harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sigma _ { \mathrm { s u m } } ^ { 2 } = \mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { A } _ { H _ { l } } ) ^ { \top } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { A } _ { H _ { l } } \mathbf { A } _ { H _ { l } } } + \lambda \mathbf { W } _ { H _ { l } } ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { A } _ { H _ { l } } \mathbf { A } _ { H _ { l } } } + \lambda \mathbf { W } _ { H _ { l } } ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } \mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { A } _ { H _ { l } } ) \sigma _ { n c } ^ { 2 } .
\Gamma ( A ) = - \lambda \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d s } { s } } ( e ^ { - m ^ { 2 } s } - e ^ { - \Lambda ^ { 2 } s } ) \mathrm { T r } [ e ^ { - s G ^ { - 1 } } - e ^ { - s G _ { 0 } ^ { - 1 } } ] ,
\begin{array} { r l } { S _ { c } = } & { { } S _ { f e } + S _ { b e } } \\ { = } & { { } S _ { f 0 } \left[ 1 + \frac { 2 } { 3 } \pi n _ { b } \left( \frac { v } { \omega _ { p } } \right) ^ { 3 } \right] + \sum _ { k } S _ { b 0 k } \left[ 1 + \frac { 2 } { 3 } \pi n _ { b } \left( \frac { v } { \omega _ { k } } \right) ^ { 3 } \right] } \\ { = } & { { } \left( S _ { f 0 } + \sum _ { k } S _ { b 0 k } \right) + \left[ S _ { f 0 } \frac { n _ { b } } { 1 2 \sqrt { \pi } } \left( \frac { m _ { e } v ^ { 2 } } { \alpha _ { l } n _ { t e } e ^ { 2 } } \right) ^ { 3 / 2 } \right. } \\ { = } & { { } S _ { 0 } + S _ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r } { P \left( \mathcal { E } ( \bar { \tau } _ { C ^ { \prime } C Q } ) , \mathcal { E } ( \rho _ { C ^ { \prime } C Q } ) \right) \leq P ( \bar { \tau } _ { C ^ { \prime } C Q } , \rho _ { C ^ { \prime } C Q } ) . } \end{array}
x _ { \alpha \dot { \alpha } } = x _ { m } \sigma _ { \alpha \dot { \alpha } } ^ { m } = \left( \! \begin{array} { c c } { { x _ { 4 } + i x _ { 3 } } } & { { x _ { 2 } + i x _ { 1 } } } \\ { { - x _ { 2 } + i x _ { 1 } } } & { { x _ { 4 } - i x _ { 3 } } } \end{array} \! \right) = \left( \! \begin{array} { c c } { { z _ { 1 } } } & { { z _ { 2 } } } \\ { { - \bar { z } _ { 2 } } } & { { \bar { z } _ { 1 } } } \end{array} \! \right) ,
T _ { \tau \tau } = T _ { \tau \tau } ^ { ( 0 ) } + { \frac { 1 } { 4 8 \pi } } ( { \frac { 2 } { \beta _ { H } ^ { 2 } } } + 2 g _ { \rho } ^ { \prime \prime } - { \frac { 3 } { 2 } } { \frac { ( g _ { \rho } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { g } } ) ,
\begin{array} { r } { F _ { \Lambda } ( x ) = \frac { 1 } { \Lambda ^ { m } } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \frac { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \Lambda \pi } { L } x _ { i } \right) } { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \pi x _ { i } } { L } \right) } , } \end{array}
T _ { \mathrm { c } } = \left( \frac { \beta _ { \mathrm { t } } ^ { 2 } \gamma _ { \mathrm { t } } ^ { 4 } } { 2 \omega _ { 0 } h } \frac { \left| \tan { \varphi _ { \mathrm { s } } } \right| } { \dot { \gamma } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 3 }
\begin{array} { r l } { A _ { 2 } } & { { } = \int _ { \operatorname* { m a x } h } ^ { 1 + \operatorname* { m a x } h } \int _ { \gamma ^ { - } } n _ { - } \cdot ( \nabla T - u T ) \, d S \, d z = \int _ { 0 } ^ { 1 } d z \int _ { \gamma ^ { - } } n _ { - } \cdot ( \nabla T - u T ) \, d S } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( k l ) } & { { } = ( 1 + k l ) ^ { p - 1 } e ^ { + k l r _ { 0 } / l } \frac { \Gamma \left( - ( p - 1 ) , ( 1 + k l ) r _ { 0 } / l \right) } { 2 \Gamma \left( - ( p - 1 ) , r _ { 0 } / l \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } \hat { W } _ { n } } & { { } = \sum _ { \mu } \left( \hat { a } _ { \mu } \varphi _ { \mu } ^ { * } + \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } \varphi _ { \mu } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { 2 } } & { = Q _ { \mathrm { b v p } } ( \beta _ { 2 } \partial _ { t } ^ { 2 } ( v ^ { 2 } ) + c _ { 2 } \partial _ { t } ( v ^ { 2 } ) + d _ { 2 } v ^ { 2 } ) = A _ { 2 } + Q _ { \mathrm { b v p } } ( c _ { 2 } \partial _ { t } ( v ^ { 2 } ) + d _ { 2 } v ^ { 2 } ) , } \\ { B _ { 3 } } & { = Q _ { \mathrm { b v p } } ( 2 \beta _ { 2 } \partial _ { t } ^ { 2 } ( v B _ { 2 } ) + \beta _ { 3 } \partial _ { t } ^ { 2 } ( v ^ { 3 } ) + c _ { 3 } \partial _ { t } ( v B _ { 2 } ) + c _ { 3 } \partial _ { t } ( v ^ { 3 } ) + d _ { 3 } v B _ { 2 } + d _ { 3 } v ^ { 3 } ) } \\ & { = A _ { 3 } + Q _ { \mathrm { b v p } } ( 2 \beta _ { 2 } \partial _ { t } ^ { 2 } ( v Q _ { \mathrm { b v p } } ( c _ { 2 } \partial _ { t } ( v ^ { 2 } ) + d _ { 2 } v ^ { 2 } ) ) ) + c _ { 3 } \partial _ { t } ( v B _ { 2 } ) + c _ { 3 } \partial _ { t } ( v ^ { 3 } ) + d _ { 3 } v B _ { 2 } + d _ { 3 } v ^ { 3 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathsf { L } ( \mathsf { H } , \mathsf { f } , \mathsf { f } ^ { \star } , \mathsf { f } ^ { \star \star } , \mathsf { g } , \mathsf { g } ^ { \star } , \mathsf { g } ^ { \star \star } ) = \mathsf { J } ( \mathsf { f } ) + \mathrm { ~ T ~ e ~ r ~ m ~ I ~ } + \mathrm { ~ T ~ e ~ r ~ m ~ I ~ I ~ } + \mathrm { ~ T ~ e ~ r ~ m ~ I ~ I ~ I ~ } } \end{array}
{ \frac { { \textrm { d } } ^ { 2 } } { { \textrm { d } } x ^ { 2 } } } e ^ { \frac { 1 } { x } } = { \frac { \textrm { d } } { { \textrm { d } } x } } \left( - { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } e ^ { \frac { 1 } { x } } \right) = - { \frac { - 2 } { x ^ { 3 } } } \cdot e ^ { \frac { 1 } { x } } - { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \cdot { \frac { - 1 } { x ^ { 2 } } } \cdot e ^ { \frac { 1 } { x } } = \left( { \frac { 2 } { x ^ { 3 } } } + { \frac { 1 } { x ^ { 4 } } } \right) \cdot e ^ { \frac { 1 } { x } }
\begin{array} { r l r } { W _ { ( \mathcal { C } ^ { \bot } , \pi ) } ( x , y ; \widetilde { \mathbb { P } } ) } & { = } & { x ^ { s _ { 1 } + \cdots + s _ { \lambda - 1 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } W _ { ( \mathcal { C } _ { \lambda } ^ { \bot } , \pi _ { \lambda } ) } ( x , y ; \widetilde { \mathbb { P } } _ { \lambda } ) + } \\ & { } & { \prod _ { i = 1 } ^ { \lambda } \frac { m ^ { n _ { i + 1 } + \cdots + n _ { \lambda } } y ^ { s _ { i + 1 } + \cdots + s _ { \lambda } } } { | \mathcal { C } _ { i + 1 } | \cdots | \mathcal { C } _ { \lambda } | x ^ { s _ { i } + \cdots + s _ { \lambda } - s } } \left( W _ { ( \mathcal { C } _ { i } ^ { \bot } , \pi _ { i } ) } ( x , y ; \widetilde { \mathbb { P } } _ { i } ) - x ^ { s _ { i } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \right) . } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \tilde { \mathcal { M } } _ { 1 } } { \partial \tilde { r } ^ { 2 } } + \left( \tilde { u } _ { 0 } - \frac { 1 } { \tilde { h } _ { 0 } } \frac { \partial \tilde { h } _ { 0 } } { \partial \tilde { r } } \right) \frac { \partial \tilde { \mathcal { M } } _ { 1 } } { \partial r } = 4 \frac { \partial \tilde { \mathcal { M } } _ { 0 } } { \partial t } - \tilde { u } _ { 1 } \frac { \partial \tilde { \mathcal { M } } _ { 0 } } { \partial \tilde { r } } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \tilde { r } > 0 , \; 0 < t < 1 ,
{ \frac { H ^ { 2 } } { H _ { 0 } ^ { 2 } } } = \Omega _ { 0 , R } a ^ { - 4 } + \Omega _ { 0 , M } a ^ { - 3 } + \Omega _ { 0 , k } a ^ { - 2 } + \Omega _ { 0 , \Lambda }
\Hat { E } _ { p q } ^ { - } = \sum _ { \sigma \in \{ \uparrow , \downarrow \} } \hat { a } _ { q \sigma } ^ { \dagger } \hat { a } _ { p \sigma } ^ { \vphantom { \dagger } } - \hat { a } _ { p \sigma } ^ { \dagger } \hat { a } _ { q \sigma } ^ { \vphantom { \dagger } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { d } F _ { ( f ^ { \mathrm { X } } , f ^ { \mathrm { Y } } ) } ( \nu ) } & { { } = \left\langle \mathcal { L } _ { d } ^ { \mathrm { X } } f ^ { \mathrm { X } } , \nu ^ { \mathrm { X } } \right\rangle \frac { \partial } { \partial x } F \left( \left\langle f ^ { \mathrm { X } } , \nu \right\rangle , \left\langle f ^ { \mathrm { Y } } , \nu \right\rangle \right) + \left\langle \mathcal { L } _ { d } ^ { \mathrm { Y } } f ^ { \mathrm { Y } } , \nu ^ { \mathrm { Y } } \right\rangle \frac { \partial } { \partial y } F \left( \left\langle f ^ { \mathrm { X } } , \nu \right\rangle , \left\langle f ^ { \mathrm { Y } } , \nu \right\rangle \right) + } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \quad \mathbb { E } _ { ( \mathbf { x _ { t _ { i - 1 } } } , \mathbf { x _ { t _ { i } } } ) } \left[ \log \frac { p _ { t _ { i - 1 } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i - 1 } } , \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) p ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } { p _ { t _ { i - 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i - 1 } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) p ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } \right] } \\ { = } & { { } \quad \mathbb { E } _ { \mathbf { x _ { t _ { i } } } } \mathbb { E } _ { \mathbf { x _ { t _ { i - 1 } } } | \mathbf { x _ { t _ { i } } } } \left[ \log \frac { p _ { t _ { i - 1 } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i - 1 } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } { p _ { t _ { i - 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i - 1 } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } \right] } \\ { = } & { { } \quad \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \left[ \mathrm { K L } ( p _ { t _ { i - 1 } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } | | \, p _ { t _ { i - 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) + \mathrm { K L } ( p _ { t _ { i + 1 } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } | | \, p _ { t _ { i + 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \mathrm { ~ H ~ a ~ l ~ l ~ } } } & { { } \approx \frac { r _ { 2 } ^ { 6 } \mu _ { 0 } ^ { 2 } ( \mu _ { 2 , r } \omega _ { 0 } \alpha _ { 0 } n I _ { 0 } ) ^ { 2 } \theta _ { 2 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) \cos ( \omega _ { 0 } t ) } { 1 2 l ( \mu _ { 2 , r } + 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { H } } & { { } = \left( \begin{array} { l l l l } { \mathbf { M } ^ { ( 0 0 ) } } & { \mathbf { M } ^ { ( 0 1 ) } } & { . . . } & { \mathbf { M } ^ { ( 0 N ) } } \\ { \mathbf { M } ^ { ( 1 0 ) } } & { \mathbf { M } ^ { ( 1 1 ) } } & { . . . } & { \mathbf { M } ^ { ( 1 N ) } } \\ { \mathbf { M } ^ { ( N 0 ) } } & { \mathbf { M } ^ { ( N 1 ) } } & { . . . } & { \mathbf { M } ^ { ( N N ) } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } _ { \hat { U } } \hat { g } ( \hat { U } ) } & { { } \textstyle \stackrel { } { = } \frac { 2 } { N } \int \mathrm { d } U \, \operatorname { T r } \left( \hat { Y } ^ { 2 } \hat { U } \hat { X } ^ { 2 } \hat { U } ^ { \dag } - ( \hat { Y } \hat { U } \hat { X } \hat { U } ^ { \dag } ) ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { T ^ { 2 } ( I , I ) \cdot T ^ { 2 } ( n ) | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \\ & { = \delta _ { F , F ^ { \prime } } \delta _ { M , M ^ { \prime } } \delta _ { F _ { 1 } , F _ { 1 } ^ { \prime } } } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { N ^ { \prime } + F _ { 1 } + G } \left\{ \begin{array} { c c c } { G ^ { \prime } } & { N ^ { \prime } } & { F _ { 1 } } \\ { N } & { G } & { 2 } \end{array} \right\} } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { N - K } \sqrt { ( 2 N + 1 ) ( 2 N ^ { \prime } + 1 ) } \left( \begin{array} { c c c } { N } & { 2 } & { N ^ { \prime } } \\ { - K } & { 0 } & { K ^ { \prime } } \end{array} \right) } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { G ^ { \prime } + I + 2 + S } \sqrt { ( 2 G + 1 ) ( 2 G ^ { \prime } + 1 ) } \left\{ \begin{array} { c c c } { I } & { G ^ { \prime } } & { S } \\ { G } & { I } & { 2 } \end{array} \right\} } \\ & { \times \frac { 1 } { 2 \sqrt { 6 } } \sqrt { ( 2 I - 1 ) ( 2 I ) ( 2 I + 1 ) ( 2 I + 2 ) ( 2 I + 3 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( s - 1 + \operatorname* { m a x } \{ x _ { l } ( \Gamma ) , y _ { l } ( \Gamma ) \} ) L + \delta - \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } t _ { s } } \\ & { \leq } & { \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } - \lceil ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \rceil ) + L + \delta \leq L + \delta \leq 2 L , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathop { } \! \mathrm { d } } { \mathop { } \! \mathrm { d } t } \left( \begin{array} { l } { \tilde { h } _ { u } } \\ { \tilde { h } _ { s } } \end{array} \right) } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { \tilde { J } _ { u } } & { 0 } \\ { 0 } & { \tilde { J } _ { s } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \tilde { h } _ { u } } \\ { \tilde { h } _ { s } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { \tilde { \Psi } _ { u } } \\ { \tilde { \Psi } _ { s } } \end{array} \right) \tilde { K } \left( \begin{array} { l } { \tilde { h } _ { u } } \\ { \tilde { h } _ { s } } \end{array} \right) } \end{array}
\frac { d } { d t } \big ( \phi , \psi \big ) _ { \Omega } = \frac { d } { d t } \big ( \hat { \phi } , \hat { \psi } \big ) _ { \hat { \Omega } } = \Big ( \frac { d \hat { \phi } } { d t } , \hat { \psi } \Big ) _ { \hat { \Omega } } + \Big ( \hat { \phi } , \frac { d \hat { \psi } } { d t } \Big ) _ { \hat { \Omega } } .
\begin{array} { r l } { ( \mathbb { M } _ { e } \, { \mathrm { G r a d } _ { h } } \, p _ { h } ) ^ { T } \, \mathbf { v } _ { h } } & { = - ( \mathbb { M } _ { n } \, p _ { h } ) ^ { T } \, \widetilde { \mathrm { D i v } _ { h } } \, \mathbf { v } _ { h } , } \\ { ( \mathbb { M } _ { c } \, { \mathrm { D i v } _ { h } } \, \mathbf { u } _ { h } ) ^ { T } \, p _ { h } } & { = - ( \mathbb { M } _ { f } \, \mathbf { u } _ { h } ) ^ { T } \, \widetilde { \mathrm { G r a d } _ { h } } \, p _ { h } , } \\ { ( \mathbb { M } _ { f } \, { \mathrm { C u r l } _ { h } } \, \mathbf { u } _ { h } ) ^ { T } \, \mathbf { v } _ { h } } & { = ( \mathbb { M } _ { e } \, \mathbf { u } _ { h } ) ^ { T } \, \widetilde { \mathrm { C u r l } _ { h } } \, \mathbf { v } _ { h } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p } & { { } = - \frac { 1 } { 3 } k ^ { 2 } - k _ { \mathrm { a } } c - 1 , } \\ { q } & { { } = \frac { 2 } { 2 7 } k ^ { 3 } + \frac { k } { 3 } \left( 1 + k _ { \mathrm { a } } c \right) - k _ { \mathrm { a } } . } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathrm { ~ 1 ~ } } = \lambda _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } } ( \hat { D } , D ) + \lambda _ { \mathrm { ~ T ~ V ~ } } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ T ~ V ~ } } ( \hat { D } ) + \lambda _ { \mathrm { ~ S ~ L ~ } } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ S ~ L ~ } } ( \alpha | f _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ p ~ } } ( \Phi ) | ) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { P _ { f } } { \rho _ { p } ^ { 2 } } } & { { } \approx } & { \epsilon _ { f } ^ { D T } \, \frac { n _ { D } \, n _ { T } } { m _ { p } ^ { 2 } \, n _ { p } ^ { 2 } } \, u _ { D T } \, \sigma _ { R 0 } ^ { D T } + \epsilon _ { f } ^ { p B } \, \frac { n _ { p } \, n _ { B } } { m _ { p } ^ { 2 } \, n _ { p } ^ { 2 } } \, u _ { p B } \, \sigma _ { R 0 } ^ { p B } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 0 } } & { { } = } & { 0 . 5 0 9 0 9 2 } \\ { A _ { 1 } } & { { } = } & { 7 . 0 8 7 1 5 , } \\ { A _ { 2 } } & { { } = } & { 4 . 4 3 9 7 5 , } \\ { A _ { 3 } } & { { } = } & { 0 . 6 9 6 0 7 9 , } \\ { A _ { 4 } } & { { } = } & { 0 . 4 4 8 4 0 2 , } \end{array}
\frac { \partial \tilde { \phi } ^ { I } } { \partial z _ { \; b } ^ { k a } } = [ z ^ { i _ { \mu + 1 } } z ^ { i _ { \mu + 2 } } \ldots z ^ { i _ { m } } z ^ { i _ { 1 } } \ldots z ^ { i _ { \mu - 1 } } ] _ { a } ^ { b } .
\sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { k + x } = \left[ x \left( \begin{array} { l } { n + x } \\ { n } \end{array} \right) \right] ^ { - 1 } .
E _ { \Vert } = \left( \frac { T _ { i n i t } } { T _ { e } } \right) ^ { 3 / 2 } \eta _ { i n i t } j _ { 0 } = \left( \frac { T _ { i n i t } } { T _ { e } } \right) ^ { 3 / 2 } E _ { i n i t } ,
\begin{array} { r } { \mathcal { N } _ { G } ^ { \mathrm { B C } } ( \mathrm { ~ \boldmath ~ d ~ } ) = \frac { ( 2 M - 1 ) ! ! } { \prod _ { j = 1 } ^ { N } d _ { j } ! } \, \mathrm { e } ^ { - \lambda - \lambda ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal T } ( s , z ) } & { { } \sim } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { N \ln { N } } { | s | } } & { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ n ~ } ~ 1 \ll | s | \ll N } \\ { N } & { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ n ~ | ~ b ~ | ~ \ll ~ 1 ~ a ~ n ~ d ~ | ~ s ~ | ~ = ~ { ~ \cal ~ O ~ } ~ ( ~ 1 ~ ) ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { c c l } { { \hat { H } } ^ { \mathrm { ~ T ~ C ~ } } } & { = } & { \sum _ { j } ^ { N } h \nu _ { j } ( \mathbf R _ { j } ) \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } \hat { \sigma } _ { j } ^ { - } + \sum _ { k _ { z } } ^ { n _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ } } } \hbar \omega _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } ( k _ { z } ) \hat { a } _ { k _ { z } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k _ { z } } + } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \phi } _ { n _ { k } } ( x _ { k } ) = ( 2 \pi ) ^ { - \frac { 1 } { 4 } } \frac { e ^ { - x _ { k } ^ { 2 } / 4 } } { \sqrt { n _ { k } ! } } \phi _ { n _ { k } } ^ { \mathrm { h a r } } ( x _ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { [ b ] \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) f ( x , s , t ) \, d s } & { + \partial _ { x } \left( c ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) V ( s ) f ( x , s , t ) \, d s \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \varphi ( s ^ { \prime } ) - \varphi ( s ) ) f ( x , s , t ) f ( x + \eta , s _ { \ast } , t ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \varphi ( s ^ { \prime \prime } ) - \varphi ( s ) ) f ( x , s , t ) \, d s . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { i + \frac 1 2 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle U ( x _ { i + \frac 1 2 } ) \frac { q _ { i } ^ { n } } { L _ { i } } } & { U ( x _ { i + \frac 1 2 } ) > 0 } \\ { \displaystyle U ( x _ { i + \frac 1 2 } ) \frac { q _ { i + 1 } ^ { n } } { L _ { i + 1 } } } & { U ( x _ { i + \frac 1 2 } ) < 0 } \end{array} \right. } \\ & { = \frac { U ( x _ { i + \frac 1 2 } ) } { 2 } \left( \frac { q _ { i } ^ { n } } { L _ { i } } + \frac { q _ { i + 1 } ^ { n } } { L _ { i + 1 } } \right) - \frac { | U ( x _ { i + \frac 1 2 } ) | } { 2 } \left( \frac { q _ { i + 1 } ^ { n } } { L _ { i + 1 } } - \frac { q _ { i } ^ { n } } { L _ { i } } \right) } \end{array}
S _ { Q } ( p ) \pm R _ { Q } ( p ) = 4 \pi ^ { 2 } d _ { Q } ( R ) \int \frac { d ^ { 4 } l } { { ( 2 \pi ) } ^ { 4 } } \delta ( l ^ { 2 } - m _ { Q } ^ { 2 } ) \delta [ { ( l + p ) } ^ { 2 } - m _ { Q } ^ { 2 } ] \sin ^ { 2 } [ \theta ( l ^ { 0 } + p ^ { 0 } , \mu _ { Q } ) \pm \theta ( l ^ { 0 } , \mu _ { Q } ) ] \geq 0 .
