harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
| \langle \bar { N } \rangle | = | \langle N \rangle | \equiv \frac { f _ { a } } { 2 } = ( m _ { 3 / 2 } m _ { P } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { | A | + ( | A | ^ { 2 } - 1 2 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { 1 2 \lambda _ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \sim ( m _ { 3 / 2 } m _ { P } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } .
\frac { \partial T ^ { * } } { \partial t ^ { * } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { L _ { \mathrm { c e l l } } / V _ { \mathrm { i n } } } } \vec { V } ^ { * } \cdot \nabla ^ { * } T ^ { * } - \alpha ^ { * } \left( \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { W _ { \mathrm { c e l l } } ^ { 2 } / \alpha _ { 0 } } } \frac { \partial ^ { 2 } T ^ { * } } { \partial x ^ { * 2 } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { L _ { \mathrm { c e l l } } ^ { 2 } / \alpha _ { 0 } } } \frac { \partial ^ { 2 } T ^ { * } } { \partial y ^ { * 2 } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { H _ { \mathrm { c h } } ^ { 2 } / \alpha _ { 0 } } } \frac { \partial ^ { 2 } T ^ { * } } { \partial z ^ { * 2 } } \right) = 0
\ddot { \phi } _ { k } + \left[ \kappa ^ { 2 } + \left( 1 - { \frac { \theta _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } } \right) - { \frac { \theta _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } } \cos { ( 2 \tau ) } \right] \phi _ { k } = 0 \ ,
T ^ { \mu \nu } = - g _ { T } ^ { \mu \nu } \sum _ { q } \frac { e _ { q } ^ { 2 } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d z \, \frac { 2 z - 1 } { z ( 1 - z ) } \, \Phi _ { q } ^ { + } ( z , \zeta , W ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \nabla _ { 1 } \mathcal { U } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) = \bar { g } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \big [ } & { \nabla _ { 1 } \, u ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \bar { g } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) } \\ & { + u ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \nabla _ { 1 } \, \bar { g } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \big ] } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 + { \frac { x ^ { 2 } } { ( b + 1 ) ^ { 2 } } } } { 1 + { \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } } } \times { \frac { 1 + { \frac { x ^ { 2 } } { ( b + 2 ) ^ { 2 } } } } { 1 + { \frac { x ^ { 2 } } { ( a + 1 ) ^ { 2 } } } } } \times \cdots \, d x = { \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } } \times { \frac { \Gamma \left( a + { \frac { 1 } { 2 } } \right) \Gamma ( b + 1 ) \Gamma ( b - a + 1 ) } { \Gamma ( a ) \Gamma \left( b + { \frac { 1 } { 2 } } \right) \Gamma \left( b - a + { \frac { 1 } { 2 } } \right) } } .
\begin{array} { r } { B \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 2 m + 3 } \right) - B \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 2 m + 1 } \right) = \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } \right) \left( \frac { \Gamma \left( \frac { 2 } { 2 m + 3 } \right) } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 } { 2 m + 1 } \right) } - \frac { \Gamma \left( \frac { 2 } { 2 m + 1 } \right) } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 } { 2 m } \right) } \right) \geq 1 } \end{array}
\begin{array} { r } { d _ { 1 } = \langle \lambda _ { d } , \xi _ { 1 } \rangle = \lambda _ { d } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad d _ { k } = \langle \lambda _ { d } , \xi _ { k } \rangle = 0 \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } k \geq 2 ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac 1 T \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \right] \le \frac 1 T \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { T } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \right] } & { \le \frac { ( K + 1 ) M ^ { 2 } + 2 C _ { W } ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) } \epsilon \frac { \mathcal T _ { T } } T + o ( \mathcal T _ { T } / T ) } \\ & { \le \frac { 2 ( K + 1 ) M ^ { 2 } + 4 C _ { W } ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) } \epsilon + o ( 1 ) } \end{array}
R \left( \frac { s L _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } ; \mu _ { s } ^ { 2 } L _ { 1 } ^ { 2 } , \mu _ { u } ^ { 2 } L _ { 1 } ^ { 2 } , \mu _ { t } ^ { 2 } L _ { 1 } ^ { 2 } ; m _ { 0 } L _ { 1 } , w \right) \equiv 1 6 \pi ^ { 2 } \frac { \sigma ^ { ( \infty ) } ( s ) - \sigma ^ { ( 0 ) } ( s ) } { g \sigma ^ { ( 0 ) } ( s ) } .
