harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { p } } & { = \phantom { - \rho } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } p \phantom { - \gamma p \bigg ( \frac { M ^ { \- 2 } } { \rho | v | } \mu _ { 1 1 } \partial _ { x x } p + \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } u \bigg ) } + M ^ { 2 } u ( \gamma - 1 ) \big ( M ^ { \- 2 } \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } p + \rho | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } u \big ) } \\ { \mathcal { R } _ { u } } & { = \phantom { - } \rho \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } u \phantom { - \gamma p \bigg ( \frac { M ^ { \- 2 } } { \rho | v | } \mu _ { 1 1 } \partial _ { x x } p + \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } u \bigg ) } \phantom { M ^ { 2 } ( \gamma - 1 ) u } + \big ( M ^ { \- 2 } \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } p + \rho | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } u \big ) } \\ { \mathcal { R } _ { v } } & { = \phantom { - \rho } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } v } \\ { \mathcal { R } _ { s } } & { = - a ^ { 2 } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \rho - \gamma p \bigg ( \frac { M ^ { \- 2 } } { \rho | v | } \mu _ { 1 1 } \partial _ { x x } p + \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } u \bigg ) + M ^ { 2 } u ( \gamma - 1 ) \big ( M ^ { \- 2 } \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } p + \rho | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } u \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } _ { 2 } ^ { * } \mu ( x , v ) = \frac { 1 } { 1 2 } \Big ( [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , \mathcal { L } _ { R } ^ { * } + \mathcal { L } _ { D } ^ { * } ] ] + [ \mathcal { L } _ { D } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { D } ^ { * } , \mathcal { L } _ { R } ^ { * } ] ] + [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { D } ^ { * } , \mathcal { L } _ { R } ^ { * } ] ] + [ \mathcal { L } _ { D } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , \mathcal { L } _ { R } ^ { * } ] ] } \\ & { \quad - \frac { 1 } { 2 } [ \mathcal { L } _ { D } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { D } ^ { * } , \mathcal { L } _ { B } ^ { * } ] ] - \frac { 1 } { 2 } [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , \mathcal { L } _ { B } ^ { * } ] ] - \frac { 1 } { 2 } [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , \mathcal { L } _ { D } ^ { * } ] ] \Big ) } \\ & { = \frac { \mu ( x , v ) } { 1 2 } \Bigg ( \frac { 3 } { 2 } \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) \Big ( \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle - \langle R ( x ) v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) R ( x ) v \rangle \Big ) + \frac { 1 } { 2 } \langle v , \nabla _ { x } ( \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle ) \rangle \Bigg ) . } \end{array}
\left\{ { \begin{array} { l } { r _ { 1 } + r _ { 2 } + r _ { 3 } + r _ { 4 } = 0 } \\ { r _ { 1 } + r _ { 2 } = { \sqrt { \alpha } } } \\ { r _ { 1 } + r _ { 3 } = { \sqrt { \beta } } } \\ { r _ { 1 } + r _ { 4 } = { \sqrt { \gamma } } { \mathrm { ; } } } \end{array} } \right.
\begin{array} { r l } { \overline { { \partial } } _ { B r } ^ { s t r i p } : \mathcal { M } _ { \Gamma ^ { s t } } \times \mathrm { M a p s } _ { \delta } ^ { k , p } ( \Sigma _ { i n } , \mathbb { C } ^ { n } , T _ { \gamma } ) \times \mathrm { M a p s } _ { \delta } ^ { k , p } ( \Sigma _ { 1 } , \mathbb { R } \times S ^ { 2 n - 1 } , \mathbb { R } \times \Lambda ) } \\ { \times \dots \mathrm { M a p s } _ { \delta } ^ { k , p } ( \Sigma _ { o u t } , \widehat M _ { o u t } , L _ { o u t } , K ) \to } & { \mathcal { E } _ { i n } \times \dots \mathcal { E } _ { o u t } . } \end{array}
{ \tilde { \cal V } } _ { { \cal Q } _ { \mathrm { R } } } ^ { ( 1 ) \dagger } \left( \begin{array} { c c } { { M _ { q } } } & { { \Delta _ { q Q } } } \\ { { { \bf 0 } } } & { { M _ { Q } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { { \tilde { M } } _ { q } ^ { ( 1 ) } } } & { { { \bf 0 } } } \\ { { { \tilde { \Delta } } _ { q Q } ^ { ( 1 ) \prime } } } & { { { \tilde { M } } _ { Q } ^ { ( 1 ) } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { l } { f _ { a } ^ { d } ( x + e _ { a } \Delta t , t + \Delta t ) - f _ { a } ^ { d } ( x , t ) } \\ { = - M ^ { - 1 } S [ m _ { a } ( x , t ) - m _ { a } ^ { e q } ( x , t ) ] + \frac { \Delta t } { 2 } \left[ g _ { a } ^ { d } ( x , t ) + g _ { a } ^ { d } ( x + e _ { a } \Delta t , t + \Delta t ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { d ( \rho , \mathcal { T } _ { - } ) \geq h ^ { \delta } \implies d ( x ) \leq ( C h ^ { 2 \beta } ) ^ { t } \ll h ^ { 2 t \varepsilon } \, , \, \forall x \in [ - \alpha _ { n } ^ { 1 / 2 } h ^ { \delta _ { 0 } } , \alpha _ { n } ^ { 1 / 2 } h ^ { \delta _ { 0 } } ] } \\ { d ( \rho , \mathcal { T } _ { - } ) \leq h ^ { \delta } \mathrm { ~ a n d ~ } d ( \rho , \mathcal { T } _ { + } ) \geq h ^ { \delta _ { 1 } } \implies d ( x ) \leq \left( C h ^ { 2 \varepsilon } \right) ^ { t } \, , \, \forall x \in [ - \alpha _ { n } ^ { 1 / 2 } h ^ { \delta _ { 0 } } , \alpha _ { n } ^ { 1 / 2 } h ^ { \delta _ { 0 } } ] } \end{array}
\eta ( X ) = - \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { p ( x _ { i } ) \log _ { b } ( p ( x _ { i } ) ) } { \log _ { b } ( n ) } } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { \log _ { b } ( p ( x _ { i } ) ^ { - p ( x _ { i } ) } ) } { \log _ { b } ( n ) } } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \log _ { n } ( p ( x _ { i } ) ^ { - p ( x _ { i } ) } ) = \log _ { n } ( \prod _ { i = 1 } ^ { n } p ( x _ { i } ) ^ { - p ( x _ { i } ) } )
\eta ^ { n } ( \mathbf { x } ) = \eta _ { ( 0 ) } ^ { n } ( \mathbf { x } ) + \varepsilon ^ { 2 } \eta _ { ( 2 ) } ^ { n } ( \mathbf { x } ) , \qquad \mathbf { v } ^ { n } ( \mathbf { x } ) = \mathbf { v } _ { ( 0 ) } ^ { n } ( \mathbf { x } ) + \varepsilon \mathbf { v } _ { ( 1 ) } ^ { n } ( \mathbf { x } ) .
{ \cal F } _ { i j } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { { \cal F } _ { 0 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - { \cal F } _ { 0 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { { \cal F } _ { 2 3 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - { \cal F } _ { 2 3 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\int _ { \Omega _ { 0 } } P _ { i J } w _ { i , J } ^ { h } d V - \int _ { \Omega _ { 0 } } { w _ { i } ^ { h } f _ { i } } d V - \int _ { \partial \Omega _ { h _ { i } } ^ { 0 } } w _ { i } ^ { h } T _ { i } d S + \lambda _ { i } \int _ { \Omega _ { f } } \left( w _ { i } ^ { + } - w _ { i } ^ { - } \right) ^ { h } d V + \eta _ { i } \int _ { \Omega _ { f } } \left( u _ { i } ^ { + } - u _ { i } ^ { - } \right) ^ { h } d V
- f ( \widehat { L } ) Q ( \widehat { L } ) + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } D ( \widehat { L } ) Q ( \widehat { L } ) = \lambda \left( 1 - \int _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ^ { \widehat { L } } P ^ { \mathrm { i n } } ( \widehat { L ^ { \prime } } ) d \widehat { L ^ { \prime } } \right) \ .
