harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { \varpi _ { k } ^ { \mathrm { { o p t } } } } = } & { \frac { { \sqrt { \left( { 1 + { \rho _ { k } } } \right) } { \bf { \bar { h } } } _ { k } ^ { \mathrm { H } } { { \bf { w } } _ { k } } } } { { \sum _ { j = 1 } ^ { K } { { { \left| { { \bf { \bar { h } } } _ { k } ^ { \mathrm { H } } { { \bf { w } } _ { j } } } \right| } ^ { 2 } } } + { { \left\| { { \bf { f } } _ { k } ^ { \mathrm { H } } { { \bf { \Psi } } } } \right\| } ^ { 2 } } \sigma _ { v } ^ { 2 } + { \sigma ^ { 2 } } } } , } \\ & { \forall k \in \{ 1 , \cdots , K \} . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { \cos \theta } & { \sin \theta } \\ { - \sin \theta } & { \cos \theta } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right) } ,
\langle { \cal R } _ { a } ^ { 2 } ( s | x _ { s } ) \rangle _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ o ~ p ~ s ~ } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } d x _ { s } { \cal R } _ { a } ^ { 2 } ( s | x _ { s } ) { \cal W } _ { a } ( x _ { s } ; s ) = 6 D s p _ { g } \pi _ { g \to g } ( s ) ( 1 - \langle x _ { s } \rangle ) ,
\frac { C _ { \alpha } } { D _ { \alpha } } h ^ { 2 } \sum _ { j _ { 1 } = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { j _ { 2 } = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { \mathbf { m } \in \mathbb { Z } ^ { 2 } } \left[ \frac { u _ { \epsilon } ( \mathbf { y } ) - u _ { \epsilon } ( \mathbf { x } ) } { | \mathbf { x } - ( \mathbf { y } + \mathbf { m } ) | ^ { 2 + 2 \alpha } } \right] + 1 = 0 \, .
\begin{array} { r } { { \sf f } ^ { \alpha } \, { \sf f } _ { \textrm { \tiny ( 1 ) } } ^ { \beta } \otimes { \sf f } _ { \alpha } \, { \sf f } _ { \textrm { \tiny ( 2 ) } } ^ { \beta } \otimes { \sf f } _ { \beta } = { \sf f } ^ { \beta } \otimes { \sf f } ^ { \alpha } \, { { \sf f } _ { \beta } } _ { \textrm { \tiny ( 1 ) } } \otimes { \sf f } _ { \alpha } \, { { \sf f } _ { \beta } } _ { \textrm { \tiny ( 2 ) } } \ , } \end{array}
P ( D | M , \theta ) = \prod _ { i } ^ { N } \int \mathcal { N } ( \hat { G _ { i } } | G _ { i } , \sigma _ { i } ) \mathcal { N } ( G _ { i } | G , \Sigma ) d G _ { i } = \prod _ { i } ^ { N } \mathcal { N } \left( G | \hat { G _ { i } } , \sqrt { \sigma _ { i } ^ { 2 } + \Sigma ^ { 2 } } \right) ,
{ \begin{array} { r l } { P _ { 0 } } & { = | 0 0 0 \rangle \langle 0 0 0 | + | 1 1 1 \rangle \langle 1 1 1 | , } \\ { P _ { 1 } } & { = | 1 0 0 \rangle \langle 1 0 0 | + | 0 1 1 \rangle \langle 0 1 1 | , } \\ { P _ { 2 } } & { = | 0 1 0 \rangle \langle 0 1 0 | + | 1 0 1 \rangle \langle 1 0 1 | , } \\ { P _ { 3 } } & { = | 0 0 1 \rangle \langle 0 0 1 | + | 1 1 0 \rangle \langle 1 1 0 | . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { P ( x , y , t ) } & { { } = 2 k _ { 1 } ^ { 2 } \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ h ~ } ^ { 2 } ( \eta _ { 1 } ) + A k _ { 1 } \operatorname { t a n h } ( \eta _ { 1 } ) , } \\ { Q ( x , y , t ) } & { { } = 2 k _ { 1 } ^ { 2 } \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ h ~ } ^ { 2 } ( \eta _ { 1 } ) - A k _ { 1 } \operatorname { t a n h } ( \eta _ { 1 } ) . } \end{array}
{ C _ { i j } = ( \Delta t ) ^ { 2 H } \times \left( \left| i - j + 1 \right| ^ { 2 H } + \left| i - j - 1 \right| ^ { 2 H } - 2 \left| i - j \right| ^ { 2 H } \right) } = : C ( | i - j | \Delta t )
