harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
P _ { \nu } ^ { \mathrm { a c c } } \equiv P _ { \nu } ^ { \mathrm { l a b } } \sim { \cal B } \left( \frac { \hbar } { c ^ { 2 } } \right) \frac { g ^ { 2 } a ^ { 2 } } { 4 \pi } \left( 1 - \eta \frac { k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { ~ U ~ } } } { 2 m c ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } ( x , y ) = } & { { } \sum _ { \mu = 1 } ^ { 3 } \big [ U _ { \mu } ( x ) \, \delta _ { x + \hat { \mu } , \, y } + U _ { \mu } ^ { \dagger } ( x - \hat { \mu } ) \, \delta _ { x - \hat { \mu } , \, y } \big ] - 6 \, \delta _ { x , y } } \\ { = } & { { } \, H ( x , y ) - 6 \, \delta _ { x , y } \, . } \end{array}
\chi _ { 2 } ^ { \mathrm { p e r t } } ( y ) = - { \frac { \alpha _ { s } } { 9 \pi } } \, \bigg ( { \frac { 2 } { y + 1 } } \bigg ) ^ { 2 } \bigg [ { \frac { 1 - r ( y ) } { y - 1 } } + 2 \bigg ] ,
\tilde { h } = \tilde { h } _ { 0 } + \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { - 2 / 3 } \tilde { h } _ { 1 } + O ( \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { - 4 / 3 } ) , \quad \tilde { u } = \tilde { u } _ { 0 } + \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { - 1 / 3 } \tilde { u } _ { 1 } + \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { - 2 / 3 } \tilde { u } _ { 2 } + O ( \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { - 1 } )
\sin \left( { \frac { 2 \pi } { 1 5 } } \right) = \sin ( 2 4 ^ { \circ } ) = { \frac { { \sqrt { 3 } } + { \sqrt { 1 5 } } - { \sqrt { 1 0 - { \sqrt { 2 0 } } } } } { 8 } }
H _ { 0 } ( 1 , 4 ) = q ^ { - } + \frac { k _ { \perp } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } { 2 k ^ { + } } + \frac { ( p _ { 1 \perp } - k _ { \perp } ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } } { 2 ( p ^ { + } - k ^ { + } ) } .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 4 \pi e } { \partial _ { \mathrm { t } } ^ { 2 } } E _ { \mathrm { a } } = - } & { { \partial _ { \mathrm { x } } \left( n _ { \mathrm { e } } v _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } \right) } - \frac { 1 } { m _ { \mathrm { e } } } { \partial _ { \mathrm { x } } P _ { x } } - \frac { e n _ { \mathrm { e } } E _ { \mathrm { a } } } { m _ { \mathrm { e } } } } \\ { + } & { \nu _ { \mathrm { e i } } n _ { \mathrm { e } } \left( v _ { \mathrm { i } } - v _ { \mathrm { e } } \right) + \frac { f _ { \mathrm { R F } } } { m _ { \mathrm { e } } } } \\ { + Z } & { { \partial _ { \mathrm { x } } \left( n _ { \mathrm { i } } v _ { \mathrm { i } } ^ { 2 } \right) } + \frac { Z } { m _ { \mathrm { i } } } { \partial _ { \mathrm { x } } P _ { \mathrm { i } } } - \frac { Z ^ { 2 } e n _ { \mathrm { i } } E _ { \mathrm { a } } } { m _ { \mathrm { i } } } } \\ { + Z } & { \nu _ { \mathrm { e i } } n _ { \mathrm { e } } \left( v _ { i } - v _ { e } \right) \frac { m _ { \mathrm { e } } } { m _ { \mathrm { i } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { P } ( \pmb { \mathscr { s } } ) } & { { } = \sum _ { n } \mathscr { P } ( \pmb { \mathscr { s } } | \mathcal { M } _ { n } ) \mathbb { P } ( \mathcal { M } _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { 1 } = \frac { 3 E } { \pi \delta ^ { 4 } ( 1 - 2 \nu ) } , c _ { 2 } = \frac { 3 E ( 1 - 4 \nu ) } { \pi \delta ^ { 4 } ( \nu + 1 ) ( 1 - 2 \nu ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { D } = \left\{ \begin{array} { l } { \left[ 9 5 , 4 6 , 4 8 , 1 4 , 4 2 , 1 2 8 , 1 1 6 , 1 1 7 \right] } \\ { \left[ 1 4 , 6 1 , 6 8 \right] } \\ { \left[ 9 5 , 1 2 8 , 1 1 2 , 1 1 7 \right] } \\ { \ldots } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ^ { k } ( \xi , t ) } & { = \sigma _ { \varepsilon } ^ { k } ( \xi , t ) + \int _ { D } \mathbb { P } ^ { \eta \rightarrow \xi } \left[ Q _ { l } ^ { k } ( \eta , t ; 0 ) 1 _ { \{ t < \zeta ( X ^ { \eta } \circ \tau _ { t } ) \} } \right] W _ { \varepsilon } ^ { l } ( \eta , 0 ) p _ { u } ( 0 , \eta , t , \xi ) \textrm { d } \eta } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \mathbb { P } ^ { \eta \rightarrow \xi } \left[ Q _ { l } ^ { k } ( \eta , t ; s ) 1 _ { \{ t - s < \zeta ( X ^ { \eta } \circ \tau _ { t } ) \} } g _ { \varepsilon } ^ { l } ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right] p _ { u } ( 0 , \eta , t , \xi ) \textrm { d } \eta \textrm { d } s . } \end{array}
\mathbf { a } \otimes \mathbf { b } = \mathbf { a } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { b } = { \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { b _ { 1 } } & { b _ { 2 } } & { b _ { 3 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { a _ { 1 } b _ { 1 } } & { a _ { 1 } b _ { 2 } } & { a _ { 1 } b _ { 3 } } \\ { a _ { 2 } b _ { 1 } } & { a _ { 2 } b _ { 2 } } & { a _ { 2 } b _ { 3 } } \\ { a _ { 3 } b _ { 1 } } & { a _ { 3 } b _ { 2 } } & { a _ { 3 } b _ { 3 } } \end{array} \right] } \, ,
\begin{array} { r l } { g _ { \lambda } ^ { s } ( z , z ^ { \prime } , \omega ) } & { { } \approx g _ { \lambda } ^ { s } ( z , z ^ { \prime } , \omega _ { 0 } ) , } \\ { q _ { \lambda } ^ { s } ( \omega ) } & { { } \approx q _ { \lambda } ^ { s } ( \omega _ { 0 } ) , } \end{array}
| S _ { \lambda } \setminus \operatorname { s u p p } ( { \boldsymbol { \beta } } ) | ~ \leq \frac { 2 4 3 ( 8 4 A e ) ^ { \frac 1 2 } L L _ { 0 } ^ { \frac 3 2 } \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } C _ { \sharp } ^ { \frac 3 2 } ( 1 + \epsilon ^ { - 2 } + \epsilon ^ { - 4 } ) } { \zeta \alpha \epsilon ^ { 2 } \lambda } \sqrt { \frac { \log \left( \frac { M L } { \delta } \right) } D } \, .
\begin{array} { r } { G _ { 0 } = k _ { 0 } L \mathrm { s i n } ^ { 2 } ( \theta / 2 ) \mathrm { I m } [ \Gamma ( \Omega , \mathbf { k } ) ] | \mathbf { a } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } | ^ { 2 } , } \end{array}
\int _ { a } ^ { b } { f ( x ) \, d x } = ( b - a ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \sum _ { m = 1 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } { \left( { - 1 } \right) ^ { m + 1 } } } 2 ^ { - n } f ( a + m \left( { b - a } \right) 2 ^ { - n } ) .
