harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\operatorname* { l i m } _ { \omega _ { 0 } \to 0 } \left( \begin{array} { l l l } { \frac { \langle \delta \ell ( \tau ) \delta \ell ( 0 ) \rangle } { \sigma _ { \ell } ^ { 2 } } } & { } & { \frac { \langle \delta \ell ( \tau ) \delta v ( 0 ) \rangle } { \sigma _ { \ell } \sigma _ { v } } } \\ { \frac { \langle \delta v ( \tau ) \delta \ell ( 0 ) \rangle } { \sigma _ { \ell } \sigma _ { v } } } & { } & { \frac { \langle \delta v ( \tau ) \delta v ( 0 ) \rangle } { \sigma _ { v } ^ { 2 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { } & { 0 } \\ { 0 } & { } & { e ^ { - \mu \tau } } \end{array} \right) .
\psi _ { n } \sim \left\{ \begin{array} { r l } { \Big [ L ( Y ) \log { ( n ) } + Q ( Y ) \Big ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } - 1 ) } { \chi ^ { n / 2 - 1 } } \qquad \qquad ~ ~ \qquad \qquad \quad } & { } \\ { + \Big [ Q _ { 0 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \log ^ { 2 } { ( n ) } + Q _ { 1 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \log ( n ) + Q _ { 2 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \Big ] \Gamma \Big ( \frac { n - 1 } { 2 } \Big ) } & { \quad \mathrm { f o r ~ n ~ e v e n } , } \\ { R ( Y ) \frac { \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } { \chi ^ { ( n - 1 ) / 2 } } + \Big [ R _ { 1 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \log ( n ) + R _ { 2 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \Big ] \Gamma \Big ( \frac { n } { 2 } \Big ) } & { \quad \mathrm { f o r ~ n ~ o d d } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \widetilde { P } _ { t , \mathbf { u } _ { 0 } } ( \tilde { \mathbf { u } } _ { 0 } , \mathcal { O } ) = \mathbb { P } ( \tilde { \mathbf { u } } ( t ; \tilde { \mathbf { u } } _ { 0 } , \mathbf { u } _ { 0 } ) \in \mathcal { O } ) \quad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } t \geq 0 , \, \tilde { \mathbf { u } } _ { 0 } \in H \, \mathrm { ~ a n d ~ } \, \mathcal { O } \in \mathcal { B } ( H ) , } \end{array}
\begin{array} { l l } { \sigma \beta ^ { - 1 } \tau _ { \nu _ { i } } \langle w _ { \nu _ { i } } , d _ { \nu _ { i } } \rangle < \varphi ( x _ { \nu _ { i } } + \beta ^ { - 1 } \tau _ { \nu _ { i } } d _ { \nu _ { i } } ) - \varphi ( x _ { \nu _ { i } } ) } \\ { \leq \beta ^ { - 1 } \tau _ { \nu _ { i } } \langle w _ { \nu _ { i } } , d _ { \nu _ { i } } \rangle + r \beta ^ { - 2 } \tau _ { \nu _ { i } } ^ { 2 } \| d _ { \nu _ { i } } \| ^ { 2 } \leq \beta ^ { - 1 } \tau _ { \nu _ { i } } \left( 1 - \displaystyle \frac { r } { \zeta \beta } \tau _ { \nu _ { i } } \right) \langle w _ { \nu _ { i } } , d _ { \nu _ { i } } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \ker _ { \mathbb { Z } } \left( \left[ \begin{array} { l l l l } { 3 } & { 4 } & { 5 } & { 6 } \\ { 7 } & { 8 } & { 9 } & { 1 0 } \\ { 1 1 } & { 1 2 } & { 1 3 } & { 1 4 } \\ { 1 5 } & { 1 6 } & { 1 7 } & { 1 8 } \end{array} \right] \right) = \mathbb { Z } \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { - 2 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] \oplus \mathbb { Z } \left[ \begin{array} { l } { 2 } \\ { - 3 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] , \ \operatorname { i m } _ { \mathbb { Z } } \left( \left[ \begin{array} { l l l l } { 3 } & { 4 } & { 5 } & { 6 } \\ { 7 } & { 8 } & { 9 } & { 1 0 } \\ { 1 1 } & { 1 2 } & { 1 3 } & { 1 4 } \\ { 1 5 } & { 1 6 } & { 1 7 } & { 1 8 } \end{array} \right] \right) = \mathbb { Z } \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] \oplus \mathbb { Z } \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 4 } \\ { 8 } \\ { 1 2 } \end{array} \right] . } \end{array}
{ \bf S } _ { s e } = \frac { ( T _ { \mathrm { a m p } } + T ) k _ { B } } { P _ { \mathrm { i n c } } } \left( \frac { 2 Q _ { e } } { f _ { p } } \frac { d f } { d x } \right) ^ { - 2 } { \bf I } _ { 6 \times 6 } \qquad [ \mathrm { m ^ { 2 } / H z } ]
H ^ { ( 1 ) } = A ^ { \dagger } A = { \frac { - \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } - { \frac { \hbar } { \sqrt { 2 m } } } W ^ { \prime } ( x ) + W ^ { 2 } ( x )
c _ { v } \rho \frac { d T } { d t } = - p \Bigg ( \hat { \textbf { l } } \cdot \frac { \partial \textbf { v } } { \partial \ell } \Bigg ) + \frac { 4 } { 3 } \mu \Bigg ( \hat { \textbf { l } } \cdot \frac { \partial \textbf { v } } { \partial \ell } \Bigg ) ^ { 2 } - n _ { e } ^ { 2 } \Lambda ( T ) + \frac { \partial } { \partial \ell } \left( \kappa \frac { \partial T } { \partial \ell } \right) ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { i } _ { t } } & { { } = \sigma ( \boldsymbol { W } _ { i i } \boldsymbol { z } _ { t } + \boldsymbol { b } _ { i i } + \boldsymbol { W } _ { h i } \boldsymbol { h } _ { t - 1 } + \boldsymbol { b } _ { h i } ) } \\ { \boldsymbol { f } _ { t } } & { { } = \sigma ( \boldsymbol { W } _ { i f } \boldsymbol { z } _ { t } + \boldsymbol { b } _ { i f } + \boldsymbol { W } _ { h f } \boldsymbol { h } _ { t - 1 } + \boldsymbol { b } _ { h f } ) } \\ { \boldsymbol { o } _ { t } } & { { } = \sigma ( \boldsymbol { W } _ { i o } \boldsymbol { z } _ { t } + \boldsymbol { b } _ { i o } + \boldsymbol { W } _ { h o } \boldsymbol { h } _ { t - 1 } + \boldsymbol { b } _ { h o } ) } \\ { \boldsymbol { g } _ { t } } & { { } = \operatorname { t a n h } ( \boldsymbol { W } _ { i g } \boldsymbol { z } _ { t } + \boldsymbol { b } _ { i g } + \boldsymbol { W } _ { h g } \boldsymbol { h } _ { t - 1 } + \boldsymbol { b } _ { h g } ) } \\ { \boldsymbol { c } _ { t } } & { { } = \boldsymbol { f } _ { t } \odot \boldsymbol { c } _ { t - 1 } + \boldsymbol { i } _ { t } \odot \boldsymbol { g } _ { t } } \\ { \boldsymbol { h } _ { t } } & { { } = \boldsymbol { o } _ { t } \odot \operatorname { t a n h } ( \boldsymbol { c } _ { t } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { L } ^ { \S } } & { { } : = \varepsilon _ { S S l } \left( \frac { K _ { S } + s _ { 0 } } { K _ { M } + s _ { 0 } } + \frac { ( K _ { M } + s _ { 0 } ) ^ { 2 } ( K _ { S } + s _ { 0 } ) } { K _ { M } ^ { 3 } } \right) , } \\ { \mathrm { o r } } \\ { \varepsilon _ { M } ^ { \S } } & { { } : = \varepsilon _ { S S l } \left( \frac { K _ { S } + s _ { 0 } } { K _ { M } + s _ { 0 } } + \exp \left( \frac { s _ { 0 } } { K _ { M } } - 1 \right) \frac { ( K _ { M } + s _ { 0 } ) } { K _ { M } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta ^ { 2 } I _ { \varepsilon } ( u ) [ X ] } & { = \int _ { D } \left( \mu _ { 0 } ( d u , d u ) + \mathcal { F } _ { \varepsilon } ( u ) \right) \ddot { \nu } _ { 0 } + 2 \dot { \mu } _ { 0 } ( d u , d u ) \dot { \nu } _ { 0 } + \ddot { \mu } _ { 0 } \nu _ { 0 } } \\ & { = \int _ { M } \left( ( | d u | _ { g } ^ { 2 } + \mathcal { F } _ { \varepsilon } ( u ) ) \mathrm { d i v } _ { g } \left( ( \mathrm { d i v } _ { g } X ) X \right) + 2 [ L _ { X } \bar { g } ] ( d u , d u ) \mathrm { d i v } _ { g } X + [ L _ { X } ^ { 2 } \bar { g } ] ( d u , d u ) \right) \mathrm { v o l } _ { g } , } \end{array}
i \hbar \frac { d } { d t } \psi _ { X } = ( E _ { X } ( { \bf k } ) - i \hbar \gamma _ { X } ) \psi _ { X } + \frac { \hbar \tilde { \Omega } _ { R } } { 2 } \psi _ { C } + g _ { X } | \psi _ { X } | ^ { 2 } \psi _ { X } ,
w ( N , n ) = ( - 1 ) ^ { N - n } \frac { ( 2 N + 4 ) ! } { ( N + n + 3 ) ! ( N - n ) ! } = - ( - 1 ) ^ { h - j _ { 1 2 } } \frac { \Gamma ( 2 h - 1 ) } { \Gamma ( h + j _ { 1 2 } - 1 ) \Gamma ( h - j _ { 1 2 } ) } .
\begin{array} { r l } { \left\langle \hat { a } \right\rangle } & { { } = \left\langle a _ { 1 } + a _ { 2 } \right\rangle \sqrt { \frac { n _ { c } } { 2 } } } \\ { \left\langle \hat { n } \right\rangle } & { { } = n _ { c } \left\langle a _ { 1 } a _ { 2 } \right\rangle . } \end{array}
{ R _ { \mathrm { m e a n } } } = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { { N _ { \mathrm { m u l t i } } } - 1 } \sum _ { j = i + 1 } ^ { N _ { \mathrm { m u l t i } } } | { r _ { \mathrm { i } } } - { r _ { \mathrm { j } } } | } { { N _ { \mathrm { m u l t i } } } { C _ { \mathrm { 2 } } } } }
\Psi _ { \bf D } \rightarrow \exp { ( \phi _ { 1 } { \tilde { E } } _ { 1 } - \theta _ { 2 } { \tilde { E } } _ { 2 } + \phi _ { 3 } { \tilde { E } } _ { 3 } + \theta _ { 1 } { \tilde { F } } _ { 1 } + \phi _ { 2 } { \tilde { F } } _ { 2 } + \theta _ { 3 } { \tilde { F } } _ { 3 } ) } \cdot \Psi _ { \bf D } ,
\begin{array} { r l } { \delta \hat { \rho } } & { { } = \frac { \lambda } { v _ { s } k } \frac { b } { \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } } \delta \hat { \rho } , } \\ { \delta \hat { \mathcal { U } } ^ { \alpha } } & { { } = \frac { B n \kappa } { v _ { s } k } \frac { b ^ { 2 } - 2 \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } + 2 } { b ^ { 3 } } \delta \hat { \mathcal { U } } ^ { \alpha } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial P _ { v } } { \partial u } } - { \frac { \partial P _ { u } } { \partial v } } } & { = { \frac { \partial { \boldsymbol { \psi } } } { \partial v } } \cdot ( \nabla \times \mathbf { F } ) \times { \frac { \partial { \boldsymbol { \psi } } } { \partial u } } = ( \nabla \times \mathbf { F } ) \cdot { \frac { \partial { \boldsymbol { \psi } } } { \partial u } } \times { \frac { \partial { \boldsymbol { \psi } } } { \partial v } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \sum _ { w , q \in { \pmb { \Lambda } } ( 1 ) } | { \pmb { \Lambda } } _ { w } ( h - \ell - 1 ) | \cdot | { \pmb { \Lambda } } _ { q } ( h - \ell - 1 ) | \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } \left[ \sum _ { w , q \in { \pmb { \Lambda } } ( 1 ) } | { \pmb { \Lambda } } _ { w } ( h - \ell - 1 ) | \cdot | { \pmb { \Lambda } } _ { q } ( h - \ell - 1 ) | \middle | { \pmb { \Lambda } } ( 1 ) \right] \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ | { \pmb { \Lambda } } ( 1 ) | \cdot ( | { \pmb { \Lambda } } ( 1 ) | - 1 ) \cdot \left( \mathbb { E } \Big [ | { \pmb { \Lambda } } ( h - \ell - 1 ) | \Big ] \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { \le \mathbb { E } \left[ | { \pmb { \Lambda } } ( 1 ) | ^ { 2 } \right] \cdot \left( \mathbb { E } \Big [ | { \pmb { \Lambda } } ( h - \ell - 1 ) | \Big ] \right) ^ { 2 } \enspace , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle A _ { i } x _ { i } , P _ { i } x _ { i } \right\rangle + \left\langle P _ { i } x _ { i } , A _ { i } x _ { i } \right\rangle } & { = } & { \frac { 1 } { c _ { i } } \left( \frac { d } { \pi } \right) ^ { 2 } \left\langle A _ { i } x _ { i } , x _ { i } \right\rangle } \\ & { = } & { \left( \frac { d } { \pi } \right) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { d } x _ { i , z z } ( z ) x _ { i } ( z ) d z = - \left( \frac { d } { \pi } \right) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { d } x _ { i , z } ^ { 2 } ( z ) d z } \\ & { \leq } & { - \| x _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , d ) } ^ { 2 } . } \end{array}
y _ { i } ( t ) = Y _ { i } ( \alpha ( t ) , \omega ( t ) ) { \mathrm { ~ } } \forall i \in \{ 1 , \ldots , K \} { \mathrm { ~ ( d e t e r m i n i s t i c ~ f u n c t i o n s ~ o f ~ } } \alpha ( t ) , \omega ( t ) { \mathrm { ) } }
\begin{array} { r l } { H ( z ) } & { = - \frac 1 2 q ^ { - 2 } \Big [ \theta _ { 4 } ^ { 8 } ( \theta _ { 3 } ^ { 1 2 } + \theta _ { 4 } ^ { 4 } \theta _ { 3 } ^ { 8 } + \theta _ { 2 } ^ { 8 } \theta _ { 4 } ^ { 4 } - \theta _ { 2 } ^ { 1 2 } ) - 2 - \theta _ { 3 } ^ { 8 } ( \theta _ { 4 } ^ { 1 2 } + \theta _ { 3 } ^ { 4 } \theta _ { 4 } ^ { 8 } + \theta _ { 2 } ^ { 8 } \theta _ { 3 } ^ { 4 } + \theta _ { 2 } ^ { 1 2 } ) + 2 \Big ] } \\ & { = \frac 1 2 q ^ { - 2 } \left( \theta _ { 2 } ^ { 8 } \theta _ { 3 } ^ { 1 2 } + \theta _ { 2 } ^ { 1 2 } \theta _ { 3 } ^ { 8 } + \theta _ { 2 } ^ { 1 2 } \theta _ { 4 } ^ { 8 } - \theta _ { 2 } ^ { 8 } \theta _ { 4 } ^ { 1 2 } \right) = \frac 1 2 q ^ { - 2 } \left( \theta _ { 2 } ^ { 8 } ( \theta _ { 3 } ^ { 1 2 } - \theta _ { 4 } ^ { 1 2 } ) + \theta _ { 2 } ^ { 1 2 } ( \theta _ { 3 } ^ { 8 } + \theta _ { 4 } ^ { 8 } ) \right) . } \end{array}
+ g ^ { \nu \alpha } g ^ { \beta \sigma } ( \Gamma _ { \alpha \rho } ^ { \mu } \Gamma _ { \beta \sigma } ^ { \rho } + \Gamma _ { \beta \sigma } ^ { \mu } \Gamma _ { \alpha \rho } ^ { \rho } - \Gamma _ { \sigma \rho } ^ { \mu } \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { \rho } - \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { \mu } \Gamma _ { \sigma \rho } ^ { \rho } ) +
\begin{array} { r l } { | \check { u } _ { \infty , m \ell } ( r ) | \leq } & { \: C ( r - 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } + \sqrt { \alpha _ { m \ell } } } \operatorname* { s u p } _ { r ^ { \prime } \leq 2 } | F _ { m \ell } ( r ^ { \prime } ) | , } \\ { | \widetilde { X } \check { u } _ { \infty , m \ell } ( r ) | \leq } & { \: C ( r - 1 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } + \sqrt { \alpha _ { m \ell } } } \operatorname* { s u p } _ { r ^ { \prime } \leq 2 } | F _ { m \ell } ( r ^ { \prime } ) | . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \bar { \phi } \approx \frac { T _ { i } } { T _ { e } + T _ { i } } \log \left( \frac { 1 + 2 \chi \bar { \phi } } { 1 + \frac { 1 5 } { 8 } \chi } \right) . } \end{array}
F ( \varphi , k ) = F \left( \varphi \, | \, k ^ { 2 } \right) = F ( \sin \varphi ; k ) = \int _ { 0 } ^ { \varphi } { \frac { \mathrm { d } \theta } { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } } .
\begin{array} { r l } { V ( t ) } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \dot { V } ( s ) \, d s \le \frac { p } { p ^ { \prime } } \int _ { 0 } ^ { t } V ( s ) \, d s + \| \partial _ { t } u \| _ { L ^ { p } ( \Omega _ { t } ) } ^ { p } } \\ & { \le \frac { p } { p ^ { \prime } } \int _ { 0 } ^ { t } V ( s ) \, d s + C \Bigl ( \| d \| _ { L ^ { p } ( \Omega _ { t } ) } ^ { p } + \| u \| _ { L ^ { p } ( \Omega _ { t } ) } ^ { p } \Bigr ) \le C \left( \int _ { 0 } ^ { t } V ( s ) \, d s + \| d \| _ { L ^ { p } ( \Omega _ { t } ) } ^ { p } \right) . } \end{array}
\int _ { a } ^ { b } e ^ { M f ( x ) } \, d x \approx e ^ { M f ( x _ { 0 } ) } \int _ { a } ^ { b } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } M | f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) | ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } } \, d x
\begin{array} { r c l r c l } { { \chi _ { 1 2 } } } & { { = } } & { { \chi _ { 3 4 } } } & { { \equiv } } & { { \chi _ { s } , } } \\ { { \chi _ { 1 4 } } } & { { = } } & { { \chi _ { 2 3 } } } & { { \equiv } } & { { \chi _ { t } , } } \\ { { \chi _ { 1 3 } } } & { { = } } & { { \chi _ { 2 4 } } } & { { \equiv } } & { { \chi _ { u } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { B ( \xi , \zeta ) } & { \lesssim L ^ { - 2 d + 2 } \int _ { ( u , v ) \in \Omega } \int _ { | s | \geq L ^ { - 1 } } \langle s \delta ^ { - 1 } L ^ { 2 - 2 \gamma } \rangle ^ { - P } \prod _ { j = 1 } ^ { d } \bigg | G _ { g ^ { j } } ( s , \xi ^ { j } , u ^ { j } ) G _ { h ^ { j } } ( - s , \zeta ^ { j } , v ^ { j } ) \bigg | \, d s \mathrm { d } u \mathrm { d } v } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { \# ~ V a r i