harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { { \mathcal E } _ { 1 , \mu } ( z , \tau ) } & { = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathrm { R e s } [ \pi ^ { - s } \Gamma ( s ) \Gamma ( s + 1 ) E _ { s + 1 } ( z , \tau ) \mu ^ { - s } , s = - n ] } \\ & { = } & { E _ { 1 } ( z , \tau ) - \pi \mu ( E _ { 0 } ^ { \prime } ( z , \tau ) + \log ( \pi \mu ) + 2 \gamma - 1 ) - { \frac { 1 } { 2 } } { \pi ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } E _ { - 1 } ^ { \prime } ( z , \tau ) - { \frac { 1 } { 1 2 } } { \pi ^ { 3 } \mu ^ { 3 } } E _ { - 2 } ^ { \prime } ( z , \tau ) + \ldots } \\ & { = } & { E _ { 1 } ( z , \tau ) - \pi \mu ( \widetilde { E } _ { 1 } ^ { \mathrm { r e g } } ( z , \tau ) + \log ( \pi \mu ) - 1 ) - { \frac { 1 } { 2 } } { \pi ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } \widetilde { E } _ { 2 } ( z , \tau ) + { \frac { 1 } { 3 } } { \pi ^ { 3 } \mu ^ { 3 } } \widetilde { E } _ { 3 } ( z , \tau ) + \ldots } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mu , \gamma ) = \bigg ( e ^ { \nu t \partial _ { y y } } } & { \mu _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { ( - \nu \partial _ { y y } ) ( t - t ^ { \prime } ) } G ( \gamma ) \ d t ^ { \prime } , } \\ { e ^ { \tilde { D } ^ { 2 } t } } & { \left. \gamma _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { \tilde { D } ^ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } F ( \mu , \gamma ) \ d t ^ { \prime } \right) } \end{array}
\boldsymbol { \phi ^ { \mathrm { m } } } \approx \widetilde { \boldsymbol { \phi } } , \dot { \omega } \left( \bar { \rho } , \boldsymbol { \phi ^ { \mathrm { m } } } \right) \approx \dot { \omega } ( \bar { \rho } , \widetilde { \phi } )
{ \begin{array} { r l } { p _ { x } ( Z _ { 1 } , Z _ { 2 } , Z _ { 3 } , Z _ { 4 } ) } & { = 1 + ( 1 \cdot Z _ { 1 } + 0 \cdot Z _ { 2 } + 1 \cdot Z _ { 3 } + 0 \cdot Z _ { 4 } ) + ( 0 \cdot Z _ { 1 } Z _ { 2 } + 1 \cdot Z _ { 1 } Z _ { 3 } + 0 \cdot Z _ { 1 } Z _ { 4 } + 1 \cdot Z _ { 2 } Z _ { 3 } + 0 \cdot Z _ { 2 } Z _ { 4 } + 1 \cdot Z _ { 3 } Z _ { 4 } ) } \\ & { = 1 + Z _ { 1 } + Z _ { 3 } + Z _ { 1 } Z _ { 3 } + Z _ { 2 } Z _ { 3 } + Z _ { 3 } Z _ { 4 } } \end{array} }
\left( \Phi _ { 1 } * \Phi _ { 2 } \right) ( x ) \equiv \left[ e ^ { \frac { i } { 2 } \theta _ { \mu \nu } \partial _ { \zeta \mu } \partial _ { \eta \nu } } \Phi ( x + \zeta ) \Phi ( x + \eta ) \right] _ { \zeta = \eta = 0 } .
N _ { \alpha \beta } = n _ { t } T \int \frac { d ^ { 2 } \Phi _ { \alpha } } { d E _ { \nu } d ( \cos \theta _ { \nu } ) } \kappa _ { \alpha } ( h , \cos \theta _ { \nu } , E _ { \nu } ) P _ { \alpha \beta } \frac { d \sigma } { d E _ { \beta } } \varepsilon ( E _ { \beta } ) d E _ { \nu } d E _ { \beta } d ( \cos \theta _ { \nu } ) d h \; .
< ~ \Sigma ^ { + } ~ | ~ H _ { w e a k } ^ { p . c . } ~ | ~ \Lambda _ { c } ^ { + } ~ > = \frac { 2 } { 1 - ( \frac { f } { d } ) _ { s o f t m e s o n } } \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \cot \theta _ { c } < ~ p ~ | ~ H _ { w e a k } ^ { p . c . } ~ | ~ \Sigma ^ { + } ~ > .
{ \begin{array} { l } { g _ { 0 0 } = - 1 + 2 U - 2 \beta U ^ { 2 } - 2 \xi \Phi _ { W } + ( 2 \gamma + 2 + \alpha _ { 3 } + \zeta _ { 1 } - 2 \xi ) \Phi _ { 1 } + 2 ( 3 \gamma - 2 \beta + 1 + \zeta _ { 2 } + \xi ) \Phi _ { 2 } } \\ { \ + 2 ( 1 + \zeta _ { 3 } ) \Phi _ { 3 } + 2 ( 3 \gamma + 3 \zeta _ { 4 } - 2 \xi ) \Phi _ { 4 } - ( \zeta _ { 1 } - 2 \xi ) A - ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 3 } ) w ^ { 2 } U } \\ { \ - \alpha _ { 2 } w ^ { i } w ^ { j } U _ { i j } + ( 2 \alpha _ { 3 } - \alpha _ { 1 } ) w ^ { i } V _ { i } + O ( \epsilon ^ { 3 } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { 2 \, \Gamma ( \tilde { g } _ { \delta } ^ { i } ) _ { \ell \ell } ^ { n - 1 } = \, } & { 2 \, ( \partial _ { \ell } \, \tilde { g } _ { \delta } ^ { i } ) ( \partial _ { n - 1 } , \partial _ { \ell } ) - ( \partial _ { n - 1 } \, \tilde { g } _ { \delta } ^ { i } ) ( \partial _ { \ell } , \partial _ { \ell } ) + O ( \delta ) , } \\ { 2 \, \Gamma ( \tilde { g } ^ { i } ) _ { \ell \ell } ^ { n - 1 } = \, } & { 2 \, ( \partial _ { \ell } \, \tilde { g } ^ { i } ) ( \partial _ { n - 1 } , \partial _ { \ell } ) - ( \partial _ { n - 1 } \, \tilde { g } ^ { i } ) ( \partial _ { \ell } , \partial _ { \ell } ) + O ( \delta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial h } { \partial t } } } & { { } + { \frac { \partial } { \partial x } } { \Bigl ( } ( H + h ) u { \Bigr ) } + { \frac { \partial } { \partial y } } { \Bigl ( } ( H + h ) v { \Bigr ) } = 0 , } \\ { { \frac { \partial u } { \partial t } } } & { { } + u { \frac { \partial u } { \partial x } } + v { \frac { \partial u } { \partial y } } - f v = - g { \frac { \partial h } { \partial x } } - b u + \nu \left( { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } } \right) , } \\ { { \frac { \partial v } { \partial t } } } & { { } + u { \frac { \partial v } { \partial x } } + v { \frac { \partial v } { \partial y } } + f u = - g { \frac { \partial h } { \partial y } } - b v + \nu \left( { \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial y ^ { 2 } } } \right) , } \end{array}
\sum _ { j _ { 1 2 } } ( - 1 ) ^ { I _ { 1 2 } ( I _ { 1 2 3 } + 1 ) } \left\{ \begin{array} { c c c } { { j _ { 1 } } } & { { j _ { 2 } } } & { { j _ { 1 2 } } } \\ { { j _ { 3 } } } & { { j } } & { { j _ { 2 3 } } } \end{array} \right\} ^ { S } ~ \left\{ \begin{array} { c c c } { { j _ { 1 } } } & { { j _ { 2 } } } & { { j _ { 1 2 } } } \\ { { j _ { 3 } } } & { { j } } & { { j _ { 2 3 } ^ { \prime } } } \end{array} \right\} ^ { S } = ( - 1 ) ^ { I _ { 2 3 } ( I _ { 1 2 3 } + 1 ) } \delta _ { j _ { 2 3 } \, j _ { 2 3 } ^ { ' } } ~ .
