harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { 1 } { 1 2 8 } \left( \frac { 9 } { 2 4 5 } , \, - \frac { 1 4 6 } { 2 4 5 } , \, \frac { 1 0 8 1 3 } { 2 2 0 5 } , \, - \frac { 7 3 5 2 } { 2 4 5 } , \, \frac { 7 4 3 8 } { 3 5 } , \, - \frac { 1 1 7 7 1 6 } { 3 1 5 } , \, \frac { 7 4 3 8 } { 3 5 } , \, - \frac { 7 3 5 2 } { 2 4 5 } , \, \frac { 1 0 8 1 3 } { 2 2 0 5 } , \, - \frac { 1 4 6 } { 2 4 5 } , \, \frac { 9 } { 2 4 5 } \right)
\begin{array} { c c } { { \displaystyle { \langle V ^ { A } ( z _ { 1 } ) V ^ { B } ( z _ { 2 } ) \rangle = C _ { V } \frac { I ^ { A B } ( \hat { { \cal X } } _ { 1 2 } ) } { ( \operatorname * { d e t } { \cal X } _ { 1 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } \eta } } } ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ ~ I ^ { A B } ( \hat { { \cal X } } _ { 1 2 } ) = \textstyle { \frac { 1 } { 4 } } \mathrm { t r } ( \gamma ^ { A } \hat { { \cal X } } _ { 1 2 } \gamma ^ { B } \hat { { \cal X } } _ { 2 1 } ) } } \end{array}
{ \overline { { \lambda _ { \xi } } } _ { ( i , j , k ) } = \lambda _ { \xi } \left[ 1 + \left( \frac { \lambda _ { \eta } } { \lambda _ { \xi } } \right) ^ { 0 . 5 } + \left( \frac { \lambda _ { \zeta } } { \lambda _ { \xi } } \right) ^ { 0 . 5 } \right] \, \mathrm { ~ . ~ } }
\left[ \frac { 1 } { \omega } ( A _ { N - 4 } b ^ { 4 } ) ^ { 5 / 8 } \right] ^ { 4 } = \frac { ( A _ { N - 4 } b ^ { 4 } ) ^ { 4 } } { b ^ { 3 N } } \quad \Rightarrow \quad b ^ { 3 N } = 1 .
\begin{array} { r l r l } { \frac { 1 } { 2 \pi } \left\langle X \left( \omega \right) X ^ { * } \left( \omega ^ { \prime } \right) \right\rangle } & { { } = S _ { x , x } \left( \omega \right) \delta \left( \omega - \omega ^ { \prime } \right) , } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \left\langle \Xi \left( \omega \right) \Xi ^ { * } \left( \omega ^ { \prime } \right) \right\rangle } & { { } = S _ { \xi , \xi } \left( \omega \right) \delta \left( \omega - \omega ^ { \prime } \right) , } \end{array}
{ \mathrm { D i a g o n a l } } = R \ { \sqrt { \frac { 5 + { \sqrt { 5 } } } { 2 } } } = 2 R \cos 1 8 ^ { \circ } = 2 R \cos { \frac { \pi } { 1 0 } } \approx 1 . 9 0 2 R ,
\mathbb { E } \bigg [ \Big \lVert \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k } } \mathcal { I } _ { 0 , 0 } ( k , \boldsymbol { x } , t ; \hbar ) \varphi - \mathcal { I } _ { 0 , 0 } ^ { \gamma } ( k , \boldsymbol { x } , t ; \hbar ) \varphi \Big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \bigg ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leq \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \mathbb { E } \Big [ \big \lVert \mathcal { I } _ { \nu } ^ { \gamma } ( k , t ; \hbar ) \varphi \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \Big ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } .
{ \mathcal { L } } ( \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 2 } ) = { \frac { 1 } { 2 } } [ \partial _ { \mu } \varphi _ { 1 } \partial ^ { \mu } \varphi _ { 1 } - m ^ { 2 } \varphi _ { 1 } ^ { 2 } ] + { \frac { 1 } { 2 } } [ \partial _ { \mu } \varphi _ { 2 } \partial ^ { \mu } \varphi _ { 2 } - m ^ { 2 } \varphi _ { 2 } ^ { 2 } ] - { \frac { 1 } { 4 } } \lambda ( \varphi _ { 1 } ^ { 2 } + \varphi _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } ,
h _ { \ i } ^ { \underline { { { a } } } } \, \dot { \xi } _ { \alpha } ^ { \underline { { { a } } } } - \varepsilon _ { i j } \, B _ { \alpha } ^ { \underline { { { a } } } } \, \xi _ { \alpha } ^ { \underline { { { a } } } } \, \dot { x } ^ { j } - { \cal E } _ { j ; \alpha } ^ { \underline { { { a } } } } \, \xi _ { \alpha } ^ { \underline { { { a } } } } = 0 .
