harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sum _ { i \in [ n ] } H _ { 1 , i } ^ { \prime } } & { \leq 2 5 \left( \frac { 8 k } { \beta n ( p - q ) } \right) ^ { 2 } \sum _ { i \in [ n ] } \left\| { ( \tilde { A } _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) ( I _ { n } - U ^ { * } U ^ { * T } ) ( U - \bar { U } ) } \right\| ^ { 2 } { \mathbb { I } \left\{ { \mathcal { F } } \right\} } } \\ & { \leq 2 5 \left( \frac { 8 k } { \beta n ( p - q ) } \right) ^ { 2 } \left( C _ { 0 } \sqrt { n p } \right) ^ { 2 } \left\| { U - \bar { U } } \right\| _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } { \mathbb { I } \left\{ { \mathcal { F } } \right\} } } \\ & { \leq \frac { 4 0 ^ { 2 } C _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 2 } p } { \beta ^ { 2 } n ( p - q ) ^ { 2 } } \left\| { U - \bar { U } } \right\| _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } { \mathbb { I } \left\{ { \mathcal { F } } \right\} } . } \end{array}
\varphi _ { n } ( r , \theta ) \underset { \kappa r \gg 1 } { \simeq } \frac { \kappa e ^ { i n \theta } } { \pi } ( \kappa r ) ^ { - ( 1 + \mu ) / 2 } \cos \left( \frac { 2 ( \kappa r ) ^ { 1 - \mu } } { 1 \! - \! \mu } - \frac { | n | \pi } { 2 ( 1 \! - \! \mu ) } - \frac { \pi } { 4 } \right)
B = { \frac { i } { 2 } } \kappa \ \xi \ ( \bar { \psi } ^ { 1 } \gamma _ { 5 } \psi ^ { 1 } + \bar { \psi } ^ { 2 } \gamma _ { 5 } \psi ^ { 2 } ) - { \frac { 1 } { 2 } } \kappa \ \theta \ ( \bar { \psi } ^ { 1 } \psi ^ { 1 } - \bar { \psi } ^ { 2 } \psi ^ { 2 } ) - \kappa \ \varphi \ \bar { \psi } ^ { 1 } \psi ^ { 2 } + . . . \ , \,
\begin{array} { r l } { | \Phi _ { K } ^ { - 1 } ( x ) - \Phi _ { K } ^ { - 1 } ( y ) | } & { \le \frac { 2 \, | x - x _ { 0 } | } { j _ { K } ( x ) } \, | x - y | + \frac { | y - x _ { 0 } | ^ { 2 } } { j _ { K } ( x ) \, j _ { K } ( y ) } \, | j _ { K } ( x ) - j _ { K } ( y ) | } \\ & { \le 2 \, D _ { K } ( x _ { 0 } ) \, | x - y | + D _ { K } ( x _ { 0 } ) ^ { 2 } \, \frac { | y - x _ { 0 } | ^ { 2 } } { | x - x _ { 0 } | \, | y - x _ { 0 } | } \, \frac { | x - y | } { d _ { K } ( x _ { 0 } ) } } \\ & { \le 2 \, D _ { K } ( x _ { 0 } ) \, | x - y | + D _ { K } ( x _ { 0 } ) ^ { 2 } \, \frac { | x - y | } { d _ { K } ( x _ { 0 } ) } } \\ & { = D _ { K } ( x _ { 0 } ) \, \left( 2 + \frac { D _ { K } ( x _ { 0 } ) } { d _ { K } ( x _ { 0 } ) } \right) \, | x - y | . } \end{array}
\begin{array} { r } { g ^ { 1 } ( \pmb { \mathscr { s } } ) = \mathscr { s } _ { 3 } = \mathscr { z } , \mathrm { ~ } g ^ { 2 } ( \pmb { \mathscr { s } } ) = ( \mathscr { s } _ { 3 } ) ^ { 2 } = \mathscr { z } ^ { 2 } , \mathrm { ~ o ~ r ~ } g ^ { 3 } ( \pmb { \mathscr { s } } ) = ( \mathscr { s } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathscr { s } _ { 3 } = \mathscr { x } ^ { 2 } \mathscr { z } } \end{array}
A _ { \mu } \to A _ { \mu } + \partial _ { \mu } \Lambda + i g [ \Lambda , A _ { \mu } ] , \ \tilde { A } _ { \mu } \to \tilde { A } _ { \mu } + \partial _ { \mu } \tilde { \Lambda } + i \tilde { g } [ \tilde { \Lambda } , \tilde { A } _ { \mu } ] ,
\begin{array} { r l } & { \left| \phi _ { j } - \| w ^ { * } - w _ { t } \| _ { \Sigma } ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } \right| = \left| \frac { 1 } { B } \sum _ { i \in G _ { j } } b _ { i } \cdot \mathbf { 1 } \{ b _ { i } \le \psi _ { j } \} - \| w ^ { * } - w _ { t } \| _ { \Sigma } ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } \right| } \\ & { \; \; \; \; \; = \left| \frac { 1 } { B } \sum _ { i \in T } b _ { i } - \| w ^ { * } - w _ { t } \| _ { \Sigma } ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } \right| + \left| \frac { 1 } { B } \sum _ { i \in S _ { \mathrm { b a d } } } b _ { i } \cdot \mathbf { 1 } \{ b _ { i } \le \psi _ { j } \} \right| } \\ & { \; \; \; \; \; \leq 3 7 C _ { 2 } K ^ { 2 } \cdot \bar { \alpha } \log ^ { 2 a } ( 1 / ( 6 \bar { \alpha } ) ) ( \| w ^ { * } - w _ { t } \| _ { \Sigma } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a _ { t } ^ { \theta } \left( \phi ( \gamma ) , \phi ( \mu ) \right) } \\ & { = a _ { t } ^ { \theta } \left( \boldsymbol { \gamma } _ { { 1 } } , \boldsymbol { \gamma } _ { { 2 } } , \ldots , \boldsymbol { \gamma } _ { { a } } , \boldsymbol { \mu } _ { { 1 } } , \boldsymbol { \mu } _ { { 2 } } , \ldots , \boldsymbol { \mu } _ { b } \right) } \\ & { = \! \! f \left( \phi ( \gamma ) , \phi ( \mu ) \right) \! \! + \! \! \sum _ { i = 1 } ^ { a } \frac { \lambda } { p _ { i } } \gamma _ { i , \pi _ { i } ( 1 ) } { r _ { i } } + \! \sum _ { j = 1 } ^ { b } \frac { \lambda } { q _ { j } } \mu _ { j , \sigma _ { j } ( 1 ) } { s _ { j } } + \sum _ { i = 1 } ^ { a } \frac { \lambda } { p _ { i } } \gamma _ { i , \pi _ { i } ( m _ { i } ) } { x _ { i } } } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { b } \frac { \lambda } { q _ { j } } \mu _ { j , \sigma _ { j } ( n _ { j } ) } { y _ { j } } + d _ { \theta } , } \end{array}
{ \bf \theta } = \left[ \begin{array} { r } { 2 8 8 . 7 } \\ { 2 1 7 . 2 } \\ { 2 1 7 . 2 } \\ { 2 2 9 . 2 } \\ { 2 7 1 . 2 } \\ { 1 8 7 . 5 } \end{array} \right] \mathrm { ~ K ~ } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad { \bf \zeta } = \left[ \begin{array} { r } { 0 } \\ { 1 1 } \\ { 2 0 } \\ { 3 2 } \\ { 4 7 } \\ { 8 6 } \end{array} \right] \mathrm { ~ k ~ m ~ . ~ }
{ \bf E } _ { \mathrm { { t o t } } } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( { \bf r } ) = { \bf E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( { \bf r } ) + { \bf E } _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } }
\kappa = { \frac { 4 \tau } { \rho ( 1 + \tau ^ { 2 } ) + 2 \tilde { \rho } \tau } } = { \frac { 4 t } { \rho _ { 0 } ( 1 + t ^ { 2 } ) + 2 \tilde { \rho } _ { 0 } t } } ,
\begin{array} { r l } { P ( \mathbf { s } _ { t } ) } & { { } = \mathbb { E } _ { P ( \mathbf { s } _ { t - 1 } ) } \left[ P ( \mathbf { s } _ { t } | \mathbf { s } _ { t - 1 } , \mathbf { u } _ { t - 1 } , \mathbf { B } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { \phi } } & { { } \equiv } & { \frac { \partial L _ { \mathrm { g c } } } { \partial \dot { \phi } } \; = \; \frac { e } { c } \, { \bf A } ^ { * } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \frac { \partial \bf X } { \partial \phi } } \end{array}
\bar { F } _ { i } ( Q ^ { 2 } ) \; = \; { \frac { 2 } { \pi } } \; \int _ { \nu _ { t h r } } ^ { + \infty } d \nu ^ { \prime } \; { \frac { { \mathrm I m } _ { s } F _ { i } ( Q ^ { 2 } , \nu ^ { \prime } , t = - Q ^ { 2 } ) } { \nu ^ { \prime } } } \; .
\begin{array} { r l r } { n ^ { - 1 } E _ { J } \left[ { \mathbf { l e n } ( \mathrm { e l i a s } _ { \delta } ( J ) ) } \right] } & { \leq } & { E _ { J } \left[ J + \log _ { 2 } J + 2 \log _ { 2 } ( \log _ { 2 } J ) + 3 \right] } \\ & { = } & { n ^ { - 1 } E _ { \Psi } \left[ E _ { J } \left[ J + \log _ { 2 } J + 2 \log _ { 2 } ( \log _ { 2 } J ) + 3 | \Psi \right] \right] } \\ & { \leq } & { n ^ { - 1 } E _ { \Psi } \left[ E _ { J } \left[ J | \Psi \right] + \log _ { 2 } E _ { J } \left[ J | \Psi \right] + 2 \log _ { 2 } ( \log _ { 2 } E _ { J } \left[ J | \Psi \right] ) + 3 \right] } \end{array}
S _ { \mathrm { I I B } } = \frac { 1 } { 2 \kappa _ { 1 0 } ^ { 2 } } \Bigg \{ \int d ^ { 1 0 } x ~ \sqrt { - \operatorname * { d e t } G } ~ R - \frac { 1 } { 2 } \int \Big [ d \phi \wedge { } ^ { * } d \phi \, + \, \mathrm { e } ^ { - \phi } H _ { ( 3 ) } \wedge { } ^ { * } H _ { ( 3 ) } \, + \, \mathrm { e } ^ { 2 \phi } \, F _ { ( 1 ) } \wedge { } ^ { * } F _ { ( 1 ) }
\begin{array} { r l r } { A _ { m , n } } & { = } & { ( X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 4 } ( { X ^ { \ast } } ^ { 2 } + { Y ^ { \ast } } ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 4 } } \\ & { } & { \times \frac { 2 } { w _ { m } ^ { n } } W _ { m - \frac 1 2 } ^ { n } ( t , k ^ { \prime } ) W _ { m - \frac 1 2 } ^ { n } ( t ^ { \ast } , k ^ { \prime } ) W _ { m - \frac 1 2 } ^ { n } ( K ^ { \prime } - i \sigma , k ^ { \prime } ) W _ { m - \frac 1 2 } ^ { n } ( K ^ { \prime } - i ( 2 K - \sigma ^ { \ast } ) ) , k ^ { \prime } ) . } \end{array}
\mathbf { F } ( \mathbf { r } , \mathbf { m } _ { 1 } , \mathbf { m } _ { 2 } ) = { \frac { 3 \mu _ { 0 } } { 4 \pi | \mathbf { r } | ^ { 4 } } } \left( \mathbf { m } _ { 2 } ( \mathbf { m } _ { 1 } \cdot { \hat { \mathbf { r } } } ) + \mathbf { m } _ { 1 } ( \mathbf { m } _ { 2 } \cdot { \hat { \mathbf { r } } } ) + { \hat { \mathbf { r } } } ( \mathbf { m } _ { 1 } \cdot \mathbf { m } _ { 2 } ) - 5 { \hat { \mathbf { r } } } ( \mathbf { m } _ { 1 } \cdot { \hat { \mathbf { r } } } ) ( \mathbf { m } _ { 2 } \cdot { \hat { \mathbf { r } } } ) \right) ,
Y _ { 5 } = \int _ { 0 } ^ { \pi } d \sigma \sum _ { a } \Psi ^ { * a } \Psi ^ { a } , \, \, \, \, \, Y _ { 3 } = \int _ { 0 } ^ { \pi } d \sigma \sum _ { i } \Psi ^ { * i } \Psi ^ { i }
\begin{array} { r l } { d } & { = \binom { L } { K } - \sum _ { k = 0 } ^ { K - 2 } \left[ \binom { L - b _ { k } } { K - k } - \binom { L - b _ { k } - 1 } { K - k - 1 } \right] - \binom { L - b _ { K - 1 } } { 1 } , } \\ & { = \binom { L } { K } - \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { K - 2 } \binom { L - b _ { k } - 1 } { K - k } \right] - \binom { L - b _ { K - 1 } } { 1 } . } \end{array}
Z ^ { \, d u a l } [ \, h \, ] = \left( \, d e t \; L _ { h } \, \right) ^ { 1 / 2 } \, \int [ \, { \cal D } \hat { \phi } \, ] _ { h } \, \exp \left[ - i \int d ^ { 2 } x \sqrt { - h } \, \hat { \phi } \, L _ { h } \, \hat { \phi } \, \right]
