harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( i \partial _ { 0 } + A _ { 0 } ^ { i } t _ { i } \right) U \left( x , s \right) + \sigma ^ { k } \left( i \partial _ { k } + A _ { k } ^ { i } t _ { i } \right) U \left( x , s \right) = a \left( s \right) U \left( x , s \right)
\begin{array} { r } { \dot { \hat { a } } _ { j \pm } = i U \left( \hat { a } _ { j \pm } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j \pm } + 2 d \hat { a } _ { j \mp } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j \mp } \right) \hat { a } _ { j \pm } . } \end{array}
\mathrm { d i m . } { \cal M } ( \Sigma ) = h ^ { 1 } = - 2 \chi + 7 \mid \tau \mid + \mathrm { d i m . ~ o f { } ~ t h e ~ I s o m e t r y } + 2 b _ { 3 } ( K ^ { \ast } ) + b _ { 3 } - 2 b _ { 4 } ( K ^ { \ast } ) - b _ { 4 } \ .
< \bar { \psi } \psi > = - \frac { N _ { c } } { \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \Lambda _ { \chi } } d | { \bf p } | { \bf p } ^ { 2 } \frac { M } { E _ { p } } [ 1 - n _ { v } ( p ) - n _ { + } ( p ) - n _ { - } ( p ) ] .
\begin{array} { r l } { ( v _ { | | } - c _ { g } ) N _ { e } ^ { \prime } + n _ { e , 0 } V _ { e } ^ { \prime } } & { = 0 \, , } \\ { ( u _ { | | } - c _ { g } ) N _ { i } ^ { \prime } + n _ { i , 0 } V _ { i } ^ { \prime } } & { = 0 \, , } \\ { ( v _ { | | } - c _ { g } ) V _ { e } ^ { \prime } + \frac { c _ { s , e } ^ { 2 } } { n _ { e , 0 } } N _ { e } ^ { \prime } } & { = - \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \mu m _ { e } n _ { e , 0 } c ^ { 2 } k ^ { 2 } } ( | B _ { w } | ^ { 2 } ) ^ { \prime } } \\ { ( u _ { | | } - c _ { g } ) V _ { i } ^ { \prime } + \frac { c _ { s , i } ^ { 2 } } { n _ { i , 0 } } N _ { i } ^ { \prime } } & { = - \frac { \omega _ { p i } ^ { 2 } } { \mu m _ { i } n _ { i , 0 } c ^ { 2 } k ^ { 2 } } ( | B _ { w } | ^ { 2 } ) ^ { \prime } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { L \rightarrow \infty } \langle \Psi _ { N } | f _ { l \sigma } ^ { \dagger } f _ { l ^ { \prime } \sigma } ^ { \phantom { \dagger } } | \Psi _ { N } \rangle = \frac { \sin ( \pi d \eta ) } { \pi d } \equiv W ( d , \eta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int } & { \frac { \exp ( - \frac 1 \beta ( \tan ^ { - 1 } ( s ) - \tan ^ { - 1 } ( \tau _ { 2 } ) ) ) } { 1 + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } g _ { 0 } ( \tau _ { 2 } ) \ d \tau _ { 2 } } \\ & { = c ^ { 4 } \exp ( - \frac 1 \beta ( \tan ^ { - 1 } ( s ) + \tan ^ { - 1 } ( d ) ) ) g ( - d ) } \\ & { \qquad \cdot \int ( 1 + \tau _ { 2 } ^ { 2 } ) \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( \tau _ { 2 } + d + \frac 1 3 ( \tau _ { 2 } ^ { 3 } + d ^ { 3 } ) ) ) g _ { 0 } ( - d ) } \\ & { = \frac { c ^ { 4 } } { \kappa _ { k _ { 0 } } } \exp ( - \frac 1 \beta ( \tan ^ { - 1 } ( s ) + \tan ^ { - 1 } ( d ) ) ) \frac 3 \beta g ( - d ) \le \frac 3 \beta \frac { c ^ { 4 } } { \kappa _ { k _ { 0 } } } , } \end{array}
R = \int ( ( p + \frac { \mathcal { A } } { h ^ { 3 } } ) \frac { M a } { \varepsilon ^ { 2 } \sigma } \Phi _ { i } - \frac { \partial h } { \partial r } \frac { \partial \Phi _ { i } } { \partial r } ) r d r + ( r \frac { \partial h } { \partial r } \Phi _ { i } ) _ { r = 0 } ^ { r = r _ { \infty } } ,
\delta _ { \lambda } \tilde { F } = i [ \lambda , \tilde { F } ] _ { M } \Longrightarrow \quad \delta _ { \lambda } ( \frac 1 { ( \tilde { D } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \star \tilde { F } ) = i [ \lambda , \frac 1 { ( \tilde { D } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \star \tilde { F } ] _ { M } ,
\begin{array} { r l } { 1 / m } & { \ll 1 / r , \varepsilon \ll 1 / t , c , \varepsilon _ { k } , d _ { 2 } , \dots , d _ { k - 1 } , } \\ { c } & { \ll d _ { 2 } , \dots , d _ { k - 1 } , } \\ { 1 / t } & { \ll \varepsilon _ { k } \ll d _ { k } , \nu , \alpha \leqslant 1 / k , \mathrm { a n d } } \\ { \alpha } & { \ll \lambda \ll \nu \ll \gamma . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n \geq N + 1 } \frac { \varphi _ { n } ^ { 2 } ( \xi ) } { \lambda _ { n } ^ { 2 } } } & { \leq \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \left( \sum _ { j \geq N + 1 , \, \sqrt { \lambda _ { j } } \in [ m ^ { \beta } , m ^ { \beta } + 1 ) } \frac { \varphi _ { j } ^ { 2 } ( \xi ) } { \lambda _ { j } ^ { 2 } } \right) \leq \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { m ^ { 4 \beta } } \left( \sum _ { j \geq N + 1 , \, \sqrt { \lambda _ { j } } \in [ m ^ { \beta } , m ^ { \beta } + 1 ) } \varphi _ { j } ^ { 2 } ( \xi ) \right) } \\ & { \leq C \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { m ^ { 4 \beta } } m ^ { ( d - 1 ) \beta } = C \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { m ^ { ( 5 - d ) \beta } } < \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ \, ( \, } \mathrm { \it \/ d \, f \/ } \mathrm { \, ) } ^ { \mathrm { \, 2 \/ } } } & { \mathrm { \ = \ } } & { \left( { \frac { \partial \, \mathrm { \it ~ f \/ } } { \partial \mathrm { \it ~ x \/ } } } \, \mathrm { \it ~ d \/ x \/ } \right) ^ { \mathrm { \/ 2 } } \mathrm { ~ + ~ } \left( { \frac { \partial \, \mathrm { \it ~ f \/ } } { \partial \mathrm { \it ~ y \/ } } } \, \mathrm { \it ~ d \/ y \/ } \right) ^ { \mathrm { \/ 2 } } \mathrm { ~ + ~ } \left( { \frac { \partial \, \mathrm { \it ~ f \/ } } { \partial \mathrm { \it ~ z \/ } } } \, \mathrm { \it ~ d \/ z \/ } \right) ^ { \mathrm { \/ 2 } } \mathrm { \ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 2 } | 1 _ { 1 } , 1 _ { 2 } \rangle = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( c _ { 2 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } - c _ { 2 } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } ) } \\ { = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \psi _ { 2 } \oslash _ { - } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } - { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \psi _ { 2 } \oslash _ { - } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } \right) } \\ { = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( 0 - \psi _ { 1 } ) - { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( \psi _ { 1 } - 0 ) \right) } \\ { = } & { - \psi _ { 1 } } \\ { = } & { - | 1 _ { 1 } , 0 _ { 2 } \rangle . } \end{array}
\hat { f } _ { i } ^ { e q } = \left\{ \begin{array} { c c } { f _ { + + , i } ^ { e q } , } & { \lambda _ { 1 i } - \delta \lambda _ { 1 i } \leq v _ { 1 } \leq \lambda _ { 1 i } + \delta \lambda _ { 1 i } , } \\ { f _ { - + , i } ^ { e q } , } & { - \lambda _ { 1 i } - \delta \lambda _ { 1 i } \leq v _ { 1 } \leq - \lambda _ { 1 i } + \delta \lambda _ { 1 i } , } \\ { f _ { -- , i } ^ { e q } , } & { - \lambda _ { 1 i } - \delta \lambda _ { 1 i } \leq v _ { 1 } \leq - \lambda _ { 1 i } + \delta \lambda _ { 1 i } , } \\ { f _ { + - , i } ^ { e q } , } & { \lambda _ { 1 i } - \delta \lambda _ { 1 i } \leq v _ { 1 } \leq \lambda _ { 1 i } + \delta \lambda _ { 1 i } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right\}
\langle { \cal A } _ { 4 } \rangle = d i a g ( \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } , \eta _ { 3 } , \dots , \eta _ { N } ) \, \frac { 2 \pi } { L } , \qquad \frac { 1 } { 2 } \ge \eta _ { 1 } > \eta _ { 2 } > \cdots > \eta _ { N } \ge - \frac { 1 } { 2 }
p _ { B } ( 1 , s ) = a a _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { s } s ^ { 2 q } x ^ { q } \exp \left[ - b x ^ { q + 1 } - b _ { 1 } ( s ^ { 2 q + 1 } - x ^ { 2 q + 1 } ) \right] d x ,
\begin{array} { r l } { \frac { d x _ { i } } { d t } } & { = \frac { 1 } { k _ { i } } \sum _ { j \neq i } w _ { i j } \, \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, ( x _ { j } - x _ { i } ) \, , } \\ { \frac { d w _ { i j } } { d t } } & { = \tau \, \Big ( \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, - w _ { i j } \Big ) \, . } \end{array}
T _ { \pm } = \frac { 2 c } { \mid \kappa \mid } \left[ ( D - 1 ) \gamma \sqrt { 1 + \omega \frac { D - 2 } { D - 1 } } \mp \{ \kappa + ( D - 1 ) \gamma ( 1 + \omega ( 1 - \gamma ) ) \} \frac { } { } \right] .
\begin{array} { r l } { d ^ { k } X } & { { } = \left( d x ^ { i _ { 1 } } e _ { i _ { 1 } } \right) \wedge \left( d x ^ { i _ { 2 } } e _ { i _ { 2 } } \right) \wedge \cdots \wedge \left( d x ^ { i _ { k } } e _ { i _ { k } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { y _ { \operatorname* { m i n } } = ( 1 + \alpha ) ^ { - 1 } \ln ( \varepsilon _ { 0 } ) - \ln ( T ) , \quad \varepsilon _ { 0 } = 1 0 ^ { - 1 6 } , } \\ & { y _ { \operatorname* { m a x } } = \log \left( \frac { - \ln ( \varepsilon _ { 0 } ) + ( 1 + \alpha ) \ln ( t _ { 1 } ) } { 0 . 5 t _ { 1 } } \right) , \quad \varepsilon _ { 0 } = 1 0 ^ { - 1 6 } . } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { \hat { \sigma } _ { t + 1 } ( m _ { t + 1 } ) \in [ [ \hat { \Pi } _ { t + 1 } | m _ { t } , u _ { t } ] ] } \hat { V } _ { t + 1 } ( \hat { \sigma } _ { t + 1 } ( m _ { t + 1 } ) ) = \operatorname* { s u p } _ { m _ { t + 1 } \in [ [ M _ { t + 1 } | m _ { t } , u _ { t } ] ] } \hat { V } _ { t + 1 } ( \hat { \sigma } _ { t + 1 } ( m _ { t + 1 } ) )
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \left| \psi \frac { f _ { \varepsilon } } { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | } \right| ^ { \frac { p n } { n + 1 - p } } \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } d \mathcal L ^ { n + 1 } } & { \leq C \left\| \nabla \left( \psi \frac { f _ { \varepsilon } } { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | } \right) \right\| _ { L ^ { p } ( \Omega ) } \left\| \psi \frac { f _ { \varepsilon } } { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | } \right\| _ { L ^ { \frac { p ( n + 1 ) } { n + 1 - p } } ( \Omega ) } ^ { \frac { ( p - 1 ) ( n + 1 ) } { n + 1 - p } } } \\ & { \leq C \left\| \nabla \left( \psi \frac { f _ { \varepsilon } } { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | } \right) \right\| _ { L ^ { p } ( \Omega ) } \left\| \nabla \left( \psi \frac { f _ { \varepsilon } } { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | } \right) \right\| _ { L ^ { p } ( \Omega ) } ^ { \frac { ( p - 1 ) ( n + 1 ) } { n + 1 - p } } } \\ & { \leq C _ { \psi } \left\| \frac { f _ { \varepsilon } } { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | } \right\| _ { W ^ { 1 , p } ( \Omega } } \end{array}
Z _ { L } ^ { ( n ) } ( \{ q _ { N _ { s } } \} ) = \tilde { Z } ^ { ( n ) } ( \{ q _ { N _ { s } } \} , L ) H ( \{ q _ { N _ { s } } \} ) \prod _ { s = 1 } ^ { n } \frac { ( - 1 ) ^ { 2 l _ { 1 s } + 2 l _ { 2 s } - 1 } 1 6 ^ { 2 l _ { 1 s } } Z ^ { ( 1 ) } ( k _ { s } ; l _ { 1 s } , l _ { 2 s } ) } { k _ { s } ^ { ( 3 - 2 l _ { 1 s } ) / 2 } }
\left( \begin{array} { c } { { x _ { 1 } } } \\ { { y _ { 1 } } } \\ { { z _ { 1 } } } \end{array} \right) = - \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \sum _ { N } \bar { T } _ { N } f _ { N } ( m ^ { 2 } ) \bar { T } _ { N } \left( \begin{array} { c } { { x } } \\ { { y } } \\ { { z } } \end{array} \right) ,
f _ { \mathrm { G , } \sigma } ( \boldsymbol { p } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \eta _ { \mathrm { m a x } , \sigma } e ^ { - \left( p / p _ { \mathrm { t h , } \sigma } \right) ^ { \sigma } } \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad p < p _ { \mathrm { t h , } \sigma } \left( \ln \displaystyle \frac { \eta _ { \mathrm { m a x , } \sigma } } { \eta _ { \mathrm { m i n } } } \right) ^ { 1 / \sigma } , } \\ { 0 \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad p > p _ { \mathrm { t h , } \sigma } \left( \ln \displaystyle \frac { \eta _ { \mathrm { m a x , } \sigma } } { \eta _ { \mathrm { m i n } } } \right) ^ { 1 / \sigma } , } \end{array} \right.
\alpha _ { 0 } = \left[ \frac { \tau \gamma } { 2 } \left( 2 \mu _ { 0 } H _ { x } + \mu _ { 0 } M _ { \mathrm { s } } - \frac { 2 K _ { z } } { M _ { \mathrm { s } } } \right) \right] ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \left( \rho \mathbf { u } \right) } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \rho \mathbf { u u } \right) = - \nabla p } & { { } + \nabla \cdot \left( \mu \left[ \nabla \mathbf { u } + \nabla \mathbf { u } ^ { T } \right] \right) } \end{array}
\left( \frac { q } { p } \right) _ { B _ { d } } = \; \frac { V _ { t b } ^ { * } V _ { t d } } { V _ { t b } V _ { t d } ^ { * } } ~ e ^ { 2 i \phi _ { \mathrm { N P } } ^ { d } } \; , ~ ~ ~ ~ ~ ~ \left( \frac { q } { p } \right) _ { B _ { s } } = \; \frac { V _ { t b } ^ { * } V _ { t s } } { V _ { t b } V _ { t s } ^ { * } } ~ e ^ { 2 i \phi _ { \mathrm { N P } } ^ { s } } \; ,
\tilde { \alpha } = \alpha \beta ^ { - m } = \left( \begin{array} { c c c } { { \omega _ { k } ^ { - 2 y } \omega _ { 2 d } ^ { 2 m } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \omega _ { k } ^ { y } \omega _ { 2 d } ^ { - m } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \omega _ { k } ^ { y } \omega _ { 2 d } ^ { - m } } } \end{array} \right)
\operatorname* { d e t } \Big ( M _ { \mathbf { m } } \big ( c _ { \mathbf { m } } ^ { \kappa } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \big ) \Big ) = 0 ,
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { 2 x _ { 1 } \mathcal { L } _ { x _ { 2 } } ^ { 2 } + 2 \mathcal { L } _ { x _ { 1 } } \mathcal { L } _ { x _ { 2 } x _ { 2 } } \left( x _ { 2 } - 3 x _ { 1 } ^ { 2 } \right) - \mathcal { L } _ { x _ { 2 } } \left( \mathcal { L } _ { x _ { 1 } } + 1 2 \mathcal { L } _ { x _ { 2 } x _ { 2 } } x _ { 1 } \left( x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } \right) \right) } \\ & { } & { + 4 x _ { 1 } \mathcal { L } _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } \left( ( x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } ) \mathcal { L } _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } - \mathcal { L } _ { x _ { 1 } } \right) - \mathcal { L } _ { x _ { 1 } x _ { 1 } } \left( \mathcal { L } _ { x _ { 1 } } + 4 \mathcal { L } _ { x _ { 2 } x _ { 2 } } x _ { 1 } \left( x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } \right) \right) \, , } \\ { 0 } & { = } & { 2 \mathcal { L } _ { x _ { 2 } } ^ { 2 } + \mathcal { L } _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } \left( 2 ( x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } ) \mathcal { L } _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } - \mathcal { L } _ { x _ { 1 } } \right) - 2 \mathcal { L } _ { x _ { 2 } x _ { 2 } } \left( x _ { 1 } \mathcal { L } _ { x _ { 1 } } + \left( x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } \right) \mathcal { L } _ { x _ { 1 } x _ { 1 } } \right) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \\ & { } & { + \mathcal { L } _ { x _ { 2 } } \left( 4 \mathcal { L } _ { x _ { 2 } x _ { 2 } } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } ) + \mathcal { L } _ { x _ { 1 } x _ { 1 } } + 2 x _ { 1 } \mathcal { L } _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | D f ( D u ) - D u | ^ { 2 } } & { = | D f ( D u ) | ^ { 2 } - 2 D f ( D u ) \cdot D u + | D u | ^ { 2 } } \\ & { = \underbrace { | D f ( D u ) | ^ { 2 } } _ { \leq \Lambda ^ { 2 } | D u | ^ { 2 } } - 2 \underbrace { ( D f ( D u ) - D f ( 0 ) ) \cdot ( D u - 0 ) } _ { \geq \lambda | D u | ^ { 2 } } + | D u | ^ { 2 } \leq ( \Lambda ^ { 2 } - 2 \lambda + 1 ) | D u | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { 4 X } & { \xrightarrow { \eta _ { 1 } / \epsilon _ { 1 } } 3 X \ , } & { 3 X } & { \xrightarrow { 9 \eta _ { 1 } / \epsilon _ { 1 } } 4 X \ , } & { 2 X } & { \xrightarrow { 2 4 \eta _ { 1 } / \epsilon _ { 1 } } X \ , } \\ { X } & { \xrightarrow { 2 1 \eta _ { 1 } / \epsilon _ { 1 } } 2 X \ , } & { X + Y } & { \xrightarrow { \eta _ { 1 } / \epsilon _ { 1 } } Y \ , } & { X + Y } & { \xrightarrow { \eta _ { 1 } } X + 2 Y \ , ~ ~ ~ ~ ~ Y \xrightarrow { 3 \eta _ { 1 } } \varnothing \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { c o v } ( w _ { k } ) = \Sigma _ { w } = 0 . 1 \mathbb { I } _ { 2 \times 2 } , \, \mathrm { c o v } ( v _ { k } ) = \textrm { d i a g } ( 0 . 5 , 0 . 4 ) , } \\ & { \mathbb { E \, } x _ { 0 } = ( 0 . 6 4 5 5 , 1 . 3 7 5 1 ) ^ { T } , \, \mathrm { c o v } ( x _ { 0 } ) = \Sigma _ { 0 } = 0 . 1 \mathbb { I } _ { 2 \times 2 } . } \end{array}
\textbf { U } _ { 0 } = \textbf { A x } = - \gamma \epsilon \left( \begin{array} { l l l } { \sin ( 2 \gamma t ) } & { \cos ( 2 \gamma t ) } & { 0 } \\ { \cos ( 2 \gamma t ) } & { - \sin ( 2 \gamma t ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \textbf { x } ,
\frac { 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } } { \phi _ { 1 } } \big ( \lambda _ { y } ^ { 2 m _ { 1 } } ( \phi _ { 2 } + \phi _ { 3 } ) + \lambda _ { y } ^ { 2 m _ { 2 } } \phi _ { 3 } \big ) = \frac { 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } } { \phi _ { 2 } } \big ( \lambda _ { y } ^ { 2 m _ { 1 } } ( \phi _ { 3 } + \phi _ { 1 } ) + \lambda _ { y } ^ { 2 m _ { 2 } } \phi _ { 2 } \big ) = \frac { 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } } { \phi _ { 3 } } \big ( \lambda _ { y } ^ { 2 m _ { 1 } } ( \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } ) + \lambda _ { y } ^ { 2 m _ { 2 } } \phi _ { 1 } \big ) .
D _ { 1 2 } \sigma = D _ { 1 } \sigma + \left( 1 - D _ { 1 } \sigma \right) \left( D _ { 1 } \sigma + \left( D _ { 2 } \sigma \right) ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } \left( 1 + D _ { 1 } \sigma \right) .
I _ { 4 a } ^ { ( n ) } = \frac { p ^ { 4 } } { 4 M _ { W } ^ { 4 } } \times \frac { I _ { 1 } ^ { ( n ) } } { D } = \frac { i \pi ^ { D / 2 } \Gamma \big ( 4 n + 2 - \frac { D } { 2 } \big ) p ^ { 4 } } { 4 \Gamma ( 4 n ) m _ { W } ^ { 8 n + 8 - D } } \int _ { 0 } ^ { 1 } B \bigg ( 1 - \frac { 1 } { r } , 4 n , 2 - \frac { D } { 2 } \bigg ) \, .
\begin{array} { r l } { \hat { S } _ { z } } & { { } = \hbar \left( \hat { a } _ { \mathrm { L } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { L } } - \hat { a } _ { \mathrm { R } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { R } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E [ | H ( X _ { s - \cdot } ) - H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) | ^ { 2 } ] } & { \leq \delta E [ \int _ { 0 } ^ { \delta } | f ( v ) | ^ { 2 } | X _ { s - v } - X _ { t _ { k - 1 } - v } | ^ { 2 } d v ] } \\ & { \leq \delta \int _ { 0 } ^ { \delta } E [ | X _ { s - v } - X _ { t _ { k - 1 } - v } | ^ { 2 } ] d v } \\ & { \leq \delta \int _ { 0 } ^ { \delta } \frac { 1 } { n } ( s - t _ { k - 1 } ) \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } - \delta \leq u \leq t _ { k } } E [ 1 + | X _ { u } | ^ { 2 } + | H ( X _ { u - \cdot } ) | ^ { 2 } ] d v } \\ & { \quad + \delta \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { n } \int _ { 0 } ^ { \delta } ( s - t _ { k - 1 } ) \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } - \delta \leq u \leq t _ { k } } E [ 1 + | X _ { u } | + | H ( X _ { u - \cdot } ) | ] d v } \\ & { \leq \frac { \delta ^ { 2 } } { n } ( s - t _ { k - 1 } ) \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } - \delta \leq u \leq t _ { k } } E [ 1 + | X _ { u } | ^ { 2 } + | H ( X _ { u - \cdot } ) | ^ { 2 } ] } \\ & { \quad + \delta ^ { 2 } \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { n } ( s - t _ { k - 1 } ) \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } - \delta \leq u \leq t _ { k } } E [ 1 + | X _ { u } | ^ { 2 } + | H ( X _ { u - \cdot } ) | ^ { 2 } ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } d t u _ { d p } ( x = 0 , t ) = \int _ { 0 } ^ { \tau _ { D _ { s } } a } d t u _ { d p } ^ { a } ( x = 0 , t ) = - \sqrt { \frac { 4 } { \pi a } } \frac { \Gamma _ { p } ( 1 - \chi ) \ell _ { p } } { \sqrt { D _ { s } } } . } \end{array}
\bar { S _ { s } } ^ { a b } = \frac { 2 ^ { n - 2 } } { ( d - 2 ) ! } \varepsilon ^ { a b } { } _ { a _ { 1 } a _ { 2 } \ldots a _ { d - 2 } } S _ { s } ^ { a _ { 1 } a _ { 2 } } S _ { s } ^ { a _ { 3 } a _ { 4 } } \ldots = \frac { ( - i ) ^ { n - 1 } } { 2 } a ^ { a } a ^ { b } \, \, ( a ^ { 0 } a ^ { 1 } \ldots a ^ { 2 n } ) .
\begin{array} { r l } { \varepsilon \dot { x } } & { { } = x ( 1 - x ) [ \binom { N - 1 } { M - 1 } x ^ { M - 1 } ( 1 - x ) ^ { N - M } r b - c ] , } \\ { \dot { r } } & { { } = r ( 1 - r ) [ \frac { 1 } { 1 + e ^ { \beta ( x - T ) } } - \frac { 1 } { 1 + e ^ { - \beta ( x - T ) } } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d v _ { n } + \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( u _ { n } \partial _ { x } v _ { n } + w _ { n } \partial _ { z } v _ { n } - \frac 1 n \partial _ { x x } v _ { n } - \nu \partial _ { z z } v _ { n } ) d t } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \partial _ { z } \sigma ( u _ { n } ) d W , } \\ & { v _ { n } ( 0 ) = \partial _ { z } u _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 6 + 4 \gamma } \mathbb E \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d t \Big ) ^ { 2 } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 4 + 2 \gamma } \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) ) d t \Big ) ^ { 2 } } \longrightarrow \alpha _ { 1 } \ge 1 \mathrm { ~ i n ~ p r o b a b i l i t y ~ w h e n ~ } \, N , T } \end{array}
+ \frac { x ^ { 3 } y ^ { 1 } z ^ { 5 } } { 3 ^ { a } 1 ^ { b } 5 ^ { c } } + \frac { x ^ { 3 } y ^ { 2 } z ^ { 5 } } { 3 ^ { a } 2 ^ { b } 5 ^ { c } } + \frac { x ^ { 3 } y ^ { 3 } z ^ { 5 } } { 3 ^ { a } 3 ^ { b } 5 ^ { c } } + \frac { x ^ { 3 } y ^ { 4 } z ^ { 5 } } { 3 ^ { a } 4 ^ { b } 5 ^ { c } } + \frac { x ^ { 3 } y ^ { 5 } z ^ { 5 } } { 3 ^ { a } 5 ^ { b } 5 ^ { c } }
\begin{array} { r l } { \Bigg ( \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } w _ { i j } \, \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, | x _ { i } - x _ { j } | ^ { 2 } \Bigg ) ^ { 2 } } & { { } = \Bigg ( \sum _ { i , j } w _ { i j } \, \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, \langle x _ { i } \, , x _ { j } - x _ { i } \rangle \Bigg ) ^ { 2 } \, , } \end{array}
O ( P _ { 1 1 } , P _ { 1 2 } ) = 2 P _ { 2 2 } + 4 P _ { 1 3 } + 4 P _ { 2 3 } + 8 P _ { 1 4 } + 2 P _ { 2 4 } + 4 P _ { 1 5 } \, ,
\begin{array} { r l } { \Phi _ { \mu , \nu } ^ { 1 } ( \xi , \eta ) } & { = \frac { ( 1 - c _ { 1 } ^ { 2 } ) \eta _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 | \xi _ { 1 } | } ( 1 + \frac { \mu \nu c _ { 1 } ^ { 2 } | \xi _ { 1 } - \eta _ { 1 } | } { | \eta _ { 1 } | } ) + \frac { ( 1 - c _ { 2 } ^ { 2 } ) \eta _ { 3 } ^ { 2 } } { 2 | \xi _ { 1 } | } ( 1 + \frac { \mu \nu c _ { 2 } ^ { 2 } | \xi _ { 1 } - \eta _ { 1 } | } { | \eta _ { 1 } | } ) + \mathcal { O } ( 2 ^ { - 3 m / 4 + 1 0 \alpha m } ) } \\ & { = ( 1 + \frac { \mu \nu c _ { 1 } ^ { 2 } | \xi _ { 1 } - \eta _ { 1 } | } { | \eta _ { 1 } | } ) ^ { - 1 } \frac { ( 1 - c _ { 1 } ^ { 2 } ) \xi _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 | \xi _ { 1 } | } + ( 1 + \frac { \mu \nu c _ { 2 } ^ { 2 } | \xi _ { 1 } - \eta _ { 1 } | } { | \eta _ { 1 } | } ) ^ { - 1 } \frac { ( 1 - c _ { 2 } ^ { 2 } ) \xi _ { 3 } ^ { 2 } } { 2 | \xi _ { 1 } | } + \mathcal { O } ( 2 ^ { - 3 m / 4 + 1 0 \alpha m } ) , } \\ { \Phi _ { \mu , \nu } ^ { 2 } ( \xi , \eta ) } & { = \frac { - \mu \nu | \xi _ { 1 } - \eta _ { 1 } | } { 2 | \eta _ { 1 } | | \xi _ { 1 } | } \big [ ( 1 - c _ { 1 } ^ { 2 } ) \eta _ { 2 } ^ { 2 } ( 1 + \frac { \mu \nu c _ { 1 } ^ { 2 } | \xi _ { 1 } - \eta _ { 1 } | } { | \eta _ { 1 } | } ) + ( 1 - c _ { 2 } ^ { 2 } ) \eta _ { 3 } ^ { 2 } ( 1 + \frac { \mu \nu c _ { 2 } ^ { 2 } | \xi _ { 1 } - \eta _ { 1 } | } { | \eta _ { 1 } | } ) \big ] } \\ & { + \mathcal { O } ( 2 ^ { - 3 m / 4 + 1 0 \alpha m } ) = \mathcal { O } ( 2 ^ { - 3 m / 4 + 1 0 \alpha m } ) } \\ & { + \frac { - \mu \nu | \xi _ { 1 } - \eta _ { 1 } | } { 2 | \eta _ { 1 } | | \xi _ { 1 } | } \big [ ( 1 - c _ { 1 } ^ { 2 } ) \xi _ { 2 } ^ { 2 } ( 1 + \frac { \mu \nu c _ { 1 } ^ { 2 } | \xi _ { 1 } - \eta _ { 1 } | } { | \eta _ { 1 } | } ) ^ { - 1 } + ( 1 - c _ { 2 } ^ { 2 } ) \xi _ { 3 } ^ { 2 } ( 1 + \frac { \mu \nu c _ { 2 } ^ { 2 } | \xi _ { 1 } - \eta _ { 1 } | } { | \eta _ { 1 } | } ) ^ { - 1 } \big ] , } \end{array}
\operatorname { d S k e w } ( X ) : = 1 - { \frac { \operatorname { E } \| X - X ^ { \prime } \| } { \operatorname { E } \| X + X ^ { \prime } - 2 \theta \| } } { \mathrm { ~ i f ~ } } \operatorname* { P r } ( X = \theta ) \neq 1
\{ q _ { \alpha } ^ { 1 } , s _ { 1 } ^ { \beta } \} \Phi = \left[ - ( \sigma ^ { \mu \nu } ) _ { \alpha } { } ^ { \beta } m _ { \mu \nu } - 2 \delta _ { \alpha } ^ { \beta } \left( 2 t _ { 1 } ^ { 1 } - \ell + r \right) \right] \Phi = 0 \; .
\begin{array} { r } { D ( \mathbf { x } ) = \frac { \partial } { \partial x _ { k } } g _ { 1 } ( \mathbf { x } ) + \frac { \partial } { \partial x _ { k } } \overline { g } _ { 2 } ( \mathbf { x } ) \left( 1 - \frac { x _ { k } } { \kappa } \right) ^ { \alpha } + \frac { \overline { g } _ { 2 } ( \mathbf { x } ) } { 2 \kappa } \left( 1 - \frac { x _ { k } } { \kappa } \right) ^ { \alpha - 1 } = d _ { 1 } ( \mathbf { x } ) + d _ { 2 } ( \mathbf { x } ) \left( 1 - \frac { x _ { k } } { \kappa } \right) ^ { \alpha - 1 } . } \end{array}
\hat { P } _ { ( i j } \hat { r } _ { h l ) } = \hat { P } _ { i j } \hat { r } _ { h l } + \hat { P } _ { i h } \hat { r } _ { j l } + \hat { P } _ { i l } \hat { r } _ { j h } + \hat { P } _ { h l } \hat { r } _ { i j } + \hat { P } _ { j l } \hat { r } _ { i h } + \hat { P } _ { j h } \hat { r } _ { i l }