harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { N ^ { A } ( x , t , k ) = } & { \; I - \frac { N _ { 3 3 } ^ { ( 1 ) } ( x , t ) } { k } \left( \begin{array} { l l l } { \omega ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \omega } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) + \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \Bigg \{ ( N _ { 3 3 } ^ { ( 1 ) } ( x , t ) ^ { 2 } - N _ { 3 3 } ^ { ( 2 ) } ( x , t ) ) \left( \begin{array} { l l l } { \omega } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \omega ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { + \frac { \widetilde { N } _ { 1 3 } ^ { ( 2 ) } ( x , t ) } { 1 - \omega } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \omega } & { - \omega ^ { 2 } } \\ { - 1 } & { 0 } & { \omega ^ { 2 } } \\ { 1 } & { - \omega } & { 0 } \end{array} \right) \Bigg \} + O ( k ^ { - 3 } ) , \qquad k \to \infty , } \end{array}
\displaystyle \mathrm { B r } ( \pi ^ { 0 } \to 3 \gamma ) = \frac { \Gamma ( \pi ^ { 0 } \to 3 \gamma ) } { \Gamma ( \pi ^ { 0 } \to 2 \gamma ) } = \frac { \alpha } { 1 2 0 \pi } ( \theta m _ { \pi } ^ { 2 } ) ^ { 2 } .
\hat { H } ( \hat { p } _ { s } , s , \hat { P } _ { s } , Q _ { s } ) = \frac { \hat { p } _ { s } ^ { 2 } } { 2 \left( 1 + Q _ { s } \, \kappa ( s ) \right) ^ { 2 } } + V _ { 0 } ( s ) + \hat { H } _ { \mathrm { v a l l e y } } ( s ) \quad ,
\begin{array} { r l } { \frac { \pi ( n - e _ { x } ) } { \pi ( n ) } } & { = \frac { n _ { x } } { \alpha ( x ) } \frac { \kappa _ { E } } { \kappa _ { I } } } \\ { \frac { \pi ( n + e _ { x } ) } { \pi ( n ) } } & { = \frac { \alpha ( x ) } { n _ { x } + 1 } \frac { \kappa _ { I } } { \kappa _ { E } } } \\ { \frac { \pi ( n - e _ { x } + e _ { x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } } ) } { \pi ( n ) } } & { = \frac { \alpha ( x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } ) } { \alpha ( x ) } \frac { n _ { x } } { n _ { x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } } + 1 } , } \end{array}
\mathbf { K } _ { 1 2 } = \boldsymbol { \Phi } _ { 1 2 } ^ { \bar { \mathbf { B } } { \mathbf { B } } } = \bar { \mathbf { B } } _ { 1 } ^ { \boldsymbol { \Phi } _ { 1 2 } } \boldsymbol { \Phi } _ { 1 2 } \mathbf { B } _ { 2 } ^ { \boldsymbol { \Phi } _ { 1 2 } }
\begin{array} { r l } { ( R ^ { 2 } { - } Z ^ { 2 } ) \phi _ { 2 } + \phi _ { 3 } - \frac { \omega } { 2 } \, R ^ { 2 } \, = \, } & { \, \Phi _ { 0 } ^ { \prime } ( \eta _ { 0 } ) \Bigl ( ( R ^ { 2 } { - } Z ^ { 2 } ) \eta _ { 2 } + \eta _ { 3 } + ( \eta _ { 0 } - \eta _ { 1 } ) R ^ { 2 } \Bigr ) } \\ & { + \frac 1 2 \Phi _ { 0 } ^ { \prime \prime } ( \eta _ { 0 } ) ( \eta _ { 0 } - \eta _ { 1 } ) ^ { 2 } R ^ { 2 } + \Phi _ { 2 } ( \eta _ { 0 } ) \, , } \end{array}
q _ { \alpha } = \frac { 1 } { h ^ { 3 N } } \int _ { \Omega _ { \alpha } } \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \ \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { p } } \ e ^ { - \beta \mathcal { H } } \ ,
\begin{array} { r l } { \vert \vert ( f _ { \eta _ { k } + 1 } - f _ { \eta _ { k } } ) \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L ^ { 2 } } = } & { \Big | \Big | \int _ { \mathbb { R } ^ { p } } ( f _ { \eta _ { k } + 1 } - f _ { \eta _ { k } } ) ( \cdot - y ) \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } ( y ) d y \Big | \Big | _ { L _ { 2 } } } \\ { \le } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { p } } \Big | \Big | ( f _ { \eta _ { k } + 1 } - f _ { \eta _ { k } } ) ( \cdot - y ) \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } ( y ) \Big | \Big | _ { L _ { 2 } } d y } \\ { = } & { \Big ( \int _ { \mathbb { R } ^ { p } } \vert \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } ( y ) \vert d y \Big ) \Big | \Big | ( f _ { \eta _ { k } + 1 } - f _ { \eta _ { k } } ) ( \cdot - y ) \Big | \Big | _ { L _ { 2 } } } \\ { = } & { \vert \vert f _ { \eta _ { k } + 1 } - f _ { \eta _ { k } } \vert \vert _ { L ^ { 2 } } \vert \vert \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L ^ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } } & { { } = S _ { 1 } ( t _ { o n } , m = 0 ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } S _ { 3 } ( t , m = 0 ) - S _ { 3 } ( t , m ) d t . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { G } _ { c } } & { { } = } & { \frac { a _ { B } ^ { 2 } } { Z ^ { 3 } \alpha } \int _ { 0 } ^ { \infty } g _ { c } ( r ) f _ { c } ( r ) d r , } \\ { \mathcal { F } _ { c } } & { { } = } & { \frac { a _ { B } ^ { 2 } } { Z ^ { 3 } \alpha } \int _ { 0 } ^ { \infty } \Big [ 1 - \mathcal { M } _ { c } ( r ) \Big ] g _ { c } ( r ) f _ { c } ( r ) d r . } \end{array}
\int \frac { d k } { 2 \pi } \left[ f _ { i } \chi _ { i j } \frac { S _ { j } } { \lambda _ { j } + i k } + 4 D T R _ { i } \chi _ { i j } \left( \frac { S _ { j } } { i k ( \lambda _ { j } + i k ) } - \frac { S _ { j } \pi } { \lambda _ { j } } \delta ( k ) \right) \right] \widetilde { \phi \phi ^ { \prime } } ( k ) \widetilde { \phi \phi ^ { \prime } } ( - k )
\rho _ { n } ^ { N } ( t , x ) = \rho _ { 0 } ^ { N } \left( y _ { n } ^ { N } ( t , x ) \right) + \int _ { 0 } ^ { t } \Psi _ { n } ^ { N } \left( \tau , y _ { n } ^ { N } ( t - \tau , x ) \right) d \tau .
\triangle { \cal L } ^ { e } = - \frac { 1 } { 2 } T r G _ { \mu \nu } G ^ { \mu \nu } + \Theta \frac { g _ { s } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } T r G ^ { \mu \nu } \tilde { G } _ { \mu \nu } .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { G _ { + } ( \omega ) } \epsilon _ { + } ( \omega ) } & { = G _ { - } ( \omega ) g _ { + } ( \omega ) + e ^ { 2 i \omega B } G _ { - } ( \omega ) \tilde { Y } ( \omega ) + G _ { - } ( \omega ) \tilde { Y } ( - \omega ) } \\ & { = G _ { - } ( \omega ) g _ { + } ( \omega ) + e ^ { 2 i \omega B } \sigma ( \omega ) Q _ { + } ( \omega ) + Q _ { - } ( \omega ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \vec { w } } [ n ] : = } & { { } E _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \vec { w } , { \mathrm { ~ S ~ D ~ } } } [ n ] + E _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \vec { w } , { \mathrm { ~ D ~ D ~ } } } [ n ] \; . } \end{array}
U = \operatorname* { m i n } _ { F \geq 0 } \frac { 8 - 4 \sqrt { 3 } + 4 F ( 3 - \sqrt { 3 } ) + F ^ { 2 } ( 6 + ( 2 + \sqrt { 3 } ) \chi ) } { 8 F } = \frac { 1 } { 2 } \left( 3 - \sqrt { 3 } + \sqrt { 1 2 - 6 \sqrt { 3 } + \chi } \right) .
\begin{array} { r l r } { \gamma } & { { } = } & { - \bigg ( \frac { \pi } { \ln { ( R _ { \mathrm { M } } ) } } \bigg ) ^ { 2 } \bigg [ \frac { 5 - \Omega } { 5 ( \Omega + 3 ) } + \Bar { \tau } \epsilon ( \theta ) \bigg ] } \end{array}
( \rho ( T ) , z ( T ) ) - \int _ { 0 } ^ { T } \left( z , \frac { \partial \rho } { \partial t } \right) \, d t - \int _ { 0 } ^ { T } ( v \cdot \nabla \rho , z ) \, d t + \int _ { 0 } ^ { T } ( L ( \varphi ) \cdot \nabla \theta , \rho ) \, d t = 0 .
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } P ( z , \tau ) } & { { } = - i \frac { \Omega ( \tau ) } { 2 } B ( z , \tau ) } \\ { \partial _ { \tau } B ( z , \tau ) } & { { } = - i \frac { \Omega ^ { * } ( \tau ) } { 2 } P ( z , \tau ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } ( \partial _ { s } + \theta ( n ) \alpha _ { n } A ) \mathcal { X } _ { s } ^ { n } ( \varphi ) d s } \\ & { \quad = \frac { \theta ( n ) \alpha _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \big ( ( 2 + 2 \lambda \mathfrak { u } _ { n } ) \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) + \mathfrak { u } _ { n } \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) \overline { { \xi } } _ { j + 1 } ( s ) \big ) \partial _ { x } T _ { v _ { n } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s } \\ & { \qquad - \frac { v _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \big ( \overline { { \eta } } _ { j } ( s ) + \mathfrak { u } _ { n } \overline { { \zeta } } _ { j } ( s ) \big ) \partial _ { x } T _ { v _ { n } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s + E _ { t } ^ { n } . } \end{array}
\Delta \beta = \frac { e } { \hbar } \left( \int _ { 1 } \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } \cdot d \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \int _ { 2 } \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } \cdot d \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } \right) = \frac { e } { \hbar } \oint \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } \cdot d \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } = \frac { 2 \pi \Phi } { \Phi _ { 0 } }
\begin{array} { r } { \bar { \sigma } _ { 1 1 } - \bar { \sigma } _ { 3 3 } = \bar { \lambda } _ { 1 } w _ { 1 } , \quad \bar { \sigma } _ { 2 2 } - \bar { \sigma } _ { 3 3 } = { \lambda } w _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { \chi \in \mathcal { X } _ { 2 } } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) \right| ^ { 2 } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) - \mathbb { E } _ { b \in \mathbb { Z } _ { q } ^ { \times } } g ( b ) \overline { { \chi } } ( b ) \right| ^ { 2 } \ll \frac { 1 } { \varphi ( q ) ( \log q ) ^ { 9 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \operatorname { a r c s e c } ( x ) \, d x } & { { } { } = x \, \operatorname { a r c s e c } ( x ) - \ln \left( x + { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } \right) + C } \\ { \int \operatorname { a r c c s c } ( x ) \, d x } & { { } { } = x \, \operatorname { a r c c s c } ( x ) + \ln \left( x + { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } \right) + C } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F _ { 1 , T } ( y ) : = \mathbb { P } \left( x _ { T } ^ { ( \operatorname* { m a x } ) } \leq y \right) \quad F _ { 2 , T } ( y ) : = \mathbb { P } \left( \epsilon _ { T } ^ { ( \operatorname* { m a x } ) } \leq y \right) } \\ & { G _ { T } ( y ) : = \mathbb { P } \left( z _ { T } ^ { ( \operatorname* { m a x } ) } \leq y \right) \quad r _ { T } : = x _ { T } ^ { ( \operatorname* { m a x } ) } - \epsilon _ { T } ^ { ( \operatorname* { m a x } ) } } \end{array}
u _ { \alpha } ( \textbf { p } ) = ( u _ { \rho } * h ) ( \textbf { p } ) = \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { 3 } } u _ { \Lambda } ( \textbf { x } ) h ( \textbf { p } - \textbf { x } ) \mathrm { d } ^ { 3 } \textbf { x } .
