harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { d } } ( t ) = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } M _ { 1 } ( y ; \hat { D } ( t _ { i } ) ) z ( y , t ) d y + \int _ { 0 } ^ { 1 } M _ { 2 } ( y ; \hat { D } ( t _ { i } ) ) w ( y , t ) d y } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } M _ { 3 } ( y ; \hat { D } ( t _ { i } ) ) v ( y , t ) d y } \\ & { + M _ { 4 } ( \hat { D } ( t _ { i } ) ) X ( t ) , \quad t \in [ t _ { i } , t _ { i + 1 } ) , } \end{array}
- i \frac { \partial < G > } { \partial \tau } = ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) < G > + g ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau _ { 0 } \int d k _ { 0 } D ( k _ { 0 } ) G ( \tau _ { 0 } , p ) G ( \tau - \tau _ { 0 } , p - k _ { 0 } ) .
{ \cal A } = { \frac { V } { 2 \pi } } \, ( 8 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } ) ^ { - 1 / 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \left( { \frac { \pi } { t } } \right) ^ { \frac { 9 } { 2 } } \left[ { \frac { f _ { 3 } ^ { 8 } ( q ) } { f _ { 1 } ^ { 8 } ( q ) } } - { \frac { f _ { 4 } ^ { 8 } ( q ) } { f _ { 1 } ^ { 8 } ( q ) } } \right]
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ a ~ } } = } & { { } \sum _ { \vec { Q } \vec { k } \vec { k } ^ { \prime } } \sum _ { o _ { i } s s ^ { \prime } } \left[ V _ { D } ^ { \{ o _ { i } \} } \big ( \vec { Q } , \vec { k } , \vec { k } ^ { \prime } \big ) - { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } V _ { C } ^ { o _ { 0 } o _ { 1 } o _ { 3 } o _ { 2 } } \big ( \vec { Q } , \vec { k } , \vec { k } ^ { \prime } \big ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { j } ) _ { i } ^ { ( 1 ) } } & { \in \pi _ { 7 , 2 - i } ( \alpha _ { i } v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } ) , } \\ { ( \partial _ { j } ) _ { i } ^ { ( 2 ) } } & { \in \pi _ { 1 5 , 2 - i } ( \beta _ { i } v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } ^ { \otimes { 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { \lambda } ( x ) } & { = \left( \frac { \lambda } { | x | } \right) ^ { n - 2 s } \int _ { \Omega } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ) f ( y , u ( y ) ) \mathrm d y } \\ & { = \int _ { \Omega \cap B _ { \lambda } ( 0 ) } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ) \left( \frac { \lambda } { | x | } \right) ^ { n - 2 s } f ( y , u ( y ) ) \mathrm d y } \\ & { + \int _ { ( \Omega \setminus B _ { \lambda } ( 0 ) ) ^ { \lambda } } \left( \frac { \lambda ^ { 2 } } { | x | | y | } \right) ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ^ { \lambda } ) \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) ^ { n + 2 s } f \left( y ^ { \lambda } , \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) ^ { 2 s - n } u _ { \lambda } ( y ) \right) \mathrm d y . } \end{array}
T _ { g } ( x , A ) = \int \frac { x p ^ { + } d y _ { 1 } ^ { - } } { 2 \pi } d y ^ { - } \frac { d y _ { 2 } ^ { - } } { 2 \pi } e ^ { i x p ^ { + } y _ { 1 } ^ { - } } \langle A | A ^ { \bot } ( 0 ) F _ { + \bot } ( y _ { 2 } ^ { - } ) F _ { + } ^ { \bot } ( y ^ { - } ) A _ { \bot } ( y _ { 1 } ^ { - } ) | A \rangle \theta ( y ^ { - } - y _ { 1 } ^ { - } ) \theta ( y _ { 2 } ^ { - } ) ,
