harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \frac { \textrm { d } x _ { C } ( t ) } { \textrm { d } t } = \frac { E ( \Delta x _ { C } ) } { \Delta t } } \\ & { = \frac { \frac { 1 } { n } P ( \Delta x _ { C } = \frac { 1 } { n } ) - \frac { 1 } { n } P ( \Delta x _ { C } = - \frac { 1 } { n } ) } { \frac { 1 } { n } } } \\ & { = \omega \bar { \Psi } ( x _ { C } , x _ { C \mid C } , \omega ) } \\ & { = \omega \bigg \{ \frac { k x _ { C } ( 1 - x _ { C | C } ) } { ( k + 1 ) ^ { 2 } } \Big \{ - 2 ( k c + b ) } \\ & { + \frac { ( k - 1 ) b ( x _ { C \mid C } - x _ { C } ) } { 1 - x _ { C } } \Big [ 2 + \frac { ( k - 1 ) ( 1 - 2 x _ { C } + x _ { C \mid C } ) } { 1 - x _ { C } } } \\ & { - \frac { k ( k - 1 ) c ( 1 - 2 x _ { C } + x _ { C \mid C } ) } { 1 - x _ { C } } \Big ] \Big \} + o ( \omega ) \bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u \cdot \nabla u } & { { } = - \nabla p \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad D _ { h } , } \\ { \nabla \cdot u } & { { } = 0 \qquad \quad \ \ \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad D _ { h } , } \\ { u \cdot \hat { n } } & { { } = 0 \qquad \quad \ \ \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \partial D _ { h } . } \end{array}
\partial _ { \mu } S ^ { - 1 } ( p ) = - i \gamma _ { \mu } + g ^ { 2 } \int { \frac { d ^ { n } l } { ( 2 \pi ) ^ { n } } } \gamma _ { \alpha } [ \partial _ { \mu } S ( l ) ] \gamma _ { \beta } D _ { \alpha \beta } ( q ) .
\begin{array} { r l } { i \hbar \frac { \partial \rho _ { i j } ^ { \left( \sigma \right) } } { \partial t } } & { = \sum _ { k } \left( \tau _ { k j \sigma } \rho _ { i k } ^ { \left( \sigma \right) } - \tau _ { i k \sigma } \rho _ { k j } ^ { \left( \sigma \right) } \right) + \left( V _ { i \sigma } - V _ { j \sigma } \right) \rho _ { i j } ^ { \left( \sigma \right) } } \\ & { + e \mathbf { E } \left( t \right) \left( \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } \right) \rho _ { i j } ^ { \left( \sigma \right) } - i \hbar \gamma \left( \rho _ { i j } ^ { \left( \sigma \right) } - \rho _ { 0 i j } ^ { \left( \sigma \right) } \right) , } \end{array}
{ } _ { 2 } F _ { 1 } \! \left( \alpha _ { a , b } ^ { \pm } , \beta _ { a , b } ^ { \pm } ; \gamma _ { \pm } ; 1 \right) = \frac { \Gamma \! \left( 1 \pm \frac { 1 } { 2 } \right) \Gamma \! \left( \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1 + 4 \omega _ { a , b } } \right) } { \Gamma \! \left( \gamma _ { \pm } - \alpha _ { a , b } ^ { \pm } \right) \Gamma \! \left( \gamma _ { \pm } - \beta _ { a , b } ^ { \pm } \right) } \; .
\begin{array} { r l r } { e _ { i } ( e _ { j } w ) } & { { } = } & { - e _ { j } ( e _ { i } w ) , \qquad e _ { i + 8 } ( e _ { j + 8 } w ) = - e _ { j + 8 } ( e _ { i + 8 } w ) , } \\ { e _ { i } ( e _ { i } w ) } & { { } = } & { - w , \qquad e _ { i + 8 } ( e _ { i + 8 } w ) = - w \quad i , j = 1 , . . . , 7 , \quad \forall w \in \mathbb { C } \otimes \mathbb { S } } \end{array}
( X _ { L } ^ { \prime i } ( e ^ { 2 \pi i } z ) , X _ { R } ^ { \prime i } ( e ^ { - 2 \pi i } \bar { z } ) ) = ( X _ { L } ^ { \prime i } ( z ) + 2 \pi \ell v _ { L } ^ { i } , X _ { R } ^ { \prime i } ( \bar { z } ) - 2 \pi \ell v _ { R } ^ { i } ) + ( \mathrm { t o r u s \ s h i f t } ) ,
\begin{array} { r l } { \xi _ { \operatorname* { s u p } } ( \alpha ) } & { = \operatorname* { s u p } \bigg \{ r | c - r \geq \sqrt { \alpha ( c - a ) ( c - b ) } \bigg \} } \\ & { = \operatorname* { s u p } \bigg \{ r | r \leq c - \sqrt { \alpha ( c - a ) ( c - b ) } \bigg \} } \\ & { = c - \sqrt { \alpha ( c - a ) ( c - b ) } . } \end{array}
S = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { M } d ^ { d + 1 } x \, \int _ { M ^ { \prime } } d ^ { d + 1 } x ^ { \prime } \, \sqrt { g ( x ) } \, J ( x ) \, G ( x , x ^ { \prime } ) \, \sqrt { g ( x ^ { \prime } ) } \, J ( x ^ { \prime } ) .
E _ { \gamma } = E _ { n } - E _ { m } = { \frac { k _ { \mathrm { e } } e ^ { 2 } } { 2 a _ { 0 } } } \left( { \frac { 1 } { m ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } \right)
\begin{array} { r l } { u ( x , y , 0 ) } & { { } = \operatorname { t a n h } \left( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \cos \left( \operatorname { a t a n 2 } ( y , x ) - \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right) \right) , } \\ { v ( x , y , 0 ) } & { { } = \operatorname { t a n h } \left( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \sin \left( \operatorname { a t a n 2 } ( y , x ) - \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { D } _ { 2 } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { D _ { 2 } ^ { B } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { - D _ { 2 } ^ { B } } & { 0 } \\ { - D _ { 2 } ^ { B } } & { 0 } & { D _ { 2 } ^ { B } } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { - D _ { 2 } ^ { B } } & { 0 } & { D _ { 2 } ^ { B } } \\ { D _ { 2 } ^ { B } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { - D _ { 2 } ^ { B } } \end{array} \right] , \ D _ { 2 } ^ { B } = \frac { 1 } { 2 h _ { x _ { 2 } } } \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \cdots } & { 1 } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } _ { i , K } ^ { t } - \mathbf { x } _ { i , 0 } ^ { t } = \Delta _ { i , K } ^ { t } } & { = ( 1 - \frac { \eta _ { l } } { \lambda } ) ^ { K } \Delta _ { i , 0 } ^ { t } - \eta _ { l } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } ( 1 - \frac { \eta _ { l } } { \lambda } ) ^ { K - 1 - k } ( \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } - \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } ) } \\ & { \overset { ( a ) } { = } - \eta _ { l } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } ( 1 - \frac { \eta _ { l } } { \lambda } ) ^ { K - 1 - k } ( \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } - \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } ) } \\ & { = - \lambda \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \eta _ { l } } { \lambda } ( 1 - \frac { \eta _ { l } } { \lambda } ) ^ { K - 1 - k } ( \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } - \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } ) } \\ & { = - \lambda \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \eta _ { l } } { \lambda } ( 1 - \frac { \eta _ { l } } { \lambda } ) ^ { K - 1 - k } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } + \bigl ( 1 - ( 1 - \frac { \eta _ { l } } { \lambda } ) ^ { K } \bigr ) \lambda \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } } \\ & { = - \lambda \gamma \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } + \gamma \lambda \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } . } \end{array}
v _ { 0 } = v \cos \theta _ { v } \; \; , \; \; v _ { \pm 1 } = \mp \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } v \sin \theta _ { v } e ^ { \pm i \phi _ { v } } \; \; \; \to \; \; \; v _ { \mu } = \sqrt { \frac { 4 \pi } { 3 } } \; v \, Y _ { 1 \mu } ( \Omega _ { v } ) \; \; \; \mu = 1 , 0 , - 1
\begin{array} { r } { \mathcal { F } ( k \omega _ { p e } ) = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \mathcal { E } _ { \mathrm { p r o b e } } ( \omega + k \omega _ { p } ) | | \mathcal { E } _ { \mathrm { r e f } } ( \omega ) | d \omega } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \mathcal { E } _ { \mathrm { p r o b e } } ( \omega ) | | \mathcal { E } _ { \mathrm { r e f } } ( \omega ) | d \omega } . } \end{array}
\begin{array} { r } { I ( \theta _ { 0 } ) = E _ { \omega _ { \theta _ { 0 } , 2 } } ^ { \theta _ { 0 } } \left[ \left( \frac { \partial \hat { \epsilon } _ { 1 } ^ { \infty } } { \partial \theta } \right) ^ { t } \Sigma ^ { - 1 } \left( \frac { \partial \hat { \epsilon } _ { 1 } ^ { \infty } } { \partial \theta } \right) { \Big | } _ { \theta = \theta _ { 0 } } \right] . } \end{array}
{ \cal L } = \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } [ \overline { { { \psi } } } _ { k } { \gamma } ^ { \mu } ( i { \hbar } c { \partial } _ { \mu } - e _ { k } A _ { \mu } ) { \psi } _ { k } - m _ { k } c ^ { 2 } \overline { { { \psi } } } _ { k } { \psi } _ { k } ] - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } ,
\bigl [ \mathop { \vee } \! \left[ a ; X \right] , \mathop { \vee } \! \left[ b ; Y \setminus \left\lbrace i \right\rbrace \right] \bigr ] = \bigl [ \mathop { \vee } \! \left[ a ; X \right] , [ \mathop { \vee } \! \left[ b ; Y \right] , t _ { i } ] \bigr ] = \bigl [ \mathop { \vee } \! \left[ a ; X \right] , \mathop { \vee } \! \left[ b ; Y \right] \bigr ] .
\begin{array} { r } { \left\| \operatorname* { m a x } _ { ( i , l , k ) \in \mathbb { B } } \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathcal { T } } \left| \hat { \tilde { \Gamma } } _ { k } ^ { i , l , 2 } ( t ) - \tilde { \Gamma } _ { k } ^ { i , l , 2 } ( t ) \right| \right\| _ { q } = O \left( | \mathbb { B } | ^ { 1 / q } g _ { n } ^ { \prime } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ddot { \bf d } ( t ) } & { = } & { \int { \left( \frac { \delta H } { \delta \phi _ { k } ^ { \uparrow } } \nabla \phi _ { k } ^ { \uparrow } + \frac { \delta H } { \delta \phi _ { k } ^ { \uparrow * } } \nabla \phi _ { k } ^ { \uparrow * } \right) \ \mathrm { d } { \bf x } } + } \\ & { } & { \int { \left( \frac { \delta H } { \delta \phi _ { k } ^ { \downarrow } } \nabla \phi _ { k } ^ { \downarrow } + \frac { \delta H } { \delta \phi _ { k } ^ { \downarrow * } } \nabla \phi _ { k } ^ { \downarrow * } \right) \ \mathrm { d } { \bf x } } . } \end{array}
- \sum _ { i , j } \bar { Q } _ { i L } \left( ( h _ { q } ) _ { i j } \phi + ( \tilde { h } _ { q } ) _ { i j } \tilde { \phi } \right) Q _ { j R } + h . c . = L _ { m a s s } ^ { q } + L _ { q u a r k - H i g g s } ,
{ \frac { \partial C } { \partial x } } \Rightarrow { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { ( C _ { i + 1 } ^ { j + 1 } - C _ { i - 1 } ^ { j + 1 } ) } { 2 ( \Delta x ) } } + { \frac { ( C _ { i + 1 } ^ { j } - C _ { i - 1 } ^ { j } ) } { 2 ( \Delta x ) } } \right)
\begin{array} { r l } { H } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { \zeta / 2 } & { V } \\ { V } & { \zeta / 2 } \end{array} \right) } \\ { \vec { d } _ { 0 1 } } & { { } = \frac { \zeta V } { \Delta E ^ { 2 } } \left( \frac { \vec { \nabla } V } { V } - \frac { \vec { G } _ { \textrm { D } } } { \zeta } \right) } \end{array}
\Delta U _ { T } = 2 A \int _ { 0 } ^ { \infty } d z \, \Delta w _ { T } ( z ) = { \frac { \pi } { 4 } } A { \frac { ( k _ { B } T ) ^ { 3 } } { \hbar ^ { 2 } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d { \cal Z } \left[ { \frac { 2 } { { \cal Z } ^ { 4 } } } - { \frac { \coth { \cal Z } } { { \cal Z } ^ { 3 } } } - { \frac { 1 } { { \cal Z } ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } { \cal Z } } } \right] .
\begin{array} { r l r } { \mathbf { S } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l } { { S } _ { x } } \\ { { S } _ { y } } \end{array} \right) = ( \overline { { \mathbf { u } } } \cdot \overline { { \nabla } } ) \overline { { \mathbf { u } } } - \overline { { ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } } } , } \end{array}
W _ { ( \mathcal { C } ^ { \bot } , \pi ) } ( x , y ; \widetilde { \mathbb { P } _ { 1 } + \mathbb { P } _ { 2 } } ) = x ^ { s _ { 1 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } W _ { ( \mathcal { C } _ { 2 } ^ { \bot } , \pi _ { 2 } ) } ( x , y ; \widetilde { \mathbb { P } } _ { 2 } ) + \frac { m ^ { n _ { 2 } } } { | \mathcal { C } _ { 2 } | } y ^ { s _ { 2 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \left( W _ { ( \mathcal { C } _ { 1 } ^ { \bot } , \pi _ { 1 } ) } ( x , y ; \widetilde { \mathbb { P } } _ { 1 } ) - x ^ { s _ { 1 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \right) .
S _ { p , m } = \prod _ { I < J } \prod _ { i < j } ( z _ { i } ^ { I } - z _ { j } ^ { J } ) ^ { K _ { I , J } } \prod _ { I } \prod _ { i < j } ( z _ { i } ^ { I } - z _ { j } ^ { I } ) ^ { K _ { I , I } - 1 }
