harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
T _ { \mathrm { s o f t } / \mathrm { s e a } - \mathrm { s e a } } ^ { h } \! \left( x , \hat { s } , - q _ { \perp } ^ { 2 } \right) = T _ { \mathrm { s o f t } / \mathrm { s e a } - \mathrm { s e a } } \! \left( \hat { s } , - q _ { \perp } ^ { 2 } \right) \, F _ { \mathrm { p a r t } } ^ { h } ( x ) \, \exp \! \left( - R _ { h } ^ { 2 } \, q _ { \perp } ^ { 2 } \right)
R ( x ) = C _ { 0 } ( \alpha , B ^ { \prime } ) + \frac { C _ { 1 } ( \alpha ) } { x ^ { 2 \alpha } } + \frac { C _ { 2 } ( \alpha , B ^ { \prime } ) } { x ^ { 2 \alpha + 1 } } + \frac { C _ { 3 } ( \alpha , B ^ { \prime } ) } { x ^ { 2 } } + \ldots
\begin{array} { r l } & { { { { \tilde { F } } } _ { i } } \left( { { z } _ { 0 } } , { { \xi } _ { j } } \right) } \\ & { { { { \tilde { F } } } _ { i } } \left( { { z } _ { 1 } } , { { \xi } _ { j } } \right) } \\ & { \vdots } \\ & { { { { \tilde { F } } } _ { i } } \left( { { z } _ { N - 1 } } , { { \xi } _ { j } } \right) } \\ & { { { { \tilde { F } } } _ { i } } \left( { { z } _ { N } } , { { \xi } _ { j } } \right) } \end{array}
a x ^ { 2 } + b x + c = a ( x - \alpha ) ( x - \beta ) = a \left( x - { \frac { - b + { \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } } { 2 a } } \right) \left( x - { \frac { - b - { \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } } { 2 a } } \right) ,
\frac { \cos \phi - R ^ { \prime } / s ^ { \prime } } { \sin \phi } \leq \frac { \sin \left( \frac { \pi } { 2 g } - \phi \right) } { \cos \left( \frac { \pi } { 2 g } - \phi \right) - R ^ { \prime } / s ^ { \prime } }
{ \frac { m _ { 1 } c ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - u _ { 1 } ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } } + { \frac { m _ { 2 } c ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - u _ { 2 } ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } } = { \frac { m _ { 1 } c ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - v _ { 1 } ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } } + { \frac { m _ { 2 } c ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - v _ { 2 } ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } } = E
\begin{array} { r l } { v _ { E } ( x ; \rho , \beta ) } & { = - \rho _ { E } \, x _ { E } - \beta _ { E } \, x _ { R } \, x _ { E } } \\ { v _ { F } ( x ; \rho , \beta ) } & { = - \rho _ { F } \, x _ { F } - \beta _ { F } \, x _ { R } \, x _ { F } } \\ { v _ { I } ( x ; \rho , \beta ) } & { = - \rho _ { I } \, x _ { I } - \beta _ { I } \, x _ { R } \, x _ { I } } \end{array}
\frac { d F } { d \textbf { p } } = \Big [ \frac { d F } { d p _ { 0 } } , . . . , \frac { d F } { d p _ { i } } , . . . , \frac { d F } { d p _ { M } } \Big ] = \frac { d } { d \textbf { p } } \int _ { 0 } ^ { T _ { m } } \psi ( \textbf { p } , \textbf { E } , \textbf { H } , . . ) d t ,
a _ { S } \, e ^ { i \phi _ { S } } \; = \; \frac { 1 } { 2 i } \, \biggl ( \, \eta _ { 1 } e ^ { 2 i \delta _ { 1 } } - 1 \, \biggr ) + \frac { 1 } { 4 i } \, \biggl ( \, \eta _ { 3 } e ^ { 2 i \delta _ { 3 } } - 1 \, \biggr ) \, ,
