harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { A } ( \varphi , \tilde { \varphi } , S ) = \frac { i } { 2 } \, \left( \left\langle \tilde { \varphi } \left\vert D _ { z , \, x ^ { 2 } } - g \vert S \vert ^ { 2 } \right\vert \varphi \right\rangle + c . \, c . \right) - \left\langle S \left\vert T _ { C } ^ { - 1 } \right\vert S \right\rangle } \\ & { } & { = \frac { i } { 2 } \, \left\lbrack \int _ { \Lambda } \int _ { 0 } ^ { L } \tilde { \varphi } ^ { \ast } ( x , z ) \left( D _ { z , \, x ^ { 2 } } \varphi ( x , z ) - g \vert S ( x , z ) \vert ^ { 2 } \varphi ( x , z ) \right) d z \, d x + c . \, c . \right\rbrack } \\ & { } & { - \int _ { \Lambda } \int _ { 0 } ^ { L } S ^ { \ast } ( x , z ) ( T _ { C } ^ { - 1 } S ) ( x , z ) \, d z \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l r l r l r l r l r l r } { { 1 9 } } & { { } e _ { a } } & { ( \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } } ) = { } } & { { } } & { a ^ { q } } & { { } ( } & { } & { { } \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } } } & { , \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } } } & { { } ) } & { { } - { } } & { { } a } & { } & { { } ( } & { } & { { } \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } } } & { , \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } } } & { { } ) } & { , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ^ { + + } } & { { } = \frac { N h } { 2 } \left( 1 - q + \Delta \right) ( 2 q - \Delta - \Sigma ) \left( \frac { 1 + \varepsilon } { 2 } \right) , } \\ { W ^ { + - } } & { { } = \frac { N h } { 2 } \left( 1 - q + \Delta \right) ( \Sigma - \Delta ) \left( \frac { 1 - \varepsilon } { 2 } \right) , } \\ { W ^ { - + } } & { { } = \frac { N h } { 2 } \left( q - \Delta \right) ( 2 - 2 q + \Delta - \Sigma ) \left( \frac { 1 + \varepsilon } { 2 } \right) , } \\ { W ^ { -- } } & { { } = \frac { N h } { 2 } \left( q - \Delta \right) ( \Sigma + \Delta ) \left( \frac { 1 - \varepsilon } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { 3 } ( { \mathbf { b } _ { k } ^ { \ell } } ^ { * } ) } & { = \sum _ { i \in \mathcal { I } _ { k } } \left[ v _ { i } ( { \mathbf { b } _ { k } ^ { \ell } } ^ { * } ) - \sigma _ { i } ( { \mathbf { b } _ { k } ^ { \ell } } ^ { * } ) \right] - \sum _ { j \in \mathcal { J } } c _ { j } ( { \mathbf { b } _ { k } ^ { \ell } } ^ { * } ) } \\ & { \geq \sum _ { i \in \mathcal { I } _ { k } \setminus \{ \ell \} } v _ { i } ( \mathbf { a } _ { k } ^ { * } ) - \sum _ { i \in \mathcal { I } _ { k } } \sigma _ { i } ( { \mathbf { b } _ { k } ^ { \ell } } ^ { * } ) - \sum _ { j \in \mathcal { J } } c _ { j } ( \mathbf { a } _ { k } ^ { * } ) , } \end{array}
g ^ { n - 2 } K _ { 2 1 \cdots 1 } ( X ; X _ { 1 } \cdots X _ { n - 1 } ) = { \frac { \partial ^ { n - 1 } } { \partial A ( X _ { n - 1 } ) \cdots \partial A ( X _ { 1 } ) } } \ \ j _ { \mu } ( X ; A ) \ \vert _ { A = 0 }
\begin{array} { r l r } { A _ { m } ( t ) } & { { } = } & { \eta _ { m } \Omega \int _ { 0 } ^ { t } f _ { \mathrm { s d f } } ( t ^ { \prime } ) e ^ { i \omega _ { m } t ^ { \prime } } d t ^ { \prime } , } \\ { \Theta _ { m } ( t ) } & { { } = } & { \eta _ { m } ^ { 2 } \Omega ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } f _ { \mathrm { s d f } } ( t ^ { \prime } ) f _ { \mathrm { s d f } } ( t ^ { \prime \prime } ) } \end{array}
{ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } x ^ { a } } { \mathrm { d } \tau ^ { 2 } } } + \Gamma _ { b c } ^ { a } \, { \frac { \mathrm { d } x ^ { b } } { \mathrm { d } \tau } } \, { \frac { \mathrm { d } x ^ { c } } { \mathrm { d } \tau } } = 0
\begin{array} { r l } { G ( \gamma _ { 1 } ) - G ( \gamma _ { 2 } ) } & { = \partial _ { y } \left( \overline { { [ \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } \gamma _ { 1 } \partial _ { y } \nabla ^ { - 2 } \gamma _ { 1 } ] - [ \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } \gamma _ { 2 } \partial _ { y } \nabla ^ { - 2 } \gamma _ { 2 } ] } } \right) } \\ { = } & { \partial _ { y } \left( \overline { { [ \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } ( \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 2 } ) \partial _ { y } \nabla ^ { - 2 } \gamma _ { 1 } ] + [ \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } \gamma _ { 2 } \partial _ { y } \nabla ^ { - 2 } ( \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 2 } ) ] } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathrm { { C } } } _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \sigma } } & { { } = } & { \sigma \sum _ { l m } | C _ { l m } ^ { \sigma } | ^ { 2 } G _ { j _ { l } j _ { l } } , } \\ { \tilde { \mathrm { { C } } } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma } } & { { } = } & { \sigma \sum _ { l m } | C _ { l m } ^ { \sigma } | ^ { 2 } \mathrm { ~ R ~ e ~ } \{ a _ { l m } { b _ { l m } } ^ { * } \} G _ { h _ { l } h _ { l } } , } \\ { \tilde { \mathrm { { C } } } _ { \mathrm { { i n t } } } ^ { \sigma } } & { { } = } & { \sigma \sum _ { l m } | C _ { l m } ^ { \sigma } | ^ { 2 } \mathrm { ~ R ~ e ~ } \{ \left( a _ { l m } + b _ { l m } \right) G _ { j _ { l } h _ { l } } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } _ { t } \, x } & { { } = { \mathbf S } ^ { X } \cdot \boldsymbol { j } + I = 0 } \\ { \mathrm { d } _ { t } \, \boldsymbol { y } } & { { } = \mathbb { S } ^ { Y } \cdot \boldsymbol { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \frac { 1 } { g _ { 0 } ^ { 2 } } } } & { { } = } & { \beta _ { 0 } \, \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } + { \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } } } \ln \left( \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } \right) + c ^ { \prime } + { \frac { a ^ { \prime } } { \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } } } + \dots } \end{array}
M _ { b } = M _ { b } ^ { \overline { { { M S } } } } ( M _ { b } ) ( 1 + { \frac { 4 } { 3 \, \pi } } \alpha _ { V } ( 0 . 2 2 \, M _ { b } ) + 0 . 1 6 4 \, \alpha _ { V } ^ { 2 } + . . )
\begin{array} { r l } { { \hat { w } } _ { 1 } ( \sigma , s ) = } & { { } \sum _ { n = 1 } ^ { 2 } \left[ u _ { n } ^ { ( a ) } ( \sigma ) \hat { a } _ { n } ^ { ( a ) } ( s ) + v _ { n } ^ { ( a ) \ast } ( \sigma ) \hat { a } _ { n } ^ { ( a ) \dagger } ( s ) \right] } \\ { { \hat { w } } _ { 2 } ( \sigma , s ) = } & { { } \sum _ { n = 1 } ^ { 2 } \left[ u _ { n } ^ { ( b ) } ( \sigma ) \hat { a } _ { n } ^ { ( b ) } ( s ) + v _ { n } ^ { ( b ) \ast } ( \sigma ) \hat { a } _ { n } ^ { ( b ) \dagger } ( s ) \right] } \end{array}
