harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
a ( L ) = a \left( L _ { 0 } + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \epsilon ^ { m } L _ { m } \right) = \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { p ! } \frac { d ^ { p } a ( L _ { 0 } ) } { d L _ { 0 } } \left( \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } \epsilon ^ { m } L _ { m } \right) ^ { p }
S _ { \mathrm { I I B } } = \frac { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } } \Bigg \{ \int d ^ { 1 0 } x ~ \left[ - 2 \sqrt { - \operatorname * { d e t } g } ~ R \right] - \frac { 1 } { 2 } \int \Big [ d \varphi \wedge \star d \varphi \, + \, \mathrm { e } ^ { - \varphi } F _ { [ 3 ] } ^ { N S } \wedge \star F _ { [ 3 ] } ^ { N S } \, + \, \mathrm { e } ^ { 2 \varphi } \, F _ { [ 1 ] } ^ { R R } \wedge \star F _ { [ 1 ] } ^ { R R }
P = z ^ { 3 } - z ^ { 2 } ( 2 0 r + 3 p ^ { 2 } ) - z ( 8 p ^ { 2 } r - 1 6 p q ^ { 2 } - 2 4 0 r ^ { 2 } + 4 0 0 s q - 3 p ^ { 4 } )
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { S _ { 2 1 } } } & { = 1 - \frac { \gamma _ { c } } { [ i ( \omega - \omega _ { c } ) - \alpha _ { c } ] - \frac { ( i J - \Gamma ) ^ { 2 } } { i ( \omega - \omega _ { m } ) - ( \alpha _ { m } + \gamma _ { m } ) } } } \\ & { = 1 + i \gamma _ { c } \frac { ( \omega - \omega _ { m } ) + i ( \alpha _ { m } + \gamma _ { m } ) } { ( \omega - \tilde { \omega } _ { + } ) ( \omega - \tilde { \omega } _ { - } ) } } \end{array}
- { \cal L } _ { \mathrm { M a j o r a n a } } \; = \; \frac { 1 } { 2 } \left[ \overline { { { \psi } } } _ { \mathrm { L } } M _ { \nu } ^ { \mathrm { M } } \left( \psi ^ { \mathrm { c } } \right) _ { \mathrm { R } } ~ + ~ \overline { { { \left( \psi ^ { \mathrm { c } } \right) } } } _ { \mathrm { R } } M _ { \nu } ^ { \mathrm { M \dagger } } \psi _ { \mathrm { L } } \right] \; ,
S _ { 2 } = \frac { \pi \omega _ { 0 } } { ( k _ { 0 } d ) ^ { 2 } } \left( \frac { \omega _ { 0 } } { \omega _ { \pi / d } ^ { \mathrm { p h } } } \right) ^ { 3 } \frac { 2 \omega _ { \pi / d } ^ { \mathrm { p h } } - \omega _ { 0 } } { { ( \omega _ { \pi / d } ^ { \mathrm { p h } } - \omega _ { 0 } ) } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \| e ^ { \mathsf { m } \varphi } \chi _ { c } \partial _ { x } \psi \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { h } ^ { \mathsf { u p } } ) } } & { { } \leq \frac { C } { \mathsf { m } } \| e ^ { \mathsf { m } \varphi } \Delta ( \chi _ { c } \partial _ { x } \psi ) \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { h } ^ { \mathsf { u p } } ) } } \end{array}
E _ { c o n s } = \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } \frac { 1 } { 2 } { \lvert u \rvert } ^ { 2 } + \left( \frac { \widetilde { B } _ { \theta _ { e } } } { 2 N _ { u } ^ { 2 } } H _ { u } + \frac { B _ { \theta _ { e } } } { 2 N _ { s } ^ { 2 } } H _ { s } \right) \theta _ { e } ^ { 2 } + \frac { \widetilde { B } _ { q } } { 2 N _ { s } ^ { 2 } } q ^ { 2 } H _ { u }
{ \hat { \beta } } _ { 1 } = \left( \mathbf { X } _ { 1 } ^ { \mathsf { T } } \left( \mathbf { I } - \mathbf { P } _ { 2 } \right) \mathbf { X } _ { 1 } \right) ^ { - 1 } \mathbf { X } _ { 1 } ^ { \mathsf { T } } \left( \mathbf { I } - \mathbf { P } _ { 2 } \right) \mathbf { y }
I _ { 4 } ( A , y ) = 4 \times { ( 2 \pi ) ^ { - 6 } } \int d { \vec { x } } { \frac { G _ { 1 } ( \vec { x } , y ) + G _ { 2 } ( \vec { x } , y ) } { x ^ { 2 } + \phi ( x , y ) } } .
\begin{array} { r l r l } & { \partial _ { t } v _ { n } ^ { h } + \nabla _ { p } { \mathcal H } ( t , x , \nabla ^ { h } v _ { n - 1 } ^ { h } ) \cdot \nabla ^ { h } v _ { n } ^ { h } - { \mathcal L } ( t , x , \mu _ { n - 1 } ^ { h } ) = N h \Delta ^ { h } v _ { n } ^ { h } } & & { \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times { \mathbb { R } } ^ { d } , } \\ & { v _ { n } ^ { h } ( 0 , x ) = q ( x ) } & & { \mathrm { ~ o n ~ } { \mathbb { R } } ^ { d } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { u } ( x ( z ) ) = 0 , \quad D _ { u } y ( z ) = \lambda W _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( z ; u ) , \quad D _ { u } W _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( z ; I ) = W _ { | I | + 2 } ^ { ( g ) } ( z ; I \cup u ) , \ } \\ & { D _ { u } \hat { U } _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( v , z ; I ) = \hat { U } _ { | I | + 2 } ^ { ( g ) } ( v , z ; I \cup u ) , \quad D _ { u } \hat { V } _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( v , z ; I ) = \hat { V } _ { | I | + 2 } ^ { ( g ) } ( v , z ; I \cup u ) , \ } \\ & { D _ { u } \hat { H } _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) ; z ; I ) = \hat { H } _ { | I | + 2 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) ; z ; I \cup u ) , \ } \\ & { D _ { u } \hat { M } _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) ; z ; I ) = \hat { M } _ { | I | + 2 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) ; z ; I \cup u ) , \quad } \\ & { D _ { u } \hat { P } _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) , x ( z ) ; I ) = \hat { P } _ { | I | + 2 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) , x ( z ) ; I \cup u ) , \quad } \\ & { D _ { u } \hat { Q } _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) , x ( z ) ; I ) = \hat { Q } _ { | I | + 2 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) , x ( z ) ; I \cup u ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { t o t a l } } } & { { } = \frac { m } { 2 } \sum _ { i } \left( \omega _ { i } ^ { 2 } \langle r _ { i } ^ { 2 } \rangle + \int \frac { d ^ { 3 } r d ^ { 3 } v } { N } f ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { v } , t ) v _ { i } ^ { 2 } \right) } \end{array}
\tilde { O } _ { 1 } = 2 \sum _ { a } : ( \bar { d } t ^ { a } u ) _ { V - A } ( \bar { c } t ^ { a } b ) _ { V - A } : \quad \mathrm { a n d } \quad \tilde { O } _ { 2 } = 2 \sum _ { a } : ( \bar { c } t ^ { a } u ) _ { V - A } ( \bar { d } t ^ { a } b ) _ { V - A } :
\tilde { \psi } _ { 0 \, s c a } = \sqrt { \frac { i } { r } } v _ { E } \left\{ f ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \theta ) \left( \begin{array} { c } { { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) + f ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( \theta ) \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array} \right) \right\} e ^ { i ( k r - E t ) } \, .