\Psi _ { l c } ^ { \alpha } ( \tilde { k } ; \lambda _ { i } ; \tau _ { i } ) = \chi _ { \tau _ { i } } ^ { \alpha } \xi _ { l c } ^ { P } ( \tilde { k } _ { i } ; \lambda _ { i } ) \Phi _ { l c } ( \tilde { k } _ { i } )
\begin{array} { r l } { B ^ { ( 2 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } & { { } = E _ { 1 } \left( R e _ { L } ^ { * } \right) + \ln { \left( R e _ { L } ^ { * } \right) } - \frac { e ^ { - R e _ { L } ^ { * } } - 1 } { R e _ { L } ^ { * } } + \gamma - 1 } \\ { , B ^ { ( 3 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } & { { } = 2 \ln { ( 2 ) } B ^ { ( 2 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) + B _ { e } ^ { ( 3 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) , } \\ { B ^ { ( 4 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } & { { } = 3 \ln { ( 2 ) } ^ { 2 } B ^ { ( 2 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) + 3 \ln { ( 2 ) } B _ { e } ^ { ( 3 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) + B _ { e } ^ { ( 4 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) . } \end{array}
e ^ { - S _ { 2 } ^ { A } } = \sum _ { \left\{ s _ { 1 } \right\} , \left\{ s _ { 2 } \right\} } P _ { s _ { 1 } } P _ { s _ { 2 } } \operatorname* { d e t } g _ { A } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { T _ { \kappa , j } ( E , \theta ) } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { E - F \kappa j \cos { \theta } } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { E } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) ^ { \kappa - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \Psi _ { \varphi } ^ { \epsilon } , \Psi _ { \varphi ^ { \prime } } ^ { \epsilon ^ { \prime } } ) _ { { \mathbb H } _ { N } } = } & { \pi \int \mathrm { d } ^ { 2 } p \int \mathrm { d } \mu _ { N - 1 } ^ { B } ( x ) } \\ & { \times \int \mathrm { d } \mu _ { N - 1 } ^ { B } ( x ^ { \prime } ) ( p \bar { p } ) ^ { \epsilon + \epsilon ^ { \prime } } \varphi ( p , x ) ( \varphi ^ { \prime } ( p , x ^ { \prime } ) ) ^ { \dagger } I ^ { \epsilon , \epsilon ^ { \prime } } ( x , x ^ { \prime } ) , } \end{array}
\int _ { - \pi } ^ { \pi } \sin ( m x ) \, \sin ( n x ) \, d x = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \cos ( ( n - m ) x ) - \cos ( ( n + m ) x ) \, d x = \pi \delta _ { m n } , \quad m , n \geq 1
\mathbb { E } \left[ \left( \xi _ { s - } ^ { ( j ) } \right) ^ { 2 } \Delta N _ { s } \Big \vert X _ { s - } ^ { h } \right] = \mathbb { E } \left[ \left( \xi _ { s - } ^ { ( j ) } \right) ^ { 2 } \Big \vert X _ { s - } ^ { h } \right] \mathbb { E } \left[ \Delta N _ { s } \vert X _ { s - } ^ { h } \right] = \frac { 1 } { \lambda ( X _ { s - } ^ { h } ) } \mathbb { E } \left[ \Delta N _ { s } \vert X _ { s - } ^ { h } \right]
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } M _ { s i } \ddot { \alpha } - s \left[ ( x _ { s } - x _ { c } ) \phi - \alpha \right] = Q _ { \alpha } } \\ & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } M _ { s i } ( x _ { i } - x _ { c } ) \ddot { \phi } + \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( M _ { s i } - B _ { i } ) g ( x _ { i } - x _ { c } ) + \frac { 1 } { 2 } s ( x _ { s } - x _ { c } ) ^ { 2 } \right] \phi - s ( x _ { s } - x _ { c } ) \alpha = Q _ { \phi } } \end{array}
a _ { \mathrm { T L S } } ^ { 2 \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } } = i \frac { 3 G } { 8 \pi Q _ { i } } \frac { F _ { c } } { T _ { 1 } \kappa ^ { 2 } \bar { \Omega } _ { R } ^ { 2 } } \langle \Psi ^ { 2 \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } } \rangle ,
\begin{array} { r l } { \mu ( f - f _ { - } ) \le \mu ( 2 \lVert P P _ { m } ^ { \perp } k ( \cdot , x ) \rVert _ { \mathcal { H } _ { k } } ) } & { \le 2 \mu ( \lVert P _ { m } ^ { \perp } k ( \cdot , x ) \rVert _ { \mathcal { H } _ { k } } ) } \\ & { \le 2 \sqrt { \mu ( \lVert P _ { m } ^ { \perp } k ( \cdot , x ) \rVert _ { \mathcal { H } _ { k } } ^ { 2 } ) } = 2 \sqrt { \sum _ { j > m } \sigma _ { j } } , } \end{array}
1 + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 8 } } + { \frac { 1 } { 1 6 } } + \cdots = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 ^ { n } } } = 2 .
