harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \mathbb { E } \bigg [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } \bigg ] } & { \leq \bigg ( \frac { 2 \Delta } { \eta } + \frac { 2 7 b \sigma ^ { 2 } } { 3 2 b _ { 1 } \alpha _ { 1 } } + \frac { 3 6 \tilde { L } ^ { 2 } \Delta _ { y } } { \mu \gamma } + \frac { 3 6 L ^ { 2 } \Delta _ { u } } { \mu \tau } + \frac { b ^ { 2 } M ^ { 2 } C _ { \sigma , \zeta } \ln ( T ) } { 8 \tilde { L } } \bigg ) \bigg ( \frac { ( 1 6 \tilde { L } \bar { u } ) ^ { 1 / 3 } } { T } + \frac { ( 1 6 \tilde { L } ) ^ { 1 / 3 } } { ( b M T ) ^ { 2 / 3 } } \bigg ) } \end{array}
\hat { h } ^ { ( g ) } ( s ) = \frac { 1 } { K } \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] + \frac { 1 } { K } \sum _ { j = 1 } ^ { \frac { K - 1 } { 2 } } \left( \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } - j \delta } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] + \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } + j \delta } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] \right) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { P M R } _ { k } ^ { Q } ( \mathcal { P } _ { k } ) } & { : = \Big \{ ( x _ { k } , w _ { k k } ) \: : \: \exists \lambda ^ { k } \in \mathbb { R } _ { + } ^ { ( d + 2 ) } , \: y ^ { k } \in \{ 0 , 1 \} ^ { ( d + 1 ) } , \: \: \mathrm { s . t . } \: \: ( x _ { k } , w _ { k k } , \lambda ^ { k } , y ^ { k } ) \: \: \mathrm { s a t i s f i e s } \: \: - \Big \} , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } s } \mathrm { X } ^ { s ; t } ( x , v ) = \mathrm { V } ^ { s ; t } ( x , v ) , \qquad \mathrm { X } ^ { t ; t } ( x , v ) = x , } \\ & { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } s } \mathrm { V } ^ { s ; t } ( x , v ) = - \mathrm { V } ^ { s ; t } ( x , v ) + E _ { \varepsilon } ( s , \mathrm { X } ^ { s ; t } ( x , v ) , \mathrm { V } ^ { s ; t } ( x , v ) ) , \qquad \mathrm { V } ^ { t ; t } ( x , v ) = v , } \end{array} \right.
U _ { L } ^ { \prime } = V _ { L } ^ { u } U _ { L } , \; U _ { R } ^ { \prime } = V _ { R } ^ { u } U _ { R } , \; \; D _ { L } ^ { \prime } = V _ { L } ^ { d } D _ { L } , \; D _ { R } ^ { \prime } = V _ { R } ^ { d } D _ { R } , \; \;
\begin{array} { r } { F ( x , B ) = \frac 1 { s ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 8 B } & { 4 x } \\ { 4 x } & { \frac { L ^ { 2 } + 4 x ^ { 2 } } { 2 B } } \end{array} \right) . } \end{array}
e ^ { i h ^ { 1 / 2 } r _ { 3 } ^ { \psi } ( x , \eta ; h ) } = \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \frac { i ^ { k } h ^ { k / 2 } } { k ! } r _ { 3 } ^ { \psi } ( x , \eta ; h ) ^ { k } + \underbrace { \frac { i ^ { N } h ^ { N / 2 } } { ( N - 1 ) ! } ( r _ { 3 } ^ { \psi } ( x , \eta ; h ) ) ^ { N } \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { i h ^ { 1 / 2 } s r _ { 3 } ^ { \psi } ( x , \eta ; h ) } ( 1 - s ) ^ { N - 1 } d s } _ { \tilde { r } _ { N } }
\delta D = - \operatorname { d i v } ( D \boldsymbol { \cal Y } ) , \qquad \qquad \ \delta \boldsymbol { \cal X } = \partial _ { t } \boldsymbol { \cal Y } + \boldsymbol { \cal X } \cdot \nabla \boldsymbol { \cal Y } - \boldsymbol { \cal Y } \cdot \nabla \boldsymbol { \cal X } ,
