harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \vert \vert \widetilde f _ { \eta _ { k } } ^ { ( s _ { k } , e _ { k } ] } \vert \vert _ { L _ { 2 } } = \sqrt { \frac { e _ { k } - \eta _ { k } } { ( e _ { k } - s _ { k } ) ( \eta _ { k } - s _ { k } ) } } ( \eta _ { k } - s _ { k } ) \vert \vert f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k } + 1 } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \ge c _ { 2 } \sqrt { T } \frac { 3 } { 4 } \kappa _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { C } _ { k } ( t ) } & { { } = } & { \operatorname* { P r } ( N _ { t } = 0 ) \langle \chi _ { 0 } ^ { 2 } \rangle + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \operatorname* { P r } ( N _ { t } = n ) \langle \chi _ { 0 } \chi _ { n } \rangle - \langle I _ { k } \rangle ^ { 2 } } \end{array}
\Sigma ( p ) = - J + \frac { \alpha } { 2 \pi ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 2 } k \Sigma ( k ) } { k ^ { 2 } + \Sigma ^ { 2 } ( k ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d q \exp \left( - q l ^ { 2 } / 2 \right) } { ( k - p ) ^ { 2 } + q } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \boldsymbol { u } } { \partial t } + ( \boldsymbol { u } \cdot \nabla _ { \boldsymbol { x } } \boldsymbol { u } ) ^ { T } } & { { } = \nu \nabla _ { \boldsymbol { x } } ^ { 2 } \boldsymbol { u } + \boldsymbol { f } ^ { T } , } \\ { ( \boldsymbol { u } \cdot \nabla _ { \boldsymbol { x } } \boldsymbol { u } ) ^ { L } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho } \nabla _ { \boldsymbol { x } } p + \boldsymbol { f } ^ { L } , } \end{array}
P ^ { ( \pm 1 ) } = \left( \begin{array} { c c } { { \frac { 1 + \Gamma } { 2 } p ^ { ( \pm ) } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \frac { 1 - \Gamma } { 2 } p ^ { ( \pm ) } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \eta _ { \mathrm { ~ R ~ } } ( r ) = \left( \frac { 2 } { \lambda _ { c } } \int _ { r - \lambda _ { c } / 2 } ^ { r + \lambda _ { c } / 2 } \left( \mathrm { ~ R ~ e ~ } [ \eta _ { 1 } ( r ^ { \prime } ) ] \right) ^ { 2 } \, \mathrm { d } r ^ { \prime } \right) ^ { 1 / 2 } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \eta _ { \mathrm { ~ I ~ } } ( r ) = \left( \frac { 2 } { \lambda _ { c } } \int _ { r - \lambda _ { c } / 2 } ^ { r + \lambda _ { c } / 2 } \left( \mathrm { ~ I ~ m ~ } [ \eta _ { 1 } ( r ^ { \prime } ) ] \right) ^ { 2 } \, \mathrm { d } r ^ { \prime } \right) ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
{ \frac { d y } { d x } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - ( { \frac { 1 } { x } } ) ^ { 2 } } } } \cdot \left( - { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right) = - { \frac { 1 } { x ^ { 2 } { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } } } } } = - { \frac { 1 } { x ^ { 2 } { \frac { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } { \sqrt { x ^ { 2 } } } } } } = - { \frac { 1 } { { \sqrt { x ^ { 2 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } } } = - { \frac { 1 } { | x | { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } } }
{ \cal H } = { \frac { 1 } { 2 } } ( \pi _ { \phi } + g A _ { 1 } ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 \tilde { \alpha } } } \pi _ { 1 } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \phi ^ { 2 } + \pi _ { 1 } A _ { 0 } ^ { \prime } - g A _ { 0 } \phi ^ { \prime } - { \frac { 1 } { 2 } } a g ^ { 2 } ( A _ { 0 } ^ { 2 } - A _ { 1 } ^ { 2 } ) .