\begin{array} { r c l } { t _ { \ell } } & { = } & { \frac { 1 } { k _ { 1 } ( K _ { M } + s _ { 0 } ) ( 1 + \varepsilon _ { S S l } ) } \, \log \left( 1 + \frac { k _ { - 1 } + k _ { 2 } } { k _ { 2 } } ( 1 + \varepsilon _ { S S l } ) \cdot \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { ( k _ { 1 } s _ { 0 } + k _ { - 1 } + k _ { 2 } ) ( 1 + \varepsilon _ { S S l } ) } \, \log \left( 1 + \frac { k _ { - 1 } + k _ { 2 } } { k _ { 2 } } ( 1 + \varepsilon _ { S S l } ) \cdot \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \right) } \end{array}
p ( x _ { \mathrm { o b s } } | x , \sigma _ { \mathrm { o b s } } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { \mathrm { o b s } } ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { ( x - x _ { \mathrm { o b s } } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { o b s } } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r } { \sigma _ { t } ^ { 2 } = \frac { 1 } { \mu ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { n _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { ( n _ { 0 } + 1 ) ^ { 2 } } + \cdots + \frac { 1 } { ( n - 1 ) ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\mathbf { p } _ { Y } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \frac { 1 } { 2 } } & { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 1 } { 8 } } & { \frac { 1 } { 8 } } \end{array} \right] ^ { T } , \ \ \ \mathbf { P } _ { X | Y } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 . 3 } & { 0 . 8 } & { 0 . 5 } & { 0 . 4 } \\ { 0 . 7 } & { 0 . 2 } & { 0 . 5 } & { 0 . 6 } \end{array} \right] .
W _ { q } \approx A \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } \frac { L ^ { 2 } } { 1 + \frac { L ^ { 2 } } { 3 ( 2 L _ { \mathrm { c o h } } / \pi ) ^ { 2 } } + \frac { L ^ { 2 } } { 6 L _ { \mathrm { b s } } ^ { 2 } } } \, .
\begin{array} { r l r l } & { \mathbf { T } ( z ) \left[ \mathbf { P } ^ { ( 1 , \pm ) } ( z ) \right] ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in U ( z _ { 1 , \pm } , \delta ) \setminus \Sigma _ { \mathbf { T } } , } \\ & { \mathbf { T } ( z ) \left[ \mathbf { P } ^ { ( 2 , \pm ) } ( z ) \right] ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in U ( z _ { 2 , \pm } , \delta ) \setminus \Sigma _ { \mathbf { T } } , } \\ & { \mathbf { T } ( z ) \left[ \mathbf { P } ^ { ( 0 ) } ( z ) \right] ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in U ( 0 , \delta ) \setminus \Sigma _ { \mathbf { T } } , } \\ & { \mathbf { T } ( z ) \left[ \mathbf { P } ^ { ( \infty ) } ( z ) \right] ^ { - 1 } , \quad } & { \mathrm { e } } & { \mathrm { l s e w h e r e } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { M } 2 \tau | \Delta b | e ^ { s b } \, d v _ { t } \le } & { \int _ { M } \left\{ | u | + \tau ( | \nabla b | ^ { 2 } + R ) + | b | + n \right\} e ^ { s b } \, d v _ { t } } \\ { = } & { \int _ { M } \left\{ - u + \tau ( | \nabla b | ^ { 2 } + R ) + | b | + n \right\} e ^ { s b } \, d v _ { t } } \\ { \le } & { \int _ { M } \left\{ 2 s \tau | \nabla b | ^ { 2 } + 2 | b | + 2 n \right\} e ^ { s b } \, d v _ { t } \le C ( n , A ) , } \end{array}