\vec { r } \rightarrow \vec { r } + \vec { v } \Delta t + \frac { 1 } { 2 } \frac { e \vec { E } } { m _ { e } } \Delta t ^ { 2 } \, \, \textup { a n d } \, \, \vec { v } \rightarrow \vec { v } + \frac { e \vec { E } } { m _ { e } } \Delta t
\begin{array} { r l r } { \mathcal { H } _ { n p } ^ { \Omega } } & { = } & { \langle \downarrow \vert H ^ { ’ } \vert \downarrow \rangle } \\ & { = } & { \mathcal { H } _ { n p } ^ { \downarrow } + \frac { 1 } { \Omega ^ { 3 } } ( D C ) ^ { 2 } - \frac { \omega } { \Omega ^ { 2 } } ( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } a ^ { \dagger } a - \lambda _ { 2 } ^ { 2 } a a ^ { \dagger } ) } \\ & { = } & { - \frac { g ^ { 2 } \omega } { 4 } \eta ^ { - 1 } ( X ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } P ^ { 2 } - \gamma ) ^ { 2 } } \\ & { } & { - \frac { g ^ { 2 } \omega } { 2 } \eta ^ { - 1 } \gamma ( X ^ { 2 } + P ^ { 2 } ) + H _ { n p } ^ { \downarrow } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { \varphi } ( r < r _ { 1 } , t ) } & { { } \approx \frac { \sqrt { r _ { 2 } \pi ^ { 9 } k _ { 1 } ^ { 3 } } k _ { 2 } n I _ { 0 } \csc ( k _ { 2 } ( r _ { 1 } - r _ { 2 } ) ) ( J _ { 0 } ( k _ { 1 } r ) - J _ { 2 } ( k _ { 1 } r ) ) } { 2 \pi l \mu _ { 0 } ^ { 2 } ( \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 3 } \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } \right) ^ { 2 } ( \sin ( 2 k _ { 1 } r _ { 1 } ) - 1 ) } \Big [ - k _ { 3 } \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) ( \cos ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) - \sin ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) ) \cos ( \omega _ { 0 } t ) } \\ { B _ { z } ( r < r _ { 1 } , t ) } & { { } \approx \frac { \sqrt { r _ { 2 } \pi ^ { 7 } k _ { 1 } ^ { 3 } } k _ { 2 } n I _ { 0 } \csc ( k _ { 2 } ( r _ { 1 } - r _ { 2 } ) ) J _ { 0 } ( k _ { 1 } r ) \cos ( \omega _ { 0 } t ) } { \pi l \mu _ { 0 } ( \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } \right) ( \cos ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) - \sin ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) ) } , } \end{array}
\hat { H } = J _ { 1 } \sum _ { \langle i j \rangle } \hat { \boldsymbol { \sigma } } _ { i } \cdot \hat { \boldsymbol { \sigma } } _ { j } + J _ { 2 } \sum _ { \llangle i j \rrangle } \hat { \boldsymbol { \sigma } } _ { i } \cdot \hat { \boldsymbol { \sigma } } _ { j } \ .
\begin{array} { r l } & { f \left( { { x } _ { i + 1 / 2 } } , t , u , v , \xi \right) = \left( 1 - { { e } ^ { - t / \tau } } \right) { { g } _ { 0 } } + \left( \left( t + \tau \right) { { e } ^ { - t / \tau } } - \tau \right) \left( { { { \bar { a } } } _ { 1 } } u + { { { \bar { a } } } _ { 2 } } v \right) { { g } _ { 0 } } } \\ & { + \left( t - \tau + \tau { { e } ^ { - t / \tau } } \right) \bar { A } { { g } _ { 0 } } } \\ & { + { { e } ^ { - t / \tau } } { { g } _ { r } } \left[ 1 - \left( \tau + t \right) \left( a _ { 1 } ^ { r } u + a _ { 2 } ^ { r } v \right) - \tau { { A } ^ { r } } \right] H \left( u \right) } \\ & { + { { e } ^ { - t / \tau } } { { g } _ { l } } \left[ 1 - \left( \tau + t \right) \left( a _ { 1 } ^ { l } u + a _ { 2 } ^ { l } v \right) - \tau { { A } ^ { l } } \right] \left( 1 - H \left( u \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { \mathrm { p h o t , c } } ( t ) } & { = \Big ( 1 - \mathrm { e x p } \big ( - p _ { 1 , 3 } x _ { 1 } ( t ) \big ) \Big ) \Big ( p _ { 1 , 4 } d _ { 1 } ( t ) \big ( - p _ { 1 , 5 } x _ { 3 } ( t ) ^ { 2 } + . . . } \\ & { \qquad p _ { 1 , 6 } x _ { 3 } ( t ) - p _ { 1 , 7 } \big ) \big ( x _ { 2 } ( t ) - p _ { 1 , 8 } \big ) \Big ) / \varphi ( t ) , } \\ { \varphi ( t ) } & { = p _ { 1 , 4 } d _ { 1 } ( t ) + \big ( - p _ { 1 , 5 } x _ { 3 } ( t ) ^ { 2 } + p _ { 1 , 6 } x _ { 3 } ( t ) - p _ { 1 , 7 } \big ) \big ( x _ { 2 } ( t ) - p _ { 1 , 8 } \big ) , } \\ { \phi _ { \mathrm { v e n t , c } } ( t ) } & { = \big ( u _ { 2 } ( t ) 1 0 ^ { - 3 } + p _ { 2 , 3 } \big ) \big ( x _ { 2 } ( t ) - d _ { 2 } ( t ) \big ) , } \\ { \phi _ { \mathrm { v e n t , h } } ( t ) } & { = \big ( u _ { 2 } ( t ) 1 0 ^ { - 3 } + p _ { 2 , 3 } \big ) \big ( x _ { 4 } ( t ) - d _ { 4 } ( t ) \big ) , } \\ { \phi _ { \mathrm { t r a n s p , h } } ( t ) } & { = p _ { 4 , 2 } \Big ( 1 - \mathrm { e x p } \big ( - p _ { 1 , 3 } x _ { 1 } ( t ) \big ) \Big ) } \\ & { \qquad \Big ( \frac { p _ { 4 , 3 } } { p _ { 4 , 4 } ( x _ { 3 } ( t ) + p _ { 4 , 5 } ) } \mathrm { e x p } \Big ( \frac { p _ { 4 , 6 } x _ { 3 } ( t ) } { x _ { 3 } ( t ) + p _ { 4 , 7 } } \Big ) - x _ { 4 } ( t ) \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { f } _ { 3 } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \mathrm { K n } [ \mathcal { L } ^ { ( 1 1 ) } ] ^ { - 1 } \mathcal { A } ^ { ( 1 0 ) } f ^ { ( 0 ) } + \mathrm { K n } ^ { 2 } [ \mathcal { L } ^ { ( 1 1 ) } ] ^ { - 1 } \mathcal { A } ^ { ( 1 1 ) } [ \mathcal { L } ^ { ( 1 1 ) } ] ^ { - 1 } \mathcal { A } ^ { ( 1 0 ) } f ^ { ( 0 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { P } [ p _ { j } ] } & { { } = { \frac { a } { \pi \hbar } } \int _ { ( j - 1 / 2 ) \delta p } ^ { ( j + 1 / 2 ) \delta p } \operatorname { s i n c } ^ { 2 } \left( { \frac { a p } { \hbar } } \right) \, d p } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { d n } { d t } } } & { { } = \frac { J ^ { * } } { { \varepsilon } } \exp \left( \frac { B ^ { * } } { { \varepsilon } ^ { 2 } } ( S - S _ { c } ) \right) } \\ { { \frac { d S } { d t } } } & { { } = \leavevmode { - D ^ { * } \left( \frac { q } { n } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } ( S - 1 ) n + S F ^ { * } ( t ) } \, , } \\ { { \frac { d q } { d t } } } & { { } = \frac { D ^ { * } } { { \varepsilon } } \left( \frac { q } { n } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } ( S - 1 ) n \, . } \end{array}
\delta x _ { R } ^ { ( 0 - 2 ) } ( \sigma _ { c } \rightarrow - \infty , \tau ) = \int d \omega \left( a _ { \omega } ^ { R } e ^ { - i \omega ( \tau - \sigma _ { c } ) } + b _ { \omega } ^ { R } e ^ { - i \omega ( \tau + \sigma _ { c } ) } \right) .
\phi ( x , y , z ) = \operatorname { t a n h } \left( \frac { \sqrt { ( x - X _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y - Y _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( z - Z _ { 0 } ) ^ { 2 } } - R _ { 0 } } { \sqrt { 2 } \eta } \right)
\begin{array} { r l } { ( 1 - z ) f _ { n } ( z ) } & { { } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } a _ { k } ( 1 - z ) z ^ { k } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } a _ { k } z ^ { k } - \sum _ { k = 0 } ^ { n } a _ { k } z ^ { k + 1 } = a _ { 0 } + \sum _ { k = 1 } ^ { n } a _ { k } z ^ { k } - \sum _ { k = 1 } ^ { n + 1 } a _ { k - 1 } z ^ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d p _ { x } } { d t } = } & { { } - | e | E _ { x } ( \xi ) , } \\ { \frac { d \xi } { d t } = } & { { } \frac { p _ { x } } { m _ { e } \sqrt { 1 + ( p _ { x } / m _ { e } c ) ^ { 2 } } } - v _ { d } , } \end{array}
\sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 1 2 } \simeq \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { \epsilon } { \bar { r } } \right) ^ { 2 } , \; \; \; \; \; \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 1 3 } \simeq 0 , \; \; \; \; \; \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 2 3 } \simeq \frac { 8 } { 9 } \left( 1 + 2 \frac { \bar { r } } { \delta } - 9 ( \frac { \bar { r } } { \delta } ) ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \textbf { v } } & { { } = 0 } \\ { \frac { \partial \textbf { v } } { \partial t } + \textbf { v } \cdot \nabla \textbf { v } } & { { } = - \nabla P + \nu ~ \Delta \textbf { v } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \leq \int _ { 2 | v ^ { \prime } | \geq | v | } \frac { 1 } { | v - v ^ { \prime } | } G ( v ^ { \prime } ) d v ^ { \prime } } \\ & { \leq \frac { 1 } { | v | ^ { 3 } } \int _ { 2 | v ^ { \prime } | \geq | v | } \frac { 1 } { | v - v ^ { \prime } | } | v ^ { \prime } | ^ { 3 } G ( v ^ { \prime } ) d v ^ { \prime } } \\ & { \leq \frac { 1 } { | v | ^ { 3 } } \| ( - \Delta _ { v ^ { \prime } } ) ^ { - 1 } ( \langle v ^ { \prime } \rangle ^ { 3 } G ( v ^ { \prime } ) ) \| _ { L _ { v ^ { \prime } } ^ { \infty } } } \\ & { \leq \frac { 1 } { | v | ^ { 3 } } \| \langle v ^ { \prime } \rangle ^ { 5 } G ( v ^ { \prime } ) \| _ { L _ { v ^ { \prime } } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 7 } = t r ( S _ { i j } ^ { 2 } W _ { i j } ^ { 2 } S _ { i j } W _ { i j } ) } & { = \frac 1 8 w _ { 1 } w _ { 2 } w _ { 3 } \left( e _ { 1 } ^ { 2 } e _ { 2 } - e _ { 1 } ^ { 2 } e _ { 3 } - e _ { 1 } e _ { 2 } ^ { 2 } + e _ { 1 } e _ { 3 } ^ { 2 } + e _ { 2 } ^ { 2 } e _ { 3 } - e _ { 2 } e _ { 3 } ^ { 2 } \right) } \\ & { = \frac 1 8 ( e _ { 2 } - e _ { 1 } ) ( e _ { 3 } - e _ { 2 } ) ( e _ { 1 } - e _ { 3 } ) w _ { 1 } w _ { 2 } w _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I = } & { { } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { - \frac { ( t - Q ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } - \frac { ( x - t - Q _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } } H ( t ) d t } \\ { = } & { { } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - \frac { ( t - Q ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } - \frac { ( x - t - Q _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } } d t } \end{array}
{ \cal E } _ { D } \simeq 4 \times 1 0 ^ { - 4 } \, ( n / 1 0 ^ { 1 0 } ~ \mathrm { c m } ^ { - 3 } ) \, ( 1 0 ^ { 6 } \, \mathrm { K } / T ) \simeq 1 . 3 \times 1 0 ^ { - 4 }
A _ { \alpha } ^ { \, \, \, \, i } = \xi ^ { \beta } f _ { \beta \alpha } ^ { \, \, \, \, \, \, \, i } , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, A _ { i } ^ { \, \, \alpha } = \xi ^ { \beta } f _ { \beta i } ^ { \, \, \, \, \, \alpha } .
