harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \frac { \varepsilon _ { \mathrm { r } } - 1 } { \varepsilon _ { \mathrm { r } } + 2 } } & { { } = } & { A _ { \varepsilon } \rho \left( 1 + b \rho + c \rho ^ { 2 } + d \rho ^ { 3 } + \ldots \right) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { ( y _ { Q } ( t ) - y ) { \dot { x } } - ( x _ { Q } ( t ) - x ) { \dot { y } } = 0 , } \\ { ( z _ { Q } ( t ) - z ) { \dot { x } } - ( x _ { Q } ( t ) - x ) { \dot { z } } = 0 } \end{array} \right.
{ \Bigg [ } { \frac { - 1 } { \pi } } { \Bigg ] } = ( - 1 ) ^ { \frac { a - 1 } { 2 } } , \; \; \; { \Bigg [ } { \frac { 2 } { \pi } } { \Bigg ] } = i ^ { - { \frac { b } { 2 } } } .
\sigma = \frac { ( b / c ) ^ { * } + 1 } { ( b / c ) ^ { * } - 1 } = \frac { 1 + p ^ { ( 1 , 1 ) } + w ( 1 - p ^ { ( 1 , 1 ) } ) - \frac { 4 } { N } } { 1 - p ^ { ( 1 , 1 ) } + w ( 1 + p ^ { ( 1 , 1 ) } ) } .
L _ { e f f } ^ { L , Q } = \frac { 1 } { ( \zeta z ) ^ { 2 } } \left( e _ { L } \gamma ^ { \mu } \bar { \mu } _ { L } \right) \left\{ f _ { 3 , 2 ; 3 , 3 } ^ { L , U } \bar { u } _ { L } \gamma _ { \mu } u _ { L } + f _ { 3 , 2 ; 3 , 3 } ^ { L , D } \bar { d } _ { L } \gamma _ { \mu } d _ { L } \right\} ,
a = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { . . . } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { . . } } \\ { { 0 } } & { { \beta _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { . . } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \beta _ { 2 } } } & { { . . } } \\ { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } \\ { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } \end{array} \right)
Q = { \left\{ \begin{array} { l l } { S _ { o } { \frac { R _ { o } ^ { 2 } } { R _ { E } ^ { 2 } } } \cos ( \Theta ) } & { \cos ( \Theta ) > 0 } \\ { 0 } & { \cos ( \Theta ) \leq 0 } \end{array} \right. }
\begin{array} { r } { \! \! \! \! \! \! \! E _ { \mathrm { M S } } \simeq K _ { \mathrm { M S } } \frac { 1 } { m _ { A } } \propto \frac { 1 } { A } \, \, \mathrm { a n d } \, \, E _ { \mathrm { F S } } \simeq K _ { \mathrm { F S } } \left< r _ { N } ^ { 2 } \right> \propto A ^ { 2 / 3 } \, , } \end{array}
\big \lVert \sum _ { k = 4 } ^ { k _ { 0 } } \mathcal { I } _ { 1 } ^ { \mathrm { d o b } } ( \beta , k ; \hbar ) \varphi \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \leq k _ { 0 } ^ { 2 } \sum _ { k = 4 } ^ { k _ { 0 } } \big \lVert \mathcal { I } _ { 1 } ^ { \mathrm { d o b } } ( \beta , k ; \hbar ) \varphi \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { N _ { \mathcal { A } } } & { \leq C _ { 3 } ( \log _ { 2 } ( 2 ^ { 1 0 } 3 ^ { 2 } \mathfrak { c } ^ { 2 } ) ) ^ { 2 C _ { 3 } } d ^ { C _ { 3 } } ( 1 + \log _ { 2 } ( d { \varepsilon } ^ { - 1 } ) ) ^ { 2 C _ { 3 } } + 1 5 2 6 2 C _ { 2 } ^ { 3 } ( \log _ { 2 } ( 2 ^ { 1 6 } 3 ^ { 4 } \mathfrak { c } ^ { 4 } ) ^ { 4 } d ^ { 7 } ( \log _ { 2 } ( 1 + d { \varepsilon } ^ { - 1 } ) ) ^ { 4 } } \\ & { \leq 2 \cdot 1 5 2 6 2 C _ { 2 } ^ { 3 } C _ { 3 } ( \log _ { 2 } ( 2 ^ { 1 6 } 3 ^ { 4 } \mathfrak { c } ^ { 4 } ) ) ^ { \operatorname* { m a x } \{ 4 , 2 C _ { 3 } \} } d ^ { \operatorname* { m a x } \{ 7 , C _ { 3 } \} } ( 1 + \log _ { 2 } ( d { \varepsilon } ^ { - 1 } ) ) ^ { \operatorname* { m a x } \{ 4 , 2 C _ { 3 } \} } . } \end{array}
T _ { 2 1 } = \frac { 2 \eta _ { 2 } } { \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } } \frac { 1 - n _ { 1 } v / c } { 1 - n _ { 2 } v / c } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \Gamma _ { 1 2 1 } = \frac { \eta _ { 2 } - \eta _ { 1 } } { \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } } \frac { 1 - n _ { 1 } v / c } { 1 + n _ { 1 } v / c } ,