\begin{array} { r l } { m _ { 1 } ^ { 0 } = m _ { 2 } ^ { 0 } = 0 , \quad } & { m _ { 1 } ^ { \rho + 1 } = \beta _ { 1 } m _ { 1 } ^ { \rho } + ( 1 - \beta _ { 1 } ) \cdot \nabla \mathrm { L o s s } ( \texttt { w } ) ^ { \rho } } \\ { \mathrm { a n d } \quad } & { m _ { 2 } ^ { \rho + 1 } = \beta _ { 2 } m _ { 2 } ^ { \rho } + ( 1 - \beta _ { 2 } ) \cdot \Vert \nabla \mathrm { L o s s } ( \texttt { w } ) ^ { \rho } \Vert ^ { 2 } . } \end{array}
1 4 , 2 4 \ \mathrm { { \fontfamily { q p l } \selectfont ~ v o l u m e - s a r } \index { v o l u m e - s a r ~ ( c a p a c i t y ~ u n i t ) } } = ( 1 4 , 2 4 ) \times ( 0 ; 5 ) \ \mathrm { { \fontfamily { q p l } \selectfont ~ n i n d a n } \index { n i n d a n ~ ( l e n g t h ~ u n i t ) } } ^ { 3 } = 1 , 1 2 \ \mathrm { { \fontfamily { q p l } \selectfont ~ n i n d a n } \index { n i n d a n ~ ( l e n g t h ~ u n i t ) } } ^ { 3 } .
\begin{array} { r l r } { P _ { \mathrm { g c } \phi } } & { { } = } & { \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \left( P _ { \phi } - \frac { e } { \partial c } \, A _ { \phi } + J \, b _ { z } \right) \; - \; \frac { 1 } { c } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cal ~ P ~ } _ { \mathrm { g c } } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla A _ { \phi } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { { } = \frac { \delta } { \mu } \frac { \Gamma ^ { 3 + g } \big ( ( 4 + g ) / \delta \big ) } { \Gamma ^ { 4 + g } \big ( ( 3 + g ) / \delta \big ) } ~ , } \\ { B } & { { } = \frac { \Gamma ^ { \delta } \big ( ( 4 + g ) / \delta \big ) } { \Gamma ^ { \delta } \big ( ( 3 + g ) / \delta \big ) } ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle g \rangle _ { T } } & { { } \approx \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { t } } g ( \pmb { s } ( t _ { n } ) ) } \\ { R _ { T } ( g , \tau ) } & { { } \approx \frac { 1 } { N _ { t } ^ { \prime } } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { t } ^ { \prime } } g ( \pmb { s } ( t _ { n } + \mathrm { ~ r ~ o ~ u ~ n ~ d ~ } ( \tau / \Delta t ) \Delta t ) ) g ( \pmb { s } ( t _ { n } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { d A } { d t } } \left( \Gamma , t \right) } & { { } = V + K + R , } \\ { V } & { { } = e ^ { i t L } P { \dot { A } } \left( \Gamma , 0 \right) , } \\ { K } & { { } = i \int _ { 0 } ^ { t } d s e ^ { i \left( t - s \right) L } P L Q e ^ { i s L Q } { \dot { A } } \left( \Gamma , 0 \right) = i \int _ { 0 } ^ { t } d s e ^ { i \left( t - s \right) L } P L R \left( s \right) , } \\ { R } & { { } = Q e ^ { i t L Q } { \dot { A } } \left( \Gamma , 0 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau _ { \mathrm { R R } } ^ { * } ( K , f _ { \operatorname* { m a x } } , \epsilon , \boldsymbol { \theta } , \boldsymbol { \sigma } ^ { 2 } ) = \operatorname* { m a x } \left\{ \tilde { G } _ { \boldsymbol { \theta } , \boldsymbol { \sigma } ^ { 2 } , \epsilon } ^ { - 1 } ( \beta ) , \tilde { H } ^ { - 1 } \left( \frac { K } { f _ { \operatorname* { m a x } } } - \frac { K } { \mu } \right) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { Y } _ { \tau } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \varphi ( \hat { Y } _ { \tau } ^ { ( 0 ) } ) \! \int _ { r } ^ { \tau } \! \frac { d B _ { s } } { \varphi ( \hat { Y } _ { s } ^ { ( 0 ) } ) ( s - r + 1 ) } , } \\ { \hat { Y } _ { \tau } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \frac { \varphi ( \hat { Y } _ { \tau } ^ { ( 0 ) } ) } { 2 } \int _ { r } ^ { \tau } \! \frac { \varphi ^ { \prime \prime } ( \hat { Y } _ { s } ^ { ( 0 ) } ) ( \hat { Y } _ { s } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } } { \varphi ( \hat { Y } _ { s } ^ { ( 0 ) } ) ( s - r + 1 ) } \, d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { i } } & { { } = - \sigma _ { 2 } \sigma _ { 3 } = - i \sigma _ { 1 } } \\ { \mathbf { j } } & { { } = - \sigma _ { 3 } \sigma _ { 1 } = - i \sigma _ { 2 } } \\ { \mathbf { k } } & { { } = - \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } = - i \sigma _ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L _ { \mathrm { V A } } } & { { } = } & { \frac { N } { 2 } k - \frac { N ^ { 2 } } { 1 2 W } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { 2 } ( 2 \chi ) \right) - \frac { N } { 2 } \sin ( 2 \chi ) } \end{array}
\triangledown u _ { i , j } = ( \delta _ { x } ^ { + } u _ { i , j } , \delta _ { y } ^ { + } u _ { i , j } ) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \triangledown \cdot \triangledown u _ { i , j } = \delta _ { x } ^ { - } ( \delta _ { x } ^ { + } u _ { i , j } ) + \delta _ { y } ^ { - } ( \delta _ { y } ^ { + } u _ { i , j } ) ,
\delta _ { I , J , q } = \left[ \operatorname* { m a x } \left\{ 1 , \frac { 2 r ^ { q - 1 } \epsilon _ { 0 } } { \alpha _ { * } } \right\} \right] ^ { \operatorname* { m i n } \left\{ { b } / { \beta _ { * } } , 1 / \beta _ { 0 } \right\} } \left[ \operatorname* { m i n } \left\{ 1 , \frac { 2 r ^ { q - 1 } \epsilon _ { 0 } } { \alpha _ { * } } \right\} \right] ^ { { 1 } / { \beta _ { * } } }
\begin{array} { r l } { H _ { \delta x _ { c } } = } & { { } \int \frac { d ^ { 2 } x _ { \perp c } } { A } d ^ { 2 } k _ { \perp } \frac { 2 } { \pi w _ { D } ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 + ( k _ { x } / k _ { \Lambda } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 + ( k _ { y } / k _ { \Lambda } ) ^ { 2 } } } \\ { H _ { \delta y _ { c } } = } & { { } \int \frac { d ^ { 2 } x _ { \perp c } } { A } d ^ { 2 } k _ { \perp } \frac { 2 } { \pi w _ { D } ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 + ( k _ { x } / k _ { \Lambda } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 + ( k _ { y } / k _ { \Lambda } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\Gamma _ { P V } [ A ] = \left. \frac { d } { d s } \zeta _ { P V } ( s ) \right| _ { s = 0 } = \operatorname * { l i m } _ { s \to 0 } \pm \frac { i } { \Gamma \left( \frac { s + 1 } { 2 } \right) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \! d t ~ t ^ { \frac { s - 1 } { 2 } } ~ \frac { d G _ { \mp } ( t , s ) } { d s } \mathrm { T r } [ { D \! \! \! \! / } \exp ( - t { D \! \! \! \! / } ^ { ~ 2 } ) ] .
