harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
d \vartheta ^ { \alpha } ( \mathbf { e } _ { \beta } , \mathbf { e } _ { \gamma } ) = - ( \omega ^ { \alpha } { } _ { \beta } \wedge \vartheta ^ { \beta } ) ( \mathbf { e } _ { \beta } , \mathbf { e } _ { \gamma } ) = - \omega ^ { \alpha } { } _ { \beta } ( \mathbf { e } _ { \beta } ) \, \vartheta ^ { \beta } ( \mathbf { e } _ { \gamma } ) + \omega ^ { \alpha } { } _ { \beta } ( \mathbf { e } _ { \gamma } ) \, \vartheta ^ { \beta } ( \mathbf { e } _ { \beta } ) = - \omega ^ { \alpha } { } _ { \beta \gamma } + \omega ^ { \alpha } { } _ { \gamma \beta } \, .
( \chi ( X _ { 2 , a q } ^ { ( q ) } ) ) ^ { - 1 } [ L _ { 2 , a q ^ { - 1 } } ^ { + , q } ] [ X _ { 2 , a q ^ { - 1 } } ^ { ( q ) } ] - [ \overline { { \alpha _ { 2 } } } ] ^ { - 1 } ( \chi ( X _ { 2 , a q ^ { - 1 } } ^ { ( q ) } ) ) ^ { - 1 } [ L _ { 2 , a q } ^ { + , q } ] [ X _ { 2 , a q ^ { - 3 } } ^ { ( q ) } ] = \textstyle \frac { \chi _ { 2 } ^ { ( q ) } } { \chi _ { 1 } ^ { ( q ) } } ( 1 - [ \overline { { \alpha _ { 2 } } } ] ^ { - 1 } ) [ L _ { 1 , a } ^ { + , q } ]
\frac 1 q < C ( q ) < \frac { C ^ { * } } { q } , \quad C ^ { * } : = C ( 1 ) = \frac { ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s _ { 0 } ) ^ { 2 } } { k _ { 2 } ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } ) } = \frac { k _ { 1 } ( K _ { M } + s _ { 0 } ) ^ { 2 } } { k _ { 2 } K _ { M } } ,
\sigma _ { \mu } ^ { \alpha \beta ^ { \prime } } = ( \tau ^ { a } , i ) \ , \qquad \bar { \sigma } _ { \mu \, \alpha ^ { \prime } \beta } = ( \tau ^ { a } , - i ) \ , \qquad \sigma _ { \mu } ^ { \alpha \alpha ^ { \prime } } = \bar { \sigma } _ { \mu } ^ { \alpha ^ { \prime } \alpha } = \epsilon ^ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } } \bar { \sigma } _ { \mu \, \beta ^ { \prime } \beta } \epsilon ^ { \alpha \beta } \ ,
4 \omega _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } = 4 \omega ( q _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } , \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ C ~ } } = 0 ) = M \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \partial _ { \phi } \tilde { \mu } _ { h } \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right) ^ { 2 } / \kappa
\begin{array} { r l r } { L C } & { \longrightarrow } & { L L \quad \mathrm { \ r a t e : } \ \frac { 1 + b \xi } { 2 } , \qquad \ L C \longrightarrow C C \quad \mathrm { \ r a t e : } \ \frac { 1 - b \xi } { 2 } \ } \\ { R C } & { \longrightarrow } & { R R \quad \mathrm { \ r a t e : } \ \frac { 1 + b \xi } { 2 } , \qquad \ R C \longrightarrow C C \quad \mathrm { \ r a t e : } \ \frac { 1 - b \xi } { 2 } , } \end{array}
\gamma = \frac { \int _ { 0 } ^ { T } \dot { \phi } ^ { 2 } d t } { \int _ { 0 } ^ { T } \rho d t } = \frac { \int _ { 0 } ^ { \phi _ { \mathrm { { m a x } } } } \dot { \phi } d \phi } { \int _ { 0 } ^ { \phi _ { { \mathrm { m a x } } } } ( \rho / \dot { \phi } ) d \phi } ~ ,
\begin{array} { r l } { - r ^ { 2 } \partial _ { z } ^ { 2 } \Psi _ { n } ^ { m } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } k ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 2 } a \Psi _ { n } ^ { m } , } \end{array}
g = \frac { \Lambda ^ { 2 } } { ( 1 + r A x ) ^ { 2 } } \biggl \{ - F ( r ) \, d s ^ { 2 } + F ( r ) ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } \, G ( x ) ^ { - 1 } d x ^ { 2 } + r ^ { 2 } \, G ( x ) \, \Lambda ^ { - 4 } d \phi ^ { 2 } \biggr \} .