P _ { k } = - \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } = \left( \zeta _ { i j k l } \frac { \partial u _ { l } } { \partial x _ { k } } \right) \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } ,
\begin{array} { r l } { \tan ( \phi _ { 1 } ^ { \star } ) } & { { } = \frac { c _ { \mathrm { ~ - ~ } 1 } ^ { I ^ { \star } } } { c _ { \mathrm { ~ - ~ } 1 } ^ { R ^ { \star } } } = - \tan ( \gamma ^ { \star } ) . } \end{array}
\textrm { T r } e ^ { - \frac { i } { \hbar } { \cal { H } } T } = \int d q _ { 0 } \int _ { q _ { 0 } , 0 } ^ { q _ { 0 } , T } { \cal { D } } q \; e ^ { \frac { i } { \hbar } S [ q ] } = \int d q _ { 0 } e ^ { \frac { i } { \hbar } S ^ { c l } ( q _ { 0 } , T ) } \int _ { 0 , 0 } ^ { 0 , T } { \cal { D } } \eta ( a _ { n } ) \; e ^ { \frac { i } { \hbar } \sum _ { n } \epsilon _ { n } a _ { n } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \frac { d } { d r } \left( \frac { \mu ( B _ { r } ) } { r ^ { n } } \right) = - \frac { n } { r ^ { n + 1 } } \int _ { B _ { r } } \left( \frac { \varepsilon | \nabla u | ^ { 2 } } { 2 } + \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right) + \frac { 1 } { r ^ { n } } \int _ { \partial B _ { r } } \left( \frac { \varepsilon | \nabla u | ^ { 2 } } { 2 } + \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { a _ { i , \kappa } } } & { { = } } & { { \frac { \kappa } { n - 2 } + \frac { n - i } { n } - \frac { 1 } { n ( n - 2 ) } \, \, \, ( i = 1 , 2 , \dots , n ) , } } \\ { { b _ { i , \kappa } } } & { { = } } & { { \frac { \kappa } { n - 2 } + \frac { 3 - i } { 2 } - \frac { 1 } { 2 ( n - 2 ) } \, \, \, ( i = 1 , 2 ) , } } \\ { { b _ { i , \kappa } } } & { { = } } & { { \frac { \kappa } { n - 2 } + \frac { i - 2 } { n - 2 } + \frac { \delta _ { i } } { n - 2 } \, \, \, ( i = 3 , \dots , n - 1 ) , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \log \mathcal { L } = \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { \mathrm { e n s } } } \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \log P ( L _ { i + 1 } ^ { ( j ) } , \tau _ { i + 1 } | L _ { i } ^ { ( j ) } , \tau _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \bf { { H } } } _ { { e f f } } } & { { = } { \bf { { H } } } _ { { K } } { - } H _ { S O T } ^ { D L } \left( \bf { { \sigma } } { \times } { \bf { m } } \right) } \\ & { { = } H _ { K } ( \frac { H _ { S O T } ^ { D L } } { H _ { K } } { s i n } \beta m _ { y } { , - } \frac { H _ { S O T } ^ { D L } } { H _ { K } } { s i n } \beta m _ { x } { + } \frac { H _ { S O T } ^ { D L } } { H _ { K } } { c o s } \beta m _ { z } } \\ & { \quad { , - } \frac { H _ { S O T } ^ { D L } } { H _ { K } } { c o s } \beta m _ { y } { + } m _ { z } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { q ( g ) } & { = \tilde { q } ( g ) \beta _ { q } ( g , g _ { 0 } ) = \tilde { q } ( g ) \frac { q ( g g _ { 0 } ) } { q ( g ) q ( g _ { 0 } ) } = \tilde { q } ( g ) \frac { \beta _ { q } ( g g _ { 0 } , g _ { 0 } ) \tilde { q } ( g g _ { 0 } ) } { \beta _ { q } ( g , g _ { 0 } ) \tilde { q } ( g ) \beta _ { q } ( g _ { 0 } , g _ { 0 } ) \tilde { q } ( g _ { 0 } ) } = \frac { \tilde { q } ( g g _ { 0 } ) } { \tilde { q } ( g _ { 0 } ) } . } \end{array}
\operatorname { S t e k } _ { D } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ( 2 \bar { \ell } ) ) = \operatorname { S t e k } _ { \operatorname { m i x } } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 4 } } } ( \bar { \ell } ) ) \sqcup \operatorname { S t e k } _ { D } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 4 } } } ( \bar { \ell } ) ) .
\begin{array} { r l } { \tilde { N } ( \nu ) } & { \approx \frac { 8 \pi ( \nu ^ { 2 } + 2 \nu \Delta \nu ) } { c ^ { 3 } } \, \frac { 1 } { \exp ( u ( 1 + \frac { \Delta \nu } { \nu } ) ) - 1 } } \\ & { \approx N ( \nu ) \left( 1 + \frac { 2 \Delta \nu } { \nu } \right) \left[ 1 - u \frac { \Delta \nu } { \nu } \frac { \exp ( u ) } { \exp ( u ) - 1 } \right] } \\ & { \approx N ( \nu ) \left[ 1 - \frac { \Delta \nu } { \nu } \left( 1 - 2 \frac { \exp ( u ) - 1 } { u \, \exp ( u ) } \right) u \frac { \exp ( u ) } { \exp ( u ) - 1 } \right] \, . } \end{array}
f _ { v 1 } = \frac { ( \tilde { \nu } _ { t } / \nu ) ^ { 3 } } { ( \tilde { \nu } _ { t } / \nu ) ^ { 3 } + c _ { v 1 } ^ { 3 } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad f _ { v 2 } = \frac { 1 + ( f _ { v 1 } - 1 ) ( \tilde { \nu } _ { t } / \nu ) } { 1 + f _ { v 1 } ( \tilde { \nu } _ { t } / \nu ) } \, ,
\begin{array} { r l } { \beta _ { \widetilde { q } } ( g , g _ { 0 } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ) } & { = \beta _ { q } ( g , g _ { 0 } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ) = \beta _ { q } ( g , g _ { 0 } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = ( \frac { q ( g g _ { 0 } ) } { q ( g ) q ( g _ { 0 } ) } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = ( \frac { q ( g g _ { 0 } ) } { q ( g ) } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = ( \frac { \widetilde { q } ( g ) ^ { 2 } } { q ( g ) ^ { 2 } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = \frac { q ( g ) } { \widetilde { q } ( g ) } = \eta ( g ) . } \end{array}
\Phi = - \frac { 1 } { 2 } l o g ( 2 Q ^ { 2 } ) + 2 l o g l o g \rho - \frac { 1 } { l o g \rho } 9 l o g l o g \rho + O ( \frac { l o g l o g \rho } { l o g ^ { 2 } \rho } )
\begin{array} { r l } & { \exists y _ { 0 } , y _ { 1 } , y _ { 2 } , X _ { 1 } , X _ { 2 } , z _ { 1 } , \dotsc , z _ { n } , z _ { 1 } ^ { \prime } , \dotsc , z _ { n } ^ { \prime } } \\ & { y _ { 0 } = z _ { 1 } \wedge y _ { 2 } = z _ { 2 } \wedge O ( z _ { 1 } , \dotsc , z _ { n } ) \wedge O ( z _ { 1 } ^ { \prime } , \dotsc , x _ { n } ^ { \prime } ) \wedge } \\ & { \bigwedge _ { j = 1 } ^ { 2 } \big ( S ( y _ { j - 1 } , y _ { j } , X _ { j } ) \wedge \bigwedge _ { i = 1 } ^ { k } R ( X _ { j } , x _ { i } ^ { j } ) \wedge \bigwedge _ { i \in I } R ( X _ { j } , z _ { i } ^ { \prime } ) \enspace . } \end{array}
\operatorname { c f } _ { Y } ( t ) = \prod _ { k = 1 } ^ { n } \operatorname { c f } _ { X _ { k } } \left( c _ { k } t \right) = \prod _ { k = 1 } ^ { n } \operatorname { c f } _ { \mathit { T Q G } ( \mu _ { k } , \sigma _ { k } , q _ { k } ) } \left( c _ { k } t \right) .