\begin{array} { r c l } { \displaystyle \frac { d U _ { N } } { d \tau } } & { = } & { \displaystyle \mathcal { T } _ { m } \frac { d } { d t } \frac { u _ { m + N } } { \mathcal { A } _ { m } } = \frac { 1 } { k _ { m } \mathcal { A } _ { m } ^ { 2 } } \frac { d u _ { m + N } } { d t } - \frac { u _ { m + N } } { 2 k _ { m } \mathcal { A } _ { m } ^ { 4 } } \frac { d \mathcal { A } _ { m } ^ { 2 } } { d t } } \\ & { = } & { \displaystyle \frac { 1 } { k _ { m } \mathcal { A } _ { m } ^ { 2 } } \frac { d u _ { m + N } } { d t } - \frac { u _ { m + N } } { k _ { m } \mathcal { A } _ { m } ^ { 4 } } \sum _ { j \ge 0 } \alpha ^ { j } \, \mathrm { R e } \left( u _ { m - j } ^ { * } \frac { d u _ { m - j } } { d t } \right) } \\ & { = } & { \displaystyle \frac { 1 } { k _ { m } \mathcal { A } _ { m } ^ { 2 } } \frac { d u _ { m + N } } { d t } - \frac { U _ { N } } { k _ { m } \mathcal { A } _ { m } ^ { 2 } } \sum _ { j \ge 0 } \alpha ^ { j } \, \mathrm { R e } \left( U _ { - j } ^ { * } \frac { d u _ { m - j } } { d t } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal G P _ { k } ^ { U \star } \tilde { \mu } _ { k } - P _ { k } ^ { S \star } G _ { k } \tilde { \mu } _ { k } = \mathcal G P _ { k } ^ { U \star } \tilde { \mu } _ { k } - P _ { k } ^ { S \star } G _ { k } P _ { k } ^ { U } P _ { k } ^ { U \star } \tilde { \mu } _ { k } } & { \to 0 } \\ { P _ { k } ^ { S \star } G _ { k } \tilde { \mu } _ { k } - P _ { k } ^ { S \star } G _ { k } P _ { k } ^ { U } u } & { \to 0 } \\ { P _ { k } ^ { S \star } G _ { k } P _ { k } ^ { U } u - \mathcal G u } & { \to 0 } \end{array}
y = 0 . 4 x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } + 0 . 5 x _ { 1 } ^ { 2 } + 0 . 5 x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 2 } + 0 . 2 8 5 x _ { 1 } x _ { 2 } - 0 . 4 2 5 x _ { 1 } - 1 . 7 ,
\begin{array} { r } { \left( \mathbf { \tilde { G } } _ { \mathrm { r d n } } ^ { \mathrm { s y m } } \right) _ { i \alpha , j \beta } = \sqrt { \frac { N _ { \alpha } N _ { \beta } } { N _ { i } N _ { j } } } \cdot \frac { \mathbf { R } _ { i j } } { N } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { a } } & { { } = - ( \mathrm { i } \Delta _ { \mathrm { c } } + \kappa ) a - \mathrm { i } \sum _ { j } g _ { 0 } \sigma _ { - } ^ { j } + \eta \, , } \\ { \dot { \sigma } _ { - } ^ { j } } & { { } = - ( \mathrm { i } \Delta _ { \mathrm { s } } ^ { j } + \gamma _ { \perp } ) \sigma _ { - } ^ { j } + \mathrm { i } g _ { 0 } a \sigma _ { z } ^ { j } \, , } \\ { \dot { \sigma } _ { z } ^ { j } } & { { } = 2 \mathrm { i } g _ { 0 } \left( a ^ { \dagger } \sigma _ { - } ^ { j } - a \sigma _ { + } ^ { j } \right) \, . } \end{array}
\frac { 1 } { k } \| { \boldsymbol u } _ { h } ^ { m + 1 } \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } - \frac { 1 } { k } \| { \boldsymbol u } _ { h } ^ { m } \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \| \nabla { \boldsymbol u } _ { h } ^ { m + 1 } \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \le K \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } ( n _ { h } ^ { m + 1 } , \log \frac { n _ { h } ^ { m + 1 } } { \bar { n } _ { h } ^ { 0 } } ) _ { h } + K \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } .
R e \rho _ { 1 , - 1 } ^ { V } ( z , k _ { \perp } | a , f ) \approx - \frac { P _ { f } \sin { \beta } } { 3 + P _ { f } P _ { z } } \tan ^ { 2 } { \beta } ( P _ { z } \sin { \beta } - P _ { x } { \cos { \beta } } ) ,
E ( t ) = E _ { 2 } H _ { 2 } ( \frac { t - t _ { 0 } } { \tau _ { 2 } } ) e ^ { - \frac { ( t - t _ { 0 } ) ^ { 2 } } { \tau _ { 2 } ^ { 2 } } } + E _ { 3 } H _ { 3 } ( \frac { t - t _ { 0 } } { \tau _ { 3 } } ) e ^ { - \frac { ( t - t _ { 0 } ) ^ { 2 } } { \tau _ { 3 } ^ { 2 } } } ,
d ( A ) = \bigg ( \frac { A _ { i j } M _ { i j } } { A } + \frac { K _ { i j k l } K _ { i j k l } } { 2 A } - \frac { A _ { i j } K _ { i j k l } A _ { m n } K _ { m n k l } } { 2 A ^ { 3 } } \bigg ) d t + \frac { A _ { i j } K _ { i j k l } } { A } \; d W _ { k l }
\begin{array} { r l r } { \left| \mathrm { l n } \left( E \left( e ^ { i t \overline { { Z } } _ { h } } \right) \right) - \mathrm { l n } \left( e ^ { - \frac { 1 } { 2 } t ^ { 2 } } \right) \right| } & { \geq } & { \left| \frac { 1 } { 2 } \mathrm { i } ^ { 3 } f _ { 3 } ^ { 3 } t ^ { 3 } \right| - \left| \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 4 } ^ { \infty } \mathrm { i } ^ { k } f _ { k } ^ { k } t ^ { k } \right| = O \left( \frac { \omega _ { 1 } ^ { 3 } } { \omega _ { h } ^ { 3 } } \bar { \alpha } _ { h } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } h ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int s ^ { 2 n - 1 } D f ^ { 2 } ( s ) D \left[ \frac { g ( s ) } { s ^ { 2 n - 3 } f ( s ) } \right] d s } & { = s ^ { 2 } f ^ { 2 } ( s ) D \left( \frac { g ( s ) } { f ( s ) } \right) - ( 4 n - 4 ) s f ( s ) g ( s ) } \\ & { \quad + 2 ( 2 n - 1 ) \int \left( ( n - 1 ) f ( s ) + s f ^ { \prime } ( s ) \right) d s } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \varphi ( X _ { t } ^ { \xi , \tau } ) 1 _ { \left\{ t < \zeta ( X ^ { \xi , \tau } ) \right\} } \right] = \mathbb { E } \left[ 1 _ { D } ( X _ { t } ^ { \xi , \tau } ) \varphi ( X _ { t } ^ { \xi , \tau } ) \right] - \mathbb { E } \left[ 1 _ { D } ( X _ { t } ^ { \overline { { \xi } } , \tau } ) \varphi ( X _ { t } ^ { \overline { { \xi } } , \tau } ) \right]
K _ { \nu } ^ { \mathrm { B e s s e l } } ( x , y ) : = \frac { J _ { \nu } ( \sqrt { x } ) \sqrt { y } J _ { \nu } ^ { \prime } ( \sqrt { y } ) - J _ { \nu } ( \sqrt { y } ) \sqrt { x } J _ { \nu } ^ { \prime } ( \sqrt { x } ) } { 2 ( x - y ) } = \frac { 1 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { 1 } J _ { \nu } ( \sqrt { \sigma x } ) J _ { \nu } ( \sqrt { \sigma y } ) \, d \sigma .
