harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \| I _ { 5 } \| _ { \dot { H } _ { h } ^ { - s } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } ^ { 2 } } & { \le C h ^ { 2 ( t - s ) } \int _ { \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } | \xi + \zeta | ^ { 2 t } | \mathcal { F } [ u ] ( \xi + \zeta ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { \le C h ^ { 2 ( t - s ) } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } | \xi | ^ { 2 t } | \mathcal { F } [ u ] ( \xi ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { \le C h ^ { 2 ( t - s ) } \| u \| _ { \dot { H } ^ { t } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
F ^ { { \mu } { \nu } { \sigma } } = - G ^ { { \mu } { \nu } { \sigma } } + \frac { 1 } { ( { \partial } _ { \lambda } a ) ( { \partial } ^ { \lambda } a ) } \left[ { \partial } ^ { [ { \mu } } a { \cal G } ^ { { \nu } { \sigma } ] { \rho } } { \partial } _ { \rho } a + \frac { 1 } { 3 ! } { \epsilon } ^ { { \mu } { \nu } { \sigma } { \rho } { \eta } { \delta } } { \partial } _ { [ { \rho } } a { \cal G } _ { { \eta } { \delta } ] { \theta } } { \partial } ^ { \theta } a \right] .
\begin{array} { r } { \int _ { T _ { j k } } { \bf f } \, d s = \left[ \Phi _ { j k } + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \nabla { \bf f } _ { i } ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { T } ) \right] | { \bf n } _ { T } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \xi \xi } v \partial _ { \eta \eta } v } & { = u _ { x x } ^ { 2 } \varphi _ { \xi } ^ { 2 } \varphi _ { \eta } ^ { 2 } + 2 u _ { x x } u _ { x y } \varphi _ { \xi } ^ { 2 } \varphi _ { \eta } \psi _ { \eta } + u _ { x x } u _ { y y } \varphi _ { \xi } ^ { 2 } \psi _ { \eta } ^ { 2 } + } \\ & { + 2 u _ { x x } u _ { x y } \varphi _ { \xi } \varphi _ { \eta } ^ { 2 } \psi _ { \xi } + 4 u _ { x y } ^ { 2 } \varphi _ { \xi } \varphi _ { \eta } \psi _ { \xi } \psi _ { \eta } + 2 u _ { x y } u _ { y y } \varphi _ { \xi } \psi _ { \xi } \psi _ { \eta } ^ { 2 } + } \\ & { + u _ { x x } u _ { y y } \varphi _ { \eta } ^ { 2 } \psi _ { \xi } ^ { 2 } + 2 u _ { x y } u _ { y y } \varphi _ { \eta } \psi _ { \xi } ^ { 2 } \psi _ { \eta } + u _ { y y } ^ { 2 } \psi _ { \xi } ^ { 2 } \psi _ { \eta } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi _ { \Delta } ^ { ( 1 ) } ( x ) \, : = \, ( X _ { t + \Delta } ^ { ( 1 ) } \mid X _ { t } ^ { ( 1 ) } = x ) } & { { } = } & { x e ^ { - \alpha ( \lambda ) \Delta } + \mu ( \lambda ) ( 1 - e ^ { - \alpha ( \lambda ) } ) + \xi _ { t } } \\ { \phi _ { \Delta } ^ { ( 2 ) } ( x ) \, : = \, ( X _ { t + \Delta } ^ { ( 2 ) } \mid X _ { t } ^ { ( 2 ) } = x ) } & { { } = } & { \frac { \mu ( \lambda ) A \Delta ( x - \mu ( \lambda ) ) + x } { A \Delta ( x - \mu ( \lambda ) ) + 1 } } \end{array}
{ \cal R } = \frac { { \cal R } _ { 0 } } { \Omega ^ { 2 } } , \, { \cal W } = \frac { { \cal W } _ { 0 } } { \Omega ^ { 3 } } , \, { \cal M } = \frac { { \cal M } _ { 0 } } { \Omega ^ { 2 } } , \, { \cal M } _ { e } = \frac { { { \cal M } _ { e } } _ { 0 } } { \Omega ^ { 2 } } \, ,
F ( x _ { u } ) \sim \frac { \Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } } { M _ { W } ^ { 2 } } \sim 1 0 ^ { - 5 } \ll F ( x _ { c } ) \sim \frac { m _ { c } ^ { 2 } } { M _ { W } ^ { 2 } } \ln \frac { M _ { W } } { m _ { c } } \sim 1 0 ^ { - 3 } \ll F ( x _ { t } ) \sim 1
{ \begin{array} { l } { { \frac { \partial { p } } { \partial { \omega } ^ { p } } } f \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } = { \left( \mathrm { - } \mathrm { 1 } \right) } ^ { p } { \left( { \frac { \lambda } { \mathrm { 2 } \pi c } } \right) } ^ { p } \sum _ { m = { 0 } } ^ { p } { { \mathcal { A } } \mathrm { ( } p , m \mathrm { ) } { \lambda } ^ { m } { \frac { { \partial } ^ { m } } { \partial { \lambda } ^ { m } } } f \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } } \end{array} }
[ \hat { S } _ { + } , \hat { S } _ { - } ] = \displaystyle \frac { \partial G ( S _ { 3 } ) } { \partial S _ { 3 } } \vert _ { S _ { 3 } \to \hat { S } _ { 3 } } \stackrel { d e f . } { = } [ [ \hat { S _ { 3 } } ] ] ~ , ~ ~ ~ ~ [ \hat { S } _ { 3 } , \hat { S } _ { \pm } ] = \pm \hat { S } _ { \pm } ~ ,
\xi ^ { ( N ) } \Gamma _ { 2 0 } ^ { ( N ) } \ldots \Gamma _ { N 0 } ^ { ( N ) } = { \bf 1 } \otimes \, \underbrace { \gamma _ { 0 } \, \otimes \gamma _ { 0 } \otimes \ldots \otimes \gamma _ { 0 } } _ { N - 1 \; \mathrm { t i m e s } } = \left( \delta _ { \alpha _ { 1 } \beta _ { 1 } } ( \gamma _ { 0 } ) _ { \alpha _ { 2 } \beta _ { 2 } } \ldots ( \gamma _ { 0 } ) _ { \alpha _ { N } \beta _ { N } } \right)
\left[ \boldsymbol { a } ^ { \mathcal { C } } \right] = \left[ \begin{array} { c c c } { 2 . 4 6 } & { 0 . 0 0 } & { 0 . 0 0 } \\ { 0 . 0 0 } & { 2 . 4 6 } & { 0 . 0 0 } \\ { 0 . 0 0 } & { 0 . 0 0 } & { 2 . 4 6 } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l } { \langle f ^ { n + 1 } , e ^ { n + 1 } \rangle = } & { \left( - ( x _ { n + 1 } - x _ { n } ) \right) ^ { \top } \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) + y _ { n + 1 } ^ { \top } u _ { n + 1 } } \\ & { - \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) ^ { \top } R \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) } \\ { = } & { - \left( ( J - R ) \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) + B u _ { n + 1 } \right) ^ { \top } \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) } \\ & { + y _ { n + 1 } ^ { \top } u _ { n + 1 } - \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) ^ { \top } R \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) } \\ { = } & { \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) ^ { \top } R \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) - y _ { n + 1 } ^ { \top } u _ { n + 1 } } \\ & { + y _ { n + 1 } ^ { \top } u _ { n + 1 } - \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) ^ { \top } R \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) } \\ { = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \mathrm { S } } & { { } = - C ( \mathrm { S } - \mathrm { S } _ { d } ^ { \ast } ) \mathrm { d } t - B _ { d } r \mathrm { S } \mathrm { d } t + A \mathrm { d } W _ { t } } \\ { \mathrm { d } r ^ { 2 } } & { { } = F \mathrm { S } \mathrm { d } t , \mathrm { ~ } r ^ { 2 } > 0 } \\ { \mathrm { d } r ^ { 2 } } & { { } = 0 , \mathrm { ~ } r ^ { 2 } = 0 , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \mathrm { S } ( t ) < 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial X ( t , \zeta ) } { \partial t } } & { = \alpha \Delta X ( t , \zeta ) + f ( \zeta ) u ( t ) + \nu g ( \zeta ) X ( t , \zeta ) \frac { \partial W ( t ) } { \partial t } , \quad \zeta \in [ 0 , \pi ] ^ { 2 } , } \\ { \frac { \partial X ( t , \zeta ) } { \partial \mathbf { n } } } & { = 0 , \quad \zeta \in \partial [ 0 , \pi ] ^ { 2 } , \quad X ( 0 , \zeta ) \equiv 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rVert \mathfrak { I } _ { t } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + \gamma ^ { - 1 } ( \rVert Z \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + \rVert Z \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } ) } \\ & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + \gamma ^ { - 1 } \rVert Z \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { 4 } } \int \left( e ^ { 2 i x } + 2 + e ^ { - 2 i x } \right) d x } & { { } = { \frac { 1 } { 4 } } \left( { \frac { e ^ { 2 i x } } { 2 i } } + 2 x - { \frac { e ^ { - 2 i x } } { 2 i } } \right) + C } \end{array}
B = 2 G _ { F } ^ { 2 } m _ { e } m _ { \mu } \frac { \alpha ^ { 3 } m _ { \mu } ^ { 5 } Z _ { e f f } ^ { 4 } } { \pi ^ { 2 } Z \Gamma _ { c a p t } } A ^ { 2 } F ( q ^ { 2 } ) ^ { 2 } \left[ \left| \sum _ { a } \frac { \tilde { m } _ { N } ^ { a } } { m _ { a } ^ { 2 } } \Delta _ { e \mu } ^ { a \, L } \right| ^ { 2 } + \left| \sum _ { a } \frac { \tilde { m } _ { N } ^ { a } } { m _ { a } ^ { 2 } } \Delta _ { e \mu } ^ { a \, R } \right| ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r } { i \partial _ { z } \psi + \partial _ { t } ^ { 2 } \psi + 2 | \psi | ^ { 2 } \psi = i { \cal F } ^ { - 1 } ( \hat { g } ( \omega , z ) \hat { \psi } ) / 2 - i \epsilon _ { 3 } | \psi | ^ { 2 } \psi + \epsilon _ { R } \psi \partial _ { t } | \psi | ^ { 2 } . } \end{array}
H _ { \frac { n } { 2 } - 1 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 0 } r ) \approx - \frac { i \Gamma ( \frac { N } { 2 } - 1 ) } { \pi } ( \frac { 2 } { k _ { 0 } r } ) ^ { \frac { N } { 2 } - 1 }
\begin{array} { r } { u _ { i } = u _ { \infty } - \sqrt { \sum _ { j } ( u _ { \infty } - u _ { i , j } ) ^ { 2 } } = u _ { \infty } - \sqrt { \sum _ { j } \bigg [ u _ { \infty } \bigg ( \frac { \Delta u _ { i , j } } { u _ { \infty } } \bigg ) \bigg ] ^ { 2 } } . } \end{array}
\| \eta ( t ) - \eta _ { * } ( t ) \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } \, \le \, K \bigl ( \epsilon \delta + \epsilon ^ { \gamma _ { 3 } } \bigr ) \, , \qquad t \in ( 0 , T _ { \mathrm { a d v } } \delta ^ { - \sigma } ) \, ,
\begin{array} { r l r } { a s _ { \mathcal { A } ^ { o p } } ( x , y , z ) } & { = } & { ( x \cdot ^ { o p } y ) \cdot ^ { o p } \alpha ( z ) - \alpha ( x ) \cdot ^ { o p } ( y \cdot ^ { o p } z ) } \\ & { = } & { - ( - 1 ) ^ { | x | | y | } ( y \cdot x ) \cdot ^ { o p } \alpha ( z ) + ( - 1 ) ^ { | y | | z | } \alpha ( x ) \cdot ^ { o p } ( z \cdot y ) ) } \\ & { = } & { ( - 1 ) ^ { | x | | y | + | z | ( | x | + | y | ) } ( \alpha ( z ) \cdot ( y \cdot x ) ) - ( - 1 ) ^ { | y | | z | + | x | ( | z | + | y | ) } ( ( z \cdot y ) \cdot \alpha ( x ) ) } \\ & { = } & { - ( - 1 ) ^ { | y | | z | + | x | | z | + | y | | x | } ( ( z \cdot y ) \cdot \alpha ( x ) - \alpha ( z ) \cdot ( y \cdot x ) ) } \\ & { = } & { - ( - 1 ) ^ { | y | | z | + | x | | z | + | y | | x | } a s _ { \mathcal { A } } ( z , y , x ) . } \end{array}
Q = \left\{ \begin{array} { c } { { 2 n _ { I } - n _ { \phi } - 4 - d _ { f } + Q _ { \mathrm { T S } } } } \\ { { 2 n _ { I } - n _ { \psi } - 3 - d _ { f } + Q _ { \mathrm { T S } } } } \end{array} \right. \ ,
F ( t ) = Z \tilde { E } _ { 0 } \left( \exp { ( 2 \pi \mathrm { i } \omega _ { d } t ) } + \alpha \exp { ( 4 \pi \mathrm { i } \omega _ { d } t ) } \right) \exp { \left( - \frac { 1 } { 2 } \frac { t ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } \right) }
\begin{array} { r l } { \nabla } & { { } = \varepsilon ^ { - 1 } \widehat { n } \partial _ { \xi } + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { k } \xi ^ { k } K ^ { k } \nabla _ { \! \bot } , } \\ { \partial _ { t } } & { { } = - \varepsilon ^ { - 1 } v _ { \sigma } \partial _ { \xi } + ( \partial _ { \tau } - v _ { \bot } \cdot \nabla _ { \! \bot } ) + \varepsilon \left( \xi \nabla _ { \! \bot } v _ { \sigma } \cdot \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { k } \xi ^ { k } K ^ { k } \nabla _ { \! \bot } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \left( \frac { \partial L } { \partial \dot { p } } \right) - \frac { \partial L } { \partial p } = \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } A _ { B } A _ { i } F _ { i } , } \\ & { \frac { d } { d t } \left( \frac { \partial L } { \partial \Omega _ { B } } \right) + \hat { \Omega } _ { B } \frac { \partial L } { \partial \Omega _ { B } } + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \hat { a } _ { b j } \frac { \partial L } { \partial a _ { b j } } = \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \hat { \mu } _ { i } A _ { i } F _ { i } - \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \tau _ { i } , } \\ & { \frac { d } { d t } \left( \frac { \partial L } { \partial \Omega _ { i } } \right) + \hat { \Omega } _ { i } \frac { \partial L } { \partial \Omega _ { i } } + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \hat { a } _ { i j } \frac { \partial L } { \partial a _ { i j } } = M _ { i } + A _ { i } ^ { \top } \tau _ { i } . } \end{array}
\left| \mathcal { E } _ { \Omega ^ { * } } \left( F ^ { k l } ( \mathbf { q } _ { 1 } ) , \mathcal { K } _ { \mathbf { q } } \right) \right| \leqslant C \left\{ \begin{array} { l l } { N _ { \mathbf { k } } ^ { - 1 } } & { k \neq i , l \neq j } \\ { N _ { \mathbf { k } } ^ { - \frac 2 3 } } & { k = i , l \neq j \mathrm { ~ o ~ r ~ } k \neq i , l = j } \\ { N _ { \mathbf { k } } ^ { - \frac 1 3 } } & { k = i , l = j } \end{array} \right. , \quad \forall i , j , a , b , \ \forall \mathbf { k } _ { i } , \mathbf { k } _ { j } , \mathbf { k } _ { a } \in \mathcal { K } .
\sigma _ { d } ( \gamma ^ { * } q _ { i } \rightarrow q _ { j } \pi ) = \frac { g _ { A } ^ { 2 } } { f ^ { 2 } } \frac { \sigma _ { \circ } } { 6 4 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { P ^ { 2 } } \int _ { - \Lambda ^ { 2 } } ^ { t _ { 2 } } d t \frac { a _ { 1 } + b _ { 1 } t + c _ { 1 } t ^ { 2 } + d _ { 1 } t ^ { 3 } } { ( t - m _ { q } ^ { 2 } ) ^ { 2 } }
\left| V _ { \mathrm { b o s } } \right> = \exp \left\{ \frac { 1 } { 2 } \sum _ { u , v = 1 } ^ { 3 } \left( \sum _ { m , n } a _ { m ( u ) } ^ { I \dagger } { \bar { N } } _ { m n } ^ { u v } a _ { n ( v ) } ^ { I \dagger } \right) \right\} \left| 0 \right> _ { 1 2 3 } \, .
{ a } _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } . . . \alpha _ { m } } ^ { ( 1 ) } = { a } _ { \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } . . . \alpha _ { m - 1 } } ^ { ( 1 ) } u _ { \alpha _ { n } } + \left[ { a } _ { \alpha _ { n } \alpha _ { n - 1 } } ^ { ( 1 ) } u _ { \alpha _ { 1 } } u _ { \alpha _ { 2 } } . . . u _ { \alpha _ { n - 2 } } \right] _ { \mathrm { ~ c ~ y ~ c ~ } } .
\Delta _ { \mathrm { A } a } ^ { \mu \nu } ( q ) \equiv i \int d ^ { 4 } x ~ e ^ { i q \cdot x } ~ \langle 0 | T \left( A _ { a } ^ { \mu } ( x ) A _ { a } ^ { \nu } ( 0 ) \right) | 0 \rangle \qquad ( a = 3 , 8 \ \mathrm { n o t \ s u m m e d } ) \ \ ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { \| \Delta \mathbf { x } \| \rightarrow 0 } \; \frac { \vartheta \big ( \mathbf { x } + \Delta \mathbf { x } ; \xi ( \mathbf { x } ) \big ) - \vartheta \big ( \mathbf { x } ; \xi ( \mathbf { x } ) \big ) - D _ { 1 } \vartheta \big ( \mathbf { x } ; \xi ( \mathbf { x } ) \big ) \bullet \Delta \mathbf { x } } { \| \Delta \mathbf { x } \| } = 0 } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { \| \Delta \xi ( \mathbf { x } ) \| \rightarrow 0 } \; \frac { \vartheta \big ( \mathbf { x } ; \xi ( \mathbf { x } ) + \Delta \xi ( \mathbf { x } ) \big ) - \vartheta \big ( \mathbf { x } ; \xi ( \mathbf { x } ) \big ) - D _ { 2 } \vartheta \big ( \mathbf { x } ; \xi ( \mathbf { x } ) \big ) \bullet \Delta \xi ( \mathbf { x } ) } { \| \Delta \xi ( \mathbf { x } ) \| } = 0 } \end{array}
f _ { W _ { i } } ( w _ { i } ) = \int _ { R _ { L } ^ { - \alpha _ { L } } } ^ { \infty } \frac { 1 } { y } f _ { d _ { i } ^ { - \alpha _ { L } } } ( y ) f _ { h _ { i } } ( w _ { i } / y ) \mathrm { d } y = \frac { 2 m _ { u } ^ { - \frac { 2 } { \alpha _ { L } } } w _ { i } ^ { - \frac { 2 } { \alpha _ { L } } - 1 } \Big [ \Gamma \Big ( \frac { 2 } { \alpha _ { L } } + m _ { u } \Big ) - \Gamma \Big ( \frac { 2 } { \alpha _ { L } } + m _ { u } , \frac { m _ { u } w _ { i } } { R _ { L } ^ { - \alpha _ { L } } } \Big ) \Big ] } { \alpha _ { L } R _ { L } ^ { 2 } \Gamma ( m _ { u } ) } .
\chi _ { j } ^ { 2 } ( \theta , \theta ^ { \prime } ) K _ { \omega , k } ^ { \pm } ( \theta , \theta ^ { \prime } ) = \chi _ { j } ^ { 2 } ( \theta , \theta ^ { \prime } ) c _ { \lambda , k } ^ { \pm } ( \theta , \theta ^ { \prime } ) ( \theta - \theta ^ { \prime } \pm i 0 ) ^ { - k } \left( \theta - \theta ^ { \prime } \pm i h \psi _ { \omega } ^ { \pm } ( \theta , \theta ^ { \prime } ) \right) ^ { - k } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { p v } \int _ { 0 } ^ { L } } & { z _ { e } ( e ^ { \prime } ) \cot \Big ( \frac { z ( e ) - z ( e ^ { \prime } ) } { L / \pi } \Big ) \, \mathrm { d } e ^ { \prime } = \frac { L } { \pi } p v \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { z _ { e } ( e ^ { \prime } ) } { z ( e ) - z ( e ^ { \prime } ) } \, \mathrm { d } e ^ { \prime } } \\ { = } & { - \frac { L } { \pi } \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \Bigg ( \Bigg [ \ln \Big ( z ( e ) - z ( e ^ { \prime } ) \Big ) \Bigg ] _ { - \infty } ^ { e - \varepsilon } + \Bigg [ \ln \Big ( z ( e ) - z ( e ^ { \prime } ) \Big ) \Bigg ] _ { e + \varepsilon } ^ { + \infty } \Bigg ) } \\ { = } & { - \frac { L } { \pi } \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \operatorname* { l i m } _ { S \to \infty } \Bigg ( \Big ( ( \ln ( \varepsilon \rho ) + i \theta ) - \ln S \Big ) + \Big ( \ln S + i \pi - ( \ln ( \varepsilon \rho ) + i \theta + i \pi ) \Big ) \Bigg ) = 0 } \end{array}
H _ { 1 } \approx \frac { 1 } { ( \lambda _ { 5 } ^ { 2 } v ^ { 2 } + \lambda _ { 6 } ^ { 2 } u ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } \left( \lambda _ { 6 } u H _ { \eta } ^ { o } - \lambda _ { 5 } v H _ { \rho } ^ { o } \right) .
\kappa _ { 0 i } = \frac { A } { \dot { x } _ { 0 i } ^ { 2 } } = K _ { i } \left( \sqrt { { \left( \frac { \omega } { 2 K _ { i } } \right) } ^ { 2 } + 1 } + \frac { \omega } { 2 K _ { i } } \right)
\kappa = \kappa ( d , \eta ; C ) = 2 v _ { d } \int _ { 0 } ^ { \infty } d w \left[ ( d - 2 ) \frac { w ^ { d / 2 - 2 } C ( w ) } { w + C ( w ) } - \eta \frac { w ^ { d / 2 - 1 } C ( w ) } { ( w + C ( w ) ) ^ { 2 } } \right] .
\begin{array} { r l r } { \bar { x } } & { { } \equiv } & { \left( \frac { \rho g } { \sigma } \, \sin ^ { 2 } \beta \cos \beta \right) x \, , } \\ { \bar { y } } & { { } \equiv } & { \left( \frac { \rho g } { \sigma } \, \sin ^ { 2 } \beta \cos \beta \right) y \, , } \\ { \bar { h } _ { 1 } } & { { } \equiv } & { \left( \frac { \rho g } { \sigma } \, \sin \beta \cos \beta \right) h \, , } \end{array}
\| \Lambda _ { k } ( [ \hat { f } _ { 0 } ] ) \| = \| \hat { \mathfrak f } _ { 0 } \wedge \hat { \mathfrak f } _ { 0 } ^ { \prime } \wedge \cdots \wedge \hat { \mathfrak f } _ { 0 } ^ { ( k ) } \| = \| \hat { \mathfrak f } _ { 0 } \wedge \hat { \mathfrak f } _ { 1 } \wedge \cdots \wedge \hat { \mathfrak f } _ { k } \| = \| \hat { \mathfrak f } _ { 0 } \| \cdot \| \hat { \mathfrak f } _ { 1 } \| \cdots \| \hat { \mathfrak f } _ { k } \| .
\sqrt { - \operatorname * { d e t } g } \, \left( { \frac { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } } } \, R ( g ) - V ( T ) \sqrt { 1 - 2 \pi \ell _ { s } ^ { 2 } f ( T ) ( \dot { T } ) ^ { 2 } } \, \right) ,
e ^ { \sigma ( p ) + \sigma ( \tilde { p } ) } = e ^ { \lambda _ { 0 } + \tilde { \lambda } _ { 0 } } \prod _ { i = 1 } ^ { N } | \omega - \omega _ { i } | ^ { ( \alpha _ { i } - 1 ) } | \omega - \tilde { \omega } _ { i } | ^ { ( \tilde { \alpha } _ { i } - 1 ) }
{ { I _ { m } } } = \frac { { { \eta } _ { { { \lambda } _ { i } } } } { { V } _ { { A } } } } { { { M } _ { { { \lambda } _ { i } } } } } + \frac { { { \eta } _ { { { \lambda } _ { 0 } } } } { { V } _ { { { \lambda } _ { 0 } } } } } { { { M } _ { { { \lambda } _ { 0 } } } } } + I _ { e l } .
| \Psi _ { 0 } \rangle \approx \left( 1 + \sum _ { i a } c _ { i } ^ { a } a _ { a } ^ { \dagger } a _ { i } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i j a b } c _ { i j } ^ { a b } a _ { a } ^ { \dagger } a _ { b } ^ { \dagger } a _ { i } a _ { j } \cdots \right) | \Phi \rangle ,
D _ { g \to \gamma } ( \xi , \mu ^ { 2 } ) = \frac { \alpha _ { s } ( \mu ^ { 2 } ) } { 2 \pi } \int _ { \xi } ^ { 1 } \! \frac { d \eta } { \eta } \, P _ { g \to q } ( \eta ) \, D _ { q \to \gamma } ( \xi / \eta , \mu ^ { 2 } ) \, \frac { 1 } { 2 } \ln \! \left( \frac { \mu ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { c o h } } ^ { \mathrm { e l } } ( \vec { Q } , \omega ) = } & { { } N \frac { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } { v _ { 0 } } \sum _ { \vec { \tau } } \delta ( \vec { Q } - \vec { \tau } ) \left| \sum _ { j } ^ { N } \overline { { b _ { j } } } \exp ( i \vec { Q } \cdot \vec { R _ { j } } ) \exp ( - W _ { j } ) ) \right| ^ { 2 } } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { \frac { U _ { ( n - k ) } - b _ { n , k } } { a _ { n , k } } } \\ { \frac { U _ { ( n - 2 k ) } - b _ { n , 2 k } } { a _ { n , 2 k } } } \end{array} \right) \xrightarrow { d } N \left( \Big ( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \Big ) , \Big ( \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 / \sqrt { 2 } } \\ { 1 / \sqrt { 2 } } & { 1 } \end{array} \Big ) \right) ,
{ \dot { \boldsymbol { x } } } - { \boldsymbol { v } } ( t , { \boldsymbol { x } } ) = 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad { \mathfrak { G } } \left( t , \Phi ( t , { \boldsymbol { x } } _ { 0 } ) \right) = 0
\left\{ \phi _ { a } ^ { ( 1 ) } , \phi ^ { ( 1 ) } \right\} = \left\{ \phi _ { a } ^ { ( 1 ) } , T \right\} = \left. \left\{ T , \phi _ { 3 , n } ^ { ( 1 ) } \right\} \right| _ { \phi = T = 0 } = \left. \left\{ T , T \right\} \right| _ { \phi = T = 0 } = 0 \; , \; \; a = 1 , 2 \, .
\begin{array} { r } { \langle \psi _ { i } | \Sigma ( E ) | \psi _ { k } \rangle = \frac { i } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! d \omega \, \sum _ { n } \frac { \langle \psi _ { i } \psi _ { n } | I ( \omega ) | \psi _ { n } \psi _ { k } \rangle } { E - \omega - \varepsilon _ { n } ( 1 - i 0 ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \varphi ( y , x ) - \varphi ( y , x _ { 0 } ) \Vert } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq 1 } \Vert D _ { x } \varphi ( y , ( 1 - t ) x _ { 0 } + t x ) \Vert \Vert x - x _ { 0 } \Vert } \\ & { \leq M _ { y } ( L _ { x } + K _ { x y } \Vert y - y _ { 0 } \Vert + K _ { x x } \Vert x - x _ { 0 } \Vert ) ( \Vert x - x _ { 0 } \Vert ) , \ ( y , x ) \in \mathrm { B } ( ( y _ { 0 } , x _ { 0 } ) , R _ { 2 } ) . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l } { S _ { 1 1 } } & { S _ { 1 2 } } \\ { S _ { 2 1 } } & { S _ { 2 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { A } ^ { ( 0 ) } } \\ { \ \mathbf { B } ^ { ( 1 ) } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { A } ^ { ( 1 ) } } \\ { \ \mathbf { B } ^ { ( 0 ) } } \end{array} \right] .
\left( \frac { \bar { h } _ { 1 } ^ { \prime } } { \bar { h } _ { 1 } } \right) ^ { 2 } = - \frac { 1 } { \bar { h } _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \bar { h } _ { 1 } ^ { 4 } }
\sum _ { r } S _ { r } ( \omega , \psi , \chi , \varphi ; z , \zeta ) \operatorname * { l i m } _ { \bar { z } \rightarrow 0 } \; \bar { z } ^ { \Delta _ { \bar { v } } + \Delta _ { \bar { r } } - \Delta _ { \bar { x } } } \; \operatorname * { l i m } _ { \bar { \zeta } \rightarrow 0 } \; \bar { \zeta } ^ { \Delta _ { \bar { w } } + \Delta _ { \bar { u } } - \Delta _ { \bar { r } } } \; \widehat { W } _ { \bar { x } , \bar { r } } ^ { 2 } ( \bar { z } , \bar { \zeta } , 0 ) ,
\mathrm { C O P } _ { \mathrm { c o o l i n g } } \leq { \frac { T _ { \mathrm { { C } } } } { T _ { \mathrm { { H } } } - T _ { \mathrm { { C } } } } } = \mathrm { C O P } _ { \mathrm { c o o l i n g , c a r n o t } }
\begin{array} { r l } { \dot { \boldsymbol { a } } } & { { } = \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \cdot \nabla \left( \mathbf { v } \times \boldsymbol { \ell } _ { 2 } \right) + \boldsymbol { \ell } _ { 2 } \cdot \nabla \left( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \times \mathbf { v } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { n + 2 } ^ { > } ( \omega ^ { \prime } ) = i a _ { 3 } k _ { n } \int \frac { d \omega ^ { \prime \prime } } { 2 \pi } \frac { u _ { n } ^ { < } ( \omega ^ { \prime } - \omega ^ { \prime \prime } ) u _ { n + 1 } ^ { > } ( \omega ^ { \prime \prime } ) } { - i \omega ^ { \prime } + \nu _ { n + 2 } k _ { n + 2 } ^ { 2 } } , } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { i k _ { 1 } } & { - i k _ { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { e ^ { - i k _ { 1 } a / 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { i k _ { 1 } a / 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \alpha } \\ { \beta } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { i k _ { 2 } } & { - i k _ { 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { e ^ { - i k _ { 2 } a / 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { i k _ { 2 } a / 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { C } \\ { D } \end{array} \right)
\mathbf { r } ( t ) = \mathbf { v } ( 0 ) \tau { \big ( } 1 - e ^ { - t / \tau } { \big ) } + \tau \int _ { 0 } ^ { t } \mathbf { a } ( t ^ { \prime } ) { \Big [ } 1 - e ^ { - ( t - t ^ { \prime } ) / \tau } { \Big ] } d t ^ { \prime } .
< \! 0 | \chi ^ { m } | 0 \! > = \left\{ \begin{array} { l l } { { ( m - 1 ) ! ! \: X ^ { m / 2 } } } & { { \mathrm { ~ m ~ e v e n } } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { ~ m ~ o d d } } } \end{array} \right. ,