ \widetilde { \cal K } } _ { a } = { \frac { ( \sqrt { t } ) ^ { - 2 d } } { \eta ^ { 2 d } ( { \mathrm { e } } ^ { - 2 \pi t } ) } } \left( ( 2 \sqrt { t } ) ^ { d ( J _ { a } ) } V ( J _ { a } ) \right) \sum _ { { \widetilde p } \in 2 \Lambda ( J _ { a } ) } \exp ( - \pi t { \widetilde p } ^ { 2 } ) \left( { \frac { ( \sqrt { t } ) ^ { d ( R J _ { a } ) } } { V ( R J _ { a } ) } } \right) \sum _ { { \widetilde w } \in { \widetilde \Lambda } ( R J _ { a } ) } \exp ( - \pi t { \widetilde w } ^ { 2 } ) ~ .
\exp \left\{ i N T [ \sigma ] \right\} \equiv \int \left[ \prod _ { n , x } d \psi _ { r } ^ { \prime } ( x ) \right] \exp \left\{ i \int d ^ { d } x \; \left[ - \overline { { { \psi } } } _ { r } ^ { \prime } \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \psi _ { r } ^ { \prime } + \sigma _ { \ell } ( x ) \, j _ { \ell } ^ { \prime } ( x ) \right] \right\} \; .
\begin{array} { r l r } { \dot { m } ( x , t ) } & { { } = } & { \frac { \omega _ { m } } { 1 + \left( \frac { P _ { G E N } ( t ) } { P _ { t h r e s h } } \right) ^ { h } } \, f _ { G E N } ( x ) - \gamma _ { m } \, m ( x , t ) + D _ { m } \, \nabla ^ { 2 } m ( x , t ) } \\ { \dot { p } ( x , t ) } & { { } = } & { \omega _ { p } \; f _ { R I B } ( x ) \, m ( x , t ) - \gamma _ { p } \, p ( x , t ) + D _ { p } \nabla ^ { 2 } \, p ( x , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { x _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } + z _ { 1 } ^ { 2 } = 1 , } \\ & { x _ { 2 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } + z _ { 2 } ^ { 2 } = 1 , } \\ & { x _ { 1 } ^ { 2 } \pm x _ { 1 } x _ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } \leq 3 / 2 , } \\ & { y _ { 1 } ^ { 2 } \pm y _ { 1 } y _ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } \leq 3 / 2 , } \\ & { z _ { 1 } ^ { 2 } \pm z _ { 1 } z _ { 2 } + z _ { 2 } ^ { 2 } \leq 3 / 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { C } _ { 1 } } ^ { ( 3 ) } ( m _ { 1 } , \infty ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { m _ { 2 } \rightarrow \infty } E _ { \mathrm { C } _ { 1 } } ^ { ( 3 ) } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { m _ { 2 } \rightarrow \infty } \frac { 2 \mu ^ { 3 } } { 3 \pi } \left( \frac { 2 } { m _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { m _ { 1 } m _ { 2 } } + \frac { 2 } { m _ { 2 } ^ { 2 } } \right) = \frac { 4 m _ { 1 } } { 3 \pi } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { 2 1 \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } } } & { = \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \Phi _ { 2 1 + 1 \downarrow } - \sqrt { \frac { 1 } { 3 } } \Phi _ { 2 1 0 \uparrow } } \\ { \Psi _ { 2 1 \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } } } & { = - \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \Phi _ { 2 1 - 1 1 \uparrow } + \sqrt { \frac { 1 } { 3 } } \Phi _ { 2 1 0 \downarrow } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle f ^ { \prime } ( w ) , h _ { w } \rangle } & { = \langle C ^ { \prime } ( z ) , S ^ { \prime } ( w ) h _ { w } \rangle = \langle S ^ { \prime } ( w ) ^ { * } C ^ { \prime } ( z ) , h _ { w } \rangle } \\ & { = \langle - \bar { e } _ { w } ( S ( w ) , w ) ^ { * } \bar { e } _ { y } ( S ( w ) , w ) ^ { - * } C ^ { \prime } ( z ) , h _ { w } \rangle } \\ & { = \langle \bar { e } _ { w } ( S ( w ) , w ) ^ { * } \xi , h _ { w } \rangle } \\ & { = \langle - \xi ( 0 ) , h _ { w } \rangle } \end{array}