y _ { f } = \frac { \mathrm { A i } ^ { \prime } ( x _ { f } ) \, \mathrm { B i } ^ { \prime } ( x _ { i } ) - \mathrm { B i } ^ { \prime } ( x _ { f } ) \, \mathrm { A i } ^ { \prime } ( x _ { i } ) } { \mathrm { A i } ( x _ { f } ) \, \mathrm { B i } ^ { \prime } ( x _ { i } ) - \mathrm { B i } ( x _ { f } ) \, \mathrm { A i } ^ { \prime } ( x _ { i } ) } \, .
\{ Q _ { \lambda } ^ { p } , Q _ { \mu } ^ { r } \} = \{ Q _ { \mu } ^ { p } , Q _ { \nu } ^ { r } \} = \{ Q _ { \nu } ^ { p } , Q _ { \lambda } ^ { r } \} = 0 ; \qquad 0 < p , r , \qquad p + r = n
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } = Z ^ { 0 } \int } & { e x p \Bigg [ - \Bigg ( R ( \mathcal { M } ) + R m ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) + V o l ( \mathcal { M } ) \Bigg ) \Bigg ] } \\ & { \prod _ { l } \left( \frac { w _ { l } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { V _ { l } ^ { \frac { 1 3 } { 3 0 } } } \right) D \left[ l ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( d _ { i } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } = \mathrm { S R } ( t \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + t \, \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , \quad } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y } \, p _ { 0 } ( t \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + t \, \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) , } \\ { u ^ { 2 } , \quad } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y } \, 1 - p _ { 0 } ( t \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + t \, \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \langle W _ { n } \rangle _ { \infty } } { v ^ { 2 } ( n ) } = Z , \quad \forall t \ge 0 \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \langle W _ { n } \rangle _ { t } } { v ^ { 2 } ( n ) } = 0 , \mathrm { ~ a n d ~ } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { W _ { n , 0 } } { v ( n ) } = 0 .
\mathbf { A } ^ { - } \left[ \begin{array} { l } { \psi _ { m , k , j , L } } \\ { \psi _ { m , k , j , R } } \\ { \psi _ { m , k + 1 / 2 , j , L } } \\ { \psi _ { m , k + 1 / 2 , j , R } } \end{array} \right] = \mathbf { b } ^ { - } \; .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } \in \mathcal { D } _ { l } } \Sigma _ { H _ { l } } ( \mathbf { x } ) } & { \leq \frac { 1 } { T _ { l } } \sum _ { h = 1 } ^ { H _ { l } } T _ { l } ( \mathbf { a } _ { h } ) \Sigma _ { h - 1 } ( \mathbf { a } _ { h } ) } \\ & { = \frac { 1 } { T _ { l } } \sum _ { h = 1 } ^ { H _ { l } } \sum _ { \tau = \tau _ { h - 1 } + 1 } ^ { \tau _ { h - 1 } + T _ { l } ( \mathbf { a } _ { h } ) } \Sigma _ { h - 1 } ( \mathbf { a } _ { h } ) } \\ & { = \frac { 1 } { T _ { l } } \sum _ { h = 1 } ^ { H _ { l } } \sum _ { \tau = \tau _ { h - 1 } + 1 } ^ { \tau _ { h - 1 } + T _ { l } ( \mathbf { a } _ { h } ) } \frac { \Sigma _ { h - 1 } ( \mathbf { a } _ { h } ) } { \sigma _ { \tau } ( \mathbf { a } _ { h } ) } \cdot \sigma _ { \tau } ( \mathbf { a } _ { h } ) } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } \frac { 1 } { T _ { l } } \sum _ { h = 1 } ^ { H _ { l } } \sum _ { \tau = \tau _ { h - 1 } + 1 } ^ { \tau _ { h - 1 } + T _ { l } ( \mathbf { a } _ { h } ) } C \sigma _ { \tau } ( \mathbf { a } _ { h } ) } \\ & { \overset { ( b ) } { = } \frac { C } { T _ { l } } \sum _ { h = 1 } ^ { H _ { l } } \sum _ { \tau = \tau _ { h - 1 } + 1 } ^ { \tau _ { h - 1 } + T _ { l } ( \mathbf { a } _ { h } ) } \sigma _ { \tau } ( \mathbf { x } _ { t _ { l } + \tau } ) } \\ & { = \frac { C } { T _ { l } } \sum _ { \tau = 1 } ^ { T _ { l } } \sigma _ { \tau } ( \mathbf { x } _ { t _ { l } + \tau } ) } \\ & { \overset { ( c ) } { \leq } \frac { C } { T _ { l } } \sqrt { T _ { l } \sum _ { \tau = 1 } ^ { T _ { l } } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } ( \mathbf { x } _ { t _ { l } + \tau } ) } } \\ & { \overset { ( d ) } { \leq } \frac { C } { T _ { l } } \sqrt { T _ { l } \cdot 2 \lambda \gamma _ { T _ { l } } } = \sqrt { \frac { 2 \lambda C ^ { 2 } \gamma _ { T _ { l } } } { T _ { l } } } , } \end{array}
\begin{array} { l } { { \displaystyle \hat { \cal J } _ { a } = - i \epsilon _ { a b c } p ^ { b } \frac \partial { \partial p _ { c } } + { \bf J } _ { a } \qquad \qquad \hat { \cal P } _ { a } = p _ { a } \qquad \qquad \hat { \cal Z } = m b } } \\ { { \displaystyle \hat { \cal Q } _ { \alpha } ^ { 1 } = ( i p _ { \alpha \beta } { \bf W } ^ { \beta } + m \tilde { \bf W } _ { \alpha } ) [ 1 + \mathrm { q } ( b { \bf P } _ { 3 } - \sqrt { 1 - b ^ { 2 } } \, { \bf P } _ { 2 } - { \bf P } _ { 4 } ) ] } } \\ { { \displaystyle \hat { \cal Q } _ { \alpha } ^ { 2 } = ( i p _ { \alpha \beta } { \bf V } ^ { \beta } + m \tilde { \bf V } _ { \alpha } ) [ 1 + \mathrm { q } ( b { \bf P } _ { 3 } + \sqrt { 1 - b ^ { 2 } } \, { \bf P } _ { 2 } - { \bf P } _ { 4 } ) ] \, . } } \end{array}
\frac { c ^ { 2 } k ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { d _ { 1 } } { c _ { 1 } } B _ { 0 } ^ { 2 } \right) = \frac { ( \omega ^ { 2 } - \widetilde { \omega } _ { L } ^ { 2 } ) ( \omega ^ { 2 } - \widetilde { \omega } _ { R } ^ { 2 } ) } { \omega ^ { 2 } ( \omega ^ { 2 } - \widetilde { \omega } _ { h } ^ { 2 } ) } \, \; ,
\begin{array} { r l } { M ^ { \prime } ( t ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \delta \rightarrow 0 } \frac { h ( \overline { { x } } _ { t + \delta } , t + \delta ) - h ( \overline { { x } } _ { t } , t ) } { \delta } = \operatorname* { l i m } _ { \delta \rightarrow 0 } \frac { h ( \overline { { x } } _ { t + \delta } , t + \delta ) - h ( \overline { { x } } _ { t } , t ) \pm h ( \overline { { x } } _ { t } , t + \delta ) } { \delta } } \\ & { \geq \operatorname* { l i m } _ { \delta \rightarrow 0 } \frac { h ( \overline { { x } } _ { t } , t + \delta ) - h ( \overline { { x } } _ { t } , t ) } { \delta } \geq \partial _ { t } h ( \overline { { x } } _ { t } , t ) . } \end{array}