harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \left( \mathcal { U } _ { \mathcal { W } } ( R ) w _ { m , n } \right) ( r , k _ { 1 } , \lambda _ { 1 } , \ldots , \widetilde { k } _ { n } , \widetilde { \lambda } _ { n } ) } } \\ & { } & { = \sum _ { ( \lambda _ { 1 } ^ { \prime } , . . . , \widetilde { \lambda } _ { n } ^ { \prime } ) \in { \mathord { \mathbb Z } } _ { 2 } ^ { m + n } } D _ { \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 1 } ^ { \prime } } ( R , k _ { 1 } ) \cdots D _ { \widetilde { \lambda } _ { n } , \widetilde { \lambda } _ { n } ^ { \prime } } ( R , \widetilde { k } _ { n } ) w _ { m , n } ( r , R ^ { - 1 } k _ { 1 } , \lambda _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , R ^ { - 1 } \widetilde { k } _ { n } , \widetilde { \lambda } _ { n } ^ { \prime } ) } \end{array}
\pi _ { \mu \nu } = - \frac { 1 } { 4 } \tau _ { \mu \nu } \tau _ { \nu } ^ { \alpha } + \frac { 1 } { 1 2 } \tau \tau _ { \mu \nu } + \frac { 1 } { 8 } q _ { \mu \nu } \tau _ { \alpha \beta } \tau ^ { \alpha \beta } - \frac { 1 } { 2 4 } q _ { \mu \nu } \tau ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { 2 } \, = \, } & { { } \frac { 1 } { 2 \pi } \bigl \{ ( \beta _ { \epsilon } - 1 ) P _ { 1 } \eta _ { 1 } + L P _ { 1 } \eta _ { 1 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} + \frac { 1 } { 2 \pi } \bigl \{ \beta _ { \epsilon } P _ { 2 } \eta _ { 0 } + L P _ { 2 } \eta _ { 0 } + Q _ { 2 } \eta _ { 0 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} } \end{array}
= ( g _ { \mu \nu , \lambda } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } ) ( g _ { \alpha \beta } { \dot { x } } ^ { \alpha } { \dot { x } } ^ { \beta } ) + { \frac { 1 } { 2 } } ( g _ { \lambda \nu } { \dot { x } } ^ { \nu } + g _ { \lambda \mu } { \dot { x } } ^ { \mu } ) { \frac { d } { d \tau } } ( g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } ) \qquad \qquad ( 6 )
\left[ \begin{array} { c } { \Sigma } \\ { \Gamma } \\ { \tilde { \Phi } _ { 1 } } \\ { \tilde { \Phi } _ { 2 } } \\ { \tilde { \Theta } } \end{array} \right] = ( { \cal S } ^ { - 1 } ) ^ { T } \, \left[ \begin{array} { c } { \Lambda _ { 1 } } \\ { \Lambda _ { 2 } } \\ { \Phi _ { 1 } } \\ { \Phi _ { 2 } } \\ { \Theta } \end{array} \right] \ .