\begin{array} { r l r } { \mathfrak { L } } & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { N } { \binom { N } { k } } \int _ { ( \varepsilon _ { k } , 1 ] } \mathrm { d } \mathfrak { m } _ { k , N } ^ { + } - \sum _ { m = 0 } ^ { M } \lambda _ { m } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { m } { \binom { m } { k } } \int _ { [ 0 , 1 ] } \mathrm { d } \mathfrak { m } _ { k , m } ^ { + } - 1 \right) } \\ & { } & { - \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { m } \int _ { [ 0 , 1 ] } \mu _ { k , m } ^ { + } ( \alpha ) \; \mathrm { d } [ \mathfrak { m } _ { k , m + 1 } ^ { + } - ( 1 - \alpha ) \mathfrak { m } _ { k , m } ^ { + } ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { B _ { \mathfrak { A } } = \mathrm { D i a g } ( 0 , \dots B _ { \mathfrak { A } } , \dots , 0 ) : L ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { J } ) \to L ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { J } ) \quad ; \quad B _ { \mathfrak { A } } ^ { \prime } = \mathrm { D i a g } ( 0 , \dots , B _ { \mathfrak { A } } ^ { \prime } , \dots , 0 ) : L ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { J } ) \to L ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { J } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { \mathrm { L R } } ^ { \dagger } \sigma _ { 1 } M _ { \mathrm { L R } } } & { { } = } & { ( + i \sigma _ { 2 } ) \sigma _ { 1 } ( - i \sigma _ { 2 } ) = \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } = - \sigma _ { 1 } = - \sigma _ { 1 } ^ { * } } \\ { M _ { \mathrm { L R } } ^ { \dagger } \sigma _ { 2 } M _ { \mathrm { L R } } } & { { } = } & { ( + i \sigma _ { 2 } ) \sigma _ { 2 } ( - i \sigma _ { 2 } ) = \sigma _ { 2 } \sigma _ { 2 } \sigma _ { 2 } = + \sigma _ { 2 } = - \sigma _ { 2 } ^ { * } } \\ { M _ { \mathrm { L R } } ^ { \dagger } \sigma _ { 3 } M _ { \mathrm { L R } } } & { { } = } & { ( + i \sigma _ { 2 } ) \sigma _ { 3 } ( - i \sigma _ { 2 } ) = \sigma _ { 2 } \sigma _ { 3 } \sigma _ { 2 } = - \sigma _ { 3 } = - \sigma _ { 3 } ^ { * } , } \end{array}
\boxed { \mathcal { P } _ { f l i g h t } = V \times \frac { q _ { 0 } \left( \frac { 1 } { d _ { m a x , l o c a l } } - \frac { 1 } { d _ { m a x } } \right) } { \alpha \left( 1 + \tau \frac { \tilde { \alpha } q _ { 0 } } { \alpha \tilde { q } _ { 0 } } \times \frac { \mathcal { L } _ { f o r a g e r } } { 2 \mathcal { L } _ { a v e r a g e } } \right) } . }
U _ { i } F _ { i } ^ { a u x } + \Omega _ { i } T _ { i } ^ { a u x } = V _ { i } F _ { i } ^ { e x t } + \omega _ { i } T _ { i } ^ { e x t } + \int _ { S _ { p } } u _ { i } ^ { \infty } \Sigma _ { i j } n _ { j } d S - \int _ { V } \frac { \partial v _ { i } } { \partial x _ { j } } \left( \tau _ { i j } ^ { e x } - \tau _ { i j } ^ { e x , \infty } \right) d V
R _ { m n } { } ^ { p q } \rightarrow W _ { m n } { } ^ { p q } - \frac { 1 6 } { d - 2 } \delta _ { [ m } { } ^ { [ p } ( \bar { \psi } _ { | r | } \Gamma ^ { | r | } \psi _ { n ] } { } ^ { q ] } - \bar { \psi } ^ { | r | } \Gamma ^ { q ] } \psi _ { n ] r } ) \, .
