harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { 2 } , \vec { x } _ { 2 } ^ { \prime } ) + \tilde { \omega } _ { k } \left( d _ { \mathrm { K R } } ^ { 2 } \left[ ( \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ^ { \prime } ] ) , ( \mu _ { 2 } , \mu _ { 2 } ^ { \prime } ) \right] \right) \leq k _ { \mathrm { M c K } } ^ { [ M ] } ( \mu _ { 2 } , \mu _ { 2 } ^ { \prime } ) + \epsilon .
\begin{array} { r l r } & { } & { \left| { \mathbb { P } } ( n ^ { 1 / 2 } | \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } - { \boldsymbol \theta } | _ { \infty } \leq q _ { 1 - \alpha - 3 \beta _ { n , p } } ) \right. } \\ & { } & { \left. - { \mathbb { P } } ( n ^ { 1 / 2 } | \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } - { \boldsymbol \theta } | _ { \infty } \leq q _ { 1 - \alpha - 3 \beta _ { n , p } } - n ^ { - 1 / 6 } ) \right| } \\ & { \leq } & { \left| { \mathbb { P } } ( | G | _ { \infty } \leq q _ { 1 - \alpha - 3 \beta _ { n , p } } ) - { \mathbb { P } } ( | G | _ { \infty } \leq q _ { 1 - \alpha - 3 \beta _ { n , p } } - n ^ { - 1 / 6 } ) \right| } \\ & { } & { + \left| { \mathbb { P } } ( n ^ { 1 / 2 } | \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } - { \boldsymbol \theta } | _ { \infty } \leq q _ { 1 - \alpha - 3 \beta _ { n , p } } ) - { \mathbb { P } } ( | G | _ { \infty } \leq q _ { 1 - \alpha - 3 \beta _ { n , p } } ) \right| } \\ & { } & { + \left| { \mathbb { P } } ( n ^ { 1 / 2 } | \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } - { \boldsymbol \theta } | _ { \infty } \leq q _ { 1 - \alpha - 3 \beta _ { n , p } } - n ^ { - 1 / 6 } ) \right. } \\ & { } & { \left. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - { \mathbb { P } } ( | G | _ { \infty } \leq q _ { 1 - \alpha - 3 \beta _ { n , p } } - n ^ { - 1 / 6 } ) \right| } \\ & { \leq } & { \left| { \mathbb { P } } ( | G | _ { \infty } \leq q _ { 1 - \alpha - 3 \beta _ { n , p } } ) - { \mathbb { P } } ( | G | _ { \infty } \leq q _ { 1 - \alpha - 3 \beta _ { n , p } } - n ^ { - 1 / 6 } ) \right| + \beta _ { n , p } } \\ & { \leq } & { C _ { 1 } \left\{ n ^ { - 1 } \log ^ { 5 } ( n p ) \right\} ^ { 1 / 6 } + \beta _ { n , p } , } \end{array}
{ \cal { G } } _ { k _ { \perp } } ^ { \pm ( \eta ) } ( t , t ^ { \prime } ) = - { \frac { \Gamma ( - \nu ) } { 2 \sqrt { \pi } } } e ^ { - { \frac { i \pi } { 4 } } } { \frac { 1 } { S ^ { \prime } } } D _ { \nu } \left( { \frac { 1 + i } { \sqrt { \hbar } } } S ( t ) \right) D _ { \nu } \left( - { \frac { 1 + i } { \sqrt { \hbar } } } S ( t ^ { \prime } ) \right)
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d s } | _ { s = 0 } } & { = } & { e ^ { s } \star \left( x _ { i } ; \eta _ { j } \right) } \\ { \frac { d } { d s } | _ { s = 0 } } & { = } & { \left( e ^ { \omega \left( i \right) \cdot s } x _ { i } ; e ^ { \omega \left( j \right) \cdot s } \eta _ { j } \right) } \\ & { = } & { \left( \omega ( i ) x _ { i } ; \omega ( j ) \eta _ { j } \right) } \\ { = E _ { \omega } . } \end{array}
{ \cal S } _ { w z w } \approx { \frac { 2 } { 5 \pi ^ { 2 } } } \; \int d t \int d ^ { 3 } r \; \phi _ { u } \; \partial _ { r } \phi _ { d } \; \partial _ { 0 } \phi _ { s } \; ( \vec { p } _ { \pi ^ { + } } \times \vec { p } _ { \pi ^ { - } } ) \cdot \hat { r }
\frac { 1 } { m } H \left( \pi _ { W } \left( f _ { u } ^ { ( \omega ) } \eta ^ { ( T ^ { k ^ { \prime } } \omega ) } \right) , { \mathcal D } _ { k + m } | { \mathcal D } _ { k } \right) = \frac { 1 } { m } H \left( \pi _ { W } \left( f _ { u } ^ { ( \omega ) } \eta ^ { ( T ^ { k ^ { \prime } } \omega ) } \right) , { \mathcal D } _ { k + m } \right) + O ( 1 / m ) .