\hat { R M } _ { j } ( \alpha _ { j } , \delta _ { j } ) = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { h = 1 } ^ { 5 } p _ { j } ( y _ { i } = h \mid x _ { i } , \alpha _ { j } , \delta _ { j } ) ^ { 2 }
\mid w \rangle = \phi ^ { w } \mid 0 \rangle \equiv \phi _ { m _ { 1 } } \phi _ { m _ { 2 } } \ldots \phi _ { m _ { n } } \mid 0 \rangle , \; \; \; \; \; \; w \equiv m _ { 1 } m _ { 2 } \ldots m _ { n }
e ^ { t \sigma ^ { 3 } } \sigma ^ { \pm } = \sigma ^ { \pm } e ^ { - t \sigma ^ { 3 } } = e ^ { \pm t } \sigma ^ { \pm } \, , \qquad e ^ { \mathrm { i } t \sigma ^ { 3 } } = \cos t + \mathrm { i } \sigma ^ { 3 } \, \sin t \, ,
\begin{array} { r l } { S ( \omega ) } & { = \rho _ { 1 1 } R e [ \frac { \gamma _ { 2 } + \Gamma _ { 3 2 } - i \delta } { ( - i \delta + \gamma _ { 0 } ) ^ { 2 } } ] } \\ & { = \rho _ { 1 1 } \frac { \delta ^ { 2 } ( \gamma _ { 1 } + 2 \Lambda ) + \gamma _ { 0 } ^ { 2 } ( \gamma _ { 2 } + \Lambda ) } { ( \delta ^ { 2 } + \gamma _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } , } \\ { \gamma _ { 0 } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \gamma _ { 1 } + \gamma _ { 2 } + 3 \Lambda ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { E } \left( \frac { ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ) ^ { 2 } } { \mathrm { E } ( ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ) ^ { 2 } ) } \cdot I \left( \frac { ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ) ^ { 2 } } { \mathrm { E } ( ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ) ^ { 2 } ) } \geq n \varepsilon \right) \right) \rightarrow 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 3 k - 1 } ( z ; \rho | \sigma ) } & { = \sum _ { r , s \in \mathbb { Z } _ { \geq 0 } ^ { k - 1 } } z ^ { r _ { 1 } } \frac { q ^ { \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } r _ { i } ^ { 2 } - r _ { i } s _ { i } + s _ { i } ^ { 2 } + \rho _ { i } r _ { i } + \sigma _ { i } s _ { i } } } { \prod _ { i = 1 } ^ { k - 2 } ( q ; q ) _ { r _ { i } - r _ { i + 1 } } ( q ; q ) _ { s _ { i } - s _ { i + 1 } } } \frac { q ^ { 2 r _ { k - 1 } s _ { k - 1 } } } { ( q ; q ) _ { r _ { k - 1 } } ( q ; q ) _ { s _ { k - 1 } } ( q ; q ) _ { r _ { k - 1 } + s _ { k - 1 } + 1 } } , } \\ { S _ { 3 k } ( z ; \rho | \sigma ) } & { = \sum _ { r , s \in \mathbb { Z } _ { \geq 0 } ^ { k - 1 } } z ^ { r _ { 1 } } \frac { q ^ { \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } r _ { i } ^ { 2 } - r _ { i } s _ { i } + s _ { i } ^ { 2 } + \rho _ { i } r _ { i } + \sigma _ { i } s _ { i } } } { \prod _ { i = 1 } ^ { k - 2 } ( q ; q ) _ { r _ { i } - r _ { i + 1 } } ( q ; q ) _ { s _ { i } - s _ { i + 1 } } } \frac { 1 } { ( q ; q ) _ { r _ { k - 1 } + s _ { k - 1 } } ( q ; q ) _ { r _ { k - 1 } + s _ { k - 1 } + 1 } } { r _ { k - 1 } + s _ { k - 1 } \brack r _ { k - 1 } } _ { q ^ { 3 } } , } \\ { S _ { 3 k + 1 } ( z ; \rho | \sigma ) } & { = \sum _ { r , s \in \mathbb { Z } _ { \geq 0 } ^ { k - 1 } } z ^ { r _ { 1 } } \frac { q ^ { \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } r _ { i } ^ { 2 } - r _ { i } s _ { i } + s _ { i } ^ { 2 } + \rho _ { i } r _ { i } + \sigma _ { i } s _ { i } } } { \prod _ { i = 1 } ^ { k - 2 } ( q ; q ) _ { r _ { i } - r _ { i + 1 } } ( q ; q ) _ { s _ { i } - s _ { i + 1 } } } \frac { 1 } { ( q ; q ) _ { r _ { k - 1 } } ( q ; q ) _ { s _ { k - 1 } } ( q ; q ) _ { r _ { k - 1 } + s _ { k - 1 } + 1 } } . } \end{array}
{ \bar { I } } _ { 1 } = J ^ { - 2 / 3 } ~ I _ { 1 } = I _ { 3 } ^ { - 1 / 3 } ~ I _ { 1 } ~ ; ~ ~ { \bar { I } } _ { 2 } = J ^ { - 4 / 3 } ~ I _ { 2 } = I _ { 3 } ^ { - 2 / 3 } ~ I _ { 2 } ~ ; ~ ~ J = I _ { 3 } ^ { 1 / 2 } ~ .
