harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \hat { \rho } } & { { } = \otimes _ { \lambda } \, \hat { \rho } _ { \lambda } \, , } \\ { \hat { \rho } _ { \lambda } } & { { } = \frac { 1 } { \cosh \xi _ { \lambda } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( \operatorname { t a n h } \xi _ { \lambda } \right) ^ { 2 n } \left( \frac { ( 2 n ) ! } { 2 ^ { n } n ! } \right) ^ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { \eta _ { \lambda } ^ { 2 ( 2 n - k ) } ( 1 - \eta _ { \lambda } ^ { 2 } ) ^ { k } } { k ! ( 2 n - k ) ! } | 2 n - k \rangle _ { \lambda } \langle 2 n - k | _ { \lambda } \, . } \end{array}
\mathbf { n } _ { 1 } = \frac { \left( \varepsilon \partial _ { \overline { { x } } } \overline { { h } } , - 1 \right) } { \sqrt { ( 1 + \varepsilon ^ { 2 } | \partial _ { \overline { { x } } } \overline { { h } } | ^ { 2 } ) } } , \quad \mathbf { \tau } = \frac { \left( 1 , \varepsilon \partial _ { \overline { { x } } } \overline { { h } } \right) } { \sqrt { ( 1 + \varepsilon ^ { 2 } | \partial _ { \overline { { x } } } \overline { { h } } | ^ { 2 } ) } } \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \kappa = \frac { \varepsilon \partial _ { \overline { { x } } } ^ { 2 } \overline { { h } } } { L \left( 1 + \varepsilon ^ { 2 } | \partial _ { \overline { { x } } } \overline { { h } } | ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } .
\begin{array} { r l } { M _ { j } ( t , \mathbf { x } ) } & { \approx \beta _ { 0 } ( t , \mathbf { x } ) \sum _ { p = 1 } ^ { P } \phi _ { j } ( \mathbf { u } _ { p } ) \sigma _ { p } ( t , \mathbf { x } ) } \\ { \sigma _ { p } ( t , \mathbf { x } ) } & { = w _ { p } \exp ( \beta _ { i } ( t , \mathbf { x } ) \phi _ { i } ( \mathbf { u } _ { p } ) - Z ( \boldsymbol { \beta } ) ) ; \quad i = 1 , \cdots , M . } \end{array}
\tan ( \gamma _ { m n } \pi ) = - \frac { \mathrm { J } _ { m } ^ { \prime } ( k _ { m n } r _ { 0 } ) } { \mathrm { Y } _ { m } ^ { \prime } ( k _ { m n } r _ { 0 } ) } \quad \mathrm { a n d } \quad \tan ( \gamma _ { m n } \pi ) = - \frac { \mathrm { J } _ { m } ^ { \prime } ( k _ { m n } ) } { \mathrm { Y } _ { m } ^ { \prime } ( k _ { m n } ) } .
