harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathcal { L } _ { A ^ { \prime } } = - \frac { 1 } { 4 } F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } ^ { \prime } + \frac { \epsilon } { 2 \cos \theta _ { W } } B _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } m _ { A ^ { \prime } } ^ { 2 } A ^ { \mu } A _ { \mu } ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } { P _ { 1 } ( \mu _ { t } , \sigma ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { + \infty } P _ { > s } ( s ^ { \prime } ; \mu _ { t } ) p _ { T e s } ( s ^ { \prime } ; \sigma ) d s ^ { \prime } = \frac { \sigma } { \sigma + \mu _ { t } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } - \Delta z ( \vec { x } ) } & { = \overline { { \chi } } ( \vec { x } ) + \chi _ { s } ( \vec { x } ) \quad } & & { \mathrm { i n ~ } \Omega \, , } \\ { z ( \vec { x } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \cos \left( \frac { 1 } { 2 } \pi x _ { 2 } \right) \sin \left( 3 \pi x _ { 2 } \right) + \chi _ { s } ( \vec { x } ) \quad } & & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega _ { 1 } \, , } \\ { z ( \vec { x } ) } & { = 0 \quad } & & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega _ { 2 } \, , } \end{array}
\Gamma _ { A ^ { \prime } A } = \delta _ { \lambda _ { A } , \lambda _ { A } ^ { \prime } } \, \, , \, \, \, \Gamma _ { r + 1 , r } ^ { r } = C _ { \mu } ( q _ { r + 1 } , q _ { r } ) e _ { \mu } ^ { \lambda _ { r } } ( k _ { r } )
\int \phi \partial _ { t } \Big ( \frac { \rho _ { s } | { \bf u } | ^ { 2 } } { 2 } \Big ) + \int \phi { \bf u } \cdot \nabla \Big ( \frac { \rho _ { s } | { \bf u } | ^ { 2 } } { 2 } \Big ) = \int \phi \rho _ { s } { \bf g } \cdot { \bf u } - \int \nabla p \cdot { \bf u } + \int ( \mathrm { d i v } \, \boldsymbol { \tau } ) \cdot { \bf u } - \int \nabla p _ { f } \cdot { \bf u } .
\textnormal { V T } _ { j } = - \mathcal { D } _ { j } { \nu } / { 2 } \left( \frac { f ^ { 2 } m _ { j } ^ { 2 } } { \omega _ { j } ^ { 2 } } + m _ { j } ^ { 2 } + l _ { j } ^ { 2 } + k _ { j } ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } & { w _ { 0 } ^ { P } ( t ) = - \operatorname* { i n f } _ { z \in \mathbb { R } ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \Bigg \{ - w _ { j } ^ { P } ( t ) { a } _ { j } ^ { S B , M } ( z ( t ) ) + g _ { j } ( { a } _ { j } ^ { S B , M } ( z ( t ) ) ) - \phi _ { j } ^ { \star } ( \hat { m } _ { j } ( z _ { j } ( t ) , t ) ) \Bigg \} \; , } \\ & { \phi _ { j } ^ { \star } ( M ) = \operatorname* { s u p } _ { B _ { j } \geq 0 } \left\{ B _ { j } M - \operatorname* { i n f } _ { b _ { j } \colon B _ { j } = \frac 1 2 b _ { j } ^ { 2 } } \phi _ { j } ( b _ { j } ) \right\} \; . } \end{array}
\int _ { 4 ( \pi _ { k } ^ { M C } ( \mathfrak { v } ) \wedge \pi _ { k } ^ { M C } ( \mathfrak { w } ) ) } ^ { 4 \varepsilon ^ { - 1 } } \frac { 4 \, \mathrm { d } u } { u \Phi _ { k } ( u ) ^ { 2 } } \leq \frac { \left( \log \left( \frac { 4 } { \varepsilon } \right) - \log \left( \frac { 4 ( \operatorname* { m i n } \{ \mathrm { d e g } _ { k } ( \mathfrak { v } ) , \mathrm { d e g } _ { k } ( \mathfrak { w } ) \} + k ) } { 2 | \mathfrak { E } _ { k } | + k | \mathfrak { V } _ { k } | } \right) \right) } { \left( \iota ( \mathfrak { L } _ { k } ) \frac { 2 | \mathfrak { E } _ { k } | + k | \mathfrak { V } _ { k } | } { \operatorname* { m a x } _ { \mathfrak { v } \in \mathfrak { V } _ { k } } \mathrm { d e g } _ { k } ( \mathfrak { v } ) + k } \right) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { | \Delta \vec { p } | } & { = } & { \sum _ { h } \int ( E - p _ { \parallel } ) { \frac { d p _ { \parallel } } { E } } C _ { h } \, d ^ { 2 } p _ { \perp } } \\ & { = } & { \sum _ { h } \int d ^ { 2 } p _ { \perp } \, C _ { h } \, ( p _ { \parallel } - E ) \Big | _ { 0 } ^ { p } } \\ & { = } & { \sum _ { h } \int d ^ { 2 } p _ { \perp } \, C _ { h } \, \sqrt { p _ { \perp } ^ { 2 } + m _ { h } ^ { 2 } } } \end{array}
\Psi ( z ) \equiv f ^ { ( 2 ) } ( \phi _ { 0 } ( z ) ) \langle \rho _ { 1 } ( z , y ) ^ { 2 } \rangle _ { \mathrm { s s } } - \kappa [ \langle ( \partial _ { z } \rho _ { 1 } ( z , y ) ) ^ { 2 } \rangle _ { \mathrm { s s } } - \langle ( \partial _ { y } \rho _ { 1 } ( z , y ) ) ^ { 2 } \rangle _ { \mathrm { s s } } ] .
