harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { d x } { d \tau } } & { = \frac { 1 } { K ( x , y , \eta , f _ { 0 } , \epsilon ) } \Big [ 6 x \eta \left( \left( 6 4 f _ { 0 } ^ { 2 } + \epsilon \right) \eta ^ { 6 } - 4 \epsilon \eta ^ { 4 } + 5 \epsilon \eta ^ { 2 } - 2 \epsilon \right) } \\ & { - 4 8 f _ { 0 } \eta ^ { 4 } \left( \eta ^ { 2 } - 1 \right) - 8 f _ { 0 } \epsilon \eta ^ { 2 } \left( 2 \eta ^ { 4 } + 1 3 \eta ^ { 2 } - 1 5 \right) x ^ { 2 } + \left( \eta ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } x ^ { 3 } \eta } \\ & { - 2 \left( \eta ^ { 2 } - 1 \right) y ^ { 2 } \left( 2 ( \lambda - 1 2 f _ { 0 } ) \eta ^ { 2 } + \eta x \left( 1 6 f _ { 0 } \lambda + \eta ^ { 2 } ( 8 f _ { 0 } \lambda + \epsilon ) - \epsilon \right) - 2 \lambda \right) \Big ] , } \\ { \frac { d y } { d \tau } } & { = \frac { y } { K ( x , y , \eta , f _ { 0 } , \epsilon ) } \Big [ 6 \eta ^ { 3 } \left( \left( 6 4 f _ { 0 } ^ { 2 } + \epsilon \right) \eta ^ { 4 } - 2 \epsilon \eta ^ { 2 } + \epsilon \right) - 1 6 f _ { 0 } \epsilon \left( \eta ^ { 2 } - 1 \right) \eta ^ { 4 } x } \\ & { - 2 \eta \left( \eta ^ { 2 } - 1 \right) y ^ { 2 } \left( \eta ^ { 2 } ( 8 f _ { 0 } \lambda + \epsilon ) - \epsilon \right) + \eta \left( \eta ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } x ^ { 2 } + 2 \lambda x \Big ] , } \\ { \frac { d \eta } { d \tau } } & { = \frac { 1 } { K ( x , y , \eta , f _ { 0 } , \epsilon ) } \Big [ 6 \eta ^ { 2 } \left( \eta ^ { 2 } - 1 \right) \left( \left( 6 4 f _ { 0 } ^ { 2 } + \epsilon \right) \eta ^ { 4 } - 2 \epsilon \eta ^ { 2 } + \epsilon \right) } \\ & { - 1 6 f _ { 0 } \epsilon \left( \eta ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } \eta ^ { 3 } x - 2 \left( \eta ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } y ^ { 2 } \left( \eta ^ { 2 } ( 8 f _ { 0 } \lambda + \epsilon ) - \epsilon \right) + \left( \eta ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 3 } x ^ { 2 } \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lambda _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { t h e r m a l } } = 2 \pi \sqrt { \frac { \kappa _ { \parallel } T _ { 0 } } { \rho _ { 0 } { \cal L } _ { 0 } \left[ 1 - a + b - \displaystyle \frac { T _ { 0 } } { { \cal L } _ { 0 } } \frac { \partial { \cal L } _ { 0 } } { \partial T } \right] } } \mathrm { \ \ } , } \\ & { \lambda _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { a c o u s t i c } } = 2 \pi \sqrt { \frac { \kappa _ { \parallel } T _ { 0 } } { \rho _ { 0 } { \cal L } _ { 0 } \left[ \displaystyle \frac { a - 1 } { \gamma - 1 } + b - \displaystyle \frac { T _ { 0 } } { { \cal L } _ { 0 } } \frac { \partial { \cal L } _ { 0 } } { \partial T } \right] } } \mathrm { \ \ } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } _ { \boldsymbol { \alpha } } [ L _ { 2 , 1 } ( \lambda ) ] } & { = } & { \hbar ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \left[ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) \right] _ { 1 , 1 } } { \partial \lambda ^ { 2 } } + 2 \hbar L _ { 2 , 1 } ( \lambda ) \, \partial _ { \lambda } \left[ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) \right] _ { 1 , 2 } + \hbar \left[ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) \right] _ { 1 , 2 } \, \partial _ { \lambda } L _ { 2 , 1 } ( \lambda ) } \\ & { } & { - \hbar L _ { 2 , 2 } ( \lambda ) \, \partial _ { \lambda } \left[ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) \right] _ { 1 , 1 } , } \\ { \mathcal { L } _ { \boldsymbol { \alpha } } [ L _ { 2 , 2 } ( \lambda ) ] } & { = } & { \hbar ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \left[ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) \right] _ { 1 , 2 } } { \partial \lambda ^ { 2 } } + 2 \hbar \partial _ { \lambda } \left[ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) \right] _ { 1 , 1 } + \hbar L _ { 2 , 2 } ( \lambda ) \, \partial _ { \lambda } \left[ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) \right] _ { 1 , 2 } } \\ & { } & { + \hbar \left[ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) \right] _ { 1 , 2 } \, \partial _ { \lambda } L _ { 2 , 2 } ( \lambda ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { - 1 + n k } } & { = k \int _ { 0 } ^ { 2 \pi / k } \frac { \mathrm { d } \theta } { 2 \pi } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } n k \theta } \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } [ f ^ { - 1 } ( \theta ) - \theta ] } } { \sqrt { ( f ^ { - 1 } ) ^ { \prime } ( \theta ) } } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \mathrm { d } \phi } { 2 \pi } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } n \phi } G ( \phi ) , } \end{array}
( \overbrace { { \dot { q } } _ { 1 } , { \dot { q } } _ { 2 } , \dots \; \dots , { \dot { q } } _ { N } } ^ { N } , \overbrace { { \dot { q } } _ { N + 1 } , { \dot { q } } _ { N + 2 } } ^ { 2 } ) = ( \overbrace { { \dot { x } } _ { 1 } , { \dot { x } } _ { 2 } , \dots , { \dot { x } } _ { N } } ^ { N } , \overbrace { { \dot { y } } _ { 1 } , { \dot { z } } _ { 1 } } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { 2 ^ { n + 1 } ( n + 1 ) ! } } } & { { } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - z ^ { 2 } ) ^ { n + 1 } \cos ( x z ) \, \mathrm { d } z } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathscr { R } _ { \Gamma , l ; \delta } ^ { \prime } } & { : = } & { ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } x _ { l - 1 } ( \Gamma ) + \delta \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } x _ { l } ( \Gamma ) - \delta \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ] } \\ & { } & { \times ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } y _ { l - 1 } ( \Gamma ) + \delta \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } y _ { l } ( \Gamma ) - \delta \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ] . } \end{array}
\partial _ { j } g _ { a } ^ { i } \partial _ { i } g _ { b } ^ { j } = \partial _ { 3 } g _ { a } ^ { 3 } \partial _ { 3 } g _ { b } ^ { 3 } = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { ( \gamma ^ { 1 } ) ^ { 2 } } } & { - \frac { 1 } { \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } } } & { 0 } \\ { - \frac { 1 } { \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } } } & { \frac { 1 } { ( \gamma ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { H _ { P } ^ { \prime \prime } = } & { { } ( 1 + \cos k _ { x } - i \epsilon ) \Gamma _ { 1 } + ( 1 + \cos k _ { y } + i \epsilon ) \Gamma _ { 6 } - \sin k _ { x } \Gamma _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { \textup { b a } } K \log \kappa \cdot \left( 1 8 T _ { 1 } \log \frac 1 \zeta + T _ { 2 } + \sum _ { 0 \le j \le j _ { \operatorname* { m a x } } } \left( 2 ^ { - j } C ^ { \prime } \log \frac n \delta \right) \left( 2 ^ { j + 1 } T _ { 3 } \right) \right) } \\ { \le 3 6 C _ { \textup { b a } } C ^ { \prime } K \log n \left( T _ { 1 } \log n + T _ { 2 } + T _ { 3 } \log n \log \frac n \delta \right) , } \end{array}
\Re \, T _ { \omega N } ( E ) = T _ { \omega N } ( 0 ) + \frac { E ^ { 2 } } { \pi } { \cal P } \int _ { 0 } ^ { \infty } d u ^ { 2 } \frac { \Im \, T _ { \omega N } ( u ) } { u ^ { 2 } ( u ^ { 2 } - E ^ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \int \frac { 1 } { B ^ { 2 } } \nabla _ { \perp } \Phi ( r , \theta , \varphi ) \cdot \nabla _ { \perp } \tilde { \Lambda } ( r , \theta , \varphi ) r \mathrm { d } r \mathrm { d } \varphi } \\ { = } & { } & { \int \rho ( r , \theta ) \tilde { \Lambda } ( r , \theta , \varphi ) r \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overrightarrow { ( b \circ _ { N } a ) ( a \circ _ { N } b ) } } & { = \overrightarrow { \left( N ( b ) \cdot a + \overrightarrow { N ( b \cdot a ) ( b \cdot N ( a ) ) } \right) \left( N ( a ) \cdot b + \overrightarrow { N ( a \cdot b ) ( a \cdot N ( b ) ) } \right) } } \\ & { = \overrightarrow { ( N ( b ) \cdot a ) ( N ( a ) \cdot b ) } - \overrightarrow { N ( b \cdot a ) ( b \cdot N ( a ) ) } + \overrightarrow { N ( a \cdot b ) ( a \cdot N ( b ) ) } } \\ & { = \overrightarrow { ( N ( b ) \cdot a ) ( a \cdot N ( b ) ) } - \overrightarrow { N ( b \cdot a ) N ( a \cdot b ) } + \overrightarrow { ( b \cdot N ( a ) ) ( N ( a ) \cdot b ) } } \\ & { = [ N ( a ) , b ] - \vec { N } ( [ a , b ] ) + [ a , N ( b ) ] = [ a , b ] _ { N } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( J ( h + b ) ) _ { i , j } ^ { n + 1 } - J _ { i , j } ^ { n } C = } & { - C \frac { \Delta t } { 2 \Delta { \xi _ { 1 } } } \sum _ { m = 1 } ^ { p } \alpha _ { p , m } \Bigg [ \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial t } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial t } \right) _ { i + m , j } \right) } \\ & { - \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial t } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial t } \right) _ { i - m , j } \right) \Bigg ] } \\ & { - C \frac { \Delta t } { 2 \Delta { \xi _ { 2 } } } \sum _ { m = 1 } ^ { p } \alpha _ { p , m } \Bigg [ \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial t } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial t } \right) _ { i , j + m } \right) } \\ & { - \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial t } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial t } \right) _ { i , j - m } \right) \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ( \xi , t ) } & { = \sigma _ { \varepsilon } ( \xi , t ) + \int _ { D } \mathbb { P } ^ { \eta \rightarrow \xi } \left[ t < \zeta ( X ^ { \eta } \circ \tau _ { t } ) \right] W _ { \varepsilon } ( \eta , 0 ) p _ { u } ( 0 , \eta , t , \xi ) \textrm { d } \eta } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \mathbb { E } ^ { \eta \rightarrow \xi } \left[ 1 _ { \{ t - s < \zeta ( X ^ { \eta } \circ \tau _ { t } ) \} } g _ { \varepsilon } ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right] p _ { u } ( 0 , \eta , t , \xi ) \textrm { d } \eta \textrm { d } s } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 0 0 1 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } \\ { 0 0 0 } & { 0 0 1 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } \\ { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 1 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } \\ { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 1 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } \\ { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 1 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } \\ { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 1 } & { 0 0 0 } \\ { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 0 } & { 0 0 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { e _ { 0 } } \\ { e _ { 1 } } \\ { q _ { 0 } } \\ { q _ { 1 } } \\ { q _ { 2 } } \\ { q _ { 3 } } \\ { q _ { 4 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 0 6 } \\ { 9 2 4 } \\ { 0 0 6 } \\ { 0 0 7 } \\ { 0 0 9 } \\ { 9 1 6 } \\ { 0 0 3 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \sin ^ { 2 } \theta ( X , Y ) = } & { ~ 1 - \cos ^ { 2 } \theta ( X , Y ) } \\ { \leq } & { ~ 1 - \left( 1 - \frac 1 2 \| X - Y \| ^ { 2 } \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( X ) ^ { - 1 } \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( Y ) ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ 1 - \left( 1 - \| X - Y \| ^ { 2 } \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( X ) ^ { - 1 } \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( Y ) ^ { - 1 } \right) } \\ { = } & { ~ \| X - Y \| ^ { 2 } \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( X ) ^ { - 1 } \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( Y ) ^ { - 1 } , } \end{array}
\frac { \partial L ^ { * } } { \partial q _ { i } } = \frac { d } { d t } \left( \frac { \partial L ^ { * } } { \partial \dot { q } _ { i } } - \frac { d } { d t } \frac { \partial L ^ { * } } { \partial \ddot { q } _ { i } } \right) ,
\phi ( g _ { 1 } , \ldots , g _ { 4 } ) = \sum _ { N _ { 1 } \ldots N _ { 4 } } \sum _ { \Lambda } \phi _ { \cal A } ^ { N _ { 1 } \ldots N _ { 4 } \, \Lambda } \sqrt { \mathrm { d i m } _ { N _ { 1 } } \ldots \mathrm { d i m } _ { N _ { 4 } } } \left( { C } _ { \beta _ { 1 } \ldots \beta _ { 4 } } ^ { N _ { 1 } \ldots N _ { 4 } \, \Lambda } D _ { \beta _ { 1 } \gamma _ { 1 } } ^ { ( N _ { 1 } ) } ( g _ { 1 } ) \ldots D _ { \beta _ { 4 } \gamma _ { 4 } } ^ { ( N _ { 4 } ) } ( g _ { 4 } ) \ w _ { \gamma _ { 1 } } \ldots w _ { \gamma _ { 4 } } \ \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { \left\| x - \textbf { p r o x } _ { g _ { 1 } } \left( x - c - Q x + \left[ \begin{array} { l l } { C ^ { \top } } & { A ^ { \top } } \end{array} \right] y - z \right) \right\| } { 1 + \| c \| _ { \infty } } \leq \epsilon , } & { \quad \left\| w - \textbf { p r o x } _ { g _ { 2 } } \left( w - y _ { 1 : l } \right) \right\| \leq \epsilon , } \\ { \frac { \left\| \left[ \begin{array} { l } { C x + d - w } \\ { A x - b } \end{array} \right] \right\| } { 1 + \| b \| _ { \infty } + \| d \| _ { \infty } } \leq \epsilon , } & { \quad \frac { \| x - \Pi _ { \mathcal { K } } ( x + z ) \| } { 1 + \| x \| _ { \infty } + \| z \| _ { \infty } } \leq \epsilon . } \end{array}
D _ { p , p } ^ { e } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { \mathbf { x } _ { q } \in \mathcal { B } _ { \delta } ( \mathbf { x } _ { p } ) \backslash ( \mathcal { B } _ { \delta } ( \mathbf { x } _ { p } ) \cap \Omega ) } A _ { p , q } } & { \mathrm { i f ~ \mathbf { x } _ p \in ~ \Omega _ { e } ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\hat { { \delta } } _ { i } = \partial _ { i } - ( w _ { i } + \zeta _ { i } ) \partial _ { 4 } + n _ { i } \partial _ { 5 } , \qquad \hat { { \partial } } _ { 5 } = \partial _ { 5 } - \zeta _ { 5 } \partial _ { 4 } .
\begin{array} { r l r } { I ( x ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \pi } x _ { z z } ^ { 2 } ( z ) d z - 2 \int _ { 0 } ^ { \pi } x _ { z z } ( z ) f ( x ( z ) ) d z + \int _ { 0 } ^ { \pi } f ^ { 2 } ( x ( z ) ) d z } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \pi } x _ { z z } ^ { 2 } ( z ) d z + 2 \int _ { 0 } ^ { \pi } x _ { z } ^ { 2 } ( z ) \frac { \partial f } { \partial x } ( x ( z ) ) d z + \int _ { 0 } ^ { \pi } { f ^ { 2 } ( x ( z ) ) d z } } \\ & { \ge } & { \int _ { 0 } ^ { \pi } x _ { z z } ^ { 2 } ( z ) d z . } \end{array}
{ \cal K } _ { i } \rho _ { b j } = c ^ { - 2 } \left( R _ { i } \dot { \rho } { _ b j } + \dot { R } _ { i } \rho _ { b j } - \delta _ { i j } ( { \bf \dot { R } { \mathrm { \boldmath ~ \ r h o ~ } } _ { b } } ) \right) \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } m _ { t } } { \mathrm { d } t } } & { = \int \Bigl [ \rho _ { a _ { t } } P ( \rho _ { a _ { t } } ) \nabla _ { \theta } ( \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } - \log \rho _ { a _ { t } } ) \Bigr ] \mathrm { d } \theta = P ( \rho _ { a _ { t } } ) \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } [ \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] , } \\ { \frac { \mathrm { d } C _ { t } } { \mathrm { d } t } } & { = \int \nabla _ { \theta } \cdot \Bigl [ \rho _ { a _ { t } } P ( \rho _ { a _ { t } } ) \nabla _ { \theta } ( \log \rho _ { a _ { t } } - \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) \Bigr ] ( \theta - m _ { t } ) ( \theta - m _ { t } ) ^ { T } \mathrm { d } \theta } \\ & { = 2 P ( \rho _ { a _ { t } } ) + P ( \rho _ { a _ { t } } ) \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] C _ { t } + C _ { t } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] P ( \rho _ { a _ { t } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underset { p ^ { k } , \beta ^ { k } , \delta ^ { k } } { \mathrm { m i n i m i z e } } } & { \quad \mathrm { m a x } ( p _ { i } ^ { 1 } \hat { x } _ { i } ^ { 1 } ) } \\ { \mathrm { s u c h ~ t h a t } } & { \quad p ^ { k } \geq 0 , \quad \alpha p ^ { k + 1 } A ^ { k } - p ^ { k } \leq - C , } \\ & { \quad 0 < \underline { { \beta } } _ { i j } ^ { k } \leq \beta _ { i j } ^ { k } \leq \overline { { \beta } } _ { i j } ^ { k } , \ 0 < \underline { { \delta } } _ { i } ^ { k } \leq \delta _ { i } ^ { k } \leq \overline { { \delta } } _ { i } ^ { k } < \overline { { \Delta } } , } \\ & { \quad \sum _ { i j } f _ { i j } \left( \beta _ { i j } ^ { k } \right) + \sum _ { i } g _ { i } \left( \delta _ { i } ^ { k } \right) \leq \Gamma ^ { k } , } \\ & { \quad \sum _ { k = 1 } ^ { K } \biggl ( \sum _ { i j } f _ { i j } \left( \beta _ { i j } ^ { k } \right) + \sum _ { i } g _ { i } \left( \delta _ { i } ^ { k } \right) \biggr ) \leq \Gamma _ { \mathrm { t o t } } . } \end{array}
\sigma = { \left( \begin{array} { l l l l l } { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } & { x _ { 3 } } & { \cdots } & { x _ { n } } \\ { \sigma ( x _ { 1 } ) } & { \sigma ( x _ { 2 } ) } & { \sigma ( x _ { 3 } ) } & { \cdots } & { \sigma ( x _ { n } ) } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { q ( \Tilde { t } ) } & { = 0 . 0 8 \mathcal { S } ( \Tilde { t } + 2 ) - 0 . 1 2 \mathcal { S } ( \Tilde { t } + 1 ) + \mathcal { S } ( \Tilde { t } ) + 0 . 1 8 \mathcal { S } ( \Tilde { t } - 1 ) } \\ & { - 0 . 1 \mathcal { S } ( \Tilde { t } - 2 ) + 0 . 0 9 1 \mathcal { S } ( \Tilde { t } - 3 ) - 0 . 0 5 \mathcal { S } ( \Tilde { t } - 4 ) } \\ & { + 0 . 0 4 \mathcal { S } ( \Tilde { t } - 5 ) + 0 . 0 3 \mathcal { S } ( \Tilde { t } - 6 ) + 0 . 0 1 \mathcal { S } ( \Tilde { t } - 7 ) , \quad \Tilde { t } \geq 7 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U ( \Theta ) } & { { } = \frac { \lambda _ { 0 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } \left\| u _ { \Theta } - u \right\| _ { \mathcal { D } } ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } \left\| v _ { \Theta } - v \right\| _ { \mathcal { D } } ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { 2 } } { 2 \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } \left\| \frac { \mathrm { d } u _ { \Theta } } { \mathrm { d } t } - \alpha _ { \Theta } u _ { \Theta } + \beta _ { \Theta } u _ { \Theta } v _ { \Theta } \right\| _ { \mathcal { D } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { c } { { e _ { i } = A _ { i } ^ { - } A _ { i + 1 } ^ { + } , ~ ~ ~ 1 \le i \le n + 1 } } \\ { { f _ { i } = A _ { i } ^ { + } A _ { i + 1 } ^ { - } , ~ ~ ~ 1 \le i \le n + 1 } } \\ { { k _ { i } = q ^ { - N _ { A _ { i } } + N _ { A _ { i + 1 } } } , ~ ~ ~ 1 \le i \le n + 1 } } \\ { { e _ { 0 } = A _ { n + 1 } ^ { - } A _ { 1 } ^ { + } , } } \\ { { f _ { 0 } = A _ { n + 1 } ^ { + } A _ { 1 } ^ { - } , } } \\ { { k _ { 0 } = q ^ { N _ { A _ { n + 1 } } + N _ { A _ { 1 } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert f _ { \varepsilon } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } \left( 0 , T ; \mathcal { H } _ { r } ^ { m - 1 } \right) } ^ { 2 } } & { \leq \Vert f ^ { \mathrm { i n } } \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m - 1 } } ^ { 2 } + C R ^ { 2 } \Bigg ( T + \sqrt { T } R + \sqrt { T } \Lambda \left( \Vert \varrho _ { \varepsilon } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m - 2 } ) } \right) R \Bigg ) . } \end{array}
\frac { \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } / 2 t } } { \left( 2 \pi t \right) ^ { D / 2 } } = \int \frac { \mathrm { d } ^ { D } p } { \left( 2 \pi \right) ^ { D } } \; \mathrm { e } ^ { - i p \cdot x - \frac 1 2 p ^ { 2 } t } ,
\Delta _ { F m } ^ { ( 0 ) } ( x ) \stackrel { m \rightarrow 0 } { \rightarrow } - \frac { m } { 8 \pi \sqrt { x ^ { 2 } } } \left[ \frac { i } { \pi } \left( \frac { 2 } { - i m \sqrt { x ^ { 2 } } } \right) \right] = \frac { 1 } { 4 \pi x ^ { 2 } } ,
\Delta n \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } ( 2 l + 1 ) A _ { l } = \left. y \Delta n \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } - 2 \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r \partial \rho } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \rho ^ { 2 } } \right) \overline { { { \cal D } } } ( r , \rho , y ) \right| _ { r = \rho = 1 } + 1 \, { . }
\langle p , s ^ { \prime } \, \, | \, \, \bar { \psi } _ { a } ( 0 ) \hat { z } E ( 0 , z ; A ) \psi _ { a } ( z ) \, \, | \, \, p , s \rangle \, | \, _ { z ^ { 2 } = 0 } = \bar { u } ( p , s ^ { \prime } ) \hat { z } u ( p , s ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \, \left( e ^ { - i x ( p z ) } f _ { a } ( x ) - e ^ { i x ( p z ) } f _ { \bar { a } } ( x ) \right) \, d x \, ,
\begin{array} { r l } { w _ { t - 1 } } & { = w _ { t } + 6 \sigma ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 2 } w _ { t } ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { C + M _ { t } } + \frac { 6 \sigma ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 2 } } { \left( C + M _ { t } \right) ^ { 2 } } } \\ & { \le \frac { 1 } { C + M _ { t } } + \frac { \left( C + M _ { t } \right) - \left( C + M _ { t - 1 } \right) } { \left( C + M _ { t } \right) \left( C + M _ { t - 1 } \right) } } \\ & { = \frac { 1 } { C + M _ { t - 1 } } } \end{array}
{ \bf j } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \frac { i q \hbar } { 2 m } ( \psi \nabla \psi ^ { * } - \psi ^ { * } \nabla \psi ) - \frac { q ^ { 2 } } { m } \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } \psi \psi ^ { * } + g \frac { q } { 2 m } \nabla \times ( \psi ^ { * } \mathrm { ~ \bf ~ s ~ } _ { o p } \psi )
\j _ { 0 } = 0 , \quad \j _ { 1 } = - \nabla \theta ( \rho _ { 0 } , \eta _ { 0 } ) \quad \Rightarrow \quad \j = - \tau \ \nabla \theta ( \rho _ { 0 } , \eta _ { 0 } ) + O ( \tau ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { \varphi _ { i } ( t ) = \sum _ { \alpha } e ^ { - \lambda _ { \alpha } t } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { \lambda _ { \alpha } t ^ { \prime } } \sum _ { j } g _ { j } ( t ^ { \prime } ) u _ { \alpha , j } \, \mathrm { d } t ^ { \prime } \, u _ { \alpha , i } \, . } \end{array}
- { \frac { i } { 2 } } f ^ { A B C } \{ \delta ( x - y ) , [ A _ { i } , \Pi ^ { i } ] ^ { C } \} - { \frac { 1 } { 2 } } d ^ { A B C } [ \delta ( x - y ) , [ A ^ { i } , \Pi ^ { i } ] ^ { C } \}
\gamma = \Big [ 3 \Big ( \frac { 3 \alpha + 1 } { 3 n + 5 } \Big ) \Big ] ^ { 1 / 3 } \eta _ { f } ^ { - 1 / 3 } \beta ^ { - \frac { n + 2 } { 3 n + 5 } } B ^ { - \frac { 1 } { 3 n + 5 } } t ^ { - \frac { \alpha + n + 2 } { 3 n + 5 } } .
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial f } { \partial t } = - ( { \mathbf p } - { \mathbf A } ) \cdot \frac { \partial f } { \partial { \mathbf x } } + \left[ \left( \frac { \partial { \mathbf A } } { \partial \mathbf x } \right) ^ { \top } ( { \mathbf A } - { \mathbf p } ) \right] \cdot \frac { \partial f } { \partial { \mathbf p } } , } \\ & { \frac { \partial { \mathbf A } } { \partial t } = T \frac { \nabla n } { n } . } \end{array}
\forall k \in \mathbb N _ { 0 } : \quad \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } ( \epsilon \epsilon \vec { v } , \psi _ { k } \vec { \varphi } _ { i } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } \vec { \varphi } _ { i } ( x ) = \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } ( \epsilon \vec { v } , \psi _ { k } \vec { \varphi } _ { i } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } \epsilon ( x ) \vec { \varphi } _ { i } ( x )
\begin{array} { r l } { \delta _ { i + 1 } } & { = f _ { 5 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { = \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { > \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } - \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) \cdot \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { = f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) . } \end{array}