\begin{array} { r l } { m \ddot { x } + c \dot { x } + k x } & { { } = F _ { p } \left( p \right) + F _ { m } \left( x , p \right) + F _ { i } \left( x \right) - F _ { 0 } , } \\ { \dot { p } } & { { } = \frac { 1 } { \beta V } \left[ Q - Q _ { v } \left( x , p \right) - Q _ { b } \left( p \right) \right] . } \end{array}
\langle b _ { 1 } ( z , \bar { z } ) \bar { b } _ { 1 } ( z ^ { \prime } , \bar { z } ^ { \prime } ) \rangle = - { \frac { i m } { 2 \pi } } ~ K _ { 0 } ( d ^ { 2 } m ^ { 2 } ( { \bf p } ) ) ~ ,
g _ { 1 2 } ^ { \gamma _ { 1 } } k _ { 1 } + g _ { 1 2 } ^ { \gamma _ { 1 } } k _ { 1 } \neq - ( l _ { 1 } + l _ { 2 } ) \neq g _ { 1 2 } ^ { \gamma _ { 2 } } k _ { 1 } + g _ { 1 2 } ^ { \gamma _ { 2 } } k _ { 1 }
\operatorname { c o r r } ( \mathbf { X } ) = { \big ( } \operatorname { d i a g } ( \operatorname { K } _ { \mathbf { X } \mathbf { X } } ) { \big ) } ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \, \operatorname { K } _ { \mathbf { X } \mathbf { X } } \, { \big ( } \operatorname { d i a g } ( \operatorname { K } _ { \mathbf { X } \mathbf { X } } ) { \big ) } ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } ,
\begin{array} { r } { \left\langle : \Delta \hat { x } ^ { 2 } : \right\rangle _ { \mathrm { o u t } } = \left\langle \eta \right\rangle \left\langle : \Delta \hat { x } ^ { 2 } : \right\rangle _ { \mathrm { i n } } + \left\langle \Delta T ^ { 2 } \right\rangle \left\langle \hat { x } \right\rangle _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { \mathrm { t p a } } ( t + 1 ) = } & { { } \sum _ { \tau _ { i j , t } = 1 } ^ { t } h \left( G _ { \mathrm { t p a } } ( t , \tau _ { i j } ) \xi , \widehat { \beta } _ { t } ^ { d } ( \tau _ { i j , t } ) k _ { i , t } ^ { \mathrm { o u t } } k _ { j , t } ^ { \mathrm { i n } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \nabla \cdot \left( \boldsymbol { f } _ { h } - \beta \boldsymbol { u } _ { h } \right) , \tilde { \phi } _ { b } ) _ { \tau _ { i } } } & { = } & { ( R _ { 3 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } \right) , \tilde { \phi } _ { b } ) _ { \tau _ { i } } + ( \nabla \cdot \left( \boldsymbol { f } _ { h } - \boldsymbol { f } \right) , \tilde { \phi } _ { b } ) _ { \tau _ { i } } } \\ & { \leqslant } & { \left( \| R _ { 3 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau _ { i } } + \| \nabla \cdot \left( \boldsymbol { f } - \boldsymbol { f } _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau _ { i } } \right) \cdot \| \tilde { \phi } _ { b } \| _ { 0 , \tau _ { i } } } \\ & { \lesssim } & { h _ { e } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \| R _ { 3 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau _ { i } } + \| \nabla \cdot \left( \boldsymbol { f } - \boldsymbol { f } _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau _ { i } } \right) \cdot \| \phi \| _ { 0 , e } . } \end{array}
\begin{array} { r } { H = \sum _ { \langle i , j \rangle } \frac { \Omega _ { i j } } { 2 } \ \hat { c } _ { j } ^ { \dagger } \hat { c } _ { i } + \mathrm { h . c . } = \frac { \Omega } { 2 } \sum _ { \langle i , j \rangle } e ^ { i \phi _ { i j } } \ \hat { c } _ { j } ^ { \dagger } \hat { c } _ { i } + \mathrm { h . c . } \ , } \end{array}
d n _ { 1 } = \left[ \varepsilon _ { 1 } \left( 1 - n _ { 1 } \right) - \varepsilon _ { 2 } n _ { 1 } \right] ( 1 - e ^ { - a t } ) d t + \sqrt { 2 ( 1 - e ^ { - a t } ) n _ { 1 } \left( 1 - n _ { 1 } \right) } d W _ { 1 , t } \, .
