harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { \mathbb P } ( s < \sigma < T ) } & { = { \mathbb P } \Big ( s < \sigma < T , \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \sigma ) } \| v ( t ) \| _ { L ^ { \zeta _ { 0 } } } < \infty \Big ) \leq { \mathbb P } \Big ( s < \sigma < T , \, \operatorname* { s u p } _ { t \in [ s , \sigma ) } \| u ( t ) \| _ { \zeta _ { 0 } } < \infty \Big ) = 0 , } \end{array}
( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } ) \equiv \left( \begin{array} { c c c } { { \alpha _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \alpha _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \alpha _ { 3 } } } \end{array} \right) ~ . ~ \,
\mathbf { r } = ( x , y , z ) = x _ { 1 } { \frac { \mathbf { a } _ { 1 } } { a _ { 1 } } } + x _ { 2 } { \frac { \mathbf { a } _ { 2 } } { a _ { 2 } } } + x _ { 3 } { \frac { \mathbf { a } _ { 3 } } { a _ { 3 } } } ,
\begin{array} { r l r } { \vec { u } _ { k } \left( \Delta t \right) } & { = } & { \vec { b } _ { k l m } - \left( \vec { b } _ { k l m } - \vec { u } _ { k } \right) \, \left( 1 - 3 \, \nu _ { k e } \, \Delta t \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \, , } \\ { \vec { u } _ { k } \left( \Delta t \right) } & { = } & { \vec { b } _ { k l m } - \left( \vec { b } _ { k l m } - \vec { u } _ { k } \right) \, \left( 1 - 3 \, \nu _ { k e } \, \Delta t \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \, , } \\ { \vec { u } _ { k } \left( \Delta t \right) } & { = } & { \vec { b } _ { k l m } - \left( \vec { b } _ { k l m } - \vec { u } _ { k } \right) \, \left( 1 - 3 \, \nu _ { k e } \, \Delta t \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \end{array}
q = - 2 \log \frac { L _ { \mathrm { s } } ( \boldsymbol { \alpha } = \boldsymbol { 0 } , \hat { \hat { \mu } } , \hat { \hat { \boldsymbol { \sigma } } } ^ { 2 } ) } { L _ { \mathrm { s } } ( \hat { \boldsymbol { \alpha } } , \hat { \mu } , \hat { \boldsymbol { \sigma } } ^ { 2 } ) } \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { D \boldsymbol { u } } { D t } } & { { } = - \nabla p - 2 R o ^ { - 1 } \boldsymbol { e } _ { z } \times \boldsymbol { u } + \left( \frac { P r } { R a } \right) ^ { 1 / 2 } \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { u } + \boldsymbol { e } _ { z } \theta , } \\ { \nabla \cdot \boldsymbol { u } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { D \theta } { D t } } & { { } = \left( \frac { 1 } { R a P r } \right) ^ { 1 / 2 } \nabla ^ { 2 } \theta , } \end{array}
\Pi ( \mu , \nu ) = \{ \pi \in \mathcal { P } ( \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } ) : \pi ( A \times \mathbb { R } ^ { d } ) = \mu ( A ) , \pi ( \mathbb { R } ^ { d } \times B ) = \nu ( B ) , A , B \subset \mathbb { R } ^ { d } \}
A _ { I = 0 , 2 } \, = \, \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \, V _ { u d } ^ { } V _ { u s } ^ { * } \sum _ { i } \, c _ { i } ( \mu ) \, \langle Q _ { i } ( \mu ) \rangle _ { I = 0 , 2 } \, .
