harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \Omega \ , = \left\{ ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \ 8 1 \leq ( x _ { 1 } - 1 0 0 ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - 1 0 0 ) ^ { 2 } \leq 1 0 0 \right\} , } \\ & { \partial _ { 0 } \Omega = \varnothing , \qquad \partial _ { g } \Omega = \left\{ ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \ ( x _ { 1 } - 1 0 0 ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - 1 0 0 ) ^ { 2 } = 8 1 \right\} , } \\ & { \partial _ { c } \Omega = \left\{ ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \ ( x _ { 1 } - 1 0 0 ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - 1 0 0 ) ^ { 2 } = 1 0 0 \right\} . } \end{array}
S _ { \mathrm { c l } } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int \/ d ^ { 2 } x \sqrt { - g } \left\{ e ^ { - 2 \phi } \left[ R + 2 ( \nabla \phi ) ^ { 2 } \right] + 2 \lambda ^ { 2 } \right\} ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } & { { } = \sigma ^ { - 1 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \theta _ { 0 } ^ { \prime } ( \rho ) \mathcal { S } _ { 1 , k - \frac { 3 } { 2 } } \, d \rho + \partial _ { t } d _ { k - \frac { 1 } { 2 } } - \Delta d _ { k - 1 } } \end{array}
w _ { i } ^ { R } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 + 4 r / d ) ( 1 - r / d ) ^ { 4 } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } 0 \le r \le d } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } r > d , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { j } \int _ { \Omega } \phi f ( v _ { j } ) d \mu = } & { \int _ { \Omega } \phi \langle \nu _ { x } , f \rangle d \mu + \int _ { \overline { { \Omega } } } \phi \langle \nu _ { x } ^ { \infty } , f ^ { \infty } \rangle d \lambda = \int _ { \Omega } \phi \langle \nu _ { x } , f \rangle d \mu + \int _ { \overline { { \Omega } } } \phi \int \int f ^ { \infty } d P _ { ( z _ { n } ) } ^ { \nu } d \tilde { \nu } _ { x } ^ { \infty } d \lambda _ { \nu } } \\ { = } & { \int _ { \Omega } \phi \langle \nu _ { x } , f \rangle d \mu + \int _ { \overline { { \Omega } } } \phi \int f ^ { \infty } d \tilde { \nu } _ { x } ^ { \infty } d \lambda _ { \nu } } \\ { = } & { \int _ { \Omega } \phi \langle \nu _ { x } , f \left( \frac { \cdot } { a ( x ) } \right) \rangle a ( x ) d \mu + \int _ { \overline { { \Omega } } } \phi \langle \eta _ { x } ^ { \infty } , f ^ { \infty } \rangle d \lambda } \\ { = } & { \int _ { \Omega } \phi \langle \nu _ { x } , f \rangle d \mu + \int _ { \overline { { \Omega } } } \phi \int f ^ { \infty } d P _ { ( z _ { n } ) } ^ { \eta } d \tilde { \eta } _ { x } ^ { \infty } d \lambda _ { \eta } } \\ { = } & { \int _ { \Omega } \phi \langle \nu _ { x } , f \rangle d \mu + \int _ { \overline { { \Omega } } } \phi \int f ^ { \infty } d \tilde { \eta } _ { x } ^ { \infty } d \lambda _ { \eta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { x } _ { 2 } ( \Phi _ { x } ) \pi _ { \lambda } ( A - \lambda I ) ^ { k } ( L - A ) } & { = \Big ( x \mathrm { w } _ { j } \pi _ { \lambda } + \mathrm { w } _ { j } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } A _ { 2 } ^ { - j } \pi _ { \lambda } \Big ) ( A - \lambda I ) ^ { k } \pi _ { \lambda } ( L - A ) } \\ & { = \big ( x \mathrm { w } _ { j } \pi _ { \lambda } + \mathrm { w } _ { j } ( ( \lambda - 1 ) I + N _ { \lambda } ) ^ { - 1 } \big ) N _ { \lambda } ^ { k } ( L - A ) } \\ & { = \bigg ( x \mathrm { w } _ { j } \pi _ { \lambda } + \mathrm { w } _ { j } \sum _ { j = 0 } ^ { d _ { \lambda } - 1 } { \binom { - 1 } { j } } ( \lambda - 1 ) ^ { - 1 - j } N _ { \lambda } ^ { j } \bigg ) N _ { \lambda } ^ { k } \pi _ { \lambda } ( L - A ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \eta } & { = d \Big ( \frac { x d y - y d x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \Big ) } \\ & { = d ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { - 1 } ( x d y - y d x ) + \frac { 2 d x d y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { - 2 ( x d x + y d y ) ( x d y - y d x ) } { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + \frac { 2 d x d y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { - 2 ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ( d x d y ) } { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + \frac { 2 d x d y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { - 2 d x d y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + \frac { 2 d x d y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta ( x , t ) = } & { { } \frac { x _ { 2 } } { \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \theta _ { 0 } ( \xi _ { 1 } ) } { | \xi _ { 1 } - x _ { 1 } | ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } } \mathrm { d } \xi _ { 1 } } \end{array}
1 = \int \! D B _ { + } ^ { 1 } \delta ( B _ { + } ^ { 1 } ) D B _ { + } ^ { 2 } \delta ( B _ { + } ^ { 2 } ) \exp \{ i \int \! d ^ { 2 } x \, [ \psi _ { - } ^ { \dagger 1 } B _ { + } ^ { 1 } \psi _ { - } ^ { 1 } + \psi _ { - } ^ { \dagger 2 } B _ { + } ^ { 2 } \psi _ { - } ^ { 2 } ] \} \quad ,
S _ { q } = \sum _ { Q _ { 2 } \leq r \ll \frac { M _ { 0 } } { Q _ { 1 } } } \sum _ { 1 \leq n \ll N _ { 0 } } \Big | \sum _ { q _ { 1 } \in \Phi _ { 1 } } \overline { { \chi } } ( q _ { 1 } ) \lambda _ { g } ( p ^ { 2 } n + q _ { 1 } r ) \frac { \mathcal { I } _ { 2 } ( q , p ^ { 2 } n + q _ { 1 } r , x ) } { ( p ^ { 2 } n + q _ { 1 } r ) ^ { 1 / 4 } } \Big | ^ { 2 } .
\left[ L _ { \mu \nu } , L _ { \rho \sigma } \right] = \eta _ { \mu \rho } \cdot L _ { \nu \sigma } + \eta _ { \nu \sigma } \cdot L _ { \mu \rho } - \eta _ { \mu \sigma } \cdot L _ { \nu \rho } - \eta _ { \nu \rho } \cdot L _ { \mu \sigma } \quad .
\begin{array} { r l } { \overleftrightarrow { G } ( \vec { r } , \vec { r } ^ { \prime } , \omega ) \approx } & { { } ( \overleftrightarrow { 1 } - \hat { x } \otimes \hat { x } ) \sum _ { \lambda } g _ { \lambda } ( z , z ^ { \prime } ) e ^ { i q _ { \lambda } ( x - x ^ { \prime } ) } , } \\ { \overleftrightarrow { G } _ { m m } ( \vec { r } , \vec { r } ^ { \prime } , \omega ) \approx } & { { } k _ { 0 } ^ { 2 } \overleftrightarrow { G } ( \vec { r } , \vec { r } ^ { \prime } , \omega ) , } \end{array}
\omega = \frac { \Big \{ C _ { 3 } ( q ) - 1 \Big \} - \Big \{ C _ { 2 } ( q _ { 1 2 } ) - 1 \Big \} - \Big \{ C _ { 2 } ( q _ { 2 3 } ) - 1 \Big \} - \Big \{ C _ { 2 } ( q _ { 3 1 } ) - 1 \Big \} } { 2 \sqrt { \Big \{ C _ { 2 } ( q _ { 1 2 } ) - 1 \Big \} \Big \{ C _ { 2 } ( q _ { 2 3 } ) - 1 \Big \} \Big \{ C _ { 2 } ( q _ { 3 1 } ) - 1 \Big \} } }
\mathrm { ~ P ~ } ( x _ { 1 } ) \, d x _ { 1 } = \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } ) } { \sqrt { \pi } \, \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } ( 1 - x _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { \frac { n - 3 } { 2 } } d x _ { 1 } , \qquad x _ { 1 } \in [ - 1 , 1 ] .