\psi _ { \dot { \alpha } } \mid 0 \rangle = \tilde { \psi } _ { \dot { \alpha } } \mid 0 \rangle = 0 , \; \; \; \; \; \; \tilde { \psi } _ { \dot { \alpha } } ^ { \dagger } \mid 0 \rangle = \psi _ { \dot { \alpha } } ^ { \dagger } \mid 0 \rangle
\left[ \left( \phi _ { i , j + 1 } - \phi _ { i , j } - \Psi _ { i , j } ^ { x } \right) U _ { i , j } , \; \left( \phi _ { i + 1 , j } - \phi _ { i , j } - \Psi _ { i , j } ^ { y } \right) V _ { i , j } \right] \cdot \hat { \mathbf { n } } = 0 ,
( { \gamma } ^ { \mu } i { \partial } _ { \mu } - m _ { 1 } ) { \psi } _ { 1 } ( x , t ) - \frac { 1 } { 2 } e _ { 1 } b ( t ) { \gamma } ^ { 1 } { \psi } _ { 1 } ( x , t ) + e _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \mathrm { L } } d y D ( x , y | \mathrm { L } ) J ^ { 0 } ( y , t ) { \gamma } ^ { 0 } { \psi } _ { 1 } ( x , t ) = 0 ,
\rho ^ { * } ( n , T ) = \rho _ { 1 } ( T ) \ln \frac { 1 } { n } + \rho _ { 2 } ( T ) + \rho _ { 3 } ( T ) \, n ^ { 1 / 2 } \, \ln \frac { 1 } { n } + { \cal O } ( n ^ { 1 / 2 } ) ,
\int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi } d \phi ^ { \prime } = \pm \int _ { u _ { 0 } } ^ { u } \frac { d u ^ { \prime } } { \sqrt { u _ { 0 } ^ { 2 } f ( 1 / u _ { 0 } ) - u ^ { 2 } f ( 1 / u ^ { \prime } ) } }
T _ { k } ( 0 ) = \frac { \int _ { 0 } ^ { R } n _ { I } ( r ) J _ { 0 } ( \frac { \mu _ { k } r } { R } ) r d r } { \int _ { 0 } ^ { R } J _ { 0 } ^ { 2 } ( \frac { \mu _ { k } r } { R } ) r d r }
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle \bar { \xi } _ { j } ( t ) \bar { \xi } _ { j ^ { \prime } } ^ { \dag } ( t ^ { \prime } ) \rangle = \frac { 1 } { L } \Gamma _ { 0 } ( n _ { t h } + 1 ) \delta _ { j j ^ { \prime } } \delta ( t - t ^ { \prime } ) } \\ & { } & { \langle \bar { \xi } _ { j } ^ { \dag } ( t ) \bar { \xi } _ { j ^ { \prime } } ( t ^ { \prime } ) \rangle = \frac { 1 } { L } \Gamma _ { 0 } n _ { t h } \delta _ { j j ^ { \prime } } \delta ( t - t ^ { \prime } ) , } \end{array}
\mathbf { P } _ { \textrm { E M } } = V \epsilon _ { 0 } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { \mu = 1 , - 1 } \omega \mathbf { k } \left( a _ { \mathbf { k } } ^ { ( \mu ) } ( t ) { \bar { a } } _ { \mathbf { k } } ^ { ( \mu ) } ( t ) + { \bar { a } } _ { \mathbf { k } } ^ { ( \mu ) } ( t ) a _ { \mathbf { k } } ^ { ( \mu ) } ( t ) \right) .
\begin{array} { r l } { L ( t ) } & { = - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 8 } \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \left( I _ { 1 } ( \varepsilon ) - I _ { 2 } ( \varepsilon ) + I _ { 3 } ( \varepsilon ) \right) } \\ & { = - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 8 } \left( 1 - k \right) \int _ { 0 } ^ { \infty } y ^ { k - 2 } \left( \ell ( t , y ) - \ell ( t , 0 ) \right) d y } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { 4 } - a \right) \int _ { 0 } ^ { \infty } y ^ { \frac { 4 a } { \sigma ^ { 2 } } - 2 } \left( \ell ( t , y ) - \ell ( t , 0 ) \right) d y } \end{array}
\begin{array} { l } { { { [ } U _ { a } , U ^ { b } { ] } = S _ { a } ^ { b } \in g ^ { 0 } } } \\ { { \ } } \\ { { { [ } U _ { a } , U _ { b } { ] } = K _ { a b } \in g ^ { + 2 } } } \\ { { \ } } \\ { { { [ } U ^ { a } , U ^ { b } { ] } = K ^ { a b } \in g ^ { - 2 } } } \\ { { \ } } \\ { { { [ } S _ { a } ^ { b } , U _ { c } { ] } = U _ { ( a b c ) } \in g ^ { + 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { b } } & { = ( m - 1 ) b ^ { m - 2 } - \alpha } \\ & { = ( m - 1 ) ( - \sqrt { \frac { k } { ( n - k ) n } } ) ^ { m - 2 } - [ k ( \sqrt { \frac { n - k } { k n } } ) ^ { m } + ( n - k ) ( - \sqrt { \frac { k } { ( n - k ) n } } ) ^ { m } ] } \\ & { = \frac { ( m - 1 ) k ^ { r - 1 } } { ( n - k ) ^ { r - 1 } n ^ { r - 1 } } - \frac { ( n - k ) ^ { r } } { k ^ { r - 1 } n ^ { r } } - \frac { k ^ { r } } { ( n - k ) ^ { r - 1 } n ^ { r } } } \\ & { = \frac { ( m - 1 ) n k ^ { m - 2 } - ( n - k ) ^ { m - 1 } - k ^ { m - 1 } } { ( n - k ) ^ { r - 1 } k ^ { r - 1 } n ^ { r } } } \end{array}
