harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { G } _ { i } ^ { ( T ) } ( \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { o } ( \tau t _ { i } ) e ^ { i \theta _ { t _ { i } } } e ^ { i \tau \omega t _ { i } } , } & { ~ | t _ { i } | \leq T } \\ { 0 , } & { ~ | t _ { i } | > T } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { E u = e + p \quad \mathrm { i n ~ } \Omega , \qquad p = ( w - u ) \odot \nu _ { \partial \Omega } \mathcal { H } ^ { 2 } \quad \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { D } , } \\ & { e _ { i 3 } = 0 \quad \mathrm { i n ~ } \Omega , \quad p _ { i 3 } = 0 \quad \mathrm { i n ~ } \Omega \cup \Gamma _ { D } , \quad i = 1 , 2 , 3 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { c \delta } { \nu } \operatorname* { s u p } _ { \kappa _ { l } ^ { i - 1 } \leq j \leq \kappa _ { l } ^ { i } } | \zeta ^ { j } | ^ { 2 } \sum _ { j = \kappa _ { l } ^ { i - 1 } + 1 } ^ { \kappa _ { l } ^ { i } + 1 } | \nabla \xi ^ { j } | ^ { 2 } \leq c \frac { l } { L } \operatorname* { s u p } _ { \kappa _ { l } ^ { i - 1 } \leq j \leq \kappa _ { l } ^ { i } } | \zeta ^ { j } | ^ { 2 } \leq \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { s u p } _ { \kappa _ { l } ^ { i - 1 } \leq j \leq \kappa _ { l } ^ { i } + 1 } | \zeta ^ { j } | ^ { 2 } . } \end{array}
\rho = { \frac { \left| { \boldsymbol { \gamma } } ^ { \prime } \right| ^ { 3 } } { \sqrt { \left| { \boldsymbol { \gamma } } ^ { \prime } \right| ^ { 2 } \, \left| { \boldsymbol { \gamma } } ^ { \prime \prime } \right| ^ { 2 } - \left( { \boldsymbol { \gamma } } ^ { \prime } \cdot { \boldsymbol { \gamma } } ^ { \prime \prime } \right) ^ { 2 } } } } \, .
\int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } p \left( \frac { p ^ { 2 } } { \sqrt { p ^ { 2 } + F } ( p + \sqrt { p ^ { 2 } + F } ) } - \frac { 1 } { 2 } \right) = - \frac { 2 \sqrt { F } } { 3 } ,
\left[ \begin{array} { l } { u _ { j } } \\ { v _ { j } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { A } _ { j } ( r ) } \\ { \mathcal { B } _ { j } ( r ) } \end{array} \right] e ^ { i \int p ( r ) d r } ,
\begin{array} { r } { \| u \| _ { p } \leq C \| \nabla u \| _ { p } ^ { \theta } \| u \| _ { q } ^ { 1 - \theta } + C \| u \| _ { q } \leq \epsilon \theta C \| \nabla u \| _ { p } + C \left( ( 1 - \theta ) \epsilon ^ { - \frac { \theta } { 1 - \theta } } + 1 \right) \| u \| _ { q } } \end{array}
2 \sum _ { n \geq 1 } A _ { n + 1 } { \frac { x ^ { n + 1 } } { ( n + 1 ) ! } } = \sum _ { n \geq 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } { \frac { A _ { k } } { k ! } } { \frac { A _ { n - k } } { ( n - k ) ! } } { \frac { x ^ { n + 1 } } { n + 1 } } = \int \left( \sum _ { k \geq 0 } A _ { k } { \frac { x ^ { k } } { k ! } } \right) \left( \sum _ { j \geq 0 } A _ { j } { \frac { x ^ { j } } { j ! } } \right) \, d x - x
0 = \int \left( - 2 g _ { \mu \nu } { \frac { d ^ { 2 } x ^ { \nu } } { d \tau ^ { 2 } } } + { \frac { d x ^ { \alpha } } { d \tau } } { \frac { d x ^ { \nu } } { d \tau } } \partial _ { \mu } g _ { \alpha \nu } - { \frac { d x ^ { \alpha } } { d \tau } } { \frac { d x ^ { \nu } } { d \tau } } \partial _ { \alpha } g _ { \mu \nu } - { \frac { d x ^ { \nu } } { d \tau } } { \frac { d x ^ { \alpha } } { d \tau } } \partial _ { \nu } g _ { \mu \alpha } \right) \delta x ^ { \mu } \, d \tau
\phi _ { m } | _ { \mathcal { H } ^ { + } } ( v , \theta , \widetilde { \varphi } ) \sim v ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { \ell \: : \: \alpha _ { m \ell } < 0 } \mathfrak { h } _ { m \ell } \left( a _ { m \ell } \cdot e ^ { - i \left( \sqrt { - \alpha _ { m \ell } } + m \right) \log v } + b _ { m \ell } \cdot e ^ { i \left( \sqrt { - \alpha _ { m \ell } } - m \right) \log v } \right) e ^ { i m \widetilde { \varphi } } S _ { m \ell } ( \theta ) .
\begin{array} { r } { \left( \left[ \begin{array} { l l } { R _ { 3 } ^ { - 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] + j \omega \left[ \begin{array} { l l } { C _ { 1 } } & { - C _ { 1 } } \\ { - C _ { 1 } } & { C _ { 1 } + C _ { 2 } } \end{array} \right] \right) \left[ \begin{array} { l } { \phi _ { 1 } } \\ { \phi _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { - I } \\ { 0 } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { h } ^ { \textit { c r } } ( u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) } & { = \rho _ { \varphi _ { h } , \Omega } ( \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) - ( f _ { h } , \Pi _ { h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) _ { \Omega } } \\ & { = - \rho _ { \varphi _ { h } ^ { * } , \Omega } ( \Pi _ { h } z _ { h } ^ { \textit { r t } } ) + ( \Pi _ { h } z _ { h } ^ { \textit { r t } } , \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) _ { \Omega } + ( \textup { d i v } \, z _ { h } ^ { \textit { r t } } , \Pi _ { h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) _ { \Omega } } \\ & { = - \rho _ { \varphi _ { h } ^ { * } , \Omega } ( \Pi _ { h } z _ { h } ^ { \textit { r t } } ) - I _ { \{ - f _ { h } \} } ( \textup { d i v } \, z _ { h } ^ { \textit { r t } } ) } \\ & { = D _ { h } ^ { \textit { r t } } ( z _ { h } ^ { \textit { r t } } ) \, , } \end{array}
( { \cal B } _ { V } ) _ { c l } = \sum _ { { \vec { n } } , { \vec { m } } } \sum _ { s , s ^ { \prime } } \left[ ( a _ { \vec { n } } ^ { s \dagger } \bar { u } _ { \vec { n } } ^ { s } + b _ { - { \vec { n } } } ^ { s } \bar { v } _ { - { \vec { n } } } ^ { s } ) ( a _ { \vec { m } } ^ { s ^ { \prime } } \gamma ^ { 0 } u _ { \vec { m } } ^ { s ^ { \prime } } + b _ { - { \vec { m } } } ^ { s ^ { \prime } \dagger } \gamma ^ { 0 } v _ { - { \vec { m } } } ^ { s ^ { \prime } } ) \right] _ { c l } F ( { \vec { n } } - { \vec { m } } , X ) .
\mid \widetilde { \Phi } \rangle = \frac 1 { \sqrt { N } } \exp \sum _ { a } \left( \frac 1 2 A _ { 0 , 1 } ^ { a + } A _ { 0 , 1 } ^ { a + } + \frac 1 2 A _ { 0 , 2 } ^ { a + } A _ { 0 , 2 } ^ { a + } + B _ { 0 } ^ { a + } A _ { 0 } ^ { L , a + } + i \overline { { { c } } } _ { 0 } ^ { a + } c _ { 0 } ^ { a + } \right) \mid 0 \rangle .
