harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \hat { { \mathbb { B } } } _ { j j } } & { = } & { n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \tilde { W } _ { i , j } ^ { 2 } } \\ & { = } & { n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } W _ { i , j } ^ { 2 } \{ 1 + O _ { p } ( \tilde { \delta } _ { 2 i } ) \} + n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } R _ { i } ^ { - 1 } W _ { i , j } \hat { \theta } _ { n , j } \{ 1 + O _ { p } ( \tilde { \delta } _ { 2 i } ) \} } \\ & { } & { + n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } R _ { i } ^ { - 2 } \hat { \theta } _ { n , j } ^ { 2 } \{ 1 + O _ { p } ( \tilde { \delta } _ { 2 i } ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf U } _ { j } } & { { } = } & { { \bf u } _ { j } ( { \bf 0 } ) + \sum _ { k \in \mathcal { N } ( i ) } ~ f _ { c } ( r _ { i k } ) w _ { \nu _ { k } } { \bf u } _ { j } ( { \bf r } _ { i k } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varepsilon ^ { - 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } f \left( X _ { t _ { k - 1 } } , H _ { n } ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , \theta \right) P _ { k } ^ { i } ( \theta _ { 0 } ) P _ { k } ^ { j } ( \theta _ { 0 } ) } \\ { \xrightarrow { P } } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } f \left( X _ { s } ^ { 0 } , H ( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } ) , \theta \right) [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { i j } \left( X _ { s } ^ { 0 } , H ( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } ) , \beta _ { 0 } \right) \, \mathrm { d } s , } \end{array}
{ \gamma _ { k } } = \frac { { { { \left| { { { \bf { \bar { h } } } _ { k } ^ { \mathrm { H } } } { { \bf { w } } _ { k } } } \right| } ^ { 2 } } } } { { \sum _ { j = 1 , j \ne k } ^ { K } { { { \left| { { { \bf { \bar { h } } } _ { k } ^ { \mathrm { H } } } { { \bf { w } } _ { j } } } \right| } ^ { 2 } } } + { { \left\| { { { \bf { f } } _ { k } ^ { \mathrm { H } } } { { \bf { P } } } { { \bf { \Theta } } } } \right\| } ^ { 2 } } \sigma _ { v } ^ { 2 } + { \sigma ^ { 2 } } } } ,
\hat { b } _ { 2 } = \frac { \hat { a } _ { 2 } + \gamma \hat { a } _ { 1 } ^ { \dagger } } { \sqrt { 1 - \gamma ^ { 2 } } } , \quad \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } = \frac { \hat { a } _ { 2 } ^ { \dagger } + \gamma \hat { a } _ { 1 } } { \sqrt { 1 - \gamma ^ { 2 } } } ,
Z _ { i } ^ { \dagger } ( \theta ) = \exp \left[ - i \int _ { \theta } ^ { \infty } d \theta ^ { \prime } \, \delta _ { i l } ( \theta - \theta ^ { \prime } ) a _ { l } ^ { \dagger } ( \theta ^ { \prime } ) a _ { l } ( \theta ^ { \prime } ) \right] a _ { i } ^ { \dagger } ( \theta ) \, .
U _ { H } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - U _ { I } } & { ( \mathrm { ~ i ~ f ~ } H = I \mathrm { ~ a ~ t ~ t ~ i ~ m ~ e ~ t ~ } ) } \\ { 0 } & { ( \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { F o o d ~ p r o d u c t i o n } & { { } = } & { 1 6 , 0 0 0 a c r e s \cdot \frac { 2 ~ c o r n ~ c r o p s } { y e a r } \cdot P \frac { b u ~ o f ~ c o r n } { a c r e } } \\ { P o p u l a t i o n ~ r e q u i r e s } & { { } = } & { 1 0 0 , 0 0 0 ~ p e o p l e \cdot \frac { 3 0 0 0 k c a l } { p e r s o n \cdot d a y } \cdot \frac { 3 6 5 d a y s } { y e a r } \cdot \frac { 1 l b s ~ c o r n } { 1 5 9 4 k c a l } \cdot \frac { 1 b u } { 5 6 l b s } } \\ { P \approx 3 8 \frac { b u } { a c r e } } & { { } } & { } \end{array}
\left| \int _ { M } u _ { 2 } ( \Phi ( t ) ) v _ { * } ^ { \prime } ( \Phi _ { 2 } ( t ) ) x _ { 1 } \mathrm { d } x \right| \leq 2 \pi \| v _ { * } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \| u _ { 2 } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } }
W _ { \lambda \to 0 } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } = \sum _ { \mathrm { ~ n ~ } = 2 } ^ { \infty } \mathrm { ~ n ~ } \, E _ { c } ^ { \mathrm { ~ M ~ P ~ n ~ } } \lambda ^ { \mathrm { ~ n ~ } - 1 } .
