harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\operatorname* { m a x } A _ { 0 0 } x _ { 0 } ^ { 2 } + ( A _ { 0 1 } + A _ { 1 0 } ) x _ { 1 } x _ { 0 } + A _ { 1 1 } x _ { 1 } ^ { 2 } \, P _ { 0 0 1 } x _ { 0 } ^ { 2 } + ( P _ { 0 1 1 } + P _ { 1 0 1 } ) x _ { 0 } x _ { 1 } + P _ { 1 1 1 } x _ { 1 } ^ { 2 } - k \le 0 \, P _ { 0 0 2 } x _ { 0 } ^ { 2 } + ( P _ { 0 1 2 } + P _ { 1 0 2 } ) x _ { 0 } x _ { 1 } + P _ { 1 1 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } - k \le 0
\begin{array} { r l } { 0 = \hat { J } ^ { \prime } ( 0 ) = \int _ { a } ^ { b } \biggl ( } & { \eta ( x ) \partial _ { 2 } F ( x , \phi ( x ) , \phi ^ { \prime } ( x ) , \phi ^ { \prime \prime } ( x ) ) } \\ & { + \eta ^ { \prime } ( x ) \partial _ { 3 } F ( x , \phi ( x ) , \phi ^ { \prime } ( x ) , \phi ^ { \prime \prime } ( x ) ) } \\ & { + \eta ^ { \prime \prime } ( x ) \partial _ { 4 } F ( x , \phi ( x ) , \phi ^ { \prime } ( x ) , \phi ^ { \prime \prime } ( x ) ) \biggr ) ~ \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } + 1 } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } B _ { t } } & { \leq 2 I \eta ^ { 2 } L ^ { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } + 1 } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } D _ { \ell } + 2 I \gamma ^ { 2 } L ^ { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } + 1 } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } B _ { \ell } + 2 ( I - 1 ) \sigma ^ { 2 } + 2 ( I - 1 ) \zeta _ { g } ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 I ^ { 2 } \eta ^ { 2 } L ^ { 2 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } D _ { \ell } + 2 I ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } L ^ { 2 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } B _ { \ell } + \frac { 2 ( I - 1 ) \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } + 2 ( I - 1 ) \zeta _ { g } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { Q ^ { * } ( s , a ) = r ( s , a ) + \sum _ { { s ^ { \prime } \in S } } \mathbb { P } ( s ^ { \prime } | s , a ) \gamma \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } _ { a ^ { \prime } } Q ^ { * } ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ) } \\ { = r ( s , a ) + \mathbb { E } _ { s ^ { \prime } \in S } \left[ \gamma \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } _ { a ^ { \prime } } Q ^ { * } ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ) \right] ~ . } \end{array}
\Gamma _ { n v , i + 1 / 2 } ^ { b o u n d a r y } = n _ { i , R } v _ { | | i , R } v _ { | | i + 1 / 2 } + a _ { m a x } \left[ n _ { i , R } v _ { | | i , R } - n _ { i + 1 / 2 } v _ { | | i + 1 / 2 } \right]
\begin{array} { r } { \sigma _ { \mathrm { t o t } } ( \omega ) = - \frac { 4 \pi \omega } { c } \Im m \Big [ \boldsymbol { \mu } ^ { \dagger } \, \mathbf { G } _ { 0 } ^ { + } ( E _ { g } + \omega ) \boldsymbol { \mu } \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { t } ^ { D } P _ { t } ^ { R } P _ { 2 t } ^ { B } P _ { t } ^ { D } V ( x , v ) } & { = e ^ { - t \gamma ( x + v t ) } P _ { t } ^ { D } P _ { 2 t } ^ { B } P _ { t } ^ { D } V ( x , v ) } \\ & { \quad + V ( x , v ) ( 1 - e ^ { - t \gamma ( x + v t ) } ) \sum _ { w \in \{ \pm 1 \} ^ { d } } \frac { 1 } { 2 ^ { d } } \frac { V ( x + v t + w t , w ) } { V ( x , v ) } . } \end{array}
