harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\kappa ^ { 2 } e ^ { - 1 } { \cal { L } } = \frac { 1 } { 2 } { \cal { R } } + \frac { 1 } { 3 } b ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } M _ { 1 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } M _ { 2 } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { \left[ \begin{array} { c c } { D _ { h ^ { ( i ) } } H ( h ^ { ( i ) } , T ^ { ( i ) } ) } & { g ( G _ { T ^ { ( i ) } } ( h ^ { ( i ) } ) ) } \\ { g ( h ^ { ( i ) } ) ^ { T } } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \Delta h ^ { ( i ) } } \\ { \Delta T ^ { ( i ) } } \end{array} \right] = - \left[ \begin{array} { c } { H ( h ^ { ( i ) } , T ^ { ( i ) } ) } \\ { 0 } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { 0 } \left( x \right) } & { = \int \left( \nabla _ { y } \frac { \rho ^ { \star } \ast \phi \left( y \right) } { \rho _ { 0 } * \phi \left( y \right) } \right) \phi \left( y - x \right) \mathrm { d } y = - 2 ^ { d / 2 - 1 } \int y \exp \left( - \frac { 1 } { 4 } \left\Vert y \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right) \cdot \frac { 1 } { \left( 2 \pi \right) ^ { d / 2 } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \left\Vert x - y \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right) \mathrm { d } y } \\ & { = - \frac { 2 ^ { d / 2 - 1 } } { \left( 2 \pi \right) ^ { d / 2 } } \int y \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \left\Vert x \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } + x ^ { \top } y - \frac { 3 } { 4 } \left\Vert y \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right) \mathrm { d } y = - \frac { 2 ^ { d / 2 - 1 } } { \left( 2 \pi \right) ^ { d / 2 } } \int y \exp \left( - \frac { 1 } { 6 } \left\Vert x \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 3 } { 4 } \left\Vert y - \frac { 2 } { 3 } x \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right) \mathrm { d } y } \\ & { = - 2 ^ { d / 2 - 1 } \left( \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { d / 2 } \exp \left( - \frac { 1 } { 6 } \left\Vert x \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right) \int \frac { 1 } { \left( 2 \pi \right) ^ { d / 2 } \left( 2 / 3 \right) ^ { d / 2 } } y \exp \left( - \frac { 3 } { 4 } \left\Vert y - \frac { 2 } { 3 } x \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right) \mathrm { d } y } \\ & { = - \frac { 1 } { 3 } \left( \frac { 4 } { 3 } \right) ^ { d / 2 } \exp \left( - \frac { 1 } { 6 } \left\Vert x \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right) x . } \end{array}
\ddot { \Phi } _ { k } ( t ) + \left[ H ( t ) - 2 \frac { \ddot { \varphi } _ { 0 } ( t ) } { \dot { \varphi } _ { 0 } ( t ) } \right] \dot { \Phi } _ { k } ( t ) + \left[ \frac { k ^ { 2 } } { a ^ { 2 } ( t ) } + 2 \left( \dot { H } ( t ) - H ( t ) \frac { \ddot { \varphi } _ { 0 } ( t ) } { \dot { \varphi } _ { 0 } ( t ) } \right) \right] \Phi _ { k } ( t ) = 0 \; .
H _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } \left( p _ { x } ^ { 2 } + p _ { y } ^ { 2 } \right) + \frac { \omega _ { c } } { 2 } \left( y p _ { x } - x p _ { y } \right) + \frac { \Omega ^ { 2 } } { 8 } \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) + \frac { p _ { z } ^ { 2 } } { 2 } .