\dot { y } = - 0 . 5 2 6 0 x + 0 . 4 4 8 0 x y ^ { 2 } - 0 . 1 3 2 0 x ^ { 2 } y - 1 . 4 2 8 0 x ^ { 3 } - 0 . 0 8 3 0 x y ^ { 4 } - 0 . 1 5 1 0 x ^ { 3 } y ^ { 2 } - 0 . 1 2 4 0 x ^ { 5 }
\begin{array} { r l r } { A _ { p } } & { = } & { \frac { ( z - s ) + 4 i k s z \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { p } ^ { 2 } [ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } = \frac { [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } { 2 \sigma _ { p } ^ { 2 } [ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } , } \\ { B _ { p } } & { = } & { \frac { i k _ { u } T _ { \alpha } ( z ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) [ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] - 4 i k ( z + s ) x } { 2 [ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } , } \\ { \frac { B _ { p } ^ { 2 } } { 4 A _ { p } } } & { = } & { - x ^ { 2 } \, \frac { 2 k ^ { 2 } ( z + s ) \sigma _ { p } ^ { 2 } } { [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] [ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } + x \, \frac { k k _ { u } T _ { \alpha } ( z + s ) ( z ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) \sigma _ { p } ^ { 2 } } { [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } - \frac { [ k _ { u } T _ { \alpha } \sigma _ { p } ( z ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) ] ^ { 2 } [ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } { 8 [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } . } \end{array}
H _ { o p } = \frac { 1 } { 2 m } \left( - i \hbar \nabla - q \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } \right) ^ { 2 } + q A _ { 0 } - g \frac { q } { 2 m } \; \; \mathrm { ~ \bf ~ s ~ } _ { o p } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ B ~ } \; .
\begin{array} { r } { M \frac { \partial ^ { 2 } u _ { n } } { \partial t ^ { 2 } } = K _ { 1 } ( u _ { n + 1 } + u _ { n - 1 } - 2 u _ { n } ) + K _ { 2 } ( v _ { n + 1 } + v _ { n - 1 } - 2 u _ { n } ) } \end{array}
f ^ { ( n _ { 0 } + 1 ) } ( \sigma ^ { 2 } ) = - \sum _ { k > 0 } k C _ { k } ( f ^ { \prime } ( \sigma ^ { 2 } ) ) ^ { - k } \frac { f ^ { \prime \prime } ( \sigma ^ { 2 } ) } { f ^ { \prime } ( \sigma ^ { 2 } ) } + \sum _ { l > 0 } C _ { l } l ( f ^ { \prime } ( \sigma ^ { 2 } ) ) ^ { l } \frac { f ^ { \prime \prime } ( \sigma ^ { 2 } ) } { f ^ { \prime } ( \sigma ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { p a i r } } ^ { \mathrm { M Z I } } = } & { \left( \frac { \gamma _ { \mathrm { N L } } P _ { P } } { \omega _ { P } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \mathcal { F } _ { S } } { \pi } \right) \left( \frac { \mathcal { F } _ { I } } { \pi } \right) \left( \frac { \mathcal { F } _ { P } } { \pi } \right) ^ { 2 } } \\ & { \times \frac { \Gamma _ { 2 , S } \Gamma _ { 2 , I } } { \Gamma _ { 2 , S } + \Gamma _ { 2 , I } } \left( \omega _ { S } \omega _ { I } \right) \frac { L _ { \mathrm { M Z I } } ^ { 2 } } { 1 6 } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \langle \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; t ) \rangle _ { E } } { \partial t } } & { { } = - \frac { i } { \hbar } ( 2 J \cos ( k _ { 1 } ) - 2 J \cos ( k _ { 2 } ) ) \langle \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; t ) \rangle _ { E } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - s t } M _ { \alpha } ( t ) d t } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - s t } \left[ \int _ { H a } e ^ { \xi - t \xi ^ { \alpha } } \xi ^ { \alpha - 1 } { d \xi } \right] d t } \end{array}
\begin{array} { r } { d _ { z } ( m _ { x } , m _ { y } ) = \frac { 1 } { 1 2 } m _ { x } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } m _ { x } m _ { y } + \frac { 1 } { 1 2 } m _ { y } ^ { 2 } . } \end{array}