\begin{array} { r l r } { \dot { V } _ { u } ( x ) } & { = } & { 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } x ( z ) \big ( x _ { z z } ( z ) - a x ( z ) x _ { z } ( z ) + b x ( z ) + v ( z ) \big ) d z } \\ & { = } & { 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } x ( z ) x _ { z z } ( z ) d z - 2 a \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 2 } ( z ) x _ { z } ( z ) d z } \\ & { } & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + 2 b \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 2 } ( z ) d z + 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } x ( z ) v ( z ) d z . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { + } ^ { 2 } \hat { \Sigma } _ { 1 1 } ^ { S u n , N } } & { = } & { \big [ \partial _ { + } ^ { 2 } \tilde { \Sigma } _ { 1 1 } ^ { S u n , N , I } - \partial _ { + } ^ { 2 } \tilde { \Sigma } _ { 1 1 } ^ { S u n , N , I I I } \big ] + \big [ \partial _ { + } ^ { 2 } \tilde { \Sigma } _ { 1 1 } ^ { S u n , N , I I I } - \partial _ { + } ^ { 2 } \tilde { \Sigma } _ { 1 1 } ^ { S u n , N , I I } \big ] } \\ & { : = } & { \partial _ { + } ^ { 2 } \tilde { \Sigma } _ { 1 1 } ^ { I , I I I } + \partial _ { + } ^ { 2 } \tilde { \Sigma } _ { 1 1 } ^ { I I I , I I } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { \bar { i } } } & { = \frac { 2 \mathrm { w } _ { i } { \gamma k _ { \mathrm { r } } C _ { \mathrm { e q } } - \tilde { g } _ { i } \left[ { \gamma k _ { \mathrm { r } } - 2 \mathrm { w } _ { i } \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } } \right] } } { { \gamma k _ { \mathrm { r } } + 2 \mathrm { w } _ { i } \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } } } } \\ & { = \frac { 2 \mathrm { w } _ { i } \gamma k _ { \mathrm { r } } C _ { \mathrm { e q } } } { \gamma k _ { \mathrm { r } } + 2 \mathrm { w } _ { i } \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } } + \frac { - \gamma k _ { \mathrm { r } } + 2 \mathrm { w } _ { i } \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } } { \gamma k _ { \mathrm { r } } + 2 \mathrm { w } _ { i } \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } } \tilde { g } _ { i } , } \end{array}
g _ { * } ( T ) = \sum _ { i = \mathrm { b o s o n s } } g _ { i } \left( { \frac { T _ { i } } { T } } \right) ^ { 3 } + { \frac { 7 } { 8 } } \sum _ { j = \mathrm { f e r m i o n s } } g _ { j } { \left( { \frac { T _ { j } } { T } } \right) } ^ { 3 }
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } & { { } = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { i } } p \left( x _ { i } ^ { 0 } \right) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \left\{ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } } + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } } \right] \right\} \right. } \end{array}
\sin ^ { 2 } \bigg ( \frac { \theta _ { \mathrm { e n g } } - \theta _ { \mathrm { A } } } { 2 } \bigg ) = \frac { ( r _ { _ \mathrm { T } } + \gamma \rho _ { _ \mathrm { A } } ) ^ { 2 } - ( r _ { \mathrm { A } } - t _ { \mathrm { e n g } } \nu - \beta \rho _ { _ \mathrm { A } } ) ^ { 2 } } { 4 \beta \rho _ { _ \mathrm { A } } ( r _ { \mathrm { A } } - t _ { \mathrm { e n g } } \nu ) } ,
= g _ { 2 } ^ { 2 } g ^ { 4 } { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { M ^ { 4 } } } \left( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } - \lambda _ { 2 } ^ { 2 } \right) - g ^ { 6 } { \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } } { M ^ { 4 } } } \left( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } - \lambda _ { 2 } ^ { 2 } \right) - g ^ { 2 } l n { \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } + \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } { m _ { 0 } ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } } + . . .
\begin{array} { r l } { X _ { 0 } } & { \sim \mathrm { N o r m a l } \left( \left[ \begin{array} { l } { + 0 . 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } \end{array} \right] \right) } \\ { X _ { 1 } } & { \sim \mathrm { N o r m a l } \left( \left[ \begin{array} { l } { - 0 . 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \right) } \end{array}
\frac { s _ { 0 } - s _ { \mathrm { c r o s s } } } { s _ { 0 } } \leq \frac { s _ { 0 } - s ( t _ { u } ^ { \dagger } ( q ) ) } { s _ { 0 } } \leq \frac { 1 } { q } \varepsilon _ { S S l } \log \left( 1 + \frac { C ^ { * } } { q } \cdot \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \right) .
\mathbf { z } ^ { - } \sim N _ { 3 } ( \hat { \mathbf { z } } ^ { - } , \pmb { \Sigma } _ { \mathbf { z } \mathbf { z } } ^ { - } ) \equiv \mathbf { g } ( N _ { 9 } ( \hat { \mathbf { x } } ^ { - } , \pmb { \Sigma } _ { \mathbf { x } \mathbf { x } } ^ { - } ) )
\begin{array} { r l } { \Delta \phi _ { j } + \Omega ^ { 2 } \phi _ { j } } & { { } = \Phi _ { j } , \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } K , } \\ { \phi _ { j } } & { { } = 0 , \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \partial K , } \end{array}
V _ { l o o p } * d F _ { O _ { 2 } l o o p } = ( Q _ { f e e d } * F _ { O _ { 2 } f e e d } - V _ { O _ { 2 } } - ( Q _ { f e e d } - V _ { O _ { 2 } } ) * F _ { O _ { 2 } l o o p } ) d t
\begin{array} { r l r } { P _ { 0 } \frac { d } { d Q _ { 0 } } S _ { Q _ { 0 } } ( \phi ) ( Q _ { n } ^ { 0 } - Q _ { 0 } ) } & { = } & { - P _ { 0 } \phi \frac { d } { d Q _ { 0 } } m _ { Q _ { 0 } } ( Q _ { n } ^ { 0 } - Q _ { 0 } ) } \\ & { = } & { - P _ { 0 } \phi m _ { Q _ { 0 } } ( 1 - m _ { Q _ { 0 } } ) ( Q _ { n } ^ { 0 } - Q _ { 0 } ) } \\ & { = } & { - P _ { 0 } S _ { Q _ { 0 } } ( \phi ) S _ { Q _ { 0 } } ( Q _ { n } ^ { 0 } - Q _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { j _ { 1 } , 0 } \otimes \mathcal { H } _ { j _ { 2 } , 0 } \otimes \mathcal { H } _ { 0 , \bar { j } } \epsilon } & { \overset { 1 \otimes M } { \cong } \mathcal { H } _ { j _ { 1 } , 0 } \otimes ( \mathcal { H } _ { j _ { 2 } , \bar { j } } \epsilon \oplus \mathcal { H } _ { j _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } , \bar { j } - \frac { 1 } { 2 } } \epsilon \oplus \dots \oplus \mathcal { H } _ { j _ { 2 } - \bar { j } , 0 } \epsilon ) } \\ & { \overset { 1 \otimes h } { \to } \mathcal { H } _ { j _ { 1 } , 0 } \otimes ( \mathcal { H } _ { j _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } , \bar { j } + \frac { 1 } { 2 } } \epsilon \oplus \mathcal { H } _ { j _ { 2 } - 1 , \bar { j } } \epsilon \oplus \dots \oplus \mathcal { H } _ { j _ { 2 } - \bar { j } - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } } \epsilon ) } \\ & { \overset { p M } { \to } \mathcal { H } _ { j _ { 1 } + j _ { 2 } - \bar { j } - 1 , 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { U ( t _ { \pi } ) = \left( \begin{array} { c c c c } { 0 } & { ( \sin ( \theta ) - i \cos ( \theta ) ) } \\ { - ( \sin ( \theta ) + i \cos ( \theta ) ) \sin ( | \Omega | t ) } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\tilde { \psi } ^ { G } ( t ) = \textrm { e } _ { - } ^ { - i H ^ { \times } t } | E _ { R } + i \Gamma / 2 ^ { + } \rangle = \textrm { e } ^ { - i E _ { R } t } \textrm { e } ^ { \Gamma t / 2 } | E _ { R } + i \Gamma / 2 ^ { + } \rangle , \, \, \, \, \textup { o n l y f o r } \, \, \, \, t \leq 0 .
