harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { [ \theta C _ { i } + \mathrm { ~ l ~ n ~ } ( P _ { i } f _ { i } ) ] } & { { } \left[ - P _ { i } f _ { i } + e ^ { - \theta C _ { i } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } \right] } \\ { \Rightarrow \ \ \ \ [ \theta C _ { i } + \mathrm { ~ l ~ n ~ } ( P _ { i } f _ { i } ) ] } & { { } \left[ - P _ { i } f _ { i } + e ^ { - \theta C _ { i } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { F ( \omega , \mathrm { P } _ { \mathrm { p o s s } } ) : = - \sum _ { a } \sum _ { b } \sum _ { t } P _ { \mathrm { p o s s } } ( t , a , b ) \log \frac { \omega ( t , a , b ) } { \omega ( a , b ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { s } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { A _ { 1 } } & { 0 } \\ { B _ { 2 } C _ { 1 } } & { A _ { 2 } } \end{array} \right] , \; B _ { s } = \left[ \begin{array} { l } { B _ { 1 } } \\ { 0 } \end{array} \right] , \; E _ { s } = \left[ \begin{array} { l l } { E _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { E _ { 2 } } \end{array} \right] , } \\ { C _ { s } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { C _ { 2 } } \end{array} \right] . } \end{array}
| n _ { i } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { n _ { i } } } \hat { a } _ { i } ^ { + } | n _ { i } - 1 \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { n _ { i } ( n _ { i } - 1 ) } } ( \hat { a } _ { i } ^ { + } ) ^ { 2 } | n _ { i } - 2 \rangle = \dots = \frac { 1 } { \sqrt { n _ { i } ! } } ( \hat { a } _ { i } ^ { + } ) ^ { n _ { i } } | 0 \rangle
T ^ { * } = \left. L ^ { \mp } \right. ^ { * } \dot { \otimes } \left. L ^ { \pm } \right. ^ { * } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ \left( \left. L ^ { \pm } \right. ^ { * } \right) _ { i j } \equiv \left( L _ { i j } ^ { \pm } \right) ^ { * } ~ .
\Delta m _ { s o l } ^ { 2 } = 4 . 5 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \, \mathrm { e V } ^ { 2 } ; \, ~ ~ \tan ^ { 2 } \theta _ { s o l } = 4 . 1 \cdot 1 0 ^ { - 1 } \, .
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \frac { d } { d t } \Big | _ { t = 0 } \mathcal G ( f + t u ) = \int _ { \Omega } \Big ( \rho L _ { g } ^ { * } ( u ) \cdot _ { g } L _ { g } ^ { * } ( f ) - \Pi _ { g } ( \psi ) u \Big ) \; d \mu _ { g } } \\ & { = \int _ { \Omega } \Big ( \rho L _ { g } ^ { * } ( u ) \cdot _ { g } L _ { g } ^ { * } ( f ) - \psi u \Big ) \; d \mu _ { g } . } \end{array}
E _ { \mathrm { o u t } } ( { \bf r } _ { \mathrm { o u t } } , \it t ) = \sum _ { \bf k _ { \mathrm { o u t } } , \bf k _ { \mathrm { i n } } , \omega } S ( { \bf k } _ { \mathrm { o u t } } , { \bf k } _ { \mathrm { i n } } , \omega ) e ^ { i { \bf k } _ { \mathrm { o u t } } \cdot { \bf r } _ { \mathrm { o u t } } - i { \bf k } _ { \mathrm { i n } } \cdot { \bf r } _ { \mathrm { i n } } - i \omega ( t - t _ { 0 } ) }
F _ { A _ { 1 } \dots A _ { 5 } } = \left\{ \begin{array} { c c c } { { F _ { i a b c d } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 4 ! } \, f _ { i } \, \epsilon _ { a b c d } } } \\ { { F _ { j _ { 1 } \dots i _ { 5 } } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 5 ! } \epsilon _ { i j _ { 1 } \dots j _ { 5 } } \, f ^ { i } } } \\ { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } & { { = } } & { { 0 \ } } \end{array} \right.
v _ { f } ^ { i } ( \sigma , t ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } W ( n + \frac { \epsilon } { \tau } ) \Biggl [ \frac { c _ { n } ^ { i } } { \sqrt { n } } \, \dot { x } _ { n } ^ { + } + \frac { \tilde { c } _ { n } ^ { i } } { \sqrt { n } } \, \dot { x } _ { n } ^ { - } + h . c . \Biggr ] \, .
