harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
P _ { r } ^ { 2 } = P _ { 1 } ^ { 2 } + P _ { 2 } ^ { 2 } = \hbar ^ { 2 } k _ { 1 } ^ { 2 } \, , \; m _ { 0 } ^ { 2 } c ^ { 2 } + P _ { r } ^ { 2 } = P _ { 0 } ^ { 2 } - P _ { 3 } ^ { 2 } \, ,
\rho _ { m _ { 0 } \rightarrow 0 + 0 + 0 } ^ { 5 } \! = \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 4 } } \int _ { 0 } \! \! \int _ { 0 } \! \! \int _ { 0 } \! \! d \mu _ { 1 } d \mu _ { 2 } d \mu _ { 3 } \frac { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } \theta ( \lambda _ { E } ) } { \lambda _ { E } ( \mu _ { 1 } ^ { 2 } , \mu _ { 2 } ^ { 2 } , \mu _ { 3 } ^ { 2 } ) } \left( 1 \! - \frac { \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } + \mu _ { 3 } } { m _ { 0 } } \right) .
\begin{array} { r l r l } & { \rho ^ { \prime } = - r A _ { 1 } \sin \theta , } & { \xi ^ { \prime } = - r A _ { 2 } \cos ( \theta _ { * } - \theta ) , \ \ } & { \eta ^ { \prime } = r A _ { 2 } \cos ( \theta _ { * } + \theta ) , } \\ & { \rho ^ { \prime \prime } = - \rho , } & { \xi ^ { \prime \prime } = - \xi , \ \ \ \ \ \ \ \ } & { \eta ^ { \prime \prime } = - \eta , } \\ & { \rho \le \frac { \pi } { 5 } , } & { \xi \le \eta \le r _ { * } A _ { 2 } \sin 2 \theta _ { * } < \frac { \pi } { 5 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma ^ { - 1 } \dot { d } _ { 1 } } & { { } = } & { ( B + 1 ) d _ { 2 } / 2 - B d _ { 1 } ^ { 2 } d _ { 2 } } \\ { \gamma ^ { - 1 } \dot { d } _ { 2 } } & { { } = } & { ( B - 1 ) d _ { 1 } / 2 - B d _ { 1 } d _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \gamma ^ { - 1 } \dot { d } _ { 3 } } & { { } = } & { - B d _ { 1 } d _ { 2 } d _ { 3 } . } \end{array}
S _ { m } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } e ^ { - \phi } \frac { 1 } { 2 } \left( g ^ { \mu \nu } \nabla _ { \mu } \psi \nabla _ { \nu } \psi + m ^ { 2 } e ^ { - \phi } | \psi | ^ { 2 } \right) ,
C _ { 2 , 1 } = 2 \int _ { c _ { 1 } - i \infty } ^ { c _ { 1 } + i \infty } \frac { \mathrm { d } z _ { 1 } } { 2 \pi i } \cdots \int _ { c _ { 4 } - i \infty } ^ { c _ { 4 } + i \infty } \frac { \mathrm { d } z _ { 4 } } { 2 \pi i } \langle z _ { 1 } - z _ { 2 } \rangle \langle z _ { 3 } - z _ { 4 } \rangle \langle z _ { 1 } + \cdots + z _ { 4 } + 2 \rangle \Gamma ( - z _ { 1 } ) \cdots \Gamma ( - z _ { 4 } )
= \; C \; \times \exp \left( \sum _ { b , b ^ { \prime } = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { b } } \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { m _ { b ^ { \prime } } } \tilde { \tilde { V } } ( x _ { j } ^ { ( b ) } - y _ { j ^ { \prime } } ^ { ( b ^ { \prime } ) } ) \right)
\left\Vert \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } e ^ { ( t - s ) \mathcal { A } _ { U } } D J _ { s } ( \varphi _ { t _ { 0 } } ^ { s } ( u _ { 0 } ) ) d s \right\Vert _ { \mathcal { L } ( V ) } \leq k _ { r } ( t _ { 0 } , t ) \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } t \in [ t _ { 0 } , T ]