\int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \left[ R - \frac { 1 } { 2 } ( D \phi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 \phi } ( D b ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } e ^ { \phi } \delta c \right]
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } f ( X _ { t _ { k - 1 } } ^ { \varepsilon } , H _ { n } ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ^ { \varepsilon } ) , \theta ) P _ { k } ^ { i } ( \theta _ { 0 } ) } \\ { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } f ( X _ { t _ { k - 1 } } ^ { \varepsilon } , H _ { n } ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ^ { \varepsilon } ) , \theta ) \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \Big ( b ^ { i } \big ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , H ( X _ { s - \cdot } ^ { \varepsilon } ) , \theta _ { 0 } \big ) - b ^ { i } \big ( X _ { t _ { k - 1 } } ^ { \varepsilon } , H _ { n } ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ^ { \varepsilon } ) , \theta _ { 0 } \big ) \Big ) \, \mathrm { d } s } \\ & { + \varepsilon \sum _ { k = 1 } ^ { n } f ( X _ { t _ { k - 1 } } ^ { \varepsilon } , H _ { n } ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ^ { \varepsilon } ) , \theta ) \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \sum _ { j = 1 } ^ { r } \sigma ^ { i j } \big ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , H ( X _ { s - \cdot } ^ { \varepsilon } ) , \beta _ { 0 } \big ) \, \mathrm { d } W _ { s } ^ { j } } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( Y _ { s } ^ { n , \varepsilon } , H _ { n } ( Y _ { s - \cdot } ^ { n , \varepsilon } ) , \theta ) \Big ( b \big ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , H ( X _ { s - \cdot } ^ { \varepsilon } ) , \theta _ { 0 } \big ) - b \big ( Y _ { s } ^ { n , \varepsilon } , H _ { n } ( Y _ { s - \cdot } ^ { n , \varepsilon } ) , \theta _ { 0 } \big ) \Big ) \, \mathrm { d } s } \\ & { + \varepsilon \int _ { 0 } ^ { 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { r } f ( Y _ { s } ^ { n , \varepsilon } , H ( Y _ { s - \cdot } ^ { n , \varepsilon } ) , \theta ) \sigma ^ { i j } \big ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , H ( X _ { s - \cdot } ^ { \varepsilon } ) , \beta _ { 0 } \big ) \, \mathrm { d } W _ { s } ^ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \omega ( z ) } & { = } & { \omega _ { 0 } \sqrt { 1 + \frac { z ^ { 2 } } { z _ { R } ^ { 2 } } } ; } \\ { R ( z ) } & { = } & { z \left( 1 + \frac { z _ { R } ^ { 2 } } { z ^ { 2 } } \right) ; } \\ { \zeta ( z ) } & { = } & { ( 2 p + \vert \ell \vert + 1 ) \arctan \frac { z } { z _ { R } } ; } \\ { \mathrm { L _ { p } ^ { \vert \ell \vert } } ( x ) } & { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { p } \frac { 1 } { i ! } \binom { p + \vert \ell \vert } { p - i } ( - x ) ^ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \bf T } \ { \bf a } _ { ( { \bf x } _ { 1 } , { x _ { 1 } ^ { 0 } } ) , \tau _ { 1 } , \alpha _ { 1 } } ^ { \varepsilon _ { 1 } } \cdots { \bf a } _ { ( { \bf x } _ { 2 p } , { x _ { 2 p } ^ { 0 } } ) , \tau _ { 2 p } , \alpha _ { 2 p } } ^ { \varepsilon _ { 2 p } } } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad = \mathrm { s g n } ( \pi ) \ { \bf a } _ { ( { \bf x } _ { \pi ( 1 ) } , { x } _ { \pi ( 1 ) } ^ { 0 } ) , \tau _ { \pi ( 1 ) } , \alpha _ { \pi ( 1 ) } } ^ { \varepsilon _ { \pi ( 1 ) } } \cdots { \bf a } _ { ( { \bf x } _ { \pi ( { 2 p } ) } , { x } _ { \pi ( n ) } ^ { 0 } ) , \tau _ { \pi ( { 2 p } ) } , \alpha _ { \pi ( { 2 p } ) } } ^ { \varepsilon _ { \pi ( { 2 p } ) } } , } \end{array}
\frac { \tilde { a } _ { 1 } ^ { \textrm { i } } } { \tilde { a } _ { 2 } ^ { \textrm { r } } } \rightarrow \frac { \left( \frac { \partial S } { \partial r } \frac { \partial R } { \partial r } + \frac { \partial R } { \partial r } \frac { \partial S } { \partial x } \right) } { \left( \frac { \partial S } { \partial r } \frac { \partial R } { \partial y } + \frac { \partial S } { \partial y } \frac { \partial R } { \partial r } \right) } .
