harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \lambda } \big ( \mathrm { T r i g } _ { I _ { \mathbf { d } } } ( \mathbb { T } ^ { n } ) \big ) = \prod _ { j = 1 } ^ { n } \int _ { \mathbb { T } } \Big | \sum _ { | \alpha _ { j } | \le d _ { j } } z ^ { \alpha _ { j } } \Big | \, d z = \prod _ { j = 1 } ^ { n } \int _ { \mathbb { T } } | D _ { d _ { j } } ( z _ { j } ) | \, d z _ { j } = \prod _ { j = 1 } ^ { n } L _ { d _ { j } } \, , } \end{array}
J _ { 1 } ( - 1 , - 1 , - 1 , - 1 ; m ) = \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 m ^ { 4 } } F _ { 3 } \left( 1 , 1 , 1 , 1 ; \frac { 5 } { 2 } \left| \frac { s } { 4 m ^ { 2 } } , \frac { t } { 4 m ^ { 2 } } \right) \right.
\small \mathrm { C I } = \left( \widehat { x _ { \mathrm { n e w } } ^ { \intercal } \beta } - z _ { \alpha / 2 } \sqrt { \widehat { \mathrm { V } } } , \quad \widehat { x _ { \mathrm { n e w } } ^ { \intercal } \beta } + z _ { \alpha / 2 } \sqrt { \widehat { \mathrm { V } } } \right) \quad \mathrm { w i t h } \quad \widehat { \mathrm { V } } = \frac { \widehat { \sigma } _ { \epsilon } ^ { 2 } } { n } \widehat { u } ^ { \intercal } \widehat { \Sigma } \widehat { u } .
V ( \phi ) = \frac { \lambda } { 4 } ( \phi ^ { 2 } - v ^ { 2 } ) ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 1 0 8 M ^ { 3 } } \phi ^ { 2 } ( \phi ^ { 2 } - 3 v ^ { 2 } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { { m _ { 0 } \left( { { \omega _ { 0 } } + \delta \omega } \right) ^ { 2 } } \left| \psi \right\rangle - \mathbf K \left| \psi \right\rangle + i ( { \omega _ { 0 } } + \delta \omega ) \mathbf \Gamma \left| \psi \right\rangle } & { = 0 } \\ { m _ { 0 } \left( { { \omega _ { 0 } } ^ { 2 } + 2 { \omega _ { 0 } } \delta \omega } \right) \left| \psi \right\rangle - \mathbf K \left| \psi \right\rangle + i ( { \omega _ { 0 } } + \delta \omega ) \mathbf \Gamma \left| \psi \right\rangle } & { = 0 } \\ { \left( { 2 { \omega _ { 0 } } m _ { 0 } + i { \bf { \Gamma } } } \right) \delta \omega \left| \psi \right\rangle + \left( { { \omega _ { 0 } } ^ { 2 } m _ { 0 } - { \bf { K } } + i { \omega _ { 0 } } { \bf { \Gamma } } } \right) \left| \psi \right\rangle } & { = 0 } \\ { { \left( { 2 { \omega _ { 0 } } m _ { 0 } + i { \bf { \Gamma } } } \right) ^ { - 1 } } \left[ { \left( { 2 { \omega _ { 0 } } { m _ { 0 } } + i { \bf { \Gamma } } } \right) { \omega _ { 0 } } - { \bf { K } } - { \omega _ { 0 } } ^ { 2 } { m _ { 0 } } } \right] \left| \psi \right\rangle + \delta \omega \left| \psi \right\rangle } & { = 0 } \\ { { \left( { 2 { \omega _ { 0 } } m _ { 0 } + i { \bf { \Gamma } } } \right) ^ { - 1 } } \left( { { \bf { K } } + { \omega _ { 0 } } ^ { 2 } m _ { 0 } } \right) \left| \psi \right\rangle - ( \omega _ { 0 } + \delta \omega ) \left| \psi \right\rangle } & { = 0 . } \end{array}
\frac { \partial n _ { e _ { 0 } } ( x , t ) } { \partial t } + \frac { \partial n _ { e _ { 0 } } ( x , t ) u _ { x } ( x , t ) } { \partial x } = - \nu _ { L } n _ { e _ { 0 } } ( x , t ) + k _ { i o n } n _ { e _ { 0 } } ( x , t )
\mathrm { { p _ { r } = \frac { 1 } { 2 } \left\{ \frac { r _ { i } } { r } , p _ { i } \right\} = \frac { r _ { i } } { r } p _ { i } - \frac { i ( d - 1 ) } { 2 r } = - i \left( \frac { \partial } { \partial r } + \frac { d - 1 } { 2 r } \right) . } }
{ \cal L } = - \frac { 1 } { 4 } \exp ( \frac { \phi } { f _ { \phi } } ) F _ { \mu \nu } { } ^ { a } F ^ { \mu \nu } { } _ { a } - \frac { 1 } { 2 } \partial ^ { \mu } \phi \cdot \partial _ { \mu } \phi + \sum _ { f = 1 } ^ { N _ { f } } \overline { { { q } } } _ { f } ( i \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } + g \gamma ^ { \mu } A _ { \mu } { } ^ { a } X _ { a } - m _ { f } ) q _ { f } ,