{ S _ { \alpha \alpha } ^ { s h } = S _ { \alpha \alpha } ^ { \uparrow \uparrow , s h } + S _ { \alpha \alpha } ^ { \uparrow \downarrow , s h } + S _ { \alpha \alpha } ^ { \downarrow \uparrow , s h } + S _ { \alpha \alpha } ^ { \downarrow \downarrow , s h } } ,
\begin{array} { r l } { \delta _ { i } ^ { \prime } } & { = \frac { p _ { i } ^ { \prime } - q _ { i } ^ { \prime } } { q _ { i } ^ { \prime } } = \frac { ( e ^ { \epsilon } - 1 ) ( p _ { i } - q _ { i } ) } { 1 + q _ { i } ( e ^ { \epsilon } - 1 ) } = \frac { ( e ^ { \epsilon } - 1 ) q _ { i } } { 1 + q _ { i } ( e ^ { \epsilon } - 1 ) } \cdot \delta _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \underline { { \int _ { a } ^ { b } } } } f ( x ) \, d x + { \underline { { \int _ { a } ^ { b } } } } g ( x ) \, d x } & { { } \leqslant { \underline { { \int _ { a } ^ { b } } } } ( f ( x ) + g ( x ) ) \, d x } \\ { { \overline { { \int _ { a } ^ { b } } } } f ( x ) \, d x + { \overline { { \int _ { a } ^ { b } } } } g ( x ) \, d x } & { { } \geqslant { \overline { { \int _ { a } ^ { b } } } } ( f ( x ) + g ( x ) ) \, d x } \end{array}
j _ { \mu } ^ { ( \xi ) } ( X ; A ) = m _ { D } ^ { 2 } \int d ^ { 4 } Z \int _ { v , v ^ { \prime } } i \ v _ { r e t } ( X , Z ; A ; { \mathbf v } , { \mathbf v } ^ { \prime } ) \ \xi ( Z , { \mathbf v } ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r } { \| \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { R } _ { n } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } \| _ { F } ^ { 2 } \leq \| \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { R } _ { n } - ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } \| _ { F } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { t r } \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \exp \left( \frac { \theta } { 4 } F _ { \epsilon } ( x ) \right) \hat { \mathbf { h } _ { \epsilon } } ( x ) \exp \left( \frac { \theta } { 4 } F _ { \epsilon } ( x ) \right) \right] } & { = \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\lVert \exp \left( \frac { \theta } { 4 } F _ { \epsilon } ( x ) \right) \hat { \mathbf { h } _ { \epsilon } } ( x ) \exp \left( \frac { \theta } { 4 } F _ { \epsilon } ( x ) \right) \right\rVert _ { * } \right] } \\ & { \geq \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\lVert \exp \left( \frac { \theta } { 4 } F _ { \epsilon } ( x ) \right) \hat { \mathbf { h } _ { \epsilon } } ( x ) \exp \left( \frac { \theta } { 4 } F _ { \epsilon } ( x ) \right) \right\rVert _ { F } \right] } \\ & { \geq \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ e ^ { \theta a / 2 } \left\lVert \hat { \mathbf { h } _ { \epsilon } } ( x ) \right\rVert _ { F } \right] } \\ & { = e ^ { \theta a / 2 } \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\lVert \mathbf { h } _ { \epsilon } ( x ) \right\rVert \right] . } \end{array}
\omega _ { 2 \Lambda } = \bar { \partial } \delta u \; \partial \bar { \partial } \delta u \; ( \partial \bar { \partial } u ) ^ { n - 3 } \, \partial \bar { \partial } \ln \mu - \Lambda \, \bar { \partial } \delta u \; \partial \bar { \partial } \delta u \; ( \partial \bar { \partial } u ) ^ { n - 2 }
