harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l } { \omega \big ( ( n - 1 ) H _ { 0 } ^ { n - 2 } \frac { \d ^ { 3 } H _ { 0 } } { \d x ^ { 3 } } H _ { 1 } + H _ { 0 } ^ { n - 1 } \frac { \d ^ { 3 } H _ { 1 } } { \d x ^ { 3 } } \big ) } & { { } = s _ { 1 } ^ { n + 3 } \dot { s } _ { 1 } x } & { } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad x \in ( 0 , 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Theta _ { k , q } ( x ) = } & { { } \Phi _ { k } ^ { ( v ) } \left( \Phi _ { q } ^ { ( e ) } ( x ) \right) } \\ { = } & { { } \frac { 1 } { \Gamma ( k - 1 ) } \Gamma \left( k - 1 , \frac { \Gamma ( q - 1 , ( 1 - x ) \langle n \rangle ^ { ( e ) } ) \langle z \rangle ^ { ( v ) } } { \Gamma ( q - 1 ) } \right) \, , } \end{array}
P V = \frac { f \phi } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { { \hat { 0 } } } & { { - i \vec { W } _ { 1 , 2 } \vec { U } } } \\ { { i \vec { W } _ { 1 , 2 } \vec { U } } } & { { \hat { 0 } } } \end{array} \right) ~ .
q _ { x } ( \xi , t ) = \frac { 2 N _ { c } } { L } R _ { 1 } ( \xi , t ) , \; q _ { y } ( \xi , t ) = \frac { 2 N _ { c } } { L } ( R _ { 2 } ( \xi , t ) - R _ { 3 } ( \xi , t ) ) .
\begin{array} { r l } { { \frac { d | \Psi _ { w } ( t ) \rangle } { d t } } } & { { } = \left[ - { \frac { i } { \hbar } } H + \int d \mathbf { x } M ( \mathbf { x } ) w ( \mathbf { x } , t ) - { \frac { \gamma } { m _ { 0 } ^ { 2 } } } \int d \mathbf { x } M ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) \right] | \Psi _ { w } ( t ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { q ^ { a } } & { = - \kappa h ^ { a b } \left( \nabla _ { b } T + \dot { u } _ { b } T \right) ~ ; } \\ { \pi ^ { a b } } & { = - 2 \eta \sigma ^ { a b } ~ ; } \\ { p _ { \mathrm { v i s } } } & { = - \zeta \theta ~ ; } \\ { \nu ^ { a } } & { = - \sigma T ^ { 2 } h ^ { a b } \nabla _ { b } \left( \frac { \mu } { T } \right) ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } \cap B _ { 3 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \leq x \leq \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } \qquad \textrm { i f } z > \frac { \sigma ^ { 2 m - 1 } r } { 2 } } \\ { \left( \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } - \sigma z \right) \left( 1 - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 ( m - 1 ) } r } \right) ^ { - 1 } < x \leq \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } \qquad \textrm { i f } \frac { \sigma } { 2 } \leq z \leq \frac { \sigma ^ { 2 m - 1 } r } { 2 } } \end{array} \right. , } \\ { A _ { 1 } \cap B _ { 4 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \leq x \leq \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } \qquad \textrm { i f } z < \frac { \sigma } { 2 } - \sigma ^ { 2 m - 1 } r } \\ { 0 \leq x < \left( \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } - \sigma z \right) \left( 1 - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 ( m - 1 ) } r } \right) ^ { - 1 } \qquad \textrm { i f } \frac { \sigma } { 2 } - \sigma ^ { 2 m - 1 } r \leq z \leq - \frac { \sigma ^ { 2 m - 1 } r } { 2 } } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. \frac { \partial } { \partial s } \right| _ { s = 0 } L ( s , \delta ) } & { = \frac { 1 } { \delta } \left. \left\langle J ( t ) , \dot { \gamma } ( t ) \right\rangle \right| _ { t = 0 } ^ { t = 1 } , } \\ { \left. \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial s ^ { 2 } } \right| _ { s = 0 } L ( s , \delta ) } & { = \frac { 1 } { \delta } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\langle \frac { D } { d t } J ( t ) ^ { \perp } , \frac { D } { d t } J ( t ) ^ { \perp } \right\rangle - \left\langle R ( J ( t ) ^ { \perp } , \dot { \gamma } ( t ) ) \dot { \gamma } ( t ) , J ( t ) ^ { \perp } \right\rangle d t \right] } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { \delta } \left. \left\langle \frac { D } { \partial s } \left. \frac { \partial } { \partial s } \right| _ { s = 0 } c ( s , t ) , \dot { \gamma } ( t ) \right\rangle \right| _ { t = 0 } ^ { t = 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { \delta } \left. \left\langle \frac { D } { d t } J ( t ) ^ { \perp } , J ( t ) ^ { \perp } \right\rangle \right| _ { t = 0 } ^ { t = 1 } + \frac { 1 } { \delta } \left. \left\langle \frac { D } { \partial s } \left. \frac { \partial } { \partial s } \right| _ { s = 0 } c ( s , t ) , \dot { \gamma } ( t ) \right\rangle \right| _ { t = 0 } ^ { t = 1 } . } \end{array}
A _ { \mathrm { ~ X ~ U ~ V ~ } } ( t ) = - A _ { \mathrm { ~ X ~ U ~ V ~ } } ^ { 0 } \sum _ { i = 1 7 , 1 9 , . . . , 2 9 } \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ^ { 2 } ( \omega t / 2 n _ { c } ) * [ \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( i \omega t ) \vec { x } + \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( i \omega t ) \vec { y } ]
\begin{array} { r l } { v _ { q , n } ( t ) } & { = \eta _ { 0 q , n } \omega _ { n } \exp \! \; \! \left[ { - \omega _ { n } \zeta _ { n } ( 1 - \zeta _ { n } ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } ( t - t _ { n } ) } \right] } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \times \Big [ - \zeta _ { n } ( 1 - \zeta _ { n } ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } \sin \! \; \! \big ( \omega _ { n } ( t - t _ { n } ) + \phi \big ) } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \cos \! \; \! \big ( \omega _ { n } ( t - t _ { n } ) + \phi \big ) \Big ] + v _ { \star q , n } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { [ \hat { P } _ { \mathrm { f i e l d } , k } , \hat { A } _ { j } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ] } & { = } & { \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { 3 } \int d ^ { 3 } r ^ { \prime } \left\{ [ \hat { E } _ { n } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \partial _ { k } ^ { \prime } \hat { A } _ { n } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) , \hat { A } _ { j } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ] + . . . \right\} = } \\ & { = } & { - \epsilon _ { 0 } \sum _ { n = 1 } ^ { 3 } \int d ^ { 3 } r ^ { \prime } \frac { i \hbar \delta _ { n j } } { \epsilon _ { 0 } } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } - \mathrm { \bf ~ r } ) ) \partial _ { k } ^ { \prime } \hat { A } _ { n } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) = - i \hbar \partial _ { k } \hat { A } _ { j } ( \mathrm { \bf ~ r } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ { ( 1 ) } = } & { \; v _ { 1 ^ { \prime \prime } } , \quad v _ { 4 ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } = v _ { 4 ^ { \prime } } , \quad v _ { 1 _ { r } ^ { \prime \prime } } ^ { ( 1 ) } = v _ { 6 } ^ { ( 1 ) } v _ { 1 ^ { \prime \prime } } ( v _ { 9 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { - 1 } , \quad v _ { 4 _ { r } ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } = ( v _ { 4 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { - 1 } v _ { 4 ^ { \prime } } v _ { 7 } ^ { ( 1 ) } , } \\ { v _ { 1 _ { s } } ^ { ( 1 ) } = } & { \; G _ { - } ^ { ( 1 ) } ( k ) ^ { - 1 } G _ { + } ^ { ( 1 ) } ( k ) = v _ { 1 0 } ^ { ( 1 ) } ( k ) ^ { - 1 } \mathcal { A } \mathcal { B } v _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } ( \frac { 1 } { \omega k } ) ^ { - 1 } \mathcal { B } \mathcal { A } ^ { - 1 } } \\ { = } & { \; \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { - ( b _ { 1 2 , a } ( k ) + b _ { 3 2 , a } ( \frac { 1 } { \omega k } ) ) e ^ { - \theta _ { 2 1 } } } & { ( v _ { 1 _ { s } } ^ { ( 1 ) } ) _ { 1 3 } } \\ { 0 } & { 1 } & { - ( b _ { 2 1 , a } ( \frac { 1 } { \omega k } ) + b _ { 2 3 , a } ( k ) ) e ^ { - \theta _ { 3 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ { ( v _ { 1 _ { s } } ^ { ( 1 ) } ) _ { 1 3 } : = } & { \; \big ( b _ { 1 2 , a } ( k ) ( b _ { 2 1 , a } ( \frac { 1 } { \omega k } ) + b _ { 2 3 , a } ( k ) ) + b _ { 2 1 , a } ( \frac { 1 } { \omega k } ) b _ { 3 2 , a } ( \frac { 1 } { \omega k } ) - b _ { 1 3 , a } ( k ) - b _ { 3 1 , a } ( \frac { 1 } { \omega k } ) \big ) e ^ { - \theta _ { 3 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { p _ { t o t , t } } { p _ { t o t , u } } \right) _ { g e o m } } & { { } = \left( \frac { R _ { u } } { R _ { t } } \right) ^ { 0 . 5 \cdot \ln ( R _ { t } / R _ { x } ) / \ln ( R _ { t } / R _ { u } ) } = } \\ { ~ } & { { } = e ^ { - 0 . 5 \cdot \ln ( R _ { t } / R _ { x } ) } = } \\ { ~ } & { { } = \left( \frac { R _ { x } } { R _ { t } } \right) ^ { 0 . 5 } ~ ~ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } s _ { u } \in [ s _ { O M P } , s _ { x } ) } \\ { \left( \frac { p _ { t o t , t } } { p _ { t o t , u } } \right) _ { g e o m } } & { { } = \left( \frac { R _ { u } } { R _ { t } } \right) ^ { 0 . 5 } ~ ~ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } s _ { u } \in [ s _ { x } , s _ { t } ] } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { e + i { \overline { { e } } } + j v + k { \overline { { v } } } } \\ { u _ { r } + i { \overline { { u _ { r } } } } + j d _ { r } + k { \overline { { d _ { r } } } } } \\ { u _ { g } + i { \overline { { u _ { g } } } } + j d _ { g } + k { \overline { { d _ { g } } } } } \\ { u _ { b } + i { \overline { { u _ { b } } } } + j d _ { b } + k { \overline { { d _ { b } } } } } \end{array} \right] } _ { L }
\begin{array} { l l } { \partial _ { t } W + \partial _ { x } F ( W ) = 0 } \\ { W ( x , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { W _ { L } ( x ) = p _ { j } ( x ) , } & { \; \; \; x < x _ { j + \frac { 1 } { 2 } } , } \\ { W _ { R } ( x ) = p _ { j + 1 } ( x ) , } & { \; \; \; x > x _ { j + \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { \d { } x ^ { i } ( y , t ) } { \d { } t } = u ^ { i } ( x ( y , t ) , t ) = - \frac { 1 } { H } \epsilon ^ { i j } E _ { j } ( x ( y , t ) , t ) = - \frac { 1 } { H } \epsilon ^ { i j } \frac { \partial A _ { j } ( x , t ) } { \partial { t } } \Big | _ { x = x ( y , t ) } \, .