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m i n } _ { 0 \leq k \leq K - 1 } \mathbb { E } \left[ \| F ( \hat { x } _ { k } ) \| ^ { 2 } \right] } & { \leq } & { \frac { ( 1 + 4 \omega \gamma \left( \frac { \delta } { \tau } + L ^ { 2 } \right) - L \gamma ) \left( 1 + \frac { 4 8 \omega \gamma \delta } { ( 1 - L \gamma ) ^ { 2 } \tau } \right) ^ { K - 1 } \| x _ { 0 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } } { \omega \gamma ( 1 - L ( \gamma + 4 \omega ) ) ( K - 1 ) } } \\ & { } & { \quad + \frac { 8 \left( 8 + \frac { 1 - L \gamma } { K - 1 } \left( 1 + \frac { 4 8 \omega \gamma \delta } { ( 1 - L \gamma ) ^ { 2 } \tau } \right) ^ { K - 1 } \right) \sigma _ { * } ^ { 2 } } { ( 1 - L \gamma ) ( 1 - L ( \gamma + 4 \omega ) ) \tau } . } \end{array}
d = d _ { r e f } ( \frac { ( 2 k _ { B } T _ { r e f } / ( \frac { 1 } { 2 } m v _ { r } ^ { 2 } ) ) ^ { \omega - 1 / 2 } } { \Gamma ( 5 / 2 - \omega ) } ) ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r l } { \frac 1 2 \| \delta \mathbf { y } _ { h } ^ { M + 1 } \| _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } & { + \frac { \tau } { 2 } a _ { h } \big ( \mathbf { y } _ { h } ^ { M + 1 } , \mathbf { y } _ { h } ^ { M + 1 } \big ) } \\ & { \leq \frac { \tau } { 2 } a _ { h } \big ( \mathbf { y } _ { h } ^ { M } , \mathbf { y } _ { h } ^ { M } \big ) + \tau ^ { 2 } c _ { n l } ^ { 2 } c _ { \alpha } ^ { 2 } \| Z \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } ^ { 2 } \big ( \| \mathbf { y } _ { h } ^ { M } \| _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + C _ { \boldsymbol { \varphi } , \Phi } ^ { 2 } \big ) . } \end{array}
v _ { c } = \sqrt { \rho } ~ \left[ t _ { 3 } ^ { c } C _ { 2 } ^ { 2 } - 2 Q _ { c } \sin ^ { 2 } \bar { \theta } _ { W } \right] , \ \ \ \ a _ { c } = \sqrt { \rho } ~ t _ { 3 } ^ { c } C _ { 2 } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r c l } { { p ^ { \prime } } } & { { = } } & { { P ( p ) } } \\ { { } } & { { = } } & { { p ^ { 8 } + 8 p ^ { 7 } ( 1 - p ) + 2 8 p ^ { 6 } ( 1 - p ) ^ { 2 } + 5 6 p ^ { 5 } ( 1 - p ) ^ { 3 } + \frac { 5 2 5 } { 8 } p ^ { 4 } ( 1 - p ) ^ { 4 } + \frac { 3 5 } { 2 } p ^ { 3 } ( 1 - p ) ^ { 5 } } } \\ { { } } & { { = } } & { { \frac { 1 0 5 } { 8 } p ^ { 8 } - 5 5 p ^ { 7 } + \frac { 3 1 5 } { 4 } p ^ { 6 } - \frac { 6 3 } { 2 } p ^ { 5 } - \frac { 1 7 5 } { 8 } p ^ { 4 } + \frac { 3 5 } { 2 } p ^ { 3 } \, \, \, \, \, . \, \, \, \, \, } } \end{array}
\Delta S _ { \mathrm { b o s e } } = \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { M _ { A } e ^ { 2 } } \| { \bf Q } \cdot \hat { \bf v } ^ { i } \| + \frac { 1 } { 2 } \tilde { g } _ { a b } ( \hat { \bf v } ^ { i } \cdot { \bf K } ^ { a } ) ( \hat { \bf v } ^ { i } \cdot { \bf K } ^ { b } )
\operatorname* { l i m } _ { H \to 0 } \frac { \mathcal { E } _ { \mathrm { 1 d } } [ { a } ] } { H } = R \int _ { - L } ^ { L } \Big ( w ( { a } , \lambda ( { a } ) ) - \frac { 1 } { 2 } P ^ { * } { a } ^ { 2 } \lambda ( { a } ) - N ^ { * } \lambda ( { a } ) + \frac { 1 } { 2 } R ^ { 2 } \frac { w _ { 2 } ( { a } , \lambda ( { a } ) ) } { \lambda ( { a } ) } { a } ^ { \prime } ( Z ) ^ { 2 } \Big ) \, d Z .
\begin{array} { r l } { { U _ { M N S } ^ { ( S M A ) } } } & { { = \left( \begin{array} { l l l } { { 0 . 9 9 9 7 } } & { { 0 . 0 2 4 1 } } & { { 0 } } \\ { { - 0 . 0 1 7 0 } } & { { 0 . 7 0 6 9 } } & { { 0 . 7 0 7 1 } } \\ { { 0 . 0 1 7 0 } } & { { - 0 . 7 0 6 9 } } & { { 0 . 7 0 7 1 } } \end{array} \right) , } } \\ { { U _ { M N S } ^ { ( L M A ) } } } & { { = \left( \begin{array} { l l l } { { 0 . 8 6 6 } } & { { 0 . 5 0 0 } } & { { 0 } } \\ { { - 0 . 3 5 4 } } & { { 0 . 6 1 2 } } & { { 0 . 7 0 7 } } \\ { { 0 . 3 5 4 } } & { { - 0 . 6 1 2 } } & { { 0 . 7 0 7 } } \end{array} \right) , } } \\ { { U _ { M N S } ^ { ( L O W ) } } } & { { = \left( \begin{array} { l l l } { { 0 . 7 7 4 } } & { { 0 . 6 3 3 } } & { { 0 } } \\ { { - 0 . 4 4 8 } } & { { 0 . 5 4 7 } } & { { 0 . 7 0 7 } } \\ { { 0 . 4 4 8 } } & { { - 0 . 5 4 7 } } & { { 0 . 7 0 7 } } \end{array} \right) , } } \\ { { U _ { M N S } ^ { ( Q V O ) } } } & { { = \left( \begin{array} { l l l } { { 0 . 6 3 3 } } & { { 0 . 7 7 5 } } & { { 0 } } \\ { { - 0 . 5 4 8 } } & { { 0 . 4 4 7 } } & { { 0 . 7 0 7 } } \\ { { 0 . 5 4 8 } } & { { - 0 . 4 4 7 } } & { { 0 . 7 0 7 } } \end{array} \right) . } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \left( Q _ { x x } - M _ { x x } \right) ^ { 2 } + \left( Q _ { x y } - M _ { x y } \right) ^ { 2 } + \left( Q _ { y x } - M _ { y x } \right) ^ { 2 } + \left( Q _ { y y } - M _ { y y } \right) ^ { 2 } } \\ & { \quad + \left( Q _ { x x } ^ { 2 } + Q _ { y x } ^ { 2 } - 1 \right) Y _ { x x } + \left( Q _ { x y } ^ { 2 } + Q _ { y y } ^ { 2 } - 1 \right) Y _ { y y } + 2 \left( Q _ { x x } Q _ { x y } + Q _ { y x } Q _ { y y } \right) Y _ { x y } . } \end{array} }
P _ { s c a t } ( \omega ) = \frac { \eta ^ { 2 } k } { 4 } \left( \left[ | I _ { 1 } | ^ { 2 } + | I _ { 2 } | ^ { 2 } \right] + 2 J _ { 0 } ( k d ) \Re \left\{ I _ { 1 } \cdot I _ { 2 } ^ { * } \right\} \right)
f ( y , \Lambda ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \langle v \omega _ { z } - w \omega _ { y } \rangle ( y ) } \int _ { 2 \pi / \Lambda } ^ { \infty } \phi _ { v \omega _ { z } - w \omega _ { y } } ( k _ { z } , y ) d k _ { z } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } y < y _ { p } } \\ { \frac { 1 } { \langle v \omega _ { z } - w \omega _ { y } \rangle ( y ) } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi / \Lambda } \phi _ { v \omega _ { z } - w \omega _ { y } } ( k _ { z } , y ) d k _ { z } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } y > y _ { p } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | v ^ { \prime } A v | \leq \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } | v _ { i } | | a _ { i j } | | v _ { j } | \leq \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } | v _ { i } | b _ { i j } | v _ { j } | \leq \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | v ^ { \prime } B v | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { S _ { 1 2 } ^ { s h } } } & { { } = S _ { 3 4 } ^ { s h } = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } ( 1 - R ) p ( 1 - p ) } \\ { { S _ { 1 4 } ^ { s h } } } & { { } = S _ { 2 3 } ^ { s h } = \frac { ( 1 + R ) } { ( 1 - R ) } S _ { 1 2 } ^ { s h } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { C _ { \mu } } { 2 } \int | \nabla _ { z } P _ { 0 , T } ( f ( x , \cdot ) ) ( z ) | ^ { 2 } \Big | _ { z = x } ( P _ { 0 , T } f ( x , \cdot ) ) ^ { - 1 } ( x ) \mu ( \mathrm { d } x ) } \\ & { \leq \frac { C _ { \mu } C _ { 0 , T } } { 2 } \int ( P _ { 0 , T } ( | \nabla _ { y } f ( x , \cdot ) | ) ( x ) ) ^ { 2 } ( P _ { 0 , T } f ( x , \cdot ) ) ^ { - 1 } ( x ) \mu ( \mathrm { d } x ) } \\ & { \leq \frac { C _ { \mu } C _ { 0 , T } } { 2 } \int P _ { 0 , T } \Big ( | \nabla _ { y } f ( x , \cdot ) | ^ { 2 } / f ( x , \cdot ) \Big ) ( x ) \mu ( \mathrm { d } x ) } \\ & { = \frac { C _ { \mu } C _ { 0 , T } } { 2 } \int | \nabla _ { y } f ( x , y ) | ^ { 2 } / f ( x , y ) \, \pi ( \mathrm { d } x \mathrm { d } y ) . } \end{array}
{ \cal L } = { \cal L } _ { 0 } ( C _ { \mu \nu \alpha } ) + { \cal L } _ { 0 } ( B _ { \mu \nu } ) - 2 \sqrt { - 3 \Omega ( d - 3 ) } C _ { \mu \nu \alpha } D ^ { \mu } B ^ { \nu \alpha } - \frac { \Omega ( d - 3 ) } { 2 } C ^ { \mu \nu \alpha } C _ { \mu \nu \alpha }
\begin{array} { r l } { { \bf B } } & { = \bar { \bf g } ^ { - 1 } \, ( { \bf b } - \overline { { \bf b } } ) } \\ & { = \sum _ { ( i j k ) } \frac { 1 } { 2 \bar { A } L _ { i } } \bigg [ \underbrace { 2 \tan ( \frac { \theta _ { i } } { 2 } ) } _ { \varphi ( \theta _ { i } ) } - \underbrace { 2 \tan ( \frac { \Theta _ { i } } { 2 } ) } _ { \varphi ( \Theta _ { i } ) } \bigg ] \underline { { \vec { \bf t } } } _ { i } \otimes \underline { { \vec { \bf t } } } _ { i } } \\ & { = \sum _ { ( i j k ) } \frac { \Phi ( \theta _ { i } , \Theta _ { i } ) } { 2 \bar { A } L _ { i } } \, \underline { { \vec { \bf t } } } _ { i } \otimes \underline { { \vec { \bf t } } } _ { i } } \end{array}
u _ { m \ell } ( r ) : = - w _ { \infty , m \ell } ( r ) \int _ { 1 } ^ { r } ( r ^ { \prime } - 1 ) ^ { - 2 } w _ { \infty , m \ell } ^ { - 2 } ( r ^ { \prime } ) e ^ { i m \int _ { r _ { 0 } } ^ { r ^ { \prime } } \frac { x + 1 } { x - 1 } \, d x } \left[ \int _ { r ^ { \prime } } ^ { \infty } w _ { \infty , m \ell } ( x ) e ^ { - i m \int _ { r _ { 0 } } ^ { x } \frac { y + 1 } { y - 1 } \, d y } F _ { m \ell } [ \phi ] \, d x \right] \, d r ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { \nabla \tilde { \psi } _ { m , k } \cdot \sigma \nabla \tilde { \Chi } _ { m , k } } & { { } = \partial _ { x _ { i } } \tilde { \psi } _ { m , k } \sigma _ { i j } \partial _ { x _ { j } } \tilde { \Chi } _ { m , k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \left| [ \boldsymbol { \mu } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } \right| \frac { \| [ \mathbf { C } _ { v k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { ( \cdot , i ) } \| } { \sqrt { N } } \geq \frac { \sqrt { \epsilon } } { 4 k } \right) } & { \leq \mathbb { P } \left( \left| [ \boldsymbol { \mu } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } \right| \left[ \left| \frac { \| \mathbf { v } _ { i ^ { \prime } } ^ { \mathrm { i n } } \| } { \sqrt { N } } - ( \boldsymbol { \Sigma } _ { v k } ^ { \mathrm { i n } } ) _ { i ^ { \prime } i ^ { \prime } } \right| + ( \boldsymbol { \Sigma } _ { v k } ^ { \mathrm { i n } } ) _ { i ^ { \prime } i ^ { \prime } } \right] \geq \frac { \sqrt { \epsilon } } { 4 k } \right) } \\ & { \stackrel { ( b ) } { \leq } \mathbb { P } \left( \left| \frac { \| \mathbf { v } _ { i ^ { \prime } } ^ { \mathrm { i n } } \| } { \sqrt { N } } - ( \boldsymbol { \Sigma } _ { v k } ^ { \mathrm { i n } } ) _ { i ^ { \prime } i ^ { \prime } } \right| \geq \sqrt { \epsilon } \right) + \mathbb { P } \left( \left| [ \boldsymbol { \mu } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } \right| \geq \frac { \sqrt { \epsilon } } { 8 k \operatorname* { m a x } \{ 1 , ( \boldsymbol { \Sigma } _ { u k } ^ { \mathrm { i n } } ) _ { i ^ { \prime } i ^ { \prime } } \} } \right) . } \end{array}
P _ { \mathrm { c o n } } ^ { \mathrm { t o t } } ( N + 1 ) - P _ { \mathrm { c o n } } ^ { \mathrm { t o t } } ( N ) = \frac { \Delta y } { \pi r } ( 1 - P _ { \mathrm { c o n } } ^ { \mathrm { t o t } } ( N ) ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } ( \left\| \mathbf { r } _ { k + 1 } - \mathbf { r } ^ { * } \right\| ^ { 2 } ) \leq } & { \frac { c ^ { 2 } \hat { \lambda } _ { n } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } { c ^ { 2 } \lambda _ { 2 } } \mathbb { E } ( \| \tilde { \mathbf { x } } _ { k + 1 } - \tilde { \mathbf { x } } _ { k } \| ^ { 2 } ) } \\ { } & { + \frac { \lambda _ { n } ^ { 2 } } { 2 \lambda _ { 2 } } \mathbb { E } ( ( \left\| \tilde { \mathbf { e } } _ { k } \right\| ^ { 2 } + \left\| \tilde { \mathbf { e } } _ { k + 1 } \right\| ^ { 2 } ) ) } \\ { } & { + \frac { \ell ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } \lambda _ { 2 } } \mathbb { E } ( \| \tilde { \mathbf { x } } _ { k + 1 } - \mathbf { x } ^ { \ast } \| ^ { 2 } ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \Delta u \geq 0 \mathrm { ~ o n ~ } M } \\ { u \geq 0 \mathrm { ~ a . e . ~ o n ~ } M } \\ { u \in L _ { l o c } ^ { p } ( M ) \mathrm { ~ a n d ~ } \| u \| _ { L ^ { p } ( B _ { 2 k } ( o ) \setminus B _ { k } ( o ) ) } ^ { p } = o ( k ^ { 2 } ) , } \end{array} \right. \quad \Longrightarrow \quad u \equiv c \mathrm { ~ a . e . ~ o n ~ } M .
