harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { F = \mathrm { s g n } ( A ) \alpha + | \beta | , \qquad A = - ( \mathrm { d } x ^ { 0 } ) ^ { 2 } + ( \mathrm { d } x ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( \mathrm { d } x ^ { 2 } ) ^ { 2 } , \qquad \beta = \left\{ \begin{array} { l l } { \rho \, \mathrm { d } x ^ { 0 } } & { \mathrm { i f ~ \textit { t i m e l i k e } } } \\ { \rho \, ( \mathrm { d } x ^ { 0 } + \mathrm { d } x ^ { 1 } ) } & { \mathrm { i f ~ \textit { n u l l } } } \\ { \rho \, \mathrm { d } x ^ { 1 } } & { \mathrm { i f ~ \textit { s p a c e l i k e } } } \end{array} \right. , } \end{array}
W [ { \boldsymbol { x } } ( t ) ] = \int _ { 0 } ^ { t _ { f } } \frac { \partial U _ { 0 } } { \partial t } - \nabla U _ { 0 } \cdot \nabla U _ { 1 } + \beta ^ { - 1 } \nabla ^ { 2 } U _ { 1 } \, \mathrm { d } t
{ \cal L } _ { 0 } = - \frac { 1 } { 4 } \partial _ { \mu } A _ { \nu } \partial ^ { \mu } A ^ { \nu } - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \phi _ { \alpha } \partial ^ { \mu } \phi ^ { \alpha } - D _ { ( 0 ) \mu } T \overline { { { \: D _ { ( 0 ) } ^ { \mu } T } } } - m ^ { 2 } T \overline { { { T } } }
\begin{array} { r l } & { \langle \partial _ { \mu } j _ { 5 } ^ { \mu } \rangle _ { a _ { \mu } } = \langle \frac { e } { \pi } \epsilon ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } A _ { \nu } - \frac { \lambda ^ { 2 } } { \pi } \epsilon ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } j _ { \nu } + \frac { \lambda } { \pi } \epsilon ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } a _ { \nu } \rangle _ { a _ { \mu } } } \\ & { \Rightarrow \partial _ { \mu } j _ { 5 } ^ { \mu } = \frac { e } { \pi } \epsilon ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } A _ { \nu } - \frac { \lambda ^ { 2 } } { \pi } \epsilon ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } j _ { \nu } \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { R e } ( \lambda _ { k } ) } & { = \operatorname { R e } \left( 1 + \alpha _ { - 2 } e ^ { i 2 \pi k ( N - 2 ) / N } + \alpha _ { - 1 } e ^ { i 2 \pi k ( N - 1 ) / N } + \alpha _ { 1 } e ^ { i 2 \pi k / N } + \alpha _ { 2 } e ^ { i 4 \pi k / N } \right) } \\ & { = 1 + ( \alpha _ { - 2 } + \alpha _ { 2 } ) \cos \left( { \frac { 4 \pi k } { N } } \right) + ( \alpha _ { - 1 } + \alpha _ { 1 } ) \cos \left( { \frac { 2 \pi k } { N } } \right) > 0 } \end{array} }
O _ { 0 } ( x ) \equiv \displaystyle \frac { g _ { s } ^ { 2 } } { 1 6 m _ { 1 } m _ { 2 } } \int d ^ { 4 } y T ^ { * } \left[ \bar { h } _ { v + } ( x ) { G _ { \mu \nu } \sigma ^ { \mu \nu } } h _ { v + } ( x ) \bar { h } _ { v - } ^ { \prime } ( y ) { G _ { \alpha \beta } \sigma ^ { \alpha \beta } } h _ { v - } ^ { \prime } ( y ) \right] ,
\begin{array} { r } { V _ { m } ( s ) = \frac { 2 \Im } { ( \omega _ { m } ^ { 2 } + 2 \zeta _ { m } \omega _ { m } s + s ^ { 2 } ) } \sqrt { \zeta _ { m } \omega _ { m } k _ { B } T } \left( \frac { N _ { A } } { M _ { m } } \right) } \end{array}
\frac { \mathrm { d } ^ { n } D ( E ) } { { \mathrm { d } E } ^ { n } } = \int _ { 0 } ^ { + \infty } { ( \mathrm { i } \Delta \mathfrak { t } ) } ^ { n } \tilde { D } ( \Delta \mathfrak { t } ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } E \Delta \mathfrak { t } } \mathrm { d } { \Delta \mathfrak { t } } ,
