harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
K _ { f } ( z _ { 2 } , t _ { 2 } ; z _ { 1 } , t _ { 1 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { { \left( \frac { m } { 2 \pi i h ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) } \right) } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \exp \left[ \frac { i m { ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) } ^ { 2 } } { 2 \hbar ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) } \right] } } & { { t _ { 2 } > t _ { 1 } } } \\ { { \delta ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) } } & { { t _ { 2 } = t _ { 1 } \; . } } \\ { { 0 } } & { { t _ { 2 } < t _ { 1 } } } \end{array} \right.
\Delta _ { F ^ { 4 } } = \frac { 1 } { { \cal { N } } \cdot 2 ^ { d + 1 } } \int _ { { \cal F } } \frac { d ^ { 2 } \tau } { \tau _ { 2 } ^ { 2 } } \frac { \bar { \Xi } _ { F ^ { 4 } } } { \bar { \eta } ^ { 2 4 } }
{ \frac { 1 } { \pi } } = { \frac { 2 { \sqrt { 2 } } } { 9 8 0 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( 4 k ) ! ( 1 1 0 3 + 2 6 3 9 0 k ) } { k ! ^ { 4 } \left( 3 9 6 ^ { 4 k } \right) } } .
P _ { i } ( y _ { i } , 1 ) - P _ { n } ( y _ { i } , 1 ) = \frac { r \left\{ 1 - \left[ 1 + ( w - 1 ) y _ { i } \right] ^ { N _ { I } } \right\} } { N _ { I } ( 1 - w ) y _ { i } } + v _ { I } > 0
| \tilde { A } ^ { 2 } \Pi _ { 1 / 2 } ( 0 0 0 ) \rangle \propto | \tilde { A } ^ { 2 } \Pi _ { 1 / 2 } ( 0 0 0 ) \rangle _ { 0 } + c _ { \mu } | \mu ^ { 2 } \Sigma _ { 1 / 2 } ^ { ( + ) } ( 0 1 0 ) \rangle _ { 0 } + c _ { \kappa } | \kappa ^ { 2 } \Sigma _ { 1 / 2 } ^ { ( - ) } ( 0 1 0 ) \rangle _ { 0 } + c _ { B } | \tilde { B } ^ { 2 } \Pi ( 0 1 0 ) \rangle _ { 0 } .
\begin{array} { r } { \hat { f } _ { O } ( x ) = \sum _ { i = 1 } ^ { M } \operatorname { t r } \big [ O _ { i } \, \sigma ( \beta , \hat { Y } _ { i } ( x ) ) \big ] \, , \quad \mathrm { ~ w i t h ~ } \quad \hat { Y } _ { i } ( x ) = \operatorname { a r g m i n } _ { { Y } _ { k } } \| x | _ { \mathcal { S } _ { i } ( r ) } - { Y } _ { k } | _ { \mathcal { S } _ { i } ( r ) } \| _ { \ell ^ { \infty } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { J _ { \tau } \left( \theta \right) } & { = } & { \frac { 1 } { \left( 2 \pi \sigma \left( \theta \right) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { \tau } { 2 } } } \frac { 1 } { \left( 1 + \tau \right) ^ { 5 / 2 } } \left[ \left( \tau + 1 \right) \sigma ^ { - 2 } \left( \theta \right) \left( \frac { \partial \mu \left( \theta \right) } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } + \frac { \tau ^ { 2 } } { 4 } \left( \frac { \partial \log \sigma ^ { 2 } \left( \theta \right) } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } \right. } \\ & { } & { \left. + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial \log \sigma ^ { 2 } \left( \theta \right) } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { = \, } & { { } \underset { \mathbf { \theta } } { \operatorname* { m i n } } \, \mathbb { E } _ { p ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) } \Bigl [ - \log p _ { \theta } ( \mathbf { x } \mid \mathbf { y } ) + p ( \mathbf { x } \mid \mathbf { y } ) \Bigr ] } \end{array}
\, = - \sum _ { p { \mathrm { ~ p r i m e } } } { \frac { p ^ { - x } \ln p } { ( 1 - p ^ { - x } ) ^ { 2 } } } \prod _ { q { \mathrm { ~ p r i m e } } , q \neq p } { \frac { 1 } { 1 - q ^ { - x } } }
R _ { k } ^ { b } \propto - i \Bigg ( \frac { g } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \Bigg ) ^ { k } \int d t \: e ^ { - 2 t } \Bigg [ ( 2 t ) ^ { k - 1 } + ( k - 1 ) ( 2 t ) ^ { k - 2 } e ^ { - 2 t } f _ { 2 } ( \beta ) + \cdot \cdot \cdot \Bigg ] ,
w _ { a } ( { \pmb x } ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \nabla _ { { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } u _ { \beta ^ { \prime } } ( { \pmb \xi } ^ { \prime } ) } { n ! } \mathcal { F } _ { \alpha \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } S _ { a \, \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } )
\begin{array} { r } { \widehat \lambda \leq \Lambda _ { e c } : = \frac { M D + \hat { \rho } D ^ { 2 } } { - h ( { \mathbf x } _ { \textup { f e a s } } ) } + \sqrt { l } \| ( { \mathbf A } { \mathbf A } ^ { \top } ) ^ { - 1 } { \mathbf A } \| \left( \frac { M ^ { 2 } D + \hat { \rho } M D ^ { 2 } } { - h ( { \mathbf x } _ { \textup { f e a s } } ) } + \frac { M D + \hat { \rho } D ^ { 2 } } { \mathrm { d i s t } ( { \mathbf x } _ { \textup { f e a s } } , \partial \mathcal { X } ) } + M + \hat { \rho } D \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { H } _ { b , l } } & { : = F _ { 0 } ^ { - 1 } \left( \mathbb { F } _ { \hat { \mathbf { H } } } ( \widehat { H } _ { b , l } ) - 1 / ( 2 B \, L ) \right) } \\ & { = F _ { 0 } ^ { - 1 } \left( \frac { ( \mathrm { r a n k ~ o f ~ \hat { H } _ { b , l } ~ a m o n g ~ e n t r i e s ~ i n ~ \hat { \mathbf { H } } ~ } ) - 1 / 2 } { B \, L } \right) . } \end{array}
\{ J ^ { L } ( x ) { } _ { , } ^ { \otimes } J ^ { L } ( y ) \} = u ( x ) T _ { \rho } u ^ { - 1 } ( x ) \otimes u ( y ) T _ { \sigma } u ^ { - 1 } ( y ) \; \partial _ { x } \partial _ { y } { \cal F } _ { \rho \sigma } ( x , y ) \quad .
\Omega _ { \mathrm { R } } = \frac { E _ { + } - E _ { - } } { \hbar } = \sqrt { \frac { 2 \omega _ { \bf k } } { \hbar \epsilon _ { 0 } } } \sqrt { \frac { N } { \mathcal V } } { \mu _ { \mathrm { L L ^ { \prime } } } } \equiv 2 \sqrt { N } g _ { \mathrm { c } } \cdot \sqrt { \omega _ { \bf k } } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname { E } \left[ | X - \mu | ^ { p } \right] } & { { } = \sigma ^ { p } ( p - 1 ) ! ! \cdot { \left\{ \begin{array} { l l } { { \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } } } & { { \mathrm { i f ~ } } p { \mathrm { ~ i s ~ o d d } } } \\ { 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } p { \mathrm { ~ i s ~ e v e n } } } \end{array} \right. } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { 1 } ^ { j } ( q , a ) } & { = } & { \operatorname* { m i n } _ { \phi \in W _ { j } } \operatorname* { m a x } _ { x \in \Omega _ { j } } \frac { q d _ { I _ { j } } \Delta \phi - q d _ { I } \sum _ { k \neq j } L _ { k j } \phi + ( a \beta _ { j } - \gamma _ { j } ) \phi } { \phi } } \\ & { \le } & { \operatorname* { m a x } _ { x \in \Omega _ { j } } \frac { q d _ { I _ { j } } \Delta \varphi _ { j } - q d _ { I } \sum _ { k \neq j } L _ { k j } \varphi _ { j } + ( a \beta _ { j } - \gamma _ { j } ) \varphi _ { j } } { \varphi _ { j } } \le \lambda _ { 1 } ( q , a ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho } & { = } & { \frac { 1 } { 6 r ^ { 8 } ( 3 r + { r _ { 0 } } ) ^ { 2 } } \left\lbrace e ^ { - 2 \mu r } \left( - 4 \alpha { r _ { 0 } } ^ { 2 } \left( 2 r ^ { 2 } + 3 r { r _ { 0 } } + { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) e ^ { 2 \mu { r _ { 0 } } } \left( 1 2 ( \mu + 2 ) r ^ { 3 } + 2 r ^ { 2 } ( 5 ( \mu + 2 ) { r _ { 0 } } - 9 ) \right. \right. \right. } \\ & { + } & { \left. \left. \left. r { r _ { 0 } } ( 2 ( \mu + 2 ) { r _ { 0 } } - 2 1 ) - 7 { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) + 3 r ^ { 4 } e ^ { 2 \mu r } \left( 9 \gamma r ^ { 6 } + 6 r ^ { 5 } ( 6 \beta + \gamma { r _ { 0 } } ) + r ^ { 4 } \left( \gamma { r _ { 0 } } ^ { 2 } + 1 2 \beta ( 2 { r _ { 0 } } - 3 ) \right) \right. \right. \right. } \\ & { - } & { \left. \left. \left. 4 r ^ { 3 } ( 3 6 \alpha - \beta ( { r _ { 0 } } - 1 2 ) { r _ { 0 } } ) - 1 2 r ^ { 2 } \left( \beta { r _ { 0 } } ^ { 2 } + \alpha ( 1 6 { r _ { 0 } } - 9 ) \right) - 2 4 \alpha r { r _ { 0 } } ( 2 { r _ { 0 } } - 9 ) + 1 0 8 \alpha { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) \right. \right. } \\ & { - } & { \left. \left. 2 r ^ { 2 } { r _ { 0 } } e ^ { \mu ( r + { r _ { 0 } } ) } \left( 1 8 \beta ( \mu + 2 ) r ^ { 6 } + 3 \beta r ^ { 5 } ( 7 ( \mu + 2 ) { r _ { 0 } } - 1 2 ) + r ^ { 4 } ( \beta { r _ { 0 } } ( 8 ( \mu + 2 ) { r _ { 0 } } - 5 7 ) \right. \right. \right. } \\ & { - } & { \left. \left. \left. 7 2 \alpha ( \mu + 4 ) ) + r ^ { 3 } \left( \beta { r _ { 0 } } ^ { 2 } ( ( \mu + 2 ) { r _ { 0 } } - 3 0 ) - 1 2 \alpha ( 1 1 ( \mu + 4 ) { r _ { 0 } } - 1 8 ) \right) - r ^ { 2 } { r _ { 0 } } \left( 5 \beta { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right. \right. \right. \right. } \\ & { + } & { \left. \left. \left. \left. 7 2 \alpha ( ( \mu + 4 ) { r _ { 0 } } - 7 ) \right) - 1 2 \alpha r { r _ { 0 } } ^ { 2 } ( ( \mu + 4 ) { r _ { 0 } } - 3 2 ) + 9 6 \alpha { r _ { 0 } } ^ { 3 } \right) \right) \right\rbrace } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \frac { \partial v } { \partial t } + \frac 1 2 \sigma _ { L } ^ { 2 } \Big ( \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial \xi ^ { 2 } } + \frac { \partial v } { \partial \xi } \Big ) + \delta \Big ( \frac { \partial v } { \partial \xi } + v \Big ) = 0 , \quad \hat { \kappa } ( t ) < \xi < \hat { \eta } ( t ) ; } \\ & { - \frac { \partial v } { \partial t } + \frac 1 2 \sigma _ { H } ^ { 2 } \Big ( \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial \xi ^ { 2 } } + \frac { \partial v } { \partial \xi } \Big ) + \delta \Big ( \frac { \partial v } { \partial \xi } + v \Big ) = 0 , \quad \xi > \hat { \eta } ( t ) ; } \\ & { v ( \hat { \kappa } ( t ) + ) = 1 , \quad \frac { \partial v } { \partial \xi } ( \hat { \kappa } ( t ) + ) = 0 ; } \\ & { v ( \hat { \eta } ( t ) + ) = v ( \hat { \eta } ( t ) - ) = \gamma , \quad \frac { \partial v } { \partial \xi } ( \hat { \eta } ( t ) + ) = \frac { \partial v } { \partial \xi } ( \hat { \eta } ( t ) - ) . } \end{array}
