harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { a } & { = \frac { { 4 { \pi ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } { { \cos } ^ { 2 } } \theta } } { { { \lambda ^ { 2 } } { \varepsilon _ { T } } } } \left[ { \frac { { { D _ { T } } } } { r } + \sin \theta \ln \left| { \frac { { \frac { { D _ { T } ^ { 2 } } } { { 4 { r ^ { 2 } } } } - \sin \theta \frac { { { D _ { T } } } } { r } + 1 } } { \frac { { D _ { T } ^ { 2 } } } { { 4 { r ^ { 2 } } } } + \sin \theta \frac { { { D _ { T } } } } { r } + 1 } } \right| } \right. } \\ & { \left. { - \frac { { \cos 2 \theta } } { { \cos \theta } } \Delta _ { \mathrm { { s p a n } } } ^ { \mathrm { t } } \left( \frac { { { D _ { T } } } } { r } \right) } \right] , } \end{array}
C _ { \alpha , y } = \sqrt { 3 R T _ { 0 } } [ 0 , 0 , - 1 , 0 , - 1 , 1 , 0 , 0 , - 1 , - 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , - 1 , 0 , 0 , 1 , 1 ] ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left[ \left. Z _ { n } ^ { t } \geq \frac { 1 } { 2 } M _ { n } ^ { t } \right| M _ { n } ^ { t } = u \right] } & { \leq \left[ 4 ( 1 - p _ { m , n } ^ { t } ) p _ { m , n } ^ { t } \right] ^ { \frac { u } { 2 } } } \\ & { \leq \left[ 4 ( 1 - { \tilde { p } } _ { m , n } ^ { t } ) { \tilde { p } } _ { m , n } ^ { t } \right] ^ { \frac { u } { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \forall ( x , y ) \in \Delta ( L _ { \omega } + t A _ { \omega } ) \times \Delta ( t L _ { \omega } - t A _ { \omega } ) , } \\ & { G _ { ( L _ { \omega } + t A _ { \omega } , \varphi _ { \omega } + t \Phi _ { \omega } ) } ( x ) + G _ { ( t L _ { \omega } - t A _ { \omega } , t \varphi _ { \omega } - t \Phi _ { \omega } ) } ( y ) \leq G _ { \left( ( 1 + t ) L _ { \omega } , ( 1 + t ) \varphi _ { \omega } \right) } ( x + y ) , } \\ & { \forall ( \alpha , \beta ) \in \Delta ( L _ { \omega } ) \times \Delta ( t A _ { \omega } ) , } \\ & { G _ { ( L _ { \omega } , \varphi _ { \omega } ) } ( \alpha ) + G _ { ( t A _ { \omega } , t \Phi _ { \omega } ) } ( \beta ) \leq G _ { ( L _ { \omega } + t A _ { \omega } , \varphi _ { \omega } + t \Phi _ { \omega } ) } ( \alpha + \beta ) . } \end{array}
\left[ \begin{array} { c } { \dot { \delta Y } _ { 0 } } \\ { \dot { \delta Y } _ { 1 } } \\ { \dot { \delta Y } _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c } { J D _ { Y _ { 0 } } ^ { 2 } H } & { J D _ { Y _ { 0 } Y _ { 1 } } ^ { 2 } H } & { J D _ { Y _ { 0 } Y _ { 2 } } H } \\ { J D _ { Y _ { 1 } Y _ { 0 } } ^ { 2 } H } & { J D _ { Y _ { 1 } } ^ { 2 } H } & { J D _ { Y _ { 2 } Y _ { 1 } } ^ { 2 } H } \\ { J D _ { Y _ { 2 } Y _ { 0 } } ^ { 2 } H } & { J D _ { Y _ { 1 } Y _ { 2 } } ^ { 2 } H } & { J D _ { Y _ { 2 } } ^ { 2 } H } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \delta Y _ { 0 } } \\ { \delta Y _ { 1 } } \\ { \delta Y _ { 2 } } \end{array} \right] .
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { b } _ { 1 } } & { = 2 \pi { \frac { - \mathbf { Q } \, \mathbf { a } _ { 2 } } { - \mathbf { a } _ { 1 } \cdot \mathbf { Q } \, \mathbf { a } _ { 2 } } } = 2 \pi { \frac { \mathbf { Q } \, \mathbf { a } _ { 2 } } { \mathbf { a } _ { 1 } \cdot \mathbf { Q } \, \mathbf { a } _ { 2 } } } } \\ { \mathbf { b } _ { 2 } } & { = 2 \pi { \frac { \mathbf { Q } \, \mathbf { a } _ { 1 } } { \mathbf { a } _ { 2 } \cdot \mathbf { Q } \, \mathbf { a } _ { 1 } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { D _ { E _ { k } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( E _ { 1 } + i E _ { 2 } ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( D _ { E _ { k } } E _ { 1 } + i D _ { E _ { k } } E _ { 2 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \nabla _ { E _ { k } } E _ { 1 } + h ( E _ { k } , E _ { 1 } ) + i \nabla _ { E _ { k } } E _ { 2 } + i h ( E _ { k } , E _ { 2 } ) ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 3 \sqrt { 2 } } \gamma _ { 1 2 } ^ { k } E _ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } \gamma _ { 1 2 } ^ { k } i E _ { 1 } } \\ & { = \frac { \gamma _ { 1 2 } ^ { k } } { 3 \sqrt { 2 } } i ( E _ { 1 } + i E _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { X } _ { \alpha } ( \omega _ { n } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 T } } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \mathrm { d } \tau \, e ^ { i \omega _ { n } \tau } \hat { a } _ { \alpha , \mathrm { o u t } } ( \tau ) + \mathrm { h . c . } , } \\ { \hat { P } _ { \alpha } ( \omega _ { n } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 T } i } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \mathrm { d } \tau \, e ^ { i \omega _ { n } \tau } \hat { a } _ { \alpha , \mathrm { o u t } } ( \tau ) + \mathrm { h . c . } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { i \frac { \partial } { \partial \tau } \mathbf { v } _ { j , \varepsilon } ^ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { x } , \tau ) = \mathcal { A } _ { \varepsilon } ^ { \mathrm { e f f } } \mathbf { v } _ { j , \varepsilon } ^ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { x } , \tau ) , } \\ & { \mathbf { v } _ { j , \varepsilon } ^ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { x } , 0 ) = J _ { j } f _ { j } ( \mathbf { x } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { R } _ { 0 } { V } _ { 0 } } & { = 1 , } \\ { b ^ { 2 } \gamma \frac { d { V } _ { 0 } } { d z } } & { = - \frac { d { P } _ { 1 } } { d z } + b ^ { 2 } \nu \frac { d ^ { 2 } { V } _ { 0 } } { d z ^ { 2 } } , } \\ { \frac { d { T } _ { 0 } } { d z } } & { = \frac { d ^ { 2 } { T } _ { 0 } } { d z ^ { 2 } } , } \\ { \frac { d { Y } _ { 0 } } { d z } } & { = \frac { 1 } { L e } \frac { d ^ { 2 } { Y } _ { 0 } } { d z ^ { 2 } } , } \\ { { P } _ { 0 } } & { = { R } _ { 0 } { T } _ { 0 } . } \end{array}
