harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \| u ^ { ( h ) } - u _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { h } ) } } & { = \| \tilde { u } - u _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { h } ) } } \\ & { \leqslant \| \tilde { u } - \tilde { u } _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { h } ) } + \| \tilde { u } _ { h } - u _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { h } ) } } \\ & { \leqslant \| \tilde { u } - \tilde { u } _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { * } ) } + \| \tilde { u } _ { h } - u _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { h } ) } , } \end{array}
\delta = \frac { \hbar ^ { 2 } \omega _ { p } ^ { 2 } \omega _ { c e } \Delta \omega _ { c e } } { 1 6 m ^ { 2 } c ^ { 4 } \left( \omega _ { p } ^ { 2 } - \Delta \omega _ { c e } ^ { 2 } \right) } \left[ 1 + \frac { m v _ { t h } ^ { 2 } } { \hbar \omega _ { c e } } \operatorname { t a n h } \left( \frac { \mu B _ { 0 } } { k _ { B } T } \right) \right]
( \gamma _ { 1 } ) ^ { 2 } = { \frac { ( \operatorname { E } [ ( X - \mu ) ^ { 3 } ] ) ^ { 2 } } { ( \operatorname { v a r } ( X ) ) ^ { 3 } } } = { \frac { 4 } { ( 2 + \nu ) ^ { 2 } } } { \bigg ( } { \frac { 1 } { \mathrm { v a r } } } - 4 ( 1 + \nu ) { \bigg ) }
E \left\{ \sum _ { i , j = 0 } ^ { N } { \frac { i j } { N ^ { 2 } } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \psi _ { \ell } \psi _ { n } \right\} = \Psi ^ { 2 } \sum _ { i , j = 0 } ^ { N } { \frac { i j } { N } } \, ,
\begin{array} { r } { \delta A _ { 0 } ( r , t ) = \varepsilon a _ { 0 } ( r ) e ^ { - i \omega t } , \quad a _ { 0 } ^ { \prime } ( r ) = - j ( r ) E ( r ) , \qquad \delta Q ( r , t ) = \varepsilon j ( r ) Q ( r ) e ^ { - i \omega t } , \qquad } \end{array}
\pi _ { \frac { \rho } { 2 } } | L _ { \kappa , \rho , \rho ^ { \prime } } ( H , \lambda ) - \imath s 1 _ { \rho ^ { \prime } } | ^ { 2 } \pi _ { \frac { \rho } { 2 } } ^ { * } > \frac { 1 } { 4 } \, g ^ { 2 } \, { \bf 1 } _ { \frac { \rho } { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { P } _ { A ^ { \prime } } [ p ^ { \prime } ( a ) ] } & { = } & { \sum _ { a ^ { \prime } \in A ^ { \prime } } \delta _ { p ^ { \prime } ( a ) , p ( a | a ^ { \prime } ) } \, p ( a ^ { \prime } ) } \\ & { = } & { \sum _ { a ^ { \prime } \in A ^ { \prime } } \delta _ { p ^ { \prime } ( a ) , \delta _ { a , a ^ { \prime } } } \cdot p ( a ^ { \prime } ) } \\ & { = } & { \delta _ { p ^ { \prime } ( a ) , 1 } \cdot p ( a ) + \sum _ { a ^ { \prime } \neq a } \delta _ { p ^ { \prime } ( a ) , 0 } \cdot p ( a ^ { \prime } ) } \\ & { = } & { \delta _ { p ^ { \prime } ( a ) , 1 } \cdot p ( a ) + \delta _ { p ^ { \prime } ( a ) , 0 } \cdot ( 1 - p ( a ) ) } \\ & { = } & { p ( a ) ^ { \delta _ { p ^ { \prime } ( a ) , 1 } } \cdot ( 1 - p ( a ) ) ^ { 1 - \delta _ { p ^ { \prime } ( a ) , 0 } } } \\ & { = } & { p ^ { x } q ^ { 1 - x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha = \operatorname* { m i n } } & { \left\{ \frac { e ^ { - \zeta ( g ) } \left( \rho _ { \operatorname* { m a x } } - \frac { 1 } { T \lambda ^ { i } w } \right) - \frac { \psi } { g \lambda ^ { i } } } { \frac { e ^ { \zeta ( g ) } } { v _ { f } } + \frac { 1 } { e ^ { \zeta ( g ) } w } } , \right. } \\ & { \quad \left. \frac { e ^ { - \zeta ( g ) } \rho _ { \operatorname* { m a x } } - \frac { e ^ { \zeta ( g ) } } { T \lambda ^ { i } v _ { f } } - \frac { \psi } { g \lambda ^ { i } } } { \frac { e ^ { \zeta ( g ) } } { v _ { f } } + \frac { 1 } { e ^ { \zeta ( g ) } w } } \right\} . } \end{array}
G ^ { v m d c } ( s , t , u ) = \frac { \overline { { { \lambda } } } } { 3 - c } \{ \frac { m _ { \rho } ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { \rho } ^ { 2 } - s } + \frac { m _ { \rho } ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { \rho } ^ { 2 } - t } + \frac { m _ { \rho } ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { \rho } ^ { 2 } - u } - c \}
H ^ { ( 1 ) } = { \frac { - \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } + { \frac { m \omega ^ { 2 } } { 2 } } x ^ { 2 } - { \frac { \hbar \omega } { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \sum _ { s \in \mathcal { S } _ { 2 } } \mathbb { E } [ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) ] } & { \leq } & { C L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } | \mathcal { S } _ { 2 } | + C L ^ { 2 } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) | \mathcal { S } _ { 2 } | } \\ & { \leq } & { C L \gamma _ { n } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + C L ^ { 2 } \gamma _ { n } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) } \\ & { \leq } & { C L \gamma _ { n } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + C L ^ { 2 } n \beta _ { n } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { p } } & { { } = \frac { K ^ { 2 } } { K _ { p } ^ { \prime } } , K _ { q } = K \frac { K _ { q } ^ { \prime } } { K _ { p } ^ { \prime } } , } \\ { \theta _ { p } \rightarrow \theta _ { k } , } & { { } \theta _ { k } \rightarrow \theta _ { p ^ { \prime } } , \theta _ { q } = \theta _ { q ^ { \prime } } . } \end{array}
A ( \theta _ { i } ^ { + } ) = \frac { { f _ { j } ^ { + } } ^ { 2 } { g _ { i } ^ { + } } ^ { 2 } + { f _ { i } ^ { + } } ^ { 2 } { g _ { j } ^ { + } } ^ { 2 } } { 2 f _ { i } ^ { + } f _ { j } ^ { + } g _ { i } ^ { + } g _ { j } ^ { + } } .
\therefore ( { \frac { \pi } { 2 } } - \psi ) + ( { \frac { \pi } { 2 } } - \theta ) + ( { \frac { \pi } { 2 } } - \phi ) = { \frac { 3 \pi } { 2 } } - ( \psi + \theta + \phi ) = { \frac { 3 \pi } { 2 } } - { \frac { \pi } { 2 } } = \pi
\overline { { f } } _ { \Sigma _ { \mathcal { R } } } \left( W ^ { \prime } , \overline { { W } } ^ { \prime } \right) > \overline { { f } } _ { \Sigma _ { \mathcal { R } } } \left( W _ { a u g } ^ { \prime } , \overline { { W } } _ { a u g } ^ { \prime } \right) - \frac { 2 \tilde { R } } { U _ { 1 } 2 ^ { v \cdot \left( 2 M _ { 1 } + 3 \right) } } > \overline { { f } } _ { \Sigma _ { \mathcal { R } } } \left( W _ { a u g } ^ { \prime } , \overline { { W } } _ { a u g } ^ { \prime } \right) - \frac { 1 } { \tilde { R } } .
