harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left| \frac { \nabla p _ { \alpha } ( t - u , w - z ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , x - w ) } - \frac { \nabla p _ { \alpha } ( t - u , y - z ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , x - y ) } \right| } & { \lesssim \frac { | w - y | ^ { \zeta } } { ( t - u ) ^ { \frac { \zeta + 1 } { \alpha } } } \left[ \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , w - z ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , w - x ) } + \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , y - z ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { l } ^ { + } ( z ) } & { { } = t _ { 0 } ( z ) + 2 l \pi / \omega _ { 0 } , } \\ { t _ { l } ^ { - } ( z ) } & { { } = - t _ { 0 } ( z ) + 2 l \pi / \omega _ { 0 } . } \end{array}
\big [ \big ( C _ { 1 } ^ { [ r ] } \big ) _ { 2 V , 2 V } \big ] _ { \Lambda = 0 } = \frac { 1 } { P ^ { 2 } } \Big \{ \sum _ { n = 1 } ^ { r } B _ { n } ^ { [ r ] } ( \Lambda = 0 ) \frac { t ( P ) } { u _ { r , 2 n + 1 } } B _ { n } ^ { [ r ] } ( \Lambda = 0 ) \Big \} .
\partial ^ { \mu } \left( \partial ^ { \nu } \tilde { \partial } _ { + } \bar { \phi } \, \, \varepsilon ^ { \prime } \sigma _ { \nu \mu } \tilde { \partial } _ { - } \psi \, \, \right) + \tilde { \partial } _ { + } \left( \tilde { \partial } _ { - } \bar { V } _ { + } \, \bar { \varepsilon } _ { \dot { \alpha } } \bar { \sigma } _ { \mu } ^ { \dot { \alpha } \beta } \partial ^ { \mu } \tilde { \partial } _ { - } \psi _ { \beta } \right) .
\begin{array} { r l r } { i \textbf { I } _ { \{ W 2 + \} } \circ \mathbb { W } ^ { + } = } & { } & { i \textbf { I } _ { \{ W 2 + \} } \circ ( i W _ { 1 0 } ^ { i + } + W _ { 1 0 } ^ { + } } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ + i W _ { 1 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ W 1 i + \} } + W _ { 1 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ W 1 + \} } ) } \\ & { } & { + i k _ { e g } ( i \textbf { I } _ { \{ W 2 + \} } \circ \textbf { W } _ { 2 0 } ^ { i + } + \textbf { I } _ { \{ W 2 + \} } \circ \textbf { W } _ { 2 0 } ^ { + } } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ + i W _ { 2 } ^ { i + } \textbf { I } _ { \{ W 2 + \} } \circ \textbf { I } _ { \{ W 2 i + \} } - W _ { 2 } ^ { + } ) ~ , } \end{array}
[ \widehat { a } _ { k _ { 1 } } , \widehat { a } _ { k _ { 2 } } ^ { \dagger } ] = \delta ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) \, , \quad [ \widehat { a } _ { k _ { 1 } } , \widehat { a } _ { k _ { 2 } } ] = 0 \, .
\hat { H } ( t ) | \psi _ { \varepsilon } ( t ) \rangle = \sum _ { n } \hat { H } ( \omega _ { n } ) | \varphi ( { \bf r } ) \rangle e ^ { - i ( \varepsilon - \omega _ { n } ) t } = \sum _ { n } \hat { H } ( \omega _ { n } ) | \psi _ { \varepsilon - \omega _ { n } } ( t ) \rangle .
