harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { E [ e ^ { - t / 2 } X _ { 0 } | X _ { t } = X ] } \\ { = } & { E [ e ^ { - t / 2 } ( \hat { X } _ { 0 } + N _ { 1 } ) | e ^ { - t / 2 } ( \hat { X } _ { 0 } + N _ { 1 } ) + N _ { 2 } = X ] } \\ { = } & { E [ e ^ { - t / 2 } \hat { X } _ { 0 } | e ^ { - t / 2 } ( \hat { X } _ { 0 } + N _ { 1 } ) + N _ { 2 } = X ] + E [ E [ e ^ { - t / 2 } N _ { 1 } | e ^ { - t / 2 } N _ { 1 } + N _ { 2 } = X - e ^ { - t / 2 } \hat { X } _ { 0 } , \hat { X } _ { 0 } ] ] } \\ { = } & { E [ e ^ { - t / 2 } \hat { X } _ { 0 } | e ^ { - t / 2 } ( \hat { X } _ { 0 } + N _ { 1 } ) + N _ { 2 } = X ] + E [ \frac { \sigma ^ { 2 } e ^ { - t } ( X - e ^ { - t / 2 } \hat { X } _ { 0 } ) } { \sigma ^ { 2 } e ^ { - t } + 1 - e ^ { - t } } | e ^ { - t / 2 } ( \hat { X } _ { 0 } + N _ { 1 } ) + N _ { 2 } = X ] } \\ { = } & { E [ \frac { \sigma ^ { 2 } e ^ { - t } X + ( 1 - e ^ { - t } ) e ^ { - t / 2 } \hat { X } _ { 0 } ) } { \sigma ^ { 2 } e ^ { - t } + 1 - e ^ { - t } } | e ^ { - t / 2 } ( \hat { X } _ { 0 } + N _ { 1 } ) + N _ { 2 } = X ] . } \end{array}
\gamma ( T ) = \operatorname* { s u p } _ { k , \ell \geq 1 } \operatorname* { s u p } _ { \substack { t _ { 1 } , \ldots , t _ { k } > 0 \, \tau _ { 1 } , \ldots , \tau _ { \ell } > 0 \, \sum _ { i = 1 } ^ { k } t _ { i } + \sum _ { j = 1 } ^ { \ell } \tau _ { j } = T } } \operatorname* { m a x } _ { \substack { 0 \leq i _ { 1 } , \ldots , i _ { k } \leq N _ { 1 } \, 0 \leq j _ { 1 } , \ldots , j _ { \ell } \leq N _ { 2 } } } \log \left\| e ^ { t _ { k } A _ { i _ { k } } } \cdots e ^ { t _ { 1 } A _ { i _ { 1 } } } e ^ { \tau _ { \ell } B _ { j _ { \ell } } } \cdots e ^ { \tau _ { 1 } B _ { j _ { 1 } } } \right\|
\begin{array} { r l } { a _ { n } ^ { ( \alpha , \beta ) } } & { = \frac { 2 } { 2 n + \alpha + \beta + 2 } \sqrt { \frac { ( n + 1 ) ( n + \alpha + 1 ) ( n + \beta + 1 ) ( n + \alpha + \beta + 1 ) } { ( 2 n + \alpha + \beta + 1 ) ( 2 n + \alpha + \beta + 3 ) } } , \quad n \in \mathbb { N } , } \\ { \ a _ { 0 } ^ { ( \alpha , \beta ) } } & { = \frac { 2 } { \alpha + \beta + 2 } \sqrt { \frac { ( \alpha + 1 ) ( \beta + 1 ) } { \alpha + \beta + 3 } } , } \\ { b _ { n } ^ { ( \alpha , \beta ) } } & { = \frac { \beta ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } } { ( 2 n + \alpha + \beta ) ( 2 n + \alpha + \beta + 2 ) } - 1 , \quad n \in \mathbb { N } , \ } \\ { \mathrm { a n d } } \\ { b _ { 0 } ^ { ( \alpha , \beta ) } } & { = { - \frac { 2 \alpha + 2 } { \alpha + \beta + 2 } . } } \end{array}
\widehat { \mathscr { D } } ( { \mathbf { z } } ) : = \Upsilon ( { \mathbf { z } } ) \Upsilon ^ { \dagger } ( { \mathbf { z } } ) + \partial _ { p } ( p \Upsilon ( { \mathbf { z } } ) \Upsilon ^ { \dagger } ( { \mathbf { z } } ) ) + \mathrm { i } \hbar \{ \Upsilon ( { \mathbf { z } } ) , \Upsilon ^ { \dagger } ( { \mathbf { z } } ) \}