\mathcal { X } \cdot \nabla \mathcal { A } + \nabla \mathcal { X } \cdot \mathcal { A } - \nabla ( \mathcal { A } \cdot \mathcal { X } ) = \left( ( \nabla \mathcal { A } ) ^ { T } - \nabla \mathcal { A } \right) \mathcal { X } = J \mathcal { X }
{ \dot { Q } } _ { i } = { \frac { A _ { i } \varepsilon _ { i } } { 1 - \varepsilon _ { i } } } ( \sigma T _ { i } ^ { 4 } - J _ { \mathrm { e } , i } ) = { \frac { A _ { i } \varepsilon _ { i } } { 1 - \varepsilon _ { i } } } ( M _ { \mathrm { e } , i } ^ { \circ } - J _ { \mathrm { e } , i } ) ,
\begin{array} { r } { \theta ( z ) = \frac { \frac { z - Y _ { 1 } } { z - Y _ { 1 } ^ { * } } \tilde { \theta } ( z ) + \gamma _ { 1 } } { \gamma _ { 1 } ^ { * } \frac { z - Y _ { 1 } } { z - Y _ { 1 } ^ { * } } \tilde { \theta } ( z ) + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \delta , d _ { 2 } } ^ { s } ( E ) } & { = \operatorname* { i n f } \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \mathrm { d i a m } _ { d _ { 2 } } ( F _ { i } ) ^ { s } : \{ F _ { i } \} ~ \mathrm { i s ~ a } ~ \delta - \mathrm { c o v e r ~ o f } ~ E \right\} } \\ & { \le \operatorname* { i n f } \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } c _ { 2 } ^ { s } \mathrm { d i a m } _ { d _ { 1 } } ( F _ { i } ) ^ { s } : \{ F _ { i } \} ~ \mathrm { i s ~ a } ~ \delta - \mathrm { c o v e r ~ o f } ~ E \right\} } \\ & { = c _ { 2 } ^ { s } H _ { \delta , d _ { 1 } } ^ { s } ( E ) . } \end{array}
\kappa ^ { - 1 } \equiv m _ { \phi ^ { 0 } } / T _ { f } = \ln \left[ { \frac { 0 . 0 7 6 } { \sqrt { g _ { * } } } } { \frac { M _ { P l } } { m _ { \phi ^ { 0 } } } } ( A + B \kappa ) \sqrt { \kappa } \right] .
\begin{array} { r l } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ | \tilde { F } _ { \gamma } ( z ) - \ell ( z ; w ) + \frac { 1 } { 2 t } \| z - w \| ^ { 2 } \| | } \\ & { = \Big | \tilde { F } _ { \gamma } ( z ) - \left( f ( w ) + \nabla f ( w ) ^ { \top } ( z - w ) + \gamma \| \nabla _ { y } g ( w ) + \nabla ( \nabla _ { y } g ( w ) ) ^ { \top } ( z - w ) \| \right) \Big | } \\ & { \leq \| f ( z ) - ( f ( w ) + \nabla f ( w ) ^ { \top } ( z - w ) ) \| + \gamma \| \nabla _ { y } g ( z ) - ( \nabla _ { y } g ( w ) + \nabla ( \nabla _ { y } g ( w ) ) ^ { \top } ( z - w ) ) \| } \\ & { \leq \frac { L _ { f } + \gamma L _ { g , 2 } } { 2 } \| z - w \| ^ { 2 } } \end{array}
\sum _ { i } I _ { i } \, \, \ge \, \, \displaystyle { \frac { 1 } { ( . 5 6 ) ^ { 2 } } } \left( \displaystyle { \frac { 2 } { 3 } } \right) ^ { 7 } \displaystyle { \frac { N ^ { 2 } } { \sqrt { 2 } } } \left( \displaystyle { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { N } N ! \doteq \left( \displaystyle { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { N } N !
