harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { B _ { 5 _ { L } } } & { = B _ { 5 _ { R } } = D _ { \delta _ { L } } D _ { \delta _ { R } } \frac { 6 + 1 8 D _ { \delta _ { L } } D _ { \delta _ { R } } } { ( 1 - D _ { \delta _ { L } } D _ { \delta _ { R } } ) ( 1 - 9 D _ { \delta _ { L } } D _ { \delta _ { R } } ) } \mathrm { , } } \\ { B _ { 4 _ { L } } } & { = \frac { 2 4 D _ { \delta _ { L } } ^ { 2 } D _ { \delta _ { R } } } { ( 1 - D _ { \delta _ { L } } D _ { \delta _ { R } } ) ( 1 - 9 D _ { \delta _ { L } } D _ { \delta _ { R } } ) } \mathrm { , } } \\ { B _ { 4 _ { R } } } & { = \frac { 2 4 D _ { \delta _ { L } } D _ { \delta _ { R } } ^ { 2 } } { ( 1 - D _ { \delta _ { L } } D _ { \delta _ { R } } ) ( 1 - 9 D _ { \delta _ { L } } D _ { \delta _ { R } } ) } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \hat { h } } } & { { = \frac { 1 } { k } \{ ( \ell ^ { + } - \ell ^ { - } ) ^ { 2 } - ( \ell _ { 3 } ^ { + } - \ell _ { 3 } ^ { - } ) ^ { 2 } + k ^ { - } \ell ^ { + } + k ^ { + } \ell ^ { - } \} } } \\ { { } } & { { } } \\ { { \hat { q } } } & { { = \frac { 2 } { k } \{ k ^ { - } \ell _ { 3 } ^ { + } + k ^ { + } \ell _ { 3 } ^ { - } \} } } \\ { { } } & { { } } \\ { { \hat { h } ^ { \prime } } } & { { = \frac { 1 } { k } \{ ( \ell ^ { + } - \ell ^ { - } ) ^ { 2 } - ( \ell _ { 3 } ^ { + } + \ell _ { 3 } ^ { - } ) ^ { 2 } + k ^ { - } \ell ^ { + } + k ^ { + } \ell ^ { - } \} } } \\ { { } } & { { } } \\ { { \hat { q } ^ { \prime } } } & { { = \frac { 2 } { k } \{ k ^ { - } \ell _ { 3 } ^ { + } - k ^ { + } \ell _ { 3 } ^ { - } \} } } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { s } ^ { 2 } = \Big \langle \frac { \rho _ { k } } { \rho } \mathcal { P } _ { k } \Big \rangle + \frac { \rho \varepsilon + p _ { + } } { \rho } \mathcal { P } = \frac { \gamma ( p _ { + } + p _ { * 1 } ) ( p _ { + } + p _ { * 2 } ) } { \rho \sqrt { d } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { S } _ { n } ^ { ( \mathrm { ~ 2 ~ } ) } \simeq \alpha I _ { 1 } I _ { 2 } \beta _ { { n } } \mathcal { C O } _ { n } ^ { ( 2 ) } \int d ^ { 3 } \mathbf { R } \, { G ^ { ( 2 ) } } ( \mathbf { R } , R _ { n } ) } \\ { = \alpha I _ { 1 } I _ { 2 } \mathcal { N } ^ { ( 2 ) } \beta _ { n } \mathcal { C O } _ { n } ^ { ( 2 ) } \textsl { g } ^ { ( 2 ) } ( R _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \mathbf { P } _ { k } } { d t } } & { { } = } & { C _ { P } ( \mathbf { P } _ { k } ) ( J _ { k , k + 1 } ^ { R } - J _ { k - 1 , k } ^ { L } + \beta J _ { k } ^ { n c } ) , } \\ { \frac { d \mathbf { X } _ { k } } { d t } } & { { } = } & { - C _ { X } ( \mathbf { P } _ { k } ) ( J _ { k , k + 1 } ^ { R } + J _ { k - 1 , k } ^ { L } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| U _ { k } ( u , \phi ) \| ^ { 2 } \leq } & { \frac { 1 } { 2 } \rho _ { 2 } \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 c _ { 0 } ^ { 2 } } \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 c _ { 0 } ^ { 2 } } \| \nabla \Delta \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } } \\ { + } & { C \sum _ { 0 \leq j \leq k - 1 } \Big [ \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } u \| ^ { 2 } + \| \nabla \Delta \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad + ( 1 + \| \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { 4 } + \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { 4 } ) \| \partial _ { t } ^ { j } u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } \Big ] } \\ & { + C \sum _ { 0 \leq j \leq k } \Big [ ( 1 + \| \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { 1 6 } + \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { 1 6 } ) ( \| \partial _ { t } ^ { j } u \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 1 0 } + \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } u \| ^ { 1 0 } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad + ( \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { 8 } + \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { 8 } ) \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { 2 } \Big ] } \\ { \leq } & { \frac { 1 } { 2 } \rho _ { 2 } \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \| \nabla \Delta \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } } \\ & { + C \sum _ { 0 \leq j \leq k - 1 } ( 1 + E _ { j } ^ { 2 } ( t ) ) D _ { j } ( t ) + C \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + E _ { j } ^ { 8 } ( t ) ) E _ { j } ^ { 5 } ( t ) \, . } \end{array}
h ^ { \mathrm { s o l } } = C ^ { \mathrm { S } } ( T ^ { \mathrm { s o l } } - T _ { r } ) , h ^ { \mathrm { l i q } } = \bar { C } ( T ^ { \mathrm { l i q } } - T ^ { \mathrm { s o l } } ) + h ^ { \mathrm { s o l } } + L , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \bar { C } = \frac { C ^ { \mathrm { S } } + C ^ { \mathrm { L } } } { 2 }
S _ { 0 } ^ { ( C M 2 ) } [ \eta ^ { ( 1 ) } , a ^ { ( 2 ) } ] = \lambda _ { 1 } \int \left( \dot { a } ^ { ( 2 ) } \right) ^ { 2 } [ I - 2 i _ { \eta ^ { ( 1 ) } } ( t ) ] d t
P _ { u ^ { \prime } } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } P ( u ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) \, d v ^ { \prime } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \Lambda ^ { 2 } } { 2 \, \pi } \, \exp { \left( - \Lambda \, \sqrt { u ^ { 2 } + v ^ { 2 } } \right) } \, d v ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } & { \rVert M _ { x } ( q ) - M _ { \varphi , x } ( q ) \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 4 } + \varepsilon ^ { 2 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } , } \\ & { \rVert d _ { i } ( M _ { x } ( q ) - M _ { \varphi , x } ( q ) ( i _ { 0 } ) ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 2 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
n ( p ) \: \propto \: \vert f _ { 1 } \: e ^ { i \phi _ { 1 } } A _ { 3 b } + f _ { 2 } \: e ^ { i \phi _ { 2 } } B W _ { \rho ^ { + } } ( p ) + f _ { 3 } \: e ^ { i \phi _ { 3 } } B W _ { K ^ { * - } } ( p ) + f _ { 4 } \: e ^ { i \phi _ { 4 } } B W _ { \bar { K } ^ { * 0 } } ( p ) { \vert } ^ { 2 }
\left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { ( d _ { - } ) ^ { m } \phi _ { 2 } ^ { ( n ) } } } \end{array} \right) , \; \; \; \; \; \; \left( \begin{array} { c } { { ( d _ { - } ) ^ { m } \phi _ { 2 } ^ { ( n ) } } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) \; \; \; \; \makebox { f o r } \; \; m > 0 .
\textstyle \left[ { \frac { 3 k + 0 } { 3 ^ { n } } } , { \frac { 3 k + 1 } { 3 ^ { n } } } \right] \cup \left[ { \frac { 3 k + 2 } { 3 ^ { n } } } , { \frac { 3 k + 3 } { 3 ^ { n } } } \right] .