\begin{array} { l l l l } { \operatorname* { l i m } _ { x \to p } } & { ( f ( x ) + g ( x ) ) } & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { x \to p } f ( x ) + \operatorname* { l i m } _ { x \to p } g ( x ) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { x \to p } } & { ( f ( x ) - g ( x ) ) } & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { x \to p } f ( x ) - \operatorname* { l i m } _ { x \to p } g ( x ) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { x \to p } } & { ( f ( x ) \cdot g ( x ) ) } & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { x \to p } f ( x ) \cdot \operatorname* { l i m } _ { x \to p } g ( x ) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { x \to p } } & { ( f ( x ) / g ( x ) ) } & { = } & { { \operatorname* { l i m } _ { x \to p } f ( x ) / \operatorname* { l i m } _ { x \to p } g ( x ) } } \\ { \operatorname* { l i m } _ { x \to p } } & { f ( x ) ^ { g ( x ) } } & { = } & { { \operatorname* { l i m } _ { x \to p } f ( x ) ^ { \operatorname* { l i m } _ { x \to p } g ( x ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \mathrm { m e a n ~ a b s . ~ d e v . ~ f r o m ~ m e a n } } { \mathrm { s t a n d a r d ~ d e v i a t i o n } } } } & { { } = { \frac { \operatorname { E } [ | X - E [ X ] | ] } { \sqrt { \operatorname { v a r } ( X ) } } } } \end{array}
E _ { D } ( x , t ) \approx \varPhi e ^ { - i \omega t } \int _ { \frac { \omega } { v _ { F } } } ^ { \infty } \frac { d k } { 2 \pi } \frac { \frac { \omega } { k v _ { F } } \chi _ { \frac { \omega } { v _ { F } } } i \omega e ^ { i k x } } { \sqrt { k ^ { 2 } v _ { F } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } } + c . c . .
\delta ^ { V R } = \delta _ { \mathrm { v t x } } - { \frac { \alpha } { 2 \pi } } \ln ^ { 2 } { \frac { ( 1 - y x ) } { ( 1 - y ( 1 - x ) ) } } + \Phi \left[ { \frac { ( 1 - y ) } { ( 1 - y x ) ( 1 - y ( 1 - x ) ) } } \right] - \Phi ( 1 ) ,
\left| \begin{array} { l l } { \overline { { q } } ( i ) _ { 1 } } & { \overline { { q } } ( n ) _ { 1 } } \\ { \overline { { q } } ( i ) _ { 2 } } & { \overline { { q } } ( n ) _ { 2 } } \end{array} \right| - \left| \begin{array} { l l } { \overline { { q } } ( i - 1 ) _ { 1 } } & { \overline { { q } } ( n ) _ { 1 } } \\ { \overline { { q } } ( i - 1 ) _ { 2 } } & { \overline { { q } } ( n ) _ { 2 } } \end{array} \right| = \left| \begin{array} { l l } { \overline { { p } } ( i ) _ { 1 } } & { \overline { { p } } ( n ) _ { 1 } } \\ { \overline { { p } } ( i ) _ { 2 } } & { \overline { { p } } ( n ) _ { 2 } } \end{array} \right| - \left| \begin{array} { l l } { \overline { { p } } ( i - 1 ) _ { 1 } } & { \overline { { p } } ( n ) _ { 1 } } \\ { \overline { { p } } ( i - 1 ) _ { 2 } } & { \overline { { p } } ( n ) _ { 2 } } \end{array} \right| ,
1 - { \frac { m ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } { 8 } } e x p \{ - { \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 } } [ I _ { 1 } ( \mu ^ { 2 } ) - I _ { 1 } ( M ^ { 2 } ) ] \} I _ { 2 } ( \mu ^ { 2 } ) c o s ( \beta \varphi ) ) > 0 \; .
\frac { d L _ { \nu _ { \alpha } } } { d t } = { \frac { 1 } { 4 \, \zeta ( 3 ) } } ~ \int d y \; y ^ { 2 } ~ f _ { e q } ^ { 0 } ( y ) ~ \left[ ( \Gamma _ { \alpha s } - \bar { \Gamma } _ { \alpha s } ) ( z _ { s } ^ { + } - z _ { \alpha } ^ { + } ) + ( \Gamma _ { \alpha s } + \bar { \Gamma } _ { \alpha s } ) ( z _ { s } ^ { - } - z _ { \alpha } ^ { - } ) \right] \; .
