harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Vert v - v ^ { \theta } \Vert _ { \mathbf { E } _ { T , 0 } } ^ { 2 } } & { { } = \bigg \Vert \int _ { 0 } ^ { . } \mathcal { S } ( . - s ) \left( \overline { { F } } ( s ) - \mathcal { F } ^ { \theta } ( s ) \right) d s \bigg \Vert _ { \mathbf { E } _ { T , 0 } } ^ { 2 } \leq \mathbb { E } \int _ { 0 } ^ { T } \Vert \overline { { F } } ( s ) - \mathcal { F } ^ { \theta } ( s ) \Vert _ { \mathbb { H } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \omega } _ { 1 } } & { { } = \frac { 2 \Delta x _ { i + 1 } \Delta x _ { i } } { \Delta x _ { i } + \Delta x _ { i + 1 } } \left[ \frac { \Delta x _ { i - 1 } + \Delta x _ { i } } { 2 \Delta x _ { i } + \Delta x _ { i + 1 } } - \frac { \Delta x _ { i + 2 } \Delta x _ { i + 1 } } { 2 \Delta x _ { i + 1 } + \Delta x _ { i } } \right] } \\ { \tilde { \omega } _ { 2 } } & { { } = - \Delta x _ { i } \frac { \Delta x _ { i - 1 } \Delta x _ { i } } { 2 \Delta x _ { i } + \Delta x _ { i + 1 } } } \\ { \tilde { \omega } _ { 3 } } & { { } = \Delta x _ { i + 1 } \frac { \Delta x _ { i + 1 } \Delta x _ { i + 2 } } { \Delta x _ { i } + 2 \Delta x _ { i + 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal L ( \mathbf A , \mathbf \Sigma _ { \varepsilon } ) } & { { } = \log \biggl \{ p ( \mathbf y ( \mathbf x _ { 1 } ) ) \prod _ { t = 2 } ^ { n } p ( \mathbf y ( \mathbf x _ { t } ) \mid \mathbf y ( \mathbf x _ { t - 1 } ) , \mathbf A , \mathbf \Sigma _ { \varepsilon } ) \biggl \} } \end{array}
A _ { D } = \frac { { \cal N } _ { D } } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \nu \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d q } { q } \left( \frac { \sin ^ { 2 } ( \pi \nu ) } { \pi ^ { 2 } } \right) \left( \frac { - \ln ( q ) } { 2 \pi ^ { 2 } } \right) ^ { ( k + 1 - D ) / 2 } \exp \left[ ( Y ^ { 2 } + 2 l \sin ^ { 2 } ( \pi \nu ) ) / \ln ( q ) \right]
v _ { z } ( r , z , t ) = \frac { h \bar { v } _ { z } } { \mathcal { G } ( a , h ( z , t ) ) } \left[ \frac { \left( a + h ( z , t ) \right) ^ { 2 } } { 2 } \ln \left( \frac { r } { r _ { 0 } } \right) - \frac { r ^ { 2 } } { 4 } \right] .
S = \int d ^ { 6 } x \delta ^ { 2 } ( z ) \left\{ \int d ^ { 2 } \theta \left( \lambda \psi _ { \bf 1 6 } \psi _ { \bf 1 6 } H _ { \bf 1 0 } + \lambda ^ { \prime } \psi _ { \bf 1 6 } \psi _ { \bf 1 6 } H _ { \bf 1 0 } ^ { \prime } \right) + \mathrm { h . c . } \right\} .
{ \frac { \overline { { { A } } } } { A } } \approx \biggl ( { \frac { \overline { { { A } } } } { A } } \biggr ) _ { S M } \biggl ( 1 + i \bigl [ 3 \kappa _ { L } \sin \phi _ { L } + 9 0 \kappa _ { R } \sin \phi _ { R } \bigr ] \biggr )
I ( Q ^ { 2 } ) = \frac { s _ { 0 } } { 1 6 } \; \left( 3 + \frac { s _ { 0 } } { Q ^ { 2 } } \right) + \frac { 1 } { 8 } \; \left( s _ { 0 } + \frac { 3 } { 4 } Q ^ { 2 } \right) l n \; \left( \frac { Q ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } + 2 s _ { 0 } } \right) \; ,
{ \frac { 3 } { r _ { 1 } ^ { ( 1 + { \frac { 3 b } { 4 } } ) } ( r _ { 1 } ^ { 3 } - R _ { 1 } ^ { 3 } ) ^ { ( 1 - { \frac { 3 b } { 4 } } ) } } } \, \left[ \left( 1 + { \frac { ( 4 + 3 b ) } { 3 ( 4 - 3 b ) } } \right) \, r _ { 1 } ^ { 3 } - R _ { 1 } ^ { 3 } \right] = - { \frac { V } { 4 } } \, ( { \frac { 4 } { 3 } } - b ) \, e ^ { { \frac { 3 b } { 2 } } \, \Phi _ { 0 } } .
\begin{array} { r l } { I ( \vec { x } , t ) = \frac { I _ { 0 } } { L ^ { d } } \prod _ { \mu = 1 } ^ { d } \sum _ { n _ { \mu } = - \infty } ^ { \infty } } & { { } \cos ( \frac { 2 \pi n _ { \mu } x ^ { \mu } } { L } ) } \\ { \times } & { { } \exp \left( - D \left( \frac { 2 \pi n _ { \mu } } { L } \right) ^ { 2 } t \right) e ^ { ( \beta - \gamma ) t } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { { \displaystyle \frac { \partial B _ { i } } { \partial x ^ { 0 } } { } + { } \varepsilon _ { i j k } \, \displaystyle \frac { \partial E _ { k } } { \partial x ^ { j } } } } & { { = } } & { { 0 } } \\ { { - C _ { \mathrm { D E } } ^ { i j } \, \displaystyle \frac { \partial E _ { j } } { \partial x ^ { 0 } } { } - { } C _ { \mathrm { D B } } ^ { i j } \, \displaystyle \frac { \partial B _ { j } } { \partial x ^ { 0 } } { } + { } \varepsilon _ { i j k } \, C _ { \mathrm { H E } } ^ { k l } \, \displaystyle \frac { \partial E _ { l } } { \partial x ^ { j } } { } + { } \varepsilon _ { i j k } \, C _ { \mathrm { H B } } ^ { k l } \, \displaystyle \frac { \partial B _ { l } } { \partial x ^ { j } } } } & { { = } } & { { 0 } } \end{array} \right. \quad ,
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ } ( P ) = \big ( I - \bar { A } _ { 1 } \big ) ^ { - 1 } G _ { 1 } \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ } ( Q ) + \big ( I - \bar { A } _ { 1 } \big ) ^ { - 1 } \bar { A } _ { 2 } \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ } ( R ) , } \\ { \bar { A } _ { 1 } = \bar { A } \otimes \bar { A } , \; \; G _ { 1 } = G \otimes G , \; \; \bar { A } _ { 2 } = A L \otimes A L . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { s p e c } ( A ) } & { = \left\{ - \sqrt Ḋ 3 Ḍ ^ { Ḋ } ( 2 ) Ḍ , 0 ^ { Ḋ } ( 2 ) Ḍ , \sqrt Ḋ 3 Ḍ ^ { Ḋ } ( 2 ) Ḍ \right\} \mathrm { ~ a n d } } \\ { \operatorname { s p e c } ( B ) } & { = \left\{ - 2 ^ { Ḋ } ( 2 ) Ḍ , - \sqrt Ḋ \frac Ḋ 2 Ḍ Ḋ 3 Ḍ Ḍ ^ { Ḋ } ( 2 ) Ḍ , \sqrt Ḋ \frac Ḋ 2 Ḍ Ḋ 3 Ḍ Ḍ ^ { Ḋ } ( 2 ) Ḍ , 2 ^ { Ḋ } ( 2 ) Ḍ \right\} . } \end{array}
\Ddot { \theta } _ { 6 } ( \uptau ) \ + \ \theta _ { 6 } ( \uptau ) \ = \ \frac { 1 } { 2 } \theta _ { 0 } \theta _ { 2 } ^ { 2 } \ + \ \frac { 1 } { 2 } \theta _ { 0 } ^ { 2 } \theta _ { 4 } \ =
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } ( X ) = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname { V a r } ( X \mid A _ { i } ) \operatorname* { P r } ( A _ { i } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname { E } [ X \mid A _ { i } ] ^ { 2 } ( 1 - \operatorname* { P r } ( A _ { i } ) ) \operatorname* { P r } ( A _ { i } ) } \\ & { - 2 \sum _ { i = 2 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \operatorname { E } [ X \mid A _ { i } ] \operatorname* { P r } ( A _ { i } ) \operatorname { E } [ X \mid A _ { j } ] \operatorname* { P r } ( A _ { j } ) . } \end{array} }
\frac { \partial P ( r , t ) } { \partial t } = - \frac { \partial } { \partial r } \left[ \chi _ { 1 } ( r ) P ( r , t ) \right] + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } \left[ \chi _ { 2 } ( r ) P ( r , t ) \right] ,
\frac { \gamma \varepsilon ^ { 3 } } { ( 3 + 1 2 L ) } k _ { x _ { 0 } } ( r ) ( N _ { \varepsilon } - k _ { x _ { 0 } } ( r ) ) \leq 4 \mathcal { H } ^ { 2 } ( \Omega \cap \partial B _ { r } ( x _ { 0 } ) ) .
\begin{array} { r l r } & { \leq } & { 2 s S _ { b } ( h , h , z ) + s r S _ { b } ( h , h , z ) + \frac { 1 } { n } S _ { b } ( h , h , z ) ~ \mathrm { b y ~ } } \\ { \implies D _ { b } ( h , \mathfrak { T } h ) } & { \leq } & { \left( 2 s + s r + \frac { 1 } { n } \right) S _ { b } ( h , h , z ) ~ \mathrm { f o r ~ e a c h } ~ n \in \mathbb { N } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I } & { { } = | E _ { a } | ^ { 2 } + | E _ { b } | ^ { 2 } , } \\ { Q } & { { } = - 2 \mathrm { R e } ( E _ { a } ^ { * } E _ { b } ) , } \\ { U } & { { } = | E _ { a } | ^ { 2 } - | E _ { b } | ^ { 2 } , } \\ { V } & { { } = 2 \mathrm { I m } ( E _ { a } ^ { * } E _ { b } ) . } \end{array}
\delta \lambda = - \frac { e ^ { \phi } } { 2 } \Gamma ^ { M } \partial _ { M } \tau \, \varepsilon ^ { * } + \frac { e ^ { \frac { 1 } { 2 } \phi } } { 2 4 } \Gamma ^ { M N P } G _ { M N P } \, \varepsilon
\mathcal { L } _ { C S } = - i m \epsilon ^ { \mu \nu \rho } \mathrm { t r } \left( A _ { \mu } \partial _ { \nu } A _ { \rho } + \frac { 2 g _ { 3 } } { 3 } A _ { \mu } A _ { \nu } A _ { \rho } \right)
\begin{array} { r l } { = } & { { } \, a _ { 1 } ^ { 2 } + 2 a _ { 1 } a _ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } + 2 ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) a _ { 3 } + a _ { 3 } ^ { 2 } + \dotsb + a _ { n - 1 } ^ { 2 } + 2 \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } a _ { i } \right) a _ { n } + a _ { n } ^ { 2 } } \\ { = } & { { } \, a _ { 1 } ^ { 2 } + [ 2 a _ { 1 } + a _ { 2 } ] a _ { 2 } + [ 2 ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) + a _ { 3 } ] a _ { 3 } + \dotsb + \left[ 2 \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } a _ { i } \right) + a _ { n } \right] a _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k - 1 } \end{array} \right) \ = \ \frac { n ! } { k ! ( n - k ) ! } + \frac { n ! } { ( k - 1 ) ! ( n - k + 1 ) ! } } } \end{array}
d s ^ { 2 } = \phi _ { a b } d y ^ { a } d y ^ { b } + ( \gamma _ { \mu \nu } + \phi _ { a b } A _ { \mu } ^ { \ a } A _ { \nu } ^ { \ b } ) d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } + 2 \phi _ { a b } A _ { \mu } ^ { \ b } d x ^ { \mu } d y ^ { a } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \partial n } { \partial t } ( t , x ) = \left[ r ( x ) - d ( x ) \rho ( t ) - \mu ( x ) \varphi ( t , x ) \right] n ( t , x ) + \beta \frac { \partial ^ { 2 } n } { \partial x ^ { 2 } } ( t , x ) , } & \\ { \displaystyle \frac { \partial \ell } { \partial t } ( t , y ) = p ( t , y ) - \left( \nu ( y ) \rho ( t ) + k _ { 1 } \right) \ell ( t , y ) , } & \\ { \displaystyle \frac { \partial p } { \partial t } ( t , y ) = \chi ( t , y ) p ( t , y ) - k _ { 2 } p ^ { 2 } ( t , y ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { C _ { \mathrm { H O M , C o } } \left( \tau , \left[ \tau _ { 1 } , T _ { 2 } , \Delta t , \tau _ { 0 } , \vec { A } , \vec { B } \right] \right) } & { { } = } & { A _ { 3 } \exp ( - | \tau | / \tau _ { 1 } ) \left( 1 - V _ { \mathrm { P S } } \cdot e ^ { - | \tau | / T _ { 2 } } \right) + \sum _ { \mathrm { i } = \{ 1 , 2 , 4 , 5 \} } A _ { i } \exp ( - \left| \tau + \Delta t _ { i } \right| / \tau _ { 1 } ) } \end{array}
\displaystyle \mathcal { H } _ { 4 } = \delta J + g _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } J ^ { \frac { 3 } { 2 } } \cos { \left( 3 \psi + \xi _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } \right) } + \frac { 1 } { 2 } \alpha J ^ { 2 }
K _ { u v } ^ { x } \, k _ { \Lambda } ^ { u } \, k _ { \Sigma } ^ { v } \, - \, { \o { \lambda } { 2 } } \, \varepsilon ^ { x y z } \, { \cal P } _ { \Lambda } ^ { y } \, { \cal P } _ { \Sigma } ^ { z } \, = \, { \o { 1 } { 2 } } \, f _ { \phantom { \Delta } \Lambda \Sigma } ^ { \Delta } \, { \cal P } _ { \Delta } ^ { x }
G _ { 1 } ( t ^ { \prime \prime } ) : = \delta x _ { 1 } ( t ) / \delta \tilde { h } ( t ^ { \prime \prime } ) = \big [ 1 - f _ { 0 } ^ { 2 } \big ] J _ { 0 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \, \frac { \delta x ( t ^ { \prime } ) } { \delta \tilde { h } ( t ^ { \prime \prime } ) } G _ { 1 } ( t ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } & { H _ { 1 , j } = S _ { z , j } ^ { 2 } - S _ { y , j } ^ { 2 } , \quad H _ { 2 , j } = S _ { x , j } ^ { 2 } - S _ { y , j } ^ { 2 } , } \\ & { E _ { 1 , j } = S _ { z , j } S _ { y , j } , \quad E _ { 2 , j } = S _ { x , j } S _ { y , j } , \quad E _ { 3 , j } = S _ { x , j } S _ { z , j } , } \\ & { F _ { 1 , j } = S _ { y , j } S _ { z , j } , \quad F _ { 2 , j } = S _ { y , j } S _ { x , j } , \quad F _ { 3 , j } = S _ { z , j } S _ { x , j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mu ( \tau + 1 ) \tau } { 8 } d _ { \tau + 1 } ^ { 2 } + \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } t \Delta _ { t } \leq } & { \mathbb { D } _ { \tau } \left[ 9 1 G \log \frac { 4 } { \delta } + 1 1 7 \left( M \log \frac { 4 } { \delta } + \sqrt { \left( \sigma ^ { p } G ^ { 2 - p } + \sigma ^ { p } M ^ { 2 - p } \right) \log \frac { 4 } { \delta } } \right) T ^ { \frac { 1 } { p } } \right] } \\ & { + 3 2 0 \mathbb { D } _ { \tau } \left( M \sqrt { ( \sigma / M ) ^ { p } + ( \sigma / M ) ^ { 2 p } } T ^ { \frac { 1 } { p } } + G \sqrt { 1 + ( \sigma / G ) ^ { p } } \sqrt { T } \right) } \\ { \leq } & { \frac { \mu \mathbb { D } _ { \tau } ^ { 2 } } { 1 6 } + \frac { 8 } { \mu } \left[ 9 1 G \log \frac { 4 } { \delta } + 1 1 7 \left( M \log \frac { 4 } { \delta } + \sqrt { \left( \sigma ^ { p } G ^ { 2 - p } + \sigma ^ { p } M ^ { 2 - p } \right) \log \frac { 4 } { \delta } } \right) T ^ { \frac { 1 } { p } } \right] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 8 } { \mu } \left[ 3 2 0 \left( M \sqrt { ( \sigma / M ) ^ { p } + ( \sigma / M ) ^ { 2 p } } T ^ { \frac { 1 } { p } } + G \sqrt { 1 + ( \sigma / G ) ^ { p } } \sqrt { T } \right) \right] ^ { 2 } } \\ { \overset { ( a ) } { \leq } } & { \frac { \mu \left( \operatorname* { m a x } _ { s \in \left[ \tau \right] } s ( s - 1 ) d _ { s } ^ { 2 } + C ^ { 2 } \right) } { 1 6 } } \\ & { + \frac { 8 } { \mu } \left[ 9 1 G \log \frac { 4 } { \delta } + 1 1 7 \left( M \log \frac { 4 } { \delta } + \sqrt { \left( \sigma ^ { p } G ^ { 2 - p } + \sigma ^ { p } M ^ { 2 - p } \right) \log \frac { 4 } { \delta } } \right) T ^ { \frac { 1 } { p } } \right] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 8 } { \mu } \left[ 3 2 0 \left( M \sqrt { ( \sigma / M ) ^ { p } + ( \sigma / M ) ^ { 2 p } } T ^ { \frac { 1 } { p } } + G \sqrt { 1 + ( \sigma / G ) ^ { p } } \sqrt { T } \right) \right] ^ { 2 } } \\ { \overset { ( b ) } { = } } & { \frac { \operatorname* { m a x } _ { s \in \left[ \tau \right] } \frac { \mu s ( s - 1 ) } { 8 } d _ { s } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { K } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { r } ^ { i } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi , \theta ) = \rho | \mathbf { U } | ^ { 2 } L ^ { 3 } \sin { ( 2 \theta ) } \frac { 5 \pi } { 4 8 ( 1 + R e _ { L } ^ { * 1 . 9 9 1 } ) ^ { 0 . 3 3 1 } } } & { \left( \frac { 1 } { \ln ^ { 2 } ( 3 \chi ) } + \frac { 2 . 2 4 4 - 1 . 8 1 3 R e _ { L } ^ { * 0 . 5 4 3 } } { \ln ^ { 3 } ( 3 \chi ) } \right. } \\ & { \left. - \frac { 3 . 6 0 3 + 8 . 8 5 4 R e _ { L } ^ { * 0 . 5 3 8 } } { \ln ^ { 4 } ( 3 \chi ) } - \frac { 1 4 . 3 0 1 ( R e _ { L } ^ { * } / \chi ) ^ { 0 . 4 4 8 } } { \ln ^ { 5 } ( 3 \chi ) } \right) . } \end{array}
\mathscr { P } ( \beta , E _ { \mathrm { ~ f ~ f ~ } } ) = \frac { \sqrt { ( \beta + E _ { \mathrm { ~ f ~ f ~ } } - 1 ) ^ { 3 } ( 3 + E _ { \mathrm { ~ f ~ f ~ } } - 3 \beta ) } } { E _ { \mathrm { ~ f ~ f ~ } } } ,
\phi _ { i _ { x } , i _ { t } , j } ( \boldsymbol { x } , t ) = \sigma ( ( \boldsymbol { k } _ { i _ { x } , i _ { t } , j } ^ { x } ) ^ { \top } l _ { i _ { x } } ( \boldsymbol { x } ) + b _ { i _ { x } , i _ { t } , j } ^ { x } ) \sigma ( k _ { i _ { x } , i _ { t } , j } ^ { t } l _ { i _ { t } } ( t ) + b _ { i _ { x } , i _ { t } , j } ^ { t } ) .
\left\{ \begin{array} { l l } { ( \phi + \psi ) \displaystyle ( \frac { \partial W _ { 1 } } { \partial t _ { 2 } } + \frac { \partial P _ { 1 } } { \partial t _ { 1 } } ) = - k _ { c r } ^ { 2 } ( \gamma _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } P _ { 1 } + \gamma _ { 1 2 } ^ { ( 2 ) } W _ { 1 } ) } \\ { \qquad \quad + h _ { 1 } ( \bar { W } _ { 2 } \bar { P } _ { 3 } + \bar { W } _ { 3 } \bar { P } _ { 2 } ) - ( G _ { 1 } \vert W _ { 1 } \vert ^ { 2 } + G _ { 2 } ( \vert W _ { 2 } \vert ^ { 2 } + \vert W _ { 3 } \vert ^ { 2 } ) ) W _ { 1 } } \\ { ( \phi + \psi ) \displaystyle ( \frac { \partial W _ { 2 } } { \partial t _ { 2 } } + \frac { \partial P _ { 2 } } { \partial t _ { 1 } } ) = - k _ { c r } ^ { 2 } ( \gamma _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } P _ { 2 } + \gamma _ { 1 2 } ^ { ( 2 ) } W _ { 2 } ) } \\ { \qquad \quad + h _ { 1 } ( \bar { W } _ { 3 } \bar { P } _ { 1 } + \bar { W } _ { 1 } \bar { P } _ { 3 } ) - ( G _ { 1 } \vert W _ { 2 } \vert ^ { 2 } + G _ { 2 } ( \vert W _ { 3 } \vert ^ { 2 } + \vert W _ { 1 } \vert ^ { 2 } ) ) W _ { 2 } } \\ { ( \phi + \psi ) \displaystyle ( \frac { \partial W _ { 3 } } { \partial t _ { 2 } } + \frac { \partial P _ { 3 } } { \partial t _ { 1 } } ) = - k _ { c r } ^ { 2 } ( \gamma _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } P _ { 3 } + \gamma _ { 1 2 } ^ { ( 2 ) } W _ { 3 } ) } \\ { \qquad \quad + h _ { 1 } ( \bar { W } _ { 1 } \bar { P } _ { 2 } + \bar { W } _ { 2 } \bar { P } _ { 1 } ) - ( G _ { 1 } \vert W _ { 3 } \vert ^ { 2 } + G _ { 2 } ( \vert W _ { 1 } \vert ^ { 2 } + \vert W _ { 2 } \vert ^ { 2 } ) ) W _ { 3 } } \end{array} \right.
\mathbf { L } = \frac { Q ^ { 2 } } { 2 } \left( \begin{array} { c c c } { { 2 \sinh ^ { 2 } \psi \cos ^ { 2 } \phi + 2 } } & { { - \sinh 2 \psi \cos \phi } } & { { \sinh ^ { 2 } \psi \sin 2 \phi } } \\ { { - \sinh 2 \psi \cos \phi } } & { { 2 \sinh ^ { 2 } \psi } } & { { - \sinh 2 \psi \sin \phi } } \\ { { \sinh ^ { 2 } \psi \sin 2 \phi } } & { { - \sinh 2 \psi \sin \phi } } & { { 2 \sinh ^ { 2 } \psi \sin ^ { 2 } \phi + 2 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { s } & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \exp \left\{ i \left[ \eta _ { 0 } ^ { \left( 1 \right) } - \eta _ { 1 } ^ { \left( 1 \right) } \left( \nu \right) \nu ^ { \left( 1 \right) } \right] \right\} } & { - i \left( - 1 \right) ^ { j } \left[ \pi \Omega \left( 4 j ^ { 2 } - 1 \right) / 8 j ^ { 2 } \left\vert \Omega \right\vert \nu \right] \nu ^ { \left( 1 \right) } } \\ { - i \left( - 1 \right) ^ { j } \left[ \pi \Omega ^ { \ast } \left( 4 j ^ { 2 } - 1 \right) / 8 j ^ { 2 } \left\vert \Omega \right\vert \nu \right] \nu ^ { \left( 1 \right) } } & { \exp \left\{ i \left[ \eta _ { 0 } ^ { \left( 1 \right) } + \eta _ { 1 } ^ { \left( 1 \right) } \left( \nu \right) \nu ^ { \left( 1 \right) } \right] \right\} } \end{array} \right) , } \\ { \eta _ { 0 } ^ { \left( 1 \right) } } & { = } & { j \pi , } \\ { \eta _ { 1 } ^ { \left( 1 \right) } \left( \nu \right) } & { = } & { - \frac { \pi \left( 4 j ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 3 / 2 } } { 8 j ^ { 2 } \left\vert \nu \right\vert } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 6 b } ^ { ( 1 ) } } & { { } = - ( - 1 ) ^ { 5 } 9 6 i D \int _ { 0 } ^ { \infty } d l _ { E } \int d \Omega _ { D } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { m } ^ { n } ( g _ { n } ) } & { = \sum _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { n } = 1 } ^ { m _ { 2 } } \sum _ { \alpha _ { 1 } , \cdots , \alpha _ { n } = 1 } ^ { m _ { 1 } } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { n } w _ { j _ { i } } \right) \left( \prod _ { i = 1 } ^ { n } w _ { \alpha _ { i } } \right) g _ { n } ( r _ { j _ { 1 } } , \cdots , r _ { j _ { n } } , s _ { \alpha _ { 1 } } , \cdots , s _ { \alpha _ { n } } ) } \end{array}
K _ { i } ^ { \rightarrow } \left( t \right) = K _ { i } ^ { \rightarrow } \left( t - 1 \right) + \mathcal { R } _ { i } ^ { \rightarrow } \left( t - 2 \right) , \qquad \qquad \qquad \qquad K _ { i } ^ { \leftarrow } \left( t \right) = K _ { i } ^ { \leftarrow } \left( t + 1 \right) + \mathcal { R } _ { i } ^ { \leftarrow } \left( t \right)
\mu _ { a b } \partial ^ { i } \alpha _ { b c } ^ { i } \frac { 1 } { \partial ^ { - } } = 0 , \quad \eta _ { a b } \partial ^ { i } \alpha _ { b c } ^ { i } \frac { 1 } { \partial ^ { - } } = \rho _ { a c } \frac { 1 } { \partial ^ { - } }
B _ { 3 } ^ { 1 } = c _ { 2 } ^ { \prime } ( d _ { 4 } - d _ { 3 } ) / m \, , \quad B _ { 4 } ^ { 1 } = 2 c _ { 2 } ^ { \prime } ( d _ { 4 } - d _ { 3 } ) d _ { 5 } ^ { - 1 } \, .
\hat { H } _ { 1 } + \hat { H } _ { 2 } + \hat { H } _ { 3 } = \delta _ { m , n _ { 1 } + n _ { 2 } } \left\{ \Gamma R \pi ^ { 2 } \left[ ( 1 - n _ { 1 } ) \delta _ { n _ { 2 } , - 1 } + ( 1 + n _ { 1 } ) \delta _ { n _ { 2 } , 1 } \right] + 4 v _ { 0 } { \frac { 1 } { ( 1 / 4 ) - n _ { 2 } ^ { 2 } } } \right\}
\begin{array} { l l } { { \displaystyle { \rho ( z ) \sim 1 + \mathrm { e } ^ { - b z } , } } } & { { \qquad \mathrm { a s ~ } z \rightarrow + \infty } } \\ { { \displaystyle { \rho ( z ) \sim \mathrm { e } ^ { b ^ { \prime } z } , } } } & { { \qquad \mathrm { a s ~ } z \rightarrow - \infty } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ^ { \textup { m e r } } ( \cdot ) } & { = ( y _ { i , 1 } + y _ { i , 1 } ^ { \prime } ) a _ { i } + y _ { i , 3 } , } \\ { f _ { 2 } ^ { \textup { m e r } } ( \cdot ) } & { = 2 ( y _ { i , 2 } a _ { i } + y _ { i , 3 } - y _ { i , 1 } ^ { \prime } ) + 5 y _ { i , \textup { d } } , } \\ { f _ { 3 } ^ { \textup { m e r } } ( \cdot ) } & { = 4 ( y _ { i , 1 } ^ { \prime } + y _ { i , 3 } ) + 2 y _ { i , \textup { d } } , } \\ { f _ { 4 } ^ { \textup { m e r } } ( \cdot ) } & { = 4 y _ { i , \textup { d } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { \mathcal { R } _ { 0 } } \sum _ { j \in \Omega } | \Omega _ { j } | \int _ { \Omega _ { j } } \beta _ { j } \varphi _ { j } ^ { 2 } } & { = } & { \sum _ { j \in \Omega } d _ { I _ { j } } | \Omega _ { j } | \int _ { \Omega _ { j } } | \triangledown \varphi _ { j } | ^ { 2 } + d _ { I } \sum _ { j \in \Omega } L _ { j j } \left( \bar { \varphi } _ { j } ^ { 2 } - | \Omega _ { j } | \int _ { \Omega _ { j } } \varphi _ { j } ^ { 2 } \right) } \\ & { } & { - d _ { I } \sum _ { j , k \in \Omega } { L _ { j k } } \bar { \varphi } _ { j } \bar { \varphi } _ { k } + \sum _ { j \in \Omega } | \Omega _ { j } | \int _ { \Omega _ { j } } \gamma _ { j } \varphi _ { j } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { i , k } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \frac { 1 } { 1 6 } \sum _ { ( j , m , n ) \in \{ 1 , \dots , d \} ^ { 3 } } \left\{ \frac { \partial ^ { 2 } \beta _ { i j } } { \partial x _ { m } \partial x _ { n } } ( \xi _ { 3 } ^ { l } ) + \frac { \partial ^ { 2 } \beta _ { i j } } { \partial x _ { m } \partial x _ { n } } ( \xi _ { 4 } ^ { l } ) \right\} ( X _ { m , k \Delta _ { l } } ^ { l } - X _ { m , k \Delta _ { l } } ^ { l , a } ) ( X _ { n , k \Delta _ { l } } ^ { l } - X _ { n , k \Delta _ { l } } ^ { l , a } ) \times } \\ & { } & { [ W _ { j , ( k + 2 ) \Delta _ { l } } - W _ { j , k \Delta _ { l } } ] } \end{array}
\Vert \beta \Vert _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq c \big ( \Vert d \beta \Vert _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { 3 } ( \Omega ) } + \Vert \delta \beta \Vert _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { 1 } ( \Omega ) } \big ) , \quad \forall \beta \in H \Lambda ^ { 2 } ( \Omega ) \cap \mathring { H } ^ { \ast } \Lambda ^ { 2 } ( \Omega ) .
\begin{array} { r l } { f _ { 1 1 } ( x , y ) } & { = \frac { x ^ { 1 1 } P _ { 7 6 , 1 4 3 0 } ( x , y ) } { ( x + y - x y ) ^ { 1 9 } ( 2 - x - y + x y ) ^ { 1 9 } P _ { 5 , 1 1 } ( x , y ) P _ { 6 , 1 5 } ( x , y ) } } \\ & { \quad - \frac { x ^ { 1 1 } P _ { 7 6 , 1 4 2 9 } ( x , y ) } { ( x + y - x y ) ^ { 1 9 } ( 2 - x - y + x y ) ^ { 1 9 } P _ { 5 , 1 1 } ( x , y ) P _ { 6 , 1 5 } ( x , y ) } } \\ & { = - \frac { x ^ { 1 1 } y ^ { 1 1 } P _ { 2 0 , 1 2 1 } ( x , y ) } { ( 2 - x - y + x y ) ^ { 1 9 } P _ { 6 , 1 5 } ( x , y ) } , } \end{array}
\beta ^ { - 2 } d \Omega _ { 2 } ^ { 2 } \equiv \left\{ \begin{array} { l l } { { \beta ^ { - 2 } d \theta ^ { 2 } + \beta ^ { - 2 } \sin ^ { 2 } \! \theta \, d \varphi ^ { 2 } \ \ } } & { { { \mathrm { i f ~ } } \beta \neq 0 } } \\ { { d x ^ { 2 } + d y ^ { 2 } } } & { { { \mathrm { i f ~ } } \beta = 0 . } } \end{array} \right.
x _ { i } + \sum \lfloor { \bar { a } } _ { i , j } \rfloor x _ { j } - \lfloor { \bar { b } } _ { i } \rfloor = { \bar { b } } _ { i } - \lfloor { \bar { b } } _ { i } \rfloor - \sum ( { \bar { a } } _ { i , j } - \lfloor { \bar { a } } _ { i , j } \rfloor ) x _ { j } .
\begin{array} { r l } { \tau _ { n } } & { = \frac { 3 } { \pi B } [ ( - \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } + 2 \pi k _ { 2 } ) \alpha ( 1 - \alpha ) ] } \\ & { = \frac { 3 } { \pi B } [ ( n \pi \sin ( \theta _ { 0 } ) + n \pi \sin ( \theta _ { 0 } ) + 2 \pi k _ { 2 } ) \alpha ( 1 - \alpha ) ] } \\ & { = \frac { 3 } { B } [ ( 2 n \sin ( \theta _ { 0 } ) + 2 k _ { 2 } ) \alpha ( 1 - \alpha ) ] } \\ & { = \frac { 3 } { 2 B } ( n \sin ( \theta _ { 0 } ) + k _ { 2 } ) } \\ & { = \frac { 3 } { 2 B } ( n \sin ( \theta _ { 0 } ) - \mathrm { r o u n d } ( n \sin ( \theta _ { 0 } ) ) ) } \end{array}
\langle \sigma _ { n } ( \phi _ { i } ) \phi _ { j } \phi _ { k } \rangle = \sum _ { l = 0 } ^ { k } \langle \sigma _ { n - 1 } ( \phi _ { i } ) \phi _ { l } \rangle \langle \phi ^ { l } \phi _ { j } \phi _ { k } \rangle
\begin{array} { r l r } { L _ { c } } & { { } = } & { \sqrt { \frac { \sigma _ { 0 } } { \rho } } \frac { 1 } { f _ { 0 } } } \\ { f } & { { } \simeq } & { f _ { 0 } , \quad \mathrm { i f } \quad L \ll L _ { c } } \\ { f } & { { } \simeq } & { f _ { 0 } \frac { L _ { c } } { L } , \quad \mathrm { i f } \quad L \gg L _ { c } . } \end{array}
v _ { \parallel f } - v _ { \parallel } \simeq - \frac { ( \mu B - v _ { \parallel } u ) \left( B _ { f } / B - 1 \right) + Z e \left( \phi _ { \theta f } - \phi _ { \theta } \right) / m } { v _ { \parallel } + u } \sim \epsilon v _ { t } ,
[ \hat { S } _ { i } ^ { 0 } , \hat { S } _ { j } ^ { \dag } ] = \hat { S } _ { i } ^ { \dag } \delta _ { i j } , \quad [ \hat { S } _ { i } ^ { 0 } , \hat { S } _ { j } ] = - \hat { S } _ { i } \delta _ { i j } , \quad [ \hat { S } _ { i } , \hat { S } _ { j } ] = 2 \hat { S } _ { i } ^ { 0 } \delta _ { i j } ,