A = { \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 , 1 } } & { a _ { 1 , 2 } } & { \dots } & { a _ { 1 , n } } \\ { a _ { 2 , 1 } } & { a _ { 2 , 2 } } & { \dots } & { a _ { 2 , n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { n , 1 } } & { a _ { n , 2 } } & { \dots } & { a _ { n , n } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } & { { \tilde { m } } = \sum _ { \gamma \in { \Gamma } } ( \gamma \cdot a _ { \gamma } - a _ { \gamma } ) \quad \ \mathrm { f o r ~ s o m e } \ \, a _ { \gamma } \in M [ S _ { E } ] \otimes \mathbb { Q } / \mathbb { Z } , } \\ & { a _ { \gamma } = \sum _ { w \in S _ { E } } a _ { \gamma , w } \cdot w , \quad a _ { \gamma , w } \in M \otimes \mathbb { Q } / \mathbb { Z } . } \end{array}
[ b ( i , j , n , r ) , b ( i ^ { \prime } , j ^ { \prime } , n ^ { \prime } , r ^ { \prime } ) ^ { * } ] = N o r m ( i , j , n , r ) \delta _ { i i ^ { \prime } } \delta _ { j j ^ { \prime } } \delta _ { n n ^ { \prime } } \delta _ { r r ^ { \prime } }
\begin{array} { c c } { F \colon A ^ { 1 } \to V ^ { 1 } } & { \widetilde F \colon B ^ { 1 } \to V ^ { 1 } } \\ { G \colon A ^ { 3 } \to V ^ { 3 } } & { \widetilde G \colon B ^ { 3 } \to V ^ { 3 } } \\ { H \colon A ^ { 1 } \times A ^ { 3 } \to V ^ { 1 } \times V ^ { 3 } } & { \widetilde H \colon B ^ { 1 } \times B ^ { 3 } \to V ^ { 1 } \times V ^ { 3 } } \end{array}
\partial _ { \lambda } F _ { \mu \nu } + \partial _ { \mu } F _ { \nu \lambda } + \partial _ { \nu } F _ { \lambda \mu } = \partial _ { \lambda } \partial _ { \mu } A _ { \nu } - \partial _ { \lambda } \partial _ { \nu } A _ { \mu } + \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } A _ { \lambda } - \partial _ { \mu } \partial _ { \lambda } A _ { \nu } + \partial _ { \nu } \partial _ { \lambda } A _ { \mu } - \partial _ { \nu } \partial _ { \mu } A _ { \lambda } = 0 .
\begin{array} { r } { \eta _ { n , p , m } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = \eta _ { n , p , m } + i _ { n , p , m } R _ { f i l m , m } = \Delta \phi _ { n } ^ { s } - \Delta \phi _ { m } ^ { e q } ( c _ { n , p , m } ) + i _ { n , p , m } R _ { f i l m , m } } \end{array}
m _ { \sigma } ^ { 2 } = \left( - \frac { 2 } { N } + \left| \frac { \partial K } { \partial Z } \right| ^ { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } K } { \partial Z \partial Z ^ { * } } \right) ^ { - 1 } \right) _ { \left| Z \right| = v } \mu ^ { 4 } \equiv \beta \mu ^ { 4 } .
\Biggl ( \phi _ { 1 } ( x ) , { \binom { \phi _ { 2 } ( x ) } { \phi _ { 3 } ( x ) } } , { \binom { \phi _ { 4 } ( x ) } { \phi _ { 5 } ( x ) } } \Biggr ) \rightarrow \Biggl ( c \, e \sp { \lambda x } \phi _ { 1 } ( x ) , U { \binom { e \sp { - \lambda \sp \prime x } \phi _ { 2 } ( x ) } { e \sp { - \lambda \sp \prime x } \phi _ { 3 } ( x ) } } , V { \binom { e \sp { \lambda \sp { \prime \prime } x } \phi _ { 4 } ( x ) } { e \sp { \lambda \sp { \prime \prime } x } \phi _ { 5 } ( x ) } } \Biggr )
\operatorname* { m a x } \left\{ \frac { \displaystyle \int _ { \Omega } w _ { 2 , \Omega \setminus \cup _ { i = 1 } ^ { n } \overline { B } _ { r } ( x _ { i } ) } ( x ) d x } { \| w _ { 2 , \Omega \setminus \cup _ { i = 1 } ^ { n } \overline { B } _ { r } ( x _ { i } ) } \| _ { \infty } } : x _ { 1 } , \dots , x _ { n } \in \mathbb { R } ^ { N } \right\} .
\begin{array} { r l } { \langle h _ { 3 1 } } & { { } h _ { 3 2 } \rangle = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \langle \alpha _ { 1 i } ( t ) \alpha _ { 2 j } ( t ) \rangle \varphi _ { i } ( x ) \varphi _ { j } ( x ) } \end{array}
f _ { M \ast } = \beta _ { \ast } e ^ { - P _ { \mu R } U _ { R } ^ { \mu } \left( r \right) \gamma _ { \ast } - \mu ^ { \prime } \alpha _ { \ast } } \left[ 1 - \varepsilon \mu _ { 1 } ^ { \prime } \alpha _ { \ast } \right] .
R ( z = L , t ) = A _ { 0 } \Re \bigg \{ { D _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha _ { 0 } } ( \big \{ { e ^ { i \omega t } \big \} } \bigg \} } = A _ { 0 } e ^ { - ( \frac { \pi } { 2 } \alpha _ { 0 } ^ { \mathrm { I } } ) } c o s ( \omega t + \frac { \pi } { 2 } \alpha _ { 0 } ^ { \mathrm { R } } ) ,
\begin{array} { r } { ( 1 - e ^ { - \gamma \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { t } _ { 1 , \alpha _ { \nu } - 1 } ^ { + } } ) ( 1 - e ^ { - \gamma \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { t } _ { 1 , \tilde { \alpha } _ { \nu } - 1 } ^ { + } } ) \leq \sum _ { l _ { 1 } = 1 } ^ { \alpha _ { \nu } - 1 } \sum _ { l _ { 2 } = 1 } ^ { \tilde { \alpha } _ { \nu } - 1 } ( 1 - e ^ { - \gamma \frac { 1 } { 2 } t _ { l _ { 1 } } } ) ( 1 - e ^ { - \gamma \frac { 1 } { 2 } t _ { l _ { 2 } + \alpha _ { \nu } } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ f ( x ^ { k + 1 } ) \right] - \mathbb { E } [ f ( x ^ { k } ) ] } & { \leq \alpha _ { k } M _ { f } ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] + ( \alpha _ { k } ^ { 2 } L _ { f } - \frac { \alpha _ { k } } { 2 } ) \mathbb { E } \left[ \left\| \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \right\| ^ { 2 } \right] } \\ & { - \frac { \alpha _ { k } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla f ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] + \alpha _ { k } b ^ { 2 } + \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } L _ { f } \tilde { \sigma } _ { f } ^ { 2 } } { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { t } ^ { 2 P M } = } & { \frac { 8 m _ { i } } { \gamma ^ { 2 } } \cdot \frac { q _ { \parallel , u } ^ { 2 } } { p _ { t o t , u } ^ { 2 } } \cdot \frac { ( 1 - f _ { c o o l i n g } ) ^ { 2 } } { ( 1 - f _ { m o m - l o s s } ) ^ { 2 } } } \\ & { \cdot \left( \frac { R _ { u } } { R _ { t } } \right) ^ { 2 } } \\ { n _ { t } ^ { 2 P M } = } & { \frac { \gamma ^ { 2 } } { 3 2 m _ { i } } \cdot \frac { p _ { t o t , u } ^ { 3 } } { q _ { \parallel , u } ^ { 2 } } \cdot \frac { ( 1 - f _ { m o m - l o s s } ) ^ { 3 } } { ( 1 - f _ { c o o l i n g } ) ^ { 2 } } } \\ & { \cdot \left( \frac { R _ { u } } { R _ { t } } \right) ^ { - 2 } } \\ { \Gamma _ { t } ^ { 2 P M } = } & { \frac { \gamma } { 8 m _ { i } } \cdot \frac { p _ { t o t , u } ^ { 2 } } { q _ { \parallel , u } } \cdot \frac { ( 1 - f _ { m o m - l o s s } ) ^ { 2 } } { ( 1 - f _ { c o o l i n g } ) } } \\ & { \cdot \left( \frac { R _ { u } } { R _ { t } } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
| f ( b ) - f ( a ) | \leq \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } | f ( x _ { k + 1 } ) - f ( x _ { k } ) | \leq \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } \left\{ | f ^ { \prime } ( x _ { k } ) | + \epsilon _ { k } \right\} | x _ { k + 1 } - x _ { k } | .