\left( { \Lambda ^ { \alpha } } _ { \beta } D ( \Lambda ) \Lambda - \delta _ { \beta } ^ { \alpha } \right) e ^ { \beta } ( \xi ) = \left( { \Lambda ^ { \alpha } } _ { \beta } D ( \Lambda ) \Lambda - \delta _ { \beta } ^ { \alpha } \right) a ^ { \beta } ( \xi )
Q _ { h k } = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \mathcal { M } _ { i h } \mathcal { M } _ { i k } - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } \mathcal { M } _ { i h } \mathcal { M } _ { j k }
\begin{array} { r l } { E } & { { } = { \frac { - A a _ { 1 } + a _ { 2 } } { B } } } \\ { F } & { { } = - i { \frac { A ^ { 2 } a _ { 1 } - A a _ { 2 } + 2 a _ { 1 } B } { B { \sqrt { A ^ { 2 } + 4 B } } } } } \\ { \theta } & { { } = \operatorname { a r c c o s } \left( { \frac { A } { 2 { \sqrt { - B } } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { [ \nabla _ { X _ { i _ { 1 } \dotsc i _ { m - 1 } } } , \nabla _ { X _ { j _ { 1 } \dotsc j _ { m - 1 } } } ] v = \{ x _ { i _ { 1 } } , \dotsc , x _ { i _ { m - 1 } } , \{ x _ { j _ { 1 } } , \dotsc , x _ { j _ { m - 1 } } , v \} \} - \{ x _ { j _ { 1 } } , \dotsc , x _ { j _ { m - 1 } } , \{ x _ { i _ { 1 } } , \dotsc , x _ { i _ { m - 1 } } , v \} \} } \\ & { = [ X _ { i _ { 1 } \dotsc i _ { m - 1 } } , X _ { j _ { 1 } \dotsc j _ { m - 1 } } ] ( v ) = \nabla _ { [ X _ { i _ { 1 } \dotsc i _ { m - 1 } } , X _ { j _ { 1 } \dotsc j _ { m - 1 } } ] } v } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \omega } _ { 1 } } & { = \frac { 2 \Delta x _ { i + 1 } \Delta x _ { i } } { \Delta x _ { i } + \Delta x _ { i + 1 } } \left[ \frac { \Delta x _ { i - 1 } + \Delta x _ { i } } { 2 \Delta x _ { i } + \Delta x _ { i + 1 } } - \frac { \Delta x _ { i + 2 } \Delta x _ { i + 1 } } { 2 \Delta x _ { i + 1 } + \Delta x _ { i } } \right] } \\ { \tilde { \omega } _ { 2 } } & { = - \Delta x _ { i } \frac { \Delta x _ { i - 1 } \Delta x _ { i } } { 2 \Delta x _ { i } + \Delta x _ { i + 1 } } } \\ { \tilde { \omega } _ { 3 } } & { = \Delta x _ { i + 1 } \frac { \Delta x _ { i + 1 } \Delta x _ { i + 2 } } { \Delta x _ { i } + 2 \Delta x _ { i + 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m i n f } _ { h \rightarrow 0 } h ^ { \beta } \log \mathbb { P } [ X _ { h ^ { \beta } T } ^ { h } \in U ] } & { \geq - \frac { 1 } { 2 T } \operatorname* { i n f } _ { u \in U } \lvert u - x \rvert ^ { 2 } \quad \mathrm { a n d } } \\ { \operatorname* { l i m s u p } _ { h \rightarrow 0 } h ^ { \beta } \log \mathbb { P } [ X _ { h ^ { \beta } T } ^ { h } \in \overline { { U } } ] } & { \leq - \frac { 1 } { 2 T } \operatorname* { i n f } _ { u \in \overline { { U } } } \lvert u - x \rvert ^ { 2 } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) = } & { I _ { 2 , 1 } ( x , t ) + \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge \hat { \omega } ( \eta , 0 ) \right] \mathrm { d } \eta } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta , s } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta , s } , x ) \wedge \widehat { \frac { \partial \theta _ { 0 } } { \partial \eta _ { 1 } } } ( \eta _ { 1 } , s ) \right] \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \\ & { + 2 \nu \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left. \frac { \partial } { \partial \eta _ { 2 } } \right| _ { \eta _ { 2 } = 0 } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta , s } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta , s } , x ) \wedge \sigma ( \eta , s ) \right] \mathrm { d } \eta _ { 1 } \mathrm { d } s } \end{array}
\centering \begin{array} { r l } & { \ddot { x } _ { j } + \beta _ { 0 x j } \dot { x } _ { j } + \omega _ { 0 x j } ^ { 2 } x _ { j } + \sum _ { k \neq j } ^ { n } \left( g _ { k j x x } ^ { 2 } x _ { k } + \gamma _ { k j x x } \dot { x } _ { k } + \eta _ { k j x x } \ddot { x } _ { k } + g _ { k j y x } ^ { 2 } y _ { k } + \gamma _ { k j y x } \dot { y } _ { k } + \eta _ { k j y x } \ddot { y } _ { k } \right) = C _ { j x } \mathrm { e x p } ( - \mathrm { i } \omega _ { e x } t ) , } \\ & { \ddot { y } _ { j } + \beta _ { 0 y j } \dot { y } _ { j } + \omega _ { 0 y j } ^ { 2 } y _ { j } + \sum _ { k \neq j } ^ { n } \left( g _ { k j y y } ^ { 2 } y _ { k } + \gamma _ { k j y y } \dot { y } _ { k } + \eta _ { k j y y } \ddot { y } _ { k } + g _ { k j x y } ^ { 2 } x _ { k } + \gamma _ { k j x y } \dot { x } _ { k } + \eta _ { k j x y } \ddot { x } _ { k } \right) = C _ { j y } \mathrm { e x p } ( - \mathrm { i } \omega _ { e x } t ) , } \\ & { j = 1 , ~ 2 , ~ . . . , ~ n . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { x } } & { { } = \frac { Q } { 2 \epsilon _ { 0 } \sqrt { 2 \pi ( s _ { x } ^ { 2 } - s _ { y } ^ { 2 } ) } } \, \Im \, \Bigg ( w \bigg ( \frac { x + i y } { \sqrt { 2 ( s _ { x } ^ { 2 } - s _ { y } ^ { 2 } ) } } \bigg ) - e ^ { - \big ( \frac { x ^ { 2 } } { 2 s _ { x } ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 s _ { y } ^ { 2 } } \big ) } \, w \bigg ( \frac { x \frac { s _ { y } } { s _ { x } } + i y \frac { s _ { x } } { s _ { y } } } { \sqrt { 2 ( s _ { x } ^ { 2 } - s _ { y } ^ { 2 } ) } } \bigg ) \Bigg ) , } \\ { E _ { y } } & { { } = \frac { Q } { 2 \epsilon _ { 0 } \sqrt { 2 \pi ( s _ { x } ^ { 2 } - s _ { y } ^ { 2 } ) } } \, \Re \, \Bigg ( w \bigg ( \frac { x + i y } { \sqrt { 2 ( s _ { x } ^ { 2 } - s _ { y } ^ { 2 } ) } } \bigg ) - e ^ { - \big ( \frac { x ^ { 2 } } { 2 s _ { x } ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 s _ { y } ^ { 2 } } \big ) } \, w \bigg ( \frac { x \frac { s _ { y } } { s _ { x } } + i y \frac { s _ { x } } { s _ { y } } } { \sqrt { 2 ( s _ { x } ^ { 2 } - s _ { y } ^ { 2 } ) } } \bigg ) \Bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { m i n i m i z e } \quad \operatorname* { l i m s u p } _ { t \rightarrow \infty } \, \, \frac { 1 } { t } \, \, E \left[ \int _ { 0 } ^ { t } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { I } \alpha _ { i } \zeta _ { i } ^ { 2 } ( s ) + \sum _ { i = 1 } ^ { I } ( h _ { i } - h _ { 0 } ) Z _ { i } ( s ) \right) \, d s + c ^ { \prime } U ( t ) \right] } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } \\ & { W ( t ) = \sum _ { i = 1 } ^ { I } Z _ { i } ( t ) , \quad t \ge 0 , } \\ & { W ( t ) = \chi ( t ) - \eta \int _ { 0 } ^ { t } W ( s ) \, d s - \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { i = 1 } ^ { I } \zeta _ { i } ( s ) \, d s + \sum _ { i = 1 } ^ { I } \lambda _ { i } ^ { * } U _ { i } ( t ) , \quad t \ge 0 , } \\ & { Z ( t ) \ge 0 \mathrm { ~ f o r ~ } t \ge 0 , } \\ & { U \mathrm { ~ i s ~ n o n d e c r e a s i n g ~ w i t h ~ } U ( 0 ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { { } T _ { 2 q } ^ { 2 } ( N , S ) e ^ { - 2 i q \phi } | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \end{array}
y _ { k } = \, d _ { u _ { i } , r } ^ { - \alpha _ { r } } d _ { e _ { j } , r } ^ { - \alpha _ { e } } \varrho ^ { 2 } \left( \frac { \rho _ { e _ { j } } } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { \rho _ { i } } { \rho _ { i } + 1 } \left( M + \rho \left( \kappa \right) ^ { 2 } \xi \right) + \frac { \rho _ { e _ { j } } } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { i } + 1 } M + \frac { \rho _ { i } } { \rho _ { i } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } M + \frac { 1 } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { i } + 1 } M + d _ { e _ { j } , i } ^ { - \alpha _ { e } } \right)
\begin{array} { r l } { \nabla \widetilde H _ { k } ( \mathbf x ) = } & { \Phi ^ { \prime } ( \frac { w _ { k } ( \mathbf x ) } { x _ { k } } ) \left( \frac { \nabla w _ { k } ( \mathbf x ) } { x _ { k } } + w _ { k } ( \mathbf x ) \nabla \left( \frac { 1 } { x _ { k } } \right) \right) , } \\ { \nabla ( \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \widetilde H _ { k } ( \mathbf x ) ) = } & { \Phi ^ { \prime \prime } ( \frac { w _ { k } ( \mathbf x ) } { x _ { k } } ) \left( \frac { \nabla w _ { k } ( \mathbf x ) } { x _ { k } } + w _ { k } ( \mathbf x ) \nabla \left( \frac { 1 } { x _ { k } } \right) \right) \left( \frac { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } w _ { k } ( \mathbf x ) } { x _ { k } } + w _ { k } ( \mathbf x ) \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \frac { 1 } { x _ { k } } \right) \right) } \\ & { + \Phi ^ { \prime } ( \frac { w _ { k } ( \mathbf x ) } { x _ { k } } ) \nabla \left( \frac { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } w _ { k } ( \mathbf x ) } { x _ { k } } + w _ { k } ( \mathbf x ) \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \frac { 1 } { x _ { k } } \right) \right) . } \end{array}
\int \frac { d ^ { 3 } k _ { 1 } d ^ { 3 } k _ { 2 } d ^ { 3 } k _ { 3 } } { \omega _ { 1 } \ \omega _ { 2 } \ \omega _ { 3 } } \delta ^ { ( 4 ) } ( P - k _ { 1 } - k _ { 2 } - k _ { 3 } ) = 8 \ \pi ^ { 2 } \ m ^ { 2 } \int d \nu _ { 1 } \, d \nu _ { 2 } \, d \nu _ { 3 } \delta ( 2 - \nu _ { 1 } - \nu _ { 2 } - \nu _ { 3 } )
_ { 2 } F _ { 1 } \left( { \frac { 1 } { 3 } } , { \frac { 5 } { 6 } } ; 1 ; { - \frac { 2 } { 2 5 } } \right) = \frac { \sqrt [ [object Object] ] ] { 5 } } { \sqrt { 3 } } { \, } _ { 2 } F _ { 1 } \left( { \frac { 1 } { 6 } } , { \frac { 2 } { 3 } } ; 1 ; { - \frac { 2 } { 2 5 } } \right) ,
Y _ { \ell m } = { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle ( - 1 ) ^ { m } { \sqrt { 2 } } { \sqrt { { \frac { 2 \ell + 1 } { 4 \pi } } { \frac { ( \ell - | m | ) ! } { ( \ell + | m | ) ! } } } } \ P _ { \ell } ^ { | m | } ( \cos \theta ) \ \sin ( | m | \varphi ) } & { { \mathrm { i f ~ } } m < 0 } \\ { \displaystyle { \sqrt { \frac { 2 \ell + 1 } { 4 \pi } } } \ P _ { \ell } ^ { m } ( \cos \theta ) } & { { \mathrm { i f ~ } } m = 0 } \\ { \displaystyle ( - 1 ) ^ { m } { \sqrt { 2 } } { \sqrt { { \frac { 2 \ell + 1 } { 4 \pi } } { \frac { ( \ell - m ) ! } { ( \ell + m ) ! } } } } \ P _ { \ell } ^ { m } ( \cos \theta ) \ \cos ( m \varphi ) } & { { \mathrm { i f ~ } } m > 0 \, . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } _ { 2 } } & { { } = \mathcal { A } \left( \mathbf { w } _ { 1 } \mathbf { x } _ { 1 } + b _ { 1 } \right) , } \\ { \mathbf { y } } & { { } = \left( \mathbf { w } _ { 2 } \mathbf { x } _ { 2 } + b _ { 2 } \right) . } \end{array}
\sum _ { k _ { 1 } \in A , k _ { 2 } \in A , k _ { 3 } \in A } \hat { \psi } _ { 1 } \hat { \psi } _ { 2 } \hat { \psi } _ { 3 } ^ { * } \delta _ { 3 k } ^ { 1 2 } = \mathcal { F } [ B _ { A } ( \psi ( x ) ) B _ { A } ( \psi ( x ) ) B _ { A } ( \psi ^ { * } ( x ) ) ] ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { V } u _ { * } ^ { p } d \mu - \frac { 1 } { 2 } \int _ { V } | \nabla u _ { * } | ^ { 2 } d \mu } \\ & { \geq } & { \frac { 1 } { p } \int _ { V } u _ { * } ^ { p } d \mu - \frac { 1 } { 2 } \int _ { V } | \nabla u _ { * } | ^ { 2 } d \mu } \\ & { = } & { J ( u _ { * } ) > 0 . } \end{array}
\frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p } { \partial x } = - \nu _ { o } \nabla _ { 2 } ^ { 2 } v , \quad \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p } { \partial y } = \nu _ { o } \nabla _ { 2 } ^ { 2 } u , \quad \frac { \partial p } { \partial z } = 0 ,
Y = \left( \begin{array} { c c c c } { { \langle 0 , 0 | } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { \langle 1 , 0 | } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } \\ { { \langle k ^ { \prime } - 1 , 0 | } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { x \in \ker D ^ { k - 1 } } \left\lVert \frac { \beta ^ { ( - ) } } { a \sigma _ { * } ^ { ( - ) } } + \frac { 1 } { a } x \right\rVert _ { \infty } = 1 \, , } \end{array}
z \to \left\{ \begin{array} { l l } { z + 1 / 2 \ \textrm { i f } \ z \leq 1 / 2 } \\ { z - 1 / 2 \ \textrm { i f } \ z > 1 / 2 } \end{array} \right. \ \ \textrm { o r } \quad z \to z + \textrm { s i g n } \left( \frac { 1 } { 2 } - z \right) \frac { 1 } { 2 } .
\begin{array} { c } { { A _ { 4 2 3 } \left( s _ { 2 } , s _ { 2 ^ { \prime } } , t _ { 1 } , t _ { 2 } \right) = \left( t _ { 1 } - t _ { 2 } \right) \left( l _ { 2 } ^ { \bot } l \right) + 2 \left( l _ { 2 } ^ { \bot } k \right) \left( l q _ { 2 } \right) + } } \\ { { + 2 \alpha ^ { \prime } s _ { 2 } \left( l B _ { 2 } \right) \left( l _ { 2 } ^ { \bot } q _ { 2 } \right) - 2 \left( l B _ { 2 ^ { \prime } } \right) \left( l _ { 2 } ^ { \bot } q _ { 1 } \right) \left( 1 + \alpha ^ { \prime } \left( t _ { 1 } - t _ { 2 } \right) \right) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \mathbb { E } \left[ u ^ { 2 } ( k _ { 0 } ) \right] } { \partial \omega _ { k _ { 0 } } } } \\ { = } & { - 2 a ( k _ { 0 } ) \mathbb { E } \left[ x ( k _ { 0 } ) \right] \frac { \partial \mathbb { E } \left[ u ( k _ { 0 } ) \right] } { \partial \omega _ { k _ { 0 } } } } \\ { + } & { \mathbb { E } \left[ x _ { T } ^ { 2 } \right] - \mathbb { E } \left[ x ^ { 2 } ( k _ { 0 } ) \right] } \\ { = } & { - 2 a ( k _ { 0 } ) \mathbb { E } \left[ x ( k _ { 0 } ) \right] \left( \mathbb { E } \left[ x _ { T } \right] - \mathbb { E } \left[ x ( k _ { 0 } ) \right] \right) } \\ { + } & { \mathbb { E } \left[ x _ { T } ^ { 2 } \right] - \mathbb { E } \left[ x ^ { 2 } ( k _ { 0 } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \mathrm { T r } ( a ^ { T } a c ^ { \dagger } c ^ { * } c ^ { T } c a ^ { \dagger } a ^ { * } a ^ { T } a a ^ { \dagger } a ^ { * } ) \rangle = \sum _ { \lbrace i _ { k } , j _ { k } , i _ { k } ^ { \prime } , j _ { k } ^ { \prime } \rbrace = 1 } ^ { N / 2 } \delta _ { i _ { 1 } i _ { 2 } } \delta _ { i _ { 3 } i _ { 4 } } \delta _ { i _ { 5 } i _ { 6 } } \delta _ { i _ { 1 } ^ { \prime } i _ { 2 } ^ { \prime } } \delta _ { i _ { 3 } ^ { \prime } i _ { 4 } ^ { \prime } } \delta _ { i _ { 5 } ^ { \prime } i _ { 6 } ^ { \prime } } \left( \delta _ { j _ { 2 } j _ { 1 } ^ { \prime } } \delta _ { j _ { 3 } j _ { 2 } ^ { \prime } } \cdots \delta _ { j _ { 6 } j _ { 5 } ^ { \prime } } \delta _ { j _ { 1 } j _ { 6 } ^ { \prime } } \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \times \left[ \int d f \left( f _ { i _ { 1 } j _ { 1 } } f _ { i _ { 2 } j _ { 2 } } f _ { i _ { 3 } + N / 2 , j _ { 3 } } f _ { i _ { 4 } + N / 2 , j _ { 4 } } f _ { i _ { 5 } , j _ { 5 } } f _ { i _ { 6 } j _ { 6 } } \right) \left( f _ { i _ { 1 } ^ { \prime } + N / 2 , j _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { * } f _ { i _ { 2 } ^ { \prime } + N / 2 , j _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { * } f _ { i _ { 3 } ^ { \prime } j _ { 4 } ^ { \prime } } ^ { * } f _ { i _ { 4 } ^ { \prime } j _ { 4 } ^ { \prime } } ^ { * } f _ { i _ { 5 } ^ { \prime } j _ { 5 } ^ { \prime } } ^ { * } f _ { i _ { 6 } ^ { \prime } j _ { 6 } ^ { \prime } } ^ { * } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underline { { \mathfrak { E } } } ( N ) } & { : = \sum _ { r = 1 } ^ { T - 1 } \overline { C } ^ { r } \mathfrak { C } _ { T - r } ( \| V \| _ { \infty } ) \big ( 3 \zeta ( \vartheta ( \mathfrak { e } _ { r } ( N ) ) ) + ( 3 + T ) \zeta ( \mathfrak { e } _ { r } ( N ) ) \big ) + ( 3 + T ) \overline { C } ^ { T } \iota ( \mathfrak { e } _ { T } ( N ) ) , } \end{array}
{ \cal M } = \left[ \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { m _ { D } } } & { { 0 } } \\ { { m _ { D } } } & { { m _ { N } } } & { { m _ { X } } } \\ { { 0 } } & { { m _ { X } } } & { { 0 } } \end{array} \right] .
Z _ { \mathrm { 1 - l o o p } } ^ { ( c ) } ( M ) = { \frac { ( 2 \pi x ) ^ { { \frac { 1 } { 2 } } ( \mathrm { d i m } H _ { c } ^ { 0 } - \mathrm { d i m } H _ { c } ^ { 1 } ) } } { \mathrm { v o l } ( H _ { c } ) } } \mathrm { e } ^ { - { \frac { 1 } { x } } S _ { \mathrm { C S } } ( A ^ { ( c ) } ) - { \frac { i \pi } { 4 } } \varphi } { \sqrt { | \tau _ { R } ^ { ( c ) } | } } ,
\begin{array} { r l } { N Q ( \eta ^ { * } ( t ) ) = } & { \underbrace { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 , j \neq i } ^ { n } \int _ { 0 } ^ { \tau } Z _ { i j } ( s ) \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } ( s - t ) d \mathcal { M } _ { i j } ( s ) } _ { B _ { 2 } ( t ) } } \\ & { - \underbrace { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j \neq i } \int _ { 0 } ^ { \tau } Z _ { i j } ( s ) \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } ( s - t ) \big [ e ^ { \pi _ { i j } ( s , t ) } - e ^ { \pi _ { i j } ( s ) } \big ] d s } _ { B _ { 3 } ( t ) } . } \end{array}
d s ^ { 2 } = - ( 1 - \frac { 2 m } { r ^ { d - 3 } } - r ^ { 2 } ) \ d t ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 - \frac { 2 m } { r ^ { d - 3 } } - r ^ { 2 } } \ d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega _ { d - 2 } ^ { 2 } ,
\overline { { { x } } } = \left[ \frac \alpha { 1 - \alpha ^ { 2 } + 6 \gamma ( \gamma - 1 ) } \frac { 1 2 \gamma } { \alpha + 2 \gamma } \left( \frac { g _ { i } ^ { N } - \gamma / \alpha f _ { i } ^ { N } } { g _ { i } ^ { N } + \gamma / \alpha f _ { i } ^ { N } } \right) \right] \ .
E _ { \textrm { o p t } } ^ { ( \textrm { P C B } ) } \approx \frac { 1 } { 2 } m v _ { 0 } ^ { 2 } \left( 1 + \sqrt { 1 + \frac { 1 } { Q _ { 0 } ( \vec { x } _ { 0 } ) } } \right) ^ { 2 }
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { I . a : ~ } \displaystyle \frac { \lambda _ { \alpha } } { 2 } \frac { \partial } { \partial t } ( \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { i } ^ { \alpha * } ) } \\ { \mathrm { I . b : ~ } \lambda _ { \alpha } \langle \tilde { u } _ { j } \rangle \nabla _ { j } ( \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { i } ^ { \alpha * } ) } \\ { \mathrm { I I : ~ } \lambda _ { \alpha } \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { \alpha } ^ { j * } \nabla _ { j } \langle \tilde { u } ^ { i } \rangle } \\ { \mathrm { I I I : ~ } \displaystyle - \frac { 1 } { 2 } \langle a _ { \alpha } a ^ { \beta * } a _ { \gamma } \rangle \varphi _ { \gamma } ^ { j } \nabla _ { j } ( \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { \beta } ^ { i * } ) } \\ { \mathrm { I V : ~ } \displaystyle \frac { 1 } { \rho } \varphi _ { i } ^ { \alpha * } \langle a _ { \alpha } \nabla _ { i } p \rangle } \\ { \mathrm { V : ~ } \nu \lambda _ { \alpha } \nabla _ { j } ( \varphi _ { i } ^ { \alpha } \nabla ^ { j } \varphi _ { \alpha } ^ { i * } + \varphi _ { i } ^ { \alpha } \nabla ^ { i } \varphi _ { \alpha } ^ { j * } ) } \\ { \mathrm { V I : ~ } \nu \lambda _ { \alpha } ( \nabla ^ { j } \varphi ^ { i \alpha } \nabla _ { j } \varphi _ { i \alpha } ^ { * } + \nabla ^ { i } \varphi ^ { j \alpha } \nabla _ { j } \varphi _ { i \alpha } ^ { * } ) } \end{array} \right. .
H = \sum _ { \boldsymbol { \alpha } } c _ { \boldsymbol { \alpha } } P _ { \boldsymbol { \alpha } } = \sum _ { \boldsymbol { \alpha } } c _ { \boldsymbol { \alpha } } \sigma _ { \alpha _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes \sigma _ { \alpha _ { N _ { q } } } \ ,