harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { d _ { 2 } ( \omega , \varphi , x ) - \frac { T _ { \alpha } } 4 } & { = \mathtt { a } ( \omega , \varphi + \tilde { p } _ { 1 } ( \omega , \varphi ) , x ) , } \\ { \mathrm { ~ w h e r e ~ } \mathtt { a } ( \omega , \varphi , x ) } & { = \frac { 1 } { \rho ( \varphi + \omega p _ { 1 } ( \varphi ) ) } \left( b _ { 2 } ( \omega , \varphi , x ) - \frac { T _ { \alpha } } 4 \right) + \frac { T _ { \alpha } } 4 \left( \frac { 1 } { \rho ( \varphi + \omega p _ { 1 } ( \varphi ) ) } - 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { F } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } = [ \mathbf { S } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } ] ^ { - 1 / 2 } \mathbf { F } ^ { \mathrm { ~ e ~ } ^ { \prime } } [ \mathbf { S } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } ] ^ { - 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \searrow 0 } \, t ^ { - 1 } \, R ( g _ { t } ^ { \varepsilon , \delta } ) } & { \geq - [ h ( \partial M , g ) ( e _ { 1 } , e _ { 1 } ) - h ( \partial M , g ) ( e _ { 2 } , e _ { 2 } ) ] \, \eta _ { \delta } ^ { \prime } \, \rho _ { \varepsilon } } \\ & { \qquad + K \, \eta _ { \delta } \, \sum _ { i , j = 1 } ^ { n - 1 } \left[ g ^ { i j } \, \partial _ { i } \partial _ { j } \rho _ { \varepsilon } - \sum _ { \ell = 1 } ^ { n - 1 } g ^ { i j } \, \Gamma ( g ) _ { i j } ^ { \ell } \, \partial _ { \ell } \rho _ { \varepsilon } \right] } \\ & { \qquad - K \, o ( \eta _ { \delta } ^ { \prime } \, \rho _ { \varepsilon } ) - O ( \eta _ { \delta } \, D ^ { 2 } ( \bar { g } | _ { \mathbb { R } ^ { n - 1 } } ) \rho _ { \varepsilon } ) - O ( \eta _ { \delta } \, D ( \bar { g } | _ { \mathbb { R } ^ { n - 1 } } ) \rho _ { \varepsilon } ) - K \, O ( f _ { \varepsilon , \delta } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { W } _ { -- } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } & { { } = } & { \tilde { W } _ { 1 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \; , } \\ { \tilde { W } _ { - + } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \tilde { W } _ { 2 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) + \tilde { W } _ { 3 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \right) \; , } \\ { \tilde { W } _ { + - } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \tilde { W } _ { 2 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) - \tilde { W } _ { 3 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \right) \; , } \\ { \tilde { W } _ { + + } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } & { { } = } & { \tilde { W } _ { 4 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { s _ { \sigma } r _ { \sigma } } ^ { B A } } & { { } = \sum _ { T } \frac { \mathsf { R } _ { [ s , r ] _ { T } } ^ { B A } } { \Pi _ { S _ { A } } } \sum _ { \tau \sigma } ( - 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \sigma } C _ { \frac { 1 } { 2 } \sigma , \frac { 1 } { 2 } - \sigma } ^ { T \tau } C _ { S \Sigma , T \tau } ^ { S \Sigma } = } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau _ { \Omega } \dot { \Omega } ^ { \langle \mu \nu \alpha \rangle } + \Omega ^ { \mu \nu \alpha } } & { { } = } & { \delta _ { \Omega \Omega } \Omega ^ { \mu \nu \alpha } \theta + \ell _ { \Omega n } \sigma ^ { \langle \mu \nu } n ^ { \alpha \rangle } + 3 \tau _ { \Omega } \Omega ^ { \lambda \langle \mu \nu } \omega ^ { \alpha \rangle } { } _ { \lambda } + \tau _ { \Omega \Omega } \sigma _ { \lambda } ^ { \langle \mu } \Omega ^ { \nu \alpha \rangle \lambda } + \frac { 3 } { 7 } \eta _ { \Omega } \nabla ^ { \langle \mu } \pi ^ { \nu \alpha \rangle } + \lambda _ { \Omega \pi } \pi ^ { \langle \mu \nu } \nabla ^ { \alpha \rangle } \alpha } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathbb { I } _ { 1 } : \mathbb { I } _ { 1 } ) _ { a b c d } } & { = \mathbb { I } _ { 1 a b x y } \mathbb { I } _ { 1 x y c d } = \sum _ { x = 1 } ^ { 3 } \sum _ { y = 1 } ^ { 3 } \frac { 1 } { 3 } \delta _ { a b } \delta _ { x y } \frac { 1 } { 3 } \delta _ { x y } \delta _ { c d } = \frac { 1 } { 9 } \delta _ { a b } \delta _ { c d } \sum _ { x = 1 } ^ { 3 } \sum _ { y = 1 } ^ { 3 } \delta _ { x y } \delta _ { x y } } \\ & { = \frac { 1 } { 3 } \delta _ { a b } \delta _ { c d } = \mathbb { I } _ { 1 a b c d } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| e ^ { - i t _ { 2 } \Delta } e ^ { - i t _ { 2 } H _ { N } } u _ { 0 } - e ^ { - i t _ { 1 } \Delta } e ^ { - i t _ { 1 } H _ { N } } u _ { 0 } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { \leq \sum _ { 1 \leq \alpha < \beta \leq N } \big \| \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } e ^ { - i s \Delta _ { x } } ( ( V ( x _ { \alpha } - x _ { \beta } ) ) e ^ { - i s H _ { N } } u _ { 0 } ) d s \big \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } \left( - \frac { \beta ^ { ( - ) } } { \sigma ^ { \downarrow } } \right) - 1 \leq \operatorname* { m i n } \left( - \frac { \beta ^ { ( - ) } } { \sigma ^ { \downarrow } } \right) + 1 } \\ & { \iff \sigma ^ { \downarrow } \geq \frac { \operatorname* { m a x } ( \beta ^ { ( - ) } ) - \operatorname* { m i n } ( \beta ^ { ( - ) } ) } { 2 } \, . } \end{array}
\mathrm { F i t t } _ { R _ { n } ^ { \chi } } ( S e l _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { n } ) _ { R _ { n } ^ { \chi } } ^ { - } ) = ( \Theta _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { n } / F ) ( e _ { v , p } + ( 1 - e _ { v , p } ) b _ { n } ) ) _ { R _ { n } ^ { \chi } } ,
\begin{array} { r l } { F ( z , \dots , z ) } & { = \sum _ { \rho \in \Sigma ( 1 ) } z _ { \rho } \operatorname { M V o l } _ { \Sigma ^ { \rho } , \omega ^ { \rho } , * ^ { \rho } } ( z ^ { \rho } , \dots , z ^ { \rho } ) } \\ & { = \sum _ { \rho \in \Sigma ( 1 ) } z _ { \rho } \operatorname { V o l } _ { \Sigma ^ { \rho } , \omega ^ { \rho } , * ^ { \rho } } ( z ^ { \rho } ) } \\ & { = \operatorname { V o l } _ { \Sigma , \omega , * } ( z ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( \theta | \{ d \} ) = \int d \Lambda p ( \theta | \Lambda ) p ( \Lambda | \{ d \} ) \approx \frac { 1 } { N } \sum _ { \Lambda _ { i } \sim p ( \Lambda | \{ d \} ) } ^ { N } p ( \theta | \Lambda _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau _ { \nu } } & { { } = } & { [ 0 ; a _ { \nu } , a _ { \nu - 1 } , \ldots , a _ { 1 } + \theta _ { A } / \theta _ { B } ] } \\ { \sigma _ { \nu } } & { { } = } & { [ 0 ; a _ { \nu + 1 } , a _ { \nu + 2 } , \ldots , a _ { n } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \left\| \boldsymbol { W } _ { t , X } \right\| _ { M _ { t - 1 , X } ^ { - 1 } } ^ { 2 } } & { \leq \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { n } { \log ( n + 1 ) } \cdot \log \left( 1 + \left\| \boldsymbol { W } _ { t , X } \right\| _ { M _ { t - 1 , X } ^ { - 1 } } ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq \frac { n } { \log ( n + 1 ) } \cdot \log \frac { \operatorname* { d e t } ( M _ { T , X } ) } { \operatorname* { d e t } ( { \bf I } ) } } \\ & { \leq \frac { n | \boldsymbol { \it P a } ( X ) | } { \log ( n + 1 ) } \cdot \log \frac { \mathrm { t r } ( M _ { T , X } ) } { | \boldsymbol { \it P a } ( X ) | } } \\ & { \leq \frac { n | \boldsymbol { \it P a } ( X ) | } { \log ( n + 1 ) } \cdot \log \left( 1 + \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { \left\| \boldsymbol { W } _ { t , X } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } { | \boldsymbol { \it P a } ( X ) | } \right) } \\ & { \leq \frac { n D } { \log ( n + 1 ) } \log ( 1 + T ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \pi } { 4 } } & { = \frac { 1 } { 3 } \arctan ( \phi ^ { 3 } ) + \frac { 1 } { 3 } \arctan ( \phi ) = \frac { 1 } { 5 } \arctan ( \phi ^ { 6 } ) + \frac { 2 } { 5 } \arctan ( \phi ^ { 2 } ) , } \\ { \frac { \pi } { 4 } } & { = \frac { 1 } { 7 } \arctan ( \phi ^ { 5 } ) + \frac { 3 } { 7 } \arctan ( \phi ^ { 3 } ) = - \frac { 1 } { 2 } \arctan ( \phi ^ { 5 } ) + \frac { 3 } { 2 } \arctan ( \phi ) . } \end{array}
S = \lambda \widetilde { \mathrm { T r } } \int \sqrt { - \operatorname * { d e t } ( g _ { \mu \nu } + F _ { \mu \nu } / \beta ) } \, d ^ { 4 } x - \kappa ^ { 2 } \int \, ( R _ { 5 } + 2 \Lambda _ { 5 } ) \sqrt { - g _ { 5 } } \, d ^ { 5 } x .
\zeta _ { s } \equiv \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n ^ { - s } \, , \qquad \quad \zeta _ { 2 } = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } } \, , \qquad \zeta _ { 3 } = 1 . 2 0 2 0 5 7 \ldots , \qquad \zeta _ { 4 } = { \frac { \pi ^ { 4 } } { 9 0 } } \, ,
\begin{array} { r } { \psi _ { z } ( t ) = \langle t | \mathrm { H } \rangle = \frac { \mathrm { e } ^ { i k z - i \omega t } } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\lambda = d ^ { \alpha } C _ { \alpha } + \bar { d ^ { \dot { \alpha } } } \bar { E _ { \dot { \alpha } } } + \Pi ^ { m } B _ { m } + \partial \rho F + \partial \theta ^ { \alpha } B _ { \alpha } + \partial { \bar { \theta } } ^ { \dot { \alpha } } { \bar { H } } _ { \dot { \alpha } } .
\begin{array} { r l } { \eta \approx } & { \widetilde { \eta } ( \mathbf { e } ) = U \left( 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { n _ { \eta } } } \right) e _ { 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \eta } } \frac { U } { 2 ^ { i } } e _ { i } } \\ { \alpha ^ { j } \approx } & { \widetilde { \alpha } ^ { j } ( \mathbf { a } ^ { j } ) = U \left( 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { n _ { \alpha ^ { j } } } } \right) a _ { 0 } ^ { j } + \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \alpha ^ { j } } } \frac { U } { 2 ^ { i } } a _ { i } ^ { j } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma \langle \nabla f _ { w , 1 } ( z ) , \phi ( z ) \rangle } & { = \gamma ( s _ { 0 } b ^ { \prime } ( x ) - c _ { 0 } ( 1 - w ) \| v ( z ) \| _ { d } ) \left( 1 + o _ { \partial { \mathcal D } } ( 1 ) \right) } \\ & { = \gamma b ( x ) ( x + k _ { w } ) ^ { - 1 } ( s _ { 0 } ( x + k _ { w } ) b ^ { \prime } ( x ) / b ( x ) - c _ { 0 } ( 1 - w ) ) ( 1 + o _ { \partial { \mathcal D } } ( 1 ) ) } \\ & { = \gamma b ( x ) ( x + k _ { w } ) ^ { - 1 } ( s _ { 0 } \beta - c _ { 0 } ( 1 - w ) + o _ { \partial { \mathcal D } } ( 1 ) ) ( 1 + o _ { \partial { \mathcal D } } ( 1 ) ) } \\ & { = c _ { 0 } b ( x ) ( x + k _ { w } ) ^ { - 1 } \left[ \gamma \left( s _ { 0 } \beta / c _ { 0 } - 1 + w \right) + o _ { \partial { \mathcal D } } ( 1 ) \right] , } \end{array}
\left( { \textstyle \bigwedge } ^ { n - 1 } A ^ { p - 1 } \right) ^ { \mathrm { T } } A + \left( { \textstyle \bigwedge } ^ { n - 1 } A ^ { p } \right) ^ { \mathrm { T } } = \left( { \textstyle \bigwedge } ^ { n } A ^ { p } \right) \operatorname { I d }
\sin x _ { \mathrm { d e g } } = \sin y _ { \mathrm { r a d } } = { \frac { \pi } { 1 8 0 } } x - \left( { \frac { \pi } { 1 8 0 } } \right) ^ { 3 } \ { \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } } + \left( { \frac { \pi } { 1 8 0 } } \right) ^ { 5 } \ { \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } } - \left( { \frac { \pi } { 1 8 0 } } \right) ^ { 7 } \ { \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } } + \cdots .
\begin{array} { r l } { A _ { 0 } } & { \le 4 \sqrt { \big ( Q _ { 0 } + G + 2 ( R _ { 0 } + G ) \big ) \log ( 1 / \delta ) } + 1 0 \cdot \log ( 1 / \delta ) + 4 \sqrt { \check { A } _ { 1 } \log ( 1 / \delta ) } } \\ & { \le 4 \sqrt { \big ( Q _ { 0 } + G + 2 ( R _ { 0 } + G ) \big ) \log ( 1 / \delta ) } + 2 \check { A } _ { 1 } + 1 2 \log ( 1 / \delta ) } \\ & { \le 8 \sqrt { ( R _ { 0 } + 2 G + A _ { 0 } ) \log ( 1 / \delta ) } + 3 4 \log ( 1 / \delta ) + 4 \sqrt { ( Q _ { 0 } + G + 2 ( R _ { 0 } + G ) ) \log ( 1 / \delta ) } } \\ & { \le 1 3 2 \log ( 1 / \delta ) + 2 8 \sqrt { R _ { 0 } \log ( 1 / \delta ) } + 4 0 \sqrt { G \log ( 1 / \delta ) } + 8 \sqrt { Q _ { 0 } \log ( 1 / \delta ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { x } _ { \mathrm { o p t } } = \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } w _ { t } \boldsymbol { x } _ { t } \ \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } \ \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } w _ { t } = 1 , \ \forall t , w _ { t } \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { [ 0 , 2 \pi ] ^ { 2 } } \left\vert \sum _ { k ^ { 1 } = [ \lambda _ { 1 } ] } ^ { [ \Lambda _ { 1 } ] } \sum _ { k ^ { 2 } = [ \lambda _ { 2 } ( k ^ { 1 } ) ] } ^ { [ \Lambda _ { 2 } ( k ^ { 1 } ) ] } t _ { j } ( k ^ { 1 } , k ^ { 2 } ) e ^ { i k ^ { ( 2 ) } x ^ { ( 2 ) } } \left\langle \Lambda _ { 3 } ( k ^ { ( 2 ) } ) \right\rangle ^ { r } \right\vert \, \textnormal { d } x ^ { ( 2 ) } } \\ & { \quad \leq \int _ { [ 0 , 2 \pi ] ^ { 2 } } \left\vert \tilde { D } _ { 2 } ^ { j } ( x ^ { ( 2 ) } ) \right\vert \, \textnormal { d } x ^ { ( 2 ) } + \sum _ { \nu = 1 } ^ { r } \binom { r } { \nu } \int _ { [ 0 , 2 \pi ] ^ { 2 } } \left\vert \sum _ { k ^ { 1 } = [ \lambda _ { 1 } ] } ^ { [ \Lambda _ { 1 } ] } \sum _ { k ^ { 2 } = [ \lambda _ { 2 } ( k ^ { 1 } ) ] } ^ { [ \Lambda _ { 2 } ( k ^ { 1 } ) ] } t _ { j } ( k ^ { 1 } , k ^ { 2 } ) e ^ { i k ^ { ( 2 ) } x ^ { ( 2 ) } } \{ \Lambda _ { 3 } ( k ^ { ( 2 ) } ) \} ^ { \nu } \right\vert \, \textnormal { d } x ^ { ( 2 ) } } \end{array}
\int _ { \Omega } ( b + a ( y _ { h } ) ) \nabla \varphi _ { h } \cdot \nabla w _ { h } + \mathbb { 1 } _ { \{ y _ { h } \neq \bar { t } \} } a ^ { \prime } ( y _ { h } ) w _ { h } \nabla y _ { h } \cdot \nabla \varphi _ { h } \, \mathrm { d } x = \int _ { \Omega } v w _ { h } \, \mathrm { d } x \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } w _ { h } \in V _ { h } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \tilde { \mu } _ { i \to \Psi _ { j } } ( \sigma _ { i j } , \tau _ { j } ^ { ( i ) } , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) } & { = \sum _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } = 0 } ^ { { T + 1 } } \mu _ { i \to \Psi _ { j } } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \tau _ { j } ^ { ( i ) } , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) \mathbb { I } [ \sigma _ { i j } = 1 + \mathrm { s g n } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } - \tau _ { j } ^ { ( i ) } + s _ { i j } ) ] } \\ & { = \sum _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } = 0 } ^ { { T + 1 } } \nu _ { \Psi _ { i } \to j } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \tau _ { j } ^ { ( i ) } , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) \mathbb { I } [ \sigma _ { i j } = 1 + \mathrm { s g n } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } - \tau _ { j } ^ { ( i ) } + s _ { i j } ) ] } \\ & { = \sum _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } = 0 } ^ { { T + 1 } } \tilde { \nu } _ { \Psi _ { i } \to j } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \sigma _ { j i } = 1 + \mathrm { s g n } ( \tau _ { j } ^ { ( i ) } - \tau _ { i } ^ { j } + s _ { j i } ) , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) \mathbb { I } [ \sigma _ { i j } = 1 + \mathrm { s g n } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } - \tau _ { j } ^ { ( i ) } + s _ { i j } ) ] } \end{array} } \end{array}
( A _ { j } ^ { k } ) ^ { + } = \epsilon _ { k } ^ { j } A _ { k } ^ { j } , \; \; \epsilon _ { k } ^ { j } = \left\{ \begin{array} { l l } { { + 1 } } & { { \mathrm { i f ~ k , j \leq ~ l ~ o r ~ k , j > l ~ } } } \\ { { - 1 } } & { { \mathrm { i f ~ k \leq ~ l < j ~ o r ~ j \leq ~ l < k ~ } \; . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { W _ { p } ( D , D ^ { \prime } ) } & { = p ^ { \alpha } \sum _ { u \in \ensuremath { \mathcal S } _ { \alpha } } h _ { p } ^ { u } \left( p ^ { \alpha } m _ { u } \right) s _ { u } , } \\ { W ( D , D ^ { \prime } ) } & { = \sum _ { u \in \ensuremath { \mathcal S } _ { \alpha } } h ^ { u } ( m _ { u } ) s _ { u } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \varphi ( x _ { k + 1 } ) - \varphi ( \bar { x } ) } { \varphi ( x _ { k } ) - \varphi ( \bar { x } ) } } & { \leq \alpha _ { 1 } \frac { \| x _ { k + 1 } - \bar { x } \| ^ { 2 } } { \| x _ { k } - \bar { x } \| ^ { 2 } } } \\ { \frac { \| w _ { k + 1 } \| } { \| w _ { k } \| } } & { \leq \alpha _ { 2 } \frac { \| x _ { k + 1 } - \bar { x } \| } { \| x _ { k } - \bar { x } \| } } \end{array}
Z _ { 1 } Y _ { 2 } X _ { 3 } = { \left[ \begin{array} { l l l } { c _ { 1 } c _ { 2 } } & { c _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 3 } - c _ { 3 } s _ { 1 } } & { s _ { 1 } s _ { 3 } + c _ { 1 } c _ { 3 } s _ { 2 } } \\ { c _ { 2 } s _ { 1 } } & { c _ { 1 } c _ { 3 } + s _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 3 } } & { c _ { 3 } s _ { 1 } s _ { 2 } - c _ { 1 } s _ { 3 } } \\ { - s _ { 2 } } & { c _ { 2 } s _ { 3 } } & { c _ { 2 } c _ { 3 } } \end{array} \right] }
< \; \; 1 \; - \; \frac { 1 } { 2 M _ { H _ { Q } } } \langle H _ { Q } | 2 m _ { Q } \bar { Q } \vec { \pi } \, ^ { 2 } Q | H _ { Q } \rangle \left( \frac { 1 } { 2 m _ { Q } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 m _ { q } ^ { 2 } } \right)
K _ { \alpha } ( \textbf { r } , \textbf { r } ^ { \prime } ) = \frac { i e ^ { - i \alpha } } { 2 \pi \tau ^ { 2 } \sin \alpha } e ^ { \frac { - i \cot \alpha r ^ { 2 } } { 2 \tau ^ { 2 } } } e ^ { \frac { i \textbf { r } \cdot \textbf { r } ^ { \prime } } { \tau ^ { 2 } \sin \alpha } } e ^ { - \frac { i \cot \alpha r ^ { 2 } } { 2 \tau ^ { 2 } } } .
\left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { + B } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { + B } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - B ^ { \dag } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - B ^ { \dag } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\| { ( A _ { i \cdot } - \tilde { A } _ { i \cdot } ) U ^ { * } U ^ { * T } U } \| = \| { \sum _ { j \in S } A _ { i j } U _ { j \cdot } ^ { * } U ^ { * T } U } \| \leq \| { \sum _ { j \in S } A _ { i j } U _ { j \cdot } ^ { * } } \| \leq ( \sum _ { j \in S } A _ { i j } ) \left\| { U ^ { * } } \right\| _ { 2 , \infty } \leq \sqrt { \frac { k } { \beta n } } \sum _ { j \in S } A _ { i j }
\epsilon _ { \nu } = \int d ^ { 3 } { \bf r } ~ \phi _ { \nu } ^ { \ast } ( { \bf r } ) \left( \frac { { \bf p } ^ { 2 } } { 2 m } - \sum _ { j } V _ { C } ( { \bf r } + { \bf R } _ { i j } ) \right) \phi _ { \nu } ( { \bf r } ) .
\begin{array} { r l } & { \bigg \langle \partial _ { t } \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) \bigg \rangle - \nu \bigg \langle \Delta \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) \bigg \rangle = \partial _ { t } \overline { { \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } } - \nu \Delta \overline { { \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { 1 } } & { \to a _ { \mathrm { d s l } } , } & { a _ { 2 } \to a _ { \mathrm { d s l } } - \upvarepsilon , } \\ { M ( x ) } & { \to \frac { M _ { \mathrm { d s l } } ( x ) } { \sqrt { \upvarepsilon } } , } & { M ^ { \prime } ( x ) \to \frac { M _ { \mathrm { d s l } } ^ { \prime } ( x ) } { \sqrt { \upvarepsilon } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { * } ^ { 1 } \pi _ { * } ^ { 2 } Q _ { * } ^ { 1 } ( s ) } & { \geq \pi ^ { 1 } \pi _ { * } ^ { 2 } Q _ { * } ^ { 1 } ( s ) \qquad \forall \pi ^ { 1 } \in \Pi ^ { 1 } } \\ { \pi _ { * } ^ { 1 } \pi _ { * } ^ { 2 } Q _ { * } ^ { 2 } ( s ) } & { \geq \pi _ { * } ^ { 1 } \pi ^ { 2 } Q _ { * } ^ { 2 } ( s ) \qquad \forall \pi ^ { 2 } \in \Pi ^ { 2 } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K _ { 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi i } \left[ - B _ { 2 } + I \left( f _ { 3 } , 1 ; q \right) \right] \varepsilon + \frac { 1 } { 2 \pi i } \left[ - B _ { 3 } - 2 B _ { 2 } + B _ { 2 } I \left( f _ { 2 } ; q \right) - I \left( f _ { 2 } , f _ { 3 } , 1 ; q \right) - 2 I \left( 1 , f _ { 3 } ; q \right) \right. } \\ & { } & { \left. - 2 g _ { 2 } I \left( 1 , 1 , f _ { 3 } ; q \right) - g _ { 2 } I \left( 1 , f _ { 3 } , 1 ; q \right) - g _ { 2 } B _ { 2 } I \left( 1 ; q \right) \right] \varepsilon ^ { 2 } + { \mathcal O } \left( \varepsilon ^ { 3 } \right) , } \\ { K _ { 3 } } & { = } & { - I \left( f _ { 3 } ; q \right) \varepsilon + \left[ \frac { 1 } { 2 } B _ { 2 } + I \left( f _ { 2 } , f _ { 3 } ; q \right) + g _ { 2 } B _ { 2 } + g _ { 2 } I \left( 1 , f _ { 3 } ; q \right) \right] \varepsilon ^ { 2 } + { \mathcal O } \left( \varepsilon ^ { 3 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 - \gamma ) [ \mathcal { R } ( \widehat { f } _ { \lambda } ) - \mathcal { R } ( f ^ { \star } ) ] - \frac { C _ { 0 } } { \gamma } \zeta ( \delta ) } & { \leq \mathcal { R } _ { \mathrm { i n } } ( \widehat { f } _ { \lambda } ) - \mathcal { R } _ { \mathrm { i n } } ( f ^ { \star } ) } \\ & { \leq ( 1 + \gamma ) [ \mathcal { R } ( \widehat { f } _ { \lambda } ) - \mathcal { R } ( f ^ { \star } ) ] + \frac { C _ { 0 } } { \gamma } \zeta ( \delta ) . } \end{array}
\mathcal { H } = - \Delta \sum _ { \langle i j \rangle } \cos ( \theta _ { i } - \theta _ { j } ) - ( 1 - \Delta ) \sum _ { \langle i j \rangle } \cos ( 2 ( \theta _ { i } - \theta _ { j } ) ) - h \sum _ { i } \cos \theta _ { i } ,
\begin{array} { r l } { \frac { ( P _ { 1 } W ( z ) - P _ { - 1 } W ( z ) ) ^ { 2 } } { P _ { - 1 } W ( z ) } } & { \leq \frac { \delta ^ { 2 + 2 y } W _ { g } \big ( m \mid \frac { B } { \sqrt { 2 } \delta ^ { y } } \big ) ^ { 2 } \left( W _ { s } \big ( \frac { z } { m } \mid e _ { 1 } \big ) - W _ { s } \big ( \frac { z } { m } \mid - e _ { 1 } \big ) \right) ^ { 2 } } { \frac { 1 - \delta ^ { 1 + y } } { 2 } W _ { g } \big ( m \mid \frac { B } { \sqrt { 2 } } \big ) W _ { s } \big ( \frac { z } { m } \mid e _ { 1 } \big ) + \frac { 1 - \delta ^ { 1 + y } } { 2 } W _ { g } \big ( m \mid \frac { B } { \sqrt { 2 } } \big ) W _ { s } \big ( \frac { z } { m } \mid - e _ { 1 } \big ) } } \\ & { \leq \frac { 2 \delta ^ { 2 + 2 y } } { 1 - \delta ^ { 1 + y } } \cdot \frac { W _ { g } \big ( m \mid \frac { B } { \sqrt { 2 } \delta ^ { y } } \big ) ^ { 2 } \left( W _ { s } \big ( \frac { z } { m } \mid e _ { 1 } \big ) + W _ { s } \big ( \frac { z } { m } \mid - e _ { 1 } \big ) \right) } { W _ { g } \big ( m \mid \frac { B } { \sqrt { 2 } } \big ) } } \\ & { \leq \frac { 2 \delta ^ { 2 + y } } { 1 - \delta ^ { 1 + y } } \cdot W _ { g } \big ( m \mid \frac { B } { \sqrt { 2 } \delta ^ { y } } \big ) \left( W _ { s } \big ( \frac { z } { m } \mid e _ { 1 } \big ) + W _ { s } \big ( \frac { z } { m } \mid - e _ { 1 } \big ) \right) } \\ & { \leq \frac { 2 \delta ^ { 2 + y } } { 1 - \delta ^ { 1 + y } } \cdot \left( W _ { s } \big ( \frac { z } { m } \mid e _ { 1 } \big ) + W _ { s } \big ( \frac { z } { m } \mid - e _ { 1 } \big ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \hat { C } _ { 1 } , \hat { \lambda } _ { j } \right] } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ \hat { \lambda } _ { i } ^ { 2 } , \hat { \lambda } _ { j } \right] } \end{array}
\, F _ { M _ { W _ { t } } } ( m ) = \operatorname* { P r } \left( M _ { W _ { t } } = \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq s \leq t } W ( s ) \leq m \mid W ( t ) = W _ { t } \right) = \ 1 - \ e ^ { - 2 { \frac { m ( m - W _ { t } ) } { t } } } \ \, , \, \ \ m > \operatorname* { m a x } ( 0 , W _ { t } )
m _ { 1 } ^ { 2 } \sim 1 \; \; \mathrm { e V } ^ { 2 } \; \; , \; \; m _ { 4 } ^ { 2 } \ll 1 \; \; \mathrm { e V } ^ { 2 } \; \; , \; \; \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } \sim 1 0 ^ { - 7 } \; \mathrm { e V } ^ { 2 } \; \; , \; \; \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } \sim 3 \times 1 0 ^ { - 3 } \; \mathrm { e V } ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { E \left[ Y _ { \tau } ^ { i } ( \boldsymbol { \theta } ) Y _ { \tau } ^ { j } ( \boldsymbol { \theta } ) \right] } & { = } & { \left( \tau + 1 \right) ^ { 2 } \left\{ \left( \frac { 1 } { \left( 2 \pi \right) ^ { m \tau / 2 } \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { 1 / 2 } } \right) ^ { 2 \tau } \frac { 1 } { \left( 2 \tau + 1 \right) ^ { \frac { m } { 2 } + 2 } } \right. } \\ & { } & { \left. \left( \Delta _ { 2 \tau } ^ { i } \Delta _ { 2 \tau } ^ { j } + \left( 2 \tau + 1 \right) t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) ^ { T } \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) \right. \right. } \\ & { } & { \left. \left. + \frac { 1 } { 2 } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) \right) \right. } \\ & { } & { - \left. \left( \frac { 1 } { \left( 2 \pi \right) ^ { m \tau / 2 } \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { 1 / 2 } } \right) ^ { 2 \tau } \frac { 1 } { \left( 1 + \tau \right) ^ { m + 2 } } \Delta _ { \tau } ^ { i } \Delta _ { \tau } ^ { j } \right\} } \\ & { = } & { \left( \tau + 1 \right) ^ { 2 } K _ { \tau } ^ { i j } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } \end{array}