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } } & { \leq \frac { 2 L ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { x } _ { t } - x _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + \bigg \| y _ { \bar { x } _ { t } } - y _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] \leq \frac { 2 L ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { x } _ { t } - x _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| \bar { y } _ { t } - y _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| y _ { \bar { x } _ { t } } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
- { \cal L } _ { M } = ( \overline { { { e _ { L } ^ { I } } } } \ \overline { { { \mu _ { L } ^ { I } } } } \ \overline { { { \tau _ { L } ^ { I } } } } ) \ M _ { \ell } \left( \begin{array} { l } { { e _ { R } ^ { I } } } \\ { { \mu _ { R } ^ { I } } } \\ { { \tau _ { R } ^ { I } } } \end{array} \right) + \frac { 1 } { 2 } \overline { { { \vec { \nu } ^ { c } } } } M _ { \nu } \vec { \nu } + \mathrm { h . c . } \; ,
\mathcal R = \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } ( z _ { i } - z _ { j } ) ^ { \frac { ( \lambda _ { i } , \lambda _ { j } ) } { \kappa } } \prod _ { b = 1 } ^ { M } \prod _ { j = 1 } ^ { n } ( t _ { b } - z _ { j } ) ^ { \frac { ( \lambda _ { j } , \beta ( b ) ) } { \kappa } } \prod _ { 1 \leq b < c \leq M } ( t _ { b } - t _ { b } ) ^ { - \frac { ( \beta ( b ) , \beta ( c ) ) } { \kappa } }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial { } \hat { q } _ { 1 } } { \partial { } t } } & { { } = - \widehat { J ( \psi _ { 1 } , q _ { 1 } ) } - i k \beta _ { 1 } \hat { \psi } _ { 1 } + \widehat { \mathrm { ~ s ~ s ~ d ~ } } } \\ { \frac { \partial { } \hat { q } _ { 2 } } { \partial { } t } } & { { } = - \widehat { J ( \psi _ { 2 } , q _ { 2 } ) } - i k \beta _ { 2 } \hat { \psi } _ { 2 } + r _ { \mathrm { ~ e ~ k ~ } } \kappa ^ { 2 } \hat { \psi } _ { 2 } + \widehat { \mathrm { ~ s ~ s ~ d ~ } } } \end{array}
S _ { \psi } ^ { ( 2 ) } = \sum _ { n \leq p + 1 } \int _ { n \mathrm { \tiny - b r a n e } ~ \subseteq ~ \mathrm { \tiny ~ D - b r a n e } } d y ^ { m _ { 1 } } \cdots d y ^ { m _ { n } } ~ A _ { m _ { 1 } , \cdots , m _ { n } } ( y _ { 1 } , \cdots , y _ { p } ) ,
d s ^ { 2 } = - \left( 1 - { \frac { 2 G M } { r c ^ { 2 } } } \right) c ^ { 2 } d t ^ { 2 } + \left( 1 - { \frac { 2 G M } { r c ^ { 2 } } } \right) ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \langle \Phi _ { s } ^ { * } [ A ] \Phi _ { s } \rangle _ { s } } & { { } \equiv } & { \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } d z _ { s } \sum _ { m _ { s } } \Phi _ { s } ^ { * } [ A ] \Phi _ { s } } \end{array}
E _ { \mathrm { d e p } , i } ( E ) = ( 1 - e ^ { - \mu _ { e n , i } ( E ) \mathrm { s } _ { i } } ) \cdot \prod _ { j = 1 } ^ { i - 1 } e ^ { - \mu _ { j } ( E ) \mathrm { s } _ { j } } \cdot \prod _ { j = 1 } ^ { i } e ^ { - \mu _ { j } ( E ) \mathrm { f } _ { j } } E ,
\begin{array} { r l } { \frac { d \hat { \rho } } { d t } } & { { } = \frac { - i } { \hbar } [ \omega _ { 0 } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } , \rho ] + \gamma \left( 1 + \bar { n } \right) ( 2 \hat { a } \rho \hat { a } ^ { \dagger } - \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \rho - \rho \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathbf B \| _ { L ^ { \infty } ( \Gamma _ { h } ) } } & { \le C , \quad \| \mathbf P _ { h } \mathbf B ^ { - 1 } \mathbf P \| _ { L ^ { \infty } ( \Gamma _ { h } ) } \le C , } \\ { \| \mathbf P _ { h } \mathbf B ^ { - 1 } \mathbf P - \mathbf P _ { h } \mathbf P \| _ { L ^ { \infty } ( \Gamma _ { h } ) } } & { \le C h ^ { q + 1 } , \quad \| 1 - | \mathrm { d e t } ( \mathbf B ) | \, \| _ { L ^ { \infty } ( \Gamma _ { h } ) } \le C h ^ { q + 1 } . } \end{array}
E _ { n } = - \frac { m _ { \pi } \alpha ^ { 2 } } { 4 ( n + 1 ) ^ { 2 } } , \ \ \ \ \psi _ { + - , n } ^ { 2 } ( 0 ) = \frac { m _ { \pi } ^ { 3 } \alpha ^ { 3 } } { 8 \pi ( n + 1 ) ^ { 3 } } \ \ \ \, \ ( n \geq 0 ) ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \sigma _ { i k } n _ { k } = \left[ - K \alpha T \delta _ { i k } + K u _ { l l } \delta _ { i k } + 2 \mu \left( u _ { i k } - \frac { 1 } { 3 } u _ { l l } \delta _ { i k } \right) \right] n _ { k } = 0 } & { { \mathrm { F r e e ~ p a r t } } } \\ { u _ { k } n _ { k } = 0 } & { { \mathrm { C o n t a c t ~ p a r t } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \| C \tilde { z } _ { i } - C \bar { z } _ { i } \| } & { = \| \widetilde { E } _ { i } \bar { z } _ { i } - ( \tilde { r } _ { i } - \bar { r } _ { i } ) \| \leq \| \widetilde { E } _ { i } \| \| \bar { z } _ { i } \| + \| \tilde { r } _ { i } - \bar { r } _ { i } \| } \\ & { \leq ( \| C \| \| \bar { z } _ { i } \| + 2 \kappa ( C ) ) \tau . } \end{array}
\epsilon ^ { \mu \nu \rho \lambda \sigma } G _ { \mu \mu ^ { \prime } } G _ { \nu \nu ^ { \prime } } G _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } G _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } = - G _ { 5 } \epsilon _ { \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } \rho ^ { \prime } \lambda ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } } G _ { 5 } ^ { \rho \rho ^ { \prime } } ,
\langle { \bf j } ^ { \beta T } ( { \bf r } ) \rangle _ { { \bf A } _ { \mathrm { e x t } } ^ { \gamma } } = - \operatorname * { l i m } _ { { \bf k } \to 0 } \chi _ { T } ^ { \beta \gamma } ( { \bf k } , 0 ) { \bf A } _ { \mathrm { e x t } } ^ { \gamma } ( { \bf r } ) ,
\theta = \left( \begin{array} { c } { { - \frac { \sqrt { 2 \omega _ { o } } } { \mu + \lambda + \mu _ { o } } d _ { 4 } U ( a , x ) } } \\ { { d _ { 2 } U ( a + 1 , x ) } } \\ { { - \frac { \sqrt { 2 \omega _ { o } } } { \mu + \lambda + \mu _ { o } } d _ { 2 } U ( a , x ) } } \\ { { d _ { 4 } U ( a + 1 , x ) } } \end{array} \right) .
