harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { f _ { p , i } } & { = \delta _ { p , i } \sum _ { w \leq m - n } ( \partial W _ { p , i } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { w , w } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 } + \delta _ { p , i } \sum _ { x \leq m - n } ( \partial W _ { x , x } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , p } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 } } \\ & { \quad + \delta _ { p , i } \sum _ { w \leq m - n } ( W _ { p , i } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { w , w } ^ { ( 1 ) } t + \delta _ { p , i } \sum _ { x \leq m - n } ( W _ { x , x } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , p } ^ { ( 1 ) } t } \\ & { = \delta _ { p , i } \sum _ { w \leq m - n } \partial ( ( W _ { i , i } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { w , w } ^ { ( 1 ) } ) t ^ { 2 } + 2 \delta _ { p , i } \sum _ { w \leq m - n } ( W _ { i , i } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { w , w } ^ { ( 1 ) } t } \\ & { = 0 , } \end{array}
\frac { \partial ( u _ { \xi } ^ { ( k ) } H _ { \phi } ) } { \partial \xi } + \frac { \partial ( u _ { \phi } ^ { ( k ) } H _ { \xi } ) } { \partial \phi } + H _ { \xi } H _ { \phi } \frac { \partial u _ { z } ^ { ( k ) } } { \partial z } = 0 ,
\begin{array} { r l } { g _ { \rho } ^ { \mathrm { A I W } } ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } ) } & { = \langle M ^ { \mathrm { A I W } } ( \rho ) \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } \rangle } \\ & { = \langle \psi _ { \sigma _ { 1 } } , M ^ { \mathrm { A I W } } ( \rho ) ^ { - 1 } \psi _ { \sigma _ { 2 } } \rangle } \\ & { = \int \rho ( \theta ) \nabla _ { \theta } \psi _ { \sigma _ { 1 } } ( \theta ) ^ { T } P ( \theta , \rho ) \nabla _ { \theta } \psi _ { \sigma _ { 2 } } ( \theta ) \mathrm { d } \theta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { X } _ { t \wedge T _ { \xi } } ^ { \xi } } & { = \xi - \int _ { 0 } ^ { t \wedge T \wedge T _ { \xi } } u ( \tilde { X } _ { s } ^ { \xi } , T - s ) \textrm { d } s + \sqrt { 2 \nu } \int _ { 0 } ^ { t \wedge T \wedge T _ { \xi } } \textrm { d } B _ { s } } \\ & { = \xi - \int _ { 0 } ^ { t } 1 _ { \left\{ s < T \wedge T _ { \xi } \right\} } u ( \tilde { X } _ { s } ^ { \xi } , T - s ) \textrm { d } s + \sqrt { 2 \nu } \int _ { 0 } ^ { t } 1 _ { \left\{ s < T \wedge T _ { \xi } \right\} } \textrm { d } B _ { s } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H ^ { k } ( t , y , u _ { 1 } , u _ { 2 } , p ^ { k } , q ^ { k } , r ^ { k } ( \cdot ) , w ^ { k } , e _ { i } ) = \ f _ { k } ( t , y , u _ { 1 } , u _ { 2 } , e _ { i } ) + b ^ { T } ( t , y , u _ { 1 } , u _ { 2 } , e _ { i } ) p ^ { k } } \\ & { \qquad + t r ( \sigma ^ { T } ( t , y , u _ { 1 } , u _ { 2 } , e _ { i } ) q ^ { k } ) + \int _ { \mathbb { R } _ { N } } \sum _ { l = 1 } ^ { L } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \eta _ { n l } ( t , y , u _ { 1 } , u _ { 2 } , e _ { i } , z ) r _ { n l } ^ { k } ( t , z ) \nu _ { l } ( d z ) } \\ & { \qquad + \sum _ { j = 1 } ^ { D } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \gamma _ { n j } ( t , y , u _ { 1 } , u _ { 2 } , e _ { i } , z ) w _ { n j } ^ { k } ( t ) \mu _ { i j } , \qquad k = 1 , 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 2 } \cos ( 2 X ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \cos ( 2 [ X \cos ( 2 \pi ) + P \sin ( 2 \pi ) ] ) , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \cos ( 2 P ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \cos ( 2 [ X \cos ( \frac { 2 \pi } { 4 } ) + P \sin ( \frac { 2 \pi } { 4 } ) ] ) , } \end{array}
