harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \sum _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } , l _ { 4 } \in \mathcal { L } } \mathbb { E } \left[ H _ { q , l _ { 1 } } ^ { ( r ) } ( X _ { i _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } , \ldots , X _ { i _ { q r } ^ { ( 1 ) } } ) H _ { q , l _ { 2 } } ^ { ( r ) } ( X _ { i _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } , \ldots , X _ { i _ { q r } ^ { ( 2 ) } } ) \right. } \\ & { ~ ~ ~ ~ \left. H _ { q , l _ { 3 } } ^ { ( r ) } ( X _ { j _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } , \ldots , X _ { j _ { q r } ^ { ( 1 ) } } ) H _ { q , l _ { 4 } } ^ { ( r ) } ( X _ { j _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } , \ldots , X _ { j _ { q r } ^ { ( 2 ) } } ) \right] } \\ { = } & { O ( \tilde { \Sigma } _ { r } ^ { 2 } ( q ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \cos z } & { = \frac { \sinh r _ { \mathrm { \scriptscriptstyle A } } \, \cos \phi + \sinh r _ { \mathrm { \scriptscriptstyle B } } \, \sin \phi } { \sqrt 2 \, \sqrt { \sinh ^ { 2 } r _ { \mathrm { \scriptscriptstyle A } } \cos ^ { 2 } \phi + \sinh ^ { 2 } r _ { \mathrm { \scriptscriptstyle B } } \sin ^ { 2 } \phi } } , } \\ { \sin z } & { = \frac { - \sinh r _ { \mathrm { \scriptscriptstyle A } } \, \cos \phi + \sinh r _ { \mathrm { \scriptscriptstyle B } } \, \sin \phi } { \sqrt 2 \, \sqrt { \sinh ^ { 2 } r _ { \mathrm { \scriptscriptstyle A } } \cos ^ { 2 } \phi + \sinh ^ { 2 } r _ { \mathrm { \scriptscriptstyle B } } \sin ^ { 2 } \phi } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { X ^ { ( 1 ) } ( t ) } & { = } & { \frac { \gamma _ { \mathrm { R b } } \langle S _ { z } \rangle J _ { 1 } } { \sqrt { 2 } \Gamma _ { \mathrm { R b } } } \left[ ( J _ { 2 } - J _ { 0 } ) \sin ( \theta _ { \mathrm { a c } } - \theta _ { 1 } ) b _ { x } ( t ) \right. } \\ & { } & { \left. + ( J _ { 0 } + J _ { 2 } ) \cos ( \theta _ { \mathrm { a c } } - \theta _ { 1 } ) b _ { y } ( t ) \right] . } \end{array}
\left\{ \frac { d ^ { 2 } } { d \varrho ^ { 2 } } + \alpha ^ { 2 } \varrho ^ { 2 ( \alpha - 1 ) } \left[ E - V ( \varrho ^ { \alpha } ) \right] - \frac { \alpha ^ { 2 } ( l + \nu ) ^ { 2 } - 1 / 4 } { \varrho ^ { 2 } } \right\} \widetilde { u } ( \varrho ) = 0 \; ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \tau _ { \mathfrak g } \colon \mathsf { W } \to \mathfrak g \, , \ \ \ \tau _ { \mathfrak g ^ { \prime } } \colon \mathsf { W } \to \mathfrak g ^ { \prime } \, , } \\ & { } & { \tau _ { \mathfrak g } ( w ) = w w ^ { * } \, , \ \ \ \tau _ { \mathfrak g ^ { \prime } } ( w ) = w ^ { * } w \qquad ( w \in \mathsf { W } ) \, . } \end{array}
P _ { k } = \mu _ { T } \left( \nabla \mathbf { v } : \left( \nabla \mathbf { v } + \left( \nabla \mathbf { v } \right) ^ { T } \right) - \frac { 2 } { 3 } \left( \nabla \cdot \mathbf { v } \right) ^ { 2 } \right) - \frac { 2 } { 3 } \rho _ { f } k \nabla \cdot \mathbf { v } \mathrm { ~ . ~ }
\mathcal { D } _ { \frac { 3 \hat { c } _ { 5 } } { k } } ^ { 5 } \subseteq \big \{ \xi > u _ { 5 } ^ { \delta _ { 0 } } + \frac { 3 \hat { c } _ { 5 } } { k } \big \} \, , \qquad \mathcal { D } _ { \frac { 3 \hat { c } _ { 6 } } { k } } ^ { 6 } \subseteq \big \{ \xi < u _ { 6 } ^ { \delta _ { 0 } } - \frac { 3 \hat { c } _ { 6 } } { k } \big \} \, .
\chi _ { 1 } ( x ) \, = \, \frac { 1 } { 1 + x } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \, | x | \le \frac 1 2 \, , \qquad \chi _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) \, = \, 0 \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \, | x | \ge \frac 3 4 \, .
\begin{array} { r l r } { A _ { 3 , - m } ^ { \left( b \right) } } & { { } = } & { \left( - 1 \right) ^ { m } \xi _ { m } \omega _ { k } \tau \left( \left( - 1 \right) ^ { m } 2 \xi _ { m } \omega _ { k } , 3 , - m , \ell _ { 3 , - m } \right) + \eta _ { 0 } ^ { \left( \ell _ { 3 , - m } \right) } + \eta _ { 0 } ^ { \left( \ell _ { 3 , - m } \right) } \left( \left( - 1 \right) ^ { m } 2 \xi _ { m } \omega _ { k } \right) } \\ { A _ { 3 , - m } ^ { \left( r \right) } } & { { } = } & { - \frac { \pi } { 2 } + \left( - 1 \right) ^ { m } \left( \phi _ { 3 , - m } - \arg \Omega _ { 3 , - m } \right) + \left[ \left( - 1 \right) ^ { m } \delta _ { 3 , - m } - \frac { \mathbf { k } } { M } \mathbf { \cdot p } _ { + , T _ { 3 , - m } + \tau \left( \left( - 1 \right) ^ { m } 2 \xi _ { m } \omega _ { k } , 3 , - m , \ell _ { 3 , - m } \right) } ^ { \left( 3 , - m \right) } - \left( 2 m + 1 \right) \omega _ { k } \right] T _ { 3 , - m } ^ { \left( 0 \right) } } \end{array}
\star \; : \left\{ \begin{array} { c } { { \Omega _ { i } ^ { \rho } \times \Omega _ { i } ^ { \sigma } \longrightarrow \Omega _ { i } ^ { ( \rho - \sigma ) } } } \\ { { ( \chi ^ { ( \rho ) } , \chi ^ { ( \sigma ) } ) \longmapsto \chi ^ { ( \rho ) } \star \chi ^ { ( \sigma ) } , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { 2 } ( \omega ) = } & { { } \frac { 8 \pi ^ { 2 } e ^ { 2 } } { \Omega \omega ^ { 2 } } \frac { 1 } { N _ { \mathbf { k } } N _ { \mathbf { q } } } \sum _ { \nu i j \mathbf { k } \mathbf { q } } | \mathbf { e } \cdot [ \mathbf { S } _ { 1 , i j \nu } ( \mathbf { k , q } ) + \mathbf { S } _ { 2 , i j \nu } ( \mathbf { k , q } ) ] | ^ { 2 } } \end{array}
\frac { a _ { 1 1 } \Gamma } { b _ { 1 1 } \Gamma } = \frac { a _ { 1 1 } } { b _ { 1 1 } } = \frac { \Gamma _ { a } - a _ { 1 2 } } { 1 - ( a _ { 2 1 } / a _ { 1 1 } ) \Gamma _ { a } } \frac { 1 + ( b _ { 1 2 } / b _ { 1 1 } ) \Gamma _ { b } } { \Gamma _ { b } + b _ { 2 1 } } .
\mathrm { ~ { ~ \bf ~ T ~ D ~ } ~ } ( t ) = [ \mathrm { ~ { ~ \bf ~ O ~ } ~ } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ R ~ } ~ } , t ) , \mathrm { ~ { ~ \bf ~ O ~ } ~ } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ R ~ } ~ } , t - \tau ) , \mathrm { ~ { ~ \bf ~ O ~ } ~ } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ R ~ } ~ } , t - 2 \tau ) , . . . , \mathrm { ~ { ~ \bf ~ O ~ } ~ } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ R ~ } ~ } , t - ( D _ { E } - 1 ) \tau ] .
\operatorname * { l i m } _ { x _ { 1 } , x _ { 2 } \to x } \frac { H ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } } = \frac { 3 \mu ^ { 2 } + x ^ { 2 } } { 6 ( \mu ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \, .
\Pi ^ { ( T ) } ( P ) = 2 J _ { - 1 } { \frac { T ^ { 2 } } { P ^ { 2 } } } + 8 J _ { 1 } { \frac { T ^ { 4 } } { P ^ { 6 } } } \left( { \frac { p ^ { 2 } } { d - 1 } } - p _ { 0 } ^ { 2 } \right) + O ( T ^ { 6 } / P ^ { 6 } ) \, .
\operatorname* { d e t } ( A ) = { \frac { 1 } { n ! } } \sum \varepsilon _ { i _ { 1 } \cdots i _ { n } } \varepsilon _ { j _ { 1 } \cdots j _ { n } } a _ { i _ { 1 } j _ { 1 } } \cdots a _ { i _ { n } j _ { n } } ,
V _ { s o } ^ { \bar { q } Q } = { \frac { 4 \alpha _ { s } } { 3 \mu _ { \bar { q } Q } r ^ { 3 } } } \vec { L } \cdot ( { \frac { \vec { S } _ { Q } } { m _ { Q } } } + { \frac { \vec { S } _ { \bar { q } } } { m _ { q } } } ) - ( { \frac { 2 \alpha _ { s } } { 3 r ^ { 3 } } } + { \frac { b } { 2 r } } ) \vec { L } \cdot ( { \frac { \vec { S } _ { Q } } { m _ { Q } ^ { 2 } } } + { \frac { \vec { S } _ { \bar { q } } } { m _ { q } ^ { 2 } } } ) ~ ~ .
\begin{array} { r } { F _ { \ell } = \frac { 1 } { \mathcal { V } _ { \ell } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } r ^ { \prime } \boldsymbol { f } _ { \ell } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \boldsymbol { F } ( t , \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { s l o w } = } & { } & { \frac { | k | V _ { S } } { 2 | \cos \theta | } ( \frac { 1 } { 8 } \pi \frac { m _ { e } } { m _ { p } } ) ^ { 1 / 2 } } \\ & { } & { \left( 1 - \frac { \cos 2 \theta [ ( V _ { S } ^ { 2 } / V _ { A } ^ { 2 } ) \cos 2 \theta - 1 ] } { [ 1 + V _ { S } ^ { 4 } / V _ { A } ^ { 4 } - 2 ( V _ { S } ^ { 2 } / V _ { A } ^ { 2 } ) \cos 2 \theta ] ^ { 1 / 2 } } \right) } \end{array}
\phi ( v _ { x } , v _ { y } ) = 2 \pi d \sqrt { \lambda ^ { - 2 } - v _ { x } ^ { 2 } - v _ { y } ^ { 2 } } = \frac { 2 \pi d } { \lambda } [ 1 - \frac { v _ { x } ^ { 2 } + v _ { y } ^ { 2 } } { 2 \lambda ^ { - 2 } } + \frac { 1 } { 8 } ( \frac { v _ { x } ^ { 2 } + v _ { y } ^ { 2 } } { \lambda ^ { - 2 } } ) ^ { 2 } - \cdots ]
T r ( \gamma _ { 0 , 5 _ { i } } ) ^ { 2 } - 6 4 T r ( \gamma _ { \Omega { \bf P } ( i ) , 5 _ { i } } ^ { - 1 } \gamma _ { \Omega { \bf P } ( i ) , 5 _ { i } } ^ { T } ) + 3 2 ^ { 2 }
\frac { 6 2 \cdot 1 2 } { { \varepsilon } \mathfrak { s } } \ln \left( \frac { 2 1 } { \alpha } \right) \leq 6 2 \cdot 1 2 \cdot 2 ^ { \frac { 1 3 } { 2 } } 3 ^ { 2 } C _ { 2 } \mathfrak { c } ^ { \frac { 3 } { 2 } } d ^ { \frac { 1 9 } { 4 } } { \varepsilon } ^ { - 3 } \ln \left( \frac { 2 1 } { \alpha } \right) \leq \mathfrak { C } d ^ { 5 } { \varepsilon } ^ { - 3 } \ln ( \frac { 2 1 } { \alpha } ) .
0 \leq \frac { t _ { u } ^ { \dagger } ( q ) - t _ { u } ^ { \dagger } ( 1 ) } { t _ { u } ^ { \dagger } ( q ) } \leq \frac { 1 - q } { q } \cdot \frac { 1 + \log ( 1 + C ^ { * } / ( q \, \varepsilon _ { S S l } ) ) } { \log ( 1 + C ^ { * } / ( q \, \varepsilon _ { S S l } ) ) } .
\begin{array} { r l r } { w _ { k j } ( \tau ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { N _ { t } } \int d t \hat { f } _ { k } ( t , \tau ) x _ { j } ( t , \tau ) } \\ { m ( t , \tau ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { j } x _ { j } ( t , \tau ) } \\ { g ( t , \tau ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { k } \hat { f } _ { k } ( t , \tau ) } \\ { q ( t , t ^ { \prime } , \tau ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { k } x _ { k } ( t , \tau ) x _ { k } ( t ^ { \prime } , \tau ) } \\ { Q ( t , t ^ { \prime } , \tau ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { k } \hat { f } _ { k } ( t , \tau ) \hat { f } _ { k } ( t ^ { \prime } , \tau ) } \\ { K ( t , t ^ { \prime } , \tau ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { k } x _ { k } ( t , \tau ) \hat { f } _ { k } ( t ^ { \prime } , \tau ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal J } _ { n l l ^ { \prime } , 1 s } ^ { b } ( \tau , q ) } & { { } = } & { \frac { \tau } { q } \; \frac { 2 ^ { 2 l ^ { \prime } + \tau + 2 } \; n ^ { \tau - 1 } } { ( 2 l ^ { \prime } + 1 ) ! } \left[ \frac { ( n + l ) ! } { ( n - l - 1 ) ! } \right] ^ { 1 / 2 } \mathrm { R e } \left\{ \sum _ { k = - 1 , 1 } d _ { \; n , l } ^ { \; l ^ { \prime } , - k } \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde \lambda = \frac { \langle \nabla I , [ \widetilde M ( \pmb \theta ) + \alpha \mathbb I _ { n } ] ^ { - 1 } \tilde { \mathbf f } \rangle } { \langle \nabla I , [ \widetilde M ( \pmb \theta ) + \alpha \mathbb I _ { n } ] ^ { - 1 } \nabla I \rangle } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb E \operatorname* { s u p } _ { t ^ { \prime } \in [ 0 , t ] } \Big | \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) p \left\langle D ^ { \alpha } \partial _ { z } \sigma ( u _ { n } ) , D ^ { \alpha } v _ { n } \right\rangle \| D ^ { \alpha } v _ { n } \| ^ { p - 2 } d W \Big | } \\ { \leq } & { C _ { p } \mathbb E \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } \| D ^ { \alpha } v _ { n } \| ^ { 2 ( p - 1 ) } ( 1 + \| u _ { n } \| + \| v _ { n } \| _ { \widetilde H ^ { s } } ) ^ { 2 } d t ^ { \prime } \Big ) ^ { \frac 1 2 } } \\ { \leq } & { \frac 1 2 \mathbb E \operatorname* { s u p } _ { t ^ { \prime } \in [ 0 , t ] } \| D ^ { \alpha } v _ { n } \| ^ { p } + C _ { p } \mathbb E \int _ { 0 } ^ { t } ( 1 + \| u _ { n } \| ^ { p } + \| v _ { n } \| _ { H ^ { s } } ^ { p } ) d t ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta ( B , D ) } & { = \frac { 1 } { 2 B } \int _ { - B } ^ { B } \left( \varepsilon W _ { 1 } ( X , 0 ) + \varepsilon ^ { 2 } W _ { 2 } ( X , 0 ) \right) d X } \\ & { = \frac { 1 } { 2 B } \int _ { - B } ^ { B } \left( \varepsilon \left[ - H _ { 1 } ( X ) \right] + \varepsilon ^ { 2 } \left[ - H _ { 1 } ( X ) \partial _ { Y } W _ { 1 } ( X , 0 ) \right] \right) d X } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 B } \int _ { - B } ^ { B } \left( \varepsilon H _ { 1 } ( X ) + \varepsilon ^ { 2 } C _ { 1 } H _ { 1 } ( X ) \right) d X = - \frac { 2 } { 3 B } \left( \varepsilon + \varepsilon ^ { 2 } C _ { 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ \delta - \operatorname { t a n h } ( \tau \boldsymbol { w } ) \operatorname { t a n h } ( \tau \boldsymbol { w } ) ^ { \top } \right] \left[ \delta + \operatorname { t a n h } ( \tau \boldsymbol { w } ) \operatorname { t a n h } ( \tau \boldsymbol { w } ) ^ { \top } \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l l } { 1 - \rho _ { 1 } \rho _ { 1 } } & { - \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } } & { \cdots } \\ { - \rho _ { 2 } \rho _ { 1 } } & { 1 - \rho _ { 2 } \rho _ { 2 } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 1 + \rho _ { 1 } \rho _ { 1 } } & { \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } } & { \cdots } \\ { \rho _ { 2 } \rho _ { 1 } } & { 1 + \rho _ { 2 } \rho _ { 2 } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l l } { 1 - \sum O ( \rho _ { a } \rho _ { b } \rho _ { c } \rho _ { d } ) } & { \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } - \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } - \sum O ( \rho _ { a } \rho _ { b } \rho _ { c } \rho _ { d } ) } & { \cdots } \\ { - \rho _ { 2 } \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } \rho _ { 1 } - \sum O ( \rho _ { a } \rho _ { b } \rho _ { c } \rho _ { d } ) } & { 1 - \sum O ( \rho _ { a } \rho _ { b } \rho _ { c } \rho _ { d } ) } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right] \approx \boldsymbol { I } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l } { a \, \mathrm { I d } } & { P } \\ { P ^ { * } } & { b \, \mathrm { I d } } \end{array} \right) \succcurlyeq ( 1 - \beta ) \left( \begin{array} { l l } { a \, \mathrm { I d } } & { 0 } \\ { 0 } & { b \, \mathrm { I d } } \end{array} \right) \Leftrightarrow \left( \begin{array} { l l } { \beta a \, \mathrm { I d } } & { P } \\ { P ^ { * } } & { \beta b \, \mathrm { I d } } \end{array} \right) \succcurlyeq 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sigma _ { \mu } ^ { \textsf { T } } { \Lambda ^ { \mu } } _ { \nu } } & { = \omega { \overline { { \sigma } } } _ { \mu } \omega ^ { - 1 } { \Lambda ^ { \mu } } _ { \nu } } \\ & { = \omega S \; { \overline { { \sigma } } } _ { \nu } \, S ^ { \dagger } \omega ^ { - 1 } } \\ & { = \left( \omega S \omega ^ { - 1 } \right) \, \left( \omega { \overline { { \sigma } } } _ { \nu } \omega ^ { - 1 } \right) \, \left( \omega S ^ { \dagger } \omega ^ { - 1 } \right) } \\ & { = \left( S ^ { - 1 } \right) ^ { \textsf { T } } \, \sigma _ { \nu } ^ { \textsf { T } } \, \left( S ^ { - 1 } \right) ^ { * } } \end{array} }
\widehat { f } = \frac { f _ { 1 } + \mathrm { i } f _ { 2 } } { g _ { 1 } + \mathrm { i } g _ { 2 } } = \frac { f _ { 1 } g _ { 1 } + f _ { 2 } g _ { 2 } } { g _ { 1 } ^ { 2 } + g _ { 2 } ^ { 2 } } + \mathrm { i } \frac { f _ { 2 } g _ { 1 } - f _ { 1 } g _ { 2 } } { g _ { 1 } ^ { 2 } + g _ { 2 } ^ { 2 } } = \widehat { f _ { 1 } } + \mathrm { i } \widehat { f _ { 2 } } .
\frac { 1 } { J } \frac { \partial } { \partial \xi ^ { k } } \left( J c ^ { \alpha } \frac { \partial \xi ^ { k } } { \partial x ^ { \alpha } } \phi \right) = \underbrace { \frac { 1 } { J } \frac { \partial } { \partial \xi ^ { k } } \left( J \frac { \partial \xi ^ { k } } { \partial x ^ { \alpha } } \right) c ^ { \alpha } \phi } _ { = 0 } + \frac { \partial \xi ^ { k } } { \partial x ^ { \alpha } } \phi \frac { \partial c ^ { \alpha } } { \partial \xi ^ { k } } + \frac { \partial \xi ^ { k } } { \partial x ^ { \alpha } } c ^ { \alpha } \frac { \partial \phi } { \partial \xi ^ { k } } = \frac { \partial } { \partial x ^ { \alpha } } \left( c ^ { \alpha } \phi \right) .
g ( r ) = \left\langle \frac { \vec { v } _ { i } ( 0 ) \cdot \vec { v } _ { j } ( r ) } { | \vec { v } _ { i } ( 0 ) | | \vec { v } _ { j } ( r ) | } \right\rangle , C ( t ) = \left\langle \frac { \vec { v } _ { i } ( 0 ) \cdot \vec { v } _ { i } ( t ) } { | \vec { v } _ { i } ( 0 ) | | \vec { v } _ { i } ( t ) | } \right\rangle
\begin{array} { r } { \sum _ { i , j = 1 } ^ { 2 } \big ( \Theta _ { i } - \langle \Theta _ { i } \rangle \big ) \Sigma _ { i j } ^ { - 1 } \big ( \Theta _ { j } - \langle \Theta _ { j } \rangle \big ) = 4 , } \end{array}
\ensuremath { \mathrm { ~ \boldmath ~ v ~ } } \cdot \nabla ( \ensuremath { \mathrm { ~ \boldmath ~ v ~ } } \cdot \nabla s ) + \frac { N _ { p } ^ { \prime } } { \gamma } \ensuremath { \mathrm { ~ \boldmath ~ v ~ } } \cdot \nabla s = - N _ { \rho } ^ { \prime } ( 1 - R ^ { \prime } ) \ensuremath { \mathrm { ~ \boldmath ~ v ~ } } \cdot \nabla \ln p .
\mathrm { m i n } ( \chi _ { \mathrm { t o t } } ^ { 2 } ) - \mathrm { m i n } ( \chi _ { i } ^ { 2 } ) - \mathrm { m i n } ( \chi _ { \mathrm { n o t \, } i } ^ { 2 } ) > \mathrm { p a r a m e t e r - f i t t i n g ~ t o l e r a n c e } .
\delta \, = \, \frac { \nu } { \Gamma } \, , \qquad \epsilon \, = \, \frac { \sqrt { \nu t } } { \bar { r } ( t ) } \, , \qquad R \, = \, \frac { r - \bar { r } ( t ) } { \sqrt { \nu t } } \, , \qquad Z \, = \, \frac { z - \bar { z } ( t ) } { \sqrt { \nu t } } \, .
\begin{array} { r l } & { \tilde { \mathbf { D } } = \left[ \begin{array} { l l l } { \kappa _ { 1 } } & { \hdots } & { 0 } \\ & { \hdots } & \\ { 0 } & { \hdots } & { \kappa _ { n - 1 } } \end{array} \right] - \left[ \begin{array} { l } { \kappa _ { 1 } z _ { 1 } c _ { 1 } ( \infty ) } \\ { \hdots } \\ { \kappa _ { n - 1 } z _ { n - 1 } c _ { n - 1 } ( \infty ) } \end{array} \right] \frac { \left[ \begin{array} { l } { ( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { n } ) z _ { 1 } , \hdots , ( \kappa _ { n - 1 } - \kappa _ { n } ) z _ { n - 1 } } \end{array} \right] } { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( z _ { i } \kappa _ { i } - z _ { n } \kappa _ { n } ) z _ { i } c _ { i } ( \infty ) } , } \\ & { \tilde { \mathbf { D } } ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \kappa _ { 1 } } } & { \hdots } & { 0 } \\ & { \hdots } & \\ { 0 } & { \hdots } & { \frac { 1 } { \kappa _ { n - 1 } } } \end{array} \right] \left( I + \left[ \begin{array} { l } { \kappa _ { 1 } z _ { 1 } c _ { 1 } ( \infty ) } \\ { \hdots } \\ { \kappa _ { n - 1 } z _ { n - 1 } c _ { n - 1 } ( \infty ) } \end{array} \right] \frac { \left[ \begin{array} { l } { \frac { ( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { n } ) z _ { 1 } } { \kappa _ { 1 } } , \hdots , \frac { ( \kappa _ { n - 1 } - \kappa _ { n } ) z _ { n - 1 } } { \kappa _ { n - 1 } } } \end{array} \right] } { \kappa _ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( z _ { i } - z _ { n } ) z _ { i } c _ { i } ( \infty ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 | \mathcal { P } | } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { t m } | \{ ( x , y ) \in \mathcal { Q } ^ { 2 } \colon x \ne y , \mathrm { w } ( y ) = i , \, \, \mathrm { s u p p } ^ { \mathrm { s r k } } ( x ) \subseteq \mathrm { s u p p } ^ { \mathrm { s r k } } ( y ) \} | } \\ & { = \sum _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { t } = 1 } ^ { m } \sum _ { y \in \mathcal { Q } , \ \ \mathrm { w } ( y ) = i _ { 1 } + \ldots + i _ { t } } | \{ x \in \mathcal { Q } \colon x \ne y , \mathrm { s u p p } ^ { \mathrm { s r k } } ( x ) \subseteq \mathrm { s u p p } ^ { \mathrm { s r k } } ( y ) \} | } \\ & { = \sum _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { t } = 1 } ^ { m } \sum _ { y \in \mathcal { Q } , \ \ \mathrm { w } ( y ) = i _ { 1 } + \ldots + i _ { t } } | \{ x \in \mathcal { Q } \colon x \ne y , \mathrm { s u p p } ^ { \mathrm { r k } } ( x _ { \ell } ) \subseteq \mathrm { s u p p } ^ { \mathrm { r k } } ( y _ { \ell } ) \, \, \forall \ell \in \{ 1 , \ldots , t \} \} | } \\ & { = \sum _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { t } = 2 } ^ { m } \frac { 1 } { q ^ { m } - 1 } \prod _ { r = 1 } ^ { t } { \binom { m } { i _ { r } } } _ { q } \prod _ { j _ { r } = 0 } ^ { i _ { r } - 1 } ( q ^ { n _ { r } } - q ^ { j _ { r } } ) \left( \frac { q ^ { m i _ { r } } - 1 } { q ^ { m } - 1 } - 1 \right) . } \end{array}
\sum _ { k } { \frac { 1 } { \left[ r ^ { 2 } + ( \bar { x } - k L ) ^ { 2 } \right] ^ { \frac { n } { 2 } } } } = { \frac { 1 } { r ^ { n } } } \sum _ { k } { \frac { 1 } { \left[ 1 + \left( { \frac { \bar { x } } { r } } - k { \frac { L } { r } } \right) ^ { 2 } \right] ^ { \frac { n } { 2 } } } }
\nu _ { k } = \frac { 1 } { \sqrt 2 } \left[ \nu _ { k } ^ { \mathrm { D } } + ( \nu _ { k } ^ { \mathrm { D } } ) ^ { c } \right] , \qquad \nu _ { k } ^ { \prime } = \frac { 1 } { \sqrt 2 } \left[ \nu _ { k } ^ { \mathrm { D } } - ( \nu _ { k } ^ { \mathrm { D } } ) ^ { c } \right] .
\begin{array} { r l } { \dot { \mathbf { \Xi } } } & { = \mathbf { \Phi } _ { \varepsilon } ( \mathbf { \Xi } ) + \mathrm { d i a g } ( \varepsilon ^ { 2 - j } , \varepsilon ^ { 3 - j } , \varepsilon ^ { 3 - j } ) \textbf { A } \omega + \mathrm { d i a g } ( \varepsilon ^ { 2 } , \varepsilon ^ { 3 } , \varepsilon ^ { 3 } ) \textbf { b } } \\ { \dot { \omega } } & { = \textbf { B } ( \mathrm { d i a g } ( \varepsilon ^ { j } , \varepsilon ^ { j - 1 } , \varepsilon ^ { j - 1 } ) \mathbf { \Xi } , \varepsilon \omega ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { i j } ( 1 , 0 ) + P _ { i j } ( 1 , 1 ) } & { { } = p _ { i j } } \\ { P _ { i j } ( 0 , 1 ) + P _ { i j } ( 1 , 1 ) } & { { } = p _ { j i } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { I ^ { 0 } } \\ { I ^ { 1 } } \end{array} \right) } & { { } \propto \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l } { R ^ { 0 } \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } | | x _ { i } + y _ { i } | | ^ { 2 } } \\ { R ^ { 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } | | j ( x _ { i } - y _ { i } ) | | ^ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { W = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 2 ^ { \frac 1 4 } } & { 2 ^ { \frac 1 4 } } & { 0 } \\ { 2 ^ { \frac 1 4 } } & { 1 } & { - 1 } & { 2 ^ { \frac 1 4 } } \\ { 2 ^ { \frac 1 4 } } & { - 1 } & { 1 } & { 2 ^ { \frac 1 4 } } \\ { 0 } & { 2 ^ { \frac 1 4 } } & { 2 ^ { \frac 1 4 } } & { 0 } \end{array} \right) \ , } \end{array}
\begin{array} { r } { r _ { 2 } ( k ) = \frac { r _ { 1 } ( \omega k ) r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k ) - r _ { 1 } ( \frac { 1 } { k } ) } { 1 - r _ { 1 } ( \omega k ) r _ { 1 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) } , \qquad r _ { 1 } ( k ) = \frac { r _ { 2 } ( \omega k ) r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k ) - r _ { 2 } ( \frac { 1 } { k } ) } { 1 - r _ { 2 } ( \omega k ) r _ { 2 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { I } _ { \alpha } ^ { \uparrow } ( A { \, : \, } B X ) _ { \rho } } \\ { = } & { \frac { 1 } { \alpha - 1 } \log \left( \sum _ { x } \overline { { q } } _ { x } ^ { 1 - \alpha } r _ { x } ^ { \alpha } \right) } \\ { = } & { \frac { 1 } { \alpha - 1 } \log \left( \sum _ { x } r _ { x } ^ { \alpha } \left[ \sum _ { x ^ { \prime } } r _ { x ^ { \prime } } / r _ { x } \right] ^ { \alpha - 1 } \right) } \\ { = } & { \frac { 1 } { \alpha - 1 } \log \left( \sum _ { x } r _ { x } \left[ \sum _ { x ^ { \prime } } r _ { x ^ { \prime } } \right] ^ { \alpha - 1 } \right) \ , } \end{array}
\tilde { A } _ { \tilde { \mathcal { N } } _ { i } , \tilde { M _ { i } } , \tilde { \lambda } _ { i } } \equiv \tilde { \mathcal { N } } _ { i } e ^ { - \bar { \eta } \tilde { M } _ { i } \eta - \bar { \eta } \tilde { \lambda } _ { i } } , \quad \tilde { \mathcal { N } } _ { i } = g ( \tau _ { i } , p _ { i } ) e ^ { \bar { \epsilon } _ { i } H ( \tau _ { i } , p _ { i } ) - \bar { \epsilon } _ { i } F ( \tau _ { i } ) \epsilon _ { i } } , \, \tilde { M }
Z ( t ) \le Z _ { 0 } e ^ { - \frac { t } { C } } + \frac { C S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } + 1 } } { \left( 1 + S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } } t \right) ^ { 1 + \frac { 2 } { p } } } \lesssim Z _ { 0 } + S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } + 1 } .
\begin{array} { r l } { R ^ { x } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; y _ { 1 } ) T ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ; a , b ) T ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ; a , b ) } & { = T ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ; a , b ) T ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ; a , b ) R ^ { x } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; y _ { 1 } ) , } \\ { R ^ { y } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ; x _ { 2 } ) T ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ; a , b ) T ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ; a , b ) } & { = T ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ; a , b ) T ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ; a , b ) R ^ { y } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ; x _ { 2 } ) . } \end{array}
\frac { V ^ { \prime } ( x ) } { \Lambda ^ { 4 } } = \frac { x } { \pi ^ { 2 } } \left( \frac { \pi ^ { 2 } } { c } - \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } + x ^ { 2 } \mathrm { a r c s i n h } \frac { 1 } { x } \right) .
{ \frac { 1 } { \mathrm { g c d } ( 2 , q - 1 ) } } q ^ { 6 3 } ( q ^ { 1 8 } - 1 ) ( q ^ { 1 4 } - 1 ) ( q ^ { 1 2 } - 1 ) ( q ^ { 1 0 } - 1 ) ( q ^ { 8 } - 1 ) ( q ^ { 6 } - 1 ) ( q ^ { 2 } - 1 )