\mathbb { V } ( u - u _ { \ell } ) = \mathbb { E } \left[ \left\Vert u - u _ { \ell } \right\Vert _ { Z } ^ { 2 } \right] - \left\Vert \mathbb { E } \left( u - u _ { \ell } \right) \right\Vert _ { Z } ^ { 2 } \le \mathbb { E } \left[ \left\Vert u - u _ { \ell } \right\Vert _ { Z } ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { R ( t ) = } & { { } e ^ { - \gamma t / 2 + i \nu _ { 0 } t } \sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } \binom { n } { m } \frac { 1 } { ( n - m - 1 ) ! } ( i \nu _ { 0 } t ) ^ { n - m - 1 } \Theta ( t ) ^ { \prime } } \\ { = } & { { } i \nu _ { 0 } e ^ { - \gamma t / 2 + i \nu _ { 0 } t } \sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } \binom { n } { n - m - 1 } \frac { 1 } { m ! } ( i \nu _ { 0 } t ) ^ { m } \Theta ( t ) ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { V } d \mathbf { r } \, \left( \frac { 1 } { \mu } \nabla \times \mathbf { A } _ { \varepsilon \perp } \right) \cdot \left( \nabla \times \mathbf { A } _ { \parallel } \right) } & { { } } \\ { + \int _ { S } d \mathbf { r } \, \hat { n } \cdot } & { { } \left[ \left( \frac { 1 } { \mu } \nabla \times \mathbf { A } _ { \varepsilon \perp } \right) \times \mathbf { A } _ { \parallel } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho _ { o 2 } = 3 . 7 4 2 \cdot 1 0 ^ { - 6 } x ^ { 5 } + 4 . 9 1 1 \cdot 1 0 ^ { - 6 } x ^ { 4 } * y - 1 . 2 7 8 \cdot 1 0 ^ { - 4 } x ^ { 4 } - 4 . 6 5 3 \cdot 1 0 ^ { - 6 } x ^ { 3 } y ^ { 2 } , } \\ & { - 1 . 0 9 \cdot 1 0 ^ { - 4 } x ^ { 3 } y + 0 . 0 0 1 6 x ^ { 3 } - 3 . 2 5 \cdot 1 0 ^ { - 5 } x ^ { 2 } y ^ { 3 } + 1 . 2 \cdot 1 0 ^ { - 4 } x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 8 . 3 5 \cdot 1 0 ^ { - 4 } x ^ { 2 } y , } \\ & { - 0 . 0 0 8 7 * x ^ { 2 } + 9 . 7 1 8 \cdot 1 0 ^ { - 5 } x y ^ { 4 } + 1 . 8 6 2 \cdot 1 0 ^ { - 4 } x y ^ { 3 } - 7 . 8 9 7 \cdot 1 0 ^ { - 4 } x y ^ { 2 } , } \\ & { - 0 . 0 0 2 5 x y + 0 . 0 2 2 x - 6 . 0 7 3 \cdot 1 0 ^ { - 4 } y ^ { 4 } + 4 . 1 8 \cdot 1 0 ^ { - 4 } y ^ { 3 } + 9 . 1 0 8 \cdot 1 0 ^ { - 4 } y ^ { 2 } } \\ & { + 0 . 0 0 2 7 * y + 1 . 8 1 2 , } \end{array}
v _ { i } = ( v _ { i , 1 } , v _ { i , 2 } , . . . , v _ { i , t } ) = ( e _ { i , 1 } { \bmod { 2 } } , e _ { i , 2 } { \bmod { 2 } } , . . . , e _ { i , t } { \bmod { 2 } } )
\hat { T } _ { 1 } = \frac { 8 } { 3 } \, C _ { \mathrm { F } } \, \alpha _ { \mathrm { s } } ( t _ { 1 1 } ) \alpha _ { \mathrm { s } } ( t _ { 1 2 } ) K _ { 0 } \left( \sqrt { ( 1 - x _ { 1 } ) ( 1 - x _ { 1 } ^ { \prime } ) } Q b _ { 1 } \right) K _ { 0 } \left( \sqrt { x _ { 2 } x _ { 2 } ^ { \prime } } Q b _ { 2 } \right) \; ,
\frac { d \mathbb { E } [ \Phi ( X , V _ { t } ) ] } { d t } = \mathbb { E } \left[ B ( X , X ^ { \ast } ) \bigl ( \Phi ( X , \Psi ( V _ { t } , V _ { t } ^ { \ast } , \omega ) ) - \Phi ( X , V _ { t } ) \bigr ) \right] .
