harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { j ^ { \prime } ( x ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { j ( x + h ) - j ( x ) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { \left( f ( x + h ) + g ( x + h ) \right) - \left( f ( x ) + g ( x ) \right) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + h ) + g ( x + h ) - f ( x ) - g ( x ) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + h ) - f ( x ) + g ( x + h ) - g ( x ) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { ( f ( x + h ) - f ( x ) ) + ( g ( x + h ) - g ( x ) ) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \left( { \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h } } + { \frac { g ( x + h ) - g ( x ) } { h } } \right) } \end{array} }
\left\{ \begin{array} { l l } { \xi _ { 1 } ^ { 2 } / \left| \xi \right| ^ { 2 } \leqslant \mu ( \xi ) \leqslant 2 \xi _ { 1 } ^ { 2 } / \left| \xi \right| ^ { 2 } } & { \mathrm { f o r ~ } \xi \in E _ { 0 } } \\ { \left| \xi \right| ^ { 2 } \leqslant \mu ( \xi ) \leqslant 2 \left| \xi \right| ^ { 2 } } & { \mathrm { f o r ~ } \xi \in E _ { 1 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left\vert \varepsilon ^ { - 2 } \sum _ { z \ge 0 } \mathsf { p } _ { t } ^ { \varepsilon } ( x , z ) \mu ^ { z } - \varepsilon ^ { - 2 } \sum _ { z \ge 0 } \mathsf { p } _ { t } ^ { \varepsilon } ( y , z ) \mu ^ { z } \right\vert } & { \leqslant \frac { C } { T } \int _ { \mathbb R } e ^ { \frac { - u ^ { 2 } } { 2 } } \left\vert e ^ { 2 \ensuremath { \mathbf { i } } X u T ^ { - 1 / 2 } } - e ^ { 2 \ensuremath { \mathbf { i } } Y u T ^ { - 1 / 2 } } \right\vert d u , } \\ & { \leqslant \frac { C } { T } \int _ { \mathbb R } e ^ { \frac { - u ^ { 2 } } { 2 } } \left\vert 1 - e ^ { 2 \ensuremath { \mathbf { i } } ( X - Y ) u T ^ { - 1 / 2 } } \right\vert d u , } \\ & { \leqslant \frac { 2 C } { T } \operatorname* { m a x } \lbrace \vert X - Y \vert T ^ { - 1 / 2 } , 1 \rbrace \int _ { \mathbb R } u e ^ { \frac { - u ^ { 2 } } { 2 } } d u . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { B } ^ { ( j ) } \leq \mathcal { B } ^ { ( j + 1 ) } \qquad \mathrm { a n d } \qquad \mathcal { D } _ { \ell } ^ { ( j ) } \leq \mathcal { D } _ { \ell } ^ { ( j + 1 ) } \quad \mathrm { f o r } ~ \ell = 1 , \cdots , \mathcal { B } ^ { ( j ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v _ { \mathrm { ~ s ~ } } ( t ) } & { { } = } & { \frac { R \, I _ { 1 \omega } \, \cos \big ( \omega t - \arctan ( \omega R C ) \big ) } { \sqrt { 1 + ( \omega R C ) ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { s = 1 : } & { \quad ( k _ { 1 } = 0 , b _ { 1 } = 1 ) \; \mathrm { o r } \; ( k _ { 1 } = 1 , b _ { 1 } = 1 ) , } \\ { s = 2 : } & { \quad ( k _ { 1 } = 0 , b _ { 1 } = 1 , k _ { 2 } = 1 , b _ { 2 } = 1 ) \; \mathrm { o r } \; ( k _ { 1 } = 0 , b _ { 1 } = 2 ) \; \mathrm { o r } \; ( k _ { 1 } = 1 , b _ { 1 } = 2 ) , } \\ { s = 3 : } & { \quad ( k _ { 1 } = 0 , b _ { 1 } = 1 , k _ { 2 } = 1 , b _ { 2 } = 2 ) \; \mathrm { o r } \; ( k _ { 1 } = 0 , b _ { 1 } = 2 , k _ { 2 } = 1 , b _ { 2 } = 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } _ { l + 1 } \big ( \boldsymbol { \alpha } ^ { l } \big ) = \mathcal { Q } _ { l } } & { { } \big ( \boldsymbol { \alpha } ^ { l - 1 } \big ) C ( \alpha _ { l } ) + B ( \alpha _ { l } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { \mathrm { d c } } } & { = e ^ { - 2 i \phi } \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \psi _ { \mathrm { a a } } + e ^ { - i \phi } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \psi _ { \mathrm { a b } } } \\ & { - e ^ { - i \phi } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \psi _ { \mathrm { b a } } - \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \psi _ { \mathrm { b b } } } \end{array}