\mathrm { f o r ~ - \sqrt { \frac { \ p h i ^ { 2 } - 1 } { 2 } } < \ p s i ~ < ~ \sqrt { \frac { \ p h i ^ { 2 } - 1 } { ~ 2 } } ~ } \quad : \qquad \Sigma _ { + } = S ^ { 3 } \; ,
{ { \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } } \cdot { \bf p } } { { \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } } \cdot { \bf n } } { \frac { f ( r ) } { r } } { \phi ^ { l } } _ { j m } = - { \frac { i } { r } } ( { \frac { d f } { d r } } - { \frac { \kappa f } { r } } ) { \phi ^ { l } } _ { j m } ,
\begin{array} { l l l } { \Delta } & { = } & { \mathrm { N o r m } ( x _ { 1 } ) + \pi ^ { 3 n - 2 } \mathrm { N o r m } ( x _ { 2 } ^ { \prime } ) + \pi ^ { 3 n - 1 } \mathrm { N o r m } ( x _ { 3 } ^ { \prime } ) } \\ & & { - \pi ^ { 2 n - 1 } [ \sigma ( x _ { 1 } ) \sigma ^ { 2 } ( x _ { 2 } ^ { \prime } ) x _ { 3 } ^ { \prime } + x _ { 1 } \sigma ( x _ { 2 } ^ { \prime } ) \sigma ^ { 2 } ( x _ { 3 } ^ { \prime } ) + \sigma ^ { 2 } ( x _ { 1 } ) x _ { 2 } ^ { \prime } \sigma ( x _ { 3 } ^ { \prime } ) ] } \end{array} .
\begin{array} { r l r } { x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + x _ { m } ^ { 2 } } & { { } = } & { \cos ^ { 2 } ( \varphi _ { 1 } ) + \sin ^ { 2 } ( \varphi _ { 1 } ) \cos ^ { 2 } ( \varphi _ { 2 } ) + \cdots + \sin ^ { 2 } ( \varphi _ { 1 } ) \sin ^ { 2 } ( \varphi _ { 2 } ) \cdots \cos ^ { 2 } ( \varphi _ { m } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { v _ { \parallel } - v _ { \parallel f } = - \frac { v _ { \parallel f } + u _ { f } } { S _ { f } } + \frac { v _ { \parallel } + u } { S _ { f } } \sim \sqrt { \epsilon } v _ { t } } & { { } } & { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { { } } & { \psi - \psi _ { f } = \frac { I } { \Omega _ { f } } ( v _ { \parallel } - v _ { \parallel f } ) \sim \sqrt { \epsilon } \rho _ { p } R B _ { p } , } \end{array}
B \left( X \pm a \right) = B \left( X \right) \pm a \frac { \partial B } { \partial X } + \frac { { { a } ^ { 2 } } } { 2 } \frac { { { \partial } ^ { 2 } } B } { \partial { { X } ^ { 2 } } } \pm \frac { { { a } ^ { 3 } } } { 3 ! } \frac { { { \partial } ^ { 3 } } B } { \partial { { X } ^ { 3 } } } + \cdots .