\left| \psi \right\rangle = { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \left( \left| 0 0 \right\rangle + \left| 0 1 \right\rangle + \left| 1 0 \right\rangle \right) = { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \left( { \sqrt { 2 } } \left| + 0 \right\rangle + { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( \left| + 1 \right\rangle + \left| - 1 \right\rangle \right) \right) = { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \left( { \sqrt { 2 } } \left| 0 + \right\rangle + { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( \left| 1 + \right\rangle + \left| 1 - \right\rangle \right) \right)
\begin{array} { r l } { \mathrm { H } ( \nu ^ { \mathrm { X } } ( t ) ) } & { { } : = \left( q ^ { 1 ; \mathrm { X } } ( t ) , \dots , q ^ { N ^ { \mathrm { X } } ( t ) ; \mathrm { X } } ( t ) , 0 , \dots \right) \, , } \\ { \mathrm { H } ( \nu ^ { \mathrm { Y } } ( t ) ) } & { { } : = \left( q ^ { 1 ; \mathrm { Y } } ( t ) , \dots , q ^ { N ^ { \mathrm { Y } } ( t ) ; \mathrm { Y } } ( t ) , 0 , \dots \right) \, . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } w ( z ) = z , \qquad \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } c ( k , x ) = 1 , \qquad \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } g ( z ) = \frac { z ^ { 2 } - 1 } { z ( z ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) } , \qquad \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } \eta ( z ) = \frac { z ( z ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( z ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 } } .
d s ^ { 2 } = - e ^ { 2 V } d t ^ { 2 } + e ^ { 2 W } \left( d r ^ { 2 } + f ^ { 2 } r ^ { 2 } \left( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta d \phi ^ { 2 } + \cos ^ { 2 } \theta d \psi ^ { 2 } \right) \right)
\begin{array} { r } { c _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( \rho , x ) = \cos ( \rho x ) + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } g _ { n } ( x ) j _ { 2 n } ( \rho x ) , } \\ { s _ { \mathfrak { I } _ { N } } ( \rho , x ) = \frac { \sin ( \rho x ) } { \rho } + \frac { 1 } { \rho } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } s _ { n } ( x ) j _ { 2 n + 1 } ( \rho x ) , } \end{array}
\mathcal { K } : = \bigcup _ { m = 1 } ^ { \infty } \Bigl [ \frac 1 2 \varepsilon _ { m } ^ { \frac { 2 \beta } { q + 1 } } , 2 \varepsilon _ { m } ^ { \frac { 2 \beta } { q + 1 } } \Bigr ] \, .
{ \cal D } _ { -- } \psi _ { + + \dot { q } } ^ { ~ ~ ~ - } = { \cal D } _ { + + } \psi _ { -- \dot { q } } ^ { ~ ~ ~ - } + 4 i \psi _ { + + \dot { p } } ^ { ~ ~ ~ - } \psi _ { -- \dot { p } } ^ { ~ ~ ~ - } \psi _ { -- \dot { q } } ^ { ~ ~ ~ - }
\theta = \delta ^ { - 1 } \left( \frac { z _ { c } \beta _ { 2 } } { 2 } \left( \frac { \zeta } { \epsilon } \right) ^ { 2 } - \sqrt { 2 z _ { c } \beta _ { 2 } c - 2 z _ { c } C _ { 0 } \delta } \left( \frac { \zeta } { \epsilon } \right) + c \right) .
\begin{array} { r l } { D \Phi [ \kappa ( \mathbf { x } ) ] } & { { } = - \frac { 1 } { f _ { 0 } } \int _ { \Omega } d \, \mathrm { g r a d } [ \lambda ( \mathbf { x } ) ] \bullet \mathrm { g r a d } [ \vartheta ( \mathbf { x } ; \kappa ( \mathbf { x } ) ) ] \, \mathrm { d } \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } _ { u } ^ { * } \Phi _ { n } ^ { p _ { 2 } } } & { = R \bar { \rho } \bar { \theta } \xi _ { n } ^ { p _ { 2 } } ( 2 \pi ) + \lambda _ { 0 } \bar { \rho } ^ { 2 } ( \eta _ { n } ^ { p _ { 2 } } ) _ { x } ( 2 \pi ) + \bar { \rho } ^ { 2 } \bar { u } \eta _ { n } ^ { p _ { 2 } } ( 2 \pi ) + R \bar { \rho } ^ { 2 } \zeta _ { n } ^ { p _ { 2 } } ( 2 \pi ) } \\ & { = R \bar { \rho } \bar { \theta } \gamma _ { 1 } ^ { n } + \lambda _ { 0 } \bar { \rho } ^ { 2 } i n \gamma _ { 2 } ^ { n } + \bar { \rho } ^ { 2 } \bar { u } \gamma _ { 2 } ^ { n } + R \bar { \rho } ^ { 2 } \gamma _ { 3 } ^ { n } } \\ & { = \bar { \rho } ^ { 2 } \nu _ { 2 } ^ { n } \gamma _ { 2 } ^ { n } \neq 0 , } \end{array}
\eta = \frac { \mathrm { ~ s ~ t ~ r ~ e ~ n ~ g ~ t ~ h ~ o ~ f ~ o ~ p ~ t ~ i ~ c ~ a ~ l ~ r ~ e ~ s ~ p ~ o ~ n ~ s ~ e ~ d ~ u ~ e ~ t ~ o ~ h ~ e ~ a ~ t ~ a ~ t ~ 1 ~ . ~ 8 ~ e ~ V ~ } } { \mathrm { ~ s ~ t ~ r ~ e ~ n ~ g ~ t ~ h ~ o ~ f ~ o ~ p ~ t ~ i ~ c ~ a ~ l ~ r ~ e ~ s ~ p ~ o ~ n ~ s ~ e ~ d ~ u ~ e ~ t ~ o ~ h ~ e ~ a ~ t ~ a ~ t ~ 2 ~ . ~ 4 ~ e ~ V ~ } }
{ \boldsymbol { \Lambda } } _ { n } = ( \mathbf { X } ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { X } + \mathbf { \Lambda } _ { 0 } ) , \quad { \boldsymbol { \mu } } _ { n } = ( { \boldsymbol { \Lambda } } _ { n } ) ^ { - 1 } ( \mathbf { X } ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { X } { \hat { \boldsymbol { \beta } } } + { \boldsymbol { \Lambda } } _ { 0 } { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } ) ,
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { x } , t ) = ~ } & { { } \Phi _ { 0 } ^ { ( 2 2 ) } ( \mathbf { x } , t ) + \Phi _ { 0 } ^ { ( 2 0 ) } ( \mathbf { x } , t ) , } \\ { \Phi _ { 0 } ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { x } , t ) = ~ } & { { } \Phi _ { 0 } ^ { ( 3 1 ) } ( \mathbf { x } , t ) + \Phi _ { 0 } ^ { ( 3 3 ) } ( \mathbf { x } , t ) , } \\ { \Phi _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ( \mathbf { x } , t ) = ~ } & { { } \Phi _ { 0 } ^ { ( 4 0 ) } ( \mathbf { x } , t ) + \Phi _ { 0 } ^ { ( 4 2 ) } ( \mathbf { x } , t ) + \Phi _ { 0 } ^ { ( 4 4 ) } ( \mathbf { x } , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \sin ^ { 2 } \theta < \sin ^ { 2 } \theta _ { 0 } } \frac { 1 } { | v ^ { \prime } | } G ( v - v ^ { \prime } ) d v ^ { \prime } } & { \lesssim k _ { G } \left( \int _ { \sin ^ { 2 } \theta < \sin ^ { 2 } \theta _ { 0 } } \frac { 1 } { | v ^ { \prime } | ^ { 2 } \langle v - v ^ { \prime } \rangle ^ { 4 } } d v ^ { \prime } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \lesssim k _ { G } \left( \int _ { \sin ^ { 2 } \theta < \sin ^ { 2 } \theta _ { 0 } } \frac { 1 } { | v ^ { \prime } | ^ { 2 } ( 1 + | v | ^ { 2 } + 2 \langle v , v ^ { \prime } \rangle + | v ^ { \prime } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } d v ^ { \prime } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { K r o n } _ { 4 } } & { { } = \mathbf { 1 } _ { 4 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 4 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \, \rho _ { \alpha \alpha } } \end{array}