\lesssim \sum _ { ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \in \cup _ { i = 1 , 2 , 3 } \chi _ { k } ^ { i } } 2 ^ { l + ( 1 + \alpha ) j } 2 ^ { \operatorname* { m i n } \{ k _ { 1 } , k _ { 2 } \} / 2 + l / 2 } 2 ^ { - m + \operatorname* { m a x } \{ k _ { 1 } , k _ { 2 } \} } 2 ^ { - 8 ( k _ { 1 , + } + k _ { 2 , + } ) } \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } \lesssim 2 ^ { - 3 m / 4 + ( \alpha + 1 0 \delta ) m } \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { { \mathcal { L } } = } & { { } \frac { i } { 2 } \left( \bar { u } _ { 1 } ^ { * } \bar { u } _ { 1 , z } - \bar { u } _ { 1 } \bar { u } _ { 1 , z } ^ { * } \right) - | \bar { u } _ { 1 , \tau } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | \bar { u } _ { 1 } | ^ { 4 } - \left( \Delta + ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 | v _ { s } | ^ { 2 } \right) | \bar { u } _ { 1 } | ^ { 2 } } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \Big ( \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \Phi _ { k } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| \partial _ { t } \partial _ { y } \Phi _ { k } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + 2 \| \partial _ { y } ^ { 2 } \Phi _ { k } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \Big ) \leq C | k | \Big ( \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \Phi _ { k } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| \partial _ { t } \partial _ { y } \Phi _ { k } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \Big ) ,
\left\langle \sum _ { n } J _ { m n } \hat { c } _ { n } \hat { N } _ { \mathrm { e f f } } \right\rangle \approx \left\langle \sum _ { n } J _ { m n } \hat { c } _ { n } \right\rangle \left\langle \hat { N } _ { \mathrm { e f f } } \right\rangle
\left< \Theta ^ { 2 } \right> = 4 \pi n _ { \beta } | \vec { v } _ { \alpha } | \tau _ { h } b _ { 0 } ^ { 2 } \left. \ln \left[ \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \right] \right| _ { \theta _ { p } } ^ { \theta _ { n } } .
\frac { d x } { d t } = \frac { 1 } { 2 } ( c _ { 2 } - c _ { 1 } ) \sin ( 2 \alpha ) ; \qquad \frac { d z } { d t } = c _ { 1 } \sin ^ { 2 } \alpha + c _ { 2 } \cos ^ { 2 } \alpha
\begin{array} { r l r } & { } & { \Big \Vert \ [ C _ { j , \sigma } ( x ) ] _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } \ \Big \Vert _ { L ^ { 1 } } \quad \le O ( 1 ) \ \int _ { \Lambda _ { \beta , L } } d x _ { 0 } d x ^ { ( a ) } d x ^ { ( b ) } \ \Big | \tilde { C } _ { j , \sigma } ( x ) \Big | } \\ & { } & { \quad \le O ( 1 ) \gamma ^ { - j - l } \gamma ^ { ( j + s ^ { ( a ) } + s ^ { ( b ) } ) } \le O ( 1 ) \gamma ^ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \eta ^ { \top } { \bf w } ( \sigma ) } & { = } & { \frac 1 { \beta } \Big ( \eta ^ { \top } V ^ { - 1 } \eta + \lambda \eta ^ { \top } V ^ { - 1 } { \bf 1 } _ { n } \Big ) } \\ & { = } & { \frac 1 { \beta } \left( \eta ^ { \top } V ^ { - 1 } \eta + \frac { { \bf 1 } _ { n } ^ { \top } V ^ { - 1 } \eta } { { \bf 1 } _ { n } ^ { \top } V ^ { - 1 } { \bf 1 } _ { n } } \beta - \frac { ( { \bf 1 } _ { n } ^ { \top } V ^ { - 1 } \eta ) ^ { 2 } } { { \bf 1 } _ { n } ^ { \top } V ^ { - 1 } { \bf 1 } _ { n } } \right) } \\ & { = } & { \frac 1 { \beta } \left( \eta ^ { \top } V ^ { - 1 } \eta - \frac { ( { \bf 1 } _ { n } ^ { \top } V ^ { - 1 } \eta ) ^ { 2 } } { { \bf 1 } _ { n } ^ { \top } V ^ { - 1 } { \bf 1 } _ { n } } \right) + \frac { { \bf 1 } _ { n } ^ { \top } V ^ { - 1 } \eta } { { \bf 1 } _ { n } ^ { \top } V ^ { - 1 } { \bf 1 } _ { n } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { i j h l } = \bigg \langle J _ { i j } ( \boldsymbol { x } _ { 0 } ) J _ { h l } ( \boldsymbol { y } _ { 0 } ) \big [ 1 - i \tau \beta \sigma - \frac { \tau ^ { 2 } \beta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 2 ! } \big ] \bigg \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( t ) } & { { } \lesssim \left( \frac { S _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } - \frac { p } { 4 } } } { \left( 1 + S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } } t \right) ^ { \frac { 1 } { p } - \frac { 1 } { 2 } } } + Z _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - \frac { t } { 2 C } } + \frac { S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } } } { \left( 1 + S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } } t \right) ^ { \frac { 1 } { p } } } \right) \left( \left( W _ { 0 } + Z _ { 0 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - \frac { t } { 4 C } } + \frac { S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } } } { \left( 1 + S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } } t \right) ^ { \frac { 1 } { p } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r _ { j + 1 } \leq r \leq r _ { j } \} } \mathcal { E } _ { 2 } [ \widehat { \phi } ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r \leq } & { \: C 2 ^ { - j } ( 1 + \tau ) ^ { - 1 + \epsilon } [ ( 2 ^ { j } ( 1 + \tau ) + B ) ^ { 2 \epsilon } + ( 1 + \tau ) ^ { - 1 + \nu _ { m } + \delta } ] D ^ { ( 1 ) } [ \phi ] } \\ { \leq } & { \: C 2 ^ { - ( 1 - \epsilon ) j } ( 1 + \tau ) ^ { - 1 + \nu _ { m } + \delta } D ^ { ( 1 ) } [ \phi ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { t } = \left\{ \begin{array} { l l } { 4 \mathrm { ~ f o r ~ } t \in [ 5 0 \ell , 5 0 \ell + 4 9 ] \quad \ell = 0 , 2 , 4 , \ldots } \\ { 0 \mathrm { ~ o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \\ & { V _ { 0 } ^ { \top } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 0 . 8 } & { 0 . 2 3 1 4 } & { 0 . 6 9 1 8 } & { - 0 . 6 2 4 5 } & { 0 . 0 0 9 5 } & { 0 . 0 2 1 4 } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Delta \mathbf { E } = \xi ^ { - 1 } \left( \frac { m c } { q } \dot { \vec { p } } ^ { + } - \sum _ { j = 1 } ^ { M } c _ { j } \mathbf { E } _ { j } \right) , } \\ & { \Delta \mathbf { E } _ { j } = c _ { j } \Delta \mathbf { E } , } \\ & { \Delta \mathbf { r } = - \frac { V _ { g } } { 4 \pi q } \Delta \mathbf { E } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } P _ { \mathbf { a } } ( t , x ; s , y ) - \nabla \cdot \mathbf { a } \nabla P _ { \mathbf { a } } ( t , x ; s , y ) } & { = 0 } & { ~ ~ \mathrm { f o r } } & { ~ ~ ( t , x ) \in ( 0 , \infty ) \times \mathbb { T } _ { L } , } \\ { P _ { \mathbf { a } } ( s , x ; s , y ) } & { = \delta _ { y } ( x ) - \frac { 1 } { \left| \mathbb { T } _ { L } \right| } } & { ~ ~ \mathrm { f o r } } & { ~ ~ x \in \mathbb { T } _ { L } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { I _ { i a , c d n } ^ { \mathrm { ~ h ~ h ~ } } } & { { } = \delta _ { a c } M _ { d i , n } ^ { \mathrm { ~ h ~ h ~ } } } & { J _ { i a , c d n } ^ { \mathrm { ~ h ~ h ~ } } } & { { } = \delta _ { a d } M _ { c i , n } ^ { \mathrm { ~ h ~ h ~ } } } \\ { K _ { i a , k l n } ^ { \mathrm { ~ p ~ p ~ } } } & { { } = \delta _ { i l } M _ { a k , n } ^ { \mathrm { ~ p ~ p ~ } } } & { L _ { i a , k l n } ^ { \mathrm { ~ p ~ p ~ } } } & { { } = \delta _ { i k } M _ { a l , n } ^ { \mathrm { ~ p ~ p ~ } } } \end{array}
a ( s ) \varphi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( s ) < - \frac { a ^ { 2 } ( s ) \varphi _ { \epsilon } ( s ) } { n - 1 } \phantom { - } \quad \mathrm { a n d } \quad - \varphi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) \varphi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( s ) < \frac { a ( s ) \varphi _ { \epsilon } ( s ) \varphi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) } { n - 1 } \cdot
\ln 2 = \cot ( { \operatorname { a r c c o t } ( 0 ) - \operatorname { a r c c o t } ( 1 ) + \operatorname { a r c c o t } ( 5 ) - \operatorname { a r c c o t } ( 5 5 ) + \operatorname { a r c c o t } ( 1 4 1 8 7 ) - \cdots } ) .
\begin{array} { c } { i \sum _ { k , l \in \mathbb { Z } } \partial _ { t } r _ { k , l } ( t ) e ^ { 2 \pi i \frac { k x + l y } L } + \frac { p } 2 \sum _ { k , l \in \mathbb { Z } } r _ { k , l } ( t ) \left( ( 2 \pi i \frac { k } L ) ^ { 2 } - ( 2 \pi i \frac { l } L ) ^ { 2 } \right) e ^ { 2 \pi i \frac { k x + l y } L } + } \\ { + q \left( \sum _ { n \in \mathbb { Z } } P _ { n } e ^ { 2 \pi i \frac { n ( x - y ) } L } \right) \left( \sum _ { k , l \in \mathbb { Z } } r _ { k , l } ( t ) \left[ e ^ { 2 \pi i \frac { k + l } L x } - e ^ { 2 \pi i \frac { k + l } L y } \right] \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| D ( x _ { 1 } ) \nabla f ( x _ { 1 } ) - D ( x _ { 2 } ) \nabla f ( x _ { 2 } ) \| } & { \leq \| \nabla f ( x _ { 1 } ) \| \| D ( x _ { 1 } ) - D ( x _ { 2 } ) \| + \| D ( x _ { 2 } ) \| \| \nabla f ( x _ { 1 } ) - \nabla f ( x _ { 2 } ) \| } \\ & { \leq \| \nabla f ( x _ { 1 } ) \| L _ { D } ( x _ { 1 } ) \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| + \frac { \| B ( x _ { 2 } ) \| } { \mu } L _ { \nabla f } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| } \\ & { \leq \frac { \| B ( x _ { 1 } ) \| } { \mu } L _ { \nabla f } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| + \frac { L _ { B } } { \mu } L _ { \nabla f } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| ^ { 2 } + \| \nabla f ( x _ { 1 } ) \| L _ { D } ( x _ { 1 } ) \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { x } ( t ) } & { { } = \sum _ { i } \Biggl \{ \frac { c _ { i } \sqrt { \dot { \gamma } - \omega _ { i } } } { 4 \omega _ { i } \sqrt { \omega _ { i } } } p _ { i x } ( 0 ) \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 2 } t } - e ^ { \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) + \Bigl [ - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { \omega _ { i } ^ { 2 } } Q _ { x } ( 0 ) + \frac { c _ { i } } { 4 } q _ { i x } ( 0 ) + \frac { c _ { i } } { 4 \omega _ { i } } p _ { y } ( 0 ) \Bigr ] \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } t } + e ^ { - \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } \left( \operatorname { C a } _ { \operatorname { r m s } } \right) } & { = \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , . . . , N _ { s } \} } \operatorname { C a } _ { \operatorname { r m s } , i } } \\ { \operatorname* { m a x } \left( \operatorname { C a } _ { \operatorname* { m a x } } \right) } & { = \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , . . . , N _ { s } \} } \operatorname { C a } _ { \operatorname* { m a x } , i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Psi _ { N } | f _ { l \sigma } ^ { \dagger } f _ { l \sigma ^ { \prime } } ^ { \phantom { \dagger } } | \Psi _ { N } \rangle } & { { } = \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \frac { 2 k _ { \mathrm { m a x } } + 1 } { L } } \end{array}
\bar { \cal L } _ { c } = - \frac { 1 - \rho ^ { 2 } } 4 \left( \bar { f } _ { \mu \nu } ^ { i } \right) ^ { 2 } - \frac 1 4 \left( \bar { B } _ { \mu \nu } ^ { i } \right) ^ { 2 } + \frac i 2 \rho \bar { B } _ { \mu \nu } ^ { i } { } ^ { \ast } \! \bar { f } ^ { \mu \nu i } - \frac 1 { 2 \beta } \left( \partial ^ { \mu } \bar { A } _ { \mu } ^ { i } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { a = - \frac { 2 } { 2 - \frac { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } { b _ { 0 } } } \left( b _ { 0 } + \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) - \frac { 2 b _ { 0 } ^ { 2 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } \right) } \\ & { b = 2 \left( 1 - \frac { 2 b _ { 0 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } \right) } \\ & { c = \frac { 4 b _ { 0 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } \left( 1 - \frac { b _ { 0 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } \right) } \end{array}
\nabla _ { \boldsymbol { \theta } } \mathcal { L } ( \hat { u } ( \boldsymbol { \hat { \gamma } } ( \boldsymbol { \theta } ) ) ) = \underbrace { \nabla _ { \boldsymbol { \hat { \gamma } } } \mathcal { L } ( \hat { u } ( \boldsymbol { \hat { \gamma } } ) ) } _ { \mathrm { ~ \normalfont ~ a ~ d ~ j ~ o ~ i ~ n ~ t ~ m ~ e ~ t ~ h ~ o ~ d ~ } } \quad \cdot \underbrace { \nabla _ { \boldsymbol { \theta } } \boldsymbol { \hat { \gamma } } ( \boldsymbol { \theta } ) } _ { \mathrm { ~ \normalfont ~ a ~ u ~ t ~ o ~ m ~ a ~ t ~ i ~ c ~ d ~ i ~ f ~ f ~ e ~ r ~ e ~ n ~ t ~ i ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } }
\left\{ \begin{array} { l l } { a = \frac { 1 } { \lambda } } \\ { b = - \frac { L / 2 } { \lambda } + \ln { \left( \sqrt { \frac { \xi _ { \textrm { r } } } { \xi _ { \textrm { l } } } } \right) } \ . } \end{array} \right.
\omega _ { i } ^ { \star } = \left\{ \begin{array} { l l } { \eta \exp \{ - \jmath \left( \theta \left( g _ { i } \right) - \theta \left( f \right) \right) \} , \quad } & { i \in { \ensuremath { \mathcal { A } } } , } \\ { \exp \{ - \jmath \left( \theta \left( g _ { i } \right) - \theta \left( f \right) \right) \} , \quad } & { i \in { \ensuremath { \mathcal { A } } } ^ { c } , } \end{array} \right.
B ^ { n + 1 } ( T ) = B ^ { n } ( T ) f + ( 1 - f ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 4 \pi } \frac { \sigma _ { a , \nu ^ { \prime } } } { \sigma _ { a , p } ( T ) } \frac { I ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \Omega } ^ { \prime } , \nu ^ { \prime } , t ) } { 4 \pi } \boldsymbol { d \Omega } ^ { \prime } d \nu ^ { \prime }
{ \bf F _ { 0 } } ( \omega , \alpha _ { s } ) = \frac { 4 \pi \alpha _ { s } } { \omega } { \bf M _ { 0 } } - \frac { 2 \alpha _ { s } } { \pi \omega ^ { 2 } } { \bf F _ { 8 } } ( \omega , \alpha _ { s } ) { \bf G _ { 0 } } + \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } \omega } { \bf F _ { 0 } ^ { 2 } } ( \omega , \alpha _ { s } )
m _ { \pm } ^ { 2 } \Theta _ { \theta \, \pm } ^ { \prime } = - \frac { g ^ { 2 } \theta ^ { \prime } } { \Lambda } \left( \Big ( \Lambda \pm ( | m _ { 2 } | ^ { 2 } + | \tilde { \mu } | ^ { 2 } ) \Big ) \frac { h _ { 1 } ^ { 2 } h _ { 2 } ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } \mp \Re \big ( \tilde { \mu } m _ { 2 } e ^ { i \theta } \big ) h _ { 1 } h _ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \widehat { \sigma } \circ ( x , y , z ) } & { = ( y , x , \kappa \circ \sigma \circ ( \nabla ( \varrho x , y ) + _ { p \circ \pi _ { 1 } } \mu ( y , z ) ) ) } \\ & { = ( y , x , \kappa \circ \sigma \circ \nabla ( \varrho x , y ) + _ { \pi } \kappa \circ \sigma \circ \mu ( y , z ) ) } \\ & { = ( y , x , \kappa \circ \sigma \circ \nabla ( \varrho x , y ) + _ { \pi } \kappa \circ \nu \circ ( y , z ) ) } \\ & { = ( y , x , \kappa \circ \sigma \circ \nabla ( \varrho x , y ) + _ { \pi } z ) } \\ & { = : ( y , x , \langle x , y \rangle + _ { \pi } z ) } \end{array}
\tilde { \Lambda } _ { a } \underbrace { \frac { \partial w _ { a } ( \tilde { \mathfrak { z } } ) } { - \partial \boldsymbol { n } } } _ { < 0 } = \tilde { \Lambda } _ { b } \underbrace { \frac { \partial w _ { b } ( \tilde { \mathfrak { z } } ) } { \partial \boldsymbol { n } } } _ { > 0 } .
\begin{array} { r l } { \delta _ { 1 } ^ { \prime } \circ \psi ^ { \epsilon } } & { \mathrm { ~ o f ~ } \delta _ { 1 } c ( G _ { 2 } , G _ { 3 } , 4 , 2 ) , \ \delta _ { 1 } ^ { \prime } \circ \mu ^ { - } \mathrm { ~ o f ~ } \delta _ { 1 } c ( G _ { 2 } , 2 , 4 ) , \ } \\ { \delta _ { 1 } ^ { \prime } \circ \psi ^ { - } } & { \mathrm { ~ o f ~ } \delta _ { 1 } c ( G _ { 2 } , G _ { 3 } , 4 , 1 ) , \mathrm { ~ a n d ~ } \delta _ { 2 } ^ { \prime } \circ \psi ^ { - } \mathrm { ~ o f ~ } \delta _ { 2 } c ( G _ { 3 } , G _ { 4 } , 1 , 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathrm { T r } C _ { A } ^ { n } \rangle } & { = \langle \mathrm { T r } ( V ^ { \dagger } V ) ^ { n } \rangle } \\ & { = \sum _ { \lbrace i _ { k } \rbrace = 1 } ^ { N } \int d U U _ { i _ { 1 } i _ { 2 } } ^ { \dagger } U _ { i _ { 2 } i _ { 3 } } U _ { i _ { 3 } i _ { 4 } } ^ { \dagger } U _ { i _ { 4 } i _ { 5 } } \cdots U _ { i _ { 2 n - 1 } i _ { 2 n } } ^ { \dagger } U _ { i _ { 2 n } i _ { 1 } } } \\ & { = \sum _ { \lbrace i _ { k } \rbrace = 1 } ^ { N } \int d U \left[ \prod _ { k = 1 } ^ { 2 n } s ( i _ { k } ) \right] U _ { p ( i _ { 2 } ) p ( i _ { 1 } ) } U _ { i _ { 2 } i _ { 3 } } U _ { p ( i _ { 4 } ) p ( i _ { 3 } ) } U _ { i _ { 4 } i _ { 5 } } \cdots U _ { p ( i _ { 2 n } ) p ( i _ { 2 n - 1 } ) } U _ { i _ { 2 n } i _ { 1 } } } \\ & { = \sum _ { \lbrace i _ { k } , j _ { k } \rbrace = 1 } ^ { N } \int d U \left[ \prod _ { k = 1 } ^ { 2 n } s ( i _ { k } ) \right] U _ { i _ { 1 } j _ { 1 } } U _ { i _ { 2 } j _ { 2 } } \cdots U _ { i _ { n } j _ { n } } U _ { i _ { n + 1 } j _ { n + 1 } } \cdots U _ { i _ { 2 n } j _ { 2 n } } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \delta _ { i _ { 1 } , p ( i _ { n + 1 } ) } \cdots \delta _ { i _ { n } , p ( i _ { 2 n } ) } \delta _ { j _ { 1 } , p ( j _ { n + 2 } ) } \cdots \delta _ { j _ { n - 1 } , p ( j _ { 2 n } ) } \delta _ { j _ { n } , p ( j _ { n + 1 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \bar { \mathcal { F } } , \bar { \mathcal { G } } \} _ { D } ( \omega , \phi _ { \partial } , \Sigma ) = } & { \int _ { \Omega } \frac { \delta \bar { \mathcal { G } } } { \delta \omega } \wedge d \ast \Big ( \big ( ( - 1 ) ^ { n - 1 } \ast d ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } ) + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \big ) \wedge \ast \omega \Big ) } \\ & { + \int _ { \Omega } d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { G } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \wedge \Big ( \big ( \ast d ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } ) + ( - 1 ) ^ { n - 1 } d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \big ) \wedge \ast \omega } \\ & { + \ast [ \delta N _ { \beta } ( \omega ) , d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) ] _ { 1 } } \\ & { + \ast d \big ( \mathrm { l i } ( E ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } ) ) + ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { l i } ( \langle d N _ { \phi } ( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \phi _ { \partial } } ) , \delta N _ { \beta } ( \omega ) \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } ) \big ) \Big ) } \\ & { - \int _ { \Sigma } \frac { \delta \bar { \mathcal { G } } } { \delta \Sigma } \wedge \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } - \int _ { \Gamma } E ( \frac { \delta \bar { \mathcal { G } } } { \delta \Sigma } ) \wedge \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \varepsilon } ( \Omega , X ) : = P ( \Omega ) + \gamma \varepsilon ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \varepsilon } - 1 } \sum _ { j = i + 1 } ^ { N _ { \varepsilon } } { \frac { 1 } { | x _ { i } - x _ { j } | } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Omega } ( \beta ) } & { = \frac { 1 } { t } { \sum _ { \tau = 1 } ^ { t } } \Big ( d ( { \theta ^ { \tau } } , \beta ) - \frac { 1 } { t } \sum _ { s = 1 } ^ { t } d ( \theta ^ { s } , \beta ) \Big ) ^ { \otimes 2 } } \\ { \Omega ( \beta ) } & { = { \mathbb E } [ ( \nabla f ( \theta , \beta ) - \nabla { \bar { f } } ( \beta ) ) ^ { \otimes 2 } ] } \end{array}