harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \| ( { \cal E } _ { 1 } y ) ( t ) + ( { \cal E } _ { 2 } y ^ { * } ) ( t ) \| ^ { 2 } } & { \leq } & { 4 { \cal M } _ { 1 } ^ { 2 } \upsilon _ { i } \lambda _ { 3 } + 4 { \cal M } _ { 2 } ^ { 2 } { t } _ { i + 1 } ^ { 2 q } \left( \frac { \lambda _ { 1 } } { q ^ { 2 } } + \frac { \lambda _ { 2 } } { t _ { i + 1 } ( 2 q - 1 ) } + \frac { 2 \hat { \cal H } \Lambda _ { \sigma } t _ { i + 1 } ^ { 2 \hat { \cal H } - 2 } } { 2 q - 1 } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { y _ { 1 1 } } & { \mathrel { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \left. { \frac { I _ { 1 } } { V _ { 1 } } } \right| _ { V _ { 2 } = 0 } } & { y _ { 1 2 } } & { \mathrel { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \left. { \frac { I _ { 1 } } { V _ { 2 } } } \right| _ { V _ { 1 } = 0 } } \\ { y _ { 2 1 } } & { \mathrel { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \left. { \frac { I _ { 2 } } { V _ { 1 } } } \right| _ { V _ { 2 } = 0 } } & { y _ { 2 2 } } & { \mathrel { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \left. { \frac { I _ { 2 } } { V _ { 2 } } } \right| _ { V _ { 1 } = 0 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { A } & { = \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { \# K _ { n } ( n ^ { 2 } , n ^ { 2 } ) } \sum _ { ( k , l ) \in K _ { n } ( n ^ { 2 } , n ^ { 2 } ) } | \widehat { \mu } ( k , l ) | ^ { 2 } + | \widehat { \nu } ( k , l ) | ^ { 2 } \geq \frac { 1 } { 4 } , } \\ { B } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { \# K _ { n } ( n ^ { 2 } , n ) } \sum _ { ( k , l ) \in K _ { n } ( n ^ { 2 } , n ) } | \widehat { \mu } ( k , l ) | ^ { 2 } = 0 , } \\ { C } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { \# K _ { n } ( n , n ^ { 2 } ) } \sum _ { ( k , l ) \in K _ { n } ( n , n ^ { 2 } ) } | \widehat { \nu } ( k , l ) | ^ { 2 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \exp \left[ \chi \left( K _ { + } + K _ { - } + 2 K _ { 0 } \right) \right] = } & { { } } \\ { \exp \left[ \frac { \chi } { 1 - \chi } \frac { 1 } { 2 } \left( a ^ { \dag } \right) ^ { 2 } \right] } & { { } \exp \left( - 2 \ln \left( 1 - \chi \right) \frac { 1 } { 4 } \left( a a ^ { \dag } + a ^ { \dag } a \right) \right) \exp \left( \frac { \chi } { 1 - \chi } \frac { 1 } { 2 } \left( a \right) ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\cdot \frac { ( a + b - \gamma ) ! } { ( b - a + \gamma ) ! } { _ 3 F } _ { 2 } \left\{ \begin{array} { l } { { - a + \alpha , c + \gamma + 1 , - c + \gamma } } \\ { { \gamma - a - b , b - a + \gamma + 1 } } \end{array} \biggr | 1 \right\} .