\begin{array} { r l } & { ( t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } + k - 2 } } t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { l ^ { \prime } + k - 2 } } \cdots t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } + 1 } } t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { l ^ { \prime } + 1 } } t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } } } ) ^ { - 1 } t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } + k - 1 } } t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { l ^ { \prime } + k - 1 } } ( t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } + k - 2 } } t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { l ^ { \prime } + k - 2 } } \cdots t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } + 1 } } t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { l ^ { \prime } + 1 } } t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } } } ) } \\ & { = t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { l ^ { \prime } } } t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } - 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { \ell } = \Phi \Big ( \sqrt { \ell K } - \frac { \langle X \beta ^ { * } , u _ { \ell } \rangle } { \sigma } \Big ) + \Phi \Big ( \sqrt { \ell K } + \frac { \langle X \beta ^ { * } , u _ { \ell } \rangle } { \sigma } \Big ) } \\ & { \quad \quad \quad - \bigg ( \Phi \Big ( \sqrt { K } - \frac { \langle X \beta ^ { * } , u _ { \ell } \rangle } { \sigma } \Big ) + \Phi \Big ( \sqrt { K } + \frac { \langle X \beta ^ { * } , u _ { \ell } \rangle } { \sigma } \Big ) \bigg ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left( { \frac { \partial T } { \partial p } } \right) _ { H } } & { = - \left( { \frac { \partial H } { \partial p } } \right) _ { T } \left( { \frac { \partial T } { \partial H } } \right) _ { p } } \\ & { = { \frac { - 1 } { \left( { \frac { \partial H } { \partial T } } \right) _ { p } } } \left( { \frac { \partial H } { \partial p } } \right) _ { T } } \end{array} }
n _ { c } ( r ) = \int _ { E _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \infty } d E \, f ( E , \mu ) \, \sum _ { l , j } \frac { 2 j + 1 } { 4 \pi r ^ { 2 } } \big [ \, P _ { E , l , j } ^ { 2 } ( r ) + Q _ { E , l , j } ^ { 2 } ( r ) \, \big ] \, ,
{ } _ { 2 } F _ { 1 } ( a , b ; c ; z ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( a ) _ { n } ( b ) _ { n } } { ( c ) _ { n } } } { \frac { z ^ { n } } { n ! } } = 1 + { \frac { a b } { c } } { \frac { z } { 1 ! } } + { \frac { a ( a + 1 ) b ( b + 1 ) } { c ( c + 1 ) } } { \frac { z ^ { 2 } } { 2 ! } } + \cdots .
