harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathbb { E } } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \| G ^ { n } ( t , \tilde { u } _ { t } ^ { n } ) - \hat { G } ( t , \tilde { u } _ { t } ) \| _ { H } ^ { p } d t \right] } & { \le 2 ^ { p } \, \tilde { \mathbb { E } } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \| P _ { n } \hat { G } ( t , \tilde { u } _ { t } ^ { n } ) \| _ { H } ^ { p } + \| \hat { G } ( t , \tilde { u } _ { t } ) \| _ { H } ^ { p } d t \right] } \\ & { \le 2 ^ { p } C \, \tilde { \mathbb { E } } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } 2 + \| \tilde { u } _ { t } ^ { n } \| _ { H } ^ { p } + \| \tilde { u } _ { t } \| _ { H } ^ { p } d t \right] } \\ & { \le 2 ^ { p + 1 } C \, T \left( 1 + \operatorname* { s u p } _ { n \in \mathbb { N } } \tilde { \mathbb { E } } \left[ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| \tilde { u } _ { t } ^ { n } \| _ { H } ^ { p } \right] \right) < \infty , } \end{array}
f _ { i } ^ { [ 4 0 ] } ( w ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { f _ { i } ( w ) - f _ { i } ^ { \mathrm { m i n } , [ 4 0 ] } } { f _ { i } ^ { \mathrm { m a x } , [ 4 0 ] } - f _ { i } ^ { \mathrm { m i n } , [ 4 0 ] } } } & { \quad i = 1 \mathrm { ~ o r ~ } 3 } \\ { 1 - \frac { f _ { i } ( w ) - f _ { i } ^ { \mathrm { m i n } , [ 4 0 ] } } { f _ { i } ^ { \mathrm { m a x } , [ 4 0 ] } - f _ { i } ^ { \mathrm { m i n } , [ 4 0 ] } } } & { \quad i = 2 \mathrm { ~ o r ~ } 4 } \end{array} , \right.
\begin{array} { r l } { K _ { h } } & { = \int \frac { 1 } { 2 } \rho _ { h } \boldsymbol { v } _ { h } \cdot \boldsymbol { v } _ { h } \mathrm { d } \Omega } \\ { K _ { v } } & { = \int \frac { 1 } { 2 } \rho _ { h } w _ { h } ^ { 2 } \mathrm { d } \Omega } \\ { P } & { = \int g z \rho _ { h } \mathrm { d } \Omega } \\ { I } & { = \int c _ { v } \rho _ { h } \theta _ { h } \Pi _ { h } \mathrm { d } \Omega , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb J } _ { 1 } } & { \approx - \, { \mathbb L } _ { 1 } , \quad { \mathbb J } _ { 2 } \approx - \, { \mathbb K } _ { 2 } , \quad { \mathbb J } _ { 3 } \approx - \, { \mathbb L } _ { 3 } , } \\ { { \mathbb J } _ { 4 } } & { \approx + \, { \mathbb K } _ { 1 } , \quad { \mathbb J } _ { 5 } \approx - \, { \mathbb K } _ { 3 } , \quad { \mathbb J } _ { 6 } \approx - \, { \mathbb L } _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \phi ( \mathcal { A } _ { t + \Delta t } , \mathcal { C } ) \rangle } & { { } = \langle ( 1 - p ) \phi ( \mathcal { A } _ { t } , \mathcal { C } ) \rangle + \langle p \phi ( \mathcal { A } _ { t } ^ { \prime } , \mathcal { C } ) \rangle } \end{array}
