harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { M } } \mathbb { P } \Big ( \vert \partial _ { i j } ^ { 2 } u _ { \delta } ^ { n , t } ( x ) \vert \geq } & { \frac { 1 } { 2 \log ^ { \upsilon } ( n ) } \Big ) \leq n \exp \bigg ( - \frac { 1 } { C _ { 1 } } \Big ( \frac { n t } { \log ^ { \upsilon } ( n ) } \Big ) ^ { \eta } \bigg ) + \exp \bigg ( - \frac { 1 } { C _ { 2 } } \frac { n ^ { 2 } t \log ^ { - 2 \upsilon } ( n ) } { t ^ { - 1 } + n \delta ^ { - 4 } \log ^ { \frac { 1 } { \eta } } ( n ) } \bigg ) } \\ & { + \exp \bigg ( - \frac { 1 } { C _ { 3 } } \frac { n t ^ { 2 } } { \log ^ { \upsilon } ( n ) } \exp \Big ( \frac { 1 } { C _ { 4 } } \Big ( \frac { n t } { \log ^ { \upsilon } ( n ) } \Big ) ^ { \eta ( 1 - \eta ) } \log ^ { - 1 } ( \frac { n t } { \log ^ { \upsilon } ( n ) } ) \Big ) \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla ^ { 2 } ( D _ { g } \phi _ { g } ) } & { = } & { \nabla \cdot \nabla ( D _ { g } \phi _ { g } ) } \\ & { = } & { \nabla \cdot \left( \phi _ { g } \nabla D _ { g } + D _ { g } \nabla \phi _ { g } \right) } \\ & { = } & { \phi _ { g } \nabla ^ { 2 } D _ { g } + D _ { g } \nabla ^ { 2 } \phi _ { g } + 2 \nabla D _ { g } \cdot \nabla \phi _ { g } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol v _ { \boldsymbol k } ^ { \mathrm { l o c a l } } ( t ) } & { = \frac { 1 } { m _ { e } } \left[ \boldsymbol p + \hbar \boldsymbol k + \frac { e } { c } \boldsymbol A ( t ) \right] , } \\ { \boldsymbol v _ { \boldsymbol k } ^ { \mathrm { n o n l o c a l } } ( t ) } & { = \frac { 1 } { i \hbar } \left[ \boldsymbol r , \hat { v } _ { \mathrm { i o n } } \right] . } \end{array}
s _ { N _ { \mathrm { s } } } ^ { 2 } = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { s } } - 1 } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } } ( \tilde { x } _ { n } - \tilde { x } _ { \mathrm { e q } } ) ^ { 2 }
\rho ^ { * } \equiv a r g m a x _ { \rho \in [ 0 , 1 ] } \frac { A \rho ( 1 - \rho ) } { B ( \rho - \frac { 1 } { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \bigg ( 1 - \frac { 1 - \sqrt { 1 - B ^ { 2 } } } { B } \bigg )
\mathbb { P } _ { \mathcal { W } } ( \uparrow _ { u } ) = \lvert \alpha c _ { 1 } \rvert ^ { 2 } + \lvert \overline { { \beta } } c _ { 2 } \rvert ^ { 2 } = \mathbb { P } _ { \mathcal { F } } ( \uparrow _ { u } )
\begin{array} { r } { \frac { \partial \overline { { u v } } } { \partial y } = u _ { * } ^ { 2 } \frac { \partial \overline { { u v _ { o } } } } { \partial y _ { o } } \frac { U _ { e } } { x u _ { * } } , \ \ V \frac { \partial \overline { { u v } } } { \partial y } = \frac { u _ { * } ^ { 2 } } { U _ { e } } V _ { o } u _ { * } ^ { 2 } \frac { \partial \overline { { u v _ { o } } } } { \partial y _ { o } } \frac { U _ { e } } { x u _ { * } } } \\ { \frac { x } { U _ { e } u _ { * } ^ { 2 } } V \frac { \partial \overline { { u v } } } { \partial y } = \frac { u _ { * } } { U _ { e } } V _ { o } \frac { \partial \overline { { u v _ { o } } } } { \partial y _ { o } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { \hat { x } _ { 0 } } \mathcal { J } ( \hat { { x } } _ { 0 } , \hat { { x } } _ { 1 } ) } \\ { = } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \ldots \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \operatorname* { m i n } \big \{ ( 1 - \varphi ) \| { v } - ( \hat { { x } } _ { 0 } - { \mu } ) \| ^ { 2 } , c \big \} } \\ & { \cdot \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { m } | { \Sigma } | } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } { v } ^ { \mathsf { T } } { \Sigma } ^ { - 1 } { v } \right) \left[ - { \Sigma } ^ { - 1 } { v } \right] \mathrm { d } { v } . } \end{array}