\begin{array} { r l } { i \hbar \frac { \partial \psi _ { \pm } } { \partial t } } & { { } = \bigg [ \epsilon _ { \pm } ( - i \boldsymbol { \nabla } ) + \frac { i \hbar R n _ { A , \pm } } { 2 } } \\ { \frac { \partial n _ { A , \pm } } { \partial t } } & { { } = - \left( \Gamma + \Gamma _ { s , \pm } + R | \psi _ { \pm } | ^ { 2 } \right) n _ { A , \pm } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \varepsilon , n } ( \varphi ) } & { = \varphi \quad \mathrm { i n ~ } B _ { \varepsilon , n , \delta _ { 0 } } \setminus B _ { \varepsilon , n } , } \\ { \Vert \nabla _ { x } E _ { \varepsilon , n } ( \varphi ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( B _ { \varepsilon , n } ) } } & { \leq c \Vert \nabla _ { x } \varphi \Vert _ { L ^ { 2 } ( B _ { \varepsilon , n , \delta _ { 0 } } \setminus B _ { \varepsilon , n } ) } , } \\ { \Vert E _ { \varepsilon , n } ( \varphi ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( B _ { \varepsilon , n } ) } } & { \leq c \Vert \varphi \Vert _ { L ^ { 2 } ( B _ { \varepsilon , n , \delta _ { 0 } } \setminus B _ { \varepsilon , n } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { P _ { H _ { 1 } } [ \sqrt { n h _ { n } } T _ { n } ^ { G , L } \geq \hat { c } _ { \alpha } ] ~ \mathrm { ( s i n c e ~ u n d e r ~ H _ { 0 } ~ , ~ T ~ = ~ 0 ~ ) } } \\ & { } & { = P [ \sqrt { n h _ { n } } ( T _ { n } ^ { G , L } - t _ { 0 } ) \geq \hat { c } _ { \alpha } - \sqrt { n h _ { n } } t _ { 0 } ] ~ \mathrm { ( a s s u m e ~ t h a t ~ T ~ = ~ t _ { 0 } ~ > ~ 0 ~ u n d e r ~ H _ { 1 } ~ ) } } \\ & { } & { = P [ Z \geq \hat { c } _ { \alpha } - \sqrt { n h _ { n } } t _ { 0 } ] , } \end{array}
( y ^ { A \dot { A } } ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( \begin{array} { c c } { { y ^ { 0 } + y ^ { 3 } } } & { { y ^ { 1 } + i y ^ { 2 } } } \\ { { y ^ { 1 } - i y ^ { 2 } } } & { { y ^ { 0 } - y ^ { 3 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { n ( t , \mathbf { x } ) } & { { } = \int f ( t , \mathbf { x } , \mathbf { u } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } } \\ { \mathbf { v } ( t , \mathbf { x } ) } & { { } = \frac { 1 } { n ( t , \mathbf { x } ) } \int \mathbf { u } f ( t , \mathbf { x } , \mathbf { u } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } } \\ { T ( t , \mathbf { x } ) } & { { } = \frac { m } { 3 k _ { B } n ( t , \mathbf { x } ) } \int \mathbf { c } ^ { 2 } f ( t , \mathbf { x } , \mathbf { u } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } , } \end{array}
{ \omega } ^ { 4 } - \left( c _ { s } ^ { 2 } k ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } \right) { \omega } ^ { 2 } + i c _ { s } ^ { 2 } s _ { 0 } k _ { 1 } k _ { 2 } { \omega } + c _ { s } ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } ( k _ { 3 } ) ^ { 2 } = 0 \; .
\left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { A } } & { \mathbf { B } } & \\ { \mathbf { - B } } & { \mathbf { - A } } & \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { X } } & { \mathbf { Y } } \\ { \mathbf { Y } } & { \mathbf { X } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { X } } & { \mathbf { Y } } \\ { \mathbf { Y } } & { \mathbf { X } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { \Omega } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { - \mathbf { \Omega } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { p } } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \nu H ( x ) d p ( x ) } \\ { \mathrm { ~ s . t . ~ } \ \ } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \nu \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { 2 } d p ( x ) = \beta , } \\ & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \nu ( x - a ) d p ( x ) = \eta , } \\ & { p ( x ) \ \mathrm { e x i s t s ~ a n d ~ i s ~ n o n - d e c r e a s i n g ~ a n d ~ r i g h t - c o n t i n u o u s ~ f o r ~ } x \in \mathbb { R } , } \\ & { 0 \leq p ( x ) \leq 1 \ \mathrm { f o r ~ } x \in \mathbb { R } , } \\ & { p ( x ) \rightarrow 1 \ \mathrm { f o r ~ } x \rightarrow \infty , } \\ & { p ( x ) = 0 \ \mathrm { f o r ~ } x < a , } \\ & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \nu G ( x ) d p ( x ) = \Gamma . } \end{array}
\epsilon _ { { \bf k } + { \bf G } } ^ { h } = \frac { ( { \bf k } + { \bf G } ) ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { \Omega } \int V _ { x c } ( { \bf r } ) ~ d { \bf r } + V _ { N L } ^ { F T } ( | { \bf k } + { \bf G } | ) ,
\left( \begin{array} { l l l l } { { - 4 h z u - \mu ^ { 2 } w / v } } & { { 2 h z v } } & { { \mu ^ { 2 } } } & { { - 2 h u v - \mu w } } \\ { { 2 h z v } } & { { - h z v ^ { 2 } / u } } & { { 0 } } & { { h v ^ { 2 } } } \\ { { \mu ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { - \mu ^ { 2 } v / w } } & { { 0 } } \\ { { - 2 h u v - \mu w } } & { { h v ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { - h u v ^ { 2 } / z } } \end{array} \right) ,
{ \cal L } ( x ) = \left| \partial _ { \mu } \widetilde t _ { L } ( x ) \right| ^ { 2 } + \left| \partial _ { \mu } \widetilde t _ { R } ( x ) \right| ^ { 2 } + \left( \begin{array} { l l } { { \widetilde t _ { L } ^ { \, * } ( x ) } } & { { \widetilde t _ { R } ^ { \, * } ( x ) } } \end{array} \right) { \cal M } ( x ) \left( \begin{array} { l } { { \widetilde t _ { L } ( x ) } } \\ { { \widetilde t _ { R } ( x ) } } \end{array} \right) \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { Z ^ { 2 } } \frac { \ddot { a } } { a } = } & { - \frac { 4 } { 3 } \pi \left( T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } - T _ { \, \, \, i } ^ { i } \right) , } \\ { \frac { 1 } { Z ^ { 2 } } \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { 2 } = } & { - \frac { K \left( x , y , z \right) } { a ^ { 2 } } + \frac { 8 } { 3 } \pi \, T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } , } \end{array}
G = { \frac { \sqrt { K } } { 2 } } \left\{ [ \epsilon \partial \varphi - i { \alpha _ { 0 } } ( K + 2 ) \partial { \epsilon } ] + { \frac { i K ( { { \alpha } _ { + } } - { { \alpha } _ { - } } ) } { K + 4 } } \eta \right\} { } ~ .
D _ { \mathrm { C B M } } ( r ) = D _ { 0 } \exp \left[ \frac { - 2 \left( r - r _ { 0 } \right) } { f _ { \mathrm { o v } } H _ { \mathrm { p , 0 } } } \right] \qquad \mathrm { w i t h } \qquad \nabla _ { T } = \nabla _ { \mathrm { r a d } } .
