harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { y ^ { w _ { r x } } ( \tau , \nu ) } & { = } & { w _ { r x } ( \tau , \nu ) \, \star \, \left[ G _ { _ { \mathrm { \footnotesize { d d } } } } ^ { * } ( \tau , \nu ) \cdot \left( h ( \tau , \nu ) * _ { \sigma } \left\{ G _ { _ { \mathrm { \footnotesize { d d } } } } ( \tau , \nu ) \cdot \left[ w _ { t x } ( \tau , \nu ) \star x ( \tau , \nu ) \right] \, \right\} \right) \right] , } \\ { y _ { _ { \mathrm { \footnotesize { d d } } } } ^ { w _ { r x } } ( \tau , \nu ) } & { = } & { w _ { r x } ( \tau , \nu ) \, * _ { \sigma } \, h ( \tau , \nu ) \, * _ { \sigma } \, w _ { t x } ( \tau , \nu ) \, * _ { \sigma } \, x _ { _ { \mathrm { \footnotesize { d d } } } } ( \tau , \nu ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \tilde { l } ^ { \alpha ^ { \prime } } ( \langle Y X , \theta ^ { * } \rangle ) Y X _ { i } \right] } \\ & { \quad \quad = \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \left( \tilde { l } ^ { \alpha ^ { \prime } } ( a _ { ( X , Y ) } ) + ( b _ { ( X , Y ) } - a _ { ( X , Y ) } ) \tilde { l } ^ { \alpha ^ { \prime \prime } } ( a _ { ( X , Y ) } ) + \frac { ( b _ { ( X , Y ) } - a _ { ( X , Y ) } ) ^ { 2 } } { 2 } \tilde { l } ^ { \alpha ^ { \prime \prime \prime } } ( c _ { ( X , Y ) } ^ { \alpha } ) \right) Y X _ { i } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bullet \quad } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } ( { \tilde { u } } { \tilde { v } } ) _ { x } { \tilde { v } } _ { x } { \mathrm { d } x } \le C \| { \tilde { u } } _ { x } \| \| { \tilde { v } } _ { x } \| { \tilde { v } } _ { x } \| \le \frac { \alpha } { 6 } \| { \tilde { v } } _ { x } \| ^ { 2 } + \frac { C } { \alpha } \| { \tilde { u } } _ { x } \| ^ { 2 } \| { \tilde { v } } _ { x } \| ^ { 2 } , } \\ { \bullet \quad } & { \overline { { v } } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { u } } _ { x } { \tilde { v } } _ { x } { \mathrm { d } x } \le C \| { \tilde { u } } _ { x } \| \| { \tilde { v } } _ { x } \| \le \frac { \alpha } { 6 } \| { \tilde { v } } _ { x } \| ^ { 2 } + \frac { C } { \alpha } \| { \tilde { u } } _ { x } \| ^ { 2 } , } \\ { \bullet \quad } & { \alpha ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { v } } _ { x } { \mathrm { d } x } \le | \alpha ^ { \prime } | \| { \tilde { v } } _ { x } \| \le \frac { \alpha } { 6 } \| { \tilde { v } } _ { x } \| ^ { 2 } + \frac { C } { \alpha } | \alpha ^ { \prime } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { u _ { i , k } ^ { j + 1 } - u _ { i , k } ^ { j } } { \Delta t } + r _ { i } u _ { i , k } ^ { j + 1 } - \alpha _ { 1 } \frac { u _ { i + 1 , k } ^ { j + 1 } - u _ { i - 1 , k } ^ { j + 1 } } { 2 \Delta r } - \alpha _ { 2 } \frac { u _ { i , k + 1 } ^ { j + 1 } - u _ { i , k - 1 } ^ { j + 1 } } { 2 \Delta \lambda } } \\ { \approx \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathcal { D } _ { u } ^ { t _ { j } , r _ { i } , \lambda _ { k } } ( y _ { r } , 0 ) \varphi _ { r } ( y _ { r } ) d y _ { r } + \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathcal { D } _ { u } ^ { t _ { j } , r _ { i } , \lambda _ { k } } ( 0 , y _ { \lambda } ) \varphi _ { \lambda } ( y _ { \lambda } ) d y _ { \lambda } , } \end{array}
\begin{array} { c } { { A _ { g } ^ { e x t \ a , \ a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , a _ { 4 } } \left( l , k ; p _ { 1 } ; l _ { 2 } , p _ { 2 } ; p _ { 3 } ; p _ { 4 } \right) = } } \\ { { = i g \sum _ { c } f _ { c } ^ { a \; a _ { 2 } } \frac { \left( l _ { 2 \ \nu } \left( l p _ { 2 } \right) - l _ { \ \nu } \left( l _ { 2 } k \right) + \left( l _ { 2 } l \right) k _ { \ \nu } \right) } { k p _ { 2 } } A ^ { \nu , \ a _ { 1 } , c , a , a _ { 5 } } \left( \ldots , p _ { 2 } + k , \ldots \right) + } } \\ { { + i g \sum _ { i \neq 2 } \sum _ { c _ { i } } f _ { c _ { i } } ^ { a \; a _ { i } } \frac { \left( l p _ { i } \right) } { k p _ { i } } \left( l _ { 2 \ \nu } A ^ { \nu , \ \ldots , c _ { i , \ldots } } \left( \ldots , p _ { i } + k , \ldots \right) \right) \qquad \qquad \qquad } } \end{array}
\mathrm { { C } _ { \mathrm { { t o t } } } ^ { \ s i g m a } ( { \bf r } ) = \mathrm { { C } _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \ s i g m a } ( { \bf r } ) + \mathrm { { C } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \ s i g m a } ( { \bf r } ) + \mathrm { { C } _ { \mathrm { { i n t } } } ^ { \ s i g m a } ( { \bf r } ) } } } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle \Psi _ { f } ^ { ( b ) } ( \sigma ) | \Psi _ { f ^ { \prime } } ^ { ( b ) } ( \sigma ) \rangle = \delta _ { f f ^ { \prime } } , } \\ & { } & { \sum _ { n = 1 } ^ { 2 } | \Psi _ { n } ^ { ( b ) } ( \sigma ) \rangle \langle \Psi _ { n } ^ { ( b ) } ( \sigma ^ { \prime } ) | + \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d k \sum _ { \alpha = + , - } | \Psi _ { k \alpha } ^ { ( b ) } ( \sigma ) \rangle \langle \Psi _ { k \alpha } ^ { ( b ) } ( \sigma ^ { \prime } ) | } \\ & { } & { = I \delta ( \sigma - \sigma ^ { \prime } ) , } \end{array}
R _ { t h } = \sum \frac { e } { \lambda S } = \frac { 1 } { 2 \pi R ^ { 2 } } \left( \frac { 0 . 5 } { 0 . 6 } + \frac { 0 . 2 } { 0 . 1 } \right) = 0 . 0 1 8
\bar { P } _ { 0 } + \frac { \mu _ { 0 } ^ { 3 } \omega _ { 0 } ^ { 5 } ( \pi r _ { 2 } \alpha _ { 0 } n I _ { 0 } ) ^ { 2 } q ( r _ { 1 } , r _ { 2 } ) } { 2 c _ { 3 } ^ { 2 } }
\lambda _ { \mathrm { R } } \simeq 3 . 4 0 \left[ 1 . 5 + 1 . 8 6 \left( \frac { \Gamma } { \Gamma _ { \mathrm { f r } } } \right) ^ { 2 / 5 } \right] \sqrt { \frac { \Gamma } { \Gamma _ { \mathrm { f r } } } } .