S _ { f , i } = \operatorname * { l i m } _ { \tau \rightarrow - \infty , \tau ^ { \prime } \rightarrow + \infty } ( - \sqrt { 2 } e ^ { \tau ^ { \prime } } \stackrel { \leftrightarrow } { \frac { \partial } { \partial \tau ^ { \prime } } } ) ( \sqrt { 2 } e ^ { - \tau } \stackrel { \leftrightarrow } { \frac { \partial } { \partial \tau } } ) G ( \tau ^ { \prime } , \tau )
\begin{array} { r l } & { H ( \{ n _ { k } \} , \{ m _ { k } \} ) = \{ x \in [ 0 , 1 ) \colon \mathrm { C o n d i t i o n ~ ( 2 ) ~ i n ~ L e m m a ~ i s ~ f u l f i l l e d } \} , } \\ & { \Lambda _ { k , m _ { k } } = \Big \{ ( n _ { 1 } , m _ { 1 } ; \ldots ; n _ { k - 1 } , m _ { k - 1 } ; n _ { k } ) \colon n _ { 1 } < m _ { 1 } < \cdots < m _ { k - 1 } < n _ { k } < m _ { k } , ( ) \mathrm { ~ h o l d s } \Big \} , } \\ & { \mathcal { D } _ { n _ { 1 } , m _ { 1 } ; \ldots ; n _ { k } , m _ { k } } = \Big \{ ( \sigma _ { 1 } , \ldots , \sigma _ { m _ { k } } ) \in \mathbb { N } ^ { m _ { k } } \colon \sigma _ { n _ { j } + 1 } = \cdots = \sigma _ { m _ { j } } = i \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } 1 \leq j \leq k \Big \} . } \end{array}
\frac { \mathrm { I m } ( b _ { 1 } ) / b _ { 0 } } { \mathrm { I m } ( b _ { 2 } ) / b _ { 0 } } = \frac { 1 - \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) / b _ { 0 } } { 1 - \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) / b _ { 0 } } = \frac { | \hat { A _ { 1 } } | _ { s a t } ^ { 2 } } { | \hat { A _ { 2 } } | _ { s a t } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \langle \psi _ { \varepsilon } \rangle _ { Y } \equiv \frac { 1 } { | Y | } \int _ { \mathcal { B } ( \mathbf x ) } \psi _ { \varepsilon } \mathrm { d } \mathbf { y } , \quad \langle \psi _ { \varepsilon } \rangle _ { \mathcal { B } } \equiv \frac { 1 } { | \mathcal { B } | } \int _ { \mathcal { B } ( \mathbf x ) } \psi _ { \varepsilon } \mathrm { d } \mathbf { y } , \, \mathrm { a n d } \, \, \langle \psi _ { \varepsilon } \rangle _ { \Gamma } \equiv \frac { 1 } { | \Gamma | } \int _ { \Gamma ( \mathbf x ) } \psi _ { \varepsilon } \mathrm { d } \mathbf { y } } \end{array}
\alpha _ { d } ( q , Z ) = \frac { \alpha _ { s } ( Z ) } { { 3 [ 1 + q ^ { 2 } / ( 2 Z ) ^ { 2 } ] } ^ { 3 } } \left[ 1 + \frac { 2 } { 1 + q ^ { 2 } / ( 2 Z ) ^ { 2 } } \right] \; ,
\left[ \frac { \mathcal { P } } { \mathrm { ~ W ~ } } \right] \sim \left[ \frac { V _ { 0 } } { ~ \mathrm { ~ M ~ V ~ } } \right] ^ { 2 } \left[ \frac { \omega _ { { p e } } } { 1 0 ^ { 1 1 } ~ \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ . ~ s ~ } ^ { - 1 } } \right] ^ { 2 } \left[ \frac { l } { \mathrm { ~ m ~ } } \right] \left[ \frac { b } { a } \right] \left[ \frac { k _ { B } T } { m c ^ { 2 } } \right] ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \left[ \frac { \rho _ { i } } { a } \right] ^ { 2 } \left[ \frac { \omega _ { p e } } { \omega _ { c e } } \right] ^ { 2 } ,
\texttt { e x p a n d } ( \mathbf { x } ^ { \mathrm { ~ s ~ u ~ b ~ } } ) = \mathbf { x } _ { 0 } . \texttt { a t } [ \mathbf { z } _ { 0 } ] . \texttt { s e t } ( \mathbf { x } ^ { \mathrm { ~ s ~ u ~ b ~ } } )
\left\{ \begin{array} { l l } { P _ { \mathrm { l } } ( x ) = S _ { \mathrm { 0 } } \exp \left( \frac { - x } { \lambda } \right) } \\ { P _ { \mathrm { r } } ( x ) = S _ { \mathrm { 0 } } \exp \left( \frac { - ( L - x ) } { \lambda } \right) \ . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \widetilde { \sigma } _ { r ^ { \prime } } - \widetilde { \sigma } _ { r ^ { \prime } + 1 } \geq \sigma _ { r ^ { \prime } } ^ { \star } - \sigma _ { r ^ { \prime } + 1 } ^ { \star } - \frac { \sigma _ { r } ^ { \star } } { 2 0 r } \geq \frac { 4 \left( \sigma _ { r ^ { \prime } } ^ { \star } - \sigma _ { r ^ { \prime } + 1 } ^ { \star } \right) } { 5 } , } \end{array}
n _ { i } = n _ { i . 0 } \int _ { \theta _ { i } - b } ^ { \theta _ { i } + b } \frac { f _ { i } ( \theta _ { i } , \theta ) } { \sum _ { j } f _ { j } ( \theta _ { j } , \theta ) } f _ { i } ( \theta _ { i } , \theta ) d \theta
\begin{array} { r l } { \left\langle \Delta p _ { 1 } \Delta p _ { 2 } \right\rangle } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N } \left( \left( \Delta p _ { 1 } \Delta p _ { 2 } \right) _ { \alpha } ^ { \left( + + \right) } + \left( \Delta p _ { 1 } \Delta p _ { 2 } \right) _ { \alpha } ^ { \left( -- \right) } \right. } \\ & { + \left. \left( \Delta p _ { 1 } \Delta p _ { 2 } \right) _ { \alpha } ^ { \left( + - \right) } + \left( \Delta p _ { 1 } \Delta p _ { 2 } \right) _ { \alpha } ^ { \left( - + \right) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega \varrho _ { 0 } \delta v _ { x } } & { { } = \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } k _ { \parallel } ^ { 2 } } { 4 \pi \omega } \delta v _ { x } , } \\ { \omega \varrho _ { 0 } \delta v _ { y } } & { { } = \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 4 \pi \omega } \delta v _ { y } + \delta p k _ { \perp } , } \\ { \omega \varrho _ { 0 } \delta v _ { z } } & { { } = \delta p k _ { \parallel } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { 2 D _ { 1 } } & { = [ 2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3 , 5 , 7 ] \qquad } & { D _ { 2 } } & { = [ 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 7 ] } \\ { D _ { 3 } } & { = [ 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 4 , 6 , 6 ] \qquad } & { D _ { 4 } } & { = [ 1 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 7 ] } \\ { D _ { 5 } } & { = [ 1 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 6 , 6 ] \qquad } & { D _ { 6 } } & { = [ 1 , 2 , 2 , 2 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 ] . } \end{array}
\frac { \eta _ { \ell } ( k _ { o } ) } { j _ { \ell } ( k _ { o } ) } \rightarrow - \frac { \left[ ( 2 \ell + 1 ) ! ! \right] ^ { 2 } } { ( 2 \ell + 1 ) k _ { o } ^ { 2 \ell + 1 } } \bigg ( 1 + \frac { ( 2 \ell + 1 ) k _ { o } ^ { 2 } } { ( 2 \ell - 1 ) ( 2 \ell + 3 ) } \bigg ) ,
\bar { \partial } \bar { \partial } _ { J } \partial \partial _ { J } u = ( n - 1 ) \bar { \partial } \bar { \partial } _ { J } \Omega _ { h } - \bar { \partial } \bar { \partial } _ { J } S _ { 1 } ( \Omega _ { h } ) \wedge \Omega + \bar { \partial } \bar { \partial } _ { J } S _ { 1 } ( \widetilde { \Omega } ) \wedge \Omega - ( n - 1 ) \bar { \partial } \bar { \partial } _ { J } \widetilde { \Omega } .