\begin{array} { r l } { { 3 } } & { { } \left\{ \begin{array} { r l } { T ^ { [ 1 ] } ( t + \Delta { t } ) } & { { } = T ^ { [ 1 ] } ( t ) \exp ( D _ { 1 } M _ { 1 } \Delta { t } ) , } \\ { C ^ { [ 1 ] } ( t + \Delta { t } ) } & { { } = C ^ { [ 1 ] } ( t ) \exp ( D _ { 2 } M _ { 2 } \Delta { t } ) , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l l } { { ( i ) } } & { { \; l _ { 1 } , l _ { 2 } \ll { \frac { 1 } { A } } : \quad } } & { { K ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) \approx l _ { 1 } l _ { 2 } ; } } \\ { { ( i i ) } } & { { \; { \frac { 1 } { A } } \ll l _ { 1 } , l _ { 2 } \ll { \frac { 1 } { B } } : \quad } } & { { K ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) \approx w l _ { 1 } l _ { 2 } ; } } \\ { { ( i i i ) } } & { { \; l _ { 1 } , l _ { 2 } \gg { \frac { 1 } { B } } : \quad } } & { { K ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) \approx { \frac { w } { B ^ { 2 } } } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } [ \gamma _ { \delta _ { n } } \mathrm { ~ h i t s ~ } ( \tilde { c } _ { \delta _ { n } } \tilde { d } _ { \delta _ { n } } ) \, | \, \gamma _ { \delta _ { n } } [ 0 , ( t + \tau _ { n } ( s ) ) \wedge T _ { n } ( \epsilon ) ] ] = } & { \frac { \sum _ { v _ { \delta _ { n } } \sim \gamma _ { \delta _ { n } } ( ( t + \tau _ { n } ( s ) ) \wedge T _ { n } ( \epsilon ) ) } h _ { t , ( \tilde { c } _ { \delta _ { n } } \tilde { d } _ { \delta _ { n } } ) } ( v _ { \delta _ { n } } ) } { \sum _ { v _ { \delta _ { n } } \sim \gamma _ { \delta _ { n } } ( ( t + \tau _ { n } ( s ) ) \wedge T _ { n } ( \epsilon ) ) } h _ { t , ( c _ { \delta _ { n } } d _ { \delta _ { n } } ) } ( v _ { \delta _ { n } } ) } . } \end{array}
{ \cal L } _ { d s } ^ { N C } = \frac { g c _ { W } } { 2 \sqrt { 3 ( 1 - 4 s _ { W } ^ { 2 } ) } } \left[ V _ { L i d } ^ { D * } V _ { L i s } ^ { D } \right] \bar { d } _ { L } \gamma ^ { \mu } s _ { L } Z _ { \mu } ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } & { f ( w ^ { \prime } ) - f ( w ) - \nabla f ( w ) ^ { \top } ( w ^ { \prime } - w ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \big ( \nabla f ( w _ { \theta } ) - \nabla f ( w ) \big ) ^ { \top } ( w ^ { \prime } - w ) d \theta } \\ & { \le \int _ { 0 } ^ { 1 } \| \nabla f ( w _ { \theta } ) - \nabla f ( w ) \| \| w ^ { \prime } - w \| d \theta } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } \int _ { 0 } ^ { 1 } \| w _ { \theta } - w \| \big ( K _ { 0 } + K _ { 1 } \| \nabla f ( w ) \| ^ { \alpha } \! + \! K _ { 2 } \| w _ { \theta } - w \| ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \big ) \| w ^ { \prime } - w \| d \theta } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \theta \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } \big ( K _ { 0 } + K _ { 1 } \| \nabla f ( w ) \| ^ { \alpha } \! + \! K _ { 2 } \theta ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \big ) d \theta } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } \big ( K _ { 0 } + K _ { 1 } \| \nabla f ( w ) \| ^ { \alpha } \big ) + K _ { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { \frac { 2 - \alpha } { 1 - \alpha } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \theta ^ { \frac { 1 } { 1 - \alpha } } d \theta } \\ & { \le \frac { 1 } { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } \big ( K _ { 0 } + K _ { 1 } \| \nabla f ( w ) \| ^ { \alpha } + 2 K _ { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \big ) , } \end{array}
2 \, h _ { 0 0 } + I _ { 0 0 } \, R ^ { - 3 } = \mathcal { \bar { E } } _ { 3 } [ \{ \frac { 1 } { 2 } , 0 , \dots \} , \{ \bar { \phi } _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } ) \} ] > \mathfrak { E }
\tau _ { m } \dot { \theta } _ { j } = 1 - \cos \theta _ { j } + ( 1 + \cos \theta _ { j } ) \big [ I _ { 0 } + I _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ n ~ } } + \gamma \big ( c \; \! \eta _ { j } + ( 1 - c ) \xi _ { j } ( t ) \big ) \big ] \; .
