harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\rho ^ { 2 } ( n ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + 8 s i n ^ { 2 } n F ) F ^ { \prime \prime } + 2 n ^ { 2 } \rho ^ { 3 } F ^ { \prime } + \frac { 1 } { n } s i n 2 n F ( 4 n ^ { 2 } \rho ^ { 2 } F ^ { 2 } - 4 s i n ^ { 2 } n F - n ^ { 2 } \rho ^ { 2 } ) = 0
\{ \chi ^ { i j } \} = \left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \chi ^ { 1 1 } } } & { { \chi ^ { 1 2 } } } & { { \chi ^ { 1 3 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \chi ^ { 1 2 } } } & { { \chi ^ { 2 2 } } } & { { \chi ^ { 2 3 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \chi ^ { 1 3 } } } & { { \chi ^ { 2 3 } } } & { { \chi ^ { 3 3 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ; ~ ~ ~ ~ \chi ^ { 1 1 } + \chi ^ { 2 2 } + \chi ^ { 3 3 } = 0 .
D \varphi _ { t _ { 0 } } ^ { T } ( u _ { 0 } ) = D \varphi _ { \tau _ { N - 1 } } ^ { \tau _ { N } } ( \varphi _ { t _ { 0 } } ^ { \tau _ { N - 1 } } ( u _ { 0 } ) ) \circ \cdots \circ D \varphi _ { t _ { 0 } } ^ { \tau _ { 1 } } ( u _ { 0 } ) ,
\begin{array} { r l r } { f _ { R } } & { { } } & { = 2 \sinh { \delta } [ 2 t ^ { 2 } \sin ( \gamma L ) \sin \gamma - g ^ { 2 } \cos ( \gamma ( L - 1 ) ) + 2 g t \cos \phi \cos ( \gamma L ) ] + O ( \frac { 1 } { L } ) , } \\ { f _ { I } } & { { } } & { = 2 \cosh { \delta } [ - g ^ { 2 } \sin ( \gamma ( L - 1 ) ) + 2 g t \cos \phi \sin ( \gamma L ) - 2 t ^ { 2 } \cos ( \gamma L ) \sin \gamma ] + 4 t ^ { 2 } \cos ( \theta L ) \sin \gamma + O ( \frac { 1 } { L } ) . } \end{array}
J = \left( \begin{array} { l l } { \mu _ { 0 } ( 1 - 2 x ) - \mu _ { 1 } y } & { - \mu _ { 1 } x } \\ { \nu _ { 1 } y } & { \nu _ { 0 } ( - 1 + 2 y ) + \nu _ { 1 } x } \end{array} \right) ,
\alpha _ { S } \approx - \frac { 1 } { 3 } \tau _ { t } \left( \langle \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { w } ^ { \prime } \rangle - \langle \mathbf { b } ^ { \prime } \cdot \mathbf { j } ^ { \prime } \rangle \right) ,
/ t r i p , t h e t r a n s i t r i d e r s h i p d e c r e a s e s w i t h t h e s u b s i d y ( F i g u r e ) . W e a r g u e t h a t t h i s i s a g a i n a t t r i b u t e d t o t h e c o m p e t i t i v e n e s s a n d c o m p l e m e n t a r i t y b e t w e e n A M o D s e r v i c e s a n d p u b l i c t r a n s i t . N o t e t h a t t h e t o t a l p u b l i c t r a n s i t r i d e r s h i p c o n s i s t s o f t h e r i d e r s h i p o f d i r e c t t r a n s i t s e r v i c e s ( m o d e
\begin{array} { r l } { P _ { n | k } ^ { \mathrm { ( i r ) } } } & { { } = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } \binom { k } { n } B _ { n \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } , ( n + 1 ) \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } } \left( k - n + 1 , n + 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { c } \frac { \partial I ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \Omega } , \nu , t ) } { \partial t } + \boldsymbol { \Omega \cdot \nabla } I ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \Omega } , \nu , t ) } & { = \begin{array} { r l } { [ t ] } & { - ( \sigma _ { a } ( \nu , T ) + \sigma _ { s } ( \nu , T ) ) I ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \Omega } , \nu , t ) + \sigma _ { a } ( \nu , T ) B ( \nu , T ) } \\ & { + \sigma _ { s } ( \nu , T ) \int _ { 4 \pi } \frac { I _ { \nu } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \Omega } ^ { \prime } , t ) } { 4 \pi } \boldsymbol { d \Omega } ^ { \prime } } \end{array} } \\ { \frac { \partial e ( T ) } { \partial t } } & { = c \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ \sigma _ { a } ( \nu ^ { \prime } , T ) \left( \int _ { 4 \pi } I ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \Omega } ^ { \prime } , \nu ^ { \prime } , t ) \boldsymbol { d \Omega } ^ { \prime } - 4 \pi B ( \nu ^ { \prime } , T ) \right) d \nu ^ { \prime } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d r } { d t } } & { { } = \sqrt { F } \cos { \phi } - r , } \\ { \frac { d \phi } { d t } } & { { } = - \frac { \sqrt { F } \sin { \phi } } { r } - \left( B + 1 \right) r ^ { 2 } + \Delta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \upnu } _ { \mathrm { H } ^ { + } } } & { { } = \int _ { \Gamma _ { c } } \mathbf { N } _ { \mathrm { H } ^ { + } } ^ { T } 2 \nu _ { \mathrm { h } } \; \mathrm { d } \Gamma _ { c } } \\ { \mathbf { \upnu } _ { \mathrm { O H } ^ { - } } } & { { } = - \int _ { \Gamma _ { c } } \mathbf { N } _ { \mathrm { H } ^ { + } } ^ { T } 4 \nu _ { \mathrm { o } } \; \mathrm { d } \Gamma _ { c } } \\ { \mathbf { \upnu } _ { \mathrm { O } _ { 2 } } } & { { } = \int _ { \Gamma _ { c } } \mathbf { N } _ { \mathrm { H } ^ { + } } ^ { T } \nu _ { \mathrm { o } } \; \mathrm { d } \Gamma _ { c } } \\ { \mathbf { \upnu } _ { \mathrm { F e } ^ { 2 + } } } & { { } = \int _ { \Gamma _ { a } } \mathbf { N } _ { \mathrm { H } ^ { + } } ^ { T } \nu _ { \mathrm { c } } \; \mathrm { d } \Gamma _ { a } } \\ { \mathbf { \upnu } _ { \mathrm { N a } ^ { + } } } & { { } = \mathbf { \nu } _ { \mathrm { C l } ^ { - } } = \mathbf { \nu } _ { \mathrm { F e O H } ^ { + } } = \mathbf { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { j } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \left[ | | \mathbf { x } _ { t _ { j } } - \mu _ { t _ { j } } ^ { t _ { i } , \, \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\sigma _ { N - 2 , 3 } = \left( \begin{array} { c c c c c c c c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \ldots } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \star } } & { { \star } } & { { \star } } & { { \ldots } } & { { \star } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
m _ { 0 } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { 1 } { u _ { | u | - 1 } } } \\ { \frac { 1 } { u _ { | u | - 1 } } } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { 1 } { u _ { | u | - 2 } } } \\ { \frac { 1 } { u _ { | u | - 2 } } } & { 0 } \end{array} \right) \cdots \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { 1 } { u _ { 0 } } } \\ { \frac { 1 } { u _ { 0 } } } & { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \omega \left\langle \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial t } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } } & { { } + \omega \left\langle \frac { \partial c _ { 2 } } { \partial \tau } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } - \phi ^ { - 1 } \nabla _ { \mathbf { x } } \cdot \left( \tilde { \textbf { D } } ^ { \star } \cdot \nabla _ { \mathbf x } \left\langle c _ { 0 } \right\rangle \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { t } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 6 r ^ { 8 } ( 3 r + { r _ { 0 } } ) ^ { 3 } } \left\lbrace e ^ { 2 \mu ( { r _ { 0 } } - r ) } \left( - 3 r ^ { 4 } e ^ { 2 \mu ( r - { r _ { 0 } } ) } \left( 2 7 \beta r ^ { 7 } + 2 7 \beta r ^ { 6 } { r _ { 0 } } + 9 \beta r ^ { 5 } { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right. \right. \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { a _ { 1 } a _ { 2 } \to a _ { 3 } \dots a _ { n } } } & { = \sum _ { { j \in \{ \mathrm { p r o p , ~ e x t } \} } } \delta m _ { j } ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial m _ { j } ^ { 2 } } M _ { a _ { 1 } a _ { 2 } \to a _ { 3 } \dots a _ { n } } ^ { ( 0 ) } } \\ & { = M _ { a _ { 1 } a _ { 2 } \to a _ { 3 } \dots a _ { n } } ^ { ( 0 ) } \Bigl | _ { m _ { j } ^ { 2 } + \delta m _ { j } ^ { 2 } } + O \bigl ( ( \delta m _ { j } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \bigl ) . } \end{array}
{ \widetilde a } = a - { \frac { b c } { 2 \pi ^ { 2 } } } \int _ { k ^ { 2 } = \mu ^ { 2 } } ^ { k ^ { 2 } = \Lambda ^ { 2 } } { \frac { d ^ { 2 } k } { k ^ { 2 } } } = a - { \frac { b c } { 2 \pi } } \ln \left( { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \right) ~ .
\frac { \pi ^ { 5 / 2 } } { \sqrt { A _ { p } A _ { \phi } A _ { y } A _ { x } A _ { \eta } } } = \frac { ( 2 \pi ) ^ { 5 / 2 } \sigma _ { \phi } \sigma _ { p } \sigma _ { y } \sigma _ { r } \sigma _ { \eta } ( z - s ) } { [ B D ] _ { y } } .
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \frac { d } { d t } \| v ^ { k } - v ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } } } \\ & { = } & { 2 I m \int _ { \mathbb { R } } ( | v ^ { k } | ^ { 2 p } v ^ { k } - | v ^ { j } | ^ { 2 p } v ^ { j } ) ( \overline { { v ^ { k } - v ^ { j } } } ) d x } \\ & { } & { + 2 \beta I m \int _ { \mathbb { R } } ( | v ^ { k } | ^ { p - 1 } | u ^ { k } | ^ { p + 1 } v ^ { k } - | v ^ { j } | ^ { p - 1 } | u ^ { j } | ^ { p + 1 } v ^ { j } ) ( \overline { { v ^ { k } - v ^ { j } } } ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac 1 2 \big [ \frac 1 r \partial _ { r } ( r \partial _ { r } p ) + \partial _ { z } ^ { 2 } p \big ] \ } & { { } = \ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \big [ \partial _ { r } ^ { 2 } \psi \partial _ { z } ^ { 2 } \psi - ( \partial _ { r } \partial _ { z } \psi ) ^ { 2 } \big ] - \frac { 1 } { r ^ { 4 } } ( \partial _ { z } \psi ) ^ { 2 } } \end{array}
\sigma _ { g g } ^ { ( s ) } = \frac { 2 } { 7 } \sigma _ { g g } ^ { ( 0 ) } \frac { X _ { ( s ) } } { 1 - \exp ( - X _ { ( s ) } ) } , \quad X _ { ( s ) } = \frac { 4 } { 3 } \frac { \pi \alpha _ { s } } { \beta } ,
\left\langle { \mathfrak { p } } \right\rangle = \left\langle \, { \mathfrak { I } } ^ { - 1 } \, S \, | { \mathfrak { p } } | \, { \mathfrak { I } } ^ { - 1 } \, S \, \right\rangle = \left\langle \, S \, | { \mathfrak { I } } \, { \mathfrak { p } } \, { \mathfrak { I } } ^ { - 1 } | \, S \, \right\rangle = - \left\langle { \mathfrak { p } } \right\rangle
