harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
A _ { i } = { \frac { 4 e g G _ { F } \chi f _ { K ^ { * } } \mathrm { R e } \tilde { D } _ { i } } { q ^ { 2 } - m _ { K ^ { * } } ^ { 2 } } } \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } ( \bar { u } _ { i } \gamma _ { \mu } P _ { L } v _ { i } ) k _ { \nu } \epsilon _ { \rho } p _ { \sigma } .
\begin{array} { r l } { \! \! \! \! d _ { \mathrm { { a v g } } } } & { \approx \mathbb { E } _ { N _ { d } } \left[ \frac { 1 } { N _ { d } } \sum _ { i = 0 } ^ { { N _ { d } - 1 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 4 \pi \left( N _ { d } - i \right) r ^ { 2 } \; \; e ^ { \left( - \frac { 2 \pi \left( N _ { d } - i \right) r ^ { 2 } } { 3 \sqrt { 3 } R ^ { 2 } } \right) } } { 3 \sqrt { 3 } R ^ { 2 } } \; d r \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { N _ { d } } \left[ \frac { 1 } { N _ { d } } \sum _ { i = 0 } ^ { { N _ { d } - 1 } } \sqrt { \frac { 3 \sqrt { 3 } R ^ { 2 } } { 8 ( N _ { d } - i ) } } \right] } \\ & { > \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 0 } ^ { { N - 1 } } \sqrt { \frac { 3 \sqrt { 3 } R ^ { 2 } } { 8 ( N - i ) } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { K } ( t ) } & { = \mathbb { E } \bigl [ e ^ { t ( Y _ { 1 } + Y _ { 2 } ) } \bigr ] } \\ & { = \mathbb { E } \bigl [ e ^ { t Y _ { 1 } } \bigr ] \cdot \mathbb { E } \bigl [ e ^ { t Y _ { 2 } } \bigr ] \qquad \because Y _ { 1 } \perp Y _ { 2 } } \\ & { = M _ { 1 } ( t ) \cdot M _ { 2 } ( t ) } \\ & { = \frac 1 6 e ^ { - t } \left( 1 + e ^ { - t } + e ^ { - 2 t } \right) \left( 1 + e ^ { - 5 t } \right) } \end{array}
\int x ^ { m } \operatorname { a r c o s h } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { m + 1 } \operatorname { a r c o s h } ( a x ) } { m + 1 } } - { \frac { a } { m + 1 } } \int { \frac { x ^ { m + 1 } } { { \sqrt { a x + 1 } } { \sqrt { a x - 1 } } } } \, d x \quad ( m \neq - 1 )
\begin{array} { r l } { \| \phi ( t , x _ { 0 } , u ) \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , 1 ) } } & { \le \mathrm { { e } } ^ { - a \pi ^ { 2 } t } \| x _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , 1 ) } + \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \| u \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , t ) } , } \\ { \| \phi ( t , x _ { 0 } , u ) \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , 1 ) } } & { \le { \mathrm { e } } ^ { - a \pi ^ { 2 } t } \| x _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , 1 ) } + c \left( \int _ { 0 } ^ { t } | u ( s ) | ^ { p } d s \right) ^ { 1 / p } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { y x } \Big | _ { y = 0 } } & { { } = - \frac { \nu e } { 4 \pi } \Big ( \sqrt { n } + \frac { \partial _ { y } n } { n } \Big ) E _ { x } \Big | _ { y = 0 } \, . } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { \mathbf { m } , \mathbf { p } } \mathcal { P } _ { \mu } ( \mathbf { m } ) + \lambda \| \mathbf { p } \| _ { 1 } ~ ~ \mathrm { ~ s ~ u ~ b ~ j ~ e ~ c ~ t ~ t ~ o ~ } ~ ~ \nabla \mathbf { m } = \mathbf { p } ,
