harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { { \vec { \omega } } = \nabla \times { \vec { v } } } & { = { \left( \begin{array} { l l l } { { \frac { \partial } { \partial x } } } & { \, { \frac { \partial } { \partial y } } } & { \, { \frac { \partial } { \partial z } } } \end{array} \right) } \times { \left( \begin{array} { l l l } { v _ { x } } & { v _ { y } } & { v _ { z } } \end{array} \right) } } \\ & { = \left( { \frac { \partial v _ { y } } { \partial x } } - { \frac { \partial v _ { x } } { \partial y } } \right) { \hat { z } } \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \overline { { S } } _ { r } } & { = \frac { c } { 8 \pi } \mathrm { R e } \left( \delta \mathbf { E } _ { m } \times \delta \mathbf { B } _ { m } ^ { * } \right) _ { r } = - \frac { c } { 8 \pi } \mathrm { I m } \left( \frac { \omega _ { 0 } B _ { 0 } ^ { 2 } D _ { A } } { c k _ { \theta } ^ { 2 } r } \delta \xi _ { r } ^ { * } \partial _ { r } \left( r \delta \xi _ { r } \right) \right) = } \\ & { = - \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } } { 8 \pi } \mathrm { I m } \left[ \frac { \omega _ { 0 } D _ { A } a ^ { 3 } } { m ^ { 2 } } \left( x \frac { \delta \xi _ { r } } { a } \right) ^ { * } \partial _ { x } \left( x \frac { \delta \xi _ { r } } { a } \right) \right] = } \\ & { = - \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } \omega _ { 0 } \nu a ^ { 2 } D _ { A } } { 8 \pi m ^ { 2 } k _ { \parallel } ^ { 2 } } \left( \frac { \delta \hat { B } _ { r h } } { B _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \mathrm { I m } \alpha \left[ ( y _ { 1 \nu } ( r ) y _ { 2 \nu } ^ { \prime } ( r ) - y _ { 1 \nu } ^ { \prime } ( r ) y _ { 2 \nu } ( r ) \right] = } \\ & { = \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } \omega _ { 0 } a ^ { 2 } } { 8 \pi m ^ { 2 } r } \left( \frac { \delta \hat { B } _ { r h } } { B _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \mathrm { I m } \alpha \left[ ( K _ { | m | } ( \nu d ) I _ { | m | } ( \nu b ) - K _ { | m | } ( \nu b ) I _ { | m | } ( \nu d ) \right] , } \end{array}
\vec { Q } _ { \pi } ^ { + } = X _ { \pi } ^ { ( 1 ) } \vec { a } _ { 0 } ^ { + } - Y _ { \pi } ^ { ( 1 ) } \vec { a } _ { 0 } + \sum _ { q } \left[ X _ { \pi } ^ { ( 2 ) } ( q ) b _ { q } ^ { + } \vec { a } _ { - q } ^ { + } - Y _ { \pi } ^ { ( 2 ) } ( q ) b _ { - q } \vec { a } _ { q } + X _ { \pi } ^ { ( 3 ) } ( q ) b _ { q } ^ { + } \vec { a } _ { q } - Y _ { \pi } ^ { ( 3 ) } ( q ) b _ { q } \vec { a } _ { - q } ^ { + } \right] . ~ ~
\begin{array} { r l } { \mu _ { i } ( t ) } & { { } = \mu _ { i } ^ { 0 } + \sum _ { j } \mu _ { i j } ^ { ( 1 ) } ( t ) E _ { j } + \sum _ { j k } \mu _ { i j k } ^ { ( 2 ) } ( t ) E _ { j } E _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \forall i \in \left[ 1 , S \right] , \exists k _ { 1 } , k _ { 2 } : \left| \Delta y _ { k _ { 1 } } ^ { i } \right| \leq \frac { \psi } { g \lambda ^ { i } } , \left| \Delta y _ { k _ { 2 } } ^ { i } \right| \leq \frac { \psi } { g \lambda ^ { i } } , \Delta y _ { k } ^ { i } = 0 , } \\ & { \left| \Delta \Phi _ { k _ { 1 } } ^ { i } \right| \leq \frac { 1 } { T \lambda ^ { i } } , \left| \Delta \Phi _ { k _ { 2 } } ^ { i } \right| \leq \frac { 1 } { T \lambda ^ { i } } , \Delta \Phi _ { k } ^ { i } = 0 \ \forall i \neq i _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { \Phi _ { 1 } = \left( \begin{array} { c } { { { \phi _ { 1 } ^ { 0 } } } } \\ { { { \phi _ { 1 } ^ { - } } } } \end{array} \right) \, , } } & { { \Phi _ { 2 } = \left( \begin{array} { c } { { { \phi _ { 2 } ^ { + } } } } \\ { { { \phi _ { 2 } ^ { 0 } } } } \end{array} \right) \, , } } & { { \Phi _ { 3 } = \phi _ { 3 } ^ { 0 } \, . } } \end{array}