T _ { p } ^ { ( 1 ) } = \left| 1 - \frac { \kappa } { 2 } \left( \frac { 1 + 2 | f | \cos \beta } { i ( ( \omega _ { 0 } - \omega ) + | g | ) + ( \gamma + 2 \kappa ) } + \frac { 1 - 2 | f | \cos \beta } { i ( ( \omega _ { 0 } - \omega ) - | g | ) + ( \gamma + 2 \kappa ) } \right) \right| ^ { 2 } \cdot p ( \omega - \omega _ { 0 } )
\mathscr { L } _ { i } = \frac { 1 } { 2 } \mathfrak { M } _ { \alpha \beta , \gamma \delta } ^ { - 1 } \left( \partial _ { i } \Sigma ^ { \gamma \delta } \right) \left( \mathbf { b } _ { \alpha } \mathbf { b } _ { \beta } - \Sigma ^ { \alpha \beta } \right) ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } a _ { + \mu } } & { { } = - ( 1 + i ( \zeta _ { \mu } - 4 | a _ { 0 } | ^ { 2 } ) ) a _ { + \mu } + i a _ { 0 } ^ { 2 } a _ { - \mu } ^ { * } } \\ { \partial _ { t } a _ { - \mu } ^ { * } } & { { } = - ( 1 - i ( \zeta _ { \mu } - 4 | a _ { 0 } | ^ { 2 } ) ) a _ { - \mu } ^ { * } - i a _ { 0 } ^ { * 2 } a _ { + \mu } } \end{array}
g _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { ~ a ~ c ~ o ~ u ~ s ~ t ~ i ~ c ~ } } = \frac { \rho _ { 0 } } { c _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ u ~ n ~ d ~ } } } \left( \begin{array} { c c c } { - ( c _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ u ~ n ~ d ~ } } ^ { 2 } - v _ { 0 } ^ { 2 } ) } & { \vdots } & { - ( v _ { 0 } ) _ { j } } \\ { \ldots } & { \cdot } & { \ldots } \\ { - ( v _ { 0 } ) _ { i } } & { \vdots } & { \delta _ { i j } } \end{array} \right) .
\nabla _ { \mathbf x } \widetilde H _ { i } ( \mathbf x , \mathbf g ( \mathbf x ) ) = \widetilde H _ { i } ( \mathbf x , \mathbf g ( \mathbf x ) ) \left( \nabla _ { \mathbf x } r ( \mathbf x ) \ln \left( \frac { g _ { i } ( \mathbf x ) } { \sigma _ { i } ( \mathbf x ) } \right) - r ( \mathbf x ) \frac { \nabla _ { \mathbf x } \sigma _ { i } ( \mathbf x ) } { \sigma _ { i } ( \mathbf x ) } \right)
\begin{array} { r l } { P _ { \alpha \beta } } & { { } = p \delta _ { \alpha \beta } + \sigma _ { \alpha \beta } = \int m c _ { \alpha } c _ { \beta } f ( \mathbf { u } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } } \\ { q _ { \alpha } } & { { } = \int \frac { m } { 2 } c _ { \alpha } \mathbf { c } ^ { 2 } f ( \mathbf { u } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } ; \quad \alpha , \beta = 1 , 2 , 3 , } \end{array}
E _ { l } = \frac { c ( l + 1 / 2 ) } { \pi a } \int _ { 0 } ^ { \infty } d y \ln \left\{ 1 - \xi ^ { 2 } \left[ ( s _ { l } ( y ) e _ { l } ( y ) ) ^ { \prime } \right] ^ { 2 } \right\} ,
{ \begin{array} { r l } { ( \Pi ( R ) f ) ( \theta ( x ) , \varphi ( x ) ) } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m , = - l } ^ { l } \sum _ { m ^ { \prime } = - l } ^ { l } D _ { m m ^ { \prime } } ^ { ( l ) } ( R ) f _ { l m ^ { \prime } } Y _ { m } ^ { l } \left( \theta \left( R ^ { - 1 } x \right) , \varphi \left( R ^ { - 1 } x \right) \right) , } \\ & { R \in \mathrm { S O } ( 3 ) , x \in \mathbb { S } ^ { 2 } , } \end{array} }
( \Delta M ) _ { d , s } = \frac { G _ { F } ^ { 2 } } { 6 \pi ^ { 2 } } \eta _ { B } m _ { B _ { d , s } } ( \hat { B } _ { B _ { d , s } } F _ { B _ { d , s } } ^ { 2 } ) M _ { W } ^ { 2 } F _ { t t } | V _ { t ( d , s ) } | ^ { 2 }