\begin{array} { r l } { \mathrm { { N u } } } & { { } = \operatorname* { l i m s u p } _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \frac { 1 } { \delta } \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { 1 - \delta } ^ { 1 } \int _ { \gamma ( z ) } n _ { + } \cdot ( u - \nabla ) T \ d S \ d z \ d t } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M ( i , j , k ) } & { \equiv } & { \left\langle \left( \sigma _ { n n } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { i } \left( \sigma _ { n n } ^ { ( 2 ) } \right) ^ { j } \left( \sigma _ { n n } ^ { ( 3 ) } \right) ^ { k } \right\rangle } \\ & { = } & { M ( i , k , j ) = M ( j , i , k ) = M ( j , k , i ) } \\ & { = } & { M ( k , i , j ) = M ( k , j , i ) . } \end{array}
\sum _ { i + j = n + 1 } \sum _ { \sigma } \chi ( \sigma ) ( - 1 ) ^ { i ( j - 1 ) } k _ { j } ( k _ { i } ( \xi _ { \sigma ( 1 ) } , \dots , \xi _ { \sigma ( i ) } ) , \xi _ { \sigma ( i + 1 ) } , \dots , \xi _ { \sigma ( n ) } ) = 0
( \textbf { f } _ { i } ) _ { j } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } ( \textbf { f } _ { i } ) _ { j } ^ { 1 } + \frac { 3 } { 4 } ( \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } ) _ { j } ^ { n } - \frac { 1 } { 4 } \Delta t R ( ( \textbf { f } _ { i } ) _ { j } ^ { 1 } )
\begin{array} { r l } { \sum _ { i \ne j \in r } h _ { i , j } \mathcal { Y } _ { \tau } = } & { \prod _ { c \in \tau } \mathcal { Q } _ { c } \prod _ { r ^ { \prime } \ne r } \mathcal { P } _ { r ^ { \prime } } \sum _ { i \ne j \in r } ( i , j ) \sum _ { p \in S _ { r } } p } \\ { = } & { \prod _ { c \in \tau } \mathcal { Q } _ { c } \prod _ { r ^ { \prime } \ne r } \mathcal { P } _ { r ^ { \prime } } \sum _ { i \ne j \in r } \sum _ { p ^ { \prime } \in S _ { r } } p ^ { \prime } } \\ { = } & { \binom { l _ { r } } { 2 } \mathcal { Y } _ { \tau } , } \end{array}
\underbrace { f _ { k } ( \vec { r } , t + 1 ) = f _ { k } ^ { * } ( \vec { r } - \vec { \xi } _ { k } , t ) } _ { \mathrm { s t r e a m i n g } } = \underbrace { f _ { k } ( \vec { r } - \vec { \xi } _ { k } , t ) + \frac { 1 } { \tau } \left( f _ { k } ^ { \mathrm { e q } } ( \vec { r } - \vec { \xi } _ { k } , t ) - f _ { k } ( \vec { r } - \vec { \xi } _ { k } , t ) \right) } _ { \mathrm { c o l l i s i o n } } .
