harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { c } { \displaystyle L _ { \Omega _ { i } } ( \hat { u } _ { i } ) = \frac { 1 } { N _ { \Omega _ { i } } } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \Omega _ { i } } } \left( \frac { c _ { i } } { 2 } | \nabla \hat { u } _ { i } ( x _ { n } ^ { \Omega _ { i } } ; \theta _ { i } ) | ^ { 2 } - f ( x _ { n } ^ { \Omega _ { i } } ) \hat { u } _ { i } ( x _ { n } ^ { \Omega _ { i } } ; \theta _ { i } ) \right) , } \\ { \displaystyle L _ { D _ { i } } ( \hat { u } _ { j } ) = \frac { 1 } { N _ { D _ { i } } } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { D _ { i } } } | \hat { u } _ { j } ( x _ { n } ^ { D _ { i } } ; \theta _ { j } ) | ^ { 2 } , \ L _ { \Gamma _ { N } } \big ( \hat { u } _ { 2 } \big ) = \frac { 1 } { N _ { \Gamma } } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \Gamma } } q ( x _ { n } ^ { \Gamma } ) \hat { u } _ { 2 } ( x _ { n } ^ { \Gamma } ; \theta _ { 2 } ) , } \\ { \displaystyle L _ { \Gamma _ { D } } ( \hat { u } _ { 1 } , u _ { \Gamma } ^ { [ k ] } ) = \frac { 1 } { N _ { \Gamma } } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \Gamma } } | \hat { u } _ { 1 } ( x _ { n } ^ { \Gamma } ; \theta _ { 1 } ) - u _ { \Gamma } ^ { [ k ] } ( x _ { n } ^ { \Gamma } ) | ^ { 2 } , } \end{array}
\mathrm { H D e t } _ { \operatorname { S p i n } ( 1 6 , \mathbb { C } ) } ( \Psi ) = \Bigl ( \prod _ { y _ { i } \mathrm { - v e r t i c e s } } y _ { i } \prod _ { ( y _ { i _ { 1 } } , y _ { i _ { 2 } } , y _ { i _ { 3 } } , y _ { i _ { 4 } } ) \mathrm { - p l a n e s } } ( y _ { i _ { 1 } } \pm y _ { i _ { 2 } } \pm y _ { i _ { 3 } } \pm y _ { i _ { 4 } } ) \Bigr ) ^ { 2 } ,
I ( X ; Y ) = - \int _ { \mathscr { X } } \int _ { \mathscr { Y } } P _ { ( X , Y ) } ( x , y ) \ln \left( \frac { P _ { ( X , Y ) } ( x , y ) } { P _ { X } ( x ) P _ { Y } ( y ) } \right) { \mathrm d } x { \mathrm d } y ,
\mathbf { E } _ { t } = \left( \begin{array} { l } { E _ { \theta } } \\ { E _ { \phi } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { E _ { \theta 0 } ( \theta , \phi ) } \\ { E _ { \phi 0 } ( \theta , \phi ) } \end{array} \right) \frac { e ^ { i k r } } { r } .
- \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi r } \rightarrow - \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi r } - \frac { \alpha ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } ( \frac { 1 } { 6 } + \frac { 4 } { 3 } \ln \eta ) \delta ( \vec { r } )
\begin{array} { r l r } { k ^ { 2 } Q _ { \mathrm { { e x t } } } ^ { \sigma } } & { { } = } & { \sum _ { \ell = 1 } ^ { \ell = \infty } | C _ { \ell m } ^ { \sigma } | ^ { 2 } \Re \{ \tilde { a } _ { \ell , \sigma } + \tilde { b } _ { \ell , \sigma } \} , } \\ { k ^ { 2 } Q _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma } } & { { } = } & { \sum _ { \ell = 1 } ^ { \ell = \infty } | C _ { \ell m } ^ { \sigma } | ^ { 2 } \left( | \tilde { a } _ { \ell , \sigma } | ^ { 2 } + | \tilde { b } _ { \ell , \sigma } | ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L _ { 1 } \left( \bar { h } , \bar { h } ^ { \prime } \right) } & { { } = } & { \bar { h } \, \bar { h } ^ { 2 } - \bar { h } + \frac { 1 } { \bar { h } } \, , } \\ { { \cal H } _ { 1 } \left( \bar { h } , \bar { h } ^ { \prime } \right) } & { { } = } & { \bar { h } \, \bar { h } ^ { 2 } + \bar { h } - \frac { 1 } { \bar { h } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T ( P e t , { \bf 4 } , t ) } & { \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! } & { 0 } \\ { T ( P e t , { \bf 5 } , t ) } & { \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! } & { 1 2 0 0 t ^ { 4 } \! \! + \! \! 6 0 0 t ^ { 6 } \! \! + \! \! 6 0 0 t ^ { 7 } } \\ & { } & { \! \! + \! 6 0 0 t ^ { 8 } \! \! + \! \! 2 4 0 0 t ^ { 9 } \! \! + \! \! 6 0 0 t ^ { 1 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { d \sigma } { d \Omega } \right) _ { l a b } } & { = } & { \left( \frac { d \sigma } { d \Omega } \right) _ { c m } \frac { d \Omega _ { c m } } { d \Omega _ { l a b } } } \\ & { = } & { \left( \frac { d \sigma } { d \Omega } \right) _ { c m } \frac { \sin \theta _ { c m } d \theta _ { c m } d \phi _ { c m } } { \sin \theta _ { l a b } d \theta _ { l a b } d \phi _ { l a b } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 2 , D B R B D } ^ { + } ( x ) = f _ { 2 , D B R B D } ^ { - } ( x ) } & { = f _ { 2 } ^ { + } ( 0 ) - \frac { \lambda _ { r } } { 4 } \textnormal { s i g n } ( x ) \left( \frac { \arctan ( x / \gamma ) } { \gamma } - \frac { x } { \gamma ^ { 2 } + x ^ { 2 } } \right) } \\ & { \quad - \frac { 1 } { 1 2 } \left( \frac { \gamma ^ { 2 } - x ^ { 2 } } { ( \gamma ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { s } u _ { 3 } } & { = a ( k + 2 ) w ( k _ { 2 } ) - a ( k - 2 ) w ( k _ { - 2 } ) - j ( k _ { 1 } ) + j ( k _ { - 1 } ) } \\ & { \le \frac { 2 c } \eta ( w ( 2 ) + w ( - 2 ) ) + 2 e ^ { - \frac 1 2 \kappa \xi \eta ( s - \tilde { s } _ { 0 } ) } j ( k _ { \pm 1 } , \tilde { s } _ { 0 } ) + \frac 4 { \beta \kappa \xi \eta } ( \tilde { w } ( 1 ) + c _ { 1 } ^ { \ast } + c _ { 2 } ^ { \ast } ) } \\ { \vert u _ { 3 } \vert } & { \le \vert u _ { 3 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) \vert + c ( \tilde { w } ( 2 ) + \tilde { w } ( - 2 ) ) + \frac 4 { \kappa \xi \eta } ( j ( k _ { \pm 1 } , \tilde { s } _ { 0 } ) + \frac 1 \beta \tilde { w } ( 1 ) + \frac 1 \beta c _ { 1 } ^ { \ast } + \frac 1 { \beta } c _ { 2 } ^ { \ast } ) } \\ & { \le \tilde { w } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { K } ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \Big ( \nabla _ { i } ^ { 2 } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } ) + \nabla _ { j } ^ { 2 } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } ) } \\ & { \quad + ( \boldsymbol { \nabla } _ { i } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } ) ^ { 2 } + ( \boldsymbol { \nabla } _ { j } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } ) ^ { 2 } \Big ) } \\ & { \quad + \boldsymbol { \nabla } _ { i } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } ) \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { i } + \boldsymbol { \nabla } _ { j } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } ) \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { { } \geq \frac { b } { \mathrm { { R a } } } \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle + \frac { b } { \mathrm { { R a } } } \langle ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle { \Psi _ { 0 } } | L | { \Psi _ { 0 } } \rangle = - \frac { 1 } { 3 } \sum _ { \sigma } [ \Delta h _ { p } ^ { q } ] ^ { \sigma } [ \gamma _ { q } ^ { p } ] ^ { \sigma } } \end{array}
\left( \frac { e ^ { 2 } N } { \pi + g N } \frac { 1 } { ( M ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { \pi } { \pi + g N } \frac { 1 } { 2 N } \sum _ { b } ( n _ { b } + m _ { b } ) }
\frac { D s } { D t } = \frac { 1 } { q _ { v s } } \left( D _ { q } \nabla ^ { 2 } q _ { v } - C _ { d } \right) - \frac { q _ { v } } { q _ { v s } ^ { 2 } } \frac { \epsilon } { p } \frac { L e _ { s } } { R _ { v } T ^ { 2 } } \left( \kappa \nabla ^ { 2 } T - \frac { g } { c _ { p } } w + \frac { L } { c _ { p } } C _ { d } \right) \, .