\left[ \omega _ { W P } ^ { ( n ) } \right] ^ { n - 4 } \cap \left[ \overline { { V } } ^ { ( k + 2 ) } \times \overline { { V } } ^ { ( n - k ) } \right] = \left[ \omega _ { W P } ^ { ( k + 2 ) } + \omega _ { W P } ^ { ( n - k ) } \right] ^ { n - 4 } \cap \left[ \overline { { V } } ^ { ( k + 2 ) } \times \overline { { V } } ^ { ( n - k ) } \right] ,
A = { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { a _ { 0 } } & { a _ { - 1 } } & { a _ { - 2 } } & { \cdots } & { \cdots } & { a _ { - ( n - 1 ) } } \\ { a _ { 1 } } & { a _ { 0 } } & { a _ { - 1 } } & { \ddots } & { } & { \vdots } \\ { a _ { 2 } } & { a _ { 1 } } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { a _ { - 1 } } & { a _ { - 2 } } \\ { \vdots } & { } & { \ddots } & { a _ { 1 } } & { a _ { 0 } } & { a _ { - 1 } } \\ { a _ { n - 1 } } & { \cdots } & { \cdots } & { a _ { 2 } } & { a _ { 1 } } & { a _ { 0 } } \end{array} \right] }
D ( p _ { 1 } , \ldots , p _ { m } ) \equiv \left| \begin{array} { l l l l l } { { p _ { 1 } ^ { m - 1 } } } & { { p _ { 1 } ^ { m - 2 } } } & { { \cdots } } & { { p _ { 1 } } } & { { 1 } } \\ { { p _ { 2 } ^ { m - 1 } } } & { { p _ { 2 } ^ { m - 2 } } } & { { \cdots } } & { { p _ { 2 } } } & { { 1 } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } \\ { { p _ { m } ^ { m - 1 } } } & { { p _ { m } ^ { m - 2 } } } & { { \cdots } } & { { p _ { m } } } & { { 1 } } \end{array} \right| .
\times \int _ { \Omega } I _ { A B } ^ { K } D _ { R } E _ { B } ^ { J } ( h ) \biggl ( D _ { S } E _ { A } ^ { P } E _ { C } ^ { L } ( f ) D _ { J - R - S + M + L + P + N + K } E _ { D } ^ { M } ( g ) - ( F \leftrightarrow G ) \biggr ) ,
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { u } } _ { n + 1 } - \mathbf { u } _ { k ( n + 1 ) } } & { = \hat { \mathbf { u } } _ { n } + \mathbf { f } ( \hat { \mathbf { u } } _ { n } ) ( k \Delta t ) + Q ( \mathbf { f } ( \hat { \mathbf { u } } _ { n } ) | \phi ) - \mathbf { u } _ { k ( n + 1 ) } } \\ & { = \hat { \mathbf { u } } _ { n } - \mathbf { u } _ { k n } + \big ( \mathbf { f } ( \hat { \mathbf { u } } _ { n } ) - \mathbf { f } ( \mathbf { u } _ { k n } ) \big ) ( k \Delta t ) + Q ( \mathbf { f } ( \hat { \mathbf { u } } _ { n } ) | \phi ) - Q ( \mathbf { f } ( \mathbf { u } _ { k n } ) | \phi ) - ( k \Delta t ) V _ { n } . } \end{array}
\tilde { \Gamma } _ { 2 } ^ { * } = \tilde { \Gamma } _ { 2 } + \frac { \partial \mathcal { L } _ { \pm } ^ { * } } { \partial \tilde { \gamma } _ { 2 } } + \cdots , \quad \tilde { \Psi } _ { 1 } ^ { * } = \tilde { \Psi } _ { 1 } + \frac { \partial \mathcal { L } _ { \pm } ^ { * } } { \partial \tilde { \psi } _ { 1 } } + \cdots , \quad \tilde { \Gamma } _ { 3 } ^ { * } = \tilde { \Gamma } _ { 3 } + \frac { \partial \mathcal { L } _ { \pm } ^ { * } } { \partial \tilde { \gamma } _ { 3 } } + \cdots , \quad \tilde { L } _ { 3 } ^ { * } = \tilde { L } _ { 3 } + \frac { \partial \mathcal { L } _ { \pm } ^ { * } } { \partial \tilde { \ell } _ { 3 } } + \cdots