\begin{array} { r l } { F ( x ) } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { x } \! \! f ( u ) \, \mathrm { d } u = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { 2 } } \exp \left( { \frac { x - \mu } { b } } \right) } & { { \mathrm { i f ~ } } x < \mu } \\ { 1 - { \frac { 1 } { 2 } } \exp \left( - { \frac { x - \mu } { b } } \right) } & { { \mathrm { i f ~ } } x \geq \mu } \end{array} \right. } } \end{array}
\frac { 1 } { r ^ { d _ { w } } } \int _ { X } \fint _ { B ( x , r ) } | f _ { n , { \varepsilon } \, } ( x ) - f _ { n , { \varepsilon } \, } ( y ) | ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( x ) \le \frac { C } { \varepsilon ^ { d _ { w } } } \int _ { X } \fint _ { B ( x , 6 { \varepsilon } \, ) } | f _ { n } ( y ) - f _ { n } ( x ) | ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( x )
\begin{array} { r l } { P ( \delta ) = } & { { } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { D } ^ { \prime } } \exp [ - \frac { ( \delta - \omega _ { e g } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { D } ^ { \prime 2 } } ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| - { \rho } \, g \sin { \alpha } \int _ { L / 2 } ^ { x } H ( s ) \, \textrm { d } s \right| \le \sigma _ { o } \sqrt { 2 } H ( x ) \quad \forall x \in [ 0 , L ] \, . } \end{array}
y _ { t - 1 } \leftarrow \frac { 1 } { \sqrt { \alpha _ { t } } } ( y _ { t } - \frac { 1 - \alpha _ { t } } { \sqrt { 1 - \gamma _ { t } } } f _ { \theta } ( x , y _ { t } , \gamma _ { t } ) ) + \sqrt { 1 - \alpha _ { t } } \epsilon _ { t } ,
\delta : \Delta , \underline { { x } } : A ^ { \prime } ( \delta ) , y ^ { \prime } : B ( \textnormal { \texttt { g } } ^ { \prime } ( \delta ) , g _ { 1 } ^ { \prime } ( \delta , \underline { { x } } ) ) \vdash f _ { 2 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \textnormal { \texttt { g } } _ { n + 1 } ( \delta , \underline { { x } } ) , ( \alpha ( \delta ) , \alpha _ { 1 } ( \delta , \underline { { x } } ) ) ^ { * } y ^ { \prime } ) = ( \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ) , \textnormal { \texttt { q } } _ { n + 1 } ( \delta , \underline { { x } } ) ) ^ { * } f _ { 2 } ^ { \prime } ( \delta , \underline { { x } } , y ^ { \prime } )
\sigma _ { s } ^ { 2 } { } \, ^ { 1 } ( \overline { { \pi _ { x } } } \pi _ { y } ) ^ { 1 } ( \overline { { \pi _ { x } ^ { * } } } \pi _ { y } ^ { * } ) ^ { 1 } ( \sigma _ { s } ^ { * } \overline { { \sigma _ { p } ^ { * } } } )
\begin{array} { r l } { \omega _ { i } } & { { } = \sum _ { j , k = 1 } ^ { 3 } \epsilon _ { i j k } \frac { \partial u _ { k } } { \partial x _ { j } } = \sum _ { j , k = 1 } ^ { 3 } \epsilon _ { i j k } ( M ^ { - 1 } ) _ { k j } = \frac { 1 } { \operatorname* { d e t } ( M ( t , { \mathbf { u } } ) ) } \sum _ { j , k = 1 } ^ { 3 } \epsilon _ { i j k } \widetilde { M } _ { k j } ( t , { \mathbf { u } } ) \, , \qquad i = 1 , 2 , 3 } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \rho + \partial _ { x } \bigl ( c ( x ) V ( h ) \rho \bigr ) = 0 , } \\ { \partial _ { t } ( \rho h ) + \partial _ { x } \bigl ( c ( x ) V ( h ) \rho h \bigr ) = \frac { \gamma } { 2 } \rho ^ { 2 } \eta \partial _ { x } \bigl ( c ( x ) V ( h ) \bigr ) + a \rho ( H ( \rho ) - h ) , } \end{array} \right.