\langle N \rangle M [ v _ { \mathrm { e b e } } ^ { 2 } ( q ) _ { \mathrm { e s t 0 } } ] - M [ v _ { \mathrm { i n c } } ^ { 2 } ( q ) _ { \mathrm { e s t } } ] \approx \sigma \left( \langle N \rangle \Big \langle \frac 1 N \Big \rangle - 1 \right) \approx \sigma ^ { 2 } { \frac { \langle ( \Delta N ) ^ { 2 } \rangle } { \langle N \rangle ^ { 2 } } } ,
v \mapsto \frac { 1 } { t _ { 1 } ^ { 2 } } | p _ { W _ { j _ { 1 } } } ( v ) | ^ { 2 } + \ldots + \frac { 1 } { t _ { r } ^ { 2 } } | p _ { W _ { j _ { r - 1 } } ^ { \perp } \cap W _ { j _ { r } } } ( v ) | ^ { 2 } + \frac { 1 } { t _ { r + 1 } ^ { 2 } } | p _ { W _ { j _ { r } } ^ { \perp } } ( v ) | ^ { 2 } \geq \frac { 1 } { t _ { r + 1 } ^ { 2 } } | p _ { W _ { j _ { r } } ^ { \perp } } ( v ) | ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \frac { \partial c _ { \omega } } { \partial t } + \nabla \cdot ( - \textbf D \nabla c _ { \omega } + \mathrm { ~ P ~ e ~ } \textbf { v } c _ { \omega } ) = 0 , \quad ( \textbf x , t ) \in { \Omega } _ { p } ^ { \omega } \times ( 0 , T ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { \uparrow \otimes \uparrow } \colon W \otimes W } & { \to \bigoplus _ { t , u = 1 } ^ { r + s } \Pi ^ { p ( t ) + p ( u ) } V \otimes V , } \\ { v \otimes w } & { \mapsto \left( ( - 1 ) ^ { p ( t ) \overline { { v _ { t } } } + p ( u ) \overline { { w _ { u } } } + p ( u ) \overline { { v _ { t } } } + p ( t ) p ( u ) } v _ { t } \otimes w _ { u } \right) _ { t , u = 1 } ^ { r + s } , } \end{array}
i \frac { \partial \phi _ { 1 , 1 } } { \partial \tau } + C _ { 1 } \frac { \partial ^ { 2 } \phi _ { 1 , 1 } } { \partial \xi ^ { 2 } } + C _ { 2 } | \phi _ { 1 , 1 } | ^ { 2 } \phi _ { 1 , 1 } = C _ { 3 } s ,
\begin{array} { r l } & { h ^ { 0 } R \mathcal { H } o m _ { Y ^ { \prime } } ( \imath _ { * } ^ { \prime } g ^ { * } \Omega _ { X } ^ { q } ( \log \Delta _ { X } ) [ q ] , \Omega _ { Y ^ { \prime } } ^ { q + c } ( \log \Delta _ { Y ^ { \prime } } ) [ q + c ] ) } \\ & { \to h ^ { 0 } R \mathcal { H } o m _ { Y ^ { \prime } } ( \imath _ { * } ^ { \prime } g ^ { * } \Omega _ { X } ^ { q } ( \log \Delta _ { X } ) [ q ] , \Omega _ { Y ^ { \prime } } ^ { q + c } ( \log \Delta _ { Y ^ { \prime } } ) [ q + c ] ) | _ { U _ { Y ^ { \prime } } } } \\ & { \simeq h ^ { 0 } R \mathcal { H } o m _ { U _ { Y ^ { \prime } } } ( \imath _ { * } ^ { \prime } g ^ { * } \Omega _ { X } ^ { q } ( \log \Delta _ { X } ) | _ { U _ { Y ^ { \prime } } } [ q ] , \Omega _ { Y ^ { \prime } } ^ { q + c } ( \log \Delta _ { Y ^ { \prime } } ) | _ { U _ { Y ^ { \prime } } } [ q + c ] ) } \end{array}
{ \cal C } ( { \cal Y } ) \le \frac { 5 d \varepsilon ^ { - 5 } } { 1 6 } \log \left( \mathbb { E } _ { \pi } [ | . | ^ { 4 } ] ^ { 1 / 2 } L ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \right) \mathbb { E } _ { \pi } [ | . | ^ { 4 } ] ^ { 3 / 2 } L ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \left\lceil \log _ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { \pi } [ | . | ^ { 4 } ] ^ { 1 / 2 } \sigma ^ { 2 } d \varepsilon ^ { - 3 } \right) \right\rceil ^ { 3 } .