\begin{array} { r l } { f _ { m } = } & { \langle \bar { \delta } _ { \mathrm { B } , i } \bar { \delta } _ { \mathrm { B } , i + m } \rangle + \langle \bar { \delta } _ { \mathrm { R } , i } \bar { \delta } _ { \mathrm { B } , i + m } \rangle } \\ & { - \langle \bar { \delta } _ { \mathrm { B } , i } \bar { \delta } _ { \mathrm { R } , i + m } \rangle - \langle \bar { \delta } _ { \mathrm { R } , i } \bar { \delta } _ { \mathrm { R } , i + m } \rangle . } \end{array}
G _ { \mu \nu } \rightarrow G _ { \mu \nu } + \alpha ^ { \prime } ( a _ { 1 } R _ { \mu \nu } + a _ { 2 } G _ { \mu \nu } R + a _ { 3 } D _ { \mu } D _ { \nu } \Phi + a _ { 4 } G _ { \mu \nu } D ^ { 2 } \Phi + \ldots ) + \ldots , \,
L _ { 0 } = \bar { G } _ { 1 / 2 } \bar { G } _ { - 1 / 2 } + \bar { G } _ { - 1 / 2 } \bar { G } _ { 1 / 2 } - \frac { 1 } { 2 } \geq - \frac { 1 } { 2 }
\begin{array} { r l } { h ^ { 2 } } & { = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \\ { \frac { d } { d t } [ h ^ { 2 } } & { = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ] } \\ { 2 h \frac { d h } { d t } } & { = 2 x \frac { d x } { d t } + 2 y \frac { d y } { d t } } \\ { \frac { d h } { d t } } & { = \cfrac { 1 2 0 0 t } { 2 \sqrt { 4 0 0 0 ^ { 2 } + ( 6 0 0 t ) ^ { 2 } } } } \end{array}
\gamma _ { \xi \eta } = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } R ( \xi - \xi ^ { \prime } , \eta - \eta ^ { \prime } ) ( \xi - \xi ^ { \prime } ) ( \eta - \eta ^ { \prime } ) d \xi ^ { \prime } d \eta ^ { \prime } } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } R ( \xi ^ { \prime } , \eta ^ { \prime } ) d \xi ^ { \prime } d \eta ^ { \prime } } ,
\varrho _ { * } \Big ( \sum _ { k = 1 } ^ { n } \, f _ { k } \, d ^ { \prime } f _ { k } ^ { \prime } \Big ) \: = \: \sum _ { k = 1 } ^ { n } \, \sum _ { \iota \in I } \, \big ( r _ { U _ { \iota } \cap U } ^ { U } ( f _ { k } ^ { \prime } ) \, d ^ { \prime } r _ { U _ { \iota } \cap U } ^ { U } ( f _ { k } ) \big ) \otimes 1 \, + \, 0 ,
{ \left( \begin{array} { l } { A ^ { \prime } ( x ) } \\ { B ^ { \prime } ( x ) } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { u _ { 1 } ( x ) } & { u _ { 2 } ( x ) } \\ { u _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) } & { u _ { 2 } ^ { \prime } ( x ) } \end{array} \right) } ^ { - 1 } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { f } \end{array} \right) } = { \frac { 1 } { W } } { \left( \begin{array} { l l } { u _ { 2 } ^ { \prime } ( x ) } & { - u _ { 2 } ( x ) } \\ { - u _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) } & { u _ { 1 } ( x ) } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { f } \end{array} \right) } ,
\begin{array} { r l } { \bar { Q } } & { { } : = \mathbb { E } \{ Q ( t ) \} } \\ { \bar { R } } & { { } : = \mathbb { E } \{ R ( t ) \} = \frac { 1 } { 2 \alpha } \tilde { M } : = \frac { 1 } { 2 \alpha } \left[ \begin{array} { l l l } { a _ { 1 , r _ { 0 } n + 1 } } & { \cdots } & { a _ { 1 , n } } \\ { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { a _ { r _ { 0 } n , r _ { 0 } n + 1 } } & { \cdots } & { a _ { r _ { 0 } n , n } } \end{array} \right] , } \end{array}
\hat { p } _ { 0 } ( k , t ) = \exp \left( t \left( a i k - \frac { 1 } { 2 } \sigma ^ { 2 } k ^ { 2 } + \int _ { \mathbb { R } \setminus \{ 0 \} } \left( e ^ { i k x } - 1 - i k x \mathbf { 1 } _ { | x | < 1 } \right) \Pi ( d x ) \right) \right) ,
\hat { h } = \frac { \mu } { \mu ( q ) } \hat { h } ^ { ( 0 ) } + \frac { C _ { 2 } - C _ { 1 } } { \mu c ^ { 2 } } \frac { \alpha ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } \frac { \alpha } { \mu ^ { 2 } c ^ { 2 } } C _ { 1 } \left( \frac { { \bf q } } { q ^ { 3 } } \frac { \partial } { \partial { \bf q } } + 4 \pi \lambda \delta ( { \bf q } ) \right) \, ,
U ( r ^ { 1 } , s ^ { 1 } ) U ( r ^ { 2 } , s ^ { 2 } ) = U ( r ^ { 1 } + r ^ { 2 } , s ^ { 1 } + s ^ { 2 } ) \exp \Bigl [ \frac { \theta } { 2 } ( s ^ { 1 } r ^ { 2 } + r ^ { 1 } s ^ { 2 } ) \Bigr ] .
\begin{array} { r l } & { \overline { { U } } ( \bar { \epsilon } ) : = 2 J K U _ { 3 } ^ { 2 } / \bar { \epsilon } ^ { 2 } \geq \sum _ { j = 1 } ^ { J } \sum _ { k = 1 } ^ { K } 2 ( \bar { \Delta } _ { p } ^ { t , e } ) ^ { 2 } / \bar { \epsilon } ^ { 2 } = \sum _ { j = 1 } ^ { J } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } [ ( \tilde { \xi } _ { p j k } ^ { t , e } ) ^ { 2 } ] = \mathbb { E } \big [ \| \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } \big ] . } \end{array}
\frac { \delta \Sigma } { \delta c } + \varepsilon ^ { a b } \overline { { { c } } } ^ { a } \frac { \delta \Sigma } { \delta b ^ { b } } = - \partial ^ { 2 } \, \overline { { { c } } } - \partial ^ { \mu } A _ { \mu } ^ { * } + \varepsilon ^ { a b } A _ { \mu } ^ { a * } A ^ { b \mu } - \varepsilon ^ { a b } c ^ { a * } c ^ { b } + ( \xi - \alpha ) \varepsilon ^ { a b } b ^ { a } \overline { { { c } } } ^ { b } \; .
\Phi _ { 7 } \, = \, \left\{ \begin{array} { l l l } { { \mathrm { r o o t s } } } & { { \null } } & { { \mathrm { n u m b e r } } } \\ { { \null } } & { { \null } } & { { \null } } \\ { { { \underbrace { \quad \pm \, \epsilon _ { k } \, \quad \pm \, \epsilon _ { \ell } \quad } } } } & { { \null } } & { { 6 0 } } \\ { { 1 \, \le \, k \, < \, \ell \, \le 6 } } & { { \null } } & { { \null } } \\ { { \null } } & { { \null } } \\ { { \pm \, \sqrt { 2 } \epsilon _ { 7 } } } & { { \null } } & { { 2 } } \\ { { \null } } & { { \null } } & { { \null } } \\ { { { \underbrace { \frac 1 2 \, \left( \pm \epsilon _ { 1 } \pm \epsilon _ { 2 } \pm \dots \epsilon _ { 6 } \right) } } } } & { { \pm \, \sqrt { 2 - \frac 3 2 } \, \epsilon _ { 7 } } } & { { 6 4 } } \\ { { \mathrm { e v e n ~ n u m b e r ~ o f ~ + ~ s i g n s } } } & { { \null } } & { { \null } } \\ { { \null } } & { { \null } } & { { \null } } \end{array} \right\}
\begin{array} { r } { I _ { 1 } \ddot { \theta } = I _ { 1 } \dot { \varphi } ^ { 2 } \sin \theta \cos \theta - I _ { 3 } \dot { \varphi } ( \dot { \psi } + \dot { \varphi } \cos \theta ) \sin \theta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { \alpha _ { 1 } } ( \omega _ { \mathrm { ~ O ~ } } ) \sim A _ { \alpha _ { 2 } } ( \omega _ { \mathrm { ~ A ~ } } ) } & { { } \sim 1 } \\ { \left( \frac { k } { k _ { \operatorname* { m a x } } } \right) ^ { 3 } } & { { } \sim 0 . 0 5 ^ { 3 } \sim 1 0 ^ { - 4 } } \\ { \epsilon _ { k } } & { { } \sim \mathrm { ~ 0 ~ . ~ 2 ~ e ~ V ~ } \sim 1 0 ^ { - 2 } \mathrm { ~ R ~ y ~ } } \\ { \big | g ^ { ( 2 ) } ( k _ { \operatorname* { m a x } } , k _ { \operatorname* { m a x } } ) \big | ^ { 2 } } & { { } \sim 1 0 ^ { - 4 } \mathrm { ~ R ~ y ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } ( \mathbf { g } ) } & { { } = - i \frac { \Delta _ { + } ^ { * } \nabla _ { \mathbf { g } } \Delta _ { + } } { | \Delta _ { + } | ^ { 2 } } = \nabla _ { \mathbf { g } } \arg \Delta _ { + } ( \mathbf { g } ) , \qquad \mathcal { F } ( \mathbf { g } ) = \nabla _ { \mathbf { g } } \times \mathcal { A } ( \mathbf { g } ) = 0 . } \end{array}
\mathcal { E } _ { x , y } [ \left| a \middle > \middle < a \right| ] = ( 1 - \lambda _ { x } ^ { 2 } ) ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) \lambda _ { y } ^ { 2 a } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { \chi _ { x , a + m } } { \sqrt { 1 - \chi _ { y , m } ^ { 2 } } } ( \left| a \middle > \middle < a \right| - \left| m \middle > \middle < m \right| ) + \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \chi _ { x , m } \left| m \middle > \middle < m \right| .
\begin{array} { r c l } { { S _ { \mathrm { I I B } } } } & { { = } } & { { - T _ { M _ { 2 } } l \int d ^ { 2 } \xi \sqrt { | { \tilde { g } } _ { i j } - \frac { 1 } { { \tilde { k } } ^ { 2 } } ( \partial _ { i } \varrho + { \tilde { B } } _ { i } ^ { ( 1 ) } ) ( \partial _ { j } \varrho + { \tilde { B } } _ { j } ^ { ( 1 ) } ) | } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { - \frac { T _ { M _ { 2 } } l } { 2 } \int d ^ { 2 } \xi \epsilon ^ { i j } \left[ \tilde { B } ^ { ( 2 ) } { } _ { i j } + 2 \partial _ { i } \varrho \ \left( { \tilde { A } } ^ { ( 1 ) } { } _ { i } + m \pi \alpha ^ { \prime } b _ { j } \right) \right] \, . } } \end{array}
S _ { M } = \int d ^ { 4 } x ^ { L } \int d ^ { 4 } x ^ { R } \overline { { { \Psi } } } \left\{ \delta ^ { ( 4 ) } ( x ^ { L } - x ^ { R } ) i \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } + i \kappa \tilde { D } _ { \eta } \right\} \Psi ,
\begin{array} { r } { h ( \Omega , a , \alpha ) = h _ { s } ( a , \alpha ) + \frac { a } { 2 \left( \Gamma \rho { g } \right) ^ { 1 / 2 } } \left[ \frac { 4 \hat { \beta } } { 4 + \sqrt { B o } } - \frac { \rho { a } ^ { 2 } } { 2 + \sqrt { B o } } \right] \Omega ^ { 2 } } \\ { + O ( \Omega ^ { 2 } \alpha + \Omega ^ { 4 } ) + . . . } \end{array}
\psi ^ { 0 } ( x , ( 1 - x ) \vec { q } _ { \perp } ) \approx \int _ { 0 } ^ { 1 } d y \frac { V _ { e f f } ( x , ( 1 - x ) \vec { q } _ { \perp } ; y , \vec { 0 } _ { \perp } ) } { - \vec { q } _ { \perp } ^ { 2 } ( 1 - x ) / x } \phi ^ { 0 } ( y , ( 1 - y ) Q ) ,
\begin{array} { r l } & { \frac { d _ { 1 } { + } d _ { 2 } } { 2 } \; U ^ { \prime \prime } ( y ) + \frac { y } { 2 } U ^ { \prime } ( y ) = 0 \quad \mathrm { w i t h ~ } \ U ( \pm \infty ) = A _ { \pm } ^ { \alpha } , } \\ & { V ( y ) = U ( y ) \quad \mathrm { a n d } \quad \Lambda = \frac { d _ { 2 } { - } d _ { 1 } } { 2 \alpha } \: U ^ { \prime \prime } ( y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tan \left( A \right) } & { { } = { \frac { \sin \left( h \right) } { \cos \left( h \right) \sin \left( \phi _ { \mathrm { o } } \right) - \tan \left( \delta \right) \cos \left( \phi _ { \mathrm { o } } \right) } } ; \qquad { \left\{ \begin{array} { l l } { \cos \left( a \right) \sin \left( A \right) = \cos \left( \delta \right) \sin \left( h \right) ; } \\ { \cos \left( a \right) \cos \left( A \right) = \cos \left( \delta \right) \cos \left( h \right) \sin \left( \phi _ { \mathrm { o } } \right) - \sin \left( \delta \right) \cos \left( \phi _ { \mathrm { o } } \right) } \end{array} \right. } } \\ { \sin \left( a \right) } & { { } = \sin \left( \phi _ { \mathrm { o } } \right) \sin \left( \delta \right) + \cos \left( \phi _ { \mathrm { o } } \right) \cos \left( \delta \right) \cos \left( h \right) ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ^ { 2 } \mathcal { A } _ { \mathrm { b d } } ( X ; F ) } & { = \ker ( \Delta _ { \mathrm { b d } } ) \oplus \mathrm { I m } ( d _ { \mathrm { b d } , \operatorname* { m i n } } ^ { F } ) \oplus \mathrm { I m } ( d _ { \mathrm { b d } , \operatorname* { m i n } } ^ { F , * } ) } \\ & { = \ker ( \Delta _ { \mathrm { b d } } ) \oplus \mathrm { I m } ( d _ { \mathrm { b d } , \operatorname* { m a x } } ^ { F } ) \oplus \mathrm { I m } ( d _ { \mathrm { b d } , \operatorname* { m a x } } ^ { F , * } ) . } \end{array}
\Omega _ { v } ^ { ( 0 , 1 ) } \rightarrow \Omega _ { 1 v } ^ { ( 0 , 1 ) } = \sum _ { p } \frac { \langle \Phi _ { v } ^ { p } | H _ { W } | \Phi _ { v } \rangle } { { \cal E } _ { v } - { \cal E } _ { v } ^ { p } } a _ { p } ^ { \dagger } a _ { v } = \frac { \langle p | h _ { w } | v \rangle } { \epsilon _ { v } - \epsilon _ { p } } a _ { p } ^ { \dagger } a _ { a } \equiv \sum _ { p } \Omega _ { v } ^ { p }
\begin{array} { r } { \mathrm { V o l } ( \mathcal { U } ( { V } _ { n , d } , \varepsilon ) ) = \sum _ { 0 \le j \le n , \mathrm { \ j ~ e v e n } } ( - 1 ) ^ { \frac { j } { 2 } } d ^ { \frac { n } { 2 } } \biggl ( \frac { d - 1 } { d } \biggr ) ^ { \frac { j } { 2 } } \frac { 2 ^ { n + 2 - j } \pi ^ { \frac { N } { 2 } } \Gamma \left( \frac { n } { 2 } + 1 \right) } { \Gamma \left( \frac { j } { 2 } + 1 \right) \Gamma ( n + 1 - j ) \Gamma \left( \frac { N + j - n } { 2 } \right) } J _ { N , N - n + j } ( \varepsilon ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t + 1 } ) ] } & { \leq \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t } ) ] - \frac { \eta } { 2 } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } - \frac { \eta } { 4 } \| \mathbb { E } _ { \xi } [ \nu _ { t } ^ { ( m ) } ] \| ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 2 } \bar { L } \sigma ^ { 2 } } { 2 b _ { x } M } + 2 \eta L ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg \| u _ { \bar { x } _ { t } } - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { \eta \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { x } _ { t } - x _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| \bar { y } _ { t } - y _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| y _ { \bar { x } _ { t } } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\int _ { \infty } d \Omega _ { ( 1 ) } { } ^ { * } F _ { 0 \Omega _ { ( 1 ) } } ^ { I } + \int _ { \infty } d \Omega _ { ( 2 ) } { } ^ { * } F _ { 0 \Omega _ { ( 2 ) } } ^ { I } = \int _ { \infty } d \Omega _ { ( 3 ) } { } ^ { * } F _ { 0 \Omega _ { ( 3 ) } } ^ { I } .
\dot { \delta } ( t ) = \left( \frac { 1 } { \sqrt { D ^ { 2 } + 1 } \sqrt { \frac { \operatorname { A r s i n h } ^ { 2 } ( t ) } { D ^ { 2 } + 1 } + 1 } } , \frac { D } { \sqrt { D ^ { 2 } + 1 } } , \frac { \operatorname { A r s i n h } ( t ) } { \left( D ^ { 2 } + 1 \right) \sqrt { \frac { \operatorname { A r s i n h } ^ { 2 } ( t ) } { D ^ { 2 } + 1 } + 1 } } \right)
\langle \omega ^ { - 2 } \rangle _ { + } \, \langle \omega ^ { - 1 } \rangle _ { - } \to \int \frac { \mathrm { d } \omega \, \mathrm { d } \omega ^ { \prime } } { \omega \omega ^ { \prime } + \Lambda ^ { 2 } e ^ { - \vartheta } } \, \varphi _ { + } ^ { \prime } ( \omega ) \, \varphi _ { - } ( \omega ^ { \prime } ) = \varphi _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) \, \varphi _ { - } ( 0 ) \, \frac { \vartheta ^ { 2 } } { 2 } + O ( \vartheta ) \, .
V = ( \nabla \phi _ { 3 } ) ^ { 2 } + \phi _ { 3 } ^ { 2 } \left[ ( \partial _ { i } { \mathbf { n } } ) ^ { 2 } + ( \mathbf { n } \cdot \mathrm { r o t } { \ \mathbf { n } } ) ^ { 2 } \right] - ( \mathbf { n } \cdot \nabla \phi _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( [ \mathbf { n } \times \mathrm { r o t \ } \mathbf { n } ] \cdot \nabla \phi _ { 3 } ^ { 2 } ) ~ ,
G _ { 0 } ^ { - 1 } \Psi \equiv \left( \frac { b ^ { 2 } } { 2 \mu _ { R } } - \frac { \vec { p ^ { \circ } } ^ { 2 } } { 2 \mu _ { R } } \right) \Psi _ { 0 } ( \vec { p ^ { \circ } } ) = \int V ( \vec { p ^ { \circ } } , \vec { q ^ { \circ } } , M ) \Psi _ { 0 } ( \vec { q ^ { \circ } } ) \frac { d \vec { q ^ { \circ } } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } ,
h ( \tau , v ) \le K \le C \left( E _ { 0 } ^ { \frac { \beta _ { 1 } } { \gamma } } + E _ { 0 } ^ { \frac { \beta _ { 1 } } { 1 + \gamma } } + E _ { 0 } ^ { \frac { \beta _ { 1 } } { 2 + \gamma } } + E _ { 0 } ^ { \frac { \beta _ { 0 } + \beta _ { 1 } } { 2 + \gamma } } + E _ { 0 } ^ { \frac { \beta _ { 1 } } { 1 + \gamma } } t ^ { - \frac { 1 } { 1 + \gamma } } \right) \left( 1 + T \right) ^ { \frac { 1 + \beta _ { 2 } } { \gamma } } .
g _ { \mu \nu \kappa } \lesssim \frac { e ^ { - \theta _ { \mu \nu \kappa \omega } R ^ { 2 } } } { R ^ { 2 } } \frac { Q _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { ~ u ~ } } N _ { \kappa } f _ { l } } { \sqrt { \pi } \omega } \Big ( \frac { \pi } { \alpha _ { \kappa } } \Big ) ^ { 3 / 2 } \Big ( \frac { 2 \omega ^ { 2 } R _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } { \alpha _ { \kappa } + \omega ^ { 2 } } \Big ) ^ { l _ { \kappa } } .
\begin{array} { r l } { r ( s _ { t } , a _ { t } , s _ { t + 1 } ) } & { { } \equiv r ( s _ { t } ) = ( 2 c _ { 1 } ) ^ { 2 } + c _ { 2 } \operatorname* { m i n } \bigg ( \frac { 0 . 1 } { 1 - x _ { t } } - 0 . 1 , 7 \bigg ) - 0 . 1 \cdot \mathrm { ~ F ~ W ~ H ~ M ~ } _ { t } , } \end{array}
{ \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 a } } \int _ { 0 } ^ { 1 } { d x { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \left( 1 - \lambda ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } x ^ { 2 } \right) } } \left[ { \frac { ( x ^ { 4 } - 3 \delta ^ { 2 } x ^ { 2 } ) } { \lambda ^ { 2 } ( x ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } ) ^ { 3 } } } + { \frac { \left( 1 + \lambda ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } x ^ { 2 } \right) } { \left( 1 - \lambda ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } x ^ { 2 } \right) } } { \frac { x ^ { 2 } } { ( x ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } ) } } \right] } ,
\dot { b } = \frac { q ^ { 4 } } { 1 + q ^ { 2 } } \Bigl [ m ^ { 2 } \; - q ^ { - 1 } \; e ^ { - 1 } \; ( \dot { x } _ { \mu } ) \; e ^ { - 1 } \; ( \dot { x } ^ { \mu } ) \; \Bigr ] ,
h _ { \mu \nu } ^ { + } = h _ { \mu \nu } - \frac { U _ { B } } { 2 } a ^ { 2 } ( z ) \xi ^ { + } \eta _ { \mu \nu } - 2 a ^ { 2 } ( z ) \int _ { 0 } ^ { z } \frac { d y } { a ^ { 2 } ( y ) } \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \xi ^ { + }
\delta L ( q , \dot { q } ) = \frac { 1 } { 2 } \dot { q } ^ { \mu } ( \delta q ^ { \alpha } \partial _ { \alpha } g _ { \mu \nu } + g _ { \mu \alpha } \partial _ { \nu } \delta q ^ { \alpha } + g \_ { \alpha \nu } \partial _ { \mu } \delta q ^ { \alpha } ) q ^ { \nu } + + \frac { 1 } { 4 } \left[ \left[ \partial _ { \alpha } \delta q ^ { \mu } , \dot { q } ^ { \alpha } \right] g _ { \mu \nu } , \dot { q } ^ { \nu } \right] - \delta q ^ { \alpha } \partial _ { \alpha } U _ { q } ( q ) \, .