\left( \begin{array} { l l } { { { \bf 1 } } } & { { 0 } } \\ { { { \tilde { \bf c } } } } & { { { \bf 1 } } } \end{array} \right) \qquad \qquad { \tilde { \bf c } } = \sum _ { i } N _ { i } g _ { i } ^ { t } { \tilde { \bf c } } ^ { v } g _ { i } + \sum _ { j } M _ { j } g _ { j } ^ { t } { \tilde { \bf c } } ^ { h } g _ { j }
\left\{ g _ { 0 } , \dots , g _ { 4 } \right\} = \left\{ 1 . 0 , \; 0 . 5 8 9 9 , \; 0 . 6 6 8 1 , \; 0 . 3 7 5 3 , \; 0 . 9 0 4 5 \right\} .
\rho _ { 0 } ( x , x ; \beta ) = \int _ { y ( 0 ) = x } ^ { y ( \beta ) = x } { \cal D } \eta \, \exp \left\{ - \int _ { 0 } ^ { \beta } \frac { 1 } { 2 } \, \dot { \eta } ^ { 2 } \, d \tau \right\} = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \beta } }
\begin{array} { r l } { f _ { 5 } ( s _ { i } ) | _ { \vec { a } } } & { = a _ { 1 } ^ { 5 } - 5 a _ { 1 } ^ { 3 } a _ { 2 } + 5 a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 3 } + 5 a _ { 1 } a _ { 2 } ^ { 2 } - 5 a _ { 2 } a _ { 3 } } \\ & { \, \, \, \, \, \, \, \, \, - 1 0 ( a _ { 1 } ^ { 4 } - 4 a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } + 4 a _ { 1 } a _ { 3 } + 2 a _ { 2 } ^ { 2 } ) + 3 5 ( a _ { 1 } ^ { 3 } - 3 a _ { 1 } a _ { 2 } + 3 a _ { 3 } ) - 5 0 ( a _ { 1 } ^ { 2 } - 2 a _ { 2 } ) + 2 4 a _ { 1 } } \\ & { = \prod _ { i = 0 } ^ { 4 } ( a _ { 1 } - i ) + 5 ( - a _ { 1 } ^ { 3 } a _ { 2 } + a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 3 } + a _ { 1 } a _ { 2 } ^ { 2 } - a _ { 2 } a _ { 3 } ) } \\ & { \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, - 1 0 ( - 4 a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } + 4 a _ { 1 } a _ { 3 } + 2 a _ { 2 } ^ { 2 } ) + 3 5 ( - 3 a _ { 1 } a _ { 2 } + 3 a _ { 3 } ) . } \end{array}
Z = \mathrm { d e t } ( \Delta _ { 0 } \oplus \Delta _ { 0 } ) ^ { - \frac { 1 } { 4 } } \mathrm { d e t } ( \Delta _ { 1 } \oplus \Delta _ { 1 } ) ^ { \frac { 3 } { 4 } } = \mathrm { d e t } ( \Delta _ { 0 } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { d e t } ( \Delta _ { 1 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } ,
V _ { a } - V _ { s } = \sqrt { 2 } G _ { F } n _ { \gamma } ( \pm \hat { L } ^ { a } - A _ { a } T ^ { 2 } M _ { W } ^ { - 2 } ) \pm 4 F _ { L } ^ { - 2 } n _ { \gamma } ( A _ { \sigma } \hat { B } + \Delta \hat { L } ) \; ,
{ \bf L } ^ { \mathrm { ~ c ~ } } = \dot { { \bf F } } ^ { \mathrm { ~ c ~ } } { \bf F } ^ { \mathrm { ~ c ~ } - 1 } = { \bf D } ^ { \mathrm { ~ c ~ } } + { \bf W } ^ { \mathrm { ~ c ~ } } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad { \bf W } ^ { \mathrm { ~ c ~ } } = 0
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \rho _ { e e ^ { \prime } } ( \textbf { r } , t ) } & { = - i \Delta \omega _ { e e ^ { \prime } } \rho _ { { e e ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , t ) + i \sum _ { g , \, s } \left( \Omega _ { s } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } , t ) T _ { { e g } s } \rho _ { { g e ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , t ) - \Omega _ { s } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } , t ) \rho _ { { e g } } ( \textbf { r } , t ) T _ { { g e ^ { \prime } } s } \right) , } \end{array}
\mathrm d \mathbf X = \left( \begin{array} { l } { y } \\ { a _ { 1 } x + a _ { 2 } y + a _ { 3 } x ^ { 3 } } \end{array} \right) \mathrm d t + \sigma \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \mathrm d \mathbf W .
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { \int _ { a } ^ { b } e ^ { n f ( x ) } \, d x } { e ^ { n f ( x _ { 0 } ) } { \sqrt { \frac { 2 \pi } { n ( - f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) ) } } } } } \leq 1
c _ { \mu } = \frac { 4 \lambda ^ { 2 } } { ( \lambda ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } \gamma _ { \mu } + \frac { 2 \lambda ( \lambda ^ { 2 } + 1 ) } { ( \lambda ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } \epsilon _ { \mu } ^ { ~ \nu } \gamma _ { \nu } .
\begin{array} { r l } & { \widetilde { N } _ { 1 } = \left( \| \, | v ^ { k } | ^ { p } - | v ^ { j } | ^ { p } \, \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \right) \left( \| \, | v ^ { k } | ^ { p } \, \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } + \| \, | v ^ { j } | ^ { p } \, \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \right) , } \\ & { \widetilde { N } _ { 2 } = \| ( v ^ { k } ) ^ { p } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \, \| v ^ { k } - v ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } , } \\ & { \widetilde { N } _ { 3 } = \| v ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \| ( v ^ { k } ) ^ { p } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } , \qquad \widetilde { N } _ { 4 } = \| v ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \| ( v ^ { j } ) ^ { p } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { \bar { u } _ { d } } \\ { \bar { v } _ { d } } \end{array} \right] } & { { } = ( 1 + k _ { 1 } r ^ { 2 } + k _ { 2 } r ^ { 4 } + k _ { 3 } r ^ { 6 } ) \left[ \begin{array} { l } { \bar { u } } \\ { \bar { v } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { 2 p _ { 1 } \bar { u } \bar { v } + p _ { 2 } ( r ^ { 2 } + 2 \bar { u } ^ { 2 } ) } \\ { 2 p _ { 2 } \bar { u } \bar { v } + p _ { 1 } ( r ^ { 2 } + 2 \bar { v } ^ { 2 } ) } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( S _ { n + 1 } = 0 | S _ { n } = 0 ) } & { { } = 0 , } \\ { P ( S _ { n + 1 } = 0 | S _ { n } = 1 ) } & { { } = p ( 1 - q ) , } \\ { P ( S _ { n + 1 } = 1 | S _ { n } = 0 ) } & { { } = 1 , } \\ { P ( S _ { n + 1 } = 1 | S _ { n } = 1 ) } & { { } = p q . } \end{array}
\boldsymbol { F } = q ( \boldsymbol { E } + \frac { \alpha } { c } \boldsymbol { v } \times \boldsymbol { B } ) \Leftrightarrow P \Leftrightarrow \mathcal { R } _ { 1 } ( f ^ { \flat } ) = \mathcal { R } _ { 1 } ( q \frac { \alpha } { c } U \mathbin { \lrcorner } F ) \Leftrightarrow f ^ { \flat } = q \frac { \alpha } { c } U \mathbin { \lrcorner } F
{ \ddot { Q } } + 3 H { \dot { Q } } + \bigl ( V ^ { \prime \prime } + { \frac { k ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + 2 ( { \frac { \dot { H } } { H } } + 3 H ) ^ { . } \bigr ) Q \, = \, 0 \, .
e _ { \mathrm { d } } ( t , \tilde { \nu } ) + \frac { e _ { \mathrm { r } } ( t , \tilde { \nu } ) \Gamma ( \tilde { \nu } ) } { 1 - e _ { \mathrm { s } } ( t , \tilde { \nu } ) \Gamma ( \tilde { \nu } ) } \approx \sum _ { n = - 4 } ^ { 4 } S _ { n } ( \tilde { \nu } ) \exp \left( { - \mathrm { i } n \Omega t } \right) .
e _ { a , b } ( \tau ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 + \zeta _ { N } ^ { a } } { 1 - \zeta _ { N } ^ { a } } + \frac { 1 + \zeta _ { N } ^ { b } } { 1 - \zeta _ { N } ^ { b } } \right) + \sum _ { m , n \ge 1 } \left( \zeta _ { N } ^ { a m + b n } - \zeta _ { N } ^ { - ( a m + b n ) } \right) q ^ { m n } , \quad \zeta _ { N } : = e ^ { \frac { 2 \pi i } { N } } .
\begin{array} { r l } { t _ { i j \dots } ^ { a b \dots } ( \tau + \Delta \tau ) } & { = ~ t _ { i j \dots } ^ { a b \dots } ( \tau ) } \\ & { + \frac { i } { 2 } \Delta \tau \Big ( \left< \Phi _ { i j \dots } ^ { a b \dots } \left| ( H _ { N } e ^ { T ( \tau ) } ) _ { C } \right| \Phi \right> } \\ & { + \left< \Phi _ { i j \dots } ^ { a b \dots } \left| ( H _ { N } e ^ { T ( \tau + \Delta \tau ) } ) _ { C } \right| \Phi \right> \Big ) , } \end{array}
A _ { m } ( 4 , 3 ) = 1 , 3 , 1 5 , 9 1 , 6 1 2 , 4 3 8 9 , 3 2 8 9 0 , 2 5 4 4 7 5 , 2 0 1 7 3 5 6 , 1 6 3 0 1 1 6 4 , \ldots
\Delta E _ { \mathrm { b a r e } } [ \chi ] = \pm \left( \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j } | \, \omega _ { j } | + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \omega ( k ) \left( \rho ( k ) - \rho ^ { 0 } ( k ) \right) d k \right)
\begin{array} { r l } { R ( T ) } & { \leq 2 \rho _ { T } \cdot \mathbb { E } \left[ \sum _ { t = T _ { 0 } + 1 } ^ { T } \sum _ { X \in \boldsymbol { X } \cup \{ Y \} } \left\| \boldsymbol { W } _ { t , X } \right\| _ { M _ { t - 1 , X } ^ { - 1 } } \right] + T _ { 0 } } \\ & { \leq 2 \rho _ { T } \cdot \mathbb { E } \left[ \sqrt { T } \cdot \sum _ { X \in \boldsymbol { X } \cup \{ Y \} } \sqrt { \sum _ { t = T _ { 0 } + 1 } ^ { T } \left\| \boldsymbol { W } _ { t , X } \right\| _ { M _ { t - 1 , X } ^ { - 1 } } ^ { 2 } } \right] + T _ { 0 } } \\ & { \leq 2 \rho _ { T } \cdot \mathbb { E } \left[ \sqrt { T } \cdot \sum _ { X \in \boldsymbol { X } \cup \{ Y \} } \sqrt { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \left\| \boldsymbol { W } _ { t , X } \right\| _ { M _ { t - 1 , X } ^ { - 1 } } ^ { 2 } } \right] + 2 ( n - 1 ) c _ { 0 } T ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { M a } = \frac { U } { \sqrt { R T _ { 0 0 } } } \sim { \varepsilon } ^ { \frac { 2 + \alpha } { 2 } } \, , \quad \mathrm { F r } = \frac { U } { N H _ { p } } \sim { \varepsilon } \, , \quad \mathrm { R o } = \frac { U } { f L _ { w } } \sim { \varepsilon } ^ { \frac { 2 \beta + \alpha - 5 } { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \hat { H } _ { \mathrm { N o r m a l } } ^ { ( n ) } ] } & { = \mu \cdot \Phi \left( \frac { \mu } { \sigma } \right) + \sigma \cdot \phi \left( \frac { - \mu } { \sigma } \right) } \\ { \mathrm { V a r } [ \hat { H } _ { \mathrm { N o r m a l } } ^ { ( n ) } ] } & { = \mu \sigma \phi \left( \frac { - \mu } { \sigma } \right) + \Phi \left( { \frac { \mu } { \sigma } } \right) \left( \mu ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } \right) \ - \left( \mu \Phi \left( \frac { \mu } { \sigma } \right) + \phi \left( \frac { - \mu } { \sigma } \right) \sigma \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { \tilde { \mathbf { x } } } = \operatorname* { m i n } _ { \tilde { \mathbf { x } } ^ { n + 1 } } | | \mathbf { A } ^ { d } \tilde { \mathbf { x } } ^ { n + 1 } - \mathbf { b } | | . } \end{array}
\ln \mathrm { { \frac { M _ { R } } { M _ { Z } } } = { \frac { \ p i } { 4 } } \left[ 3 \ a l p h a ^ { - 1 } ( M _ { Z } ) \{ 1 - 5 s i n ^ { 2 } \ t h e t a _ { W } ( M _ { Z } ) \} + 7 \ a l p h a _ { S } ^ { - 1 } ( M _ { Z } ) \right] < 1 . 6 6 , }
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { T } _ { \gamma } } \iota _ { X _ { \Delta } } \beta ^ { \parallel } d \mu } & { = 0 \qquad \mathrm { a n d } } \\ { \int _ { \mathbb { T } _ { \gamma } } \iota _ { X _ { \Delta } } \beta ^ { \perp } d \mu } & { = \int _ { \mathbb { T } _ { \gamma } } \pi _ { \Delta } ^ { * } ( \iota _ { X } d t ) d \mu } \\ & { = \int _ { \mathbb { T } _ { \gamma } } 1 d \mu } \\ & { = \mu ( \mathbb { T } _ { \gamma } ) } \end{array}
e ^ { s _ { 2 } } = e ^ { s _ { 3 } } { \frac { m _ { 1 } e ^ { s _ { 3 } } + m _ { 2 } e ^ { s _ { 4 } } } { m _ { 1 } e ^ { s _ { 4 } } + m _ { 2 } e ^ { s _ { 3 } } } }
\begin{array} { r l } { \mathfrak a = \alpha \mathbb { Z } + \beta \mathbb { Z } } & { \mapsto \frac { N ( x \alpha - y \beta ) } { N ( \mathfrak a ) } , } \\ { Q ( x , y ) = a x ^ { 2 } + b x y + c y ^ { 2 } } & { \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { a \mathbb { Z } + a \tau \mathbb { Z } } & { \mathrm { ~ w h e n ~ } a > 0 , } \\ { \sqrt D ( a \mathbb { Z } + a \tau \mathbb { Z } ) } & { \mathrm { ~ w h e n ~ } a < 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 , 2 } ( \bar { \varepsilon } \times \bar { \varepsilon } ) } & { = \lambda _ { 1 , 2 } ( ( \varepsilon - \frac { 1 } { \chi } \pi ^ { * } \kappa _ { e \cdot \varepsilon } ) \times ( \varepsilon - \frac { 1 } { \chi } \pi ^ { * } \kappa _ { e \cdot \varepsilon } ) ) } \\ & { = \lambda _ { 1 , 2 } ( \varepsilon \times \varepsilon ) - \lambda _ { 1 , 2 } ( \frac { 1 } { \chi } \pi ^ { * } \kappa _ { \varepsilon e } \times \varepsilon ) } \\ & { \quad \quad - \lambda _ { 1 , 2 } ( \varepsilon \times \frac { 1 } { \chi } \pi ^ { * } \kappa _ { \varepsilon e } ) + \lambda _ { 1 , 2 } ( \frac { 1 } { \chi } \pi ^ { * } \kappa _ { \varepsilon e } \times \frac { 1 } { \chi } \pi ^ { * } \kappa _ { \varepsilon e } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \eta _ { 1 } ( t ) ^ { 3 } \eta _ { 8 } ( t ) ^ { 3 } } { \eta _ { 2 } ( t ) \eta _ { 4 } ( t ) } , \, \, \frac { \eta _ { 1 } ( t ) ^ { 2 } \eta _ { 3 } ( t ) ^ { 2 } \eta _ { 8 } ( t ) ^ { 2 } \eta _ { 2 4 } ( t ) ^ { 2 } } { \eta _ { 2 } ( t ) \eta _ { 4 } ( t ) \eta _ { 6 } ( t ) \eta _ { 1 2 } ( t ) } , \, \, \frac { \eta _ { 1 } ( t ) ^ { 3 } \eta _ { 2 7 } ( t ) ^ { 3 } } { \eta _ { 3 } ( t ) \eta _ { 9 } ( t ) } , } \\ & { \frac { \eta _ { 1 } ( t ) ^ { 2 } \eta _ { 2 } ( t ) ^ { 2 } \eta _ { 2 7 } ( t ) ^ { 2 } \eta _ { 5 4 } ( t ) ^ { 2 } } { \eta _ { 3 } ( t ) \eta _ { 6 } ( t ) \eta _ { 9 } ( t ) \eta _ { 1 8 } ( t ) } \, \, \, \, \mathrm { a n d } \, \, \, \, \frac { \eta _ { 1 } ( t ) ^ { 2 } \eta _ { 7 } ( t ) ^ { 2 } \eta _ { 8 } ( t ) ^ { 2 } \eta _ { 5 6 } ( t ) ^ { 2 } } { \eta _ { 2 } ( t ) \eta _ { 4 } ( t ) \eta _ { 1 4 } ( t ) \eta _ { 2 8 } ( t ) } . } \end{array}
\arctan ( z ) = { \frac { z } { 1 + z ^ { 2 } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \prod _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { 2 k z ^ { 2 } } { ( 2 k + 1 ) ( 1 + z ^ { 2 } ) } } .
[ v _ { 0 } ^ { 1 } , v _ { 1 } ^ { 1 } ] , [ v _ { 1 } ^ { 1 } , v _ { 2 } ^ { 1 } ] , [ v _ { 1 } ^ { 1 } , v _ { 3 } ^ { 1 } ] , [ v _ { 2 } ^ { 1 } , v _ { 3 } ^ { 1 } ]
A _ { 0 } = 0 \ , \ \ A _ { r } = \frac { H _ { 1 } } { 2 g r } \tau _ { \varphi } \ , \ \ A _ { \theta } = \frac { \left( 1 - H _ { 2 } \right) } { g } \tau _ { \varphi } , \ \ A _ { \varphi } = - \frac { \sin \theta } { g } \left( H _ { 3 } \tau _ { r } ^ { ( 2 ) } + \left( 1 - H _ { 4 } \right) \tau _ { \theta } ^ { ( 2 ) } \right) \ \ ,
\begin{array} { r l } { h _ { + } ( t ) } & { { } = \frac { 2 \mathcal { M } } { D _ { L } } \left( \pi f _ { \mathrm { g w } } ( t ) \right) ^ { 2 / 3 } \left( 1 + \cos ^ { 2 } \iota \right) \cos { \phi ( t ) } , } \\ { h _ { \times } ( t ) } & { { } = - \frac { 4 \mathcal { M } } { D _ { L } } \left( \pi f _ { \mathrm { g w } } ( t ) \right) ^ { 2 / 3 } \cos { \iota } \sin { \phi ( t ) } , } \end{array}
i { \left( - 1 \right) } ^ { n } \lbrace 4 { \epsilon } _ { 1 } \cdot p _ { 1 } { \epsilon } _ { 2 } \cdot p _ { 2 } P ^ { n - 2 } \left( p _ { 1 } ^ { 2 } , p ^ { 2 } , p _ { 2 } ^ { 2 } \right) + 4 { \epsilon } _ { 2 } \cdot p _ { 1 } { \epsilon } _ { 1 } \cdot p _ { 2 } \cdot
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } = } & { { } ~ \int _ { 0 } ^ { s _ { 1 } } s ^ { m - 1 } d s + \int _ { s _ { 1 } } ^ { \infty } s ^ { m - 1 } \exp ( A - s ^ { 2 } / R _ { 1 } ^ { 2 } ) d s } \\ { = } & { { } ~ \frac { s _ { 1 } ^ { m } } { m } + \frac { R _ { 1 } ^ { m } } { 2 } \int _ { s _ { 1 } } ^ { \infty } \left( \frac { s } { R _ { 1 } } \right) ^ { m - 2 } \exp ( A - s ^ { 2 } / R _ { 1 } ^ { 2 } ) d \left( \frac { s ^ { 2 } } { R _ { 1 } ^ { 2 } } \right) } \\ { = } & { { } ~ \frac { s _ { 1 } ^ { m } } { m } + \frac { R _ { 1 } ^ { m } } { 2 } \int _ { s _ { 1 } ^ { 2 } / R _ { 1 } ^ { 2 } } ^ { \infty } t ^ { ( m - 2 ) / 2 } \exp ( A - t ) d t } \\ { \leq } & { { } ~ \frac { s _ { 1 } ^ { m } } { m } + \frac { R _ { 1 } ^ { m } } { m } \left( ( A + m / 2 ) ^ { m / 2 } - A ^ { m / 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { \gamma } ( q _ { h } , q _ { h } ) } & { = \langle \boldsymbol K \nabla q _ { h } , \nabla q _ { h } \rangle - \langle \boldsymbol K \boldsymbol \nabla q _ { h } \cdot \boldsymbol n , q _ { h } \rangle _ { \Gamma _ { p } ^ { D } } - \langle q _ { h } , \boldsymbol K \nabla q _ { h } \cdot \boldsymbol n \rangle _ { \Gamma _ { p } ^ { D } } + \gamma _ { b } \, h ^ { - 1 } \langle q _ { h } , q _ { h } \rangle _ { \Gamma _ { p } ^ { D } } } \\ & { \geq c \| \nabla q _ { h } ) \| ^ { 2 } - c \| \nabla q _ { h } \cdot \boldsymbol n \| _ { \Gamma _ { p } ^ { D } } \| q _ { h } \| _ { \Gamma _ { p } ^ { D } } + \gamma _ { b } \, h ^ { - 1 } \| q _ { h } \| _ { \Gamma _ { p } ^ { D } } ^ { 2 } } \\ & { \geq c \| \nabla q _ { h } \| ^ { 2 } - c \delta \, h \| \nabla q _ { h } \cdot \boldsymbol n \| _ { \Gamma _ { p } ^ { D } } ^ { 2 } - c \delta ^ { - 1 } h ^ { - 1 } \| q _ { h } \| _ { \Gamma _ { p } ^ { D } } ^ { 2 } + \gamma _ { b } \, h ^ { - 1 } \| q _ { h } \| _ { \Gamma _ { p } ^ { D } } ^ { 2 } } \\ & { \geq c \| \nabla q _ { h } \| ^ { 2 } - c \delta \| \nabla q _ { h } \| ^ { 2 } - c \delta ^ { - 1 } h ^ { - 1 } \| \boldsymbol v _ { h } \| _ { \Gamma _ { p } ^ { D } } ^ { 2 } + \gamma _ { b } \, h ^ { - 1 } \| q _ { h } \| _ { \Gamma _ { p } ^ { D } } ^ { 2 } } \\ & { = c \Big ( \| \nabla q _ { h } \| ^ { 2 } + \widetilde \gamma _ { b } \, h ^ { - 1 } \| q _ { h } \| _ { \Gamma _ { p } ^ { D } } ^ { 2 } \Big ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde \mathrm { C o l } _ { f } : \mathrm { H } ^ { 1 } ( K _ { \bar { v } } , T _ { f } ^ { - } ( \alpha ) \widehat \otimes \Lambda _ { K } ) \to I _ { f } \widehat \otimes \Lambda _ { K } , \ \ \widetilde \mathrm { C o l } _ { \boldsymbol { g } } : \mathrm { H } ^ { 1 } ( K _ { v } , T _ { f } ^ { + } ( \alpha ) \widehat \otimes \Lambda _ { K } ) \to I _ { \boldsymbol { g } } \widehat \otimes \Lambda _ { K } , } \end{array}
\hat { Q } _ { \Gamma } ^ { ( 1 ) } = \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \; \Gamma ( \xi _ { 1 } , \; \xi _ { 2 } ; \; k ) \; \hat { a } _ { \xi _ { 2 } } ^ { \dagger \; \alpha } ( - k ) \, \hat { a } _ { \alpha } ^ { \xi _ { 1 } } ( k ) ,
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 1 s } ( t ) } & { { } \equiv \int ^ { t } [ E _ { 1 s } + \delta _ { 1 s } I _ { \mathrm { ~ I ~ R ~ } } ( t ^ { \prime } ) ] \, \mathrm d t ^ { \prime } , } \\ { \Phi _ { 3 p } ( t ) } & { { } \equiv \int ^ { t } [ E _ { 3 p } + ( \delta _ { 3 p } - \mathrm i \gamma _ { 3 p } / 2 ) I _ { \mathrm { ~ I ~ R ~ } } ( t ^ { \prime } ) ] \, \mathrm d t ^ { \prime } . } \end{array}
\ddot { S } _ { \bf k } ^ { \eta } = - \frac { \left( 1 + e ^ { \dot { S } _ { \bf k } } \right) ^ { 2 } \left( 1 + B _ { \bf k } e ^ { A \dot { S } _ { \bf k } } \right) } { e ^ { \dot { S } _ { \bf k } } + A B _ { \bf k } ~ e ^ { A \dot { S } _ { \bf k } } + ( A + 1 ) B _ { \bf k } e ^ { \dot { S } _ { \bf k } + 1 } } < 0 .
\begin{array} { r l } { H ( u ^ { k } - \bar { u } , u ^ { k - 1 } - \bar { u } ) } & { = H ( u ^ { k } , u ^ { k - 1 } ) + \frac 1 2 \sum _ { K \in { \mathcal T } } \operatorname { m } ( K ) \big ( | \bar { u } | _ { A } ^ { 2 } - 3 ( u _ { K } ^ { k } , \bar { u } ) _ { A } + ( u _ { K } ^ { k - 1 } , \bar { u } ) _ { A } \big ) } \\ & { = H ( u ^ { k } , u ^ { k - 1 } ) - \frac 1 2 \operatorname { m } ( \Omega ) | \bar { u } | _ { A } ^ { 2 } . } \end{array}
m ^ { - 2 } n _ { p } \left[ \sigma _ { \mathcal { G } } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } \lVert d { \boldsymbol { \theta } } ^ { \mathrm { ~ N ~ R ~ } } \rVert ^ { 2 } \right] \ll \frac { \gamma ^ { 2 } } { 1 6 } \frac { m ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } .
\Delta E _ { k } = \left| \frac { E _ { 0 } - E _ { k } } { E _ { 0 } } \right| = \left| \frac { E _ { 0 } - V ( q _ { 1 } ( t _ { k } ) , \dots , q _ { M } ( t _ { k } ) ) - T ( p _ { 1 } ( t _ { k } ) , \dots , p _ { M } ( t _ { k } ) ) } { E _ { 0 } } \right|
\begin{array} { r l r } { \| E _ { l + 1 } \| _ { 1 } } & { \lesssim } & { \operatorname* { s u p } _ { v _ { h } \in V _ { h } } \frac { B ( u _ { h } ^ { l , 1 } ; E _ { l + 1 } , v _ { h } ) } { \| v _ { h } \| _ { 1 } } } \\ & { \lesssim } & { ( \| E _ { l } \| _ { 1 , \infty } + \| e _ { H } ^ { l } \| _ { 1 , \infty } ) ( \| E _ { l } \| _ { 1 } + \| e _ { H } ^ { l } \| _ { 1 } ) } \\ & { \lesssim } & { ( \mid \log h \mid H ^ { 2 } + H ) ( H ^ { r + l } + H ^ { r + l } ) } \\ & { \lesssim } & { H ^ { r + l + 1 } . } \end{array}
L _ { J T } = \frac { \mu ^ { \epsilon } } { 1 6 \pi G } e ^ { - 2 \phi } \left( R + \Lambda \right) - { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - 2 \Phi ( \phi ) } g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \chi _ { i } \partial _ { \nu } \chi ^ { i }
\begin{array} { r l } { \widetilde \mathbf { x } ^ { \prime \prime } ( t ) } & { = - \sum _ { k = 0 } ^ { n } \beta ^ { n - k } \nabla ^ { 2 } E _ { k } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \widetilde \mathbf { x } ^ { \prime } ( t ) } \\ & { \quad - \frac { h } { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \beta ^ { n - k } \underbrace { \left( \nabla ^ { 3 } G _ { k } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) [ \widetilde \mathbf { x } ^ { \prime } ( t ) ] \nabla G _ { k } ( \widetilde x ( t ) ) + \nabla ^ { 2 } G _ { k } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \nabla ^ { 2 } G _ { k } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \widetilde \mathbf { x } ^ { \prime } ( t ) \right) } _ { ( I ) } } \\ & { \quad - \frac { h } { 2 } \beta \sum _ { k = 0 } ^ { n } \beta ^ { n - k } \underbrace { \left( \nabla ^ { 3 } G _ { k - 1 } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) [ \widetilde \mathbf { x } ^ { \prime } ( t ) ] \nabla G _ { k - 1 } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) + \nabla ^ { 2 } G _ { k - 1 } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \nabla ^ { 2 } G _ { k - 1 } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \widetilde \mathbf { x } ^ { \prime } ( t ) \right) } _ { ( I I ) } . } \end{array}
V _ { m n } ^ { e i } \left( q \right) = \int { d z \int { d z { ' } \frac { 2 \pi e ^ { 2 } } { { \varepsilon } _ { 0 } q } e ^ { - q \left| z - z { ' } \right| } { \varphi } _ { m } ^ { * } ( z ) } { \varphi } _ { n } ( z ) { \rho } _ { i } ( z { ' } ) } .