harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Delta t \approx z / H \left[ 1 - \frac { ( 3 + q _ { 0 } ) } { 2 } z . . . . \right] \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } } { E _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { m _ { 2 } ^ { 2 } } { E _ { 2 } ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { \| P _ { \alpha } ( t ) u _ { 0 } \| _ { L ^ { q } } } & { \le C t ^ { - \frac { \alpha N } { 2 } \left( \frac { 1 } { p } - \frac { 1 } { q } \right) } \int _ { 0 } ^ { \infty } h _ { \alpha } ( \theta ) \theta ^ { - \frac { N } { 2 } \left( \frac { 1 } { p } - \frac { 1 } { q } \right) } d \theta \| u _ { 0 } \| _ { L ^ { p } } , } \\ { \| S _ { \alpha } ( t ) u _ { 0 } \| _ { L ^ { q } } } & { \le C t ^ { - \frac { \alpha N } { 2 } \left( \frac { 1 } { p } - \frac { 1 } { q } \right) } \int _ { 0 } ^ { \infty } h _ { \alpha } ( \theta ) \theta ^ { 1 - \frac { N } { 2 } \left( \frac { 1 } { p } - \frac { 1 } { q } \right) } d \theta \| u _ { 0 } \| _ { L ^ { p } } . } \end{array}
\hat { U } \hat { D } _ { i } ( \alpha ) \hat { U } ^ { \dag } = \hat { U } e ^ { \alpha \hat { a } _ { i } ^ { \dag } - \bar { \alpha } \hat { a } _ { i } } \hat { U } ^ { \dag } = e ^ { \alpha \hat { U } \hat { a } _ { i } ^ { \dag } \hat { U } ^ { \dag } - \bar { \alpha } \hat { U } \hat { a } _ { i } \hat { U } ^ { \dag } } .
\begin{array} { r l } { P _ { n | k } ^ { \mathrm { ( i r ) } } = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } } & { { } \sum _ { f = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( k , n ) } \binom { k } { f } \binom { n } { f } p ^ { n - f } ( 1 - p ) ^ { f + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { \mathrm { a } } ( t , x , y ) } & { { } = T _ { \mathrm { a } , 0 } + \delta T _ { \mathrm { a } } ( t , x , y ) } & { = T _ { \mathrm { a } , 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 1 0 } \delta T _ { \mathrm { a } , i } ( t ) F _ { i } ( x , y ) } \\ { T _ { o } ( t , x , y ) } & { { } = T _ { o , 0 } + \delta T _ { o } ( t , x , y ) } & { = T _ { o , 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } \delta T _ { o , i } ( t ) \phi _ { i } ( x , y ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { y ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( y - d _ { 2 } - 1 \right) / { d _ { 2 } } } & { \; 1 \leq y \leq 1 + 2 d _ { 2 } } \\ { y } & { - 1 \leq y \leq 1 } \\ { \left( y + d _ { 1 } + 1 \right) / { d _ { 1 } } } & { - 1 - 2 d _ { 1 } \leq y \leq - 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { G } ^ { \rightarrow } } & { = \sum _ { i , j \neq i } \left[ - ( \beta _ { i } ^ { \rightarrow } + \beta _ { j } ^ { \leftarrow } ) w _ { i j } + p _ { i j } ^ { \rightarrow } \ln ( \beta _ { i } ^ { \rightarrow } + \beta _ { j } ^ { \leftarrow } ) \right] } \\ { \mathcal { G } ^ { \leftrightarrow } } & { = \sum _ { i , j \neq i } - ( \beta _ { i } ^ { \leftrightarrow , o u t } + \beta _ { j } ^ { \leftrightarrow , i n } ) w _ { i j } + } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { D _ { t } M _ { i } } & { = \epsilon _ { i j k } \Omega _ { j } M _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { i j k } \omega _ { j } M _ { k } - \frac { 1 } { \tau } ( M _ { i } - M _ { i } ^ { 0 } ) } \\ & { \quad \quad - \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { j k m } \partial _ { j } M _ { i } \partial _ { k } \left( I \Omega _ { m } + \gamma M _ { m } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { e } _ { 1 } } & { { } = ( 1 , 0 , \ldots , 0 ) } \\ { \mathbf { e } _ { 2 } } & { { } = ( 0 , 1 , \ldots , 0 ) } \\ { \mathbf { e } _ { n } } & { { } = ( 0 , 0 , \ldots , 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | B | } & { { } = 1 \cdot { \left| \begin{array} { l l } { 5 } & { 6 } \\ { 8 } & { 9 } \end{array} \right| } - 2 \cdot { \left| \begin{array} { l l } { 4 } & { 6 } \\ { 7 } & { 9 } \end{array} \right| } + 3 \cdot { \left| \begin{array} { l l } { 4 } & { 5 } \\ { 7 } & { 8 } \end{array} \right| } } \end{array}
\hat { U } _ { i } ( \hat { \sigma } _ { i } , \hat { \bar { \sigma } } , \theta _ { i } ) = \sum _ { \theta _ { - i } \in \hat { \Theta } _ { - i } } f _ { i } ( \hat { \sigma } _ { i } ( \theta _ { i } ) , h _ { i } ( \hat { \sigma } _ { i } ( \theta _ { i } ) ) + h _ { - i } ( \hat { \sigma } _ { - i } ( \theta _ { - i } ) ) , \theta _ { i } ) \hat { P } _ { i } ( \theta _ { - i } | \theta _ { i } ) , \ \theta _ { i } \in \hat { \Theta } _ { i } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { 2 } { \cal H } _ { s } } { \partial { \bf p } \partial { \bf p } ^ { T } } } & { = v _ { 0 } \cos \psi _ { 0 } { \bf I } \, , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } { \cal H } _ { s } } { \partial { \bf q } \partial { \bf q } ^ { T } } } & { = \frac { \cos \psi _ { 0 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } v _ { 0 } } { \partial { \bf q } \partial { \bf q } ^ { T } } \, , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } { \cal H } _ { s } } { \partial { \bf p } \partial { \bf q } ^ { T } } } & { = \frac { \partial ^ { 2 } { \cal H } _ { s } } { \partial { \bf q } \partial { \bf p } ^ { T } } = { \bf O } \, , } \end{array}
\omega ( \omega - \omega _ { r } ) + c _ { \mathcal { G } ^ { \prime } } \left( - ( \omega - \omega _ { r } ) ^ { 2 } + \frac { v ^ { 2 } } { 2 } \left( \frac { m } { \sin \theta } - a \omega \sin \theta \right) ^ { 2 } \right) \geq c _ { \mathcal { G } ^ { \prime } } \left( ( \omega - \omega _ { r } ) ^ { 2 } + \frac { v ^ { 2 } } { 2 } \left( \frac { m } { \sin \theta } - a \omega \sin \theta \right) ^ { 2 } \right)
\delta f ( t , k _ { \parallel } , k _ { \perp } , v _ { \parallel } , w _ { \perp } ) = F _ { \mathrm { M } } ( v ) \sum _ { m , n = 0 } ^ { \infty } g _ { m , n } H _ { n } \biggl ( \frac { v _ { \parallel } } { v _ { \mathrm { t h , i } } } \biggr ) L _ { m } \biggl ( \frac { w _ { \perp } ^ { 2 } } { v _ { \mathrm { t h , i } } ^ { 2 } } \biggr ) .
