harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { k ^ { 2 } - \nu ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } = \sigma ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } - 1 = 1 + 4 \xi \sqrt { \xi ^ { 2 } + 1 } , \qquad \frac { k ^ { 2 } \nu ^ { 2 } } { m ^ { 4 } } = ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ( \delta ^ { 2 } - 1 ) = 4 \xi ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } \| x ^ { \prime } ( t ) \| d t } & { \leqslant \sqrt { T } \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } \| x ^ { \prime } ( t ) \| ^ { 2 } d t } } \\ & { \leqslant \sqrt { T } \sqrt { \int _ { 0 } ^ { \infty } \| x ^ { \prime } ( t ) \| ^ { 2 } d t } } \\ & { = \sqrt { T } \sqrt { f ( x ( 0 ) ) - f \left( \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } x ( t ) \right) } } \\ & { \leqslant \sqrt { T \left( \operatorname* { s u p } _ { X _ { 0 } } f - m ( f ) \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { m } } & { { } = } & { \alpha _ { \mathrm { ~ M ~ } } \pi r _ { \mathrm { ~ p ~ } } ^ { 2 } ( C _ { \theta } \bar { c } _ { \theta } - C _ { \mathrm { ~ p ~ } } \bar { c } _ { \mathrm { ~ p ~ } } ) } \\ { \dot { m } } & { { } = } & { 4 \pi ( r _ { \mathrm { ~ p ~ } } + \theta ) \mathcal { D } ( C _ { \mathrm { ~ g ~ } } - C _ { \theta } ) . } \end{array}
{ \frac { d } { d \bar { t } } } \left( \bar { H } _ { \mathrm { e l } } + \bar { H } _ { \mathrm { m a g } } \right) = - { \frac { d } { d \bar { t } } } \left( \bar { H } _ { \mathrm { k i n } } + \bar { H } _ { \mathrm { p o t } } \right) = \sum _ { x , i } \bar { E } _ { x , i } ^ { a } \, { \bar { j } } _ { x , i } ^ { a }
\begin{array} { r } { \mathbb { D } \left( P _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \Vert P _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \right) = \left( M - 1 \right) \log \left( 2 \right) - \log \left( M \right) + o \left( 1 \right) . } \end{array}
( { \cal M } - 2 p _ { 0 } ) \Psi _ { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } ( \vec { p } ) = ( 2 \pi ) ^ { - 3 } \sum _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } } \int d \Omega _ { k } V _ { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } ^ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } } ( \vec { k } , \vec { p } ) \Psi _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } } ( \vec { k } ) ,
| \lambda _ { i } > = \flat _ { i } ^ { + } \flat _ { i - 1 } ^ { + } \cdots \flat _ { 1 } ^ { + } | 0 > , \mathrm { ~ a n d , r e s p e c t i v e l y , } < \lambda _ { i } | = < 0 | \flat _ { 1 } \cdots \flat _ { i - 1 } \flat _ { i } .
{ A _ { 1 , 5 } } = \cos ^ { - 1 } \left( \frac { { L _ { 1 - 5 } } ^ { 2 } + { L _ { 1 - 3 } } ^ { 2 } - { L _ { 3 - 5 } } ^ { 2 } } { 2 \cdot { L _ { 1 - 5 } } \cdot { L _ { 1 - 3 } } } \right)
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } } & { = \frac { \partial J } { \partial x _ { 0 } } = - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( z ( k _ { i } ) - h ( x ( k _ { i } ) ) ) D _ { h } ( x ( k _ { i } ) ) U ( k _ { i } ) = 0 , } \\ { g _ { 2 } } & { = \frac { \partial J } { \partial \alpha } = - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( z ( k _ { i } ) - h ( x ( k _ { i } ) ) ) D _ { h } ( x ( k _ { i } ) ) V ( k _ { i } ) = 0 . } \end{array}
g ^ { r r } g ^ { n n } \sqrt { \frac { g _ { r r } } { g _ { m m } } } \epsilon _ { r n m } \nabla _ { n } \bar { V } ^ { m } \hat { e } _ { i } ^ { \prime } = \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { 1 } { r \sin ( \theta ) } \times ( \partial _ { \theta } \bar { V } ^ { \phi } + \cot ( \theta ) \bar { V } ^ { \phi } ) - \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \theta ) } \frac { 1 } { r } \times ( \partial _ { \phi } \bar { V } ^ { \theta } - \sin ( \theta ) \cos ( \theta ) \bar { V } ^ { \phi } )
\exp [ \frac { i } { \hbar } ( p x - E t ) ] = \exp [ \frac { i } { \hbar } ( p ^ { \prime } x ^ { \prime } - E ^ { \prime } t ^ { \prime } ) ] = \exp ( - \frac { i } { \hbar } m _ { 0 } c ^ { 2 } t ^ { \prime } )
S = \frac { 1 } { 2 \kappa _ { 4 } ^ { 2 } } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \left[ \varphi R - \frac { \omega ( \varphi ) } { \varphi } ( \partial \varphi ) ^ { 2 } + { \cal L } _ { m } \right] .
\psi ^ { ( 1 ) } ( x , y , z ) = - { \frac { m } { 2 \pi \hbar ^ { 2 } } } \int \psi ^ { ( 0 ) } U ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) { \frac { e ^ { i k r } } { r } } \, d x ^ { \prime } d y ^ { \prime } d z ^ { \prime }
\sin ( \psi ) = \frac { \mathrm { d i v } \, \u } { \ell } = \frac { \mathrm { d i v } \, \u } { \sqrt { 4 | \mathrm { \bf S } | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } ( \mathrm { d i v } \, { \bf u } ) ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } ( d s _ { u } ) } & { = ( \partial _ { s } \varphi - \langle V , \vec { \kappa } \rangle _ { g } ) d s _ { u } } \\ { \nabla _ { \partial _ { s } } N } & { = \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } N - \langle N , \vec { \kappa } \rangle _ { g } \partial _ { s } u } \\ { \nabla _ { \partial _ { t } } \partial _ { s } u } & { = \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } V } \\ { \quad ( \nabla _ { \partial _ { t } } ^ { \perp } \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } - \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } \nabla _ { \partial _ { t } } ^ { \perp } ) N } & { = \langle V , \vec { \kappa } \rangle _ { g } \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } N + \langle N , \vec { \kappa } \rangle _ { g } \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } V - \langle N , \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } V \rangle _ { g } \vec { \kappa } \qquad } \\ { \nabla _ { \partial _ { t } } ^ { \perp } \vec { \kappa } } & { = ( \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } ) ^ { 2 } V + \langle V , \vec { \kappa } \rangle _ { g } \vec { \kappa } - V . } \end{array}
{ \ensuremath { \boldsymbol } s } \ensuremath { \boldsymbol \cdot } \ensuremath { \boldsymbol \nabla } L ( { \ensuremath { \boldsymbol } x } , { \ensuremath { \boldsymbol } s } ) + \tau _ { H } n L ( { \ensuremath { \boldsymbol } x } , { \ensuremath { \boldsymbol } s } ) = \frac { \omega \tau _ { H } n } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 4 \pi } L ( { \ensuremath { \boldsymbol } x } , { \ensuremath { \boldsymbol } s } ^ { \prime } ) ( 1 + \mathrm { A _ { 1 } } \cos \theta \, \cos \theta ^ { \prime } ) \, \ensuremath { \mathrm { d } } \Omega ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } { \| f _ { 2 } ( t ) \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty } ( \mu ^ { - \zeta } ) } } & { \leq \| \Pi f _ { 2 } ( t ) \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty } ( \mu ^ { - \zeta } ) } + \| ( I - \Pi ) f _ { 2 } ( t ) \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty } ( \mu ^ { - \zeta } ) } } \\ & { \leq C _ { q } e ^ { - ( 1 - \epsilon ) t } ( \| f _ { 0 } \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } + \delta ) . } \end{array}
\delta \left( \ldots \right) = \int { \cal D } A _ { 0 } \exp \left( i \int d ^ { 3 } x A _ { 0 } ^ { a } \left( ( D _ { i } E _ { i } ) ^ { a } + \left[ \Phi ^ { \dagger } \frac { i g \tau ^ { a } } { 2 } \Pi + \mathrm { c . c . } \right] \right) / T \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \Delta v + \omega ^ { 2 } \frac { \kappa ^ { - } ( x ) } { \rho ^ { - } ( x ) } v = 0 } & { \mathrm { ~ f o r ~ } v : \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { C } \mathrm { ~ a n d ~ } \omega \in \mathbb { C } , } \\ { \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ { \Delta v + \omega ^ { 2 } \frac { \kappa ^ { + } ( x ) } { \rho ^ { + } ( x ) } v = 0 } & { \mathrm { ~ f o r ~ } v : \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { C } \mathrm { ~ a n d ~ } \omega \in \mathbb { C } , } \end{array}
a \, \propto \, \frac { m ^ { 2 } } { \lambda \hbar ^ { 2 } } q - 1 + \frac { i } { \hbar } q p \, \rightarrow \, \frac { m ^ { 2 } } { \lambda \hbar ^ { 2 } } q - 1 + q \frac { \partial } { \partial q } \, ,