\gamma = \frac { 1 } { 3 \pi ^ { 2 } } ~ , ~ ~ ~ ~ \kappa = \frac { 1 7 } { 3 6 \pi ^ { 2 } } ~ , ~ ~ ~ ~ c _ { 1 } = \frac { { F } a ^ { 2 } } { G _ { F } } = \frac { \bar { F } } { G _ { F } } ~ ,
\begin{array} { r l } & { | f _ { x } ( W _ { b } - \bar { \Delta } _ { 2 n , x } ) - f _ { x } ( W _ { b } - \bar { \Delta } _ { 2 n , x , i ^ { * } } ) | } \\ & { \leq | f _ { x } ( W _ { b } - \bar { \Delta } _ { 2 n , x } ) - f _ { x } ( W _ { b } - \bar { \Delta } _ { 2 n , x , i ^ { * } } ) | \Big [ I ( W _ { b } \leq 3 x / 4 - 3 / 2 ) + I ( W _ { b } > 3 x / 4 - 3 / 2 ) \Big ] } \\ & { \leq C \Big ( e ^ { 1 / 2 - x } + I ( W _ { b } > 3 x / 4 - 3 / 2 ) \Big ) \Big ( | \bar { D } _ { 1 n } - \bar { D } _ { 1 n , i ^ { * } } | + x | \bar { D } _ { 2 n } - \bar { D } _ { 2 n , i ^ { * } } | \Big ) } \\ & { \leq C \Big ( e ^ { - x } + e ^ { - 3 x / 4 } e ^ { W _ { b } } \Big ) \Big ( | \bar { D } _ { 1 n } - \bar { D } _ { 1 n , i ^ { * } } | + x | \bar { D } _ { 2 n } - \bar { D } _ { 2 n , i ^ { * } } | \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { l } { { \qquad \partial _ { 0 } x ^ { \mu } = - ( p ^ { \mu } + ( p P _ { y } ) P _ { y } ^ { \mu } ) - i ( \bar { \theta } \Gamma ^ { \mu \nu } \lambda _ { \theta } ) P _ { y \nu } , } } \\ { { \qquad \partial _ { 0 } p ^ { \mu } = - \partial _ { 1 } \left[ \partial _ { 1 } x ^ { \mu } - i ( \bar { \theta } \Gamma ^ { \mu \nu } \partial _ { 1 } \theta ) P _ { y \nu } + i \bar { \theta } \Gamma ^ { \mu } \lambda _ { \theta } \right] , } } \\ { { \qquad \partial _ { 0 } \theta ^ { \alpha } = - \lambda _ { \theta } ^ { \alpha } , } } \end{array}
\Delta = { \frac { p ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } } + { \frac { \hat { c } - 1 } { 2 4 } } , \qquad \hat { c } = 1 - 6 ( \beta - \beta ^ { - 1 } ) ^ { 2 } , \qquad q = e ^ { i \pi \beta ^ { 2 } }
\mathrm { N E P } = \frac { 1 } { \alpha A } \sqrt { \frac { S _ { x x } ^ { \mathrm { ~ s ~ h ~ o ~ t ~ } } } { \left| \chi \right| ^ { 2 } } + S _ { F F } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } } } = \frac { 1 } { A \alpha } \sqrt { \frac { \kappa } { 1 6 \eta N G ^ { 2 } { | \chi | } ^ { 2 } } [ 1 + 4 ( \frac { \omega } { \kappa } ) ^ { 2 } ] + 2 m \gamma k _ { B } T } ,
M _ { \nu _ { \tau } } ^ { t r e e } = \frac { M _ { Z } ^ { 2 } M _ { \widetilde { \gamma } } \mu s _ { \zeta } ^ { 2 } c _ { \beta } ^ { 2 } } { \left( M _ { Z } ^ { 2 } M _ { \widetilde { \gamma } } s _ { 2 \beta } c _ { \zeta } - M _ { 1 } M _ { 2 } \mu \right) }
\begin{array} { r l } { W _ { \mathrm { P a r t i c l e } } ^ { C } = \frac { 1 } { 1 6 \pi } } & { \sum _ { j } \overline { n } _ { j } ^ { C } \omega _ { 0 p j } ^ { 2 } } \\ & { \times \left\{ \frac { | \mathit { { E } } _ { k } ^ { L } | ^ { 2 } } { \left( \omega _ { k } - \Omega _ { 0 j } \right) ^ { 2 } } + \frac { | \mathit { { E } } _ { k } ^ { R } | ^ { 2 } } { \left( \omega _ { k } + \Omega _ { 0 j } \right) ^ { 2 } } + \frac { | \mathit { { E } } _ { k } ^ { z } | ^ { 2 } } { \omega _ { k } ^ { 2 } } \right\} . } \end{array}
\lambda ^ { 2 } ( - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial X ^ { 2 } } + \frac { i Q _ { B } } { 2 } \frac { \partial } { \partial Y } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Y ^ { 2 } } + e ^ { \sqrt { \frac { 2 } { | \kappa | } } ( X + Y ) } ) { \cal T } = \frac { N } { 2 4 ( x ^ { + } ) ^ { 2 } } { \cal T }
\mathsf { V } = \left( \frac { \theta ^ { 2 } } { 2 } , u \frac { \theta ^ { 2 } } { 2 } \right) , \qquad \mathsf { D } : = \operatorname* { l i m } _ { \kappa \to 0 } \kappa | \nabla \theta ^ { \kappa } | ^ { 2 } .
T _ { \mathrm { ~ U ~ M ~ } } ^ { 1 } : \left\{ \begin{array} { l l } { y _ { n } = y _ { n + 1 } ^ { * } + \frac { m } { m - 1 } C ( 1 - y _ { n } ) ^ { m - 1 } \sin ( m x _ { n } ^ { * } ) } \\ { x _ { n + 1 } = x _ { n } ^ { * } - C ( 1 - y _ { n } ) ^ { m - 2 } \cos ( m x _ { n } ^ { * } ) } \end{array} \right. ~ ,
( \mathbf { c } _ { l _ { i } , l _ { f } , l _ { o } } ) _ { m } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { ( l _ { o } , m ) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } m > 0 } \\ { \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , 0 ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { ( l _ { o } , 0 ) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } m = 0 } \\ { \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { ( l _ { o } , - m ) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } m < 0 } \end{array} \right.
\omega \; = \; \left( \begin{array} { c c } { { \gamma ^ { \mu } \, \omega _ { 1 \mu } } } & { { \begin{array} { c } { { \omega _ { 1 } } } \\ { { \omega _ { 2 } } } \end{array} } } \\ { { \begin{array} { c c } { { \tilde { \omega } _ { 1 } \, } } & { { \tilde { \omega } _ { 2 } } } \end{array} } } & { { \gamma ^ { \mu } \, \omega _ { 2 \mu } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { | \mathbb { E } Y _ { a } | } & { \lesssim \frac { 1 } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 3 } } \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } , i _ { 3 } , i _ { 4 } } \theta _ { i _ { 1 } } \theta _ { i _ { 3 } } \theta _ { i _ { 4 } } ( \beta _ { i _ { 1 } } \theta _ { i _ { 1 } } ) ( \beta _ { i _ { 4 } } \theta _ { i _ { 4 } } ) \cdot | \mathbb { E } W _ { i _ { 2 } i _ { 3 } } ^ { 3 } | \lesssim \frac { 1 } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 3 } } \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } , i _ { 3 } , i _ { 4 } } \beta _ { i _ { 1 } } \beta _ { i _ { 4 } } \theta _ { i _ { 1 } } ^ { 2 } \theta _ { i _ { 2 } } \theta _ { i _ { 3 } } ^ { 2 } \theta _ { i _ { 4 } } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { n } \ge \frac { 1 6 C \gamma \kappa _ { U } \sigma _ { x } ^ { 2 } \sigma _ { \varepsilon } ^ { 2 } \{ t + \log ( 2 | \mathcal { E } | | S ^ { * } | ) \} } { \kappa _ { L } \operatorname* { m i n } _ { j \in S ^ { * } } | \beta _ { j } ^ { * } | ^ { 2 } } ~ ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ ~ ~ n _ { * } \ge ( p + t ) \left( \frac { 1 6 C \kappa _ { U } ^ { 2 } \sigma _ { x } ^ { 2 } } { \kappa _ { L } } \gamma \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q } & { { } = \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { q } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \boldsymbol { q } _ { L } } \end{array} \right] , \ \ \ K = \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { k } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \boldsymbol { k } _ { L } } \end{array} \right] , \ \ \ V = \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { v } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \boldsymbol { v } _ { L } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { m _ { 0 } \left( { { \omega _ { 0 } } + \delta \omega } \right) ^ { 2 } } \left| \psi \right\rangle - \mathbf K \left| \psi \right\rangle + i ( { \omega _ { 0 } } + \delta \omega ) \mathbf \Gamma \left| \psi \right\rangle } & { { } = 0 } \\ { m _ { 0 } \left( { { \omega _ { 0 } } ^ { 2 } + 2 { \omega _ { 0 } } \delta \omega } \right) \left| \psi \right\rangle - \mathbf K \left| \psi \right\rangle + i ( { \omega _ { 0 } } + \delta \omega ) \mathbf \Gamma \left| \psi \right\rangle } & { { } = 0 } \\ { \left( { 2 { \omega _ { 0 } } m _ { 0 } + i { \bf { \Gamma } } } \right) \delta \omega \left| \psi \right\rangle + \left( { { \omega _ { 0 } } ^ { 2 } m _ { 0 } - { \bf { K } } + i { \omega _ { 0 } } { \bf { \Gamma } } } \right) \left| \psi \right\rangle } & { { } = 0 } \\ { { \left( { 2 { \omega _ { 0 } } m _ { 0 } + i { \bf { \Gamma } } } \right) ^ { - 1 } } \left[ { \left( { 2 { \omega _ { 0 } } { m _ { 0 } } + i { \bf { \Gamma } } } \right) { \omega _ { 0 } } - { \bf { K } } - { \omega _ { 0 } } ^ { 2 } { m _ { 0 } } } \right] \left| \psi \right\rangle + \delta \omega \left| \psi \right\rangle } & { { } = 0 } \\ { { \left( { 2 { \omega _ { 0 } } m _ { 0 } + i { \bf { \Gamma } } } \right) ^ { - 1 } } \left( { { \bf { K } } + { \omega _ { 0 } } ^ { 2 } m _ { 0 } } \right) \left| \psi \right\rangle - ( \omega _ { 0 } + \delta \omega ) \left| \psi \right\rangle } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { { } = b \left[ \Gamma _ { p } ( F ) - \Gamma _ { m } ( F ) \right] = b \operatorname { t a n h } [ q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) ] \approx q F b ^ { 2 } / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) , } \\ { B } & { { } = b ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { e ^ { \beta ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \Big ( \| ( \partial _ { t } \! + \! 1 ) f _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| \partial _ { y } f _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) \leq \sqrt { 2 } e ^ { \big ( \beta ( t ) + \frac { 3 \sigma } { 4 } \big ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \! \operatorname* { m a x } \Big \{ 1 , \frac { 4 } { \sigma } \Big \} ^ { 3 } \Big ( \| u _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \| \Phi _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! } \\ { + \| u _ { t , \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } + \| \partial _ { y } u _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) + 4 \sqrt { 2 } e ^ { - \frac { \sigma } { 4 } | k | ^ { \frac 1 3 } } \big ( \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \big ) \bigg ( \frac { 1 2 } { \sigma } \bigg ) ^ { 3 } e ^ { \frac { \sigma } { 4 } | k | ^ { \frac 1 3 } } t C _ { \sigma } ( t ) \Big ( 1 + \| U _ { \mathrm { s h } } \| _ { L ^ { \infty } } + } \\ { + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \Big ) ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { \tilde { k } \in \mathbb Z } \Big \{ e ^ { \sigma | \tilde { k } | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \Big ( \| \Phi _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| u _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| u _ { t , \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| \partial _ { y } u _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) \Big \} . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { \operatorname* { m i n } } & { \langle f , y \rangle } \\ { s . t . } & { \mathcal { V } _ { p _ { i } } ^ { ( 2 k ) } [ y ] = 0 \, ( i = 1 , \ldots , m _ { 1 } ) , } \\ & { L _ { p _ { i } } ^ { ( k ) } [ y ] \succeq 0 \, ( i = m _ { 1 } + 1 , \ldots , m _ { 2 } ) , } \\ & { M _ { k } [ y ] \succeq 0 , } \\ & { y _ { 0 } = 1 , y \in \mathbb { R } ^ { \mathbb { N } _ { 2 k } ^ { n } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \int _ { \frac { 1 } { \gamma _ { \lambda } } } ^ { \infty } \frac { e ^ { - x [ \gamma _ { \lambda } \log ( \gamma _ { \lambda } x ) - \log ( f ( y ) ] } } { \sqrt { \gamma _ { \lambda } x + a } } d x } & { = \int _ { \frac { 1 } { \gamma _ { \lambda } } } ^ { \frac { ( f ( y ) e ) ^ { 1 / \gamma _ { \lambda } } } { \gamma _ { \lambda } } } \frac { e ^ { - x [ \gamma _ { \lambda } \log ( \gamma _ { \lambda } x ) - \log ( f ( y ) ] } } { \sqrt { \gamma _ { \lambda } x + a } } d x } \\ & { \ \ + \int _ { \frac { ( f ( y ) e ) ^ { 1 / \gamma _ { \lambda } } } { \gamma _ { \lambda } } } ^ { \infty } \frac { e ^ { - x [ \gamma _ { \lambda } \log ( \gamma _ { \lambda } x ) - \log ( f ( y ) ] } } { \sqrt { \gamma _ { \lambda } x + a } } d x } \\ & { \leq \frac { f ( y ) ^ { 1 / \gamma _ { \lambda } } } { \sqrt { 1 + a } } \frac { ( f ( y ) e ) ^ { 1 / \gamma _ { \lambda } } } { \gamma _ { \lambda } } + \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { e ^ { - x } } { \sqrt { \gamma _ { \lambda } x + a } } d x , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho U _ { A 0 } \beta _ { l o c a l } ( x ) \frac { \mathrm { d } \delta ( x ) } { \mathrm { d } x } W } & { = } & { - \rho U _ { A 0 } \delta ( x ) \frac { \mathrm { d } \beta _ { l o c a l } ( x ) } { \mathrm { d } x } W } \\ { \frac { \mathrm { d } \delta ( x ) } { \delta ( x ) } } & { = } & { - \frac { \mathrm { d } \beta _ { l o c a l } ( x ) } { \beta _ { l o c a l } ( x ) } . } \end{array}
\mathcal { L } ^ { \nu e } = \frac { G _ { \mathrm { F } } } { 2 } [ \bar { \nu } _ { \mu } \gamma ^ { \lambda } ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) \nu _ { \mu } ] [ \bar { e } \gamma _ { \lambda } ( g _ { V } ^ { \nu e } - g _ { A } ^ { \nu e } \gamma ^ { 5 } ) e ] .
\begin{array} { r l } & { { \mathrm { V a r } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { N } I ( \vert x _ { i j } \vert \ge \eta _ { n } \sqrt { n } ) \right) \le { \bf E } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { N } I ( \vert x _ { i j } \vert \ge \eta _ { n } \sqrt { n } ) \right) } \\ { \le } & { \frac 1 { n \eta _ { n } ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { p } \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \bf E } \vert x _ { i j } \vert ^ { 2 } I ( \vert x _ { i j } \vert \ge \eta _ { n } \sqrt { n } ) = o ( n ) . } \end{array}
g _ { m n } = { \frac { 8 } { 3 } } m \left[ { \frac { { \frac { 3 } { 2 } } m - n } { ( m - n ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } } } + { \frac { n + { \frac { 1 } { 2 } } m } { ( m - n ) ^ { 2 } - { \frac { 9 } { 4 } } } } \right]
\begin{array} { r l } { \lambda \, \partial _ { \tau } \hat { s } ( \tau , z ) = } & { \ \sinh \big ( \beta \, \hat { p } ( \tau , z ) \big ) - \hat { s } ( \tau , z ) \, \cosh \big ( \beta \, \hat { p } ( \tau , z ) \big ) } \\ { - \lambda \, \partial _ { \tau } \hat { p } ( \tau , z ) = } & { \ - \beta ^ { - 1 } \, \sinh \big ( \beta \, \hat { p } ( \tau , z ) \big ) + \big ( J ^ { \lambda } * \hat { s } ( \tau , \cdot ) \big ) ( z ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { k _ { 1 } = \frac { \omega ^ { \prime } ( a _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ } } , \lambda _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ } } ) } { \lambda _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ } } ^ { 2 } D ( a _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ } } ) } , \quad k _ { 2 } = \frac { k \gamma ( a _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ } } , \lambda _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ } } ) } { \lambda _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ } } ^ { 2 } D ( a _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ } } ) } . } \end{array}
\begin{array} { c c c } { F \left( 0 \right) = 0 , } & { F ^ { \prime } \left( 0 \right) = 0 , } & { F ^ { \prime } \left( \infty \right) \to 1 } \\ { T ( 0 ) = T _ { w } , } & { T \left( \infty \right) \to 1 . } & { } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textrm { T w i s t e d R i n g s : } \phi _ { 1 / 2 } } & { { } = ( 0 - 2 \pi ) } \\ { \alpha _ { 1 } } & { { } = \frac { 3 } { 2 } \sin \phi _ { 1 } } \\ { \alpha _ { 2 } } & { { } = \pi + \frac { 3 } { 2 } \sin \phi _ { 2 } } \\ { R _ { 1 / 2 } } & { { } = 1 } \\ { a _ { 1 / 2 } } & { { } = 0 . 3 , } \end{array}
v _ { 2 } = 0 . 9 9 c \quad \Rightarrow \quad E _ { k } = \frac { m _ { e } c ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - ( \frac { v _ { 2 } } { c } ) ^ { 2 } } } \simeq 3 . 6 \mathrm { M e V } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { j , k } ( \boldsymbol { x } ) } & { { } : = \left\vert \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \chi _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { 2 \pi i \eta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) } \left( \mathcal { F } \left( I \right) ( \boldsymbol { \xi } ) + \delta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) \right) \right) ( \boldsymbol { x } ) \right\vert } \end{array}
{ \overline { { U \left( { \vec { r } } + { \vec { \xi } } \right) } } } = U \left( { \vec { r } } \right) + { \frac { 1 } { 6 } } { \overline { { { \vec { \xi } } ^ { 2 } } } } \nabla ^ { 2 } U \left( { \vec { r } } \right) .
{ \begin{array} { r l } { \Delta { X } } & { = \cos \phi _ { 2 } \cos \lambda _ { 2 } - \cos \phi _ { 1 } \cos \lambda _ { 1 } ; } \\ { \Delta { Y } } & { = \cos \phi _ { 2 } \sin \lambda _ { 2 } - \cos \phi _ { 1 } \sin \lambda _ { 1 } ; } \\ { \Delta { Z } } & { = \sin \phi _ { 2 } - \sin \phi _ { 1 } ; } \\ { C } & { = { \sqrt { ( \Delta { X } ) ^ { 2 } + ( \Delta { Y } ) ^ { 2 } + ( \Delta { Z } ) ^ { 2 } } } } \end{array} }
I _ { 1 } ^ { ( 0 ) } = - 0 . 4 9 9 9 9 9 9 9 9 5 9 9 \ 1 0 ^ { - 1 } , \qquad I _ { 5 } ^ { ( 0 ) } = - 0 . 1 1 5 2 3 8 0 9 5 2 4 0 \ 1 0 ^ { - 1 }