harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
v = v ^ { i } e _ { i } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { e _ { 1 } } & { e _ { 2 } } & { \cdots } & { e _ { n } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { v ^ { 1 } } \\ { v ^ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { v ^ { n } } \end{array} \right] } \qquad w = w _ { i } e ^ { i } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { w _ { 1 } } & { w _ { 2 } } & { \cdots } & { w _ { n } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { e ^ { 1 } } \\ { e ^ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { e ^ { n } } \end{array} \right] }
\zeta \equiv \widetilde { \Phi } - { \frac { \widetilde { h } ^ { 2 } } { \widetilde { h } ^ { \prime } - \widetilde { h } ^ { 2 } } } \left( \widetilde \Phi + \widetilde { h } ^ { - 1 } \widetilde { \Phi } ^ { \prime } \right) \, .
\begin{array} { r } { d _ { i j } = \frac { 1 } { 3 } \left( \underbrace { \frac { ( x _ { i } - x _ { j } ) } { ( x _ { m a x } - x _ { m i n } ) } } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ o ~ m ~ e ~ s ~ i ~ m ~ i ~ l ~ a ~ r ~ i ~ t ~ y ~ } } + \underbrace { \frac { ( y _ { i } - y _ { j } ) } { ( y _ { m a x } - y _ { m i n } ) } } _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ l ~ i ~ t ~ i ~ c ~ a ~ l ~ s ~ i ~ m ~ i ~ l ~ a ~ r ~ i ~ t ~ y ~ } } + \underbrace { \frac { H ( z _ { i } , z _ { j } ) } { H _ { m a x } } } _ { \mathrm { ~ g ~ e ~ o ~ . ~ p ~ r ~ o ~ x ~ i ~ m ~ i ~ t ~ y ~ } } \right) } \end{array}
\sum _ { k = 1 } ^ { n } | a _ { k } | ^ { \lambda _ { a } } \, | b _ { k } | ^ { \lambda _ { b } } \cdots | z _ { k } | ^ { \lambda _ { z } } \leq { \biggl ( } \sum _ { k = 1 } ^ { n } | a _ { k } | { \biggr ) } ^ { \lambda _ { a } } { \biggl ( } \sum _ { k = 1 } ^ { n } | b _ { k } | { \biggr ) } ^ { \lambda _ { b } } \cdots { \biggl ( } \sum _ { k = 1 } ^ { n } | z _ { k } | { \biggr ) } ^ { \lambda _ { z } } .
\begin{array} { r l r } { ( - 1 , 0 , 0 ) } & { \leftrightarrow } & { W _ { 1 } } \\ { \left( \frac { n - b } { d _ { 2 } } , - \frac { a } { d _ { 2 } } , \frac { a n } { d _ { 2 } } \right) } & { \leftrightarrow } & { W _ { 2 } } \\ { \left( \frac { b } { d _ { 1 } } , \frac { a } { d _ { 1 } } , 0 \right) } & { \leftrightarrow } & { W _ { 3 } } \\ { ( 0 , 0 , 1 ) } & { \leftrightarrow } & { Z \, . } \end{array}
K _ { p } ( z ) \stackrel { ( z \rightarrow 0 ) } { = } \frac { 1 } { 2 } \, \left[ \Gamma ( p ) \left( \frac { z } { 2 } \right) ^ { - p } + \Gamma ( - p ) \left( \frac { z } { 2 } \right) ^ { p } \right] \, \left[ 1 + O \left( z ^ { 2 } \right) \right] \; ,
\begin{array} { r l } { K _ { 1 } } & { \leq h \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { l = 0 } ^ { N - 2 } | { \delta _ { x } ^ { + } } \phi _ { l + 1 } + { \delta _ { x } ^ { + } } \phi _ { l } | | { \delta _ { x } ^ { + } } \phi _ { l + 1 } - { \delta _ { x } ^ { + } } \phi _ { l } | | { \delta _ { x } ^ { + } } \phi _ { j } | ^ { 2 } } \\ & { \leq h \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } | { \delta _ { x } ^ { + } } \phi _ { j } | ^ { 2 } \sqrt { \sum _ { l = 0 } ^ { N - 2 } | { \delta _ { x } ^ { + } } \phi _ { l + 1 } + { \delta _ { x } ^ { + } } \phi _ { l } | ^ { 2 } } \sqrt { \sum _ { l = 0 } ^ { N - 2 } | { \delta _ { x } ^ { + } } \phi _ { l + 1 } - { \delta _ { x } ^ { + } } \phi _ { l } | ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \| { \delta _ { x } ^ { + } } \phi \| _ { l ^ { 2 } } ^ { 2 } \sqrt { h \sum _ { l = 0 } ^ { N - 1 } | { \delta _ { x } ^ { + } } \phi _ { l } | ^ { 2 } } \sqrt { h \sum _ { l = 1 } ^ { N - 1 } | { \delta _ { x } ^ { 2 } } \phi _ { l } | ^ { 2 } } = \| { \delta _ { x } ^ { + } } \phi \| _ { l ^ { 2 } } ^ { 3 } \sqrt { h \sum _ { l = 1 } ^ { N - 1 } | { \delta _ { x } ^ { 2 } } \phi _ { l } | ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( 1 - \frac { 3 \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 2 } L ^ { 2 } } { 2 } \right) \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ \left\Vert x _ { t } - x _ { i , t } ^ { \ell } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { F } _ { t } \right] } \\ & { \leq 3 \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 3 } n L \left[ f ( x _ { t } ) - f ^ { * } \right] + \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 3 } n D } { 2 } } \\ & { \quad + 3 \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 3 } n L \left( f ^ { * } - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f _ { i } ^ { * } \right) + \frac { 3 \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 3 } n } { 2 } \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 2 } C } { 2 } \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ f _ { i } ( x _ { i , t } ^ { \ell } ) - f _ { i } ^ { * } \middle | \mathcal { F } _ { t } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \hat { \eta } ( t ) } { \hat { \eta } ( 0 ) } = 1 } & { { } - \frac { \textbf { i } } { \hat { \eta } ( 0 ) } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \exp { ( s _ { n } t ) } \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \Bigg [ \frac { 1 } { s _ { n } | \mathscr { D } ( s _ { n } ) | ^ { \prime } } \sum _ { j = 1 } ^ { 6 } A d j ( \mathscr { D } ( s _ { n } ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( s _ { n } ) \Bigg ] } \end{array}
\bigl ( \partial _ { t } + \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } \cdot \nabla \bigr ) \theta _ { m } - \nabla \cdot \bigl ( \kappa _ { m } \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \tilde { \psi } _ { m } \sigma \bigr ) \nabla \theta _ { m } = 0 \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ ( 0 , \infty ) \times \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 2 } \, ,
R _ { i j k l } = q ^ { 2 } [ g _ { j l } \widetilde { M _ { i k } } - g _ { j k } \widetilde { M _ { i l } } + g _ { i k } \widetilde { M _ { j l } } - g _ { i l } \widetilde { M _ { k j } } ] + { \frac { q ^ { 2 } ( c _ { 0 } ^ { 2 } - 1 ) } { c _ { 0 } ^ { 2 } } } F _ { i j } F _ { m l }
\mathbf { Q } ^ { * \mathbf { K } } = \rho ^ { \mathbf { K } } \left( \frac { \hat { S } ^ { \mathbf { K } } - \hat { U } ^ { \mathbf { K } } } { \hat { S } ^ { \mathbf { K } } - \hat { S } ^ { * } } \right) \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { \frac { \hat { \xi } _ { x } ( \hat { S } ^ { * } - \hat { \xi } _ { t } ) + ( \hat { \xi } _ { y } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { z } ^ { 2 } ) u ^ { \mathbf { K } } - \hat { \xi } _ { y } \hat { \xi } _ { x } v ^ { \mathbf { K } } - \hat { \xi } _ { z } \hat { \xi } _ { x } w ^ { \mathbf { K } } } { \hat { \xi } _ { x } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { y } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { z } ^ { 2 } } } \\ { \frac { \hat { \xi } _ { y } ( \hat { S } ^ { * } - \hat { \xi } _ { t } ) - \hat { \xi } _ { x } \hat { \xi } _ { y } u ^ { \mathbf { K } } + ( \hat { \xi } _ { x } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { z } ^ { 2 } ) v ^ { \mathbf { K } } - \hat { \xi } _ { z } \hat { \xi } _ { y } w ^ { \mathbf { K } } } { \hat { \xi } _ { x } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { y } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { z } ^ { 2 } } } \\ { \frac { \hat { \xi } _ { z } ( \hat { S } ^ { * } - \hat { \xi } _ { t } ) - \hat { \xi } _ { x } \hat { \xi } _ { z } u ^ { \mathbf { K } } - \hat { \xi } _ { y } \hat { \xi } _ { z } v ^ { \mathbf { K } } + ( \hat { \xi } _ { x } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { y } ^ { 2 } ) w ^ { \mathbf { K } } } { \hat { \xi } _ { x } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { y } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { z } ^ { 2 } } } \\ { \frac { E ^ { \mathbf { K } } } { \rho ^ { \mathbf { K } } } + \left( \hat { S } ^ { * } - \hat { U } ^ { \mathbf { K } } \right) \left\{ \frac { \hat { S } ^ { * } - \hat { \xi } _ { t } } { \left( \hat { \xi } _ { x } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { y } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { z } ^ { 2 } \right) } + \frac { p ^ { \mathbf { K } } } { \rho ^ { \mathbf { K } } ( \hat { S } ^ { \mathbf { K } } - \hat { U } ^ { \mathbf { K } } ) } \right\} } \end{array} \right]
\hat { J } _ { \beta } ^ { ( 4 ) } = x { \frac { \partial } { \partial x } } \hat { J } _ { \beta } ( x ) \bigg \vert _ { x = 1 } = - \hat { f } _ { \beta } ( 1 ) + ( D - 4 ) \int _ { 1 } ^ { \infty } \! \mathrm { d } z \, z ^ { 3 - D } \hat { f } _ { \beta } ( z ) \, .
\vartheta ^ { \prime } = \nabla _ { \displaystyle \gamma ^ { \prime } } \vartheta = \widetilde { \widetilde { \nabla _ { \displaystyle \gamma ^ { \prime } } \vartheta } } = \widetilde { \nabla _ { \displaystyle \gamma ^ { \prime } } \widetilde { \vartheta } } = \widetilde { \nabla _ { \displaystyle \gamma ^ { \prime } } \gamma ^ { \prime } } = \widetilde { \gamma ^ { \prime \prime } }
\eta _ { 0 \rho } = \left[ 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \frac { \lambda _ { k } ^ { 2 } } { ( \omega _ { k } ^ { 2 } - \Omega _ { \rho } ) ^ { 2 } } \right] ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \; .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \psi _ { 0 , 0 } } & { { } } \\ { = - i \chi _ { + } } & { { } ( 2 \psi _ { 0 } ^ { * } \psi _ { \mathrm { ~ - ~ } k , \mathrm { ~ - ~ } 1 } \psi _ { \mathrm { ~ + ~ } k , \mathrm { ~ + ~ } 1 } + \psi _ { \mathrm { ~ + ~ } k , \mathrm { ~ + ~ } 1 } ^ { * } \psi _ { 0 } \psi _ { \mathrm { ~ + ~ } k , \mathrm { ~ + ~ } 1 } + \psi _ { \mathrm { ~ - ~ } k , \mathrm { ~ - ~ } 1 } ^ { * } \psi _ { 0 } \psi _ { \mathrm { ~ - ~ } k , \mathrm { ~ - ~ } 1 } ) } \\ { - i \chi _ { - } } & { { } ( 2 \psi _ { 0 } ^ { * } \psi _ { \mathrm { ~ + ~ } k , \mathrm { ~ - ~ } 1 } \psi _ { \mathrm { ~ - ~ } k , \mathrm { ~ + ~ } 1 } + \psi _ { \mathrm { ~ - ~ } k , \mathrm { ~ + ~ } 1 } ^ { * } \psi _ { 0 } \psi _ { \mathrm { ~ - ~ } k , \mathrm { ~ + ~ } 1 } + \psi _ { \mathrm { ~ + ~ } k , \mathrm { ~ - ~ } 1 } \psi _ { 0 } \psi _ { \mathrm { ~ + ~ } k , \mathrm { ~ - ~ } 1 } ^ { * } ) } \\ { + \gamma _ { + } } & { { } ( \psi _ { \mathrm { ~ + ~ } k , \mathrm { ~ + ~ } 1 } ^ { * } \psi _ { \mathrm { ~ + ~ } k , \mathrm { ~ + ~ } 1 } \psi _ { 0 } - \psi _ { \mathrm { ~ - ~ } k , \mathrm { ~ - ~ } 1 } ^ { * } \psi _ { \mathrm { ~ - ~ } k , \mathrm { ~ - ~ } 1 } \psi _ { 0 } ) } \\ { + \gamma _ { - } } & { { } ( \psi _ { \mathrm { ~ + ~ } k , \mathrm { ~ - ~ } 1 } ^ { * } \psi _ { \mathrm { ~ + ~ } k , \mathrm { ~ - ~ } 1 } \psi _ { 0 } - \psi _ { \mathrm { ~ - ~ } k , \mathrm { ~ + ~ } 1 } ^ { * } \psi _ { \mathrm { ~ - ~ } k , \mathrm { ~ + ~ } 1 } \psi _ { 0 } ) } \\ { \frac { d } { d t } \psi _ { \pm k , \pm 1 } } & { { } = - i \frac { \omega _ { 0 } } { 2 } \psi _ { \pm k , \pm 1 } } \\ { \frac { d } { d t } \psi _ { \mp k , \pm 1 } } & { { } = - i \frac { \omega _ { 0 } } { 2 } \psi _ { \mp k , \pm 1 } } \end{array}
\langle q \rangle = \sum _ { N _ { 1 } , N _ { 2 } , N _ { 3 } } \binom { N } { N _ { 1 } , N _ { 2 } , N _ { 3 } } \quad p _ { 1 } ^ { N _ { 1 } } \cdot p _ { 2 } ^ { N _ { 2 } } \cdot p _ { 3 } ^ { N _ { 3 } } \cdot q ( \vec { N } )
\begin{array} { r l } { \mathbf { a } \mathbf { b } } & { { } = ( a _ { 1 } \mathbf { e } _ { 1 } + a _ { 2 } \mathbf { e } _ { 2 } ) ( b _ { 1 } \mathbf { e } _ { 1 } + b _ { 2 } \mathbf { e } _ { 2 } ) } \end{array}
w \in ( y , z ) = \left( \overline { { y } } _ { n + 2 } + \sum _ { i = n + 3 } ^ { \infty } \frac { p - 1 } { p ^ { i } } , \overline { { z } } _ { n + 2 } - \sum _ { i = n + 3 } ^ { \infty } \frac { p - 1 } { p ^ { i } } \right) = \left( \overline { { y } } _ { n + 2 } + \frac { 1 } { p ^ { n + 2 } } , \overline { { z } } _ { n + 2 } - \frac { 1 } { p ^ { n + 2 } } \right) = \left( \overline { { y } } _ { n + 2 } + \frac { 1 } { p ^ { n + 2 } } , \overline { { y } } _ { n + 2 } + \frac { 3 } { p ^ { n + 2 } } - \frac { 1 } { p ^ { n + 2 } } \right) = \left( \overline { { y } } _ { n + 2 } + \frac { 1 } { p ^ { n + 2 } } , \overline { { y } } _ { n + 2 } + \frac { 2 } { p ^ { n + 2 } } \right) .
\begin{array} { r l r } { B _ { \mathrm { c l } } } & { { } = } & { - 2 \pi N _ { \mathrm { A } } \int \left( \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } ( r _ { 1 2 } ) } - 1 \right) ~ r _ { 1 2 } ^ { 2 } \mathrm { d } r _ { 1 2 } } \\ { \beta _ { \mathrm { a , c l } } } & { { } = } & { - 2 \pi N _ { \mathrm { A } } \int r _ { 1 2 } ^ { 2 } \left[ 2 \left( \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } } - 1 \right) + \right. } \\ { B _ { \varepsilon , \mathrm { c l } } } & { { } = } & { \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { 3 } N _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } \int \Delta \alpha _ { 2 } ( r _ { 1 2 } ) \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } ( r _ { 1 2 } ) } \mathrm { d } r _ { 1 2 } , } \end{array}
\left. \mathbf { n } \cdot \left( \nabla _ { \mathbf { y } } c _ { i , 1 } + z _ { i } c _ { i , 1 } \nabla _ { \mathbf { y } } \phi _ { 0 } + z _ { i } c _ { i , 0 } \nabla _ { \mathbf { y } } \phi _ { 1 } \right) \right| _ { \mathbb { R } \times \partial \Omega } = 0
\gamma _ { \scriptscriptstyle { l } } = \Phi / 2 \pi - l + \sqrt 2 \pi \, b _ { \scriptscriptstyle { l - 1 } } \, a ^ { l } / \psi _ { \scriptscriptstyle { l } } ^ { < } ( k , a ) + k ^ { 2 } [ ( \Phi / 2 \pi - l - \gamma _ { \scriptscriptstyle { l } } ) \, \chi _ { \scriptscriptstyle { l } } ( a ) - ( r \partial _ { r } \chi _ { \scriptscriptstyle { l } } ) _ { a } ] + \mathrm { O } ( k ^ { 4 } ) \, .
{ } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = s i n \theta _ { 3 } \bigg [ s i n \frac { \theta _ { 2 } + \theta _ { 4 } - \theta _ { 6 } } { 2 } s i n \frac { - \theta _ { 2 } + \theta _ { 4 } + \theta _ { 6 } } { 2 } \bigg ] ^ { 1 / 2 }
c _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \frac { t _ { r , L } ^ { T } M _ { r } ^ { - 1 } t _ { r , L } - t _ { l , R } ^ { T } M _ { l } ^ { - 1 } t _ { l , R } } { 1 + \frac { \sqrt { T _ { r } } } { 2 } ( t _ { r , L } ^ { T } M _ { r } ^ { - 1 } t _ { r , L } + t _ { l , R } ^ { T } M _ { l } ^ { - 1 } t _ { l , R } ) } , \quad c _ { 2 } = \frac { 1 } { 1 + \frac { \sqrt { T _ { r } } } { 2 } ( t _ { r , L } ^ { T } M _ { r } ^ { - 1 } t _ { r , L } + t _ { l , R } ^ { T } M _ { l } ^ { - 1 } t _ { l , R } ) } .
\begin{array} { r l } { \widetilde { \rho } _ { j } ( x , s ) } & { = \widetilde { p } _ { j } ( x , s ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { m - 1 } [ \widetilde { \rho } _ { j } ( x , s | a _ { k } ^ { - } ) + \widetilde { \rho } _ { j } ( x , s | a _ { k } ^ { + } ) ] [ \widetilde { f } _ { k } ^ { - } ( s ) + \widetilde { f } _ { k } ^ { + } ( s ) ] . } \end{array}
{ \cal G } [ \tilde { \Phi } ] ( t , { \bf x } ; t ^ { \prime } , { \bf x } ^ { \prime } ) = \delta ( t - t ^ { \prime } ) \, \delta ^ { ( d ) } ( { \bf x } - { \bf x } ^ { \prime } ) \, \left( F ^ { \prime } [ \tilde { \Phi } ( t , { \bf x } ) ] \right) ^ { 2 } = \delta ( t - t ^ { \prime } ) \, g [ \tilde { \Phi } ] ( { \bf x } , { \bf x } ^ { \prime } ; t ) \; ,
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot { \bf B } } & { { } = } & { 0 \, , \quad \nabla \cdot { \bf E } = 0 \, , } \\ { \partial _ { t } { \bf E } } & { { } = } & { \nabla \times { \bf B } \, , \quad \partial _ { t } { \bf B } = - \nabla \times { \bf E } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \arg { \gamma ( t ) } } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \arctan \left( \frac { y ( t ) } { x ( t ) } \right) } \\ & { = \arctan \left( \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { y ( t ) } { x ( t ) } \right) } \\ & { = \arctan \left( \frac { y ^ { \prime } ( 0 ) } { x ^ { \prime } ( 0 ) } \right) } \\ & { = \theta ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { \textrm { m } } ^ { x } ( \vec { r } ) } & { { } = } & { \rho ^ { \alpha \beta } ( \vec { r } ) + \rho ^ { \beta \alpha } ( \vec { r } ) , } \\ { \rho _ { \textrm { m } } ^ { y } ( \vec { r } ) } & { { } = } & { \mathrm { ~ i ~ } \left( \rho ^ { \alpha \beta } ( \vec { r } ) - \rho ^ { \beta \alpha } ( \vec { r } ) \right) , } \\ { \rho _ { \textrm { m } } ^ { z } ( \vec { r } ) } & { { } = } & { \rho ^ { \alpha \alpha } ( \vec { r } ) - \rho ^ { \beta \beta } ( \vec { r } ) . } \end{array}
i \frac { d } { d z } \phi ( x , y , z ) = \left( - \frac { 1 } { 2 k _ { 0 } } \nabla _ { x , y } ^ { 2 } - \frac { k _ { 0 } } { n _ { 0 } } \delta n ( x , y ) \right) \phi ( x , y , z ) ,
\frac { f _ { \lambda l } ^ { ( q ) } ( z , z x ) } { \Omega _ { 1 \lambda l } ( z ) } - D _ { l } ^ { ( q ) } ( z x ) = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m = 1 , 2 } \Omega _ { \lambda l } ^ { ( m ) } ( z ) D _ { l } ^ { ( m q ) } ( z x ) .
\begin{array} { r l } { \delta ^ { \prime } ( v ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { - \delta ( u ) } & { \mathrm { i f ~ v = u ~ } } \\ { \delta ( v ) - [ b _ { v , u } ] _ { + } \beta _ { - } ( u ) + [ - b _ { v , u } ] _ { + } \beta _ { + } ( u ) } & { \mathrm { i f ~ v \neq ~ u ~ . } } \end{array} \right. } \\ { { \check { \delta } } ^ { \prime } ( v ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { - { \check { \delta } } ( u ) } & { \mathrm { i f ~ v = u ~ } } \\ { { \check { \delta } } ( v ) - [ b _ { u , v } ] _ { + } { \check { \beta } } _ { - } ( u ) + [ - b _ { u , v } ] _ { + } { \check { \beta } } _ { + } ( u ) } & { \mathrm { i f ~ v \neq ~ u ~ . } } \end{array} \right. } \end{array}
S _ { p } = \frac { 2 V _ { 3 } N \sqrt { 2 m \lambda } l ^ { 4 } } { \pi \lambda ^ { 2 } ( 2 r _ { + } ^ { 4 } + 3 l ^ { 2 } r _ { + } ^ { 2 } + l ^ { 4 } ) } \frac { l ^ { 2 } + 2 r _ { + } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } - 2 r _ { + } ^ { 2 } } \frac { 1 } { \triangle _ { * } } \left[ \frac { m ( l ^ { 2 } - 2 r _ { + } ^ { 2 } ) } { l ^ { 4 } } - \frac { u ^ { 2 } ( u ^ { 2 } + l ^ { 2 } ) - m } { u ^ { 2 } + l ^ { 2 } } - u ^ { 2 } \triangle _ { * } \right] ,
\rho _ { n , k } ( u , w ) = \sum _ { m = 0 } ^ { k } \, \frac { 1 } { m ! } \, \left( \prod _ { l = k - m + 1 } ^ { k } \, l \, n + 1 \right) \, \rho _ { n , k - m } ( 0 , w ) \, u ^ { m }
\begin{array} { r } { \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } \sum _ { r ^ { \prime } = 0 } ^ { r } \sum _ { \{ \sigma \} } K _ { 1 } ^ { N + 2 } \lambda ^ { N + 2 } \le \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } \sum _ { r ^ { \prime } = 0 } ^ { r } K _ { 1 } ^ { N + 2 } C _ { 1 } ^ { N } \lambda ^ { N + 2 } r ^ { 2 N + 1 } \le \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } C _ { 2 } ^ { N } ( \lambda r ^ { 2 } ) ^ { N } \lambda ^ { 2 } r ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { i } X _ { K _ { \infty } } ( i _ { t r i v } ( \psi ) ) [ \hat { \textbf { \i } } ] } & { : = \frac { d } { d t } \left( \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 \pi } \partial _ { \eta } K _ { \infty } ( i _ { t r i v } ( \psi ) + t \hat { \textbf { \i } } ) } \\ { - \frac { 1 } { 2 \pi } \partial _ { \psi } K _ { \infty } ( i _ { t r i v } ( \psi ) + t \hat { \textbf { \i } } ) } \\ { \partial _ { x } \left( \nabla _ { w } K _ { \infty } ( i _ { t r i v } ( \psi ) + t \hat { \textbf { \i } } ) \right) } \end{array} \right) \bigg | _ { t = 0 } } \\ & { = \left( \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 \pi } \left( \partial _ { \eta } ^ { 2 } ( K _ { \infty } ) ( i _ { t r i v } ( \psi ) ) [ \hat { \eta } ] + ( \partial _ { \eta } ( \nabla _ { w } K _ { \infty } ) ( i _ { t r i v } ( \psi ) ) ) ^ { T } [ \hat { w } ] \right) } \\ { 0 } \\ { \partial _ { x } ( \nabla _ { w } ^ { 2 } ( K _ { \infty } ) ( i _ { t r i v } ( \psi ) ) [ \hat { w } ] ) + \partial _ { \eta } ( \nabla _ { w } K _ { \infty } ) ( i _ { t r i v } ( \psi ) ) [ \hat { \eta } ] } \end{array} \right) , } \end{array}
{ S _ { P } ^ { 4 } } ^ { \star } = \int d ^ { 4 } x \Bigl [ { \frac { 1 } { 2 } } T ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } + { \frac { 1 } { 4 } } T ^ { \mu \nu } T _ { \mu \nu } - { \frac { { \mu } ^ { 2 } } { 2 } } A ^ { \mu } A _ { \mu } \Bigl ] \; ,
C _ { D _ { \mathrm { i n d u c e d } } } = \pi A \! R A _ { 1 } ^ { 2 } * { \frac { \pi A \! R } { \pi A \! R } } + \pi A \! R \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } n A _ { n } ^ { 2 } * { \frac { \pi A \! R A _ { 1 } ^ { 2 } } { \pi A \! R A _ { 1 } ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { C _ { \Bar { \nu } _ { k \eta } ^ { r } } } & { \le \frac { 1 } { \lambda ^ { 1 / 2 } } \left( 6 + 4 \log \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } e ^ { \lambda \left| x \right| ^ { 2 } } \Bar { \nu } _ { k \eta } ^ { r } \left( \mathrm { d } x \right) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \le \frac { 1 } { \lambda ^ { 1 / 2 } } \left( 6 + 4 \left( \lambda \kappa _ { 0 } + \frac { 8 \lambda ( b + m + d / \beta ) } { m } + 1 \right) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \le \left( 4 \kappa _ { 0 } + \frac { 3 2 ( b + m + d / \beta ) } { m } + \frac { 1 0 } { 1 \wedge ( \beta m / 8 ) } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\epsilon = \int _ { r _ { + } } ^ { r _ { + } + h } d r \sqrt { g _ { r r } } \approx 2 \left( \frac { r _ { + } ^ { 2 } + a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } { 2 r _ { + } - 2 M } \right) ^ { 1 / 2 } \sqrt { h }
F _ { 1 } ^ { \prime } = 2 z _ { 2 } + 3 z _ { 4 } + 4 z _ { 5 } + 2 z _ { 6 } + z _ { 7 } = 2 ( 4 W _ { 1 } + 5 W _ { 2 } + 2 W _ { 3 } + 3 W _ { 5 } ) + 3 ( W _ { 2 } + 2 W _ { 4 } + 4 W _ { 5 } + W _ { 6 } ) + 4 ( 2 W _ { 1 } + W _ { 4 } + 3 W _ { 5 } + 2 W _ { 6 } ) + 2 ( 2 W _ { 2 } + 5 W _ { 5 } + 3 W _ { 6 } ) + ( W _ { 2 } + 2 W _ { 4 } + 4 W _ { 6 } ) = 2 W _ { 1 } + 4 W _ { 2 } + 4 W _ { 3 } + 5 W _ { 4 } + 5 W _ { 5 } + 0 W _ { 6 }
D = \frac { \delta } { \lambda } \left( ( a _ { t } ^ { \theta } ) _ { \gamma , \mu } - ( a _ { t ^ { \prime } } ^ { \theta } ) _ { \gamma , \mu } \right) + \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { a ^ { \prime } } \frac { \delta } { p _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } ( c _ { i ^ { \prime } } - c _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } ) \gamma _ { i ^ { \prime } } + \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { b ^ { \prime } } \frac { \delta } { q _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } } ( d _ { j ^ { \prime } } - d _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } ) \mu _ { j ^ { \prime } }
\left\lVert \int _ { r ^ { \star } \! } ^ { \infty } { \widehat { u } } _ { o u t } ( x ^ { \star } ) H ( x ^ { \star } ) \, d x ^ { \star } \right\rVert _ { L _ { \omega \in \mathcal { B } , ( m , \ell ) \in \mathcal { C } } ^ { 2 } } ^ { 2 } \leq B ( r ^ { \star } \! , C _ { \mathcal { B } } , C _ { \mathcal { C } } ) \left( \int _ { \Sigma _ { 0 } } | \partial \Psi _ { \mathcal { T } } | ^ { 2 } + \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { S } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] \right)
\begin{array} { r l } { ( x _ { k } , y _ { k } , z _ { k } ) } & { = \frac { r _ { 0 } } { \sqrt { 5 } } \left( 2 \cos \left( \frac { 2 k \pi } { 5 } \right) , 2 \sin \left( \frac { 2 k \pi } { 5 } \right) , 1 \right) \, , \quad \hfill 0 \leqslant k \leqslant 4 \, , } \\ { ( x _ { k } , y _ { k } , z _ { k } ) } & { = \frac { r _ { 0 } } { \sqrt { 5 } } \left( 2 \cos \left( \frac { ( 2 ( k - 5 ) - 1 ) \pi } { 5 } \right) , 2 \sin \left( \frac { ( 2 ( k - 5 ) - 1 ) \pi } { 5 } \right) , - 1 \right) \, , \quad \hfill 5 \leqslant k \leqslant 9 \, , } \\ { ( x _ { k } , y _ { k } , z _ { k } ) } & { = \left( 0 , 0 , r _ { 0 } \right) \, , \quad \hfill k = 1 0 \, , } \\ { ( x _ { k } , y _ { k } , z _ { k } ) } & { = \left( 0 , 0 , - r _ { 0 } \right) \, , \quad \hfill k = 1 1 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { \alpha } = } & { { } ~ \rho _ { \alpha } \left( \phi _ { \alpha } \tau _ { \alpha } + \hat { \psi } _ { \alpha } - \nabla \phi _ { \alpha } \cdot \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \right) , } \\ { \tau _ { \alpha } = } & { { } ~ \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \phi _ { \alpha } } - \mathrm { d i v } \left( \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \right) . } \end{array}
E \textsubscript { g } + \frac { \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { 0 } R ^ { 2 } } ( \frac { 1 } { m _ { e } ^ { * } } + \frac { 1 } { m _ { h } ^ { * } } ) - \frac { 1 . 8 e ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { r } \epsilon _ { 0 } R }
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } \hat { \langle P \rangle } } { d R _ { 2 } ^ { 2 } } - k _ { \perp } ^ { 2 } \hat { \langle P \rangle } } & { = 2 \iota k _ { 1 } \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ( \beta + 2 \gamma ^ { \prime \prime } R _ { 2 } R e _ { c } ^ { - 1 / 2 } ) + 2 \beta \langle S _ { 2 1 } \rangle \iota k _ { 1 } \delta ^ { \prime } ( R _ { 2 } ) , } \\ { \frac { d ^ { 2 } \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } } { d R _ { 2 } ^ { 2 } } - k _ { \perp } ^ { 2 } \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } } & { = \frac { d \hat { \langle P \rangle } } { d R _ { 2 } } - \iota k _ { 1 } \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ( \beta R _ { 2 } + \gamma ^ { \prime \prime } R _ { 2 } ^ { 2 } R e _ { c } ^ { - 1 / 2 } ) - \beta \langle S _ { 2 1 } \rangle \iota k _ { 1 } \delta ( R _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { * } ( a ) + \alpha \psi ( a ) } & { \geq 0 \geq x ^ { * } ( k ) + \alpha \psi ( k ) \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } a \in A \mathrm { ~ a n d ~ } k \in - K , } \\ { x ^ { * } ( a ) + \alpha \psi ( a ) } & { \geq 0 > x ^ { * } ( k ) + \alpha \psi ( k ) \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } a \in A \mathrm { ~ a n d ~ } k \in \mathrm { i n t } _ { \tau } ( - K ) . } \end{array}