\begin{array} { r l } & { 2 \int _ { \Gamma } \frac { \partial \Phi ( x ( t ) , y ) } { \partial \tau ( x ( t ) ) } \frac { \partial g ( y ) } { \partial \tau } \mathrm { d } s ( y ) } \\ & { = \frac { 1 } { | \gamma ^ { \prime } ( t ) | } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left( \frac { 1 } { 2 \pi } \cot \big ( \frac { \zeta - t } { 2 } \big ) \frac { \partial g ( y ( \zeta ) ) } { \partial \tau } - h ( t , \zeta ) g ( y ( \zeta ) ) \right) d \zeta , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } { { 4 } 2 x } & { { } { } + { } } & { y } & { { } { } - { } } & { z } & { { } { } = { } } & { 8 } & { { } \qquad ( L _ { 1 } ) } \\ { - 3 x } & { { } { } - { } } & { y } & { { } { } + { } } & { 2 z } & { { } { } = { } } & { - 1 1 } & { { } \qquad ( L _ { 2 } ) } \\ { - 2 x } & { { } { } + { } } & { y } & { { } { } + { } } & { 2 z } & { { } { } = { } } & { - 3 } & { { } \qquad ( L _ { 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } ( \alpha + \kappa ) u \cdot \nabla p \ d S \right| \leq C \left( \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } \| u \| _ { H ^ { 2 } } + \| \dot { \alpha } + \dot { \kappa } \| _ { \infty } \| u \| _ { H ^ { 1 } } \right) \| p \| _ { H ^ { 1 } } } \end{array}
M : ~ ~ ~ 5 M ~ ( x ^ { 1 } , x ^ { 3 } , x ^ { 4 } , x ^ { 5 } , x ^ { 1 0 } ) ; ~ ~ ~ 2 M ~ ( x ^ { 1 } , x ^ { 6 } ) , ~ ~ ~ 5 M ~ ( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , x ^ { 7 } , x ^ { 8 } , x ^ { 9 } )
\nu \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( x ) f _ { 2 } ( x ) \, d x = - \nu f _ { 2 } ^ { \prime } ( 0 ) + \nu f _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) + \nu \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { 2 } ( y ) f _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( y ) \, d y \, .
{ \frac { \delta \rho } { \rho } } \approx { \frac { H ^ { 2 } } { \dot { \phi } } } \approx { \frac { H ^ { 3 } } { \cal V ^ { \prime } } } \approx \left( { \frac { M } { M _ { p } } } \right) ^ { 2 } { \frac { f } { M _ { p } } } { \frac { { \cal G } ^ { 3 / 2 } } { \cal G ^ { \prime } } } \ .
\frac { \partial \langle \boldsymbol { B } \rangle } { \partial t } = \boldsymbol { \nabla } \times ( \langle \boldsymbol { v } \rangle \times \langle \boldsymbol { B } \rangle - [ \eta + T _ { \mathrm { L } } ( 0 ) ] \nabla \langle \boldsymbol { B } \rangle ) ,
\begin{array} { r l r } { \left( - \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } } \partial _ { m } \partial _ { m } - \mu _ { i n t } + V _ { 0 } \right) \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r } \left( x ^ { m } \right) } & { = } & { \varepsilon _ { r } \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r } \left( x ^ { m } \right) } \\ { \int d ^ { D - 4 } x \, \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r \dag } \left( x ^ { m } \right) \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r ^ { \prime } } \left( x ^ { m } \right) } & { = } & { \delta _ { r r ^ { \prime } } } \end{array}
\lambda \left[ \mathbf { p } \cdot { \dot { \mathbf { q } } } - H ( \mathbf { q } , \mathbf { p } , t ) \right] = \mathbf { P } \cdot { \dot { \mathbf { Q } } } - K ( \mathbf { Q } , \mathbf { P } , t ) + { \frac { d G } { d t } }
\begin{array} { r l } { q _ { 1 } } & { { } = \alpha = - 2 D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } + D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } + D _ { 3 3 ^ { \prime } } + D _ { 2 ^ { \prime } 2 } - 1 , } \\ { q _ { 1 ^ { ' } } } & { { } = \beta = D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } } - 2 D _ { 3 3 ^ { \prime } } + 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { u \in U } | N ( u ) | = } & { I ( P , \Pi ) = \sum _ { u \colon | N ( u ) | \le 2 | V | q ^ { - \alpha } } | N ( u ) | + \sum _ { u \colon | N ( u ) | \ge 2 q ^ { - \alpha } | V | } | N ( u ) | } \\ & { \le \frac { 2 | U | | V | } { q ^ { \alpha } } + \sum _ { i } \sum _ { 2 ^ { i } | V | q ^ { - \alpha } \le | N ( u ) | < 2 ^ { i + 1 } | V | q ^ { - \alpha } } | N ( u ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { x _ { i } ^ { t } x _ { i } ^ { t + 1 } } ^ { i \setminus j } } & { = \left\{ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , I } \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } ( 1 - r _ { i } ^ { t } ) + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \right) + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , R } \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t } , R } + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } r _ { i } ^ { t } \right) \right. } \\ & { \qquad \left. + \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , S } \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , I } \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \right] e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } } \right\} e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } \nu _ { i k } ^ { t } \mu _ { k \setminus i } ^ { t } } p ( \mathcal { O } _ { i } ^ { t } | x _ { i } ^ { t } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| x - y \| _ { X } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } | 1 - \sin ( 2 \pi x ) | d x = \int _ { 0 } ^ { 1 } 1 - \sin ( 2 \pi x ) d x = 1 } \\ { \| x + y \| _ { X } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } | 1 + \sin ( 2 \pi x ) | d x = \int _ { 0 } ^ { 1 } 1 + \sin ( 2 \pi x ) d x = 1 } \\ { \| x \| _ { X } } & { = } & { 1 } \\ { \| y \| _ { X } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } | \sin ( 2 \pi x ) | d x = 2 \int _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \sin ( 2 \pi x ) d x = \int _ { 0 } ^ { 1 / 2 } 1 - \cos ( 4 \pi x ) d x = \frac { 1 } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { n } ( t , x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { N \to + \infty } \Pi _ { N } ^ { \otimes n } \rho _ { n } ( t , x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) } \end{array}
T _ { m } ^ { 2 } ( Q ) = { \sqrt { \frac { 4 \pi } { 5 } } } \int \rho \left( \mathbf { r } ^ { \prime } \right) \left( r ^ { \prime } \right) ^ { 2 } Y _ { m } ^ { 2 } \left( \theta ^ { \prime } , \varphi ^ { \prime } \right) \, d ^ { 3 } r ^ { \prime } .
{ \frac { \mathrm { d } \mathbf { p } } { \mathrm { d } t } } = - { \frac { \partial } { \partial \mathbf { r } } } \left( { \sqrt { ( \mathbf { P } - q \mathbf { A } ) ^ { 2 } + ( m c ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } + q \phi \right) \,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n - 1 } I _ { 2 } } & { = n \widetilde { \Omega } ^ { n - 1 } \wedge \overline { { \partial _ { J } } } \Omega _ { h } \wedge \overline { { \partial } } u \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n - 1 } + \overline { { \partial } } u \wedge \overline { { \partial _ { J } } } e ^ { f } \wedge \Omega ^ { n } \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n - 1 } } \\ & { = - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { 2 n - 1 } \frac { ( \overline { { \Omega } } { \mathstrut } _ { h } ) _ { 2 i 2 i + 1 , j } u _ { \overline { { j } } } } { \widetilde { \Omega } _ { 2 i 2 i + 1 } } \widetilde { \Omega } ^ { n } \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n } + \frac { 1 } { n } \sum _ { j = 0 } ^ { 2 n - 1 } \frac { u _ { \overline { { j } } } ( e ^ { f } ) _ { j } } { e ^ { f } } \widetilde { \Omega } ^ { n } \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n } . } \end{array}
\big \vert \big ( G _ { 1 } E _ { \sigma } G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } G _ { 3 } - M ( w _ { 1 } , E _ { \sigma } , w _ { 2 } , \mathring { A } _ { 2 } , w _ { 3 } ) \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \big \vert \prec \frac { 1 } { \sqrt { N \eta ^ { 3 } } } + \frac { 1 } { | e _ { 1 } - \sigma e _ { 2 } | + \eta _ { 2 } + \eta _ { 3 } } \, \frac { \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } } { \sqrt { N \eta ^ { 2 } } } \, .
