harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left< T ^ { \mu } { } _ { \mu } ( x ) \right> = \zeta ( 0 , x | L _ { b } ) - \left[ m ^ { 2 } + \frac { \xi - \xi _ { N } } { 4 \xi _ { N } - 1 } \Delta \right] \left< \phi ^ { 2 } ( x ) \right> ,
\begin{array} { r l } { R _ { \nu } ( T ) } & { { } = \left\lVert f ^ { \nu } - \bar { f } \right\rVert _ { L ^ { 1 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } + \nu \left\lVert \nabla \bar { u } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) \times \Omega ) } ^ { 2 } } \end{array}
h _ { a b { b } _ { 1 } } ( { \pmb x } ) = f _ { a b { b } _ { 1 } } ( { \pmb x } ) - \left( n _ { b } ( { \pmb x } ) \, \delta _ { a b _ { 1 } } + \delta _ { a b } \, n _ { b _ { 1 } } ( { \pmb x } ) \right)
\begin{array} { r l } { \ell _ { n } ( \eta ) - \ell _ { n } ( \eta _ { t } ) } & { = - \frac { n } { 2 } \| \eta - \eta _ { 0 } \| _ { L } ^ { 2 } + \frac { n } { 2 } \| \eta _ { t } - \eta _ { 0 } \| _ { L } ^ { 2 } + \sqrt { n } W _ { n } ( \eta - \eta _ { t } ) + R _ { n } ( \eta , \eta _ { 0 } ) - R _ { n } ( \eta _ { t } , \eta _ { 0 } ) } \\ & { = - \frac { t \sqrt { n } } { \sqrt { \alpha _ { n } } } \langle \psi _ { 0 } , \eta - \eta _ { 0 } \rangle _ { L } + \frac { t ^ { 2 } } { 2 \alpha _ { n } } \| \psi _ { 0 } \| _ { L } ^ { 2 } + \frac { t } { \sqrt { \alpha _ { n } } } W _ { n } ( \psi _ { 0 } ) + R _ { n } ( \eta , \eta _ { 0 } ) - R _ { n } ( \eta _ { t } , \eta _ { 0 } ) , } \end{array}
S = \Phi ( \{ p _ { i } \} , \{ \bar { m } _ { f } \} , \mu ) \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } S ^ { ( k ) } \left( \frac { Q ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } , \left\{ \frac { \bar { m } _ { f } ( \mu ) ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right\} \right) \bar { g } ^ { k } ( \mu ) .
\boldsymbol { Y } \approx \hat { \mathcal { M } } \left( \boldsymbol { X } \right) = \boldsymbol { \mu _ { \boldsymbol { Y } } } + \operatorname { d i a g } \left( \boldsymbol { \sigma _ { \boldsymbol { Y } } } \right) \boldsymbol { \Phi } ^ { \prime } \boldsymbol { \mathrm { A } } \boldsymbol { \Psi } \left( \boldsymbol { X } \right)
\begin{array} { r l } { \mathbf { R } _ { \mathrm { b o t } } ^ { ( \alpha ) } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 5 } & { 5 } & { \dots } & { 5 } \\ { 3 } & { 2 } & { 6 } & { \dots } & { 6 } \\ { 3 } & { 6 } & { 2 } & { \dots } & { 6 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 3 } & { 6 } & { 6 } & { \dots } & { 2 } \end{array} \right] _ { \mathrm { b o t } } } \end{array}
\kappa ^ { 2 } = - \frac { 1 } { 4 } \operatorname * { l i m } _ { R \rightarrow R _ { 0 } } \Big [ g ^ { t t } g ^ { R R } ( \partial _ { R } g _ { t t } ) ^ { 2 } \Big ] = \frac { ( d - 3 ) ^ { 2 } } { 4 R _ { 0 } ^ { 2 } R _ { T } ^ { 2 } \cosh ^ { 2 } \alpha \, A | _ { R = R _ { 0 } } } \ .
\hat { H } _ { G } = \Omega _ { G } \Bigl ( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + \frac { 1 } { 2 } \Bigr ) = \Omega _ { G } \Bigl ( \hat { a } _ { 0 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \Bigr ) .
- \hat { h } _ { \mu \nu } ^ { \prime \prime } + { \frac { ( a ^ { 3 / 2 } ) ^ { \prime \prime } } { a ^ { 3 / 2 } } } \hat { h } _ { \mu \nu } = { \frac { m ^ { 2 } } { H ^ { 2 } } } \hat { h } _ { \mu \nu } ,
\begin{array} { r l r } { G _ { S } ^ { ( 0 , 0 ) } } & { = } & { 1 + \ln \left[ 4 \pi ^ { 2 } R ^ { 2 } A ^ { 2 } ( \rho ) s _ { \zeta } ^ { 2 } ( 1 , \rho ) \right] + 2 \rho \ln \rho \left[ \frac { A ^ { \prime } ( \rho ) } { A ( \rho ) } + \frac { s _ { \zeta , \rho } ( 1 , \rho ) } { s _ { \zeta } ( 1 , \rho ) } \right] , } \\ { G _ { S } ^ { ( 2 , 0 ) } } & { = } & { \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } \left[ B ( \rho ) + \frac { 1 2 } { \ln \rho } \right] , } \\ { G _ { S } ^ { ( 2 , - 2 ) } } & { = } & { \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } \left[ B ( \rho ) + \frac { 1 2 } { \ln \rho } \right] , } \\ { G _ { S } ^ { ( 2 , 2 ) } } & { = } & { \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } \left[ 3 B ( \rho ) + \frac { 1 2 } { \ln \rho } + 4 \rho \ln ( \rho ) \frac { d } { d \rho } \left( \frac { s _ { \zeta , \zeta , \zeta } ( 1 , \rho ) } { s _ { \zeta } ( 1 , \rho ) } \right) \right] , } \\ { B ( \rho ) } & { = } & { 1 - \frac { s _ { \zeta , \zeta , \zeta , \zeta } ( 1 , \rho ) } { s _ { \zeta } ( 1 , \rho ) } } \end{array}
I _ { n } = { \frac { \pi ( P G ) ^ { n + 1 } [ \ ( Q \cdot P + \sqrt { - \Delta } ) ^ { n + 1 } - ( Q \cdot P - \sqrt { - \Delta } ) ^ { n + 1 } \ ] } { 2 ( n + 1 ) ( P ^ { 2 } ) ^ { n + 1 } \sqrt { - \Delta } } } \quad ( n \ge 0 )
\begin{array} { r l } { \partial _ { z } A ( z , \tau ) } & { { } = - \sqrt { d } P ( z , \tau ) } \\ { \partial _ { \tau } P ( z , \tau ) } & { { } = - \bar { \gamma } P ( z , \tau ) + \sqrt { d } A ( z , \tau ) - i \frac { \Omega ( \tau ) } { 2 } B ( z , \tau ) } \\ { \partial _ { \tau } B ( z , \tau ) } & { { } = - \gamma _ { B } B ( z , \tau ) - i \frac { \Omega ^ { * } ( \tau ) } { 2 } P ( z , \tau ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | G _ { C } ( \boldsymbol { x } , t ) - f ( \boldsymbol { x } , t ) | } & { { } = | \sum _ { j = 1 } ^ { \tilde { N } } \frac { 1 } { 2 } \tilde { u } _ { j } ( 2 \tilde { \sigma } ( ( \boldsymbol { \tilde { k } } _ { j } ^ { x } ) ^ { \top } \boldsymbol { x } + \tilde { k } _ { j } ^ { t } t + \tilde { b _ { j } } ) - 1 ) + \frac { 1 } { 2 } \hat { u } \mathrm { t a n h } ( ( \boldsymbol { \hat { k } } ^ { x } ) ^ { \top } \boldsymbol { x } + \hat { k } ^ { t } t + \hat { b } ) - f ( \boldsymbol { x } , t ) | } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { u } { \lambda f } \right) x + \left( \frac { v } { \lambda f } \right) y } & { { } = } & { \left( \rho c o s \phi \right) . \left( r c o s \theta \right) + \left( \rho s i n \phi \right) . \left( r s i n \theta \right) } \\ { \frac { 1 } { \lambda f } ( u x + v y ) } & { { } = } & { \rho r ( c o s \phi c o s \theta + s i n \phi s i n \theta ) } \end{array}
{ V } _ { p q } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ S ~ } } = \int d ^ { 3 } x \, { \varphi } _ { p } ^ { \dagger } ( \vec { x } ) \hat { V } ^ { \mathrm { ~ \mathrm { ~ H ~ F ~ S ~ } ~ } } ( \vec { x } ) { \varphi } _ { q } ( \vec { x } )
U _ { e f f } ^ { \prime } = \frac { \mu _ { 1 } ^ { 4 } M _ { s _ { 0 } } ^ { 3 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } 4 x ( ( x ^ { 2 } - 1 ) \ln ( 1 - \frac { 1 } { x ^ { 2 } } ) + ( x ^ { 2 } + 1 ) \ln ( 1 + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } ) )
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { U _ { 2 } } \\ { U _ { 3 } } \\ { U _ { 4 } } \\ { H _ { 2 } } \\ { H _ { 3 } } \\ { H _ { 4 } } \end{array} \right] + } \\ { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { R _ { 1 2 } } & { 0 } & { 0 } & { - X _ { 1 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { R _ { 2 3 } } & { 0 } & { 0 } & { - X _ { 2 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { R _ { 2 4 } } & { 0 } & { 0 } & { - X _ { 2 4 } } \\ { X _ { 1 2 } } & { 0 } & { 0 } & { R _ { 1 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { X _ { 2 3 } } & { 0 } & { 0 } & { R _ { 2 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { X _ { 2 4 } } & { 0 } & { 0 } & { R _ { 2 4 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { Y _ { 1 2 } } \\ { Y _ { 2 3 } } \\ { Y _ { 2 4 } } \\ { W _ { 1 2 } } \\ { W _ { 2 3 } } \\ { W _ { 2 4 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { - | \bar { V } _ { 1 } | } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } \end{array}
\dot { \phi } = - \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } + 1 } \left[ \lambda ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \phi + \cos ^ { 2 } \phi \right] + \frac { \mathrm { ~ W ~ i ~ } } { 4 } \left[ \beta _ { 1 } \cos ( 2 \phi ) - \beta _ { 2 } \right] \sin ^ { 2 } \theta \sin 2 \phi .
\begin{array} { r } { \big \| \boldsymbol A ^ { * } \boldsymbol W \big \| _ { 1 } = \operatorname* { m a x } _ { j = 1 , \dots , N } \, \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } | w _ { j } | \cdot \big | \mathrm e ^ { - 2 \pi \mathrm i \boldsymbol k \boldsymbol x _ { j } } \big | \leq \operatorname* { m a x } _ { j = 1 , \dots , N } | w _ { j } | \cdot \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } 1 = | \mathcal I _ { \b { M } } | \cdot \| \boldsymbol w \| _ { \infty } , } \end{array}
{ \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 2 \tilde { G } } } + { \frac { 2 \pi ^ { 2 } f _ { \pi } ^ { 2 } } { N _ { c } } } = { \frac { T _ { c } ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { 3 } } + { \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { \tilde { G } } } - { \frac { 1 } { 2 } } m _ { q } ^ { 2 } - { \frac { 3 } { 8 } } { \frac { m _ { q } ^ { 4 } } { \Lambda ^ { 2 } } } + \cdots \; ,
\langle { P } _ { a } \rangle = \frac { 1 } { Z } \int \frac { \mathrm { d } p \mathrm { d } q } { ( 2 \pi ) ^ { f } } \, \mathrm { T r } [ \mathrm { e } ^ { - \beta \hat { H } ( p , q ) } | a ( q ) \rangle \langle a ( q ) | ] ,
M = { \left( \begin{array} { l l l l } { \mathbf { y } _ { 1 } } & { \mathbf { x } _ { 1 } } & { \mathbf { x } _ { 2 } } & { \mathbf { x } _ { 3 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l } { - 1 4 } & { 2 } & { - 2 } & { 0 } \\ { 4 } & { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { - 3 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } .
U _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ p ~ } } ( x , y , z ) = - U _ { \mathrm { ~ 0 ~ } } \frac { w _ { 0 , x } w _ { 0 , y } } { w _ { x } ( z ) w _ { y } ( z ) } \exp \left\{ - 2 \left( \frac { x ^ { 2 } } { w _ { x } ( z ) ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { w _ { y } ( z ) ^ { 2 } } \right) \right\} ,
\Sigma _ { n m } = \sigma _ { 0 } \delta _ { n m } - \frac { \sigma _ { 0 } } { 2 } \frac { M _ { n } } { M _ { n + 1 } } ( 1 - 0 . 3 \frac { M _ { 0 } ^ { 2 } } { M _ { n } ^ { 2 } } ) \delta _ { n m \pm 1 } ,
{ A ^ { m } } _ { 1 } \to { \tilde { A } ^ { m } } _ { 1 } = { A ^ { m } } _ { 1 } - \tau { \pi _ { A } } ^ { m 1 } , \qquad { \pi _ { A } } ^ { m 1 } \to { \tilde { \pi } _ { A } } ^ { m 1 } = { \pi _ { A } } ^ { m 1 }
\theta = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \vartheta } } \\ { { 0 } } & { { - \vartheta } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, .
\big ( i \omega - D _ { \ell } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { \psi } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { \| } ^ { 2 } k ^ { 2 } = 0 ,
\begin{array} { c c c } { { d s _ { \mathrm { s t r } } ^ { 2 } = - d t ^ { 2 } + e ^ { - 4 U } d \vec { x } ^ { 2 } \ , } } & { { } } & { { e ^ { - 4 U } = 2 \, \chi ^ { T } L \chi = e ^ { 4 \phi } = 2 ( | \vec { \chi } ^ { R } | ^ { 2 } - | \vec { \chi } ^ { L } | ^ { 2 } ) \ , } } \\ { { \nonumber } } \\ { { \nonumber } } \\ { { { \cal M } = { \bf 1 } _ { 1 2 } + 4 e ^ { 4 U } \left( \begin{array} { c c } { { \chi _ { \alpha } ^ { L } \chi _ { \beta } ^ { L } } } & { { \chi _ { \alpha } ^ { L } \chi _ { \beta } ^ { R } } } \\ { { \nonumber } } \\ { { \chi _ { \alpha } ^ { R } \chi _ { \beta } ^ { L } } } & { { \xi \chi _ { \alpha } ^ { R } \chi _ { \beta } ^ { R } } } \end{array} \right) , } } & { { } } & { { \left( \begin{array} { c } { { F _ { i j } ^ { ( L ) } } } \\ { { F _ { i j } ^ { ( R ) } } } \end{array} \right) = 2 \epsilon _ { i j m } \partial _ { m } \left( \begin{array} { c } { { \vec { \chi } ^ { L } } } \\ { { \vec { \chi } ^ { R } } } \end{array} \right) } } \end{array}
N u = \frac { 2 r _ { i } } { k _ { t } } \left( \frac { 1 } { 2 \pi r _ { i } L \Delta T } \int _ { \theta = 0 } ^ { \theta = 2 \pi } \int _ { z = 0 } ^ { z = L } \left[ k _ { t } \frac { \partial T } { \partial r } r _ { i } \right] d \theta d z \right)
\Phi ^ { \mathrm { ( B e s ) } } ( \zeta ) = ( I + O ( \zeta ) ) C _ { \alpha } ^ { \sigma _ { 3 } } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \zeta ^ { \alpha \sigma _ { 3 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { 1 } { 1 + e ^ { - 2 \pi i \alpha } } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \quad \zeta \to 0 , ~ ~ \zeta \in \Lambda _ { 2 } ,
\left[ \begin{array} { c c c c } { A _ { 0 } } & & & \\ { A _ { 1 } } & { A _ { 0 } } & & \\ { A _ { 2 } } & { A _ { 1 } } & { A _ { 0 } } & \\ { A _ { 3 } } & { A _ { 2 } } & { A _ { 1 } } & { A _ { 0 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { { \bf x } _ { 0 } } \\ { { \bf x } _ { 1 } } \\ { { \bf x } _ { 2 } } \\ { { \bf x } _ { 3 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { { \bf b } _ { 0 } } \\ { { \bf b } _ { 1 } } \\ { { \bf b } _ { 2 } } \\ { { \bf b } _ { 3 } } \end{array} \right] .
\sqrt { - G } ( R _ { M N } ~ - ~ \frac { 1 } { 2 } R ~ G _ { M N } ) ( X ) = \frac { f ^ { 4 } } { 4 M ^ { 4 } } ~ G _ { M \mu } ( X ) ~ \eta ^ { \mu \nu } ~ G _ { \nu N } ( X ) ~ \delta ^ { 2 } ( X ^ { m } - \overline { { { Y } } } ^ { m } ) .
\begin{array} { r } { S _ { \alpha } = ( 1 - \alpha ) D _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha } \{ { S \} } + \alpha I _ { \mathrm { N , L } } ^ { \beta } \{ { 1 \} } = ( 1 - \alpha ) D _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha } \{ { S \} } + \alpha D _ { \mathrm { N , L } } ^ { - \beta } \{ { 1 \} } . } \end{array}
r _ { q } = \frac { ( q + 1 ) \sum _ { k = 1 } ^ { D } a _ { k } ^ { 2 } \left( \frac { { { \bar { \lambda } } } _ { k } } { 1 - { { \bar { \lambda } } } _ { k } } \right) ^ { q } } { \left[ c \langle n \rangle \right] ^ { q } } \ \ .
\| \partial _ { 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } ^ { 2 } = \int _ { h ( y _ { 1 } ) } ^ { 1 + h ( y _ { 1 } ) } | \partial _ { 2 } u ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) | ^ { 2 } d y _ { 2 }
\operatorname* { m a x } \left( \frac { 1 } { N _ { B } } \left[ \, \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { B } } \left( \overline { { \mathrm { G S N R } _ { n } } } - \sigma _ { \mathrm { G S N R } _ { n } } \right) \right] - \sigma _ { \{ \overline { { \mathrm { G S N R } _ { 1 } } } , . . . \overline { { \mathrm { G S N R } _ { N _ { B } } } } \} } \right)
\begin{array} { r } { U ^ { T } \overline { { \vec { x } ^ { T } ( t + 1 ) \vec { x } ( t + 1 ) } } U = U ^ { T } C ^ { T } U ^ { T } \overline { { \vec { x } ^ { T } ( t ) \vec { x } ( t ) } } U C U + \zeta ^ { 2 } U ^ { T } U , } \end{array}
C _ { 2 } ^ { a b } ( n _ { 1 } " n _ { 2 } " n " k " n _ { 1 } ^ { \prime } n _ { 2 } ^ { \prime } n ^ { \prime } k ^ { \prime } n _ { 1 } n _ { 2 } n k ) = C _ { 2 } ^ { a b } ( n _ { 1 } ^ { \prime } n _ { 2 } ^ { \prime } n ^ { \prime } k ^ { \prime } n _ { 1 } " n _ { 2 } " n " k " n _ { 1 } n _ { 2 } n k )
\begin{array} { r l } { j _ { h } } & { { } = - \frac { h ^ { 3 } } { 3 \eta } \partial _ { x } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } - U h , \quad j _ { \zeta } = - D \zeta \partial _ { x } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \zeta } - U \zeta , } \\ { j _ { M } } & { { } = M \left[ \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } - \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \zeta } \right] . } \end{array}
0 = \sum _ { j = 1 } ^ { m } \nu _ { j } \mu _ { j } + \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sum _ { i = 1 } ^ { k } \nu _ { j } \lambda _ { i } a _ { i j } = \sum _ { j = 1 } ^ { m } \nu _ { j } \mu _ { j }
\rho ^ { ( n ) } = \operatorname * { l i m } _ { L \rightarrow \infty } \rho ^ { ( n ) } ( L ) = \left\{ \begin{array} { c r } { { \frac { 2 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 N } } \Big ( \frac { e ^ { 2 } N } { 4 \Pi } \Big ) ^ { N } e ^ { N ( 2 \gamma + 1 ) } } } & { { \mathrm { f o r } \; \; n = N } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { f o r } \; \; n < N } } \end{array} \right. \; .
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { t } \lambda _ { k } = \sum _ { k = 0 } ^ { t } \frac { d _ { k } } { \sqrt { G ^ { 2 } + \sum _ { i = 0 } ^ { k } \left\Vert g _ { i } \right\Vert ^ { 2 } } } } & { \geq \frac { 1 } { G } \sum _ { k = 0 } ^ { t } \frac { d _ { k } } { \sqrt { 1 + ( k + 1 ) } } } \\ & { \ge \frac { 1 } { G \sqrt { t + 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { t } d _ { k } } \\ & { \geq \frac { \left( n + 1 \right) d _ { n + 1 } } { 2 G \sqrt { t + 2 } \log _ { 2 + } ( d _ { n + 1 } / d _ { 0 } ) } . } \end{array}
B _ { 1 } = U P U ^ { - 1 } : = \left( \begin{array} { l l l } { \mathbf { 1 } _ { n } } & { \mathbf { 0 } } & { U _ { R , u } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 1 } _ { n } } & { U _ { R , l } } \end{array} \right) \mathrm { d i a g } ( 1 , 1 , P _ { 1 } ) \left( \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { n } \mathbf { 1 } _ { n } ^ { \intercal } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \frac { 1 } { n } \mathbf { 1 } _ { n } ^ { \intercal } } \\ { U _ { L , l } } & { U _ { L , r } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { a _ { k } < n \le a _ { k - 1 } } n ^ { - 1 / 2 - i t } \right| } & { \le a _ { k } ^ { - 1 / 2 } \operatorname* { m a x } _ { a _ { k } < L \le a _ { k - 1 } } S _ { f } ( a _ { k } , L - a _ { k } ) } \\ & { \le C _ { 1 } a ^ { 5 / 8 2 } t ^ { 1 1 / 8 2 } + C _ { 2 } a ^ { - 1 7 / 3 2 8 } t ^ { 6 1 / 3 2 8 } + E _ { 1 } a ^ { 8 7 / 1 6 4 } t ^ { - 1 5 / 8 2 } } \\ & { \qquad \qquad + E _ { 2 } a ^ { - 5 / 2 4 6 } t ^ { 5 / 4 1 } + E _ { 3 } , } \end{array}
\textrm { E S S / s } = \frac { M _ { \textrm { e f f } } } { t _ { \textrm { s a m p l i n g } } } = \frac { M } { t _ { \textrm { s a m p l i n g } } \left( 1 + 2 \sum _ { \tau = 1 } ^ { \infty } \rho _ { \tau } \right) } ,
\begin{array} { r l } { \left( J _ { 1 } ^ { ( j ) } \right) _ { a ^ { \prime } a } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \sqrt { ( j - a ) ( j + a + 1 ) } } \delta _ { a ^ { \prime } , a + 1 } + { \sqrt { ( j + a ) ( j - a + 1 ) } } \delta _ { a ^ { \prime } , a - 1 } \right) } \\ { \left( J _ { 2 } ^ { ( j ) } \right) _ { a ^ { \prime } a } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 i } } \left( { \sqrt { ( j - a ) ( j + a + 1 ) } } \delta _ { a ^ { \prime } , a + 1 } - { \sqrt { ( j + a ) ( j - a + 1 ) } } \delta _ { a ^ { \prime } , a - 1 } \right) } \\ { \left( J _ { 3 } ^ { ( j ) } \right) _ { a ^ { \prime } a } } & { { } = a \delta _ { a ^ { \prime } , a } } \end{array}
\Delta = - 2 i G \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { 4 \Delta w } { w ^ { 2 } - 4 \left[ ( k ^ { 2 } - ( k _ { 0 } + \delta \mu ) ^ { 2 } ) ( \bar { \mu } ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) + ( k q \cos \theta + \bar { \mu } ( k _ { 0 } + \delta \mu ) ) ^ { 2 } \right] }
\frac { \mathrm { ~ d ~ } ^ { 2 } W } { \mathrm { ~ d ~ } \, z ^ { 2 } } + n \left( - \phi _ { \mathrm { ~ o ~ } } \right) ^ { n - 1 } \left( W + \frac { 1 } { 2 } | z | \right) = 0 .
T _ { i j } ^ { \left( 2 \right) , \dag } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } { { { \left( { I - G } \right) } ^ { n - 1 } } \otimes \left( { \overline { { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } \overline { { u _ { j } ^ { * } } } } } - \overline { { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } } u _ { j } ^ { * } } \right) }
\widetilde { S } = \left( \begin{array} { c c c } { { 2 S _ { a , b } } } & { { S _ { a , f } } } & { { S _ { a , f } } } \\ { { S _ { f , b } } } & { { \frac { 1 } { 2 } } } & { { - \frac { 1 } { 2 } } } \\ { { S _ { f , b } } } & { { - \frac { 1 } { 2 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array} \right) ,
\sin { 2 \phi } = - \frac { g ^ { 2 } \sqrt { \cos { 2 \Theta _ { W } } } \left[ \left( g ^ { 2 } + g ^ { 2 } \right) \left( M _ { W _ { 2 } } ^ { 2 } + M _ { W _ { 1 } } ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } \left( M _ { Z _ { 1 } } ^ { 2 } + M _ { Z _ { 2 } } ^ { 2 } \right) \right] } { \cos ^ { 2 } { \Theta _ { W } } \left( M _ { Z _ { 2 } } ^ { 2 } - M _ { Z _ { 1 } } ^ { 2 } \right) g ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } + g ^ { 2 } \right) }
H _ { 0 } = \frac { p _ { x } ^ { 2 } + p _ { y } ^ { 2 } + p _ { z } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { \Omega _ { c } } { 2 } \left( y p _ { x } - x p _ { y } \right) + \frac { \Omega _ { B } ^ { 2 } } { 8 } \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) .
\frac { \partial { \bf m } _ { p } ^ { T } } { \partial { \bf q } } = \left( \frac { \partial { \bf m } _ { q } ^ { T } } { \partial { \bf p } } \right) ^ { T } = \frac { 1 } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \partial v _ { 0 } } { \partial { \bf q } } \otimes \frac { \partial v _ { 0 } } { \partial { \bf p } } \, .
a _ { 3 2 } ^ { ( 2 ) } = \frac { \Omega _ { c } } { d _ { 3 2 } ^ { ( 0 ) } } \left[ \frac { 1 } { \mathcal { D } ^ { \ast } } - ( a _ { 1 1 } ^ { ( 2 ) } + 2 a _ { 2 2 } ^ { ( 2 ) } ) \right] , \eqno { ( \textrm { S 4 e } ) }
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } B _ { 1 } \mathrm { d } t \leqslant } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \mathbb { E } [ \| \nabla _ { U } \log p _ { T - t _ { k + 1 } } ( Y _ { t _ { k + 1 } } ) \| ^ { 2 } ] - \mathbb { E } [ \| e ^ { ( t _ { k + 1 } - t _ { k } ) } \nabla _ { U } \log p _ { T - t _ { k } } ( Y _ { t _ { k } } ) \| ^ { 2 } ] ) ( t _ { k + 1 } - t _ { k } ) } \\ & { + \left( 1 - e ^ { \frac { \Delta t } { 2 } } \right) ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| \nabla _ { U } \log p _ { T } ( Y _ { T } ) \| ^ { 2 } ] } \\ & { \leqslant \Delta t \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \mathbb { E } [ \| \nabla _ { U } \log p _ { T - t _ { k + 1 } } ( Y _ { t _ { k + 1 } } ) \| ^ { 2 } ] - \mathbb { E } [ \| e ^ { ( t _ { k + 1 } - t _ { k } ) } \nabla _ { U } \log p _ { T - t _ { k } } ( Y _ { t _ { k } } ) \| ^ { 2 } ] ) } \\ & { + \left( 1 - e ^ { \frac { \Delta t } { 2 } } \right) ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| \nabla _ { U } \log p _ { T } ( Y _ { T } ) \| ^ { 2 } ] } \\ & { \leqslant \Delta t \mathbb { E } [ \| \nabla _ { U } \log p _ { 0 } ( Y _ { T } ) \| ^ { 2 } ] + \left( 1 - e ^ { \frac { \Delta t } { 2 } } \right) ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| \nabla _ { U } \log p _ { T } ( Y _ { T } ) \| ^ { 2 } ] } \\ { = } & { O ( \Delta t ) \mathbb { E } [ \| \nabla _ { U } \log p _ { 0 } ( Y _ { T } ) \| ^ { 2 } ] } \end{array}
S ( \beta , \rho ) = { \frac { 8 \pi } { g ^ { 2 } } } \left\{ 1 - m ^ { 2 } \rho ^ { 2 } \left[ F ( m \beta ) + \ln \left( { \frac { m \rho } { 2 } } \right) + \gamma _ { E } \right] \right\}
\bar { \mathbf { A } } _ { r } = \mathbf { A } _ { r } + \frac { \mathbf { v } } { c } \left[ \frac { ( \mathbf { A } _ { r } \cdot \mathbf { v } ) c } { v ^ { 2 } } ( \gamma _ { v } - 1 ) - \mathbf { A } _ { t } \gamma _ { v } \right] ,
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \operatorname { F S } } ( A ) } & { = \{ 0 , 1 , \, 2 , \, \dots , \, 2 ^ { d } - 1 \} = \{ 0 \} \cup \bigcup _ { i = 1 } ^ { \frac { 2 ^ { d } - 1 } { n } } \{ 0 , \, 1 , \, \dots , \, n - 1 \} } \\ & { = \{ 0 \} \cup \bigcup _ { i = 1 } ^ { \frac { 2 ^ { d } - 1 } { n } } k \cdot \{ 0 , \, 1 , \, \dots , \, n - 1 \} = \{ k \cdot 0 , \, k \cdot 1 , \, k \cdot 2 , \, \dots , \, k \cdot ( 2 ^ { d } - 1 ) \} } \\ & { = \ensuremath { \operatorname { F S } } ( A ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } ( t ) } & { { } = } & { \hat { H } _ { 1 } ( t ) | 1 \rangle \langle 1 | + \hat { H } _ { 2 } ( t ) | 2 \rangle \langle 2 | + \hat { H } _ { c } ( t ) . } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { K \geq 1 } \mathbb { E } \left[ | \langle M ^ { H | K } ( f ) \rangle _ { t } | \right] < \infty \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \operatorname* { s u p } _ { K \geq 1 } \mathbb { E } \left[ \left| V _ { t } ^ { H | K } ( f ) \right| \right] < \infty .
\begin{array} { r l } { C \dot { p } - K _ { 0 } p ^ { \prime \prime } } & { { } = F \dot { \varphi } \; , } \\ { C \dot { p } - ( \tilde { K } p ^ { \prime \prime } + \tilde { K } ^ { \prime } p ^ { \prime } ) } & { { } = F \dot { \varphi } \; , } \end{array}
g _ { A } = - \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 4 } [ \Pi _ { Z } ( m _ { Z } ^ { 2 } ) - \Pi _ { W } ( 0 ) - D - \Sigma _ { Z } ^ { \prime } ( m _ { Z } ^ { 2 } ) - 8 c s F _ { A } ] \; \; ,
C _ { 2 , 1 } = 2 \int _ { c _ { 1 } - i \infty } ^ { c _ { 1 } + i \infty } \frac { \mathrm { d } z _ { 1 } } { 2 \pi i } \cdots \int _ { c _ { 4 } - i \infty } ^ { c _ { 4 } + i \infty } \frac { \mathrm { d } z _ { 4 } } { 2 \pi i } \langle z _ { 1 } + \cdots + z _ { 4 } + 2 \rangle \Gamma ( - z _ { 1 } ) \cdots \Gamma ( - z _ { 4 } ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } u _ { 1 } ^ { z _ { 1 } - z _ { 2 } } u _ { 2 } ^ { z _ { 3 } - z _ { 4 } } \frac { \mathrm { d } u _ { 1 } } { u _ { 1 } } \frac { \mathrm { d } u _ { 2 } } { u _ { 2 } }
\begin{array} { r } { \rho _ { \bf n } ^ { ( n ) } ( t ) = \sum _ { \{ m _ { k } = 0 \} } ^ { \{ \lfloor n _ { k } / 2 \rfloor \} } \bar { c } _ { \bf n m } \hat { X } _ { \bf { n } - 2 \bf { m } } ^ { ( n - 2 m ) } ( t ) , } \end{array}