harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { f ^ { \mathcal { F } } ( L ) = D ( L ) \ \frac { \partial } { \partial L } \log \left( \int _ { L _ { \mathrm { t s } } } ^ { L } d L ^ { \prime } \; e ^ { - \int ^ { L ^ { \prime } } \frac { 2 f ( L ^ { \prime \prime } ) } { D ( L ^ { \prime \prime } ) } d L ^ { \prime \prime } } \right) \ . } \end{array}
\mathcal { U } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ l ~ l ~ } } ( z ) = \frac { 2 } { \ln 2 } \frac { a _ { R } ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } [ 1 + z ^ { 2 } / z _ { R } ^ { 2 } ] } .
\mathbf F _ { k - 1 } ( \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 2 } ) + \mathbf F _ { k + 1 } ( \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 2 } ) = 2 \mathsf X \cdot \mathbf F _ { k } ( \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { ( - \frac { \cos ( { \theta } / { 2 } ) } { 4 \cos \theta } - \cos ( { \theta } / { 2 } ) \cos \theta + \frac { 3 } { 4 \cos ( { \theta } / { 2 } ) } + \frac { \cos ( { \theta } / { 2 } ) } { 2 \cos \theta } ) \frac { 1 } { s } } & { = ( \frac { \cos ( { \theta } / { 2 } ) } { \cos \theta } + \frac { 3 } { 2 } \cos ( { \theta } / { 2 } ) ) s - \frac { 1 } { \cos \theta } s ^ { 3 } , } \\ { 1 - \frac { 1 } { 2 \cos \theta } - \frac { 7 } { 2 } + \frac { 1 } { \cos \theta } + \frac { 5 } { 2 \cos \theta } } & { = \frac { 5 s ^ { 2 } } { \cos \theta } . } \end{array}
\hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } ) = \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } )
\phi ( \tau , \sigma ) = q + \frac { p } { 2 \pi } \tau + \frac { i } { \sqrt { 4 \pi } } \sum _ { n \neq 0 } \frac { 1 } { n } \, \left( { a _ { n } } \, e ^ { - i n ( \tau + \sigma ) } + { \bar { a } _ { n } } \, e ^ { - i n ( \tau - \sigma ) } \right) .
\partial _ { w _ { r } } \mathcal { E } ^ { ( c l ) } ( G ) = \frac { 2 m \sqrt { n _ { i } } ( \partial _ { w _ { r } } A _ { r } ( G ) ) } { 4 \pi b ^ { 2 } } \exp ( e _ { r } \cdot \phi ( 0 ) / 2 )
\begin{array} { r } { \tilde { x } ^ { 2 } \tilde { \psi } _ { M } ( \tilde { x } ) = \frac 1 2 \left( \sqrt { ( M + 1 ) ( M + 2 ) } \tilde { \psi } _ { M + 2 } ( \tilde { x } ) + ( 2 M + 1 ) \tilde { \psi } _ { M } ( \tilde { x } ) + \sqrt { M ( M - 1 ) } \tilde { \psi } _ { M - 2 } ( \tilde { x } ) \right) , } \end{array}
E ( \cos \theta \, \mathbf { \hat { f } } - \sin \theta \, \mathbf { \hat { s } } ) \mathrm { e } ^ { i ( k z - \omega t ) } = E [ \cos ( - \theta ) \mathbf { \hat { f } } + \sin ( - \theta ) \mathbf { \hat { s } } ] \mathrm { e } ^ { i ( k z - \omega t ) } .