A e ( n _ { 1 } n _ { 2 } n k ; i ) = \sum _ { n _ { 1 } ^ { \prime } n _ { 2 } ^ { \prime } n ^ { \prime } k ^ { \prime } i ^ { \prime } } A ( n _ { 1 } ^ { \prime } n _ { 2 } ^ { \prime } n ^ { \prime } k ^ { \prime } ; i ^ { \prime } | n _ { 1 } n _ { 2 } n k ; i ) e ( n _ { 1 } ^ { \prime } n _ { 2 } ^ { \prime } n ^ { \prime } k ^ { \prime } ; i ^ { \prime } )
3 a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } x ^ { 3 } + 3 a _ { 1 } a _ { 2 } ^ { 2 } x ^ { 2 } + 3 a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } x + 3 a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 0 } = 0
\begin{array} { r } { \mathbf { q } _ { \mathrm { c } } = ( \mathbf { q } _ { 1 } + \mathbf { q } _ { 2 } ) / \sqrt { 2 } , } \\ { \mathbf { q } _ { \mathrm { b } } = ( \mathbf { q } _ { 1 } - \mathbf { q } _ { 2 } ) / \sqrt { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { 0 } = \rho c ( \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } \frac { | \hat { M } ( \omega _ { 0 } ) | + \mathrm { ~ R ~ e ~ } \{ \hat { M } ( \omega _ { 0 } ) \} } { 2 | \hat { M } ( \omega _ { 0 } ) | ^ { 2 } } , } \end{array}
f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 \alpha } { 3 } \tan \left( \alpha h ( r ( x ) + w _ { - } ) - \frac { \pi } { 2 } \right) } & { \textnormal { i f } r ( x ) \le \operatorname* { m i n } \{ - \frac { w _ { - } } { 2 } , - w _ { - } + \frac { \pi } { 6 \alpha } \} } \\ { \frac { 2 \alpha } { 3 } \tan \left( \frac { \pi } { 2 } - \alpha h ( w _ { + } - r ( x ) ) \right) } & { \textnormal { i f } r ( x ) \ge \operatorname* { m a x } \{ \frac { w _ { + } } { 2 } , w _ { + } - \frac { \pi } { 6 \alpha } \} } \\ { \frac { 2 \alpha } { 3 } \tan \left( \mathbf { l } ( r ( x ) ) \right) } & { \textnormal { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
{ \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 3 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 7 } \end{array} \right] } { \xrightarrow { \mathrm { a d d ~ r o w ~ 2 ~ t o ~ r o w ~ 1 } } } { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 4 } & { 6 } \\ { 0 } & { 1 } & { 7 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l r } { E ( h ) } & { { } = } & { \operatorname* { m i n } _ { \Gamma } \, \mathrm { T r } _ { N } \left[ ( h + W ) \Gamma \right] } \\ { \& = } & { { } \operatorname* { m i n } _ { \gamma } \, \left[ \mathrm { T r } _ { 1 } [ h _ { 1 } \gamma ] + \operatorname* { m i n } _ { \Gamma \mapsto \gamma } \mathrm { T r } _ { N } [ W \Gamma ] \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } { \mathrm { K L } } } & { \Bigl [ \rho _ { a _ { t } } \Big \Vert \rho _ { \mathrm { p o s t } } \Bigr ] } \\ { = } & { - \left\| \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } \left[ \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) \right] \right\| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { t r } \Bigl [ ( 2 I + \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } \bigl [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) \bigr ] C _ { t } } \\ & { + C _ { t } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } \bigl [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) \bigr ] ) ( C _ { t } ^ { - 1 } + \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } \left[ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) \right] ) \Bigr ] } \\ { = } & { - \left\| \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } \left[ \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) \right] \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { - \mathrm { t r } \Bigl [ ( C _ { t } ^ { - 1 } + \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } \left[ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) \right] ) C _ { t } ( C _ { t } ^ { - 1 } + \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } \left[ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) \right] ) \Bigr ] . } \end{array}
\mathcal { E } ^ { \mathrm { ~ S ~ G ~ } } = [ \mathcal { E } _ { \bot } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } , \mathcal { E } _ { \| } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ] ^ { T } = G \Big ( \mathfrak { n } _ { \mathrm { ~ G ~ } } , \phi _ { 0 } , \Phi _ { 1 } , \mathfrak { n } _ { \mathrm { ~ S ~ } } , { \Psi } _ { \mathrm { ~ S ~ } } , \mathcal { E } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \Big ) ,
\frac { \partial \boldsymbol { u } } { \partial t } + ( \boldsymbol { u } \cdot \nabla ) \boldsymbol { u } = \nabla \cdot \left( \frac { \mu _ { l } } { \rho } \nabla \boldsymbol { u } \right) - \frac { 1 } { \rho } \nabla p - \frac { \mu _ { l } } { \rho } K ^ { - 1 } \boldsymbol { u } + \boldsymbol { f } ,
\frac { \mathrm { i } } { 2 } \frac { \langle M _ { 1 } A _ { 1 } ^ { \circ _ { 1 , 2 } } M _ { 2 } ^ { * } E _ { - } \rangle } { \langle M _ { 1 } E _ { - } M _ { 2 } ^ { * } E _ { - } \rangle } + \frac { 1 } { 2 \mathrm { i } } \frac { \langle M _ { 1 } A _ { 1 } ^ { \circ _ { 1 , 2 } } M _ { 2 } E _ { - } \rangle } { \langle M _ { 1 } E _ { - } M _ { 2 } ^ { * } E _ { - } \rangle } \frac { 1 + \langle M _ { 1 } E _ { - } M _ { 2 } ^ { * } E _ { - } \rangle } { 1 + \langle M _ { 1 } E _ { - } M _ { 2 } E _ { - } \rangle } = \mathcal { O } \big ( | e _ { 1 } + e _ { 2 } | + \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } \big )
{ \begin{array} { r l } { \psi ( x , t ) } & { = { \frac { \sqrt [ { 4 } ] { 2 / \pi } } { \sqrt { 1 + 2 i t } } } e ^ { - { \frac { 1 } { 4 } } k _ { 0 } ^ { 2 } } ~ e ^ { - { \frac { 1 } { 1 + 2 i t } } \left( x - { \frac { i k _ { 0 } } { 2 } } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = { \frac { \sqrt [ { 4 } ] { 2 / \pi } } { \sqrt { 1 + 2 i t } } } e ^ { - { \frac { 1 } { 1 + 4 t ^ { 2 } } } ( x - k _ { 0 } t ) ^ { 2 } } ~ e ^ { i { \frac { 1 } { 1 + 4 t ^ { 2 } } } \left( ( k _ { 0 } + 2 t x ) x - { \frac { 1 } { 2 } } t k _ { 0 } ^ { 2 } \right) } ~ . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \quad S _ { \mathrm { i c h } ~ a } = \frac { 1 } { \lambda _ { a } ^ { 2 } } \left( \tilde { \lambda } _ { a } \frac { \partial G _ { \mathrm { i c h } } } { \partial \tilde { \lambda } _ { a } } - \frac { 1 } { 3 } \sum _ { b = 1 } ^ { 3 } \tilde { \lambda } _ { b } \frac { \partial G _ { \mathrm { i c h } } } { \partial \tilde { \lambda } _ { b } } \right) \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { \partial G _ { \mathrm { i c h } } } { \partial \tilde { \lambda } _ { a } } = \frac { d \varpi } { d \tilde { \lambda } _ { a } } = \sum _ { p = 1 } ^ { N } \mu _ { p } \tilde { \lambda } _ { a } ^ { \alpha _ { p } - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u _ { \Delta x , x } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \bigg ( \int _ { x _ { 2 j } } ^ { x _ { 2 j + 1 } } \left( D u _ { 2 j } \mp q _ { 2 j } \right) ^ { 2 } d y + \int _ { x _ { 2 j + 1 } } ^ { x _ { 2 j + 2 } } \left( D u _ { 2 j } \pm q _ { 2 j } \right) ^ { 2 } d y \bigg ) } \\ & { = \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \int _ { x _ { 2 j } } ^ { x _ { 2 j + 2 } } D F _ { \mathrm { a c } , 2 j } d y = \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \int _ { x _ { 2 j } } ^ { x _ { 2 j + 2 } } u _ { x } ^ { 2 } ( y ) d y = \| u _ { x } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( t ) } & { = \int _ { \cal D } \mathrm { d } ^ { 3 } { \bf r } _ { 1 } \int _ { \cal D } \mathrm { d } ^ { 3 } { \bf r } _ { 2 } \int \mathrm { d } t _ { 1 } \int \mathrm { d } t _ { 2 } \, \overline { { \overline { { D } } } } ( t ; { \bf r } _ { 1 } , t _ { 1 } ; { \bf r } _ { 2 } , t _ { 2 } ) \cdot \cdot \, \overline { { \overline { { E } } } } ( { \bf r } _ { 1 } , t _ { 1 } ; { \bf r } _ { 2 } , t _ { 2 } ) , } \end{array}
= \sum _ { k n } \epsilon _ { k n } n _ { k n } - \int V _ { e x t } ( r ) \rho ( r ) d r - e ^ { 2 } \int \frac { \rho ( r ) \rho ( r ^ { \prime } ) } { | r - r ^ { \prime } | } d r d r ^ { \prime } - \int V _ { x c } ( r ) \rho ( r ) d r
\lambda _ { 2 1 } ^ { \prime 1 , 2 } = - \int _ { s _ { D } , s _ { A } } ^ { s _ { G } , s _ { C } } \phi ^ { \prime } ( s ) c o s ( n , x ) d s , \qquad \lambda _ { 2 2 } ^ { \prime 1 , 2 } = - \int _ { s _ { D } , s _ { A } } ^ { s _ { G } , s _ { C } } \phi ^ { \prime } c o s ( n , y ) d s ,
\psi ( p ) \Bigr | _ { U _ { + } } = \left( \begin{array} { l } { { \omega ( p ) } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) \varphi _ { + } ( p ) \delta ( p ^ { 2 } ) , \qquad \qquad \psi ( p ) \Bigr | _ { U _ { - } } = \left( \begin{array} { l } { { 1 } } \\ { { \tilde { \omega } ( p ) } } \end{array} \right) \varphi _ { - } ( p ) \delta ( p ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r } { \mathcal S _ { y , x } = : ( y _ { n + 1 } - x _ { n + 1 } ) \left( \frac { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { 2 } + \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right) - \varepsilon \frac { \partial u _ { \varepsilon } } { \partial x _ { n + 1 } } \langle y - x , \nabla u _ { \varepsilon } \rangle , } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { c } } = - { \frac { 3 } { 2 } } \left[ S _ { 0 } \overline { { S } } _ { 0 } e ^ { - { K / 3 } } \right] _ { D } + \left[ S _ { 0 } ^ { 3 } W \right] _ { F } + { \frac { 1 } { 4 } } \left[ S { \cal W W } \right] _ { F } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial t } R _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( \widehat { L } , t ; t _ { f } ; \widehat { L } _ { 0 } ) = P ^ { \mathrm { i n } } ( \widehat { L } ) \rho _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( t _ { f } | \widehat { L } , t ) } \\ & { + \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \left( \! \left[ f ( \widehat { L } ) + D \ \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \log \! \left( \int _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ^ { \widehat { L } } d \widehat { L ^ { \prime } } \; e ^ { - \int ^ { \widehat { L ^ { \prime } } } \frac { 2 f ( \widehat { L ^ { \prime \prime } } ) } { D } d \widehat { L ^ { \prime \prime } } } \left( 1 - \int _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ^ { \widehat { L ^ { \prime } } } P ^ { \mathrm { i n } } ( \widehat { L ^ { \prime \prime } } ) d \widehat { L ^ { \prime \prime } } \right) \right) \! \right] R _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( \widehat { L } , t ; t _ { f } ; \widehat { L } _ { 0 } ) \! \right) } \\ & { - \frac { D } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } R _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( \widehat { L } , t ; t _ { f } ; \widehat { L } _ { 0 } ) \ . } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { ~ e ~ r ~ r ~ o ~ r ~ } } = \sqrt { \frac { \int \left( n _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ , ~ m ~ o ~ d ~ e ~ l ~ } } - n _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ , ~ s ~ i ~ m ~ } } \right) ^ { 2 } \mathrm { ~ d ~ } \lambda } { \int n _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ , ~ s ~ i ~ m ~ } } ^ { 2 } \mathrm { ~ d ~ } \lambda } } ,