\begin{array} { r l } { | ( - \Delta ) _ { p , i } ^ { s , h } } & { \phi ( x ) - \mathcal { M } _ { r } ^ { s , p } [ \phi ] ( x ) | \leq \frac { p + d } { p ( 1 - s ) r ^ { d + s p } } | A _ { r } ( x ) - \tilde { A } _ { r } ^ { h } ( x ) | + | T _ { r } ^ { s } ( x ) - \tilde { T } _ { r , j } ^ { s , h } ( x ) | } \\ & { \leq C \left( \frac { 1 } { r ^ { d + s p } } | A _ { r } ( x ) - \tilde { A } _ { r } ( x ) | + \frac { 1 } { r ^ { d + s p } } | \tilde { A } _ { r } ( x ) - \tilde { A } _ { r } ^ { h } ( x ) | + | T _ { r } ^ { s } ( x ) - \tilde { T } _ { r } ^ { s } ( x ) | + | \tilde { T } _ { r } ^ { s } ( x ) - \tilde { T } _ { r , j } ^ { s , h } ( x ) | \right) , } \end{array}
L = ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , { \frac { 1 } { 4 } } , - { \frac { 1 } { 4 } } , { \frac { 1 } { 4 } } , { \frac { 1 } { 4 } } , { \frac { 1 } { 2 } } )
\begin{array} { r l r } & { } & { \Vert \boldsymbol { \Theta } _ { k } \mathbf { H } \mathbf { w } _ { k } \Vert ^ { 2 } + \Vert \boldsymbol { \Theta } _ { k } \mathbf { I } _ { M } \Vert _ { F } ^ { 2 } \sigma _ { s } ^ { 2 } = \mathrm { T r } ( \mathbf { V } _ { k } \mathbf { \overline { { G } } _ { k } ) } , } \\ & { } & { \Vert \mathbf { g } _ { k } ^ { \mathrm { H } } \boldsymbol { \Theta } _ { k } \Vert ^ { 2 } = \mathrm { T r } ( \mathbf { V } _ { k } \mathbf { \overline { { Q } } } _ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \| J ^ { m } u ^ { k } - J ^ { m } u ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } = 2 \ I m \left[ \int _ { \mathbb { R } } \left[ J ^ { m } ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } u ^ { k } ) - J ^ { m } ( | u ^ { j } | ^ { 2 p } u ^ { j } ) \right] ( \overline { { J ^ { m } u ^ { k } - J ^ { m } u ^ { j } } } ) \ d x \right] } \\ & { \ + 2 \beta \ I m \left[ \int _ { \mathbb { R } } [ J ^ { m } ( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } u ^ { k } ) - J ^ { m } ( | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } u ^ { j } ) ] ( \overline { { J ^ { m } u ^ { k } - J ^ { m } u ^ { j } } } ) \ d x \right] . } \end{array}
\prod _ { \substack { ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , . . . , a _ { n } ) = 1 \, a _ { 1 } , a _ { 2 } , . . . , a _ { n } \geq 1 } } \left( \frac { 1 } { 1 - { x _ { 1 } } ^ { a _ { 1 } } { x _ { 2 } } ^ { a _ { 2 } } { x _ { 3 } } ^ { a _ { 3 } } \cdots { x _ { n } } ^ { a _ { n } } } \right) ^ { \frac { 1 } { { a _ { 1 } } ^ { b _ { 1 } } { a _ { 2 } } ^ { b _ { 2 } } { a _ { 3 } } ^ { b _ { 3 } } \cdots { a _ { n } } ^ { b _ { n } } } }
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { m \in \{ m _ { * } , \ldots , M \} } \kappa _ { m } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\| \nabla \theta _ { m } \aftergroup \egroup \right\| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \geq \biggl ( \prod _ { m = m _ { * } + 1 } ^ { M } \Bigl ( 1 - C \varepsilon _ { m - 1 } ^ { \delta } \Bigr ) \biggr ) \kappa _ { m _ { * } } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\| \nabla \theta _ { m _ { * } } \aftergroup \egroup \right\| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \, , } \end{array}