\begin{array} { r } { T = \left( \frac { N _ { \mathrm { ~ a ~ t ~ } } } { 2 4 3 } \right) ^ { 2 } \, 1 8 7 0 \; \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ e ~ h ~ o ~ u ~ r ~ s ~ } + \left( \frac { N _ { \mathrm { ~ a ~ t ~ } } } { 2 4 3 } \right) ^ { 3 } \, 4 4 3 \; \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ e ~ h ~ o ~ u ~ r ~ s ~ } } \end{array}
\mathbf { H } _ { r } = \epsilon \left( \mathbf { S } \mathbf { S } ^ { T } + \epsilon \mu _ { S } \mathbf { I } \right) , \quad \mathbf { H } _ { s } = \mathbf { U } _ { \lambda } \mathbf { U } _ { \lambda } ^ { T } + \mu _ { U } \mathbf { I } ,
{ \cal D } \tilde { \Psi } _ { ( D - 1 ) \underline { { { \alpha } } } } - 2 i \tilde { M } _ { ( D - 1 ) a } \, \tilde { E } ^ { \underline { { { \beta } } } } \Gamma _ { \underline { { { \alpha } } } \underline { { { \beta } } } } ^ { a } + \ldots \equiv 0 \; ,
s = b \int _ { \operatorname { a r c o s h } { \frac { x _ { 1 } } { a } } } ^ { \operatorname { a r c o s h } { \frac { x _ { 2 } } { a } } } { \sqrt { 1 + \left( 1 + { \frac { a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } \right) \sinh ^ { 2 } v } } \, \mathrm { d } v .
\Omega _ { g } = 6 K _ { T } \{ | \nabla \kappa _ { A } | ^ { 2 } - ( 2 i \mu / 3 ) \mathrm { \boldmath ~ \ o m e g a ~ } \cdot [ { \bf r } \times ( \kappa _ { A } ^ { * } \nabla \kappa _ { A } - \kappa _ { A } \nabla \kappa _ { A } ^ { * } ) ] + g _ { 3 } ^ { 2 } | \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ A } ~ } ^ { 3 } | ^ { 2 } | \kappa _ { A } | ^ { 2 } \} \ ,
{ \begin{array} { r l } { \rho ( { \boldsymbol { \beta } } , \sigma ^ { 2 } \mid \mathbf { y } , \mathbf { X } ) } & { \propto \rho ( \mathbf { y } \mid \mathbf { X } , { \boldsymbol { \beta } } , \sigma ^ { 2 } ) \rho ( { \boldsymbol { \beta } } \mid \sigma ^ { 2 } ) \rho ( \sigma ^ { 2 } ) } \\ & { \propto ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - n / 2 } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 { \sigma } ^ { 2 } } } ( \mathbf { y } - \mathbf { X } { \boldsymbol { \beta } } ) ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { y } - \mathbf { X } { \boldsymbol { \beta } } ) \right) ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - k / 2 } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } } ( { \boldsymbol { \beta } } - { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } ) ^ { \mathsf { T } } { \boldsymbol { \Lambda } } _ { 0 } ( { \boldsymbol { \beta } } - { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } ) \right) ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - ( a _ { 0 } + 1 ) } \exp \left( - { \frac { b _ { 0 } } { \sigma ^ { 2 } } } \right) } \end{array} }
n _ { g } = 4 , \, T = 1 2 , \, P _ { i , t } ^ { \operatorname* { m a x } } = \texttt { r a n d i n t ( 1 , 1 1 5 ) } , \, P _ { i , t } ^ { \operatorname* { m i n } } = \lceil P _ { i , t } ^ { \operatorname* { m a x } } / 2 \rceil , \, D _ { t } ^ { 0 } = 1 5 0 \sin ( 2 \pi / 2 4 \, t ) , t = 1 , \ldots , T , \, Q = \mathrm { d i a g } ( \texttt { r a n d i n t ( 1 , 5 0 ) } ) , \, C = \texttt { r a n d i n t ( 1 , 5 0 ) } , \, \tau _ { i } ^ { \mathrm { O N } } = \texttt { r a n d i n t ( 1 , T ) } , \, \tau _ { i } ^ { \mathrm { O F F } } = \texttt { r a n d i n t ( 1 , T ) } , \forall i \in \mathcal { G }
