harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { L } } = { \bf h } \cdot { \bf \sigma } = \left( \begin{array} { c c } { \xi } & { \Delta \mathrm { e } ^ { - i \phi } } \\ { \Delta \mathrm { e } ^ { i \phi } } & { - \xi } \end{array} \right) , } \end{array}
M = - \frac { \gamma } { 2 } \int r ^ { 2 } { \mathcal { V } } d ^ { 2 } x = - \frac { \gamma } { 4 } \int _ { { \bf { R } } _ { 0 } ^ { 2 } } \partial _ { i } q _ { i } d ^ { 2 } x = \frac { \gamma } { 4 } \sum _ { s = 1 } ^ { N } \int _ { C ^ { s } } q _ { i } n _ { i } ^ { s } \, d l .
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\| f _ { n , \lambda } ^ { \prime } ( t ) \right\| _ { 2 } - \left\| f _ { \lambda } ^ { \prime } ( t ) \right\| _ { 2 } \mathrm { d } t \right| } & { \leq \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| \left\| f _ { n , \lambda } ^ { \prime } ( t ) \right\| _ { 2 } - \left\| f _ { \lambda } ^ { \prime } ( t ) \right\| _ { 2 } \right| \, \mathrm { d } t } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { \left| \big \| f _ { n , \lambda } ^ { \prime } ( t ) \big \| _ { 2 } ^ { 2 } - \left\| f _ { \lambda } ^ { \prime } ( t ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \right| } \, \mathrm { d } t } \\ & { \leq \sum _ { j = 1 } ^ { d } \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { \left| | ( f _ { n , \lambda } ^ { j } ) ^ { \prime } ( t ) | ^ { 2 } - | ( f _ { \lambda } ^ { j } ) ^ { \prime } ( t ) | ^ { 2 } \right| } \, \mathrm { d } t } \\ & { \leq \sum _ { j = 1 } ^ { d } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } | ( f _ { n , \lambda } ^ { j } ) ^ { \prime } ( t ) | + | ( f _ { \lambda } ^ { j } ) ^ { \prime } ( t ) | \mathrm { d } t \right] \! \! \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| | ( f _ { n , \lambda } ^ { j } ) ^ { \prime } ( t ) \right| - \left| ( f _ { \lambda } ^ { j } ) ^ { \prime } ( t ) | \right| \mathrm { d } t \right] . } \end{array}
\phi _ { m a g } ( \eta , z ) ~ \approx ~ \phi _ { e l e c } ( \eta , z ) ~ \approx ~ \frac { h _ { m } } { 3 \eta ^ { 3 } } ~ + ~ p ^ { 2 } h _ { m } \left( \frac 1 \eta ~ + ~ \frac { z ^ { 2 } } 6 \right)
U ^ { a _ { 1 } b _ { 1 } } U ^ { a _ { 2 } b _ { 2 } } U ^ { a _ { 3 } b _ { 3 } } f _ { \tau \alpha , \tau _ { 1 } \alpha _ { 1 } , \tau _ { 2 } \alpha _ { 2 } , \tau _ { 3 } \alpha _ { 3 } , b _ { 1 } , b _ { 2 } , b _ { 3 } } \Psi = f _ { \tau \alpha , \tau _ { 1 } \alpha _ { 1 } , \tau _ { 2 } \alpha _ { 2 } , \tau _ { 3 } \alpha _ { 3 } , a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } } \Psi ,
\frac { \partial } { \partial t ^ { * } } \theta ^ { * } + \frac { \partial ( \psi ^ { * } , \theta ^ { * } ) } { \partial ( x ^ { * } , z ^ { * } ) } - R \frac { \partial \psi ^ { * } } { \partial x ^ { * } } - \nabla ^ { * 2 } \theta ^ { * } = 0 ,
\begin{array} { r l } { H _ { k } ( b ) } & { = \{ 0 \le N < q _ { K } \, : \, b _ { k } ( N ) = b \} , } \\ { H _ { k } ^ { * } ( 0 ) } & { = \{ 0 \le N < q _ { K } \, : \, b _ { k } ( N ) = 0 , \, \, b _ { k + 1 } ( N ) < a _ { k + 2 } \} , } \\ { H _ { k } ^ { * * } ( 0 ) } & { = \{ 0 \le N < q _ { K } \, : \, b _ { k } ( N ) = 0 , \, \, b _ { k + 1 } ( N ) = a _ { k + 2 } \} . } \end{array}
\mathrm { d } _ { Q } j _ { \pm \rho } ^ { \mathrm { \, } } = \left( \sum _ { \sigma } \mathrm { d } _ { Q } \mu _ { \sigma } ^ { \mathrm { \, } } \, S _ { \pm \rho } ^ { \sigma } \right) \frac { 1 } { \tau _ { \rho } } \exp \left( \sum _ { \sigma } \mu _ { \sigma } ^ { \mathrm { \, } } \, S _ { \pm \rho } ^ { \sigma } \right) = F _ { \pm \rho } ~ j _ { \pm \rho } ^ { \mathrm { \, } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { C } _ { \mathrm { m a t c h , ~ u n n o r m . } } } & { = \left( \begin{array} { l l } { ( 1 - \omega _ { \mathrm { g e n d e r } } ) ^ { 2 } } & { \omega _ { \mathrm { g e n d e r } } ( 1 - \omega _ { \mathrm { g e n d e r } } ) } \\ { \omega _ { \mathrm { g e n d e r } } ( 1 - \omega _ { \mathrm { g e n d e r } } ) } & { \omega _ { \mathrm { g e n d e r } } ^ { 2 } } \end{array} \right) } \\ { \mathbf { C } _ { \mathrm { m a t c h } } } & { = \frac { \mathbf { C } _ { \mathrm { m a t c h , ~ u n n o r m . } } } { { \left\| \mathbf { C } _ { \mathrm { m a t c h , ~ u n n o r m . } } \cdot \left( \begin{array} { l l } { 0 . 5 } & { 0 . 5 } \end{array} \right) ^ { T } \right\| } _ { 2 } } } \\ { \omega _ { \mathrm { g e n d e r } } } & { \sim \mathrm { B e t a } \left( \alpha = 1 0 , \beta = 2 0 \right) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d } { d t } \bar { y } ( t ) = \mathrm { a } \bar { x } + b \bar { x } ^ { 2 } \, , } \\ { \frac { d } { d t } \bar { x } ( t ) = - ( \mathrm { a } + \mathrm { r } ) \bar { x } \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { E \left[ \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \left( \Delta _ { s } X ^ { \varepsilon } \right) ^ { i _ { 1 } } \, \mathrm { d } s \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 2 } } } & { = \frac { 1 } { 2 n ^ { 2 } } b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 1 } } b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 2 } } + b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 2 } } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { s } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( u ) \, \mathrm { d } u \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } \left( n ^ { - 3 } \right) + R _ { k - 1 } \left( \varepsilon n ^ { - 5 / 2 } \right) . } \end{array}
\frac { d w } { d \mathcal { E } } = \alpha \frac { 2 ^ { 8 } f ( p / \zeta ) } { 3 \zeta ^ { 4 } ( 1 + ( p / \zeta ) ^ { 2 } ) ^ { 5 } } \left| \int _ { - \infty } ^ { t } E ( t ) e ^ { i \omega _ { f i } t } d t \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { \mu _ { i j } = \frac { M _ { i j } } { A ^ { 2 } } - b _ { i j } b _ { k l } \frac { M _ { k l } } { A ^ { 2 } } \; \; , \; \; D _ { i j k l } = \frac { K _ { i j k l } } { A ^ { 3 / 2 } } - b _ { i j } b _ { p q } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \; \; , } \\ & { \gamma _ { i j } = - \frac { 1 } { 2 } b _ { i j } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } - b _ { p q } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \frac { K _ { i j k l } } { A ^ { 3 / 2 } } + \frac { 3 } { 2 } b _ { i j } b _ { p q } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } b _ { m n } \frac { K _ { m n k l } } { A ^ { 3 / 2 } } } \\ & { d t ^ { \prime } = A d t \; \; , \; \; d W _ { i j } ^ { \prime } = A ^ { 1 / 2 } d W _ { i j } } \end{array}
\mathbb { P } \left( h , v ^ { \perp } \right) = \mathcal { N } \exp \left[ - \frac { 2 \mu } { \sigma ^ { 2 } } \left( { v ^ { \perp } } \right) ^ { 2 } - \frac { 4 \beta \mu } { \sigma ^ { 2 } } h ^ { 2 } \right]
m _ { e m } ^ { 2 } = - \langle M | e ^ { 2 } \int \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { J _ { \mu } ( q ) J _ { \nu } ( - q ) } { q ^ { 2 } } \left( g _ { \mu \nu } - \xi \frac { q _ { \mu } q _ { \nu } } { q ^ { 2 } } \right) | M \rangle \, .
\begin{array} { r l } { 2 \big \| T ( t + h ) x \big \| _ { X } \Big \| T ( t ) \frac { 1 } { h } } & { \int _ { 0 } ^ { h } { T ( h - s ) B u ( s ) d s } \Big \| _ { X } } \\ & { \leq 2 M \| x \| _ { X } \| T ( t ) \| M \| B \| \operatorname* { s u p } _ { r \in [ 0 , h ] } \| u ( r ) \| _ { U } } \\ & { \leq 2 M ^ { 3 } \| x \| _ { X } \| B \| \| u \| _ { \cal U } e ^ { - \lambda t } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { i j } ^ { \mathrm { s } } } & { { } = } & { [ ( P - 2 N ) \varepsilon _ { k k } ^ { \mathrm { s } } + Q \varepsilon _ { k k } ^ { \mathrm { f } } ] \delta _ { i j } + 2 N \varepsilon _ { i j } ^ { \mathrm { s } } , } \\ { \sigma _ { i j } ^ { \mathrm { f } } } & { { } = } & { [ Q \varepsilon _ { k k } ^ { \mathrm { s } } + R \varepsilon _ { k k } ^ { \mathrm { f } } ] \delta _ { i j } , } \end{array}
I ( x , y , z ) = \frac { x ^ { 2 } y ^ { 2 } \ln ( x ^ { 2 } / y ^ { 2 } ) + y ^ { 2 } z ^ { 2 } \ln ( y ^ { 2 } / z ^ { 2 } ) + z ^ { 2 } x ^ { 2 } \ln ( z ^ { 2 } / x ^ { 2 } ) } { ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) ( y ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) ( x ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) }
w _ { 0 } [ n ] = a _ { 0 } + \sum _ { k = 1 } ^ { K } a _ { 2 k } \left( { \frac { n } { \sigma } } \right) ^ { 2 k } , \quad - { \frac { N } { 2 } } \leq n \leq { \frac { N } { 2 } } ,
L _ { ( i j ) , ( i ^ { \prime } j ^ { \prime } ) } \equiv ( \lambda \delta _ { i j } \delta _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } + 2 \rho _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } \nu \delta _ { i i ^ { \prime } } \delta _ { j j ^ { \prime } } ) / { T _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } }
\sum _ { \sigma \in { \mathcal E } _ { \mathrm { i n t } , K } } \operatorname { m } ( \sigma ) { \operatorname { d } } _ { \sigma } \le \frac { 1 } { \zeta } \sum _ { \sigma \in { \mathcal E } _ { \mathrm { i n t } , K } } \operatorname { m } ( \sigma ) { \operatorname { d } } ( x _ { K } , \sigma ) = \frac { d } { \zeta } \operatorname { m } ( K ) \quad \mathrm { f o r ~ } K \in { \mathcal T } ,
\begin{array} { r l } { \hat { S } _ { 0 } } & { { } = \hbar \left( \hat { a } _ { \mathrm { L } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { L } } + \hat { a } _ { \mathrm { R } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { R } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { | \tilde { L } _ { k } ^ { i } | \le _ { \alpha , \nu } R _ { S _ { 0 } ^ { + } } ^ { \frac { 3 - \alpha } 2 } \operatorname* { m i n } \left\{ \left( \frac { \mathtt { j } _ { i } } { \mathtt { j } _ { k } } \right) ^ { \frac { 3 - \alpha } 2 } , \left( \frac { \mathtt { j } _ { k } } { \mathtt { j } _ { i } } \right) ^ { \frac { 3 - \alpha } 2 } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { \mathrm { { i n t r } } } \approx \frac { 3 } { 5 \sqrt { 3 5 } } O _ { \mathrm { { i n t r } } } \beta _ { 2 } \approx \frac { 3 } { 2 0 \pi \sqrt { 3 5 } } e Z R ^ { 3 } \beta _ { 2 } \beta _ { 3 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { i n c } } ^ { \mathrm { e l } } ( \vec { Q } , \omega ) = } & { { } N \sum _ { j } ^ { N } { [ \overline { { b _ { j } ^ { 2 } } } - ( \overline { { b _ { j } } } ) ^ { 2 } ] } \exp ( - 2 W _ { j } ) } \end{array}
\frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int d ^ { 3 } r ( \nabla \phi ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 8 \pi \epsilon _ { 0 } } \sum _ { a \ne b } ^ { N } \frac { q _ { a } q _ { b } } { | \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { b } | } + \sum _ { a = 1 } ^ { N } \epsilon _ { \mathrm { s e l f \; \; i n t e r a c t i o n } } ^ { a }
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m a x } _ { e \in \mathit { E } } | \delta _ { e , 1 } | } & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { e \in \mathit { E } } \left| \frac { x _ { e } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { E } _ { - e } } ) \Delta _ { e } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { F } } ) Y } { \{ x _ { e } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { E } _ { - e } } ) x _ { e } \} ^ { 1 / 2 } } \right| } \\ & { \leq } & { \| ( I - P _ { \mathit { F } } ) Y \| _ { 2 } \operatorname* { m a x } _ { e \in \mathit { E } } \| \Delta _ { e } \| _ { 2 } } \\ & { \leq } & { c ^ { \prime } \| ( I - P _ { \mathit { F } } ) Y \| _ { 2 } R ( X _ { \mathit { E } } , X _ { \mathit { F } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau _ { n } \dot { n } ^ { \langle \mu \rangle } + n ^ { \mu } } & { = } & { \kappa _ { n } \nabla ^ { \mu } \alpha _ { 0 } - \tau _ { n } n _ { \nu } \omega ^ { \nu \mu } - \delta _ { n n } n ^ { \mu } \theta + \tau _ { n \Pi } \Pi \nabla ^ { \mu } P _ { 0 } - \tau _ { n \pi } \pi ^ { \mu \nu } \nabla _ { \nu } P _ { 0 } - \ell _ { n \Pi } \nabla ^ { \mu } \Pi + } \\ & { + } & { \ell _ { n \pi } \Delta _ { \alpha } ^ { \mu } \partial _ { \beta } \pi ^ { \alpha \beta } - \lambda _ { n n } n _ { \nu } \sigma ^ { \mu \nu } + \lambda _ { n \Pi } \Pi \nabla ^ { \mu } \alpha _ { 0 } - \lambda _ { n \pi } \pi ^ { \mu \nu } \nabla _ { \nu } \alpha _ { 0 } - \tau _ { n } \gamma _ { - 2 } ^ { \Omega } \Omega ^ { \mu \alpha \beta } \sigma _ { \alpha \beta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { k } \| A ( Y ^ { k + 1 } - Y ^ { k } ) \| ^ { 2 } } & { = \mathbb { E } _ { k } \left\| \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } A _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ( y _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ^ { k + 1 } - y _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } _ { k } \left\| \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } A _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ( { \tilde { y } } _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ^ { k } - y _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } } \\ & { \overset { L e m m a ~ } { \leq } \frac { n R ^ { 2 } + R _ { m } ^ { 2 } } { m } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| { \tilde { y } } _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { P } _ { x _ { 0 } } ( T _ { x _ { n } } > T _ { x } - \varepsilon _ { 0 } / 2 , T _ { x } < \infty ) } & { = \mathbf { P } _ { x _ { 0 } } ( T _ { x _ { n } } > T _ { x } - \varepsilon _ { 0 } / 2 , T _ { x _ { n } } < \infty ) } \\ & { = \mathbf { P } _ { x _ { 0 } } ( T _ { x } \circ \theta _ { T _ { x _ { n } } } < \varepsilon _ { 0 } / 2 , T _ { x _ { n } } < \infty ) } \\ & { = \mathbf { P } _ { x _ { 0 } } ( T _ { x _ { n } } < \infty ) \mathbf { P } _ { x _ { n } } ( T _ { x } < \varepsilon _ { 0 } / 2 ) < \frac { 2 c } { 3 } , } \end{array}
A _ { s } ^ { ( 2 ) } \lesssim _ { r } \underline { { c } } ^ { - 1 - \frac { \kappa } { 2 } } \left( U ( x ) + \bar { \Psi } \right) ^ { r + \frac { \kappa r } { 2 } } \left[ L ^ { 2 } ( s - \underline { { s } } ) ^ { 2 } \left( U ( x ) + \bar { \Psi } \right) ^ { 1 + r } + ( s - \underline { { s } } ) d \sigma ^ { 2 } \right] \left( \frac { \phi ( s ) } { t - s } \right) ^ { \kappa / 2 } .
G ( z _ { 1 } , \cdots , z _ { N } ) = \sum _ { \varepsilon _ { j } = 1 } ^ { n } v _ { \varepsilon _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes v _ { \varepsilon _ { N } } G ^ { \varepsilon _ { 1 } \cdots \varepsilon _ { N } } ( z _ { 1 } , \cdots , z _ { N } ) .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial p _ { 1 } } { \partial t } = } & { { } - \frac { \partial } { \partial x } \left( \left( I - \gamma x - w \frac { \chi _ { 1 } ^ { m } } { K ^ { m } + \chi _ { 1 } ^ { m } } \right) p _ { 1 } ( x , t ) \right) } \\ { \frac { \partial p _ { 2 } } { \partial t } = } & { { } - \frac { \partial } { \partial x } \left( \left( I - \gamma x - w \frac { \chi _ { 2 } ^ { m } } { K ^ { m } + \chi _ { 2 } ^ { m } } \right) p _ { 2 } ( x , t ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { S _ { 0 } ^ { + } } } & { : = ( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } ) ^ { 3 } \vec { u } \cdot \mathbb { A } _ { S _ { 0 } ^ { + } } ^ { - 1 } \left( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } \right) ^ { \alpha } \vec { u } , } \\ { m _ { 6 } ( \xi ) } & { : = - { \alpha ( \alpha + 1 ) \mathcal { C } _ { \alpha } } \left( \xi | \xi | ^ { \alpha - 1 } ( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } ) ^ { 3 } \vec { u } \cdot \vec { v } + \xi \vec { m } _ { 5 } ( \xi ) \cdot \left( \mathbb { A } _ { S _ { 0 } ^ { + } } ^ { - 1 } \left( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } \right) ^ { \alpha } \vec { u } + \vec { v } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ c ] } & { \mathit { ( i ) } } \\ & { \mathit { ( i i ) } } \end{array} \quad \begin{array} { r l } { [ c ] } & { \mathcal { M } = 0 . 5 , } \\ & { k _ { \phi } = 3 , } \end{array} \quad \begin{array} { r l } { [ c ] k _ { \phi } } & { \in \{ 1 , 3 , 5 , 7 , 9 \} ; } \\ { \mathcal { M } } & { \in \{ 0 . 0 1 , 0 . 1 , 0 . 2 5 , 0 . 5 , 1 . 0 \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi ^ { [ 1 ] } = \sum _ { j } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k \exp ( i k x ) F ^ { ( j ) } ( k , z ) \times \left[ C ^ { ( j ) } ( k ) + C ^ { ( j ) * } ( - k ) \right] \exp ( - i \Omega ^ { ( j ) } ( k ) t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \epsilon _ { 1 } \nabla \phi _ { 1 } , \nabla v \right\rangle _ { \Omega _ { 1 } } - \left\langle \epsilon _ { 1 } \lambda _ { 1 } , v \right\rangle _ { \Gamma } } & { { } = \left\langle \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { q } } q _ { k } \delta ( \mathbf { x } , \mathbf { x } _ { k } ) , v \right\rangle _ { \Omega _ { 1 } } , } \\ { \left\langle \left\langle \frac { 1 } { 2 } I - K _ { Y } ^ { \Gamma } \right) \gamma \phi _ { 1 } , \zeta \right\rangle _ { \Gamma } + \frac { 1 } { \epsilon _ { 2 } } \left\langle V _ { Y } ^ { \Gamma } \epsilon _ { 1 } \lambda _ { 1 } , \zeta \right\rangle _ { \Gamma } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left| \sum _ { k = 3 } ^ { \infty } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { h } \left( \delta _ { j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { k } \right) \gamma _ { j } ^ { k } \right) ( \mathrm { i } t ) ^ { k } \right| \leq \sum _ { k = 3 } ^ { \infty } \left| \left( \sum _ { j = 1 } ^ { h } \left( \delta _ { j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { k } \right) \gamma _ { j } ^ { k } \right) ( \mathrm { i } t ) ^ { k } \right| < \sum _ { k = 3 } ^ { \infty } \epsilon ^ { k } = \frac { \epsilon ^ { 3 } } { 1 - \epsilon } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \theta } = \mathrm { a r g m a x } \Big [ \sum _ { a , b } p ( a , b ) \ln p _ { \theta } ( a , b , \hat { c } ( a , b , \theta ) ) \Big ] = \mathrm { a r g m a x } \Big [ L _ { \beta \to \infty } \Big ] , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { p \rightarrow 0 } J _ { A } ( p ) = - 8 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \frac { \mathrm { d } x } { \sqrt { x ^ { 2 } + ( \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \, f _ { F } ( \sqrt { x ^ { 2 } + \mu _ { 0 } ^ { 2 } } ) \; ,
J \equiv { \frac { \partial ( \mathbf { Q } , \mathbf { P } ) } { \partial ( \mathbf { q } , \mathbf { P } ) } } \left/ { \frac { \partial ( \mathbf { q } , \mathbf { p } ) } { \partial ( \mathbf { q } , \mathbf { P } ) } } \right.
\begin{array} { r } { \overline { { \mathbf { v } } } _ { 0 } ( x , t ) = \frac { 1 } { 2 } \big ( \mathbf { v } _ { 0 } ^ { + } ( x , t ) + \mathbf { v } _ { 0 } ^ { - } ( x , t ) \big ) , \quad \mathbf { u } _ { 0 } ( x , t ) d _ { \Gamma } ( x , t ) = \mathbf { v } _ { 0 } ^ { + } ( x , t ) - \mathbf { v } _ { 0 } ^ { - } ( x , t ) } \end{array}
L = L _ { G } + L _ { M } = 1 2 \pi \int _ { 0 } ^ { \chi _ { 0 } } s i n ^ { 2 } \chi \left[ \frac { a \dot { a } ^ { 2 } } { N } - N ( a - a _ { 0 } ) \right] + \int _ { r > r _ { s } } \sqrt { - g } R d ^ { 3 } x
f ^ { \mathrm { i s o } } \left( l ^ { \mathrm { c } } \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { T ^ { 0 } \mathrm { t a n h } ^ { 2 } \left[ a ^ { l } \left( l ^ { \mathrm { c } } - l ^ { \mathrm { c 0 } } \right) \right] } & { l ^ { \mathrm { c } } \geq l ^ { \mathrm { c 0 } } , } \\ { 0 } & { l ^ { \mathrm { c } } < l ^ { \mathrm { c 0 } } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \sqrt { \mathbb E \int _ { 0 } ^ { T } \left\| y ( s ) - y _ { r } ( s ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \operatorname { e } ^ { c ( T - s ) } d s } \leq } \\ & { \sum _ { k = r + 1 } ^ { n } \sqrt { \mathbb E \int _ { 0 } ^ { T } \left[ 2 G _ { Q } ^ { - } \Big ( V _ { k } x _ { k } ( s ) , V _ { k - 1 } x _ { k - 1 } ( s ) \Big ) + \sigma _ { k } ^ { 2 } \big ( 2 G _ { P ^ { - 1 } } ^ { + } \Big ( V _ { k } x _ { k } ( s ) , V _ { k - 1 } x _ { k - 1 } ( s ) \Big ) + 4 \left\| u ( s ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \big ) \right] \operatorname { e } ^ { c ( T - s ) } d s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k + 1 } ^ { y } \| ^ { 2 } ] } & { \le ( 1 - \eta _ { k + 1 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { y } \| ^ { 2 } ] + 2 \eta _ { k + 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| q _ { k + 1 } ^ { y } ( \zeta _ { y } ^ { k + 1 } , \phi _ { y } ^ { k + 1 } ) - q _ { k + 1 } ^ { y } \| ^ { 2 } ] } \\ & { \qquad + 2 ( 1 - \eta _ { k + 1 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| ( q _ { k + 1 } ^ { y } ( \zeta _ { y } ^ { k + 1 } , \phi _ { y } ^ { k + 1 } ) - q _ { k } ^ { y } ( \zeta _ { y } ^ { k + 1 } , \phi _ { y } ^ { k + 1 } ) ) + ( q _ { k } ^ { y } - q _ { k + 1 } ^ { y } ) \| ^ { 2 } ] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { u _ { r } } & { = { \frac { A } { r } } , } \\ { u _ { \varphi } } & { = B \left( { \frac { 1 } { r } } - r ^ { { \frac { A } { \nu } } + 1 } \right) , } \\ { p } & { = - { \frac { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } } { 2 r ^ { 2 } } } - { \frac { 2 B ^ { 2 } \nu r ^ { \frac { A } { \nu } } } { A } } + { \frac { B ^ { 2 } r ^ { \left( { \frac { 2 A } { \nu } } + 2 \right) } } { { \frac { 2 A } { \nu } } + 2 } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \Phi ^ { ( \mu ) } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) } \\ & { : = \operatorname* { m i n } _ { p \in { \cal P } _ { \mathrm { s h } } ( { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) } \Phi ^ { ( \mu ) } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } , q | p _ { Z } ) } \\ & { \tilde { \Phi } ^ { ( \alpha , \mu ) } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) } \\ & { : = \operatorname* { m i n } _ { \scriptstyle { \scriptstyle q \in { { \cal Q } } ( p _ { K _ { 1 } K _ { 2 } | Z } ) } } \left\{ \Phi ^ { ( \mu ) } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } , q | p _ { Z } ) + \frac { \bar { \alpha } } { \alpha } D ( q _ { Z } | | p _ { Z } ) \right\} . } \end{array}
\lambda = { \frac { i q _ { 1 } A _ { q } ^ { 1 / 2 } - q _ { 2 } } { i q _ { 2 } A _ { q } ^ { 1 / 2 } + q _ { 1 } } } = { \frac { q _ { 1 } q _ { 2 } ( A _ { q } - 1 ) + i ( q _ { 1 } ^ { 2 } + q _ { 2 } ^ { 2 } ) A _ { q } ^ { 1 / 2 } } { q _ { 1 } ^ { 2 } + q _ { 2 } ^ { 2 } A _ { q } } } \ .
\xi _ { 1 } = \frac { \hbar } { \sqrt { { \tilde { \mu } _ { 1 , 0 } } M _ { 1 } } } , \qquad \tau _ { 1 } = \frac { \hbar } { { \tilde { \mu } _ { 1 , 0 } } } , \qquad n _ { 0 } = \frac { { \tilde { \mu } _ { 1 , 0 } } } { G _ { 1 } } ,
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \beta ( s , y ) ( g _ { 0 } ^ { f } - g _ { 0 } ^ { f ^ { \prime } } ) ( t , x , s , y ) \mathrm { d } y = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \beta ( y ) \Delta ( t , s , y ) \partial _ { r } \phi \big ( \overline { { A } } _ { \lambda } ( t , s , y ) , y - x \big ) \mathrm { d } y \, \mathrm { d } \lambda . } \end{array}
\omega _ { 1 } ^ { * } = \frac { \omega _ { 0 } ^ { * } } { 2 } = 0 . 1 5 ~ N ~ ~ ~ ~ \Rightarrow ~ ~ ~ ~ \theta _ { 1 } ^ { * } = \arcsin \left( \frac { \omega _ { 1 } ^ { * } } { N } \right) \simeq 0 . 1 5 .
