harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\langle 0 | e ^ { S } H e ^ { - S } | 0 \rangle = E _ { \Omega } , \; \; \langle q _ { 1 } , q _ { 2 } , \cdots q _ { n _ { q } } ; { \bar { q } } _ { 1 ^ { \prime } } , { \bar { q } } _ { 2 ^ { \prime } } , \cdots { \bar { q } } _ { n _ { \bar { q } } } ; g _ { 1 ^ { \prime \prime } } , g _ { 2 ^ { \prime \prime } } , \cdots g _ { n _ { g } } | e ^ { S } H e ^ { - S } | 0 \rangle = 0 , n _ { q } , n _ { \bar { q } } , n _ { g } = 1 , 2 , \cdots .
\begin{array} { r l } & { \mathcal H ( ( \mathrm { i d } + \varepsilon \zeta ) _ { \# } f ) - \mathcal H ( f ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } \int _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } \left( v + \varepsilon \zeta _ { v } ( r , v ) - \bar { v } \right) ^ { \top } \left( v + \varepsilon \zeta _ { v } ( r , v ) - \bar { v } \right) \mathrm d f ( t , \hat { r } , \hat { v } ) \mathrm d f ( t , r , v ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } \int _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } \mathcal V ( ( r + \varepsilon \zeta _ { r } ( r , v ) ) - \hat { r } - \varepsilon \zeta _ { r } ( \hat { r } , \hat { v } ) ) ) \mathrm d f ( t , \hat { r } , \hat { v } ) \mathrm d f ( t , r , v ) } \\ & { \quad - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } \int _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } \left( ( v - \bar { v } ) ^ { \top } ( v - \bar { v } ) + \mathcal V ( r - \hat { r } ) \right) \mathrm d f ( t , \hat { r } , \hat { v } ) \mathrm d f ( t , r , v ) } \\ & { = \varepsilon \int _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } \int _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } ( v - \bar { v } ) ^ { \top } \zeta _ { v } ( r , v ) + \nabla \mathcal V ( r - \hat { r } ) \zeta _ { r } ( r , v ) \, \mathrm d f ( t , \hat { r } , \hat { v } ) \mathrm d f ( t , r , v ) + o ( \varepsilon ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } \left( { { { \left\| { { \theta _ { k , 1 } } - { { \hat { \theta } } _ { k , 1 } } } \right\| } ^ { 2 } } } \right) } & { \ge \frac { { \sigma _ { k } ^ { \theta } } } { { { p _ { k } } { B _ { k } } { M _ { 1 } } } } , } \\ { { \mathbb E } \left( { { { \left\| { { d _ { k , 1 } } - { { \hat { d } } _ { k , 1 } } } \right\| } ^ { 2 } } } \right) } & { \ge \frac { { \sigma _ { k } ^ { d } } } { { { p _ { k } } { B _ { k } } { M _ { 1 } } \left( { B _ { k } ^ { 2 } - 1 } \right) } } , } \\ { { \mathbb E } \left( { { { \left\| { { v _ { k , 1 } } - { { \hat { v } } _ { k , 1 } } } \right\| } ^ { 2 } } } \right) } & { \ge \frac { { \sigma _ { k } ^ { v } } } { { { p _ { k } } { B _ { k } } { M _ { 1 } } \left( { M _ { 1 } ^ { 2 } - 1 } \right) } } , } \end{array}
s _ { 2 } [ f ; m ^ { 2 } ] = - { \frac { 1 } { 1 6 \pi m ^ { 2 } } } \, \int \! d ^ { 2 } x \, \phi ^ { 2 } ( x ) - { \frac { 1 } { 9 6 \pi m ^ { 4 } } } \, \int \! d ^ { 2 } x \, \phi ( x ) \partial ^ { 2 } \phi ( x ) + { \cal O } ( \partial ^ { 4 } ) .
\begin{array} { r } { \mu _ { \mathbb { D } } ^ { \mathrm { l o o p } } ( \{ \wp \mathrm { ~ c r o s s i n g ~ } r _ { 2 } \mathbb { D } \setminus r _ { 1 } \mathbb { D } \} ) = \left( 1 + O ( 1 ) \frac { r _ { 1 } } { r _ { 2 } } \right) \int _ { r _ { 2 } } ^ { 1 } \frac { \mathrm { d } r } { r \log ( r / r _ { 1 } ) } = \left( 1 + O ( 1 ) \frac { r _ { 1 } } { r _ { 2 } } \right) \log \frac { \log ( 1 / r _ { 1 } ) } { \log ( r _ { 2 } / r _ { 1 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { = } & { \frac { 1 } { ( 1 - x ^ { 1 } y ^ { 2 } z ^ { 3 } ) } } \\ & { } & { \frac { 1 } { ( 1 - x ^ { 1 } y ^ { 2 } z ^ { 4 } ) ( 1 - x ^ { 2 } y ^ { 3 } z ^ { 4 } ) } } \\ & { } & { \frac { 1 } { ( 1 - x ^ { 1 } y ^ { 3 } z ^ { 4 } ) ( 1 - x ^ { 2 } y ^ { 3 } z ^ { 5 } ) ( 1 - x ^ { 3 } y ^ { 4 } z ^ { 5 } ) } } \\ & { } & { \frac { 1 } { ( 1 - x ^ { 1 } y ^ { 2 } z ^ { 5 } ) ( 1 - x ^ { 2 } y ^ { 4 } z ^ { 5 } ) ( 1 - x ^ { 3 } y ^ { 4 } z ^ { 6 } ) ( 1 - x ^ { 4 } y ^ { 5 } z ^ { 6 } ) } } \\ & { } & { \frac { 1 } { ( 1 - x ^ { 1 } y ^ { 3 } z ^ { 5 } ) ( 1 - x ^ { 2 } y ^ { 3 } z ^ { 6 } ) ( 1 - x ^ { 3 } y ^ { 5 } z ^ { 6 } ) ( 1 - x ^ { 4 } y ^ { 5 } z ^ { 7 } ) ( 1 - x ^ { 5 } y ^ { 6 } z ^ { 7 } ) } } \\ & { } & { \frac { 1 } { ( 1 - x ^ { 1 } y ^ { 4 } z ^ { 5 } ) ( 1 - x ^ { 2 } y ^ { 4 } z ^ { 6 } ) ( 1 - x ^ { 3 } y ^ { 4 } z ^ { 7 } ) ( 1 - x ^ { 4 } y ^ { 6 } z ^ { 7 } ) ( 1 - x ^ { 5 } y ^ { 6 } z ^ { 8 } ) ( 1 - x ^ { 6 } y ^ { 7 } z ^ { 8 } ) } } \\ & { } & { \frac { 1 } { ( 1 - x ^ { 1 } y ^ { 2 } z ^ { 6 } ) ( 1 - x ^ { 2 } y ^ { 5 } z ^ { 6 } ) ( 1 - x ^ { 3 } y ^ { 5 } z ^ { 7 } ) ( 1 - x ^ { 4 } y ^ { 5 } z ^ { 8 } ) ( 1 - x ^ { 5 } y ^ { 7 } z ^ { 8 } ) ( 1 - x ^ { 6 } y ^ { 7 } z ^ { 9 } ) ( 1 - x ^ { 7 } y ^ { 8 } z ^ { 9 } ) } } \\ & { } & { \textmd { e t c . } } \end{array}
\mathcal { H } _ { \mathrm { G N N } } ^ { \mathrm { s } } = \frac { 1 } { 2 } \left( \tilde { \mathcal { H } } _ { \mathrm { G N N } } + \tilde { \mathcal { H } } _ { \mathrm { G N N } } ^ { \mathrm { T } } \right)
\begin{array} { r l } { v \left( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 } \right) } & { \equiv \frac { 1 } { 2 i } \; \mathrm { l o g } \left[ \frac { \Gamma \left( - i \lambda _ { 1 } \right) ^ { 2 } } { \Gamma \left( i \lambda _ { 1 } \right) ^ { 2 } } \frac { \gamma \left( \frac { 1 } { 2 } ( 1 + i \lambda _ { 1 } + i \lambda _ { 2 } + i \lambda _ { 3 } ) \right) \gamma \left( \frac { 1 } { 2 } ( 1 + i \lambda _ { 1 } - i \lambda _ { 2 } + i \lambda _ { 3 } ) \right) } { \gamma \left( \frac { 1 } { 2 } ( 1 - i \lambda _ { 1 } - i \lambda _ { 2 } + i \lambda _ { 3 } ) \right) \gamma \left( \frac { 1 } { 2 } ( 1 - i \lambda _ { 1 } + i \lambda _ { 2 } + i \lambda _ { 3 } ) \right) } \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | f _ { O } ( x ) - f _ { O } ( x | _ { \mathcal { S } ( r ) } ) | } & { \le 4 \beta ( C + c ^ { \prime } ) C ^ { \prime \prime } \, h \, ( 2 r _ { 0 } + k _ { 0 } ) ^ { D } \, \| O \| _ { \infty } \sum _ { | l | \ge r + k _ { 0 } / 2 } \, e ^ { - | l | / \xi } } \\ & { = 4 \beta ( C + c ^ { \prime } ) C ^ { \prime \prime } \, h \, ( 2 r _ { 0 } + k _ { 0 } ) ^ { D } \, \| O \| _ { \infty } \sum _ { a > r + k _ { 0 } / 2 } \, \binom { a + D - 1 } { D - 1 } \, e ^ { - a / \xi } } \\ { \ } & { \le 4 \beta ( C + c ^ { \prime } ) C ^ { \prime \prime } \, h \, ( 2 r _ { 0 } + k _ { 0 } ) ^ { D } \, D ^ { D - 1 } \| O \| _ { \infty } \sum _ { a > r + k _ { 0 } / 2 } \, a ^ { D - 1 } \, e ^ { - a / \xi } } \\ & { \le 4 \beta ( C + c ^ { \prime } ) C ^ { \prime \prime } \, h \, ( 2 r _ { 0 } + k _ { 0 } ) ^ { D } ( D - 1 ) ! ( 2 \xi ) ^ { D - 1 } \, D ^ { D - 1 } \| O \| _ { \infty } \sum _ { a > r + k _ { 0 } / 2 } \, \, e ^ { - \frac { a } { 2 \xi } } } \\ & { \le 4 \beta ( C + c ^ { \prime } ) C ^ { \prime \prime } \, h \, ( 2 r _ { 0 } + k _ { 0 } ) ^ { D } ( D - 1 ) ! ( 2 \xi ) ^ { D - 1 } \, D ^ { D - 1 } \| O \| _ { \infty } \, \frac { e ^ { - \frac { r + k _ { 0 } / 2 + 1 } { 2 \xi } } } { 1 - e ^ { - \frac { 1 } { 2 \xi } } } } \\ & { \equiv C _ { 1 } \, e ^ { - \frac { r } { 2 \xi } } \, \| O \| _ { \infty } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal D _ { N } ^ { \Phi , \alpha } f ( 0 ) } & { = \sum _ { m \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \left( \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \Phi ( N , n ) e ^ { 2 \pi i m \cdot \alpha } \right) | m | ^ { - d \vartheta } \log ^ { - 1 } \left( 1 + | m | \right) } \\ & { \geq H \sum _ { m \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \left( 1 + N \| m \cdot \alpha \| \right) ^ { - \vartheta } | m | ^ { - d \vartheta } \log ^ { - 1 } \left( 1 + | m | \right) } \\ & { \geq H 2 ^ { - \vartheta } N ^ { - \vartheta } \sum _ { \| m \cdot \alpha \| > 1 / N } | m | ^ { - d \vartheta } \log ^ { - 1 } \left( 1 + | m | \right) \| m \cdot \alpha \| ^ { - \vartheta } . } \end{array}
h \{ e _ { m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } , \bar { e } _ { \bar { m } } ^ { \bar { ( j ) } } \epsilon \} = \sum _ { i } \tilde { \lambda } _ { j _ { 2 } , \bar { j } , i } h _ { j _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } - \frac { i } { 2 } , \bar { j } + \frac { 1 } { 2 } - \frac { i } { 2 } } C _ { m , \bar { m } ; m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { j _ { 2 } , \bar { j } ; j _ { 2 } + \bar { j } - i } e _ { m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { ( j _ { 2 } - 1 - \frac { i } { 2 } , \bar { j } + 1 - \frac { i } { 2 } ) } .
\frac { \hat { R } _ { k } } { \hat { \Delta } _ { k } } = \frac { R } { \Delta } ; \; \; \; \; \hat { R } _ { k } \hat { \Delta } _ { k } = \frac 1 2 \frac { 1 + \omega _ { k } } { 1 - \omega _ { k } } ; \; \; \; \; \omega _ { k } = \left( \frac { 2 R \Delta - 1 } { 2 R \Delta + 1 } \right) ^ { k } .
