harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \pi _ { 0 , 0 } } & { = \frac { q ^ { 2 } \big [ p p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } ( 1 - p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } ) + \big ( q + ( 1 - q ) p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } \big ) \big ] } { I ( p , q , p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } , p _ { \mathrm { s } } ) } } \\ { \pi _ { 0 , 1 } } & { = \pi _ { 1 , 0 } = \frac { p q ^ { 2 } \big [ 1 - p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } \big ] \big [ q + ( 1 - q ) p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } \big ] } { I ( p , q , p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } , p _ { \mathrm { s } } ) } } \\ { \pi _ { 1 , 1 } } & { = \frac { p q \big [ p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } + p ( 1 - p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } ) \big ] \big [ q + ( 1 - q ) p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } \big ] } { I ( p , q , p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } , p _ { \mathrm { s } } ) } } \\ { \pi _ { 0 , 2 } } & { = \pi _ { 2 , 0 } = \frac { p ^ { 2 } q ^ { 2 } ( 1 - p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } ) ^ { 2 } } { I ( p , q , p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } , p _ { \mathrm { s } } ) } } \\ { \pi _ { 1 , 2 } } & { = \pi _ { 2 , 1 } = \frac { p ^ { 2 } q \big [ 1 - p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } \big ] \big [ p + ( 1 - p ) p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } \big ] } { I ( p , q , p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } , p _ { \mathrm { s } } ) } } \\ { \pi _ { 2 , 2 } } & { = \frac { p ^ { 2 } \big [ 2 p p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } ( 1 - p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } ) + p ^ { 2 } ( 1 - p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } ) ^ { 2 } + p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } \big ( q + ( 1 - q ) p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } \big ) \big ] } { I ( p , q , p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } , p _ { \mathrm { s } } ) } , } \end{array}
h _ { 2 , \lambda } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \left( \frac { 1 } { t } - 1 \right) ^ { 2 } \, \psi _ { 4 } \left( \frac { \beta t } { \lambda c _ { 0 , 2 } } \right) \, f _ { Z } \left( \frac { \beta t } { \lambda c _ { 0 , 2 } } \right) } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 } { s } - 1 \right) ^ { 2 } \, \psi _ { 4 } \left( \frac { \beta s } { \lambda c _ { 0 , 2 } } \right) \, f _ { Z } \left( \frac { \beta s } { \lambda c _ { 0 , 2 } } \right) d s } , } & { \mathrm { i f } \; \; 0 < t < 1 } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. , \; \; \lambda \geq 1 .
L _ { z } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } { m _ { i } { \Delta \dot { z } } _ { i } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } { \left. \frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial z _ { i } \partial z _ { j } } \right| _ { { \Delta z } _ { i } = 0 } { \Delta z } _ { i } { \Delta z } _ { j } } \mathrm { ~ , ~ }
\cos { \frac { \pi } { 4 0 } } = { \frac { 1 } { 8 } } ( { \sqrt { 2 } } - 1 ) { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 } } } } ( { \sqrt { 5 } } - 1 ) + { \frac { 1 } { 4 } } ( 1 + { \sqrt { 2 } } ) { \sqrt { { \frac { 1 } { 2 } } ( 2 - { \sqrt { 2 } } ) ( 5 + { \sqrt { 5 } } ) } }