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ v ~ } } ^ { ( b ) } } & { { } = \sum _ { j } \frac { p _ { j b } ^ { 2 } } { 2 m _ { j b } } + \frac { 1 } { 2 } m _ { j b } \omega _ { j b } ^ { 2 } x _ { j b } ^ { 2 } - c _ { j b } \hat { s } _ { b } x _ { j b } } \end{array}
S _ { \mathrm { ~ B ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ } } = S _ { \mathrm { ~ B ~ } } ^ { \mathrm { ~ t ~ } } + S _ { \mathrm { ~ B ~ } } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } + S _ { \mathrm { ~ B ~ } } ^ { \mathrm { ~ d ~ } } \, ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \Bigg \vert \frac { 1 } { 6 } \frac { D ^ { 3 } \ell ( \tilde { \theta } _ { n } ; Y _ { 0 : n } ) } { n } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 0 } ) ^ { 3 } \Bigg \vert } \\ { \leq } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in [ \theta _ { 0 } , \theta _ { 1 } ] } \Bigg \vert \frac { 1 } { 6 } \frac { D ^ { 3 } \ell ( \theta ; Y _ { 0 : n } ) } { n } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 0 } ) ^ { 3 } \Bigg \vert } \\ { \leq } & { C _ { 3 } | \theta _ { 1 } - \theta _ { 0 } | ^ { 3 } ~ ~ ~ P ^ { \theta _ { 1 } } \mathrm { - a . s . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R } & { { } = \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { \sin \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } d \phi , } \\ { \frac { L } { 2 } } & { { } = \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } d \phi , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial a } { \partial t } } & { { } = } & { \left( \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } a - \left\Vert \left( \left( V \left( \mathbf { x } \right) + 2 0 0 \left| a \right| ^ { 2 } \right) + 0 . 6 i \cdot \left( \mathbf { x } \times \nabla \right) \right) a \right\Vert \right) } \\ { V \left( \mathbf { x } \right) } & { { } = } & { 0 . 3 5 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) } \\ { \left\Vert b \left( \mathbf { x } \right) \right\Vert } & { { } = } & { \frac { b \left( \mathbf { x } \right) } { \int \left| b \right| ^ { 2 } d \mathbf { x } } \, . } \end{array}
\begin{array} { c c c c c c c } { { u = \langle \rho ^ { 2 } \rangle / \eta ^ { 2 } } } & { { , } } & { { v = \langle \rho R \rangle / \eta ^ { 3 } } } & { { , } } & { { w = \langle R ^ { 2 } \rangle / \eta ^ { 4 } } } & { { , } } & { { \tau = \eta t , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \left\langle \left| a \left( t \right) \right| ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = 1 . } \\ { \left\langle \left| a \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = \frac { T } { \pi \left( 1 + \omega ^ { 2 } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { a } ( k , t ) = \frac { \exp { - i \alpha t } } { \alpha ^ { 3 } } \Big [ \alpha ^ { 3 } \hat { a } ( k , 0 ) } \\ & { + \frac { n _ { 0 } ^ { 2 } | c | ^ { 2 } } { 8 } \Big ( 1 - \exp { i \alpha t } \Big ) } \\ & { \times \Big ( i \alpha ^ { 2 } \hat { f _ { 1 } } ( k ) - 2 i \hat { f _ { 3 } } ( k ) - \alpha \hat { f _ { 2 } } ( k ) \Big ) } \\ & { + \frac { n _ { 0 } ^ { 2 } | c | ^ { 2 } } { 8 } t \exp { i \alpha t } \times \Big ( 2 \alpha \hat { f _ { 3 } } ( k ) - i \alpha ^ { 2 } \hat { f _ { 2 } } ( k ) \Big ) } \\ & { - i \frac { n _ { 0 } ^ { 2 } | c | ^ { 2 } } { 8 } \alpha ^ { 2 } t ^ { 2 } \exp { i \alpha t } \hat { f _ { 3 } } ( k ) \Big ] , } \end{array}