\int \operatorname { a r c c s c } { x } \, d x = x \operatorname { a r c c s c } { x } + \ln \left\vert x \, \left( 1 + { \sqrt { 1 - x ^ { - 2 } } } \, \right) \right\vert + C , { \mathrm { ~ f o r ~ } } \vert x \vert \geq 1
( \alpha _ { \mathrm { ~ T ~ } } , \alpha _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } ) = \{ ( 1 0 ^ { - 1 0 } , 1 0 ^ { - 1 5 } ) , ( 1 0 ^ { - 1 5 } , 1 0 ^ { - 1 7 } ) , ( 1 0 ^ { - 2 0 } , 1 0 ^ { - 1 9 } ) \}
\tilde { T } = \frac { T } { { { T _ { 0 } } } } , ~ ~ \tilde { x } = \frac { x } { h } , ~ ~ \tilde { t } = \frac { t } { { { t _ { 0 } } } } , ~ ~ { t _ { 0 } } = \frac { { \eta { \rho _ { 0 } } c \rho { h ^ { 2 } } } } { { r L { T _ { 0 } } } } .
{ \widetilde { \Gamma } } _ { b c } ^ { a } \equiv { \frac { 1 } { 2 } } { \widetilde { g } } ^ { a d } \left( \partial _ { b } { \widetilde { g } } _ { d c } + \partial _ { c } { \widetilde { g } } _ { d b } - \partial _ { d } { \widetilde { g } } _ { b c } \right)
\left\{ \begin{array} { l l } { d q _ { i } ^ { \prime } = d q _ { i } + { \frac { \partial { \dot { q _ { i } } } } { \partial q _ { i } } } d q _ { i } \delta t } \\ { d p _ { i } ^ { \prime } = d p _ { i } + { \frac { \partial { \dot { p _ { i } } } } { \partial p _ { i } } } d p _ { i } \delta t . } \end{array} \right.
\int \! \! d ^ { d } p \, f ( p ^ { 2 } ) = \Omega _ { d } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! d p \, p ^ { d - 1 } \, f ( p ^ { 2 } ) \; ; \qquad \Omega _ { d } = \frac { 2 \pi ^ { d / 2 } } { \Gamma ( d / 2 ) } \quad ,
\begin{array} { r l } { P ( \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = \frac { { \omega _ { 0 } ^ { 3 } } { \mu _ { 0 } } \left| \vec { d } \right| ^ { 2 } } { 2 } \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left( \vec { n } _ { \mathrm { d } } ^ { * } \cdot \overleftrightarrow { \vec { G } } ( { \vec { r } } _ { 0 } , { \vec { r } } _ { 0 } ) \cdot \vec { n } _ { \mathrm { d } } \right) } \\ { { \vec { E } } ( { \vec { r } } ) } & { { } = { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } } \overleftrightarrow { \vec { G } } ( { \vec { r } } , { \vec { r } } _ { 0 } ) { \vec { d } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \frac { G _ { c } } { \ell } \left( d - \ell ^ { 2 } \Delta d \right) } & { { } = 2 ( 1 - d ) \left( \psi ^ { + } - \psi _ { c r i t } \right) } & { } & { { } \mathrm { i n } \ \Omega , } \\ { \nabla d \cdot \mathbf { n } } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { o n } \ \partial \Omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } _ { H } = } & { \{ \beta _ { 1 } > \beta _ { 2 } > . . . > \beta _ { k / 2 } \} , \quad \mathrm { ( c e n t e r ~ d e v i c e s ~ s e t ) } } \\ { \mathcal { K } _ { L } = } & { \{ \beta _ { K } < \beta _ { k - 1 } < . . . < \beta _ { k / 2 + 1 } \} . \, \, \, \mathrm { ( e d g e ~ d e v i c e s ~ s e t ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T } & { { } = R _ { 2 } ^ { 2 } \, \Gamma + \int { \biggl ( } { \frac { 1 } { K } } - R _ { 2 } ^ { 2 } { \biggr ) } \cos \varphi \, d \varphi \, d \lambda } \end{array}
v \approx \zeta e ^ { - \varphi } \left( \frac { 1 } { 2 } - \chi \right) \frac { 1 } { z } \left( \frac { z } { \bar { z } } \right) ^ { 1 / 2 } = \zeta e ^ { - \varphi } \left( \frac { 1 } { 2 } - \chi \right) \frac { 1 } { | z | } ,
D _ { \mathrm { C B M } } ( r ) = D _ { 0 } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ \ r _ { 0 } \leq r \leq r _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ n ~ } } , \qquad \mathrm { w i t h } \qquad \nabla _ { T } = \nabla _ { \mathrm { a d } } .