\Bigl \{ \phi \, , \frac { \eta } { 1 + \epsilon R } \Bigr \} - \frac { \epsilon \bar { r } } { \Gamma } \, \dot { \bar { z } } \, \partial _ { Z } \eta \, \equiv \, \Bigl \{ \phi - \frac { \bar { r } \dot { \bar { z } } } { 2 \Gamma } \, ( 1 + \epsilon R ) ^ { 2 } \, , \frac { \eta } { 1 + \epsilon R } \Bigr \} \, = \, 0 \, ,
\frac { d \sigma ^ { h _ { 1 } h _ { 2 } } } { d Q ^ { 2 } \, d p _ { T } ^ { 2 } \, d y \, d \Omega ^ { \ast } } = \sum _ { a , b } \int \, d x _ { 1 } \, d x _ { 2 } \, f _ { a } ^ { h _ { 1 } } ( x _ { 1 } , \mu _ { F } ^ { 2 } ) \, f _ { b } ^ { h _ { 2 } } ( x _ { 2 } , \mu _ { F } ^ { 2 } ) \, \frac { { s } \, d { \hat { \sigma } } _ { a b } } { d Q ^ { 2 } \, d { t } \, d { u } \, d \Omega ^ { \ast } } \, \left( x _ { 1 } P _ { 1 } , x _ { 2 } P _ { 2 } , \alpha _ { s } ( \mu _ { R } ^ { 2 } ) \right) ,
\bigl \langle ( \nabla \mathbf { u } _ { m , k } ) ^ { t } \nabla \mathbf { u } _ { m , k } \bigr \rangle = 8 \pi ^ { 4 } a _ { m } ^ { 2 } \cdot \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\{ \begin{array} { r l r l } \end{array} \aftergroup \egroup \right.
\begin{array} { r } { E _ { x } ( z _ { 0 } ) = \left[ v _ { 3 } e ^ { i k _ { z 3 } z _ { 0 } } + w _ { 3 } e ^ { - i k _ { z 3 } z _ { 0 } } \right] \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } \, \theta _ { 3 } } \\ { E _ { z } ( z _ { 0 } ) = \left[ - v _ { 3 } e ^ { i k _ { z 3 } z _ { 0 } } + w _ { 3 } e ^ { - i k _ { z 3 } z _ { 0 } } \right] \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } \, \theta _ { 3 } } \end{array}
I _ { p p } ( \bar { \varepsilon } , \varepsilon _ { \gamma } , \chi _ { \gamma } ) = \int _ { 0 } ^ { \bar { \varepsilon } } \frac { d ^ { 2 } W _ { p p } } { d t d \varepsilon _ { e } } ( \varepsilon _ { e } , \varepsilon _ { \gamma } , \chi _ { \gamma } ) d \varepsilon _ { e } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \displaystyle \int _ { I _ { n } } ( t - t _ { n - 1 } ) | \xi ^ { \prime } | ^ { 2 } d t \leq } & { k _ { n } | \xi ( t _ { n } ) \xi ^ { \prime } ( t _ { n } ) | - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } | \xi ( t _ { n } ) | ^ { 2 } + \displaystyle \frac { 1 } { 2 } | \xi ( t _ { n - 1 } ) | ^ { 2 } } \\ & { + \sqrt { 2 } L k _ { n } \| e \| _ { H ^ { 1 } ( I _ { n } ) } \| \xi \| _ { L ^ { 2 } ( I _ { n } ) } } \\ { \leq } & { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } k _ { n } ^ { 2 } | \xi ^ { \prime } ( t _ { n } ) | ^ { 2 } + \displaystyle \frac { 1 } { 2 } | \xi ( t _ { n - 1 } ) | ^ { 2 } } \\ & { + \sqrt { 2 } L k _ { n } \| e \| _ { H ^ { 1 } ( I _ { n } ) } \left( \| e \| _ { L ^ { 2 } ( I _ { n } ) } + \| \eta \| _ { L ^ { 2 } ( I _ { n } ) } \right) , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Delta ( \boldsymbol { \Theta } _ { t } ) + V \mathbb { E } [ - F _ { t } | \boldsymbol { \Theta } _ { t } ] } \\ & { \leq A + V \mathbb { E } [ - F _ { t } | \boldsymbol { \Theta } _ { t } ] + \sum _ { g \in { \mathcal { G } } } \hat { Q } _ { g , t } \mathbb { E } \left[ \hat { a } _ { g , t } - \hat { x } _ { g , t } | \boldsymbol { \Theta } _ { t } \right] } \\ & { + \sum _ { g \in { \mathcal { G } } } \check { Q } _ { g , t } \mathbb { E } \left[ \check { a } _ { g , t } - \check { x } _ { g , t } | \boldsymbol { \Theta } _ { t } \right] + \sum _ { g \in { \mathcal { G } } } \hat { Z } _ { g , t } \mathbb { E } \left[ - \hat { x } _ { g , t } | \boldsymbol { \Theta } _ { t } \right] } \\ & { + \sum _ { g \in { \mathcal { G } } } \check { Z } _ { g , t } \mathbb { E } \left[ - \check { x } _ { g , t } | \boldsymbol { \Theta } _ { t } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( x , y ) } & { { } = h _ { 0 } + \frac { x ^ { 2 } } { 2 R _ { x } } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 R _ { y } } + { \delta } { ( x , y ) } , } \\ { H ( X , Y ) } & { { } = H _ { 0 } + { A _ { \scriptscriptstyle X } X ^ { 2 } + A _ { \scriptscriptstyle Y } Y ^ { 2 } } + \bar { \delta } { ( X , Y ) } , } \end{array}
T _ { \mathrm { v e r t } } = \left\{ \begin{array} { l l } { T _ { \mathrm { s u r f } } - \Gamma _ { \mathrm { t r o p } } \left( z _ { \mathrm { s t r a } } + \frac { z - z _ { \mathrm { s t r a } } } { 2 } \right) } & { } \\ { + \left( \left[ \frac { \Gamma _ { \mathrm { t r o p } } \left( z - z _ { \mathrm { s t r a } } \right) } { 2 } \right] ^ { 2 } + \Delta T _ { \mathrm { v e r t } } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } & { z \leq z _ { \mathrm { s t r a } } } \\ { T _ { \mathrm { s u r f } } - \Gamma _ { \mathrm { t r o p } } z _ { \mathrm { s t r a } } + \Delta T _ { \mathrm { v e r t } } , } & { z > z _ { \mathrm { s t r a } } , } \end{array} \right.
\oint _ { \partial \Sigma } \mathbf { E } \cdot \mathrm { d } { \boldsymbol { \ell } } = - { \frac { 1 } { c } } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \iint _ { \Sigma } \mathbf { B } \cdot \mathrm { d } \mathbf { S }
\begin{array} { r l } { I _ { 3 , 2 } } & { \le O _ { p } \Big ( \frac { 1 } { \sqrt { T } } \sqrt { \frac { \log ( T ) } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { r } } } } \Big ) \Big ( O ( \widetilde { r } \kappa _ { k } ) + O _ { p } ( \sqrt { \widetilde { r } \kappa _ { k } ^ { - \frac { p } { r } } } ( \log ( \widetilde { r } \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { r } + 2 } ) + 1 ) ) + O _ { p } ( \widetilde { r } \kappa _ { k } ^ { \frac { - p } { 2 r } } ) \Big ) = o _ { p } ( \widetilde { r } \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { r } + 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I I = } & { { } | ( 1 - \frac { \varepsilon } { 2 } ( 1 - \theta ^ { 2 } ) \Delta ) ^ { - 1 } ( 1 - \frac { \varepsilon } { 2 } ( 1 - \underline { { \theta } } ^ { 2 } ) \Delta ) ( \mathbf { u } _ { \Sigma } ^ { \varepsilon } ( 1 - \frac { \varepsilon } { 2 } \eta _ { \Sigma } ^ { \varepsilon } ) ) - \mathbf { u } _ { E } ^ { \varepsilon } | _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] \times H ^ { s } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { j \leq \kappa _ { l } } | \zeta ^ { j } | ^ { 2 } = \operatorname* { s u p } _ { j \leq \kappa _ { l } ^ { L } } | \zeta ^ { j } | ^ { 2 } \leq 3 ^ { L } | \zeta ^ { 0 } | ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { L } 3 ^ { L - i } \mathcal { A } _ { i } = \sum _ { i = 1 } ^ { L } 3 ^ { L - i } \mathcal { A } _ { i } , } \end{array}
\overline { { { R } } } ( z ) _ { j l } ^ { i k } = \left\{ \begin{array} { l l } { { \displaystyle \frac { h ( z ) \theta ^ { ( i - k ) } ( z + w ) } { \theta ^ { ( j - k ) } ( z ) \theta ^ { ( i - j ) } ( w ) } } } & { { \mathrm { i f ~ i + k = j + l ~ , ~ m o d ~ n ~ , } } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e . } } } \end{array} \right.
J _ { z } \simeq \left( \frac { \partial B _ { y } } { \partial x } \right) _ { y } = \left( \frac { \partial x } { \partial x _ { 0 } } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial B _ { y } } { \partial x _ { 0 } } \simeq \frac { \sqrt { f + g } } { \left| x _ { 0 } \right| } \frac { \mathrm { s g n } \left( x _ { 0 } \right) } { 2 \sqrt { f + g } } \frac { d f } { d x _ { 0 } } = \frac { 1 } { 2 x _ { 0 } } \frac { d f } { d x _ { 0 } } ,
p _ { \mu } = \int _ { r _ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } ^ { \ast 2 } } ^ { \infty } f _ { \chi _ { 1 } ^ { 2 } } ( r ^ { \ast 2 } ) \, d r ^ { \ast 2 } = 1 - F _ { \chi _ { 1 } ^ { 2 } } [ r _ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } ^ { \ast 2 } ] \, .
\rho ( \mathbf { y } | \mathbf { X } , { \boldsymbol { \beta } } , \sigma ^ { 2 } ) \propto ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - { \frac { v } { 2 } } } \exp \left( - { \frac { v s ^ { 2 } } { 2 { \sigma } ^ { 2 } } } \right) ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - { \frac { n - v } { 2 } } } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 { \sigma } ^ { 2 } } } ( { \boldsymbol { \beta } } - { \hat { \boldsymbol { \beta } } } ) ^ { \mathrm { { T } } } ( \mathbf { X } ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { X } ) ( { \boldsymbol { \beta } } - { \hat { \boldsymbol { \beta } } } ) \right) ,
\left. \frac { g _ { \rho } } { 2 g _ { \rho \pi \pi } F _ { \pi } ^ { 2 } ( 0 ) } \right\vert _ { \mathrm { t h e o } } = 1 - g ^ { 2 } ( m _ { \rho } ) z _ { 3 } ( m _ { \rho } ) = 1 . 2 7 \pm 0 . 2 9 \pm 0 . 0 2 \ ,
\Psi _ { 4 } ^ { \mathrm { a v } } \lesssim N \eta + N ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \, \Big ( \langle | G _ { 1 } | A _ { 1 } | G _ { 2 } | A _ { 1 } ^ { * } \rangle \langle | G _ { 2 } | A _ { 2 } | G _ { 3 } | A _ { 2 } ^ { * } \rangle \langle | G _ { 3 } | A _ { 3 } | G _ { 4 } | A _ { 3 } ^ { * } \rangle \langle | G _ { 4 } | A _ { 4 } | G _ { 1 } | A _ { 4 } ^ { * } \rangle \Big ) ^ { 1 / 2 } \, ,
\begin{array} { r l } & { K _ { i j } ( x ) = \exp \left( - \frac { \| x _ { i } - x _ { j } ^ { \sf d } \| _ { { \mathcal G } _ { i } } ^ { 2 } } { \varepsilon } \right) , } \\ & { { \mathcal G } _ { i } : = ( A _ { i } ^ { T _ { h } } ) ^ { \top } G _ { i , T _ { h } } ^ { - 1 } A _ { i } ^ { T _ { h } } , \ G _ { i , T _ { h } } : = \sum _ { k = 0 } ^ { T _ { h } - 1 } A _ { i } ^ { k } B _ { i } B _ { i } ^ { \top } ( A _ { i } ^ { \top } ) ^ { k } , } \\ & { \bar { A } _ { i } : = A _ { i } - B _ { i } B _ { i } ^ { \top } ( A _ { i } ^ { \top } ) ^ { T _ { h } - 1 } G _ { i , T _ { h } } ^ { - 1 } A _ { i } ^ { T _ { h } } . } \end{array}