u ( r ) = 4 \epsilon _ { \alpha \beta } \left[ \left( \frac { \sigma _ { \alpha \beta } } { r } \right) ^ { 1 2 } - \left( \frac { \sigma _ { \alpha \beta } } { r } \right) ^ { 6 } \right] + \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \frac { q _ { \alpha } q _ { \beta } } { r }
- 3 r = \vec { g } \cdot \vec { g } = \frac { 1 } { 4 } ( \vec { E } - \vec { B } ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } ( \vec { E } ^ { 2 } + \vec { B } ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { 2 } \vec { E } \cdot \vec { B }
\boldsymbol { \Phi } _ { k _ { x } } ^ { ( n ) } ( \mathbf { x } ) = \frac { 1 } { \sqrt { L _ { x } } } \exp \left( 2 \pi i \frac { k _ { x } x } { L _ { x } } \right) \boldsymbol { \varphi } _ { k _ { x } } ^ { ( n ) } ( y , z ) ,
\begin{array} { r l } { b _ { 1 } ^ { \dagger } | 1 _ { 1 } , 1 _ { 2 } \rangle = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( b _ { 1 } ^ { \dagger } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } + b _ { 1 } ^ { \dagger } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } ) } \\ { = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \psi _ { 1 } \otimes _ { + } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } + { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \psi _ { 1 } \otimes _ { + } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } \right) } \\ { = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } ( \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } + \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } + \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } ) + { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } ( \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } ) \right) } \\ { = } & { { \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 3 } } } ( \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } + \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } ) } \\ { = } & { { \sqrt { 2 } } | 2 _ { 1 } , 1 _ { 2 } \rangle . } \end{array}
{ \mathbf { L } } = { \mathbf { L } } _ { n } + { \mathbf { L } } _ { e } = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N - 1 } { \mathbf { X } } _ { \alpha } \times { \mathbf { P } } _ { \alpha } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { e } } { \mathbf { r } } _ { i } \times { \mathbf { p } } _ { i } ,
\begin{array} { r l } { R _ { i j } ^ { \mathrm { ~ D ~ W ~ } } } & { { } : = \log \left( \frac { 1 } { T } \sum _ { \tau = 1 } ^ { T } \frac { P ( x ^ { ( t ) } = i , x ^ { ( t + \tau ) } = j ) } { P ( x ^ { ( t ) } = i ) \cdot \frac { 1 } { n } } \right) , } \end{array}
( - 1 ) ^ { F _ { L } } \left| B , \pm \right\rangle _ { \mathrm { R R } } = \left| B , \mp \right\rangle _ { \mathrm { R R } } , \qquad ( - 1 ) ^ { F _ { R } } \left| B , \pm \right\rangle _ { \mathrm { R R } } = \left| B , \mp \right\rangle _ { \mathrm { R R } } .