F _ { + , 0 ; \, \mathrm { h a r d } } ^ { B \to \pi } ( 0 ) \sim \alpha _ { s } ( \sqrt { m _ { b } \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } ) \, \left( \frac { \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } { m _ { b } } \right) ^ { \! 3 / 2 } .
\begin{array} { r } { k ^ { 2 - \nu } \, I _ { k } ^ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { k / 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 k } \frac { \left( 1 - \frac { r } { k } \right) ^ { k + 1 } } { \left[ r ^ { 2 } + \left( 1 - \frac { r } { k } \right) \zeta ^ { 2 } \right] ^ { \nu / 2 } } \cos ( \psi _ { k } ( \zeta ) ) \psi _ { k } ^ { \prime } ( \zeta ) d \zeta d r . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R _ { \mathcal { H } , 0 } ( f ) [ h ] = \sum _ { | j | < C } h _ { j } \chi _ { j } ( x ) , \quad \chi _ { j } : = \nabla ^ { 2 } \mathcal { H } ( \Phi ( f ) ) [ \Pi _ { E } \nabla \Psi ( f ) [ e ^ { \mathrm { i } j x } ] ] , } \\ & { R _ { \mathcal { H } , 1 } ( f ) [ h ] = \sum _ { | j | < C } h _ { j } \chi _ { j } ( x ) , \quad \chi _ { j } : = \Pi _ { E } A _ { j } ^ { T } [ \Pi _ { E } \nabla \mathcal { H } ( \Phi ( f ) ) ] , \mathrm { ~ w h e r e ~ } A _ { j } [ \cdot ] : = \nabla ^ { 2 } \Psi ( f ) [ e ^ { \mathrm { i } j x } , \Pi _ { E } \cdot ] , } \\ & { R _ { \mathcal { H } , 2 } ( f ) [ h ] = \sum _ { | j | < C } h _ { j } \chi _ { j } , \quad \chi _ { j } : = \Pi _ { E } ( \nabla \Psi ( f ) ) ^ { T } \Pi _ { E } \nabla ^ { 2 } \mathcal { H } ( \Phi ( f ) ) [ e ^ { \mathrm { i } j x } ] . } \end{array}
\frac { 1 } { z ^ { 3 } } \left( - q ^ { 2 } - \partial _ { z } ^ { 2 } + \frac { 3 } { z } \partial _ { z } + \frac { m ^ { 2 } } { z ^ { 2 } } + \frac { \lambda _ { v 2 } } { z _ { v } } \delta ( z - z _ { v } ) + \frac { \lambda _ { h 2 } } { z _ { h } } \delta ( z - z _ { h } ) \right) \Delta _ { q } ( z , z ^ { \prime } ) = \delta ( z - z ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { 9 \tilde { \chi } \frac { \tau ^ { 2 } \ddot { T } } { T } + 1 8 \tilde { \chi } \frac { \tau ^ { 2 } \dot { T } ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } + \left( \frac { 3 \tau ( 9 \tilde { \chi } - \tilde { \chi } _ { \perp } ) } { T } + 1 2 \tau ^ { 2 } \right) \dot { T } + 4 \tau T + 3 \tilde { \chi } - 2 \tilde { \chi } _ { \perp } - 4 \tilde { \eta } _ { l l } = 0 \, . } \end{array}
S ( z _ { 1 } , z _ { 1 } ^ { \prime } ; z _ { 2 } , z _ { 2 } ^ { \prime } ) L ( z _ { 1 } , z _ { 1 } ^ { \prime } ) \otimes L ( z _ { 2 } , z _ { 2 } ^ { \prime } ) = L ( z _ { 2 } , z _ { 2 } ^ { \prime } ) \otimes L ( z _ { 1 } , z _ { 1 } ^ { \prime } ) S ( z _ { 1 } , z _ { 1 } ^ { \prime } ; z _ { 2 } , z _ { 2 } ^ { \prime } ) .
H _ { \lambda } = \frac { g ^ { 2 } } { 2 } \, p ^ { 2 } + \frac { 1 } { g ^ { 2 } } \, \left\{ \frac { 1 } { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } - \frac { b } { 3 } \lambda ^ { 3 } + \ldots \right\}
\begin{array} { r l } { J ^ { n } } & { = \left\{ j \in \{ 1 , \ldots , N \} \mid f _ { j } ( t ^ { n } , \mathbf y ^ { n } ) < 0 \right\} , } \\ { M ^ { n } } & { = \left\{ m \in \{ 1 , \ldots , N \} \; \Big | \; \Big ( 1 - \frac { 1 } { 2 \alpha } \Big ) f _ { m } ( t ^ { n } , \mathbf y ^ { n } ) + \frac { 1 } { 2 \alpha } f _ { m } ( t ^ { n } + \alpha \Delta t , \mathbf y ^ { ( 2 ) } ) < 0 \right\} . } \end{array}
G _ { u } = \left( \begin{array} { c c c c c c c c c c } { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 3 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 3 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 3 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 3 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 3 } & { 3 } & { 3 } & { 3 } & { 1 0 } & { 3 } & { 3 } & { 3 } & { 3 } & { 3 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 3 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 3 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 3 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 3 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 3 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } } & { { } = \frac { \partial J } { \partial x _ { 0 } } = - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( z ( k _ { i } ) - h ( x ( k _ { i } ) ) ) D _ { h } ( x ( k _ { i } ) ) U ( k _ { i } ) = 0 , } \\ { g _ { 2 } } & { { } = \frac { \partial J } { \partial \alpha } = - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( z ( k _ { i } ) - h ( x ( k _ { i } ) ) ) D _ { h } ( x ( k _ { i } ) ) V ( k _ { i } ) = 0 . } \end{array}
\sigma \leftrightarrow \sigma \; \; , \; \; w \leftrightarrow - w \; \; , \; \; \xi _ { L } \leftrightarrow \xi _ { R } \; \; , \; \; U \leftrightarrow U ^ { \dagger } \; \; , \; \; \vec { x } \leftrightarrow - \vec { x } .
\begin{array} { c } { { \left\{ L _ { 1 } ^ { n } , L _ { 2 } ^ { n } \right\} = \left( a - \alpha \right) L _ { 1 } ^ { n } L _ { 2 } ^ { n } - L _ { 1 } ^ { n } L _ { 2 } ^ { n } \left( a + \alpha \right) , } } \\ { { \left\{ L _ { 1 } ^ { n } , L _ { 2 } ^ { n + 1 } \right\} = L _ { 1 } ^ { n } \left( \alpha - s \right) L _ { 2 } ^ { n + 1 } , } } \\ { { \left\{ L _ { 1 } ^ { n } , L _ { 2 } ^ { m } \right\} = 0 , \left| n - m \right| \geq 2 . } } \end{array}
A _ { 0 } = 1 \, , \quad A _ { 1 } = \frac { 3 } { 1 6 } \, , \quad A _ { 2 } = - \frac { 1 5 } { 1 0 2 4 } \, , \quad B _ { 0 } = - 2 \, , \quad B _ { 1 } = - \frac { 1 } { 1 6 } \, , \quad B _ { 2 } = \frac { 3 1 } { 2 0 4 8 } \, .