\Delta E = \int _ { 1 } ^ { 2 } I V \operatorname { d } \! { t } = \int _ { 1 } ^ { 2 } I \operatorname { d } \! \Phi = \int _ { \varphi _ { 1 } } ^ { \varphi _ { 2 } } I _ { c } \sin \varphi \operatorname { d } \! \left( \Phi _ { 0 } { \frac { \varphi } { 2 \pi } } \right) = - { \frac { \Phi _ { 0 } I _ { c } } { 2 \pi } } \Delta \cos \varphi \, .
\begin{array} { r l } { D _ { G } ( \rho , \rho _ { \ast } ) } & { : = D ( \rho , \rho _ { \ast } ) + \frac { 1 } { 2 } | \mathrm { T r } \rho - \mathrm { T r } \rho _ { \ast } | , } \\ { D ( \rho , \rho _ { \ast } ) } & { : = \frac { 1 } { 2 } | | \rho - \rho _ { \ast } | | _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } \left\vert \rho - \rho _ { \ast } \right\vert ~ . } \end{array}
d e t ^ { \prime } \Bigl ( \ast d _ { \scriptscriptstyle 1 } + ( \ast d _ { \scriptscriptstyle 1 } ) ^ { \scriptscriptstyle 2 } \Bigr ) = ( - 1 ) ^ { \psi } d e t ^ { \prime } ( \ast d _ { \scriptscriptstyle 1 } ) d e t ^ { \prime } ( \mathrm { 1 \ m k e r n - 5 m u I } + \ast d _ { \scriptscriptstyle 1 } )
\begin{array} { r } { \frac { \partial L _ { \kappa } ( \theta ) } { \partial \theta _ { 1 } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } = \mu ( s _ { 1 } ) \pi _ { 1 } ^ { \theta } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) ( - A ^ { \pi ^ { \theta } } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) ) - \frac { \kappa } { | \mathcal { S } | } ( \frac { 1 } { | \mathcal { A } | | \mathcal { H } | } - \pi _ { 1 } ^ { \theta } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) ) } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { x _ { n + 1 } } \\ { y _ { n + 1 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 2 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { x _ { n } } \\ { y _ { n } } \end{array} \right] }
H _ { \lambda } ( { \bf p } , { \bf p ^ { \prime } } ) = p ^ { 2 } \delta ^ { ( D ) } ( { \bf p } - { \bf p ^ { \prime } } ) + e ^ { - \frac { ( p ^ { 2 } - p ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { \lambda ^ { 4 } } } \; \left[ { \bar { V } } _ { \lambda } ^ { ( 1 ) } ( { \bf p } , { \bf p ^ { \prime } } ) + { \bar { V } } _ { \lambda } ^ { ( 2 ) } ( { \bf p } , { \bf p ^ { \prime } } ) + . . . \right] \; ,
\begin{array} { r l } { \dot { E } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } & { { } = \frac { d } { d t } [ \langle \hat { V } \rangle - \operatorname { T r } ( V _ { 2 } \cdot \Sigma _ { t } ) / 2 ] - V _ { 1 } ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } + \operatorname { T r } ( \dot { V } _ { 2 } \cdot \Sigma _ { t } ) / 2 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { r } ^ { \infty } \exp ( - \phi ( t ) ) \textup { d } t } & { \le \int _ { r } ^ { \infty } \exp \left( - \phi ( r ) - \phi ^ { \prime } ( r ) ( t - r ) \right) \textup { d } t } \\ & { \le \exp ( - \phi ( x ) ) \int _ { r } ^ { \infty } \exp \left( - \frac 1 8 \sqrt { \phi ^ { \prime \prime } ( x ) } ( t - r ) \right) \textup { d } t = 8 \cdot \frac { \exp ( - \phi ( x ) ) } { \sqrt { \phi ^ { \prime \prime } ( x ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle { G _ { 1 } G _ { 2 } A } \right\rangle } & { = m _ { 1 } \left\langle { G _ { 2 } A } \right\rangle - m _ { 1 } \left\langle { \underline { { W G _ { 1 } G _ { 2 } A } } } \right\rangle + \frac { 1 } { N } m _ { 1 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } S _ { i j } ( G _ { 1 } G _ { 2 } ) _ { j j } ( G _ { 2 } A ) _ { i i } } \\ & { + \frac { 1 } { N } m _ { 1 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } S _ { i j } ( ( G _ { 1 } ) _ { j j } - m _ { 1 } ) ( G _ { 1 } G _ { 2 } A ) _ { i i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { f , 2 } ^ { k } } & { { } = \int \mathrm { A } _ { k } ( \eta ) \overline { { \mathcal { F } _ { 2 } \mathbf { D } _ { u , k } ( \mathcal { F } _ { 1 } \Omega ) } } _ { k } ( \eta ) \mathrm { A } _ { k } ( \eta ) \mathcal { F } _ { 2 } \Big ( \mathbf { D } _ { u , k } \left( \mathcal { F } _ { 1 } \Big ( \mathrm { U } \cdot \nabla _ { z , v } \Omega \Big ) \right) ( t , k , \cdot ) \Big ) ( \eta ) d \eta } \end{array}
\begin{array} { r l } { + } & { { } \int _ { \Omega } \int _ { I } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { p = 1 } ^ { P _ { k } ^ { ( i ) } } \left\{ \frac { \kappa ^ { ( i ) } } { \varepsilon _ { 0 } c _ { p , k } ^ { ( i ) } } \partial _ { t } ^ { 2 } \tilde { Q } _ { p , k } ^ { ( i ) } ( \mathrm { d } _ { \rho } Q _ { p , k } ^ { ( i ) } ) + \frac { \kappa ^ { ( i ) } a _ { p , k } ^ { ( i ) } } { \varepsilon _ { 0 } c _ { p , k } ^ { ( i ) } } \partial _ { t } \tilde { Q } _ { p , k } ^ { ( i ) } ( \mathrm { d } _ { \rho } Q _ { p , k } ^ { ( i ) } ) + \mathrm { c . c . } \right\} } \\ { + } & { { } \int _ { \Omega } \int _ { I } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { p = 1 } ^ { P _ { k } ^ { ( i ) } } 2 \kappa ^ { ( i ) } \Re \left\{ \partial _ { t } \tilde { Q } _ { p , k } ^ { ( i ) } \right\} ( \mathrm { d } _ { \rho } E _ { k } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p _ { 3 } ^ { r 5 } \left( { { x } _ { i + 1 / 2 } } \right) = \frac { 1 } { 6 0 } \left( 2 { { { \bar { Q } } } _ { i - 2 } } - 1 3 { { { \bar { Q } } } _ { i - 1 } } + 4 7 { { { \bar { Q } } } _ { i } } + 2 7 { { { \bar { Q } } } _ { i + 1 } } - 3 { { { \bar { Q } } } _ { i + 2 } } \right) , } \\ & { p _ { 3 } ^ { r 5 } \left( { { x } _ { i - 1 / 2 } } \right) = \frac { 1 } { 6 0 } \left( - 3 { { { \bar { Q } } } _ { i - 2 } } + 2 7 { { { \bar { Q } } } _ { i - 1 } } + 4 7 { { { \bar { Q } } } _ { i } } - 1 3 { { { \bar { Q } } } _ { i + 1 } } + 2 { { { \bar { Q } } } _ { i + 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf b } ( { \bf x } ) = \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ T ~ } ~ } } } } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) { \bf b } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - B ^ { \prime } ( \eta ) } & { { } = } & { \left( \Omega _ { A } ^ { 2 } - 1 / 4 + \epsilon _ { 0 } \Omega _ { A } ^ { 2 } \right) A \equiv \Gamma _ { l } A , } \\ { A ^ { \prime } ( \eta ) } & { { } = } & { \left( \Omega _ { A } ^ { 2 } - 1 / 4 - \epsilon _ { 0 } \Omega _ { A } ^ { 2 } \right) B \equiv \Gamma _ { u } B , } \end{array}
\Phi _ { i } ( p , P ) _ { ( \lambda ) } = N _ { 3 i } \int _ { - 1 } ^ { 1 } d x { \frac { g _ { 3 i } ( x , \lambda ^ { 2 } ) } { [ ( p - x { \frac { 1 } { 2 } } P ) ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } + i \epsilon ] ^ { 3 } } } \; .
\begin{array} { r } { v ( V ) = \left[ \frac { I _ { c } } { 2 c _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ m ~ } } } \left( 1 - \sqrt { 1 - 4 \rho } \right) - \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } \left( V _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } - V _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } \right) \right] + \frac { 1 } { 2 \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } \Delta V } \sqrt { 1 - 4 \rho } \left( V - V _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } \right) ^ { 2 } + \mathcal { O } \left( \left( V - V _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } \right) ^ { 3 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { \phantom { \, r } \, { \theta } \, { \theta } } ^ { \, r \phantom { \, { \theta } } \phantom { \, { \theta } } } } & { { } = } & { - \frac { 4 \, \pi ^ { 2 } r - 4 \, \pi r \mu \left( r \right) + r \mu \left( r \right) ^ { 2 } - { \left( 2 \, \pi r ^ { 2 } - r ^ { 2 } \mu \left( r \right) \right) } \frac { \partial \, \mu } { \partial r } } { 4 \, \pi ^ { 2 } } } \\ { \Gamma _ { \phantom { \, { \theta } } \, r \, { \theta } } ^ { \, { \theta } \phantom { \, r } \phantom { \, { \theta } } } } & { { } = } & { \frac { 2 \, \pi - r \frac { \partial \, \mu } { \partial r } - \mu \left( r \right) } { 2 \, \pi r - r \mu \left( r \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \vec { E } _ { \mathrm { { O N - O N } } } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l } { e ^ { j 1 8 0 ^ { \circ } } } \\ { 0 } \end{array} \right) , \mathrm { ~ } \vec { E } _ { \mathrm { O F F - O F F } } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l } { e ^ { j 0 ^ { \circ } } } \\ { 0 } \end{array} \right) , } \\ & { \vec { E } _ { \mathrm { { O F F - O N } } } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { e ^ { j 0 ^ { \circ } } } \end{array} \right) , \mathrm { ~ } \vec { E } _ { \mathrm { O N - O F F } } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { e ^ { j 1 8 0 ^ { \circ } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { i } ^ { ( \mathrm { S . V . } ) } } & { { } = c _ { \mathrm { s } } ^ { - 2 } \ \ k _ { \mathrm { r } } \cdot ( \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } ) , } \\ { k _ { i } ^ { ( \mathrm { S . P . J . } ) } } & { { } = c _ { \mathrm { s } } ^ { - 2 } \gamma k _ { \mathrm { r } } / \ ( \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } ) , } \\ { k _ { i } ^ { ( \mathrm { S . N e w } ) } } & { { } = c _ { \mathrm { s } } ^ { - 2 } \gamma k _ { \mathrm { r } } \cdot ( \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } ) . } \end{array}
U = - \frac { F } { \zeta } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \hat { \bf n } _ { i } \cdot \left[ \hat { \mathbf { e } } _ { x } - { \mathbf { u } } _ { d } \left( \mathbf { r } _ { i } + L \hat { \bf n } _ { i } \right) \right] ,
P _ { \gamma } ( u ) = \gamma \| \nabla u \| _ { 0 } + \| u - f \| _ { p } ^ { p } = \gamma \# \{ i : u _ { i } \neq u _ { i + 1 } \} + \sum _ { i = 1 } ^ { n } | u _ { i } - f _ { i } | ^ { p }
\begin{array} { r l r l } { \boldsymbol { F } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { n } } & { = \boldsymbol { F } \left( \boldsymbol { \rho } _ { i , j } ^ { n } + \frac { \Delta x } { 2 } \boldsymbol { \sigma } _ { i , j } ^ { n } , \boldsymbol { \rho } _ { i + 1 , j } ^ { n } - \frac { \Delta x } { 2 } \boldsymbol { \sigma } _ { i + 1 , j } ^ { n } \right) , } & { \boldsymbol { F } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { * } } & { = \boldsymbol { F } \left( \boldsymbol { \rho } _ { i , j } ^ { * } + \frac { \Delta x } { 2 } \boldsymbol { \sigma } _ { i , j } ^ { * } , \boldsymbol { \rho } _ { i + 1 , j } ^ { * } - \frac { \Delta x } { 2 } \boldsymbol { \sigma } _ { i + 1 , j } ^ { * } \right) , } \\ { \boldsymbol { G } _ { i , j + 1 / 2 } ^ { n } } & { = \mathbf { G } \left( \boldsymbol { \rho } _ { i , j } ^ { n } + \frac { \Delta y } { 2 } \boldsymbol { \kappa } _ { i , j } ^ { n } , \boldsymbol { \rho } _ { i , j + 1 } ^ { n } - \frac { \Delta y } { 2 } \boldsymbol { \kappa } _ { i , j + 1 } ^ { n } \right) , } & { \boldsymbol { G } _ { i , j + 1 / 2 } ^ { * } } & { = \boldsymbol { G } \left( \boldsymbol { \rho } _ { i , j } ^ { * } + \frac { \Delta y } { 2 } \boldsymbol { \kappa } _ { i , j } ^ { * } , \boldsymbol { \rho } _ { i , j + 1 } ^ { * } - \frac { \Delta y } { 2 } \boldsymbol { \kappa } _ { i , j + 1 } ^ { * } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \sigma _ { \mathrm { c } } } & { = \frac { E _ { + } - E _ { - } } { E _ { + } + E _ { - } } , \quad } & { r _ { \mathrm { E } } } & { = \frac { E _ { + } } { E _ { - } } , } \\ { \sigma _ { \mathrm { r } } } & { = \frac { E _ { v } - E _ { b } } { E _ { v } + E _ { b } } , } & { r _ { \mathrm { A } } } & { = \frac { E _ { v } } { E _ { b } } . } \end{array}
f _ { \mathcal { K } } ( \kappa ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 + \mathcal { K } _ { 1 } ) \kappa ^ { \mathcal { K } _ { 1 } } } & { 0 < \kappa < 1 } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. .