\begin{array} { r l } { \eta _ { l } ^ { \bullet } } & { { } = \frac { 4 ^ { - l } } { 2 \pi l ^ { 2 } ( 2 l + 1 ) ^ { 2 } } \Biggl [ ( 2 l + 1 ) \, _ { 3 } F _ { 2 } \biggl ( \begin{array} { c } { l , l , l + \frac { 1 } { 2 } } \\ { l + 1 , 2 l + 2 } \end{array} \bigg | 1 \biggr ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { y _ { j - 2 } + \frac { n _ { 0 } - 1 } { L } } ^ { 1 - m _ { 0 } / L } \mathrm { d } y _ { j - 1 } \frac { ( y _ { j - 1 } - y _ { j - 2 } ) ^ { \theta - 1 } ( 1 - m _ { 0 } / L - y _ { j - 1 } ) ^ { \theta - 1 } } { ( 1 - y _ { j - 1 } ) ^ { \theta } } } \\ & { = \int _ { y _ { j - 2 } + \frac { n _ { 0 } - 1 } { L } } ^ { 1 - m _ { 0 } / L } \mathrm { d } y _ { j - 1 } \frac { 1 } { 1 - y _ { j - 1 } } ( y _ { j - 1 } - y _ { j - 2 } ) ^ { \theta - 1 } \left( \frac { 1 - y _ { j - 1 } } { 1 - \frac { m _ { 0 } } { L } - y _ { j - 1 } } \right) ^ { 1 - \theta } . } \end{array}
{ \tilde { \lambda } } _ { k + 1 } \leq { \tilde { \lambda } } _ { k } + { \mathrm { c } } _ { 6 } { \tau } { \tilde { \nu } } _ { k } + { \mathrm { c } } _ { 5 } { \tau } \sqrt { { \tilde { \mu } } _ { k } } { \tilde { \nu } } _ { k } + { \tau } { \sigma } _ { k } \left( \sqrt { { \tilde { \mu } } _ { k } } + \sqrt { { \tilde { \mu } } _ { k + 1 } } \right) \, .
V _ { 3 } ^ { a } + \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } \alpha _ { i } V _ { i } ^ { a } = V _ { 4 } ^ { a } + \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } \beta _ { i } V _ { i } ^ { a } = { \frac { 1 } { 2 } } ~ , ~ ~ { \mathrm { f o r ~ s o m e } } ~ a = 1 , 2 , \dots , 2 0
W _ { \mathrm { R R } } = \sigma _ { R R } \frac { I } { \hbar \omega } = \frac { 5 1 2 \pi ^ { 5 } } { 1 3 5 } ( 1 + 2 \rho ) \frac { 1 } { ( \lambda ^ { \prime } ) ^ { 4 } } \left( \frac { \Delta \alpha _ { \mathrm { s } } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \frac { I } { \hbar \omega } ,
I _ { 6 a } ^ { ( 1 ) } = 4 D p ^ { 2 } \int d ^ { D } k \frac { ( k ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { k ^ { 4 } ( p - k ) ^ { 4 } ( k ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) }
\Delta _ { m m ^ { \prime } } = \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 \quad \quad } & { \mathrm { f o r } } & { \quad m \geq 0 , \quad m ^ { \prime } \geq 0 } \\ { ( - 1 ) ^ { m ^ { \prime } } } & { } & { \quad m \geq 0 , \quad m ^ { \prime } < 0 } \\ { ( - 1 ) ^ { m } } & { } & { \quad m < 0 , \quad m ^ { \prime } \geq 0 } \\ { ( - 1 ) ^ { m + m ^ { \prime } } } & { } & { \quad m < 0 , \quad m ^ { \prime } < 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } { K _ { \tau } ^ { B P + } } & { : = \{ x ^ { * } \in E ^ { * } \mid K \subseteq C ( x ^ { * } ) \} , } & { K _ { \tau } ^ { B P \# } } & { : = \{ x ^ { * } \in E ^ { * } \mid K \setminus \{ 0 \} \subseteq C _ { > } ( x ^ { * } ) \} , } \\ { K _ { \tau } ^ { B P \circ } } & { : = \{ x ^ { * } \in E ^ { * } \mid \mathrm { i c o r } \, K \subseteq C _ { > } ( x ^ { * } ) \} , } & { K _ { \tau } ^ { B P \& } } & { : = \{ x ^ { * } \in E ^ { * } \mid K \setminus \ell ( K ) \subseteq C _ { > } ( x ^ { * } ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { \mathrm { ~ W ~ C ~ A ~ } } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 4 \epsilon \left( \left( \frac { \sigma } { r } \right) ^ { 1 2 } - \left( \frac { \sigma } { r } \right) ^ { 6 } \right) + \epsilon } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } r \leq 2 ^ { \frac { 1 } { 6 } } \sigma } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } r > 2 ^ { \frac { 1 } { 6 } } \sigma . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \frac { 1 } { a } ( \frac { 1 } { \sqrt { 1 - ( \frac { a ( S _ { \infty } ^ { * } - 1 ) } { l n ( \frac { | c s c ( a ) + c o t ( a ) | } { | c s c ( a S _ { \infty } ^ { * } ) + c o t ( a S _ { \infty } ^ { * } ) | } ) } ) ^ { 2 } } } \frac { l n ( \frac { | c s c ( a ) + c o t ( a ) | } { | c s c ( a S _ { \infty } ^ { * } ) + c o t ( a S _ { \infty } ^ { * } ) | } ) \cdot a - a ( S _ { \infty } ^ { * } - 1 ) \cdot \frac { \frac { - | c s c ( a ) + c o t ( a ) | \cdot ( - a c o t ( a S _ { \infty } ^ { * } ) c s c ( a S _ { \infty } ^ { * } ) - a c s c ^ { 2 } ( a S _ { \infty } ^ { * } ) ) } { ( | c s c ( a S _ { \infty } ^ { * } ) + c o t ( a S _ { \infty } ^ { * } ) | ) ^ { 2 } } } { \frac { | c s c ( a ) + c o t ( a ) | } { | c s c ( a S _ { \infty } ^ { * } ) + c o t ( a S _ { \infty } ^ { * } ) | } } } { ( l n ( \frac { | c s c ( a ) + c o t ( a ) | } { | c s c ( a S _ { \infty } ^ { * } ) + c o t ( a S _ { \infty } ^ { * } ) | } ) ) ^ { 2 } } ) - 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( y _ { j } ) } & { = \frac { f ^ { \prime } ( y _ { j } ) f ( y _ { j } ) } { 2 } , } \\ { r _ { j + 1 } ^ { ( 3 ) } ( \theta h ) } & { = f ^ { \prime \prime } ( y _ { j } + \theta h ) \left( f ( y _ { j } + \theta h ) \right) ^ { 2 } + \left( f ^ { \prime } ( y _ { j } + \theta h ) \right) ^ { 2 } f ( y _ { j } + \theta h ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( \sigma ) ^ { - 1 } } & { = \Big ( I + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } \big ( \sigma ( A ^ { 0 } ) ^ { - 1 } A ^ { e } ( \sigma ) \big ) ^ { k } \Big ) ( A ^ { 0 } ) ^ { - 1 } } \\ & { = ( A ^ { 0 } ) ^ { - 1 } - \sigma \Big ( ( A ^ { 0 } ) ^ { - 1 } A ^ { e } ( \sigma ) \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } \big ( \sigma ( A ^ { 0 } ) ^ { - 1 } A ^ { e } ( \sigma ) \big ) ^ { k } ( A ^ { 0 } ) ^ { - 1 } \Big ) : = B ^ { 0 } + \sigma B ^ { e } ( \sigma ) . } \end{array}
f _ { B } ^ { 2 } = \frac { F ^ { 2 } ( \mu ) } { m _ { B } } \zeta ^ { 1 2 } ( \mu ) \left( 1 + 2 \frac { G _ { 1 } ( \mu ) } { m _ { b } } + 1 2 \, \zeta ^ { - 9 } ( \mu ) \frac { G _ { 2 } ( \mu ) } { m _ { b } } - \frac { \bar { \Lambda } } { m _ { b } } \left[ 1 + d ( \mu ) \right] \right) ,
\begin{array} { r } { \Vert \mathrm { O p } ^ { \gamma } ( \mathrm { m } ) h \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb R \times \mathbb T ^ { d } ) } \leq C _ { d } \omega [ \mathrm { m } ] \Vert h \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb R \times \mathbb T ^ { d } ) } \lesssim C _ { d } \Lambda ( \vert \mathrm { s u p p } _ { t } \, \nabla _ { x } b \vert ) \Omega [ a ] \Xi [ b ] _ { \mathrm { M } } \Vert h \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb R \times \mathbb T ^ { d } ) } . } \end{array}