\int { \frac { d x } { x ^ { 2 ^ { n } } + 1 } } = { \frac { 1 } { 2 ^ { n - 1 } } } \sum _ { k = 1 } ^ { 2 ^ { n - 1 } } \sin \left( { \frac { 2 k - 1 } { 2 ^ { n } } } \pi \right) \arctan \left[ \left( x - \cos \left( { \frac { 2 k - 1 } { 2 ^ { n } } } \pi \right) \right) \csc \left( { \frac { 2 k - 1 } { 2 ^ { n } } } \pi \right) \right] - { \frac { 1 } { 2 } } \cos \left( { \frac { 2 k - 1 } { 2 ^ { n } } } \pi \right) \ln \left| x ^ { 2 } - 2 x \cos \left( { \frac { 2 k - 1 } { 2 ^ { n } } } \pi \right) + 1 \right| + C
\begin{array} { r l } { D _ { \alpha } ( \overline { { M } } | | L ) } & { = D _ { \alpha ^ { * } } ( L | | \overline { { M } } ) } \\ & { = D _ { \alpha ^ { * } } ( L | | M ^ { f } ) + D _ { \alpha ^ { * } } ( M ^ { f } | | \overline { { M } } ) } \\ & { = D _ { \alpha } ( \overline { { M } } | | M ^ { f } ) + D _ { \alpha } ( M ^ { f } | | L ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { \mathrm { ~ v ~ } } ^ { \mathrm { ~ h ~ } } } & { { } = C e ^ { - \beta t } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad C = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ . ~ } , } \\ { u _ { \mathrm { ~ v ~ } } } & { { } = u _ { \mathrm { ~ v ~ } } ( t _ { 0 } ) e ^ { - \beta ( t - t _ { 0 } ) } + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } u ( \tau ) \beta e ^ { - \beta ( t - \tau ) } \, \mathrm { ~ d ~ } \tau , } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { q } ( X ^ { v - e _ { 1 } } \cup X ^ { v - e _ { 2 } } , X ^ { v - e _ { 1 } } ) : = \frac { C _ { q } ( X ^ { v - e _ { 1 } } \cup X ^ { v - e _ { 2 } } ) } { C _ { q } ( X ^ { v - e _ { 1 } } ) } = \frac { C _ { q } ( X ^ { v - e _ { 1 } } ) + C _ { q } ( X ^ { v - e _ { 2 } } ) } { C _ { q } ( X ^ { v - e _ { 1 } } ) } } \\ { \cong \frac { C _ { q } ( X ^ { v - e _ { 2 } } ) } { C _ { q } ( X ^ { v - e _ { 1 } } ) \cap C _ { q } ( X ^ { v - e _ { 2 } } ) } = \frac { C _ { q } ( X ^ { v - e _ { 2 } } ) } { C _ { q } ( X ^ { v - e _ { 1 } - e _ { 2 } } ) } = : C _ { q } ( X ^ { v - e _ { 2 } } , X ^ { v - e _ { 1 } - e _ { 2 } } ) , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } d \tau _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \tau _ { 2 } ( \tau _ { 1 } + \tau _ { 2 } ) ^ { - \frac { d } { 2 } } ( \tau _ { 1 } ^ { 1 - \gamma } + \tau _ { 2 } ^ { 1 - \gamma } ) ^ { - \frac { D - d } { 2 } }
M ^ { ( 1 ) } \equiv ( M ^ { ( 1 ) } ) _ { j m } ^ { i n } = g _ { s } \, \widehat { M } ^ { ( 0 ) } \, \left[ ( T ^ { a } ) _ { j } ^ { i } \, \delta _ { m } ^ { n } \, ( J ( k ) \cdot \epsilon _ { \lambda } ) + \delta _ { j } ^ { i } \, ( T ^ { a } ) _ { m } ^ { n } \, ( J ^ { \prime } ( k ) \cdot \epsilon _ { \lambda } ) \right] ~ ,
\left\langle { \frac { d G } { d t } } \right\rangle _ { \tau } = 2 \left\langle T \right\rangle _ { \tau } + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left\langle \mathbf { F } _ { k } \cdot \mathbf { r } _ { k } \right\rangle _ { \tau } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { L } _ { p } ( w _ { \pm } ) = 0 , \qquad } & { \mathrm { i n } \quad B _ { 2 r _ { p } } ^ { \pm } , } \\ { \partial _ { n } w _ { \pm } \geq 0 , \qquad } & { \mathrm { i n } \quad B _ { 2 r _ { p } } \cap \{ x _ { n } = 0 \} , } \\ { \partial _ { n } w _ { \pm } = 0 , \qquad } & { \mathrm { i n } \quad \mathcal { J } = \{ w _ { + } < w _ { - } \} \cap \{ x _ { n } = 0 \} , } \\ { \lambda _ { + } ^ { p } \partial _ { n } w _ { + } = \lambda _ { - } ^ { p } \partial _ { n } w _ { - } , \qquad } & { \mathrm { i n } \quad \mathcal { C } = \{ w _ { + } = w _ { - } \} \cap \{ x _ { n } = 0 \} , } \\ { w _ { + } \leq w _ { - } , \quad } & { \mathrm { i n } \quad B _ { 2 r _ { p } } \cap \{ x _ { n } = 0 \} . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { g _ { i } ^ { k } g _ { j } ^ { l } ( T _ { s } ^ { m } ) \, = \, g _ { i } ^ { k } ( T _ { \sigma _ { j } ( s ) } ^ { \sigma _ { l } ( m ) } ) = \, T _ { \sigma _ { i } \sigma _ { j } ( s ) } ^ { \sigma _ { k } \sigma _ { l } ( m ) } } \\ { g _ { \sigma _ { i } ( j ) } ^ { \sigma _ { k } ( l ) } \, g _ { \gamma _ { j } ( i ) } ^ { \gamma _ { l } ( k ) } ( T _ { s } ^ { m } ) = g _ { \sigma _ { i } ( j ) } ^ { \sigma _ { k } ( l ) } ( T _ { \sigma _ { \gamma _ { j } ( i ) } ( s ) } ^ { \sigma _ { \gamma _ { l } ( k ) } ( m ) } ) \, = \, T _ { \sigma _ { \sigma _ { i } ( j ) } \sigma _ { \gamma _ { j } ( i ) } ( s ) } ^ { \sigma _ { \sigma _ { k } ( l ) } \sigma _ { \gamma _ { l } ( k ) } ( m ) } } \end{array}
\begin{array} { l } { { t ^ { ( 0 ) } = t _ { B } ^ { ( 0 ) } + i \{ t _ { A } + t _ { \rho } + ( \tilde { t } _ { A \pi ^ { + } \pi ^ { - } } + \tilde { t } _ { \rho \pi ^ { + } \pi ^ { - } } + \tilde { t } _ { \chi \pi } ) t _ { \pi ^ { + } \pi ^ { - } , \pi ^ { + } \pi ^ { - } } \, + } } \\ { { + \, ( \tilde { t } _ { A K ^ { + } K ^ { - } } + \tilde { t } _ { \chi K } ) t _ { K ^ { + } K ^ { - } , \pi ^ { + } \pi ^ { - } } + ( \tilde { t } _ { \rho \pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } } + \tilde { t } _ { \omega \pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } } ) t _ { \pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } , \pi ^ { + } \pi ^ { - } } \} } } \\ { { t ^ { ( 2 ) } = t _ { B C } ^ { ( 2 ) } + t _ { f _ { 2 } } ^ { ( 2 2 ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 1 . 1 } & { - 0 . 3 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] , \bar { A } = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { - 0 . 1 8 } & { 0 } \end{array} \right] , B = \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] , } \\ { \bar { B } } & { = \left[ \begin{array} { l } { - 0 . 1 } \\ { 0 . 0 8 } \end{array} \right] , Q = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 . 5 } \\ { 0 . 5 } & { 1 } \end{array} \right] , R = 1 , d = 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma [ \lbrace k _ { i } , \varepsilon _ { i } \rbrace ] } & { { } = } & { { ( - i e ) } ^ { N } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } } { \frac { d T } { T } } { ( 4 \pi T ) } ^ { - { \frac { D } { 2 } } } e ^ { - m ^ { 2 } T } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { T } d \tau _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ^ { \mathrm { S } } ( x , t ) } & { { } = T _ { o } + A ( \lambda ( t ) ) \, \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } \left( \frac { x } { 2 \sqrt { \alpha ^ { \mathrm { ~ S ~ } } t } } \right) , } \\ { T ^ { \mathrm { L } } ( x , t ) } & { { } = T _ { i } + B ( \lambda ( t ) ) \, \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ c ~ } \left( \frac { x } { 2 \sqrt { \alpha ^ { \mathrm { ~ L ~ } } t } } - \frac { s ( t ) } { 2 \sqrt { \alpha ^ { \mathrm { ~ L ~ } } t } } ( 1 - R _ { \rho } ) \right) , } \end{array}
\omega \approx k \cdot w _ { s } \pm i \mu ^ { 1 / 2 } \left( ( \xi _ { F } ^ { L } T _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ) ( k ^ { T } D ^ { - 1 } C _ { \nu } \xi _ { F } ^ { R } ) \right) ^ { 1 / 2 }
[ \Theta _ { 0 0 } ( \vec { x } , t ) , \Theta _ { 0 0 } ( \vec { y } , t ) ] = - i \left( \Theta _ { 0 k } ( \vec { x } , t ) + \Theta _ { 0 k } ( \vec { y } , t ) \right) \partial _ { k } ^ { x } \delta ( \vec { x } - \vec { y } ) ~ .