\mathrm { V a r } ( \mathcal { Y } ( J , \left( \gamma _ { j } \right) _ { j } , \left( T _ { j } \right) _ { j } , f ) ) = \mathrm { V a r } \left( \frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { T _ { 0 } } f ( \bar { X } _ { \underline { { s } } _ { \gamma _ { 0 } } } ^ { \gamma _ { 0 } , x } ) \mathrm { d } s \right) + \sum _ { j = 1 } ^ { J } \mathrm { V a r } \left( \frac { 1 } { T _ { j } } \int _ { 0 } ^ { T _ { j } } G _ { s } ^ { \gamma _ { j } } \mathrm { d } s \right) ,
{ \begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } = } & { \left[ { \frac { \left( \mu - b \right) \left( \mu - c \right) } { \left( \mu - \nu \right) \left( \mu - \lambda \right) } } \right] ^ { 1 / 2 } { \frac { \partial } { \partial \mu } } \left[ ( \mu - b ) ^ { 1 / 2 } ( \mu - c ) ^ { 1 / 2 } { \frac { \partial } { \partial \mu } } \right] } \\ & { + \left[ { \frac { \left( b - \nu \right) \left( c - \nu \right) } { \left( \mu - \nu \right) \left( \lambda - \nu \right) } } \right] ^ { 1 / 2 } { \frac { \partial } { \partial \nu } } \left[ ( b - \nu ) ^ { 1 / 2 } ( c - \nu ) ^ { 1 / 2 } { \frac { \partial } { \partial \nu } } \right] } \\ & { + \left[ { \frac { \left( b - \lambda \right) \left( \lambda - c \right) } { \left( \lambda - \nu \right) \left( \mu - \lambda \right) } } \right] ^ { 1 / 2 } { \frac { \partial } { \partial \lambda } } \left[ ( b - \lambda ) ^ { 1 / 2 } ( \lambda - c ) ^ { 1 / 2 } { \frac { \partial } { \partial \lambda } } \right] } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \mathbf { p } } \mathrm { g } } & { = \mathrm { g } _ { \mathbf { p } } + \left( \boldsymbol { \lambda } ^ { \mathrm { T } } \left[ \hat { \mathbf { a } } _ { \mathbf { p } } ^ { 0 } - \hat { \mathbf { T } } _ { \mathbf { p } } \hat { \mathbf { b } } \right] \right) } \\ { \hat { \mathbf { T } } ^ { \mathrm { T } } \boldsymbol { \lambda } } & { = \mathrm { g } _ { \hat { \mathbf { b } } } ^ { \mathrm { T } } } \end{array}
\times \exp \Biggl \{ \int d ^ { 4 } x \Biggl [ - \frac 1 4 { \bf F } _ { \mu \nu } ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } \left( \partial _ { \mu } \theta _ { a } - g _ { m } { \bf e } _ { a } { \bf B } _ { \mu } \right) ^ { 2 } + i k \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } \theta _ { a } ^ { \mathrm { r e g . } } \Biggr ] \Biggr \} .
f ( x , \xi ) = \frac { x ^ { - 1 / 2 } } { \xi } + \left\{ - x ^ { - 1 / 2 } + \partial _ { \xi } { \cal F } ( 2 - \xi , \: \frac { 1 } { 2 } , \: 2 \: ; 1 - x ) \Big | _ { \xi = 0 } \right\}
f ( t ) = \frac { | x _ { 0 } - a | ( 1 + \alpha ) ^ { 3 / 2 } } { 2 \sqrt { \pi A } } \frac { 1 } { t ^ { \frac { 3 + \alpha } { 2 } } } e ^ { - \frac { \big ( q A t ^ { 1 + \alpha } + ( x _ { 0 } - a ) ( 1 + \alpha ) \big ) ^ { 2 } } { 4 A ( 1 + \alpha ) t ^ { 1 + \alpha } } } .