S _ { f i } = \operatorname* { l i m } _ { t _ { 2 } \rightarrow + \infty } \operatorname* { l i m } _ { t _ { 1 } \rightarrow - \infty } \left\langle \Phi _ { f } \right| U ( t _ { 2 } , t _ { 1 } ) \left| \Phi _ { i } \right\rangle ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } ^ { ( 1 ) } } & { = \left\{ \mathcal { A } \in \mathcal { S } _ { N } \vert \mathcal { A } \subseteq \left\{ 1 , . . . , N q _ { 0 } \right\} \right\} , } \\ { \mathcal { H } ^ { ( 2 ) } } & { \subseteq \left\{ \mathcal { A } _ { j } \cup ( \mathcal { A } _ { l } \oplus \{ q _ { 0 } \} ) \, \vert \, \mathcal { A } _ { j } \in \mathcal { P } ( \mathcal { Q } _ { 0 } ) , \, \mathcal { A } _ { l } \in \tilde { \mathcal { S } } _ { N } \right\} , } \\ { \tilde { \mathcal { S } } _ { N } } & { = \left\{ \mathcal { A } \in \mathcal { S } _ { N } \vert \mathcal { A } \not \subseteq \left\{ 1 , . . . , ( N - 1 ) q _ { 0 } \right\} \right\} . } \end{array}
{ \cal R } _ { q } ^ { 2 } = { \cal R } _ { i } ^ { 2 } + { \cal R } _ { f } ^ { 2 } + { \cal R } _ { e } ^ { 2 } - 2 { \cal R } _ { i } { \cal R } _ { f } \cos ( \phi _ { i } - \phi _ { f } ) - 2 { \cal R } _ { i } { \cal R } _ { e } \cos ( \phi _ { i } - \phi _ { e } ) + 2 { \cal R } _ { f } { \cal R } _ { e } \cos ( \phi _ { f } - \phi _ { e } ) ,
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { M } \int _ { \gamma b } ^ { \tau - \gamma b } \left| \left[ \begin{array} { l } { \left( \mathcal { Q } ^ { + } ( 0 ) x ( 0 ^ { + } , t ) \right) _ { 1 } } \\ { f _ { I } } \end{array} \right] \right| ^ { 2 } \, d t \leq F ( 0 ^ { + } ) \leq \frac { 1 } { m } \int _ { \gamma b } ^ { \tau - \gamma b } \left| \left[ \begin{array} { l } { \left( \mathcal { Q } ^ { + } ( 0 ) x ( 0 ^ { + } , t ) \right) _ { 1 } } \\ { f _ { I } } \end{array} \right] \right| ^ { 2 } \, d t . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Z _ { f } ^ { L } } & { { } = } & { \int \mathcal { D } \, \overline { { \psi } } _ { f } ^ { \, \dag } \left( s \right) \, \mathcal { D } \, \overline { { \psi } } _ { f } \left( s \right) \, \, e ^ { i S _ { f } } } \end{array}
E = \int d ^ { 2 } x \biggl [ { \frac { 1 } { 2 } } | D _ { x } \Phi | ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } | D _ { y } \Phi | ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } B _ { z } ^ { 2 } + V ( \Phi ) \biggr ]
M ( p ) = \frac { e ^ { 2 } } { \pi } m \left[ \frac 3 4 \ln \left( 1 + \frac { L ^ { \prime \, 2 } } { m ^ { 2 } } \right) + \frac { L ^ { \prime } } { 2 m } \arctan \frac m { L ^ { \prime } } - \frac 1 8 \frac { L ^ { \prime \, 2 } / m ^ { 2 } } { 1 + L ^ { \prime \, 2 } / m ^ { 2 } } \right] .
\begin{array} { r } { I ( \mathbf { r } ; z _ { \mathrm { a p } } ) = \frac { 2 } { \pi \sqrt { \operatorname* { d e t } \mathbf { S } } } \exp \Bigl [ - 2 ( { \mathbf { r } } { - } { \mathbf { r } } _ { 0 } ) ^ { \mathrm { T } } { \mathbf { S } } ^ { - 1 } ( { \bf r } { - } { \bf r } _ { 0 } ) \Bigr ] . } \end{array}
\mathcal { M } ^ { \prime } : \mathcal { = } \left\{ y \in \mathbb { R } ^ { 3 } : \left\vert \left( O ^ { \mathrm { t } } y \right) _ { 1 } \right\vert , \left\vert \left( O ^ { \mathrm { t } } y \right) _ { 2 } \right\vert \leq \frac { 1 } { 2 } , \left( O ^ { \mathrm { t } } y \right) _ { 3 } = y _ { 3 } = 1 - \left( \gamma + \zeta \right) \right\} \ ;
\beta _ { 0 0 } = \sum _ { \rho = 0 } ^ { N } \frac { \left( \eta _ { 0 \rho } \right) ^ { 2 } } { 4 } \left[ \left( \frac { \tilde { \omega } } { \Omega _ { \rho } } - \frac { \Omega _ { \rho } } { \omega } \right) \mathrm { e } ^ { i \Omega _ { \rho } t } + \left( \frac { \Omega _ { \rho } } { \tilde { \omega } } - \frac { \tilde { \omega } } { \Omega _ { \rho } } \right) \mathrm { e } ^ { - i \Omega _ { \rho } t } \right] \; .
\begin{array} { r l } { C _ { \mathrm { a d d } } ^ { \mathrm { c l a s s } } ( T ) } & { { } = - \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { 3 } \int d r _ { 1 2 } \, d r _ { 2 3 } \, d \cos { \theta _ { 2 } } \, r _ { 1 2 } ^ { 2 } \, r _ { 2 3 } ^ { 2 } } \end{array}
\epsilon ( t _ { n } ) = Q ^ { t _ { n } } - Q _ { N N } ^ { t _ { n } } = ( Q ^ { t _ { n } } - Q _ { E } ^ { t _ { n } } ) + ( Q _ { E } ^ { t _ { n } } - Q _ { N N } ^ { t _ { n } } ) \equiv \epsilon _ { E } ( t _ { n } ) + \epsilon _ { N N } ( t _ { n } )
{ \begin{array} { r l } { \langle J ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) \rangle _ { H \oplus H } } & { = \langle ( - x _ { 2 } , x _ { 1 } ) , ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) \rangle _ { H \oplus H } = \langle - x _ { 2 } , y _ { 1 } \rangle _ { H } + \langle x _ { 1 } , y _ { 2 } \rangle _ { H } } \\ & { = \langle x _ { 1 } , y _ { 2 } \rangle _ { H } + \langle x _ { 2 } , - y _ { 1 } \rangle _ { H } = \langle ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , - J ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) \rangle _ { H \oplus H } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Psi ( n , z ) } & { : = \operatorname* { P r } \{ d ( x ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ) \leq D \} } \\ & { = \operatorname* { P r } \{ \| x ^ { n } - \hat { X } ^ { n } \| ^ { 2 } \leq n D \} } \\ & { = \operatorname* { P r } \{ \| x ^ { n } \| ^ { 2 } + \| \hat { X } ^ { n } \| ^ { 2 } - 2 \langle x ^ { n } , \hat { X } ^ { n } \rangle \leq n D \} } \\ & { = \operatorname* { P r } \{ n z + n P _ { \mathrm { c } } - 2 \langle x ^ { n } , \hat { X } ^ { n } \rangle \leq n D \} } \\ & { = \operatorname* { P r } \{ 2 \langle x ^ { n } , \hat { X } ^ { n } \rangle \geq n ( z + P _ { \mathrm { c } } - D ) \} } \\ & { = \operatorname* { P r } \bigg \{ \hat { X } _ { 1 } \geq \frac { \sqrt { n } ( z + P _ { \mathrm { c } } - D ) } { 2 \sqrt { z } } \bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { A - F } U : U - n _ { 1 } - A ( 2 J + 1 ) + B ( J + 2 n _ { 2 } ) - C \left( \frac { 8 n _ { 1 } n _ { 2 } } { \chi } - \frac { 2 n _ { 1 } ^ { 2 } } { \chi } - J \right) - 4 D ( n _ { 1 } J + n _ { 1 } ) + } \\ { + 2 E ( n _ { 2 } J + 2 n _ { 2 } ^ { 2 } ) - F ( - J n _ { 1 } - 2 n _ { 1 } n _ { 2 } + 2 J n _ { 2 } + n _ { 2 } ) \in S o S . } \end{array}
\begin{array} { r } { \textbf { G } _ { \pm } ( \omega , \textbf { k } ) = \textbf { T } _ { \pm } ( \textbf { k } ) ( \omega \textbf { S } _ { \pm } ( \textbf { k } ) - \textbf { M } _ { \pm } ( \textbf { k } ) ) ^ { - 1 } \textbf { T } _ { \pm } ^ { \dagger } ( \textbf { k } ) \ . } \end{array}
V ( \phi , \sigma ) = \frac { 1 } { 4 } \lambda _ { \sigma } \left( \sigma ^ { 2 } + M ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { i n t } \phi ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } m _ { \phi } ^ { 2 } \phi ^ { 2 } + A _ { n } \frac { \phi ^ { n + 4 } } { M ^ { n } } .
\begin{array} { r } { G = \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 6 } & { 5 } & { 5 } & { 4 } & { 1 } & { 1 1 } & { 4 } \\ { 5 } & { 1 5 } & { 9 } & { 4 } & { 1 3 } & { 1 4 } & { 1 3 } \\ { 9 } & { 1 3 } & { 6 } & { 1 0 } & { 1 4 } & { 1 0 } & { 3 } \\ { 8 } & { 4 } & { 1 3 } & { 1 6 } & { 1 6 } & { 9 } & { 1 6 } \end{array} \right) . } \end{array}
\mathbf { E } _ { \perp } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } ( x , y , 0 ) = \underset { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } \leq k ^ { 2 } } { \iint } \mathcal { F } _ { \perp } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } ( k _ { x } , k _ { y } ) \, e ^ { i ( k _ { x } \, x + k _ { y } \, y ) } \, \mathrm { d } k _ { x } \, \mathrm { d } k _ { y } .
\mathcal { L } = \left\| \mathbf { q } - f \circ g ( \bf { q } ) \right\| _ { 2 } + \beta _ { s } \left\| f ( \bf { q } ) - \mathbf { s } ( \kappa ) \right\| _ { 2 } + \beta _ { p } \left\langle p \big ( f ( \bf { q } ) \big ) - p \big ( \mathbf { s } ( \kappa ) \big ) \right\rangle \mathrm { , }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l l } { k _ { x } ^ { \prime } = k _ { x } \cos ( \frac { 2 \pi } { q } ) - k _ { p } \sin ( \frac { 2 \pi } { q } ) } \\ { k _ { p } ^ { \prime } = k _ { x } \sin ( \frac { 2 \pi } { q } ) + k _ { p } \cos ( \frac { 2 \pi } { q } ) } \end{array} \right. } \end{array}
\psi \Bigl ( \vec { r } , t ; \{ \vec { r } _ { i } ( t _ { 0 } ) \} \Bigl ) = \int G \Bigl ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ; t , t _ { 0 } ; \{ \vec { r } _ { i } ( t _ { 0 } ) \} \Bigl ) \psi _ { i } ( \vec { r } _ { 0 } , t _ { 0 } ) d \vec { r } _ { 0 } \, ,
\begin{array} { r l } { \left< u , \frac { R ^ { - 1 } + ( R ^ { * } ) ^ { - 1 } } { 2 } u \right> } & { = \left< u , R ^ { - 1 } \cdot \frac { R + R ^ { * } } { 2 } \cdot ( R ^ { * } ) ^ { - 1 } u \right> } \\ & { = \left< ( R ^ { * } ) ^ { - 1 } u , \frac { R + R ^ { * } } { 2 } \cdot ( R ^ { * } ) ^ { - 1 } u \right> } \\ & { = \left< v , \frac { R + R ^ { * } } { 2 } \cdot v \right> } \\ & { > 0 } \end{array}
= { \sqrt { ( a _ { 1 } - b _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( a _ { 2 } - b _ { 2 } ) ^ { 2 } } } = { \sqrt { \textstyle \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } ( a _ { i } - b _ { i } ) ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \nabla \mathcal { H } _ { 3 , \le 1 } ( f ) } & { = \frac { \alpha } { 1 6 } \Pi _ { S } \left( 2 v \Lambda ^ { \alpha - 1 } v + \Lambda ^ { \alpha - 1 } ( v ^ { 2 } ) + 2 v \Lambda ^ { \alpha - 1 } z + 2 z \Lambda ^ { \alpha - 1 } v + 2 \Lambda ^ { \alpha - 1 } ( v z ) \right) - \frac { \alpha } { 1 6 } T _ { \alpha } \Pi _ { S } \left( v ^ { 2 } + 2 v z \right) } \\ & { + \frac { \alpha } { 1 6 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \left( \Lambda ^ { \alpha - 1 } ( v ^ { 2 } ) + 2 v \Lambda ^ { \alpha - 1 } v \right) - \frac { \alpha } { 1 6 } T _ { \alpha } \Pi _ { S ^ { \perp } } ( v ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \rho } F : = } & { \; - \int _ { 0 } ^ { T } { \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } } \varepsilon _ { 0 } \partial _ { \rho } \varepsilon _ { \infty , k } ( \rho ) \overleftarrow { E _ { k } } \partial _ { t } \Tilde { E } _ { k } \, \mathrm { d } t } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { T } { \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } } \partial _ { \rho } \sigma _ { k } ( \rho ) \overleftarrow { E _ { k } } \Tilde { E } _ { k } \, \mathrm { d } t } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { T } { \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { p = 1 } ^ { P _ { k } ^ { ( 1 ) } } 2 \partial _ { \rho } \kappa ^ { ( i ) } ( \rho ) \Re \left\{ \partial _ { t } \overleftarrow { Q } _ { p , k } ^ { ( i ) } \right\} \Tilde { E } _ { k } \, \mathrm { d } t . } \end{array}
Z _ { k } = ( - 1 ) ^ { k } { \frac { ( 4 k - 1 ) ! ! } { 4 ! ^ { k } k ! } } \propto \left( - { \frac { 2 } { 3 } } \right) ^ { k } ( k - 1 ) ! \left[ 1 + O ( 1 / k ) \right] .
\pi ^ { 0 } \rightarrow \pi ^ { + } e ^ { - } \tilde { \nu } _ { e } , \, p i ^ { 0 } \rightarrow \pi ^ { - } e ^ { + } \nu _ { e } \qquad \chi _ { 0 } = 8 . 3 8 \cdot 1 0 ^ { 3 } ,
r \theta = { \frac { r \sin \theta } { \cos \theta } } - ( 1 / 3 ) \, r \, { \frac { \left( \sin \theta \right) ^ { 3 } } { \left( \cos \theta \right) ^ { 3 } } } + ( 1 / 5 ) \, r \, { \frac { \left( \sin \theta \right) ^ { 5 } } { \left( \cos \theta \right) ^ { 5 } } } - ( 1 / 7 ) \, r \, { \frac { \left( \sin \theta \right) ^ { 7 } } { \left( \cos \theta \right) ^ { 7 } } } + \cdots
\Omega _ { m , n , j } = \left[ \left( \frac { \nu _ { n } } { \nu _ { m } } \right) ^ { \frac { 1 } { j } } - x _ { 0 } ^ { 1 - j } \nu _ { n } ^ { - \sigma _ { \infty } } \nu _ { m } ^ { - \sigma _ { \infty } } , \, \left( \frac { \nu _ { n } } { \nu _ { m } } \right) ^ { \frac { 1 } { j } } + x _ { 0 } ^ { 1 - j } \nu _ { n } ^ { - \sigma _ { \infty } } \nu _ { m } ^ { - \sigma _ { \infty } } \right] .