\begin{array} { r l r } { w _ { M E } } & { = } & { \frac { 1 } { 4 \pi } \ B _ { R } ^ { 2 } \ V _ { R } = \frac { 0 . 1 } { 4 \pi } \ B _ { R } ^ { 2 } \ \frac { B _ { R } } { \sqrt { 4 \pi \rho } } , } \\ { W _ { M E } } & { = } & { w _ { M E } \ L _ { R } ^ { 2 } , } \\ { w _ { M E } } & { = } & { W _ { M E } / L _ { R } ^ { 2 } = 2 \ W _ { K E } / L _ { R } ^ { 2 } = 2 \ w _ { K E } \ L _ { J } ^ { 2 } / L _ { R } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C = \frac { \lambda ^ { D } } { N _ { m } } J } & { { } + \frac { \lambda ^ { P } } { N _ { c } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { c } } R A N S \left( ( U _ { i } , P - \phi , f _ { s , i } , \tilde { \nu } ) ( \mathbf { x _ { k } ; \theta } ) \right) ^ { 2 } + \frac { \lambda ^ { P } } { N _ { c } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { c } } \left( U _ { j } \frac { \partial \tilde { \nu } } { \partial x _ { j } } - S _ { p } - S _ { d i f f } - S _ { c } - S _ { d } \right) ( \mathbf { x _ { k } ; \theta } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { h _ { D B R B D } ( x , v ) = \frac { \lambda _ { r } } { 2 ( \gamma ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } ( x ^ { 2 } + 2 v x ( - v x ) _ { + } ) + \frac { 1 } { 2 4 } v \psi ^ { ( 3 ) } ( x ) , } \\ & { h _ { B D R D B } ( x , v ) = - \frac { \lambda _ { r } } { 2 ( \gamma ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } ( x ^ { 2 } + 2 v x ( - v x ) _ { + } ) + \frac { 2 } { ( \gamma ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) ^ { 3 } } ( - v x ) _ { + } ( - \gamma ^ { 2 } + 2 x ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { 1 2 } v \psi ^ { ( 3 ) } ( x ) , } \\ & { h _ { D R B R D } ( x , v ) = \frac { \lambda _ { r } } { 2 ( \gamma ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left( x ^ { 2 } + v x ( 3 ( - v x ) _ { + } + ( v x ) _ { + } ) \right) + \frac { 1 } { 2 4 } v \psi ^ { ( 3 ) } ( x ) + \lambda _ { r } ^ { 2 } \frac { x v } { 4 ( \gamma ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { - \nabla \cdot { \pmb \pi } ( { \pmb x } ) = \mu \Delta { \pmb u } ( { \pmb x } ) - \nabla p ( { \pmb x } ) = 0 } \\ { \nabla \cdot { \pmb u } ( { \pmb x } ) = 0 \qquad { \pmb x } \in \mathbb { R } ^ { 3 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \overline { { \overline { { u _ { 1 } } } } } \cdot \overline { { \overline { { u _ { 2 } } } } } = } & { \overline { { u _ { 1 } } } \cdot \overline { { u _ { 2 } } } - \overline { { u _ { 1 } } } A + A B - \overline { { u _ { 2 } } } B } \\ { = } & { f + u _ { 1 } u _ { 2 } + c _ { 1 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } + c _ { 2 } u _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 3 } u _ { 2 } ^ { 2 } - \overline { { u _ { 1 } } } A + A B - \overline { { u _ { 2 } } } B } \\ { = } & { u _ { 1 } u _ { 2 } + c _ { 1 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } + c _ { 2 } u _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 3 } u _ { 2 } ^ { 2 } + A ( u _ { 1 } - \overline { { u _ { 1 } } } ) + B ( u _ { 2 } - \overline { { u _ { 2 } } } ) + A B . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { ( \beta \delta ^ { f } - \beta ^ { 2 } ( \alpha - \beta ) ) } \\ & { - } & { \left( \beta \delta - \beta ( \alpha - \beta ) + \frac { 1 } { 2 } \beta ( \alpha - \beta ) + ( \alpha - \beta ) \delta ^ { f } \right) } \\ & { = } & { - \beta ^ { 2 } ( \alpha - \beta ) - \beta \delta + \frac { 1 } { 2 } \beta ( \alpha - \beta ) - ( \alpha - 2 \beta ) \delta ^ { f } . } \end{array}
\left. \{ \overline { { { Q } } } _ { \dot { \alpha } } \overline { { { Q } } } _ { \dot { \beta } } \} = 4 ( \vec { \sigma } ) _ { \dot { \alpha } \dot { \beta } } \int d ^ { 3 } x \vec { \bigtriangledown } \left\{ \left[ W - \frac { N _ { c } - N _ { f } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } T r W ^ { \alpha } W _ { \alpha } \right] + t . s . d . \right\} \right| _ { \overline { { { \theta } } } = \theta = 0 } .