{ \boldsymbol { S } } ^ { \mathrm { { o b s } } } = i \hbar \int d ^ { 3 } k ( { \hat { a } } _ { { \boldsymbol { k } } , 2 } ^ { \dagger } { \hat { a } } _ { { \boldsymbol { k } } , 1 } - { \hat { a } } _ { { \boldsymbol { k } } , 1 } ^ { \dagger } { \hat { a } } _ { { \boldsymbol { k } } , 2 } ) { \frac { \boldsymbol { k } } { | { \boldsymbol { k } } | } } = \varepsilon _ { 0 } \int d ^ { 3 } x { \boldsymbol { E } } _ { \perp } \times { \boldsymbol { A } } _ { \perp } ,
\begin{array} { r l } { M _ { y } ( x ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left\{ \begin{array} { l l } { F x } & { \mathrm { f o r ~ } x < L / 3 } \\ { \frac { F L } { 3 } } & { \mathrm { f o r ~ } L / 3 \leq x \leq 2 L / 3 } \\ { F ( L - x ) } & { \mathrm { f o r ~ } 2 L / 3 < x } \end{array} \right. } \\ { Q _ { z } ( x ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left\{ \begin{array} { l l } { F } & { \mathrm { f o r ~ } x < L / 3 } \\ { 0 } & { \mathrm { f o r ~ } L / 3 \leq x \leq 2 L / 3 } \\ { - F } & { \mathrm { f o r ~ } 2 L / 3 < x } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( R ( x ) \cdot y + x \cdot R ( y ) + x \cdot y ) } & { = R ( ( u \cdot x ) \cdot y + x \cdot ( u \cdot y ) + x \cdot y ) } \\ & { = u \cdot ( ( u \cdot x ) \cdot y + x \cdot ( u \cdot y ) + x \cdot y ) } \\ & { = u ^ { 2 } \cdot ( x \cdot y ) + ( u \cdot x ) \cdot ( u \cdot y ) + u \cdot ( x \cdot y ) } \\ & { = ( u ^ { 2 } + u ) \cdot ( x \cdot y ) + ( u \cdot x ) \cdot ( u \cdot y ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { L = } & { ( 6 ^ { 5 } \times 3 ) + } \\ & { 3 \times ( 6 ^ { 4 } \times 0 ) + } \\ & { ( 3 \times 1 ) \times ( 6 ^ { 3 } \times 1 ) + } \\ & { ( 3 \times 1 \times 2 ) \times ( 6 ^ { 2 } \times 3 ) + } \\ & { ( 3 \times 1 \times 2 \times 3 ) \times ( 6 ^ { 1 } \times 3 ) + } \\ & { ( 3 \times 1 \times 2 \times 3 \times 3 ) \times ( 6 ^ { 0 } \times 1 ) } \\ { = } & { 2 5 0 0 2 } \end{array} }
e ^ { \sum V \left( x _ { i } ^ { ( a ) } - y _ { j } ^ { ( b ) } \right) - \frac { 1 } { 2 } \sum V \left( x _ { i } ^ { ( a ) } - x _ { j } ^ { ( b ) } \right) - \frac { 1 } { 2 } \sum V \left( y _ { i } ^ { ( a ) } - y _ { j } ^ { ( b ) } \right) } \left( \frac { 1 } { 2 \pi } \right) ^ { N ( n + m ) } \left[ \frac { e ^ { 2 } N } { 4 \pi } e ^ { 2 \gamma } \right] ^ { \frac { N ( n - m ) ^ { 2 } } { 2 } } \; \; \; .
\begin{array} { r l } { \chi ( \alpha _ { n } , \dotsc , \alpha _ { 1 } ) } & { = \sum _ { 1 \leq i < j \leq n } \chi ( \alpha _ { j } , \alpha _ { i } ) , } \\ { \chi ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( \rho , \alpha _ { n } , \dotsc , \alpha _ { 1 } ) } & { = \sum _ { 1 \leq i < j \leq n } \chi ( \bar { \alpha } _ { j } , \alpha _ { i } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \chi ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( \rho , \alpha _ { i } ) . } \end{array}
\frac { 1 } { \mu } = \operatorname * { l i m } _ { | \Pi | \rightarrow 0 } \frac { 1 } { | \Pi | } \frac { \partial \Pi _ { 0 } } { \partial | \Pi | } = \operatorname * { l i m } _ { | \pi | \rightarrow 0 } \frac { 1 } { | \pi | } \frac { \partial \pi _ { 0 } } { \partial | \pi | }