\nabla \phi _ { l } \cdot \vec { n } = \frac { \phi _ { c _ { j } } - \phi _ { c _ { i } } } { | \vec { c } _ { j } - \vec { c } _ { i } | } \sec \theta + \frac { \phi _ { v _ { 2 } } - \phi _ { v _ { 1 } } } { | \vec { v } _ { 2 } - \vec { c } _ { 1 } | } \tan \theta .
T r ( \mathcal { A } _ { W } ) = { \frac { 1 } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { n } } } \int d \overrightarrow { { \bf p } } d \overrightarrow { { \bf q } } A _ { W } ( \overrightarrow { { \bf p } } , \overrightarrow { { \bf q } } ) .
\frac { 1 } { 2 } ( N _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ r ~ , ~ a ~ c ~ t ~ } } + 1 ) N _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ r ~ , ~ a ~ c ~ t ~ } } + \frac { 1 } { 2 } ( N _ { \mathrm { ~ o ~ c ~ c ~ , ~ a ~ c ~ t ~ } } + 1 ) N _ { \mathrm { ~ o ~ c ~ c ~ , ~ a ~ c ~ t ~ } } ,
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d f } { d s } } } & { = - \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - s t } \sin t \, d t = - \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - s t } { \frac { e ^ { i t } - e ^ { - i t } } { 2 i } } d t } \\ & { = - { \frac { 1 } { 2 i } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ e ^ { - t ( s - i ) } - e ^ { - t ( s + i ) } \right] d t } \\ & { = - { \frac { 1 } { 2 i } } \left[ { \frac { - 1 } { s - i } } e ^ { - t ( s - i ) } - { \frac { - 1 } { s + i } } e ^ { - t ( s + i ) } \right] _ { 0 } ^ { \infty } } \\ & { = - { \frac { 1 } { 2 i } } \left[ 0 - \left( { \frac { - 1 } { s - i } } + { \frac { 1 } { s + i } } \right) \right] = - { \frac { 1 } { 2 i } } \left( { \frac { 1 } { s - i } } - { \frac { 1 } { s + i } } \right) } \\ & { = - { \frac { 1 } { 2 i } } \left( { \frac { s + i - ( s - i ) } { s ^ { 2 } + 1 } } \right) = - { \frac { 1 } { s ^ { 2 } + 1 } } . } \end{array} }
Y _ { m } ( \mu = 0 , y ) = \frac { \sqrt { m } \, \Gamma ( m y ) } { m ! \Gamma ( m y + 1 - m ) } e ^ { - m \tau _ { 0 } } = \frac { \Gamma ( 1 + m y ) \Gamma ( 1 + m ( 1 - y ) ) } { 2 \, \Gamma ( 1 + m ) } \, e ^ { - m \tau _ { 0 } } B _ { m }
\overline { { { \nabla } } } \, e _ { i } = e _ { j } \otimes \bar { \omega } _ { i } ^ { j } \ \, \in \; \displaystyle \mathop { { \mathcal H } } ^ { \circ } \otimes _ { { \mathcal A } _ { \alpha } } \Omega _ { D } ^ { 1 } ( { \mathcal A } _ { \alpha } )
\begin{array} { r l r } & { } & { | \{ j \in \{ s _ { 3 } , \cdots , s _ { 4 } \} : \mathscr { B } _ { j } \leq i \} \backslash ( \{ \mathscr { Y } _ { s _ { 3 } } , \cdots , \mathscr { Y } _ { i - 1 } \} \cup \mathcal { S } _ { l , i } ^ { \prime \prime } ) | } \\ & { } & { = \mathscr { N } _ { i } - | \mathcal { S } _ { l , i } ^ { \prime \prime } | \geq \operatorname* { m i n } \{ W _ { l } , \mathscr { N } _ { i } \} - | \mathcal { S } _ { l , i } ^ { \prime \prime } | \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( \hat { \tau } _ { t } ( w ) \mid \mathcal { F } _ { t - 1 } ) } & { = \mathrm { V a r } \left( \frac { \mathbf { 1 } \{ W _ { t } = w \} Y _ { t } } { p _ { t \mid t - 1 } ( w ) } \mid \mathcal { F } _ { t - 1 } \right) } \\ & { = \frac { p _ { t \mid t - 1 } ( w ) ( 1 - p _ { t \mid t - 1 } ( w ) ) Y _ { t } ( w ) ^ { 2 } } { p _ { t \mid t - 1 } ( w ) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { ( 1 - p _ { t \mid t - 1 } ( w ) ) Y _ { t } ( w ) ^ { 2 } } { p _ { t \mid t - 1 } ( w ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \Delta } _ { 0 } ^ { \mathrm { C } } } & { = \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! e ^ { - z } \Bigg ( \frac { F ^ { 2 } \! \! - \! \! 1 } { 1 2 F } \eta \exp { \Big ( \! \! - \frac { \lambda _ { \mathrm { s } } } { \lambda _ { \mathrm { d } } } \frac { \eta } { F } g _ { \theta } ( 1 , z ; \alpha , \epsilon ) \Big ) } } \\ & { + \frac { F } { \eta } \exp { \Big ( \frac { \lambda _ { \mathrm { s } } } { \lambda _ { \mathrm { d } } } \frac { \eta } { F } g _ { \theta } ( 1 - \frac { \eta } { F } , z ; \alpha , \epsilon ) \Big ) } \Bigg ) \mathrm { d } z + \frac { 1 \! - \! F } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } ( \| \boldsymbol { B } \| ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { D ^ { 2 } } \mathbb { E } ( \| \sum _ { i = 1 } ^ { N } C ( \boldsymbol { w } _ { i , t } ) \sum _ { m = 1 } ^ { D _ { i } } \nabla _ { \boldsymbol { w x } } ^ { 2 } f ( \boldsymbol { w } _ { t } , \boldsymbol { x } _ { i m } , y _ { i m } ) \boldsymbol { n } _ { i m } \| ^ { 2 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { D ^ { 2 } } \sum _ { i } \sum _ { i ^ { \prime } } \mathbb { E } [ C ( \boldsymbol { w } _ { i , t } ) C ( \boldsymbol { w } _ { i ^ { \prime } , t } ) ] \sum _ { m } \sum _ { m ^ { \prime } } \mathbb { E } [ \boldsymbol { n } _ { i m } ^ { T } \nabla _ { \boldsymbol { w x } } ^ { 2 } f ^ { T } \nabla _ { \boldsymbol { w x } } ^ { 2 } f \boldsymbol { n } _ { i ^ { \prime } m ^ { \prime } } ] } \\ & { = \frac { 1 } { D ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \mathbb { E } [ C ( \boldsymbol { w } _ { i , t } ) ] \sum _ { m = 1 } ^ { D _ { i } } \mathbb { E } [ \boldsymbol { n } _ { i m } ^ { T } \nabla _ { \boldsymbol { w x } } ^ { 2 } f ^ { T } \nabla _ { \boldsymbol { w x } } ^ { 2 } f \boldsymbol { n } _ { i m } ] } \\ & { \le \frac { \eta } { D ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( 1 - e _ { i , t } ) \sum _ { m = 1 } ^ { D _ { i } } \mathbb { E } [ \boldsymbol { n } _ { i m } ^ { T } \boldsymbol { n } _ { i m } ] = \frac { \eta M } { D ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } D _ { i } ( 1 - e _ { i , t } ) \sigma _ { i } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq l \leq k ( q ) } } & { \hat { R } _ { p } ^ { k } ( q ) \geq \hat { R } _ { p } ^ { l _ { 0 } } ( q ) } \\ & { \geq \bar { R } _ { p } ^ { l _ { 0 } } ( q ) - ( T _ { p } ^ { q + 1 } ) ^ { 7 / 8 } } \\ & { \geq \bar { R } _ { p } ^ { * } ( q ) - ( T _ { p } ^ { q + 1 } ) ^ { 7 / 8 } - \sum _ { t \in \mathcal { T } _ { p } ( q ) } ( r _ { t } ( \pi ^ { * } ( X _ { t } ) ) - \bar { r } _ { t } ( \pi ^ { l _ { 0 } } ( X _ { t } ) ) ) } \\ & { \geq \hat { R } _ { p } ^ { 0 } ( q ) - 2 ( T _ { p } ^ { q + 1 } ) ^ { 7 / 8 } - 3 \epsilon _ { p } ( T _ { p } ^ { q + 1 } - T _ { p } ^ { q } ) - \sum _ { t \in \mathcal { T } _ { p } ( q ) } r _ { t } ( \pi ^ { * } ( X _ { t } ) ) - \bar { r } _ { t } ( \pi ^ { l _ { 0 } } ( X _ { t } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { P ( \lambda ) } & { { } = \sum _ { j = 0 } ^ { d _ { P } } p _ { j } \lambda ^ { j } , } & { Q ( \lambda ) } & { { } = \sum _ { j = 0 } ^ { d _ { Q } } q _ { j } \lambda ^ { j } , } & { R ( \lambda ) } & { { } = \sum _ { j = 0 } ^ { d _ { R } } r _ { j } \lambda ^ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \kappa \mathbb { E } \left\{ \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \left( w _ { i , N } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } } { N } \right) ^ { J } \mathbb { E } \left[ \left( ( \tilde { X } _ { 1 } \cdot \tilde { X } _ { 1 } - C ) ( s , t , u , v ) - ( \tilde { X } _ { 1 } \cdot \tilde { X } _ { 1 } - C ) ( s ^ { \prime } , t ^ { \prime } , u ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) \right) ^ { J } \big | w _ { i , N } ^ { ( 1 ) } , 1 \le i \le N \right] \right\} } \\ { \le } & { \kappa \mathbb { E } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \left( w _ { i , N } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } } { N } \right) ^ { J } \mathbb { E } \left( \tilde { M } ^ { J } \left\| X _ { 1 } \right\| ^ { J } \right) \tilde { \rho } ^ { J \beta } ( ( s , t , u , v ) , ( s ^ { \prime } , t ^ { \prime } , u ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) ) } \end{array}
n _ { G } = \left\{ \begin{array} { c c } { \displaystyle { \frac { \varepsilon _ { 1 } V _ { 0 } } { 4 \pi e d _ { 1 } } } , } & { \mathrm { ~ a ~ t ~ } \, \, V _ { 0 } \geq 0 } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ a ~ t ~ } \, \, V _ { 0 } < 0 , } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l l l l l l l l l l l } { \displaystyle \mathbb { D } _ { T } ^ { \gamma } p ^ { i , \tau } + \mathcal { D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } p ^ { i } ) + q ^ { i } p ^ { i } } & { = } & { y ^ { i } - y _ { d } ^ { i } + \zeta _ { 2 } ^ { i } } & { \mathrm { i n } } & { Q _ { i } , \, i = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } p ^ { i } ( \cdot , a ^ { + } ) - I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } p ^ { j } ( \cdot , a ^ { + } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , ~ i \neq j = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta ^ { i } ( a ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } p ^ { i } ( \cdot , a ^ { + } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } p ^ { i } ( \cdot , b _ { i } ^ { - } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = 1 , \dots , m } \\ { \displaystyle \beta ^ { i } ( b _ { i } ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } p ^ { i } ( \cdot , b _ { i } ^ { - } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = m + 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle I _ { T } ^ { 1 - \gamma } p ^ { i } ( T , \cdot ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( a , b _ { i } ) , ~ ~ i = 1 , \dots , N . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { { ( z _ { 0 } ; z _ { 1 } , z _ { 2 } ) = } } & { { { \frac { 1 } { h } } \left( { \frac { 1 + x _ { 1 } ^ { 2 } + h ^ { 2 } } { 2 } } + i \alpha _ { 0 } ( x _ { 1 } ) h ^ { 3 } ; \right. } } \\ { { } } & { { \left. x _ { 1 } + i \alpha _ { 1 } ( x _ { 1 } ) h ^ { 3 } , \; \; { \frac { i - i x _ { 1 } ^ { 2 } - i h ^ { 2 } } { 2 } } + \alpha _ { 2 } ( x _ { 1 } ) h ^ { 3 } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal T } ^ { < a _ { 1 } . . . a _ { \ell } > } { \cal I } _ { a _ { 1 } . . . a _ { \ell } } = { \cal T } ^ { < a _ { 1 } . . . a _ { \ell } > } R _ { a _ { 1 } } ^ { b _ { 1 } } . . . R _ { a _ { \ell } } ^ { b _ { \ell } } \, { \cal I } _ { b _ { 1 } . . . b _ { \ell } } ^ { \prime } \equiv { \cal T } ^ { \prime } { } ^ { < a _ { 1 } . . . a _ { \ell } > } { \cal I } _ { a _ { 1 } . . . a _ { \ell } } ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g } & { { } = } & { - f ( r ) d t ^ { 2 } + \frac { d r ^ { 2 } } { f ( r ) } + r ^ { 2 } d \theta ^ { 2 } + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \; d \phi ^ { 2 } \, , } \\ { f ( r ) } & { { } = } & { 1 - \frac { 2 M } { r } \, , } \end{array}
\left( \mathcal { C } _ { 3 \times 3 } ^ { 3 2 } , \mathcal { A P } _ { 2 \times 2 } ^ { 2 \times 2 } , \mathcal { C } _ { 2 \times 2 } ^ { 3 2 } , \mathcal { A P } _ { 2 \times 2 } ^ { 2 \times 2 } , \mathcal { D } ^ { 1 2 8 } , \mathcal { D } ^ { 1 0 } \right)
\begin{array} { r l } { \left\vert \int _ { 0 } ^ { 3 \pi / 2 } f \left( x \right) d x - \int _ { 0 } ^ { 3 \pi / 2 } H _ { 3 } \left( x \right) d x \right\vert } & { \sim 0 . 7 } \\ { \left\vert \int _ { 0 } ^ { 3 \pi / 2 } f \left( x \right) d x - \int _ { 0 } ^ { 3 \pi / 2 } \left( H _ { 3 } \left( x \right) + E \left( x \right) \right) d x \right\vert } & { \sim 3 \times 1 0 ^ { - 1 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { T M } f ( y , v ) \, \mathrm { d } \tilde { \mu } _ { \lambda } ^ { x } ( y , v ) : = \frac 1 { \int _ { - \infty } ^ { 0 } e ^ { \lambda \int _ { t } ^ { 0 } \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , 0 ) \, \mathrm { d } s } \, \mathrm { d } t } \int _ { - \infty } ^ { 0 } f ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( t ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ^ { x } ( t ) ) \, e ^ { \lambda \int _ { t } ^ { 0 } \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , 0 ) \, \mathrm { d } s } \, \mathrm { d } t } \end{array}
\int _ { C _ { h } } { \frac { Y _ { \nu } ( \lambda z ) J _ { \nu + m } ( \sigma z ) - J _ { \nu } ( \lambda z ) Y _ { \nu + m } ( \sigma z ) } { J _ { \nu } ( z ) Y _ { \nu } ( \lambda z ) - J _ { \nu } ( \lambda z ) Y _ { \nu } ( z ) } F ( z ) d z }
\mathrm { ~ C ~ N ~ O ~ T ~ } | 0 0 \rangle = | 0 0 \rangle , \quad \mathrm { ~ C ~ N ~ O ~ T ~ } | 0 1 \rangle = | 0 1 \rangle , \quad \mathrm { ~ C ~ N ~ O ~ T ~ } | 1 0 \rangle = | 1 1 \rangle , \quad \mathrm { ~ C ~ N ~ O ~ T ~ } | 1 1 \rangle = | 1 0 \rangle .
\mathring { A } _ { 2 } ^ { \prime } : = \big ( \mathcal { X } _ { 2 1 } [ \mathring { A } _ { 2 } ] M _ { 1 } \big ) ^ { \circ } + \sum _ { \sigma } \frac { \mathbf { 1 } _ { \delta } ^ { \sigma } \, c _ { \sigma } ( \mathcal { X } _ { 2 1 } [ \mathring { A } _ { 2 } ] M _ { 1 } ) } { 1 - \mathbf { 1 } _ { \delta } ^ { \sigma } \, c _ { \sigma } ( \mathcal { X } _ { 2 1 } [ \mathring { \Phi } _ { \sigma } ] M _ { 1 } ) } \big ( \mathcal { X } _ { 2 1 } [ \mathring { \Phi } _ { \sigma } ] M _ { 1 } \big ) ^ { \circ }
A ( B ^ { 0 } ( t ) \to V _ { 1 } V _ { 2 } ) = A _ { 0 } ( t ) \frac { m _ { V _ { 2 } } } { E _ { V _ { 2 } } } \epsilon _ { V _ { 1 } } ^ { * L } \epsilon _ { V _ { 2 } } ^ { * L } - A _ { | | } ( t ) \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \vec { \epsilon } _ { V _ { 1 } } ^ { \, * T } \vec { \epsilon } _ { V _ { 2 } } ^ { \, * T } - A _ { \bot } ( t ) \frac { i } { \sqrt { 2 } } \vec { \epsilon } _ { V _ { 1 } } ^ { \, * } \vec { \epsilon } _ { V _ { 2 } } ^ { \, * } \hat { \vec { p } } \, .
\forall \alpha \in \mathbb { R } , \quad \forall \xi \in \mathbb { S } ^ { 2 } , \quad \overline { { \Omega } } _ { \textnormal { \tiny { F C } } } \big ( \mathcal { R } ( \alpha ) \xi \big ) = \overline { { \Omega } } _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ( \xi ) .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { d e t } \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathbf { e } ( \mathbf { w } ) \otimes \mathbf { e } ( \mathbf { w } ) \frac { e ^ { - \frac { | \mathbf { w } | ^ { 2 } } { 2 } } } { \mathrm { i } \tau | \mathbf { k } | w _ { 1 } - z } \, d \mathbf { w } - \mathrm { I d } \right) = } \\ & { \qquad = \operatorname* { d e t } \left[ ( 2 \pi ) ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { w _ { 1 } } & { w _ { 2 } } & { w _ { 3 } } & { \frac { | \mathbf { w } | ^ { 2 } - 3 } { \sqrt { 6 } } } \\ { w _ { 1 } } & { w _ { 1 } ^ { 2 } } & { w _ { 1 } w _ { 2 } } & { w _ { 1 } w _ { 3 } } & { w _ { 1 } \frac { | \mathbf { w } | ^ { 2 } - 3 } { \sqrt { 6 } } } \\ { w _ { 2 } } & { w _ { 1 } w _ { 2 } } & { w _ { 2 } ^ { 2 } } & { w _ { 2 } w _ { 3 } } & { w _ { 2 } \frac { | \mathbf { w } | ^ { 2 } - 3 } { \sqrt { 6 } } } \\ { w _ { 3 } } & { w _ { 1 } w _ { 3 } } & { w _ { 3 } w _ { 2 } } & { w _ { 3 } ^ { 2 } } & { w _ { 3 } \frac { | \mathbf { w } | ^ { 2 } - 3 } { \sqrt { 6 } } } \\ { \frac { | \mathbf { w } | ^ { 2 } - 3 } { \sqrt { 6 } } } & { w _ { 1 } \frac { | \mathbf { w } | ^ { 2 } - 3 } { \sqrt { 6 } } } & { w _ { 2 } \frac { | \mathbf { w } | ^ { 2 } - 3 } { \sqrt { 6 } } } & { w _ { 3 } \frac { | \mathbf { w } | ^ { 2 } - 3 } { \sqrt { 6 } } } & { \frac { ( | \mathbf { w } | ^ { 2 } - 3 ) ^ { 2 } } { 6 } } \end{array} \right) \frac { e ^ { - \frac { | \mathbf { w } | ^ { 2 } } { 2 } } } { \mathrm { i } \tau | \mathbf { k } | w _ { 1 } - z } \, d \mathbf { w } - \mathrm { I d } \right] } \\ { , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \eta } ^ { ( 1 ) } } & { { } = ( \mathbf { X } + \mathbf { Y } ) \mathbf { \Omega } ( \mathbf { X } + \mathbf { Y } ) ^ { T } = ( \mathbf { A } - \mathbf { B } ) , } \end{array}