\begin{array} { r l } { \phi ( a + a ^ { \prime } , b ) } & { { } = \phi ( a , b ) + \phi ( a ^ { \prime } , b ) } \\ { \phi ( a , b + b ^ { \prime } ) } & { { } = \phi ( a , b ) + \phi ( a , b ^ { \prime } ) } \\ { \phi ( a r , b ) } & { { } = \phi ( a , r b ) } \end{array}
t = \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } , \qquad n _ { i } = \alpha \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } - \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { x } _ { i } , \qquad r _ { i } = \beta \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } + 2 \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { x } _ { i } - \gamma \sigma \varepsilon ^ { - 1 / 2 } \mathbf { a } _ { i } .
\begin{array} { r l } { \left. { n } _ { \mathrm { i n d } } ( \boldsymbol { x } ) \right| _ { \boldsymbol { X } , A } } & { { } = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { n } _ { \mathrm { i n d } } ( 2 m \boldsymbol { X } ) | _ { A } \delta _ { \boldsymbol { x } , 2 m \boldsymbol { X } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \rho ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } , e ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } \rangle = \sum _ { k = 1 } ^ { n } p _ { n - k } ^ { ( n ) } \langle \Delta _ { h } e ^ { k - \frac { 1 } { 2 } } , e ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } \rangle + \sum _ { k = 1 } ^ { n } p _ { n - k } ^ { ( n ) } \langle \Upsilon ^ { k } , e ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } \rangle , } \end{array}
\Sigma _ { 2 ( - ) } ^ { ^ { L } } = \frac { \alpha ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \biggl [ \int _ { \ \ \ \rho _ { 2 } ^ { 2 } } ^ { \rho _ { 4 } ^ { 2 } } \frac { d z } { z ^ { 2 } } L ^ { 2 } A - \int _ { \ \ \ \ m _ { 2 3 } } ^ { \rho _ { 4 } ^ { 2 } } \frac { d z } { z ^ { 2 } } L ^ { 2 } B \biggl ( \frac { \sqrt { z } } { \rho _ { 3 } } \biggr ) \biggr ] \ ,
\left. | K ( X , D ) | \leq \sum _ { Y _ { i } : s u p p \, Y _ { i } = X } \ \sum _ { v : v _ { p } \neq 0 } \, \prod _ { p \in Y _ { i } } \, \left[ \tilde { I } _ { \beta } \, ( v _ { p } ) \right] \right. \ .
P = \sum _ { i } { \frac { m _ { i } ^ { 2 } T ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } } K _ { 2 } ( { \frac { m _ { i } } { T } } ) + { \frac { T ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } } \int _ { M } ^ { \infty } d m \tau ( m ) m ^ { 2 } K _ { 2 } ( { \frac { m } { T } } )
\varDelta = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { S ^ { \dagger } \left( \phi \right) S \left( \phi \right) \mathrm { R e } \mathcal { I } \left( \phi \right) d \phi } = \frac { 4 } { k } \sum _ { \ell = - \infty } ^ { + \infty } { \sin ^ { 2 } \vartheta _ { l } }
