harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
< v a c ^ { \prime } | { a ^ { a } } _ { i } ( \vec { k } ) ^ { \dagger } { a ^ { a } } _ { i } ( \vec { k } ^ { \prime } ) | v a c ^ { \prime } > = 8 \times 2 \times A ^ { 2 } e ^ { - B \kappa ^ { 2 } } \delta ( \vec { k } - \vec { k } ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r } { \mathbf { G } = \sqrt { \frac { K } { K + 1 } } \mathbf { G } ^ { \mathrm { L o S } } + \sqrt { \frac { 1 } { K + 1 } } \mathbf { G } ^ { \mathrm { N L o S } } } \\ { \mathbf { H } = \sqrt { \frac { K } { K + 1 } } \mathbf { H } ^ { \mathrm { L o S } } + \sqrt { \frac { 1 } { K + 1 } } \mathbf { H } ^ { \mathrm { N L o S } } } \end{array}
\frac { \cos \left( \frac { \theta _ { 1 } + \phi } { 2 } + \frac { \pi } { 8 g } \right) } { \sin \left( \frac { \theta _ { 1 } - \phi } { 2 } + \frac { \pi } { 8 g } \right) } \in \left( - \infty , R ^ { \prime } s ^ { \prime } \right) \cup \left( \frac { R ^ { \prime } } { s ^ { \prime } } , \infty \right) .
e ^ { \hat { \mu } } = \tilde { E } _ { \alpha } ^ { \hat { \mu } } d \theta ^ { \alpha } + \tilde { E } _ { \nu } ^ { \hat { \mu } } d x ^ { \nu } + \tilde { E } _ { i } ^ { \hat { \mu } } d \Phi ( x , \theta ) ^ { i } + \tilde { E } _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { \hat { \mu } } d \Psi ^ { \alpha ^ { \prime } } ( x , \theta ) ,
\begin{array} { r l } & { \mathsf { R } ( R _ { 1 , n } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | \hat { T } _ { x ^ { n } } ) } \\ & { = \mathsf { R } ( R _ { 1 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X } ) - s ^ { * } \frac { L _ { 1 } } { \sqrt { n } } + O ( | R _ { 1 , n } - R _ { 1 } ^ { * } | ^ { 2 } ) } \\ { * } & { \qquad + \sum _ { x } \Big ( \hat { T } _ { x ^ { n } } - P _ { X } ( x ) \Big ) \jmath ( x , g ( x ) | R _ { 1 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } , P _ { X } ) + O \Big ( \| \hat { T } _ { x ^ { n } } - P _ { X } \| ^ { 2 } \Big ) , } \\ & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( x _ { i } , g ( x _ { i } ) | R _ { 1 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } , P _ { X } ) - \frac { s ^ { * } L _ { 1 } } { \sqrt { n } } + O \Big ( \frac { \log n } { n } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { I } _ { 3 } ( \zeta ^ { 1 } , \zeta ^ { 2 } , \zeta ^ { 3 } ) } & { = - \lambda ( \frac { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } } { 2 ( \cos \theta - 1 ) \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } + \frac { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 3 } } { 2 ( \cos \theta - 1 ) \alpha _ { 1 } \alpha _ { 3 } } + \frac { \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } } { 4 ( \cos \theta - 1 ) ( \cos \theta + 1 ) \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } } ) } \\ & { = \frac { - \lambda } { 2 ( \cos \theta - 1 ) } ( \frac { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } } { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } + \frac { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 3 } } { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 