{ \cal R } ^ { \phi / \pi } \left( { \cal R } ^ { - 1 } - { \cal R } \right) = e ^ { - i \omega Q / 2 } \left( - i \sqrt { 2 } \right) e ^ { i \phi / 2 } \left( \begin{array} { l l } { { \cos \phi / 4 } } & { { - \sin \phi / 4 } } \\ { { \sin \phi / 4 } } & { { \cos \phi / 4 } } \end{array} \right) e ^ { i \omega Q / 2 } \; .
\sum _ { i , j = 1 } ^ { n _ { \mathrm { p i x } } } I _ { i } I _ { j } = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \mathrm { p i x } } } I _ { i } \right) ^ { 2 } = n _ { \mathrm { p i x } } ^ { 2 } \langle I \rangle ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { h _ { t } + ( h u ) _ { x } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { F ( \theta _ { B } ) } { G ( \theta _ { B } ) } ( h u _ { x } ) _ { x } + \frac { \gamma } { 2 } h h _ { x x x } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { { ^ { 1 } { \Gamma } _ { p q } } = { ^ { 1 } { \Gamma } _ { p q } ^ { ( 0 ) } } + \lambda \, { ^ { 1 } { \Gamma } _ { p q } ^ { ( 1 ) } } + \lambda ^ { 2 } \, { ^ { 1 } { \Gamma } _ { p q } ^ { ( 2 ) } } + . . . \, } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf \Gamma } _ { 1 2 } ^ { + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) } & { = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } { \bf F } ^ { + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) { \bf R } ( { \bf x } _ { F } , { \bf x } _ { S } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + { \bf J } _ { 1 1 } \{ { { \bar { \bf F } } } ^ { - } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) \} ^ { * } { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } , } \\ { { \bf \Gamma } _ { 1 2 } ^ { - } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) } & { = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } { \bf F } ^ { - } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) { \bf R } ( { \bf x } _ { F } , { \bf x } _ { S } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + { \bf J } _ { 1 1 } \{ { { \bar { \bf F } } } ^ { + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) \} ^ { * } { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { K _ { 0 , | I | + 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ( v ) ; z ; I ) } \\ & { = \frac { \lambda ^ { 2 } } { ( x ( v ) - x ( z ) ) } \sum _ { k = 0 } ^ { d } \frac { \partial } { \partial x ( w ) } D _ { I } \frac { 1 } { ( x ( z ) + y ( \hat { z } ^ { k } ) ) ( x ( z ) + y ( w ) ) } \Big | _ { w = \hat { z } ^ { k } } } \\ & { + \frac { \lambda ^ { 2 } } { ( x ( v ) - x ( z ) ) ^ { 3 } } D _ { I } \sum _ { k = 0 } ^ { d } \frac { 1 } { ( x ( z ) + y ( \hat { z } ^ { k } ) ) } + \mathcal { O } ( ( x ( v ) - x ( z ) ) ^ { 0 } ) } \\ & { = - \frac { \lambda ^ { 2 } } { ( x ( v ) - x ( z ) ) } \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 3 } } { \partial ( x ( z ) ) ^ { 2 } \partial x ( w ) } \sum _ { k = 0 } ^ { d } D _ { I } \log ( x ( z ) + y ( \hat { w } ^ { k } ) ) \Big | _ { w = z } } \\ & { + \frac { \lambda ^ { 2 } } { ( x ( v ) - x ( z ) ) ^ { 3 } } D _ { I } \sum _ { k = 0 } ^ { d } \frac { 1 } { ( x ( z ) + y ( \hat { z } ^ { k } ) ) } + \mathcal { O } ( ( x ( v ) - x ( z ) ) ^ { 0 } ) } \\ & { = - \frac { \lambda ^ { 2 } } { ( x ( v ) - x ( z ) ) } \Big ( \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 3 } ( D _ { I } \log P _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( z ) , x ( w ) ) ) } { \partial ( x ( z ) ) ^ { 2 } \partial x ( w ) } \Big | _ { w = z } } \\ & { \qquad + \sum _ { j = 1 } ^ { | I | } D _ { I \setminus u _ { j } } \frac { \lambda } { ( x ( z ) - x ( u _ { j } ) ) ^ { 3 } ( x ( z ) + y ( u _ { j } ) ) ^ { 2 } } \Big ) } \\ & { + \frac { \lambda ^ { 2 } } { ( x ( v ) - x ( z ) ) ^ { 3 } } D _ { I } \sum _ { k = 0 } ^ { d } \frac { 1 } { ( x ( z ) + y ( \hat { z } ^ { k } ) ) } + \mathcal { O } ( ( x ( v ) - x ( z ) ) ^ { 0 } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ^ { \prime } [ \tilde { \phi } ] } & { { } = \frac { 1 } { \phi _ { 0 } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } \sum _ { k < \ell } \chi _ { k \ell } \tilde { \phi } _ { k } ( \mathbf { r } ) \tilde { \phi } _ { \ell } ( \mathbf { r } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\lvert \ensuremath { \mathbb { E } \left[ b _ { d } \left( \widetilde { X } _ { m _ { j } - 1 , 1 } ^ { d } , Z _ { m _ { j } , 1 } ^ { d } \right) \left\lbrace 1 - \exp \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } \phi _ { d } \left( \widetilde { X } _ { m _ { j } - 1 , i } ^ { d } , Z _ { m _ { j } , i } ^ { d } \right) \right) \right\rbrace _ { + } \middle | \mathcal { F } \right] } \right\rvert \leq C d ^ { - \alpha } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( z , \check { \alpha } _ { k } ( z ) ) \boldsymbol { v } _ { i } } & { = F _ { 1 } ( z , \check { \alpha } _ { k } ( z ) ) \boldsymbol { v } _ { i + 1 } + F _ { 2 } ( z ) ( \check { \alpha } _ { k } ( z ) I - G ( z ) ) \boldsymbol { v } _ { i + 1 } } \\ & { = F _ { 1 } ( z , \check { \alpha } _ { k } ( z ) ) \boldsymbol { v } _ { i + 1 } + F _ { 2 } ( z ) \boldsymbol { v } _ { i + 2 } , } \end{array}
\frac { D s } { D t } = D _ { s } \nabla ^ { 2 } s + A _ { 1 } u _ { z } - A _ { 2 } \frac { 4 \pi \rho _ { L } K ^ { \prime } } { V _ { a } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } r _ { i } ( t ) s ( t , \textbf { x } _ { i } ) .