\beta _ { 1 } = { \frac { A _ { 1 2 } ^ { \chi } ( m _ { 2 } ^ { 2 } ) } { m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } } , \qquad \beta _ { 2 } = { \frac { A _ { 1 2 } ^ { \chi } ( m _ { 1 } ^ { 2 } ) } { m _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l r l r l r } { [ c ] { 2 } 3 ^ { 4 3 } x ^ { 2 6 } - } & { 3 ^ { 2 8 } \cdot 7 4 7 0 0 5 9 3 x ^ { 2 5 } } & & { + 3 ^ { 2 1 } \cdot 4 1 3 2 1 3 3 7 7 6 9 7 x ^ { 2 4 } } \\ { - } & { 3 ^ { 1 4 } \cdot 1 4 9 1 7 9 3 6 8 0 3 4 6 1 9 3 x ^ { 2 3 } } & & { + 3 ^ { 1 1 } \cdot 4 8 1 0 3 0 5 8 9 7 5 8 8 3 1 2 1 x ^ { 2 2 } } \\ { - } & { 3 ^ { 8 } \cdot 1 1 7 6 9 5 0 7 1 9 9 5 3 5 0 1 8 3 0 x ^ { 2 1 } } & & { + 3 ^ { 8 } \cdot 8 4 1 4 4 2 7 6 7 7 3 4 6 5 6 4 7 0 x ^ { 2 0 } } \\ { - } & { 3 ^ { 6 } \cdot 5 2 3 0 1 7 3 3 5 8 7 1 0 1 9 1 4 7 9 x ^ { 1 9 } } & & { + 3 ^ { 7 } \cdot 1 9 8 3 7 2 9 1 2 9 0 3 7 9 3 7 2 1 9 x ^ { 1 8 } } \\ { - } & { 3 ^ { 5 } \cdot 2 8 8 0 0 2 9 7 3 8 4 1 7 8 3 5 4 2 0 1 x ^ { 1 7 } } & & { + 3 ^ { 6 } \cdot 1 3 7 9 8 3 0 4 8 2 2 1 4 2 4 0 5 2 5 0 x ^ { 1 6 } } \\ { - } & { 3 ^ { 2 } \cdot 1 3 1 4 0 1 2 0 8 9 9 8 8 1 8 6 6 3 3 6 2 5 x ^ { 1 5 } } & & { + 3 ^ { 2 } \cdot 1 3 5 0 0 8 5 2 9 7 0 3 5 0 6 5 7 7 8 3 5 6 x ^ { 1 4 } } \\ { - } & { 1 2 0 7 4 6 1 0 4 9 6 6 6 0 9 2 9 0 3 0 7 2 5 x ^ { 1 3 } } & & { + 3 ^ { 2 } \cdot 1 3 5 0 0 8 5 2 9 7 0 3 5 0 6 5 7 7 8 3 5 6 x ^ { 1 2 } } \\ { - } & { 3 ^ { 2 } \cdot 1 3 1 4 0 1 2 0 8 9 9 8 8 1 8 6 6 3 3 6 2 5 x ^ { 1 1 } } & & { + 3 ^ { 6 } \cdot 1 3 7 9 8 3 0 4 8 2 2 1 4 2 4 0 5 2 5 0 x ^ { 1 0 } } \\ { - } & { 3 ^ { 5 } \cdot 2 8 8 0 0 2 9 7 3 8 4 1 7 8 3 5 4 2 0 1 x ^ { 9 } } & & { + 3 ^ { 7 } \cdot 1 9 8 3 7 2 9 1 2 9 0 3 7 9 3 7 2 1 9 x ^ { 8 } } \\ { - } & { 3 ^ { 6 } \cdot 5 2 3 0 1 7 3 3 5 8 7 1 0 1 9 1 4 7 9 x ^ { 7 } } & & { + 3 ^ { 8 } \cdot 8 4 1 4 4 2 7 6 7 7 3 4 6 5 6 4 7 0 x ^ { 6 } } \\ { - } & { 3 ^ { 8 } \cdot 1 1 7 6 9 5 0 7 1 9 9 5 3 5 0 1 8 3 0 x ^ { 5 } } & & { + 3 ^ { 1 1 } \cdot 4 8 1 0 3 0 5 8 9 7 5 8 8 3 1 2 1 x ^ { 4 } } \\ { - } & { 3 ^ { 1 4 } \cdot 1 4 9 1 7 9 3 6 8 0 3 4 6 1 9 3 x ^ { 3 } } & & { + 3 ^ { 2 1 } \cdot 4 1 3 2 1 3 3 7 7 6 9 7 x ^ { 2 } } \\ { - } & { 3 ^ { 2 8 } \cdot 7 4 7 0 0 5 9 3 x } & & { + 3 ^ { 4 3 } . } & & { } & \end{array}
\begin{array} { r } { \langle ( ( 2 \lambda { \bf I } + \boldsymbol { X } ) , ( \boldsymbol { U } ^ { \star } - \boldsymbol { V } ^ { \star } ) ( \boldsymbol { U } ^ { \star } - \boldsymbol { V } ^ { \star } ) ^ { \mathrm { T } } \rangle \geq \sigma _ { n } ( ( 2 \lambda { \bf I } + \boldsymbol { X } ) \| \boldsymbol { U } ^ { \star } - \boldsymbol { V } ^ { \star } \| _ { F } ^ { 2 } = ( ( 2 \lambda + \sigma _ { n } ( \boldsymbol { X } ) ) \| \boldsymbol { U } ^ { \star } - \boldsymbol { V } ^ { \star } \| _ { F } ^ { 2 } , } \end{array}
\dot { a } _ { k n } ( t ) = - \sum _ { i } a _ { k i } e ^ { i ( \chi _ { n } - \chi _ { i } ) } \left< \Phi _ { n } ( \vec { r } , \vec { R } ) \left| \frac { \partial } { \partial t } \right| \Phi _ { i } ( \vec { r } , \vec { R } ) \right> .
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } { \frac { \sin \theta } { \cos \theta + 1 } } \cdot { \frac { \sin \theta } { \cos \theta - 1 } } } \\ { = { } } & { { } { \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { \cos ^ { 2 } \theta - 1 } } } \\ { = { } } & { { } { \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { - \sin ^ { 2 } \theta } } } \\ { = { } } & { { } { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log p ( x _ { i + 1 } | x _ { i } ) } & { \approx \log \mathcal { N } \left( x _ { i + 1 } \middle | x _ { i } + f ( x _ { i } , t _ { i } ; \theta ) \Delta t , \ \frac { \Delta t } { 2 \beta } I _ { d _ { x } } \right) , } \\ & { = - \frac { d _ { x } } { 2 } \log \left( 2 \pi \frac { \Delta t } { 2 \beta } \right) - \frac { 1 } { 2 } \frac { 2 \beta } { \Delta t } \Vert x _ { i + 1 } - x _ { i } - f ( x _ { i } , t _ { i } ; \theta ) \Delta t \Vert ^ { 2 } } \\ & { = - \frac { d _ { x } } { 2 } \log \left( \frac { \pi \Delta t } { \beta } \right) - \beta \Big \Vert \frac { x _ { i + 1 } - x _ { i } } { \Delta t } - f ( x _ { i } , t _ { i } ; \theta ) \Big \Vert ^ { 2 } \Delta t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \Phi } \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } \sum _ { j = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } p _ { W } ( i ) p _ { W } ( j ) Q _ { i , \Phi ^ { - 1 } ( j ) } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } \sum _ { j = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } p _ { W } ( i ) p _ { W } ( j ) \sum _ { \Phi } Q _ { i , \Phi ^ { - 1 } ( j ) } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } \sum _ { j = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } p _ { W } ( i ) p _ { W } ( j ) ( | \mathfrak { X } | - 1 ) ! \sum _ { k = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } Q _ { i , k } } \\ & { = ( | \mathfrak { X } | - 1 ) ! } \end{array}
\phi ( p ) : = ( \gamma - 1 ) ^ { 2 } \left[ h _ { 1 } ( p ) - h _ { 2 } ( p ) \right] = c _ { 0 } + c _ { 1 } p + c _ { 2 } p ^ { 2 } + c _ { 3 } p ^ { 3 } + p ^ { 4 } = 0
\begin{array} { r } { \frac { d \overline { { \phi } } _ { 0 } } { d t } = - \frac { \gamma _ { e } } { 2 } \left[ 1 - B _ { e } \cos ( 2 \overline { { \phi } } _ { 0 } + 2 \phi _ { c } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { i _ { 1 } i _ { 2 } \cdots i _ { n } } \, \, } & { = \, \, \sum _ { j = 1 } ^ { r } \mu _ { 1 i _ { 1 } } ^ { ( j ) } \, \mu _ { 2 i _ { 2 } } ^ { ( j ) } \, \cdots \, \mu _ { n i _ { n } } ^ { ( j ) } } \\ & { \! \! \! \! \mathrm { w h e r e ~ i _ 1 , i _ 2 , \ldots , i _ n ~ \geq ~ 0 ~ a n d ~ i _ 1 + i _ 2 + \cdots + i _ n = d ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k _ { 1 } } ^ { ( t ^ { \prime } ) } ~ , ~ { \boldsymbol w } _ { k _ { 1 } } ^ { ( t ^ { \prime } ) } ~ \rangle ^ { \frac { 1 } { 2 } } \ge } & { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k _ { 1 } } ^ { ( t ^ { \prime } ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle } \\ { \ge } & { c _ { \eta } \cdot \bigg ( \alpha - \sigma \sqrt { \frac { ( 1 + r ^ { 2 } ) \log q } { | \mathcal { D } | } } \bigg ) t ^ { \prime } . } \end{array}
\mathbf { E } _ { 0 } ( t ) = i \sum _ { \mathbf { k } \lambda } { \sqrt { \frac { 2 \pi \hbar \omega _ { k } } { V } } } \left[ a _ { \mathbf { k } \lambda } ( 0 ) e ^ { - i \omega _ { k } t } - a _ { \mathbf { k } \lambda } ^ { \dagger } ( 0 ) e ^ { i \omega _ { k } t } \right] e _ { \mathbf { k } \lambda }
\begin{array} { r l } { \varepsilon \ge \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } } & { C _ { k _ { i } , s } \Big ( \int _ { B _ { \rho } ( 0 ) } \frac { \varphi ( x _ { 1 } + \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { i } } \tau _ { j } \xi _ { a _ { i } ( j ) } ) - \varphi ( x _ { 1 } ) } { ( \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { i } } \tau _ { j } ^ { 2 } ) ^ { \frac { k _ { i } + 2 s } { 2 } } } \, d \tau _ { 1 } \dots d \tau _ { k _ { i } } } \\ & { + \int _ { B _ { \rho } ( 0 ) ^ { c } } \frac { u ( x _ { 1 } + \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { i } } \tau _ { j } \xi _ { a _ { i } ( j ) } ) - u ( x _ { 1 } ) } { ( \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { i } } \tau _ { j } ^ { 2 } ) ^ { \frac { k _ { i } + 2 s } { 2 } } } \, d \tau _ { 1 } \dots d \tau _ { k _ { i } } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { P _ { k } } } & { = } & { \delta ( { k , { \kappa } } ) + \frac { g } { { \sqrt { 2 \pi } } } \sum _ { j } ^ { \frac { { { e ^ { - i k { z _ { j } } } } } } { { \omega - c | k | } } { Q _ { j } } } ; } \\ { { Q _ { j } } } & { = } & { \frac { g } { { \sqrt { 2 \pi } } } \int { \frac { { { e ^ { i k { z _ { j } } } } } } { { \omega - { \omega _ { 0 } } } } { P _ { k } } d k } . } \end{array}
\lVert \widetilde { \partial } _ { r } \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } \rVert _ { { \mathbb { H } _ { \! \omega \! , m } ^ { 0 ; { q } } } [ 0 ] } \leq \lVert \widetilde { \partial } _ { r } \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } \rVert _ { \ell _ { m } ^ { 2 } L _ { \omega } ^ { 2 } } + \left\lVert \chi _ { \overline { { r } } ^ { \sharp } } ^ { 1 / 2 } \frac { W _ { 0 } \widetilde { \partial } _ { r } \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } } { \operatorname* { m a x } ( | m | , | \omega | , 1 ) } \right\rVert _ { \ell _ { m } ^ { 2 } L _ { \omega } ^ { 2 } } .
