harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
< N | \bar { \Psi } i \gamma _ { 5 } x ^ { 3 } \tau ^ { 3 } \Psi | N > = P _ { c } ( r ) + < N | \bar { \Psi } i \gamma _ { 5 } x ^ { 3 } \tau ^ { 3 } \Psi | N > ^ { ( \Omega ^ { 1 } ) } \, ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \dot { R } } _ { 1 } = } & { { } \dot { R } _ { 0 } + \frac { F _ { 0 } + F _ { 0 \epsilon } + F _ { 1 } + F _ { 1 \epsilon } } { 2 M } \Delta t } \\ { \tilde { \dot { R } } _ { 1 } = } & { { } \dot { R } _ { 0 } + \frac { F _ { 0 } + F _ { 1 } } { 2 M } \Delta t + \frac { F _ { 0 \epsilon } + F _ { 1 \epsilon } } { 2 M } \Delta t } \\ { \tilde { \dot { R } } _ { 1 } = } & { { } \dot { R } _ { 1 } + \frac { F _ { 0 \epsilon } + F _ { 1 \epsilon } } { 2 M } \Delta t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { * } \Delta _ { 2 } } & { = \left[ \begin{array} { c c c } { - 0 . 2 6 2 0 - 0 . 0 0 6 2 \textbf { i } } & { - 0 . 2 7 8 1 - 0 . 1 7 0 3 \textbf { i } } & { 0 . 0 4 3 7 - 0 . 2 6 9 1 \textbf { i } } \\ { - 0 . 2 8 5 3 + 0 . 1 6 4 2 \textbf { i } } & { - 0 . 4 3 8 0 + 0 . 0 0 8 9 \textbf { i } } & { - 0 . 1 3 6 3 - 0 . 3 4 5 6 \textbf { i } } \\ { 0 . 0 6 5 8 + 0 . 2 7 1 7 \textbf { i } } & { - 0 . 1 4 0 8 + 0 . 3 4 9 3 \textbf { i } } & { - 0 . 3 0 0 5 - 0 . 0 1 3 9 \textbf { i } } \end{array} \right] , } \\ { \varepsilon ^ { * } \Delta _ { 1 } } & { = \left[ \begin{array} { c c c } { 0 . 1 1 7 9 - 0 . 0 0 0 6 \textbf { i } } & { - 0 . 0 6 9 5 + 0 . 0 0 3 0 \textbf { i } } & { 0 . 0 3 8 0 - 0 . 0 0 8 1 \textbf { i } } \\ { 0 . 0 8 0 9 - 0 . 0 0 5 3 \textbf { i } } & { - 0 . 0 4 3 2 + 0 . 0 0 3 1 \textbf { i } } & { 0 . 0 2 1 7 + 0 . 0 0 0 9 \textbf { i } } \\ { - 0 . 1 1 2 8 - 0 . 0 1 0 7 \textbf { i } } & { 0 . 0 7 4 6 + 0 . 0 0 1 4 \textbf { i } } & { - 0 . 0 4 5 2 + 0 . 0 1 6 0 \textbf { i } } \end{array} \right] , } \\ { \varepsilon ^ { * } \Delta _ { 0 } } & { = \left[ \begin{array} { c c c } { 0 . 0 1 8 3 + 0 . 0 0 3 0 \textbf { i } } & { 0 . 3 5 6 3 - 0 . 0 0 8 0 \textbf { i } } & { - 0 . 3 2 5 0 + 0 . 0 0 2 7 \textbf { i } } \\ { 0 . 0 8 2 8 + 0 . 0 0 6 8 \textbf { i } } & { 0 . 2 2 6 7 - 0 . 0 0 7 6 \textbf { i } } & { - 0 . 2 1 7 3 - 0 . 0 0 3 2 \textbf { i } } \\ { 0 . 0 9 4 6 + 0 . 0 1 0 6 \textbf { i } } & { - 0 . 3 6 7 0 - 0 . 0 0 7 9 \textbf { i } } & { 0 . 3 1 9 4 - 0 . 0 0 0 4 \textbf { i } } \end{array} \right] . } \end{array}
\mathbf T = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { } & { } & { \dots } & { } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { } & { } & { \dots } & { } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } & { u _ { i } ( t ) ^ { T } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) ] C _ { t } u _ { i } ( t ) = \lambda _ { i } ( t ) u _ { i } ( t ) ^ { T } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) ] u _ { i } ( t ) , } \\ & { - \beta \leq u _ { i } ( t ) ^ { T } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) ] u _ { i } ( t ) \leq - \alpha , } \end{array}
