harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \nabla _ { n } p _ { j _ { 1 } \cdots j _ { l } n \cdots n } ( \hat { x } , x ^ { n } ) } & { = \frac { m } { m - l } f _ { j _ { 1 } \cdots j _ { l } n \cdots n n } ( \hat { x } , 0 ) } \\ & { \quad - \frac { m } { m - l } x ^ { n } \sum _ { s = 1 } ^ { l } \Gamma _ { n j _ { s } } ^ { k } f _ { j _ { 1 } \cdots k \cdots j _ { l } n \cdots n n } ( \hat { x } , 0 ) } \\ & { \quad - \frac { m } { m - l } x ^ { n } \sum _ { s = l + 1 } ^ { m - 1 } \Gamma _ { n n } ^ { k } f _ { j _ { 1 } \cdots j _ { l } n \cdots k \cdots n n } ( \hat { x } , 0 ) . } \end{array}
D _ { H } ( P _ { m } ^ { i } , P _ { n } ^ { i } ) = M a x \{ \operatorname* { s u p } _ { a _ { m } \in P _ { m } ^ { i } } d ( a _ { m } , P _ { n } ^ { i } ) , \operatorname* { s u p } _ { a _ { n } \in P _ { n } ^ { i } } d ( P _ { m } ^ { i } , a _ { n } ) \}
\begin{array} { r l } { f ( z ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( \operatorname { t a n h } { z } + 1 \right) , } \\ { f ( z ) } & { { } = \frac { 1 } { \pi } \left( \arctan { z } + \frac { \pi } { 2 } \right) . } \end{array}
\mathbf { Q } _ { \mathbf { X X } } = { \frac { 1 } { n } } \mathbf { M } _ { \mathbf { X } } \mathbf { M } _ { \mathbf { X } } ^ { \mathrm { { T } } } , \qquad \mathbf { Q } _ { \mathbf { X Y } } = { \frac { 1 } { n } } \mathbf { M } _ { \mathbf { X } } \mathbf { M } _ { \mathbf { Y } } ^ { \mathrm { { T } } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } ( s _ { 1 } ^ { \prime } \leq b _ { i } \leq s _ { 2 } ^ { \prime } | \sigma _ { 0 } ) = e ^ { - 2 \beta _ { n } ( s _ { 1 } ^ { \prime } - \operatorname* { m a x } \{ i , \sigma _ { 0 } ( i ) \} ) _ { + } } - e ^ { - 2 \beta _ { n } ( s _ { 2 } ^ { \prime } - \operatorname* { m a x } \{ i , \sigma _ { 0 } ( i ) \} ) _ { + } } } \\ & { \leq } & { 1 - e ^ { - 2 \beta _ { n } ( ( s _ { 2 } ^ { \prime } - \operatorname* { m a x } \{ i , \sigma _ { 0 } ( i ) \} ) _ { + } - ( s _ { 1 } ^ { \prime } - \operatorname* { m a x } \{ i , \sigma _ { 0 } ( i ) \} ) _ { + } ) } \leq 1 - e ^ { - 2 \beta _ { n } ( s _ { 2 } ^ { \prime } - s _ { 1 } ^ { \prime } ) } } \\ & { \leq } & { 2 \beta _ { n } ( s _ { 2 } ^ { \prime } - s _ { 1 } ^ { \prime } ) \leq 2 n \beta _ { n } ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) . } \end{array}
X ( z ) = c _ { 0 } + c _ { 1 } ( 1 - z _ { 0 } z ^ { - 1 } ) + c _ { 2 } ( 1 - z _ { 0 } z ^ { - 1 } ) ( 1 - z _ { 1 } z ^ { - 1 } ) + \cdots + c _ { N - 1 } \prod _ { k = 0 } ^ { N - 2 } ( 1 - z _ { k } z ^ { - 1 } ) ,
\partial _ { \mu } : F _ { n , \, \mu } \bar { F } _ { m , \, \mu } : f ( u , \bar { u } ) \ = \ : \partial ( F _ { n } ( z g ) \bar { F } _ { m } ( \bar { z } \bar { g } ) ) | _ { z = \frac { \partial } { \partial u } } : f ( u , \bar { u } ) .