D ( t ) = - \frac { \hbar ^ { 2 } \theta ( t ) } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } { d \omega } \int _ { 0 } ^ { \infty } { d \omega ^ { \prime } } S ( \omega - \omega ^ { \prime } ) ( \omega - \omega ^ { \prime } ) ^ { 2 }
\hat { S } _ { N } ^ { M } = \sum _ { 1 \leq p _ { 1 } < \cdots < p _ { N } \leq M } \left( \eta _ { p _ { 1 } } \mathbf { P } _ { p _ { 1 } } ^ { \dagger } \right) \cdots \left( \eta _ { p _ { N } } \mathbf { P } _ { p _ { N } } ^ { \dagger } \right) ,
\begin{array} { r l } { \| u _ { \hat { \theta } _ { t } } - u _ { \theta _ { t } } \| _ { 2 } } & { = \Big ( \int _ { \Omega } | u _ { \hat { \theta } _ { t } } ( x ) - u _ { \theta _ { t } } ( x ) | ^ { 2 } \, d x \Big ) ^ { 1 / 2 } = \Big ( \int _ { \Omega } | \nabla _ { \theta } u _ { \tilde { \theta } _ { t } } ( x ) \cdot ( \hat { \theta } _ { t } - \theta _ { t } ) | ^ { 2 } \, d x \Big ) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \le L _ { V } | \Omega | | \hat { \theta } _ { t } - \theta _ { t } | \le \frac { L _ { V } M _ { V } | \Omega | h } { 2 } ( e ^ { L _ { V } t } - 1 ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \left( \omega , v _ { x } \right) _ { i } = \left( \partial _ { t } \eta , v ^ { * } \right) _ { i } + \displaystyle \sum _ { l = 0 } ^ { k } \frac { \sigma _ { i } ^ { l } } { h _ { i } } \left( u _ { I } - P _ { h } ^ { l - 1 } u _ { I } , v ^ { * } \right) _ { i } , \quad \forall v \in \mathcal { P } _ { - } ( \tau _ { i } ) , } \\ { \omega ( x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } , t ) = 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \Psi ( \vec { r } , \tau _ { p } ) } & { = } & { \Psi ( \vec { r } , 0 ) \exp { \Big ( - \frac { i } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { \tau _ { p } } [ { \hat { H } } _ { 0 } + \hat { V } ( t ) ] d t \Big ) } } \\ & { = } & { \Psi ( \vec { r } , 0 ) \exp { \Big ( - \frac { i } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { \tau _ { p } } \hat { H } _ { 0 } d t \Big ) } \times } \\ & { } & { \exp { \Big ( - \frac { i } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { \tau _ { p } } \hat { V } ( t ) d t \Big ) } } \\ & { \approx } & { \Psi _ { 1 } ( \vec { r } ) \ \exp { \Big ( \frac { i } { \hbar } q \vec { r } \vec { S } _ { E } \Big ) } , \ \ \ \ } \end{array}
\frac { \partial P _ { e } } { \partial r } = C _ { 1 } P _ { e } \frac { 1 } { A } \frac { \partial A } { \partial r } + C _ { 2 } P _ { e } \frac { 1 } { V } \frac { \partial V } { \partial r } + C _ { 3 } \frac { Q _ { h , e } } { V }
\begin{array} { r l } { \alpha > 2 : \quad \operatorname { E } \left[ - { \frac { 1 } { N } } { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta , a , c \mid Y ) } { \partial a ^ { 2 } } } \right] } & { { } = { \mathcal { I } } _ { a , a } = { \frac { \beta ( \alpha + \beta - 1 ) } { ( \alpha - 2 ) ( c - a ) ^ { 2 } } } } \\ { \beta > 2 : \quad \operatorname { E } \left[ - { \frac { 1 } { N } } { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta , a , c \mid Y ) } { \partial c ^ { 2 } } } \right] } & { { } = { \mathcal { I } } _ { c , c } = { \frac { \alpha ( \alpha + \beta - 1 ) } { ( \beta - 2 ) ( c - a ) ^ { 2 } } } } \\ { \operatorname { E } \left[ - { \frac { 1 } { N } } { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta , a , c \mid Y ) } { \partial a \, \partial c } } \right] } & { { } = { \mathcal { I } } _ { a , c } = { \frac { ( \alpha + \beta - 1 ) } { ( c - a ) ^ { 2 } } } } \\ { \alpha > 1 : \quad \operatorname { E } \left[ - { \frac { 1 } { N } } { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta , a , c \mid Y ) } { \partial \alpha \, \partial a } } \right] } & { { } = { \mathcal { I } } _ { \alpha , a } = { \frac { \beta } { ( \alpha - 1 ) ( c - a ) } } } \\ { \operatorname { E } \left[ - { \frac { 1 } { N } } { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta , a , c \mid Y ) } { \partial \alpha \, \partial c } } \right] } & { { } = { \mathcal { I } } _ { \alpha , c } = { \frac { 1 } { ( c - a ) } } } \\ { \operatorname { E } \left[ - { \frac { 1 } { N } } { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta , a , c \mid Y ) } { \partial \beta \, \partial a } } \right] } & { { } = { \mathcal { I } } _ { \beta , a } = - { \frac { 1 } { ( c - a ) } } } \\ { \beta > 1 : \quad \operatorname { E } \left[ - { \frac { 1 } { N } } { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta , a , c \mid Y ) } { \partial \beta \, \partial c } } \right] } & { { } = { \mathcal { I } } _ { \beta , c } = - { \frac { \alpha } { ( \beta - 1 ) ( c - a ) } } } \end{array}
[ X , Y ] _ { x } \ = \ \left. { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } \right| _ { t = 0 } ( \Phi _ { - t } ^ { Y } \circ \Phi _ { - t } ^ { X } \circ \Phi _ { t } ^ { Y } \circ \Phi _ { t } ^ { X } ) ( x ) \ = \ \left. { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \right| _ { t = 0 } ( \Phi _ { \! - { \sqrt { t } } } ^ { Y } \circ \Phi _ { \! - { \sqrt { t } } } ^ { X } \circ \Phi _ { \! { \sqrt { t } } } ^ { Y } \circ \Phi _ { \! { \sqrt { t } } } ^ { X } ) ( x ) .
\begin{array} { r l } { \hat { H } = } & { { } \sum _ { \left\langle i , j \right\rangle _ { \gamma } } K S _ { i } ^ { \gamma } S _ { j } ^ { \gamma } + J \mathbf { S } _ { i } \cdot \mathbf { S } _ { j } + \Gamma \left( S _ { i } ^ { \alpha } S _ { j } ^ { \beta } + S _ { i } ^ { \beta } S _ { j } ^ { \alpha } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U ^ { ( n ) } } & { { } = } & { \left[ { E _ { N } ^ { ( n ) } } \right] + ( - \beta ) \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \left[ E _ { N } ^ { ( i ) } E _ { N } ^ { ( n - i ) } \right] - \Omega ^ { ( i ) } U ^ { ( n - i ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { c } { { l i m } } \\ { { \varepsilon \rightarrow 0 } } \end{array} \frac { \partial } { \partial \theta } I ( p , m , \theta , \varepsilon ) - \frac { \partial } { \partial \theta } \begin{array} { c } { { l i m } } \\ { { \varepsilon \rightarrow 0 } } \end{array} I ( p , m , \theta , \varepsilon ) \mid _ { _ { \theta _ { 0 } ^ { \pm } } } \neq 0
\begin{array} { r l r } { \bigtriangleup \phi } & { { } = 0 } & { ( x , z ) \in \Omega } \\ { \partial _ { z } \phi } & { { } = 0 } & { z = - H } \\ { \partial _ { x } \phi } & { { } = 0 } & { ( x , z ) \in \Gamma } \\ { \partial _ { z } \phi } & { { } = \frac { \omega ^ { 2 } } { g } \phi } & { z = 0 } \\ { \left( \frac { \partial } { \partial | x | } - \mathrm { i } k _ { 0 } \right) ( \phi - \phi ^ { \mathrm { I n } } ) } & { { } \to 0 } & { \mathrm { ~ a ~ s ~ \ } x \to \infty } \\ { \sqrt { x ^ { 2 } + ( z + d ) ^ { 2 } } \| \nabla \phi \| } & { { } \to 0 } & { \mathrm { ~ a ~ s ~ \ } \sqrt { x ^ { 2 } + ( z + d ) ^ { 2 } } \to 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { d \boldsymbol { P } _ { r } } { d t } \right) _ { i } = \frac { d } { d t } \left< \Phi ^ { T } \Omega _ { h } \boldsymbol { e } _ { i } , \boldsymbol { a } \right> } & { { } = - \left< \Phi ^ { T } \Omega _ { h } \boldsymbol { e } _ { i } , \Phi ^ { T } M \boldsymbol { c } ( \boldsymbol { a } ) \right> + \nu \left< \Phi ^ { T } \Omega _ { h } \boldsymbol { e } _ { i } , D _ { r } \boldsymbol { a } \right> } \end{array}