P _ { \uparrow } = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } e ^ { - \Gamma \tau } \exp \left[ - \frac { 1 } { 4 N } | f \tau | ^ { 2 } \left( 2 \bar { n } _ { z } + 1 \right) \chi ( r , \Delta \phi ) \right] ,
( T D C S ) _ { a v } = \frac { 1 } { 2 \pi \cos \theta _ { p } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi _ { p } \frac { d ^ { 3 } \sigma ( \mathbf { q } ) } { d \Omega _ { s } d \Omega _ { e } d E _ { e } } ,
\mathbb { P } _ { f } \big [ A _ { \Gamma } \in A _ { \mathcal { F } } \big ] = \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \left( \frac { f ( N ) - k } { f ( N ) } \right) ^ { f ( N ) \left( \frac { ( N - 1 ) h ( N ) } { 2 N } \right) } = \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } e ^ { - k \left( \frac { ( N - 1 ) h ( N ) } { 2 N } \right) } = 0 .
M _ { h } ^ { 2 } = M _ { Z } ^ { 2 } + \frac { 3 \alpha m _ { t } ^ { 4 } } { 2 \pi \sin ^ { 2 } \theta _ { W } M _ { W } ^ { 2 } } \ln \frac { \tilde { m } ^ { 2 } } { M _ { Z } ^ { 2 } } ~ .
d f ( t , S _ { t } ) = \left( { \frac { \partial f } { \partial t } } + { \frac { 1 } { 2 } } \left( S _ { t } \sigma \right) ^ { 2 } { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial S ^ { 2 } } } \right) \, d t + { \frac { \partial f } { \partial S } } \, d S _ { t } .
F _ { \mathrm { ~ p ~ i ~ e ~ z ~ o ~ } } ^ { 0 } = - k \, \frac { \omega ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \, \beta \, \frac { 2 \, R \, \langle I _ { \mathrm { ~ t ~ } } \rangle } { \sqrt { 1 + ( \omega R C ) ^ { 2 } } } \, \frac { \mathfrak { I } _ { 1 } ( 2 \kappa A ) } { \mathfrak { I } _ { 0 } ( 2 \kappa A ) } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } ( w _ { p , q } ^ { \Omega } ) ^ { \, q - 1 } \, \frac { | \eta | ^ { p } } { ( w _ { p , q } ^ { \Omega } + \varepsilon ) ^ { p - 1 } } \, d x } & { = \int _ { \Omega } \left\langle | \nabla w _ { p , q } ^ { \Omega } | ^ { p - 2 } \, \nabla w _ { p , q } ^ { \Omega } , \nabla \left( \frac { | \eta | ^ { p } } { ( w _ { p , q } ^ { \Omega } + \varepsilon ) ^ { p - 1 } } \right) \right\rangle \, d x } \\ & { \le \int _ { \Omega } | \nabla \eta | ^ { p } \, d x . } \end{array}
t ^ { \mathrm { r } } = \left\{ \begin{array} { l l } { t , } & { ~ ~ s _ { i , f o o d } ^ { \mathrm { i n } } ( t ) > 0 . 9 5 \times s ^ { \mathrm { b a s e } } } \\ { n o t f i n d , } & { ~ ~ s _ { i , f o o d } ^ { \mathrm { i n } } ( t ) \le 0 . 9 5 \times s ^ { \mathrm { b a s e } } , f o r ~ a l l ~ t } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \varrho ( 0 ) \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { p } d x + \frac { 3 \delta _ { 0 } } { 4 } I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { p - 2 } \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 2 } d x \bigg ) ( t ) } \\ & { \leq C \bigg \{ p ( p - 1 ) I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \underset { \bar { \Omega } } { \operatorname* { s u p } } \bigg | \frac { \partial u } { \partial x } \bigg | ^ { p } \bigg ) ( t ) + I _ { t } ^ { \nu - \mu _ { N } } \bigg ( \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { p } d x \bigg ) ( t ) } \\ & { + \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u _ { 0 } } { \partial x } \bigg ) ^ { p } d x \bigg \} + I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } ( \mathcal { K } * \mathcal { L } _ { 2 } u ) p \frac { \partial } { \partial x } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { p - 1 } d x \bigg ) ( t ) , } \end{array}