G _ { B _ { 2 } ^ { * } B _ { 0 } ^ { \prime } } ( \omega , \omega ^ { \prime } ) = - { \frac { 1 } { 8 } } \langle { \bar { q } } q \rangle ( q \cdot v ) \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \int _ { 0 } ^ { 1 } d u e ^ { i ( 1 - u ) { \frac { \omega t } { 2 } } } e ^ { i u { \frac { \omega ^ { \prime } t } { 2 } } } u \{ \chi \phi ( u ) + t ^ { 2 } g _ { 1 } ( u ) \} + \cdots \; .
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { t } ( p ) = } & { \frac { 1 - \delta _ { a b } } { 2 \hbar } \frac { \pi { \it i } } { v } G _ { 0 } ( p ) } \\ & { \times \Bigg [ \mathrm { E r f i } \Big [ \frac { p \ell } { 2 \hbar } - \frac { { \it i } t v } { \ell } \Big ] - \mathrm { E r f i } \Big [ \frac { p \ell } { 2 \hbar } + \frac { { \it i } t v } { \ell } \Big ] \Bigg ] } \end{array}
\left( \frac { \partial u } { \partial \xi } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } = \underbrace { \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \frac { \partial u } { \partial \xi } \right) _ { i } + \left( \frac { \partial u } { \partial \xi } \right) _ { i + 1 } \right] } _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ n ~ s ~ i ~ s ~ t ~ e ~ n ~ t ~ t ~ e ~ r ~ m ~ } } + \underbrace { \frac { \alpha ^ { D } } { 2 } \left( u _ { R } - u _ { L } \right) } _ { \mathrm { ~ D ~ a ~ m ~ p ~ i ~ n ~ g ~ t ~ e ~ r ~ m ~ } } ,
\zeta ( s , z ) = \frac { z ^ { 1 - s } } { s - 1 } + \frac { z ^ { - s } } { 2 } + \frac { s } { 1 2 } z ^ { - s - 1 } - \frac { s ( s + 1 ) } { 2 ! } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \overline { { { B } } } _ { 2 } ( t ) } { ( z + t ) ^ { s + 2 } } d t .
\begin{array} { r } { \epsilon _ { x } d x + \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { x y } d y = \langle ( q \times u _ { 1 } ) , d r \rangle = \langle ( p \times u _ { 1 } ) , d r \rangle + \langle ( ( 0 , d x , d y ) ^ { T } \times u _ { 1 } ) , d r \rangle } \\ { \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { x y } d x + \epsilon _ { y } d y = \langle ( q \times u _ { 2 } ) , d r \rangle = \langle ( p \times u _ { 2 } ) , d r \rangle + \langle ( ( 0 , d x , d y ) ^ { T } \times u _ { 2 } ) , d r \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } ( c _ { 1 } e ^ { i \phi ( \xi ) + k z - \omega t } - b _ { 1 } e ^ { i k x . . . . . } + \frac { c _ { 2 } } { a e ^ { ( m \xi ) } + b e ^ { - ( m \xi ) } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { i \phi ( \xi ) + k z - \omega t } } \end{array}
b ( g ) = B _ { 1 } e ^ { \chi _ { 2 } { \cal X } _ { 2 } } e ^ { \chi _ { 3 } { \cal X } _ { 3 } } + e ^ { - \chi _ { 1 } { { \cal X } _ { 1 } } ^ { t } } B _ { 2 } e ^ { \chi _ { 3 } { \cal X } _ { 3 } } + e ^ { - \chi _ { 1 } { { \cal X } _ { 1 } } ^ { t } } e ^ { - \chi _ { 2 } { { \cal X } _ { 2 } } ^ { t } } B _ { 3 } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ P ~ V ~ } \int \mathrm { d } \xi \frac { \xi ^ { 4 } } { \xi + y } f _ { M } } & { { } = - ( V _ { \parallel } + u ) \frac { n } { 2 \pi } \exp \left( - \frac { m \mu B } { T } \right) \left[ 1 + ( V _ { \parallel } + u ) ^ { 2 } \frac { m } { T } \right] + ( V _ { \parallel } + u ) ^ { 4 } \mathcal { I } . } \end{array}