\begin{array} { r l } { i h ( s _ { v } ) \theta \wedge \overline { { \theta } } } & { = \frac { | b - a \mathrm { R e } ( z ) | ^ { 2 } } { \mathrm { I m } ( z ) ^ { 2 } } \cdot \frac { i d z \wedge d \overline { { z } } } { \mathrm { I m } ( z ) ^ { 2 } } } \\ & { = \left( \frac { b - a \mathrm { R e } ( z ) } { \mathrm { I m } ( z ) } \right) ^ { 2 } 4 \pi \Omega . } \end{array}
\begin{array} { r } { Q ( u _ { 0 } ) = \int _ { u _ { 0 } } ^ { u _ { f } } \mathrm { d } u ^ { \prime \prime } \ \int _ { - \infty } ^ { u ^ { \prime \prime } } \mathrm { d } u ^ { \prime } \ 2 H ( u ^ { \prime } ) e ^ { - 2 ( V ( u ^ { \prime } ) - V ( u ^ { \prime \prime } ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big | \Big [ D _ { \lambda } \big ( \sum _ { J } c _ { \alpha } e _ { \alpha } ^ { * } \big ) \Big ] ( z ) \Big | } & { = \Big | \sum _ { J } \lambda _ { \alpha } c _ { \alpha } e _ { \alpha } ^ { * } ( z ) \Big | = \Big | \sum _ { J } \lambda _ { \alpha } c _ { \alpha } z ^ { \alpha } \Big | } \\ & { = \Big | \langle \sum _ { J } c _ { \alpha } z ^ { \alpha } e _ { \alpha } ^ { * } , \sum _ { J } \lambda _ { \alpha } f _ { \alpha } \rangle _ { \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) , \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) ^ { * } } \Big | } \\ & { = \Big | \langle \sum _ { J } c _ { \alpha } e _ { \alpha } ^ { * } \circ D _ { z } , \sum _ { J } \lambda _ { \alpha } f _ { \alpha } \rangle _ { \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) , \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) ^ { * } } \Big | } \\ & { \leq \Big \| \sum _ { J } c _ { \alpha } e _ { \alpha } ^ { * } \circ D _ { z } \Big \| _ { \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) } \Big \| \sum _ { J } \lambda _ { \alpha } f _ { \alpha } \Big \| _ { \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) ^ { * } } } \\ & { \leq \Big \| \sum _ { J } c _ { \alpha } e _ { \alpha } ^ { * } \Big \| _ { \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) } \Big \| \sum _ { J } \lambda _ { \alpha } f _ { \alpha } \Big \| _ { \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) ^ { * } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { f _ { 3 - k } } \mathscr { G } _ { k } ( c , f _ { 1 } , f _ { 2 } ) [ h _ { 3 - k } ] ( \varphi ) } & { = \frac { 1 } { \sin \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( \varphi ) \big ) } \partial _ { \varphi } \Big ( \big ( d _ { f _ { 3 - k } } \Psi _ { p , 2 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} [ h _ { 3 - k } ] \big ) \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( \varphi ) , \varphi \big ) \Big ) . } \end{array}
U ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { U ^ { [ 1 ] } ( x ) \equiv \frac { h } { a } x , } & { \quad 0 \leq x < a } \\ { U ^ { [ 2 ] } ( x ) \equiv \frac { h } { \ell - a } ( \ell - x ) , } & { \quad a \leq x < \ell } \end{array} \right. .
\mathbf { S } _ { \mathrm { R H } } = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] , \; \; \; \mathbf { S } _ { \mathrm { L H } } = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] .
