harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \mu , \hat { V } , \xi } \mu } \\ { \mathrm { s u c h ~ t h a t ~ } \ } & { \hat { V } _ { N } ( s _ { k } , \lambda ) \geq _ { Q } \frac { \partial } { \partial x } r _ { N } ( s _ { N } , h _ { N } , \lambda , \bar { x } ) + \xi _ { N } \left( V _ { N } ( s _ { k } , \lambda ) - r _ { N } ( s _ { N } , h _ { N } , \lambda , \bar { x } ) \right) , } \\ & { \hat { V } _ { k } ( s _ { k } , \lambda ) \geq _ { Q } \frac { \partial } { \partial x } r _ { k } ( s _ { k } , h , \lambda , \bar { x } ) + \hat { V } _ { k + 1 } ( s _ { k + 1 } , \lambda ) + \sum _ { \sigma } \frac { \partial V _ { k + 1 } ( s _ { k + 1 } , \lambda ) } { \partial s _ { k + 1 } ^ { \sigma } } \frac { \partial f _ { k } ^ { \sigma } ( s _ { k } , h _ { k } , \lambda , x ) } { \partial x } + } \\ & { \qquad \qquad \quad + \xi _ { k } \left( V _ { k } ( s _ { k } , \lambda ) - r _ { k } ( s _ { k } , h _ { k } , \lambda , \bar { x } ) - V _ { k + 1 } ( s _ { k + 1 } , \lambda ) \right) , } \\ & { \mu \geq _ { Q } \hat { V } _ { 1 } ( s _ { 1 } , \lambda ) + \xi _ { 1 } \left( \nu - V _ { 1 } ( s _ { 1 } , \lambda ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \frac { \int _ { { \cal R } ^ { \mathrm { o l d } } } e ^ { i S [ \mathbb { A } ^ { \mathrm { o l d } } , A _ { 0 } ^ { \mathrm { o l d } } ] } F [ \mathbb { A } ^ { \mathrm { o l d } } , A _ { 0 } ^ { \mathrm { o l d } } ] \, \prod _ { n = 1 } ^ { 3 } { \cal D } A _ { n } ^ { \mathrm { o l d } } \, { \cal D } A _ { 0 } ^ { \mathrm { o l d } } } { \int _ { { \cal R } ^ { \mathrm { o l d } } } e ^ { i S [ \mathbb { A } ^ { \mathrm { o l d } } , A _ { 0 } ^ { \mathrm { o l d } } ] } \prod _ { n = 1 } ^ { 3 } { \cal D } A _ { n } ^ { \mathrm { o l d } } \, { \cal D } A _ { 0 } ^ { \mathrm { o l d } } } } } \\ & { = } & { { \frac { \int _ { { \cal R } ^ { \mathrm { n e w } } } e ^ { i S [ \mathbb { A } ^ { \mathrm { n e w } } , 0 ] } F [ \mathbb { A } ^ { \mathrm { n e w } } , 0 ] \, \prod _ { n = 1 } ^ { 3 } { \cal D } A _ { n } ^ { \mathrm { n e w } } \, { \cal D } A _ { 0 } ^ { \mathrm { o l d } } } { \int _ { { \cal R } ^ { \mathrm { n e w } } } e ^ { i S [ \mathbb { A } ^ { \mathrm { n e w } } , 0 ] } \prod _ { n = 1 } ^ { 3 } { \cal D } A _ { n } ^ { \mathrm { n e w } } \, { \cal D } A _ { 0 } ^ { \mathrm { o l d } } } } } \end{array}
{ \hat { w } } _ { n } = A _ { 1 } { \Bigl [ } ( \cosh \beta _ { n } x - \cos \beta _ { n } x ) + { \frac { \cos \beta _ { n } L + \cosh \beta _ { n } L } { \sin \beta _ { n } L + \sinh \beta _ { n } L } } ( \sin \beta _ { n } x - \sinh \beta _ { n } x ) { \Bigr ] }
\begin{array} { r l } { { t _ { d n } } = } & { { } \hat { t } _ { d n } \left( \frac { { n _ { n } } _ { 0 } } { { n _ { n } } } \right) ^ { \frac { \gamma _ { n } + 1 } { 2 } } \left( 1 + a _ { \gamma n } \frac { | { u _ { d } } - { u _ { n } } | ^ { 2 } } { c _ { s n } ^ { 2 } } \right) ^ { - \frac 1 2 } } \\ { \zeta _ { s n } = } & { { } \frac { 1 + \gamma _ { n } + 2 a _ { \gamma n } \hat { w } _ { n } ^ { 2 } } { 2 ( 1 + a _ { \gamma n } \hat { w } _ { n } ^ { 2 } ) } } \\ { \zeta _ { w n } = } & { { } \frac { a _ { \gamma n } \hat { w } _ { n } ^ { 2 } } { 1 + a _ { \gamma n } \hat { w } _ { n } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ f ( X _ { s } ) \right] = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathbb { E } \left[ f ( R _ { s } ^ { 0 , x } ) \right] \; \rho ( \mathrm { d } x ) + \int _ { c _ { 0 } ( s ) } ^ { 1 } \mathbb { E } \left[ f ( R _ { s } ^ { c _ { 0 } ^ { - 1 } ( t ) , 0 } ) \right] \mathrm { d } t , ~ \mathrm { f o r ~ a . e . } ~ s \ge 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { { p _ { I I I } } - { p _ { 0 } } } { \frac { 1 } { 2 } \rho v _ { 0 } ^ { 2 } } } & { { } = { } \frac { 2 x \sin { ( \beta ) } } { \left( \sin { ( \beta ) } + \frac { 1 } { 2 } x \right) ^ { 2 } } + \left( \sin { ( \beta ) } - \frac { 1 } { 2 } x \right) ^ { 2 } \theta ( s ) f ( R e , \beta ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega ^ { ( 2 ) } = \left[ E _ { N } ^ { ( 2 ) } \right] - \frac { \beta } { 2 } \left( \left[ { E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } } \right] - \Omega ^ { ( 1 ) } \Omega ^ { ( 1 ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - 2 s _ { 1 } t } \| \partial _ { t } u ^ { * } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } \, d t } \\ { \leq } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - 2 s _ { 1 } t } \sigma _ { \rho } ^ { 2 } \| u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } \, d t } \\ { \leq } & { } & { C \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - 2 s _ { 1 } t } \sigma _ { \rho } ^ { 2 } \left( \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } \right) \, d t } \\ { \leq } & { } & { C \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - 2 s _ { 1 } t } \sigma _ { \rho } ^ { 2 } \left( \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| \partial _ { t } u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } \right) \, d t . } \end{array}
V _ { \mathrm { ~ h ~ } } = R _ { \mathrm { ~ h ~ } } I = V _ { 0 } \left[ 1 + \alpha ( T - T _ { 0 } ) + \beta ( T - T _ { 0 } ) ^ { 2 } + . . . \right] \mathrm { R e } ( \mathrm { e } ^ { i \omega t } ) { . }
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \bf k } ^ { C } } & { { } = \rho _ { \bf k } ( \omega _ { 0 } ^ { X } ) \kappa _ { \bf k } ^ { C } \kappa _ { \bf k } ^ { C } / \hbar , ~ ~ \gamma _ { \bf k } ^ { X } = \rho _ { \bf k } ( \omega _ { 0 } ^ { X } ) \kappa _ { \bf k } ^ { X } \kappa _ { \bf k } ^ { X } / \hbar , ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ \gamma _ { \bf k } ^ { C X } = \gamma _ { \bf k } ^ { X C } = \sqrt { \gamma _ { \bf k } ^ { C } \gamma _ { \bf k } ^ { X } } . } \end{array}
\lambda _ { T } ^ { \mathrm { b o t , t o p } } = \Big | \langle T _ { \mathrm { s a } } ( 0 , 1 ) - T _ { \mathrm { s a } } ( 0 . 