\frac { \hat { g } _ { h b b } - \hat { g } _ { h \tau \tau } } { \hat { g } _ { h t t } - \hat { g } _ { h b b } } = \frac { \hat { g } _ { H b b } - \hat { g } _ { H \tau \tau } } { \hat { g } _ { H t t } - \hat { g } _ { h b b } } \simeq \frac { \Delta _ { b } - \Delta _ { \tau } } { 1 + \Delta _ { \tau } } \simeq \Delta _ { b } \, ,
\int _ { B } \mathrm { d } \mathfrak { m } _ { k , m + 1 } ^ { + } = { \mathbb { P } } \Big \{ \mathsf { c } ( { \boldsymbol { z } } _ { 1 } , \ldots , { \boldsymbol { z } } _ { m + 1 } ) = \mathsf { m s } ( { \boldsymbol { z } } _ { 1 } , \ldots , { \boldsymbol { z } } _ { k } ) \mathrm { ~ a n d ~ } { \boldsymbol { \phi } } _ { m + 1 } \in B \Big \} .
\begin{array} { r l } { C } & { \equiv \frac { 3 } { V } \langle \left\vert { \int } _ { V } \, \vec { E } _ { 0 } \cdot \hat { A ^ { \prime } } \, \mathrm { d } V \right\vert ^ { 2 } \rangle } \\ & { = \frac { 3 } { V } \int \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \Omega } { 4 \pi } \left\vert \int \mathrm { d } V \vec { E } _ { 0 } \cdot \hat { \Omega } \right\vert ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { V } \left\vert { \int } _ { V } \, \vec { E } _ { 0 } \, \mathrm { d } V \right\vert ^ { 2 } } \end{array}
\langle H _ { m } , H _ { m ^ { \prime } } \rangle _ { W } = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } H _ { m } ( x ) H _ { m ^ { \prime } } ( x ) e ^ { - x ^ { 2 } } d x = 2 ^ { m } m ! \sqrt { \pi } \delta _ { m m ^ { \prime } } ;
{ \left[ \begin{array} { l l } { \Omega _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } { \tilde { H } } _ { n + 1 } = { \left[ \begin{array} { l l } { R _ { n } } & { r _ { n + 1 } } \\ { 0 } & { \rho } \\ { 0 } & { \sigma } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { C ( r , \tau ) = } & { c _ { 0 } \mathrm { e } ^ { - \frac { \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } \, \left( 1 + \frac { \lvert \tau \rvert } { 2 \tau _ { c } } \right) C _ { 1 } ( r , \tau ) + \frac { c _ { 0 } \xi \, \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } \, C _ { 2 } ( r , \tau ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \eta ( \varphi ) } & { { } = \frac { \eta _ { e } } { 1 + \frac { 2 } { 3 } \alpha a _ { 0 } ^ { 2 } \eta _ { e } \mathcal { I } ( \varphi ) } , } & { \mathcal { I } ( \varphi ) } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \varphi } \left[ g ^ { 2 } ( \psi ) + \left( \frac { d g } { d \psi } \right) ^ { 2 } \right] \, \mathrm { d } \psi , } \end{array}
\hat { H } = \sum _ { p q } f _ { q } ^ { p } \{ a _ { p } ^ { \dagger } a _ { q } \} _ { N } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { p q r s } v _ { r s } ^ { p q } \{ a _ { p } ^ { \dagger } a _ { q } ^ { \dagger } a _ { s } a _ { r } \} _ { N }
N _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } } \approx \frac { \mu _ { 0 } \pi ^ { 2 } r _ { 1 } ^ { 2 } n ^ { 2 } } { 2 l c } \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } ,
\frac { \partial \lambda } { \partial \boldsymbol { p } } = \frac { \int d ^ { 3 } \boldsymbol { r } \, \boldsymbol { \xi } \cdot \frac { \partial \mathsf { F } } { \partial \boldsymbol { p } } [ \boldsymbol { \xi } ] } { \int d ^ { 3 } \boldsymbol { r } \lvert \xi \rvert ^ { 2 } }