p ( b _ { i } ^ { m } | \mathcal { \vec { D } } _ { i , d 2 } ^ { m } ) = \int p ( b _ { i } ^ { m } | \mathcal { \vec { D } } _ { i , d 2 } ^ { m } , a _ { i } ^ { m } ) p ( a _ { i } ^ { m } | \mathcal { \vec { D } } _ { i , d 1 } ^ { m } ) d a _ { i } ^ { m }
\begin{array} { r l r } & { } & { \mu _ { 4 5 } ( m _ { i } , m _ { j } , m _ { k } , m _ { l } ) } \\ & { \! \! = \! \! } & { - m _ { j } ^ { 1 1 } m _ { k } ^ { 2 } + m _ { j } ^ { 1 1 } m _ { l } ^ { 2 } + 3 m _ { i } m _ { j } ^ { 8 } m _ { k } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 2 } + 4 m _ { j } ^ { 9 } m _ { k } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 2 } + 3 m _ { j } ^ { 8 } m _ { k } ^ { 3 } m _ { l } ^ { 2 } + 3 1 m _ { i } m _ { j } ^ { 8 } m _ { l } ^ { 4 } + 3 1 m _ { j } ^ { 9 } m _ { l } ^ { 4 } } \\ & { } & { + 3 1 m _ { j } ^ { 8 } m _ { k } m _ { l } ^ { 4 } - 3 m _ { i } ^ { 2 } m _ { j } ^ { 5 } m _ { k } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 4 } - 9 m _ { i } m _ { j } ^ { 6 } m _ { k } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 4 } - 6 m _ { j } ^ { 7 } m _ { k } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 4 } - 6 m _ { i } m _ { j } ^ { 5 } m _ { k } ^ { 3 } m _ { l } ^ { 4 } - 9 m _ { j } ^ { 6 } m _ { k } ^ { 3 } m _ { l } ^ { 4 } } \\ & { } & { - 3 m _ { j } ^ { 5 } m _ { k } ^ { 4 } m _ { l } ^ { 4 } + 3 1 m _ { i } ^ { 2 } m _ { j } ^ { 5 } m _ { l } ^ { 6 } + 6 2 m _ { i } m _ { j } ^ { 6 } m _ { l } ^ { 6 } + 3 1 m _ { j } ^ { 7 } m _ { l } ^ { 6 } + 6 2 m _ { i } m _ { j } ^ { 5 } m _ { k } m _ { l } ^ { 6 } + 6 2 m _ { j } ^ { 6 } m _ { k } m _ { l } ^ { 6 } } \\ & { } & { + m _ { i } ^ { 3 } m _ { j } ^ { 2 } m _ { k } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 6 } + 6 m _ { i } ^ { 2 } m _ { j } ^ { 3 } m _ { k } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 6 } + 9 m _ { i } m _ { j } ^ { 4 } m _ { k } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 6 } + 3 5 m _ { j } ^ { 5 } m _ { k } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 6 } + 3 m _ { i } ^ { 2 } m _ { j } ^ { 2 } m _ { k } ^ { 3 } m _ { l } ^ { 6 } + 1 2 m _ { i } m _ { j } ^ { 3 } m _ { k } ^ { 3 } m _ { l } ^ { 6 } } \\ & { } & { + 9 m _ { j } ^ { 4 } m _ { k } ^ { 3 } m _ { l } ^ { 6 } + 3 m _ { i } m _ { j } ^ { 2 } m _ { k } ^ { 4 } m _ { l } ^ { 6 } + 6 m _ { j } ^ { 3 } m _ { k } ^ { 4 } m _ { l } ^ { 6 } + m _ { j } ^ { 2 } m _ { k } ^ { 5 } m _ { l } ^ { 6 } + m _ { i } ^ { 3 } m _ { j } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 8 } + 3 m _ { i } ^ { 2 } m _ { j } ^ { 3 } m _ { l } ^ { 8 } + 3 m _ { i } m _ { j } ^ { 4 } m _ { l } ^ { 8 } } \\ & { } & { + m _ { j } ^ { 5 } m _ { l } ^ { 8 } + 3 m _ { i } ^ { 2 } m _ { j } ^ { 2 } m _ { k } m _ { l } ^ { 8 } + 6 m _ { i } m _ { j } ^ { 3 } m _ { k } m _ { l } ^ { 8 } + 3 m _ { j } ^ { 4 } m _ { k } m _ { l } ^ { 8 } - m _ { i } ^ { 3 } m _ { k } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 8 } - 3 m _ { i } ^ { 2 } m _ { j } m _ { k } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 8 } + 2 m _ { j } ^ { 3 } m _ { k } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 8 } } \\ & { } & { - 3 m _ { i } ^ { 2 } m _ { k } ^ { 3 } m _ { l } ^ { 8 } - 6 m _ { i } m _ { j } m _ { k } ^ { 3 } m _ { l } ^ { 8 } - 2 m _ { j } ^ { 2 } m _ { k } ^ { 3 } m _ { l } ^ { 8 } - 3 m _ { i } m _ { k } ^ { 4 } m _ { l } ^ { 8 } - 3 m _ { j } m _ { k } ^ { 4 } m _ { l } ^ { 8 } - m _ { k } ^ { 5 } m _ { l } ^ { 8 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \, \partial _ { t } \, \bar { E } _ { i } ^ { ( + ) } ( \mathbf { r } , \omega , t ) } & { { } = } & { \left( \, \partial _ { t } \hat { U } _ { \mathrm { S P D C } } ^ { \dagger } ( t ) \right) \underline { { \hat { E } } } _ { i } ^ { ( + ) } ( \mathbf { r } , \omega ) \hat { U } _ { \mathrm { S P D C } } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { b } \left( x \right) U _ { b } \left( x , s \right) = \widetilde { a } \left( s \right) U _ { b } \left( x , s \right) \quad , \quad \phi _ { b } \left( x \right) = \sum _ { s } U _ { b } \left( x , s \right) \, \overline { { \phi } } _ { b } \left( s \right) \; . } \end{array}
\bar { P } _ { \mu \nu \rho \sigma } ^ { ( 1 ) } = \frac { 1 } { 2 } ( \theta _ { \mu \rho } \omega _ { \nu \sigma } - \theta _ { \mu \sigma } \omega _ { \nu \rho } - \theta _ { \nu \rho } \omega _ { \mu \sigma } + \theta _ { \nu \sigma } \omega _ { \mu \rho } ) ,
\begin{array} { r l } { \| \mathbf { D } _ { t } u \| _ { L _ { 2 } ( \Omega _ { T _ { 0 } } ) } } & { \leq C \bigg [ 1 + \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 2 , 2 } ( \Omega ) } + \bigg ( \underset { t \in [ 0 , T ] } { \operatorname* { s u p } } I _ { t } ^ { \nu } ( \| g \| _ { L _ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } ) ( t ) \bigg ) ^ { 1 / 2 } \bigg ] , } \\ { \| \mathbf { D } _ { t } ^ { \nu } u \| _ { L _ { 2 } ( \Omega _ { T _ { 0 } } ) } } & { \leq \frac { C } { \delta _ { 1 } } \| \mathbf { D } _ { t } u - \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \mathfrak { D } _ { j } u \| _ { L _ { 2 } ( \Omega _ { T _ { 0 } } ) } \leq \frac { C } { \delta _ { 1 } } [ \| \mathbf { D } _ { t } u \| _ { L _ { 2 } ( \Omega _ { T _ { 0 } } ) } + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \| \mathfrak { D } _ { j } u \| _ { L _ { 2 } ( \Omega _ { T _ { 0 } } ) } ] , } \\ { \| \mathcal { D } _ { 2 } u \| _ { L _ { 2 } ( \Omega _ { T _ { 0 } } ) } + \| \mathfrak { D } _ { 3 } u \| _ { L _ { 2 } ( \Omega _ { T _ { 0 } } ) } } & { \leq C \bigg [ 1 + \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 2 , 2 } ( \Omega ) } + \bigg ( \underset { t \in [ 0 , T ] } { \operatorname* { s u p } } I _ { t } ^ { \nu } ( \| g \| _ { L _ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } ) ( t ) \bigg ) ^ { 1 / 2 } \bigg ] } \\ & { \times [ \| \varrho _ { 0 } \| _ { \mathcal { C } ^ { 1 } ( [ 0 , T _ { 0 } ] ) } + \sum _ { i = 1 } ^ { M } \| \varrho _ { i } \| _ { \mathcal { C } ^ { 1 } ( [ 0 , T _ { 0 } ] ) } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \| \gamma _ { j } \| _ { \mathcal { C } ^ { 1 } ( [ 0 , T _ { 0 } ] ) } ] } \end{array}
{ \cal { L } } _ { V } = - \frac { F _ { \pi } ^ { 2 } } { 1 6 } ~ t r \{ g ~ V _ { \mu } - \frac { i } { 2 } ~ [ ( \partial _ { \mu } \Xi ) ~ \Xi ^ { \dag } + ( \partial _ { \mu } \Xi ^ { \dag } ) ~ \Xi ] \} ^ { 2 }