F _ { 2 } ( t ) = \frac { \alpha _ { \mathrm { e m } } C _ { 8 } } { 1 9 2 \pi ^ { 3 } F _ { 0 } ^ { 3 } } \, \left\{ ( a _ { 2 } + 2 a _ { 4 } ) \; \left[ 1 6 ( M _ { \pi } ^ { 2 } + M _ { K } ^ { 2 } ) - D ( t , \mu ) \right] + C T ( t , \mu ) \right\} ~ ~ ~ ,
{ \mathbb F } _ { 0 i } = { \mathbb F } _ { i 0 } , ~ ~ { \mathbb F } _ { i j } = - { \mathbb F } _ { j i } , ~ ~ { \mathbb F } _ { 0 0 } = { \mathbb F } _ { i i } = 0 , ~ ~ \forall i = 1 , 2 , 3 .
\widehat { Q } _ { n + 1 , \lambda , \gamma } ( u ) = \left( u I _ { d ( n + 1 ) } - Q _ { \lambda , \gamma } ( n + 1 ) \right) ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l } { ( A ^ { \prime } ) ^ { - 1 } } & { - ( A ^ { \prime } ) ^ { - 1 } B \widehat { Q } _ { n , \lambda , \gamma } ( u ) } \\ { 0 } & { \widehat { Q } _ { n , \lambda , \gamma } ( u ) } \end{array} \right) .
A = \left[ { \begin{array} { r l r l r l } { { 3 } 1 } & { { } } & { 3 } & { { } } & { 2 } & { { } } \\ { 2 } & { { } } & { \; \; - 4 } & { { } } & { \; \; \; \; 5 } & { { } } \end{array} } \, \right] { \mathrm { . } }
\begin{array} { r } { \begin{array} { c c } { ( \mathbf { M ^ { \mathrm { ~ s ~ c ~ } } } - \omega _ { Y } \textbf { I } ) } \\ { ( \mathbf { M ^ { \mathrm { ~ s ~ c ~ } } } + \omega _ { Y } \textbf { I } ) } \end{array} \begin{array} { l } { \mathbf { A } _ { Y } ( \omega _ { Y } ) = } \\ { \mathbf { B } _ { Y } ( \omega _ { Y } ) = } \end{array} \begin{array} { l } { \begin{array} { r l } \end{array} } \end{array} } \end{array}
\ell n ^ { 2 } \left( { \frac { Q _ { s } ^ { 2 } ( M V ) } { \Lambda ^ { 2 } } } \right) = 2 { \sqrt { { \frac { 4 N _ { c } \chi ( \lambda _ { 0 } ) } { \pi b ( 1 - \lambda _ { 0 } ) } } Y } } \left( \ell n ( { \frac { Q _ { s } ^ { 2 } ( A ) } { \Lambda ^ { 2 } } } ) - { \sqrt { { \frac { 4 N _ { c } \chi ( \lambda _ { 0 } ) } { \pi b ( 1 - \lambda _ { 0 } ) } } Y } } \right)
\begin{array} { r } { n _ { \mathrm { e f f } } ( \lambda ) = \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } n _ { \mathrm { e f f } } } { \partial \lambda ^ { 2 } } \lambda ^ { 2 } + B \lambda + C } \\ { B = \frac { \partial n _ { \mathrm { e f f } } } { \partial \lambda } - \frac { \partial ^ { 2 } n _ { \mathrm { e f f } } } { \partial \lambda ^ { 2 } } \lambda _ { 0 } } \\ { C = \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } n _ { \mathrm { e f f } } } { \partial \lambda ^ { 2 } } \lambda _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { \partial n _ { \mathrm { e f f } } } { \partial \lambda } \lambda _ { 0 } + n _ { \mathrm { e f f , 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left\vert \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \sqrt { n } \mathcal { W } _ { n , i } \hat { \theta } _ { i } \right\vert - \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \mathcal { W } _ { i } [ \boldsymbol { 0 } _ { k _ { \delta } } ^ { \prime } , 1 ] \mathcal { \hat { Z } } _ { ( i ) } \right\vert \right\vert } \\ & { } & { \mathrm { ~ \ \ \ \ \ \ \ } \leq K \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \sqrt { n } \hat { \theta } _ { i } - [ \boldsymbol { 0 } _ { k _ { \delta } } ^ { \prime } , 1 ] \mathcal { \hat { Z } } _ { ( i ) } \right\vert + O _ { p } \left( \frac { k _ { \theta , n } \left( \ln ( n ) \right) ^ { 4 } } { \sqrt { n } } \right) + O _ { p } \left( \frac { \ln \left( k _ { \theta , n } \right) } { \ln ( n ) } \right) } \\ & { } & { \mathrm { ~ \ \ \ \ \ \ \ } = . \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \sqrt { n } \hat { \theta } _ { i } - [ \boldsymbol { 0 } _ { k _ { \delta } } ^ { \prime } , 1 ] \mathcal { \hat { Z } } _ { ( i ) } \right\vert + o _ { p } ( 1 ) . } \end{array}
\quad \quad \quad \left\{ \begin{array} { l } { { \dot { x } ^ { + } L _ { 2 } - ( \dot { x } ^ { + } L _ { 2 } ) _ { r } = \dot { x } ^ { + } R ^ { + } + \dot { x } ^ { - } R ^ { - } } } \\ { { L _ { 1 } = { \frac { \dot { x } ^ { + } } { \dot { x } ^ { - } } } ( L _ { 2 } - R ^ { + } ) } } \end{array} \right.
\hat { \cal L } _ { 0 } = - \int d ^ { \, 3 } u \, d ^ { \, 3 } v \sum _ { \tau = \pm } \hat { \phi } ^ { ( \tau ) \dagger } ( { \bf x } ; x _ { 0 } ) \hat { \tau } _ { 3 } D _ { \tau } ( x ; { \bf u } , { \bf v } ) \hat { \phi } ^ { ( \tau ) } ( { \bf v } ; x _ { 0 } ) ,
M _ { a b } e _ { i j } ^ { n r } = \sum _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } n ^ { \prime } r ^ { \prime } } M _ { a b } ( i ^ { \prime } , j ^ { \prime } , n ^ { \prime } , r ^ { \prime } ; i , j , n , r ) e _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } ^ { n ^ { \prime } r ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } { \sum _ { j \in T } \sum _ { e \in \mathcal { E } } \omega ^ { ( e ) } \left| \hat { \mathbb { E } } [ x _ { j } ^ { ( e ) } \varepsilon ^ { ( e ) } ] \right| ^ { 2 } } & { \le \sum _ { j \in T } \sum _ { e \in \mathcal { E } } ( C ^ { \prime } ) ^ { 2 } \kappa _ { U } \sigma _ { x } ^ { 2 } \sigma _ { \varepsilon } ^ { 2 } \left( \frac { t + \log ( 2 s ^ { * } | \mathcal { E } | ) } { n ^ { ( e ) } } \omega ^ { ( e ) } \right) } \\ & { \le | T | ( C ^ { \prime } ) ^ { 2 } \kappa _ { U } \sigma _ { x } ^ { 2 } \sigma _ { \varepsilon } ^ { 2 } \frac { t + \log ( 2 s ^ { * } | \mathcal { E } | ) } { \bar { n } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \mathbf H ( \ensuremath { \boldsymbol \nu } ^ { j } ) + \omega _ { j } \mathrm { d i a g } ( \mathbf H ( \ensuremath { \boldsymbol \nu } ^ { j } ) ) \right) \boldsymbol \xi ^ { j + 1 } = - \mathbf g ( \ensuremath { \boldsymbol \nu } ^ { j } ) , } \end{array}
R _ { t } ( T ) = \frac { \sum _ { t ^ { \prime } } f _ { t ^ { \prime } } \cdot M _ { t ^ { \prime } } \cdot R _ { t , t ^ { \prime } } ( T ) } { \sum _ { t ^ { \prime } } f _ { t ^ { \prime } } \cdot M _ { t ^ { \prime } } }
\Lambda _ { - 2 } = \frac { 8 \eta ^ { 2 } \kappa ^ { \prime \prime } ( \kappa ^ { 3 } + 4 \kappa ^ { \prime \prime } ) } { \iota _ { 0 } ( \iota _ { 0 } ( 3 \eta ^ { 4 } + 5 \kappa ^ { 4 } ) + 4 \eta ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } ( \tau - I _ { 2 } ) ) } ,
\hat { g } = \frac { 1 } { 2 } ( \hat { d } - \hat { U } \hat { d } ^ { \dag } \hat { U } ) \stackrel { } { = } \operatorname { T r } _ { M } \big ( \hat { Y } \tilde { U } \hat { X } - \tilde { U } \hat { X } \tilde { U } ^ { \dag } \hat { Y } \tilde { U } \big ) \ \in \ \mathcal { T } _ { \hat { U } } .
\begin{array} { r } { \left\Vert \rho ^ { n - 1 } - \rho ^ { \ast n - 1 } \right\Vert ^ { 2 } \leq \Delta t \displaystyle \int _ { D } \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t _ { n } } \left\vert \mathbf { u } ( y , t ) \cdot \nabla \rho ^ { n - 1 } ( y ) \right\vert ^ { 2 } \left( J ^ { t , n - 1 } \right) ^ { - 1 } d t d y \ } \\ { \leq \Delta t \left\Vert \mathbf { u } \right\Vert _ { L ^ { \infty } ( L ^ { \infty } ( D ) ^ { d } ) } ^ { 2 } \displaystyle \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t _ { n } } \int _ { D } \left\vert \nabla \rho ^ { n - 1 } ( y ) \right\vert ^ { 2 } d y d t \mathrm { ~ } } \\ { \leq \Delta t ^ { 2 } \left\Vert \mathbf { u } \right\Vert _ { L ^ { \infty } ( L ^ { \infty } ( D ) ^ { d } ) } ^ { 2 } \left\Vert \nabla \rho ^ { n - 1 } \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } } { d y ^ { 2 } } \Omega = ( M \frac { d } { d y } \Omega + ( 1 + q ) ( \frac { d } { d y } \Omega ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } f _ { 0 } ^ { 2 } ) \frac { 1 } { \Omega } ,
\begin{array} { r } { \mathbf { f } _ { \mathrm { B S } , m } ^ { ( l ) } = \mathrm { M L P } _ { 2 } ^ { ( l ) } \left( \mathbf { f } _ { \mathrm { B S } , m } ^ { ( l - 1 ) } , \mathrm { A G G } _ { \mathrm { B S } } ^ { ( l ) } \left\{ \mathrm { M L P } _ { 1 } ^ { ( l ) } \left( \mathbf { f } _ { \mathrm { U E } , k } ^ { ( l - 1 ) } , \right. \right. \right. } \\ { \left. \left. \left. \mathbf { e } _ { m , k } ^ { ( l - 1 ) } \right) \right\} _ { k \in \mathcal { N } _ { m } ^ { \mathrm { B S } } } \right) , ~ \forall m \in \mathcal { M } , } \end{array}
\begin{array} { r } { E ^ { 2 } \sigma _ { q \bar { q } } ( E ) \quad \longrightarrow \quad \frac { 4 \pi \alpha ^ { 2 } } { 3 } 3 \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } \; = \; \textrm { c o n s t a n t } } \end{array}
\hat { f } _ { N } = \frac { m _ { N } ^ { M O } + M _ { N } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ e ~ } } } { m ^ { M O } + M ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ e ~ } } } = \frac { 1 + Z \, D _ { N } } { 1 + Z } C _ { N } ^ { M O }
\begin{array} { r l } { L _ { p , k } : = } & { \gamma _ { m } \left[ ( \lambda _ { 2 } ) ^ { - 1 } L _ { 0 } + ( 2 \lambda _ { 1 } ) ^ { 1 / 2 } ( \lambda _ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } \right] , } \\ { L _ { q , k } : = } & { \gamma _ { n } \left[ ( \lambda _ { 2 } ) ^ { - 1 } L _ { 0 } + ( 2 \lambda _ { 1 } ) ^ { 1 / 2 } ( \lambda _ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } \right] , } \end{array}
\lambda _ { N } \stackrel { \displaystyle > } { \sim } \frac { 1 } { \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { G } } ( s _ { L } ^ { \nu _ { i } } ) ^ { 2 } } \qquad \mathrm { a n d } \qquad \lambda _ { N } \stackrel { \displaystyle > } { \sim } \frac { \ln \lambda _ { N } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { G } } ( s _ { L } ^ { \nu _ { i } } ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { \mathcal { R } _ { 4 f _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } } = \frac { 1 } { 1 + \alpha ^ { 2 } } \frac { f _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } } { 4 f _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ d ~ } } } \Rightarrow \mathcal { R } = \frac { 2 f _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } f _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ d ~ } } } { 4 f _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ d ~ } } ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } f _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } ^ { 4 } } - 1 . } \end{array}
0 = \nu _ { \mathrm { v } } \frac { \mathrm { d } n _ { \mathrm { v } } } { \mathrm { d } t } + \nu _ { \mathrm { l } } \frac { \mathrm { d } n _ { \mathrm { l } } } { \mathrm { d } t } + \bigg ( n _ { \mathrm { v } } \frac { \mathrm { d } \nu _ { \mathrm { v } } } { \mathrm { d } T _ { \mathrm { T } } } + n _ { \mathrm { l } } \frac { \mathrm { d } \nu _ { \mathrm { l } } } { \mathrm { d } T _ { \mathrm { T } } } \bigg ) \frac { \mathrm { d } T _ { \mathrm { T } } } { \mathrm { d } t } .