\begin{array} { r l } & { \mathcal { D } [ - 2 \operatorname { R i c } ] ( h ) _ { i j } = g ^ { p q } \nabla _ { p } \nabla _ { q } h _ { i j } + \nabla _ { i } V _ { j } + \nabla _ { j } V _ { i } + O ( h _ { i j } ) } \\ & { \operatorname { w h e r e } \; \; \; \; V _ { i } = g ^ { p q } \left( \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { i } h _ { p q } - \nabla _ { q } h _ { p i } \right) \operatorname { a n d } \; \; h _ { i j } = \frac { \partial } { \partial t } g _ { i j } ( t ) . } \end{array}
V ( \Phi ) = { \frac { 1 } { 2 } } \Omega ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 1 2 8 \pi ^ { 2 } } } [ 2 \Omega ^ { 4 } l n { \frac { \Omega ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } - ( 3 - 2 k ) ( \Omega ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 2 m ^ { 2 } ( \Omega ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ] + { \cal D } _ { 1 }
\begin{array} { r l } { D _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { B } } & { = D _ { \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 1 } } ^ { B } , } \\ { d _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 3 } \textsc { q } _ { 4 } } ^ { B } } & { = d _ { \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 4 } \textsc { q } _ { 3 } } ^ { B } = d _ { \textsc { q } _ { 3 } \textsc { q } _ { 4 } \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { B } = d _ { \textsc { q } _ { 4 } \textsc { q } _ { 3 } \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 1 } } ^ { B } . } \end{array}
( T _ { x ( \cdot ) } f ) ( z ) = \int _ { 0 } ^ { L } C ( x ( z ) - x ( z ^ { \prime } ) , z , z ^ { \prime } ) \, f ( z ^ { \prime } ) \, d z ^ { \prime } . \ \ \ f ( z ) \in L ^ { 2 } ( [ 0 , L ] ) .
\begin{array} { r l r } { \Big [ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { R } \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { R } \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \Big ] } & { { } = } & { \Big [ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { R } \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { R } \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \Big ] _ { { L } } } \end{array}
m _ { L R } = \left( \begin{array} { c c c } { { \lambda ^ { 6 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \lambda ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) m _ { \tau }
\begin{array} { r l r } { \frac { A _ { \mathrm { 0 r } } ^ { \mathrm { ( L ) } } } { A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( L ) } } } } & { = } & { \frac { \alpha - 1 } { \alpha + 1 } \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( L ) } } } { A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( L ) } } } = \frac { 2 } { \alpha + 1 } \; , } \\ { \frac { A _ { \mathrm { 0 r } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } } { A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } } } & { = } & { \frac { \beta - 1 } { \beta + 1 } \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } } { A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } } = \frac { 2 } { \beta + 1 } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } \psi ^ { n + 1 } } & { = f _ { 1 } ( \zeta ^ { n } , \tilde { C } _ { \psi } ^ { n } ) } \\ { A _ { 2 } \zeta ^ { n + 1 } } & { = f _ { 2 } ( \zeta ^ { n } , u ^ { n + 1 } , v ^ { n + 1 } , R e , \tilde { C } _ { \zeta } ^ { n + 1 } , \tilde { C } _ { \zeta } ^ { n } ) } \\ { A _ { 3 } T ^ { n + 1 } } & { = f _ { 3 } ( T ^ { n } , u ^ { n + 1 } , v ^ { n + 1 } , R e , P r , \tilde { C } _ { T } ^ { n + 1 } , \tilde { C } _ { T } ^ { n } ) } \end{array}
P _ { 1 } ( x _ { z } , \alpha ) \simeq - { \frac { g ^ { ( 1 ) } } { b _ { 2 } } } \ln ( 1 - 2 \alpha b _ { 2 } x _ { z } ) + { \frac { g ^ { ( 1 ) } } { b _ { 2 } } } \ln ( 1 - \alpha b _ { 2 } x _ { z } ) \le 1 .
