\begin{array} { r l } { E \left[ P _ { k } ^ { i _ { 1 } } P _ { k } ^ { i _ { 2 } } ( \theta _ { 0 } ) \Big | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] } & { = E \left[ \left( \Delta _ { k } X ^ { \varepsilon } \right) ^ { i _ { 1 } } \left( \Delta _ { k } X ^ { \varepsilon } \right) ^ { i _ { 2 } } \Big | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] } \\ & { \quad - \sum _ { \tilde { \sigma } \in G ( 2 ) } E \left[ \left( \Delta _ { k } X ^ { \varepsilon } \right) ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 1 ) } } \Big | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] \frac { 1 } { n } b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 2 ) } } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ^ { i _ { 1 } } b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ^ { i _ { 2 } } } \\ & { = \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { n } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 1 } } b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 2 } } + \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \left\{ 4 \Phi _ { 2 } ^ { \varepsilon } ( s ) + \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( s ) \right\} \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + \left( b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 1 } } + b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 2 } } \right) \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { s } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( u ) \, \mathrm { d } u \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } \left( \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \right) + R _ { k - 1 } \left( \frac { \varepsilon } { n ^ { 2 } \sqrt { n } } \right) + R _ { k - 1 } \left( \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \right) + R _ { k - 1 } \left( \frac { \varepsilon ^ { 3 } } { n \sqrt { n } } \right) } \\ & { \quad - \sum _ { \tilde { \sigma } \in G ( 2 ) } \frac { 1 } { n } b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 2 ) } } \bigg \{ \frac { 1 } { n } b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 1 ) } } + \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( s ) \, \mathrm { d } s } \\ & { \qquad + R _ { k - 1 } \left( \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \right) + R _ { k - 1 } \left( \frac { \varepsilon } { n \sqrt { n } } \right) \bigg \} } \\ & { \quad + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ^ { i _ { 1 } } b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ^ { i _ { 2 } } } \\ & { = \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { n } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \left( b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 1 } } - b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ^ { i _ { 1 } } \right) \left( b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 2 } } - b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ^ { i _ { 2 } } \right) } \\ & { \quad + \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \left\{ \Phi _ { 2 } ^ { \varepsilon } ( s ) + \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( s ) \right\} \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } ( 1 ) \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { s } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( u ) \, \mathrm { d } u \, \mathrm { d } s + R _ { k - 1 } \left( \frac { 1 } { n } \right) \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( s ) \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } \left( \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \right) + R _ { k - 1 } \left( \frac { \varepsilon } { n ^ { 2 } \sqrt { n } } \right) + R _ { k - 1 } \left( \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \right) + R _ { k - 1 } \left( \frac { \varepsilon ^ { 3 } } { n \sqrt { n } } \right) . } \end{array}