harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sum _ { \alpha \beta } ( \mathbf { R } _ { { \mathbf G } , \mathrm { a } } ) _ { i \alpha , j \beta } } & { { } = \mathbf { R } _ { i j } } \\ { \sum _ { \alpha \beta } ( \mathbf { N } _ { \mathbf { G } , \mathrm { a } } ) _ { i \alpha , j \beta } } & { { } = \mathbf { N } _ { i j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ ( x ( v ) ) ^ { - 1 } ] D _ { I } \frac { \hat { P } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ( v ) , x ( z ) ) } { P _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) , x ( z ) ) } } & { = \lambda \sum _ { k = 0 } ^ { d } W _ { | I | + 1 } ^ { ( 1 ) } ( \hat { z } ^ { k } ; I ) + D _ { I } ^ { 0 } \frac { \lambda ^ { 2 } } { 8 ( x ( z ) - x ( 0 ) ) ^ { 3 } } } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { | I | } D _ { I \setminus u _ { j } } \Big \{ \frac { \lambda ^ { 3 } \Omega _ { 2 } ^ { ( 0 ) r e g } ( u _ { j } , u _ { j } ) } { ( x ( z ) + y ( u _ { j } ) ) ^ { 3 } } - \frac { \lambda ^ { 2 } W _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( u _ { j } ) } { ( x ( z ) + y ( u _ { j } ) ) ^ { 2 } } } \\ & { \qquad - \frac { \lambda ^ { 3 } } { 2 ( x ( z ) + y ( u _ { j } ) ) ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial ( x ( u _ { j } ) ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { ( x ( z ) + y ( u _ { j } ) ) } \Big \} } \end{array}
g _ { e g } ( \omega ) \approx g _ { e g } ( \omega _ { 0 } ) \! = \! \sqrt { \frac { \gamma _ { e g } } { 4 \pi } } , \ g _ { e s } ( \omega ) \approx g _ { e s } ( \omega _ { 0 } ) \! = \! \sqrt { \frac { \gamma _ { e s } } { 4 \pi } } ,
S ^ { i } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { \sigma ^ { i } ~ } } & { { ~ 0 } } \\ { { 0 ~ } } & { { ~ \sigma ^ { i } } } \end{array} \right) = { \frac { 1 } { 2 } } \, \gamma _ { 5 } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { i } \, ,
\begin{array} { r l } & { \left| \partial _ { s } S ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) \right| = \operatorname* { m i n } \left\{ \left| \partial _ { s } S ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) \right| \right\} , } \\ { \Leftrightarrow \ } & { \left| - \omega _ { g } ^ { \textbf { k } _ { l } } + \textbf { F } ( s ) \cdot \left[ \Delta \textbf { r } ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) - \textbf { D } _ { \mu } ^ { \textbf { k } _ { l } + \textbf { A } ( t _ { r } ) - \textbf { A } ( s ) } \right] \right| = \operatorname* { m i n } \left\{ \left| \partial _ { s } S ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) \right| \right\} . } \end{array}
( \partial _ { t t } - c ^ { 2 } \Delta ) p ( \mathbf { x } , t ) = 0 , \, \, p ( \mathbf { x } , t _ { 0 } ) = x ( \mathbf { x } ) , \, \, \partial _ { t } p ( \mathbf { x } , t _ { 0 } ) = 0 ,
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } [ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { Q } _ { t } } ) ] } & { \leq } & { ( 2 L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) ( C \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) ) + 2 \sqrt { 2 C _ { 0 } } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } } \\ & { \leq } & { C \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } + C \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) \leq C \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K ^ { \epsilon } v } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \; e ^ { - t H ^ { \epsilon } } G _ { + } v = \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \; e ^ { - t H } G _ { + } v } \\ & { \qquad \qquad + \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \; \int _ { t _ { 1 } + t _ { 2 } = t , \; t _ { 1 } , \; t _ { 2 } > 0 } d t _ { 1 } d t _ { 2 } \; e ^ { - t _ { 1 } H } \{ G _ { + } , [ G _ { - } , \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , \cdot ) ] \} e ^ { - t _ { 2 } H } G _ { + } v + \mathcal { O } ( { \epsilon } ^ { 2 } ) } \\ & { = K v + \int _ { ( \mathbb { R } ^ { + } ) ^ { 2 } } d t _ { 1 } d t _ { 2 } \; e ^ { - t _ { 1 } H } G _ { + } [ G _ { - } , \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , \cdot ) ] e ^ { - t _ { 2 } H } G _ { + } v + \mathcal { O } ( { \epsilon } ^ { 2 } ) } \\ & { = K v + K [ G _ { - } , \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , \cdot ) ] K v + \mathcal { O } ( { \epsilon } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( \mathrm { \boldmath { ~ f ~ } } ( t ) , \mathrm { \boldmath { ~ v ~ } } ) _ { V } = ( \mathrm { \boldmath { ~ f ~ } } _ { 0 } ( t ) , \mathrm { \boldmath { ~ v ~ } } ) _ { H } + ( \mathrm { \boldmath { ~ f ~ } } _ { 2 } ( t ) , \mathrm { \boldmath { ~ v ~ } } ) _ { L ^ { 2 } ( \Gamma _ { 2 } ) } , \qquad \forall \mathrm { \boldmath { ~ v ~ } } \in V . } \end{array}
k ^ { \mu } \equiv \left( \frac { d t } { d \lambda } , \frac { d r } { d \lambda } , 0 , 0 \right) = \left( e ^ { - 2 \psi } , e ^ { - \psi } \sqrt { 1 - \frac { b ( r ) } { r } } , 0 , 0 \right)
H _ { A F } ^ { \sigma _ { + } - \sigma _ { - } } \approx \Omega _ { i } \left[ \left( \Sigma _ { 1 } ^ { \dag } + e ^ { i \phi _ { 1 } } \Sigma _ { - 1 } ^ { \dag } \right) + i k \hat { z } \left( \Sigma _ { 1 } ^ { \dag } - e ^ { i \phi _ { 1 } } \Sigma _ { - 1 } ^ { \dag } \right) \right]
{ q } _ { 2 } = { q } _ { 1 } D _ { 3 } , { q } _ { 3 } = q _ { 1 } D _ { 3 1 } , { q } _ { 3 ^ { \prime } } = q _ { 1 ^ { \prime } } D _ { 2 ^ { \prime } } , { q } _ { 2 ^ { \prime } } = q _ { 1 ^ { \prime } } D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } .
\frac { \mu - U _ { \mathrm { p , v } } } { k _ { \mathrm { B } } T } = \ln \bigg ( \frac { \phi _ { \mathrm { v } } } { 1 - b _ { 0 } \phi _ { \mathrm { v } } } \bigg ) + \frac { b _ { 0 } \phi _ { \mathrm { v } } } { 1 - b _ { 0 } \phi _ { \mathrm { v } } } - \ln ( 2 \pi ) + 1 .
\begin{array} { r l } { k \sum _ { i = 1 } ^ { L } R _ { i } } & { \geq \sum _ { i } ^ { L } H ( C _ { i } ) \geq H ( C _ { \mathcal { L } } ) } \\ & { = I ( X _ { 1 } ^ { k } , X _ { 2 } ^ { k } \cdots , X _ { L } ^ { k } ; C _ { \mathcal { L } } ) } \\ & { = I ( X _ { 1 } ^ { k } ; C _ { \mathcal { L } } ) + I ( X _ { 2 } ^ { k } , \cdots , X _ { L } ^ { k } ; C _ { \mathcal { L } } | X _ { 1 } ^ { k } ) } \\ & { \geq I ( X _ { 1 } ^ { k } , \hat { X } _ { 1 } ^ { k } ) + I ( X _ { 2 } ^ { k } , \cdots , X _ { L } ^ { k } : C _ { \mathcal { L } } , X _ { 1 } ^ { k } ) - I ( X _ { 2 } ^ { k } , \cdots , X _ { L } ^ { k } ; X _ { 1 } ^ { k } ) } \\ & { \geq \sum _ { i = 1 } ^ { L } \left( I ( X _ { i } ^ { k } , \hat { X } _ { i } ^ { k } ) - I ( X _ { i } ^ { k } ; X _ { i + 1 } ^ { k } , \cdots , X _ { L } ^ { k } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { C } + \frac { \xi } { 2 } \partial _ { \xi } \mathbf { C } - \mathrm { P e } ^ { 2 } \partial _ { \xi } \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathbf { D } ( \mathbf { C } ) ^ { - 1 } \partial _ { \xi } \mathbf { C } + \partial _ { \xi } \mathbf { D } ( \mathbf { C } ) \partial _ { \xi } \mathbf { C } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f ( x ) } & { = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { i p x } \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - i p \alpha } f ( \alpha ) \, d \alpha \right) \, d p } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { i p x } e ^ { - i p \alpha } \, d p \right) f ( \alpha ) \, d \alpha = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \delta ( x - \alpha ) f ( \alpha ) \, d \alpha , } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac { d \psi _ { \omega } ^ { \scriptscriptstyle ( > ) } } { d r _ { * } } \bigg | _ { r _ { * } = 0 ^ { + } } = - \frac { d \psi _ { \omega } ^ { \scriptscriptstyle ( < ) } } { d r _ { * } } \bigg | _ { r _ { * } = 0 ^ { - } } = - \frac { \sqrt { \pi } 2 ^ { 1 + i \omega } \Gamma ( 1 - i \omega ) } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 4 } - \frac { i \omega } { 2 } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \footnotesize \left\{ \begin{array} { l l } & { \operatorname* { P r } [ S ( t + \Delta t ) = i | S ( t ) = i ] = 1 - \sum _ { k \neq i } w _ { k i } \Delta t + o ( \Delta t ) } \\ & { \operatorname* { P r } [ S ( t + \Delta t ) = j | S ( t ) = i ] = w _ { j i } \Delta t + o ( \Delta t ) } \\ & { \operatorname* { P r } [ S ( t + \Delta t ) = j , S ( t + 2 \Delta t ) = k | S ( t ) = i ] = o ( \Delta t ) , ~ ~ \forall k } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \eta _ { b _ { 1 } } } ^ { \eta _ { b _ { 2 } } } \sqrt { \kappa ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } ( \eta / 2 ) } \, \mathrm { ~ d ~ } \eta = 4 E ( \kappa ^ { 2 } ) + 4 ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) K ( \kappa ^ { 2 } ) , } \end{array}
J ^ { \mathrm { L L } } ( \phi _ { B } ) = { \frac { \lambda _ { o } \phi _ { B } ^ { 3 } } { 1 + { \frac { 9 \lambda _ { o } } { 8 \pi ^ { 2 } } } \ln { \frac { \pi x _ { \mathrm { L L } } } { a | \phi _ { B } | } } } }
\begin{array} { r l } { T ^ { 2 } ( \vec { C } ) \cdot T ^ { 2 } ( \vec { I } , \vec { s } ) } & { { } = \sum _ { p = - 2 } ^ { p = + 2 } ( - 1 ) ^ { p } T _ { p } ^ { 2 } ( \vec { C } ) T _ { - p } ^ { 2 } ( \vec { I } , \vec { s } ) , } \\ { T _ { p } ^ { 2 } ( \vec { C } ) } & { { } = C _ { p } ^ { 2 } ( \theta , \phi ) , } \end{array}
\mathrm { d i a m } ( { \mathscr { D } _ { \mu } ( M ) } ) : = \operatorname* { s u p } _ { \varphi _ { 0 } , \varphi _ { 1 } \in { \mathscr { D } _ { \mu } ( M ) } } \mathrm { d i s t } _ { { \mathscr { D } _ { \mu } ( M ) } } ( \varphi _ { 0 } , \varphi _ { 1 } ) .
\frac { \Delta m _ { K } } { m _ { K } } \approx \frac { G _ { F } ^ { 2 } f _ { K } ^ { 2 } B _ { K } } { 6 \pi ^ { 2 } } \left| V _ { c s } V _ { c d } \right| ^ { 2 } m _ { c } ^ { 2 } = 7 \cdot 1 0 ^ { - 1 5 }
\begin{array} { r } { [ \nabla _ { { \boldsymbol { \kappa } } } ^ { 2 } E ] _ { p q r s } = ( 1 - P _ { p q } ) ( 1 - P _ { r s } ) \left[ 2 \gamma _ { p r } h _ { q s } - ( F _ { p r } + F _ { r p } ) \delta _ { q s } + 2 Y _ { p q r s } \right] , } \end{array}
I _ { B } = \frac { 1 } { \widetilde C _ { B } } ( - 1 ) ^ { \frac { S - \widetilde { S } } { 2 } } \: \sum _ { m _ { j } ^ { \prime } = 0 } ^ { 2 k _ { j } + 3 } \delta _ { \frac { M - \widetilde { M } } { 2 } + \sum \frac { K ^ { \prime } ( m _ { j } ^ { \prime } + 1 ) } { 2 k _ { j } + 4 } } ^ { ( K ^ { \prime } ) } \prod _ { j = 1 } ^ { r } \: n _ { L _ { j } \widetilde { L } _ { j } } ^ { - m _ { j } ^ { \prime } - 1 } \: ,
k _ { 0 } = \sqrt { \left( \frac { w R } { \alpha ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { n } { R } \right) ^ { 2 } + \frac { k ^ { 2 } } { h } + \frac { 2 } { \alpha ^ { \prime } } ( N + \tilde { N } ) } ~ .
\begin{array} { r l r } { \cos { \theta } \cos { \psi } } & { { } = } & { \frac { \xi _ { 1 } \dot { \xi } _ { 2 } - \dot { \xi _ { 1 } } \xi _ { 2 } } { \sqrt { a _ { 2 } ( t ) } } , \quad \; \; \sin { \theta } \cos { \psi } = \frac { \ddot { \xi } _ { 1 } \xi _ { 2 } - \xi _ { 1 } \ddot { \xi _ { 2 } } } { \sqrt { a _ { 2 } ( t ) } } , } \\ { \sin { \psi } } & { { } = } & { - \frac { \dot { \xi } _ { 1 } \ddot { \xi _ { 2 } } - \ddot { \xi } _ { 1 } \dot { \xi _ { 2 } } } { \sqrt { a _ { 2 } ( t ) } } , \quad \theta ( 0 ) = 0 , \quad \psi ( 0 ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \right. } & { \mathcal { O } _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } ( X _ { l } A _ { l } ) \left( \mathcal { O } _ { \mathbf { s } , \mu _ { 2 } , \nu _ { 2 } } ^ { S } ( X _ { l } A _ { l } ) \right) ^ { \dagger } \left. \right\rangle } \\ & { = \sum _ { \sigma , \tau \in S _ { \mathbf { m } } } \delta \left( Q _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } \sigma ^ { - 1 } \right) \delta \left( Q _ { \mathbf { s } , \nu _ { 2 } , \mu _ { 2 } } ^ { S } \tau \right) \langle \mathcal { O } _ { \sigma } ( X _ { l } A _ { l } ) \left( \mathcal { O } _ { \tau } ( X _ { l } A _ { l } ) \right) ^ { \dagger } \rangle } \\ & { = \sum _ { \sigma , \tau , \rho \in S _ { \mathbf { m } } } \sum _ { \gamma \in S _ { m _ { 1 } } \times \dots \times S _ { m _ { l } } } \delta \left( Q _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } \sigma ^ { - 1 } \right) \delta \left( Q _ { \mathbf { s } , \nu _ { 2 } , \mu _ { 2 } } ^ { S } \tau \right) \mathcal { O } _ { \rho } ( B _ { l } ) \delta ( \rho ^ { - 1 } \gamma ^ { - 1 } \sigma \gamma \tau ^ { - 1 } ) } \\ & { = h \delta ^ { R S } \delta _ { \mathbf { r } \mathbf { s } } \delta _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } } \mathcal { O } _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } } ^ { R } ( B _ { l } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { m } ^ { \gamma } ( p _ { m } , p _ { 0 } , s ; V ) = } & { \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { m - 1 } } \int \boldsymbol { 1 } _ { [ 0 , s ] } \big ( \boldsymbol { t } _ { 1 , m - 1 } ^ { + } \big ) \hat { \mathcal { V } } _ { m } ( p _ { m } , p _ { 0 } , \boldsymbol { p } _ { 1 , m - 1 } ) e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \gamma \boldsymbol { t } _ { 1 , m - 1 } ^ { + } } \prod _ { i = 1 } ^ { m - 1 } e ^ { i \frac { 1 } { 2 } t _ { i } ( p _ { i } ^ { 2 } - p _ { 0 } ^ { 2 } ) } \, d \boldsymbol { p } _ { 1 , m - 1 } d \boldsymbol { t } , } \end{array}
\begin{array} { r } { | \mathbb { E } _ { \lambda , p } \! \left[ ( X _ { \tau _ { 1 } } ^ { 1 } ) ^ { 2 } \right] - \mathbb { E } _ { \lambda , 1 } \! \left[ ( X _ { \tau _ { 1 } } ^ { 1 } ) ^ { 2 } \right] | \leq 2 \mathbb { E } _ { \lambda , p } \! \left[ ( \mathcal { U } ( \tau _ { 1 } ) ) ^ { 2 } { \mathrm { \Large ~ \mathfrak ~ 1 ~ } } ( \kappa < \mathcal { U } ( \tau _ { 1 } ) ) \right] . } \end{array}
\partial _ { t } \Pi _ { z } = x \partial _ { t } J _ { y } - y \partial _ { t } J _ { x } = - x \partial _ { j } T _ { j y } + y \partial _ { j } T _ { j x } - x \rho \partial _ { y } ( f _ { y y } ^ { \mathrm { s f } } \frac { V } { m } ) + y \rho \partial _ { x } ( f _ { x x } ^ { \mathrm { s f } } \frac { V } { m } ) .
H ( \beta , \lambda ) = { \frac { c \left( 2 a ^ { 2 } + \left( c ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) \cos ^ { 2 } \beta \right) } { 2 a \left( a ^ { 2 } + \left( c ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) \cos ^ { 2 } \beta \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } . \,
h ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) = - \frac { 5 } { 3 } + \frac { 4 m _ { 1 } ^ { 2 } m _ { 2 } ^ { 2 } } { ( m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + \nonumber \, \frac { ( m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } ) ( m _ { 1 } ^ { 4 } - 4 m _ { 1 } ^ { 2 } m _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 4 } ) } { ( m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \ln \biggl ( \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } } \biggr ) \; \; ,
\begin{array} { r l r } { \widehat { \nabla } _ { C ^ { \prime } } C ^ { \prime } } & { = } & { \widehat { \nabla } _ { \displaystyle ( ^ { H } \! \gamma ^ { \prime } + ^ { T } \! \vartheta ^ { \prime } ) } ( ^ { H } \! \gamma ^ { \prime } + ^ { T } \! \vartheta ^ { \prime } ) } \\ & { = } & { \widehat { \nabla } _ { \displaystyle ^ { H } \gamma ^ { \prime } } ^ { H } \gamma ^ { \prime } + \widehat { \nabla } _ { \displaystyle ^ { H } \! \gamma ^ { \prime } } ^ { T } \! \vartheta ^ { \prime } + \widehat { \nabla } _ { ^ { T } \! \vartheta ^ { \prime } } ^ { H } \! \gamma ^ { \prime } + \widehat { \nabla } _ { ^ { T } \! \vartheta ^ { \prime } } ^ { T } \! \vartheta ^ { \prime } } \\ & { = } & { ^ { H } \! \gamma ^ { \prime \prime } + ^ { T } \! \vartheta ^ { \prime \prime } + ^ { H } \! ( R ( \widetilde { \vartheta } , \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } ) \gamma ^ { \prime } - \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta J ) R ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime } ) ) } \\ & { } & { + 2 \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta J ) ^ { T } \! ( \vartheta ^ { \prime } J ) } \\ & { = } & { ^ { H } \! \gamma ^ { \prime \prime } - ^ { H } \! ( R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime } + \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta J ) R ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime } ) ) } \\ & { } & { + ^ { T } \! \vartheta ^ { \prime \prime } + 2 \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta J ) ^ { T } \! ( \vartheta ^ { \prime } J ) } \\ & { = } & { ^ { H } \! \big ( \gamma ^ { \prime \prime } - \mathcal { R } ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime } \big ) + ^ { T } \! \big ( \vartheta ^ { \prime \prime } + 2 \delta ^ { 2 } \mu \, \vartheta ^ { \prime } J \big ) . } \end{array}
\mathbf { P } ^ { - 1 } ( \mathbf { A B } ) \mathbf { P } = \mathbf { P } ^ { - 1 } \mathbf { A } ( \mathbf { P } \mathbf { P } ^ { - 1 } ) \mathbf { B } \mathbf { P } = ( \mathbf { P } ^ { - 1 } \mathbf { A } \mathbf { P } ) ( \mathbf { P } ^ { - 1 } \mathbf { B } \mathbf { P } ) .
b \beta _ { 0 } \ln \frac { Q ^ { 2 } \rho ^ { 2 } } { 4 } \ll 1 \, \Leftrightarrow b \left( \frac { 1 } { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } - \frac { 1 } { \alpha _ { s } ( 1 / \rho ^ { 2 } ) } \right) \ll 1 \, .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { ~ \operatorname { a r c c o s } ( - \varphi _ r ^ { - 1 } ( \tau ) ) ~ i s ~ c o n t i n u o u s ~ a n d ~ s t r i c t l y ~ i n c r e a s i n g ~ f o r ~ r ~ \le ~ \tau ~ \le ~ 1 ~ } } \\ & { \mathrm { a n d ~ s a t i s f i e s ~ \operatorname { a r c c o s } ( - \varphi _ r ^ { - 1 } ( r ) ) ~ = ~ 0 ~ a n d ~ \operatorname { a r c c o s } ( - \varphi _ r ^ { - 1 } ( 1 ) ) ~ = ~ \pi ~ . } } \end{array}
G ( \epsilon ) = \left[ \begin{array} { l l l } { G _ { 1 } ( \epsilon ) } & { \dots } & { G _ { 1 } ( \epsilon + T - 1 ) } \\ { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { G _ { k } ( \epsilon ) } & { \ddots } & { G _ { k } ( \epsilon + T - 1 ) } \\ { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { G _ { K } ( \epsilon ) } & { \dots } & { G _ { K } ( \epsilon + T - 1 ) } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { d x ^ { \prime } } & { { } = p \ d x - p q \ d t } \\ { d t ^ { \prime } } & { { } = - p q n \ d x + p \ d t } \\ { p } & { { } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - q ^ { 2 } n } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } [ \hat { Z } _ { g , t + 1 } ^ { 2 } - \hat { Z } _ { g , t } ^ { 2 } ] \leq \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { m a x } [ ( \frac { \eta _ { g } } { R _ { g } } ) ^ { 2 } , \hat { x } _ { g , m a x } ^ { 2 } ] } \\ { + \hat { Z } _ { g , t } [ \frac { \eta _ { g } } { R _ { g } } - \hat { x } _ { g , t } ] . } \end{array}
\iint \left( \frac { \partial \psi } { \partial x } \frac { \partial \varphi } { \partial y } - \frac { \partial \psi } { \partial y } \frac { \partial \varphi } { \partial x } \right) d x d y = \oint \psi \left( \frac { \partial \varphi } { \partial x } d x + \frac { \partial \varphi } { \partial y } d y \right) .
\begin{array} { r l } { \Delta \nu _ { \mathrm { ~ 1 ~ , ~ A ~ } } ( t ) \simeq } & { { } 2 \eta ( t ) } \\ { \Delta \nu _ { \mathrm { ~ 2 ~ , ~ A ~ } } ( t ) \simeq } & { { } 2 \eta ( t ) \, . } \end{array}
m _ { \gamma } ^ { b } = - \frac { n } { 4 } + \frac { m _ { b 2 } } { 2 } + \frac { l _ { b 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( \frac { n } { \pi } \theta _ { a b } - 2 j _ { \gamma } ) + 2 ( 2 \kappa ^ { 1 } - \nu ^ { 0 } + \nu ^ { 1 } + \nu ^ { 4 } - \nu ^ { 5 } )
P _ { d } = A _ { 1 } \exp [ - ( n - n _ { 1 } ) ^ { 2 } / 2 \sigma _ { 1 } ^ { 2 } ] + A _ { 2 } \exp [ - ( n - n _ { 1 } - \delta n ) ^ { 2 } / 2 \sigma _ { 2 } ^ { 2 } ]
S _ { \mathrm { c u b i c } } = \int \biggl ( ( G _ { 0 } ^ { + } \Phi ) * ( \tilde { G } _ { 0 } ^ { + } \Phi ) + \Phi * \{ ( G _ { 0 } ^ { + } \Phi ) , ( \tilde { G } _ { 0 } ^ { + } \Phi ) \} \biggr )
\frac { d ^ { 2 } x } { d \sigma ^ { 2 } } + \frac { x } { 1 - x ^ { 2 } } \left( \frac { d x } { d \sigma } \right) ^ { 2 } + 2 e \frac { x } { 1 - x ^ { 2 } } - j ^ { 2 } \frac { 1 - x ^ { 2 } } { x ^ { 3 } } = 0 .
\begin{array} { r l } { \bigg | \sum _ { y _ { \alpha } \in \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } \setminus B _ { 1 } } \int _ { Q _ { \alpha } } } & { ( J _ { p } ( \phi ( x + y ) - \phi ( x ) ) - J _ { p } ( \phi ( x + y _ { \alpha } ) - \phi ( x ) ) ) \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p } } \bigg | } \\ & { \leq C h \sum _ { y _ { \alpha } \in \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } \setminus B _ { 1 } } \int _ { Q _ { \alpha } } \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p } } \leq C h \int _ { \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } \setminus B _ { 1 / 2 } } \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p } } \leq C h . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \mathbf { X } _ { 0 } } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( - f _ { x } \cos { \left( \Omega t \right) } \cos \theta - f _ { y } \sin { \left( \Omega t \right) } \sin \theta \right) \, \mathbf { e } _ { r } , } \\ { \left( \, \, \, \, f _ { x } \cos { \left( \Omega t \right) } \sin \theta - f _ { y } \sin { \left( \Omega t \right) } \sin \theta \right) \, \mathbf { e } _ { \theta } , } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l } { u _ { k } ( y , x _ { 3 } ) \in L ^ { 2 } ( ( 0 , L ) ; H ^ { 1 } ( C ) ) , \quad \displaystyle - \Delta _ { y } ^ { \prime } u _ { k } ( y , x _ { 3 } ) = \lambda _ { k } u _ { k } \, \, \, \, \mathrm { i n } \, \, D \times ( 0 , L ) , } \\ { u _ { k } = v _ { k } \quad \mathrm { o n } \, \, \, \partial D \times ( 0 , L ) , } \\ { v _ { k } \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( 0 , L ) , \quad \displaystyle - \frac { d ^ { 2 } v _ { k } } { d x _ { 3 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \vert C \setminus D \vert } \displaystyle \int _ { \partial D } \frac { \partial u _ { k } } { \partial n } \ d \sigma = \lambda _ { k } v _ { k } \quad \mathrm { i n } \, \, \, ( 0 , L ) . } \end{array} \right.
h _ { 4 } = - \frac { r _ { g } ^ { 2 } } { 1 6 } \frac { \cosh ^ { 2 } u } { \left( 1 + \cosh u \right) ^ { 4 } } \left( \frac { \cosh u _ { m } ( f , \rho , \theta , t ) - \cosh u } { \cosh u _ { m } ( f , \rho , \theta , t ) + \cosh u } \right) ^ { 2 } , h _ { 5 } = \frac { \sinh ^ { 2 } u \sin ^ { 2 } v } { \sinh ^ { 2 } u + \sin ^ { 2 } v } ,
E = \sum _ { \vec { k } } \epsilon _ { \vec { k } } \delta n _ { \vec { k } } + \sum _ { { \vec { k } } , { \vec { k ^ { \prime } } } } { { \frac { 1 } { 2 N V } } f _ { { \vec { k } } { \vec { k ^ { \prime } } } } \delta n _ { \vec { k } } \delta n _ { \vec { k ^ { \prime } } } }
\begin{array} { r l r } { T _ { a } ( x ) } & { { } = } & { \frac { 4 e ^ { a x } } { a ( e ^ { a x } + 1 ) } + \frac { a - 2 } { a } \ , } \\ { x } & { { } = } & { 4 0 ( q - p ) / 2 7 \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m = 0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } \, k \, X _ { k } ^ { - 3 , 0 } } & { { } = \frac 3 2 e \, ( X _ { k } ^ { - 4 , 1 } - \, X _ { k } ^ { - 4 , - 1 } ) \ , } \\ { m = 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } \, k \, X _ { k } ^ { - 3 , 1 } } & { { } = 2 e \, X _ { k } ^ { - 4 , 2 } + X _ { k } ^ { - 4 , 1 } - e \, X _ { k } ^ { - 4 , 0 } \ , } \\ { m = 2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } \, k \, X _ { k } ^ { - 3 , 2 } } & { { } = \frac 5 2 e \, X _ { k } ^ { - 4 , 3 } + 2 \, X _ { k } ^ { - 4 , 2 } - \frac 1 2 e \, X _ { k } ^ { - 4 , 1 } \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mathrm { M } _ { D u n k l } } { \partial r _ { H } } = \frac { r _ { H } ^ { \frac { 1 } { 2 } \left( \sqrt { 8 \xi + 9 } - 3 \right) } \left( 3 \left( \sqrt { 8 \xi + 9 } - 1 \right) - 2 \Lambda ( \xi + 1 ) \sqrt { 8 \xi + 9 } r _ { H } ^ { \frac { 1 } { 2 } \left( \sqrt { 8 \xi + 9 } + 1 \right) } \right) } { 1 2 ( \xi + 1 ) } } \end{array}
\textstyle \partial _ { \hat { U } _ { j } } \sum _ { i = 1 } ^ { L } \langle \Psi | \hat { h } _ { i } | \Psi \rangle \stackrel { } { = } \sum _ { i = 1 } ^ { j } \hat { g } _ { i } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \hat { g } _ { i } \stackrel { } { = } \hat { Y } _ { i } \hat { U } _ { j } \hat { X } _ { i } - \hat { U } _ { j } \hat { X } _ { i } \hat { U } _ { j } ^ { \dag } \hat { Y } _ { i } \hat { U } _ { j }
\begin{array} { r l } { D _ { c } \pi ^ { \mu } = } & { v ^ { \alpha } \nabla ^ { \mu } v _ { \alpha } - \frac { e } { \hat { m } } F _ { \alpha } ^ { \mu } v ^ { \beta } - \frac { \omega _ { 0 } } { \hat { m } } \nabla ^ { \mu } v ^ { 0 } + \frac { e \omega _ { 0 } } { \hat { m } ^ { 2 } } F ^ { \mu 0 } } \\ & { + \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \hat { m } ^ { 2 } } \nabla ^ { \mu } ( 1 / N ^ { 2 } ) . } \end{array}
\partial _ { \lambda } \mathbb { g } _ { \mu \nu } = \frac { 1 } { 2 } \Big [ \langle \partial _ { \lambda } \partial _ { \mu } \varrho \partial _ { \nu } \varrho \rangle + \langle \partial _ { \mu } \varrho \partial _ { \lambda } \partial _ { \nu } \varrho \rangle - \langle \partial _ { \lambda } \varrho \partial _ { \mu } \varrho \partial _ { \nu } \varrho \rangle \Big ] .