\xi _ { n , n ^ { \prime } } \equiv ( 1 / \sqrt { 2 } ) \ensuremath { \langle n S _ { 1 / 2 } | | } D \ensuremath { | | n ^ { \prime } P _ { 1 / 2 } \rangle } / \ensuremath { \langle n S _ { 1 / 2 } | | } D \ensuremath { | | n ^ { \prime } P _ { 3 / 2 } \rangle }
- \Im Z _ { d s } \le \frac { \left( \frac { \varepsilon ^ { \prime } } { \varepsilon } \right) _ { \mathrm { m a x } } ^ { \mathrm { e x p } } - 4 . 7 1 \cdot 1 0 ^ { - 4 } } { 2 . 7 0 } .
\sigma _ { i j } ( \mathrm { \pmb { ~ u ~ } } ) = \lambda \delta _ { i j } \sum _ { k = 1 } ^ { { n _ { d i m } } } \varepsilon _ { k k } ( \mathrm { \pmb { ~ u ~ } } ) + 2 \mu \varepsilon _ { i j } ( \mathrm { \pmb { ~ u ~ } } ) , \quad \quad \varepsilon _ { i j } ( \mathrm { \pmb { ~ u ~ } } ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) , \quad \quad i , j = 1 , 2 , . . . , { n _ { d i m } } .
{ \begin{array} { r l r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { - x } \, d x } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n ^ { - n } } & & { ( = 1 . 2 9 1 2 8 \, 5 9 9 7 0 \, 6 2 6 6 \dots ) } \\ { \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { x } \, d x } & { = - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - n ) ^ { - n } } & & { ( = 0 . 7 8 3 4 3 \, 0 5 1 0 7 \, 1 2 1 3 \dots ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { { 1 } \hat { K } ^ { ( 2 ) } = } & { { } \sum _ { m \neq 0 } \frac { 1 } { m } \left[ \hat { V } _ { m } , \hat { H } _ { 0 } \right] \int \omega e ^ { i m \omega t } d t + \sum _ { m , m ^ { \prime } \neq 0 , - m } \frac { \left[ \hat { V } _ { m } , \hat { V } _ { m ^ { \prime } } \right] } { 2 m } \int \omega e ^ { i ( m + m ^ { \prime } ) \omega t } d t } \\ { = } & { { } \sum _ { m \neq 0 } \frac { 1 } { i m ^ { 2 } } \left[ \hat { V } _ { m } , \hat { H } _ { 0 } \right] e ^ { i m \omega t } + \sum _ { m , m ^ { \prime } \neq 0 , - m } \frac { \left[ \hat { V } _ { m } , \hat { V } _ { m ^ { \prime } } \right] } { 2 i m ( m + m ^ { \prime } ) } e ^ { i ( m + m ^ { \prime } ) \omega t } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname { p r o j . d i m } _ { \L } S _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { i } & { \mathrm { ~ i f ~ 0 ~ \leq ~ i ~ \leq ~ 2 ~ , ~ } } \\ { \infty } & { \mathrm { ~ i f ~ 3 ~ \leq ~ i ~ \leq ~ 5 ~ } } \end{array} \right. \quad \mathrm { a n d } \quad \operatorname { p e r . d i m } _ { \L } S _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { i + 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ 0 ~ \leq ~ i ~ \leq ~ 4 ~ , ~ } } \\ { 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ i ~ = ~ 5 ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \psi } & { { } = \partial \psi / \partial x = i \hbar ^ { - 1 } \xi \psi , } \\ { \nabla ^ { T } \cdot m ^ { - 1 } \cdot \nabla \psi } & { { } = \frac { i } { \hbar } \left[ \left( \nabla ^ { T } \cdot m ^ { - 1 } \cdot \xi \right) \psi + ( \nabla ^ { T } \psi ) \cdot m ^ { - 1 } \cdot \xi \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathring { \mathcal { T } } _ { 1 , D } ^ { - 1 } [ \Omega ] - \Upsilon _ { 2 } \Psi = \mathring { \mathcal { T } } _ { 1 , D } ^ { - 1 } [ \mathcal { S } _ { 1 } [ \Psi ] ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \bf e } _ { n } ^ { ( 2 ) } = \sqrt { \frac { a _ { 0 } b _ { 0 } } { Y _ { n } ^ { ( 2 ) } a _ { L } b _ { L } } } \; \bar { \bf j } _ { L } ^ { - 1 } { \bf e } _ { t , n } , } \\ & { { \bf h } _ { n } ^ { ( 2 ) } = - \sqrt { \frac { Y _ { n } ^ { ( 2 ) } a _ { 0 } b _ { 0 } } { a _ { L } b _ { L } } } \; \bar { \bf j } _ { L } ^ { - 1 } ( \hat { \bf z } \times { \bf e } _ { t , n } ) . } \end{array}
F ( M _ { \mathrm { G T } } , M _ { \mathrm { * } } ) \! = \! \frac { \int \! \! d x \, \Delta M _ { \mathrm { G T } } ( x ) \, \Delta M _ { \mathrm { * } } ( x ) } { \sqrt { \int \! \! d x \, \Delta M _ { \mathrm { G T } } ^ { 2 } ( x ) \int \! \! d x ^ { \prime } \, \Delta M _ { \mathrm { * } } ^ { 2 } ( x ^ { \prime } ) } }
j _ { i } \left( \vec { k } , \omega \right) = \frac 1 { V _ { 0 } } \sum _ { \vec { \tau } } \sigma _ { i j } ^ { c } \left( \vec { k } , \vec { k } - \vec { \tau } , \omega \right) E _ { j } \left( \vec { k } - \vec { \tau } , \omega \right)
\tau _ { \nu } \sim \frac { 0 . 1 \mathrm { ~ s } } { \sin ^ { 2 } 2 \theta } \left( \frac { 1 0 \mathrm { ~ M e V } } { m _ { \nu } } \right) ^ { 3 } \left( \frac { w } { 1 0 ^ { 1 0 } \mathrm { ~ G e V } } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { { \mathcal { C } } [ \widehat { Q } _ { 0 , \infty } ^ { \mathrm { C L M C } } ] = } & { \ M \, { \mathbb { E } } \bigg [ \int _ { 0 } ^ { L } { \mathcal { C } } [ \ell ] \textup { d } \ell \bigg ] \leq \frac { M c _ { 3 } } { \gamma _ { C } } { \mathbb { E } } \big [ e ^ { \gamma _ { C } L } - 1 \big ] } \\ { = } & { \ \frac { M c _ { 6 } } { \gamma _ { C } } \bigg ( r \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { ( \gamma _ { C } - r ) \ell } \textup { d } \ell - 1 \bigg ) = \frac { M c _ { 6 } } { r - \gamma _ { C } } . } \end{array}
V _ { 1 } \equiv \left( \sqrt { J _ { 2 } } \right) ^ { 3 } M _ { 3 , c } ( \theta ) \cos { \left( 3 \psi _ { 2 } \right) } - \left( \sqrt { J _ { 2 } } \right) ^ { 3 } M _ { 3 , s } ( \theta ) \sin { \left( 3 \psi _ { 2 } \right) } ,
{ \frac { \partial } { \partial t } } v ( t , x ) = { \frac { \partial } { \partial t } } u ( t / \alpha , x ) = \alpha ^ { - 1 } { \frac { \partial u } { \partial t } } ( t / \alpha , x ) = \Delta u ( t / \alpha , x ) = \Delta v ( t , x ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( * )
\hat { A } _ { \bf C P } ^ { i j } = \frac { 2 } { 3 r _ { \bf C } ^ { 2 } } \left( P ^ { i } n _ { \bf C } ^ { j } + P ^ { j } n _ { \bf C } ^ { i } - ( \eta ^ { i j } - n _ { \bf C } ^ { i } n _ { \bf C } ^ { j } ) n _ { \bf C } ^ { k } P _ { k } \right) .