\tau ( q ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( q - 1 ) D _ { \mathrm { ~ f ~ } } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } q < \gamma - 1 } \\ { q D _ { \mathrm { ~ f ~ } } \left( \displaystyle \frac { \gamma - 2 } { \gamma - 1 } \right) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } q \ge \gamma - 1 } \end{array} \right. ,
\chi ^ { 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \left( m _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } - m _ { H } \right) ^ { 2 } } { \sigma \left( m _ { H } \right) ^ { 2 } } + \frac { \left( m _ { \mathrm { T } } ^ { \left( \mu _ { 3 } , M E T \right) } - m _ { W } \right) ^ { 2 } } { \sigma \left( m _ { W } \right) ^ { 2 } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } n _ { \mu } = 3 } \\ { \frac { \left( m _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } - m _ { H } \right) ^ { 2 } } { \sigma \left( m _ { H } \right) ^ { 2 } } + \frac { \left( m _ { \mu _ { 3 } \mu _ { 4 } } - m _ { Z } \right) ^ { 2 } } { \sigma \left( m _ { Z } \right) ^ { 2 } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } n _ { \mu } \geq 4 } \end{array} \right. ,
V ( t ) = { \frac { \hbar } { 2 e } } \omega ( n + a \cos ( \omega t ) ) , { \mathrm { ~ a n d ~ } } I ( t ) = I _ { c } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } J _ { m } ( a ) \sin ( \varphi _ { 0 } + ( n + m ) \omega t ) ,
\Delta f = \nabla ^ { 2 } \! f = ( \nabla \cdot \nabla ) f = { \frac { \partial ^ { 2 } \! f } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } \! f } { \partial y ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } \! f } { \partial z ^ { 2 } } } .
\ddot { r } = \frac { f ^ { \prime } } { 2 f ^ { 2 } } \dot { r } ^ { 2 } + r f \dot { \theta } ^ { 2 } - \frac { f ^ { \prime } E ^ { 2 } } { 2 f } + \frac { f \; h ^ { 2 } } { r ^ { 3 } s i n ^ { 2 } \theta }
\eta ( \xi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \exp \left( 1 - \frac { 1 } { 1 - \xi ^ { 2 } } \right) , } & { \quad \xi \in ( - 1 , 1 ) , } \\ { 0 , } & { \quad \xi \not \in ( - 1 , 1 ) . } \end{array} \right.
s \geq \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } \log \left( \frac { 8 ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } ) } { \epsilon ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) } \right) \log \left( 1 6 \frac { ( \alpha _ { 1 } + \beta _ { 2 } ) ( \alpha _ { 2 } + \beta _ { 1 } ) } { ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) ( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } ) } \right) ,
R _ { 1 2 } d K _ { 1 } R _ { 2 1 } K _ { 2 } + R _ { 1 2 } K _ { 1 } R _ { 2 1 } d K _ { 2 } = d K _ { 2 } R _ { 1 2 } K _ { 1 } R _ { 2 1 } + K _ { 2 } R _ { 1 2 } d K _ { 1 } R _ { 2 1 } \quad .