N = \sum _ { n > 0 } \alpha _ { - n } ^ { i } ( E ) G _ { i j } \alpha _ { n } ^ { j } ( E ) , \, \tilde { N } = \sum _ { n > 0 } \tilde { \alpha } _ { - n } ^ { i } ( E ) G _ { i j } \tilde { \alpha } _ { n } ^ { j } ( E )
t _ { 2 } = 4 \frac { \nu _ { 4 } ( \nu _ { 1 } \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } - 1 6 \nu _ { 2 } ) t _ { 1 } ^ { 2 } + \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } ( \nu _ { 4 } ^ { 2 } - 1 6 ) t _ { 1 } t _ { 3 } + 1 6 ( \nu _ { 1 } \nu _ { 3 } - \nu _ { 2 } \nu _ { 4 } ) } { \nu _ { 4 } ( \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } - 2 5 6 ) t _ { 1 } ^ { 2 } t _ { 3 } + 1 6 \nu _ { 3 } ( 1 6 - \nu _ { 4 } ^ { 2 } ) t _ { 1 } + 1 6 ( \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } - 1 6 \nu _ { 4 } ) t _ { 3 } } ,
\begin{array} { r } { ^ { ( 2 ) } \! S ^ { i j k l } g _ { i j } g _ { k l } = { } ^ { ( 3 ) } \! S ^ { i j k l } g _ { i j } g _ { k l } = { } ^ { ( 2 ) } \! A ^ { i j k l } g _ { i j } g _ { k l } = 0 \, . } \end{array}
\delta _ { B R S T } { \cal L } = * d \kappa \wedge J ^ { B R S T } = ( \partial _ { z } \kappa \, \, J _ { \bar { z } } ^ { B R S T } + \partial _ { \bar { z } } \kappa \, \, J _ { z } ^ { B R S T } ) \, d z \wedge d \bar { z } .
\begin{array} { r } { \ldots , x ^ { ( t - T - 1 ) } , \overbrace { \underbrace { x ^ { ( t - T ) } , \ldots , x ^ { ( t - 1 ) } } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ t ~ e ~ x ~ t ~ } } , \underbrace { x ^ { ( t ) } } _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ n ~ t ~ e ~ r ~ } } , \underbrace { x ^ { ( t + 1 ) } , \ldots , x ^ { ( t + T ) } } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ t ~ e ~ x ~ t ~ } } } ^ { \mathrm { ~ S ~ l ~ i ~ d ~ i ~ n ~ g ~ w ~ i ~ n ~ d ~ o ~ w ~ } } , x ^ { ( t + T + 1 ) } , \ldots } \end{array}
( S F ) \simeq \pi \int _ { 0 } ^ { \gamma t _ { E W } } \, d R \, R ^ { 2 } \, R _ { s } \, n \left( R , t _ { E W } \right) = \frac { \pi } { 3 } \, \nu \, \gamma ^ { 1 / 2 } \left( \frac { R _ { s } } { t _ { E W } } \right)
\begin{array} { r l } { i \frac { u ^ { n + 1 } - u ^ { n } } { \Delta t } + \boldsymbol { D } _ { x } ^ { 2 } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } & { = \frac { | u ^ { n + 1 } | ^ { 2 } + | u ^ { n } | ^ { 2 } } { 2 } \frac { u ^ { n + 1 } + u ^ { n } } { 2 } + \beta \frac { | v ^ { n + 1 } | ^ { 2 } + | v ^ { n } | ^ { 2 } } { 2 } \frac { u ^ { n + 1 } + u ^ { n } } { 2 } } \\ { i \frac { v ^ { n + 1 } - v ^ { n } } { \Delta t } + \boldsymbol { D } _ { x } ^ { 2 } v ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } & { = \frac { | v ^ { n + 1 } | ^ { 2 } + | v ^ { n } | ^ { 2 } } { 2 } \frac { v ^ { n + 1 } + v ^ { n } } { 2 } + \beta \frac { | u ^ { n + 1 } | ^ { 2 } + | u ^ { n } | ^ { 2 } } { 2 } \frac { v ^ { n + 1 } + v ^ { n } } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \Big | \frac { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } } { | \mathrm { \boldmath ~ x ~ } | } - \frac { \mathrm { \boldmath ~ y ~ } } { | \mathrm { \boldmath ~ y ~ } | } \Big | } & { = \Big | \frac { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } - \mathrm { \boldmath ~ y ~ } } { | \mathrm { \boldmath ~ x ~ } | } + \frac { ( | \mathrm { \boldmath ~ y ~ } | - | \mathrm { \boldmath ~ x ~ } | ) \mathrm { \boldmath ~ y ~ } } { | \mathrm { \boldmath ~ x ~ } | \cdot | \mathrm { \boldmath ~ y ~ } | } \Big | } \\ & { \leq \frac { 1 } { \mathrm { m i n } ( | \mathrm { \boldmath ~ x ~ } | , | \mathrm { \boldmath ~ y ~ } | ) } \Big ( | \mathrm { \boldmath ~ x ~ } - \mathrm { \boldmath ~ y ~ } | + | | \mathrm { \boldmath ~ y ~ } | - | \mathrm { \boldmath ~ x ~ } | | \Big ) \leq \frac { 2 | \mathrm { \boldmath ~ x ~ } - \mathrm { \boldmath ~ y ~ } | } { \mathrm { m i n } ( | \mathrm { \boldmath ~ x ~ } | , ~ | \mathrm { \boldmath ~ y ~ } | ) } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { 1 } } & { = } & { \mathbb { E } \left[ | [ \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k } ^ { N _ { l } , l } + \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k } ^ { N , l , a } - \eta _ { k } ^ { N _ { l } , l - 1 } ] ( \varphi ) - \mathbb { E } [ \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k } ^ { N _ { l } , l } + \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k } ^ { N , l , a } - \eta _ { k } ^ { N _ { l } , l - 1 } ] ( \varphi ) | \mathcal { F } _ { k - 1 } ] | ^ { p } \right] ^ { 1 / p } } \\ { T _ { 2 } } & { = } & { \mathbb { E } \left[ | \mathbb { E } [ \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k } ^ { N _ { l } , l } + \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k } ^ { N , l , a } - \eta _ { k } ^ { N _ { l } , l - 1 } ] ( \varphi ) | \mathcal { F } _ { k - 1 } ] - [ \eta _ { k } ^ { l } - \eta _ { k } ^ { l - 1 } ] ( \varphi ) | ^ { p } \right] ^ { 1 / p } . } \end{array}
v _ { X C } ( \mathbf { r } ) = v _ { X C , S l a t e r } ^ { W F } ( \mathbf { r } ) + \frac { \tau ^ { W F } ( \mathbf { r } ) } { \rho ^ { W F } ( \mathbf { r } ) } - \frac { \tau ^ { K S } ( \mathbf { r } ) } { \rho ^ { K S } ( \mathbf { r } ) } + \epsilon ^ { K S } ( \mathbf { r } ) - \epsilon ^ { W F } ( \mathbf { r } ) ,
\mathcal { C } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { x } ^ { \prime } ) = \sigma ( \boldsymbol { x } ) \sigma ( \boldsymbol { x } ^ { \prime } ) \; \exp ( { - \frac 1 2 \frac { | | \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x } ^ { \prime } | | ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } } ) ,
\begin{array} { r c l } { { \Delta ( P _ { + } ) } } & { { = } } & { { 1 \otimes P _ { + } + P _ { + } \otimes 1 } } \\ { { \Delta ( P _ { I } ) } } & { { = } } & { { P _ { I } \otimes e ^ { - P _ { + } / \kappa } + 1 \otimes P _ { I } } } \\ { { \Delta ( M ^ { I J } ) } } & { { = } } & { { 1 \otimes M ^ { I J } + M ^ { I J } \otimes 1 } } \\ { { \Delta ( M ^ { I + } ) } } & { { = } } & { { M ^ { I + } \otimes e ^ { - P _ { + } / \kappa } + 1 \otimes M ^ { I + } - \frac { 1 } { \kappa } M ^ { I J } \otimes P _ { J } } } \\ { { \Delta ( X ^ { \mu } ) } } & { { = } } & { { \Lambda ^ { \mu } { } _ { \nu } \otimes X ^ { \nu } + X ^ { \mu } \otimes 1 } } \\ { { \Delta ( \Lambda ^ { \mu } { } _ { \nu } ) } } & { { = } } & { { \Lambda ^ { \mu } { } _ { \rho } \otimes \Lambda ^ { \rho } { } _ { \nu } } } \end{array}