\begin{array} { l c l } { { { \widehat \Sigma } _ { m } ^ { ( r , s ) } } } & { { = } } & { { \oplus _ { k = r } ^ { s } { \widehat \Sigma } _ { m } ^ { ( k , k ) } ( \theta ) } } \\ { { } } & { { = } } & { { \oplus _ { k = r } ^ { s } \oplus _ { l = 0 } ^ { k } { \theta } ^ { l } { \Sigma } _ { m } ^ { ( k - l , k - l ) } } } \end{array}
y ^ { 2 } = x ^ { 3 } + \sum _ { k = - 4 } ^ { 4 } \sum _ { l = 0 } ^ { 8 - n k } f _ { k l } z ^ { \prime l } z ^ { 4 + k } p ^ { 8 - l - q k } x + \sum _ { k = - 6 } ^ { 6 } \sum _ { l = 0 } ^ { 1 2 - n k } g _ { k l } z ^ { \prime l } z ^ { 6 + k } p ^ { 1 2 - l - q k }
\begin{array} { r l r } { \rho } & { { } = } & { \frac { 1 } { 6 r ^ { 8 } ( 3 r + { r _ { 0 } } ) ^ { 2 } } \left\lbrace e ^ { - 2 \mu r } \left( - 4 \alpha { r _ { 0 } } ^ { 2 } \left( 2 r ^ { 2 } + 3 r { r _ { 0 } } + { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) e ^ { 2 \mu { r _ { 0 } } } \left( 1 2 ( \mu + 2 ) r ^ { 3 } + 2 r ^ { 2 } ( 5 ( \mu + 2 ) { r _ { 0 } } - 9 ) \right. \right. \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t + 1 ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle - \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle } \\ { = } & { ~ c _ { \eta } \cdot \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } } \langle ~ y _ { v } \cdot \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle + \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } } \langle ~ y _ { v } \cdot \mathcal { M } _ { z } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle } \\ { : = } & { ~ c _ { \eta } \cdot ( I _ { 3 } + I _ { 4 } ) . } \end{array}
\frac { \langle \mathbf { r _ { e e } } ( t ) \cdot \mathbf { r _ { e e } } ( 0 ) \rangle } { n b ^ { 2 } } = \sum _ { \mathrm { p } = 1 , 3 , \ldots } \frac { 8 } { \mathrm { p } ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } \exp \left( - \frac { t \mathrm { p } ^ { 2 } } { \tau _ { 1 } } \right) ,
G _ { 2 } ( u ) = - { \frac { 1 0 } { 3 } } \delta ^ { 2 } u ^ { 3 } ( { \frac { 2 } { 5 } } u ^ { 2 } - { \frac { 3 } { 4 } } u + { \frac { 1 } { 3 } } ) \; ,
| V _ { c b } | = ( 4 1 . 9 \pm 0 . 8 _ { ( \mathrm { p e r t ) } } \pm 0 . 5 _ { ( m _ { b } ) } \pm 0 . 7 _ { ( \lambda _ { 1 } ) } ) \times 1 0 ^ { - 3 } \, \bigg ( { \frac { { \cal B } ( \bar { B } \to X _ { c } \ell \bar { \nu } ) } { 0 . 1 0 5 } } \, { \frac { 1 . 6 \, \mathrm { p s } } { \tau _ { B } } } \bigg ) ^ { 1 / 2 } \, .
\begin{array} { l } { P \left( x , y \right) = \alpha \sum _ { z = 0 } ^ { x - 1 } \overline { { \alpha } } ^ { z } b _ { y - z } + \overline { { \alpha } } ^ { x } b _ { y - x } \mathrm { , ~ } x \geq 1 \mathrm { ~ a n d ~ } y \geq x } \\ { P \left( x , y \right) = \alpha \sum _ { z = 0 } ^ { y } \overline { { \alpha } } ^ { z } b _ { y - z } \mathrm { , ~ } x \geq 1 \mathrm { ~ a n d ~ } y < x . } \\ { P \left( x , y \right) = \sum _ { z = 0 } ^ { x } d _ { z } b _ { y - z } \mathrm { , ~ } x , y \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \nabla f ( \widetilde x ^ { \mathrm { o u t } } ) \| ^ { 2 } \leq } & { \ \left( O \left( \frac { L } { K } + \zeta + \frac { L } { \sqrt { K } b } \right) + \widetilde O \left( \frac { L \sqrt { d } } { \sqrt { K } b \sqrt { \varepsilon _ { \mathrm { D P } } } } \right) \right) \frac { 1 } { R } + \widetilde O \left( \frac { L \sqrt { d } } { n _ { \mathrm { m i n } } \sqrt { P } \varepsilon _ { \mathrm { D P } } } \right) \frac { 1 } { \sqrt { R } } + \widetilde O \left( \frac { ( L G d ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } } { ( n _ { \mathrm { m i n } } P \varepsilon _ { \mathrm { D P } } ) ^ { \frac { 4 } { 3 } } } \right) } \end{array}
u _ { k } ( \mathcal D _ { k } , \mathcal S _ { k } ) = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathcal R ( \mathcal S _ { k } ) | } \operatorname* { m i n } \{ \sigma ( \mathcal R ( \mathcal S _ { k } ) , s _ { k i } ^ { \prime } ) , \sigma ( \mathcal D _ { k } , s _ { k i } ^ { \prime } ) \} } { \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathcal R ( \mathcal S _ { k } ) | } \sigma ( \mathcal R ( \mathcal S _ { k } ) , s _ { k i } ^ { \prime } ) } ,
\begin{array} { r l } { \tau _ { \Omega } } & { = t _ { R } , } \\ { \delta _ { \Omega \Omega } } & { = - \frac { 1 } { 3 } \tau _ { \Omega } \left( m ^ { 2 } \gamma _ { - 2 } ^ { \Omega } + 5 \right) , } \\ { \ell _ { \Omega n } } & { = - \frac { 6 } { 3 5 } \tau _ { \Omega } \left( m ^ { 4 } \gamma _ { - 2 } ^ { n } + 5 m ^ { 2 } - 6 \gamma _ { 2 } ^ { n } \right) , } \\ { \ell _ { \Omega \Omega } } & { = - \frac { 1 } { 3 } \tau _ { \Omega } \left( 2 m ^ { 2 } \gamma _ { - 2 } ^ { \Omega } + 7 \right) , } \\ { \eta _ { \Omega } } & { = - \tau _ { \Omega } \left( m ^ { 2 } \gamma _ { - 1 } ^ { \pi } - \gamma _ { 1 } ^ { \pi } \right) , } \\ { \lambda _ { \Omega \pi } } & { = - \frac { 3 } { 7 } \tau _ { \Omega } \left[ m ^ { 2 } \left( \frac { \partial \gamma _ { - 1 } ^ { \pi } } { \partial \alpha _ { 0 } } + h _ { 0 } ^ { - 1 } \frac { \partial \gamma _ { - 1 } ^ { \pi } } { \partial \beta _ { 0 } } \right) - \left( \frac { \partial \gamma _ { 1 } ^ { \pi } } { \partial \alpha _ { 0 } } + h _ { 0 } ^ { - 1 } \frac { \partial \gamma _ { 1 } ^ { \pi } } { \partial \beta _ { 0 } } \right) \right] , } \\ { \lambda _ { \Omega \Theta } } & { = - \tau _ { \Omega } \left( \frac { \partial \gamma _ { - 1 } ^ { \Theta } } { \partial \alpha _ { 0 } } + h _ { 0 } ^ { - 1 } \frac { \partial \gamma _ { - 1 } ^ { \Theta } } { \partial \beta _ { 0 } } \right) , } \\ { \tau _ { \Omega \pi } } & { = - \frac { 3 } { 7 } \tau _ { \Omega } \frac { \beta _ { 0 } } { \varepsilon _ { 0 } + P _ { 0 } } \left( m ^ { 2 } \frac { \partial \gamma _ { - 1 } ^ { \pi } } { \partial \beta _ { 0 } } - \frac { \partial \gamma _ { 1 } ^ { \pi } } { \partial \beta _ { 0 } } \right) , } \\ { \tau _ { \Omega \Theta } } & { = \tau _ { \Omega } \beta _ { 0 } \frac { \partial \gamma _ { - 1 } ^ { \Theta } } { \partial \beta _ { 0 } } , } \end{array}
\mathrm { C o v } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , \mu _ { g } ^ { L } ) = \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { T ^ { 1 } S _ { g } } \left( \int _ { 0 } ^ { T } f _ { 1 } ( \phi _ { t } ( x ) ) \mathrm { d } t \right) \left( \int _ { 0 } ^ { T } f _ { 2 } ( \phi _ { t } ( x ) ) \mathrm { d } t \right) \mathrm { d } \mu _ { g } ^ { L } ( x ) .