{ \cal L } = \partial _ { \mu } V _ { i } ^ { * } \partial ^ { \mu } V _ { i } + h _ { 1 } ( V _ { 1 } V _ { 2 } ^ { * } + V _ { 1 } ^ { * } V _ { 2 } ) + h _ { 2 } ( V _ { 1 } + V _ { 2 } + c . c )
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } } & { { } = w _ { \textrm { d a t a } } \mathcal { L } _ { \textrm { d a t a } } + w _ { \textrm { P D E } } \mathcal { L } _ { \textrm { P D E } } + w _ { \textrm { c o n s t r } } \mathcal { L } _ { \textrm { c o n s t r } } + w _ { \textrm { I C } } \mathcal { L } _ { \textrm { I C } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { A } V \| _ { \mathbb { R } ^ { N } } } & { = \operatorname* { s u p } _ { W \in \mathbb { R } ^ { N } } \frac { ( \mathcal { A } V , W ) _ { \mathbb { R } ^ { N } } } { \| W \| _ { \mathbb { R } ^ { N } } } \geqslant \frac { ( A V , V ) _ { \mathbb { R } ^ { N } } } { \| V \| _ { \mathbb { R } ^ { N } } } = \frac { A _ { h } ( v , v ) } { \| V \| _ { \mathbb { R } ^ { N } } } \gtrsim c _ { 0 } h ^ { d - 1 } \| V \| _ { \mathbb { R } ^ { N } } , } \end{array}
\mathcal { M V } ( T ) : \cdots \stackrel { \partial _ { k - 1 , T } } \rightarrow \H ^ { k } \left( \bar { M } _ { 2 } ; \bar { F } _ { 2 } \right) ( T ) \stackrel { e _ { k , T } } { \rightarrow } \H ^ { k } \left( \bar { M } ; \bar { F } \right) ( T ) \stackrel { r _ { k , T } } { \rightarrow } \H ^ { k } \left( \bar { M } _ { 1 } ; \bar { F } _ { 1 } \right) ( T ) \stackrel { \partial _ { k , T } } { \rightarrow } \cdots
\begin{array} { r l } & { \sum _ { ( i , j ) \in E } \mathrm { E C T } _ { b _ { i j } } ( v , t ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( c _ { i } - 1 ) \mathrm { E C T } _ { b _ { i } } ( v , t ) } \\ & { = \sum _ { ( i , j ) \in E _ { \textrm { u p } } } \mathrm { E C T } _ { b _ { i j } } ( v , t ) + \sum _ { ( i , j ) \in E _ { \textrm { d o w n } } } \mathrm { E C T } _ { b _ { i j } } ( v , t ) } \\ & { \qquad \qquad + \sum _ { ( i , j ) \in E _ { \textrm { m i d } } } \mathrm { E C T } _ { b _ { i j } } ( v , t ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( c _ { i } - 1 ) \mathrm { E C T } _ { b _ { i } } ( v , t ) } \\ & { = \sum _ { ( i , j ) \in E _ { \textrm { d o w n } } } 1 + \sum _ { ( i , j ) \in E _ { \textrm { m i d } } } 1 - \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( c _ { i } - 1 ) \mathrm { E C T } _ { b _ { i } } ( v , t ) } \\ & { = \sum _ { ( i , j ) \in E _ { \textrm { d o w n } } } ( 2 - 1 ) + \sum _ { ( i , j ) \in E _ { \textrm { m i d } } } 1 - \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( c _ { i } - 1 ) \mathrm { E C T } _ { b _ { i } } ( v , t ) } \\ & { = \sum _ { ( i , j ) \in E _ { \textrm { d o w n } } } 2 + \sum _ { ( i , j ) \in E _ { \textrm { m i d } } } 1 - \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( c _ { i } - 1 ) \mathrm { E C T } _ { b _ { i } } ( v , t ) - \sum _ { ( i , j ) \in E _ { \textrm { d o w n } } } 1 } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } c _ { i } \mathrm { E C T } _ { b _ { i } } ( v , t ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( c _ { i } - 1 ) \mathrm { E C T } _ { b _ { i } } ( v , t ) - \sum _ { ( i , j ) \in E _ { \textrm { d o w n } } } 1 } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathrm { E C T } _ { b _ { i } } ( v , t ) - \sum _ { ( i , j ) \in E _ { \textrm { d o w n } } } 1 = \mathrm { E C T } _ { f } ^ { A } ( v , t ) . } \end{array}