\eta _ { \mathrm { e } } = \frac { U _ { \mathrm { r e c o v e r } } } { U _ { \mathrm { c h a r g e } } } \, , \, \eta _ { \mathrm { b } } = \frac { B _ { \mathrm { r e c o v e r } } } { B _ { \mathrm { c h a r g e } } }
\begin{array} { r l } { \sum _ { \beta \not = 0 } | U _ { \alpha + \beta } ^ { j } - U _ { \alpha } ^ { j } | ^ { p - 2 } \omega _ { \beta } } & { = \sum _ { 0 < | y _ { \alpha } | < 1 } | U _ { \alpha + \beta } ^ { j } - U _ { \alpha } ^ { j } | ^ { p - 2 } \omega _ { \beta } + \sum _ { | y _ { \alpha } | \geq 1 } | U _ { \alpha + \beta } ^ { j } - U _ { \alpha } ^ { j } | ^ { p - 2 } \omega _ { \beta } } \\ & { \leq 2 ^ { p - 2 } ( L _ { u _ { 0 } } + t _ { j } L _ { f } ) ^ { p - 2 } \left( \sum _ { 0 < | y _ { \alpha } | < 1 } | y _ { \beta } | ^ { a ( p - 2 ) } \omega _ { \beta } + \sum _ { | y _ { \alpha } | \geq 1 } \omega _ { \beta } \right) } \\ & { \leq 2 ^ { p - 1 } C _ { s , p , d } ( L _ { u _ { 0 } } + T L _ { f } ) ^ { p - 2 } S _ { a ( p - 2 ) } ( r ) , } \end{array}
[ \boldsymbol { e } ] _ { k } = \big ( \bar { \omega } , \boldsymbol { \phi } _ { k } \big ) , \qquad [ \boldsymbol { q } ] _ { k } = \big ( \Delta \bar { \omega } , \boldsymbol { \phi } _ { k } \big ) , \qquad [ \boldsymbol { D } ] _ { k , i } = \big ( \Delta \boldsymbol { \phi } _ { i } , \boldsymbol { \phi } _ { k } \big ) .
\begin{array} { r l } { B _ { x } } & { { } = B _ { 0 } \operatorname { t a n h } \left( \frac { z } { \lambda F ( x ) } \right) F ^ { - 1 } ( x ) , } \\ { B _ { y } } & { { } = B _ { 0 } \left[ \cosh \left( \frac { z } { \lambda F ( x ) } \right) \cdot F ( x ) \right] ^ { - 1 } , } \\ { B _ { z } } & { { } = \varepsilon B _ { 0 } \left[ 1 - \frac { z } { \lambda F ( x ) } \operatorname { t a n h } \left( \frac { z } { \lambda F ( x ) } \right) \right] , } \end{array}
\mathrm { ~ d ~ } \Omega = \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \theta ) \, \mathrm { ~ d ~ } \theta \, \mathrm { ~ d ~ } \phi = \frac { 1 } { k \, k _ { z } } \, \mathrm { ~ d ~ } k _ { x } \, \mathrm { ~ d ~ } k _ { y }
\begin{array} { r l } { \Big \| \int _ { t } ^ { t + h } { ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T ( t + h - s ) g ( s ) d s } } & { \Big \| _ { X } } \\ & { \leq \int _ { t } ^ { t + h } \big \| ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T ( t + h - s ) \big \| \| g ( s ) \| _ { X } d s } \\ & { \leq K \int _ { t } ^ { t + h } \frac { 1 } { ( t + h - s ) ^ { \alpha } } \| g ( s ) \| _ { X } d s } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { H _ { 1 } } & { = { \frac { n } { \sum \left( { \frac { 1 } { x } } \right) } } } \\ { H _ { 2 } } & { = { \frac { \left( \exp \left[ { \frac { 1 } { n } } \sum \log _ { e } ( x ) \right] \right) ^ { 2 } } { { \frac { 1 } { n } } \sum ( x ) } } } \\ { H _ { 3 } } & { = \exp \left( m - { \frac { 1 } { 2 } } s ^ { 2 } \right) } \end{array} }