Q _ { 1 } A = { \left( \begin{array} { l l l } { 1 4 } & { 2 1 } & { - 1 4 } \\ { 0 } & { - 4 9 } & { - 1 4 } \\ { 0 } & { 1 6 8 } & { - 7 7 } \end{array} \right) } ,
C _ { N _ { P + 1 } + \dots + N _ { P + K } } ^ { N _ { P + 1 } } C _ { N _ { P + 2 } + \dots + N _ { P + K } } ^ { N _ { P + 2 } } \dots C _ { N _ { P + K - 1 } + N _ { P + K } } ^ { N _ { P + K - 1 } }
{ \begin{array} { l l l l l } { \operatorname { S p e c } \left( { \frac { \mathbb { C } [ x , y ] } { \left( y - { \frac { \beta } { \alpha } } x \right) } } \right) } & { \to } & { \operatorname { S p e c } \left( { \frac { \mathbb { C } \left[ { \frac { b } { a } } \right] [ x , y ] } { \left( y - { \frac { b } { a } } x \right) } } \right) } & { \to } & { { \underline { { \operatorname { S p e c } } } } _ { X } \left( { \frac { { \mathcal { O } } _ { X } [ x , y ] } { \left( a y - b x \right) } } \right) } \\ { \downarrow } & & { \downarrow } & & { \downarrow } \\ { \operatorname { S p e c } ( \mathbb { C } ) } & { \to } & { \operatorname { S p e c } \left( \mathbb { C } \left[ { \frac { b } { a } } \right] \right) = U _ { a } } & { \to } & { \mathbb { P } _ { a , b } ^ { 1 } } \end{array} }
{ \mathfrak { H } } _ { 1 } = { \left( \begin{array} { l l } { z _ { 2 } - z _ { 3 } } & { - z _ { 1 } ( z _ { 2 } - z _ { 3 } ) } \\ { z _ { 2 } - z _ { 1 } } & { - z _ { 3 } ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) } \end{array} \right) }
\langle P ( k ) | V ^ { \mu } | B ( p ) \rangle = f ^ { + } ( q ^ { 2 } ) \left[ ( p + k ) ^ { \mu } - \frac { m _ { B } ^ { 2 } - m _ { P } ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \, q ^ { \mu } \right] + f ^ { 0 } ( q ^ { 2 } ) \, \frac { m _ { B } ^ { 2 } - m _ { P } ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \, q ^ { \mu } \ ,
\mathcal { Z } _ { 3 } ^ { \mathrm { ~ O ~ U ~ T ~ \phantom { ~ } { ~ , ~ } ~ S ~ + ~ } , \mathrm { ~ I ~ N ~ \phantom { ~ } { ~ , ~ } ~ S ~ + ~ } } = \| { \scriptsize { \mathrm { ~ O ~ U ~ T ~ } } } \| ^ { - 1 } i c \Omega ^ { 2 } \varphi _ { z , \mathrm { ~ I ~ N ~ } } \varphi _ { z , \mathrm { ~ O ~ U ~ T ~ } } .
\sum _ { c y c } \frac { 1 } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } = \sqrt { \frac { \left( \sum _ { c y c } \frac { 1 } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \sum _ { c y c } ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) ( a b + \sqrt 2 c ^ { 2 } ) ^ { 3 } } { \sum _ { c y c } ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) ( a b + \sqrt 2 c ^ { 2 } ) ^ { 3 } } } \geq \sqrt { \frac { \left( \sum _ { c y c } ( \sqrt 2 a ^ { 2 } + a b ) \right) ^ { 3 } } { \sum _ { c y c } ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) ( a b + \sqrt 2 c ^ { 2 } ) ^ { 3 } } }
