harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \| \Delta _ { k } R ( f , \, g ) \| _ { L ^ { 1 } } } & { \leq \sum _ { l = - 3 } ^ { 3 } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \left| \sum _ { j = k - 5 } ^ { \infty } \Delta _ { k } ( \Delta _ { j } f \Delta _ { j + l } g ) \right| ( x ) d x } \\ & { \lesssim 2 ^ { - k s } \sum _ { l = - 3 } ^ { 3 } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \sum _ { j = k - 5 } ^ { \infty } 2 ^ { ( k - j - l ) s } \left| ( \Delta _ { j } f ) 2 ^ { ( j + l ) s } \Delta _ { j + l } g \right| d x } \\ & { = 2 ^ { - k s } \sum _ { l = - 3 } ^ { 3 } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \underset { k ^ { \prime } \in \mathbb { Z } } { \operatorname* { s u p } } \; \sum _ { j = k ^ { \prime } - 5 } ^ { \infty } 2 ^ { ( k ^ { \prime } - j - l ) s } \left| ( \Delta _ { j } f ) 2 ^ { ( j + l ) s } \Delta _ { j + l } g \right| d x . } \end{array}
S ( g ) = - { \frac { k } { 8 \pi } } \int _ { S ^ { 2 } } d ^ { 2 } \rho \eta ^ { \mu \nu } T r ( g ^ { - 1 } \partial _ { \mu } g ) ( g ^ { - 1 } \partial _ { \nu } g ) + { \frac { k } { 1 2 \pi } } \int _ { B } T r ( g ^ { - 1 } d g ) ^ { 3 }
\begin{array} { r l } { r ^ { \mu \nu } } & { { } = \frac { 1 } { ( q - 1 ) ! } n ^ { \mu } { } _ { \rho _ { 1 } \ldots } \mu ^ { \nu \rho _ { 1 } \ldots } + \frac { 1 } { ( q - 2 ) ! } ( n _ { \ell } ) ^ { \mu } { } _ { \rho _ { 1 } \ldots } \mu _ { \ell } ^ { \nu \rho _ { 1 } \ldots } } \\ { r ^ { [ \mu \nu ] } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { m , 2 } ( r ) + \mathcal { H } _ { m , 3 } ( r ) = } & { \frac { r ^ { 1 - m } G _ { m } ( r ) - r ^ { 2 } G _ { m } ( 1 ) } { G _ { m } ( 1 ) } } \\ { = } & { \frac { r ^ { 1 - m } G _ { m } ( r ) - r ^ { 2 } G _ { m } ( 1 ) } { m ( { \Omega _ { m } } - \widehat { { \Omega } } _ { m } ) } \cdot } \end{array}
J = j - \frac { 1 } { 2 } : \, \, \, \mathop { \sum } _ { i = 1 } ^ { j } \sqrt { \frac { 1 } { j ( 2 j + 1 ) } } ( \gamma ^ { \mu _ { i } } + \frac { i d ^ { \mu _ { i } } } { m _ { B _ { j } } } ) \gamma _ { 5 } B ^ { \mu _ { 1 } \cdots \widehat { \mu } _ { i } \cdots \mu _ { j } } ( x )
\begin{array} { r l } & { \sum _ { u = 1 } ^ { \alpha N } { \binom { N } { u } } { \binom { m } { 2 u } } \left( \frac { s u } { N } \right) ^ { 4 u } \le \sum _ { u = 1 } ^ { \alpha N } \left( \frac { e N } { u } \right) ^ { u } \left( \frac { e C N } { 2 u } \right) ^ { 2 u } \left( \frac { s u } { N } \right) ^ { 4 u } } \\ & { < \sum _ { u = 1 } ^ { \alpha N } \left( \frac { u } { N } \right) ^ { u } \left( e ^ { 2 } C s ^ { 2 } \right) ^ { 2 u } < \sum _ { u = 1 } ^ { \alpha N } \alpha ^ { u } ( 1 0 C s ^ { 2 } ) ^ { 2 u } < \sum _ { u = 1 } ^ { \alpha N } 1 0 ^ { - u } < 1 / 4 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \nu \phi ^ { \prime \prime \prime } } & { - \phi ^ { \prime \prime } + ( \bar { u } ( x ) \phi ) ^ { \prime } = \lambda \phi , \quad x \in ( - \infty , s ) } \\ { - \frac { \lambda } { \mu _ { 3 } ^ { + } ( \lambda ) } \phi ( s ) } & { - ( \frac { \lambda } { \mu _ { 3 } ^ { + } ( \lambda ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \mu _ { 3 } ^ { + } ( \lambda ) } ) \phi ^ { \prime } ( s ) + \nu \phi ^ { \prime \prime } ( s ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \theta } ^ { \smash { \mathrm { s d } } } } & { = \prod _ { a \in Q _ { 1 } ^ { \mathbin { \vartriangle } } } \mathrm { H o m } ( \mathbb { K } ^ { \theta _ { s ( a ) } } , \mathbb { K } ^ { \theta _ { t ( a ) } } ) \times \prod _ { a \in Q _ { 1 } ^ { + } } \operatorname { S y m } ^ { 2 } ( \mathbb { K } ^ { \theta _ { t ( a ) } } ) \times \prod _ { a \in Q _ { 1 } ^ { - } } { \wedge } ^ { 2 } ( \mathbb { K } ^ { \theta _ { t ( a ) } } ) , } \\ { G _ { \theta } ^ { \smash { \mathrm { s d } } } } & { = \prod _ { i \in Q _ { 0 } ^ { \mathbin { \vartriangle } } } \mathrm { G L } ( \theta _ { i } ) \times \prod _ { i \in Q _ { 0 } ^ { + } } \mathrm { O } ( \theta _ { i } ) \times \prod _ { i \in Q _ { 0 } ^ { - } } \mathrm { S p } ( \theta _ { i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert J _ { 1 , q _ { 1 } } ^ { \alpha , \delta } ( t , x , \widetilde { \eta } ) \vert } & { \lesssim \left( \int _ { \mathbb R ^ { d } } ( 1 + \vert v \vert ^ { 2 } ) ^ { \sigma } \vert \nabla _ { v } \partial _ { t } ^ { \delta } \partial _ { x } ^ { \alpha } ( I - \Delta _ { v } ) ^ { \frac { q _ { 1 } + 3 } { 2 } } f ( t , x , v ) \vert ^ { 2 } \ \mathrm { d } v \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { s ^ { q _ { 1 } } } { 1 + s ^ { q _ { 1 } + 3 } \vert \widetilde { k } \vert ^ { q _ { 1 } + 3 } } \, \mathrm { d } s } \\ & { \lesssim \Vert \partial _ { t } ^ { \delta } f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { 4 + q _ { 1 } + \vert \alpha \vert + { \frac { d } { 2 } } ^ { + } } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { s ^ { q _ { 1 } } } { 1 + s ^ { q _ { 1 } + 3 } } \, \mathrm { d } s , } \end{array}
\Gamma _ { \chi W ^ { + } \gamma _ { W } ^ { - } } ^ { T \left( 1 \right) } \left( M _ { W } ^ { 2 } \right) = - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \xi } \left. \frac { \partial \Gamma _ { W ^ { + } W ^ { - } } ^ { T \left( 1 \right) } } { \partial q ^ { 2 } } \left( q ^ { 2 } \right) \right| _ { q ^ { 2 } = M _ { W } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \xi } \delta Z _ { W } \, , \quad \Gamma _ { \chi W ^ { + } \gamma _ { G } ^ { - } } ^ { T \left( 1 \right) } \left( q \right) = 0 \, ,
\Bigl ( \prod _ { j } \eta ( \alpha _ { j } ) \Bigr ) \Bigl ( \prod _ { j ^ { \prime } } \eta ( \alpha _ { j ^ { \prime } } ) \Bigr ) = ( - 1 ) ^ { N _ { + } } \qquad \mathrm { f o r } \qquad E _ { f } > 0 \, ,
[ P f ] ( { \bf x } _ { r } ) = \frac { \displaystyle \int f ( { \bf x } _ { r } , { \bf x } _ { u } ) \rho ( { \bf x } _ { r } , { \bf x } _ { u } ) d { \bf x } _ { u } } { \displaystyle \int \rho ( { \bf x } _ { r } , { \bf x } _ { u } ) d { \bf x } _ { u } }
\begin{array} { r l } { { \frac { d \sigma } { d \Omega } } } & { { } = { \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 2 } E _ { C M } ^ { 2 } } } { \frac { | { \vec { p } } _ { f } | } { | { \vec { p } } _ { i } | } } { \overline { { | { \mathcal { M } } | ^ { 2 } } } } } \end{array}
{ \Bigg ( } { \frac { q } { p } } { \Bigg ) } _ { 4 } { \Bigg ( } { \frac { p } { q } } { \Bigg ) } _ { 4 } = { \Bigg ( } { \frac { a + b j } { q } } { \Bigg ) } = { \Bigg ( } { \frac { c + d i } { p } } { \Bigg ) } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { I } _ { m , 3 } } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \nu _ { \Omega _ { m } } ( r ) r ^ { 2 m + 1 } \mathcal { H } _ { m , 3 } ( r ) d r + \int _ { 0 } ^ { 1 } \nu _ { \Omega _ { m } } ( r ) r ^ { 2 m + 1 } \big ( F _ { m , \Omega _ { m } } ( r ) - 1 \big ) \mathcal { H } _ { m , 3 } ( r ) d r } \\ & { = : \mathbb { I } _ { m , 3 } ^ { 1 } + \mathbb { I } _ { m , 3 } ^ { 2 } . } \end{array}
\tilde { \Psi } _ { k , \delta } ( k / N ) = \frac { \delta } { 2 } \left[ \frac { 1 } { N } \sum _ { m = k } ^ { N - 1 } \frac { { \binom { m } { k } } } { { \binom { N } { k } } } \frac { N ^ { N - m } } { ( N - k ) ^ { N - m } } + \frac { 1 } { 3 N } \sum _ { m = N + 1 } ^ { 4 N } \frac { { \binom { m } { k } } } { { \binom { N } { k } } } \frac { ( N - k ) ^ { m - N } } { N ^ { m - N } } \right] .
\Gamma ( B _ { c } ^ { - } \rightarrow l ^ { - } { \bar { \nu } _ { l } } ) = \frac { G _ { F } ^ { 2 } } { 8 \pi } | V _ { c b } | ^ { 2 } M _ { B _ { c } } f _ { B _ { c } } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { m _ { l } ^ { 2 } } { M _ { B _ { c } } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { g _ { n } ( x ) } & { = 2 a _ { 2 n } ( x ) = ( 4 n + 1 ) \int _ { 0 } ^ { x } G _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( x , t ) P _ { 2 n } \left( \frac { t } { x } \right) d t , } \\ { s _ { n } ( x ) } & { = 2 a _ { 2 n + 1 } ( 4 n + 3 ) \int _ { 0 } ^ { x } S _ { \mathfrak { I } _ { N } } ( x , t ) P _ { 2 n + 1 } \left( \frac { t } { x } \right) d t . } \end{array}
\mathbf { S } _ { \mathrm { h i s t } } \leftarrow S _ { \mathrm { h i s t } } ^ { r } \cdot F _ { -- } \ \ \mathrm { i f } \ L _ { \mathrm { r e l } } ^ { r } < T _ { F } ^ { 1 } \land L _ { \mathrm { n e w } } ^ { r } \leq L _ { \mathrm { o l d } } ^ { r }
\frac { \partial ^ { k } } { \partial x ^ { k } } \frac { \partial ^ { l } } { \partial t ^ { l } } G ( \rho ; x , t ) = ( - 1 ) ^ { k } \Im \left( \frac { \Phi ^ { \dagger } \left( \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } \right) \left( \Phi \left( \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } \right) \right) ^ { k } } { \rho ^ { k + 1 } } \rho ^ { l + k } e ^ { i l \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } e ^ { - x \Phi \left( \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } \right) + t \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } } \right) .
\begin{array} { r } { - \frac { \beta _ { 2 } ^ { \prime } } { 2 } \frac { \mathrm { { d } } ^ { 2 } } { \mathrm { { d } } t ^ { 2 } } U ( t ) + 3 \gamma ^ { \prime } | U ( t ) | ^ { 2 } U ( t ) = \kappa U ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { \mathrm { ~ B ~ } } ( t ) \equiv - k _ { \mathrm { ~ B ~ } } \int \d \gamma _ { 1 } \, f _ { 1 } ( \gamma _ { 1 } ; t ) ( \ln f _ { 1 } ( \gamma _ { 1 } ; t ) - 1 ) \, } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \omega _ { t } + u \cdot \nabla \omega = 0 , } & { \mathrm { ~ f o r ~ } ( t , x ) \in [ 0 , \infty ) \times \mathbb { R } ^ { 2 } , } \\ { u = - \nabla ^ { \perp } ( - \Delta ) ^ { - 1 + \alpha / 2 } \omega , } & { \alpha \in [ 0 , 2 ] } \\ { \omega ( 0 , \cdot ) = \omega _ { 0 } ( \cdot ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { H ( \omega ) } & { = \alpha _ { 1 , 0 } + \frac { \alpha _ { 1 , 1 } } { \omega - p _ { 1 } } + . . . + \frac { \alpha _ { 1 , 2 } } { ( \omega - p _ { 1 } ) ^ { \nu _ { 1 } } } } \\ & { + \alpha _ { 2 , 0 } + \frac { \alpha _ { 2 , 1 } } { \omega - p _ { 2 } } + . . . + \frac { \alpha _ { 2 , 2 } } { ( \omega - p _ { 2 } ) ^ { \nu _ { 2 } } } . } \\ & { + . . . } \\ & { = H _ { \mathrm { b g r d } } + \sum _ { \ell } \sum _ { m = 1 } ^ { \nu _ { \ell } } \frac { \alpha _ { \ell , m } } { ( \omega - p _ { \ell } ) ^ { m } } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { L } ^ { ( 1 ) } } & { = \frac { \widetilde v _ { 1 } - \widetilde v _ { - 1 } } { 2 h } \approx \sum _ { j = 0 } ^ { n _ { n b } } c _ { j , 0 } ^ { - } v _ { j } , \quad c _ { j , 0 } ^ { - } = \frac { - { b } _ { - 1 , j } + { b } _ { 1 , j } } { 2 h } , } \\ { \phi _ { R } ^ { ( p ) } } & { = \frac { \widetilde v _ { N + 1 } - \widetilde v _ { N - 1 } } { 2 h } \approx \sum _ { j = 0 } ^ { n _ { n b } } c _ { j , p } ^ { + } v _ { N - j } , \quad c _ { j , p } ^ { + } = \frac { - { b } _ { N - 1 , N - j } + { b } _ { N + 1 , N - j } } { 2 h } . } \end{array}
\sum _ { \epsilon _ { l } < 0 } u _ { \epsilon _ { l } l } \left( r \right) u _ { \epsilon _ { l } l } \left( r ^ { \prime } \right) + \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } k } { 2 \pi } \, u _ { k l } \left( r \right) u _ { k l } \left( r ^ { \prime } \right) = \delta \left( r - r ^ { \prime } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } \sum _ { \alpha < \beta < \gamma } ~ \sum _ { \delta < \epsilon < \cdots < \lambda } ~ \sum _ { \mu < \nu < \cdots < \zeta } A _ { \alpha \beta \gamma } { } ^ { \delta \epsilon \cdots \lambda } B ^ { \alpha \beta \gamma } { } _ { \delta \epsilon \cdots \lambda \mu \nu \cdots \zeta } C ^ { \mu \nu \cdots \zeta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { N - 1 , N - 3 } } & { { } = \frac { 1 } { r ( N - 1 ) + 1 } , } \\ { p _ { N - 1 , N } } & { { } = \frac { 2 r } { r ( N - 1 ) + 1 } , } \\ { p _ { N - 1 , N - 1 } } & { { } = 1 - p _ { N - 1 , N - 3 } - p _ { N - 1 , N } = \frac { r ( N - 3 ) } { r ( N - 1 ) + 1 } , } \\ { p _ { N - 1 , j } } & { { } = 0 \mathrm { ~ i ~ f ~ } j \neq N - 3 , N - 1 , N . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } ^ { \infty } ( g _ { { \bf z } ^ { ( 1 ) } , \ldots , { \bf z } ^ { ( N ) } } ^ { \lambda _ { 1 } , \ldots , \lambda _ { N } , \lambda } ) - \operatorname* { i n f } _ { g : \mathcal { M } _ { 1 } ^ { + } ( \mathcal { X } ) \to \left\{ f : \mathcal { X } \to \mathbb { R } \right\} } \mathcal { E } ^ { \infty } ( g ) \le C ^ { \prime } ( n ) \frac { \log \frac { 4 } { \delta } } { \delta ^ { 2 } } N ^ { - \frac { 1 } { 1 + c _ { 6 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { f } \ } & { - \int _ { a } ^ { \infty } \tilde { H } ( x ) d f ( x ) , } \\ { \mathrm { ~ s . t . ~ } \ \ } & { - \int _ { a } ^ { \infty } ( x - a ) d f ( x ) = \beta , } \\ & { - \int _ { a } ^ { \infty } \tilde { G } ( x ) d f ( x ) = \Gamma , } \\ & { - \int _ { a } ^ { \infty } d f ( x ) \leq \eta , } \\ & { f ( x ) \ \mathrm { e x i s t s , ~ n o n - i n c r e a s i n g ~ a n d ~ r i g h t - c o n t i n u o u s ~ f o r ~ } x \geq a , } \\ & { f ( x ) \geq 0 \ \mathrm { f o r } \ x \geq a , } \\ & { x f ( x ) \rightarrow 0 \ \mathrm { a s } \ x \rightarrow \infty , } \\ & { \tilde { G } ( x ) f ( x ) \rightarrow 0 \ \mathrm { a s } \ x \rightarrow \infty . } \end{array}
F ( \Omega _ { 1 } , \Omega _ { 2 } , \ldots , \Omega _ { m } ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \cdots \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \ldots , t _ { m } ) e ^ { - i \Omega _ { 1 } t _ { 1 } - i \Omega _ { 2 } t _ { 2 } \cdots - i \Omega _ { m } t _ { m } } \, d t _ { 1 } \cdots \, d t _ { m }
\begin{array} { r l } { \left\langle \delta \alpha , \delta \phi _ { t } \right\rangle - f \left\langle \delta \alpha , \nabla \psi \right\rangle - g \left\langle \delta \alpha , \delta \eta \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { 2 } , } \\ { \left\langle \nabla \gamma , \nabla \psi _ { t } \right\rangle + f \left\langle \nabla \gamma , \delta \phi \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle \phi , \eta _ { t } + H \nabla \cdot \delta \phi \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \phi \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } . } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { E P } } = \left( \begin{array} { c c c c c } { E _ { 0 } } & { A } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { E _ { 0 } } & { A } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { E _ { 0 } } & { \ldots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { E _ { 0 } } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ , ~ } } & { { } \operatorname { m i n m o d } ( a , b ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \operatorname { s i g n } ( a ) + \operatorname { s i g n } ( b ) \right) \operatorname* { m i n } ( | a | , | b | ) \, \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \Big [ \exp \Big ( \sqrt { l } \, \Delta ( \beta ) \Big ) \Big ] \leq \exp \Big ( \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) } \Big ) + 2 ( \| \beta _ { 1 } \| _ { 1 } + 1 ) \bar { \alpha } , } \\ & { \mathbb { E } \Big [ \exp \Big ( \sqrt { l } \, \Delta ^ { \prime } ( \beta ) \Big ) \Big ] \leq \exp \Big ( \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) } \Big ) + 2 ( \| \beta _ { 1 } \| _ { 1 } + 1 ) \bar { \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \mathit { \Sigma } } ^ { { < } } \left( \varepsilon \right) } & { { = } { \mathit { \Sigma } } _ { C } ^ { { < } } \left( \varepsilon \right) { + } \sum _ { r { \in } \left\{ L , R \right\} } { { \mathit { \Sigma } } _ { r } ^ { { < } } \left( \varepsilon \right) } } \end{array}
- ( \zeta ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } ) ^ { 2 } - \sin { \left( \Omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } \right) } + \cos { \left( \zeta ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } \right) } + 2 \cos { \left( \Omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } \right) } + 1 . 9 1 8
\begin{array} { r } { \nabla \Lambda ( a , b ) = \left[ \begin{array} { c } { \log \frac { a + b } { a } } \\ { \log \frac { a + b } { b } } \end{array} \right] , \qquad \mathrm { H e s s } ( \Lambda ( a , b ) ) = \left[ \begin{array} { c c } { - \frac { b } { a ( 1 + b ) } } & { \frac { 1 } { a + b } } \\ { \frac { 1 } { a + b } } & { - \frac { a } { b ( a + b ) } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \times \mathbf { E } } & { { } = \frac { i \omega } { c } \mathbf { B } , } \\ { \nabla \times \mathbf { B } } & { { } = - \frac { i \omega \epsilon _ { d } } { c } \mathbf { E } + \frac { 4 \pi } { c } \mathbf { j } , } \end{array}
\mathcal { O } \left( \mathfrak { u } _ { 0 } \right) : = \big \{ q \left( t \right) \ \backslash \ \, D e l t a _ { a } ( q , \dot { q } , \ddot { q } ) = 0 \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } q \left( t _ { 0 } \right) = q _ { 0 } , \ \dot { q } \left( t _ { 0 } \right) = \dot { q } _ { 0 } \big \} ,
\begin{array} { r l } { ( A ( x ; \lambda ) y _ { 1 } ^ { + } ) } & { \wedge \cdots \wedge y _ { j } ^ { + } \wedge \cdots \wedge y _ { n } ^ { + } = d _ { A 1 , n } ^ { + } ( x ; \lambda ) e _ { 1 } \wedge \dots \wedge e _ { n - 1 } } \\ & { + d _ { A 1 , n - 1 } ^ { + } ( x ; \lambda ) e _ { 1 } \wedge \dots \wedge e _ { n - 2 } \wedge e _ { n } + \dots + d _ { A 1 , 1 } ^ { + } ( x ; \lambda ) e _ { 2 } \wedge \dots \wedge e _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } { \Omega _ { 1 } \cap \Omega _ { 2 } = \big \{ ( x , z , y ) \in X \times Z \times Y \; \big | \; } & { A _ { 1 } ( x ) + A _ { 2 } ( y ) = u , B _ { 1 } ( y ) + B _ { 2 } ( z ) = v , } \\ & { \langle x _ { i } ^ { * } , x \rangle + \langle y _ { 1 , i } ^ { * } , y \rangle \leq \alpha _ { i } , \, i = 1 , \ldots , p , } \\ & { \langle y _ { 2 , j } ^ { * } , y \rangle + \langle z _ { j } ^ { * } , z \rangle \leq \beta _ { j } , \, j = 1 , \ldots , q \big \} . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { u } ^ { q G } ( 0 ; q > 1 ) } & { = \frac { \beta \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 3 - q } { 2 q - 1 } \right) } { \beta \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 5 - q } { 2 q - 1 } \right) } } \\ & { \times \frac { \sigma _ { 2 u } ^ { q G } } { _ 2 F _ { 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { q - 1 } ; \frac { 2 } { q - 1 } ; 1 - \left( \frac { \sigma _ { 1 u } ^ { q G } } { \sigma _ { 2 u } ^ { q G } } \right) ^ { 2 } \right) } . } \end{array}
\int \overline { { g } } \frac { \Delta ^ { 2 } } { ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left( \left| \frac { W _ { 0 } \widetilde { \partial } _ { \theta } \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } } { \operatorname* { m a x } ( | \omega | , | m | , 1 ) } \right| ^ { 2 } + \left| \frac { W _ { 0 } \widetilde { \partial } _ { r } \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } } { \operatorname* { m a x } ( | \omega | , | m | , 1 ) } \right| ^ { 2 } \right) \leq C \left( \mathcal { S } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] + \int \overline { { g } } \left| v ^ { 2 } W _ { 0 } \left( \frac { H _ { \chi } } { v ^ { 2 } } \right) \right| ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { E } } ^ { D } [ f ] } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { D } \int _ { D } ( f ( w ) - f ( z ) ) ^ { 2 } \nu ( z - w ) \, d w \, d z + \int _ { D } f ^ { 2 } ( w ) \nu ( w , D ^ { c } ) \, d w } \\ & { \quad + \int _ { D } \int _ { D \setminus D _ { w } } f ( w ) f ( z ) \nu ( z - w ) \, d z \, d w } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { D } \int _ { D _ { w } } ( f ( w ) - f ( z ) ) ^ { 2 } \nu ( z - w ) \, d w \, d z + \frac { 1 } { 2 } \int _ { D } \int _ { D \setminus D _ { w } } ( f ( w ) - f ( z ) ) ^ { 2 } \nu ( z - w ) \, d w \, d z } \\ & { \quad + \int _ { D } f ^ { 2 } ( w ) \nu ( w , D ^ { c } ) \, d w + \int _ { D } \int _ { D \setminus D _ { w } } f ( w ) f ( z ) \nu ( z - w ) \, d z \, d w } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \iint _ { [ z , w ] \in D } ( f ( w ) - f ( z ) ) ^ { 2 } \nu ( z - w ) \, d w \, d z + \frac { 1 } { 2 } \int _ { D } \int _ { D \setminus D _ { w } } \left( f ^ { 2 } ( w ) + f ^ { 2 } ( z ) \right) \nu ( z - w ) \, d w \, d z } \\ & { \quad + \int _ { D } f ^ { 2 } ( w ) \nu ( w , D ^ { c } ) \, d w , } \end{array}
{ \cal L } ^ { 1 } = \frac { 8 } { 4 5 } \frac { \alpha ^ { 2 } } { m ^ { 4 } } { \cal F } ^ { 2 } + \frac { 1 4 } { 4 5 } \frac { \alpha ^ { 2 } } { m ^ { 4 } } { \cal G } ^ { 2 } .
\frac { d \Gamma } { d w } = \frac { G _ { F } ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 3 } } \sqrt { w ^ { 2 } - 1 } m _ { D ^ { * } } ^ { 3 } ( m _ { B } - m _ { D ^ { * } } ) ^ { 2 } { \cal G } ( w ) | V _ { c b } | ^ { 2 } | { \cal F } _ { B \to D ^ { * } } ( w ) | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \int _ { - R } ^ { R } ( x - b ) _ { + } ^ { \alpha } ( y - b ) _ { + } ^ { \alpha } d b } & { = } & { \int _ { - R } ^ { s - | \delta | } ( s + \delta - b ) ^ { \alpha } ( s - \delta - b ) ^ { \alpha } d b = \int _ { - R } ^ { s - | \delta | } ( ( s - b ) ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) ^ { \alpha } d b } \\ & { = } & { \int _ { - R } ^ { s - | \delta | } \sum _ { i = 0 } ^ { \alpha } { \binom { \alpha } { i } } ( s - b ) ^ { 2 i } ( - 1 ) ^ { i - \alpha } \delta ^ { 2 \alpha - 2 i } d b } \\ & { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { \alpha } { \binom { \alpha } { i } } \frac { 1 } { 2 i + 1 } \Big [ ( R + s ) ^ { 2 i + 1 } - | \delta | ^ { 2 i + 1 } \Big ] ( - 1 ) ^ { i - \alpha } \delta ^ { 2 \alpha - 2 i } } \\ & { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { \alpha } { \binom { \alpha } { i } } \frac { ( - 1 ) ^ { i - \alpha } } { 2 i + 1 } ( R + s ) ^ { 2 i + 1 } \delta ^ { 2 \alpha - 2 i } - \sum _ { i = 0 } ^ { \alpha } { \binom { \alpha } { i } } \frac { ( - 1 ) ^ { i - \alpha } } { 2 i + 1 } \times | \delta | ^ { 2 \alpha + 1 } } \\ & { = } & { A _ { \alpha } ( x , y ) - B _ { \alpha } | x - y | ^ { 2 \alpha + 1 } , } \end{array}
A _ { i k } ( \omega ) = \frac { 2 \mathrm { I m } \Sigma _ { i , k } ( \omega - i 0 ) } { [ \omega - \epsilon _ { i , k } - \mathrm { R e } \Sigma _ { i , k } ( \omega ) ] ^ { 2 } + [ \mathrm { I m } \Sigma _ { i , k } ( \omega - i 0 ) ] ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \| \delta _ { 1 / d ( \gamma _ { k } ( M ) , y _ { k } ) } ( \varphi ( \gamma _ { k } ( M ) ) ^ { - 1 } \varphi ( y _ { k } ) ) \| } & { = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \frac { d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) } { d ( \gamma _ { k } ( M ) , y _ { k } ) } \| \delta _ { 1 / d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) } ( \varphi ( \gamma _ { k } ( M ) ) ^ { - 1 } \varphi ( y _ { k } ) ) \| } \\ & { \leq \delta ^ { - 1 } \operatorname* { l i m } _ { k \to + \infty } \| \delta _ { 1 / d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) } ( \varphi ( \gamma _ { k } ( M ) ) ^ { - 1 } \varphi ( y _ { k } ) ) \| = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { \mathbb P } ( \mathcal { D } ^ { c } ) } & { \le \frac { \delta } { 5 M \tau } \operatorname { \mathbb E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta _ { r _ { n } } ( \theta _ { \star } ) } \left\lVert G _ { n } ( \theta ) - G _ { n } ( \pi ( \theta ) ) \right\rVert _ { G _ { \star } ^ { - 1 } } \right] \overset { \mathrm { \scriptsize ~ J e n s e n ' s } } { \le } \frac { \delta } { 5 M \tau } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta _ { r _ { n } } ( \theta _ { \star } ) } \left\lVert G ( \theta ) - G ( \pi ( \theta ) ) \right\rVert _ { G _ { \star } ^ { - 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } } & { { } = 1 - e ^ { - t / \tau } , } \\ { c _ { 2 } } & { { } = \left( t + \tau \right) e ^ { - t / \tau } - \tau , } \\ { c _ { 3 } } & { { } = t - \tau + \tau e ^ { - t / \tau } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { C } } & { { } = \frac { \omega _ { N } \big ( 1 - \cos ( \theta _ { 1 } ) \big ) + \omega _ { S } \big ( 1 + \cos ( \theta _ { 2 } ) \big ) } { \cos ( \theta _ { 2 } ) - \cos ( \theta _ { 1 } ) } \cdot } \end{array}
\langle { \vec { u } } ( \vec { x } ) . { \vec { u } } ( 0 ) \rangle = \sum _ { i = j } ^ { 3 } i S _ { i j } ^ { F } ( { \vec { x } } - { \vec { x ^ { \prime } } } ) = \int { \frac { \mathrm { d } ^ { 3 } { \vec { k } } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { { \frac { e ^ { i { \vec { k } } . ( { \vec { x } } - { \vec { x ^ { \prime } } ) } } } { \omega _ { k } } } }
\! ( \mathbf { A } \times \mathbf { B } ) \times ( \mathbf { C } \times \mathbf { D } ) = \left( \mathbf { A } \cdot ( \mathbf { B } \times \mathbf { D } ) \right) \mathbf { C } - \left( \mathbf { A } \cdot \left( \mathbf { B } \times \mathbf { C } \right) \right) \mathbf { D }
\begin{array} { r } { \mathbf T _ { m } = \left( \begin{array} { l l } { 1 + i \zeta _ { m } ( \omega ) } & { i \zeta _ { m } ( \omega ) } \\ { - i \zeta _ { m } ( \omega ) } & { 1 - i \zeta _ { m } ( \omega ) } \end{array} \right) . } \end{array}