harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
K = { \frac { 1 } { 3 } } { \left[ \begin{array} { l l l l } { Q _ { x x } - Q _ { y y } - Q _ { z z } } & { Q _ { y x } + Q _ { x y } } & { Q _ { z x } + Q _ { x z } } & { Q _ { y z } - Q _ { z y } } \\ { Q _ { y x } + Q _ { x y } } & { Q _ { y y } - Q _ { x x } - Q _ { z z } } & { Q _ { z y } + Q _ { y z } } & { Q _ { z x } - Q _ { x z } } \\ { Q _ { z x } + Q _ { x z } } & { Q _ { z y } + Q _ { y z } } & { Q _ { z z } - Q _ { x x } - Q _ { y y } } & { Q _ { x y } - Q _ { y x } } \\ { Q _ { y z } - Q _ { z y } } & { Q _ { z x } - Q _ { x z } } & { Q _ { x y } - Q _ { y x } } & { Q _ { x x } + Q _ { y y } + Q _ { z z } } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r l } { | A _ { \lambda } ( \omega _ { e x } ) \rangle } & { { } = \sum _ { I } \frac { \langle \Psi _ { I } | \hat { \mu } _ { \lambda } | \Psi _ { 0 } \rangle } { \omega _ { e x } - ( E _ { I } - E _ { 0 } ) + i \eta } | \Psi _ { I } \rangle = \sum _ { I } a _ { I } | \Psi _ { I } \rangle , } \\ { | B _ { \rho \lambda } ( \omega _ { e x } , \omega _ { e m } ) \rangle } & { { } = \sum _ { I } \frac { \langle \Psi _ { I } | \hat { \mu } _ { \rho } ^ { \dagger } | A _ { \lambda } ( \omega _ { e x } ) \rangle } { \omega _ { e x } - \omega _ { e m } - ( E _ { I } - E _ { 0 } ) + i \eta ^ { \prime } } | \Psi _ { I } \rangle = \sum _ { I } b _ { I } | \Psi _ { I } \rangle , } \end{array}
{ \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { g _ { 0 } ^ { 2 } ( \Lambda ) } } \equiv { \frac { 1 } { \hat { g } _ { 0 } ^ { 2 } ( \Lambda ) } } = \beta _ { 0 } \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \lambda _ { P } ^ { 2 } } } + c _ { 1 }
\perp ^ { \hat { a } \hat { b } } \dot { b } _ { \hat { b } } + { \omega } ^ { \hat { a } \hat { b } } b _ { \hat { b } } = \perp ^ { \hat { a } \hat { b } } \left( U ^ { \hat { c } } \partial _ { \hat { c } } b _ { \hat { b } } \right) \; .
\begin{array} { r l } & { d ( \mathcal { X } _ { j } ( t , x ) , \chi _ { [ j , x ] } ( \tau _ { x } + \tau ( t ) ) ) } \\ & { = d ( \Pi _ { \iota ( U ) } \mathfrak { e } ( t + \tau _ { x } , \tilde { J } _ { j } ( x ) ) , \iota \circ \chi _ { [ j , x ] } ( \tau _ { x } + \tau ( t ) ) ) } \\ & { = d ( \Pi _ { \iota ( U ) } \tilde { \chi } _ { [ j , x ] } ( t + \tau _ { x } ) , \tilde { \chi } _ { [ j , x ] } ( \tau _ { x } + \tau ( t ) ) ) } \\ & { \leq d ( \Pi _ { \iota ( U ) } \tilde { \chi } _ { [ j , x ] } ( t + \tau _ { x } ) , \tilde { \chi } _ { [ j , x ] } ( \tau _ { x } + t ) ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + d ( \tilde { \chi } _ { [ j , x ] } ( \tau _ { x } + t ) , \tilde { \chi } _ { [ j , x ] } ( \tau _ { x } + \tau ( t ) ) ) } \\ & { \leq d ( \Pi _ { \iota ( U ) } \tilde { \chi } _ { [ j , x ] } ( t + \tau _ { x } ) , \tilde { \chi } _ { [ j , x ] } ( \tau _ { x } + t ) ) + 2 \varepsilon \lvert t \rvert } \\ & { \leq \mathrm { d i s t } ( \iota ( U ) , \tilde { \chi } _ { [ j , x ] } ( \tau _ { x } + \tau ( t ) ) ) + d ( \tilde { \chi } _ { [ j , x ] } ( \tau _ { x } + \tau ( t ) ) , \tilde { \chi } _ { [ j , x ] } ( \tau _ { x } + t ) ) + 2 \varepsilon \lvert t \rvert } \\ & { \leq \mathrm { d i s t } ( \iota ( U ) , \tilde { \chi } _ { [ j , x ] } ( \tau _ { x } + \tau ( t ) ) ) + 4 \varepsilon \lvert t \rvert = \mathrm { d i s t } ( U , \chi _ { [ j , x ] } ( \tau _ { x } + \tau ( t ) ) ) + 4 \varepsilon \lvert t \rvert } \\ & { = d ( \mathcal { X } _ { j } ( \tau ( t ) , x ) , \chi _ { [ j , x ] } ( \tau _ { x } + \tau ( t ) ) ) + 4 \varepsilon \lvert t \rvert . } \end{array}
\mathbf { q } \left( r , \theta , z , t \right) = \left\{ \Phi , \eta \right\} ^ { T } = \epsilon \mathbf { q } _ { 1 } + \epsilon ^ { 2 } \mathbf { q } _ { 2 } + \epsilon ^ { 3 } \mathbf { q } _ { 3 } + \mathrm { ~ O ~ } \left( \epsilon ^ { 4 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \lambda _ { N } ( Q _ { [ i , i + 2 ] } ) } & { = \left| X \setminus Y \right| - \left| Y \setminus X \right| } \\ & { = \left| B _ { i } \setminus B _ { i } ^ { \prime } \right| + \left| B _ { i + 2 } \setminus B _ { i + 2 } ^ { \prime } \right| + \left| ( X \setminus Y ) \cap Q _ { i + 1 } \right| - \left| Y \setminus X \right| } \\ & { \geq 4 c + 0 - 2 c . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { x } & { { } = - 2 n \cos \phi \sqrt { \frac { 2 a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } v ( 1 - v ) } { 1 + a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } } } , } & { y } & { { } = \frac { n a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } v } { 2 ( 1 + a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial n } { \partial t } } & { = - \nabla \cdot \left( n \mathbf { b } v _ { | | } \right) } \\ { \frac { \partial p } { \partial t } } & { = - \nabla \cdot \left( p \mathbf { b } v _ { | | } \right) - \frac { 2 } { 3 } p \nabla \cdot \left( \mathbf { b } v _ { | | } \right) } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left( m n v _ { | | } \right) } & { = - \nabla \cdot \left( m n v _ { | | } \mathbf { b } v _ { | | } \right) - \partial _ { | | } p } \end{array}
\sin { \frac { 1 3 \pi } { 6 0 } } = \sin 3 9 ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 1 6 } } \left[ 2 \left( 1 - { \sqrt { 3 } } \right) { \sqrt { 5 - { \sqrt { 5 } } } } + { \sqrt { 2 } } \left( { \sqrt { 3 } } + 1 \right) \left( { \sqrt { 5 } } + 1 \right) \right]
\begin{array} { r l } { t _ { k } ( x ) } & { { } = D ( x - x _ { k } , N ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { \sin { \frac { 1 } { 2 } } N ( x - x _ { k } ) } { N \tan { \frac { 1 } { 2 } } ( x - x _ { k } ) } } { \mathrm { ~ f o r ~ } } x \neq x _ { k } } \\ { \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { \sin { \frac { 1 } { 2 } } N x } { N \tan { \frac { 1 } { 2 } } x } } = 1 { \mathrm { ~ f o r ~ } } x = x _ { k } . } \end{array} \right. } } \end{array}
\sum _ { \alpha = 1 } ^ { N } r _ { \alpha } ^ { 2 } - \frac { 1 } { N } \left( \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N } r _ { \alpha } \right) ^ { 2 } = 2 C _ { 2 } ( R ) + \frac { N ( N ^ { 2 } - 1 ) } { 1 2 } \ .
\begin{array} { r l } { \langle \phi | A | \psi \rangle ^ { * } } & { { } = \left\langle \psi \left| A ^ { \dagger } \right| \phi \right\rangle } \\ { \left\langle \phi \left| A ^ { \dagger } B ^ { \dagger } \right| \psi \right\rangle ^ { * } } & { { } = \langle \psi | B A | \phi \rangle \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 0 } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) } & { { } = | \operatorname* { d e t } J _ { \vec { x } _ { 0 } } ( \vec { x } _ { z } ) | ^ { - 1 } \rho _ { 0 } ( \vec { x } _ { 0 } , \omega ) . } \\ { \frac { d ^ { 2 } \vec { x } _ { z } } { d z ^ { 2 } } } & { { } = - \left( \vec { \Omega } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) \cdot \nabla _ { X _ { z } } \right) \vec { \Omega } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) + \nabla _ { X _ { z } } g ( \vec { x } _ { z } ) + \frac { 1 } { 2 k _ { 0 } ^ { 2 } } \nabla _ { X _ { z } } \left( \frac { \nabla _ { X _ { z } } ^ { 2 } \rho _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) } { \rho _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) } \right) } \\ { \frac { d \vec { \Omega } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) } { d z } } & { { } = 0 } \end{array}
\Sigma = ( 1 + 2 n ) \left( \begin{array} { l l } { \cosh 2 r \mathbb { 1 } _ { 2 } } & { \sinh 2 r Z } \\ { \sinh 2 r Z } & { \cosh 2 r \mathbb { 1 } _ { 2 } } \end{array} \right) .
\left. \left\{ ( 1 - e ^ { 2 i \gamma } ) i D - ( 1 + e ^ { 2 i \gamma } ) v _ { 0 1 } + { \sqrt 2 } \eta \partial _ { 1 } ( { \bar { \sigma } } + e ^ { 2 i \gamma } \sigma ) \right\} \right| _ { x ^ { 1 } = 0 } = 0 \quad .
\langle \prod _ { i = 1 } ^ { N - 2 + ( N - k ) d } { \cal O } _ { e } ( z _ { i } ) \rangle = \int _ { { \cal M } _ { 0 , d } ^ { M _ { N } ^ { k } } } \bigwedge _ { i = 1 } ^ { N - 2 + ( N - k ) d } \phi _ { i } ^ { * } ( e ) = \int _ { { \cal M } _ { 0 , d } ^ { C P ^ { N - 1 } } } c _ { ( N , k ) } \wedge ( \bigwedge _ { i = 1 } ^ { N - 2 + ( N - k ) d } \varphi _ { i } ^ { * } ( e ) )
\displaystyle { g _ { B H } = g _ { 0 } e ^ { p _ { \varphi } \varphi } e ^ { p _ { t } t } e ^ { - \Gamma _ { 4 5 } \chi } e ^ { - \Gamma _ { 2 4 } \theta } e ^ { \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { 2 } \rho } } ,
\begin{array} { r l } & { \ { \mathcal { C } } [ \widehat { Q } _ { 0 , L } ^ { \mathrm { M L M C } } ] \leq \operatorname* { m a x } \bigg \{ 2 c _ { 3 } s ^ { \gamma _ { M } } \frac { s ^ { \gamma _ { M } L } - 1 } { s ^ { \gamma _ { M } } - 1 } , \frac { \, c _ { 2 } \, c _ { 3 } } { ( 1 - b _ { w } ) \varepsilon ^ { 2 } } s ^ { \gamma _ { M } - \beta _ { M } } \bigg ( \frac { 1 - s ^ { \frac { \gamma _ { M } - \beta _ { M } } { 2 } L } } { 1 - s ^ { \frac { \gamma _ { M } - \beta _ { M } } { 2 } } } \bigg ) ^ { 2 } \bigg \} } \\ & { \ + c _ { 3 } s ^ { \gamma _ { M } } \frac { s ^ { \gamma _ { M } L } - 1 } { s ^ { \gamma _ { M } } - 1 } = : \widehat { { \mathcal { C } } } ^ { \mathrm { M L M C } } ( \varepsilon , L , c _ { 2 } , c _ { 3 } , \beta _ { M } , \gamma _ { M } , b _ { w } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathbf { A } | } & { { } = { \left| \begin{array} { l l } { A ^ { 0 } + A ^ { 3 } } & { A ^ { 1 } - i A ^ { 2 } } \\ { A ^ { 1 } + i A ^ { 2 } } & { A ^ { 0 } - A ^ { 3 } } \end{array} \right| } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } _ { 2 } ( \theta _ { \mathrm { L } } ) } & { { } = } & { \mathcal { D } ( \hat { \bf y } , \theta _ { \mathrm { L } } ) = \exp \left( - \frac { i \sigma _ { y } \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array}
\dot { \tilde { \phi } } _ { m } = i [ H , \tilde { \phi } _ { m } ] = \tilde { \pi } _ { m } , \; \; \; \; \; \; \dot { \tilde { \pi } } _ { m } = i [ H , \tilde { \pi } _ { m } ] = - \tilde { V } _ { m } ^ { \prime } ( \tilde { \phi } )
\begin{array} { r l } { \sqrt { \lambda _ { 1 } ^ { s } ( \Omega \setminus \{ x _ { 0 } , \dots , x _ { m } \} ) } } & { \le \frac { \big [ u \, ( 1 - \Psi _ { \varepsilon } ) \big ] _ { W ^ { s , 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } } { \big \| u \, ( 1 - \Psi _ { \varepsilon } ) \big \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } } \\ & { \le \frac { [ u ] _ { W ^ { s , 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } \, \| 1 - \Psi _ { \varepsilon } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } + \| u \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } \, [ \Psi _ { \varepsilon } ] _ { W ^ { s , 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } } { \| u \, ( 1 - \Psi _ { \varepsilon } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } } \\ & { = \frac { [ u ] _ { W ^ { s , 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } + \| u \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } \, [ \Psi _ { \varepsilon } ] _ { W ^ { s , 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } } { \| u \, ( 1 - \Psi _ { \varepsilon } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } . } \end{array}
b _ { a b } = + { \bf e _ { a } . e _ { b } } \ \mathrm { f o r } \ a > b \ , \ = - { \bf e _ { a } . e _ { b } } \, h b o x { f o r } \ a < b \ ; \quad b _ { a b } = 0 \ \mathrm { f o r } \ a = b \ .
q _ { n } = \sum _ { \mu } \frac { N _ { \mu } } { N } \sum _ { m = m _ { \mu } } ^ { k / 2 } \binom { k / 2 } { m } q _ { n - 1 } ^ { m } ( 1 - q _ { n - 1 } ) ^ { k / 2 - m } = f ( q _ { n - 1 } )
S _ { i } = \sum _ { j } S _ { i } ^ { ( j ) } , \qquad S _ { i } ^ { ( j ) } = \frac { H _ { i j } C _ { j } } { H _ { i i } - E _ { k } } , \qquad E _ { k } = \langle \psi _ { k } \vert H \psi _ { k } \rangle .
\begin{array} { r } { \Vert f ^ { n } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ^ { [ \varepsilon ] } ; \mathcal { H } _ { r } ^ { m } ) } + \Vert \mathfrak { m } ^ { n } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ^ { [ \varepsilon ] } ; \mathrm { H } ^ { m } ) } + \Vert u ^ { n } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ^ { [ \varepsilon ] } ; \mathrm { H } ^ { m } ) \cap \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ^ { [ \varepsilon ] } ; \mathrm { H } ^ { m + 1 } ) } < R _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { z } _ { t + 1 } , . . . , \hat { z } _ { t + s + 1 } } & { { } = \mathcal { D } ( z _ { t } , . . . , z _ { t + s } ) } \\ { \hat { y } _ { t + 1 } } & { { } = \mathcal { L } ( \hat { z } _ { t + 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } } & { { } = \int \frac { ( v - U _ { e } ) ^ { 2 } } { 2 } f d x d v + \int \frac { U _ { e } ^ { 2 } } { 2 } f d x d v + \int f \ln f d x d v } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { t r } ( \Sigma _ { \boldsymbol { v } _ { 1 } } ^ { X _ { 1 } } ) } & { = \mathbb E \left[ \mathrm { t r } ( X _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 1 } ^ { \top } X _ { 1 } ^ { \top } ) \right] } \\ & { = T _ { 1 } \mathbb E \left[ ( X _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 1 } ) _ { 1 1 } ^ { 2 } \right] } \\ & { = T _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 1 } ^ { \top } \Gamma ^ { ( 1 ) } \boldsymbol { v } _ { 1 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { A } } & { { } = } & { \operatorname { d i a g } \left( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \cdots \right) , } \\ { \mathcal { B } } & { { } = } & { \operatorname { d i a g } \left( \sqrt { 1 - \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } , \sqrt { 1 - \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } , \cdots \right) . } \end{array}
\mathbf { x } \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { ( L _ { \sigma ( i ) } ^ { \circ } \times S _ { \sigma ( i ) } ^ { \circ } \dots \times S _ { \sigma ( i ) } ^ { \circ } ) \circ f _ { \sigma ( i ) } \circ ( L _ { \sigma ( i ) } ^ { \circ } \times \mathrm { i d } _ { D ^ { d - 1 } } ) ^ { - 1 } ( \mathbf { x } ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } x _ { 1 } \in L _ { \sigma ( i ) } ^ { \circ } ( \mathbb { I } ) } \\ { ( L _ { \sigma ( i ) } ^ { \circ } \times \mathrm { i d } _ { D ^ { d - 1 } } ) \circ f _ { \sigma ( i ) } \circ ( L _ { \sigma ( i ) } ^ { \circ } \times \mathrm { i d } _ { D ^ { d - 1 } } ) ^ { - 1 } ( \mathbf { x } ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } x _ { 1 } \notin L _ { \sigma ( i ) } ( \mathbb { I } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \left| a \left( t , \mathbf { x } \right) \right| ^ { 2 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \left( 1 + \left( D t \right) ^ { 2 } \right) ^ { s / 2 } } e x p \left( - \left| \mathbf { x } \right| ^ { 2 } / \left( 1 + \left( D t \right) ^ { 2 } \right) - \gamma t \right) } \\ { \left| \tilde { a } \left( t , \mathbf { k } \right) \right| ^ { 2 } } & { { } = } & { e x p \left( - \left| \mathbf { k } \right| ^ { 2 } - \gamma t \right) . } \end{array}
e ^ { i S _ { \Lambda - \delta \Lambda } ( \phi _ { + } , \phi _ { - } ) } \equiv \int \prod _ { \Lambda _ { 0 } > | { \vec { q } } | > \Lambda - \delta \Lambda } { \cal D } [ \phi _ { + } ( { \vec { q } } , t ) ] { \cal D } [ \phi _ { - } ( { \vec { q } } , t ) ] \; e ^ { i S _ { c l } [ \phi _ { + } , \phi _ { - } ] }
f ( x ) = c \cdot \exp { \left( - \frac { \left( x - \mu \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) } + p _ { 1 } \cdot \exp { \left( ( x - p _ { 2 } ) \cdot p _ { 3 } \right) } + p _ { 4 } ,
= \exp \left\{ \left( \sum _ { g = 1 } ^ { \infty } \frac { v ^ { g } } { g ^ { 1 } } \right) \left( \sum _ { h = 1 } ^ { \infty } \frac { w ^ { h } } { h ^ { 1 } } \right) \left( \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \frac { x ^ { i } } { i ^ { 1 } } \right) \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { y ^ { j } } { j ^ { 1 } } \right) \left( \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { z ^ { k } } { k ^ { - 3 } } \right) \right\} .
\begin{array} { r } { \Lambda ( i , j ) : = \sum _ { a , b \in \{ 1 , 2 \} } \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f ~ \ensuremath { \partial _ { a } ( i ) } ~ a n d ~ \ensuremath { \partial _ { b } ( j ) } ~ h a v e ~ d i f f e r e n t ~ e n d p o i n t s , } } \\ { - 1 } & { \mathrm { i f ~ \ensuremath { \partial _ { a } ( i ) } ~ i s ~ c l o c k w i s e ~ o f ~ \ensuremath { \partial _ { b } ( j ) } , } } \\ { 1 } & { \mathrm { i f ~ \ensuremath { \partial _ { a } ( i ) } ~ i s ~ c o u n t e r c l o c k w i s e ~ o f ~ \ensuremath { \partial _ { b } ( j ) } . } } \end{array} \right. } \end{array}
R _ { b } ^ { * } = 0 , ~ ~ ~ ~ ( R ^ { * } , R _ { t } ^ { * } , R _ { \lambda } ^ { * } , R _ { k } ^ { * } ) = ( - { \frac { 3 } { 4 } } , { \frac { 2 0 } { 2 7 } } , - { \frac { 1 9 } { 9 } } , { \frac { 2 9 } { 1 8 } } ) ,
\begin{array} { r } { 2 \int _ { \Omega _ { 0 } } \int _ { \Omega _ { 0 } } | v ( x ) v ( z ) | \sum _ { n \in \mathbb { N } } \int _ { \mathbb { R } \setminus ( { \Omega _ { 0 } } \cup ( { \Omega _ { 0 } } + 2 d n ) ) } e ^ { - a | y - x | } e ^ { - a | y - 2 d n - z | } d y \leq C _ { 0 } ^ { 2 } C ( d ) | { \Omega _ { 0 } } | e ^ { - 4 a d } ( V _ { 0 } , V _ { 0 } * E ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { N } _ { i j m } = \iota \hat { J } _ { i m } ( k _ { 1 } \delta _ { j 1 } + k _ { 3 } \delta _ { j 3 } ) + \frac { \partial \hat { J } _ { i m } } { \partial y _ { 2 } } \delta _ { j 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 0 } \boldsymbol { v } _ { 0 } } & { { } = M _ { 0 } \boldsymbol { v } _ { 0 } , } \\ { p _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 0 } } & { { } = ( M _ { 0 } - p _ { 0 } ) \boldsymbol { v } _ { 1 } + M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 0 } , } \\ { p _ { 2 } \boldsymbol { v } _ { 0 } } & { { } = ( M _ { 0 } - p _ { 0 } ) \boldsymbol { v } _ { 2 } + M _ { 2 } \boldsymbol { v } _ { 0 } + M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 1 } - p _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 1 } , } \\ { p _ { 3 } \boldsymbol { v } _ { 0 } } & { { } = ( M _ { 0 } - p _ { 0 } ) \boldsymbol { v } _ { 3 } + M _ { 3 } \boldsymbol { v } _ { 0 } + M _ { 2 } \boldsymbol { v } _ { 1 } + M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 2 } - p _ { 2 } \boldsymbol { v } _ { 1 } - p _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 2 } , } \\ { p _ { 4 } \boldsymbol { v } _ { 0 } } & { { } = ( M _ { 0 } - p _ { 0 } ) \boldsymbol { v } _ { 4 } + M _ { 4 } \boldsymbol { v } _ { 0 } + M _ { 3 } \boldsymbol { v } _ { 1 } + M _ { 2 } \boldsymbol { v } _ { 2 } + M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 3 } - p _ { 3 } \boldsymbol { v } _ { 1 } - p _ { 2 } \boldsymbol { v } _ { 2 } - p _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 3 } . } \end{array}
I _ { 1 } ( x , n ) = \int _ { x } ^ { \infty } d \tau \frac { 1 } { e ^ { \tau } - 1 } \tau ^ { n } = \sum _ { q = 1 } ^ { \infty } e ^ { - q x } ( \frac { x ^ { n } } { q } + \frac { n x ^ { n } } { q ^ { 2 } } + . . . \frac { n ! } { q ^ { n + 1 } } ) ,
\begin{array} { r l } { \big | I _ { k , k } ^ { ( T ) } \big | } & { \le 2 \delta \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \big | \partial _ { x _ { k } } ^ { \eta + \mu _ { < T } } | x - x _ { k } | \, \partial _ { x _ { k } } ^ { \mu _ { T } } \big ( \psi ( x , \mathbf { \hat { x } } ) \psi ( y , \mathbf { \hat { x } } ) \big ) \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) \big | \, d \mathbf { \hat { x } } } \\ & { \qquad + 2 \delta \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \big | \partial _ { x _ { k } } ^ { \eta + \mu _ { < T } } | x - x _ { k } | \, \psi ( x , \mathbf { \hat { x } } ) \psi ( y , \mathbf { \hat { x } } ) \big ( \partial _ { x _ { k } } ^ { \mu _ { T } } \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) \big ) \big | \, d \mathbf { \hat { x } } } \\ & { \qquad + \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } | x - x _ { k } | \, \big | \partial _ { x _ { k } } ^ { \eta + \mu _ { < T } } | x - x _ { k } | \, \partial _ { x _ { k } } ^ { \mu _ { T } } \big ( \psi ( x , \mathbf { \hat { x } } ) \psi ( y , \mathbf { \hat { x } } ) \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) \big ) \big | \, d \mathbf { \hat { x } } } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } < T _ { \rho \sigma } > _ { g , 0 } = { \frac { 1 } { \sqrt { - d e t ( g _ { \mu \nu } ) } } } \frac { \int { \cal D } \Phi { \frac { \delta } { \delta g ^ { \rho \sigma } } } S _ { m a t t e r } ^ { c o v } \exp ( i S ) } { \int { \cal D } \Phi \exp ( i S ) }
\left. \frac { x _ { i } - x _ { i - 1 } } { h } \left( 1 - \frac { 1 } { \sqrt { \left( \frac { x _ { i } - x _ { i - 1 } } { h } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { y _ { i } - y _ { i - 1 } } { h } \right) ^ { 2 } } } \right) \right) = 0 .
\mathbb E [ ( \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } | F ^ { ( R ) } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 V } { \log x } + i t ) | ^ { 2 } d t ) ^ { q } ] \ll \Big ( \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathbb E [ | F ^ { ( R ) } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 V } { \log x } + i t ) | ^ { 2 } ] d t \Big ) ^ { q } \ll \Big ( \frac { \log x } { V \log R } \Big ) ^ { q } .
\bar { n } = n + \mu \left( 2 - j \right) = \left\{ \begin{array} { c } { { n + \mu \, , \; j = 1 , \; \bar { l } = l + \mu , \; \bar { l } \leq \bar { n } } } \\ { { n \, , \; j = 2 , \; n = 0 , 1 , 2 , . . . \, . } } \end{array} \right.
\nabla \psi _ { \mathrm { s t } } ( \boldsymbol { x } ) = - \frac { 1 } { k T _ { \mathrm { e q } } } \left( \vphantom { F ^ { x ^ { x } } } \boldsymbol { F } _ { \mathrm { e x t } } ( \boldsymbol { x } ) + q \boldsymbol { E } _ { \mathrm { s c } } ^ { \mathrm { s m } } ( \boldsymbol { x } ) \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { n } } \frac { \partial \psi _ { n } } { \partial t } \varphi _ { i } d \Omega } & { + \int _ { \Omega _ { n } } ( \textbf { u } _ { n } \cdot \nabla \psi _ { n } ) \varphi _ { i } d \Omega - \int _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { \textbf { m } } \cdot \widetilde { ( \textbf { u } _ { n } \psi _ { n } ) } \varphi _ { i } d S + \int _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { \textbf { m } } \cdot \widehat { ( \textbf { u } _ { n } \psi _ { n } ) } \varphi _ { i } d S = 0 ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { I = } & { { } \ \int _ { r _ { - } } ^ { r _ { + } } d r \sqrt { - W _ { 0 } - 2 \alpha ( r - r _ { 0 } ) ^ { 2 } } , } \\ { = } & { { } \frac { - W _ { 0 } } { \sqrt { 2 \alpha } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } d z \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } = - \frac { \pi W _ { 0 } } { 2 \sqrt { 2 \alpha } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { T ^ { I } \psi ( p ) = ( \lambda _ { p } , \langle u _ { 1 } , T p \rangle , \langle u _ { 2 } , T p \rangle , \lambda _ { F } \mathrm { d e t } ( T ) \Psi ( p ) ) ^ { T } \sim ( 1 , \langle u _ { 1 } , p ^ { \prime } \rangle , \langle u _ { 2 } , p ^ { \prime } \rangle , \Psi ^ { \prime } ( p ^ { \prime } ) ) ^ { T } = \psi ^ { \prime } ( p ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { [ \mathbf { f } ] _ { ( 0 , d ) } = \left[ \mathbf { X } _ { 0 } - \mathbf { x } _ { 0 } \right] ^ { ( d ) } = 0 , \; \; [ \mathbf { f } ] _ { ( m - 1 , d ) } = \left[ \mathbf { X } _ { m - 1 } - \mathbf { x } _ { m - 1 } \right] ^ { ( d ) } = 0 . } \end{array}
\Phi _ { 0 , 1 } \bigl ( \overset { V } { M } \bigr ) = \overset { V } { L } { ^ { ( + ) } } \overset { V } { L } { ^ { ( - ) - 1 } } , \quad \Phi _ { 1 , 0 } \bigl ( \overset { V } { A } \bigr ) = \overset { V } { L } { ^ { ( + ) } } \overset { V } { L } { ^ { ( - ) - 1 } } , \quad \Phi _ { 1 , 0 } \bigl ( \overset { V } { B } \bigr ) = \overset { V } { L } { ^ { ( + ) } } \, \overset { V } { T } \, \overset { V } { L } { ^ { ( - ) - 1 } }
\sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { ' } ( b k ) ^ { \nu } K _ { \nu } ( b k ) = \frac { \sqrt { \pi } } { b } 2 ^ { \nu } \Gamma ( \nu + 1 / 2 ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { ' } \left[ \left( \frac { 2 \pi n } { b } \right) ^ { 2 } + 1 \right] ^ { - \nu - 1 / 2 }
A = - { \frac { 1 } { 4 } } \biggl \{ 8 d ^ { 2 } f _ { 0 } ^ { 2 } + e ( 8 e + 4 \sqrt 2 j \chi _ { 0 } ) + j ^ { 2 } ( \chi _ { 0 } ^ { 2 } - f _ { 0 } \kappa _ { 0 } ^ { 2 } ) \biggr \}
\begin{array} { r l } { \left\{ \begin{array} { r l } { \frac { \mathbf u _ { T } ^ { n } - \mathbf P \mathbf u _ { T } ^ { n - 1 } } { \Delta t } + w _ { N } ^ { n } \mathbf H \mathbf u _ { T } ^ { n } + ( \nabla _ { \Gamma } \mathbf u _ { T } ^ { n } ) \mathbf u _ { T } ^ { n - 1 } - 2 \mu \mathbf P { \mathop { \, \mathrm { d i v } } } _ { \Gamma } E _ { s } ( \mathbf u _ { T } ^ { n } ) + \nabla _ { \Gamma } p ^ { n } } & { = \mathbf f ^ { n } } \\ { { \mathop { \, \mathrm { d i v } } } _ { \Gamma } \mathbf u _ { T } ^ { n } } & { = f ^ { n } } \end{array} \right. \quad } & { \mathrm { o n } ~ ~ \Gamma ( t _ { n } ) , } \\ { \mathbf n \cdot \nabla \mathbf u _ { T } ^ { n } = 0 ~ \quad } & { \mathrm { i n } ~ ~ \mathcal { O } ( \Gamma ( t _ { n } ) ) , } \end{array}
\langle g ^ { l } \rangle ^ { ( m ) } = \omega ^ { l ( m + 1 ) } \displaystyle \frac { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ^ { 2 } } { ( t ^ { 2 } ; t ^ { 2 } ) _ { \infty } ^ { 2 } } \displaystyle \frac { ( t ^ { 2 } \omega ^ { l } ; t ^ { 2 } ) _ { \infty } ( t ^ { 2 } \omega ^ { - l } ; t ^ { 2 } ) _ { \infty } } { ( q ^ { 2 } \omega ^ { l } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ( q ^ { 2 } \omega ^ { - l } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } } .