harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { I ( { \bf k } , \omega ) } & { \propto \frac { \left[ | \tilde { g } | ^ { 2 } + | \hbar \omega - z _ { \bf k } ^ { X } | ^ { 2 } \right] \gamma _ { \bf k } ^ { C } + \left[ | \tilde { g } | ^ { 2 } + | \hbar \omega - z _ { \bf k } ^ { X } | ^ { 2 } \right] \gamma _ { \bf k } ^ { X } + 2 \Re \left[ ( 2 \hbar \omega - z _ { \bf k } ^ { C } - z _ { \bf k } ^ { X } ) \tilde { g } ^ { * } \right] \sqrt { \gamma _ { \bf k } ^ { C } \gamma _ { \bf k } ^ { X } } } { | \operatorname* { d e t } [ \mathcal { M } ( { \bf k } , \omega ) ] | ^ { 2 } } \rho _ { { \bf k } } ( \omega _ { 0 } ^ { X } ) \langle \hat { e } _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { \mathrm { I } \dagger } \hat { e } _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { \mathrm { I } } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \phi } _ { 2 } } & { { } = \frac { V _ { e } ( t ) } { \sqrt { 2 } } } \\ { \sqrt { 2 } \dot { q } _ { 2 } } & { { } = h _ { 2 } ^ { \prime } \left( \frac { \phi _ { 1 } - \phi _ { 2 } } { \sqrt { 2 } } \right) - h _ { 1 } ^ { \prime } \left( \frac { \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } } { \sqrt { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { x } , t ) = ~ } & { \mathcal { R } \left[ \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \iint \hat { \zeta } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } ; \mathbf { x } , t ) \mathrm { d } \mathbf { k } _ { 1 } \mathrm { d } \mathbf { k } _ { 2 } \right] ~ \mathrm { w i t h } ~ } \\ { \hat { \zeta } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { \hat { \zeta } _ { + } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } ) } + \hat { \zeta } _ { - } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mu \eta } ^ { \mathrm { r l o s s } } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \mathrm d } \omega \frac { 2 A _ { \mu } ( \omega ) A _ { \eta } ^ { * } ( \omega ) } { \pi \sqrt { \omega _ { \mu } \omega _ { \eta } } } [ I _ { \mu \eta } ^ { \mathrm { r l o s s } } ( \omega ) + I _ { \eta \mu } ^ { \mathrm { r l o s s * } } ( \omega ) ] , } \\ { S _ { \mu \eta } ^ { \mathrm { n l o s s } } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \mathrm d } \omega \frac { 2 A _ { \mu } ( \omega ) A _ { \eta } ^ { * } ( \omega ) } { \pi \sqrt { \omega _ { \mu } \omega _ { \eta } } } I _ { \mu \eta } ^ { \mathrm { n l o s s } } ( \omega ) , } \\ { S _ { \mu \eta } ^ { \mathrm { G } } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \mathrm d } \omega \frac { 2 A _ { \mu } ^ { * } ( \omega ) A _ { \eta } ( \omega ) } { \pi \sqrt { \omega _ { \mu } \omega _ { \eta } } } I _ { \mu \eta } ^ { \mathrm { G } } ( \omega ) , } \end{array}
\frac { ( \eta ^ { \omega } + \eta ^ { - \omega } ) ^ { 3 / 2 } } { 1 - \eta ^ { 2 } } \left( \frac { 3 \omega } 2 \frac { \eta ^ { \omega } - \eta ^ { - \omega } } { \eta ^ { \omega } + \eta ^ { - \omega } } + \frac { 1 + \eta ^ { 2 } } { 1 - \eta ^ { 2 } } \right) = 0 .
L _ { \mathrm { e f f } } = { \frac { f ^ { 2 } } { 2 \, g _ { Y M } ^ { 2 } } } \left[ 1 + \sum _ { L , m = 1 } ^ { \infty } c _ { L m } \left( { \frac { g _ { Y M } ^ { 2 } f ^ { 2 } } { x ^ { 7 - p } } } \right) ^ { L } ~ \left( { \frac { f ^ { 2 } } { x ^ { 4 } } } \right) ^ { m - L } \right]
\begin{array} { r l } { f _ { V O I } ^ { T h } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \lambda _ { k } ^ { T h } \phi _ { k } ^ { V O I } ( \mathbf { r } ) , } \\ { f _ { V O I } ^ { R a } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \lambda _ { k } ^ { R a } \phi _ { k } ^ { V O I } ( \mathbf { r } ) , } \end{array}
P _ { \mathrm { c a p } } = \frac { \dot { \mathcal { J } _ { k } ^ { + } } + \dot { \mathcal { J } _ { k } ^ { - } } } { \dot { \mathcal { J } _ { k } ^ { + } } } = 1 + \frac { \partial \mathcal { J } _ { k } ^ { - } } { \partial \Gamma } \bigg / \, \frac { \partial \mathcal { J } _ { k } ^ { + } } { \partial \Gamma } \ ,
\begin{array} { r } { c _ { D } = \frac { 2 4 } { \mathrm { R e } } \left( 1 + 0 . 1 5 \times \mathrm { R e } ^ { 0 . 6 8 1 } \right) + \frac { 0 . 4 0 7 } { 1 + 8 7 1 0 \times \mathrm { R e } ^ { - 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi ^ { n } ( | m - m _ { 0 } | \ge n ^ { \delta - \frac 1 2 } ) \le } & { \pi ^ { n } ( | m - t a n h ( \beta ( m + h ) ) | \ge \iota _ { 0 } n ^ { \delta - \frac 1 2 } ) } \\ { = } & { \pi ^ { n } \left( | m - t a n h ( \beta ( m + h ) ) | \ge \frac { \beta } { n } + \frac { t _ { n } } { \sqrt { n } } \right) \le 2 \exp \left( - \frac { t _ { n } ^ { 2 } } { 4 ( 1 + \beta ) } \right) , } \end{array}
R _ { n s } ( \mathbf { v _ { s } } , \ \mathbf { v _ { n } } ) = \frac { n _ { s } n _ { n } } { 1 + \delta _ { n s } } v _ { r } \sigma ( v _ { r } ) f _ { s } ( \mathbf { v _ { s } } ) f _ { n } ( \mathbf { v _ { n } } ) \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { v _ { s } } \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { v _ { n } } ,
\begin{array} { r l r } { \rho \left( \pm \frac { 1 } { 2 } \right) } & { { } = } & { \pm \frac { 1 } { 2 } , \quad \rho ( z ) + \rho ( - z ) = 0 , } \\ { \rho ^ { \prime } ( z ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { p _ { 0 } } ( 1 - 4 z ^ { 2 } ) ^ { n } , \quad p _ { 0 } \equiv \frac { ( 2 n ) ! ! } { ( 2 n + 1 ) ! ! } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { o p t } } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) = } & { { } \left| \frac { H _ { X Y } ( \omega ) } { H _ { X F } ( \omega ) } \right| ^ { 2 } S _ { Y Y } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) } \end{array}
\Psi ( r _ { 1 } , \! r _ { 2 } , \! \psi ) \! = \! { \textstyle \frac { 2 } { g } \sqrt { \frac { n _ { 1 } ! \: n _ { 2 } ! } { ( n _ { 1 } + | l | ) ! \, ( n _ { 2 } + | l | ) ! } } } \, \left( { \textstyle \frac { r _ { 1 } \, r _ { 2 } } { g } } \right) ^ { \! | l | } \: \mathrm { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 g } ( r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } ) } \, L _ { n _ { 1 } } ^ { | l | } \! \! \left( { \textstyle \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } } { g } } \right) \, L _ { n _ { 2 } } ^ { | l | } \! \! \left( { \textstyle \frac { r _ { 2 } ^ { 2 } } { g } } \right) \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \, l \, \psi } .