\mathsf Q ^ { ( 6 ) } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { - \frac { 1 } { 3 } } & { \frac { 2 2 } { 4 5 } } & { - \frac { 3 9 8 } { 9 4 5 } } & { \frac { 5 9 6 } { 2 0 2 5 } } & { - \frac { 1 0 2 6 1 4 } { 4 6 7 7 7 5 } } & { \frac { 1 3 8 7 3 4 1 2 6 } { 6 3 8 5 1 2 8 7 5 } } \end{array} \right]
\Delta _ { a b c } = { \frac { d ^ { 2 } z _ { a } \, d ^ { 2 } z _ { b } \, d ^ { 2 } z _ { c } } { | z _ { a } - z _ { b } | ^ { 2 } | z _ { b } - z _ { c } | ^ { 2 } | z _ { c } - z _ { a } | ^ { 2 } } } \, ,
\langle \Delta n _ { p } \Delta n _ { k } \rangle = { v } _ { p } ^ { 2 } \delta _ { p k } - { \frac { { v } _ { p } ^ { 2 } \epsilon _ { p } { v } _ { k } ^ { 2 } \epsilon _ { k } } { T ^ { 2 } ( C _ { A } + C _ { B } ) } } \ ,
\small \frac { \left| \Delta _ { \mathrm { x } } B _ { \mathrm { y } } - \Delta _ { \mathrm { y } } B _ { \mathrm { x } } \right| + \left| \Delta _ { \mathrm { x } } B _ { \mathrm { z } } - \Delta _ { \mathrm { z } } B _ { \mathrm { x } } \right| + \left| \Delta _ { \mathrm { y } } B _ { \mathrm { z } } - \Delta _ { \mathrm { z } } B _ { \mathrm { y } } \right| } { \left| \Delta _ { \mathrm { x } } B _ { \mathrm { y } } \right| + \left| \Delta _ { \mathrm { y } } B _ { \mathrm { x } } \right| + \left| \Delta _ { \mathrm { x } } B _ { \mathrm { z } } \right| + \left| \Delta _ { \mathrm { z } } B _ { \mathrm { x } } \right| + \left| \Delta _ { \mathrm { y } } B _ { \mathrm { z } } \right| + \left| \Delta _ { \mathrm { z } } B _ { \mathrm { y } } \right| + c \sqrt { \rho } } \, .
\frac { \partial } { \partial t } \varphi C ^ { \ast } + { \boldsymbol { \nabla } } \cdot \Big ( { \boldsymbol { q } } C ^ { \ast } - \varphi D { \boldsymbol { \nabla } } ( C ^ { \ast } ) \Big ) = - \lambda \varphi C ^ { \ast } ,
\begin{array} { r l } { z _ { e } ( \textbf { r } ^ { \prime } ) } & { { } = \frac { 2 c _ { 0 } \rho _ { 0 } \cos \theta _ { l e n s } } { c _ { 0 } \rho _ { 0 } \cos \theta _ { l e n s } + c _ { l e n s } \rho _ { l e n s } \cos \theta _ { 0 } } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { H } } } & { { } = \int d ^ { 3 } x \, { \mathfrak { H } } = \int d ^ { 3 } x \psi ^ { * } ( x ) \left( - { \frac { \nabla ^ { 2 } } { 2 m } } \right) \psi ( x ) } \\ { \therefore { \mathfrak { H } } } & { { } = - { \frac { \nabla ^ { 2 } } { 2 m } } } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { n } \left( t = 0 \right) = A _ { \sigma } \exp \left[ - \frac { \left( n - n _ { 0 } \right) ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } + i q \left( n - n _ { 0 } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { i } } & { = a _ { i } ( y _ { i } - x _ { i } ) + \eta _ { i } ( t ) , } \\ { \dot { y } _ { i } } & { = r _ { i } x _ { i } - y _ { i } - x _ { i } z _ { i } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { i j } ( y _ { j } - y _ { i } ) + \eta _ { i } ( t ) , } \\ { \dot { z } _ { i } } & { = x _ { i } y _ { i } - b _ { i } z _ { i } + \eta _ { i } ( t ) \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \mathbf { h } } _ { j k } ^ { j } } & { \sim \mathcal { C N } \left( { \boldsymbol { 0 } _ { M } } , { \mathbf { C } _ { j k } ^ { j } } \right) \ , } \\ { \widehat { \mathbf { h } } _ { j k } ^ { j } } & { \sim \mathcal { C N } \left( { \boldsymbol { 0 } _ { M } } , { \mathbf { R } _ { j k } ^ { j } \! - \! \mathbf { C } _ { j k } ^ { j } } \right) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { { } \mathcal { R } \left[ \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 4 } } \iint \hat { \mathcal { N } } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , \mathbf { x } , z , t ) \mathrm { d } \mathbf { k } _ { 1 } \mathrm { d } \mathbf { k } _ { 2 } \right] , } \\ { \mathcal { F } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { { } \mathcal { R } \left[ \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 4 } } \iint \hat { \mathcal { F } } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , \mathbf { x } , z , t ) \mathrm { d } \mathbf { k } _ { 1 } \mathrm { d } \mathbf { k } _ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { L } _ { \parallel } ^ { \prime } } & { { } = \mathbf { L } _ { \parallel } } \\ { \mathbf { L } _ { \perp } ^ { \prime } } & { { } = \gamma ( \mathbf { v } ) \left( \mathbf { L } _ { \perp } + \mathbf { v } \times \mathbf { N } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 1 } ( a _ { 1 } \leftrightarrow a _ { 2 } \leftrightarrow . . . \leftrightarrow a _ { p } ) } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { p - 1 } P _ { 1 } ( a _ { i } \leftrightarrow a _ { i + 1 } ) } \\ & { = O \left( \frac { w _ { a _ { 1 } } ^ { - 1 } w _ { a _ { p } } ^ { - 1 } \prod _ { i = 1 } ^ { p } w _ { a _ { i } } ^ { 2 } } { k ^ { m } n ^ { p - m - 1 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { r ^ { - \chi } \ln ( r ^ { ( 1 - \chi ) } / a ) \dot { z } } & { { } = A - B \frac { r ^ { \chi } } { \overline { { z } } } , } \\ { \ln [ ( 1 - \chi ) \tilde { r } / a ] \frac { d } { d t } \tilde { z } } & { { } = A e ^ { - i \frac { \chi } { 1 - \chi } \tilde { \phi } } - \frac { B } { 1 - \chi } \frac { 1 } { \overline { { \tilde { z } } } } , } \end{array}
\frac { D } { D t } \vec { A } = \frac { D } { D t } \left( \boldsymbol { \ell } \boldsymbol { \ell } \right) = \frac { D \boldsymbol { \ell } } { D t } \boldsymbol { \ell } + \boldsymbol { \ell } \frac { D \boldsymbol { \ell } } { D t } .
P _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ g ~ h ~ t ~ n ~ i ~ n ~ g ~ } } = \epsilon _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ g ~ h ~ t ~ n ~ i ~ n ~ g ~ } } \, P _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } \, \frac { E _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ v ~ } } } { \mu \, m _ { p } }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } [ A \cap E \cap \mathcal { A } _ { \delta } ( z _ { 0 } , \beta , \alpha ; \cup _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \gamma _ { i } ^ { \delta } ) | E ^ { * } ( \Omega _ { \delta } ; x _ { 1 } ^ { \delta } , \ldots , x _ { 2 n } ^ { \delta } ; z _ { 1 } ^ { \delta , + } , \ldots , z _ { n - 1 } ^ { \delta , + } ) ] } \\ { \le } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \mathbb { P } [ A \cap E \cap \mathcal { A } _ { \delta } ( z _ { 0 } , \beta , \alpha ; \gamma _ { i } ^ { \delta } ) | E ^ { * } ] + \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \mathbb { P } [ A \cap E _ { i } \cap \tilde { E } _ { i } | E ^ { * } ] . } \end{array}
\dot { \overline { z } } _ { \alpha } = - \frac { i } { 2 \pi } \left( \sum _ { \beta = 1 } ^ { N } \phantom { } ^ { ' } \frac { 1 } { z _ { \alpha } - z _ { \beta } } - \sum _ { \beta = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { z _ { \alpha } - 1 / \overline { { z } } _ { \beta } } \right) + i \omega \overline { { z } } _ { \alpha } ,
\begin{array} { r l r } { 2 N \theta _ { 1 } ( \lambda _ { j } ) + \phi _ { b } ( \lambda _ { j } ) + \mathcal { O } ( 1 ) } & { { } = } & { 2 \pi j + [ \sum _ { l \neq 0 , j } \theta _ { 2 } ( \lambda _ { j } - \lambda _ { l } ) + \theta _ { 2 } ( \lambda _ { j } + \lambda _ { l } ) ] } \\ { ( 2 \theta _ { 1 } ^ { \prime } ( \lambda _ { j } ) + \frac { 1 } { N } \phi _ { b } ^ { \prime } ( \lambda _ { j } ) ) \sigma _ { j } + \mathcal { O } ( \frac { 1 } { N } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { l \neq 0 , j } \theta _ { 2 } ^ { \prime } ( \lambda _ { j } - \lambda _ { l } ) ( \sigma _ { j } - \sigma _ { l } ) + \theta _ { 2 } ( \lambda _ { j } + \lambda _ { l } ) ( \sigma _ { j } + \sigma _ { l } ) ] } \end{array}
\hat { X } ^ { i + 1 } = \operatorname { F e n g W u } \left( X ^ { i } \right) , \ \hat { X } ^ { i + 2 } = \operatorname { F e n g W u } \left( \hat { X } ^ { i + 1 } \right) , \. . . , \, h a t { X } ^ { i + 5 6 } = \operatorname { F e n g W u } \left( \hat { X } ^ { i + 5 5 } \right)
\left[ \Sigma _ { x } \right] _ { \mu \nu , \sigma \sigma ^ { \prime } } = i G _ { \kappa \lambda , \sigma \sigma ^ { \prime } } ^ { < } ( i \tau \rightarrow 0 ^ { - } ) c _ { \mu \kappa \alpha } v _ { \alpha \beta } c _ { \nu \lambda \beta } \; .
A _ { 3 } = \{ b a a ^ { n _ { 1 } } b a b , b b a a ^ { n _ { 1 } } b a , b a b a a ^ { n _ { 1 } } b , b b a b a a ^ { n _ { 1 } } , b a ^ { n _ { 1 } - i } b a b a a ^ { i } , a b b a ^ { n _ { 1 } } b a , a b a b a ^ { n _ { 1 } } b , a b b a b a ^ { n _ { 1 } } , \, a b a ^ { n _ { 1 } - i } b a b a ^ { i } , b a b b a a ^ { n _ { 1 } } , b a b a ^ { n _ { 1 } - i } b a a ^ { i } , a b a b b a ^ { n _ { 1 } } , a b a b a ^ { n _ { 1 } - i } b a ^ { i } , b a b a b a ^ { n _ { 1 } } ~ | ~ 1 \leq i \leq n _ { 1 } - 1 \}
\begin{array} { r l } { \textbf { Q } _ { k , \sigma } \left( \mathbf { \widetilde { D } } _ { k , \sigma } + \mathbf { \widetilde { D } } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } \right) } & { = 4 \left[ \int \textbf { Q } _ { k , \sigma } \textbf { Q } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { d a t a } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } \textbf { Q } _ { k , \sigma } \, d \boldsymbol { \textbf { r } } \right] f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) } \\ & { = \left( \mathbf { D } _ { k , \sigma } + \mathbf { D } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } \right) \textbf { Q } _ { k , \sigma } \, . } \end{array}
\overline { { { \eta } } } = \mathrm { s g n } ( F _ { t t } ) R _ { t } \sqrt { \frac { 1 - \sqrt { 1 - a _ { \psi K _ { \mathrm { S } } } ^ { 2 } } } { 2 } } , \quad \overline { { { \rho } } } = 1 - \left[ \frac { 1 + \sqrt { 1 - a _ { \psi K _ { \mathrm { S } } } ^ { 2 } } } { a _ { \psi K _ { \mathrm { S } } } } \right] | \overline { { { \eta } } } | .
\begin{array} { r l } { \frac { \Big ( \rho _ { P } \big ( \rho _ { P } ^ { - 1 / 2 } u \big ) ^ { \prime } \Big ) ^ { \prime } } { \rho _ { P } } } & { = \big ( \rho _ { P } ^ { - 1 / 2 } u \big ) ^ { \prime \prime } + \frac { \rho _ { P } ^ { \prime } } { \rho _ { P } } \big ( \rho _ { P } ^ { - 1 / 2 } u \big ) ^ { \prime } } \\ & { = \big ( \rho _ { P } ^ { - 1 / 2 } u ^ { \prime } - \frac { 1 } { 2 } \rho _ { P } ^ { - 3 / 2 } \rho _ { P } ^ { \prime } u \big ) ^ { \prime } + \rho _ { P } ^ { \prime } \rho _ { P } ^ { - 3 / 2 } u ^ { \prime } - \frac { 1 } { 2 } \rho _ { P } ^ { - 5 / 2 } \big ( \rho _ { P } ^ { \prime } \big ) ^ { 2 } u } \\ & { = \rho _ { P } ^ { - 1 / 2 } u ^ { \prime \prime } + \frac { 1 } { 4 } \rho _ { P } ^ { - 5 / 2 } \big ( \rho _ { P } ^ { \prime } \big ) ^ { 2 } u - \frac { 1 } { 2 } \rho _ { P } ^ { - 3 / 2 } \rho _ { P } ^ { \prime \prime } u } \\ & { = \rho _ { P } ^ { - 1 / 2 } \Big [ u ^ { \prime \prime } + \frac { 1 } { 4 } \rho _ { P } ^ { - 2 } \big ( \rho _ { P } ^ { \prime } \big ) ^ { 2 } u - \frac { 1 } { 2 } \rho _ { P } ^ { - 1 } \rho _ { P } ^ { \prime \prime } u \Big ] } \\ & { = \rho _ { P } ^ { - 1 / 2 } \Bigg ( u ^ { \prime \prime } - \frac { 1 } { 2 } \Big [ \big ( \frac { \rho _ { P } ^ { \prime \prime } } { \rho _ { P } } \big ) - \frac { 1 } { 2 } \big ( \frac { \rho _ { P } ^ { \prime } } { \rho _ { P } } \big ) ^ { 2 } \Big ] u \Bigg ) } \\ & { = \rho _ { P } ^ { - 1 / 2 } \Bigg ( u ^ { \prime \prime } - \frac { 1 } { 2 } \Big [ ( \ln \rho _ { P } ) ^ { \prime \prime } + \frac { 1 } { 2 } ( \ln \rho _ { P } ) ^ { 2 } \Big ] u \Bigg ) = \rho _ { P } ^ { - 1 / 2 } \Bigg ( u ^ { \prime \prime } - w _ { P } u \Bigg ) \, . } \end{array}
S = \left( \alpha { \frac { \partial } { \partial \alpha } } - 1 \right) W _ { L } ( { \cal M } _ { \alpha } ) | _ { \alpha = 1 } = - 2 \pi \sum _ { p = 0 } ^ { k _ { d } - 1 } \lambda _ { p + 1 } W _ { p } ( \Sigma ) ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { h o p } } ^ { ( \ell ) } } & { { } \rightarrow \hat { \mathcal { L } } _ { \mathrm { h o p } } ^ { ( \ell ) } = \sqrt { t ^ { ( \ell ) } } \left( \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell + 1 ) } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell ) } + a _ { \ell } \mathbb { I } \right) \, \, , } \\ { H = 0 } & { { } \rightarrow \hat { H } = \frac { 1 } { 2 i } \sum _ { \ell } t ^ { ( \ell ) } \left( a _ { \ell } ^ { * } \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell + 1 ) } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell ) } - a _ { \ell } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell + 1 ) } \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell ) } \right) \, . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } \| y _ { r h } ( t ) \| _ { H _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } \, d t \leq \frac { 2 \gamma _ { 2 } ( T ) } { \alpha } \| y _ { 0 } \| _ { H _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathbb { E } \left[ | \mathbf { u } _ { r h } ( t ) | _ { \ell _ { 2 } } ^ { 2 } \right] \, d t \leq \frac { 2 \gamma _ { 2 } ( T ) } { \alpha \beta } \| y _ { 0 } \| _ { H _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } .