harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \rho ( \phi ) = \frac { \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } } { 4 } \Big ( \phi + \frac { \rho _ { 2 } - \rho _ { 1 } } { \rho _ { 2 } + \rho _ { 1 } } \Big ) ^ { 2 } + \frac { \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } } { \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } } \in [ \frac { \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } } { \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } } , \frac { 2 \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } + \rho _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 ( \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } ) } ] } \end{array}
\frac { d [ \mathrm { e ^ { - } } ] } { d t } = [ \mathrm { N } V ] \; p \left( n _ { e } ^ { - } \sigma _ { e } ^ { - } + n _ { s } ^ { - } \sigma _ { s } ^ { - } \right) J - [ \mathrm { e ^ { - } } ] [ \mathrm { N } V ] ( 1 - p ) k _ { c b 0 }
{ \begin{array} { l } { { \boldsymbol { \it { G D } } } = { \frac { \partial } { \partial \omega } } k \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } = { \frac { \mathrm { 1 } } { c } } \left( n \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } + \omega { \frac { \partial n \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial \omega } } \right) = { \frac { \mathrm { 1 } } { c } } \left( n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } - \lambda { \frac { \partial n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial \lambda } } \right) = v _ { g r } ^ { \mathrm { - } \mathrm { 1 } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \Delta \phi = 2 \int _ { - \frac { \pi } { 2 } + \varepsilon ^ { * } } ^ { \frac { \pi } { 2 } - \varepsilon ^ { * } } \frac { 1 - b \cos ^ { 2 } \psi } { \sqrt { ( a + b \cos ^ { 2 } \psi ) ( c + b \cos ^ { 2 } \psi ) } } d \psi . } \end{array}
\vec { \pi } ( x , - y , z ) = \left( \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \vec { \pi } ( x , y , z )
\langle \delta \hat { \Delta } ( \omega ) \delta \hat { \Delta } ( \omega ^ { \prime } ) \rangle = 2 \pi \delta ( \omega + \omega ^ { \prime } ) \Bigg [ \frac { \big ( \omega ^ { 2 } + \lambda _ { + } ^ { 2 } \big ) \big ( \omega ^ { 2 } + \lambda _ { - } ^ { 2 } \big ) } { g ^ { 2 } N ^ { 2 } \kappa \sin \theta ^ { 2 } } \Bigg ] .
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { ( \mathrm { \boldmath ~ y ~ } ^ { \prime } , s ^ { \prime } , \mathrm { \boldmath ~ Z ~ } ^ { \prime } ) \in \widehat { G } } L ( \mathrm { \boldmath ~ x ~ } , \mathrm { \boldmath ~ y ~ } ^ { \prime } , s ^ { \prime } , \mathrm { \boldmath ~ Z ~ } ^ { \prime } ) = L ( \mathrm { \boldmath ~ x ~ } , \mathrm { \boldmath ~ y ~ } , s , \mathrm { \boldmath ~ Z ~ } ) = \operatorname* { i n f } _ { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } ^ { \prime } \in \mathrm { ~ \mathbb { R } ~ } ^ { n } } L ( \mathrm { \boldmath ~ x ~ } ^ { \prime } , \mathrm { \boldmath ~ y ~ } , s , \mathrm { \boldmath ~ Z ~ } ) , } \end{array}
\tilde { \cal P } _ { \alpha _ { 1 } \, \alpha _ { 2 } \, \alpha _ { 3 } } ^ { a \, b } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } ; k ^ { 2 } ) = \int d ^ { n } p \, d ^ { n } q \, \frac { ( p \cdot k ) ^ { a } ( q \cdot k ) ^ { b } } { [ ( p + k ) ^ { 2 } + m _ { 1 } ^ { 2 } ] ^ { \alpha _ { 1 } } \, ( q ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { \alpha _ { 2 } } \, ( r ^ { 2 } + m _ { 3 } ^ { 2 } ) ^ { \alpha _ { 3 } } } ~ ~ .
\langle \Phi | E ^ { a } E ^ { a } | \Phi \rangle = \langle \Phi | \left( \frac { 1 } { L ^ { 2 } } e ^ { p \dagger } e ^ { p } + 2 \mathrm { t r } \, g \rho \frac { 1 } { D _ { 1 } ^ { \prime } } g \rho \right) | \Phi \rangle \, .
\begin{array} { r } { m ( { a } , R ) = \frac { A ^ { 2 } ( B ^ { 2 } - R ^ { 2 } ) } { R ^ { 2 } ( B ^ { 2 } - A ^ { 2 } ) } m ( { a } , A ) = \frac { A ^ { 2 } ( B ^ { 2 } - R ^ { 2 } ) } { R ^ { 2 } ( B ^ { 2 } - A ^ { 2 } ) } M ( { a } , \lambda ( a ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 1 } ( \boldsymbol x ) } & { = \sum _ { \boldsymbol k \in \mathbb Z ^ { d } } c _ { \boldsymbol k } ( s _ { 1 } ) \, \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol k \boldsymbol x } } \\ & { = \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \hat { g } _ { \boldsymbol k } \; c _ { \boldsymbol k } ( \tilde { w } ) \, \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol k \boldsymbol x } + \sum _ { \boldsymbol r \in \mathbb Z ^ { d } \setminus \{ \boldsymbol 0 \} } \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \hat { g } _ { \boldsymbol k } \; c _ { \boldsymbol k + \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } \odot \, \boldsymbol r } ( \tilde { w } ) \, \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i ( \boldsymbol k + \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } \odot \, \boldsymbol r ) \boldsymbol x } , } \end{array}
\boldsymbol { \theta } ^ { ( j + 1 ) } = \boldsymbol { \theta } ^ { ( j ) } - \alpha \nabla _ { \theta ^ { ( j ) } } \mathcal { L } _ { \mathcal { M } } ( \hat { u } ( \boldsymbol { \hat { \gamma } } ( \boldsymbol { \theta } ^ { ( j ) } ) ) )
\begin{array} { r l } { { 2 } } & { { } \beta = \beta ^ { \mathrm { { G } } } + ( \beta ^ { \mathrm { { S } } } - \beta ^ { \mathrm { { G } } } ) H + ( \beta ^ { \mathrm { { L } } } - \beta ^ { \mathrm { { S } } } ) H \varphi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 3 2 W } } \Rightarrow 2 \alpha _ { 1 } ^ { 2 } W = \frac { 1 } { 1 6 } ; } \\ { \alpha _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 8 \left( \frac { 1 6 } { 3 } + 8 \sqrt { 5 W } + 4 W \right) \log \frac { 4 } { \delta } } \land \frac { 1 } { \sqrt { 1 6 \left( \frac { 3 2 } { 3 } + 8 \sqrt { 5 W } + 8 0 W \right) \log \frac { 4 } { \delta } } } } \\ & { \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha _ { 2 } \left( \frac { 1 6 } { 3 } + 8 \sqrt { 5 W } + 4 W \right) \log \frac { 4 } { \delta } \leq \frac { 1 } { 8 } } \\ { \alpha _ { 2 } ^ { 2 } \left( \frac { 3 2 } { 3 } + 8 \sqrt { 5 W } + 8 0 W \right) \log \frac { 4 } { \delta } \leq \frac { 1 } { 1 6 } } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Big | \sum _ { j = 0 } ^ { k } a _ { k - j } b _ { j } \Big | } & { \leq } & { \Big ( \sum _ { j = 0 } ^ { k } | a _ { k - j } | ^ { p } | b _ { j } | ^ { r } \Big ) ^ { 1 / q } \Big ( \sum _ { j = 0 } ^ { k } | a _ { k - j } | ^ { p } \Big ) ^ { ( 1 - p / q ) / p } \Big ( \sum _ { j = 0 } ^ { k } | b _ { k } | ^ { r } \Big ) ^ { ( 1 - r / q ) / r } } \\ & { \leq } & { \Big ( \sum _ { j = 0 } ^ { k } | a _ { k - j } | ^ { p } | b _ { j } | ^ { r } \Big ) ^ { 1 / q } \| a \| _ { \ell _ { p } } ^ { 1 - p / q } \| b \| _ { \ell _ { r } } ^ { 1 - r / q } . } \end{array}
{ \frac { \int e ^ { i \int - { \frac { 1 } { 2 } } f ( x ) \cdot K ( x , y ) \cdot f ( y ) \, d x \, d y + \int J ( x ) \cdot f ( x ) \, d x } [ D f ] } { \int e ^ { i \int - { \frac { 1 } { 2 } } f ( x ) \cdot K ( x , y ) \cdot f ( y ) \, d x \, d y } [ D f ] } } = e ^ { i { \frac { 1 } { 2 } } \int J ( x ) \cdot K ^ { - 1 } ( x , y ) \cdot J ( y ) \, d x \, d y } .
u ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { k } ) = \sum _ { \{ k _ { i } \} } \prod _ { i = 1 } ^ { 4 } \frac { 1 } { k _ { i } ! } \left( x _ { i } \cdot \partial _ { i } \right) ^ { k _ { i } } U ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { k } ) ,
\times P _ { n } ^ { ( \mid k + \beta _ { 0 } \mid , \mid k + \beta _ { 0 } \mid ) } \left( \cos \theta _ { b } \right) P _ { n } ^ { ( \mid k + \beta _ { 0 } \mid , \mid k + \beta _ { 0 } \mid ) } \left( \cos \theta _ { a } \right) .
\begin{array} { r l } & { ( m + n ) \log ( 3 8 4 0 0 C _ { V } k ^ { 1 / 2 } ( \log ( k / \delta _ { k } ) ) ^ { 4 } ) } \\ { \leq } & { ( m + n ) \left( 5 \log ( 1 / \delta ) + \frac { 2 5 } { 2 } \log ( k ) \right) } \\ { \leq } & { \frac { 1 } { 8 0 0 } k + \frac { 2 5 } { 2 } ( m + n ) k ^ { 1 / 4 } \leq \frac { 1 } { 4 0 0 } k . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 2 M } ( z ) } & { { } \equiv z \left[ 1 - \frac { 1 } { 3 ! } z ^ { 2 } + \frac { 1 } { 5 ! } z ^ { 4 } - \cdots + \frac { ( - 1 ) ^ { M } } { ( 2 M + 1 ) ! } z ^ { 2 M } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { U } & { { } = U _ { \alpha } + U _ { \beta } + U _ { \sigma } } \\ { N _ { i } } & { { } = N _ { i \alpha } + N _ { i \beta } + N _ { i \sigma } } \\ { S } & { { } = S _ { \alpha } + S _ { \beta } + S _ { \sigma } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { S } } & { { } = - \beta _ { 0 } \left( 1 - m ( h ) \right) s ( t ) I S + \nu R \, , } \\ { \dot { I } } & { { } = \beta _ { 0 } \left( 1 - m ( h ) \right) s ( t ) I S - \gamma I \, , } \\ { \dot { R } } & { { } = \gamma I - \nu R \, , } \\ { \dot { h } ^ { \prime } } & { { } = \frac { 1 } { \tau } ( I - h ^ { \prime } ) \, , } \\ { \dot { h } } & { { } = \frac { 1 } { \tau } ( h ^ { \prime } - h ) \, , } \\ { m ( h ) } & { { } = m _ { \mathrm { m a x } } - \frac { m _ { \mathrm { m a x } } } { h _ { \mathrm { t h r e s } } } \epsilon \log \left( 1 + \exp \left( \frac { 1 } { \epsilon } \left( h _ { \mathrm { t h r e s } } - h \right) \right) \right) \, , } \\ { s ( t ) } & { { } = 1 + a \, \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( \omega t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { b , \gamma } } & { = i \sigma \rho ( \rho \partial _ { \rho } - 1 ) \otimes \mathrm { I d } _ { 4 \times 4 } + \widehat { \mathcal { P } _ { b , \gamma } } ( 0 ) + \sigma Q _ { P } + \sigma ^ { 2 } V _ { P } , } \\ { \mathcal { W } _ { b , \gamma } } & { = i \sigma \rho ( \rho \partial _ { \rho } - 1 ) \otimes \mathrm { I d } _ { 4 \times 4 } + \widehat { \mathcal { W } _ { b , \gamma } } ( 0 ) + \sigma Q _ { W } + \sigma ^ { 2 } V _ { W } , } \\ { L _ { b , \gamma } } & { = 2 i \sigma \rho ( \rho \partial _ { \rho } - 1 ) \otimes \mathrm { I d } _ { 1 4 \times 1 4 } + \widehat { L _ { b , \gamma } } ( 0 ) + \sigma Q _ { L } + \sigma ^ { 2 } V _ { L } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \quad \hat { \bar { \mathbf \Xi } } _ { j } ^ { \mathbb { B } } = ( \hat { \bar { \mathbf \Xi } } _ { j , \lceil n b \rceil } ^ { \mathbb { B } , \top } , \cdots , \hat { \bar { \mathbf \Xi } } _ { n - 2 \lceil n b \rceil + j , n - \lceil n b \rceil } ^ { \mathbb { B } , \top } ) ^ { \top } , ~ \mathrm { w i t h } ~ \hat { \bar { \mathbf \Xi } } _ { j , s } ^ { \mathbb { B } } = ( c _ { z } K _ { b _ { z } } ( t _ { j } - t _ { s } ) \tilde { \Xi } _ { z , j } / \hat { \tilde { \Gamma } } _ { z } ( t _ { s } ) , z \in \mathbb { B } ) ^ { \top } . } \end{array}
E _ { \mathrm { s u r f } } = \frac { \kappa } { 2 } \int \mathrm { d } A ( 2 H ) ^ { 2 } + K _ { A } \frac { ( A - A _ { t } ) ^ { 2 } } { A _ { t } } + K _ { V } \frac { ( V - V _ { t } ) ^ { 2 } } { V _ { t } } ,
w _ { x ^ { \prime } x } ^ { y ^ { \prime } y } = \left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { c } { w _ { x ^ { \prime } x } ^ { y } } \\ { w _ { y ^ { \prime } y } ^ { x } } \\ { 0 } \end{array} } & { \begin{array} { c } { x \neq x ^ { \prime } , y = y ^ { \prime } } \\ { x = x ^ { \prime } , y \neq y ^ { \prime } } \\ { x \neq x ^ { \prime } , y \neq y ^ { \prime } , } \end{array} } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { N _ { x } ^ { \prime } } & { { } = m ^ { \prime } x ^ { \prime } - p _ { x } ^ { \prime } t ^ { \prime } = N _ { x } } \\ { N _ { y } ^ { \prime } } & { { } = m ^ { \prime } y ^ { \prime } - p _ { y } ^ { \prime } t ^ { \prime } = \gamma ( v ) \left( N _ { y } + { \frac { v L _ { z } } { c ^ { 2 } } } \right) } \\ { N _ { z } ^ { \prime } } & { { } = m ^ { \prime } z ^ { \prime } - p _ { z } ^ { \prime } t ^ { \prime } = \gamma ( v ) \left( N _ { z } - { \frac { v L _ { y } } { c ^ { 2 } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial } { \partial \theta _ { j } } L _ { 1 } ^ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) \underset { n \longrightarrow \infty } { \overset { \mathcal { P } } { \longrightarrow } } \frac { 1 } { 2 } \frac { \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \frac { \tau } { 2 } } } { \left( 2 \pi \right) ^ { m \tau / 2 } } \frac { 1 } { \left( 1 + \tau \right) ^ { m / 2 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) } \\ & { } & { - \frac { 1 } { 2 } \frac { \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \frac { \tau } { 2 } } } { \left( 2 \pi \right) ^ { m \tau / 2 } } \frac { 1 } { \left( 1 + \tau \right) ^ { m / 2 } } \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial ^ { 2 } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } \partial \theta _ { i } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( \sigma _ { n } ; \mathbf { X } , \mathbf { Y } , \mathbf { A } ) } & { = I ( \sigma _ { n } ; \mathbf { X } | \mathbf { Y } , \mathbf { A } ) } \\ & { \le I ( \sigma _ { n } , \mathbf { Y } , \mathbf { A } ; \mathbf { X } ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { n } } I ( X _ { i } ^ { n } ; Y _ { \sigma _ { n } ( i ) } ^ { K _ { n } } , A _ { \sigma _ { n } ( i ) } ^ { n } ) } \\ & { = m _ { n } I ( X ^ { n } ; Y ^ { K _ { n } } , A ^ { n } ) } \end{array}
\forall a \in A _ { i } : \quad \sigma _ { i } ^ { * } ( a ) ( u _ { i } ( a _ { i } , \sigma _ { - i } ^ { * } ) - u _ { i } ( \sigma _ { i } ^ { * } , \sigma _ { - i } ^ { * } ) ) = \sigma _ { i } ^ { * } ( a ) { \mathrm { G a i n } } _ { i } ( \sigma ^ { * } , a )
\frac { x } { 2 } \left( \Phi _ { p } ( x ) + \frac { \Phi _ { \sigma } ^ { \prime } ( x ) } { 6 } \right) = \frac { \Phi _ { \sigma } ( x ) } { 6 } \, , \qquad \frac { 1 - x } { 2 } \left( \Phi _ { p } ( x ) - \frac { \Phi _ { \sigma } ^ { \prime } ( x ) } { 6 } \right) = \frac { \Phi _ { \sigma } ( x ) } { 6 } \, .
\mathbf { o } _ { t } ^ { l } = \sigma ( W _ { o } ^ { l } [ { \boldsymbol { \chi } } _ { t } ; \mathbf { h } _ { t - 1 } ^ { l } ; \mathbf { h } _ { t } ^ { l - 1 } ] + \mathbf { b } _ { o } ^ { l } )
\begin{array} { r } { \phi ( x ) \! = \! \int _ { 0 } ^ { 1 } f ^ { \prime } ( y ) \, \mathbf { 1 } _ { \{ y \le g ( x ) \} } \, \mathrm { d } y \le \! \bigg ( \int _ { 0 } ^ { 1 } f ^ { \prime } ( y ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } y \bigg ) ^ { 1 / 2 } \sqrt { g ( x ) } \le \! \sqrt { \bigg ( \int _ { 0 } ^ { x } g ^ { \prime } ( y ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } y \bigg ) ^ { 1 / 2 } x ^ { 1 / 2 } } \le \! x ^ { 1 / 4 } , \; x \in [ 0 , 1 ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bigl [ ( M _ { 0 } ) _ { \mathrm { b } } ^ { 3 } ; \mathfrak { p } _ { { 3 \mathrm { b } } , 3 } ; \mathfrak { p } _ { L \cap R , 3 } ; \{ \mathfrak { p } _ { L \cap R , 3 , O } \} ; \{ \mathfrak { p } _ { { 3 \mathrm { b } } , O } \} ; \{ \mathfrak { p } _ { L \cap R , O } \} ; \{ \mathfrak { p } _ { L , O } , \mathfrak { p } _ { R , O } \} ; \tilde { \mathfrak { p } } _ { { 3 \mathrm { b } } , F } ; \tilde { \mathfrak { p } } _ { L \cap R , F } ; \tilde { \mathfrak { p } } _ { L , F } ; \tilde { \mathfrak { p } } _ { R , F } \bigr ] } \\ & { \qquad \to [ ( M _ { 0 } ) _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } ; \mathfrak { p } _ { 3 \mathrm { b } } ; \mathfrak { p } _ { L \cap R } ; \mathfrak { p } _ { L } ; \mathfrak { p } _ { R } ] . } \end{array}
\mathsf { A } _ { \mathsf { U } , i } ^ { \ell } K _ { j , \alpha } ^ { i } - \mathsf { M } _ { i } ^ { \ell } K _ { j , \beta ^ { k } } ^ { i } \alpha _ { q } R _ { 1 , e _ { k } } ^ { q } - \mathsf { M } _ { i } ^ { \ell } K _ { 1 , e _ { q } } ^ { i } R _ { j , \alpha } ^ { q } = \eta _ { j , \alpha } ^ { \ell } , \qquad | \alpha | = j ,
q _ { c } ^ { 1 } ( z | \omega , \Delta _ { \omega } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { i f ~ } z \leq \omega } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( - \operatorname { t a n h } ( \frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 1 } { x - 1 } ) + 1 ) ; x = 2 \frac { z - \omega - 0 . 5 \Delta _ { \omega } } { \Delta _ { \omega } } } & { \mathrm { i f ~ } \omega < z < \omega + \Delta _ { \omega } } \\ { 1 , } & { \mathrm { i f ~ } z \geq \omega + \Delta _ { \omega } } \end{array} \right. \mathrm { , }
\begin{array} { r l } { \dot { E } } & { { } = { \cal T } _ { 0 } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 1 } { 6 4 } \, ( - k n ) \, b ( - k n ) \bigg [ 4 \left( 1 - 3 x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \right) ^ { 2 } + 9 \left( 1 - x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } + \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) \bigg ] } \end{array}
A _ { i } ( { \bf x } ) = - \frac { 1 } { \kappa } \epsilon _ { i j } \partial _ { j } \int d ^ { 2 } y G ( { \bf x } - { \bf y } ) J _ { 0 } ( { \bf y } ) + \partial _ { i } \int d ^ { 2 } y G ( { \bf x } - { \bf y } ) \partial _ { 0 } A _ { 0 } ( { \bf y } ) .
\frac { d \sigma ^ { h A } } { d Q ^ { 2 } d q _ { T } ^ { 2 } } = \frac { d \sigma ^ { h A } } { d Q ^ { 2 } } \, \frac { 1 } { \langle q _ { T } ^ { 2 } \rangle _ { D Y } ^ { h A } - \Gamma ( q _ { T } ^ { L } ) _ { D Y } ^ { h A } } \mathrm { e } ^ { - q _ { T } ^ { 2 } / ( \langle q _ { T } ^ { 2 } \rangle _ { D Y } ^ { h A } - \Gamma ( q _ { T } ^ { L } ) _ { D Y } ^ { h A } ) } \ ,
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } ( \varepsilon , r ) } & { : = \int _ { z _ { \varepsilon r } ( - \varepsilon ^ { - 1 } ) } ^ { z _ { \varepsilon r } ( - \varepsilon ^ { - 1 } ) + \varepsilon } \frac { d s } { H _ { \varepsilon } ^ { + } ( f _ { \Delta ( \varepsilon , r ) } ( s ) ) } , } \\ { T _ { 2 } ( \varepsilon , r ) } & { : = \int _ { z _ { \varepsilon r } ( \varepsilon ^ { - 1 } ) - \varepsilon } ^ { z _ { \varepsilon r } ( \varepsilon ^ { - 1 } ) } \frac { d s } { H _ { \varepsilon } ^ { + } ( f _ { \Delta ( \varepsilon , r ) } ( s ) ) } , } \end{array}
G _ { 0 0 } = - 1 \, , \, G _ { i j } = \delta _ { i j } \, , \, G _ { 0 i } = G _ { i 0 } = f _ { i } ( y _ { i } , { \cal T } ) = \epsilon ( \epsilon y _ { i } + u _ { i } { \cal T } ) \, , \, \, i , j = 1 , . . . , D
\begin{array} { r } { \Lambda _ { i j k l } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } ( t ) = \lambda _ { i j k l } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } ( t ) - \left[ \lambda _ { k l i j } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } ( t ) \right] ^ { * } , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \qquad \lambda _ { i j k l } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } ( t ) = ( \mathrm { i } \hbar ) ^ { 2 } \sum _ { p q r s } \mathcal { G } _ { q j k p } ( t ) \, w _ { r p q s } ( t ) \left[ G _ { i r } ^ { > } ( t ) \, G _ { s l } ^ { < } ( t ) - G _ { i r } ^ { < } ( t ) \, G _ { s l } ^ { > } ( t ) \right] , } \\ { \Lambda _ { i j k l } ^ { \mathrm { ~ p ~ p ~ } } ( t ) = \lambda _ { i j k l } ^ { \mathrm { ~ p ~ p ~ } } ( t ) - \left[ \lambda _ { k l i j } ^ { \mathrm { ~ p ~ p ~ } } \right] ^ { * } , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \qquad \lambda _ { i j k l } ^ { \mathrm { ~ p ~ p ~ } } ( t ) = ( \mathrm { i } \hbar ) ^ { 2 } \sum _ { p q r s } \left[ G _ { i r } ^ { > } ( t ) \, G _ { j s } ^ { > } ( t ) - G _ { i r } ^ { < } ( t ) \, G _ { j s } ^ { < } ( t ) \right] w _ { r s p q } ( t ) \, \mathcal { G } _ { p q k l } ( t ) \, . } \end{array}