\begin{array} { r c l } { { F _ { 0 1 } } } & { { = } } & { { \left( Q ( r ^ { 2 } - N ^ { 2 } ) - 2 N P r \right) / R ^ { 4 } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { F _ { 2 3 } } } & { { = } } & { { - \left( P ( r ^ { 2 } - N ^ { 2 } ) + 2 N Q r \right) / R ^ { 4 } \, , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb { E } } \big [ { \mathbb { V } } [ \widehat { Q } _ { 0 , \infty } ^ { \mathrm { C L M C } } | L ] \big ] = } & { \ { \mathbb { E } } \big [ \mathrm { C o v } [ \widehat { Q } _ { 0 , \infty } ^ { \mathrm { C L M C } } , \widehat { Q } _ { 0 , \infty } ^ { \mathrm { C L M C } } | L ] \big ] } \\ { \leq } & { \ \frac { 1 } { M } { \mathbb { E } } \bigg [ \int _ { [ 0 , L ] ^ { 2 } } \frac { 1 } { { \mathbb { P } } ( L \geq \ell ) } \frac { 1 } { { \mathbb { P } } ( L \geq \ell ^ { \prime } ) } { \mathbb { V } } \bigg ( \frac { \textup { d } Q } { \textup { d } \ell } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } { \mathbb { V } } \bigg ( \frac { \mathrm { d } Q } { \mathrm { d } \ell ^ { \prime } } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \textup { d } \ell \textup { d } \ell ^ { \prime } \bigg ] } \\ { = } & { \ \frac { 1 } { M } { \mathbb { E } } \bigg [ \bigg ( \int _ { 0 } ^ { L } \frac { 1 } { { \mathbb { P } } ( L \geq \ell ) } { \mathbb { V } } \bigg ( \frac { \textup { d } Q } { \textup { d } \ell } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \textup { d } \ell \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \left( \phi _ { t } ( \mathbf { \alpha } ) \right) } & { = \log \left( \iint _ { { \mathbb R } ^ { 2 } } e ^ { - 2 \pi i ( \alpha _ { 1 } r + \alpha _ { 2 } \lambda ) } f _ { r , \lambda , t } ( r , \lambda ) d r d \lambda \right) = \log \left( { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } } \left[ \left. e ^ { - 2 \pi i ( \alpha _ { 1 } r _ { t } + \alpha _ { 2 } \lambda _ { t } ) } \right] \right\rvert { \mathcal F } _ { 0 } \right) } \\ & { = - 2 \pi i \alpha _ { 1 } r _ { 0 } e ^ { - \theta _ { r } t } - 2 \pi i \alpha _ { 2 } \lambda _ { 0 } e ^ { - \theta _ { \lambda } t } } \\ & { \ \ \ - \gamma _ { r } \int _ { 0 } ^ { t } \log \left( 1 + \frac { 2 \pi i } { c _ { r } } \left( \alpha _ { 1 } e ^ { - \theta _ { r } ( t - u ) } + \rho \alpha _ { 2 } e ^ { - \theta _ { \lambda } ( t - u ) } \right) \right) d u } \\ & { \ \ \ - \gamma _ { \tau } \int _ { 0 } ^ { t } \log \left( 1 + \frac { \gamma _ { \lambda } } { c _ { \tau } } \log \left( 1 + \frac { 2 \pi i } { c _ { \lambda } } \alpha _ { 2 } e ^ { - \theta _ { \lambda } ( t - u ) } \right) \right) d u } \end{array}
\mathcal D _ { J } \leftarrow \mathcal D _ { J } ^ { ( n ) } = { \mathfrak a ^ { \prime } } ^ { ( n ) } + \sum _ { A \in \{ A _ { j } : j \in J \} } \delta _ { A } ^ { ( n ) } \qquad \mathrm { a n d } \qquad \beta _ { J } \leftarrow \beta _ { J } ^ { ( n ) } = { \mathfrak a } ^ { ( n ) } ( 0 ) + \sum _ { A \in \{ A _ { j } : j \in J \} } \mathfrak b _ { A } ^ { ( n ) } .