T = e ^ { - ( 1 - \lambda _ { 0 } ) ( \rho - \rho _ { s } ) } Y ^ { 1 / 6 } A i \left( \xi _ { 1 } + \left( { \frac { c } { a } } \right) ^ { 1 / 3 } { \frac { 1 } { Y ^ { 1 / 6 } } } [ \rho - \rho _ { s } + { \frac { 1 } { 1 - \lambda _ { 0 } } } ] \right) \tilde { T } _ { 0 } ^ { \prime }
N = n _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + n _ { k - 1 } ^ { 2 } + n _ { i } + \cdots + n _ { k - 1 } + \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \sum _ { p = 1 } ^ { n _ { j } - n _ { j + 1 } } a _ { p } ^ { ( j ) } ,
\varphi _ { 1 } ( x ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \Phi _ { \varepsilon } ^ { 1 } ( x ) , \qquad } & { x \in [ a , h _ { 1 } + x _ { 1 } ^ { \varepsilon } ] , } \\ { \Phi _ { \varepsilon } ^ { i + 1 } ( x ) , } & { x \in [ h _ { i } + y _ { i } ^ { \varepsilon } , h _ { i + 1 } + y _ { i + 1 } ^ { \varepsilon } ] \quad \mathrm { ~ a n d ~ } i = 1 , \dots , N - 1 , } \\ { ( - 1 ) ^ { N - 1 } , } & { x \in [ h _ { N } + y _ { N } ^ { \varepsilon } , b ] . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { [ P _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) \otimes \langle L \rangle _ { \mathrm { a t } , \theta , \alpha } ] ( \varphi _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) \otimes f ) } \\ & { = \varphi _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) \otimes \left[ \langle L \rangle _ { \mathrm { a t } , \theta , \alpha } f \right] } \\ & { = \varphi _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) \otimes \left[ \phi \, ( V _ { \theta , \alpha } \otimes 1 ) ( P _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) \otimes 1 ) L ( \varphi _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) \otimes f ) \right] } \\ & { = ( P _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) \otimes 1 ) L ( \varphi _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) \otimes f ) , } \end{array}
V ^ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , p _ { 3 } ) = ( p _ { 1 } - p _ { 2 } ) ^ { \mu _ { 3 } } g ^ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } + ( p _ { 2 } - p _ { 3 } ) ^ { \mu _ { 1 } } g ^ { \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } } + ( p _ { 3 } - p _ { 1 } ) ^ { \mu _ { 2 } } g ^ { \mu _ { 3 } \mu _ { 1 } } .
G _ { V } ( s ) = \left( \begin{array} { c c c } { { D _ { V } } } & { { - \Pi _ { V V _ { 1 } ^ { \prime } } } } & { { - \Pi _ { V V _ { 2 } ^ { \prime } } } } \\ { { - \Pi _ { V V _ { 1 } ^ { \prime } } } } & { { D _ { V _ { 1 } ^ { \prime } } } } & { { - \Pi _ { V _ { 1 } ^ { \prime } V _ { 2 } ^ { \prime } } } } \\ { { - \Pi _ { V V _ { 2 } ^ { \prime } } } } & { { - \Pi _ { V _ { 1 } ^ { \prime } V _ { 2 } ^ { \prime } } } } & { { D _ { V _ { 2 } ^ { \prime } } } } \end{array} \right) \;
\begin{array} { r } { \rho ( x , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { \mathrm { i n } } } & { x \in \mathcal { D } } \\ { \rho _ { \mathrm { o u t } } } & { x \notin \mathcal { D } } \end{array} \right. , \quad u ( x , 0 ) = ( 0 , 0 ) , \quad P ( x , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { P _ { \mathrm { i n } } } & { x \in \mathcal { D } } \\ { P _ { \mathrm { o u t } } } & { x \notin \mathcal { D } } \end{array} \right. \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta P _ { g a s } ^ { A E } } & { { } = } & { \Delta P _ { g a s } ^ { k i n } + \Delta P _ { g a s } ^ { x c } + \Delta P _ { g a s } ^ { H } } \\ { \Delta P _ { g a s } ^ { P C } } & { { } = } & { \Delta P _ { g a s } ^ { k i n } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \widetilde { \sigma } : H } & { \to \mathrm { U } ( V ) , } & { \qquad \widetilde { \chi } : \mathfrak { b } _ { - } } & { \to \mathcal { L } ( \mathcal { D } _ { \widetilde { \chi } } ) , } \\ { \widetilde { \sigma } ( h ) } & { : = \left. \rho ( h ) \right| _ { V } , } & { \widetilde { \chi } ( \xi ) } & { : = \left. d \rho ( \xi ) \right| _ { \mathcal { D } _ { \widetilde { \chi } } } . } \end{array}
\lambda _ { f } = \exp { \left[ \frac { I _ { 1 } } { 2 I _ { 0 } } + \frac { \beta _ { 0 } } { 8 } \left( \left( \frac { I _ { 1 } } { I _ { 0 } } \right) ^ { 2 } - \frac { I _ { 2 } } { I _ { 0 } } \right) \frac { \alpha _ { O } ( M ) } { \pi } \right] } .