\begin{array} { r l } { \Phi _ { E _ { 2 } , 3 } ( \vec { R } , \vec { r } ) = \, } & { { } \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { B } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 0 } } - \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { A } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 0 } } } \\ { + \, } & { { } \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { C } } \Big ( \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 1 } } - \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 2 } } \Big ) . } \end{array}
{ \frac { \partial v } { \partial t } } + u { \frac { \partial v } { \partial x } } + v { \frac { \partial v } { \partial y } } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial p } { \partial y } } + \nu \left( { \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial y ^ { 2 } } } \right) + f _ { y } ( x , y , t )
Q ( z ) \triangleq \mathbb { E } _ { n } [ q ( z , n ) ] = \beta \int _ { h _ { m i n } } ^ { h _ { m a x } } \int _ { - L } ^ { L } \int _ { - L } ^ { L } q \left( \frac { \mathbf { x } } { h } \right) p ( h ) d x d y d h .
\begin{array} { r l } { H _ { l } ^ { - 1 } ( E _ { 2 } E _ { 1 } A _ { 2 } A _ { 1 } a _ { 0 } ) } & { \cong \omega + \Xi ( \zeta , \zeta , \omega ^ { * } + ( \omega + \omega ^ { * } ) \cdot \omega ) + \omega ^ { * } , } \\ { H _ { l } ^ { - 1 } ( G _ { 1 } F E _ { 2 } E _ { 1 } A _ { 2 } A _ { 1 } a _ { 0 } ) } & { \cong ( \omega + \omega ^ { * } ) \cdot \omega + \Xi ( \zeta , \zeta , \omega ^ { * } + ( \omega + \omega ^ { * } ) \cdot \omega ) + \omega ^ { * } , } \\ { H _ { l } ^ { - 1 } ( H _ { 1 } G _ { 1 } F E _ { 2 } E _ { 1 } A _ { 2 } A _ { 1 } a _ { 0 } ) } & { \cong \omega + \Xi ( \zeta , \zeta , \omega ^ { * } + ( \omega + \omega ^ { * } ) \cdot \omega ) + \omega ^ { * } . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { x ^ { 0 } \to \infty } \int \mathrm { d } ^ { 3 } x \langle \alpha | f ( x ) { \overleftrightarrow { \partial _ { 0 } } } \varphi ( x ) | \beta \rangle = { \sqrt { Z } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } x \langle \alpha | f ( x ) { \overleftrightarrow { \partial _ { 0 } } } \varphi _ { \mathrm { o u t } } ( x ) | \beta \rangle
\delta m _ { z } ^ { 2 } = e ^ { \frac { K ^ { \prime } } { M ^ { 2 } } } [ | W _ { z z } ^ { \prime } | ^ { 2 } + K _ { j } ^ { i - 1 } F _ { i z } F ^ { * j z } - { \frac { | W _ { z } ^ { \prime } | ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } ]
\frac { \phi _ { \mathbf { w } } ^ { \mathrm { H } } ( \mathbf { w } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) \phi _ { \mathbf { w } } ^ { \mathrm { H } } ( \mathbf { w } _ { 2 } ^ { \prime \prime } ) } { \phi _ { \mathbf { w } } ^ { \mathrm { H } } ( \mathbf { w } _ { 1 } ) \phi _ { \mathbf { w } } ^ { \mathrm { H } } ( \mathbf { w } _ { 2 } ) } \approx \left( \frac { w _ { 1 } ^ { \prime \prime } w _ { 2 } ^ { \prime \prime } } { w _ { 1 } w _ { 2 } } \right) ^ { - \gamma _ { w } } .