\begin{array} { r l } { W ^ { + + } ( \Delta , \Sigma ) \thinspace \tau \left( \Delta + 1 / N , \Sigma + 1 / N \right) } & { + W ^ { + - } \thinspace ( \Delta , \Sigma ) \thinspace \tau \left( \Delta + 1 / N , \Sigma - 1 / N \right) + W ^ { - + } \thinspace ( \Delta , \Sigma ) \thinspace \tau \left( \Delta - 1 / N , \Sigma + 1 / N \right) } \\ { + W ^ { -- } } & { \thinspace ( \Delta , \Sigma ) \thinspace \tau \left( \Delta - 1 / N , \Sigma - 1 / N \right) - \Omega ( \Delta , \Sigma ) \thinspace \tau \left( \Delta , \Sigma \right) = - 1 , } \end{array}
\left. \Delta _ { q } ^ { \mathrm { w e a k } } \right| _ { x _ { t } = 0 } = \frac { G _ { F } M _ { Z } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } \sqrt 2 } \left[ \frac { 1 } { 2 } - 3 \left( 1 - 4 s _ { w } ^ { 2 } | Q _ { q } | \right) ^ { 2 } + c _ { w } ^ { 2 } \left( \frac { 3 } { s _ { w } ^ { 2 } } \ln c _ { w } ^ { 2 } - 5 \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \lambda } } & { = - \frac { 1 } { 6 \omega _ { \lambda } ^ { 2 } } \sum _ { k } \sum _ { l ^ { \prime } k ^ { \prime } } \sum _ { l ^ { \prime \prime } k ^ { \prime \prime } } \sum _ { \alpha \beta \gamma } \times } \\ & { \left[ \phi _ { \alpha \beta \gamma } \left( 0 k , l ^ { \prime } k ^ { \prime } , l ^ { \prime \prime } k ^ { \prime \prime } \right) \frac { e _ { \alpha k } ^ { \lambda \ast } e _ { \beta k ^ { \prime } } ^ { \lambda ^ { \prime } } } { \sqrt { M _ { k } M _ { k } ^ { \prime } } } \times e ^ { i } q R _ { l ^ { \prime } } r _ { l ^ { \prime \prime } k ^ { \prime \prime } \gamma } \right] , } \end{array}
E _ { p \sigma \chi } ( x ) = N \mathrm { e } ^ { i ( p _ { 0 } x ^ { 0 } + p _ { 2 } x ^ { 2 } + p _ { 3 } x ^ { 3 } ) } D _ { n } ( \rho ) \omega _ { \sigma \chi } \equiv \tilde { E } _ { p \sigma \chi } \omega _ { \sigma \chi } ,
\left( { \frac { \partial f _ { i } } { \partial t } } \right) _ { \mathrm { c o l l } } = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \iint g _ { i j } I _ { i j } ( g _ { i j } , \Omega ) [ f _ { i } ^ { \prime } f _ { j } ^ { \prime } - f _ { i } f _ { j } ] \, d \Omega \, d ^ { 3 } \mathbf { p ^ { \prime } } ,
\sin { \frac { 1 } { 4 } ( \phi _ { W } + \phi _ { E } - \phi _ { N } - \phi _ { S } ) } = \frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } } \sin { \frac { 1 } { 4 } ( \phi _ { W } + \phi _ { E } + \phi _ { N } + \phi _ { S } ) }
J _ { f } = \left\{ \begin{array} { l l } { { - 5 n _ { f } \quad } } & { { \mathrm { r e l a t i v i s t i c ~ g a s } } } \\ { { } } & { { } } \\ { { - \, \frac { \textstyle 3 n _ { f } } { \textstyle v _ { F } ^ { 2 } } } } & { { \mathrm { n o n - r e l a t i v i s t i c g a s } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( P _ { i } \in \tilde { \Pi } , \tilde { H } _ { i } = k \ | \ E _ { 1 } , \dots , E _ { i - 1 } ) = } & { \ \mathbb { P } ( P _ { i } \in \Pi _ { \nearrow } , \tilde { H } _ { i - 1 } = k - 1 \ | \ E _ { 1 } , \dots , E _ { i - 1 } ) \mathbf { 1 } _ { k \geq 1 } } \\ { + } & { \ \mathbb { P } ( P _ { i } \in \Pi _ { \searrow } , \tilde { H } _ { i - 1 } = 0 \ | \ E _ { 1 } , \dots , E _ { i - 1 } ) \mathbf { 1 } _ { k = 0 } , } \\ { = } & { \ \mathbb { P } ( P _ { i } \in \Pi _ { \nearrow } , \tilde { H } _ { i - 1 } = k - 1 ) \mathbf { 1 } _ { k \geq 1 } } \\ { + } & { \ \mathbb { P } ( P _ { i } \in \Pi _ { \searrow } , \tilde { H } _ { i - 1 } = 0 ) \mathbf { 1 } _ { k = 0 } , \qquad \mathrm { ( b y ~ i n d u c t i o n ~ h y p o t h e s i s ) . } } \\ { = } & { \ \frac { \beta } { \lambda + \beta } \times ( 1 - \beta ^ { \star } ) ( \beta ^ { \star } ) ^ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \langle c _ { k } ^ { s } c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } \rangle } { \partial t } } & { = } & { \left\langle \frac { \partial c _ { k } ^ { s } } { \partial t } c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } \right\rangle + \left\langle c _ { k } ^ { s } \frac { \partial c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } } { \partial t } \right\rangle } \\ & { = } & { i \epsilon \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 6 } } \sum _ { s _ { p } s _ { q } } L _ { - k p q } ^ { - s s _ { p } s _ { q } } \langle c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } c _ { p } ^ { s _ { p } } c _ { q } ^ { s _ { q } } \rangle e ^ { i \Omega _ { k , p q } t } \delta _ { k , p q } \mathrm { d } { \bf p } \mathrm { d } { \bf q } } \\ & { + } & { i \epsilon \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 6 } } \sum _ { s _ { p } s _ { q } } L _ { - k ^ { \prime } p q } ^ { - s ^ { \prime } s _ { p } s _ { q } } \langle c _ { k } ^ { s } c _ { p } ^ { s _ { p } } c _ { q } ^ { s _ { q } } \rangle e ^ { i \Omega _ { k ^ { \prime } , p q } t } \delta _ { k ^ { \prime } , p q } \mathrm { d } { \bf p } \mathrm { d } { \bf q } \, . } \end{array}
\Pi ( s ) = \frac { 4 ( g _ { 1 3 } ^ { 2 } G _ { 1 } ^ { 0 } ( s ) + g _ { 2 3 } ^ { 2 } G _ { 2 } ^ { 0 } ( s ) + ( 2 v _ { 1 2 } ( s ) g _ { 1 3 } g _ { 2 3 } - g _ { 1 3 } ^ { 2 } v _ { 2 2 } ( s ) - g _ { 2 3 } ^ { 2 } v _ { 1 1 } ( s ) ) G _ { 1 } ^ { 0 } ( s ) G _ { 2 } ^ { 0 } ( s ) ) } { 1 - v _ { 1 1 } ( s ) G _ { 1 } ^ { 0 } ( s ) - v _ { 2 2 } ( s ) G _ { 2 } ^ { 0 } ( s ) + ( v _ { 1 1 } ( s ) v _ { 2 2 } ( s ) - v _ { 1 2 } ^ { 2 } ( s ) ) G _ { 1 } ^ { 0 } ( s ) G _ { 2 } ^ { 0 } ( s ) } \ \ .
{ \frac { 1 } { 4 m ^ { 2 } l _ { C } } } \oint _ { C } d \mu ( s ) { \frac { \delta ^ { 2 } \Psi [ \sigma \ ; A ] } { \delta \sigma ^ { \mu \nu } ( s ) \delta \sigma _ { \mu \nu } ( s ) } } = i { \frac { \partial } { \partial A } } \Psi [ \sigma \ ; A ]
\begin{array} { r } { \xi ^ { * } : = - \frac { \partial \mathsf { R } ( R , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X } ) } { \partial R } \Bigg | _ { R = R _ { 1 } } , } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { * } : = - \frac { \partial \mathsf { R } ( R _ { 1 } , D , D _ { 2 } | P _ { X } ) } { \partial D } \Bigg | _ { D = D _ { 1 } } , } \\ { \lambda _ { 2 } ^ { * } : = - \frac { \partial \mathsf { R } ( R _ { 1 } , D _ { 1 } , D | P _ { X } ) } { \partial D } \Bigg | _ { D = D _ { 2 } } . } \end{array}
{ \left\{ \begin{array} { l l } { a ^ { 2 } = { \frac { 2 | p _ { 1 } | \Lambda } { \operatorname { c h } ( 2 | p _ { 1 } | \Lambda \tau ) } } , } \\ { b ^ { 2 } = b _ { 0 } ^ { 2 } e ^ { 2 \Lambda ( p _ { 2 } - | p _ { 1 } | ) \tau } \operatorname { c h } ( 2 | p _ { 1 } | \Lambda \tau ) , } \\ { c ^ { 2 } = c _ { 0 } ^ { 2 } e ^ { 2 \Lambda ( p _ { 2 } - | p _ { 1 } | ) \tau } \operatorname { c h } ( 2 | p _ { 1 } | \Lambda \tau ) , } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \vert \vert F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } - F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } + \vert \vert F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \vert \vert F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } - F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } } \\ { = } & { \widetilde { r } O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } + \frac { p } { 2 r } } } \log ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ( T ) ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { E } ^ { ( + ) } ( t , z ) } & { = \mathcal { E } _ { 0 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( k _ { 0 } z - \omega _ { 0 } t \right) } \hat { A } _ { \mathrm { f } } ( t , z ) , } \\ { \hat { A } _ { \mathrm { f } } ( t , z ) } & { = \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \sum _ { m \in \mathbb { N } } \hat { a } _ { \mathrm { f } , m } ^ { ( k ) } u _ { m } ( t - k T , z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { - i + j , 2 N + 1 } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) - F _ { i + j , 2 N + 1 } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) } & { = \sum _ { ( P , M ) \in L \big ( 1 , N ^ { * } ; ( i , 0 ) \to ( j , 2 n ) \big ) } \omega ( P , M ) , } \\ { \overline { { F } } _ { - i + j , 2 N + 1 } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) + \overline { { F } } _ { i + j - 1 , 2 N + 1 } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) } & { = \sum _ { ( P , M ) \in L \big ( 1 ^ { * } , N ; ( i , 0 ) \to ( j , 2 n ) \big ) } \omega ( P , M ) , } \\ { \overline { { F } } _ { - i + j , 2 N } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) + \overline { { F } } _ { i + j - 1 , 2 N } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) } & { = \sum _ { ( P , M _ { 1 } , M _ { 2 } ) \in L \big ( 1 ^ { * } , N ^ { * } ; ( i , 0 ) \to ( j , 2 n ) \big ) } \omega ( P , M _ { 1 } , M _ { 2 } ) . } \end{array}
+ 2 \Re \{ 2 \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { x } } b _ { \mathrm { y } } ^ { \ast } \} \mathbb { E } ^ { \ast } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} + \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { x } } b _ { \mathrm { y } } ^ { \ast } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { y } } ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { \ast } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \}
{ \frac { x } { L _ { 0 } } } = { \frac { 4 } { 3 } } - { \frac { 4 } { 3 { \sqrt { { \frac { F P } { k _ { B } T } } + 1 } } } } - { \frac { 1 0 e ^ { \sqrt [ { 4 } ] { 9 0 0 { \frac { k _ { B } T } { F P } } } } } { { \sqrt { \frac { F P } { k _ { B } T } } } \left( e ^ { \sqrt [ { 4 } ] { 9 0 0 { \frac { k _ { B } T } { F P } } } } - 1 \right) ^ { 2 } } } + { \frac { \left( { \frac { F P } { k _ { B } T } } \right) ^ { 1 . 6 2 } } { 3 . 5 5 + 3 . 8 \left( { \frac { F P } { k _ { B } T } } \right) ^ { 2 . 2 } } }
\begin{array} { r l } { D ( \alpha ( t ) \beta ( \Phi _ { - t } ( x ) ) ) [ ( 1 , b ( x ) ) ] } & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } \frac { \alpha ( t + h ) \beta ( \Phi _ { - t - h } ( x + h b ( x ) ) ) - \alpha ( t ) \beta ( \Phi _ { - t } ( x ) ) ) } { h } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } \frac { \alpha ( t + h ) - \alpha ( t ) } { h } \beta ( \Phi _ { - t } ( x ) ) } \\ & { \qquad + \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } \frac { \alpha ( t + h ) [ \beta ( \Phi _ { - t - h } ( x + h b ( x ) ) ) - \beta ( \Phi _ { - t } ( x ) ) ) } { h } } \\ & { = \alpha ^ { \prime } ( t ) \beta ( \Phi _ { - t } ( x ) ) + \ell . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { f } _ { \mathrm { i n } } ( \omega ) } & { = ( \delta \hat { a } _ { e , \mathrm { 0 } } ( \omega ) , \delta \hat { a } _ { e , \mathrm { 0 } } ^ { \dagger } ( - \omega ) , \delta \hat { a } _ { e , \mathrm { i n } } ( \omega ) , \delta \hat { a } _ { e , \mathrm { i n } } ^ { \dagger } ( - \omega ) , \delta \hat { a } _ { o , \mathrm { 0 } } ( - \omega ) , \delta \hat { a } _ { o , \mathrm { 0 } } ^ { \dagger } ( \omega ) , \delta \hat { a } _ { o , \mathrm { i n } } ( - \omega ) , \delta \hat { a } _ { o , \mathrm { i n } } ^ { \dagger } ( \omega ) , } \\ & { \; \; \; \; \; \; \delta \hat { a } _ { t , \mathrm { v a c } } ( \omega ) , \delta \hat { a } _ { t , \mathrm { v a c } } ^ { \dagger } ( - \omega ) , \delta \hat { a } _ { \mathrm { t m , v a c } } ( \omega ) , \delta \hat { a } _ { \mathrm { t m , v a c } } ^ { \dagger } ( - \omega ) ) ^ { \top } } \end{array}
Z = \int [ d U ] e ^ { S } = \int [ d U ] e ^ { S _ { 0 } } e ^ { S - S _ { 0 } } = Z ( J _ { \sigma } , J _ { \sigma ^ { \prime } } ) _ { 0 } \left\langle e ^ { S - S _ { 0 } } \right\rangle _ { 0 } ,
\int { \cal D } X ^ { \mu } ( \sigma ) \exp \left\{ - \frac { 1 } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } \int \mathrm { d } ^ { 2 } \! \sigma \, \eta ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } X ^ { \mu } \partial _ { \beta } X _ { \mu } \right\} \, ,
P _ { 1 } { \frac { d \Phi ^ { 1 } } { d r } } = - 2 \ell \left( r \right) ^ { \Lambda \Sigma } \mathrm { I m } { \cal N } _ { \Lambda \Sigma , \Gamma \Delta } f _ { ~ ~ X Y } ^ { \Gamma \Delta } \, { \frac { e ^ { U } } { r ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \lambda _ { i , j } } & { = { \theta _ { q } } ^ { - 1 } ( - x _ { 1 } / x _ { 2 } , x _ { 1 } x _ { 2 } \sigma _ { j } / \rho _ { i } ) { \theta _ { q } } ( - x _ { 3 } / x _ { 2 } , x _ { 2 } x _ { 3 } \sigma _ { j } / \rho _ { i } ) , } \\ { \mu _ { i , j } } & { = { \theta _ { q } } ^ { - 1 } ( - x _ { 2 } / x _ { 1 } , x _ { 1 } x _ { 2 } \sigma _ { j } / \rho _ { i } ) { \theta _ { q } } ( - x _ { 3 } / x _ { 1 } , x _ { 1 } x _ { 3 } \sigma _ { j } / \rho _ { i } ) , } \\ { \lambda _ { i , j } ^ { \prime } } & { = { \theta _ { q } } ^ { - 1 } ( - x _ { 1 } / x _ { 2 } , x _ { 1 } x _ { 2 } \sigma _ { j } / \rho _ { i } ) { \theta _ { q } } ( - x _ { 4 } / x _ { 2 } , x _ { 2 } x _ { 4 } \sigma _ { j } / \rho _ { i } ) , } \\ { \mu _ { i , j } ^ { \prime } } & { = { \theta _ { q } } ^ { - 1 } ( - x _ { 2 } / x _ { 1 } , x _ { 1 } x _ { 2 } \sigma _ { j } / \rho _ { i } ) { \theta _ { q } } ( - x _ { 4 } / x _ { 1 } , x _ { 1 } x _ { 4 } \sigma _ { j } / \rho _ { i } ) . } \end{array}