harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbb { H } _ { 2 n } ( \boldsymbol { I } , \boldsymbol { \theta } , t ) = \sum _ { \vec { k } , \vec { \ell } } \widetilde { \mathbb { H } } _ { 2 n } ^ { \vec { k } , \vec { \ell } } ( \boldsymbol { I } ) \mathrm { E } ^ { j \left( \vec { k } \cdot \vec { \theta } + \vec { \ell } \cdot \vec { \phi } ( t ) \right) } ,
\begin{array} { r l } { E ( \hat { \nu } , \nu ) } & { \subseteq \bigcup _ { ( \{ n _ { k } \} , \{ m _ { k } \} ) \in \Omega } H ( \{ n _ { k } \} , \{ m _ { k } \} ) } \\ & { \subseteq \bigcap _ { K = 1 } ^ { \infty } \bigcup _ { k = K } ^ { \infty } \bigcup _ { m _ { k } \ge e ^ { \frac { k } { C } } } \bigcup _ { ( n _ { 1 } , m _ { 1 } , \ldots , m _ { k - 1 } , n _ { k } ) \in \Lambda _ { k , m _ { k } } } \bigcup _ { ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { m _ { k } } ) \in \mathcal { D } _ { n _ { 1 } , m _ { 1 } ; \ldots ; n _ { k } , m _ { k } } } I _ { m _ { k } } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { m _ { k } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L _ { 2 } = } & { { } } & { \frac { \sqrt { \sum _ { i j k } ( \hat { \Phi } ( r _ { i } , \theta _ { j } , \varphi _ { k } ) - { \Phi } ( r _ { i } , \theta _ { j } , \varphi _ { k } ) ) ^ { 2 } } } { \sqrt { \sum _ { i j k } \hat { \Phi } ( r _ { i } , \theta _ { j } , \varphi _ { k } ) ^ { 2 } } } } \end{array}
N \left( \phi _ { q } \right) = 8 \pi \left( \frac { 1 5 } { 2 \pi } \right) ^ { m - 1 } \left( \frac { ( m - 2 ) \sqrt { 3 } } { \delta } \right) ^ { m - 2 } \simeq 1 0 ^ { 5 \left( m - 2 \right) } .
\sum _ { \ell = 2 } ^ { L - 1 } a _ { \ell + 1 } \left( \frac { a _ { \ell + 1 } a _ { 1 } } { q _ { \ell + 1 } q _ { \ell + 1 } ^ { \prime } } + \frac { q _ { 2 } } { q _ { \ell + 1 } } + \sum _ { j = 2 } ^ { \ell - 1 } a _ { j + 1 } \frac { 2 a _ { 1 } } { q _ { j + 1 } q _ { \ell + 1 } ^ { \prime } } + \frac { 1 } { q _ { \ell + 1 } ^ { \prime } } + \frac { 1 } { q _ { \ell + 1 } } \right) \ll \sum _ { \ell = 2 } ^ { L - 1 } \frac { 1 } { q _ { \ell } ^ { \prime } } \ll 1 .
\begin{array} { r } { F _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } } ^ { ( 3 ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 \pi H _ { 3 , j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } } } { 2 \mathrm { i } \left( j _ { 1 } \kappa _ { j _ { 1 } } + j _ { 2 } \kappa _ { j _ { 2 } } + j _ { 3 } \kappa _ { j _ { 3 } } \right) } } & { \mathrm { ~ i f ~ ( j _ 1 , j _ 2 , j _ 3 ) ~ \in ~ \mathcal { A } _ 3 ~ } , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e . } } \end{array} \right. } \end{array}
L ^ { b i e } ( \boldsymbol { \theta } ) = \frac { 1 } { N _ { s } ^ { \left( 1 \right) } + N _ { s } ^ { \left( 2 \right) } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } ^ { \left( 1 \right) } + N _ { s } ^ { \left( 2 \right) } } \left\| \boldsymbol { R } ( \boldsymbol { y } ^ { i \left( M \right) } ; \boldsymbol { \theta } ) \right\| ^ { 2 } + \beta \frac { 1 } { N _ { s } ^ { \left( 2 \right) } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } ^ { \left( 2 \right) } } \left\| \boldsymbol { R } ( \boldsymbol { y } ^ { i \left( I \right) } ; \boldsymbol { \theta } ) \right\| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { F } } \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } \hat { \mathcal { F } } ^ { \dagger } } & { = c _ { 0 } \hat { S } _ { z } ^ { ( 0 ) } + c _ { S } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { \mathrm { b a t h } } } \hat { S } _ { z } ^ { ( k ) } } \\ & { + \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { \mathrm { b a t h } } } ( C _ { k } e ^ { - i \xi _ { k } } \hat { S } _ { + } ^ { ( 0 ) } \hat { S } _ { - } ^ { ( k ) } + C _ { k } ^ { * } e ^ { i \xi _ { k } } \hat { S } _ { - } ^ { ( 0 ) } \hat { S } _ { + } ^ { ( k ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ^ { ( t ) } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n k } ^ { ( t ) } k } \\ { B ^ { ( t ) } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n k } ^ { ( t ) } k ^ { 2 } } \\ { C ^ { ( t ) } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n k } ^ { ( t ) } k . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta g _ { s e , - } ^ { ( 2 ) } \simeq i \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { s } } { 2 \omega _ { - } } \frac { e } { T _ { e } } F _ { M e } \delta \psi _ { - } \delta \psi _ { 0 } \left[ 1 + \frac { k _ { \parallel 0 } } { k _ { \parallel s } } \frac { ( \omega _ { * e } - \omega ) _ { s } } { \omega _ { 0 } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \theta _ { D } ^ { J / \psi } ( 7 ) \; = \; } } & { { { \displaystyle { \frac { 1 } { 2 m ^ { 2 } } } } { \cal O } _ { 8 } ^ { J / \psi } ( { } ^ { 1 } S _ { 0 } ^ { 0 } ) + { \displaystyle { \frac { 3 } { 2 m ^ { 4 } } } } { \cal O } _ { 8 } ^ { J / \psi } ( { } ^ { 3 } P _ { 0 } ^ { 1 } ) } } \\ { { \theta _ { D } ^ { J / \psi } ( 9 ) \; = \; } } & { { - { \displaystyle { \frac { 2 3 } { 8 \sqrt 3 m ^ { 4 } } } } { \cal P } _ { 8 } ^ { J / \psi } ( { } ^ { 1 } S _ { 0 } ^ { 0 } , { } ^ { 1 } S _ { 0 } ^ { 2 } ) - { \displaystyle { \frac { 1 1 } { 8 m ^ { 6 } } } } \sqrt { \displaystyle { \frac { 5 } { 3 } } } { \cal P } _ { 8 } ^ { J / \psi } ( { } ^ { 3 } P _ { 0 } ^ { 1 } , { } ^ { 3 } P _ { 0 } ^ { 3 } ) } } \\ { { } } & { { \qquad + { \displaystyle { \frac { 2 } { 5 m ^ { 6 } } } } \sqrt { \displaystyle { \frac { 2 } { 3 } } } { \cal P } _ { 8 } ^ { J / \psi } ( { } ^ { 3 } P _ { 0 } ^ { 1 } , { } ^ { 3 } P _ { 2 } ^ { 3 } ) } } \\ { { \theta _ { F } ^ { J / \psi } ( 9 ) \; = \; } } & { { { \displaystyle { \frac { 1 } { 2 m ^ { 6 } } } } { \cal O } _ { 8 } ^ { J / \psi } ( { } ^ { 3 } P _ { 1 } ^ { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { w ( t _ { n } + \sigma ) } & { = \mathrm { e } ^ { i \sigma A } w ( t _ { n } ) - \frac { i B } { 4 } \int _ { 0 } ^ { \sigma } \mathrm { e } ^ { i ( \sigma - s ) A } \mathrm { e } ^ { i ( t _ { n } + s ) \partial _ { x } ^ { 2 } } ( g _ { 1 } ( w ( t _ { n } ) , s ) ) ^ { 2 } d s } \\ & { \quad - i B \int _ { 0 } ^ { \sigma } \mathrm { e } ^ { i ( \sigma - s ) A } \mathrm { e } ^ { i ( t _ { n } + s ) \partial _ { x } ^ { 2 } } [ a ( t _ { n } + s ) + b ] g _ { 1 } ( w ( t _ { n } ) , s ) d s , } \end{array}
W ( x _ { B } , Q ; { \mathcal T } ) = \left( \begin{array} { c c c c } { { W ^ { 0 0 } } } & { { 0 } } & { { W ^ { 0 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { W ^ { 1 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { W ^ { 2 0 } } } & { { 0 } } & { { W ^ { 2 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\frac { \partial \overline { { S } } } { \partial \mathbf { p } ^ { ( \alpha ) } } = \frac { 1 } { T } \left\{ - \frac { \mathbf { p } ^ { \alpha ) } } { m ^ { ( \alpha ) } } + \frac { q ^ { ( \alpha ) } } { m ^ { ( \alpha ) } } \mathbf { A } + \mathbf { v } _ { e } + [ \mathbf { \omega } \times \mathbf { r } ^ { ( \alpha ) } ] \right\} ,