\left[ C - \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { n } \eta ^ { n } \right] ^ { 1 / \lambda } = ~ \frac { \displaystyle \sum _ { n = 0 } ^ { M + 1 } P _ { n } \eta ^ { n } } { \displaystyle \sum _ { n = 0 } ^ { M } Q _ { n } \eta ^ { n } } ,
\begin{array} { l } { { \sigma _ { e , g } = \frac { \int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } \sigma _ { a } B \left( \nu , T \right) d \nu } { \int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } B \left( \nu , T \right) d \nu } , \sigma _ { a , g } = \frac { \int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } \sigma _ { a } I d \nu } { \int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } I d \nu } , } } \\ { { \sigma _ { s - o u t , g } = \frac { \int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } \sigma _ { s } I d \nu } { \int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } I d \nu } , \sigma _ { s - i n , g } = \frac { \int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } \sigma _ { s } \left( \int _ { 4 \pi } I d \vec { \Omega } \right) d \nu } { \int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } \left( \int _ { 4 \pi } I d \vec { \Omega } \right) d \nu } } } \end{array}
t _ { 0 } ^ { q } = t _ { 0 } \left[ 1 + { 3 } \frac { \alpha \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } c ^ { 3 } } \log \left( \frac { c ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } } { \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } } \right) \right] .
\langle r \rangle = \frac { \displaystyle { \int \, r \, \left( \frac { \mathrm { d } \sigma } { \mathrm { d } E } \right) \, \mathrm { d } r } } { \displaystyle { \int \, \left( \frac { \mathrm { d } \sigma } { \mathrm { d } E } \right) \, \mathrm { d } r } } \; ,
\frac { 1 } { M ^ { ( p , q ) } } : = S ^ { ( p , q ) } - \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } S _ { i j k \ell } \alpha _ { i j } ^ { ( p ) } \alpha _ { k \ell } ^ { ( q ) }
C ( - n ) = 3 , - 4 , 2 4 , - 8 8 , 4 1 6 , - 1 8 2 4 , 8 2 5 6 , - 3 6 9 9 2 , 1 6 6 4 0 0 , - 7 4 7 5 2 0 , 3 3 5 9 7 4 4 , . . .
