harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ M _ { d } } ^ { 0 } { { M _ { d } } ^ { 0 } } ^ { \dagger } = \left( \begin{array} { c c c c } { { { { m _ { d } } ^ { 0 } } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { { m _ { d } } ^ { 0 } { J _ { d } } ^ { \ast } } } \\ { { 0 } } & { { { { m _ { s } } ^ { 0 } } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { { { m _ { b } } ^ { 0 } } ^ { 2 } } } & { { { m _ { b } } ^ { 0 } { J _ { b } } ^ { \ast } } } \\ { { { m _ { d } } ^ { 0 } J _ { d } } } & { { 0 } } & { { { m _ { b } } ^ { 0 } J _ { b } } } & { { M ^ { 2 } } } \end{array} \right) \: \: \longrightarrow \: \: \left( \begin{array} { c c c } { { { { m _ { d } } ^ { 0 } } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { { m _ { d } } ^ { 0 } { J _ { d } } ^ { \ast } } } \\ { { 0 } } & { { { { m _ { b } } ^ { 0 } } ^ { 2 } } } & { { { m _ { b } } ^ { 0 } { J _ { b } } ^ { \ast } } } \\ { { { m _ { d } } ^ { 0 } J _ { d } } } & { { { m _ { b } } ^ { 0 } J _ { b } } } & { { M ^ { 2 } } } \end{array} \right) \: .
\begin{array} { r l r } { \frac { d \vec { \delta } _ { L i } } { d t } } & { { } = } & { 2 K _ { L L } \{ \vec { Q } _ { 0 } \times \vec { \Delta } _ { L L i } + i [ - \vec { \Delta } _ { L L i } + ( \vec { \Delta } _ { L L i } . \vec { Q } _ { 0 } ) \, \vec { Q } _ { 0 } ] \} } \\ { \frac { d \vec { \delta } _ { R i } } { d t } } & { { } = } & { 2 K _ { R R } \{ \vec { Q } _ { 0 } \times \vec { \Delta } _ { R R i } + i [ - \vec { \Delta } _ { R R i } + ( \vec { \Delta } _ { R R i } . \vec { Q } _ { 0 } ) \, \vec { Q } _ { 0 } ] \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta } & { = h ( v ^ { R } ) \circ g ( u ^ { B } ) = h ( v ^ { R } ) \circ g ( \pi _ { B } ^ { M } ( \tilde { v } ^ { M } ) \circ f ( \tilde { u } ^ { A } ) ) } \\ & { = h ( v ^ { R } ) \circ g ( \pi _ { B } ^ { M } ( \tilde { v } ^ { M } ) ) \circ g ( f ( \tilde { u } ^ { A } ) ) } \\ & { = h ( v ^ { R } ) \circ h ( \pi _ { R } ^ { M } ( \tilde { v } ^ { M } ) ) \circ g ( f ( \tilde { u } ^ { A } ) ) } \\ & { = h ( v ^ { R } \circ \pi _ { R } ^ { M } ( \tilde { v } ^ { M } ) ) \circ ( g \circ f ) ( \tilde { u } ^ { A } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { T _ { j k } } { \bf f } \, d s = \left[ \Phi _ { j k } + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \left( \frac { \partial { \bf f } } { \partial { \bf w } } \right) _ { \! \! i } \! \! \nabla { \bf w } _ { i } ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { T } ) \right] | { \bf n } _ { T } | , } \end{array}
\mathcal { F } = | \sum _ { p _ { i } } ^ { p _ { s } } { C ^ { * } } _ { p _ { i } , 0 } ^ { p _ { s } , \ell _ { p } } C ^ { t h } { } _ { p _ { i } , 0 } ^ { p _ { s } , \ell _ { p } } | ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { - \frac { \eta I } { 2 } + 3 6 \Gamma ^ { 2 } I ^ { 3 } \eta ^ { 3 } + 9 \frac { \gamma } { \eta } B L _ { 1 } I ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } & { \stackrel { ( i ) } { \leq } - \frac { 1 } { 2 } \eta I + \frac { 3 6 } { 8 5 6 ^ { 2 } } \eta I + \frac { 9 ( 1 1 B L _ { 1 } \sigma + A L _ { 0 } / \rho ) } { 8 5 6 \Gamma } \eta I } \\ & { \leq - \frac { 1 } { 4 } \eta I , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { u _ { t } = \ } & { { } \epsilon u _ { x x } - a u _ { x } , } & { } & { { } x < x _ { e } ( t ) , } & { } & { { } t > 0 } \\ { B u = \ } & { { } g ( t ) , } & { } & { { } x = x _ { e } ( t ) , } & { } & { { } t > 0 } \\ { u ( x , 0 ) = \ } & { { } u _ { 0 } ( x ) , } & { } & { { } x < x _ { e } ( t ) , } \end{array}
C ( T _ { \mathrm { e } } ) \frac { \d T _ { \mathrm { e } } ( t ) } { \d t } = - \mathcal { Q } _ { \mathrm { Q } } ( T _ { \mathrm { e } } , T _ { \ell } ) - \mathcal { Q } _ { \mathrm { p h } } ( T _ { \mathrm { e } } , T _ { \mathrm { p h } } ) ,
A ^ { ( 2 ) } \equiv \frac { 6 7 } { 9 } - \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } - \frac { 1 0 } { 2 7 } n _ { f } + \frac { 2 \beta _ { 0 } } { 3 } \ln \left( e ^ { \gamma } / 2 \right)
\frac { \overline { { { W } } } _ { a + \bar { \epsilon } _ { i } b + \bar { \epsilon } _ { k } } ( u ) } { \overline { { { W } } } _ { a b } ( u ) } \frac { \overline { { { W } } } _ { a + \bar { \epsilon } _ { i } + \bar { \epsilon } _ { j } b + \bar { \epsilon } _ { k } + \bar { \epsilon } _ { l } } ( u ) } { \overline { { { W } } } _ { a + \bar { \epsilon } _ { i } b + \bar { \epsilon } _ { k } } ( u ) } = \frac { \overline { { { W } } } _ { a + \bar { \epsilon } _ { j } b + \bar { \epsilon } _ { k } } ( u ) } { \overline { { { W } } } _ { a b } ( u ) } \frac { \overline { { { W } } } _ { a + \bar { \epsilon } _ { i } + \bar { \epsilon } _ { j } b + \bar { \epsilon } _ { k } + \bar { \epsilon } _ { l } } ( u ) } { \overline { { { W } } } _ { a + \bar { \epsilon } _ { j } b + \bar { \epsilon } _ { k } } ( u ) } ,
\left( \begin{array} { c } { \delta \mathbf { U } _ { 1 , 1 } } \\ { \vdots } \\ { \delta \mathbf { U } _ { i m a x , j m a x } } \end{array} \right) ( t ) = \mathrm { e } ^ { \mathbf { S } t } \cdot \left( \begin{array} { c } { \delta \mathbf { U } _ { 1 , 1 } } \\ { \vdots } \\ { \delta \mathbf { U } _ { i m a x , j m a x } } \end{array} \right) _ { t = 0 } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } d _ { i , j } T _ { k } ^ { j } T _ { i } } & { { } = \sum _ { \ell = 0 } ^ { m - 1 } ( { \bf d } _ { 0 } ^ { T } { \bf a } _ { \ell } ) T _ { \ell \times k } } \end{array}
\widetilde { R \Gamma } _ { \mathrm { f , I w } } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { 0 } ) = R \Gamma _ { c } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T \otimes \epsilon _ { K } ) \longrightarrow R \Gamma ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T \otimes \epsilon _ { K } ) \longrightarrow R \Gamma ( G _ { p } , T \otimes \epsilon _ { K } )
\begin{array} { r l } { g ( \tilde { \Delta } , \tilde { \Omega } , \tilde { \gamma } ) } & { { } : = \mathrm { R e s } [ g _ { 1 } ( E _ { i } , \tilde { \Delta } , \tilde { \Omega } , \tilde { \gamma } ) , g _ { 2 } ( E _ { i } , \tilde { \Delta } , \tilde { \Omega } , \tilde { \gamma } ) , E _ { i } ] } \end{array}
\mathbf { M } ( \mathbf { r } , t ) = { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } } \int \mathrm { { d } } ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime } \mathrm { { d } } t ^ { \prime } \; { \hat { \chi } } _ { m } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } , t , t ^ { \prime } ; \mathbf { B } ) \, \mathbf { B } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) ,
c ^ { A } \leftrightarrow \ ^ { - 1 } ( 0 , 1 / 2 , 1 / 2 , 0 ) _ { 0 } ^ { 1 } \rightarrow ( 0 , 0 ) _ { 0 } ^ { 0 } \oplus ( 0 , 1 ) _ { 0 } ^ { 0 } .
\begin{array} { l } { \displaystyle \Omega _ { - 2 , - 1 } = \Omega _ { + 2 , + 1 } = \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } , } \\ { \displaystyle \Omega _ { + 1 , - 1 } = \Omega _ { - 1 , + 1 } = - \frac { 1 } { 3 } . } \end{array}
T _ { n } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { t _ { 0 } } & { t _ { - 1 } } & { t _ { - 2 } } & { \cdots } & { t _ { - ( n - 2 ) } } & { t _ { - ( n - 1 ) } } \\ { t _ { 1 } } & { t _ { 0 } } & { t _ { - 1 } } & { \cdots } & { t _ { - ( n - 3 ) } } & { t _ { - ( n - 2 ) } } \\ { t _ { 2 } } & { t _ { 1 } } & { t _ { 0 } } & { \cdots } & { t _ { - ( n - 4 ) } } & { t _ { - ( n - 3 ) } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { t _ { n - 2 } } & { t _ { n - 3 } } & { t _ { n - 4 } } & { \cdots } & { t _ { 0 } } & { t _ { - 1 } } \\ { t _ { n - 1 } } & { t _ { n - 2 } } & { t _ { n - 3 } } & { \cdots } & { t _ { 1 } } & { t _ { 0 } } \end{array} \right) .
\mathbf { - 1 . 1 0 2 \, 6 4 1 \, 5 8 1 \, 0 3 2 \, 5 7 7 \, 1 6 4 \, 1 1 8 \, 1 2 } 5 \, 3 6 8 \, 5 7 6 \, 8 8 8
\lambda _ { \tau } \simeq \lambda _ { b } \, , \qquad \lambda _ { \mu } = 3 \lambda _ { s } \, , \qquad \lambda _ { e } = { \frac { 1 } { 3 } } \lambda _ { d } \, , \qquad ( \mathrm { a l l \ a t } \ \mu = M _ { G } ) \, .
A _ { 1 } ^ { \mu } ( p ) A _ { 1 } ^ { \nu } ( q ) [ p ^ { \rho } { \frac { ( z _ { 1 } - z ) ^ { 2 } } { 2 } } + q ^ { \rho } { \frac { ( z _ { 2 } - z ) ^ { 2 } } { 2 } } ] +
T _ { 5 ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) } ^ { ( B ) } = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } ( \Delta _ { ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) } ) ^ { 1 / 2 } ( T _ { 1 } ^ { ( B ) } ) ^ { 3 } .
\hat { H } ^ { \mathrm { ( R o t ) } } = - \sum _ { i } \nu _ { i } \hat { I } _ { i z } + \sum _ { \substack { i < j \, \mathrm { ( H o m o ) } } } J _ { i j } ( \hat { \mathbf { I } } _ { i } \cdot \hat { \mathbf { I } } _ { j } ) + \sum _ { \substack { i < j \, \mathrm { ( H e t e r o ) } } } J _ { i j } ( \hat { I } _ { i z } \cdot \hat { I } _ { j z } ) .
\mathbf { g } _ { n } ( s , \mathbf { u } ) = \mathbf { f } ( s , \mathbf { u } ) - \mathbf { f } _ { \mathbf { x } } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ) \mathbf { u } - \mathbf { f } _ { t } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ) ( s - t _ { n } ) - \mathbf { f } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ) + \mathbf { f } _ { \mathbf { x } } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ) \mathbf { z } _ { n } .
\frac { \frac { 1 } { A _ { X } } \left( \frac { d \sigma ^ { X } } { d x _ { 1 } d x _ { 2 } } \right) } { \frac { 1 } { A _ { Y } } \left( \frac { d \sigma ^ { Y } } { d x _ { 1 } d x _ { 2 } } \right) } \approx \left. \frac { \bar { u } ^ { X } ( x _ { 2 } ) } { \bar { u } ^ { Y } ( x _ { 2 } ) } \right| _ { x _ { 1 } \gg x _ { 2 } }
Q = \sum _ { \sigma } \int \frac { d ^ { 3 } { \bf p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, \left[ a _ { \sigma } ^ { \dagger } ( { \bf p } ) a _ { \sigma } ( { \bf p } ) - b _ { \sigma } ( { \bf p } ) b _ { \sigma } ^ { \dagger } ( { \bf p } ) + c _ { \sigma } ^ { \dagger } ( { \bf p } ) c _ { \sigma } ( { \bf p } ) - d _ { \sigma } ( { \bf p } ) d _ { \sigma } ^ { \dagger } ( { \bf p } ) \right] \quad ,
\begin{array} { r l } & { \Vert T _ { \sigma } ^ { \varphi } f \Vert _ { F _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } = \Vert T _ { \sigma } ^ { \varphi } ( 1 - \Delta ) ^ { \varepsilon / 2 } ( 1 - \Delta ) ^ { - \varepsilon / 2 } f \Vert _ { F _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim \Vert T _ { \sigma } ^ { \varphi } ( 1 - \Delta ) ^ { \varepsilon / 2 } ( 1 - \Delta ) ^ { - \varepsilon / 2 } f \Vert _ { F _ { p , p } ^ { s + \varepsilon / 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \lesssim \Vert ( 1 - \Delta ) ^ { - \varepsilon / 2 } f \Vert _ { F _ { p , p } ^ { s + \varepsilon / 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim \Vert ( 1 - \Delta ) ^ { - \varepsilon / 2 } f \Vert _ { F _ { p , q } ^ { s + \varepsilon } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \simeq \Vert f \Vert _ { F _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } . } \end{array}
a _ { 1 } ( \theta _ { i } , n _ { m } , d ) = r _ { 1 2 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } t _ { 1 2 } t _ { 2 1 } ( r _ { 2 1 } ) ^ { 2 n - 1 } e ^ { \imath \Phi _ { m } n } e ^ { - \imath n \, { \bf k _ { r } } . \Delta { \bf r } }
N _ { g } = { \frac { 1 } { 2 } } ( { \cal C } ^ { A } \bar { \cal P } _ { A } - \bar { \cal P } _ { A } { \cal C } ^ { A } ) - i ( { \cal C } ^ { \prime } \bar { \cal P } ^ { \prime } - \bar { \cal P } ^ { \prime } { \cal C } ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { H _ { k } = \frac { Z _ { k } } { \delta _ { k } } \Bigg [ \frac { h _ { 0 } } { ( 1 - 2 \alpha ) T _ { k } } } & { \int _ { \alpha T _ { k } } ^ { ( 1 - \alpha ) T _ { k } } \left( \hat { W } _ { 2 k } ( t ) - \hat { W } _ { 2 k - 1 } ( t ) \right) d t - \frac { p _ { 2 k } N _ { 2 k } - p _ { 2 k - 1 } N _ { 2 k - 1 } } { T _ { k } } + c ( \mu _ { 2 k } ) - c ( \mu _ { 2 k - 1 } ) \Bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { 1 } ( s , \pi _ { 1 } ^ { * } ( s ) ) - r _ { 1 } ( s , \tilde { \pi } _ { 2 } ( s ) ) } & { \leq 2 \boldsymbol { \epsilon } _ { r } + 2 \gamma \boldsymbol { \epsilon } _ { U } + \gamma \, \mathbb { E } \bigl [ U _ { 1 } ^ { * } ( \tilde { f } _ { 2 } ( s , \tilde { \pi } _ { 2 } ( s ) , w ) ) - U _ { 1 } ^ { * } ( \tilde { f } _ { 2 } ( s , \pi _ { 1 } ^ { * } ( s ) , w ) ) \bigr ] . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { \varepsilon _ { \mathrm { ~ p ~ } } ^ { * } = \varepsilon _ { \mathrm { ~ p ~ } } - j \frac { \sigma _ { \mathrm { ~ p ~ } } } { w } , } \\ { \varepsilon _ { \mathrm { ~ m ~ } } ^ { * } = \varepsilon _ { \mathrm { ~ m ~ } } - j \frac { \sigma _ { \mathrm { ~ m ~ } } } { w } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \psi _ { a } } & { { } = \sqrt { f _ { x } f _ { y } } e ^ { - ( f _ { x } \xi ^ { 2 } + f _ { y } \upsilon ^ { 2 } ) \omega / \omega _ { 0 } } } \\ { f _ { x } } & { { } = \frac { i } { i + \zeta - \tau _ { x } \delta \omega } } \\ { f _ { y } } & { { } = \frac { i } { i + \zeta - \tau _ { y } \delta \omega } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { X _ { t + 1 } } & { \sim } & { \mathrm { N B D } \left( \alpha = \frac { \hat { \lambda } _ { t } } { \omega } , p = \frac { 1 } { \omega + 1 } \right) , t \ge 0 } \\ { \hat { \lambda } _ { t } } & { = } & { \nu _ { 0 } + n \sum _ { s = 1 } ^ { t } h _ { t - s } X _ { s } , t \ge 1 \, \, , \, \, \hat { \lambda } _ { 0 } = \nu _ { 0 } } \\ { h _ { t } } & { = } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { K } n _ { k } h _ { t } ^ { k } = \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { K } n _ { k } ( 1 - e ^ { - 1 / \tau _ { k } } ) e ^ { - t / \tau _ { k } } , n = \sum _ { k = 1 } ^ { K } n _ { k } . } \end{array}
g ^ { n , \star \star } = e ^ { - \frac { \Delta t } { 2 } A } g ^ { n } \, , \quad g ^ { n , \star } = \left( e ^ { \Delta t B ( E ^ { n + 1 / 2 } ) } \right) ^ { * } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad g ^ { n - 1 } = e ^ { - \frac { \Delta t } { 2 } A } g ^ { n , \star } \, .
\begin{array} { r l } { \log f ( u _ { x } ) } & { { } = \lambda _ { 0 } + \lambda _ { 1 } u _ { x } + \lambda _ { 2 } u _ { x } ^ { 2 } + \lambda _ { 3 } u _ { x } ^ { 3 } + \lambda _ { 4 } u _ { x } ^ { 4 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { p ( \mathbf { X } \mid \mu , \sigma ^ { 2 } ) } & { = \left( { \frac { 1 } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { n / 2 } \exp \left[ - { \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } + n ( { \bar { x } } - \mu ) ^ { 2 } \right) \right] } \\ & { \propto { \sigma ^ { 2 } } ^ { - n / 2 } \exp \left[ - { \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \left( S + n ( { \bar { x } } - \mu ) ^ { 2 } \right) \right] } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \sum _ { \pi \in \mathcal { P } ( n ) } } & { \prod _ { i = 1 } ^ { k } \left( \sum _ { V \in \pi } f _ { i } ( | V | ) \right) \mu _ { n } ( \pi , 1 _ { n } ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { ( n - 1 ) ! n ^ { k - 1 } \prod _ { i = 1 } ^ { k } m _ { i } \mathrm { l e a d } ( f _ { i } ) , } & { n = \sum _ { i = 1 } ^ { k } m _ { i } - ( k - 1 ) , } \\ { 0 , } & { n > \sum _ { i = 1 } ^ { k } m _ { i } - ( k - 1 ) , } \end{array} \right. } \end{array}
\Delta \left( \begin{array} { c } { { X _ { 0 } } } \\ { { X _ { 1 } } } \\ { { X _ { + } } } \\ { { X _ { - } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { X _ { 0 } } } \\ { { X _ { 1 } } } \\ { { X _ { + } } } \\ { { X _ { - } } } \end{array} \right) \otimes 1 + \left( \begin{array} { c c c c } { { \lambda S X _ { 1 } + 1 } } & { { \lambda X _ { 0 } } } & { { \lambda ( \lambda S X _ { 1 } + 1 ) } } & { { \lambda X _ { + } ( \lambda S X _ { 1 } + 1 ) } } \\ { { 0 } } & { { \lambda X _ { 1 } + 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \lambda X _ { + } } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \lambda X _ { - } } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array} { c } { { X _ { 0 } } } \\ { { X _ { 1 } } } \\ { { X _ { + } } } \\ { { X _ { - } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { C ( \mathbf { A } ^ { t } , \mathbf { A } ^ { t ^ { \prime } } ) ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = 0 , } \\ { C ( \mathbf { A } ^ { t } , \mathbf { A } ^ { t ^ { \prime } } ) ( \tau _ { 1 } \! - \! \prod _ { i = 1 } ^ { a } p _ { i } ^ { m _ { i } } , \tau _ { 2 } ) = 0 , } \\ { C ( \mathbf { A } ^ { t } , \mathbf { A } ^ { t ^ { \prime } } ) ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } - \prod _ { j = 1 } ^ { b } q _ { j } ^ { n _ { j } } ) = 0 , } \\ { C ( \mathbf { A } ^ { t } , \mathbf { A } ^ { t ^ { \prime } } ) ( \tau _ { 1 } - \prod _ { i = 1 } ^ { a } p _ { i } ^ { m _ { i } } , \tau _ { 2 } - \prod _ { j = 1 } ^ { b } q _ { j } ^ { n _ { j } } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { R } ^ { k l } \left( \epsilon \right) } & { { } \ge } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \sigma _ { 2 i - 1 } ^ { k l } \, , } & { \epsilon _ { 2 i - 1 } ^ { k l } \le \epsilon \le \epsilon _ { 2 i } ^ { k l } } \\ { 0 \, , } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
X _ { x _ { 0 } , r } ^ { + } = \left\{ x \in X \ : \mathcal { H } ^ { 2 } ( \partial B _ { \varepsilon } ( x ) \cap B _ { r } ( x _ { 0 } ) ) > \mathcal { H } ^ { 2 } ( \partial B _ { \varepsilon } ( x ) \cap B _ { r } ^ { c } ( x _ { 0 } ) ) \right\} ,
\begin{array} { r l } { \chi ^ { 2 } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ d ~ o ~ f ~ } } } \left[ \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ o ~ } } } S _ { i j } x _ { j } \right) + h _ { i } \right] ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t _ { 2 } } G ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) } & { { } = - \frac { 3 J ^ { 2 } } { T } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } d t ^ { \prime } \ G ( t ^ { \prime } , t _ { 2 } ) ^ { 3 } G ( t _ { 1 } , t ^ { \prime } ) ~ . } \end{array}
g ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } \sin { ( { \frac { 1 } { x } } ) } } & { { \mathrm { i f ~ } } x \neq 0 , } \\ { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } x = 0 } \end{array} \right. }
{ \begin{array} { r l } { \langle 0 | 0 \rangle _ { J } } & { = \exp { { \Big [ } { \frac { i } { 2 } } \int d x _ { 0 } ~ d x _ { 0 } ^ { \prime } J ( x _ { 0 } ) \Delta ( x _ { 0 } - x _ { 0 } ^ { \prime } ) J ( x _ { 0 } ^ { \prime } ) { \Big ] } } } \\ & { \Delta ( x _ { 0 } - x _ { 0 } ^ { \prime } ) = \int { \frac { d f } { 2 \pi } } { \frac { e ^ { - i f ( x _ { 0 } - x _ { 0 } ^ { \prime } ) } } { f - E + i \epsilon } } } \end{array} }
\mathrm { ~ R ~ M ~ S ~ E ~ } = \sqrt { \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { t = 2 } ^ { T } \Vert X _ { i , t } ^ { c } - \hat { X } _ { i , t } ^ { c } \Vert _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } } ,
\mathrm { ~ F ~ S ~ T ~ } ( L ) \propto \int _ { \frac { 1 } { E _ { m i n } } } ^ { \frac { 1 } { E _ { m a x } } } f ( L , E _ { \bar { \nu } } ) \; \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } \left( 2 \times \frac { 1 . 2 7 \Delta m _ { i j } ^ { 2 } L } { E _ { \bar { \nu } } } \right) \, d \frac { 1 } { E _ { \bar { \nu } } } .
\begin{array} { r } { \mathbf { C } _ { j , X _ { i , j } } ^ { p } = \sum _ { \beta \in \mathcal { X } _ { j } } \Bigg \{ \left( \beta - \mathbf { m } _ { j , X _ { i , j } } ^ { p } \right) \left( \beta - \mathbf { m } _ { j , X _ { i , j } } ^ { p } \right) ^ { H } P \left( X _ { i , j } = \beta | \mathbf { m } _ { i } \right) \Bigg \} . } \end{array}
A ( s ) = - \frac { 1 } { \gamma _ { n } } \mathcal { R } _ { n } ^ { \prime + } ( s ) = - \frac { \mathrm { i } } { \sqrt { s - \kappa _ { n } } } \frac { \sqrt { k _ { 1 } - \kappa _ { n } } } { s - k _ { 1 } } E _ { n } ( s )
\begin{array} { r c l } { { \Delta \Sigma _ { p } - \Delta \Sigma _ { n } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 2 M _ { N } } \Bigg \{ 2 F _ { s } \widetilde m ^ { 2 } \frac { g _ { \pi ^ { 0 } N N } } { m _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } } \theta _ { 2 } + \frac { 2 F _ { \pi } g _ { \pi ^ { 0 } N N } } { m _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } } \Big [ \sqrt \frac { 3 } { 2 } \frac { ( 2 m _ { K } ^ { 2 } + m _ { \pi } ^ { 2 } ) } { 3 } } } \\ { { } } & { { } } & { { - \frac { 1 } { \sqrt 6 } ( m _ { \eta ^ { \prime } } ^ { 2 } + m _ { \eta } ^ { 2 } - 2 m _ { \pi } ^ { 2 } ) - \sqrt \frac { 2 } { 3 } ( \widetilde m ^ { 2 } ) \Big ] \theta _ { 2 } \Bigg \} } } \\ { { } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 2 M _ { N } } \Big \{ \frac { 2 F _ { \pi } g _ { \pi ^ { 0 } N N } } { { \sqrt 6 } m _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } } 3 m _ { \pi } ^ { 2 } \Big \} \theta _ { 2 } } } \\ { { } } & { { \approx } } & { { { \frac { 3 F _ { \pi } g _ { \pi ^ { 0 } N N } } { { \sqrt 6 } M _ { N } } } \theta _ { 2 } = 2 \sqrt \frac { 3 } { 2 } g _ { A } ^ { 3 } \theta _ { 2 } ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d _ { \mu ^ { \pi } } ^ { \pi } ( s , \eta ) } \\ { = } & { ( 1 - \gamma ) \sum _ { s _ { 2 } , \eta _ { 2 } } \mu ^ { \pi } ( s _ { 2 } , \eta _ { 2 } ) \sum _ { t = 0 } ^ { \infty } \gamma ^ { t } \mathrm { P r } ^ { \pi } ( s _ { t + 2 } = s , \eta _ { t + 2 } = \eta | s _ { 2 } , \eta _ { 2 } ) } \\ { \ge } & { ( 1 - \gamma ) \mu ^ { \pi } ( s , \eta ) } \\ { = } & { ( 1 - \gamma ) \sum _ { s _ { 1 } } \mu ( s _ { 1 } ) \sum _ { a _ { 1 } } \pi _ { 1 } ( a _ { 1 } , \eta | s _ { 1 } ) P ( s | s _ { 1 } , a _ { 1 } ) } \\ { \ge } & { ( 1 - \gamma ) \pi _ { 1 } ^ { L B } \sum _ { s _ { 1 } , a _ { 1 } } \mu ( s _ { 1 } ) P ( s | s _ { 1 } , a _ { 1 } ) = ( 1 - \gamma ) \pi _ { 1 } ^ { L B } \mu ^ { P } ( s , \eta ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { d e t } \big ( M _ { n } ( c , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) \big ) \triangleq c ^ { 2 } - \beta _ { n } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) c + \gamma _ { n } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) \in \mathbb { R } _ { 2 } [ c ] , } \\ & { \beta _ { n } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) \triangleq \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 2 n } - \frac { \omega _ { N } } { 2 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { S } } { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + 2 \widetilde { \gamma } , } \\ & { \gamma _ { n } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) \triangleq \left( \frac { \omega _ { C } - \omega _ { S } } { 2 n } + \frac { \omega _ { S } } { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + \widetilde { \gamma } \right) \left( \frac { \omega _ { N } - \omega _ { C } } { 2 n } - \frac { \omega _ { N } } { 2 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } + \widetilde { \gamma } \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad - \frac { 1 } { 4 n ^ { 2 } } ( \omega _ { N } - \omega _ { C } ) ( \omega _ { C } - \omega _ { S } ) \tan ^ { 2 n } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) \cot ^ { 2 n } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { A } _ { n , k } ^ { \prime } } & { { } = \hat { a } _ { n , k } ^ { \prime } + \delta _ { n , k } \sqrt { \kappa _ { n } } A _ { n } e ^ { i \alpha _ { n } } \, , } \\ { \hat { B } _ { n , k } ^ { \prime } } & { { } = \hat { b } _ { n , k } ^ { \prime } + \delta _ { 0 , k } \sqrt { \eta _ { n } } B _ { n } e ^ { i \beta _ { n } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P ^ { ( v ) } ( { z } , { t } ) } { \partial t } = } & { - \frac { z P ^ { ( v ) } ( { z } , { t } ) } { \langle z ( t ) \rangle ^ { ( v ) } } P ^ { ( v ) } ( { 1 } , { t } ) \, , \mathrm { ~ } \forall z \ge 2 \, , } \\ { \frac { \partial P ^ { ( v ) } ( { 1 } , { t } ) } { \partial t } = } & { \left[ \frac { 2 P ^ { ( v ) } ( { 2 } , { t } ) } { \langle z ( t ) \rangle ^ { ( v ) } } - 1 \right] P ^ { ( v ) } ( { 1 } , { t } ) \, , } \\ { \frac { \partial P ^ { ( v ) } ( { 0 } , { t } ) } { \partial t } = } & { P ^ { ( v ) } ( { 1 } , { t } ) \, , } \\ { \langle z ( t ) \rangle ^ { ( v ) } = } & { P ^ { ( v ) } ( { 1 } , { t } ) + 2 P ^ { ( v ) } ( { 2 } , { t } ) + 3 P ^ { ( v ) } ( { 3 } , { t } ) \, . } \end{array}
\psi _ { s c } ( r ) = \frac { \lambda ^ { 3 / 2 } ( \zeta - 1 ) } { \zeta \lambda ^ { 3 } - 1 } \Big [ \psi _ { 0 } ( r ) - 4 r \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { r } ^ { 2 } \psi _ { 0 } ( \tilde { r } ) d \tilde { r } \Big ] .
\delta _ { i } ( \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 / \Delta \omega _ { i } , } & { ( \omega _ { i - 1 } + \omega _ { i } ) / 2 < \omega < ( \omega _ { i } + \omega _ { i + 1 } ) / 2 } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\gamma _ { \mathrm { m a x } } ^ { i } \approx 4 \cdot 1 0 ^ { 3 } ~ \frac { Z } { A } \left( \frac { P _ { \star } } { 1 ~ \textrm { s } } \right) ^ { - 2 } \left( \frac { B _ { \star } } { 1 0 ^ { 1 2 } ~ \textrm { G } } \right) .