E ( \psi _ { h _ { k } } ) = \frac { \| \psi _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ n ~ e ~ } } - \psi _ { h _ { k } } \| _ { \ell _ { 2 } } } { \| \psi _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ n ~ e ~ } } \| _ { \ell _ { 2 } } } ,
\left( c _ { 3 } \right) _ { e s t } = \left\{ \begin{array} { l l } { { - 1 9 . 9 } } & { { \textrm { ( F A C ) } } } \\ { { - 2 0 . 0 } } & { { \textrm { ( P M S ) } } } \\ { { - 1 5 . 7 } } & { { \textrm { ( B L M ) } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( t ) = \ } & { { } p _ { 0 } + p _ { 1 } ( t - p _ { 2 } ) ^ { 2 } , } \\ { f _ { 2 } ( t ) = \ } & { { } 1 - p _ { 0 } - P _ { r r } - p _ { 1 } ( t - p _ { 2 } ) ^ { 2 } , } \end{array}
g _ { n m } ^ { p o } ( k , q ) = \sum _ { G \neq - q } ^ { } { \frac { n _ { i i } ^ { 1 / 2 } Z e } { \hat { n } . \epsilon _ { s } . \hat { n } } } { \frac { \langle m k + q | e ^ { i ( q + G ) . r } | n k \rangle } { | q + G | ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { H _ { w } ( \varepsilon ) } & { \leq \log \left( 1 + \frac { 2 \left( \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } d _ { \ell } d _ { \ell + 1 } \right) \rho \left\{ ( C _ { w } + C _ { k } ) C _ { \sigma } \right\} ^ { L } C _ { a } C _ { w } } { \varepsilon } \right) } \\ & { \leq \left( \frac { I _ { w } } { \varepsilon } \right) \leq \left( \frac { I _ { w } } { \varepsilon } \right) ^ { \hat { d } + 1 } , \ \ \mathrm { f o r } \ 0 < \varepsilon < 2 \left( \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } d _ { \ell } d _ { \ell + 1 } \right) \rho \left\{ ( C _ { w } + C _ { k } ) C _ { \sigma } \right\} ^ { L } C _ { a } C _ { w } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathrm { B e k e n s t e i n - V e r l i n d e ~ b o u n d } : } } & { { S _ { \mathrm { B V } } = \frac { 2 \pi } { n } E R , } } \\ { { \mathrm { B e k e n s t e i n - H a w k i n g ~ b o u n d } : } } & { { S _ { \mathrm { B H } } = ( n - 1 ) \frac { V } { 4 G _ { n } R } , } } \\ { { \mathrm { H u b b l e ~ b o u n d } : } } & { { S _ { \mathrm { H } } = ( n - 1 ) \frac { H V } { 4 G _ { n } } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \epsilon } = \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial W ( \epsilon ) } \frac { \partial W ( \epsilon ) } { \partial Q ( \epsilon ) } } & { { } \frac { \partial Q ( \epsilon ) } { \partial \epsilon } \approx \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial W ( \epsilon ) } \frac { \partial W _ { \theta } } { \partial Q ( \epsilon ) } } \\ { \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial x } } & { { } = W ( \epsilon ) ^ { T } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial y } } \end{array}
