harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
= 2 \pi { R _ { \oplus } ^ { 2 } } { \left( { { \sqrt { 1 - { \left( { \frac { x _ { 1 } ( { h _ { 1 } } ) } { R _ { \oplus } } } \right) ^ { 2 } } } } - { \frac { R _ { \oplus } } { R _ { \oplus } + { h _ { 1 } } } } } \right) }
\begin{array} { r l } { | \psi _ { m } \rangle = } & { a _ { \mathrm { L O } } | \mathrm { H G } \rangle _ { 0 0 } + | \psi \rangle _ { \mathrm { r e f } } } \\ { = } & { a _ { \mathrm { L O } } | \mathrm { H G } \rangle _ { 0 0 } + a _ { 0 } | \mathrm { H G } \rangle _ { 0 0 } + \sum _ { j \neq ( 0 , 0 ) } a _ { j } | \mathrm { H G } \rangle _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \mathcal { L } _ { D } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , \mathcal { L } _ { B } ^ { * } ] ] \mu ( x , v ) } & { = \mathcal { L } _ { D } ^ { * } ( \lambda _ { r } \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \mu ( x , v ) ) - [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , \mathcal { L } _ { B } ^ { * } ] ( \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \mu ( x , v ) ) } \\ & { = - \langle v , \nabla _ { x } ( \lambda _ { r } \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \mu ( x , v ) ) \rangle } \\ & { \quad - \lambda _ { r } \Big ( \mu ( x , v ) \int ( - \langle y , \nabla \psi ( x ) \rangle ) ( \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) y ) + \lambda _ { 1 } ( x , y ) ) \nu ( d y ) \Big ) } \\ & { = \lambda _ { r } \mu ( x , v ) \left( \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle ^ { 2 } - \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q _ { 0 } ^ { 3 } } & { = } & { - \frac { K ^ { 4 } } { 4 } \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } ( 2 - \sigma _ { 1 } ) \frac { \delta } { L } , } \\ { Q _ { 1 } ^ { 2 } } & { = } & { \frac { K ^ { 3 } } { 1 2 } \sigma _ { 0 } \sigma _ { 1 } ( 2 - \sigma _ { 1 } ) \left( 1 - 3 K \sigma _ { 2 } \right) \frac { \delta } { L } , } \\ { Q _ { 2 } ^ { 1 } } & { = } & { \frac { K ^ { 3 } } { 1 2 } { \sigma _ { 0 } } ^ { 2 } \sigma _ { 1 } ( 2 - \sigma _ { 1 } ) \left( 2 - 3 K \sigma _ { 2 } \right) \frac { \delta } { L } , } \\ { Q _ { 3 } ^ { 0 } } & { = } & { \frac { K ^ { 3 } } { 4 } { \sigma _ { 0 } } ^ { 3 } \sigma _ { 1 } ( 2 - \sigma _ { 1 } ) \left( 1 - K \sigma _ { 2 } \right) \frac { \delta } { L } , } \end{array}
\frac { d } { d t } n _ { S , I } ^ { X } ( t _ { 0 } ) = - \left( \lambda _ { X } S I + \tau _ { \overline { { X } } } ( t _ { 0 } ) \frac { S } { s ( t _ { 0 } ) } + \tau _ { G } ( t _ { 0 } ) S + \gamma I \right) \leq 0 ,
\begin{array} { r } { \mathcal { P } _ { B } [ p ^ { \prime } ( a ) ] \stackrel { * } { \rightarrow } \mathcal { P } _ { B } [ p ^ { \prime } ( a ) | b ^ { \prime } ] = \delta _ { p ^ { \prime } ( a ) , p ( a | b ^ { \prime } ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | t _ { \theta } ^ { 2 } ( z ) - t _ { \theta ^ { \prime } } ^ { 2 } ( z ) | { q } _ { \theta } ( z ) = | t _ { \theta } ( z ) - t _ { \theta ^ { \prime } } ( z ) | { q } _ { \theta } ( z ) \cdot | t _ { \theta } ( z ) + t _ { \theta ^ { \prime } } ( z ) | } \\ & { = | t _ { \theta } ( z ) + t _ { \theta ^ { \prime } } ( z ) | \left| t _ { \theta } ( z ) { q } _ { \theta } ( z ) - t _ { \theta ^ { \prime } } ( z ) { q } _ { \theta ^ { \prime } } ( z ) + t _ { \theta ^ { \prime } } ( z ) [ { q } _ { \theta ^ { \prime } } ( z ) - { q } _ { \theta } ( z ) ] \right| } \\ & { \le | t _ { \theta } ( z ) + t _ { \theta ^ { \prime } } ( z ) | \left[ e ^ { \alpha } \| \dot { p } _ { \theta } - \dot { p } _ { \theta ^ { \prime } } \| _ { L _ { 1 } ( \mu ) } + | t _ { \theta ^ { \prime } } ( z ) | e ^ { \alpha } \| { p } _ { \theta } - { p } _ { \theta ^ { \prime } } \| _ { L _ { 1 } ( \mu ) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { V } } & { 2 c \mathbf { T } } \\ { 2 c \mathbf { T } } & { \mathbf { W } - 4 c ^ { 2 } \mathbf { T } } \end{array} \right) } & { \, \left( \begin{array} { l } { \mathbf { A } } \\ { \mathbf { B } } \end{array} \right) } \\ & { = E \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { S } } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 \mathbf { T } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mathbf { A } } \\ { \mathbf { B } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { t t } ( { \bf k } ) = \beta \rho \sum _ { p } \phi ( p , 0 ) ( { \bf p } \cdot { \bf e } _ { t } ) ^ { 2 } [ S ( { \bf p } - { \bf k } ) - S ( { \bf p } ) ] ~ ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - \langle \nabla f _ { j } ( x ^ { t } ) - \nabla f ( x ^ { t } ) , \mathrm { p r o x } _ { \gamma _ { t } g } ( \hat { T } ( x ^ { t } ) ) - \mathrm { p r o x } _ { \gamma _ { t } g } ( T ( x ^ { t } ) ) \rangle } & { \leq } & { \Vert \nabla f _ { j } ( x ^ { t } ) - \nabla f ( x ^ { t } ) \Vert \Vert \hat { T } ( x ^ { t } ) - T ( x ^ { t } ) \Vert } \\ & { = } & { \gamma _ { t } \Vert \nabla f _ { j } ( x ^ { t } ) - \nabla f ( x ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d E } { d t } - \mathcal { P } _ { E , \partial \Omega } } & { { } = } & { \int _ { \Omega _ { l } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \nabla \tilde { \mu } _ { i } ^ { l } \cdot \boldsymbol { j } _ { i } ^ { l } d x - \int _ { \Gamma } ( - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \tilde { \mu } _ { i } ^ { l } \gamma _ { i } \mathcal { R } ^ { l } + \tilde { \mu } _ { e } ^ { l } \Delta z ^ { l } ) \mathcal { R } _ { l } d S - \int _ { \Gamma } \phi _ { l } \frac { \partial } { \partial t } ( \boldsymbol { D } ^ { l } \cdot \boldsymbol { n } ^ { l } - F C _ { e } ^ { l } ) d S } \end{array}
\begin{array} { r } { e _ { \mathfrak { c } \circ \mathfrak { c } ^ { \prime } } ( r _ { 1 } ) = \mathbb { E } _ { r _ { 2 } \sim \mathfrak { c } ^ { \prime } ( \delta _ { r _ { 1 } } ) } e _ { \mathfrak { c } } ( r _ { 2 } ) = e _ { \mathfrak { c } } ( \mathbb { E } _ { r _ { 2 } \sim \mathfrak { c } ^ { \prime } ( \delta _ { r _ { 1 } } ) } r _ { 2 } ) = e _ { \mathfrak { c } } \circ e _ { \mathfrak { c } ^ { \prime } } ( r _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { e } ( E \otimes L ) } & { = \operatorname { e } ( d ^ { * } ( p _ { 1 } ^ { * } E \otimes p _ { 2 } ^ { * } L ) ) = d ^ { * } \big ( \sum _ { i = 0 } ^ { n } w _ { i } ( E ) \times \operatorname { e } ( L ) ^ { n - i } \big ) } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n } w _ { i } ( E ) \operatorname { e } ( L ) ^ { n - i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big | \mathbf { E } _ { 0 , y } \Big [ r ( \varepsilon , Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - y ) \mathbb { I } ( X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } = a _ { + } ^ { \varepsilon } ) \Big ] \Big | } & { \leq \mathbf { E } _ { 0 , y } | r ( \varepsilon , Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - y ) | = \mathbf { E } _ { 0 , y } \Big [ | r ( \varepsilon , Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - y ) | \mathbb { I } ( | Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - y | < \varepsilon ^ { 1 - \delta } ) \Big ] } \\ & { + \mathbf { E } _ { 0 , y } \Big [ | r ( \varepsilon , Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - y ) | \mathbb { I } ( | Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - y | \geq \varepsilon ^ { 1 - \delta } ) \Big ] } \\ & { \lesssim C \varepsilon ( \varepsilon ^ { 2 } + \varepsilon ^ { 2 - \delta } + \varepsilon ^ { 3 - 2 \delta } ) } \\ & { + \varepsilon \mathbf { E } _ { 0 , y } \Big [ | Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - y | \mathbb { I } ( | Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - y | \geq \varepsilon ^ { 1 - \delta } ) \Big ] + \varepsilon \mathbf { E } _ { 0 , y } \Big [ | Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - y | ^ { 2 } \mathbb { I } ( | Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - y | \geq \varepsilon ^ { 1 - \delta } ) \Big ] } \\ & { \lesssim \varepsilon ^ { 3 - \delta } + \mathcal { O } ( \varepsilon ^ { \infty } ) \lesssim \varepsilon ^ { 3 - \delta } . } \end{array}
\Omega _ { d } = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { \left( { \frac { d } { 2 } } - 1 \right) ! } } 2 \pi ^ { \frac { d } { 2 } } \ } & { d { \mathrm { ~ e v e n } } } \\ { { \frac { \left( { \frac { 1 } { 2 } } \left( d - 1 \right) \right) ! } { ( d - 1 ) ! } } 2 ^ { d } \pi ^ { { \frac { 1 } { 2 } } ( d - 1 ) } \ } & { d { \mathrm { ~ o d d } } . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { \Delta _ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } = \pi / 2 ) } { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } } \right) ^ { 2 } } & { { } = } & { \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( { \bf 1 } - i \sigma _ { 3 } \right) \right) ^ { 2 } } \end{array}
\times \Big | \! \Big | \! \Big | f ^ { ( N - 2 , N - 1 ) } \Big | \! \Big | \! \Big | \Big | \! \Big | \! \Big | f ^ { ( N - 2 , N ) } \Big | \! \Big | \! \Big | \Big | \! \Big | \! \Big | f ^ { ( N - 1 , N ) } \Big | \! \Big | \! \Big |
\begin{array} { r } { \left( \left( \partial _ { x } ^ { 2 } + \partial _ { y } ^ { 2 } - \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } g ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } r ^ { 2 } \right) + \left( - k ^ { 2 } + \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \right) \psi ( x , y ) = 0 , } \end{array}
\mathbf { u } \wedge \mathbf { v } \ = \ { \left| \begin{array} { l l } { u _ { 2 } } & { v _ { 2 } } \\ { u _ { 3 } } & { v _ { 3 } } \end{array} \right| } \left( \mathbf { e } _ { 2 } \wedge \mathbf { e } _ { 3 } \right) + { \left| \begin{array} { l l } { u _ { 1 } } & { v _ { 1 } } \\ { u _ { 3 } } & { v _ { 3 } } \end{array} \right| } \left( \mathbf { e } _ { 1 } \wedge \mathbf { e } _ { 3 } \right) + { \left| \begin{array} { l l } { u _ { 1 } } & { v _ { 1 } } \\ { u _ { 2 } } & { v _ { 2 } } \end{array} \right| } \left( \mathbf { e } _ { 1 } \wedge \mathbf { e } _ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { n ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } } & { \sim \mathbb { E } R _ { n } ^ { ( n - d ) } = \sum _ { r = 0 } ^ { n - d } \mathbb { E } X _ { n , r } ^ { ( n - d ) } \cdot r \cdot \frac { r } { n } \geq \sum _ { r = m } ^ { n - d } \mathbb { E } X _ { n , r } ^ { ( n - d ) } \frac { r ^ { 2 } } { n } \geq \frac { m ^ { 2 } } { n } \sum _ { r = m } ^ { n - d } \mathbb { E } X _ { n , r } ^ { ( n - d ) } } \\ & { \geq \frac { m ^ { 2 } } { n } \mathbb { P } ( c _ { \operatorname* { m a x } } ^ { ( n - d ) } ( T _ { n } ) \geq m ) . } \end{array}