\hat { \tilde { q } } _ { n } ( k , s | x _ { 0 } ) = \left( \prod _ { l = 0 } ^ { n - 1 } \hat { \tilde { p } } _ { 0 } ( k c ^ { l } , s ) \right) \hat { \tilde { p } } _ { 0 } ( k c ^ { n } , s | x _ { 0 } ) .
U _ { i } ^ { F a x e n } = u _ { i } ^ { \infty } ( 0 ) + \frac { 1 } { 6 } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } a _ { k } ^ { 2 } \frac { \partial u _ { i } ^ { \infty } } { \partial x _ { k } \partial x _ { k } } ( 0 ) + \dots
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \Gamma } _ { t } ^ { \theta } } & { = \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { D } _ { t } ^ { \theta } - 2 \phi \boldsymbol { 1 } _ { t } ^ { * } \boldsymbol { 1 } _ { t } } & { - \boldsymbol { 1 } _ { t } ^ { * } } \\ { - \boldsymbol { 1 } _ { t } } & { - \frac 1 { 2 \phi } \mathrm { i d } } \end{array} \right) . } \end{array}
T ^ { A / D } ( x ) = \frac { \int d x ^ { \prime } d ^ { 2 } \sigma ^ { h - A } ( x ^ { \prime } , x ) / d x ^ { \prime } d x } { \int d x ^ { \prime } d ^ { 2 } \sigma ^ { h - D } ( x ^ { \prime } , x ) / d x ^ { \prime } d x } ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \Vert \mu _ { \tau + 1 } \Vert _ { \tau + 1 } ^ { 2 } } & { \leq \frac { 1 } { 2 } \Vert \mu _ { 1 } \Vert _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 6 d \textrm { F } _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 1 / 2 } } { c } \log ( \textrm { P } ) ^ { 3 / 2 } + 1 1 0 0 c \textrm { F } _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 1 / 2 } \sqrt { d \log ( \textrm { P } ) } + 3 1 c ^ { 2 } d ^ { 2 } \log ( \textrm { P } ) - \eta \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } \Delta _ { t } } \\ & { < \textrm { F } _ { \operatorname* { m a x } } - \eta \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } \Delta _ { t } \, , } \end{array}
W = \lambda [ 1 / 6 ( A A _ { s y m } ) ^ { 3 } ( Q { \bar { Q } } ) ^ { 2 } + 4 ( A A _ { s y m } ) ( A A Q { \bar { Q } } _ { a n t i } ) ^ { 2 } + 6 4 ( A A A { \bar { Q } } { \bar { Q } } ) ( A A A Q Q ) - \Lambda ^ { 8 } ( Q { \bar { Q } } ) ] ,
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { E } } _ { t } ^ { D } [ f ] } & { = \frac { 1 } { t } \left( \langle f , f \rangle - \langle \hat { P } _ { t } ^ { D } f , f \rangle \right) } \\ & { = \frac { 1 } { t } \big ( \langle f _ { + } , f _ { + } \rangle - \langle \hat { P } _ { t } ^ { D } f _ { + } , f _ { + } \rangle + \langle f _ { - } , f _ { - } \rangle - \langle \hat { P } _ { t } ^ { D } f _ { - } , f _ { - } \rangle + \langle \hat { P } _ { t } ^ { D } f _ { + } , f _ { - } \rangle + \langle \hat { P } _ { t } ^ { D } f _ { - } , f _ { + } \rangle \big ) , } \end{array}
A _ { S I } ^ { H i g g s } \sim { \frac { g _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 M _ { W } } } \left[ { \frac { F _ { h } } { m _ { h } ^ { 2 } } } \left\{ { { \frac { c o s \alpha _ { H } } { s i n \beta } } \atop { \frac { - s i n \alpha _ { H } } { c o s \beta } } } \right\} + { \frac { F _ { H } } { m _ { H } ^ { 2 } } } \left\{ { { \frac { s i n \alpha _ { H } } { s i n \beta } } \atop { \frac { c o s \alpha _ { H } } { c o s \beta } } } \right\} \right] { u - q u a r k \atop d - q u a r k }
\boldsymbol { \underline { { \underline { { \lambda } } } } } = \left( \begin{array} { l l l } { \gamma _ { r } } & { 0 } & { \gamma _ { z } } \\ { \gamma \Delta \phi _ { r } } & { \gamma / r } & { \gamma \Delta \phi _ { z } } \\ { \alpha _ { r } } & { 0 } & { \alpha _ { z } } \end{array} \right) ,