\Psi _ { i } = \exp \left( - i M _ { i } t - \frac { i } { 2 M _ { i } } { \bf P } _ { i } ^ { 2 } + i { \bf P } _ { i } { \bf x } - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } ( { \bf x } - { \bf v } _ { i } t ) ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { - z _ { - } e \psi } & { + k _ { B } T \left[ \ln \left( { \frac { a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } } { 1 - a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } } } \right) - \frac { a _ { - } ^ { 3 } } { a _ { + } ^ { 3 } } \ln \left( { \frac { 1 - a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } - a _ { + } ^ { 3 } c _ { + } } { 1 - a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } } } \right) \right] } \\ & { - k _ { B } T \left[ \ln \left( { \frac { a _ { - } ^ { 3 } z _ { + } c _ { 0 } } { 1 - a _ { - } ^ { 3 } z _ { + } c _ { 0 } } } \right) - \frac { a _ { - } ^ { 3 } } { a _ { + } ^ { 3 } } \ln \left( { \frac { 1 - a _ { - } ^ { 3 } z _ { + } c _ { 0 } - a _ { + } ^ { 3 } z _ { - } c _ { 0 } } { 1 - a _ { - } ^ { 3 } z _ { + } c _ { 0 } } } \right) \right] } \\ & { + u _ { L J } ^ { - } ( x ) - u _ { L J } ^ { - } ( L / 2 ) = 0 } \end{array}
\left[ g _ { 1 _ { k } } ^ { \alpha , \beta } , g _ { 2 _ { k } } ^ { \alpha , \beta } \right] = - i \Theta _ { 1 2 3 } g _ { 3 _ { k } } ^ { \alpha , \beta } , \quad \left[ g _ { 2 _ { k } } ^ { \alpha , \beta } , g _ { 3 _ { k } } ^ { \alpha , \beta } \right] = i \Theta _ { 2 3 1 } g _ { 1 _ { k } } ^ { \alpha , \beta } , \quad \left[ g _ { 3 _ { k } } ^ { \alpha , \beta } , g _ { 1 _ { k } } ^ { \alpha , \beta } \right] = i \Theta _ { 3 1 2 } g _ { 2 _ { k } } ^ { \alpha , \beta } ,
\omega _ { C } < 0 , \qquad \omega _ { N } < 0 , \qquad \omega _ { S } > 0 \qquad \textnormal { a n d } \qquad 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) > \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) ,
\xi _ { W } ^ { 2 } = \frac { N } { 2 S ^ { 2 } } \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } { \left[ \hat { S } _ { z } ^ { ( A ) } - \hat { S } _ { z } ^ { ( B ) } \right] } _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } = \frac { 1 } { C ^ { 2 } } \frac { \sigma _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { ~ Q ~ P ~ N ~ } } ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { p = 1 } ^ { n } \kappa \Big [ \frac { \partial } { \partial x _ { r , k + 1 } } \log \Big ( \frac { \rho _ { k + 1 } ( x ) } { \rho _ { \infty } } \Big ) \Big ] _ { x = x _ { p , k + 1 } } \, m _ { p } = } \\ & { \sum _ { p = 1 } ^ { n } \kappa \Big [ \frac { 1 } { \rho _ { k + 1 } ( x ) } \frac { \partial } { \partial x _ { r , k + 1 } } \rho _ { k + 1 } ( x ) \Big ] _ { x = x _ { p , k + 1 } } \, m _ { p } \sim } \\ & { \int _ { \Omega } \kappa \frac { \partial } { \partial x _ { r , k + 1 } } \rho _ { k + 1 } ( x ) \, d x = \frac { \partial } { \partial x _ { r , k + 1 } } \int _ { \Omega } \kappa \rho _ { k + 1 } ( x ) \, d x \sim 0 . } \end{array}
\partial _ { t } p _ { 3 } + \partial _ { u _ { j - 1 } } [ \sum _ { k = - 1 } ^ { 1 } B _ { j - 1 , k } U _ { j - 1 + k } ] p _ { 3 } + \partial _ { u _ { j } } [ \sum _ { k = - 1 } ^ { 1 } B _ { j , k } U _ { j + k } ] p _ { 3 } + \partial _ { u _ { j + 1 } } [ \sum _ { k = - 1 } ^ { 1 } B _ { j + 1 , k } U _ { j + 1 + k } ] p _ { 3 } = 0 .
S = - \frac { 1 } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } \int d ^ { 2 } { \sigma } \left( \partial _ { \alpha } X ^ { \mu } \partial ^ { \alpha } X _ { \mu } - 2 \pi \alpha ^ { \prime } B _ { \mu \nu } \epsilon ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } X ^ { \mu } \partial _ { \beta } X ^ { \nu } \right)
\left\Vert \rho - \rho _ { \ast N } \right\Vert _ { 1 } \geq \sum _ { k } \left\vert \mathrm { T r } ( \Pi _ { k } \rho ) - \mathrm { T r } ( \Pi _ { k } \rho _ { \ast N } ) \right\vert = 2 \left\vert p - p _ { \ast } \right\vert .
\varepsilon ( E _ { \mathrm { c u t } } ) < \frac { 3 2 \pi ^ { 2 } \theta _ { \mu \mu \kappa \omega } 2 ^ { l _ { \kappa } + 3 / 4 } ( 2 E _ { \mathrm { c u t } } ) ^ { l _ { \mu } + ( l _ { \kappa } - 1 ) / 2 } } { ( 4 l _ { \mu } - 1 ) ! ! \sqrt { ( 4 l _ { \kappa } - 1 ) ! ! } } \Big ( \frac { \pi } { \alpha _ { \kappa } } \Big ) ^ { \frac { 3 } { 4 } } e ^ { - \frac { E _ { \mathrm { c u t } } } { 2 \theta _ { \mu \mu \kappa \omega } } } < \tau .
R = C _ { 1 } \xi ^ { ( \omega ^ { \prime } - i m ^ { \prime } ) / 2 } ( 1 - \xi ) ^ { 1 / 2 + \nu } F \bigg ( \frac 1 2 + \nu + \omega ^ { \prime } , \frac 1 2 + \nu - i m ^ { \prime } , 1 + 2 \nu ; 1 - \xi \bigg ) .
\begin{array} { r l } & { \mathbb E \left[ \left| W _ { 1 } ^ { G _ { n } } ( \eta _ { x _ { 0 } } ^ { \delta _ { n } } , \eta _ { y } ^ { \delta _ { n } } ) - W _ { 1 } ( \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \delta _ { n } } , \nu _ { y } ^ { \delta _ { n } } ) \right| \right] } \\ & { = \mathbb E \left[ \left| W _ { 1 } ^ { G _ { n } } ( \eta _ { x _ { 0 } } ^ { \delta _ { n } } , \eta _ { y } ^ { \delta _ { n } } ) - W _ { 1 } ( \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \delta _ { n } } , \nu _ { y } ^ { \delta _ { n } } ) \right| | \Omega _ { n } \right] \mathbb { P } ( \Omega _ { n } ) } \\ & { \quad + \mathbb E \left[ \left| W _ { 1 } ^ { G _ { n } } ( \eta _ { x _ { 0 } } ^ { \delta _ { n } } , \eta _ { y } ^ { \delta _ { n } } ) - W _ { 1 } ( \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \delta _ { n } } , \nu _ { y } ^ { \delta _ { n } } ) \right| | \Omega \setminus \Omega _ { n } \right] ( 1 - \mathbb { P } ( \Omega _ { n } ) ) } \\ & { \leqslant \mathbb E [ W _ { 1 } ( \eta _ { x _ { 0 } } ^ { \delta _ { n } } , \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \delta _ { n } } ) ] + \mathbb E [ W _ { 1 } ( \eta _ { y } ^ { \delta _ { n } } , \nu _ { y } ^ { \delta _ { n } } ) ] + c _ { n } ^ { \prime } \delta _ { n } ^ { 3 } . } \end{array}
L = ( \dot { x } n ) ( m + e \gamma ( F n ) ) + i s \frac { \dot { z } \bar { z } - \dot { \bar { z } } z } { 1 - z \bar { z } } - e \dot { x } ^ { a } ( A _ { a } + \mu F _ { a } + \delta F _ { a b } n ^ { b } ) + { \cal O } ( e ^ { 2 } )
\begin{array} { r } { | \Psi \rangle _ { \mathrm { I } } = \exp \left[ \int \! \! \mathrm { d } \omega \frac { \left( \alpha ( \omega ) + \beta ( \omega ) \right) } { \sqrt { 2 } } \left( \hat { a } _ { 1 } ^ { \dagger } ( \omega ) + \hat { a } _ { 2 } ^ { \dagger } ( \omega ) \right) \right] | \mathrm { v a c } \rangle } \end{array}