\begin{array} { r l } { \Psi _ { \mathrm { R N N } } \left( \boldsymbol { \sigma } ; \mathcal { W } \right) } & { = \sqrt { \prod _ { i = 1 } ^ { N } p _ { \mathrm { R N N } } \left( \sigma _ { i } | \sigma _ { < i } ; \mathcal { W } \right) } } \\ & { = \sqrt { p _ { \mathrm { R N N } } \left( \boldsymbol { \sigma } ; \mathcal { W } \right) } } \\ & { \approx \Psi \left( \boldsymbol { \sigma } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \psi } ^ { ( n , m ) } } & { = N _ { \uparrow } ( N _ { \uparrow } - 1 ) \cdots ( N _ { \uparrow } - n + 1 ) N _ { \downarrow } ( N _ { \downarrow } - 1 ) \cdots ( N _ { \downarrow } - m + 1 ) } \\ & { \quad \times \idotsint \left\vert \psi \right\vert ^ { 2 } \, \textnormal { d } X _ { [ n + 1 , N _ { \uparrow } ] } \, \textnormal { d } Y _ { [ m + 1 , N _ { \downarrow } ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { L } \sin k _ { \nu } x \cos k _ { \mu } x d x = \int _ { 0 } ^ { L } \frac { 1 } { 2 } \left[ \sin ( k _ { \nu } + k _ { \mu } ) x + \sin ( k _ { \nu } - k _ { \mu } ) x \right] d x = } \\ & { } & { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; = - \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { 1 } { k _ { \nu } + k _ { \mu } } \cos ( k _ { \nu } + k _ { \mu } ) x \Big \vert _ { 0 } ^ { L } + \frac { 1 } { k _ { \nu } - k _ { \mu } } \cos ( k _ { \nu } - k _ { \mu } ) x \Big \vert _ { 0 } ^ { L } \right] = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( S _ { 2 } = 0 ) = } & { { } P ( S _ { 2 } = 0 | S _ { 1 } = 0 ) P ( S _ { 1 } = 0 ) + } \\ { P ( S _ { 2 } = 1 ) = } & { { } P ( S _ { 2 } = 1 | S _ { 1 } = 0 ) P ( S _ { 1 } = 0 ) + } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \sigma ^ { 2 } \right\rangle = } & { { } \frac { \zeta ^ { 2 } } { 2 \theta } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { 2 ^ { - m } } { N } \sum _ { u = 0 } ^ { m } \binom { m } { u } \times } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathscr D _ { x } } & { = \frac { t _ { x } - 1 } { \Delta x } } & { \mathscr D _ { y } } & { = \frac { t _ { y } - 1 } { \Delta y } } \\ { \mathscr D _ { x } ^ { \prime } } & { = \frac { t _ { x } - 1 } { t _ { x } \Delta x } } & { \mathscr D _ { y } ^ { \prime } } & { = \frac { t _ { y } - 1 } { t _ { y } \Delta y } } \end{array}
\Tilde { f } ^ { S R 1 } ( \vec { r } , \omega ) = \sum _ { \vec { n } } \frac { \mathrm { e } ^ { - \alpha R } } { 2 R } \left[ \mathrm { e r f c } \left( \frac { R - 2 \alpha c } { 2 \sqrt { c } } \right) + \mathrm { e } ^ { 2 \alpha R } \mathrm { e r f c } \left( \frac { R + 2 \alpha c } { 2 \sqrt { c } } \right) \right] \, .
\operatorname* { l i m } _ { \tau \to 0 } \; \operatorname* { s u p } _ { \{ \mathfrak { m } _ { k , m } ^ { + } \} } \operatorname* { i n f } _ { \substack { \{ \lambda _ { m } \} \, \{ \mu _ { k , m } ^ { + } \} } } \mathfrak { L } _ { \tau } = \operatorname* { s u p } _ { \{ \mathfrak { m } _ { k , m } ^ { + } \} } \operatorname* { i n f } _ { \substack { \{ \lambda _ { m } \} \, \{ \mu _ { k , m } ^ { + } \} } } \mathfrak { L } ,
- { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { d | w | ^ { 2 } } { 1 + | w | ^ { 2 } } } = A _ { 5 } ^ { 8 } \sigma _ { 4 } - A _ { 4 } ^ { 8 } \sigma _ { 5 } + A _ { 7 } ^ { 8 } \sigma _ { 6 } - A _ { 6 } ^ { 8 } \sigma _ { 7 } .