\varepsilon ^ { 2 } \{ U _ { n , \varepsilon } ( \alpha , \beta ) - U _ { n , \varepsilon } ( \alpha _ { 0 } , \beta ) \} \xrightarrow { P } \int _ { 0 } ^ { 1 } B ^ { \top } ( X _ { s } ^ { 0 } , \theta _ { 0 } , \theta ) [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { i j } ( X _ { s } ^ { 0 } , X _ { s - \cdot } ^ { 0 } , \beta _ { 0 } ) B ( X _ { s } ^ { 0 } , \theta _ { 0 } , \theta ) \, \mathrm { d } s
u _ { t } = 0 . 1 0 0 0 u _ { x x } + 0 . 1 0 0 1 u _ { y y } - 1 . 0 0 0 1 u v ^ { 2 } - 1 . 0 0 0 1 u ^ { 3 } + 0 . 9 9 9 6 v ^ { 3 } + 0 . 9 9 9 6 u ^ { 2 } v + 1 . 0 0 0 1 u
\bar { Q } _ { \mu } \psi _ { \nu } ^ { * } = 0 , \qquad \bar { Q } _ { \mu } A _ { \nu } ^ { * } = \partial _ { \mu } \psi _ { \nu } ^ { * } , \qquad \bar { Q } _ { \mu } \phi ^ { * } = 0 , \qquad \bar { Q } _ { \mu } C ^ { * } = \partial _ { \mu } \phi ^ { * } ,
\begin{array} { r l r } { v _ { A B } ^ { \tau } } & { { } = } & { \frac { d _ { A } + d _ { B } } { d _ { A } } v _ { A } ^ { \tau } , } \\ { v _ { A B } ^ { n } } & { { } = } & { \frac { d _ { A } + d _ { B } } { d _ { A } } v _ { A } ^ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \widehat { V } _ { \varepsilon _ { k } } \right] } & { { } = 2 V _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ } } - \tau \nu _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } - 2 , } \\ { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } \left[ \widehat { V } _ { \varepsilon _ { k } } \right] } & { { } : = s _ { k } ^ { 2 } = 8 \frac { N } { m } V _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ } } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } \nu _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } ^ { 2 } , } \end{array}
d _ { 1 } = 2 ( r _ { m } - M + 2 H ^ { 2 } r _ { m } ^ { 3 } ) ^ { - 1 } , \; \; \; \; d _ { 2 } = \frac { 1 } { 6 } ( 1 + 6 H ^ { 2 } r _ { m } ^ { 2 } ) ( r _ { m } - M + 2 H ^ { 2 } r _ { m } ^ { 3 } ) ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( W \to X ^ { n \times m } ) } & { \leq n m \mathcal { L } ( W \to X ) } \\ & { = n m \log \sum _ { x } \operatorname* { m a x } _ { w } \mathcal { P } _ { X | W = w } ( x ) } \\ & { \leq n m \log \sum _ { x } \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { d - 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } + \theta \right) } \\ & { = n m \log ( 2 ^ { d } ( 2 ^ { - d } + 2 ^ { - d + 1 } \theta ) ) } \\ & { = n m \log ( 1 + 2 \theta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \overline { { \mu } } \rangle } & { \longrightarrow | F = a , N , G , g \rangle } \\ { | \overline { { \nu } } \rangle } & { \longrightarrow | F ^ { \prime } = b , N , G ^ { \prime } , g ^ { \prime } \rangle } \\ { \sum _ { \overline { { \mu } } , \overline { { \nu } } } } & { \longrightarrow \sum _ { G , g , G ^ { \prime } , g ^ { \prime } } , } \end{array}
\delta { \hat { W } } _ { n f } \simeq \frac { \pi } { 4 } \bigg ( \frac { S ^ { 2 } k _ { \parallel 0 } q _ { m i n } R _ { 0 } } { n } - \frac { 3 } { 2 } \alpha ^ { 2 } S \big | \frac { k _ { \parallel 0 } q _ { m i n } R _ { 0 } } { n } \big | ^ { 1 / 2 } + \frac { 9 } { 3 2 } \alpha ^ { 4 } \bigg )