harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\lbrack Q , W _ { 0 } ] = i \partial _ { \nu } W _ { 1 } ^ { \nu } , \quad \{ Q , W _ { 1 } ^ { \nu } \} = i \partial _ { \mu } W _ { 2 } ^ { \mu \nu } , \quad \lbrack Q , W _ { 2 } ^ { \mu \nu } ] = 0 \nonumber
\begin{array} { r l } { E } & { { } = \frac { \gamma } { 2 } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \beta = 1 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { a } \Big [ \Theta _ { m , \alpha } ( \theta ) \Theta _ { n , \beta } ( \theta ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma ( \beta ) } & { { } = \frac { 1 } { S _ { p } } \iint _ { \mathcal { S } _ { p } } \mathcal { I } _ { x } ^ { 2 } ( x , w ) + \left( \sin { ( \beta ) } \mathcal { I } _ { y } ( x , w ) + \cos { ( \beta ) } \mathcal { I } _ { z } ( x , w ) \right) ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } w , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i k \ell t } \bigg [ \beta _ { k } ^ { 2 } \beta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { i } \theta _ { k } ^ { 3 } \theta _ { \ell } ^ { 3 } \theta _ { t } + } & { \beta _ { k } ^ { 2 } \beta _ { \ell } \beta _ { i } \theta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 3 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { t } + \beta _ { k } \beta _ { \ell } ^ { 2 } \beta _ { t } \theta _ { i } ^ { 1 } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 3 } \theta _ { t } ^ { 2 } + \beta _ { k } \beta _ { \ell } \beta _ { t } \beta _ { i } \theta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { t } ^ { 2 } } \\ & { \quad + \beta _ { k } ^ { 2 } \beta _ { \ell } \beta _ { i } \theta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 3 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { t } ^ { 1 } + \beta _ { k } \beta _ { \ell } ^ { 2 } \beta _ { t } \theta _ { i } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 3 } \theta _ { t } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \beta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { i } \theta _ { k } ^ { 3 } \theta _ { \ell } ^ { 3 } \theta _ { t } \bigg ] } \\ & { \lesssim \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } + \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 1 } + \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } + \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \Big ( \bigcup _ { R ^ { \prime } } \left( N \cdot D _ { N } ^ { * } \left( X _ { 1 } , X _ { 2 } , \ldots , X _ { N } ; R ^ { \prime } \right) > \lambda \right) \Big ) } \\ & { \leq ( 2 e ) ^ { d } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi d } } \cdot ( N + 1 ) ^ { d } \cdot \exp ( - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 \Sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { 2 \lambda } { 3 } } ) , } \end{array}
\mathrm { N o r m a l } ( \mu = \mathrm { M e a n } ( \{ \Phi _ { j } \} _ { j = 1 } ^ { 1 4 4 } ) , \sigma ^ { 2 } = \mathrm { V a r } ( \{ \Phi _ { j } \} _ { j = 1 } ^ { 1 4 4 } ) )
| n _ { 1 } \, n _ { 2 } \rangle = \frac { ( b _ { - } ^ { + } ) ^ { n _ { 1 } } ( b _ { + } ^ { + } ) ^ { n _ { 2 } } } { \sqrt { n _ { 1 } ! } \sqrt { n _ { 2 } ! } } | 0 \, 0 \rangle
\begin{array} { r l r } { \mathscr { W } ( y _ { L } ( y ; 1 ) , y _ { R } ( y ; 1 ) ) } & { { } = } & { \frac { y _ { 1 } ( b ; 1 ) } { y _ { 2 } ( b ; 1 ) } \mathscr { W } ( y _ { 1 } ( y ; 1 ) , y _ { 2 } ( y ; 1 ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \psi _ { N } \middle \vert H _ { N } \middle \vert \psi _ { N } \right\rangle } & { = \frac { 3 } { 5 } ( 6 \pi ) ^ { 2 / 3 } \rho ^ { 2 / 3 } N \left( 1 + O ( N ^ { - 1 / 3 } ) + O ( s ^ { - 2 } ) \right) + L ^ { 3 } \int \, \textnormal { d } x \left( | \nabla f ( x ) | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } v ( x ) f ( x ) ^ { 2 } \right) } \\ & { \qquad \times \Bigg [ \frac { ( 6 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 / 3 } } { 5 } \rho ^ { 8 / 3 } | x | ^ { 2 } \biggl ( 1 - \frac { 3 ( 6 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 / 3 } } { 3 5 } \rho ^ { 2 / 3 } | x | ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad + O ( N ^ { - 1 / 3 } ) + O ( s ^ { - 2 } ) + O ( N ^ { - 1 / 3 } \rho ^ { 2 / 3 } | x | ^ { 2 } ) + O ( \rho ^ { 4 / 3 } | x | ^ { 4 } ) \biggr ) } \\ & { \qquad \quad + O \left( a ^ { 6 } \rho ^ { 4 } ( \log ( b / a ) ) ^ { 2 } \Bigl [ s ^ { 3 } a ^ { 6 } \rho ^ { 2 } ( \log b / a ) ^ { 2 } ( \log N ) ^ { 9 } + 1 \Bigr ] \right) } \\ & { \qquad \quad + O \left( a ^ { 3 } \rho ^ { 3 + 2 / 3 } | x | ^ { 2 } \Bigl [ s ^ { 5 } a ^ { 1 2 } \rho ^ { 4 } ( \log ( b / a ) ) ^ { 5 } ( \log N ) ^ { 1 6 } + b ^ { 2 } \rho ^ { 2 / 3 } + \log ( b / a ) \Bigr ] \right) \Bigg ] } \\ & { \quad + \iiint \, \textnormal { d } x _ { 1 } \, \textnormal { d } x _ { 2 } \, \textnormal { d } x _ { 3 } f _ { 1 2 } \nabla f _ { 1 2 } f _ { 2 3 } \nabla f _ { 2 3 } f _ { 1 3 } ^ { 2 } \Bigl [ O ( \rho ^ { 3 + 4 / 3 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 2 } | x _ { 2 } - x _ { 3 } | ^ { 2 } ) } \\ & { \qquad + O \left( a ^ { 3 } \rho ^ { 4 } \log ( b / a ) \left[ s ^ { 3 } a ^ { 6 } \rho ^ { 2 } ( \log ( b / a ) ) ^ { 2 } ( \log N ) ^ { 9 } + 1 \right] \right) \Bigr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { k } = } & { - \alpha _ { 1 } u _ { k } + \alpha _ { 2 } \Big [ r \big ( u _ { k } , w _ { f } ( t _ { k } ) \big ) - \overline { { P } } ( x _ { k } ) \Big ] ^ { + } } \\ & { + \alpha _ { 3 } \Big [ d \big ( u _ { k } , w _ { a } ( t _ { k } ) \big ) - \overline { { P } } ( x _ { k } ) \Big ] ^ { + } } \\ & { + \alpha _ { 4 } | u _ { k } - u _ { k - 1 } | . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { P ( t _ { 3 } - t _ { 1 } ) = } \\ & { } & { \Pi _ { y _ { 3 } , y _ { 2 } , y _ { 1 } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi ( \sigma _ { 3 j } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { M } } ^ { 2 } ) } } \exp \left\{ \frac { \left[ P ( y _ { 3 } , t _ { 3 } ; y _ { 2 } , t _ { 2 } ; y _ { 1 } , t _ { 1 } ) - P _ { \mathrm { M } } ( y _ { 3 } , t _ { 3 } ; y _ { 2 } , t _ { 2 } ; y _ { 1 } , t _ { 1 } ) \right] ^ { 2 } } { 2 ( \sigma _ { 3 j } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { M } } ^ { 2 } ) } \right\} \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { ( A ) } ( \lambda ) = } & { { } \langle \hat { H } ^ { ( A ) } \rangle _ { A } + \sum _ { B } \lambda \mathcal { Q } _ { q u a d } ( \rho _ { R } ^ { ( A ) } ; \rho _ { R } ^ { ( B ) } ) , } \end{array}
\sqrt { p _ { \mathrm { ~ B ~ E ~ } } ( N _ { \mathrm { ~ p ~ } } ^ { \pm } ) } = \sqrt { 1 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( g _ { \pm } t ) } \operatorname { t a n h } ^ { N _ { \mathrm { ~ p ~ } } } ( g _ { \pm } t )
\begin{array} { r l } { ( D h ) _ { m i j } } & { = \nabla _ { m } h _ { i j } + \nabla _ { i } h _ { j m } + \nabla _ { j } h _ { m i } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } [ H _ { m i k } K _ { k j } + H _ { m j k } K _ { k i } + H _ { i j k } K _ { k m } + H _ { i m k } K _ { k j } + H _ { j m k } K _ { k i } + H _ { j i k } K _ { k m } ] } \\ & { = 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l } { \mathbf { u } } & { = u _ { 1 } \mathbf { e } _ { 1 } + u _ { 2 } \mathbf { e } _ { 2 } + u _ { 3 } \mathbf { e } _ { 3 } , } & { \mathbf { v } } & { = v _ { 1 } \mathbf { e } _ { 1 } + v _ { 2 } \mathbf { e } _ { 2 } + v _ { 3 } \mathbf { e } _ { 3 } , } & { \mathbf { w } } & { = w _ { 1 } \mathbf { e } _ { 1 } + w _ { 2 } \mathbf { e } _ { 2 } + w _ { 3 } \mathbf { e } _ { 3 } , } \end{array} }
\begin{array} { r l r l r l } { \phi _ { 1 } ( a _ { g + 1 } ) } & { = h _ { g + 1 } } & { \phi _ { 2 } ( a _ { g + 1 } ) } & { = h _ { g + 1 } } & { \phi _ { 3 } ( a _ { g + 1 } ) } & { = 1 } \\ { \phi _ { 1 } ( b _ { g + 1 } ) } & { = 1 } & { \phi _ { 2 } ( b _ { g + 1 } ) } & { = 1 } & { \phi _ { 3 } ( b _ { g + 1 } ) } & { = h _ { g + 1 } } \\ { \phi _ { 1 } ( a _ { g + 2 } ) } & { = h _ { g + 2 } } & { \phi _ { 2 } ( a _ { g + 2 } ) } & { = 1 } & { \phi _ { 3 } ( a _ { g + 2 } ) } & { = h _ { g + 2 } } \\ { \phi _ { 1 } ( b _ { g + 2 } ) } & { = 1 } & { \phi _ { 2 } ( b _ { g + 2 } ) } & { = h _ { g + 2 } } & { \phi _ { 3 } ( b _ { g + 2 } ) } & { = 1 } \\ { \phi _ { 1 } ( a _ { g + 3 } ) } & { = 1 } & { \phi _ { 2 } ( a _ { g + 3 } ) } & { = h _ { g + 3 } } & { \phi _ { 3 } ( a _ { g + 3 } ) } & { = h _ { g + 3 } } \\ { \phi _ { 1 } ( b _ { g + 3 } ) } & { = h _ { g + 3 } } & { \phi _ { 2 } ( b _ { g + 3 } ) } & { = 1 } & { \phi _ { 3 } ( b _ { g + 3 } ) } & { = 1 } \end{array}
\eta ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { - { \frac { 1 } { 1 - | x | ^ { 2 } } } } } & { { \mathrm { i f ~ } } | x | < 1 } \\ { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } | x | \geq 1 . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \chi _ { I L } = } & { { } \int V _ { S } ^ { ( 1 ) } ( { \bf R , r } ) \phi _ { I L } ( { \bf r } ) d { \bf r } , } \\ { \Gamma _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } = } & { { } \iint \phi _ { I L } ( { \bf r } ) V _ { S } ^ { ( 2 ) } ( { \bf R , r } ) \phi _ { I ^ { \prime } L ^ { \prime } } ( { \bf r ^ { \prime } } ) d { \bf r } d { \bf r ^ { \prime } } , } \\ { \gamma _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } = } & { { } \iint \frac { \phi _ { I L } ( { \bf r } ) \phi _ { I ^ { \prime } L ^ { \prime } } ( { \bf r ^ { \prime } } ) } { \vert { \bf r - r ^ { \prime } } \vert } d { \bf r } d { \bf r ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { F [ f ] ( v _ { p } ) = \gamma \int f ( v ^ { \prime } ) Q ( \xi ) \cdot ( \frac { \partial } { \partial v _ { p } } \frac { \delta S } { \delta f } - \frac { \partial } { \partial v _ { \bar { p } } } \frac { \delta S } { \delta f } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { B } } & { { } = - { \frac { 9 q L ^ { 2 } } { 1 2 8 } } { \mathrm { ~ a t ~ } } x = { \frac { 5 L } { 8 } } } \\ { M _ { A } } & { { } = { \frac { q L ^ { 2 } } { 8 } } } \end{array}
\begin{array} { c c l } { | \Psi _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ o ~ } } ( t ) | ^ { 2 } } & { = } & { \sum _ { p = 0 } ^ { n _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ } } - 1 } \left| \langle \phi _ { 0 } | \hat { a } _ { p } | \Psi ( t ) \rangle \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \phi \to 0 } \overline { { D } } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \phi \to 0 } ( A \phi \ln \phi + B \phi ^ { 2 } + C \phi ) , } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \phi \to 0 } ( A \phi \ln \phi ) , } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \phi \to 0 } \frac { A \ln \phi } { 1 / \phi } \stackrel { \mathrm { H } } { = } ( A / \phi ) ( - \phi ^ { 2 } ) , } \\ & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 0 } } & { \lesssim \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } ( 1 + | u | ^ { h _ { 0 } - 1 } + | v | ^ { h _ { 0 } - 1 } ) | w | ^ { q _ { 0 } } \, d x } \\ & { \lesssim ( 1 + \| u \| _ { L ^ { q _ { 0 } + h _ { 0 } - 1 } } ^ { h _ { 0 } - 1 } + \| v \| _ { L ^ { q _ { 0 } + h _ { 0 } - 1 } } ^ { h _ { 0 } - 1 } ) \| w \| _ { L ^ { q _ { 0 } + h _ { 0 } - 1 } } ^ { q _ { 0 } } } \\ & { \lesssim ( 1 + \| u \| _ { L ^ { q _ { 0 } + h _ { 0 } - 1 } } ^ { h _ { 0 } - 1 } + \| v \| _ { L ^ { q _ { 0 } + h _ { 0 } - 1 } } ^ { h _ { 0 } - 1 } ) \big ( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq \ell } \| w _ { i } \| _ { L ^ { q _ { 0 } + h _ { 0 } - 1 } } ^ { q _ { 0 } } \big ) . } \end{array}
- \delta ^ { a b } C _ { 1 } C _ { 2 } { \frac { 1 } { 1 6 } } { \frac { g ^ { 4 } } { p ^ { 2 } } } \Lambda ^ { 3 - \omega } \int { \frac { d ^ { \omega } k } { ( 2 \pi ) ^ { \omega } } } { \frac { p ^ { 2 } k ^ { 2 } - ( k \cdot p ) ^ { 2 } } { k ^ { 3 } ( k + p ) ^ { 2 } } } .
f _ { \mathrm { ~ v ~ o ~ l ~ } } ^ { ( S ) } = \theta ( E _ { S } ^ { 3 2 } - E _ { P } ^ { 3 2 } ) + \theta ( E _ { S } ^ { 3 1 } - E _ { P } ^ { 3 1 } ) + \theta ( E _ { C l } ^ { 3 5 } - E _ { S } ^ { 3 5 } )
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \mathbb R } ( s + i \lambda ) \ \mathrm { ~ c o n t r i b u t e s ~ } \ } & { \lambda \mathrm { ~ t o ~ } Z _ { + } , } \\ { \Gamma _ { \mathbb R } ( s + 1 + i \lambda ) \ \mathrm { ~ c o n t r i b u t e s ~ } \ } & { \lambda \mathrm { ~ t o ~ } Z _ { - } , \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ { \Gamma _ { \mathbb C } ( s + \kappa + i \lambda ) \ \mathrm { ~ c o n t r i b u t e s ~ } \ } & { \lambda + i \kappa \mathrm { ~ a n d ~ } \lambda - i \kappa \mathrm { ~ t o ~ } Z _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { I _ { h } ^ { 2 } } & { \lesssim c _ { \varepsilon } \, \big [ \| F _ { h } ( \cdot , \nabla v _ { h } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } } \\ & { \quad \quad + \| \omega _ { p } ( h _ { \mathcal { T } } ) ^ { 2 } \, ( 1 + \vert \nabla u \vert ^ { p ( \cdot ) s } + \vert \nabla v _ { h } \vert ^ { p _ { h } ( \cdot ) s } + \vert \nabla _ { \! h } e _ { h } \vert ^ { p _ { h } ( \cdot ) s } ) \| _ { 1 , \Omega } + \mathrm { o s c } _ { h } ( f , v _ { h } ) \big ] } \\ & { \quad + \varepsilon \, \| F _ { h } ( \cdot , \nabla v _ { h } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } \, . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { i f ~ } } & { \left\langle H _ { 1 } , H _ { 2 } , \ldots , H _ { i - 1 } , H _ { i } , H _ { i + 1 } ^ { \gamma _ { i + 1 } } , \ldots , H _ { n } ^ { \gamma _ { n } } \right\rangle = H , } \\ { \mathrm { t h e n ~ } } & { \left\langle H _ { 1 } , H _ { 2 } , \ldots , H _ { i - 1 } , H _ { i + 1 } ^ { \gamma _ { i + 1 } } , \ldots , H _ { n } ^ { \gamma _ { n } } \right\rangle H _ { i } = H . } \end{array}
\mathbf { A } _ { j + 1 } ^ { \pm } = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { A } \left( \frac { \mathbf { Q } _ { j } + \mathbf { Q } _ { j + 1 } } { 2 } \right) \pm \frac { \Delta x } { \Delta t } \mathbf { I } \right) .
\begin{array} { r l } { 0 \leq Q ( \Bar { w } _ { T } , \bar { w } _ { T } ^ { * } ) \leq \frac { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \gamma _ { t } Q ( w _ { T } , \bar { w } _ { T } ^ { * } ) } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \gamma _ { t } } \leq } & { \mu ^ { T } \left[ \gamma _ { 1 } \eta _ { 1 } \mathrm { K L } ( p \| p _ { 0 } ^ { * } ) + \gamma _ { 1 } \tau _ { 1 } \mathrm { K L } ( q \| q _ { 0 } ^ { * } ) \right] } \\ & { + \frac { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \gamma _ { t } } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \gamma _ { t } } \left[ 8 \epsilon + ( 1 0 \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 3 2 ) T ^ { - J } \right] . } \end{array}
\mathcal { D } _ { i } ^ { T } = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { u _ { q ( i ) } } } \\ { \mathbf { u } _ { q ( i ) } ^ { 2 } } \\ { \mathbf { u } _ { q ( i ) } ^ { 3 } } \\ { . . . } \end{array} \right] .
\beta _ { \mathbf { k } } ( t ) = V _ { 1 2 } ( \mathbf { k } ) \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { V } } \frac { W _ { \mathbf { k } } } { \Omega _ { \mathbf { k } } } \left[ \exp \left( \frac { i \Omega _ { \mathbf { k } } t } { \hbar } \right) - 1 \right]
A = { \frac { g } { 6 } } + { \frac { 1 } { 2 } } a _ { 0 } ^ { 2 } + \sum _ { m \geq 1 } { \frac { 1 } { m } } a _ { m } ^ { \dagger } a _ { m } . \footnote { T h e o p e r a t o r A i n R e f . ~ 9 ) i s d i f f e r e n t f r o m A ( \ref { A } ) b y a f a c t o r 6 . }
\begin{array} { r } { \Delta _ { \perp } E _ { z } = - \frac { 2 \nu } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left\{ \left[ \frac { \tilde { r } } { \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } } + g \cos \tilde { \phi } \frac { 2 \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } { 2 \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } } \right] \theta ( \tilde { r } - r _ { b } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 1 } c _ { 1 } \partial _ { t } T _ { 1 } + \nabla \cdot \mathbf q _ { 1 } } & { { } = - h ( T _ { 2 } - T _ { 1 } ) + Q _ { 1 } , \quad \mathbf q _ { 1 } = - \lambda _ { 1 } \nabla T _ { 1 } , } \\ { \rho _ { 2 } c _ { 2 } \frac { \textrm { d } T _ { 2 } } { \textrm { d } t } } & { { } = h ( T _ { 2 } - T _ { 1 } ) + Q _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac 1 2 \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \| { \tilde { u } } \| ^ { 2 } + \| { \tilde { u } } _ { x } \| ^ { 2 } = - \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { u } } { \tilde { v } } { \tilde { u } } _ { x } { \mathrm { d } x } + \alpha \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { v } } _ { x } { \tilde { u } } { \mathrm { d } x } - \alpha ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { u } } { \mathrm { d } x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \tau _ { 3 \mathrm { b } } , \rho _ { \mathrm { t o t } } , s , \omega , \omega ^ { \prime } ) } \\ & { \qquad \mapsto ( 2 \pi ) ^ { - n } \iiint _ { \mathbb { R } \times \mathbb { R } \times \mathbb { R } ^ { n - 2 } } e ^ { - i \sigma _ { 3 \mathrm { b } } \tau _ { 3 \mathrm { b } } } e ^ { i \xi s } e ^ { i \eta \cdot ( \omega - \omega ^ { \prime } ) } a ( \rho _ { \mathrm { t o t } } , \omega ; \sigma _ { 3 \mathrm { b } } , \xi , \eta ) \, { \mathrm d } \sigma _ { 3 \mathrm { b } } \, { \mathrm d } \xi \, { \mathrm d } \eta , } \end{array}
\Gamma ( { \alpha } _ { { D } ^ { * } } ( t ) ) \mathrm { s i n } \pi { \alpha } _ { { D } ^ { * } } ( t ) \approx \Gamma ( { \alpha } _ { { D } ^ { * } } ( 0 ) ) \mathrm { s i n } \pi { \alpha } _ { { D } ^ { * } } ( 0 ) = \pi ,
\lambda = \left\{ \begin{array} { l } { \lambda _ { m i n } , \mathrm { ~ i ~ f ~ } \left\| \Delta \textbf { U } \right\| \leq \epsilon _ { 1 } \mathrm { ~ ( ~ u ~ n ~ i ~ f ~ o ~ r ~ m ~ f ~ l ~ o ~ w ~ ) ~ } } \\ { \lambda _ { s } , \mathrm { ~ i ~ f ~ } \left\| \Delta \textbf { U } \right\| > \epsilon _ { 1 } , \left\| \Delta \textbf { G } \right\| \leq \epsilon _ { 2 } \mathrm { ~ ( ~ s ~ t ~ e ~ a ~ d ~ y ~ d ~ i ~ s ~ c ~ o ~ n ~ t ~ i ~ n ~ u ~ i ~ t ~ y ~ ) ~ } } \\ { m a x ( \lambda _ { m i n } , \lambda _ { s } ) , \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right\}
\left[ \frac { 2 7 } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial \Phi ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } - 2 4 W \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial \Phi ^ { 2 } } - \frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial \Phi ^ { 2 } } \right] _ { \left| \Phi = \Phi _ { c } ^ { \pm } \right. } = 0 .
\begin{array} { r l } { U _ { A } ^ { \mathrm { R S H - D F T B } } } & { { } = \frac { 5 } { 1 6 } \tau _ { A } \left[ 1 - \frac { 1 } { 2 ( 2 l + 1 ) } \left\{ \alpha + \beta \left( 1 - \frac { \tau _ { A } ^ { 8 } + 3 \tau _ { A } ^ { 6 } \omega ^ { 2 } - \tau _ { A } ^ { 4 } \omega ^ { 4 } + \frac { 1 } { 5 } \omega ^ { 6 } \tau _ { A } ^ { 2 } - \frac { 1 6 } { 5 } \tau _ { A } ^ { 7 } \omega } { ( \tau _ { A } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) ^ { 4 } } \right) \right\} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d \hat { x } } { d \hat { r } _ { * } } = \frac { 1 - \frac { 2 } { \gamma - 1 } \left[ 2 g ^ { 2 } \left( 1 - \sqrt { 1 - g ^ { - 2 } } \right) - 1 \right] } { \sqrt { 2 g ^ { 2 } \left( 1 - \sqrt { 1 - g ^ { - 2 } } \right) } } , } \end{array}
a = \frac { 1 - \sqrt { 1 - 1 2 g _ { 4 } } } { 6 g _ { 4 } } = 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \, ( 3 g _ { 4 } ) ^ { k } \, 2 \frac { ( 2 k - 1 ) ! } { ( k + 1 ) ! ( k - 1 ) ! } \ .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { N \to + \infty } \left\{ N ^ { \vartheta } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { T } ^ { d } } \left\{ \left| \mathcal D _ { N } ^ { \Phi , \alpha } f ( x ) \right| \right\} \right\} } & { \geq 2 ^ { - \vartheta - \frac { \delta } { 2 } } H L ^ { - \vartheta } \sum _ { m \in A } | m | ^ { - \delta - \vartheta \sigma } } \\ & { \geq 2 ^ { - \vartheta - \frac { \delta } { 2 } } H L ^ { - \vartheta } | A | = 2 ^ { - \vartheta - \frac { \delta } { 2 } } H L ^ { - \vartheta } | A | ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| f \| _ { \delta , 2 } . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } { \frac { 1 } { x } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { - } } { \frac { 1 } { x } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { 1 } { x } } = \infty .
\left( \begin{array} { l } { H _ { x 0 } ^ { n + 1 } } \\ { H _ { y 0 } ^ { n + 1 } } \\ { E _ { z 0 } ^ { n + 1 } } \end{array} \right) = A \left( \begin{array} { l } { H _ { x 0 } ^ { n } } \\ { H _ { y 0 } ^ { n } } \\ { E _ { z 0 } ^ { n } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { A ( u ( t ) , v ( t ) , x ( t ) , y ( t ) ) = } & { A ( u _ { 0 } , v _ { 0 } , x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } \\ { \omega ( u ( t ) , v ( t ) , x ( t ) , y ( t ) ) = } & { \omega ( u _ { 0 } , v _ { 0 } , x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } \\ { \phi ( u ( t ) , v ( t ) , x ( t ) , y ( t ) ) = } & { \omega ( u _ { 0 } , v _ { 0 } , x _ { 0 } , y _ { 0 } ) t + \phi ( u _ { 0 } , v _ { 0 } , x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } \end{array} ,
\operatorname * { l i m } _ { m _ { 1 } \rightarrow 0 ^ { + } } \langle ( \bar { \psi } _ { 1 } \psi _ { 1 } \rangle _ { A } | _ { h = 0 } = - \operatorname * { l i m } _ { m _ { 2 } \rightarrow 0 ^ { - } } \langle ( \bar { \psi } _ { 2 } \psi _ { 2 } \rangle _ { A } | _ { h = 0 }
\mathcal { X } _ { 1 2 } = \mathcal { X } _ { 2 2 } = \{ 0 0 0 , ~ 0 0 1 , ~ 0 1 0 , ~ 0 1 1 , ~ 1 0 0 , ~ 1 0 1 , ~ 1 1 0 , ~ 1 1 1 \}
\omega = { \frac { \sigma \left( k ^ { 2 } a ^ { 2 } - 1 \right) } { 2 a \mu _ { A } } } { \frac { 1 } { k ^ { 2 } a ^ { 2 } + 1 - k ^ { 2 } a ^ { 2 } I _ { 0 } ^ { 2 } ( k a ) / I _ { 1 } ^ { 2 } ( k a ) } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } } & { { } : = \left\{ \vartheta ( \mathbf { x } ) \in H ^ { 1 } ( \Omega ) \; \vert \; \vartheta ( \mathbf { x } ) = \vartheta _ { \mathrm { i n l e t } } = \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \; \mathrm { a t } \; s = 0 \; \mathrm { o n } \; \Sigma \right\} } \\ { \mathcal { W } } & { { } : = \left\{ \delta \vartheta ( \mathbf { x } ) \in H ^ { 1 } ( \Omega ) \; \vert \; \delta \vartheta ( \mathbf { x } ) = 0 \; \mathrm { a t } \; s = 0 \; \mathrm { o n } \; \Sigma \right\} } \end{array}
\sin { \frac { \pi } { 1 5 \times 2 ^ { 5 } } } = { \frac { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { { \sqrt { { \sqrt { 0 . 7 0 3 1 2 5 } } + 1 . 8 7 5 } } + { \sqrt { 0 . 3 1 2 5 } } + 1 . 7 5 } } } } } } } } } } { 2 } }
\begin{array} { r l } { P _ { C } ( c ) : = \langle \hat { P } _ { C } \rangle } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 r \frac { ( c N - 1 ) } { N } + 2 s ( 1 - c ) \quad } & { \mathrm { w h e n } \; c \in [ 1 / N , 1 ] } \\ { 0 } & { \mathrm { e l s e } } \end{array} \right. } \\ { P _ { D } ( c ) : = \langle \hat { P } _ { D } \rangle } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \tau c + 2 p \frac { ( ( 1 - c ) N - 1 ) } { N } \quad } & { \mathrm { w h e n } \; c \in [ 0 , ( N - 1 ) / N ] } \\ { 0 } & { \mathrm { e l s e } ~ , } \end{array} \right. } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \dot { \varphi } } \\ { \dot { \vartheta } } \end{array} \right] = A \left[ \begin{array} { l } { { \varphi } } \\ { { \vartheta } } \end{array} \right] \; \; \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \; \; A = \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \, \mathrm { S } _ { } ( Z ) \, \lambda \left[ \begin{array} { l l } { - 2 \sin 2 \Phi ^ { \mathrm { c r i t } } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \sin 2 \Phi ^ { \mathrm { c r i t } } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { a _ { 1 } = 0 . 6 7 7 6 3 7 \frac { \tau _ { T } ^ { 3 } } { \tau _ { q } ^ { 3 } } ; \quad b _ { 1 } = \frac { \tau _ { T } } { \tau _ { q } } \left( 4 . 0 6 5 7 4 \frac { \tau _ { T } ^ { 2 } } { \tau _ { q } ^ { 2 } } - 6 . 0 9 8 7 7 \frac { \tau _ { T } } { \tau _ { q } } + 4 . 0 6 5 8 2 \right) ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { h } _ { s } ( t ) } & { = \langle \Psi ( t ) | \left( 1 - \hat { a } _ { s \uparrow } ^ { 1 \dagger } \hat { a } _ { s \uparrow } ^ { 1 } \right) \left( 1 - \hat { a } _ { s \downarrow } ^ { 1 \dagger } \hat { a } _ { s \downarrow } ^ { 1 } \right) | \Psi ( t ) \rangle , } \\ & { = 1 - \langle \Psi ( t ) | \hat { n } _ { s } ^ { 1 \dagger } | \Psi ( t ) \rangle + \langle \Psi ( t ) | \hat { n } _ { s \uparrow } ^ { 1 \dagger } \hat { n } _ { s \downarrow } ^ { 1 \dagger } | \Psi ( t ) \rangle , } \end{array}
\begin{array} { c c } { { \begin{array} { r l } { T } & { { } = \left( x + { \frac { 1 } { \alpha } } \right) \sinh ( \alpha t ) } \\ { X } & { { } = \left( x + { \frac { 1 } { \alpha } } \right) \cosh ( \alpha t ) - { \frac { 1 } { \alpha } } } \\ { Y } & { { } = y } \\ { Z } & { { } = z } \end{array} } } & { { \begin{array} { r l } { t } & { { } = { \frac { 1 } { \alpha } } \operatorname { a r c t a n h } \left( { \frac { T } { X + { \frac { 1 } { \alpha } } } } \right) } \\ { x } & { { } = { \sqrt { \left( X + { \frac { 1 } { \alpha } } \right) ^ { 2 } - T ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { \alpha } } } \\ { y } & { { } = Y } \\ { z } & { { } = Z } \end{array} } } \end{array}