\begin{array} { r } { c _ { \mathrm { ~ I ~ S ~ A ~ I ~ R ~ } } ^ { ( k ) } = \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ \widehat { F } _ { \mathrm { ~ I ~ S ~ A ~ I ~ R ~ } , p } ^ { ( k ) } ] / \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ \widehat { F } _ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } , p } ^ { ( k ) } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ^ { + + } } & { = \frac { N h } { 2 } \left( 1 - q + \Delta \right) ( 2 q - \Delta - \Sigma ) \left( \frac { 1 + \varepsilon } { 2 } \right) , } \\ { W ^ { + - } } & { = \frac { N h } { 2 } \left( 1 - q + \Delta \right) ( \Sigma - \Delta ) \left( \frac { 1 - \varepsilon } { 2 } \right) , } \\ { W ^ { - + } } & { = \frac { N h } { 2 } \left( q - \Delta \right) ( 2 - 2 q + \Delta - \Sigma ) \left( \frac { 1 + \varepsilon } { 2 } \right) , } \\ { W ^ { -- } } & { = \frac { N h } { 2 } \left( q - \Delta \right) ( \Sigma + \Delta ) \left( \frac { 1 - \varepsilon } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ^ { 2 } = } & { \operatorname* { s u p } _ { t > 0 } \Big ( v a r ( \mathcal { K } _ { h } ( x - X _ { t } ) + 2 \sum _ { j > t } | c o v ( Z _ { t } , Z _ { j } ) | ) \Big ) } \\ { = } & { \widetilde { C } \frac { 1 } { h ^ { p } } + \widetilde { D } \frac { 1 } { h ^ { p } } = \widetilde { \widetilde { C } } \frac { 1 } { h ^ { p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } \left( R _ { i i } \sum _ { \mu } R _ { \alpha \mu } ^ { ( i ) } H _ { \mu i } R _ { i \beta } X _ { i \beta } \right) = - s ( z ) \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } \left( \sum _ { \mu } R _ { \alpha \mu } ^ { ( i ) } H _ { \mu i } R _ { i \beta } ^ { ( \alpha ) } X _ { i \beta } \right) + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) } \\ & { = - s ( z ) \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } \left( \sum _ { \mu : \mu \neq \alpha } R _ { \alpha \mu } ^ { ( i ) } H _ { \mu i } R _ { i \beta } ^ { ( \alpha ) } X _ { i \beta } \right) - s ( z ) \sum _ { \alpha \neq \beta } ( H _ { i \alpha } ) ^ { 2 } R _ { \alpha \alpha } ^ { ( i ) } R _ { i \beta } ^ { ( \alpha ) } X _ { i \beta } + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda ^ { 3 } ( P ) = } & { \bigg ( \pi _ { C } ^ { * } \Lambda ^ { 3 } ( C ) \bigg ) \oplus \bigg ( \pi _ { M } ^ { * } \Lambda ^ { 3 } ( M ) \bigg ) \oplus \bigg ( \pi _ { C } ^ { * } \Lambda ^ { 2 } ( C ) \otimes _ { C ^ { \infty } ( P ) } \pi _ { M } ^ { * } \Lambda ^ { 1 } ( M ) \bigg ) } \\ { \oplus } & { \bigg ( \pi _ { C } ^ { * } \Lambda ^ { 1 } ( C ) \otimes _ { C ^ { \infty } ( P ) } \pi _ { M } ^ { * } \Lambda ^ { 2 } ( M ) \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d _ { L P } ( \mu , \nu ) } & { : = } & { \operatorname* { i n f } \{ \epsilon > 0 : \mu ( A ) \leq \nu ( A ^ { \epsilon } ) + \epsilon \mathrm { ~ a n d ~ } \nu ( A ) \leq \mu ( A ^ { \epsilon } ) + \epsilon } \\ & { } & { \quad \quad \mathrm { ~ f o r ~ a n y ~ } A \in \mathcal { B } _ { [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } \} , } \end{array}
{ \mathcal E } ( \boldsymbol { p } _ { 1 } , \dots \boldsymbol { p } _ { N } ; n _ { 1 } , \dots n _ { N } ) = \frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \boldsymbol { p } _ { j } ^ { 2 } + \frac { \beta _ { 2 } \hbar } { t _ { 0 } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \biggl ( n _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \biggr ) \, .