A = \left[ \begin{array} { l l l } { ( \boldsymbol { \xi } \cdot \boldsymbol { n } ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { ( j ) } ) ) f _ { 1 } ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { ( j ) } ) } & { \dots } & { ( \boldsymbol { \xi } \cdot \boldsymbol { n } ( \mathbf { x } _ { M } ^ { ( j ) } ) ) f _ { 1 } ( \mathbf { x } _ { M } ^ { ( j ) } ) } \\ { \vdots } & & { \vdots } \\ { ( \boldsymbol { \xi } \cdot \boldsymbol { n } ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { ( j ) } ) ) f _ { L } ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { ( j ) } ) } & { \dots } & { ( \boldsymbol { \xi } \cdot \boldsymbol { n } ( \mathbf { x } _ { M } ^ { ( j ) } ) ) f _ { L } ( \mathbf { x } _ { M } ^ { ( j ) } ) } \end{array} \right] , \quad \mathbf { b } = \left[ \begin{array} { l } { I ^ { ( \Gamma _ { j } ) } [ f _ { 1 } ] } \\ { \vdots } \\ { I ^ { ( \Gamma _ { j } ) } [ f _ { L } ] } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { g ( x ) = } & { { } 1 - ( ( \lambda x + x ^ { 2 } ) g _ { \lambda } ( x ) + x ^ { 3 } g ^ { \prime } ( x ) ) } \\ { x ^ { 3 } g ^ { \prime } ( x ) = } & { { } - ( 1 + \lambda x + x ^ { 2 } ) g ( x ) + 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { g ( { \boldsymbol W } ^ { ( t ) } , { \boldsymbol U } ^ { ( t ) } ; { \boldsymbol v } ) } \\ { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \operatorname* { m a x } _ { n \in \mathcal { N } ( v ) } ~ \phi \big ( \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol x } _ { n } ~ \rangle \big ) - \sum _ { k = 1 } ^ { K } \operatorname* { m a x } _ { n \in \mathcal { N } ( v ) } ~ \phi \big ( \langle ~ { \boldsymbol u } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol x } _ { n } ~ \rangle \big ) } \\ { = } & { \sum _ { k \in \mathcal { U } ( t ) } \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle + \sum _ { k \in [ K ] / \mathcal { U } ( t ) } \operatorname* { m a x } _ { n \in \mathcal { N } ( v ) } ~ \phi \big ( \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol x } _ { n } ~ \rangle \big ) - \sum _ { k = 1 } ^ { K } \operatorname* { m a x } _ { n \in \mathcal { N } ( v ) } ~ \phi \big ( \langle ~ { \boldsymbol u } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol x } _ { n } ~ \rangle \big ) } \\ { \ge } & { \sum _ { k \in \mathcal { U } ( t ) } \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle - \sum _ { k = 1 } ^ { K } \operatorname* { m a x } _ { n \in \mathcal { N } ( v ) } ~ \phi \big ( \langle ~ { \boldsymbol u } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol x } _ { n } ~ \rangle \big ) , } \end{array}
\frac { \ddot { a } } { a } - \frac { k p } { 4 } \, \Bigl ( \frac { F _ { 1 0 } } { a } \Bigr ) ^ { p + 1 } = 8 \pi \, G \, \Bigl ( \frac { F _ { 0 1 } } { a } \Bigr ) ^ { 2 }
\mathrm { R e } = \frac { L U } { v _ { h } } , \quad \mathrm { M a } = \frac { \rho _ { h } ( c _ { p } ) _ { h } L U } { \lambda _ { h } } , \quad \mathrm { C a } = \frac { U \mu _ { h } } { \sigma _ { { r e f } } } ,
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { p a i r } } ^ { \mathrm { M Z I } } = \, } & { \frac { 1 6 v _ { g } ^ { 4 } \gamma _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } P _ { P } ^ { 2 } \omega _ { S } \omega _ { I } } { \omega _ { P } ^ { 4 } \left( \omega _ { S } Q _ { I } + \omega _ { I } Q _ { S } \right) } } \\ & { \times \frac { Q _ { P } ^ { 4 } Q _ { S } ^ { 2 } Q _ { I } ^ { 2 } } { Q _ { C , P } ^ { 2 } Q _ { C , S } Q _ { C , I } } \left( \frac { L _ { \mathrm { M Z I } } } { L _ { 1 } L _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \ . } \end{array}
m _ { s } n _ { s } \left[ \frac { \partial \vec { v } _ { s } } { \partial t } + \left( \vec { v } _ { s } \cdot \vec { \nabla } \right) \vec { v } _ { s } \right] = q _ { s } n _ { s } \left( \vec { E } + \vec { v } _ { s } \times \vec { B } \right) - \vec { \nabla } p _ { s } .