\sqrt { \frac { \lVert \mathbf { \Psi } _ { k + 1 } - \mathbf { \Psi } _ { k } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } { \lVert \mathbf { \Psi } _ { k } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } } < 1 0 ^ { - 6 }
\begin{array} { r l } { { \| { { { \bf { g } } _ { \theta } } } \| ^ { 2 } } } & { = M i + N a + f { c ^ { * } } + { f ^ { * } } c , } \\ { { \| { { { \bf { g } } _ { r } } } \| ^ { 2 } } } & { = M s + N p + h { q ^ { * } } + { h ^ { * } } q , } \\ { { \bf { g } } _ { \theta } ^ { H } { { \bf { g } } _ { r } } } & { = M k + N e + f { q ^ { * } } + { h ^ { * } } c , } \\ { { { \bf { g } } ^ { H } } { { \bf { g } } _ { \theta } } } & { = N { c ^ { * } } + { f ^ { * } } M , { \bf { g } } _ { r } ^ { H } { \bf { g } } = N q + M h , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 1 n } } & { { } = - c _ { 2 n } = \frac { 1 } { \mathcal { N } _ { n } } } \\ { c _ { 3 n } } & { { } = \frac { 1 } { \mathcal { N } _ { n } } \frac { 2 t } { U - \Delta v - E _ { n } ^ { N } } } \\ { c _ { 4 n } } & { { } = \frac { 1 } { \mathcal { N } _ { n } } \frac { 2 t } { U + \Delta v - E _ { n } ^ { N } } } \end{array}
\overline { { I _ { x } } } = \partial U ^ { 2 } / \partial x \, \, + \partial ( U V ) / \partial y \, \, - \nu \partial ^ { 2 } U / \partial x ^ { 2 } \, \, + \partial ( \overline { { u ^ { \prime } u ^ { \prime } } } ) / \partial x \, .
\begin{array} { r l } { D _ { \chi ^ { 2 } } ( L | | \overline { { M } } ) + D _ { \chi ^ { 2 } } ( L _ { \pi } | | \overline { { M } } ) } & { = 2 D _ { \chi ^ { 2 } } ( L | | M ^ { f ^ { * } } ) + 2 D _ { \chi ^ { 2 } } ( M ^ { f ^ { * } } | | \overline { { M } } ) , } \\ { D _ { \chi ^ { 2 } } ( \overline { { M } } | | L ) + D _ { \chi ^ { 2 } } ( \overline { { M } } | | L _ { \pi } ) } & { = 2 D _ { \chi ^ { 2 } } ( \overline { { M } } | | M ^ { f } ) + 2 D _ { \chi ^ { 2 } } ( M ^ { f } | | L ) . } \end{array}
\{ \omega ^ { i _ { 0 } , \alpha _ { 0 } } \, ; \, \omega ^ { i _ { 1 } , \alpha _ { 1 } } \} = \{ \omega ^ { i _ { 0 } , 0 } , \omega ^ { i _ { 0 } , 1 } , \ldots , \omega ^ { i _ { 0 } , N _ { 0 } } ; \omega ^ { i _ { 1 } , 0 } , \omega ^ { i _ { 1 } , 1 } , \ldots , \omega ^ { i _ { 1 } , N _ { 1 } } \}
\frac { \hat { f } _ { i j k } ^ { l + 1 , n } - \hat { f } _ { i j k } ^ { l , n } } { \Delta t } = \mathcal { Q } ( \hat { f } _ { i j k } ^ { l , n } ) - \frac { \mathcal { F } _ { i j k } ^ { l , n + \frac { 1 } { 2 } } - \mathcal { F } _ { i j k } ^ { l , n - \frac { 1 } { 2 } } } { \Delta x } ,
c _ { \mathrm { l i n } } = 2 \sqrt { 1 + \alpha ^ { 2 } } , \qquad \omega _ { \mathrm { l i n } } = \alpha , \qquad k _ { \mathrm { l i n } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \sqrt { 1 + \alpha ^ { 2 } } - \sqrt { 1 + \gamma ^ { 2 } } } { \gamma - \alpha } , } & { \, \, \mathrm { f o r ~ } \gamma \neq \alpha } \\ { - \frac { \alpha } { \sqrt { 1 + \alpha ^ { 2 } } } } & { \, \, \mathrm { ~ f o r ~ } \gamma = \alpha } \end{array} \right. .
\left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { A \in \mathbf { A } } P ( A ) } & { = 1 } \\ { \sum _ { A \in \mathbf { A } } P ( A ) C _ { \alpha } ( A ) } & { = C _ { \alpha } ^ { * } , \quad \forall \alpha , } \end{array} \right.
\frac { \ddot { b } } { b } + ( D - 1 ) \frac { \dot { b } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + 3 \frac { \dot { a } } { a } \frac { \dot { b } } { b } = \frac { 8 \pi \overline { { { G } } } } { D + 2 } \left[ \rho - 3 p _ { a } + 2 p _ { b } \right] .
\int _ { - \infty } ^ { + \infty } d y \frac { e ^ { i k y } } { \cosh ^ { \mu } u } = \frac { 2 ^ { \mu - 1 } } { \Gamma ( \mu ) } \, \, \Gamma \left( \frac { \mu + i k } { 2 } \right) \Gamma \left( \frac { \mu - i k } { 2 } \right) ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { R e } \, \mu > 0 ,
\Phi _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , \sigma ) } = e ^ { i m \phi } ( 1 + t ) ^ { \frac { \left| m \right| + \sigma } { 2 } } ( 1 - t ) ^ { \frac { l } { 2 } \chi _ { o } } \, \widetilde { h } ( t ) ^ { l \chi _ { h } } P _ { l } ^ { ( \alpha , \alpha ) } ( \eta ) \, Q _ { k } ^ { \left( \left( l + \frac { 1 } { 2 } \right) \chi _ { o } + \alpha , \left| m \right| + \sigma , \left( 2 l + 2 \alpha + 1 \right) \chi _ { h } ; \, \widetilde { h } \right) } ( t ) .
\rho = \left( \begin{array} { c c } { \rho _ { 0 , 0 } } & { \rho _ { 0 , 1 } } \\ { \rho _ { 1 , 0 } } & { \rho _ { 1 , 1 } } \end{array} \right) \qquad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \qquad \mathrm { ~ P ~ N ~ C ~ } = | \rho _ { 0 , 1 } | ,
g \left( \begin{array} { c c } { { n _ { 1 } } } & { { n _ { 2 } } } \\ { { m _ { 1 } } } & { { m _ { 2 } } } \end{array} \right) = \frac { G } { 2 ^ { ( n _ { 1 } + m _ { 1 } + n _ { 2 } + m _ { 2 } ) / 2 } } \sqrt { \frac { \Gamma ( n _ { 1 } + m _ { 1 } + 1 ) \Gamma ( n _ { 2 } + m _ { 2 } + 1 ) } { \Gamma ( n _ { 1 } + 1 ) \Gamma ( m _ { 1 } + 1 ) \Gamma ( n _ { 2 } + 1 ) \Gamma ( m _ { 2 } + 1 ) } } .
\sum _ { p } w _ { p } ^ { R } \left( \int _ { \Gamma _ { p } } \left( f ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) - g _ { p } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) \right) d A \right) \left( \int _ { \Gamma _ { p } } \phi d A \right) = 0 ,
{ \begin{array} { r l } { E } & { = - { \frac { \left( \sum _ { i } \left[ N _ { X _ { i } } \mu _ { X _ { i } } ^ { 2 } \right] - \left[ \sum _ { i } N _ { X _ { i } } \right] \mu _ { X } ^ { 2 } \right) } { \sum _ { i } N _ { X _ { i } } } } } \\ & { = \mu _ { X } ^ { 2 } - { \frac { \sum _ { i } \left[ N _ { X _ { i } } \mu _ { X _ { i } } ^ { 2 } \right] } { \sum _ { i } N _ { X _ { i } } } } } \end{array} }
- \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { 1 } { m _ { c } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { m _ { b } ^ { 2 } } + \frac { 2 } { 3 m _ { c } m _ { b } } \right) \, \langle B | ( \vec { \sigma } \vec { \pi } ) ^ { 2 } | B \rangle + { \cal O } \left( \frac { 1 } { m ^ { 3 } } \right) \, ,
\begin{array} { r l r } { | { \bf \nabla } \phi | ^ { 2 } = \frac 1 { X ^ { 2 } } , ~ ~ ~ { \bf \nabla } \psi ~ { \bf \cdot } ~ { \bf \nabla } \phi = 0 , ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ ~ { \bf \nabla } \theta ~ { \bf \cdot } ~ { \bf \nabla } \phi } & { { } = } & { 0 . } \end{array}
Q ^ { * } = - ( M \mathbf { A } ) \cdot { \frac { \partial \mathbf { V } } { \partial { \dot { q } } } } - ( [ I _ { R } ] \alpha + \omega \times [ I _ { R } ] \omega ) \cdot { \frac { \partial { \vec { \omega } } } { \partial { \dot { q } } } } .
\chi _ { 0 \Delta ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 2 } \beta _ { i j } ^ { 0 0 } ( t _ { d } ) \beta _ { k l } ^ { 0 0 } ( t _ { d } ) \left\langle \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { i } \left\langle \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { j k l }
\delta \pi _ { a } = \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } T ^ { 2 } \left[ \frac { 4 } { 3 } + \frac { 2 } { 9 } \frac { 1 } { T } \frac { K _ { 3 } \left( \frac { 1 } { T } \right) } { K _ { 2 } \left( \frac { 1 } { T } \right) } \right] .
\begin{array} { r l } { \langle \hat { X } _ { P } \hat { X } _ { P ^ { \prime } } \rangle } & { { } - 4 \propto \frac { 1 } { \mathsf { R } ^ { 8 } } \left[ \sum _ { k , l } ( \boldsymbol { \mathsf { u } } _ { \mu } ) _ { k } ( \boldsymbol { \mathsf { u } } _ { \nu } ) _ { l } \left( 2 \frac { \mathsf { R } _ { l } \mathsf { R } _ { k } } { \mathsf { R } ^ { 2 } } - \delta _ { k , l } \right) \right] ^ { 2 } , } \\ { \langle \hat { Y } _ { P } \hat { Y } _ { P ^ { \prime } } \rangle } & { { } \propto \frac { 1 } { \mathsf { R } ^ { 4 } } \left[ \sum _ { k , l } ( \boldsymbol { \mathsf { u } } _ { \mu } ) _ { k } ( \boldsymbol { \mathsf { u } } _ { \nu } ) _ { l } \left( 2 \frac { \mathsf { R } _ { l } \mathsf { R } _ { k } } { \mathsf { R } ^ { 2 } } - \delta _ { k , l } \right) \right] , } \end{array}
H _ { c } ^ { \bullet + d _ { \boldsymbol { \mu } } } \left( \widetilde { \mathcal { M } } _ { \boldsymbol { L } , \boldsymbol { P } , \boldsymbol { \sigma } } , \overline { { \mathbb { Q } } } _ { l } \right) = \bigoplus _ { \boldsymbol { \rho } \preceq \boldsymbol { \mu } } V _ { \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \rho } } \otimes I H _ { c } ^ { \bullet + d _ { \boldsymbol { \rho } } } \left( { \mathcal { M } _ { \overline { { \mathcal { C } } } _ { \boldsymbol { \rho } , \boldsymbol { \sigma } } } } , \overline { { \mathbb { Q } } } _ { l } \right) .
a = \sigma \frac { 1 } { 1 + ( \nabla h \cdot \mathbf { t } _ { g } ) ^ { 2 } } , \; \; b = \sigma \frac { \mathbf { t } _ { g } ^ { T } \nabla ^ { 2 } h \mathbf { t } _ { g } ( \nabla h \cdot \mathbf { n } _ { g } ) } { ( 1 + ( \nabla h \cdot \mathbf { t } _ { g } ) ^ { 2 } ( 1 + | \nabla h | ^ { 2 } ) } , \; \; c = \sigma \sqrt { \frac { 1 + ( \nabla h \cdot \mathbf { t } _ { g } ) ^ { 2 } } { 1 + | \nabla h | ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } = } & { ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } ( \ast \omega ) \wedge v \wedge \big ( ( - 1 ) ^ { n - 1 } \ast d \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \big ) } \\ { = } & { \int _ { \Omega } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } \wedge \ast \delta \big ( ( \ast \omega ) \wedge v \big ) + ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } ( \ast \omega ) \wedge v \wedge d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) } \\ { = } & { - \int _ { \Omega } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } \wedge d \ast ( v \wedge \ast \omega ) + ( - 1 ) ^ { n } \int _ { \Omega } \ast d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \wedge \ast ( v \wedge \ast \omega ) . } \end{array}
\vec { r } _ { G V } = { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { p ^ { 2 } + 2 } } { \frac { 1 } { 2 p ^ { 2 } + 1 } } \left( \begin{array} { c } { { { \frac { p ^ { 2 } } { 4 } } \sin { 4 u } + ( p ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } \sin { 2 u } } } \\ { { - { \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } } p \cos { 3 u } - 2 \sqrt { 2 } p ( p ^ { 2 } + 2 ) \cos { u } } } \\ { { - { \frac { p ^ { 2 } } { 4 } } \cos { 4 u } - ( ( p ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - 2 ) \cos { 2 u } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \dot { C } ( t ) } & { { } = \mathrm { ~ W ~ i ~ } \frac { \left[ C ^ { 3 } \left( \beta _ { 1 } \lambda ^ { 2 } - \beta _ { 2 } \lambda ^ { 2 } + \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } \right) \sin ^ { 2 } \tau \cos ^ { 2 } \tau \right] } { 2 \left( \lambda ^ { 2 } C ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \tau + C ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \tau + 1 \right) } , } \\ { \dot { \tau } ( t ) } & { { } = \frac { \lambda } { 1 + \lambda ^ { 2 } } + \mathrm { ~ W ~ i ~ } \left[ \frac { \sin \tau \cos \tau \left( 2 \beta _ { 1 } \lambda ^ { 2 } C ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \tau + \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } \right) } { 2 C ^ { 2 } \left( \lambda ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \tau + \sin ^ { 2 } \tau \right) + 2 } - \frac { 1 } { 4 } ( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } ) \sin 2 \tau \right] . } \end{array}
\mathcal { I } ( h _ { t } | g ) \leq e ^ { - \Lambda t } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( \Lambda t ) ^ { k } } { k ! } \sum _ { \boldsymbol { \alpha } \in I ^ { k } } \lambda ^ { \boldsymbol { \alpha } } \int _ { \mathbb { S } ^ { k ( d - 1 ) } } \textup { d } \rho ( \boldsymbol { \sigma } ) \, \mathcal { I } \left( h _ { k , \boldsymbol { \alpha } , \boldsymbol { \sigma } } | g \right) .
{ \begin{array} { r l } { p ( { \tilde { x } } = i \mid \mathbb { X } , { \boldsymbol { \alpha } } ) } & { = \int _ { \mathbf { p } } p ( { \tilde { x } } = i \mid \mathbf { p } ) \, p ( \mathbf { p } \mid \mathbb { X } , { \boldsymbol { \alpha } } ) \, { \textrm { d } } \mathbf { p } } \\ & { = \, \operatorname { E } _ { \mathbf { p } \mid \mathbb { X } , { \boldsymbol { \alpha } } } \left[ p ( { \tilde { x } } = i \mid \mathbf { p } ) \right] } \\ & { = \, \operatorname { E } _ { \mathbf { p } \mid \mathbb { X } , { \boldsymbol { \alpha } } } \left[ p _ { i } \right] } \\ & { = \, \operatorname { E } [ p _ { i } \mid \mathbb { X } , { \boldsymbol { \alpha } } ] . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { V _ { I } ( t ) } & { { } = g \left( e ^ { i \left( \omega _ { m } t + \Delta ( t ) \right) } \left( V _ { x } ( t ) - i V _ { y } ( t ) \right) + c . c . \right) \left( e ^ { i ( \omega _ { m } t + \Delta ( t ) ) } ( \sigma _ { x } + i \sigma _ { y } ) / 2 + h . c . \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { N } _ { i } ^ { \mathrm { X } } } & { { } = } & { \sum _ { j , l } R _ { i j , l n } ( N _ { j } ^ { \mathrm { A } } - N _ { i } ^ { \mathrm { X } } ) + \sum _ { j } \Gamma _ { j i } r _ { j i } N _ { j } ^ { A } } \\ { \dot { N } _ { i } ^ { \mathrm { A } } } & { { } = } & { \sum _ { j , l } R _ { j i , l n } ( N _ { j } ^ { \mathrm { X } } - N _ { i } ^ { \mathrm { A } } ) - \Gamma N _ { i } ^ { A } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { j k l } ^ { i } } & { { } = \partial _ { k } \Gamma _ { j l } ^ { i } - \partial _ { l } \Gamma _ { j k } ^ { i } + \Gamma _ { p k } ^ { i } \Gamma _ { k l } ^ { p } + \Gamma _ { p l } ^ { i } \Gamma _ { k j } ^ { p } } \end{array}