\begin{array} { r l r } { A _ { 2 } } & { = } & { ( \boldsymbol { a } _ { y } ( u _ { h } ^ { k , 1 } ) ( E _ { k } - e _ { H } ^ { k } ) , \nabla v _ { h } ) + ( \boldsymbol { a } _ { \boldsymbol { z } } ( u _ { h } ^ { k , 1 } ) \nabla ( E _ { k } - e _ { H } ^ { k } ) , \nabla v _ { h } ) } \\ & { } & { + ( \boldsymbol { a } _ { y y } ( \theta _ { 5 } ) ( E _ { k } - e _ { H } ^ { k } ) ^ { 2 } , \nabla v _ { h } ) + 2 ( \boldsymbol { a } _ { y \boldsymbol { z } } ( \theta _ { 5 } ) \nabla ( E _ { k } - e _ { H } ^ { k } ) ( E _ { k } - e _ { H } ^ { k } ) , \nabla v _ { h } ) } \\ & { } & { + ( \nabla ( E _ { k } - e _ { H } ^ { k } ) ^ { T } \boldsymbol { a } _ { \boldsymbol { z z } } ( \theta _ { 5 } ) \nabla ( E _ { k } - e _ { H } ^ { k } ) , \nabla v _ { h } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \prod _ { i \in I } \mathrm { R e p } ^ { \mathrm { a l g } } ( ^ { L } H _ { X , \vartheta } ) \cong \prod _ { i \in I } \mathrm { R e p } _ { H , ^ { 0 } F _ { \vartheta } } ^ { \{ i \} } } & { \xrightarrow { \boxtimes } \prod _ { 1 \le a \le k } \mathrm { R e p } _ { H ^ { I _ { a } } , ^ { 0 } F _ { \vartheta } ^ { I _ { a } } } ^ { I _ { a } } } \\ & { \cong \prod _ { 1 \le a \le k } \mathrm { S a t } _ { G , \mathscr G ^ { I _ { a } } } ^ { I _ { a } } \xrightarrow { \bigotimes p _ { a } ^ { * } } \widetilde { \mathrm { S a t } } _ { G , \mathscr G ^ { I } } ^ { I _ { 1 } , \cdots , I _ { k } } , } \end{array}
T = \frac { \int _ { - 1 } ^ { 1 } 2 U _ { 1 } ^ { \prime } ( \xi ) U _ { 0 } ( \xi ) + U _ { 0 } ^ { 2 } ( \xi ) \: \mathrm { d } \xi } { \int _ { - 1 } ^ { 1 } U _ { 0 } ^ { 2 } ( \xi ) / c ^ { 2 } ( \xi ) \: \mathrm { d } \xi }
M _ { -- } ^ { 2 } = g ^ { 2 } v ^ { 2 } \left( \begin{array} { c c c c c c c } { { 2 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - 1 } } & { { 2 } } & { { - 1 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 2 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { \ddots } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { - 1 } } & { { 2 } } & { { - 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 2 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { H ^ { * } = \frac { C } { \gamma _ { 0 } } [ 1 + ( 1 + f + m - 2 f s i n ^ { 2 } \phi ) \frac { C } { a \gamma _ { 0 } } + ( \frac { C } { a \gamma _ { 0 } } ) ^ { 2 } ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \nu _ { x , S C } } & { { } = } & { \frac { N _ { p } r _ { p } } { \beta ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } \frac { R } { 2 \sqrt { 2 \pi } \gamma \sigma _ { z } \epsilon _ { x } } = \frac { r _ { p } } { \beta \gamma ^ { 2 } \epsilon _ { x , N } } \lambda _ { G } R , \; \; \; \; \lambda _ { G } = \frac { N _ { p } } { 2 \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { z } } } \end{array}
\sum _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } O _ { \alpha \beta } \Sigma _ { \mathbf { k } _ { 0 } , \mathbf { k } _ { 0 } } ^ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } O _ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } } = \left( \Sigma _ { - \mathbf { k } _ { 0 } , - \mathbf { k } _ { 0 } } ^ { \beta , \beta ^ { \prime } } \right) ^ { * } ,
\begin{array} { r } { \mathcal { G } \left( p _ { 1 } ^ { ( N , 1 / 2 ) } , \dots , p _ { N } ^ { ( N , 1 / 2 ) } \right) = \frac { ( N - 1 ) N } { 2 ( N - 1 ) N } = \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } [ \lambda ^ { \tau _ { h } } ] } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \sqrt { h } } \mathbb { E } _ { r } [ \lambda ^ { \tau _ { h } } ] \mu ( d r ) + \int _ { \sqrt { h } } ^ { \infty } \mathbb { E } _ { r } [ \lambda ^ { \tau _ { h } } ] \mu ( d r ) } \\ & { \le } & { g ( \lambda ; C _ { 0 } \sqrt { h } , \lambda _ { h } ) \sqrt { h } + g ( \lambda ; c _ { 0 } \int _ { \sqrt { h } } ^ { \infty } r \mu ( d r ) , \lambda _ { h } ) } \\ & { \le } & { g ( \lambda ; C _ { 0 } \sqrt { h } , \lambda _ { h } ) \sqrt { h } + g ( \lambda ; c _ { 0 } \mathbb { E } [ R _ { 0 } ] , \lambda _ { h } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { \Delta } = } & { \sum _ { t = 1 } ^ { t _ { m a x } } \bigg ( p _ { t } P _ { \Delta - t , \Delta } ^ { t } ( 1 ) + p _ { t ^ { + } } P _ { \Delta - t , \Delta } ^ { t ^ { + } } ( 1 ) \bigg ) \pi _ { \Delta - t } } \\ { = } & { \sum _ { t = 1 } ^ { t _ { m a x } } \Upsilon ( \Delta , t ) \pi _ { \Delta - t } , \quad \Delta \geq \omega , } \end{array}
g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } = \mathbb { I } + 2 G _ { C } ^ { s _ { 1 } } ( \Theta ) G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) - G _ { C } ^ { s _ { 1 } } ( \Theta ) - G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta )
i \Pi _ { S \mu \nu } ^ { \underline { { { a } } } \underline { { { b } } } } ( q ) = N g ^ { 2 } \delta _ { \underline { { { a } } } \underline { { { b } } } } \mu ^ { 2 \epsilon } \int \frac { d ^ { n } \ell } { ( 2 \pi ) ^ { n } } \left\{ \frac { \ell _ { \mu } \ell _ { \nu } - m _ { G } ^ { 2 } g _ { \mu \nu } } { ( \ell + q ) ^ { 2 } ( \ell ^ { 2 } - m _ { G } ^ { 2 } ) } - \frac { 1 } { 8 } \frac { ( 2 \ell + q ) _ { \mu } ( 2 \ell + q ) _ { \nu } } { \ell ^ { 2 } ( \ell + q ) ^ { 2 } } \right\}
\begin{array} { r l } { x } & { { } = 0 , } \\ { x } & { { } = \frac { \widetilde { \beta } _ { 3 } - \widetilde { \beta } _ { 2 } \pm \sqrt { \left( \widetilde { \beta } _ { 2 } + \widetilde { \beta } _ { 3 } \right) ^ { 2 } - 4 \widetilde { \beta } _ { 3 } } } { 2 \widetilde { \beta } _ { 3 } } . } \end{array}
S _ { K R } = \int \Bigl \{ e ^ { - { \bf \Phi } } { \bf H } { ^ { * } { \bf H } } + 2 { \bf Q } \Bigl ( { \bf H } - d { \bf B } - \frac { \alpha ^ { \prime } } { 1 6 } ( { \bf \Omega } _ { L } - { \bf \Omega } _ { Y M } ) \Bigr ) \Bigr \}
\begin{array} { r } { H = \int \hbar \omega _ { a s } ( k ) a _ { a s } ^ { \dagger } ( k ) a _ { a s } ( k ) d k + \int \hbar \omega _ { a c } ( q ) b _ { a c } ^ { \dagger } ( q ) b _ { a c } ( q ) d q + \hbar g _ { \mathrm { o m } } \int \int a _ { a s } ^ { \dagger } ( k ) b _ { a c } ( q ) d k d q + h . c . . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } ( x - 1 ) \, e ^ { - x } \Big ( 1 + \frac { x } { n } \Big ) ^ { k } d x = \int _ { 0 } ^ { \infty } ( x - 1 ) e ^ { - x } \sum _ { j = 0 } ^ { k } \binom { k } { j } \frac { x ^ { j } } { n ^ { j } } d x } \\ & { \quad = \sum _ { j = 0 } ^ { k } \frac { \binom { k } { j } } { n ^ { j } } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - x } x ^ { j + 1 } d x - \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - x } x ^ { j } d x \right) = \sum _ { j = 0 } ^ { k } \frac { \binom { k } { j } } { n ^ { j } } \big ( ( j + 1 ) ! - j ! \big ) } \\ & { \quad = \sum _ { j = 0 } ^ { k } \frac { k ^ { \underline { { j } } } \, j \, j ! } { j ! \, n ^ { j } } = \sum _ { j = 0 } ^ { k } \frac { j \, k ^ { \underline { { j } } } } { n ^ { j } } . } \end{array}
\mathbf { B } = { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { 1 } y _ { 3 } + x _ { 3 } y _ { 4 } + x _ { 4 } y _ { 1 } - x _ { 3 } y _ { 1 } - x _ { 4 } y _ { 3 } - x _ { 1 } y _ { 4 } )
a ( \vec { p } ) = \int { \frac { d ^ { \nu } x } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { \nu } { 2 } } } } { \frac { e ^ { - i \vec { p } \cdot \vec { x } } } { \sqrt { 2 g ( \vec { p } ) } } } \left( \int d ^ { \nu } y { \frac { 1 } { 2 } } G ( x , y ) \eta ( y ) + { \frac { \delta } { \delta \eta ( \vec { x } ) } } \right)
\psi = \sum _ { p } u _ { p } \left( r \right) \, \hat { b } _ { p } ^ { \dagger } + v _ { p } ^ { * } \left( r \right) \, \hat { b } _ { p } \qquad | u _ { p } | ^ { 2 } + | v _ { p } | ^ { 2 } = 1
X _ { L } ( a , b , c ) = \sum _ { a _ { 2 } , \ldots , a _ { L } } q ^ { \, \sum _ { j = 1 } ^ { L } j \, H ( a _ { j } , a _ { j + 1 } , a _ { j + 2 } ) } \qquad a _ { 1 } = a , \: a _ { L + 1 } = b , \: a _ { L + 2 } = c .
\begin{array} { r l } { { \Theta ( { \bf z } | T ) } } & { { = \sum _ { k = 0 } \sp { N - 1 } \Theta \left[ \begin{array} { c } { { { \frac { k } { N } } } } \\ { { 0 } } \end{array} \right] ( z | N \tau ) \Theta \left[ \begin{array} { c } { { { \frac { k } { N } } { \bf e } _ { N - 1 } } } \\ { { 0 } } \end{array} \right] ( { - \bf \hat { z } } | \hat { T } ) } } \\ { { } } & { { = \zeta \left( \operatorname * { d e t } \hat { T } \right) \sp { - 1 / 2 } \left( N \tau \right) \sp { - 1 / 2 } e \sp { - i \pi { \bf \hat { z } } \hat { T } \sp { - 1 } { \bf \hat { z } } - i \pi { \frac { z \sp 2 } { N \tau } } } \sum _ { k = 0 } \sp { N - 1 } \, \Theta ( { \frac { z } { N \tau } } + { \frac { k } { N } } | { \frac { - 1 } { N \tau } } ) \, \Theta ( \hat { T } \sp { - 1 } { \bf \hat { z } } - { \frac { k } { N } } { \bf e } _ { N - 1 } | - \hat { T } \sp { - 1 } ) . } } \end{array}
v _ { \mathrm { ~ r ~ i ~ n ~ g ~ } } = \frac { \Gamma } { 4 \pi R _ { \mathrm { ~ r ~ i ~ n ~ g ~ } } } \Bigg [ \ln \bigg ( \frac { 8 R _ { \mathrm { ~ r ~ i ~ n ~ g ~ } } } { a } \bigg ) - 0 . 5 5 8 \Bigg ] ,
\overline { { { \mathrm { \Large ~ v ~ } } } } _ { D } ( x ) \equiv { \frac { 2 ( 4 \pi ) ^ { D / 2 } } { { \mathrm { t r } } { \bf 1 } \, \Lambda ^ { D } } } { \mathrm { \Large ~ v ~ } } _ { D } ( m ) = { \frac { ( 4 \pi ) ^ { D / 2 } } { { \mathrm { t r } } { \bf 1 } \, g ^ { 2 } \Lambda ^ { D - 2 } } } \left( x - { \frac { \epsilon } { \Lambda ^ { 2 } } } \right) + \int _ { 1 } ^ { \infty } \! \! d \tau \, \tau ^ { - { \frac { D } { 2 } } - 1 } \left\{ { \mathrm e } ^ { - \tau x } G _ { D } ( \tau { \cal F } ) - 1 \right\} \ .
\begin{array} { r l } { E _ { \Delta _ { 2 } } = } & { { } \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } } } - { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } \bar { 3 } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } 3 1 1 ^ { \prime } \bar { 3 } } } + { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } 1 1 ^ { \prime } \bar { 3 } } } } \right) { \eta _ { 1 } } + \left( { { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } \bar { 3 } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } 3 } } - { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 1 ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 2 } } } \\ { + } & { { } \left( { { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } \bar { 3 } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } } } - { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } \bar { 3 } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 1 ^ { \prime } } } + \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } 3 1 } } + { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } \bar { 3 } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 } } - { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } 1 } } } \right) { \eta _ { 3 ^ { \prime } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ l ~ n ~ } \left\{ \frac { G _ { \mathrm { ~ O ~ R ~ O ~ C ~ } } } { V _ { \mathrm { ~ a ~ } } } \right\} \propto \mathrm { ~ l ~ n ~ } \left\{ \frac { V _ { \mathrm { ~ a ~ } } } { P / P _ { 0 } } \right\} \quad . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta ^ { i j } = } & { { } - \hbar ( \partial _ { i } g \partial _ { j } g ) \varepsilon ^ { 2 } 4 \left( - \Delta _ { a } ^ { 3 } \Delta _ { c } ^ { 4 } \Gamma - \Delta _ { a } ^ { 2 } \Delta _ { c } ^ { 3 } g ^ { 2 } \Gamma + \Delta _ { a } \Delta _ { c } ^ { 2 } g ^ { 4 } \Gamma \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ^ { 2 } = } & { { } \frac { \left[ \left( \frac { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { l _ { 1 } } + \frac { m _ { 2 } } { l _ { 2 } } \right) I _ { 2 } + \frac { m _ { 2 } } { l _ { 2 } } I _ { 1 } \right] g R ^ { 2 } } { 2 I _ { 1 } I _ { 2 } } \left\{ 1 \pm \sqrt { 1 - \frac { 4 I _ { 1 } I _ { 2 } \frac { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { l _ { 1 } } \frac { m _ { 2 } } { l _ { 2 } } } { \left[ \left( \frac { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { l _ { 1 } } + \frac { m _ { 2 } } { l _ { 2 } } \right) I _ { 2 } + \frac { m _ { 2 } } { l _ { 2 } } I _ { 1 } \right] ^ { 2 } } } \right\} . } \end{array}
F _ { 2 } = \sum _ { n ^ { \prime } } \left| \left\langle 0 \left| J _ { K ^ { + } } ( x _ { 2 } ) J _ { K ^ { - } } ( y _ { 2 } ) \right| n ^ { \prime } \right\rangle \right| ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - E _ { n ^ { \prime } } \tau }
g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi + g ^ { \mu \nu } \lbrace _ { \mu \nu } ^ { \alpha } \rbrace \partial _ { \alpha } \psi + g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \phi \partial _ { \nu } \psi = m ^ { 2 } ( \phi ) \psi ,
\mathop { \mathrm { K e r } } ( \Lambda ) \, = \, \mathcal { Y } _ { 0 } \oplus \bigl \{ \beta _ { 1 } \partial _ { R } \eta _ { 0 } + \beta _ { 2 } \partial _ { Z } \eta _ { 0 } \, \big | \, \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } \in \mathbb { R } \bigr \} \, ,
i \hbar \frac { \partial } { \partial t } \Psi ( \pmb { r } , t ) = \left[ c \pmb { \alpha } \cdot ( - i \hbar \pmb { \nabla } ) + \gamma ^ { 0 } \mathrm { ~ m ~ c ~ } ^ { 2 } + U ( \pmb { r } ) \right] \Psi ( \pmb { r } , t ) ,
k _ { K L } ^ { \infty } = D _ { K L } \frac { | U _ { K L } ^ { ( 2 ) } | } { 2 \pi } \sqrt { { \operatorname* { d e t } ( \mathbf { U } _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ) } / { | \operatorname* { d e t } ( \mathbf { U } _ { s } ^ { ( 2 ) } ) | } } \ e ^ { - \Delta U } ,
\Psi ( x , y ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) e ^ { \frac { 1 } { \hbar v } \int _ { 0 } ^ { y } m ( y ^ { \prime } ) \, d y ^ { \prime } } e ^ { i k _ { x } x } ,
- { \frac { u _ { 0 } } { u ^ { 2 } } } u _ { \gamma } \varepsilon _ { \alpha \beta \gamma \delta \rho } { \cal F } _ { 0 \delta \rho } - { \frac { 2 } { u ^ { 2 } } } u _ { [ \beta } { \cal F } _ { 0 \alpha ] \gamma } u _ { \gamma }
^ { 2 } { \hat { K } } = \frac { N } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } { \left( - \frac { { \hat { \nabla } } _ { j } ^ { 2 } } { 2 } - \sum _ { k } { \frac { Z _ { k } } { r _ { j k } } } \right) } + \binom { N } { 2 } \frac { 1 } { r _ { 1 2 } }
| D ^ { i } W | = | h | \Big ( A _ { i } ^ { 2 } e ^ { - 2 J \beta x } + B _ { i } ^ { 2 } e ^ { - 2 J \beta ( 1 - x ) } + 2 A _ { i } B _ { i } e ^ { - \beta J } \cos ( 2 \alpha - \beta \chi ) \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \; .
\bar { a } _ { 0 } ^ { x } \, = \, \gamma g _ { 0 } \delta _ { x 1 } \quad ; \quad \bar { a } _ { 1 } ^ { x } \, = \, \gamma g _ { 1 } \delta _ { x 2 } \quad ; \quad \vec { \beta } _ { 0 } \cdot \vec { \beta } _ { 1 } = - 4 g _ { 0 } g _ { 1 }
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \rho c _ { s } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \rho c _ { s W } ^ { 2 } } + \frac { c _ { p 1 } \alpha _ { 1 } r _ { 1 } c _ { p 2 } \alpha _ { 2 } r _ { 2 } } { \theta \rho c _ { p } } ( \zeta _ { 1 } - \zeta _ { 2 } ) ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { d } { d \ln \mu } Z _ { 2 } \langle \vec { O } \rangle ^ { ( 0 ) } = - \Gamma Z _ { 2 } \langle \vec { O } \rangle ^ { ( 0 ) } , \qquad \frac { d } { d \ln \mu } \langle \vec { O } \rangle \equiv - \gamma \langle \vec { O } \rangle
\begin{array} { r l } { P ( \mathrm { t e s t e d , p o s i t i v e } | S ) } & { { } = p _ { r } \mathrm { ~ f ~ r ~ } } \\ { P ( \mathrm { t e s t e d , n e g a t i v e } | S ) } & { { } = p _ { r } ( 1 - \mathrm { ~ f ~ r ~ } ) } \end{array}
+ \frac { 4 \lambda _ { 2 } } { r } h ( 3 f ^ { 2 } - 1 ) \left( ( h ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } ) ( f ^ { 2 } - 1 ) + 2 h ^ { 2 } f ^ { 2 } \right) + 2 \lambda _ { 4 } r ^ { 3 } ( h ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } ) ^ { 3 } h
\begin{array} { r l } { \langle \sigma v \rangle _ { m t } = } & { { } 1 . 2 1 \cdot 8 . 9 8 0 \times 1 0 ^ { - 1 0 } \left( \frac { \alpha _ { N } } { a _ { 0 } ^ { 3 } } \right) ^ { 1 / 2 } \times } \end{array}
\left\langle \Delta X ^ { 2 } \right\rangle = \left\langle \Delta Y ^ { 2 } \right\rangle = 2 \langle \Delta x ^ { 2 } \rangle ^ { \mathrm { 2 D } } = 2 \langle \Delta y ^ { 2 } \rangle ^ { 2 D } = 4 D _ { \mathrm { R B D } } ^ { \mathrm { 2 D } } z ,
\begin{array} { r l } & { \sigma _ { i _ { 1 } \ell } \sigma _ { i _ { 2 } \ell } \sigma _ { i _ { 3 } \ell } \sigma _ { i _ { 4 } \ell } \mathbb { E } [ Z _ { \omega _ { 1 } j _ { 1 } } Z _ { \omega _ { 2 } j _ { 2 } } Z _ { \omega _ { 3 } j _ { 3 } } Z _ { \omega _ { 4 } j _ { 4 } } ] } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \sigma _ { i _ { 1 } \ell } ^ { 4 } \mathbb { E } Z _ { \omega _ { 1 } j _ { 1 } } Z _ { \omega _ { 1 } j _ { 2 } } Z _ { \omega _ { 1 } j _ { 3 } } Z _ { \omega _ { 1 } j _ { 4 } } \lesssim \sigma _ { i _ { 1 } \ell } ^ { 4 } \, \Omega _ { i _ { 1 } j _ { 1 } } \Omega _ { i _ { 1 } j _ { 2 } } \Omega _ { i _ { 1 } j _ { 3 } } \Omega _ { i _ { 1 } j _ { 4 } } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \omega _ { 1 } = \omega _ { 2 } = \omega _ { 3 } = \omega _ { 4 } } \\ { \sigma _ { i _ { 1 } \ell } ^ { 2 } \sigma _ { i _ { 3 } \ell } ^ { 2 } \mathbb { E } Z _ { \omega _ { 1 } j _ { 1 } } Z _ { \omega _ { 1 } j _ { 2 } } \mathbb { E } Z _ { \omega _ { 3 } j _ { 3 } } Z _ { \omega _ { 3 } j _ { 4 } } \lesssim \sigma _ { i _ { 1 } \ell } ^ { 2 } \sigma _ { i _ { 3 } \ell } ^ { 2 } \, \Omega _ { i _ { 1 } j _ { 1 } } \Omega _ { i _ { 1 } j _ { 2 } } \Omega _ { i _ { 3 } j _ { 3 } } \Omega _ { i _ { 3 } j _ { 4 } } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \omega _ { 1 } = \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } = \omega _ { 4 } , \omega _ { 1 } \neq \omega _ { 3 } } \end{array} \right. } \end{array}