\rho \to \frac { a \rho + b } { c \rho + d } , \; \; \rho \equiv \frac { { \tilde { V } } _ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } } \left( B _ { p - 1 , p } + i \sqrt { G _ { ( p - 1 ) ( p - 1 ) } G _ { p p } } \right) ,
\begin{array} { r l } { - K _ { Y } } & { \sim \mathcal O \bigg ( \sum { a _ { i } } - ( d _ { 1 } + d _ { 2 } ) , \frac { k ( \sum { a _ { i } } - ( d _ { 1 } + d _ { 2 } ) ) - 1 - ( b _ { 3 } + b _ { 4 } ) + a _ { \xi } ( m _ { f } + m _ { g } ) } { a _ { \xi } } \bigg ) } \\ & { \sim \mathcal O \bigg ( \iota _ { X } , \frac { k \iota _ { X } - 1 - ( b _ { 3 } + b _ { 4 } ) + a _ { \xi } ( m _ { f } + m _ { g } ) } { a _ { \xi } } \bigg ) , } \end{array}
W _ { M S S M } = \varepsilon _ { a b } \left[ h _ { U } ^ { i j } \widehat Q _ { i } ^ { a } \widehat U _ { j } \widehat H _ { u } ^ { b } + h _ { D } ^ { i j } \widehat Q _ { i } ^ { b } \widehat D _ { j } \widehat H _ { d } ^ { a } + h _ { E } ^ { i j } \widehat L _ { i } ^ { b } \widehat R _ { j } \widehat H _ { d } ^ { a } - \mu \widehat H _ { d } ^ { a } \widehat H _ { u } ^ { b } \right]
\begin{array} { r } { \frac { \partial _ { t } \{ \mu _ { \gamma } e ^ { \gamma \psi } \} } { \sqrt { \mu _ { q _ { \alpha } } e ^ { q _ { \alpha } \phi } } } = ( \frac { \dot { \gamma } } { \gamma } ( \frac { 3 } { 2 } - \gamma ( | \xi | ^ { 2 } - \psi ) ) + \gamma \partial _ { t } \psi ) \frac { \mu _ { \gamma } } { \sqrt { \mu _ { q _ { \alpha } } } } e ^ { \gamma \psi - \frac { q _ { \alpha } } { 2 } \phi } . } \end{array}
\frac { \Gamma ( \bar { B } \rightarrow X _ { s } \gamma ) } { \Gamma ( \bar { B } \rightarrow X _ { c } e \bar { \nu } _ { e } ) } \simeq \frac { \Gamma ( b \rightarrow s \gamma ) } { \Gamma ( b \rightarrow c e \bar { \nu } _ { e } ) } ,
\beta ( k , p ) = \frac { - i } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x \frac { e ^ { i ( p _ { 1 } + q _ { 1 } ) x _ { 1 } } } { \sqrt { 4 \omega _ { p } \omega _ { k } } } F ( k , p , x ) \delta ( p _ { 2 } + q _ { 2 } ) \delta ( p _ { 3 } + q _ { 3 } )
\begin{array} { r l } { q _ { 0 } } & { { } = p _ { 0 } u _ { 1 } } \\ { q _ { 1 } } & { { } = u _ { 1 } ^ { - 1 } p _ { 1 } u _ { 2 } } \\ { q _ { n } } & { { } = u _ { n } ^ { - 1 } p _ { n } } \end{array}
\left( Q _ { 2 } + \frac { \langle - i Z _ { 1 } + Z _ { 2 } \rangle } { | \langle - i Z _ { 1 } + Z _ { 2 } \rangle | } \bar { Q } _ { \dot { 2 } } \right) | \langle H \rangle = H _ { \mathrm { I I } } \rangle = 0 .