{ \begin{array} { r l r } { { \boldsymbol { v } } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { d } v _ { k } \ { \boldsymbol { e _ { k } } } \, } & { = { \frac { d } { d t } } { \boldsymbol { r } } = \sum _ { k = 1 } ^ { d } { \dot { q } } _ { k } \ { \boldsymbol { e _ { k } } } + \sum _ { k = 1 } ^ { d } q _ { k } \ { \dot { \boldsymbol { e _ { k } } } } , \, } \end{array} }
\sigma _ { y } \eta _ { s p } \{ t _ { 2 } \sin ( q _ { x } b ) \{ J _ { 1 } ( K _ { y } ) J _ { 2 } ( K _ { x } ) [ K _ { y } + K _ { x } \cos ( \varphi ) ] + J _ { 1 } ( K _ { x } ) J _ { 2 } ( K _ { y } ) [ K _ { y } \cos ( \varphi ) + K _ { x } \cos ( 2 \varphi ) ] \}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \beta , \sigma ) = } & { { } \gamma \frac { I _ { U , H } ( \beta , \sigma ) } { \mathrm { m a x } ( I _ { U , H } ) } - ( 1 - \gamma ) \frac { \delta Q _ { R } ( \beta , \sigma ) } { \mathrm { m a x } ( \delta Q _ { R } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \mathsf { W } } ^ { 2 } \left( \rho _ { 0 } , \rho _ { 1 } \right) } & { = \operatorname* { i n f } \bigg \{ \int _ { 0 } ^ { 1 } \int \left\Vert v _ { t } \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \mathrm { d } \rho _ { t } \mathrm { d } t : \left( \rho _ { t } , v _ { t } \right) _ { t \in [ 0 , 1 ] } \mathrm { ~ s o l v e s ~ } \partial _ { t } \rho _ { t } + \mathsf { d i v } ( \rho _ { t } v _ { t } ) = 0 \bigg \} } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { \pi \in \Pi ( \rho _ { 0 } , \rho _ { 1 } ) } \int \left\Vert x - y \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \pi \left( \mathrm { d } x , \mathrm { d } y \right) , } \end{array}
\epsilon _ { i + 1 } = \left[ \begin{array} { l l l } { 1 + ( \epsilon _ { x x i } + a \sigma _ { x x i } ) } & { \frac { 1 } { 2 } ( \epsilon _ { x y i } + a \sigma _ { x y i } ) } & { \frac { 1 } { 2 } ( \epsilon _ { x z i } + a \sigma _ { x z i } ) } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( \epsilon _ { x y i } + a \sigma _ { x y i } ) } & { 1 + ( \epsilon _ { y y i } + a \sigma _ { y y i } ) } & { \frac { 1 } { 2 } ( \epsilon _ { y z i } + a \sigma _ { y z i } ) } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( \epsilon _ { x z i } + a \sigma _ { x z i } ) } & { \frac { 1 } { 2 } ( \epsilon _ { y z i } + a \sigma _ { y z i } ) } & { 1 + ( \epsilon _ { y z i } + a \sigma _ { y z i } ) } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } & { ( \sigma \otimes \textnormal { i d } _ { \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } ) \circ ( \textnormal { i d } _ { \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } \otimes \tilde { \sigma } ) ( a , \overline { { b } } ) \equiv ( \sigma \otimes \textnormal { i d } _ { \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } ) \circ ( \textnormal { i d } _ { \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } \otimes \tilde { \sigma } ) ( \overline { { \star } } , a , \overline { { b } } , \star ) } \\ & { \overset { = } \int ^ { ( \overline { { x } } , \overline { { y } } , \overline { { z } } ) \in ( \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ) ^ { 3 } } \ ( \textnormal { i d } _ { \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } \otimes \tilde { \sigma } ) ( x , y , z , \overline { { b } } , \star ) \times ( \sigma \otimes \textnormal { i d } _ { \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } ) ( \overline { { \star } } , a , \overline { { x } } , \overline { { y } } , \overline { { z } } ) } \\ & { = \int ^ { ( \overline { { x } } , \overline { { y } } , \overline { { z } } ) \in ( \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ) ^ { 3 } } \ \textnormal { i d } _ { \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } ( x , \overline { { b } } ) \otimes \tilde { \sigma } ( y , z , \star ) \times \sigma ( \overline { { \star } } , \overline { { x } } , \overline { { y } } ) \otimes \textnormal { i d } _ { \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } ( a , \overline { { z } } ) } \\ & { = \int ^ { ( \overline { { x } } , \overline { { y } } , \overline { { z } } ) \in ( \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ) ^ { 3 } } \ _ { \mathcal { C } } \langle b , x \rangle \times \ _ { \mathcal { C } } \langle D ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ( \overline { { y } } ) , z \rangle \times \ _ { \mathcal { C } } \langle x , D ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ( \overline { { y } } ) \rangle \times \ _ { \mathcal { C } } \langle z , a \rangle } \\ & { \overset { \cong } \ _ { \mathcal { C } } \langle b , a \rangle = \textnormal { i d } _ { \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } ( a , \overline { { b } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \hat { \mathbf { d } } _ { f } = \hat { \mathbf { d } } _ { s } - \hat { \mathbf { d } } _ { s } ( t = t _ { 1 } ) , } & { \; \mathrm { o n } \; \hat { \Omega } \cap \cal S , } \\ & { \hat { \mathbf { d } } _ { f } = \mathbf { 0 } , } & { \; \mathrm { o n } \; \Gamma _ { 1 } ^ { f } \cup \Gamma _ { 2 } ^ { f } \cup \Gamma _ { 3 } ^ { f } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \pi ^ { e } } ( S _ { 0 } , A _ { 0 } , . . . , S _ { T - 1 } , A _ { T - 1 } ) } & { = P _ { \pi ^ { e } } ( S _ { 0 } ) P _ { \pi ^ { e } } ( A _ { 0 } | S _ { 0 } ) \prod _ { t = 1 } ^ { T - 1 } P _ { \pi ^ { e } } ( A _ { t } | S _ { t } ) P _ { \pi ^ { e } } ( S _ { t } | S _ { t - 1 } , A _ { t - 1 } ) } \\ & { = \chi ^ { M } ( S _ { 0 } ) \pi ^ { e } ( A _ { 0 } | S _ { 0 } ) \prod _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \pi ^ { e } ( A _ { t } | S _ { t } ) P _ { t } ^ { \mathrm { m a r g } } ( S _ { t } | S _ { t - 1 } , A _ { t - 1 } ) } \\ & { = P _ { \pi ^ { e } } ^ { M } ( S _ { 0 } , A _ { 0 } , . . . S _ { T - 1 } , A _ { T - 1 } ) . } \end{array}
V _ { 2 } ( t ) = \exp i { \frac { e } { \hbar c } } \int \! \int d \vec { x } d \vec { y } J _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( \vec { x } , t ) \left[ g _ { 2 } ( \vec { x } , \vec { y } ) { \theta _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ( \vec { y } , t ) } + G _ { p } ( \vec { x } , \vec { y } ) \partial _ { k } a _ { k } ^ { ( 2 ) } ( \vec { y } , t ) \right] \, .
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \mathbf { B } _ { \alpha } ( \mathbf { r } ) + \mathbf { B } _ { \beta } ( \mathbf { r } ) = \sum _ { l = 1 } ^ { L _ { \alpha } } \sum _ { m = - l } ^ { l } \alpha _ { l m } \mathbf { B } _ { \alpha _ { l m } } ( \mathbf { r } ) + \sum _ { l = 1 } ^ { L _ { \beta } } \sum _ { m = - l } ^ { l } \beta _ { l m } \mathbf { B } _ { \beta _ { l m } } ( \mathbf { r } ) , } \end{array}
\frac { \partial } { \partial \tau } [ \Delta ( \tau , \tau _ { 2 } ) - \Delta ( \tau , \tau _ { 1 } ) ] = { \frac { 1 } { 2 } } \frac { \partial } { \partial \tau } [ G _ { B } ( \tau , \tau _ { 1 } ) - G _ { B } ( \tau , \tau _ { 2 } ) ] , \quad \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau \partial \tau ^ { \prime } } \Delta ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \ddot { G } _ { B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) ,
\mathrm { I P R } ( E ) = \frac { \sum _ { n = 1 } ^ { M } \left( | U _ { n } | ^ { 4 } + | V _ { n } | ^ { 4 } \right) } { \left( \sum _ { n = 1 } ^ { M } \left( | U _ { n } | ^ { 2 } + | V _ { n } | ^ { 2 } \right) \right) ^ { 2 } } .