\begin{array} { r } { x _ { 1 } ^ { * } = \left( \begin{array} { l } { \Delta } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { \Delta } \end{array} \right) , \quad x _ { 2 } ^ { * } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \Delta } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) , \quad x _ { 3 } ^ { * } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { \Delta } \\ { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
I ^ { q } : ( \psi _ { 1 } , \psi _ { 2 } , \dots , \psi _ { \tilde { h } ^ { 1 , 1 } } ) \to ( - \psi _ { 1 } , \psi _ { 2 } , \dots , \psi _ { \tilde { h } ^ { 1 , 1 } } )
\begin{array} { r l r } { { \mathcal F } _ { E S } } & { { } = } & { - \frac { \epsilon _ { w } \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int _ { V } d V \Bigg ( \left( \frac { d \psi ( r ) } { d r } \right) ^ { \! 2 } + \kappa _ { D } ^ { 2 } \psi ( r ) ^ { 2 } \Bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } \left[ \nu _ { x } ( \gamma ) - \nu _ { x } ( \gamma ^ { \prime } ) \right] ^ { 2 } \mathrm { d } x } & { = \vert \gamma - \gamma ^ { \prime } \vert ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { - 1 / \gamma } \left[ \nu _ { x } ^ { \prime } ( \xi ( x ) ) \right] ^ { 2 } \mathrm { d } x + 1 - H _ { \gamma ^ { \prime } } ( - 1 / \gamma ) } \\ & { \leq \frac { \vert \gamma - \gamma ^ { \prime } \vert ^ { 2 } } { 4 } \left[ \sqrt { \int _ { 0 } ^ { - 1 / \gamma } ( 1 + x \xi ( x ) ) ^ { - 3 - \frac { 1 } { \xi ( x ) } } x ^ { 4 } \mathrm { d } x } \right. } \\ & { \quad + \left. \sqrt { \int _ { 0 } ^ { - 1 / \gamma } ( 1 + x \xi ( x ) ) ^ { - 3 - \frac { 1 } { \xi ( x ) } } x ^ { 2 } \mathrm { d } x } \right] ^ { 2 } + 1 - H _ { \gamma ^ { \prime } } ( - 1 / \gamma ) . } \end{array}
( { \cal K } _ { 0 } { \cal J } ) ^ { - 1 } { \cal K } _ { 0 } ( { \bf D } [ { \bf X } ] { \bf S } - { \bf X } ) \approx \sum _ { i , j } ^ { m } { \bf V } _ { i } M _ { i j } \langle { \bf W } _ { j } , { \bf W } _ { 0 } \rangle
\begin{array} { r l } & { | \Delta _ { 1 } ^ { * } - { \Delta _ { 1 } ^ { * } } ^ { ( i ) } | + | \Delta _ { 2 } ^ { * } - { \Delta _ { 2 } ^ { * } } ^ { ( i ) } | } \\ & { = | \operatorname* { m i n } ( \Delta _ { 1 } , \Delta _ { 2 } ) - \operatorname* { m i n } ( \Delta _ { 1 } ^ { ( i ) } , \Delta _ { 2 } ^ { ( i ) } ) | + | \operatorname* { m a x } ( \Delta _ { 1 } , \Delta _ { 2 } ) - \operatorname* { m a x } ( \Delta _ { 1 } ^ { ( i ) } , \Delta _ { 2 } ^ { ( i ) } ) | } \\ & { \leq 2 ( | \Delta _ { 1 } - \Delta _ { 1 } ^ { ( i ) } | + | \Delta _ { 2 } - \Delta _ { 2 } ^ { ( i ) } | ) . } \end{array}
\frac { \partial T _ { d } } { \partial t } + \frac { \partial \overline { { u _ { j } } } \overline { { T _ { d } } } } { \partial x _ { j } } = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } { [ } \frac { v } { \operatorname* { P r } } \frac { \partial T _ { d } } { \partial x _ { j } } - \overline { { T ^ { \prime } u _ { j } ^ { ' } } } \rbrack { } \, - \overline { { w } } \frac { \partial T _ { a } ( z ) } { \partial z }
\phi _ { i \leftarrow j } ^ { \mathrm { ~ R ~ 2 ~ } } ( \tau ; t ) = \phi _ { i \leftarrow j } ^ { \mathrm { ~ R ~ 2 ~ } } ( t ) = P _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } \int _ { 0 } ^ { t } d \tau ^ { \prime \prime } I _ { j } ( \tau ^ { \prime \prime } ; t ) \omega _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ f ~ } } \left( \tau ^ { \prime \prime } \right) .