P _ { \{ \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \} } \left( \zeta _ { 2 } , \zeta _ { 1 } ; \lambda ^ { - 1 } \right) = P _ { \{ \mu _ { 1 } , \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } \} } \left( \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 2 } ; \lambda ^ { - 1 } \right) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { q _ { k k ^ { \prime } k ^ { \prime \prime } } ^ { s s ^ { \prime } s ^ { \prime \prime } } ( { \bf k } , { \bf k } ^ { \prime } , { \bf k } ^ { \prime \prime } ) \delta ( { \bf k } + { \bf k } ^ { \prime } + { \bf k } ^ { \prime \prime } ) = - 2 i \epsilon \Delta ( \Omega _ { k k ^ { \prime } k ^ { \prime \prime } } ) \delta ( { \bf k } + { \bf k } ^ { \prime } + { \bf k } ^ { \prime \prime } ) } \\ & { } & { \left[ L _ { k k ^ { \prime } k ^ { \prime \prime } } ^ { s s ^ { \prime } s ^ { \prime \prime } } q _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime \prime } } ( { \bf k } ^ { \prime \prime } ) q _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } ( { \bf k } ^ { \prime } ) + L _ { k ^ { \prime } k k ^ { \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime } s s ^ { \prime \prime } } q _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime \prime } } ( { \bf k } ^ { \prime \prime } ) q _ { k } ^ { s } ( { \bf k } ) + L _ { k ^ { \prime \prime } k ^ { \prime } k } ^ { s ^ { \prime \prime } s ^ { \prime } s } q _ { k } ^ { s } ( { \bf k } ) q _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } ( { \bf k } ^ { \prime } ) \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( { \mathbf r } , } & { { \mathbf u } , { \mathbf z } , { \mathbf w } , { \mathbf X } ) = } \\ & { p ( { \mathbf r } | { \mathbf u } , { \mathbf z } , { \mathbf w } , { \mathbf X } ) p _ { \beta } ( { \mathbf z } | { \mathbf u } , { \mathbf w } , { \mathbf X } ) p ( { \mathbf u } | { \mathbf X } ) p ( { \mathbf w } ) p ( { \mathbf X } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { [ b ] \frac { d } { d t } } & { { } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \mathcal { O } } \varphi ( v ) g ( v , w ^ { - } , w ^ { + } , t ) \, d v \, d w ^ { - } \, d w ^ { + } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d A } { d t } = } & { \alpha \bar { P } _ { z } A + \epsilon B / 2 - A / T _ { 2 } , } \\ { \frac { d B } { d t } = } & { - \epsilon A / 2 - B / T _ { 2 } , } \\ { \frac { d \bar { P } _ { z } } { d t } = } & { - \alpha A ^ { 2 } / 4 - \bar { P } _ { z } / T _ { 1 } + G ( P _ { 0 } - \bar { P } _ { z } ) , } \\ { \frac { d \theta } { d t } = } & { - \omega _ { c } . } \end{array}
f _ { \mathrm { { i } } } ( r ) = \displaystyle { 1 - a \frac { 1 } { r ^ { 2 } } + a ^ { 2 } \frac { 1 } { r ^ { 4 } } - ( a ^ { 3 } + a ^ { 2 } ) \frac { 1 } { r ^ { 6 } } + \cdots }
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { m ^ { 2 } } { 2 } - \lambda \right) q _ { m } + \gamma ( 2 \uppi ) ^ { d } \sigma _ { 1 , m } \int _ { R ^ { n } } \sigma _ { 2 } ( z ) \phi _ { m } ( z ) \, { \mathrm { d } } z = 0 , } \\ & { \left( \frac { 1 } { 2 } - \lambda \right) \phi _ { m } ( z ) + \gamma ( 2 \uppi ) ^ { d } \Gamma ( z ) \sigma _ { 1 , m } q _ { m } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 \leq \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } = 0 } ^ { \infty } s ( u ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) , y ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) ) = \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } = 0 } ^ { \infty } ( \| y ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } \| u ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } ) = \gamma ^ { 2 } \| ( u ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) ) \| _ { \ell _ { 2 } } ^ { 2 } - \| ( y ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) ) \| _ { \ell _ { 2 } } ^ { 2 } } \end{array}
M = 4 i { \frac { Z e \alpha } { \pi } } { \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } } \epsilon _ { \rho \mu \alpha \beta } j _ { \rho } ^ { ( \nu ) } J _ { \mu } q _ { 2 \alpha } e _ { 2 \beta } \left( B ( m _ { \ell } , q _ { 1 } , q _ { 2 } ) + \sum _ { f } T _ { 3 f } Q _ { f } ^ { 2 } B ( m _ { f } , q _ { 1 } , q _ { 2 } ) \right) .