d s _ { P } ^ { 2 } = - \sinh ^ { 2 } \rho \left( - r _ { + } d \tau + r _ { - } d \phi \right) ^ { 2 } + l ^ { 2 } d \rho ^ { 2 } + \cosh ^ { 2 } \rho \left( - r _ { - } d \tau + r _ { + } d \phi \right) ^ { 2 }
p _ { 1 } ( G _ { i } , \theta ) = \frac { e ^ { - \theta \cdot C ( G _ { i } ) } } { Z _ { 1 } ( \theta ) } , \quad Z _ { 1 } ( \theta ) = \sum _ { j = 1 } ^ { \Omega } e ^ { - \theta \cdot C ( G _ { j } ) } ,
\begin{array} { r l } { a } & { = \mu _ { 2 } / \mu _ { 1 } , } \\ { q ( \lambda ) } & { = \frac { ( \lambda - N \varepsilon _ { 1 } ) ( N - 1 ) } { \mu _ { 1 } } , } \\ { \alpha } & { = - N , } \\ { \beta } & { = \frac { ( N - 1 ) \varepsilon _ { 1 } } { \mu _ { 1 } } , } \\ { \gamma } & { = - ( N - 1 ) \left( 1 + \frac { \varepsilon _ { 2 } } { \mu _ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { R i e m } ( g + \varepsilon h ) _ { a b c } ^ { d } } \\ & { \quad = \partial _ { a } \Gamma ( g + \varepsilon h ) _ { b c } ^ { d } - \partial _ { b } \Gamma ( g + \varepsilon h ) _ { a c } ^ { d } + \Gamma ( g + \varepsilon h ) _ { b c } ^ { e } \Gamma ( g + \varepsilon h ) _ { a e } ^ { d } - \Gamma ( g + \varepsilon h ) _ { a c } ^ { e } \Gamma ( g + \varepsilon h ) _ { b e } ^ { d } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - T } ^ { 0 } e ^ { \lambda \int _ { t } ^ { 0 } \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ( s ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ( s ) , 0 ) \, \mathrm { d } s } \, \mathrm { d } t = } & { \int _ { - T _ { 0 } } ^ { 0 } e ^ { \lambda \int _ { t } ^ { 0 } \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ( s ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ( s ) , 0 ) \, \mathrm { d } s } \, \mathrm { d } t + \int _ { - T } ^ { - T _ { 0 } } e ^ { \lambda \int _ { t } ^ { 0 } \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ( s ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ( s ) , 0 ) \, \mathrm { d } s } \, \mathrm { d } t } \\ { \leq } & { \int _ { - T _ { 0 } } ^ { 0 } e ^ { 0 } \, \mathrm { d } t + \int _ { - T } ^ { - T _ { 0 } } e ^ { \lambda \epsilon t } \, \mathrm { d } t } \\ { = } & { T _ { 0 } + \frac { e ^ { - \lambda \epsilon T _ { 0 } } - e ^ { - \lambda \epsilon T } } { \lambda \epsilon } \leq T _ { 0 } + \frac { 1 } { \lambda \epsilon } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { \mathrm { ~ A ~ } } ^ { \mathrm { P E } } = } & { { } \frac { \delta E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { P E } } [ \rho _ { \mathrm { A } } , \rho _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ v ~ } } ^ { ( 0 ) } ] } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } } - \frac { \delta E _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { P E } } [ \rho _ { \mathrm { A } } ] } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } } = { v } ^ { \mathrm { m u l t } } + { v } ^ { \mathrm { p o l } } , } \end{array}
V = \left\{ ( x , y , z ) \in \mathbb { R } ^ { 3 } \; \mid \; z _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \le z \le Z \left( X ^ { - 1 } ( x ) , Y ^ { - 1 } ( y ) \right) , \vert x \vert \le r _ { x } , \vert y \vert \le r _ { y } \right\} .