\chi = \frac { m _ { \mathrm { C O 2 , 0 } } - m _ { \mathrm { C O 2 } } } { m _ { \mathrm { C O 2 , 0 } } } = \frac { m _ { \mathrm { C O 2 , c o n v e r t e d } } } { m _ { \mathrm { C O 2 , 0 } } }
I _ { W } ( z ) K _ { W } ( z ) = \frac { 1 } { 2 W } \left[ 1 + \frac { z ^ { 2 } / 2 } { 1 - W ^ { 2 } } - \frac { \pi ( z / 2 ) ^ { 2 W } } { W \Gamma ^ { 2 } ( W ) \sin \pi W } + O ( z ^ { 4 } , z ^ { 2 W + 2 } ) \right] .
{ \begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \, d x } & { \approx { \frac { 3 } { 8 } } h \sum _ { i = 1 } ^ { n / 3 } { \big [ } f ( x _ { 3 i - 3 } ) + 3 f ( x _ { 3 i - 2 } ) + 3 f ( x _ { 3 i - 1 } ) + f ( x _ { 3 i } ) { \big ] } } \\ & { = { \frac { 3 } { 8 } } h { \big [ } f ( x _ { 0 } ) + 3 f ( x _ { 1 } ) + 3 f ( x _ { 2 } ) + 2 f ( x _ { 3 } ) + 3 f ( x _ { 4 } ) + 3 f ( x _ { 5 } ) + 2 f ( x _ { 6 } ) + \dots + 2 f ( x _ { n - 3 } ) + 3 f ( x _ { n - 2 } ) + 3 f ( x _ { n - 1 } ) + f ( x _ { n } ) { \big ] } } \\ & { = { \frac { 3 } { 8 } } h \left[ f ( x _ { 0 } ) + 3 \sum _ { i = 1 , \ 3 \nmid i } ^ { n - 1 } f ( x _ { i } ) + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n / 3 - 1 } f ( x _ { 3 i } ) + f ( x _ { n } ) \right] . } \end{array} }
P \cdot f \left( \Gamma \right) = F \left( A \left( \Gamma \right) \right) = { \frac { \int d \Gamma ^ { \prime } \rho _ { 0 } \left( \Gamma ^ { \prime } \right) f \left( \Gamma ^ { \prime } \right) \delta \left( A \left( \Gamma ^ { \prime } \right) - A \left( \Gamma \right) \right) } { \int d \Gamma ^ { \prime } \rho _ { 0 } \left( \Gamma ^ { \prime } \right) \delta \left( A \left( \Gamma ^ { \prime } \right) - A \left( \Gamma \right) \right) } } .
