harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
I _ { \mathrm { ~ P ~ L ~ } } ( E ) \approx \frac { 2 \pi A } { \hbar ^ { 3 } c ^ { 2 } } \frac { E ^ { 2 } \alpha ( E ) } { \exp ( \frac { E - \Delta \mu } { k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T } ) - 1 } \approx \frac { A } { 4 n _ { r } ^ { 2 } } \cdot r ^ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } ( E )
\begin{array} { r } { i i . \| P _ { \phi } \nu _ { \phi } ( \xi ) - P _ { \phi } ^ { \prime } \nu _ { \phi } ^ { \prime } ( \xi ) \| \le C _ { 4 } ( 1 + | \xi | ^ { q _ { 4 } } ) \| \phi - \phi ^ { \prime } \| ^ { \lambda } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| Q ^ { k + 1 } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } } & { \leq } & { \| Q ^ { k + 1 } - Q ^ { k } - \beta ( T Q ^ { k } - Q ^ { k } ) \| _ { \mu } + \| T _ { \beta } Q ^ { k } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } } \\ & { \leq } & { \beta C \| T Q ^ { k } - Q ^ { k } \| _ { \mu } + \frac { \beta \tau _ { 3 } } { ( 1 - \gamma ) } \left( \omega + \sqrt { \frac { 3 \log ( 3 K / \delta ) } { N } } \right) + ( 1 - ( 1 - \gamma ) \beta ) \| Q ^ { k } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } } \\ & { = } & { \left( 1 - \frac { ( 1 - \gamma ) \beta } { 2 } \right) \| Q ^ { k } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } + \frac { \beta \tau _ { 3 } } { ( 1 - \gamma ) } \left( \omega + \sqrt { \frac { 3 \log ( 3 K / \delta ) } { N } } \right) . } \end{array}
\frac { \Omega _ { M } ( t ) } { \Omega ( t ) } \bigg | _ { t = t _ { 0 } } \sim \frac { E _ { k i n } ( R ( t ) , t ) } { E _ { t o t } ( R ( t ) , t ) } \bigg | _ { t = t _ { 0 } } = 0 . 2 6 .
{ \underline { { \underline { { \boldsymbol { \varepsilon } } } } } } = { \left[ \begin{array} { l l l } { \varepsilon _ { x x } } & { \varepsilon _ { x y } } & { \varepsilon _ { x z } } \\ { \varepsilon _ { y x } } & { \varepsilon _ { y y } } & { \varepsilon _ { y z } } \\ { \varepsilon _ { z x } } & { \varepsilon _ { z y } } & { \varepsilon _ { z z } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { \varepsilon _ { x x } } & { { \frac { 1 } { 2 } } \gamma _ { x y } } & { { \frac { 1 } { 2 } } \gamma _ { x z } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } } \gamma _ { y x } } & { \varepsilon _ { y y } } & { { \frac { 1 } { 2 } } \gamma _ { y z } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } } \gamma _ { z x } } & { { \frac { 1 } { 2 } } \gamma _ { z y } } & { \varepsilon _ { z z } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \psi _ { \mathrm { ~ H ~ o ~ p ~ f ~ l ~ i ~ n ~ k ~ } } ( \rho , \phi ) = } & { { } e ^ { - \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 s ^ { 2 } } } \bigr ( 1 - 2 ( 1 + a ^ { 2 } - b ^ { 2 } ) \rho ^ { 2 } + \rho ^ { 4 } } \end{array}
A ( \Theta _ { 0 } ) \; = \; \frac { N _ { \rightarrow g } ( \Theta < \Theta _ { 0 } ) - N _ { \rightarrow \overline { { { q } } } } ( \Theta < \Theta _ { 0 } ) } { N _ { t o t } ( \Theta < \Theta _ { 0 } ) } \; = \; \frac { ( \Delta N ) _ { a s } } { N _ { t o t } } .