\begin{array} { r } { \lVert f \rVert _ { ( \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathring { \Delta } _ { \mathcal { N } } ) ) _ { \theta , q } } \sim _ { p , s , n , \theta , \eta , \varepsilon } \lVert f \rVert _ { ( \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \varepsilon , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ) ) _ { \frac { \theta - \eta } { \varepsilon - \eta } , q } } \sim _ { p , s , n , \theta , \eta , \varepsilon } \lVert f \rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s + 2 \theta } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { l l } { \hat { H } _ { A F M I } = } & { \sum _ { i , j } [ { ( A _ { 0 } ^ { A F M I } \ { \delta } _ { i , j } + A _ { 2 } ^ { A F M I } \ { \delta } _ { i , j \pm 2 } ) \hat { \alpha } _ { i } ^ { \dagger } \hat { \alpha } _ { j } } } \end{array}
{ \textstyle \bigwedge } ^ { k } ( f ) = { \textstyle \bigwedge } ( f ) \left| _ { { \textstyle \bigwedge } ^ { k } ( V ) } \right. : { \textstyle \bigwedge } ^ { k } ( V ) \rightarrow { \textstyle \bigwedge } ^ { k } ( W ) .
{ \begin{array} { r l } { \ln \left( { \frac { n + 1 } { n } } \right) } & { = { \frac { 2 } { 2 n + 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( 2 k + 1 ) ( ( 2 n + 1 ) ^ { 2 } ) ^ { k } } } } \\ & { = 2 \left( { \frac { 1 } { 2 n + 1 } } + { \frac { 1 } { 3 ( 2 n + 1 ) ^ { 3 } } } + { \frac { 1 } { 5 ( 2 n + 1 ) ^ { 5 } } } + \cdots \right) . } \end{array} }
\Gamma _ { N P } = \int { \frac { d ^ { d } k } { ( 2 \pi ) ^ { d } } } A _ { a } ( k ) A _ { b } ( - k ) \left( - { \frac { g ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { \frac { d } { 2 } } } } \Gamma ( { \frac { d } { 2 } } ) { \frac { \tilde { k } ^ { a } \tilde { k } ^ { b } } { | \tilde { k } | ^ { d } } } \right)
\begin{array} { r l } { \Delta E } & { = E ( \phi + v ) - E ( \phi ) } \\ & { \lesssim \int _ { \mathbb { H } ^ { 3 } } ( | \nabla \phi \cdot \nabla v | + | \phi _ { t } v _ { t } | + | \nabla v | ^ { 2 } + | v _ { t } | ^ { 2 } d \mu + | \phi ^ { 3 } v | + | v | ^ { 4 } ) d \mu } \\ & { \leq E ( \phi ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } E ( v ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + E ( \phi ) ^ { \frac { 3 } { 4 } } E ( v ) ^ { \frac { 1 } { 4 } } + E ( v ) } \\ & { \lesssim s _ { 0 } ^ { - \frac { 3 } { 4 } ( 1 - s ) } \cdot s _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 4 } ( \frac { 7 } { 4 } s - \frac { 3 } { 2 } ) } } \\ & { \lesssim s _ { 0 } ^ { \frac { 1 9 } { 1 6 } s - \frac { 9 } { 8 } } } \end{array}
\left\| \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { 0 } & { c } \end{array} \right) \right\| ^ { 2 } = \rho \left( \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { 0 } & { c } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { a ^ { * } } & { 0 } \\ { b ^ { * } } & { c ^ { * } } \end{array} \right) \right) = \rho \left( \left( \begin{array} { l l } { | a | ^ { 2 } + | b | ^ { 2 } } & { b c ^ { * } } \\ { b ^ { * } c } & { | c | ^ { 2 } } \end{array} \right) \right)
\langle \pi ( p ) | \, O ( 0 ) \, | M ( v ) \rangle = \operatorname * { l i m } _ { p ^ { 2 } \to m _ { \pi } ^ { 2 } } \, { \frac { 1 } { f _ { \pi } } } \, { \frac { m _ { \pi } ^ { 2 } - p ^ { 2 } } { m _ { \pi } ^ { 2 } } } \, \, i \int \mathrm { d } x \, e ^ { i p \cdot x } \, \langle \, 0 \, | \, T \, \big \{ O ( 0 ) , \partial ^ { \mu } A _ { \mu } ( x ) \big \} \, | M ( v ) \rangle \, ,
\frac { { \Delta } ^ { 2 } w \left( { x } _ { i - 1 } \right) } { { h } ^ { 2 } } - { p } \left( 1 + \frac { { h } ^ { 2 } } { 1 2 } { p } \right) w \left( { x } _ { i } \right) = \frac { 1 } { 1 2 } \Bigl ( \tilde { v } \left( { x } _ { i + 1 } \right) + \left( 1 0 + { h } ^ { 2 } { p } \right) \tilde { v } \left( { x } _ { i } \right) + \tilde { v } \left( { x } _ { i - 1 } \right) \Bigr ) + \mathcal { O } \left( { h } ^ { 4 } \right) \, .
u _ { \Gamma } = - ( \kappa - \bar { \kappa } ) \frac { \partial C } { \partial x } \frac { 1 } { | \nabla C | } ; \quad v _ { \Gamma } = - ( \kappa - \bar { \kappa } ) \frac { \partial C } { \partial y } \frac { 1 } { | \nabla C | } ; \quad w _ { \Gamma } = - ( \kappa - \bar { \kappa } ) \frac { \partial C } { \partial z } \frac { 1 } { | \nabla C | }
\begin{array} { r l } { \dot { s } _ { x } } & { { } = ( \omega _ { B } - 2 \Delta _ { - 1 } \tilde { V } ) s _ { y } } \\ { \dot { s } _ { y } } & { { } = ( 2 \Delta _ { - 1 } \tilde { V } - \omega _ { B } ) s _ { x } - 2 \Omega _ { - 1 } \tilde { V } s _ { z } } \\ { \dot { s } _ { z } } & { { } = 2 \Omega _ { - 1 } \tilde { V } s _ { y } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { ~ C ~ } _ { 1 } } ^ { ( 3 ) } ( m _ { 1 } , \infty ) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { m _ { 2 } \rightarrow \infty } E _ { \mathrm { ~ C ~ } _ { 1 } } ^ { ( 3 ) } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { B } ( \tilde { u } _ { h } - u , v ) } & { = g _ { 1 } ( h ) ( u , v ) + g _ { 2 } ( h ) ( u , v ) + g _ { 3 } ( h ) ( u , v ) + } \\ & { O ( \| h \| _ { 1 , \infty } ^ { 2 } \| v \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) ^ { 2 } } ) + O ( \| h \| _ { 1 , \infty } \| v \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) ^ { 2 } } \| \tilde { u } _ { h } - u \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) ^ { 2 } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \ln S ] } & { = \mathbb { E } \left[ \ln \left( P _ { B } G _ { m } ^ { 2 } h _ { 1 } C r _ { 1 } ^ { - \alpha } \right) \right] } \\ & { = \ln \left( P _ { B } G _ { m } ^ { 2 } C \right) + \mathbb { E } \left[ \ln h _ { 1 } \right] - \alpha \mathbb { E } \left[ \ln r _ { 1 } \right] } \\ & { = \ln \left( P _ { B } G _ { m } ^ { 2 } C \right) - \gamma + \frac { \alpha } { 2 } \left( { \gamma + \ln \pi \lambda _ { B S } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } ( \mathbf { K } , \mathbf { J } , \boldsymbol { \rho } , \boldsymbol { \delta } ) = } & { \sum _ { t = 1 } ^ { L } \big [ \log \mathnormal { p } ( \mathbf { k } ( t ) ; \boldsymbol { \rho } ) + \log \mathnormal { p } ( \mathbf { j } ( t ) ; \boldsymbol { \delta } ) \big ] } \\ { = } & { h - L \big ( \log \vert \mathbf { O } \vert + \mathrm { t r a c e } \big [ \mathbf { O } ^ { - 1 } \hat { \mathbf { N } } _ { k } \big ] \big ) + } \\ & { f - L \big ( \log \vert \mathbf { Q } \vert + \mathrm { t r a c e } \big [ \mathbf { Q } ^ { - 1 } \hat { \mathbf { N } } _ { j } \big ] \big ) , } \end{array}
\eta ^ { A } = ( - { \cal P } ^ { 1 } , - i { \cal P } ^ { 2 } , { \cal C } ^ { 1 } , { \cal C } ^ { 2 } ) , \qquad { \cal P } _ { A } = ( { \bar { \cal C } } _ { 1 } , i { \bar { \cal C } } _ { 2 } , { \bar { \cal P } } _ { 1 } , { \bar { \cal P } } _ { 2 } ) ,
L { \cal N } _ { \parallel } = 2 L \sqrt { \lambda _ { 1 } } \sqrt { \frac { \mu } { \pi \beta _ { T } } } , \quad { \cal N } _ { \perp } = 4 \sqrt { \lambda _ { 1 } } \sqrt { \frac { \pi } { 3 \beta _ { T } \mu } } \sqrt { 1 + \frac 8 5 \kappa ^ { 2 } } .
\widehat { \tilde { \beta } } _ { ( i ) } - \hat { \beta } _ { ( i ) } ^ { ( 0 ) } = \left( \mathcal { \bar { H } } _ { n , ( i ) } ^ { ( 0 ) - 1 } + o _ { p } \left( \frac { \left( \ln \left( n \right) \right) ^ { 2 } } { \sqrt { n } } \right) \right) \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \eta _ { t } \left( y _ { t } - f ( x _ { t } , \beta ^ { ( 0 ) } ) \right) g _ { ( i ) , t } ^ { ( 0 ) } + O _ { p } \left( 1 / \sqrt { n } \right) .
\nabla _ { [ X _ { i _ { 1 } \dotsc i _ { m - 1 } } , X _ { j _ { 1 } \dotsc j _ { m - 1 } } ] } \left( f _ { \mu } + I ^ { 2 } \right) = \sum _ { r = 1 } ^ { n } \sum _ { l = 1 } ^ { m - 1 } \frac { \partial \Pi _ { i _ { 1 } \dotsc i _ { m - 1 } j _ { l } } } { \partial x _ { r } } Z _ { j _ { 1 } \dotsc r \dotsc j _ { m - 1 } \mu } ^ { \nu } f _ { \nu } + I ^ { 2 }
\Omega ^ { \mu \nu } ( \tau ) = S ^ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { \alpha } ^ { A } ( p ) \eta _ { A B } \left( \frac { \partial \epsilon _ { \beta } ^ { B } ( p ) } { \partial p _ { \mu } } p ^ { \nu } - \frac { \partial \epsilon _ { \beta } ^ { B } ( p ) } { \partial p _ { \nu } } p ^ { \mu } \right) S ^ { \alpha \beta } .
\mathcal { L } = \frac 1 2 \rho _ { 0 } ( \vec { \nabla } \phi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 c _ { 0 } ^ { 2 } } \rho _ { 0 } \dot { \phi } ^ { 2 } + \frac 2 3 \frac { \eta } { c _ { 0 } ^ { 2 } } \vec { \nabla } \phi \cdot \vec { \nabla } \dot { \phi } .
\begin{array} { c c c c c } { { \chi _ { + + } : \quad } } & { { { \bf Q } ^ { R } = } } & { { ( e _ { 3 } / 3 , e _ { 3 } / 3 , e _ { 1 } / 3 ) \quad } } & { { { \bf Q } ^ { L } = } } & { { ( e _ { 3 } / 3 , e _ { 3 } / 3 , 0 ) } } \\ { { \chi _ { - + } : \quad } } & { { } } & { { ( e _ { 2 } / 3 , e _ { 1 } / 3 , e _ { 3 } / 3 ) \quad } } & { { } } & { { ( e _ { 3 } / 3 , e _ { 3 } / 3 , 0 ) } } \\ { { \chi _ { + - } : \quad } } & { { } } & { { ( e _ { 3 } / 3 , e _ { 1 } / 3 , e _ { 2 } / 3 ) \quad } } & { { } } & { { ( e _ { 2 } / 3 , e _ { 2 } / 3 , 0 ) } } \\ { { \chi _ { -- } : \quad } } & { { } } & { { ( e _ { 2 } / 3 , e _ { 2 } / 3 , e _ { 1 } / 3 ) \quad } } & { { } } & { { ( e _ { 2 } / 3 , e _ { 2 } / 3 , 0 ) } } \end{array}
{ \frac { C _ { P } } { C _ { V } } } = { \frac { \left( { \frac { \partial P } { \partial T } } \right) _ { S } } { \left( { \frac { \partial P } { \partial S } } \right) _ { T } } } { \frac { \left( { \frac { \partial V } { \partial S } } \right) _ { T } } { \left( { \frac { \partial V } { \partial T } } \right) _ { S } } }
H ^ { 2 } = \left( \begin{array} { l l } { \partial _ { v } ^ { 2 } E _ { \overline { { \mu } } _ { v , e } } [ j _ { j , j + 1 } ^ { e } ] } & { \partial _ { v } \partial _ { e } E _ { \overline { { \mu } } _ { v , e } } [ j _ { j , j + 1 } ^ { e } ] } \\ { \partial _ { v } \partial _ { e } E _ { \overline { { \mu } } _ { v , e } } [ j _ { j , j + 1 } ^ { e } ] } & { \partial _ { e } ^ { 2 } E _ { \overline { { \mu } } _ { v , e } } [ j _ { j , j + 1 } ^ { e } ] } \end{array} \right) = \tau H ^ { 1 } - 2 \left( \begin{array} { l l } { ( \partial _ { v } \tau ) ^ { 2 } } & { ( \partial _ { v } \tau ) ( \partial _ { e } \tau ) } \\ { ( \partial _ { v } \tau ) ( \partial _ { e } \tau ) } & { ( \partial _ { e } \tau ) ^ { 2 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \chi _ { g } ( t ) } & { = } & { \partial _ { g } \left\langle { X } \right\rangle _ { t } } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( 4 \mu ^ { 2 } \Delta _ { g } ^ { - 1 } + \gamma ^ { 2 } ) g \omega t \mathrm { { c o s } } ( \sqrt { \Delta _ { g } \omega t / 2 } ) } \\ & { } & { + 4 \sqrt { 2 } \mu g \xi \Delta _ { g } ^ { - 3 / 2 } { \mathrm { s i n } } ( \sqrt { \Delta _ { g } \omega t / 2 } ) . } \end{array}
\frac 1 2 ( \theta ^ { \mu } ( \tau ^ { \prime } ) + \theta ^ { \mu } ( \tau ^ { \prime \prime } ) ) \equiv \xi ^ { \mu } , \quad \frac 1 2 ( \theta _ { 5 } ( \tau ^ { \prime } ) + \theta _ { 5 } ( \tau ^ { \prime \prime } ) ) \equiv \xi _ { 5 } ,
\begin{array} { r l } { f ^ { \prime } ( \tau ) } & { = \frac { - \tau ^ { - 3 } + ( \tau + n e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { - 3 } } { \tau ^ { - 2 } - ( \tau + n e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { - 2 } } + \frac { n e ^ { \hat { \beta } } } { 1 + n e ^ { \hat { \beta } } \tau } } \\ & { = \frac { - 3 \tau ^ { 2 } n e ^ { \hat { \beta } } - 3 \tau \, n ^ { 2 } e ^ { 2 \hat { \beta } } - n ^ { 3 } e ^ { 3 \hat { \beta } } - n ^ { 2 } e ^ { 2 \hat { \beta } } \tau ^ { 3 } } { ( \tau ^ { - 2 } - ( \tau + n e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { - 2 } ) ( 1 + n e ^ { \hat { \beta } } \tau ) ( \tau + n e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 3 } \tau ^ { 3 } } < 0 . } \end{array}