harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \quad + \sum _ { j = 1 } ^ { D } \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \biggl ( \phi ( t , Y ( t - ) + \gamma ^ { ( j ) } ( t , Y ( t - ) , \alpha ( t - ) ) , e _ { j } ) - \phi ( t , Y ( t - ) , \alpha ( t - ) ) } \\ & { \quad - \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { \partial { \phi } } { \partial { y _ { n } } } ( t , Y ( t - ) , \alpha ( t - ) ) \gamma _ { n j } ( t , Y ( t - ) , \alpha ( t - ) ) \biggr ) \lambda _ { j } ( t ) \biggr \} d t } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { T } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \frac { \partial { \phi } } { \partial { y } _ { k } } ( s , Y ( s - ) , \alpha ( s - ) ) \sum _ { n = 1 } ^ { M } \sigma _ { k n } ( s , Y ( s - ) , \alpha ( s - ) ) d W ( t ) } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { T } \sum _ { m = 1 } ^ { L } \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \biggl ( \phi ( s , Y ( s - ) + \eta ^ { ( m ) } ( s , Y ( s - ) , \alpha ( s - ) , z ) , \alpha ( s - ) ) } \\ & { \quad - \phi ( s , Y ( s - ) , \alpha ( s - ) ) \biggr ) \tilde { N } ( d s , d z ) } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { T } \sum _ { j = 1 } ^ { D } \biggl ( \phi ( s , Y ( s - ) + \gamma ^ { ( j ) } ( s , Y ( s - ) , \alpha ( s - ) ) , e _ { j } ) } \\ & { \quad - \phi ( s , Y ( s - ) , \alpha ( s - ) ) \biggr ) d \tilde { \Phi } _ { j } ( s ) , } \end{array}
\| \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { u 0 } ^ { \mathrm { i n } } } ^ { \perp } \mathbf { Z } _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } = [ \mathbf { Z } _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } [ \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { u 0 } ^ { \mathrm { i n } } } ^ { \perp } ] ^ { T } \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { u 0 } ^ { \mathrm { i n } } } ^ { \perp } \mathbf { Z } _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } = \| \mathbf { Z } _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 }
V ( R ) \sim \left\{ \begin{array} { l l l } { { \left[ { \frac { \xi _ { + } ^ { 2 } + \xi _ { - } ^ { 2 } } { 2 } } - { \frac { \kappa _ { 5 } ^ { 4 } } { 3 6 } } \lambda _ { 0 } ^ { 2 } - { \frac { 9 ( \xi _ { + } ^ { 2 } - \xi _ { - } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 4 \kappa _ { 5 } ^ { 4 } \lambda _ { 0 } ^ { 2 } } } \right] R ^ { - { \frac { 2 } { 3 } } ( k ^ { 2 } - 3 ) } , } } & { { } } & { { R \gg \left( { \frac { \rho _ { 0 } } { | \lambda _ { 0 } | } } \right) ^ { \frac { 3 } { 3 m - k ^ { 2 } } } , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { - { \frac { \kappa _ { 5 } ^ { 2 } } { 3 6 } } \rho _ { 0 } ^ { 2 } R ^ { - 2 ( m - 1 ) } , } } & { { } } & { { R \rightarrow 0 . } } \end{array} \right.
\int \frac { d ^ { D - 1 } \pmb { \mathrm { q } } _ { i } } { ( 2 \pi ) ^ { D - 1 } } \frac { 1 } { 2 E _ { i } } | \pmb { \mathrm { q } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { q } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { q } } _ { n } \rangle \langle \pmb { \mathrm { q } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { q } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { q } } _ { n } | = \pmb { 1 } \, .
\begin{array} { r l } { C ( F , \tau ) } & { { } = D \left[ N ( d _ { + } ) F - N ( d _ { - } ) K \right] } \\ { d _ { \pm } } & { { } = { \frac { 1 } { \sigma { \sqrt { \tau } } } } \left[ \ln \left( { \frac { F } { K } } \right) \pm { \frac { 1 } { 2 } } \sigma ^ { 2 } \tau \right] } \\ { d _ { \pm } } & { { } = d _ { \mp } \pm \sigma { \sqrt { \tau } } } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { B } ( t ) = \textbf { E } \left[ \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( t B ) \right] = \left( 1 - 2 \sigma _ { Y } ^ { 2 } t \right) ^ { - 1 / 2 } \exp { \left( \frac { t \mu _ { Y } ^ { 2 } } { 1 - 2 \sigma _ { Y } ^ { 2 } t } + t c \right) } } \end{array}
\begin{array} { l } { \varepsilon \frac { d \Gamma } { d t } = - \Gamma + \frac { 1 } { \alpha _ { \mathrm { ~ b ~ } } I _ { \mathrm { ~ b ~ } } + \tilde { \alpha } _ { \mathrm { ~ g ~ } } ( I _ { 0 \mathrm { ~ g ~ } } + \xi ) + \beta } } \\ { + \gamma + \sqrt { 0 . 0 2 } n _ { a } ( t ) , } \\ { \tau _ { c } \frac { d \xi } { d t } = - \xi + \sqrt { 2 D _ { \mathrm { ~ g ~ } } \tau _ { c } } n ( t ) , } \\ { I _ { \mathrm { ~ b ~ } } = I _ { 0 \mathrm { ~ b ~ } } \Big \{ 1 + R ^ { 2 } + 2 R \cos ( 2 \phi _ { 0 } + \phi _ { 1 } + 2 \Gamma ) \Big \} , } \end{array}
\nabla \! \cdot \! [ \bar { a } D ^ { 2 } \nabla ( \nabla \! \cdot \! ( D \mathbf { u } ) ) + \bar { b } D ^ { 3 } \nabla ( \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } ) ] = \nabla \! \cdot \! [ a \nabla ( D ^ { 3 } \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } ) - b D ^ { 2 } \nabla \eta _ { t } ] + O ( \beta )
\left( \begin{array} { l } { \sigma _ { x x } } \\ { \sigma _ { y y } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { C _ { 1 1 } } & { C _ { 1 2 } } \\ { C _ { 1 2 } } & { C _ { 1 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \varepsilon _ { x x } } \\ { \varepsilon _ { y y } } \end{array} \right) \mathrm { ~ . ~ }
\int { \frac { \sin ^ { n } a x \, d x } { \cos a x } } = - { \frac { \sin ^ { n - 1 } a x } { a ( n - 1 ) } } + \int { \frac { \sin ^ { n - 2 } a x \, d x } { \cos a x } } \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } n \neq 1 { \mathrm { ) } }
[ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } ] [ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } ] + 4 [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } ] [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } ]
\begin{array} { r l } { \tilde { \mu } _ { \mathrm { d i f f u s i o n } } } & { = \tilde { \mu } - \tilde { \Sigma } \tilde { G } ^ { T } ( \sigma _ { \tilde { G } } ^ { 2 } I + G \tilde { \Sigma } G ^ { T } ) ^ { - 1 } ( \tilde { G } \tilde { \mu } ) , } \\ { \tilde { \Sigma } _ { \mathrm { d i f f u s i o n } } } & { = \tilde { \Sigma } - \tilde { \Sigma } \tilde { G } ^ { T } ( \sigma _ { \tilde { G } } ^ { 2 } I + G \tilde { \Sigma } G ^ { T } ) ^ { - 1 } ( \tilde { G } \tilde { \Sigma } ) . } \end{array}
\texttt { v e c } \left( \gamma ( G _ { \tilde { \mathbf { u } } } , T \hat { G } ) \right) = \texttt { v e c } \left( \gamma ( G _ { T _ { r o t } \Breve { \mathbf { u } } } , T \hat { G } ) \right) = T _ { r o t } \texttt { v e c } \left( \gamma ( G _ { \Breve { \mathbf { u } } } , \hat { G } ) \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { \kappa _ { 1 , 2 } ^ { + } = \pm 2 a _ { 0 } a _ { x x } + b _ { y } , \; \; \kappa _ { 1 , 2 } ^ { - } = \mp 2 a _ { 0 } a _ { x x } , } \\ & { } & { \kappa _ { 3 } ^ { \pm } = \kappa _ { 4 } ^ { \pm } = \left( b _ { y } \pm \sqrt { 5 b _ { y } ^ { 2 } - ( 4 a _ { 0 } a _ { x x } ) ^ { 2 } } \; \right) / 2 . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 s } \int \frac { d ^ { D - 2 } k _ { \perp } } { ( 2 \pi ) ^ { D - 1 } ( k _ { \perp } ^ { 2 } - ( q - k ) _ { \perp } ^ { 2 } ) } \left[ \frac { 1 } { k _ { \perp } ^ { 2 } } \ln \left( \frac { - s \alpha _ { 0 } \beta _ { 0 } } { - k _ { \perp } ^ { 2 } } \right) - \frac { 1 } { ( q - k ) _ { \perp } ^ { 2 } } \ln \left( \frac { - s \alpha _ { 0 } \beta _ { 0 } } { - ( q - k ) _ { \perp } ^ { 2 } } \right) \right] ~ .
G ( J _ { \mathrm { f } } ) \equiv \frac { \partial ^ { 2 } H _ { 0 } } { \partial J _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } } \Bigg \vert _ { J _ { \mathrm { s , r e s } } } , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, K ( J _ { \mathrm { f } } ) = - 2 \vert \Psi _ { k } ( J _ { \mathrm { s , r e s } } ) \vert .
F _ { \pi } ( Q ^ { 2 } ) = \int _ { u _ { 0 } } ^ { 1 } \! d u \, \varphi _ { \pi } ( u , \mu _ { u } ) \exp \left( - \frac { \bar { u } Q ^ { 2 } } { u M ^ { 2 } } \right) \stackrel { Q ^ { 2 } \to \infty } { \longrightarrow } \varphi _ { \pi } ^ { \prime } ( 0 ) \int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } } \frac { d s \, s \, e ^ { - s / { M ^ { 2 } } } } { Q ^ { 4 } } \, ,
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \mathbf { E } } & { { } = 0 } \\ { \nabla \times \mathbf { E } } & { { } = - { \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } } } \\ { \nabla \cdot \mathbf { B } } & { { } = 0 } \\ { \nabla \times \mathbf { B } } & { { } = \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } { \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } } } \end{array}
Q _ { 9 } = { \frac { 3 } { 2 } } \; ( \bar { s } b ) _ { V - A } \sum _ { q = u , d , s , c } e _ { q } ( \bar { q } q ) _ { V - A } { } ~ ~ ~ ~ ~ Q _ { 1 0 } = { \frac { 3 } { 2 } } \; ( \bar { s } _ { \alpha } b _ { \beta } ) _ { V - A } \sum _ { q = u , d , s , c } e _ { q } \; ( \bar { q } _ { \beta } q _ { \alpha } ) _ { V - A }
\begin{array} { r l } { L = } & { { } \sum _ { s } \int \left( \left( \frac { e _ { s } } { c } \Vec { A } + m _ { s } v _ { \parallel } \Vec { b } \right) \cdot \Dot { \Vec { R } } + \frac { m _ { s } c } { e _ { p } } \mu \Dot { \theta } - H _ { s , 0 } - H _ { s , 1 } \right) } \end{array}
\Big \langle \vec { X } ^ { m + 1 } - \vec { X } ^ { m } , ~ \vec { f } ^ { m + \frac { 1 } { 2 } } \Big \rangle = \Delta t \Big \langle \vec { X } ^ { m } \cdot \vec { e } _ { 1 } , ~ \vec { U } ^ { m + 1 } \cdot \vec { \nu } ^ { m } \, | \vec { X } _ { \alpha } ^ { m } | \Big \rangle = 0 ,
\begin{array} { r l } { \left( \int _ { B _ { r } } | \widetilde { u } ( x + \varrho \, \omega ) - \widetilde { u } ( x ) | ^ { 2 } \, d x \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } & { \le \left( \int _ { B _ { r } } | \widetilde { u } ( x + \varrho \, \omega ) - \widetilde { v } ( x + \varrho \, \omega ) - \widetilde { u } ( x ) + \widetilde { v } ( x ) | ^ { 2 } \, d x \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { + \left( \int _ { B _ { r } } | \widetilde { v } ( x + \varrho \, \omega ) - \widetilde { v } ( x ) | ^ { 2 } \, d x \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \le 2 \, \| \widetilde { u } - \widetilde { v } \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { 3 r } ) } + | \varrho | \, \| \partial _ { \omega } \widetilde { v } \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { 3 r } ) } } \\ & { \le 2 \, \left( \| \widetilde { u } - \widetilde { v } \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { 3 r } ) } + \frac { | \varrho | } { 2 } \, \| \nabla \widetilde { v } \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { 3 r } ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { \cos _ { \epsilon } ( s ) I ( s ) } { \sin _ { \epsilon } ^ { n } ( s ) } } & { = } & { \frac { 1 } { n } \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \left( \frac { - \epsilon I ( s ) } { \sin _ { \epsilon } ^ { n - 2 } ( s ) } + \cos ( s ) \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { n } \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \left( - \epsilon \varphi _ { \epsilon } ( s ) \sin _ { \epsilon } ( s ) + \cos _ { \epsilon } ( s ) \right) = 1 / n , } \end{array}
P _ { \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { e } } ^ { \odot } = \sum _ { i = 3 , 4 } | U _ { e i } | ^ { 4 } + \left( 1 - \sum _ { i = 3 , 4 } | U _ { e i } | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } P _ { \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { e } } ^ { ( 1 ; 2 ) } \; ,
\begin{array} { r l } { T = } & { { } \sum _ { a i } t _ { i } ^ { a } E _ { a i } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a i b j } t _ { i j } ^ { a b } E _ { a i } E _ { b j } + \Gamma b ^ { \dagger } } \\ { + } & { { } \sum _ { a i } s _ { i } ^ { a } E _ { a i } b ^ { \dagger } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a i b j } s _ { i j } ^ { a b } E _ { a i } E _ { b j } b ^ { \dagger } , } \end{array}
\sigma _ { I } ^ { 2 } = \frac { 1 } { M } \left[ \langle f ^ { 2 } \rangle _ { p ( x ) } - \langle f \rangle _ { p ( x ) } ^ { 2 } \right] \equiv \frac { 1 } { M } \bar { \sigma } _ { I } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { l } \{ \tilde { a } _ { 1 } , \dots , \tilde { a } _ { k } \} _ { k } \{ a _ { 1 } , \dots , a _ { k } \} _ { k } \otimes \{ \tilde { b } _ { 1 } , \dots , \tilde { b } _ { i - 1 } , \{ b _ { 1 } , \dots , b _ { l - 1 } , \tilde { b } _ { i } \} _ { l } , \tilde { b } _ { i + 1 } , . . . , \tilde { b } _ { l } \} _ { l } } \\ { = } & { \left( \{ a _ { 1 } , \dots , a _ { k } \} _ { k } \otimes 1 \right) \sum _ { i = 1 } ^ { l } \{ \tilde { a } _ { 1 } \otimes 1 , \dots , \tilde { a } _ { k } \otimes 1 , 1 \otimes \tilde { b } _ { 1 } , \dots , 1 \otimes \tilde { b } _ { i - 1 } , 1 \otimes \{ b _ { 1 } , \dots , b _ { l - 1 } , \tilde { b } _ { i } \} _ { l } , 1 \otimes \tilde { b } _ { i + 1 } , . . . , 1 \otimes \tilde { b } _ { l } \} _ { n } } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { l } \{ \tilde { a } _ { 1 } \otimes 1 , \dots , \tilde { a } _ { k } \otimes 1 , 1 \otimes \tilde { b } _ { 1 } , \dots , 1 \otimes \tilde { b } _ { i - 1 } , \{ a _ { 1 } , \dots , a _ { k } \} _ { k } \otimes \{ b _ { 1 } , \dots , b _ { l - 1 } , \tilde { b } _ { i } \} _ { l } , 1 \otimes \tilde { b } _ { i + 1 } , . . . , 1 \otimes \tilde { b } _ { l } \} _ { n } } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { l } \{ \tilde { a } _ { 1 } \otimes 1 , \dots , \tilde { a } _ { k } \otimes 1 , 1 \otimes \tilde { b } _ { 1 } , \dots , 1 \otimes \tilde { b } _ { i - 1 } , \{ a _ { 1 } \otimes 1 , \dots , a _ { k } \otimes 1 , 1 \otimes b _ { 1 } , \dots , 1 \otimes b _ { l - 1 } , 1 \otimes \tilde { b } _ { i } \} _ { n } , } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 \otimes \tilde { b } _ { i + 1 } , . . . , 1 \otimes \tilde { b } _ { l } \} _ { n } } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { k } \{ \tilde { a } _ { 1 } \otimes 1 , \dots , \tilde { a } _ { i - 1 } \otimes 1 , \{ a _ { 1 } \otimes 1 , \dots , a _ { k } \otimes 1 , 1 \otimes b _ { 1 } , \dots , 1 \otimes b _ { l - 1 } , 1 \otimes \tilde { b } _ { i } \} _ { n } , a _ { i + 1 } \otimes 1 , \dots , \tilde { a } _ { k } \otimes 1 , } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 \otimes \tilde { b } _ { 1 } , \dots , 1 \otimes \tilde { b } _ { l } \} _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \| x _ { k } ^ { \prime } ( t ) \| d t } & { = \int _ { 0 } ^ { T _ { k } } \| x _ { k } ^ { \prime } ( t ) \| d t + \int _ { T _ { k } } ^ { \infty } \| x _ { k } ^ { \prime } ( t ) \| d t } \\ & { \leqslant 2 m ~ \psi \left( \frac { 1 } { 2 m } \left( \operatorname* { s u p } _ { X _ { 0 } } f - \operatorname* { m i n } _ { B ( x ^ { * } , \epsilon ) } f \right) \right) + \operatorname* { m a x } \{ 0 , \sigma ( X _ { 1 } ) \} . } \end{array}
\epsilon _ { r , \textit { \xi } } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \pi \delta ( t ) } & { \textrm { i f } \xi = I , } \\ { 2 \pi \delta ( t ) + \chi ( t ) } & { \textrm { i f } \xi = I I , } \end{array} \right.
\omega _ { \mathrm { s p } } ^ { ( - ) } = \begin{array} { r l } & { \left\{ \begin{array} { l l } & { \omega _ { \mathrm { s p } } ^ { ( - 1 ) } = \frac { ( \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } + \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { b } } + \omega _ { \mathrm { m } } ) + \sqrt { ( \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } + \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { b } } + \omega _ { \mathrm { m } } ) ^ { 2 } - 2 ( 2 \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { b } } + \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } \omega _ { \mathrm { m } } + \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { b } } \omega _ { \mathrm { m } } ) } } { 2 } } \\ & { \omega _ { \mathrm { s p } } ^ { ( - 2 ) } = \frac { ( \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } + \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { b } } + \omega _ { \mathrm { m } } ) - \sqrt { ( \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } + \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { b } } + \omega _ { \mathrm { m } } ) ^ { 2 } - 2 ( 2 \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { b } } + \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } \omega _ { \mathrm { m } } + \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { b } } \omega _ { \mathrm { m } } ) } } { 2 } } \end{array} \right. } \end{array}
\int _ { B } | T _ { \alpha } ^ { \gamma _ { R } } f _ { \tau _ { j } } ( x , t ) | ^ { p } \leq K ^ { O ( 1 ) } \int _ { B ( x _ { B } + v _ { j } , 2 ) } | T _ { \alpha } ^ { \gamma _ { R } } f _ { \tau _ { j } } ( x , t ) | ^ { p } = K ^ { O ( 1 ) } \int _ { B ( x _ { B } , 2 ) } | T _ { \alpha } ^ { \gamma _ { R } } f _ { \tau _ { j } } ( x + x _ { j } , t + t _ { j } ) | ^ { p } .
{ _ { [ 0 , ~ 2 R e _ { \tau } ] } } ^ { T } D _ { y ^ { + } } ^ { \alpha ( y ^ { + } ) } \overline { { U ^ { + } } } ~ = ~ \frac { d \overline { { U ^ { + } } } } { d y ^ { + } } - ( \overline { { u v } } ) ^ { + } ~ = ~ 1 ~ ; ~ \alpha ( y ^ { + } ) \in ( 0 , 1 ]
\frac { P _ { 2 \Omega } ( t ) } { P _ { 0 } } = \left\{ - \cos ( \Delta \theta ) [ J _ { 0 } ( m _ { 2 \Omega } ) J _ { 2 } ( m _ { \Omega } ) - J _ { 2 } ( m _ { \Omega } ) J _ { 2 } ( m _ { 2 \Omega } ) ] + \sin ( \Delta \theta ) J _ { 0 } ( m _ { \Omega } ) J _ { 1 } ( m _ { 2 \Omega } ) \right\} \cos 2 \Omega t
{ \langle | I _ { 1 } ( \omega ) | ^ { 2 } \rangle = \int _ { 0 } ^ { \infty } d t | I _ { 1 } ( \omega ) | ^ { 2 } = e ^ { 2 } \sum _ { m , n } \langle g _ { m } g _ { n } \rangle e ^ { i \omega \tau ( m - n ) } . }
\mathrm { I m } { \cal A } ^ { 5 8 } ( \pm , + , - ) = \alpha _ { k } ^ { 2 } ( 1 + \alpha _ { k } ) { \cal N } \times \int \frac { d ^ { 2 } \vec { l } _ { T } } { ( l _ { T } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } f ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ; l _ { T } ^ { 2 } ) ( - \frac { 1 + \alpha _ { k } } { 4 } \frac { \vec { e } ^ { ( \pm ) } \cdot ( \vec { k } _ { T } - ( 1 + \alpha _ { k } ) \vec { l } _ { T } ) } { ( \vec { k } _ { T } - ( 1 + \alpha _ { k } ) ^ { 2 } \vec { l } _ { T } ) ^ { 2 } } ) ,
\begin{array} { r l } & { R \overset { ( a ) } { \leq } \operatorname* { m i n } \big \{ H ( Y _ { 1 } | Y _ { 2 } , S _ { 2 } , X ) , \quad I ( X ; Y _ { 1 } | S _ { 1 } ) \big \} } \\ & { \overset { ( b ) } { = } \operatorname* { m i n } \big \{ H ( Y _ { 1 } | Y _ { 2 } , S _ { 2 } ) , \quad I ( X ; Y _ { 1 } | S _ { 1 } ) \big \} } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { I ^ { 2 } } { \rho K } \sum _ { i = 1 } ^ { I } \eta _ { i } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { i } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { i } \| ^ { 2 } \leq \frac { \rho } { 8 4 } \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \eta _ { i } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { i } \| ^ { 2 } + \bigg ( \frac { \rho \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 8 4 b _ { 1 } L ^ { 2 } } + \frac { \rho \zeta ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 4 2 L ^ { 2 } } \bigg ) \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \eta _ { i } ^ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { i n } ( u ^ { - } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { f ( u ^ { - } ) , } & { \mathrm { i f ~ } u ^ { - } < u _ { * } , } \\ { f ( u _ { * } ) , } & { \mathrm { i f ~ } u ^ { - } \geq u _ { * } , } \end{array} \right. \qquad f _ { o u t } ( u ^ { + } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { f ( u _ { * } ) , } & { \mathrm { i f ~ } u ^ { + } \leq u _ { * } , } \\ { f ( u ^ { + } ) , } & { \mathrm { i f ~ } u ^ { + } > u _ { * } . } \end{array} \right. } \end{array}
\overline { { \delta x _ { c } ^ { 2 } } } ( \Omega ) + \overline { { \delta y _ { c } ^ { 2 } } } ( \Omega ) \leq \frac { k _ { \Lambda } ^ { 2 } \overline { { \delta h _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } } } } { \pi ^ { 2 } \sigma _ { \lambda } ^ { 2 } H _ { \delta x _ { c } } } .
q / p = \frac { \Delta M - i / 2 \Delta \Gamma } { 2 ( M _ { 1 2 } - i / 2 \Gamma _ { 1 2 } ) } = \frac { M _ { 1 2 } - i / 2 \Gamma _ { 1 2 } } { 2 ( \Delta M - i / 2 \Delta \Gamma ) } \ .
\begin{array} { r l } { \hat { H } ^ { \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ } } } & { { } = \left( \hat { T } _ { \mathrm { ~ n ~ u ~ } } ( \boldsymbol { Q } ) \right) \mathbb { 1 } _ { 2 } + \left[ \begin{array} { l l } { E ^ { ( 1 ) } ( \boldsymbol { Q } = 0 ) } & { 0 } \\ { 0 } & { E ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { Q } = 0 ) } \end{array} \right] } \end{array}
\nabla _ { \boldsymbol { r } } H ( { \boldsymbol { r } } ) = { \left[ \begin{array} { l } { \partial _ { \boldsymbol { q } } H ( { \boldsymbol { q } } , { \boldsymbol { p } } ) } \\ { \partial _ { \boldsymbol { p } } H ( { \boldsymbol { q } } , { \boldsymbol { p } } ) } \end{array} \right] }
\theta ( p , t ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \overline { { a } } \, b ^ { T } \, p - r \, \overline { { a } } ^ { 2 } / 2 \, , } & { \mathrm { ~ i f \ \ } b ^ { T } \, p > r \, \overline { { a } } \, , } \\ { ( b ^ { T } \, p ) ^ { 2 } / ( 2 \, r ) \, , } & { \mathrm { ~ i f \ \ } r \, \underline { { a } } \le b ^ { T } \, p \le r \, \overline { { a } } \, , } \\ { \underline { { a } } \, b ^ { T } \, p - r \, \underline { { a } } ^ { 2 } / 2 \, , } & { \mathrm { ~ i f \ \ } b ^ { T } \, p < r \, \underline { { a } } \, , } \end{array} \right.
\left\lbrace \begin{array} { l } { \partial _ { t } q \left( x , t \right) + \lambda \partial _ { x } q \left( x , t \right) = \partial _ { x } \left( \alpha \partial _ { x } q \right) \left( x , t \right) + \beta q \left( x , t \right) , } \\ { q ( x , 0 ) = \left\lbrace \begin{array} { l l } { p _ { i \, R } ( x ) , } & { x < 0 , } \\ { p _ { i + 1 \, L } ( x ) , } & { x > 0 . } \end{array} \right. } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathbf { q } _ { 1 } = A _ { 2 } \left( T _ { 1 } , T _ { 2 } \right) \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { A _ { 2 } } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( \omega _ { 2 n } t - 2 \theta \right) } + B _ { 2 } \left( T _ { 1 } , T _ { 2 } \right) \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { B _ { 2 } } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( \omega _ { 2 n } t + 2 \theta \right) } } \\ { + \frac { 1 } { 2 } F \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { F } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( \left( \omega _ { 2 n } / 2 \right) t - \theta \right) } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \Lambda T _ { 1 } } + \frac { 1 } { 2 } F \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { F } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( \left( \omega _ { 2 n } / 2 \right) t + \theta \right) } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \Lambda T _ { 1 } } + c . c . \, . } \end{array}
D _ { \mu \nu } ^ { a b } ( k ) = \frac { - i \, \delta ^ { a b } } { k ^ { 2 } + i \varepsilon } \left[ g _ { \mu \nu } - \frac { n _ { \mu } k _ { \nu } + n _ { \nu } k _ { \mu } } { k \! \cdot \! n } \right]
\begin{array} { r l } { M ^ { ( n ) } = } & { 2 \sum _ { a = 1 } ^ { p } \cos \left( \frac { 2 \pi } { n _ { \varphi } } n a \right) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( \varphi ) \Lambda _ { l ^ { \prime } + a } ( \varphi ) \mathrm { d } { \varphi } } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( \varphi ) \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( \varphi ) \mathrm { d } { \varphi } } \end{array}
T _ { \mathrm { o p t } } ( s , \Delta t , T _ { i } , T _ { f } ) = \frac { \kappa s } { k _ { \mathrm { B } } } \left( 1 + \frac { \tau } { 2 \Delta t } \ln \frac { T _ { \mathrm { R } } + T _ { f } } { T _ { \mathrm { R } } + T _ { i } } \right) ,
P \left\{ \underset { h \in \mathcal { H } _ { \sigma } ( L , N , B , F , S ) } { \operatorname* { s u p } } | R ( h ) - \widehat { R } _ { n } ( h ) | > \varepsilon \right\} \leq 2 C _ { 3 } \mathcal { N } \left( \mathcal { H } _ { \sigma } ( L , N , B , F , S ) , \frac { \varepsilon } { 4 G } \right) \exp \left( \log \log n - \frac { n ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } / 4 } { A _ { n } ^ { ' } + B _ { n } ^ { ' } ( n \varepsilon / 2 ) ^ { \nu } } \right) .
\begin{array} { r l r } { \mathbb P \left( \overline { { Z } } _ { n _ { * } } \in \mathcal B \right) } & { \geq } & { \mathbb P \left( \overline { { Z } } _ { n _ { * } } \in \mathcal B , \mathcal A _ { 1 } , \mathcal A _ { 2 } \right) } \\ & { = } & { \mathbb P \left( ( \tilde { X } , V _ { 3 } ) \in \mathcal B , \mathcal A _ { 1 } , \mathcal A _ { 2 } \right) } \\ & { = } & { \mathbb P ( \mathcal A _ { 2 } ) \mathbb P \left( ( \tilde { X } , V _ { 3 } ) \in \mathcal B , \mathcal A _ { 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \mathfrak { d } \mathcal { V } } p _ { A } ^ { \pm } ( \textbf { x } ) \partial _ { 3 } p _ { B } ^ { \mp } ( \textbf { x } ) d \textbf { x } = - \int _ { \mathfrak { d } \mathcal { V } } p _ { B } ^ { \mp } ( \textbf { x } ) \partial _ { 3 } p _ { A } ^ { \pm } ( \textbf { x } ) d \textbf { x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl [ \hat { A } \hat { B } , \, \hat { C } \hat { D } \bigr ] } & { = \hat { A } \bigl [ \hat { B } , \hat { C } \bigr ] \hat { D } + \bigl [ \hat { A } , \hat { C } \bigr ] \hat { B } \hat { D } + \hat { C } \hat { A } \bigl [ \hat { B } , \hat { D } \bigr ] + \hat { C } \bigl [ \hat { A } , \hat { D } \bigr ] \hat { B } , } \end{array}