\mathfrak { n } _ { i } = ( \{ r _ { i 1 } , z _ { i } , z _ { 1 } \} , \ldots , \{ r _ { i j } , z _ { i } , z _ { j } \} , \ldots , \{ r _ { i N _ { \mathrm { n b h } } } , z _ { i } , z _ { N _ { \mathrm { n b h } } } \} )
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { W _ { 1 } \in \mathbb { R } ^ { r \times p } , W _ { 2 } \mathbb { R } ^ { q \times r } } \mathbb { E } _ { y \sim N ( 0 , I ) } \| W _ { 2 } W _ { 1 } y - A y \| ^ { 2 } = \operatorname* { m i n } _ { W _ { 1 } \in \mathbb { R } ^ { r \times p } , W _ { 2 } \mathbb { R } ^ { q \times r } } \| W _ { 2 } W _ { 1 } - A \| _ { F } ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { \partial r _ { 0 } } { \partial \ell _ { 0 } } = \frac { \partial r _ { 0 } } { \partial u _ { 0 } } \frac { d u _ { 0 } } { d \ell _ { 0 } } = \frac { L _ { 0 } ^ { 2 } } { M _ { 0 } k _ { 0 } } \frac { \sin u _ { 0 } } { 1 - \cos u _ { 0 } } = \left( \frac { L _ { 0 } ^ { 2 } } { M _ { 0 } k _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \frac { \sin u _ { 0 } } { r _ { 0 } } , \quad \frac { \partial ^ { 2 } r _ { 0 } } { \partial \ell _ { 0 } ^ { 2 } } = O ( \frac { 1 } { r _ { 0 } ^ { 2 } } ) .
\begin{array} { r l r } { ( \mu ( G _ { J } ) - \mu ( G ) ) ( x ) } & { = } & { \mu ( G _ { J } - G ) ( x ) } \\ & { = } & { \sum _ { s \subset \{ 1 , \ldots , d \} } ( - 1 ) ^ { \mid s \mid } \{ \bar { \mu } ( G _ { J } ) - \bar { \mu } ( G ) \} ( x ( s ) , 0 ( - s ) ) } \\ & { \leq } & { 2 ^ { d } \parallel \bar { \mu } ( G _ { J } ) - \bar { \mu } ( G ) \parallel _ { \infty } } \\ & { = } & { O ( r ( d , J ) ^ { k + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 3 } \hat { R } \hat { V } _ { 3 } | N \rangle \right] } & { { } = } & { \left( \left[ \langle N | \hat { V } _ { 3 } \hat { R } _ { 1 } ^ { ( - 1 ) } \hat { V } _ { 3 } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { 3 } \hat { R } _ { 3 } ^ { ( - 1 ) } \hat { V } _ { 3 } | N \rangle \right] \right) } \end{array}
\{ \Psi _ { i j } ^ { ( \mathrm { v t } ) } , \Psi _ { i j } ^ { ( \mathrm { e x } ) } , \Psi _ { i j } ^ { ( \mathrm { c t 1 } ) } , \Psi _ { i j } ^ { ( \mathrm { c t 2 } ) } \}
\frac { \partial ^ { 2 } v _ { i } ^ { ( 0 ) } } { \partial x _ { k } \partial x _ { k } } - \frac { \partial p ^ { ( 0 ) } } { \partial x _ { i } } = 0 ; \qquad \frac { \partial v _ { i } ^ { ( 0 ) } } { \partial x _ { i } } = 0 ; \qquad F _ { i } = \delta _ { i 3 } ; \qquad T _ { i } = 0
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 \mathrm { { P r } } } \frac { d } { d t } \| u \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \nabla u \| _ { 2 } ^ { 2 } + \int _ { \gamma ^ { + } \cup \gamma ^ { - } } ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } = \mathrm { { R a } } \int _ { \Omega } T u _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { G _ { \theta } ( ( a , \! b , \! c , \! d , \! l , \! \varrho ) , \! z ; \! \alpha , \! \epsilon ) } \\ & { = \frac { 4 } { 5 } z ^ { 2 } \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \! \frac { q \exp { ( - z q s ) } \mathrm { d } s \mathrm { d } q } { \frac { ( a + \frac { q ^ { \alpha ( 1 - \epsilon ) / 2 } } { \theta s ^ { \alpha \epsilon / 2 } } ) ^ { b } } { c ( d + \frac { q ^ { \alpha ( 1 \! - \! \epsilon ) / 2 } } { \theta s ^ { \alpha \epsilon / 2 } } ) ^ { l } + \varrho } ( 1 - e ^ { - z q } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } ( - 1 ) ^ { n } e _ { \eta } ^ { 2 } \wedge \ast \Big ( \big ( \ast e _ { \eta } ^ { 1 } + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) \big ) \wedge ( \ast d \eta ) \Big ) - d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) \wedge \big ( \ast e _ { \eta } ^ { 1 } + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) \big ) \wedge ( \ast d \eta ) . } \end{array}
\langle A _ { k } ^ { s } A _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } \rangle = \epsilon ^ { 2 } \langle a _ { k } ^ { s } a _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } \rangle \exp ( - i ( s \omega _ { k } + s ^ { \prime } \omega _ { k ^ { \prime } } ) t )
\begin{array} { r l } { \! \! \! \! m _ { 1 } } & { { } = \frac { 1 + \sum _ { i > 1 } ( - 1 ) ^ { i - 1 } \lambda _ { i } ( 0 ) \hat { e } _ { i } ( 0 ) { \cdot } \partial _ { \lambda _ { 1 } } \hat { e } _ { 1 } ( 0 ) \hat { e } _ { i } ( 0 ) { \cdot } \hat { e } _ { 0 } ( 0 ) } { \hat { e } _ { \perp } ( 0 ) { \cdot } \partial _ { \lambda _ { 1 } } \hat { e } _ { 1 } ( 0 ) } , } \\ { \! \! \! \! m _ { i } } & { { } = \lambda _ { i } \frac { \hat { e } _ { i } ( 0 ) { \cdot } \hat { e } _ { 0 } ( 0 ) } { \sqrt { 1 - | \hat { e } _ { i } ( 0 ) { \cdot } \hat { e } _ { 0 } | ^ { 2 } } } \, , ~ i > 1 \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi \equiv \frac { \langle m ( m - 1 ) \rangle } { \langle m \rangle \langle n \rangle } \int _ { 0 } ^ { \infty } \sum _ { n , i } \lambda i ( n - i ) v _ { n , i } ^ { \lambda } \mathrm { d } \lambda \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F ( x ) } & { { } = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \left( 1 - \left( 1 + \frac { x } { \sigma } \right) ^ { - \alpha } \right) I [ 0 \leqslant x \leqslant - \sigma ] + I [ x > - \sigma ] , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 < G < \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \quad } \\ { \displaystyle \left( 1 - e ^ { - m x } \right) I [ x > 0 ] , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } G = \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \quad } \\ { \displaystyle \left( 1 - \left( 1 + \frac { x } { \sigma } \right) ^ { - \alpha } \right) I [ x > 0 ] , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \frac { 1 } { 2 } < G < 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
M _ { 5 } ^ { \mu \nu } \equiv S p \left\langle 0 \right| \gamma ^ { \mu } \frac { 1 } { { \cal P } \! \! \! \! / - m + i \varepsilon } \gamma ^ { \nu } \gamma ^ { 5 } \frac { 1 } { { \cal P } \! \! \! \! / - k \! \! \! / - m + i \varepsilon } \left| 0 \right\rangle ,
T ^ { 5 } = \left( \begin{array} { l l } { { \gamma ^ { \mu \nu } \omega _ { 1 \mu } ^ { 5 b } e _ { \nu } ^ { b } } } & { { g ^ { \mu \nu } \gamma ^ { 5 } V _ { \nu } ( e _ { \mu } ^ { b } l ^ { 5 b } - \partial _ { \mu } ( \frac { 1 } { \sqrt { V ^ { 2 } } } ) ) } } \\ { { - g ^ { \mu \nu } \gamma ^ { 5 } V _ { \nu } ( e _ { \mu } ^ { b } \tilde { l } ^ { 5 b } - \partial _ { \mu } ( \frac { 1 } { \sqrt { V ^ { 2 } } } ) ) } } & { { \gamma ^ { \mu \nu } \omega _ { 2 \mu } ^ { 5 b } e _ { \nu } ^ { b } } } \end{array} \right)