\begin{array} { r l } { h ( r , t ) } & { { } \sim ( 1 - t ) \left[ \mathcal { H } _ { 0 } ( \mathrm { ~ B ~ o ~ } ) + \mathcal { H } _ { 1 } ( \mathrm { ~ B ~ o ~ } ) r ^ { 2 } + o ( r ^ { 2 } ) \right] , } \\ { u ( r , t ) } & { { } \sim \frac { 1 } { ( 1 - t ) } \left[ \mathcal { U } _ { 0 } ( \mathrm { ~ B ~ o ~ } ) r + \mathcal { U } _ { 1 } ( \mathrm { ~ B ~ o ~ } ) r ^ { 3 } + o ( r ^ { 3 } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ { \begin{array} { c } { - \frac { | U | ^ { 2 } - 3 T + 3 } { 3 \rho ^ { 3 } } } \\ { \frac { 2 U _ { 1 } } { 3 \rho ^ { 2 } } - \frac { 2 } { 3 } \frac { v _ { 1 } - 2 U _ { 1 } } { \rho T } - \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \frac { 1 } { \rho } \left( \frac { v _ { 1 } - U _ { 1 } } { T ^ { 2 } } \right) + \frac { v _ { 1 } - U _ { 1 } } { T } } \\ { \frac { 2 U _ { 2 } } { 3 \rho ^ { 2 } } - \frac { 2 } { 3 } \frac { v _ { 2 } - 2 U _ { 2 } } { \rho T } - \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \frac { 1 } { \rho } \left( \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { T ^ { 2 } } \right) + \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { T } } \\ { \frac { 2 U _ { 3 } } { 3 \rho ^ { 2 } } - \frac { 2 } { 3 } \frac { v _ { 3 } - 2 U _ { 3 } } { \rho T } - \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \frac { 1 } { \rho } \left( \frac { v _ { 3 } - U _ { 3 } } { T ^ { 2 } } \right) + \frac { v _ { 3 } - U _ { 3 } } { T } } \\ { - \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } + \frac { 2 } { 3 } \frac { U \cdot ( v - U ) } { \rho T ^ { 2 } } + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \frac { 1 } { \rho } \left( \frac { 3 } { 2 } \frac { 1 } { T ^ { 2 } } - \frac { | v - U | ^ { 2 } } { T ^ { 3 } } \right) + \left( - \frac { 3 } { 2 } \frac { 1 } { T } + \frac { | v - U | ^ { 2 } } { 2 T ^ { 2 } } \right) } \end{array} } \right] \mathcal { M } ( F ) . } \end{array}
0 \longrightarrow \textnormal { H } ^ { 0 } ( \mathcal { A } ) { \longrightarrow } \textnormal { H } ^ { 0 } ( \mathcal { A } ^ { * } ) \longrightarrow \textnormal { H } ^ { 0 } ( \mathcal { C } ) \longrightarrow \textnormal { H } ^ { 1 } ( \mathcal { A } ) { \longrightarrow } \textnormal { H } ^ { 1 } ( \mathcal { A } ^ { * } ) \longrightarrow \textnormal { H } ^ { 1 } ( \mathcal { C } ) \longrightarrow 0 .
\boldsymbol { R _ { u } ^ { t } } = \boldsymbol { S } ^ { H } \left[ \boldsymbol { R _ { u } ^ { B , t } } - \boldsymbol { R _ { u } ^ { B , t } } \boldsymbol { \hat { \nabla } } \left( \boldsymbol { \hat { \nabla } } ^ { T } \boldsymbol { R _ { u } ^ { B , t } } \boldsymbol { \hat { \nabla } } \right) ^ { - 1 } \boldsymbol { \hat { \nabla } } ^ { T } \boldsymbol { R _ { u } ^ { B , t } } \right] \boldsymbol { S } .
\boldsymbol { R } ( \tau ) = \boldsymbol { C } ( \tau ) \boldsymbol { C } ( 0 ) ^ { - 1 } \approx \boldsymbol { C } ( \tau ) + \boldsymbol { D } _ { \phi } ^ { \tau } ( \boldsymbol { I } - \boldsymbol { C } ( 0 ) ) .
\widetilde { R \Gamma } _ { \mathrm { f } } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathrm { P a n } } ) \otimes _ { \varpi _ { 2 , 1 } ^ { * } } \mathcal { R } _ { 2 } \xrightarrow { \mathrm { i d } \otimes \mathrm { t r } ^ { * } } \widetilde { R \Gamma } _ { \mathrm { f } } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { 2 } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathrm { b a l } } ) \xrightarrow { \pi _ { \mathrm { t r } ^ { * } } } \widetilde { R \Gamma } _ { \mathrm { f } } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , M _ { 2 } ^ { \dagger } , \mathrm { t r } ^ { * } \Delta _ { \mathrm { b a l } } )
\mathbb { E } w ^ { \bar { Z } _ { G } } = \frac { f } { 1 - ( 1 - f ) ( ( 1 - \vartheta ) w ^ { c } + \vartheta w ^ { - 1 } ) } \times \frac { 1 - \varrho [ f ] w ^ { - 1 } } { 1 - \varrho [ f ] } .
\begin{array} { r l } { m _ { s } \left( y ^ { \mathcal { N } } , q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) } & { = \left( y ^ { \mathcal { N } } , q ^ { \mathcal { N } } \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } \delta _ { K } h _ { K } \left( y ^ { \mathcal { N } } , \partial _ { x _ { 0 } } q ^ { \mathcal { N } } \right) _ { K } , \quad y ^ { \mathcal { N } } , q ^ { \mathcal { N } } \in Y ^ { \mathcal { N } } , } \\ { m _ { s } ^ { * } \left( p ^ { \mathcal { N } } , z ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) } & { = \left( p ^ { \mathcal { N } } , z ^ { \mathcal { N } } \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } - \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } \delta _ { K } h _ { K } \left( p ^ { \mathcal { N } } , \partial _ { x _ { 0 } } z ^ { \mathcal { N } } \right) _ { K } , \quad p ^ { \mathcal { N } } , z ^ { \mathcal { N } } \in Y ^ { \mathcal { N } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { L } ( \omega ) } & { { } = - \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } \chi _ { 0 } } { \omega ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } + i \Gamma \omega } \quad ; \quad \omega _ { 0 } , \chi _ { 0 } , \Gamma > 0 } \end{array}
\Omega _ { 1 } ^ { s } ( \vec { q } = 0 ) \simeq { \frac { 1 } { 2 \sqrt 3 } } f _ { B _ { s } } \sqrt M _ { B _ { s } } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 M _ { B _ { c } } } } } \int d \vec { x } \; \; \Psi _ { B _ { c } } ( \vec { x } ) \; \; + \; c o r r e c t i o n s \; \; \; .
{ \alpha _ { k } } \in \mathbb { Z } \, , ~ k \in \{ 1 , \dots , N - 2 \} \setminus \{ a , b \} \, , \quad \sum _ { j = 1 } ^ { N - 2 } { \frac { v _ { j } \varepsilon _ { j } } { \varepsilon _ { N - 1 } } } { \alpha _ { j } } \in \mathbb { Z } \, , ~ \sum _ { j = 1 } ^ { N - 2 } { \frac { w _ { j } \varepsilon _ { j } } { \varepsilon _ { N } } } { \alpha _ { j } } \in \mathbb { Z } \, .
\begin{array} { r l } { \ddot { \xi } } & { { } = 0 ; \qquad \xi ( 0 ) = x _ { n } , \quad \dot { \xi } ( 0 ) = v _ { n } ^ { x } } \\ { \ddot { \eta } } & { { } = - G ; \qquad \eta ( 0 ) = y _ { n } , \quad \dot { \eta } ( 0 ) = v _ { n } ^ { y } , } \\ { \Psi } & { { } = A \cos ( 2 \pi T ) \cos ( 2 \pi \xi ) + \gamma \cos ( 2 \pi [ 2 T - \varphi ] ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta V _ { A \ell } ( \mathbf { r } ) } & { = } & { \sum _ { q = 1 } ^ { N _ { q \ell } } \beta _ { A q \ell } \, | \mathbf { r } - \mathbf { R } _ { A } | ^ { n _ { A q \ell } } \, e ^ { - \alpha _ { A q \ell } | \mathbf { r } - \mathbf { R } _ { A } | ^ { 2 } } } \\ { V _ { A \ell _ { \operatorname* { m a x } } + 1 } ( \mathbf { r } ) } & { = } & { - \frac { Z _ { \mathrm { e f f } } } { | \mathbf { r } - \mathbf { R } _ { A } | } + \delta V _ { A \ell _ { \operatorname* { m a x } } + 1 } ( \mathbf { r } ) } \end{array}
E _ { \pm } \ = \ \frac { F ^ { 2 } ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) } { 4 } \left[ 2 \big ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \big ) \cos ^ { 2 } ( a x ) \cos ^ { 2 } ( b y ) \pm | \cos ( a x ) \cos ( b y ) | \sqrt { \tilde { E } } \, \right]
l _ { k } ( \vec { x } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { M _ { k } } a _ { i } \frac { 1 } { \sqrt { ( e ^ { 2 } + \| \vec { x } - \vec { x } _ { i } \| ^ { 2 } ) } } + \vec { b } ^ { T } \vec { x } + c .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial p _ { j } } \left( \frac { 1 } { v _ { 0 } } \frac { \partial v _ { 0 } } { \partial p _ { i } } \right) } & { { } = \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } \psi _ { 0 } } \left( \bar { \bf f } _ { j } \cdot \left( \frac { \partial ^ { 2 } { \cal H } _ { t } } { \partial \bar { \bf w } \partial \bar { \bf w } ^ { T } } - v _ { 0 } ^ { 2 } \bar { \bf I } \right) \bar { \bf f } _ { i } \right. } \end{array}
\hat { V } _ { \mathrm { { x c } } } ^ { \mathrm { { R S H } } } = \hat { V } _ { \mathrm { { x } } } + V _ { \mathrm { { c } } } ^ { \mathrm { { D F A } } } \left( \rho \left( \boldsymbol { r } \right) \right)
\begin{array} { r } { \hat { z } _ { i } ( \xi ) \! - \! \hat { z } _ { e } \! \left[ \xi , \hat { Z } _ { e } ( \xi _ { 0 } , z _ { i 0 } ) \right] = \hat { z } _ { i } ( \xi ) \! - \! \hat { Z } _ { e } ( \xi _ { 0 } , z _ { i 0 } ) \! - \! \Delta ( \xi ) = \hat { z } _ { i } ( \xi ) \! - \! z _ { i 0 } \! + \! \Delta ( \xi _ { 0 } ) \! - \! \Delta ( \xi ) = \! \! \int _ { \xi _ { 0 } } ^ { \xi } \! \! \! \! d y \left[ \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 \hat { s } _ { i } ^ { 2 } ( y ) } \! - \! \frac 1 2 \right] } \\ { + \Delta ( \xi _ { 0 } ) \! - \! \Delta ( \xi ) = \! \! \int _ { \xi _ { 0 } } ^ { \xi } \! \! \! \! d y \left[ \frac { \mu _ { i } ^ { 2 } } { 2 \hat { s } _ { i } ^ { 2 } ( y ) } \! - \! \frac 1 2 \right] \! - \! \! \int _ { \xi _ { 0 } } ^ { \xi } \! \! \! \! d y \left[ \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 \hat { s } ^ { 2 } ( y ) } \! - \! \frac 1 2 \right] = \! \! \int _ { \xi _ { 0 } } ^ { \xi } \! \! \! \! d y \left[ \frac { \mu _ { i } ^ { 2 } } { 2 \hat { s } _ { i } ^ { 2 } ( y ) } \! - \! \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 s ^ { 2 } ( y ) } \right] } \end{array}
\omega ( x , y ) = \frac { 1 } { 2 } + \frac { x ^ { 2 } y ^ { 2 } } { 4 \cdot 5 ! } - \frac { 5 } { 1 2 \cdot 7 ! } \, ( x ^ { 4 } y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 4 } ) + \frac { 1 } { 3 4 5 0 0 \, } ( x ^ { 2 } y ^ { 6 } + x ^ { 6 } y ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 8 6 4 0 0 } \, x ^ { 4 } y ^ { 4 } + \ldots
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( t M o n _ { j } \left( \frac { 1 } { N + 1 } \left( \chi ( 0 ) N + e ^ { ( j ) } \right) , N + 1 \right) \right) \ge \prod _ { i \ne j } \exp \left\{ - F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) \sum _ { k = \chi _ { j } ( 0 ) N + 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( k ) } \right\} } \\ & { \ge \prod _ { i \ne j } \exp \left\{ - c o n s t . \frac { F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) } { F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N + 1 ) } \right\} = \prod _ { i \ne j } \exp \left\{ - c o n s t . \frac { F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) } { F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) } \cdot \frac { F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) } { F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N + 1 ) } \right\} } \\ & { \xrightarrow { N \to \infty } 1 } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \epsilon ^ { 2 } \rangle / \langle \epsilon \rangle ^ { 2 } = \frac { 1 5 } { 7 } F ( A _ { 1 1 } ) \ , \ \ \langle \Omega ^ { 2 } \rangle / \langle \Omega \rangle ^ { 2 } = \frac { 9 } { 5 } F ( A _ { 1 2 } ) \ . } \end{array}
\mathcal { L } _ { k } ( \theta ^ { ( k ) } ) = \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \left( \mathbf { F _ { k } } \left[ \mathcal { N } _ { k } \left( \mathbf { x } _ { i } ; \theta ^ { ( k ) } \right) \right] \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \mathcal { N } _ { k } \left( \mathbf { y } _ { j } ; \theta ^ { ( k ) } \right) - \phi _ { k } ( \mathbf { y } _ { j } ) \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \theta _ { a } } & { \leftarrow \theta _ { a } + \eta _ { a } \nabla _ { \theta _ { a } } J ( \theta _ { a } ) \theta _ { a } } \\ & { \quad + \frac { \eta _ { a } } { N _ { b a t c h } } \! \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { b a t c h } } \! \left[ \nabla _ { \theta _ { a } } \mu ( s _ { i } ) \nabla _ { a } { { Q } } _ { \mu } ( s _ { i } , a ; \theta _ { c } ) | _ { a = \mu ( s _ { i } ) } \! \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Q ( w _ { t } , w ) + \iint [ ( p _ { t } - p _ { t - 1 } ) - \mu _ { t } ( p _ { t - 1 } - p _ { t - 2 } ) ] ( x ) f ( x , y ) ( q _ { t } - q ) ( y ) d x d y } \\ { = } & { \int ( \tilde { \phi } _ { t } - \phi _ { t } ) ( y ) ( q _ { t } - q ) ( y ) d y + \int ( \phi _ { t } ( y ) + \lambda _ { 1 } \| y \| ^ { 2 + \delta } ) ( q _ { t } - q ) ( y ) d y + \lambda _ { 2 } { \cal E } ( q _ { t } ) - \lambda _ { 2 } { \cal E } ( q ) } \\ & { + \int ( \tilde { \psi } _ { t } - \psi _ { t } ) ( x ) ( p _ { t } - p ) ( x ) d x + \int ( \psi _ { t } ( x ) + \lambda _ { 1 } \| x \| ^ { 2 + \delta } ) ( p _ { t } - p ) ( x ) d x + \lambda _ { 2 } { \cal E } ( p _ { t } ) - \lambda _ { 2 } { \cal E } ( p ) } \\ { \leq } & { 4 ( 1 + \mu _ { t } ) \epsilon + \tau _ { t } [ \mathrm { K L } ( q \| q _ { t - 1 } ) - \mathrm { K L } ( q _ { t } \| q _ { t - 1 } ) ] - ( \tau _ { t } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { t } ) + \eta _ { t } [ \mathrm { K L } ( p \| p _ { t - 1 } ) - \mathrm { K L } ( p _ { t } \| p _ { t - 1 } ) ] } \\ & { - ( \eta _ { t } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( p \| p _ { t } ) + ( \tau _ { t } + \lambda _ { 2 } ) \left[ \delta _ { t , 1 } ( q ) + \delta _ { t , 2 } ( q ) \right] + 2 \tau _ { t } \delta _ { t - 1 , 2 } ( q ) + ( \eta _ { t } + \lambda _ { 2 } ) \left[ \delta _ { t , 1 } ( p ) + \delta _ { t , 2 } ( p ) \right] + 2 \eta _ { t } \delta _ { t - 1 , 2 } ( p ) . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { A } } & { { B } } \\ { { C } } & { { D } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { A } } & { { 0 } } \\ { { C } } & { { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { A ^ { - 1 } B } } \\ { { 0 } } & { { D - C A ^ { - 1 } B } } \end{array} \right) ~ .
\mathcal A _ { i + j - 1 } ^ { i } ( \vec { x } _ { \alpha } ) [ \underset { i + j - 1 \mathrm { ~ f ~ a ~ c ~ t ~ o ~ r ~ s ~ } } { \underbrace { f ( \vec { x } _ { \beta } ) \otimes \dots \otimes f ( \vec { x } _ { \gamma } ) } } ] = A _ { i + j - 1 } ^ { i } f ^ { [ i ] } ( \vec { x } _ { \alpha } ) \delta _ { \alpha \beta } \dots \delta _ { \alpha \gamma } .
\sum _ { t = 1 } ^ { T } q _ { t } ^ { \prime } l _ { t } = \sum _ { t = 1 } ^ { T } q _ { t } ^ { \star } l _ { t } + ( q _ { i } ^ { \prime } - q _ { i } ^ { \star } ) l _ { i } + ( q _ { j } ^ { \prime } - q _ { j } ^ { \star } ) l _ { j } = \sum _ { t = 1 } ^ { T } q _ { t } ^ { \star } l _ { t } + ( q _ { j } ^ { \star } - q _ { i } ^ { \star } ) ( l _ { i } - l _ { j } )
p _ { d y n \thinspace s w } + \frac { B _ { s w } ^ { 2 } } { 2 \mu _ { 0 } } + p _ { t h \thinspace s w } = \frac { k _ { m } ^ { 2 } B _ { p } ^ { 2 } R _ { p } ^ { 6 } } { 2 \mu _ { 0 } R _ { m p } ^ { 6 } } + p _ { t h \thinspace p } \thinspace ,
\vec { Q } _ { \phi _ { W S } } = \vec { Q } _ { c _ { R } } - \vec { Q } _ { t _ { L } } = \left( 0 , \frac { 2 } { 3 } , 0 , 1 \right) - \left( 0 , 0 , \frac { 1 } { 6 } , 0 \right) = \left( 0 , \frac { 2 } { 3 } , - \frac { 1 } { 6 } , 1 \right)
\begin{array} { r l } { \left\lVert \theta _ { n } - \theta _ { 0 } \right\rVert _ { H _ { n } ( \theta _ { n } ) } ^ { 2 } } & { \le 3 \left\lVert \theta _ { n } - \theta _ { 0 } \right\rVert _ { H ( \theta _ { \star } ) } ^ { 2 } \le 6 \left\lVert \theta _ { n } - \theta _ { \star } \right\rVert _ { H ( \theta _ { \star } ) } ^ { 2 } + 6 \left\lVert \theta _ { \star } - \theta _ { 0 } \right\rVert _ { H ( \theta _ { \star } ) } ^ { 2 } } \\ & { \le 3 8 4 \left\lVert S _ { n } ( \theta _ { \star } ) \right\rVert _ { H _ { n } ( \theta _ { \star } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } + 6 \left\lVert \theta _ { \star } - \theta _ { 0 } \right\rVert _ { H ( \theta _ { \star } ) } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { u _ { 1 } = u _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( a ( x , t ) , t ) = a _ { 1 } ( x , t ) + 2 \sqrt { \frac { \pi | a _ { 1 2 } ( x , t ) | } { \varepsilon } } \ \mathrm { s i g n } ( a _ { 1 2 } ( x , t ) ) \cos { \frac { 2 \pi t } { \varepsilon } } + \tilde { u } _ { 1 } ( t ) , } \\ & { u _ { 2 } = u _ { 2 } ^ { \varepsilon } ( a ( x , t ) , t ) = a _ { 2 } ( x , t ) + 2 \sqrt { \frac { \pi | a _ { 1 2 } ( x , t ) | } { \varepsilon } } \sin { \frac { 2 \pi t } { \varepsilon } } + \tilde { u } _ { 2 } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \vec { i } _ { \pm , l } } & { { } = - \sigma _ { \pm , l } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \nabla ^ { 2 } \phi _ { \pm , l } = j _ { \pm , t o t } } \\ { \nabla \cdot \vec { i } _ { \pm , s } } & { { } = - \sigma _ { \pm , s } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \nabla ^ { 2 } \phi _ { \pm , s } = - j _ { \pm , t o t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \nabla _ { ( \rho _ { \theta } , \rho _ { \theta } U _ { \theta } , G _ { \theta } ) } ^ { 2 } \mathcal { M } ( \theta ) \right] _ { i j } } & { = \frac { \mathcal { P } _ { i j } ( ( v - U _ { \theta } ) , U _ { \theta } , T _ { \theta } ) } { \rho _ { \theta } ^ { \alpha _ { i j } } T _ { \theta } ^ { \beta _ { i j } } } \mathcal { M } ( \theta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( x ) } & { { } = { \frac { ( x - x _ { 1 } ) ( x - x _ { 2 } ) \cdots ( x - x _ { n } ) } { ( x _ { 0 } - x _ { 1 } ) ( x _ { 0 } - x _ { 2 } ) \cdots ( x _ { 0 } - x _ { n } ) } } y _ { 0 } + { \frac { ( x - x _ { 0 } ) ( x - x _ { 2 } ) \cdots ( x - x _ { n } ) } { ( x _ { 1 } - x _ { 0 } ) ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \cdots ( x _ { 1 } - x _ { n } ) } } y _ { 1 } + \ldots + { \frac { ( x - x _ { 0 } ) ( x - x _ { 1 } ) \cdots ( x - x _ { n - 1 } ) } { ( x _ { n } - x _ { 0 } ) ( x _ { n } - x _ { 1 } ) \cdots ( x _ { n } - x _ { n - 1 } ) } } y _ { n } } \end{array}
\frac { d v _ { \infty } } { d t } = \left( 1 - { v _ { \infty } ^ { 2 } } \right) \left[ \frac { k } { L } - \left( 2 H + { \frac { 1 } { \ell _ { \mathrm { f } } } } \right) v _ { \infty } \right] \, ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { F \in \mathrm { H o m } ( V , N ) \setminus \mathrm { S u r } ( V , N ) } | N | ^ { - n - u } } & { \leq \sum _ { H \mathrm { ~ p r o p e r ~ s u b m o d u l e ~ o f ~ } N } \sum _ { F \in \mathrm { H o m } ( V , H ) } | N | ^ { - n - u } } \\ & { \leq \sum _ { H \mathrm { ~ p r o p e r ~ s u b m o d u l e ~ o f ~ } N } | H | ^ { n + u } | N | ^ { - n - u } } \\ & { \leq K e ^ { - d n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { \theta \in \Theta _ { a } ^ { ( 1 ) } } \log \frac { \alpha _ { a } } { \alpha } + \alpha \log \frac { \kappa _ { a } } { \kappa } + \frac { \alpha } { \alpha _ { a } } - 1 } & { = \operatorname* { i n f } _ { \alpha \in ( 0 , 1 ] } \log \frac { \alpha _ { a } } { \alpha } + \frac { \alpha } { \alpha _ { a } } - 1 } \\ & { = \log \alpha _ { a } + \frac { 1 } { \alpha _ { a } } - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { x } } & { { } = \frac { \mu L } { \xi } \left[ B _ { 1 1 } ( \eta ) \dot { \zeta } + B _ { 1 2 } ( \eta ) \dot { \lambda } + B _ { 1 3 } ( \eta ) \dot { \eta } \right] \, , } \\ { F _ { z } } & { { } = \frac { \mu L } { \xi ^ { 2 } } \left[ B _ { 2 1 } ( \eta ) \dot { \zeta } + B _ { 2 2 } ( \eta ) \dot { \lambda } + B _ { 2 3 } ( \eta ) \dot { \eta } \right] \, , } \\ { G } & { { } = \frac { \mu L ^ { 2 } } { \xi ^ { 2 } } \left[ B _ { 3 1 } ( \eta ) \dot { \zeta } + B _ { 3 2 } ( \eta ) \dot { \lambda } + B _ { 3 3 } ( \eta ) \dot { \eta } \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 2 1 } } & { { } = \frac { e E } { ( 2 \pi ^ { 2 } ) } \Big ( \frac { - i } { \hbar } \Big ) ^ { 2 } \sum _ { m } \int d k _ { m ^ { \prime } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t _ { 1 } \times } \end{array}
{ \cal A } = M _ { \mathrm { W } } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d s ~ s ^ { 2 } \ln \left( { \frac { s } { M _ { \mathrm { W } } ^ { 2 } } } \right) { \frac { \rho _ { \mathrm { V } } ( s ) - \rho _ { \mathrm { A } } ( s ) } { s - M _ { \mathrm { W } } ^ { 2 } + i \epsilon } } \ \ .