\begin{array} { r l } { X _ { i } } & { : = \left\{ i : \mathbb { T } ^ { \nu } \mapsto \mathbb { T } ^ { \nu } \times \mathbb { R } ^ { \nu } \times H _ { S ^ { \perp } } : \rho _ { * } i ( \varphi ) = i ( - \varphi ) ) \right\} , \quad Y _ { i } : = \left\{ i : \mathbb { T } ^ { \varphi } \mapsto \mathbb { T } ^ { \nu } \times \mathbb { R } ^ { \nu } \times H _ { S ^ { \perp } } : \rho _ { * } i ( \varphi ) = - i ( - \varphi ) ) \right\} , } \\ { X _ { e } } & { : = \left\{ f : \mathbb { R } ^ { \nu } \mapsto \mathbb { R } ^ { \nu } : f ( \varphi ) = f ( - \varphi ) \right\} , \quad Y _ { o } : = \left\{ f : \mathbb { R } ^ { \nu } \mapsto \mathbb { R } ^ { \nu } : f ( \varphi ) = - f ( - \varphi ) \right\} , } \\ { X _ { \perp } } & { : = \left\{ z \in H _ { S ^ { \perp } } : z ( \varphi , x ) = z ( - \varphi , - x ) \right\} , \quad Y _ { \perp } : = \left\{ z \in H _ { S ^ { \perp } } : z ( \varphi , x ) = - z ( - \varphi , - x ) \right\} . } \end{array}
( \vec { i } ^ { \prime } , \vec { j } ^ { \prime } ) = ( ( i _ { 1 } ^ { \prime } , \dots , i _ { d } ^ { \prime } ) , ( j _ { 1 } ^ { \prime } , \dots , j _ { d } ^ { \prime } ) ) \leq ( \vec { i } , \vec { j } ) = ( ( i _ { 1 } , \dots , i _ { d } ) , ( j _ { 1 } , \dots , j _ { d } ) )
\boldsymbol { \tau } ^ { * } = 2 \mu _ { 0 } ^ { * } \boldsymbol { \mathrm { E } } ^ { * } + 2 \alpha _ { 1 } ^ { * } \stackrel { \nabla ^ { * } } { \boldsymbol { \mathrm { E } } ^ { * } } + 4 \alpha _ { 2 } ^ { * } ( \boldsymbol { \mathrm { E } } ^ { * } \cdot \boldsymbol { \mathrm { E } } ^ { * } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { H } ^ { i } ( X , d ( \mathcal { O } _ { X } \boxtimes \Omega _ { A / k } ^ { 1 } ) ) } & { \cong \mathrm { H } ^ { i } ( X , \mathcal { O } _ { X } \boxtimes \Omega _ { A / k } ^ { 1 } ) } \\ & { \cong \mathrm { H } ^ { i } ( X , \mathcal { O } _ { X } ) \otimes _ { k } \Omega _ { A / k } ^ { 1 } . } \end{array}
\mathrm { U } _ { 0 } ( { \tau } ^ { ( 1 ) } ) \mathrm { U } _ { 0 } ( { \tau } ^ { ( 2 ) } ) = \exp \{ 2 \pi i { \omega } _ { 2 } ( { \tau } ^ { ( 1 ) } , { \tau } ^ { ( 2 ) } ) \} \mathrm { U } _ { 0 } ( { \tau } ^ { ( 1 ) } + { \tau } ^ { ( 2 ) } ) ,
P = \left[ \begin{array} { c c c c c c c } { ( t _ { 1 } , \mu _ { 1 } ) } & { \ldots } & { ( t _ { N _ { t } } , \mu _ { 1 } ) } & { \ldots } & { ( t _ { 1 } , \mu _ { N _ { p } } ) } & { \ldots } & { ( t _ { N _ { t } } , \mu _ { N _ { p } } ) } \end{array} \right] \in \mathbb { R } ^ { ( n _ { \mu } + 1 ) \times N } \, .
\frac { \mathrm { ~ d ~ } \rho _ { i } } { \mathrm { ~ d ~ } t } = 2 \rho _ { i } \sum _ { j } \frac { m _ { j } } { \rho _ { j } } ( \mathbf { v } _ { i } - \mathbf { v } ^ { * } ) \cdot \nabla _ { i } W _ { i j } ,
\widehat { E } ( k , 0 , m , t ) = \frac { | \hat { u } ( k , 0 , m , t ) | ^ { 2 } + | \hat { w } ( k , 0 , m , t ) | ^ { 2 } + | \hat { v } ( k , 0 , m , t ) | ^ { 2 } + | \hat { b } ( k , 0 , m , t ) | ^ { 2 } / N ^ { 2 } } { E _ { \textnormal { r e f } } }
\begin{array} { r l } { h ^ { \prime } ( x ) } & { = f ( x ^ { 2 } - x ) + \int _ { 0 } ^ { x } 2 x f _ { x } ( x ^ { 2 } - a ) \, d a } \\ & { = f ( x ^ { 2 } - x ) - 2 x \int _ { 0 } ^ { x } \frac { d } { d a } ( f ( x ^ { 2 } - a ) ) \, d a } \\ & { = f ( x ^ { 2 } - x ) - 2 x ( f ( x ^ { 2 } - x ) - f ( x ^ { 2 } ) ) } \\ & { = ( 1 - 2 x ) f ( x ^ { 2 } - x ) + 2 x f ( x ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = u _ { x } v _ { y } - u _ { y } v _ { x } + \left( \lambda _ { 1 } w _ { x } \right) _ { x } + \left( \lambda _ { 2 } w _ { y } \right) _ { y } } \\ { 0 } & { = - \left( w v _ { y } - \lambda _ { 1 } u _ { x } \right) _ { x } + \left( w v _ { x } + \lambda _ { 2 } u _ { y } \right) _ { y } } \\ { 0 } & { = \left( w u _ { y } + \lambda _ { 1 } v _ { x } \right) _ { x } - \left( w u _ { x } - \lambda _ { 2 } v _ { y } \right) _ { y } } \end{array}
c _ { 1 } [ { \bf a } ] _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 2 } [ { \bf a } ] _ { 2 } ^ { 2 } + c _ { 3 } [ { \bf a } ] _ { 3 } ^ { 2 } + c _ { 4 } [ { \bf a } ] _ { 1 } [ { \bf a } ] _ { 2 } + c _ { 5 } [ { \bf a } ] _ { 1 } [ { \bf a } ] _ { 3 } + c _ { 6 } [ { \bf a } ] _ { 2 } [ { \bf a } ] _ { 3 } + c _ { 7 } [ { \bf a } ] _ { 1 } + c _ { 8 } [ { \bf a } ] _ { 2 } + c _ { 9 } [ { \bf a } ] _ { 3 } + c _ { 1 0 } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { R e g } ( T ) } & { = \Omega \left( \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { K - 1 } \cdot \frac { d ( \delta , 1 - \delta ) } { ( \Delta ^ { v } / K ) ^ { 2 } } , T \right\} + \sqrt { K L T } + L _ { 0 } \cdot \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { K - 1 } \cdot \frac { d ( \delta , 1 - \delta ) } { ( \Delta ^ { v } / K ) ^ { 2 } } , \frac { T K } { L } \right\} \right) } \\ & { = \Omega \left( \operatorname* { m i n } \left\{ K \cdot \frac { d ( \delta , 1 - \delta ) } { ( \Delta ^ { v } / ) ^ { 2 } } , T \right\} + \sqrt { K L T } + L \cdot \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { d ( \delta , 1 - \delta ) } { ( \Delta ^ { v } ) ^ { 2 } } , \frac { T } { L } \right\} \right) } \\ & { = \Omega \left( \sqrt { K L T } + \operatorname* { m i n } \left\{ L \cdot \frac { d ( \delta , 1 - \delta ) } { ( \Delta ^ { v } ) ^ { 2 } } , T \right\} \right) . } \end{array}
\mathcal { M } : = \left\{ u \in \mathbb { L } ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) \left| \begin{array} { r l } { u ( x ) = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { A _ { j } } { L _ { j } } e ^ { i \gamma _ { j } + i \beta _ { j } \cdot ( x - X _ { j } ) - \frac { 2 + i B _ { j } } { 4 L _ { j } ^ { 2 } } \left| x - X _ { j } \right| ^ { 2 } } } & { , } \\ { A _ { j } , B _ { j } , \gamma _ { j } \in \mathbb { R } , \, L _ { j } \in \mathbb { R } _ { + } ^ { * } , \, X _ { j } , \beta _ { j } \in \mathbb { R } ^ { d } } & { } \end{array} \right. \right\} .
\mathcal { W _ { T } } = \sqrt { ( \frac { \nu _ { x } ^ { t } } { \nu _ { x } } ) ^ { 2 } + ( \frac { \nu _ { y } ^ { t } } { \nu _ { y } } ) ^ { 2 } + ( \frac { \nu _ { z } ^ { t } } { \nu _ { z } } ) ^ { 2 } }
\{ 3 a _ { 1 } , 4 a _ { 1 } , 1 b _ { 1 } , 5 a _ { 1 } , 1 b _ { 2 } , 2 b _ { 1 } , 2 b _ { 2 } , 6 a _ { 1 } , 3 b _ { 1 } \}
\begin{array} { r l } { V _ { T } } & { ( \bar { t } _ { 0 } , \bar { y } _ { 0 } ) \leq \frac { 1 } { 2 } \int _ { \bar { t } _ { 0 } } ^ { \bar { t } _ { 0 } + T } \left( \| \bar { y } ( t ) \| _ { V _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } \, d t + \lambda \beta \hat { c } ^ { 2 } c _ { P } ^ { 2 } \| \bar { y } ( t ) \| _ { H _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } \right) \, d t } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 \underline { { \nu } } } \left( 1 + \frac { c _ { 5 } + \lambda ( 1 + \beta \underline { { \nu } } ) \hat { c } ^ { 2 } c _ { P } ^ { 2 } } { \mu } ( 1 - e ^ { - \mu T } ) \right) \| \bar { y } _ { 0 } \| _ { H _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } = : \gamma _ { 2 } ( T ) \| \bar { y } _ { 0 } \| _ { H _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 9 } + _ { 5 } + _ { 1 9 } + _ { 7 } + _ { 5 } + _ { 9 } + _ { 5 } + _ { 3 } + _ { 4 } } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \delta _ { q , i } \delta ( j > m - n ) ( \alpha _ { 1 } ^ { 2 } + \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } ) \partial ^ { 2 } W _ { p , j } ^ { ( 1 ) } - \frac { 1 } { 2 } \delta _ { i , q } \delta ( j > m - n ) \partial ^ { 2 } W _ { p , j } ^ { ( 1 ) } . } \end{array}
w _ { \sigma , n } ( \mathbf { k } _ { l } ) = \sum _ { \mathbf { g } } | C _ { \sigma , n , \mathbf { K } } ( \mathbf { k } _ { l } + \mathbf { g } ) | ^ { 2 } \quad ( l = 1 , \ldots , n _ { \mathrm { ~ v ~ } } ) .
\frac { \, \mathrm { ~ d ~ } \Delta T } { \, \mathrm { ~ d ~ } t } = - \Gamma ( t ) \Delta T = - \Gamma _ { 0 } \frac { N _ { \mathrm { { t o t } } } ^ { ( \pm ) } ( t ) } { N _ { \mathrm { { t o t } } } ^ { ( \pm ) } ( 0 ) } \Delta T
\begin{array} { r l } { g ( \omega , \mu , \sigma ) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } \exp \left\{ - \frac { ( x - \mu ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right\} , } \\ { l ( \omega , \mu , \gamma ) } & { { } = \frac { 1 } { \pi } \frac { \gamma } { ( \omega - \gamma ) ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { t } + \frac { \eta _ { t } ^ { - 1 } } { 2 } d _ { t + 1 } ^ { 2 } - \frac { \eta _ { t } ^ { - 1 } } { 2 } d _ { t } ^ { 2 } } & { \leq \langle \xi _ { t } , x _ { * } - x _ { t } \rangle + \eta _ { t } \left( 2 \left\Vert \xi _ { t } ^ { u } \right\Vert ^ { 2 } + 2 \left\Vert \xi _ { t } ^ { b } \right\Vert ^ { 2 } + G ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\dot { N } _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - i } } & { { 0 } } \end{array} \right) , ~ ~ ~ ~ ~ \dot { N } _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
R ( { \bf r } , \sigma ) = \langle \tilde { u } _ { i } ( { \bf x } , \sigma ) \tilde { u } _ { i } ^ { \star } ( { \bf x } + { \bf r } , \sigma ) + \tilde { u } _ { i } ^ { \star } ( { \bf x } , \sigma ) \tilde { u } _ { i } ( { \bf x } + { \bf r } , \sigma ) \rangle _ { \bf x } .
H _ { m n } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \Omega _ { R } ( t ) e ^ { i \phi _ { L } ( t ) / 2 } , \ } & { m = n - 1 } \\ { \delta _ { m } ( t ) , \ } & { m = n } \\ { \Omega _ { R } ( t ) e ^ { - i \phi _ { L } ( t ) / 2 } , \ } & { m = n + 1 . } \end{array} \right.