\| \mathbf { y } \| _ { \infty } = \| \mathcal { Q } _ { \lambda } ( P ^ { m } \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) \| _ { \infty } \le C \operatorname* { m a x } _ { i , j \in V } | x _ { i } ^ { ( 1 ) } - x _ { j } ^ { ( 1 ) } | \, \| \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } \| _ { \infty } < 2 C \eta
\begin{array} { r l } { Z _ { \mathrm { f } } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { T _ { 1 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { T _ { 1 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { T } _ { 1 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { T } _ { 1 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } \\ { T _ { 4 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { T _ { 4 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { T } _ { 4 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { T } _ { 4 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } \\ { U _ { 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { U _ { 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { U } _ { 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { U } _ { 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } \end{array} \right] , } \\ { Y _ { \mathrm { f } } } & { = \left[ \begin{array} { l } { - H _ { n } ^ { ( 1 ) } ( \omega R ^ { ( N ) } / c ) } \\ { 0 } \\ { \frac { 1 } { c \rho \omega } H _ { n } ^ { ( 1 ) \prime } ( \omega R ^ { ( N ) } / c ) } \end{array} \right] } \end{array}
E ( x ) = \left( \begin{array} { c c } { { I _ { R } } } & { { 2 B ( x ) } } \\ { { 0 } } & { { I _ { L } } } \end{array} \right) \; \; \; \; \; F _ { R } ( x ) = \left( \begin{array} { c } { { G _ { R } ( x ) } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) \; \; \; \; \; F _ { L } ( x ) = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { G _ { L } ( x ) } } \end{array} \right) .
\biggl \langle \hat { \Psi } _ { s _ { 1 } } ^ { \dagger } ( \mathbf { r } ) \hat { \Psi } _ { s _ { 2 } ^ { \prime } } ( \mathbf { r ^ { \prime } } ) \biggr \rangle \biggl \langle \hat { \Psi } _ { s _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( \mathbf { r ^ { \prime } } ) \hat { \Psi } _ { s _ { 2 } } ( \mathbf { r } ) \biggr \rangle ,
\begin{array} { r l r } { { \mathbb { E } } ( W _ { i , j } ^ { 4 } ) } & { = } & { { \mathbb { E } } \{ \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 4 } ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ^ { 4 } \} } \\ & { = } & { { \mathbb { E } } \{ \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 4 } ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ^ { 4 } { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 2 i } ) \} + { \mathbb { E } } \{ \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 4 } ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ^ { 4 } { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 2 i } ^ { c } ) \} } \\ & { \leq } & { \{ ( 1 - \epsilon ) \mathrm { t r } ( \Omega ) \} ^ { - 2 } { \mathbb { E } } \{ ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ^ { 4 } \} + { \mathbb { P } } ( \mathcal { A } _ { 2 i } ^ { c } ) } \\ & { \lesssim } & { \omega _ { j j } ^ { 2 } \{ ( 1 - \epsilon ) \mathrm { t r } ( \Omega ) \} ^ { - 2 } + c _ { 1 } \exp \{ - c _ { 2 } p ^ { \delta \alpha / ( 4 \alpha + 4 ) } \} } \\ & { \lesssim } & { \omega _ { j j } ^ { 2 } \{ \mathrm { t r } ( \Omega ) \} ^ { - 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { L } & { = T ( \dot { \mathbf { r } } ) - U ( \mathbf r ) } \\ & { = \frac m 2 \dot { \mathbf { r } } ^ { 2 } - m g \, \mathbf r \cdot \mathbf e _ { z } } \\ & { = \frac m 2 ( \dot { x } ^ { 2 } + \dot { y } ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } \mu ^ { 2 } ( \sin ^ { 2 } ( \mu x ) \dot { x } ^ { 2 } - 2 \sin ( \mu x ) \cos ( \mu y ) \dot { x } \dot { y } + \cos ^ { 2 } ( \mu x ) \dot { y } ^ { 2 } ) } \\ & { \phantom { = = } - m g \lambda ( \cos ( \mu x ) + \sin ( \mu y ) ) } \end{array}
f ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) = \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \frac { e ^ { - \frac { z _ { 1 } } { \sigma } } } { \left( 1 + e ^ { - \frac { z _ { 1 } } { \sigma } } \right) ^ { 2 } } \frac { e ^ { - \frac { z _ { 2 } } { \sigma } } } { \left( 1 + e ^ { - \frac { z _ { 2 } } { \sigma } } \right) ^ { 2 } } , \; ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) \in \Re ^ { 2 } ,
2 \, D = D _ { R } { \binom { 1 } { 1 } } { \binom { 1 } { - 1 } } + D _ { A } { \binom { 1 } { - 1 } } { \binom { 1 } { 1 } } + D _ { F } { \binom { 1 } { 1 } } { \binom { 1 } { 1 } }
q _ { k } \, e ^ { i \vec { k } \cdot \vec { x } } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \omega _ { k } \, V } \, } \; ( \, a _ { k } + a _ { - k } ^ { \dag } \, ) \, e ^ { i \vec { k } \cdot \vec { x } } \, ,
\tau = \frac { \tilde { \lambda } } { \lambda _ { s } } - 1 = \frac { 1 - \lambda } { \lambda _ { s } } , \qquad \tilde { \tau } = \frac { \lambda } { \lambda _ { s } } - 1 = \frac { 1 - \tilde { \lambda } } { \lambda _ { s } } .
\begin{array} { r l } & { \mu _ { \pm 1 } ^ { \prime } = \mu _ { e f f } ^ { \prime } + ( \lambda _ { 0 } + \lambda _ { 1 } ) \frac { q ^ { 2 } - p ^ { 2 } } { 2 \lambda _ { 1 } q ^ { \prime } } , } \\ & { \mu _ { 0 } ^ { \prime } = \mu _ { e f f } ^ { \prime } - ( \lambda _ { 0 } + \lambda _ { 1 } ) \frac { q ^ { 2 } + p ^ { 2 } } { 2 \lambda _ { 1 } q ^ { \prime } } , } \\ & { \mu _ { e f f } ^ { \prime } = \mu ^ { \prime } + \frac { p ^ { 2 } - q ^ { 2 } } { 2 q ^ { \prime } } . } \end{array}
\Gamma _ { l , s } ^ { \, \alpha , \, \alpha _ { 0 } } ( 0 ) = \Gamma _ { l , s } ^ { \, \infty , \, \alpha _ { 0 } } ( 0 ) - \int _ { \alpha } ^ { \infty } d \alpha ^ { \prime } \, \underbrace { \, \partial _ { \alpha ^ { \prime } } \, \Gamma _ { l , s } ^ { \, \alpha ^ { \prime } , \, \alpha _ { 0 } } ( 0 ) \, } _ { \mathrm { r . h . s . ~ o f ~ ( \ r e f { f g 5 } ) } }
\begin{array} { r l } { n ( \mathbf { r } , t ) } & { { } = \int f d \mathbf { v } } \\ { n ( \mathbf { r } , t ) v _ { 0 } ( \mathbf { r } , t ) } & { { } = \int \mathbf { v } f d \mathbf { v } } \\ { n ( \mathbf { r } , t ) T ( \mathbf { r } , t ) } & { { } = \int { \frac { m } { 3 k _ { B } } } \mathbf { v } ^ { 2 } f d \mathbf { v } . } \end{array}
Z _ { 0 } \big | _ { \beta \omega \gg 1 } \sim e ^ { - \frac { 5 \pi ^ { 2 } } { 1 2 \beta \omega } - \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { 3 \sinh \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { \beta \omega } } } \cosh \biggl ( \frac { \pi ^ { 2 } } { \beta \omega } \biggr ) .
\begin{array} { r l } { \hat { H } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ o ~ t ~ o ~ n ~ } } = } & { { } \hbar \omega _ { c } \left( \hat { a } _ { H } ^ { \dagger } \hat { a } _ { H } + \hat { a } _ { V } ^ { \dagger } \hat { a } _ { V } \right) } \\ { + } & { { } \hbar g \, \hat { a } _ { H } \left( \vert x _ { H } \rangle \langle g \vert + \vert x x \rangle \langle x _ { H } \vert \right) + h . c . } \\ { + } & { { } \hbar g \, \hat { a } _ { V } \left( \vert x _ { V } \rangle \langle g \vert + \vert x x \rangle \langle x _ { V } \vert \right) + h . c . } \\ { = } & { { } \hat { H } _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ o ~ t ~ o ~ n ~ } } + \hat { H } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ u ~ p ~ l ~ . ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ o ~ t ~ o ~ n ~ } } . } \end{array}
W _ { 1 2 } \equiv \langle F _ { a b } ( x _ { 1 } ) F _ { c d } ( x _ { 2 } ) \rangle \langle F _ { c d } ( x _ { 2 } ) F _ { a b } ( x _ { 1 } ) \rangle = \frac { 2 4 c ^ { 2 } } { x _ { 1 2 } ^ { 8 } } .
B ( \lambda _ { a } ) = \lambda _ { a } ^ { N + 1 } - ( \alpha - 1 ) \lambda ^ { N } + ( 1 - \alpha + \beta + 2 \eta _ { 1 } ) \lambda _ { a } ^ { N - 1 } + 2 \eta _ { 2 } \lambda _ { a } ^ { N - 2 } + \dots + 2 \eta _ { N }
{ \mathsf { G } } _ { \mathtt { G } } = \Big \{ { \small \bigg ( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { v } & { { \mathsf { A } } } \end{array} \bigg ) } \normalsize \ \Big | \ v \in \mathbb { R } ^ { n - 1 } \ , \ { \mathsf { A } } \in { \mathsf { O } } ( n - 1 ) \Big \} \ .
\frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } \leqslant \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } \frac { \sin \frac { \left( 1 + \alpha - \gamma + 2 \eta \right) \pi } { 4 } } { \sin \frac { \left( 1 + \alpha + 3 \gamma - 2 \eta \right) \pi } { 4 } } \frac { \cos \frac { \left( 1 + \alpha - \gamma + 2 \eta \right) \pi } { 4 } } { \cos \frac { \left( 1 + \alpha + 3 \gamma - 2 \eta \right) \pi } { 4 } } \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { a _ { 3 } } { a _ { 2 } } \leqslant \frac { b _ { 3 } } { b _ { 2 } } \frac { \cos \frac { \left( 1 - \alpha + \gamma - 2 \eta \right) \pi } { 4 } } { \cos \frac { \left( 1 - \alpha - 3 \gamma + 2 \eta \right) \pi } { 4 } } \frac { \sin \frac { \left( 1 - \alpha + \gamma - 2 \eta \right) \pi } { 4 } } { \sin \frac { \left( 1 - \alpha - 3 \gamma + 2 \eta \right) \pi } { 4 } } ,
\begin{array} { r l } { y ( t ) = f ( x _ { y } ( t ) , x _ { h ( u ) } ( t ) , t ) = \ } & { \theta _ { \mathrm { l i n } } ^ { \top } \left[ \begin{array} { l l } { x _ { \mathrm { y } } ( t ) ^ { \top } } & { x _ { h ( u ) } ( t ) ^ { \top } } \end{array} \right] ^ { \top } } \\ & { + \theta _ { \mathrm { n l } } ^ { \top } \phi _ { \mathrm { n l } } ( x _ { y } ( t ) , x _ { h ( u ) } ( t ) , t ) , } \end{array}
Q = - 2 \left( \begin{array} { c c c } { { N _ { 1 } - N _ { 2 } } } & { { N - N _ { 1 } + \frac 1 2 N _ { 2 } } } & { { N - N _ { 1 } + \frac 1 2 N _ { 2 } } } \\ { { N - N _ { 1 } + \frac 1 2 N _ { 2 } } } & { { N _ { 1 } } } & { { N _ { 1 } - N } } \\ { { N - N _ { 1 } + \frac 1 2 N _ { 2 } } } & { { N _ { 1 } - N } } & { { N _ { 1 } - 2 N } } \end{array} \right)
( f _ { n } \cdot \ensuremath { \partial } - \ensuremath { \partial } { f _ { n } } ) \cdot { f _ { i } } \cdot \ensuremath { { \textstyle \int } } \cdot { g _ { i } } = f _ { n } f _ { i } g _ { i } + ( f _ { n } \ensuremath { \partial } { f _ { i } } - ( \ensuremath { \partial } { f _ { n } } ) f _ { i } ) \cdot \ensuremath { { \textstyle \int } } \cdot { g _ { i } }
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ \exp ( E _ { n } ) ] = \mathbb { E } [ \mathbb { E } [ \exp ( E _ { n } ) \, | \, \mathcal { F } _ { t _ { 1 } } ] ] = \mathbb { E } [ \exp ( E _ { 1 } ) ] = \exp \left( \alpha \delta | \sigma \eta _ { 1 } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } \ln ( 1 - 2 \alpha \delta Q _ { 0 } ) \right) = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( I - \tilde { W } \right) \mathbf { y } _ { k } } & { = Q _ { 1 } \left( I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } \right) \left( Q _ { 1 } ^ { \intercal } \mathbf { x } _ { k } - Q _ { 1 } ^ { \intercal } \eta G _ { k } - Q _ { 1 } ^ { \intercal } D _ { k } \right) } \\ & { = Q _ { 1 } \left( I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } \right) \left[ \left( J _ { R , u } - \sqrt { I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } } J _ { R , l } \right) \check { h } _ { k } \right] + \left( I - \tilde { W } \right) \eta \hat { \mathbf { g } } _ { k } } \\ & { \quad + \left( I - \tilde { W } \right) \eta \left[ \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } ) - \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) \right] . } \end{array}
C _ { y } ( x , y ) = \sigma ^ { 2 } \left( 1 + \sqrt { 5 } \frac { | x - y | } { l } + \frac { 5 } { 3 } \frac { | x - y | ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } \right) \exp \left( - \sqrt { 5 } \frac { | x - y | } { l } \right) ,
\left. - \frac 1 2 \int d ^ { 4 } x \int d ^ { 4 } y J _ { \mu \nu } ^ { a } ( x ) \left< S _ { \mu \nu } ^ { a } ( x ) S _ { \lambda \rho } ^ { b } ( y ) \right> J _ { \lambda \rho } ^ { b } ( y ) \right] ,
\sum _ { n = \frac { 1 } { 2 } } ^ { R / 2 } ~ \frac { \triangle k _ { n } ^ { + } } { k _ { n } ^ { + } } ~ f ( k _ { n } ^ { + } ) = \sum _ { n = \frac { 1 } { 2 } } ^ { R / 2 } ~ \frac { \triangle k _ { n } ^ { + } } { k _ { n } ^ { + } } ~ e ^ { - \sigma ^ { 2 } / ( \Lambda ^ { \prime } k _ { n } ^ { + } ) }
\begin{array} { r l r } { \psi ( r , \phi ) } & { { } = } & { \left( \frac { \sqrt { 2 } r } { w _ { 0 } } \right) ^ { | m | } L _ { n } ^ { | m | } \left( 2 \left( \frac { r } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \right) \mathrm { e } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { i m \phi } . } \end{array}
F _ { \gamma } = \frac { s / b | _ { Q G P } } { s / b | _ { H G } } = \frac { \gamma _ { \mathrm { s } } ^ { \mathrm { Q G P } } } { \gamma _ { \mathrm { s } } ^ { \mathrm { H G } } } f ( T _ { \mathrm { f } } , \lambda _ { \mathrm { q } } , \gamma _ { \mathrm { s } } ^ { \mathrm { H G } } ) \, .