{ \cal R } _ { \kappa } ( \omega , { \bf q } ) = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { { \cal M } _ { \kappa } ( { \bf q } ) } \\ { { \cal M } _ { \kappa } ( { \bf q } ) } & { { \cal N } _ { \kappa } ( { \bf q } ) } \end{array} \right) \, .
s ( \Gamma ) \equiv \int \partial _ { \mu } c \frac { \delta \Gamma } { \delta A _ { \mu } } + B \frac { \delta \Gamma } { \delta \bar { c } } + \frac { \delta \Gamma } { \delta Y _ { i } } \frac { \delta \Gamma } { \delta \phi _ { i } } = 0 .
\begin{array} { r l } { \Tilde { \rho } } & { { } = c + ( 1 - c ) \frac { \rho _ { g } } { \rho _ { l } } , } \\ { \Tilde { \eta } } & { { } = c + ( 1 - c ) \frac { \eta _ { g } } { \eta _ { l } } ; } \end{array}
\psi _ { a } ( { \pmb x } ) ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb a } _ { n } } = \nabla _ { b } \left( \sigma _ { a b } ( { \pmb x } ) ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb a } _ { n } } - \mu v _ { c } ( { \pmb x } ) \, \pi _ { b c a { \pmb a } _ { n } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) \right)
\begin{array} { r l } { X _ { \mu \nu } ^ { \textrm { m S F } , u , \vec { L } } = } & { \phantom { + } \int \frac { 1 } { 6 } \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \rho _ { \uparrow } } - \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \rho _ { \downarrow } } \right] \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) ~ \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) ~ \textrm { d } ^ { 3 } r } \\ { - \int } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \uparrow } ^ { \textrm { S F } } } + \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \downarrow \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } - \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } \right] \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { m } } ^ { u } \cdot } \\ & { \left[ \left\{ \vec { \nabla } \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \right\} \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) + \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \left\{ \vec { \nabla } \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) \right\} \right] \textrm { d } ^ { 3 } r } \\ { - \int } & { \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \uparrow } ^ { \textrm { S F } } } - \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \downarrow \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } \right] \frac { f _ { \nabla } } { 6 } \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot } \\ & { \left[ \left\{ \vec { \nabla } \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \right\} \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) + \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \left\{ \vec { \nabla } \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) \right\} \right] \textrm { d } ^ { 3 } r } \\ { + \int } & { \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \tau _ { \uparrow } ^ { \textrm { S F } } } - \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \tau _ { \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } \right] \frac { f _ { \tau } } { 6 } \left[ \vec { \nabla } \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \right] \cdot \left[ \vec { \nabla } \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) \right] \textrm { d } ^ { 3 } r . } \end{array}
\delta K _ { \textrm { D } } = \sum _ { i } ^ { N } [ ( \textbf { r } _ { i } ( t ) - \textbf { r } _ { i } ( t - \delta t ) ) \textbf { f } _ { i } ( t ) + \frac { \delta t ^ { 2 } } { 2 m _ { i } } \textbf { f } _ { i } ( t ) ^ { 2 } ] .
