harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \operatorname* { i n f } _ { \widehat { G } _ { n } \in \Xi } \operatorname* { s u p } _ { G \in \Xi } \mathbb { E } _ { p _ { G } } \biggr ( \lambda ^ { 2 } \| ( \widehat { \mu } _ { n } , \widehat { \Sigma } _ { n } ) - ( \mu , \Sigma ) \| ^ { 2 } \biggr ) \geq \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } \biggr ( 1 - V ( p _ { G _ { * } } ^ { n } , p _ { G _ { * } ^ { \prime } } ^ { n } ) \biggr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i , j } R _ { i j } p _ { j } \ln p _ { i } } & { { } = \sum _ { i , j } R _ { i j } p _ { j } \left( \ln p _ { i } - \ln \pi _ { i } \right) + \sum _ { i , j } R _ { i j } p _ { j } \ln \pi _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \dot { a } b } } & { { } \equiv \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } p _ { \mu } ( \sigma ^ { \mu } ) _ { \dot { a } b } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { - p ^ { 0 } + p ^ { 3 } } & { p ^ { 1 } - i p ^ { 2 } } \\ { p ^ { 1 } + i p ^ { 2 } } & { - p ^ { 0 } - p ^ { 3 } } \end{array} \right) , } \\ { p ^ { a \dot { b } } } & { { } \equiv \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } p _ { \mu } ( \bar { \sigma } ^ { \mu } ) ^ { a \dot { b } } = - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { p ^ { 0 } + p ^ { 3 } } & { p ^ { 1 } - i p ^ { 2 } } \\ { p ^ { 1 } + i p ^ { 2 } } & { p ^ { 0 } - p ^ { 3 } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } ( z ) } & { { } \sim { \sqrt { \frac { 2 } { \pi z } } } e ^ { i \left( z - { \frac { 2 \pi \alpha - \pi } { 4 } } \right) } } \\ { H _ { \alpha } ^ { ( 2 ) } ( z ) } & { { } \sim { \sqrt { \frac { 2 } { \pi z } } } e ^ { - i \left( z - { \frac { 2 \pi \alpha - \pi } { 4 } } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\vert \int \hat { V } ( p - \sqrt { \mu } r ) - \hat { V } ( q - \sqrt { \mu } r ) \, \textnormal { d } \omega ( r ) \right\vert = \left\vert \int \hat { V } ( \vert p \vert e _ { 1 } - \sqrt { \mu } r ) - \hat { V } ( \vert q \vert e _ { 1 } - \sqrt { \mu } r ) \, \textnormal { d } \omega ( r ) \right\vert } \\ & { \quad = \left\vert \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d / 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \, \textnormal { d } x \left( V ( x ) \left( e ^ { i \vert p \vert x _ { 1 } } - e ^ { i \vert q \vert x _ { 1 } } \right) \int _ { \mathbb { S } ^ { d - 1 } } e ^ { - i \sqrt { \mu } x \cdot r } \, \textnormal { d } \omega ( r ) \right) \right\vert } \\ & { \quad \leq C _ { \varepsilon } \mu ^ { - \varepsilon / 2 } | \vert p \vert - \vert q \vert | ^ { \varepsilon } \int \, \textnormal { d } x \left( | V ( x ) | ( \sqrt { \mu } | x | ) ^ { \varepsilon } \left\vert \int _ { \mathbb { S } ^ { d - 1 } } e ^ { - i \sqrt { \mu } x \cdot r } \, \textnormal { d } \omega ( r ) \right\vert \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 M _ { i } } \nabla ^ { 2 } + e Z _ { i } \, \phi ( \mathbf { r } ) + \mu _ { \mathrm { x c } } ^ { i i } ( \mathbf { r } ) + \mu _ { \mathrm { c } , i } ^ { e I } ( \mathbf { r } ) \right) \Psi _ { \kappa } ^ { i } ( \mathbf { r } ) = \epsilon _ { \kappa } ^ { i } \, \Psi _ { \kappa } ^ { i } ( \mathbf { r } ) } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c c c } { { g _ { 2 } + w _ { 2 } ^ { \ 2 } h _ { 4 } + n _ { 2 } ^ { \ 2 } h _ { 5 } } } & { { w _ { 2 } w _ { 3 } h _ { 4 } + n _ { 2 } n _ { 3 } h _ { 5 } } } & { { w _ { 2 } h _ { 4 } } } & { { n _ { 2 } h _ { 5 } } } \\ { { w _ { 2 } w _ { 3 } h _ { 4 } + n _ { 2 } n _ { 3 } h _ { 5 } } } & { { g _ { 3 } + w _ { 3 } ^ { \ 2 } h _ { 4 } + n _ { 3 } ^ { \ 2 } h _ { 5 } } } & { { w _ { 3 } h _ { 4 } } } & { { n _ { 3 } h _ { 5 } } } \\ { { w _ { 2 } h _ { 4 } } } & { { w _ { 3 } h _ { 4 } } } & { { h _ { 4 } } } & { { 0 } } \\ { { n _ { 2 } h _ { 5 } } } & { { n _ { 3 } h _ { 5 } } } & { { 0 } } & { { h _ { 5 } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \ker \left( \mathrm { d } \colon \Gamma _ { \mathcal { U } } ( E _ { - 2 } ) \rightarrow \Gamma _ { \mathcal { U } } ( E _ { - 1 } ) \right) } & { \longrightarrow \ker \left( d s _ { 1 } | _ { \Gamma ( \ker d t _ { 1 } ) } \right) = \Gamma ( \ker d s _ { 1 } ) \cap \Gamma ( \ker d t _ { 1 } ) \subset \mathfrak { X } ( B _ { 2 } ) , } \\ { e \; } & { \longmapsto \overleftarrow { e } } \end{array}
\oint _ { \partial \Sigma ( t ) } \mathrm { d } { \boldsymbol { \ell } } \cdot \mathbf { F } / q ( \mathbf { r } , \ t ) = - { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \iint _ { \Sigma ( t ) } \mathrm { d } \mathbf { A } \cdot \mathbf { B } ( \mathbf { r } , \ t ) .
T _ { c l } ^ { ( m + n ) } ( z ) = \sum _ { i = 1 } ^ { p - 1 } { \frac { 1 - q _ { i } ^ { 2 } } { 2 h ( z - z _ { i } ) ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 2 \pi h } } \sum _ { i = 1 } ^ { p - 3 } \left( { \frac { 1 } { z - z _ { i } } } + { \frac { z _ { i } - 1 } { z } } - { \frac { z _ { i } } { z - 1 } } \right) { \frac { \partial S _ { c l } ^ { ( 0 , m + n ) } } { \partial z _ { i } } } .
\begin{array} { r l } { R ( \mathbf { u } ) _ { n } } & { = \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } = n } \Big ( \mathbf b _ { k _ { 1 } } \mathbf u _ { k _ { 2 } } ^ { [ 1 ] } + \frac 1 2 \mathbf a _ { k _ { 1 } } \mathbf u _ { k _ { 2 } } ^ { [ 2 ] } \Big ) + \frac 1 2 \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } + k _ { 3 } = n } \mathbf a _ { k _ { 1 } } \mathbf u _ { k _ { 2 } } ^ { [ 1 ] } \mathbf u _ { k _ { 3 } } ^ { [ 1 ] } } \\ & { = \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } = n } \Big ( ( b _ { k _ { 1 } } - b _ { k _ { 1 } - 1 } ) ( k _ { 2 } + 1 ) \mathbf u _ { k _ { 2 } + 1 } \Big ) + \frac 1 2 ( n ( n + 1 ) \mathbf u _ { n + 1 } - ( n + 1 ) ( n + 2 ) \mathbf u _ { n } ) } \\ & { \qquad + \frac 1 2 \bigg ( \sum _ { k _ { 2 } + k _ { 3 } = n - 1 } ( k _ { 2 } + 1 ) \mathbf u _ { k _ { 2 } + 1 } ( k _ { 3 } + 1 ) \mathbf u _ { k _ { 3 } + 1 } - \sum _ { k _ { 2 } + k _ { 3 } = n - 2 } ( k _ { 2 } + 1 ) \mathbf u _ { k _ { 2 } + 1 } ( k _ { 3 } + 1 ) \mathbf u _ { k _ { 3 } + 1 } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { X } _ { [ t _ { n + 1 } , \tau _ { k } ] } ( \boldsymbol { v } _ { i } ) } & { \approx \frac { 1 } { 4 } \left( \mathcal { X } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } ( \boldsymbol { x } _ { - , - } ^ { n + 1 , i } ) + \mathcal { X } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } ( \boldsymbol { x } _ { + , - } ^ { n + 1 , i } ) + \mathcal { X } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } ( \boldsymbol { x } _ { - , + } ^ { n + 1 , i } ) + \mathcal { X } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } ( \boldsymbol { x } _ { + , + } ^ { n + 1 , i } ) \right) \, , } \\ { \boldsymbol { \gamma } _ { v _ { i } } ^ { 1 } \cdot \nabla \mathcal { X } _ { [ t _ { n + 1 } , \tau _ { k } ] } ( \boldsymbol { v } _ { i } ) } & { \approx \frac { 1 } { 4 \epsilon } \left( \mathcal { X } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } ( \boldsymbol { x } _ { + , - } ^ { n + 1 , i } ) - \mathcal { X } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } ( \boldsymbol { x } _ { - , - } ^ { n + 1 , i } ) + \mathcal { X } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } ( \boldsymbol { x } _ { + , + } ^ { n + 1 , i } ) - \mathcal { X } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } ( \boldsymbol { x } _ { - , + } ^ { n + 1 , i } ) \right) \, , } \\ { \boldsymbol { \gamma } _ { v _ { i } } ^ { 2 } \cdot \nabla \mathcal { X } _ { [ t _ { n + 1 } , \tau _ { k } ] } ( \boldsymbol { v } _ { i } ) } & { \approx \frac { 1 } { 4 \epsilon } \left( \mathcal { X } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } ( \boldsymbol { x } _ { - , + } ^ { n + 1 , i } ) - \mathcal { X } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } ( \boldsymbol { x } _ { - , - } ^ { n + 1 , i } ) + \mathcal { X } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } ( \boldsymbol { x } _ { + , + } ^ { n + 1 , i } ) - \mathcal { X } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } ( \boldsymbol { x } _ { + , - } ^ { n + 1 , i } ) \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t _ { N } } \mathbb { E } \left[ S _ { i } ^ { N } ( t _ { N } - s ) \vert Z ^ { N } ( s ) = ( 0 , 1 ) \right] \lambda _ { 0 } e ^ { - \lambda _ { 0 } s } \, d s } & { \underset { N \to \infty } { \sim } \int _ { 0 } ^ { t _ { N } } \omega I ( i ) e ^ { \lambda _ { 1 } ( t _ { N } - s ) } \lambda _ { 0 } e ^ { - \lambda _ { 0 } s } \, d s } \\ & { \underset { N \to \infty } { \sim } \omega \frac { \lambda _ { 0 } } { \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 0 } } I ( i ) N ^ { \lambda _ { 1 } t } . } \end{array}
\langle R ^ { 2 } ( s ) \rangle = \frac { l _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } s } { 1 + \lambda / g } \left[ 1 + \frac { \lambda } { g } f _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ D ~ } } \left( \frac { s } { \lambda } \right) \right] ,
\begin{array} { r l r } { h _ { v e x } } & { { } } & { = - \epsilon _ { v e x } \exp \left( - \alpha _ { v e x } r _ { i j } ^ { 2 } \right) , \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ n ~ b ~ e ~ a ~ d ~ - ~ p ~ a ~ i ~ r ~ ( ~ i ~ j ~ ) ~ b ~ o ~ u ~ n ~ d ~ t ~ o ~ T ~ o ~ p ~ o ~ - ~ I ~ I ~ a ~ n ~ d ~ i ~ n ~ t ~ h ~ e ~ a ~ t ~ t ~ r ~ a ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ s ~ t ~ a ~ t ~ e ~ , ~ } } \end{array}
s = s _ { \textrm { e q } } ( e , \rho ) - \frac { m _ { 1 } } { 2 } q _ { i } q _ { i } - \frac { m _ { 2 } } { 2 } \Pi _ { \langle i j \rangle } \Pi _ { \langle i j \rangle } - \frac { m _ { 3 } } { 6 } \Pi _ { i i } \Pi _ { j j }