\textbf { L } = \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { \textbf { I } _ { M } } & & & & & & & \\ & { \textbf { J } ^ { T } ( \textbf { x } _ { 1 } ) } & & & & & & \\ & & { \ddots } & & & & & \\ & & & { \ddots } & & & & \\ & & & & { \textbf { J } ^ { T } ( \textbf { x } _ { M _ { g } } ) } & & & \\ & { \left. \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \textbf { q } } { \mathrm { d } \textbf { x } ^ { 2 } } \right| _ { \textbf { x } _ { 1 } } } & & & & { \textbf { C } ( \textbf { x } _ { 1 } ) } & & \\ & & { \ddots } & & & & { \ddots } & \\ & & & { \left. \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \textbf { q } } { \mathrm { d } \textbf { x } ^ { 2 } } \right| _ { \textbf { x } _ { M _ { H } } } } & & & & { \textbf { C } ( \textbf { x } _ { M _ { H } } ) } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { S _ { 1 1 } ^ { q } = \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } \int d E [ f ( 1 - f ) + R f ( 1 - f ) + T f _ { 0 } ( 1 - f _ { 0 } ) } \\ { + R T ( f - f _ { 0 } ) ^ { 2 } ] . } \end{array}
K [ t , p , q , x ] = \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 t ^ { 2 } } \big ( \mathrm { e } ^ { - t ( p ^ { 2 } x - q ^ { 2 } x ^ { 2 } ) } - \mathrm { e } ^ { - t ( p ^ { 2 } x - q ^ { 2 } x ^ { 2 } ) - p \circ p / t } \cos 2 x \theta ( p , q ) \big ) ~ .
\sqrt { T S } ( Q _ { T S } ^ { * } ) _ { A ^ { 0 } } = \frac { 1 } { \sqrt { T S } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { s = 1 } ^ { S } ( - \cos ( \lambda t + \mu s ) ) \left( \mathbb { I } _ { \{ \epsilon ( t , s ) \geq \frac { 1 } { \beta _ { T , S } } \} } - \mathbb { I } _ { \{ \epsilon ( t , s ) \leq - \frac { 1 } { \beta _ { T , S } } \} } \right) + o _ { p } ( 1 )
\begin{array} { r l } { \frac { \partial W _ { \varepsilon } ^ { j } } { \partial t } ( \tilde { X } _ { t \wedge T _ { \xi } } ^ { \xi } , T - t ) } & { { } = 1 _ { \left\{ t < T _ { \xi } \right\} } \frac { \partial W _ { \varepsilon } ^ { j } } { \partial t } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) + 1 _ { \left\{ t \geq T _ { \xi } \right\} } \frac { \partial W _ { \varepsilon } ^ { j } } { \partial t } ( \tilde { X } _ { T _ { \xi } } ^ { \xi } , T - t ) } \end{array}
F _ { I J } = \left( \begin{array} { c c c c c c c } { { 0 } } & { { - a _ { 1 } } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { a _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \ddots } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { 0 } } & { { - a _ { 4 } } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { a _ { 4 } } } & { { 0 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 0 } } & { { - a _ { 5 } ( = 0 ) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { a _ { 5 } ( = 0 ) } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { 1 1 } ^ { N , ( 1 ) } ( x ) } & { = } & { \big [ \big ( C _ { N } ^ { I } ( x ) - C _ { N } ^ { I I I } ( x ) \big ) C _ { N } ^ { I I I } ( x ) C _ { N } ^ { I I I } ( - x ) \big ] _ { 1 1 } , } \\ { \Delta _ { 1 