\frac { d N _ { L } } { d t } = ( 3 v _ { \infty } ^ { 2 } - f ) H N _ { L } + \frac { 3 } { 2 } \frac { v _ { \infty } ^ { 2 } } { \ell _ { \mathrm { f } } } N _ { L } + \left( \frac { 1 } { \alpha } G ( \alpha N _ { L } ) + \frac { 3 } { 2 } { \tilde { c } } N _ { L } \right) \frac { v _ { \infty } } { L } \, ,
\begin{array} { r l } { \widehat { \beta } ^ { k } } & { : = ( \beta _ { 1 } , \cdots , \beta _ { k - 1 } , \beta _ { k } + 1 , \beta _ { k + 1 } , \cdots , \beta _ { d } ) , \ \ k \in [ \! [ 1 , d ] \! ] , } \\ { \overline { { \beta } } ^ { k } } & { : = ( \beta _ { 1 } , \cdots , \beta _ { k - 1 } , \beta _ { k } - 1 , \beta _ { k + 1 } , \cdots , \beta _ { d } ) , \ \ k \in [ \! [ 1 , d ] \! ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } ( \zeta ^ { ( 1 ) } , \zeta ^ { ( 2 ) } , \zeta ^ { ( 3 ) } , \zeta ^ { ( 4 ) } ) = } & { - \frac { 1 } { ( \cos \theta + 1 ) s ^ { 4 } } ( ( \frac { 3 } { 4 \cos ( { \theta } / { 2 } ) } + \frac { \cos ( { \theta } / { 2 } ) } { 2 \cos \theta } ) \frac { 1 } { s } + ( - \cos ( { \theta } / { 2 } ) \cos \theta + \frac { 5 } { 2 \cos \theta } ) } \\ & { + ( \frac { 1 1 } { 4 \cos ( { \theta } / { 2 } ) } - \cos ( { \theta } / { 2 } ) \cos \theta - 7 \cos ( { \theta } / { 2 } ) + \frac { 2 \cos ( { \theta } / { 2 } ) } { \cos \theta } ) s + \mathcal { O } ( s ^ { 2 } ) . ) } \end{array}
Z _ { 1 / R } ( 1 , 0 ^ { 1 5 } ) \to \int \frac { d ^ { 2 } \tau } { \tau _ { 2 } } \tau _ { 2 } ^ { - 5 } | \eta ( \tau ) | ^ { - 1 6 } \left( Z _ { 0 } ^ { 0 } ( \tau ) ^ { 1 6 } { Z _ { 0 } ^ { 0 } ( \tau ) ^ { * } } ^ { 4 } - Z _ { 1 } ^ { 0 } ( \tau ) ^ { 1 6 } { Z _ { 1 } ^ { 0 } ( \tau ) ^ { * } } ^ { 4 } - Z _ { 0 } ^ { 1 } ( \tau ) ^ { 1 6 } { Z _ { 0 } ^ { 1 } ( \tau ) ^ { * } } ^ { 4 } \right) \ ,