V = \frac { 1 } { 2 } \delta m ^ { 2 } \phi _ { c } ^ { 2 } + \frac { \lambda + \delta \lambda } { 4 ! } \phi _ { c } ^ { 4 } + \frac { \lambda \phi _ { c } ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } } \Lambda ^ { 2 } + \frac { \lambda ^ { 2 } \phi _ { c } ^ { 4 } } { 2 5 6 \pi ^ { 2 } } \left( \log \frac { \lambda \phi _ { c } ^ { 2 } } { 2 \Lambda ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \right)
s = { \frac { 1 } { 6 \pi ^ { 2 } T ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { l } ( 2 s _ { i } + 1 ) \int _ { 0 } ^ { \infty } d p \, { \frac { p ^ { 4 } } { E _ { i } } } { \frac { ( E _ { i } - \mu _ { i } ) \exp \left\{ { \frac { E _ { i } - \mu _ { i } } { T } } \right\} } { \left( \exp \left\{ { \frac { E _ { i } - \mu _ { i } } { T } } \right\} + g _ { i } \right) ^ { 2 } } } \ ,
\omega _ { \theta } ( r , z , t ) \, = \, \frac { \Gamma } { \nu t } \, \eta \Bigl ( \frac { r - \bar { r } ( t ) } { \sqrt { \nu t } } \, , \, \frac { z - \bar { z } ( t ) - \tilde { z } ( t ) } { \sqrt { \nu t } } \, , \, t \Bigr ) \, ,
0 = \left( { \int } _ { - L } ^ { L } d x ^ { - } \left[ { \Theta } _ { \mu } ^ { \; \; + } ( x ) \right] _ { x ^ { + } = - T } ^ { x ^ { + } = T } + { \int } _ { - T } ^ { T } d x ^ { + } \left[ { \Theta } _ { \mu } ^ { \; \; - } ( x ) \right] _ { x ^ { - } = - L } ^ { x ^ { - } = L } \right) ,
\left\langle \frac { e _ { t } } { \alpha _ { t } } \ | \ x - x _ { t + 1 } \right\rangle \leq \frac { 1 } { \alpha _ { t } } \| e _ { t } \| \| x - x _ { t + 1 } \| \leq \frac { 1 } { \alpha _ { t } } \sqrt { 2 \alpha _ { t } \varepsilon _ { t } } \| x - x _ { t + 1 } \| \leq \sqrt { \frac { 2 \varepsilon _ { t } } { \alpha _ { t } } } \| x - x _ { t + 1 } \| .
\frac { \partial v _ { i } ^ { ( 1 ) } \sigma _ { i j } ^ { a u x } } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial v _ { i } ^ { a u x } \sigma _ { i j } ^ { ( 1 ) } } { \partial x _ { j } } = \sigma _ { i j } ^ { a u x } \frac { \partial v _ { i } ^ { ( 1 ) } } { \partial x _ { j } } - \sigma _ { i j } ^ { ( 1 ) } \frac { \partial v _ { i } ^ { a u x } } { \partial x _ { j } }
\frac { d W } { d E d ^ { 3 } p } ( \vec { p } = 0 ) = \frac { \alpha } { 1 2 \pi ^ { 3 } } \frac { 1 } { E ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 - e ^ { E / T } } \frac { 1 } { 2 \pi i } \mathrm { D i s c } \Pi _ { \rho } ^ { \rho } ( 0 ) .
\begin{array} { r l } { \sum _ { j } K ( j | i ) \frac { u ( j , t ) } { u ( i , t ) } [ S ( j , t ) - S ( i , t ) ] } & { { } = - \frac { d S ( i , t ) } { d t } } \\ { \sum _ { j } K ( i | j ) \frac { v ( j , t ) } { v ( i , t ) } [ S ( i , t ) - S ( j , t ) ] } & { { } = - \frac { d S ( i , t ) } { d t } } \\ { \sum _ { j } K ( i | j ) \frac { u ( i , t ) } { u ( j , t ) } P ( j , t ) - \sum _ { j } K ( } & { { } j | i ) \frac { u ( j , t ) } { u ( i , t ) } P ( i , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { R } } & { \in L ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { M } ^ { + } ( \overline { { \Omega } } ; \mathbb { R } _ { \mathrm { s y m } } ^ { 3 \times 3 } ) ) , } \\ { \textup { d } \mathfrak { R } } & { : = \overline { { \varrho } } \left( \overline { { \textbf { \textup { u } } \otimes \textbf { \textup { u } } } } - \textbf { \textup { u } } \otimes \textbf { \textup { u } } \right) \textup { d } x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \tau } ( \gamma x , y ) } & { = \sum _ { \gamma ^ { \prime } \in \Gamma } D ( \gamma ^ { \prime } ) \widetilde { U } _ { \tau } ( \gamma x , \gamma ^ { \prime } y ) } \\ & { = \sum _ { \gamma ^ { \prime } \in \Gamma } D ( \gamma \gamma ^ { - 1 } \gamma ^ { \prime } ) \widetilde { U } _ { \tau } ( \gamma ^ { - 1 } \gamma x , \gamma ^ { - 1 } \gamma ^ { \prime } y ) } \\ & { = D ( \gamma ) \sum _ { \gamma ^ { \prime } \in \Gamma } D ( \gamma ^ { - 1 } \gamma ^ { \prime } ) \widetilde { U } _ { \tau } ( x , \gamma ^ { - 1 } \gamma ^ { \prime } y ) } \\ & { = D ( \gamma ) \sum _ { \gamma ^ { \prime \prime } \in \Gamma } D ( \gamma ^ { \prime \prime } ) \widetilde { U } _ { \tau } ( x , \gamma ^ { \prime \prime } y ) } \\ & { = D ( \gamma ) U _ { \tau } ( x , y ) , } \end{array}
a _ { 0 0 } \equiv A ( B ^ { 0 } \to \rho ^ { 0 } \pi ^ { 0 } ) = - \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } [ A _ { 3 / 2 , 2 } + A _ { 5 / 2 , 2 } ] + \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } A _ { 1 / 2 , 0 } \; ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { n } \approx } & { { } 2 i ^ { n } { \bf C } \exp \{ i [ q _ { 1 / 4 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) ( \frac { \hbar \omega } { U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 1 / 4 } } \end{array}
M _ { t } ( z ) = \frac { u _ { \mathrm { r m s } } ( z ) } { \sqrt { \gamma R \langle T ( z ) \rangle _ { A , t } } } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad u _ { \mathrm { r m s } } ( z ) = \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \left[ \langle u _ { i } ^ { 2 } ( z ) \rangle _ { A , t } - \langle u _ { i } ( z ) \rangle _ { A , t } ^ { 2 } \right] } \, .
\left( \frac { \mathrm { d } { \cal E } } { \mathrm { d } t } \right) _ { 4 } ^ { s p } = \int \frac { \mathrm { d } { \bf k } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \mathrm { d } { \bf k } _ { 1 } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \mathrm { d } { \bf k } _ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \mathrm { d } { \bf k } _ { 3 } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } }
\begin{array} { r l } & { \mathcal { A } \ltimes \left( \mathcal { B } \ltimes \mathcal { C } \right) } \\ { = } & { \mathrm { f o l d } [ \mathrm { c i r c } ( \mathrm { u n f o l d } ( \mathcal { A } ) ) \ltimes \mathrm { u n f o l d } [ \mathrm { f o l d } ( \mathrm { c i r c } ( \mathrm { u n f o l d } ( \mathcal { B } ) ) \ltimes \mathrm { u n f o l d } ( \mathcal { C } ) ] ] } \\ { = } & { \mathrm { f o l d } [ \mathrm { c i r c } ( \mathrm { u n f o l d } ( \mathcal { A } ) ) \ltimes ( \mathrm { \mathrm { c i r c } } ( \mathrm { u n f o l d } ( \mathcal { B } ) ) \ltimes \mathrm { u n f o l d } ( \mathcal { C } ) ] . } \end{array}
\eta ^ { ( \omega ) } \left( B \left( W + x , r \right) \right) \leq \phi ^ { ( \omega ) } ( W , \varepsilon r _ { \operatorname* { m i n } } ^ { n _ { j } } ) \leq ( 1 - p _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 C ^ { \prime } } ) ^ { j / 2 } \leq ( 1 - p _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 C ^ { \prime } } ) ^ { \frac { n _ { j + 1 } } { 2 C ^ { \prime } } - 1 / 2 } \leq C _ { 0 } r ^ { \rho } .
\begin{array} { r l } { \dot { V } _ { t } ^ { j , k , \mathrm { \scriptsize ~ n o r m a l } } } & { = - \int _ { \Omega } \dot { \gamma } _ { t } ( \boldsymbol r ) \nabla u _ { t } ^ { j } ( \boldsymbol r ) \cdot \nabla u _ { t } ^ { k } ( \boldsymbol r ) d \boldsymbol r } \\ { \dot { V } _ { t } ^ { j , k , \mathrm { \scriptsize ~ m o t i o n } } } & { = - \int _ { \partial \Omega } \boldsymbol v _ { n } ( \boldsymbol r , t ) \gamma _ { t } ( \boldsymbol r ) \nabla u _ { t } ^ { j } ( \boldsymbol r ) \cdot \nabla u _ { t } ^ { k } ( \boldsymbol r ) d s } \end{array}
P _ { \mathrm { C H O O Z } } ( \bar { \nu _ { e } } \to \bar { \nu _ { e } } ) \simeq 1 - 4 | U _ { e 3 } | ^ { 2 } | U _ { e 4 } | ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \Delta _ { 4 3 } - 2 ( | U _ { e 3 } | ^ { 2 } + | U _ { e 4 } | ^ { 2 } ) ( 1 - | U _ { e 3 } | ^ { 2 } - | U _ { e 4 } | ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \frac 1 { 2 V _ { R } } \int _ { \tilde { V } - V _ { R } } ^ { \tilde { V } + V _ { R } } [ A ( V - \tilde { V } - \Delta V ) ^ { 2 } - A ( V - \tilde { V } + \Delta V ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } d V } & { { } = \frac 1 { V _ { R } } \int _ { \tilde { V } } ^ { \tilde { V } + V _ { R } } [ A ( V - \tilde { V } - \Delta V ) ^ { 2 } - A ( V - \tilde { V } + \Delta V ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } d V } \end{array}
\left( \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \ \frac { { \partial } ^ { 2 } } { { \partial t } ^ { 2 } } - \ \frac { { \partial } ^ { 2 } } { { \partial z } ^ { 2 } } \right) { \bf A } \left( z , t \right) = \ \frac { 4 \pi } { c } { \bf J } ( z , t ) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \mathrm { d } u _ { R } } { \mathrm { d } R } = - \frac { u _ { R } } { R } - \mathrm { i } \frac { m } { R } u _ { \phi } - { \mathrm { i } } k u _ { z } , } \\ & { } & { \frac { \mathrm { d } u _ { \phi } } { \mathrm { d } R } = X _ { 2 } - \frac { u _ { \phi } } { R } , } \\ & { } & { \frac { \mathrm { d } u _ { z } } { \mathrm { d } R } = X _ { 3 } , } \\ & { } & { \frac { \mathrm { d } X _ { 1 } } { \mathrm { d } R } = \left( \frac { m ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } + k ^ { 2 } \right) u _ { R } + \mathrm { i } ( \omega + m { \mathrm { R e } } \, \Omega ) u _ { R } + } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + 2 { \mathrm { i } } \frac { m } { R ^ { 2 } } u _ { \phi } - 2 { \mathrm { R e } } \, \Omega u _ { \phi } - { \mathrm { i } } k { \mathrm { H a } } ^ { 2 } B _ { R } , } \\ & { } & { \frac { \mathrm { d } X _ { 2 } } { \mathrm { d } R } = \left( \frac { m ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } + k ^ { 2 } \right) u _ { \phi } + { \mathrm { i } } ( \omega + m { \mathrm { R e } } \, \Omega ) u _ { \phi } - } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad - 2 { \mathrm { i } } \frac { m } { R ^ { 2 } } u _ { R } + 2 a { \mathrm { R e } } u _ { R } - { \mathrm { i } } k \mathrm { H a } ^ { 2 } B _ { \phi } + } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \frac { m ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } u _ { \phi } + k \frac { m } { R } u _ { z } - { \mathrm { i } } \frac { m } { R } X _ { 1 } , } \\ & { } & { \frac { \mathrm { d } X _ { 3 } } { \mathrm { d } R } = \left( \frac { m ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } + k ^ { 2 } \right) u _ { z } + { \mathrm { i } } ( \omega + m \mathrm { R e } \, \Omega ) u _ { z } - } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad - \frac { X _ { 3 } } { R } - \mathrm { i } k { \mathrm { H a } } ^ { 2 } B _ { z } + k \frac { m } { R } u _ { \phi } + k ^ { 2 } u _ { z } - { \mathrm { i } } k X _ { 1 } , } \\ & { } & { \frac { \mathrm { d } B _ { R } } { \mathrm { d } R } = - \frac { B _ { R } } { R } - \mathrm { i } \frac { m } { R } B _ { \phi } - \mathrm { i } k B _ { z } , } \\ & { } & { \frac { \mathrm { d } B _ { \phi } } { \mathrm { d } R } = X _ { 4 } - \frac { B _ { \phi } } { R } , } \\ & { } & { \frac { \mathrm { d } B _ { z } } { \mathrm { d } R } = { \mathrm { i } } \left( \frac { m ^ { 2 } } { k R ^ { 2 } } + k \right) B _ { R } - \frac { \mathrm { P m } } { k } ( \omega + m \mathrm { R e } \, \Omega ) B _ { R } + u _ { R } - \frac { m } { k R } X _ { 4 } , } \\ & { } & { \frac { \mathrm { d } X _ { 4 } } { \mathrm { d } R } = \left( \frac { m ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } + k ^ { 2 } \right) B _ { \phi } + \mathrm { i } \mathrm { P m } ( \omega + m \mathrm { R e } \, \Omega ) B _ { \phi } - } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad - 2 { \mathrm { i } } \frac { m } { R ^ { 2 } } B _ { R } - \mathrm { i } k u _ { \phi } + 2 \mathrm { P m R e } \frac { b } { R ^ { 2 } } B _ { R } . , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { v } _ { 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \operatorname { R e } ( \vec { s } _ { 1 } + \vec { s } _ { 2 } ) \, , } & { { } } & { \vec { v } _ { 2 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \operatorname { I m } ( \vec { s } _ { 1 } - \vec { s } _ { 2 } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { { } \geq \frac { \underline { { \alpha } } } { \mathrm { { R a } } } \left[ \frac { b } { 8 } - a _ { 0 } C \left( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } ^ { 2 } + 1 + \underline { { \alpha } } ^ { - 1 } \mathrm { { R a } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left( \| \dot { \alpha } \| _ { \infty } ^ { 2 } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } ^ { 2 } + 1 \right) \right) \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \widehat { \mathcal { W } } _ { h } = \widehat { \mathcal { X } } _ { s , h _ { s } } \otimes \widehat { \mathcal { W } } _ { t , h _ { t } } } & { } & { \mathrm { a n d } } & { } & { \widehat { \mathcal { V } } _ { h } = \widehat { \mathcal { X } } _ { s , h _ { s } } \otimes \widehat { \mathcal { V } } _ { t , h _ { t } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \big [ S _ { m } ^ { \prime } ( z ) \big ] ^ { 3 } - S _ { m } ^ { \prime } ( z ) + \mathrm { i } z = 0 , } \\ { \epsilon ^ { 2 } A _ { m } ^ { \prime \prime \prime } - 3 \epsilon S _ { m } ^ { \prime } A _ { m } ^ { \prime \prime } + \Big ( 3 ( S _ { m } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 3 \epsilon S _ { m } ^ { \prime \prime } - 1 \Big ) A _ { m } ^ { \prime } + \Big ( 3 S _ { m } ^ { \prime } S _ { m } ^ { \prime \prime } - \epsilon S _ { m } ^ { \prime \prime \prime } \Big ) A _ { m } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G _ { \varepsilon } ( N _ { n } ) \Rightarrow _ { n } G _ { \varepsilon } ( N _ { \infty } ) } & { \quad } & { \textnormal { f o r a l l } \varepsilon > 0 , } \\ { G _ { \varepsilon } ( N _ { \infty } ) \Rightarrow _ { \varepsilon } G ( N _ { \infty } ) } & { , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \mathrm { P } \left[ \rho ( G _ { \varepsilon } ( N _ { n } ) , G ( N _ { n } ) ) > \delta \right] = 0 } & { } & { \textnormal { f o r a l l } \delta > 0 , } \end{array}
Z = e ^ { S ^ { ( 0 ) } } \sum _ { n } { \frac { 1 } { n ! } } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { n } d ^ { D } y _ { i } ^ { \mu } \right) e ^ { S ^ { ( n ) \prime } ( y _ { 1 } , \dots , y _ { n } ) } ,
\begin{array} { r l r } { { \mathbb J } _ { 1 } } & { { } \approx } & { + \, { \mathbb K } _ { 2 } - \, { \mathbb L } _ { 1 } , } \\ { { \mathbb J } _ { 2 } } & { { } \approx } & { - \, { \mathbb K } _ { 1 } - \, { \mathbb L } _ { 2 } , } \\ { { \mathbb J } _ { 3 } } & { { } \approx } & { + \, { \mathbb K } _ { 3 } . } \end{array}
\sigma _ { \it e f f } = \frac { 1 - \psi } { 2 } + \frac { 1 + \psi } { 2 \sigma ^ { + } / \sigma ^ { - } } = \frac { 1 - \psi } { 2 } + \frac { 1 + \psi } { 2 \sigma _ { r } } .
\delta ( x ^ { 0 } - y ^ { 0 } ) \left[ \varphi ( x , \vec { \sigma } ) , \varphi ( y , \vec { \sigma } ) \right] = \delta ( x ^ { 0 } - y ^ { 0 } ) \left[ \pi ( x , \vec { \sigma } ) , \pi ( y , \vec { \sigma } ) \right] = 0 ,
\begin{array} { r l } { \delta \textrm { c o s } ( 2 \theta ) + \eta \textrm { s i n } ( 2 \theta ) + \kappa = } & { { } 0 } \\ { \delta \frac { 1 - y ^ { 2 } } { 1 + y ^ { 2 } } + \eta \frac { 2 y } { 1 + y ^ { 2 } } + \kappa = } & { { } 0 } \\ { y ^ { 2 } ( \kappa - \delta ) + y ( 2 \eta ) + ( \delta + \kappa ) = } & { { } 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { j _ { R } ^ { [ 1 ] } ( 0 ) } & { { } = j _ { R } ^ { [ 2 ] } ( \ell ) + \gamma \hat { \mathcal { C } } _ { L } , } \\ { j _ { R } ^ { [ 1 ] } ( a ) } & { { } = j _ { R } ^ { [ 2 ] } ( a ) , } \\ { p _ { L } ^ { [ 1 ] } ( a ) } & { { } = 0 , } \\ { p _ { L } ^ { [ 2 ] } ( a ) } & { { } = 0 , } \end{array}
\psi _ { n _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ , ~ b ~ } } = \cos \Big ( \frac { n _ { 2 } ^ { \prime } \pi } { h } z \Big ) R _ { m } ( k _ { \rho n _ { 2 } ^ { \prime } } \rho , k _ { \rho n _ { 2 } ^ { \prime } } a ) e ^ { - j m \phi } \quad , n _ { 2 } ^ { \prime } = 0 , 1 , . . .