\rho = \rho _ { 0 } + O ( \tau ) , \quad \mathbf { u } = \mathbf { u } _ { 0 } + O ( \tau ) , \quad \eta = \eta _ { 0 } + O ( \tau ) , \quad \j = \j _ { 0 } + \tau \j _ { 1 } + O ( \tau ^ { 2 } ) ,
{ \cal L } _ { \sc q } = \frac { 1 } { 4 } K ^ { \mu \nu } K _ { \mu \nu } + \frac { \lambda } { 2 } | D _ { \mu } i | ^ { 2 } + \frac { \lambda ^ { \prime } } { 2 } | D _ { \mu } j | ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r } { \phi _ { i } = \varphi ( d ) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { d } ^ { + \infty } W ( r _ { i j } , h ) d x d y = \frac { 1 } { 2 } \operatorname { e r f c } ( \frac { d } { h } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { i } ^ { n | 1 } } & { = \frac { b _ { 1 1 n } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } w _ { i } ^ { 1 | 1 } \mathrm { ~ f o r ~ } n \geqslant 1 , } \\ { w _ { i j } ^ { n | 1 } } & { = \frac { b _ { 2 0 n } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } w _ { i j } ^ { 0 | 1 } \mathrm { ~ f o r ~ } n \geqslant 0 , } \end{array}
\begin{array} { l l l } { [ { \bf X } _ { 1 } , { \bf X } _ { 5 } ] = { \bf X } _ { 3 } , } & { [ { \bf X } _ { 1 } , { \bf X } _ { 6 } ] = { \bf X } _ { 2 } , } & { [ { \bf X } _ { 2 } , { \bf X } _ { 4 } ] = - { \bf X } _ { 3 } , } \\ { [ { \bf X } _ { 2 } , { \bf X } _ { 6 } ] = - { \bf X } _ { 1 } , } & { [ { \bf X } _ { 3 } , { \bf X } _ { 4 } ] = { \bf X } _ { 2 } , } & { [ { \bf X } _ { 3 } , { \bf X } _ { 5 } ] = - { \bf X } _ { 1 } , } \\ { [ { \bf X } _ { 4 } , { \bf X } _ { 5 } ] = - { \bf X } _ { 6 } , } & { [ { \bf X } _ { 4 } , { \bf X } _ { 6 } ] = { \bf X } _ { 5 } , } & { [ { \bf X } _ { 5 } , { \bf X } _ { 6 } ] = - { \bf X } _ { 4 } . } \end{array}
\mathbf { A } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta t \rightarrow 0 } { \frac { \Delta \mathbf { V } } { \Delta t } } = { \frac { d \mathbf { V } } { d t } } = { \dot { \mathbf { V } } } = { \dot { v } } _ { x } { \hat { \imath } } + { \dot { v } } _ { y } { \hat { \jmath } } + { \dot { v } } _ { z } { \hat { k } }
( f ) _ { \mu } ^ { \sim } ( { \bf l } ) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi R } d \theta _ { 1 } \cdots \int _ { 0 } ^ { 2 \pi R } d \theta _ { d } \exp \bigl [ i R ^ { - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { d } l _ { k } \theta _ { k } \bigr ] ( f ) _ { \mu } ( \mathrm { \boldmath { ~ \ t h e t a ~ } } ) .