\begin{array} { r l } { \hat { \langle P \rangle } ^ { + } ( k _ { 1 } , 0 ^ { + } , k _ { 3 } ) - \hat { \langle P \rangle } ^ { - } ( k _ { 1 } , 0 ^ { - } , k _ { 3 } ) } & { = 2 \iota k _ { 1 } \beta \langle S _ { 1 2 } \rangle , } \\ { \frac { d \hat { \langle P \rangle } ^ { + } } { d R _ { 2 } } ( k _ { 1 } , 0 ^ { + } , k _ { 3 } ) - \frac { d \hat { \langle P \rangle } ^ { - } } { d R _ { 2 } } ( k _ { 1 } , 0 ^ { - } , k _ { 3 } ) } & { = 0 , } \\ { \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { + } ( k _ { 1 } , 0 ^ { + } , k _ { 3 } ) - \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { - } ( k _ { 1 } , 0 ^ { - } , k _ { 3 } ) } & { = 0 , } \\ { \frac { d \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { + } } { d R _ { 2 } } ( k _ { 1 } , 0 ^ { + } , k _ { 3 } ) - \frac { d \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { - } } { d R _ { 2 } } ( k _ { 1 } , 0 ^ { - } , k _ { 3 } ) } & { = \iota k _ { 1 } \beta \langle S _ { 1 2 } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E \left[ \prod _ { j = 1 } ^ { 4 } \left( \Delta _ { k } X ^ { \varepsilon } \right) ^ { i _ { j } } \Bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] } & { = \frac { \varepsilon ^ { 4 } } { 8 n ^ { 2 } } \sum _ { \tilde { \sigma } \in G ( 4 ) } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 1 ) } i _ { \tilde { \sigma } ( 2 ) } } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 3 ) } i _ { \tilde { \sigma } ( 4 ) } } } \\ & { \quad + \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 4 n ^ { 3 } } \sum _ { \tilde { \sigma } \in G ( 4 ) } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 1 ) } i _ { \tilde { \sigma } ( 2 ) } } b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 3 ) } } b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 4 ) } } + \frac { 1 } { n ^ { 4 } } \prod _ { j = 1 } ^ { 4 } b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { j } } } \\ & { \quad + \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \left\{ \Phi _ { 4 } ^ { \varepsilon } ( s ) + \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { 3 } ^ { \varepsilon } ( s ) \right\} \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } ( 1 ) \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { s } \{ \Phi _ { 3 } ^ { \varepsilon } ( u ) + \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { 2 } ^ { \varepsilon } ( u ) \} \, \mathrm { d } u \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } ( \varepsilon ^ { 2 } ) \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { s } \{ \Phi _ { 2 } ^ { \varepsilon } ( u ) + \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( u ) \} \, \mathrm { d } u \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } ( 1 ) \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { s } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { u } \left\{ \Phi _ { 2 } ^ { \varepsilon } ( v ) + \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( v ) \right\} \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } u \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } ( 1 ) \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { s } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { u } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { v } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( w ) \, \mathrm { d } w \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } u \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } \Big ( \frac { 1 } { n ^ { 5 } } \Big ) + R _ { k - 1 } \Big ( \frac { \varepsilon } { n ^ { 4 } \sqrt { n } } \Big ) + R _ { k - 1 } \Big ( \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { n ^ { 4 } } \Big ) } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } \Big ( \frac { \varepsilon ^ { 3 } } { n ^ { 3 } \sqrt { n } } \Big ) + R _ { k - 1 } \Big ( \frac { \varepsilon ^ { 4 } } { n ^ { 3 } } \Big ) + R _ { k - 1 } \Big ( \frac { \varepsilon ^ { 5 } } { n ^ { 2 } \sqrt { n } } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { P } [ \mathcal { K } _ { t } ( e , j ) ] = \mathbb { P } \left[ \left| \hat { \mathbb { E } } [ x _ { j } ^ { ( e ) } \varepsilon ^ { ( e ) } ] - \mathbb { E } [ x _ { j } ^ { ( e ) } \varepsilon ^ { ( e ) } ] \right| \ge C ^ { \prime } \kappa _ { U } ^ { 1 / 2 } \sigma _ { x } \sigma _ { \varepsilon } \left( \sqrt { \frac { x } { n ^ { ( e ) } } } + \frac { x } { n ^ { ( e ) } } \right) \right] \le 1 - 2 e ^ { - x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( { \texttt A } { \mathcal G } ^ { ( \mathbb { T } ) } { \texttt B } ^ { T } ) _ { a a } } & { = w _ { { \texttt A } { \texttt B } } \mathfrak { s } ( z ) - ( { \texttt A } { \mathcal G } ^ { ( \mathbb { T } ) } { \texttt B } ^ { T } ) _ { a a } \textbf { 1 } ( \ell \geq 2 ) \sum _ { k = 1 } ^ { \ell - 1 } ( w _ { { \texttt A } { \texttt B } } \mathfrak { s } ( z ) ) ^ { - k } \left( w _ { { \texttt A } { \texttt B } } \mathfrak { s } ( z ) - ( { \texttt A } { \mathcal G } ^ { ( \mathbb { T } ) } { \texttt B } ^ { T } ) _ { a a } \right) ^ { k } } \\ & { + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - \ell / 2 } ) } \end{array}
( Q ^ { 1 } ) ^ { 2 } = 1 + Q ^ { 3 } , \quad ( Q ^ { 2 } ) ^ { 2 } = 1 + Q ^ { 4 } , \quad ( Q ^ { 3 } ) ^ { 2 } = 1 + Q ^ { 4 } Q ^ { 1 } , \, \, \, \, \, ( Q ^ { 4 } ) ^ { 2 } = 1 + Q ^ { 2 } ( Q ^ { 3 } ) ^ { 2 } ,
\omega ^ { i j } ( x , y ) ~ = ~ \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \eta _ { i } = \pm \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { - \lambda ^ { 2 } - V _ { 1 } - V _ { 2 } \pm \sqrt { ( \lambda ^ { 2 } + V _ { 1 } + V _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 V _ { 1 } V _ { 2 } } } \, , \quad i = 1 , . . . , 4 \, , } \end{array}
S ( t ) \approx 1 - ( 1 - i ) \beta \sqrt { \frac { t } { t _ { n } ^ { 0 } } } - \frac { i } { 4 \sqrt { 2 } } \left[ \frac { a _ { 1 2 } } { a _ { 1 1 } } + \frac { \sqrt { d _ { 1 } d _ { 2 } } } { a _ { 1 1 } } \kappa ( \Delta ^ { - 1 } ) \right] \frac { t } { t _ { n } ^ { 0 } } ,
\langle \! \langle F _ { \mu \nu } ( z _ { j } ) \rangle \! \rangle = { \frac { 2 } { 3 } } \, \varepsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } \langle \! \langle G ^ { \rho \sigma } ( z _ { j } ) \rangle \! \rangle _ { D u a l } \, .
\sigma ^ { ( \lambda ) } \sim \sum _ { J J _ { z } ; J ^ { \prime } J _ { z } ^ { \prime } } H _ { J J _ { z } ; J ^ { \prime } J _ { z } ^ { \prime } } \cdot S _ { J J _ { z } ; J ^ { \prime } J _ { z } ^ { \prime } } ^ { ( \lambda ) } \, ,
\begin{array} { r l } { y _ { m , k } } & { = \left[ \left( \mathbf { h } _ { m , k } ^ { r u } \right) ^ { H } \mathbf { \Phi } \mathbf { h } _ { k } ^ { b r } + h _ { m , k } ^ { d } \right] \sqrt { p _ { m , k } } x _ { m , k } } \\ & { \quad + \left[ \left( \mathbf { h } _ { m , k } ^ { r u } \right) ^ { H } \mathbf { \Phi } \mathbf { h } _ { k } ^ { J r } + h _ { m , k } ^ { J d } \right] \sqrt { p _ { k } ^ { J } } x _ { k } ^ { J } + n _ { m , k } , \forall m , k , } \end{array}
r ^ { \prime \prime } - \frac { L _ { z } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 3 } } = \frac { q E _ { r } } { m \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 4 \pi } \frac { q ^ { 2 } N } { m L r \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } f ( r ) \, .
\left\{ \begin{array} { r l } { \varepsilon ( \mathbf { x } ) = } & { ( \varepsilon _ { c } ( \mathbf { x } ) - \varepsilon _ { 0 } ) \chi ( \Omega _ { c } ) + ( \varepsilon _ { s } ( \mathbf { x } ) - \varepsilon _ { 0 } ) \chi ( \Omega _ { s } \setminus \overline { { \bigcup _ { l = 1 } ^ { l _ { 0 } } B _ { l } } } ) } \\ & { + \sum _ { l = 1 } ^ { l _ { 0 } } ( \varepsilon _ { l } - \varepsilon _ { 0 } ) \chi ( B _ { l } ) + \varepsilon _ { 0 } , } \\ { \quad \mu ( \mathbf { x } ) = } & { ( \mu _ { c } ( \mathbf { x } ) - \mu _ { 0 } ) \chi ( \Omega _ { c } ) + \sum _ { l = 1 } ^ { l _ { 0 } } ( \mu _ { l } - \mu _ { 0 } ) \chi ( B _ { l } ) + \mu _ { 0 } , } \\ { \sigma ( \mathbf { x } ) = } & { \sigma _ { c } ( \mathbf { x } ) \chi ( \Omega _ { c } ) + \sum _ { l = 1 } ^ { l _ { 0 } } \sigma _ { l } \chi ( B _ { l } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \operatorname { E n c o d e r } } & { { } = \eta \circ \mathcal { E } , \; \mathcal { E } \in \{ \mathcal { W } _ { e } , \mathcal { C } _ { e } \} , } \\ { \operatorname { D e c o d e r } } & { { } = \eta \circ \mathcal { D } , \; \mathcal { D } \in \{ \mathcal { W } _ { d } , \mathcal { C } _ { d } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi \left( \mathbf { x } , t \right) } & { { } = } & { \frac { \mu _ { 0 } c } { 4 \pi r } \overset { . } { \mathbf { p } } \left( t - r / c \right) \cdot \mathbf { n } , } \\ { \mathbf { A } \left( \mathbf { x } , t \right) } & { { } = } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi r } \overset { . } { \mathbf { p } } \left( t - r / c \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial Q ( c , c ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } } & { = \sum _ { i } \left( A ( c _ { k } ^ { \prime } ) \phi _ { i } - A ( c _ { k } ^ { \prime } ) c _ { k } ^ { \prime } \right) \underbrace { \left( \frac { \partial A ( c _ { k } ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } \left( \phi _ { i } - c _ { k } ^ { \prime } \right) - A ( c _ { k } ^ { \prime } ) \right) } _ { \Psi } } \\ & { = \sum _ { i } - A ( c _ { k } ^ { \prime } ) \left( A ( c _ { k } ^ { \prime } ) \phi _ { i } - A ( c _ { k } ^ { \prime } ) c _ { k } ^ { \prime } \right) + \frac { \partial A ( c _ { k } ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } ( \phi _ { i } - c _ { k } ^ { \prime } ) \left( A ( c _ { k } ^ { \prime } ) \phi _ { i } - A ( c _ { k } ^ { \prime } ) c _ { k } ^ { \prime } \right) } \\ & { = \sum _ { i } \underbrace { \frac { \partial A ( c _ { k } ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } A ( c _ { k } ^ { \prime } ) ( \phi _ { i } - c _ { k } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } _ { \mathrm { V a r i a n c e ~ c o n t r i b u t i o n } } - \underbrace { A ( c _ { k } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( \phi _ { i } - c _ { k } ^ { \prime } ) } _ { \mathrm { F l u c t u a t i o n ~ c o n t r i b u t i o n } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Vert \mathrm { O p } ^ { \gamma } ( a ) \mathrm { O p } ^ { \gamma } ( b ) ( h ) - \mathrm { O p } ^ { \gamma } ( a b ) ( h ) \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb R \times \mathbb T ^ { d } ) } \leq \frac { C _ { d } } { \gamma } \Lambda ( \vert \mathrm { s u p p } _ { t } \, \nabla _ { x } b \vert ) \Omega [ a ] \Xi [ b ] _ { \mathrm { M } } \Vert h \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb R \times \mathbb T ^ { d } ) } . } \end{array}
T ^ { t } \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) T = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\| \tilde { K } _ { t , N } \| _ { \infty } \leq C _ { 3 } : = \frac { \left( 1 + \mathfrak { F } _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 4 } } { \pi } \Bigg [ \mathfrak { G } _ { 0 } \, \frac { 1 + \alpha ^ { 1 / 2 } + \alpha ^ { - 1 / 2 } } { 4 \alpha ^ { 2 } } + 2 | \log \alpha | \, \mathfrak { F } _ { 0 } \, \mathcal { B } _ { 1 0 } ^ { * } ( \alpha ) \Bigg ] ,
\begin{array} { r } { { \bf B } ( x , z , t = 0 ) = \frac { F } { \pi } \frac { { \bf r } _ { 1 } } { r _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { F } { \pi } \frac { { \bf r } _ { 2 } } { r _ { 2 } ^ { 2 } } - B _ { 0 } \hat { \bf x } , } \end{array}
{ \cal G } _ { ( - ) } ^ { a } [ { \vec { x } } , { \vec { y } } ; 0 ] = - i \delta ^ { 2 } ( x _ { \perp } - y _ { \perp } ) \sum \frac { 1 } { ( 2 n + 1 ) i \pi } \exp \left( \frac { ( 2 n + 1 ) i \pi ( x ^ { - } - y ^ { - } ) } { 2 L } \right)
\begin{array} { r l } { \hat { S } _ { 3 } ^ { - } } & { = \frac { 1 } { 1 2 } \sum _ { i j k m b c } s _ { k j i } ^ { c b m } a _ { m } ^ { \dagger } a _ { b } ^ { \dagger } a _ { c } ^ { \dagger } a _ { k } a _ { j } a _ { i } } \\ { s _ { k j i } ^ { c b m } } & { = - \sum _ { \kappa \lambda = 1 } ^ { n _ { o ; a c t } } r _ { k j i } ^ { c b } ( \lambda ) ( U _ { - } ^ { - 1 } ) _ { \lambda \kappa } \delta _ { \kappa m } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \displaystyle \partial _ { t } \int _ { \Omega } \mathbf { F } _ { m , l r } + \int _ { \partial \Omega } \mathbf { F } _ { m , l r } \mathbf { v } _ { m } \cdot \mathbf { n } - \int _ { \Omega } \mathbf { F } _ { m , l r } \ensuremath { \operatorname { d i v } } \mathbf { v } _ { m } - \int _ { \partial \Omega } \mathbf { v } _ { m , l } \mathbf { F } _ { m } ^ { [ r ] } \cdot \mathbf { n } } \\ & { \displaystyle + \int _ { \Omega } \mathbf { v } _ { m , l } \ensuremath { \operatorname { d i v } } \mathbf { F } _ { m } ^ { [ r ] } + \gamma \int _ { \Omega } \mathbf { M } _ { m , l r } = \mathbf { 0 } . } \end{array}
\sum _ { j = 0 } ^ { d _ { \Lambda } - 2 } \beta _ { i j } ^ { d _ { \Lambda } - 2 } f _ { j } = - \frac { 1 } { 4 } ( h _ { i } + h _ { i + 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } h _ { i + 1 } , ~ \sum _ { j = 0 } ^ { d _ { \Lambda } - 2 } \beta _ { i j } ^ { d _ { \Lambda } - 2 } f _ { j + 2 } = \frac { 1 } { 4 } ( h _ { i } + h _ { i + 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } h _ { i + 1 }
\sigma = \frac { v ^ { 2 } } { D } + \frac { 1 } { k _ { B } T } \left( \frac { 1 } { 4 \mu } { \partial _ { t } ^ { 2 } \cal V } _ { \Delta x } ( t ) | _ { t = 0 } + \frac { \mu } { 2 } { \cal V } _ { F } ( 0 ) \right) \; ,
y _ { \mathrm { ~ s ~ e ~ a ~ m ~ } } = \frac { \int _ { \mathrm { ~ s ~ e ~ a ~ m ~ } } \left| \vec { J } _ { s } \times \hat { l } \right| ^ { 2 } d l } { \omega \mu _ { 0 } \int _ { \mathrm { ~ v ~ o ~ l ~ } } \left| \vec { H } \right| ^ { 2 } d v } ,
\begin{array} { r l } & { \left\Vert \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - \cdot ) \left[ \frac { \nabla p _ { \alpha } ( t - u , w - \cdot ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , w - x ) } - \frac { \nabla p _ { \alpha } ( t - u , y - \cdot ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) } \right] \right\Vert _ { \mathbb { B } _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { - \beta } } } \\ & { \lesssim \frac { | w - y | ^ { \zeta } } { ( t - u ) ^ { \frac { \zeta + 1 } { \alpha } } } \left[ \left\Vert \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - \cdot ) \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , w - \cdot ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , w - x ) } \right\Vert _ { \mathbb { B } _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { - \beta } } + \left\Vert \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - \cdot ) \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , y - \cdot ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) } \right\Vert _ { \mathbb { B } _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { - \beta } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle w , u _ { t } \right\rangle + \left\langle \left( q - { \tau } ( q _ { t } + m \cdot \nabla q \right) w , m ^ { \perp } \right\rangle } & { { } } \\ { \qquad - \left\langle \nabla \cdot w , \frac { 1 } { 2 } | u | ^ { 2 } + g ( D + b ) \right\rangle } & { { } = 0 , \, \quad \forall w \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } , } \\ { \left\langle \phi , D _ { t } \right\rangle + \left\langle \nabla \cdot m \right\rangle } & { { } = 0 , \, \forall \phi \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \left\langle \gamma , q D \right\rangle + \left\langle \nabla ^ { \perp } \gamma , u \right\rangle - \left\langle \gamma , f \right\rangle } & { { } = 0 , \, \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle v , m - u D \right\rangle } & { { } = 0 , \, \forall v \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n \leq x + 1 } \lambda _ { f } ^ { 4 } ( n ) \chi _ { 0 } ( n ) } \\ { = } & { x \log x \prod _ { p \mid q } \left( 1 - \frac { 1 } { p } \right) ^ { 2 } L ^ { 3 } ( 1 , \ \mathrm { { s y m } } ^ { 2 } f \otimes \chi _ { 0 } ) \times } \\ & { L ( 1 , \ { \mathrm { s y m } } ^ { 4 } f \otimes \chi _ { 0 } ) U ( 1 ) + O \left( \frac { x ^ { 1 + \epsilon } } { T } \right) + O \left( x ^ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } T ^ { \frac { 1 1 1 } { 4 0 } + \epsilon } \right) . } \end{array}
\langle \overset \leftrightarrow { \mathbf { T } } \rangle = \frac { 1 } { 2 } \mathfrak { R e } \bigg \{ \varepsilon \mathbf { E } \otimes \mathbf { E } ^ { * } + \mu \mathbf { H } \otimes \mathbf { H } ^ { * } - \frac { 1 } { 2 } \big ( \varepsilon | \mathbf { E } | ^ { 2 } + \mu | \mathbf { H } | ^ { 2 } \big ) \overset \leftrightarrow { \mathbf { I } } \bigg \} ,
R \left( { \varphi } ^ { \prime } , { \psi } ^ { \prime } \right) = \frac { \overline { { { \varphi } ^ { \prime } { \psi } ^ { \prime } } } } { \sqrt { \overline { { { \varphi } ^ { \prime 2 } } } } \sqrt { \overline { { { \psi } ^ { \prime 2 } } } } } .
\begin{array} { r l r } { \chi ( \omega _ { p } ) } & { = } & { \int d ^ { 3 } \boldsymbol r \int _ { 0 } ^ { \infty } S ( r , t ) e ^ { i \omega _ { p } t } d t } \\ & { = } & { ( - i ) \rho _ { N } \frac { \left| \boldsymbol d _ { 1 , 2 } \right| ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } \hbar } \left[ C ( \omega _ { p } ) - C ( - \omega ) ^ { * } \right] \approx ( - i ) \rho _ { N } \frac { \left| \boldsymbol d _ { 1 , 2 } \right| ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } \hbar } C ( \omega _ { p } ) . } \end{array}
C _ { \delta \alpha \gamma \rho } ^ { ( u d ) ( d \nu ) } ( I I ) = - g _ { 2 } ^ { 2 } ( L _ { d } ^ { + } \hat { A } L _ { u } ^ { * } ) _ { \gamma \beta } V _ { \beta \alpha } ( L _ { e } ^ { T } \hat { C } ^ { T } L _ { d } ^ { * } ) _ { \rho \sigma } ( V ^ { + } ) _ { \sigma \delta } I ( \tilde { u ^ { \beta } } , \tilde { d ^ { \sigma } } ) \; \; ,