\frac { \partial \mathrm { g } } { \partial p _ { i } } = - \frac { 2 } { ( I _ { z } ^ { \mathrm { s c a } } ( x _ { f } , y _ { f } ; \lambda _ { o } ) ) ^ { 2 } } \Re \left\{ \frac { \partial \varphi _ { z } ^ { \mathrm { s c a } } } { \partial p _ { i } } \left( \varphi _ { z } ^ { \mathrm { s c a } } \right) ^ { * } \right\}
\begin{array} { r l } { v _ { \mathrm { r e f , x } } ^ { \sigma } ( \mathbf { r } ) } & { = \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { r } ) v _ { \mathrm { S x } } ^ { \sigma } ( \mathbf { r } ) + ( 1 - \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { r } ) ) v _ { \mathrm { f } } ^ { \sigma } ( \mathbf { r } ) , } \\ { \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { r } ) } & { = \frac { n _ { \sigma } ( \mathbf { r } ) } { \eta + n _ { \sigma } ( \mathbf { r } ) } } \end{array}
S \left[ \Phi \right] = \int d ^ { 4 } x \; \left\{ - \frac { 1 } { 2 } \left( \partial ^ { \mu } \Phi \partial _ { \mu } \Phi + m ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } \right) - \frac \lambda { 4 ! } \Phi ^ { 4 } \right\}
\frac { g } { \sqrt { 2 } } W _ { n } ^ { \rho } \: \mu _ { 0 } \sigma _ { \rho } \overline { { { \psi } } } _ { \nu , n } - \frac { g } { 2 \sqrt { 2 } } \frac { \epsilon } { 2 n } W _ { n } ^ { \rho } \: \mu _ { 0 } ^ { c } \sigma _ { \rho } \overline { { { \psi } } } _ { \nu , n }
\mathcal { L } ( \boldsymbol { p } ) = \prod _ { k = 1 } ^ { K } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \eta _ { k } ^ { 2 } } } \exp { \left( - \frac { 1 } { 2 } \frac { \left( f _ { k } ( \vec { p } ) - t _ { k } \right) ^ { 2 } } { \eta _ { k } ^ { 2 } } \right) } \, ,
\phi _ { 1 } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } r < \frac { 3 } { 1 0 } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } r \geq \frac { 3 } { 1 0 } } \end{array} \right. , \quad \phi _ { 2 } ( r ) = e ^ { - 6 r } , \quad \phi _ { 3 } ( r ) = \frac { 8 } { 5 } \bigg ( r - \frac { 1 } { 2 } \bigg ) ^ { 4 } \big ( r + 1 \big ) \big ( r - 2 \big ) ^ { 2 } ,
6 s _ { \mathrm { i m } } ^ { 2 } a _ { 4 0 0 0 } - 3 s _ { \mathrm { o b } } a _ { 2 0 0 0 } ^ { 2 } ( 2 s _ { \mathrm { i m } } a _ { 2 0 0 0 } + 1 ) ^ { 2 } - 3 s _ { \mathrm { i m } } a _ { 3 0 1 0 } + a _ { 2 0 2 0 }
g _ { h o m , 2 n } ^ { \mu , \l } = k ^ { n - n ^ { 2 } } { \prod _ { i = 1 } ^ { 2 n - 1 } ( i ! ) ^ { - 1 } } \times \operatorname * { d e t } \left\{ \frac { 1 } { \sqrt { k } } h _ { \mu , \l } ^ { ( 2 j + 2 k - 3 ) } ( 0 ) \right\} ,
\begin{array} { r l } { \int _ { T _ { \epsilon } } | H | d \mu } & { = \int _ { T _ { \epsilon } } \left| H _ { \delta } - 2 \left( \mathrm D \varphi \right) ^ { \perp } \right| _ { \delta } e ^ { \varphi } d \mu _ { \delta } } \\ & { \leq \int _ { T _ { \epsilon } } | H _ { \delta } | _ { \delta } e ^ { \varphi } d \mu _ { \delta } + \int _ { T _ { \epsilon } } \left| 2 \left( \mathrm D \varphi \right) ^ { \perp } \right| _ { \delta } e ^ { \varphi } d \mu _ { \delta } . } \end{array}
\frac { k _ { 1 } - k _ { 3 } } { \sqrt { k k _ { 0 } } } \approx \frac { k _ { 1 } } { k } \cos \alpha - \frac { k _ { 3 } } { k } \cos \beta \approx \frac { k _ { 0 } } { k } ( \cos \alpha - \cos \beta ) .
\begin{array} { r } { \rho ( O _ { m } | t _ { i _ { m } } ) = ( 1 - \textit { f r } ) \mathbb { I } [ x _ { i _ { m } } ^ { \theta _ { m } } = \sigma _ { m } ] + \textit { f r } \mathbb { I } [ x _ { i _ { m } } ^ { \theta _ { m } } \neq \sigma _ { m } ] } \end{array}
\left. - \frac { e \varepsilon _ { \delta } } { 2 \pi } \frac { d } { d \nu } \left[ \int d ^ { 3 } x d W d \theta d t ( \psi _ { 1 } ( \textbf { x } ) + \nu \hat { \chi } ( \textbf { x } ) ) F _ { e } ( x - \rho ) \right] \right\vert _ { \nu = 0 }
\mathbf { r } ( \lambda \, | \, \beta , \lambda _ { 0 } , \varphi _ { 0 } ) = { \Big ( } \cos { \lambda } \cdot \operatorname { s e c h } \psi { \Big ) } \mathbf { i } + { \Big ( } \sin { \lambda } \cdot \operatorname { s e c h } \psi { \Big ) } \mathbf { j } + { \Big ( } \operatorname { t a n h } \psi { \Big ) } \mathbf { k } \, ,
\begin{array} { l l l } { { d _ { v } } } & { { = } } & { { 2 k H + N k + N ( k + 1 ) = 2 k H + ( 2 k + 1 ) N } } \\ { { d _ { H } } } & { { = } } & { { [ \frac { 2 k ( 2 k + 1 ) } { 2 } 2 H - 2 H k ( 2 k + 1 ) ] + [ N ] + [ 2 \frac { 2 k } { 2 } ] } } \\ { { } } & { { + } } & { { [ \frac { 2 k ( 2 k + 2 ) } { 2 } 2 N - N k ( 2 k + 1 ) - N ( k + 1 ) ( 2 k + 1 ) ] } } \\ { { } } & { { = } } & { { 2 k . } } \end{array}
\mathbf { K } ^ { 0 } = \left[ \frac { i \omega Z ^ { 0 } } { \cos \theta } \frac { 1 + R } { 1 - R } \right] , \, \mathbf { K } ^ { n + 1 } = \left[ \frac { i \omega Z ^ { 0 } } { \cos \theta } \right] ,
\begin{array} { r } { \left\| \big ( I _ { 1 } \{ f _ { 1 } \} - I _ { 2 } \{ f _ { 2 } \} \big ) [ h ] \right\| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } \leqslant C \| f _ { 1 } - f _ { 2 } \| _ { C ^ { 1 + \alpha } ( \mathbb { T } ) } \| h \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \big [ \mathbb { E } [ ( C _ { k _ { 1 } } ( m , G ) - C _ { k _ { 1 } } ( m , G ^ { \prime } ) ) ( C _ { k _ { 2 } } ( m , G ) - C _ { k _ { 2 } } ( m , G ^ { \prime } ) ) | G ] ^ { 2 } \big ] } \\ & { = \frac { 1 } { m ^ { 2 } n ^ { 2 } } \mathbb { E } \bigg [ \bigg ( \sum _ { I \in [ m ] \times [ n ] } C _ { k _ { 1 } } ( m , G , I ) C _ { k _ { 2 } } ( m , G , I ) + C _ { k _ { 1 } } ^ { \ast } ( m , G , I ) C _ { k _ { 2 } } ^ { \ast } ( m , G , I ) \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \le \frac { 2 } { m ^ { 2 } n ^ { 2 } } \mathbb { E } \bigg [ \bigg ( \sum _ { I \in [ m ] \times [ n ] } C _ { k _ { 1 } } ( m , G , I ) C _ { k _ { 2 } } ( m , G , I ) \bigg ) ^ { 2 } + \bigg ( \sum _ { I \in [ m ] \times [ n ] } C _ { k _ { 1 } } ^ { \ast } ( m , G , I ) C _ { k _ { 2 } } ^ { \ast } ( m , G , I ) \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] . } \end{array}
D = { \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { a _ { 2 2 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { a _ { n n } } \end{array} \right] } , \quad L = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { a _ { 2 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { n 1 } } & { a _ { n 2 } } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right] } , \quad U = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { a _ { 1 2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { a _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right] } .
\alpha = \left( 1 + \left( 0 . 4 8 5 0 8 + 1 . 5 5 1 7 1 \, \omega - 0 . 1 5 6 1 3 \, \omega ^ { 2 } \right) \left( 1 - T _ { r } ^ { \, 0 . 5 } \right) \right) ^ { 2 }
{ \begin{array} { r l } { p ^ { \prime } } & { = | A ^ { \prime } B ^ { \prime } | + | B ^ { \prime } C ^ { \prime } | + | C ^ { \prime } A ^ { \prime } | } \\ & { = { \bigl ( } | A ^ { \prime } T _ { C } | + | B ^ { \prime } T _ { C } | { \bigr ) } + | C ^ { \prime } B ^ { \prime } | + | C ^ { \prime } A ^ { \prime } | } \\ & { = { \bigl ( } | C ^ { \prime } A ^ { \prime } | + | A ^ { \prime } T _ { B } | { \bigr ) } + { \bigl ( } | C ^ { \prime } B ^ { \prime } | + | B ^ { \prime } T _ { A } | { \bigr ) } } \\ & { = | C ^ { \prime } T _ { B } | + | C ^ { \prime } T _ { A } | , } \end{array} }
c ( l | l _ { 0 } + 1 , l _ { 1 } ; l _ { 0 } , l _ { 1 } ) = c ( l _ { 0 } + 1 , l _ { 1 } ; l _ { 0 } , l _ { 1 } ) \sqrt { ( l + l _ { 0 } + 1 ) ( l - l _ { 0 } ) } ,
D _ { \nu } G _ { ~ \mu } ^ { ( 4 ) \nu } = \kappa _ { 4 } ^ { 2 } \left( { D _ { \nu } T _ { ~ \mu } ^ { ( s ) \nu } + D _ { \nu } \tau _ { \mu } ^ { \nu } } \right) - D _ { \nu } E _ { \mu } ^ { \nu } = 0 ,
\dot { \Psi _ { i } } = ( \gamma _ { i } - | \Psi _ { i } | ^ { 2 } ) \Psi _ { i } - i U | \Psi _ { i } | ^ { 2 } \Psi _ { i } + \sum _ { j \ne i } { J } _ { i j } \Psi _ { j } + h ( t ) \Psi _ { i } ^ { * ( n - 1 ) } ,
\hat { \Lambda } _ { J I } = \sum _ { \alpha } \frac { 1 } { 2 M _ { \alpha } } \big [ 2 \, \mathcal { F } _ { J I } ^ { \alpha } ( R ) \cdot \nabla _ { \alpha } + \widetilde { \mathcal { F } } _ { J I } ^ { \alpha } ( R ) \big ]
\begin{array} { r l } { \langle \mathrm { T r } _ { V _ { N } ^ { \otimes n } } ( Z ^ { \otimes n } \mathcal { L } _ { \sigma _ { 1 } } ) \mathrm { T r } _ { V _ { N } ^ { \otimes n } } ( ( Z ^ { \dagger } ) ^ { \otimes n } \mathcal { L } _ { \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } } ) \rangle } & { = \sum _ { \gamma \in S _ { n } } \mathrm { T r } _ { V _ { N } ^ { \otimes n } } ( B ^ { \otimes n } \mathcal { L } _ { \gamma ^ { - 1 } } \mathcal { L } _ { \sigma _ { 1 } } \mathcal { L } _ { \gamma } \mathcal { L } _ { \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \mathrm { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) ) ^ { \prime } = \mathrm { H } ^ { - s , p ^ { \prime } } ( \mathbb { R } ^ { n } ) \mathrm { , ~ } ( \mathrm { B } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } ^ { n } ) ) ^ { \prime } = \mathrm { B } _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { - s } ( \mathbb { R } ^ { n } ) \mathrm { , ~ } } \\ { ( \mathcal { B } _ { p , \infty } ^ { s } ( \mathbb { R } ^ { n } ) ) ^ { \prime } = \mathrm { B } _ { p ^ { \prime } , 1 } ^ { - s } ( \mathbb { R } ^ { n } ) \mathrm { , ~ } ( \mathrm { B } _ { p , 1 } ^ { s } ( \mathbb { R } ^ { n } ) ) ^ { \prime } = \mathrm { B } _ { p ^ { \prime } , \infty } ^ { - s } ( \mathbb { R } ^ { n } ) \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \mathcal { L } _ { < } ( \Pi _ { x , t } ^ { ( \lambda ) } ) } & { > ( 1 + \varepsilon ) ( 2 \sqrt { x t \lambda } - x \lambda ) ) \le \exp ( - g ( \varepsilon ) ( \sqrt { x t \lambda } - x \lambda ) ) , } \\ { \mathbb { P } ( \mathcal { L } _ { < } ( \Pi _ { x , t } ^ { ( \lambda ) } ) } & { < ( 1 - \varepsilon ) ( 2 \sqrt { x t \lambda } - x \lambda ) ) \le \exp ( - h ( \varepsilon ) ( \sqrt { x t \lambda } - x \lambda ) ) . } \end{array}
\mathbf { A _ { 2 } } = \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { \bar { \rho } _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { \bar { u } _ { 2 } } \\ { 1 } & { 2 \bar { \rho } _ { 2 } \bar { u } _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { \bar { u } _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \scriptstyle \left( - \bar { \rho } _ { 1 } ( \gamma + 1 ) + \bar { \rho } _ { 2 } ( \gamma - 1 ) \right) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \scriptstyle \left( \bar { p } _ { 1 } ( \gamma + 1 ) + \bar { p } _ { 2 } ( \gamma - 1 ) \right) , } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { u , v } ( m _ { 3 } ) _ { u , v } ^ { p , q ; r + u , s + v } = \sum _ { \bar { j } , \bar { m } } \sum _ { i } \frac { ( - 1 ) ^ { \bar { j } - \bar { m } } N ( j _ { 1 } , m _ { 1 } ) N ( j _ { 2 } + \bar { j } , m _ { 2 } - \bar { m } ) } { N ( \bar { j } , \bar { m } ) N ( j _ { 1 } + j _ { 2 } - 1 , m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } \left\{ \begin{array} { l l l } { j _ { 2 } + \bar { j } - \frac { 1 } { 2 } } & { \bar { j } + \frac { 1 } { 2 } } & { j _ { 2 } + 2 \bar { j } - i } \\ { j _ { 1 } + j _ { 2 } - 1 } & { j _ { 1 } } & { j _ { 1 } + j _ { 2 } + \bar { j } - \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right\} } \\ & { ( - 1 ) ^ { 2 j _ { 1 } + 2 j _ { 2 } - i + 1 } \sqrt { \frac { ( 2 j _ { 1 } + 1 ) ( 2 j _ { 2 } + 2 \bar { j } ) ( 2 j _ { 2 } + 2 \bar { j } + 1 ) ( 2 j _ { 2 } + 4 \bar { j } - 2 i + 1 ) } { ( 2 j _ { 2 } + 2 \bar { j } - i ) ( 2 \bar { j } - i + 1 ) } } C _ { m _ { 2 } - \bar { m } , \bar { m } ; m _ { 2 } } ^ { j _ { 2 } + \bar { j } , \bar { j } ; j _ { 2 } + 2 \bar { j } - i } C _ { m _ { 2 } , m _ { 1 } ; m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { j _ { 2 } + 2 \bar { j } - i , j _ { 1 } ; j _ { 1 } + j _ { 2 } - 1 } . } \end{array}
\Lambda ( \partial ) ^ { * } = \Lambda _ { 0 } ^ { * } + \sum _ { l = 1 } ^ { N } ( \partial ^ { \mu _ { l } } ) ^ { * } . . . ( \partial ^ { \mu _ { 1 } } ) ^ { * } \Lambda _ { \mu _ { 1 } . . . \mu _ { l } } ^ { * } =
\boldsymbol { S } _ { D } ( \boldsymbol { r } _ { d } , t ) \! = \! ( \epsilon _ { 0 } / \mu _ { 0 } ) \, \big | \sum _ { \alpha } \boldsymbol { E } ^ { \prime ( \alpha ) } ( \boldsymbol { r } _ { d } \! - \! \boldsymbol { r } _ { \alpha } , t ) \big | ^ { 2 } \, \mathrm { ~ \textbf ~ { ~ e ~ } ~ } _ { r }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \{ C _ { i } ^ { t } \} } } & { \sum _ { i : \sum _ { \tau = t } ^ { T } X _ { n } ^ { \tau } > 0 } \log ( \sum _ { \tau = 1 } ^ { t - 1 } A _ { i } ^ { \tau , \mathrm { o r a c l e } } + C _ { i } ^ { t } ) } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { 0 \leq C _ { i } ^ { t } \leq \sum _ { \tau = t } ^ { T } X _ { i } ^ { \tau } , \quad \sum _ { n = 1 } ^ { N } C _ { i } ^ { t } \leq B ^ { t } . } \end{array}
F ^ { + } = 1 / 2 ( F _ { 1 2 } + F _ { 3 4 } ) f _ { 1 } + 1 / 2 ( F _ { 1 3 } - F _ { 2 4 } ) f _ { 2 } + 1 / 2 ( F _ { 1 4 } + F _ { 2 3 } ) f _ { 3 } .
\begin{array} { r l } { h ^ { ( t ) } ( y ) = } & { \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } + \tau _ { t } } \left\{ \hat { \phi } _ { t } ( y ) + \lambda _ { 1 } \| y \| ^ { 2 } + \tau _ { t } h ^ { ( t - 1 ) } ( y ) \right\} , } \\ { = } & { \frac { \lambda _ { 2 } } { \lambda _ { 2 } + \tau _ { t } } \left\{ \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } } \hat { \phi } _ { t } ( y ) + \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } } \| y \| ^ { 2 } \right\} + \frac { \tau _ { t } } { \lambda _ { 2 } + \tau _ { t } } h ^ { ( t - 1 ) } ( y ) , } \\ { g ^ { ( t ) } ( x ) = } & { \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } + \eta _ { t } } \left\{ \hat { \psi } _ { t } ( x ) + \lambda _ { 1 } \| x \| ^ { 2 } + \eta _ { t } g ^ { ( t - 1 ) } ( x ) \right\} , } \\ { = } & { \frac { \lambda _ { 2 } } { \lambda _ { 2 } + \eta _ { t } } \left\{ \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } } \hat { \psi } _ { t } ( x ) + \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } } \| x \| ^ { 2 } \right\} + \frac { \eta _ { t } } { \lambda _ { 2 } + \eta _ { t } } g ^ { ( t - 1 ) } ( x ) , } \\ { q _ { t } ^ { * } ( y ) \propto } & { \exp \left( - h ^ { ( t ) } ( y ) \right) , \quad p _ { t } ^ { * } ( x ) \propto \exp \left( - g ^ { ( t ) } ( x ) \right) . } \end{array}
{ \frac { d U } { d r } } = - { \frac { 1 } { 8 } } \ell ( r ) ^ { \Lambda \Sigma } { \frac { e ^ { U } } { r ^ { 2 } } } C ^ { A B } \mathrm { I m } { \cal N } _ { \Lambda \Sigma , \Gamma \Delta } f _ { ~ ~ A B } ^ { \Gamma \Delta } .
\begin{array} { r l r } { P _ { n , 3 } } & { = } & { 6 h _ { 1 } ^ { 2 } h _ { 2 } ^ { 2 } \left( - \sum _ { j < k < l } \sum _ { m + p + q = n } p _ { j , m } p _ { k , p } p _ { l , q } - \alpha _ { 0 } \sum _ { j < k } \sum _ { m + q = n } ( j - 1 ) ( m - 1 ) p _ { j , m } p _ { k , q } \right. } \\ & { } & { - \alpha _ { 0 } \sum _ { j < k } \sum _ { m + q = n } ( k - 2 ) ( q - 1 ) p _ { j , m } p _ { k , q } - \frac { \alpha _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( j - 1 ) ( j - 2 ) ( n - 1 ) ( n - 2 ) p _ { j , n } } \\ & { } & { + \frac { N - 2 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { k < l } \sum _ { m + p + q = n } p _ { j , m } p _ { k , p } p _ { l , q } + \frac { ( N - 2 ) \alpha _ { 0 } } { N } \sum _ { j , k = 1 } ^ { N } \sum _ { m + q = n } ( k - 1 ) ( q - 1 ) : p _ { j , m } p _ { k , q } } \\ & { } & { - \frac { ( N - 1 ) ( N - 2 ) } { 3 N ^ { 2 } } \sum _ { j , k , l = 1 } ^ { N } \sum _ { m + p + q = n } p _ { j , m } p _ { k , p } p _ { l , q } + \frac { ( N - 2 ) \alpha _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( j - 1 ) ( n - 1 ) ( n - 2 ) p _ { j , n } } \\ & { } & { + \frac { ( N - 2 ) \alpha _ { 0 } } { 2 } \sum _ { j < k } \sum _ { m + q = n } ( n - 2 ) p _ { j , m } p _ { k , q } - \frac { ( N - 1 ) ( N - 2 ) \alpha _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( n - 1 ) ( n - 2 ) p _ { j , n } } \\ & { } & { \left. - \frac { ( N - 1 ) ( N - 2 ) \alpha _ { 0 } } { 2 N } \sum _ { j , k = 1 } ^ { N } \sum _ { m + q = n } ( m - 1 ) p _ { j , m } p _ { k , q } \right) , } \end{array}
[ p ( \tau ) + \varepsilon ] _ { u n s t } = \frac { 2 | M _ { R } | ^ { 4 } } { \lambda _ { R } } \left\{ g \, \int _ { 0 } ^ { \eta _ { 0 } / \sqrt 2 } q ^ { 2 } d q \; \left[ \; \mid { \dot { \varphi } } _ { q } ( \tau ) \mid ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } \, q ^ { 2 } \, \mid { \varphi } _ { q } ( \tau ) \mid ^ { 2 } \right] \right\} \; .
\mathbf { A _ { 1 } } = \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { \bar { \rho } _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \bar { u } _ { 1 } } \\ { 1 } & { 2 \bar { \rho } _ { 1 } \bar { u } _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \bar { u } _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \scriptstyle \left( - \bar { \rho } _ { 2 } ( \gamma + 1 ) + \bar { \rho } _ { 1 } ( \gamma - 1 ) \right) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \scriptstyle \left( \bar { p } _ { 2 } ( \gamma + 1 ) + \bar { p } _ { 1 } ( \gamma - 1 ) \right) , } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { f _ { \mathrm { b d } } \in C ^ { 1 } ( [ 0 , h ] ) \, , \quad f _ { \mathrm { b d } } ( 0 ) = t _ { 0 } \, , \quad f _ { \mathrm { b d } } ( h ) = t _ { h } \, , } \\ & { f _ { \mathrm { b d } } ( x _ { 1 } ) \geq \operatorname* { m i n } \{ t _ { 0 } + t _ { 1 } x _ { 1 } , \, t _ { 2 } , \, t _ { h } - t _ { 3 } ( x _ { 1 } - h ) \} \qquad \, \, \mathrm { f o r ~ a l l ~ x _ 1 \in ( 0 , h ) ~ } \, , } \\ & { \| f _ { \mathrm { b d } } \| _ { 2 , \alpha , ( 0 , h ) } ^ { ( - 1 - \alpha ) , \{ 0 , h \} } \leq M \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z ( A ) } & { = \sum _ { A } e ^ { - H ( A ) } = } \\ & { = \sum _ { A } \prod _ { i , j < i } \left( x _ { i } ^ { \rightarrow } x _ { j } ^ { \leftarrow } \right) ^ { a _ { i j } ^ { \rightarrow } } \left( x _ { i } ^ { \leftarrow } x _ { j } ^ { \rightarrow } \right) ^ { a _ { i j } ^ { \leftarrow } } \left( x _ { i } ^ { \leftrightarrow } x _ { j } ^ { \leftrightarrow } \right) ^ { a _ { i j } ^ { \leftrightarrow } } = } \\ & { = \prod _ { i , j < i } \sum _ { \{ a _ { i j } \} } \left( x _ { i } ^ { \rightarrow } x _ { j } ^ { \leftarrow } \right) ^ { a _ { i j } ^ { \rightarrow } } \left( x _ { i } ^ { \leftarrow } x _ { j } ^ { \rightarrow } \right) ^ { a _ { i j } ^ { \leftarrow } } \left( x _ { i } ^ { \leftrightarrow } x _ { j } ^ { \leftrightarrow } \right) ^ { a _ { i j } ^ { \leftrightarrow } } = } \\ & { = \prod _ { i , j < i } \left( 1 + x _ { i } ^ { \rightarrow } x _ { j } ^ { \leftarrow } + x _ { i } ^ { \leftarrow } x _ { j } ^ { \rightarrow } + x _ { i } ^ { \leftrightarrow } x _ { j } ^ { \leftrightarrow } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi _ { i j } * G ( v ) \nu _ { i } \nu _ { j } \gtrsim \frac { \langle v _ { \perp } \rangle ^ { 2 } } { k _ { G } ^ { 1 7 } \langle v \rangle ^ { 3 } } = \frac { 1 } { k _ { G } ^ { 1 7 } } ( \frac { | P _ { v } \nu | ^ { 2 } } { \langle v \rangle ^ { 3 } } + \frac { | P _ { v ^ { \perp } } \nu | ^ { 2 } } { \langle v \rangle } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \alpha } ( a ) \; = } & { \; \sum _ { r = 1 } ^ { m } \frac { \log ^ { \alpha } ( r + a ) } { r + a } \; - \; \frac { \log ^ { \alpha + 1 } ( m + a ) } { \alpha + 1 } \; - \; \frac { \log ^ { \alpha } ( m + a ) } { 2 ( m + a ) } } \\ & { - \; \sum _ { j = 1 } ^ { \lfloor v / 2 \rfloor } \frac { B _ { 2 j } } { ( 2 j ) ! } f _ { \alpha } ^ { ( 2 j - 1 ) } ( m ) \; + \; ( - 1 ) ^ { v - 1 } \int _ { m } ^ { \infty } P _ { v } ( x ) f _ { \alpha } ^ { ( v ) } ( x ) \; d x , } \end{array}
\int \overline { { g } } \left| \frac { \mathcal { P } _ { a , M } W _ { 0 } \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } } { \operatorname* { m a x } ( | \omega | , | m | , 1 ) } \right| ^ { 2 } \lesssim \mathcal { S } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] + \int \overline { { g } } \frac { \left| v ^ { 2 } W _ { 0 } \left( \frac { H } { v ^ { 2 } } \right) \right| ^ { 2 } } { \operatorname* { m a x } ( | \omega | , | m | , 1 ) ^ { 2 } } .
y _ { i } ^ { \mathrm { ~ b ~ o ~ n ~ d ~ } \: ( k ) } = \frac { \sum _ { j \in A _ { i } } H _ { \mathrm { ~ n ~ } } ^ { ( k ) } ( x _ { j i } ^ { ( k ) } ) f _ { c } ( r _ { i j } | R _ { c } , \Delta _ { R _ { c } } ) } { \sum _ { j \in A _ { i } } f _ { c } ( r _ { i j } | R _ { c } , \Delta _ { R _ { c } } ) }
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { H } ^ { n } } d \beta } & { = \int _ { \mathbb { H } ^ { n } } \frac { \partial f } { \partial x ^ { i } } d x ^ { i } \wedge d x ^ { 1 } \wedge \dots \wedge \widehat { d x ^ { i } } \wedge \dots \wedge d x ^ { n } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { i - 1 } \int _ { \mathbb { H } ^ { n - 1 } } \int _ { - L } ^ { L } \frac { \partial f } { \partial x ^ { i } } | d x ^ { 1 } \dots d x ^ { n } | } \\ & { = ( - 1 ) ^ { i - 1 } \int _ { \mathbb { H } ^ { n - 1 } } ( f ( \dots , L , \dots ) - f ( \dots , - L , \dots ) ) | d x ^ { 1 } \dots d x ^ { n } | } \\ & { = ( - 1 ) ^ { i - 1 } \int _ { \mathbb { H } ^ { n - 1 } } 0 = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { P ( k ) = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { l _ { 1 } ( k ) } & { l _ { 2 } ( k ) } & { l _ { 3 } ( k ) } \\ { l _ { 1 } ( k ) ^ { 2 } } & { l _ { 2 } ( k ) ^ { 2 } } & { l _ { 3 } ( k ) ^ { 2 } } \end{array} \right) , \quad \mathsf { U } ( x , k ) = P ( k ) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { u _ { 0 x } } { 4 } - \frac { i v _ { 0 } } { 4 \sqrt { 3 } } } & { - \frac { u _ { 0 } } { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) P ( k ) . } \end{array}