_ { } { } a l l o y d i r e c t l y o n a s i l i c o n w a f e r . T h i s e m e r g i n g c l a s s o f s e m i c o n d u c t o r s p r o v i d e s s t r a i n a n d c o m p o s i t i o n a s d e g r e e s o f f r e e d o m t o c o n t r o l t h e b a n d g a p e n e r g y t h u s c o v e r i n g t h e e n t i r e m i d - i n f r a r e d r a n g e . T h e p r o p o s e d t h e r m o p h o t o v o l t a i c d e v i c e i s c o m p o s e d o f a f u l l y r e l a x e d G e
\hat { \mathcal { { H } } } _ { \sigma } = - \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } + v _ { \mathrm { ~ H ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) + v _ { \mathrm { ~ N ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) + v _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } )
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { M C C S } } ( { \bf d } _ { \cal A } ; { \bf q } ^ { * } ) } & { = \sum _ { s = 0 } ^ { A - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { \widetilde { N } ( { \bf d } _ { \cal A } ) } \binom { A - i } { s } ( q _ { 1 } ^ { * } ) ^ { s } ( 1 - q _ { 1 } ^ { * } ) ^ { A - s } F } \\ & { = R _ { \mathrm { l b } } ( { \cal D } _ { \cal A } ; { \bf q } ^ { * } ) . } \end{array}
\bigcap _ { L \cap D \neq \emptyset } \Delta _ { L } ^ { + } \subset \bigcap _ { L \cap D ^ { \prime } \neq \emptyset } \Delta _ { L } ^ { + } \mathrm { ~ i f ~ } \operatorname* { s u p } I ^ { \prime } = \infty \quad \mathrm { ~ o r ~ } \quad \bigcap _ { L \cap D _ { j } \neq \emptyset } \Delta _ { L } ^ { + } \subset \bigcap _ { L \cap D _ { i } \neq \emptyset } \Delta _ { L } ^ { + } \mathrm { ~ i f ~ } \operatorname* { s u p } I ^ { \prime } = \infty .
\mathbf { u } ( 1 ) = F _ { \hat { \mathcal { G } } } ( \mathbf { z } ) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \tilde { \mathbf { u } } ( 1 ) = F _ { T \hat { \mathcal { G } } } ( T _ { r o t } \mathbf { z } )
\begin{array} { r l } { \rho ( \mathfrak { s } , v , \mathbb { A } ^ { a } ) \approx { } } & { { } \rho ( \mathfrak { s } , v , 0 ) + \frac { \partial \rho } { \partial \mathbb { A } ^ { a } } \mathbb { A } ^ { a } \, , } \\ { P ( \mathfrak { s } , v , \mathbb { A } ^ { a } ) \approx { } } & { { } P ( \mathfrak { s } , v , 0 ) + \frac { \partial P } { \partial \mathbb { A } ^ { a } } \mathbb { A } ^ { a } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { 1 } ^ { \bullet } } & { = \left[ 1 - \mathcal { F } \left( \mathrm { i } ^ { 1 / 2 } K _ { v } \right) \right] ^ { - 1 } , } \\ { Y _ { 1 } ^ { \bullet } } & { = \mathrm { H e } ^ { 2 } \left[ 1 + \left( \gamma - 1 \right) \mathcal { F } \left( \left( \mathrm { i } \mathrm { P r } \right) ^ { 1 / 2 } K _ { v } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { { } ~ p \displaystyle \sum _ { \alpha } \grave { \phi } _ { \alpha } + \phi _ { \alpha } \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } - \rho _ { \alpha } ^ { - 1 } \gamma _ { \alpha } } \\ { = } & { { } ~ p \displaystyle \sum _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } \cdot \nabla \phi _ { \alpha } + \phi _ { \alpha } \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } - \rho _ { \alpha } ^ { - 1 } \gamma _ { \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { x _ { \tau } = 2 \pi \omega \Delta x _ { 0 } A _ { x } \cos ( 2 \pi \omega \tau ) \sin \left( \frac { n _ { x } \pi ( j - 1 ) \Delta y _ { 0 } } { L _ { y } } + \frac { i \phi _ { x } } { I L - 1 } \right) } \\ & { y _ { \tau } = 2 \pi \omega \Delta y _ { 0 } A _ { y } \cos ( 2 \pi \omega \tau ) \sin \left( \frac { n _ { y } \pi ( i - 1 ) \Delta x _ { 0 } } { L _ { x } } + \frac { i \phi _ { y } } { J L - 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ \bar { \Sigma } ^ { j } ( \tau ) \cap \mathbb { R } ^ { n } \times \left[ \sqrt { \rho _ { j } } ( e ^ { \tau / 2 } - e ^ { - \tau / 2 } ) , ( R _ { j } \cdot e ^ { - T / 2 } / 2 - \rho _ { j } \cdot e ^ { T / 2 } ) / \sqrt { \rho _ { j } } \right) } \\ { = } & { \ \left\{ \left( \sqrt { 1 + \frac { e ^ { \tau / 2 } \hat { z } } { \sqrt { \rho _ { j } } } } \cdot \left( x + u _ { R _ { j } } ( x , z ) \nu _ { x } \right) , \hat { z } \right) : \hat { z } \in \left[ \sqrt { \rho _ { j } } ( e ^ { \tau / 2 } - e ^ { - \tau / 2 } ) , \frac { R _ { j } \cdot e ^ { - T / 2 } - 2 \rho _ { j } \cdot e ^ { T / 2 } } { 2 \sqrt { \rho _ { j } } } \right) \right\} ; } \\ & { \ \bar { \Sigma } _ { e } ^ { j } ( \tau ) \cap \mathbb { R } ^ { n } \times \left( \frac { z _ { j } \cdot e ^ { T / 2 } } { \sqrt { \rho _ { j } } } - e ^ { - T / 2 } \sqrt { \rho _ { j } } , + \infty \right) } \\ { = } & { \ \left\{ \left( \sqrt { 1 + \frac { e ^ { \tau / 2 } \hat { z } } { \sqrt { \rho _ { j } } } } \cdot \left( x + w _ { j } ( x , z ) \nu _ { x } \right) , \hat { z } \right) : \hat { z } > \frac { z _ { j } \cdot e ^ { T / 2 } } { \sqrt { \rho _ { j } } } - e ^ { - T / 2 } \sqrt { \rho _ { j } } \right\} . } \end{array}
( t _ { 1 } R ) _ { j _ { 1 } j _ { 2 } j _ { 3 } } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } i _ { 3 } } = R _ { i _ { 1 } j _ { 2 } j _ { 3 } } ^ { j _ { 1 } i _ { 2 } i _ { 3 } } .
{ \begin{array} { r } { \operatorname { A i } ( u ) \rightarrow { \frac { 1 } { 2 { \sqrt { \pi } } } } { \frac { 1 } { \sqrt [ { 4 } ] { u } } } e ^ { - { \frac { 2 } { 3 } } u ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \quad { \textrm { w h e r e , } } \quad u \rightarrow + \infty } \\ { \operatorname { A i } ( u ) \rightarrow { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } } { \frac { 1 } { \sqrt [ { 4 } ] { u } } } \cos { \left( { \frac { 2 } { 3 } } | u | ^ { \frac { 3 } { 2 } } - { \frac { \pi } { 4 } } \right) } \quad { \textrm { w h e r e , } } \quad u \rightarrow - \infty } \end{array} }
\mathcal { L } ( \boldsymbol { c } , \lambda ; \alpha ) = \left| \left| P ^ { T } C _ { h } ( \Phi \boldsymbol { a } ) - P ^ { T } M \boldsymbol { c } \right| \right| ^ { 2 } + \alpha \left| \left| \boldsymbol { c } - \boldsymbol { \mu } \right| \right| _ { \Gamma } ^ { 2 } + \lambda \boldsymbol { a } ^ { T } \Phi ^ { T } M \boldsymbol { c } ,
\Phi : \ ( x , y ) \rightarrow \left( { \frac { x } { 1 + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , { \frac { y } { 1 + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , { \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \right) = ( u , v , w ) \ .