\begin{array} { r } { \Pi _ { w } \sim \frac { i } { m } \frac { \hat { \omega } ^ { 2 } - N ^ { 2 } } { N ^ { 2 } } \frac { B _ { w } } { c _ { p } \bar { \theta } } = { O } \! \left( { \varepsilon } ^ { 2 + \alpha } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \boldsymbol { u } } { \partial t } = } & { { } - ( \boldsymbol { u } \cdot \nabla ) \boldsymbol { u } - 2 \boldsymbol { \Omega } \times \boldsymbol { u } - \nabla \Phi - c _ { p } \theta \nabla \Pi , } \\ { \frac { \partial \rho } { \partial t } = } & { { } - \nabla \cdot ( \rho \boldsymbol { u } ) , } \\ { \frac { \partial \theta } { \partial t } = } & { { } - \boldsymbol { u } \cdot \nabla \theta , } \\ { \Pi ^ { \frac { 1 - \kappa } { \kappa } } = } & { { } \frac { R } { p _ { 0 } } \rho \theta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a } & { { } = { \sqrt { x Y Z } } } \\ { b } & { { } = { \sqrt { y Z X } } } \\ { c } & { { } = { \sqrt { z X Y } } } \\ { d } & { { } = { \sqrt { x y z } } } \\ { X } & { { } = ( w - U + v ) \, ( U + v + w ) } \\ { x } & { { } = ( U - v + w ) \, ( v - w + U ) } \\ { Y } & { { } = ( u - V + w ) \, ( V + w + u ) } \\ { y } & { { } = ( V - w + u ) \, ( w - u + V ) } \\ { Z } & { { } = ( v - W + u ) \, ( W + u + v ) } \\ { z } & { { } = ( W - u + v ) \, ( u - v + W ) . } \end{array}
d \tau ^ { 2 } = d t ^ { 2 } - a ^ { 2 } ( t ) \left[ \frac { d r ^ { 2 } } { ( 1 - \kappa r ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + \frac { r ^ { 2 } } { ( 1 - \kappa r ^ { 2 } ) ^ { 2 } } d \Omega \right] ~ ~ .
{ \begin{array} { r l } { R _ { v v } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) } & { \equiv \langle \mathbf { v } ( t _ { 1 } ) \cdot \mathbf { v } ( t _ { 2 } ) \rangle } \\ & { = v ^ { 2 } ( 0 ) e ^ { - ( t _ { 1 } + t _ { 2 } ) / \tau } + \int _ { 0 } ^ { t _ { 1 } } \int _ { 0 } ^ { t _ { 2 } } R _ { a a } ( t _ { 1 } ^ { \prime } , t _ { 2 } ^ { \prime } ) e ^ { - ( t _ { 1 } + t _ { 2 } - t _ { 1 } ^ { \prime } - t _ { 2 } ^ { \prime } ) / \tau } d t _ { 1 } ^ { \prime } d t _ { 2 } ^ { \prime } } \\ & { \simeq v ^ { 2 } ( 0 ) e ^ { - | t _ { 2 } - t _ { 1 } | / \tau } + \left[ { \frac { 3 k _ { \mathrm { B } } T } { m } } - v ^ { 2 } ( 0 ) \right] { \Big [ } e ^ { - | t _ { 2 } - t _ { 1 } | / \tau } - e ^ { - ( t _ { 1 } + t _ { 2 } ) / \tau } { \Big ] } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { { \mathcal { L } } _ { f ^ { \prime } } p _ { 4 } } & { = x _ { 2 } ^ { 3 } - 2 x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } = : p _ { 5 } } \\ { { \mathcal { L } } _ { f ^ { \prime } } p _ { 5 } } & { = - 7 x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 2 } + 2 x _ { 1 } ^ { 3 } = - 7 p _ { 4 } + 2 x _ { 1 } ^ { 3 } = : p _ { 6 } } \\ { { \mathcal { L } } _ { f ^ { \prime } } p _ { 6 } } & { = - 7 p _ { 5 } + 6 x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } = : p _ { 7 } } \\ { { \mathcal { L } } _ { f ^ { \prime } } p _ { 7 } } & { = - 7 p _ { 6 } + 1 2 x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 2 } - 6 x _ { 1 } ^ { 3 } } \\ & { = - 7 p _ { 6 } + 1 2 p _ { 4 } - 3 ( p _ { 6 } + 7 p _ { 4 } ) = - 1 0 p _ { 6 } - 9 p _ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { N _ { u } } & { { } = \langle \lvert \left( \mathbf { u } \cdot \boldsymbol { \nabla } \right) \mathbf { u } \rvert \rangle _ { \mathrm { L S } } = } & { \left( \sum _ { k \leq { K } } \lvert \left( \mathbf { k } \cdot \mathbf { u } ( \mathbf { k } ) \right) \mathbf { u } ( \mathbf { k } ) \rvert ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\sum _ { \mu , \nu } { t r ( X _ { \mu } U _ { \nu } ^ { 0 } X _ { \mu } U _ { \nu } ^ { 0 \dagger } - X _ { \mu } ^ { 2 } + U _ { \mu } ^ { 0 } X _ { \nu } U _ { \mu } ^ { 0 \dagger } X _ { \nu } - X _ { \nu } ^ { 2 } ) \cos { f _ { \mu \nu } ^ { 0 } } } ,
\begin{array} { r l } { - \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } ( \alpha + \kappa ) u \cdot \nabla p \ d S } & { = \langle p \tau \cdot \nabla ( ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ) \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } } \\ & { = \langle ( \alpha + \kappa ) p \tau \cdot \nabla u _ { \tau } \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } + \langle p ( \dot { \alpha } + \dot { \kappa } ) u _ { \tau } \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } } \end{array}
\mathrm { J a } = \frac { \hat { k } _ { 0 } \Delta \hat { T } } { \hat { H } _ { 0 } \hat { L } \hat { p } _ { \mathrm { ~ v ~ , ~ s ~ a ~ t ~ } } } \sqrt { \frac { 2 \pi \hat { R } _ { \mathrm { ~ g ~ } } \hat { T } _ { \mathrm { ~ g ~ } } } { \hat { M } } } , \ \mathrm { B i } = \frac { \hat { H } _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ l ~ i ~ d ~ } } \hat { k } _ { 0 } } { \hat { H } _ { 0 } \hat { k } _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ l ~ i ~ d ~ } } } ,
\begin{array} { r l } { b _ { i } ( t + 1 ) = ~ } & { b _ { i } ( t ) - \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } d _ { i } ( t ) \le \overline { { B } } _ { i } , } \\ { b _ { i } ( t + 1 ) = ~ } & { b _ { i } ( t ) - \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } d _ { i } ( t ) \ge \overline { { B } } _ { i } - \eta _ { \mathrm { c } } C _ { i } - \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } D _ { i } } \\ { \ge ~ } & { \underline { { B } } _ { i } . } \end{array}
W _ { 1 } ^ { + } ( 0 , \lambda A , N ) = N D _ { 1 } ( \lambda A , N ) = e ^ { - \frac { \lambda A } { 2 } } \sum _ { h } \frac { ( \lambda A ) ^ { h } } { 2 ^ { h } \; h ! } N ^ { 2 ( 1 - h ) } = N ^ { 2 } e ^ { - \frac { \lambda A } { 2 } + \frac { \lambda A } { 2 N ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial P ( \widehat { L } , t , \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) } { \partial t } } & { = \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \left[ f ( \widehat { L } ) P ( \widehat { L } , t , \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) - D \ P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } , t ) \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } P ( \widehat { L } , t ) \right] } \\ & { + \frac { D } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } P ( \widehat { L } , t , \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { W = \chi \iint \mathrm { d } \mathbf { r } \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, \rho ( \mathbf { r } ) \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) \, \rho ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\sum _ { i } \gamma _ { i } ^ { \left( D \right) } \left( a , b , c \right) \, \alpha _ { i l } \left( a , b , c \right) \alpha _ { i l ^ { \prime } } \left( a , c , b \right) = \left( - 1 \right) ^ { \left( m - 2 \right) \left( l - 1 \right) } \gamma _ { l } ^ { \left( D \right) } \left( b , a , c \right) \delta _ { l l ^ { \prime } } .
\phi _ { \mathrm { r h } } ( \eta ) = \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } \biggl [ \frac { 2 \alpha - 4 } { 2 \alpha - 1 } + \frac { 3 } { 2 \alpha - 1 } \biggl ( \frac { \eta } { \eta _ { 1 } } \biggr ) ^ { 2 \alpha - 1 } \biggr ] , \, \, \, \, \, \eta _ { 1 } < \eta < \eta _ { \mathrm { r } } ,