\begin{array} { r l r } & { } & { f _ { n } ( Z \! R , Z I ) = 2 Z \! R - 2 Z \! R \textnormal { c o s h } ( n Z I ) \textnormal { c o s } ( 2 Z \! R Z I ) + n \textnormal { s i n h } ( n Z I ) \textnormal { s i n } ( 2 Z \! R Z I ) , } \\ & { } & { \mathrm { a n d } } \\ & { } & { g _ { n } ( Z \! R , Z I ) = 2 Z \! R \textnormal { c o s h } ( n Z I ) \textnormal { s i n } ( 2 Z \! R Z I ) + n \textnormal { s i n h } ( n Z I ) \textnormal { c o s } ( 2 Z \! R Z I ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H } & { { } = } & { \sum _ { i } \left[ c \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \vec { ~ } \alpha ~ } ~ } ^ { D } \cdot { \vec { p } } _ { i } + ( \beta - 1 ) c ^ { 2 } + V _ { n u c } ( r _ { i } ) \right] + \sum _ { i , j > i } \frac { 1 } { r _ { i j } } } \end{array}
l _ { 3 } = - \frac { 1 } { 2 } ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) - \frac { - \textbf { i } \sqrt { 3 } } { 2 } ( p _ { 1 } - p _ { 2 } ) + \frac { 1 } { 3 } s R e ( P r + 1 )
A ( H ( p ) \to H ^ { \prime } ( p ^ { \prime } ) \, e \, \nu ) = { \frac { G _ { F } \, V _ { q _ { 1 } q _ { 2 } } } { \sqrt { 2 } } } \bigl [ \bar { \ell } \, \gamma _ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) \, \nu \bigr ] M _ { H H ^ { \prime } } ^ { \mu } ( p , p ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \beta ( x ) \frac { \phi ^ { \prime } ( | x | / \varepsilon ) } { | x | } \textrm { d } x } & { { } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \beta ( \varepsilon r , \psi ) \phi ^ { \prime } ( r ) \textrm { d } r \textrm { d } \psi } \end{array}
g _ { 2 } = \sqrt { \frac { M _ { 1 } \omega _ { 2 } } { M _ { 2 } \omega _ { 1 } } } \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } , \qquad g _ { 1 2 } = \frac { 1 + M _ { 1 } / M _ { 2 } } { \sqrt { 1 + \frac { M _ { 1 } \omega _ { 1 } } { M _ { 2 } \omega _ { 2 } } } } \frac { a _ { 1 2 } } { \sqrt { 2 } a _ { 1 } } .
\frac { d w } { d t } = \left\{ \begin{array} { c c } { \frac { 1 - w } { \tau _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ e ~ n ~ } } } } & { \mathrm { ~ , ~ i ~ f ~ } v < v _ { \mathrm { ~ g ~ a ~ t ~ e ~ } } } \\ { \frac { 1 - w } { \tau _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ o ~ s ~ e ~ } } } } & { \mathrm { ~ , ~ i ~ f ~ } v \geq v _ { \mathrm { ~ g ~ a ~ t ~ e ~ } } } \end{array} \right.
g = \frac { 1 } { 2 } u _ { b } ^ { 2 } b _ { \mathrm { e x t } } - L \ \ , \ \ { \cal E } \simeq 2 \pi \frac { \Delta u } { u _ { b } } \left[ f ^ { 2 } g ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \kappa ^ { 2 } u _ { b } ^ { 2 } f ^ { 4 } - \kappa ^ { 2 } u _ { b } ^ { 2 } f ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { \left\| T _ { 1 } + \frac { v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } } { \lambda _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } } \int _ { K ^ { 2 } } H ( x , y ) v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } ( x ) v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } ( y ) d x \, d y \right\| } & { \le \int _ { K ^ { 2 } } H ( x , y ) v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } ( x ) v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } ( y ) d x \, d y \frac { \| v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } + H } - v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } \| } { \lambda _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } } } \\ & { + \frac { \| v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } \| } { \lambda _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } } \left| \int _ { K ^ { 2 } } H ( x , y ) v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } ( x ) v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } ( y ) d x \, d y - ( \lambda _ { 1 } ^ { A _ { 0 } + H } - \lambda _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } ) \right| } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } { \left| { \sum _ { k = 1 } ^ { N } b _ { k } e ^ { 2 i \pi \lambda _ { k } t } } \right| } ^ { 2 } \, \mathrm { d } t } & { \geq } & { \sum _ { j = 0 } ^ { M _ { T } - 1 } \int _ { t _ { j } - 1 } ^ { t _ { j } + 1 } { \left| { \sum _ { k = 1 } ^ { N } b _ { k } e ^ { 2 i \pi \lambda _ { k } t } } \right| } ^ { 2 } \, \mathrm { d } t } \\ & { = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { M _ { T } - 1 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } { \left| { \sum _ { k = 1 } ^ { N } b _ { k } e ^ { 2 i \pi \lambda _ { k } t _ { j } } e ^ { 2 i \pi \lambda _ { k } t } } \right| } ^ { 2 } \, \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { t + 1 } = } & { ~ ( W _ { * } ^ { \top } U _ { t } - F ) R ^ { - 1 } } \\ { ( V _ { * , \bot } ) ^ { \top } V _ { t + 1 } = } & { ~ ( V _ { * , \bot } ) ^ { \top } ( W _ { * } ^ { \top } U _ { t } - F ) R ^ { - 1 } } \\ { ( V _ { * , \bot } ) ^ { \top } V _ { t + 1 } = } & { ~ ( V _ { * , \bot } ) ^ { \top } W _ { * } ^ { \top } R ^ { - 1 } - ( V _ { * , \bot } ) ^ { \top } F R ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ^ { \top } J _ { D } ( A ^ { \top } J _ { D } A ) J _ { D } V } & { = ( A J _ { D } V ) ^ { \top } J _ { D } ( A J _ { D } V ) } \\ & { = ( V J _ { D } \Lambda ) ^ { \top } J _ { D } ( V J _ { D } \Lambda ) } \\ & { = \Lambda ^ { \top } J _ { D } ( V ^ { \top } J _ { D } V ) J _ { D } \Lambda } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { = } \Lambda J _ { D } \Lambda ^ { \prime } J _ { D } \Lambda = \Lambda ^ { 2 } \Lambda ^ { \prime } } \end{array}
= - 8 i N _ { c } \! \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \! \alpha ( 1 - \alpha ) d \alpha \! \int \! \! \left[ \frac { \bar { d } ^ { 4 } p } { [ p ^ { 2 } - m _ { q } ^ { 2 } + m _ { \rho } ^ { 2 } \alpha ( 1 - \alpha ) ] ^ { 2 } } - \frac { \bar { d } ^ { 4 } p } { [ p ^ { 2 } - m _ { q } ^ { 2 } ] ^ { 2 } } \right] .
\begin{array} { r l } { { \sqrt { 2 } } } & { { } = { \frac { 3 } { 2 } } - 2 \left( { \frac { 1 } { 4 } } - \left( { \frac { 1 } { 4 } } - \left( { \frac { 1 } { 4 } } - \left( { \frac { 1 } { 4 } } - \cdots \right) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } \, [ \, d _ { i } } & { ^ { ( k ) } \ \big \vert \ x _ { i } ^ { ( k ) } - t \, \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \, ] } \\ & { = ( - \delta _ { i } ^ { ( k ) } \, x _ { i } ^ { ( k ) } + t \, \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \, ( 1 + \delta _ { i } ^ { ( k ) } ) ) \, ( 1 - p _ { 0 } ( x _ { i } ^ { ( k ) } - t \, \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ) - \mathrm { s i g n } ( \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ) \, \varepsilon ) } \\ & { = t \, \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \varepsilon \, ( - \delta _ { i } ^ { ( k ) } \, x _ { i } ^ { ( k ) } + t \, \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \, ( 1 + \delta _ { i } ^ { ( k ) } ) ) } \\ & { = ( 1 + \varepsilon + \varepsilon \, \delta _ { i } ^ { ( k ) } ) \, t \, \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \mathrm { s i g n } ( \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ) \, \vert x _ { i } ^ { ( k ) } \vert \, \varepsilon \, \delta _ { i } ^ { ( k ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { a _ { 1 } } ( s ) = \frac { 1 } { s ^ { 3 H } } \frac { 1 } { \lambda + g } \int _ { 0 } ^ { s } d l \rho ( l ) \int _ { 0 } ^ { s - l } d t _ { 1 } I ( x ( l , s ) , y ( t _ { 1 } , s ) ) } \\ & { \approx \frac { 1 } { s ^ { 3 H } } \frac { s } { g } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \; \rho ( s ( 1 - x ) ) \int _ { 0 } ^ { x } d y \; I ( x , y ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \scriptstyle O ( 1 ) : } } & { \, { \scriptstyle P \bigg [ \frac { 1 } { 2 } b ^ { ( 0 ) } \bigg ] = 0 , } } \\ { { \scriptstyle O ( \epsilon ) : } } & { \, { \scriptstyle P \bigg [ \frac { 1 } { 2 } b ^ { ( 1 ) } + g \tilde { \eta } ^ { ( 1 ) } - b ^ { ( 0 ) } H ^ { \coth } \big [ \tilde { \eta } _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } \big ] - \tau ^ { ( 0 ) } \tilde { \eta } _ { \alpha \alpha } ^ { ( 1 ) } \bigg ] = 0 , } } \\ { { \scriptstyle O ( \epsilon ^ { 2 } ) : } } & { \, { \scriptstyle P \bigg [ \frac { 1 } { 2 } b ^ { ( 2 ) } + g \tilde { \eta } ^ { ( 2 ) } - b ^ { ( 0 ) } H ^ { \coth } \big [ \tilde { \eta } _ { \alpha } ^ { ( 2 ) } \big ] - \tau ^ { ( 0 ) } \tilde { \eta } _ { \alpha \alpha } ^ { ( 2 ) } - b ^ { ( 1 ) } H ^ { \coth } \big [ \tilde { \eta } _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } \big ] - \tau ^ { ( 1 ) } \tilde { \eta } _ { \alpha \alpha } ^ { ( 1 ) } } } \\ & { { \scriptstyle \qquad + b ^ { ( 0 ) } \left( \frac { 3 } { 2 } \left( H ^ { \coth } \big [ \tilde { \eta } _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } \big ] \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \big ( \tilde { \eta } _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } \big ) ^ { 2 } \right) + \tau ^ { ( 0 ) } \left( 2 H ^ { \coth } \big [ \tilde { \eta } _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } \big ] \tilde { \eta } _ { \alpha \alpha } ^ { ( 1 ) } + H ^ { \coth } \big [ \tilde { \eta } _ { \alpha \alpha } ^ { ( 1 ) } \big ] \tilde { \eta } _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } \right) \bigg ] = 0 . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { W } _ { \Lambda , p } \bigg ( \Big ( \begin{array} { c } { U _ { 0 } } \\ { U _ { + } } \end{array} \Big ) , \Big ( \begin{array} { c } { G _ { 0 } } \\ { G _ { + } } \end{array} \Big ) \bigg ) \geqslant \mathcal { W } _ { \Lambda , 1 } \bigg ( \Big ( \begin{array} { c } { U _ { 0 } } \\ { U _ { + } } \end{array} \Big ) , \Big ( \begin{array} { c } { G _ { 0 } } \\ { G _ { + } } \end{array} \Big ) \bigg ) } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { \pi \in \mathcal { C } ( ( U _ { 0 } , U _ { + } ) , ( G _ { 0 } , G _ { + } ) ) } \iint _ { \mathbb { R } \times \ell _ { 2 } ( \Lambda ) } \Big ( | u _ { 0 } - g _ { 0 } | + \| \Lambda ( u _ { + } - g _ { + } ) \| \Big ) \pi \Big ( \begin{array} { c } { ( U _ { 0 } , U _ { + } ) \in ( \mathrm { d } u _ { 0 } , \mathrm { d } u _ { + } ) } \\ { ( G _ { 0 } , G _ { + } ) \in ( \mathrm { d } g _ { 0 } , \mathrm { d } g _ { + } ) } \end{array} \Big ) } \\ & { \geqslant \operatorname* { i n f } _ { \pi \in \mathcal { C } ( ( U _ { 0 } , U _ { + } ) , ( G _ { 0 } , G _ { + } ) ) } \Big | \iint _ { \mathbb { R } \times \ell _ { 2 } ( \Lambda ) } \big ( \Lambda u _ { + } - \Lambda g _ { + } \big ) \pi \Big ( \begin{array} { c } { ( U _ { 0 } , U _ { + } ) \in ( \mathrm { d } u _ { 0 } , \mathrm { d } u _ { + } ) } \\ { ( G _ { 0 } , G _ { + } ) \in ( \mathrm { d } g _ { 0 } , \mathrm { d } g _ { + } ) } \end{array} \Big ) \Big | } \\ & { = \Big | \mathbb { E } [ \Lambda U _ { + } ] - \mathbb { E } [ \Lambda G _ { + } ] \Big | = | \mathbb { E } [ \Lambda U _ { + } ] | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { r + \frac { 1 } { 2 } } ^ { ( 2 ) } ( z , w ) } & { = \frac { 2 r + 1 } { \sqrt { 8 \pi b } } \left( \sum _ { n \in \mathbb { Z } \backslash \{ 0 \} } e x p ( - \frac { ( 2 r + 1 ) \pi } { 2 b } ( n - ( z - \bar { w } ) ^ { 2 } ) ) \right) } \\ & { \times t ^ { r + \frac { 1 } { 2 } } ( z ) \Omega _ { \mu } ( z ) \otimes \bar { t } ^ { r + \frac { 1 } { 2 } } ( w ) \bar { \Omega } _ { \mu } ( w ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( - 1 ) ^ { m ( m - 1 ) / 2 } \prod _ { i = 1 } ^ { m } ( 1 - q ^ { \mu _ { i } + 1 } ) \vert q ^ { ( m - j ) ( \mu _ { i } + 1 ) } ( 1 + q ^ { \mu _ { i } + 1 } ) ^ { 2 j - 2 } \vert } \\ & { = } & { ( - 1 ) ^ { m ( m - 1 ) / 2 } \prod _ { i = 1 } ^ { m } ( 1 - q ^ { \mu _ { i } + 1 } ) q ^ { ( m - 1 ) ( \mu _ { i } + 1 ) } \vert q ^ { - ( j - 1 ) ( \mu _ { i } + 1 ) } ( 1 + q ^ { \mu _ { i } + 1 } ) ^ { 2 j - 2 } \vert } \\ & { = } & { ( - 1 ) ^ { m ( m - 1 ) / 2 } q ^ { \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( m - 1 ) ( \mu _ { i } + 1 ) } \prod _ { i = 1 } ^ { m } ( 1 - q ^ { \mu _ { i } + 1 } ) \vert ( q ^ { - ( \mu _ { i } + 1 ) } ( 1 + q ^ { \mu _ { i } + 1 } ) ^ { 2 } ) ^ { j - 1 } \vert . } \end{array}
\frac { \partial H } { \partial r _ { s } } = \frac { 1 } { 1 + x } \times \frac { \partial x } { \partial A } \times \frac { \partial A } { \partial \epsilon _ { c } ^ { \mathrm { ~ P ~ W ~ 9 ~ 2 ~ } } } \times \frac { \partial \epsilon _ { c } ^ { \mathrm { ~ P ~ W ~ 9 ~ 2 ~ } } } { \partial r _ { s } } \, ,
\begin{array} { r l r } { \int _ { \Omega } \frac { \partial v } { \partial t } \cdot w + 2 \int _ { \Omega } \mathbb { D } ( v ) \cdot \mathbb { D } ( w ) + \int _ { \Gamma } k ( v \cdot \tau ) ( w \cdot \tau ) - \int _ { \Omega } p \nabla \cdot w } & { { } \! \! \! \! = \! \! \! \! } & { \int _ { \Gamma } g ( w \cdot \tau ) , } \\ { \int _ { \Omega } q \nabla \cdot v } & { { } \! \! \! \! = \! \! \! \! } & { 0 , } \end{array}
I m \left[ { m _ { L } ^ { 2 } } _ { 1 2 } ^ { * } { m _ { R } ^ { 2 } } _ { 1 2 } \right] = \widetilde { K } _ { 1 2 } ( { m _ { L } ^ { 2 } } _ { 1 } - { m _ { L } ^ { 2 } } _ { 2 } ) ( { m _ { R } ^ { 2 } } _ { 1 } - { m _ { R } ^ { 2 } } _ { 2 } ) \ ,
\begin{array} { r l } & { \left\langle \mu _ { \beta } , \eta _ { \beta } , \nu _ { \beta } \right\rangle } \\ { = } & { \Bigg \langle \tau ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { p \! + q } \cdot \tau \left( \mu ^ { \prime } \right) \right) , \tau ^ { \! - 1 } \left( \frac { 1 } { p \! + q } \cdot \tau \left( \eta ^ { \prime } \! + \mu ^ { \prime } \right) \right) \Bigg . } \\ & { \Bigg . \! - \tau ^ { \! - 1 } \left( \frac { 1 } { p \! + q } \cdot \tau \left( \mu ^ { \prime } \right) \right) , \zeta ^ { \! - 1 } \left( \frac { 1 } { p \! + q } \cdot \zeta \left( \nu ^ { \prime } \right) \right) \Bigg \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { w ^ { \phi _ { p } } = q ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \cdot \frac { 1 } { | \mathcal { V } | } \sum _ { i \in \mathcal { V } } \mathrm { ~ R ~ e ~ L ~ U ~ } ( W \cdot z _ { i } ^ { \phi _ { p } } ) . } \end{array} } \end{array}
P = { \frac { R T } { ( V - b ) } } - { \frac { a } { V ( V + b ) } } + { \frac { R T } { V } } \rho \sum _ { A } \left[ { \frac { 1 } { X ^ { A } } } - { \frac { 1 } { 2 } } \right] { \frac { \partial X ^ { A } } { \partial \rho } }
J _ { a } ( \eta ) = \frac { \delta \Gamma } { \delta A ^ { a } ( \eta ) } , \; \; \bar { H } ( \eta ) = \frac { \delta \Gamma } { - \psi ( \eta ) } , \; \; H ( \eta ) = \frac { \delta \Gamma } { \delta \bar { \psi } ( \eta ) } .
\prod _ { m = a } ^ { b } K _ { m } = \left\{ \begin{array} { l l } { K _ { a } K _ { a + 1 } \ldots K _ { b } } & { \mathrm { ~ w h e n ~ } b \geq a } \\ { { \mathchoice { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 . 5 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 5 m u l } } } _ { \mathcal { H } } } & { \mathrm { ~ w h e n ~ } b < a } \end{array} \right. .
\begin{array} { r } { C _ { \mathrm { c o e r } } \| \boldsymbol { e } _ { \mu } ^ { n } \| _ { 1 , h } ^ { 2 } \leq - ( \delta _ { \tau } e _ { c } ^ { n } , e _ { \mu } ^ { n } ) _ { \Omega } + ( \delta _ { \tau } ( \Pi _ { h } c ^ { n } ) - ( \partial _ { t } c ) ^ { n } , e _ { \mu } ^ { n } ) _ { \Omega } + a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { \pi } _ { h } \mu ^ { n } - \boldsymbol { \mu } ^ { n } , \boldsymbol { e } _ { \mu } ^ { n } ) = W _ { 1 } + W _ { 2 } + W _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { t _ { n } } ^ { t } \left\| \frac { \partial w } { \partial s } \right\| _ { V ^ { \prime } } d s } & { \leq c \int _ { t _ { n } } ^ { t } \nu \| w \| _ { H ^ { 1 } } + c M _ { 0 } ^ { 1 / 2 } M _ { 1 } ^ { 1 / 2 } \| w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 1 / 2 } \| w \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } } \\ & { \quad + \| w \| _ { L ^ { 2 } } \| w \| _ { H ^ { 1 } } + \frac { \mu } { \lambda _ { 1 } ^ { 1 / 2 } } \| w \| _ { L ^ { 2 } } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { ( p q ) } ( \kappa = 0 ) } & { { } = \ensuremath { \langle { \psi } \rvert } [ H , E _ { p q } ] \ensuremath { \lvert { \psi } \rangle } , } \\ { \mathcal { H } _ { ( p q ) , ( r s ) } ( \kappa = 0 ) } & { { } = \ensuremath { \langle { \psi } \rvert } [ [ H , E _ { p q } ] , E _ { r s } ] \ensuremath { \lvert { \psi } \rangle } , } \\ { \mathcal { T } _ { ( p q ) , ( r s ) , ( t u ) } ( \kappa = 0 ) } & { { } = \ensuremath { \langle { \psi } \rvert } [ [ [ H , E _ { p q } ] , E _ { r s } ] , E _ { t u } ] \ensuremath { \lvert { \psi } \rangle } . } \end{array}
\begin{array} { r } { Z [ \beta , J _ { \alpha } , K ^ { \alpha } ] = \int \mathrm { d } ^ { n } p \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \: \exp \left( - \beta \mathcal { H } ( p , \theta ) \right) \exp \left( \beta J _ { \alpha } \theta ^ { \alpha } \right) \exp \left( \beta K ^ { \alpha } p _ { \alpha } \right) . } \end{array}
\mathrm { ~ D ~ a ~ } \equiv - \frac { \kappa k \phi _ { 0 } g ^ { \prime } } { D _ { c } \partial _ { \phi } \tilde { \mu } _ { h } } = - \mathrm { ~ D ~ a ~ } _ { 0 } \frac { \phi _ { 0 } g ^ { \prime } } { \partial _ { \phi } \tilde { \mu } _ { h } }
z _ { i } ( k + 2 ) = z _ { i } ( k + 1 ) ^ { b } f ( \frac { s _ { i } ( k + 1 ) } { d } ) \geq z _ { i } ( k + 1 ) ^ { b } f ( \frac { S ( x _ { i } ( k + 1 ) , \phi ) } { d } ) = z _ { i } ( k + 1 ) ^ { b } \frac { \phi ( h _ { G } - 1 ) x _ { i } ( k + 1 ) + 1 } { \phi ( h _ { G } - 1 ) ( 1 - x _ { i } ( k + 1 ) ) + 1 } > z _ { i } ( k + 1 )
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \mathbf { \boldsymbol { \theta } } ) } & { { } = \mathbb { E } _ { t , \vec { x } ( 0 ) , \vec { x } ( t ) } \bigg [ \frac { \lambda ( t ) ^ { 2 } } { \sigma ( t ) ^ { 2 } } \bigg ( \mathbf { \boldsymbol { f } } _ { \mathbf { \boldsymbol { \theta } } } ( \mathbf { \boldsymbol { x } } , t ) - \mathbf { \boldsymbol { \epsilon } } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 = \int _ { \mathcal { D } } T ^ { * } \varphi ( x ^ { \prime } ) \int _ { \mathcal { D } } T ^ { * } \varphi ( x ) k ( x , x ^ { \prime } ) d x d x ^ { \prime } = \int _ { \mathcal { D } } \int _ { \mathcal { D } } T ^ { * } \varphi ( x ) T ^ { * } \varphi ( x ^ { \prime } ) \mathbb { E } [ U ( x ) U ( x ^ { \prime } ) ] d x d x ^ { \prime } } \end{array}
{ \tilde { \gamma } _ { 5 } } = { \frac { \epsilon ^ { c d } } { 4 \sqrt { g } } } { \hat { \epsilon } ^ { E F } } \partial _ { c } X ^ { \mu } \partial _ { d } X ^ { \nu } N _ { E } ^ { \lambda } N _ { F } ^ { \rho } \frac 1 4 [ \gamma _ { \mu } , \gamma _ { \nu } ] \, [ \gamma _ { \lambda } , \gamma _ { \rho } ] .
\mathcal { S } _ { c } = \frac { \mathcal { G } \mu _ { 2 } m _ { 1 } m _ { 2 } \beta _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 \Gamma _ { 2 } ^ { 3 } } \alpha _ { 0 } b _ { \frac { 3 } { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( \alpha _ { 0 } )
\iiint \rho _ { \textnormal { J a s } } ^ { ( 3 , 0 ) } \left\vert \frac { \nabla f _ { p } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \nabla f _ { p } ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) } { f _ { p } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) f _ { p } ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) } \right\vert \, \textnormal { d } x _ { 1 } \, \textnormal { d } x _ { 2 } \, \textnormal { d } x _ { 3 } \leq C N \rho ^ { 2 } a ^ { 4 }
{ \frac { d } { d x } } ( g ( x ) + h ( x ) ) = \left( { \frac { d } { d x } } g ( x ) \right) D _ { 1 } f + \left( { \frac { d } { d x } } h ( x ) \right) D _ { 2 } f = { \frac { d } { d x } } g ( x ) + { \frac { d } { d x } } h ( x ) .
\begin{array} { r } { \lambda ( m ) = \frac { \int _ { \Omega } H ^ { p } ( \nabla u ^ { + } ) + \mathtt k \int _ { \partial \Omega } ( u ^ { + } ) ^ { p } + \int _ { \Omega } H ^ { p } ( - \nabla u ^ { - } ) + \mathtt k \int _ { \partial \Omega } ( u ^ { - } ) ^ { p } } { \int _ { \Omega } m ( u ^ { + } ) ^ { p } + \int _ { \Omega } m ( u ^ { - } ) ^ { p } } } \\ { \geq \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { \int _ { \Omega } H ^ { p } ( \nabla u ^ { + } ) + \mathtt k \int _ { \partial \Omega } ( u ^ { + } ) ^ { p } } { \int _ { \Omega } m ( u ^ { + } ) ^ { p } } , \frac { \int _ { \Omega } H ^ { p } ( - \nabla u ^ { - } ) + \mathtt k \int _ { \partial \Omega } ( u ^ { - } ) ^ { p } } { \int _ { \Omega } m ( u ^ { - } ) ^ { p } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( Y \leq y ) } & { = P ( a X + b \leq y ) } \\ & { = P \left( X \leq \frac { y - b } { a } \right) } \\ & { = F _ { x } \left( \frac { y - b } { a } \right) } \\ { P ( Y = k ) } & { = P ( Y \leq k ) - P ( Y \leq k - 1 ) } \\ & { = F _ { y } ( Y = k ) - F _ { y } ( Y = k - 1 ) } \\ & { = F _ { x } ( \frac { k - b } { a } ) - F _ { x } ( \frac { k - 1 - b } { a } ) } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \frac { k - b } { a } } e ^ { \lambda } \frac { \lambda ^ { n } } { n ! } - \sum _ { n = 0 } ^ { \frac { k - 1 - b } { a } } e ^ { \lambda } \frac { \lambda ^ { n } } { n ! } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } _ { b _ { \delta } ^ { + } } [ \cup _ { j = 1 } ^ { m } Y _ { j } \, | \, \mathcal { R } _ { \delta } \mathrm { ~ h i t s ~ } ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) \mathrm { ~ b e f o r e ~ } ( a _ { \delta } b _ { \delta } ) ] } \\ { = } & { \frac { \mathbb { P } _ { b _ { \delta } ^ { + } } [ \mathbb { 1 } _ { \{ \mathcal { R } _ { \delta } \mathrm { ~ h i t s ~ } \partial B _ { \delta } ( z _ { 0 } , \beta / 4 ) \} } \mathbb { P } _ { \mathcal { R } _ { \delta } ( s _ { 1 } ) } [ \{ \cup _ { j = 1 } ^ { m } Y _ { j } \} \cap \{ \mathcal { R } _ { \delta } \mathrm { ~ h i t s ~ } ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) \mathrm { ~ b e f o r e ~ } ( a _ { \delta } b _ { \delta } ) \} ] ] } { h _ { ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) } ( b _ { \delta } ^ { + } ) } } \\ { \le } & { \frac { h _ { \partial B _ { \delta } ( z _ { 0 } , \beta / 4 ) } ( b _ { \delta } ^ { + } ) } { h _ { ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) } ( b _ { \delta } ^ { + } ) } \left( \operatorname* { m a x } _ { v _ { \delta } \in \partial B _ { \delta } ( z _ { 0 } , \beta / 4 ) } \mathbb { P } _ { v _ { \delta } } [ \cup _ { j = 1 } ^ { m } Y _ { j } ] \right) . } \end{array}
\Phi _ { k } = \int _ { r _ { A } } ^ { r _ { B } } \left[ E _ { k } \left( \frac { d t } { d r } \right) _ { 0 } - p _ { k } ( r ) - J _ { k } \left( \frac { d \phi } { d r } \right) _ { 0 } \right] d r \; ,
\sqrt { 1 + \frac { 1 } { 4 } ( \operatorname { t a n h } 2 \vert \varrho _ { \alpha } \vert ) ^ { 2 } \, ( \sinh 2 \vert \varrho _ { \alpha } \vert ) ^ { 2 } \sin ^ { 4 } 2 \phi } \geq \frac { \varkappa + s } { \varkappa + s ( s + 2 \varkappa ) } \, .
\begin{array} { r l r } { \phi } & { { } \equiv } & { \frac { \Phi ( \boldsymbol { r } ) } { K ( n + 1 ) \, \rho _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { 1 / n } } , } \\ { \boldsymbol { \xi } } & { { } \equiv } & { \frac { \boldsymbol { r } } { L _ { \mathrm { ~ c ~ } } } \equiv \left( \frac { 4 \pi G } { K ( n + 1 ) } \rho _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { 1 - 1 / n } \right) ^ { 1 / 2 } \boldsymbol { r } , } \end{array}