harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \chi _ { l } ( k , \omega ) } & { { } = 1 - \frac { 1 } { \epsilon _ { l } ( k , \omega ) } \, , } \\ { \chi _ { t } ( k , \omega ) } & { { } = \epsilon _ { t } ( k , \omega ) - 1 \; . } \end{array}
\Delta A _ { \mu } = ( \bar { \epsilon } _ { 2 } \zeta ^ { ( 9 ) } - \bar { \epsilon } _ { 1 } ) \Gamma _ { \mu } \lambda + ( { \frac { 1 } { 3 } } \bar { \epsilon } _ { 1 } - \bar { \epsilon } _ { 2 } \zeta ^ { ( 9 ) } ) \Gamma _ { \rho } \lambda \bar { \lambda } \Gamma ^ { \rho } \partial _ { \mu } \lambda + \xi ^ { \rho } \partial _ { \rho } A _ { \mu } + \partial _ { \mu } \xi ^ { \rho } A _ { \rho } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { 4 m _ { 1 1 } m _ { 2 2 } } { c _ { 1 } c _ { 2 } } - \left( \frac { m _ { 1 2 } } { c _ { 1 } } + \frac { m _ { 2 1 } } { c _ { 2 } } \right) ^ { 2 } } & { > } & { \frac { c _ { 3 } } { m _ { 3 3 } } \left[ \frac { m _ { 1 1 } } { c _ { 1 } } \left( \frac { m _ { 2 3 } } { c _ { 2 } } + \frac { m _ { 3 2 } } { c _ { 3 } } \right) ^ { 2 } + \frac { m _ { 2 2 } } { c _ { 2 } } \left( \frac { m _ { 1 3 } } { c _ { 1 } } + \frac { m _ { 3 1 } } { c _ { 3 } } \right) ^ { 2 } \right. } \\ & { } & { \left. - \left( \frac { m _ { 1 2 } } { c _ { 1 } } + \frac { m _ { 2 1 } } { c _ { 2 } } \right) \left( \frac { m _ { 1 3 } } { c _ { 1 } } + \frac { m _ { 3 1 } } { c _ { 3 } } \right) \left( \frac { m _ { 2 3 } } { c _ { 2 } } + \frac { m _ { 3 2 } } { c _ { 3 } } \right) \right] . } \end{array}
\frac { 1 } { \tau _ { e } } = \frac { 1 } { \tau ^ { \mathrm { A D P } } } + \frac { 1 } { \tau ^ { \mathrm { I M P } } } + \frac { 1 } { \tau ^ { \mathrm { P O P } } } + \frac { 1 } { \tau ^ { \mathrm { P I E } } }
\begin{array} { r l } { \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 6 + 4 \gamma } \mathbb E \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d t \Big ) ^ { 2 } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 6 + 4 \gamma } \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) ) d t \Big ) ^ { 2 } } } & { \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 6 + 4 \gamma } \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d t \Big ) ^ { 2 } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 4 + 2 \gamma } \mathbb E \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) ) d t \Big ) ^ { 2 } } \quad \longrightarrow \alpha _ { 1 } \ge 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { e } } & { { } = { \cal E } _ { 0 } \, \frac { \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } { e } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 1 } { 6 4 } \, b ( - k n ) \bigg [ 4 \left( 1 - 3 x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \right) ^ { 2 } k \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } \end{array}
z _ { i } ( t ) ^ { 1 - b } < \frac { \phi ( h _ { G } - 1 ) x _ { i } ( t ) + 1 } { \phi ( h _ { G } - 1 ) ( 1 - x _ { i } ( t ) ) + 1 } = f ( \frac { S ( x _ { i } ( t + 1 ) , \phi ) } { d } )
f _ { i i } ^ { ( \tau ) } = \mathrm { P r } \Big ( X ( t + \tau ) = i , X ( t + \tau ^ { \prime } ) \neq i \mathrm { ~ f o r ~ } \tau ^ { \prime } = 1 , \cdots , \tau - 1 | X ( t ) = i \Big ) = \frac { n _ { i i } ^ { ( \tau ) } } { \sum _ { \tau = 1 } ^ { \infty } n _ { i i } ^ { ( \tau ) } } \ ,
\begin{array} { r l } { G ( \xi , \eta ) = } & { G ( \eta , \eta ) + { \frac { \lambda _ { 0 } } { 4 } } ( \xi - \eta ) + { { \frac { { 1 } } { 4 } } \int _ { \eta } ^ { \xi } \int _ { 0 } ^ { \eta } \widetilde { \mu } ( \tau , s ) G ( \tau , s ) \mathrm { d } s \mathrm { d } \tau } + \frac { 1 } { 4 } \int _ { \eta } ^ { \xi } \int _ { 0 } ^ { \eta } f \left( \frac { \tau + s } { 2 } , \frac { \tau - s } { 2 } \right) \mathrm { d } s \mathrm { d } \tau } \\ & { + \frac { 1 } { 4 } \int _ { \eta } ^ { \xi } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { z } ^ { z + \eta - s } \widehat { G } ( \tau , s , z ) \mathrm { d } \tau \mathrm { d } s \mathrm { d } z . } \end{array}
\begin{array} { r } { d \mathbf { P } _ { \operatorname* { m a x } } ( N , 1 ) = } \\ { = \operatorname* { l i m } _ { p \to 0 } { N } \! \binom { \! N - 1 } { 0 } \! p ^ { 0 } ( 1 - p ) ^ { N - 1 } = } \\ { = N . } \end{array}
\langle S ( x ) \, S ( \tilde { y } \rangle _ { w } \approx \langle 1 \rangle _ { w } r _ { o } { \frac { 1 } { \mid \tilde { y } - \tilde { y } _ { o } \mid } } { \frac { 1 } { 4 \pi } } { \frac { 1 } { \mid x - x _ { o } \mid } } \, \, .
\begin{array} { r l } { { } _ { 2 } \mathbf { \Gamma } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { \langle \mathbf { n } _ { t } , \hat { \mathbf { r } } _ { u u } ( \mathbf { p } ) \rangle } & { \langle \mathbf { n } _ { t } , \hat { \mathbf { r } } _ { u v } ( \mathbf { p } ) \rangle } \\ { \langle \mathbf { n } _ { t } , \hat { \mathbf { r } } _ { u v } ( \mathbf { p } ) \rangle } & { \langle \mathbf { n } _ { t } , \hat { \mathbf { r } } _ { v v } ( \mathbf { p } ) \rangle } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | n ( n + \alpha + \beta + 2 ) - m ( m + \alpha + \beta + 1 ) | } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { ( n - m ) ( n + m + \alpha + \beta + 1 ) + n , } & { \quad n > m } \\ { ( m - n ) ( n + m + \alpha + \beta + 1 ) - n , } & { \quad n < m } \end{array} \right. } \\ & { \ge \left\{ \begin{array} { l l } { ( n - m ) ( n + m + \alpha + \beta + 1 ) + n , } & { \quad n > m } \\ { { ( m - n ) ( m + \alpha + \beta + 1 ) } , } & { \quad n < m } \end{array} \right. } \end{array}
m _ { 2 } = r _ { 1 } r _ { 2 } \; , \; n _ { 2 } = s _ { 1 } s _ { 2 } \; , \; m _ { 1 } = - r _ { 2 } s _ { 1 } \; , \; n _ { 1 } = 3 r _ { 1 } s _ { 2 } .
\langle P ^ { \prime } , \lambda ^ { \prime } | J _ { 5 \mu } ^ { 0 } | P , \lambda \rangle = \bar { u } _ { \lambda ^ { \prime } } ( P ^ { \prime } ) \biggl [ \gamma _ { \mu } G _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) + q _ { \mu } G _ { 2 } ( q ^ { 2 } ) \biggr ] \gamma _ { 5 } u _ { \lambda } ( P )
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \psi } { \partial p _ { j , \ell } } ( \mathcal { P } , \alpha ) \ } & { = \ \left\langle \frac { \partial \nabla \phi } { \partial p _ { j , l } } , \boldsymbol { \rho } \right\rangle \ = \ \sum _ { k = 1 } ^ { M } \rho _ { k } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial p _ { j , \ell } \, \partial m _ { k } } \right) , } \end{array}
\int _ { \pi / 2 } ^ { 3 \pi / 2 } d \theta _ { 3 } \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } d \theta _ { 2 } \int _ { - 3 \pi / 2 } ^ { - \pi / 2 } d \theta _ { 1 } \left| 3 \sin \frac { \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } } { 3 } \right| ^ { - 1 } \left| 3 \sin \frac { \theta _ { 3 } - \theta _ { 1 } } { 3 } \right| ^ { - 1 } \left| 3 \sin \frac { \theta _ { 3 } - \theta _ { 2 } } { 3 } \right| ^ { - 1 } = \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } .
\mathbf { X } _ { c } = \left[ { \bf x } _ { c } ^ { f , 1 } - \overline { { { \bf x } _ { c } ^ { f } } } , \cdots , { \bf x } _ { c } ^ { f , N _ { e } } - \overline { { { \bf x } _ { c } ^ { f } } } \right] \in \mathbb { R } ^ { n \times N _ { e } }
\begin{array} { r l } { \dot { h } } & { { } = \phi \big [ \alpha _ { h } ( v ) ( 1 - h ) - \beta _ { h } ( v ) h \big ] , } \\ { \dot { n } } & { { } = \phi \big [ \alpha _ { n } ( v ) ( 1 - n ) - \beta _ { n } ( v ) n \big ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { w , e } ( R , V _ { l } ) \approx 2 \pi \left( \frac { 2 ( \frac { 3 V _ { l } } { 4 \pi R } ) ^ { 1 . 6 } + R ^ { 3 . 2 } } { 3 } \right) ^ { 1 / 1 . 6 } \, . } \end{array}
H = \frac { 1 } { 2 \mu } \left( P _ { i } ^ { 2 } - \frac { 1 } { R ^ { 2 } } K _ { i } ^ { 2 } \right) \sim \frac { 1 } { 2 \mu } P _ { i } ^ { 2 } - \frac { \mu } { 2 R ^ { 2 } } X _ { i } ^ { 2 } ,
V _ { \ell = 0 } ( \mathbf { R } ) = { \frac { q _ { \mathrm { t o t } } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } R } } \qquad { \mathrm { w i t h } } \quad q _ { \mathrm { t o t } } \equiv \sum _ { i = 1 } ^ { N } q _ { i } .
N _ { \mathrm { s h e a r } } ^ { \phi ^ { 4 } } ( | { \bf k } | , | { \bf p } | ) = \int _ { \left| | { \bf k } | { - } | { \bf p } | \right| } ^ { | { \bf k } | { + } | { \bf p } | } d y \, \bigg ( F _ { - } ( E _ { k } , E _ { p } , y ) - F _ { + } ( E _ { k } , E _ { p } , y ) \bigg ) \; ,
\begin{array} { r l } { \tilde { R } _ { I J } ^ { [ m ] } = } & { \tilde { R } _ { I J } ^ { [ m - 1 ] } + \frac { 1 } { 2 } \tilde { g } _ { [ m ] } ^ { K L } \left( \partial _ { I L } ^ { 2 } \Phi _ { J K } + \partial _ { J K } ^ { 2 } \Phi _ { I L } - \partial _ { K L } ^ { 2 } \Phi _ { I J } - \partial _ { I J } ^ { 2 } \Phi _ { K L } \right) } \\ & { + \tilde { g } _ { [ m ] } ^ { K L } \tilde { g } _ { [ m ] } ^ { P Q } \left( \tilde { \Gamma } _ { I L P } ^ { [ m ] } \Gamma _ { J K Q } ^ { \Phi } + \Gamma _ { I L P } ^ { \Phi } \tilde { \Gamma } _ { J K Q } ^ { [ m ] } - \tilde { \Gamma } _ { I J P } ^ { [ m ] } \Gamma _ { K L Q } ^ { \Phi } - \Gamma _ { I J P } ^ { \Phi } \tilde { \Gamma } _ { K L Q } ^ { [ m ] } \right) + O ( \rho ^ { m } ) \, , } \end{array}
( \overrightarrow { \nabla A } ) _ { i } \equiv \frac { 1 } { \mathbb { V } _ { i } } \int _ { \mathbb { V } _ { i } } \overrightarrow { \nabla A } \: d \mathbb { V } = \frac { 1 } { \mathbb { V } _ { i } } \oint _ { S } A \: \overrightarrow { d S } = \frac { 1 } { \mathbb { V } _ { i } } \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { f } } A _ { k } \: \vec { S } _ { k } \mathrm { ~ , }
\begin{array} { r l r } & { } & { b _ { 0 } = \sqrt { ( a _ { + } - a _ { - } ) ^ { 2 } + 4 a _ { c o } ^ { 2 } } \; , } \\ & { } & { b _ { 1 } = S _ { c } ^ { 2 } + S _ { o } ^ { 2 } - \frac { 2 \mu R _ { 0 } ^ { 2 } E ^ { * } } { \hbar ^ { 2 } } = ( a _ { + } + a _ { - } ) ^ { ( E = 0 ) } \; , } \\ & { } & { D _ { \pm } ^ { ( E = 0 ) } \equiv D _ { \pm } ^ { ( 0 ) } = \sqrt { ( b _ { 1 } \pm b _ { 0 } ) / 2 } \; , } \\ & { } & { \kappa _ { c } ^ { ( E = 0 ) } \equiv \kappa _ { c } ^ { ( 0 ) } = \sqrt { \frac { 2 \mu R _ { 0 } ^ { 2 } E ^ { * } } { \hbar ^ { 2 } } } \; , } \\ & { } & { a _ { + } ^ { ( E = 0 ) } \equiv a _ { + } ^ { ( 0 ) } = S _ { c } ^ { 2 } - \kappa _ { c } ^ { ( 0 ) 2 } . } \end{array}
\mathbf { v } _ { s } ^ { * } ( \mathbf { p } ) = v _ { \bot } ^ { * } \mathbf { e } _ { g } + ( v _ { \parallel } ^ { * } - v _ { \bot } ^ { * } ) ( \mathbf { e } _ { g } \cdot \mathbf { p } ) \mathbf { p } .
A ( \textbf { t } ) \leq \sum _ { g = 1 } ^ { G } \frac { 1 } { z _ { 1 } + \dots + z _ { d } } L ^ { ( O _ { g } ) } ( z _ { i _ { g , 1 } } , \dots , z _ { i _ { g , d _ { g } } } ) = \sum _ { g = 1 } ^ { G } \frac { z _ { i _ { g , 1 } } + \dots + z _ { i _ { g , d _ { g } } } } { z _ { 1 } + \dots + z _ { d } } A ^ { ( O _ { g } ) } ( t _ { i _ { g , 1 } } , \dots , t _ { i _ { g , d _ { g } } } ) ,
\begin{array} { r c l } { { \pm \, \alpha _ { k l } \! \! } } & { { = } } & { { \! \! \pm \, ( e _ { k } - e _ { l } ) \quad ( 1 \leq k < l \leq 6 ) } } \\ { { \pm \, \alpha _ { 7 8 } \! \! } } & { { = } } & { { \! \! \pm \, ( e _ { 7 } - e _ { 8 } ) } } \\ { { \pm \, \beta _ { k l } \! \! } } & { { = } } & { { \! \! \pm \, ( e _ { k } + e _ { l } ) \quad ( 1 \leq k < l \leq 6 ) } } \\ { { \pm \, \gamma _ { \pm , \dots , \pm } \! \! } } & { { = } } & { { \! \! \pm \, { \frac { 1 } { 2 } } \left( e _ { 8 } - e _ { 7 } + { \displaystyle { \sum _ { k = 1 } ^ { 6 } } } \, ( - 1 ) ^ { s ( k ) } \, e _ { k } \right) } } \end{array} ~ ,
{ \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \quad { \mathrm { a n d } } \quad { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] }
\langle \, p _ { 1 } \, | \, \mathcal { O } ( 0 ) \, | \, p _ { 2 } , \dots , p _ { n } \, \rangle _ { c o n n . } ^ { i n } = \, \mathcal { O } _ { n } ( \theta _ { 1 } + i \pi , \theta _ { 2 } , \dots , \theta _ { n } ) = \mathcal { O } _ { n } ( \theta _ { 2 } , \dots , \theta _ { n } , \theta _ { 1 } - i \pi )
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } { \star J } } & { { } = c _ { \phi } \, \tilde { F } , } \\ { \mathrm { d } { \star \tilde { J } } } & { { } = \tilde { c } _ { \phi } \, F + ( - ) ^ { p + 1 } \tilde { \ell } \, { \star \tilde { L } } , } \\ { \mathrm { d } { \star \tilde { L } } } & { { } = 0 . } \end{array}
H ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 1 8 M ^ { 6 } } } \lambda _ { b } ^ { 2 } f ^ { 2 } ( \phi ) \left[ f ^ { 2 } ( \phi ) - 3 M ^ { 2 } { f ^ { \prime } } ^ { 2 } ( \phi ) \right] + { \frac { 1 } { 3 } } V ( \phi ) .
K = \frac { \mu _ { 4 } } { \sigma ^ { 4 } } - 3 , \quad \mu _ { 4 } = \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \left( \frac { \delta n } { n } - \Biggl \langle \frac { \delta n } { n } \Biggr \rangle \right) ^ { 4 } ,
S _ { \mathrm { l i n e a r } } = m _ { 0 } ( h _ { 0 i , j } ( 0 ) + C _ { i , j } ( 0 ) ) { \frac { i } { 8 } } \theta \gamma ^ { i j } \theta + m _ { 0 } ( B _ { i j , k } ( 0 ) + C _ { 0 i j , k } ^ { ( 3 ) } ( 0 ) ) { \frac { i } { 1 6 } } \theta \gamma ^ { i j k } \theta + { \cal O } ( \theta ^ { 4 } )
^ * \vec { F } _ { \mu \nu } ( x ) = - \frac { e _ { 0 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } c } \vec { R } _ { \mu \nu } ( x ) = - \frac { e _ { 0 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } c } \partial _ { \mu } \vec { n } ( x ) \wedge \partial _ { \nu } \vec { n } ( x ) .
\tau _ { i j } ^ { s g s } - \frac { \tau _ { k k } ^ { s g s } } { 3 } \delta _ { i j } = - ( C _ { i k } \overline { { S } } _ { k j } + C _ { j k } \overline { { S } } _ { k i } ) | \overline { { S } } | \tilde { \rho } \Delta ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k } \frac { 1 + \delta _ { c k } } { N } \partial _ { c k } ( G A \overline { G } G ) _ { k d } ( G A \overline { { G } } G ) _ { c d } ^ { D - 1 } ( \overline { { G } } A G \overline { { G } } ) _ { c d } ^ { D } } \\ { = } & { - m \left| ( G A \overline { { G } } G ) _ { c d } \right| ^ { 2 D } - \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } \alpha _ { i } \right) ( G A \overline { { G } } G ) _ { c d } ^ { D - 1 } ( \overline { { G } } A G \overline { { G } } ) _ { c d } ^ { D } } \\ & { - ( D - 1 ) \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \beta _ { i } \right) ( G A \overline { { G } } G ) _ { c d } ^ { D - 2 } ( \overline { { G } } A G \overline { { G } } ) _ { c d } ^ { D } - D \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \overline { { \beta } } _ { i } \right) ( G A \overline { { G } } G ) _ { c d } ^ { D - 1 } ( \overline { { G } } A G \overline { { G } } ) _ { c d } ^ { D - 1 } , } \end{array}
{ \tilde { R } } ( z ) = R ( z ) + \frac { i } { q ( z ) ^ { 2 } } \left( \frac { \beta } { 2 } \left( p ( z ) ^ { 2 } - q ( z ) ^ { 2 } \right) + \alpha z \left( p ^ { \prime } ( z ) q ( z ) - p ( z ) q ^ { \prime } ( z ) \right) \right) + O ( \alpha , \beta ) ,
\begin{array} { r } { { \mathbb P } ( X ^ { w } ( t ) > \gamma ) \leq \frac { 2 e ^ { R } } { \gamma } { \mathbb E } \| w _ { 0 } \| _ { L ^ { q _ { 0 } } } ^ { q _ { 0 } } + K \psi _ { 0 } ( r ^ { \theta } ) ( 1 + { \mathbb E } \| u _ { 0 } \| _ { L ^ { \zeta _ { 0 } } } ^ { \zeta _ { 0 } } + { \mathbb E } \| v _ { 0 } \| _ { L ^ { \zeta _ { 0 } } } ^ { \zeta _ { 0 } } ) . } \end{array}
\hat { H } = - \frac { 1 } { 2 \mu R } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial R ^ { 2 } } R + \frac { \hat { l } ^ { 2 } } { 2 \mu R ^ { 2 } } + \hat { V } ( r , R , \theta ) + \hat { H } _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } } ,
{ \begin{array} { r l } { 2 A } & { = { \left| \begin{array} { l l } { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } \\ { y _ { 1 } } & { y _ { 2 } } \end{array} \right| } + { \left| \begin{array} { l l } { x _ { 2 } } & { x _ { 3 } } \\ { y _ { 2 } } & { y _ { 3 } } \end{array} \right| } + \cdots + { \left| \begin{array} { l l } { x _ { n } } & { x _ { 1 } } \\ { y _ { n } } & { y _ { 1 } } \end{array} \right| } } \\ & { = { \left| \begin{array} { l l l l l } { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } & { x _ { 3 } \cdots } & { x _ { n } } & { x _ { 1 } } \\ { y _ { 1 } } & { y _ { 2 } } & { y _ { 3 } \cdots } & { y _ { n } } & { y _ { 1 } } \end{array} \right| } } \end{array} }
R _ { i \b { j } \alpha \b { \beta } } u ^ { i \alpha } \overline { { u ^ { j \beta } } } > 0 ( \mathrm { r e s p . ~ } \geq 0 ) , \, \, R _ { i \b { j } \alpha \b { \beta } } u ^ { i \alpha } \overline { { v ^ { j \beta } } } = 0 , \, \, R _ { i \b { j } \alpha \b { \beta } } v ^ { \b { j } \alpha } \overline { { v ^ { \b { i } \beta } } } > 0 ( \mathrm { r e s p . ~ } \geq 0 )
\mathrm { R e _ { g } } = \frac { \rho _ { l } \mathbf { u } _ { r } d _ { g } } { \mu _ { l } } ; \qquad \mathrm { R e _ { l } } = \frac { \rho _ { g } \mathbf { u } _ { r } d _ { l } } { \mu _ { g } }
b = \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { { \bf 1 } _ { [ 2 k ] \times [ 2 k ] } } } \end{array} \right) ~ ~ ~ , ~ ~ ~ \bar { b } = \big ( 0 \ , \ { \bf 1 } _ { [ 2 k ] \times [ 2 k ] } \big ) ~ ~ .
{ \omega \wedge \eta ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k + m } ) } = \sum _ { \sigma \in S h _ { k , m } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) \, \omega ( x _ { \sigma ( 1 ) } , \ldots , x _ { \sigma ( k ) } ) \eta ( x _ { \sigma ( k + 1 ) } , \ldots , x _ { \sigma ( k + m ) } ) ,
S _ { 2 } = - \frac { \tau R } { 2 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { m } \sum _ { m ^ { \prime } \neq m } \lambda _ { m } ^ { * } ( t ) \lambda _ { m ^ { \prime } } ^ { * } ( t ) \lambda _ { m ^ { \prime } } ( t - 1 ) \lambda _ { m } ( t - 1 ) \ .
M _ { C } ( s _ { c } ) = \langle e ^ { \frac { s _ { c } } { t C _ { 0 } } \hat { N } _ { G _ { c } } } \rangle \, , \qquad M _ { D } ( s _ { d } ) = \langle e ^ { \frac { s _ { d } } { t D _ { 0 } } \hat { N } _ { G _ { d } } } \rangle ~ ~ .
\begin{array} { r l } { A ^ { t - \frac { 1 } { 2 } } ( A \# _ { t } B ) B ^ { 1 - 2 t } ( A \# _ { t } B ) A ^ { t - \frac { 1 } { 2 } } } & { \leq A ^ { t - \frac { 1 } { 2 } } ( A \# _ { t } B ) A ^ { 2 t - 1 } ( A \# _ { t } B ) A ^ { t - \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = \left( A ^ { t - \frac { 1 } { 2 } } ( A \# _ { t } B ) A ^ { t - \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { \langle \sigma _ { \bar { \nu } _ { \mu , \tau } } \rangle } { \langle \sigma _ { \nu _ { e } } \rangle } < \frac { \langle \sigma _ { \bar { \nu } _ { e } } \rangle } { \langle \sigma _ { \nu _ { e } } \rangle } < \frac { \langle \sigma _ { \nu _ { \mu , \tau } } \rangle } { \langle \sigma _ { \nu _ { e } } \rangle } \, .
A = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad B = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad \nu = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) \, .
F _ { k } ^ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } } = O _ { k } ^ { * } ( \downarrow ) E _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( \downarrow ) - O _ { k } ^ { * } ( \downarrow ) E _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( \downarrow ) = 0 , \quad S _ { k k ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } } = O _ { k } ^ { * } ( \downarrow ) O _ { k ^ { \prime } } ( \downarrow ) - O _ { k } ^ { * } ( \downarrow ) O _ { k ^ { \prime } } ( \downarrow ) = 0 .
\begin{array} { r l r } { \langle T _ { 1 } ^ { G } ( x _ { 0 } ) \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { r } \left( e ^ { \mu _ { 1 } x _ { 0 } } - 1 \right) + \frac { 1 } { r } \left[ \frac { \beta \mu _ { 1 } } { \alpha \mu _ { 2 } } e ^ { \mu _ { 1 } x _ { 0 } } \left( 1 - e ^ { - \mu _ { 2 } x _ { 0 } } \right) \right] , } \\ { \langle T _ { 0 } ^ { G } ( x _ { 0 } ) \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { r } \left( e ^ { \mu _ { 1 } x _ { 0 } } - 1 \right) } \end{array}
\theta \left( \hat { \zeta } \right) = \delta ^ { - 1 } \left( \frac { z _ { c } \beta _ { 2 } } { 2 } \left( \frac { \hat { \zeta } } { \epsilon } \right) ^ { 2 } - \sqrt { 2 z _ { c } \beta _ { 2 } c - 2 z _ { c } \delta C _ { 0 } } \left( \frac { \hat { \zeta } } { \epsilon } \right) + c \right) = \hat { \theta _ { 2 } } .
\left| H ^ { + } \pm * _ { 5 } \left( d \phi ^ { 5 } \wedge d x _ { 5 } \right) \right| ^ { 2 } + ( \partial _ { 5 } \phi ^ { 5 } ) ^ { 2 } + \left| H ^ { - } \right| ^ { 2 } + | d \phi ^ { A } | ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { p _ { 3 } ^ { t ^ { \prime } } ( X ) = a _ { 3 3 } ^ { 2 } = y _ { 3 } \ , } \\ & { p _ { 2 } ^ { t ^ { \prime } } ( X ) = a _ { 3 3 } ^ { 2 } a _ { 2 2 } ^ { 2 } = y _ { 3 } y _ { 2 } - | t _ { 0 } | ^ { 2 } \ , } \\ & { p _ { 1 } ^ { t ^ { \prime } } ( X ) = a _ { 3 3 } ^ { 2 } a _ { 2 2 } ^ { 2 } a _ { 1 1 } ^ { 4 } = y _ { 3 } d ^ { t ^ { \prime } } ( X ) \ , } \end{array}
{ \cal L } _ { Z } = - \frac { g } { \cos \theta _ { W } } \left[ \left( \mathrm { \frac { ~ 1 } { 2 ~ } } \cos ^ { 2 } \theta - \mathrm { \frac { ~ 2 } { 3 ~ } } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } \right) \tilde { t } _ { 1 } ^ { \dagger } \stackrel { \leftrightarrow } { i \partial ^ { \mu } } \tilde { t } _ { 1 } + \left( \mathrm { \frac { ~ 1 } { 2 ~ } } \sin ^ { 2 } \theta - \mathrm { \frac { ~ 2 } { 3 ~ } } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } \right) \tilde { t } _ { 2 } ^ { \dagger } \stackrel { \leftrightarrow } { i \partial ^ { \mu } } \tilde { t } _ { 2 } \right.
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot { \bf B } } & { { } = } & { 0 \, , \quad \nabla \cdot { \bf D } = 0 \, , } \\ { \partial _ { 0 } { \bf D } } & { { } = } & { \nabla \times { \bf H } \, , \quad \partial _ { 0 } { \bf B } = - \nabla \times { \bf E } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { Q , P } ^ { B A } } & { { } \equiv \langle A | a _ { P } ^ { \dagger } a _ { Q } | B \rangle , } \\ { \pi _ { R S , P Q } ^ { B A } } & { { } \equiv \langle A | a _ { P } ^ { \dagger } a _ { Q } ^ { \dagger } a _ { S } a _ { R } | B \rangle , } \\ { \gamma _ { S T U , P Q R } ^ { B A } } & { { } \equiv \langle A | a _ { P } ^ { \dagger } a _ { Q } ^ { \dagger } a _ { R } ^ { \dagger } a _ { U } a _ { T } a _ { S } | B \rangle . } \end{array}
\left( | H \rangle _ { 1 } | H \rangle _ { 2 } - | V \rangle _ { 1 } | V \rangle _ { 2 } \right) \otimes \left( | + m \rangle _ { 1 } | - m \rangle _ { 2 } - | - m \rangle _ { 1 } | + m \rangle _ { 2 } \right) / 2
\begin{array} { r l r } { \mathrm { w d } ( \gamma _ { 1 } ^ { \prime } ) } & { = } & { \left( \ell ( \gamma _ { 1 } ) , s _ { \ell ( \gamma _ { 1 } ) + 1 } ^ { 1 } \cdots s _ { \lfloor x \rfloor } ^ { 1 } s _ { \lceil x \rceil } ^ { 2 } \cdots s _ { r ( \gamma _ { 2 } ) } ^ { 2 } \right) , } \\ { \mathrm { w d } ( \gamma _ { 2 } ^ { \prime } ) } & { = } & { \left( \ell ( \gamma _ { 2 } ) , s _ { \ell ( \gamma _ { 2 } ) + 1 } ^ { 2 } \cdots s _ { \lfloor x \rfloor } ^ { 2 } s _ { \lceil x \rceil } ^ { 1 } \cdots s _ { r ( \gamma _ { 2 } ) } ^ { 1 } \right) . } \end{array}
( \sigma + i \vec { \pi } \cdot \vec { \tau } ) \to ( \sigma ^ { \prime } + i \vec { \pi } { } ^ { \prime } \cdot \vec { \tau } ) = \exp ( - i \vec { \tau } \cdot \vec { \kappa } ) ( \sigma + i \vec { \pi } \cdot \vec { \tau } ) \exp ( - i \vec { \tau } \cdot \vec { \kappa } ) \, .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { n } \ell _ { n } } & { { } = \sigma _ { A } \ell _ { A } + n ( \sigma _ { B } \ell _ { B } - \sigma _ { A } \ell _ { A } ) , } \\ { \sigma _ { n } k _ { \perp , n } } & { { } = \sigma _ { A } k _ { \perp , A } + n ( \sigma _ { B } k _ { \perp , B } - \sigma _ { A } k _ { \perp , A } ) , } \\ { \sigma _ { n } \delta _ { n } } & { { } = \sigma _ { A } \delta _ { A } + n ( \sigma _ { B } \delta _ { B } - \sigma _ { A } \delta _ { A } - \arg ( \Gamma ^ { 2 } ) ) , } \\ { \sigma _ { n } ^ { 2 } } & { { } = \sigma _ { A } ^ { 2 } + n ( \sigma _ { B } ^ { 2 } - \sigma _ { A } ^ { 2 } ) , } \end{array}
q _ { 0 } \xleftarrow { a _ { 1 } } \cdots \xleftarrow { a _ { 2 m - 2 } } q _ { 2 m - 2 } \xleftarrow { a _ { 2 m - 1 } } q _ { 2 m - 1 } \xleftarrow { a _ { 2 m } } q _ { 2 m } \xrightarrow { a _ { 2 m + 1 } } q _ { 2 m + 1 } \xrightarrow { a _ { 2 m + 2 } } q _ { 2 m + 2 } \xrightarrow { a _ { 2 m + 3 } } \cdots \xrightarrow { a _ { 4 m } } q _ { 4 m }
\begin{array} { c c c c c c c c } { { 2 } } & { { 3 } } & { { 4 } } & { { 5 } } & { { 6 } } & { { 7 } } & { { 8 } } & { { 9 } } \\ { { \theta _ { 1 } } } & { { \theta _ { 2 } } } & { { \phi _ { 2 } } } & { { \phi _ { 1 } } } & { { r } } & { { \theta } } & { { \phi } } & { { \psi } } \end{array}
K _ { 0 } ( C _ { \bullet } ( \widehat { \mathrm { B S } ( n , m ) } \wr _ { \ast , \widehat { \langle a \rangle } } S _ { N } ^ { + } ) ) \simeq \mathbb { Z } ^ { N ^ { 2 } + N ! } \mathrm { ~ a n d ~ } K _ { 1 } ( C _ { \bullet } ( \widehat { \mathrm { B S } ( n , m ) } \wr _ { \ast , \widehat { \langle a \rangle } } S _ { N } ^ { + } ) ) \simeq \mathbb { Z } ^ { N ^ { 2 } + N ! }