\mathcal { U } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } , \mu , \{ \alpha _ { i } \} ) = u ( r _ { 1 2 } , \mu ) \bar { g } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \bar { g } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) ,
\begin{array} { r l r } { a _ { a s } ( t ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \bar { a } _ { a s } ( \omega ) e ^ { - i \omega t } d \omega , } \\ { b _ { a c } ( t ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \bar { b } _ { a c } ( \omega ) e ^ { - i \omega t } d \omega . } \end{array}
\boldsymbol { L } _ { \mathrm { p } } = \dot { \boldsymbol { F } } _ { \mathrm { p } } \boldsymbol { F } _ { \mathrm { p } } ^ { - 1 } = \sum _ { i = 1 } ^ { \mathrm { N } _ { \mathrm { s } } } \dot { \gamma } ^ { \mathrm { i } } \mathbf { n } ^ { \mathrm { i } } \otimes \mathbf { s } ^ { \mathrm { i } }
\begin{array} { r l } { p _ { 1 } } & { = \sum _ { x \in \mathfrak { X } } \sum _ { y \in \mathfrak { X } } \operatorname* { P r } ( X _ { 1 , j _ { 1 } } = x ) \operatorname* { P r } ( Y _ { \sigma _ { n } ( 1 ) , j } = y | X _ { 1 , j _ { 1 } } = x ) \operatorname* { P r } ( Y _ { \sigma _ { n } ( 1 ) , j + 1 } \neq y | X _ { 1 , j _ { 1 } } = x ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } \sum _ { k = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } u _ { i } \: p _ { Y | X } ( k | i ) \: [ 1 - p _ { Y | X } ( k | i ) ] } \\ & { = p _ { 1 } ^ { \prime } } \end{array}
\langle \prod _ { j = 1 } ^ { k } { \cal O } _ { A _ { j } } ( z _ { j } ) \rangle _ { d } = \int _ { { \cal M } _ { 0 , d } ^ { M } } \bigwedge _ { j = 1 } ^ { k } \phi _ { j } ^ { * } ( A _ { j } )
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l l l l l l l l l l l } { \displaystyle { \mathcal D } _ { t } ^ { \gamma } y ^ { i } ( 0 , 0 ) + \mathcal { D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ^ { i } ( 0 , 0 ) ) + q ^ { i } y ^ { i } ( 0 , 0 ) } & { = } & { f ^ { i } } & { \mathrm { i n } } & { Q _ { i } , \, i = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { i } ( a ^ { + } ; 0 , 0 ) - I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { j } ( a ^ { + } ; 0 , 0 ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , ~ i \neq j = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta ^ { i } ( a ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ^ { i } ( a ^ { + } ; 0 , 0 ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { i } ( b _ { i } ^ { - } ; 0 , 0 ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = 1 , \dots , m } \\ { \displaystyle \beta ^ { i } ( b _ { i } ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ^ { i } ( b _ { i } ^ { - } ; 0 , 0 ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = m + 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle y ^ { i } ( 0 , \cdot ; 0 , 0 ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( a , b _ { i } ) , ~ ~ i = 1 , \dots , N . } \end{array} \right.