\begin{array} { r l r l } { { 3 } } & { f \in L _ { { \mathrm { l o c } } } ^ { d / ( d - 2 ) } ( \Omega ) \cap W _ { \mathrm { l o c } } ^ { 1 , d / ( d - 1 ) } ( \Omega ) \qquad } & & { \mathrm { i f ~ } d \ge 3 , } \\ & { f \in L _ { { \mathrm { l o c } } } ^ { \infty } ( \Omega ) \cap W _ { \mathrm { l o c } } ^ { 1 , 2 } ( \Omega ) \qquad } & & { \mathrm { i f ~ } d = 2 , } \\ & { f \in L _ { { \mathrm { l o c } } } ^ { \infty } ( \Omega ) \cap W _ { \mathrm { l o c } } ^ { 1 , \infty } ( \Omega ) \qquad } & & { \mathrm { i f ~ } d = 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mu \nu } ( { \mathbf { R } } ) = } & { { } ( \chi _ { \mu } ( { \mathbf { R } } ) | \chi _ { \nu } ( { \mathbf { R } } ) ) } \\ { : = } & { { } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \chi _ { \mu } ^ { * } ( { \mathbf { R } } , \boldsymbol { x } ) \chi _ { \nu } ( { \mathbf { R } } , \boldsymbol { x } ) \, d ^ { 3 } \boldsymbol { x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi ( \delta \mathbf { x } ) } & { = \frac { [ \textrm { t r } ( { \boldsymbol \sigma } ( \mathbf { x } + \delta \mathbf { x } ) ) - \langle \textrm { t r } ( { \boldsymbol \sigma } ) \rangle ] \cdot [ S ( \mathbf { x } ) - \langle S \rangle ] } { \langle \textrm { t r } ( { \boldsymbol \sigma } ) \rangle \langle S \rangle } , } \end{array}
I _ { \mathrm { C T } } ^ { \mathrm { ( L i ) } } ( R ) = \frac { 2 \pi } { V } P _ { \mathrm { p i c k u p } } ( R ) \int _ { 0 } ^ { R } \int _ { 0 } ^ { \pi } P _ { \mathrm { C T } } ^ { \mathrm { ( L i ) } } ( r , \theta , R ) r ^ { 2 } \sin \theta d \theta d r .
( N ( - F ) ) ^ { * } \otimes K _ { \pi ^ { * } { \cal S } } \otimes { \cal O } _ { \pi ^ { * } { \cal S } } ( C ) = { \cal O } _ { \pi ^ { * } { \cal S } } ( A ^ { \prime \prime } \sigma | _ { \pi ^ { * } { \cal S } } + \dots ) ,
\begin{array} { r l } { p } & { = v + \sum _ { m = 1 } Q _ { \mathrm { b v p } } ( \beta _ { m + 1 } ( x ) \partial _ { t } ^ { 2 } ( p ^ { m + 1 } ) + 2 \varrho ^ { - 1 } \beta _ { m + 1 } ( x ) \partial _ { t } ( \varrho ^ { m + 1 } ) \partial _ { t } ( p ^ { m + 1 } ) + \varrho ^ { - 1 } \beta _ { m + 1 } ( x ) \partial _ { t } ^ { 2 } ( \varrho ^ { m + 1 } ) p ^ { m + 1 } ) } \\ & { = v + { B _ { 2 } + B _ { 3 } + \dots } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A s y m V a r ( \widetilde { \alpha } _ { k } ) } & { = \cfrac { 2 4 c \sigma ^ { 2 } } { \big ( A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } + \cfrac { 3 6 0 c \sigma ^ { 2 } } { \big ( A _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } , } \\ { A s y m V a r ( \widetilde { \beta } ) } & { = \cfrac { 3 6 0 c \sigma ^ { 2 } } { \big ( A _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \Omega } ( \beta ) = \underbrace { \frac 1 t { \sum _ { \tau = 1 } ^ { t } } \Big ( d ( { \theta ^ { \tau } } , \beta ) - \nabla { \bar { f } } ( \beta ) \Big ) ^ { \otimes 2 } } _ { { \mathrm { { I } } } ( \beta ) } - \underbrace { \bigg ( \frac 1 t { \sum _ { \tau = 1 } ^ { t } } d ( { \theta ^ { \tau } } , \beta ) - \nabla { \bar { f } } ( \beta ) \bigg ) ^ { \otimes 2 } } _ { { \mathrm { { I I } } } ( \beta ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \frac { d ^ { 3 } } { d z ^ { 3 } } \tilde { l } ^ { \infty } ( z ) \right| } & { \overset { ? } { \le } \left| \frac { d ^ { 3 } } { d z ^ { 3 } } \tilde { l } ^ { 1 } ( z ) \right| } \\ { \left| \frac { - e ^ { 3 z } + 4 e ^ { 2 z } - e ^ { z } } { ( e ^ { z } + 1 ) ^ { 4 } } \right| } & { \overset { ? } { \le } \left| \frac { e ^ { z } - e ^ { 2 z } } { ( e ^ { z } + 1 ) ^ { 3 } } \right| } \\ { \frac { e ^ { 3 z } - 4 e ^ { 2 z } + e ^ { z } } { e ^ { z } + 1 } } & { \overset { ? } { \le } e ^ { 2 z } - e ^ { z } } \\ { e ^ { 2 z } - 4 e ^ { z } } & { \leq e ^ { 2 z } - e ^ { z } , } \end{array}
\partial _ { \tau } \tilde { u } + \partial _ { \lambda } \tilde { u } + \frac { 3 } { 2 } \tilde { u } \partial _ { \lambda } \tilde { u } + \frac { \epsilon ^ { 2 } \chi } { 6 } \partial _ { \lambda } ^ { 3 } \tilde { u } = 0 , ~ ~ ~ ~ \tilde { \eta } = \tilde { u } + \frac { 1 } { 4 } \tilde { u } ^ { 2 } .
