{ \begin{array} { r l } { \ln q _ { \mu } ^ { * } ( \mu ) } & { = - { \frac { \operatorname { E } _ { \tau } [ \tau ] } { 2 } } \left\{ \sum _ { n = 1 } ^ { N } ( x _ { n } - \mu ) ^ { 2 } + \lambda _ { 0 } ( \mu - \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } \right\} + C _ { 3 } } \\ & { = - { \frac { \operatorname { E } _ { \tau } [ \tau ] } { 2 } } \left\{ \sum _ { n = 1 } ^ { N } ( x _ { n } ^ { 2 } - 2 x _ { n } \mu + \mu ^ { 2 } ) + \lambda _ { 0 } ( \mu ^ { 2 } - 2 \mu _ { 0 } \mu + \mu _ { 0 } ^ { 2 } ) \right\} + C _ { 3 } } \\ & { = - { \frac { \operatorname { E } _ { \tau } [ \tau ] } { 2 } } \left\{ \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } ^ { 2 } \right) - 2 \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } \right) \mu + \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \mu ^ { 2 } \right) + \lambda _ { 0 } \mu ^ { 2 } - 2 \lambda _ { 0 } \mu _ { 0 } \mu + \lambda _ { 0 } \mu _ { 0 } ^ { 2 } \right\} + C _ { 3 } } \\ & { = - { \frac { \operatorname { E } _ { \tau } [ \tau ] } { 2 } } \left\{ ( \lambda _ { 0 } + N ) \mu ^ { 2 } - 2 \left( \lambda _ { 0 } \mu _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } \right) \mu + \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } ^ { 2 } \right) + \lambda _ { 0 } \mu _ { 0 } ^ { 2 } \right\} + C _ { 3 } } \\ & { = - { \frac { \operatorname { E } _ { \tau } [ \tau ] } { 2 } } \left\{ ( \lambda _ { 0 } + N ) \mu ^ { 2 } - 2 \left( \lambda _ { 0 } \mu _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } \right) \mu \right\} + C _ { 4 } } \\ & { = - { \frac { \operatorname { E } _ { \tau } [ \tau ] } { 2 } } \left\{ ( \lambda _ { 0 } + N ) \mu ^ { 2 } - 2 \left( { \frac { \lambda _ { 0 } \mu _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } } { \lambda _ { 0 } + N } } \right) ( \lambda _ { 0 } + N ) \mu \right\} + C _ { 4 } } \\ & { = - { \frac { \operatorname { E } _ { \tau } [ \tau ] } { 2 } } \left\{ ( \lambda _ { 0 } + N ) \left( \mu ^ { 2 } - 2 \left( { \frac { \lambda _ { 0 } \mu _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } } { \lambda _ { 0 } + N } } \right) \mu \right) \right\} + C _ { 4 } } \\ & { = - { \frac { \operatorname { E } _ { \tau } [ \tau ] } { 2 } } \left\{ ( \lambda _ { 0 } + N ) \left( \mu ^ { 2 } - 2 \left( { \frac { \lambda _ { 0 } \mu _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } } { \lambda _ { 0 } + N } } \right) \mu + \left( { \frac { \lambda _ { 0 } \mu _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } } { \lambda _ { 0 } + N } } \right) ^ { 2 } - \left( { \frac { \lambda _ { 0 } \mu _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } } { \lambda _ { 0 } + N } } \right) ^ { 2 } \right) \right\} + C _ { 4 } } \\ & { = - { \frac { \operatorname { E } _ { \tau } [ \tau ] } { 2 } } \left\{ ( \lambda _ { 0 } + N ) \left( \mu ^ { 2 } - 2 \left( { \frac { \lambda _ { 0 } \mu _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } } { \lambda _ { 0 } + N } } \right) \mu + \left( { \frac { \lambda _ { 0 } \mu _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } } { \lambda _ { 0 } + N } } \right) ^ { 2 } \right) \right\} + C _ { 5 } } \\ & { = - { \frac { \operatorname { E } _ { \tau } [ \tau ] } { 2 } } \left\{ ( \lambda _ { 0 } + N ) \left( \mu - { \frac { \lambda _ { 0 } \mu _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } } { \lambda _ { 0 } + N } } \right) ^ { 2 } \right\} + C _ { 5 } } \\ & { = - { \frac { 1 } { 2 } } ( \lambda _ { 0 } + N ) \operatorname { E } _ { \tau } [ \tau ] \left( \mu - { \frac { \lambda _ { 0 } \mu _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } } { \lambda _ { 0 } + N } } \right) ^ { 2 } + C _ { 5 } } \end{array} }