\begin{array} { r l } { E _ { 3 l } } & { \geq - c _ { 3 l , 1 } b \Big | d - \eta _ { k } \Big | ( e - s ) \Delta ^ { - 2 } \geq - c _ { 3 l , 2 } b \Big | d - \eta _ { k } \Big | \Delta ^ { - 3 } ( e - s ) ^ { 3 / 2 } \widetilde { f } _ { \eta _ { k } } ^ { ( s , e ] } \Big ( z _ { 0 } \Big ) \kappa ^ { - 1 } } \\ & { \geq - c _ { 1 l } / 2 \Big | d - \eta _ { k } \Big | \Delta \widetilde { f } _ { \eta _ { k } } ^ { ( s , e ] } \Big ( z _ { 0 } \Big ) ( e - s ) ^ { - 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( x , z ) ^ { 2 } } & { = \Big | \Big | \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } v _ { i } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 } v _ { i } \Big | \Big | ^ { 2 } } \\ & { = \Big | \Big | \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - \frac { 1 } { 2 } ) v _ { i } \Big | \Big | ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { ( 2 x _ { i } - 1 ) ^ { 2 } } { 4 } a _ { i } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { ( 2 x _ { i } - 1 ) ( 2 x _ { i + 1 } - 1 ) } { 2 } \langle v _ { i } , v _ { i + 1 } \rangle , } \end{array}
\Gamma ^ { \mu } ( p _ { f } , p _ { i } ) = P ^ { \mu } A ( q ^ { 2 } , p _ { f } ^ { 2 } , p _ { i } ^ { 2 } ) + \left( P ^ { \mu } q ^ { 2 } - q ^ { \mu } P \cdot q \right) B ( q ^ { 2 } , p _ { f } ^ { 2 } , p _ { i } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r } { a _ { K } ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } ) = \left[ \begin{array} { l } { \vec { v } _ { B , K } } \\ { \vec { v } _ { I , K } } \end{array} \right] ^ { T } \boldsymbol { E } _ { K } \left[ \begin{array} { l } { \vec { u } _ { B , K } } \\ { \vec { u } _ { I , K } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \vec { v } _ { B , K } } \\ { \vec { v } _ { I , K } } \end{array} \right] ^ { T } \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { E } _ { B B } } & { \boldsymbol { E } _ { B I } } \\ { \boldsymbol { E } _ { I B } } & { \boldsymbol { E } _ { I I } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \vec { u } _ { B , K } } \\ { \vec { u } _ { I , K } } \end{array} \right] \qquad \forall \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } \in \boldsymbol { X } _ { D } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { \widetilde { \mathrm { c a p } } _ { s } ( \Sigma ; B _ { R } ) } } & { \le [ \psi ] _ { W ^ { s , 2 } ( \mathbb { R } ^ { N } ) } } \\ & { = \left( [ \psi ] _ { W ^ { s , 2 } ( B _ { R } ) } ^ { 2 } + 2 \, \int _ { B _ { R } } | \psi ( x ) | ^ { 2 } \, \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { N } \setminus B _ { R } } \frac { d y } { | x - y | ^ { N + 2 \, s } } \right) \, d x \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \le [ \psi ] _ { W ^ { s , 2 } ( B _ { R } ) } + \sqrt { 2 } \, \left( \int _ { B _ { R } } | \psi ( x ) | ^ { 2 } \, \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { N } \setminus B _ { R } } \frac { d y } { | x - y | ^ { N + 2 \, s } } \right) \, d x \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
M _ { \alpha \beta } = \frac { e ^ { 2 } Q _ { e } Q _ { q } } { s } + \frac { e ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { w } } \cos ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { w } } } \; \frac { g _ { \alpha } ^ { e } g _ { \beta } ^ { q } } { s - M _ { Z } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { X ( g ^ { 0 } , \pi / 4 ) } & { { } = } & { 0 , } \\ { X ( g ^ { 1 } , \pi / 4 ) } & { { } = } & { - 0 . 2 0 7 1 1 , } \\ { X ( g ^ { 2 } , \pi / 4 ) } & { { } = } & { - 0 . 3 9 6 0 2 , } \\ { X ( g ^ { 3 } , \pi / 4 ) } & { { } = } & { - 0 . 4 8 6 6 9 , } \\ { X ( g ^ { 4 } , \pi / 4 ) } & { { } = } & { - 0 . 4 9 9 7 8 , } \\ { X ( g ^ { \infty } , \pi / 4 ) } & { { } = } & { - 0 . 5 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { P 3 } : ~ \operatorname* { m i n } _ { \hat { x } _ { g , t } , \check { x } _ { g , t } , \forall g } ~ } & { \sum _ { g \in { \mathcal { G } } } ( - V \pi _ { t } - \hat { Q } _ { g , t } - \hat { Z } _ { g , t } ) \hat { x } _ { g , t } } \\ & { + \sum _ { g \in { \mathcal { G } } } ( V \pi _ { t } - \check { Q } _ { g , t } - \check { Z } _ { g , t } ) \check { x } _ { g , t } , } \\ { \mathrm { s . t . } ~ } & { - , } \end{array}
\int _ { \omega ^ { \prime } } ^ { \infty } J _ { t r } ( \omega _ { 1 } ) \left[ 1 - \exp \left( - i x \frac { \omega _ { 1 } } { \omega } \right) \right] \frac { d \omega _ { 1 } } { \omega _ { 1 } } \simeq \int _ { \omega ^ { \prime } } ^ { \infty } J _ { t r } ( \omega _ { 1 } ) \frac { d \omega _ { 1 } } { \omega _ { 1 } } \simeq \left( \ln \frac { \omega _ { p } } { \omega ^ { \prime } } - 1 \right) ^ { 2 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 } .
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { ~ f ~ u ~ l ~ l ~ } } } & { { } = } & { H _ { \mathrm { ~ C ~ - ~ M ~ } } + \hbar \omega _ { \mathrm { ~ L ~ } } l ^ { \dagger } l + \hbar J ( l ^ { \dagger } + l ) ( a ^ { \dagger } + a ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 0 } ( t ) } & { = P _ { 0 } ( 0 ) + C _ { 2 } \int _ { \mathbb R ^ { n } } \widehat \sigma _ { 2 } ( \xi ) \widehat \psi _ { 0 } ( 0 , \xi ) \displaystyle \frac { \sin ( c | \xi | t ) } { c | \xi | } \displaystyle \frac { \, { \mathrm { d } } \xi } { ( 2 \uppi ) ^ { n } } - 2 c ^ { 2 } C _ { 2 } \int _ { \mathbb R ^ { n } } \widehat \sigma _ { 2 } ( \xi ) \widehat \pi _ { 0 } ( 0 , \xi ) \displaystyle \frac { 1 - \cos ( c | \xi | t ) } { c ^ { 2 } | \xi | ^ { 2 } } \displaystyle \frac { \, { \mathrm { d } } \xi } { ( 2 \uppi ) ^ { n } } } \\ & { \ - C _ { 1 } C _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \displaystyle \int _ { 0 } ^ { s } p _ { c } ( \tau ) \, { \mathrm { d } } \tau \, { \mathrm { d } } s } \end{array}
\bar { h } _ { i } \equiv { \frac { \bar { a } _ { i } ^ { \prime } } { \bar { a } _ { i } } } = { \frac { \tilde { a } ^ { \prime } } { \tilde { a } } } + { \frac { \Omega _ { i } ^ { \prime } } { \Omega _ { i } } } \ .
\begin{array} { r l } { \hat { U } _ { t + 1 } } & { = \operatorname* { m i n } _ { \nu _ { t } > 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \zeta _ { t } > 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \tau _ { t } \geq 0 } \left( \operatorname* { m i n } _ { h \left( \zeta _ { t } , \nu _ { t } , \tau _ { t } \right) \le \rho _ { t } ^ { 2 } } \left( \rho _ { t } ^ { 2 } \hat { U } _ { t } + \left( 1 + \frac { 1 } { \nu _ { t } } \right) \sigma _ { t } ^ { 2 } \right) \right) \right) \right) . } \end{array}
W \supset N _ { b } ^ { 1 } \overline { { { 5 } } } _ { - b } ^ { F N ( 2 ) } H ^ { u } + N _ { - b } ^ { 2 } \overline { { { 5 } } } _ { b } ^ { 1 } H ^ { u } + M N _ { b } ^ { 1 } N _ { - b } ^ { 2 } \; ,
\begin{array} { r l r } & { \partial _ { t } z _ { n } - \partial _ { x } \left( \gamma \left( u _ { n } + \frac { 1 } { n } \right) \partial _ { x } z _ { n } \right) - g _ { 0 } z _ { n } - u _ { n } \partial _ { x } g _ { 0 } = 0 , } & { \mathrm { i n ~ } \Omega } \\ & { \partial _ { x } z _ { n } = 0 , } & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega } \\ & { z _ { n } ( x , 0 ) = \partial _ { x } \varphi _ { 0 } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda } & { = \varepsilon - f \left( 1 - \lambda - \sigma \right) ^ { 2 } - \left( 1 - f \right) \left( \varepsilon - \lambda \right) ^ { 2 } , } \\ { \sigma } & { = 2 \left( 1 - f \right) \left[ \varepsilon \left( 1 - \varepsilon \right) - \left( \varepsilon - \lambda \right) \left( 1 - \varepsilon - \sigma \right) \right] , } \end{array}
( 1 - \frac { 1 } { \theta } ) \cdot ( 1 - \frac { 1 } { \theta ^ { k _ { r - 1 } } } ) \cdot \sum _ { i = k _ { r } } ^ { \infty } \frac { 1 } { \theta ^ { i } - 1 } + ( 1 - \frac { 1 } { \theta } ) ^ { 2 } \cdot ( 1 - \frac { 1 } { \theta ^ { k _ { r - 2 } } } ) \cdot \sum _ { i _ { 1 } = k _ { r } } ^ { \infty } \frac { 1 } { \theta ^ { i _ { 1 } } - 1 } \sum _ { i _ { 2 } = k _ { r - 1 } } ^ { i _ { 1 } - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i _ { 2 } } - 1 } + \ldots +
\frac { 1 } { 2 < \psi _ { A B } | \psi _ { A B } > } \left[ < \psi _ { A B } | z _ { A } \frac { \partial } { \partial z _ { A } } \psi _ { A B } > + < z _ { A } \frac { \partial } { \partial z _ { A } } \psi _ { A B } | \psi _ { A B } > \right] = \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \frac { N } { 2 } )
\operatorname* { m a x } s _ { X } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { s _ { X } ( 1 , 1 ) , } & { q _ { 1 } < 1 } \\ { s _ { X } ( 1 , p _ { 2 } ) , } & { q _ { 1 } = 1 } \end{array} \right.
\log \rho ^ { X Q } = \log \left( \sum _ { x = 1 } ^ { n } p _ { x } | x \rangle \langle x | \otimes \rho _ { x } \right) = \sum _ { x = 1 } ^ { n } | x \rangle \langle x | \otimes \log \left( p _ { x } \rho _ { x } \right) = \sum _ { x = 1 } ^ { n } \log p _ { x } | x \rangle \langle x | \otimes I ^ { Q } + \sum _ { x = 1 } ^ { n } | x \rangle \langle x | \otimes \log \rho _ { x } ,
M ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 a } \left( \begin{array} { c c } { { \pi n ( n - 1 ) \left( g ^ { 2 } N + \lambda _ { 2 } \right) } } & { { 4 n \sqrt { n + 1 } ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } ) } } \\ { { 4 n \sqrt { n + 1 } ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } ) } } & { { \pi ( n + 1 ) ( n + 2 ) \left( g ^ { 2 } N + \lambda _ { 2 } \right) + 4 \pi ( n + 1 ) \lambda _ { 1 } } } \end{array} \right) + O ( \beta ) \; .