( ( F ^ { s } ) ^ { I _ { 1 } I _ { 2 } I _ { 3 } I _ { 4 } } ) _ { \mu \nu } = \sum _ { \lambda = 0 } ^ { 2 I } \sigma _ { \nu \lambda } ( I _ { 1 } , I _ { 2 } , I _ { 3 } , I _ { 4 } ) \sigma _ { 2 I - \lambda , \mu } ^ { - 1 } ( I _ { 3 } , I _ { 2 } , I _ { 1 } , I _ { 4 } ) \ ,
\begin{array} { r l } & { t _ { c _ { m } } \cdots t _ { c _ { i + 2 } } t _ { c _ { i + 1 } } t _ { c _ { i } } t _ { c _ { i - 1 } } \cdots t _ { c _ { 1 } } \sim t _ { c _ { m } } \cdots t _ { c _ { i + 2 } } t _ { t _ { c _ { i + 1 } } ( c _ { i } ) } t _ { c _ { i + 1 } } t _ { c _ { i - 1 } } \cdots t _ { c _ { 1 } } , } \\ & { t _ { c _ { m } } \cdots t _ { c _ { i + 2 } } t _ { c _ { i + 1 } } t _ { c _ { i } } t _ { c _ { i - 1 } } \cdots t _ { c _ { 1 } } \sim t _ { c _ { m } } \cdots t _ { c _ { i + 2 } } t _ { c _ { i } } t _ { t _ { c _ { i } } ^ { - 1 } ( c _ { i + 1 } ) } t _ { c _ { i - 1 } } \cdots t _ { c _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\vert A _ { i } ^ { t , \mathrm { S A F F E - D } } - A _ { i } ^ { t , \mathrm { o r a c l e } } \right\vert \leq \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f ~ } B ^ { t } \leq \sum _ { i = 1 } ^ { N } \underbar { Y } _ { i } ^ { t } , } \\ { 4 \sqrt { \frac { ( T - t ) } { { \xi } } } \operatorname { s t d } ( X _ { i } ^ { t } ) } & { \mathrm { i f ~ } B ^ { t } \geq \sum _ { i = 1 } ^ { N } \underbar { Y } _ { i } ^ { t } } \end{array} \right. } \end{array}
\arctan 2 \lambda ( x ) = \pi x + \frac { \pi } { N } ( \theta ( x - x _ { 1 } ) + \theta ( x - x _ { 2 } ) ) + \int _ { - \frac { 1 } { 4 } } ^ { \frac { 1 } { 4 } } \arctan ( \lambda ( x ) - \lambda ( y ) ) d y \quad .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R e } \, \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } A \right] } & { { } = } & { - 8 m ^ { 6 } ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \left[ 1 + X _ { 2 } \cdot u ^ { 2 } \, - \, X _ { 4 } \cdot u ^ { 4 } \, + \, { \cal O } ( u ^ { 6 } ) \right] , } \\ { \mathrm { I m } \, \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } A \right] } & { { } = } & { - 3 2 m ^ { 6 } \cdot \frac { k \nu } { m ^ { 2 } } \cdot ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \, \sin ^ { 2 } \theta \, \cos \theta \cdot u ^ { 3 } \, + \, { \cal O } ( u ^ { 5 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m ( Z ) } & { { } = } & { \alpha _ { 0 } + \alpha _ { 1 } * \textrm { e r f } \left( \alpha _ { 2 } Z \right) , } \\ { K ( Z ) } & { { } = } & { \beta _ { 0 } Z ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \iota ^ { * } \psi _ { 2 } ^ { 1 } \equiv } & { 0 } & & { \mod \{ \iota ^ { * } \alpha ^ { 0 } , \iota ^ { * } \alpha ^ { 2 } , \iota ^ { * } \beta ^ { 2 } \} , } \\ { \iota ^ { * } \psi _ { 1 } ^ { 2 } \equiv } & { 0 } & & { \mod \{ \iota ^ { * } \alpha ^ { 0 } , \iota ^ { * } \alpha ^ { 1 } , \iota ^ { * } \beta ^ { 1 } \} , } \\ { \iota ^ { * } \psi _ { 2 } ^ { 2 } \equiv } & { - \iota ^ { * } \psi _ { 1 } ^ { 1 } } & & { \mod \{ \iota ^ { * } \alpha ^ { 0 } , \iota ^ { * } \alpha ^ { 1 } , \iota ^ { * } \alpha ^ { 2 } , \iota ^ { * } \beta ^ { 1 } , \iota ^ { * } \beta ^ { 2 } \} } \\ { \iota ^ { * } \nu _ { 1 } , \iota ^ { * } \mu _ { 1 } , \iota ^ { * } \nu _ { 2 } , \iota ^ { * } \mu _ { 2 } \equiv } & { 0 } & & { \mod \{ \iota ^ { * } \alpha ^ { 0 } , \iota ^ { * } \alpha ^ { 1 } , \iota ^ { * } \alpha ^ { 2 } , \iota ^ { * } \beta ^ { 1 } , \iota ^ { * } \beta ^ { 2 } \} . } \end{array}