{ \cal S } \; \equiv \; \frac { \partial \widehat { \bot } } { \partial t } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \widehat { \rho } \; = \; \frac { \partial \widehat { \sf 1 } } { \partial t } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \widehat { \sf 2 } ,
\begin{array} { r l } & { f ( u _ { k j i } ^ { 1 / 2 } ) < g ( u _ { k j i } ^ { 1 / 2 } ) \Rightarrow - d _ { k j i } r _ { k j i } \pm \sqrt { b _ { k j i } d _ { k j i } u _ { 0 0 k } r _ { k j i } } < } \\ & { < \mp \sqrt { b _ { k j i } d _ { k j i } u _ { 0 0 k } r _ { k j i } } + b _ { k j i } u _ { 0 0 k } + U _ { k j i } + c _ { k j i } \sum _ { l \in \mathcal { N } } w _ { l k i } u _ { l k i } } \end{array}
\mathcal { U } _ { I } ^ { ( \mathrm { r s b ) } } ( t ) \left| g , n \right\rangle = \cos ( \overline { { \omega } } t ) \left| g , n \right\rangle - i e ^ { i \tilde { \phi } } \sin ( \overline { { \omega } } t ) \left| e , n - 1 \right\rangle \; ,
e ^ { \beta \eta \mu ( \eta ) } = \eta _ { \mathrm { r e f } } \delta ( \eta ) + \left\{ \begin{array} { l l } { \eta _ { \mathrm { r e f } } F ( \eta ) } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \eta _ { \mathrm { m i n } } < \eta < \eta _ { \mathrm { m a x } } , } \\ { 0 } & { \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { t = \frac { \theta } { \omega } + \frac { \epsilon } { \omega } \frac { \cosh \beta } { \sinh \alpha } \sin \theta + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 4 \omega } \frac { \cosh 2 \beta } { \sinh ^ { 2 } \alpha } \left( { 2 \theta } + { \mathcal { B } \sin 2 \theta } \right) , } \end{array}
\Delta E ^ { ( 1 ) } = \frac { C _ { R } \alpha _ { s } } { 2 ( 2 - \alpha ) } \frac { \mu ( \tau _ { 0 } ) ^ { 2 } \tau _ { 0 } ^ { \alpha } L ^ { 2 - \alpha } } { \lambda ( \tau _ { 0 } ) } \left( \ln \frac { 2 E } { \mu ( \tau _ { 0 } ) ^ { 2 } \tau _ { 0 } ^ { \frac { 2 \alpha } { 3 } } L ^ { 1 - \frac { 2 \alpha } { 3 } } } + \cdots \right) \; .
V _ { c } ^ { \mathrm { i n t } } = \int \int d \eta _ { 1 } d \eta _ { 2 } \int \int d \theta _ { L } d \theta _ { R } E x p \biggl [ E _ { I } X ^ { I } + { \bar { E } } _ { \bar { I } } { \bar { X } } ^ { \bar { I } } \biggr ] ,
\rho = \sum _ { r , s } \hat { a } _ { a _ { 1 } } ^ { \dagger } \ldots \hat { a } _ { a _ { r } } ^ { \dagger } \rho _ { \quad \quad b _ { 1 } \ldots b _ { s } } ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { r } } \hat { a } ^ { b _ { 1 } } \ldots \hat { a } ^ { b _ { s } }
\operatorname * { d e t } \left[ d _ { n _ { j } + N - j + 1 , i } \right] = \operatorname * { d e t } \left[ \frac { x ^ { | n _ { 1 } \delta _ { 1 j } + i - j | } - x ^ { n _ { 1 } \delta _ { 1 j } + 2 N + 2 - i - j } } { 1 - x ^ { 2 } } \right] .
