harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\operatorname* { m i n } _ { a _ { i , . } , h _ { A _ { i , . } } , h _ { B _ { i , . } } , k _ { i , . } } \left\| \left[ a _ { i , . } , h _ { A _ { i , . } } , h _ { B _ { i , . } } , k _ { i , . } \right] ^ { T } \mathcal { D } - \mathbf { u _ { i } } ^ { k + 1 } \right\| _ { 2 } ,
\ln \, P _ { \mathrm { { s } } } ^ { \mathrm { { s u b } } } = \ln \, P _ { \mathrm { { l } } } ^ { \mathrm { { s u b } } } - { \frac { \Delta _ { \mathrm { { f u s } } } H } { R } } \left( { \frac { 1 } { T _ { \mathrm { { s u b } } } } } - { \frac { 1 } { T _ { \mathrm { { f u s } } } } } \right)
\mathcal { H } ( \nu _ { T } ( P _ { T } ) , [ [ X _ { T } | \nu _ { T } ( { P } _ { T } ) ] ] ) ) = \mathcal { H } \big ( \nu _ { T } ( P _ { T } ) , \{ x _ { T } \in \mathcal { X } _ { T } | \operatorname* { m i n } _ { \bar { x } _ { T } \in \nu _ { T } ( P _ { T } ) } d ( x _ { T } , \bar { x } _ { T } ) \leq \gamma _ { T } \} \big ) = \operatorname* { m a x } _ { x _ { T } \in [ [ X _ { T } | \nu _ { T } ( P _ { T } ) ] ] } \operatorname* { m i n } _ { \bar { x } _ { T } \in \nu _ { T } ( P _ { T } ) } d ( x _ { T } , \bar { x } _ { T } ) \leq \gamma _ { T }
\begin{array} { r l } { \mu _ { \mathrm { ~ B ~ R ~ O ~ W ~ N ~ } } ( t ) } & { { } = \mu _ { \mathrm { ~ R ~ A ~ N ~ D ~ } } ( t ) + \alpha ( \mu _ { \mathrm { ~ B ~ R ~ O ~ W ~ N ~ } } ( t - \Delta t ) - \mu _ { \mathrm { ~ R ~ A ~ N ~ D ~ } } ( t ) ) + \beta \epsilon ( t ) , \quad \epsilon ( t ) \sim \mathcal { U } ( [ - 1 , 1 ] ) , } \\ { \mu _ { \mathrm { ~ B ~ R ~ O ~ W ~ N ~ } } ( 0 ) } & { { } = \mu _ { \mathrm { ~ R ~ A ~ N ~ D ~ } } ( 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathcal { L } _ { 1 } } = i { { \gamma } _ { 1 } } { { I } _ { { { n } ^ { 2 } } } } \otimes M \otimes { { I } _ { { { n } _ { N H E O M } } } } } \\ & { = i { { \gamma } _ { 1 } } \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { } & { } & { } \\ { } & { 1 } & { } & { } \\ { } & { } & { 1 } & { } \\ { } & { } & { } & { 1 } \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { } & { } & { } \\ { } & { 1 } & { } & { } \\ { } & { } & { \ddots } & { } \\ { } & { } & { } & { { { n } _ { m a x } } } \end{array} \right) } \\ & { \otimes \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { } & { } & { } \\ { } & { 1 } & { } & { } \\ { } & { } & { \ddots } & { } \\ { } & { } & { } & { 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\mathbf { S } _ { \mathrm { l i n } } = \left( \begin{array} { l l l l } { r } & { t } & { r _ { x y } } & { t _ { x y } } \\ { t } & { r } & { t _ { x y } } & { r _ { x y } } \\ { - r _ { x y } } & { - t _ { x y } } & { r } & { t } \\ { - t _ { x y } } & { - r _ { x y } } & { t } & { r } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \langle \mathscr { z } \rangle _ { E } } & { \approx 2 7 \times 0 . 4 4 + 0 \times 0 . 1 2 + 2 7 \times 0 . 4 4 \approx 2 4 } \\ { \langle \mathscr { z } ^ { 2 } \rangle _ { E } } & { \approx 2 7 ^ { 2 } \times 0 . 4 4 + 0 ^ { 2 } \times 0 . 1 2 + 2 7 ^ { 2 } \times 0 . 4 4 \approx 6 4 2 } \\ { \langle \mathscr { x } ^ { 2 } \mathscr { z } \rangle _ { E } } & { \approx \left( - \sqrt { 7 2 } \right) ^ { 2 } \times 2 7 \times 0 . 4 4 + 0 ^ { 3 } \times 0 . 1 2 + \left( \sqrt { 7 2 } \right) ^ { 2 } \times 2 7 \times 0 . 4 4 \approx 1 7 1 1 . } \end{array}