\begin{array} { r l } { ( \omega _ { r } \otimes i d ) \circ \omega _ { r } } & { = ( ( ( i d \otimes \delta ) \circ \Delta ) \otimes i d ) \circ ( i d \otimes \delta ) \circ \Delta } \\ & { = ( ( ( i d \otimes \delta ) \circ \Delta ) \otimes \delta ) \circ \Delta } \\ & { = ( ( i d \otimes \delta ) \otimes \delta ) \circ ( \Delta \otimes i d ) \circ \Delta } \\ & { = ( i d \otimes ( \delta \otimes \delta ) ) \circ ( i d \otimes \Delta ) \circ \Delta } \\ & { = ( i d \otimes \Delta ) \circ ( i d \otimes \delta ) \circ \Delta } \\ & { = ( i d \otimes \Delta ) \circ \omega _ { r } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { u _ { t } ( \mathbf { x } , t ) - k \sum _ { i = 1 } ^ { n } u _ { x _ { i } x _ { i } } ( \mathbf { x } , t ) = 0 } & { ( \mathbf { x } , t ) \in \mathbf { R } ^ { n } \times ( 0 , \infty ) } \\ { u ( \mathbf { x } , 0 ) = \delta ( \mathbf { x } ) } \end{array} \right.
\left( \frac { \lambda _ { j } + 1 } { \lambda _ { j } } \right) ^ { 2 N } \frac { ( \lambda _ { j } + \xi _ { - } ) ( \lambda _ { j } + \xi _ { + } ) } { ( \lambda _ { j } + 1 - \xi _ { - } ) ( \lambda _ { j } + 1 - \xi _ { + } ) } \prod _ { \ell \neq j } ^ { M } \frac { ( \lambda _ { j } + \lambda _ { \ell } ) ( \lambda _ { j } - \lambda _ { \ell } - 1 ) } { ( \lambda _ { j } - \lambda _ { \ell } + 1 ) ( \lambda _ { j } + \lambda _ { \ell } + 2 ) } = 1 .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \nabla } \cdot \boldsymbol { v } } & { { } = 0 } \\ { \partial _ { t } \boldsymbol { v } + \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { v } } & { { } = b ~ \boldsymbol { e } _ { z } - \boldsymbol { \nabla } p + \nu \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { v } + \boldsymbol { f } , } \\ { \partial _ { t } { b } + \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { \nabla } b } & { { } = - N ^ { 2 } v _ { z } + \kappa \nabla ^ { 2 } { b } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { V } _ { \mathrm { x c } } ^ { \mathrm { R S H } } } & { = ( \alpha + \beta ) \hat { V } _ { \mathrm { F R } } ^ { \mathrm { F o c k } } - \beta \hat { V } _ { \mathrm { S R } , \mu } ^ { \mathrm { F o c k } } + \beta V _ { \mathrm { S R } , \mu } ^ { \mathrm { D F A } } ( \rho ( \boldsymbol { r } ) ) } \\ & { + ( 1 - \alpha - \beta ) V _ { \mathrm { F R } } ^ { \mathrm { D F A } } ( \rho ( \boldsymbol { r } ) ) + V _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { D F A } } ( \rho ( \boldsymbol { r } ) ) , } \end{array}
\Delta _ { \mu \nu } \bigg | _ { p _ { 0 } = 0 } = \left[ \frac 1 { { \bf p } ^ { 2 } + m _ { 0 } ^ { 2 } } \delta _ { \mu } ^ { 0 } \delta _ { \nu } ^ { 0 } + \frac 1 { { \bf p } ^ { 2 } } \left( \eta _ { \mu \nu } - \delta _ { \mu } ^ { 0 } \delta _ { \nu } ^ { 0 } + \frac { P _ { \mu } P _ { \nu } } { { \bf p } ^ { 2 } } \right) + \alpha \frac { P _ { \mu } P _ { \nu } } { ( { \bf p } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \right] _ { p _ { 0 } = 0 } ,
\Omega _ { s } ^ { ( \pm ) } ( \textbf { r } , t ) = \Omega _ { s , \, \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ . ~ } } ^ { ( \pm ) } ( \textbf { r } , t ) + \Omega _ { s , \, \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } } ^ { ( \pm ) } ( \textbf { r } , t ) ,