\cup \{ \{ z \in \mathbb { C } \mid ( z - z _ { 0 } ) { \overline { { ( z - z _ { 0 } ) } } } = d \ { \mathrm { ( c i r c l e ) } } \mid z _ { 0 } \in \mathbb { C } , d \in \mathbb { R } , d > 0 \} .
[ \mathbf { f } , { \mathbf { v } } ] : = ( \mathbf { f } _ { \mathrm { B } } , { \mathbf { v } } _ { \mathrm { B } } ) _ { \mathrm { B } } + ( \mathbf { f } _ { \mathrm { D } } , { \mathbf { v } } _ { \mathrm { D } } ) _ { \mathrm { D } } { \quad \mathrm { a n d } \quad } [ \mathbf { g } , ( q , \xi ) ] : = - ( g _ { \mathrm { D } } , q ) _ { \mathrm { D } } .
\begin{array} { r } { { \left[ \begin{array} { l l } { Z _ { \widehat { k } } } & { \widehat { Z } } \end{array} \right] = Z = Q _ { Z } T _ { Z } = \left[ \begin{array} { l l } { Q _ { Z _ { \widehat { k } } } } & { \widehat { Q } _ { Z } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { T _ { Z _ { \widehat { k } } } } & { T _ { Z _ { 1 2 } } } \\ { 0 } & { T _ { Z _ { 2 2 } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { Q _ { Z _ { \widehat { k } } } T _ { Z _ { \widehat { k } } } } & { Q _ { Z } \widehat { T } _ { Z } } \end{array} \right] , } } \\ { { \left[ \begin{array} { l l } { W _ { \widehat { k } } } & { \widehat { W } } \end{array} \right] = W = Q _ { W } T _ { W } = \left[ \begin{array} { l l } { Q _ { W _ { \widehat { k } } } } & { \widehat { Q } _ { W } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { T _ { W _ { \widehat { k } } } } & { T _ { W _ { 1 2 } } } \\ { 0 } & { T _ { W _ { 2 2 } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { Q _ { W _ { \widehat { k } } } T _ { W _ { \widehat { k } } } } & { Q _ { W } \widehat { T } _ { W } } \end{array} \right] , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { y } } & { = E _ { y 0 } e ^ { - G ( t ^ { \prime } ) } + \frac { 2 ( 1 + \langle Z \rangle ) B T q } { \langle m _ { i } \rangle c _ { s } } \times } \\ & { e ^ { - G ( t ^ { \prime } ) } \int _ { 0 } ^ { \mathrm { m i n } ( t ^ { \prime } , t _ { \mathrm { p e } } ^ { \prime } ) } e ^ { G ( \tilde { t } ^ { \prime } ) } \left( \frac { 1 } { \tilde { t } ^ { \prime \prime } } - \frac { 1 } { t _ { \mathrm { p e } } ^ { \prime } } \right) \sin { \left( \frac { \tilde { t } ^ { \prime \prime } } { t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } } \right) } d \tilde { t } ^ { \prime } } \\ & { = E _ { y 0 } e ^ { - G ( t ^ { \prime } ) } + \frac { 2 ( 1 + \langle Z \rangle ) B T q } { \langle m _ { i } \rangle c _ { s } } \mathcal { E } \left( t _ { \mathrm { p e } } ^ { \prime } , t _ { \mathrm { e x p } } ^ { \prime } , t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } , \frac { R _ { \mathrm { e f f } } } { R _ { A } } , t ^ { \prime } \right) , } \end{array}