\mathrm { M S E } = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { t r } } } \sum _ { a = 1 } ^ { N _ { \mathrm { t r } } } \left| \mathbf { u } ^ { ( a ) } - \mathbf { f } [ \mathbf { z } ^ { ( a ) } ] \right| ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { { \check { r } } _ { { \epsilon } } ( { \check { \delta } } ) } & { = \mu _ { \b { u } } ^ { - 1 } ( \mu _ { \b { u } } ( { \check { \delta } } ) - e _ { v } ) ; } \\ { { \check { l } } _ { { \epsilon } } ( { \check { \delta } } ) } & { = \mu _ { \b { u } } ^ { - 1 } ( \mu _ { \b { u } } ( { \check { \delta } } ) + e _ { v } ) . } \end{array}
\left[ \Gamma ^ { 5 } S _ { [ 1 ] } ^ { c } \right] \lambda ( p ^ { \mu } ) = \pm \lambda ( p ^ { \mu } ) \quad , \quad \left[ \Gamma ^ { 5 } S _ { [ 1 ] } ^ { c } \right] \rho ( p ^ { \mu } ) = \pm \rho ( p ^ { \mu } ) \quad ,
2 ^ { 2 ^ { 2 ^ { 2 ^ { 2 } } } } = 2 \uparrow \uparrow 5 = 2 ^ { 6 5 , 5 3 6 } \approx 2 . 0 \times 1 0 ^ { 1 9 , 7 2 8 } \approx ( 1 0 \uparrow ) ^ { 2 } 4 . 3
g ( s ) \geq \frac { q e _ { 0 } s _ { 0 } } { K _ { M } + q s _ { 0 } } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } g ^ { \prime } ( s ) \geq \frac { e _ { 0 } K _ { M } } { ( K _ { M } + s _ { 0 } ) ^ { 2 } } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad q s _ { 0 } \leq s \leq s _ { 0 } .
\dot { x } _ { 1 } = - x _ { 1 } + \varepsilon ( t ) + \big ( 1 - f _ { 0 } ^ { 2 } \big ) \Big [ \nu ( t ) + J _ { 0 } ^ { 2 } \int d t ^ { \prime } G ( t , t ^ { \prime } ) x _ { 1 } ( t ^ { \prime } ) \Big ]
\mathbf { a } _ { 1 } = \mathbf { a } _ { 0 } + \left[ \mathbf { A } ^ { ( I + ) } \left( \mathbf { a } _ { 1 } , t _ { 1 } \right) + \underline { { \mathbf { B } } } \left( \mathbf { a } _ { 1 } , t _ { 1 } \right) \cdot \mathbf { w } \right] \, \Delta t \, \, .
\begin{array} { r l } { \mathop { \mathbb { E } } [ F ( { \mathbf x } _ { M } ) ] } & { = F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) + \mathop { \mathbb { E } } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { M } \langle \mathbf { g } _ { n } , { \boldsymbol \Delta } _ { n } - \mathbf { u } _ { n } \rangle \right] + \mathop { \mathbb { E } } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { M } \langle \mathbf { g } _ { n } , \mathbf { u } _ { n } \rangle \right] ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( k _ { 1 } , \sigma ( k _ { 1 } ) ) , \cdots , ( k _ { q } , \sigma ( k _ { q } ) ) } \\ & { \in } & { \mathcal { S } _ { 1 , l } \times ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } y _ { l - 1 } ( \Gamma ) , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } y _ { l } ( \Gamma ) ] , } \end{array}
G ( t , r ) = { \frac { i } { 2 \pi ^ { 2 } r } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! d k \; { \frac { \partial } { \partial r } } \bigg ( { \frac { \sin k r } { k r } } \bigg ) \, F _ { t } ( t , k ) .
\begin{array} { r } { \tilde { R } _ { B } = \frac { \pi } { 2 e ^ { 2 } T \ln 2 } \frac { \omega _ { B } ^ { 2 } } { \tau _ { \mathrm { d i s } } ^ { - 1 } \! + \! \delta _ { I } ^ { - 1 } \tau _ { 2 2 } ^ { - 1 } } , } \end{array}
R e _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ b ~ } } = \frac { 1 } { P \delta _ { \tau } } \int _ { z = 0 } ^ { P } \int _ { y = 0 } ^ { { \beta } \delta _ { \tau } } U _ { P } ^ { + } \, \mathrm { d } y \, \mathrm { d } z .
\begin{array} { r } { Y _ { 2 } = \mathbb { R } ^ { 4 | \mathbb { V } | } \times [ \ell ^ { - } , \ell ^ { + } ] ^ { \mathbb { A } } \times [ r ^ { - } , r ^ { + } ] ^ { \mathbb { A } } \times [ \eta ^ { - } , \eta ^ { + } ] ^ { \mathbb { A } } . } \end{array}
U _ { f } ( t , m _ { b } ) \equiv \exp \left[ \int _ { \ln m _ { b } } ^ { \ln t } d \ln \mu ^ { ' } { \frac { \alpha _ { s } ( \mu ^ { ' } ) } { 4 \pi } } [ { \hat { \gamma } _ { s } ^ { ( 0 ) T } } ] _ { f } \right] \; .
\begin{array} { r l } { \left[ \mathcal { M } \right] } & { { } = 0 , } \\ { \left[ p + \frac { \mathcal { M } ^ { 2 } } { \rho } \right] } & { { } = 0 , } \\ { \left[ \mathcal { M } \left( \frac { \mathcal { M } ^ { 2 } } { 2 \rho ^ { 2 } } + \varepsilon + \frac { p } { \rho } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \varkappa ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } j ^ { 2 } \right) + \frac { \varkappa ^ { 2 } } { \rho } \theta \; j \right] } & { { } = 0 , } \\ { \left[ \mathcal { M } \frac { j } { \rho } + \theta \right] } & { { } = 0 , } \end{array}
D \varphi = { \left[ \begin{array} { l l l l } { { \frac { \partial \varphi ^ { 1 } } { \partial x ^ { 1 } } } } & { { \frac { \partial \varphi ^ { 1 } } { \partial x ^ { 2 } } } } & { \dots } & { { \frac { \partial \varphi ^ { 1 } } { \partial x ^ { n } } } } \\ { { \frac { \partial \varphi ^ { 2 } } { \partial x ^ { 1 } } } } & { { \frac { \partial \varphi ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } } } & { \dots } & { { \frac { \partial \varphi ^ { 2 } } { \partial x ^ { n } } } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { { \frac { \partial \varphi ^ { m } } { \partial x ^ { 1 } } } } & { { \frac { \partial \varphi ^ { m } } { \partial x ^ { 2 } } } } & { \dots } & { { \frac { \partial \varphi ^ { m } } { \partial x ^ { n } } } } \end{array} \right] } .
T _ { n } + T _ { n - 1 } = \left( { \frac { n ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { n } { 2 } } \right) + \left( { \frac { \left( n - 1 \right) ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { n - 1 } { 2 } } \right) = \left( { \frac { n ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { n } { 2 } } \right) + \left( { \frac { n ^ { 2 } } { 2 } } - { \frac { n } { 2 } } \right) = n ^ { 2 } = ( T _ { n } - T _ { n - 1 } ) ^ { 2 } .
\zeta ( t , z _ { 0 } , z _ { 1 } ) : = \left\{ \begin{array} { r l r } & { 0 } & { \quad \mathrm { ~ i f ~ } t < z _ { 0 } , } \\ & { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \cos \left( \frac { t - z _ { 0 } } { z _ { 1 } - z _ { 0 } } \pi \right) } & { \quad \mathrm { ~ i f ~ } z _ { 0 } \leq t \leq z _ { 1 } , } \\ & { 1 } & { \quad \mathrm { ~ e l s w h e r e } . } \end{array} \right.
S _ { 1 1 } ^ { q } = S _ { 3 3 } ^ { q } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } 4 k _ { B } \mathcal { T } + \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } 0 . 3 2 R T k _ { B } \mathcal { T } .
\begin{array} { r l } { N } & { = d ( n _ { 1 } + m _ { 1 } ) + \sum _ { k = 1 } ^ { K } q _ { k } + 2 K ( n + m + d + 5 ) } \\ & { \leq d ( n + m + 1 ) + K \cdot \operatorname* { m a x } _ { k = 1 , \ldots , K } \{ I _ { k } \} \cdot 1 0 d ( n + m + 1 ) + 1 2 K d ( n + m + 1 ) } \\ & { \leq 2 3 K \cdot \operatorname* { m a x } _ { k = 1 , \ldots , K } \{ I _ { k } \} \cdot d ( n + m + 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { T V } ( \mathcal { N } ( 0 , I _ { | S | } ) , \mathcal { N } ( 0 , M M ^ { T } / n ) ) } & { \le ( \operatorname { T r } ( M M ^ { T } / n ) - | S | + \log ( \operatorname* { d e t } ( M M ^ { T } / n ) ) ) / 2 } \\ & { \le | S | n ^ { - 1 / 4 } + | S | \log ( 1 + n ^ { - 1 / 4 } ) \le n ^ { - 1 / 5 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } } & { y _ { i } ^ { ( L ) } } & & { = V _ { i } ^ { { ( L ) } ^ { * } } x _ { i } ^ { ( L ) } } & & { \mathrm { ~ d e n o t e d ~ a s ~ E q u a t i o n ~ \mathrm { Y } _ { i } ^ { ( L ) } ~ } } \\ & { b _ { i } ^ { ( L ) } } & & { = U _ { i } ^ { ( L ) } z _ { i } ^ { ( L ) } + \sum _ { j ^ { ( L ) } \in \mathcal { N } ( i ^ { ( L ) } ) } K _ { i j } ^ { ( L ) } x _ { j } ^ { ( L ) } } & & { \mathrm { ~ d e n o t e d ~ a s ~ E q u a t i o n ~ \mathrm { X } _ { i } ^ { ( L ) } ~ } } \end{array}
0 = \langle A _ { + } ^ { \prime } ( x ) A _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) \rangle = \langle A _ { - } ^ { \prime } ( x ) A _ { - } ^ { \prime } ( 0 ) \rangle = \langle { \psi } _ { - } ^ { \prime } ( x ) \bar { \psi } _ { - } ^ { \prime } ( 0 ) \rangle = \langle { \psi } _ { + } ^ { \prime } ( x ) \bar { \psi } _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) \rangle
\begin{array} { r l r } { \ensuremath { \delta _ { \mathrm { 3 D } } } ^ { * } ( \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } ) } & { \approx } & { \frac { \mu _ { 6 2 6 } ^ { \prime } \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } \ensuremath { R _ { \mathrm { c a p } } } ( \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } ) } { \hbar } - \frac { \ensuremath { k _ { 6 2 6 } } \ensuremath { v _ { \mathrm { c a p } } } ( \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } ) } { \sqrt { 2 } } , } \\ { \ensuremath { \delta _ { \mathrm { 3 D } } } ^ { * } ( \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } ) } & { \approx } & { - \frac { \mu _ { 6 2 6 } ^ { \prime } \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } \ensuremath { R _ { \mathrm { c a p } } } ( \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } ) } { \hbar } . } \end{array}
R ( \theta ) = \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \frac { \sinh { \gamma } } { \sinh { ( \theta + \gamma ) } } } } & { { \frac { \sinh { \theta } } { \sinh { ( \theta + \gamma ) } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \frac { \sinh { \theta } } { \sinh { ( \theta + \gamma ) } } } } & { { \frac { \sinh { \gamma } } { \sinh { ( \theta + \gamma ) } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
b _ { j k } ^ { ( i ) } \epsilon _ { j } \left| c _ { j } ^ { ( i ) } \right| ^ { 2 } \left| \Re \left( \lambda _ { j } ^ { ( i ) } \right) \right| + b _ { k j } ^ { ( i ) } \epsilon _ { k } \left| c _ { k } ^ { ( i ) } \right| ^ { 2 } \left| \Re \left( \lambda _ { k } ^ { ( i ) } \right) \right| \geq \epsilon _ { k } \left| c _ { j } ^ { ( i ) } \right| \left| c _ { k } ^ { ( i ) } \right| \left| \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle \right|
\begin{array} { r l r } { \left. g \frac { \partial } { \partial g } \log \left< S _ { \epsilon , g } \right> _ { C } \right| _ { g = 1 } } & { { } = } & { \frac { \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 1 ) } \right> _ { C } + 2 \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 2 ) } \right> _ { C } + 3 \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 3 ) } \right> _ { C } + \cdots } { 1 + \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 1 ) } \right> _ { C } + \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 2 ) } \right> _ { C } + \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 3 ) } \right> _ { C } + \cdots } } \end{array}
\Gamma ( x ) = \frac { 1 } { x } \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \prod _ { k = 1 } ^ { n } k ! ^ { \left( - 1 \right) ^ { k + n } \binom { x } { n } \binom { n } { k } } = \frac { 1 } { x } \left( \frac { 2 } { 1 } \right) ^ { \binom { x } { 2 } } \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { \binom { x } { 3 } } \left( \frac { 3 2 } { 2 7 } \right) ^ { \binom { x } { 4 } } . . . \: .
l _ { o r b } ^ { ( u ) } = \hbar \, \frac { \displaystyle \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathcal { I } _ { u } \, ( \partial _ { \phi } \Phi _ { u } ) \, d x \, d y } { \displaystyle \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathcal { I } _ { u } \, d x \, d y } .
\begin{array} { r l } { | \psi ^ { \prime } ( \frac { \pi } { 2 \lambda } ) \rangle } & { { } = \mathrm { e x p } ( - i H _ { \mathrm { e f f , p h } } \frac { \pi } { 2 \lambda } ) | \psi _ { 0 , 1 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \eta } & { { } = } & { \frac { W _ { L } } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \alpha 2 \sigma \sqrt { \pi } e ^ { - 4 \sigma ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } \frac { 1 } { W _ { L } } \mathrm { r e c t } \left[ \frac { \alpha } { W _ { L } } \right] \right) ^ { 2 } \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \beta 2 \sigma \sqrt { \pi } e ^ { - 4 \sigma ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } \mathrm { r e c t } \left[ \beta \right] \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \mathbf { k } \in \beth _ { n , T } ^ { v } } \left| \varepsilon _ { \mathbf { j } , \mathbf { k } } \right| \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \left| \mathcal { A } _ { \mathbf { j } , \mathbf { k } } ( t ) \right| \leq C _ { 1 } \sqrt { \prod _ { \ell = 1 , \ell \neq n } ^ { d } \log ( 3 + | j _ { \ell } | ) } \times j _ { n } ^ { \frac { d } { 2 } } \times 2 ^ { - j _ { n } ( L - 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | G _ { N } ( \varepsilon , y ) | } & { \leq C \sum _ { n = N + 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { y ^ { 2 n } \Gamma ( ( 1 - \hat { \beta } ) n ) } } \\ & { = y ^ { - 2 } E _ { 1 - \hat { \beta } , 1 - \hat { \beta } } ( y ^ { - 2 } ) - \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { y ^ { 2 n } \Gamma ( ( 1 - \hat { \beta } ) n ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ^ { \prime } = } & { { } \; \delta \varepsilon \left( - \beta S ( v + \alpha w ) + P \right) , } \\ { \delta \varepsilon v ^ { \prime } = } & { { } \; \delta \varepsilon \beta S ( v + \alpha w ) - \delta \varepsilon \gamma _ { 1 } v , } \\ { \delta u ^ { \prime } = } & { { } \; \delta \varepsilon ( \gamma _ { 1 } v - u ) , } \\ { P ^ { \prime } = } & { { } \; \delta \varepsilon ( 1 + u ( 1 - \delta ) - \nu \beta P ( v + \alpha w ) - ( S + \delta \varepsilon v + 2 P + \delta \varepsilon w ) ) , } \\ { \delta \varepsilon w ^ { \prime } = } & { { } \; \delta \varepsilon \nu \beta P ( v + \alpha w ) - \delta \varepsilon \gamma _ { 2 } w , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( - i ) ^ { k - j + 1 } ( k - j + w - w ^ { \prime } ) \frac { \Gamma ( k + j + n ) } { j ! \Gamma ( k + n ) } } & { = ( - i ) ^ { k - j - 1 } A \frac { \Gamma ( k + j + n + 1 ) } { ( j + 1 ) ! \Gamma ( k + n ) } } \\ & { + ( - i ) ^ { k - j + 1 } B \frac { \Gamma ( k + j + n + 1 ) } { j ! \Gamma ( k + n + 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = \int _ { I _ { k } } \Big [ \partial _ { t } f _ { + } + \partial _ { y } \left( - \frac { D _ { T } } { L ( t ) ^ { 2 } } \, \partial _ { y } f _ { + } + \frac 1 { L ( t ) } \, \left( ( v _ { 0 } \, ( 1 - \rho ) - L ^ { \prime } ( t ) \, y ) \, f _ { + } \right) \right) } & { } \\ { + \frac { L ^ { \prime } ( t ) } { L ( t ) } \, f _ { + } - \lambda \, ( f _ { -- } f _ { + } ) \Big ] \, \textup { d } y } & { } \\ { = h \, \partial _ { t } \bar { f } _ { + } ^ { k } + \left[ - \frac { D _ { T } } { L ( t ) ^ { 2 } } \, \partial _ { y } f _ { + } + \frac 1 { L ( t ) } \, \left( ( v _ { 0 } \, ( 1 - \rho ) - L ^ { \prime } ( t ) \, y ) \, f _ { + } \right) \right] _ { x _ { k - 1 / 2 } } ^ { x _ { k + 1 / 2 } } } & { } \\ { + h \, \frac { L ^ { \prime } ( t ) } { L ( t ) } \, \bar { f } _ { + } ^ { k } - h \, \lambda \, ( \bar { f } _ { - } ^ { k } - \bar { f } _ { + } ^ { k } ) } & { . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { { } \frac { \mathrm { d } T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } } { \mathrm { d } t } + \frac { 1 } { g ^ { 0 0 } } \, \partial _ { i } \left( g ^ { 0 0 } T _ { \, \, \, 0 } ^ { i } \right) - \frac { 1 } { 2 \left( R ^ { 2 } a ^ { 2 } \right) } \frac { \mathrm { d } \left( R ^ { 2 } a ^ { 2 } \right) } { \mathrm { d } t } T _ { \, \, \, i } ^ { i } + \frac { 3 } { 2 \left( R ^ { 2 } a ^ { 2 } \right) } \frac { \mathrm { d } \left( R ^ { 2 } a ^ { 2 } \right) } { \mathrm { d } t } T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } } \\ { = } & { { } \frac { \mathrm { d } T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } } { \mathrm { d } t } + \frac { 3 \dot { a } } { a } \left( T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 3 } T _ { \, \, \, i } ^ { i } \right) + \frac { 1 } { g ^ { 0 0 } } \partial _ { i } \left( g ^ { 0 0 } T _ { \, \, \, 0 } ^ { i } \right) } \\ { = } & { { } \frac { \mathrm { d } T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } } { \mathrm { d } t } + 3 \, \frac { \dot { a } } { a } \left( T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 3 } T _ { \, \, \, i } ^ { i } \right) + \frac { 2 \partial _ { i } Z } { Z } T _ { \, \, \, 0 } ^ { i } + \partial _ { i } T _ { \, \, \, 0 } ^ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { V _ { t } \mu P _ { s , o } ^ { \prime } ( t ) } { k _ { l } A } \int _ { o } ^ { L } d x } & { = \int _ { P _ { s } ( o , t ) } ^ { P _ { s } ( L , t ) } ( P _ { s } ( x , t ) + b ) \ d P _ { s } ( x , t ) } \\ & { = \frac { P _ { s } ( x , t ) ^ { 2 } } { 2 } \Biggr | _ { P _ { s } ( o , t ) } ^ { P _ { s } ( L , t ) } + b P _ { s } \Biggr | _ { P _ { s } ( o , t ) } ^ { P _ { s } ( L , t ) } } \end{array}