harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \phi _ { j } } & { = \sin ^ { - 1 } \Big [ \frac { \cos \tau } { ( \kappa ^ { 2 } - ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) \cos ^ { 2 } \tau ) ^ { 1 / 2 } } \Big ] , } \\ { \theta _ { j } } & { = \cos ^ { - 1 } \Big [ \frac { 1 } { ( 1 + C ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } - C ^ { 2 } ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) \cos ^ { 2 } \tau ) ^ { 1 / 2 } } \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n \ge 1 } \left( \frac { a } { b - a } n \right) _ { n - 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { b - a - 1 } \frac { \left( x ^ { a } - x ^ { b } \right) ^ { n } } { n ! } d x } & { = \frac { 1 } { b - a } \sum _ { n \ge 1 } \frac { \Gamma \left( \frac { a } { b - a } n + n - 1 \right) } { \Gamma \left( \frac { a } { b - a } n \right) } \frac { \Gamma \left( \frac { a } { b - a } n + 1 \right) \Gamma \left( n + 1 \right) } { n ! \Gamma \left( \frac { a } { b - a } n + n + 2 \right) } } \\ & { = \frac { 1 } { b - a } \frac { a } { b - a } \sum _ { n \ge 1 } n \frac { \Gamma \left( \frac { a } { b - a } n + n - 1 \right) } { \Gamma \left( \frac { a } { b - a } n + n + 2 \right) } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle d u ( t ) = \left( \mathcal { A } u ( t ) + \mathcal { F } _ { \epsilon } ^ { \theta } ( u ( t ) ) \right) d t + \int _ { \mathbb { Z } } \mathcal { G } _ { \epsilon } ( z , x , u ( t - ) ) \tilde { N } ( d t , d z ) , } \\ { u ( 0 ) = u _ { 0 } ^ { \theta } . } \end{array} \right.
\frac { 1 } { Q _ { i } } = \frac { 1 } { Q _ { i } ^ { 0 } } \frac { \mathrm { t a n h } ( \frac { \hbar \omega _ { c } } { 2 k _ { B } T } ) } { ( { 1 + n _ { p h } / n _ { c } } ) ^ { \phi } } ,
\langle \Theta _ { a } \rangle = \frac { 1 } { Z } \int \frac { \mathrm { d } p \mathrm { d } q } { ( 2 \pi ) ^ { f } } \int _ { | c | = 1 } \frac { \mathrm { d } c } { \mathcal { N } } \, \mathrm { e } ^ { - \beta E ( p , q , c ) } \Theta _ { a } ,
\begin{array} { r } { \frac { q _ { \parallel , t } } { q _ { \parallel , u } } \cdot \frac { R _ { t } } { R _ { u } } \equiv 1 - f _ { c o o l i n g } } \\ { \frac { p _ { t o t , t } } { p _ { t o t , u } } \equiv 1 - f _ { m o m - l o s s } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { F } _ { 1 } , \mathbf { F } _ { 2 } , . . . , \mathbf { F } _ { N } ) } & { { } \sim \mathcal { N } ( \mu _ { F } , \sigma _ { F } ^ { 2 } ) } \\ { \mu _ { F } \sim \mathcal { N } ( \gamma _ { F } , \sigma ^ { 2 } \nu ^ { - 1 } ) , \ \ } & { { } \ \sigma _ { F } ^ { 2 } \sim \Gamma ^ { - 1 } ( \alpha , \beta ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\vert ( \partial _ { x _ { 1 } } ^ { \mu } \partial _ { x _ { 1 } } ^ { \nu } \xi _ { 0 } ) ^ { \bullet \rightarrow } \right\vert } & { \leq C \rho ^ { 2 + 2 / 3 } \Bigl [ \, \underbrace { ( s ( \log N ) ^ { 3 } ) ^ { 5 } ( a ^ { 3 } \rho \log ( b / a ) ) ^ { 5 } } _ { \textnormal { t y p e ( A ) d i a g r a m s } } + \underbrace { s ( \log N ) ^ { 3 } ( a ^ { 3 } \rho \log ( b / a ) ) ^ { 2 } } _ { \textnormal { t y p e ( B ) d i a g r a m s } } \, \Bigr ] } \\ & { \leq C a ^ { 6 } \rho ^ { 4 + 2 / 3 } ( \log ( b / a ) ) ^ { 2 } s ( \log N ) ^ { 3 } \left[ s ^ { 4 } ( \log N ) ^ { 1 2 } a ^ { 9 } \rho ^ { 3 } ( \log ( b / a ) ) ^ { 3 } + 1 \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { } & { s _ { i j } ^ { \prime } = s _ { j i } ^ { \prime } = } & { s _ { j k } ^ { \prime } = s _ { k j } ^ { \prime } = s _ { i k } ^ { \prime } = s _ { k i } ^ { \prime } = s _ { i j } \cap s _ { j k } \cap s _ { i k } , } \\ & { } & { t _ { i j } ^ { \prime } = t _ { j i } ^ { \prime } = } & { t _ { j k } ^ { \prime } = t _ { k j } ^ { \prime } = t _ { i k } ^ { \prime } = t _ { k i } ^ { \prime } = t _ { i j } \cap t _ { j k } \cap t _ { i k } , } \end{array}