\S _ { \mu } ( Q _ { 1 } ; 1 , 2 , \tilde { 3 } ; \overline { { { Q } } } _ { 2 } ) = \S _ { \mu } ( Q _ { 1 } ; 1 , 2 , 3 ; \overline { { { Q } } } _ { 2 } ) + \S _ { \mu } ( Q _ { 1 } ; 1 , 3 , 2 ; \overline { { { Q } } } _ { 2 } ) + \S _ { \mu } ( Q _ { 1 } ; 3 , 1 , 2 ; \overline { { { Q } } } _ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { \left( \ensuremath { \mathrm { ~ T ~ r ~ } } _ { 2 } [ \ensuremath { \mathbf { C } } ] \right) _ { \rho , \sigma } = \sum _ { \nu } C _ { \rho \nu , \sigma \nu } = \left( \sum _ { \nu } B _ { \nu , \nu } \right) A _ { \rho , \sigma } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbb E } _ { 0 } ^ { { \mathbb Q } ^ { A } } [ ( c _ { T _ { 0 } } - c _ { f } ) ^ { 2 } ] = 2 { \mathbb E } _ { 0 } ^ { { \mathbb Q } ^ { A } } \left[ \int _ { c _ { f } } ^ { \infty } ( c _ { T _ { 0 } } - \overline { { c } } ) ^ { + } d \overline { { c } } + \int _ { 0 } ^ { c _ { f } } ( \overline { { c } } - c _ { T _ { 0 } } ) ^ { + } d \overline { { c } } \right] , } \\ & { { \mathbb E } _ { 0 } ^ { { \mathbb Q } ^ { A } } [ ( c _ { T _ { 0 } } - c _ { f } ) ^ { 3 } ] = 6 { \mathbb E } _ { 0 } ^ { { \mathbb Q } ^ { A } } \left[ \int _ { c _ { f } } ^ { \infty } ( \overline { { c } } - c _ { f } ) ( c _ { T _ { 0 } } - \overline { { c } } ) ^ { + } d \overline { { c } } + \int _ { 0 } ^ { c _ { f } } ( \overline { { c } } - c _ { f } ) ( \overline { { c } } - c _ { T _ { 0 } } ) ^ { + } d \overline { { c } } \right] , } \\ & { { \mathbb E } _ { 0 } ^ { { \mathbb Q } ^ { A } } [ ( c _ { T _ { 0 } } - c _ { f } ) ^ { 4 } ] = 1 2 { \mathbb E } _ { 0 } ^ { { \mathbb Q } ^ { A } } \left[ \int _ { c _ { f } } ^ { \infty } ( \overline { { c } } - c _ { f } ) ^ { 2 } ( c _ { T _ { 0 } } - \overline { { c } } ) ^ { + } d \overline { { c } } + \int _ { 0 } ^ { c _ { f } } ( \overline { { c } } - c _ { f } ) ^ { 2 } ( \overline { { c } } - c _ { T _ { 0 } } ) ^ { + } d \overline { { c } } \right] . } \end{array}
\left\{ 2 p _ { \frac { 3 } { 2 } , m = - \frac { 3 } { 2 } } , 1 s _ { \frac { 1 } { 2 } , m = - \frac { 1 } { 2 } } , 2 p _ { \frac { 3 } { 2 } , m = \frac { 1 } { 2 } } \right\}
R _ { \ \nu } ^ { \mu } - { \frac { 1 } { 2 } } \delta _ { \nu } ^ { \mu } R + 2 l ^ { 2 } \left[ \tau _ { \ \nu } ^ { \mu } + \left( \alpha - { \frac { 1 } { 4 } } \right) { \cal S } _ { \ \nu } ^ { \mu } + { \frac { \beta } { 3 } } { \cal K } _ { \ \nu } ^ { \mu } \right] = { \frac { \kappa ^ { 2 } } { l } } T _ { \ \nu } ^ { \mu } \ .
\hat { H } ^ { \textrm { D C B Q } } = \Lambda _ { \mathrm { Q } } ^ { ( + ) } \left[ \hat { H } ^ { \textrm { D } } + \hat { V } ^ { \textrm { C } } + \hat { V } ^ { \textrm { B } } + \hat { V } ^ { \textrm { Q } } \right] \Lambda _ { \mathrm { Q } } ^ { ( + ) } ,
\begin{array} { r l r } { \langle Q _ { e l } \rangle } & { { } = } & { \frac { 2 } { q _ { T } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } q Q _ { e l } e ^ { - q ^ { 2 } / q _ { T } ^ { 2 } } d q } \end{array}
p ( N | \hat { G } ) = \boldsymbol { \zeta } _ { N } ^ { T } \texttt { M L P } ^ { \prime } \left( \Sigma _ { i = 1 } ^ { \hat { N } } \texttt { M L P } ( \mathbf { \hat { h } } _ { i } ^ { L } ) / \hat { N } \right)
I _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } = ( | \mathbf { E } _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ^ { + } | ^ { 2 } + | \mathbf { E } _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ^ { - } | ^ { 2 } ) / | E _ { 0 } | ^ { 2 }
\sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { ( - ) ^ { j - 1 } } { j } z ^ { j } \alpha _ { j } \simeq - \sum _ { n = 1 } ^ { [ N / 2 ] } \frac { 1 } { 2 n } z ^ { 2 n } \alpha _ { 2 n } \simeq { \cal O } ( N ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { R _ { S , 1 / 2 } } & { \approx \frac { 4 \gamma _ { 1 / 2 } x _ { 0 } ^ { 2 \gamma _ { 1 / 2 } - 2 } } { [ \Gamma ( 2 \gamma _ { 1 / 2 } + 1 ) ] ^ { 2 } } \, , } \\ { R _ { S , 3 / 2 } } & { \approx \frac { 4 8 \gamma _ { 1 / 2 } x _ { 0 } ^ { \gamma _ { 1 / 2 } + \gamma _ { 3 / 2 } - 3 } } { \Gamma ( 2 \gamma _ { 1 / 2 } + 1 ) \Gamma ( 2 \gamma _ { 3 / 2 } + 1 ) } \, . } \end{array}
{ \cal L } _ { n e w } = { \cal L } + \int d ^ { 2 } \theta d ^ { 2 } \bar { \theta } \Phi _ { 0 } ^ { \dagger } \Phi _ { 0 } + \left( \int d ^ { 2 } \theta M m _ { * } \Phi _ { 0 } ^ { 2 } + \mathrm { h . c . } \right) . \nonumber
( \vec { e } \cdot \vec { e } ) [ ( \vec { P } _ { 1 } \cdot \vec { P } _ { 2 } ) - 2 ( \hat { \vec { k } } \cdot \vec { P } _ { 1 } ) ( \hat { \vec { k } } \cdot \vec { P } _ { 2 } ) ] - 2 ( \vec { e } \cdot \vec { P } _ { 1 } ) ( \vec { e } \cdot \vec { P } _ { 2 } ) , \mathrm { ~ i f ~ } P ( N \Lambda _ { c } D ) = + 1 ,
{ \frac { N } { V } } = { \frac { ( 2 s + 1 ) ( m k _ { B } T ) ^ { 3 / 2 } } { { \sqrt { 2 } } \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 3 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { z ^ { 1 / 2 } \, \mathrm { d } z } { e ^ { z - \mu / ( k _ { B } T ) } \pm 1 } } .
{ \cal R } _ { b } ^ { 2 } ( s | t _ { 1 } , t _ { 2 } , x _ { s - t _ { 2 } } ) = \int d ^ { 3 } r r ^ { 2 } P _ { b } ( \vec { r } | s , t _ { 1 } , t _ { 2 } , x _ { s - t _ { 2 } } ) = 6 D \tilde { s } _ { b } [ s , t _ { 1 } , t _ { 2 } , x _ { s - t _ { 2 } } ] .
\Delta L _ { n , k } \frac { K } { 2 \alpha } = { \psi _ { k } ^ { \prime } } { W _ { n } } ^ { T } \epsilon _ { n , k } { \psi _ { k } ^ { \prime } } { \psi _ { k } ^ { \prime } } ^ { T } + { W _ { n } } { \psi _ { k } ^ { \prime } } ^ { T } { \psi _ { k } ^ { \prime } } { \psi _ { k } ^ { \prime } } ^ { T } \epsilon _ { n , k } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial f ( t , c ; r ) } { \partial t } } & { { } = - \frac { \partial } { \partial c } \left[ f ( c ) W ( c ) \left( \int d y y p ( y , c ) \right) \right] + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial c ^ { 2 } } \left[ f ( c ) W ( c ) \left( \int d y y ^ { 2 } p ( y , c ) \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left\lVert \boldsymbol { w } \right\rVert _ { H } ^ { 2 } + c _ { 5 } \nu _ { 1 } \left\lVert \boldsymbol { w } \right\rVert _ { W ^ { 1 , 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + c _ { 5 } \int _ { \Omega } } & { I ^ { 2 } ( \boldsymbol { D u } , \boldsymbol { D v } ) \ d x } \\ & { \leq c _ { 4 } \nu _ { 1 } ^ { - \frac { 3 } { 2 r - 3 } } \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { W ^ { 1 , r } ( \Omega ) } ^ { \frac { 3 } { 2 r - 3 } } \left\lVert \boldsymbol { w } \right\rVert _ { 2 } ^ { 2 } + c _ { 6 } \left\lVert \boldsymbol { w } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega ) } ^ { 2 } , } \\ & { \leq c _ { 4 } \nu _ { 1 } ^ { - \frac { 3 } { 2 r - 3 } } \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { W ^ { 1 , r } ( \Omega ) } ^ { \frac { 3 } { 2 r - 3 } } \left\lVert \boldsymbol { w } \right\rVert _ { 2 } ^ { 2 } + c _ { 6 } \left\lVert \boldsymbol { w } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega ) } ^ { 2 } , } \\ & { \leq c _ { 7 } \left( \nu _ { 1 } ^ { - \frac { 3 } { 2 r - 3 } } \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { W ^ { 1 , r } ( \Omega ) } ^ { \frac { 3 } { 2 r - 3 } } + 1 \right) \left\lVert \boldsymbol { w } \right\rVert _ { H } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \cal { D } } _ { m } ^ { ( L ) } = ( - 1 ) ^ { m + 1 } \sqrt { 2 L + 1 } \sum _ { \mu = - 1 } ^ { 1 } \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 1 } & { L } \\ { \mu } & { m - \mu } & { - m } \end{array} \right) d _ { \mu } ( \omega _ { 0 } - H _ { 0 } + \omega ) ^ { - 1 } d _ { m - \mu } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \widetilde { \mathcal { T } } _ { A } = \widetilde { \mathcal { T } } _ { A } ( v _ { A } , \pi _ { A } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mu _ { A } n _ { \Gamma } \cdot ( n _ { \Gamma } \cdot \nabla ) v _ { A } + \lambda _ { A } ( \mathrm { { d i v } } v _ { A } ) - \pi _ { A } \mathrm { ~ i f ~ } r = 0 , } \\ { \mathcal { T } _ { A } ( v _ { A } , \pi _ { A } ) \mathrm { ~ i f ~ } r = 1 , } \end{array} \right. } \\ { \widetilde { \mathcal { T } } _ { B } = \widetilde { \mathcal { T } } _ { B } ( v _ { B } , \pi _ { B } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mu _ { B } n _ { \Gamma } \cdot ( n _ { \Gamma } \cdot \nabla ) v _ { B } + \lambda _ { B } ( { \mathrm { d i v } } v _ { B } ) - \pi _ { B } \mathrm { ~ i f ~ } r = 0 , } \\ { \mathcal { T } _ { B } ( v _ { B } , \pi _ { B } ) \mathrm { ~ i f ~ } r = 1 . } \end{array} \right. } \end{array} \right.
\left( \begin{array} { l } { \widetilde a _ { n } } \\ { \widetilde b _ { n } } \\ { \widetilde c _ { n - 1 } } \\ { \widetilde d _ { n - 1 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l } { - \frac { \lambda } { \mu } \, \frac { 1 } { ( n + 1 ) ( n - 1 ) } } & { \frac { 2 \lambda } { \mu } \, \frac { n } { ( n + 1 ) ^ { 2 } ( n - 1 ) ^ { 2 } } } & { - \frac { \lambda + \mu } { \mu } \, \frac { 1 } { ( n + 1 ) ( n - 1 ) ^ { 2 } } } & { \frac { \lambda + \mu } { \mu } \, \frac { 3 n + 1 } { ( n + 1 ) ^ { 2 } ( n - 1 ) ^ { 3 } } } \\ { 0 } & { - \frac { \lambda } { \mu } \, \frac { 1 } { ( n + 1 ) ( n - 1 ) } } & { 0 } & { - \frac { \lambda + \mu } { \mu } \, \frac { 1 } { ( n + 1 ) ( n - 1 ) ^ { 2 } } } \\ { \frac { \lambda + \mu } { \mu } \, \frac { 1 } { n - 1 } } & { - \frac { \lambda + \mu } { \mu } \, \frac { 1 } { ( n - 1 ) ^ { 2 } } } & { \frac { \lambda + 2 \mu } { \mu } \, \frac { 1 } { ( n - 1 ) ^ { 2 } } } & { - \frac { 2 ( \lambda + 2 \mu ) } { \mu } \, \frac { 1 } { ( n - 1 ) ^ { 3 } } } \\ { 0 } & { \frac { \lambda + \mu } { \mu } \, \frac { 1 } { n - 1 } } & { 0 } & { \frac { \lambda + 2 \mu } { \mu } \, \frac { 1 } { ( n - 1 ) ^ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \widetilde a _ { n - 2 } } \\ { \widetilde b _ { n - 2 } } \\ { \widetilde c _ { n - 3 } } \\ { \widetilde d _ { n - 3 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \phi \frac { \partial \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } } { \partial t } = \nabla \cdot \left[ \tilde { \tilde { \textbf { D } } } ^ { \star } \nabla \langle c \rangle _ { I \mathcal B } - \mathrm { ~ P ~ e ~ } \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } \langle \mathbf v \rangle _ { \mathcal { I B } } \right] , \quad ( \mathbf x , t ) \in \Omega \times ( 0 , T ) , } \end{array}