\frac { d J _ { \mathrm { M B } } } { d t } = - 3 . 8 \times 1 0 ^ { - 3 0 } M _ { \mathrm { 1 } } R _ { \mathrm { 1 } } ^ { 4 } \omega ^ { 3 } \, \mathrm { d y n } \, \mathrm { c m } ,
{ \langle 0 | T \eta _ { p } ( x ) \bar { \eta } _ { p } ( 0 ) | 0 \rangle } _ { F , i n s t } = \Pi _ { 0 } ^ { i n s t } ( x ) - \frac { 2 ^ { 3 } e _ { u } } { 3 \pi ^ { 4 } } \frac { \bar { \rho } ^ { 4 } } { \bar { m } ^ { 2 } } \langle \bar { q } \sigma _ { \mu \nu } q \rangle _ { F } \, \sigma _ { \mu \nu } \int d ^ { 4 } x _ { 0 } \frac { 1 } { ( r ^ { 2 } + \bar { \rho } ^ { 2 } ) ^ { 3 } ( x _ { 0 } ^ { 2 } + \bar { \rho } ^ { 2 } ) ^ { 3 } }
u _ { \textup { c , m a x } } = \left\{ \begin{array} { l l } { 6 . 4 8 ~ ~ \mathrm { m / s } } & { s \leq 0 . 0 8 ~ \mathrm { m } } \\ { 0 . 3 ( s + 0 . 1 8 8 ) ^ { - 7 / 3 } ~ ~ \mathrm { m / s } } & { s \geq 0 . 0 8 ~ \mathrm { m } } \end{array} \right. .
\mathbf { F } ( t , x ) : = \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \xi _ { m , k } \bigl ( \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \, .
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { 0 } ( t ) } & { = } & { { \frac { 1 } { 6 } } - t + t ^ { 2 } \ln ( 4 \pi e ^ { - \gamma } \sqrt { \tau _ { 2 } / A } ) + { \frac { t ^ { 4 } } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \lambda ( 1 - \lambda ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( n ^ { 2 } + \lambda t ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } } } \\ { \gamma _ { 1 / 2 } ( t ) } & { = } & { - { \frac { 1 } { 1 2 } } + t ^ { 2 } \ln ( \pi e ^ { - \gamma } \sqrt { \tau _ { 2 } / A } ) + { \frac { t ^ { 4 } } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \lambda ( 1 - \lambda ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( ( n - 1 / 2 ) ^ { 2 } + \lambda t ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } } \; . } \end{array}
S = \int \! \! d ^ { 3 } x \Biggl \{ - \frac { 1 } { 4 g ^ { 2 } } \mathrm { t r } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - \Phi _ { i } ^ { \dag } \left( D _ { \mu } D ^ { \mu } + m _ { i } ^ { 2 } \right) \Phi _ { i } + \overline { { { \Psi } } } _ { a } \left( i D \! \! \! \! / - m _ { a } \right) \Psi _ { a } + G ( A _ { \mu } , \Phi , \Psi ) \Biggr \} \ ,
\tilde { D } _ { - } \tilde { D } _ { + } \tilde { W } = e ^ { 2 \tilde { W } } \tilde { \Psi } _ { L } ^ { + } \tilde { \Psi } _ { R } ^ { - } , ~ ~ ~ \tilde { D } _ { \pm } = \tilde { \partial } _ { \pm } + i \tilde { \eta } ^ { \pm } \tilde { \partial } _ { \pm \pm } ,
J _ { \mu } ( { \vec { q } } \, ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 E _ { N } } } { \overline { { U } } } ( { \vec { p } } _ { N } , s _ { N } ) \int d { \vec { r } } e ^ { - i { \vec { p } } \cdot { \vec { r } } } \Gamma _ { \mu } \psi _ { B , \kappa } ^ { j m } ( { \vec { r } } \, )
\begin{array} { r } { \mathrm { I } _ { P D } = \frac { m _ { \alpha } \alpha } { \Theta _ { m } \Theta _ { c } } \mathrm { E } _ { 0 } ^ { 2 } \left( 2 n + 1 \right) \left( e ^ { \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } e ^ { \mathrm { i } \Omega t } + e ^ { - \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } e ^ { - \mathrm { i } \Omega t } \right) } \end{array}
k _ { 0 } ^ { * } ( 1 - c ) \left( a _ { + } \frac { d ^ { 2 } \mathrm { ~ h ~ e ~ l ~ p ~ e ~ r ~ } } { d \eta _ { f } ^ { 2 } } ( - \eta _ { f } , \lambda ) - c \frac { d ^ { 2 } \mathrm { ~ h ~ e ~ l ~ p ~ e ~ r ~ } } { d \eta _ { f } ^ { 2 } } ( \eta _ { f } , \lambda ) \right)
{ \begin{array} { r } { w _ { 0 } \left( n - { \frac { N } { 2 } } \right) = { \frac { 1 } { N + 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { N } W _ { 0 } ( k ) \cdot e ^ { \frac { i 2 \pi k ( n - N / 2 ) } { N + 1 } } = { \frac { 1 } { N + 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { N } \left[ \left( - e ^ { \frac { i \pi } { N + 1 } } \right) ^ { k } \cdot W _ { 0 } ( k ) \right] e ^ { \frac { i 2 \pi k n } { N + 1 } } , } \end{array} }
C _ { \mathrm { I I I } } \left\{ \begin{array} { l } { { x = \Lambda _ { N = 2 } ^ { - 4 ( N _ { c } + 1 ) + 2 ( N _ { f } + N _ { c } ^ { \prime } ) } v ^ { 2 ( N _ { c } + 1 ) } , } } \\ { { w = \mu _ { a } v , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \tilde { u } _ { 2 } ( s _ { 1 } ) } & { = ( 0 \ 1 ) S ( s _ { 1 } ) S ^ { - 1 } ( d ) u ( d ) } \\ & { \approx ( \frac { 1 } { 2 c } \ 2 c ) 2 c \left( \begin{array} { c c } { - c ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } } & { - ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } } \\ { \frac { 1 } { 2 c } ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 2 } } } & { ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 1 } } } \end{array} \right) u ( d ) } \\ & { \approx ( - c ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } + 2 c ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 2 } } ) u _ { 1 } ( d ) + ( - ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } + 4 c ^ { 2 } ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 1 } } ) u _ { 2 } ( d ) } \\ & { \approx c ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } u _ { 1 } ( d ) + ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 2 } } u _ { 2 } ( d ) } \\ & { \approx 2 ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } \beta ( 1 - \exp ( - \frac \pi \beta ) ) u _ { 1 } ( - d ) } \\ & { \approx 2 ( c \eta ) ^ { \gamma } \beta ( 1 - \exp ( - \frac \pi \beta ) ) u _ { 1 } ( s _ { 0 } ) . } \end{array}
\Psi \propto { \left( \begin{array} { l } { ( 1 + \gamma ) r ^ { \gamma - 1 } e ^ { - C r } } \\ { 0 } \\ { i Z \alpha r ^ { \gamma - 1 } e ^ { - C r } z / r } \\ { i Z \alpha r ^ { \gamma - 1 } e ^ { - C r } ( x + i y ) / r } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \left| \mathrm { i } f _ { k } t \right| } { \left| \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { h } } \right| \bar { \alpha } _ { h } ^ { - \frac { 1 } { 6 } } h ^ { - \frac { 1 } { 6 } } } < \epsilon \mathrm { ~ a n d ~ } \frac { \left| \mathrm { i } ^ { k } f _ { k } ^ { k } t ^ { k } \right| } { \left| \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { h } } \right| ^ { 3 } \bar { \alpha } _ { h } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } h ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } < \frac { \left| \mathrm { i } ^ { k } f _ { k } ^ { k } t ^ { k } \right| } { \left| \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { h } } \right| ^ { k } \bar { \alpha } _ { h } ^ { - \frac { k } { 6 } } h ^ { - \frac { k } { 6 } } } < \epsilon ^ { k } . } \end{array}
\partial _ { R } \left( \frac { \vec { J } _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t _ { r e t } ) } { R } \right) = - \frac { \vec { J } _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t _ { r e t } ) } { R ^ { 2 } } - \frac { \partial _ { t } \vec { J } _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t _ { r e t } ) } { R c } .
| S | \leq \frac { n ^ { \frac { a ^ { i } } { d } ^ { d + 1 } } } { \beta n ^ { \frac { \alpha a ^ { i + 1 } } { d } } } = \frac { n ^ { \frac { ( d + 1 ) ^ { i + 1 } } { d \alpha ^ { i } } } } { \beta n ^ { \frac { ( d + 1 ) ^ { i + 1 } } { d \alpha ^ { i } } } } = \beta ^ { - 1 }
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \tau } } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \, \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { e } } _ { i } \times \left( \alpha \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { t } } _ { i } - \omega ^ { 2 } \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { e } } _ { i } + \mathbf { A } \right) } \\ & { = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \, \Delta r _ { i } ^ { 2 } \right) \alpha \mathbf { \hat { k } } + \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \, \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { e } } _ { i } \right) \times \mathbf { A } , } \end{array} }
M _ { i k } ^ { P } = M _ { i k } \quad M _ { i 0 } ^ { P } = - M _ { i 0 } \quad M _ { i 5 } ^ { P } = - M _ { i 5 } \quad M _ { 0 5 } ^ { P } = M _ { 0 5 } \quad ( i , k = 1 , 2 , 3 )
g _ { T } ( \Delta ^ { \prime } , c ) = \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \Delta ^ { \prime } ) ( 3 - \Delta ^ { \prime } ) \ln ( 1 - \Delta ^ { \prime } ) - \frac { 1 } { 4 } \Delta ^ { \prime } ( \Delta ^ { \prime } - 6 ) - \left( 3 - \frac { 4 } { 1 + c ^ { 2 } } \right) \frac { \Delta ^ { 2 } } { 2 } .
\begin{array} { r l } { = } & { { } - \int _ { \Omega } \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \eta } \wedge [ \eta , d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) ] _ { 1 } + \int _ { \Omega } d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \wedge \ast \Big ( \ast \big ( ( \ast \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \eta } + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) ) \wedge \ast d \eta \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } u _ { i } } { \mathrm { d } t } } & { = \frac { 1 } { 2 \Delta ^ { 2 } } \bigg [ u _ { i - 1 } ( 1 - m _ { i } ) + u _ { i } ( m _ { i + 1 } + m _ { i - 1 } - 2 ) + u _ { i + 1 } ( 1 - m _ { i } ) \bigg ] + u _ { i } ( 1 - u _ { i } - m _ { i } ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } m _ { i } } { \mathrm { d } t } } & { = - \lambda m _ { i } u _ { i } , } \end{array}
\Delta ( y _ { 0 } ) \equiv { \frac { { \frac { d { \sigma } } { d y _ { \ell ^ { + } } } } \mid _ { y _ { \ell ^ { + } } = y _ { 0 } } - { \frac { d { \sigma } } { d y _ { \ell ^ { - } } } } \mid _ { y _ { \ell ^ { - } } = - y _ { 0 } } } { { \frac { d { \sigma } } { d y _ { \ell ^ { + } } } } \mid _ { y _ { \ell ^ { + } } = y _ { 0 } } + { \frac { d { \sigma } } { d y _ { \ell ^ { - } } } } \mid _ { y _ { \ell ^ { - } } = - y _ { 0 } } } } .
\vec { \mathcal { P } } _ { \Lambda } = \hat { e } _ { 3 } \mathcal { P } _ { N } \frac { \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } \Delta q _ { N } ( x , Q ^ { 2 } ) \Delta \hat { q } _ { \Lambda } ( z , Q ^ { 2 } ) } { \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } q _ { N } ( x , Q ^ { 2 } ) \hat { q } _ { \Lambda } ( z , Q ^ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r l r } { f _ { k } ( r ) } & { { } = } & { 2 ^ { - 3 / 2 } \, \frac { [ ( k - 1 ) ! ] ^ { 1 / 2 } } { [ ( k + 3 ) ! ] ^ { 3 / 2 } } \, \exp ( - r ) \times } \end{array}
\tilde { { \cal H } } ^ { 1 2 } = - \tilde { { \cal H } } ^ { 2 1 } = \sqrt { \frac { 1 + f _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 + f _ { 1 } ^ { 2 } } } f _ { 1 } + c _ { 0 } f _ { 2 } , \nonumber
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { r } } ^ { 0 0 } ( E ) } & { { } \to 4 \pi \bar { a } \left( \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu E } \right) ^ { 1 / 2 } \, , } \\ { \sigma _ { \mathrm { e l } } ^ { 0 0 } ( E ) } & { { } \to 8 \pi { \bar { a } } ^ { 2 } \, , } \\ { \sigma _ { \mathrm { r } } ^ { 1 m } ( E ) } & { { } \to 4 \pi \bar { a } _ { 1 } { \bar { a } } ^ { 2 } \left( \frac { 2 \mu E } { \hbar ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } \, , } \\ { \sigma _ { \mathrm { e l } } ^ { 1 m } ( E ) } & { { } \to 8 \pi ( \bar { a } _ { 1 } { \bar { a } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \left( \frac { 2 \mu E } { \hbar ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \end{array}
( \Omega { \cal R } + 1 ) { r _ { 1 } } ^ { \prime \prime } + ( { \cal R } + { \cal M } _ { e } \Omega + { \cal A } \Omega ) { r _ { 1 } } ^ { \prime } + { \cal A } r _ { 1 } = - { \cal M } _ { e } \, ,
\frac { d ^ { 2 } R _ { E j } } { d \rho ^ { 2 } } + \frac { 3 } { \rho } \frac { d R _ { E j } } { d \rho } - [ \frac { 4 j ( j + 1 ) } { \rho ^ { 2 } } + \rho ^ { 2 } - \lambda ] R _ { E j } = 0 ,
S _ { V N N } ^ { \mu } ( p _ { 1 } , p _ { 3 } ) = \bar { u } ( p _ { 3 } ) [ \gamma ^ { \mu } F _ { V } ^ { ( 1 ) } ( q ^ { 2 } ) + i \sigma ^ { \mu \nu } q _ { \nu } F _ { V } ^ { ( 2 ) } ( q ^ { 2 } ) ] I u ( p _ { 2 } ) ~ ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { h = - \infty } ^ { \infty } [ - m _ { n } ( \omega + h \omega _ { m } ) ^ { 2 } + \mathrm { i } c _ { n } ( \omega + h \omega _ { m } ) ] \hat { W } _ { n } ^ { ( h ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } h \omega _ { m } t } + \sum _ { h = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \hat { k } _ { n } ^ { ( j ) } \hat { W } _ { n } ^ { ( h ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( j + h ) \omega _ { m } t } } \\ & { = \sum _ { h = - \infty } ^ { \infty } \mathrm { i } c _ { n } ( \omega + h \omega _ { m } ) \hat { w } _ { n } ^ { ( h ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } h \omega _ { m } t } + \sum _ { h = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \hat { k } _ { n } ^ { ( j ) } \hat { w } _ { n } ^ { ( h ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( j + h ) \omega _ { m } t } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta { \cal L } _ { \mathrm { g c } } } & { { } = } & { \delta \Lambda _ { \mathrm { g c } } \; + \; \delta \Phi \left( \nabla \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cal ~ P ~ } _ { \mathrm { g c } } \; - \frac { } { } \varrho _ { \mathrm { g c } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { \rho } _ { 1 2 D } ( \omega _ { p } ) } & { { } = } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v \int _ { 0 } ^ { \infty } d x ( - i ) \frac { c _ { 1 } } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } e ^ { i ( c _ { 2 } - v ) x } e ^ { - \frac { v ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \int _ { \mathcal { L } } \Bigl ( \frac { \alpha ( x ) ( I _ { n } ( t , x ) + E _ { n } ( t , x ) ) } { ( S _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) ) ( I _ { n } ( t , x ) + E _ { n } ( t , x ) ) } d x d s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \int _ { \mathcal { L } } \Bigl ( \frac { \alpha ( x ) ( S _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) ) ( I _ { n } ( t , x ) + E _ { n } ( t , x ) ) } { ( S _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) + I _ { n } ( t , x ) + E _ { n } ( t , x ) ) ( I _ { n } ( t , x ) + E _ { n } ( t , x ) + 1 ) } \Bigr ) d x d s } \\ { \geqslant } & { \int _ { \mathcal { L } } l n \frac { I _ { 0 } ( x ) + E _ { 0 } ( x ) + \epsilon } { 1 + I _ { 0 } ( x ) + E _ { 0 } ( x ) } d x + \hat { R } t - \left| \alpha \right| _ { H } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathcal { L } } \frac { \epsilon } { I _ { n } ( s , x ) + E _ { n } ( s , x ) + \epsilon } d x d s , \quad \forall t \ \geqslant 0 , \forall n \in \mathbb { N } , 0 < \epsilon < 1 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ p ~ o ~ i ~ n ~ t ~ } v _ { \sim } \mapsto \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ e ~ } ( T v ) _ { \sim } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ e ~ } v _ { \sim } \mapsto \mathrm { ~ p ~ o ~ i ~ n ~ t ~ } ( T ^ { - T } v ) _ { \sim } . } \end{array}