G = \int _ { x _ { i n } } ^ { x _ { o u t } } D ^ { \prime } x \int D v \exp \left\{ i \int _ { t _ { i n } } ^ { t _ { o u t } } \left[ L ( x , v ) + \frac { \partial L ( x , v ) } { \partial v } ( \dot { x } - v ) \right] d t \right\} J ( x , v ) \; .
a ( \eta ) \hat { H } = \int d ^ { 3 } x \left[ \frac { \hat { \Pi } } { 2 a ^ { 2 } ( \eta ) } + \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } ( \eta ) ( \nabla \hat { \Phi } ) ^ { 2 } + a ^ { 4 } ( \eta ) V ( \hat { \Phi } ) \right] .
u _ { 2 } ( x , \Lambda ) = \int _ { 0 } ^ { \Lambda } { \frac { d ^ { 2 } k _ { \perp } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \left[ | \phi _ { 0 } ^ { \Lambda } ( x , k _ { \perp } ) | ^ { 2 } + k _ { \perp } ^ { 2 } | \phi _ { 1 } ^ { \Lambda } ( x , k _ { \perp } ) | ^ { 2 } \right] \ .
\Delta F = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 0 } ^ { N } \sqrt { \| \mathbf { f } _ { M L P } ^ { ( i ) } ( X _ { M L P } ) - \mathbf { f } _ { r e f } ^ { ( i ) } ( X _ { r e f } ) \| ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { \delta V _ { A \ell } ( \mathbf { r } ) } & { { } = } & { \sum _ { q = 1 } ^ { N _ { q \ell } } \beta _ { A q \ell } \, | \mathbf { r } - \mathbf { R } _ { A } | ^ { n _ { A q \ell } } \, e ^ { - \alpha _ { A q \ell } | \mathbf { r } - \mathbf { R } _ { A } | ^ { 2 } } } \\ { V _ { A \ell _ { \operatorname* { m a x } } + 1 } ( \mathbf { r } ) } & { { } = } & { - \frac { Z _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { | \mathbf { r } - \mathbf { R } _ { A } | } + \delta V _ { A \ell _ { \operatorname* { m a x } } + 1 } ( \mathbf { r } ) } \end{array}
\hbar = { \frac { h } { 2 \pi } } = 1 . 0 5 4 \ 5 7 1 \ 8 1 7 . . . \times 1 0 ^ { - 3 4 } \ { \mathrm { J } } { \cdot } { \mathrm { s } } = 6 . 5 8 2 \ 1 1 9 \ 5 6 9 . . . \times 1 0 ^ { - 1 6 } \ { \mathrm { e V } } { \cdot } { \mathrm { s } }
\left( C \circ \Phi _ { \eta } ^ { t } \right) \left( y \right) \leq C \left( y \right) e ^ { - t \operatorname* { m i n } \left( 1 , \zeta , \beta \right) } + \frac { \left\Vert H _ { \eta } \right\Vert ^ { 2 } } { \left( \operatorname* { m i n } \left( 1 , \zeta , \beta \right) \right) ^ { 2 } } \left( 1 + e ^ { - t \operatorname* { m i n } \left( 1 , \zeta , \beta \right) } \right) \ ,
\begin{array} { r l } { \nabla u } & { { } = \left( \frac { \nabla _ { s } u _ { s } } { h _ { s } } - \mathcal { A } u _ { \sigma } - \mathcal { B } u _ { \theta } \right) \widehat { t } _ { s } \otimes \widehat { t } _ { s } + \left( \frac { \nabla _ { s } u _ { \sigma } } { h _ { s } } + \mathcal { A } u _ { s } \right) \widehat { t } _ { s } \otimes \widehat { t } _ { \sigma } + \left( \frac { \nabla _ { s } u _ { \theta } } { h _ { s } } + \mathcal { B } u _ { s } \right) \widehat { t } _ { s } \otimes \widehat { t } _ { \theta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { n } } ^ { 1 D \perp } } & { { } = p _ { \mathbb { S } } ( \hat { \mathbf { n } } ^ { 1 D } \times \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { D } ) = p _ { \mathbb { S } } ( \nu , 1 - \nu , \nu ) , } \\ { \hat { \mathbf { n } } ^ { D K \perp } } & { { } = p _ { \mathbb { S } } ( \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { D } \times \hat { \mathbf { n } } ^ { D K } ) = p _ { \mathbb { S } } ( 1 , 2 \nu , 1 ) , } \end{array}