\overline { { f } } _ { \Sigma _ { \mathcal { R } } } \left( P , \overline { { P } } \right) \left\{ \begin{array} { l l } { = 1 , } & { \mathrm { i f ~ } \left( a _ { i } , k _ { i } \right) \neq \left( b _ { j } , l _ { j } \right) } \\ { > 1 - \frac { 4 } { 2 ^ { 2 e - 0 . 5 t } } , } & { \mathrm { i f ~ } \left( a _ { i } , k _ { i } \right) = \left( b _ { j } , l _ { j } \right) \mathrm { ~ a n d ~ } p _ { i } \neq q _ { j } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { v ( x ^ { * } ) } & { = } & { v ( \hat { x } _ { k _ { l } } ) + v ( x ^ { * } ) - v ( \hat { x } _ { k _ { l } } ) } \\ & { \ge } & { \Big ( \operatorname* { m i n } _ { j \in [ s ] } g _ { j } ( \hat { x } _ { k _ { l } } , \hat { u } _ { k _ { l } } ) - \operatorname* { m i n } _ { j \in [ s ] } g _ { j } ( \hat { x } ^ { * } , \hat { q } _ { k _ { l } } ( \hat { x } ^ { * } ) ) \Big ) + \Big ( v ( x ^ { * } ) - v ( \hat { x } _ { k _ { l } } ) \Big ) . } \end{array}
C _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \tilde { A } _ { \mu } ^ { \nu } \tilde { A } _ { \nu } ^ { \mu } = \frac { P ( N + P ) ( N - 1 ) } { 2 N } , \; \tilde { A } _ { \mu } ^ { \nu } - \frac { \delta _ { \mu } ^ { \nu } } { N } \sum _ { \lambda } A _ { \lambda } ^ { \lambda } \; .
\begin{array} { r l } { { 2 } \mathrm { ~ d ~ i ~ r ~ e ~ c ~ t ~ c ~ y ~ c ~ l ~ e ~ : ~ } \, - | Q _ { W } | f \left( T _ { h } \right) + | Q _ { t } | F \left( T _ { h } , T _ { l } \right) } & { { } = 0 } \\ { \mathrm { ~ r ~ e ~ v ~ e ~ r ~ s ~ e ~ d ~ c ~ y ~ c ~ l ~ e ~ : ~ } \, \, + | Q _ { W } | f \left( T _ { h } \right) - | Q _ { t } | F \left( T _ { h } , T _ { l } \right) } & { { } = 0 } \end{array}
\mathcal { L } = - \frac { 1 } { 4 } \mathcal { F } + \kappa \, ( \mathcal { F } ^ { 2 } + \beta \, \mathcal { G } ^ { 2 } ) , \qquad \kappa = \frac { \alpha _ { e } ^ { 2 } } { 9 0 \, m _ { e } ^ { 4 } } , \quad \beta = \frac { 7 } { 4 } ,
\begin{array} { r } { \Tilde { X } = ( \Tilde { X } - _ { p _ { 1 } } D ^ { m } - _ { p _ { 2 } } D ^ { m } - \dots ) \cup _ { p _ { 1 } } D ^ { m } \cup _ { p _ { 2 } } D ^ { m } \cup \dots } \\ { \Tilde { B } = ( \Tilde { X } - _ { p _ { 1 } } D ^ { m } - _ { p _ { 2 } } D ^ { m } - \dots ) \cup _ { p _ { 1 } } M \cup _ { p _ { 2 } } M \cup \dots } \end{array}
f \left( \boldsymbol { w } , \boldsymbol { \ell _ { b } } , \boldsymbol { \ell _ { p } } \right) = \sum _ { n } p _ { n } f _ { n } ^ { D } \left( \boldsymbol { w } , \boldsymbol { \ell _ { b } } , \boldsymbol { \ell _ { p } } \right) + \sum _ { n } p _ { n } f _ { n } ^ { D R } \left( \boldsymbol { w } , \boldsymbol { \ell _ { b } } , \boldsymbol { \ell _ { p } } \right) + \sum _ { n } p _ { n } f _ { n } ^ { L E T } \left( \boldsymbol { w } , \boldsymbol { \ell _ { b } } , \boldsymbol { \ell _ { p } } \right) .