G - \langle G \rangle _ { \psi } \simeq \int _ { w _ { \mathrm { t p b } } } ^ { w _ { f } } \mathrm { d } w _ { f } ^ { \prime } \frac { w _ { f } ^ { \prime } } { \langle w ^ { \prime } \rangle _ { \psi } } - \Bigg \langle \int _ { w _ { \mathrm { t p b } } } ^ { w _ { f } } \mathrm { d } w _ { f } ^ { \prime } \frac { w _ { f } ^ { \prime } } { \langle w ^ { \prime } \rangle _ { \psi } } \Bigg \rangle _ { \psi } ,
I _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { n } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { N } ) \equiv \int \frac { \mathrm { d } ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { k _ { \mu _ { 1 } } \cdots k _ { \mu _ { n } } } { \prod _ { i = 1 } ^ { N } ( k ^ { 2 } + x _ { i } ) ( q ^ { 2 } + x _ { i } ) } .
V _ { 0 } + V _ { I I } = 3 \lambda _ { R } \Big ( \phi _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { m _ { R } ^ { 2 } } { 1 2 \lambda _ { R } } \Big ) ^ { 2 } - 3 \lambda _ { R } I _ { f } ( \beta ) ^ { 2 } - 2 \lambda \phi _ { 0 } ^ { 4 }
\begin{array} { r } { \operatorname { I m } \left( \mathbf { e } _ { \mathrm { i n c } } ^ { \dagger } \mathbf { p } \right) = \mathbf { p } ^ { \dagger } \left[ \operatorname { I m } \mathbb { G } _ { 0 } + \operatorname { I m } \xi \right] \mathbf { p } . } \end{array}
\mathrm { G L } ( \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } ) = { \textstyle { \frac { 1 } { 4 \pi } } } \oint _ { \gamma _ { 1 } } d s \oint _ { \gamma _ { 2 } } d t \, d o t { \gamma _ { 1 } } ^ { a } ( s ) \dot { \gamma _ { 2 } } ^ { b } ( t ) \epsilon _ { a b c } { \frac { ( \gamma _ { 1 } ^ { c } ( s ) - \gamma _ { 2 } ^ { c } ( t ) ) } { | \gamma _ { 1 } ( s ) - \gamma _ { 2 } ( t ) | ^ { 3 } } }
\begin{array} { r } { \frac { D _ { e f f } ^ { N , t o p } } { D _ { e f f } ^ { N , b o t t o m } } = - \frac { r _ { 1 } \sigma _ { d } ^ { 2 } \chi } { \sigma _ { c } ^ { 2 } \kappa } = \frac { M _ { X } ^ { * } } { M _ { N } ^ { * } - M _ { X } ^ { * } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow - \infty } \operatorname* { l i m i n f } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } \frac { \mathcal { W } _ { \Lambda , p } ( A ( t _ { \varepsilon } + r ; x ) , \mathcal { G } ) } { \varepsilon } = \infty , } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow \infty } \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } \frac { \mathcal { W } _ { \Lambda , p } ( A ( t _ { \varepsilon } + r ; x ) , \mathcal { G } ) } { \varepsilon } = 0 . } \end{array}
\boldsymbol { b } \simeq \boldsymbol { b } _ { \mathrm { ~ u ~ n ~ i ~ t ~ } } \triangleq - \epsilon _ { f m } f _ { \mathrm { ~ u ~ n ~ i ~ t ~ } } \frac { 2 } { l } \rho _ { f } \Vert \langle \boldsymbol { u } \rangle _ { m } \Vert ^ { 2 } \boldsymbol { e } _ { s } ,
\frac { \partial ( 2 ( \nu + \nu _ { T } ) S _ { i j } ) } { \partial x _ { j } } = 2 ( \nu + \nu _ { T } ) \frac { \partial S _ { i j } } { \partial x _ { j } } + S _ { i j } \frac { \partial ( 2 ( \nu + \nu _ { T } ) ) } { \partial x _ { j } }
\widetilde { \omega } _ { \pm } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \widetilde { \omega } _ { m } + \widetilde { \omega } _ { c } \right) \pm \sqrt { \left( \widetilde { \omega } _ { m } - \widetilde { \omega } _ { c } \right) ^ { 2 } + 4 g ^ { 2 } } \right] ,
\begin{array} { r } { \dot { z } = \frac { \sigma } { 2 } - \sigma \frac { ( n - 1 ) ^ { ( } \alpha + 1 + ( n - 1 ) ^ { - \alpha } ) } { 2 } z ^ { 2 } } \\ { - i ( 1 - n ) z + \sigma \frac { ( n - 1 ) ^ { \alpha + 1 } } { 2 } | z | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { l l } { { { \bf ( 3 , 3 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 ) , ( 3 , 1 , 2 4 8 ) } \qquad } } & { { \mathrm { w i t h } \; \Delta = 4 \; ( r e l e v a n t ) } } \\ { { { \bf ( 4 , 4 , 1 ) , ( 2 , 2 , 1 ) , ( 4 , 2 , 2 4 8 ) } \qquad } } & { { \mathrm { w i t h } \; \Delta = 6 \; ( m a r g i n a l ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i \in T \setminus S } c _ { i } ^ { ( r ) } } & { \geq \sum _ { \lambda \cap T \neq \emptyset } | N _ { \lambda } | - \sum _ { \lambda \cap ( S \cap T ) \neq \emptyset } | N _ { \lambda } | } \\ & { = \sum _ { \lambda \cap T \neq \emptyset , \lambda \cap ( S \cap T ) = \emptyset } | N _ { \lambda } | . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { i } = \frac { 1 } { 2 } ( E _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } + E _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ) + \frac { 1 } { 2 } ( E _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } - E _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ) \cos \left[ \frac { 4 \pi i } { L } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \b { \mathcal E } \| _ { 2 } \leq \| \b { \mathcal E } \| _ { \mathrm F } = \sqrt { \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \, \sum _ { \boldsymbol \ell \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } | \varepsilon _ { \boldsymbol \ell - \boldsymbol k } | ^ { 2 } } \leq \sqrt { \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \, \sum _ { \boldsymbol \ell \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \varepsilon ^ { 2 } } = \varepsilon \, | \mathcal I _ { \b { M } } | . } \end{array}
k _ { \mu } W _ { \mu } ( \vec { p } ) \cdot D \left( V ^ { - 1 } ( \Lambda _ { \vec { p } } , \vec { k } ) \right) = - D \left( V ^ { - 1 } ( \Lambda _ { \vec { p } } , \vec { k } ) \right) \cdot p _ { \mu } W _ { \mu } ( \vec { k } ) ,
1 = 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { I _ { n } ( \eta ) e ^ { - \eta } } { \eta } \frac { n ^ { 2 } \omega _ { \mathrm { ~ p ~ } } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } - n ^ { 2 } \omega _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { 2 } } .
A _ { \rho } = \frac { 4 g _ { \pi } ^ { 4 } } { Z _ { \pi } ^ { 2 } } \left( \frac { 3 s - 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right) \! \delta ( 1 - \delta ) I _ { 2 } + { \cal O } ( E ^ { 4 } ) .
F _ { X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = F _ { X _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \cdot F _ { X _ { 2 } } ( x _ { 2 } ) \cdot F _ { X _ { 3 } } ( x _ { 3 } )
\begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } \ \ \ \ \ \ b _ { 0 } \ \ \ \ \ \lambda _ { 0 } \ \ \ \ \ 0 } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } x _ { 2 } } \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ 1 \ \ \ \ \ \ 0 } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } \ \ \ \ \ \ d _ { 0 } \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \lambda _ { 0 } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } x _ { 2 } } \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { | b _ { i , j } ^ { ( \ell ) } | } & { \le | a _ { i , j } ^ { ( \ell ) } | + | b _ { i , j } ^ { ( i ) } - a _ { i , j } ^ { ( i ) } | } \\ & { \le ( 1 + \varepsilon _ { \ell } ) | a _ { \ell , \ell } ^ { ( \ell ) } | + \gamma _ { i } | a _ { i , i } ^ { ( i ) } | } \\ & { = | a _ { \ell , \ell } ^ { ( \ell ) } | \big ( ( 1 + \varepsilon _ { \ell } ) + \gamma _ { i } | a _ { i , i } ^ { ( i ) } | / | a _ { \ell , \ell } ^ { ( \ell ) } | \big ) } \\ & { = ( 1 + \delta _ { \ell } ) | b _ { \ell , \ell } ^ { ( \ell ) } | \frac { ( 1 + \varepsilon _ { \ell } ) + \gamma _ { i } | a _ { i , i } ^ { ( i ) } | / | a _ { \ell , \ell } ^ { ( \ell ) } | } { ( 1 + \delta _ { \ell } ) ( 1 + \gamma _ { \ell } ) } } \\ & { \le ( 1 + \delta _ { \ell } ) | b _ { \ell , \ell } ^ { ( \ell ) } | , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } ( 2 ) } & { { } = ( a _ { 0 0 } , a _ { 0 1 } , a _ { 1 0 } , a _ { 1 1 } ) ^ { \mathrm { T } } , } \\ { a _ { i j } \ge 0 , } & { { } ~ \forall ~ i , j \in \{ 0 , 1 \} , ~ \& ~ \sum _ { i , j } a _ { i j } = 1 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \big [ x ^ { \top } ( z ) \tilde { Q } ( z ) x ( z ) \big ] _ { l ( t ) } ^ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } x _ { 1 } ( l ( t ) ^ { + } ) x _ { 2 } ( l ( t ) ^ { + } ) \left[ Q _ { 2 2 } ^ { + } ( Q _ { 1 1 } ^ { - } - Q _ { 1 1 } ^ { + } ) + Q _ { 1 1 } ^ { + } ( Q _ { 2 2 } ^ { - } - Q _ { 2 2 } ^ { + } ) \right] ( l ( t ) ) . } \end{array}
\underset { n \rightarrow \infty } { \operatorname* { l i m } } \lambda _ { k } ( i \sqrt { S } J \sqrt { S } _ { 2 n } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \lambda _ { k } ^ { + } } ( i \sqrt { S } J \sqrt { S } ) , \textrm { i f } R = \infty , \textrm { o r } 1 \leq k \leq R \textrm { w h e n R < \infty } , } \\ { 1 , \textrm { i f } R < \infty \textrm { a n d } k \geq R + 1 , } \end{array} \right.
\partial _ { z } A _ { \parallel } ^ { \prime } = - \left( { \frac { g B _ { t } } { 2 } } \right) ^ { 2 } \exp \left( - i { \frac { \xi } { 2 \omega } } \right) \int _ { 0 } ^ { z } d z ^ { \prime } \exp \left( i { \frac { \xi } { 2 \omega } } \right) A _ { \parallel } ^ { \prime }
\begin{array} { r } { \mathcal { E } _ { \ell } \left( \left( \mathbb { E } _ { \ell - 1 } ( A _ { \ell } ^ { ( 5 ) } ) \mathbb { E } _ { \ell } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 6 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 7 ) } ) - E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell - 1 } ( A _ { \ell } ^ { ( 5 ) } ) E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 6 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 7 ) } ) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \le C M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { - 1 / 2 } h _ { \ell } ^ { \eta _ { \mathcal { O } } r } h _ { \ell ^ { \prime } } ^ { \eta _ { \Psi } r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( \textbf x _ { 1 } , \textbf x _ { 2 } ) } & { \sim \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \Theta _ { N } ( \textbf x _ { 1 } , \textbf x _ { 2 } ) } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } \ell ^ { 2 } \sqrt { N } } \frac { 1 } { \sqrt { \sigma ( \varphi _ { 1 } ) \sigma ( \varphi _ { 2 } ) } } } \\ & { \quad \times \frac { \mathrm { i } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { a ^ { 2 } } { \sigma ( \varphi _ { 1 } ) ^ { 2 } } - \frac { b ^ { 2 } } { \sigma ( \varphi _ { 2 } ) ^ { 2 } } } } { 2 \sin \big ( [ f ( \varphi _ { 1 } ) - f ( \varphi _ { 2 } ) ] / 2 \big ) } , } \end{array}
\frac { K _ { 2 } } { \bar { \xi } } \simeq \frac { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \bar { \gamma } _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { \eta + \bar { \gamma } _ { 0 } } \quad , \quad \frac { K _ { 3 } } { \bar { \xi } } \simeq - 3 \frac { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \bar { \gamma } _ { 0 } ^ { 4 } } \frac { \eta } { \eta + \bar { \gamma } _ { 0 } } \quad , \quad \frac { K _ { 4 } } { \bar { \xi } } \simeq \frac { 3 \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } { 8 \bar { \gamma } _ { 0 } ^ { 6 } } \frac { 4 \eta ^ { 2 } - \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } { \eta + \bar { \gamma } _ { 0 } }
\frac { d \sigma _ { \gamma ^ { * } N \rightarrow \pi ^ { + } \pi ^ { - } N } } { d M _ { \pi \pi } } ( Q ^ { 2 } ) = \frac { d \sigma _ { \gamma N \rightarrow \pi ^ { + } \pi ^ { - } N } } { d M _ { \pi \pi } } ( Q ^ { 2 } = 0 ) \left( \frac { M _ { \pi \pi } ^ { 2 } } { M _ { \pi \pi } ^ { 2 } + Q ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( 1 + \epsilon \, \xi ^ { 2 } \frac { Q ^ { 2 } } { M _ { \pi \pi } ^ { 2 } } \right) .
D _ { \mu \nu } = \overline { { { P } } } _ { \mu \nu } \, \frac { 1 } { p ^ { 2 } + \Pi _ { \mathrm { T } } } + Q _ { \mu \nu } \, \frac { 1 } { p ^ { 2 } + \Pi _ { \mathrm { L } } } + R _ { \mu \nu } \, \frac { 1 } { p ^ { 2 } + \tilde { \Pi } _ { \mathrm { T } } } + \xi \, \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { p ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \left( \mathbf { I } - \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } \right) ^ { - 1 } } & { { } = \mathbf { I } + \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } + \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } ^ { 2 } + \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } ^ { 3 } + \ldots } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { Q _ { A } = \mathrm { { d i v } } ( \kappa _ { A } \nabla \theta _ { A } ) } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { A , T } , } \\ { Q _ { B } = { \mathrm { d i v } } ( \kappa _ { B } \nabla \theta _ { B } ) } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { B , T } , } \\ { Q _ { S } = \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } ( \kappa _ { S } \nabla _ { \Gamma } \theta _ { S } ) + \kappa _ { B } ( n _ { \Gamma } \cdot \nabla ) \theta _ { B } - \kappa _ { A } ( n _ { \Gamma } \cdot \nabla ) \theta _ { A } } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { T } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { H _ { k + 1 } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { { \bf u } } & { { \bf 1 } _ { N } } \end{array} \right] , } \\ { P _ { k + 1 } ^ { - 1 } } & { = P _ { k } ^ { - 1 } + H _ { k + 1 } ^ { T } H _ { k + 1 } , } \\ { K _ { k + 1 } } & { = P _ { k + 1 } H _ { k + 1 } ^ { T } , } \\ { { \bf x } _ { k + 1 } } & { = { \bf x } _ { k } + K _ { k + 1 } \left( { \bf d } - H _ { k + 1 } { \bf x } _ { k } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { \{ 1 \} \{ 1 \} } } & { { } = \left( \hat { \gamma } + \bar { \gamma } _ { 1 2 } ^ { 2 } \bar { \gamma } _ { 3 3 } ^ { } - 2 \bar { \gamma } _ { 1 2 } ^ { } \bar { \gamma } _ { 1 3 } ^ { } \bar { \gamma } _ { 2 3 } ^ { } + \bar { \gamma } _ { 1 3 } ^ { 2 } \bar { \gamma } _ { 2 2 } ^ { } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E _ { 2 \mp 2 } ^ { s } = - \frac { \sqrt { 1 5 } } { 4 } \frac { G M } { R ^ { 2 } } \left( \frac { R } { a } \right) ^ { 4 } \left( \cos i \mp 1 \right) ^ { 2 } } \\ & { \times \left( 2 \sin \gamma \cos \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) + 3 \sin \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \cos \gamma \right) \bar { S } _ { 2 2 } , } \end{array}
\phi ( \xi , 0 ; Z ) \le \left[ \xi + \hat { \Delta } ( \xi , Z ) \right] \, \sqrt { K n _ { u } ( Z ) } \le \left[ \xi + \Delta \! ^ { { \scriptscriptstyle ( 0 ) } } ( \xi ) \right] \, \sqrt { K n _ { u } ( Z ) } .
F ( k ^ { 2 } ) = - t \frac { d } { d t } \left[ I _ { 0 } ( t ) K _ { 0 } ( t ) - I _ { 1 } ( t ) K _ { 1 } ( t ) \right] , \, \, t = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { k ^ { 2 } } \bar { \rho } .
\begin{array} { r l } { { \cal L } ( d _ { i } | \Lambda ) } & { = \int d \theta p ( d _ { i } , \theta | \Lambda ) = \int d \theta { \cal L } ( d _ { i } | \theta ) p ( \theta | \Lambda ) } \\ { P _ { \mathrm { d e t } } ( \Lambda ) } & { = \int d d \int d \theta p ( d , \theta | \Lambda ) \Theta ( \rho ( d ) - \rho _ { * } ) } \\ & { = \int d d \int d \theta { \cal L } ( d | \theta ) p ( \theta | \Lambda ) \Theta ( \rho ( d ) - \rho _ { * } ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d r } { d \hat { \tau } } } & { = r v \cos \psi , } \\ { \frac { d v } { d \hat { \tau } } } & { = \left( 2 r E - \frac 1 2 v ^ { 2 } - \bar { V } ( \psi ) ) \right) \cos \psi } \\ { \frac { d \psi } { d \hat { \tau } } } & { = \hat { w } } \\ { \frac { d \hat { w } } { d \hat { \tau } } } & { = - \frac 1 2 v \hat { w } \cos \psi - \bar { V } ^ { \prime } ( \psi ) \cos ^ { 2 } \psi - \sin \psi \cos \psi ( 2 r E - v ^ { 2 } - 2 \bar { V } ( \psi ) ) , } \end{array} \right.
~ \sum _ { m n p } ~ { \frac { 1 } { k ^ { 2 } - \alpha _ { m } ^ { 2 } - \beta _ { n } ^ { 2 } - \gamma _ { p } ^ { 2 } } } ~ \mathbf { G } _ { m n p } ~ \mathbf { J } ( \alpha _ { m } , \beta _ { n } , \gamma _ { p } ) ~ e ^ { j ( \alpha _ { m } x + \beta _ { n } y + \gamma _ { p } z ) } ~ = ~ \mathbf { 0 } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( 3 . 3 )
\tilde { R } _ { i j } = g \left( { \delta _ { i j } - \frac { r _ { i } r _ { j } } { r ^ { 2 } } } \right) + f \frac { r _ { i } r _ { j } } { r ^ { 2 } } + h \epsilon _ { i j \ell } \frac { r _ { \ell } } { r }
S _ { \mathrm { e f f } } = \int d x \left( { \frac { 1 } { 4 } } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } + { \frac { 1 } { 2 } } F ^ { 2 } \mathrm { t r } \partial _ { \mu } U ^ { \dagger } \partial _ { \mu } U \right) + \cdots .