V _ { \mathrm { P B C } } = \frac { 1 } { \sqrt { L } } \left( \begin{array} { l l l l l } { \exp \left( i \frac { 2 \pi } { L } \times 0 \times 1 \right) } & { \exp \left( i \frac { 2 \pi } { L } \times 1 \times 1 \right) } & { \cdots } & { \exp ( i \frac { 2 \pi } { L } \times ( L - 1 ) \times 1 ) } & { } \\ { \exp ( i \frac { 2 \pi } { L } \times 0 \times 2 ) } & { \exp ( i \frac { 2 \pi } { L } \times 1 \times 2 ) } & { \cdots } & { \exp ( i \frac { 2 \pi } { L } \times ( L - 1 ) \times 2 ) } & { } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { } \\ { \exp ( i \frac { 2 \pi } { L } \times 0 \times L ) } & { \exp ( i \frac { 2 \pi } { L } \times 1 \times L ) } & { \cdots } & { \exp ( i \frac { 2 \pi } { L } \times ( L - 1 ) \times L ) } & { } \end{array} \right) ,
\vec { F } _ { \mathrm { D , i j } } = \frac { 2 E ^ { * } } { \nu _ { \mathrm { i } } ^ { 2 } } \frac { \mathrm { d } \delta } { \mathrm { d } t } r _ { \mathrm { i j } } T _ { \mathrm { v i s } } \vec { n } _ { \mathrm { c } } \, ,
\begin{array} { r l r } { ( k _ { \delta } ) _ { u u } } & { \geq } & { 2 b _ { 2 } ( \delta ) + 6 b _ { 3 } ( \delta ) u ( s ) + \cdots + ( N - 1 ) ( N - 2 ) b _ { N - 1 } ( \delta ) u ( s ) ^ { N - 3 } } \\ & { } & { + N ( N - 1 ) u ( s ) ^ { N - 2 } ( 1 - 2 c ) l _ { \delta } ( 0 , 0 ) } \\ & { } & { - C _ { 1 } D u ( s ) [ b _ { 2 } ( \delta ) u ( s ) ^ { 2 } + \cdots + b _ { N - 1 } ( \delta ) u ( s ) ^ { N - 1 } + u ( s ) ^ { N } ( 1 + c ) l _ { \delta } ( 0 , 0 ) ] } \\ & { \geq } & { 2 b _ { 2 } ( \delta ) + 6 b _ { 3 } ( \delta ) u ( s ) + \cdots + ( N - 1 ) ( N - 2 ) b _ { N - 1 } ( \delta ) u ( s ) ^ { N - 3 } } \\ & { } & { + N ( N - 1 ) u ( s ) ^ { N - 2 } ( 1 - 2 c ) l _ { \delta } ( 0 , 0 ) } \\ & { } & { - \frac { 1 } { 2 } [ b _ { 2 } ( \delta ) + \cdots + b _ { N - 1 } ( \delta ) u ( s ) ^ { N - 3 } + u ( s ) ^ { N - 2 } ( 1 + c ) l _ { \delta } ( 0 , 0 ) ] , } \end{array}
( [ \omega : \Omega ] , [ \omega ^ { \prime \prime } \vdash A ( \textnormal { \texttt { c } } ( f ( \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime } ( g ( \omega ^ { \prime \prime } ) ) ) ) ) : \textsc { T y p e } ] ) \xrightarrow { [ f ( \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime } ( g ( \omega ^ { \prime \prime } ) ) ) : \Gamma ^ { \prime \prime } ] } ( [ \gamma : \Gamma ] , [ \gamma ^ { \prime \prime } \vdash A ( \textnormal { \texttt { c } } ( \gamma ^ { \prime \prime } ) ) : \textsc { T y p e } ] ) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { \Delta } \Big ( \mathbf { B } ( F _ { g } ) \big | \sigma \Big ) ( z ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z _ { 1 } ^ { 2 } } + \sum _ { i = 2 } ^ { l } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z _ { i } ^ { 2 } } \right) \Big [ f ( z _ { 1 } , . . . , z _ { l - 1 } ) z _ { l } ^ { d _ { v } / N } + O \big ( z _ { l } ^ { d _ { v } / N + 1 } \big ) \Big ] } \\ & { = \frac { d _ { v } } { 2 N } \Big ( \frac { d _ { v } } { N } - 1 \Big ) f ( z _ { 1 } , . . . , z _ { l - 1 } ) z _ { l } ^ { d _ { v } / N - 2 } + O \big ( z _ { l } ^ { d _ { v } / N - 1 } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Omega ( \tilde { x } , \tilde { y } , I ) } & { = } & { \frac { 1 - \sqrt { 1 - \mathrm { N A } ^ { 2 } } } { 2 } \left( \frac { \Delta \tilde { x } } { M } \right) ^ { 2 } t _ { \mathrm { e } } } \\ & { } & { \times \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } z \ n _ { \mathrm { S } } ( \tilde { x } / M , \tilde { y } / M , z ) \, R ( \tilde { x } / M , \tilde { y } / M , z , I ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } _ { 1 } ^ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } = \pi ) \mathcal { D } _ { 1 } ^ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } = \pi ) } & { { } = } & { - \sigma _ { 3 } \sigma _ { 3 } = - { \bf 1 } } \\ { \mathcal { D } _ { 2 } ^ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } = \pi ) \mathcal { D } _ { 2 } ^ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } = \pi ) } & { { } = } & { - \sigma _ { 1 } \sigma _ { 1 } = - { \bf 1 } } \\ { \mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } = \pi ) \mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { H V } } ( { \it \Delta \phi } = \pi ) } & { { } = } & { - \sigma _ { 2 } \sigma _ { 2 } = - { \bf 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( I ) \| } & { \leq \| \nabla ^ { 3 } G _ { k } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) [ \widetilde \mathbf { x } ^ { \prime } ( t ) ] \nabla G _ { k } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \| + \| \nabla ^ { 2 } G _ { k } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \nabla ^ { 2 } G _ { k } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \widetilde \mathbf { x } ^ { \prime } ( t ) \| } \\ & { \leq \| \nabla ^ { 3 } G _ { k } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \| \| \widetilde \mathbf { x } ^ { \prime } ( t ) \| \| \nabla G _ { k } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \| + \| \nabla ^ { 2 } G _ { k } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \| ^ { 2 } \| \widetilde \mathbf { x } ^ { \prime } ( t ) \| \leq 2 c _ { 0 } ^ { 2 } c _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ \exp \{ \lambda \| \widehat { H ( f ) } \| _ { \infty } \} ] \leq \sum _ { j = 1 } ^ { \tilde { T } } \mathbb { E } \left[ \exp \left\{ \frac { \lambda } { \tilde { T } h } \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } \gamma _ { h } ( x _ { j } , x _ { k } ) \left| Y _ { k } ^ { * } \right| \right\} \right] . } \end{array}
\partial _ { x } z _ { n } = \partial _ { x } ^ { 2 } u _ { n } = \frac { \partial _ { t } u _ { n } - g _ { 0 } u _ { n } } { \gamma \left( u _ { n } + \frac { 1 } { n } \right) } = 0 \mathrm { ~ o ~ n ~ } \partial \Omega .
\underbrace { \langle \beta \lvert e ^ { i H t } e ^ { - i H _ { 0 } t } } _ { \mathrm { ~ V ~ - d e p . ~ o u t - s t a t e } } \underbrace { e ^ { i H _ { 0 } t } \Phi ( x ) e ^ { - i H _ { 0 } t } } _ { \mathrm { ~ H _ 0 ~ - d e p . ~ o p e r a t o r } } \underbrace { e ^ { i H _ { 0 } t } e ^ { - i H t } \rvert \alpha \rangle } _ { \mathrm { ~ V ~ - d e p . ~ i n - s t a t e } } .
M _ { R } \approx M _ { Z } - 2 6 \, \, \, \mathrm { M e V } \, , \quad \Gamma \approx \Gamma _ { Z } ( { \mathsf { s } } = M _ { Z } ^ { 2 } ) - 1 . 2 \, \, \, \mathrm { M e V } \, .