\begin{array} { r l } { A _ { 0 } ( \omega \Delta t ) } & { = \frac { 1 6 } { \omega \Delta t } \left[ \sin ( \omega \Delta t / 2 ) - 2 \sin ( \omega \Delta t / 4 ) \right] } \\ { A _ { 1 } ( \omega \Delta t ) } & { = - \frac { 9 6 } { ( \omega \Delta t / 2 ) ^ { 2 } } \left[ \cos ( \omega \Delta t / 2 ) \left( 1 - \frac { 6 0 } { ( \omega \Delta t ) ^ { 2 } } \right) \right. } \\ & { \qquad \left. - \frac { \sin ( \omega \Delta t / 2 ) } { \omega \Delta t / 2 } \left( 6 - \frac { 6 0 } { ( \omega \Delta t ) ^ { 2 } } \right) \right] } \\ { A _ { 2 } ( \omega \Delta t ) } & { = - 3 \pi ^ { 4 } \frac { \sin ( \omega \Delta t / 2 ) } { ( \omega \Delta t / 2 ) ^ { 3 } } } \\ & { \qquad \times \left( 1 - \frac { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } { ( \omega \Delta t ) ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \left( 1 - \frac { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } { ( \omega \Delta t ) ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \tau } _ { x } ( t ) } & { { } = \frac { \sqrt { 2 } } { n _ { t } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { t } } | v _ { i , x } ( t ) - \hat { w } _ { x } ( t ) \bar { v } _ { i , x } ( t - 1 ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { { } = } & { \langle \Phi _ { f } | \Omega ^ { f , C P D F \dagger } D | \Phi _ { i } \rangle + \langle \Phi _ { f } | \Omega ^ { - \dagger } H _ { w } | \Phi _ { i } \rangle } \end{array}
A _ { k - 1 } = D _ { k - 1 } ( M ( x _ { k - 1 } , \alpha ) ) \in \mathbb { R } ^ { n \times n } \mathrm { ~ \; ~ a ~ n ~ d ~ \; ~ } B _ { k - 1 } = D _ { \alpha } ( M ( x _ { k - 1 } , \alpha ) ) \in \mathbb { R } ^ { n \times p } .
t _ { f } - t _ { i } = \int _ { r _ { i } } ^ { r _ { f } } \, d u \, \frac { \pm 1 } { \sqrt { 2 \left[ E _ { r } - V ( u ) - \frac { L ^ { 2 } } { 2 u ^ { 2 } } \right] } } \ \ , \ \ L = \frac { \varphi _ { f } - \varphi _ { i } } { g ^ { 2 } ( t _ { f } - t _ { i } ) + \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } \, \frac { d t } { r ^ { 2 } ( t ) } } \ \ \ ,
\begin{array} { r l } { ( H _ { L 0 } ^ { * } u , v ) _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , L ) ; \mathbb { C } ^ { 2 } ) } } & { = ( u _ { 1 } , - i v _ { 1 } ^ { \prime } ) _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , L ) ; \mathbb { C } ) } + ( u _ { 2 } , i v _ { 2 } ^ { \prime } ) _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , L ) ; \mathbb { C } ) } } \\ & { = ( - i u _ { 1 } ^ { \prime } , v _ { 1 } ) _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , L ) ; \mathbb { C } ) } + ( i u _ { 2 } , v _ { 2 } ^ { \prime } ) _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , L ) ; \mathbb { C } ) } + i \overline { { u _ { 2 } } } v _ { 2 } | _ { 0 } ^ { L } - i \overline { { u _ { 1 } } } v _ { 1 } | _ { 0 } ^ { L } } \\ & { = ( - i u _ { 1 } ^ { \prime } , v _ { 1 } ) _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , L ) ; \mathbb { C } ) } + ( i u _ { 2 } , v _ { 2 } ^ { \prime } ) _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , L ) ; \mathbb { C } ) } } \\ & { \quad + i v _ { 1 } ( L ) [ \overline { { u _ { 2 } } } ( L ) \left( \frac { - a + b i } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \right) - \overline { { u _ { 1 } ( L ) } } ] + i v _ { 1 } ( 0 ) [ \overline { { u _ { 1 } ( 0 ) } } - \overline { { u _ { 2 } ( 0 ) } } ] . } \end{array}