\int _ { t } ^ { t + M ^ { \prime } \delta t } \Omega ( \Gamma _ { s } ; 0 ) d s = \delta t \sum _ { j = 1 } ^ { M ^ { \prime } } \Omega ( \Gamma _ { t + j \delta t } ; 0 ) + \mathcal { O } \left( \delta t ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { G ( z ; N ) } { k _ { \mathrm { B } } T } } & { = \frac { 3 } { 2 } \ln \left( \frac { 2 \pi \beta N _ { \mathrm { K } } } { 3 } \right) } \\ & { + N _ { \mathrm { K } } \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { z } { b N } \right) ^ { 2 } - \ln \left( 1 - \left( \frac { z } { b N } \right) ^ { 2 } \right) \right] } \end{array}
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { t ^ { 2 } + n ^ { 2 } z ^ { 2 } / 4 } = \frac 1 2 \left[ \frac { 2 \pi } { z t } \, \frac { 1 } { \mathrm { t h } ( 2 \pi t / z ) } - \frac { 1 } { t ^ { 2 } } \right] ,
\left| \int _ { \mathbb R } \left( \widehat { h } h _ { x } ^ { 2 } + h ^ { 1 } \widehat { h } _ { x } \right) \widehat { h } \ d x \right| \leq C \left( \left\| \partial _ { x } h ^ { 1 } \right\| _ { L ^ { \infty } } + \left\| \partial _ { x } h ^ { 2 } \right\| _ { L ^ { \infty } } \right) \left\| \widehat { h } \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { 2 } E } { \partial \rho ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } E } { \partial R ^ { 2 } } - \left( \frac { \partial ^ { 2 } E } { \partial \rho \partial R } \right) ^ { 2 } > 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta _ { A + B } ^ { \pm } } & { = s _ { A + B } ^ { \pm } e ^ { i ( ( \boldsymbol { k } _ { A } + \boldsymbol { k } _ { B } ) \cdot \boldsymbol { r } + ( k _ { z A } + k _ { z B } ) v _ { \mathrm { A } } t ) } + \mathrm { c . c . } , } \\ { \zeta _ { A - B } ^ { \pm } } & { = s _ { A - B } ^ { \pm } e ^ { i ( ( \boldsymbol { k } _ { A } - \boldsymbol { k } _ { B } ) \cdot \boldsymbol { r } + ( k _ { z A } - k _ { z B } ) v _ { \mathrm { A } } t ) } + \mathrm { c . c . } } \end{array}
\begin{array} { r } { ( B ^ { k + 1 } ) ^ { - } \sin ( D ^ { k } \theta + \underline { { \alpha } } _ { k + 1 } ) + ( B ^ { k + 1 } ) ^ { + } \sin ( D ^ { k } \theta - \overline { { \alpha } } _ { k - 1 } ) \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { k _ { 1 } } & { = f ( y _ { t } , \ t ) } \\ { k _ { 2 } } & { = f \left( y _ { t + h / 2 } ^ { 1 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) = f \left( y _ { t } + { \frac { h } { 2 } } k _ { 1 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) } \\ { k _ { 3 } } & { = f \left( y _ { t + h / 2 } ^ { 2 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) = f \left( y _ { t } + { \frac { h } { 2 } } k _ { 2 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) } \\ { k _ { 4 } } & { = f \left( y _ { t + h } ^ { 3 } , \ t + h \right) = f \left( y _ { t } + h k _ { 3 } , \ t + h \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { f ^ { a b c } } & { { } = - { \frac { 1 } { 4 } } i \operatorname { t r } ( \lambda _ { a } [ \lambda _ { b } , \lambda _ { c } ] ) , } \\ { d ^ { a b c } } & { { } = { \frac { 1 } { 4 } } \operatorname { t r } ( \lambda _ { a } \{ \lambda _ { b } , \lambda _ { c } \} ) . } \end{array}
Y _ { \mathrm { e q } } ( \omega , \mathbf { k } ) = \frac { Y _ { \mathrm { e q } } ^ { \prime } ( \omega ^ { \prime } , \mathbf { k } ^ { \prime } ) } { \gamma ( 1 - \frac { v } { c } \sin \theta ) } , \quad \textrm { T M p o l . }
\frac { F _ { \mathrm { K , R } } } { F _ { H } } \sim \left( \frac { \alpha g \ell } { c _ { P } } \right) \left( \frac { U _ { \mathrm { R } } } { 2 \Omega \ell } \right) ^ { 1 / 2 } \sim \mathrm { R o } ^ { 1 / 2 } \frac { F _ { \mathrm { K , N R } } } { F _ { H } } \, ,
H _ { N + 1 } ^ { \mathrm { B P } } = \sum _ { i = 1 } \sp { N + 1 } \left\{ - \nabla _ { i } \sp 2 - \frac { 2 Z } { r _ { i } } \right\} + \sum _ { j > i } \sp { N + 1 } \frac { 2 } { r _ { i j } } + H _ { N + 1 } ^ { \mathrm { m a s s } } + H _ { N + 1 } ^ { \mathrm { D a r } } + H _ { N + 1 } ^ { \mathrm { s o } } .
\begin{array} { r l } { h ( \mathbf { r } , \phi ) : } & { \textbf { I n p u t } ( \mathbf { r } ) \to \textbf { L i n e a r } ( 3 , 1 0 0 ) \to \textbf { R e L U } } \\ & { \to \textbf { L i n e a r } ( 1 0 0 , 1 0 0 ) \to \textbf { R e L U } } \\ & { \to \textbf { L i n e a r } ( 1 0 0 , 1 0 0 ) \to \textbf { R e L U } } \\ & { \to \textbf { L i n e a r } ( 1 0 0 , 1 0 0 ) \to \textbf { R e L U } } \\ & { \to \textbf { L i n e a r } ( 1 0 0 , 3 ) \to \textbf { S o f t m a x } } \\ & { \to \textbf { S q r t } \to \textbf { O u t p u t } ( \mathbf { x } _ { \mathbf { r } } ) . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } & { a _ { 1 3 } } \\ { 0 } & { a _ { 2 2 } } & { a _ { 2 3 } } \\ { 0 } & { 0 } & { a _ { 3 3 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { f ( X _ { t } ) } & { { } = f ( X _ { 0 } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \int _ { 0 } ^ { t } f _ { i } ( X _ { s - } ) \, d X _ { s } ^ { i } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } \int _ { 0 } ^ { t } f _ { i , j } ( X _ { s - } ) \, d [ X ^ { i } , X ^ { j } ] _ { s } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { { \boldsymbol { S } } ( t ) { \boldsymbol { C } } } ( x ) } & { = p _ { s ^ { t } { \boldsymbol { C } } } ( x ) } \\ & { = s ^ { 4 t } \operatorname* { d e t } ( { \boldsymbol { C } } - s ^ { - t } x { \boldsymbol { I } } ) } \\ & { = s ^ { 4 t } \operatorname* { d e t } ( { \boldsymbol { J } } - ( s ^ { - t } x + 1 ) { \boldsymbol { I } } ) } \\ & { = s ^ { 4 t } p _ { \boldsymbol { J } } ( s ^ { - t } x + 1 ) } \\ & { = s ^ { 4 t } ( s ^ { - t } x - 3 ) ( s ^ { - t } x + 1 ) ^ { 3 } , } \end{array}
p ( x ) = p _ { X | \tilde { X } , \tilde { Y } \in [ 0 , 1 ) } ( x ) = \frac { \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { ( x - u ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \left[ Q \left( \frac { - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { 1 - u } { \sigma } \right) \right] \, d u } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \left[ Q \left( \frac { - t } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { 1 - t } { \sigma } \right) \right] ^ { 2 } \, d t } ,
R _ { N } ( x ) \propto \int _ { x } ^ { \infty } t ^ { - 2 N } e ^ { - t ^ { 2 } } \, \mathrm { d } t = e ^ { - x ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } ( t + x ) ^ { - 2 N } e ^ { - t ^ { 2 } - 2 t x } \, \mathrm { d } t \leq e ^ { - x ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { - 2 N } e ^ { - 2 t x } \, \mathrm { d } t \propto x ^ { - ( 1 + 2 N ) } e ^ { - x ^ { 2 } } .
{ \begin{array} { r l } { \left( { \frac { 1 0 0 1 } { 9 9 0 7 } } \right) } & { = \left( { \frac { 9 9 0 7 } { 1 0 0 1 } } \right) = \left( { \frac { 8 9 8 } { 1 0 0 1 } } \right) = \left( { \frac { 2 } { 1 0 0 1 } } \right) \left( { \frac { 4 4 9 } { 1 0 0 1 } } \right) = \left( { \frac { 4 4 9 } { 1 0 0 1 } } \right) } \\ & { = \left( { \frac { 1 0 0 1 } { 4 4 9 } } \right) = \left( { \frac { 1 0 3 } { 4 4 9 } } \right) = \left( { \frac { 4 4 9 } { 1 0 3 } } \right) = \left( { \frac { 3 7 } { 1 0 3 } } \right) = \left( { \frac { 1 0 3 } { 3 7 } } \right) } \\ & { = \left( { \frac { 2 9 } { 3 7 } } \right) = \left( { \frac { 3 7 } { 2 9 } } \right) = \left( { \frac { 8 } { 2 9 } } \right) = \left( { \frac { 2 } { 2 9 } } \right) ^ { 3 } = - 1 . } \end{array} }
Z = \sum _ { s \mathrm { ~ \, ~ b ~ o ~ u ~ n ~ d ~ } } f _ { s } \, X _ { s } = \sum _ { s \mathrm { ~ \, ~ b ~ o ~ u ~ n ~ d ~ } } \frac { 2 j _ { s } + 1 } { 1 + e ^ { \beta ( \varepsilon _ { s } - \mu ) } } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { \gamma \in \Gamma ( M ) } d _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } * \gamma ) = \sum _ { i = 1 } ^ { t _ { 1 } } a _ { i } + \sum _ { j = 1 } ^ { t _ { 0 } } b _ { j } } & { - 2 \operatorname* { s u p } _ { \gamma \in \Gamma ( M ) } \int _ { M } \hat { q _ { 1 } } ( x ) \hat { q _ { 2 } } ( \gamma ( x ) ) \sqrt { | D \gamma | } \langle \overline { { q _ { 1 } } } ( x ) , \overline { { q _ { 2 } } } ( \gamma ( x ) ) \rangle d m . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { \infty } h ( x ) f ( x ) d x } & { = \beta \int _ { a } ^ { \infty } h ( x ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { ( a + z - x ) ^ { + } } { z ^ { 2 } / 2 } d Q ( z ) d x } \\ & { = \beta \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \int _ { a } ^ { \infty } h ( x ) ( a + z - x ) ^ { + } d x } { z ^ { 2 } / 2 } d Q ( z ) } \\ & { = \beta \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \int _ { a } ^ { a + z } h ( x ) ( a + z - x ) d x } { z ^ { 2 } / 2 } d Q ( z ) } \\ & { = \beta \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \tilde { H } ( x ) ( a + z - x ) | _ { x = a } ^ { x = a + z } + \int _ { a } ^ { a + z } \tilde { H } ( x ) d x } { z ^ { 2 } / 2 } d Q ( z ) } \\ & { = \beta \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \int _ { a } ^ { a + z } \tilde { H } ( x ) d x } { z ^ { 2 } / 2 } d Q ( z ) = \beta \int _ { 0 + } ^ { \infty } \frac { H ( a + z ) } { z ^ { 2 } / 2 } d Q ( z ) , } \\ { \int _ { a } ^ { \infty } g ( x ) f ( x ) d x } & { = \beta \int _ { 0 + } ^ { \infty } \frac { G ( a + z ) } { z ^ { 2 } / 2 } d Q ( z ) , } \\ { \int _ { a } ^ { \infty } f ( x ) d x } & { = \beta \int _ { a } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { ( a + z - x ) ^ { + } } { z ^ { 2 } / 2 } d Q ( z ) d x = \beta \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \int _ { a } ^ { \infty } ( a + z - x ) ^ { + } d x } { z ^ { 2 } / 2 } d Q ( z ) } \\ & { = \beta \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \int _ { a } ^ { a + z } x ( a + z - x ) d x } { z ^ { 2 } / 2 } d Q ( z ) } \\ & { = \beta \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { ( x - a ) ( a + z - x ) | _ { x = a } ^ { x = a + z } + \int _ { a } ^ { a + z } ( x - a ) d x } { z ^ { 2 } / 2 } d Q ( z ) } \\ & { = \beta \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \int _ { a } ^ { a + z } ( x - a ) d x } { z ^ { 2 } / 2 } d Q ( z ) = \beta \int _ { 0 + } ^ { \infty } \frac { z ^ { 2 } / 2 } { z ^ { 2 } / 2 } d Q ( z ) = \beta , } \\ { f ( a ) } & { = \beta \int _ { 0 + } ^ { \infty } \frac { z } { z ^ { 2 } / 2 } d Q ( z ) , } \\ { - f _ { + } ^ { \prime } ( a ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \delta _ { n } \downarrow 0 } \frac { - f ( a + \delta _ { n } ) + f ( a ) } { \delta _ { n } } = \beta \operatorname* { l i m } _ { \delta _ { n } \downarrow 0 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { z - ( z - \delta _ { n } ) ^ { + } } { \delta _ { n } z ^ { 2 } / 2 } d Q ( z ) } \\ & { = \beta \operatorname* { l i m } _ { \delta _ { n } \downarrow 0 } \int _ { 0 + } ^ { \infty } \frac { z - ( z - \delta _ { n } ) ^ { + } } { \delta _ { n } z ^ { 2 } / 2 } d Q ( z ) = \beta \int _ { 0 + } ^ { \infty } \frac { 1 } { z ^ { 2 } / 2 } d Q ( z ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } _ { \beta - T C } } & { { } } & { = \mathbb { E } _ { q } [ \mathrm { ~ l ~ o ~ g ~ } p ( \omega _ { t } | \boldsymbol { z } ) ] - \alpha I _ { q } ( \boldsymbol { z } , \omega _ { t } ) - \beta \textbf { K L } ( q ( \boldsymbol { z } ) | | \prod _ { j } q ( \boldsymbol { z } _ { j } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { F } _ { \mathrm { { e l } } } } & { = \int _ { r , z , \phi } \ r \frac { B } { 2 } \left[ ( \partial _ { r } u ) ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } \left( \partial _ { r } ^ { 2 } u + \frac { 1 } { r } \partial _ { r } u \right) ^ { 2 } \right] d r \ d \phi \ d z } \\ & { = 2 \pi \int _ { r , z } \ r f [ u ( r ) , u ^ { \prime } ( r ) , u ^ { \prime \prime } ( r ) ] d r \ d z } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { Q } } _ { R R } ^ { ( m ) } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \ldots } & { * } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \ldots } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { e ^ { - 2 x _ { m } } } & { \ldots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \ldots } & { e ^ { - 2 x _ { 1 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \ldots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { * } & { \ldots } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ { \tilde { \mathcal { Q } } _ { A A } ^ { ( m ) } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \ldots } & { * } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \ldots } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { e ^ { 2 x _ { n - m + 1 } } } & { \ldots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \ldots } & { e ^ { 2 x _ { n } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \ldots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { * } & { \ldots } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { \Pi } ( \boldsymbol x ) : = \overline { \Pi } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { d } ) = \Pi ( ( x _ { 1 } , \infty ) \times \cdots \times ( x _ { d } , \infty ) ) \quad \mathrm { ~ f o r ~ } \boldsymbol x = ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { d } ) \in \left[ 0 , \infty \right) ^ { d } \backslash \{ \boldsymbol 0 \} , } \end{array}
{ \bf S } = { \bf S } ( { \bf R } ( t + \delta t ) ) , ~ ~ { \bf Z } = { \bf S } ^ { - 1 / 2 } , ~ ~ { \bf P } = { \bf X } ( t + \delta t ) { \bf S } ^ { - 1 } , ~ ~ V _ { n n } = V _ { n n } ( { \bf R } ( t + \delta t ) )
\begin{array} { r l } & { \delta L _ { \mathtt { H M S } } ( \mathrm { e } , \widehat { \omega } , S ) = ( E _ { \mathtt { H M S } } ^ { ( 1 ) } ) _ { L } \wedge \delta \mathrm { e } ^ { L } + ( E _ { \mathtt { H M S } } ^ { ( 2 ) } ) _ { K L } \wedge \delta \widehat { \omega } ^ { K L } + ( E _ { \mathtt { H M S } } ^ { ( 3 ) } ) _ { J M } \wedge \delta S ^ { J M } + \mathrm { d } \Theta _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( t ) } } , } \\ & { \delta \overline { { \ell } } _ { \mathtt { H M S } } ( \mathrm { e } , \widehat { \omega } , S ) - \jmath ^ { * } \Theta _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( t ) } } = ( \overline { { \mathfrak { b } } } _ { \mathtt { H M S } } ) _ { I } \wedge \delta \overline { { \mathrm { e } } } ^ { I } - \mathrm { d } \overline { { \theta } } _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( t ) } } , } \end{array}
{ \frac { d N ( T _ { 1 } , T _ { 2 } , \cos \theta ) } { d T _ { 1 } d T _ { 2 } d \cos \theta } } = F ( Z , T _ { 1 } ) F ( Z , T _ { 2 } ) w _ { 1 } p _ { 1 } w _ { 2 } p _ { 2 } ( Q - T _ { 1 } - T _ { 2 } ) ^ { 5 } ( 1 - v _ { 1 } v _ { 2 } \cos \theta )
\gamma _ { \Omega R } ^ { ( 5 ) } = \left( \gamma _ { \Omega R } ^ { ( 5 ) } \right) ^ { T } \, \, \, , \, \, \ \gamma _ { \Omega } ^ { ( 9 ) } = \left( \gamma _ { \Omega } ^ { ( 9 ) } \right) ^ { T } .
\frac { d \sigma _ { e l } } { d t } = \frac { 1 } { 1 6 \pi ( \hbar c ) ^ { 2 } } \; \beta _ { 1 } ^ { 2 } ( t ) \beta _ { 2 } ^ { 2 } ( t ) \; s ^ { 2 [ \alpha ( t ) - 1 ] } = \frac { \sigma _ { T } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ( \hbar c ) ^ { 2 } } \; e ^ { ( 2 \alpha ^ { \prime } l n { s } ) t } \; F ^ { 4 } ( t ) \approx \frac { \sigma _ { T } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ( \hbar c ) ^ { 2 } } \; e ^ { b _ { e l } ( s ) t }