\mathrm { L F } _ { \mathbb H } ^ { ( \beta , 0 ) , ( \alpha , q ) } \left[ e ^ { - \mu \nu _ { \phi } ( \mathbb R ) } \right] = | q | ^ { - 2 \Delta _ { \beta } } ( \Im q ) ^ { \Delta _ { \beta } - 2 \Delta _ { \alpha } } 2 ^ { - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } } \frac { 2 } { \gamma } \cdot \overline { G } ( \alpha , \beta ) \mu ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( Q - \alpha - \frac { 1 } { 2 } \beta ) } \Gamma \left( \frac { 2 } { \gamma } \left( \frac { 1 } { 2 } \beta + \alpha - Q \right) \right) .
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { t r } \left( \sigma _ { \alpha } \right) } & { = 2 \delta _ { 0 \alpha } } \\ { \operatorname { t r } \left( \sigma _ { \alpha } \sigma _ { \beta } \right) } & { = 2 \delta _ { \alpha \beta } } \\ { \operatorname { t r } \left( \sigma _ { \alpha } \sigma _ { \beta } \sigma _ { \gamma } \right) } & { = 2 \sum _ { ( \alpha \beta \gamma ) } \delta _ { \alpha \beta } \delta _ { 0 \gamma } - 4 \delta _ { 0 \alpha } \delta _ { 0 \beta } \delta _ { 0 \gamma } + 2 i \varepsilon _ { 0 \alpha \beta \gamma } } \\ { \operatorname { t r } \left( \sigma _ { \alpha } \sigma _ { \beta } \sigma _ { \gamma } \sigma _ { \mu } \right) } & { = 2 \left( \delta _ { \alpha \beta } \delta _ { \gamma \mu } - \delta _ { \alpha \gamma } \delta _ { \beta \mu } + \delta _ { \alpha \mu } \delta _ { \beta \gamma } \right) + 4 \left( \delta _ { \alpha \gamma } \delta _ { 0 \beta } \delta _ { 0 \mu } + \delta _ { \beta \mu } \delta _ { 0 \alpha } \delta _ { 0 \gamma } \right) - 8 \delta _ { 0 \alpha } \delta _ { 0 \beta } \delta _ { 0 \gamma } \delta _ { 0 \mu } + 2 i \sum _ { ( \alpha \beta \gamma \mu ) } \varepsilon _ { 0 \alpha \beta \gamma } \delta _ { 0 \mu } } \end{array} }
= \sum _ { r ^ { \prime } = 0 } ^ { r } X ^ { ( r ^ { \prime } ) } ( \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \theta } ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( m + \alpha - r ^ { \prime } ) \ { \theta } } [ { \bf P } _ { \alpha - r ^ { \prime } } { f } ] ( \theta )
\frac { \wedge _ { j \in [ \ell - 1 ] } S _ { \underline { { M } } , \underline { { A } } , \underline { { M } } } ^ { \underline { { \alpha } } } } { \vee _ { j \notin \phi ^ { - 1 } ( \alpha ^ { 1 } ) } S _ { M ^ { 1 } , A ^ { 1 } , N ^ { 1 } , j } ^ { | \alpha ^ { 1 } | } + \cdots + \vee _ { j \notin \phi ^ { - 1 } ( \alpha ^ { n } ) } S _ { M ^ { n } , A ^ { n } , N ^ { n } , j } ^ { | \alpha ^ { n } | } } .