\begin{array} { l } { { a _ { i j } ^ { { \bf 4 } } = \frac { 1 } { g } \sum _ { \gamma = 1 } ^ { r } r _ { \gamma } \chi _ { \gamma } ^ { R _ { M } \oplus { \bf 1 } ^ { 2 } } \chi _ { \gamma } ^ { ( i ) } \chi _ { \gamma } ^ { ( j ) * } } } \\ { { a _ { i j } ^ { { \bf 6 } } = \frac { 1 } { g } \sum _ { \gamma = 1 } ^ { r } r _ { \gamma } \chi _ { \gamma } ^ { R _ { M } \oplus R _ { M } \oplus { \bf 1 } ^ { 2 } } \chi _ { \gamma } ^ { ( i ) } \chi _ { \gamma } ^ { ( j ) * } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { \lambda } \big ( \ell _ { 2 } ^ { n } ( \mathbb { R } ) \big ) = n \int _ { \mathbb { S } _ { n } ( \mathbb { R } ) } | x _ { 1 } | \, d \sigma = \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } \frac { \Gamma ( \frac { n + 2 } { 2 } ) } { \Gamma ( \frac { n + 1 } { 2 } ) } } \\ & { \boldsymbol { \lambda } \big ( \ell _ { 1 } ^ { n } ( \mathbb { R } ) \big ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { \lambda } \big ( \ell _ { 2 } ^ { n } ( \mathbb { R } ) \big ) , } & { \mathrm { ~ n ~ o d d } } \\ { \boldsymbol { \lambda } ( \ell _ { 2 } ^ { n - 1 } ( \mathbb { R } ) ) , } & { \mathrm { ~ n ~ e v e n } \, . } \end{array} \right. } \end{array}
B _ { 0 } ^ { 2 } < \frac { \eta ( \nu + 2 \eta - \eta ^ { 2 } \nu ) } { 1 + \eta ^ { 2 } } = \frac { \nu ^ { 2 } ( P ^ { 2 } + 2 P - \nu ^ { 2 } ) } { P ( \nu ^ { 2 } + P ^ { 2 } ) } \, .
\begin{array} { r l } { \rho ( \bar { L } ) } & { = \rho ( U ^ { - 1 } \bar { L } U ) } \\ & { \leq \| U ^ { - 1 } \bar { L } U \| _ { \infty } } \\ & { = \| U ^ { - 1 } ( \langle M _ { \phi _ { 1 } } \rangle + \lvert \phi _ { \phi _ { 1 } } \rvert + \phi _ { 2 } ) ^ { - 1 } ( \lvert N _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { \phi _ { 1 } } \rvert + \lvert A _ { \phi _ { 1 } } - \phi _ { 2 } \rvert + 2 \phi _ { 2 } G ) U \| _ { \infty } } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } \frac { ( ( \lvert N _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { \phi _ { 1 } } \rvert + \lvert A _ { \phi _ { 1 } } - \phi _ { 2 } \rvert + 2 \phi _ { 2 } G ) U e ) _ { i } } { ( ( \langle M _ { \phi _ { 1 } } \rangle + \lvert \phi _ { \phi _ { 1 } } \rvert + \phi _ { 2 } ) U e ) _ { i } } } \\ & { < 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ^ { ( 1 ) } ( \tau _ { 1 2 } ) } & { = - \frac { i } { \hbar } e ^ { - i \varphi _ { 1 } } \rho ^ { ( 0 ) } e ^ { i \omega _ { i u } \tau _ { 1 2 } } \sum _ { i , u } M _ { i u } ^ { * } \left| \mathfrak { h } _ { i } \right> \! \left< \mathfrak { T } _ { u } \right| \hat { s } ^ { * } ( \omega - \omega _ { i u } ) = \sum _ { i u } \rho _ { i u } ^ { ( 1 ) } \left| \mathfrak { h } _ { i } \right> \! \left< \mathfrak { T } _ { u } \right| . } \end{array}
\begin{array} { l } { { | h = \frac { k D } { 2 ( k + \check { g } ) } , q = \frac { k D } { ( k + \check { g } ) } \rangle = | a _ { 1 } , . . . . , a _ { D } \rangle } } \\ { { \ } } \\ { { | h = \frac { k D } { 2 ( k + \check { g } ) } , q = - \frac { k D } { ( k + \check { g } ) } \rangle = | \bar { a } _ { 1 } , . . . , \bar { a } _ { D } \rangle } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \langle f _ { j } \rangle _ { K } - \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \langle f _ { j } \rangle _ { I _ { 3 } ^ { 1 } \times K ^ { 2 , 3 } } } \\ & { = - \sum _ { l ^ { 1 } = 0 } ^ { k ^ { 1 } - 1 } \Big ( \langle \Delta _ { ( I _ { 3 } ^ { 1 } ) ^ { ( l ^ { 1 } + 1 ) } } g _ { 1 } \rangle _ { I _ { 3 } ^ { 1 } } \langle g _ { 2 } \rangle _ { ( I _ { 3 } ^ { 1 } ) ^ { ( l ^ { 1 } ) } } + \langle g _ { 1 } \rangle _ { ( I _ { 3 } ^ { 1 } ) ^ { ( l ^ { 1 } + 1 ) } } \langle \Delta _ { ( I _ { 3 } ^ { 1 } ) ^ { ( l ^ { 1 } + 1 ) } } g _ { 2 } \rangle _ { I _ { 3 } ^ { 1 } } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { C } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } \cap \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { + } ) _ { v } } ^ { 2 } } \\ & { \quad \leq C ( 1 + \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , 0 ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } \cap \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { + } ) _ { v } } ^ { 2 } + \| F _ { - } \| _ { \mathfrak D } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \pi _ { \mu } ( x ) - \pi _ { \mu } ( y ) \| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 2 } { \rho } \langle \nabla _ { a } F _ { \mu } ( y , \pi _ { \mu } ( y ) ) - \nabla _ { a } F _ { \mu } ( x , \pi _ { \mu } ( y ) ) , \pi _ { \mu } ( x ) - \pi _ { \mu } ( y ) \rangle } \\ & { \leq \frac { 2 } { \rho } \| \nabla _ { a } F _ { \mu } ( y , \pi _ { \mu } ( y ) ) - \nabla _ { a } F _ { \mu } ( x , \pi _ { \mu } ( y ) ) \| \| \pi _ { \mu } ( x ) - \pi _ { \mu } ( y ) \| } \\ & { \leq \frac { 2 } { \rho } \L _ { F } \, d _ { { \mathsf X } } ( x , y ) \, \| \pi _ { \mu } ( x ) - \pi _ { \mu } ( y ) \| } \end{array}
\begin{array} { c c } { \begin{array} { l } { m _ { 1 } = A _ { 1 , 1 } ( B _ { 1 , 2 } - B _ { 2 , 2 } ) , } \\ { m _ { 2 } = A _ { 2 , 2 } ( B _ { 1 , 1 } - B _ { 2 , 1 } ) , } \\ { m _ { 3 } = ( A _ { 1 , 1 } + A _ { 2 , 2 } ) ( B _ { 1 , 1 } + B _ { 2 , 2 } ) , } \\ { m _ { 4 } = ( A _ { 2 , 1 } + A _ { 2 , 2 } ) B _ { 1 , 1 } , } \\ { m _ { 5 } = ( A _ { 1 , 1 } + A _ { 1 , 2 } ) B _ { 2 , 2 } , } \\ { m _ { 6 } = ( A _ { 1 , 1 } - A _ { 2 , 1 } ) ( B _ { 1 , 1 } + B _ { 1 , 2 } ) , } \\ { m _ { 7 } = ( A _ { 1 , 2 } - A _ { 2 , 2 } ) ( B _ { 2 , 1 } + B _ { 2 , 2 } ) , } \end{array} } & { \begin{array} { l } { C _ { 1 , 1 } = - m _ { 2 } + m _ { 3 } - m _ { 5 } + m _ { 7 } , } \\ { C _ { 2 , 1 } = - m _ { 2 } + m _ { 4 } , } \\ { C _ { 1 , 2 } = m _ { 1 } + m _ { 5 } , } \\ { C _ { 2 , 2 } = m _ { 1 } + m _ { 3 } - m _ { 4 } - m _ { 6 } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } _ { k } - \mathbf { x } _ { k + 1 } } & { = \eta _ { k } G _ { k } + { D } _ { k } + \left( I - \tilde { W } \right) \mathbf { y } _ { k } + \left( I - \tilde { W } \right) E _ { k } } \\ & { = \tilde { V } U _ { R , l } P _ { 1 } \check { z } _ { k } - \tilde { W } \eta _ { k } \hat { \mathbf { g } } _ { k } - \tilde { W } \eta _ { k } \left( \nabla F ( \mathbf { x } ^ { * } ) - \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) \right) + \left( I - \tilde { W } \right) E _ { k } . } \end{array}
{ \cal L } _ { W Z } ^ { ( 4 ) } = \frac { \alpha } { 4 \sqrt 2 \pi f ^ { 2 } } \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } F ^ { \mu \nu } F ^ { \rho \sigma } ( \pi ^ { 0 } + \frac { \eta } { \sqrt 3 } ) + { \cal O } ( \phi ^ { 3 } , \phi ^ { 5 } ) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } \Gamma ( z , f ) } { \mathrm { d } z } } & { { } = } & { \int \mathrm { d } f ^ { \prime } g _ { R } ( f , f ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( z , f ^ { \prime } ) e ^ { \Gamma ( z , f ^ { \prime } ) } } \\ { \Rightarrow \Gamma ( z , f ) } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { z } \mathrm { d } z ^ { \prime } \int \mathrm { d } f ^ { \prime } g _ { R } ( f , f ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) e ^ { \Gamma ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) } \: . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { E _ { x } } \\ { E _ { y } } \end{array} \right) \propto \left( \begin{array} { l } { \cos \alpha \cos \gamma - i \sin \alpha \sin \gamma } \\ { \sin \alpha \cos \gamma + i \cos \alpha \sin \gamma } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { C } _ { \Omega } ^ { I _ { k } ^ { \mathrm { o r } } } ( p ) = ( - 1 ) ^ { { \boldsymbol { \kappa } } - k } \sum _ { I , I _ { k } \subset I } \mathrm { s i g n } _ { I _ { k } \subset I } ^ { \zeta } \sum _ { q \in ( p - \angle _ { I _ { k } \subset I } ^ { * , \zeta } ) \cap \mathbb { K } _ { I } ^ { { \mathrm { e f f } } } ( \alpha ) } \mathrm { s i g n } \left( \frac { \Lambda _ { l = 1 } ^ { k } \mathsf { D } _ { i _ { l } } \wedge \Omega } { \Lambda _ { l = 1 } ^ { { \boldsymbol { \kappa } } } \mathsf { D } _ { i _ { l } } } \right) \mathcal { C } ^ { I ^ { \mathrm { o r } } } ( q ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \xi ^ { n } { \nabla } { } _ { n } \xi ^ { a } = \xi ^ { n } \tilde { \nabla } _ { n } \xi ^ { a } - C ^ { a } { } _ { r n } \xi ^ { r } \xi ^ { n } = - F ^ { a } { } _ { n } t _ { c } \xi ^ { n } \xi ^ { c } = - F ^ { a } { } _ { n } \xi ^ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { S } } & { = \frac { X _ { 2 } f } { \| \nabla _ { H } f \| } X _ { 1 } - \frac { X _ { 1 } f } { \| \nabla _ { H } f \| } X _ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { \| \nabla _ { H } f \| } \left[ - \left( \frac { x } { 2 } + g ^ { \prime } ( r ) \frac { y } { r } \right) \partial _ { x } - \left( \frac { y } { 2 } - g ^ { \prime } ( r ) \frac { x } { r } \right) \partial _ { y } - \frac { r } { 2 } g ^ { \prime } ( r ) \partial _ { z } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { 3 } } & { : = \Phi _ { 3 } ^ { - 1 } \mathcal { L } ^ { 2 } \Phi _ { 3 } = \mathcal { D } _ { \omega } + \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 3 } ^ { - 1 } \mathcal { D } _ { \omega } ( \Psi _ { 3 } ) - \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 3 } ^ { - 1 } \partial _ { x } M _ { 2 } \Psi _ { 3 } + R _ { 3 } , } \\ { R _ { 3 } } & { : = R _ { 3 , 1 } + R _ { 3 , 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \varepsilon = } & { { } \frac { k _ { 2 } } { k _ { 4 } } } & { \tau = } & { { } \frac { k _ { 2 } k _ { 3 } R } { k _ { 4 } k _ { 5 } } } & { m _ { 2 } = } & { { } \frac { k _ { 1 } k _ { 4 } } { k _ { 2 } k _ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { h ^ { ( r ) } ( s ; \eta _ { 1 } , \eta _ { j } ) = \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { 2 } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] \left( 1 _ { j = 2 } + 1 _ { j \neq 2 } h ^ { ( r ) } ( s ; \eta _ { 2 } , \eta _ { j } ) \right) , } \\ & { h ^ { ( r ) } ( s ; \eta _ { K } , \eta _ { j } ) = \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { K + 1 } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] \left( 1 _ { j = K + 1 } + 1 _ { j \neq K + 1 } h ^ { ( r ) } ( s ; \eta _ { K + 1 } , \eta _ { j } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\| \xi _ { m , k } Y _ { m - 1 , k } \aftergroup \egroup \right\| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } } \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } \leq C \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 \delta } , } \end{array}
u _ { 1 } ( \alpha _ { 1 } , s ) \simeq 1 + r \frac { ( 1 - \alpha _ { 1 } ) ^ { \gamma _ { p } } } { ( 1 - \alpha _ { 1 } ) ^ { \gamma _ { p } } + r ^ { \gamma _ { p } } } \; \; \; \; { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } } \; \; \alpha _ { 1 } \gg s > 0 \; .
\begin{array} { r l } { c + o ( 1 ) } & { = \Phi ( \tilde { u } _ { n } ) - \frac { 1 } { 2 } \Phi ^ { \prime } ( \tilde { u } _ { n } ) \tilde { u } _ { n } = \int _ { \mathbb { V } } [ \frac { 1 } { 2 } f ( x , \tilde { u } _ { n } ) \tilde { u } _ { n } - F ( x , \tilde { u } _ { n } ) ] d \mu } \\ & { \geq \int _ { \mathbb { V } } [ \frac { 1 } { 2 } f ( x , \tilde { u } ) \tilde { u } - F ( x , \tilde { u } ) ] d \mu + o ( 1 ) = \Phi ( \tilde { u } ) - \frac { 1 } { 2 } \Phi ^ { \prime } ( \tilde { u } ) \tilde { u } + o ( 1 ) } \\ & { = \Phi ( \tilde { u } ) + o ( 1 ) \quad \mathrm { ~ a s ~ } n \to \infty . } \end{array}
w _ { n } ^ { \mathrm { s u s y } } \left( F _ { n } \right) = \int \prod _ { i = 1 } ^ { n } d ^ { 2 } x _ { i } \prod _ { i = 1 } ^ { n } d \xi _ { i } \, \, w _ { n } ^ { \mathrm { s u s y } } \left( x _ { 1 } , \xi _ { 1 } ; \ldots ; x _ { n } , \xi _ { n } \right) F _ { n } \left( x _ { 1 } , \xi _ { 1 } ; \ldots ; x _ { n } , \xi _ { n } \right) \, \, .
| A ( \omega , z ) | ^ { 2 } = \frac { T _ { 0 } ^ { 2 } P _ { 0 } } { 2 \pi } \, G ( z ) \, \exp [ - T _ { 0 } ^ { 2 } \, ( \omega - \omega _ { p } ) ^ { 2 } ] , \; \; \; \omega _ { p } = - \frac { g _ { 1 } z } { T _ { 0 } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { B _ { \mathrm { ~ W ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) = B _ { \mathrm { ~ W ~ } } ^ { ( 0 ) } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) + \hbar ^ { 2 } B _ { \mathrm { ~ W ~ } } ^ { ( 2 ) } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) + O ( \hbar ^ { 4 } ) , } \end{array}
\prod { \frac { \lambda _ { i } - \mu _ { \alpha } - i } { \lambda _ { i } - \mu _ { \alpha } + i } } = \prod { \frac { \lambda _ { i } - \lambda _ { j } - 2 i } { \lambda _ { i } - \lambda ^ { \prime } + 2 i } } \prod { \frac { \lambda _ { i } - \lambda _ { j } + i } { \lambda _ { i } - \lambda _ { j } - i } }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { j _ { n } ( \partial C _ { 1 } ) } & { { } = e S _ { n , 1 } \Big ( n ( \partial C _ { 1 } ) - n _ { e q } ( \partial C _ { 1 } ) \Big ) } \\ { j _ { n } ( \partial C _ { 2 } ) } & { { } = - e S _ { n , 2 } \Big ( n ( \partial C _ { 2 } ) - n _ { e q } ( \partial C _ { 2 } ) \Big ) } \\ { j _ { p } ( \partial C _ { 1 } ) } & { { } = - e S _ { p , 1 } \Big ( p ( \partial C _ { 1 } ) - p _ { e q } ( \partial C _ { 1 } ) \Big ) } \\ { j _ { p } ( \partial C _ { 2 } ) } & { { } = e S _ { p , 2 } \Big ( p ( \partial C _ { 2 } ) - p _ { e q } ( \partial C _ { 2 } ) \Big ) } \end{array} } \end{array}
\rho _ { B } ^ { e , a } ( E _ { \nu } , [ E _ { e } ^ { \operatorname * { m i n } } , \, E _ { e } ^ { \operatorname * { m a x } } ] ) \simeq \rho _ { B } ^ { c } ( E _ { \nu } , [ \tilde { E } _ { e } ^ { \operatorname * { m i n } } , \, \tilde { E } _ { e } ^ { \operatorname * { m a x } } ] ) \ .
{ \cal F } _ { i _ { 1 } \dots i _ { 5 } } = F _ { i _ { 1 } \dots i _ { 5 } } - \frac { 5 } { 2 } B _ { [ i _ { 1 } i _ { 2 } } ^ { c } H _ { i _ { 3 } i _ { 4 } i _ { 5 } ] } ^ { d } \mu _ { c d }
\begin{array} { r l } { V _ { F } ( j ) \geq - \rho } & { \bar { A } ( 2 ( j - j _ { o } ) + 1 ) } \\ & { \times \int _ { t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } } \bigg [ ( s - t _ { j } ) \int _ { t _ { j } } ^ { s } \left| A ( u , j ) \zeta ( u , j ) \right| ^ { 2 } d u } \\ & { + \sum _ { k = j _ { o } } ^ { j - 1 } ( t _ { k + 1 } - t _ { k } ) \int _ { t _ { k } } ^ { t _ { k + 1 } } \left| A ( u , k ) \zeta ( u , k ) \right| ^ { 2 } d u } \\ & { + \sum _ { k = j _ { o } } ^ { j - 1 } \left| B ( t _ { k + 1 } , k ) \zeta ( t _ { k + 1 } , k ) \right| ^ { 2 } \bigg ] d s } \\ & { + \frac { \rho } { 1 + \rho } \int _ { t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } } \left| A ( s , j ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \zeta _ { o } \right| ^ { 2 } d s . } \end{array}
a ^ { 3 } ( t ) n _ { L } ( t ) \approx \frac { m _ { 3 / 2 } } { 2 M } \int ^ { t } d t ^ { \prime } a ^ { 3 } ( t ^ { \prime } ) { \cal I } \mathrm { m } \left( a _ { m } \phi ^ { 4 } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } w _ { 1 } + . . . + \lambda _ { m } w _ { m } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { m } \lambda _ { j } w _ { j } \subseteq \sum _ { j = 1 } ^ { m } \lambda _ { j } \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i j } v _ { i } \subseteq \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \lambda _ { j } a _ { i j } ) v _ { i } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { m } \lambda _ { j } a _ { i j } \right] v _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle ( x _ { i + 1 } - x _ { i } ) ^ { n } \rangle _ { c } = \frac { ( n - 1 ) ! } { c ^ { n } } \bigg ( i ^ { - n } + ( N - i ) ^ { - n } + ( - 1 ) ^ { n } ( - i + N + 1 ) ^ { - n } + ( - 1 ) ^ { n } ( i + 1 ) ^ { - n } } \\ & { } & { { + } ( - 1 ) ^ { n } \left( - 2 ^ { 1 - n } - 2 ^ { n } + 1 \right) - 2 \bigg ) + 4 t \delta _ { n , 2 } + 2 c \, t \delta _ { n , 1 } \; . } \end{array}
S _ { 1 } = - \frac { \lambda ^ { s } A _ { S } + \lambda ^ { s } A _ { S Z } } { \lambda ^ { 2 s + 2 z } + 4 \lambda ^ { 2 s + 2 h } } \sim \left( \begin{array} { c } { { \lambda ^ { - s - 2 z } A \quad ( z \leq h ) } } \\ { { \lambda ^ { - s - 2 h } A \quad ( z \geq h ) . } } \end{array} \right.
\mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \prod _ { j = 1 } ^ { n } \exp ( \theta H _ { j } ( s _ { j } ) ) \right] = \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) , E _ { 1 } ^ { \theta / 2 } \left( \prod _ { j = 1 } ^ { n - 1 } E _ { j } ^ { \theta / 2 } \tilde { P } E _ { j + 1 } ^ { \theta / 2 } \right) E _ { n } ^ { \theta / 2 } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } .
\begin{array} { r l r l r l } { \underline { { S } } ^ { E } } & { = \ ( \underline { { C } } ^ { E } ) ^ { - 1 } , } & { \underline { { d } } } & { = \ \underline { { e } } \underline { { S } } ^ { E } , } & { \underline { { \epsilon } } ^ { \sigma } } & { = \ \underline { { \epsilon } } ^ { \varepsilon } + \underline { { d } } \underline { { e } } ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { w \in { H } } } & { \{ { \Psi } ( w ) + \frac { { \alpha } _ { k - 1 } } { 2 } \| w - u _ { k - 1 } \| _ { H } ^ { 2 } \} \leq { \Psi } ( ( 1 - \lambda ) u _ { k - 1 } + \lambda u ^ { * } ) + \frac { { \alpha } _ { k - 1 } \lambda ^ { 2 } } { 2 } \| u _ { k - 1 } - u ^ { * } \| _ { H } ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 - \lambda ) { \Psi } ( u _ { k - 1 } ) + \lambda { \Psi } ^ { * } + \frac { { \alpha } _ { k - 1 } \lambda ^ { 2 } } { 2 } \| u _ { k - 1 } - u ^ { * } \| _ { H } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Leftrightarrow } & { { } ~ ( - c s ^ { ( 0 , 0 ) } + b s ^ { ( 1 , 0 ) } ) - ( - c s ^ { ( 0 , 2 ) } + b s ^ { ( 1 , 2 ) } ) > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { { } - c ( s ^ { ( 0 , 0 ) } - s ^ { ( 0 , 2 ) } ) + b ( s ^ { ( 1 , 0 ) } - s ^ { ( 1 , 2 ) } ) > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { { } - c ( N p ^ { ( 0 , 0 ) } + N p ^ { ( 0 , 1 ) } - 2 ) } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \mathbb { E } \left[ \left( q _ { i } ^ { ( 2 ) } ( \infty ) - q _ { i } ^ { * } \right) ^ { 2 } \right] \leq \frac { 1 } { \left( c _ { 1 } ^ { \prime } + c _ { 2 } ^ { \prime } \sqrt { \ln \left( 1 / \eta \right) } \right) ^ { \alpha } } + \frac { c _ { 4 } ^ { \prime } } { \left( c _ { 3 } \sqrt { \ln \left( 1 / \eta \right) } \right) ^ { \alpha } } \leq \frac { c _ { 3 } ^ { \alpha } + c _ { 2 } ^ { \prime \alpha } c _ { 4 } ^ { \prime } } { \left( c _ { 2 } ^ { \prime } c _ { 3 } \sqrt { \ln \left( 1 / \eta \right) } \right) ^ { \alpha } } .
\begin{array} { r } { b ( r , \theta ) W ( \widehat { \chi _ { \mathcal { T } } } * i \omega \widehat { u } ) _ { m } = b ( r , \theta ) ( \widehat { \chi _ { \mathcal { T } } } * i \omega W \widehat { u } _ { m } ) + ( b ( r , \theta ) W \widehat { \chi _ { \mathcal { T } } } * i \omega \widehat { u } _ { m } ) + \textrm { e r r o r } \, , } \end{array}