\begin{array} { r l } { \Vert v - v ^ { \theta } \Vert _ { \mathbf { E } _ { T , 0 } } ^ { 2 } } & { = \bigg \Vert \int _ { 0 } ^ { . } \mathcal { S } ( . - s ) \left( \overline { { F } } ( s ) - \mathcal { F } ^ { \theta } ( s ) \right) d s \bigg \Vert _ { \mathbf { E } _ { T , 0 } } ^ { 2 } \leq \mathbb { E } \int _ { 0 } ^ { T } \Vert \overline { { F } } ( s ) - \mathcal { F } ^ { \theta } ( s ) \Vert _ { \mathbb { H } } ^ { 2 } . } \end{array}
J ( u ^ { o b s } , \kappa ^ { e x a c t } ; \theta ) = \frac { 1 } { 2 } \| \kappa _ { \theta } ( u ^ { o b s } ) - \kappa ^ { e x a c t } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \frac { \alpha } { 2 } \| u ( \kappa _ { \theta } ( u ^ { o b s } ) ) - u ^ { o b s } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 }
G _ { \theta } ^ { i j } ( \nu ) = \delta _ { i j } \left( - \frac { \bar { R } _ { i } } { \bar { \gamma } _ { i } } + \nu \bar { R } _ { i } ^ { 2 } \cot ( \nu R _ { p } ) \right) - ( 1 - \delta _ { i j } ) \nu \bar { R } _ { i } \bar { R } _ { j } \csc ( \nu R _ { p } ) \, .
( { \gamma } ^ { \mu } i { \partial } _ { \mu } - m _ { 2 } ) { \psi } _ { 2 } ( x , t ) - \frac { 1 } { 2 } e _ { 2 } b ( t ) { \gamma } ^ { 1 } { \psi } _ { 2 } ( x , t ) + e _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \mathrm { L } } d y D ( x , y | \mathrm { L } ) J ^ { 0 } ( y , t ) { \gamma } ^ { 0 } { \psi } _ { 2 } ( x , t ) = 0 .
\Lambda _ { L } ^ { \mu } = i \lambda \bar { v } ^ { ( + ) } ( { \bf p } _ { 1 } ^ { \prime } ) \gamma ^ { \mu } v ^ { ( - ) } ( { \bf p } _ { 1 } ) \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ^ { 3 } ) } \frac { f ( k ^ { 2 } ) } { k ^ { 2 } } ,
E _ { 3 } - ( E _ { 1 } + E _ { 2 } ) / 2 , v _ { 3 } / ( v _ { 1 } - v _ { 2 } ) , \Delta _ { 1 2 } ^ { 2 } / ( v _ { 1 } - v _ { 2 } ) , \Delta _ { 1 3 } ^ { 2 } / ( v _ { 1 } - v _ { 2 } )
\dot { \xi } _ { \underline { { { c } } } } - { h } _ { \ \underline { { { c } } } } ^ { i } \, { h } _ { \ \underline { { { b } } } } ^ { j } \, T _ { i j } ^ { \underline { { { a } } } } \, \xi _ { \underline { { { a } } } } \, \xi ^ { \underline { { { b } } } } - { h } _ { \ \underline { { { c } } } } ^ { i } \, T _ { i 0 } ^ { \underline { { { a } } } } \, \xi _ { { a } } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \mathrm { ~ S ~ H ~ G ~ } , ( 1 ) , \mathbf { k } } ^ { \nu \mu \alpha \beta } ( \omega ) } & { { } = \, - \frac { i } { 2 } \Bigg [ \mathrm { ~ t ~ r ~ } \left\{ \hat { v } ^ { \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \hat { v } ^ { \alpha } , \partial _ { t } \hat { Q } ^ { \nu \beta } } ^ { ( 2 ) } ( 2 \omega ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { c } { { - a + \alpha = \frac \lambda { \lambda - \mu } 2 \alpha _ { + } - \frac \mu { \lambda - \mu } 2 \alpha _ { - } , } } \\ { { - a - \alpha = \frac \mu { \lambda - \mu } 2 \alpha _ { + } - \frac \lambda { \lambda - \mu } 2 \alpha _ { - } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { D V C } \left[ B ^ { 2 } \Sigma _ { 1 / 2 } ^ { + } ( 0 0 0 ) \rightarrow X ^ { 2 } \Sigma _ { 1 / 2 } ^ { + } ( 0 1 0 ) \right] } & { \propto \frac { | \lambda | ^ { 2 } } { 2 ( \Delta E _ { A B } - \omega ^ { A } ( 0 1 0 ) ) ^ { 2 } } | h _ { \mathrm { A X } } ^ { \mathrm { d i p } } | ^ { 2 } } \\ & { + \frac { | \lambda | ^ { 2 } } { 2 ( \Delta E _ { A B } - \Delta E _ { A A } - \omega ^ { A } ( 0 1 0 ) ) ^ { 2 } } | h _ { \mathrm { A X } } ^ { \mathrm { d i p } } | ^ { 2 } . } \end{array}
S _ { 5 } = - \int d ^ { 5 } x \sqrt { - g } \, \left[ i \bar { \Psi } _ { M } \gamma ^ { M N P } D _ { N } \Psi _ { P } + i \frac { 3 } { 2 } \frac { a ^ { \prime } } { a } \bar { \Psi } _ { M } \gamma ^ { M N } \Psi _ { N } + \left( i \bar { J } ^ { M } \Psi _ { M } + h . c . \right) \right] \, .
\tilde { \nu _ { 0 } } = \sqrt { 4 \tilde { Q } \tilde { L } ( \tilde { \varrho _ { c } } ) } = \frac { 1 } { \tilde { \varrho _ { c } } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \varrho _ { c } ^ { 2 } \kappa } = \frac { \nu _ { 0 } } { \kappa } , \quad \tilde { L } ( \tilde { \varrho _ { c } } ) = L ( \varrho _ { c } ) ,
\frac { z } { { \mit \Delta } X _ { \ast } } \frac { d \langle X \rangle } { d z } = \phi _ { X } \! \left( \frac { z } { L _ { \mathrm { O } } } \right) \ \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \ { \mit \Delta } X _ { \ast } = \frac { | \langle w { \mit \Delta } X \rangle | } { u _ { \ast } } .