\begin{array} { r l } { \left\langle \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial t } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } } & { + \left\langle \frac { \partial c _ { 2 } } { \partial \tau } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } - \omega ^ { - \gamma } \left[ \nabla _ { \mathbf { x } } \cdot \left( \left\langle \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol \chi ( \mathbf y , \tau ) \right\rangle _ { \mathcal { I B } } \cdot \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } \right) \right] } \\ & { + \omega ^ { - \alpha } \nabla _ { \mathbf x } \cdot \left\langle \mathbf v _ { 0 } c _ { 1 } + \mathbf v _ { 1 } c _ { 0 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } - \omega ^ { - \gamma } \left\langle \nabla _ { \mathbf y } \cdot \textbf { D } ( \nabla _ { \mathbf x } c _ { 1 } + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 2 } ) \right\rangle _ { \mathcal { I B } } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } d f _ { j } ^ { \prime } = \lambda _ { F } \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } ( T ) T ^ { - T } \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } d f _ { j } = 0 _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = d d ^ { c } \omega ^ { k } \wedge \omega ^ { ( n - k - 1 ) } = d I d ( \omega ^ { k } ) \wedge \omega ^ { n - k - 1 } } \\ & { = k d I ( d \omega \wedge \omega ^ { k - 1 } ) \wedge \omega ^ { n - k - 1 } = k d ( I d \omega \wedge \omega ^ { k - 1 } ) \wedge \omega ^ { n - k - 1 } } \\ & { = k d I d \omega \wedge \omega ^ { k - 1 } \wedge \omega ^ { n - k - 1 } - k ( k - 1 ) I d \omega \wedge d \omega \wedge \omega ^ { k - 2 } \wedge \omega ^ { n - k - 1 } } \\ & { = k d I d \omega \wedge \omega ^ { n - 2 } - k ( k - 1 ) I d \omega \wedge d \omega \wedge \omega ^ { n - 3 } , } \end{array}
\begin{array} { l l } { \mathcal { M } ( \phi ) = } & { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { Q _ { i } } f ^ { i } \phi ^ { i } \, d x d t + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { a } ^ { b _ { i } } y ^ { i , 0 } I _ { T } ^ { 1 - \gamma } \phi ^ { i } ( 0 , x ) \mathrm { d } x } \\ & { \displaystyle - \sum _ { i = 2 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { T } v ^ { i } \beta ^ { i } ( b _ { i } ) { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ( t , b _ { i } ^ { - } ) \, d t + \sum _ { i = m + 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { T } v ^ { i } ( t ) I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \phi ^ { i } ( t , b _ { i } ^ { - } ) \mathrm { d } t . } \end{array} .
\frac { \partial { \bf M } } { \partial t _ { 0 } } = \left( { \bf Q } _ { 1 } - { \bf Q } _ { 2 } { \bf P } _ { 2 } ^ { - 1 } { \bf P } _ { 1 } \right) { \bf C } _ { 0 } { \bf P } _ { 2 } ^ { - 1 } = { \bf P } _ { 2 } ^ { - T } { \bf C } _ { 0 } { \bf P } _ { 2 } ^ { - 1 } \, .
\alpha ( x ) = [ \Gamma _ { 4 3 } \gamma _ { \textrm { h } } + \Gamma _ { 2 3 } ( \Gamma _ { 4 } + \gamma _ { \textrm { h } } ) + \gamma _ { \textrm { e } } \Gamma _ { 4 } ( 2 \Gamma _ { 2 } + 1 ) + 2 \gamma _ { \textrm { e } } \gamma _ { \textrm { h } } ( \Gamma _ { 4 } + \Gamma _ { 2 } + 1 ) ] x
y _ { X } = \left( \frac { s _ { X } } { m _ { X } } , \frac { i _ { X } } { m _ { X } } , n _ { S , I } ^ { X } : ( S , I ) \in \mathbb { S } , n _ { ( S , I ) } ^ { \overline { { X } } } : ( S , I ) \in \mathbb { S } \right)
\begin{array} { r l } { p ( \eta _ { \textnormal { m i n } } ) } & { \leq \mathbb { E } \{ R \} P _ { \textnormal { m a x } } ^ { s } / \beta _ { K } ( \eta _ { \textnormal { m i n } } ) U \tilde { P } _ { \textnormal { m i n } } ^ { i } } \\ & { = 2 U / ( 2 U - 2 ) \times P _ { \textnormal { m a x } } ^ { s } / \beta _ { K } ( \eta _ { \textnormal { m i n } } ) U \tilde { P } _ { \textnormal { m i n } } ^ { i } } \\ & { = P _ { \textnormal { m a x } } ^ { s } / [ \beta _ { K } ( \eta _ { \textnormal { m i n } } ) ( U - 1 ) \tilde { P } _ { \textnormal { m i n } } ^ { i } ] , } \end{array}
v _ { \mathrm { x c } } ( \epsilon _ { \mathrm { s } } ) = \frac { 1 } { \epsilon _ { \mathrm { s } } } v _ { \mathrm { x } } ^ { \mathrm { e x } } + \left( 1 - \frac { 1 } { \epsilon _ { \mathrm { s } } } \right) v ^ { \mathrm { S l a t e r } } + v _ { \mathrm { c } } .