\tilde { \omega } _ { \pm } = \frac { 1 } { 2 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( - ( \tilde { \mathcal { M } } + \tilde { \mathcal { D } } ) \pm \sqrt { ( \tilde { \mathcal { M } } - \tilde { \mathcal { D } } ) ^ { 2 } - 4 \tilde { \mathcal { X } } } \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right) ,
\left( \frac { \mu } { 1 3 } d _ { a } m ^ { k - 2 } \right) \left( \frac { \mu } { 4 } d _ { b } m \right) \left( \frac { \mu } { 8 k } d _ { b } m \right) ^ { k - 1 } \geqslant \left( \frac { \mu } { 8 k } \right) ^ { k + 1 } d _ { a } d _ { b } ^ { k } m ^ { 2 k - 2 } \geqslant \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \mu } { 8 k } \right) ^ { k + 1 } | \mathcal { Q } _ { \mathcal { J } } | ,
g _ { i k } { \Big ( } \gamma ( t ) , { \dot { \gamma } } ( t ) { \Big ) } { \ddot { \gamma } } ^ { i } ( t ) + \left( { \frac { \partial g _ { i k } } { \partial x ^ { j } } } { \Big ( } \gamma ( t ) , { \dot { \gamma } } ( t ) { \Big ) } - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial g _ { i j } } { \partial x ^ { k } } } { \Big ( } \gamma ( t ) , { \dot { \gamma } } ( t ) { \Big ) } \right) { \dot { \gamma } } ^ { i } ( t ) { \dot { \gamma } } ^ { j } ( t ) = 0 ,
\int d \mu \langle \psi _ { 0 } | \hat { V } | \psi _ { \mu } \rangle \langle \psi _ { \mu } \ | \hat { V } | \psi _ { 0 } \rangle e ^ { i ( \mathcal { E } _ { 0 } - \mathcal { E } _ { \mu } ) t / \hbar } = \langle \psi _ { 0 } | \hat { V } ( t ) \hat { V } ( 0 ) | \psi _ { 0 } \rangle
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \mathcal { H } ( \hat { \nu } _ { t } ^ { N _ { k } } \lVert \nu _ { t } ^ { N _ { k } } ) } & { = \frac { d } { d t } \left( \frac { 1 } { n _ { k } m _ { k } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { k } } \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { k } } \log \left( \frac { \beta _ { i j } ( 0 ) \alpha _ { i j } ( 0 ) } { \alpha _ { i j } ( t ) } \right) \beta _ { i j } ( 0 ) \alpha _ { i j } ( 0 ) \right) } \\ & { = - \frac { 1 } { n _ { k } m _ { k } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { k } } \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { k } } \frac { d } { d t } \log ( \alpha _ { i j } ( t ) ) { \beta } _ { i j } ( 0 ) \alpha _ { i j } ( 0 ) } \\ & { = \frac { \kappa } { n _ { k } m _ { k } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { k } } \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { k } } ( \mathcal { U } _ { \nu } ( \pi _ { t } ^ { N _ { k } } , \nu _ { t } ^ { N _ { k } } ; \vartheta _ { i j } ( t ) ) - \overline { { \mathcal { U } } } _ { \nu } ) \beta _ { i j } ( 0 ) \alpha _ { i j } ( 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \raisebox { \depth } { \( \chi \) } = \left( C _ { 2 } - C _ { 1 } \, \Big | \, [ X ] _ { 2 } - [ X ] _ { 1 } , [ Y ] _ { 2 } - [ Y ] _ { 1 } , [ M ] _ { 2 } - [ M ] _ { 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { e } ^ { ( 1 ) } = \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } a _ { p } L _ { p } ^ { ( 3 / 2 ) } ( x ) v _ { \parallel } f _ { 0 e } ( v ) = \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } a _ { p } L _ { p } ^ { ( 3 / 2 ) } ( x ) v \cos \alpha f _ { 0 e } ( v ) , } \end{array}
s h o w s p o p u l a t i o n i t e r a t i o n o f E x t i n c t i o n . A s w e c a n s e e , f l i p b i f u r c a t i o n s t a r t s a t \mu _ { 0 } = 3 . 0 0 0 a s i n F i g u r e (
\left[ \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { m } ( \Omega ) [ \boldsymbol { m } ( \Omega ) ] ^ { \top } \left( 1 + \frac { [ \xi \boldsymbol { \lambda } _ { 1 } ^ { * } + ( 1 - \xi ) \boldsymbol { \lambda } _ { 2 } ^ { * } ] \cdot \boldsymbol { m } ( \Omega ) } { K } \right) ^ { K - 1 } \, \mathrm { d } \Omega \right] ( \boldsymbol { \lambda } _ { 2 } ^ { * } - \boldsymbol { \lambda } _ { 1 } ^ { * } ) = 0 ,