harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { - \hbar \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { r _ { 1 } < r _ { 2 } } \sum _ { 1 \leq u \leq n } e _ { u , n } ^ { ( r _ { 1 } ) } t ^ { - w - 1 } e _ { 1 , u } ^ { ( r _ { 2 } ) } t ^ { w } } \\ & { \quad + \hbar \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { r _ { 1 } < r _ { 2 } } \sum _ { n < u \leq q _ { r _ { 2 } } } e _ { 1 , u } ^ { ( r _ { 1 } ) } t ^ { w } e _ { u , n } ^ { ( r _ { 2 } ) } t ^ { - w - 1 } } \\ & { \quad + \hbar \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { 1 \leq r \leq l } \sum _ { n < u \leq q _ { r } } ( e _ { u , n } ^ { ( r ) } t ^ { - s - 1 } e _ { 1 , u } ^ { ( r ) } t ^ { s } + e _ { 1 , u } ^ { ( r ) } t ^ { - s - 1 } e _ { u , n } ^ { ( r ) } t ^ { s } ) - \hbar \sum _ { a = 1 } ^ { l } ( \sum _ { r = 1 } ^ { l - 1 } \alpha _ { r } ) e _ { 1 , n } ^ { ( a ) } t ^ { - 1 } } \\ & { \quad + \hbar \sum _ { a = 1 } ^ { l } ( \sum _ { r = 1 } ^ { l } \alpha _ { r } ) e _ { 1 , n } ^ { ( a ) } t ^ { - 1 } + \hbar \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { r = 1 } ^ { l } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { n } e _ { 1 , u } ^ { ( r ) } t ^ { - s - 1 } e _ { u , n } ^ { ( r ) } t ^ { s } } \\ & { \quad + \hbar \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { r _ { 1 } < r _ { 2 } } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { n } e _ { 1 , u } ^ { ( r _ { 1 } ) } t ^ { - s - 1 } e _ { u , n } ^ { ( r _ { 2 } ) } t ^ { s } + \hbar \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { r _ { 1 } < r _ { 2 } } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { n } e _ { u , n } ^ { ( r _ { 1 } ) } t ^ { s } e _ { 1 , u } ^ { ( r _ { 2 } ) } t ^ { - s - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \Delta \mathbf { g } ^ { k + 1 } \| _ { 2 } \leq c _ { 0 } \frac { \sqrt { R _ { 2 } R _ { 0 } } } { \mu h } \left( \frac { \| \Delta \mathbf { g } ^ { k } \| _ { 2 } } { \sqrt { \mu \nu R _ { 2 } R _ { 0 } } } + 1 \right) \| \Delta \mathbf { g } ^ { k } \| _ { 2 } , } \end{array}
\vec { A } \stackrel { \mathrm { ~ d ~ e ~ f ~ } } { = } \left\langle \boldsymbol { \mathbf { r } } \boldsymbol { \mathbf { r } } \right\rangle / r _ { \mathrm { e q } } ^ { 2 } \stackrel { \mathrm { ~ d ~ e ~ f ~ } } { = } \left\langle \boldsymbol { \ell } \boldsymbol { \ell } \right\rangle
{ \frac { \alpha } { \beta } } \ = \ { \frac { 1 } { \ | \beta | ^ { 2 } } } \alpha { \overline { { \beta } } } \ = \ a + b i \ = \ a + { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } b + { \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } } b \omega ,
{ \cal I } _ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { \infty } d y \, y \, \phi _ { H } \, \phi _ { V } \frac { \, \alpha _ { 0 } ( 1 , s ) \alpha _ { 1 } ( r , s ) \alpha _ { 2 } ( r , s ) + y ^ { 2 } \left[ \, \alpha _ { 1 } ( r , s ) - \alpha _ { 2 } ( r , s ) + \alpha _ { 0 } ( 1 , s ) \, \right] \, } { d _ { 0 } ( 1 , s ) d _ { 1 } ( r , s ) d _ { 2 } ( r , s ) } \, ,
t _ { 1 2 } \left( e _ { 1 2 } ^ { 2 } + g _ { 1 2 } ^ { 2 } \right) = t _ { 1 } \left( e _ { 1 } ^ { 2 } + g _ { 1 } ^ { 2 } \right) + t _ { 2 } \left( e _ { 2 } ^ { 2 } + g _ { 2 } ^ { 2 } \right) .
\left[ \begin{array} { c c } { a _ { n } } \\ { b _ { n } } \end{array} \right] = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 \, - \, R _ { n \, a , b } ^ { 2 2 } \, - \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } T _ { n \, a , b } ^ { 2 1 } ( R _ { n \, a , b } ^ { 1 1 } ) ^ { p - 1 } T _ { n \, a , b } ^ { 1 2 } \right)
\begin{array} { r l } { J _ { f } ( \xi ) \mathbf { 1 } } & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \frac { f ( \xi + h \mathbf { 1 } ) - f ( \xi ) } { h } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \frac { f ( \xi ) + h \mathbf { 1 } - f ( \xi ) } { h } = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \frac { h \mathbf { 1 } } { h } = \mathbf { 1 } . } \end{array}
\alpha = \frac { I _ { 2 } ( m _ { s } , m _ { s } ) } { I _ { 2 } ( m _ { u } , m _ { u } ) } \; , \qquad \qquad \beta = \frac { I _ { 2 } ( m _ { u } , m _ { s } ) } { I _ { 2 } ( m _ { u } , m _ { u } ) }
u ^ { \prime \mu } \oplus \nu _ { 1 } ^ { \prime \mu } = \frac { u ^ { \prime \mu } + \nu _ { 1 } ^ { \prime \mu } } { \sqrt { 1 + \nu _ { 1 \mu } ^ { \prime } \nu _ { 1 } ^ { \prime \mu } + 2 u _ { \mu } ^ { \prime } \nu _ { 1 } ^ { \prime \mu } } } .
U ( t , s ) \left( \rho _ { 1 } ( s ) \otimes \rho _ { 2 } ( s ) \otimes \cdots \otimes \rho _ { N } ( s ) \right) = U ^ { ( 1 ) } ( t , s ) \rho _ { 1 } ( s ) \otimes U ^ { ( 2 ) } ( t , s ) \rho _ { 2 } ( s ) \otimes \cdots \otimes U ^ { ( N ) } ( t , s ) \rho _ { N } ( s ) .
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \boldsymbol { \lambda } \big ( \mathcal { S } _ { 2 } ( n ) \big ) } { n } = \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } \, \, \, \, \, \, \, \, \mathrm { a n d } \, \, \, \, \, \, \, \, \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \boldsymbol { \lambda } \big ( \mathcal L ( \ell _ { 2 } ^ { n } ) \big ) } { n } = \frac { \pi } { 4 } \, .
\begin{array} { r l } { f _ { \Phi } ( \phi , \eta ) } & { { } = \frac { \eta } { \sqrt { 2 \pi } } \tilde { \varphi } ( \eta ) \left( 1 + \eta \cos ( \phi ) \frac { \tilde { \Phi } ( \eta \cos ( \phi ) ) } { \tilde { \varphi } ( \eta \cos ( \phi ) ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { \phi ^ { \prime } , s } } & { = \frac { 1 } { 2 r ^ { \prime } } \{ l _ { 1 } + l _ { 2 } } \\ & { + \frac { ( l _ { 1 } - l _ { 2 } ) ( 1 - { B ( r ^ { \prime } ) } ^ { 2 } ) } { 1 + { B ( r ^ { \prime } ) } ^ { 2 } + 2 { B ( r ^ { \prime } ) } { \cos \{ ( l _ { 1 } - l _ { 2 } ) ( \phi ^ { \prime } - \frac { \pi } { 2 } ) + C ( r ^ { \prime } ) \} } } \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nu _ { 1 } ( k ) = - \frac { 1 } { 2 \pi } \ln ( 1 + r _ { 1 } ( \omega k ) r _ { 2 } ( \omega k ) ) , \qquad \nu _ { 2 } ( k ) = - \frac { 1 } { 2 \pi } \ln ( 1 + r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k ) r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k ) ) , } \\ & { \nu _ { 3 } ( k ) = - \frac { 1 } { 2 \pi } \ln ( f ( \omega k ) ) , \qquad \nu _ { 4 } ( k ) = - \frac { 1 } { 2 \pi } \ln ( f ( \omega ^ { 2 } k ) ) , } \\ & { \hat { \nu } _ { 1 } ( k ) : = \nu _ { 3 } ( k ) - \nu _ { 1 } ( k ) , \qquad \hat { \nu } _ { 2 } ( k ) = \nu _ { 2 } ( k ) + \nu _ { 3 } ( k ) - \nu _ { 4 } ( k ) . } \end{array}
\dot { p } _ { 0 } ( z , t ) = D \partial _ { z } ^ { 2 } p _ { 0 } ( z , t ) - \chi p _ { 0 } ( z , t ) + 2 \pi R _ { 0 } \xi _ { S } ( z ) - \frac { Q ( t ) } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } \partial _ { z } p _ { 0 } ( z , t ) .
\Phi = \, \left( \begin{array} { c c c } { { \pi _ { 0 } + { \frac { 1 } { \sqrt 3 } } \left( \eta _ { 8 } + \sqrt { 2 } { \frac { f _ { \pi } } { f _ { \eta _ { 0 } } } } \eta _ { 0 } \right) } } & { { \sqrt { 2 } \pi ^ { + } } } & { { \sqrt { 2 } K ^ { + } } } \\ { { \sqrt { 2 } \pi ^ { - } } } & { { - \pi _ { 0 } + { \frac { 1 } { \sqrt 3 } } \left( \eta _ { 8 } + \sqrt { 2 } { \frac { f _ { \pi } } { f _ { \eta _ { 0 } } } } \eta _ { 0 } \right) } } & { { \sqrt { 2 } K _ { 0 } } } \\ { { \sqrt { 2 } K ^ { - } } } & { { \sqrt { 2 } \bar { K } _ { 0 } } } & { { { \frac { 1 } { \sqrt 3 } } \left( - 2 \eta _ { 8 } + \sqrt { 2 } { \frac { f _ { \pi } } { f _ { \eta _ { 0 } } } } \eta _ { 0 } \right) } } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | b ^ { \nu } | | \nabla _ { x } \psi _ { R _ { 1 } } ^ { R _ { 2 } } | | \rho ^ { \nu } | ^ { q } d x d t } & { \lesssim \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } \cap ( B _ { 2 R _ { 1 } } ( 0 ) \setminus B _ { R _ { 1 } } ( 0 ) ) } \frac { | b ^ { \nu } | } { R _ { 1 } } | \rho ^ { \nu } | ^ { q } d x d t } \\ & { \quad \quad + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } \cap ( B _ { 2 R _ { 2 } } ( 0 ) \setminus B _ { R _ { 2 } } ( 0 ) ) } \frac { | b ^ { \nu } | } { R _ { 2 } } | \rho ^ { \nu } | ^ { q } d x d t } \\ & { \lesssim \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { H } \cap \{ R _ { 1 } < r < 2 R _ { 1 } \} ) } \frac { | b ^ { \nu } | } { R _ { 1 } } | \rho ^ { \nu } | ^ { q } r d r d z d t } \\ & { \quad \quad + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { H } \cap \{ R _ { 2 } < r < 2 R _ { 2 } \} } \frac { | b ^ { \nu } | } { R _ { 2 } } | \rho ^ { \nu } | ^ { q } r d r d z d t } \\ & { \lesssim \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { H } \cap \{ R _ { 1 } < r < 2 R _ { 1 } \} } | b ^ { \nu } | | \rho ^ { \nu } | ^ { q } d r d z d t } \\ & { \quad \quad + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { H } \cap \{ R _ { 2 } < r < 2 R _ { 2 } \} } | b ^ { \nu } | | \rho ^ { \nu } | ^ { q } d r d z d t } \\ & { \lesssim \| b _ { 1 } ^ { \nu } \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , T ) , L ^ { s } ( \mathbb { H } ) ) } \| \rho ^ { \nu } \| _ { L ^ { q s ^ { \prime } } ( ( 0 , T ) , L ^ { q s ^ { \prime } } ( \mathbb { H } \cap \{ r > R _ { 1 } \} ) ) } ^ { q } } \\ & { \quad \quad + \| b _ { 2 } ^ { \nu } \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , T ) , L ^ { \infty } ( \mathbb { H } ) ) } \| \rho ^ { \nu } \| _ { L ^ { q } ( ( 0 , T ) , L ^ { q } ( \mathbb { H } \cap \{ r > R _ { 1 } \} ) ) } ^ { q } } \end{array}
S = \int \mathrm { d ^ { 4 } x \, \sqrt { - g } \left[ \frac { R } { 1 6 \ p i G } - \frac { 1 } { 2 } ( \nabla _ { \ m u } \ p h i ) ( \nabla ^ { \ m u } \ p h i ) + \ o p e r a t o r n a m e { e x p } { ( A \ p h i ) } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \bar { \ p s i } _ { i } \ g a m m a ^ { \ m u } \nabla _ { \ m u } \ p s i ^ { i } \right] \, , }
\begin{array} { r l r } { { \frac { \omega _ { I - 1 , K } } { \omega _ { K I } } } } & { { } = } & { \frac { \prod _ { n = k } ^ { I - 2 } p _ { v _ { n + 1 } v _ { n } } } { \prod _ { n = k } ^ { I - 1 } p _ { v _ { n } v _ { n + 1 } } } } \end{array}
K ( p , q ; P ) _ { \alpha f , \gamma l } ^ { \beta j , \rho h } = \sum _ { i \delta } \frac { 1 } { 1 2 } \Gamma _ { 0 } \epsilon _ { \gamma \alpha \delta } \epsilon _ { l f i } i \gamma _ { 5 } C ^ { T } G ^ { T } C ^ { T } i \gamma _ { 5 } \epsilon _ { \beta \delta \rho } \epsilon _ { j i h } \Gamma _ { 0 } G \lambda _ { 0 } ^ { - 1 } .
V = \left( \begin{array} { l c r r } { { V _ { u d } } } & { { V _ { u s } } } & { { V _ { u b } } } & { { V _ { u b ^ { \prime } } } } \\ { { V _ { c d } } } & { { V _ { c s } } } & { { V _ { c b } } } & { { V _ { c b ^ { \prime } } } } \\ { { V _ { t d } } } & { { V _ { t s } } } & { { V _ { t b } } } & { { V _ { t b ^ { \prime } } } } \\ { { V _ { t ^ { \prime } d } } } & { { V _ { t ^ { \prime } s } } } & { { V _ { t ^ { \prime } b } } } & { { V _ { t ^ { \prime } b ^ { \prime } } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { c c l } { { \tilde { T } ^ { \, ( + ) } } } & { { = } } & { { i ^ { \, M } \, T \, \left( P _ { \, ( + ) } g _ { \, 2 M - 2 } ^ { \ast } g _ { \, 2 M - 1 } ^ { \ast } \, - \, i P _ { \, ( - ) } g _ { \, 2 M - 2 } g _ { \, 2 M - 1 } \right) } } \\ { { \tilde { T } ^ { \, ( - ) } } } & { { = } } & { { i ^ { \, M } \, T \, \left( P _ { \, ( + ) } g _ { \, 2 M - 2 } g _ { \, 2 M - 1 } \, + \, i P _ { \, ( - ) } g _ { \, 2 M - 2 } ^ { \ast } g _ { \, 2 M - 1 } ^ { \ast } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf b } ^ { \{ \sigma \} , T } { \bf C } ^ { \{ S \} } { \bf A } ^ { \{ S , F \} } { \bf c } ^ { \{ F \} } } & { = \frac 1 8 } \\ { { \bf b } ^ { \{ \sigma \} , T } { \bf A } ^ { \{ S , \nu \} } { \bf A } ^ { \{ S , F \} } { \bf c } ^ { \{ F \} } } & { = \frac { 1 } { 2 4 } } \\ { { \bf b } ^ { \{ \sigma \} , T } { \bf A } ^ { \{ S , F \} } { \bf C } ^ { \{ F \} } { \bf c } ^ { \{ F \} } } & { = \frac { 1 } { 1 2 } } \\ { { \bf b } ^ { \{ \sigma \} , T } { \bf A } ^ { \{ S , F \} } { \bf A } ^ { \{ F , F \} } { \bf c } ^ { \{ F \} } } & { = \frac { 1 } { 2 4 } } \\ { { \bf b } ^ { \{ F \} , T } { \bf C } ^ { \{ F \} } { \bf A } ^ { \{ F , \sigma \} } { \bf c } ^ { \{ S \} } } & { = \frac 1 8 } \\ { { \bf b } ^ { \{ F \} , T } { \bf A } ^ { \{ F , \sigma \} } { \bf C } ^ { \{ S \} } { \bf c } ^ { \{ S \} } } & { = \frac { 1 } { 1 2 } } \\ { { \bf b } ^ { \{ \sigma \} , T } { \bf A } ^ { \{ S , F \} } { \bf A } ^ { \{ F , \nu \} } { \bf c } ^ { \{ S \} } } & { = \frac { 1 } { 2 4 } } \\ { { \bf b } ^ { \{ F \} , T } { \bf A } ^ { \{ F , F \} } { \bf A } ^ { \{ F , \sigma \} } { \bf c } ^ { \{ S \} } } & { = \frac { 1 } { 2 4 } } \\ { { \bf b } ^ { \{ F \} , T } { \bf A } ^ { \{ F , \sigma \} } { \bf A } ^ { \{ S , \nu \} } { \bf c } ^ { \{ S \} } } & { = \frac { 1 } { 2 4 } } \\ { { \bf b } ^ { \{ F \} , T } { \bf A } ^ { \{ F , \sigma \} } { \bf A } ^ { \{ S , F \} } { \bf c } ^ { \{ F \} } } & { = \frac { 1 } { 2 4 } } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \textbf { E } ( z ) } \\ { \textbf { e } _ { z } \times \textbf { B } ( z ) } \end{array} \right) = \hat { M } \left( \begin{array} { l } { \textbf { E } ( 0 ) } \\ { \textbf { e } _ { z } \times \textbf { B } ( 0 ) } \end{array} \right) .
v = \frac { 1 } { 5 } \left[ \frac { 1 } { 1 2 } v _ { 0 } ^ { \prime \prime \prime } + \frac { 1 } { 1 2 } u _ { 0 } ^ { \prime \prime } v _ { 0 } ^ { \prime } + \frac { 1 } { 4 } u _ { 0 } ^ { \prime } v _ { 0 } ^ { \prime \prime } + \frac { 1 } { 6 } \left( u _ { 0 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } v _ { 0 } ^ { \prime } - \frac { 8 } { 2 7 } \left( v _ { 0 } ^ { \prime } \right) ^ { 3 } \right] \quad e t c \quad ,
W = \lambda _ { U } ^ { i j } Q _ { i } \bar { U } _ { j } h _ { 2 } + \lambda _ { D } ^ { i j } Q _ { i } \bar { D } _ { j } h _ { 1 } + \lambda _ { E } ^ { i j } L _ { i } \bar { E } _ { j } h _ { 1 } + \lambda _ { N } ^ { i j } L _ { i } \bar { \nu } _ { j } h _ { 2 } + \ldots
{ \cal T } ( y ) = \left( \begin{array} { c c c c } { { \mathrm { e } ^ { i \varphi _ { 1 } } } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { \ddots } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \ddots } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { \mathrm { e } ^ { i \varphi _ { N } } } } \end{array} \right) , \quad \mathrm { w i t h } \quad \varphi _ { i } \equiv \sum _ { b = 1 } ^ { n } { \frac { h _ { b , i } } { L ^ { b } } } y ^ { b } , \quad \sum _ { i = 1 } ^ { N } h _ { b , i } = 0 .
\begin{array} { r } { 2 ( 1 1 c ^ { * } ) ^ { p - 1 } + \frac { 1 } { 1 0 } \le 2 \frac { 1 1 ^ { p - 1 } } { 1 0 ^ { ( p - 1 ) q } } + \frac { 1 } { 1 0 } = 2 \frac { 1 1 ^ { p - 1 } } { 1 0 ^ { p } } + \frac { 1 } { 1 0 } = \frac { 2 } { 1 1 } \left( \frac { 1 1 } { 1 0 } \right) ^ { p } + \frac { 1 } { 1 0 } \le \frac { 1 } { 1 0 } \frac { 3 2 } { 1 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { 1 , } & { \mathrm { R a \it _ l } } & { < \mathrm { R a \it _ { l c r } , } } \\ & { 0 . 1 2 + 0 . 8 8 \mathrm { R a \it _ l / \mathrm { R a \it _ { l c r } , } } } & { \mathrm { R a \it _ l } } & { \in [ \mathrm { R a \it _ { l c r } , \mathrm { 1 . 2 3 \mathrm { R a \it _ { l c r } ] , } } } } \\ & { 0 . 2 7 ( \mathrm { R a \it _ l - \mathrm { R a \it _ { l c r } \mathrm { ) ^ { 0 . 2 7 } , } } } } & { \mathrm { R a \it _ l } } & { > \mathrm { 1 . 2 3 R a \it _ { l c r } , } } \end{array}
I _ { \varepsilon } ^ { 1 } \left( a \right) = \sum _ { \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } \in { \cal N } _ { \varepsilon } ^ { + } } \frac { 1 } { \rho \left( \nu _ { 1 } \right) \rho \left( \nu _ { 2 } \right) } \left[ { \LARGE i } \right] + \sum _ { \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } \in { \cal N } _ { \varepsilon } ^ { + } } \frac { 1 } { \rho \left( \nu _ { 1 } \right) \rho \left( \nu _ { 2 } \right) } \left[ { \Large i i } \right] ,
\begin{array} { r l r } { Z _ { f } } & { = } & { \int \mathcal { D } \, \psi _ { f } ^ { \dag } \left( x \right) \, \mathcal { D } \, \psi _ { f } \left( x \right) \, \, \, e ^ { - S _ { f } } } \\ & { = } & { \prod _ { x , r a } \int d \, \psi _ { f } ^ { r a \, \ast } \left( x \right) \int d \, \psi _ { f } ^ { r a } \left( x \right) \, e ^ { - S _ { f } } } \\ & { = } & { \prod _ { s } z _ { f } \left( s \right) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l l } { N } & { = } & { 2 \pi \nu ( \cosh R - 1 ) \approx \pi \nu e ^ { R } \medskip } \\ { r _ { m } ( 0 ) } & { = } & { \displaystyle 2 \ln \left[ \frac { m } { 4 \nu } + \frac { \pi } { 2 } \right] \medskip } \\ { r _ { m } ( 0 ) } & { = } & { R } \end{array} \right. \ \ \rightarrow \ \ \ \ \nu _ { 0 } \approx \frac { \pi } { 1 6 } \frac { m ^ { 2 } } { N } , \ \ R _ { 0 } \approx 2 \ln \left( \frac { 4 N } { \pi m } \right)
d s ^ { 2 } = \left( \prod _ { i = 1 } ^ { i = n } H _ { i } ^ { - 2 r _ { i } } \right) d t ^ { 2 } - \left( \prod _ { i = 1 } ^ { i = n } H _ { i } ^ { - 2 r _ { i } } \right) ^ { - \frac { 1 } { d - 3 } } d \vec { x } ^ { \ 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { S _ { j } ^ { x } } & { { } = e _ { j } ^ { \dag } g _ { j } + g _ { j } ^ { \dag } e _ { j } , } \\ { S _ { j } ^ { y } } & { { } = - i e _ { j } ^ { \dag } g _ { j } + i g _ { j } ^ { \dag } e _ { j } , } \\ { S _ { j } ^ { z } } & { { } = e _ { j } ^ { \dag } e _ { j } - g _ { j } ^ { \dag } g _ { j } . } \end{array}
\frac { - 1 } { y ^ { 3 } } \int _ { y } ^ { 0 } ( - x ) e ^ { \sqrt { 2 } x } \tilde { \mathcal { E } } _ { \infty } ( d x ) = \frac { \tilde { \mathcal { E } } _ { \infty } ( [ y , 0 ] ) } { y ^ { 2 } e ^ { - \sqrt { 2 } y } } - \frac { 1 } { y ^ { 3 } } \int _ { y } ^ { 0 } \frac { \tilde { \mathcal { E } } _ { \infty } ( [ x , 0 ] ) } { ( - x ) e ^ { - \sqrt { 2 } x } } ( \sqrt { 2 } x ^ { 2 } + x ) d x .
\frac { 1 } { \varepsilon } u ^ { n ^ { + } } ( \tau ^ { + } , n ^ { + } , t ) \theta _ { + } ( \tau ^ { + } , t ) \phi ^ { \prime } ( n ^ { + } / \varepsilon ) 1 _ { \{ \arg x \in [ \alpha , \alpha + \frac { \pi } { 2 } ] \} } .
\begin{array} { r l } { \lVert v ( T ^ { \bullet } ) - v ( s _ { k } ) \rVert _ { C ( \overline { \Omega } ) } } & { \leq \lVert v ( T ^ { \bullet } ) - v ( t _ { k } ) \rVert _ { C ( \overline { \Omega } ) } + \lVert v ( t _ { k } ) - v ( s _ { k } ) \rVert _ { C ( \overline { \Omega } ) } } \\ & { \leq \lVert v ( T ^ { \bullet } ) - v ( t _ { k } ) \rVert _ { C ( \overline { \Omega } ) } + D \lvert t _ { k } - s _ { k } \rvert ^ { \gamma } \quad \longrightarrow \quad 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Big ( t _ { \frac { 3 } { 2 } } - t _ { \frac { 1 } { 2 } } \Big ) ^ { \beta - 1 } t _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \sigma - 2 } \tau _ { \frac { 3 } { 2 } } ^ { 3 - \beta } \le \Big ( T ( \frac { 2 } { N } ) ^ { \gamma } \Big ) ^ { 2 } \Big ( \frac { 1 } { 2 } T ( \frac { 1 } { N } ) ^ { \gamma } \Big ) ^ { ( \sigma - 2 ) } = 2 ^ { 2 \gamma - 2 + \sigma } T ^ { \sigma } N ^ { - \sigma \gamma } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \left( \begin{array} { l } { X _ { 1 } } \\ { X _ { 2 } } \end{array} \right) } } & { \sim { \mathcal { N } } \left( { \left( \begin{array} { l } { \mu _ { 1 } } \\ { \mu _ { 2 } } \end{array} \right) } , \Sigma \right) , \qquad \Sigma = { \left( \begin{array} { l l } { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } & { \rho \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } \\ { \rho \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } & { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right) } } \\ { \mathrm { H } ( X _ { i } ) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \log \left( 2 \pi e \sigma _ { i } ^ { 2 } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 } } \log ( 2 \pi ) + \log \left( \sigma _ { i } \right) , \quad i \in \{ 1 , 2 \} } \\ { \mathrm { H } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \log \left[ ( 2 \pi e ) ^ { 2 } | \Sigma | \right] = 1 + \log ( 2 \pi ) + \log \left( \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } \right) + { \frac { 1 } { 2 } } \log \left( 1 - \rho ^ { 2 } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r } { \big | | a _ { \xi } ^ { \top } z ^ { \prime } | ^ { 2 } \! - \! | a _ { \xi } ^ { \top } z | ^ { 2 } \big | \! = \! ( | a _ { \xi } ^ { \top } z ^ { \prime } | \! + \! | a _ { \xi } ^ { \top } z | ) ( | a _ { \xi } ^ { \top } z ^ { \prime } | \! - \! | a _ { \xi } ^ { \top } z | ) \! \le \! ( | a _ { \xi } ^ { \top } z ^ { \prime } | \! + \! | a _ { \xi } ^ { \top } z | ) \| a _ { \xi } ^ { \top } ( z ^ { \prime } - z ) \| \! \le \! \| a _ { \xi } ^ { \top } \| ( | a _ { \xi } ^ { \top } z ^ { \prime } | \! + \! | a _ { \xi } ^ { \top } z | ) \| z ^ { \prime } \! - \! z \| . } \end{array}
\sum _ { x = 1 } ^ { N } | x \rangle \langle x | i \rangle = | i \rangle , \quad | x \rangle = \sum _ { i = 1 } ^ { N } | i \rangle \langle i | x \rangle , \quad \left( T T ^ { T } \right) _ { x y } = \langle x | \sum _ { i = 1 } ^ { N } | i \rangle \langle i | y \rangle = \delta _ { x y } .
x ( t ) = \frac { \sqrt { 2 \beta k _ { B } T } } { 2 \omega _ { m } m \sqrt { ( \zeta ^ { 2 } - 1 ) } } \Big [ e ^ { - ( \zeta - \sqrt { \zeta ^ { 2 } - 1 } ) \omega _ { m } t } + e ^ { - ( \zeta + \sqrt { \zeta ^ { 2 } - 1 } ) \omega _ { m } t } \Big ]
d _ { n } = { \frac { 1 } { b _ { 0 } ^ { n + 1 } } } { \left| \begin{array} { l l l l l } { a _ { n } } & { b _ { 1 } } & { b _ { 2 } } & { \cdots } & { b _ { n } } \\ { a _ { n - 1 } } & { b _ { 0 } } & { b _ { 1 } } & { \cdots } & { b _ { n - 1 } } \\ { a _ { n - 2 } } & { 0 } & { b _ { 0 } } & { \cdots } & { b _ { n - 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { 0 } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { b _ { 0 } } \end{array} \right| }
\begin{array} { r l r } { \phi ^ { z \rightarrow i } ( t ) } & { { } = } & { \phi ^ { z \rightarrow i } ( t - 1 ) - \beta ^ { ' } ( t ) \phi ^ { z \rightarrow i } ( t - 1 ) - \mu \phi ^ { z \rightarrow i } ( t - 1 ) + \mu \beta ^ { ' } ( t ) \phi ^ { z \rightarrow i } ( t - 1 ) + P _ { S } ^ { z \rightarrow i } ( t - 1 ) - P _ { S } ^ { z \rightarrow i } ( t ) } \end{array}
\delta E _ { \mathrm { \scriptsize ~ L S } } = m _ { e } \, \alpha ^ { 4 } \, \frac { m _ { e } ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } \, \left( c _ { W } ^ { 2 } \, \epsilon _ { \partial B } + s _ { W } ^ { 2 } \, \epsilon _ { D W } \right)
\begin{array} { r l } { W _ { 0 } } & { = \mathcal { R } _ { 1 } ( \tilde { i } _ { 2 } ) \, \mathcal { R } _ { 3 } ( \psi _ { 1 } ) \, I _ { 3 } \, \bar { Q } _ { 2 } \cdot I _ { 3 } \, \bar { Q } _ { 3 } , } \\ { W _ { 1 } } & { = \mathcal { R } _ { 1 } ( \tilde { i } _ { 2 } ) \, \mathcal { R } _ { 3 } ( \psi _ { 1 } ) \, I _ { 3 } \, M _ { 1 } \, \bar { Q } _ { 2 } \cdot I _ { 3 } \, \bar { Q } _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial _ { t } G } { N - 1 } = } & { \frac { ( 1 - p _ { d } ) } { N - 1 } z ^ { 2 } ( z + 1 ) ( z - 1 ) \partial _ { z } ^ { 3 } G } \\ & { + \frac { ( 1 - p _ { d } ) } { N - 1 } z ( z - 1 ) ( 2 + 4 z - 3 N z ) \partial _ { z } ^ { 2 } G } \\ & { - ( z - 1 ) ( ( N - 1 ) ( z + 1 ) p _ { d } + ( 1 - p _ { d } ) ( N + 2 z ( 1 - N ) ) ) \partial _ { z } G } \\ & { + N ( z - 1 ) p _ { d } G , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { E } } & { = \operatorname { R e } \langle \hat { p } ^ { T } \cdot m ^ { - 1 } \cdot ( \hat { V } ^ { \prime } - V _ { 1 } - V _ { 2 } \cdot \hat { x } ) \rangle } \\ & { = \operatorname { T r } [ m ^ { - 1 } \cdot \operatorname { R e } \langle ( \hat { V } ^ { \prime } - V _ { 1 } - V _ { 2 } \cdot \hat { x } ) \otimes \hat { p } ^ { T } \rangle ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { P } ( \phi _ { \mathbb { A } } ) = } & { \lambda _ { P } ^ { \textup { p r o } } \phi _ { \sigma } \phi _ { P } ( 1 - \phi _ { T } ) - \lambda _ { P } ^ { \textup { a p o } } \phi _ { P } - \lambda _ { P \! H } \mathcal { H } ( \sigma _ { P \! H } - \phi _ { \sigma } ) \phi _ { P } } \\ & { + \lambda _ { H \! P } \mathcal { H } ( \phi _ { \sigma } - \sigma _ { H \! P } ) \phi _ { H } , } \\ { S _ { H } ( \phi _ { \mathbb { A } } ) = } & { \lambda _ { H } ^ { \textup { p r o } } \phi _ { \sigma } \phi _ { H } ( 1 - \phi _ { T } ) - \lambda _ { H } ^ { \textup { a p o } } \phi _ { H } + \lambda _ { P \! H } \mathcal { H } ( \sigma _ { P \! H } - \phi _ { \sigma } ) \phi _ { P } } \\ & { - \lambda _ { H \! P } \mathcal { H } ( \phi _ { \sigma } - \sigma _ { H \! P } ) \phi _ { H } - \lambda _ { H \! N } \mathcal { H } ( \sigma _ { H \! N } - \phi _ { \sigma } ) \phi _ { H } , } \\ { S _ { N } ( \phi _ { \mathbb { A } } ) = } & { \lambda _ { H \! N } \mathcal { H } ( \sigma _ { H \! N } - \phi _ { \sigma } ) \phi _ { H } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \psi _ { i + 1 } ^ { ( k ) } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } ) - \psi _ { i + 1 } ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ) } \\ & { \leq - \frac { 1 } { \lambda } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - x _ { i } ^ { ( k ) } ) ^ { T } H ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - x _ { 0 } ^ { ( k ) } ) + \frac { 1 } { 2 \lambda } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - x _ { i } ^ { ( k ) } ) ^ { T } H ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } + x _ { i } ^ { ( k ) } - 2 x _ { 0 } ^ { ( k ) } ) } \\ & { \leq - \frac { 1 } { 2 \lambda } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - x _ { i } ^ { ( k ) } ) ^ { T } H ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - x _ { i } ^ { ( k ) } ) } \end{array}