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l l } { - \omega ^ { 2 } \hat { \mathcal { S } } } & { \hat { \Gamma } _ { 4 } } & { \hat { \Gamma } _ { 6 } } \\ { \hat { \Gamma } _ { 4 } } & { - \omega \hat { \mathcal { S } } } & { \hat { \Gamma } _ { 2 } } \\ { \hat { \Gamma } _ { 6 } } & { \hat { \Gamma } _ { 2 } } & { - \hat { \mathcal { S } } } \end{array} \right) \setminus \hat { \mathcal { Q } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( T _ { 1 } ) } & { { } = \int _ { T _ { M C } } ^ { T _ { 1 } } \mathop { d T } G _ { u p p e r } ( T ) , } \\ { P ( T _ { 2 } ) } & { { } = \int _ { T _ { M C } } ^ { T _ { 2 } } \mathop { d T } G _ { t o t a l } ( T ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \frac { \partial w _ { j } } { \partial x _ { i } } \sigma _ { i j } ^ { \phantom { } } \ \mathrm { ~ d ~ } _ { \Omega } = } & { { } - \int w _ { j } p ^ { \mathrm { { l v } } } \left( t \right) n _ { j } \ \mathrm { ~ d ~ } { \Gamma ^ { \mathrm { { l v , e n d o } } } } } \end{array}
{ \pmb \varphi } _ { i } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ W ~ } } = 4 8 \epsilon \left[ \left( \frac { \xi } { d _ { i } } \right) ^ { 1 2 } - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \xi } { d _ { i } } \right) ^ { 6 } \right] \frac { { \bf d } _ { i } } { d _ { i } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { { \partial { \boldsymbol { \Delta } } _ { 2 } ^ { * } } } { { \partial t } } + \frac { { \partial { \bf { M } } _ { 2 } ^ { * } \left( { { f ^ { ( 0 ) } } } \right) } } { { \partial t } } + } \\ & { } & { \nabla \cdot \left[ { { \bf { M } } _ { 3 } ^ { * } \left( { { f ^ { ( 0 ) } } } \right) + { \bf { M } } _ { 2 } ^ { * } \left( { { f ^ { ( 0 ) } } } \right) { \bf { u } } + { \boldsymbol { \Delta } } _ { 3 } ^ { * } + { \boldsymbol { \Delta } } _ { 2 } ^ { * } { \bf { u } } } \right] = - \frac { 1 } { \tau } { \boldsymbol { \Delta } } _ { 2 } ^ { * } , } \end{array}
\hat { \nu _ { 1 } } = \nu _ { 1 } / \left( D _ { 1 } c _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } / l _ { 0 } \right) ~ , ~ ~ ~ ~ \hat { \nu _ { 2 } } = \nu _ { 2 } / \left( D _ { 2 } c _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } / l _ { 0 } c _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \right) ~ , ~ ~ ~ ~ \hat { \nu _ { 3 } } = \nu _ { 3 } / ( 1 / l _ { 0 } ) .
\begin{array} { r } { \dot { \sigma } = \frac { \partial S _ { C V } } { \partial t } + \mathcal { F } _ { S , f } ^ { o u t } - \mathcal { F } _ { S , f } ^ { i n } + \mathcal { F } _ { S , n f } ^ { o u t } - \mathcal { F } _ { S , n f } ^ { i n } = \frac { \partial S _ { C V } } { \partial t } + \mathcal { F } _ { S , t o t } ^ { n e t } \ge 0 } \end{array}