{ \begin{array} { r l } { 1 \, { \mathrm { l b f } } } & { = 1 \, { \mathrm { l b } } \times g _ { \mathrm { n } } } \\ & { = 1 \, { \mathrm { l b } } \times 9 . 8 0 6 6 5 \, { \frac { \mathrm { m } } { { \mathrm { s } } ^ { 2 } } } / 0 . 3 0 4 8 \, { \frac { \mathrm { m } } { \mathrm { f t } } } } \\ & { \approx 1 \, { \mathrm { l b } } \times 3 2 . 1 7 4 0 4 9 \, \mathrm { \frac { f t } { s ^ { 2 } } } } \\ & { \approx 3 2 . 1 7 4 0 4 9 \, \mathrm { \frac { f t { \cdot } l b } { s ^ { 2 } } } } \\ { 1 \, { \mathrm { l b f } } } & { = 1 \, { \mathrm { l b } } \times 0 . 4 5 3 5 9 2 3 7 \, { \frac { \mathrm { k g } } { \mathrm { l b } } } \times g _ { \mathrm { n } } } \\ & { = 0 . 4 5 3 5 9 2 3 7 \, { \mathrm { k g } } \times 9 . 8 0 6 6 5 \, { \frac { \mathrm { m } } { { \mathrm { s } } ^ { 2 } } } } \\ & { = 4 . 4 4 8 2 2 1 6 1 5 2 6 0 5 \, { \mathrm { N } } } \end{array} }
\left( \begin{array} { l } { \overline { { t } } } \\ { \overline { { x } } } \\ { \overline { { y } } } \\ { \overline { { z } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l } { \cosh \phi } & { - \sinh \phi } & { 0 } & { 0 } \\ { - \sinh \phi } & { \cosh \phi } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { t } \\ { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { i \hbar \frac { { \partial { \cal N } ( { \bf { r } } , t ) } } { { \partial t } } = - \frac { { { \hbar ^ { 2 } } } } { { 2 m } } \Delta { \cal N } ( { \bf { r } } , t ) - e \phi ( { \bf { r } } ) { \cal N } ( { \bf { r } } , t ) + \mu { \cal N } ( { \bf { r } } , t ) , } \\ & { \Delta \phi ( { \bf { r } } ) = 4 \pi e \left[ { | { \cal N } ( { \bf { r } } ) { | ^ { 2 } } - { n _ { 0 } } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { 0 \longrightarrow \frac { H ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { + } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) } { \textup { r e s } _ { p } \left( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \emptyset } ) \right) } \longrightarrow \frac { H ^ { 1 } ( G _ { p } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) } { \textup { r e s } _ { p } \left( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \emptyset } ) \right) } \longrightarrow H ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { - } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) \longrightarrow 0 \, . } \end{array} } \end{array}
\left( \partial ^ { 0 } A ^ { n a } ( { \bf y } ) - \partial ^ { n } A ^ { 0 a } ( { \bf y } ) + g f ^ { a b c } A ^ { 0 b } ( { \bf y } ) A ^ { n c } ( { \bf y } ) \right) F _ { n } ^ { m \; a } ( { \bf x } ) \vert G \rangle
\mathcal { G } \{ \mathcal { R } _ { \mathrm { ~ o ~ } } \} = \mathcal { R } _ { \mathrm { ~ o ~ } } + \sum _ { k } \epsilon _ { 2 k } ( \Delta x ) ^ { 2 k } \delta _ { x } ^ { 2 k } \mathcal { R } _ { \mathrm { ~ o ~ } }
{ \cal L } \rightarrow \rho \left[ \frac { \vec { u } ^ { 2 } } { 2 } - \partial _ { 0 } \tilde { \mu } - ( C _ { 0 } + u ^ { i } C _ { i } ) - \beta _ { a } \frac { D \alpha ^ { a } } { D t } \right] + \epsilon ^ { \mu \nu \rho } A _ { \mu } \partial _ { \nu } C _ { \rho } .
\mathbf { J } ( r , \theta ) = { \left[ \begin{array} { l l } { { \frac { \partial x } { \partial r } } } & { { \frac { \partial x } { \partial \theta } } } \\ { { \frac { \partial y } { \partial r } } } & { { \frac { \partial y } { \partial \theta } } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { \cos \theta } & { - r \sin \theta } \\ { \sin \theta } & { r \cos \theta } \end{array} \right] }
G _ { i } = \frac { \partial \Delta B _ { s } } { \partial r _ { i } } \approx \frac { \partial { ( \hat { \mathbf { B } } _ { 0 } \cdot \mathbf { B } _ { a } ) } } { \partial r _ { i } } = \sum _ { j } \hat { \mathbf { B } } _ { 0 } \cdot \hat { r } _ { j } B _ { a , j i } ,
- \Bigg ( \frac { 4 } { \sin { 2 \theta } } \frac { \partial } { \partial \theta } \sin { 2 \theta } \frac { \partial } { \partial \theta } + \frac { 4 } { \sin ^ { 2 } { \theta } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \varphi ^ { 2 } } \Bigg ) \Phi _ { \nu } ( \theta , \varphi ) = \lambda _ { \nu } \Phi _ { \nu } ( \theta , \varphi ) .
c _ { d } = a _ { d } , c _ { d - 1 } = a _ { d - 1 } c _ { d } = a _ { d - 1 } \cdot a _ { d } , \ldots , c _ { 2 } = a _ { 2 } \cdot c _ { 3 } = a _ { 2 } a _ { 3 } \cdots a _ { d }
\frac { \partial \rho } { \partial t } + v _ { x } \frac { \partial \rho } { \partial x } - \frac { k _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ p ~ } } } { m } x \frac { \partial \rho } { \partial v _ { x } } = \frac { \Gamma } { m } \frac { \partial v _ { x } \rho } { \partial v _ { x } } + \frac { \Gamma k _ { B } T } { m ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \rho } { \partial v _ { x } ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } ( \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { a } ) } & { { } = - i ( \tilde { \omega } _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } - \tilde { \omega } _ { \mathrm { ~ L ~ } } ) \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { a } + i g _ { 0 } \cos \varphi \sin \varphi \cdot ( \tilde { a } ^ { \dagger } \tilde { a } - \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { l } ) \cdot b , } \end{array}
\Gamma ^ { ( p , q ) } = \frac { \delta \times k ^ { ( p , q ) } \, \left[ \mathrm { { m D } } \right] } { \left( L \, \left[ \mathrm { { m } } \right] \right) ^ { 2 } \times \mu \, \left[ \mathrm { { c P } } \right] } = \frac { \pi ^ { 2 } k ^ { ( p , q ) } \times 9 . 8 6 9 2 3 3 \times 1 0 ^ { - 1 6 } \, [ \mathrm { { m } } ^ { 2 } ] } { \mu \times 1 0 ^ { - 5 } \, [ \mathrm { { P a } } \times \mathrm { { s } } \times \mathrm { { m } } ^ { 2 } ] } \approx k ^ { ( p , q ) } \, \left[ \frac { 1 } { \mathrm { { G P a } } \times \mathrm { { s } } } \right] \, ,
\mathrm { ~ P ~ N ~ C ~ } ^ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ c ~ } } \propto \tilde { \rho } _ { 0 , 1 } = \int | \rho _ { 0 _ { H } , 1 _ { H } } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ o ~ t ~ o ~ n ~ } } | d t \, .
\mathbf { B } ( \mathbf { r } ) = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \left( \frac { 3 \mathbf { r } ( \mathbf { m } \cdot \mathbf { r } ) } { | \mathbf { r } | ^ { 5 } } - \frac { \mathbf { m } } { | \mathbf { r } | ^ { 3 } } \right) .
\ { \mathcal { L } } _ { \mathrm { l o c } } = { \frac { 1 } { 2 } } ( D _ { \mu } \Phi ) ^ { \mathsf { T } } D ^ { \mu } \Phi - { \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } \Phi ^ { \mathsf { T } } \Phi
< f | H _ { e f f } ^ { ( + ) } | M ^ { 0 } > \equiv \sum _ { i } A _ { i } e ^ { i \delta _ { i } } \ , \qquad < \bar { f } | H _ { e f f } ^ { ( + ) } | M ^ { 0 } > \equiv \sum _ { i } C _ { i } e ^ { i \delta _ { i } }
g ( z ) = \sum _ { d = 0 } ^ { n - 1 } \alpha _ { d } r _ { d } ( z ) , \quad \mathrm { w i t h ~ } \left[ \begin{array} { l } { \alpha _ { 0 } } \\ { \alpha _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \alpha _ { n - 1 } } \end{array} \right] = Q _ { n } ^ { H } \left[ \begin{array} { l } { w _ { 1 } f _ { 1 } } \\ { w _ { 2 } f _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { w _ { m } f _ { m } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { d E _ { c i r c } / d t } & { \approx ( E _ { c i r c } ( t + T _ { r t } ) - E _ { c i r c } ( t ) ) / T _ { r t } } \\ & { = j t _ { 1 } E _ { i n c } / T _ { r t } + ( r _ { 1 } r _ { 2 } \exp ( j \omega 2 L / c ) - 1 ) E _ { c i r c } ( t ) / T _ { r t } } \\ & { \approx j t _ { 1 } E _ { i n c } / T _ { r t } - ( \kappa / 2 + j ( \omega - \omega _ { c } ) ) E _ { c i r c } ( t ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mu } & { = \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } } \\ { | c | } & { = \left( | c _ { 1 } | ^ { \alpha } + | c _ { 2 } | ^ { \alpha } \right) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \\ { \beta } & { = { \frac { \beta _ { 1 } | c _ { 1 } | ^ { \alpha } + \beta _ { 2 } | c _ { 2 } | ^ { \alpha } } { | c _ { 1 } | ^ { \alpha } + | c _ { 2 } | ^ { \alpha } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { g _ { e f f } ^ { X } } & { { } = - u + \mu _ { d } \left< N \right> } \\ { g _ { e f f } ^ { N } } & { { } = - m - r _ { 1 } \mu _ { d } \left< X \right> + \mu _ { c } \left< R \right> } \\ { g _ { e f f } ^ { R } } & { { } = K - \mu _ { c } r _ { 2 } \left< N \right> } \\ { \sigma _ { g _ { e f f } ^ { X } } ^ { 2 } } & { { } = \left< N ^ { 2 } \right> \sigma _ { d } ^ { 2 } + \sigma _ { u } ^ { 2 } } \\ { \sigma _ { m _ { e } f f } ^ { 2 } } & { { } = \sigma _ { c } ^ { 2 } \left< R ^ { 2 } \right> + \sigma _ { d } ^ { 2 } { r _ { 1 } } \left< X ^ { 2 } \right> + \sigma _ { m } ^ { 2 } } \\ { \sigma _ { g _ { e f f } ^ { R } } ^ { 2 } } & { { } = \sigma _ { k } ^ { 2 } + \sigma _ { c } ^ { 2 } { r _ { 2 } } \left< N ^ { 2 } \right> } \\ { D _ { e f f } ^ { X } } & { { } = - \sigma _ { d } ^ { 2 } \nu } \\ { D _ { e f f } ^ { N } } & { { } = \sigma _ { c } ^ { 2 } \kappa - r _ { 1 } \sigma _ { d } ^ { 2 } \chi } \\ { D _ { e f f } ^ { R } } & { { } = 1 - r _ { 2 } \sigma _ { c } ^ { 2 } \nu } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \rho } _ { b c } } & { { } = \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } e ^ { i \omega _ { P } t } \rho _ { c e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { C } t } \rho _ { b e } } \\ { \dot { \rho } _ { b e } } & { { } = \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } e ^ { i \omega _ { P } t } \rho _ { e e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { C } t } \rho _ { a b } ^ { * } } \\ { \dot { \rho } _ { c c } } & { { } = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { i \omega _ { C } t } \rho _ { c e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { C } t } \rho _ { c e } - \Gamma _ { c } \rho _ { c c } } \\ { \dot { \rho } _ { c e } } & { { } = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { i \omega _ { C } t } \rho _ { e e } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { C } t } \rho _ { a c } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } e ^ { i \omega _ { P } t } \rho _ { b c } ^ { * } } \\ { \dot { \rho } _ { e e } } & { { } = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { C } t } \rho _ { a e } + \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { P } t } \rho _ { b e } } \end{array}
\langle \Omega \mid T ( \eta ^ { u } ( x ; - \Delta ) { \bar { \eta } ( 0 ) } ) \mid \Omega \rangle _ { P T } = \langle \Omega \mid T ( \eta ( x ) { \bar { \eta } } ^ { u } ( 0 ; \Delta ) ) \mid \Omega \rangle _ { P T } \; ,
{ W } _ { \mathrm { Y u k a w a } } = q U _ { q } \bar { \lambda } _ { u } U _ { \bar { u } } \bar { u } H _ { u } + q U _ { q } ^ { \prime } \bar { \lambda } _ { d } U _ { \bar { d } } \bar { d } H _ { d } + l U _ { l } \bar { \lambda } _ { e } U _ { \bar { e } } \bar { e } H _ { d }
\Gamma ^ { \left( 3 \right) } \left[ \Delta \right] = \frac { 1 } { 3 ! } \left( W ^ { \left( 1 \right) } \left[ \Delta \right] \right) ^ { 3 } + W ^ { \left( 1 \right) } \left[ \Delta \right] W ^ { \left( 2 \right) } \left[ \Delta \right] + W ^ { \left( 3 \right) } \left[ \Delta \right] ,
\alpha _ { m n } \geq \frac { N } { 8 \pi ^ { 2 } } | \chi ^ { ( m ) } - \chi ^ { ( n ) } | = \frac { N \chi _ { 0 } } { 8 \pi ^ { 2 } } | \exp ( 2 \pi i m / N ) - \exp ( 2 \pi i n / N ) | .
\begin{array} { r l r } { \overrightarrow { \lambda } } & { = } & { \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 1 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \\ { \lambda _ { 3 } } \\ { \lambda _ { 4 } } \\ { \lambda _ { 5 } } \\ { \lambda _ { 6 } } \\ { \lambda _ { 7 } } \\ { \lambda _ { 8 } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c } { \sin \left( \theta _ { l } \right) \cos \left( \phi _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \theta _ { l } \right) \sin \left( \phi _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \cos \left( \theta _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \cos \left( \phi _ { y } + \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \sin \left( \theta _ { y } \right) \cos \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \phi _ { y } + \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \sin \left( \theta _ { y } \right) \cos \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } \\ { \cos \left( \phi _ { y } - \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \sin \left( \theta _ { y } \right) \sin \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \phi _ { y } - \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \sin \left( \theta _ { y } \right) \sin \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } \\ { - \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \cos \left( \theta _ { y } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
\omega _ { a } = { \frac { 1 } { \hbar } } E _ { a } = { \frac { 1 } { \hbar } } ( m _ { a } c ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } m _ { a } v ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { \hbar } } m _ { a } c ^ { 2 } [ 1 + { \cal O } ( 1 0 ^ { - 6 } ) ] ~ ~ \ ,
d s _ { 5 } ^ { 2 } = H _ { 1 } ^ { - 1 } ( - d t ^ { 2 } + d y ^ { 2 } ) + H _ { 1 } ^ { 2 } ( d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega _ { 2 } ^ { 2 } ) , \quad H _ { 1 } = 1 + { \frac { Q _ { 1 } } { r } } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { f \in F _ { d , 1 , \gamma } , \| f \| _ { F _ { d , 1 , \gamma } } \leq 1 } } & { | \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } f ( x ) d x - \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } f ( X _ { j } ) | } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { \emptyset \neq u \subseteq I _ { d } } \gamma _ { u , d } [ \frac { 6 | u | ^ { \frac { 3 } { 4 } } } { N ^ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 | u | } } } \cdot \sqrt { | u | \ln ( N + 1 ) + c ( | u | , \epsilon ) } + \frac { 2 c ( | u | , \epsilon ) } { 3 N } ] } \end{array}
\begin{array} { r } { v \cdot \nabla _ { x } \mathfrak { F } + \varepsilon ^ { - 1 } \Big ( Q _ { \mathrm { l o s s } } [ \mathfrak { F } , \mathfrak { F } ] - Q _ { \mathrm { g a i n } } [ \mathfrak { F } _ { + } , \mathfrak { F } _ { + } ] \Big ) = \mathfrak { z } \displaystyle \iint _ { \Omega \times \mathbb { R } ^ { 3 } } \varepsilon ^ { - 1 } \Big ( Q _ { \mathrm { l o s s } } [ \mathfrak { F } , \mathfrak { F } ] - Q _ { \mathrm { g a i n } } [ \mathfrak { F } _ { + } , \mathfrak { F } _ { + } ] \Big ) , } \end{array}
{ \frac { ( m _ { + } ^ { 2 } ) ^ { \rho _ { 1 } } } { ( m _ { - } ^ { 2 } ) ^ { \rho _ { 2 } } } } = [ \mu ^ { 2 } ( \alpha ) ] ^ { - { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { ( 1 - r ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { a ( a + 1 - r ^ { 2 } ) } } } ,
\begin{array} { r } { \mathbf { p } ^ { \dagger } \left( \operatorname { I m } \xi \right) \mathbf { p } \leq \operatorname { I m } \left( \mathbf { e } _ { \mathrm { i n c } } ^ { \dagger } \mathbf { p } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \eta _ { p } ) _ { * } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { \partial \alpha _ { p } } { \partial x _ { 1 } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { \frac { \partial \alpha _ { p } } { \partial x _ { 2 } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } \\ { \frac { \partial x _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } } & { \frac { \partial x _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { \partial \alpha _ { p } } { \partial x _ { 1 } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { \frac { \partial \alpha _ { p } } { \partial x _ { 2 } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( Z ) = \lambda _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ } } ^ { 2 } k _ { 1 } ( { a } _ { \infty } - { a } _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ } } ) c _ { 1 } ( Z ) + \lambda _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ } } ^ { 2 } k _ { 2 } c _ { 1 } ( Z ) ^ { 2 } , } \end{array}
\chi = { \frac { \partial M _ { \mathrm { { m } } } } { \partial H } } = { \frac { n } { 3 k _ { \mathrm { { B } } } T } } \mu _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } { \mathrm { ; a n d ~ } } \mu _ { \mathrm { e f f } } = g _ { J } { \sqrt { J ( J + 1 ) } } \mu _ { \mathrm { B } } .
\left( P _ { + } , P _ { - } , P _ { 2 } , \ldots , P _ { n - m } , P _ { n - m + 1 } , \ldots , P _ { n - 1 } \right) \quad ; \quad P _ { \pm } = \frac { P _ { 0 } \pm P _ { 1 } } { \sqrt { 2 } } \quad ,
\begin{array} { r } { \int | \Psi _ { m } ^ { \gamma } ( p _ { m } , p _ { 0 } , s ; V ) | \, d p _ { m } \leq \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d m } } \int \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { m - 1 } } \Big | \int \prod _ { i = 1 } ^ { m } \hat { V } ( p _ { i } - p _ { i - 1 } ) \prod _ { i = 1 } ^ { m - 1 } e ^ { i t _ { i } \frac { 1 } { 2 } p _ { i } ^ { 2 } } \, d \boldsymbol { p } _ { 1 , m - 1 } \Big | d \boldsymbol { t } d p _ { m } . } \end{array}
| n _ { 1 } , n _ { 2 } ; \nu \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { n _ { 1 } ! n _ { 2 } ! } } ( A _ { 1 } ^ { * } ) ^ { n _ { 1 } } ( A _ { 2 } ^ { * } ) ^ { n _ { 2 } } ( b ^ { * } ) ^ { \nu } | 0 \rangle \ ,
\small \begin{array} { r l } { \textbf { Q } ( L _ { x } , y , z , t ) } & { { } = \textbf { Q } ( R _ { x } , y , z , t ) , } \\ { \textbf { Q } ( x , L _ { y } , z , t ) } & { { } = \textbf { Q } ( x , R _ { y } , z , t ) , } \\ { \textbf { Q } ( x , y , R _ { z } , t ) } & { { } = \textbf { Q } ( x , y , R _ { z } , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { 1 } ( x ) } & { : = \sqrt { 2 d } X _ { r } ( x ) , } \\ { Z _ { 2 } ( x , y ) } & { : = \sqrt { 2 d } X _ { \overline { r } } ( x ) + \gamma X _ { [ \overline { r } , r ] , \varepsilon } ( x ) + \overline { \gamma } X _ { [ \overline { r } , r ] , \varepsilon } ( y ) , } \\ { Z _ { 3 } ( x , y ) } & { : = \gamma X _ { r , \varepsilon } ( x ) + \overline { \gamma } X _ { r , \varepsilon } ( y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lambda ( \eta _ { k _ { 0 } } , \cdots , \eta _ { K - 1 } ) + ( 1 - \lambda ) ( \epsilon _ { k _ { 0 } } , \cdots , \epsilon _ { K - 1 } ) } \\ { = } & { \left( \lambda \eta _ { k _ { 0 } } + ( 1 - \lambda ) \epsilon _ { k _ { 0 } } , \cdots , \lambda \eta _ { K - 1 } + ( 1 - \lambda ) \epsilon _ { K - 1 } \right) \in \mathcal { W } _ { \mathscr { X } _ { T } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ^ { \mathrm { ~ e ~ m ~ } } ( \omega ) } & { { } \sim } & { \rho _ { p h o t } ( \omega ) \Big [ \langle \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ B ~ B ~ } } ( \omega ; T _ { \mathrm { ~ e ~ } } ( t ) ) \rangle + 2 \langle \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ B ~ B ~ } } ( \omega - \omega _ { \mathrm { ~ L ~ } , 0 } ; T _ { \mathrm { ~ e ~ } } ( t ) ) \rangle \delta _ { E } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( I - \Lambda _ { U T } ) ^ { - 1 } } & { { } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \Lambda _ { 1 2 } } & { \Lambda _ { 1 2 } \Lambda _ { 2 3 } + \Lambda _ { 1 3 } } \\ { 0 } & { 1 } & { \Lambda _ { 2 3 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \, , } \\ { \medskip ( I - \Lambda _ { c y c } ) ^ { - 1 } } & { { } = \frac { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \Lambda _ { 1 2 } } & { \Lambda _ { 1 2 } \Lambda _ { 2 3 } } \\ { \Lambda _ { 2 3 } \Lambda _ { 3 1 } } & { 1 } & { \Lambda _ { 2 3 } } \\ { \Lambda _ { 3 1 } } & { \Lambda _ { 3 1 } \Lambda _ { 1 2 } } & { 1 } \end{array} \right) } { 1 - \Lambda _ { 1 2 } \Lambda _ { 2 3 } \Lambda _ { 3 1 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ( \mathcal X _ { t + r } , \mathscr X _ { t + r , p } ) = } & { ~ \| \mathcal D ( \boldsymbol z _ { t + r } ) - \mathcal P ( \mathcal X _ { t + r } ) \| _ { \ell _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ { + } & { ~ \| \mathcal D _ { \mathrm { \scriptsize ~ p r e d } } ( \boldsymbol h _ { t + r } ) - \mathscr X _ { t + r , p } \| _ { \ell _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ { + } & { ~ \mathrm { K L } ( \mathcal N ( \boldsymbol \mu _ { t + r } , \mathrm { d i a g } ( \boldsymbol \sigma _ { t + r } ) ) | \mathcal N ( \boldsymbol 0 , \boldsymbol I ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { x } ( t ) \simeq \int _ { - \infty } ^ { t } ( v _ { x } ^ { t h } ( t ^ { \prime } ) - \mathrm { s g n } [ v _ { x } ^ { t h } ( t ^ { \prime } ) ] v ^ { s } ) H ( | v _ { x } ^ { t h } ( t ^ { \prime } ) | - v ^ { s } ) d t ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \phi _ { R } \; \mathrm { i s ~ u n i f o r m l y ~ b o u n d e d ~ i n } \; } \\ & { L ^ { \infty } ( 0 , T ; H ^ { 1 } ( \Omega ) ) \cap L ^ { \frac { 8 } { 2 p - 6 } } ( 0 , T ; H ^ { 2 } ( \Omega ) ) \hookrightarrow L ^ { \frac { 1 2 p - 2 0 } { 3 ( 2 p - 6 ) } } ( 0 , T ; L ^ { \frac { 1 2 p - 2 0 } { 3 ( 2 p - 6 ) } } ( \Omega ) ) . } \end{array}
M _ { i } ( t , \mathbf { x } ) = \int \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) f ( t , \mathbf { x } , \mathbf { u } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } = \int \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) f _ { \boldsymbol { \beta } } ( \mathbf { u } ; n ( t , \mathbf { x } ) , \boldsymbol { \beta } ( t , \mathbf { x } ) ) d ^ { 3 } \mathbf { u } ; \quad i = 0 , \cdots , M .
\sum _ { l = 1 } ^ { L } f _ { l } C _ { l } - r ^ { p } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \lambda _ { i j , k } ^ { p } l _ { i j , k } ^ { p } + \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 1 } } l _ { i j , k } ^ { b _ { 1 } } + \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 2 } } l _ { i j , k } ^ { b _ { 2 } } + \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 3 } } l _ { i j , k } ^ { b _ { 3 } } \leq \pi _ { 0 } ,
\begin{array} { r l } { w _ { \mu ^ { \tau } , * ^ { \tau } } ( z ^ { \tau } ) - w _ { \pi ^ { \tau } , * ^ { \tau } } ( z ^ { \tau } ) } & { = \mathrm { p r } ^ { \pi ^ { \tau } } ( w _ { \mu ^ { \tau } , * ^ { \tau } } ( z ^ { \tau } ) ) } \\ & { = \mathrm { p r } ^ { \pi ^ { \tau } } ( \mathrm { p r } ^ { \tau } ( w _ { \mu , * } ( z ) ) ) } \\ & { = \mathrm { p r } ^ { \pi } ( w _ { \mu , * } ( z ) ) } \\ & { = w _ { \mu ^ { \pi } , * ^ { \pi } } ( z ^ { \pi } ) , } \end{array}
L _ { m } = \frac { 2 \pi } { \sqrt { 2 } G _ { F } ( { \rho / m _ { N } } ) [ ( Y _ { e } - \eta Y _ { n } ) ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } ( Y _ { n } - Y _ { e } ) ^ { 2 } \sin ^ { 2 } 2 \theta ] ^ { 1 / 2 } } ,