\begin{array} { r } { ( \Delta _ { e } u , \tau _ { i } ^ { e } ) _ { e } = - \frac { 1 } { \lambda _ { i } ^ { e } } ( \Delta _ { e } u , \Delta _ { e } \tau _ { i } ^ { e } ) _ { e } = \frac { 1 } { \lambda _ { i } ^ { e } } \left( ( \partial _ { e } ^ { 3 } u , \partial _ { e } \tau _ { i } ^ { e } ) _ { e } + \left[ \Delta _ { e } u \partial _ { e } \tau _ { i } ^ { e } \right] _ { q } ^ { p } \right) , } \end{array}
\Phi \: = \: \left( \begin{array} { l } { { \phi } } \\ { { \rho } } \end{array} \right) \, , \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \mathcal { F } \: = \: \left( \begin{array} { c } { { F } } \\ { { G } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l r } { \delta \Delta _ { c } } & { = } & { \Bigg [ \bigg ( \frac { \delta g _ { I } } { g _ { I } } \bigg ) ^ { 2 } + \bigg ( \frac { \delta \xi _ { c } ^ { ( r ) } } { 1 - \xi _ { c } } + \frac { \delta \eta _ { c } ^ { ( r ) } } { 1 - \eta _ { c } } \bigg ) ^ { 2 } } \\ & { } & { + \bigg ( \frac { \delta \xi _ { c } ^ { ( a ) } } { 1 - \xi _ { c } } + \frac { \delta \eta _ { c } ^ { ( a ) } } { 1 - \eta _ { c } } \bigg ) ^ { 2 } \Bigg ] ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
\lVert \boldsymbol { \Lambda } - \boldsymbol { \Lambda } ^ { \mathrm { C D C ^ { - } } } \rVert = \lVert \boldsymbol { \Lambda } \rVert \sin \angle ( \hat { \boldsymbol { \Lambda } } , \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { \mathrm { C D C ^ { - } } } ) .
2 \lambda = \textrm { c o s } ( 2 \theta ) ( c _ { 4 4 } - c _ { 3 3 } ) + \textrm { s i n } ( 2 \theta ) ( c _ { 2 3 } + c _ { 4 4 } ) \frac { \textrm { c o s } ( \phi ) } { \textrm { s i n } ( \phi ) } + ( c _ { 4 4 } + c _ { 3 3 } )
f \sim \frac { 1 } { \mathrm { v e l o c i t y } ^ { 3 } } \times \frac { 1 } { \mathrm { v o l u m e } } \sim \frac { 1 } { ( c m / s e c ) ^ { 3 } } \times \frac { 1 } { c m ^ { 3 } } ,
\begin{array} { r l } { \| \theta _ { j } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \int _ { I _ { j } } \theta \left( \frac { 2 ( x - x _ { j } ) } { | I _ { j } | } \right) ^ { 2 } d x + \int _ { I _ { j + 1 } } \theta \left( - \frac { 2 ( x - x _ { j + 1 } ) } { | I _ { j + 1 } | } \right) ^ { 2 } d x } \\ & { = \frac { | I _ { j } | } { 2 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \theta ( x ) ^ { 2 } d x + \frac { | I _ { j + 1 } | } { 2 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \theta ( x ) ^ { 2 } d x = \frac { | D _ { j } | } { 2 } . } \end{array}
\mu ^ { 2 } - D \, { \frac { g _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \, M ^ { 2 } \, y _ { L } \, y _ { b _ { R } } > 0 \, , \quad \quad \mu ^ { 2 } - D \, { \frac { g _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \, M ^ { 2 } \, y _ { L } \, y _ { t _ { R } } < 0 \, ,