\tilde { R } ^ { \Theta } \, = \, \tilde { r } _ { \Theta } ^ { ( 0 ) } + \, \Big ( \frac { \alpha _ { \overline { { { \mathrm { \tiny ~ M S } } } } } ( \mu ^ { 2 } ) } { \pi } \Big ) \, \tilde { r } _ { \Theta } ^ { ( 1 ) } + \, \Big ( \frac { \alpha _ { \overline { { { \mathrm { \tiny ~ M S } } } } } ( \mu ^ { 2 } ) } { \pi } \Big ) ^ { 2 } \, \tilde { r } _ { \Theta } ^ { ( 2 ) , \overline { { { \mathrm { \tiny ~ M S } } } } } + \, . . .
\left( \Omega _ { i } ^ { \zeta } \right) ^ { \mathrm { r e c o l } } f _ { i } ( \vec { x } , t ) = \frac { \rho ^ { \zeta } } { \rho } f _ { i } ( \vec { x } , t ) + \beta \frac { \rho ^ { \zeta } \rho ^ { \xi } } { \rho ^ { 2 } } \cos ( \phi _ { i } ) \sum _ { k = \zeta , \xi } f _ { i } ^ { k , e q } ( \vec { x } , t ) ( \rho ^ { k } , 0 ) ,
A = \frac { 1 } { 1 6 \pi } \int _ { 0 } ^ { \beta } d t \int _ { S _ { \perp } } d ^ { 2 } x _ { \perp } \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } d x \sqrt { f } R = \frac { \beta S _ { \perp } } { 1 6 \pi } \left[ \frac { f ^ { \prime } } { \sqrt { f } } \right] _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \bigl ( \partial _ { t } + \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } \cdot \nabla \bigr ) \bigl ( \nabla \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( T _ { m - 1 } \circ X _ { m - 1 , l } \aftergroup \egroup \right) \circ X _ { m - 1 , l } ^ { - 1 } \bigr ) } \qquad } & { { } } \end{array}
S = \int d \tau \{ p _ { m } ( \dot { x } ^ { m } + i \psi \sigma ^ { m } \bar { \rho } - i \rho \sigma ^ { m } \bar { \psi } ) - \frac { e p ^ { 2 } } { 2 } - { \rho ^ { \alpha } } { \dot { \theta } } _ { \alpha } - { \bar { \rho } } _ { \dot { \alpha } } { \dot { \bar { \theta } } } ^ { \dot { \alpha } } \} ,
\begin{array} { r } { \frac { N R _ { \textrm { i n t e r f a c e } } } { L } = \frac { 1 } { \lambda _ { \textrm { t o t a l } } } - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { \lambda _ { 1 } } + \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { x x } ( \tau ) = } & { { } \frac { A _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \mathrm { c o s } ( \Omega _ { 0 } \tau ) \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \mathrm { c o s } [ \frac { 1 } { \Omega _ { 0 } A _ { 0 } } \sqrt { \frac { k _ { B } T \Gamma _ { 0 } } { m } } W ( \tau ) ] \mathrm { d } t } \end{array}
\langle \mathbf { N } _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } \rangle = \frac { 1 } { 2 } \mathfrak { R e } \bigg \{ \big ( \mathbf { p } ^ { * } \times \mathbf { E } + \mu \mathbf { m } ^ { * } \times \mathbf { H } \big ) - \frac { k ^ { 3 } } { 6 \pi } \bigg ( \frac { 1 } { \varepsilon } \mathfrak { I m } \{ \mathbf { p } ^ { * } \times \mathbf { p } \} + \mu \mathfrak { I m } \{ \mathbf { m } ^ { * } \times \mathbf { m } \} \bigg ) \bigg \} .
