harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { S _ { k } ^ { ( 2 ) } } & { = \frac { 1 } { n } \displaystyle \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 2 \pi \left( j + \frac { 1 } { 2 } - \frac { n } { 2 } \right) } { n } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k ( j + m + 1 ) 2 \pi / n } } \\ & { = \frac { 1 } { n } \displaystyle \sum _ { j = 0 } ^ { \frac { n } { 2 } - 1 } \frac { 2 \pi \left( j + \frac { 1 } { 2 } - \frac { n } { 2 } \right) } { n } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k ( j + m + 1 ) 2 \pi / n } } \\ & { \phantom { 2 p c } + \frac { 1 } { n } \displaystyle \sum _ { j = \frac { n } { 2 } } ^ { n - 1 } \frac { 2 \pi \left( j + \frac { 1 } { 2 } - \frac { n } { 2 } \right) } { n } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k ( j + m + 1 ) 2 \pi / n } } \\ & { = \frac { 1 } { n } \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { \frac { n } { 2 } } \frac { 2 \pi \left( j - \frac { 1 } { 2 } - \frac { n } { 2 } \right) } { n } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k ( j + m ) 2 \pi / n } } \\ & { \phantom { 2 p c } + \frac { 1 } { n } \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { \frac { n } { 2 } } \frac { 2 \pi \left( \frac { n } { 2 } - j + \frac { 1 } { 2 } \right) } { n } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k ( n - j + m + 1 ) 2 \pi / n } } \\ & { = \frac { 1 } { n } \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { n / 2 } \frac { 2 \pi \left( \frac { n } { 2 } - j + \frac { 1 } { 2 } \right) } { n } \left( \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k ( m + 1 - j ) 2 \pi / n } - \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k ( m + j ) 2 \pi / n } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \mathcal { K } } _ { g } ( f ) ( \varphi _ { 1 } ) - \widetilde { \mathcal { K } } _ { g } ( f ) ( \varphi _ { 2 } ) = } & { { } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } K ( \varphi _ { 1 } , \varphi ^ { \prime } ) \big ( g ( \varphi _ { 1 } ) - g ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) f ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } K ( \varphi _ { 2 } , \varphi ^ { \prime } ) \big ( g ( \varphi _ { 2 } ) - g ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) f ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } } \\ { = } & { { } \int _ { B _ { \varphi _ { 1 } } ( 3 d ) } K ( \varphi _ { 1 } , \varphi ^ { \prime } ) \big ( g ( \varphi _ { 1 } ) - g ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) f ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } } \\ { \triangleq } & { { } I _ { 1 } + I _ { 2 } + I _ { 3 } + I _ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \frac { 1 } { m } \langle \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { k } \mathcal { H } _ { m \times n } \left( 1 \right) , \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { r } \mathcal { H } _ { m \times n } \left( 1 \right) \rangle _ { \mathbb { K } } } \\ { = } & { \langle \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { k } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) , \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { r } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) \rangle _ { \mathbb { K } } , \; \forall k \in \{ 0 , \ldots , r - 1 \} . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \kappa ^ { 2 } } { \lambda } \rho _ { i i } \left( \frac { \kappa ^ { 2 } } { \lambda } \right) H ( \kappa ^ { 2 } ) \leq C \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \kappa ^ { 2 } } { \lambda } \rho _ { i i } \left( \frac { \kappa ^ { 2 } } { \lambda } \right) G ( \kappa ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { z \in \mathbb { R } ^ { p } } \Big | \widetilde { f } _ { \eta _ { k } } ^ { s , e } ( z ) \Big | } & { \leq c _ { 1 } / 4 \operatorname* { s u p } _ { z \in \mathbb { R } ^ { p } } \Big | \widetilde { f } _ { \eta _ { k + 1 } } ^ { s , e } ( z ) \Big | + 2 \kappa _ { k } \sqrt { \eta _ { k } - s } } \\ & { < c _ { 1 } / 4 \operatorname* { m a x } _ { s + \rho < t < e - \rho } \operatorname* { s u p } _ { z \in \mathbb { R } ^ { p } } \Big | \widetilde { f } _ { t } ^ { s , e } ( z ) \Big | + 2 \sqrt { \Delta } \kappa _ { k } } \\ & { \leq c _ { 1 } / 4 \operatorname* { m a x } _ { s + \rho < t < e - \rho } \operatorname* { s u p } _ { z \in \mathbb { R } ^ { p } } \Big | \widetilde { F } _ { t } ^ { s , e } ( z ) \Big | + c _ { 1 } / 4 \gamma + 2 \sqrt { \Delta } \kappa _ { k } } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { z \in \mathbb { R } ^ { p } } \Big | \widetilde { F } _ { b } ^ { s , e } ( z ) \Big | - \gamma } \end{array}
J _ { p , q } ~ = ~ \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 _ { p } } } \\ { { 0 } } & { { 1 _ { q - p } } } & { { 0 } } \\ { { 1 _ { p } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ~ .
\begin{array} { r l r } { V } & { = } & { \left\{ ( j , k ) | \ell _ { j , k } \in C _ { j } \right\} } \\ { E } & { = } & { E _ { 1 } \cup E _ { 2 } } \\ { E _ { 1 } } & { = } & { \left\{ [ ( j , k _ { 1 } ) , ( j , k _ { 2 } ) ] | k _ { 1 } \neq k _ { 2 } \right\} } \\ { E _ { 2 } } & { = } & { \{ [ ( j _ { 1 } , k _ { 1 } ) , ( j _ { 2 } , k _ { 2 } ) ] | k _ { 1 } \ \neq k _ { 2 } , \ell _ { j _ { 1 } , k _ { 1 } } = \bar { \ell } _ { k _ { 2 } , k _ { 2 } } \} } \end{array}
\mathcal { D } \left[ \mathcal { N S } [ \widetilde { \mathbf { q } } _ { m } ; S ] + \nabla \cdot \mathcal { F } _ { m } ( \widetilde { \mathbf { q } } _ { m } ; \boldsymbol { \theta } _ { \mathcal { F } _ { m } } ) \right] = 0
\int _ { t } ^ { \infty } k _ { s - t } \frac { \mathbf { a } ( s , e ) \wedge 1 } { ( t - s ) ^ { - 1 } \sum _ { e ^ { \prime } \cap e \neq \emptyset } \int _ { t } ^ { s } \mathbf { a } ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } ) \vee 1 \, d s ^ { \prime } } ( \nabla u ( s , e ) ) ^ { 2 } \, d s \, \leq \int _ { t } ^ { \infty } k _ { s - t } \mathbf { a } ( s , e ) ( \nabla u ( s , e ) ) ^ { 2 } \, d s .
\begin{array} { r } { \hat { a } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \frac { l _ { B } } { \hbar } \left( \hat { p } _ { x } - i \hat { p } _ { y } \right) - \frac { i } { 2 l _ { B } } \left( \hat { x } - i \hat { y } \right) \right] , } \end{array}
\frac { \delta } { \delta { A } _ { 1 \parallel } ( \textbf { x } ) } S ^ { f } \circ \hat { \chi } _ { 1 } ( \textbf { x } ) = \frac { \partial } { \partial \nu } \left[ \intop \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { \nu } d ^ { 3 } x \left| \varepsilon _ { \delta } \nabla \times \left( { A } _ { 1 \parallel } ( \textbf { x } ) + \nu \hat { \chi } _ { 1 } ( \textbf { x } ) \right) \right| { } ^ { 2 } \right] ,
\sigma ^ { \prime } ( p ^ { 2 } ; m _ { i } ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \frac { \partial } { \partial p ^ { 2 } } \left( p ^ { 2 } \Delta T ( p ^ { 2 } ; m _ { i } ^ { 2 } ) \right) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \left( \Delta T ( p ^ { 2 } ; m _ { i } ^ { 2 } ) + p ^ { 2 } \frac { \partial \Delta T ( p ^ { 2 } ; m _ { i } ^ { 2 } ) } { \partial p ^ { 2 } } \right) \, .
\begin{array} { r l } { R _ { p } C \dot { \boldsymbol { \psi } } ( t ) } & { { } = m \frac { R _ { p } } { R _ { r } } \Psi ( t ) \mathbf { e } _ { 1 } + m ^ { 2 } M _ { 4 } \boldsymbol { \psi } ( t ) \, , } \\ { M _ { 4 } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { - 1 - r / R _ { r } } & { 1 } & { } & { } & { } \\ { 1 } & { - 2 } & { 1 } & { } & { } \end{array} \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 1 + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \end{array}
{ E } ^ { \dot { \alpha } } = e ^ { \Phi ( x , \theta , \bar { \theta } ) - i W ( x , \theta , \bar { \theta } ) } \left( d \bar { \theta } ^ { \dot { \alpha } } - { 2 i } \Pi ^ { \alpha \dot { \alpha } } D _ { \alpha } \Phi \right) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } _ { \mathrm { m a x } } } & { { } = \frac { ( 1 - \mathcal { R } ) ^ { 2 } } { ( 1 - \mathcal { R } \sqrt { 1 - \mathcal { P } } ) ^ { 2 } } , } \\ { \mathcal { F } } & { { } = \frac { \pi \sqrt { \mathcal { R } \sqrt { 1 - \mathcal { P } } } } { 1 - \mathcal { R } \sqrt { 1 - \mathcal { P } } } . } \end{array}
P _ { a b , c d } ^ { c . e . } = \left\{ \begin{array} { r l } { 1 } & { \mathrm { ~ \ i ~ f ~ \ } a = d \mathrm { ~ \ a ~ n ~ d ~ \ } b = c } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ \ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial } { \partial x _ { i } } } \left( \rho \, v _ { i } \right) } & { { } = 0 \, , } \\ { \rho \, v _ { j } \, { \frac { \partial v _ { i } } { \partial x _ { j } } } } & { { } = - { \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { \mu } ( \boldsymbol { r } ) = \left( \frac { 2 \zeta _ { \mu } } { \pi } \right) ^ { 3 / 4 } e ^ { - \zeta _ { \mu } r ^ { 2 } } = N _ { \mu } e ^ { - \zeta _ { \mu } r ^ { 2 } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \iff \quad } & { { } E _ { j } ( { \bf k } ) K ^ { - 1 } \psi _ { j } ( { \bf k } ) = [ U ^ { * } ( - { \bf k } ) ] ^ { - 1 } K ^ { - 1 } \psi _ { j } ( { \bf k } ) , } \\ { \iff \quad } & { { } E _ { j } ( { \bf k } ) U ^ { * } ( - { \bf k } ) K ^ { - 1 } \psi _ { j } ( { \bf k } ) = K ^ { - 1 } \psi _ { j } ( { \bf k } ) , } \\ { \iff \quad } & { { } U ( - { \bf k } ) ( K ^ { * } ) ^ { - 1 } \psi _ { j } ^ { * } ( { \bf k } ) = ( E _ { j } ( { \bf k } ) ^ { * } ) ^ { - 1 } ( K ^ { * } ) ^ { - 1 } \psi _ { j } ^ { * } ( { \bf k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| J _ { n } \| _ { \psi _ { \alpha / 2 } } \lesssim \zeta _ { 1 } ^ { - 2 } \left\| \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n ; 1 \leq j , \ell \leq p } | W _ { i j , } W _ { i , \ell } | \right\| _ { \psi _ { \alpha / 2 } } + \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n ; 1 \leq j , \ell \leq p } \zeta _ { 1 } ^ { - 2 } { \mathbb { E } } ( | W _ { i , j } W _ { i , \ell } | ) \lesssim \log ^ { 2 } ( n p ) \, . } \end{array}
\mathbb { D } \mathbf { v } ^ { L } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { 2 \partial _ { x } u } & { \partial _ { y } u + \partial _ { x } v } \\ { \partial _ { y } u + \partial _ { x } v } & { 2 \partial _ { y } v } \end{array} \right] = \frac { 1 } { 2 } \frac { \sigma } { L \mu } \left[ \begin{array} { l l } { 2 \partial _ { \overline { { x } } } \overline { { u } } } & { \frac { 1 } { \varepsilon } \partial _ { \overline { { y } } } \overline { { u } } + \varepsilon \partial _ { \overline { { x } } } \overline { { v } } } \\ { \frac { 1 } { \varepsilon } \partial _ { \overline { { y } } } \overline { { u } } + \varepsilon \partial _ { \overline { { x } } } \overline { { v } } } & { 2 \partial _ { \overline { { y } } } \overline { { v } } } \end{array} \right] .
\operatorname { R i c } \left( ( \mathbf { U } _ { 1 } , \cdots , \mathbf { U } _ { N } ) , ( \mathbf { W } _ { 1 } , \cdots , \mathbf { W } _ { N } ) \right) = \operatorname { R i c } _ { 1 } ( \mathbf { U } _ { 1 } , \mathbf { W } _ { 1 } ) + \cdots + \operatorname { R i c } _ { N } ( \mathbf { U } _ { N } , \mathbf { W } _ { N } ) \, .
C _ { \parallel } ( k , t ) \equiv \frac { \langle j _ { \parallel } ^ { \ast } ( k , 0 ) j _ { \parallel } ( k , t ) \rangle } { \langle j _ { \parallel } ^ { \ast } ( k , 0 ) j _ { \parallel } ( k , 0 ) \rangle } = \exp ( - \Gamma k ^ { 2 } t ) \cos ( c _ { \mathrm { s } } k t ) ,
J ^ { ( N ) } \left( N ; 1 , \ldots , 1 \right) = \mathrm { i } ^ { 1 - 2 N } \; \pi ^ { N / 2 } \; \frac { \Gamma \left( { \textstyle { \frac { N } { 2 } } } \right) } { N ! } \; \; \frac { \Omega ^ { ( N ) } } { V ^ { ( N ) } } .
\begin{array} { r } { \int _ { A } \hat { p } _ { D } ( t , x , y ) \, d y = \ensuremath { \mathbb { P } } _ { x } \left( t < \sigma _ { D } , X _ { t } \in A \right) = \ensuremath { \mathbb { E } } _ { x } \left[ s < \sigma _ { D } ; \ensuremath { \mathbb { P } } _ { X _ { s } } \left( t - s < \sigma _ { D } , X _ { t - s } \in A \right) \right] } \\ { = \ensuremath { \mathbb { E } } _ { x } \left[ s < \sigma _ { D } ; \int _ { A } \hat { p } _ { D } ( t - s , X _ { t - s } , y ) \, d y \right] = \int _ { A } \int _ { D } \hat { p } _ { D } ( s , x , z ) \hat { p } _ { D } ( t - s , z , y ) \, d z \, d y . } \end{array}
\log \Big ( \sqrt { \frac { 1 } { f ^ { \prime \prime } ( r ) } } \! \ \Big ) \sim \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \alpha ( n ) } & { \mathrm { i f ~ i \geq ~ 1 ~ } } \\ { \frac { 3 } { 2 } \alpha ( n ) } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ , ~ k \geq ~ 1 ~ } } \\ { \alpha ( n ) } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ , ~ k = 0 ~ , ~ j \geq ~ 1 ~ , ~ F ( z ) = P ( z ) ~ } } \\ { \alpha ( n ) } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ , ~ k = 0 ~ , ~ j \geq ~ 1 ~ , ~ F ( z ) = Q ( z ) ~ } } \end{array} \right.
\omega ^ { i j } = \iota ^ { * } \left( \Omega ^ { i j } - \Omega ^ { i k } \frac { \partial \psi ^ { \alpha } } { \partial Z ^ { k } } \Xi _ { \alpha \beta } \frac { \partial \psi ^ { \beta } } { \partial Z ^ { l } } \Omega ^ { l j } \right) ,
\int { \frac { \sinh ^ { m } a x } { \cosh ^ { n } a x } } d x = - { \frac { \sinh ^ { m - 1 } a x } { a ( n - 1 ) \cosh ^ { n - 1 } a x } } + { \frac { m - 1 } { n - 1 } } \int { \frac { \sinh ^ { m - 2 } a x } { \cosh ^ { n - 2 } a x } } d x \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } n \neq 1 { \mathrm { ) } }
W _ { s } ^ { r } ( \boldsymbol { r } ) \Big | _ { \boldsymbol { r } \in \Omega } = \int d \boldsymbol { r } ^ { \prime } \frac { \phi _ { r } ^ { * } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \phi _ { s } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) } { | \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } ^ { \prime } | } ,
\begin{array} { r } { \eta v ^ { 2 } \, \ll \, \varkappa T \ , \ \qquad \qquad } \\ { \implies T \ll \frac { \varkappa \eta } { \varsigma ^ { 2 } } \, \Big ( \frac { R } { H } \Big ) ^ { 2 } \ . \ } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { 2 \beta I m \int _ { \mathbb { R } } J ( | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } u ) \overline { { J u } } \, d x } } \\ { = \ } & { 4 \beta t \int _ { \mathbb { R } } x \ \frac { d } { d x } ( | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } ) \ | u | ^ { 2 } \, d x + 8 \beta t ^ { 2 } \int _ { \mathbb { R } } \frac { d } { d x } ( | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } ) \ I m ( u \overline { { u } } _ { x } ) \, d x } \\ { = \ } & { - 4 \beta t \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } | u | ^ { 2 } \, d x - 4 \beta t \int _ { \mathbb { R } } x | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } \ \frac { d } { d x } ( | u | ^ { 2 } ) d x } \\ & { \ - 4 \beta t ^ { 2 } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } \ 2 I m ( u \overline { { u } } _ { x x } ) \, d x . } \end{array}
p _ { m } ( N , \delta ) = \frac { \int _ { \delta _ { m - 1 } } ^ { \delta _ { m } } \frac { \mathrm { d } N } { \mathrm { d } \delta } \mathrm { d } \delta } { \int _ { \Delta } \frac { \mathrm { d } N } { \mathrm { d } \delta } \mathrm { d } \delta } \quad ,
\begin{array} { r l } & { c \Big \{ | | \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ 1 ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ 1 ] } | | _ { F } ^ { 2 } + | | \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ 2 ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ 2 ] } | | _ { F } ^ { 2 } \Big \} + \lambda \Big \{ | | ( \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ 1 ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ 1 ] } ) ^ { - } | | _ { 1 } + | | ( \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ 2 ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ 2 ] } ) ^ { - } | | _ { 1 } \Big \} } \\ { \leq } & { \frac { 8 \lambda ^ { 2 } ( s _ { 1 } + s _ { 2 } ) } { c } + \frac { 2 | | ( \widehat { R } ^ { [ 1 ] } - R _ { 0 } ^ { [ 1 ] } ) ^ { + } | | _ { F } ^ { 2 } } { c } + \frac { 2 | | ( \widehat { R } ^ { [ 2 ] } - R _ { 0 } ^ { [ 2 ] } ) ^ { + } | | _ { F } ^ { 2 } } { c } . } \end{array}
( \rho _ { 1 } \oplus \rho _ { 2 } ) ( 1 , 1 ) = { \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { - i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \omega } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \omega } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \omega ^ { 2 } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { \omega _ { 1 } } & { { } = \epsilon ^ { - 1 / 2 } S _ { 1 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) + T _ { 1 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) \, , } \\ { \omega _ { 2 } } & { { } = \epsilon ^ { - 1 / 2 } S _ { 2 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) + T _ { 2 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) \, , } \\ { \omega _ { 3 } } & { { } = \epsilon ^ { - 1 / 2 } S _ { 3 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) + T _ { 3 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { r S 2 f _ { 0 } } & { { } = } & { - 8 \chi _ { 1 } ^ { 2 } , } \\ { r S 2 f _ { 1 } } & { { } = } & { 5 \left( 2 A _ { 1 } + ( \sigma + 2 ) \chi _ { 1 } ^ { 2 } \right) , } \\ { r S 2 f _ { 2 } } & { { } = } & { - 2 \left( 4 A _ { 1 } + ( 2 \sigma + 1 ) \chi _ { 1 } ^ { 2 } + 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \mathrm { o b s } } [ f ( S _ { t } , A _ { t } , S _ { t + 1 } ) } & { | S _ { t } = s , A _ { t } = a ] - \mathbb { E } _ { P _ { t } } \big [ f ( S _ { t } , A _ { t } , S _ { t + 1 } ) | S _ { t } = s , A _ { t } = a \big ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \mathrm { o b s } } \left[ \left( 1 - \frac { \pi _ { t } ^ { b } ( A _ { t } | S _ { t } ) } { \pi _ { t } ^ { b } ( A _ { t } | S _ { t } , U _ { t } ) } \right) f ( S _ { t } , A _ { t } , S _ { t + 1 } ) \Bigg | S _ { t } = s , A _ { t } = a \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m R N A } & { { } \rightarrow } & { \phi } \\ { p r o t e i n } & { { } \rightarrow } & { \phi } \\ { \phi } & { { } \rightarrow } & { m R N A } \\ { \phi } & { { } \rightarrow } & { p r o t e i n } \\ { x _ { i } ( t + \Delta t ) } & { { } = } & { x _ { i } ( t ) + \sqrt { 2 D \Delta t } \xi , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Re \left( q _ { 1 } + t \Re ( q _ { 1 } ) \right) ^ { 2 } + \dots + \Re \left( q _ { N ^ { \prime } - 1 } + t \Re ( q _ { N ^ { \prime } - 1 } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { = ( 1 + \Re ( t ) ) ^ { 2 } \left( \Re ( q _ { 1 } ) ^ { 2 } + \dots + \Re ( q _ { N ^ { \prime } - 1 } ) ^ { 2 } \right) } \\ & { = ( 1 + \Re ( t ) ) ^ { 2 } \Re ( q _ { N ^ { \prime } } ) ^ { 2 } = \Re \left( q _ { N ^ { \prime } } + t \Re ( q _ { N ^ { \prime } } ) \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \overline { { \ell } } _ { \mathtt { P T } } ( g , Q ) - \jmath ^ { * } \Theta _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( m ) } } } & { = \delta \overline { { \ell } } _ { \mathtt { G H Y } } ( g ) + \delta \jmath ^ { * } ( \iota _ { Z } \mathrm { v o l } _ { g } ) - \jmath ^ { * } \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } - \jmath ^ { * } \Theta _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( m ) } } } \\ & { = \delta \overline { { \ell } } _ { \mathtt { G H Y } } ( g ) - \jmath ^ { * } \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } = \overline { { b } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } ( g ) \wedge \delta \overline { { g } } _ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } - \mathrm { d } \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { N } \displaystyle \int _ { I _ { n } } U ^ { \prime \prime } ( t ) \varphi ( t ) d t = \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { N } \displaystyle \int _ { I _ { n } } f ( t , U ( t ) , U ^ { \prime } ( t ) ) \varphi ( t ) d t , } \\ { U ( 0 ) = u _ { 0 } , \quad U ^ { \prime } ( 0 ) = u _ { 1 } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { i } } & { = \log _ { 2 } \left( 1 + \frac { ( q - p ) ( \rho _ { i } ( y ^ { t } ) - \Delta ) } { 1 - \rho _ { i } ( y ^ { t } ) - ( q - p ) ( \rho _ { i } ( y ^ { t } ) - \Delta ) } \right) } \\ { a _ { i } ^ { \prime } } & { = \frac { p } { q } \log _ { 2 } \left( 1 + \frac { ( q - p ) ( \rho _ { i } ( y ^ { t } ) - \Delta ) } { 1 - \rho _ { i } ( y ^ { t } ) } \right) } \\ { d _ { i } } & { = \log _ { 2 } \left( 1 + \frac { ( q - p ) ( \Delta + \rho _ { i } ( y ^ { t } ) ) } { 1 - \rho _ { i } ( y ^ { t } ) - ( q - p ) ( \Delta + \rho _ { i } ( y ^ { t } ) ) } \right) } \\ { d _ { i } ^ { \prime } } & { = \frac { p } { q } \log _ { 2 } \left( 1 + \frac { ( q - p ) ( \rho _ { i } ( y ^ { t } ) + \Delta ) } { 1 - \rho _ { i } ( y ^ { t } ) } \right) \, . } \end{array}
\sum _ { j = 1 } ^ { m } { \frac { 1 } { ( \alpha _ { j + d } \cdot q ) ( \alpha _ { j + N + d } \cdot \mu ) } } = \sum _ { j = 1 } ^ { m } { \frac { 1 } { ( \alpha _ { j + d + h } \cdot q ) ( \alpha _ { j + d + N + h } \cdot \mu ) } }
\begin{array} { r } { \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m a x } } ( \overline { { V } } ) : = \displaystyle \operatorname* { s u p } _ { W \subset V } \widehat \mu ( \overline { { W } } ) , \quad \mathrm { r e s p . ~ } \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ( \overline { { V } } ) : = \operatorname* { i n f } _ { V \twoheadrightarrow W \neq \{ 0 \} } \widehat \mu ( \overline { { W } } ) , } \end{array}
M _ { x } \sim \left( \begin{array} { c c c } { { { \cal E } ^ { 2 | x _ { 1 } | } } } & { { { \cal E } ^ { | x _ { 1 } + x _ { 2 } | } } } & { { { \cal E } ^ { | x _ { 1 } | } } } \\ { { { \cal E } ^ { | x _ { 1 } + x _ { 2 } | } } } & { { { \cal E } ^ { 2 | x _ { 2 } | } } } & { { { \cal E } ^ { | x _ { 2 } | } } } \\ { { { \cal E } ^ { | x _ { 1 } | } } } & { { { \cal E } ^ { | x _ { 2 } | } } } & { { 1 } } \end{array} \right) \qquad | x _ { 1 , 2 } | = | \alpha - \alpha _ { 1 , 2 } | \, ,
{ \delta } { \lambda } _ { 4 } ( 1 2 3 5 ) = \frac { 8 } { 3 } g _ { 4 } ^ { 4 } \int _ { { \Lambda } } \frac { d ^ { 4 } \vec { p } _ { 4 } } { ( 2 { \pi } ) ^ { 4 } } \frac { { \Phi } ( 4 ; 1 2 3 5 ) } { ( \vec { p } _ { 4 } ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ( ( \vec { p } _ { 1 } + \vec { p _ { 2 } } + \vec { p } _ { 4 } ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r } { \textbf { B } = \underbrace { \sum _ { \alpha _ { E } \in \Lambda _ { E } ( 2 k , N - d + 2 k ) ^ { k } } | [ \alpha _ { T } + \alpha _ { E } ] | } _ { = : \pmb { B ^ { = k } } } \, + \, \underbrace { \sum _ { \alpha _ { E } \in \Lambda _ { E } ( 2 k , N - d + 2 k ) ^ { < k } } | [ \alpha _ { T } + \alpha _ { E } ] | } _ { = : \pmb { B ^ { < k } } } \, . } \end{array}
\left| \frac { \partial } { \partial B _ { \rho } } \ln \frac { \pi ( n + 1 ) } { \pi ( n ) } \right| = \frac { 1 } { 1 + a _ { n } ^ { 2 } } \left| \operatorname { t a n h } \left( \frac { \chi } { 4 } \right) \right|
\begin{array} { r l r } { 0 } & { \leq } & { \sigma _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } \left( \left\vert \mathbf { g } \right\vert , \cos \theta \right) \leq \frac { C } { \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } } \left( \Psi _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } + \left( \Psi _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } \right) ^ { \gamma / 2 } \right) \mathrm { , ~ w h e r e ~ } } \\ & { } & { \Psi _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } = \left\vert \mathbf { g } \right\vert \sqrt { \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } - 2 \frac { m _ { \alpha } + m _ { \beta } } { m _ { \alpha } m _ { \beta } } \Delta I _ { k l , i j } ^ { \alpha \beta } } \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { E } } & { { } = E \, \hat { \textbf { z } } } \\ { \textbf { B } } & { { } = B _ { 0 } \, \hat { \textbf { z } } } \\ { \textbf { k } } & { { } = k \, \hat { \textbf { z } } . } \end{array}
E r r _ { L _ { p } } = \frac { 1 } { N _ { f _ { m } } } \sum _ { f _ { \mathrm { m } } \in \mathcal { F } } \left| \bar { L } _ { p , \mathrm { m e a s } } ( f _ { \mathrm { m } } ) - \bar { L } _ { p , \mathrm { s i m } } ( f _ { \mathrm { m } } ) \right| \, ,
\left\{ \begin{array} { r c l } { { d s ^ { 2 } } } & { { = } } & { { d t ^ { 2 } - d \vec { y } _ { ( d - 3 ) } ^ { \ 2 } - H | f ( \omega ) | ^ { 2 } d \omega d \bar { \omega } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \tau } } & { { = } } & { { { \cal H } \, , } } \end{array} \right.
\alpha _ { E } ^ { t h e o } = 1 0 \beta _ { M } ^ { t h e o } = { \frac { 5 e ^ { 2 } g _ { A } ^ { 2 } } { 3 8 4 \pi ^ { 2 } F _ { \pi } ^ { 2 } m _ { \pi } } } = 1 2 . 2 \times 1 0 ^ { - 4 } \mathrm { f m } ^ { 3 }
v _ { \mathbf { s } } ^ { a , \mathrm { T } } ( l + 1 ) = \left( \frac { 1 } { v _ { \mathbf { s } } ^ { p , \mathrm { D D } } ( l ) } - \frac { 1 } { v _ { \mathbf { s } } ^ { a , \mathrm { D D } } ( l ) } \right) ^ { - 1 } = \left( \frac { 1 } { v _ { \mathbf { s } } ^ { p , \mathrm { D D } } ( l ) } - \frac { 1 } { v _ { \mathbf { s } } ^ { p , \mathrm { T } } ( l ) } + \frac { 1 } { v _ { \mathbf { s } } ^ { a , \mathrm { T } } ( l ) } \right) ^ { - 1 } ,