\begin{array} { r l } { r _ { 0 } } & { \colon \quad v _ { 1 } + v _ { 2 } + y = 2 x _ { 0 } , } \\ { r _ { 1 } } & { \colon \quad y + x _ { 1 } + \cdots + x _ { n - 2 } = z , } \\ { r _ { 2 } } & { \colon \quad x _ { 0 } + \cdots + x _ { n - 2 } = 0 , } \\ { r _ { 3 } } & { \colon \quad x _ { 0 } + z = y , } \\ { r _ { 4 } } & { \colon \quad z + v _ { 1 } + v _ { 2 } = x _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { x } ^ { \mu } \nabla _ { \mu } p _ { \alpha } } & { = - \frac { 1 } { 2 } R _ { \alpha \beta \gamma \lambda } \dot { x } ^ { \beta } S ^ { \gamma \lambda } , } \\ { \dot { x } ^ { \mu } \nabla _ { \mu } S ^ { \alpha \beta } } & { = p ^ { \alpha } \dot { x } ^ { \beta } - p ^ { \beta } \dot { x } ^ { \alpha } . } \end{array}
{ \cal Z } _ { l o c a l } = 2 \sqrt { 1 + { \frac { g ^ { 2 } } { 2 \pi } } } \exp \left[ - \left( 1 - { 1 2 } { \frac { A ^ { 2 } } { 1 + { \frac { g ^ { 2 } } { 2 \pi } } } } \right) S _ { L i o u . } ( \sigma ) \right] ,
f ( y ) = A e ^ { - y ^ { 2 } / 4 } M \left( \frac { a } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } , \frac { 1 } { 2 } , \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \right) + B y e ^ { - y ^ { 2 } / 4 } M \left( \frac { a } { 2 } + \frac { 3 } { 4 } , \frac { 3 } { 2 } , \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \right) ,
D _ { \phi } = \left\{ \left[ \begin{array} { c c c } { \alpha ( 1 + \alpha _ { 2 } ^ { 2 } ) - \alpha _ { 1 } x } \\ { - \alpha \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 1 } y } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c c c } { - \alpha \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 2 } x } \\ { a l p h a ( 1 + \alpha _ { 1 } ^ { 2 } ) - \alpha _ { 2 } y } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c c c } { \alpha \alpha _ { 1 } + x } \\ { \alpha \alpha _ { 2 } + y } \end{array} \right] ; x , y \in \mathbb { R } \right\}
\begin{array} { r l r } & { } & { C _ { ( 1 ) } = U + \widehat { \widetilde { U } } + \widehat { U } ^ { \bigtriangleup } + \widetilde { U } ^ { \bigtriangleup } , } \\ & { } & { C _ { ( 2 ) } = - ( U \widehat { \widetilde { U } } + U \widehat { U } ^ { \bigtriangleup } + U \widetilde { U } ^ { \bigtriangleup } + \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } ^ { \bigtriangleup } + \widehat { \widetilde { U } } \widetilde { U } ^ { \bigtriangleup } + ( \widehat { U } \widetilde { U } ) ^ { \bigtriangleup } ) , } \\ & { } & { C _ { ( 3 ) } = U \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } ^ { \bigtriangleup } + U \widehat { \widetilde { U } } \widetilde { U } ^ { \bigtriangleup } + U ( \widehat { U } \widetilde { U } ) ^ { \bigtriangleup } + \widehat { \widetilde { U } } ( \widehat { U } \widetilde { U } ) ^ { \bigtriangleup } , } \\ & { } & { C _ { ( 4 ) } = - U \widehat { \widetilde { U } } ( \widehat { U } \widetilde { U } ) ^ { \bigtriangleup } , } \end{array}
N ^ { ( l ) } ( L ) \; : = \; \sum _ { \{ \alpha _ { a } , \beta _ { a } \} } \prod _ { b = 1 } ^ { l } \left[ \psi _ { \alpha _ { b } } ^ { ( b ) } ( - L , 0 ) \; U \Big ( { \cal C } ( L ) \Big ) \; \overline { { { \psi } } } _ { \beta _ { b } } ^ { ( b ) } ( + L , 0 ) \right] \; ,
