harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { W _ { 1 } ( \rho , \sigma ( \beta , x ) ) } \\ & { \qquad \le R \sqrt { 2 } \, \sum _ { i } \sqrt { D _ { \mathbb { M } } ( \sigma ( A , i ) \| \sigma ( A , i + 1 ) ) } + \sqrt { D _ { \mathbb { M } } ( \sigma ( B , i ) \| \sigma ( B , i + 1 ) ) } \, + n \, \| \mathcal { F } ( \rho ) - \sigma ( \beta , x ) \| _ { 1 } } \\ & { \qquad \le 2 R \sqrt { M } \, \left( \sum _ { i } D _ { \mathbb { M } } ( \sigma ( A , i ) \| \sigma ( A , i + 1 ) ) + D _ { \mathbb { M } } ( \sigma ( B , i ) \| \sigma ( B , i + 1 ) ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + n \| \mathcal { F } ( \rho ) - \sigma ( \beta , x ) \| _ { 1 } } \\ & { \qquad \overset { ( 1 ) } { \le } 2 R \sqrt { M } \, \sqrt { D ( \rho \| \sigma ( \beta , x ) ) } + n \| \mathcal { F } ( \rho ) - \sigma ( \beta , x ) \| _ { 1 } } \\ & { \qquad \overset { ( 2 ) } { \le } 2 R \sqrt { M } \, \sqrt { D ( \rho \| \sigma ( \beta , x ) ) } + n ^ { 2 } \big ( \delta ( \mathcal { O } ( R ) ) + \zeta ( \mathcal { O } ( R ) ) + C _ { 1 } e ^ { - c _ { 2 } R } \big ) \, , } \end{array}
\frac { \delta ^ { ( 3 ) } a _ { \mu } ^ { a } } { \delta \omega ^ { b } } = - i ( T ^ { c } a ^ { c } ) ^ { a b } , \quad \frac { \delta ^ { ( 3 ) } B _ { \mu } ^ { a } } { \delta \omega ^ { b } } = D _ { \mu } ( B ) ^ { a b }
C _ { l } = \overbrace { \vphantom { \int } \pi \left( \dot { \alpha } - a \ddot { \alpha } \right) } ^ { \mathrm { ~ a ~ d ~ d ~ e ~ d ~ - ~ m ~ a ~ s ~ s ~ } } + \overbrace { 2 \pi \int _ { 0 } ^ { s _ { c } } \frac { \mathrm { ~ d ~ } \phi ( \sigma ) } { \mathrm { ~ d ~ } \sigma } \left( \alpha ( s _ { c } - \sigma ) + \left( \frac { 1 } { 2 } - a \right) \dot { \alpha } ( s _ { c } - \sigma ) \right) \, \mathrm { ~ d ~ } \sigma } ^ { \mathrm { ~ c ~ i ~ r ~ c ~ u ~ l ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } ,
\begin{array} { r l r } { Q _ { 0 } ( z ) } & { = } & { \frac { 1 } { 1 6 } \left( - 5 + 1 0 5 z ^ { 2 } - 3 1 5 z ^ { 4 } + 2 3 1 z ^ { 6 } \right) , } \\ { Q _ { 1 } ( z ) } & { = } & { \frac { 1 5 } { 1 6 } \left( 1 - z ^ { 2 } \right) \left( 1 - 1 8 z ^ { 2 } + 3 3 z ^ { 4 } \right) , } \\ { Q _ { 2 } ( z ) } & { = } & { \frac { 3 } { 2 } \left( 1 - z ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( - 1 + 1 1 z ^ { 2 } \right) , } \\ { Q _ { 3 } ( z ) } & { = } & { \left( 1 - z ^ { 2 } \right) ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 7 } ^ { 2 } = \left[ t r ( S _ { i j } ^ { 2 } W _ { i j } ^ { 2 } S _ { i j } W _ { i j } ) \right] ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 6 4 } ( e _ { 2 } - e _ { 1 } ) ^ { 2 } ( e _ { 3 } - e _ { 2 } ) ^ { 2 } ( e _ { 1 } - e _ { 3 } ) ^ { 2 } w _ { 1 } ^ { 2 } w _ { 2 } ^ { 2 } w _ { 3 } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 1 2 8 } [ 2 K _ { 1 } ^ { 3 } I _ { 3 } + 2 K _ { 1 } K _ { 2 } I _ { 3 } J _ { 3 } + 2 K _ { 1 } ^ { 2 } K _ { 3 } I _ { 3 } J _ { 1 } } \\ & { \quad + K _ { 1 } K _ { 2 } ^ { 2 } ( J _ { 2 } ^ { 2 } - J _ { 1 } J _ { 3 } - I _ { 3 } J _ { 2 } + J _ { 2 } I _ { 2 } ) } \\ & { \quad + 2 K _ { 1 } K _ { 2 } K _ { 3 } ( J _ { 1 } J _ { 2 } - J _ { 3 } ) + 2 K _ { 1 } K _ { 3 } ^ { 2 } I _ { 2 } + K _ { 3 } ^ { 2 } I _ { 3 } } \\ & { \quad + 2 K _ { 2 } ^ { 2 } K _ { 3 } I _ { 2 } + 2 K _ { 2 } K _ { 3 } ^ { 2 } I _ { 1 } + 2 K _ { 3 } ^ { 3 } ] , } \end{array}