\frac { \bar { F } _ { b } ( a , b ) } { B } = \frac { \bar { F } ( b ) } { B } + \bar { P } _ { b } ( a , b , b ) = \frac { \eta ^ { 2 } } { 2 4 \pi b ^ { 4 } } ( c _ { 1 } \Lambda ^ { \prime } + c _ { 2 } \Lambda ) + \frac { \eta ^ { 2 } \Lambda ^ { \prime } } { 3 } P _ { b } ( a , b , b ) .
\begin{array} { r l } { v _ { x } } & { { } = ( - \frac { N _ { x } } { 2 } : \frac { N _ { x } } { 2 } - 1 ) \Delta v _ { x } } \\ { v _ { y } } & { { } = ( - \frac { N _ { y } } { 2 } : \frac { N _ { y } } { 2 } - 1 ) \Delta v _ { y } } \end{array}
E = ( 1 + \beta _ { 3 } t ) ^ { 1 6 / 3 b _ { 3 } } ( 1 + \beta _ { 2 } t ) ^ { 3 / 3 b _ { 2 } } ( 1 + \beta _ { 3 } t ) ^ { 1 3 / 9 b _ { 1 } } , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; F = \int _ { 0 } ^ { t } E ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } ,
\ddot { \phi } ( t ) + 3 \frac { \dot { a } ( t ) } { a ( t ) } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ! } \left( \frac { \langle \psi ^ { 2 } \rangle } { 2 } \right) ^ { n } V ^ { ( 2 n + 1 ) } ( \phi ) = 0 \; ,
\begin{array} { r l r } { | x y \pm x z | } & { { } = } & { | x | | y \pm z | \le 1 \pm y z \; , } \\ { | x z - x w + y z + y w | } & { { } \le } & { | x z - x w | + | y z + y w | \le | x | | z - w | + | y | | z + w | \le 1 - z w + 1 + z w = 2 \; . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { - \left( { \frac { d t } { d x } } \right) ^ { - 1 } { \frac { d ^ { 2 } t } { d x ^ { 2 } } } } & { = f ( x ) } \\ { - { \frac { d } { d x } } \left( \ln \left( { \frac { d t } { d x } } \right) \right) } & { = f ( x ) } \\ { { \frac { d t } { d x } } } & { = C _ { 1 } e ^ { - \int f ( x ) d x } } \\ { t + C _ { 2 } } & { = C _ { 1 } \int e ^ { - \int f ( x ) d x } d x } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { { \bf E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) } & { { } = } & { \sum _ { \sigma ^ { \prime } = \pm 1 } { \bf E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( { \bf r } ) , } \\ { { \bf E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( { \bf r } ) } & { { } = } & { \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - \ell } ^ { + \ell } D _ { \ell m } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \boldsymbol { \Phi } _ { \ell m } ^ { \sigma ^ { \prime } } ( { \bf r } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 = { \frac { d I } { d s } } = \left( { \frac { d Q } { d s } } \right) Q ^ { T } + Q \left( { \frac { d Q } { d s } } \right) ^ { T } \implies } \\ { \left( { \frac { d Q } { d s } } \right) Q ^ { T } = - \left( \left( { \frac { d Q } { d s } } \right) Q ^ { T } \right) ^ { T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = { \frac { d ^ { 2 } \theta } { d q ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { r } } { \frac { d \theta } { d q } } { \frac { d r } { d q } } - \sin \theta \cos \theta \left( { \frac { d \phi } { d q } } \right) ^ { 2 } } \\ { 0 } & { { } = { \frac { d ^ { 2 } \phi } { d q ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { r } } { \frac { d \phi } { d q } } { \frac { d r } { d q } } + 2 \cot \theta { \frac { d \phi } { d q } } { \frac { d \theta } { d q } } } \\ { 0 } & { { } = { \frac { d ^ { 2 } t } { d q ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { w } } { \frac { d w } { d r } } { \frac { d t } { d q } } { \frac { d r } { d q } } } \\ { 0 } & { { } = { \frac { d ^ { 2 } r } { d q ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 v } } { \frac { d v } { d r } } \left( { \frac { d r } { d q } } \right) ^ { 2 } - { \frac { r } { v } } \left( { \frac { d \theta } { d q } } \right) ^ { 2 } - { \frac { r \sin ^ { 2 } \theta } { v } } \left( { \frac { d \phi } { d q } } \right) ^ { 2 } + { \frac { c ^ { 2 } } { 2 v } } { \frac { d w } { d r } } \left( { \frac { d t } { d q } } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\cfrac { z - s } { s _ { 0 } } \sim \varepsilon _ { S S l } \cdot \frac 1 q \bigg ( \cfrac { K _ { S } + s _ { 0 } } { K _ { M } + s _ { 0 } } \bigg ) + o ( \varepsilon _ { S S l } ) = : \frac 1 q \varepsilon _ { o p t } + o ( \varepsilon _ { S S l } )
\Psi ^ { \mathrm { P M } } ( p _ { \mathrm { P M } } ) = f ^ { \mathrm { P M } } \, \phi ^ { \mathrm { P M } } ( x _ { 1 } ) \, \chi ^ { \mathrm { P M } } \, \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \not { p } _ { \mathrm { P M } } + m _ { \mathrm { P M } } ) \gamma _ { 5 } \, ,
\begin{array} { r l r } { \ln E } & { { } \! = \! } & { \ln { \cal L } _ { \mathrm { m a x } } + { \frac { n } { 2 } } \ln ( 2 \pi ) + { \frac { 1 } { 2 } } \ln \operatorname* { d e t } C _ { n } - \ln \left( 1 + { \frac { 1 } { 8 } } D _ { i j k l } \, C _ { i j } ^ { - 1 } C _ { k l } ^ { - 1 } \right) - \sum _ { p = 1 } ^ { n } \ln ( 2 a _ { p } + 2 b _ { p } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \prod _ { k = 1 } ^ { n } w _ { k , n } ( t ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \prod _ { k = 1 } ^ { n } \left( 1 - \frac { k t ^ { 2 } } { 2 n ^ { 2 } } \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \exp \left( \sum _ { k = 1 } ^ { n } \log \left( 1 - \frac { k t ^ { 2 } } { 2 n ^ { 2 } } \right) \right) } \\ & { = \exp \left( \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \log \left( 1 - \frac { k t ^ { 2 } } { 2 n ^ { 2 } } \right) \right) } \\ & { = \exp \left( \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { n } - \frac { k t ^ { 2 } } { 2 n ^ { 2 } } + o \left( \frac { k t ^ { 2 } } { 2 n ^ { 2 } } \right) \right) } \\ & { = \exp \left( - \frac { t ^ { 2 } } { 4 } \right) . } \end{array}
F _ { L } ^ { \alpha } i _ { L \, \alpha } { \Upsilon } _ { { [ p , q ] } } = { \Pi } _ { [ p + 1 , q ] } + { \frac { m - p - q - 1 } { p + 1 } } ( 2 { \Pi } _ { [ p + 1 , q ] } + q { \Gamma } _ { [ p + 1 , q ] } ) \quad ,