a b l e s : ~ } } & { { | H | } ^ { 2 } + ( { | H | } ^ { 2 } + { | N | } ^ { 2 } + 1 ) \cdot | T \setminus T ^ { \prime } | + \sum _ { r \in T ^ { \prime } } \big ( 2 | \Pi ^ { r } | + 1 \big ) } \\ { \mathrm { \# ~ B i n a r y ~ V a r i a b l e s : ~ } } & { { | H | } ^ { 2 } + ( { | H | } ^ { 2 } + { | N | } ^ { 2 } ) \cdot | T \setminus T ^ { \prime } | + \sum _ { r \in T ^ { \prime } } 2 | \Pi ^ { r } | } \\ { \mathrm { \# ~ C o n s t r a i n t s : ~ } } & { | H | + | Z _ { f i x e d } | + ( 1 + | N | + { | H | } ^ { 2 } ) \cdot | T \setminus T ^ { \prime } | + \sum _ { r \in T ^ { \prime } } \bigg ( 4 | \Pi ^ { r } | + 1 + \sum _ { \pi \in \Pi ^ { r } } | x ( \pi ) | \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \| h ^ { \prime } \| _ { \infty } \leq C , \qquad \| h ^ { \prime \prime } \| _ { \infty } \leq C \| \kappa \| _ { \infty } , \qquad \| h ^ { \prime \prime \prime } \| _ { \infty } \leq C ( \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } + \| \kappa \| _ { \infty } ) , } \end{array}
\delta J = - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } e ( k _ { i } ) D _ { h } ( x ( k _ { i } ) ) \delta x ( k ) = - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } e ( k _ { i } ) D _ { h } ( x ( k _ { i } ) ) F \delta c .
\begin{array} { r l } & { \log \mathbb { E } _ { P } \left[ \exp \left( \lambda \xi _ { t } ^ { a } ( P ) \right) | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] } \\ & { = \left\{ \frac { \lambda } { \sqrt { T } } \mathbb { E } _ { P } \left[ \sqrt { T } \xi _ { t } ^ { a } ( P ) | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] + \frac { \lambda ^ { 2 } } { T } \mathbb { E } _ { P } \left[ ( \sqrt { T } \xi _ { t } ^ { a } ( P ) ) ^ { 2 } / 2 ! | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] + O \left( \left( \lambda / \sqrt { T } \right) ^ { 3 } \right) \right\} } \\ & { \ \ \ \ \ \ - \frac { 1 } { 2 } \left\{ \frac { \lambda } { \sqrt { T } } \mathbb { E } _ { P } \left[ \sqrt { T } \xi _ { t } ^ { a } ( P ) | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] + O \left( \left( \lambda / \sqrt { T } \right) ^ { 2 } \right) \right\} ^ { 2 } } \\ & { = \frac { \lambda ^ { 2 } } { T } \mathbb { E } _ { P } \left[ ( \sqrt { T } \xi _ { t } ^ { a } ( P ) ) ^ { 2 } / 2 ! | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] + O \left( \left( \lambda / \sqrt { T } \right) ^ { 3 } \right) . } \end{array}
\Delta S _ { 2 } = \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { R } 4 \pi r ^ { 2 } \sum _ { \beta } \rho _ { \beta } f _ { k } ^ { \alpha } g _ { k } ^ { \alpha \beta } ( r ) \ln \Big ( \frac { g _ { k } ^ { \alpha \beta } ( r ) } { g ^ { \alpha \beta } ( r ) } \Big ) d r ,
2 H = \int { ( \beta _ { 2 } | A _ { t } | ^ { 2 } + 2 g _ { 1 } ^ { 2 } | A | ^ { 2 } / \beta _ { 2 } + \gamma | A | ^ { 4 } ) \exp [ \frac { 2 g _ { 1 } t } { \beta _ { 2 } } ] d t }
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ d ~ } s ( x - x _ { \mathrm { ~ m ~ } } , y - y _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) } & { { } = \frac { \mathrm { ~ d ~ } F _ { z } ( x _ { \mathrm { ~ m ~ } } , y _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) ( 1 - \nu ^ { 2 } ) } { \pi E \sqrt { ( x - x _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \omega t \rightarrow \infty } \int K _ { p } d K _ { p } \int K _ { q } d K _ { q } \delta \left( \mathbf { k } \right) \int d x \int _ { \Gamma } d y \operatorname* { d e t } J \sin \left( N \left( y - 2 \cos \theta _ { k } \right) t \right) \frac { \sin \left( N y t \right) } { y } \mathcal { K } \left( x , y \right) } & { { } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \nabla T | ^ { 2 } } & { { } = g _ { z \bar { z } } ^ { p - 1 } \nabla T \bar { \nabla } \bar { T } , \qquad | \bar { \nabla } T | ^ { 2 } = g _ { z \bar { z } } ^ { p - 1 } \bar { \nabla } T \nabla \bar { T } } \end{array}
\left| R _ { \beta } ( { \boldsymbol { x } } ) \right| \leq { \frac { 1 } { \beta ! } } \operatorname* { m a x } _ { | \alpha | = | \beta | } \operatorname* { m a x } _ { { \boldsymbol { y } } \in B } | D ^ { \alpha } f ( { \boldsymbol { y } } ) | , \qquad { \boldsymbol { x } } \in B .
\hat { S } _ { \nu } = \left( \begin{array} { c c c } { { \hat { r } _ { \Delta } s _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 2 \hat { r } _ { \delta } s _ { 2 } c _ { 2 } } } \\ { { 0 } } & { { \hat { r } _ { \Delta } c _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 2 \hat { r } _ { \delta } s _ { 2 } c _ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \frac { d \tau _ { \mathrm { C } } } { d t } } & { { } = } & { 1 - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \Big [ { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \omega _ { \oplus } ^ { 2 } R _ { \oplus } ^ { 2 } + \frac { G M _ { \oplus } } { R _ { \oplus } } \Big ( 1 + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } J _ { 2 } + 3 ( C _ { 2 2 } \cos 2 \phi + S _ { 2 2 } \sin 2 \phi ) \Big ) \Big ] + { \cal O } ( 2 . 2 8 \times 1 0 ^ { - 1 5 } \cos \phi ) , } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l l l l l l l } { F _ { 1 } } & { 1 - F _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { F _ { 1 } } & { 0 } & { 1 - F _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { F _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 1 - F _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { F _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 - F _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { F _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 1 - F _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { F _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 - F _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { F _ { 4 } } & { 0 } & { 0 } & { 1 - F _ { 4 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { F _ { 4 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 - F _ { 4 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { F _ { 5 } } & { 0 } & { 1 - F _ { 5 } } \end{array} \right] } .
C = \frac { \omega \left( n _ { O \pm } ^ { 2 } - P \right) \left| \gamma \right| } { \sqrt { 2 \omega ^ { 2 } \left( n _ { O \pm } ^ { 2 } - P \right) ^ { 2 } \left| \gamma \right| ^ { 2 } + \left( S V _ { 0 } n _ { O \pm } \right) ^ { 2 } } } ,
\tilde { f } ( \omega , \kappa , \bar { \kappa } , 0 ) = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \nu \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { \frac { \vert \kappa ^ { 2 } \vert ^ { - 1 + i \nu } \left( { \frac { \kappa } { \vert \kappa \vert } } \right) ^ { n } \vert \bar { \kappa } ^ { 2 } \vert ^ { - 1 - i \nu } \left( { \frac { \bar { \kappa } } { \vert \bar { \kappa } \vert } } \right) ^ { - n } } { \omega - \frac { g ^ { 2 } C _ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \Omega ( \omega , \nu , n ) } }
0 = { \cal C } _ { m + 2 } + { \cal C } _ { m + 1 } ^ { \prime } + < { \cal C } _ { m } , { \cal C } _ { 0 } > + < { \cal C } _ { m - 1 } , { \cal C } _ { 1 } > + . . . + < { \cal C } _ { 0 } , { \cal C } _ { m } >
\begin{array} { r l } { \hat { H } = } & { - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \sum _ { i = 1 } ^ { A } \nabla _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { A } x _ { i } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { V } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } \sum _ { i < j } e ^ { - \frac { ( x _ { i } - x _ { j } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { j _ { - , t o t } } & { { } = F a k _ { - } c _ { 2 } ^ { \alpha _ { - , c } } c _ { 3 } ^ { \alpha _ { - , a } } \left[ \exp \left( \frac { \alpha _ { - , a } F \eta _ { - } } { R T } \right) - \exp \left( - \frac { \alpha _ { - , c } F \eta _ { - } } { R T } \right) \right] } \\ { j _ { + , t o t } } & { { } = F a k _ { + } c _ { 4 } ^ { \alpha _ { + , c } } c _ { 5 } ^ { \alpha _ { + , a } } \left[ \exp \left( \frac { \alpha _ { + , a } F \eta _ { + } } { R T } \right) - \exp \left( - \frac { \alpha _ { + , c } F \eta _ { + } } { R T } \right) \right] } \end{array}
H = - \frac { 1 } { \omega \mu } e ^ { i q x - i \omega t } \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } ( e ^ { - i Q z } + E e ^ { i Q z } ) e _ { y } = - \omega \epsilon e ^ { i q x - i \omega t } ( e ^ { - i Q z } + E e ^ { i Q z } ) e _ { y }
d \boldsymbol { x } = \left[ - \frac { \beta ( t ) } { 2 } \boldsymbol { x } - \beta ( t ) \boldsymbol { s } _ { \boldsymbol { \theta } ^ { * } } \left( \boldsymbol { x } _ { t } , t \right) \right] d t + \sqrt { \beta ( t ) } d \overline { { \boldsymbol { w } } } = f ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { s } _ { \boldsymbol { \theta } ^ { * } } , t ) + \sqrt { \beta ( t ) } d \overline { { \boldsymbol { w } } } ,
\begin{array} { r l r l } { \operatorname* { m i n } \ } & { c ^ { \top } y + \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T } \beta _ { i , t } ^ { + } \lambda _ { i , t } } \\ { \mathrm { s . t . } \ } & { A y \geq b , } \\ & { - P _ { D G _ { i } } ^ { t } + \lambda _ { i , t } \geq - P _ { D G _ { i } , \operatorname* { m a x } } ^ { t } } & & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T } \\ & { \lambda _ { i , t } \geq 0 } & & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle \frac { I _ { 1 3 } } { 2 } \sin \theta \cos \theta \, \frac { 1 - \cos 2 w } { r ^ { 3 } } \right\rangle _ { M } = \frac { m _ { 0 } R ^ { 5 } } { 3 2 \mathrm { i } a ^ { 6 } } \sin ^ { 2 } \theta \cos \theta } & { { } } & { } \\ { \sum _ { k } 2 K ( \omega - k n ) \Big [ \left( e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } - e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) + \cos \theta \left( 2 X _ { k } ^ { - 3 , 0 } - e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } - e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) \Big ] \left( 2 X _ { - k } ^ { - 3 , 0 } - e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { - k } ^ { - 3 , 2 } - e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { - k } ^ { - 3 , - 2 } \right) } \end{array}
Y _ { i j } = Y _ { 0 } \left( 1 + \sum _ { \substack { A B \, A \neq B } } \mathcal { A } _ { A B } \exp \left( i \mathbf { k } _ { A B } \cdot \mathbf { r } _ { i j } + i \phi _ { i j } ^ { ( A B ) } \right) \right) + \delta Y _ { i j } ,