\begin{array} { r l r l } { \sum _ { i = 0 } ^ { m + 1 } \binom { n } { i } ( - 1 ) ^ { k } } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { m + 1 } \binom { n } { i } ( - 1 ) ^ { k } + \binom { n } { m + 1 } ( - 1 ) ^ { m + 1 } } \\ & { = \binom { n - 1 } { m } ( - 1 ) ^ { m } + \binom { n } { m + 1 } ( - 1 ) ^ { m + 1 } } & & { \mathrm { i n d u c t i o n ~ h y p o t h e s i s } } \\ & { = - \binom { n - 1 } { m } ( - 1 ) ^ { m + 1 } + \binom { n } { m + 1 } ( - 1 ) ^ { m + 1 } } \\ & { = \left[ - \binom { n - 1 } { m } + \binom { n } { m + 1 } \right] ( - 1 ) ^ { m + 1 } } \\ & { = \binom { n - 1 } { m + 1 } ( - 1 ) ^ { m + 1 } } \end{array}
\psi _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } = \sum _ { n _ { 2 } = 0 } ^ { \infty } A _ { n _ { 2 } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \psi _ { n _ { 2 } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ , ~ a ~ } } + \sum _ { n _ { 2 } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } B _ { n _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \psi _ { n _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ , ~ b ~ } } ,
\begin{array} { r l r } { \dot { m } ( t ) } & { { } = } & { - \lambda ( t ) [ m - \operatorname { t a n h } ( \beta J m ) ] , } \\ { \dot { \lambda } ( t ) } & { { } = } & { \lambda ( t ) [ 1 - m \operatorname { t a n h } ( \beta J m ) ] - b ( \lambda ( t ) - \lambda _ { 0 } ) , } \\ { p _ { m } } & { { } = } & { 0 , } \\ { p _ { \lambda } } & { { } = } & { 0 . } \end{array}
\Lambda _ { ( 4 ) } ( a ) = \frac { 1 } { a ^ { 2 } } \left( - \kappa _ { ( 4 ) } ^ { 2 } \rho _ { 0 } a ^ { - 3 \gamma + 2 } - \frac { \kappa _ { ( 4 ) } ^ { 2 } \rho _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \lambda } a ^ { - 6 \gamma + 2 } - \sigma _ { 0 } ^ { 2 } a ^ { - 4 } - \frac { 6 { \cal U } _ { 0 } } { \lambda \kappa _ { ( 4 ) } ^ { 2 } } a ^ { - 2 } + 3 k \right) .
e _ { 4 } ( k , N ) = { \frac { 8 N ^ { 4 } } { C _ { ( 1 ^ { k } ; 0 ) } } } \left[ { \frac { 1 } { 2 C _ { ( 1 ; 0 ) } } } + \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } { \frac { 1 } { C _ { ( 1 ^ { k } ; 0 ) } - 3 C _ { ( 1 ; 0 ) } - C _ { r _ { i } } } } { \frac { d _ { r _ { i } } } { N d _ { ( 1 ^ { k } ; 0 ) } } } \right] .
d B m , e q u a l l y d i s t r i b u t e d b e t w e e n t h e t w o s i g n a l s . A f t e r t h e a m p l i f i c a t i o n , t h e t w o s i g n a l s a r e i n j e c t e d i n a p h a s e m o d u l a t o r ( P M 1 ) . P M 1 i s d r i v e n b y a s i n u s o i d a l r a d i o - f r e q u e n c y s i g n a l ( f r e q u e n c y
f _ { 1 } = { \frac { 1 } { 2 5 . 6 2 5 \ \mathrm { i n } \times 2 . 5 4 \ \mathrm { c m / i n } \times 0 . 0 0 8 9 9 \ \mathrm { i n } \times 2 . 5 4 \ \mathrm { c m / i n } } } { \sqrt { \frac { 1 3 . 1 \ \mathrm { l b } \times 4 5 3 . 5 9 2 3 7 \ \mathrm { g / l b } \times 9 8 0 . 6 6 5 \ \mathrm { c m / s ^ { 2 } } } { \pi \times 7 . 7 2 6 \ \mathrm { g / c m ^ { 3 } } } } } \approx 3 3 0 \ \mathrm { H z }
\begin{array} { r l } { \psi _ { I } } & { { } = \phi _ { \mathcal { A } _ { 1 } } \cos \theta - \phi _ { \mathcal { B } _ { 1 } } \sin \theta , } \\ { \psi _ { A } } & { { } = \phi _ { \mathcal { A } _ { 1 } } \sin \theta + \phi _ { \mathcal { B } _ { 1 } } \cos \theta , } \\ { \psi _ { J } } & { { } = \phi _ { \mathcal { A } _ { 2 } } \cos \theta - \phi _ { \mathcal { B } _ { 2 } } \sin \theta , } \\ { \psi _ { B } } & { { } = \phi _ { \mathcal { A } _ { 2 } } \sin \theta + \phi _ { \mathcal { B } _ { 2 } } \cos \theta , } \end{array}
m _ { h } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { \xi _ { 1 } } } & { { \xi _ { 4 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \bar { \xi } _ { 4 } } } & { { \bar { \xi } _ { 1 } } } \\ { { \xi _ { 1 } } } & { { \bar { \xi } _ { 4 } } } & { { \bar { \Phi } _ { 1 2 } } } & { { \phi _ { 2 } } } \\ { { \xi _ { 4 } } } & { { \bar { \xi } _ { 1 } } } & { { \phi _ { 2 } } } & { { \Phi _ { 1 2 } } } \end{array} \right) ,
d _ { \beta , 0 } ^ { F } ( t ) = i a _ { X } \mu _ { \beta \alpha } a _ { \delta } ( t ) e ^ { - i ( \mathcal { E } _ { \beta } ^ { 0 } - \mathcal { E } _ { \alpha } ^ { 0 } ) t } e ^ { - i \theta _ { T } ( t ) } + c . c . ,
\quad \: \mathsf { P } \, ( n _ { B + } | \, \beta ^ { \prime } ) = { \binom { N _ { B } ^ { \prime } } { n _ { B + } } } \cdot { \left( \beta ^ { \prime } \right) } ^ { n _ { B + } } \cdot \left( 1 - \beta ^ { \prime } \right) ^ { N _ { B } ^ { \prime } - n _ { B + } } .
\varepsilon _ { \alpha } ^ { + } \left( { { q } _ { x } } = i { { q } _ { y } } \right) = \frac { i + \sqrt { { { b } ^ { 2 } } - 1 } } { b } \exp \left\{ \frac { 1 } { 2 \pi } G \left( b \right) \right\} , G \left( b \right) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } { \frac { d u \, \ln \left[ 1 + \frac { 1 } { b } \sqrt { { { u } ^ { 2 } } + 1 } \right] } { { { u } ^ { 2 } } + 1 } } = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } { \frac { d x \, \ln \left[ 1 + \frac { \cosh x } { b } \right] } { \cosh x } } .
\begin{array} { r l } { \iint _ { U \times U } } & { \frac { e ^ { - 2 \mu _ { 1 } ( t - s ) } } { 1 \wedge ( t - s ) ^ { d } } e ^ { - c _ { 1 } \frac { | x - z | ^ { 2 } + | x ^ { \prime } - z ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t - s } } \frac { e ^ { - 2 \mu _ { 1 } s } } { 1 \wedge s ^ { d } } e ^ { - c _ { 1 } \frac { | z - y | ^ { 2 } + | z ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } { s } } f ( z - z ^ { \prime } ) \, \ensuremath { \mathrm { d } } z \, \ensuremath { \mathrm { d } } z ^ { \prime } } \\ & { \le C \frac { e ^ { - 2 \mu _ { 1 } t } } { 1 \wedge t ^ { d } } e ^ { - c _ { 1 } \frac { | x - y | ^ { 2 } + | x ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t } } \left( 1 \wedge \frac { ( t - s ) s } { t } \right) ^ { - \beta / 2 } . } \end{array}
\left( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { i } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } + \left( m _ { g } g \pm q _ { \mathrm { n } } | \vec { E } _ { z } | \right) z \right) \psi ( z ) = E \psi ( z )
\begin{array} { r c l } { { W ^ { \Omega _ { z _ { 1 } } , \Omega _ { z _ { 2 } } ^ { * } } ( v ^ { ( d , a ) } \otimes v ^ { * ( c , d ) } ) } } & { { = } } & { { \displaystyle \sum _ { b } v ^ { ( c , b ) } \otimes v ^ { * ( b , a ) } W ^ { \Omega _ { z _ { 1 } } , \Omega _ { z _ { 2 } } ^ { * } } \left( \begin{array} { c c } { { c } } & { { d } } \\ { { b } } & { { a } } \end{array} \right) . } } \\ { { W ^ { \Omega _ { z _ { 1 } } ^ { * } , \Omega _ { z _ { 2 } } } ( v ^ { * ( d , a ) } \otimes v ^ { ( c , d ) } ) } } & { { = } } & { { \displaystyle \sum _ { b } v ^ { * ( c , b ) } \otimes v ^ { ( b , a ) } W ^ { \Omega _ { z _ { 1 } } ^ { * } , \Omega _ { z _ { 2 } } } \left( \begin{array} { c c } { { c } } & { { d } } \\ { { b } } & { { a } } \end{array} \right) . } } \\ { { W ^ { \Omega _ { z _ { 1 } } ^ { * } , \Omega _ { z _ { 2 } } ^ { * } } ( v ^ { * ( d , a ) } \otimes v ^ { * ( c , d ) } ) } } & { { = } } & { { \displaystyle \sum _ { b } v ^ { * ( c , b ) } \otimes v ^ { * ( b , a ) } W ^ { \Omega _ { z _ { 1 } } ^ { * } , \Omega _ { z _ { 2 } } ^ { * } } \left( \begin{array} { c c } { { c } } & { { d } } \\ { { b } } & { { a } } \end{array} \right) . } } \end{array}
C _ { X } ( 0 , \Delta ) _ { \Delta < \tau } = C _ { Y } ( 0 , \Delta ) _ { \Delta < \tau } = C _ { B } ( 0 , \Delta | \alpha _ { 1 } ) \sim \frac { \alpha _ { 1 } ( \alpha _ { 1 } - 1 ) \delta ^ { ( \alpha _ { 1 } + 3 ) / 2 } } { \alpha _ { 1 } + 1 } \Delta ^ { ( \alpha _ { 1 } - 3 ) / 2 } .