\begin{array} { r l } { \mathrm { I f } ~ i = j , ~ ~ A P P ( i ) } & { \propto \left[ 1 - \frac { 1 } { 2 } e ^ { - \frac { ( y - i ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } - \frac { 1 } { 2 } e ^ { - \frac { ( y - i - 1 ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \right] , } \\ { \mathrm { I f } ~ i \ne j , ~ ~ A P P ( i ) } & { \propto s i g n ( j - i ) \cdot \left[ \frac { 1 } { 2 } e ^ { - \frac { ( y - i - 1 ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } - \frac { 1 } { 2 } e ^ { - \frac { ( y - i ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \right] . } \end{array}
\frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { g _ { \alpha , { \scriptstyle \mathrm { b a r e } } } ^ { 2 } } = \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { g _ { \alpha } ^ { 2 } ( \mu ) } - b _ { \alpha } ( 4 \pi ) ^ { \epsilon } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d t } { t ^ { 1 - \epsilon } } e ^ { - t \frac { \mu ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \Delta r } & { { } = \frac { E _ { y 0 } } { B } t _ { \mathrm { a c c } } + \frac { 2 ( 1 + \langle Z \rangle ) T q } { \langle m _ { i } \rangle c _ { s } } t _ { \mathrm { a c c } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathcal { E } \left( t _ { \mathrm { p e } } ^ { \prime } , t _ { \mathrm { e x p } } ^ { \prime } , t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } , 0 , t ^ { \prime } \right) d t ^ { \prime } } \end{array}
{ F _ { \mathrm { D } } } ( \varepsilon , R e _ { \mathrm { p } } ) = \left\{ \begin{array} { c l } { \frac { 1 5 0 ( 1 - \varepsilon ) } { 1 8 \varepsilon ^ { 2 } } + 1 . 7 5 \frac { R e _ { \mathrm { p } } } { 1 8 \varepsilon ^ { 2 } } } & { \ \varepsilon \leq 0 . 8 } \\ { \frac { R e _ { \mathrm { p } } } { 2 4 } { C _ { \mathrm { D } } } \varepsilon ^ { - 3 . 6 5 } } & { \ \varepsilon > 0 . 8 } \end{array} \right. .
H ^ { 2 } = \left( \frac { \dot { \bar { a } } } { \bar { a } } \right) ^ { 2 } \simeq \frac { 1 } { 3 \, M _ { p } ^ { 2 } } \: \left( \bar { \rho } _ { 0 } + \bar { \rho } _ { 1 / 2 } \right) \; \; ,
\left\{ \begin{array} { c c l } { { \alpha _ { m } ^ { 0 } | 0 \rangle = 0 ~ , } } & { { \alpha _ { m } ^ { i } | 0 \rangle = 0 ~ , } } & { { \mathrm { f o r ~ m \geq ~ 0 ~ } } } \\ { { b _ { r } ^ { 0 } | 0 \rangle = 0 ~ , } } & { { b _ { r } ^ { i } | 0 \rangle = 0 ~ , } } & { { \mathrm { f o r ~ r \geq \frac { 1 } { 2 } ~ } } } \end{array} \right. ~ ,
v \sim \frac { \left( 1 - \mathcal { R } \right) q \rho _ { s } \varOmega _ { s } + \bar { \beta } \zeta \varDelta } { \alpha \zeta \varDelta - \rho _ { s } q - \alpha ^ { 2 } \frac { q + \zeta ^ { 2 } \varDelta ^ { 2 } } { \rho _ { s } + \alpha \zeta \varDelta } } v _ { \mathrm { m } }
c _ { 1 } = 7 ( 1 + 7 5 c _ { 2 } + 6 0 0 0 c _ { 3 } ) / [ 7 + 4 2 0 0 0 c _ { 2 } ^ { 2 } + 3 5 0 c _ { 2 } ( 3 + 2 0 0 0 0 c _ { 3 } ) + 1 2 0 0 0 c _ { 3 } ( 7 + 2 5 0 0 0 c _ { 3 } ) ]
\textbf { G } _ { n w , i } ^ { + } = \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \Psi _ { i } f ^ { e q } ( v _ { n } , v _ { t } )
r = { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 . 7 2 } \\ { 1 . 5 3 } \\ { 1 . 2 7 } \end{array} \right] } \quad \alpha = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 . 0 9 } & { 1 . 5 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 . 4 4 } & { 1 . 3 6 } \\ { 2 . 3 3 } & { 0 } & { 1 } & { 0 . 4 7 } \\ { 1 . 2 1 } & { 0 . 5 1 } & { 0 . 3 5 } & { 1 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l r } { \Omega _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( f ) ^ { 2 } } & { = } & { 2 R \int _ { - R } ^ { R } f ^ { \prime \prime } ( x ) ^ { 2 } d x + \big [ f ^ { \prime } ( R ) + f ^ { \prime } ( - R ) \big ] ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 R ^ { 2 } } \big [ f ( - R ) + f ( R ) - R f ^ { \prime } ( R ) + R f ^ { \prime } ( - R ) \big ] ^ { 2 } . } \end{array}
( 1 - \frac { 1 } { r ^ { p } } ) ( 1 - \frac { t } { t ^ { \prime } } ) ( \frac { 1 } { r ^ { 2 } } ) ^ { k - i - 1 } | U | \leq | \{ D w \in \mathcal { W } _ { k , t ^ { \prime } } ^ { 1 } \cup \mathcal { W } _ { k , t ^ { \prime } } ^ { 2 } \} | \leq ( 1 - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } ) ( 1 - \frac { t } { t ^ { \prime } } ) ( \frac { 1 } { r ^ { p + 2 \delta } } ) ^ { k - i - 1 } | U |
\begin{array} { c c c c c } { Q _ { ( i , j k , ) } ^ { ( 0 ) } } & { = } & { Q _ { ( i , j k , ) } ^ { ( n ) } \, \mathrm { ~ , ~ } } & { } & { } \\ { Q _ { ( i , j k , ) } ^ { ( l ) } } & { = } & { Q _ { ( i , j k , ) } ^ { ( 0 ) } - } & { \alpha _ { l } { \Delta t } _ { ( i , j , k ) } { R H S } _ { ( i , j , k ) } ^ { ( l - 1 ) } \, } & { \, \, \, \, l = 1 , 2 \cdots 5 , } \\ { Q _ { ( i , j k , ) } ^ { ( n + 1 ) } } & { = } & { Q _ { ( i , j k , ) } ^ { ( 5 ) } \, \mathrm { ~ , ~ } } & { } & { } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { P } ( T = 1 ) } & { = \sum _ { m = 1 } ^ { n } \mathbf { P } ( T = 1 \mid M = m ) \mathbf { P } ( M = m ) } \\ & { = \sum _ { m = 1 } ^ { n } \big ( 1 - \delta ( m ) \big ) \mathbf { P } ( M = m ) } \\ { \mathbf { P } ( T = 0 ) } & { = \sum _ { m = 1 } ^ { n } \mathbf { P } ( T = 0 \mid M = m ) \mathbf { P } ( M = m ) } \\ & { = \sum _ { m = 1 } ^ { n } \delta ( m ) \mathbf { P } ( M = m ) } \\ { \mathbf { P } ( J = 1 ) } & { = \varphi _ { 0 } \mathbf { P } ( T = 0 ) + \varphi _ { 1 } \mathbf { P } ( T = 1 ) } \\ { \mathbf { P } ( J = 0 ) } & { = \big ( 1 - \varphi _ { 0 } \big ) \mathbf { P } ( T = 0 ) + \big ( 1 - \varphi _ { 1 } \big ) \mathbf { P } ( T = 1 ) } \end{array}
e ^ { - 2 \phi } ( 4 \partial _ { \pm } \rho \partial _ { \pm } \phi - 2 { \partial _ { \pm } } ^ { 2 } \phi ) = - { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \partial _ { \pm } f _ { i } \partial _ { \pm } f _ { i } \, .
\Pi _ { \mu \nu } ^ { ( I ) } = { \frac { e ^ { 2 } C ^ { ( I ) } } { 2 } } \, \int { \frac { d ^ { n } k } { ( 2 \pi ) ^ { n } } } \, { \frac { ( 1 - \cos p \times k ) } { k ^ { 2 } ( k + p ) ^ { 2 } } } \, N _ { \mu \nu } ^ { ( I ) } ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; I = a , b , c
\begin{array} { l l l } { { \Pi _ { t a d } ^ { \mu \nu , \, \alpha \beta } \left( k \right) \equiv \displaystyle { \frac { 1 } { 4 } } } } & { { \left( \eta ^ { \mu \alpha } \tilde { \Gamma } ^ { \nu \beta } + \eta ^ { \mu \beta } \tilde { \Gamma } ^ { \nu \alpha } + \eta ^ { \nu \alpha } \tilde { \Gamma } ^ { \mu \beta } + \eta ^ { \nu \beta } \tilde { \Gamma } ^ { \mu \alpha } \right) } } \\ { { } } & { { - \eta ^ { \mu \nu } \Delta ^ { \alpha \beta } - \eta ^ { \alpha \beta } \Delta ^ { \mu \nu } } } \end{array} .
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { + } ^ { 2 } \tilde { \Sigma } _ { 1 1 } ^ { I I I , I I } ( \tilde { k } _ { e } , \lambda ) = 4 \lambda ^ { 2 } \int d ^ { 3 } x x _ { + } ^ { 2 } e ^ { - i \pi T x _ { 0 } - i x _ { + } + i x _ { - } } } \\ & { } & { \quad \quad \times \Big [ \ [ C _ { N } ^ { I I I } ( x ) ] _ { 1 1 } [ C _ { N } ^ { I I I } ( x ) ] _ { 1 1 } [ C _ { N } ^ { I I I } ( - x ) ] _ { 1 1 } - [ C _ { N } ^ { I I } ( x ) ] _ { 1 1 } [ C _ { N } ^ { I I } ( x ) ] _ { 1 1 } [ C _ { N } ^ { I I } ( - x ) ] _ { 1 1 } \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { t } ( v _ { 0 } ) } & { = } & { v _ { 0 } \otimes v _ { 2 } + v _ { 1 } \otimes v _ { 1 } + v _ { 2 } \otimes v _ { 0 } } \\ { \Delta _ { t } ( v _ { 1 } ) } & { = } & { v _ { 1 } \otimes v _ { 2 } + v _ { 2 } \otimes v _ { 1 } + t v _ { 0 } \otimes v _ { 0 } } \\ { \Delta _ { t } ( v _ { 2 } ) } & { = } & { v _ { 2 } \otimes v _ { 2 } + t v _ { 0 } \otimes v _ { 1 } + t v _ { 1 } \otimes v _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta E _ { a } ^ { \mathrm { L } } = \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \left[ \frac { 2 ( Z \alpha ) ^ { 4 } } { n _ { a } ^ { 3 } } \delta _ { l 0 } \left( \frac { 5 } { 6 } - \log ( \alpha Z ) ^ { 2 } \right) \right. } \\ { \left. - \frac { 2 ( \alpha Z ) ^ { 4 } } { n _ { a } ^ { 3 } } \log \beta _ { a } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - } & { s ( z ) \sum _ { \alpha \neq \beta } ( H _ { i \alpha } ) ^ { 2 } R _ { \alpha \alpha } ^ { ( i ) } R _ { i \beta } ^ { ( \alpha ) } { \texttt A } _ { i \beta } = z s ( z ) \mathfrak { s } ( z ) \sum _ { \alpha \neq \beta } ( H _ { i \alpha } ) ^ { 2 } R _ { i i } ^ { ( \alpha ) } \sum _ { \nu : \nu \neq \alpha } H _ { i \nu } ^ { ( \alpha ) } R _ { \nu \beta } ^ { ( i \alpha ) } { \texttt A } _ { i \beta } + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) } \\ & { = z s ( z ) ^ { 2 } \mathfrak { s } ( z ) \sum _ { \alpha \neq \beta } ( H _ { i \alpha } ) ^ { 2 } \sum _ { \nu : \nu \neq \alpha , \beta } H _ { i \nu } R _ { \nu \beta } ^ { ( i \alpha ) } { \texttt A } _ { i \beta } + z s ( z ) ^ { 2 } \mathfrak { s } ( z ) \sum _ { \alpha \neq \beta } ( H _ { i \alpha } ) ^ { 2 } H _ { i \beta } R _ { \beta \beta } ^ { ( i \alpha ) } { \texttt A } _ { i \beta } + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) } \\ & { = z ^ { 2 } s ( z ) ^ { 2 } \mathfrak { s } ( z ) ^ { 2 } \sum _ { \alpha \neq \beta } ( H _ { i \alpha } ) ^ { 2 } H _ { i \beta } { \texttt A } _ { i \beta } + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { l } { \mathcal { A } _ { i } \equiv [ ( \mathcal { A } _ { i } ^ { ( 1 ) } ) ^ { T } , ( \mathcal { A } _ { i } ^ { ( 2 ) } ) ^ { T } , \ldots ( \mathcal { A } _ { i } ^ { ( D ) } ) ^ { T } ] ^ { T } = } \\ { \quad = [ a _ { i 1 } ^ { ( 1 ) } , \ldots , a _ { i , i - 1 } ^ { ( 1 ) } , a _ { i , i + 1 } ^ { ( 1 ) } , \ldots , a _ { i N } ^ { ( 1 ) } , a _ { i 1 2 } ^ { ( 2 ) } , \ldots , a _ { i , N - 1 , N } ^ { ( 2 ) } , \ldots , a _ { i , 1 , \ldots , D } ^ { ( D ) } , \ldots , a _ { i , N - D + 1 , N } ^ { ( D ) } ] ^ { T } . } \end{array}
\oint _ { C } { \frac { 1 } { z ^ { 5 } } } \left( 1 + z + { \frac { z ^ { 2 } } { 2 ! } } + { \frac { z ^ { 3 } } { 3 ! } } + { \frac { z ^ { 4 } } { 4 ! } } + { \frac { z ^ { 5 } } { 5 ! } } + { \frac { z ^ { 6 } } { 6 ! } } + \cdots \right) \, d z .
\begin{array} { r l } { \langle \hat { x } ( 0 , s ) \rangle _ { 0 } } & { { } = \frac { B \left( 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \right) \left[ B - e ^ { \frac { A L ( 1 - R ) } { B } } \left( A L \left( R - 1 \right) + B \right) \right] } { s A ^ { 3 } R \left( R - 1 \right) ^ { 2 } \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } } } \end{array}
H _ { a , \bar { a } } ( \tilde { x } , \xi ; t ) = \theta ( \xi \leq \tilde { x } \leq 1 ) \int _ { - \frac { 1 - \tilde { x } } { 1 + \xi } } ^ { \frac { 1 - \tilde { x } } { 1 - \xi } } f _ { a , \bar { a } } ( \tilde { x } - \xi \alpha , \alpha ) \, d \alpha + \theta ( - \xi \leq \tilde { x } \leq \xi ) \int _ { - \frac { 1 - \tilde { x } } { 1 + \xi } } ^ { \tilde { x } / \xi - \epsilon } f _ { a , \bar { a } } ( \tilde { x } - \xi \alpha , \alpha ) \, d \alpha \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \int _ { C _ { r } } e ^ { s t } W _ { 0 } ^ { \prime } \left( s \right) d s } \\ & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \int _ { C _ { r } } e ^ { s t } \left[ \frac { \sqrt { e / 2 } } { \sqrt { s + 1 / e } } - \frac { 2 e } { 3 } + \frac { 1 1 e ^ { 3 / 2 } \sqrt { s + 1 / e } } { 1 2 \sqrt { 2 } } + O \left( s + 1 / e \right) \right] d s } \\ & { = } & { e ^ { t / e } \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \exp \left( r \, e ^ { i \theta } t \right) \left[ \frac { \sqrt { e / 2 } } { \sqrt { r } e ^ { i \theta / 2 } } - \frac { 2 e } { 3 } + \frac { 1 1 e ^ { 3 / 2 } } { 1 2 \sqrt { 2 } } \sqrt { r } e ^ { i \theta / 2 } + O \left( r \, e ^ { i \theta } \right) \right] r i \, e ^ { i \theta } d \theta , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \mathcal { I } _ { i n } ^ { 0 } \right] _ { ( I , J ) } ( t , x ) = e ^ { d t } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \sum _ { ( K , L ) } \mathrm { N } _ { ( I , J ) , ( K , L ) } ^ { t ; 0 } ( \mathrm { Z } ^ { 0 ; t } ( x , v ) ) \left[ \mathcal { F } _ { \mid t = 0 } \right] _ { ( K , L ) } ( \mathrm { Z } ^ { 0 ; t } ( x , v ) ) \, \mathrm { d } v , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { K _ { \mathrm { F Z } } ( \theta ; a , b ) = 1 , \quad a - b = 0 , } \\ & { K _ { \mathrm { F Z } } ( \theta ; a , b ) = \prod _ { m = 0 } ^ { | a - b | - 1 } \frac { \sin ( \frac { \pi m } { Q } + \frac { \theta } { 2 Q } ) } { \sin ( \frac { \pi ( m + 1 ) } { Q } - \frac { \theta } { 2 Q } ) } , \quad a - b \neq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } ^ { N H } } & { { } = \arctan ( \Omega _ { y } ^ { \prime } / ( \Omega _ { x } - \Omega _ { y } ^ { \prime \prime } ) ) , } \\ { \phi _ { 2 } ^ { N H } } & { { } = \arctan ( - \Omega _ { y } ^ { \prime } / ( \Omega _ { x } + \Omega _ { y } ^ { \prime \prime } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Vert \Vert f \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } ^ { 2 } - \Vert f + g \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } \leq \Vert \Vert g \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } \bigr ( \Vert \Vert f + g \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } + \Vert \Vert f \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } \bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle U _ { j } H - U _ { j } ^ { * } , R - I _ { d } \right\rangle } & { = \left\langle B _ { j } + F _ { j 1 } + F _ { j 2 } + G _ { j 1 } , R - I _ { d } \right\rangle + \left\langle G _ { j 2 } , R - I _ { d } \right\rangle } \\ & { \leq \left\| { B _ { j } + F _ { j 1 } + F _ { j 2 } + G _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { F } } \left\| { R - I _ { d } } \right\| _ { \mathrm { F } } + \left\langle G _ { j 2 } , R - I _ { d } \right\rangle } \\ & { \leq \sqrt { d } \left\| { B _ { j } + F _ { j 1 } + F _ { j 2 } + G _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } \sqrt { 2 h _ { R } } + \left\langle G _ { j 2 } , R - I _ { d } \right\rangle } \\ & { \leq \left( \left\| { B _ { j } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { F _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { F _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { G _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } \right) \sqrt { 2 d h _ { R } } + \left\langle G _ { j 2 } , R - I _ { d } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial { \cal E } ^ { ( 2 ) } ( { \bf R } , { \boldsymbol \eta } , { \bf n } ) } { \partial \eta _ { I L } } \Big \vert _ { { \boldsymbol \eta } ^ { \mathrm { m i n } } } = 0 . } \end{array}
S ( T \Lambda _ { 1 } ^ { 2 } ) = s p a n \{ e _ { 0 } + \frac { a _ { 1 } \sqrt { - 1 - 2 N _ { 0 } } - a _ { 2 } } { \sqrt { - 1 - 2 N _ { 0 } } \sqrt { a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } } } e _ { 1 } + \frac { a _ { 1 } + a _ { 2 } \sqrt { - 1 - 2 N _ { 0 } } } { \sqrt { - 1 - 2 N _ { 0 } } \sqrt { a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } } } e _ { 2 } \} ,
\mathsf { o c } _ { 0 } ( \alpha ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \cal O } ( \sigma _ { f } ^ { 2 } / \varepsilon ^ { 4 } ) , } & { \mathrm { f o r ~ t h e ~ n o n - c o n v e x ~ c a s e , } } \\ { { \cal O } ( \sigma _ { f } ^ { 2 } / \varepsilon ^ { 2 } ) , } & { \mathrm { f o r ~ t h e ~ s t r o n g l y ~ c o n v e x ~ c a s e . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { \boldsymbol { A } ^ { - } \boldsymbol { y } ( t ) , } & { y _ { 1 } < 0 , } \\ & { \overline { { \operatorname { c o } } } \lbrace \boldsymbol { A } ^ { - } \boldsymbol { y } ( t ) , \boldsymbol { A } ^ { + } \boldsymbol { y } ( t ) \rbrace , } & { y _ { 1 } = 0 , } \\ & { \boldsymbol { A } ^ { + } \boldsymbol { y } ( t ) , } & { y _ { 1 } > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { | Y | } \iint _ { \Omega \times Y } B ( \mathcal T _ { \varepsilon } ( w ) ) ( x , y ) d x d y = \frac { 1 } { | Y | } \iint _ { \widehat \Omega _ { \varepsilon } \times Y } B ( \mathcal T _ { \varepsilon } ( w ) ) ( x , y ) d x d y = } \\ { \frac { 1 } { | Y | } \sum _ { \xi \in \Xi _ { \varepsilon } } \iint _ { ( \varepsilon \xi + \varepsilon Y ) \times Y } B ( \mathcal T _ { \varepsilon } ( w ) ) ( x , y ) d x d y . } \end{array}
N _ { m } ( \phi _ { m } ^ { n } ) = n ! \sum _ { j = 0 } ^ { [ \frac { n } { 2 } ] } \Bigl ( \frac { 1 } { 8 \pi } \ln ( \frac { M ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } ) \Bigr ) ^ { j } \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { j ! ( n - 2 j ) ! } N _ { M } ( \phi _ { M } ^ { n - 2 j } ) ,
\operatorname { c o v } ( W _ { t _ { 1 } } , W _ { t _ { 2 } } ) = \operatorname { E } \left[ ( W _ { t _ { 1 } } - \operatorname { E } [ W _ { t _ { 1 } } ] ) \cdot ( W _ { t _ { 2 } } - \operatorname { E } [ W _ { t _ { 2 } } ] ) \right] = \operatorname { E } \left[ W _ { t _ { 1 } } \cdot W _ { t _ { 2 } } \right] .
C _ { l } ^ { ( t i l t ) } = C _ { l } ^ { ( f l a t ) } \frac { | \delta _ { h } ( k = l H _ { * } / 2 ) ^ { t i l t } | ^ { 2 } } { | \delta _ { h } ( k = l H _ { * } / 2 ) ^ { f l a t } | ^ { 2 } } \; .
\begin{array} { r } { S ( E , V , N ) , \qquad \frac { \partial S } { \partial E } = \frac { 1 } { T } , \qquad \frac { \partial S } { \partial V } = \frac { p } { T } , \qquad \frac { \partial S } { \partial N } = - \frac { \mu } { T } . } \end{array}
X _ { P Q } ^ { \mathbf { k } } \leftarrow \sum _ { i q } u _ { i } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { q } } ( \mathbf { r } _ { P } ) M _ { P Q } ^ { \mathbf { q } } u _ { i } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { q } } ( \mathbf { r } _ { Q } ) ^ { * }
\begin{array} { r l } { \sigma _ { P } ( k , 1 ) - \sigma _ { P } ( k , 0 ) } & { = ( P _ { 2 } + P _ { 3 } + \cdots + P _ { k + 1 } ) - ( P _ { 1 } + P _ { 2 } + \cdots + P _ { k } ) = P _ { k + 1 } - 1 , \mathrm { a n d } } \\ { \sigma _ { P } ( k , 2 ) - \sigma _ { P } ( k , 1 ) } & { = ( P _ { 3 } + P _ { 4 } + \cdots + P _ { k + 2 } ) - ( P _ { 2 } + P _ { 3 } + \cdots + P _ { k + 1 } ) = P _ { k + 2 } - 2 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \ensuremath { \boldsymbol \Gamma _ { \! \mathrm { { p t } } } } = ( \mathbf F ( \ensuremath { \ensuremath { \boldsymbol \nu } _ { \! \mathrm { { \scriptscriptstyle M A P } } } } ) ^ { t } \ensuremath { \boldsymbol \Gamma _ { \! \mathrm { { n } } } } ^ { - 1 } \mathbf F ( \ensuremath { \ensuremath { \boldsymbol \nu } _ { \! \mathrm { { \scriptscriptstyle M A P } } } } ) + \ensuremath { \boldsymbol \Gamma _ { \! \mathrm { { p r } } } } ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } = \mathbf H ^ { \mathrm { G N } } ( \ensuremath { \ensuremath { \boldsymbol \nu } _ { \! \mathrm { { \scriptscriptstyle M A P } } } } ) ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { j , i } ^ { s } } & { = \exp \bigl ( \alpha _ { 2 } \cdot v ^ { j } \cdot \bigl ( y _ { i } ^ { s } - z _ { j } \bigr ) ^ { + } \bigr ) } \\ & { \leq \exp \Big ( \alpha _ { 2 } \cdot v ^ { j } \cdot \frac { 1 4 } { \alpha _ { 1 } } \cdot ( \log n ) \cdot v ^ { - j } \Big ) } \\ & { = \exp \Big ( \frac { 1 4 \cdot \alpha _ { 2 } } { \alpha _ { 1 } } \cdot \log n \Big ) = n ^ { 1 / 6 } , } \end{array}
{ \frac { \dot { \bar { G } } _ { 4 } } { \bar { G } _ { 4 } } } = e ^ { 2 m _ { 0 } ( R _ { 0 } - R ) } { \frac { R _ { \tau } \left[ 3 ( \Omega _ { R } ^ { 2 } - 1 ) R _ { \tau \tau } + 2 m _ { 0 } \Omega _ { R } ^ { 2 } ( c ^ { 2 } + R _ { \tau } ^ { 2 } ) \right] } { ( \Omega _ { R } ^ { 2 } - 1 ) ( c ^ { 2 } + R _ { \tau } ^ { 2 } ) } } .
M _ { U } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } ) = \frac { M _ { p } \, g _ { U } } { { 2 \pi } \left| \eta \left( i \frac { R _ { 2 } } { R _ { 1 } } \right) \right| ^ { 2 } \left| \eta \left( i R _ { 1 } R _ { 2 } \right) \right| ^ { 2 } R _ { 2 } } \times \frac { 1 } { \sqrt { 1 + g _ { U } ^ { 2 } \frac { Y ( R _ { 1 } , R _ { 2 } ) } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } } \ ;
d s ^ { 2 } = d t ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 + f _ { 0 } ^ { 2 } / r ^ { 2 } } d r ^ { 2 } - r ^ { 2 } ( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta d \phi ^ { 2 } ) .
L _ { R } = \sum _ { i } \int _ { V } d ^ { 3 } { \bf x } e ^ { 3 H t } \frac { 1 } { 2 } \left[ ( \partial _ { 0 } \eta _ { i } ( { \bf x } , t ) ) ^ { 2 } - ( e ^ { - H t } { \bf \nabla } \eta _ { i } ( { \bf x } , t ) ) ^ { 2 } - \mu _ { i } ^ { 2 } \eta _ { i } ^ { 2 } ( { \bf x } , t ) \right] .
\begin{array} { r } { \Gamma _ { \mathrm { e f f } } = \Gamma _ { \mathrm { m } } + \frac { 4 g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } \gamma _ { \mathrm { o } } } { 4 g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \gamma _ { \mathrm { o } } ( \Gamma _ { \mathrm { m } } + \gamma _ { \mathrm { o } } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { q \! \! \! / \gamma ^ { 5 } = ( k \! \! \! / _ { 1 } + k \! \! \! / _ { 2 } ) \gamma ^ { 5 } = ( p \! \! \! / + k \! \! \! / _ { 1 } - m _ { 1 } ) \gamma ^ { 5 } + \gamma ^ { 5 } ( p \! \! \! / - k \! \! \! / _ { 2 } - m _ { 2 } ) + ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) \gamma ^ { 5 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 0 } ( \partial _ { 1 } ) = \ } & { \left\{ ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in C \, : \, x _ { 1 } = 0 , \, x _ { 2 } \in \left( 0 , \frac 1 2 \right) \right\} , } \\ { T _ { 0 } ( \partial _ { 2 } ) = \ } & { \left\{ ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in C \, : \, x _ { 2 } = \frac 1 2 , \, x _ { 1 } \in \left( 0 , \frac 1 2 \right) \right\} , } \\ { T _ { 0 } ( \partial _ { 3 } ) = \ } & { \left\{ ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in C \, : \, x _ { 2 } = x _ { 1 } , \, x _ { 1 } \in \left( 0 , \frac 1 2 \right) \right\} . } \end{array}