harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \! \! \! \operatorname* { m a x } _ { \theta _ { j } ^ { d } } } & { \left( \! \frac { d ^ { d } } { \sum _ { k \in \mathcal { G } } \theta _ { k } ^ { d } } \! - \! \frac { d } { \sum _ { k \in \mathcal { G } } ( c _ { k } + \epsilon _ { k } ) ^ { - 1 } } \! \right) \! \frac { \theta _ { j } ^ { d } d ^ { d } } { \sum _ { k \in \mathcal { G } } \theta _ { k } ^ { d } } \! } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \! \frac { \frac { c _ { j } } { 2 } + \epsilon _ { j } } { ( c _ { j } + \epsilon _ { j } ) ^ { 2 } } \! \! \left( \! \frac { d } { \sum _ { k \in \mathcal { G } } ( c _ { k } + \epsilon _ { k } ) ^ { - 1 } } \! \! \right) ^ { 2 } } \end{array}
h _ { c - 1 } ^ { + } = \left\{ \begin{array} { l l } { s _ { i _ { c } } \cdot h _ { c } ^ { + } , } & { \mathrm { i f ~ c ~ i s ~ h o l l o w , ~ i _ c \in ~ I ~ ; } } \\ { \alpha _ { i _ { c } } ^ { \vee } ( t _ { c } ) h _ { c } ^ { + } , } & { \mathrm { i f ~ c ~ i s ~ s o l i d , ~ i _ c \in ~ I ~ ; } } \end{array} \right. \quad h _ { c - 1 } ^ { - } = \left\{ \begin{array} { l l } { s _ { | i _ { c } | } \cdot h _ { c } ^ { - } , } & { \mathrm { i f ~ c ~ i s ~ h o l l o w , ~ i _ c \in ~ - I ~ ; } } \\ { \alpha _ { | i _ { c } | } ^ { \vee } ( t _ { c } ) h _ { c } ^ { - } , } & { \mathrm { i f ~ c ~ i s ~ s o l i d , ~ i _ c \in ~ - I ~ . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \hat { f } ( \boldsymbol { u } ) } & { = } & { \sum _ { \boldsymbol { v } \in V } \chi ( \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { v } ) x ^ { s \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor - w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } , \pi ) } ( \boldsymbol { v } ) } y ^ { w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } , \pi ) } ( \boldsymbol { v } ) } } \\ & { = } & { x ^ { s \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \left[ 1 + \sum _ { \textbf { 0 } \neq \boldsymbol { v } \in \ V } \chi ( \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { v } ) \left( \frac { y } { x } \right) ^ { w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } , \pi ) ( \boldsymbol { v } ) } } \right] . } \end{array}
\frac { 1 } { | { \bf x } | } \equiv \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { \sqrt { \vec { x } ^ { 2 } + ( \beta n ) ^ { 2 } } } = 2 T \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } K _ { 0 } ( 2 \pi T | \vec { x } { \, } | n ) \simeq - 2 T \ln ( \mu | \vec { x } { \, } | ) .
\begin{array} { r l } { \| y _ { t + 1 } - y ^ { * } \| ^ { 2 } } & { = \| y _ { t } - \gamma \alpha _ { t } \omega _ { t } - y ^ { * } \| ^ { 2 } = \| y _ { t } - y ^ { * } \| ^ { 2 } - 2 \gamma \alpha _ { t } \langle \omega _ { t } , y _ { t } - y ^ { * } \rangle + \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t } ^ { 2 } \| \omega _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \bigg ( 1 - \frac { \mu \gamma \alpha _ { t } } { 2 } \bigg ) \| y _ { t } - y ^ { * } \| ^ { 2 } - 2 \gamma \alpha _ { t } \bigg ( \gamma - \frac { \gamma \alpha _ { t } } { 2 } - \frac { 3 L \gamma ^ { 2 } } { 4 } \bigg ) \| \omega _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { 4 \gamma \alpha _ { t } } { \mu } \| \nabla _ { y } g ( y _ { t } ) - w _ { t } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu ^ { \textrm { { e m b } } } [ \rho _ { \textrm { s y s } } ^ { \textrm { W F T } } , \rho _ { \textrm { e n v } } ^ { \textrm { D F T } } ] ( r ) } & { { } = \nu _ { \textrm { e n v } } ^ { \textrm { n u c } } ( r ) + \int d r ^ { \prime } ~ ~ \frac { \rho _ { \textrm { e n v } } ^ { \textrm { D F T } } ( r ^ { \prime } ) } { | r - r ^ { \prime } | } } \end{array}
\boldsymbol { \Psi } _ { \mathbf { k } } ^ { \lambda } ( \mathbf { r } , t ) \equiv \left[ \hat { R } _ { z } ( \phi ) \hat { R } _ { y } ( \theta ) \hat { L } _ { z } ( \xi ) \right] \boldsymbol { \Psi } _ { \mathbf { k } _ { l } } ^ { \lambda } ( \mathbf { r } , t ) .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { T r } ( \mathbb { C } \mathrm { o v } [ { \mathbf { y } } ^ { ( 0 ) } ( { \mathbf { y } } ^ { ( 0 ) } ) ^ { \top } , \ ( { \mathbf { y } } ^ { ( \ell ) } ) ( { \mathbf { y } } ^ { ( \ell ) } ) ^ { \top } ] ) } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \left\langle { \mathbf { y } } ^ { ( 0 ) } ( { \mathbf { y } } ^ { ( 0 ) } ) ^ { \top } - { \boldsymbol { \Sigma } } , \ ( { \mathbf { y } } ^ { ( \ell ) } ) ( { \mathbf { y } } ^ { ( \ell ) } ) ^ { \top } - { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { ( \ell ) } \right\rangle _ { \mathrm { F } } \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \mathrm { T r } \left( { \mathbf { y } } ^ { ( 0 ) } ( { \mathbf { y } } ^ { ( 0 ) } ) ^ { \top } ( { \mathbf { y } } ^ { ( \ell ) } ) ( { \mathbf { y } } ^ { ( \ell ) } ) ^ { \top } \right) \right] - \mathrm { T r } ( { \boldsymbol { \Sigma } } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { ( \ell ) } ) } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \left( ( { \mathbf { y } } ^ { ( 0 ) } ) ^ { \top } ( { \mathbf { y } } ^ { ( \ell ) } ) \right) ^ { 2 } \right] - \mathrm { T r } ( { \boldsymbol { \Sigma } } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { ( \ell ) } ) \, , } \end{array}
Z = \int e ^ { i \int \frac 1 4 ( \partial _ { \mu } A _ { \nu } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } - A _ { \mu } ^ { \, \times } A _ { \nu } ) ^ { 2 } } \, \Delta ( A ) \, \delta [ \partial _ { \mu } A _ { \mu } ] \, { \cal D } A _ { \mu } \, ,
F _ { 2 } ^ { L J } ( x _ { i } , x _ { j } ) = 2 4 \epsilon \left( \frac { \sigma } { x _ { i j } } \right) ^ { 6 } \left[ 2 \left( \frac { \sigma } { x _ { i j } } \right) ^ { 6 } - 1 \right] \frac { x _ { i j } } { | x _ { i j } | ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } ( \boldsymbol { J } , \boldsymbol { M } ) = } & { { } - j \eta _ { 0 } k _ { 0 } \int _ { \Sigma ^ { + } } { \left[ \boldsymbol { J } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) + \frac { 1 } { k _ { 0 } ^ { 2 } } \nabla \nabla _ { s } ^ { \prime } \cdot \boldsymbol { J } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \right] } g ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) d s ^ { \prime } } \end{array}
{ \vec { H } } ( z , t ) = { \left[ \begin{array} { l } { h _ { x } } \\ { h _ { y } } \\ { 0 } \end{array} \right] } \; e ^ { i 2 \pi \left( { \frac { z } { \lambda } } - { \frac { t } { T } } \right) } = { \left[ \begin{array} { l } { h _ { x } } \\ { h _ { y } } \\ { 0 } \end{array} \right] } \; e ^ { i ( k z - \omega t ) }
( \overrightarrow { \nabla A } ) _ { k } = ( \overline { { \nabla A } } ) _ { k } + \left[ \frac { A _ { j } - A _ { i } } { \left| \vec { r } _ { i j } \right| } - ( \overline { { \nabla A } } ) _ { k } \cdot \frac { \vec { r } _ { i j } } { \left| \vec { r } _ { i j } \right| } \right] \frac { \vec { r } _ { i j } } { \left| \vec { r } _ { i j } \right| } \mathrm { ~ . }
\boldsymbol { \mathbf { E } } _ { \mathrm { ~ F ~ } } = \boldsymbol { \mathbf { E } } [ \boldsymbol { \mathbf { M } } = \mathrm { ~ M ~ } _ { \mathrm { ~ s ~ } } \hat { z } ] - \boldsymbol { \mathbf { E } } [ \boldsymbol { \mathbf { M } } = 0 ]
p _ { g } ( n , \alpha ) = \frac { \left( 1 - \frac { 1 } { \alpha n + n } \right) ^ { n } \left( ( \alpha + 1 ) n \left( \left( \frac { 1 } { \alpha n + n - 1 } + 1 \right) ^ { n } - 1 \right) + 1 \right) } { n + 1 } .
\begin{array} { r } { C _ { \nu , \rho , \sigma } ( d ) = \sigma ^ { 2 } { \frac { 2 ^ { 1 - \nu } } { \Gamma ( \ensuremath { \boldsymbol \nu } ) } } \left( \sqrt { 2 \nu } { \frac { d } { \rho } } \right) ^ { \nu } K _ { \nu } \left( \sqrt { 2 \nu } { \frac { d } { \rho } } \right) , } \end{array}
\boldsymbol { \hat { T } _ { q } } = \boldsymbol { R } \boldsymbol { B } \boldsymbol { P _ { f f } } { \boldsymbol { H } } ^ { * } \left( \boldsymbol { H } \boldsymbol { P _ { f f } } { \boldsymbol { H } } ^ { * } + \boldsymbol { P _ { n n } } \right) ^ { - 1 } \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \rho } { \partial t } } & { { } + } & { d i v ( \rho \mathbf { u } ) = 0 } \\ { \frac { \partial \rho \mathbf { u } } { \partial t } } & { { } + } & { \mathbf { d i v } ( \rho \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } ) = - \mathbf { g r a d } p + \mathbf { d i v } \overline { { \overline { { \tau } } } } + \mathbf { f } } \\ { \frac { \partial \rho ( e + \mathbf { u } \cdot \mathbf { u } / 2 ) } { \partial t } } & { { } + } & { d i v ( \rho \, ( e + \mathbf { u } \cdot \mathbf { u } / 2 ) \, \mathbf { u } ) = } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { t } ^ { \prime } } & { = 0 , \; p _ { x } ^ { \prime } = 0 , \; p _ { v } ^ { \prime } = - p _ { x } \left( v p _ { x } + a p _ { v } + p _ { t } \right) , \; p _ { a } ^ { \prime } = - p _ { v } \left( v p _ { x } + a p _ { v } + p _ { t } \right) , } \\ { t ^ { \prime } } & { = v p _ { x } + a p _ { v } + p _ { t } , \; x ^ { \prime } = v \left( v p _ { x } + a p _ { v } + p _ { t } \right) , \; v ^ { \prime } = a \left( v p _ { x } + a p _ { v } + p _ { t } \right) , \; a ^ { \prime } = p _ { a } . } \end{array}
\begin{array} { l c l c c r c l } { { \epsilon _ { V } ^ { + } } } & { { = } } & { { ( } } & { { 0 , } } & { { 1 , } } & { { i , } } & { { 0 } } & { { ) / \sqrt { 2 } ~ , } } \\ { { \epsilon _ { V } ^ { - } } } & { { = } } & { { ( } } & { { 0 , } } & { { 1 , } } & { { - i , } } & { { 0 } } & { { ) / \sqrt { 2 } ~ , } } \\ { { \epsilon _ { V } ^ { 0 } } } & { { = } } & { { ( } } & { { \frac { \sqrt { \lambda } } { m _ { B } } , } } & { { 0 , } } & { { 0 , } } & { { \sqrt { \frac { \lambda } { m _ { B } ^ { 2 } } + p ^ { 2 } } } } & { { ) / p ~ , } } \\ { { \epsilon _ { \gamma } ^ { + } } } & { { = } } & { { ( } } & { { 0 , } } & { { 1 , } } & { { - i , } } & { { 0 } } & { { ) / \sqrt { 2 } ~ , } } \\ { { \epsilon _ { \gamma } ^ { - } } } & { { = } } & { { ( } } & { { 0 , } } & { { 1 , } } & { { + i , } } & { { 0 } } & { { ) / \sqrt { 2 } ~ , } } \\ { { \epsilon _ { \gamma } ^ { 0 } } } & { { = } } & { { ( } } & { { \frac { \sqrt { \lambda } } { m _ { B } } , } } & { { 0 , } } & { { 0 , } } & { { - \sqrt { \frac { \lambda } { m _ { B } ^ { 2 } } + l ^ { 2 } } } } & { { ) / l ~ . } } \end{array}
R _ { 0 } = { \frac { \kappa S _ { 1 } } { \sqrt { ( H _ { F } ^ { 2 } - H _ { T } ^ { 2 } + ( \kappa S _ { 1 } / 2 ) ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } H _ { T } ^ { 2 } S _ { 1 } ^ { 2 } } } } ,
\begin{array} { r l } { N } & { { } = - \frac { \partial \Omega } { \partial \mu } , } \\ { S } & { { } = \beta ^ { 2 } \frac { \partial \Omega } { \partial \beta } , } \\ { E } & { { } = \Omega + \mu N + \frac { 1 } { \beta } S . } \end{array}
{ \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( 1 - \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } ) \{ a _ { 1 } + a _ { 2 } \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } \} = { \frac { a _ { 1 } + a _ { 2 } } { \sqrt { 2 } } } + { \frac { - a _ { 1 } + a _ { 2 } } { \sqrt { 2 } } } \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 }
\begin{array} { r l r } { V _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } & { { } = } & { \sum _ { i , j } \left( \frac { \omega _ { P } ^ { 2 } } { 2 } \delta _ { i j } + 2 \pi Z _ { p } ^ { 2 } \frac { k _ { i } k _ { j } } { k ^ { 2 } } \right) P _ { i } P _ { j } } \end{array}
{ \cal { O } } \equiv \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \frac { \frac { T e r m s \ i n \ E q . ( ) } { r ^ { 3 } } } { \frac { \overline { { ( \delta u ) ^ { 2 } } } ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } } = \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } r \cdot \frac { T e r m s \ i n \ E q . ( ) } { \overline { { ( \delta u ) ^ { 2 } } } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { m w } } ( t ) } & { { } = \frac { \mu _ { B } } { \hbar } \left( g _ { I } \hat { \mathbf { I } } + g _ { J } \hat { \mathbf { J } } \right) \cdot \mathbf { B } _ { \mathrm { m w } } ( t ) , } \end{array}
r ( \omega ) = - \frac { r _ { 1 } + e ^ { 2 i k n _ { 1 } l _ { 1 } } } { 1 + r _ { 1 } e ^ { 2 i k n _ { 1 } l _ { 1 } } } \approx - \frac { r _ { 1 } + e ^ { 2 i \omega / c n _ { 1 } l _ { 1 } } } { 2 i n _ { 1 } l _ { 1 } \left( \omega - \omega _ { 1 } \right) / c } .
W _ { l o o p } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } { X _ { i } ^ { a _ { i } } X _ { i + 1 } } W _ { l o o p } = X _ { 1 } ^ { a _ { 1 } } X _ { 2 } + \cdots + X _ { n } ^ { a _ { n } } X _ { 1 } .
\left\{ \begin{array} { l l } { S _ { \mathrm { l } } ( x ) = \xi _ { \mathrm { l } } S _ { \mathrm { 0 } } \left[ ( 1 - \eta _ { \mathrm { l } } ) \exp { \left( \frac { - x } { \lambda } \right) } + \eta _ { \mathrm { r } } \exp { \left( \frac { - 2 L + x } { \lambda } \right) } \right] } \\ { S _ { \mathrm { r } } ( x ) = \xi _ { \mathrm { r } } S _ { \mathrm { 0 } } \left[ ( 1 - \eta _ { \mathrm { r } } ) \exp { \left( \frac { - L + x } { \lambda } \right) } + \eta _ { \mathrm { l } } \exp { \left( \frac { - L - x } { \lambda } \right) } \right] \ . } \end{array} \right.
- \hat { \tau } _ { 3 } { \cal D } ^ { \mu \rho } \hat { \Delta } _ { \rho \nu } ( x , y ) = - \hat { \Delta } ^ { \mu \rho } ( x , y ) { \cal D } _ { \rho \nu } \hat { \tau } _ { 3 } = \delta _ { \; \; \nu } ^ { \mu } \delta ^ { \, 4 } ( x - y ) \, ,
f ( s , t ) = { \frac { k _ { + } } { 4 \pi k _ { 0 } } } ~ { \delta ( k _ { + } - p _ { + } ) } { \frac { \Gamma ( 1 - i e e ^ { \prime } ) } { \Gamma ( i e e ^ { \prime } ) } } \left( \frac { 4 } { - t } \right) ^ { 1 - i e e ^ { \prime } } ~ ~ .
\mathbf { A } : = ( A _ { j p \alpha } ) _ { p , j \alpha } = \left( \begin{array} { l l l l } { A _ { 1 1 ( n _ { 0 } + 1 ) } } & { A _ { 1 1 ( n _ { 0 } + 2 ) } } & { \cdots } & { A _ { r 1 n } } \\ { A _ { 1 2 ( n _ { 0 } + 1 ) } } & { A _ { 1 1 ( n _ { 0 } + 2 ) } } & { \cdots } & { A _ { r 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { A _ { 1 N _ { 1 } ( n _ { 0 } + 1 ) } } & { A _ { 1 N _ { 1 } ( n _ { 0 } + 2 ) } } & { \cdots } & { A _ { r N _ { 1 } n } } \end{array} \right) _ { N _ { 1 } \times r ( n - n _ { 0 } ) }
\frac { \partial \overline { { \rho } } \epsilon } { \partial t } + \frac { \partial \overline { { \rho } } \widetilde { u _ { j } } \epsilon } { \partial x _ { j } } = \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \left[ \left( \mu + \frac { \mu _ { t } } { \sigma _ { \epsilon } } \right) \frac { \partial \epsilon } { \partial x _ { i } } \right] + C _ { \epsilon 1 } \frac { \epsilon } { \kappa } P _ { \kappa } - C _ { \epsilon 2 } \overline { { \rho } } \frac { \epsilon ^ { 2 } } { \kappa } P _ { \kappa }
E _ { 0 0 } ^ { \mathrm { ~ T ~ M ~ , ~ ( ~ i ~ n ~ ) ~ } } = \frac { Y _ { 0 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ i ~ n ~ ) ~ } } - \alpha _ { 1 0 } ^ { \mathrm { ~ T ~ E ~ , ~ ( ~ R ~ W ~ G ~ ) ~ } } Y _ { 1 0 } ^ { \mathrm { ~ T ~ E ~ } , \mathrm { ~ ( ~ R ~ W ~ G ~ ) ~ } } - Y _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } ^ { \mathrm { ~ I ~ } } } { Y _ { 0 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ i ~ n ~ ) ~ } } + \alpha _ { 1 0 } ^ { \mathrm { ~ T ~ E ~ , ~ ( ~ R ~ W ~ G ~ ) ~ } } Y _ { 1 0 } ^ { \mathrm { ~ T ~ E ~ } , \mathrm { ~ ( ~ R ~ W ~ G ~ ) ~ } } + Y _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } ^ { \mathrm { ~ I ~ } } }
\begin{array} { r } { I _ { \mathrm { ~ R ~ a ~ m ~ a ~ n ~ } } ( \omega _ { s } ) \propto \omega _ { I } \omega _ { s } ^ { 3 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { - j ( \omega _ { I } - \omega _ { s } ) t } \left\langle \left( \widehat { \mathcal { P } } ^ { \dagger } ( \omega _ { I } ) + \widehat { \mathcal { P } } ^ { N R T \dagger } ( \omega _ { I } ) \right) e ^ { j \frac { \widehat { H _ { a } } } { \hbar } t } \left( \widehat { \mathcal { P } } ( \omega _ { I } ) + \widehat { \mathcal { P } } ^ { N R T } ( \omega _ { I } ) \right) e ^ { - j \frac { \widehat { H _ { a } } } { \hbar } t } \right\rangle _ { \rho } d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ( \omega ) = } & { { } H ( \omega ) \times g ( \omega ) } \\ { = } & { { } \exp \left( i \{ \Lambda ( \tau \tau _ { 0 } ) ^ { 2 } ( \omega - \Omega ) ^ { 2 } + t _ { 0 } ( \omega - \Omega ) - [ \varphi - \Omega t _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \arg ( 1 + i 2 \Lambda \tau ^ { 2 } ) ] \} \right) } \end{array}
| \tilde { B } ^ { 0 } ( t ) > = e ^ { - i m _ { B } t } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { B } t } ( \cos ( \frac { 1 } { 2 } \Delta m _ { B } t ) | \tilde { B } ^ { 0 } > + \frac { i p } { q } \sin ( \frac { 1 } { 2 } \Delta m _ { B } t ) | B ^ { 0 } > ) \, ,
\gamma _ { \partial S } ^ { ( n ) } = \oint _ { \partial S } \mathcal { A } ^ { ( n ) } ( \mathbf { k } ) \cdot d \mathbf { k } = \int _ { S } { \mathbf { \Omega } ^ { ( n ) } } ( \mathbf { k } ) \cdot d \mathbf { S } ,
\frac { \partial { { U } _ { i } } } { \partial t } = - \frac { \partial } { \partial { { x } _ { j } } } \left( { { u } _ { j } } { { U } _ { i } } \right) + \frac { \partial { { \tau } _ { i j } } } { \partial { { x } _ { j } } } - \frac { \partial p } { \partial { { x } _ { i } } } - { { Q } _ { i } }
p \left( \boldsymbol { \mathcal { O } } \mid { \bf X } \right) = \prod _ { i } p \left( \boldsymbol { O } _ { i } \mid \boldsymbol { x } _ { i } \right) = \prod _ { i } \prod _ { o _ { i } \in \boldsymbol { O } _ { i } } p \left( O _ { i } ^ { \tau _ { o _ { i } } } \mid \boldsymbol { x } _ { i } \right) ,
{ \begin{array} { r l } { 4 \Phi _ { 5 } ( z ) } & { = 4 ( z ^ { 4 } + z ^ { 3 } + z ^ { 2 } + z + 1 ) } \\ & { = ( 2 z ^ { 2 } + z + 2 ) ^ { 2 } - 5 z ^ { 2 } } \\ { 4 \Phi _ { 7 } ( z ) } & { = 4 ( z ^ { 6 } + z ^ { 5 } + z ^ { 4 } + z ^ { 3 } + z ^ { 2 } + z + 1 ) } \\ & { = ( 2 z ^ { 3 } + z ^ { 2 } - z - 2 ) ^ { 2 } + 7 z ^ { 2 } ( z + 1 ) ^ { 2 } } \\ { 4 \Phi _ { 1 1 } ( z ) } & { = 4 ( z ^ { 1 0 } + z ^ { 9 } + z ^ { 8 } + z ^ { 7 } + z ^ { 6 } + z ^ { 5 } + z ^ { 4 } + z ^ { 3 } + z ^ { 2 } + z + 1 ) } \\ & { = ( 2 z ^ { 5 } + z ^ { 4 } - 2 z ^ { 3 } + 2 z ^ { 2 } - z - 2 ) ^ { 2 } + 1 1 z ^ { 2 } ( z ^ { 3 } + 1 ) ^ { 2 } } \end{array} }
{ \frac { \mathrm { d } \mathbf { P } } { \mathrm { d } t } } = { \frac { \partial L } { \partial \mathbf { r } } } = q { \frac { \partial \mathbf { A } } { \partial \mathbf { r } } } \cdot { \dot { \mathbf { r } } } - q { \frac { \partial \phi } { \partial \mathbf { r } } } \,
\hat { H } _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } = \frac { 1 } { 2 } \hat { p } _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \omega _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \left( \hat { q } _ { \mathrm { c } } + \sqrt { \frac { 2 } { \hbar \omega _ { \mathrm { c } } } } \eta \hat { \mu } \right) ^ { 2 } .
{ \cal M } ^ { ( 1 ) } = { \cal M } ^ { \mathrm { B o r n } } \left\{ 1 + C _ { F } \frac { g _ { s } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \left( - \frac { 1 } { 2 } \log ^ { 2 } \frac { s } { \lambda ^ { 2 } } + 2 \log \frac { s } { \lambda ^ { 2 } } - 8 + 2 \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } \right) \right\}
\begin{array} { r l } { \pi } & { \leq \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1 - p ^ { 2 } } \sqrt { 2 - p ^ { 2 } } \int _ { \mathrm { a m } ( r \alpha , p ) } ^ { \mathrm { a m } ( r \beta , p ) } \frac { \sqrt { 1 - p ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \theta ) } } { 1 - p ^ { 2 } ( 2 - p ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } ( \theta ) } \, d \theta } \\ & { < \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1 - p ^ { 2 } } \sqrt { 2 - p ^ { 2 } } \int _ { \mathrm { a m } ( r \alpha ^ { \prime } , p ) } ^ { \mathrm { a m } ( r \beta ^ { \prime } , p ) } \frac { \sqrt { 1 - p ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \theta ) } } { 1 - p ^ { 2 } ( 2 - p ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } ( \theta ) } \, d \theta = \widetilde { m } \pi } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { n , i } ^ { \lambda \; * } ( \rho ^ { * } ) = G _ { n , 0 } ^ { \lambda \; * } \binom { n } { i } \prod _ { j = 0 } ^ { i - 1 } [ \lambda j + \rho ^ { * } ] \quad \forall i \in \lbrace 1 , \dots , n \rbrace \; , } \end{array}
\hat { C } _ { i } = \sqrt { \Gamma \frac { \Omega _ { i } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { i } ^ { 2 } } } \left[ \Sigma _ { 1 , i } ^ { \dag } \hat { \mathcal { R } } + e ^ { i \phi _ { i } } \Sigma _ { - 1 , i } ^ { \dag } \hat { \mathcal { R } } ^ { \dag } \right]
\begin{array} { r l } { \phi _ { S } ( A ^ { k } ) } & { = \frac { \langle \mathbf { 1 } _ { S } , D _ { w } A ^ { k } D _ { w } \mathbf { 1 } _ { \overline { { S } } } \rangle } { \langle \mathbf { 1 } _ { S } , D _ { w } D _ { w } \mathbf { 1 } \rangle } } \\ & { = \frac { \sum _ { i \in S , j \in \overline { { S } } } A ^ { k } ( i , j ) \cdot w _ { i } \cdot w _ { j } } { \sum _ { i \in S } w _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { \sum _ { i \in S , j \in \overline { { S } } } \left( w \cdot w ^ { T } ( i , j ) + B ^ { k } ( i , j ) \right) \cdot w _ { i } \cdot w _ { j } } { \sum _ { i \in S } w _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { \geq \frac { \sum _ { i \in S , j \in \overline { { S } } } \left( w _ { i } \cdot w _ { j } - \epsilon \right) \cdot w _ { i } \cdot w _ { j } } { \sum _ { i \in S } w _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { \geq ( 1 - c ) \frac { \sum _ { i \in S } w _ { i } ^ { 2 } \sum _ { j \in \overline { { S } } } w _ { j } ^ { 2 } } { \sum _ { i \in S } w _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 } ( 1 - c ) } \end{array}
\int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } d t \left[ \frac { d \mathrm { \bf ~ r } } { d t } \cdot \nabla \chi ( \mathrm { { \bf ~ r } , t } ) + \frac { \partial \chi ( \mathrm { { \bf ~ r } , t } ) } { \partial t } \right] = \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } \frac { d \chi ( \mathrm { { \bf ~ r } , t } ) } { d t } d t = \chi ( \mathrm { \bf ~ r } _ { f } , t _ { f } ) - \chi ( \mathrm { \bf ~ r } _ { i } , t _ { i } ) \; ,
\begin{array} { r l } { r ^ { - 2 + \epsilon } } & { ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { 1 + \epsilon } | r \widehat { \phi } | ^ { 2 } ( \tau , r , \theta , \widetilde { \varphi } ) = \int _ { 1 } ^ { r } \widetilde { X } ( r ^ { - 2 + \epsilon } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { 1 + \epsilon } | r \widehat { \phi } | ^ { 2 } ) ( \tau , r ^ { \prime } , \theta , \widetilde { \varphi } ) \, d r ^ { \prime } } \\ { \leq } & { \: \int _ { 1 } ^ { r } ( 2 r ^ { - 2 + \epsilon } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { 1 + \epsilon } | r \widehat { \phi } | | \widetilde { X } ( r \widehat { \phi } ) | + ( 1 + \epsilon ) r ^ { - 4 + \epsilon } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { \epsilon } | \widehat { \phi } | ^ { 2 } ) ( \tau , r ^ { \prime } , \theta , \widetilde { \varphi } ) \, d r ^ { \prime } } \\ { \leq } & { \: C \int _ { r } ^ { \infty } ( r ^ { - 3 + \epsilon } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { \epsilon } | r \widehat { \phi } | ^ { 2 } + r ^ { - 1 + \epsilon } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { 2 + \epsilon } | \widetilde { X } ( r \widehat { \phi } ) | ^ { 2 } ) ( \tau , r ^ { \prime } , \theta , \widetilde { \varphi } ) \, d r ^ { \prime } . } \end{array}
{ \tau } _ { \mathrm { R i n d l e r } } ^ { p \to n } = \frac { \pi ^ { 2 } a e ^ { \pi \frac { \Delta m } { a } } } { G _ { F } ^ { 2 } m _ { e } } \left[ \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d { \omega _ { R } } \frac { K _ { i \frac { { \omega _ { R } } } { a } + \frac { 1 } { 2 } } ( m _ { e } / a ) K _ { i \frac { { \omega _ { R } } } { a } - \frac { 1 } { 2 } } ( m _ { e } / a ) } { \cosh [ \pi ( { \omega _ { R } } - { \Delta m } ) / a ] } \right] ^ { - 1 } \, .
\begin{array} { r } { \psi _ { 0 } ( x ) = e ^ { i \pi / 4 } \exp \Big ( - \frac { ( x - \delta ) ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } \Big ) + e ^ { - i \pi / 4 } \exp \Big ( - \frac { ( x + \delta ) ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } \Big ) , } \end{array}
\rho ( z _ { 1 } ; \sigma _ { 1 } | z _ { 2 } ; \sigma _ { 2 } ) = 4 \pi ^ { 2 } \left[ d ( z _ { 1 } ; \sigma _ { 1 } | z _ { 2 } ; \sigma _ { 2 } ) - x ( z _ { 1 } ; \sigma _ { 1 } | z _ { 2 } ; \sigma _ { 2 } ) \right] \, ,
\begin{array} { r } { \textrm { p H } ( r \geq R ) = - \log _ { 1 0 } { [ \textrm { H } ^ { + } ] _ { 0 } } + \beta e _ { 0 } ~ \log _ { 1 0 } { e } ~ B \frac { \exp ( - \kappa _ { D } r ) } { r } } \end{array}
\implies \hat { \tau } = \left( \begin{array} { l l l l } { - \frac { 1 } { 4 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { 4 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { 4 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { 1 } { 4 } } \end{array} \right) \mathrm { ~ . ~ }
\sum _ { j \in J _ { n } } K _ { Z , M } ( x _ { j } ^ { n } , I _ { j } ^ { n } ) = \sum _ { j \in J _ { n } } \nu _ { M } ( [ a _ { j } ^ { n } , x _ { j } ^ { n } ] ) = \sum _ { j \in J _ { n } } \nu _ { M } ( I _ { j } ^ { n } ) - \nu _ { M } ( I _ { j } ^ { n } \cap ( x _ { j } ^ { n } , b _ { j } ^ { n } ] ) \xrightarrow [ n \to \infty ] \nu _ { M } ( D ) .
{ \frac { d N _ { \nu } } { d y \, d S } } \Bigm | _ { \theta \simeq 0 } \simeq { \frac { E _ { \mu } ^ { 2 } \; n _ { \mu } } { \pi \, m _ { \mu } ^ { 2 } \, L ^ { 2 } } } \; F _ { \nu } ( y ) \; .