\begin{array} { r l } { \Vert e \left( ( 1 - \eta ) v _ { n } + \eta ( a _ { n } + w + \psi ) \right) \Vert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { s _ { n } } ) } } & { = \Vert ( 1 - \eta ) e ( v _ { n } ) + \eta e ( w + \psi ) + \nabla \eta \odot ( w + a _ { n } - v _ { n } ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { s _ { n } } ) } } \\ & { \leq \Vert ( 1 - \eta ) e ( v _ { n } ) + \eta e ( w + \psi ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { s _ { n } } ) } + o _ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { d } _ { k } } & { : = \frac { T _ { \alpha } } 4 \partial _ { x } \mathfrak { a } _ { k - 1 } + \left\{ \mathfrak { d } _ { 0 } , \mathfrak { a } _ { k - 1 } \right\} _ { x } } \\ & { \ + \sum _ { n = 2 } ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } } \left( \frac { 1 } { n ! } \left( \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , n , \le ( k - 1 ) } - \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , n , \le ( k - 2 ) } \right) - \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } ( \mathfrak { q } _ { \omega , n - 2 , \le ( k - 1 ) } - \mathfrak { q } _ { \omega , n - 2 , \le ( k - 2 ) } ) \right) , } \\ { \mathfrak { r } _ { \mathtt { N } _ { \alpha } } } & { : = \frac { T _ { \alpha } } 4 \partial _ { x } \mathfrak { a } _ { \mathtt { N } _ { \alpha } } + \left\{ \mathfrak { d } _ { 0 } , \mathfrak { a } _ { \mathtt { N } _ { \alpha } } \right\} _ { x } + \sum _ { n = 2 } ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } } \left( \frac { 1 } { n ! } \left( \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , n , \le \mathtt { N } _ { \alpha } } - \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , n , \le \mathtt { N } _ { \alpha } - 1 } \right) - \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } ( \mathfrak { q } _ { \omega , n , \le \mathtt { N } _ { \alpha } } - \mathfrak { q } _ { \omega , n , \le \mathtt { N } _ { \alpha } - 1 } ) \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { l } { a _ { 1 1 } x _ { 1 } + \cdots + a _ { 1 n } x _ { n } = b _ { 1 } } \\ { a _ { 2 1 } x _ { 1 } + \cdots + a _ { 2 n } x _ { n } = b _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { a _ { m 1 } x _ { 1 } + \cdots + a _ { m n } x _ { n } = b _ { m } } \end{array} } .
^ { + } \mathrm { S a t } _ { G , \mathscr G ^ { \{ 1 \} } } ^ { \{ 1 \} , \lambda } : = \bigoplus _ { \substack { \lambda ^ { + } \in \Lambda ^ { \sharp , + } \, \pi ( \lambda ^ { + } ) = \lambda } } \mathrm { L i s } _ { F _ { \vartheta } ( \lambda ^ { + } ) } ( X ) \subset ^ { + } \mathrm { S a t } _ { G , \mathscr G ^ { \{ 1 \} } } ^ { \{ 1 \} } ,
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } : = } & { \, \, P . V . \int _ { B _ { r } \cap \Omega } J _ { p } ( \phi ( x + y ) - \phi ( x ) ) \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p } } = \frac { 1 } { 2 } \, P . V . \int _ { B _ { r } \cap \Omega } D _ { y } [ \phi ] ( x ) \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d - p ( 1 - s ) } } , } \\ { I _ { 2 } : = } & { \, \, P . V . \int _ { B _ { r } \cap ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } \setminus \Omega ) } J _ { p } ( \phi ( x + y ) - \phi ( x ) ) \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p } } = \frac { 1 } { 2 } \, P . V . \int _ { B _ { r } \cap ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } \setminus \Omega ) } D _ { y } [ \phi ] ( x ) \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d - p ( 1 - s ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { N } } 2 ^ { j r } | \lambda _ { j } \ast ( S _ { t } ^ { \mathbb { K } } u ) | _ { L ^ { \infty } ( \omega ) } } & { \lesssim _ { r , s } 2 ^ { N ( r - s ) } \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { N } } 2 ^ { j s } \sum _ { k = 0 } ^ { N } 2 ^ { - \frac { M } { 2 } | j - k | } | \phi _ { k } \ast u | _ { L ^ { \infty } ( \omega ) } } \\ & { \leq 2 ^ { N ( r - s ) } \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { N } } \sum _ { k = 0 } ^ { N } 2 ^ { ( s - \frac { M } { 2 } ) | j - k | } 2 ^ { k s } | \phi _ { k } \ast u | _ { L ^ { \infty } ( \omega ) } , } \end{array}
r _ { p s } = \left. \frac { E _ { r , s _ { 1 } } } { E _ { i , p _ { 1 } } } \right\vert _ { E _ { i , s _ { 1 } } = 0 } = \frac { Q _ { 2 4 } Q _ { 4 3 } - Q _ { 2 3 } Q _ { 4 4 } } { Q _ { 2 2 } Q _ { 4 4 } - Q _ { 2 4 } Q _ { 4 2 } } ,
G _ { \alpha \, \beta } ^ { 0 } \, = \, \frac { g _ { \alpha \, \beta } \, - \, { \hat { q } } _ { \alpha } \, \, { \hat { q } } _ { \beta } } { q ^ { 2 } \, \, - \, m _ { V } ^ { 2 } } \, \, = \, \, \frac { T _ { \alpha \, \beta } } { q ^ { 2 } \, \, - \, m _ { V } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \uplambda _ { e } } & { = \sum _ { i < j \in e } u _ { i } ^ { T } w u _ { j } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( \sum _ { i , j \in e } u _ { i } ^ { T } w u _ { j } - \sum _ { i \in e } u _ { i } ^ { T } w u _ { i } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( s _ { e } ^ { T } w s _ { e } - \sum _ { i \in e } u _ { i } ^ { T } w u _ { i } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 3 , 2 } ^ { * } } & { = \frac { C _ { 3 , 2 } ^ { * } } { \sum _ { q = 0 } ^ { 2 } ( 3 - q ) C _ { 3 , q } ^ { * } } ~ , } \\ { W _ { 2 , 1 } ^ { * ( \mathrm { n e s t e d } ) } } & { = \frac { \sum _ { q = 1 } ^ { 2 } q ( 3 - q ) C _ { 3 , q } ^ { * } } { 2 \sum _ { q = 0 } ^ { 2 } ( 3 - q ) C _ { 3 , q } ^ { * } } ~ , } \\ { W _ { 2 , 1 } ^ { * ( \mathrm { f r e e } ) } } & { = 1 - \frac { \sum _ { \vec { \mathbf { k } } } ( m _ { 3 } + k ^ { ( 3 ) } ) S _ { \vec { \mathbf { k } } } ^ { * } } { 2 m _ { 3 } } ~ . } \end{array}
f _ { i j } ^ { ( 1 ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { h _ { i j } ^ { ( 1 ) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } j \leq H } \\ { \mu _ { i } ^ { ( 1 ) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } j > H \ . } \end{array} \right.
\operatorname { R e } \vartheta \Big \vert _ { \beta = 0 } = \frac { \xi _ { t } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } + \eta _ { t } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } { J ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } , \qquad \qquad \operatorname { I m } \vartheta \Big \vert _ { \beta = 0 } = \frac { \eta _ { t } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } - \xi _ { t } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } { J ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \hat { \Pi } _ { \mu \nu } ( \vec { r } , t ) } & { { } = \left( i ( \Delta _ { \mu } - \Delta _ { k } ) - \gamma \right) \hat { \Pi } _ { \mu \nu } ( \vec { r } , t ) } \\ { \partial _ { t } \hat { \Pi } _ { j k } ( \vec { r } , t ) } & { { } = i ( \Delta _ { j } - \Delta _ { k } ) \hat { \Pi } _ { j k } ( \vec { r } , t ) + \delta _ { j k } \sum _ { \mu } \Gamma ( \mu \to j ) \hat { \Pi } _ { \mu \mu } ( \vec { r } , t ) } \\ { \partial _ { t } \hat { \Pi } _ { \mu j } ( \vec { r } , t ) } & { { } = \left( i ( \Delta _ { \mu } - \Delta _ { j } ) - \frac { \gamma } { 2 } \right) \hat { \Pi } _ { \mu j } ( \vec { r } , t ) } \\ { \partial _ { t } \hat { \Pi } _ { j \mu } ( \vec { r } , t ) } & { { } = \left( - i ( \Delta _ { \mu } - \Delta _ { j } ) - \frac { \gamma } { 2 } \right) \hat { \Pi } _ { j \mu } ( \vec { r } , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ A R ( x _ { t + 1 } - x ^ { * } ) } \\ { = } & { ~ A R ( x _ { t } + R ^ { \top } A ^ { \top } ( b - A R x _ { t } ) - x ^ { * } ) } \\ { = } & { ~ A R ( x _ { t } - x ^ { * } ) + A R R ^ { \top } A ^ { \top } b - A R R ^ { \top } A ^ { \top } A R x _ { t } } \\ { = } & { ~ A R ( x _ { t } - x ^ { * } ) + A R R ^ { \top } A ^ { \top } A R x ^ { * } - A R R ^ { \top } A ^ { \top } A R x _ { t } } \\ { = } & { ~ ( A R - A R R ^ { \top } A ^ { \top } A R ) ( x _ { t } - x ^ { * } ) } \\ { = } & { ~ ( U \Sigma V ^ { \top } - U \Sigma ^ { 3 } V ^ { \top } ) ( x _ { t } - x ^ { * } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \big [ \overline { { S W } } _ { p } ^ { p } ( \hat { F } _ { n , X } , F _ { X } ) \big ] } \\ & { \leq 3 ^ { p - 1 } \mathbb { E } \big [ \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq k \leq K } \mathcal { W } _ { p } ^ { p } ( \hat { F } _ { n , X } \circ u _ { k * } ^ { - 1 } , F _ { X } \circ u _ { k * } ^ { - 1 } ) \big ] + 3 ^ { p - 1 } \varepsilon ^ { p } ( \mathbb { E } \big [ M _ { p } ^ { p } ( \hat { F } _ { n , X } ) \big ] + \mathbb { E } \big [ M _ { p } ^ { p } ( F _ { X } ) \big ] ) . } \end{array}
E _ { r } : = { \left( h ^ { S } - h ^ { E } \right) } / { h ^ { S } } , \quad L _ { b 1 } : = \frac { m _ { b 1 } } { h ^ { S } } , \quad L _ { b 2 } : = \frac { m _ { b 2 } } { h ^ { Q } } .
\mathbf { Q } = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \rho _ { \mathrm { l i q } } } \, \frac { \psi _ { 1 } ^ { 3 } } { 3 \eta } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { k _ { B } T } D _ { \mathrm { b r u s h } } \psi _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { k _ { B } T } D _ { \mathrm { v a p } } \psi _ { 3 } } \end{array} \right) ,
\frac { d E _ { s , M } ( z ) } { d z } = \frac { i \omega _ { s } } { c \sqrt { \varepsilon _ { r } } } \chi ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) E _ { \omega _ { 1 } , M } E _ { \omega _ { 2 } , M } ,
\begin{array} { r l } & { \left( y - k ( x , \hat { \theta } ) \right) \sum _ { j = 1 } ^ { p } \left( \varphi _ { n + 1 , j } ( x , y ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \partial k } { \partial x _ { i } } ( x , \hat { \theta } ) \varphi _ { i , j } ( x ) \right) } \\ & { \times \left( \theta _ { j } - \bar { P } _ { j } ( \theta ) \right) \leq \epsilon \left( \theta _ { j } - \bar { P } _ { j } ( \theta ) \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 \epsilon } \left( y - k ( x , \hat { \theta } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { \times \left( \varphi _ { n + 1 , j } ( x , y ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \partial k } { \partial x _ { i } } ( x , \hat { \theta } ) \varphi _ { i , j } ( x ) \right) ^ { 2 } } \end{array}
f ( \eta ) \sim C + \tilde { a } _ { 1 } e ^ { - C \eta / 2 } + \tilde { a } _ { 2 } \left( e ^ { - C \eta / 2 } \right) ^ { 2 } + O \left( \left( e ^ { - C \eta / 2 } \right) ^ { 3 } \right) ~ \textrm { a s } \ \eta \to \infty ,
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } ^ { [ 1 ] } } & { : = \left( \int \left( \int | \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , z - w ) | \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , w - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - z ) \times \right. \right. } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left. \left. \mathbb { 1 } _ { | w - z | > \frac { 1 } { 4 } | x - y | } \mathbb { 1 } _ { | w - z | \geq \frac { 1 } { 2 } ( u - s ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \mathrm { d } w \right) ^ { p ^ { \prime } } \mathrm { d } z \right) ^ { \frac { q ^ { \prime } } { p ^ { \prime } } } } \\ & { \lesssim \left( \int \left( \int \frac { 1 } { v } \bar { p } _ { \alpha } ( v , z - w ) \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , w - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - z ) \times \right. \right. } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left. \left. \mathbb { 1 } _ { | w - z | > \frac { 1 } { 4 } | x - y | } \mathbb { 1 } _ { | w - z | \geq \frac { 1 } { 2 } ( u - s ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \mathrm { d } w \right) ^ { p ^ { \prime } } \mathrm { d } z \right) ^ { \frac { q ^ { \prime } } { p ^ { \prime } } } } \\ & { \lesssim \left( \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , x - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } ( t - s ) } \right) ^ { q ^ { \prime } } \left( \int \left( \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - z ) \int \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , w - y ) \mathrm { d } w \right) ^ { p ^ { \prime } } \mathrm { d } z \right) ^ { \frac { q ^ { \prime } } { p ^ { \prime } } } } \\ & { \lesssim \left( \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , x - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } ( t - s ) } \right) ^ { q ^ { \prime } } \left( \int \bar { p } _ { \alpha } ^ { p ^ { \prime } } ( u - s , x - z ) \mathrm { d } z \right) ^ { \frac { q ^ { \prime } } { p ^ { \prime } } } } \\ & { \lesssim \left( \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , x - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } + \frac { d q ^ { \prime } } { \alpha p } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } ( t - s ) } \right) ^ { q ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \xrightarrow { ( ) } \bigg [ A - \frac { B } { 2 } ( a _ { 1 } ^ { \dagger } + a _ { 2 } ^ { \dagger } ) + \frac { C } { 2 } ( a _ { 3 } ^ { \dagger } - a _ { 4 } ^ { \dagger } ) \bigg ] | 0 \rangle } \\ & { \xrightarrow { ( ) } \bigg [ A - \frac { B } { 2 } ( a _ { 1 } ^ { \dagger } + a _ { 2 } ^ { \dagger } ) + \frac { C } { 2 } \bigg ( \frac { C } { B - 1 } \bigg ) ( a _ { 1 } ^ { \dagger } + a _ { 2 } ^ { \dagger } ) \bigg ] | 0 \rangle . } \end{array}
\hat { B } _ { 0 : m } \longleftarrow \left[ \begin{array} { l l } { s _ { 0 } ^ { T } \hat { y _ { 0 } } } & { s _ { 0 } ^ { T } \bar { Y } _ { 1 : m } } \\ & { s _ { 0 } ^ { T } \bar { B } _ { 1 : m } } \end{array} \right] , \hat { C } _ { 0 : m } \longleftarrow \left[ \begin{array} { l l } { { s _ { 0 } ^ { T } \hat { y _ { 0 } } } } & \\ & { \bar { C } _ { 1 : m } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial L o s s _ { s } } { \partial X _ { u } ^ { [ j ] } } } & { { } = \frac { \partial L o s s _ { s } } { \partial R _ { u } ^ { [ N _ { B } ^ { u } ] } } \cdot \prod _ { k = j } ^ { ( i + 1 ) N _ { h } ^ { u } } \frac { \partial X _ { u } ^ { [ k + 1 ] } } { \partial X _ { u } ^ { [ k ] } } \cdot \prod _ { k = i + 1 } ^ { N _ { B } ^ { u } - 1 } \left[ \mathcal { K } ^ { u } + \frac { 1 } { \partial R _ { u } ^ { [ k ] } } \left( \mathcal { L } _ { k } ( R _ { u } ^ { [ k ] } ) \right) \right] , } \end{array}
\frac { \partial \phi ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) } { \partial t } = - \frac { \hbar } { 2 m } \nabla ^ { 2 } \pi ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) \; \; \; ; \; \; \; \frac { \partial \pi ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) } { \partial t } = \frac { \hbar } { 2 m } \nabla ^ { 2 } \phi ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) \; .
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle \Phi _ { f } ^ { ( a ) } ( \sigma ) | \Psi _ { f ^ { \prime } } ^ { ( a ) } ( \sigma ) \rangle = \delta _ { f f ^ { \prime } } , } \\ & { } & { \sum _ { n = 1 , 2 } | \Phi _ { n } ^ { ( a ) } ( \sigma ) \rangle \langle \Psi _ { n } ^ { ( a ) } ( \sigma ^ { \prime } ) | + \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d k | \Phi _ { k } ^ { ( a ) } ( \sigma ) \rangle \langle \Psi _ { k } ^ { ( a ) } ( \sigma ^ { \prime } ) | } \\ & { } & { = I \delta ( \sigma - \sigma ^ { \prime } ) , } \end{array}
2 \tilde { \nabla } _ { [ a } \Lambda _ { b ] } ^ { i j } = - 2 \Lambda _ { [ a } ^ { k [ i } { \Lambda _ { b ] } ^ { j ] } } _ { k } - 2 { \Sigma _ { [ a } ^ { k [ i } } { \Sigma _ { b ] } ^ { j ] } } _ { k } - \Omega _ { a b } ^ { i j }
\begin{array} { r l } { P \big ( \rho _ { r } , \rho _ { r } + \frac { 1 } { N } \big ) = } & { { } \, Q _ { C V M } \Big [ ( \rho _ { r _ { e } } , \rho _ { r _ { i } } , \rho _ { r } ) , \big ( \rho _ { r _ { e } } + \frac { 1 } { N } , \rho _ { r _ { i } } , \rho _ { r } + \frac { 1 } { N } \big ) \Big ] } \\ { P \big ( \rho _ { r } , \rho _ { r } - \frac { 1 } { N } \big ) = } & { { } \, Q _ { C V M } \Big [ ( \rho _ { r _ { e } } , \rho _ { r _ { i } } , \rho _ { r } ) , \big ( \rho _ { r _ { e } } - \frac { 1 } { N } , \rho _ { r _ { i } } , \rho _ { r } - \frac { 1 } { N } \big ) \Big ] } \\ { P ( \rho _ { r } , \rho _ { r } ) = } & { { } \, 1 - P \big ( \rho _ { r } , \rho _ { r } + \frac { 1 } { N } \big ) - P \big ( \rho _ { r } , \rho _ { r } - \frac { 1 } { N } \big ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left( \pi _ { ( m , n ) } \left( J _ { i } \right) \right) _ { a ^ { \prime } b ^ { \prime } , a b } } & { = \delta _ { b ^ { \prime } b } \left( J _ { i } ^ { ( m ) } \right) _ { a ^ { \prime } a } + \delta _ { a ^ { \prime } a } \left( J _ { i } ^ { ( n ) } \right) _ { b ^ { \prime } b } } \\ { \left( \pi _ { ( m , n ) } \left( K _ { i } \right) \right) _ { a ^ { \prime } b ^ { \prime } , a b } } & { = - i \left( \delta _ { a ^ { \prime } a } \left( J _ { i } ^ { ( n ) } \right) _ { b ^ { \prime } b } - \delta _ { b ^ { \prime } b } \left( J _ { i } ^ { ( m ) } \right) _ { a ^ { \prime } a } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r } { R ^ { T } { \bf k } = k _ { i } { \bf G } _ { i } , \qquad [ R ^ { T } { \bf k } , { \bf z } ( 0 ) ] _ { i } = ( { \bf R } _ { i } [ { \bf k } , { \bf z } ( t ) ] ) . } \end{array}
\hat { H } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \omega _ { a } } { 2 } ( 1 + \sigma _ { i } ^ { z } ) + \omega _ { c } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + g \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \hat { a } \hat { \sigma } _ { i } ^ { + } + \hat { a } ^ { \dagger } \hat { \sigma } _ { i } ^ { - } ) ,