g _ { L , R } = 2 \rho _ { \nu e } [ ( v _ { 1 } ^ { \nu e } ( e ) \mp a _ { 1 } ^ { \nu e } ( e ) ) ( v _ { 1 } ( \nu ) - a _ { 1 } ( \nu ) ) + \gamma ( v _ { 2 } ^ { \nu e } ( e ) \mp a _ { 2 } ^ { \nu e } ( e ) ) ( v _ { 2 } ( \nu ) - a _ { 2 } ( \nu ) ) ]
\begin{array} { r l } { | \alpha - \alpha _ { i } | } & { = \frac { | \mathrm { P e r } _ { z } ( X ) - \alpha _ { i } \mathrm { P e r } _ { z } ( Y ) | } { | \mathrm { P e r } _ { z } ( Y ) | } } \\ & { \leq \frac { \sqrt { g \mathcal { O } ( X ^ { [ \alpha _ { i } ] } ) } } { | \mathrm { P e r } _ { z } ( Y ) | } } \\ & { \leq g \sqrt { \frac { \mathcal { O } ( X ^ { [ \alpha _ { i } ] } ) } { \mathcal { O } ( Y ) } } } \end{array}
\mu _ { k } ( \eta ) \simeq \frac { \alpha _ { k } } { \sqrt { 2 \omega ( k , \eta ) } } \mathrm { e } ^ { - i \Omega } + \frac { \beta _ { k } } { \sqrt { 2 \omega ( k , \eta ) } } \mathrm { e } ^ { i \Omega } \, ,
\begin{array} { r l } & { ( 2 , - 5 ) , ( 3 , - 5 ) , ( 5 , 3 ) , ( 7 , 1 5 ) , ( 1 1 , 2 6 ) , ( 1 3 , - 1 5 ) , ( 1 7 , - 6 0 ) , ( 1 9 , 3 2 ) , } \\ & { ( 2 3 , 5 0 ) , ( 2 9 , 2 4 ) , ( 3 1 , 1 4 2 ) , ( 3 7 , - 5 0 0 ) , ( 4 1 , 2 4 0 ) , ( 4 3 , - 3 2 0 ) , ( 4 7 , - 1 0 5 ) , } \\ & { ( 5 3 , 6 3 0 ) , ( 5 9 , 2 5 ) , ( 6 1 , 1 9 4 ) , ( 6 7 , 4 2 0 ) , ( 7 1 , 1 1 1 ) , ( 7 3 , 4 6 0 ) , ( 7 9 , 1 2 8 ) , } \\ & { ( 8 3 , - 9 0 ) , ( 8 9 , - 1 2 6 1 ) , ( 9 7 , 1 8 9 5 ) , } \\ & { ( 1 0 1 , - 1 2 3 9 ) , ( 1 0 3 , - 2 1 0 5 ) , ( 1 0 7 , - 2 9 5 ) , ( 1 0 9 , - 6 0 8 ) , ( 1 1 3 , 9 0 ) , } \\ & { ( 1 2 7 , 2 5 6 5 ) , ( 1 3 1 , 5 7 8 ) , ( 1 3 7 , - 5 0 ) , ( 1 3 9 , - 8 4 9 ) , ( 1 4 9 , - 9 0 4 ) , } \\ & { ( 1 5 1 , - 3 5 4 ) , ( 1 5 7 , 1 9 8 0 ) , ( 1 6 3 , 8 4 0 ) , ( 1 6 7 , 2 6 5 0 ) , ( 1 7 3 , - 3 5 7 0 ) , ( 1 7 9 , 3 3 4 0 ) , } \\ & { ( 1 8 1 , - 7 0 8 ) , ( 1 9 1 , - 6 9 5 ) , ( 1 9 3 , 1 0 0 0 ) , ( 1 9 7 , - 4 0 ) , ( 1 9 9 , - 1 4 1 ) . } \end{array}
R _ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } = 2 4 \pi \mu b \cdot \frac { 5 a ^ { 3 } + 6 a ^ { 2 } b + 3 a b ^ { 2 } + b ^ { 3 } } { 3 ( 8 a ^ { 2 } b + 9 a b ^ { 2 } + 3 b ^ { 3 } ) }
\begin{array} { r l } { g _ { x x } } & { = \Re \{ \langle \partial _ { k _ { x } } u _ { \mathbf { k } } | \partial _ { k _ { x } } u _ { \mathbf { k } } \rangle - \langle \partial _ { k _ { x } } u _ { \mathbf { k } } | u _ { \mathbf { k } } \rangle \langle u _ { \mathbf { k } } | \partial _ { k _ { x } } u _ { \mathbf { k } } \rangle \} , } \\ { g _ { y y } } & { = \Re \{ \langle \partial _ { k _ { y } } u _ { \mathbf { k } } | \partial _ { k _ { y } } u _ { \mathbf { k } } \rangle - \langle \partial _ { k _ { y } } u _ { \mathbf { k } } | u _ { \mathbf { k } } \rangle \langle u _ { \mathbf { k } } | \partial _ { k _ { y } } u _ { \mathbf { k } } \rangle \} , } \\ { g _ { x y } } & { = \Re \{ \langle \partial _ { k _ { x } } u _ { \mathbf { k } } | \partial _ { k _ { y } } u _ { \mathbf { k } } \rangle - \langle \partial _ { k _ { x } } u _ { \mathbf { k } } | u _ { \mathbf { k } } \rangle \langle u _ { \mathbf { k } } | \partial _ { k _ { y } } u _ { \mathbf { k } } \rangle \} , } \\ { g _ { y x } } & { = \Re \{ \langle \partial _ { k _ { y } } u _ { \mathbf { k } } | \partial _ { k _ { x } } u _ { \mathbf { k } } \rangle - \langle \partial _ { k _ { y } } u _ { \mathbf { k } } | u _ { \mathbf { k } } \rangle \langle u _ { \mathbf { k } } | \partial _ { k _ { x } } u _ { \mathbf { k } } \rangle \} , } \end{array}
U \approx \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { \sqrt { \frac { | m _ { 1 } | } { m _ { 2 } } } } } & { { \sqrt { \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } ( d - m _ { 3 } ) } { m _ { 3 } ^ { 3 } } } } } \\ { { - \sqrt { \frac { | m _ { 1 } | } { m _ { 2 } } } } } & { { 1 } } & { { \sqrt { \frac { m _ { 3 } - d } { m _ { 3 } } } } } \\ { { \sqrt { \frac { m _ { 1 } ( d - m _ { 3 } ) } { m _ { 2 } m _ { 3 } } } } } & { { - \sqrt { \frac { m _ { 3 } - d } { m _ { 3 } } } } } & { { 1 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { [ a _ { 1 } \phi ^ { \delta } ] _ { 0 } ^ { 2 } / \delta } & { = \left( a _ { 1 } ( 2 ) [ \phi ^ { \delta } ] _ { 0 } ^ { 2 } + ( a _ { 1 } ( 2 ) - a _ { 1 } ( 0 ) ) \phi ^ { \delta } ( 0 ) \right) / \delta } \\ & { \approx - ( a _ { 2 } ( a _ { 1 } + \delta ( a _ { 1 } ) _ { y } ) ) ( 0 ) \left( X _ { \beta } ^ { \delta } + ( \delta / 2 ) Y _ { 2 } ^ { \delta } \right) ( 0 ) + ( ( a _ { 1 } ) _ { y } + ( \delta / 2 ) ( a _ { 1 } ) _ { y y } ) ( 0 ) \phi ^ { \delta } ( 0 ) } \\ & { \approx \left( - a _ { 1 } a _ { 2 } X _ { \beta } ^ { \delta } + a _ { 2 } c _ { 1 } \phi ^ { \delta } \right) ( 0 ) + ( \delta / 2 ) \left( - a _ { 1 } a _ { 2 } Y _ { 2 } ^ { \delta } - 2 a _ { 2 } ^ { 2 } c _ { 1 } X _ { \beta } ^ { \delta } + ( a _ { 1 } ) _ { y y } \phi ^ { \delta } \right) ( 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \bf D } ( { \bf s } , x _ { 3 } ) } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l l } { { \bf I } } & { { \bf I } } \\ { \tilde { \bf D } _ { 1 } ^ { + } } & { \tilde { \bf D } _ { 1 } ^ { - } } \end{array} \right) ( { \bf s } , x _ { 3 } ) , } \\ { \tilde { \bf b } ( { \bf s } , x _ { 3 } ) } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l } { \tilde { \bf q } _ { 1 } ^ { + } } \\ { \tilde { \bf q } _ { 1 } ^ { - } } \end{array} \right) ( { \bf s } , x _ { 3 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { n } ^ { d } ( H _ { d } ( z ; t ) ) } & { = \frac { ( - d ) ^ { n - 1 } } { ( n - 1 ) ! } \sum _ { \pi \in \mathcal { P } ( n ) } \widetilde { a } _ { \pi } ( H _ { d } ( z ; t ) ) \mu _ { n } ( \pi , 1 _ { n } ) } \\ & { = \exp \left( - \frac { n t } { 2 } \right) \frac { ( - n t ) ^ { n - 1 } } { n ! } + O \left( \frac { 1 } { d } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \nabla } _ { M _ { 1 } } \cdots \tilde { \nabla } _ { M _ { r } } \tilde { R } _ { I J K L } ^ { \prime } | _ { \rho ^ { \prime } = 0 , t ^ { \prime } = 1 } = { \cal B } ( x ) ^ { 2 s _ { - } - 2 } \tilde { \nabla } _ { M _ { 1 } } \cdots \tilde { \nabla } _ { M _ { r } } \tilde { R } _ { I J K L } | _ { \rho = 0 , t = 1 } \, . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } \; \; } & { { } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } x _ { i } + y _ { i } } \\ { s . t . \; \; } & { { } x _ { i } + y _ { i } \leq 1 \quad \forall i } \end{array} \right.
\theta \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { b } \end{array} \right] = ( \boldsymbol { \mathcal { B } } + \gamma \boldsymbol { \mathcal { A } } ^ { - 1 } ) ( \gamma \boldsymbol { \mathcal { A } } ^ { - 1 } ) \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { b } \end{array} \right] = \Lambda \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { b } \end{array} \right] \; .
\begin{array} { r l } { \tilde { u } _ { 0 } ^ { \mathrm { l o w } , n + 1 } } & { = ( u _ { 0 } ^ { e + 1 } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { w _ { 0 } \Delta x _ { e + 1 } } ( f _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { e + 1 } - f _ { { e + \frac { 1 } { 2 } } } ) \in \mathcal { U } _ { \textrm { a d } } } \\ { \tilde { u } _ { N } ^ { \mathrm { l o w } , n + 1 } } & { = ( u _ { N } ^ { e } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { w _ { N } \Delta x _ { e } } ( f _ { { e + \frac { 1 } { 2 } } } - f _ { { N - \frac { 1 } { 2 } } } ^ { e } ) \in \mathcal { U } _ { \textrm { a d } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { t _ { R } } \times U _ { t _ { L } } } & { = \left( \underbrace { \frac { f ^ { 4 } 2 c ( \dot { \gamma } _ { 2 } \gamma _ { 3 } - \dot { \gamma } _ { 3 } \gamma _ { 2 } ) } { \gamma _ { 3 } ^ { 4 } } } _ { \lambda ( t ) } \dot { \gamma } _ { 1 } , \frac { f ^ { 4 } 2 c ( \dot { \gamma } _ { 2 } \gamma _ { 3 } - \dot { \gamma } _ { 3 } \gamma _ { 2 } ) } { \gamma _ { 3 } ^ { 4 } } \dot { \gamma } _ { 2 } , \frac { f ^ { 4 } 2 c ( \dot { \gamma } _ { 2 } \gamma _ { 3 } - \dot { \gamma } _ { 3 } \gamma _ { 2 } ) } { \gamma _ { 3 } ^ { 4 } } \dot { \gamma } _ { 3 } \right) ^ { T } } \\ & { = \lambda ( t ) \left( \dot { \gamma } _ { 1 } ( t ) , \dot { \gamma } _ { 2 } ( t ) , \dot { \gamma } _ { 3 } ( t ) \right) ^ { T } } \\ & { = \lambda ( t ) \dot { \gamma } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { V } _ { \mathrm { R F L } } ^ { \Omega , \, \mathrm { I } } = - \frac { m _ { S } \mathrm { E } _ { 0 } ^ { 2 } } { 8 } \delta z _ { 0 } \left( n ^ { 2 } + m ^ { 2 } + n + m + 2 \right) } \end{array}
A _ { t } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } r \widehat { \vartheta } _ { n } - c ( 1 - \widehat { \vartheta } _ { n } ) \geq 0 , \quad \forall n \in \{ 0 , 1 , \ldots , t - 1 \} , } \\ { 0 , \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { F _ { u , i } } & { { } = } & { \partial _ { j } ( f \mathcal { C } _ { i j } ) , } \\ { F _ { u , i } ( { \bf k } ) } & { { } = } & { \sum _ { \bf p } \left[ i k _ { j } f ( { \bf q } ) \mathcal { C } _ { i j } ( { \bf p } ) \right] , } \\ { \mathcal { F } _ { u } ( { \bf k } ) } & { { } = } & { \Re [ F _ { u , i } ( { \bf k } ) u _ { i } ^ { * } ( { \bf k } ) ] = - c _ { 1 } \sum _ { \bf p } \Im \left[ k _ { j } f ( { \bf q } ) \mathcal { C } _ { i j } ( { \bf p } ) u _ { i } ^ { * } ( { \bf k } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { C } _ { \phi _ { \alpha } } ( w ) } & { = R e \{ \widetilde { C } _ { \phi _ { \alpha } } ( r \alpha ) \} } \\ & { = k _ { \alpha , r \alpha } ^ { 2 } \left[ ( 1 - | r \alpha | ^ { 2 } ) ( 1 - R e \{ \bar { \alpha } r \alpha \} ) + 2 ( I m \{ \bar { \alpha } r \alpha \} ) ^ { 2 } \right] ^ { 2 } } \\ & { \quad - k _ { \alpha , r \alpha } ^ { 2 } \left[ I m \{ \bar { \alpha } r \alpha \} ( 1 + | r \alpha | ^ { 2 } - 2 R e \{ \bar { \alpha } r \alpha \} ) \right] ^ { 2 } } \\ & { = \left[ \frac { ( 1 - | r \alpha | ^ { 2 } ) } { ( 1 - | r \alpha | ^ { 2 } + 2 i I m \{ \alpha \bar { r \alpha } \} ) } \right] ^ { 2 } \left[ ( 1 - | r \alpha | ^ { 2 } ) ( 1 - R e \{ \bar { \alpha } r \alpha \} ) + 2 ( I m \{ \bar { \alpha } r \alpha \} ) ^ { 2 } \right] ^ { 2 } } \\ & { \quad - \left[ \frac { ( 1 - | r \alpha | ^ { 2 } ) } { ( 1 - | r \alpha | ^ { 2 } + 2 i I m \{ \alpha \bar { r \alpha } \} ) } \right] ^ { 2 } \left[ I m \{ \bar { \alpha } r \alpha \} ( 1 + | r \alpha | ^ { 2 } - 2 R e \{ \bar { \alpha } r \alpha \} ) \right] ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { ( 1 - | r \alpha | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left[ ( 1 - | r \alpha | ^ { 2 } ) ( 1 - r | \alpha | ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] ^ { 2 } } \\ & { = ( 1 - r | \alpha | ^ { 2 } ) ^ { 4 } . } \end{array}
M _ { x x } \approx { \frac { t } { \left( 4 \pi t \right) } } \left( 2 V _ { \mu } \phi ^ { \mu } - X - { \frac { 1 } { 3 } } g ^ { \alpha \beta } \phi _ { \alpha ; \beta } - { \frac { 1 } { 6 } } R \right) .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { I _ { h } ^ { 1 } } & { \lesssim \, ( \| Q _ { h } v _ { h } \| _ { L ^ { p } ( \Omega ) } + \| \nabla Q _ { h } v _ { h } \| _ { L ^ { p } ( \Omega ) } ) ^ { \gamma } \| Q _ { h } v _ { h } \| _ { L ^ { q } ( \Omega ) } ^ { 1 - \gamma } } \\ & { \lesssim \| Q _ { h } v _ { h } \| _ { h , p } ^ { \gamma } \| Q _ { h } v _ { h } \| _ { L ^ { q } ( \Omega ) } ^ { 1 - \gamma } } \\ & { \lesssim \| v _ { h } \| _ { h , p } ^ { \gamma } \| v _ { h } \| _ { L ^ { q } ( \Omega ) } ^ { 1 - \gamma } \, . } \end{array} } \end{array}
A _ { 0 0 } ( x ) = 2 - 2 \sin ^ { 2 } ( \pi \chi ) - f ( x ^ { 0 } ) \ , \qquad A _ { i j } ( x ) = - f ( x ^ { 0 } ) \delta _ { i j } \ , \qquad B ( x ) = - f ( x ^ { 0 } ) \ ,
B _ { 0 i } ( T ) \rightarrow \frac { - 2 v ^ { 2 } } { \pi \kappa } \epsilon _ { 0 i j } p ^ { j } T \frac { \partial } { \partial m _ { \sigma } ^ { 2 } } \left[ \frac { m _ { \sigma } ^ { 2 } \log ( M / m _ { \sigma } ) } { m _ { \sigma } ^ { 2 } - M ^ { 2 } } \right] \equiv \frac { 1 } { 2 } { \cal { \pi } } _ { 0 i } ( p _ { 0 } = 0 , T ) .