\left[ a _ { 1 } , b _ { 1 } c _ { 1 } \right] = [ a _ { 1 } , b _ { 1 } ] c _ { 1 } + b _ { 1 } [ a _ { 1 } , c _ { 1 } ] \sim \Delta [ 1 , 1 ] c _ { 1 } + b _ { 1 } \Delta [ 1 , 1 ] ,
\begin{array} { r l } & { n l _ { 1 } = \frac { L _ { 1 } ^ { 2 } ( L _ { 1 } ^ { 2 } - 4 ) } { 1 8 R \bar { \tau } D } \cdot \left( \frac { R } { k } \sum _ { i , j } x _ { i } x _ { j } A _ { i } ^ { 2 } + \dot { k } \right) - } \\ & { - \frac { \dot { k } } { 3 L _ { 1 } ^ { 2 } } \left[ 2 ( C + 2 + B - L _ { 1 } ^ { 2 } ) + \sqrt { 3 } j ( C + 2 - B ) \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } ( - 1 ) ^ { i + 1 } \right] , } \end{array}
P _ { \mu } ^ { \nu } ( \alpha ) = A ( \alpha ^ { 2 } ) \delta _ { \mu \nu } + B ( \alpha ^ { 2 } ) \epsilon _ { \nu \rho \mu } \alpha _ { \rho } + E ( \alpha ^ { 2 } ) \delta _ { \nu \nu ^ { \prime } } \alpha _ { \mu } \alpha _ { \nu ^ { \prime } }
- ( q ^ { x } - i q ^ { y } ) E ( x , \xi = 0 , Q ^ { 2 } ) \frac { P ^ { + } } { M } = \int \frac { d \lambda } { 2 \pi } e ^ { i \lambda x } \left\langle P ^ { \prime } \left| \overline { { \psi } } \left( - \frac { \lambda } { 2 } n \right) \gamma ^ { + } \psi \left( \frac { \lambda } { 2 } n \right) \right| P \right\rangle \ .
\begin{array} { r l } { E _ { \varphi } ( r < r _ { 1 } , t ) } & { { } \approx \mu _ { 0 } \omega _ { 0 } \frac { n I _ { 0 } } { 4 \pi l } r \Big [ 2 \pi + \frac { ( \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \pi r _ { 2 } } \Big ( r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( r _ { 1 } ^ { 3 } + r _ { 1 } r _ { 2 } ^ { 2 } ) ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) + r _ { 2 } ^ { 3 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ^ { 2 } \Big ) } \\ { E _ { z } ( r < r _ { 1 } , t ) } & { { } \approx \mu _ { 0 } ^ { 2 } \frac { n I _ { 0 } } { 4 \pi l } r \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \Big [ r _ { 1 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) + r _ { 2 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) \Big ] \cos ( \omega _ { 0 } t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { P } _ { x } ^ { \mathrm { H V } } ( { \it \Delta \phi } ) } & { { } = } & { R _ { \mathrm { H V } } ( { \it \Delta \Psi } ) \mathcal { P } _ { x } ^ { \mathrm { H V } } R _ { \mathrm { H V } } ( - { \it \Delta \Psi } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla { P } ( x _ { k } , \lambda _ { k } , x _ { k - 1 } , \gamma _ { k } ) \| } & { \leq \| \nabla { \mathcal { L } _ { \rho } } ( x _ { k } , \lambda _ { k } ) \| + + 2 \bar { \gamma } \| x _ { k } - x _ { k - 1 } \| } \\ & { { \overset { { , } } { \leq } } ( \Gamma _ { \mathrm { m a x } } + D _ { S } + 2 \bar { \gamma } ) \left( \| \Delta x _ { k } \| + \| \Delta \lambda _ { k } \| \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf H \mathbf u } & { = ( ( m - 1 ) d i a g ( \mathbf u ^ { \circledast ^ { m - 2 } } ) - \alpha \mathbf I _ { n } ) \mathbf u } \\ & { = ( m - 1 ) \mathbf u ^ { \circledast ^ { m - 1 } } - \alpha \mathbf u } \\ & { = ( m - 1 ) \alpha \mathbf u + ( m - 1 ) \beta \mathbf 1 _ { n } - \alpha \mathbf u } \\ & { = ( m - 2 ) \alpha \mathbf u + ( m - 1 ) \beta \mathbf 1 _ { n } } \end{array}
\hat { \mathcal { C } } : = \hat { \mathcal { L } } ^ { S } \hat { \mathcal { L } } ^ { q } \hat { \mathcal { P } } ^ { \mathrm { G } } \hat { \mathcal { P } } ^ { \mathrm { J _ { c } } } \hat { \mathcal { P } } ^ { \mathrm { J _ { s } } } .
U ( k _ { x } , k _ { y } ) = e ^ { - i \Delta ( \cos k _ { x } \sigma _ { x } + \sin k _ { x } \sigma _ { y } ) } \otimes e ^ { - i h _ { z } ( k _ { y } ) \tau _ { z } } e ^ { - i h _ { x } ( k _ { y } ) \tau _ { x } } ,
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { k } } { d x ^ { k } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } } & { G ( x , \tau ) ( \alpha f ^ { \prime \prime } ( \tau ) - \mathcal H f ^ { \prime } ( \tau ) ) d \tau } \\ & { = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \partial _ { x } ^ { k } G ( x , \tau ) ( \alpha f ^ { \prime \prime } ( \tau ) - \mathcal H f ^ { \prime } ( \tau ) ) d \tau , \quad k = 1 , 2 , } \\ { \frac { d ^ { 3 } } { d x ^ { 3 } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } } & { G ( x , \tau ) ( \alpha f ^ { \prime \prime } ( \tau ) - \mathcal H f ^ { \prime } ( \tau ) ) d \tau } \\ & { = \int _ { - 1 } ^ { x } \frac { 1 } { 4 } ( 2 - \tau ) ( \tau + 1 ) ^ { 2 } ( \alpha f ^ { \prime \prime } ( \tau ) - \mathcal H f ^ { \prime } ( \tau ) ) d \tau } \\ & { \quad - \int _ { x } ^ { 1 } \frac { 1 } { 4 } ( 2 + \tau ) ( \tau - 1 ) ^ { 2 } ( \alpha f ^ { \prime \prime } ( \tau ) - \mathcal H f ^ { \prime } ( \tau ) ) d \tau . } \end{array}
\mathbf { E _ { 0 } } = \sqrt { I } \mathbf { m } e ^ { i ( S + \epsilon \gamma ) / \epsilon } \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad \mathbf { E _ { 0 } } = \sqrt { I } \mathbf { \bar { m } } e ^ { i ( S - \epsilon \gamma ) / \epsilon } .