V _ { \mathrm { d d } } ( { \mathbf { r } } ) = \frac { d ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } r ^ { 3 } } \left[ \hat { \mathbf { d } } _ { 1 } \cdot \hat { \mathbf { d } } _ { 2 } - 3 ( \hat { \mathbf { d } } _ { 1 } \cdot \hat { \mathbf { r } } ) ( \hat { \mathbf { d } } _ { 2 } \cdot \hat { \mathbf { r } } ) \right] ,
\begin{array} { r l } { i \dot { \psi } _ { j } } & { = \frac { E a } { 2 } \left( j - \frac { N } { 2 } \right) \psi _ { j } - t _ { j - 1 , j } \psi _ { j - 1 } - t _ { j , j + 1 } \psi _ { j + 1 } } \\ & { + A ( t _ { j - 1 , j } \psi _ { j - 1 } ^ { * } , t _ { j , j + 1 } \psi _ { j + 1 } ^ { * } , a E \psi _ { j } ^ { * } ) e ^ { i 2 \omega \tau } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { 1 - x } } } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } x ^ { n } } \\ { { \frac { 1 } { ( 1 - x ) ^ { 2 } } } } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n x ^ { n - 1 } } \\ { { \frac { 1 } { ( 1 - x ) ^ { 3 } } } } & { = \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } { \frac { ( n - 1 ) n } { 2 } } x ^ { n - 2 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathrm { F D R } ( \Hat { m } ( K ) ) = \underset { r = D _ { m ^ { * } } + 1 } { \overset { q } { \sum } } \frac { r - D _ { m ^ { * } } } { r } } & { \mathbb { P } \left( \underset { \ell = 0 } { \overset { r - 1 } { \cap } } \left\{ \underset { k = \ell + 1 } { \overset { r } { \sum } } \langle Y , u _ { k } \rangle ^ { 2 } > K \sigma ^ { 2 } ( r - \ell ) \right\} \right) } \\ { \times \ } & { \mathbb { P } \left( \underset { \ell = r + 1 } { \overset { q } { \cap } } \left\{ \underset { k = r + 1 } { \overset { \ell } { \sum } } \langle Y , u _ { k } \rangle ^ { 2 } < K \sigma ^ { 2 } ( \ell - r ) \right\} \right) . } \end{array}
\big [ \lambda _ { a } + \mu \frac { \partial } { \partial x } \big ] I ( x , \mu ) = - \lambda _ { s } I ( x , \mu ) + \frac { 1 } { 2 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } d \mu q ( \mu , \mu ^ { \prime } ) I ( x , \mu ^ { \prime } )
S ( \mathbf { q } ) = S ( \tilde { \mathbf { q } } ( \eta ) ) + \frac { 1 } { 2 } ( \mathbf { q } - \tilde { \mathbf { q } } ( \eta ) ) ^ { T } S ^ { ( 2 ) } ( \tilde { \mathbf { q } } ( \eta ) ) ( \mathbf { q } - \tilde { \mathbf { q } } ( \eta ) ) + \dots .
\begin{array} { r } { \alpha ^ { \prime } \wedge \mathrm { d } \alpha ^ { \prime } = ( \alpha + f \, \tau ) \wedge \mathrm { d } ( \alpha + f \, \tau ) = \alpha \wedge \mathrm { d } \alpha + \alpha \wedge \mathrm { d } ( f \, \tau ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { P ^ { ( n ) } ( t ) } & { { } \sim \int _ { - \infty } ^ { t } \mathrm { d } t _ { n } \int _ { - \infty } ^ { t _ { n } } \mathrm { d } t _ { n - 1 } \dots \int _ { - \infty } ^ { t _ { 2 } } \mathrm { d } t _ { 1 } R ^ { ( n ) } ( t , t _ { n } , \dots , t _ { 1 } ) } \end{array} } \end{array}
\Phi _ { n \varkappa } ^ { \mu } = \frac { 1 } { r } \left( \begin{array} { c } { G _ { n \varkappa } ( r ) \chi _ { \varkappa } ^ { \mu } } \\ { i F _ { n \varkappa } ( r ) \chi _ { - \varkappa } ^ { \mu } } \end{array} \right) .
( \rho , u _ { x } , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 0 . 4 4 5 , 0 . 6 9 8 , 3 . 5 2 8 ) , } & { 0 \leq x < 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 5 , 0 , 0 . 5 7 1 ) , } & { 0 . 5 \leq x \leq 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { m _ { i } ^ { t } } & { { } = \frac { 1 } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i } } \sum _ { \boldsymbol { x } _ { i } } p \left( x _ { i } ^ { 0 } \right) x _ { i } ^ { t } \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \left\{ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i } m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } } + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i } m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } } \right] \right\} \right. } \end{array}
i \Delta _ { + } ( x ) = \langle \, 0 \, | \, \varphi ( x ) \, \varphi ( 0 ) \, | \, 0 \, \rangle = \frac { 1 } { 4 \pi } \int d \theta e ^ { - \tau m \cosh \theta } = \frac { 1 } { 2 \pi } K _ { 0 } ( m \tau )
\begin{array} { r l } & { Q _ { 0 } ^ { 0 } = 1 , \quad Q _ { l } ^ { l } = - \, ( 2 l - 1 ) \, Q _ { l - 1 } ^ { l - 1 } , } \\ & { Q _ { l } ^ { l - 1 } = ( 2 l - 1 ) \, z \, Q _ { l - 1 } ^ { l - 1 } = - z Q _ { l } ^ { l } , } \\ & { Q _ { l } ^ { m } = [ ( 2 l - 1 ) \, z \, Q _ { l - 1 } ^ { m } - ( l + m - 1 ) \, r ^ { 2 } \, Q _ { l - 2 } ^ { m } ] / ( l - m ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } = ( S _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } , \mathcal { T } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } , + _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } , \, \cdot _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } \, , \times _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } , \, \langle , \rangle _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } \, , \mathrm { ~ e ~ v ~ a ~ l ~ } , * _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ f ~ t ~ } } , \mathcal { M } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ) . } \end{array}
\left. \frac { \partial q } { \partial d } \right| _ { d = 1 } = \left. \left\{ \frac { d ^ { 1 / N _ { I } - 1 } \left[ d \left( N _ { I } ^ { 2 } - 1 \right) + 1 \right] } { N _ { I } } - N _ { I } \right\} \right| _ { d = 1 } = 0
G ( \mathrm { g } _ { 1 } ^ { ( d - 1 ) } , \mathrm { g } _ { 2 } ^ { ( d - 1 ) } , t ) = \langle \mathrm { g } _ { 1 } ^ { ( d - 1 ) } | \hat { T } ^ { t } | \mathrm { g } _ { 2 } ^ { ( d - 1 ) } \rangle
\begin{array} { r l } { \tilde { \mu } _ { v } ^ { n } \Xi _ { v } ^ { - 1 } ( d \gamma ^ { \prime } ) } & { = \frac { 1 } { \tilde { Z } ^ { n } ( v ) } e ^ { - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } V ( \Delta _ { k } \gamma ^ { \prime } ) - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } F _ { k } ( ( \Xi _ { - v } \gamma ^ { \prime } ) _ { k } ) } \mathcal { M } _ { 0 , v n } ^ { 0 , n } ( d \gamma ^ { \prime } ) } \\ & { = \frac { 1 } { \tilde { Z } ^ { n } ( v ) } e ^ { - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } V ( \Delta _ { k } \gamma ^ { \prime } ) - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( \Xi _ { - v } ^ { * } F ) _ { k } ( \gamma _ { k } ^ { \prime } ) } \mathcal { M } _ { 0 , v n } ^ { 0 , n } ( d \gamma ^ { \prime } ) } \end{array}
\phi _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { s - i b _ { 1 2 } } } & { { b _ { 1 3 } - i b _ { 2 3 } } } \\ { { - b _ { 1 3 } - i b _ { 2 3 } } } & { { s + i b _ { 1 2 } } } \end{array} \right) , \quad \phi _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { - b _ { 0 3 } + i p } } & { { - b _ { 0 1 } + i b _ { 0 2 } } } \\ { { - b _ { 0 1 } - i b _ { 0 2 } } } & { { b _ { 0 3 } + i p } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { | \tilde { X } | } & { = \big | \sum _ { i j k \ell ( d i s t ) } \tilde { \Omega } _ { i j } \theta _ { j } \theta _ { k } \tilde { \Omega } _ { k \ell } \theta _ { \ell } \theta _ { i } \big | \lesssim \sum _ { i j k \ell } \beta _ { i } \theta _ { i } ^ { 2 } \beta _ { j } \theta _ { j } ^ { 2 } \beta _ { k } \theta _ { k } ^ { 2 } \beta _ { \ell } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \lesssim \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } \end{array}
\int d \xi _ { 0 } ^ { ( 3 ) } d \xi _ { 0 } ^ { ( 2 ) } d \xi _ { 0 } ^ { ( 1 ) } \mathrm { T r } ( \hat { A } _ { 1 } ( \xi _ { 0 } ^ { ( 1 ) } , \xi ) \star \hat { A } _ { 2 } ( \xi _ { 0 } ^ { ( 2 ) } , \xi ) \star \hat { A } _ { 3 } ( \xi _ { 0 } ^ { ( 3 ) } , \xi ) ) ~ ~ ~ \leftrightarrow ~ ~ ~ \langle \Psi _ { 1 } | \Psi _ { 2 } \star ^ { W } \Psi _ { 3 } \rangle
\begin{array} { r l } { \prod _ { V \in \pi } \left( 1 - \frac { 2 | V | } { d } \right) ^ { m } } & { = \exp \left( m \sum _ { V \in \pi } \log \left( 1 - \frac { 2 | V | } { d } \right) \right) } \\ & { = \exp \left( - \frac { m } { d } \cdot d \sum _ { V \in \pi } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { l } \frac { ( 2 | V | ) ^ { l } } { d ^ { \ell } } \right) } \\ & { = e ^ { - 2 n t } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } \left( - \frac { m } { d } \sum _ { V \in \pi } \sum _ { l = 2 } ^ { \infty } \frac { 1 } { l } \frac { ( 2 | V | ) ^ { l } } { d ^ { l - 1 } } \right) ^ { k } } \\ & { = e ^ { - 2 n t } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { k ! } \left( - \frac { m } { d } \sum _ { V \in \pi } \sum _ { l = 2 } ^ { \infty } \frac { 1 } { l } \frac { ( 2 | V | ) ^ { l } } { d ^ { l - 1 } } \right) ^ { k } + O ( d ^ { - n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F _ { 0 } ^ { x } ( x , y ) = - \int _ { 0 } ^ { y } f _ { x } ( x - y + \xi , \xi ) d \xi + \phi _ { 0 } ( x , y ) } \\ & { F _ { 0 } ^ { y } ( x , y ) = f _ { x } ( x , y ) + \int _ { y } ^ { x } f ( \sigma , y ) k ( x , \sigma ) d \sigma - \phi _ { 0 } ( x , y ) } \\ & { \phi _ { 0 } ( x , y ) = - g ^ { \prime } ( x - y ) + g ( x - y ) k ( x - y , x - y ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { y } f ( x - y + \eta , \eta ) k ( x - y + \eta , x - y + \eta ) d \eta } \end{array}
\partial _ { t } T + \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) \cdot \nabla T = \kappa _ { p } \Delta T , \quad T ( x , \mathbf { y } , 0 ) = T _ { I } ( x , \mathbf { y } ) , \quad \left. \partial _ { \mathbf { n } } T \right| _ { b o u n d a r y } = 0 ,
S _ { \mathrm { e f f } } = S _ { \mathrm { c l a s } } + \frac { i } { 2 } { \mathrm { T r } } \ln \hat { O } - i { \mathrm { T r } } \ln \hat { G } _ { \mathrm { g h o s t } } + \int \mathrm { d } ^ { 4 } x \sqrt { - g } F _ { \mu \nu } ( x ) F _ { \sigma \tau } ( x ) M ^ { \mu \nu \sigma \tau } ( x , x ) \; ,
D _ { \mathrm { p h y s . } } = c _ { 0 } + c _ { 1 } \, \alpha ( Q ^ { 2 } ) + c _ { 2 } \, \alpha ^ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) + c _ { 3 } \, \alpha ^ { 3 } ( Q ^ { 2 } ) + \cdots
\Sigma _ { i j } = \int d r d r ^ { \prime } \left( P _ { i } \left( r \right) , Q _ { i } \left( r \right) \right) K ( r , r ^ { \prime } ) \binom { P _ { j } \left( r ^ { \prime } \right) } { Q _ { j } \left( r ^ { \prime } \right) } \, .
H = \left\{ \left. \left( { \begin{array} { l l } { e ^ { 2 \pi i \theta } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { 2 \pi i a \theta } } \end{array} } \right) \right| \theta \in \mathbb { R } \right\} { \mathrm { w i t h ~ L i e ~ a l g e b r a ~ } } { \mathfrak { h } } = \left\{ \left. \left( { \begin{array} { l l } { i \theta } & { 0 } \\ { 0 } & { i a \theta } \end{array} } \right) \right| \theta \in \mathbb { R } \right\} ,
\begin{array} { r l r } & { \frac 1 D | \! | \boldsymbol { y } - X \hat { \boldsymbol { \beta } } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda \mathcal N ( \hat { \boldsymbol { \beta } } ) } & { \leq \frac 1 D | \! | \boldsymbol { y } - X \boldsymbol { \alpha } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda \mathcal N ( { \boldsymbol { \alpha } } ) } \\ { \Rightarrow } & { \frac 1 D | \! | X ( \boldsymbol { \beta } - \hat { \boldsymbol { \beta } } ) | \! | _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leq \frac 1 D | \! | X ( \boldsymbol { \beta } - \boldsymbol { \alpha } ) | \! | _ { 2 } ^ { 2 } + \frac 2 D \langle \boldsymbol { U } , X ( \hat { \boldsymbol { \beta } } - \boldsymbol { \alpha } ) \rangle + \lambda \mathcal N ( \boldsymbol { \alpha } ) - \lambda \mathcal N ( \hat { \boldsymbol { \beta } } ) } \\ & { } & { \leq \frac 1 D | \! | X ( \boldsymbol { \beta } - \boldsymbol { \alpha } ) | \! | _ { 2 } ^ { 2 } + \frac 2 D \langle X ^ { \top } \boldsymbol { U } , \hat { \boldsymbol { \beta } } - \boldsymbol { \alpha } \rangle + \lambda \mathcal N ( \boldsymbol { \alpha } ) - \lambda \mathcal N ( \hat { \boldsymbol { \beta } } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { x } L _ { \overline { { y } } } 1 + L _ { y } L _ { \overline { { x } } } 1 = 2 \langle x , y \rangle 1 = R _ { x } R _ { \overline { { y } } } 1 + R _ { y } R _ { \overline { { x } } } 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } ( u ( x ) , Y ( x ) , v ( x ) , p ( x ) ) = \mathcal { J } ( u , \hat { u } ) - \int _ { \Omega } v ( x ) \mathcal { F } ( u , q ) - \int _ { \partial \Omega } v ( x ) \mathcal { G } ( u , q ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle C _ { P r } ^ { 2 } \rangle _ { n } } & { { } } & { = \frac { 4 ! C ^ { 2 } ( k c T ) ^ { 2 n + 4 } } { ( k c ) ^ { 2 n } ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 4 ) } } \end{array}
\tilde { \lambda } _ { \mathrm { e f f } } = \frac { \lambda _ { \mathrm { e f f } } } { R _ { 0 } } = \tilde { R } _ { 1 } \ln ( \tilde { R } _ { 1 } ) \beta _ { 1 } \frac { I _ { - 1 } \ln ( \tilde { R } _ { 1 } ) - 2 S } { I _ { - 1 } \ln ( \tilde { R } _ { 1 } ) \beta _ { 1 } - 2 S ( \beta _ { 1 } - 1 ) } .
\begin{array} { r l } { \int _ { - \delta } ^ { \delta } e \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 } f ^ { \prime \prime } ( c ) \right) \, d x } & { = \frac { 1 } { | \pi f ^ { \prime \prime } ( c ) | ^ { 1 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { \pi \delta ^ { 2 } | f ^ { \prime \prime } ( c ) | } \frac { e ^ { - i u } } { \sqrt { u } } \, d u } \\ & { = \frac { 1 } { | \pi f ^ { \prime \prime } ( c ) | ^ { 1 / 2 } } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { e ^ { - i u } } { \sqrt { u } } \, d u - \int _ { \pi \delta ^ { 2 } | f ^ { \prime \prime } ( c ) | } ^ { \infty } \frac { e ^ { - i u } } { \sqrt { u } } \, d u \right) } \\ & { = \frac { e ( - 1 / 8 ) } { | \pi f ^ { \prime \prime } ( c ) | ^ { 1 / 2 } } + O ^ { * } \left( \frac { 1 } { \pi \delta | f ^ { \prime \prime } ( c ) | } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { F } _ { 1 4 } = 1 \otimes e _ { 4 } , } \\ & { \mathcal { F } _ { 2 4 } = ( s _ { 2 } ) \otimes e _ { 4 } + ( s _ { 1 } ) \otimes e _ { 3 1 } + 1 \otimes e _ { 2 2 } , } \\ & { \mathcal { F } _ { 3 4 } = ( s _ { 1 1 } + s _ { 3 } ) \otimes e _ { 4 } + ( s _ { 1 } + s _ { 2 } ) \otimes e _ { 3 1 } + ( s _ { 1 } ) \otimes e _ { 2 2 } + 1 \otimes e _ { 2 1 1 } , } \\ & { \mathcal { F } _ { 4 4 } = ( s _ { 1 1 1 } + s _ { 3 1 } + s _ { 4 1 } + s _ { 6 } ) \otimes e _ { 4 } + ( 2 s _ { 1 1 } + s _ { 2 1 } + 2 s _ { 3 } + s _ { 3 1 } + s _ { 4 } + s _ { 5 } ) \otimes e _ { 3 1 } \qquad \qquad \null } \\ & { \qquad \qquad + ( s _ { 1 1 } + s _ { 2 } + s _ { 2 1 } + s _ { 4 } ) \otimes e _ { 2 2 } + ( 3 s _ { 1 } + 2 s _ { 2 } + s _ { 3 } ) \otimes e _ { 2 1 1 } + 1 \otimes e _ { 1 1 1 1 } , } \\ & { \mathcal { F } _ { 6 4 } = s _ { 3 1 1 } + s _ { 4 2 } + s _ { 5 1 } + s _ { 6 1 } + s _ { 8 } ) \otimes e _ { 4 } } \\ & { \qquad \qquad + ( s _ { 2 1 } + s _ { 2 1 1 } + 2 s _ { 3 1 } + s _ { 3 2 } + s _ { 4 } + 2 s _ { 4 1 } + 2 s _ { 5 } + s _ { 5 1 } + s _ { 6 } + s _ { 7 } ) \otimes e _ { 3 1 } } \\ & { \qquad \qquad + ( s _ { 1 1 } + s _ { 1 1 1 } + s _ { 2 } + s _ { 2 1 } + s _ { 2 2 } + s _ { 3 1 } + s _ { 4 } + s _ { 4 1 } + s _ { 6 } ) \otimes e _ { 2 2 } } \\ & { \qquad \qquad + ( 2 s _ { 1 } + 2 s _ { 1 1 } + 2 s _ { 2 } + 2 s _ { 2 1 } + 4 s _ { 3 } + s _ { 3 1 } + 2 s _ { 4 } + s _ { 5 } ) \otimes e _ { 2 1 1 } } \\ & { \qquad \qquad + ( 1 + s _ { 1 } + s _ { 2 } ) \otimes e _ { 1 1 1 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { c a r } } } & { = \frac { \hbar } { 2 } \Omega ( \hat { \sigma } ^ { + } e ^ { i \phi _ { \mathrm { c } } } + \hat { \sigma } ^ { - } e ^ { - i \phi _ { \mathrm { c } } } ) , } \\ { \hat { H } _ { \mathrm { b s b } } } & { = i \eta \frac { \hbar } { 2 } \Omega ( \hat { \sigma } ^ { + } \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \phi _ { \mathrm { b } } } e ^ { - i \delta t } - \hat { \sigma } ^ { - } \hat { a } e ^ { - i \phi _ { \mathrm { b } } } e ^ { i \delta t } ) , } \\ { \hat { H } _ { \mathrm { r s b } } } & { = i \eta \frac { \hbar } { 2 } \Omega ( \hat { \sigma } ^ { + } \hat { a } e ^ { i \phi _ { \mathrm { r } } } e ^ { i \delta t } - \hat { \sigma } ^ { - } \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { - i \phi _ { \mathrm { r } } } e ^ { - i \delta t } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf F _ { \mathrm { t r a n s } , j , i } } & { = p _ { \mathbfcal { X } _ { k + 1 } | \mathbfcal { X } _ { k } } ( \mathbf x _ { k + 1 } ^ { ( j ) } | \mathbf x _ { k } ^ { ( i ) } ) \delta _ { k } } \\ & { = p _ { \mathbfcal { W } _ { k } } \left( \mathbf x _ { k + 1 } ^ { ( j ) } - \mathbf F \mathbf x _ { k } ^ { ( i ) } \right) \delta _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\vert \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } { { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) { \frac { \partial [ u ^ { \prime } ( \mathbf x ) - u ( \mathbf x ) ] } { \partial \nu } } } \mathrm d \sigma \right\vert } & { \leq \sqrt { \sigma ( { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } ) } { \left( { \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } { \left| { { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) { \frac { \partial ( u ^ { \prime } - u ) } { \partial \nu } } } \right| } ^ { 2 } } \mathrm d \sigma \right) ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } } } \\ & { \leq \sqrt { 2 h } \left| { { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) } \right| \sqrt { 2 h } { \left\| { \nabla ( u - u ^ { \prime } ) } \right\| _ { { L ^ { \infty } } ( { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } ) } } } \\ & { \leq 2 h { \left\| { \nabla ( u - u ^ { \prime } ) } \right\| _ { { L ^ { \infty } } ( { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } ) } } \leq C _ { 1 } \mathrm T ( \varepsilon ) h , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { e _ { \mathrm { p o i s s } } ^ { \mathrm { m a x } } = \operatorname* { m a x } _ { \textbf { x } _ { i } \in \mathring { \Omega } } | e _ { \mathrm { p o i s s } } ^ { \pm } ( \textbf { x } _ { i } ) | , } \\ & { e _ { \mathrm { p o i s s } } ^ { \mathrm { a v g } } = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { i n t } } } \sum _ { \textbf { x } _ { i } \in \mathring { \Omega } } | e _ { \mathrm { p o i s s } } ^ { \pm } ( \textbf { x } _ { i } ) | } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { 5 - 4 b } N _ { 0 } ^ { \mu _ { \mathtt { p } } } } & { \le 1 \overset \iff \varepsilon ^ { 5 - 4 b + \mu _ { \mathtt { p } } \rho ( 1 - 2 b ) } \le 1 \iff \rho \mu _ { \mathtt { p } } ( 2 b - 1 ) \le 5 - 4 b \iff \frac { 1 } { \rho } \ge \frac { ( 2 b - 1 ) \mu _ { \mathtt { p } } } { 5 - 4 b } } \\ & { \overset \iff A \ge \mu _ { \mathtt { p } } , } \end{array}
d \Omega _ { D } = \sin ^ { D - 2 } \varphi _ { 1 } \sin ^ { D - 3 } \varphi _ { 2 } \cdots \sin \varphi _ { D - 2 } d \varphi _ { 1 } d \varphi _ { 2 } \cdots d \varphi _ { D - 1 } \, ,
\mathbf { p } _ { i } = ( p _ { i , 0 } , p _ { i , 1 } , \dots , p _ { i , r } ) \in [ 0 , 1 ] ^ { r } \quad \mathrm { s u c h ~ t h a t } \quad p _ { i , h } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - t _ { r } } & { \mathrm { ~ i f ~ } h = 0 , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ } 0 < h < i , } \\ { t _ { i } } & { \mathrm { ~ i f ~ } h = i , } \\ { t _ { h } - t _ { h - 1 } } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
q ^ { 2 } \xi _ { 0 1 } ( p , q ) - p . q \xi _ { 1 0 } ( p , q ) = { \frac { 1 } { 2 } } \{ Z _ { 0 } ( q ^ { 2 } ; m ^ { 2 } ) - Z _ { 0 } ( p . q ; m ^ { 2 } ) + p ^ { 2 } \xi _ { 0 0 } ( p , q ) \}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial G } { \partial \phi } - \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \frac { \partial G } { \partial \phi _ { x _ { j } } } \right) = 0 } & { { } \Rightarrow \rho _ { f } - \epsilon \kappa ^ { 2 } \phi \lambda + \nabla \cdot ( \epsilon ( \mathbf { x } ) \nabla \phi ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { { \cal L } _ { \mathrm { g . f . } } } } & { { = } } & { { \displaystyle - \frac { 1 } { 2 \xi _ { 1 } } f _ { 1 } f _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 \xi _ { 2 } } f _ { 2 } f _ { 2 } , } } \\ { { f _ { 1 } } } & { { = } } & { { \partial ^ { \mu } G _ { 1 \mu } + i g _ { 1 } \xi _ { 1 } ( \phi ^ { \dagger } \phi _ { 0 } - \phi _ { 0 } ^ { \dagger } \phi ) , } } \\ { { f _ { 2 } } } & { { = } } & { { \partial ^ { \mu } G _ { 2 \mu } - i g _ { 2 } \xi _ { 2 } ( \phi ^ { \dagger } \phi _ { 0 } - \phi _ { 0 } ^ { \dagger } \phi ) . } } \end{array}
\nabla \cdot ( \mathbf { U } _ { i } \otimes \boldsymbol { w } _ { i } ) = \boldsymbol { w } _ { i } \cdot \nabla \mathbf { U } _ { i } = \boldsymbol { w } _ { i } \cdot ( \frac { \partial { \mathbf { \hat { U } } _ { i } } } { \partial x } , \frac { \partial { \mathbf { \hat { U } } _ { i } } } { \partial y } ) ,
\Delta m _ { K } ^ { 2 } \equiv ( m _ { K ^ { 0 } } ^ { 2 } - m _ { K ^ { + } } ^ { 2 } ) _ { Q C D } = ( 6 . 2 \pm 0 . 5 ) \times 1 0 ^ { - 3 } ~ \mathrm { G e V } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathcal L V ( n ) } & { = ( C ( n ) + S ( n ) + 1 ) \left( \frac { S ( n ) + 1 } { S ( n ) + 2 } - \frac { S ( n ) } { S ( n ) + 1 } \right) + S ( n ) \left( \frac { S ( n ) - 1 } { S ( n ) } - \frac { S ( n ) } { S ( n ) + 1 } \right) } \\ & { = \frac { C ( n ) + S ( n ) + 1 } { ( S ( n ) + 2 ) ( S ( n ) + 1 ) } - \frac 1 { S ( n ) + 1 } } \\ & { = \frac { C ( n ) - 1 } { ( S ( n ) + 2 ) ( S ( n ) + 1 ) } } \\ & { \ge 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \widehat { F } _ { \mathrm { ~ A ~ I ~ R ~ } , p } ^ { ( k ) } = \left( \frac { 1 } { p / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { p / 2 } F ^ { ( k ) } ( \xi _ { i } ) \right) + \gamma \left( \widehat { F } _ { \mathrm { ~ A ~ I ~ R ~ } , p } ^ { ( k - 1 ) } - \frac { 1 } { p / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { p / 2 } F ^ { ( k - 1 ) } ( \xi _ { i } ) W _ { k } ( \xi _ { i } ) \right) \, , } \end{array}
E _ { 1 1 } ^ { N \pm 1 } \equiv \frac { \langle \Psi _ { 1 } ^ { N \pm 1 } | H _ { N \pm 1 } | \Psi _ { 1 } ^ { N \pm 1 } \rangle } { \langle \Psi _ { 1 } ^ { N \pm 1 } | \Psi _ { 1 } ^ { N \pm 1 } \rangle }