harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { A _ { m j } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , t ) = \left[ \zeta _ { m j } ^ { \prime } \right] _ { + } ^ { [ j ] } ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ B _ { m j } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , z , t ) = \left[ \Phi _ { m j } ^ { \prime } \right] _ { + } ^ { [ j ] } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \rho _ { s } ( \omega , \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \omega = \frac { 1 } { 2 } \operatorname { R e } \operatorname { T r } \mathbb { G } _ { s } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ) \big \vert _ { \omega = 0 } = \alpha _ { \mathrm { L D O S } } . } \end{array}
\sigma _ { f _ { 0 } } ^ { 2 } = g _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \sin 2 \alpha \langle \hat { S } _ { 0 , \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \rangle ^ { 2 } \chi ^ { 2 } k _ { B } T / m _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( 2 \pi f _ { 0 } ) ^ { 2 } \approx 1 . 4 \times 1 0 ^ { - 3 } ~ \mathrm { ~ V ~ } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \left\Vert \mathbf { y } _ { k + 1 } - H _ { k + 1 } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { F } _ { k } \right] \leq ( 1 + q ) ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } \left\Vert ( \mathbf { y } _ { k } - H _ { k } ) \right\Vert ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\Vert E _ { k } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { F } _ { k } \right] + 4 \mathbb { E } \left[ \left\Vert \left( I - \tilde { W } \right) E _ { k } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { F } _ { k } \right] } \\ & { \quad + \frac { q + 1 } { q } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \mathcal { A } _ { 2 } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { F } _ { k } \right] + 4 \alpha \mathbb { E } \left[ \left\langle E _ { k } , ( I - \tilde { W } ) E _ { k } \right\rangle \middle | \mathcal { F } _ { k } \right] } \\ & { \leq \mathcal { A } _ { 3 } \left\Vert \mathbf { y } _ { k } - H _ { k } \right\Vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { \alpha } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \mathcal { A } _ { 2 } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { F } _ { k } \right] , } \end{array}
M _ { c } ( q ) = \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } d t e x p [ t \frac { q ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 1 - t } \frac { m ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } ] .
\begin{array} { r l } { \langle s _ { j } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { N _ { j } } \sum _ { i } ^ { N _ { j } } s _ { i , j } \, , } \\ { \langle s _ { j } ^ { 2 } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { N _ { j } } \sum _ { i } ^ { N _ { j } } s _ { i , j } ^ { 2 } \, } \\ { \Delta s _ { j } } & { { } = \sqrt { \langle s _ { j } ^ { 2 } \rangle - \langle s _ { j } \rangle ^ { 2 } } \, . } \end{array}
R ( M ) = \exp \sum _ { n > 0 } \left( { \frac { 1 } { n } } T _ { I J } ^ { ( \alpha ) } \alpha _ { - n } ^ { I } { \alpha } _ { n } ^ { J } + T _ { a b } ^ { ( S ) } S _ { - n } ^ { a } { S } _ { n } ^ { b } \right) ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { 2 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } d q \frac { \sin ^ { 2 } { q } } { E - \omega _ { q } + i \epsilon } = \frac { 1 } { J } \Big ( \cos { k } - i \sin { k } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { Q _ { P O } = \mathrm { { r a t e ~ o f ~ f l o w ~ d u e ~ t o ~ h y d r o d y n a m i c ~ f o r c i n g } ~ ~ \Delta P ~ ~ \mathrm { { o n l y } , } } } \\ { Q _ { E O } = \mathrm { { r a t e ~ o f ~ f l o w ~ d u e ~ t o ~ e l e c t r i c ~ f o r c i n g } ~ ~ U _ { s } ~ ~ \mathrm { { o n l y } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } } } \\ { Q _ { c o m b } = \mathrm { { r a t e ~ o f ~ f l o w ~ d u e ~ t o ~ c o m b i n e d ~ a c t i o n ~ o f } ~ ~ \Delta P \mathrm { { a n d } ~ ~ U _ { s } . } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { S e l } ^ { { \boldsymbol { f } } } ( \mathbf { Q } , \mathbf { A } _ { Q _ { 0 } } ^ { \dagger } ) } & { \simeq \mathrm { S e l } _ { { \mathrm { o r d } , \mathrm { o r d } } } ( K , A _ { f } ( r ) \otimes \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } \Psi _ { W _ { 1 } } ^ { \mathbf { c } - 1 } ) \oplus \mathrm { S e l } _ { { \mathrm { o r d } , \mathrm { o r d } } } ( K , A _ { f } ( r ) \otimes \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } ^ { \mathbf { c } } \Psi _ { W _ { 2 } } ^ { \mathbf { c } - 1 } ) . } \end{array}
\frac { 1 } { s c } = \frac { 1 } { s _ { 0 } c _ { 0 } } \left[ 1 + \frac { ( c _ { \phi } ^ { 4 } + c _ { \psi } ^ { 4 } ) v ^ { 2 } } { 8 M ^ { 2 } } \right] \; .