\begin{array} { r l } { q ^ { \prime } ( J ) } & { = \frac { 1 } { d + 1 } \sum _ { i \in [ d + 1 ] } q ( K _ { i } ( J ) ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { d + 1 } \sum _ { i \in [ d + 1 ] } q ^ { * } ( k _ { i } ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { d + 1 } \sum _ { i \in [ d + 1 ] } q ^ { * } ( m _ { i } ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { d + 1 } \sum _ { i \in [ d + 1 ] } p ^ { * } ( m _ { i } ) } \\ & { = \frac { 1 } { d + 1 } \sum _ { i \in [ d + 1 ] } p ( K _ { i } ( B ) ) } \\ & { = p ^ { \prime } ( B ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { 2 } \leq A _ { 7 } \sqrt { n ^ { - 1 } | \Theta | } \Big ( \sqrt { 8 C _ { \upsilon } \mathbb { E } \big [ \mathcal { R } ( \mathcal { H } _ { i j } ) \big ] } + C _ { 5 } \mathbb { E } ^ { \frac { 1 } { 2 ( 1 + \gamma ) } } \big [ \Psi _ { u } ^ { \gamma } \big ] ( 2 ^ { i } \delta _ { n } ) ^ { \frac { \gamma } { 2 ( \gamma + 1 ) } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( 1 + \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { j ! } \frac { \Gamma ( \mathbb { E } + 2 ) } { \Gamma ( \mathbb { E } + 2 + j ) } X _ { s } ^ { j } D _ { s } ^ { j } \right) \left( 1 + \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { j ! } \frac { \Gamma ( \mathcal { E } + 2 ) } { \Gamma ( \mathcal { E } + 2 + j ) } R ^ { j } L ^ { j } \right) } \end{array}
- t _ { 2 } J _ { 1 } ( K _ { x 2 } ) J _ { 1 } ( K _ { y 2 } ) [ 3 J _ { 0 } ( K _ { x 1 } ) J _ { 0 } ( K _ { y 1 } ) ( t _ { 1 } \sin ( q _ { x } b ) + t _ { 3 } \sin ( q _ { y } b ) ) \sin ( \varphi _ { x 2 } - \varphi _ { y 2 } ) - 2 J _ { 1 } ( K _ { x 1 } ) J _ { 1 } ( K _ { y 1 } )
\begin{array} { r l r } { V _ { n } ( \pi ) } & { = } & { \bar { R } ( \pi , a ^ { * } ( \pi ) ) - \mathbb { E } _ { X } \left[ \bar { R } ( \pi _ { X } , a ^ { * } ( \pi _ { X } ) ) \right] } \\ & { = } & { \mathbb { E } _ { T } \left[ R ( T , a ^ { * } ( \pi ) ) \right] - \mathbb { E } _ { T } \mathbb { E } _ { X | T } \left[ R ( T , a ^ { * } ( \pi _ { X } ) ) \right] } \end{array}
B _ { c o v } = i ( - \pi ) ^ { \omega } p ^ { - } ( p ^ { 2 } ) ^ { \omega - 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \Gamma ( 3 - \omega + n ) \Gamma ( \omega - 1 + n ) } { \Gamma ( \omega + n ) \Gamma ( n + 2 ) } ( 1 - \eta ^ { n + 1 } )
{ \cal L } = \frac { 1 } { 2 } \{ [ \dot { X } ( t ) + g \xi ( t ) Y ( t ) ] ^ { 2 } + [ \dot { Y } ( t ) - g \xi ( t ) X ( t ) ] ^ { 2 } + [ \dot { Z } ( t ) - \xi ( t ) ] ^ { 2 } \} - U ( X ( t ) ^ { 2 } + Y ( t ) ^ { 2 } )
\hat { H } ( t ) = \sum _ { i j } h _ { i j } ( t ) \hat { c } _ { i } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j k l } w _ { i j k l } ( t ) \hat { c } _ { i } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j } ^ { \dagger } \hat { c } _ { l } \hat { c } _ { k } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } : \; } & { { } ( \mathbf { E } _ { T , \lambda } , \Vert . \Vert _ { \mathbf { E } _ { T , \lambda } } ) \longrightarrow ( \mathbf { E } _ { T , \lambda } , \Vert . \Vert _ { \mathbf { E } _ { T , \lambda } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { T } & { { } = \frac { \langle \Psi _ { t } | v _ { \bot } | \Psi _ { t } \rangle } { \langle \Psi _ { i n } | \Psi _ { i n } \rangle } } \\ { R } & { { } = \frac { \langle \Psi _ { r } | v _ { \bot } | \Psi _ { r } \rangle } { \langle \Psi _ { i n } | \Psi _ { i n } \rangle } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \frac { | D _ { [ t + \varepsilon , \infty ) } ( n ) ( c _ { i } ) | } { D _ { [ t , t + \varepsilon ] } ( n ) ( c _ { i } ) } \leq \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \frac { | D _ { [ t + \varepsilon , \infty ) } ( n ) ( c _ { i } ) | } { D _ { [ t , t + \delta ] } ( n ) ( c _ { i } ) - I _ { [ t + \delta , \infty ) } ^ { \operatorname* { m a x } ( f , \tilde { f } ) } ( n ) ( c _ { i } ) } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { c c c } { ( 1 + x y ) } & { ( 1 + x ^ { 2 } y ) } & { ( 1 + x ^ { 4 } y ) } \\ { ( 1 + x y ^ { 2 } ) } & { ( 1 + x ^ { 2 } y ^ { 2 } ) } & { ( 1 + x ^ { 4 } y ^ { 2 } ) } \\ { ( 1 + x y ^ { 4 } ) } & { ( 1 + x ^ { 2 } y ^ { 4 } ) } & { ( 1 + x ^ { 4 } y ^ { 4 } ) } \end{array} = \begin{array} { c c c } { \frac { ( 1 - x ^ { 8 } y ^ { 8 } ) } { ( 1 - x y ) } } & { \frac { ( 1 - x ^ { 8 } y ^ { 4 } ) } { ( 1 - x ^ { 2 } y ) } } & { \frac { ( 1 - x ^ { 8 } y ^ { 2 } ) } { ( 1 - x ^ { 4 } y ) } } \\ { \frac { ( 1 - x ^ { 4 } y ^ { 8 } ) } { ( 1 - x y ^ { 2 } ) } } & & \\ { \frac { ( 1 - x ^ { 2 } y ^ { 8 } ) } { ( 1 - x y ^ { 4 } ) } } & & \end{array}
\psi _ { 0 } ( \vec { r } ) \, = \, \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } T _ { n } ^ { 0 } ( r , \phi ) \, = \, \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \lambda ( - i ) ^ { | \lambda | } J _ { | \lambda | } ( k r ) e ^ { i \lambda ( \phi + \pi - \theta + 2 n \pi ) } .
\begin{array} { r l r } { \Delta \tau _ { \mathrm { E { \mathrm { ~ \ n o r m a l f o n t ~ \ l e f t m o o n ~ } } } } ^ { \mathrm { t i d a l } } } & { { } = } & { - \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t \, c ^ { - 2 } u _ { \mathrm { E { \mathrm { ~ \ n o r m a l f o n t ~ \ l e f t m o o n ~ } } } } ^ { \tt t i d a l } \simeq } \end{array}
\left\langle \; \cos ( \omega _ { \alpha } t _ { 1 0 } + \omega _ { \beta } t _ { 2 1 } ) \; \right\rangle = { \frac { 1 - \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \omega _ { \alpha } \omega _ { \beta } } { ( 1 + \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \omega _ { \alpha } ^ { 2 } ) ( 1 + \lambda _ { 2 } ^ { 2 } \omega _ { \beta } ^ { 2 } ) } } \; .
\left\{ \begin{array} { l l l } { \operatorname* { m i n } } & { - 0 . 5 x _ { 1 } ^ { 4 } + 2 x _ { 1 } x _ { 2 } - 2 x _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \mathit { s . t . } } & { - x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 1 } + x _ { 2 } - y _ { 1 } - y _ { 2 } \geq 0 \quad \forall y \in Y ( x ) , } \\ & { x \in X = [ 0 , 1 ] ^ { 2 } , } \\ & { Y ( x ) = \{ y \in \mathbb { R } ^ { 3 } : 0 \leq y \leq 1 , e ^ { T } y \leq x _ { 1 } \} . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } & { \partial _ { x } \mathrm { c n } ( x , p ) = - \mathrm { s n } ( x , p ) \mathrm { d n } ( x , p ) , \qquad } & & { \partial _ { x } \mathrm { s n } ( x , p ) = \mathrm { c n } ( x , p ) \mathrm { d n } ( x , p ) } \\ & { \partial _ { x } \mathrm { d n } ( x , p ) = - p ^ { 2 } \mathrm { c n } ( x , p ) \mathrm { s n } ( x , p ) , } & & { \partial _ { x } \mathrm { a m } ( x , p ) = \mathrm { d n } ( x , p ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta x _ { i } ^ { ( t ) } = \bar { A } _ { i } ^ { ( t ) } \Delta t + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j } \left( B _ { i j } ^ { ( t ) } + B _ { i j } ^ { ( t + 1 ) } \right) \varepsilon _ { j } ^ { ( t ) } \sqrt { \Delta t } , } \end{array}
\frac { - \gamma ^ { 4 } R ^ { 2 } \mathcal C _ { 3 } \Gamma _ { x x } \Gamma _ { y y } } { 2 \Gamma _ { 1 } ^ { 3 } \left( ( \Omega - \omega ) ^ { 2 } + \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( ( \Omega + \omega ) ^ { 2 } + \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \beta \dot { d } } & { = \frac { G _ { c } } { c _ { 0 } l _ { d } } \left( 2 l _ { d } ^ { 2 } \triangle { d } - w ^ { \prime } ( d ) \right) - g ^ { \prime } ( d , \psi _ { c } ) \psi _ { e } ^ { A } , } \\ & { = \frac { 3 G _ { c } } { 8 l _ { d } } \left( 2 l _ { d } ^ { 2 } \triangle { d } - 1 \right) - g ^ { \prime } ( d , \psi _ { c } ) \psi _ { e } ^ { A } , } \end{array}
\int d \theta _ { 1 } \cdots d \theta _ { n } f ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k } , \theta _ { 1 } , \ldots , \theta _ { l } ) = f _ { i _ { 1 } \cdots i _ { n } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k } ) .
\mu = \frac { \omega } { 2 } \pm \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { \gamma ^ { 2 } / 4 + 1 } , } & { | \gamma | \leq 2 , } \\ { \sqrt { \gamma ^ { 2 } / 4 \pm 1 } , } & { | \gamma | > 2 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \big \| ( K c ( t ) \big \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { = } & { \sum _ { | \ell | \geq L _ { 0 } } \Big | \sum _ { | k | \geq L _ { 0 } } c _ { k } a _ { k \ell } + c _ { k } ( \langle \chi _ { 1 } \Psi _ { k } ^ { \mathrm { E u c } } , \Xi _ { \ell } \rangle + \langle \Xi _ { k } , \chi _ { 1 } \Phi _ { \ell } ^ { \mathrm { E u c } } \rangle + \langle \Xi _ { k } , \Xi _ { \ell } \rangle ) \Big | ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { C \| c ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } \sum _ { | \ell | \geq L _ { 0 } } \Big ( \sum _ { | k | \geq L _ { 0 } } | a _ { k \ell } | ^ { 2 } + \sum _ { | k | \geq L _ { 0 } } \frac { 1 } { | k | ^ { 2 } | \ell | ^ { 2 } } \Big ) } \end{array}
\bigcup _ { \varepsilon > 0 } \mathcal D _ { \varepsilon } = \underbrace { \bigl \{ x ^ { \prime } \in { \mathbb R } ^ { d _ { \mathrm { i n } - 1 } } \colon \bigl [ \exists x _ { 0 } \in { \mathbb R } : ( x _ { 0 } , x ^ { \prime } ) \in \mathbb D \bigr ] \mathrm { ~ a n d ~ } \bigl [ \forall k \not = K : ( 0 , x ^ { \prime } ) \not \in \partial A _ { k } \bigr ] \bigr \} } _ { = \colon \mathcal D } .