\beta - \beta _ { c } \; \approx \; { \frac { k ^ { 2 } } { 4 } } \left[ \ln { \frac { 4 } { k ^ { \prime } } } \ln { \frac { 2 } { k ^ { \prime } } } + { \frac { 1 } { 2 } } \ln { \frac { 2 } { k ^ { \prime } } } + { \frac { 1 } { 2 } } \right] \; ,
\begin{array} { r l } { \frac { d f _ { 1 } } { d t } ( t ) = \, } & { \Phi _ { 1 } ( f _ { 1 } ( t ) , \hdots , f _ { n } ( t ) ) , } \\ { \frac { d f _ { 2 } } { d t } ( t ) = \, } & { \Phi _ { 2 } ( f _ { 1 } ( t ) , \hdots , f _ { n } ( t ) ) , } \\ { \vdots } \\ { \frac { d f _ { n } } { d t } ( t ) = \, } & { \Phi _ { n } ( f _ { 1 } ( t ) , \hdots , f _ { n } ( t ) ) . } \end{array}
\tilde { \lambda } ^ { B , T } ( x , y ) = \frac { 1 } { H } \left| \langle T _ { s a } \left( 0 , H \right) - T _ { s a } \left( H / 2 \right) \rangle _ { A , t } \right| \left| \frac { \partial \langle T _ { s a } \rangle _ { A , t } } { \partial z } \right| _ { z = 0 , H } ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { 1 } ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) = } & { \mathbb { E } [ \varepsilon _ { 1 } x _ { 1 , l _ { 1 } } \varepsilon _ { 1 } x _ { 1 , l _ { 2 } } ] = \sigma ^ { 2 } \Sigma _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } } , } \\ { \sigma _ { 2 } ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) = } & { \mathbb { E } [ ( \varepsilon _ { 1 } x _ { 2 , l _ { 1 } } + \varepsilon _ { 2 } x _ { 1 , l _ { 1 } } ) ( \varepsilon _ { 1 } x _ { 2 , l _ { 2 } } + \varepsilon _ { 2 } x _ { 1 , l _ { 2 } } ) ] = 2 \sigma ^ { 2 } \Sigma _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } } = 2 \sigma _ { 1 } ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) . } \end{array}
A \approx \exp [ 2 i \delta _ { l } ( E _ { 0 } ) - 2 i \delta _ { l } ^ { \prime } ( E _ { 0 } ) E _ { 0 } ] \, \int { d E \left| { f ( E ) } \right| ^ { 2 } \exp [ 2 i \delta _ { l } ^ { \prime } ( E _ { 0 } ) E ] }
\begin{array} { r l r } { \tau ( 1 s _ { 1 } s _ { 1 } 1 ) } & { = } & { \gamma ( 1 , s _ { 1 } ) \gamma ( \overline { { s _ { 1 } } } , s _ { 1 } ) = 1 , } \\ { \tau ( s _ { 1 } s _ { 1 } s _ { 1 } s _ { 1 } ) } & { = } & { ( \gamma ( 1 , s _ { 1 } ) \gamma ( s _ { 1 } , s _ { 1 } ) ) ^ { 2 } = 1 , } \\ { \tau ( \rho _ { 1 } s _ { 1 } s _ { 1 } \rho _ { 1 } ) } & { = } & { \gamma ( 1 , \rho _ { 1 } ) \gamma ( \rho _ { 1 } , s _ { 1 } ) \gamma ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } , s _ { 1 } ) \gamma ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 1 } ) = 1 , } \\ { \tau ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } ( s _ { 1 } s _ { 1 } ) \rho _ { 1 } s _ { 1 } ) } & { = } & { \gamma ( 1 , s _ { 1 } ) \gamma ( s _ { 1 } , \rho _ { 1 } ) \gamma ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } , s _ { 1 } ) \gamma ( \rho _ { 1 } , s _ { 1 } ) \gamma ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } , \rho _ { 1 } ) \gamma ( s _ { 1 } , s _ { 1 } ) = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta V _ { \mathrm { f n s , o u t } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( r ) = - \frac { 3 Z \alpha B _ { 1 } \sqrt { C _ { 1 } } } { r R ^ { 3 } } \left[ \sqrt { C _ { 1 } } R \, D _ { 3 } ^ { + } ( r , R ) - C _ { 1 } D _ { 4 } ^ { - } ( r , R ) \right] . } \end{array}
M _ { n } = \left( \begin{array} { c c } { X _ { L } ^ { - 1 } [ G _ { v v } K _ { w v } ^ { - 1 } G _ { w w } - K _ { v w } ] } & { - X _ { L } ^ { - 1 } G _ { v v } K _ { w v } ^ { - 1 } X _ { R } } \\ { K _ { w v } ^ { - 1 } G _ { w w } } & { - K _ { w v } ^ { - 1 } X _ { R } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { W _ { i } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } = 1 | { \bf x } ^ { t } \right) } & { { } = x _ { i } ^ { t } + \left( 1 - x _ { i } ^ { t } \right) \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \prod _ { j } \left( 1 - \lambda _ { j i } ^ { t } x _ { j } ^ { t } \right) \right] , } \\ { W _ { i } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } = 0 | { \bf x } ^ { t } \right) } & { { } = \left( 1 - x _ { i } ^ { t } \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \prod _ { j } \left( 1 - \lambda _ { j i } ^ { t } x _ { j } ^ { t } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { b } ( \theta _ { D C } ) } & { = \sum _ { z = 0 } ^ { b } \left( - 1 \right) ^ { z } { \binom { b } { z } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left[ z _ { L } \; p _ { \mathrm { { L O S } } } ^ { b } ( r _ { x } ) + \right. } \\ & { \left. z _ { N } \; \left( 1 - p _ { \mathrm { L O S } } \left( r _ { x } \right) \right) ^ { b } \right] \; \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \eta ^ { 2 } } } \exp \left( \frac { - r _ { x } ^ { 2 } } { 2 \eta ^ { 2 } } \right) d r _ { x } , } \end{array}
C _ { L } ( \boldsymbol { k } , t ) = \frac { 1 } { N } \langle [ \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { j } ( \boldsymbol { k } , t ) ] [ \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { j } ( - \boldsymbol { k } , 0 ) ] \rangle ,
\begin{array} { r l } { N _ { \mathrm { p } } } & { = N _ { \mathrm { e n c } } \times N _ { \mathrm { i n } } + N _ { \mathrm { d e c } } \times N _ { \mathrm { e n c } } + N _ { \mathrm { e n c } } + N _ { \mathrm { d e c } } } \\ & { = N _ { \mathrm { e n c } } ( N _ { \mathrm { i n } } + N _ { \mathrm { d e c } } + 1 ) + N _ { \mathrm { d e c } } , } \end{array}
U ( t , t ^ { \prime } ) = \prod _ { n = 1 } ^ { N } \exp \left( - \frac { i } { \hbar } \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t } V ( \widehat { x } + c t ^ { \prime \prime } - x _ { n } ) d t ^ { \prime \prime } \left[ \sigma _ { + } ^ { ( n ) } \exp \left( - i \frac { \omega } { c } \widehat { x } \right) + \mathrm { h . c . } \right] \right) .
\begin{array} { r } { { \frac { \partial g _ { n } } { \partial \phi } } ^ { H } = \mathrm { ~ r ~ e ~ a ~ l ~ } ( - 4 \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( - j e ^ { - j \phi } ) { { \bf A } _ { n } } ^ { H } \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( { { \bf A } _ { n } } e ^ { j \phi } ) ( { \bf { I } } _ { n } ^ { z _ { d } } - \left| { { \bf A } _ { n } } e ^ { j \phi } \right| ^ { 2 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbb { E } } \left\{ \left( \| U _ { i } \| ^ { 2 } - p \right) ^ { 2 } \right\} } & { = } & { { \mathbb { E } } ( \| U _ { i } \| ^ { 4 } - 2 p \| U _ { i } \| ^ { 2 } + p ^ { 2 } ) } \\ & { = } & { p { \mathbb { E } } ( U _ { i , j } ^ { 4 } ) + p ( p - 1 ) - 2 p ^ { 2 } + p ^ { 2 } } \\ & { = } & { O ( p ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { \mathrm { B T } } ( \Lambda ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { \nu _ { 0 } } ^ { \Lambda } \mathrm { d } \nu \left[ \frac { \sigma _ { L } ( \nu , Q ^ { 2 } ) } { Q ^ { 2 } } \right] _ { Q ^ { 2 } \to 0 } , } \\ { I _ { \mathrm { B a l d i n } } ( \Lambda ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { \nu _ { 0 } } ^ { \Lambda } \mathrm { d } \nu \frac { \sigma _ { T } ( \nu ) } { \nu ^ { 2 } } . } \end{array}
E = \frac { m } { n e ^ { 2 } } \left( \overbrace { \frac { \partial j _ { \mathrm { e } } } { \partial t } } ^ { \mathrm { 1 } } + \overbrace { \nu _ { \mathrm { c } } j _ { \mathrm { e } } } ^ { \mathrm { 2 } } + \overbrace { j _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } \frac { 1 } { e n ^ { 2 } } \frac { \partial n } { \partial x } } ^ { \mathrm { 3 } } - \overbrace { j _ { \mathrm { t h } } ^ { 2 } \frac { 1 } { e n ^ { 2 } } \frac { \partial n } { \partial x } } ^ { \mathrm { 4 } } \right) .
\begin{array} { r l } & { \displaystyle \Delta t \nu | | \nabla \mathbf { v } _ { h } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } + \Delta t \gamma | | \mathbf { M } _ { h } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } | | \nabla \mathbf { F } _ { h } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } } \\ & { \displaystyle + \frac { \lambda } { 2 } \left| \left| \nabla \left( \mathbf { F } _ { h } ^ { n + 1 } - \mathbf { F } _ { h } ^ { n } \right) \right| \right| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } + \Delta t \int _ { \Omega } b \left( \phi _ { h } ^ { n } \right) \nabla \mu _ { h } ^ { n + 1 } \cdot \nabla \mu _ { h } ^ { n + 1 } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } | | \nabla \phi _ { h } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left| \left| \nabla \left( \phi _ { h } ^ { n + 1 } - \phi _ { h } ^ { n } \right) \right| \right| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } + \left( \beta _ { h } ^ { n + 1 } \right) ^ { 2 } + \left( \beta _ { h } ^ { n + 1 } - \beta _ { h } ^ { n } \right) ^ { 2 } } \\ & { \displaystyle = \frac { \lambda } { 2 } | | \nabla \mathbf { F } _ { h } ^ { n } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | | \nabla \phi _ { h } ^ { n } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } + \left( \beta _ { h } ^ { n } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
{ \boldsymbol { \mathsf { E } } } ^ { \infty } = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ { \boldsymbol { \nabla } } \mathbf { u } ^ { \infty } + ( { \boldsymbol { \nabla } } \mathbf { u } ^ { \infty } ) ^ { \mathrm { T } } \right]
- D _ { \mu } D _ { \mu } G ( x , y ) = 2 v ( x ) ^ { \dagger } \Bigl ( 2 b f ( x ) b ^ { \dagger } G ^ { ( 0 ) } ( x , y ) - \partial _ { \mu } P ( x ) \partial _ { \mu } G ^ { ( 0 ) } ( x , y ) \Bigr ) v ( y ) + \delta ( x - y )
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \boldsymbol { \sigma } ( \mathbf { u } ) = 0 \quad } & { { } \mathrm { i n } \; \Omega } \\ { \mathbf { u } = \mathbf { u } _ { b } \quad } & { { } \mathrm { o n } \; \partial \Omega . } \end{array}
\Lambda _ { e f f } ^ { 2 } = \frac { 1 } { \Theta k ^ { 2 } + 1 / \Lambda ^ { 2 } } \approx \Lambda ^ { 2 } \biggl ( 1 - \frac { \theta ^ { 2 } k ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } + \frac { \theta ^ { 4 } k ^ { 4 } } { \Lambda ^ { 4 } } \biggr ) .