S _ { \mathrm { \tiny ~ O S C } } = \Phi \int _ { { \mathrm { \tiny ~ E } } _ { \mathrm { \tiny ~ m i n } } } ^ { { \mathrm { \tiny ~ E } } _ { \mathrm { \tiny ~ m a x } } } \eta { \mathrm { \tiny ~ ( E } } _ { \nu } \mathrm { \tiny ~ ) } \left\{ P _ { \nu _ { e } \nu _ { e } } { \mathrm { \tiny ~ ( E } } _ { \nu } \mathrm { \tiny ~ ) } \sigma _ { \nu _ { e } } { \mathrm { \tiny ~ ( E } } _ { \nu } \mathrm { \tiny ~ ) } + P _ { \nu _ { \mu } \nu _ { e } } { \mathrm { \tiny ~ ( E } } _ { \nu } \mathrm { \tiny ~ ) } \sigma _ { \nu _ { \mu } } { \mathrm { \tiny ~ ( E } } _ { \nu } \mathrm { \tiny ~ ) } + P _ { \nu _ { \tau } \nu _ { e } } { \mathrm { \tiny ~ ( E } } _ { \nu } \mathrm { \tiny ~ ) } \sigma _ { \nu _ { \tau } } { \mathrm { \tiny ~ ( E } } _ { \nu } \mathrm { \tiny ~ ) } \right\} d E _ { \nu }
{ { \left( Q _ { x } ^ { r } \right) } _ { i - 1 / 2 } } = P _ { x } ^ { ^ { A O \left( 5 , 3 \right) } } \left( { { x } _ { i - 1 / 2 } } \right) , { { \left( Q _ { x } ^ { l } \right) } _ { i + 1 / 2 } } = P _ { x } ^ { ^ { A O \left( 5 , 3 \right) } } \left( { { x } _ { i + 1 / 2 } } \right) .
\begin{array} { r l } { E } & { [ Z _ { m _ { 1 } } Z _ { m _ { 2 } } { \cdots } Z _ { m _ { n _ { 0 } } } ] } \\ { = } & { A _ { 0 } ^ { n _ { 0 } } e ^ { - \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { 0 } } \frac { { 2 s } _ { m _ { i } } ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } } } \\ & { \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \big ( \frac { 2 n _ { 0 } } { w ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 \sigma _ { s } ^ { 2 } } \big ) \delta ^ { 2 } } \frac { \delta } { 2 \pi \sigma _ { s } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { - \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { 0 } } \frac { 4 s _ { m _ { i } } \delta \cos { ( \phi _ { m _ { i } } - \theta ) } } { w ^ { 2 } } } \, d \theta \, d \delta . } \end{array}
\overline { { D } } \equiv \tilde { D } \frac { I _ { 0 } ^ { 2 } ( \tilde { a } c _ { 1 } ) I _ { 0 } ^ { 2 } ( \tilde { a } c _ { 2 } ) } { I _ { 0 } ( 2 \tilde { a } c _ { 1 } ) I _ { 0 } ( 2 \tilde { a } c _ { 2 } ) } , \; \mathrm { a n d } \; \overline { { u } } _ { 0 } \equiv \frac { 1 } { \tilde { a } } \log \left[ \frac { I _ { 0 } ( 2 \tilde { a } c _ { 1 } ) I _ { 0 } ( 2 \tilde { a } c _ { 2 } ) } { I _ { 0 } ( \tilde { a } c _ { 1 } ) I _ { 0 } ( \tilde { a } c _ { 2 } ) } \right] ,
< { \cal O } _ { N } ( \theta ) { \cal O } _ { N } ( \theta ^ { \prime } ) > = K _ { N } ( \theta , \theta ^ { \prime } ) = c { \frac { l ^ { d + 1 } } { 2 ^ { d + 1 } } } \ln \sin ^ { 2 } { \frac { \gamma } { 2 } }
\begin{array} { r l } { { \mathbf { v } } \wedge { \mathbf { w } } } & { { } = ( a { \mathbf { e } } _ { 1 } + b { \mathbf { e } } _ { 2 } ) \wedge ( c { \mathbf { e } } _ { 1 } + d { \mathbf { e } } _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal P } _ { + } } & { { } = } & { \frac { 2 c \Lambda \left( - c \sqrt { I _ { p } \left( 2 c ^ { 2 } - I _ { p } \right) } p _ { k 0 } - c ^ { 2 } \left( - 2 \varepsilon + I _ { p } \right) + 2 c ^ { 4 } - I _ { p } \varepsilon \right) + \sqrt { 2 \Lambda ( \varepsilon - c ^ { 2 } + I _ { p } ) } \left( \sqrt { - I _ { p } \left( - 2 c ^ { 2 } + I _ { p } \right) } + 2 c ^ { 2 } - I _ { p } \right) \left( \varepsilon + c \left( c + p _ { k 0 } \right) \right) } { 2 c ^ { 3 / 2 } \Lambda \left( 4 c ^ { 2 } - 2 I _ { p } \right) { } ^ { 3 / 4 } \sqrt { \varepsilon \left( c ^ { 2 } + \varepsilon \right) } } } \end{array}