+ { \frac { 1 } { 1 2 } } \sigma ^ { 2 } + { \frac { 7 } { 8 } } \sigma + { \frac { 1 7 } { 1 6 0 } } - 6 \zeta _ { R } ^ { \prime } \left( - 3 , \frac 3 2 \right) + \frac 3 2 \zeta _ { R } ^ { \prime } \left( - 1 , \frac 3 2 \right) ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { \mathcal { V } } & { = \mathcal { V } _ { A } \otimes \mathcal { V } _ { B } , } \\ { \langle x _ { 1 } , x _ { 2 } \rangle } & { = \sum _ { i , j } \langle a _ { 1 } ^ { ( i ) } , a _ { 2 } ^ { ( j ) } \rangle _ { A } \langle b _ { 1 } ^ { ( i ) } , b _ { 2 } ^ { ( j ) } \rangle _ { B } } \\ & { \mathrm { f o r ~ x _ 1 = \sum _ i ~ a _ 1 ^ { ( i ) } \otimes ~ b _ 1 ^ { ( i ) } ~ a n d ~ x _ 2 = \sum _ j ~ a _ 2 ^ { ( j ) } \otimes ~ b _ 2 ^ { ( j ) } ~ } , } \\ { \mathcal { C } _ { A } \otimes \mathcal { C } _ { B } \subset } & { \mathcal { C } \subset \left( \mathcal { C } _ { A } ^ { \ast } \otimes \mathcal { C } _ { B } ^ { \ast } \right) ^ { \ast } , } \\ { u } & { = u _ { A } \otimes u _ { B } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { p , p } } & { = - \sum _ { \mathbf { x } _ { q } \in \mathcal { B } _ { \delta } ( \mathbf { x } _ { p } ) \cap \Omega } \alpha \frac { ( x _ { i ^ { \prime } } - x _ { i } ) ^ { 2 } } { ( ( x _ { i ^ { \prime } } - x _ { i } ) ^ { 2 } + ( y _ { j ^ { \prime } } - y _ { j } ) ^ { 2 } + ( z _ { k ^ { \prime } } - z _ { k } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \lambda _ { i ^ { ' } , j ^ { ' } } h ^ { 3 } } \\ & { = - \sum _ { \mathbf { x } _ { q } \in \mathcal { B } _ { \delta } ( \mathbf { x } _ { p } ) \cap \Omega } \alpha \frac { ( i ^ { \prime } - i ) ^ { 2 } } { ( ( i ^ { \prime } - i ) ^ { 2 } + ( j ^ { \prime } - j ) ^ { 2 } + ( k ^ { \prime } - k ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \lambda _ { i ^ { ' } , j ^ { ' } } h ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { s } = } & { \frac { d x } { d \tilde { s } } \frac { d \tilde { s } } { d \tilde { z } } \frac { d \tilde { z } } { d z } \frac { d z } { d s } = \frac { \sqrt { 1 + h ^ { 2 } } \, z ^ { 2 } } { \sqrt { h ^ { 2 } + ( 1 - h ^ { 2 } ) z ^ { 2 } } \, \sqrt { c ^ { 2 } h ^ { 2 } + z ^ { 4 } } } , } \\ { x _ { t } = } & { 0 , } \\ { y _ { s } } & { = \frac { d y } { d \tilde { t } } \frac { d \tilde { t } } { d z } \frac { d z } { d s } = \frac { h c \sqrt { 1 + h ^ { 2 } } } { \sqrt { h ^ { 2 } + ( 1 - h ^ { 2 } ) z ^ { 2 } } \, \sqrt { c ^ { 2 } h ^ { 2 } + z ^ { 4 } } } , } \\ { y _ { t } } & { = \frac { d y } { d \tilde { t } } \frac { d \tilde { t } } { d t } = \sqrt { 1 + h ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \tau ) } & { { } = e ^ { - \tau ^ { 2 } / 4 \sigma ^ { 2 } } } \\ { \Omega ( \tau ) } & { { } = \Omega _ { 0 } \, e ^ { - [ ( \tau - \Delta \tau ^ { \mathrm { ~ c ~ t ~ r ~ l ~ } } ) / 2 \sigma ^ { \mathrm { ~ c ~ t ~ r ~ l ~ } } ] ^ { 2 } } , } \end{array}
{ \cal L } = \int d ^ { 4 } x { \sqrt - g } \left[ - R + 2 \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \phi + 2 \partial _ { \mu } \varphi \partial ^ { \mu } \varphi + f ( \phi , \varphi ) F ^ { 2 } - V ( \phi , \varphi ) \right] ,