\begin{array} { r l } { ( \tilde { \mu } , \tilde { \gamma } ) = } & { \left( e ^ { \nu t \partial _ { y y } } \mu _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { \nu ( t - t ^ { \prime } ) \partial _ { y y } } G ( \tilde { \gamma } ) \ d t ^ { \prime } ; \right. } \\ & { \left. e ^ { \tilde { D } ^ { 2 } t } \gamma _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { \tilde { D } ^ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } F ( \tilde { \mu } , \tilde { \gamma } ) \ d t ^ { \prime } \right) \mathrm { ~ o n ~ } { X ^ { s , \delta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \int _ { \Omega } ( \tau - \sigma ) | ( y - x ) - I ( x \in B _ { R } ) \nabla \phi ^ { r } ( x ) | ^ { 2 } d \pi } } \\ & { \le 2 \int _ { \Omega } \int _ { \sigma } ^ { \tau } | \dot { X } ( t ) - \nabla \phi ^ { r } ( X ( t ) ) | ^ { 2 } d t d \pi } \\ & { + \frac { 1 } { r ^ { d - 1 } } o ( E + D ) + \frac { 1 } { r ^ { d } } O ( ( E + D ) E ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \Gamma } \boldsymbol { \sigma } = \rho \ddot { \boldsymbol { u } } } \\ { \boldsymbol { \sigma } = \boldsymbol { C S } } \\ { \boldsymbol { S } = \boldsymbol { H } \boldsymbol { u } } \end{array}
\begin{array} { r l } { K ^ { a + } } & { = \{ ( x ^ { \prime } , \alpha ) \in K ^ { + } \times \mathbb { R } _ { + } \mid \forall \, y \in B _ { K } : \; x ^ { \prime } ( y ) \geq \alpha \} , } \\ { K ^ { a \# } } & { = \{ ( x ^ { \prime } , \alpha ) \in K ^ { \# } \times \mathbb { R } _ { + } \mid \forall \, y \in B _ { K } : \; x ^ { \prime } ( y ) > \alpha \} , } \\ { K ^ { a \& } } & { = \{ ( x ^ { \prime } , \alpha ) \in K ^ { \& } \times \mathbb { R } _ { + } \mid \forall \, y \in B _ { K } \cap K \setminus \ell ( K ) : \; x ^ { \prime } ( y ) > \alpha \} , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { d z = } & { \left[ \left( { \frac { \partial z } { \partial x } } \right) _ { y } \left( { \frac { \partial x } { \partial u } } \right) _ { v } + \left( { \frac { \partial z } { \partial y } } \right) _ { x } \left( { \frac { \partial y } { \partial u } } \right) _ { v } \right] d u } \\ { + } & { \left[ \left( { \frac { \partial z } { \partial x } } \right) _ { y } \left( { \frac { \partial x } { \partial v } } \right) _ { u } + \left( { \frac { \partial z } { \partial y } } \right) _ { x } \left( { \frac { \partial y } { \partial v } } \right) _ { u } \right] d v } \end{array} }
\begin{array} { r l } { | | } & { \lesssim \| E ^ { 0 } - E ^ { \varepsilon } \| _ { H _ { x } ^ { s } } ( \| ( F _ { + } ^ { 0 } ) ^ { ( m _ { 0 } , s ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } + \| ( F _ { + } ^ { 0 } ) ^ { ( m _ { 0 } + \frac { 3 } { 2 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ) \| G ^ { ( m _ { 0 } , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim ( \| G \| _ { L _ { v } ^ { 1 } H _ { x } ^ { s - 1 } } + \| F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \beta } e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } \| _ { L _ { \xi } ^ { 1 } H _ { x } ^ { s - 1 } } ) \langle \| F _ { + } ^ { 0 } \| _ { \mathfrak D } \rangle } \\ & { \lesssim ( \| G \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } + \| F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \beta } e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } ) \langle \| F _ { + } ^ { 0 } \| _ { \mathfrak D } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \gamma ^ { ( 1 ) } + \gamma ^ { ( 2 ) } } \\ & { = - \frac { [ ( \mathrm { R e } ( \sigma _ { x y } ) + \mathrm { I m } ( \sigma _ { x x } ) ) ^ { 2 } + ( \mathrm { I m } ( \sigma _ { x y } ) - \mathrm { R e } ( \sigma _ { x x } ) ) ^ { 2 } ] \omega _ { \mathrm { R } } \mu _ { 0 } } { \mathrm { R e } ( \sigma _ { x y } ) + \mathrm { I m } ( \sigma _ { x x } ) } } \end{array}
\frac { \Delta M _ { K } } { M _ { K } } \approx \frac { G _ { F } ^ { 2 } f _ { K } ^ { 2 } } { 6 \pi ^ { 2 } } \left| V _ { c s } V _ { c d } \right| ^ { 2 } m _ { c } ^ { 2 } = 7 \cdot 1 0 ^ { - 1 5 } \nonumber
\frac { C _ { 1 } | x | ^ { \gamma _ { s } ( \mathcal C ) } } { | y | ^ { n - 2 s + \gamma _ { s } ( \mathcal C ) } } \leq G _ { \mathcal { C } } ^ { s } ( x , y ) \leq \frac { C _ { 1 } ^ { \prime } | x | ^ { \gamma _ { s } ( \mathcal C ) } } { | y | ^ { n - 2 s + \gamma _ { s } ( \mathcal C ) } } , \ \quad \ \forall \, x , y \in \mathcal C _ { 1 } \, \, \mathrm { w i t h } \, \, \frac { | x | } { | y | } \leq \frac { 1 } { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho _ { i j } + \partial _ { x } \phi _ { i j } } & { = 0 } \\ { \partial _ { t } \phi _ { i j } + \partial _ { x } p _ { i j } } & { = - \frac { \lambda _ { i j } } { 2 D } \frac { \phi _ { i j } | \phi _ { i j } | } { \rho _ { i j } } } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o ~ i n i t i a l } } & { \mathrm { ~ a n d ~ b o u n d a r y ~ c o n d i t i o n s : } } \\ { \rho _ { i j } ( x , 0 ) } & { = \rho _ { 0 , i j } ( x ) } \\ { \phi _ { i j } ( x , 0 ) } & { = \phi _ { 0 , i j } ( x ) } \\ { \phi _ { n } ( t ) } & { = d _ { n } ( t ) } \\ { \sum _ { j \in \mathcal { E } } \phi _ { j } S _ { i j } + d _ { j } } & { = 0 } \end{array}
C = \int \Phi _ { a } ( { \vec { r } } _ { 1 } ) ^ { 2 } \left( { \frac { 1 } { R _ { a b } } } + { \frac { 1 } { r _ { 1 2 } } } - { \frac { 1 } { r _ { a 1 } } } - { \frac { 1 } { r _ { b 2 } } } \right) \Phi _ { b } ( { \vec { r } } _ { 2 } ) ^ { 2 } \, d ^ { 3 } r _ { 1 } \, d ^ { 3 } r _ { 2 }
\begin{array} { r l } { \| w ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { \leq \| w ( t _ { 0 } + \tau ) \| _ { L ^ { 2 } } e ^ { \frac { c M _ { 1 } ^ { 2 } } { \nu } ( t - ( t _ { 0 } + \tau ) ) } } \\ & { \leq \| w ( t _ { 0 } ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \theta e ^ { \frac { c M _ { 1 } ^ { 2 } } { \nu } ( t - ( t _ { 0 } + \tau ) ) } } \\ & { \leq \| w ( t _ { 0 } ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \theta e ^ { \frac { c M _ { 1 } ^ { 2 } } { \nu } ( \kappa - \tau ) } } \\ & { \leq R ^ { 2 } \theta e ^ { \frac { c M _ { 1 } ^ { 2 } } { \nu } \kappa } } \end{array}
\left\{ g = q - \gamma , \left( 1 + \alpha \right) ^ { 2 } = { a } ^ { 2 } + 1 , \beta + 1 = b , d + \delta = q , e + \epsilon = q , { f } ^ { 2 } + \left( e - g \right) ^ { 2 } = \left( \gamma + \epsilon \right) ^ { 2 } , { f } ^ { 2 } + \left( g - b \right) ^ { 2 } = \left( \beta + { \gamma } \right) ^ { 2 } , \left( 1 - f \right) ^ { 2 } + \left( d - g \right) ^ { 2 } = \left( \gamma + \delta \right) ^ { 2 } , \left( 1 - f \right) ^ { 2 } + \left( g - a \right) ^ { 2 } = \left( \alpha + \gamma \right) ^ { 2 } , \left( b - a \right) ^ { 2 } + 1 = \left( \alpha + \beta \right) ^ { 2 } , a + \alpha + \delta = d , b + \beta + \epsilon = e \right\}