\begin{array} { c c } { { D _ { a \alpha } h ^ { \mu } = - 2 i ( \sigma ^ { \mu } \bar { \lambda } _ { a } ) _ { \alpha } \, , ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ ~ \bar { D } { } _ { \dot { \alpha } } ^ { a } h ^ { \mu } = 2 i ( \lambda ^ { a } \sigma ^ { \mu } ) _ { \dot { \alpha } } \, , } } \end{array}
{ \cal L } _ { 0 ^ { t h } } = \mathrm { X ^ { i j 0 } \big ( \ x i ^ { l } \partial _ { l } D _ { i j } + D _ { l j } \partial _ { i } \ x i ^ { l } + D _ { i l } \partial _ { j } \ x i ^ { l } \big ) } ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l r l } { d ^ { * } = } & { \ \operatorname* { m i n } _ { \gamma + \in \mathbb { R } } \gamma + \textstyle \int _ { t = - \tau _ { r } } ^ { 0 } h ( t ) d t } & & { } \\ & { \gamma \geq v ( 0 , x ) } & & { \forall x \in X _ { 0 } } \\ & { v ( t , x ) \geq p ( x ) } & & { \forall ( t , x ) \in [ 0 , T ] \times X } \\ & { 0 \geq \mathcal { L } _ { f } v ( t , x _ { 0 } ) + \textstyle \sum _ { i = 0 } ^ { r } \phi _ { i } ( t , x _ { i } ) } & & { \forall ( t , \cup _ { i = 0 } ^ { r } x _ { i } ) \in [ 0 , T ] \times X ^ { r + 1 } } \\ & { \phi _ { i } ( t , x ) \leq 0 } & & { \forall ( t , x ) \in \Omega _ { i } , \ i = 1 , \ldots , r } \\ & { \textstyle \sum _ { i = j } ^ { r } \phi _ { i } ( t + \tau _ { i } , x ) \geq 0 } & & { \forall ( t , x ) \in \Omega _ { j } , \ j = 0 , \ldots , r } \\ & { \textstyle \sum _ { i = 0 } ^ { r - j } \phi _ { i } ( t + \tau _ { i } , x ) + h ( t ) \geq 0 } & & { \forall ( t , x ) \in \Omega _ { - j } , \ j = 1 , \ldots , r } \\ & { v ( t , x ) \in C ^ { 1 } ( [ 0 , T ] \times X ) } & & { } \\ & { \phi _ { i } ( t , x ) \in C ( [ 0 , T ] \times X ) } & & { \forall i = 0 , \ldots , r } \\ & { h ( t ) \in C ( [ - \tau _ { r } , 0 ] ) . } \end{array}
\mathcal { F } \left( \Pi \left( \frac { 2 \xi _ { 1 } } { L _ { 1 } } \right) \right) = \frac { L _ { 1 } } { 2 \sqrt ( 2 \pi ) } \, \mathrm { s i n c } \left( \frac { L _ { 1 } k _ { 1 } } { 4 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } ( X _ { 1 } ; X _ { 2 } ) } & { = \mathcal { H } _ { \partial } ^ { 1 2 3 } ( \{ 1 \} \{ 2 \} \{ 3 \} ) + \mathcal { H } _ { \partial } ^ { 1 2 3 } ( \{ 1 \} \{ 2 \} ) } \\ & { - \mathcal { H } _ { \partial } ^ { 1 2 3 } ( \{ 3 \} \{ 1 , 2 \} ) - \mathcal { H } _ { \partial } ^ { 1 2 3 } ( \{ 1 , 2 \} \{ 1 , 3 \} \{ 2 , 3 \} ) } \\ & { - \mathcal { H } _ { \partial } ^ { 1 2 3 } ( \{ 1 , 2 \} \{ 1 , 3 \} ) - \mathcal { H } _ { \partial } ^ { 1 2 3 } ( \{ 1 , 2 \} \{ 2 , 3 \} ) } \\ & { - \mathcal { H } _ { \partial } ^ { 1 2 3 } ( \{ 1 , 2 \} ) } \end{array}