\begin{array} { r l } { | \partial \nu _ { \mathbb { V } } ^ { \circ } ( v ) - \partial \nu _ { \mathbb { V } ^ { \mathrm { n i l p } } } ^ { \circ } ( v ) | _ { t } } & { < C | t | ^ { B } e ^ { - \pi ( 2 h _ { \mathcal { V } } ( s _ { v } ) - A | t | ^ { B } \| v \| _ { \mathcal { V } } ^ { 2 } ) } \cdot \| v \| _ { \mathcal { V } } ^ { 2 } ( 1 + \| v \| _ { \mathcal { V } } ^ { 2 } ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { { d s ^ { 2 } } } & { { = } } & { { d t ^ { 2 } - d \vec { y } _ { p } ^ { \ 2 } - H d \omega d \bar { \omega } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \tau } } & { { = } } & { { - 1 / { \cal H } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \eta } } & { { = } } & { { 0 \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { K ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 0 } ) = \frac { I ( \theta _ { 1 } ) } { 2 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 0 } ) ^ { 2 } + O \left( | \theta _ { 1 } - \theta _ { 0 } | ^ { 3 } \right) = \frac { I ( \theta _ { 1 } ) } { 2 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 0 } ) ^ { 2 } + o \left( ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) , } \end{array}
l _ { \dot { J } } ^ { \dot { I } } s ^ { \dot { K } } = \sum _ { \dot { K } _ { 1 } \dot { K } _ { 2 } = \dot { K } } \delta _ { \dot { J } } ^ { \dot { K } _ { 1 } } s ^ { \dot { I } \dot { K } _ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \dot { A } _ { S } + v _ { g } \partial _ { z } A _ { S } = - i g A _ { p } B _ { S } ^ { \dag } } \\ & { } & { \dot { B } _ { S } + \frac { \Gamma _ { 0 } } { 2 } B _ { S } = - i g A _ { p } A _ { S } ^ { \dag } + \xi _ { S } } \\ & { } & { \dot { A } _ { a S } + v _ { g } \partial _ { z } A _ { a S } = - i g A _ { p } B _ { a S } } \\ & { } & { \dot { B } _ { a S } + \frac { \Gamma _ { 0 } } { 2 } B _ { a S } = - i g A _ { a S } A _ { p } ^ { \dag } + \xi _ { a S } } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { k } ^ { ( j ) } } & { { } = ( P _ { k } ^ { \top } \Phi _ { k } ) ^ { \dagger } P _ { k } ^ { \top } \hat { S } _ { k } ( \hat { v } _ { k } ^ { ( j ) } - \psi _ { k } ) \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \tilde { v } _ { k } ^ { ( j + 1 ) } } & { { } = \tilde { S } _ { k } ^ { \top } ( \psi _ { k } + \Phi _ { k } y _ { k } ^ { ( j ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \Pi } _ { n } ^ { \mathrm { ( i ) } } ( \tau _ { 2 } ) = \hat { \Pi } _ { n } ^ { \mathrm { ( i r ) } } ( \tau _ { 2 } ) + \hat { \Pi } _ { n } ^ { \mathrm { ( i i ) } } ( \tau _ { 2 } ) . } \end{array}
\mathcal G _ { \mathrm { C C } } ( T _ { * } ) = \Vert e ^ { \hat { T } _ { * } } - I \Vert _ { L ^ { 2 } } + \Vert e ^ { - \hat { T } _ { * } ^ { \dagger } } - I \Vert _ { L ^ { 2 } } \Vert e ^ { \hat { T } _ { * } } \Vert _ { L ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { D _ { I _ { 2 } } \Big ( \frac { \delta _ { I _ { 2 } , \emptyset } } { ( x ( z ) - x ( u _ { j } ) ^ { 2 } ) } - \sum _ { l = 0 } ^ { d } \Omega _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( u _ { j } , \hat { z } ^ { l } ) \Big ) } \\ & { = \frac { \partial } { \partial x ( u _ { j } ) } \Big ( \frac { \delta _ { I _ { 2 } , \emptyset } } { ( x ( z ) - x ( u _ { j } ) ) } - \sum _ { l = 0 } ^ { d } W _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( z ^ { l } ; I _ { 2 } \cup u _ { j } ) \Big ) } \\ & { = \frac { \partial } { \partial x ( u _ { j } ) } \Big ( D _ { I _ { 2 } } \frac { 1 } { x ( z ) + y ( u _ { j } ) } + \sum _ { i = 1 } ^ { | I _ { 2 } | } D _ { I _ { 2 } \setminus u _ { i } } D _ { u _ { j } } \frac { 1 } { x ( z ) + y ( u _ { i } ) } \Big ) } \\ & { = \frac { \partial } { \partial x ( u _ { j } ) } D _ { I _ { 2 } } \frac { 1 } { x ( z ) + y ( u _ { j } ) } - \sum _ { i = 1 } ^ { | I _ { 2 } | } D _ { I _ { 2 } \setminus u _ { i } } \frac { \lambda \Omega _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( u _ { i } , u _ { j } ) } { ( x ( z ) + y ( u _ { i } ) ) ^ { 2 } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( x \circ y ) \circ z } & { = ( R ( x ) \cdot R ( y ) - y \cdot R ( x ) ) \circ z } \\ & { = R ( R ( x ) \cdot R ( y ) - y \cdot R ( x ) ) \cdot R ( z ) - z \cdot R ( R ( x ) \cdot R ( y ) - y \cdot R ( x ) ) } \\ & { = ( R ( x ) \cdot R ( y ) - R ( y ) \cdot R ( x ) ) \cdot R ( z ) - z \cdot ( R ( x ) \cdot R ( y ) - R ( y ) \cdot R ( x ) ) } \\ & { = 0 } \\ { x \circ ( y \circ z ) } & { = x \circ ( R ( y ) \cdot R ( z ) - z \cdot R ( y ) ) } \\ & { = R ( x ) \cdot R ( R ( y ) \cdot R ( z ) - z \cdot R ( y ) ) - ( R ( y ) \cdot R ( z ) - z \cdot R ( y ) ) \cdot R ( x ) } \\ & { = R ( x ) \cdot ( R ( y ) \cdot R ( z ) - R ( z ) \cdot R ( y ) ) - ( R ( y ) \cdot R ( z ) - z \cdot R ( y ) ) \cdot R ( x ) } \\ & { = - ( R ( y ) \cdot R ( z ) - z \cdot R ( y ) ) \cdot R ( x ) } \end{array}
\langle P \rangle _ { \mathrm { s y n c } } \sim 1 0 ^ { 1 1 } \times \frac { 2 \pi e ^ { 2 } c \beta ^ { 4 } \gamma ^ { 4 } } { 3 \epsilon _ { 0 } L ^ { 2 } } \sim 1 0 ^ { - 1 } W .
{ \begin{array} { r l } { d _ { + } } & { = { \frac { 1 } { \sigma { \sqrt { \tau } } } } \left[ \left( x + { \frac { 1 } { 2 } } \sigma ^ { 2 } \tau \right) + { \frac { 1 } { 2 } } \sigma ^ { 2 } \tau \right] } \\ { d _ { - } } & { = { \frac { 1 } { \sigma { \sqrt { \tau } } } } \left[ \left( x + { \frac { 1 } { 2 } } \sigma ^ { 2 } \tau \right) - { \frac { 1 } { 2 } } \sigma ^ { 2 } \tau \right] . } \end{array} }
\frac { \partial \gamma _ { k } } { \partial { \gamma } _ { k } ^ { * } } = \beta \frac { 1 - \operatorname { t a n h } ( \beta ( { \gamma } _ { k } ^ { * } - \eta ) ) ^ { 2 } } { \operatorname { t a n h } ( \beta \eta ) + \operatorname { t a n h } ( \beta ( 1 - \eta ) ) } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial A } { \partial t } + \frac { \partial ( A v _ { x } ) } { \partial x } = 0 \; , } \\ & { } & { \frac { \partial v _ { x } } { \partial t } + \alpha v _ { x } \frac { \partial v _ { x } } { \partial x } + \left( \frac { v _ { x } } { A } \right) \frac { \partial } { \partial x } [ ( \alpha - 1 ) A v _ { x } ] + \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial P } { \partial x } - K _ { R } \frac { v _ { x } } { A } = 0 \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R \left( \left( \begin{array} { r r r } { y } & { y } & { 0 } \\ { n } & { n } & { 0 } \\ { r } & { r } & { 0 } \end{array} \right) \right) } & { = \left( \begin{array} { c c r } { a } & { b } & { c } \\ { 1 - a } & { 1 - b } & { - c } \\ { e } & { f } & { g } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { r r r } { y } & { y } & { 0 } \\ { n } & { n } & { 0 } \\ { r } & { r } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { c c c } { a y + b n + c r } & { a y + b n + c r } & { 0 } \\ { ( 1 - a ) y + ( 1 - b ) n - c r } & { ( 1 - a ) y + ( 1 - b ) n - c r } & { 0 } \\ { e y + f n + g r } & { e y + f n + g r } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \Phi \left( \frac { \sqrt { n } t + \delta _ { R } } { \sigma \sqrt { c _ { i i } } } \right) - \Phi \left( \frac { \sqrt { n } t } { \sigma \sqrt { c _ { i i } } } \right) \right| \leq \frac { \delta _ { R } } { \sigma \sqrt { c _ { i i } } } \phi \left( \frac { \sqrt { n } t } { \sigma \sqrt { c _ { i i } } } \right) . } \end{array}