\mathbf { F } _ { l } = - \nabla \Phi = - { \frac { 1 } { 4 \pi } } \nabla \int _ { V } { \frac { \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { F } } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } } \mathrm { d } V ^ { \prime }
\partial _ { t } T _ { m - 1 } - \nabla \cdot \bigl ( \mathbf { K } _ { m } + \mathbf { s } _ { m - 1 } + \phi _ { m - 1 } \sigma \bigr ) \nabla T _ { m - 1 } = 0 \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ ( 0 , \infty ) \times \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \gamma ^ { 2 } } \log { \bar { F } ^ { \prime \prime } ( \hat { \varepsilon } _ { S } ( \varepsilon , \gamma ) ; \varepsilon , \gamma ) } } \\ & { = \frac { 4 b _ { \varepsilon } ( \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } ) } { ( \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( 1 + \theta ) } } \\ & { \quad + \frac { 4 b _ { \varepsilon } \gamma } { ( \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( 1 + \theta ) } \times 2 b _ { \varepsilon } \gamma \frac { \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } } { \vert \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \vert \sqrt { 1 + \theta } } } \\ & { \quad - \frac { 1 6 b _ { \varepsilon } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } ( \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } ) } { ( \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } ) ^ { 3 } ( 1 + \theta ) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 4 b _ { \varepsilon } ( \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } ) } { ( \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( 1 + \theta ) } \Bigg [ 1 + \frac { 2 b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } { \vert \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \vert \sqrt { 1 + \theta } } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \; \; - \frac { 4 b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } { ( \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } ) ( 1 + \theta ) } \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d _ { 1 } } & { = } & { V _ { \eta } a _ { 1 } } \\ { d _ { 2 } } & { = } & { V _ { \eta } a _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } V _ { \eta \eta } a _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { d _ { 3 } } & { = } & { V _ { \eta } a _ { 3 } + V _ { \eta \eta } a _ { 1 } a _ { 2 } + V _ { \xi \eta } a _ { 1 } b _ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } V _ { \eta \eta \eta } a _ { 1 } ^ { 3 } . } \end{array}
\Pi ^ { ( \delta ) } ( Q ) = \frac { e _ { 4 } ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \left( a _ { 0 } ^ { ( \delta ) } - \frac { 1 } { 6 } \log \left( \frac { Q ^ { 2 } } { M _ { c } ^ { 2 } } \right) + a _ { 1 } ^ { ( \delta ) } \frac { Q ^ { 2 } } { M _ { c } ^ { 2 } } + \cdots \right) \, , \qquad Q ^ { 2 } \ll M _ { c } ^ { 2 }
F ( x ^ { - } , x ^ { + } ) = \sum _ { i } \left| { \frac { L } { \pi } } \langle 0 | T ^ { + + } ( K ) | i \rangle \right| ^ { 2 } \left( { \frac { x ^ { + } } { x ^ { - } } } \right) ^ { 2 } { \frac { M _ { i } ^ { 4 } } { 8 \pi ^ { 2 } K ^ { 3 } } } K _ { 4 } \left( M _ { i } \sqrt { 2 x ^ { + } x ^ { - } } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { I _ { d } ^ { A _ { 2 } } ( \theta ) = } & { c o s ^ { 2 } \beta \, s i n ^ { 4 } \theta + s i n ^ { 2 } \beta \, s i n ^ { 2 } 2 \theta } \\ { I _ { p + d } ^ { B _ { 1 } } ( \theta ) = } & { 2 b _ { 1 } ^ { 2 } s i n ^ { 2 } \theta + \frac { 3 } { 2 } b _ { 2 } ^ { 2 } [ s i n ^ { 2 } \beta s i n ^ { 4 } \theta + c o s ^ { 2 } \beta s i n ^ { 2 } 2 \theta ] } \\ & { + 2 b _ { 1 } b _ { 2 } \sqrt { 3 } c o s \, \beta \, s i n \, \theta \, s i n \, 2 \theta \, c o s \, \delta _ { 2 } } \\ { I _ { p + d } ^ { B _ { 2 } } ( \theta ) = } & { 2 b _ { 3 } ^ { 2 } ( s i n ^ { 2 } \beta \, c o s ^ { 2 } \theta + c o s ^ { 2 } \beta \, s i n ^ { 2 } \theta ) + } \\ & { \frac { 3 } { 2 } b _ { 4 } ^ { 2 } [ \frac { 1 } { 4 } s i n ^ { 2 } 2 \beta s i n ^ { 4 } \theta + } \\ & { c o s ^ { 2 } 2 \beta s i n ^ { 2 } 2 \theta + \frac { 1 } { 2 } s i n ^ { 2 } 2 \beta ( 3 c o s ^ { 2 } \theta - 1 ) ^ { 2 } ] + } \\ & { 2 b _ { 3 } b _ { 4 } [ \sqrt { 3 } c o s \, \beta \, c o s \, 2 \beta \, s i n \, \theta \, s i n \, 2 \theta + } \\ & { s i n \, \beta \, s i n \, 2 \beta \, c o s \, \theta \, ( 3 c o s ^ { 2 } \theta - 1 ) ] c o s \, \delta _ { 3 } } \end{array}
\alpha _ { 1 1 } ^ { * } = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \beta _ { 1 1 k k } ^ { * } = \beta _ { 1 1 1 1 } ^ { * } + \frac { 1 } { 3 } \beta _ { 1 1 1 1 } ^ { * } + 0 = \frac { 4 } { 3 } \beta _ { 1 1 1 1 } ^ { * } \, ,
0 = \sum _ { j \neq k } G _ { j k } ( v _ { k } - v _ { j } ) = \sum _ { j \neq k } G _ { j k } v _ { k } - \sum _ { j \neq k } G _ { j k } v _ { j } = G _ { k k } v _ { k } - \sum _ { j \neq k } G _ { j k } v _ { j }
0 = ( 1 + 0 ) y _ { 0 } + ( - 4 + 4 ) y _ { 0 . 5 } + ( 6 - 1 2 ) y _ { 1 } + ( - 4 + 1 2 ) y _ { 1 . 5 } + ( 1 - 4 ) y _ { 2 } = y _ { 0 } - 6 y _ { 1 } + 8 y _ { 1 . 5 } - 3 y _ { 2 }
C _ { \mathbf { d } } ( t ) = \mathrm { T r } \left\lbrace \hat { \mu } _ { \mathrm { e f f } } \, { e } ^ { - i \hat { H } t / \hbar } \big ( \hat { \sigma } _ { \mathbf { d } } { | } \mathrm { g } \rangle \langle { \mathrm { g } } | \otimes \hat { \rho } _ { \mathrm { B } } \big ) e ^ { i \hat { H } t / \hbar } \right\rbrace .
\left\{ \begin{array} { c c c } { { a } } & { { b } } & { { i } } \\ { { c } } & { { d } } & { { j } } \end{array} \right\} = \frac { T e t \left[ \begin{array} { c c c } { { a } } & { { b } } & { { i } } \\ { { c } } & { { d } } & { { j } } \end{array} \right] \Delta _ { i } } { \theta ( a , d , i ) \theta ( b , c , i ) } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial g _ { m T G D } ^ { \infty } } { \partial \mathbf { x } } ^ { T } \mathbf { D } \frac { \partial g _ { m T G D } ^ { \infty } } { \partial \mathbf { x } } } & { = \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } D _ { m T G D } \left( \frac { \partial g _ { m T G D } ^ { \infty } } { \partial y _ { 1 } ^ { \infty } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = \left( \frac { 2 a } { \pi \epsilon } \right) ^ { 2 } \frac { D _ { m T G D } } { \cosh ^ { 2 } ( U _ { - } ^ { \infty } ) } , } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { M _ { L } ^ { + } = \sqrt { 2 } \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \; \; \; \; \; \; \; } } & { { M _ { L } ^ { 0 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \; \; \; \; \; \; \; } } & { { M _ { L } ^ { - } = \sqrt { 2 } \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \; \; \; \; \; \; \; } } \end{array} \; ,
\begin{array} { r l } { \widetilde { P } _ { v } ( X ) = X ^ { 2 n } } & { - \widetilde { T } _ { v , 1 } X ^ { 2 n - 1 } + \dots + ( - 1 ) ^ { j } q _ { v } ^ { j ( j - 1 ) / 2 } \widetilde { T } _ { v , j } + \dots } \\ & { + q _ { v } ^ { n ( 2 n - 1 ) } \widetilde { T } _ { v , 2 n } \in { \mathcal H } ( \widetilde { G } ( F _ { \overline { { v } } } ^ { + } ) , \widetilde { G } ( { \mathcal O } _ { F _ { \overline { { v } } } ^ { + } } ) ) \otimes _ { \mathbb Z } { \mathbb Z } [ q _ { \overline { { v } } } ^ { - 1 } ] [ X ] . } \end{array}
\mathbb { E } \bigg [ \Big \lVert \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k } } \mathcal { I } _ { 0 , 0 } ^ { \gamma } ( k , \boldsymbol { x } , t ; \hbar ) \varphi - \mathcal { I } _ { \infty } ^ { \gamma } ( k , \boldsymbol { x } , t ; \hbar ) \varphi \Big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \bigg ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leq \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \mathbb { E } \Big [ \big \lVert \mathcal { I } _ { \infty , \nu } ^ { \gamma } ( k , t ; \hbar ) \varphi \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \Big ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } ,
\delta _ { \alpha } \oint ( \omega _ { 1 } , \ldots , \omega _ { n } ) = \oint ( \alpha ) \wedge \oint ( \omega _ { 1 } , \ldots , \omega _ { n } ) = \sum _ { k } \oint ( \omega _ { 1 } , \ldots , \omega _ { k } , \alpha , \omega _ { k + 1 } , \ldots , \omega _ { n } ) ,
Q _ { W } ( C s ) = \left( Q _ { W } ( C s ) \right) _ { S M } + 3 4 . 3 { \frac { 1 } { x c ^ { 2 } } } - 5 1 . 3 { \frac { 1 } { x c ^ { 2 } s ^ { 2 } } } + 1 6 . 7 { \frac { t ^ { 2 } } { x } }
V = | m _ { 2 } S _ { 0 } + f S _ { 1 } ^ { 2 } | ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } | S _ { 2 } | ^ { 2 } + 4 f ^ { 2 } | S _ { 1 } | ^ { 2 } | S _ { 2 } | ^ { 2 } .
\Delta \rho = \rho ^ { W W \rightarrow 4 q } - 2 \rho ^ { W \rightarrow 2 q } - 2 \rho _ { m i x } ^ { W W } , \qquad D = \frac { \rho ^ { W W \rightarrow 4 q } } { 2 \rho ^ { W \rightarrow 2 q } + 2 \rho _ { m i x } ^ { W W } } .
a _ { t _ { l } , j , h , \xi } ( \zeta , w ) = i \frac { \langle \nabla _ { \zeta } \tilde { a } _ { t _ { l } , j , h , \xi } , \nabla _ { \zeta } \Phi _ { \xi , w } \rangle } { | \nabla _ { \zeta } \Phi _ { \xi , w } | ^ { 2 } } - 2 i \tilde { a } _ { t _ { l } , j , h , \xi } \frac { \langle H _ { \zeta } ( \Phi _ { \xi , w } ) \nabla _ { \zeta } \Phi _ { \xi , w } , \nabla _ { \zeta } \Phi _ { \xi , w } \rangle } { | \nabla _ { \zeta } \Phi _ { \xi , w } | ^ { 4 } } .
I _ { i } = \left( { \frac { \left( { \frac { 1 } { Z _ { i } } } \right) } { \left( { \frac { 1 } { Z _ { 1 } } } \right) + \left( { \frac { 1 } { Z _ { 2 } } } \right) + \, \cdots \, + \left( { \frac { 1 } { Z _ { n } } } \right) } } \right) I
\begin{array} { r } { \left( \frac { Q } { L R _ { 0 } ^ { 2 } \tau _ { a } ^ { - 1 } } \right) ^ { 2 } = \frac { \frac { \pi ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { R _ { 1 } } { R _ { 0 } } \frac { \xi _ { 1 } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } - \tau _ { a } ^ { - 2 } } { \tau _ { a } ^ { - 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { f ( \phi ) } \partial _ { \mu } \mathbf { R } _ { j , j + 1 } ( 0 , \mu , \phi ) \mathbf { P } _ { j , j + 1 } } & { = \frac { 1 } { Q } \left[ \mathbf { e } _ { 2 j } + \mathbf { e } _ { 2 j + 1 } + \frac { 2 \mathrm { i } \sin ( \sqrt { Q } \tau ) } { 2 \sqrt { Q } } \left[ \mathbf { e } _ { 2 j } , \mathbf { e } _ { 2 j + 1 } \right] \right. } \\ & { \left. - \frac { 2 \sin ^ { 2 } ( \sqrt { Q } \tau / 2 ) } { \sqrt { Q } } \left\{ \mathbf { e } _ { 2 j } , \mathbf { e } _ { 2 j + 1 } \right\} - \frac { 2 + e ^ { \mathrm { i } \sqrt { Q } \tau } } { \sqrt { Q } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Hat { p } \Hat { q } + \Hat { q } \Hat { p } } & { { } = 0 , } \\ { \Hat { p } ^ { \dag } \Hat { q } ^ { \dag } + \Hat { q } ^ { \dag } \Hat { p } ^ { \dag } } & { { } = 0 , } \\ { \Hat { p } ^ { \dag } \Hat { q } + \Hat { q } ^ { \dag } \Hat { p } } & { { } = \delta _ { p q } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J } & { { } = \left| \begin{array} { l l l l } { \frac { \partial q _ { 0 } } { \partial \eta } } & { \frac { \partial q _ { 0 } } { \partial x _ { 1 } } } & { \frac { \partial q _ { 0 } } { \partial x _ { 2 } } } & { \dots } \\ { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial \eta } } & { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } } & { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } } & { \dots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right| } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| \displaystyle { \sum _ { j = 0 } ^ { ( n - 3 ) / 2 } } \left[ \left( \displaystyle { \prod _ { m = 1 } ^ { j } S _ { n - 2 m + 2 } } \right) T _ { n - 2 j } \left( \displaystyle { \prod _ { m = j + 1 } ^ { ( n - 3 ) / 2 } S _ { n - 2 m } } \right) \right] \right\| _ { \infty } } \\ & { \ \ \ \le \displaystyle { \sum _ { j = 0 } ^ { ( n - 3 ) / 2 } } \left\| \displaystyle { \prod _ { m = 1 } ^ { j } S _ { n - 2 m + 2 } } \right\| _ { \infty } \left\| T _ { n - 2 j } \right\| _ { \infty } \left\| \displaystyle { \prod _ { m = j + 1 } ^ { ( n - 3 ) / 2 } S _ { n - 2 m } } \right\| _ { \infty } } \\ & { \le \displaystyle { \sum _ { j = 0 } ^ { ( n - 3 ) / 2 } } \frac { 1 8 ( \lambda + \mu ) ^ { 3 } ( n - 2 j + 2 ) ( n - 2 j ) ( j + 1 ) } { \mu ^ { 3 } \, 2 ^ { n } \left[ \left( \frac { n - 1 } { 2 } \right) ! \right] ^ { 2 } } \le \frac { 9 ( \lambda + \mu ) ^ { 3 } \, n ( n + 2 ) ( n ^ { 2 } - 1 ) } { 4 \mu ^ { 3 } \, 2 ^ { n } \left[ \left( \frac { n - 1 } { 2 } \right) ! \right] ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( \hat { x } - z ^ { k } ) } & { = \tau _ { k } \nu _ { k } ^ { \tau } r _ { b } ( x ^ { 0 } ) + ( 1 - \tau _ { k } \nu _ { k } ^ { \tau } ) r _ { b } ( x ^ { * } ) - r _ { b } ( z ^ { k } ) } \\ & { = \tau _ { k } \nu _ { k } ^ { \tau } r _ { b } ( x ^ { 0 } ) - \tau _ { k } \nu _ { k } ^ { \tau } r _ { b } ( x ^ { 0 } ) = 0 } \\ { \hat { s } - s ^ { k } } & { = c - A ^ { \top } \hat { \lambda } - ( c - A ^ { \top } \lambda ^ { k } ) = - A ^ { \top } \left( \hat { \lambda } - \lambda ^ { k } \right) , } \end{array}