Z ^ { \beta } = \frac { \Upsilon ^ { 0 0 } } { \Lambda _ { \rho } } \varrho _ { o } U ^ { \beta } - \frac { \epsilon _ { o } \mathbb { A } ^ { 0 } } { \gamma } \mathbb { F } ^ { 0 \mu } \partial _ { \mu } U ^ { \beta }
\begin{array} { c } { { \displaystyle - { \cal M } \displaystyle \int \displaystyle \frac { d x } { 2 \pi } \sinh x \, { \cal Q } ( x ) = - { \cal M } \displaystyle \int \displaystyle \frac { d x } { 2 \pi } \displaystyle \frac { 1 } { 2 } [ e ^ { x } \, { \cal Q } ( x ) - e ^ { - x } \, { \cal Q } ( x ) ] \, , } } \\ { { - { \cal M } \displaystyle \int \displaystyle \frac { d x } { 2 \pi } \cosh x \, { \cal Q } ( x ) = - { \cal M } \displaystyle \int \displaystyle \frac { d x } { 2 \pi } \displaystyle \frac { 1 } { 2 } [ e ^ { x } \, { \cal Q } ( x ) + e ^ { - x } \, { \cal Q } ( x ) ] \, , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { { } = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \gamma - \eta \right) \pi \right) - a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \frac { 1 + \alpha + \gamma } { 2 } } \sin \frac { \left( 1 + \alpha - \gamma + 2 \eta \right) \pi } { 2 } + a _ { 1 } b _ { 3 } \rho ^ { 1 + \alpha + \gamma } \sin \left( \left( \alpha + \eta \right) \pi \right) } \end{array}
M _ { n } ( s , t ) = \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { n } k \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 , i } - t } { h _ { n } } \right) \right\} - \left\{ \frac { 1 } { n ^ { 2 } h _ { n } ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } k _ { 1 } \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } \right) k _ { 2 } \left( \frac { Z _ { 2 , j } - t } { h _ { n } } \right) \right\} ,
\mathcal { H } _ { O } = - \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \frac { \mathcal { G } m _ { 0 } m _ { k } } { 2 a _ { k } } J _ { 2 } \left( \frac { R } { a _ { k } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - 3 I _ { k } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } { ( \lambda _ { k } - \Omega _ { k } ) } \right)
\begin{array} { r l r } { \dot { f } } & { { } = } & { \left\{ i \left( \Delta + U | f | ^ { 2 } + 2 U | g | ^ { 2 } \right) - \frac { \kappa } { 2 } \right\} f + \zeta g + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } , } \\ { \dot { g } } & { { } = } & { \left\{ i \left( \Delta + U | g | ^ { 2 } + 2 U | f | ^ { 2 } \right) - \frac { \kappa } { 2 } \right\} g + \zeta f + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } . } \end{array}
\frac { M _ { 2 } ( m _ { Z } ) } { \alpha _ { 2 } ( m _ { Z } ) } = \frac { M _ { 2 L } ( M _ { P S } ) } { \alpha _ { 2 L } ( M _ { P S } ) } = \frac { M _ { 1 0 } ( M _ { U } ) } { \alpha _ { 1 0 } ( M _ { U } ) }