\xi _ { 2 } = ( 1 + \frac { \mu \nu c _ { 1 } ^ { 2 } | \xi _ { 1 } - \eta _ { 1 } | } { | \eta _ { 1 } | } ) \eta _ { 2 } + \mathcal { O } ( 2 ^ { \operatorname* { m a x } \{ k _ { 1 } , k _ { 2 } \} + l } ) , \quad \xi _ { 3 } = ( 1 + \frac { \mu \nu c _ { 2 } ^ { 2 } | \xi _ { 1 } - \eta _ { 1 } | } { | \eta _ { 1 } | } ) \eta _ { 3 } + \mathcal { O } ( 2 ^ { \operatorname* { m a x } \{ k _ { 1 } , k _ { 2 } \} + l } ) .
\begin{array} { r l } & { J _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) = \frac { \omega _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \lambda _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } { 2 \tan \theta _ { \mathrm { m } } } \int _ { - \theta _ { \mathrm { m } } } ^ { \theta _ { \mathrm { m } } } d \theta \ \frac { \csc \theta } { \cos ^ { 4 } \theta } \frac { \tau _ { \mathrm { c } } ^ { - 1 } \omega } { \left( \omega _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \tau _ { \mathrm { c } } ^ { - 2 } \omega ^ { 2 } } , } \end{array}
S ^ { \prime } = v \theta \left[ \frac { 1 } { 4 } \left\{ y \left. \frac { \delta ^ { 2 } V ( y ) } { \delta y ^ { 2 } } \right| _ { y = y _ { c } } \right\} ^ { 2 } - i \chi \psi \left. \frac { \delta ^ { 2 } V ( y ) } { \delta y ^ { 2 } } \right| _ { y = y _ { c } } \right] .
\begin{array} { r l } { \approx \ } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \mathrm { d } \eta \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 2 } } ( t ) | ^ { 2 } \cdot \eta ^ { 2 } ( 1 + u _ { 1 } ) ( \hat { \nu } + p _ { 1 } i ) ^ { - 1 } \cdot \left( e ^ { - ( \hat { \nu } + p _ { 1 } i ) t } - e ^ { - ( \hat { \nu } + p _ { 1 } i ) ( 2 \eta ) } \right) } \\ { \approx \ } & { { } \frac { 1 } { 2 \hat { \nu } ^ { 4 } \Gamma } \ \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 2 } } ( t ) | ^ { 2 } \cdot ( 1 + u _ { 1 } ) \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { 2 } e ^ { - 2 \Gamma x } \mathrm { d } x \ \ \left( x = \hat { \nu } \eta \ ; \Gamma = 1 + \frac { p _ { 1 } } { \hat { \nu } } i \right) } \\ { = \ } & { { } b _ { 1 , 1 } \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 2 } } ( t ) | ^ { 2 } \implies b _ { 1 , 1 } = \frac { 1 + u _ { 1 } } { 8 \hat { \nu } ^ { 4 } \Gamma ^ { 4 } } = \frac { 1 + u _ { 1 } } { 8 \hat { \nu } ^ { 4 } } \left( 1 + \frac { p _ { 1 } } { \hat { \nu } } i \right) ^ { - 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } ^ { T } J x _ { 2 } = \big ( ( S - \lambda _ { 1 } I _ { 2 n } ) z \big ) ^ { T } J x _ { 2 } } & { = z ^ { T } S ^ { T } J x _ { 2 } - \lambda _ { 1 } z ^ { T } J x _ { 2 } } \\ & { = z ^ { T } J J ^ { T } S ^ { T } J x _ { 2 } - \lambda _ { 1 } z ^ { T } J x _ { 2 } } \\ & { = z ^ { T } J S ^ { - 1 } x _ { 2 } - \lambda _ { 1 } z ^ { T } J x _ { 2 } } \\ & { = \lambda _ { 1 } z ^ { T } J x _ { 2 } - \lambda _ { 1 } z ^ { T } J x _ { 2 } = 0 } \end{array}
\lvert | \textup { R } _ { \kappa , h } ^ { \perp } u - u _ { h } \rvert | _ { H _ { \kappa } ^ { 1 } } \lesssim C _ { \textup { s o l } } ( u , \kappa ) \lvert | \varepsilon _ { h } \rvert | _ { ( H _ { \kappa } ^ { 1 } ) ^ { \prime } } \lesssim \kappa C _ { \textup { s o l } } ( u , \kappa ) \bigl ( \lvert | u - \textup { R } _ { \kappa , h } ^ { \perp } u \rvert | _ { L ^ { 2 } } + \lvert | u - u _ { h } \rvert | _ { L ^ { 4 } } ^ { 2 } + \lvert | u - u _ { h } \rvert | _ { L ^ { 6 } } ^ { 3 } \bigr ) ,
\begin{array} { r l } { \big \| E _ { \theta } \big [ \widetilde \theta ( X ) \big ] - \theta \big \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \bigg \| E _ { \theta } \bigg [ \int _ { D \in \mathcal { O } _ { m } } D ^ { - 1 } \widehat \theta ( D X ) \, d \mu ( D ) \bigg ] - \theta \bigg \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \leq \int _ { D \in \mathcal { O } _ { m } } \Big \| E _ { \theta } \big [ D ^ { - 1 } \widehat \theta ( D X ) \big ] - \theta \Big \| _ { 2 } ^ { 2 } d \mu ( D ) } \\ & { \leq \int _ { D \in \mathcal { O } _ { m } } \Big \| E _ { D \theta } \big [ D ^ { - 1 } \widehat \theta ( X ) \big ] - \theta \Big \| _ { 2 } ^ { 2 } d \mu ( D ) } \\ & { \leq \int _ { D \in \mathcal { O } _ { m } } \Big \| E _ { D \theta } \big [ \widehat \theta ( X ) \big ] - D \theta \Big \| _ { 2 } ^ { 2 } d \mu ( D ) } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta _ { m } ^ { \beta } ( R ) } \big \| E _ { \theta } \big [ \widehat \theta ( X ) \big ] - \theta \big \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \Delta _ { 2 } } = } & { \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } } } - { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } \bar { 3 } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } 3 1 1 ^ { \prime } \bar { 3 } } } + { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } 1 1 ^ { \prime } \bar { 3 } } } } \right) { \eta _ { 1 } } + \left( { { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } \bar { 3 } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } 3 } } - { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 1 ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 2 } } } \\ { + } & { \left( { { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } \bar { 3 } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } } } - { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } \bar { 3 } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 1 ^ { \prime } } } + \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } 3 1 } } + { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } \bar { 3 } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 } } - { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } 1 } } } \right) { \eta _ { 3 ^ { \prime } } } . } \end{array}
\mathrm { ~ \bf ~ P ~ } _ { \{ N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \} } = \sum _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \hbar \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \; N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \; \; , \; \; \; N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } = 0 , 1 , 2 , 3 , . . .
\mathcal { H } \equiv - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \nabla _ { i } ^ { 2 } - \sum _ { i , X } \frac { Z _ { X } } { r _ { i X } } + \frac { 1 } { r _ { 1 2 } } + \frac { Z _ { A } Z _ { B } } { R } ,
\begin{array} { r l } { H _ { 3 } \left( 0 \right) + E \left( 0 \right) } & { = f \left( 0 \right) } \\ { H _ { 3 } \left( \frac { 3 \pi } { 2 } \right) + E \left( \frac { 3 \pi } { 2 } \right) } & { = f \left( \frac { 3 \pi } { 2 } \right) } \\ { H _ { 3 } ^ { \prime } \left( 0 \right) + E ^ { \prime } \left( 0 \right) } & { = f ^ { \prime } \left( 0 \right) } \\ { H _ { 3 } ^ { \prime } \left( \frac { 3 \pi } { 2 } \right) + E ^ { \prime } \left( \frac { 3 \pi } { 2 } \right) } & { = f ^ { \prime } \left( \frac { 3 \pi } { 2 } \right) } \end{array}
\ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ q Ḍ Ḍ _ { Ḋ } \mathrm { Ḋ } r e f Ḍ Ḍ = \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ p Ḍ Ḍ _ { Ḋ } \mathrm { Ḋ } r e f Ḍ Ḍ = \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ 0 Ḍ Ḍ
\begin{array} { r l } & { \Delta E _ { a } ^ { \mathrm { L , \, L a L } } ( \mathrm { i r r } ) = \sum _ { \pm } \left[ e ^ { 2 } \int \frac { d ^ { d } k _ { 1 } \, k _ { 1 } ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { d } 2 k _ { 1 } } \frac { d - 1 } { d } n _ { \beta } ( k _ { 1 } ) \right] \times } \\ & { \left[ e ^ { 2 } \int \frac { d ^ { d } k _ { 2 } \, k _ { 2 } ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { d } 2 k _ { 2 } } \frac { d - 1 } { d } \right] \left\langle \phi _ { a } \left| r _ { i } \frac { 1 } { E _ { a } - ( H _ { S } \pm k _ { 1 } ) } r _ { i } \times \right. \right. } \\ & { \left. \left. \frac { 1 } { ( E _ { a } - H _ { S } ) ^ { ' } } r _ { j } \frac { 1 } { E _ { a } - ( H _ { S } + k _ { 2 } ) } r _ { j } \right| \phi _ { a } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \left\langle \nabla _ { N } \nabla _ { N } V _ { 1 } , J N \right\rangle } & { = - \left\langle \nabla _ { N } \nabla _ { V _ { 1 } } N + \nabla _ { N } \mathrm { T o r } \left( N , V _ { 1 } \right) , J N \right\rangle } \\ & { = - \left\langle \nabla _ { V _ { 1 } } \nabla _ { N } N + R ( N , V _ { 1 } ) N + \nabla _ { \left[ N , V _ { 1 } \right] } N + \nabla _ { N } \mathrm { T o r } \left( N , V _ { 1 } \right) , J N \right\rangle } \\ & { = \left\langle V _ { 1 } ( X _ { 0 } \delta ) J N + R ( V _ { 1 } , N ) N , J N \right\rangle - \left\langle \nabla _ { N } \mathrm { T o r } \left( N , V _ { 1 } \right) , J N \right\rangle . } \end{array}
\langle N _ { \lambda _ { j } } \rangle = \frac { 1 } { Z } \sum _ { \{ N _ { \lambda _ { i } } \} } N _ { \lambda _ { j } } e ^ { - \beta \sum _ { \lambda _ { i } } N _ { \lambda _ { i } } \epsilon _ { \lambda _ { i } } } = \frac { 1 } { Z } \frac { - 1 } { \beta } \frac { \partial } { \partial \epsilon _ { \lambda _ { j } } } Z = \frac { - 1 } { \beta } \frac { \partial \ln Z } { \partial \epsilon _ { \lambda _ { j } } }
\begin{array} { r } { \Psi _ { n } ( x ) = \sqrt { \frac { 2 } { l } } \cos \left( \frac { \pi n } { l } x \right) , n = 1 , 3 , 5 \ldots } \\ { \Psi _ { n } ( x ) = \sqrt { \frac { 2 } { l } } \sin \left( \frac { \pi n } { l } x \right) , n = 2 , 4 , 6 \ldots } \end{array}
{ \frac { \partial q _ { j } } { \partial a _ { j } } } = { \frac { d Q ( x ; a ) } { d x } } \Bigr \vert _ { x = a _ { j } } + { \frac { \partial Q ( x ; a ) } { \partial a _ { j } } } \Bigr \vert _ { x = a _ { j } } \, ,
\rho ^ { q u a r k } ( s ) = \frac { 3 } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int \delta \left( s - \frac { k _ { \perp } ^ { 2 } } { x \bar { x } } \right) \, d ^ { 2 } k _ { \perp } .
e ^ { 2 \left( \phi - \phi _ { \infty } \right) } = \frac { 1 } { r ( r - 2 M ) } \left| r - 2 M + \frac { i ( Q N - P M ) { \cal Q } ^ { * } } { | { \cal M } | ^ { 2 } } \right| ^ { 2 } .
A = \left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \ .
\frac { 1 } { 4 m ^ { 2 \kappa } } \cdot ( X _ { 1 } + \dots + X _ { t + 1 } ) \leq \Big \| \mu \left( p _ { | \rho ( \pi , y ) } \right) \Big \| _ { 2 } ^ { 2 } = \sum _ { i \in [ t + 1 ] } \sum _ { c , d \in \mathbb { Z } _ { m _ { \pi ( i ) } } } \left( \mu _ { \pi ( i ) } ^ { c , d } \left( p _ { | \rho ( \pi , y ) } \right) \right) ^ { 2 } < 2 \cdot \frac { \gamma } { m ^ { 2 \kappa + 2 } } ,
\frac { \Gamma \left( K _ { L ( S ) } ^ { 0 } \rightarrow l _ { \alpha } l _ { \beta } \right) } { \Gamma \left( K ^ { + } \rightarrow \mu ^ { + } \nu _ { \mu } \right) } = | f _ { 2 , 3 ; \alpha , \beta } ^ { D , L } | ^ { 2 } \left( \frac { v } { \zeta \, \, z } \right) ^ { 4 } \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta _ { c } } .
\begin{array} { r l } { \mid I _ { 2 } ( x ) \mid } & { \leq M _ { V _ { 2 } } \left( \mid \nabla ( \varphi _ { 2 } ( x ) - \upsilon _ { 2 } ( x ) ) \mid \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( 1 + \mid \varphi _ { i } ( x ) \mid ) + \mid \varphi _ { 2 } ( x ) - \upsilon _ { 2 } ( x ) \mid \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } \mid \nabla ( \upsilon _ { i } ( x ) \mid \right) , \quad x \in \Omega , } \end{array}
\lambda _ { | | } \approx 6 . 2 7 4 2 \frac { B _ { 0 } ^ { 5 / 3 } } { < \delta b ^ { 2 } > } \left( \frac { P } { c } \right) ^ { 1 / 3 } \lambda _ { s l a b } ^ { 2 / 3 } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } U ^ { * } + ( 1 - \Lambda \xi _ { \delta } ^ { \prime } ) ^ { 4 } \; \partial _ { x } ( ( a \xi _ { \delta } + ( 1 - \xi _ { \delta } ) ) ^ { 3 } \partial _ { x } ^ { 3 } U ^ { * } ) + \dot { \Lambda } \; \partial _ { x } U ^ { * } \; \xi _ { \delta } = 0 \quad } & { \mathrm { ~ i n ~ } \ x > 0 , } \\ { \partial _ { x } U ^ { * } = 0 , \qquad \partial _ { x } ^ { 3 } U ^ { * } = 0 \quad } & { \mathrm { ~ a t ~ } \ x = 0 , } \\ { U ^ { * } \to 0 \quad } & { \mathrm { ~ a s ~ } \ x \to \infty , } \\ { U ^ { * } ( x , 0 ) = U _ { 0 } \quad } & { \mathrm { ~ f o r ~ } \ x > 0 , } \end{array}
\frac { \delta ( \nu _ { \mathrm { ~ R ~ b ~ } } / \nu _ { \mathrm { ~ C ~ s ~ } } ) } { \nu _ { \mathrm { ~ R ~ b ~ } } / \nu _ { \mathrm { ~ C ~ s ~ } } } = 1 0 ^ { - 1 6 } \frac { ( 1 + \cos ( 2 m t ) ) } { m _ { 1 5 } ^ { 2 } f _ { 1 0 } ^ { 2 } } \frac { \phi _ { 0 } ^ { 2 } } { \phi _ { \mathrm { ~ D ~ M ~ } } ^ { 2 } } \, ,
{ \begin{array} { r l } & { y ^ { \prime \prime \prime } + 4 t y ^ { \prime \prime } - t ^ { 2 } y ^ { \prime } - ( \cos { t } ) y = \sin { t } } \\ & { t _ { 0 } = 0 } \\ & { y _ { 0 } = y ( t _ { 0 } ) = 2 } \\ & { y _ { 0 } ^ { \prime } = y ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) = - 1 } \\ & { y _ { 0 } ^ { \prime \prime } = y ^ { \prime \prime } ( t _ { 0 } ) = 3 } \\ & { h = 0 . 5 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \phi _ { d _ { 2 } } ^ { \mathrm { { c o } } } - \phi _ { d _ { 2 } } ^ { \mathrm { { c o u n t e r } } } } & { { } = [ \phi _ { s \rightarrow p _ { 1 } } ^ { \mathrm { { W i g n e r } } } ( E _ { k } - \omega ) - \phi _ { s \rightarrow p _ { 1 } } ^ { \mathrm { { W i g n e r } } } ( E _ { k } + \omega ) ] + [ \phi _ { \mathrm { { a b s o r p t i o n } } } ^ { \mathrm { { C C } ~ ( \ t e x t i t { p } _ { 1 } \rightarrow \ t e x t i t { d } _ { 2 } ) } } ( E _ { k } - \omega ; E _ { k } ) - \phi _ { \mathrm { { e m i s s i o n } } } ^ { \mathrm { { C C } ~ ( \ t e x t i t { p } _ { 1 } \rightarrow \ t e x t i t { d } _ { 2 } ) } } ( E _ { k } + \omega ; E _ { k } ) ] } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { A _ { 0 } ^ { + 3 } | h , \ell _ { 3 } ^ { + } , \ell _ { 3 } ^ { - } , u \rangle } } & { { = } } & { { \ell _ { 3 } ^ { + } | h , \ell _ { 3 } ^ { + } , \ell _ { 3 } ^ { - } , u \rangle } } \\ { { \ } } & { { \ } } \\ { { A _ { 0 } ^ { - 3 } | h , \ell _ { 3 } ^ { + } , \ell _ { 3 } ^ { - } , u \rangle } } & { { = } } & { { \ell _ { 3 } ^ { - } | h , \ell _ { 3 } ^ { + } , \ell _ { 3 } ^ { - } , u \rangle } } \end{array}
\frac { k _ { B } T } { 2 } = \frac { \gamma \pi } { 2 } S _ { n , \alpha } \langle A _ { n , \alpha } ^ { 2 } \rangle = \frac { \gamma \pi } { 2 } S _ { n , \alpha } \langle B _ { n , \alpha } ^ { 2 } \rangle ,
\begin{array} { r l } { \overline { { k } } _ { + 1 } } & { { } = k _ { - 1 } \frac { k _ { - 2 } + k _ { + 1 } n } { k _ { + 2 } + k _ { - 1 } n } \, , } \\ { \overline { { k } } _ { - 1 } } & { { } = k _ { + 1 } \frac { k _ { + 2 } + k _ { - 1 } n } { k _ { - 2 } + k _ { + 1 } n } \, , } \\ { \overline { { k } } _ { + 2 } } & { { } = k _ { - 2 } \frac { k _ { + 2 } + k _ { - 1 } n } { k _ { - 2 } + k _ { + 1 } n } \, , } \\ { \overline { { k } } _ { - 2 } } & { { } = k _ { + 2 } \frac { k _ { - 2 } + k _ { + 1 } n } { k _ { + 2 } + k _ { - 1 } n } \, . } \end{array}
\frac { J _ { y } } { W } = 0 \, , \quad \frac { J _ { y } ^ { ( i ) } } { W } = \frac { l } { 2 } \frac { \gamma } { \omega _ { 0 } } \, , \quad \frac { J _ { y } ^ { ( e ) } } { W } = - \frac { l } { 2 } \frac { \gamma } { \omega _ { 0 } } \, .
u ( r ) = W ^ { - 1 } \left[ u _ { \mathrm { i n f } } ( r ) \int _ { 1 } ^ { r } u _ { \mathrm { h o r } } ( r ^ { \prime } ) H ( r ^ { \prime } ) \, \frac { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } { \Delta } d r ^ { \prime } + u _ { \mathrm { h o r } } ( r ) \int _ { r } ^ { \infty } u _ { \mathrm { i n f } } ( r ^ { \prime } ) H ( r ^ { \prime } ) \, \frac { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } { \Delta } d r ^ { \prime } \right] ,
\begin{array} { r l } { = } & { { } \quad \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } | | \mathbf { x } _ { t _ { i } } + \Delta t \, \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) - \mu _ { t _ { i + 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } + C _ { 2 } } \\ { = } & { { } \quad \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } | | \Delta t \, g ( t _ { i } ) ^ { 2 } \, \frac { 1 } { 2 } \, s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , t _ { i } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } + C _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf U } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { { \bf U } ^ { n } - \Delta t \, \left\{ { \bf M } ^ { - 1 } { \bf R e s } ^ { \prime } ( { \bf U } ^ { n } , t ^ { n } ) - { \bf S } ( t ^ { n } ) \right\} , } \\ { { \bf U } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \frac { 3 { \bf U } ^ { n } + { \bf U } ^ { ( 1 ) } } { 4 } - \frac { \Delta t } { 4 } \left\{ { \bf M } ^ { - 1 } { \bf R e s } ^ { \prime } ( { \bf U } ^ { ( 1 ) } , t ^ { n } + \Delta t ) - { \bf S } ( t ^ { n } + \Delta t ) \right\} , } \\ { { \bf U } ^ { n + 1 } } & { { } = } & { \frac { { \bf U } ^ { n } + 2 { \bf U } ^ { ( 2 ) } } { 3 } - \frac { 2 \Delta t } { 3 } \left\{ { \bf M } ^ { - 1 } { \bf R e s } ^ { \prime } ( { \bf U } ^ { ( 2 ) } , t ^ { n } + \Delta t / 2 ) - { \bf S } ( t ^ { n } + \Delta t / 2 ) \right\} , } \end{array}
{ \cal L } ^ { ( 1 ) } = \frac 1 { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau \tau ^ { - 3 } \exp \left( - m ^ { 2 } \tau - l ( \tau ) \right) \mathrm { t r } \exp \left[ i e _ { 0 } \left( \sigma \widetilde { F } _ { \mu \nu } - g F _ { \mu \nu } \right) \tau \right] ,
q _ { r , s } ( \mathbf { x } , \omega ) \sim e ^ { i \omega \left[ \tau ( \mathbf { x } _ { s } , \mathbf { x } ^ { * } ) + \tau ( \mathbf { x } ^ { * } , \mathbf { x } _ { r } ) \right] } e ^ { - i \omega \tau ( \mathbf { x } _ { r } , \mathbf { x } ) } \; .
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla u _ { \theta } ( x , t ) | ^ { 2 } + q ( u _ { \theta } ( x , t ) ) + u _ { \theta } ( x , t ) ( - \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } u _ { \theta } \right) d x } \\ & { } & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } M _ { \theta } ( u _ { \theta } ( x , \tau ) \left| \nabla \frac { - \Delta u _ { \theta } ( x , \tau ) + q ^ { \prime } ( u _ { \theta } ( x , \tau ) + ( - \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } u _ { \theta } } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ( x , \tau ) ) } \right| ^ { 2 } d x d \tau } \\ & { \leq } & { \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla u _ { 0 } ( x ) | ^ { 2 } + q ( u _ { 0 } ( x ) ) + u _ { 0 } ( x ) ( - \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } u _ { 0 } \right) d x . } \end{array}
\int _ { \mathbf { s } _ { c } ( l ) } ^ { \mathbf { s } _ { c } ( r ) } \widehat { h } ^ { \prime } ( \widehat { G } ( \widehat t ) ) ^ { 2 } d \widehat t = \int _ { \widehat { l } } ^ { \widehat { r } } \widehat { h } ^ { \prime } ( \widehat { G } ( \widehat { F } ( \widehat { x } ) ) ) ^ { 2 } d \widehat { F } ( \widehat { x } ) = \int _ { \widehat { I } } \widehat { h } ^ { \prime } ( \widehat { G } ( \widehat { F } ( \widehat { x } ) ) ) ^ { 2 } d \widehat { x } .