{ \begin{array} { r l } { ( \nabla \times \nabla \times \mathbf { E } ) _ { i } } & { = \epsilon _ { i j k } \epsilon _ { k l m } \partial _ { j } \partial _ { l } E _ { m } } \\ & { = ( \delta _ { i l } \delta _ { j \mathrm { m } } - \delta _ { i \mathrm { m } } \delta _ { j l } ) \partial _ { j } \partial _ { l } E _ { m } } \\ & { = \partial _ { i } ( \partial _ { j } E _ { j } ) - \partial _ { j } \partial _ { j } E _ { i } } \end{array} }
{ \tilde { u } } ( { \vec { e } } _ { j } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( u _ { i } \, { \tilde { \omega } } ^ { i } \right) { \vec { e } } _ { j } = \sum _ { i } u _ { i } \left[ { \tilde { \omega } } ^ { i } \left( { \vec { e } } _ { j } \right) \right]
\begin{array} { r } { \frac 1 { \sqrt { 2 \pi } } \exp \Big ( - \frac { \| x - \theta _ { j } \| ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \Big ) = \frac 1 { \sqrt { 2 \pi } } \exp \Big ( - \frac { \| x \| ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \Big ) \exp \Big ( \frac 1 { \sigma ^ { 2 } } \theta _ { j } ^ { \top } x - \frac { \| \theta _ { j } \| ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( T _ { a _ { 1 } + a _ { 2 } } T _ { a _ { 3 } + a _ { 2 } } ) ( T _ { a _ { 1 } } T _ { a _ { 3 } } ) ( T _ { a _ { 2 } } ^ { - 1 } ) } & { \mapsto \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { - 2 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 2 } & { 1 } & { - 4 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { - 2 } & { 0 } & { - 2 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 2 } & { 1 } & { - 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) = R _ { A _ { 1 } + A _ { 2 } } ^ { 2 } , } \\ { ( T _ { b _ { 1 } + a _ { 2 } } T _ { b _ { 3 } + a _ { 2 } } ) ( T _ { b _ { 1 } } T _ { b _ { 3 } } ) ( T _ { a _ { 2 } } ^ { - 1 } ) } & { \mapsto \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { - 2 } \\ { 2 } & { 0 } & { 1 } & { - 4 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 2 } & { 1 } & { 0 } & { - 2 } \\ { 2 } & { 0 } & { 1 } & { - 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) = R _ { B _ { 1 } + A _ { 2 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { O _ { k i } } & { { } = } & { \frac { \langle { \Psi _ { k } | \hat { O } | \Psi _ { i } } \rangle } { \sqrt { \langle { \Psi _ { k } | \Psi _ { k } } \rangle { \langle { \Psi _ { i } | \Psi _ { i } } \rangle } } } } \end{array}
\left[ - \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } \, + \, 4 m ^ { 2 } \, - \, \frac { 6 m ^ { 2 } } { \mathrm { c o s h } ^ { 2 } ( m x ) } \, \right] \, \psi _ { n } ( x ) \, = \, \omega _ { n } ^ { 2 } \psi _ { n } ( x ) .