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial M _ { \mathrm { L } } } { \partial t } } & { { } = } & { q ^ { 2 } T _ { \mathrm { L } } ( 0 ) \bigg [ \bigl ( \frac { 2 \eta } { T _ { \mathrm { L } } ( 0 ) } + \frac { z ^ { 2 } } { 3 } \bigl ) \partial _ { z } ^ { 2 } M _ { \mathrm { L } } + \bigl ( \frac { 8 \eta } { z T _ { \mathrm { L } } ( 0 ) } + 2 z \bigl ) \partial _ { z } M _ { \mathrm { L } } + \frac { 8 } { 3 } M _ { \mathrm { L } } \bigg ] } \end{array}
B = \left( \begin{array} { c c c c c c c c r } { { 0 } } & { { x } } & { { z } } & { { y } } & { { 0 } } & { { - y } } \\ { { - x } } & { { 0 } } & { { x } } & { { z } } & { { y } } & { { 0 } } \\ { { - z } } & { { - x } } & { { 0 } } & { { x } } & { { z } } & { { y } } \\ { { - y } } & { { - z } } & { { - x } } & { { 0 } } & { { x } } & { { z } } \\ { { 0 } } & { { - y } } & { { - z } } & { { - x } } & { { 0 } } & { { x } } \\ { { y } } & { { 0 } } & { { - y } } & { { - z } } & { { - x } } & { { 0 } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial f } { \partial { \bf t m } ^ { k } } } ^ { H } } & { = - 4 { \bf Q } ^ { H } \mathrm { d i a g } ( { \bf { Q } } { \bf { t m } } ^ { k } ) { \bf F } } \\ & { = - 4 { \bf Q } ^ { H } \mathrm { d i a g } ( { \bf Q } { \bf t m } ^ { k } ) ( { \bf I } ^ { k } - \left| { \bf { Q } } { \bf { t m } } ^ { k } \right| ^ { 2 } ) . } \end{array}
\xi _ { i } ^ { \mathrm { i n } } ( 0 , t ) = \frac { \ensuremath { \mathbf { { \ell } } } _ { i } ( 0 ) \cdot \ensuremath { \mathbf { { \ell } } } _ { i } ( t ) } { \ensuremath { \mathbf { { \ell } } } _ { i } ( t ) \cdot \ensuremath { \mathbf { { \ell } } } _ { i } ( t ) } ,
d s ^ { 2 } = \alpha ^ { \prime } \tilde { F } ^ { 1 / 2 } \left[ \frac { u ^ { 4 } } { R ^ { 4 } } ( - \tilde { f } d \tilde { x } _ { 0 } ^ { 2 } + d \tilde { x } _ { 1 } ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { \tilde { G } } ( d \tilde { x } _ { 2 } ^ { 2 } + d \tilde { x } _ { 3 } ^ { 2 } ) + \tilde { f } ^ { - 1 } d u ^ { 2 } + u ^ { 2 } d \Omega _ { 5 } ^ { 2 } \right] ,
\Delta C _ { N S } ^ { ( 1 ) } ( n ) _ { J E T } = \Delta C _ { N S } ^ { ( 1 ) } ( n ) _ { \overline { { { M S } } } } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \Delta \gamma _ { N S } ^ { ( 1 ) } ( n ) _ { J E T } = \Delta \gamma _ { N S } ^ { ( 1 ) } ( n ) _ { \overline { { { M S } } } } ~ .
\begin{array} { r l r } { p } & { = } & { \frac { \rho \mathscr { E } - \sum _ { l } \left( \phi ^ { l } \rho ^ { l } \mathscr { E } _ { \mathrm { r e f } } ^ { l } - \phi ^ { l } p _ { \mathrm { r e f } } ^ { l } / \Gamma ^ { l } \right) } { \sum _ { l } \phi ^ { l } / \Gamma ^ { l } } } \\ { G } & { = } & { \frac { \sum _ { l } \phi ^ { l } G ^ { l } / \Gamma ^ { l } } { \sum _ { l } \phi ^ { l } / \Gamma ^ { l } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \mathcal { C } } _ { 1 } + \bar { \mathcal { C } } _ { 2 } = } & { \operatorname { s p a n } \left\{ \overline { { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] } } , \overline { { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] } } \right\} + \operatorname { s p a n } \left\{ \overline { { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] } } , \overline { { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } } , \overline { { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] } } \right\} } \\ { = } & { \operatorname { s p a n } \left\{ \overline { { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] } } , \overline { { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } } \right\} + \operatorname { s p a n } \left\{ \overline { { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } } , \overline { { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } } , \overline { { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] } } \right\} \subseteq \bar { \mathcal { C } } _ { z _ { 1 } } . } \end{array}