\ln k _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ H ~ e ~ H ~ e ~ } ^ { + } } = \frac { \ln k _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ H ~ e ~ } } E _ { \mathrm { ~ D ~ 1 ~ } } ^ { \mathrm { ~ H ~ e ~ } } + \ln k _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ H ~ e ~ } ^ { + } } E _ { \mathrm { ~ D ~ 1 ~ } } ^ { \mathrm { ~ H ~ e ~ } ^ { + } } } { E _ { \mathrm { ~ D ~ 1 ~ } } ^ { \mathrm { ~ H ~ e ~ } } + E _ { \mathrm { ~ D ~ 1 ~ } } ^ { \mathrm { ~ H ~ e ~ } ^ { + } } } \ ,
\left\{ \begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \rho + \nabla \cdot \left[ \left( \mathcal { P } ( \rho ) + s ( t , x , \rho ) u \right) \rho \right] - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta \rho = 0 , } \\ & { \rho ( 0 , x ) = \rho _ { 0 } ( x ) , } \\ & { \left( \left( \mathcal { P } ( \rho ) + s ( t , x , \rho ) u \right) \rho - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \nabla \rho \right) \cdot \vec { n } = \left\{ \begin{array} { r l r } & { \beta \rho } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { \mathrm { F } } , } \\ & { 0 } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { \mathrm { Z } } , } \end{array} \right. } \end{array} \right.
\mathbf { N } ( t ) = { \frac { \mathbf { T } ^ { \prime } ( t ) } { \| \mathbf { T } ^ { \prime } ( t ) \| } } = { \frac { \mathbf { r } ^ { \prime } ( t ) \times \left( \mathbf { r } ^ { \prime \prime } ( t ) \times \mathbf { r } ^ { \prime } ( t ) \right) } { \left\| \mathbf { r } ^ { \prime } ( t ) \right\| \, \left\| \mathbf { r } ^ { \prime \prime } ( t ) \times \mathbf { r } ^ { \prime } ( t ) \right\| } }
\begin{array} { r l } { ( v p _ { 1 } \chi ) ^ { 2 } - ( a _ { 1 } \sin \psi ) ^ { 2 } = } & { { } ( 1 - v ^ { 2 } p _ { 1 } ^ { 2 } ) \xi _ { 1 } - v ^ { 2 } p _ { 1 } ^ { 2 } \xi _ { 2 } \, , } \\ { ( v p _ { 2 } \chi ) ^ { 2 } - ( a _ { 2 } \sin \psi ) ^ { 2 } = } & { { } ( 1 - v ^ { 2 } p _ { 2 } ^ { 2 } ) \xi _ { 2 } - v ^ { 2 } p _ { 2 } ^ { 2 } \xi _ { 1 } \, . } \end{array}
\frac { \textbf { B } ^ { * } } { B _ { \parallel } ^ { * } } = \frac { \textbf { B } ^ { * } } { B + \frac { m } { e } c { v } _ { g y , \parallel } ( \hat { b } \boldsymbol { \cdot } \nabla \times \hat { b } ) - \frac { m c ^ { 2 } } { e ^ { 2 } } \mu _ { g y } ( \hat { b } \boldsymbol { \cdot } \nabla ^ { * } R ^ { * } ) } \approx \hat { b } ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ( v ) } \, \, } & { } & { \tilde { R } _ { 2 } ^ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } \delta _ { 2 } ^ { 1 } \tilde { R } = 0 , } \\ & { } & { ( W - Z ) A + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) \frac { A \cos \theta } { r C \sin \theta } + \alpha _ { 3 } \left( 1 + R _ { 3 } \right) \frac { A \tan \theta } { r C } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { S } ( t ) = - \int _ { 0 } ^ { \ell } \mathrm { d } x \Bigg ( } & { { } \sum _ { k = R , L } \frac { J _ { k } ( x , t ) } { P _ { k } ( x , t ) } \frac { \partial P _ { k } ( x , t ) } { \partial x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { h } ^ { h + \Delta h } \frac { d p } { d y } d y } & { { } = \int _ { h } ^ { h + \Delta h } F _ { g , y } ( \rho ) d y \rightarrow } \\ { p ( h + \Delta h ) - p ( h ) } & { { } = F _ { g , y } ( \rho ( h ) ) \Delta h + O ( { \Delta h } ^ { 2 } ) , } \end{array}
{ \frac { 2 } { n ! } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { d r } \; r ^ { 2 n + 1 } \exp \left( - r ^ { 2 } \right) J _ { 0 } \left( k r \right) = M \left( n + 1 , 1 , - { \frac { k ^ { 2 } } { 4 } } \right) .
\mathbb { A } = { \left( \begin{array} { l l l } { A T M _ { v e g a } } & { R R _ { v e g a } } & { B F _ { v e g a } } \\ { A T M _ { v a n n a } } & { R R _ { v a n n a } } & { B F _ { v a n n a } } \\ { A T M _ { v o l g a } } & { R R _ { v o l g a } } & { B F _ { v o l g a } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l r } { { \mathbb { E } } ( \| U _ { i } \| ^ { 8 } ) } & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { p } { \mathbb { E } } ( U _ { i , j } ^ { 8 } ) + 4 \sum _ { 1 \leq j _ { 1 } \neq j _ { 2 } \leq p } { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 1 } } ^ { 6 } ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 2 } } ^ { 2 } ) } \\ & { } & { + 3 \sum _ { 1 \leq j _ { 1 } \neq j _ { 2 } \leq p } { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 1 } } ^ { 4 } ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 2 } } ^ { 4 } ) } \\ & { } & { + 6 \sum _ { 1 \leq j _ { 1 } \neq j _ { 2 } \neq j _ { 3 } \leq p } { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 1 } } ^ { 4 } ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 2 } } ^ { 2 } ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 3 } } ^ { 2 } ) } \\ & { } & { + \sum _ { 1 \leq j _ { 1 } \neq j _ { 2 } \neq j _ { 3 } \neq j _ { 4 } \leq p } { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 1 } } ^ { 2 } ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 2 } } ^ { 2 } ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 3 } } ^ { 2 } ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 4 } } ^ { 2 } ) } \\ & { = } & { p { \mathbb { E } } ( U _ { i , j } ^ { 8 } ) + 4 p ( p - 1 ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 1 } } ^ { 6 } ) + 3 p ( p - 1 ) \{ { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 1 } } ^ { 4 } ) \} ^ { 2 } } \\ & { } & { + 3 p ( p - 1 ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , j } ^ { 4 } ) + p ( p - 1 ) ( p - 2 ) ( p - 3 ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { z } = } & { \frac { 6 \mu L } { K _ { 3 } ^ { 0 } } \left[ \frac { \dot { \zeta } } { \xi ^ { 2 } } ( K _ { 2 } ^ { 1 } K _ { 3 } ^ { 0 } - K _ { 3 } ^ { 1 } K _ { 2 } ^ { 0 } ) + \frac { \dot { \xi } } { \xi ^ { 3 } } \left[ ( 2 K _ { 3 } ^ { 1 } K _ { 3 } ^ { 1 } - 2 K _ { 3 } ^ { 0 } K _ { 3 } ^ { 2 } ) + \eta ( K _ { 3 } ^ { 1 } K _ { 3 } ^ { 2 } - K _ { 3 } ^ { 3 } K _ { 3 } ^ { 0 } ) \right] \right. } \\ & { + \left. \frac { \dot { \eta } } { \xi ^ { 2 } } ( K _ { 3 } ^ { 1 } K _ { 3 } ^ { 2 } - K _ { 3 } ^ { 0 } K _ { 3 } ^ { 3 } ) \right] \, , } \\ { F _ { x } + \theta F _ { z } = } & { \frac { 6 \mu L } { K _ { 3 } ^ { 0 } } \left[ \frac { \dot { \zeta } } { \xi } ( \frac { 1 } { 3 } K _ { 1 } ^ { 0 } K _ { 3 } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } K _ { 2 } ^ { 0 } K _ { 2 } ^ { 0 } ) + \frac { \dot { \xi } } { \xi ^ { 2 } } \left[ ( K _ { 2 } ^ { 0 } K _ { 3 } ^ { 1 } - K _ { 2 } ^ { 1 } K _ { 3 } ^ { 0 } ) + \eta ( \frac { 1 } { 2 } K _ { 2 } ^ { 0 } K _ { 3 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } K _ { 2 } ^ { 2 } K _ { 3 } ^ { 0 } ) \right] \right. } \\ & { + \left. \frac { \dot { \eta } } { \xi } ( \frac { 1 } { 2 } K _ { 2 } ^ { 0 } K _ { 3 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } K _ { 2 } ^ { 2 } K _ { 3 } ^ { 0 } ) \right] \, , } \\ { G = } & { \frac { 6 \mu L ^ { 2 } } { K _ { 3 } ^ { 0 } } \left[ \frac { \dot { \zeta } } { \xi ^ { 2 } } ( \frac { 1 } { 2 } K _ { 2 } ^ { 2 } K _ { 3 } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } K _ { 3 } ^ { 2 } K _ { 2 } ^ { 0 } ) + \frac { \dot { \xi } } { \xi ^ { 3 } } \left[ ( K _ { 3 } ^ { 2 } K _ { 3 } ^ { 1 } - K _ { 3 } ^ { 3 } K _ { 3 } ^ { 0 } ) + \eta ( \frac { 1 } { 2 } K _ { 3 } ^ { 2 } K _ { 3 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } K _ { 3 } ^ { 4 } K _ { 3 } ^ { 0 } ) \right] \right. } \\ & { + \left. \frac { \dot { \eta } } { \xi ^ { 2 } } ( \frac { 1 } { 2 } K _ { 3 } ^ { 2 } K _ { 3 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } K _ { 3 } ^ { 4 } K _ { 3 } ^ { 0 } ) \right] \, . } \end{array}
L _ { i _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { L _ { i _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } , \ \ \ i _ { 1 } = 1 , \cdots , 8 , } } \\ { { \frac { d } { d t } ( \Omega _ { \bar { 1 } } ^ { ( 1 ) } ) , } } \end{array} \right.
\hat { V } ^ { ( B = 0 ) } ( x , t ) = \mathrm { d i a g . } \, ( \overline { { { V } } } _ { 1 } , \cdots , \overline { { { V } } } _ { 4 } ) = \mathrm { d i a g . } \, ( \scriptstyle { { \sqrt { - { \frac { t _ { 3 } } { t _ { 1 } } } } { \frac { t - t _ { 1 } } { t - t _ { 3 } } } , \sqrt { - { \frac { t _ { 4 } } { t _ { 2 } } } } { \frac { t - t _ { 2 } } { t - t _ { 4 } } } , \sqrt { - { \ \frac { t _ { 1 } } { t _ { 3 } } } } { \frac { t - t _ { 3 } } { t - t _ { 1 } } } , \sqrt { - { \frac { t _ { 2 } } { t _ { 4 } } } } { \ \frac { t - t _ { 4 } } { t - t _ { 2 } } } } } )
\int _ { \Omega } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { n } A ^ { \alpha \beta } ( x , u ) D _ { \alpha } u ^ { i } D _ { \beta } \varphi ^ { i } \ \mathrm { d } x = \int _ { \Omega } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { n } \sum _ { h = 1 } ^ { N } - \frac { 1 } { 2 } A _ { u ^ { i } } ^ { \alpha \beta } ( x , u ) \frac { \partial u ^ { h } } { \partial x _ { \alpha } } \frac { \partial u ^ { h } } { \partial x _ { \beta } } \varphi ^ { i } \ \mathrm { d } x