harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k + 1 } ^ { x } \| ^ { 2 } ] } & { = \mathbb { E } [ \| q _ { k + 1 } ^ { x } ( \zeta _ { x } ^ { k + 1 } , \phi _ { x } ^ { k + 1 } ) + ( 1 - \eta _ { k + 1 } ) ( q _ { k } ^ { x } + \tilde { e } _ { k } ^ { x } - q _ { k } ^ { x } ( \zeta _ { x } ^ { k + 1 } , \phi _ { x } ^ { k + 1 } ) ) - q _ { k + 1 } ^ { x } \| ^ { 2 } ] } \\ & { \le ( 1 - \eta _ { k + 1 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } ] + 2 \eta _ { k } ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| q _ { k + 1 } ^ { x } ( \zeta _ { x } ^ { k + 1 } , \phi _ { x } ^ { k + 1 } ) - q _ { k + 1 } ^ { x } \| ^ { 2 } ] } \\ & { \qquad + 2 ( 1 - \eta _ { k + 1 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| ( q _ { k + 1 } ^ { x } ( \zeta _ { x } ^ { k + 1 } , \phi _ { x } ^ { k + 1 } ) - q _ { k } ^ { x } ( \zeta _ { x } ^ { k + 1 } , \phi _ { x } ^ { k + 1 } ) ) + ( q _ { k } ^ { x } - q _ { k + 1 } ^ { x } ) \| ^ { 2 } ] . } \end{array}
\Delta E _ { E _ { c } } = - \frac { 3 ^ { 2 / 3 } \pi ^ { 4 / 3 } \hbar ^ { 2 } } { 2 m ^ { * } } \left[ \left( N _ { d } ^ { + + } \right) ^ { 2 / 3 } - \left( N _ { d } ^ { + } \right) ^ { 2 / 3 } \right]
\begin{array} { r } { \mathcal { N } _ { \sharp } [ H _ { \chi } , H _ { \chi } ] \lesssim \int \chi _ { \underline { { r } } ^ { \sharp } \! , \overline { { r } } ^ { \sharp } } \left( | \omega H _ { \chi } | ^ { 2 } + | m H _ { \chi } | ^ { 2 } + \left| v ^ { 2 } W _ { + } \left( \frac { H _ { \chi } } { v ^ { 2 } } \right) \right| ^ { 2 } \right) . } \end{array}
{ \cal M } _ { 4 , 2 } = \frac { S O ( 4 , 2 ) } { S O ( 4 ) \otimes S O ( 2 ) } \mathrm { ~ a n d ~ } K = - \log \left( ( T + \overline { { { T } } } ) ( U + \overline { { { U } } } ) - \frac { 1 } { 2 } ( B + \overline { { { C } } } ) ( C + \overline { { { B } } } ) \right)
\begin{array} { r } { f _ { i j j ^ { \prime } } ^ { u } = \frac { \partial \phi _ { i j } } { \partial ( u _ { i j } + u _ { i j ^ { \prime } } ) } = \omega ( r _ { i j } ) \frac { 1 5 \ell ^ { 2 } \mu } { \alpha } ( u _ { i j } + u _ { i j ^ { \prime } } ) / r _ { i j } ^ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { y = s _ { k } ( i ) + 1 } ^ { s _ { k } ( i + 1 ) } \left( \eta _ { k } ^ { \uparrow } ( y ) - \eta _ { k } ^ { \downarrow } ( y ) \right) } & { = \sum _ { y = s _ { k } ( i ) + 1 } ^ { s _ { k } ( i + 1 ) } \left( \eta _ { k + 1 } ^ { \uparrow } ( y ) - \eta _ { k + 1 } ^ { \downarrow } ( y ) \right) } \\ & { = \eta _ { k + 1 } ^ { \uparrow } \left( s _ { k } ( i + 1 ) \right) - \eta _ { k + 1 } ^ { \downarrow } \left( s _ { k } ( i + 1 ) \right) . } \end{array}
L _ { 1 } = p \cdot a + m b , \quad L _ { 2 } = \frac 1 2 \left( a \cdot a + b ^ { 2 } \right) , \quad L _ { 0 } = p ^ { 2 } + m ^ { 2 } , \quad L _ { - n } = L _ { n } { } ^ { \dag } .
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 1 4 } ^ { t - \delta } \frac { 1 } { ( u - t ) ^ { 2 } } \log \frac { u } { 2 \pi } \mathrm { d } u + \int _ { 1 4 } ^ { t - \delta } \frac { \mathrm { d } Q ( u ) } { ( u - t ) ^ { 2 } } } \\ & { \le \frac { 1 } { 2 \pi } \log \frac { t } { 2 \pi } \int _ { 1 4 } ^ { t - \delta } \frac { \mathrm { d } u } { ( u - t ) ^ { 2 } } + \left[ \frac { Q ( u ) } { ( u - t ) ^ { 2 } } \right] _ { 1 4 } ^ { t - \delta } + 2 \int _ { 1 4 } ^ { t - \delta } \frac { Q ( u ) } { ( u - t ) ^ { 3 } } \mathrm { d } u } \\ & { < \frac { \delta ^ { - 1 } } { 2 \pi } \log \frac { t } { 2 \pi } + \delta ^ { - 2 } | Q ( t - \delta ) | + 2 | Q ( t - \delta ) | \int _ { 1 4 } ^ { t - \delta } \frac { \mathrm { d } u } { | u - t | ^ { 3 } } \qquad \mathrm { ( s i n c e ~ Q ( 1 4 ) ~ > ~ 0 ~ ) } } \\ & { < \frac { \delta ^ { - 1 } } { 2 \pi } \log \frac { t } { 2 \pi } + \delta ^ { - 2 } ( 0 . 2 2 \log t + 0 . 5 8 \log \log t + 4 . 6 1 ) } \\ & { = A _ { 1 } ^ { \prime \prime } \log t + B _ { 1 } ^ { \prime \prime } \log \log t + C _ { 1 } ^ { \prime \prime } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { G _ { J d , k s } = 2 ( 1 + k ( \epsilon + c ) I + k \eta \Lambda ) , \quad } & { \mathrm { d a m p e d ~ J a c o b i ~ p r e c o n d i t i o n e r } , } \\ { G _ { J p , k s } = ( 2 k \epsilon + 1 ) I + k ( \eta \Lambda + c I ) + \delta _ { 0 } I , \quad } & { \mathrm { p e r t u r b e d ~ J a c o b i ~ p r e c o n d i t i o n e r } , } \\ { G _ { R , k s } = I + k ( \epsilon \lambda _ { s , \operatorname* { m a x } } I + \eta \Lambda + c I ) + \delta _ { 0 } I , \quad } & { \mathrm { g e n e r a l i z e d ~ R i c h a r d s o n ~ p r e c o n d i t i o n e r } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \bar { A } _ { 0 } } & { { } \in \{ 1 0 ^ { - 4 } , 1 0 ^ { - 3 } , 1 0 ^ { - 2 } \} } \\ { \bar { \omega } } & { { } \in \{ 0 . 0 1 , 0 . 0 3 , 0 . 1 , 0 . 3 , 0 . 5 , 0 . 7 , 0 . 9 , } \\ { \bar { v } _ { z 0 } } & { { } \in \{ - 1 , - 0 . 5 , 0 , 0 . 5 , 1 \} } \\ { \bar { v } _ { \perp 0 } } & { { } \in \{ 0 , 1 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 2 } } & { = \left[ \begin{array} { c c c c c } { 0 . 1 5 } & { 0 . 0 2 } & { - 0 . 0 4 } & { 0 . 0 2 } & { - 0 . 0 4 } \\ { 0 . 0 2 } & { 0 . 2 2 } & { 0 } & { - 0 . 0 1 } & { - 0 . 0 3 } \\ { - 0 . 0 4 } & { 0 } & { 0 . 1 1 } & { - 0 . 0 7 } & { - 0 . 0 4 } \\ { 0 . 0 2 } & { - 0 . 0 1 } & { - 0 . 0 7 } & { 0 . 0 1 } & { 0 . 1 0 } \\ { - 0 . 0 4 } & { - 0 . 0 3 } & { - 0 . 0 4 } & { 0 . 1 0 } & { 0 . 3 9 } \end{array} \right] } \\ { A _ { 1 } } & { = \left[ \begin{array} { c c c c c } { 0 } & { - 0 . 2 7 } & { - 0 . 0 3 } & { - 0 . 0 1 } & { 0 . 2 1 } \\ { 0 . 2 7 } & { 0 } & { - 0 . 1 5 } & { 0 . 0 3 } & { 0 . 1 1 } \\ { 0 . 0 3 } & { 0 . 1 5 } & { 0 } & { 0 . 0 7 } & { - 0 . 0 7 } \\ { 0 . 0 1 } & { - 0 . 0 3 } & { - 0 . 0 7 } & { 0 } & { 0 . 0 5 } \\ { - 0 . 2 1 } & { - 0 . 1 1 } & { 0 . 0 7 } & { - 0 . 0 5 } & { 0 } \end{array} \right] } \\ { A _ { 0 } } & { = \left[ \begin{array} { c c c c c } { 0 . 4 9 } & { - 0 . 1 3 } & { 0 . 0 5 } & { - 0 . 1 5 } & { 0 . 1 1 } \\ { - 0 . 1 3 } & { 0 . 2 3 } & { - 0 . 0 5 } & { - 0 . 1 0 } & { - 0 . 1 9 } \\ { 0 . 0 5 } & { - 0 . 0 5 } & { 0 . 4 8 } & { - 0 . 0 6 } & { 0 . 0 2 } \\ { - 0 . 1 5 } & { - 0 . 1 0 } & { - 0 . 0 6 } & { 0 . 5 5 } & { 0 . 1 6 } \\ { 0 . 1 1 } & { - 0 . 1 9 } & { 0 . 0 2 } & { 0 . 1 6 } & { 0 . 4 8 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | r ( \nu ) | } & { { } \equiv \big | \frac { E _ { r 0 } ( \nu ) } { E _ { i 0 } ( \nu ) } \big | = \frac { n ( \nu ) - 1 } { n ( \nu ) + 1 } , } \\ { | t ( \nu ) | } & { { } \equiv \big | \frac { E _ { t 0 } ( \nu ) } { E _ { i 0 } ( \nu ) } \big | = \frac { 2 } { n ( \nu ) + 1 } . } \end{array}
\frac { \partial \overline { { C } } } { \partial \rho } = - \frac { M \xi \phi \beta _ { k } \widetilde { \zeta } / \sum _ { i = 1 } ^ { K } \beta _ { i } } { M \xi \phi \beta _ { k } \widetilde { \zeta } / \sum _ { i = 1 } ^ { K } \beta _ { i } } { l n 2 ( 1 - \rho ) ^ { 2 } \big \{ \big [ \kappa - ( \mit M \xi \beta _ { k } / \sum _ { i \mathrm { = 1 } } \mit ^ { K } \beta _ { i } - a \kappa ) \widetilde { \zeta } \big ] \kappa \phi \big \} } .
w = { \frac { 2 s + 1 } { 8 \pi ^ { 3 } } } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { ( 2 s + 1 ) ( k + 1 ) } ( e E / k ) ^ { 2 } \exp ( - k \pi m ^ { 2 } / | e E | ) .
\begin{array} { r l } { { \texttt X } ^ { t } - { \texttt X } } & { = \sum _ { b } \sum _ { \beta } \left( u _ { b } ^ { 2 } - \frac 1 { M } \right) v _ { \beta } ^ { 2 } ( H _ { b \beta } ^ { t } R _ { b \beta } ^ { t } - H _ { b \beta } R _ { b \beta } ) } \\ & { = \sum _ { b } \sum _ { \beta } \left( u _ { b } ^ { 2 } - \frac 1 { M } \right) v _ { \beta } ^ { 2 } H _ { b \beta } ( R _ { b \beta } ^ { t } - R _ { b \beta } ) + ( t - 1 ) \left( u _ { a } ^ { 2 } - \frac 1 { M } \right) v _ { \alpha } ^ { 2 } ( H _ { a \alpha } R _ { a \alpha } ^ { t } ) } \\ & { = ( 1 - t ) \sum _ { b } \sum _ { \beta } \left( u _ { b } ^ { 2 } - \frac 1 { M } \right) v _ { \beta } ^ { 2 } H _ { b \beta } R _ { b a } ^ { t } H _ { a \alpha } R _ { \alpha \beta } } \\ & { ~ ~ ~ + ( 1 - t ) \sum _ { b } \sum _ { \beta } \left( u _ { b } ^ { 2 } - \frac 1 { M } \right) v _ { \beta } ^ { 2 } H _ { b \beta } R _ { b \alpha } ^ { t } H _ { \alpha a } R _ { a \beta } + ( t - 1 ) \left( u _ { a } ^ { 2 } - \frac 1 { M } \right) v _ { \alpha } ^ { 2 } H _ { a \alpha } R _ { a \alpha } ^ { t } . } \end{array}
\omega _ { \mathrm { n e a r } } ( \theta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { K \left( \left( \frac { \theta } { \theta _ { \mathrm { b } } } \right) ^ { 2 } - 1 \right) \theta } & { | \theta | \leq \theta _ { \mathrm { c } } } \\ { \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ n ~ } ( \theta ) \omega _ { \mathrm { m a x } } } & { | \theta | > \theta _ { \mathrm { c } } } \end{array} \right.
{ \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { \mathbf { a } } & { c } \\ { 0 } & { I _ { n } } & { \mathbf { b } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \cdot { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { \mathbf { a } ^ { \prime } } & { c ^ { \prime } } \\ { 0 } & { I _ { n } } & { \mathbf { b } ^ { \prime } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { \mathbf { a } + \mathbf { a } ^ { \prime } } & { c + c ^ { \prime } + \mathbf { a } \cdot \mathbf { b } ^ { \prime } } \\ { 0 } & { I _ { n } } & { \mathbf { b } + \mathbf { b } ^ { \prime } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] }
H ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 + \operatorname { t a n h } k x ) = \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } { \frac { 1 } { 1 + e ^ { - 2 k x } } } .
\begin{array} { r l } { \theta _ { \mathrm { B L } } } & { { } = \theta _ { \mathrm { L G } } + \sqrt { \frac { 1 + \Tilde { \gamma } _ { \mathrm { b l } } } { \Tilde { \gamma } _ { \mathrm { b l } } } } \sqrt { - 2 f _ { \mathrm { w e t } } ( h _ { \mathrm { p } } ) } } \\ { \theta _ { \mathrm { B G } } } & { { } = \theta _ { \mathrm { L G } } + \sqrt { \frac { \Tilde { \gamma } _ { \mathrm { b l } } } { 1 + \Tilde { \gamma } _ { \mathrm { b l } } } } \sqrt { - 2 f _ { \mathrm { w e t } } ( h _ { \mathrm { p } } ) } . } \end{array}
\phi ( x , z ) = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } ( A _ { m } ^ { ( n ) } \exp ( \mathrm { i } k _ { m } ( x - n W ) ) + B _ { m } ^ { ( n ) } \exp ( - \mathrm { i } k _ { m } ( x - n W ) ) ) \psi _ { m } ( z ) ,
[ \overline { { { Q } } } _ { 1 } , T ^ { + } ] = 0 \quad , \quad [ \overline { { { Q } } } _ { 2 } , T ^ { + } ] = - \overline { { { Q } } } _ { 1 } \quad , \quad [ \overline { { { Q } } } _ { 1 } , T ^ { - } ] = \overline { { { Q } } } _ { 2 } \quad , \quad [ \overline { { { Q } } } _ { 2 } , T ^ { - } ] = 0 \ ,
\begin{array} { r l } { B _ { \bar { t } _ { s } } - B _ { \bar { t } _ { s - 1 } } } & { \leq - \frac { \mu \gamma } { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } B _ { t } + \frac { 4 0 \kappa ^ { 2 } I \eta ^ { 2 } } { \mu \gamma } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } D _ { t } + \frac { 2 0 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { \mu \gamma } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } E _ { t } + \frac { 1 0 I \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } G _ { 2 } ^ { 2 } } { \mu \gamma b _ { x } M } + \frac { 3 I \gamma ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { E _ { i } ^ { + } } \\ { E _ { i } ^ { - } } \end{array} \right] _ { t _ { i } } = \mathrm { e } ^ { - i \omega ^ { \pm } d } \left[ \begin{array} { l } { E _ { k } ^ { + } } \\ { E _ { k } ^ { - } } \end{array} \right] _ { t _ { k } } = [ M _ { i j } ^ { \mathrm { t } } ] \left[ \begin{array} { l } { E _ { k } ^ { + } } \\ { E _ { k } ^ { - } } \end{array} \right] _ { t _ { k } } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { M C } _ { k } } & { { } = \frac { \langle U _ { n - k } , \mathbf { W } \cdot \mathbf { X } ( t _ { n } ) \rangle ^ { 2 } } { \langle U _ { n } ^ { 2 } \rangle \langle ( \mathbf { W } \cdot \mathbf { X } ( t _ { n } ) ) ^ { 2 } \rangle } . } \end{array}
S _ { M + G } = \kappa _ { M } { \cal S } ^ { - } [ w _ { M } ] + \kappa _ { G } { \cal S } ^ { - } [ w _ { G } ] + \frac { 1 } { \pi x } \int \mathrm { s t r } \left\{ \mu ( W _ { M } + W _ { G } ) \right\} .
\left[ \, \Gamma ^ { \mu } \, \left( \hat { { \cal P } } _ { \mu } - i \eta \, \Gamma ^ { 4 } S _ { \mu } \right) - m \Gamma ^ { 4 } \right] \tilde { \Delta } ^ { c } ( x , y ) = \delta ^ { 4 } ( x - y ) ,
\langle \: { \hat { \phi } } _ { \bar { t } } \prod _ { i \in S } \phi _ { i } \: \rangle _ { g , \: { \Delta _ { 1 } } } \; = \; \frac { 1 } { 2 } \: B _ { \bar { t } } ^ { ' \alpha \beta } \langle \: \phi _ { \alpha } \phi _ { \beta } \prod _ { i \in S } \phi _ { i } \: \rangle _ { g - 1 } \,
\begin{array} { r l } & { { \cal R } _ { \mathrm { S y s } } ^ { \mathrm { ( i n ) } } ( p _ { X _ { 1 } X _ { 1 } } , { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) \subseteq { \cal R } _ { \mathrm { S y s } } ( p _ { X _ { 1 } X _ { 1 } } , { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) , } \\ & { { \cal D } _ { \mathrm { S y s } } ^ { \mathrm { ( i n ) } } ( p _ { X _ { 1 } X _ { 1 } } , { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) \subseteq { \cal D } _ { \mathrm { S y s } } ( p _ { X _ { 1 } X _ { 1 } } , { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } _ { 1 } } & { { } = - \int _ { 0 } ^ { \infty } q e ^ { - q | z | } \sin ( q t ) J _ { 0 } ( q r ) \, \mathrm { d } q \, , } \\ { \mathcal { Q } _ { 2 } } & { { } = - \int _ { 0 } ^ { \infty } q e ^ { - q | z | } \cos ( q t ) J _ { 0 } ( q r ) \, \mathrm { d } q \, . } \end{array}
\nabla = \left[ { \frac { \left( \mu - b \right) \left( \mu - c \right) } { \left( \mu - \nu \right) \left( \mu - \lambda \right) } } \right] ^ { 1 / 2 } \mathbf { e } _ { \mu } { \frac { \partial } { \partial \mu } } + \left[ { \frac { \left( b - \nu \right) \left( c - \nu \right) } { \left( \mu - \nu \right) \left( \lambda - \nu \right) } } \right] ^ { 1 / 2 } \mathbf { e } _ { \nu } { \frac { \partial } { \partial \nu } } + \left[ { \frac { \left( b - \lambda \right) \left( \lambda - c \right) } { \left( \lambda - \nu \right) \left( \mu - \lambda \right) } } \right] ^ { 1 / 2 } \mathbf { e } _ { \lambda } { \frac { \partial } { \partial \lambda } }
\frac { \partial } { \partial x _ { \mu } } ( \left| x - a \right| + \left| x - b \right| + \left| x - c \right| ) = \frac { ( x - a ) _ { \mu } } { \left| x - a \right| } + \frac { ( x - b ) _ { \mu } } { \left| x - b \right| } + \frac { ( x - c ) _ { \mu } } { \left| x - c \right| }
\kappa \, = \, - 2 \pi \cdot \frac { 1 } { 4 h } \cdot \frac { J ( 1 + J ) - 3 m _ { J } ^ { 2 } } { J ( 2 J - 1 ) } \cdot \frac { d E _ { z } } { d z } \cdot \Theta \cdot ( 3 \cos ^ { 2 } \beta - 1 ) \, \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r c l } { { \displaystyle \left[ a _ { q } , a _ { q } ^ { \dagger } \right] } } & { { = } } & { { \left[ N + 1 + b \gamma \right] _ { q } - \left[ N + b \gamma \right] _ { q } ~ , } } \\ { { \displaystyle \left[ N , a _ { q } \right] } } & { { = } } & { { - a _ { q } ~ , ~ ~ ~ \displaystyle \left[ N , a _ { q } ^ { \dagger } \right] = a _ { q } ^ { \dagger } ~ . } } \end{array}
\langle Y \rangle ^ { 8 } \langle Y ^ { * } \rangle ^ { 1 4 } \langle q ^ { * } \rangle ^ { 6 } M _ { 0 } \tilde { M } _ { 2 } ^ { 2 } \frac { \mu ^ { 6 } } { h ^ { 5 } \Lambda _ { e l } ^ { 6 } } .