\begin{array} { r } { g ( z ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { h _ { A } \circ \varphi ^ { - 1 } ( z ) } { h _ { ( c d ) } \circ \varphi ^ { - 1 } ( z ) } } & { \mathrm { ~ i f ~ } z \in \varphi ( \Omega _ { A } ) } \\ { \frac { \partial _ { n } h _ { A } \circ \varphi ^ { - 1 } ( z ) } { \partial _ { n } h _ { ( c d ) } \circ \varphi ^ { - 1 } ( z ) } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } z \in ( 0 , 1 ) \cap \partial \varphi ( \Omega _ { A } ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\omega _ { y } = \sqrt { [ \gamma B _ { z } \! + \! ( N _ { y } \! - \! N _ { z } ) \gamma \mu _ { 0 } M _ { z } ] [ \gamma B _ { z } \! + \! ( N _ { x } \! - \! N _ { z } ) \gamma \mu _ { 0 } M _ { z } ] }
\begin{array} { r l } { U ( r , z ) } & { { } = - k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { t r a p } } \frac { e ^ { - 2 r ^ { 2 } / w ^ { 2 } ( z ) } } { 1 + z ^ { 2 } / z _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } } \cos ^ { 2 } \left( k z + \tan ^ { - 1 } \left( \frac { z } { z _ { \mathrm { R } } } \right) + \frac { k r ^ { 2 } } { 2 R ( z ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { u } } & { { } = \frac { 1 - \Lambda _ { 1 2 } \Lambda _ { 2 1 } } { 1 + \operatorname* { m a x } \big [ \Lambda _ { 1 2 } , \, \Lambda _ { 2 1 } \big ] } \, , } \\ { \Psi _ { l } } & { { } = ( 1 - \Lambda _ { 1 2 } \Lambda _ { 2 1 } ) \left( \begin{array} { l } { \operatorname* { m i n } \big [ 1 , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 2 1 } } \big ] } \\ { \operatorname* { m i n } \big [ 1 , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 1 2 } } \big ] } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { i , j } } & { = - \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { j , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 1 } + \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { i , j } ^ { ( 2 ) } t ^ { - s + 1 } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } , } \\ { - B _ { j , i } } & { = \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } w _ { i , j } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 2 } - \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { i , j } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } M [ f ] \, d v } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \mathbf { 1 } _ { | u _ { f } - v | ^ { d } \le c _ { d } \rho _ { f } } \, d v } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \cdots \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { ( c _ { d } \rho _ { f } ) ^ { 1 / d } } r ^ { d - 1 } ( \sin ^ { d - 2 } \varphi _ { 1 } ) ( \sin ^ { d - 3 } \varphi _ { 2 } ) \cdots ( \sin \varphi _ { d - 2 } ) \, d r d \varphi _ { 1 } \cdots d \varphi _ { d - 1 } } \\ & { = \frac { c _ { d } \rho _ { f } } { d } \left| \mathbb { S } _ { d - 1 } \right| } \\ & { = \rho _ { f } . } \end{array}
\left( \frac { d Y } { d s } \right) ^ { 2 } + Y ^ { 3 } + \frac { 6 } { \chi h _ { 0 } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { v _ { 0 } } { c _ { 0 } } \right) Y ^ { 2 } + \frac { 3 6 C _ { 1 } } { \chi ^ { 2 } h _ { 0 } ^ { 4 } } Y = 0 .
