harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { g } _ { \mathcal { U } } \left( \widehat { \gamma } _ { t + r \varepsilon } \right) = \mathbf { g } \left( \widehat { \gamma } _ { t + r \varepsilon } \right) + \mathbf { g } _ { \mathcal { C } } \left( \widehat { \gamma } _ { t + r \varepsilon } \right)
B _ { 0 } ( t ) = - \frac { 1 } { \pi } \left( 1 - \sqrt { 1 - t } - \frac { t } { 2 } \right) \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { I ( s , t ) } \, \mathrm { ~ d ~ } s \right) ^ { - 1 } .
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { E } ( \mathbf { r } , t ) = } & { { \frac { q } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } } { \frac { 1 } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } | ^ { 2 } ( 1 - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) ^ { 3 } } } \cdot } \\ & { \left[ \left( \mathbf { n } _ { s } - { \boldsymbol { \beta } } _ { s } \right) ( 1 - { \beta _ { s } } ^ { 2 } ) + | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } | ( \mathbf { n } _ { s } \cdot { \dot { \boldsymbol { \beta } } } _ { s } / c ) ( \mathbf { n } _ { s } - { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) - | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } | { \big ( } \mathbf { n } _ { s } \cdot ( \mathbf { n } _ { s } - { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) { \big ) } { \dot { \boldsymbol { \beta } } } _ { s } / c \right] } \end{array} }
= \frac { 1 } { 2 } \frac { \left( \sqrt { 1 - \frac { 4 \lambda } { R _ { 0 } \alpha } } \pm 1 \right) \left( \sqrt { 1 - \frac { 4 \lambda } { R _ { 0 } \alpha } } \mp 1 \right) } { \sqrt { 1 - \frac { 4 \lambda } { R _ { 0 } \alpha } } \left( \sqrt { 1 - \frac { 4 \lambda } { R _ { 0 } \alpha } } \mp 1 \right) }
\begin{array} { r l r l } & { \textit { d i s c r e t i z e d a d j o i n t e q u a t i o n : } \ } & { a _ { s } ^ { * } \left( z ^ { \mathcal { N } } , p ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) + \big ( y ^ { \mathcal { N } } - y _ { d } , z ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \big ) _ { s } = 0 , } & { \ \forall z ^ { \mathcal { N } } \in Y ^ { \mathcal { N } } , } \\ & { \textit { d i s c r e t i z e d g r a d i e n t e q u a t i o n : } \ } & { c ^ { * } \big ( v ^ { \mathcal { N } } , p ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \big ) + \alpha n \big ( u ^ { \mathcal { N } } , v ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \big ) = 0 , } & { \ \forall v ^ { \mathcal { N } } \in U ^ { \mathcal { N } } , } \\ & { \textit { d i s c r e t i z e d s t a t e e q u a t i o n : } \ } & { a _ { s } \left( y ^ { \mathcal { N } } , q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) + c _ { s } \left( u ^ { \mathcal { N } } , q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) = F _ { s } ( q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } ) , } & { \ \forall q ^ { \mathcal { N } } \in \left( Q ^ { \mathcal { N } } \right) ^ { * } . } \end{array}
V = \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { a , b = 1 } ^ { N } \alpha _ { a b } \phi _ { a } \phi _ { b } - \gamma ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \sum _ { a , b = 1 } ^ { N } \frac { \sigma _ { a b } } { 2 } \phi _ { a } \phi _ { b }
\begin{array} { r l } { Y _ { 1 } ^ { 0 } ( \theta , \phi ) = \frac 1 2 \sqrt { \frac { 3 } { \pi } } \cos ( \theta ) } & { , \ Y _ { 1 } ^ { - 1 } ( \theta , \phi ) = \frac 1 2 \sqrt { \frac { 3 } { 2 \pi } } \sin ( \theta ) e ^ { - i \phi } , } \\ { \ Y _ { 1 } ^ { 1 } ( \theta , \phi ) } & { = \frac { - 1 } { 2 } \sqrt { \frac { 3 } { 2 \pi } } \sin ( \theta ) e ^ { i \phi } . } \end{array}
[ Q _ { R i } ^ { a } , Q _ { R j } ^ { b } ] = i \delta _ { i j } \epsilon ^ { a b c } Q _ { R i } ^ { c } \qquad [ Q _ { L i } ^ { a } , Q _ { L j } ^ { b } ] = i \delta _ { i j } \epsilon ^ { a b c } Q _ { L i } ^ { c } \qquad [ Q _ { R i } ^ { a } , Q _ { L j } ^ { b } ] = 0
\phi _ { 3 1 } \, ( \, p _ { 3 1 0 } , \, p _ { 2 0 } \, ) \, \to \, \phi _ { 3 1 } \, ( \, s _ { 3 1 } \, - \, { \frac { P _ { 0 } - S } { 2 } } \, + \, ( \, p _ { 3 0 } - h _ { 3 } \, ) , \, E _ { 2 } \, )
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { \frac { d } { \partial t } \left( \int _ { 0 } ^ { \epsilon } q ( x , t ) d x + \int _ { \epsilon } ^ { \infty } p ( x , t ) d x \right) , } \\ { 0 } & { = } & { \frac { d C ( t ) } { d t } \int _ { 0 } ^ { \epsilon } \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } d x } { v _ { 0 } ^ { 2 } - [ \phi ^ { \epsilon } ( x ) ] ^ { 2 } } + J ( \epsilon , t ) . } \end{array}
\int _ { - \pi } ^ { \pi } d \theta _ { 2 } \ldots = \int _ { - 4 \, S c + \theta } ^ { 4 \, S c + \theta } d \theta _ { 2 } \ldots + \int _ { - \pi + \theta } ^ { - 4 \, S c + \theta } d \theta _ { 2 } \ldots + \int _ { 4 \, S c + \theta } ^ { \pi + \theta } d \theta _ { 2 } \ldots
\begin{array} { r l } { | J _ { 1 } ( u ^ { G } ) - J _ { 1 } ( u ^ { { G } , h } ) | ^ { 2 } } & { \leq C \ensuremath { { \mathbb E } } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \| u _ { t } ^ { { G } } - u _ { t } ^ { { G } , h } \| _ { H } ^ { 2 } \right] + C \ensuremath { { \mathbb E } } \left[ \| u _ { T } ^ { { G } } - u _ { T } ^ { { G } , h } \| _ { H } ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { m = 1 } ^ { 2 ^ { n { R } } } E _ { M | X ^ { n } } ( m | x ^ { n } ) } & { = \left( \frac { 1 } { 1 + \eta } \right) \frac { 1 } { P _ { X } ^ { n } ( x ^ { n } ) } \frac { 1 } { 2 ^ { n { R } } } \sum _ { m = 1 } ^ { 2 ^ { n { R } } } Z _ { m } ( x ^ { n } ) } \\ & { \stackrel { w . h . p } \geq \left( \frac { 1 - \eta } { 1 + \eta } \right) \frac { 1 } { P _ { X } ^ { n } ( x ^ { n } ) } \mathbb { E } [ Z ( x ^ { n } ) ] \geq \left( \frac { 1 - \eta } { 1 + \eta } \right) ( 1 - \epsilon ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { z } \left( \rho _ { 0 } \vec { \Omega } \right) + \nabla _ { X } \cdot \left[ \rho _ { 0 } \vec { v } \otimes \vec { \Omega } + \rho _ { 0 } \vec { \Omega } \otimes \vec { v } \right] = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { I } } ( z ) = \int _ { \mathcal D } ( \rho - \rho _ { 0 } ) d \tau , } \\ { P _ { \mathrm { O } } ( z ) = \int _ { \bar { \mathcal D } } ( \rho - \rho _ { 0 } ) d \tau , } \end{array}
\begin{array} { r l } { O ( 1 ) } & { : \overline { { U } } _ { t } = D \overline { { U } } _ { x x } , } \\ { O ( 1 ) + \mathcal { O } ( \delta _ { t } ) + O ( \delta _ { x } ^ { 2 } ) } & { : \left( \frac { \delta _ { t } } { 2 } \right) \overline { { U } } _ { t t } + \overline { { U } } _ { t } = D \overline { { U } } _ { x x } + \left[ \left( \frac { D } { 3 6 } \right) \delta _ { x } ^ { 2 } \right] \overline { { U } } _ { x x x x } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { ( \mathcal { A } \star _ { N } \mathcal { B } ) _ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { M } , k _ { 1 } \times \cdots \times k _ { L } } \stackrel { \mathrm { \tiny ~ d e f } } { = } } } \\ & { } & { \sum _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } a _ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { M } , j _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } b _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { N } , k _ { 1 } , \cdots , k _ { L } } . } \end{array}
- ( \frac { R ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } ( E ^ { 2 } - { \cal M } ^ { 2 } ) + ( e ^ { 2 } g ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } ) ) f _ { _ { 1 , 2 } } ( z ) ,
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } ( r ) } & { { } \simeq \frac { 1 } { 3 2 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ 1 0 \ln \left( \frac { 2 } { \kappa r } \right) - 3 - 1 0 \gamma \right] , } \\ { C _ { 2 } } & { { } \simeq \frac { 3 } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \, , } \\ { C _ { 3 } ( r ) } & { { } \simeq - \frac { \mu } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ 2 \ln \left( \frac { 2 } { \kappa r } \right) - 1 - 2 \gamma \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { \widehat { \Gamma } _ { j } } \\ { \widehat \gamma _ { j } } \end{array} \right] \sim \mathcal { N } \left( \left[ \begin{array} { l } { \beta \gamma _ { j } + \alpha _ { j } } \\ { \gamma _ { j } } \end{array} \right] \ , \ \left[ \begin{array} { l l } { { \sigma } _ { Y _ { j } } ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { { \sigma } _ { X _ { j } } ^ { 2 } } \end{array} \right] \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| [ F _ { \gamma } ^ { ( 1 ) } ( x ( t ) ) - F _ { \gamma } ^ { ( 1 ) } ( y ( t ) ) ] v \| _ { \infty } } & { \le 3 e ^ { q _ { n } } \| x ( t ) - y ( t ) \| _ { \infty } \| v \| _ { \infty } , } \\ { \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , \ldots , 2 n - 1 } \| F _ { i , \gamma } ^ { ( 1 ) } ( x ( t ) ) - F _ { i , \gamma } ^ { ( 1 ) } ( y ( t ) ) \| _ { \infty } } & { \le 3 e ^ { q _ { n } } \| x ( t ) - y ( t ) \| _ { \infty } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { \Omega } | u _ { n + 1 } | ^ { 2 } } & { = } & { \int _ { \Omega } u _ { n + 1 } \overline { { u _ { n + 1 } } } } \\ & { = } & { \int _ { \Omega } \left[ \left( u _ { n } + h \sum _ { i = 1 } ^ { s } b _ { i } ( L + \gamma _ { n + c _ { i } } ) u _ { n , i } \right) \overline { { \left( u _ { n } + h \sum _ { i = 1 } ^ { s } b _ { i } ( L + \gamma _ { n + c _ { i } } ) u _ { n , i } \right) } } \right] } \\ & { = } & { \int _ { \Omega } | u _ { n } | ^ { 2 } + h \int _ { \Omega } I _ { 1 } + h \int _ { \Omega } I _ { 2 } + h ^ { 2 } \int _ { \Omega } I _ { 3 } , } \end{array}
\mu ^ { 2 } \psi ( x ) = \frac { m ^ { 2 } } { x ( 1 - x ) } \psi ( x ) + \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \psi ( x ) + { \cal S } \int _ { 0 } ^ { 1 } d y \frac { ( \psi ( x ) - \psi ( y ) ) } { ( x - y ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { p \big [ n _ { U } - k \; \mathrm { i n } \; \alpha \big ] } & { = \Big [ \lambda _ { U } \big ( \pi r _ { 1 } ^ { 2 } - \mathcal { A } ( r ) \big ) \Big ] ^ { n _ { U } - k } \exp \Big [ - \lambda _ { U } \big ( \pi r _ { 1 } ^ { 2 } - \mathcal { A } ( r ) \big ) \Big ] \Big [ ( n _ { U } - k ) ! \Big ] ^ { - 1 } } \\ { p \big [ k \; \mathrm { i n } \; \beta \big ] } & { = \big [ \lambda _ { U } \mathcal { A } ( r ) \big ] ^ { k } \exp \big [ - \lambda _ { U } \mathcal { A } ( r ) \big ] \big [ k ! \big ] ^ { - 1 } } \\ { p \big [ n _ { U } ^ { \prime } - k \; \mathrm { i n } \; \gamma \big ] } & { = \Big [ \lambda _ { U } \big ( \pi r _ { 1 } ^ { 2 } - \mathcal { A } ( r ) \big ) \Big ] ^ { n _ { U } ^ { \prime } - k } \exp \Big [ - \lambda _ { U } \big ( \pi r _ { 1 } ^ { 2 } - \mathcal { A } ( r ) \big ) \Big ] \Big [ ( n _ { U } ^ { \prime } - k ) ! \Big ] ^ { - 1 } } \\ { p \big [ n _ { U } \; \mathrm { i n } \; ( \alpha \cup \beta ) \big ] } & { = \big ( \lambda _ { U } \pi r _ { 1 } ^ { 2 } \big ) ^ { n _ { U } } \exp \big ( - \lambda _ { U } \pi r _ { 1 } ^ { 2 } \big ) \big ( n _ { U } ! \big ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { { \Omega } } _ { v } | \Phi _ { v } \rangle } & { { } = } & { \Omega _ { v } ^ { ( 0 , 0 ) } | \Phi _ { v } \rangle + \lambda _ { 2 } \Omega _ { v } ^ { ( 1 , 0 ) } | \Phi _ { v } \rangle + \lambda _ { 3 } \tilde { \Omega } _ { v } ^ { ( 0 , 1 ) } | \Phi _ { v } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \langle \rho \rangle } { \partial t } + \nabla _ { \boldsymbol { x } } \cdot \big ( \langle \boldsymbol { v } \rho \rangle \big ) } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial \langle \rho \boldsymbol { v } \rangle } { \partial t } + \nabla _ { \boldsymbol { x } } \cdot \big ( \langle \rho \boldsymbol { v } \otimes \boldsymbol { v } \rangle \big ) } & { { } = n \langle \widetilde { \alpha } \left( \boldsymbol { u } _ { o } - \boldsymbol { v } \right) \left| \boldsymbol { u } _ { o } - \boldsymbol { v } \right| \rangle , } \\ { \frac { \partial \langle P _ { \omega } \rangle } { \partial t } + \nabla _ { \boldsymbol { x } } \cdot \big ( \langle \boldsymbol { v } P _ { \omega } \rangle \big ) } & { { } = n \langle \widetilde { \beta } \left( \nabla \times \boldsymbol { u } _ { o } / 2 - \omega \hat { \boldsymbol { z } } \right) \left| \nabla \times \boldsymbol { u } _ { o } / 2 - \omega \hat { \boldsymbol { z } } \right| \rangle . } \end{array}
( \mathrm { i } \tau \mathcal { S } _ { \mathbf { k } } - \mathbb { P } _ { 5 } - z ) ^ { - 1 } = ( \mathrm { i } \tau \mathcal { S } _ { \mathbf { k } } - z ) ^ { - 1 } + ( \mathrm { i } \tau \mathcal { S } _ { \mathbf { k } } - z ) ^ { - 1 } \mathbb { P } _ { 5 } ( \mathrm { i } \tau \mathcal { S } _ { \mathbf { k } } - \mathbb { P } _ { 5 } - z ) ^ { - 1 } .
N _ { \pm 1 } = \frac { 1 - \textrm { n } _ { 0 } } { 2 } \sin ^ { 2 } \! \beta \, N ~ ~ \Rightarrow ~ ~ \sin ^ { 2 } \! \beta = \frac { N _ { 1 } + N _ { - 1 } } { ( 1 - \textrm { n } _ { 0 } ) N } ,
\mathbf { v } _ { A B } = { \frac { 1 } { 1 + { \frac { \mathbf { u } \cdot \mathbf { v } } { c ^ { 2 } } } } } \left[ \left( 1 + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \gamma _ { \mathbf { u } } } { 1 + \gamma _ { \mathbf { u } } } } \mathbf { u } \cdot \mathbf { v } \right) \mathbf { u } + { \frac { 1 } { \gamma _ { \mathbf { u } } } } \mathbf { v } \right] ,
\begin{array} { r l } { \int \Big ( \frac { d P _ { 1 } } { d P _ { 0 } } \Big ) ^ { \alpha } \Big ( \frac { d P _ { 2 } } { d P _ { 0 } } \Big ) ^ { \alpha } d P _ { 0 } } & { = \int \big ( p _ { 1 } ( x ) p _ { 2 } ( x ) \big ) ^ { \alpha } p _ { 0 } ( x ) ^ { 1 - 2 \alpha } \, d \nu ( x ) } \\ & { = \int h ( x ) \exp \big ( \overline { \theta } _ { \alpha } ^ { \top } T ( x ) \big ) \, d \nu ( x ) } \\ & { \quad \cdot \exp \big ( - \alpha A ( \theta _ { 1 } ) - \alpha A ( \theta _ { 2 } ) + ( 1 - 2 \alpha ) A ( \theta _ { 0 } ) \big ) } \\ & { = \exp \big ( A ( \overline { \theta } _ { \alpha } ) - \alpha A ( \theta _ { 1 } ) - \alpha A ( \theta _ { 2 } ) + ( 1 - 2 \alpha ) A ( \theta _ { 0 } ) \big ) . } \end{array}
J _ { 2 } ^ { 9 } M _ { 9 , 0 } + J _ { 2 } ^ { 6 } J _ { 3 } ^ { 2 } M _ { 6 , 2 } + J _ { 2 } ^ { 3 } J _ { 3 } ^ { 4 } M _ { 3 , 4 } + J _ { 3 } ^ { 6 } M _ { 0 , 6 }
) i n t h e l u n a r t i d a l c o n t r i b u t i o n a s g i v e n b y ( ) a n d ( ) . T h i s e r r o r t e r m c o n t r i b u t e s p e r i o d i c s i g n a l w i t h t h e m a g n i t u d e o f
\begin{array} { r l } { \left( \mathrm { d } ^ { \mathrm { C E } } \mu \right) ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { i + 1 } ) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { i + 1 } ( - 1 ) ^ { k - 1 } \nu ( x _ { k } ) ( \mu ( x _ { 1 } , \ldots , \widehat { x } _ { k } , \ldots , x _ { i + 1 } ) ) } \\ & { + \sum _ { 1 \leq k < l \leq i + 1 } ( - 1 ) ^ { k + l } \mu ( [ x _ { k } , x _ { l } ] _ { \mathfrak { g } } , x _ { 1 } , \ldots , \widehat { x } _ { k l } , \ldots , x _ { i + 1 } ) } \end{array}
\ddot { h } = \left( \frac { \left( 2 + r \right) r } { \left( 1 + r \right) ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } h ^ { \prime \prime } + \left( \frac { 2 } { \left( 1 + r \right) ^ { 3 } } + \frac { 2 + r } { \left( 1 + r \right) ^ { 2 } } \right) h ^ { \prime } - \kappa ^ { 2 } f ^ { 2 } \left( 1 + r ^ { 2 } h \right) ,
\begin{array} { r l r } { { \widetilde P } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } ( x , s ) } & { { } = } & { A _ { + } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } \ \exp { \left( c _ { _ 0 } | x | \right) } + A _ { - } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } \ \exp { \left( - c _ { _ 0 } | x | \right) } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ | ~ x ~ | ~ < ~ a ~ } , } \\ { { \widetilde P } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } ( x , s ) } & { { } = } & { A _ { + } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } \ \exp { \left( c | x | \right) } + A _ { - } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } \ \exp { \left( - c | x | \right) } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ < ~ | ~ x ~ | ~ < ~ b ~ } , } \\ { { \widetilde P } ^ { ^ { ( \mathrm { I I I } ) } } ( x , s ) } & { { } = } & { A _ { - } ^ { ^ { ( \mathrm { I I I } ) } } \ \exp { \left( - c _ { _ 0 } | x | \right) } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ | ~ x ~ | ~ > ~ b ~ } , } \\ { { \widetilde P } _ { _ B } ( x , s ) } & { { } = } & { \frac { \gamma } { s } { \widetilde P } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } ( x , s ) , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ < ~ | ~ x ~ | ~ < ~ b ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial P } { \partial t } } & { { } = } & { - \frac { \partial J } { \partial x } - \gamma P , } \\ { \frac { \partial J } { \partial t } } & { { } = } & { - v ^ { 2 } \frac { \partial P } { \partial x } - ( \alpha + \gamma ) J , } \\ { \frac { \partial P _ { _ B } } { \partial t } } & { { } = } & { \gamma P , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \varepsilon \partial _ { t } \vec { A } , \partial _ { t } \vec { A } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } + ( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } _ { x } } & { \vec { A } , \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { A } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } } \\ { \leq } & { 4 T \| \vec { \psi } \| _ { [ L ^ { 2 } ( \Omega ) ] ^ { d } } ^ { 2 } + 4 T \| \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \phi } \| _ { L _ { \mu } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + T ^ { 2 } \| \vec { j } _ { a } \| _ { [ L ^ { 2 } ( Q ) ] ^ { d } } ^ { 2 } . } \end{array}
h _ { \mu \nu } ( z , t ) = { \frac { 1 6 \pi } { 2 } } { \frac { ( z - \beta t - \delta / 2 ) ^ { 2 } } { ( 1 - \beta ^ { 2 } ) } } \; { \frac { k \ell _ { P } ^ { 2 } } { \delta ^ { 4 } } } \; \left( \eta _ { \mu \nu } - 4 n _ { \mu } n _ { \nu } \right) .
\begin{array} { r l } { _ { \mathrm { M } _ { c } } \Delta _ { \mathrm { M } _ { a } } \phi } & { { } = \, _ { \mathrm { M } _ { c } } \Delta _ { S _ { c } } \phi \, + \, _ { S _ { c } } \Delta _ { S _ { a } } \phi + \, _ { S _ { a } } \Delta _ { \mathrm { M } _ { a } } \phi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { P } _ { \textrm { I } } ( t ) } & { = \sum _ { \mathbf { k , k ^ { \prime } , k ^ { \prime \prime } } } \sum _ { u , v , r , s } \sum _ { \alpha , \beta } \langle \psi _ { r \mathbf { k } } | \Psi _ { \alpha \mathbf { k ^ { \prime } } } ( t _ { 0 } ) \rangle \langle \Psi _ { \alpha \mathbf { k ^ { \prime } } } ( t ) | \psi _ { u \mathbf { k } } \rangle } \\ & { \times \langle \psi _ { u \mathbf { k } } | \hat { \mathbf { e } } _ { \textrm { p } } \cdot \hat { \mathbf { p } } | \psi _ { v \mathbf { k } } \rangle \langle \psi _ { v \mathbf { k } } | \Psi _ { \beta \mathbf { k ^ { \prime \prime } } } ( t ) \rangle \langle \Psi _ { \beta \mathbf { k ^ { \prime \prime } } } ( t _ { 0 } ) | \psi _ { s \mathbf { k } } \rangle \hat { c } _ { r \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { s \mathbf { k } } } \\ & { = \frac { 1 } { V ^ { 2 } } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { u , v } \sum _ { \alpha , \beta } e ^ { i E _ { \alpha \beta \mathbf { k } } ( t - t _ { 0 } ) / \hbar } \langle u \mathbf { k } | \Phi _ { \alpha \mathbf { k } } ( t _ { 0 } ) \rangle \langle \Phi _ { \beta \mathbf { k } } ( t _ { 0 } ) | v \mathbf { k } \rangle \mathcal { P } _ { \alpha \beta \mathbf { k } } ( t ) \hat { c } _ { u \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { v \mathbf { k } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } P _ { \mathrm { e x t } } ( \omega ) \, \mathrm { d } \omega = \frac { \pi \omega _ { p } ^ { 2 } } { 4 } \left| \mathbf { E } _ { 0 } \right| ^ { 2 } V . } \end{array}
\begin{array} { r } { \{ x ^ { m } \} \equiv \Big ( x ^ { 0 } = c t , ~ ~ { \vec { x } } ( t ) \equiv { \vec { r } } ( t ) = { \vec { r } } _ { \mathrm { 0 } } + { \vec { k } } c ( t - t _ { 0 } ) \Big ) + { \cal O } ( G ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } ( u ( x ) , Y ( x ) , v ( x ) , p ( x ) ) = \mathcal { J } ( u , \hat { u } ) - \int _ { \Omega } v ( x ) \mathcal { F } ( u , q ) - \int _ { \partial \Omega } p ( x ) \mathcal { G } ( u , q ) } \end{array}
\mathbf { a } \cdot ( \mathbf { b } \times \mathbf { c } ) = \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l } { a _ { 1 } } & { a _ { 2 } } & { a _ { 3 } } \\ { b _ { 1 } } & { b _ { 2 } } & { b _ { 3 } } \\ { c _ { 1 } } & { c _ { 2 } } & { c _ { 3 } } \end{array} \right] } = \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l } { a _ { 1 } } & { b _ { 1 } } & { c _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } & { b _ { 2 } } & { c _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } } & { b _ { 3 } } & { c _ { 3 } } \end{array} \right] } = \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { a } } & { \mathbf { b } } & { \mathbf { c } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \underset { \boldsymbol { \theta } ^ { \mathcal { R } } , \boldsymbol { \theta } ^ { \mathcal { I } } } { \operatorname* { m a x } } } & { \ \operatorname* { m i n } \left( \left| \mathbf { h } _ { m } ^ { \mathcal { R } } \boldsymbol { \theta } ^ { \mathcal { R } } - \mathbf { h } _ { m } ^ { \mathcal { I } } \boldsymbol { \theta } ^ { \mathcal { I } } \right| , \left| \mathbf { h } _ { n } ^ { \mathcal { R } } \boldsymbol { \theta } ^ { \mathcal { I } } + \mathbf { h } _ { n } ^ { \mathcal { I } } \boldsymbol { \theta } ^ { \mathcal { R } } \right| \right) } \\ { \mathrm { s . t . } \; \; } & { \ \left( \theta _ { i } ^ { \mathcal { R } } \right) ^ { 2 } + \left( \theta _ { i } ^ { \mathcal { I } } \right) ^ { 2 } = 1 , \ \mathrm { f o r ~ a l l } \; i = 1 , 2 , \dots , N . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { { t 0 } } } } & { = \frac { \nabla _ { i } \phi } { \left\| \nabla _ { j } \phi \right\| } , } \\ { \mathrm { e } _ { i } ^ { l \mathrm { 0 } } } & { = \frac { z _ { 0 _ { i } } - \left( z _ { 0 _ { j } } \ \mathrm { e } _ { j } ^ { \mathrm { { t 0 } } } \right) \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { t 0 } } } { \left\| z _ { 0 _ { i } } - \left( z _ { 0 _ { j } } \ \mathrm { e } _ { j } ^ { \mathrm { { t 0 } } } \right) \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { t 0 } } \right\| } , } \\ { \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { { c 0 } } } } & { = \mathrm { e } _ { i } ^ { l \mathrm { 0 } } \times \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { { t 0 } } } , } \end{array} \right.
e ^ { - i \Tilde { \rho } ( t + 1 ) \frac { \Delta t } { \tau } \Sigma _ { i = 1 } ^ { Q } \hat { p } _ { i } w _ { i } ( 1 + 3 \frac { \Vec { e } _ { i } \cdot \Vec { \hat { u } } } { c ^ { 2 } } + 9 \frac { ( \Vec { e } _ { i } \cdot \Vec { \hat { u } } ) ^ { 2 } } { 2 c ^ { 4 } } - 3 \frac { \Vec { \hat { u } } ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } ) }
\begin{array} { r l } { H _ { \Delta } } & { = ( \mathbb I + \Delta A ) ^ { - 1 } ( \Delta A + ( \mathbb I + \Delta B ) ^ { - 1 } ( \mathbb I - \Delta A ) ) } \\ & { = ( \mathbb I + \Delta A ) ^ { - 1 } ( \mathbb I + \Delta B ) ^ { - 1 } ( \mathbb I + \Delta B \Delta A ) } \\ & { = ( \mathbb I + \Delta A + \Delta B + \Delta B \Delta A ) ^ { - 1 } ( \mathbb I + \Delta B \Delta A ) . } \end{array}
V _ { \theta } ^ { D } = V _ { 0 } ^ { D } \equiv V ^ { D } \equiv \sum _ { n } \mu ^ { \epsilon } { \frac { 1 } { 2 } } \int { \frac { d ^ { D - 1 } k } { ( 2 \pi ) ^ { D - 1 } } } \log \left( { \frac { k ^ { 2 } + m _ { n } ^ { 2 } ( \varphi _ { i } , D ) } { \mu ^ { 2 } } } \right) , \quad \quad ( D \neq \mathrm { i n t e g e r } ) .
\mathbf { d x } = [ \mathbf { f } ( \mathbf { x } , t ) - \mathbf { g } ^ { 2 } ( t ) \nabla _ { \mathbf { x } ^ { ( t ) } } \log { \mathrm { ~ p ~ } ( \mathbf { x } ^ { ( t ) } | \mathbf { y } ) } ] \mathrm { ~ d ~ t ~ } + \mathbf { g } ( t ) \mathbf { d w } .
\begin{array} { r l } { \langle U ^ { \angle } \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) \Phi _ { 0 } , V ^ { \angle } \Phi _ { 0 } \rangle } & { { } = \sum _ { \alpha \in \Xi ( G ^ { 0 } ) } \langle \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) \Phi _ { 0 } , \Phi _ { \alpha } \rangle \langle X _ { \alpha } U ^ { \angle } \Phi _ { 0 } , V ^ { \angle } \Phi _ { 0 } \rangle + \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) \langle U ^ { \angle } \Phi _ { 0 } , V ^ { \angle } \Phi _ { 0 } \rangle , } \end{array}
{ \mathcal G } _ { u , \lambda } { \bf e } = \kappa _ { u , \lambda } { \bf e } \, , \quad { \mathcal G } _ { v , \lambda } { \bf e } = \kappa _ { v , \lambda } { \bf e } \, ; \qquad { \mathcal G } _ { u , \lambda } { \bf q } _ { j } = \kappa _ { u , \lambda j } ^ { \perp } { \bf q } _ { j } \, , \quad { \mathcal G } _ { v , \lambda } { \bf q } _ { j } = \kappa _ { v , \lambda j } ^ { \perp } { \bf q } _ { j } \, , \qquad j \in \lbrace { 2 , \ldots , m \rbrace } \, ,
\bigl < q | \eta ; t \bigr > = \bigl ( 4 \pi \hbar f ( t ) \tilde { \varphi } ( t ) \bigr ) ^ { - 1 / 2 } \exp \Bigl [ \frac { i } { \hbar } \frac { f ( t ) \eta ^ { 2 } - 2 \eta q - 2 ( g ( t ) \tilde { \varphi } ( t ) - \frac { 1 } { 2 f ( t ) } ) q ^ { 2 } } { 4 f ( t ) \tilde { \varphi } ( t ) } \Bigr ] .
\Delta ^ { - 1 } = \nu ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + U _ { 0 } ^ { 2 } ( \nu ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } - 4 B _ { 0 } ^ { 2 } ) - B _ { 0 } ^ { 2 } ( \nu + \eta ) ^ { 2 } + 2 i B _ { 0 } ^ { \prime } ( \nu + \eta ) ( \nu \eta + U _ { 0 } ^ { 2 } ) ,