P r \{ ( h _ { i } ( X _ { 1 } ) - h _ { i } ( X _ { 2 } ) ) ( Y _ { 1 } - Y _ { 2 } ) > 0 \} = P r \{ ( X _ { 1 } - X _ { 2 } ) ( Y _ { 1 } - Y _ { 2 } ) > 0 \}
\begin{array} { r l } { \| X _ { j , k _ { j } ( t ) } - X _ { j , k _ { j } ( s ) } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } & { \leq c _ { 1 } \left( 2 ^ { - j \operatorname* { m i n } \{ H ( k _ { j } ( t ) 2 ^ { - j } ) , H ( k _ { j } ( s ) 2 ^ { - { j } } ) \} } + 2 ^ { - j H ( t _ { 0 } ) } \right) } \\ & { \leq c _ { 1 } \left( 2 ^ { - j \operatorname* { m i n } \{ H ( t ) , H ( s ) \} } 2 ^ { - j 2 ^ { - j H ( t _ { 0 } ) } } + 2 ^ { - j H ( t _ { 0 } ) } \right) } \\ & { \leq 2 c _ { 1 } 2 ^ { - j \operatorname* { m i n } \{ H ( t _ { 0 } ) , H ( t ) , H ( s ) \} } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( p _ { x } - \frac { \mu ^ { 2 } p _ { x } } { 1 + \mu ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } & { + D - \frac { p _ { x } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } + 1 } + \left( \frac { \mu p _ { x } } { 1 + \mu ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = D + p _ { x } ^ { 2 } \cdot \frac { ( 1 + \mu ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 2 \mu ^ { 2 } ( 1 + \mu ^ { 2 } ) + \mu ^ { 4 } - ( 1 + \mu ^ { 2 } ) + \mu ^ { 2 } } { ( 1 + \mu ^ { 2 } ) ^ { 2 } } = D . } \end{array}
\begin{array} { r } { G L _ { 0 } ( L ^ { 2 } ( \Omega ) ) = \Bigg \{ \rho \in G L ( L ^ { 2 } ( \Omega ) ) : ( \rho \cdot a , \rho \cdot b ) _ { \Omega } = ( a , b ) _ { \Omega } , } \\ { \quad \forall a , b , \in L ^ { 2 } ( \Omega ) \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \rho \cdot c = c , \forall c \in \mathbb { R } \Bigg \} . } \end{array}
E _ { y } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) = \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d x \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d y \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d z \frac { \rho \left( x + x _ { 0 } , y + y _ { 0 } , z + z _ { 0 } \right) y } { \left( x ^ { 2 } + y + z ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } }
\begin{array} { r l } { V } & { = ( y , 0 ) + \frac { f ( t ) } { 1 + t ^ { 2 } } \sin ( x - y t ) ( t , 1 ) } \\ { W } & { = - 1 + f ( t ) \cos ( x - y t ) } \\ { B } & { = ( \alpha , 0 ) + \frac { g ( t ) } { 1 + t ^ { 2 } } \cos ( x - y t ) ( t , 1 ) } \\ { J } & { = - g ( t ) \sin ( x - y t ) } \\ { \Phi } & { = \alpha y + \frac { g ( t ) } { 1 + t ^ { 2 } } \sin ( x - y t ) . } \end{array}
\begin{array} { c c l } { { \hat { H } } ^ { \mathrm { T C } } } & { = } & { \sum _ { j } ^ { N } h \nu _ { j } ( \mathbf R _ { j } ) \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } \hat { \sigma } _ { j } ^ { - } + \sum _ { k _ { z } } ^ { n _ { \mathrm { m o d e } } } \hbar \omega _ { \mathrm { c a v } } ( k _ { z } ) \hat { a } _ { k _ { z } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k _ { z } } + } \\ & & { \sum _ { j } ^ { N } \sum _ { k _ { z } } ^ { n _ { \mathrm { m o d e } } } \hbar g _ { j } ( k _ { z } ) \left( \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } \hat { a } _ { k _ { z } } e ^ { i k _ { z } z _ { j } } + \hat { \sigma } _ { j } ^ { - } \hat { a } _ { k _ { z } } ^ { \dagger } e ^ { - i k _ { z } z _ { j } } \right) + } \\ & & { \sum _ { i } ^ { N } V _ { \mathrm { S } _ { 0 } } ^ { \mathrm { m o l } } ( { \bf { R } } _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d X \left( t \right) } { d t } } & { = } & { \frac { d \left( U _ { \xi } ^ { \left( s \right) } \left( t \right) \xi \right) } { d t } = \left[ \xi , U _ { \xi } ^ { \left( s \right) } \left( t \right) \xi \right] ^ { \left( A \left( t \right) s \right) } } \\ & { = } & { \left[ \xi , X \left( t \right) \right] ^ { \left( A \left( t \right) s \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \Delta R ( t ) } { R } = } & { { } } & { \frac { A _ { N T } } { 2 } \left[ \mathrm { e r f } \left( \frac { t - t _ { 0 } } { \tau _ { p } } \right) + 1 \right] \exp \left( - \frac { t - t _ { 0 } } { \tau _ { N T } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( m + A _ { p } ) \frac { d U _ { p } } { d t } - ( m + A _ { q } ) \Omega _ { r } U _ { q } } & { { } = F _ { p } ^ { \omega } + ( m - \rho V ) g \cos \phi , } \\ { ( m + A _ { q } ) \frac { d U _ { q } } { d t } + ( m + A _ { p } ) \Omega _ { r } U _ { p } } & { { } = F _ { q } ^ { \omega } - ( m - \rho V ) g \sin \phi , } \\ { ( J _ { q } + D _ { q } ) \frac { d \Omega _ { r } } { d t } } & { { } = - U _ { p } U _ { q } ( A _ { q } - A _ { p } ) + T _ { r } ^ { \omega } . } \end{array}
\begin{array} { c } { { { \displaystyle K _ { a b } ^ { - } ~ = ~ \frac { \epsilon } { 4 } \, ( E _ { a a } - E _ { b b } + E _ { \theta ( a ) \, \theta ( a ) } - E _ { \theta ( b ) \, \theta ( b ) } ) ~ , } } } \\ { { { \displaystyle M _ { a b } ^ { - } ~ = ~ \frac { \epsilon } { 4 } \, ( E _ { a a } - E _ { b b } - E _ { \theta ( a ) \, \theta ( a ) } + E _ { \theta ( b ) \, \theta ( b ) } ) ~ , } } } \end{array}
\theta _ { x y } = \frac { g _ { x } \Omega + g _ { y } \Omega ^ { \prime } } { \Omega ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } } , \theta _ { y x } = - \frac { g _ { y } \Omega + g _ { x } \Omega ^ { \prime } } { \Omega ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } } .
\Delta | \psi | ^ { 2 } = \frac { 2 \Delta \Gamma } { \left[ \frac { \hbar P R } { \gamma _ { \mathrm { r } } } - \hbar \gamma _ { \mathrm { c } } \right] + \sum _ { m = 2 } ^ { \infty } \frac { \hbar P R ^ { m } } { \gamma _ { \mathrm { r } } ^ { m } } \left( - | \psi _ { \mathrm { t o t } } | ^ { 2 } \right) ^ { m - 1 } } .
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { \mu ^ { + } \mu ^ { - } \to h h } } & { { } = } & { \frac { \left| \lambda _ { \mu \mu } ^ { h h } \right| ^ { 2 } } { 6 4 \pi } = \frac { 9 } { 6 4 \pi } \left( \frac { m _ { \mu } ^ { L E } } { v ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } , } \\ { \sigma _ { \mu ^ { + } \mu ^ { - } \to h h h } } & { { } = } & { \frac { \left| \lambda _ { \mu \mu } ^ { h h h } \right| ^ { 2 } } { 6 1 4 4 \pi ^ { 3 } } s = \frac { 3 } { 4 0 9 6 \pi ^ { 3 } } \left( \frac { m _ { \mu } ^ { L E } } { v ^ { 3 } } \right) ^ { 2 } s . } \end{array}