\begin{array} { r l } { \gamma } & { \vdash r _ { 1 } ( \gamma ) \equiv \alpha _ { 1 } ( \gamma , a ( \gamma ) ) \bullet a ( \alpha ( \gamma ) ) ^ { - 1 } : \phi ( \gamma , a ( \gamma ) ) = a ( \textnormal { \texttt { c } } ( \gamma ) ) } \\ { \gamma } & { \vdash r _ { 2 } ( \gamma ) \equiv \alpha _ { 1 } ( \gamma , a ( \gamma ) ) \bullet a ( \alpha ( \gamma ) ) ^ { - 1 } \bullet p ( \textnormal { \texttt { c } } ( \gamma ) ) : \phi ( \gamma , a ( \gamma ) ) = b ( \textnormal { \texttt { c } } ( \gamma ) ) } \end{array}
r _ { \mathrm { ~ s ~ h ~ o ~ c ~ k ~ } } \left( t \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( - t \right) ^ { \frac { 1 } { \lambda } } } & { t \leq 0 } \\ { \left( \frac { t } { B } \right) ^ { \frac { 1 } { \lambda } } } & { t > 0 } \end{array} \right.
\psi = \ell \left\{ \begin{array} { l l } { \phi - c _ { \phi } \Phi - \mathrm { d } \phi _ { \ell } , } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } q > 0 , } \\ { \phi - c _ { \phi } \Phi - \alpha _ { \ell } , } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } q = 0 , } \end{array} \right.
\lambda ( q , \tilde { \beta } , \eta ) = e ^ { - \eta ^ { 2 } } t ^ { - q / 2 } e ^ { - 2 \eta ^ { 2 } t / ( 1 - t ) } I _ { q } \left( \frac { 2 \eta ^ { 2 } \sqrt { t } } { 1 - t } \right)
\begin{array} { r l } & { \frac { \delta } { \delta x } s ( x ) = \frac { \log ( \gamma ) } { h } \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } \left[ \gamma ^ { | x - t | / h } | x - x _ { k } | + \frac { \gamma ^ { 1 / h } } { 1 - \gamma ^ { 1 / h } } \left\{ \gamma ^ { ( x - t ) / h } + \gamma ^ { ( t - x ) / h } \right\} \right] \left| Y _ { k } ^ { * } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { r e g } ^ { t } ( \mathbf { w } , \mathbf { m } _ { t } , \sigma _ { t } ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { T \times N } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } } ( } & { { } \frac { 1 } { \sigma _ { t , n } ^ { 2 } } | | ( \hat { y } _ { t , n } - \tilde { y } _ { t , n } ) m _ { t , n } | | _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathcal { L } _ { 1 } ^ { 2 3 } \right) _ { \pm } ^ { * } = } & { \mathcal { L } _ { 1 } ^ { 2 3 } \left( \tilde { \gamma } _ { 2 } - \omega _ { 0 } \, \tau _ { \pm } ^ { * } , \tilde { \psi } _ { 1 } - \omega _ { 1 } \, \tau _ { \pm } ^ { * } , \tilde { \gamma } _ { 3 } - \omega _ { 2 } \, \tau _ { \pm } ^ { * } , \tilde { \ell } _ { 3 } - \omega _ { 3 } \, \tau _ { \pm } ^ { * } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } \right) } \\ { = } & { \mathcal { L } _ { 1 } ^ { 2 3 } \left( - \frac { \pi } { 2 } , \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } \right) + \cdots } \\ { = } & { \mp \left( 1 + \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \, \cos v _ { 3 } \right) ^ { 3 } \, \kappa \left( \frac { \pi \, \tilde { \Gamma } _ { 2 } } { A _ { 2 } L _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \, B _ { 1 } \left( \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \ell } _ { 3 } \right) + \cdots } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { f } _ { A } ( y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { A } ^ { 2 } } } \exp { \left( \frac { - \left( y - \mu _ { A } \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { A } ^ { 2 } } \right) } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } y > 0 , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ i f ~ } y = 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { K } \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) } & { = \left\Vert K \left( \cdot , x _ { 1 } \right) - K \left( \cdot , x _ { 2 } \right) \right\Vert _ { \mathscr { H } _ { K } } ^ { 2 } } \\ & { = K \left( x _ { 1 } , x _ { 1 } \right) + K \left( x _ { 2 } , x _ { 2 } \right) - 2 K \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) . } \end{array}