\partial _ { \hat { \imath } } { \hat { X } } ^ { \hat { \mu } } \rightarrow D _ { \hat { \imath } } { \hat { X } } ^ { \hat { \mu } } = \partial _ { \hat { \imath } } { \hat { X } } ^ { \hat { \mu } } + { \hat { A } } _ { \hat { \imath } } { \hat { k } } ^ { \hat { \mu } } \, ,
- \frac { d } { d t } \int _ { \mathcal { S } ( t ) } \mathbf { B } \cdot \hat { \boldsymbol { n } } d S = \oint _ { \mathcal { C } ( t ) } \left( \mathbf { E } + \mathbf { v } \times \mathbf { B } \right) \cdot \hat { \boldsymbol { t } } d l ~ ,
\left. \begin{array} { l c } { { \alpha _ { n } ^ { \mu } | \Omega \rangle = 0 } } & { { n > 0 } } \\ { { b _ { n } | \Omega \rangle = 0 } } & { { n \ge 0 } } \\ { { c _ { n } | \Omega \rangle = 0 } } & { { n > 0 } } \\ { { p ^ { \mu } | \Omega \rangle \propto \alpha _ { 0 } ^ { \mu } | \Omega \rangle = 0 . } } & { { } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { \bf k } ^ { A B } ( \tau ) } & { = } & { \theta ( \tau ) \frac { 1 } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { \infty } d q \, \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { A } \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { B } e ^ { - \frac { i } { \hbar } \epsilon _ { { \bf k } , q } ^ { E } \tau } = \theta ( \tau ) \frac { 1 } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \, \rho _ { { \bf k } } ( \omega ) \kappa _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { A } \kappa _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { B } e ^ { - i \omega \tau } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { B P S } ^ { * } ( \mu f _ { 2 } ) ( x , v ) } & { = \mu ( x , v ) \Big \{ \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle f _ { 2 } ( x , v ) - \langle v , \nabla _ { x } f _ { 2 } ( x , v ) \rangle + ( - \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle ) _ { + } f _ { 2 } ( x , R ( x ) v ) } \\ & { \quad - \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle _ { + } f _ { 2 } ( x , v ) + \lambda _ { r } \int f _ { 2 } ( x , y ) \nu ( d y ) - \lambda _ { r } f _ { 2 } ( x , v ) \Big \} . } \end{array}
\langle \mathbf { N } _ { \mathrm { t h } } \rangle = \frac { 1 } { 2 } \mathfrak { R e } \bigg \{ \big ( \mathbf { p } ^ { * } \times \mathbf { E } + \mu \mathbf { m } ^ { * } \times \mathbf { H } \big ) - \frac { k ^ { 3 } } { 6 \pi } \bigg ( \frac { 1 } { \varepsilon } \mathfrak { I m } \{ \mathbf { p } ^ { * } \times \mathbf { p } \} + \mu \mathfrak { I m } \{ \mathbf { m } ^ { * } \times \mathbf { m } \} \bigg ) \bigg \} .