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } { \langle x _ { i } ^ { * } , x _ { 1 } \rangle + \langle y _ { 1 , i } ^ { * } , y _ { 1 , 1 } \rangle + \langle y _ { 2 , i } ^ { * } , y _ { 2 , 1 } \rangle } & { = \big ( \langle x _ { i } ^ { * } , x \rangle - \langle x _ { i } ^ { * } , x _ { 0 } \rangle \big ) + \big ( \langle y _ { 1 , i } ^ { * } , y _ { 1 } \rangle - \langle y _ { 1 , i } ^ { * } , y _ { 1 , 0 } \rangle \big ) } \\ & { \qquad + \big ( \langle y _ { 2 , i } ^ { * } , y _ { 2 } \rangle - \langle y _ { 2 , i } ^ { * } , y _ { 2 , 0 } \rangle \big ) } \\ & { = \langle x _ { i } ^ { * } , x \rangle + \langle y _ { 1 , i } ^ { * } , y _ { 1 } \rangle + \langle y _ { 2 , i } ^ { * } , y _ { 2 } \rangle \leq \alpha _ { i } } \end{array} } \end{array}
{ \cal H } _ { C _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } = { \frac { 1 } { 2 } } ( p _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 2 } ^ { 2 } ) + m ^ { 2 } e ^ { q _ { 1 } - q _ { 2 } } + { \frac { m ^ { 2 } } { 2 } } \left( e ^ { 2 q _ { 2 } } + e ^ { - 2 q _ { 1 } } \right) .
h ( { \bf u } ) = \frac { 1 } { V ( S _ { 3 } ) } \ \frac { 2 \pi J } { V ( S _ { 4 } ) V ( Q _ { 5 } ) } \int _ { S _ { 3 } } \frac { h ( { \bf u } ^ { \prime } ) } { ( { \bf u } - { \bf u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \ d ^ { 3 } { \bf u } ^ { \prime }
\boldsymbol { \nu } _ { v _ { \ell } } = \frac { \boldsymbol { \nu } \circ \left( \operatorname * { \bigcirc } _ { c _ { \xi } \in N _ { 0 } ( v _ { \ell } ) \setminus c _ { p } } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \xi } \to v _ { \ell } } \right) } { \left\langle \boldsymbol { \mu } _ { c _ { p } \to v _ { \ell } } , \operatorname * { \bigcirc } _ { c _ { \xi } \in N _ { 0 } ( v _ { \ell } ) \setminus c _ { p } } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \xi } \to v _ { \ell } } \right\rangle } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { 0 } ( x ) } & { = 4 \lambda _ { 0 } ^ { 3 } | x | ^ { 3 / 2 } - Z _ { 2 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ) | x | ^ { 1 / 4 } } \\ { y _ { 0 } ( x ) } & { = \lambda _ { 0 } | x | ^ { 1 / 2 } + \left( \left( Z _ { 2 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ) \right) ^ { 2 } + Z _ { 1 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ) - Z _ { 2 2 } ^ { ( 1 ) } ( x ) \right) | x | ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
p ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 } , \tau ) = \frac { 1 } { \pi } \Re \int _ { 0 } ^ { \infty } \tilde { p } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 } , \omega ) \mathrm { e x p } \{ - i \omega \tau \} \mathrm { d } \omega ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial f ( \mathbf { r } , \mathbf { p } , t ) } { \partial t } = } & { { } \nabla ( \mathbf { K ^ { S } } \cdot \nabla f ( \mathbf { r } , \mathbf { p } , t ) ) + \frac { 1 } { 3 } ( \nabla \cdot \mathbf { V _ { S W } } ) \frac { \partial f ( \mathbf { r } , \mathbf { p } , t ) } { \partial l n ~ p } } \end{array}
