harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \Theta \left( \Omega _ { n } ^ { \mathbf { c } } , \Omega _ { n ^ { ' } } ^ { \mathbf { c } ^ { ' } } \right) ( \tau ) } \\ & { = \displaystyle \sum _ { \mathbf { a } } \Theta \left( { \psi _ { \gamma } } ( g ^ { \mathbf { a } , \mathbf { n } } ) , { \psi _ { \gamma } } ( g ^ { \mathbf { a } , \mathbf { n } ^ { \prime } } ) \right) ( \tau ) \sum _ { \alpha = 0 } ^ { R - 1 } \prod _ { i = 0 } ^ { l - 1 } \omega _ { 2 } ^ { ( c _ { i } - c _ { i } ^ { \prime } ) \alpha _ { i } } } \\ & { + \! \! \displaystyle \sum _ { \mathbf { a } } \! \! \Theta \! \! \left( { \psi _ { \gamma } } ( g ^ { \mathbf { a } , \mathbf { n } } ) , { \psi _ { \gamma } } ( g ^ { \mathbf { a } , \mathbf { n } ^ { \prime } } ) \! \! \right) \! \! ( \tau - \gamma ) \sum _ { \alpha = 0 } ^ { R - 2 } \prod _ { i = 0 } ^ { l - 1 } \omega _ { 2 } ^ { c _ { i } ( \alpha _ { i } ) - c _ { i } ^ { \prime } ( \alpha _ { i } ^ { \prime } ) } } \\ & { = \Theta \Big ( \psi _ { \gamma } ( S _ { n } ) , \psi _ { \gamma } ( S _ { n ^ { ' } } ) \Big ) ( \tau ) \sum _ { \alpha = 0 } ^ { R - 1 } \prod _ { i = 0 } ^ { l - 1 } \omega _ { 2 } ^ { ( c _ { i } - c _ { i } ^ { \prime } ) \alpha _ { i } } } \\ & { + \Theta \Big ( \psi _ { \gamma } ( S _ { n } ) , \psi _ { \gamma } ( S _ { n ^ { ' } } ) \Big ) ( \tau - \gamma ) \sum _ { \alpha = 0 } ^ { R - 2 } \prod _ { i = 0 } ^ { l - 1 } \omega _ { 2 } ^ { c _ { i } ( \alpha _ { i } ) - c _ { i } ^ { \prime } ( \alpha _ { i } ^ { \prime } ) } , } \end{array}
\partial { \mathcal { O } } _ { \varepsilon } ^ { * } = \Gamma _ { 1 } ^ { \varepsilon } \cup \Gamma _ { 0 } ^ { \varepsilon } , \quad \mathrm { w h e r e } \, \Gamma _ { 1 } ^ { \varepsilon } = \partial \widehat { \mathcal { O } } _ { \varepsilon } \cap \partial Y _ { \varepsilon } \, \mathrm { a n d } \, \Gamma _ { 0 } ^ { \varepsilon } = \partial { \mathcal { O } } _ { \varepsilon } ^ { * } \backslash \Gamma _ { 1 } ^ { \varepsilon } ,
\begin{array} { r l } { \zeta _ { 2 } ( g _ { 2 } ) \zeta ( c ) \zeta _ { 1 } ( g _ { 1 } ) } & { = \zeta _ { 2 } ( g _ { 2 } ^ { \prime } \iota _ { 2 } ( c _ { 2 } ) ^ { - 1 } ) \cdot \zeta ( \kappa _ { 2 } ( c _ { 2 } ) c ^ { \prime } \kappa _ { 1 } ( c _ { 1 } ) ) \cdot \zeta _ { 1 } ( \iota _ { 1 } ( c _ { 1 } ) ^ { - 1 } g _ { 1 } ^ { \prime } ) } \\ & { = \zeta _ { 2 } ( g _ { 2 } ^ { \prime } ) \cdot ( \zeta _ { 2 } ( \iota _ { 2 } ( c _ { 2 } ) ) ^ { - 1 } \zeta ( \kappa _ { 2 } ( c _ { 2 } ) ) ) \cdot \zeta ( c ^ { \prime } ) \cdot ( \zeta ( \kappa _ { 1 } ( c _ { 1 } ) ) \zeta _ { 1 } ( \iota _ { 1 } ( c _ { 1 } ) ) ^ { - 1 } ) \cdot \zeta _ { 1 } ( g _ { 1 } ^ { \prime } ) } \\ & { = \zeta _ { 2 } ( g _ { 2 } ^ { \prime } ) \zeta ( c ^ { \prime } ) \zeta _ { 1 } ( g _ { 1 } ^ { \prime } ) } \end{array}
\left\| U \displaystyle \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \nu _ { k } E ^ { 1 } ( \Delta _ { k } ) - A _ { 2 } U \right\| = \left\| \displaystyle \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \nu _ { k } E ^ { 2 } ( \Delta _ { k } ) U - A _ { 2 } U \right\| = \left\| \left( \displaystyle \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \nu _ { k } E ^ { 2 } ( \Delta _ { k } ) - A _ { 2 } \right) U \right\| < \frac { \epsilon } { 2 } ,
{ \frac { X _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 ( 1 + a ) } } + { \frac { Y _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 ( 1 - a ) } } - { \frac { X _ { 3 } ^ { 2 } } { 1 - a ^ { 2 } } } = \left( { \frac { \mu } { 6 } } \right) ^ { 2 } \mathrm { C a s i m i r } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { n } ^ { m } ( \hat { \mathbf { x } } ) = } & { \nabla _ { S } Y _ { n + 1 } ^ { m } ( \hat { \mathbf { x } } ) + ( n + 1 ) Y _ { n + 1 } ^ { m } ( \hat { \mathbf { x } } ) \hat { \mathbf { x } } , \quad n \geq 0 , n + 1 \geq m \geq - ( n + 1 ) , } \\ { \mathcal { T } _ { n } ^ { m } ( \hat { \mathbf { x } } ) = } & { \nabla _ { S } Y _ { n } ^ { m } ( \hat { \mathbf { x } } ) \times \hat { \mathbf { x } } , \quad n \geq 1 , n \geq m \geq - n , } \\ { \mathcal { N } _ { n } ^ { m } ( \hat { \mathbf { x } } ) = } & { - \nabla _ { S } Y _ { n - 1 } ^ { m } ( \hat { \mathbf { x } } ) + n Y _ { n - 1 } ^ { m } ( \hat { \mathbf { x } } ) \hat { \mathbf { x } } , \quad n \geq 1 , n - 1 \geq m \geq - ( n - 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } \widehat { t } } & { { } = \left( \nabla _ { s } v _ { t } - \kappa v _ { n } \right) \widehat { t } + \left( - \omega v _ { b } + \nabla _ { s } v _ { n } + \kappa v _ { t } \right) \widehat { n } + \left( \nabla _ { s } v _ { b } + \omega v _ { n } \right) \widehat { b } , } \\ { \partial _ { \tau } \widehat { n } } & { { } = \left( \omega v _ { b } - \frac { v _ { n } \nabla _ { s } \kappa } { \kappa } - 2 \nabla _ { s } v _ { n } + \frac { \nabla _ { s } ^ { 2 } v _ { t } } { \kappa } - \kappa v _ { t } \right) \widehat { t } } \\ { \partial _ { \tau } \widehat { b } } & { { } = \left( - \nabla _ { s } v _ { b } - \omega v _ { n } \right) \widehat { t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } v _ { i } + \partial _ { i } P } & { = M _ { j } \partial _ { i } B _ { j } + \nu \nabla ^ { 2 } v _ { i } + \frac { \gamma } { 2 } \omega _ { j } \partial _ { j } M _ { i } } \\ & { \quad + \epsilon _ { i j k } \partial _ { j } \left( \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { k l m } M _ { l } B _ { m } + \frac { \gamma } { 4 } \epsilon _ { k l m } \omega _ { l } M _ { m } \right) , } \\ { D _ { t } M _ { i } } & { = \epsilon _ { i j k } \omega _ { j } M _ { k } - \frac { 1 } { 4 \Gamma } \epsilon _ { i j k } M _ { j } \left( \epsilon _ { k l m } M _ { l } B _ { m } \right) } \\ & { \quad + \frac { \gamma } { 8 \Gamma } \epsilon _ { i j k } M _ { j } \left( \epsilon _ { k l m } M _ { l } \omega _ { m } \right) - \frac { 1 } { \tau } \left( M _ { i } - M _ { i } ^ { 0 } \right) } \\ & { \quad \quad - \frac { \gamma } { 2 } \epsilon _ { j k m } \partial _ { j } M _ { i } \partial _ { k } M _ { m } } \end{array}
w _ { a } ( { \pmb x } ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \nabla _ { { \pmb \beta } _ { n } } u _ { \beta } ( { \pmb \xi } ) } { n ! } \mathcal { F } _ { \alpha \beta { \pmb \beta } _ { n } } S _ { a \, \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } )
f ( t ) = { \mathcal { L } } ^ { - 1 } \{ F ( s ) \} ( t ) = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { k ! } } \left( { \frac { k } { t } } \right) ^ { k + 1 } F ^ { ( k ) } \left( { \frac { k } { t } } \right)
\begin{array} { r l } { a } & { < \alpha < \beta \cdot \operatorname* { m i n } \left\{ 1 , \frac { \log \eta _ { - } } { \log \eta _ { + } } \right\} < \operatorname* { m i n } \left\{ \vartheta , \frac { 1 } { b } , \frac { 1 } { 2 } \right\} \cdot \operatorname* { m i n } \left\{ 1 , \frac { \log \eta _ { - } } { \log \eta _ { + } } \right\} \, . } \end{array}
\left. \begin{array} { r l } { \mathbf { S } _ { 0 } } & { { } = | E _ { x } | ^ { 2 } + | E _ { y } | ^ { 2 } \, , \phantom { Z Z Z Z } } \\ { \mathbf { S } _ { 1 } } & { { } = | E _ { x } | ^ { 2 } - | E _ { y } | ^ { 2 } \, , } \\ { \mathbf { S } _ { 2 } } & { { } = 2 \mathrm { R e } [ E _ { x } E _ { y } ^ { \ast } ] \, , } \\ { \mathbf { S } _ { 3 } } & { { } = 2 \mathrm { I m } [ E _ { x } E _ { y } ^ { \ast } ] \, , } \end{array} \right\}
4 . 2 A _ { t } = 2 \left[ \tau _ { t } + ( \tau _ { t } - 1 ) \left( s i n ^ { - 1 } ( \sqrt { \tau _ { t } } ) \right) ^ { 2 } \right] / \tau _ { t } ^ { 2 } , \; \; \; \tau _ { t } \equiv M _ { H } ^ { 2 } / 4 M _ { t } ^ { 2 } ,
\left| \int _ { M } \Phi _ { 1 } ( x , t ) F ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x \right| \geq \frac { | v _ { * } ( y _ { 1 } ) | } { 2 } t \qquad \left| \int _ { M } \Phi _ { 1 } ( x , t ) G ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x \right| \geq \frac { | v _ { * } ( y _ { 2 } ) | } { 2 } t
\begin{array} { r l } { \rho _ { \phi } } & { = \frac { 1 } { 2 } \dot { \phi } \left( 4 8 H ^ { 3 } f ^ { \prime } ( \phi ) + \epsilon \dot { \phi } \right) + V ( \phi ) , } \\ { p _ { \phi } } & { = \frac { 8 H ^ { 2 } f ^ { \prime } ( \phi ) V ^ { \prime } ( \phi ) } { - 8 \epsilon H \dot { \phi } f ^ { \prime } ( \phi ) + 9 6 H ^ { 4 } f ^ { \prime } ( \phi ) ^ { 2 } + \epsilon } - \frac { \epsilon V ( \phi ) } { - 8 \epsilon H \dot { \phi } f ^ { \prime } ( \phi ) + 9 6 H ^ { 4 } f ^ { \prime } ( \phi ) ^ { 2 } + \epsilon } } \\ & { + \frac { 1 9 2 H ^ { 6 } f ^ { \prime } ( \phi ) ^ { 2 } + \epsilon \dot { \phi } \left( 1 6 H ^ { 2 } \left( \dot { \phi } f ^ { \prime \prime } ( \phi ) - 4 H f ^ { \prime } ( \phi ) \right) - \epsilon \dot { \phi } \right) } { 1 6 \epsilon H \dot { \phi } f ^ { \prime } ( \phi ) - 2 \left( 9 6 H ^ { 4 } f ^ { \prime } ( \phi ) ^ { 2 } + \epsilon \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { n } _ { 3 } ^ { ( 1 ) } = } & { \; Z _ { 1 2 } \big ( \omega i k _ { 1 } ^ { - 1 } - \omega ^ { 2 } i k _ { 1 } \big ) + Z _ { 2 1 } \big ( \omega ^ { 2 } i k _ { 1 } ^ { - 1 } - \omega i k _ { 1 } \big ) + O ( t ^ { - 1 } \ln t ) } \\ { = } & { \: \frac { \beta _ { 1 2 } ( \omega i k _ { 1 } ^ { - 1 } - \omega ^ { 2 } i k _ { 1 } ) } { - i k _ { 1 } z _ { \star } \sqrt { t } d _ { 0 } e ^ { t \Phi _ { 2 1 } ( \zeta , k _ { 1 } ) } \tilde { r } ( k _ { 1 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \frac { \mathcal { P } ( \zeta , \omega ^ { 2 } k _ { 1 } ) } { \mathcal { P } ( \zeta , \omega k _ { 1 } ) } } \\ & { + \frac { d _ { 0 } e ^ { t \Phi _ { 2 1 } ( \zeta , k _ { 1 } ) } \tilde { r } ( k _ { 1 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \beta _ { 2 1 } ( \omega ^ { 2 } i k _ { 1 } ^ { - 1 } - \omega i k _ { 1 } ) } { - i k _ { 1 } z _ { \star } \sqrt { t } } \frac { \mathcal { P } ( \zeta , \omega k _ { 1 } ) } { \mathcal { P } ( \zeta , \omega ^ { 2 } k _ { 1 } ) } + O ( t ^ { - 1 } \ln t ) } \end{array}
\bar { \Psi } ^ { \prime \rho } { } _ { r } ( z ^ { \prime } ) = \Omega ( z ; g ) ^ { - \eta } D ^ { \rho } { } _ { \sigma } ( L ^ { - 1 } ( z ; g ) ) D _ { r } { } ^ { s } ( U ^ { - 1 } ( z ; g ) ) \bar { \Psi } ^ { \sigma } { } _ { s } ( z ) \, .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \prod _ { j = 1 } ^ { n } \exp ( \theta H _ { j } ( s _ { j } ) ) \right] } \\ { = \, } & { \int P ( x _ { 1 } , d x _ { 2 } ) \dots P ( x _ { n - 1 } , d x _ { n } ) \prod _ { j = 1 } ^ { n } \exp ( \theta H _ { j } ( x _ { j } ) ) \, d \pi ( x _ { 1 } ) } \\ { = \, } & { \int d \pi ( x _ { 1 } ) \int P ( x _ { 1 } , d x _ { 2 } ) \exp ( \theta H _ { 1 } ( x _ { 1 } ) ) \dots \int P ( x _ { n - 1 } , d x _ { n } ) \exp ( \theta H _ { n - 1 } ( x _ { n - 1 } ) ) \exp ( \theta H _ { n } ( x _ { n } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \left\Vert \eta _ { k } \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) - \eta _ { k + 1 } G _ { k + 1 } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { G } _ { k } \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \left\Vert ( \eta _ { k } - \eta _ { k + 1 } ) \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) + \eta _ { k + 1 } \left( \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) - \nabla F ( \mathbf { x } _ { k + 1 } ) \right) + \eta _ { k + 1 } \left( \nabla F ( \mathbf { x } _ { k + 1 } ) - G _ { k + 1 } \right) \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { G } _ { k } \right] } \\ & { \leq 3 \eta _ { k + 1 } ^ { 2 } L ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \mathbf { x } _ { k } - \mathbf { x } _ { k + 1 } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { G } _ { k } \right] + 3 ( \eta _ { k } - \eta _ { k + 1 } ) ^ { 2 } \left\Vert \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) \right\Vert ^ { 2 } + 3 \eta _ { k + 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \nabla F ( \mathbf { x } _ { k + 1 } ) - G _ { k + 1 } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { G } _ { k } \right] . } \end{array}
{ \big ( } D _ { j } \partial _ { x _ { j } } P ( \mathbf { x } , t \mid \mathbf { x _ { 0 } } ) { \big ) } _ { x _ { j } = x _ { j + 1 } } = { \big ( } D _ { j + 1 } \partial _ { x _ { j + 1 } } P ( \mathbf { x } , t \mid \mathbf { x _ { 0 } } ) { \big ) } _ { x _ { j + 1 } = x _ { j } } ; \qquad j = - M , \ldots , M - 1 ,
A _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { m } } M _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { m } } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) = [ { \pmb u } ^ { ( m ) } ( { \pmb \xi } ) , { \pmb v } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ^ { \prime } ) ]
\, \mathrm { d } \rho _ { t } = \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } \Big ( \frac { \sigma _ { t } ^ { 2 } + \nu _ { t } ^ { 2 } } { 2 } \rho _ { t } \Big ) \, \mathrm { d } t + \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( ( k _ { \scriptscriptstyle { H K } } * \rho _ { t } ) \rho _ { t } ) \, \mathrm { d } t - \nu \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { t } \, \mathrm { d } W _ { t } , \quad t \geq 0 .
\frac { \partial ^ { 2 } \Theta } { \partial \tilde { x } ^ { 2 } } = \cos \Theta \left[ \sin \Theta - h \right] , \qquad \left. \frac { \partial \Theta } { \partial \tilde { x } } \right\Vert _ { \tilde { x } = \pm \tilde { R } } = 0 .
P ( s _ { n + 1 } | x , t _ { n + 1 } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \left| s _ { n + 1 } - \hat { s } _ { n + 1 } \right| } { \sigma } \right) ^ { 2 } \right] , \qquad \sigma = \sqrt { \eta \operatorname* { m a x } ( s _ { n + 1 } , 1 . 0 ) } ,
\begin{array} { r l } { \pi ^ { \prime } ( m ^ { + } ) ( m _ { x } + \tau _ { v } \partial _ { t } m _ { x } ) } & { { } = A _ { + } \partial _ { x } ^ { 2 } m _ { x } + A _ { - } \partial _ { y } ^ { 2 } m _ { y } , } \\ { \pi ^ { \prime } ( m ^ { - } ) ( m _ { y } + \tau _ { v } \partial _ { t } m _ { y } ) } & { { } = B _ { + } \partial _ { y } ^ { 2 } m _ { y } + B _ { - } \partial _ { x } ^ { 2 } m _ { x } , } \\ { 0 } & { { } = \partial _ { x } \partial _ { y } ( C _ { + } m _ { x } + C _ { - } m _ { y } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | P v \otimes f | | _ { 0 } ^ { 2 } } & { = \langle P ^ { 2 } ( v \otimes f ) , v \otimes f \rangle } \\ & { = \langle Q ^ { 2 } ( v ) \otimes f - v \otimes \Delta _ { \mathord { \mathbb { R } } } ( f ) , v \otimes f \rangle } \\ & { = | | Q ( v ) \otimes f | | _ { 0 } ^ { 2 } + | | v \otimes f ^ { \prime } | | _ { 0 } ^ { 2 } } \\ & { = | | Q ( v ) | | _ { 0 } ^ { 2 } | | f | | _ { 0 } ^ { 2 } + | | v | | _ { 0 } ^ { 2 } | | f ^ { \prime } | | _ { 0 } ^ { 2 } } \\ & { \geq c | | v | | _ { 0 } ^ { 2 } | | f | | _ { 0 } ^ { 2 } = c | | v \otimes f | | _ { 0 } ^ { 2 } . } \end{array}
I _ { 3 } = - \frac { 2 } { \Delta f } \int _ { 0 ~ \mathrm { ~ k ~ H ~ z ~ } } ^ { 3 0 ~ \mathrm { ~ k ~ H ~ z ~ } } M ( f ) ~ d f + \frac { 1 } { \Delta f } \int _ { 3 0 ~ \mathrm { ~ k ~ H ~ z ~ } } ^ { 4 0 ~ \mathrm { ~ k ~ H ~ z ~ } } M ( f ) ~ d f - \frac { 2 } { \Delta f } \int _ { 4 0 ~ \mathrm { ~ k ~ H ~ z ~ } } ^ { 7 0 ~ \mathrm { ~ k ~ H ~ z ~ } } M ( f ) ~ d f .
\begin{array} { r l } { \Phi } & { = { \{ \varphi ( \vec { x } , c ) \mid ( \vec { x } , c ) \in \mathcal { D } \} } } \\ { \varphi ( \vec { x } , c ) } & { = \left( \left\{ \vec { x } ^ { \prime } \mid \vec { x } ^ { \prime } \in \mathbb { R } ^ { n } , { \lVert \vec { x } ^ { \prime } - \vec { x } \rVert } _ { \infty } \leq \varepsilon \right\} , \left\{ \vec { y } \; \left\vert \; \vec { y } \in \mathbb { R } ^ { m } , \bigwedge _ { i = 1 } ^ { m } \vec { y } _ { i } \leq \vec { y } _ { c } \right. \right\} \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \sigma } } } & { = { \frac { 2 } { J } } ~ \left[ \left( J ^ { - 2 / 3 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } + J ^ { - 2 / 3 } ~ { \bar { I } } _ { 1 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } \right) ~ { \boldsymbol { B } } - J ^ { - 4 / 3 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } ~ { \boldsymbol { B } } \cdot { \boldsymbol { B } } \right] + } \\ & { \qquad 2 ~ J ~ \left[ - { \frac { 1 } { 3 } } ~ J ^ { - 2 } ~ \left( { \bar { I } } _ { 1 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } + 2 ~ { \bar { I } } _ { 2 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } \right) + { \frac { 1 } { 2 } } ~ J ^ { - 1 } ~ { \frac { \partial W } { \partial J } } \right] ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } } \end{array} }
\Psi = \left( \begin{array} { c } { { z _ { 1 } } } \\ { { z _ { 2 } } } \\ { { \vdots } } \\ { { z _ { N } } } \end{array} \right) \qquad , \qquad z = \left( \begin{array} { c } { { z _ { b } } } \\ { { z _ { f } } } \end{array} \right) .
{ \frac { M _ { \mathrm { N e p t u n e } } } { M _ { \mathrm { E a r t h } } } } = { \frac { 1 . 0 2 \times 1 0 ^ { 2 6 } } { 5 . 9 7 \times 1 0 ^ { 2 4 } } } = 1 7 . 0 9 .
\hat { L } _ { K } = \delta _ { K 0 } \mathbf { 1 } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left( \frac { 1 } { n ! } \right) ^ { 2 } l _ { K , i _ { 1 } \ldots i _ { n } } ^ { \phantom { K , } a _ { 1 } \ldots a _ { n } } ( \hat { E } _ { i _ { 1 } \ldots i _ { n } } ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } } ) ^ { \dagger }
A _ { M ^ { \prime } M } ^ { \mu \pm } ( x ) = \int _ { 0 } ^ { L } \, d x _ { 4 } \, \xi _ { M ^ { \prime } } ^ { \pm } ( x _ { 4 } ) \, \xi _ { M } ^ { \pm } ( x _ { 4 } ) \, A ^ { \mu } ( x , x _ { 4 } ) \, .
\varepsilon _ { \pm } ( \beta ) = \frac { \omega } { 2 } \pm \sqrt { \left( \frac { \beta - \beta ^ { - 1 } } { 2 i } + \frac { i \gamma } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \mu - \frac { \omega } { 2 } + \frac { \beta + \beta ^ { - 1 } } { 2 } \right) ^ { 2 } } .
\alpha _ { \ell } ^ { \mathrm { R } } = \alpha _ { 0 } ^ { \ell } \left[ 1 + \frac { \alpha } { \pi } \left( \frac { a _ { 2 } ^ { \ell } } { B _ { 2 } ^ { \ell } \left( 0 \right) } - \frac { a _ { 1 } } { B _ { 1 } \left( 0 \right) } \right) \right] .
\left\langle \sum _ { i \in G } \frac { 1 } { N } x _ { i } \cdot ( x _ { i } ^ { ( m _ { 1 } ) } - x _ { i } ^ { ( m _ { 2 } ) } ) \right\rangle ^ { \circ } = \frac { \tau ^ { ( m _ { 2 } ) } - \tau ^ { ( m _ { 1 } ) } } { 2 N } .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( 1 - C _ { n } ( \theta _ { i } ) ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \left| \frac { \partial } { \partial \theta _ { i j } } C _ { n } ( \theta _ { i } ) \right| } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \left| \frac { \partial } { \partial \theta _ { i j } } \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] \right| } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left( \left| \frac { \partial } { \partial \lambda } \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] \right| + \left| \frac { \partial } { \partial \nu } \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] \right| \right) } \\ & { \leq 2 \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { 1 } { \lambda } \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] \operatorname { E } | X _ { i , t } | + \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] \operatorname { E } | \log ( X _ { i , t } ! ) | \right) } \\ & { = 2 \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { 1 } { \lambda } \operatorname { E } | X _ { i , t } | + \operatorname { E } | \log ( X _ { i , t } ! ) | \right) } \\ & { \leq 2 c \left( ( \operatorname { E } | X _ { i , t } | ^ { 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + 1 \right) \left( \frac { 1 } { \lambda } \operatorname { E } | X _ { i , t } | + \operatorname { E } | \log ( X _ { i , t } ! ) | \right) , } \end{array}
G ( \omega , \mathrm { \boldmath ~ k ~ } , \rho \Lambda ; v , e ^ { 2 } ) = \exp { \left\{ \int ^ { \rho } \frac { d \rho ^ { \prime } } { \rho ^ { \prime } } \; \gamma \right\} } \; \; G ( \omega , \mathrm { \boldmath ~ k ~ } , \Lambda ; v _ { e f f } ( \rho ) , e _ { e f f } ^ { 2 } ( \rho ) )
\frac { 4 \pi } { 3 } \left( 2 \xi M _ { P l } \right) ^ { 4 } \int _ { T } ^ { T _ { c } } e ^ { - S _ { 3 } \left( T ^ { \prime } \right) / T ^ { \prime } } \left( T ^ { \prime } - T \right) ^ { 3 } \frac { d T ^ { \prime } } { T ^ { \prime 5 } } \sim 1 \ ,
\begin{array} { r l } & { A _ { 1 } : = 8 i m _ { 1 , 1 3 } ^ { P } ( y ) \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad A _ { 0 } : = - i ( y - 8 m _ { 1 , 1 3 } ^ { P } ( y ) ^ { 2 } ) \sigma - 4 \partial _ { y } m _ { 1 , 1 3 } ^ { P } ( y ) \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ & { U _ { 0 } : = 2 i m _ { 1 , 1 3 } ^ { P } ( y ) \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { d = 1 } ^ { \infty } \epsilon ^ { d - 1 } ( P _ { 2 , d , 0 } - \lambda P _ { 1 , d , 0 } ) ^ { i j } \mapsto B ^ { 2 } \sum _ { d = 0 } ^ { \infty } \epsilon ^ { d } \frac { { \partial } w _ { d } ^ { i } } { { \partial } u ^ { k , d } } \sum _ { d = 1 } ^ { \infty } ( B \epsilon ) ^ { d - 1 } ( P _ { 2 , d , 0 } - \lambda P _ { 1 , d , 0 } ) ^ { k \ell } \sum _ { d = 1 } ^ { \infty } ( - \epsilon ) ^ { d } \frac { { \partial } w _ { d } ^ { j } } { { \partial } u ^ { \ell , d } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 } \, \, \langle V _ { p } \rangle = \langle V _ { p } \rangle ^ { \mathrm { w a l l } } = - \frac { R e _ { p } \langle S _ { 1 2 } \rangle ( \kappa ) } { 3 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { w } \, \, e ^ { - 2 k _ { w } } k _ { w } ( 3 k _ { w } ^ { 2 } - 2 k _ { w } + 3 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda } & { \leq \epsilon C \| \omega \| _ { L _ { t } ^ { \infty } ( L _ { x } ^ { p } ) } + C \left[ \epsilon \left( 1 + \| \kappa \| _ { \infty } ^ { 2 - \frac { 2 } { p } } \right) + \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } + \epsilon ^ { \frac { p } { 2 - p } } \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } ^ { \frac { 2 ( p - 1 ) } { p - 2 } } \right] \| u \| _ { L _ { t } ^ { \infty } ( L _ { x } ^ { 2 } ) } . } \end{array}
S = \langle [ \delta _ { \tau } \bar { x } _ { 1 } - \langle \delta _ { \tau } \bar { x } _ { 1 } \rangle ] ^ { 3 } \rangle / ( \mathrm { V a r } \, [ \delta _ { \tau } \bar { x } _ { 1 } ] ) ^ { 3 / 2 }
\boldsymbol { \dot { p } } = \boldsymbol { \Gamma } . \boldsymbol { p } - \boldsymbol { p } \left( \boldsymbol { p } . \boldsymbol { S } . \boldsymbol { p } \right) + \frac { 5 } { 8 \nu \ln { ( 2 \kappa ) } } ( \boldsymbol { W } { \cdot } \boldsymbol { p } ) ~ \boldsymbol { W } { \cdot } ( \boldsymbol { p } \boldsymbol { p } - \mathbb { 1 } )
\left. \operatorname* { m a x } \left( \left| \operatorname* { m a x } \left( \operatorname* { m a x } \left( A \right) - \operatorname* { m i n } \left( B \right) \right) \right| , \left| \operatorname* { m i n } \left( \operatorname* { m a x } \left( A \right) - \operatorname* { m i n } \left( B \right) \right) \right| \right) \right]
\int _ { G } ^ { } \delta \Omega ^ { \prime \prime } K _ { T } ( g _ { \Omega ^ { \prime \prime } } , g _ { \Omega ^ { \prime } } ) = \int _ { G } ^ { } \delta \Omega ^ { \prime } K _ { T } ( g _ { \Omega ^ { \prime \prime } } , g _ { \Omega ^ { \prime } } ) = 1 \ ,
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega } \langle \mathrm { d } u , v \rangle = \int _ { \Omega } \langle u , { \delta } v \rangle + \int _ { \partial \Omega } \langle u , \nu \lrcorner v \rangle \mathrm { ~ d } \sigma \mathrm { , ~ } } \\ { \int _ { \Omega } \langle { \delta } u , v \rangle = \int _ { \Omega } \langle u , \mathrm { d } v \rangle + \int _ { \partial \Omega } \langle u , \nu \wedge v \rangle \mathrm { ~ d } \sigma \mathrm { , ~ } } \end{array}
\Sigma = I + I _ { e x t } = \int d t ( q _ { i } ( \partial _ { t } a ^ { i } - h ^ { i } ) + \bar { c } _ { i } \partial _ { t } c ^ { i } + \bar { c } _ { i } \partial _ { j } h ^ { i } c ^ { j } + J _ { i } ^ { a } c ^ { i } + i J _ { \bar { c } } ^ { i } q _ { i } ) ,
\begin{array} { r l } { W _ { m } ( q , p ) = } & { { } \frac { 1 } { ( 2 \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } ) ^ { N } } \int d x \ e ^ { \frac { i } { \hbar } \left( S ( q + x , I _ { m } ) - S ( q - x , I _ { m } ) - 2 p \cdot x \right) } } \end{array}
\left| \mathfrak { U } \left( \sigma \cdot g \cdot r \right) \right| = \left| \mathfrak { U } \left( \sigma \cdot r \right) \right| = \left| \sigma \mathfrak { U } \left( r \right) \sigma ^ { - 1 } \right| = \left| \mathfrak { U } \left( r \right) \right|