harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\tan \psi = \frac { \Omega ( r - r _ { b } ) \sin \theta } { V _ { s w } ( r , \theta ) } - \frac { r V _ { s w } ( r _ { b } , \theta ) } { r _ { b } V _ { s w } ( r , \theta ) } \Bigg ( \frac { B _ { T } ( r _ { b } ) } { B _ { R } ( r _ { b } ) } \Bigg )
\begin{array} { r l r l r } { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { i k x } \; d x } & { { } = \left. \frac { e ^ { i k x } } { i k } \right| _ { 0 } ^ { 2 \pi } } & { = \frac { e ^ { i k 2 \pi } - 1 } { i k } } & { { } = 0 } & { , k \neq 0 } \\ { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { i k x } \; d x } & { { } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } 1 \; d x } & { } & { { } = 2 \pi } & { , k = 0 } \end{array}
( v _ { i _ { 1 } } ^ { 1 } , v _ { i _ { 2 } } ^ { 1 } , v _ { j } ^ { 2 } ) , ( v _ { i _ { 2 } } , v _ { i _ { 3 } } ^ { 1 } , v _ { j } ^ { 2 } ) , \ldots , ( v _ { i _ { p - 1 } } ^ { 1 } , v _ { i _ { p } } ^ { 1 } , v _ { j } ^ { 2 } )
\boldsymbol { \mathfrak { f } } _ { i } = \frac { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { k , s \in C ( i , m ) } \omega _ { m } A _ { k , s } ( \boldsymbol { \Omega } _ { m } \otimes \boldsymbol { \Omega } _ { m } ) I _ { k , s } } { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { k , s \in C ( i , m ) } \omega _ { m } A _ { k , s } I _ { k , s } } \, ,
Q _ { 7 } = { \frac { 3 } { 2 } } \; ( \bar { s } d ) _ { V - A } \sum _ { q = u , d , s } e _ { q } \; ( \bar { q } q ) _ { V + A } ~ ~ ~ ~ ~ Q _ { 8 } = { \frac { 3 } { 2 } } \; ( \bar { s } _ { \alpha } d _ { \beta } ) _ { V - A } \sum _ { q = u , d , s } e _ { q } ( \bar { q } _ { \beta } q _ { \alpha } ) _ { V + A }
\begin{array} { r l r } { A _ { 1 e } ^ { \prime } } & { { } = } & { \frac { \partial \ln { n _ { e } } } { \partial r } - \frac { 3 } { 2 } \frac { \partial \ln { T _ { e } } } { \partial r } , } \\ { \Gamma _ { e } } & { { } = } & { - n _ { e } \frac { 4 } { 3 \sqrt { \pi } } \nu _ { e i } \epsilon ^ { - 3 / 2 } \rho ^ { 2 } q ^ { 2 } \left( K _ { 1 1 } A _ { 1 e } ^ { \prime } + K _ { 1 2 } \frac { \partial \ln { T _ { e } } } { \partial r } \right) , } \\ { q _ { e } } & { { } = } & { - n _ { e } T _ { e } \frac { 4 } { 3 \sqrt { \pi } } \nu _ { e i } \epsilon ^ { - 3 / 2 } \rho ^ { 2 } q ^ { 2 } \left( K _ { 1 2 } A _ { 1 e } ^ { \prime } + K _ { 2 2 } \frac { \partial \ln { T _ { e } } } { \partial r } \right) } \\ { \left< ( J _ { \parallel } - J _ { \parallel s } ) / h \right> } & { { } = } & { - n _ { e } \frac { T _ { e } } { m _ { e } v _ { t h , e } } e \epsilon ^ { - 1 / 2 } \rho q \left( K _ { 1 3 } A _ { 1 e } ^ { \prime } + K _ { 2 3 } \frac { \partial \ln { T _ { e } } } { \partial r } \right) , } \end{array}
f ^ { ( 1 ) } = \int _ { i \gamma - \infty } ^ { i \gamma + \infty } \left[ \frac { f ^ { ( 1 ) } ( v , 0 ) } { - 2 \pi i } - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } f _ { 0 } ^ { \prime } ( v ) } { k ^ { 2 } } \frac { F ^ { + } ( u ) } { \Xi ^ { + } ( u ) } \right] \! \frac { e ^ { - i k u t } } { u - v } \, d u \, ,
\begin{array} { r l } { t ^ { \alpha } : } & { { } \qquad \{ x ^ { \mu } , p _ { \mu } , S ^ { \alpha \beta } = \epsilon s \frac { \varepsilon ^ { \alpha \beta \mu \nu } p _ { \mu } t _ { \nu } } { p _ { \sigma } t ^ { \sigma } } \} , \quad S ^ { \alpha \beta } t _ { \beta } = 0 , } \\ { \tilde { t } ^ { \alpha } : } & { { } \qquad \{ \tilde { x } ^ { \mu } , \tilde { p } _ { \mu } , \tilde { S } ^ { \alpha \beta } = \epsilon s \frac { \varepsilon ^ { \alpha \beta \mu \nu } \tilde { p } _ { \mu } \tilde { t } _ { \nu } } { \tilde { p } _ { \sigma } \tilde { t } ^ { \sigma } } \} , \quad \tilde { S } ^ { \alpha \beta } \tilde { t } _ { \beta } = 0 . } \end{array}