2 . 2 2 \frac { \mathrm { d } S _ { 2 } } { \mathrm { d } w } + \frac { ( 2 + A ) } { w } S _ { 2 } = D w ^ { - A - 1 } + E w ^ { - A - 2 } + F w ^ { - A - 2 } \log ( w ) + G w ^ { - A - 3 } + H w ^ { - A - 3 } \log ( w ) \quad ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { a , b \in [ k ] : a \neq b } \left\| { \theta _ { a } ^ { * } U ^ { * } - \theta _ { b } ^ { * } U ^ { * } } \right\| = \operatorname* { m i n } _ { a , b \in [ k ] : a \neq b } \left\| { \theta _ { a } ^ { * } - \theta _ { b } ^ { * } } \right\| = \operatorname* { m i n } _ { a , b \in [ k ] : a \neq b } \sqrt { n _ { a } + n _ { b } } ( p - q ) = : \delta . } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \vartheta } } _ { \mathrm { H S S } } - \overline { { \vartheta } } = \frac { \chi } { h _ { T } \, \mathrm { m e a s } ( \Omega ) } \big ( \vartheta _ { \mathrm { o u t l e t } } - \vartheta _ { \mathrm { i n l e t } } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( x + \alpha ) } & { = e ^ { \frac { \pi K ^ { \prime } ( k ) } { 4 K ( k ) } - \frac { i \pi ( x + \gamma ) } { 2 K ( k ) } } \Theta ( x + K ( k ) + \gamma ) , } \\ { H ( x - \alpha ) } & { = - e ^ { \frac { \pi K ^ { \prime } ( k ) } { 4 K ( k ) } + \frac { i \pi ( x - \gamma ) } { 2 K ( k ) } } \Theta ( x + K ( k ) - \gamma ) , } \end{array}
\mathcal { M } _ { r } ^ { s , p } [ \phi ] ( x ) : = \frac { ( p + d ) } { p ( 1 - s ) r ^ { d + s p } } \int _ { B _ { r } } J _ { p } ( \phi ( x + y ) - \phi ( x ) ) \, \mathrm { d } y + \int _ { \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } \setminus B _ { r } } J _ { p } ( \phi ( x + y ) - \phi ( x ) ) \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p } } .
I ( A _ { 0 } ) \simeq \exp \left( \frac { \langle n \rangle } { \langle \mathrm { A R G } \rangle } \sum _ { x } \frac { \sin \left( \beta _ { \mathrm { L } } Q \sqrt { A _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) } \right) } { \beta _ { \mathrm { L } } Q \sqrt { A _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) } } \right) \, .
\tau _ { \ell } ( \widetilde f ) = \frac { C _ { \ell } } { \pi } \int _ { - 2 } ^ { 2 } T _ { \ell } \left( \frac { x } { 2 } \right) T _ { \ell } \left( \frac { x } { 2 } \right) \frac { \mathrm { d } x } { \sqrt { 4 - x ^ { 2 } } } = \frac { C _ { \ell } } { \pi } \int _ { - 1 } ^ { 1 } T _ { \ell } \left( y \right) T _ { \ell } \left( y \right) \frac { \mathrm { d } y } { \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } } = \frac { C _ { \ell } } { 2 } .
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( 2 c ) } ( \omega ) = \frac { \pi } { 1 8 c \omega } \int _ { 0 } ^ { \infty } \ensuremath { \mathrm { d } } q \; q ^ { 2 } \Biggl [ \theta ( E ) \Biggl ( V ^ { \prime } ( q ) ^ { 2 } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } ^ { 3 } } { \ensuremath { \mathrm { d } } E ^ { 3 } } \tilde { \rho } _ { 3 , \mathrm { W } } \left( q , \sqrt { 2 E } \right) } \\ { + \left( V ^ { \prime \prime } ( q ) - ( 1 / q ) V ^ { \prime } ( q ) \right) \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } ^ { 3 } } { \ensuremath { \mathrm { d } } E ^ { 3 } } \tilde { \tau } _ { 5 , \mathrm { W } } \left( q , \sqrt { 2 E } \right) } \\ { + ( 1 / q ) V ^ { \prime } ( q ) \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } ^ { 3 } } { \ensuremath { \mathrm { d } } E ^ { 3 } } \tilde { \rho } _ { 5 , \mathrm { W } } \left( q , \sqrt { 2 E } \right) \Biggl ) \Biggl ] _ { E = \omega + E _ { 0 } - V ( q ) } , } \end{array}
Z _ { 2 } ^ { - 1 } = 1 - \frac { m ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } f _ { \pi } ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \epsilon } - \gamma _ { E } + 1 + \mathrm { l n } ( 4 \pi ) - \mathrm { l n } \frac { m ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) .
\mathcal { S } \left( \mathrm { ~ s ~ t ~ a ~ t ~ e ~ } \left( \boldsymbol { F } , \boldsymbol { \upalpha } \right) \right) = \ell / \mathcal { G } _ { c } ^ { 0 } \left( W _ { \mathrm { e } } + W _ { \mathrm { p } } \right)
K ( x _ { i + 1 } , x _ { i } ; \Delta t ) \sim \exp \left[ i \Delta t \left( \frac { \mathrm { d i s t } ^ { 2 } ( x _ { i + 1 } , x _ { i } ) } { 2 \, ( \Delta t ) ^ { 2 } } - V ( x _ { i } ) \right) \right]
c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , n } = 0 \mathrm { ~ ~ ~ f ~ o ~ r ~ ~ ~ } n \geqslant 1 \mathrm { ~ ~ ~ a ~ n ~ d ~ ~ ~ } c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , n } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { ~ ~ ~ i ~ f ~ ~ ~ } n = 1 } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ ~ ~ i ~ f ~ ~ ~ } n = 0 \mathrm { ~ ~ ~ o ~ r ~ ~ ~ } n \geqslant 2 } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } } & { = E \Big [ ( \mathbf { K } \mathbf { x } + \mathbf { n } _ { 1 } ) ( \mathbf { K } \mathbf { x } + \mathbf { n } _ { 1 } ) ^ { H } \Big ] } \\ & { = E \Big [ \mathbf { K } \mathbf { x } \mathbf { x } ^ { H } \mathbf { K } ^ { H } + \mathbf { n } _ { 1 } \mathbf { n } _ { 1 } ^ { H } \Big ] = p \mathbf { K } \mathbf { K } ^ { H } + \mathbf { C } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { E } _ { 0 } I \left( \Lambda \ge U \right) T = { \int \! \! \! \! \int } I \left( v \ge U \right) u \, f _ { 0 } ^ { T , \Lambda } ( u , v ) d u d v } \\ & { } & { \quad = { \int \! \! \! \! \int } I \left( v \ge U \right) \frac { f _ { 1 } ^ { T , \Lambda } ( u , v ) } { f _ { 0 } ^ { T , \Lambda } ( u , v ) } f _ { 0 } ^ { T , \Lambda } ( u , v ) d u d v = { \int \! \! \! \! \int } I \left( v \ge U \right) f _ { 1 } ^ { T , \Lambda } ( u , v ) d u d v } \\ & { } & { \quad = \int I \left( v \ge U \right) \int f _ { 1 } ^ { T , \Lambda } ( u , v ) d u d v = \int I \left( v \ge U \right) f _ { 1 } ^ { \Lambda } ( v ) d v \, \, = \, \, { \operatorname* { P r } } _ { 1 } \left( \Lambda \ge U \right) . } \end{array}
\operatorname { E h r } _ { P } ( z ) = { \frac { \sum _ { j = 0 } ^ { d } h _ { j } ^ { \ast } ( P ) z ^ { j } } { ( 1 - z ) ^ { d + 1 } } } , \qquad \sum _ { j = 0 } ^ { d } h _ { j } ^ { \ast } ( P ) \neq 0 .
\Pi _ { i } \ = \ \frac { \Lambda ^ { 2 } } { p _ { i } { } ^ { 2 } \, + \, u _ { 2 } ^ { \prime \prime } \Lambda ^ { 2 } } \qquad ( \ i \, = \, 1 \, , 2 \, , 3 \, , 4 \ ) \, ,
\begin{array} { r } { \delta \rho _ { E } ( r , t ) = \varepsilon \rho _ { E } ^ { ( 1 ) } ( r ) e ^ { - i \omega t } , \qquad \rho _ { E } ^ { ( 1 ) } = 2 \frac { j ( r ) - h _ { 0 } ( r ) - h _ { 1 } ( r ) } { N ^ { 2 } } \rho _ { E } ( r ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { V } _ { \mathrm { { d d } } } } & { { } = } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } ( g _ { J } \mu _ { B } ) ^ { 2 } \frac { \hat { \vec { J } } _ { 1 } \cdot \hat { \vec { J } } _ { 2 } - 3 ( \hat { \vec { J } } _ { 1 } \cdot \vec { u } _ { r } ) ( \hat { \vec { J } } _ { 2 } \cdot \vec { u } _ { r } ) } { r ^ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I } & { \le C | t - s | \int _ { s } ^ { t } ( u - r ) ^ { ( 2 H _ { 0 } \theta - q + \delta ) - \delta + ( q - 2 ) } \ensuremath { \mathrm { d } } u \le C T ^ { 2 H _ { 0 } \theta - q + \delta } ( s - r ) ^ { - \delta } | t - s | \int _ { s } ^ { t } ( u - r ) ^ { q - 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } u } \\ & { \le C ( s - r ) ^ { - \delta } | t - s | \int _ { s } ^ { t } ( u - s ) ^ { q - 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } u = C ( s - r ) ^ { - \delta } | t - s | ^ { q } . } \end{array}
{ \begin{array} { l l l } & { M u l ( 0 , y ) } \\ { = } & { \rho ( C _ { 0 } ^ { 1 } , A d d \circ ( P _ { 2 } ^ { 3 } , P _ { 3 } ^ { 3 } ) ) \; ( 0 , y ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ D e f . ~ } } M u l } \\ { = } & { C _ { 0 } ^ { 1 } ( y ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ c a s e ~ } } \rho ( g , h ) \; ( 0 , . . . ) } \\ { = } & { 0 } & { { \mathrm { ~ b y ~ D e f . ~ } } C _ { 0 } ^ { 1 } . } \end{array} }
\mathbf { \boldsymbol { s } } _ { \theta } ( \mathbf { \boldsymbol { x } } , t ) = \frac { f _ { \theta } ( \vec { x } , t ) } { \sigma ( t ) } \approx \mathbf { \boldsymbol { s } } ( \mathbf { \boldsymbol { x } } , t ) .
\begin{array} { r } { C ^ { 2 } = \| \widehat { \phi } \| _ { \infty } \| \widehat { \phi } \| _ { 1 } ^ { 3 } \underset { 1 \leq m , n \leq d } { \operatorname* { m a x } } \{ \sigma _ { j _ { m } } ^ { 2 \nu - 2 } \sigma _ { j _ { n } } ^ { 2 \nu - 4 } M ^ { 3 } , \ \sigma _ { j _ { m } } ^ { 2 \nu - 2 } \sigma _ { j _ { n } } ^ { 2 \nu - 2 } M ^ { 2 } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( 0 , \pm 1 , 4 ) , \, \frac { 1 } { \sqrt { 4 c ^ { 2 } + 1 } } ( 2 c , 1 , 1 6 c ^ { 4 } + 1 6 c ^ { 2 } + 4 ) , \, \frac { 1 } { \sqrt { 4 c ^ { 2 } + 1 } } ( - 2 c , - 1 , 1 6 c ^ { 4 } + 1 6 c ^ { 2 } + 4 ) , } \\ & { \, \frac { 1 } { \sqrt { 4 c ^ { 2 } + 9 } } ( 3 , - 2 c , 1 6 c ^ { 2 } + 9 ) , \, \frac { 1 } { \sqrt { 4 c ^ { 2 } + 9 } } ( - 3 , 2 c , 1 6 c ^ { 2 } + 9 ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { f a c t } ( n ) } & { = \operatorname { f a c t _ { a c c } } ( n , 1 ) } \\ { \operatorname { f a c t _ { a c c } } ( n , t ) } & { = { \left\{ \begin{array} { l l } { t } & { { \mathrm { i f ~ } } n = 0 } \\ { \operatorname { f a c t _ { a c c } } ( n - 1 , n t ) } & { { \mathrm { i f ~ } } n > 0 } \end{array} \right. } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \hat { l } _ { - } \Psi _ { n } ^ { m } } & { { } } & { = \hbar \mathrm { e } ^ { i ( m - 1 ) \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n - m + 1 ) ! } } } \end{array}