harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \frac { 1 } { 2 } } \, B ^ { \prime } \, \chi ^ { \alpha } \chi _ { \alpha } \, { \mathrm { , } } \quad { \frac { 1 } { 2 } } \, B \, \eta ^ { \alpha } \eta _ { \alpha } \, { \mathrm { , } } \quad { \mathrm { o r } } \quad M \, \eta ^ { \alpha } \chi _ { \alpha } \, { \mathrm { , } }
Z = { \left( \begin{array} { l l } { U _ { 1 , 1 } } & { U _ { 1 , 2 } } \\ { U _ { 2 , 1 } } & { U _ { 2 , 2 } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { \Lambda _ { 1 , 1 } } & { \Lambda _ { 1 , 2 } } \\ { 0 } & { \Lambda _ { 2 , 2 } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { U _ { 1 , 1 } ^ { T } } & { U _ { 2 , 1 } ^ { T } } \\ { U _ { 1 , 2 } ^ { T } } & { U _ { 2 , 2 } ^ { T } } \end{array} \right) }
\langle \Sigma ^ { + } \eta _ { 8 } | \Lambda _ { c } ^ { + } \rangle = \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \langle \Xi ^ { 0 } K ^ { + } | \Lambda _ { c } ^ { + } \rangle - { \frac { 1 } { \sqrt 3 } } \langle \Sigma ^ { + } \pi ^ { 0 } | \Lambda _ { c } ^ { + } \rangle ,
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \operatorname* { m i n } _ { \{ \zeta _ { g } \} , \{ a _ { k } \} , \{ \beta _ { g } \} , Z } } & { \quad } & & { Z } & & { } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { } & & { , , , } & & { } \\ & { } & & { , , } & { \quad } & { \forall k \in \mathcal { U } , } \\ & { } & & { 0 < a _ { k } \leq 1 , } & { \quad } & { \forall k \in \mathcal { U } , } \\ & { } & & { \zeta _ { g } > 0 , \quad 0 < \beta _ { g } < 1 , } & { \quad } & { g = 1 , 2 , \ldots , G , } \\ & { } & & { Z > 0 . } & & { } \end{array}
\frac { \partial V _ { e f f } } { \partial \chi } = \frac { 1 } { 8 \pi \chi } \left[ \chi - m ^ { 2 } - \lambda _ { r } \left( \phi ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 \pi } { \ln } [ \frac { m ^ { 2 } } { \chi } ] \right) - \eta \left( \phi ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 \pi } { \ln } [ \frac { m ^ { 2 } } { \chi } ] \right) ^ { 2 } \right]
\Phi = \frac { 3 } { 4 } B _ { 1 } ( k ) \frac { { \cal H } } { a ^ { 2 } } + \frac { 3 } { 4 } B _ { 2 } ( k ) \frac { { \cal H } } { a ^ { 2 } } \int ^ { \eta } \frac { \mathrm { d } \tau } { \theta ^ { 2 } } ,
\Phi _ { + } ^ { + Y ^ { \prime } } ( x , \theta ^ { + } , u ) = \rho _ { + } ^ { + Y ^ { \prime } } ( x , u ) + \theta _ { + } ^ { + A ^ { \prime } } \phi _ { A ^ { \prime } } ^ { Y ^ { \prime } } ( x , u ) + i ( \theta _ { + } ^ { + } ) ^ { 2 } \chi _ { - } ^ { - Y ^ { \prime } } ( x , u ) \; ,
\begin{array} { r } { x ^ { * } = \frac { x } { D _ { 0 } } , \quad u ^ { * } = \frac { u } { U _ { \infty } } , \quad V _ { l } ^ { * } = \frac { V _ { l } } { \pi D _ { 0 } ^ { 3 } / 6 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } } & { { } = \alpha \left( 1 + 0 . 3 8 \frac { R e _ { p } } { 2 4 } + \frac { R e _ { p } ^ { 0 . 5 } } { 6 } \right) \left[ 1 + \exp \left( \frac { - 0 . 4 3 } { M _ { p } ^ { 4 . 6 7 } } \right) \right] , } \\ { f _ { 2 } } & { { } = \alpha \left( 1 + 0 . 3 R e _ { p } ^ { 0 . 5 } P r ^ { 0 . 3 3 } \right) . } \end{array}
\Delta q _ { T } ( x ) = { \frac { 1 } { 2 } } \int { \frac { d \lambda } { 2 \pi } } e ^ { i \lambda x } \langle P S _ { \perp } | \bar { \psi } ( x ) \gamma _ { \perp } \gamma _ { 5 } \psi ( 0 ) | P S _ { \perp } \rangle \ .