\begin{array} { r l } { ( \psi ^ { * } \upsilon ) _ { \tilde { \alpha } ^ { i } ( \mathscr { g } ) } } & { = \psi ^ { * } ( \upsilon _ { \varphi ^ { i } ( \psi ( \mathscr { g } ) ) } ) = \psi ^ { * } ( \varphi ^ { - i } ) ^ { * } ( \upsilon _ { \psi ( \mathscr { g } ) } ) = ( \varphi ^ { - i } \circ \psi ) ^ { * } ( \upsilon _ { \psi ( \mathscr { g } ) } ) } \\ & { = ( \psi \circ \tilde { \alpha } ^ { - i } ) ^ { * } ( \upsilon _ { \psi ( \mathscr { g } ) } ) = ( \tilde { \alpha } ^ { - i } ) ^ { * } \psi ^ { * } ( \upsilon _ { \psi ( \mathscr { g } ) } ) = ( \tilde { \alpha } ^ { - i } ) ^ { * } ( \sigma ^ { * } \omega _ { \mathscr { g } } ) } \\ & { = ( \sigma ^ { * } \omega ) _ { \tilde { \alpha } ^ { i } ( \mathscr { g } ) } , } \end{array}
{ \sqrt { N ^ { 2 } + d } } = N \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } ( 2 n ) ! } { ( 1 - 2 n ) n ! ^ { 2 } 4 ^ { n } } } { \frac { d ^ { n } } { N ^ { 2 n } } } = N \left( 1 + { \frac { d } { 2 N ^ { 2 } } } - { \frac { d ^ { 2 } } { 8 N ^ { 4 } } } + { \frac { d ^ { 3 } } { 1 6 N ^ { 6 } } } - { \frac { 5 d ^ { 4 } } { 1 2 8 N ^ { 8 } } } + \cdots \right)
R _ { 0 } = \sqrt { \kappa } e ^ { ( 1 - i \alpha _ { g } ) g _ { 0 } / ( 2 \gamma _ { g } ) - ( 1 - i \alpha _ { q } ) q _ { 0 } / ( 2 \gamma _ { q } ) + i \phi + i \omega _ { 0 } \delta } ,
\begin{array} { r } { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \vert \vert F _ { t , h _ { 2 } } - F _ { t , h _ { 1 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } + \vert \vert F _ { t , h _ { 1 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \vert \vert F _ { t , h _ { 2 } } - F _ { t , h _ { 1 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } = \widetilde { r } O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } + \frac { p } { 2 r } } } \log ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ( T ) ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \begin{array} { l } { \textrm { c o u r s e e n o u g h } } \\ { \textrm { p e r t u b a t i o n t h e o r y o . k } } \end{array} \qquad } & { { } \Longleftrightarrow } & { \qquad \begin{array} { l } { \textrm { f i n e e n o u g h } } \\ { E _ { 1 } \; \textrm { a c c u r a t e } } \end{array} } \end{array}
\rho _ { + } = \frac \ell 2 ( M + \sqrt { M ^ { 2 } - \frac { J ^ { 2 } } { \ell ^ { 2 } } } ) \qquad \mathrm { a n d } \qquad \rho _ { - } = \frac \ell 2 ( M - \sqrt { M ^ { 2 } - \frac { J ^ { 2 } } { \ell ^ { 2 } } } ) \qquad
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } E _ { \pm } ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { { } = \left[ - 1 + i ( | E _ { \pm } | ^ { 2 } + 2 | E _ { \mp } | ^ { 2 } - \Delta _ { \pm } ) \right] E _ { \pm } + S _ { \pm } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { x } ^ { h } } { \partial x ^ { 2 } } - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { x } ^ { h } } { \partial y ^ { 2 } } + u _ { x } ^ { h } \frac { \partial u _ { x } ^ { h } } { \partial x } + u _ { y } ^ { h } \frac { \partial u _ { x } ^ { h } } { \partial y } + \frac { \partial p ^ { h } } { \partial x } + \frac { C _ { p e n } ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } ( u _ { x } ^ { h } - g _ { x } ) \right) ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { x } } ) } \\ { = f _ { x } ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { x } } ) \quad \forall \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { x } } \in \partial \Omega } \end{array}
\frac { s _ { P } } { m _ { V } ^ { 2 } } = 1 + \left( \frac { e ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } } \right) \: X _ { V } ^ { ( 1 ) } + \left( \frac { e ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } } \right) ^ { 2 } \: X _ { V } ^ { ( 2 ) } \, ,
\begin{array} { r } { \dot { \mathbf { V } } _ { j } = \frac { 1 } { h _ { j } ^ { 2 } } \mathbf { G } _ { 1 } \mathbf { V } _ { j } + \frac { 1 } { h _ { j } } \mathbf { G } _ { 2 } \mathbf { V } _ { j } + u _ { m , j } \textrm { \boldmath { g } } . } \end{array}
{ \bf J } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { p ^ { \dagger } } } & { { q ^ { \dagger } } } \end{array} \right) { \bf \sigma } \left( \begin{array} { c } { { p } } \\ { { q } } \end{array} \right) + { \frac { 1 } { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { r ^ { \dagger } } } & { { s ^ { \dagger } } } \end{array} \right) { \bf \sigma } \left( \begin{array} { c } { { r } } \\ { { s } } \end{array} \right)
x ^ { 4 } + ( 4 y ^ { 2 } - 3 ) x ^ { 2 } + 3 ( y ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } = 3 ( y ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } + 4 x ^ { 2 } ( y ^ { 2 } - 1 ) + x ^ { 4 } + x ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { { \cal C } _ { n } ^ { \pm } } & { { } = } & { \sum _ { m \neq 0 , n } g _ { m 0 } \langle \hat { \sigma } _ { n } ^ { \pm } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle } \\ { { \cal C } _ { n } ^ { 0 } } & { { } = } & { \sum _ { m \neq 0 , n } g _ { m 0 } \langle \hat { e } _ { n } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle } \end{array}
\left. \frac { d \sigma _ { e \gamma \to e X } } { d Q ^ { 2 } \, d W ^ { 2 } } \right| _ { G } = \frac { \alpha ^ { 3 } } { 4 s _ { e \gamma } ^ { 2 } } \, \frac { 1 } { Q ^ { 2 } ( 1 - \epsilon ) } \, f _ { G } ^ { X } ( W ^ { 2 } ) ,
i \frac { \partial } { \partial t } \psi _ { 2 } ( x , t ) = - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { \mu } } { \partial | x | ^ { \mu } } \psi _ { 2 } ( x , t ) + \gamma e ^ { - i \omega t } \psi _ { 1 } ( x , t ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { m _ { 3 } ( t ) = 1 2 t \, \langle y + e ^ { - y } \rangle _ { 0 } + \langle y ^ { 3 } + 3 e ^ { - y } \left( y ^ { 2 } + 2 y + 2 \right) \rangle _ { 0 } + o ( t ) } \\ & { } & { m _ { 4 } ( t ) = 4 8 t ^ { 2 } + 2 4 t \langle y ^ { 2 } - 2 e ^ { - y } ( y + 1 ) \rangle + \langle y ^ { 4 } - 4 e ^ { - y } \left( y ^ { 3 } + 3 y ^ { 2 } + 6 y + 6 \right) \rangle + o ( t ) } \end{array}
\sum _ { \mathbf { k } , \mu } | S _ { \mathbf { k } , \mu } ^ { ' z } | ^ { 2 } = \sum _ { \mathbf { k } , \mu } | S _ { \mathbf { k } , \mu } ^ { z } | ^ { 2 } = \sum _ { \mathbf { r } , \mu } \left( S _ { \mathbf { r } , \mu } ^ { z } \right) ^ { 2 } = N _ { \mathrm { ~ u ~ . ~ c ~ . ~ } } .
\begin{array} { r l } & { - \frac { \sigma } { T } - ( 8 L + 2 { \sigma } ) \, \partial _ { t } g _ { \varepsilon } ( t _ { 1 } - s _ { 1 } , x _ { 1 } - y _ { 1 } ) } \\ & { \qquad \qquad + H \left( t _ { 1 } , x _ { 1 } , \frac \sigma { R } \nabla \phi ( x _ { 1 } ) - ( 8 L + 2 \sigma ) \nabla _ { x } \, g _ { \varepsilon } ( t _ { 1 } - s _ { 1 } , x _ { 1 } - y _ { 1 } ) ) \right) \geq 0 . } \end{array}
< 0 | \hat { h } _ { + + } \omega \left( x _ { 1 } \right) \cdots \omega \left( x _ { N } \right) | 0 > ~ \sim ~ < \Delta | \left( L _ { 2 } + \lambda L _ { 1 } ^ { 2 } \right) \omega \left( x _ { 1 } \right) \cdots \omega \left( x _ { N } \right) | 0 >
H _ { i j } = K _ { i j } - \alpha _ { i } ( \kappa _ { 1 } ) \delta ( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 1 } ^ { \prime } ) - \alpha _ { j } ( \kappa _ { 2 } ) \delta ( \kappa _ { 2 } - \kappa _ { 2 } ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } { F } & { = - \frac { 1 } { \beta } \ln Z = \frac { 1 } { \beta } \sum _ { \omega } \ln \operatorname* { d e t } \mathcal { G } _ { \omega } ^ { - 1 } + \mathrm { c o n s t } } \\ & { = \frac { 1 } { \beta } \sum _ { \omega } \ln ( \omega ^ { 2 } + E ^ { 2 } ) + \mathrm { c o n s t } } \\ & { = \frac { 1 } { \beta } \sum _ { \omega } \ln [ \beta ^ { 2 } ( \omega ^ { 2 } + E ^ { 2 } ) ] + \mathrm { c o n s t } } \\ & { = \frac { 2 } { \beta } \ln ( 1 - e ^ { - \beta E } ) + E + \mathrm { c o n s t } } \end{array}
\gamma _ { b \underline { { a } } } = \left( \begin{array} { l l } { { \gamma _ { \underline { { z } } z } } } & { { \gamma _ { \underline { { z } } \zeta } } } \\ { { \gamma _ { \underline { { \zeta } } z } } } & { { \gamma _ { \underline { { \zeta } } \zeta } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { { - { \frac { z \overline { { \zeta } } + \overline { { z } } \zeta } { ( 1 + { \frac { 1 } { 2 } } z \overline { { z } } ) ^ { 3 } } } } } & { { { \frac { 1 } { ( 1 + { \frac { 1 } { 2 } } z \overline { { z } } ) ^ { 2 } } } } } \\ { { { \frac { 1 } { ( 1 + { \frac { 1 } { 2 } } z \overline { { z } } ) ^ { 2 } } } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \ .
F ^ { \hat { \nabla } } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { f _ { 1 3 } \vartheta } } & { { - f _ { 1 2 } \vartheta } } \\ { { - f _ { 1 3 } \vartheta } } & { { 0 } } & { { f _ { 2 3 } \vartheta ^ { 2 } } } \\ { { f _ { 1 2 } \vartheta } } & { { - f _ { 2 3 } \vartheta } } & { { 0 } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \vartheta } } \\ { { 0 } } & { { - \vartheta } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { \overset { V \otimes W } { X } } & { = ( v _ { V } ) _ { 1 } \, ( v _ { W } ) _ { 2 } \, ( R ^ { \prime } R ) _ { V , W } ^ { - 1 } \, \overset { V } { B } _ { 1 } \, ( R ^ { \prime } ) _ { V , W } \, \overset { W } { B } _ { 2 } \, ( R ^ { \prime } ) _ { V , W } ^ { - 1 } \, ( R ^ { \prime } ) _ { V , W } \, \overset { W } { A } _ { 2 } ^ { - 1 } ( R ^ { \prime } ) _ { V , W } ^ { - 1 } \, \overset { V } { A } _ { 1 } ^ { - 1 } } \\ & { = ( v _ { V } ) _ { 1 } \, ( v _ { W } ) _ { 2 } \, R _ { V , W } ^ { - 1 } \, ( R ^ { \prime } ) _ { V , W } ^ { - 1 } \, \overset { V } { B } _ { 1 } \, ( R ^ { \prime } ) _ { V , W } \, \overset { W } { B } _ { 2 } \, \overset { W } { A } _ { 2 } ^ { - 1 } ( R ^ { \prime } ) _ { V , W } ^ { - 1 } \, \overset { V } { A } _ { 1 } ^ { - 1 } } \\ & { = ( v _ { V } ) _ { 1 } \, ( v _ { W } ) _ { 2 } \, R _ { V , W } ^ { - 1 } \, \overset { W } { B } _ { 2 } \, R _ { V , W } \, \overset { V } { B } _ { 1 } \, R _ { V , W } ^ { - 1 } \, \overset { W } { A } _ { 2 } ^ { - 1 } ( R ^ { \prime } ) _ { V , W } ^ { - 1 } \, \overset { V } { A } _ { 1 } ^ { - 1 } } \\ & { = ( v _ { V } ) _ { 1 } \, ( v _ { W } ) _ { 2 } \, R _ { V , W } ^ { - 1 } \, \overset { W } { B } _ { 2 } \, \overset { W } { A } _ { 2 } ^ { - 1 } \, R _ { V , W } \, \overset { V } { B } _ { 1 } \, \overset { V } { A } _ { 1 } ^ { - 1 } } \\ & { = R _ { V , W } ^ { - 1 } \, \overset { W } { X } _ { 2 } \, R _ { V , W } \, \overset { V } { X } _ { 1 } = \overset { V } { X } _ { 1 } \, R _ { V , W } ^ { \prime } \, \overset { W } { X } _ { 2 } \, ( R ^ { \prime } ) _ { V , W } ^ { - 1 } . } \end{array}
p = - B _ { 0 } ^ { 2 } / \eta _ { 0 } ( 1 + \frac { 1 } { 2 } \delta ) + 4 \nu _ { c } ^ { 2 } ( \nu _ { c } - \nu ) k ^ { 2 } - \nu _ { c } ( 1 + 4 \nu _ { c } ^ { 2 } ) k ^ { 4 } + \cdots .
\frac { T _ { A } } { T _ { B H } } = \frac { \kappa _ { A } } { \kappa _ { B H } } = \frac { ( \xi _ { 4 } - \xi _ { 3 } ) ( \xi _ { 3 } - \xi _ { 1 } ) } { ( \xi _ { 4 } - \xi _ { 2 } ) ( \xi _ { 2 } - \xi _ { 1 } ) } .
S ^ { 2 } ( \mathcal T _ { \alpha } ^ { t } ) : = \Big \{ v _ { h _ { t } } \in C [ 0 , T ] \, | \, \forall \ell \in \{ 1 , \dots , N ^ { t } \} : v _ { h _ { t } | \overline { { \tau _ { \ell } } } } \in \mathbb P ^ { 2 } ( \overline { { \tau _ { \ell } } } ) \Big \} = \mathrm { s p a n } \{ \varphi _ { \ell } ^ { 2 } \} _ { \ell = 0 } ^ { N _ { t } ^ { 2 } }
G _ { i j k l } ^ { \mathrm { c o n n } } = - \langle c _ { i } { \bar { c } } _ { j } c _ { k } { \bar { c } } _ { l } \rangle + \langle c _ { i } { \bar { c } } _ { j } \rangle \langle c _ { k } { \bar { c } } _ { l } \rangle - \langle c _ { i } { \bar { c } } _ { l } \rangle \langle c _ { k } { \bar { c } } _ { j } \rangle = - \left. { \frac { \delta ^ { 2 } W [ J ] } { \delta J _ { j i } \delta J _ { l k } } } \right| _ { J = 0 }
\left\langle \psi \right\vert \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } \left\vert \psi \right\rangle = \frac { \gamma ^ { 2 } \left( 1 + | \alpha | ^ { 2 } \right) } { 1 - \gamma ^ { 2 } } e ^ { \frac { | \beta | ^ { 2 } } { 1 - \gamma ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { R _ { u } \tau _ { u } ^ { - \infty } f ( x ) } & { = \operatorname* { s u p } _ { y + z = R _ { u } ( x ) } \operatorname* { m i n } \{ f ( y ) , R _ { u } f ( z ) \} = \operatorname* { s u p } _ { R _ { u } ( y ) + R _ { u } ( z ) = R _ { u } ( x ) } \operatorname* { m i n } \{ f ( R _ { u } ( y ) ) , R _ { u } f ( R _ { u } ( z ) ) \} } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { y + z = x } \operatorname* { m i n } \{ R _ { u } f ( y ) , f ( z ) \} = \tau _ { u } ^ { - \infty } f ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { \mathbb { E } ( \vert \vert F _ { t , h _ { 2 } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } & { = } & { \Big ( \int \Big ( \int ( \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } ( x - z ) - \mathbb { E } ( \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } ( x - X _ { t } ) ) ) ^ { 2 } d x \Big ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } f _ { t } ( z ) d z \Big ) ^ { 1 / 3 } } \\ & { \le } & { \Big ( \int \Big ( \int ( \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } ( x - z ) ) ^ { 2 } d x \Big ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } f _ { t } ( z ) d z \Big ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \kappa ^ { p / 2 r } } . } \end{array}
\frac { d Y _ { t } } { d t } = Y _ { t } \left( \frac { 1 6 } { 3 } T _ { t 3 } \tilde { \alpha } _ { 3 } + 3 T _ { t 2 } \tilde { \alpha } _ { 2 } + \frac { 1 3 } { 9 } T _ { t 1 } \tilde { \alpha } _ { 1 } - 6 T _ { t t } Y _ { t } - T _ { t b } Y _ { b } \right) .
{ \begin{array} { r l } { { \hat { \mathbf { r } } } } & { = \sin \theta { \hat { \boldsymbol { \rho } } } + \cos \theta { \hat { \mathbf { z } } } } \\ { { \hat { \boldsymbol { \theta } } } } & { = \cos \theta { \hat { \boldsymbol { \rho } } } - \sin \theta { \hat { \mathbf { z } } } } \\ { { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } & { = { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } \end{array} }
Q _ { k } = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbf { F } _ { i } \cdot { \frac { \partial \mathbf { v } _ { i } } { \partial { \dot { q } } _ { k } } } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \mathbf { M } _ { j } \cdot { \frac { \partial \mathbf { \omega } _ { j } } { \partial { \dot { q } } _ { k } } } , \quad k = 1 , 2 , . . . , f .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } _ { h } ( \phi _ { A , i } ) = \sum _ { \ell = x , y , z } \left( \sum _ { \kappa _ { A } \in \mathcal { T } _ { A } } - ( q _ { A , \ell } , [ \nabla \phi _ { A , i } ] _ { \ell } ) _ { \kappa _ { A } } ^ { N I } \right) = } \\ & { \sum _ { \ell = x , y , z } \left( \sum _ { \kappa _ { A } \in \mathcal { T } _ { A } } - \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { A } } \widehat { q } _ { A , \ell } \phi _ { A , j } , [ \nabla \phi _ { A , i } ] _ { \ell } \Big ) _ { \kappa _ { A } } ^ { N I } \right) = \Big [ \sum _ { \ell = x , y , z } \mathbf { C } ^ { \ell } \widehat { \mathbf { q } } _ { A , \ell } \Big ] _ { i } , } \end{array}