{ \cal P } _ { \ell } = \frac { \left. \frac { d \Gamma } { d q ^ { 2 } } \right| _ { \lambda = - 1 } - \left. \frac { d \Gamma } { d q ^ { 2 } } \right| _ { \lambda = + 1 } } { \left. \frac { d \Gamma } { d q ^ { 2 } } \right| _ { \lambda = - 1 } + \left. \frac { d \Gamma } { d q ^ { 2 } } \right| _ { \lambda = + 1 } } ,
\begin{array} { r l } { f ^ { t _ { n } } ( x _ { n } ) - f ( 0 ) = } & { \sqrt { 1 - t _ { n } ^ { 2 } } \Tilde { f } ( 0 ) - ( 1 - t _ { n } ) f ( 0 ) + t _ { n } \lvert x _ { n } \rvert \partial _ { \hat { x } _ { n } } f ( 0 ) + t _ { n } \frac { \lvert x _ { n } \rvert ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { \hat { x } _ { n } } ^ { 2 } f ( 0 ) } \\ & { \quad + t _ { n } \frac { \lvert x _ { n } \rvert ^ { 3 } } { 3 ! } \partial _ { \hat { x } _ { n } } ^ { 3 } f ( \theta _ { n } x _ { n } ) } \end{array}
( \varepsilon , n _ { e } , \alpha , \Omega , W , k _ { B } T ) = ( 4 \times 1 0 ^ { - 5 } , 1 \times 1 0 ^ { 7 } , 7 . 2 , 2 . 4 9 \times 1 0 ^ { 4 } , 0 . 3 5 , 7 . 3 7 3
p _ { \mathrm { b i r t h } } ( t ) = \frac { \sharp \left[ { E ( t + 1 ) } \right] - \sharp \left[ { E ( t ) \cap E ( t + 1 ) } \right] } { \sharp \left[ \mathscr { V } _ { > r } \right] ( \sharp \left[ \mathscr { V } _ { > r } \right] - 1 ) - \sharp \left[ { E ( t ) } \right] } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \mathbb { \mathbb Q } ^ { N } } & { \left( \frac { X _ { T } ^ { ( 1 ) } - b _ { T } ^ { N } } { a _ { T } ^ { N } } \geq x _ { 1 } , \ldots , \frac { X _ { T } ^ { ( k ) } - b _ { T } ^ { N } } { a _ { T } ^ { N } } \geq x _ { k } \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \sum _ { \{ i _ { 1 } , \ldots , i _ { k } \} \in S _ { k } } { \mathbb Q } ^ { N } \left( H _ { N } ( [ x _ { 1 } , \infty ) ) = i _ { 1 } , H _ { N } ( [ x _ { 2 } , x _ { 1 } ) ) = i _ { 2 } , \ldots , H _ { N } ( [ x _ { k } , x _ { k - 1 } ) ) = i _ { k } \right) } \\ & { = \sum _ { \{ i _ { 1 } , \ldots , i _ { k } \} \in S _ { k } } { \mathbb P } \left( H _ { \infty } [ x _ { 1 } , \infty ) ) = i _ { 1 } , H _ { \infty } ( [ x _ { 2 } , x _ { 1 } ) ) = i _ { 2 } \ldots , H _ { \infty } ( [ x _ { k } , x _ { k - 1 } ) ) = i _ { k } \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } { \mathbb P } \left( \frac { X _ { T } ^ { ( 1 ) } - b _ { T } ^ { N } } { a _ { T } ^ { N } } \geq x _ { 1 } , \ldots , \frac { X _ { T } ^ { ( k ) } - b _ { T } ^ { N } } { a _ { T } ^ { N } } \geq x _ { k } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { z _ { n } ^ { j } ( t ) = w _ { n } ^ { P } ( t ) \left( 1 - \frac { \zeta _ { j } ^ { C } F _ { n n } } { \zeta _ { 1 } ^ { C } \zeta _ { 2 } ^ { C } - \mathcal { E } ^ { 2 } } \right) + \left( w _ { j } ^ { P } ( t ) F _ { n j } - F _ { n 0 } \right) \frac { \zeta _ { j } ^ { C } } { \zeta _ { 1 } ^ { C } \zeta _ { 2 } ^ { C } - \mathcal { E } ^ { 2 } } \; . } \end{array}