\sum _ { { s _ { 1 } , s _ { 2 } } = { 0 , 1 } } ( - 1 ) ^ { s _ { 1 } + s _ { 2 } } \theta ( _ { s _ { 2 } } ^ { s _ { 1 } } ) ^ { \prime } \theta ^ { 3 } ( _ { s _ { 2 } } ^ { s _ { 1 } } ) \frac { d } { d \tau } [ \sum _ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } ( - 1 ) ^ { s _ { 1 } + s _ { 2 } } \theta ^ { 4 } ( _ { s _ { 2 } } ^ { s _ { 1 } } ) ] = 0 ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 6 w } { \left( \sqrt { 2 } ( 1 + w ) - ( 1 - w ) \right) ^ { 2 } } + \frac { 1 6 w } { \left( \sqrt { 2 } ( 1 + w ) + ( 1 - w ) \right) ^ { 2 } } } & { ~ \ge ~ 1 } \\ { \frac { 1 6 w \left( 4 ( 1 + w ) ^ { 2 } + 2 ( 1 - w ) ^ { 2 } \right) } { \left( 2 ( 1 + w ) ^ { 2 } - ( 1 - w ) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } & { ~ \ge ~ 1 } \\ { \frac { 1 6 w \left( 6 w ^ { 2 } + 4 w + 6 \right) } { \left( w ^ { 2 } + 6 w + 1 \right) ^ { 2 } } } & { ~ \ge ~ 1 } \\ { 9 6 w ^ { 3 } + 6 4 w ^ { 2 } + 9 6 w } & { ~ \ge ~ w ^ { 4 } + 1 2 w ^ { 3 } + 3 8 w ^ { 2 } + 1 2 w + 1 } \\ { 0 } & { ~ \ge ~ w ^ { 4 } - 8 4 w ^ { 3 } - 2 6 w ^ { 2 } - 8 4 w + 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \hat { w } _ { \pm } ^ { ( 2 ) \prime \prime } } - \left( | \mathbf { k } _ { \pm } | ^ { 2 } + \frac { \mathbf { k } _ { \pm } \cdot \mathbf { U } ^ { \prime \prime } } { \mathbf { k } _ { \pm } \cdot \mathbf { U } - \omega _ { \pm } } \right) \hat { w } _ { \pm } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { { } \frac { \hat { \mathcal { N } } _ { \pm } ^ { ( 2 ) } } { \mathbf { k } _ { \pm } \cdot \mathbf { U } - \omega _ { \pm } } , } \end{array}
\frac { \partial y } { \partial x } = v _ { 1 } w _ { 1 } f ^ { \prime } \big ( w _ { 1 0 } + w _ { 1 } x \big ) + v _ { 2 } w _ { 2 } f ^ { \prime } \big ( w _ { 2 0 } + w _ { 2 } x \big )
\textbf { J } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) = \left| \begin{array} { l l l } { \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial \Phi } } & { } & { \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial N } } \\ { \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial \Phi } } & { } & { \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial N } } \end{array} \right| ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho + \mathrm { d i v } ( \rho \mathbf { v } ) } & { = ~ 0 , } \\ { \partial _ { t } \mathbf { m } + \mathrm { d i v } \left( \mathbf { m } \otimes \mathbf { v } \right) - \mathrm { d i v } \mathbf { T } - \rho \mathbf { b } } & { = ~ 0 , } \\ { \mathbf { T } - \mathbf { T } ^ { T } } & { = ~ 0 , } \\ { \partial _ { t } \left( \rho \left( \epsilon + \| \mathbf { v } \| ^ { 2 } / 2 \right) \right) + \mathrm { d i v } \left( \rho \left( \epsilon + \| \mathbf { v } \| ^ { 2 } / 2 \right) \mathbf { v } \right) } & { } \\ { - \mathrm { d i v } \left( \mathbf { T } \mathbf { v } \right) - \rho \mathbf { b } \cdot \mathbf { v } + \mathrm { d i v } \mathbf { q } - \rho r } & { = ~ 0 . } \end{array}
a _ { 1 } = \frac { 2 \tilde { q } } { \alpha ^ { 2 } ( D - 2 ) + 2 q \tilde { q } } , ~ ~ ~ ~ a _ { 2 } = \frac { \alpha ^ { 2 } ( D - 2 ) } { \alpha ^ { 2 } d ( D - 2 ) + 2 \tilde { d } q ^ { 2 } }
{ \cal { L } } _ { \mathrm { A n } } \, \sim G _ { F } \, \biggl ( \frac { \delta S ^ { ( 2 ) } } { \delta l _ { \mu } } \biggr ) \; \biggl ( \frac { \delta S _ { W Z W } } { \delta l ^ { \mu } } \biggr ) \; ,
\begin{array} { r l } & { { \cal W } _ { 2 } ( \pi ^ { \gamma } P _ { n \gamma } , \pi ^ { \gamma } ) \le \gamma ^ { 2 } e ^ { \lambda n \gamma } \operatorname* { s u p } _ { k \ge 0 } \int \mathbb { E } [ \mathfrak { c } _ { \gamma , \lambda } ( X _ { k \gamma } ^ { x } , \bar { X } _ { k \gamma } ^ { x } ) ) ] \pi ^ { \gamma } ( d x ) } \\ & { \le \frac { \gamma ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } e ^ { \lambda ( n + 1 ) \gamma } \left( L ^ { 2 } \pi ^ { \gamma } ( | b | ^ { 2 } ) + { \sigma ^ { 4 } } \| \Delta b \| _ { 2 , \infty } ^ { 2 } + 2 \lambda \sigma L \| \nabla b \| _ { 2 , \infty } \left( \sqrt { \gamma } \operatorname* { s u p } _ { n \ge 0 } \int \mathbb { E } [ S ( X _ { n \gamma } ^ { x } , \gamma ) ] \pi ^ { \gamma } ( d x ) + \sigma \sqrt { d } \right) \right) , } \end{array}
\left. \bar { q } _ { \mu \nu } ^ { ( 0 ) } \right| _ { x = Z ( y ) } = q _ { \mu \nu } ^ { ( 0 ) } ( y ) + \delta Z ^ { M } ( y ) \left. \partial _ { M } \bar { q } _ { \mu \nu } ^ { ( 0 ) } \right| _ { x = Z ^ { ( 0 ) } ( y ) } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } ( m ) _ { s t } \sim \, } & { \gamma _ { 1 } ^ { - 1 } \exp \left( { \frac { N \ln \left( 1 6 \, \gamma _ { 1 } \right) \left( p - 2 \right) } { \left( 5 p - 4 \right) } } \right) } \\ & { \times \exp \left( { \frac { N \xi _ { 2 } \, \mathrm { a r c t a n h } \left( \frac { \left( 5 \, p - 4 \right) m ^ { 2 } + 3 \, p } { 2 \, \xi _ { 1 } } \right) } { \xi _ { 1 } \, \left( 5 p - 4 \right) } } \right) , } \end{array}
I _ { k n } \left( M _ { n } , \lambda \right) : = \int _ { M _ { n } } ^ { \infty } d \omega \, \left( \omega + M _ { n } \right) ^ { - 1 / 2 } \left( \omega - M _ { n } \right) ^ { - 1 / 2 } e ^ { - 2 k \omega \lambda } .
j _ { \mu } ^ { 3 } = { \frac { 1 } { 2 } } ( { \overline { { U } } } _ { i L } \gamma _ { \mu } U _ { i L } - { \overline { { D } } } _ { i L } \gamma _ { \mu } D _ { i L } + { \overline { { \nu } } } _ { i L } \gamma _ { \mu } \nu _ { i L } - { \overline { { l } } } _ { i L } \gamma _ { \mu } l _ { i L } )
l _ { \mathrm { O U } } ( s , u ) = \left\{ \begin{array} { r l r } & { \frac { \lambda ( 2 \kappa + \lambda ) ^ { 2 } e ^ { ( \kappa + \lambda ) u } + \lambda ^ { 2 } ( 2 \kappa + \lambda ) e ^ { - ( \kappa + \lambda ) u } } { \lambda ^ { 2 } e ^ { - ( \kappa + \lambda ) s } - ( \lambda + 2 \kappa ) ^ { 2 } e ^ { ( \kappa + \lambda ) s } } , ~ ~ } & { \mathrm { i f } ~ \lambda + \kappa \neq 0 , } \\ & { \frac { \kappa ( \kappa u + 1 ) } { \kappa s + 2 } , ~ ~ } & { \mathrm { i f } ~ \lambda + \kappa = 0 . } \end{array} \right.
\frac { \partial \vec { H } _ { L } ^ { - 1 } } { \partial t } = \frac { \partial } { \partial t } \left( \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } \right) \qquad \mathrm { o r } \qquad \frac { \partial } { \partial t } \left( \vec { H } _ { L } ^ { - 1 } - \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } \right) = \frac { \partial } { \partial t } \left( \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { A } _ { L } ^ { - 1 } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } - \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } \right) = \boldsymbol { 0 } .
\begin{array} { r l } { { } \frac { 1 } { t ( t + \mu _ { a } + \sigma _ { a } ) ^ { p } ( t + \mu _ { b } + \sigma _ { b } ) ^ { p } } } & { { } = \frac { 1 } { t \, ( \mu _ { a } + \sigma _ { a } ) ^ { p } ( \mu _ { b } + \sigma _ { b } ) ^ { p } } } \end{array}