\begin{array} { r l } { \bar { x } _ { 1 } } & { : = \sqrt { \frac { Q ^ { \prime } ( 0 ) } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d u } { \sqrt { F ( u ) } } } \\ { I ( \varepsilon ) } & { : = - \varepsilon ^ { - 1 } \sqrt { \frac { Q ^ { \prime } ( 0 ) } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \rho ( \varepsilon ^ { 2 } F ( u ) ) } { \left( \sqrt { \frac { 2 } { \varepsilon ^ { 2 } Q ^ { \prime } ( 0 ) } F ( u ) } + \varepsilon ^ { - 2 } \rho ( \varepsilon ^ { 2 } F ( u ) ) \right) \sqrt { F ( u ) } } \, d u . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } & { f ( x , s ) } \\ & { g ( x , s ) } \end{array} \right) = c _ { 1 } \left( \begin{array} { c c } & { \cosh \left( x \sqrt { \Gamma ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } \right) - \frac { \sigma \sinh \left( x \sqrt { \Gamma ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } \right) } { \sqrt { \Gamma ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } } } \\ & { - \frac { i \Gamma \sinh \left( x \sqrt { \Gamma ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } \right) } { \sqrt { \Gamma ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } } } \end{array} \right) + c _ { 2 } \left( \begin{array} { c c } & { \frac { i \Gamma \sinh \left( x \sqrt { \Gamma ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } \right) } { \sqrt { \Gamma ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } } } \\ & { \frac { \sigma \sinh \left( x \sqrt { \Gamma ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } \right) } { \sqrt { \Gamma ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } } + \cosh \left( x \sqrt { \Gamma ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } \right) } \end{array} \right)
i \hbar { \frac { \partial \Phi } { \partial t } } ( 1 , \cdots , N ) = { \frac { 1 } { 2 m } } \sum _ { p = 1 } ^ { N } \left\{ i \hbar \partial _ { i } ^ { ( p ) } - { \frac { e } { c } } \sum _ { r = 1 ( \ne p ) } ^ { N } { \cal A } _ { i } ( p , r ) \right\} ^ { 2 } \Phi ( 1 , \cdots , N ) \, .
\left( \frac { D } { D t } \rho \boldsymbol { v } \right) \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } = - \boldsymbol { \nabla } p \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } + \mu \boldsymbol { \nabla } ^ { 2 } \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } + \sigma _ { 1 2 } \kappa \delta _ { \mathrm { { S } } } \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } + \rho \boldsymbol { g } \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } .
\mathbf { P } ( u , v ) = \left( \mathbf { F } ( \mathbf { \psi } ( u , v ) ) \cdot { \frac { \partial \mathbf { \psi } } { \partial u } } ( u , v ) \right) \mathbf { e } _ { u } + \left( \mathbf { F } ( \mathbf { \psi } ( u , v ) ) \cdot { \frac { \partial \mathbf { \psi } } { \partial v } } \right) \mathbf { e } _ { v }
\begin{array} { r l } { ( D _ { W } ) _ { \omega } } & { { } = - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \bigg [ \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } \Omega _ { e } } { \omega - v _ { | | } k - \Omega _ { e } } + 2 \omega ( \omega - v _ { | | } k - \Omega _ { e } ) \bigg ] } \\ { ( D _ { W } ) _ { k } } & { { } = \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \bigg [ 2 c ^ { 2 } k ( \omega - v _ { | | } k - \Omega _ { e } ) + \frac { v _ { | | } \omega _ { p e } ^ { 2 } \Omega _ { 2 } } { \omega - v _ { | | } k - \Omega _ { e } } \bigg ] \, , } \\ { ( D _ { W } ) _ { v _ { | | } } } & { { } = \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \, \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } \Omega _ { e } k } { \omega - v _ { | | } k - \Omega _ { e } } } \\ { ( D _ { W } ) _ { n _ { 0 } } } & { { } = \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } ( \omega - v _ { | | } k ) } { n _ { 0 } c ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { i } ^ { ( \mathrm { S . V . } ) } } & { { } = c _ { \mathrm { s } } ^ { - 2 } \ \ k _ { \mathrm { r } } \cdot ( \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } ) } \\ { k _ { i } ^ { ( \mathrm { S . P . J . } ) } } & { { } = c _ { \mathrm { s } } ^ { - 2 } \gamma k _ { \mathrm { r } } / \ ( \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } ) } \\ { k _ { i } ^ { ( \mathrm { S . N e w } ) } } & { { } = c _ { \mathrm { s } } ^ { - 2 } \gamma k _ { \mathrm { r } } \cdot ( \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } ) , } \end{array}