S _ { \mathrm { e f f } } = \int d ^ { 4 } x \left\{ \bar { T } \tilde { \cal A } _ { \Delta } T + \bar { N } \tilde { \cal A } _ { N } N + \left[ \bar { T } \tilde { \cal A } _ { \Delta N } N + h . c . \right] \right\}
\begin{array} { r } { \tilde { A } _ { c _ { i } , c _ { j } } ^ { s } = \left\{ \begin{array} { l l } { u _ { { c _ { i } } \leftarrow { c _ { j } } } ^ { s } } & { \mathrm { i f ~ } c _ { i } \neq c _ { j } \in ~ \mathrm { s t r u c t u r e ~ l a y e r } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \\ { \tilde { A } _ { c _ { i } , c _ { j } } ^ { f } = \left\{ \begin{array} { l l } { u _ { { c _ { i } } \leftarrow { c _ { j } } } ^ { f } } & { \mathrm { i f ~ } c _ { i } \neq c _ { j } \in ~ \mathrm { f l u i d ~ l a y e r } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { \emptyset } ^ { ( \alpha ) } ( x ) } & { = \rho _ { j } \langle \underline { { w } } ( \alpha ) , \underline { { v } } _ { j } \rangle \cdot x + \rho _ { j } \langle \underline { { w } } ( \alpha ) , \underline { { t } } _ { j } \rangle \mathrm { ~ a n d } } \\ { g _ { i } ^ { ( \alpha ) } ( x ) } & { = \rho _ { j } \langle \underline { { w } } ( \alpha ) , A _ { i } \underline { { v } } _ { j } \rangle \cdot x + \rho _ { j } \langle \underline { { w } } ( \alpha ) , A _ { i } \underline { { t } } _ { j } + \underline { { t } } _ { i } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 4 \pi R L + 2 \pi R _ { \mathrm { n e c k } } L _ { \mathrm { n e c k } } } & { { } , } & { \mathrm { C y l i n d e r } } \\ { 8 \pi R ^ { 2 } + 2 \pi R _ { \mathrm { n e c k } } L _ { \mathrm { n e c k } } } & { { } , } & { \mathrm { S p h e r e } } \\ { 1 6 \pi R ^ { 2 } + 2 \pi R _ { \mathrm { n e c k } } L _ { \mathrm { n e c k } } } & { { } , } & { \mathrm { V e s i c l e } } \end{array}
\varepsilon _ { \mu \nu \lambda \rho } \partial _ { \lambda } \partial _ { \rho } \theta _ { a } ^ { \mathrm { s i n g } } ( x ) = 2 \pi \Sigma _ { \mu \nu } ^ { a } ( x ) \equiv 2 \pi \int _ { \Sigma _ { a } } ^ { } d \sigma _ { \mu \nu } \left( x ^ { ( a ) } ( \xi ) \right) \delta \left( x - x ^ { ( a ) } ( \xi ) \right) .
\dot { x } ^ { \mu } = 1 / 2 [ \acute { \psi } _ { + } ^ { \mu } ( \tau + \sigma ) + \acute { \psi } _ { - } ^ { \mu } ( \tau - \sigma ) ] ; \; \; \; \; \dot { x } ^ { \mu } = 1 / 2 [ \acute { \psi } _ { + } ^ { \mu } ( \tau + \sigma ) - \acute { \psi } _ { - } ^ { \mu } ( \tau - \sigma ) ] ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } v _ { i } } & { { } = \{ v _ { i } , H \} - \frac { \delta R } { \delta v _ { i } } - \partial _ { i } \lambda , } \\ { \partial _ { t } \ell _ { i } } & { { } = \{ \ell _ { i } , H \} - \frac { \delta R } { \delta \ell _ { i } } , } \\ { \partial _ { t } M _ { i } } & { { } = \{ M _ { i } , H \} - \frac { \delta R } { \delta M _ { i } } , } \end{array}
\frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \leqslant \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { \sin \frac { \left( \alpha + \mu \right) \pi } { 2 } } { \sin \frac { \left( \alpha + 2 \beta - \mu \right) \pi } { 2 } } \frac { \cos \frac { \left( \alpha + \mu \right) \pi } { 2 } } { \cos \frac { \left( \alpha + 2 \beta - \mu \right) \pi } { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mathrm { K P } } ( t _ { * * } ^ { 1 } ( \lambda ) , \lambda ) - \mathcal { E } } & { { } = \frac { \langle ( \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) - \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 0 } + \lambda t _ { * * } ^ { \angle } ) ) \Phi _ { 0 } , \Pi _ { \mathfrak { V } ^ { \angle } \rangle ( e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } ) ^ { \dag } C ^ { \angle } \Phi _ { 0 } } } { \langle e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } \Phi _ { 0 } , \Psi \rangle } } \end{array}
\Gamma ( \delta ) \equiv \Gamma ( B \to X _ { u } \, l \, \nu ) \big | _ { q ^ { 2 } > q _ { 0 } ^ { 2 } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \! d \xi \int _ { 0 } ^ { z _ { \mathrm { m a x } } } \! d z \, \frac { d ^ { 2 } \Gamma } { d \xi \, d z } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \oint _ { | \xi | = 1 } \! d \xi \int _ { 0 } ^ { z _ { \mathrm { m a x } } } \! d z \, T ( \xi , z ) \, ,
\left( \frac { 1 } { \rho _ { s } ^ { o } } - \frac { 1 } { \rho _ { l } ^ { o } } \right) ( P _ { s } - P _ { 0 } ) + \left( \frac { 1 } { 2 \rho _ { l } ^ { o } K _ { l } } - \frac { 1 } { 2 \rho _ { s } ^ { o } K _ { s } } \right) ( P _ { s } - P _ { 0 } ) ^ { 2 } = \frac { q _ { m } ( T _ { m } - T ) } { T _ { m } } .
\begin{array} { r l r } { A _ { \theta } ^ { 2 } } & { { } = } & { 2 \eta _ { 1 } ( 1 + D ) / \eta _ { 3 } , } \\ { ( 1 + D ) ^ { 2 } / D } & { { } = } & { 3 \eta _ { 3 } ^ { 2 } / ( 4 \eta _ { 1 } \eta _ { 5 } ) . } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } x _ { k } ^ { \mu } } { d t ^ { 2 } } + \sum _ { \alpha , \beta = 0 } ^ { 3 } \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { \mu } ( x _ { k } ; \hat { x } _ { k } ) \frac { d x _ { k } ^ { \alpha } } { d t } \frac { d x _ { k } ^ { \beta } } { d t } = 0
6 \eta ^ { 2 } = b _ { i j } b _ { j i } = \frac { \left( \zeta _ { i j k l } \frac { \partial u _ { l } } { \partial x _ { k } } \right) \cdot \left( \zeta _ { j i k l } \frac { \partial u _ { l } } { \partial x _ { k } } \right) } { 4 k ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ x _ { + } ( t ) ^ { \top } \Sigma _ { k } ^ { - 1 } x _ { + } ( t ) \right] } & { = \mathbb E \int _ { 0 } ^ { t } x _ { + } ( s ) ^ { \top } \Big ( ( A _ { k } + c _ { 1 } I ) ^ { \top } \Sigma _ { k } ^ { - 1 } + \Sigma _ { k } ^ { - 1 } ( A _ { k } + c _ { 1 } I ) + \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } N _ { k , i } ^ { \top } \Sigma _ { k } ^ { - 1 } N _ { k , j } k _ { i j } \Big ) x _ { + } ( s ) d s } \\ & { \quad + \mathcal T _ { k , + } ( t ) + \mathbb E \int _ { 0 } ^ { t } 4 x _ { + } ( s ) ^ { \top } \Sigma _ { k } ^ { - 1 } B _ { k } u ( s ) d s - \sigma _ { k } ^ { - 1 } \alpha _ { k } ( t ) } \\ & { \quad + c \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb E \left[ x _ { + } ( s ) ^ { \top } \Sigma _ { k } ^ { - 1 } x _ { + } ( s ) \right] d s . } \end{array}
\int _ { L _ { 0 } + L _ { 1 } + L _ { 2 } } \left( - c ^ { 2 } u _ { x } ( x , t ) \, \mathrm { d } t - u _ { t } ( x , t ) \mathrm { d } x \right) = \iint _ { R _ { C } } s ( x , t ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t .
\begin{array} { r l } { { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { X } } ^ { k } = } & { \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - \gamma _ { x } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } ) \widehat { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { X } } ^ { k } } \\ { = } & { \gamma _ { x } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } ) ( \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - \widehat { { \mathbf { X } } } ^ { k } ) - \gamma _ { x } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } ) \Pi _ { R } { \mathbf { X } } ^ { k } } \\ & { - { \mathbf { R } } _ { \gamma } \Lambda { \mathbf { Y } } ^ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda ( x , t ) } & { { } = \frac { 3 N } { 8 \eta ^ { 3 } } ( \eta ^ { 2 } - x ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } ) [ e r f ( \frac { b } { \sqrt { 2 } \sigma } ) - e r f ( \frac { a } { \sqrt { 2 } \sigma } ) ] } \end{array}
E ^ { \gamma Z } ( + , + , + ) = { \frac { K _ { e } ^ { \gamma } \delta _ { 1 2 } \delta _ { 3 4 } Q _ { 1 } } { D _ { 3 4 } ^ { Z } } } R _ { 1 } R _ { 3 } H _ { 2 1 4 3 5 } \; ,
= \varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } e ^ { 2 } \int \int d ^ { 3 } x F _ { e } ( \textbf { x } ) \left( \frac { m _ { e } c ^ { 2 } } { 2 B ^ { 2 } ( \textbf { x } ) } \nabla _ { \perp } \hat { \chi } ( \textbf { x } ) \boldsymbol { \cdot } \nabla _ { \perp } \psi _ { 1 } ( \textbf { x } ) \right) d t d \Omega _ { g y } .
\omega _ { i } = \epsilon ^ { - 1 / 2 } \tilde { S } _ { i } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) + \tilde { T } _ { i } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) \, , \qquad i = 1 , 2 , 3 \, , \qquad \epsilon \to 0 \,
\begin{array} { r l r } { u _ { 2 } ^ { \prime } ( t , \alpha _ { 2 } ) } & { = } & { \frac { r ( \alpha _ { 2 } r ) ^ { \gamma _ { r } } } { ( \alpha _ { 2 } r ) ^ { \gamma _ { r } } + t ^ { \gamma _ { r } } } + ( t + \alpha _ { 2 } r ) \frac { r \gamma _ { r } ( \alpha _ { 2 } r ) ^ { \gamma _ { r } - 1 } t ^ { \gamma _ { r } } } { ( ( \alpha _ { 2 } r ) ^ { \gamma _ { r } } + t ^ { \gamma _ { r } } ) ^ { 2 } } } \\ & { } & { \mathrm { ~ } - \frac { r ( ( 1 - \alpha _ { 2 } ) r ) ^ { \gamma _ { p } } } { ( ( 1 - \alpha _ { 2 } ) r ) ^ { \gamma _ { p } } + ( 1 - t ) ^ { \gamma _ { p } } } - ( 1 - t + ( 1 - \alpha _ { 2 } ) r ) \frac { r \gamma _ { p } ( ( 1 - \alpha _ { 2 } ) r ) ^ { \gamma _ { p } - 1 } ( 1 - t ) ^ { \gamma _ { p } } } { ( ( ( 1 - \alpha _ { 2 } ) r ) ^ { \gamma _ { p } } + ( 1 - t ) ^ { \gamma _ { p } } ) ^ { 2 } } \; . } \end{array}
\left. \frac { d \left\langle v _ { z } \right\rangle } { d t } \right| _ { w a v e } = - \frac { q ^ { 2 } } { 4 m ^ { 2 } \omega _ { w } ^ { 2 } } \frac { d E ^ { 2 } } { d z } = - \frac { q ^ { 2 } } { 4 m ^ { 2 } } \frac { 1 } { k _ { w } ^ { 2 } } \frac { d B _ { w } ^ { 2 } } { d z }