\tan { } \tilde { \psi } = \frac { ( H _ { 1 2 } \lambda _ { 1 } + H _ { 1 3 } H _ { 2 3 } - H _ { 1 2 } H _ { 3 3 } ) \cos \psi + ( H _ { 1 3 } \lambda _ { 1 } + H _ { 1 2 } H _ { 2 3 } - H _ { 2 2 } H _ { 1 3 } ) \sin \psi } { ( H _ { 1 3 } \lambda _ { 1 } + H _ { 1 2 } H _ { 2 3 } - H _ { 2 2 } H _ { 1 3 } ) \cos \psi - ( H _ { 1 2 } \lambda _ { 1 } + H _ { 1 3 } H _ { 2 3 } - H _ { 1 2 } H _ { 3 3 } ) \sin \psi } .
\begin{array} { r l r } { G ( 0 ; \rho _ { A } ) ^ { ( m ) } } & { { } = } & { - \operatorname { T r } [ ( - 1 ) ^ { m + 1 } ( m - 1 ) ! \rho _ { A } ( \rho _ { A } - 1 ) ^ { m } ] } \end{array}
\Delta _ { 0 } = \frac { 4 m c ^ { 2 } } { 3 } \, \alpha \big ( Z \alpha \big ) ^ { 3 } \, g _ { I } \, \frac { m _ { e } } { m _ { p } } \, \Big ( I + \frac { 1 } { 2 } \Big ) \, \frac { 1 } { \gamma ( 2 \gamma - 1 ) } .
\begin{array} { r l } { \mathop { \mathbb { E } } } & { \left[ \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\| \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \nabla F ( { \mathbf w } _ { t } ^ { k } ) \right\| _ { 1 } \right] \le \frac { F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } } { \delta N } + \operatorname* { m a x } \left( \frac { 5 ( \sum _ { i = 1 } ^ { d } G _ { i } ) ^ { 2 / 3 } ( F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } ) ^ { 1 / 3 } } { ( N \delta ) ^ { 1 / 3 } } , \frac { 6 \sum _ { i = 1 } ^ { d } G _ { i } } { \sqrt { N } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { l } _ { k } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta _ { k } \dot { m } \left( k \right) } & { { } = \epsilon ^ { 2 } \pi \int d K _ { p } \int d K _ { q } \left( \frac { 1 } { 3 } \mathcal { I } _ { k } + \frac { 1 } { 3 } \mathcal { I } _ { k } + \frac { 1 } { 3 } \mathcal { I } _ { k } \right) , } \end{array}
V _ { \pm } = \frac { 1 } { f _ { 3 } ^ { 2 } } \lbrack a ^ { 2 } + b q ( b \mp \sqrt { \frac 1 2 } ) + 2 a ( b \mp \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ) \sqrt { p f _ { 3 } ^ { 2 } + q } \rbrack + b ^ { 2 } p ,
c _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } = \frac { \Gamma _ { \mathrm { N } V ^ { - } } } { \Gamma _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } } \frac { \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } ^ { + } } } { \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } } \frac { c _ { \mathrm { N } ^ { + } } c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } } { c _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } }
\sum _ { \lambda _ { i } } \int \overline { { { \prod _ { i } } } } \ { \frac { d x _ { i } d ^ { 2 } \vec { k } _ { \perp } { } _ { i } } { \sqrt { x _ { i } } 1 6 \pi ^ { 3 } } } \, \psi _ { n } ^ { ( \Lambda ) } ( x _ { i } , \vec { k } _ { \perp } { } _ { i } , \lambda _ { i } ) \ T _ { n } ^ { ( \Lambda ) } ( x _ { i } P ^ { + } , x _ { i } \overrightarrow P _ { \perp } + \vec { k } _ { \perp } { } _ { i } , \lambda _ { i } )
\int _ { 1 } ^ { \infty } w _ { \infty , m \ell } ( r ) e ^ { - i m \int _ { r _ { 0 } } ^ { r } \frac { x + 1 } { x - 1 } \, d x } F _ { m \ell } [ \phi ] \, d r = \int _ { 1 } ^ { \infty } w _ { \infty , m \ell } ( r ) e ^ { - i m \int _ { r _ { 0 } } ^ { r } \frac { x + 1 } { x - 1 } \, d x } ( ( F _ { \Pi } ) _ { m \ell } + ( F _ { \mathrm { h o m } } ) _ { m \ell } [ \phi ] ) \, d r = 0 .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \nabla _ { x } ^ { 2 } U _ { i } ( x _ { i } ^ { * } ; \alpha _ { i } ) - \epsilon - \sum _ { l \in \mathcal { L } _ { i } } \nabla ^ { 2 } B _ { l } \big ( \sum _ { r : l \in \mathcal { L } _ { r } } x _ { r } \big ) , i = j } \\ { - \sum _ { l \in \mathcal { L } _ { i } \cap \mathcal { L } _ { j } } \nabla ^ { 2 } B _ { l } \big ( \sum _ { r : l \in \mathcal { L } _ { r } } x _ { r } \big ) , \, i \neq j , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 \rho _ { \alpha } ( G ) ^ { 2 } - ( m + 4 ) \alpha \rho _ { \alpha } ( G ) + 2 ( 2 \alpha - 1 ) m } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( 2 \rho _ { \alpha } ( G ) ^ { 2 } - ( m + 4 ) \alpha \rho _ { \alpha } ( G ) + 2 ( 2 \alpha - 1 ) m \right) x _ { i } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( B X ) _ { i } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \sum _ { j = 1 } ^ { n } b _ { i j } x _ { j } ) = \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } b _ { i j } ) x _ { j } = \sum _ { j = 1 } ^ { n } c _ { j } ( B ) x _ { j } \leq 0 . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { \mathrm { ( a ) ~ ~ } } } & { { \{ f , g \} _ { \kappa } = - \{ f , g \} _ { \kappa } \, , } } & { { \mathrm { a n t i s y m m e t r y \, , } } } \\ { { \mathrm { ( b ) ~ ~ } } } & { { \{ a f + b g , h \} _ { \kappa } = a \{ f , h \} _ { \kappa } + b \{ g , h \} _ { \kappa } \, , ~ ~ ~ } } & { { \mathrm { l i n e a r i t y \, , } } } \\ { { \mathrm { ( c ) ~ ~ } } } & { { \{ f , \{ g , h \} _ { \kappa } \} _ { \kappa } + \{ g , \{ h , f \} _ { \kappa } \} _ { \kappa } + \{ h , \{ f , g \} _ { \kappa } \} _ { \kappa } = 0 \, , } } & { { \mathrm { J a c o b i ~ i d e n t i t y } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { E } [ | L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) - \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } | ] } \\ & { \leq } & { ( 3 L \beta _ { n } ^ { - 1 } ) ( C _ { L } ^ { \prime } \exp ( - c _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 4 } ) ) + 2 0 L ^ { 1 \slash 2 } e ^ { - L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + 5 0 0 0 L ^ { 2 } e ^ { 2 L } } \\ & { } & { + \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \operatorname* { m a x } \{ e ^ { 4 L ^ { - 1 } } ( 1 + C _ { L } r _ { s } ^ { - 1 \slash 1 0 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) - 1 , } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 1 - e ^ { - 6 L ^ { - 1 } } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) \} } \\ & { \leq } & { C _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 } \exp ( - c _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 4 } ) + C _ { L } ^ { \prime } + C L ^ { 1 \slash 2 } e ^ { - L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } } \\ & { } & { + \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \operatorname* { m a x } \{ e ^ { 4 L ^ { - 1 } } ( 1 + C _ { L } r _ { s } ^ { - 1 \slash 1 0 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) - 1 , } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 1 - e ^ { - 6 L ^ { - 1 } } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \sum _ { i \in [ m ] } a _ { i } \right) ^ { 2 } { \mathbb { I } \left\{ { \sum _ { i \in [ m ] } a _ { i } \geq s } \right\} } } & { \leq \left( \sum _ { i \in [ m ] } a _ { i } \right) ^ { 2 } \sum _ { l \in [ m ] } { \mathbb { I } \left\{ { \sum _ { i \in [ m ] } a _ { i } \geq s , a _ { l } \geq \operatorname* { m a x } _ { j : j \neq l } a _ { j } } \right\} } } \\ & { = \sum _ { l \in [ m ] } \left( a _ { l } + \sum _ { j : j \neq l } a _ { j } \right) ^ { 2 } { \mathbb { I } \left\{ { \sum _ { i \in [ m ] } a _ { i } \geq s , a _ { l } \geq \operatorname* { m a x } _ { j : j \neq l } a _ { j } } \right\} } } \\ & { \leq \sum _ { l \in [ m ] } ( m a _ { l } ) ^ { 2 } { \mathbb { I } \left\{ { \sum _ { i \in [ m ] } a _ { i } \geq s , a _ { l } \geq \operatorname* { m a x } _ { j : j \neq l } a _ { j } } \right\} } } \\ & { \leq \sum _ { l \in [ m ] } ( m a _ { l } ) ^ { 2 } { \mathbb { I } \left\{ { a _ { l } \geq \frac { s } { m } } \right\} } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ ( \langle \sigma _ { e } \sigma _ { f } \rangle _ { B } - \langle \sigma _ { e } \rangle _ { B } \langle \sigma _ { f } \rangle _ { B } ) ^ { 2 } ] } \\ & { = \mathbb { E } [ ( \langle ( \langle \sigma _ { e } \rangle _ { m } - \langle \sigma _ { e } \rangle _ { B } ) ( \langle \sigma _ { f } \rangle _ { m } - \langle \sigma _ { f } \rangle _ { B } ) \rangle ) ^ { 2 } ] } \\ & { \le [ \mathbb { E } ( ( \langle \sigma _ { e } \rangle _ { m } - \langle \sigma _ { e } \rangle _ { m ^ { 2 } } ) ^ { 2 } ) \mathbb { E } ( ( \langle \sigma _ { f } \rangle _ { m } - \langle \sigma _ { f } \rangle _ { m ^ { 2 } } ) ^ { 2 } ) ] ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\frac { c ^ { 2 } } { v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } \; = \; \kappa ^ { 2 } \, \nu ^ { 2 } \left( 1 \; - \; \frac { \sigma } { K ^ { 2 } + \sigma } \right) \; = \; \frac { \kappa ^ { 2 } \, \nu ^ { 2 } \, K ^ { 2 } } { K ^ { 2 } + \sigma } ,
Z _ { Q C D } [ \overline { { { \eta } } } , \eta , J ] = \int { D } \overline { { { q } } } { D } q { D } A { D } \overline { { { C } } } { D } C \mathrm { e x p } ( - S _ { Q C D } [ A , \overline { { { q } } } , q , \overline { { { C } } } , C ] + \overline { { { \eta } } } q + \overline { { { q } } } \eta + J A ) .
\begin{array} { r l r } { \langle \Psi _ { 0 } | \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { { \dagger } } \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { { } = \langle \Psi _ { 0 } | \Psi _ { 0 } \rangle = 1 \dag \langle \Psi _ { 0 } | \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { { \dagger } } \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { = \langle \Psi _ { 0 } | \dag , f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle \qquad \forall \dag , a , b = 1 , . . . , B { \nu } _ { i } \dag , , } \end{array}
\frac { 1 } { \delta } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } | Z | \, | \mathrm { R e m } ( R , Z , t ) | \, \mathrm { d } X \, \le \, C \Bigl ( \epsilon + \frac { \epsilon ^ { \gamma _ { 5 } } } { \delta ^ { 2 } } \Bigr ) \, .
2 i { \cal I } = \partial _ { T } \partial _ { U } f ( T , U ) - \frac { 2 } { T - { \bar { T } } } f ( T , U ) - \frac { 2 } { U - { \bar { U } } } f ( T , U ) + \frac { 4 } { ( T - { \bar { T } } ) ( U - { \bar { U } } ) } f ( T , U ) + h . c
\frac { \partial \Phi } { \partial t } + \frac { 1 } { 2 } \nabla \Phi \cdot \nabla \Phi + \eta = r \left( f _ { x } \cos { \left( \Omega t \right) } \cos { \theta } + f _ { y } \sin { \left( \Omega t \right) } \sin { \theta } \right) ,
\begin{array} { l l } { { D _ { \alpha } = \partial _ { \alpha } + i \sigma _ { \alpha \dot { \alpha } } ^ { \mu } \bar { \theta } ^ { \dot { \alpha } } \partial _ { \mu } , } } \\ { { D _ { \dot { \alpha } } = - \bar { \partial } _ { \alpha } - i \theta ^ { \alpha } \sigma _ { \alpha \dot { \alpha } } ^ { \mu } \partial _ { \mu } . } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \varphi \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n + 1 } \lambda _ { i } x _ { i } \right) } & { = \varphi \left( ( 1 - \lambda _ { n + 1 } ) \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { \lambda _ { i } } { 1 - \lambda _ { n + 1 } } } x _ { i } + \lambda _ { n + 1 } x _ { n + 1 } \right) } \\ & { \leq ( 1 - \lambda _ { n + 1 } ) \varphi \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { \lambda _ { i } } { 1 - \lambda _ { n + 1 } } } x _ { i } \right) + \lambda _ { n + 1 } \, \varphi ( x _ { n + 1 } ) . } \end{array} }