U ( z ) = { \frac { 1 - z ^ { 2 } } { 1 - 4 z ^ { 2 } + z ^ { 4 } } } = { \frac { 1 } { 3 - { \sqrt { 3 } } } } \cdot { \frac { 1 } { 1 - ( 2 + { \sqrt { 3 } } ) z ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 3 + { \sqrt { 3 } } } } \cdot { \frac { 1 } { 1 - ( 2 - { \sqrt { 3 } } ) z ^ { 2 } } } .
\int d t _ { 3 } d t _ { 4 } \, D _ { 0 } ^ { \mathrm { r e t } } ( t _ { 1 } , t _ { 3 } ) A ( t _ { 3 } , t _ { 4 } ) D _ { 0 } ^ { \mathrm { a v } } ( t _ { 4 } , t _ { 2 } ) \, \, \, ,
A _ { 1 } = \frac { m ^ { 2 } \omega } { 2 \varepsilon \varepsilon ^ { \prime } } \left[ 1 + \gamma ^ { 2 } \left[ \frac { 1 } { \tau } \int _ { - \tau / 2 } ^ { \tau / 2 } { \bf { v } } _ { \perp } ^ { 2 } ( t ) \, d t - { \bf { a } ^ { 2 } } _ { \perp } ( \tau ) \right] \right]
\begin{array} { r l } { E \left( t \right) } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } \omega } { 2 \pi } \, \left( \left| G \left( \omega \right) H \left( \omega \right) - 1 \right| ^ { 2 } S _ { x , x } \left( \omega \right) + \left| G \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } S _ { \xi , \xi } \left( \omega \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { X \propto } & { { } \frac { \partial \phi ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } { \partial l } \propto B _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } \cdot \frac { 1 } { \left( \omega _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } - \Omega _ { L } \right) ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } , } \\ { Y \propto } & { { } \frac { \partial \phi ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } { \partial l } \propto B _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } \cdot \frac { \left( \omega _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } - \Omega _ { L } \right) / \gamma } { \left( \omega _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } - \Omega _ { L } \right) ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } , } \\ { R = } & { { } \sqrt { X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } } = | X + i Y | \propto B _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } \cdot \left| \frac { 1 + i \left( \omega _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } - \Omega _ { L } \right) / \gamma } { \left( \omega _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } - \Omega _ { L } \right) ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { t } } & { { } = \mu _ { x } \bigl ( - k _ { b } x _ { t } - k _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ( x _ { t } - y _ { t } ) + C _ { 1 } \bigr ) + \sqrt { 2 D _ { x } } \eta _ { t } ^ { x } } \\ { \dot { y } _ { t } } & { { } = \mu _ { y } \bigl ( - k _ { c } y _ { t } + k _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ( x _ { t } - y _ { t } ) + f _ { t } ^ { a } + C _ { 2 } \bigr ) + \sqrt { 2 D _ { y } } \eta _ { t } ^ { y } } \end{array}
D _ { k } = \lambda k ^ { 4 } , \; \lambda = \frac { 2 5 \pi } { 1 6 } \int _ { k _ { 1 } \ll k } n _ { k _ { 1 } } ^ { 2 } k _ { 1 } ^ { 1 5 / 2 } \mathrm d k _ { 1 } = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ } .
D ( z ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } t \mathrm { e } ^ { - t } \sum _ { 0 } ^ { \infty } a _ { n } \frac { ( z t ) ^ { n } } { n ! } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } t \mathrm { e } ^ { - t } B ( z t ) \, ,
\begin{array} { r } { I \Ddot { \theta } = m _ { 0 } \epsilon _ { 0 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } R _ { 0 } \sin { \left( \omega _ { 0 } t - \theta \right) } - m g R _ { B } \sin { \theta } } \\ { - \frac { \pi } { 1 0 } \rho c _ { D } R _ { B } ^ { 5 } \operatorname { s g n } \big ( \Dot { \theta } \big ) \Dot { \theta } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi _ { \lambda } ^ { 1 ; \kappa } ( q _ { \kappa } ^ { 1 } , t ) } & { { } = } & { \phi _ { \lambda } ^ { 2 ; \kappa } ( Q _ { 1 } ^ { 2 ; \kappa } , \ldots , Q _ { d _ { \kappa } } ^ { 2 ; \kappa } , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { 0 } \left( \mathbf { x } , \mathbf { q } , z , \frac { \partial } { \partial z } \right) } & { = - \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \varepsilon ( \mathbf { x } , z ) | \mathbf { q } | ^ { 2 } + \frac { \partial } { \partial z } \left( \varepsilon ( \mathbf { x } , z ) \frac { \partial } { \partial z } \right) , } \\ { F _ { 1 } \left( \mathbf { x } , \mathbf { q } , z , \frac { \partial } { \partial z } \right) } & { = \frac { i } { \hbar ^ { 2 } } \left\langle \mathbf { q } , \frac { \partial \varepsilon } { \partial \mathbf { x } } ( \mathbf { x } , z ) \right\rangle . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \lambda \varphi _ { j } = d _ { I _ { j } } \Delta \varphi _ { j } + d _ { I } \sum _ { k \neq j } \left( \displaystyle \frac { L _ { j k } \bar { \varphi } _ { k } } { | \Omega _ { j } | } - L _ { k j } \varphi _ { j } \right) + ( \beta _ { j } - \gamma _ { j } ) \varphi _ { j } , } & { x \in \Omega _ { j } , j \in \Omega , } \\ { \displaystyle \frac { \partial \varphi _ { j } } { \partial \nu } = 0 , } & { x \in \partial \Omega _ { j } , j \in \Omega , } \end{array} \right.
\bar { H } _ { i } ^ { 2 } ( t ) = \sum _ { j } w _ { i j } H _ { 1 / 3 , j } ^ { 2 } ( t ) , \quad w _ { i j } = \frac { c _ { i j } / \sigma _ { j } } { \sum _ { k } c _ { i k } / \sigma _ { k } } ,
\begin{array} { r l } { H [ p ] } & { { } = H [ p ( s _ { \mathrm { k } } ) ] - \sum _ { s _ { \mathrm { k } } } p ( s _ { \mathrm { k } } ) \left( H [ p ( s _ { \mathrm { i } } | s _ { \mathrm { k } } ) ] + \right. } \end{array}