\begin{array} { r l } { E \left[ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , 1 ] } \left| H _ { n } \left( Y _ { t - \cdot } ^ { n , \epsilon } \right) - H \left( X _ { t - \cdot } ^ { 0 } \right) \right| ^ { p } \right] } & { \leq \int _ { 0 } ^ { \delta } E \left[ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , 1 ] } \left| Y _ { t - \lfloor n s \rfloor / n } ^ { n , \epsilon } - X _ { t - s } ^ { 0 } \right| ^ { p } \right] \, \mu ( \mathrm { d } s ) } \\ & { \leq 2 ^ { p - 1 } \int _ { 0 } ^ { \delta } \Bigg \{ E \left[ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , 1 ] } \left| Y _ { t - \lfloor n s \rfloor / n } ^ { n , \epsilon } - X _ { \lfloor n t \rfloor / n - \lfloor n s \rfloor / n } ^ { 0 } \right| ^ { p } \right] } \\ & { \quad + E \left[ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , 1 ] } \left| X _ { \lfloor n t \rfloor / n - \lfloor n s \rfloor / n } ^ { 0 } - X _ { t - s } ^ { 0 } \right| ^ { p } \right] \Bigg \} \, \mu ( \mathrm { d } s ) } \\ & { = O \left( \epsilon ^ { p } \right) + O \left( 1 / n ^ { p } \right) , } \end{array}
N _ { \mathrm { C S } } \equiv \, \mathrm { i n t e g e r } \, - \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau \frac { g ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } x E _ { i } ^ { a } B _ { i } ^ { a } \, ,
\begin{array} { r l r l } { d y } & { = \left( 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \epsilon ^ { k } H _ { k } ( u ^ { j } , u ^ { j , 1 } , \ldots , u ^ { j , \sigma } ) \right) d x , } \\ { w ^ { i } } & { = u ^ { i } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \epsilon ^ { k } K _ { k } ^ { i } ( u ^ { j } , u ^ { j , x } , \ldots , u ^ { j , \sigma } ) , } & & { i = 1 , \ldots , N . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { H _ { t } } { \alpha _ { t - 1 } } - \frac { H _ { t - 1 } } { \alpha _ { t - 2 } } } & { \leq - \frac { 4 8 ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } } { b M \mu ^ { 2 } } H _ { t - 1 } + \frac { 2 c _ { u } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 3 } } { b M } \sigma ^ { 2 } + \frac { 8 \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } \tilde { L } ^ { 2 } } { b M } ( D _ { t - 1 } + E _ { t - 1 } ) } \\ & { \qquad + \frac { 8 \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } \tilde { L } ^ { 2 } } { b M } ( F _ { t - 1 } + G _ { t - 1 } ) + \frac { 8 \tau ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } L ^ { 2 } } { b M } ( J _ { t - 1 } + Q _ { t - 1 } ) } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { L \rightarrow \infty } \partial _ { - } \langle \Omega | J _ { 5 } ^ { - } ( x ^ { + } , x ^ { - } , x ^ { \perp } ) | \Omega \rangle _ { -- } = { \frac { e ^ { 2 } E ( x ^ { + } ) B } { 8 \pi ^ { 2 } } } \left[ 1 + e ^ { - 2 \pi \lambda ( e A _ { - } ) } \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { d \rho } { d t } = } & { { } - i \left[ g \left( a ^ { \dagger } \sigma _ { \textrm { g } _ { 1 } \textrm { e } } + \textrm { h . ~ c . } \right) + \frac { \Omega } { 2 } \left( \sigma _ { \textrm { g } _ { 2 } \textrm { e } } + \textrm { h . ~ c . } \right) , \rho \right] - i \sum _ { i = 1 , 2 } \gamma _ { i } \left[ - i \sigma _ { \textrm { e g } _ { i } } \sigma _ { \textrm { g } _ { i } \textrm { e } } , \rho \right] - i \kappa \left[ - i a ^ { \dagger } a , \rho \right] } \\ { \simeq } & { { } - i \left[ g \left( a ^ { \dagger } \sigma _ { \textrm { g } _ { 1 } \textrm { e } } + \textrm { h . ~ c . } \right) + \frac { \Omega } { 2 } \left( \sigma _ { \textrm { g } _ { 2 } \mathrm { { e } } } + \textrm { h . ~ c . } \right) + \sum _ { i = 1 , 2 } - i \gamma _ { i } \sigma _ { \textrm { e } } - i \kappa a ^ { \dagger } a , \rho \right] } \\ { = } & { { } - i \left[ H _ { \textrm { n H } } ^ { \prime } , \rho \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } ( \delta | \hat { A _ { 1 } } | ) } & { \approx \left. \frac { \partial f } { \partial | \hat { A _ { 1 } } | } \right| _ { F } \delta | \hat { A _ { 1 } } | + \left. \frac { \partial f } { \partial | \hat { A _ { 2 } } | } \right| _ { F } \delta | \hat { A _ { 2 } } | , } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } ( \delta | \hat { A _ { 2 } } | ) } & { \approx \left. \frac { \partial g } { \partial | \hat { A _ { 1 } } | } \right| _ { F } \delta | \hat { A _ { 1 } } | + \left. \frac { \partial g } { \partial | \hat { A _ { 2 } } | } \right| _ { F } \delta | \hat { A _ { 2 } } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rVert ( \Phi ^ { \pm } - I ) h \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 2 } \rVert h \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } \\ & { \rVert d _ { i } \Phi ^ { \pm } ( i _ { 0 } ) h [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } = 0 } \end{array}
I [ x , e _ { 0 } ] = - \int _ { 0 } ^ { 1 } \left[ \frac { \dot { x } ^ { 2 } } { 2 e _ { 0 } } + \frac { e _ { 0 } } { 2 } m ^ { 2 } + g \dot { x } A ( x ) \right] \, d \tau \, ,
\begin{array} { r l } { h _ { \mathrm { e q } } [ k ] } & { = h _ { \mathrm { D } } [ k ] + \mathbf { g } ^ { T } [ k ] \boldsymbol { \Psi } [ k ] \mathbf { h } [ k ] , } \\ & { = \underbrace { \vphantom { \sum _ { n = 1 } ^ { N } } h _ { \mathrm { D } } [ k ] } _ { \mathrm { U n c o n t r o l l a b l e } } + \underbrace { \sum _ { n = 1 } ^ { N } g _ { n } [ k ] h _ { n } [ k ] \psi _ { n } [ k ] } _ { \mathrm { C o n t r o l l a b l e } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bar { Q } : = \mathbb { E } \{ Q ( t ) \} } \\ & { = I - \frac { 1 } { 2 \alpha } \left[ \begin{array} { l l l l } { d _ { 1 } } & { - a _ { 1 2 } } & { \cdots } & { - a _ { 1 , r _ { 0 } n } } \\ { - a _ { 2 1 } } & { \ddots } & & { \vdots } \\ { \vdots } & & & { \vdots } \\ { - a _ { r _ { 0 } n , 1 } } & { \cdots } & { - a _ { r _ { 0 } n , r _ { 0 } n - 1 } } & { d _ { r _ { 0 } n } } \end{array} \right] , } \\ & { \bar { R } : = \mathbb { E } \{ R ( t ) \} } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \alpha } \tilde { M } : = \frac { 1 } { 2 \alpha } \left[ \begin{array} { l l l } { a _ { 1 , r _ { 0 } n + 1 } } & { \cdots } & { a _ { 1 , n } } \\ { \vdots } & & { \vdots } \\ { a _ { r _ { 0 } n , r _ { 0 } n + 1 } } & { \cdots } & { a _ { r _ { 0 } n , n } } \end{array} \right] , } \end{array}