\mathcal { M } _ { q \bar { q } \rightarrow \gamma \gamma } = \big ( \bar { v } _ { s _ { 1 } } ( p _ { a } ) \big ) \big ( - i e Q \gamma ^ { \mu _ { 2 } } \epsilon _ { r _ { 2 } \mu _ { 2 } } ^ { * } ( k _ { 2 } ) \big ) \bigg ( i \frac { \gamma ^ { \nu } ( p _ { a \nu } - k _ { 2 \nu } ) + m _ { q } } { ( p _ { a } - k _ { 2 } ) ^ { 2 } - m _ { q } ^ { 2 } } \bigg ) \big ( i e Q \gamma ^ { \mu _ { 1 } } \epsilon _ { r _ { 1 } \mu _ { 1 } } ^ { * } ( k _ { 1 } ) \big ) \big ( u _ { s _ { 2 } } ( p _ { b } ) \big )
\begin{array} { r l r } { C _ { v e } } & { = } & { \frac { 1 } { S } \int \mathrm { d } x \mathrm { d } y C _ { v } ( x , y ) } \\ { k _ { x e } } & { = } & { \frac { 1 } { D _ { y } } \int \mathrm { d } y \left[ \frac { 1 } { D _ { x } } \int \mathrm { d } x \frac { 1 } { k _ { x } ( x , y ) } \right] ^ { - 1 } } \\ { k _ { y e } } & { = } & { \frac { 1 } { D _ { x } } \int \mathrm { d } x \left[ \frac { 1 } { D _ { y } } \int \mathrm { d } y \frac { 1 } { k _ { y } ( x , y ) } \right] ^ { - 1 } , } \end{array}
I _ { j , k } ^ { m } ( \boldsymbol { x } ) = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \chi _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) \mathcal { F } ( I ) ( T _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) ) \right) ( \boldsymbol { x } ) \, .
\begin{array} { r l } { \frac { h } { u } } & { = \frac { 5 \mathcal { F } _ { 5 / 2 } ( x _ { \mathrm { i d } } ) + 4 n ^ { \frac { 1 } { 3 } } a \left( \mathcal { F } _ { 3 / 2 } ( x _ { \mathrm { i d } } ) \right) ^ { \frac { 5 } { 3 } } } { 3 \mathcal { F } _ { 5 / 2 } ( x _ { \mathrm { i d } } ) + 2 n ^ { \frac { 1 } { 3 } } a \left( \mathcal { F } _ { 3 / 2 } ( x _ { \mathrm { i d } } ) \right) ^ { \frac { 5 } { 3 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { x } ^ { i + 0 . 5 , j , k } } & { { } = \frac { f ^ { i + 1 , j , k } - f ^ { i , j , k } } { \Delta x } , } \\ { g _ { y } ^ { i , j + 0 . 5 , k } } & { { } = \frac { f ^ { i , j + 1 , k } - f ^ { i , j , k } } { \Delta y } , } \\ { g _ { z } ^ { i , j , k + 0 . 5 } } & { { } = \frac { f ^ { i , j , k + 1 } - f ^ { i , j , k } } { \Delta z } . } \end{array}
{ \cal L } _ { 4 F } ^ { C } = \frac { G } { 2 } \sum _ { a = 1 } ^ { 2 } { ( - 1 ) } ^ { a + 1 } { ( \bar { D } \Gamma ^ { + } U ) } ^ { ( a ) } { ( \bar { U } \Gamma ^ { - } D ) } ^ { ( a ) } ,
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } ( r , \tau ) = } & { { \mathrm { I F T } } \left[ \, \mathrm { e } ^ { - k ^ { 2 } \left( \epsilon + \frac { b \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } \right) } \right] , } \\ { C _ { 2 } ( r , \tau ) = } & { { \mathrm { I F T } } \left[ \, k ^ { 2 } \, \mathrm { e } ^ { - k ^ { 2 } \left( \epsilon + \frac { b \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } \right) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { \mathrm { s h i e l d e d } } ^ { \mathrm { p u r e - 2 D } } } & { = \frac { 4 } { \tilde { k } _ { i } \tilde { k } _ { f } } \frac { E _ { \mathrm { d d } } } { \hbar } a _ { \mathrm { d d } } ^ { 2 } \left\vert \tilde { L } \int _ { 0 } ^ { \tilde { D } } d \tilde { \rho } \sqrt { \frac { \pi \tilde { k } _ { f } \tilde { \rho } } { \tilde { L } } } J _ { 2 } ( \tilde { k } _ { f } \tilde { \rho } ) \frac { 2 } { \tilde { \rho } ^ { 3 } } \alpha \sqrt { \tilde { \rho } } K _ { 0 } \left( \sqrt { \frac { 8 } { \tilde { \rho } } } \right) \right\vert ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 3 6 \pi ^ { 2 } } { J ^ { 2 } } \frac { E _ { \mathrm { d d } } } { \hbar } a _ { \mathrm { d d } } ^ { 2 } \left( \frac { \cos ( \delta ) J _ { 0 } ( \tilde { k } _ { i } \tilde { \rho } _ { 0 } ) - \sin ( \delta ) Y _ { 0 } ( \tilde { k } _ { i } \tilde { \rho } _ { 0 } ) } { K _ { 0 } ( \sqrt { \frac { 8 } { \tilde { \rho } _ { 0 } } } ) } \right) ^ { 2 } \times } \\ & { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left\vert \int _ { 0 } ^ { \tilde { D } } d \tilde { \rho } J _ { 2 } ( \tilde { k } _ { f } \tilde { \rho } ) \tilde { \rho } ^ { - 2 } K _ { 0 } \left( \sqrt { \frac { 8 } { \tilde { \rho } } } \right) \right\vert ^ { 2 } . } \end{array}
d _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } l ^ { \prime } } = \int \rho ( r , \theta , \varphi ) \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( \varphi ) \Lambda _ { j ^ { \prime } } ( r ) \Lambda _ { k ^ { \prime } } ( \theta ) r \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta \mathrm { d } \varphi
M _ { W ^ { + } } ^ { 2 } = { \frac { v ^ { 2 } } { 4 } } g ^ { 2 } ~ , ~ M _ { W ^ { - } } ^ { 2 } = { \frac { v ^ { 2 } } { 4 } } g ^ { 2 } ~ , ~ M _ { Z } ^ { 2 } = { \frac { v ^ { 2 } } { 4 } } ~ ( g ^ { \prime 2 } + g ^ { 2 } ) ~ , ~ M _ { A } ^ { 2 } = 0 \ .
\begin{array} { r l r } { U ^ { ( n ) } } & { = } & { \left[ { E _ { N } ^ { ( n ) } } \right] + ( - \beta ) \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \left[ E _ { N } ^ { ( i ) } E _ { N } ^ { ( n - i ) } \right] - \Omega ^ { ( i ) } U ^ { ( n - i ) } \right) } \\ & { } & { + \frac { ( - \beta ) ^ { 2 } } { 2 ! } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - i } \left( \left[ E _ { N } ^ { ( i ) } E _ { N } ^ { ( j ) } E _ { N } ^ { ( n - i - j ) } \right] - \Omega ^ { ( i ) } \Omega ^ { ( j ) } U ^ { ( n - i - j ) } \right) } \\ & { } & { + \ldots + \frac { ( - \beta ) ^ { n } } { n ! } \left\{ \left[ ( E _ { N } ^ { ( 1 ) } ) ^ { n } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \right] - ( \Omega ^ { ( 1 ) } ) ^ { n } U ^ { ( 0 ) } \right\} , } \end{array}
p = \frac { n _ { e } ^ { 0 } \sigma _ { e } ^ { 0 } } { \left( n _ { e } ^ { - } \sigma _ { e } ^ { - } + n _ { s } ^ { - } \sigma _ { s } ^ { - } + n _ { e } ^ { 0 } \sigma _ { e } ^ { 0 } \right) }
a _ { \mathrm { r } } = { \ddot { r } } - r { \dot { \theta } } ^ { 2 } = { \ddot { r } } - r \left( { \frac { n a b } { r ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } = { \ddot { r } } - { \frac { n ^ { 2 } a ^ { 2 } b ^ { 2 } } { r ^ { 3 } } } .
L ( i , j ) \equiv \frac 1 { 4 \pi } \oint _ { \gamma _ { i } } d z ^ { \mu } \oint _ { \gamma _ { j } } d y ^ { \rho } \frac { ( z - y ) ^ { \beta } } { | z - y | ^ { 3 } } \, \epsilon _ { \mu \nu \rho } ,
A _ { a } = \frac { - i } { 1 + x _ { 5 } } \eta _ { a b } ^ { i } x _ { b } I _ { i } , \quad \eta _ { a b } ^ { i } = \epsilon _ { i a b 4 } + \delta _ { i a } \delta _ { 4 b } - \delta _ { i b } \delta _ { 4 a } ,