y ( t ) = y _ { \mathrm { I } } + y _ { \mathrm { O } } - y _ { \mathrm { o v e r l a p } } = e \left( { 1 - e ^ { - t / \varepsilon } } \right) + e ^ { 1 - t } - e = e \left( { e ^ { - t } - e ^ { - t / \varepsilon } } \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } Z ^ { N _ { 0 } } ( t ) } & { = A _ { 0 } Z ^ { N _ { 0 } } ( t ) + \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \left[ - A _ { 0 } + \gamma _ { k } I \right] \left( \begin{array} { c } { \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { 1 } \right> } \\ { \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { 2 } \right> } \\ { \ldots } \\ { \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { N _ { 0 } } \right> } \end{array} \right) } \\ & { \phantom { = } \; + \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } 2 A _ { 0 } \left( \begin{array} { c } { \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { 1 } \right> } \\ { \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { 2 } \right> } \\ { \ldots } \\ { \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { N _ { 0 } } \right> } \end{array} \right) - \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \Xi \left( \begin{array} { c } { \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { 1 } \right> } \\ { \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { 2 } \right> } \\ { \ldots } \\ { \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { N _ { 0 } } \right> } \end{array} \right) } \\ & { = A _ { 0 } Z ^ { N _ { 0 } } ( t ) - \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \left[ A _ { 0 } + \gamma _ { k } I - \Xi \right] B _ { k } A U ( t ) } \\ & { \overset { = } A _ { 0 } Z ^ { N _ { 0 } } ( t ) + \left( - A _ { 0 } - \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \gamma _ { k } B _ { k } A + \Xi \right) U ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \left\langle \Delta \hat { N } _ { a } \right\rangle = [ \left\langle \hat { N } { a } ^ { 2 } \right\rangle - \left\langle \hat { N } _ { a } \right\rangle ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } = \sqrt { ( B - C \cos \phi ) N } , } & \\ & { \left\vert \partial \left\langle \hat { N } _ { a } \right\rangle / \partial \phi \right\vert = C N \left\vert \sin \phi \right\vert , } & \\ & { \delta \phi _ { \mathrm { s g } } = \frac { \left\langle \Delta \hat { N } _ { a } \right\rangle } { \left\vert \partial \left\langle \hat { N } _ { a } \right\rangle / \partial \phi \right\vert } = \frac { \sqrt { B - C \cos \phi } } { C \left\vert \sin \phi \right\vert } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { N } } , } & \end{array}
\begin{array} { r } { \! \! \! C _ { e \gamma } ^ { \ell } ( m _ { \ell } ) \simeq C _ { e \gamma } ^ { \ell } \! ( \Lambda ) \left( 1 \! - \! \frac { 3 y _ { t } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \log \frac { \Lambda } { m _ { t } } \! - \! \frac { 4 \alpha } { \pi } \log \frac { m _ { t } } { m _ { \ell } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varrho } & { { } = \int \sum _ { \alpha } f _ { \alpha } \operatorname { d } ^ { 3 } \! \vec { p } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \vec { j } } & { { } = \int \sum _ { \alpha } f _ { \alpha } \vec { v } _ { \alpha } \operatorname { d } ^ { 3 } \! \vec { p } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \vec { v } _ { \alpha } = \frac { \vec { p } } { m _ { \alpha } } \left( 1 + \frac { p ^ { 2 } } { m _ { \alpha } ^ { 2 } c ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 / 2 } , } \end{array}
g _ { 2 2 } \left( \tilde { q } \right) = \frac { \tilde { \Lambda } _ { 2 2 } ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { \pi } { 2 } \sqrt { \frac { 3 \tilde { q } ^ { 2 } } { 4 } + \tilde { \lambda } ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { B } ( 2 n + 1 ) } & { = \{ \lambda \in \mathcal { P } ( 2 n + 1 ) \mid x \mathrm { ~ e v e n } \implies m _ { \lambda } ( x ) \mathrm { ~ e v e n } \} } \\ { \mathcal { P } _ { C } ( 2 n ) } & { = \{ \lambda \in \mathcal { P } ( 2 n ) \mid x \mathrm { ~ o d d } \implies m _ { \lambda } ( x ) \mathrm { ~ o d d ~ ( o r ~ 0 ) } \} } \\ { \mathcal { P } _ { D } ( 2 n ) } & { = \{ \lambda \in \mathcal { P } ( 2 n ) \mid x \mathrm { ~ e v e n } \implies m _ { \lambda } ( x ) \mathrm { ~ e v e n } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial J ( \alpha ) } { \partial \beta } } \\ & { = \mathbb { E } \Big [ \int _ { 0 } ^ { T } \langle \mathcal { L } ^ { \prime } ( t , u _ { t } ^ { \alpha } ) , y _ { t } ^ { \beta } \rangle + \nu \langle \Phi ( t , u _ { t } ^ { \alpha } , \alpha ) , \Phi _ { \alpha } ( t , u _ { t } ^ { \alpha } , \alpha ) \beta \rangle } \\ & { \quad + \nu \langle \Phi ( t , u _ { t } ^ { \alpha } , \alpha ) , \Phi _ { u } ( t , u _ { t } ^ { \alpha } , \alpha ) y _ { t } ^ { \beta } \rangle \mathrm { d } t + \langle \mathcal { M } ^ { \prime } ( u _ { T } ^ { \alpha } ) , y _ { T } ^ { \beta } \rangle \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \delta } \bigg | _ { \delta = 1 } J _ { \tau _ { \delta } } ^ { - w } \bar { J } _ { \tau _ { \delta } } ^ { - w ^ { \prime } } \left( \Psi _ { j , k } \circ \tau _ { \delta } \right) \bigg | _ { \mathcal { H } _ { j + 1 , k } ^ { \S } \bigoplus \mathcal { H } _ { j , k + 1 } ^ { \S } } } & { = A \bar { z } ^ { k - j - 1 } P _ { j + 1 } ^ { ( n - 1 , k - j - 1 ) } ( 2 | z | ^ { 2 } - 1 ) } \\ & { + B \bar { z } ^ { k - j + 1 } P _ { j } ^ { ( n - 1 , k - j + 1 ) } ( 2 | z | ^ { 2 } - 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 2 } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } k r _ { g } C _ { 2 0 } R _ { \oplus } ^ { 2 } \Big \{ - \sin ^ { 2 } \theta \cos 2 \phi _ { \xi } \frac { 1 } { r \big ( r + ( { \vec { k } } \cdot { \vec { r } } ) \big ) } + } \end{array}
\langle \Lambda ( \vec { x } ) \Lambda ( \vec { x } + \vec { r } ) \rangle = \langle ( \vec { H } \cdot \vec { \nabla } \times \vec { H } ) ( \vec { x } ) ( \vec { H } \cdot \vec { \nabla } \times \vec { H } ) ( \vec { x } + \vec { r } ) \rangle
h ( z ) = \frac { z e ^ { i \sqrt { z ^ { 2 } / a ^ { 2 } + m ^ { 2 } } ( t ^ { \prime } - t ) } } { \sqrt { z ^ { 2 } + m ^ { 2 } a ^ { 2 } } } g _ { \nu _ { l } } ( z , z r / a ) g _ { \nu _ { l } } ( z , z r ^ { \prime } / a ) .
\begin{array} { r } { \mu [ 1 / Q _ { \mathrm { s c a t } } ] = 6 . 3 \times 1 0 ^ { - 7 } \sigma _ { r } ^ { 2 } , } \\ { \sigma [ 1 / Q _ { \mathrm { s c a t } } ] = 3 . 3 \times 1 0 ^ { - 7 } \sigma _ { r } ^ { 2 } , } \end{array}
\bar { \cal K } [ A ] = { \cal K } [ A ] - \frac { 1 } { 2 i } \mathrm { T r } \ln A ^ { - 1 } = \int { \cal D } \varphi \left. e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \varphi A ^ { - 1 } \varphi - \frac { i \lambda } { 4 ! } \varphi ^ { 4 } } \right| _ { \mathrm { e x c l . \; 1 V R } }
\begin{array} { r l } { \mathbf { V } _ { \mathbb { R } } ( \delta ) \setminus \mathbf { V } _ { \mathbb { R } } ( \delta ) } & { = \mathbf { V } _ { \mathbb { R } } ( \delta ) \setminus \mathbf { V } _ { \mathbb { R } } ( \delta ) } \\ & { = \mathbf { V } _ { \mathbb { R } } ( \delta ) \setminus \mathbf { V } _ { \mathbb { R } } ( \delta ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { P } ( z , t ) = \mathcal { P } _ { s } ( z ) + \delta \mathcal { P } ( z , t ) , } \\ { Q [ \mathcal { P } ( z , t ) ] = Q _ { s } [ \mathcal { P } _ { s } ( z ) ] + \delta Q [ \delta \mathcal { P } ( z , t ) ] , } \end{array}
\mathrm { p r o b } ( \xi , Q ^ { 2 } ) \propto \frac { 1 } { Q ^ { 2 } } \Delta ^ { j } ( Q _ { 2 } ^ { 2 } , Q ^ { 2 } ) \, \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } \, \sum _ { j ^ { \prime } } P _ { j } ^ { j ^ { \prime } } ( \xi ) \, \sigma _ { \mathrm { o r d } } ^ { j ^ { \prime } i } ( \xi \hat { s } , Q ^ { 2 } , Q _ { 1 } ^ { 2 } ) ,
S _ { 0 } = - N \int d \tilde { t } \, S T r \left( - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \tilde { t } } \tilde { \Phi } \partial _ { \tilde { t } } \tilde { \Phi } + \frac { 1 } { 4 } [ \tilde { \Phi } , \tilde { \Phi } ] ^ { 2 } \right)
{ \begin{array} { r l } { 1 = \operatorname* { d e t } ( \mathbf { I } ) } & { = \operatorname* { d e t } \left( \mathbf { R } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { R } \right) = \operatorname* { d e t } \left( \mathbf { R } ^ { \mathsf { T } } \right) \operatorname* { d e t } ( \mathbf { R } ) = \operatorname* { d e t } ( \mathbf { R } ) ^ { 2 } } \\ { \Longrightarrow \qquad \operatorname* { d e t } ( \mathbf { R } ) } & { = \pm 1 . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ f _ { \theta } \left( \bar { X } _ { t } \right) ] } & { \le f _ { \theta } ( x ) e ^ { - \theta t | \nabla U ( x ) | ^ { 2 } ( 1 - 2 L t ) } \mathbb { E } \left[ e ^ { \theta \sigma \sqrt { t } \langle \nabla U ( x ) , Z \rangle + 2 \theta L \sigma ^ { 2 } t | Z | ^ { 2 } } \right] } \\ & { \le f _ { \theta } ( x ) e ^ { - \theta t | \nabla U ( x ) | ^ { 2 } ( 1 - 2 L t ) } \prod _ { i = 1 } ^ { d } \mathbb { E } [ e ^ { \alpha _ { i } Z _ { i } + \beta _ { i } | Z _ { i } | ^ { 2 } } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \tau _ { 1 } \! = \! k ) } & { { } = \frac { 1 } { \mu _ { 1 } } \bigg ( 1 - \frac { 1 } { \mu _ { 1 } } \bigg ) ^ { k - 1 } \, , \quad k = 1 , 2 , \cdots , \infty } \\ { P ( \tau _ { 0 } \! = \! k ) } & { { } = \frac { 1 } { Z } \exp \bigg ( - \frac { ( k - \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \bigg ) \, , \quad k = 1 , 2 , \cdots , 2 \mu _ { 0 } \! - \! 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { 1 } } & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { h _ { 1 } \in H _ { n } ^ { ( 1 ) } } \bar { \ell } ( \eta ^ { 0 } + h _ { 1 } ) - \bar { \ell } ( \eta ^ { 0 } ) } \\ { \Delta _ { 0 } } & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { h _ { 0 } \in H _ { n } ^ { ( 0 ) } } \bar { \ell } ( \eta ^ { 0 } + h _ { 0 } ) - \bar { \ell } ( \eta ^ { 0 } ) , } \end{array}