\mathbb { E } _ { Y } [ \rho ( x , t ; Y ) ] : = \int _ { \mathbb { R } } \rho ( x , t ; y ) g ( y ) \, d y , \qquad \mathbb { E } _ { Y } [ h ( x , t ; Y ) ] : = \int _ { \mathbb { R } } h ( x , t ; y ) g ( y ) \, d y .
\begin{array} { r l } { \eta ( E ) = \frac { 2 \pi } { \tilde { Z } _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { c l } } } } & { \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \vartheta \sin \vartheta \, \mathrm { I } _ { 0 } \left( \frac { a } { 2 } \right) \delta \big ( E - H _ { \mathrm { S } } ( \vartheta ) ) } \\ & { e ^ { \left[ \beta \omega _ { \mathrm { L } } S _ { 0 } \cos \vartheta + \frac { 1 } { 2 } \beta Q S _ { 0 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \vartheta ( c _ { 1 1 } + c _ { 2 2 } ) + \beta Q c _ { 3 3 } \cos ^ { 2 } \vartheta \right] } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \hat { H } _ { e m b } ^ { i } } & { = \hat { H } _ { 0 } ^ { i } - \sum _ { a , b = 1 } ^ { { B } \nu _ { i } } [ \Lambda _ { i } ] _ { a b } \dag , f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } + \hat { H } _ { l o c } ^ { i } [ c _ { i \alpha } ^ { \dagger } , c _ { i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } ] \dag } & { = \hat { H } _ { l o c } ^ { i } [ c _ { i \alpha } ^ { \dagger } , c _ { i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } ] - \sum _ { a , b = 1 } ^ { B \nu _ { i } } [ \Lambda _ { i } ^ { c } ] _ { a b } \dag , b _ { i a } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag } & { + \sum _ { a = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \nu _ { i } } \left( \left[ \mathcal { D } _ { i } \right] _ { b \alpha } \dag , c _ { i \alpha } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } + \mathrm { H . c . } \right) \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbb { E } } \left[ \left( f ( { \overline { { Z } } } ^ { ( \ell , M _ { \ell } ) } ) - f \left( { \mathbb { E } } [ Z | X ] \right) \right) ^ { 2 } | \ X \right] } & { \leq } & { L _ { f } ^ { 2 } \ { \mathbb { E } } \left[ \left( { \overline { { Z } } } ^ { ( \ell , M _ { \ell } ) } - { \mathbb { E } } [ Z | X ] \right) ^ { 2 } | \ X \right] } \\ & { = } & { L _ { f } ^ { 2 } M _ { \ell } ^ { - 1 } { \mathbb { V } } [ Z | X ] , } \end{array}
\vec { J } \left( \vec { x } ^ { \prime } , t \right) = \vec { J } _ { 0 } \cos \left( \frac { 2 \pi } { L _ { d p } } z ^ { \prime } + \phi _ { 0 } \right) \tau ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - \left( \frac { t - \frac { z ^ { \prime } } { v _ { s } } } { \tau } \right) ^ { 2 } } ,
S [ \phi ] = \epsilon \sum _ { i } ^ { N } \Big [ \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 \kappa } + \frac { \kappa } { 2 } \big ( \hat { q } _ { i } - \hat { q } _ { i + 1 } \big ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } ( \hat { q } _ { i } ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } \Big ] ,
Z _ { \psi } ( \tau ) = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { \alpha , \beta } ( - 1 ) ^ { \alpha + \beta - \alpha \beta } \left( { \frac { \theta { \binom { \alpha } { \beta } } ( \tau ) } { \eta ( \tau ) } } \right) ^ { ( D - 2 ) / 2 }
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } C _ { q } \left( \tau \right) d \tau \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \zeta _ { q } } \\ { \int _ { 0 } ^ { \infty } C _ { p } \left( \tau \right) d \tau \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \zeta _ { p } } \\ { \zeta _ { q } \biggr \rvert _ { \kappa ^ { * } > 1 / 4 } = \frac { k _ { \mathrm { B } } T \gamma _ { 0 } } { \kappa ^ { 2 } } } \\ { \zeta _ { p } \biggr \rvert _ { \kappa ^ { * } > 1 / 4 } = 0 } \\ { \zeta _ { q } \biggr \rvert _ { \kappa ^ { * } = 1 / 4 } = \frac { 1 6 k _ { \mathrm { B } } T } { m _ { 0 } \beta _ { 0 } ^ { 3 } } } \\ { \zeta _ { p } \biggr \rvert _ { \kappa ^ { * } = 1 / 4 } = 0 } \\ { \zeta _ { q } \biggr \rvert _ { \kappa ^ { * } < 1 / 4 } = \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { 2 m _ { 0 } \beta _ { 1 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \frac { \beta _ { + } } { \beta _ { - } } - \frac { \beta _ { - } } { \beta _ { + } } \right) } \\ { \zeta _ { p } \biggr \rvert _ { \kappa ^ { * } < 1 / 4 } = 0 } \end{array}
S = \int d t \int d ^ { 3 } \! x \, \frac { a ^ { 3 } } { 2 } \left[ \left( \frac { d X } { d t } \right) ^ { 2 } - \frac { ( { \vec { \nabla } } X ) ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - M _ { X } ^ { 2 } X ^ { 2 } - \xi R X ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l r } { P ( A ) } & { { } = } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x _ { n } g ( x _ { n } ) \int _ { 0 } ^ { D _ { t } / 2 } d x _ { t } \frac { 2 } { D _ { t } } H \left( x _ { n } - ( R _ { d } - x _ { t } ) \right) } \end{array}
\nu _ { 5 } = \mu _ { m a x , H } \frac { S _ { D O C } } { K _ { H , D O C } + S _ { D O C } } \frac { S _ { N O _ { 3 } } } { K _ { H , N O _ { 3 } } + S _ { N O _ { 3 } } } \frac { S _ { N H _ { 3 } } } { K _ { H , N H _ { 3 } } + S _ { N H _ { 3 } } } \frac { K _ { H , O _ { 2 } } } { K _ { H , O _ { 2 } } + S _ { O _ { 2 } } } \frac { K _ { M } ^ { i n } } { K _ { M } ^ { i n } + M } \ f _ { H }
\begin{array} { r } { \mathcal { L } \left( S \! \! \to \! \! W \right) \leq \mathcal { L } \left( Z ^ { T } \! \! \to \! \! W ^ { T } \right) \leq \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathcal { L } \left( Z ^ { T } \! \! \to \! \! W _ { t } | W ^ { t - 1 } \right) = \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathcal { L } \left( Z _ { t } \! \! \to \! \! W _ { t } | W _ { t - 1 } \right) , } \end{array}
\Delta { \cal M } ^ { 2 } ( t ) \equiv \frac { \lambda } { 2 } \int \! \frac { \mathrm { d ^ { 3 } } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, \frac { | U _ { k } ^ { + } ( t ) | ^ { 2 } } { 2 \omega _ { k } ^ { 0 } } \; .