5 ) \rangle _ { A , t } \Big | \Bigg | \frac { \partial T _ { \mathrm { s a } } } { \partial z } \Bigg | _ { z / H = 0 , 1 } ^ { - 1 } \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { d } \left( \left\{ \mathfrak { v } _ { \varepsilon } ^ { \psi } \neq w \right\} \cup \left\{ \mathfrak { z } _ { \varepsilon } ^ { \psi } \neq z \right\} \right) } & { \leq \mathcal { L } ^ { d } \left( \left\{ \mathfrak { v } _ { \varepsilon } ^ { \psi } \neq T _ { \varepsilon } w \right\} \right) + \mathcal { L } ^ { d } \left( \left\{ \mathfrak { z } _ { \varepsilon } ^ { \psi } \neq T _ { \varepsilon } z \right\} \right) + \mathcal { L } ^ { d } \left( \{ T _ { \varepsilon } w \neq w \} \right) + \mathcal { L } ^ { d } \left( \{ T _ { \varepsilon } z \neq z \} \right) } \\ & { \leq \varepsilon C \int _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } \psi _ { \varepsilon } ^ { - } ( | \nabla w ( x ) | ) \, d x + \varepsilon C \int _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } \psi _ { \varepsilon } ^ { - } ( | \nabla z ( x ) | ) \, d x } \\ & { \ \ \ \ \ + \left( 2 \gamma _ { \textnormal { i s o } } \mathcal { H } ^ { d - 1 } ( J _ { w } \cap B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) \right) ^ { \frac { d } { d - 1 } } + \left( 2 \gamma _ { \textnormal { i s o } } \mathcal { H } ^ { d - 1 } ( J _ { z } \cap B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) \right) ^ { \frac { d } { d - 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { x } \left( \int _ { s } ^ { t } \xi _ { u } \mathrm { d } u \le \phi ( s ) \right) ^ { 1 / 2 } } & { \le \mathbb { P } _ { x } \left( \left( \int _ { s } ^ { t } \xi _ { u } \mathrm { d } u \right) ^ { - \kappa } \ge \phi ^ { \kappa } ( s ) \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \le \phi ^ { \kappa / 2 } ( s ) \mathbb { E } \left[ \left( \int _ { s } ^ { t } \xi _ { u } \mathrm { d } u \right) ^ { - \kappa } \right] ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\gamma _ { g , 9 } : | D _ { \mathrm { i n v } } \rangle \rightarrow { \frac { 1 } { \sqrt { D } } } \sum _ { \alpha } \sum _ { \beta , \gamma } c _ { \alpha \beta } { \overline { { c } } } _ { \gamma \alpha } | d _ { \beta } \otimes { \overline { { d } } } _ { \gamma } \rangle = { \frac { 1 } { \sqrt { D } } } \sum _ { \alpha } | d _ { \alpha } \otimes { \overline { { d } } } _ { \alpha } \rangle = | D _ { \mathrm { i n v } } \rangle ~ ,
| | v - \pi _ { \mathfrak { p } } v | | _ { F _ { i } } \le \mathcal { C } _ { \mathrm { a p } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \mathfrak { p } , K , F _ { i } ) | F _ { i } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { h _ { K } ^ { s _ { K } - d / 2 } } { \mathfrak { p } ^ { l _ { K } - 1 / 2 } } | | \mathfrak { E } v | | _ { H ^ { l _ { K } } ( \mathcal { K } ) } , \quad l _ { K } \ge d / 2 ,
\mathbf { g } _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } ^ { ( m ) } = 2 g _ { J } \left( \begin{array} { c c c } { \Re \langle \bar { m } | \hat { J } _ { x } | m \rangle } & { \Im \langle \bar { m } | \hat { J } _ { x } | m \rangle } & { \langle m | \hat { J } _ { x } | m \rangle } \\ { \Re \langle \bar { m } | \hat { J } _ { y } | m \rangle } & { \Im \langle \bar { m } | \hat { J } _ { y } | m \rangle } & { \langle m | \hat { J } _ { y } | m \rangle } \\ { \Re \langle \bar { m } | \hat { J } _ { z } | m \rangle } & { \Im \langle \bar { m } | \hat { J } _ { z } | m \rangle } & { \langle m | \hat { J } _ { z } | m \rangle } \end{array} \right)
V ^ { C K M } = V _ { 2 3 } . V _ { 1 3 } . V _ { 1 2 } = \left( \begin{array} { c c c } { { c _ { 1 2 } c _ { 1 3 } } } & { { s _ { 1 2 } c _ { 1 3 } } } & { { s _ { 1 3 } ^ { * } } } \\ { { - s _ { 1 2 } c _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } } } & { { c _ { 1 2 } c _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } } } & { { s _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } } \\ { { s _ { 1 2 } s _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } } } & { { - c _ { 1 2 } s _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } } } & { { c _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } } \end{array} \right)
\tilde { { \bf T } } = U ^ { \dagger } \cdot \left( \begin{array} { l l } { T _ { x x } } & { T _ { x y } } \\ { - T _ { x y } } & { T _ { y y } } \end{array} \right) \cdot U = \left( \begin{array} { l l } { \bar { T } + i T _ { x y } } & { \Delta T } \\ { \Delta T } & { \bar { T } - i T _ { x y } } \end{array} \right)
\mathbb { P } ( t ) = 2 \left[ \int _ { 0 } ^ { a } d x \ P ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } ( x , t ) + \int _ { a } ^ { \infty } d x \ P ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } ( x , t ) \right] = 1 - 2 \int _ { a } ^ { \infty } d x \ P _ { _ B } ( x , t ) ,
G _ { N _ { s } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { \mathrm { d o f } } - N _ { s } + 1 } { \mu _ { k } \Big ( \Delta q _ { k } - \Delta q _ { k } ^ { 0 } \Big ) ^ { 2 } } + \tilde { w } _ { N _ { s } } \big [ \bar { \varepsilon } + b _ { \varepsilon } \bar { \gamma } ^ { 2 } \big ] ,
\begin{array} { r } { \overline { { \overline { { \tau } } } } = \mu ( \theta ) \left( ( \overline { { g r a d } } \mathbf { u } + ^ { t } \overline { { g r a d } } \mathbf { u } ) - \frac { 2 } { 3 } d i v ( \mathbf { u } ) \right) } \end{array}
U _ { e } ( u ) \, H _ { e } ( x ; { \mathbf { r } } , { \mathbf { p } } , { \mathbf { S } } ) \, U _ { e } ( u ) ^ { \dagger } = H _ { e } \bigl ( x ; R ^ { - 1 } { \mathbf { r } } , R ^ { - 1 } { \mathbf { p } } , R ^ { - 1 } { \mathbf { S } } \bigr ) = H _ { e } ( R x ; { \mathbf { r } } , { \mathbf { p } } , { \mathbf { S } } ) ,
R _ { A P T } ( Q ^ { 2 } ) \equiv \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d \mu ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \ \bar { \alpha } _ { e f f } ^ { P T } ( \mu ^ { 2 } ) \ \dot { { \cal F } } _ { R } ( \mu ^ { 2 } / Q ^ { 2 } ) = R _ { P T } ( Q ^ { 2 } ) + \delta R _ { A P T } ( Q ^ { 2 } )
\hat { \mathbf { A } } ^ { L } ( i , j ) = - \frac { 1 } { 2 m } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \nabla _ { z } ^ { \top } \phi _ { i } ( z _ { l } ) a ^ { \xi } ( x _ { l } ) \nabla _ { z } \phi _ { j } ( z _ { l } )
{ I ^ { \prime } } _ { \mu \, \nu } ^ { i \, j } ( k , \tilde { M } _ { i } , \tilde { M } _ { j } ) = \int d \widehat { q } \frac { q _ { \mu } k _ { \nu } } { \left[ q ^ { 2 } - \tilde { M } _ { i } ^ { 2 } \right] \left[ ( k + q ) ^ { 2 } - \tilde { M } _ { j } ^ { 2 } \right] }
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 , 2 } ( \pi _ { ! } ( \bar { \varepsilon } ^ { 1 , 2 , \ldots , a } \cdot \ell ^ { * } c ) ) } & { = ( \frac { \chi - 2 } { \chi } ) \pi _ { ! } ( \bar { \varepsilon } ^ { 3 , 4 , \ldots , a } \cdot \ell ^ { * } ( e \cdot c ) ) + \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } \kappa _ { e ^ { 2 } } \cdot \pi _ { ! } ( \bar { \varepsilon } ^ { 3 , 4 , \ldots , a } \cdot \ell ^ { * } c ) } \end{array}
\left\Vert \frac { \partial \eta } { \partial y } \right\Vert _ { L ^ { \infty } ( \kappa ) } ^ { 2 } \le \left\{ \begin{array} { r l } & { C \varepsilon ^ { - 2 } N ^ { - 2 \sigma } + C N ^ { - 2 k } , \quad \kappa \subset \Omega _ { 1 1 } } \\ & { C \varepsilon ^ { - 2 } N ^ { - 2 \sigma } + C N ^ { - 2 k } ( \ln N ) ^ { 2 k } , \quad \kappa \subset \Omega _ { 1 2 } } \\ & { C \varepsilon ^ { - 2 } N ^ { - 2 k } ( \ln N ) ^ { 2 k } , \quad \kappa \subset \Omega _ { 2 1 } \cup \Omega _ { 2 2 } . } \end{array} \right.
| \nabla Q | ^ { 2 } = g _ { z \bar { z } } ^ { p - 1 } \nabla Q \bar { \nabla } \bar { Q } , \, | \bar { \nabla } Q | ^ { 2 } = g _ { z \bar { z } } ^ { p - 1 } \bar { \nabla } Q \nabla \bar { Q } , \, | Q | ^ { 2 } = g _ { z \bar { z } } ^ { p } Q \bar { Q } .
\begin{array} { r l } { p ( { \bf U } ) } & { = \prod _ { n = 1 } ^ { N } \prod _ { m = 1 } ^ { M } p ( u _ { n , m } | g _ { n , m } , h _ { m } ) p ( g _ { n , m } ) p ( h _ { m } ) } \\ & { = \prod _ { n = 1 } ^ { N } \prod _ { m = 1 } ^ { M } \delta ( u _ { n , m } - g _ { n , m } h _ { m } ) p ( g _ { n , m } ) p ( h _ { m } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { I _ { n } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \mathcal Q _ { 1 } z _ { 1 } ^ { n } \ln ( \pi _ { 1 } ) \in C ( \Omega _ { 1 } ) , \qquad I _ { n } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \mathcal Q _ { 2 } z _ { 2 } ^ { n } \ln ( \pi _ { 1 } ) \in C ( \Omega _ { 2 } ) , \qquad n = 0 , 1 , } \\ & { I _ { n } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \mathcal Q _ { 1 } z _ { 1 } ^ { n } \ln ( \pi _ { 1 } ) + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \mathcal Q _ { 2 } z _ { 2 } ^ { n } \ln ( \pi _ { 2 } ) \in N R ( \Omega _ { 0 } ) , \qquad n = 0 , 1 . } \end{array}
P ( \nu _ { \alpha } \rightarrow \nu _ { \beta } ) \equiv P _ { \alpha \beta } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } | U _ { \alpha i } | ^ { 2 } | U _ { \beta i } | ^ { 2 } + \sum _ { i \neq j } U _ { \alpha i } U _ { \beta i } ^ { \ast } U _ { \alpha j } ^ { \ast } U _ { \beta j } \cos \left( \frac { 2 \pi L } { l _ { i j } } \right) ,
\begin{array} { r l } { R _ { h , k } } & { = U _ { h + 1 } U _ { h + 1 } ^ { H } A U _ { h } \hat { X } V _ { k } ^ { H } - U _ { h } \hat { X } V _ { k } ^ { H } B V _ { k + 1 } V _ { k + 1 } ^ { H } - U _ { h + 1 } \lVert \vec { u } \rVert _ { 2 } \lVert \vec { v } \rVert _ { 2 } \vec { e } _ { 1 } \vec { e } _ { 1 } ^ { T } V _ { k + 1 } ^ { H } } \\ & { = U _ { h + 1 } \left( U _ { h + 1 } ^ { H } A U _ { h } \hat { X } \left[ \begin{array} { l l } { I _ { b h } } & { 0 } \end{array} \right] - \left[ \begin{array} { l } { I _ { b k } } \\ { 0 } \end{array} \right] \hat { X } V _ { k } ^ { H } B V _ { k + 1 } - \lVert \vec { u } \rVert _ { 2 } \lVert \vec { v } \rVert _ { 2 } \vec { e } _ { 1 } \vec { e } _ { 1 } ^ { T } \right) V _ { k + 1 } ^ { H } } \\ & { = U _ { h + 1 } \left[ \begin{array} { l l } { U _ { h } ^ { H } A U _ { h } \hat { X } - \hat { X } V _ { k } ^ { H } B V _ { k } - \lVert \vec { u } \rVert _ { 2 } \lVert \vec { v } \rVert _ { 2 } \vec { e } _ { 1 } \vec { e } _ { 1 } ^ { T } } & { - \hat { X } V _ { k } ^ { H } B \vec { v } _ { k + 1 } } \\ { \vec { u } _ { h + 1 } ^ { H } A U _ { h } \hat { X } } & { 0 } \end{array} \right] V _ { k + 1 } ^ { H } } \\ & { = U _ { h + 1 } \left[ \begin{array} { l l } { A _ { h } \hat { X } - \hat { X } B _ { k } - \lVert \vec { u } \rVert _ { 2 } \lVert \vec { v } \rVert _ { 2 } \vec { e } _ { 1 } \vec { e } _ { 1 } ^ { T } } & { - \hat { X } V _ { k } ^ { H } B \vec { v } _ { k + 1 } } \\ { \vec { u } _ { h + 1 } ^ { H } A U _ { h } \hat { X } } & { 0 } \end{array} \right] V _ { k + 1 } ^ { H } } \\ & { = U _ { h + 1 } \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - \hat { X } V _ { k } ^ { H } B \vec { v } _ { k + 1 } } \\ { \vec { u } _ { h + 1 } ^ { H } A U _ { h } \hat { X } } & { 0 } \end{array} \right] V _ { k + 1 } ^ { H } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \eta } \left( y \right) } & { = \frac { f ( x ^ { * } - 1 / y ) } { [ 1 - F ( x ^ { * } - 1 / y ) ] y ^ { 2 } } - \gamma \left[ \frac { f ( x ^ { * } - 1 / y ) } { y ( 1 - F ( x ^ { * } - 1 / y ) ) } + \frac { 1 } { \gamma } \right] } \\ & { = : \tilde { \eta } _ { 1 } \left( y \right) + \tilde { \eta } _ { 2 } \left( y \right) . } \end{array}
{ \bf L } ^ { \mathrm { ~ m ~ } } = \dot { { \bf F } } ^ { \mathrm { ~ m ~ } } { \bf F } ^ { \mathrm { ~ m ~ } - 1 } , \qquad { \bf L } ^ { \mathrm { ~ c ~ } } = \dot { { \bf F } } ^ { \mathrm { ~ c ~ } } { \bf F } ^ { \mathrm { ~ c ~ } - 1 } .
\begin{array} { r l } { G } & { { } _ { \mathrm { q I E T } } ( \boldsymbol { k } , \omega ) = \frac { { B } ( \boldsymbol { k } ) } { \beta { U } ( \boldsymbol { k } ) } - \frac { 1 } { n } \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \chi _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { q } , \omega } ^ { 0 } } { \chi _ { \boldsymbol { k } , \omega } ^ { 0 } } \frac { k ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \left[ S ( | \boldsymbol { k } - \boldsymbol { q } | ) - 1 \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { R _ { p } C \partial _ { t } \psi _ { d } } & { = \ell _ { p } ^ { 2 } \partial _ { z } ^ { 2 } \psi _ { d } - \frac { R _ { p } } { R _ { F } } \psi _ { d } \, , } & & { z \in [ 0 , \ell _ { p } ] \, , } \\ { \psi _ { d } ( z , 0 ) } & { = 0 \, , } \\ { \ell _ { p } \partial _ { z } \psi _ { d } ( 0 , t ) } & { = \frac { R _ { p } } { R _ { r } } [ \psi _ { d } ( 0 , t ) - \Psi ( t ) ] , } \\ { \partial _ { z } \psi _ { d } ( \ell _ { p } , t ) } & { = 0 \, . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } y ( t ) = \mathrm { I m } \left\{ e ^ { \mathrm { j } \omega t } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } h ( \tau ) e ^ { - \mathrm { j } \omega \tau } d \tau \ \right] \right\} \; .
\begin{array} { r l } { M ( \mathbf { x } ) } & { = \mathcal { J } ( \mathbf { x } - \mathbb { O } , \mathbf { x } - \mathbb { O } ) + 1 , } \\ { A ( \mathbf { x } ) } & { = \mathcal { J } ( \mathbf { x } , \sum _ { j = 1 } ^ { m } \omega ( X _ { j } ) \cdot X _ { j } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \omega ( O _ { i } ) \cdot O _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = f ^ { * } \zeta } & { = f ^ { * } ( ( c _ { G } \circ \pi _ { [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } ) ^ { * } \omega _ { _ { G } } - \pi _ { \mathscr { G } } ^ { * } \omega ) } \\ & { = f ^ { * } \pi _ { [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } ^ { * } ( c _ { G } ^ { * } \omega _ { _ { G } } ) - f ^ { * } \pi _ { \mathscr { G } } ^ { * } \omega } \\ & { = ( \pi _ { [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } \circ f ) ^ { * } ( c _ { G } ^ { * } \omega _ { _ { G } } ) - ( \pi _ { \mathscr { G } } \circ f ) ^ { * } \omega } \\ & { = c _ { G } ^ { * } \omega _ { _ { G } } - ( \pi _ { \mathscr { G } } \circ f ) ^ { * } \omega , } \end{array}
\begin{array} { r } { D ^ { J } = p _ { 0 , 0 } ^ { J } + \sum _ { \mathrm { } a l l \, \, v ^ { \prime } , j ^ { \prime } } [ \operatorname* { m i n } ( J , j ^ { \prime } ) + 1 ] \Theta [ E _ { T } ^ { \prime } - V _ { \mathrm { e f f } } ] } \end{array}
s _ { 2 } = y _ { 1 } y _ { 2 } + y _ { 1 } y _ { 3 } + y _ { 1 } y _ { 4 } + y _ { 1 } y _ { 5 } + y _ { 2 } y _ { 3 } + y _ { 2 } y _ { 4 } + y _ { 2 } y _ { 5 } + y _ { 3 } y _ { 4 } + y _ { 3 } y _ { 5 } + y _ { 4 } y _ { 5 }
\begin{array} { r l } { [ \phi , f ] } & { { } = \frac { 1 } { \mathcal { J } } \epsilon _ { i j k } b _ { i } \frac { \partial \phi } { \partial \xi ^ { j } } \frac { \partial f } { \partial \xi ^ { k } } , } \\ { \nabla _ { \parallel } f } & { { } = b ^ { j } \frac { \partial f } { \partial \xi ^ { j } } , } \\ { \mathcal { C } ( f ) } & { { } = \frac { B } { 2 \mathcal { J } } \frac { \partial c _ { m } } { \partial \xi ^ { j } } \frac { \partial f } { \xi ^ { k } } \epsilon _ { k j m } , } \\ { \nabla _ { \perp } ^ { 2 } f } & { { } = \frac { 1 } { \mathcal { J } } \frac { \partial } { \partial \xi ^ { k } } \bigg ( \mathcal { J } ^ { - 1 } \epsilon _ { k l m } \epsilon _ { i \alpha \beta } g _ { m i } b _ { l } b _ { \alpha } \frac { \partial f } { \partial \xi ^ { \beta } } \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\lbrace \vphantom { \frac { \sum _ { 1 } } { \sum _ { 1 } } } \varepsilon _ { V } , \, \varepsilon _ { V \! P } , \, \varepsilon _ { P } \right\rbrace = \frac { \varepsilon _ { \mathrm { t a r g } } } { \sqrt { ( 1 + \lambda _ { P } ) \lambda _ { V } } + \sqrt { \lambda _ { V \! P } } + \sqrt { \lambda _ { V } \lambda _ { P } } } \left\lbrace \vphantom { \frac { \sum _ { 1 } } { \sum _ { 1 } } } \sqrt { \frac { \lambda _ { V } } { 1 + \lambda _ { P } } } , \, \sqrt { \lambda _ { V \! P } } , \, \sqrt { \frac { \lambda _ { P } } { \lambda _ { V } } } \right\rbrace \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! J { \frac { 1 } { Q ^ { 2 } } } J \left[ \rule { 0 cm } { 7 mm } g _ { 0 } ^ { 2 } \right. } & { + } & { \left. { \frac { g _ { 0 } ^ { 4 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \left( \beta _ { 0 } \left( \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \underbrace { - q ^ { 2 } } } } \right) + a \right) \right] } \\ & { } & { \qquad \qquad \qquad \quad Q ^ { 2 } } \\ { \mathrm { w h e r e \ } \beta _ { 0 } } & { = } & { - \frac 2 3 n _ { f } \mathrm { \qquad ~ a n d \ } a = \frac { 1 0 } 9 \, n _ { f } } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { i j } \left[ \boldsymbol { x } _ { i } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } \right] } & { { } = \frac { 1 } { \mathcal { Z } _ { i j } } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right) + \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \right) \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right] } \end{array}
\begin{array} { l } { { \Psi ( u ) = R ( { \bf B } _ { f } ) \Psi _ { f } ( u _ { f } ) , \quad \bar { \Psi } ( u ) = \bar { \Psi } _ { f } ( u _ { f } ) \widetilde { R } ^ { + } ( { \bf B } _ { f } ) , } } \\ { { g ( u ) \nabla \Psi ( u ) = S ( B _ { f } ) R ( { \bf B } _ { f } ) \gamma _ { f } D \Psi _ { f } ( u _ { f } ) , } } \\ { { \left( \nabla \bar { \Psi } ( u ) \right) g ( u ) = S ( B _ { f } ) \left( D \bar { \Psi } _ { f } ( u _ { f } ) \right) \gamma _ { f } \widetilde { R } ^ { + } ( { \bf B } _ { f } ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu } & { = \frac { \delta G [ n ] } { \delta n } = \frac { V _ { \mathrm { M } } } { 2 \pi r } \frac { \delta G [ r ] } { \delta r } } \\ & { = \frac { V _ { \mathrm { M } } } { 2 \pi r } \left( \frac { \partial g } { \partial r } - \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } z } \frac { \partial g } { \partial \frac { \partial r } { \partial z } } \right) } \end{array}
\langle N \rangle = \left\{ \begin{array} { l c } { { - \frac { 1 } { 2 } F , } } & { { - 1 < A ^ { - 1 } < \infty } } \\ { { } } & { { } } \\ { { \hphantom { - } \frac { 1 } { 2 } ( 2 - F ) , } } & { { - \infty < A ^ { - 1 } < - 1 } } \\ { { } } & { { } } \\ { { \hphantom { - } \frac { 1 } { 2 } ( 1 - F ) , } } & { { A = 0 } } \end{array} \right\} , \frac { 1 } { 2 } < F < 1 .
{ \mathcal L } _ { g h o s t } = i \int d ^ { 2 } \theta ~ \frac { 1 } { 4 } \mathrm { T r } ~ b \, \delta _ { c } f - i \int d ^ { 2 } \bar { \theta } ~ \frac { 1 } { 4 } \mathrm { T r } ~ \bar { b } \, \delta _ { \bar { c } } \bar { f } ,
\boldsymbol { \hat { n } _ { s } } \cdot \mathrm { \hat { T } _ { l } } \cdot \boldsymbol { \hat { t } _ { s } } - \boldsymbol { \hat { n } _ { s } } \cdot \mathrm { \hat { T } _ { s } } \cdot \boldsymbol { \hat { t } _ { s } } = 0 ,