harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } p _ { 1 } ( 1 ) } & { { } = \vec { r } _ { 1 } , } & { p _ { 1 } ( 2 ) } & { { } = \vec { v } _ { 1 } , } & { p _ { 1 } ( 3 ) } & { { } = m _ { 1 } , } \\ { p _ { 2 , 3 } ( 1 ) } & { { } = \vec { r } _ { 2 , 3 } , \; \; } & { p _ { 2 , 3 } ( 2 ) } & { { } = \vec { v } _ { 2 , 3 } , \; \; } & { p _ { 2 , 3 } ( 3 ) } & { { } = m _ { 2 , 3 } , } \\ { p _ { 2 , 3 } ( 4 ) } & { { } = q _ { 2 , 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { r S 2 m _ { 0 } } & { { } = } & { - 8 \chi _ { 1 } ^ { 2 } , } \\ { r S 2 m _ { 1 } } & { { } = } & { 5 \left( 2 A _ { 1 } + ( \sigma + 2 ) \chi _ { 1 } ^ { 2 } \right) , } \\ { r S 2 m _ { 2 } } & { { } = } & { - 2 \left( 4 A _ { 1 } + ( 2 \sigma + 1 ) \chi _ { 1 } ^ { 2 } + 1 \right) , } \\ { r S 2 m _ { 3 } } & { { } = } & { - 2 \sigma \chi _ { 1 } ^ { 2 } . } \end{array}
\langle \nu ^ { \prime } , j ^ { \prime } , m ^ { \prime } | \hat { \mathcal { M } } _ { L M , l } | \nu , j , m \rangle = \langle j ^ { \prime } m ^ { \prime } | L M , j m \rangle \langle \nu ^ { \prime } , j ^ { \prime } | | \hat { \mathcal { M } } _ { L , l } | | \nu , j \rangle
\psi ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 a } } } } & { { \mathrm { f o r ~ } } | x | \leq a , } \\ { 0 } & { { \mathrm { f o r ~ } } | x | > a } \end{array} \right. }
( A _ { o } \rightarrow B _ { n } ) = \int _ { x \in X } \Psi _ { A _ { o } } ^ { 1 } ( x ) \ ( A _ { o } \wedge x _ { 1 } \rightarrow B _ { n } ) = \int _ { x _ { 1 } \in X } ( A _ { o } \rightarrow x _ { 1 } ) ( x _ { 1 } \rightarrow B _ { n } )
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( { \mathcal H } _ { i , 1 } \mathrm { ~ n o t ~ c o n n e c t e d } \mid { \mathcal A } _ { \mathrm { p o i } } ) } & { \le \operatorname* { s u p } _ { N _ { i } \ge 4 s _ { k } } N _ { i } \exp \big ( - \mathbb E [ \deg _ { \mathrm { R G } _ { i } } ( v ) \mid N _ { i } ] \, \big ) } \\ & { \le 4 s _ { k } \exp \big ( - 4 s _ { k } \cdot p c _ { d } \beta 2 ^ { - d } \cdot w _ { \mathrm { h h } } ^ { 1 + \sigma } / k \big ) } \\ & { \le ( C _ { 1 } / 4 ) k ^ { \zeta _ { \mathrm { h h } } } \exp \big ( - p c _ { d } \beta w _ { \mathrm { h h } } ^ { 2 + \sigma - \tau } / 4 \big ) , } \end{array}
\frac { p _ { 0 } ^ { 3 } ( x ) } { 3 \hbar F m } \equiv \frac { 1 } { \hbar } W ( x ) = \frac { 1 } { \hbar } \int _ { - E / F } ^ { x } p _ { 0 } ( x ^ { \prime } ) \; d x ^ { \prime }
\begin{array} { r } { \textrm { v o l } ( \Delta _ { n } ) \le \int _ { l _ { n } \leq \vert \vert \phi \vert \vert < u _ { n } } d \phi = \frac { \pi ^ { \frac { N } { 2 } } } { \Gamma \left( \frac { N } { 2 } + 1 \right) } \cdot \left( u _ { n } ^ { N } - l _ { n } ^ { N } \right) \, , } \end{array}
- \frac { \zeta _ { - } } { \sqrt { 1 + \dot { l } ^ { 2 } - \frac { 8 \pi G } { 3 } \rho _ { - } l ^ { 2 } } } \Bigl \{ \ddot { l } - \frac { 8 \pi G } { 3 } \rho _ { - } l + 4 \pi G l ( \rho _ { - } + p _ { - } )
\alpha _ { k } \in \mathbb { Z } , \qquad k \in \{ 1 , \dots , N - 2 \} \setminus \{ a \} , \qquad \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { j = 1 } ^ { N - 2 } \frac { v _ { j } \varepsilon _ { j } } { \varepsilon _ { N - 1 } } \alpha _ { j } \in \mathbb { Z } } & { \mathrm { i f ~ } b = N , } \\ { \sum _ { j = 1 } ^ { N - 2 } \frac { w _ { j } \varepsilon _ { j } } { \varepsilon _ { N } } \alpha _ { j } \in \mathbb { Z } } & { \mathrm { i f ~ } b = N - 1 . } \end{array} \right.
Z ( x , k _ { \! \perp } ) \equiv 1 + \frac { p ^ { 2 } } { p _ { a } ^ { 2 } } = 1 + \frac { m ^ { 2 } } { p _ { a } ^ { 2 } } \frac { ( x - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } } { x ( 1 - x ) } + \frac { \vec { k } _ { \! \perp } ^ { \, 2 } } { 4 p _ { a } ^ { 2 } x ( 1 - x ) } ,
N _ { i k } ( \bar { \bf x } , \hat { \bf n } ) = \sum _ { \mathrm { ~ j ~ } = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \mathrm { ~ l ~ } = 1 } ^ { 3 } a _ { i j k l } ( \bar { \bf x } ) n _ { j } n _ { l } \, .
\begin{array} { r } { G ( A _ { y } , A _ { z } ) = \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! d p _ { y } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! d p _ { z } \, e ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( p _ { y } - A _ { y } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( p _ { z } - A _ { z } ) ^ { 2 } } g ( p _ { y } , p _ { z } ) \, . } \end{array}
\Omega ^ { 2 } = 4 e ^ { 2 } \omega _ { 0 e } ^ { 2 } + 2 T _ { 0 } ^ { 2 } \frac { ( q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { \Omega ^ { 2 } { \cal Q } ^ { \prime \, 2 } } \left\{ B _ { \nu } - N _ { 1 } \left( \frac { 3 q ^ { 2 } } { { \cal Q } ^ { \prime \, 2 } } B _ { \nu } + \frac { 1 } { 2 } A _ { \nu } \right) \right\} \, .
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { d } _ { x } } & { = c _ { y } ( s _ { z } \mathbf { y } + c _ { z } \mathbf { x } ) - s _ { y } \mathbf { z } } \\ { \mathbf { d } _ { y } } & { = s _ { x } ( c _ { y } \mathbf { z } + s _ { y } ( s _ { z } \mathbf { y } + c _ { z } \mathbf { x } ) ) + c _ { x } ( c _ { z } \mathbf { y } - s _ { z } \mathbf { x } ) } \\ { \mathbf { d } _ { z } } & { = c _ { x } ( c _ { y } \mathbf { z } + s _ { y } ( s _ { z } \mathbf { y } + c _ { z } \mathbf { x } ) ) - s _ { x } ( c _ { z } \mathbf { y } - s _ { z } \mathbf { x } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Psi _ { u } } & { = \frac { 1 - \Lambda _ { 1 2 } \Lambda _ { 2 1 } } { 1 + \operatorname* { m a x } \big [ \Lambda _ { 1 2 } , \, \Lambda _ { 2 1 } \big ] } \, , } \\ { \Psi _ { l } } & { = ( 1 - \Lambda _ { 1 2 } \Lambda _ { 2 1 } ) \left( \begin{array} { l } { \operatorname* { m i n } \big [ 1 , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 2 1 } } \big ] } \\ { \operatorname* { m i n } \big [ 1 , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 1 2 } } \big ] } \end{array} \right) \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \mathrm { D } _ { \mathrm { { L } } } \mapsto \mathrm { D } _ { \mathrm { { L } } } ^ { \prime } } & { = S \mathrm { D } _ { \mathrm { { L } } } S ^ { \dagger } } & { \mathrm { D } _ { \mathrm { { R } } } \mapsto \mathrm { D } _ { \mathrm { { R } } } ^ { \prime } } & { = \left( S ^ { \dagger } \right) ^ { - 1 } \mathrm { D } _ { \mathrm { { R } } } S ^ { - 1 } } \end{array} }
\chi _ { 1 } ~ = ~ \frac { ( 2 \mu - 3 ) z _ { 1 } } { 2 ( 2 \mu - 1 ) ( \mu - 2 ) T _ { F } } \left[ ( C _ { F } - C _ { A } / 2 ) K _ { 1 } ~ + ~ 2 C _ { A } z _ { 1 } K _ { 2 } \right] ~ .
\rho _ { { \bf n } - 2 { \bf m } } ^ { ( n - 2 m ) } ( t ) \equiv \mathrm { t r } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } \big [ \big ( \hat { f } _ { K } ^ { n _ { K } - 2 m _ { K } } \cdots \hat { f } _ { 1 } ^ { n _ { 1 } - 2 m _ { 1 } } \big ) ^ { \circ } \rho _ { \mathrm { ~ \tiny ~ T ~ } } ( t ) \big ] ,
\begin{array} { r l } { \Upsilon = } & { { } \frac { e ^ { i \theta _ { 0 } } ( 1 - e ^ { i \phi } ) - 2 \sqrt { 1 - L } } { 2 e ^ { i ( \phi + \theta _ { 0 } ) } + \sqrt { 1 - L } - e ^ { i \phi } \sqrt { 1 - L } } , } \end{array}
\frac { 2 \pi } { V } \int \mathrm { d } \boldsymbol { r } \, \int \mathrm { d } v _ { \parallel } \, B ( \boldsymbol { r } ) \delta \big ( \eta - f ( \boldsymbol { r } , v _ { \parallel } , \mu _ { b } ) \big ) = \rho ( \eta , \mu _ { b } ) ,
\mathrm { Y B } ( t ) _ { k l m } ~ ~ = ~ ~ [ \, t _ { k l } \, , \, t _ { k m } \, ] \; + \; [ \, t _ { k l } \, , \, t _ { l m } \, ] \; - \; [ \, t _ { k m } \, , \, t _ { m l } \, ] ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { c u m } \left( X _ { i } ( u ) , X _ { j } ( v ) , X _ { i } ( w ) , X _ { j } ( 0 ) \right) } \\ & { = \sum _ { \nu = ( \nu _ { 1 } , \hdots , \nu _ { q } ) } ( - 1 ) ^ { q - 1 } ( q - 1 ) ! \prod _ { l = 1 } ^ { q } \mathbb { E } \left[ \prod _ { m \in \nu _ { l } } \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } X _ { m } ^ { ( N ) } \right] } \\ & { = \sum _ { \nu = ( \nu _ { 1 } , \hdots , \nu _ { q } ) } ( - 1 ) ^ { q - 1 } ( q - 1 ) ! \prod _ { l = 1 } ^ { q } \mathbb { E } \left[ \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \prod _ { m \in \nu _ { l } } X _ { m } ^ { ( N ) } \right] } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \sum _ { \nu = ( \nu _ { 1 } , \hdots , \nu _ { q } ) } ( - 1 ) ^ { q - 1 } ( q - 1 ) ! \prod _ { l = 1 } ^ { q } \mathbb { E } \left[ \prod _ { m \in \nu _ { l } } X _ { m } ^ { ( N ) } \right] } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \mathrm { c u m } \Bigg ( \sum _ { | s _ { 1 } | \leq | N | } A _ { s _ { 1 } , i \cdot } \epsilon _ { u - s _ { 1 } } , \sum _ { | s _ { 2 } | \leq | N | } A _ { s _ { 2 } , j \cdot } \epsilon _ { v - s _ { 2 } } , } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \sum _ { | s _ { 3 } | \leq | N | } A _ { s _ { 3 } , i \cdot } \epsilon _ { w - s _ { 3 } } , \sum _ { | s _ { 4 } | \leq | N | } A _ { s _ { 4 } , i \cdot } \epsilon _ { - s _ { 4 } } \Bigg ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \sum _ { | s _ { 1 } | , | s _ { 2 } | , | s _ { 3 } | , | s _ { 4 } | \leq | N | } \mathrm { c u m } \left( A _ { s _ { 1 } , i \cdot } \epsilon _ { u - s _ { 1 } } , A _ { s _ { 2 } , j \cdot } \epsilon _ { v - s _ { 2 } } , A _ { s _ { 3 } , i \cdot } \epsilon _ { w - s _ { 3 } } , A _ { s _ { 4 } , i \cdot } \epsilon _ { - s _ { 4 } } \right) } \\ & { = \sum _ { | s _ { 1 } | , | s _ { 2 } | , | s _ { 3 } | , | s _ { 4 } | \in \mathbb { Z } } \mathrm { c u m } \left( A _ { s _ { 1 } , i \cdot } \epsilon _ { u - s _ { 1 } } , A _ { s _ { 2 } , j \cdot } \epsilon _ { v - s _ { 2 } } , A _ { s _ { 3 } , i \cdot } \epsilon _ { w - s _ { 3 } } , A _ { s _ { 4 } , i \cdot } \epsilon _ { - s _ { 4 } } \right) , } \end{array}
i \Pi _ { ( \beta , \mu ) } ^ { \mu \nu } ( 0 , \overline { { p } } ) = - \frac { 4 g ^ { 2 } } { \beta } \sum _ { n } \int \frac { d ^ { 2 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { { \mathit { M } } ^ { \mu \nu } . s i n ^ { 2 } ( \frac { \tilde { p } k } { 2 } ) } { ( ( k - p ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } + \omega _ { n } ^ { 2 } ) ( k ^ { 2 } + m ^ { 2 } + \omega _ { n } ^ { 2 } ) } ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r } { \langle \boldsymbol { u } , \boldsymbol { \Psi } \rangle _ { \mathcal { S } } = \langle \boldsymbol { U } , \boldsymbol { \Psi } \rangle _ { \mathcal { S } } \approx \int _ { \mathcal { V } } W ( \phi ) \boldsymbol { U } _ { I } \underline { { \operatorname { \Pi } } } _ { I J } \boldsymbol { \Psi } _ { J } \, \mathrm { d } \mathcal { V } = \langle \boldsymbol { U } , \boldsymbol { \Psi } \rangle _ { \mathcal { V } } . } \end{array}
S _ { \mathrm { o d d } } ( a ; b _ { 1 } , \ldots , b _ { k - 1 } ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( 2 n - 1 ) ^ { a } } \prod _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \sum _ { m _ { i } = 1 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { ( 2 m _ { i } - 1 ) ^ { b _ { i } } } \, ,
\begin{array} { r l } { \Tilde { V } ^ { X } \left( X , Y , Z \right) } & { { } = H \underbrace { \left( U _ { 1 } + \frac { \partial \Bar { p } } { \partial X } \Bar { I } _ { p } + U _ { s } \Bar { I } _ { s } \right) } _ { U } = H U , } \\ { \Tilde { V } ^ { Y } \left( X , Y , Z \right) } & { { } = r _ { x y } H \underbrace { \left( V _ { 1 } + r _ { x y } \frac { \partial \Bar { p } } { \partial Y } \Bar { I } _ { p } + V _ { s } \Bar { I } _ { s } \right) } _ { V } = r _ { x y } H V , } \\ { \Tilde { V } ^ { Z } \left( X , Y , Z \right) } & { { } = W - \left( \frac { \partial H } { \partial X } U + r _ { x y } \frac { \partial H } { \partial Y } V \right) Z , } \end{array}
B ( \eta \to \mu ^ { + } \mu ^ { - } ) \equiv { \frac { \Gamma ( \eta \to \mu ^ { + } \mu ^ { - } ) } { \Gamma ( \eta \to \gamma \gamma ) } } = ( 1 . 4 7 \pm 0 . 2 1 ) \times 1 0 ^ { - 5 } \ ,
\frac { d \Gamma ^ { ( + ) } + d \Gamma ^ { ( - ) } } { d E \, d \Omega } \simeq \, \frac { | B _ { V } | ^ { 2 } } { 1 2 8 \pi ^ { 4 } } \, \frac { ( m _ { \eta } - 2 E ) \; | \vec { P } | \; \left( f ( q ^ { 2 } ) \right) ^ { 2 } } { [ m _ { \eta } \, ( m _ { \eta } - 2 k ^ { 0 } ) \, ( m _ { \eta } - E + | \vec { P } | \cos \theta ) ] ^ { 2 } } \times { \cal F } _ { 0 } ( E , \cos \theta ) \, ,
\frac { d } { d t } \left\lVert \boldsymbol { w } \right\rVert _ { H } ^ { 2 } + c _ { 5 } \nu _ { 1 } \left\lVert \boldsymbol { w } \right\rVert _ { W ^ { 1 , 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + c _ { 5 } \int _ { \Omega } I ^ { 2 } ( \boldsymbol { D u } , \boldsymbol { D v } ) \ d x \leq c _ { 7 } \left[ \nu _ { 1 } ^ { - \frac { 3 } { 2 r - 3 } } B _ { r } ^ { \frac { 2 r } { 2 r - 3 } } + 1 \right] \left\lVert \boldsymbol { w } \right\rVert _ { H } ^ { 2 } .
i \ln W _ { 3 q } = \frac { 2 } { 3 } g ^ { 2 } \sum _ { i < j } \int _ { \Gamma _ { i } } d x _ { i } ^ { \mu } \int _ { \Gamma _ { j } } d x _ { j } ^ { \nu } \, i D _ { \mu \nu } ( x _ { i } - x _ { j } ) + \sigma S _ { \operatorname * { m i n } } ,
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { l o c } } \left( \boldsymbol { \sigma } _ { s } \right) } & { { } = \frac { \langle \boldsymbol { \sigma } _ { s } | \hat { \mathcal { H } } | \Psi _ { \mathcal { W } } \rangle } { \langle \boldsymbol { \sigma } _ { s } | \Psi _ { \mathcal { W } } \rangle } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { 1 m } ( \theta ) = \frac { 3 } { 8 \pi } \left( 1 + \cos ^ { 2 } \theta \right) , } & { { } } & { g _ { 1 m } ( \theta ) = - \frac { 3 } { 4 \pi } m \cos \theta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \; = \; } & { \pi _ { \rho ^ { \prime } } G _ { \rho , \lambda } ( D ) ^ { 2 } ( ( H ^ { s } ) ^ { * } H ^ { s } \oplus H ^ { s } ( H ^ { s } ) ^ { * } ) G _ { \rho , \lambda } ( D ) ^ { 2 } \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } } \\ & { \; - \pi _ { \rho ^ { \prime } } G _ { \rho , \lambda } ( D ) ^ { 2 } ( ( H ^ { s } ) ^ { * } \oplus H ^ { s } ) [ ( H ^ { s } \oplus ( H ^ { s } ) ^ { * } ) , G _ { \rho , \lambda } ( D ) ] G _ { \rho , \lambda } ( D ) \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } } \\ & { \; - \pi _ { \rho ^ { \prime } } G _ { \rho , \lambda } ( D ) [ G _ { \rho , \lambda } ( D ) , ( ( H ^ { s } ) ^ { * } \oplus H ^ { s } ) ] G _ { \rho , \lambda } ( D ) ( H ^ { s } \oplus ( H ^ { s } ) ^ { * } ) G _ { \rho , \lambda } ( D ) \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } } \\ { \geq \; } & { \; g ^ { 2 } \pi _ { \rho ^ { \prime } } G _ { \rho , \lambda } ( D ) ^ { 4 } \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } } \\ & { \; - \pi _ { \rho ^ { \prime } } G _ { \rho , \lambda } ( D ) ^ { 2 } ( ( H ^ { s } ) ^ { * } \oplus H ^ { s } ) [ ( H ^ { s } \oplus ( H ^ { s } ) ^ { * } ) , G _ { \rho , \lambda } ( D ) ] G _ { \rho , \lambda } ( D ) \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } } \\ & { \; + \pi _ { \rho ^ { \prime } } G _ { \rho , \lambda } ( D ) [ ( H ^ { s } ) ^ { * } \oplus H ^ { s } ) , G _ { \rho , \lambda } ( D ) ] G _ { \rho , \lambda } ( D ) ( H ^ { s } \oplus ( H ^ { s } ) ^ { * } ) G _ { \rho , \lambda } ( D ) \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } } \\ { = \; } & { \; g ^ { 2 } \pi _ { \rho ^ { \prime } } G _ { \rho , \lambda } ( D ) ^ { 4 } \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } } \\ & { \; - \lambda \; \pi _ { \rho ^ { \prime } } G _ { \rho , \lambda } ( D ) ^ { 2 } ( ( H ^ { s } ) ^ { * } \oplus H ^ { s } ) [ H \oplus H ^ { * } , G _ { \rho } ( D ) ] G _ { \rho , \lambda } ( D ) \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } } \\ & { \; + \lambda \; \pi _ { \rho ^ { \prime } } G _ { \rho , \lambda } ( D ) [ H \oplus H ^ { * } , G _ { \rho } ( D ) ] G _ { \rho , \lambda } ( D ) ( H ^ { s } \oplus ( H ^ { s } ) ^ { * } ) G _ { \rho , \lambda } ( D ) \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial k _ { 0 \rightarrow 1 } } { \partial \Omega } } & { = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \epsilon \Gamma \frac { e ^ { - ( E _ { r } - \epsilon + \bar { E } _ { d } ) ^ { 2 } } / 4 E _ { r } k T } { \sqrt { 4 \pi E _ { r } k T } } \times } \\ & { \sum _ { n } \left[ - \frac { A } { \Omega ^ { 2 } } J _ { n } ( \frac { A } { \Omega } ) ( J _ { n - 1 } ( \frac { A } { \Omega } ) - J _ { n + 1 } ( \frac { A } { \Omega } ) ) f ( \epsilon - n \Omega ) + \frac { n } { k T } J _ { n } ( \frac { A } { \Omega } ) ^ { 2 } f ( \epsilon - n \Omega ) ( 1 - f ( \epsilon - n \Omega ) ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \beta \to \infty } e ^ { - \beta \hat { H } } | \Psi _ { \mathrm { I } } \rangle = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \bigg [ \mathrm { e } ^ { - \tau \hat { H } } \bigg ] ^ { n } | \Psi _ { \mathrm { I } } \rangle . } \end{array}
- U _ { j } \frac { \partial \tilde { \nu } ^ { * } } { \partial x _ { j } } + 2 \frac { \partial \nu _ { t } } { \partial \tilde { \nu } } \frac { \partial U _ { i } ^ { * } } { \partial x _ { j } } S _ { i j } - \tilde { \nu } ^ { * } \frac { \partial ( S _ { p } + S _ { d } ) } { \partial \tilde { \nu } } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \tilde { \nu } ^ { * } \partial _ { \nabla \tilde { \nu } } \left( S _ { c } + S _ { d i f f } \right) \right) = 0 .
V _ { n } ( r ) = \left\{ \begin{array} { c l } { { \chi _ { n } ^ { - 1 } \triangle \chi _ { n } - \gamma / r } } & { { \mathrm { f o r } ~ r < a _ { 0 } } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { f o r } ~ r > a _ { 0 } . } } \end{array} \right.
\rho _ { k } + \rho _ { p } \, \simeq \, 2 | \varphi _ { b } ^ { 6 0 } | \sqrt { 2 V ( \varphi _ { b } ^ { 6 0 } ) } \lambda ^ { - 1 / 2 } \bigl ( { \frac { M _ { p } } { \eta } } \bigr ) ^ { 2 } \, .
H ^ { \mathrm { R P P } } = \sum _ { i } \left( - \frac { \Delta _ { i } } { 2 } + \sum _ { \alpha } \left( - \frac { z _ { \alpha } } { r _ { \alpha i } } + \hat { U } _ { \alpha } ( i ) \right) \right) + \sum _ { i < k } \frac { 1 } { r _ { i k } } ,
\{ \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \} _ { \mathrm { c . b . } } = W _ { ~ 1 2 } ^ { 0 } + \left\{ \theta _ { 1 } [ \theta _ { 2 } , r ] \right\} + \mathrm { T r } _ { 3 4 } ( W _ { ~ 1 2 3 4 } ^ { 2 } \theta _ { 3 } \theta _ { 4 } ) .
\begin{array} { r l } { \tilde { \mu } _ { \lambda } ( z ) } & { = \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \mu _ { \mathrm { e x t } } ( z , x _ { k } ) } { q _ { z } ( x _ { k } ) } , \ x _ { k } | z \sim q _ { z } , \mathrm { i i d } , } \\ { \tilde { \mu } _ { \lambda } ( z ^ { \prime } ) } & { = \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \mu _ { \mathrm { e x t } } ( z ^ { \prime } , x _ { k } ^ { \prime } ) } { q _ { z } ^ { \prime } ( x _ { k } ^ { \prime } ) } , \ x _ { k } ^ { \prime } | z ^ { \prime } \sim q _ { z } ^ { \prime } , \mathrm { i i d } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { g _ { 1 } ( \boldsymbol { x } ) } & { = \cos \left( 2 \pi b _ { 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { q } a _ { i } x _ { i } \right) \quad } & & { \mathrm { ( o s c i l l a t o r y ) } , } \\ { g _ { 2 } ( \boldsymbol { x } ) } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { q } \left( a _ { i } ^ { - 2 } + ( x _ { i } - b _ { i } ) ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } \quad } & & { \mathrm { ( p r o d u c t ~ p e a k ) } , } \\ { g _ { 3 } ( \boldsymbol { x } ) } & { = \left( 1 + \sum _ { i = 1 } ^ { q } a _ { i } x _ { i } \right) ^ { - ( q + 1 ) } \quad } & & { \mathrm { ( c o r n e r ~ p e a k ) } , } \\ { g _ { 4 } ( \boldsymbol { x } ) } & { = \exp \left( - \sum _ { i = 1 } ^ { q } a _ { i } ^ { 2 } ( x _ { i } - b _ { i } ) ^ { 2 } \right) \quad } & & { \mathrm { ( G a u s s i a n ) } } \end{array}
F ( \alpha ) \simeq \frac { 3 \bar { \sigma } _ { 2 } } { g ^ { 2 } \rho ^ { 2 } } \left( \frac { \rho ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } \left( 1 + \frac { 3 x ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l } { \dot { a } = } & { { } D \nabla ^ { 2 } a + \left\{ \begin{array} { l l } { - a } & { x < 0 } \\ { 2 m _ { 1 } b - a \, [ b _ { \infty } ( a ) + m _ { 2 } ] } & { x > 0 } \end{array} \right. } \\ { \dot { b } = } & { { } \frac { b _ { \infty } ( a ) - b } { \tau } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } | f ( u ) | H ^ { u } d u } & { \le \int _ { 0 } ^ { u _ { 0 } } H ^ { u } d u + \int _ { u _ { 0 } } ^ { a } ( q ^ { 1 / 4 } H ^ { u / 2 } + \frac 1 2 q ^ { 1 / 2 } ) d u + \int _ { a } ^ { 1 } V ^ { * } d u } \\ & { \le \frac { H ^ { u _ { 0 } } - 1 } { \log H } + \frac { 2 q ^ { 1 / 4 } ( H ^ { a / 2 } - H ^ { u _ { 0 } / 2 } ) } { \log H } + \frac { a - u _ { 0 } } { 2 } q ^ { 1 / 2 } + ( 1 - a ) V ^ { * } } \\ & { \le \frac { \sqrt { q } } { \log H } \bigl ( 1 + \sqrt { 3 } + 2 \sqrt { 1 + \sqrt { 3 } } \bigr ) + \frac { 2 q ^ { 1 / 4 } \sqrt { H } } { \log H } \frac { V ^ { * } } { \sqrt { \sqrt { q } H } } } \\ & { \qquad + \frac { \log \frac { V ^ { * 2 } } { q ( 1 + \sqrt { 3 } ) } } { \log H } \sqrt { q } + \frac { \log ( \sqrt { q } H / V ^ { * 2 } ) } { \log H } V ^ { * } } \\ & { \le \frac { \sqrt { q } } { \log H } \left( 1 + \sqrt { 3 } + 2 \sqrt { 1 + \sqrt { 3 } } + \log \frac { V ^ { * 2 } } { q ( 1 + \sqrt { 3 } ) } \right) } \\ & { \qquad + \frac { 2 V ^ { * } } { \log H } + \frac { \log ( \sqrt { q } H / V ^ { * 2 } ) } { \log H } V ^ { * } . } \end{array}
K ( \xi ) = \left( \begin{array} { c c c } { \psi _ { 1 } ( \xi ) } & { - \psi _ { \frac { 3 } { 2 } } ( \xi ) } & { \psi _ { 1 } ( \xi ) + \psi _ { 2 } ( \xi ) } \\ { - \psi _ { \frac { 3 } { 2 } } ( \xi ) } & { \psi _ { 3 } ( \xi ) } & { - \psi _ { \frac { 5 } { 2 } } ( \xi ) - \psi _ { \frac { 3 } { 2 } } ( \xi ) - \psi _ { \frac { 1 } { 2 } } ( \xi ) } \\ { \psi _ { 1 } ( \xi ) + \psi _ { 2 } ( \xi ) } & { - \psi _ { \frac { 5 } { 2 } } ( \xi ) - \psi _ { \frac { 3 } { 2 } } ( \xi ) - \psi _ { \frac { 1 } { 2 } } ( \xi ) } & { 2 \psi _ { 1 } ( \xi ) + 2 \psi _ { 2 } ( \xi ) + \psi _ { 3 } ( \xi ) } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { U ^ { ( M , 3 ) } = \frac { 1 } { \sqrt { M } } } \\ & { \times \left( \begin{array} { l l l l l l l l l } { \sqrt { \frac { M } { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { - \sqrt { M } | \chi | ^ { 2 } } & { - \sqrt { M } | \chi | ^ { 2 } } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { \cdots } & { 1 } & { 1 } & { \chi } & { \bar { \chi } } \\ { 0 } & { \xi } & { \xi ^ { 2 } } & { \xi ^ { 3 } } & { \cdots } & { \xi ^ { M - 2 } } & { \xi ^ { M - 1 } } & { \chi } & { \bar { \chi } } \\ { 0 } & { \xi ^ { 2 } } & { \xi ^ { 4 } } & { \xi ^ { 6 } } & { \cdots } & { \xi ^ { 2 ( M - 2 ) } } & { \xi ^ { 2 ( M - 1 ) } } & { \chi } & { \bar { \chi } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \xi ^ { M - 3 } } & { \xi ^ { 2 ( M - 3 ) } } & { \xi ^ { 3 ( M - 3 ) } } & { \cdots } & { \xi ^ { ( M - 3 ) ( M - 2 ) } } & { \xi ^ { ( M - 3 ) ( M - 1 ) } } & { \chi } & { \bar { \chi } } \\ { 0 } & { \xi ^ { M - 2 } } & { \xi ^ { 2 ( M - 2 ) } } & { \xi ^ { 3 ( M - 2 ) } } & { \cdots } & { \xi ^ { ( M - 2 ) ^ { 2 } } } & { \xi ^ { ( M - 2 ) ( M - 1 ) } } & { \chi } & { \bar { \chi } } \\ { 0 } & { \xi ^ { M - 1 } } & { \xi ^ { 2 ( M - 1 ) } } & { \xi ^ { 3 ( M - 1 ) } } & { \cdots } & { \xi ^ { ( M - 1 ) ( M - 2 ) } } & { \xi ^ { ( M - 1 ) ^ { 2 } } } & { \chi } & { \bar { \chi } } \\ { \sqrt { \frac { M } { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { \sqrt { M } | \chi | ^ { 2 } } & { \sqrt { M } | \chi | ^ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \operatorname* { m i n } ( 3 - 1 , 4 - 1 , 2 - 0 , 0 - ( - 1 ) , 6 - 3 , 9 - 3 ) } \\ { = } & { { } \operatorname* { m i n } ( 2 , 3 , 2 , 1 , 3 , 6 ) = 1 } \end{array}
\mathbf { k } ^ { \prime } \cdot \tilde { \mathbf { E } } _ { d } = - \frac { 4 \pi } { \epsilon _ { d } } ( \mathbf { k } ^ { \prime } \cdot \mathbf { p } ) \exp \left( - i \mathbf { k } ^ { \prime } \cdot \mathbf { r } _ { d } \right)
{ \hat { U } } ^ { n } ( t ) { \stackrel { \mathcal { D } } { \longrightarrow } } { \mathcal { N } } ( 0 , V _ { t } ) , \quad { \mathrm { w h e r e } } \quad V _ { t } = { \bar { V } } / t + O ( 1 / t ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l r } { \langle r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n } \rangle } & { { } = } & { \frac { 2 } { 1 + c _ { 2 } ^ { 3 } } \left( \frac { k _ { B } T } { \kappa } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, { \cal R } _ { 4 } } \\ { \langle r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n + 1 } \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 - c _ { 2 } } { 1 + c _ { 2 } ^ { 3 } } \left( \frac { k _ { B } T } { \kappa } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, { \cal R } _ { 4 } } \\ { \langle r ^ { n } r ^ { n + 1 } r ^ { n + 1 } \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 + c _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 + c _ { 2 } ^ { 3 } } \left( \frac { k _ { B } T } { \kappa } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, { \cal R } _ { 4 } \, , } \end{array}
r \equiv \frac { \mu _ { 1 } E _ { x } ( t ) } { \mu _ { 2 } E _ { y } ( t ) } = \frac { \mu _ { 1 } E _ { 0 } \cos ( \theta ) \sin ( \omega t ) } { \mu _ { 2 } E _ { 0 } \sin ( \theta ) \sin ( \omega t ) } = \frac { \mu _ { 1 } } { \mu _ { 2 } } \cot ( \theta ) .