3 } } - \frac { 1 } { ( \cos \theta + 1 ) } \cdot \frac { ( \cos \theta + 1 ) } { \alpha _ { 1 } } ) } \\ & { = \frac { - \lambda } { 2 ( \cos \theta - 1 ) \alpha _ { 1 } } ( \frac { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } } { \alpha _ { 2 } } + \frac { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 3 } } { \alpha _ { 3 } } - { 1 } ) } \\ & { = \frac { - \lambda } { 2 ( \cos \theta - 1 ) \alpha _ { 1 } } ( \alpha _ { 1 } ( \frac { 1 } { \alpha _ { 2 } } + \frac { 1 } { \alpha _ { 3 } } ) + 1 ) } \\ & { = \frac { - \lambda } { 2 ( \cos \theta - 1 ) \alpha _ { 1 } } ( - { 2 ( \cos \theta + 1 ) } + 1 ) } \\ & { = \frac { - 2 \sin \theta ( 1 - \cos \theta ) } { 2 ( \cos \theta - 1 ) ( - 2 \sin \theta ( \cos \varphi + \cos \theta ) ) } ( - 2 \cos \theta - 1 ) = \frac { 2 \cos \theta + 1 } { 2 ( \cos \varphi + \cos \theta ) } . } \end{array}
f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , k _ { 1 } , k _ { 2 } , 0 ) = \frac { \sqrt { 2 m k _ { B } T } } { \pi \hbar } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 1 + \exp ( y ^ { 2 } + \frac { ( ( \hbar k _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( \hbar k _ { 2 } ) ^ { 2 } ) / ( 2 m ) - E _ { \mathrm { ~ F ~ } } } { k _ { B } T } ) } \mathrm { d } y ,
L = { \frac { m } { 2 } } ( { \dot { x } } ^ { 2 } + { \dot { y } } ^ { 2 } + { \dot { z } } ^ { 2 } ) + q ( { \dot { x } } A _ { x } + { \dot { y } } A _ { y } + { \dot { z } } A _ { z } ) - q \phi
\begin{array} { r l r l } { c _ { i 0 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { a _ { i 1 } \ \ } & { \mathrm { i f } \ \gamma _ { i 1 } = 0 } \\ { 0 \ \ } & { \mathrm { i f } \ \gamma _ { i 1 } > 0 } \end{array} \right. } \\ { c _ { i j } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { a _ { i ( j + 1 ) } \ \ } & { \mathrm { i f } \ \gamma _ { i 1 } = 0 } \\ { a _ { i j } \ \ } & { \mathrm { i f } \ \gamma _ { i 1 } > 0 } \end{array} \right. } & { j } & { = 1 , 2 , \ldots , } \\ { j / q _ { i } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \gamma _ { i 2 } + \cdots + \gamma _ { i ( j + 1 ) } \ \ } & { \mathrm { i f } \ \gamma _ { i 1 } = 0 } \\ { \gamma _ { i 1 } + \cdots + \gamma _ { i j } \ \ } & { \mathrm { i f } \ \gamma _ { i 1 } > 0 } \end{array} \right. } & { j } & { = 1 , 2 , \ldots , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { 1 t } + u _ { 0 } h _ { 1 x } + \big ( h _ { 0 } K ( x , t ) \big ) _ { x } - \frac { \gamma } { 6 A _ { 2 } ( \theta _ { B } ) } \big ( h _ { 0 } ^ { 3 } h _ { 0 x x x } \big ) _ { x } } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } \left( \frac { \widetilde { H } _ { \mathrm { f , I w } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { 0 } ) } { \Lambda _ { \mathcal { O } } ( \Gamma _ { \textup { c y c } } ) \cdot \delta _ { T } ^ { 1 } ( \kappa _ { \textup { c y c } } ( T ) ) } \right) } & { = \operatorname* { d e t } \left( \frac { { H } _ { \mathrm { I w } } ^ { 1 } ( \mathbb { Q } _ { p } , T ) } { \Lambda _ { \mathcal { O } } ( \Gamma _ { \textup { c y c } } ) \cdot \textup { r e s } _ { p } ( \kappa _ { \textup { c y c } } ( T ) ) } \right) \cdot \operatorname* { d e t } \left( \mathrm { c o k e r } \, \partial _ { T \otimes \epsilon _ { K } } ^ { 1 } \right) } \\ & { = \mathrm { C o l } _ { T } ( \kappa _ { \textup { c y c } } ( T ) ) \cdot \operatorname* { d e t } \left( \widetilde { H } _ { \mathrm { f , I w } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { \emptyset } ) \right) } \\ & { = \mathrm { C o l } _ { T } ( \kappa _ { \textup { c y c } } ( T ) ) \cdot \operatorname* { d e t } \left( \varinjlim \left( \mathrm { C l } ( { L _ { n } } ) [ p ^ { \infty } ] \right) ^ { \iota , \vee } \right) } \\ & { = \mathrm { C o l } _ { T } ( \kappa _ { \textup { c y c } } ( T ) ) \cdot ( \chi \epsilon _ { K } ) _ { \Lambda } \left( \Theta _ { f p ^ { \infty } } \right) \mod \Lambda _ { \mathcal { O } } ( \Gamma _ { \textup { c y c } } ) ^ { \times } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| a \right\| \leq 2 ( 1 - \beta ) \left\| \varphi ( \xi ) \varphi ( \xi ) ^ { \top } \right\| \leq 2 ( 1 - \beta ) \kappa ^ { 2 } } \\ & { \left\| b \right\| \leq 2 \beta \left\| \varphi ( \xi ) \varphi ( \xi ^ { \prime } ) ^ { \top } \right\| ^ { 2 } \leq \beta \kappa ^ { 2 } } \\ & { \left\| c \right\| \leq \left\| \left\langle \Lambda , \varphi ( \xi ) \varphi ( \xi ^ { \prime } ) ^ { \top } \right\rangle \varphi ( \xi ) \varphi ( \xi ^ { \prime } ) ^ { \top } \right\| \leq \operatorname* { s u p } \left\| \Lambda \right\| \kappa ^ { 4 } . } \end{array}
\Delta F _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) \equiv F _ { 2 } ^ { e p } ( x , Q ^ { 2 } ) - F _ { 2 } ^ { e n } ( x , Q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 3 } \left[ x u _ { v } ( x , Q ^ { 2 } ) - x d _ { v } ( x , Q ^ { 2 } ) \right] \; .
\frac { 1 } { | { \Omega _ { 0 } } | } \int _ { { \Omega _ { 0 } } } \mathbb { K } _ { \alpha } v ( x ) e ^ { - i 2 \pi \tilde { n } \cdot x } d x = \frac { ( - i 2 \pi \tilde { n } ) ^ { \alpha } } { { l ( - \tilde { n } ) } | { \Omega _ { 0 } } | } \int _ { { \Omega _ { 0 } } } v ( x ) e ^ { - i 2 \pi \tilde { n } \cdot x } d x = \frac { ( - i 2 \pi \tilde { n } ) ^ { \alpha } v _ { n } } { { l ( - \tilde { n } ) } } .
\begin{array} { r l } { f _ { s } = \int _ { - \kappa } ^ { \infty } \mathrm { ~ D ~ } w \, , \; M ^ { * } } & { { } = \frac { \alpha \sigma \sqrt { c } } { \Delta ( \chi ^ { * } ) } \int _ { - \kappa } ^ { \infty } \mathrm { ~ D ~ } w \left( w + \kappa \right) \, , } \\ { \chi ^ { * } = \frac { \alpha } { \Delta ( \chi ^ { * } ) } \int _ { - \kappa } ^ { \infty } \mathrm { ~ D ~ } w , \; 1 } & { { } = \frac { \alpha ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { \Delta ( \chi ^ { * } ) ^ { 2 } } \int _ { - \kappa } ^ { \infty } \mathrm { ~ D ~ } w \left( w + \kappa \right) ^ { 2 } . } \end{array}
X \equiv < \! 0 | \chi ^ { 2 } | 0 \! > = \int d ^ { 3 } x d ^ { 3 } y { \frac { F ( \mathbf { x } ) F ( \mathbf { y } ) + \mathbf { \nabla } G ( \mathbf { x } ) \! \cdot \! \mathbf { \nabla } G ( \mathbf { y } ) } { 4 \pi ^ { 2 } | \mathbf { x } - \mathbf { y } | ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } & { \tilde { \Omega } ^ { ( \mu , \lambda ) } ( p _ { Z K _ { i } } ) : = \operatorname* { m i n } _ { \scriptstyle \atop { \scriptstyle p _ { i } \in { \tilde { \cal P } ( p _ { Z K _ { i } } ) } } } \tilde { \Omega } ^ { ( \mu , \lambda ) } ( p _ { i } ) , } \\ & { \tilde { F } ^ { ( \mu , \lambda ) } ( { \mu } R _ { \cal A } + \bar { \mu } R _ { i } | p _ { Z K _ { i } } ) } \\ & { : = \frac { \tilde { \Omega } ^ { ( \mu , \lambda ) } ( p _ { Z K _ { i } } ) - \lambda ( { \mu } R _ { \cal A } + \bar { \mu } R _ { i } ) } { 2 + \lambda ( 5 - { \mu } ) } , } \\ & { \tilde { F } ( R _ { \cal A } , R _ { i } | p _ { Z K _ { i } } ) : = \operatorname* { s u p } _ { \scriptstyle \lambda \geq 0 , \atop { \scriptstyle \mu \in [ 0 , 1 ] } } \tilde { F } ^ { ( \mu , \lambda ) } ( { \mu } R _ { \cal A } + \bar { \mu } R _ { i } | p _ { Z K _ { i } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { 2 ^ { \mu } \, z ^ { \mu + \frac { 1 } { 2 } } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } z } } { \sqrt { \pi } } \, \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \, \int _ { - \mathrm { i } \, \infty } ^ { \mathrm { i } \, \infty } } & { \frac { \Gamma ( \frac { \mu - \kappa + 1 / 2 } { 2 } + t ) \, \Gamma ( \frac { \mu + \kappa + 1 / 2 } { 2 } + t ) \, \Gamma ( \mu + \frac { 1 } { 2 } + t ) \, \Gamma ( - t ) } { \Gamma ( 2 \mu + 1 + 2 t ) \, \Gamma ( \mu + \frac { 1 } { 2 } + 2 t ) } } \\ & { \qquad \qquad \times z ^ { 2 t } \, M ( \frac { \mu - \kappa + 1 / 2 } { 2 } + t , \mu + \frac { 1 } { 2 } + 2 t , z ) \, \mathrm { d } t \ . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textrm { B E } _ { \textrm { s i n g l e } } = } & { { } } & { ( E _ { k = 0 } ^ { \textrm { f r e e } } - E _ { k = 0 } ^ { \textrm { b o u n d } } ) } \\ { = } & { { } } & { V + \frac { 4 t _ { \textrm { i n t r a } } ^ { 2 } } { V } - 4 | t _ { \textrm { i n t r a } } | . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { K } ^ { t } } & { \boldsymbol { C } } \\ { \boldsymbol { C } ^ { \top } } & { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right] \left\{ \begin{array} { l } { \Delta \boldsymbol { \hat { u } } ^ { n + 1 } } \\ { \Delta \boldsymbol { \hat { \lambda } } ^ { n + 1 } } \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array} { l } { - \left( \boldsymbol { R } ^ { u } + \boldsymbol { C } \boldsymbol { \hat { \lambda } } \right) } \\ { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right\} .
\frac { d ( n _ { B } / s ) } { d \log { \omega } } = \frac { g ^ { 2 } c ^ { 5 } } { 5 1 2 } \frac { 4 5 n _ { f } ( N _ { e f f } ) ^ { 1 / 4 } } { \sigma _ { 0 } \pi ^ { 6 } } \frac { M _ { 0 } } { T _ { c } } \biggl ( \frac { \psi _ { 0 } } { M } \biggr ) ^ { 5 } \biggl ( \frac { m } { H _ { i } } \biggr ) ^ { 5 } \biggl ( \frac { H _ { i } } { M _ { P } } \biggr ) ^ { \frac { 5 } { 2 } } e ^ { c ( \frac { m } { H _ { i } } ) ( \frac { \psi _ { 0 } } { M } ) } e ^ { - 2 ( \frac { \omega _ { \mathrm { m a x } } } { \omega _ { \sigma } } ) ^ { 2 } } .
2 \operatorname { T V } ( \mathcal { N } ( 0 , \Sigma _ { 1 } ) , \mathcal { N } ( 0 , \Sigma _ { 2 } ) ) ^ { 2 } \le \operatorname { K L } ( \mathcal { N } ( 0 , \Sigma _ { 1 } ) \parallel \mathcal { N } ( 0 , \Sigma _ { 2 } ) ) = \frac { 1 } { 2 } \big ( \log ( \operatorname* { d e t } ( \Sigma _ { 2 } \Sigma _ { 1 } ^ { - 1 } ) ) - d + \operatorname { t r } ( \Sigma _ { 2 } ^ { - 1 } \Sigma _ { 1 } ) \big ) .
\left. \frac { d h _ { 1 } } { d x } \right| _ { x = 0 } = \left. \frac { d h _ { 1 } } { d x } \right| _ { x = L _ { x } } = \left. \frac { d ^ { 3 } h _ { 1 } } { d x ^ { 3 } } \right| _ { x = 0 } = \left. \frac { d ^ { 3 } h _ { 1 } } { d x ^ { 3 } } \right| _ { x = L _ { x } } .
\omega ( z ) = \omega _ { 0 } { \frac { \cal A } { \cal B } } \ , \quad \Delta \omega = \omega ^ { \prime } ( z ) \, \chi ( z ) = \omega _ { 0 } { \frac { \cal A } { \cal B } } \sum _ { i = 1 } ^ { \cal N } \left( { \frac { 1 } { z - a _ { i } } } - { \frac { 1 } { z - b _ { i } } } \right) \chi ( z ) \ .
\begin{array} { r } { \frac { \operatorname { E } [ W _ { 1 } C _ { 2 } ] - \operatorname { E } [ W _ { 1 } ] \operatorname { E } [ C _ { 2 } ] } { \sigma _ { W _ { 1 } } \, \sigma _ { C _ { 2 } } } = 0 . } \end{array}
F ( t ; t _ { r } ) = \theta ( t _ { r } - t ) [ \frac { 1 } { 2 } - \frac { 3 } { 4 } \cos ( \pi t / t _ { r } ) + \frac { 1 } { 4 } \cos ( \pi t / t _ { r } ) ^ { 3 } ] + \theta ( t - t _ { r } )
\begin{array} { r l } { \vert u _ { 1 } - \tilde { u } _ { 1 } \vert } & { \le \frac 4 \eta ( \vert u _ { 2 } \vert _ { L _ { s } ^ { \infty } } + \vert u _ { 3 } \vert _ { L _ { s } ^ { \infty } } ) + \frac 1 { \kappa _ { k _ { 0 } } } ( \frac 2 \beta \vert u _ { 1 } \vert _ { L _ { s } ^ { \infty } } + \frac { 4 c } { \eta \beta } ( \vert u _ { 2 } \vert _ { L _ { s } ^ { \infty } } + \vert u _ { 3 } \vert _ { L _ { s } ^ { \infty } } ) ) + \frac 3 \beta \frac { c ^ { 4 } } { \kappa _ { k _ { 0 } } } } \\ & { \le 8 c \operatorname* { m i n } ( \beta , \pi ) + 4 ( 2 \pi + 1 ) c c _ { 1 } + \frac 4 { \kappa _ { k _ { 0 } } \beta } ( 1 + c _ { 1 } ) + \frac 5 \eta 6 ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 2 } } < c _ { 1 } } \end{array}
f ( t , x _ { t } ) = \mathbb { E } [ - C A _ { t } ^ { - 1 } \nabla \Phi ( \tilde { X } _ { 0 } ) | \tilde { X } _ { t } = x _ { t } ] = \frac { \int C A _ { t } ^ { - 1 } \nabla \Phi ( x ) \exp ( - \Phi ( x ) ) \mathrm { d } \mathcal { N } ( A _ { t } x _ { t } , Q _ { t } ) } { \int \exp ( - \Phi ( x ) ) \mathrm { d } \mathcal { N } ( A _ { t } x _ { t } , Q _ { t } ) } .
q _ { k } ^ { \prime } \| q _ { k } ^ { \prime } \alpha ^ { \prime } \| - q _ { k } \| q _ { k } \alpha \| = \frac { ( - 1 ) ^ { k } a _ { 1 } } { ( R q _ { k } + q _ { k - 1 } ) ( R q _ { k } ^ { \prime } + q _ { k - 1 } ^ { \prime } ) } = \frac { ( - 1 ) ^ { k } a _ { 1 } } { a _ { k + 1 } ^ { 2 } q _ { k } q _ { k } ^ { \prime } } + O \left( \frac { a _ { 1 } } { a _ { k + 1 } ^ { 3 } q _ { k } q _ { k } ^ { \prime } } \right)
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot ( \rho _ { 0 } \mathbf { u } ) } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial ( \rho _ { 0 } \vec { u } ) } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \rho _ { 0 } \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } \right) } & { = - \rho _ { 0 } \nabla \left( \alpha _ { 0 } p ^ { \prime } \right) + \rho _ { 0 } b \mathbf { k } - f \mathbf { k } \times \rho _ { 0 } ( \mathbf { u } - \mathbf { u } _ { g } ) + \nabla \cdot ( \rho _ { 0 } \mathbf { \sigma } ) , } \\ { \frac { \partial ( \rho _ { 0 } \theta _ { l } ) } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \rho _ { 0 } \mathbf { u } \theta _ { l } \right) } & { = - \frac { 1 } { c _ { p m } \Pi } \nabla \cdot ( \rho _ { 0 } \mathbf { F } _ { R } ) + \rho _ { 0 } w _ { \mathrm { s u b } } \frac { \partial \theta _ { l } } { \partial z } + \frac { 1 } { \mathrm { P r } } \nabla \cdot \bigl ( \rho _ { 0 } \nu _ { t } \nabla \theta _ { l } \bigr ) , } \\ { \frac { \partial ( \rho _ { 0 } q _ { t } ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho _ { 0 } \mathbf { u } q _ { t } ) } & { = \rho _ { 0 } w _ { \mathrm { s u b } } \frac { \partial q _ { t } } { \partial z } + \frac { 1 } { \mathrm { S c } _ { q _ { t } } } \nabla \cdot ( \rho _ { 0 } \nu _ { t } \nabla q _ { t } ) . } \end{array}
A = \underbrace { \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { n 1 } } & { a _ { n 2 } } & { \cdots } & { a _ { n n } } \end{array} \right] } _ { \textstyle L _ { * } } + \underbrace { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { a _ { 1 2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { a _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right] } _ { \textstyle U } .
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { A A } ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { { } = ( - \alpha k _ { 3 } ) \left[ \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) + \alpha k _ { 3 } ( \mu _ { A } ( \tau ) R _ { B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) + R _ { A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) ) R _ { B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \right] ^ { - 1 } \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { 3 0 L e ^ { 1 2 L ^ { 2 } } \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } + 1 ) ( s _ { 2 } ^ { \prime } - s _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \\ & { \leq } & { 1 2 0 \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } L ^ { 3 } e ^ { 1 2 L ^ { 2 } } T ^ { - 1 } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { - ( | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L + 2 L ^ { - 1 } ) ^ { 2 } - 4 L ^ { - 1 } } } \\ & { } & { \times ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) \times 3 0 0 L e ^ { 2 0 L ^ { 2 } } T ^ { - 1 } . } \end{array}
\operatorname { c d f } _ { X } ( x ) = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \operatorname { I m } \left[ e ^ { - \mathrm { i } t x } \operatorname { c f } _ { X } ( t ) \right] } { t } \, d t .
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k - 1 , 1 0 k - 3 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 , 1 0 k - 4 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 , 1 0 k - 5 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 , 1 0 k - 6 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { R } } & { { } = } & { \Delta \lambda \Delta t \Omega _ { \mathrm { ~ f ~ o ~ v ~ } } a _ { R } ^ { 2 } , } \\ { N _ { B B } } & { { } = } & { 2 c \lambda ^ { - 4 } \left[ e ^ { h c / ( \lambda k _ { B } T ) } - 1 \right] ^ { - 1 } , } \\ { n } & { { } = } & { \Gamma _ { R } N _ { B B } , } \end{array}
+ t _ { 3 } \sin ( q _ { y } b ) \{ J _ { 1 } ( K _ { y } ) J _ { 2 } ( K _ { x } ) [ K _ { y } + K _ { x } \cos ( \varphi ) ] - J _ { 1 } ( K _ { x } ) J _ { 2 } ( K _ { y } ) [ K _ { y } \cos ( \varphi ) + K _ { x } \cos ( 2 \varphi ) ] \} \} / 3
\begin{array} { r l } { | \partial \textup { S p } | } & { \approx 2 ( 1 - h _ { 1 } ) ^ { n - 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - ( n - 3 ) \left( \frac 1 { 2 ( 1 - h _ { 1 } ) } x _ { 1 } ^ { 2 } + O ( x _ { 1 } ^ { 4 } ) \right) } \, d x _ { 1 } } \\ & { = 2 ( 1 - h _ { 1 } ) ^ { n - 2 } \left[ \frac 1 { \sqrt { 2 ( 1 - h _ { 1 } ) } } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - ( n - 3 ) y ^ { 2 } } d y + \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - ( n - 3 ) y ^ { 2 } } O ( y ^ { 2 } ) d y \right] . } \end{array}
\left( 1 + \mu _ { t } ^ { i } / \mu _ { w } \right) \left( \frac { d \bar { U } ^ { + } } { d Y ^ { + } } \right) = \left( 1 + \mu _ { t } ^ { c } / \bar { \mu } \right) \left( \frac { \delta _ { v } ^ { * } } { u _ { \tau } ^ { * } } \frac { d \bar { u } } { d y } \right) ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } f } & { { } = \partial _ { p } \left( \left[ \int _ { \mathbb { R } _ { k } } W \delta \left( \left( 1 + \lambda ^ { 2 } k ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } - p k \right) d k \right] \partial _ { p } f \right) , } \\ { \partial _ { t } W } & { { } = \left[ \int _ { \mathbb { R } _ { p } } \left( \partial _ { p } f \right) p \delta \left( \left( 1 + \lambda ^ { 2 } k ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } - p k \right) d p \right] W , } \end{array}
( e ^ { - i \vec { \hat { p } } \cdot \vec { f } ( \vec { x } , t ) } ) ( e ^ { - i \vec { \hat { p } } \cdot \vec { f } ( \vec { x } , t ) } ) ^ { \dagger } = ( e ^ { - i \vec { \hat { p } } \cdot \vec { f } ( \vec { x } , t ) } ) ( e ^ { i \vec { \hat { p } } ^ { \dagger } \cdot \vec { f } ( \vec { x } , t ) } ) = \hat { I }
\tilde { \mathbf { v } } _ { i } = \mathbf { v } _ { i } ( t ) + \delta t ( \frac { d \mathbf { v } _ { i } } { d t } - \frac { \chi } { m _ { i } } \sum _ { j } ( \frac { 1 } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \sigma _ { j } ^ { 2 } } ) \frac { \partial { W } } { \partial { r _ { i j } } } \mathbf { e } _ { i j } ) .
{ \cal R } _ { b , a } = { \cal C } _ { k } \int d p _ { \parallel } \left[ p _ { \parallel } ^ { 2 } + ( p _ { \parallel } + k ) ^ { 2 } ) \right] \left[ n _ { f } ( k + p _ { \parallel } ) ( 1 - n _ { f } ( p _ { \parallel } ) ) \right] ~ C _ { g } ~ g ( p _ { \parallel } , k , \kappa , T )
m _ { \tilde { t } _ { L } } ^ { 2 } = m _ { \tilde { Q } } ^ { 2 } + m _ { t } ^ { 2 } + ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 2 } { 3 } s i n ^ { 2 } \theta _ { W } ) M _ { Z } ^ { 2 } c o s 2 \beta
\begin{array} { r } { I ( r _ { s } ) = \frac { 9 \hbar ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } } { 1 6 k ^ { 2 } \mu ^ { 2 } r _ { s } ^ { 2 } } \sum _ { i , j } e ^ { - i \mathbf { k _ { s } } \cdot \mathbf { r _ { i , j } } } \sum _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } ( \delta _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } - \mathbf { \hat { r } _ { s } ^ { \alpha } \hat { r } _ { s } ^ { \alpha ^ { \prime } } } ) b _ { i } ^ { \alpha ^ { \prime } } b _ { j } ^ { \alpha ^ { * } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \widetilde v _ { - 1 } - \frac { 2 } { h ^ { 2 } } \widetilde v _ { 0 } + \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \widetilde v _ { 1 } = 0 , \quad \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \widetilde v _ { N - 1 } - \frac { 2 } { h ^ { 2 } } \widetilde v _ { N } + \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \widetilde v _ { N + 1 } = 0 . } \end{array}
H _ { 4 } ^ { S } ( t ) = \left( \begin{array} { l l l l } { E _ { 1 } } & { 0 } & { g } & { g } \\ { 0 } & { - E _ { 1 } } & { g } & { g } \\ { - g } & { - g } & { b t + E _ { 2 } } & { 0 } \\ { - g } & { - g } & { 0 } & { b t - E _ { 2 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { | \vec { A } | _ { H ^ { \operatorname { c u r l } ; 1 } ( Q ) } ^ { 2 } \leq c _ { \phi } \| \vec { \phi } \| _ { L _ { \epsilon } ^ { 2 } ( { \Omega } ) } ^ { 2 } + c _ { \phi } ^ { c } T \| \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \phi } \| _ { L _ { \mu } ^ { 2 } ( { \Omega } ) } + c _ { \psi } T \| \vec { \psi } \| _ { L _ { \epsilon } ^ { 2 } ( { \Omega } ) } ^ { 2 } + c _ { f } \operatorname* { m a x } \{ T , T ^ { 2 } \} \| \vec { j } _ { a } \| _ { L _ { \epsilon } ^ { 2 } ( { Q } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
u _ { c } ( t ) = u _ { s } ( t ) - \frac { 4 } { \pi } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { 2 n + 1 } e ^ { - ( 2 n + 1 ) ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } / L ^ { 2 } t } \left( \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { ( 2 n + 1 ) ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } / L ^ { 2 } \tau } u _ { s } ^ { \prime } ( \tau ) d \tau + u _ { s } ( 0 ) - u _ { 0 } \right) .
\begin{array} { r } { \widetilde { h } _ { t } ( g ) \, \lesssim \, t ^ { - \frac { \nu + n } { 4 } } \, \underbrace { e ^ { - \frac { 1 } { 4 } \big | \frac { g ^ { + } } { \sqrt { t } } \big | ^ { 2 } } \prod _ { \alpha \in \Sigma _ { r } ^ { + } } \big ( 1 + \langle { \alpha , \frac { g ^ { + } } { \sqrt { t } } } \rangle \big ) ^ { \frac { m _ { \alpha } + m _ { 2 \alpha } } { 2 } - 1 } } _ { = \, \textrm { O } ( 1 ) } \, \lesssim \, t ^ { - \frac { \nu + n } { 4 } } . } \end{array}
( A \Omega ) _ { \mathrm { e f f } } ( E _ { \mathrm { s h } } , t ) \equiv \int _ { \theta _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \theta _ { \mathrm { m a x } } } A ( t ) \, { \cal P } ( E _ { \mathrm { s h } } , \theta , t ) \, 2 \pi \, \sin \theta \, d \theta