X _ { 1 } Y _ { 2 } X _ { 3 } = { \left[ \begin{array} { l l l } { c _ { 2 } } & { s _ { 2 } s _ { 3 } } & { c _ { 3 } s _ { 2 } } \\ { s _ { 1 } s _ { 2 } } & { c _ { 1 } c _ { 3 } - c _ { 2 } s _ { 1 } s _ { 3 } } & { - c _ { 1 } s _ { 3 } - c _ { 2 } c _ { 3 } s _ { 1 } } \\ { - c _ { 1 } s _ { 2 } } & { c _ { 3 } s _ { 1 } + c _ { 1 } c _ { 2 } s _ { 3 } } & { c _ { 1 } c _ { 2 } c _ { 3 } - s _ { 1 } s _ { 3 } } \end{array} \right] }
\left( M _ { \theta , k } ^ { - 1 } \right) _ { \mu , \nu } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle ( - J _ { 0 , k } ) ^ { \mu - \nu } \left( \frac { \operatorname* { d e t } ( M _ { \nu - 1 , k } ) \operatorname* { d e t } ( M _ { \theta - \mu , k } ) } { \operatorname* { d e t } ( M _ { \theta , k } ) } - \operatorname* { d e t } ( M _ { \nu - \mu - 1 , k } ) \right) , } & { \mathrm { i f } \ \nu > \mu , } \\ { \displaystyle ( - J _ { 0 , k } ) ^ { \mu - \nu } \frac { \operatorname* { d e t } ( M _ { \nu - 1 , k } ) \operatorname* { d e t } ( M _ { \theta - \mu , k } ) } { \operatorname* { d e t } ( M _ { \theta , k } ) } , } & { \mathrm { i f } \ \nu \leq \mu , } \end{array} \right.
\left( \omega _ { c } ^ { 2 } > 2 \omega _ { z } ^ { 2 } , \textnormal { w h e r e } \omega _ { c } \textnormal { i s t h e c y c l o t r o n - a n d } \omega _ { z } \textnormal { t h e a x i a l - f r e q u e n c y i n t h e t r a p } \right)
\sum _ { \ell = 1 } ^ { \infty } ( 2 \ell + 1 ) \left[ s _ { \ell } ( x ) s _ { \ell } ( x ) + s _ { \ell } ^ { \prime } ( x ) s _ { \ell } ^ { \prime } ( x ) \right] = { \frac { 4 } { 3 } } x ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \frac { \kappa _ { 2 } } { 4 N } ( r _ { i j } ( t ) - R _ { i j } ^ { \infty } ) ^ { 2 } \leq \frac { \kappa _ { 2 } } { 8 N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } ( r _ { i j } ( t ) - R _ { i j } ^ { \infty } ) ^ { 2 } \leq \mathcal { E } ^ { c } ( 0 ) - \mathcal { E } _ { k } ^ { c } ( t ) \leq \mathcal { E } ^ { c } ( 0 ) - N . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb E [ ( \widetilde \theta _ { N , \psi ( N ) } ^ { \mathfrak c , \mathfrak d } - \theta _ { 0 } ) ^ { 2 } ] } & { \leqslant } & { 2 \mathbb E [ ( R _ { N , \psi ( N ) } - R _ { N } ) ^ { 2 } \mathbf 1 _ { \{ D _ { N } \geqslant \mathfrak d \} \cap \Omega _ { N } } ] + 2 \mathbb E [ ( \widetilde \theta _ { N } ^ { \mathfrak c , \mathfrak d } - \theta _ { 0 } ) ^ { 2 } ] } \\ & { \leqslant } & { \frac { 2 ( 1 + \mathfrak c _ ) } { N } \xrightarrow [ N \rightarrow \infty ] 0 } \end{array}
\uprho _ { i j k q } ^ { ( e ) } = \frac { u _ { i k } u _ { j q } w _ { k q } } { \sum _ { i < j \in e } \sum _ { k , q = 1 } ^ { K } u _ { i k } u _ { j q } w _ { k q } } = \frac { u _ { i k } u _ { j q } w _ { k q } } { \uplambda _ { e } } \, .
| | D J ( g ) | | _ { U _ { a d } } = \sqrt { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { M } D J ( g ) _ { i } g _ { i } ^ { b } , \sum _ { j = 1 } ^ { M } D J ( g ) _ { j } g _ { j } ^ { b } \right) } = \sqrt { b ^ { T } G b } .
2 m _ { 2 } ^ { 2 } - \sqrt { 2 } A _ { s } h _ { s } s \frac { v _ { 1 } } { v _ { 2 } } + ( | h _ { s } | ^ { 2 } + g _ { 1 ^ { ' } } ^ { 2 } Q _ { 2 } Q _ { S } ) s ^ { 2 } = { \cal O } ( M _ { Z } ^ { 2 } ) ;
\begin{array} { r l r } { \alpha } & { { } \approx } & { \frac { 1 } { 6 \hbar } \sum _ { n ^ { \prime } } { | \langle n ^ { \prime } P _ { 1 / 2 } \, | | \, d \, | | \, n S _ { 1 / 2 } \rangle | ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { \Delta _ { 1 } ( n ^ { \prime } ) } + \frac { 2 } { \Delta _ { 2 } ( n ^ { \prime } ) } \right] , } \\ { \beta } & { { } \approx } & { \frac { 1 } { 6 \hbar } \sum _ { n ^ { \prime } } { | \langle n ^ { \prime } P _ { 1 / 2 } \, | | \, d \, | | \, n S _ { 1 / 2 } \rangle | ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { \Delta _ { 1 } ( n ^ { \prime } ) } - \frac { 1 } { \Delta _ { 2 } ( n ^ { \prime } ) } \right] , } \end{array}
z = { \frac { ( { \hat { p } } _ { 1 } - { \hat { p } } _ { 2 } ) - d _ { 0 } } { \sqrt { { \frac { { \hat { p } } _ { 1 } ( 1 - { \hat { p } } _ { 1 } ) } { n _ { 1 } } } + { \frac { { \hat { p } } _ { 2 } ( 1 - { \hat { p } } _ { 2 } ) } { n _ { 2 } } } } } }
= \psi _ { 1 } ^ { 2 } ( \textbf { X } _ { g y } ) + \frac { 1 } { 2 \pi } \int d \theta [ \rho ( c o s \theta \boldsymbol { e } _ { 1 } - s i n \theta \boldsymbol { e } _ { 2 } ) \boldsymbol { \cdot } \nabla \psi _ { 1 } ( \textbf { X } _ { g y } ) ] ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \rho _ { c , e } ( r ^ { n } ) } & { { } = } & { \sqrt { \frac { \kappa } { 2 \pi k _ { B } T } } \exp \left( - \frac { \frac { 1 } { 2 } \kappa ( r ^ { n } ) ^ { 2 } } { k _ { B } T } \right) } \\ { \langle r ^ { n } r ^ { n } \rangle } & { { } = } & { \frac { k _ { B } T } { \kappa } \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { m = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { m } \left\langle { n \atop m } \right\rangle } & { = 2 ^ { n + 1 } ( 2 ^ { n + 1 } - 1 ) { \frac { B _ { n + 1 } } { n + 1 } } , } \\ { \sum _ { m = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { m } \left\langle { n \atop m } \right\rangle { \binom { n } { m } } ^ { - 1 } } & { = ( n + 1 ) B _ { n } . } \end{array} }
\left[ \begin{array} { l l } { H _ { b } } & { H _ { b m } } \\ { H _ { b m } ^ { T } } & { H _ { m } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \Ddot { x _ { b } } } \\ { \Ddot { \Theta _ { s } } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { c _ { b } } \\ { c _ { m } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { F _ { b } } \\ { \tau _ { m } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { J _ { b } ^ { T } } \\ { J _ { m } ^ { T } } \end{array} \right]
w _ { i j } ^ { k } = 0 , w _ { a j } ^ { k } = 0 , w _ { a b } ^ { k } = 0 , w _ { a b } ^ { c } = 0 , w _ { i j } ^ { a } = \delta _ { i } N _ { j } ^ { a } - \delta _ { j } N _ { i } ^ { a } , w _ { j a } ^ { b } = - w _ { a j } ^ { b } = \partial _ { a } N _ { j } ^ { b } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \bar { \mathbf { a } } ^ { ( 0 ) } } & { { } = \mathcal { P } \left( \Delta t \right) \cdot \left[ \mathbf { a } _ { n } \right] } \\ { \bar { \mathbf { a } } ^ { ( i ) } } & { { } = \bar { \mathbf { a } } ^ { ( 0 ) } + \Delta t \mathcal { D } \left[ \bar { \mathbf { a } } ^ { ( i - 1 ) } , t _ { n + 1 } \right] } \\ { \mathbf { a } _ { n + 1 } } & { { } = \bar { \mathbf { a } } ^ { ( i t e r ) } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( b + d ) ^ { - 1 } ( a + c ) - b ^ { - 1 } a \| } & { = \| a + c - ( b + d ) ( b ^ { - 1 } a ) \| \frac { 1 } { \| b + d \| } } \\ & { = \| a + c - b ( b ^ { - 1 } a ) - d ( b ^ { - 1 } a ) \| \frac { 1 } { \| b + d \| } } \\ & { = \| d ^ { - 1 } c - b ^ { - 1 } a \| \frac { \| d \| } { \| b + d \| } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \mathbf { m } + \mathrm { d i v } \left( \mathbf { m } \otimes \mathbf { v } \right) + \nabla p - \mathrm { d i v } \left( \nu \left( 2 \mathbf { D } + \lambda \mathrm { d i v } \mathbf { v } \right) \right) - \rho \mathbf { b } } & { } \\ { + \frac { \phi } { 2 } \nabla \left( \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { I } } - \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { I } } \right) + \frac { 1 } { 2 } \nabla \left( \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { I } } + \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { I } } \right) } & { } \\ { - \mathrm { d i v } \left( \hat { \nu } \left( 2 \mathbf { A } + \lambda \left( \mathrm { d i v } \mathbf { J } \right) \mathbf { I } \right) + \breve { \nu } \left( 2 \mathbf { B } + \lambda \left( \mathbf { J } \cdot \nabla \phi \right) \mathbf { I } \right) \right) } & { } \\ { + \mathrm { d i v } \left( \frac { \rho \mathbf { J } \otimes \mathbf { J } } { 2 \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } ( 1 - \phi ^ { 2 } ) } \right) } & { = ~ 0 . } \end{array}
k = 2 \log \left( 2 \varepsilon _ { 0 } / \varepsilon \right) \left( \frac { \| A \| _ { F } ^ { 2 } } { \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 } ( A ) } + \frac { \| A \| _ { F } ^ { 2 } \| e \| _ { 2 } ^ { 2 } a _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } } { \varepsilon \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 4 } ( A ) a _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 } } \right)
. T h u s , i t b e c o m e s c l e a r t h a t i n c o n t r a s t t o t h e c l a s s i c a l B e r n o u l l i p r o b l e m o f b r a c h i s t o c h r o n e , f o r m u l a t e d f o r s m o o t h c u r v e s , t h e r e i s n o u n i v e r s a l c u r v e c a p a b l e o f p r o v i d i n g t h e m i n i m u m d e s c e n t t i m e f o r a n y v a l u e s o f t h e f r i c t i o n c o e f f i c i e n t . A t s m a l l v a l u e s ,
\begin{array} { r } { u ( x , y ) = \frac { 1 } { 5 } \sum _ { j = 1 } ^ { 5 } \xi _ { j } \frac { \sin ( j \pi x ) \sin ( j \pi y ) } { j ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } , x , y \in [ 0 , 1 ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { Y } | u | ^ { 2 } ( - 1 , y ) \mathrm { d v o l } _ { Y } } & { \leq C \int _ { M _ { 1 } } | u | ^ { 2 } + | \nabla u | ^ { 2 } \mathrm { d v o l } _ { M _ { 1 } } \leq C \int _ { M _ { 1 } } | u | ^ { 2 } + | ( d + d ^ { * } ) u | ^ { 2 } \mathrm { d v o l } _ { M _ { 1 } } } \\ & { = C \int _ { M _ { 1 } } | u | ^ { 2 } + | ( d _ { T } + d _ { T } ^ { * } ) u | ^ { 2 } \mathrm { d v o l } _ { M _ { 1 } } \leq C ( \lambda + 1 ) . } \end{array}
< t r \, G _ { \cal A } ( x , x ) > _ { \cal A } = \int { \mathcal { D } Y } \, e ^ { - { \lambda _ { 2 } } \oint { d } \tilde { s } } \, W = \int d L \, e ^ { - \lambda _ { 2 } L } \int { \mathcal { D } Y } \, \delta ( L - \oint { d } \tilde { s } ) \, W
1 = \sum _ { l \in \bf { N } _ { 0 } } \tilde { \epsilon } _ { l } \frac { ( ( l + 3 ) ! ) ^ { 2 } } { ( 2 l + 7 ) ! } ( v - 1 ) ^ { l } \, _ { 2 } F _ { 1 } ( l + 4 , l + 4 ; 2 l + 8 ; 1 - v )