\begin{array} { r } { \chi _ { g } ^ { \prime } ( G ) = \Delta _ { g } ( G ) = \operatorname* { m a x } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { v \in V ( D ) } \left\lceil \frac { d _ { D } ^ { + } ( v ) } { f ( v ) - 1 } \right\rceil , \operatorname* { m a x } _ { v \in V ( D ) } d _ { D } ^ { - } ( v ) \right\} = \operatorname* { m a x } \left\{ \Delta _ { f - 1 } ^ { + } ( D ) , \Delta ^ { - } ( D ) \right\} = d . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | - \lambda ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } + k ^ { 4 } | } & { \geq | - \lambda + k ^ { 2 } | ( \lambda + k ^ { 2 } ) } \\ & { = | k - \sqrt { \lambda } | ( k + \sqrt { \lambda } ) ( \lambda + k ^ { 2 } ) } \\ & { \geq \frac { 1 } { 1 0 } ( k + \sqrt { \lambda } ) ( \lambda + k ^ { 2 } ) } \\ & { \geq \frac { 1 } { 1 0 } \operatorname* { m a x } \{ k ^ { 3 } , \lambda ^ { 3 / 2 } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( r ) } & { { } = P ( \mathrm { ~ S ~ u ~ c ~ c ~ e ~ s ~ s ~ } \cap \mathrm { ~ S ~ u ~ b ~ c ~ a ~ s ~ e ~ 1 ~ } ) + P ( \mathrm { ~ S ~ u ~ c ~ c ~ e ~ s ~ s ~ } \cap \mathrm { ~ S ~ u ~ b ~ c ~ a ~ s ~ e ~ 2 ~ } ) + P ( \mathrm { ~ S ~ u ~ c ~ c ~ e ~ s ~ s ~ } \cap \mathrm { ~ S ~ u ~ b ~ c ~ a ~ s ~ e ~ 3 ~ } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial B } { \partial T } = \left( \frac { 2 k _ { \mathrm { B } } ^ { 3 } T ^ { 2 } } { h _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } c } \right) \frac { x ^ { 4 } e ^ { x } } { \left( e ^ { x } - 1 \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { l } { \widetilde b _ { n } } \\ { \widetilde d _ { n - 1 } } \end{array} \right) = S _ { n } \left( \begin{array} { l } { \widetilde b _ { n - 2 } } \\ { \widetilde d _ { n - 3 } } \end{array} \right) \, , \qquad \left( \begin{array} { l } { \widetilde a _ { n } } \\ { \widetilde c _ { n - 1 } } \end{array} \right) = S _ { n } \left( \begin{array} { l } { \widetilde a _ { n - 2 } } \\ { \widetilde c _ { n - 3 } } \end{array} \right) - T _ { n } \left( \begin{array} { l } { \widetilde b _ { n - 2 } } \\ { \widetilde d _ { n - 3 } } \end{array} \right) \, . } \end{array}
J _ { r } ( Q _ { j + 1 } , Q _ { j + 1 } ^ { \prime } \mid Q _ { j } , Q _ { j } ^ { \prime } , \xi ) = ( \frac { i } { \cal N } ) ^ { 1 / 2 } \exp [ \frac { i } { \hbar } ( 2 r _ { j } R _ { j } + 2 r _ { j + 1 } R _ { j + 1 } - r _ { j } R _ { j + 1 } - r _ { j + 1 } R _ { j } + \xi r _ { j + 1 } ) ]