i = \bar { i } + \frac { \partial i } { \partial R _ { f } } \bigg \lvert _ { R _ { f } = 0 } R _ { f } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } i } { \partial R _ { f } ^ { 2 } } \bigg \lvert _ { R _ { f } = 0 } R _ { f } ^ { 2 } + \mathcal { O } ( R _ { f } ^ { 3 } ) = \bar { i } + i R _ { f } \frac { \partial \bar { i } } { \partial \eta } + R _ { f } ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \left( \left( \frac { \partial \bar { i } } { \partial \eta } \right) ^ { 2 } + i \frac { \partial ^ { 2 } \bar { i } } { \partial \eta ^ { 2 } } \right) + \mathcal { O } ( R _ { f } ^ { 3 } ) .
{ \begin{array} { r l } { s _ { i j } } & { = \sigma _ { i j } - { \frac { \sigma _ { k k } } { 3 } } \delta _ { i j } , \, } \\ { \left[ { \begin{array} { l l l } { s _ { 1 1 } } & { s _ { 1 2 } } & { s _ { 1 3 } } \\ { s _ { 2 1 } } & { s _ { 2 2 } } & { s _ { 2 3 } } \\ { s _ { 3 1 } } & { s _ { 3 2 } } & { s _ { 3 3 } } \end{array} } \right] } & { = \left[ { \begin{array} { l l l } { \sigma _ { 1 1 } } & { \sigma _ { 1 2 } } & { \sigma _ { 1 3 } } \\ { \sigma _ { 2 1 } } & { \sigma _ { 2 2 } } & { \sigma _ { 2 3 } } \\ { \sigma _ { 3 1 } } & { \sigma _ { 3 2 } } & { \sigma _ { 3 3 } } \end{array} } \right] - \left[ { \begin{array} { l l l } { \pi } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \pi } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \pi } \end{array} } \right] } \\ & { = \left[ { \begin{array} { l l l } { \sigma _ { 1 1 } - \pi } & { \sigma _ { 1 2 } } & { \sigma _ { 1 3 } } \\ { \sigma _ { 2 1 } } & { \sigma _ { 2 2 } - \pi } & { \sigma _ { 2 3 } } \\ { \sigma _ { 3 1 } } & { \sigma _ { 3 2 } } & { \sigma _ { 3 3 } - \pi } \end{array} } \right] . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \phi ( \mathbf { r } , t ) } & { { } = } & { \phi ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } , t ) \phi ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } ) , } \\ { \phi ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } ) } & { { } = } & { { \cal C } \exp \left[ \nu \ln ( \kappa r ) \right] , } \end{array}
\hat { \psi } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ( { \bf C } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } , c , \xi , \nabla \xi , \textbf { d } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } , \mathrm { ~ d ~ } , \nabla \mathrm { ~ d ~ } ) = \psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ } } ( { \bf C } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } , \xi , \mathrm { ~ d ~ } ) + \psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { c } ( c ) + \psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { \xi } ( \xi ) + \psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { \nabla \xi } ( | \nabla \xi | ) + \psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { e } ( { \bf C } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } , \xi , \textbf { d } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ) + \psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { \mathrm { ~ d ~ } } ( | \nabla \mathrm { ~ d ~ } | )
\begin{array} { r } { h _ { e } ^ { ( 1 ) } = \left[ a _ { 0 } + a _ { 1 } L _ { 1 } ^ { ( 3 / 2 ) } ( x ) + a _ { 2 } L _ { 2 } ^ { ( 3 / 2 ) } ( x ) \right] v _ { \parallel } f _ { 0 e } , } \end{array}
E \left[ \operatorname* { s u p } _ { \substack { s \in \{ s _ { 1 } , \ldots , s _ { L } \} \, t \in \{ t _ { 1 } , \ldots , t _ { L } \} } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k \left( \frac { \langle \hat { l } _ { 1 } ^ { K } , X _ { i } \rangle _ { \cal { H } } - s } { h _ { n } } , \frac { \langle \hat { l } _ { 2 } ^ { K } , Y _ { i } \rangle _ { \cal { H } } - t } { h _ { n } } \right) - \operatorname* { s u p } _ { \substack { s \in \mathbb { R } \, t \in \mathbb { R } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k \left( \frac { \langle \hat { l } _ { 1 } ^ { K } , X _ { i } \rangle _ { \cal { H } } - s } { h _ { n } } , \frac { \langle \hat { l } _ { 2 } ^ { K } , Y _ { i } \rangle _ { \cal { H } } - t } { h _ { n } } \right) \right] \rightarrow 0
\Delta P = P ( 0 , \Delta t ) _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ a ~ c ~ t ~ } } - P ( 0 , \Delta t ) = \exp { \left( - \frac { \beta } { N } n ( t ) \Delta t \right) } - \exp { \left( - \frac { \beta } { N } \int _ { t } ^ { t + \Delta t } n ( s ) d s \right) } .
\begin{array} { r l r } & { } & { ( - \Delta ) ^ { s } \omega _ { k } ( x _ { k } ) \leq C _ { s , n } \int _ { \mathbb R ^ { n } \setminus ( \Omega \cap B _ { \lambda _ { k } } ( 0 ) ) } \frac { \omega _ { k } ( x _ { k } ) } { | x _ { k } - y | ^ { n + 2 s } } \mathrm { d } y } \\ & { } & { \qquad \qquad \quad \, \, \, \, \, \leq C _ { s , n } \int _ { \left( \mathbb R ^ { n } \setminus ( \Omega \cap B _ { \lambda _ { k } } ( 0 ) ) \right) \cap B _ { d _ { k } } ( \tilde { x } _ { k } ) } \frac { \omega _ { k } ( x _ { k } ) } { | x _ { k } - y | ^ { n + 2 s } } \mathrm { d } y \leq C \frac { \omega _ { k } ( x _ { k } ) } { d _ { k } ^ { 2 s } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { \phi } \mathrm { e } ^ { i m \phi } } & { { } = } & { i m \mathrm { e } ^ { i m \phi } } \\ { \partial _ { \phi } \mathrm { e } ^ { - i m \phi } } & { { } = } & { - i m \mathrm { e } ^ { - i m \phi } , } \end{array}
\begin{array} { r } { K ( u , X _ { i } ) : = \frac { \sqrt { | X _ { i } | } } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { b } } ~ \exp { \left( - \frac { ( u - X _ { i } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { b } ^ { 2 } } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { X : B } [ q ( X ) ] \sharp ( X \otimes 1 - 1 \otimes X ) } & { = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } b _ { 0 } X b _ { 1 } \cdots b _ { i - 1 } \otimes b _ { i } X \cdots X b _ { n } \right) \sharp ( X \otimes 1 - 1 \otimes X ) } \\ & { = b _ { 0 } X \otimes b _ { 1 } \cdots X b _ { n } - b _ { 0 } \otimes X b _ { 1 } \cdots X b _ { n } } \\ & { \quad + b _ { 0 } X b _ { 1 } X \otimes b _ { 2 } \cdots X b _ { n } - b _ { 0 } X b _ { 1 } \otimes X b _ { 2 } \cdots X b _ { n } } \\ & { \quad + b _ { 0 } X b _ { 1 } X b _ { 2 } X \otimes b _ { 3 } \cdots X b _ { n } - b _ { 0 } X b _ { 1 } X b _ { 2 } \otimes X b _ { 3 } \cdots X b _ { n } } \\ & { \qquad \qquad \vdots } \\ & { \quad + b _ { 0 } X b _ { 1 } X \cdots b _ { n - 1 } X \otimes b _ { n } - b _ { 0 } X b _ { 1 } X \cdots b _ { n - 1 } \otimes X b _ { n } . } \end{array}
( D _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } + \bar { D } _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } ) \gamma ^ { r } [ \theta , p ] = \sum _ { i } ( D _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } + \bar { D } _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } ) B _ { i } ( \theta , p ) \Big ( F _ { i } ( p ) - P _ { i } ( p ) \Big ) .
Z _ { N } = \prod _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { \mathrm { P B C } } { d \mu \left( { \xi _ { j } ^ { * } , \xi _ { j } } \right) } \exp \left[ i J \left\{ 2 i \ln \left( { \frac { 1 + \xi _ { j } ^ { * } \xi _ { j } } { 1 + \xi _ { j } ^ { * } \xi _ { j - 1 } } } \right) + \epsilon h { \frac { 1 - \xi _ { j } ^ { * } \xi _ { j - 1 } } { 1 + \xi _ { j } ^ { * } \xi _ { j - 1 } } } \right\} \right] .
\frac { m } { { { m _ { 0 } } } } = { \left( { \frac { { { d ^ { 2 } } E } } { { d { k ^ { 2 } } } } } \right) ^ { - 1 } } = \frac { { { k ^ { 4 } } { { \left( { 1 + { k ^ { 2 } } } \right) } ^ { 3 / 2 } } } } { { { k ^ { 4 } } + 6 \Gamma { { \left( { 1 + { k ^ { 2 } } } \right) } ^ { 3 / 2 } } } } ,
\begin{array} { r l r } { E ( r , \phi , z ) } & { = } & { \frac { k } { 2 \pi i z } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } E ( r ^ { \prime } , \phi ^ { \prime } , z ) } \\ & { } & { \times \exp \left( \frac { i k } { 2 z } [ r ^ { 2 } + { r ^ { \prime } } ^ { 2 } - 2 r r ^ { \prime } \cos ( \phi - \phi ^ { \prime } ) ] \right) } \\ & { } & { \times r ^ { \prime } d r ^ { \prime } d \phi ^ { \prime } , } \end{array}
\int d ^ { 3 } \zeta - \frac { 1 } { 6 } \epsilon ^ { i j k } \Pi _ { i } ^ { A } \Pi _ { j } ^ { B } \Pi _ { k } ^ { C } B _ { C B A } = \int \Big [ h ^ { - 1 } - h ^ { - 2 / 3 } \bar { \theta } ( \Gamma ^ { \tilde { 0 } } \partial _ { 0 } + \Gamma ^ { \tilde { 1 } } \partial _ { 1 } + \Gamma ^ { \tilde { 2 } } \partial _ { 2 } ) \theta
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { z _ { i } ^ { 0 } } \\ { z _ { i } ^ { 1 } } \end{array} \right) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { j } \\ { j } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - j \pi / 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \hat { x } _ { i } } \\ { \hat { y } _ { i } e ^ { j \delta \phi _ { d _ { i } } } } \end{array} \right) } \end{array} ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n } U _ { n , \varepsilon } ( \alpha , \beta ) \xrightarrow { P } } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \log \operatorname* { d e t } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] \Bigl ( X _ { s } ^ { 0 } , ~ H ( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } ) , ~ \beta \Bigr ) \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { t r } \bigg [ [ \sigma \sigma ^ { \top } ] \Bigl ( X _ { s } , ~ H ( X _ { s - \cdot } ) , ~ \beta \Bigr ) [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { - 1 } \Bigl ( X _ { s } , ~ H ( X _ { s - \cdot } ) , ~ \beta _ { 0 } \Bigr ) \bigg ] \, \mathrm { d } s } \end{array}
\overline { { { V _ { A } ^ { a } } } } = V _ { \dot { A } a } , \overline { { { V ^ { A a } } } } = - V _ { a } ^ { \dot { A } } , \overline { { { V _ { A a } } } } = - V _ { \dot { A } } ^ { a } , \overline { { { V _ { a } ^ { A } } } } = V ^ { \dot { A } a } , \overline { { { \varepsilon _ { a b } } } } = \varepsilon ^ { a b } , \overline { { { \chi ^ { A a } \psi ^ { B b } } } } = - \overline { { { \chi ^ { A a } } } } \ \overline { { { \psi ^ { B b } } } }
\begin{array} { r l r } { \dot { x } _ { i } ( t ) } & { = } & { - \lambda x _ { i } ( t ) + \frac { 2 } { N } \sum _ { j \neq i } \frac { g _ { \sigma _ { i } ( t ) , \sigma _ { j } ( t ) } } { x _ { i } ( t ) - x _ { j } ( t ) } } \\ & { + } & { v _ { 0 } \sigma _ { i } ( t ) + \sqrt { \frac { 2 T } { N } } \xi _ { i } ( t ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } ( s ) \left[ s \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } ( s ) - \mathbf { X } _ { \mathrm { O } } ( 0 ) \right] - \frac { \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { e f f } } ( s ) } { s } } & { = \mathbf { M } _ { \mathrm { O O } } \left[ s \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } ( s ) - \mathbf { X } _ { \mathrm { O } } ( 0 ) \right] + \mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } \left[ s \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { I } } ( s ) - \mathbf { X } _ { \mathrm { I } } ( 0 ) \right] } \\ & { \quad + \frac { ( \mathbf { K } _ { \mathrm { O O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } ) \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } ( s ) + ( \mathbf { K } _ { \mathrm { I I } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { O I } } ) \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { I } } ( s ) } { s } } \\ & { \quad - \frac { \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { O } } ( s ) + \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { I } } ( s ) } { s } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { v } } & { { } \in L ^ { q } ( 0 , T ; W _ { q } ^ { 2 } ( \Omega \setminus \Gamma _ { t } ) ) ^ { 2 } \cap W _ { q } ^ { 1 } ( 0 , T ; L ^ { q } ( \Omega ) ) ^ { 2 } , \quad p \in L ^ { q } ( 0 , T ; W _ { q , ( 0 ) } ^ { 1 } ( \Omega \setminus \Gamma _ { t } ) ) , } \\ { h } & { { } \in L ^ { q } ( 0 , T ; W _ { q } ^ { 3 - \frac 1 q } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) ) \cap W _ { q } ^ { 1 } ( 0 , T ; W _ { q } ^ { 2 - \frac 1 q } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( \lambda , n ) = } & { - 1 4 1 9 7 1 \left( 2 8 2 1 8 0 1 5 5 4 \lambda n - 5 8 0 2 5 0 2 2 5 \right) ( 2 3 1 2 5 7 1 2 8 8 2 8 1 3 4 3 1 9 6 8 3 7 6 9 3 8 4 5 1 5 2 1 3 3 7 2 \lambda ^ { 3 } n ^ { 3 } } \\ & { - 2 2 5 9 7 2 2 3 4 8 5 0 9 4 9 2 6 2 1 5 5 6 2 9 3 7 2 2 1 6 1 8 1 7 6 0 \lambda ^ { 2 } n ^ { 3 } } \\ & { + 4 0 6 0 8 4 6 5 8 3 6 9 6 3 3 8 7 2 3 0 4 8 8 6 7 4 7 2 2 6 4 0 4 0 \lambda ^ { 2 } n ^ { 2 } } \\ & { + 1 0 6 9 0 9 0 0 9 5 8 9 9 6 6 6 9 4 9 2 2 5 6 7 1 3 3 0 2 6 5 0 6 0 0 0 \lambda \, n ^ { 3 } } \\ & { + 9 4 0 5 0 9 4 0 2 1 1 1 6 5 0 3 1 6 2 2 4 5 0 0 9 2 8 7 5 7 7 6 5 0 0 \lambda \, n ^ { 2 } } \\ & { - 4 1 1 0 6 2 1 8 2 1 8 0 1 9 4 6 7 2 1 3 4 3 4 0 5 4 1 6 1 3 8 7 6 2 5 \lambda n } \\ & { - 2 9 4 9 2 4 0 1 2 0 2 7 4 4 0 2 1 2 7 8 0 5 7 0 0 1 9 5 6 2 7 5 0 0 0 n ^ { 2 } } \\ & { - 1 7 2 9 5 9 7 0 2 0 0 0 8 1 1 7 0 5 9 8 6 4 8 5 6 2 3 2 0 6 5 6 2 5 0 n } \\ & { + 6 0 4 7 8 3 2 8 7 7 8 4 0 0 3 5 4 8 6 9 6 8 3 3 0 0 0 8 0 7 1 8 7 5 ) , } \\ { f _ { 2 } ( \lambda , n ) = } & { 1 1 8 1 7 0 7 1 0 0 0 4 0 8 9 6 n ^ { 3 } ( 3 0 7 2 9 4 1 8 9 2 3 0 6 \lambda n + 7 3 4 9 0 2 0 2 2 3 2 7 5 ) ^ { 2 } } \\ & { ( 1 5 3 6 4 7 0 9 4 6 1 5 3 \lambda n + 6 8 1 6 6 7 8 4 2 2 7 5 ) , } \\ { g _ { 2 } ( \lambda , n ) = } & { 9 3 2 7 7 6 1 6 4 0 2 1 0 5 8 4 1 0 8 7 3 0 2 5 9 0 3 3 4 2 3 2 6 6 8 6 7 2 0 } \\ & { ( 2 7 6 5 6 4 7 7 0 3 0 7 5 4 \lambda n + 2 2 9 3 8 8 0 2 6 3 0 7 5 ) ( 1 5 3 6 4 7 0 9 4 6 1 5 3 \lambda n + 6 8 1 6 6 7 8 4 2 2 7 5 ) ^ { 3 } } \\ & { ( 3 0 7 2 9 4 1 8 9 2 3 0 6 \lambda n + 7 3 4 9 0 2 0 2 2 3 2 7 5 ) ^ { 6 } ( 4 6 6 9 2 8 4 4 8 3 0 6 6 0 6 \lambda n - 7 2 0 4 2 4 9 8 6 0 3 7 7 5 ) ^ { 2 } n ^ { 5 } } \\ { z _ { 2 } ( \lambda , n ) = } & { 5 6 5 0 1 6 3 3 0 3 9 3 3 9 9 3 0 8 1 9 6 2 2 2 1 4 7 7 1 9 4 1 0 0 6 7 5 6 1 4 6 8 8 0 6 8 2 4 2 2 4 0 9 5 9 9 3 3 3 8 8 7 1 9 3 0 8 8 0 } \\ & { ( 1 2 2 9 1 7 6 7 5 6 9 2 2 4 \lambda n - 5 3 2 3 4 1 8 0 0 5 2 5 ) ( 3 0 7 2 9 4 1 8 9 2 3 0 6 \lambda n + 7 3 4 9 0 2 0 2 2 3 2 7 5 ) ^ { 1 0 } } \\ & { ( 1 5 3 6 4 7 0 9 4 6 1 5 3 \lambda n + 6 8 1 6 6 7 8 4 2 2 7 5 ) ^ { 5 } ( 2 7 6 5 6 4 7 7 0 3 0 7 5 4 \lambda n + 2 2 9 3 8 8 0 2 6 3 0 7 5 ) ^ { 2 } } \\ & { ( 2 8 2 1 8 0 1 5 5 4 \lambda n - 5 8 0 2 5 0 2 2 5 ) ( 4 6 6 9 2 8 4 4 8 3 0 6 6 0 6 \lambda n - 7 2 0 4 2 4 9 8 6 0 3 7 7 5 ) ^ { 5 } n ^ { 7 } } \end{array}
V _ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) = \exp \left( - \int _ { \alpha _ { s } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) } ^ { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } d \alpha ^ { \prime } \, \frac { \gamma ^ { N S } ( \alpha ^ { \prime } ) } { 2 \beta ( \alpha ^ { \prime } ) } \right) \, V _ { 2 } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r } { \left| \mathcal { F } _ { v ^ { \prime } \to \xi } \big [ \mathcal { H } \big [ \big ( ( \theta \circ u ^ { - 1 } ) ( u ^ { - 1 } ) ^ { \prime } \big ) ^ { \prime } \chi _ { [ u ( 0 ) , u ( 1 ) ] } \big ] ( v ^ { \prime } ) \big ] \right| \leq C e ^ { - \lambda _ { u , \th } \langle \xi \rangle ^ { s } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { x x ^ { - 1 } } & { { } = x ^ { - 1 } x = 1 , } & { } & { { } { \mathrm { ( t w o - s i d e d ~ i n v e r s e ) } } } \\ { ( x y ) z } & { { } = x ( y z ) , } & { } & { { } { \mathrm { ( a s s o c i a t i v e ) } } } \\ { x ^ { - n } } & { { } = ( x ^ { - 1 } ) ^ { n } , } \\ { x ^ { m - n } } & { { } = x ^ { m } x ^ { - n } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho h ^ { ( o ) } = \frac { 1 } { N } \int _ { \Lambda } d ^ { 2 } { \bf r } ^ { \prime } \: \rho ( { \bf r } ^ { \prime } ) \rho ( { \bf r } ^ { \prime } - { \bf r } ) - \rho ~ ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \varphi _ { U } ( \lambda ) = \varphi _ { \widehat { U } } ( \lambda ) = \varphi _ { \widetilde { U } } ( \lambda ) = \varphi _ { \widetilde { \widehat { U } } } ( \lambda ) , } \\ & { } & { \varphi _ { U } ( \widetilde { U } ) = \varphi _ { U } ( \widehat { U } ) = \varphi _ { U } ( \widehat { \widetilde { U } } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( k ^ { 2 } c ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) ( k ^ { 2 } c _ { s } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) } \\ { - i \frac { \omega c ^ { 2 } } { \nu _ { m } } \left[ k ^ { 2 } c _ { s } ^ { 2 } + k ^ { 2 } u _ { A } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \left( 1 + \frac { u _ { A } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) \right] = 0 . } \end{array}
\Sigma ^ { 8 i _ { 1 } , j _ { 1 } } v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } ^ { \otimes { k _ { 1 } } } \otimes \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } ^ { \otimes l _ { 1 } } \oplus \cdots \oplus \Sigma ^ { 8 i _ { n } , j _ { n } } v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } ^ { \otimes { k _ { n } } } \otimes \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } ^ { \otimes l _ { n } }
\partial _ { t } \mu ^ { 2 } = \partial _ { t } \mu ^ { 2 } \mid , \quad \partial _ { t } h = \partial _ { t } h \mid + \mu ^ { 2 } \partial _ { t } \omega _ { k } , \quad \partial _ { t } \lambda = \partial _ { t } \lambda \mid - h \partial _ { t } \omega _ { k }
{ \left( \begin{array} { l l l l l l l } { - } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { - } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { - } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { - } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { - } \end{array} \right) }
F _ { \mathrm { c r s t } } ^ { * } = \frac { \int _ { r _ { \mathrm { c r s t } } } ^ { r _ { \mathrm { p } } } q _ { \mathrm { c r s t } } r d r } { \int _ { r _ { \mathrm { c } } } ^ { r _ { \mathrm { p } } } q _ { 0 } r d r - \int _ { r _ { \mathrm { c r s t } } } ^ { r _ { \mathrm { p } } } q _ { \mathrm { c r s t } } r d r } \, .
\begin{array} { r l } { V } & { { } = \iiint _ { W ^ { * } } \left| { \frac { \partial ( x , y , z ) } { \partial ( u , v , \theta ) } } \right| \, d u \, d v \, d \theta = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \! \! \! \iint _ { F ^ { * } } x ( u , v ) \left| { \frac { \partial ( x , z ) } { \partial ( u , v ) } } \right| \, d u \, d v \, d \theta } \end{array}
\begin{array} { r l } { \jmath _ { 1 } ( x , y , \hat { x } _ { 1 } , D _ { 1 } ) } & { : = \imath _ { 1 } ( x , y , \hat { x } _ { 1 } ) - \frac { \lambda _ { 1 } ^ { * } D _ { 1 } } { 1 + \xi ^ { * } } , } \\ { \jmath _ { 2 } ( x , y , \hat { x } _ { 1 } , D _ { 1 } , D _ { 2 } ) } & { : = \imath _ { 2 } ( x , y , \hat { x } _ { 1 } ) - \frac { \lambda _ { 1 } ^ { * } D _ { 1 } } { 1 + \xi ^ { * } } - \lambda _ { 2 } ^ { * } D _ { 2 } . } \end{array}
w _ { i j } ( \beta ) = 1 - \frac { \mathbf { V } ( \mathbf { A } , \beta ; k _ { \operatorname* { m i n } } = 2 ) _ { i j } } { \mathbf { W } ( | \mathbf { A } | , \beta , k _ { \operatorname* { m i n } } = 2 ) _ { i j } }
a \left( \eta \right) = \sqrt { \frac { \omega _ { 4 } M } { 2 } } \Big [ 1 - c _ { 1 } ~ \cos \left( 2 \, \eta \right) \Big ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } , ~ ~ ~ \mathrm { w i t h } ~ ~ c _ { 1 } = \sqrt { 1 - { \frac { 3 Q ^ { 2 } } { 4 M ^ { 2 } } } } .
\frac { \partial } { \partial t } \hat { \rho } ( t ) = - i [ \hat { H } , \hat { \rho } ( t ) ] - \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tau \overline { { [ \hat { H } _ { 1 } ( t ) , [ e ^ { - i \hat { H } _ { 0 } \tau } \hat { H } _ { 1 } ( t - \tau ) e ^ { i \hat { H } _ { 0 } \tau } , \hat { \rho } ( t ) ] ] } } ,
\begin{array} { r l } { \| \nabla p \| ^ { 2 } } & { = - \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } p \kappa u _ { \tau } ^ { 2 } + 2 \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } p \tau \cdot \nabla \left( ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } \right) + \frac { 1 } { \mathrm { P r } } \int _ { \Omega } p ( \nabla u ) ^ { T } \colon \nabla u } \\ & { \qquad + \mathrm { { R a } } \int _ { \Omega } T \partial _ { 2 } p . } \end{array}
\boldsymbol { a } _ { t } = ( 1 - \beta ) \frac { 1 } { | D | ^ { 2 } } \left( \nabla _ { \boldsymbol { \theta } _ { t } } \hat { u } ( \boldsymbol { \theta } _ { t } ) \right) \left( \nabla _ { \boldsymbol { \theta } _ { t } } \hat { u } ( \boldsymbol { \theta } _ { t } ) \right) + \beta \boldsymbol { a } _ { t - 1 }
\begin{array} { r l } & { \left[ \lambda _ { 2 } + ( 1 - { \gamma } ) ( q _ { 2 } ( \lambda _ { 2 } ) + q _ { 3 } ( \lambda _ { 2 } ) ) \right] \langle u _ { 1 } , u _ { 2 } \rangle = ( 1 - { \gamma } ) \left[ { \mathcal { S } } ( u _ { 1 } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) - \langle v _ { 1 } , v _ { 2 } \rangle \langle w _ { 1 } , w _ { 2 } \rangle r _ { 1 } ( \lambda _ { 1 } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { w ( Z ) } & { = \operatorname* { m i n } \{ w ( Z , c ) : c \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} \} } \\ & { = \operatorname* { m i n } \{ w ( A ^ { T } Z , A ^ { - 1 } c ) : c \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} \} } \\ & { = \operatorname* { m i n } \{ w ( A ^ { T } Z , c ^ { \prime } ) : c ^ { \prime } \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} \} = w ( A ^ { T } Z ) . } \end{array}
\partial _ { \mu } ( e \sum _ { \pm } ^ { } ( e ^ { \mu { [ \pm 2 ] } } u _ { { m } } ^ { { [ \mp 2 ] } } ) ) - 2 i \epsilon ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \theta \sigma _ { { m } } \partial _ { \nu } \theta / c ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { { 1 / 2 } } = 0 ,