\begin{array} { r l } { \left\| { \Delta _ { j } } \right\| _ { \mathrm { o p } } } & { \leq \frac { 2 2 C _ { 0 } } { \sqrt { n } } \left( \frac { 1 + \sigma \sqrt { d } } { \sqrt { n p } } \right) + 2 \left\| { F _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + 2 \left\| { F _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + 2 \left\| { G _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + 2 \left\| { G _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } . } \end{array}
\int d x ^ { 4 } \phi _ { [ \omega , l , m _ { 1 } , m _ { 2 } ] } ^ { \ast } ( x ) \phi _ { [ \omega ^ { \prime } , l ^ { \prime } , m _ { 1 } ^ { \prime } , m _ { 2 } ^ { \prime } ] } ( x ) = ( 2 \pi ) \delta ( \omega - \omega ^ { \prime } ) \delta _ { l l ^ { \prime } } \delta _ { m _ { 1 } m _ { 1 } ^ { \prime } } \delta _ { m _ { 2 } m _ { 2 } ^ { \prime } }
\begin{array} { r } { t _ { p q } = \int \mathrm { d } \mathbf r \phi _ { p } ^ { * } ( \mathbf r ) \bigg ( - \frac { 1 } { 2 } \hat { \nabla } ^ { 2 } - \sum _ { a } \frac { Z _ { a } } { | \mathbf r - \mathbf R _ { a } | } \bigg ) \phi _ { q } ( \mathbf r ) , } \end{array}
\Lambda _ { \mu } ^ { a , P } ( p , q ) \equiv P _ { \mu \nu } ( q ) \Lambda _ { \nu } ^ { a , \mathrm { l a t } } ( p , q ) = S ( p ) ^ { - 1 } V _ { \mu } ^ { a } ( p , q ) S ( p + q ) ^ { - 1 } D ( q ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \, .
\frac { 1 } { N } V _ { \mathrm { e f f } } = - \frac { m ^ { 2 } } { N g ^ { 2 } } + \frac { m ^ { 2 } } { 4 \pi } \left[ \ln \frac { \Lambda ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } + 1 \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { \Theta } _ { L } \Big ( \frac { a \tau + b } { c \tau + d } , \frac { \mathfrak { z } } { c \tau + d } \Big ) } & { = ( c \tau + d ) ^ { k } e ^ { \pi i ( \mathfrak { z } , \mathfrak { z } ) c / ( c \tau + d ) } \bar { \rho } _ { L } ( A ) \mathbf { \Theta } _ { L } ( \tau , \mathfrak { z } ) , \quad A = \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right) \in \mathrm { M p } _ { 2 } ( \mathbb { Z } ) , } \\ { \mathbf { \Theta } _ { L } ( \tau , \mathfrak { z } + \lambda \tau + \mu ) } & { = e ^ { - \pi i ( ( \lambda , \lambda ) \tau + 2 ( \lambda , \mathfrak { z } ) ) } \mathbf { \Theta } _ { L } ( \tau , \mathfrak { z } ) , \quad \lambda , \mu \in L . } \end{array}
\langle u _ { i _ { 1 } } u _ { i _ { 2 } } \dots u _ { i _ { n } } \rangle = \sum _ { P } \langle u _ { k _ { 1 } } u _ { k _ { 2 } } \rangle \dots \langle u _ { k _ { n - 1 } } u _ { k _ { n } } \rangle
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l l } { \partial _ { t } ^ { 2 } u ^ { r e } ( x , t ) - \Delta u ^ { r e } ( x , t ) = 0 } & & { \mathrm { i n } \quad { \mathbb R } _ { + } ^ { 2 } , \; t > 0 , } \\ { u ^ { r e } ( x , 0 ) = \partial _ { t } u ^ { r e } ( x , 0 ) = 0 } & & { \mathrm { i n } \quad { \mathbb R } _ { + } ^ { 2 } , } \\ { u ^ { r e } ( x , t ) = - u ^ { i n } ( x , t ) } & & { \mathrm { o n } \quad x _ { 2 } = 0 , t > 0 . } \end{array} \right. } \end{array}