\begin{array} { r l } & { \| u _ { r } ^ { G _ { 1 } , h } - u _ { r } ^ { G _ { 2 } , h } \| _ { H } ^ { 2 } } \\ & { = - 2 \int _ { 0 } ^ { r } \| u _ { s } ^ { G _ { 1 } , h } - u _ { s } ^ { G _ { 2 } , h } \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } d s } \\ & { \quad + 2 \int _ { 0 } ^ { r } \| u _ { s } ^ { G _ { 1 } , h } - u _ { s } ^ { G _ { 2 } , h } \| _ { H } ^ { 2 } d s + 2 \int _ { 0 } ^ { r } \langle P _ { h } ( \mathcal { F } ( u _ { s } ^ { G _ { 1 } , h } ) - \mathcal { F } ( u _ { s } ^ { G _ { 2 } , h } ) ) , u _ { s } ^ { G _ { 1 } , h } - u _ { s } ^ { G _ { 2 } , h } \rangle _ { H } d s } \\ & { \quad + 2 \int _ { 0 } ^ { t } \langle P _ { h } ( G _ { 1 } ( s , u _ { s } ^ { G _ { 1 } , h } ) - G _ { 2 } ( s , u _ { 2 } ^ { G _ { 2 } , h } ) ) , u _ { s } ^ { G _ { 1 } , h } - u _ { s } ^ { G _ { 2 } , h } \rangle _ { H } d s } \\ & { \leq - 2 \int _ { 0 } ^ { r } \| u _ { s } ^ { G _ { 1 } , h } - u _ { s } ^ { G _ { 2 } , h } \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } d s + 2 \int _ { 0 } ^ { r } \| u _ { s } ^ { G _ { 1 } , h } - u _ { s } ^ { G _ { 2 } , h } \| _ { H } ^ { 2 } d s } \\ & { \quad + 2 \int _ { 0 } ^ { r } \| \mathcal { F } ( u _ { s } ^ { G _ { 1 } , h } ) - \mathcal { F } ( u _ { s } ^ { G _ { 2 } , h } ) ) \| _ { H } \| u _ { s } ^ { G _ { 1 } , h } - u _ { s } ^ { G _ { 2 } , h } \| _ { H } d s } \\ & { \quad + 2 \int _ { 0 } ^ { r } \| P _ { h } ( G _ { 1 } ( s , u _ { s } ^ { G _ { 1 } , h } ) - G _ { 2 } ( s , u _ { 2 } ^ { G _ { 2 } , h } ) ) \| _ { H } \| u _ { s } ^ { G _ { 1 } , h } - u _ { s } ^ { G _ { 2 } , h } \| _ { H } d s . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } R _ { \lambda , \gamma } ^ { ( 1 ) } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \tilde { R } _ { \lambda , \gamma } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) = \kappa _ { + } ^ { 2 } \mathrm E [ B _ { 1 , 1 / 2 } ( \boldsymbol { x } ) B _ { 1 , 1 / 2 } ( \boldsymbol { y } ) ] = \kappa _ { + } ^ { 2 } x _ { 1 } y _ { 1 } ( x _ { 2 } \wedge y _ { 2 } )
\begin{array} { r c l } { { \nabla _ { 1 } F _ { 0 1 } } } & { { = } } & { { - 2 \lambda ^ { 1 / 2 } / R ^ { 7 } \left[ Q ( r ^ { 3 } - 3 r N ^ { 2 } ) - P ( 3 r ^ { 2 } N - N ^ { 3 } ) \right] \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \nabla _ { 1 } { } ^ { \star } F _ { 0 1 } } } & { { = } } & { { - 2 \lambda ^ { 1 / 2 } / R ^ { 7 } \left[ P ( r ^ { 3 } - 3 r N ^ { 2 } ) + Q ( 3 r ^ { 2 } N - N ^ { 3 } ) \right] \, , } } \end{array}
\delta ^ { ( + ) } ( p ^ { 2 } - m _ { \rho } ^ { 2 } ) \ \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \sum _ { \lambda = - 1 } ^ { 1 } | \rho _ { \lambda } ^ { o } ; \stackrel { \rightarrow } { p } \rangle \, l a n g l e \rho _ { \lambda } ^ { o } ; \stackrel { \rightarrow } { p } | \ \subset \ { \bf \hat { I } } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbf { J } _ { L } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { u _ { 3 } + \delta } \\ { u _ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) , ~ \mathbf { J } _ { R } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { u _ { 2 } } \\ { u _ { 3 } - \delta } & { 0 } \end{array} \right) , ~ } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathbf { K } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { u _ { 1 } } \\ { u _ { 1 } } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { S } \int _ { 0 } ^ { L } S _ { x } \zeta _ { x } \mathrm { d } x } & { = \int _ { 0 } ^ { L } [ \Lambda - S - \beta ( x ) S I + \gamma ( x ) I ] \zeta \mathrm { d } x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { L } [ \Lambda - S - \eta ( x ) I ] \zeta \mathrm { d } x - \int _ { 0 } ^ { L } [ \beta ( x ) S - ( \gamma ( x ) + \eta ( x ) ) ] I \zeta \mathrm { d } x } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { \alpha _ { D } , \alpha _ { G } } ( u ) = \frac { \alpha _ { G } } { \alpha _ { G } - 1 } \left( \frac { u ^ { \alpha _ { D } \left( 1 - \frac { 1 } { \alpha _ { G } } \right) + 1 } + 1 } { ( u ^ { \alpha _ { D } } + 1 ) ^ { 1 - \frac { 1 } { \alpha _ { G } } } } - 2 ^ { \frac { 1 } { \alpha _ { G } } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { x _ { i } } \mathcal { D } \Big [ \hat { p } _ { i , j } | | P _ { Y } ^ { ( k ) } ( y _ { j } ) \Big ] - \underbrace { \sum _ { i } P _ { X } ^ { ( k ) } ( x _ { i } ) \mathcal { D } \Big [ \hat { p } _ { i , j } | | P _ { Y } ^ { ( k ) } ( y _ { j } ) \Big ] } _ { I ( X ; Y ) } < \gamma _ { t h } } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathsf { C a t } } _ { d } ^ { \otimes } ( { \mathsf { B o r d } } _ { d , 0 } ^ { ( H , \rho ) } , \mathcal { C } ) \simeq { \mathsf { C a t } } _ { d } ^ { \otimes } ( \operatorname { c o l i m } _ { B H } { \mathsf { B o r d } } _ { d , 0 } ^ { * } , \mathcal { C } ) \simeq \operatorname* { l i m } _ { B H } { \mathsf { C a t } } _ { d } ^ { \otimes } ( { \mathsf { B o r d } } _ { d , 0 } ^ { * } , \mathcal { C } ) \simeq \operatorname* { l i m } _ { B H } \mathcal { C } ^ { f . d . } \ \ } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathcal { G } _ { \bar { t } _ { s } } ] - \mathbb { E } [ \mathcal { G } _ { \bar { t } _ { s - 1 } } ] } & { \leq - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \frac { \eta \alpha _ { t } } { 2 } \mathbb { E } [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } ] + \bigg ( \frac { 9 \eta c _ { \omega } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 3 2 } + \frac { 9 \eta c _ { \nu } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 3 2 } + \frac { 9 \eta c _ { u } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 3 2 } \bigg ) \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } ^ { 3 } } \\ & { \qquad - \frac { \tilde { L } ^ { 2 } \eta } { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } B _ { t } - \frac { L ^ { 2 } \eta } { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } I _ { t } - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \bigg ( \frac { 9 \eta \gamma \tilde { L } ^ { 2 } } { 2 \mu } - \frac { 9 \eta \gamma ^ { 2 } \tilde { L } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { 9 \eta \gamma ^ { 2 } L ^ { 2 } } { 