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ S ~ N ~ R ~ } _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ b ~ } } \sim \frac { \pi } { 4 } \sqrt { \frac { \tau M Q _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ b ~ } } \omega _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ b ~ } } ^ { 3 } } { T _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ s ~ } } } } \frac { \Delta \alpha _ { \phi } } { \omega \mathcal { F } } \: , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } _ { 1 } ( t , \varphi _ { 1 } , \nabla \varphi ) } & { = - ( b _ { 1 } + b _ { 2 } + \delta _ { 1 } ) \varphi _ { 1 } + \gamma ( t ) \varphi _ { 4 } + b _ { 3 } \varphi _ { 3 } + b _ { 4 } \varphi _ { 2 } - \mathcal { F } ( \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 3 } ) - \mathcal { G } ( \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 2 } ) , } \\ { \mathcal { K } _ { 2 } ( t , \varphi _ { 2 } , \nabla \varphi ) } & { = - ( b _ { 4 } + c _ { 1 } + \delta _ { 2 } ) \varphi _ { 2 } + b _ { 2 } \varphi _ { 1 } + c _ { 2 } \varphi _ { 3 } - \nabla \cdot ( \varphi _ { 2 } V _ { 2 } ( \varphi ) \nu ) + \mathcal { G } ( \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 2 } ) - \mathcal { H } ( \varphi _ { 2 } , \varphi _ { 3 } ) , } \\ { \mathcal { K } _ { 3 } ( t , \varphi _ { 3 } , \nabla \varphi ) } & { = - ( b _ { 3 } + c _ { 2 } + \delta _ { 3 } ) \varphi _ { 3 } + b _ { 1 } \varphi _ { 1 } + c _ { 1 } \varphi _ { 2 } - \phi ( t ) \varphi _ { 3 } - \nabla \cdot ( \varphi _ { 3 } V _ { 3 } ( \varphi ) \nu ) + \mathcal { F } ( \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 3 } ) + \mathcal { H } ( \varphi _ { 2 } , \varphi _ { 3 } ) , } \\ { \mathcal { K } _ { 4 } ( t , \varphi _ { 4 } , \nabla \varphi ) } & { = - \gamma ( t ) \varphi 4 , } \\ { \mathcal { K } _ { 5 } ( t , \varphi _ { 5 } , \nabla \varphi ) } & { = \phi ( t ) \varphi _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \mu \nu } ( \rho ) } & { { } = \int \, d \Omega \Phi _ { \mu } ^ { * } ( \rho ; \Omega ) \frac { \partial } { \partial \rho } \Phi _ { \nu } ( \rho ; \Omega ) , } \\ { Q _ { \mu \nu } ( \rho ) } & { { } = \int \, d \Omega \Phi _ { \mu } ^ { * } ( \rho ; \Omega ) \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \rho ^ { 2 } } \Phi _ { \nu } ( \rho ; \Omega ) , } \\ { P _ { \mu \nu } ^ { 2 } ( \rho ) } & { { } = - \int \, d \Omega \frac { \partial } { \partial \rho } \Phi _ { \mu } ^ { * } ( \rho ; \Omega ) \frac { \partial } { \partial \rho } \Phi _ { \nu } ( \rho ; \Omega ) . } \end{array}
