harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { - } } & { { } { { } \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \eta ^ { 2 } ) ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \frac { d ^ { 3 } u } { d \eta ^ { 3 } } + \left[ 2 ( 1 - \eta ^ { 2 } ) \eta - 3 \eta ( 1 - \eta ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] \frac { d ^ { 2 } u } { d \eta ^ { 2 } } } } \\ { { + } } & { { } { { } \left[ - 3 ( 1 - \eta ^ { 2 } ) ^ { 2 } - \frac { 4 } { 9 } \eta ^ { 2 } + ( 4 + \beta _ { h } ) ( 1 - \eta ^ { 2 } ) \right] \frac { d u } { d \eta } + \left[ \rho _ { h } \frac { 1 } { \eta } + \tilde { q } \right] u = 0 } } \end{array} .
T _ { 0 0 } = K ( - { \cal B } ( x ^ { 0 } ) + { \cal A } _ { 0 0 } ( x ^ { 0 } ) ) = - { \cal T } _ { p } ~ , ~ ~ ~ ~ T _ { i j } = K ( { \cal B } ( x ^ { 0 } ) + { \cal A } _ { i j } ( x ^ { 0 } ) ) = \delta _ { i j } { \cal T } _ { p } f ( x ^ { 0 } ) ~ .
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { 1 } ( N _ { 1 } ) \leq } & { Q \left( \frac { N _ { 1 } I ( X _ { 1 } ; Y _ { 1 } ) - \log \frac { M _ { 1 } - 1 } { 2 } - \log \sqrt { N _ { 1 } } } { \sqrt { N _ { 1 } V ( X _ { 1 } ; Y _ { 1 } ) } } \right) } \\ & { + O \left( \frac { 1 } { \sqrt { N _ { 1 } } } \right) \leq \epsilon _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { l } { { S _ { e f f } = \sum _ { x y } \log I ( \phi _ { x } , \phi _ { y } ) + } } \\ { { \sum _ { x } \left( \log \Delta ^ { 2 } ( \phi _ { x } ) - N \sum _ { k = 1 } ^ { N } V ( \phi _ { x } ^ { k } ) \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ( \theta ) } & { = \mathbb { E } _ { s \sim \mu , a _ { k } \sim \pi _ { \theta } ( \cdot | s ) } [ r ( s , a _ { k } ) ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { s \sim \mu } [ \sum _ { a _ { k } } \int _ { k = 0 } ^ { 1 } \pi _ { \theta _ { 1 } } ^ { h } ( k | s ) \pi _ { \theta _ { 2 } } ^ { l } ( a _ { k } | s , k ) r ( s , a _ { k } ) d k ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { s \sim \mu } [ \int _ { k = 0 } ^ { 1 } \sum _ { a _ { k } } \pi _ { \theta _ { 1 } } ^ { h } ( k | s ) \pi _ { \theta _ { 2 } } ^ { l } ( a _ { k } | s , k ) r ( s , a _ { k } ) d k ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \big ( \| \delta _ { t + 1 } \| ^ { 2 } \big | S _ { 1 : t } \big ) } \\ & { \overset { ( i ) } { = } \| \delta _ { t } \| ^ { 2 } + \mathbb { E } \big ( \| \delta _ { t + 1 } - \delta _ { t } \| ^ { 2 } \big | S _ { 1 : t } \big ) } \\ & { = \| \delta _ { t } \| ^ { 2 } + \mathbb { E } \big ( \| v _ { t + 1 } - v _ { t } - \nabla f ( w _ { t + 1 } ) + \nabla f ( w _ { t } ) \| ^ { 2 } \big | S _ { 1 : t } \big ) } \\ & { = \| \delta _ { t } \| ^ { 2 } + \mathbb { E } \big ( \| \nabla f _ { S _ { t + 1 } } ( { w _ { t + 1 } } ) - \nabla f _ { S _ { t + 1 } } ( w _ { t } ) - \nabla f ( w _ { t + 1 } ) + \nabla f ( w _ { t } ) \| ^ { 2 } \big | S _ { 1 : t } \big ) } \\ & { \overset { ( i i ) } { = } \| \delta _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { | S _ { t + 1 } | } \mathbb { E } _ { \xi \sim \mathbb { P } } \big ( \| \nabla f _ { \xi } ( { w _ { t + 1 } } ) - \nabla f _ { \xi } ( w _ { t } ) - \nabla f ( w _ { t + 1 } ) + \nabla f ( w _ { t } ) \| ^ { 2 } \big | S _ { 1 : t } \big ) } \\ & { \overset { ( i i i ) } { \le } \| \delta _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { | S _ { t + 1 } | } \mathbb { E } _ { \xi \sim \mathbb { P } } \big ( \| \nabla f _ { \xi } ( { w _ { t + 1 } } ) - \nabla f _ { \xi } ( w _ { t } ) \| ^ { 2 } \big | S _ { 1 : t } \big ) } \\ & { \overset { ( i v ) } { \le } \| \delta _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { B ^ { \prime } } \big ( 1 + \| \nabla f ( w _ { t } ) \| ^ { 2 } \big ) , } \end{array}
k _ { A u t o , h } = - \frac { w _ { p , h } \cos \theta } { u _ { p , h } ^ { / / } \sin \theta } \leq k _ { T } , k _ { T } = \left\{ \begin{array} { c c } { \cos \theta } & { \mathrm { ( B a g n o l d , 1 9 6 2 ) } } \\ { 0 . 0 1 } & { \mathrm { ( P a n t i n , 1 9 7 9 ) } } \\ { 1 } & { \mathrm { ( P a r k e r , 1 9 8 2 ) } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { { \mathbb { E } } \exp \left( \left( \left\vert Y \right\vert \right) ^ { 2 / 3 } \right) } & { = { \mathbb { E } } \exp \left( \left( \left\vert X _ { 1 } \right\vert ^ { 2 / 3 } \left\vert X _ { 2 } \right\vert ^ { 2 / 3 } \left\vert X _ { 3 } \right\vert ^ { 2 / 3 } \right) \right) } \\ & { \leq { \mathbb { E } } \exp \left( \frac { { X _ { 1 } } ^ { 2 } } { 3 } + \frac { { X _ { 2 } } ^ { 2 } } { 3 } + \frac { { X _ { 3 } } ^ { 2 } } { 3 } \right) \quad \left( \mathrm { Y o u n g ' s ~ i n e q u a l i t y ~ f o r ~ 3 ~ v a r i a b l e s ~ } \right) } \\ & { = { \mathbb { E } } \exp \left( \frac { { X _ { 1 } } ^ { 2 } } { 3 } \right) \exp \left( \frac { { X _ { 2 } } ^ { 2 } } { 3 } \right) \exp \left( \frac { { X _ { 3 } } ^ { 2 } } { 3 } \right) } \\ & { \leq { \mathbb { E } } \frac { 1 } { 3 } \left[ \exp \left( { X _ { 1 } } ^ { 2 } \right) + \exp \left( { X _ { 2 } } ^ { 2 } \right) + \exp \left( { X _ { 3 } } ^ { 2 } \right) \right] \quad \left( \mathrm { Y o u n g ' s ~ i n e q u a l i t y ~ a g a i n } \right) } \\ & { \leq 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial v _ { 1 } ( x , z , t ) } { \partial t } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho ( x , z ) } \frac { \partial \sigma ( x , z , t ) } { \partial x } , } \\ { \frac { \partial v _ { 3 } ( x , z , t ) } { \partial t } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho ( x , z ) } \frac { \partial \sigma ( x , z , t ) } { \partial z } , } \\ { \frac { \partial \sigma ( x , z , t ) } { \partial t } } & { { } = - \rho ( x , z ) c _ { P } ^ { 2 } ( x , z ) \left( \frac { \partial v _ { 1 } ( x , z , t ) } { \partial x } + \frac { \partial v _ { 3 } ( x , z , t ) } { \partial z } \right) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \ln { \frac { Y _ { i } - { \hat { a } } } { { \hat { c } } - { \hat { a } } } } = \psi ( { \hat { \alpha } } ) - \psi ( { \hat { \alpha } } + { \hat { \beta } } ) = \ln { \hat { G } } _ { X }
\begin{array} { r l } & { f = \xi _ { m , k } \hat { \xi } _ { m , l } \nabla \bigl ( \nabla \bigl ( T _ { m - 1 } \circ X _ { m - 1 , l } \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l } ^ { - 1 } \bigr ) \, , } \\ & { g = \mathbf { J } _ { m } - \bigl ( \kappa _ { m } \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \hat { \zeta } _ { m , l _ { k } } \zeta _ { m , k } { \psi } _ { m , k } \sigma \bigr ) \bigl ( \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \nabla { \Chi } _ { m , k } \bigr ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { 2 } \rho } { \partial t ^ { 2 } } - c _ { 0 } ^ { 2 } \Delta \rho = f , } & { { } \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega _ { A } \times ( 0 , T ) , } \\ { c _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \partial \rho } { \partial \mathbf { n } } = 0 , } & { { } \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma _ { B } \times ( 0 , T ) , } \\ { \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \frac { \partial \rho } { \partial \mathbf { n } } = - \frac { 1 } { Z } \frac { \partial \rho } { \partial t } , } & { { } \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma _ { Z } \times ( 0 , T ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } ~ \frac { 2 w } { 1 + w } \left( s ^ { ( n , m ) } - s ^ { ( n , m + 1 ) } \right) } \\ { = } & { { } ~ \frac { \mu } { 2 } \left( N p ^ { ( n , m ) } + \frac { 1 - w } { 1 + w } N p ^ { ( n , m + 1 ) } - \frac { 2 } { 1 + w } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } \left( z \right) = 1 - \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \frac { e ^ { - z ^ { 2 } } } { z + \frac { 1 } { 2 z + \frac { 2 } { z + \frac { 3 } { z + \dots } } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { m } \dot { R } } & { { } = \frac { \gamma } { \pi \tau _ { m } } + 2 R V - \hat { g } _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ n ~ } } R S \; , } \\ { \tau _ { m } \dot { V } } & { { } = V ^ { 2 } - ( \pi \tau _ { m } R ) ^ { 2 } + \hat { g } _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ n ~ } } S \big [ E _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ n ~ } } - V \big ] + I _ { 0 } \; , } \\ { \tau _ { d } \dot { S } } & { { } = - S + U , \; } \\ { \tau _ { r } \dot { U } } & { { } = - U + P _ { r , \varphi , \psi } ( R , V ) \; ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j } f ( \boldsymbol x _ { j } ) } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j } \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \hat { f } _ { \boldsymbol k } \, \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol k \boldsymbol x _ { j } } = \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \hat { f } _ { \boldsymbol k } \, \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j } \, \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol k \boldsymbol x _ { j } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { B } \left( \vec { r } , t \right) } & { { } \approx } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { f ( t ) } { 2 \beta } \, j _ { e } r \, \vec { e } _ { \phi } \, , } & { r \le R _ { L } } \\ { 0 \, , } & { r > R _ { L } } \end{array} \right. \, , } \\ { \vec { E } \left( \vec { r } , t \right) } & { { } \approx } & { \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { \gamma f ( t ) } { 2 } \, j _ { e } ^ { 2 } \, r \, \vec { e } _ { r } } & { r \le R _ { l } } \\ { 0 \, , } & { r > R _ { l } } \end{array} \right. \, . } \end{array}
\Delta ^ { ( 4 \mathrm { P } ) } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 . 7 1 \; } } & { { \; - 2 . 4 4 } } \\ { { - 2 . 4 4 \; } } & { { \; - 8 . 3 1 } } \end{array} \right) \; \; \mathrm { M e V } \; \; \; ,
{ \frac { f l } { k _ { B } T } } = { \mathcal { L } } ^ { - 1 } \left( { \frac { R } { N l } } \right) \approx 3 { \frac { R } { N l } } + { \frac { 1 } { 5 } } \left( { \frac { R } { N l } } \right) ^ { 2 } \sin \left( { \frac { 7 R } { 2 N l } } \right) + { \frac { \left( { \frac { R } { N l } } \right) ^ { 3 } } { 1 - { \frac { R } { N l } } } }
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , z ) ) ) ^ { 2 } d \nu ( z ) - \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \mathrm { I m } ( K _ { T _ { n } } ( x , z ) ) ) ^ { 2 } d \nu ( z ) } \\ & { = \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } s _ { l } ^ { - 2 } ( d _ { ( l + 1 ) ( l + 1 ) } ^ { l } ( \theta _ { x } ) ) ^ { 2 } \frac { 2 l + 1 } { 4 \pi } \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { 1 } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \gamma _ { m } ( 1 + 2 \bar { n } ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \kappa ( 1 + 2 N ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \kappa ( 1 + 2 N ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \gamma _ { m } ( 1 + 2 \bar { n } ) } \end{array} \right) , \quad \quad F 2 = \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 2 M \kappa } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 2 M \kappa } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { F 3 } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 2 M \kappa } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 M \kappa } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { F 4 } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l l l l l l } { \kappa ( 1 + 2 N ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \kappa ( 1 + 2 N ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \gamma _ { s m } ( 1 + 2 \bar { n } ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \gamma _ { s m } ( 1 + 2 \bar { n } ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \gamma _ { s m } ( 1 + 2 \bar { n } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \gamma _ { s m } ( 1 + 2 \bar { n } ) } \end{array} \right) . } \end{array}
[ R ^ { ( 0 ) } ( t ) ] ^ { 2 } = [ R _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { f _ { 0 } } { 3 } ( \alpha \pi R _ { c } ) ^ { 2 } ] + f _ { 0 } [ ( t - t _ { 0 } ) + ( \alpha \pi R _ { c } ) ] ^ { 2 } ,
\displaystyle \mathcal { H } _ { 4 } \left( \psi _ { 3 } , J \right) \cong \delta _ { \nu } J + J ^ { \frac { 3 } { 2 } } g _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } \cos \left( 3 \psi _ { 3 } + \xi _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } \right) + \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { - 1 } J ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { z _ { \alpha } \left( t \right) } & { { } = z _ { \alpha } \left( 0 \right) + \frac { 1 } { 2 } \epsilon \int _ { 0 } ^ { t } \! d s \int \! \! d \beta d \gamma \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } z _ { \beta } ^ { * } z _ { \gamma } ^ { * } e ^ { i \Omega _ { \alpha \beta \gamma } s } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { i \hbar \frac { \partial \theta } { \partial t } = M c ^ { 2 } \theta - ( \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { 1 } } \nabla _ { \vec { r _ { 1 } } } ^ { 2 } + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { 2 } } \nabla _ { \vec { r _ { 2 } } } ^ { 2 } ) ( \theta + \chi ) + V ( | \vec { r _ { 1 } } - \vec { r _ { 2 } } | ) ( \theta + \chi ) } } \\ { { i \hbar \frac { \partial \chi } { \partial t } = - M c ^ { 2 } \chi + ( \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { 1 } } \nabla _ { \vec { r _ { 1 } } } ^ { 2 } + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { 2 } } \nabla _ { \vec { r _ { 2 } } } ^ { 2 } ) ( \theta + \chi ) - V ( | \vec { r _ { 1 } } - \vec { r _ { 2 } } | ) ( \theta + \chi ) } } \end{array} \right.
\delta Z _ { \eta ^ { \prime } } \sim T ^ { 2 } / ( N _ { c } ^ { 2 } \mu _ { \mathrm { h a d r } } ^ { 2 } ) + T ^ { 4 } / ( N _ { c } ^ { 5 } \mu _ { \mathrm { h a d r } } ^ { 4 } ) + \ldots \ ,
\left( \begin{array} { l } { { \eta } } \\ { { \eta ^ { \prime } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { { \cos \phi } } & { { - \sin \phi } } \\ { { \sin \phi } } & { { \cos \phi } } \end{array} \right) \; \left( \begin{array} { l } { { \eta _ { q } } } \\ { { \eta _ { s } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d r ^ { \star } \int \sin \theta d \theta \left[ \frac { 1 } { r ^ { 1 + \alpha } } \big | \left( W ^ { \natural } \widehat { u } _ { m } \right) ^ { \prime } \big | ^ { 2 } + \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \big | \partial _ { \theta } W ^ { \natural } \widehat { u } _ { m } \big | ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { r } \omega ^ { 2 } + \frac { m ^ { 2 } } { r ^ { 3 } } + \frac { 1 } { r ^ { 3 + \alpha } } \right) \big | W ^ { \natural } \widehat { u } _ { m } \big | ^ { 2 } \right] } \\ { \lesssim } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d r ^ { \star } \int \sin \theta d \theta \frac { \Delta } { r ^ { 2 } } \left[ \frac { \big | \widehat { u } _ { m } ^ { \prime } \big | ^ { 2 } } { r ^ { 1 + \alpha } } + \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \big | \partial _ { \theta } \widehat { u } _ { m } \big | ^ { 2 } + \left( \frac { m ^ { 2 } } { r ^ { 3 } } + \frac { \omega ^ { 2 } } { r ^ { 1 + \alpha } } + \frac { 1 } { r ^ { 3 + \alpha } } \right) \big | \widehat { u } _ { m } \big | ^ { 2 } \right] } \\ { + } & { \Big | \int _ { - \infty } ^ { \infty } d r ^ { \star } \int \sin \theta d \theta \frac { \Delta } { r ^ { 2 } } \left( \varepsilon \cdot b ( r , \theta ) W ^ { \natural } ( \widehat { \chi _ { \mathcal { T } } } \star i \omega \widehat { u } ) _ { m } + W ^ { \natural } H _ { m } \right) \left( \frac { 1 } { r ^ { 1 + \alpha } } W ^ { \natural } \widehat { u } _ { m } , \frac { 1 } { r } W ^ { \natural } \widehat { u } _ { m } , \omega ( W ^ { \natural } \widehat { u } _ { m } ) \right) \Big | \, . } \end{array}
\tilde { \varepsilon _ { \neg } } ( T ) = F , \tilde { \varepsilon _ { \neg } } ( F ) = T ; \tilde { \varepsilon _ { \wedge } } ( T , T ) = T , \tilde { \varepsilon _ { \wedge } } ( T , F ) = \tilde { \varepsilon _ { \wedge } } ( F , T ) = \tilde { \varepsilon _ { \wedge } } ( F , F ) = F ; \tilde { \varepsilon _ { \vee } } ( T , T ) = \tilde { \varepsilon _ { \vee } } ( T , F ) = \tilde { \varepsilon _ { \vee } } ( F , T ) = T , \tilde { \varepsilon _ { \vee } } ( F , F ) = F ; \tilde { \varepsilon _ { \rightarrow } } ( T , T ) = \tilde { \varepsilon _ { \rightarrow } } ( F , T ) = \tilde { \varepsilon _ { \rightarrow } } ( F , F ) = T , \tilde { \varepsilon _ { \rightarrow } } ( T , F ) = F ; \tilde { \varepsilon _ { \leftrightarrow } } ( T , T ) = \tilde { \varepsilon _ { \leftrightarrow } } ( F , F ) = T , \tilde { \varepsilon _ { \leftrightarrow } } ( T , F ) = \tilde { \varepsilon _ { \leftrightarrow } } ( F , T ) = F .
b ^ { ( 3 ) } = \frac { 2 } { 3 } \Pi _ { \tilde { \mu } \tilde { \nu } } \Pi ^ { \tilde { \mu } } \Pi ^ { \tilde { \nu } } - \frac { 2 } { 1 5 } \Pi _ { \alpha \beta } \Pi ^ { \alpha } \Pi ^ { \beta } - \frac { 3 } { 5 } \Pi _ { \tilde { \mu } \alpha } \Pi ^ { \tilde { \mu } } \Pi ^ { \alpha } \quad .
\Delta u _ { i } ( j ) = U _ { i } ( S _ { i } ^ { * } \cup { j } ; { \mathbf { E } } , { \mathbf { b } } , { \mathbf { c } } ) - U _ { i } ( S _ { i } ^ { * } ; { \mathbf { E } } , { \mathbf { b } } , { \mathbf { c } } ) , ~ ~ { \mathrm { i f } } ~ ~ j \notin S _ { i } ^ { * } ,
\begin{array} { r l } { w ^ { \prime } } & { { } = g _ { \zeta } ( w ) = \frac { w + \zeta } { 1 + \zeta ^ { * } w } , } \\ { w } & { { } = g _ { \zeta } ^ { - 1 } ( w ^ { \prime } ) = \frac { w ^ { \prime } - \zeta } { 1 - \zeta ^ { * } w ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } ( R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } , \varepsilon ) } \\ { * } & { = \Big \{ ( L _ { 1 } , L _ { 2 } ) : \Psi ( L _ { 1 } , \xi ^ { * } L _ { 1 } + L _ { 2 } ; \mathbf { 0 } , \mathbf { V } ( R _ { 1 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X } ) ) \geq 1 - \varepsilon \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { i } \gamma _ { j } } & { = \underline { { v _ { i } } } ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } ( v _ { 1 } \ldots v _ { j - 1 } ) } \\ & { = ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \underline { { v _ { i } \gamma _ { 1 } } } ( v _ { 1 } \ldots v _ { j - 1 } ) } \\ & { = ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } \underline { { v _ { i } } } ( v _ { 1 } \ldots v _ { j - 1 } ) } \\ & { = ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } ( v _ { 1 } \ldots v _ { j - 1 } ) v _ { i } } \\ & { = \gamma _ { j } v _ { i } . } \end{array}
\theta _ { k ^ { \prime } } ^ { k } = - 2 C _ { 2 } ^ { i } ( R ^ { k } ) g _ { i } ^ { 2 } \delta _ { k ^ { \prime } } ^ { k } + \frac { 1 } { 2 ! } h ^ { k p q } h _ { k ^ { \prime } p q } ^ { \ast } .
\mathcal { Q } ( \mathcal { N } ) = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \mathcal { Q } ^ { ( k ) } ( \mathcal { N } ) , \mathcal { Q } ^ { ( k ) } ( \mathcal { N } ) : = \mathcal { Q } ^ { ( 1 ) } ( \mathcal { N } ^ { \otimes k } ) / k , \mathcal { Q } ^ { ( 1 ) } ( \mathcal { N } ) : = \operatorname* { s u p } _ { \rho _ { A } } [ S ( B ) - S ( E ) ]
\Psi ( \omega ; \lambda ) = \Phi ( \omega ; \lambda ) - { \frac { 1 } { 4 \lambda } } \sum _ { k } \left[ ( \phi _ { \omega , k } ^ { ( \lambda ) } , \partial _ { \lambda } H ^ { 2 } ( \lambda ) \phi _ { \omega , k } ^ { ( \lambda ) } ) + ( \phi _ { \omega , k } ^ { ( \lambda ) } , \partial _ { \lambda } H ^ { 2 } ( \lambda ) \phi _ { \omega , k } ^ { ( \lambda ) } ) ^ { * } \right] ,
\hat { \mathcal { { H } } } _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \mathbf { P } _ { k , \sigma } - \mathbf { P } _ { k , \sigma } \mathbf { E } _ { k , \sigma } = 4 w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) - \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \mathbf { D } _ { k , \sigma } + \mathbf { D } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \right) \, ,
\mathrm { R e s } \, \bigg [ \widetilde V ( r ) \Big | _ { u _ { k } } \bigg ] = { \frac { 1 } { r } } \, { \frac { 4 } { b _ { 0 } } } \, ( \mu \, r ) ^ { 2 k + 1 } \, { \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { ( 2 k + 1 ) ! } } \, .
\begin{array} { r l r } { I _ { T S C , k } ^ { e } } & { { } = } & { q _ { 0 } A [ B _ { i } O _ { i } ] \sum _ { j = 0 } ^ { m _ { k } } { \frac { j \cdot { \frac { d } { n } } } { w ( T _ { k } ) } } \cdot e _ { n , k , j } ^ { p f } \cdot f _ { k , j } \cdot { \frac { d } { n } } } \end{array}
\boldsymbol { \sigma } _ { t } \mathrm { d } \boldsymbol { B } _ { t } = \boldsymbol { \nabla } ^ { \perp } \varphi \mathrm { d } B _ { t } , \quad \boldsymbol { a } = \boldsymbol { \nabla } ^ { \perp } \varphi ( \boldsymbol { \nabla } ^ { \perp } \varphi ) ^ { \scriptscriptstyle T } .
\begin{array} { r l r } { \Gamma ^ { - } } & { { } = } & { [ \mathrm { N } V ] \; p n _ { e } ^ { - } k _ { e g } ^ { - } } \\ { \Gamma ^ { 0 } } & { { } = } & { [ \mathrm { N } V ] \; ( 1 - p ) \; n _ { e } ^ { 0 } k _ { e g } ^ { 0 } } \end{array}
e , v , \textrm { D e g } _ { a v } , p _ { s h o r t } , l _ { e d g e } , u , D _ { G } , \textrm { C o n n } _ { a v } , \textrm { r e s } _ { \textrm { e f f } } , \textrm { p e r c } _ { \textrm { t } }
\begin{array} { r } { d _ { m , \phi } ( \mathbf { \tilde { u } } ) = \frac { | \tan \phi _ { m } \cos \theta _ { m } \tilde { x } + \tan \phi _ { m } \sin \theta _ { m } \tilde { y } - \tilde { z } - \tan \phi _ { m } \cos \theta _ { m } x _ { m } - \tan \phi _ { m } \sin \theta _ { m } y _ { m } + z _ { m } | } { \sqrt { ( \tan \phi _ { m } \cos \theta _ { m } ) ^ { 2 } + ( \tan \phi _ { m } \sin \theta _ { m } ) ^ { 2 } + 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { n } ^ { * } ( p , q , \epsilon ) \asymp \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } \, \cdot \, d _ { \mathrm { T V } } ^ { 2 } ( p , q ) } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \epsilon \leq 1 , } \\ { \operatorname* { m i n } \left( \frac { 1 } { d _ { \mathrm { T V } } ^ { 2 } ( p , q ) } , \frac { 1 } { e ^ { \epsilon } \, \cdot \, d _ { \mathrm { h } } ^ { 4 } ( p , q ) } \right) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } e ^ { \epsilon } \in \left[ e , \frac { 1 } { d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) } \right] , } \\ { \frac { 1 } { d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } e ^ { \epsilon } > \frac { 1 } { d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) } . } \end{array} \right. } \end{array}
I = \frac { 1 } { 2 \mu } \mathrm { R e } \left[ \left( { \bf E } \times { \bf B } ^ { \star } \right) \cdot \hat { { \bf z } } \right] + \frac { \mu _ { \gamma } ^ { 2 } } { 2 \mu } \mathrm { R e } \left[ \phi \left( { \bf A } ^ { \star } \cdot \hat { { \bf z } } \right) \right] \, ,
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { \omega } [ \hat { w } ] : = \omega \cdot \partial _ { \varphi } \hat { w } - \partial _ { x } ( \nabla _ { w } ^ { 2 } K ( \varphi , 0 , 0 ) ) [ \hat { w } ] ) , \mathrm { ~ f o r ~ \hat { w } \in ~ C ^ \infty ( \mathbb { T } ^ \nu \times ~ \mathbb { T } ) ~ s u c h ~ t h a t ~ \hat { w } ( \varphi ) \in ~ H _ { S ^ \perp } ~ f o r ~ e a c h ~ \varphi \in \mathbb { T } ^ \nu ~ , } } \end{array}
\omega _ { \mu } ^ { a b } = 2 \delta _ { \mu } ^ { [ a } \partial ^ { b ] } \ln a \ ; \qquad \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \rho } = 2 \delta _ { ( \nu } ^ { \rho } \partial _ { \mu ) } \ln a - \eta _ { \mu \nu } \partial ^ { \rho } \ln a \, .
\begin{array} { r l } { \dot { u } } & { { } = v - u } \\ { \dot { v } } & { { } = \frac { 1 } { \varepsilon _ { 1 } } \Big ( - w ( v - \mu ) - v ^ { 2 } + v \Big ) } \\ { \dot { w } } & { { } = \frac { 1 } { \varepsilon _ { 2 } } \Big ( f u + \phi - w ( v + \mu ) \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { { H _ { N _ { 1 / 2 } } = \left( \overline { { { N } } } _ { 1 / 2 } \, \overline { { { N } } } _ { 1 / 2 } ^ { \, \prime } \right) { \bf M } _ { N _ { 1 / 2 } } \! \! \! } } \\ { { \vphantom { 1 } } } \end{array} \left( \begin{array} { c } { { N _ { 1 / 2 } } } \\ { { N _ { 1 / 2 } ^ { \prime } } } \end{array} \right) ,
S _ { \mu \nu } ( m , n | a , b ) = \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } \frac { p } { m } \frac { p } { n } S _ { \mu \nu } ( p ) \oint \frac { d z } { 2 \pi i } z ^ { p - 1 } \left( \frac { b ^ { * } z + a ^ { * } } { a z + b } \right) ^ { m } \oint \frac { d \bar { z } } { - 2 \pi i } { \bar { z } } ^ { p - 1 } \left( \frac { b \bar { z } + a } { a ^ { * } \bar { z } + b ^ { * } } \right) ^ { n } .