1 } ^ { N , ( 2 ) } ( x ) } & { = } & { \big [ C _ { N } ^ { I } ( x ) \big ( C _ { N } ^ { I } ( x ) - C _ { N } ^ { I I I } ( x ) \big ) C _ { N } ^ { I I I } ( - x ) \big ] _ { 1 1 } , } \\ { \Delta _ { 1 1 } ^ { N , ( 3 ) } ( x ) } & { = } & { \big [ C _ { N } ^ { I } ( x ) C _ { N } ^ { I } ( x ) \big ( C _ { N } ^ { I } ( - x ) - C _ { N } ^ { I I I } ( - x ) \big ) \big ] _ { 1 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { 0 } ^ { - 1 } \left[ \partial _ { z } ( \nabla _ { X } \gamma ) + \nabla _ { X } ( \nabla _ { X } \gamma \cdot \vec { v } ) \right] } & { { } = 0 } \\ { = k _ { 0 } ^ { - 1 } \nabla _ { X } \left[ \partial _ { z } \gamma + \nabla _ { X } \gamma \cdot \vec { v } \right] } & { { } = 0 } \\ { = k _ { 0 } ^ { - 1 } \nabla _ { X } \frac { D \gamma } { D z } } & { { } = 0 . } \end{array}
m _ { L } = { \frac { 3 } { 4 } } \cdot m _ { e m } \cdot { \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } } } \left[ - { \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } } } \ln \left( { \frac { 1 + \beta } { 1 - \beta } } \right) + { \frac { 2 } { 1 - \beta ^ { 2 } } } \right]
\int x ^ { m } \operatorname { a r t a n h } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { m + 1 } \operatorname { a r t a n h } ( a x ) } { m + 1 } } - { \frac { a } { m + 1 } } \int { \frac { x ^ { m + 1 } } { 1 - a ^ { 2 } x ^ { 2 } } } \, d x \quad ( m \neq - 1 )
\begin{array} { r } { p _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ i ~ t ~ } } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } = \sqrt { \frac { E \mathcal { G } _ { c } } { ( 1 - \nu ^ { 2 } ) \pi a } } = 2 . 8 2 1 8 \mathrm { ~ M ~ P ~ a ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon ( 0 0 0 ) = E _ { 0 0 0 } } & { { } \stackrel { ! } { > } E _ { 1 0 0 } = - \Delta _ { 1 } + \varepsilon ( 1 0 0 ) = \varepsilon ( 0 1 0 ) - \varepsilon ( 1 1 0 ) + \varepsilon ( 1 0 0 ) } \\ { \Leftrightarrow \quad \varepsilon ( 0 0 0 ) + \varepsilon ( 1 1 0 ) } & { { } > \varepsilon ( 0 1 0 ) + \varepsilon ( 1 0 0 ) } \end{array}
Z = \frac { \begin{array} { r } { \sum _ { 1 } ^ { n } [ \pi ( z _ { i } - z _ { i + 1 } ) ^ { 2 } ( 3 r _ { i } ^ { 2 } + 2 r _ { i } r _ { i + 1 } + r _ { i + 1 } ^ { 2 } ) / 1 2 } \\ { + \pi z _ { i + 1 } ( z _ { i } - z _ { i + 1 } ) ( r _ { i } ^ { 2 } + r _ { i } r _ { i + 1 } + r _ { i + 1 } ^ { 2 } ) / 3 ] } \end{array} } { V }
{ \frac { d ^ { 2 } y } { d t ^ { 2 } } } + \left( \theta _ { 0 } + 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \theta _ { n } \cos ( 2 n t ) + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \phi _ { m } \sin ( 2 m t ) \right) y = 0 .
\rho \frac { \partial u ^ { \prime } } { \partial t ^ { \prime } } = - \frac { \partial p ^ { \prime } } { \partial x ^ { \prime } } + \mu \frac { \partial ^ { 2 } u ^ { \prime } } { \partial y ^ { 2 } } , \ \ \ \ \rho \frac { \partial w ^ { \prime } } { \partial t ^ { \prime } } = - \frac { \partial p ^ { \prime } } { \partial z ^ { \prime } } + \mu \frac { \partial ^ { 2 } w ^ { \prime } } { \partial y ^ { 2 } } , \ \ \ \ \frac { \partial p ^ { \prime } } { \partial y ^ { \prime } } = 0 .
y ^ { i } \rightarrow Y ^ { A B } = y ^ { i } \sigma _ { i } ^ { A B } = \left( \begin{array} { l l } { { y ^ { 3 } } } & { { y ^ { 1 } - i y ^ { 2 } } } \\ { { y ^ { 1 } + i y ^ { 2 } } } & { { - y ^ { 3 } } } \end{array} \right) ,
A _ { s q \bar { q } } = - \frac { G } { \sqrt { 2 } } c _ { 1 } \bar { u } _ { q } ( p _ { 1 } ) \gamma _ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) u _ { b } ( p _ { b } ) \bar { u } _ { s } ( p ^ { \prime } ) \gamma ^ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) v _ { \bar { q } } ( p _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \bigl \lVert I - A ^ { 1 / 2 } T _ { E } A ^ { 1 / 2 } \bigr \rVert _ { 2 } } & { = \bigl \lVert I - \bigl ( I + A ^ { - 1 / 2 } E _ { 0 } A ^ { - 1 / 2 } \bigr ) ^ { - 1 } \bigr \rVert _ { 2 } } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \bigl \lVert A ^ { - 1 / 2 } E _ { 0 } A ^ { - 1 / 2 } \bigr \rVert _ { 2 } ^ { i } } \\ & { \leq \frac { \epsilon _ { T } } { 1 - \epsilon _ { T } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 0 } } & { { } = 2 f _ { p } - 2 f _ { e } } \\ { f _ { 1 } } & { { } = 0 } \\ { f _ { 2 } + f _ { 3 } } & { { } = \frac { m } { \epsilon } F } \\ { f _ { 3 } - f _ { 2 } } & { { } = \frac { \epsilon } { m } F } \end{array}
- r \lambda ^ { \frac { 1 } { 2 } } h ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Gamma ^ { 0 } \partial _ { 0 } \psi = \left\{ r \Gamma ^ { i } \partial _ { i } + \left( ( h ^ { \frac { 1 } { 2 } } - 1 ) x ^ { i } \partial _ { i } + C + i \Delta \Gamma ^ { 0 } \right) \right\} \Pi \psi
\tilde { \Omega } ( x _ { 2 } ) = \left\lbrace ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \ \middle \vert \ 0 < y _ { 1 } < \Gamma , \ h ( y _ { 1 } ) < y _ { 2 } < h ( y _ { 1 } ) + x _ { 2 } \right\rbrace ,
\widehat { \mathbf { U } } _ { i j } ( x , y ) = \overline { { \mathbf { U } } } _ { i j } + ( \widehat { \mathbf { U } } _ { x } ) _ { i j } ( x - x _ { i } ) + ( \widehat { \mathbf { U } } _ { y } ) _ { i j } ( y - y _ { j } ) , \qquad ( x , y ) \in I _ { i j } .
\mathsf { E } ( t ) = \int _ { 0 } ^ { t } \, \alpha \, d \tau = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { t } \, p _ { j } ( \tau ) \, \dot { \theta } _ { j } ( \tau ) \, d \tau = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 } I _ { j } \dot { \theta } _ { j } ^ { 2 } ( t ) \, .
\eta ( s ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { n ^ { s } } } = { \frac { 1 } { 1 ^ { s } } } - { \frac { 1 } { 2 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { s } } } - { \frac { 1 } { 4 ^ { s } } } + \cdots
d \sigma _ { \mathrm { B } } = 4 \zeta ( 3 ) \, \sigma _ { 0 } \, \left[ \ln { \frac { 2 m _ { e } \gamma } { \varepsilon } } \, \ln { \frac { 2 \varepsilon \gamma } { m _ { e } } } - \ln ( 4 \gamma ^ { 2 } ) + \frac { 3 0 - \pi ^ { 2 } } { 2 4 } \right] \, { \frac { d \varepsilon } { \varepsilon } }
\begin{array} { r l } { H _ { 1 D } ^ { \prime } = } & { \int d y \Big [ \sum _ { s = \uparrow , \downarrow } | y s \rangle \bigr ( - \frac { \hbar ^ { 2 } \partial _ { y } ^ { 2 } } { 2 m } + V ( y ) + \frac { \delta } { 2 } ( \sigma _ { z } ) _ { s s } ) \bigr ) \langle y s | } \\ & { - i \gamma _ { \downarrow } | y \downarrow \rangle \langle y \downarrow | + \bigr ( M _ { R } ( y ) | y \uparrow \rangle \langle y \downarrow | + h . c . \bigr ) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { q } _ { 1 } } & { = } & { p _ { 1 } , } \\ { \dot { q } _ { 2 } } & { = } & { p _ { 2 } , } \\ { \dot { p } _ { 1 } } & { = } & { - q _ { 1 } ^ { 3 } + 2 K _ { Q } \left( q _ { 2 } - q _ { 1 } \right) , } \\ { \dot { p } _ { 2 } } & { = } & { - q _ { 2 } ^ { 3 } + 2 K _ { Q } \left( q _ { 1 } - q _ { 2 } \right) . } \end{array}
A = \frac { 3 } { 2 } \frac { \lambda _ { x } ^ { 4 } + \lambda _ { y } ^ { 4 } + \lambda _ { z } ^ { 4 } } { \left( \lambda _ { x } ^ { 2 } + \lambda _ { y } ^ { 2 } + \lambda _ { z } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } .
\begin{array} { r l r } & { } & { | \tilde { \gamma } _ { 1 2 } | ^ { 2 } = \frac { c ^ { 2 } } { 2 } \left( | a | ^ { 2 } + | b | ^ { 2 } + 2 \Re ( a b ) \right) } \\ & { } & { = \frac { c ^ { 2 } } { 2 } \left( 1 - c ^ { 2 } + \mathrm { c o s } ( \varphi _ { a b } ) \sqrt { 4 \tilde { \gamma } _ { 1 1 } ( 1 - \tilde { \gamma } _ { 1 1 } ) + c ^ { 2 } ( c ^ { 2 } - 2 ) } \right) \, , } \end{array}
\langle \sigma _ { 1 } ( z _ { 1 } ) \sigma _ { 2 } ( z _ { 2 } ) \rangle = \left( \frac { 1 } { 4 y _ { 1 } y _ { 2 } x } \right) ^ { 1 / 8 } \frac { 1 } { \vartheta _ { 3 } ( u ( x ) ) } \vartheta _ { 2 } ( e ^ { 2 i \varphi _ { 0 } } , \sqrt { u ( x ) } ) .
\tilde { \eta } \, = \, \eta ^ { \delta } - \sum _ { m = 0 } ^ { N } \delta ^ { m } \hat { \eta } _ { m } \, , \qquad \mathrm { ~ s ~ o ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } \quad \Bigl ( \delta ( \kappa - \mathcal { L } ) + \Lambda \Bigr ) \tilde { \eta } \, = \, \delta ^ { N + 1 } \bigl ( \mathcal { L } - \kappa \bigr ) \hat { \eta } _ { N } \, .
\bar { \sigma } _ { j } ^ { \ddag } \cdot r _ { P } = \left( \sigma _ { j } ^ { \ddag } \sigma \right) \cdot r _ { P } = \sigma _ { j } ^ { \ddag } \cdot \left( g \cdot r _ { P } \right) = g \cdot \left( \sigma _ { j } ^ { \ddag } \cdot r _ { P } \right)
D _ { \mathrm { { L } } } \oplus \delta _ { \mathrm { { R } } } = { \left[ \begin{array} { l l } { D _ { \mathrm { { L } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \delta _ { \mathrm { { R } } } } \end{array} \right] } = i { \left[ \begin{array} { l l } { I } & { 0 } \\ { 0 } & { I } \end{array} \right] } \partial _ { t } + i { \left[ \begin{array} { l l } { - \sigma ^ { k } } & { 0 } \\ { 0 } & { \sigma ^ { k } } \end{array} \right] } \nabla _ { k } + m { \left[ \begin{array} { l l } { \eta \omega K } & { 0 } \\ { 0 } & { - \eta \omega K } \end{array} \right] }
u _ { k } ^ { ( s _ { 1 } , s _ { 2 } , s _ { 3 } , s _ { 4 } ) } = - \frac { 1 } { 1 2 } s _ { k } \sum _ { i < j } a _ { i j } s _ { i } s _ { j } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } a _ { k i } s _ { i } - \frac { 1 } { 2 } c _ { k } .
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { ~ d ~ } \bar { \mathbf { u } } } { \mathrm { ~ d ~ } t } = f _ { H } ( \bar { \mathbf { u } } ) + \underbrace { ( \mathbf { W } f _ { h } ( \mathbf { u } ) - f _ { H } ( \bar { \mathbf { u } } ) ) } _ { = : \mathbf { c } ( \mathbf { u } ) } , } \end{array}