\{ d z ^ { \alpha } , \, d z ^ { \beta } \} = 0 , \qquad \{ d \bar { z } ^ { \dot { \alpha } } , \, d \bar { z } ^ { \dot { \beta } } \} = 0 , \qquad \{ d z ^ { \alpha } , \, d \bar { z } ^ { \dot { \beta } } \} = 0 \, ,
\mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } _ { \Pi } [ \Bar { A } ( \sigma ) \Bar { B } ( \sigma ) ] = \mathbb { E } _ { \Pi } [ | \Bar { A } ( \sigma ) \Bar { B } ( \sigma ) | ^ { 2 } ] - | \mathbb { E } _ { \Pi } [ \Bar { A } ( \sigma ) \Bar { B } ( \sigma ) ] | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { ( { \bf v } \cdot \nabla ) \, } & { { } { \hat { \sigma } } ^ { ( 1 ) } } & { \, = } \\ { ( { \bf v } \cdot \nabla ) \, } & { { } { \hat { \sigma } } ^ { ( 2 ) } } & { \, = } \end{array}
n _ { N - Y } = 1 2 \pi ^ { 2 } l ^ { 2 } \delta ( \phi ) D ( \frac \phi x ) d ^ { 4 } x = 1 2 \pi ^ { 2 } l ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { l } \beta _ { i } \eta _ { i } \delta ( x - z _ { i } ) d ^ { 4 } x ,
\begin{array} { r l } { [ c ] } & { { } \mathit { ( i ) } } \end{array} \quad \begin{array} { r l } { [ c ] } & { { } \mathcal { M } = 0 . 5 , } \end{array} \quad \begin{array} { r l } { [ c ] k _ { \phi } } & { { } \in \{ 1 , 3 , 5 , 7 , 9 \} ; } \\ { \mathcal { M } } & { { } \in \{ 0 . 0 1 , 0 . 1 , 0 . 2 5 , 0 . 5 , 1 . 0 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { z \rightarrow z _ { 0 } } v _ { \theta } ^ { d i p o l e } = \frac { \kappa \cos 2 \alpha _ { 0 } ~ \cot \left( \frac { \theta - \theta _ { 0 } } { 2 } \right) } { 8 \pi R ~ \eta _ { 2 d } } } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { z \rightarrow z _ { 0 } } v _ { z } ^ { d i p o l e } = 0 , } \end{array}
\langle [ O _ { 1 } ( t ) , O _ { 2 } ( t ) ] \rangle \equiv \operatorname * { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \langle O _ { 1 } ( t + \epsilon ) O _ { 2 } ( t ) \pm O _ { 2 } ( t + \epsilon ) O _ { 1 } ( t ) \rangle ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } \left( J _ { \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( T \mathbf { v } ) ) \right) } & { { } = \operatorname* { d e t } \left( T _ { r o t } J _ { \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) T _ { r o t } ^ { - 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { x = ( x _ { 0 } + x _ { 4 } i _ { 4 } ) i _ { 0 } + ( x _ { 1 } - x _ { 5 } i _ { 4 } ) i _ { 1 } + ( x _ { 2 } - x _ { 6 } i _ { 4 } ) i _ { 2 } + ( x _ { 3 } - x _ { 7 } i _ { 4 } ) i _ { 3 } . } \end{array}