\begin{array} { r } { f ^ { \nu } \in L ^ { \frac 4 3 } ( ( 0 , T ) \times \Omega ) \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \nu ^ { \frac 1 4 } \left\lVert f ^ { \nu } \right\rVert _ { L ^ { \frac 4 3 } ( ( 0 , T ) \times \Omega ) } \to 0 \mathrm { ~ a ~ s ~ } \nu \to 0 . } \end{array}
I _ { 1 1 } = \int d ^ { 1 1 } x \sqrt { - g } ~ ( { \frac { R } { \kappa ^ { 2 } } } - 3 \, \hat { F } _ { [ 4 ] } ^ { 2 } ) + { 2 8 8 } \sigma \int \hat { F } _ { [ 4 ] } \wedge \hat { F } _ { [ 4 ] } \wedge \hat { A } _ { [ 3 ] }
J = { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { \sqrt { \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { s o l } } \sqrt { \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { a t m } } | U _ { e 3 } | } { 1 - | U _ { e 3 } | ^ { 2 } } } \sin \phi \ ,
\begin{array} { r l } { p _ { k } ^ { \sigma } ( x ) } & { = x - 2 \sum _ { \ell = 1 } ^ { k } \sum _ { y = 1 } ^ { x } \eta _ { k } ^ { \sigma } ( y ) = x - \sum _ { \ell = 1 } ^ { k } \sum _ { y = 1 } ^ { x } ( \eta _ { k } ^ { \sigma } ( y ) + \eta _ { k } ^ { \check { \sigma } } ( y ) ) - \sum _ { \ell = 1 } ^ { k } \sum _ { y = 1 } ^ { x } ( \eta _ { k } ^ { \sigma } ( y ) - \eta _ { k } ^ { \check { \sigma } } ( y ) ) } \\ & { = \xi _ { k } ( x ) - \sum _ { \ell = 1 } ^ { k } \mathcal { W } _ { \ell } ^ { \sigma } ( x ) } \end{array}
\mathrm { S F } _ { 2 } ( \tilde { t } ) = 2 \left( v ^ { 2 } - \int _ { - \infty } ^ { \infty } E ( \omega ) \exp ( { i \omega \tilde { t } } ) d \omega \right) = 2 \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left[ 1 - \exp ( { i \omega \tilde { t } } ) \right] E ( \omega ) d \omega
\int { \frac { d x } { q \tan a x + p } } = { \frac { 1 } { p ^ { 2 } + q ^ { 2 } } } ( p x + { \frac { q } { a } } \ln | q \sin a x + p \cos a x | ) + C \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } p ^ { 2 } + q ^ { 2 } \neq 0 { \mathrm { ) } }
z _ { i } ( \mathbf { x } + \mathbf { c _ { i } } \Delta t , t + \Delta t ) - z _ { i } ( \mathbf { x } , t ) = - \frac { \Delta t } { \tau } \left[ z _ { i } ( \mathbf { x } , t ) - z _ { i } ^ { e q } ( \mathbf { x } , t ) \right] + S _ { z _ { i } } ( \mathbf { x } , t ) \Delta t
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \widetilde v _ { r } - \nabla f ( x _ { r - 1 } ) \| ^ { 2 } = } & { \ \mathbb { E } \| \widetilde v _ { r - 1 } - \nabla f ( x _ { r - 2 } ) + \xi _ { r } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \ \mathbb { E } \| \widetilde v _ { r - 1 } - \nabla f ( x _ { r - 2 } ) \| ^ { 2 } + \mathbb { E } \| \xi _ { r } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \ \sum _ { r ^ { \prime } = T ( r ) } ^ { r } \mathbb { E } \| \xi _ { r ^ { \prime } } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \ \sigma _ { 1 } ^ { 2 } C _ { 1 } ^ { 2 } d + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } d \sum _ { r ^ { \prime } = T ( r ) + 1 } ^ { r } C _ { 2 , r } ^ { 2 } , } \end{array}
\mathrm { H a m } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } ( \mathbf { q } , \mathbf { p } ) = \sum _ { k = 0 } ^ { r _ { \infty } - 4 } \nu _ { \infty , k + 1 } ^ { \boldsymbol { ( \alpha ) } } H _ { \infty , k } - \hbar \sum _ { j = 1 } ^ { g } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \infty } - 1 } c _ { \infty , k } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } q _ { j } ^ { k } - \hbar \nu _ { \infty , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } \sum _ { j = 1 } ^ { g } p _ { j } - \hbar \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } \sum _ { j = 1 } ^ { g } q _ { j } p _ { j } ,
\begin{array} { r } { \left( \mathbb E \int _ { 0 } ^ { T } \operatorname { e } ^ { - \beta t } \left\| y ( t ) - y _ { r } ( t ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } d t \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leq \sum _ { k = r + 1 } ^ { n } \left( \mathbb E \int _ { 0 } ^ { T } \operatorname { e } ^ { - \beta t } \left\| y _ { k } ( t ) - y _ { k - 1 } ( t ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } d t \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
R ( \frac { k ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } , g ^ { 2 } ) = R ( 1 , Q ) e x p \bigl [ \int _ { g ^ { 2 } } ^ { Q ^ { 2 } } d x \frac { \gamma ( x ) } { \beta ( x ) } \bigr ] . \qquad \qquad Q . E . D .
I _ { \rho _ { 1 } \rho _ { 1 } } = \operatorname { E } \! \left[ \left( \frac { \partial } { \partial { \rho _ { 1 } } } \log p ( x ; \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) \right) ^ { \! \! 2 } \right] = \operatorname { E } \! \left[ \left( \frac { w \frac { \partial } { \partial \rho _ { 1 } } p ( x ; \rho _ { 1 } ) } { p ( x ; \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) } \right) ^ { \! \! 2 } \right] = w ^ { 2 } \, \operatorname { E } \! \left[ \left( \frac { \frac { \partial } { \partial \rho _ { 1 } } p ( x ; \rho _ { 1 } ) } { p ( x ; \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) } \right) ^ { \! \! 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { \omega ( \epsilon , R , \delta ) : = } & { \{ M _ { 0 , 1 } ( g _ { \epsilon , R , \delta } ) = 1 ; M _ { 0 , - \alpha - \tilde { \epsilon } } ( g _ { \epsilon , R , \delta } ) \leq c _ { 0 , - \alpha - \tilde { \epsilon } } ; M _ { 0 , \tilde { m } } ( g _ { \epsilon , R , \delta } ) \leq c _ { 0 , \tilde { m } } ; M _ { 1 , 0 } ( g _ { \epsilon , R , \delta } ) \leq c _ { 1 , 0 } \} } \\ & { \textup { i f \alpha > 0 a n d } } \\ { \omega ( \epsilon , R , \delta ) : = } & { \{ M _ { 0 , 1 } ( g _ { \epsilon , R , \delta } ) = 1 ; M _ { 0 , \gamma } ( g _ { \epsilon , R , \delta } ) \leq c _ { 0 , \gamma } ; M _ { 0 , \tilde { m } } ( g _ { \epsilon , R , \delta } ) \leq c _ { 0 , \tilde { m } } ; M _ { 1 , 0 } ( g _ { \epsilon , R , \delta } ) \leq c _ { 1 , 0 } \} } \\ & { \textup { i f \alpha = 0 , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda ( \beta _ { \mathcal { E } } ^ { - 1 } ( \beta _ { \mathcal { E } } ( x ) ) ) = \zeta _ { \mathcal { E } } ( \beta _ { \mathcal { E } } ( x ) ) = \zeta _ { \mathcal { E } } ( \mathsf { q } ( x ) + \mathsf { D } _ { \lambda } ( x ) \varepsilon ) = \mathsf { z } ( \mathsf { q } ( x ) ) + \mathsf { D } _ { \lambda } ( x ) \varepsilon = \lambda ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { { } = - \sum _ { \ell } \left[ t _ { 1 } ^ { ( \ell ) } \Sigma _ { + } ^ { \left( \ell + 1 \right) } \left( \Sigma _ { z } ^ { \left( \ell + 1 \right) } + 1 \right) \Sigma _ { - } ^ { \left( \ell \right) } \Sigma _ { z } ^ { \left( \ell \right) } + t _ { 2 } ^ { ( \ell ) } \Sigma _ { - } ^ { \left( \ell + 1 \right) } \left( \Sigma _ { z } ^ { \left( \ell + 1 \right) } - 1 \right) \Sigma _ { + } ^ { \left( \ell \right) } \Sigma _ { z } ^ { \left( \ell \right) } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { | A _ { \Omega } ( y ) | } & { \leqslant \frac { \left| \sin ( 2 \theta _ { \Omega } ( y ) ) - \sin ( 2 \theta _ { \Omega } ( 1 ) ) \right| } { y ^ { 2 } - y } + \frac { C _ { 0 } } { y ^ { 2 } ( \Omega - \kappa _ { 2 } ) } } \\ & { \leqslant \frac { C _ { 1 } } { y ^ { 2 } } + \frac { C _ { 0 } } { y ^ { 2 } ( \Omega - \kappa _ { 2 } ) } \cdot } \end{array}
R \ = \ \frac { 1 } { \zeta } \left\{ \tilde { R } - \frac { 1 } { \sqrt { | \operatorname* { d e t } ( \tilde { g } ) | } } \partial _ { i } \Big [ \sqrt { | \operatorname* { d e t } ( \tilde { g } ) | } \, \tilde { g } ^ { i j } \partial _ { j } \log ( | \zeta | ) \Big ] \right\} ,
\begin{array} { r } { T _ { 1 } : b _ { 1 } \longmapsto b _ { 1 } { a _ { 1 } } ^ { - 1 } , T _ { 2 } : a _ { 1 } \longmapsto a _ { 1 } b _ { 1 } , } \\ { T _ { 3 } : b _ { 1 } \longmapsto { a _ { 1 } } ^ { - 1 } { a _ { 2 } } ^ { - 1 } b _ { 1 } , b _ { 2 } \longmapsto { a _ { 2 } } ^ { - 1 } { a _ { 1 } } ^ { - 1 } b _ { 2 } , } \\ { T _ { 4 } : b _ { 2 } \longmapsto b _ { 2 } { a _ { 2 } } ^ { - 1 } , T _ { 5 } : a _ { 2 } \longmapsto a _ { 2 } b _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { n } ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { \| \mu \| ^ { 2 } n \bar { N } } \sum _ { i } N _ { i } \| \Omega _ { i } - \mu | ^ { 2 } \gtrsim \frac { 1 } { \| \mu \| ^ { 2 } } \sum _ { i } \| \Omega _ { i } - \mu \| ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { \| \mu \| ^ { 2 } } \| \Omega - \mu { \bf 1 } _ { n } ^ { \prime } \| _ { F } ^ { 2 } \geq \frac { 1 } { \| \mu \| ^ { 2 } } \sum _ { k = 2 } ^ { M } \lambda _ { k } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { n } ( \delta u _ { n } , \delta \phi _ { n } ) = } & { } & { k _ { a n } N ( \delta u _ { n } - h _ { 0 } ) ( 1 - \frac { a _ { 0 } } { a _ { n } } ) + k _ { b n } N ( \delta u _ { n } - h _ { 0 } ) ( 1 - \frac { b _ { 0 } } { b _ { n } } ) } \\ & { } & { + 2 k _ { \Psi n } N R h _ { 0 } ( \Psi _ { 0 } - \Psi _ { n } ) \frac { \cos \frac { \pi } { N } - \cos ( \delta \phi _ { n } + \theta _ { 0 } ) } { R ^ { 2 } [ \cos \frac { \pi } { N } - \cos ( \delta \phi _ { n } + \theta _ { 0 } ) ] ^ { 2 } + ( h _ { 0 } - \delta u _ { n } ) ^ { 2 } } } \end{array}
T = < v a c ^ { \prime } \mid \psi ^ { i } ( \vec { x } ) ^ { \dagger } ( - i \alpha . { \vec { \bigtriangledown } } ) \psi ^ { i } ( \vec { x } ) \mid v a c ^ { \prime } > = - \frac { 2 N } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int d \vec { k } \mid \vec { k } \mid c o s 2 f ( k ) ,
\Theta ^ { 4 } \Big [ \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { 0 } } \end{array} \Big ] ( \tau ) - \Theta ^ { 4 } \Big [ \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { 1 } } \end{array} \Big ] ( \tau ) - \Theta ^ { 4 } \Big [ \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { 0 } } \end{array} \Big ] ( \tau ) = 0 ,
\begin{array} { r l } & { E ( \phi , \nabla \phi , \mathbf { F } , \nabla \mathbf { F } ) = \int _ { R ( t ) } e \left( \phi , \nabla \phi , \mathbf { F } , \nabla \mathbf { F } \right) = \int _ { R ( t ) } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla \phi | ^ { 2 } + \psi ( \phi ) + w ( \phi , \mathbf { F } ) + \frac { \lambda } { 2 } | \nabla \mathbf { F } | ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { b } _ { \infty \mathrm { N W } } = \left[ \begin{array} { l l l l } { b _ { 1 } ^ { \mathrm { J } } } & { b _ { 2 } ^ { \mathrm { J } } } & { \cdots } & { b _ { N } ^ { \mathrm { J } } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ( k ) } & { { } = \sqrt { v _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 2 } + \delta \omega _ { 0 } ^ { 2 } ( 2 n + m + 1 ) ^ { 2 } } + \delta \omega _ { 0 } ( 2 n + m + 1 ) , } \end{array}
W = - { \frac { d } { d x } } \log \, \psi _ { 0 } ^ { ( - ) } = { \frac { 6 m s n ( x | m ) c n ( x | m ) d n ( x | m ) } { m + 1 + \sqrt { m ^ { 2 } - m + 1 } - 3 m s n ^ { 2 } ( x | m ) } }
{ \frac { \mathrm { d } \ \operatorname { I m } \{ V _ { c } \cdot e ^ { i \omega t } \} } { \mathrm { d } t } } = \operatorname { I m } \left\{ { \frac { \mathrm { d } \left( V _ { c } \cdot e ^ { i \omega t } \right) } { \mathrm { d } t } } \right\} = \operatorname { I m } \left\{ i \omega V _ { c } \cdot e ^ { i \omega t } \right\}
A ( \alpha , \beta \, | \, z ) = G _ { p + 2 , \, q } ^ { \, q - m , \, p - n + 1 } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { - a _ { n + 1 } , - a _ { n + 2 } , \dots , - a _ { p } , \alpha , - a _ { 1 } , - a _ { 2 } , \dots , - a _ { n } , \beta } \\ { - b _ { m + 1 } , - b _ { m + 2 } , \dots , - b _ { q } , - b _ { 1 } , - b _ { 2 } , \dots , - b _ { m } } \end{array} } \; \right| \, z \right) .
\begin{array} { r l r } { H _ { 0 } = } & { { } H _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } + \sum _ { i = \mathrm { ~ A ~ } , \mathrm { ~ B ~ } } \sum _ { x = \mathrm { ~ R ~ } , \mathrm { ~ P ~ } } ( H _ { x , i } + V _ { x , i } ) | x _ { i } \rangle \langle x _ { i } | , } & { } \\ { V _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ a ~ c ~ t ~ } } = } & { { } \sum _ { i = \mathrm { ~ A ~ , ~ B ~ } } J _ { i } ( | \mathrm { ~ R ~ } _ { i } \rangle \langle \mathrm { ~ P ~ } _ { i } | + | \mathrm { ~ P ~ } _ { i } \rangle \langle \mathrm { ~ R ~ } _ { i } | ) . } & { } \end{array}
\frac { I _ { \Delta } } { M R _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } } = \frac { 2 } { 5 } \frac { { 1 + \sum _ { i = 1 , { \cal L } - 1 } C _ { i } q _ { i } ^ { 2 } } } { 1 + \sum _ { i = 1 , { \cal L } - 1 } C _ { i } } .
\begin{array} { r l } { z ^ { \prime } } & { = \tilde { \omega } _ { * } + \tilde { \omega } _ { * } b ( z + \zeta \tilde { \omega } _ { * } b ) + ( z + \zeta \tilde { \omega } _ { * } b ) ^ { 2 } + ( z + \zeta \tilde { \omega } _ { * } b ) ^ { 3 } b } \\ & { = \tilde { \omega } _ { * } + \zeta \tilde { \omega } _ { * } ^ { 2 } b ^ { 2 } + \zeta ^ { 2 } \tilde { \omega } _ { * } ^ { 2 } b ^ { 2 } + \zeta ^ { 3 } \tilde { \omega } _ { * } ^ { 3 } b ^ { 4 } + z ( \tilde { \omega } _ { * } b + 2 \zeta \tilde { \omega } _ { * } b + 3 \zeta ^ { 2 } \tilde { \omega } _ { * } ^ { 2 } b ^ { 3 } ) + z ^ { 2 } ( 1 + 3 \zeta \tilde { \omega } _ { * } b ^ { 2 } ) + z ^ { 3 } b . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( \mathbb { I } - \frac { \left[ \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \mathbf { X } ( t ) \right] \left[ \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \mathbf { X } ( t ) \right] ^ { T } } { \left| \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \mathbf { X } ( t ) \right| ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \! \left[ \left( \mathbb { I } - \frac { \left[ \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \! \mathbf { X } ( t ) \right] \left[ \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \! \mathbf { X } ( t ) \right] ^ { T } } { \left| \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \mathbf { X } ( t ) \right| ^ { 2 } } \right) \right. } \\ & { } & { - \left. \frac { \mathbb { I } } { v _ { 0 } } \left| \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \! \mathbf { X } ( t ) \right| \right] \! \cdot \delta \mathbf { \dot { X } } ( t ) = \tilde { \beta } \delta \mathbf { X } ( t ) \quad \Longrightarrow } \\ & { } & { \delta \mathbf { \dot { X } } ( t ) = \tilde { \beta } \! \left[ \mathbb { I } - \left( \mathbb { I } - \frac { \left[ \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \! \mathbf { X } ( t ) \right] \left[ \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \! \mathbf { X } ( t ) \right] ^ { T } } { \left| \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \mathbf { X } ( t ) \right| ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \! \frac { \left| \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \! \mathbf { X } ( t ) \right| } { v _ { 0 } } \right] ^ { - 1 } \! \cdot \delta \mathbf { X } ( t ) . } \end{array}
x ^ { + } = K \frac { ( n - 1 ) \operatorname { t a n h } { x ^ { + } } + m \left( \frac { \delta } { x ^ { + } - x ^ { - } + \delta } \right) ^ { \beta } \operatorname { t a n h } { x ^ { - } } } { n - 1 + m \left( \frac { \delta } { x ^ { + } - x ^ { - } + \delta } \right) ^ { \beta } } \; ,
\begin{array} { r l } { I _ { B 0 , 0 } ^ { L } } & { { } = \int _ { - u _ { x } } ^ { \infty } d w _ { x } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d w _ { y } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d w _ { z } f _ { B } ^ { L } = \frac { 1 - \operatorname { e r f } \left( - \frac { u _ { x } } { \sqrt { 2 } \eta _ { B } } \right) } { 2 } } \\ { I _ { B 0 , 0 } ^ { R } } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { - u _ { x } } d w _ { x } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d w _ { y } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d w _ { z } f _ { B } ^ { R } = \frac { 1 + \operatorname { e r f } \left( - \frac { u _ { x } } { \sqrt { 2 } \eta _ { B } } \right) } { 2 } , } \end{array}
\frac { \partial \ln { \left( \frac { p \, \rho _ { o } } { \varrho _ { o } c } \right) } } { \partial \mathbb { A } _ { \alpha } } - \frac { \partial \ln { \left( \Lambda _ { \rho } \right) } } { \partial \mathbb { A } _ { \alpha } } = \frac { J ^ { \alpha } } { \varrho c ^ { 2 } } + \frac { J ^ { \alpha } } { \Lambda _ { \rho } }
T _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } F _ { X } \left( \frac { T ^ { \prime } } { P _ { t } l _ { 0 } } \right) - \frac { 1 } { 2 } F _ { X } \left( \frac { T ^ { \prime \prime } } { P _ { t } l _ { 0 } } \right) - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { \normalfont ~ I m } \left[ \phi _ { I } ( q | r _ { 0 } ) \zeta _ { 2 } ( T , T ^ { \prime } , l _ { 0 } ) \right] \, q ^ { - 1 } d q
w ( z ) = \left( \begin{array} { c } { { \int _ { \gamma } \alpha } } \\ { { z \, \frac { d } { d \, z } \int _ { \gamma } \alpha } } \\ { { \vdots } } \\ { { ( z \, \frac { d } { d \, z } ) ^ { d } \int _ { \gamma } \alpha } } \end{array} \right) ,
\displaystyle Y ( t ) = y ( t ) + { \frac { x ^ { \prime } ( t ) \cdot { \Big ( } x ^ { \prime } ( t ) ^ { 2 } + y ^ { \prime } ( t ) ^ { 2 } { \Big ) } } { x ^ { \prime } ( t ) \cdot y ^ { \prime \prime } ( t ) - x ^ { \prime \prime } ( t ) \cdot y ^ { \prime } ( t ) } }
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { X } \mathbb { P } ( A _ { b a d } ( v ) ) } & { = } & { \mathbb { E } _ { X } \mathbb { P } \left( \bigcap _ { 1 \leq j \leq t } A _ { j } \right) } \\ & { = } & { \mathbb { E } _ { X } \prod _ { j = 1 } ^ { t } \mathbb { P } ( A _ { j } ) } \\ & { = } & { \mathbb { E } _ { X } \left( \prod _ { j = 1 } ^ { t - 1 } \mathbb { P } ( A _ { j } ) \mathbb { E } _ { X } \left( \mathbb { P } ( A _ { t } ) \mid X _ { 1 } , \ldots , X _ { t - 1 } \right) \right) . } \end{array}
R _ { \mathrm { g } } ^ { 2 } \ { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ { \frac { 1 } { N } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left( \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } _ { \mathrm { m e a n } } \right) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left[ \mathbf { r } _ { k } \cdot \mathbf { r } _ { k } + \mathbf { r } _ { \mathrm { m e a n } } \cdot \mathbf { r } _ { \mathrm { m e a n } } - 2 \mathbf { r } _ { k } \cdot \mathbf { r } _ { \mathrm { m e a n } } \right]
\begin{array} { r l } { \hat { R } _ { n } } & { = \left( \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] \otimes \Phi \right) + \left( \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \otimes \Gamma _ { n } ^ { - 1 } \right) \hat { Z } } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Phi } \\ { \Phi } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Phi } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l l l } { \Gamma _ { n } ^ { - 1 } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } ^ { - 1 } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } ^ { - 1 } } \end{array} \right] \hat { Z } = \left[ \begin{array} { l l l } { b _ { 1 , 1 } ^ { [ n ] } } & { b _ { 1 , 2 } ^ { [ n ] } } & { b _ { 1 , 3 } ^ { [ n ] } } \\ { b _ { 2 , 1 } ^ { [ n ] } } & { b _ { 2 , 2 } ^ { [ n ] } } & { b _ { 2 , 3 } ^ { [ n ] } } \\ { b _ { 3 , 1 } ^ { [ n ] } } & { b _ { 3 , 2 } ^ { [ n ] } } & { b _ { 3 , 3 } ^ { [ n ] } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { 1 2 } ^ { ( 0 ) } } & { = } & { \frac { 1 } { 5 6 } C _ { 1 2 } - \frac { 1 } { 1 1 2 } C _ { 1 2 } ^ { 2 } - \frac { 3 } { 8 9 6 } C _ { 1 2 } ^ { 3 } , } \\ { P _ { 1 2 } ^ { ( 7 ) } } & { = } & { - \frac { 1 } { 8 } C _ { 1 2 } + \frac { 5 } { 6 4 } C _ { 1 2 } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 5 6 } C _ { 1 2 } ^ { 3 } , } \\ { P _ { 1 2 } ^ { ( 1 4 ) } } & { = } & { \mathrm { I d } _ { 1 } \otimes \mathrm { I d } _ { 2 } - \frac { 3 } { 8 } C _ { 1 2 } - \frac { 1 } { 4 } C _ { 1 2 } ^ { 2 } - \frac { 3 } { 1 2 8 } C _ { 1 2 } ^ { 3 } , } \\ { P _ { 1 2 } ^ { ( 2 7 ) } } & { = } & { \frac { 2 7 } { 5 6 } C _ { 1 2 } + \frac { 8 1 } { 4 4 8 } C _ { 1 2 } ^ { 2 } + \frac { 2 7 } { 1 7 9 2 } C _ { 1 2 } ^ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon ( \mathbf { b } _ { \beta } ) = } & { { } \sum _ { A = 1 } ^ { N } \int _ { u . c . } d \mathbf { r } \left| \tilde { \rho } _ { \beta } ^ { ( 1 ) , \mathrm { ~ M ~ L ~ } } ( \mathbf { r } ; \mathbf { b } _ { \beta } ) - \rho _ { \beta } ^ { ( 1 ) , \mathrm { ~ R ~ I ~ } } ( \mathbf { r } ) \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m } _ { \Delta \to \infty } \frac { N ( \hat { R } , \Delta ) } { \Delta } } & { \in } & { ( 1 \pm 2 \epsilon ) \cdot \operatorname* { l i m } _ { \Delta \to \infty } \frac { \mathrm { ( I ) } } { \Delta } } \\ & { = } & { ( 1 \pm 2 \epsilon ) \cdot \operatorname* { l i m } _ { \Delta \to \infty } \frac { 1 } { \Delta } \cdot \sum _ { { \cal A } \in \bar { \cal X } } \left| \bigcap _ { \ell \in { \cal A } } { \cal M } _ { \hat { R } _ { \ell } , \Delta } \right| \cdot ( - 1 ) ^ { | { \cal A } | + 1 } } \\ & { = } & { ( 1 \pm 2 \epsilon ) \cdot \operatorname* { l i m } _ { \Delta \to \infty } \frac { 1 } { \Delta } \cdot \sum _ { { \cal A } \in \bar { \cal X } } \frac { \Delta } { M _ { \hat { R } , { \cal A } } } \cdot ( - 1 ) ^ { | { \cal A } | + 1 } } \\ & { = } & { ( 1 \pm 2 \epsilon ) \cdot \sum _ { { \cal A } \in \bar { \cal X } } \frac { ( - 1 ) ^ { | { \cal A } | + 1 } } { M _ { \hat { R } , { \cal A } } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { C a s e ~ I : ~ g _ j > h _ j ~ } } \\ & { r _ { j } ^ { ( k ) } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { k } { K } } & { \mathrm { ~ w h e r e ~ } k < h _ { j } ; } \\ { \frac { k } { K } - ( 1 - q _ { j } ) } & { \mathrm { ~ w h e r e ~ } h _ { j } \leq k < g _ { j } ; } \\ { \frac { k } { K } - 1 } & { \mathrm { ~ w h e r e ~ } g _ { j } \leq k , } \end{array} \right. } \\ & { \mathrm { C a s e ~ I I : ~ g _ j < h _ j ~ } } \\ & { r _ { j } ^ { ( k ) } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { k } { K } } & { \mathrm { ~ w h e r e ~ } k < g _ { j } ; } \\ { \frac { k } { K } - q _ { j } } & { \mathrm { ~ w h e r e ~ } g _ { j } \leq k < h _ { j } ; } \\ { \frac { k } { K } - 1 } & { \mathrm { ~ w h e r e ~ } h _ { j } \leq k . } \end{array} \right. } \end{array}