H ^ { * } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \ddot { x } ^ { 2 } - 4 \omega ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } - \zeta ^ { 2 } \right) \dot { x } ^ { 2 } - \omega ^ { 4 } x ^ { 2 } \right] - \dddot { x } \dot { x } ,
\sigma ( t ) = \pi R ^ { 2 } ( t , Q ^ { 2 } = 1 / r ^ { 2 } ) \quad \mathrm { w i t h } \quad R ^ { 2 } ( t , Q ^ { 2 } ) = { \frac { r _ { 0 } \, r } { 1 6 } } \exp \left[ \epsilon t \right] \, .
| \langle \psi _ { k } ^ { c } \vert \mathcal { H } _ { e R } \vert \psi _ { k } ^ { v } \rangle | ^ { 2 } = \left( \frac { e | \vec { E } | } { 2 m _ { e } \omega } \right) ^ { 2 } | \langle \psi _ { k } ^ { c } \vert \hat { \textbf { e } } . \vec { \textbf { p } } \vert \psi _ { k } ^ { v } \rangle | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \operatorname* { i n f } _ { G , G _ { * } } { \left\{ \frac { \| p _ { G } - p _ { G _ { * } } \| _ { \infty } } { \mathcal { K } ( G , G _ { * } ) } : \ \mathcal { K } ( G , \overline { { G } } ) \vee \mathcal { K } ( G _ { * } , \overline { { G } } ) \leq \epsilon \right\} } > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big | V ( } & { \phi ( t , x , u ) ) - V ( T ( t ) x + t f ( x , u ( 0 ) ) ) \big | } \\ & { \leq L \big \| \phi ( t , x , u ) - T ( t ) x - t f ( x , u ( 0 ) ) \big \| _ { X } } \\ & { = L \big \| \int _ { 0 } ^ { t } T ( t - s ) f ( x ( s ) , u ( s ) ) d s - t f ( x , u ( 0 ) ) \big \| _ { X } } \\ & { = L \big \| \int _ { 0 } ^ { t } T ( t - s ) f ( x ( s ) , u ( s ) ) d s - \int _ { 0 } ^ { t } f ( x , u ( 0 ) ) d s \big \| _ { X } } \\ & { = L \big \| \int _ { 0 } ^ { t } T ( t - s ) f ( x ( s ) , u ( s ) ) - f ( x , u ( 0 ) ) d s \big \| _ { X } } \\ & { = L \big \| \int _ { 0 } ^ { t } T ( t - s ) \big ( f ( x ( s ) , u ( s ) ) - f ( x , u ( 0 ) ) \big ) + T ( t - s ) f ( x , u ( 0 ) ) - f ( x , u ( 0 ) ) d s \big \| _ { X } } \\ & { \leq L \int _ { 0 } ^ { t } \| T ( t - s ) \| \big \| f ( x ( s ) , u ( s ) ) - f ( x , u ( 0 ) ) \big \| _ { X } d s } \\ & { \qquad \qquad \qquad + L \int _ { 0 } ^ { t } \| T ( t - s ) f ( x , u ( 0 ) ) - f ( x , u ( 0 ) ) \| _ { X } d s . } \end{array}