P C C = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( a _ { i } - \bar { a } ) ( b _ { i } - \bar { b } ) } { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( a _ { i } - \bar { a } ) ^ { 2 } } \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( b _ { i } - \bar { b } ) ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { 1 } ( T ) } & { { } : = L ^ { q } ( 0 , T ; W _ { q } ^ { 2 } ( \Omega \setminus \Gamma _ { 0 } ) \cap W _ { q , 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) ) ^ { 2 } \cap { } _ { 0 } W _ { q } ^ { 1 } ( 0 , T ; L ^ { q } ( \Omega ) ) ^ { 2 } , } \\ { \mathbb { E } _ { 2 } ( T ) } & { { } : = L ^ { q } ( 0 , T ; W _ { q , ( 0 ) } ^ { 1 } ( \Omega \setminus \Gamma _ { 0 } ) ) \cap { } _ { 0 } W _ { q } ^ { 1 } ( 0 , T ; \dot { W } _ { q , ( 0 ) } ^ { - 1 } ( \Omega ) ) } \\ { \mathbb { E } _ { 3 } ( T ) } & { { } : = L ^ { q } ( 0 , T ; W _ { q } ^ { 3 - \frac 1 q } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) ) \cap { } _ { 0 } W _ { q } ^ { 1 } ( 0 , T ; W _ { q } ^ { 2 - \frac 1 q } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) ) , } \\ { \mathbb { F } _ { 1 } ( T ) } & { { } : = L ^ { q } ( \Omega \times ( 0 , T ) ) ^ { 2 } , \quad \mathbb { F } _ { 2 } ( T ) : = L ^ { q } ( 0 , T ; W _ { q } ^ { 1 } ( \Omega \setminus \Gamma _ { 0 } ) ) , } \\ { \mathbb { F } _ { 3 } ( T ) } & { { } : = L ^ { q } ( 0 , T ; W _ { q } ^ { 2 - \frac 1 q } ( \Gamma _ { 0 } ) ) ^ { 2 } \cap { } _ { 0 } W _ { q } ^ { \frac 1 2 - \frac 1 { 2 q } } ( 0 , T ; L ^ { q } ( \Gamma _ { 0 } ) ) ^ { 2 } , \quad } \\ { \mathbb { F } _ { 4 } ( T ) } & { { } : = L ^ { q } ( 0 , T ; W _ { q } ^ { 1 - \frac 1 q } ( \Gamma _ { 0 } ) ) ^ { 2 } \cap W _ { q } ^ { \frac 1 2 - \frac 1 { 2 q } } ( 0 , T ; L ^ { q } ( \Gamma _ { 0 } ) ) ^ { 2 } , \quad \mathbb { F } _ { 5 } ( T ) : = L ^ { q } ( 0 , T ; W _ { q } ^ { 2 - \frac 1 q } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { G ^ { < } ( x p ) } } & { { = } } & { { i a ( x p ) \mathcal { F } ( x p ) \vphantom { \biggl ] } \mathrm { , } } } \\ { { G ^ { > } ( x p ) } } & { { = } } & { { - i a ( x p ) [ 1 - \mathcal { F } ( x p ) ] \mathrm { ~ , } } } \end{array}
| \, \mathrm { c o r r e c t \ v a c . } > = \prod _ { k \epsilon K _ { \mathrm { p o s } } } | 0 > _ { \stackrel { k t h } { o s c } } \cdot \prod _ { k \epsilon K _ { \mathrm { n e g } } } | - 1 > _ { \stackrel { k t h } { o s c } }
| \Psi _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } \rangle \sim | \Psi _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } \rangle + \lambda \sum _ { i \neq 0 } \frac { \langle \Psi _ { 0 , i } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } | \hat { \mathsf { V } } | \Psi _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } \rangle } { E _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } - E _ { 0 , i } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } } | \Psi _ { 0 , i } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } \rangle ,
L _ { e f f } = \bar { h } _ { v } i v \cdot D h _ { v } + \frac { 1 } { 2 M _ { h } } ( \bar { h } _ { v } ( i D ) ^ { 2 } h _ { v } - \frac { 1 } { 2 } \bar { h } _ { v } g G _ { \mu \nu } \sigma _ { \bot } ^ { \mu \nu } h _ { v } ) .
\begin{array} { r } { \| { \bf u } _ { j } ^ { N } \| ^ { 2 } + \theta _ { - } \Delta t \| \nabla { \bf u } _ { j } ^ { N } \| ^ { 2 } + ( \theta - \theta _ { + } ) \Delta t \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \| \nabla { \bf u } _ { j } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } + \kappa _ { \operatorname* { m a x } } \Delta t \| { \bf u } _ { j } ^ { N } \| _ { \Gamma } ^ { 2 } } \\ { \le \| { \bf u } _ { j } ^ { 0 } \| ^ { 2 } + C \Delta t \| \nabla { \bf u } _ { j } ^ { 0 } \| ^ { 2 } + C \Delta t \| { \bf u } _ { j } ^ { 0 } \| _ { \Gamma } ^ { 2 } + C \Delta t \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \| { \bf f } _ { j } ^ { n + 1 } \| _ { - 1 } ^ { 2 } . } \end{array}