\mathrm { R e } \, \chi _ { T } ^ { \mathrm { ( T M ) } } ( \omega ) = \frac { \hbar A } { 4 \pi ^ { 2 } } \left( \frac { k _ { B } T } { \hbar } \right) ^ { 5 } \int _ { 0 } ^ { \Omega } d v \frac { \left( \frac { \Omega } { 2 } - v \right) ^ { 2 } } { \sqrt { v ( \Omega - v ) } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d u \, \frac { u ^ { 2 } } { e ^ { \frac { u } { 2 } } - 1 } \left[ 1 + { \cal O } ( \Omega ^ { 2 } ) \right] .
0 . 0 7 5 2 + 0 . 0 4 9 5 e ^ { - 0 . 0 2 0 4 t } + 0 . 0 8 6 8 e ^ { - 0 . 4 7 9 t } + 0 . 1 7 3 e ^ { - 9 . 3 1 t } + 0 . 6 1 6 e ^ { - 1 9 5 t }
\begin{array} { r l } { \mathbf { g } ^ { 1 } } & { { } = \partial _ { t } I _ { h } ( \mathbf { u } ) + I _ { h } \left( \mathbf { v } ^ { 0 } \cdotp \nabla \mathbf { v } ^ { 0 } - \nu \nabla ^ { 2 } ( I _ { h } \mathbf { u } + J _ { h } \mathbf { v } ^ { 0 } ) \right) . } \end{array}
S _ { \mathrm { W Z } } = \mu _ { p } \, \int _ { V _ { p + 1 } } \left[ \sum _ { \ell = 0 } ^ { \ell _ { \mathrm { m a x } } } C _ { ( p + 1 - 2 \ell ) } \, \wedge \, \mathrm { e } ^ { \hat { F } } \right] _ { p + 1 }
\begin{array} { r l } { | ( s , x ) ( h ) - ( s , x ) ( r ) | } & { = \sqrt { ( s ( h ) - s ( r ) ) ^ { 2 } + ( x ( h ) - x ( r ) ) ^ { 2 } } } \\ & { = \sqrt { s ^ { ' 2 } ( \xi _ { s } ) ( h - r ) ^ { 2 } + x ^ { ' 2 } ( \xi _ { x } ) ( h - r ) ^ { 2 } } } \\ & { = | h - r | \left( \left( D ( \xi _ { s } ) ( s ^ { ( 0 ) } ( \xi _ { s } ) - s ( \xi _ { s } ) ) - x ( \xi _ { s } ) p ( s ( \xi _ { s } ) ) \right) ^ { 2 } \right. } \\ & { \quad \left. + \left( - D ( \xi _ { x } ) x ( \xi _ { x } ) + x ( \xi _ { x } - \tau ) p ( s ( \xi _ { x } - \tau ) ) e ^ { - \int _ { \xi _ { x } - \tau } ^ { \xi _ { x } } D ( r ) \, d r } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq | h - r | \left( \left( \overline { D } R _ { 0 } + R _ { 0 } p ( R _ { 0 } ) \right) ^ { 2 } + \left( \overline { D } R _ { 0 } + R _ { 0 } p ( R _ { 0 } ) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { = | h - r | \sqrt { 2 } R _ { 0 } \left( \overline { D } + p ( R _ { 0 } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { c c } { { } } & { { \begin{array} { c c c c c c } { { \Psi _ { R p } } } & { { ~ \cdot } } & { { ~ ~ \cdot } } & { { \Psi _ { R 2 } } } & { { \Psi _ { R 1 } } } & { { \Psi _ { R 0 } } } \end{array} } } \\ { { \begin{array} { c } { { \psi _ { L 0 } } } \\ { { \Psi _ { L 1 } } } \\ { { \Psi _ { L 2 } } } \\ { { \cdot } } \\ { { \cdot } } \\ { { \Psi _ { L p } } } \end{array} } } & { { \left( \begin{array} { c c c c c c } { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { ~ \ell } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { ~ \chi _ { 1 } } } & { { ~ M _ { 1 } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { ~ \chi _ { 2 } } } & { { ~ M _ { 2 } } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { ~ \chi _ { p } } } & { { ~ M _ { p } } } & { { } } & { { } } & { { } } \end{array} \right) } } \end{array} ~ .
\begin{array} { r l r } { C } & { { } = } & { t \, \frac { \Gamma ^ { \theta + 1 } ( ( \theta + 2 ) / t ) } { \Gamma ^ { \theta + 2 } ( ( \theta + 1 ) / t ) } , } \\ { K } & { { } = } & { \frac { \Gamma ( ( \theta + 2 ) / t ) } { \Gamma ( ( \theta + 1 ) / t ) } , } \end{array}
V ( e ^ { t } \sigma ; \lambda , e ^ { t } \Lambda ; e ^ { t } M ) = V ( e ^ { t } \sigma Z _ { S } ^ { 1 / 2 } ( t ) ; \lambda Z _ { Q } ^ { - 1 } ( t ) Z _ { S } ^ { - 1 / 2 } ( t ) , e ^ { t } \Lambda Z _ { Q } ( t ) ^ { 1 / 2 } ; M ) ,
d s ^ { 2 } = ( 1 + 2 M / r ) ^ { - 1 } ( \, d t + 2 N \cos \theta \, d \varphi ) ^ { 2 } - ( 1 + 2 M / r ) \, d r ^ { 2 } - r ( r + 2 M ) ( \, d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta \, d \varphi ^ { 2 } ) \, .
\begin{array} { r l } { ( p + q ) ^ { 2 } \; \; } & { { } = \quad r ^ { 2 } \; \; \, + \quad s ^ { 2 } } \\ { p ^ { 2 } \! \! + \! 2 p q \! + \! q ^ { 2 } } & { { } = \overbrace { p ^ { 2 } \! \! + \! h ^ { 2 } } + \overbrace { h ^ { 2 } \! \! + \! q ^ { 2 } } } \\ { 2 p q \quad \; \; \; } & { { } = 2 h ^ { 2 } \; \therefore h \! = \! { \sqrt { p q } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { p } } & { = \left| 1 - \frac { \kappa } { 2 } \left( \frac { 1 + 2 | f | \cos \beta } { i ( \Delta + | g | ) + \Gamma } + \frac { 1 - 2 | f | \cos \beta } { i ( \Delta - | g | ) + \Gamma } \right) \right| ^ { 2 } , } \\ { T _ { d } } & { = \left| \frac { \kappa } { 2 } \left( \frac { 1 + 2 | f | \cos \beta } { i ( \Delta + | g | ) + \Gamma } + \frac { 1 - 2 | f | \cos \beta } { i ( \Delta - | g | ) + \Gamma } \right) \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \partial } } } & { { } = \left( { \frac { \partial } { \partial x ^ { 0 } } } , \, { \frac { \partial } { \partial x ^ { 1 } } } , \, { \frac { \partial } { \partial x ^ { 2 } } } , \, { \frac { \partial } { \partial x ^ { 3 } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } ( t ) } & { \geq - \frac { R } { K } + \frac { c R } { 3 } \, \bigg ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { K } \bigg ) t - \frac { c R } { 6 } \, \bigg ( \frac { M } { 2 } + \frac { M } { K } + 6 \bigg ) t ^ { 2 } \, } \\ & { \geq - \frac { R } { K } + \frac { c R } { 6 } t - \frac { c R } { 6 } \, \bigg ( \frac { 3 M } { 2 } + 6 \bigg ) t ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | x ( t ) - x ^ { \prime } ( t ) | ^ { 2 } } & { \le 2 | x _ { 0 } - x _ { 0 } ^ { \prime } | ^ { 2 } + 2 T \int _ { 0 } ^ { t } | ( J - R ) Q x ( s ) - ( J ^ { \prime } - R ^ { \prime } ) Q ^ { \prime } x ^ { \prime } ( s ) | ^ { 2 } \mathrm { d } s } \\ & { \le C _ { 1 } | w - w ^ { \prime } | ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { t } C _ { 2 } | x ( s ) - x ^ { \prime } ( s ) | ^ { 2 } \mathrm { d } s } \end{array}
\begin{array} { r l } { \binom { w } { 0 1 ^ { 1 + | v | _ { 1 } } } } & { = \binom { p 1 ^ { r + | v | _ { 1 } } } { 0 1 ^ { 1 + | v | _ { 1 } } } + \binom { 0 ^ { s _ { r } } 1 0 ^ { s _ { r - 1 } } \ldots 1 0 ^ { s _ { 1 } } 1 ^ { 1 + | v | _ { 1 } } } { 0 1 ^ { 1 + | v | _ { 1 } } } } \\ & { = \binom { p 1 ^ { r + | v | _ { 1 } } } { 0 1 ^ { 1 + | v | _ { 1 } } } + \sum _ { j = 1 } ^ { r } s _ { j } \binom { j + | v | _ { 1 } } { 1 + | v | _ { 1 } } } \\ & { = \binom { p 1 ^ { r + | v | _ { 1 } } } { 0 1 ^ { 1 + | v | _ { 1 } } } + \sum _ { j = 1 } ^ { r } ( s _ { j } - s _ { j } ^ { \prime } ) \binom { j + | v | _ { 1 } } { 1 + | v | _ { 1 } } + \sum _ { j = 1 } ^ { r } s _ { j } ^ { \prime } \binom { j + | v | _ { 1 } } { 1 + | v | _ { 1 } } } \\ & { = \binom { p 1 ^ { r + | v | _ { 1 } } } { 0 1 ^ { 1 + | v | _ { 1 } } } + \sum _ { j = 1 } ^ { r } ( s _ { j } - s _ { j } ^ { \prime } ) \binom { j + | v | _ { 1 } } { 1 + | v | _ { 1 } } + \binom { 0 ^ { s _ { r } ^ { \prime } } 1 0 ^ { s _ { r - 1 } ^ { \prime } } \ldots 1 0 ^ { s _ { 1 } ^ { \prime } } 1 ^ { 1 + | v | _ { 1 } } } { 0 1 ^ { 1 + | v | _ { 1 } } } \, . } \end{array}
\epsilon \; = \; \left( \begin{array} { c } { { \epsilon _ { 1 } } } \\ { { - \epsilon _ { 2 } } } \end{array} \right) \; , \; \Psi _ { \mu } \; = \; \left( \begin{array} { c } { { \Psi _ { 1 \mu } } } \\ { { - \Psi _ { 2 \mu } } } \end{array} \right) \; , \; \tilde { \chi } \; = \; \left( \begin{array} { c } { { \tilde { \chi } _ { 1 } } } \\ { { - \tilde { \chi } _ { 2 } } } \end{array} \right) \; , \; \chi \; = \; \left( \begin{array} { c } { { \chi _ { 1 } } } \\ { { \chi _ { 2 } } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l } & { 2 \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } q ^ { \frac { m ( 3 m - 1 ) } { 2 } } } \\ { = } & { \prod _ { k = 0 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { \frac { 3 ( k + 1 ) } { 4 } } ) \left[ \prod _ { k = 0 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { \frac { 6 k + 1 } { 8 } } ) ( 1 - q ^ { \frac { 6 k + 5 } { 8 } } ) + \prod _ { k = 0 } ^ { \infty } ( 1 + q ^ { \frac { 6 k + 1 } { 8 } } ) ( 1 + q ^ { \frac { 6 k + 5 } { 8 } } ) \right] } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d x \, x ^ { \nu - 1 } } { e ^ { \mu x } + 1 } = \frac { 1 } { \mu ^ { \nu } } \left( 1 - 2 ^ { 1 - \nu } \right) \Gamma \left( \nu \right) \zeta \left( \nu \right) ,
\frac { 4 x _ { q } } { 2 m _ { H } ^ { 4 } m _ { q } } d _ { \mu \nu } S p \left[ \gamma ^ { \mu } ( { \hat { k } _ { 1 } } + { \hat { q } } + m _ { q } ) ( { \hat { k } _ { 2 } } - { \hat { q } } - m _ { q } ) \gamma ^ { \nu } ( { \hat { q } } + m _ { q } ) \right] = 4 x _ { q } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \phi , f _ { 2 n , k , s } ) = } & { \int _ { G ( F ) \backslash G ( \mathbb { A } ) } \int _ { N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ( F ) \backslash N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ( \mathbb { A } ) } \psi _ { k } ( v ) \phi ( h ) } \\ { \times } & { \int _ { N _ { n ^ { k } , 2 k n } ^ { 0 } ( F ) \backslash N _ { n ^ { k } , 2 k n } ^ { 0 } ( \mathbb { A } ) } E ( u \tilde { v } ( 1 _ { 2 n } \times h ) ; f _ { 2 n , k , s } ^ { \prime } ) \psi _ { N _ { n ^ { k } , 2 k n } ^ { 0 } } ( u ) d u d v d h . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { c - c _ { 0 } } { c _ { 1 } - c _ { 0 } } T - \frac { c - c _ { 0 } ^ { \prime } } { c _ { 1 } ^ { \prime } - c _ { 0 } ^ { \prime } } T } & { = \frac { c - c _ { 0 } } { c _ { 1 } - c _ { 0 } } ( c _ { 1 } - c _ { 0 } ) t - \frac { c - c _ { 0 } ^ { \prime } } { c _ { 1 } ^ { \prime } - c _ { 0 } ^ { \prime } } ( c _ { 1 } - c _ { 0 } ) t } \\ & { \leq ( c - c _ { 0 } ) t - \frac { c - c _ { 0 } ^ { \prime } } { c _ { 1 } ^ { \prime } - c _ { 0 } ^ { \prime } } \{ ( c _ { 1 } ^ { \prime } - c _ { 0 } ^ { \prime } ) s - d _ { * } ( a , b ) \} } \\ & { = ( c - c _ { 0 } ) t - ( c - c _ { 0 } ^ { \prime } ) s + \frac { c - c _ { 0 } ^ { \prime } } { c _ { 1 } ^ { \prime } - c _ { 0 } ^ { \prime } } d _ { * } ( a , b ) } \\ & { \leq c ( t - s ) + c d _ { * } ( \Gamma _ { 1 } ( t ) , \Gamma _ { 2 } ( s ) ) } \\ & { \leq c \cdot \{ 2 d _ { * } ( \Gamma _ { 1 } ( t ) , \Gamma _ { 2 } ( s ) ) \} . } \end{array}
\operatorname* { d e t } ( U _ { 1 } V _ { 1 } U _ { 1 } ^ { \dagger } V _ { 1 } ^ { \dagger } ) = \operatorname* { d e t } ( U _ { 1 } ) \operatorname* { d e t } ^ { * } ( U _ { 1 } ) \operatorname* { d e t } ( V _ { 1 } ) \operatorname* { d e t } ^ { * } ( V _ { 1 } )
\hat { n } _ { i } | 1 _ { i } \rangle = \hat { a } _ { i } ^ { + } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { + } | 0 \rangle = \hat { a } _ { i } ^ { + } [ 1 - \hat { a } _ { i } ^ { + } \hat { a } _ { i } ] | 0 \rangle = \hat { a } _ { i } ^ { + } | 0 \rangle = | 1 _ { i } \rangle
\begin{array} { r l r } { R { \mathbf { r } } } & { { } = } & { R ( { \mathbf { r } } _ { 1 } , \ldots , { \mathbf { r } } _ { N _ { e } } ) = ( R { \mathbf { r } } _ { 1 } , \ldots , R { \mathbf { r } } _ { N _ { e } } ) , } \\ { R { \mathbf { p } } } & { { } = } & { R ( { \mathbf { p } } _ { 1 } , \ldots , { \mathbf { p } } _ { N _ { e } } ) = ( R { \mathbf { p } } _ { 1 } , \ldots , R { \mathbf { p } } _ { N _ { e } } ) , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { \Sigma _ { j } } \\ { \Sigma _ { j + 1 } } \end{array} \right) = { \mathcal W } _ { j } ( s ) \left( \begin{array} { c } { \Sigma _ { j - 1 } } \\ { \Sigma _ { j } } \end{array} \right) , \quad { \mathcal W } _ { j } ( s ) = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { - \frac { \displaystyle c _ { j } ( s ) } { \displaystyle b _ { j } ( s ) } } & { - \frac { \displaystyle d _ { j } ( s ) } { \displaystyle b _ { j } ( s ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \chi ^ { 2 } \left( \left\{ \alpha _ { \mu } , \beta _ { \mu } \right\} \right) = \sum _ { \mu = 1 } ^ { n } \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { { d } x \left( \left[ \frac { I ^ { ( \ m u ) } - \ a l p h a _ { \ m u } } { \ b e t a _ { \ m u } } \right] - \overline { { i } } \right) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | C ( N ; a _ { 1 , n } , \cdots , a _ { 2 ^ { k } - 1 , n } ) | ^ { 2 } } \\ & { \le \frac { 1 } { N ^ { k - 1 } } \sum _ { h _ { 1 } , \cdots , h _ { k - 1 } = 0 } ^ { N - 1 } \Big | \frac { 1 } { N } \sum _ { h _ { k } = 0 } ^ { N - 1 } \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k } ^ { * } \backslash V _ { k , k } ^ { * } } a _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , \sum _ { i = 1 } ^ { k } \epsilon _ { i } h _ { i } } \Big | ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { N ^ { k - 1 } } \sum _ { h _ { 1 } , \cdots , h _ { k - 1 } = 0 } ^ { N - 1 } \Big | \int _ { \mathbb { T } } \Big ( \frac { 1 } { N } \sum _ { h _ { k } = 0 } ^ { N - 1 } e ^ { - 2 \pi i h _ { k } t } \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in A _ { k - 1 } ^ { k } } a _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , \epsilon _ { k } h _ { k } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } \epsilon _ { i } h _ { i } } \Big ) \cdot } \\ & { \ \ \ \Big ( \sum _ { m = 0 } ^ { 2 ( N - 1 ) } e ^ { 2 \pi i m t } \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k } ^ { * } \backslash ( V _ { k , k - 1 } ^ { * } \cup V _ { k , k } ^ { * } ) } a _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , m + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } \epsilon _ { i } h _ { i } } \Big ) e ^ { - 2 \pi i h _ { k - 1 } t } d t \Big | ^ { 2 } } \\ & { \le \frac { 1 } { N ^ { k - 1 } } \sum _ { h _ { 1 } , \cdots , h _ { k - 2 } = 0 } ^ { N - 1 } \int _ { \mathbb { T } } \Big | \Big ( \frac { 1 } { N } \sum _ { h _ { k } = 0 } ^ { N - 1 } e ^ { - 2 \pi i h _ { k } t } \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in A _ { k - 1 } ^ { k } } a _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , \epsilon _ { k } h _ { k } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } \epsilon _ { i } h _ { i } } \Big ) \cdot } \\ & { \ \ \ \Big ( \sum _ { m = 0 } ^ { 2 ( N - 1 ) } e ^ { 2 \pi i m t } \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k } ^ { * } \backslash ( V _ { k , k - 1 } ^ { * } \cup V _ { k , k } ^ { * } ) } a _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , m + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } \epsilon _ { i } h _ { i } } \Big ) \Big | ^ { 2 } d t } \\ & { \le \frac { 1 } { N ^ { k - 1 } } \sum _ { h _ { 1 } , \cdots , h _ { k - 2 } = 0 } ^ { N - 1 } \Big ( ( 2 ( N - 1 ) + 1 ) \operatorname* { s u p } _ { t } \Big | \frac { 1 } { N } \sum _ { h _ { k } = 0 } ^ { N - 1 } e ^ { - 2 \pi i h _ { k } t } \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in A _ { k - 1 } ^ { k } } a _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , \epsilon _ { k } h _ { k } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } \epsilon _ { i } h _ { i } } \Big | ^ { 2 } \Big ) } \\ & { \le \frac { 2 } { N ^ { k - 2 } } \sum _ { h _ { 1 } , \cdots , h _ { k - 2 } = 0 } ^ { N - 1 } \operatorname* { s u p } _ { t } \Big | \frac { 1 } { N } \sum _ { h _ { k } = 0 } ^ { N - 1 } e ^ { - 2 \pi i h _ { k } t } \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in A _ { k - 1 } ^ { k } } a _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , \epsilon _ { k } h _ { k } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } \epsilon _ { i } h _ { i } } \Big | ^ { 2 } } \end{array}
\ddot { \chi } + \dot { \alpha } _ { 0 } \left( 1 - \frac { \ddot { \alpha } _ { 0 } } { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \dot { \chi } - \frac { 1 } { 3 } \left( 1 + \frac { \ddot { \alpha } _ { 0 } } { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } \right) e ^ { - 2 \alpha _ { 0 } } \nabla ^ { 2 } \chi = 0 \ .
\begin{array} { r l } { \mu _ { S } ( A ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \| A 1 _ { S } ^ { \prime } - A 1 _ { \overline { { S } } } ^ { \prime } \| _ { 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { n } { k \cdot k ^ { \prime } } \sum _ { i } \left| \frac { k ^ { \prime } } { n } - v _ { i } \right| } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { n } { k \cdot k ^ { \prime } } \sum _ { i } \left( \frac { k ^ { \prime } } { n } - v _ { i } \right) + 2 \cdot \frac { 1 } { 2 } \frac { n } { k \cdot k ^ { \prime } } \sum _ { i : v _ { i } \geq k ^ { \prime } / n } \left( v _ { i } - \frac { k ^ { \prime } } { n } \right) } \\ & { = 0 + \frac { n } { k \cdot k ^ { \prime } } \sum _ { i : v _ { i } \geq k ^ { \prime } / n } \left( v _ { i } - \frac { k ^ { \prime } } { n } \right) } \\ & { \geq \frac { n } { k \cdot k ^ { \prime } } \sum _ { i > k : v _ { i } \geq k ^ { \prime } / n } \left( v _ { i } - \frac { k ^ { \prime } } { n } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { q _ { i n } = A _ { i n } u _ { i n } } \\ & { u _ { i n } - \int \frac { c ( A _ { i n } , E _ { 0 , i n } ) } { A _ { i n } } \, \mathrm { d } A = u _ { 1 } - \int \frac { c ( A _ { 1 } , E _ { 0 , 1 } ) } { A _ { 1 } } \, \mathrm { d } A } \\ & { p _ { i n } - \frac { E _ { \infty , i n } } { W } \left[ \left( \frac { A _ { i n } } { A _ { 0 , i n } } \right) ^ { m } - \left( \frac { A _ { i n } } { A _ { 0 , i n } } \right) ^ { n } \right] = p _ { 1 } - \frac { E _ { \infty , 1 } } { W } \left[ \left( \frac { A _ { 1 } } { A _ { 0 , 1 } } \right) ^ { m } - \left( \frac { A _ { 1 } } { A _ { 0 , 1 } } \right) ^ { n } \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t ^ { \prime } } & { { } = \gamma ( \mathbf { v } ) \left( t - { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { r } } { c ^ { 2 } } } \right) \, , } \\ { \mathbf { r } ^ { \prime } } & { { } = \mathbf { r } + { \frac { \gamma ( \mathbf { v } ) - 1 } { v ^ { 2 } } } ( \mathbf { r } \cdot \mathbf { v } ) \mathbf { v } - \gamma ( \mathbf { v } ) t \mathbf { v } \, , } \\ { \mathbf { p } ^ { \prime } } & { { } = \mathbf { p } + { \frac { \gamma ( \mathbf { v } ) - 1 } { v ^ { 2 } } } ( \mathbf { p } \cdot \mathbf { v } ) \mathbf { v } - \gamma ( \mathbf { v } ) { \frac { E } { c ^ { 2 } } } \mathbf { v } \, , } \\ { E ^ { \prime } } & { { } = \gamma ( \mathbf { v } ) \left( E - \mathbf { v } \cdot \mathbf { p } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf v } _ { g } ^ { \pm } } & { { } = \frac { \displaystyle \frac { { \bf k } ^ { \prime } } { \mu \omega } + i \, \frac { \omega \epsilon ^ { \prime \prime } \, \hat { { \bf k } } } { 2 k ^ { \prime } } } { \displaystyle \left( \epsilon ^ { \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } \right) + i \left( \epsilon ^ { \prime \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime \prime } } { \partial \omega } \right) } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { G } ^ { u } } & { { } = - \mathsf { D } ^ { 1 + } \left( \mathsf { K } ^ { \pi h } \mathbb { F } ^ { u } + \mathsf { K } ^ { \pi \pi } \mathsf { D } _ { W } \mathbb { B } \right) , } \\ { \mathbb { G } ^ { h } } & { { } = - \mathsf { D } ^ { 1 + } \mathsf { K } ^ { \pi h } \mathbb { F } ^ { h } , } \\ { \mathbb { G } ^ { p } } & { { } = - \mathsf { D } ^ { 1 + } \left( \mathbb { S } ^ { p _ { 0 } } + \mathsf { K } ^ { \pi h } \mathbb { F } ^ { p } - \mathsf { K } ^ { \pi \pi } \mathsf { D } _ { W } \mathbb { B } _ { - 1 } \right) , } \\ { \mathbb { G } ^ { T } } & { { } = - \mathsf { D } ^ { 1 + } \left( \mathbb { S } ^ { T _ { 0 } } + \mathsf { K } ^ { \pi h } \mathbb { F } ^ { T } \right) . } \end{array}
\sigma _ { u , i } = \sqrt { \sigma _ { \mathrm { ~ P ~ S ~ F ~ } , u } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } , u , i } ^ { 2 } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \sigma _ { v , i } = \sqrt { \sigma _ { \mathrm { ~ P ~ S ~ F ~ } , v } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } , v , i } ^ { 2 } } \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } { \dot { b } } & { { } = \left\{ i \left( \Delta + 3 U | b | ^ { 2 } \right) - \frac { \kappa } { 2 } \right\} b + \zeta c + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } , } \\ { \dot { c } } & { { } = \left\{ i \left( \Delta + 3 U | c | ^ { 2 } \right) - \frac { \kappa } { 2 } \right\} c + \zeta b + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 4 } { n _ { \ell } } ( J _ { 2 , 2 } + 1 ) + \frac { 1 6 } { n _ { \ell } ^ { 2 } } \left( 2 J _ { 4 , 2 } - \frac { 5 } { 2 } J _ { 2 , 2 } + J _ { 2 , 2 } ^ { 2 } + \frac { 5 } { 8 } \right) + \frac { 1 6 } { n _ { \ell } ^ { 3 } } \left( J _ { 4 , 4 } - 2 J _ { 4 , 2 } - 2 J _ { 2 , 2 } ^ { 2 } + 2 J _ { 2 , 2 } - \frac { 9 } { 8 } \right) . } \end{array}
\left( \frac { \partial u } { \partial \xi } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } = \underbrace { \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \frac { \partial u } { \partial \xi } \right) _ { i } + \left( \frac { \partial u } { \partial \xi } \right) _ { i + 1 } \right] } _ { \mathrm { C o n s i s t e n t ~ t e r m ~ } } + \underbrace { \frac { \alpha ^ { D } } { 2 } \left( u _ { R } - u _ { L } \right) } _ { \mathrm { D a m p i n g ~ t e r m ~ } } ,
\begin{array} { r } { \frac { \biggr [ ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) \Delta \mu _ { n } \Delta \mu _ { n } ^ { * } ( \Delta \mu _ { n } - 2 \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) \biggr ] / 3 + ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) \Delta \mu _ { n } ^ { * } \Delta v _ { n } } { \lambda _ { n } ^ { * } \Delta \mu _ { n } \Delta v _ { n } ^ { * } } \to 0 . } \end{array}