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } { z } _ { D } ^ { t } = \operatorname* { m i n } \ } & { c ^ { \top } x } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { x _ { I ( j ) } = \sum _ { v \in \hat { V } ^ { j } } v \lambda _ { v } ^ { j } + \sum _ { r \in \hat { R } ^ { j } } r \mu _ { r } ^ { j } , \quad } & & { j \in J , \quad } & & { ( \pi ^ { j , t } ) } \\ & { A x \geq b , \quad } & & { } & & { ( \beta ^ { t } ) } \\ & { \sum _ { v \in \hat { V } ^ { j } } \lambda _ { v } ^ { j } = 1 , \quad } & & { j \in J , \quad } & & { ( \theta _ { j } ^ { t } ) } \\ & { \lambda ^ { j } \geq 0 , ~ \mu ^ { j } \geq 0 , \quad } & & { j \in J , } \end{array}
\mu _ { \mathrm { L i } } = \frac { \partial \rho _ { 0 } \varphi } { \partial c _ { \mathrm { L i , 0 } } } = - F U _ { 0 } - \frac { v _ { \mathrm { L i } } } { 3 \lambda _ { \mathrm { c h } } ^ { 3 } } \mathbf { P } : \mathbf { F } .
\frac { \partial \hat { s } _ { \ell } \left( g , \ensuremath { \mathbf { r } } , \tau \right) } { \partial \ensuremath { \mathbf { r } } _ { \ell } ( g ) } = \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } \hat { s } _ { \ell } \left( g , \ensuremath { \mathbf { r } } , \tau \right) \left( 1 - \hat { s } _ { \ell } \left( g , \ensuremath { \mathbf { r } } , \tau \right) \right)
{ \hat { T } } _ { \ \nu } ^ { \mu } [ \Phi ] = - 2 \nabla ^ { \mu } \partial _ { \nu } \Phi - { \frac { 1 } { 4 } } g _ { \ \nu } ^ { \mu } \nabla ^ { 2 } \Phi + { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial \Phi ) ^ { 2 } g _ { \ \nu } ^ { \mu } .
( \rho _ { 1 } ^ { r 1 } , \rho _ { 1 } ^ { r 2 } ; \sigma _ { 1 } ^ { r 1 } , \sigma _ { 1 } ^ { r 2 } ; \psi _ { 1 } ) ( \rho _ { 2 } ^ { r 1 } , \rho _ { 2 } ^ { r 2 } ; \sigma _ { 2 } ^ { r 1 } , \sigma _ { 2 } ^ { r 2 } ; \psi _ { 2 } ) ( \rho _ { 3 } ^ { r 1 } , \rho _ { 3 } ^ { r 2 } ; \sigma _ { 3 } ^ { r 1 } , \sigma _ { 3 } ^ { r 2 } ; \psi _ { 3 } )
f ( x ) = E _ { 0 } \cdot \mathrm { e r f c } \left( \alpha \cdot \left( 1 + 0 . 6 \cdot \frac { e ^ { - A \alpha } - e ^ { A \alpha } } { e ^ { - A \alpha } + e ^ { A \alpha } } \right) \right) , \; \; \alpha = \frac { x - x _ { 0 } } { \sqrt { 2 } \sigma }
\mathbf { A } _ { i } = [ \mathbf { 0 } _ { ( J _ { n } \times ( i - 1 ) ( Q _ { t } + 1 ) Q _ { x } ) } , \mathbf { \Phi } _ { i , 0 } ^ { \top } , \mathbf { L } _ { i } ^ { \top } , - \mathbf { \Phi } _ { i , 1 } ^ { \top } , \mathbf { 0 } _ { ( J _ { n } \times ( ( N _ { t } - i ) ( Q _ { t } + 1 ) - 1 ) Q _ { x } ) } ] ^ { \top } , \quad \mathbf { A } = [ \mathbf { A } _ { 1 } , \cdots , \mathbf { A } _ { N _ { t } } ] .