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { T } } { \bf { I } } _ { N _ { T } } + ( { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } + { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } ) { \bf { I } } _ { N _ { R } } } \\ { { \bf { I } } _ { N _ { R } } } & { { } = - ( { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } + { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } ) ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { h } ^ { T , n } ( x _ { 0 } , y _ { 2 } ) - \mathfrak { h } ^ { T , n } ( x _ { 0 } , y _ { 1 } ) - \mathfrak { X } ^ { T , n } [ ( z _ { k } , k ) \xrightarrow { ( T / 2 ) ^ { 1 / 3 } } ( y _ { 2 } , 1 ) ] + } & { \mathfrak { X } ^ { T , n } [ ( z _ { k } , k ) \xrightarrow { ( T / 2 ) ^ { 1 / 3 } } ( y _ { 1 } , 1 ) ] } \\ & { \geq \log \big ( 1 - \mathfrak { B } _ { k } ^ { T , n } ( x _ { 0 } , y _ { 1 } ; z _ { k } ) \big ) . } \end{array}
\frac { 1 } { e } \frac { \partial } { \partial t } \Delta ( p , t ) - \frac { e ^ { 3 } T ^ { 3 } } { 2 4 \pi } \ln \left( \frac { 1 } { e } \right) \bigg [ \Delta ^ { \prime \prime } ( p , t ) + \left( \frac { 2 } { p } - \operatorname { t a n h } \frac { p } { 2 T } \right) \Delta ^ { \prime } ( p , t ) - \left( \frac { 3 } { 4 p T ^ { 2 } } \coth \frac { p } { 2 T } + \frac { 2 } { p ^ { 2 } } \right) \Delta ( p , t ) \bigg ] = - 1 \; .
\begin{array} { r l } { \overline { { v } } \left( \eta = 0 \right) } & { { } = \frac { \overline { { A } } _ { v } } { ( 2 \overline { { x } } ) ^ { 1 / 2 } } \overline { { p } } \left( \eta = 0 \right) , } \\ { \overline { { \tau } } \left( \eta = 0 \right) } & { { } = \frac { \overline { { A } } _ { \tau } } { ( 2 \overline { { x } } ) ^ { 1 / 2 } } \overline { { p } } \left( \eta = 0 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \xi + u \cdot \nabla \xi = g } & { \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times \mathbb { H } , } \\ { \partial _ { r } \xi = 0 } & { \mathrm { ~ o n ~ } \partial \mathbb { H } , } \\ { \xi ^ { \nu } | _ { t = 0 } = \xi _ { 0 } ^ { \nu } } & { \mathrm { ~ i n ~ } \mathbb { H } , } \\ { u = G \ast \omega , f = G \ast \tilde { g } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { h } _ { \vec { i } } ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } = \frac { 2 } { \mu _ { 0 } \, M _ { s , \vec { i } } } \; \sum _ { k = \pm x , \pm y , \pm z } \frac { 2 } { \Delta _ { k } ^ { 2 } } \frac { A _ { \vec { i } + \vec { e } _ { k } } \; A _ { \vec { i } } } { A _ { \vec { i } + \vec { e } _ { k } } + A _ { \vec { i } } } \; \left( \boldsymbol { m } _ { \vec { i } + \vec { e } _ { k } } - \boldsymbol { m } _ { \vec { i } } \right) } \end{array}