8 } \bigg ) \alpha _ { t } F _ { t } } \\ & { \qquad - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \bigg ( \frac { 1 } { 4 } - \frac { 8 1 \kappa ^ { 2 } \tilde { L } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } - \frac { 8 1 \kappa ^ { 2 } L ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } - \frac { 9 L ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { 8 } - \frac { 9 \tilde { L } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { 4 } \bigg ) \eta \alpha _ { t } E _ { t } } \\ & { \qquad - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \bigg ( \frac { 9 \tau \eta L ^ { 2 } } { 2 \mu } - \frac { 9 \eta \tau ^ { 2 } L ^ { 2 } } { 4 } \bigg ) \alpha _ { t } Q _ { t } + \bigg ( \frac { 8 1 \kappa ^ { 2 } } { 6 4 } + \frac { 9 I L ^ { 2 } } { 4 } + 9 I \tilde { L } ^ { 2 } \bigg ) \tau ^ { 2 } \eta \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } J _ { t } } \\ & { \qquad + \bigg ( \frac { 1 } { 1 2 8 } + \frac { 8 1 \kappa ^ { 2 } } { 1 2 8 } + \frac { 8 1 \kappa ^ { 2 } } { 6 4 } + \frac { 9 I L ^ { 2 } } { 4 } + \frac { 9 I \tilde { L } ^ { 2 } } { 2 } \bigg ) \eta ^ { 3 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } D _ { t } } \\ & { \qquad + \bigg ( \frac { 1 } { 6 4 } + \frac { 8 1 \kappa ^ { 2 } } { 1 2 8 } + \frac { 8 1 \kappa ^ { 2 } } { 6 4 } + \frac { 9 I \tilde { L } ^ { 2 } } { 4 } + \frac { 9 I L ^ { 2 } } { 2 } \bigg ) \gamma ^ { 2 } \eta \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } G _ { t } } \end{array}
\mathbf { V } ( \alpha , \mathbf { x } _ { p } ) = \bar { \mathbf { u } } ( \mathbf { x } _ { p } ) + \alpha ^ { 3 } \mathcal { M } ( \mathbf { x } _ { p } ) + \frac { \alpha ^ { 2 } } { 6 } \Delta \bar { \mathbf { u } } ( \mathbf { x } _ { p } )
\begin{array} { r l } { | c _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( \rho , x ) - C _ { \mathfrak { I } _ { N } , M } ^ { h } ( \rho , x ) | } & { = \left| \int _ { 0 } ^ { x } \left( G _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( x , t ) - G _ { \mathfrak { I } _ { N } , M } ^ { h } ( x , t ) \right) \cos ( \rho t ) d t \right| } \\ & { = \left| \left\langle \overline { { G _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( x , t ) - G _ { \mathfrak { I } _ { N } , M } ^ { h } ( x , t ) } } , \cos ( \rho t ) \right\rangle _ { L _ { 2 } ( 0 , x ) } \right| } \\ & { \leqslant \| G _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( x , \cdot ) - G _ { \mathfrak { I } _ { N } , M } ^ { h } ( x , \cdot ) \| _ { L _ { 2 } ( 0 , x ) } \| \cos ( \rho t ) \| _ { L _ { 2 } ( 0 , x ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { v _ { 0 } v _ { L } } } & { { } = } & { \sum _ { I = 1 } ^ { L } \sum _ { K = 0 } ^ { I - 1 } W _ { K } = L W _ { 0 } + \sum _ { I = 1 } ^ { L } \sum _ { K = 1 } ^ { I - 1 } W _ { K } } \end{array}
T ( \omega , \tau ) = - \frac { 2 g ^ { 2 } \kappa _ { 1 e } ^ { 2 } } { ( 2 \omega - \lambda _ { 1 } ) ( 2 \omega - \lambda _ { 2 } ) ( \omega - \alpha _ { a } ) ^ { 2 } } e ^ { - i | \tau | ( \alpha _ { a } - \omega ) } .
\frac { \rho _ { \mathrm { i } } } { \rho _ { \mathrm { i 0 } } } \approx \biggl ( 1 - \frac { \alpha } { 2 \beta _ { \mathrm { i 0 } } } \frac { k ^ { 2 } } { k _ { \perp } ^ { 2 } } \biggr ) ^ { 1 / 2 } \biggl ( 1 - \alpha + \frac { k ^ { 2 } } { 4 k _ { \perp } ^ { 2 } } \alpha ^ { 2 } \biggr ) ^ { - 1 / 2 } .
\int { \cal D } \tilde { r } _ { \alpha } \exp \left( 2 G \int d ^ { 4 } x \tilde { r } ^ { \mathrm { t } } Q ( r _ { \mathrm { s t } } ) \tilde { r } \right) = \int d c _ { n , \alpha } \exp \left\{ 2 G \sum c _ { n , \alpha } \lambda _ { n m } ^ { \alpha \beta } c _ { m , \beta } \right\} = \frac { C } { \sqrt { \operatorname * { d e t } ( 2 G \lambda _ { n m } ^ { \alpha \beta } ) } } .
\begin{array} { r l } & { | \mathfrak { r } _ { - 2 , \le 3 , \sharp } | _ { - 2 , s , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \gamma ^ { - 1 } \left( \varepsilon ^ { 5 } + \varepsilon ^ { 3 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \right) , } \\ & { | d _ { i } \mathfrak { r } _ { - 2 , \le 3 , \sharp } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { - 2 , s , \eta _ { 0 } } \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \left[ \begin{array} { c c c c } { \Phi ( \mu _ { 1 } - \mu _ { 1 } ) } & { \ldots } & { \Phi ( \mu _ { 1 } - \mu _ { m } ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \Phi ( \mu _ { m } - \mu _ { 1 } ) } & { \ldots } & { \Phi ( \mu _ { m } - \mu _ { m } ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { w _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { w _ { m } } \end{array} \right] } & { = } & { \left[ \begin{array} { c } { \Delta ( \mu _ { 1 } ) } \\ { \vdots } \\ { \Delta ( \mu _ { m } ) } \end{array} \right] . } \end{array}
V _ { \alpha } ( x , \theta ) = \xi _ { \alpha } ( x ) - \frac { i } { 2 } ( \gamma _ { 5 } \gamma _ { \mu } \theta ) _ { \alpha } \frac { A ^ { \mu } ( x ) } { g } + \frac { 1 } { 2 } \theta _ { \alpha } \phi ( x ) - \frac { 1 } { 2 } N ( x ) ( \gamma _ { 5 } \theta ) _ { \alpha } - \frac { 1 } { 2 } \bar { \theta } \theta \sqrt { 2 } \Psi _ { \alpha } ( x ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { S } ( P , t , \tau ) } & { { } = - [ ( \frac { 2 P ^ { 2 } } { P _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } + 1 ) U _ { \mathrm { p } } - ( i \Gamma + \Delta ) ] \frac { \tau } { \hbar } } \end{array}
Q ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) = \frac { e ^ { - H ( \mathbf { W } ) } } { Z _ { \mathbf { A } } } = \frac { e ^ { - H ( \mathbf { W } ) } } { \int _ { \mathbb { W } _ { \mathbf { A } } } e ^ { - H ( \mathbf { W } ) } d \mathbf { W } }
\begin{array} { r l r } { \| S _ { N } ( \Delta t ) \| _ { C _ { N } } ^ { 2 } } & { = } & { \operatorname* { s u p } \frac { { \bf z } ^ { T } ( \tilde { C } _ { N } ^ { 1 / 2 } S _ { N } ( \Delta t ) \tilde { C } _ { N } ^ { - 1 / 2 } ) ^ { T } ( \tilde { C } _ { N } ^ { 1 / 2 } S _ { N } ( \Delta t ) \tilde { C } _ { N } ^ { - 1 / 2 } ) { \bf z } } { { \bf z } ^ { T } { \bf z } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \bigg ( \mathcal { R } ( \widehat { f } ) - \mathcal { R } ( f ^ { \star } ) \leq ( 1 + \gamma ) \operatorname* { m i n } _ { \lambda \in \Lambda } [ \mathcal { R } ( \widehat { f } _ { \lambda } ) - \mathcal { R } ( f ^ { \star } ) ] + \frac { C _ { 0 } } { \gamma } \xi ( \widetilde { \lambda } , \delta ) \bigg ) \geq 1 - \delta . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { c c } { L } & { M } \\ { N } & { P } \end{array} \right) = \left( \operatorname* { d e t } L \right) \operatorname* { d e t } \left( P - N L ^ { - 1 } M \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha ^ { 2 } ( \Omega ) F ( \Omega ) = \frac { 1 } { \int { d p ^ { 2 } } } \sum _ { \lambda } \int d p ^ { 2 } \int \frac { d p ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } v _ { F } } | g _ { p - p ^ { \prime } , \lambda } | ^ { 2 } \delta ( \Omega - \omega _ { p - p ^ { \prime } , \lambda } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \left( S ( t ) e ^ { - l t } \right) = \int _ { \mathcal { E } } { n ^ { 0 } ( y ) \left( r ( X ( t , y ) ) - l \right) e ^ { \int _ { y } ^ { X ( t , y ) } { \frac { r ( s ) - l } { f ( s ) } \, d s } } d y } = \int _ { \mathcal { E } } { n ^ { 0 } ( Y ( t , x ) ) ( r ( x ) - l ) e ^ { \int _ { Y ( t , x ) } ^ { x } { \frac { \tilde { r } ( s ) - l } { f ( s ) } \, d s } } d x } . } \end{array}
h _ { 0 } ^ { - } ( m _ { 1 } ) = 4 \pi | V _ { \mathbf { p } , \mathbf { p } _ { 2 } } ^ { \mathbf { p } _ { 1 } } | _ { \parallel ^ { - } , m ^ { - } } ^ { 2 } \, f _ { 1 p 2 , \parallel ^ { - } , m ^ { - } } .
{ \mathfrak { T } } _ { \beta } ^ { \alpha } = \operatorname { s g n } \left( \operatorname* { d e t } { \left[ { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \iota } } { \partial { x } ^ { \gamma } } } \right] } \right) \left\vert \operatorname* { d e t } { \left[ { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \iota } } { \partial { x } ^ { \gamma } } } \right] } \right\vert ^ { W } \, { \frac { \partial { x } ^ { \alpha } } { \partial { \bar { x } } ^ { \delta } } } \, { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \epsilon } } { \partial { x } ^ { \beta } } } \, { \bar { \mathfrak { T } } } _ { \epsilon } ^ { \delta } \, .
\begin{array} { r l } { \rho _ { \uparrow } \left( \sum _ { i } \lambda _ { i } ( v _ { i } + w _ { i } ) \right) } & { = \rho _ { \uparrow } \left( \sum _ { i } \lambda _ { i } v _ { i } + \sum _ { i } \lambda _ { i } w _ { i } \right) = \rho _ { \uparrow } \left( \sum _ { i } \lambda _ { i } v _ { i } \right) } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { i } \left( \rho _ { \uparrow } ( v _ { i } ) - \nu _ { \uparrow } ( \lambda _ { i } ) \right) = \operatorname* { m a x } _ { i } \left( \rho _ { \uparrow } ( v _ { i } + w _ { i } ) - \nu _ { \uparrow } ( \lambda _ { i } ) \right) . } \end{array}