\begin{array} { r l } { A _ { L / R } } & { { } = \left( \frac { n _ { L / R } } { \left| \alpha _ { L / R } \right| } \right) _ { L / R } ^ { n } \cdot \exp \left( - \frac { \left| \alpha _ { L / R } \right| ^ { 2 } } { 2 } \right) , } \\ { B _ { L / R } } & { { } = \frac { n _ { L / R } } { \left| \alpha _ { L / R } \right| } - \left| \alpha _ { L / R } \right| , } \end{array}
Z _ { n ^ { ( e ) } } = \left( \begin{array} { l l } { { { \bf 1 } } } & { { 0 } } \\ { { { { \tilde { \bf c } } ^ { v } } } } & { { { \bf 1 } } } \end{array} \right) \qquad \qquad { \tilde { \bf c } } ^ { v } = 4 n ^ { ( e ) } { n ^ { ( e ) } } ^ { t }
\frac { d \sigma _ { e l } } { d \Omega } = \frac { m ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } | \langle { \phi _ { k \hat { n } } } | T ^ { + } ( E ) | \phi _ { \mathbf { k } } \rangle | ^ { 2 } = \frac { m ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } | \langle { \phi _ { k \hat { n } } } | V | { \psi _ { \mathbf { k } } ^ { + } } \rangle | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { A _ { m } } & { { } = \frac { Y _ { m } \sinh ( k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } ) + Z _ { m } k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } e ^ { k _ { \perp } ( \lambda ^ { - 1 } - 2 y _ { 2 } ) } } { \sinh ^ { 2 } ( k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } ) - ( k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } , } \\ { B _ { m } } & { { } = \frac { Y _ { m } k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } e ^ { - k _ { \perp } ( \lambda ^ { - 1 } - 2 y _ { 2 } ) } + Z _ { m } \sinh ( k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } ) } { \sinh ^ { 2 } ( k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } ) - ( k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } , } \\ { Y _ { m } } & { { } = - d _ { j } ( \hat { J } _ { j m } ^ { \infty } | ^ { L } e ^ { k _ { \perp } ( \lambda ^ { - 1 } - y _ { 2 } ) } - \hat { J } _ { j m } ^ { \infty } | ^ { U } e ^ { - k _ { \perp } y _ { 2 } } ) , } \\ { Z _ { m } } & { { } = - \bar { d } _ { j } ( \hat { J } _ { j m } ^ { \infty } | ^ { L } e ^ { - k _ { \perp } ( \lambda ^ { - 1 } - y _ { 2 } ) } - \hat { J } _ { j m } ^ { \infty } | ^ { U } e ^ { k _ { \perp } y _ { 2 } } ) , } \\ { C _ { i m } } & { { } = \frac { F _ { i m } e ^ { - k _ { \perp } ( \lambda ^ { - 1 } - y _ { 2 } ) } - G _ { i m } e ^ { k _ { \perp } y _ { 2 } } } { e ^ { - k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } } - e ^ { k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } } } , } \\ { D _ { i m } } & { { } = \frac { G _ { i m } e ^ { - k _ { \perp } y _ { 2 } } - F _ { i m } e ^ { k _ { \perp } ( \lambda ^ { - 1 } - y _ { 2 } ) } } { e ^ { - k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } } - e ^ { k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } } } , } \\ { F _ { i m } } & { { } = - \hat { J } _ { i m } ^ { \infty } | ^ { L } - \frac { 1 } { 4 k _ { \perp } ^ { 2 } } [ A _ { m } d _ { i } e ^ { k _ { \perp } y _ { 2 } } ( 1 - 2 k _ { \perp } y _ { 2 } ) - B _ { m } \bar { d } _ { i } e ^ { - k _ { \perp } y _ { 2 } } ( 1 + 2 k _ { \perp } y _ { 2 } ) ] , } \\ { G _ { i m } } & { { } = - \hat { J } _ { i m } ^ { \infty } | ^ { U } - \frac { 1 } { 4 k _ { \perp } ^ { 2 } } [ A _ { m } d _ { i } e ^ { - k _ { \perp } ( \lambda ^ { - 1 } - y _ { 2 } ) } ( 1 + 2 k _ { \perp } ( \lambda ^ { - 1 } - y _ { 2 } ) ) , } \end{array}
- 3 \ell = \vec { f } \cdot \vec { f } = \frac { 1 } { 4 } ( \vec { E } + \vec { B } ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } ( \vec { E } ^ { 2 } + \vec { B } ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } \vec { E } \cdot \vec { B }
\begin{array} { r l } { p _ { t } } & { { } = \theta \left( - b _ { 0 } v _ { x } + \eta _ { x } p + \eta p _ { x } \right) , } \\ { v _ { t } } & { { } = \theta \left( - \rho _ { 0 } ^ { - 1 } p _ { x } + \eta _ { x } v + \eta v _ { x } \right) . } \end{array}