\begin{array} { r l } { ( v _ { x } + u _ { y } ) ( 1 - h _ { x } ^ { 2 } ) + 2 h _ { x } ( v _ { y } - u _ { x } ) } & { { } = 0 , } \\ { p - \frac { 2 } { 1 + h _ { x } ^ { 2 } } ( v _ { y } + u _ { x } h _ { x } ^ { 2 } - h _ { x } ( v _ { x } + u _ { y } ) ) } & { { } = - \frac { 1 } { \mathrm { ~ \textit ~ { ~ C ~ a ~ } ~ } } \frac { h _ { x x } } { ( 1 + h _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } , } \end{array}
\sum _ { i _ { 1 } + \cdots + i _ { k } = n } \sum _ { \sigma \in \mathfrak { S } ( i _ { 1 } , \ldots , i _ { k } ) } \epsilon ( \sigma ) \frac { 1 } { k ! } \mathcal { H } _ { i _ { 1 } } ( x _ { \sigma ( 1 ) } , \cdots , x _ { \sigma ( i _ { 1 } ) } ) \cdot \prod _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \Phi _ { i _ { j } - 1 } ( x _ { \sigma ( i _ { 1 } + \cdots + i _ { j - 1 } + 1 ) } , \ldots , x _ { \sigma ( i _ { 1 } + \cdots + i _ { j } ) } ) .
G _ { 2 m - 1 , 2 n } = R _ { 2 m - 1 , 2 n } = \frac { 4 n ( - 1 ) ^ { n + m } } { \pi ( 2 m - 1 ) } \left( \frac { 1 } { 2 m - 1 + 2 n } - \frac { 1 } { 2 m - 1 - 2 n } \right) .
\begin{array} { r } { \log \frac { p _ { \theta _ { * } + h / \sqrt { n } } ^ { n } } { p _ { \theta _ { * } } ^ { n } } ( X ^ { n } ) = \frac { \ell _ { \theta _ { * } } ^ { ( 1 ) } } { \sqrt { n } } h - \frac { 1 } { 2 } \frac { j _ { \theta _ { * } } } { n } h ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 \sqrt { n } } \frac { \ell _ { \theta _ { * } } ^ { ( 3 ) } } { n } h ^ { 3 } + O _ { P _ { 0 } ^ { n } } \big ( n ^ { - 1 } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { j } ( x , t ) } & { \equiv \int _ { \mathbb G } \rho _ { j } ( x , t | x _ { 0 } ) \phi ( x _ { 0 } ) d x _ { 0 } } \\ & { = p _ { j } ( x , t ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { m - 1 } \int _ { 0 } ^ { t } [ \rho _ { j } ( x , t - \tau | a _ { k } ^ { - } ) + \rho _ { j } ( x , t - \tau | a _ { k } ^ { + } ) ] [ f _ { k } ^ { - } ( \tau ) + f _ { k } ^ { + } ( \tau ) ] d \tau } \end{array}
T _ { 2 } ( \psi _ { \mathrm { N } } ) = H ( 1 - \overline { { \psi } } _ { \mathrm { N } } ) ( T _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ e ~ } } - T _ { 1 } ( \psi _ { \mathrm { N } } = 0 ) ) \left( 1 - \overline { { \psi } } _ { \mathrm { N } } ^ { a _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } \right) ^ { a _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } .