harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { { M S E } ( \theta , \hat { \theta } ) = { E } \Big [ ( \theta - \hat { \theta } ) ^ { 2 } \Big ] = { E } _ { B } \Bigg [ \Big ( p ( a | b ) - p ( a ) \Big ) ^ { 2 } \Bigg ] = { V a r } _ { B } \Big [ p ( a | b ) \Big ] \equiv \sigma _ { B } ^ { 2 } \Big [ p ( a | b ) \Big ] . } \end{array}
L ( \lambda ) E _ { i } = e ^ { \lambda s _ { i } } E _ { i } L ( \lambda ) \, , ~ ~ ~ L ( \lambda ) F _ { i } = e ^ { - \lambda s _ { i } } F _ { i } L ( \lambda ) \, , ~ ~ ~ L ( \lambda ) h _ { i } = h _ { i } L ( \lambda ) \, ,
J _ { \mu } ^ { r e g } = [ \bar { \psi } ( x + \epsilon ) \gamma _ { \mu } : e ^ { i e \int _ { x } ^ { x + \epsilon } d x ^ { \mu } [ a A _ { \mu } ( x ) - 2 \alpha \partial ^ { \nu } F _ { \mu \nu } ] } : \psi ( x ) - V . E . V ] ,
1 - \sigma _ { s _ { i } } f _ { i } ( \sigma _ { \nu } ) , \mathrm { ~ f o r ~ } i = 1 , \ldots , \ell , \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \sigma _ { \nu _ { j } } ^ { - 1 } \nu _ { j } - \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } s _ { i } \, \sigma _ { s _ { i } } \frac { \partial f _ { i } } { \partial x _ { j } } ( \sigma _ { \nu } ) , \mathrm { ~ f o r ~ } j = 1 , \ldots , n .
\begin{array} { r l } { D \left( \left[ w C _ { \varphi } \right] ^ { n } \right) \owns x _ { j } = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { c _ { k , j } e _ { k } } } & { \rightarrow \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { c _ { k } ^ { * } e _ { k } } = x ^ { * } \in l ^ { p } . } \\ { ( w C _ { \varphi } ) ^ { n } ( x _ { j } ) } & { \rightarrow \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { d _ { k } ^ { * } e _ { k } } = f ^ { * } \in l ^ { p } . } \end{array}
{ \frac { \alpha ^ { 2 } } { e ^ { 2 } } } \big ( { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { \beta _ { 0 } \overline { { g } } ^ { 2 } } } a _ { n } + b _ { n } \big ) = { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } { \frac { e ^ { 2 } } { 2 \beta _ { 0 } } } \bigg [ ~ \sum _ { i } \tilde { P } _ { i } ^ { n } { \frac { 1 } { 1 + \lambda _ { i } ^ { n } / 2 \beta _ { 0 } } } { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { \overline { { g } } ^ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) } } + \sum _ { i } A _ { i } ^ { n } + \sum _ { i } B _ { i } ^ { n } + C _ { \gamma } ^ { n } \bigg ] .
\begin{array} { r l } & { ( 1 - \beta ) \sum _ { t = \tau _ { i } + 1 } ^ { \tau _ { i + 1 } - 1 } \beta ^ { \tau _ { i + 1 } - t } ( x _ { \tau _ { i } + 1 } + \eta ( t - \tau _ { i } - 1 ) ) } \\ & { = \beta ( x _ { \tau _ { i } + 1 } + \eta ( \tau _ { i + 1 } - \tau _ { i } - 1 ) ) - \beta ^ { \tau _ { i + 1 } - \tau _ { i } } x _ { \tau _ { i } + 1 } - \beta \eta \frac { 1 - \beta ^ { \tau _ { i + 1 } - \tau _ { i } - 1 } } { 1 - \beta } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { H _ { ( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 ) } = ( 1 - x _ { 1 } ) ( 1 - x _ { 2 } ) ( 1 - x _ { 3 } ) } & { , H _ { ( 0 , 0 , 1 ) , ( 0 , 0 , 0 ) } = ( 1 - x _ { 1 } ) ( 1 - x _ { 2 } ) x _ { 3 } } \\ & { H _ { ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 ) } = ( 1 - x _ { 1 } ) x _ { 2 } ( 1 - x _ { 3 } ) } & { , H _ { ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 ) } = x _ { 1 } ( 1 - x _ { 2 } ) ( 1 - x _ { 3 } ) } \\ & { H _ { ( 0 , 1 , 1 ) , ( 0 , 0 , 0 ) } = ( 1 - x _ { 1 } ) x _ { 2 } x _ { 3 } } & { , H _ { ( 1 , 0 , 1 ) , ( 0 , 0 , 0 ) } = x _ { 1 } ( 1 - x _ { 2 } ) x _ { 3 } } \\ & { H _ { ( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 ) } = x _ { 1 } x _ { 2 } ( 1 - x _ { 3 } ) } & { , H _ { ( 1 , 1 , 1 ) , ( 0 , 0 , 0 ) } = x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } } \end{array}
\delta _ { 0 } W = { \frac { \sqrt 2 a ^ { 3 } } { 2 4 k _ { 1 1 } ^ { 2 } } } \int _ { M _ { 1 0 } } Q _ { 2 } ^ { 1 } \wedge { \hat { I } } _ { 4 } \wedge { \hat { I } } _ { 4 } \ .
\begin{array} { r } { \frac { - 1 } { 4 \pi ^ { 2 } m } f ( \vec { k } _ { i } , \vec { k } _ { i } ) = \langle i \lvert V \lvert i \rangle + \langle i \lvert V \frac { 1 } { E _ { i } - H _ { 0 } + i \epsilon } V \lvert i \rangle + \langle i \lvert V \frac { 1 } { E _ { i } - H _ { 0 } + i \epsilon } V \frac { 1 } { E _ { i } - H _ { 0 } + i \epsilon } V \lvert i \rangle . } \end{array}
\ln \Gamma ( z ) \sim z \ln z - z + { \frac { 1 } { 2 } } \ln { \frac { 2 \pi } { z } } + \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } { \frac { B _ { 2 n } } { 2 n ( 2 n - 1 ) z ^ { 2 n - 1 } } } ,
W = - { \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 2 } } } \ S \ \ln \left( { \frac { \Lambda ^ { 1 3 } } { X Y S ^ { 3 } } } \right) + S { \tilde { f } } \left( { \frac { \Lambda ^ { 1 3 } } { X Y S ^ { 3 } } } \right) ,
\begin{array} { r l } { I _ { \mathbf { p } \alpha } ( t ) } & { = \frac { 2 } { \hbar } \sum _ { \beta } \int _ { 0 } ^ { t - t _ { 0 } } \mathrm { d } \tau \int \frac { \mathrm { d } \mathbf { p } _ { 2 } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } \int \frac { \mathrm { d } \mathbf { q } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } w _ { \mathbf { q } } \left[ w _ { \mathbf { q } } \pm \delta _ { \alpha \beta } w _ { \mathbf { p } - \mathbf { p } _ { 2 } - \mathbf { q } } \right] \cos \left[ \frac { h _ { \mathbf { p } , \alpha } ^ { \mathrm { H F } } + h _ { \mathbf { p } _ { 2 } , \beta } ^ { \mathrm { H F } } - h _ { \mathbf { p } + \mathbf { q } , \alpha } ^ { \mathrm { H F } } - h _ { \mathbf { p } _ { 2 } - \mathbf { q } , \beta } ^ { \mathrm { H F } } } { \hbar } \tau \right] } \\ & { \times \left[ G _ { \mathbf { p } + \mathbf { q } , \alpha } ^ { < } ( t - \tau ) \, G _ { \mathbf { p } _ { 2 } - \mathbf { q } , \beta } ^ { < } ( t - \tau ) \, G _ { \mathbf { p } , \alpha } ^ { > } ( t - \tau ) \, G _ { \mathbf { p } _ { 2 } , \beta } ^ { > } ( t - \tau ) - G _ { \mathbf { p } + \mathbf { q } , \alpha } ^ { > } ( t - \tau ) \, G _ { \mathbf { p } _ { 2 } - \mathbf { q } , \beta } ^ { > } ( t - \tau ) \, G _ { \mathbf { p } , \alpha } ^ { < } ( t - \tau ) \, G _ { \mathbf { p } _ { 2 } , \beta } ^ { < } ( t - \tau ) \right] \, . } \end{array}
{ \cal O } = \exp \left( - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \alpha _ { - n } A _ { n } \right) : \exp \left[ \sum _ { n , m = 1 } ^ { \infty } \alpha _ { - n } \left( C _ { n m } - \delta _ { n m } \right) \alpha _ { m } \right] : \exp \left( - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } B _ { n } \alpha _ { n } \right) \mathrm { e } ^ { - \phi }
\begin{array} { r l } { + } & { { } \int _ { \Omega } d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) \wedge \Big ( \ast d \big ( \mathrm { l i } _ { \phi } ( f _ { \phi } ^ { 1 } ) \big ) - ( \ast d e _ { \omega } ^ { 1 } ) \wedge ( \ast \omega ) + ( - 1 ) ^ { n } d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) \wedge ( \ast \omega ) \Big ) } \\ { + } & { { } \int _ { \partial \Omega } ( - 1 ) ^ { n - 1 } \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) , \delta N _ { \beta } ( \omega ) \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \wedge e _ { \phi } ^ { 2 } + \int _ { \partial \Omega } \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge e _ { \phi } ^ { 1 } } \\ { + } & { { } \int _ { \partial \Omega } ( - 1 ) ^ { n } \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) , \delta N _ { \beta } ( \omega ) \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \wedge e _ { \phi } ^ { 1 } + \int _ { \Sigma } \Big ( - e _ { \Sigma } ^ { 1 } \wedge e _ { \phi } ^ { 2 } + e _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge f _ { \Sigma } ^ { 1 } \Big ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { c d } ^ { ( 2 ) } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \int d \boldsymbol { k } \int d \boldsymbol { k } ^ { \prime } \mathcal { N } ^ { 2 } \left| \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ) \right| ^ { 2 } \left| \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) \right| ^ { 2 } \Big ( 2 + 2 \cos { \left[ 2 m \left( \tilde { \varphi } + \tilde { \varphi } ^ { \prime } \right) \right] } \Big ) e ^ { i ( k _ { z } - k _ { z } ^ { \prime } ) z _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. \frac { \sigma _ { i j } } { p _ { f } ^ { ( 1 ) } } \right| _ { { \bf { e } = \bf { 0 } } , \, p _ { f } ^ { ( 2 ) } = 0 } } & { \equiv - \alpha _ { i j } ^ { ( 2 ) } \, , } \\ { \left. \frac { \zeta ^ { ( 1 ) } } { p _ { f } ^ { ( 1 ) } } \right| _ { { \bf { e } = \bf { 0 } } , \, p _ { f } ^ { ( 2 ) } = 0 } } & { \equiv \frac { 1 } { M ^ { ( 1 ) } } \, , } \\ { \left. \frac { \zeta ^ { ( 2 ) } } { p _ { f } ^ { ( 1 ) } } \right| _ { { \bf { e } = \bf { 0 } } , \, p _ { f } ^ { ( 2 ) } = 0 } } & { \equiv \frac { 1 } { M ^ { ( 2 , 1 ) } } = \frac { 1 } { M ^ { ( 1 , 2 ) } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { \sum _ { i \in I } \left( u _ { i } ^ { ( k ) } \right) ^ { 2 } } } & { \leq \sqrt { \sum _ { i \in I } \left( u _ { i } ^ { ( k ) } - \frac { 2 } { \eta \sqrt { n } } \right) ^ { 2 } } + \sqrt { \frac { 4 | I | } { \eta ^ { 2 } n } } } \\ & { \leq \sqrt { \sum _ { i \in I } \left( p _ { i } ^ { * } - \frac { 2 } { \eta \sqrt { n } } \right) ^ { 2 } } + \sqrt { \sum _ { i \in I } \left( u _ { i } ^ { ( k ) } - p _ { i } ^ { * } \right) ^ { 2 } } + \sqrt { \frac { 4 | I | } { \eta ^ { 2 } n } } } \\ & { \leq \sqrt { \frac { 4 | I | } { \eta ^ { 2 } n } } + \sqrt { \sum _ { i \in I } \left( u _ { i } ^ { ( k ) } - p _ { i } ^ { * } \right) ^ { 2 } } + \sqrt { \frac { 4 | I | } { \eta ^ { 2 } n } } } \\ & { \leq 5 \| { \boldsymbol u } ^ { ( k ) } - { \boldsymbol p } ^ { * } \| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R = } & { \mathbb { E } \Bigg [ \log _ { 2 } ( M ) - \frac { 1 } { M \pi } \sum _ { p _ { 1 } = 1 } ^ { P } w _ { p _ { 1 } } \sum _ { p _ { 2 } = 1 } ^ { P } w _ { p _ { 2 } } f ( t _ { p _ { 1 } } , t _ { p _ { 2 } } ) \sum _ { m _ { 1 } = 1 } ^ { M } } \\ & { \log _ { 2 } \Big ( \sum _ { m _ { 2 } = 1 } ^ { M } \exp \Big ( - 2 [ t _ { 1 } , t _ { 2 } ] \Big [ \begin{array} { c } { \sqrt { \rho ^ { \prime } } \mathcal { R } ( \mathbf { z } _ { m _ { 1 } } - \mathbf { z } _ { m _ { 2 } } ) } \\ { \sqrt { \rho ^ { \prime } } \mathcal { I } ( \mathbf { z } _ { m _ { 1 } } - \mathbf { z } _ { m _ { 2 } } ) } \end{array} \Big ] } \\ & { - \Big \| \Big [ \begin{array} { c } { \sqrt { \rho ^ { \prime } } \mathcal { R } ( \mathbf { z } _ { m _ { 1 } } - \mathbf { z } _ { m _ { 2 } } ) } \\ { \sqrt { \rho ^ { \prime } } \mathcal { I } ( \mathbf { z } _ { m _ { 1 } } - \mathbf { z } _ { m _ { 2 } } ) } \end{array} \Big ] \Big \| ^ { 2 } \Big ) \Big ) \Bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ \ \ \ } & { 0 \leq k _ { T , + } ( t , s , - 1 ) = \bar { k } _ { B , 1 } ( t , s , - 1 ) - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - 2 } ^ { 2 } k _ { T , + } ( t - t ^ { \prime } , s , s ^ { \prime } ) h ( t ^ { \prime } , s ^ { \prime } , - 1 ) d s ^ { \prime } d t ^ { \prime } } \\ & { \leq \bar { k } _ { B , 1 } ( t , s , - 1 ) + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - 1 } ^ { - 1 + e ^ { - T ^ { 2 } } } e ^ { C t T } \bar { k } _ { B , 1 } ( t - t ^ { \prime } , s , s ^ { \prime } ) \bar { k } _ { B , 1 } ( t ^ { \prime } , s ^ { \prime } , - 1 ) d s ^ { \prime } d t ^ { \prime } } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - 2 } ^ { 2 } k _ { T , + } ( t - t ^ { \prime } , s , s ^ { \prime } ) l ( t ^ { \prime } , s ^ { \prime } , - 1 ) d s ^ { \prime } d t ^ { \prime } } \\ & { \leq \bar { k } _ { B , 1 } ( t , s , - 1 ) + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - 1 } ^ { - 1 + e ^ { - T ^ { 2 } } } e ^ { C t T } \bar { k } _ { B , 1 } ( t - t ^ { \prime } , s , s ^ { \prime } ) \bar { k } _ { B , 1 } ( t ^ { \prime } , s ^ { \prime } , - 1 ) d s ^ { \prime } d t ^ { \prime } } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - 1 / 8 } ^ { - 1 / 1 6 } C e ^ { - c / ( t - t ^ { \prime } ) } ( \bar { k } _ { B , 1 } ( t ^ { \prime } , s ^ { \prime } , - 1 ) + \partial _ { s ^ { \prime } } \bar { k } _ { B , 1 } ( t ^ { \prime } , s ^ { \prime } , - 1 ) ) d s ^ { \prime } d t ^ { \prime } } \\ & { \leq \bar { k } _ { B , 1 } ( t , s , - 1 ) + C \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - T ^ { 2 } } e ^ { C t T } \frac { 1 } { \sqrt { t - t ^ { \prime } } \sqrt { t ^ { \prime } } } d s ^ { \prime } d t ^ { \prime } } \\ & { + C \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - c / ( t - t ^ { \prime } ) } e ^ { - c / t ^ { \prime } } d t ^ { \prime } \leq \frac { C ^ { \prime } } { \sqrt { t } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int \frac { i } { 2 } \left( \Psi ^ { * } \frac { \partial \Psi } { \partial t } - \Psi \frac { \partial \Psi ^ { * } } { \partial t } \right) \, d \vec { r } = - i N ( \mathcal { Z } ^ { * } \dot { \mathcal { Z } _ { 0 } } - \mathcal { Z } \dot { \mathcal { Z } _ { 0 } ^ { * } } ) - \frac { N } { 2 } ( m + 1 ) \dot { \mathcal { \alpha } } \rho ^ { 2 } + N ( \mathcal { P } ^ { * } \dot { \mathcal { Z } _ { 0 } } + \mathcal { P } \dot { \mathcal { Z } _ { 0 } ^ { * } } ) . } \end{array}
f _ { k } ( t + 1 , \boldsymbol { x } ) = f _ { k ^ { \prime } } ( t + 1 , \boldsymbol { x } ) = f _ { k ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ~ p ~ o ~ s ~ t ~ } } ( t , \boldsymbol { x } + \boldsymbol { e } _ { k } )
\begin{array} { r l } { X \times Y \stackrel { f \times g } \longrightarrow \mathrm { H o m } ( X ^ { \prime } , { \mathbb N } ) \times \mathrm { H o m } ( Y ^ { \prime } , { \mathbb N } ) \rightarrow } & { \mathrm { H o m } ( X ^ { \prime } \times Y ^ { \prime } , { \mathbb N } \times { \mathbb N } ) } \\ { \rightarrow } & { \mathrm { H o m } ( X ^ { \prime } \times Y ^ { \prime } , { \mathbb N } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | K _ { 1 } | \le 1 \; , \; | K _ { 2 } | } & { { } \le } & { 1 \; , \; | K _ { 1 2 } | \le 1 \; , } \\ { \vert K _ { 1 } \pm K _ { 2 } \vert } & { { } \le } & { 1 \pm K _ { 1 2 } \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \| u \| _ { H ^ { 2 } } ^ { 2 } \rangle \leq C \langle | \nabla \omega | ^ { 2 } \rangle + C ( 1 + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } ) \langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot { \boldsymbol { u } } } & { { } = { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial } { \partial \rho } } { \Bigl ( } \rho \, u _ { \rho } { \Bigr ) } + { \frac { \partial u _ { z } } { \partial z } } } \end{array}
u _ { i + 1 } ^ { \mathrm { ~ L ~ A ~ T ~ } } = u _ { i } ^ { \mathrm { ~ L ~ A ~ T ~ } } + ( w _ { i + 1 } - w _ { i } ) - \left\lfloor \frac { w _ { i + 1 } - w _ { i } } { L _ { i + 1 } } + \frac { 1 } { 2 } \right\rfloor L _ { i + 1 } - \left\lfloor \frac { w _ { i } - u _ { i } ^ { \mathrm { ~ L ~ A ~ T ~ } } } { L _ { i } } + \frac { 1 } { 2 } \right\rfloor ( L _ { i + 1 } - L _ { i } ) \, .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u _ { 2 } + \nabla P _ { 2 } = \Delta u _ { 2 } } & { \mathrm { ~ i n ~ } ( - 4 , 0 ) \times \Omega } \\ { \operatorname { d i v } u _ { 2 } = 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } ( - 4 , 0 ) \times \Omega } \\ { u _ { 2 } = 0 } & { \mathrm { ~ o n ~ } ( - 4 , 0 ) \times ( \partial \Omega \cap \mathsf T _ { 2 } ) \quad . } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { e W _ { r } \left( \xi , r \right) } { m _ { e } c \omega _ { p } } = \frac { d R } { d r } \int _ { \xi } ^ { \infty } \rho _ { z } ( \xi ^ { \prime } ) \sin \left[ k _ { p } \left( \xi - \xi ^ { \prime } \right) \right] d \xi ^ { \prime } ,
u _ { i } ^ { \mathcal { G } } = x _ { i } \frac { \Delta _ { \mathfrak { d e } ( i ) \setminus \mathfrak { c h } ( i ) } ( x ) } { \Delta _ { \mathfrak { d e } ( i ) } ( x ) } \qquad \mathrm { ~ a n d ~ } \qquad w _ { i } ^ { \mathcal { G } } = y _ { i } \frac { \delta _ { \mathfrak { d e } ( i ) \setminus \mathfrak { c h } ( i ) } ( y ) } { \delta _ { \mathfrak { d e } ( i ) } ( y ) } .
{ \frac { q _ { a } } { q _ { b } } } = { \frac { b } { a } } , \quad \quad { \frac { q _ { b } } { q _ { c } } } = { \frac { c } { b } } , \quad \quad { \frac { q _ { a } } { q _ { c } } } = { \frac { c } { a } }
\qquad | T \phi | \leq C \| \phi \| _ { N } : = C \operatorname* { s u p } \left\{ \left| \partial ^ { \alpha } \phi ( x ) \right| : x \in U , | \alpha | \leq N \right\} \quad { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } \phi \in { \mathcal { D } } ( U ) .
\frac { 1 } { \sigma _ { m } ^ { 2 } } = \sigma _ { p e f f } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { \sigma _ { p } ^ { 2 } } \, \left( \frac { 1 } { \sigma _ { e \SS P } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \sigma _ { e \SS D } ^ { 2 } } \right) + \frac { ( v _ { \SS P } - v _ { \SS D } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { e \SS P } ^ { 2 } \sigma _ { e \SS D } ^ { 2 } } \right) \, .
\nabla _ { t } B ^ { \hat { i } } + \nabla _ { \hat { j } } \left( v ^ { \hat { j } } B ^ { \hat { i } } - v ^ { \hat { i } } B ^ { \hat { j } } \right) + { \epsilon } ^ { \hat { i } \hat { j } \hat { k } } B _ { \hat { j } } { \Omega } _ { \hat { k } } ^ { 0 } = 0 \; .
\begin{array} { r l } { M _ { \mathrm { { r e s } } } ( E ) } & { { } \sim \int \mathrm d t \, \mathrm e ^ { \mathrm i \Delta _ { 2 } t } \int ^ { t } \mathrm d t ^ { \prime } \, \sqrt { I _ { \mathrm { ~ I ~ R ~ } } I _ { \mathrm { ~ H ~ 1 ~ 5 ~ } } ( t ^ { \prime } ) } \mathrm e ^ { \mathrm i ( \Delta _ { 1 } + \mathrm i \Gamma / 2 - \Delta _ { 2 } ) ( t - t ^ { \prime } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } { f _ { s _ { m } , n } ( t ) = ( s _ { m } - n ) \left[ \beta ( s _ { m } , n ) + \sum _ { s = 2 } ^ { s _ { m } - 1 } Q ( s ) + \xi ( t ) \right] . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \psi _ { 0 } = \frac { \phi ^ { ( 1 ) } } { \| \phi ^ { ( 1 ) } \| _ { L ^ { 2 } } } , \quad \phi ^ { ( 1 ) } ( x ) = \sum _ { l \in \mathcal { T } _ { N } } \widetilde \phi _ { l } ^ { ( 1 ) } \sin ( \mu _ { l } ( x - a ) ) , \quad x \in \Omega = ( - 1 , 1 ) , } \\ & { \widetilde \phi _ { l } ^ { ( 1 ) } = \frac { \widetilde \phi _ { l } } { | \mu _ { l } | ^ { 2 . 5 } } , \quad \widetilde \phi _ { l } = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \mathrm { r a n d } ( - 1 , 1 ) + i \ \mathrm { r a n d } ( - 1 , 1 ) , } & & { l \mathrm { ~ e v e n } , } \\ & { 0 , } & & { l \mathrm { ~ o d d } , } \end{array} \right. \quad l \in \mathcal { T } _ { N } . } \end{array}
{ \bf K K 6 } \, \, \, \, d \hat { s } ^ { 2 } = d t ^ { 2 } - d \vec { y } _ { 5 } ^ { \ 2 } - H ( d \omega d \bar { \omega } + d z ^ { 2 } ) - H ^ { - 1 } \left( d y ^ { 7 } - A d z \right) ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r } { \varepsilon _ { h } ^ { \mathrm { l i n } } ( \varphi _ { h } ) = \langle E ^ { \prime \prime } ( u ) ( \textup { R } _ { \kappa , h } ^ { \perp } u - u ) , \varphi _ { h } \rangle , \qquad \varepsilon _ { h } ^ { \mathrm { n o n l i n } } ( \varphi _ { h } ) = \langle E ^ { \prime \prime } ( u ) ( u - u _ { h } ) , \varphi _ { h } \rangle , } \end{array}
\log L ( \{ t _ { j } , m _ { j } \} ) = \sum _ { j : m _ { j } \geq M _ { d } } \left( \log \lambda _ { d } ( t _ { j } , m _ { j } | H _ { t _ { j } } ) - \int _ { t _ { j - 1 } } ^ { t _ { j } } \lambda _ { d } ( t | H _ { t } ) d t \right) .
\begin{array} { r l r } { \left| \bigcap _ { \ell \in { \cal A } } { \cal M } _ { \hat { R } _ { \ell } , \Delta } \right| } & { \leq } & { \left| { \cal M } _ { \hat { R } _ { \ell _ { 1 } } , \Delta } \cap { \cal M } _ { \hat { R } _ { \ell _ { 2 } } , \Delta } \right| } \\ & { \leq } & { \left\lfloor \frac { \Delta } { \Psi \cdot \operatorname* { m i n } \{ \hat { R } _ { \ell _ { 1 } } , \hat { R } _ { \ell _ { 2 } } \} } \right\rfloor + 1 } \\ & { \leq } & { \frac { \Delta } { \Psi \cdot \tilde { T } _ { \operatorname* { m i n } } } + 1 } \\ & { \leq } & { \frac { 2 } { \Psi } \cdot N ( { \cal R } ^ { * } , \Delta ) + 1 \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \overleftrightarrow { \mathbf { K } } \equiv \left[ \begin{array} { l l l } { K _ { x x } } & { K _ { x y } } & { K _ { x z } } \\ { K _ { y x } } & { K _ { y y } } & { K _ { y z } } \\ { K _ { z x } } & { K _ { z y } } & { K _ { z z } } \end{array} \right] , } \end{array}
\tilde { \omega } _ { 1 \enskip 5 } ^ { \enskip a } \; = \; \omega _ { 1 \enskip 5 } ^ { \enskip 5 } \; = \; \omega _ { 1 \enskip 6 } ^ { \enskip 5 } - 1 \; = \; 0 ,
\operatorname { L i } _ { s } ( z ) + ( - 1 ) ^ { s } \operatorname { L i } _ { s } ( 1 / z ) = { \frac { ( 2 \pi i ) ^ { s } } { \Gamma ( s ) } } ~ \zeta \left( 1 - s , ~ { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { \ln ( - z ) } { 2 \pi i } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { { { ( { ( \Delta ^ { ( \nu ) } ) } ^ { - 1 } A \Delta ^ { ( \nu + 1 ) } \big ) } ^ { \ast } } _ { ( j - 1 , j ) } } & { = } & { \frac { { \delta _ { j - 1 } ^ { ( \nu + 1 ) } } } { \delta _ { j } ^ { ( \nu ) } } A _ { j ( j - 1 ) } } \\ & { = } & { d ^ { ( \nu ) } ( j - 1 ) ( N - j + 1 ) \frac { { \mu _ { j - 1 } } ^ { 2 } } { { \mu _ { j } } ^ { 2 } } \frac { \mu _ { j } } { \mu _ { j - 1 } } } \\ & { = } & { d ^ { ( \nu ) } ( j - 1 ) ( N - j + 1 ) \frac { \mu _ { j - 1 } } { \mu _ { j } } . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } d \nu \int _ { m } ^ { \infty } d k \ [ k ^ { 2 } - m ] ^ { 1 / 2 - s } \frac { \partial } { \partial k } \frac { t ^ { j } } { \nu ^ { n } } = \frac { ( m R ) ^ { 2 - n } } 2 \frac { \Gamma ( \frac 3 2 - s ) \Gamma ( 1 + \frac { j - n } 2 ) \Gamma ( s + \frac { n - 3 } 2 ) } { \Gamma ( \frac j 2 ) } .
\psi ( x ) = \sum _ { \sigma } \int \left\{ e ^ { - i p x } u _ { + } ^ { \sigma } ( p ) a _ { \sigma } ^ { + } ( p ) + e ^ { + i p x } u _ { - } ^ { \sigma } ( p ) { a _ { \sigma } ^ { - } ( p ) } ^ { \dagger } \right\} d ( p ) \; \; .
\begin{array} { r l } { \left| G _ { \sigma ; \epsilon ^ { \prime } } ( \cos ( \pi x / T ) ) - e ^ { - x ^ { 2 } / ( 2 \sigma ^ { 2 } ) } \right| \le \epsilon ^ { \prime \prime } , ~ } & { { } ~ \forall x \in [ - \pi , \pi ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { E } _ { j } } & { = ( n + i - j ) ( j + \frac { c ^ { ( \nu ) } } { d ^ { ( \nu ) } } ) + ( j - 1 ) ( N - j + 1 ) + n ( i - N - 1 - \frac { c ^ { ( \nu ) } } { d ^ { ( \nu ) } } ) , } \\ { \widetilde { F } _ { j } } & { = ( j - 1 ) ( N - j + 1 ) ( n + i - j + 1 ) \Big ( j - 1 + \frac { c ^ { ( \nu ) } } { d ^ { ( \nu ) } } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathfrak { M } _ { \Pi _ { > N } \mathcal { A } } ^ { \sharp } ( 0 , s ) \le N ^ { - | \mathtt { b } | } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } \mathcal { A } } ^ { \sharp } ( 0 , s ) , \quad \mathfrak { M } _ { \Pi _ { > N } \mathcal { A } } ^ { \sharp } ( 0 , s ) \le \mathfrak { M } _ { \mathcal { A } } ^ { \sharp } ( 0 , s ) , } \\ { \mathfrak { M } _ { \Pi _ { > N } \mathcal { A } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) \le N ^ { - | \mathtt { b } | } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } \mathcal { A } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) , \quad \mathfrak { M } _ { \Pi _ { > N } \mathcal { A } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) \le \mathfrak { M } _ { \mathcal { A } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) . } \end{array}
I _ { i , t } : = \left\{ \begin{array} { l l } { Y _ { i , t } \quad } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } t < \tau _ { j } , } \\ { N _ { i , \tau _ { j } } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } t \geq \tau _ { j } , } \end{array} \right.
( \mathcal { O } _ { \pm } ^ { i n } ( \Omega ) ) ^ { \dag } = \mathcal { O } _ { \pm } ^ { o u t } ( P \Omega _ { A } ) \ , ( \mathcal { O } _ { \pm } ^ { o u t } ( \Omega ) ) ^ { \dag } = \mathcal { O } _ { \pm } ^ { i n } ( P \Omega _ { A } )
\begin{array} { r l } { \vec { v } U } & { { } = \vec { v } ( I - G ) = 0 , } \\ { \therefore \vec { v } } & { { } = \vec { v } G , } \\ { \therefore \forall i : \ v _ { i } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i } v _ { i } , } \\ { \mathrm { i . e . } \ \exists d , \ \vec { v } } & { { } = d \vec { \psi _ { 0 } } . } \end{array}
\frac { \partial g _ { 2 , \varepsilon } } { \partial x _ { 2 } } \Big | _ { \Omega _ { \varepsilon } ^ { 1 } \cap \Omega _ { \varepsilon } ^ { 2 } } = \exp \{ \varepsilon \} \frac { 1 } { 2 + 2 \varepsilon } + \exp \left\{ \varepsilon \right\} \frac { 1 } { 2 \varepsilon ( 1 + 1 \varepsilon ) } = \frac { 1 } { 2 \varepsilon } e ^ { \varepsilon } = \frac { \partial g _ { 1 , \varepsilon } } { \partial x _ { 2 } } \Big | _ { \Omega _ { \varepsilon } ^ { 1 } \cap \Omega _ { \varepsilon } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { J ( t ) = - \frac { q } { L } \frac { d } { d t } \int _ { 0 } ^ { L } d x \int _ { 0 } ^ { L } d x _ { \mathrm { i } } ( L - x ) G ( x , x _ { \mathrm { i } } , t ) p _ { \mathrm { i } } ( x _ { \mathrm { i } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 0 . 5 3 1 3 , 0 , 0 , 0 . 4 ) \qquad } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x \ge 0 . 5 , y \ge 0 . 5 } \\ { ( 1 , 0 . 7 2 7 6 , 0 , 1 ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x < 0 . 5 , y \ge 0 . 5 } \\ { ( 0 . 8 , 0 , 0 , 1 ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x < 0 . 5 , y < 0 . 5 } \\ { ( 1 , 0 , 0 . 7 2 7 6 , 1 ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x \ge 0 . 5 , y < 0 . 5 } \end{array} \right. } \end{array}
S = \int d p [ A _ { f } ( \vec { p } ) A _ { f } ^ { \dagger } ( \vec { p } ) l n ( c h ^ { 2 } ( g ( \vec { p } , \beta ) ) ) - A _ { f } ^ { \dagger } ( \vec { p } ) A _ { f } ( \vec { p } ) l n ( s h ^ { 2 } ( g ( \vec { p } , \beta ) ) ) ] \; ,