harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big [ \hat { \sigma } _ { \tau - } ^ { 2 } - \sigma _ { \tau - } ^ { 2 } \big ] } & { = \frac { \pi } { 2 ( \pi - 2 ) K _ { n } } \sum _ { k = ( \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - K _ { n } ) \vee 1 } ^ { \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - 1 } h _ { n } ^ { - 1 } \mathbb { E } \Big [ \big ( \tilde { m } _ { k , n } - \tilde { m } _ { k - 1 , n } ^ { * } ) ^ { 2 } \Big ] - \mathbb { E } [ \sigma _ { \tau - } ^ { 2 } ] + { \scriptstyle { \mathcal { O } } } ( 1 ) } \\ & { = \frac { 1 } { K _ { n } } \sum _ { k = ( \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - K _ { n } ) \vee 1 } ^ { \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - 1 } \mathbb { E } [ \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } ^ { 2 } - \sigma _ { \tau - } ^ { 2 } ] + { \scriptstyle { \mathcal { O } } } ( 1 ) = { \scriptstyle { \mathcal { O } } } ( 1 ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { D \rho } { D t } + \rho \frac { \partial u } { \partial x } + \frac { \rho u } { A } \frac { d A } { d x } } & { { } = { \Dot { S } _ { m } } , } \\ { \frac { D u } { D t } + \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p } { \partial x } } & { { } = { \Dot { S } _ { M } } , } \\ { T \frac { D s } { D t } } & { { } = { \Dot { S } _ { s } } , } \\ { \frac { D Y _ { i } } { D t } } & { { } = \Dot { S _ { Y } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { Q ^ { [ n , + ] , N } = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { t r } \big [ ( C _ { N } ) ^ { n } + ( C _ { N } ^ { * } ) ^ { n } \big ] = \mathrm { t r } \big [ \cos ( ( C _ { N } ) ^ { n } ) \big ] , } \\ & { } & { Q ^ { [ n , - ] , N } = - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { i } \, \mathrm { t r } \big [ ( C _ { N } ) ^ { n } - ( C _ { N } ^ { * } ) ^ { n } \big ] = \mathrm { t r } \big [ \sin ( ( C _ { N } ) ^ { n } ) \big ] , } \end{array}
\frac { | \langle \widehat { f } , \widehat { \phi } \rangle | } { \| f \| _ { L ^ { 1 } } } = \frac { | \langle \widehat { f } , \widehat { \psi } \rangle | } { \| f \| _ { L ^ { 1 } } } = \frac { | \langle f , \psi \rangle | } { \| f \| _ { L ^ { 1 } } } \leq \frac { \| f \| _ { L ^ { 1 } } \| \psi \| _ { L ^ { \infty } } } { \| f \| _ { L ^ { 1 } } } = \| \psi \| _ { L ^ { \infty } } .
\begin{array} { r l } & { { { F } _ { i } } \left( t , { { y } _ { j } } \left( t \right) , { { { \dot { y } } } _ { j } } \left( t \right) , { { { \ddot { y } } } _ { j } } \left( t \right) \right) = 0 } \\ & { \textit { s u b j e c t e d t o } : \left\{ \begin{array} { l } { { { y } _ { j } } \left( { { t } _ { 0 } } \right) = { { y } _ { { { 0 } _ { j } } } } } \\ { { { y } _ { j } } \left( { { t } _ { f } } \right) = { { y } _ { { { f } _ { j } } } } } \\ { { { { \dot { y } } } _ { j } } \left( { { t } _ { 0 } } \right) = { { { \dot { y } } } _ { { { 0 } _ { j } } } } } \\ { { { { \dot { y } } } _ { j } } \left( { { t } _ { f } } \right) = { { { \dot { y } } } _ { { { f } _ { j } } } } } \end{array} \right. } \end{array}
\mathring { \nabla } _ { i } \psi _ { j k } \ = \ \psi _ { i j k } + \frac 1 3 \big ( [ \mathring { \nabla } _ { i } , \mathring { \nabla } _ { j } ] \psi _ { k } + [ \mathring { \nabla } _ { i } , \mathring { \nabla } _ { k } ] \psi _ { j } \big ) \ = \ \psi _ { i j k } - \frac 1 3 \big ( \mathring { R } _ { i j k } ^ { l } + \mathring { R } _ { i k j } ^ { l } \big ) \psi _ { l }
\begin{array} { r l r l } { \nabla ^ { 2 } \phi _ { c } ( \mathbf { x } ) } & { { } = \frac { 1 } { \epsilon } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { q } } q _ { k } \delta ( \mathbf { x } , \mathbf { x } _ { k } ) } & { } & { { } \mathbf { x } \in \Omega _ { 1 } \cup \Omega _ { 2 } , } \\ { \phi _ { c } ( \mathbf { x } ) } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ s ~ } | \mathbf { x } | \to \infty . } \end{array}
\left\{ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } , { \frac { \sin ( x ) } { \sqrt { \pi } } } , { \frac { \sin ( 2 x ) } { \sqrt { \pi } } } , \ldots , { \frac { \sin ( n x ) } { \sqrt { \pi } } } , { \frac { \cos ( x ) } { \sqrt { \pi } } } , { \frac { \cos ( 2 x ) } { \sqrt { \pi } } } , \ldots , { \frac { \cos ( n x ) } { \sqrt { \pi } } } \right\} , \quad n \in \mathbb { N }
\int \frac { d k ^ { \prime \prime } } { 2 \pi } \, \, \frac { 1 } { \sqrt { k ^ { 2 } + 4 } } \, \, \frac { 2 i k ^ { \prime \prime } \epsilon } { ( i k ^ { \prime \prime } - 2 \sigma _ { 1 } ) ^ { 2 } } \, \, \frac { 1 } { ( k + k ^ { \prime } - 2 k ^ { \prime \prime } - i \tau ) } .
S _ { g c } = \frac { m ^ { 3 } c ^ { 2 } } { e ^ { 2 } B ^ { 2 } } \left[ \frac { V _ { \parallel } V _ { \perp } ^ { 2 } } { 8 } \left( \left( \hat { a } \boldsymbol { \cdot } \nabla \right) \hat { b } \boldsymbol { \cdot } \hat { a } - ( \hat { c } \boldsymbol { \cdot } \nabla ) \hat { b } \boldsymbol { \cdot } \hat { c } \right) + V _ { \parallel } ^ { 2 } V _ { \perp } ( \nabla \times \hat { b } ) \boldsymbol { \cdot } \hat { a } + \frac { V _ { \perp } ^ { 3 } } { 3 B } \hat { c } \boldsymbol { \cdot } \nabla B \right] .
S _ { P } ^ { d + 1 } = \int _ { M _ { d + 1 } } \Bigl [ { \frac { 1 } { 2 } } B _ { d - 1 } \wedge F + { \frac { 1 } { 8 } } B _ { d - 1 } \wedge { } ^ { \star } B _ { d - 1 } + { \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 } } A \wedge { } ^ { \star } A \Bigl ] \; ,
\omega \rho \left( \begin{array} { l } { { \eta _ { p } ^ { 1 } } } \\ { { \eta _ { p } ^ { 2 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { ( - N + \gamma + \frac { 1 } { 2 } ) \eta _ { p } ^ { 1 } + ( \lambda + \frac { \mu _ { f } } { 2 } ) \sqrt { 1 - \alpha ^ { p } } \eta _ { p + 1 } ^ { 2 } - ( \lambda - \frac { \mu _ { f } } { 2 } ) \eta _ { p } ^ { 2 } } } \\ { { ( \lambda + \frac { \mu _ { f } } { 2 } ) \sqrt { 1 - \alpha ^ { p - 1 } } \eta _ { p - 1 } ^ { 1 } - ( \lambda - \frac { \mu _ { f } } { 2 } ) \eta _ { p } ^ { 1 } - ( - N + \gamma + \frac { 1 } { 2 } ) \eta _ { p } ^ { 2 } } } \end{array} \right) .
\frac { T _ { d } } { m _ { \phi } } = \frac { \eta } { \sqrt { 4 8 \pi | K | \bar { \beta } \epsilon } } \left( \frac { 9 0 } { \pi ^ { 2 } g _ { * } ( T _ { d } ) } \right) ^ { 1 / 4 } \left( \frac { m _ { \phi } M _ { * } } { | \phi | _ { 0 } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } \; .
\begin{array} { r l } { C _ { p , j } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { \alpha _ { j } } } \int _ { 0 } ^ { \sqrt { \alpha _ { j } } } \biggr ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { t } { 2 \sqrt { \alpha _ { j } } } \biggr ) \cos ( \pi p \frac { t } { \sqrt { \alpha _ { j } } } ) e ^ { - t ^ { 2 } } \mathrm { d } t , } \\ { S _ { p , j } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { \alpha _ { j } } } \int _ { 0 } ^ { \sqrt { \alpha _ { j } } } \frac { 1 } { 2 \pi } \sin ( \pi p \frac { t } { \sqrt { \alpha _ { j } } } ) e ^ { - t ^ { 2 } } \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \lambda } _ { k + 1 } \leq { \lambda } _ { 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { k } { \tilde { \varepsilon } } _ { i } } & { = { \lambda } _ { 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { k } \left( { \xi } _ { i } - { \xi } _ { i + 1 } \right) + { \mathrm { c } } _ { 4 } { \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { k } { \lambda } _ { i } + { \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { k } \left( \sqrt { { \mu } _ { i } } + \sqrt { { \mu } _ { i + 1 } } \right) \left\| { f } _ { i } \right\| } \\ & { = { \lambda } _ { 1 } + \left( { \xi } _ { 1 } - { \xi } _ { k + 1 } \right) + { \mathrm { c } } _ { 4 } { \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { k } { \lambda } _ { i } + { \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { k } \left( \sqrt { { \mu } _ { i } } + \sqrt { { \mu } _ { i + 1 } } \right) \left\| { f } _ { i } \right\| \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } ( \tau ) } & { { } = \left\{ \varepsilon + \hbar \omega + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } t _ { i } \cos \left[ \textbf { q } \cdot \textbf { b } _ { i } + \theta _ { i } ( \tau ) \right] \right\} \sigma _ { z } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | N _ { G } ( v , \mathcal { J } _ { X ^ { \prime } } ^ { \prime } ) | } & { \geqslant | N _ { G } ( v , \mathcal { J } _ { X } ) | - ( | \mathcal { J } _ { X } | - | \mathcal { J } _ { X ^ { \prime } } ^ { \prime } | ) } \\ & { \geqslant ( 1 - \beta ) \left( 2 \mu - ( 1 - ( 1 - \lambda ) ^ { k - 1 } ) \right) d _ { X } m ^ { k - 1 } } \\ & { \geqslant \mu ( 1 + \beta ) d _ { X } m ^ { k - 1 } \geqslant \mu | \mathcal { J } _ { X ^ { \prime } } ^ { \prime } | , } \end{array}
{ \cal K } _ { 3 } ^ { V _ { q } } \equiv { \frac { 2 ^ { 9 } \pi ^ { 4 } \alpha ^ { 2 } \alpha _ { s } C _ { F } } { n _ { c } } } \delta ( s _ { 3 4 } - M _ { V _ { q } } ^ { 2 } ) \; .
\begin{array} { r c l } { \frac { D _ { U } } { L } \frac { \mu _ { c } } { L ^ { 2 } } \, \partial _ { n _ { \bf x } } u } & { = } & { \beta _ { U , 1 } \, \frac { \mu _ { c } } { L ^ { 2 } } u - \beta _ { U , 2 } \, \mu _ { c } \mu _ { j } \, , } \\ { \frac { D _ { V } } { L } \frac { \mu _ { c } } { L ^ { 2 } } \, \partial _ { n _ { \bf x } } v } & { = } & { \beta _ { V , 1 } \, \frac { \mu _ { c } } { L ^ { 2 } } v - \beta _ { V , 2 } \, \mu _ { c } \eta { j } \, , } \end{array} \qquad { \Large \Leftrightarrow } \qquad \begin{array} { r c l l } { \varepsilon D _ { u } \partial _ { n _ { \bf x } } u } & { = } & { d _ { 1 } ^ { u } u - d _ { 2 } ^ { u } \mu _ { j } , \quad } & { { \bf x } \in \partial \Omega _ { j } \, , } \\ { \varepsilon D _ { v } \partial _ { n _ { \bf x } } v } & { = } & { d _ { 1 } ^ { v } v - d _ { 2 } ^ { v } \eta _ { j } , } & { { \bf x } \in \partial \Omega _ { j } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { \chi \in \mathcal { X } _ { 1 } } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) \right| ^ { 2 } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) - \mathbb { E } _ { b \in \mathbb { Z } _ { q } ^ { \times } } g ( b ) \overline { { \chi } } ( b ) \right| ^ { 2 } } \\ & { \leq \left( \frac { 1 } { N ^ { 1 / 4 } } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { \chi \pmod { q } } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) \right| ^ { 2 } } \\ & { \ll \frac { 1 } { N ^ { 1 / 2 } \varphi ( q ) } ( N + \varphi ( q ) ) \frac { \log N } { N } \ll \frac { \log N } { N ^ { 1 / 2 } \varphi ( q ) } + \frac { \log N } { N ^ { 3 / 2 } } . } \end{array} } \end{array}
( 1 - C \alpha ) \bigl \| \theta _ { 0 } \bigr \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } \leq \bigl \| \tilde { \theta } _ { 0 } \bigr \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } \leq \bigl \| \theta _ { 0 } \bigr \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } \, .
\begin{array} { r l } { \int _ { S _ { 0 } } \left\vert \sum _ { \tau = 0 } ^ { h } t _ { j } \left( k _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \tau \kappa ^ { ( 2 ) } \right) e ^ { i \tau \kappa ^ { ( 2 ) } x ^ { ( 2 ) } } \right\vert \, \textnormal { d } x ^ { ( 2 ) } } & { = 3 2 \pi \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left\vert \sum _ { \tau = 0 } ^ { h } t _ { j } \left( k _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \tau \kappa ^ { ( 2 ) } \right) e ^ { i \tau | \kappa ^ { ( 2 ) } | x } \right\vert \, \textnormal { d } x . } \end{array}
\psi _ { \mathrm { I I } } = \exp { \left[ i n _ { \mathrm { w g } } \omega / c \left( \begin{array} { l l l } { L _ { \mathrm { C 1 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { L _ { \mathrm { A 1 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { L _ { \mathrm { B 1 } } } \end{array} \right) \right] } \psi _ { \mathrm { I } }
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } [ \mu _ { \mathrm { p o p } } ] _ { p } } & { { } = \mathrm { E } [ \mu _ { \mathrm { p o p } } ^ { 2 } ] _ { p } - \mathrm { E } [ \mu _ { \mathrm { p o p } } ] _ { p } ^ { 2 } = \frac { \sigma _ { \mathrm { t o t } } ^ { 2 } } { N _ { \mathrm { o b s } } } . } \end{array}
\alpha _ { G } = { \frac { ( 4 \pi \kappa ^ { 2 } ) ^ { 2 / 3 } } { 2 \mathcal { V } } } ; \, \, \, \, G _ { N } = { \frac { \kappa ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } \mathcal { V } \rho } }
\frac { \rho _ { f } \ { v _ { c } } ^ { 2 } } { L _ { c } } \, ( \mathbf { v ^ { * } } \cdot \boldsymbol { \nabla ^ { * } } ) \mathbf { v ^ { * } } = - \frac { \rho _ { f } \ { v _ { c } } ^ { 2 } } { L _ { c } } \, \boldsymbol { \nabla ^ { * } } \ p ^ { * } + \frac { \mu \ v _ { c } } { { L _ { c } } ^ { 2 } } { \nabla ^ { * } } ^ { 2 } \ \mathbf { v ^ { * } } - \frac { \mu \ v _ { c } } { { L _ { c } } ^ { 2 } } \alpha ^ { * } ( \rho ) \ \mathbf { v ^ { * } }
\begin{array} { r } { \hat { R } = \frac { R } { R _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ d ~ o ~ } } } , \hat { r } = \frac { r } { R _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ d ~ o ~ } } } , \delta = \frac { R - R _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ d ~ o ~ } } } { R _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ d ~ o ~ } } } , \Delta = \frac { R _ { \mathrm { ~ e ~ p ~ i ~ } } - R _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ d ~ o ~ } } } { R _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ d ~ o ~ } } } , \hat { V } = \frac { V } { V _ { 0 } } , } \end{array}
v \, = \, \pi \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \phi _ { 0 } \eta _ { 0 } \bigl ( 3 - Z ^ { 2 } \bigr ) \, \mathrm { d } R \, \mathrm { d } Z \, = \, \frac { \pi } { 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \phi _ { 0 } \eta _ { 0 } \bigl ( 6 - | X | ^ { 2 } \bigr ) \, \mathrm { d } X \, ,
= \sum _ { \substack { ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , . . . , a _ { n } ) = 1 \, a _ { 1 } , a _ { 2 } , . . . , a _ { n } \geq 1 } } \frac { - \log ( 1 - { x _ { 1 } } ^ { a _ { 1 } } { x _ { 2 } } ^ { a _ { 2 } } \cdots { x _ { n } } ^ { a _ { n } } ) } { { a _ { 1 } } ^ { b _ { 1 } } { a _ { 2 } } ^ { b _ { 2 } } { a _ { 3 } } ^ { b _ { 3 } } \cdots { a _ { n } } ^ { b _ { n } } }
\mu _ { k } ( r ) = \mu _ { \mathcal { B } } + \mu _ { 0 } \int d \boldsymbol { r } U _ { \mathrm { c f } } ( r ) S _ { k } ( \boldsymbol { r } ) = \mu _ { \mathcal { B } } + \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mu _ { k } ^ { m } ( \boldsymbol { r } _ { k } ^ { m } ) ,
\bar { q } _ { - } ^ { ( 0 ) \mu \nu } k _ { \mu } k _ { \nu } \bar { f } _ { - ( T ) } = \frac { \kappa _ { 5 } ^ { 2 } e ^ { - 2 A _ { -- } \alpha _ { - } ^ { ( 0 ) } } } { \int _ { w _ { - } } ^ { w _ { + } } d w ^ { \prime } e ^ { - 3 A ( w ^ { \prime } ) } } \bar { \tau } _ { - ( T ) }
\hat { \rho } _ { \bf k } ^ { S P } = \eta _ { \bf k } \left( \hat { H } _ { \bf k } ^ { K S } - \mu \hat { I } \right) \hat { \rho } _ { \bf k } ^ { K S } + \overline { { \eta } } _ { \bf k } \left( \hat { H } _ { \bf k } ^ { A } - \mu \hat { I } \right) \hat { \rho } _ { \bf k } ^ { A } .
{ \begin{array} { r l } { y ( k ) } & { = h _ { 0 } + \sum _ { m _ { 1 } = 1 } ^ { M } h _ { 1 } ( m _ { 1 } ) u ( k - m _ { 1 } ) + \sum _ { m _ { 1 } = 1 } ^ { M } \sum _ { m _ { 2 } = 1 } ^ { M } h _ { 2 } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) u ( k - m _ { 1 } ) u ( k - m _ { 2 } ) } \\ & { \quad + \sum _ { m _ { 1 } = 1 } ^ { M } \sum _ { m _ { 2 } = 1 } ^ { M } \sum _ { m _ { 3 } = 1 } ^ { M } h _ { 3 } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } ) u ( k - m _ { 1 } ) u ( k - m _ { 2 } ) u ( k - m _ { 3 } ) + \cdots } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \bigg | \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } } & { [ g ( \eta , t ) - g ( \eta , s ) ] \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta \bigg | \leq } \\ & { \leq \bigg | \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } [ g ( \eta , t ) - g ( \eta , s ) ] \varphi ( \eta ) \chi _ { M } ( a ) \textup { d } \eta \bigg | + 2 \int _ { ( M , \infty ) \times [ \epsilon , 2 R ] } \big | [ g ( \eta , t ) - g ( \eta , s ) ] \varphi ( \eta ) \big | \textup { d } \eta } \\ & { \leq C | t - s | + 2 M ^ { - 1 } \int _ { ( M , \infty ) \times [ \epsilon , 2 R ] } a [ g ( \eta , t ) + g ( \eta , s ) ] \textup { d } \eta } \\ & { \leq C | t - s | + c ( t ) M ^ { - 1 } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \mathcal { T } ^ { k ^ { n } , \alpha } [ f ] _ { 1 } ^ { - } } \\ { \mathcal { T } ^ { k ^ { n } , \alpha } [ f ] _ { 1 } ^ { + } } \\ { \vdots } \\ { \mathcal { T } ^ { k ^ { n } , \alpha } [ f ] _ { N } ^ { - } } \\ { \mathcal { T } ^ { k ^ { n } , \alpha } [ f ] _ { N } ^ { + } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { - \frac { k ^ { n } \cos ( k ^ { n } \ell _ { N ( N + 1 ) } ) } { \sin ( k ^ { n } \ell _ { N ( N + 1 ) } ) } } & & & & & { \frac { k ^ { n } } { \sin ( k ^ { n } \ell _ { N ( N + 1 ) } ) } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \alpha L } } \\ & { A ^ { k ^ { n } } ( \ell _ { 1 2 } ) } & & & & \\ & & { A ^ { k ^ { n } } ( \ell _ { 2 3 } ) } & & & \\ & & & { \ddots } & & \\ & & & & { A ^ { k ^ { n } } ( \ell _ { ( N - 1 ) N } ) } & \\ { \frac { k ^ { n } } { \sin ( k ^ { n } \ell _ { N ( N + 1 ) } ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \alpha L } } & & & & & { - \frac { k ^ { n } \cos ( k ^ { n } \ell _ { N ( N + 1 ) } ) } { \sin ( k ^ { n } \ell _ { N ( N + 1 ) } ) } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { f _ { 1 } ^ { - } } \\ { f _ { 1 } ^ { + } } \\ { \vdots } \\ { f _ { N } ^ { - } } \\ { f _ { N } ^ { + } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { | E _ { 1 } ( t ) + E _ { 2 } ( t ) | ^ { 2 } } & { { } = | E _ { 1 } ( t ) | ^ { 2 } + | E _ { 2 } ( t ) | ^ { 2 } + 2 \mathrm { R e } [ E _ { 1 } ^ { * } ( t ) \, E _ { 2 } ( t ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \small } & { { } \int _ { \Omega _ { 2 D h } } \varepsilon _ { 0 } \nabla _ { 2 D } \hat { V } _ { k h } ^ { n + 1 } \cdot \nabla _ { 2 D } \omega _ { h } + \beta _ { k } ^ { 2 } \int _ { \Omega _ { 2 D h } } \varepsilon _ { 0 } \hat { V } _ { k h } ^ { n + 1 } \omega _ { h } = - \int _ { \Omega _ { 2 D h } } \hat { \textbf { R } } _ { k h } \cdot \nabla \omega _ { h } - \int _ { \Omega _ { 2 D h } } \hat { f } _ { V , k h } ^ { n + 1 } \omega _ { h } , } \end{array}
V _ { j } = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i \neq j } q _ { i } \phi ( \mathbf { r } _ { i } ) = { \frac { 1 } { 8 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \sum _ { i \neq j } { \frac { q _ { i } q _ { j } } { | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } | } }
J _ { \mathrm { F } } = \exp \{ i S [ g ] + \frac { i } { 4 \pi } \int \! d ^ { 2 } x \, [ \mathrm { T r } ( B _ { + } ( \partial _ { - } g ) g ^ { - 1 } ) + \frac { N } { 2 \pi } \partial _ { - } \theta \partial _ { + } \theta + \frac { N } { \pi } C _ { + } \partial _ { - } \theta ] \} \quad ,
\frac { G _ { \mathrm { ~ T ~ } } } { G _ { \mathrm { ~ M ~ } } } = \frac { 8 f } { \alpha _ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \gamma + 1 ) } \frac { \alpha _ { \mathrm { ~ M ~ } } \gamma \mathrm { ~ L ~ e ~ } } { 4 f } \Rightarrow \frac { G _ { \mathrm { ~ T ~ } } } { G _ { \mathrm { ~ M ~ } } } = 2 \frac { \alpha _ { \mathrm { ~ M ~ } } } { \alpha _ { \mathrm { ~ T ~ } } } \bigg ( \frac { \gamma } { \gamma + 1 } \bigg ) \mathrm { ~ L ~ e ~ } .
D _ { \mathrm { K L } } ( X _ { 1 } | | X _ { 2 } ) = D _ { \mathrm { K L } } ( X _ { 2 } | | X _ { 1 } ) , { \mathrm { ~ i f ~ } } h ( X _ { 1 } ) = h ( X _ { 2 } ) { \mathrm { , ~ f o r ~ ( s k e w e d ) ~ } } \alpha \neq \beta
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { A } ( \omega ) } & { = } & { \frac { 4 \pi e ^ { 2 } \omega } { 3 c \eta \hbar } \int d \omega _ { e g } G ( \omega _ { e g } ) \mathrm { I m } \left\{ i \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \: e ^ { i t ( \omega - \omega _ { e g } ) - g ( t ) } A ( t ) \right\} ; } \\ { \sigma _ { F } ( \omega ) } & { = } & { \frac { 4 \pi \eta e ^ { 2 } \omega } { 3 c \hbar } \int d \omega _ { e g } G ( \omega _ { e g } ) \mathrm { I m } \left\{ i \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \: e ^ { i t ( \omega - \omega _ { e g } ) - g ^ { * } ( t ) } A ^ { * } ( t ) \right\} ; } \\ { \sigma _ { R } ( \omega , \omega _ { S } ) } & { = } & { \frac { 8 e ^ { 4 } \omega _ { S } ^ { 3 } \omega } { 9 c ^ { 4 } \hbar ^ { 2 } } \int d \omega _ { e g } G ( \omega _ { e g } ) \times } \\ & { } & { \mathrm { I m } \left\{ i \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau e ^ { i \tau ( \omega - \omega _ { e g } ) } d ( \tau ) \int _ { 0 } ^ { \infty } d t _ { 1 } e ^ { i t _ { 1 } ( \omega - \omega _ { e g } ) - g ( t _ { 1 } ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t _ { 2 } e ^ { - i t _ { 2 } ( \omega - \omega _ { e g } ) - g ^ { * } ( t _ { 2 } ) } F ( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \tau ) \right\} . } \end{array}
R ( m , z ) = e ^ { m ^ { 2 } } \left( E _ { 1 } ( m ^ { 2 } ) z - \frac { 2 } { 3 } E _ { 2 } ( m ^ { 2 } ) z ^ { 3 } + \frac { 4 } { 1 5 } E _ { 3 } ( m ^ { 2 } ) z ^ { 5 } - \frac { 8 } { 1 0 5 } E _ { 4 } ( m ^ { 2 } ) z ^ { 7 } + \cdots \right)
{ { \rho } _ { S , I } } ( t ) = T { { r } _ { B } } \left[ { \mathcal { T } ^ { ( + ) } } { { e } ^ { \int _ { 0 } ^ { t } { d \tau { { L } _ { S B , I } } ( \tau ) } } } \rho _ { B } ^ { e q } \right] { { \rho } _ { S , I } } ( 0 )
\begin{array} { r } { \int _ { x _ { i , \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { x _ { i , \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } { \frac { \partial g _ { 2 } } { \partial x _ { i } } r _ { 1 , i } } \mathrm { ~ d ~ } x _ { i } = g _ { 2 } r _ { 1 , i } \Big | _ { x _ { i } = x _ { i , \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { x _ { i , \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } - \int _ { x _ { i , \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { x _ { i , \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } { \frac { \partial r _ { 1 , i } } { \partial x _ { i } } g _ { 2 } } \mathrm { ~ d ~ } x _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { g } \left( \tau = \frac { \pi } { \Omega } , T , \Delta \right) = \frac { 1 } { 2 } \left\{ 1 + \cos \left( \omega _ { e } T \right) - 4 \left( \frac { \omega _ { e } } { \Omega } \right) \cos \left( \frac { \pi \Delta } { 2 \Omega } \right) \sin \left( \omega _ { e } T \right) \right\} , } \end{array}
S _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( t - t ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { 2 } \langle \Delta \hat { I } _ { \alpha } ^ { \sigma } ( t ) \Delta \hat { I } _ { \beta } ^ { \sigma ^ { \prime } } ( t ^ { \prime } ) + \Delta \hat { I } _ { \beta } ^ { \sigma ^ { \prime } } ( t ^ { \prime } ) \Delta \hat { I } _ { \alpha } ^ { \sigma } ( t ) \rangle ,
\bar { \theta } _ { L } ^ { ( 3 ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \, \, { : } } & { \bar { x } = 0 } \\ { 0 \, \, { : } } & { \bar { x } = 1 } \end{array} \right. \quad \mathrm { a n d } \quad \theta _ { L } ^ { ( 3 ) } ( \bar { x } , \bar { t } = \bar { t } _ { 2 } ) = \theta _ { L } ^ { ( 2 ) } ( \bar { x } , \bar { t } _ { 2 } )
2 ^ { 1 - s } \, \Gamma ( s + 1 ) \, \eta ( s ) = 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { 2 s + 1 } } { \cosh ^ { 2 } ( x ^ { 2 } ) } } \, d x = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { t ^ { s } } { \cosh ^ { 2 } ( t ) } } \, d t .
\begin{array} { r } { L ( X , E ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } { e ^ { X ( 1 - s ) } } E e ^ { X s } d s } \\ { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ! } \sum _ { j = 1 } ^ { n } X ^ { j - 1 } E X ^ { n - j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { u _ { i , k } ^ { j + 1 } ( 1 + \Delta t r _ { i } ) - \frac { \Delta t \alpha _ { 1 } } { 2 \Delta r } \left( u _ { i + 1 , k } ^ { j + 1 } - u _ { i - 1 , k } ^ { j + 1 } \right) - \frac { \Delta t \alpha _ { 2 } } { 2 \Delta \lambda } \left( u _ { i , k + 1 } ^ { j + 1 } - u _ { i , k - 1 } ^ { j + 1 } \right) } \\ & { \ \ } \\ { a p p r o x u _ { i , k } ^ { j } + \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathcal { D } _ { u } ^ { t _ { j } , r _ { i } , \lambda _ { k } } ( y _ { r } , 0 ) \varphi _ { r } ( y _ { r } ) d y _ { r } + \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathcal { D } _ { u } ^ { t _ { j } , r _ { i } , \lambda _ { k } } ( 0 , y _ { \lambda } ) \varphi _ { \lambda } ( y _ { \lambda } ) d y _ { \lambda } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat \textsc { G r a d } _ { T , U } ( { \mathbf x } , { \mathbf z } ) } & { = J [ \rho _ { R , d } ] ( { \mathbf x } ) ^ { \top } U \textsc { G r a d } _ { T } ( U ^ { \top } \rho _ { R , d } ( { \mathbf x } ) , { \mathbf z } ) + \eta \nabla q _ { B , d } ( { \mathbf x } ) } \\ & { = J [ \rho _ { R , d } ] ( { \mathbf x } ) ^ { \top } U \textsc { G r a d } _ { T } ( U ^ { \top } \rho _ { R , d } ( { \mathbf x } ) , { \mathbf z } ) } \\ & { \qquad \qquad + \eta J [ \rho _ { R , d } ] ( { \mathbf x } ) ^ { \top } U ^ { \top } J [ \rho _ { R , T } ^ { - 1 } ] ( U ^ { \top } \rho _ { R , d } ( { \mathbf x } ) ) ^ { \top } \nabla q _ { B , T } ( \rho _ { R , T } ^ { - 1 } ( U ^ { \top } \rho _ { R , d } ( { \mathbf x } ) ) ) ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { ( \frac { - 1 } { 2 } , 0 , 2 ) } ( a , b , x ) = } & { e ^ { \pi i ( \frac { g ( \tau ) } { 4 } - x ) } \sum _ { m \in \mathbb { Z } } e ^ { \pi i \left( \frac { ( f + g ) ( \tau ) } { 2 } \right) m ^ { 2 } } e ^ { 2 \pi i m \left( \frac { - ( f + 3 g ) ( \tau ) } { 8 } + x \right) } } \\ { = } & { e ^ { \pi i ( \frac { g ( \tau ) } { 4 } - x ) } \theta \left( \frac { - ( f + 3 g ) ( \tau ) } { 8 } + x , \frac { ( f + g ) ( \tau ) } { 2 } \right) , } \end{array}