\frac { \partial } { \partial x } ( \frac { \partial _ { x } f } { \sqrt { 1 + ( \nabla f ) ^ { 2 } } } ) + \frac { \partial } { \partial y } ( \frac { \partial _ { y } f } { \sqrt { 1 + ( \nabla f ) ^ { 2 } } } ) = 0 .
\begin{array} { r l } { H ( \hat { T } _ { g ( x ^ { n } ) } ) } & { = H ( \hat { T } _ { y ^ { n } } ) } \\ & { = H ( P _ { Y } ) + \sum _ { y } \Big ( \hat { T } _ { y ^ { n } } ( y ) - P _ { Y } ( y ) \Big ) ( - \log P _ { Y } ( y ) ) + O \Big ( \| \hat { T } _ { y ^ { n } } - P _ { Y } \| ^ { 2 } \Big ) } \\ & { = \sum _ { y } - \hat { T } _ { y ^ { n } } ( y ) \log P _ { Y } ( y ) + O \Bigg ( \frac { \log n } { n } \Bigg ) } \\ & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } - \log P _ { Y } ( y _ { i } ) + O \Bigg ( \frac { \log n } { n } \Bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { i j } = } & { { } \delta _ { i j } - \frac { 1 } { 3 } \mathcal { R } ( \delta _ { i k } \delta _ { l j } - \delta _ { i j } \delta _ { k l } ) x ^ { k } x ^ { l } + \mathcal { O } ( | x | ^ { 3 } ) } \end{array}
\tilde { \gamma } _ { l m } ( u , v ; \Phi ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \partial _ { x _ { 1 } } ^ { l } \psi ( u + v , \mathbf { \hat { z } } + \boldsymbol { \hat { \omega } } _ { u , v } ) \overline { { \partial _ { x _ { 1 } } ^ { m } \psi ( u - v , \mathbf { \hat { z } } + \boldsymbol { \hat { \omega } } _ { u , v } ) } } \Phi ( u + v , u - v , \mathbf { \hat { z } } + \boldsymbol { \hat { \omega } } _ { u , v } ) \, d \mathbf { \hat { z } } .
{ \cal { L } } _ { \mathrm { a n o m a l y } } = \frac { a } { f } \left[ \frac { \alpha _ { s } } { 8 \pi } G _ { a } ^ { \mu \nu } \tilde { G } _ { a \mu \nu } + 3 q _ { X } ^ { 2 } \frac { \alpha _ { s } } { 4 \pi } F _ { \mu \nu } \tilde { F } ^ { \mu \nu } \right] ~ ,
\rho ( \underset { - } { m } | \underset { - } { d } ^ { o b s } ) = \frac { \rho ( \underset { - } { d } ^ { o b s } | \underset { - } { m } ) \rho ( \underset { - } { m } ) } { \rho ( \underset { - } { d } ^ { o b s } ) } \propto \rho ( \underset { - } { d } ^ { o b s } | \underset { - } { m } ) \rho ( \underset { - } { m } ) .
\begin{array} { r l r l } { \mathsf { E } [ U _ { i } ( t + 1 ) | \mathcal { F } _ { t } , \theta = i ] } & { \ge U _ { i } ( t ) + C , } & { \quad } & { \mathrm { i f ~ } U _ { i } ( t ) < 0 , } \\ { | U _ { i } ( t + 1 ) - U _ { i } ( t ) | } & { \le C _ { 2 } . } & & { } \\ { \mathsf { E } [ U _ { i } ( t + 1 ) | \mathcal { F } _ { t } , \theta = i ] } & { = U _ { i } ( t ) + C _ { 1 } , } & { \quad } & { \mathrm { i f ~ } U _ { i } ( t ) \ge 0 , } \\ { | U _ { i } ( t + 1 ) - U _ { i } ( t ) | } & { = C _ { 2 } , } & { \quad } & { \mathrm { i f ~ } U _ { i } ( t ) \ge 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu ( \mathbf { x } ) = \frac { \lambda ( \lVert \mathbf { x } \rVert - \sqrt { 2 } ) } { \lambda ( \lVert \mathbf { x } \rVert - \sqrt { 2 } ) + \lambda ( 2 - \lVert \mathbf { x } \rVert ) } } \end{array} \qquad \qquad \begin{array} { r } { \nu ( \mathbf { x } ) = \frac { \lambda ( 4 - \lVert \mathbf { x } \rVert ) } { \lambda ( 4 - \lVert \mathbf { x } \rVert ) + \lambda ( \lVert \mathbf { x } \rVert - 2 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } + \rho _ { 3 } } & { { } = - k _ { \mathrm { a } } , } \\ { \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } + \rho _ { 1 } \rho _ { 3 } + \rho _ { 2 } \rho _ { 3 } } & { { } = - \left( 1 + c _ { \mathrm { a } } k _ { \mathrm { a } } \right) , } \\ { \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \rho _ { 3 } } & { { } = k _ { \mathrm { a } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { 2 } ^ { \mathtt { u } } ( X ) } & { = } & { \langle ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ) - ( x _ { 2 } , x _ { 1 } ) , ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ) - ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) - ( x _ { 2 } , x _ { 2 } ) , ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) - ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ) , } \\ & { } & { ( x _ { 2 } , x _ { 1 } ) - ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ) , ( x _ { 2 } , x _ { 1 } ) - ( x _ { 2 } , x _ { 2 } ) , ( x _ { 2 } , x _ { 2 } ) - ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , ( x _ { 2 } , x _ { 2 } ) - ( x _ { 2 } , x _ { 1 } ) \rangle , } \end{array}
\Omega _ { \rho } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) = \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { n _ { 2 } = 0 } ^ { \infty } A ( n _ { 1 } \! + \! \rho _ { 1 } , n _ { 2 } \! + \! \rho _ { 2 } ) z _ { 1 } ^ { n _ { 1 } + \rho _ { 1 } } z _ { 2 } ^ { n _ { 2 } + \rho _ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { T M } \mathrm { d } _ { x } \Phi ( v ) \, \mathrm { d } \tilde { \mu } ( x , v ) = \operatorname* { l i m } _ { n _ { i } \to + \infty } \int _ { T M } \mathrm { d } _ { x } \Phi ( v ) \, \mathrm { d } \tilde { \mu } _ { \gamma _ { n _ { i } } } ( x , v ) = } & { \operatorname* { l i m } _ { n _ { i } \to + \infty } \frac 1 { b _ { n _ { i } } - a _ { n _ { i } } } \int _ { a _ { n _ { i } } } ^ { b _ { n _ { i } } } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } s } \Phi ( \gamma ( s ) ) \, \mathrm { d } s } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { n _ { i } \to + \infty } \frac { \Phi ( b _ { n _ { i } } ) - \Phi ( \gamma ( a _ { n _ { i } } ) ) } { b _ { n _ { i } } - a _ { n _ { i } } } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { h > 0 } \left| \frac { \sqrt { h } } { h } { \mathbb E } \left[ \Psi ( V _ { t } ) \| A ^ { 1 } ( X _ { t } ) \| { \mathcal H } \left( \frac { M _ { t } - { X _ { t } ^ { 1 } } } { \sqrt { h } \| A ^ { 1 } ( X _ { t } ) \| } \right) \right] \right| \leq \frac { 1 } { 4 } \| \Psi \| _ { \infty } \| A ^ { 1 } \| _ { \infty } ^ { 2 } \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } \operatorname* { s u p } _ { r > 0 } p _ { V } ( m , m - r , \tilde { x } ; t ) d m ~ d \tilde { x } . } \end{array}