harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sigma _ { T } ( X _ { 0 } ) : = } & { \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { A } ( \mathbb { R } _ { + } , \mathbb { R } ^ { n } ) } ~ ~ \int _ { 0 } ^ { T } \| x ^ { \prime } ( t ) \| d t } \\ & { ~ ~ \mathrm { s u b j e c t ~ t o } ~ ~ ~ \left\{ \begin{array} { l } { x ^ { \prime } ( t ) \in - \partial f ( x ( t ) ) , ~ \mathrm { f o r ~ a . e . } ~ t > 0 , } \\ { x ( 0 ) \in X _ { 0 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \left( | \nabla f ( x ) | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } v ( x ) f ( x ) ^ { 2 } \right) | x | ^ { n } \, \textnormal { d } x } & { \leq \left\{ \begin{array} { l l } { C , } & { n = 0 , } \\ { 4 \pi a ^ { 2 } + O ( a ^ { 4 } b ^ { - 2 } ) , } & { n = 2 , } \\ { C a ^ { 4 } \log ( b / a ) + C R _ { 0 } ^ { 2 } a ^ { 2 } , } & { n = 4 , } \end{array} \right. } \\ { \int | x | ^ { n } f \partial _ { r } f \, \textnormal { d } x } & { \leq \left\{ \begin{array} { l l } { C a , } & { n = 0 , } \\ { C a ^ { 2 } b , } & { n = 2 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { q _ { 1 } = \nabla ^ { 2 } \psi _ { 1 } + s _ { 1 } ( \psi _ { 2 } - \psi _ { 1 } ) , } \\ { q _ { 2 } = \nabla ^ { 2 } \psi _ { 2 } + s _ { 2 } ( \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } ) , } \end{array}
| \langle x \rangle | \sim | \langle y \rangle | \sim O \left( \left( \frac { g _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } v \right) \ll v _ { X } , v _ { Y } .
\begin{array} { r l r l r } { \mathrm { ~ b ~ o ~ u ~ n ~ d ~ a ~ r ~ y ~ l ~ a ~ y ~ e ~ r ~ : ~ } } & { { } } & { \{ \tilde { v } _ { 1 } ^ { - } , \tilde { b } _ { 1 } ^ { - } \} , } & { { } } & { \lambda _ { 1 } ^ { - } = k _ { 1 } - i \delta _ { 1 } ^ { - 1 } ~ , } \\ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ v ~ e ~ l ~ l ~ i ~ n ~ g ~ w ~ a ~ v ~ e ~ : ~ } } & { { } } & { \{ \tilde { v } _ { 2 } ^ { - } , \tilde { b } _ { 2 } ^ { - } \} , } & { { } } & { \lambda _ { 2 } ^ { - } = k _ { 2 } - i \delta _ { 2 } ^ { - 1 } ~ , } \end{array}
c _ { + - } ^ { ( k ) } = \tilde { c } _ { 2 } ^ { ( k ) } + \tilde { c } _ { 4 } ^ { ( k ) } \, , \quad c _ { - + } ^ { ( k ) } = \tilde { c } _ { 4 } ^ { ( k ) } - \tilde { c } _ { 2 } ^ { ( k ) } \,
{ \left[ \begin{array} { l } { c \, t ^ { \prime } } \\ { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \\ { z ^ { \prime } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \cosh \phi } & { - n _ { x } \sinh \phi } & { - n _ { y } \sinh \phi } & { - n _ { z } \sinh \phi } \\ { - n _ { x } \sinh \phi } & { 1 + ( \cosh \phi - 1 ) n _ { x } ^ { 2 } } & { ( \cosh \phi - 1 ) n _ { x } n _ { y } } & { ( \cosh \phi - 1 ) n _ { x } n _ { z } } \\ { - n _ { y } \sinh \phi } & { ( \cosh \phi - 1 ) n _ { y } n _ { x } } & { 1 + ( \cosh \phi - 1 ) n _ { y } ^ { 2 } } & { ( \cosh \phi - 1 ) n _ { y } n _ { z } } \\ { - n _ { z } \sinh \phi } & { ( \cosh \phi - 1 ) n _ { z } n _ { x } } & { ( \cosh \phi - 1 ) n _ { z } n _ { y } } & { 1 + ( \cosh \phi - 1 ) n _ { z } ^ { 2 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { c \, t } \\ { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right] } \, .
{ \frac { \partial f } { \partial r } } { \hat { \mathbf { r } } } + { \frac { 1 } { r } } { \frac { \partial f } { \partial \theta } } { \hat { \boldsymbol { \theta } } } + { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \frac { \partial f } { \partial \varphi } } { \hat { \boldsymbol { \varphi } } }
p ( x ( t _ { k } ) | x ( t _ { k - 1 } ) ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \Delta t _ { k - 1 } } } \frac { \mathrm { c o s h } ( x ( t _ { k } ) ) } { \mathrm { c o s h } ( x ( t _ { k - 1 } ) ) } \mathrm { e x p } ( - \frac { 1 } { 2 } \Delta t _ { k - 1 } ) \times \mathrm { e x p } \bigg ( - \frac { 1 } { 2 \Delta t _ { k - 1 } } ( x ( t _ { k } ) - x ( t _ { k - 1 } ) ) ^ { 2 } \bigg ) ,
\begin{array} { r l } { y _ { 1 } } & { { } = 5 x _ { 2 } } \\ { y _ { 2 } } & { { } = 4 x _ { 1 } ^ { 2 } - 2 \sin ( x _ { 2 } x _ { 3 } ) } \\ { y _ { 3 } } & { { } = x _ { 2 } x _ { 3 } } \end{array}
\Gamma _ { \mathrm { { e f f } } } \left( H ^ { \circ } \rightarrow \bar { q } q \right) = \left[ 1 - \frac { \sqrt { 2 } m _ { Z } } { C _ { 0 } m _ { q } } \left( \frac v \Lambda \right) ^ { 2 } \alpha _ { q \phi } \right] ^ { 2 } \Gamma _ { S M } \left( H ^ { \circ } \rightarrow \bar { q } q \right) ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { B } ^ { p } ( \Omega ) = \left\{ \bigoplus _ { i = 1 } ^ { 4 } \mathcal { V } _ { i } ^ { p } ( \Omega ) \right\} \oplus \left\{ \bigoplus _ { j \in \mathcal { J } } \mathcal { E } _ { j } ^ { p } ( \Omega ) \right\} \oplus \left\{ \bigoplus _ { k \in \mathcal { K } } \mathcal { F } _ { k } ^ { p } ( \Omega ) \right\} \oplus \mathcal { C } _ { 1 2 3 4 } ^ { p } ( \Omega ) \, , } \\ & { \mathcal { J } = \{ ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 4 ) \} \, , \qquad \mathcal { K } = \{ ( 1 , 2 , 3 ) , ( 1 , 2 , 4 ) , ( 1 , 3 , 4 ) , ( 2 , 3 , 4 ) \} \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta f ( \bar { x } , \Delta x ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \Big ( - \Delta x _ { i } - \Delta x _ { i + 1 } + \bar { x } _ { i } \Delta x _ { i } + \bar { x } _ { i + 1 } \Delta x _ { i + 1 } } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 1 } { 2 } \big | \bar { x } _ { i } ^ { 2 } + \bar { x } _ { i + 1 } ^ { 2 } - 1 + 2 \bar { x } _ { i } \Delta x _ { i } + 2 \bar { x } _ { i + 1 } \Delta x _ { i + 1 } \big | - \frac { 1 } { 2 } \big | \bar { x } _ { i } ^ { 2 } + \bar { x } _ { i + 1 } ^ { 2 } - 1 \big | \Big ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left< L _ { z } \right> } & { { } = \left< \vec { r } \times \vec { J } \right> = \alpha \left< f _ { y y } ^ { \mathrm { s f } } x ^ { 2 } - f _ { x x } ^ { \mathrm { s f } } y ^ { 2 } \right> = \frac { \omega _ { x } ^ { 2 } - \omega _ { y } ^ { 2 } } { f _ { x x } ^ { \mathrm { s f } } \omega _ { x } ^ { 2 } + f _ { y y } ^ { \mathrm { s f } } \omega _ { y } ^ { 2 } } \left< f _ { x x } ^ { \mathrm { s f } } y ^ { 2 } - f _ { y y } ^ { \mathrm { s f } } x ^ { 2 } \right> \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } } & { \left( { { { \bf { X } } _ { j } } \to { { { \bf { \hat { X } } } } _ { j } } \left| { { { \bf { h } } _ { j } } } \right. } \right) } \\ & { \approx \frac { 1 } { { 1 2 } } \exp \left( { - \frac { { \rho { { \left\| { \left( { { \bf { \bar { \Phi } } } \left( { { { \bf { X } } _ { j } } } \right) - { \bf { \bar { \Phi } } } \left( { { { { \bf { \hat { X } } } } _ { j } } } \right) } \right) { { \bf { h } } _ { j } } } \right\| } ^ { 2 } } } } { 4 } } \right) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 4 } \exp \left( { - \frac { { \rho { { \left\| { \left( { { \bf { \bar { \Phi } } } \left( { { { \bf { X } } _ { j } } } \right) - { \bf { \bar { \Phi } } } \left( { { { { \bf { \hat { X } } } } _ { j } } } \right) } \right) { { \bf { h } } _ { j } } } \right\| } ^ { 2 } } } } { 3 } } \right) , } \end{array}
G ^ { \alpha \beta } = { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon ^ { \alpha \beta \gamma \delta } F _ { \gamma \delta } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { - B _ { x } } & { - B _ { y } } & { - B _ { z } } \\ { B _ { x } } & { 0 } & { E _ { z } / c } & { - E _ { y } / c } \\ { B _ { y } } & { - E _ { z } / c } & { 0 } & { E _ { x } / c } \\ { B _ { z } } & { E _ { y } / c } & { - E _ { x } / c } & { 0 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l r } { A _ { 2 } ^ { \prime } } & { { } = } & { - 0 . 0 5 4 , \ A _ { 4 } ^ { \prime } = 0 \ \mathrm { f o r \ a \ p u r e } \ E 1 - E 2 \mathrm { \ t r a n s i t i o n \ a n d , } } \\ { A _ { 2 } ^ { \prime } } & { { } = } & { 0 . 1 7 5 , \ A _ { 4 } ^ { \prime } = 0 \ \mathrm { f o r \ a \ p u r e } \ E 1 - M 1 \mathrm { \ t r a n s i t i o n . } } \end{array}
\left[ \widehat { { \mathcal J } } _ { \ell / r } ^ { 0 } \left( t , \underline { { { x } } } \right) , ~ \widehat { { \mathcal J } } _ { \ell / r } ^ { 0 } \left( t , \underline { { { y } } } \right) \right] \; = \; \pm ~ i ~ \frac { q ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } ~ \left( \underline { { { B } } } \left( \underline { { { x } } } , t \right) \, \cdot \, \underline { { { \nabla } } } \right) \; \delta \left( \underline { { { x } } } - \underline { { { y } } } \right) ~ ,
\begin{array} { r l } { ( \mu \circ ( \mathrm { i d } \otimes E ) ) ( \partial _ { X : B } [ q ( X ) ] \sharp ( X \otimes 1 - 1 \otimes X ) ) } & { = b _ { 0 } X E [ b _ { 1 } \cdots X b _ { n } ] - b _ { 0 } E [ X b _ { 1 } \cdots X b _ { n } ] } \\ & { \quad + b _ { 0 } X b _ { 1 } X E [ b _ { 2 } \cdots X b _ { n } ] - b _ { 0 } X b _ { 1 } E [ X b _ { 2 } \cdots X b _ { n } ] } \\ & { \quad + b _ { 0 } X b _ { 1 } X b _ { 2 } X E [ b _ { 3 } \cdots X b _ { n } ] - b _ { 0 } X b _ { 1 } X b _ { 2 } E [ X b _ { 3 } \cdots X b _ { n } ] } \\ & { \qquad \qquad \vdots } \\ & { \quad + b _ { 0 } X b _ { 1 } X \cdots b _ { n - 1 } X E [ b _ { n } ] - b _ { 0 } X b _ { 1 } X \cdots b _ { n - 1 } E [ X b _ { n } ] } \\ & { = b _ { 0 } X E [ b _ { 1 } \cdots X b _ { n } ] - E [ q ( X ) ] } \\ & { \quad + b _ { 0 } X b _ { 1 } X E [ b _ { 2 } \cdots X b _ { n } ] - b _ { 0 } X E [ b _ { 1 } X b _ { 2 } \cdots X b _ { n } ] } \\ & { \quad + b _ { 0 } X b _ { 1 } X b _ { 2 } X E [ b _ { 3 } \cdots X b _ { n } ] - b _ { 0 } X b _ { 1 } X E [ b _ { 2 } X b _ { 3 } \cdots X b _ { n } ] } \\ & { \qquad \qquad \vdots } \\ & { \quad + q ( X ) - b _ { 0 } X b _ { 1 } X \cdots X E [ b _ { n - 1 } X b _ { n } ] } \\ & { = q ( X ) - E [ q ( X ) ] . } \end{array}
+ { \cal C } ^ { 1 \mu } S _ { \mu \nu } \bar { \cal P } _ { 2 } ^ { \nu } + \frac { 1 } { M ^ { 2 } } { \cal C } ^ { 2 \mu } P _ { \mu } P ^ { \nu } \bar { \cal P } _ { 1 \nu } + \frac { 1 } { M ^ { 2 } } { \cal C } ^ { 2 \mu } P _ { \mu } S ^ { \nu \sigma } P _ { \sigma } \bar { \cal P } _ { 2 \nu } - { \cal C } ^ { \prime } P ^ { \prime } \bar { \cal P } ^ { \prime } .
\left| \sum _ { \substack { n > N \, \mu ( n ) = 1 } } \frac { 1 } { n ^ { v } } \textnormal { L i } _ { v } \left( \frac { 1 } { x ^ { n } } \right) \right| < \sum _ { n > N } \frac { 1 } { n ^ { v } } \textnormal { L i } _ { v } \left( \frac { 1 } { x ^ { n } } \right) \leq \sum _ { n > N } \frac { 1 } { n ^ { v } } \textnormal { L i } _ { v } \left( \frac { 1 } { x _ { 0 } ^ { n } } \right) .
\begin{array} { r l } & { C \Bigg [ \underset { { M _ { N , T } } } { \underbrace { \frac { b _ { T } \log ( N ) ^ { 3 / 2 } \log ( T ) } { \sqrt { T } } + \frac { b _ { T } \log ( N ) ^ { 2 } } { \sqrt { T } } } } + \frac { \log ( N ) d _ { N } \sqrt { S _ { 2 } } } { \sqrt { T } } } \\ & { + \underset { { M _ { N , T } ^ { * } } } { \underbrace { \log ( N ) \log ( T ) \psi _ { N } ^ { 2 } \left[ d _ { N } \sqrt { \phi _ { N , T } } + \frac { N ^ { 4 / m } } { T ^ { \frac { m - 2 } { m } } } + \xi _ { N , T } \psi _ { N } ^ { 2 } \right] } } } \\ & { + \underset { { M _ { N , T } ^ { * } } } { \underbrace { ( \tilde { S } ^ { * } d _ { N } ^ { * } ) ^ { 2 } \left[ \frac { \log ( N ) ^ { 3 / 2 } \left( \log ( T ) + ( \tilde { S } ^ { * } d _ { N } ^ { * } ) ^ { \frac { 1 } { m - 1 } } \right) } { \sqrt { T } } + \frac { \log ( N ) ^ { 2 } \log ( T ) } { T ^ { \frac { m - 2 } { m } } } \right] + \sqrt { \frac { \log ( N ) ^ { 2 } \log ( T ) \log ( N T ) } { T } } } } } \\ & { + \frac { \sqrt { K } \log ( N ) d _ { N } ^ { * } \psi _ { N } ^ { 2 } } { \sqrt { T } } + \frac { 1 } { \log ( N ) } . \Bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { T } _ { R } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu R } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial R ^ { 2 } } R + \frac { \hbar ^ { 2 } \hat { \ell } ^ { 2 } } { 2 \mu R ^ { 2 } } , } \\ { \hat { T } _ { r } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu ^ { \prime } r } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } r + \frac { \hbar ^ { 2 } \hat { j } ^ { 2 } } { 2 \mu ^ { \prime } r ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { N } _ { m , r } ( f _ { \varepsilon } , \varrho _ { \varepsilon } , u _ { \varepsilon } , T ) : = \Vert f _ { \varepsilon } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } \left( 0 , T ; \mathcal { H } _ { r } ^ { m - 1 } \right) } + \Vert \varrho _ { \varepsilon } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m } ) } + \Vert u _ { \varepsilon } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m } ) \cap \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m + 1 } ) } , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { \frac { 1 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 2 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 1 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \\ { \lambda _ { 3 } } \end{array} \right) ,
f _ { h 0 } = n _ { h 0 } \left( \frac { m _ { e } } { 2 \pi T _ { h 0 } } \right) ^ { 3 / 2 } e x p \left( - \frac { m _ { e } v _ { | | } ^ { 2 } + 2 \mu B _ { 0 } } { 2 T _ { h 0 } } \right)
\begin{array} { r l } { \hat { A } ( \mathbf { k } , t ) \approx ~ } & { { } \hat { A } ( \mathbf { k } , t _ { 0 } ) \exp [ \mathrm { i } \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } - \mathrm { i } ( \Omega - \beta \omega _ { 0 } ) ( t - t _ { 0 } ) ] ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ } \\ { \hat { B } _ { s } ( \mathbf { k } , t ) \approx ~ } & { { } \hat { B } _ { s } ( \mathbf { k } , t _ { 0 } ) \exp [ \mathrm { i } \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } - \mathrm { i } ( \Omega - \beta \omega _ { 0 } ) ( t - t _ { 0 } ) ] , } \end{array}
\Sigma = \frac { N ^ { \prime 2 } } { h ^ { 2 } } \sum _ { 1 \le b _ { 1 } , b _ { 2 } \le h } | c _ { h } ( b _ { 1 } - b _ { 2 } ) | \int _ { 0 } ^ { 1 } | \Gamma _ { N , h } ( \varphi ) ( b _ { 1 } , y ) | ^ { 2 } d y \operatorname* { m a x } _ { y , y ^ { \prime } , b _ { 1 } , b _ { 2 } } | \Delta _ { h } ( b _ { 1 } , b _ { 2 } , y , y ^ { \prime } ) | .
T _ { S m , S n } ^ { + , + } = \sum _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ a ~ n ~ n ~ e ~ l ~ } = 1 } ^ { 5 } \mathcal { Z } _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ a ~ n ~ n ~ e ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ O ~ U ~ T ~ \phantom { ~ } { ~ , ~ } ~ S ~ + ~ } , \mathrm { ~ I ~ N ~ \phantom { ~ } { ~ , ~ } ~ S ~ + ~ } } \; \tilde { \chi } _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ a ~ n ~ n ~ e ~ l ~ } } ^ { S ^ { O U T } , S ^ { I N } } ( q _ { \perp } ) .
\frac { D _ { \alpha } } { C _ { \alpha } } \int _ { [ 0 , 1 ] \times [ 0 , 1 ] } \! \left\lbrack u _ { \varepsilon } ( \mathbf { y } ) - u _ { \varepsilon } ( \mathbf { x } ) \right\rbrack \sum _ { \mathbf { m } \in \mathbb { Z } ^ { 2 } } \frac { 1 } { | \mathbf { x } - ( \mathbf { y } + \mathbf { m } ) | ^ { 2 + 2 \alpha } } \, d \mathbf { y } + 1 = 0 \, ,
| | \pi _ { 0 } | \sqrt { \tau _ { 0 } } \alpha \rangle \langle \sqrt { \tau _ { 0 } } \alpha | - \pi _ { 1 } | \sqrt { \tau _ { 1 } } \alpha \rangle \langle \sqrt { \tau _ { 1 } } \alpha | | | = \sqrt { 1 - 4 \pi _ { 0 } \pi _ { 1 } | \zeta | ^ { 2 } } .
\phi _ { - 2 , 1 } ( \tau , z ) = - \frac { 2 E _ { 6 } ( \tau ) \theta _ { 0 , 1 } ( \tau , z ) } { \Delta ( \tau ) } = - \frac { 2 } { q } + 9 6 0 - 2 \sum _ { ( \gamma , \gamma ) = 2 } \zeta ^ { \gamma } + O ( q ) \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { k ( n + 2 k ) } { k + 1 } \| \mathbf { X } _ { + } f \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \geq } & { \left( \frac { 3 \lambda - 2 } { 4 } \alpha _ { n , k } - \frac { 4 ( 1 - \lambda ) } { 3 } \beta _ { n , k } - \frac { 2 9 ( 1 + \lambda ) } { 9 6 } \right) \| f \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { - \frac { 1 + \lambda } { 8 } \delta _ { n , k } ( \| \iota _ { v } f \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| \iota _ { J v } f \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \hat { \mathbf { T } } _ { n n ^ { \prime } } ^ { \ell \ell ^ { \prime } } } { \partial p _ { i } } = } & { { } } & { - \left( 1 - \delta _ { n n ^ { \prime } } \right) e ^ { j \left( \ell ^ { \prime } - \ell \right) \phi _ { n n ^ { \prime } } } \left[ j \left( \ell ^ { \prime } - \ell \right) H _ { \ell - \ell ^ { \prime } } \left( k _ { o } R _ { n n ^ { \prime } } \right) s _ { n \ell } \right. } \end{array}
C _ { \mathrm { D O S } , \mathrm { L i ^ { + } } } = e ^ { 2 } \, g _ { \mathrm { D O S } , \mathrm { L i ^ { + } } } ^ { T } ( \mu _ { \mathrm { L i ^ { + } } } ^ { \mathrm { e f f } } ) = M ( e ^ { 2 } / k T ) \, \theta \, ( 1 - \theta )
\begin{array} { r l } { \Delta } & { = \mathbb { E } [ \operatorname* { P r } ( Y _ { i 2 } = 1 \, | \, X _ { i 2 } = 1 , \alpha _ { i } ) - \operatorname* { P r } ( Y _ { i 2 } = 1 \, | \, X _ { i 2 } = 0 , \alpha _ { i } ) ] } \\ & { = \int _ { { \cal { S } } } [ F ( \theta + \alpha ) - F ( \alpha ) ] \sum _ { x _ { 1 } \in \{ 0 , 1 \} } q _ { x _ { 1 } } \pi _ { x _ { 1 } } ( \alpha ) d \mu ( \alpha ) . } \end{array}
\frac { 1 } { \sqrt { - g ^ { \prime } } } \partial _ { \mu } ( \sqrt { - g ^ { \prime } } g ^ { \prime \mu \nu } \partial _ { \nu } \phi ) + \frac { 1 } { \chi } \left[ \frac { d V _ { 1 } } { d \phi } - \frac { 1 } { \chi } \frac { d V _ { 2 } } { d \phi } + \frac { \alpha } { M _ { p } } P ( \varphi ) e ^ { \alpha \phi / M _ { p } } \right] = - \frac { h \gamma } { \sqrt { 2 } M _ { p } } \overline { { { \Psi } } } ^ { \prime } \Psi ^ { \prime } \varphi \frac { e ^ { \gamma \phi / M _ { p } } } { \chi ^ { 3 / 2 } } ;
\begin{array} { r l } { d ( \lambda ) } & { : = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & \\ & { \quad \lambda } \end{array} \right) , \qquad a ( \lambda ) : = \left( \begin{array} { l l } { \lambda } & \\ & { 1 } \end{array} \right) , } \\ { m ( \lambda ) } & { : = \left( \begin{array} { l l } { \lambda } & \\ & { \lambda ^ { - 1 } } \end{array} \right) , \qquad n ( b ) : = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { b } \\ & { 1 } \end{array} \right) , } \\ { w } & { : = \left( \begin{array} { l l } & { \, 1 } \\ { - 1 } & \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { i } ^ { F L I C } \left( t + \frac { \Delta t } { 2 } , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } \right) } & { = F _ { i } ^ { L F } \left( t + \frac { \Delta t } { 2 } , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } \right) } \\ { + \phi _ { n - \frac { 1 } { 2 } } } & { \left( F _ { i } ^ { L W } \left( t + \frac { \Delta t } { 2 } , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } \right) - F _ { i } ^ { L F } \left( t + \frac { \Delta t } { 2 } , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } \right) \right) } \\ { \phi _ { n - \frac { 1 } { 2 } } } & { = \frac { r _ { n - \frac { 1 } { 2 } } + | r _ { n - \frac { 1 } { 2 } } | } { 1 + r _ { n - \frac { 1 } { 2 } } } } \\ { r _ { n - \frac { 1 } { 2 } } } & { = \frac { M _ { i } ( t , n - 1 ; \mathbf { g } ) - M _ { i } ( t , n - 2 ; \mathbf { g } ) } { M _ { i } ( t , n ; \mathbf { g } ) - M _ { i } ( t , n - 1 ; \mathbf { g } ) } , } \end{array}
{ Q ( x , T , T ^ { * } ) = { \left( { \frac { B } { A } } e ^ { - ( \beta - \alpha ) x } \right) } ^ { 2 } \left( ( 1 + 2 \beta x ) ^ { 2 } - \widetilde { E } - 1 \right) + ( 1 + 2 \alpha x ) ^ { 2 } - \widetilde { E } - 1 }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial G } { \partial t } } & { = } & { \frac { \partial W } { \partial t } = \frac { \partial W } { \partial u } \frac { \partial u } { \partial t } + \frac { \partial W } { \partial v } \frac { \partial v } { \partial t } } \\ & { = } & { \frac { \partial W } { \partial u } + \frac { r _ { 1 } ( s - 1 ) } { s } e ^ { r _ { 1 } t } \frac { \partial W } { \partial v } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ } } } & { { } \approx \pi r _ { 2 } ^ { 2 } \mu _ { 0 } \frac { n I _ { 0 } } { 2 \sqrt { 2 } l } \omega _ { 0 } \Bigg ( 2 + \frac { 1 } { 2 } \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } \Big [ \Big ( \frac { c _ { 3 } r _ { 1 } ^ { 2 } } { c _ { 1 } } \Big ) ^ { 2 } + \Big ( \frac { c _ { 3 } } { c _ { 2 } } \Big ) ^ { 2 } ( r _ { 2 } ^ { 4 } - r _ { 1 } ^ { 4 } ) + 2 r _ { 2 } ^ { 4 } \Big ( \log \Big ( \frac { 2 c _ { 3 } } { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } \Big ) - \gamma _ { E u l e r } \Big ) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { U } } & { { } = \frac { \eta \sum _ { \ell } \zeta _ { \ell } } { \pi \Omega ^ { 1 / 3 } } \lambda _ { \nu } , } \\ { \lambda _ { V } } & { { } = \frac { \eta ( \eta - 1 ) } { 2 \pi \Omega ^ { 1 / 3 } } \lambda _ { \nu } , } \\ { \lambda _ { \nu } } & { { } = \sum _ { \nu \in G _ { 0 } } \frac 1 { \| \nu \| ^ { 2 } } \le 4 \pi N ^ { 1 / 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u } & { \ge \lambda _ { + } ( 1 + \tau \varepsilon ) \bigl ( x _ { d } + b _ { + } \bigr ) ^ { + } - \lambda _ { - } ( x _ { d } + b _ { - } \bigr ) ^ { - } } \\ & { \ge \lambda _ { + } ( 1 + \tau \varepsilon ) \bigl ( x _ { d } + b _ { + } \bigr ) ^ { + } - \lambda _ { - } ( 1 - c _ { 1 } \eta \varepsilon ) \bigl ( x _ { d } + b _ { + } \bigr ) ^ { - } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } ^ { \textrm { c l } } ( \tilde { \sigma } _ { k } ) : = } & { \left( \tilde { \sigma } _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \right) \ln \left( \tilde { \sigma } _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \right) } \\ & { - \left( \tilde { \sigma } _ { k } - \frac { 1 } { 2 } \right) \ln \left( \tilde { \sigma } _ { k } - \frac { 1 } { 2 } \right) \, , } \\ { \tilde { \sigma } _ { k } : = } & { \frac { 1 } { 2 c _ { 2 } } \operatorname* { l i m } _ { I _ { a } \to c _ { 2 } } \sigma _ { k } ^ { \textrm { c l } } \, , } \end{array}
a _ { c } \frac { d \sigma ^ { 0 } } { d \Omega } = \frac { | V _ { j 1 } | ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { 8 \sin ^ { 2 } \theta _ { W } } \frac { w } { s ^ { 2 } } \Bigg \{ \frac { \displaystyle 2 s + 4 \Delta _ { j } + 4 m _ { \tilde { \chi } _ { j } ^ { \pm } } ^ { 2 } } { s + \Delta _ { j } - w \cos \theta } { } - \frac { 8 s m _ { \tilde { \chi } _ { j } ^ { \pm } } ^ { 2 } } { ( s + \Delta _ { j } - w \cos \theta ) ^ { 2 } } - \frac { 3 s + 3 \Delta _ { j } + w \cos \theta } { 2 s } \Bigg \} ,
\begin{array} { r l } { \left[ g ( \Omega ) , \, g ^ { \dag } ( \Omega ^ { \prime } ) \right] } & { { } = 2 \pi \, \delta ( \Omega - \Omega ^ { \prime } ) , } \\ { \left\langle g ( \Omega ) \, g ^ { \dag } ( \Omega ^ { \prime } ) \right\rangle } & { { } = 2 \pi \left( n _ { T } + 1 \right) \delta ( \Omega - \Omega ^ { \prime } ) , } \\ { n _ { T } } & { { } = \frac { 1 } { e ^ { \hslash \Omega / k _ { B } T } - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { R } _ { 1 } } & { { } = } & { \sum _ { S \notin \gamma } ^ { } \frac { | \Phi _ { S } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { S } ^ { ( 0 ) } | } { E _ { \gamma } ^ { ( 0 ) } - E _ { S } ^ { ( 0 ) } } = \sum _ { S } ^ { { \mathrm { ~ d ~ e ~ n ~ o ~ m ~ . ~ } \neq 0 } } \frac { | \Phi _ { S } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { S } ^ { ( 0 ) } | } { E _ { \gamma } ^ { ( 0 ) } - E _ { S } ^ { ( 0 ) } } , } \\ { \hat { R } _ { 2 } } & { { } = } & { \sum _ { D \notin \gamma } ^ { } \frac { | \Phi _ { D } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { D } ^ { ( 0 ) } | } { E _ { \gamma } ^ { ( 0 ) } - E _ { D } ^ { ( 0 ) } } = \sum _ { D } ^ { { \mathrm { ~ d ~ e ~ n ~ o ~ m ~ . ~ } \neq 0 } } \frac { | \Phi _ { D } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { D } ^ { ( 0 ) } | } { E _ { \gamma } ^ { ( 0 ) } - E _ { D } ^ { ( 0 ) } } , } \end{array}
\left( \hat { A } _ { j } ^ { s } , \ \hat { A } _ { j + 1 } ^ { s ^ { \prime } } \right) \ \mapsto \ \left( \hat { A } _ { j } ^ { s } \hat { Z } _ { j } ^ { - 1 } , \ \hat { Z } _ { j } \hat { A } _ { j + 1 } ^ { s ^ { \prime } } \right) \ \forall \, { s , s ^ { \prime } } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad j \in [ 1 , L - 1 ]
{ \frac { b } { h ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { h } ( h - y ) ^ { 2 } \, d y = { \frac { - b } { 3 h ^ { 2 } } } ( h - y ) ^ { 3 } { \bigg | } _ { 0 } ^ { h } = { \frac { 1 } { 3 } } b h .
\begin{array} { r l } { \mathrm { S } _ { 2 } } & { \leq \underset { k \in \dot { \mathbb Z } ^ { d } } { \operatorname* { s u p } } \underset { 0 \leq s \leq T } { \operatorname* { s u p } } \int _ { s } ^ { T } \frac { ( t - s ) ^ { 2 q } \vert k \vert ^ { 1 + 2 q } } { ( 1 + \vert k \vert ( t - s ) ) ^ { \alpha _ { 1 } } } \, \mathrm { d } t } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \underset { 0 \leq s \leq T } { \operatorname* { s u p } } \underset { s \leq t \leq T } { \operatorname* { s u p } } \left( \sum _ { \ell \in \mathbb Z ^ { d } } \underset { \xi } { \operatorname* { s u p } } \, \left\lbrace ( 1 + \vert m \vert ^ { \alpha _ { 2 } } ) ( 1 + \vert \xi \vert ^ { \alpha _ { 1 } } ) \vert ( \mathcal { F } _ { x , v } \mathcal { G } ) ( t , s , \ell , \xi ) \vert \right\rbrace ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}