\hat { G } ^ { D } ( z , w ) = G ^ { D } ( z _ { i } , z _ { j } ) - 2 \sum _ { l , m } \oint _ { a _ { l } } \partial { w } G ^ { D } ( z _ { i } , w ) I m ( \tau ) _ { l m } \oint _ { a _ { m } } \partial _ { w ^ { \prime } } G ^ { D } ( z _ { j } , w ^ { \prime } )
M _ { A , A ^ { \prime } } ^ { j } ( x , z , Q ^ { 2 } ) = \int _ { t _ { 1 } ( Q ^ { 2 } ) } ^ { t _ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) } d t ~ { \cal M } _ { A , A ^ { \prime } } ^ { j } ( x , z , t , Q ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { t } ^ { - 1 } - \alpha _ { t - 1 } ^ { - 1 } } & { = \frac { ( u + \sigma ^ { 2 } t ) ^ { 1 / 3 } } { \delta } - \frac { ( u + \sigma ^ { 2 } ( t - 1 ) ) ^ { 1 / 3 } } { \delta } \overset { ( a ) } { \leq } \frac { \sigma ^ { 2 } } { 3 \delta ( u + \sigma ^ { 2 } ( t - 1 ) ) ^ { 2 / 3 } } } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } \frac { 2 ^ { 2 / 3 } \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } } { 3 \delta ^ { 3 } ( u + \sigma ^ { 2 } t ) ^ { 2 / 3 } } \overset { ( c ) } { = } \frac { 2 ^ { 2 / 3 } \sigma ^ { 2 } } { 3 \delta ^ { 3 } } \alpha _ { t } ^ { 2 } \leq \frac { 2 } { 3 I b ^ { 2 } M ^ { 2 } } \alpha _ { t } \leq \frac { 2 ^ { 2 / 3 } \sigma ^ { 2 } } { 3 \delta ^ { 3 } } \alpha _ { t } ^ { 2 } \leq \frac { 2 } { 3 b ^ { 2 } M ^ { 2 } } \alpha _ { t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathring { A } ^ { { w _ { 2 } , w _ { 1 } ^ { \prime } } } } & { = \mathring { A } ^ { { w _ { 1 } , w _ { 1 } ^ { \prime } } } + \mathcal { O } \big ( | w _ { 1 } - w _ { 2 } | \wedge 1 \big ) E _ { + } + \mathcal { O } \big ( | w _ { 1 } - w _ { 2 } | \wedge 1 \big ) E _ { - } \, , } \\ { \mathring { A } ^ { { w _ { 1 } , w _ { 2 } ^ { \prime } } } } & { = \mathring { A } ^ { { w _ { 1 } , w _ { 1 } ^ { \prime } } } + \mathcal { O } \big ( | w _ { 1 } ^ { \prime } - w _ { 2 } ^ { \prime } | \wedge 1 \big ) E _ { + } + \mathcal { O } \big ( | w _ { 1 } ^ { \prime } - w _ { 2 } ^ { \prime } | \wedge 1 \big ) E _ { - } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { x } \left( \int _ { s } ^ { t } \xi _ { u } \mathrm { d } u \le \phi ( s ) \right) ^ { 1 / 2 } } & { \lesssim _ { r } \underline { { c } } ^ { - \frac { \kappa } { 2 } } \left( \frac { \phi ( s ) } { t - s } \right) ^ { \kappa / 2 } \operatorname* { s u p } _ { u \in [ s , t ] } \mathbb { E } \left[ U ^ { \kappa r } \left( X _ { t } \right) + U ^ { \kappa r } \left( \bar { X } _ { t } \right) \right] ^ { 1 / 2 } } \\ & { \lesssim _ { r } \underline { { c } } ^ { - \frac { \kappa } { 2 } } \left( \frac { \phi ( s ) } { t - s } \right) ^ { \kappa / 2 } \left( U ( x ) + \bar { \Psi } \right) ^ { \frac { \kappa r } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { \mu } ( \omega ) = \frac { i } { 2 } L ( \pi ^ { 2 } - 1 ) } & { { } \left[ \mathrm { s i } \left( \frac { ( \omega + \pi \tilde { \omega } _ { \mu } ) L } { 2 c } \right) \right. } \end{array}
\zeta _ { j } = \frac { g _ { 1 } ^ { \prime } ( \mu _ { j } ) } { \lambda + g _ { 2 } } \xi _ { j } + \frac { 2 \pi D _ { v } } { \lambda + g _ { 2 } } c _ { j } ^ { v } \, , \qquad \left( \lambda - f _ { \mu } ( \mu _ { j } , \eta _ { j } ) \right) \xi _ { j } - f _ { \eta } ( \mu _ { j } , \eta _ { j } ) \zeta _ { j } = 2 \pi D _ { u } c _ { j } ^ { u } \, .
{ \begin{array} { r l r l } { \operatorname { V a r } \left( \ell ^ { \operatorname { T } } { \tilde { \beta } } \right) } & { = \ell ^ { \operatorname { T } } \operatorname { V a r } \left( { \tilde { \beta } } \right) \ell } \\ & { = \sigma ^ { 2 } \ell ^ { \operatorname { T } } ( X ^ { \operatorname { T } } X ) ^ { - 1 } \ell + \ell ^ { \operatorname { T } } D D ^ { \operatorname { T } } \ell } \\ & { = \operatorname { V a r } \left( \ell ^ { \operatorname { T } } { \widehat { \beta } } \right) + ( D ^ { \operatorname { T } } \ell ) ^ { t } ( D ^ { \operatorname { T } } \ell ) } & & { \sigma ^ { 2 } \ell ^ { \operatorname { T } } ( X ^ { \operatorname { T } } X ) ^ { - 1 } \ell = \operatorname { V a r } \left( \ell ^ { \operatorname { T } } { \widehat { \beta } } \right) } \\ & { = \operatorname { V a r } \left( \ell ^ { \operatorname { T } } { \widehat { \beta } } \right) + \| D ^ { \operatorname { T } } \ell \| } \\ & { \geq \operatorname { V a r } \left( \ell ^ { \operatorname { T } } { \widehat { \beta } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { R _ { h , k } } & { = \left( R _ { A } ^ { G } ( A ) \circ \vec { u } \left( R _ { A } ^ { G } ( \infty ) \right) ^ { - 1 } \right) \left( R _ { B } ^ { G } ( B ^ { H } ) \circ \vec { v } \left( R _ { B } ^ { G } ( \infty ) \right) ^ { - 1 } \right) ^ { H } } \\ & { + \left( R _ { A } ^ { G } ( A ) \circ \vec { u } \right) \left( { R _ { A } ^ { G } } ^ { H } ( B _ { k } ) \circ ^ { - 1 } \vec { v } ^ { ( k ) } \right) ^ { H } V ^ { H } } \\ & { + U \left( { R _ { B } ^ { G } } ^ { H } ( A _ { h } ) \circ ^ { - 1 } \vec { u } ^ { ( h ) } \right) \left( R _ { B } ^ { G } ( B ^ { H } ) \circ \vec { v } \right) ^ { H } . } \end{array}
A _ { j } ^ { l } ( x , t ) = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } u ^ { l } ( x , t ) , \quad F ( x , t ) = \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } \theta ( x , t ) - \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } \theta _ { 0 } ( x _ { 1 } ) ,
Z _ { P } ^ { ( n a i v e ) } \; \longrightarrow \; Z _ { P } \; = \; \int \, { \cal D } { \cal A } \; \mathrm { d e t } { \cal F } \; \prod _ { a } \delta \left( \phi ^ { a } [ { \cal A } _ { \mu } ] \right) \; \exp \left\{ i \left( \frac { } { } I _ { Y M } \left[ { \cal A } \right] + { \cal J } \circ { \cal A } \right) \right\} \, \times \, { \cal M } ( \hat { \rho } ) \; ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { \hbar \in I } \sum _ { r = 0 } ^ { k _ { 0 } } \mathbb { E } \Big [ \big \lVert \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { r } } \mathcal { I } _ { 0 , 0 } ( r , \boldsymbol { x } , \iota , t ; \hbar ) \varphi _ { \hbar } \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \Big ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leq C , } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { q , 1 } ^ { \mathrm { { C } } } \left( t \right) = } & { { \bf { h } } _ { q , 1 } ^ { H } { { \bf { w } } _ { 0 } } \left( t \right) \sum _ { m = 0 } ^ { { M _ { 1 } } - 1 } { \sum _ { b = 0 } ^ { { B _ { 0 } } - 1 } { \tilde { s } _ { m , b } ^ { 0 } } } { e ^ { j 2 \pi b \Delta _ { f } \left( { t - { T _ { c p } } - m { T } } \right) } } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \times { \mathrm { r e c t } } \left( { t - m { T } } \right) + \omega _ { q , 1 } ^ { \mathrm { { C } } } \left( t \right) , } \end{array}
\mathrm { A _ { 1 1 } B _ { 1 1 } , A _ { 1 1 } B _ { 1 2 } , A _ { 1 2 } B _ { 1 1 } , A _ { 1 2 } B _ { 1 2 } , A _ { 1 1 } B _ { 2 1 } , A _ { 1 1 } B _ { 2 2 } , A _ { 1 2 } B _ { 2 1 } , A _ { 1 2 } B _ { 2 2 } }
\beta ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } R _ { s } } { \partial y _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } R _ { s } } { \partial y _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } R _ { s } } { \partial y _ { 3 } ^ { 2 } } - 2 \mathrm { i } k M \frac { \partial R _ { s } } { \partial y _ { 1 } } + k ^ { 2 } R _ { s } = 0 ,
P ( k | u , \beta _ { S } ) = \left[ \frac { 2 \beta ^ { 2 } } { 3 } P ( \beta | u , \beta _ { S } ) \right] _ { \beta = 3 / ( 2 k ) } = \frac { 2 u \beta _ { S } } { 3 \Gamma ( 1 / u ) } \exp \Big ( - \frac { 3 } { 2 k u \beta _ { S } } \Big ) \Big ( \frac { 3 } { 2 k u \beta _ { S } } \Big ) ^ { \frac { 1 } { u } + 1 } ,
\begin{array} { r l } & { 2 \widehat \gamma \mathbb { E } [ \sqrt { N } X _ { i j } q ( \sqrt { N } X _ { i j } ) ] + \widehat \gamma ^ { 2 } = 2 \gamma \mathbb { E } [ q ^ { \prime } ( \sqrt { N } X _ { i j } ) ] \mathbb { E } [ \sqrt { N } X _ { i j } q ( \sqrt { N } X _ { i j } ) ] + \gamma ^ { 2 } ( \mathbb { E } [ q ^ { \prime } ( \sqrt { N } X _ { i j } ) ] ) ^ { 2 } } \end{array}
i { \cal M } _ { ( 1 a ) } = - \pi ^ { 2 } \cdot g ^ { 4 } \cdot { \int \! \! \int \! \! \int } _ { 0 } ^ { x + y + z < 1 } \frac { d x d y d z } { \left\{ J _ { m } ( x , y , z ) - i \varepsilon \right\} ^ { 2 } }
g _ { \mathrm { ~ G ~ - ~ P ~ } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \frac { 3 } { 2 } \cdot \frac { 1 } { ( x _ { 1 } - 0 . 5 ) ^ { 2 } + 0 . 2 } \cdot \frac { 1 } { ( x _ { 2 } - 0 . 3 ) ^ { 2 } + 0 . 3 } .
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { d p } \textrm { - } \mathrm { p h } } = } & { \; \mathrm { i } \hbar \sum _ { m = 1 } ^ { \mathcal { N } } \sqrt { \frac { d } { L _ { z } } } \sum _ { q } \xi _ { q } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } m q d } \left( a _ { m } ^ { \dagger } \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \chi _ { q } } + b _ { m } ^ { \dagger } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \chi _ { q } } \right) c _ { q } ^ { \phantom { \dagger } } } \\ & { + \mathrm { H . c . } , } \end{array}
( u - u _ { 0 } ) ^ { 2 } z ^ { \prime \prime } ( u ) + \left( 2 ( u - u _ { 0 } ) ^ { 2 } \frac { y _ { 1 } ^ { \prime } ( u ) } { y _ { 1 } ( u ) } + ( u - u _ { 0 } ) p ( u ) \right) z ^ { \prime } ( u ) = 0 .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \sum _ { i , j } \frac { u _ { i , j } ^ { 2 } } { 2 } \Delta x \Delta y = } & { \Delta y \sum _ { i , j } f _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { x } ( u _ { i + 1 , j } - u _ { i , j } ) } \\ { + } & { \Delta x \sum _ { i , j } f _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { y } ( u _ { i , j + 1 } - u _ { i , j } ) \le 0 . } \end{array}
\psi = \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { 1 } } } \\ { { \psi _ { 2 } } } \end{array} \right) \ , \quad \overline { { \psi } } \equiv \psi ^ { \dag } \gamma _ { 3 } \equiv \left( \begin{array} { c c } { { \overline { { \psi } } _ { 1 } } } & { { - \overline { { \psi } } _ { 2 } } } \end{array} \right) \equiv \left( \begin{array} { c c } { { \psi _ { 1 } ^ { \dag } \sigma _ { 3 } } } & { { - \psi _ { 2 } ^ { \dag } \sigma _ { 3 } } } \end{array} \right) \ ,
f _ { i } ^ { \pm } = \frac { f _ { i } \pm f _ { \bar { i } } } { 2 } , \qquad f _ { i } ^ { \mathrm { e q \pm } } = \frac { f _ { i } ^ { \mathrm { e q } } \pm f _ { \bar { i } } ^ { \mathrm { e q } } } { 2 } .
\begin{array} { r l } & { \tilde { H } = \sum _ { k \in \mathcal { B } ^ { l } } \sum _ { i \in \mathcal { B } ^ { r } } \sum _ { \sigma \in \{ \uparrow , \downarrow \} } h _ { k i } \, \hat { c } _ { k , \sigma } ^ { \dagger } \, \hat { b } _ { i , \sigma } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k , l \in \mathcal { B } ^ { l } } \sum _ { i , j \in \mathcal { B } ^ { r } } \sum _ { \sigma , \lambda \in \{ \uparrow , \downarrow \} } \big ( V _ { i j } ^ { k l } - { K } _ { i j } ^ { k l } \big ) \, \hat { c } _ { k , \sigma } ^ { \dagger } \, \hat { c } _ { l , \lambda } ^ { \dagger } \, \hat { b } _ { j , \lambda } \, \hat { b } _ { i , \sigma } } \\ & { - \frac { 1 } { 6 } \sum _ { k , l , n \in \mathcal { B } ^ { l } } \sum _ { i , j , m \in \mathcal { B } ^ { r } } \sum _ { \sigma , \lambda , \kappa \in \{ \uparrow , \downarrow \} } { L } _ { i j m } ^ { k l n } \, \hat { c } _ { k , \sigma } ^ { \dagger } \, \hat { c } _ { l , \lambda } ^ { \dagger } \, \hat { c } _ { n , \kappa } ^ { \dagger } \, \hat { b } _ { m , \kappa } \, \hat { b } _ { j , \lambda } \, \hat { b } _ { i , \sigma } , } \end{array}
D _ { \mu } \psi _ { \nu } = \left( \left( \partial _ { \mu } + \frac { 1 } { 4 } \omega _ { \mu } ^ { m n } \gamma _ { m n } \right) \delta _ { \nu } ^ { \lambda } - \Gamma _ { \mu \, \nu } ^ { \lambda } \right) \psi _ { \lambda } \, ,
\ln { \cal Z } _ { B } = \frac { 4 \pi V } { h ^ { 3 } } \left( \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } ( \frac { 2 m } { \beta } ) ^ { 3 / 2 } z + \sqrt { \pi } ( \frac { 2 m } { \beta } ) ^ { 3 / 2 } \delta ( q ) z ^ { 2 } + . . . \right) ,
L _ { n } = \frac { 1 } { n } \, \left( \sqrt { w } \right) ^ { n } \, l _ { n } \left( \left( \sqrt { w } \right) ^ { - 1 } \, \pi _ { n } \right) + u = \frac { 1 } { n } \, \pi _ { n } ^ { n } \, g _ { n } \left( w \, \pi _ { n } ^ { - 2 } \right) + u
\begin{array} { r l } { \mathbf { T } _ { \mathfrak { I } _ { N } , f } ^ { C } \left[ x ^ { 2 k } \right] } & { = \varphi _ { f } ^ { ( 2 k ) } ( x ) \qquad \forall k \in \mathbb { N } _ { 0 } . } \\ { \mathbf { T } _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { S } \left[ x ^ { 2 k + 1 } \right] } & { = \varphi _ { f } ^ { ( 2 k + 1 ) } ( x ) \qquad \forall k \in \mathbb { N } _ { 0 } . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { C } } & { \mathbf { D } } \end{array} \right] } ^ { - 1 } = { \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } ^ { - 1 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { - \mathbf { D } ^ { - 1 } \mathbf { C A } ^ { - 1 } } & { \mathbf { D } ^ { - 1 } } \end{array} \right] } .
{ \frac { \partial ^ { 2 } { \bar { x } } ^ { \nu } } { \partial { \bar { x } } ^ { \nu } \partial x ^ { \beta } } } + { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \rho } } { \partial x ^ { \sigma } } } { \frac { \partial ^ { 2 } x ^ { \sigma } } { \partial x ^ { \beta } \partial { \bar { x } } ^ { \rho } } } = 0
{ ^ { G G } \dot { V } ^ { T ( 0 ) } } = C _ { A } \theta ( y - x ) \frac { x ^ { 2 } } { y ^ { 2 } } \frac { 1 } { y - x } \ln \frac { x } { y } + \left\{ x \to \bar { x } \atop y \to \bar { y } \right\} ,
W _ { k , k ^ { \prime } } = \frac { 1 } { \Omega } \sum _ { { \bf G } { \bf G } ^ { \prime } } W _ { { \bf G } { \bf G } ^ { \prime } } \left( { \bf q } \right) \rho _ { k ^ { \prime } } ^ { k } \left( { \bf G } \right) \rho _ { k ^ { \prime } } ^ { k \, * } \left( { \bf G } ^ { \prime } \right) ,
\begin{array} { r l } { Q ^ { * } ( \eta _ { k } + \widetilde { r } ) - Q ^ { * } ( \eta _ { k } ) = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + \widetilde { r } } ^ { \eta _ { k } - 1 } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } - \sum _ { t = \eta _ { k } + \widetilde { r } } ^ { \eta _ { k } - 1 } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ { = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + \widetilde { r } } ^ { \eta _ { k } - 1 } \vert \vert f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { - 2 \sum _ { t = \eta _ { k } + \widetilde { r } } ^ { \eta _ { k } - 1 } \langle f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { \ \underrightarrow { \mathcal { D } } \ } & { \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { 0 } 2 \Big \langle F _ { { h _ { 2 } } , t } - f _ { t } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } + \widetilde { r } \vert \vert ( f _ { \eta _ { k + 1 } } - f _ { \eta _ { k } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \cal M } = i g _ { Y M } ^ { 2 } C _ { 2 } ( R ) \int { \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { 1 } { p ^ { 2 } ( p - k ) ^ { 2 } } } \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } ( \Delta \cdot p ) ^ { j } ( \Delta \cdot k ) ^ { n - j } = c _ { \phi } ( \Delta \cdot k ) ^ { n } \ln \Lambda ^ { 2 } + \ldots \, ,