w _ { I _ { y } } ( t ) = \frac { c o s ( 2 \beta ) } { \pi } \, \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { ( c o s ( \theta _ { 0 } ) - c o s ( \theta ) ) \sum _ { n = 1 } ^ { m } n a _ { n } c o s ( n \theta _ { 0 } ) } { [ ( c o s ( \theta _ { 0 } ) - c o s ( \theta ) ) ^ { 2 } + 1 6 ( \frac { h } { b } ) ^ { 2 } c o s ^ { 2 } ( \beta ) ] } { d \theta _ { 0 } } ,
\rho _ { \mathcal { S } , \mathcal { S } ^ { \prime } } = \frac { \mathrm { T r } [ \otimes _ { a _ { j } \neq a _ { j } ^ { \prime } } \hat { \sigma } _ { + , j } \rho _ { m , \mathcal { S } ^ { \prime } } ] + \mathrm { T r } [ \otimes _ { a _ { j } \neq a _ { j } ^ { \prime } } \hat { \sigma } _ { - , j } \rho _ { m , \mathcal { S } } ] } { 2 \sin ^ { l } ( 2 g ) } .
M _ { A } ^ { 2 } = - \frac { A } { \sqrt 2 } \left( \frac { 1 } { v _ { \eta } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { v _ { \rho } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { v _ { \chi } ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r } { \sigma _ { \mathrm { a b s , s c a t , e x t } } \leq \frac { \beta \lambda ^ { 2 } } { \pi } \left( N ^ { 2 } + 2 N \right) \qquad \beta _ { \mathrm { s c a t , e x t } } = 1 , \beta _ { \mathrm { a b s } } = \frac { 1 } { 4 } , } \end{array}
\sin ^ { 2 } \frac { k _ { z } a _ { z } } { 2 } = \left( \frac { e ^ { i k _ { z } a _ { z } / 2 } - e ^ { - i k _ { z } a _ { z } / 2 } } { 2 i } \right) ^ { 2 } = - \frac { 1 } { 4 } ( e ^ { i k _ { z } a _ { z } } + e ^ { - i k _ { z } a _ { z } } - 2 )
\left\{ x _ { 1 } , y _ { 1 } \right\} _ { \theta } ^ { \mu _ { 1 } } \left\{ x _ { 2 } , y _ { 2 } \right\} _ { \theta } ^ { \mu _ { 2 } } \ldots \left\{ x _ { n } , y _ { n } \right\} _ { \theta } ^ { \mu _ { n } } = : \left\{ x _ { 1 } , y _ { 1 } ^ { \mu _ { 1 } } ; x _ { 2 } , y _ { 2 } ^ { \mu _ { 2 } } ; \cdots ; x _ { n } , y _ { n } ^ { \mu _ { n } } \right\} _ { \theta }
{ P r } _ { s g s } = C _ { d s } \frac { \biggl \langle \Delta ^ { 2 } \biggl ( \overline { { \rho } } | \tilde { S } | \frac { \partial \overset { \sim } { T } } { \partial x _ { j } } \biggr ) ^ { \widehat { } } \, \frac { \partial \overset { \sim } { T } } { \partial x _ { j } } - \widehat { \Delta } ^ { 2 } \widehat { \overline { { \rho } } } | \widehat { \tilde { S } } | \frac { \partial \overset { \sim } { T } } { \partial x _ { j } } \frac { \partial \overset { \sim } { T } } { \partial x _ { j } } \biggr \rangle } { \biggl \langle \left[ \widehat { \overline { { \rho } } \tilde { u } _ { j } \overset { \sim } { T } } - \left( \widehat { \overline { { \rho } } \tilde { u _ { j } } } \widehat { \overline { { \rho } } \overset { \sim } { T } } \right) / \widehat { \overline { { \rho } } } \right] \frac { \partial \overset { \sim } { T } } { \partial x _ { j } } \biggr \rangle } \, \mathrm { ~ . ~ }