\Bigg ( \mathrm { I m \, } { \cal M } \Bigg ) _ { \mathrm { 8 ( b ) } } \; = \; { \frac { 2 N _ { c } \; \mathrm { I m \, } f _ { 1 } ( { } ^ { 1 } S _ { 0 } ) } { M ^ { 2 } } } \; 4 \pi C _ { F } \alpha _ { s } M \int { \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { { \bf q } ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { { \bf q } ^ { 2 } + 2 { \bf p } \cdot { \bf q } - i \epsilon } } \; .
\begin{array} { r l } { f = } & { e ^ { - \rho \cdot \nabla } \left[ { F } - \frac { e } { m } \left( \frac { \partial { \overline { { F _ { 0 } } } } } { \partial \mathcal { E } } + \frac { 1 } { B _ { 0 } } \frac { \partial { \overline { { F _ { 0 } } } } } { \partial \mu } \right) \left\langle \delta L _ { g } \right\rangle \right] + \frac { e } { m } \left[ \frac { \partial { \overline { { F _ { 0 } } } } } { \partial \mathcal { E } } \delta \phi + \frac { 1 } { B _ { 0 } } \frac { \partial { \overline { { F _ { 0 } } } } } { \partial \mu } \delta L \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Omega _ { s , \, \mathrm { n o i s e } } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } _ { 1 } , \tau _ { 1 } ) f _ { s } ^ { ( + ) * } ( \textbf { r } _ { 2 } , \tau _ { 2 } ) \rangle = \, \, \, } & { i \frac { 3 } { 8 \pi } \lambda ^ { 2 } \Gamma _ { \mathrm { r a d . } } \delta ^ { ( 1 / \Delta \omega ) } ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } ) \int G ( \textbf { r } _ { 1 } - \textbf { r } ) F ( \textbf { r } _ { \bot } - \textbf { r } _ { 2 \bot } ) d \textbf { r } , } \\ { \langle \Omega _ { s , \, \mathrm { n o i s e } } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } _ { 1 } , \tau _ { 1 } ) f _ { s } ^ { ( - ) * } ( \textbf { r } _ { 2 } , \tau _ { 2 } ) \rangle = - } & { i \frac { 3 } { 8 \pi } \lambda ^ { 2 } \Gamma _ { \mathrm { r a d . } } \delta ^ { ( 1 / \Delta \omega ) } ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } ) \int G ^ { * } ( \textbf { r } _ { 1 } - \textbf { r } ) F ( \textbf { r } _ { \bot } - \textbf { r } _ { 2 \bot } ) d \textbf { r } , } \end{array}
\epsilon ^ { ( 1 ) } = \big ( L _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + L _ { \mathrm { ~ M ~ E ~ } } ^ { ( 1 ) } \big ) \frac { d I _ { f } ^ { ( 1 ) } } { d t } - \big ( M _ { 0 } + M _ { \mathrm { ~ M ~ E ~ } } \big ) \frac { d I _ { f } ^ { ( 2 ) } } { d t } ,
B _ { e f f } ^ { ( 1 ) } ( \vec { R } _ { p _ { 1 } } ) = \frac { 2 \pi \kappa \sigma _ { 1 } } { q _ { 1 } } \varepsilon _ { i j } \partial _ { i } v _ { j } ^ { ( 2 ) } ( \vec { R } _ { p _ { 1 } } ) \; \; , \; \; \partial _ { i } = \frac { \partial } { \partial R _ { p _ { 1 } } ^ { i } } \; \; .