H _ { i j } ^ { ( 1 ) } = H _ { j i } ^ { ( 1 ) } = \left[ M _ { i } \sum _ { \alpha } h _ { \alpha i } ^ { \ast } h _ { \alpha j } + M _ { j } \sum _ { \alpha } h _ { \alpha i } h _ { \alpha j } ^ { \ast } \right] ( g _ { \alpha i j } ^ { d i s } - \frac { i } { 2 } g _ { \alpha i j } ^ { a b } )
\nabla _ { \mu } A ^ { \mu } = 0 = \frac { 1 } { \sqrt { g } } \partial _ { \mu } \left( \sqrt { g } A ^ { \mu } \right) = \frac { 1 } { \sqrt { g } } \partial _ { \mu } \left( \sqrt { g } g ^ { \mu \nu } A ^ { \mu } \right)
\mathrm { ~ R ~ H ~ S ~ } \leq \varepsilon \left( \lVert \gamma \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } \rVert _ { L ^ { 1 } ( Q _ { T } ) } + \lVert \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } \rVert _ { L ^ { 1 } ( Q _ { T } ) } + \lVert g _ { 0 } \left( \tilde { u } _ { n } - \frac { 1 } { n } \right) \rVert _ { L ^ { 1 } ( Q _ { T } ) } \right)
\begin{array} { r l } { ^ { \star } f } & { : = \lambda _ { 2 } \circ ( \varepsilon _ { y } \otimes _ { 2 } \textnormal { i d } _ { ^ { \star } x } ) \circ \delta ^ { L } \circ ( \textnormal { i d } _ { ^ { \star } y } \otimes _ { 1 } ( f \otimes _ { 2 } \textnormal { i d } _ { ^ { \star } x } ) ) \circ ( \textnormal { i d } _ { ^ { \star } y } \otimes _ { 1 } \eta _ { x } ) \circ \varrho _ { 1 } ^ { - 1 } } \\ & { = \lambda _ { 2 } \circ ( \varepsilon _ { y } \otimes _ { 2 } \textnormal { i d } _ { ^ { \star } x } ) \circ ( ( \textnormal { i d } _ { ^ { \star } y } \otimes _ { 1 } f ) \otimes _ { 2 } \textnormal { i d } _ { ^ { \star } x } ) \circ \delta ^ { L } \circ ( \textnormal { i d } _ { ^ { \star } y } \otimes _ { 1 } \eta _ { x } ) \circ \varrho _ { 1 } ^ { - 1 } , } \end{array}
\dot { \rho } = \mathcal { L } _ { 2 } \rho \mathcal { L } _ { 2 } ^ { \dagger } - \frac { 1 } { 2 } \left( \mathcal { L } _ { 2 } ^ { \dagger } \mathcal { L } _ { 2 } \rho + \rho \mathcal { L } _ { 2 } ^ { \dagger } \mathcal { L } _ { 2 } \right) ,
n = \left\lfloor \frac { w _ { i } ^ { \mathrm { ~ L ~ A ~ T ~ } } - u _ { i } ^ { \mathrm { ~ L ~ A ~ T ~ } } } { L _ { i } } + \frac { 1 } { 2 } \right\rfloor = \left\lfloor n _ { i } + \frac { 1 } { 2 } \right\rfloor \equiv n _ { i }
| J ^ { - 1 } | _ { i , j , k } = \frac { 1 } { 6 } \left( \sum _ { f c = 1 } ^ { 3 } | J ^ { - 1 , f c } | _ { i , j , k } + | J ^ { - 1 , 1 } | _ { i , j + 1 , k } + | J ^ { - 1 , 2 } | _ { i + 1 , j , k } + | J ^ { - 1 , 3 } | _ { i , j , k + 1 } \right) .
\widetilde { W } ( z ) / g _ { M } = \sum _ { j = 1 } ^ { r } \log ( z - \cos 2 \bar { q } _ { j } ) + \frac { k _ { 1 } + k _ { 2 } } { 2 } \log ( 1 - z ) + \frac { k _ { 2 } } { 2 } \log ( 1 + z ) + ( \mathrm { ~ z ~ - i n d e p . } ) .
\Phi _ { 1 } ^ { - } \Phi _ { 1 } ^ { + } = \Phi _ { 2 } ^ { - } \Phi _ { 2 } ^ { + } = \frac { \alpha } { \alpha ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } } , ~ ~ \Phi _ { 1 } ^ { - } \Phi _ { 2 } ^ { + } = \Phi _ { 2 } ^ { - } \Phi _ { 1 } ^ { + } = \frac { \beta } { \alpha ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { { G } _ { \alpha \beta } } & { = { A } _ { \alpha \beta } + 2 \xi _ { 3 } { \kappa } _ { \alpha \beta } ^ { ( 0 ) } + \xi _ { 3 } ^ { 2 } { \bf { A } } _ { 3 , \alpha } \cdot { \bf { A } } _ { 3 , \beta } , } \\ { { G } _ { \alpha 3 } } & { = { G } _ { 3 \alpha } = { \bf { A } } _ { \alpha } \cdot { \bf { A } } _ { 3 } + \xi _ { 3 } { \bf { A } } _ { 3 , \alpha } \cdot { \bf { A } } _ { 3 } = 0 , } \\ { { G } _ { 3 3 } } & { = { A } _ { 3 3 } = 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T ( u , v ) = } & { } & { z _ { i _ { 0 } , k } ^ { j _ { 0 } , \ell } + n _ { u } \left( z _ { i _ { 0 } , k + 1 } ^ { j _ { 0 } , \ell } - z _ { i _ { 0 } , k } ^ { j _ { 0 } , \ell } \right) \frac { u - u _ { i _ { 0 } , k } } { u _ { i _ { 0 } + 1 } - u _ { i _ { 0 } } } } \\ & { } & { + n _ { v } \left( z _ { i _ { 0 } , k } ^ { j _ { 0 } , \ell + 1 } - z _ { i _ { 0 } , k } ^ { j _ { 0 } , \ell } \right) \frac { v - v _ { j _ { 0 } , \ell } } { v _ { j _ { 0 } + 1 } - v _ { j _ { 0 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \hat { A } \rangle = \frac { \sum _ { k } W _ { k } ^ { n } \frac { \langle \Psi _ { T } | e ^ { - m \tau \hat { H } } \hat { A } | \phi _ { k } ^ { n } \rangle } { \langle \Psi _ { T } | \phi _ { k } ^ { n } \rangle } } { \sum _ { k } W _ { k } ^ { n } \frac { \langle \Psi _ { T } | e ^ { - m \tau \hat { H } } | \phi _ { k } ^ { n } \rangle } { \langle \Psi _ { T } | \phi _ { k } ^ { n } \rangle } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { n } ^ { T } } & { { } = - C _ { R } ^ { T } v _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \cos ( \alpha _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ) , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { v _ { n } ^ { N } } & { { } = C _ { R } ^ { N } v _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \sin ( \alpha _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textrm { E } [ p _ { i _ { \mathrm { D } } A _ { \mathrm { O } } } ^ { \prime } ] } & { { } = p _ { i _ { \mathrm { R } } A _ { \mathrm { O } } } ( \underbrace { a _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { G D } } - a _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { B D } } } _ { = : \Delta f _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { D } } } ) + a _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { B D } } \quad ( = : f _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { D } } ( p _ { i _ { \mathrm { R } } A _ { \mathrm { O } } } ) ) , } \\ { \textrm { V a r } [ p _ { i _ { \mathrm { D } } A _ { \mathrm { O } } } ^ { \prime } ] } & { { } = \frac { p _ { i _ { \mathrm { R } } A _ { \mathrm { O } } } a _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { G D } } ( 1 - a _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { G D } } ) + ( 1 - p _ { i _ { \mathrm { R } } A _ { \mathrm { O } } } ) a _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { B D } } ( 1 - a _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { B D } } ) } { N \rho _ { A _ { \mathrm { O } } } } = \frac { e _ { 2 } ( 1 - e _ { 2 } ) } { N \rho _ { A _ { \mathrm { O } } } } \quad ( = : \rho _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { - 1 } s ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \hat { \boldsymbol D } } _ { l . m } ( 0 , t ) } & { { } = } & { - \frac { c g _ { a , \gamma \gamma } a _ { 0 } m _ { a } ^ { 2 } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r ^ { \prime } \int d \theta \int d \varphi \boldsymbol B _ { l , m } ( r ^ { \prime } ) Y _ { l , m } ( \theta ^ { \prime } , \varphi ^ { \prime } ) \cos ( m _ { a } ( t - r ^ { \prime } / c ) ) r ^ { \prime } \sin \theta } \end{array}
\ln { \mathcal { L } } ( \mu , \sigma ) \, = \, - { \frac { n } { 2 } } \ln ( 2 \pi ) - { \frac { n } { 2 } } \ln \sigma ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - \mu ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \rho _ { 1 2 , D } ( \Delta _ { c } ) = } & { { } } \\ { ~ \frac { \Delta v _ { c } } { v _ { \sigma } \sqrt { 2 \pi } } } & { { } \sum _ { v _ { i } = v _ { \uparrow } } ^ { 3 v _ { \sigma } } \rho _ { 1 2 } \left( v _ { i } , \Delta _ { c } \right) e ^ { \frac { - v _ { i } ^ { 2 } } { 2 v _ { \sigma } ^ { 2 } } } } \\ { + \frac { \Delta v _ { f } } { v _ { \sigma } \sqrt { 2 \pi } } } & { { } \sum _ { v _ { i } = v _ { \downarrow } } ^ { v _ { \uparrow } } \rho _ { 1 2 } \left( v _ { i } , \Delta _ { c } \right) e ^ { \frac { - v _ { i } ^ { 2 } } { 2 v _ { \sigma } ^ { 2 } } } } \\ { + \frac { \Delta v _ { c } } { v _ { \sigma } \sqrt { 2 \pi } } } & { { } \sum _ { v _ { i } = - 3 v _ { \sigma } } ^ { v _ { \downarrow } } \rho _ { 1 2 } \left( v _ { i } , \Delta _ { c } \right) e ^ { \frac { - v _ { i } ^ { 2 } } { 2 v _ { \sigma } ^ { 2 } } } } \end{array} \, \, \, \, \, .
\begin{array} { r l } { | \mathbf { u } _ { B } ^ { \varepsilon } } & { - \mathbf { u } _ { E } ^ { \varepsilon } | _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] \times H ^ { s } ) } + | \eta _ { B } ^ { \varepsilon } - \eta _ { E } ^ { \varepsilon } | _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] \times H ^ { s } ) } = } \\ & { | \mathbf { u } _ { B } ^ { \varepsilon } - ( 1 - \frac { \varepsilon } { 2 } ( 1 - \theta ^ { 2 } ) \Delta ) ^ { - 1 } ( 1 - \frac { \varepsilon } { 2 } ( 1 - \underline { { \theta } } ^ { 2 } ) \Delta ) ( \mathbf { u } _ { \Sigma } ^ { \varepsilon } ( 1 - \frac { \varepsilon } { 2 } \eta _ { \Sigma } ^ { \varepsilon } ) ) } \\ & { + ( 1 - \frac { \varepsilon } { 2 } ( 1 - \theta ^ { 2 } ) \Delta ) ^ { - 1 } ( 1 - \frac { \varepsilon } { 2 } ( 1 - \underline { { \theta } } ^ { 2 } ) \Delta ) ( \mathbf { u } _ { \Sigma } ^ { \varepsilon } ( 1 - \frac { \varepsilon } { 2 } \eta _ { \Sigma } ^ { \varepsilon } ) ) - \mathbf { u } _ { E } ^ { \varepsilon } | _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] \times H ^ { s } ) } } \\ & { + | \eta _ { B } ^ { \varepsilon } - \eta _ { \Sigma } ^ { \varepsilon } + \eta _ { \Sigma } ^ { \varepsilon } - \eta _ { E } ^ { \varepsilon } | _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] \times H ^ { s } ) } } \\ & { \leq | \mathbf { u } _ { B } ^ { \varepsilon } - ( 1 - \frac { \varepsilon } { 2 } ( 1 - \theta ^ { 2 } ) \Delta ) ^ { - 1 } ( 1 - \frac { \varepsilon } { 2 } ( 1 - \underline { { \theta } } ^ { 2 } ) \Delta ) ( \mathbf { u } _ { \Sigma } ^ { \varepsilon } ( 1 - \frac { \varepsilon } { 2 } \eta _ { \Sigma } ^ { \varepsilon } ) ) | _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] \times H ^ { s } ) } } \\ & { + | \eta _ { B } ^ { \varepsilon } - \eta _ { \Sigma } ^ { \varepsilon } | _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] \times H ^ { s } ) } + | \eta _ { \Sigma } ^ { \varepsilon } - \eta _ { E } ^ { \varepsilon } | _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] \times H ^ { s } ) } } \\ & { + | ( 1 - \frac { \varepsilon } { 2 } ( 1 - \theta ^ { 2 } ) \Delta ) ^ { - 1 } ( 1 - \frac { \varepsilon } { 2 } ( 1 - \underline { { \theta } } ^ { 2 } ) \Delta ) ( \mathbf { u } _ { \Sigma } ^ { \varepsilon } ( 1 - \frac { \varepsilon } { 2 } \eta _ { \Sigma } ^ { \varepsilon } ) ) - \mathbf { u } _ { E } ^ { \varepsilon } | _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] \times H ^ { s } ) } } \\ & { = I + I I \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \mathrm { m e a n } } } & { { } = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } | Y ( \xi ) | ^ { 2 } ~ \xi ~ d \xi } { \int _ { 0 } ^ { \infty } | Y ( \xi ) | ^ { 2 } ~ d \xi } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { I } } { ( \beta ) _ { m , n } } } & { { } = { \frac { \partial \mu ^ { \textsf { T } } } { \partial \beta _ { m } } } \Sigma ^ { - 1 } { \frac { \partial \mu } { \partial \beta _ { n } } } , } \\ { { \mathcal { I } } { ( \theta ) _ { m , n } } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { t r } \left( \Sigma ^ { - 1 } { \frac { \partial \Sigma } { \partial \theta _ { m } } } { \Sigma ^ { - 1 } } { \frac { \partial \Sigma } { \partial \theta _ { n } } } \right) } \end{array}
\frac { \bar { r } | \dot { \tilde { z } } | } { \Gamma } \, \le \, C \delta \beta _ { \epsilon } \Bigl ( \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } + \delta \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } \Bigr ) + C \Bigl ( \delta ^ { 2 } + \epsilon ^ { \gamma _ { 5 } - 1 } \Bigr ) \, .
\Delta m ^ { 2 } = \frac { g _ { D } ^ { 2 } + g _ { F } ^ { 2 } } { 4 \pi } N _ { f } \mathrm { F } ( s , m _ { 0 } ^ { 2 } + \Delta m ^ { 2 } , m _ { 0 } ^ { 2 } + \Delta m ^ { 2 } , \Lambda )
\begin{array} { r l } { J _ { 2 } } & { = - c \int _ { \Omega } | \nabla | \nabla v | ^ { q } | ^ { 2 } - \int _ { \Omega } | \nabla v | ^ { 2 q - 2 } | D ^ { 2 } v | ^ { 2 } } \\ & { + \int _ { \Omega } | \nabla v | ^ { 2 q - 2 } \nabla v \cdot \nabla u } \\ & { - \int _ { \Omega } | \nabla v | ^ { 2 q } + c \int _ { \partial \Omega } \frac { \partial | \nabla v | ^ { 2 } } { \partial \nu } | \nabla v | ^ { 2 q - 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { \pm } ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } } & { = \kappa ^ { 2 } \left\{ \frac { 2 ( M - \kappa ^ { 2 } ) } { M - \kappa ^ { 2 } \mp \sqrt { ( M - \kappa ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \kappa ^ { 2 } } } - 2 \right\} } \\ & { = 2 \kappa ^ { 2 } \left\{ \frac { \pm \sqrt { ( M - \kappa ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \kappa ^ { 2 } } } { M - \kappa ^ { 2 } \mp \sqrt { ( M - \kappa ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \kappa ^ { 2 } } } \right\} . } \end{array}
f _ { i } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \mathbf { x } , t ) = f _ { i } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ ( ~ e ~ q ~ ) ~ } } ( \mathbf { x } , t ) + f _ { i } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ ( ~ n ~ e ~ q ~ ) ~ } } ( \mathbf { x } , t ) ,
\begin{array} { r l r } { C _ { c o s } ( n , m ) } & { { } = } & { \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } \bigg [ \frac { ( - 1 ) ^ { p } 2 ^ { ( 2 p + 1 ) } n ^ { 2 p } \pi ^ { 2 p } ( t _ { 2 } ^ { ( 2 p + m + 1 ) } - t _ { 1 } ^ { ( 2 p + m + 1 ) } ) } { ( 2 p + m + 1 ) ( 2 p ) ! T ^ { 2 p + 1 } } \bigg ] } \end{array}
W ^ { \mu \nu } = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \mathrm { I m } T ^ { \mu \nu } ~ ~ , ~ ~ ~ ~ T ^ { \mu \nu } = i \int d ^ { 4 } \xi e ^ { i q \cdot \xi } \langle P S | T ( J ^ { \mu } ( \xi ) J ^ { \nu } ( 0 ) | P S \rangle .
\phi ( \mathbf { m } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { s = 1 } ^ { N _ { s } } \sum _ { r \in \mathcal { N } _ { r } ^ { s } } \Big \Vert \mathbf { d } _ { s , r } ( \mathbf { m } ) - \mathbf { d } _ { s , r } ^ { o b s } \Big \Vert ^ { 2 } ,
\Lambda _ { N = 1 } ^ { 3 ( N _ { c } + 1 ) - N _ { f } } \tilde { \Lambda } _ { N = 1 } ^ { 3 ( N _ { f } - N _ { c } - 1 ) - N _ { f } } = C ( - 1 ) ^ { N _ { f } - N _ { c } - 1 } \lambda ^ { N _ { f } }
\begin{array} { r l } & { \chi _ { 3 } ^ { \mathrm { I n S , O u t S } } ( x , y , p _ { x } , p _ { y } ) = } \\ & { p _ { x } \left( i ( \partial _ { y y } \ln \epsilon _ { 1 } ) ( \partial _ { x } \epsilon _ { 2 } ) - i ( \partial _ { x y } \ln \epsilon _ { 1 } ) ( \partial _ { y } \epsilon _ { 2 } ) \right) + } \\ & { p _ { y } \left( i ( \partial _ { x x } \ln \epsilon _ { 1 } ) ( \partial _ { y } \epsilon _ { 2 } ) - i ( \partial _ { x y } \ln \epsilon _ { 1 } ) ( \partial _ { x } \epsilon _ { 2 } ) \right) + } \\ & { p _ { x } ^ { 2 } ( \partial _ { y } \ln \epsilon _ { 1 } ) ( \partial _ { y } \epsilon _ { 2 } ) + } \\ & { p _ { x } p _ { y } \left( - ( \partial _ { x } \ln \epsilon _ { 1 } ) ( \partial _ { y } \epsilon _ { 2 } ) - ( \partial _ { y } \ln \epsilon _ { 1 } ) ( \partial _ { x } \epsilon _ { 2 } ) \right) + } \\ & { p _ { y } ^ { 2 } \left( ( \partial _ { x } \ln \epsilon _ { 1 } ) ( \partial _ { x } \epsilon _ { 2 } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \lambda _ { n } } [ X _ { n } ^ { k } ] } & { = \sum _ { t = 1 } ^ { m k } \left( \frac { 1 } { ( n - 1 ) ( n - 2 ) \dots ( n - t ) } \sum _ { s = t + 1 } ^ { 2 t } { \binom { n } { s } } a _ { t , s } I _ { s } ( n ) \right) } \\ & { = \sum _ { t = 1 } ^ { m k } \sum _ { s = t + 1 } ^ { 2 t } { \binom { n } { s } } \frac { a _ { t , s } I _ { s } ( n ) } { ( n - 1 ) ( n - 2 ) \dots ( n - t ) } . } \end{array}
\cfrac { d V } { d t } = - ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } ) \cdot V + \frac 1 2 ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } ) \varepsilon _ { S S l } ^ { 2 } \varepsilon _ { M M } ^ { 2 } \cdot s _ { 0 } ^ { 2 }
\langle { \delta { \bf { u } } ^ { \prime } \times { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle ^ { i } = \tau _ { u } \langle { ( { \bf { j } } ^ { \prime } \times { \bf { B } } ) \times { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle ^ { i } = \tau _ { u } \langle { { \bf { b } } ^ { \prime } \cdot { \bf { j } } ^ { \prime } } \rangle B ^ { i } .
F _ { i } ( \mathbf { x } ) = - \frac { \partial G } { \partial x _ { i } } ( \mathbf { x } ) \approx - \left( \frac { G ( \mathbf { x } + h \mathbf { e } _ { i } ) - G ( \mathbf { x } - h \mathbf { e } _ { i } ) } { 2 h } \right)
P _ { \nu _ { \alpha } \rightarrow \nu _ { \beta } } = \Bigg | \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } U _ { \alpha i } ^ { \prime } \exp \left( \frac { \Delta \tilde { m } _ { i 1 } ^ { 2 } L } { 2 E } \right) U _ { \beta i } ^ { \prime \ast } \Bigg | ^ { 2 } \; ,
U _ { e 1 } = \sqrt { 1 - | U _ { e 3 } | ^ { 2 } } \, ~ \cos \theta _ { 1 2 } \, ; U _ { e 2 } = \sqrt { 1 - | U _ { e 3 } | ^ { 2 } } \, ~ \sin \theta _ { 1 2 } \, .
= \int \left\{ \frac { \varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } } { 4 \pi } \int _ { v } d ^ { 3 } x \nabla \phi _ { 1 } ( \textbf { x } ) \boldsymbol { \cdot } \nabla \hat { \chi } ( \textbf { x } ) \right\} d t .
\Gamma _ { \mu \nu \rho } ^ { 1 , s i n g } ( p , q ) \sim \{ \frac { \tilde { p } _ { \mu } \tilde { p } _ { \nu } \tilde { p } _ { \rho } } { \xi ^ { 2 } | \tilde { p } | ^ { 4 } } + ( p \rightarrow q ) + ( p \rightarrow - ( p + q ) ) \}
A 5 \left[ \, { \cal O } _ { 5 } ^ { 0 } , \, \Phi \right] = - \, i F ^ { 0 } \left[ \frac { \partial \Phi } { \partial \eta ^ { 0 } } - \partial _ { n } \frac { \partial \Phi } { \partial ( \partial _ { n } \eta ^ { 0 } ) } - { \cal F } _ { 0 } \left( \frac { \partial \Phi } { \partial ( \partial _ { 0 } \eta ^ { 0 } ) } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \ensuremath { | \delta i \rangle } } & { = - \sum _ { a \neq i } \ensuremath { | a \rangle } \frac { { \mathbfcal { E } } _ { S } \cdot \v { D } _ { a i } } { \Delta { E _ { i a } } } \, , } \\ { \ensuremath { | \delta f \rangle } } & { = - \sum _ { a \neq f } \ensuremath { | a \rangle } \frac { { \mathbfcal { E } } _ { S } \cdot \v { D } _ { a f } } { \Delta { E _ { f a } } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { z } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d x ( x _ { 0 } ) } { d \xi } d x _ { 0 } + g \int _ { 0 } ^ { \infty } x _ { 0 } \frac { d x ( x _ { 0 } ) } { d \xi } d x _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \mathbf { v } _ { d } \cdot \nabla s } } = \frac { m } { \tau _ { b } Z _ { e } \partial _ { s } \Psi } \partial _ { \alpha } J \, , \quad \overline { { \mathbf { v } _ { d } \cdot \nabla \alpha } } = - \frac { m } { \tau _ { b } Z e \partial _ { s } \Psi } \partial _ { s } J \, . } \end{array}
\partial _ { \tau } p _ { \underline { { a } } } = 0 , \quad ( p _ { \underline { { a } } } \Gamma ^ { \underline { { a } } } ) _ { ~ ~ \underline { { \beta } } } ^ { \underline { { \alpha } } } \partial _ { \tau } \theta ^ { \underline { { \beta } } } = 0 .