harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { R _ { E } ( g , \tau ) } & { { } = \int _ { \mathcal { M } } \int _ { \mathcal { M } } d \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } d \pmb { \mathscr { s } } g ( \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } ) \mathscr { P } ( \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } ) g ( \pmb { \mathscr { s } } ) \mathscr { T } ^ { \tau } \delta ( \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac 1 D \mathbb E \left[ | \! | \boldsymbol { y } - X \hat { \boldsymbol { \beta } } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } \mid \mathcal X \right] \leq \overline { { \sigma } } ^ { 2 } + 2 \lambda \sum _ { \ell = 1 } ^ { L _ { 0 } } \sqrt { | { \mathcal G } _ { \ell } | } \cdot | \! | \boldsymbol { \beta } - \boldsymbol { \hat { \beta } } | \! | _ { { \mathcal G } _ { \ell } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \underset { k ^ { \prime } \in \mathbb { Z } } { \operatorname* { s u p } } \left| ( a \ast b ) ( k ^ { \prime } ) \right| ( x ) \leq 2 ^ { - l s } \left( \sum _ { j = - \infty } ^ { 5 } 2 ^ { j s } \right) \underset { j \in \mathbb { Z } } { \operatorname* { s u p } } | b _ { j } | ( x ) \lesssim \underset { j \in \mathbb { Z } } { \operatorname* { s u p } } | b _ { j } | ( x ) . } \end{array}
\frac { D k _ { \theta } ^ { + } } { D t ^ { + } } = \underbrace { P _ { \theta } } _ { \mathrm { \tiny { P r o d u c t i o n } } } + \underbrace { T _ { \theta } } _ { \mathrm { \tiny { T u r b u l e n t ~ d i f f u s i o n } } } + \underbrace { D _ { \theta } } _ { \mathrm { \tiny { M o l e c u l a r ~ d i f f u s i o n } } } - \underbrace { \epsilon _ { \theta } } _ { \mathrm { \tiny { D i s s i p a t i o n } } }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \mathcal { L } _ { \mathrm { s u s y - r B I } } ^ { ( \lambda , \gamma ) } } { \partial \lambda } } & { = } & { \frac { \mathrm { i } } { 8 \alpha } \int d ^ { 2 } \theta d ^ { 2 } \bar { \theta } \, \mathcal O _ { T ^ { 2 } } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathcal O _ { T ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 1 6 } { \mathcal J } ^ { \alpha \dot { \alpha } } { \mathcal J } _ { \alpha \dot { \alpha } } - \frac 5 8 \mathcal X \bar { \mathcal X } ~ , } \\ { \frac { \partial \mathcal { L } _ { \mathrm { s u s y - r B I } } ^ { ( \lambda , \gamma ) } } { \partial \gamma } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 2 } \theta d ^ { 2 } \Bar { \theta } \, \mathcal { R } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ { \cal R } : = \frac { { \mathcal J } ^ { \alpha \dot { \alpha } } { \mathcal J } _ { \alpha \dot { \alpha } } - \Bar { \mathcal { X } } \mathcal { X } } { \sqrt { ( [ D ^ { ( \gamma } , \bar { D } _ { ( \dot { \gamma } } ] { \mathcal J } ^ { \delta ) } _ { \dot { \delta } ) } ) [ D _ { ( \gamma } , \bar { D } ^ { ( \dot { \gamma } } ] { \mathcal J } _ { \delta ) } ^ { \dot { \delta } ) } } } ~ . ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal E _ { \mathrm { r e n } } ^ { 1 , 2 } ( u _ { * } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { \Omega } \frac { | D u _ { * } | ^ { p _ { n } } } { p _ { n } } - \sum _ { i = 1 } ^ { k } \frac { \lambda ( [ u _ { * } , a _ { i } ] ) ^ { p _ { n } } } { ( 2 \pi ) ^ { p _ { n } - 1 } p _ { n } } \frac { 1 - \rho ^ { 2 - p _ { n } } } { 2 - p _ { n } } , } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { \Omega } \frac { | D u _ { n } | ^ { p _ { n } } } { p _ { n } } - \sum _ { i = 1 } ^ { \kappa } \frac { \lambda ( [ u _ { * } , a _ { i } ] ) ^ { p _ { n } } } { ( 2 \pi ) ^ { p _ { n } - 1 } p _ { n } } \frac { 1 - \rho ^ { 2 - p _ { n } } } { 2 - p _ { n } } , } \end{array}
\pi ( \alpha \vert \sigma ) \approx \hat { \pi } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \alpha \vert \sigma ) = \sum _ { i j } \frac { 1 } { \mathcal { Z } _ { i } } \mathrm { e } ^ { \theta _ { i j } } \delta _ { \Omega ( \sigma ) , i } \, \delta _ { \alpha , j } ,
\begin{array} { r l } { \langle \hat { q } \otimes \hat { q } ^ { T } \rangle } & { = q _ { t } \otimes q _ { t } ^ { T } + \operatorname { C o v } ( \hat { q } ) , } \\ { \langle \hat { p } \otimes \hat { p } ^ { T } \rangle } & { = p _ { t } \otimes p _ { t } ^ { T } + \operatorname { C o v } ( \hat { p } ) , } \\ { \langle \hat { q } \otimes \hat { p } ^ { T } \rangle } & { = q _ { t } \otimes p _ { t } ^ { T } + \operatorname { C o v } ( \hat { q } , \hat { p } ) . } \end{array}
\left( p _ { 2 } p _ { 3 } - p _ { 1 } p _ { 2 } ^ { 2 } + p _ { 1 } q _ { 1 } ^ { - 1 } q _ { 2 } ^ { - 2 } \right) \partial _ { p _ { 2 } } + \left( p _ { 3 } ^ { 2 } - q _ { 2 } p _ { 2 } ^ { 2 } q _ { 1 } ^ { - 1 } - q _ { 1 } ^ { - 2 } q _ { 2 } ^ { - 1 } \right) \partial _ { p _ { 3 } } \; ,
\mathrm { b o s o n s : } \; \lambda = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { B } } \\ { { B ^ { T } } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \; \; \; \mathrm { f e r m i o n s : } \; \lambda = \left( \begin{array} { c c } { { A _ { 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { A _ { 2 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { P ( a + b = 2 ) } & { { } = \operatorname* { m a x } ( 0 , \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } - 1 ) } \\ { P ( a + b = 1 ) } & { { } = \operatorname* { m i n } ( 1 - \epsilon _ { l } , \epsilon _ { r } ) + \operatorname* { m i n } ( 1 - \epsilon _ { r } , \epsilon _ { l } ) } \\ { P ( a + b = 0 ) } & { { } = \operatorname* { m a x } ( 0 , 1 - \epsilon _ { l } - \epsilon _ { r } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 1 } = } & { { } a _ { 1 s } + \delta a _ { 1 } , } \\ { a _ { 2 } = } & { { } a _ { 2 s } + \delta a _ { 2 } , } \\ { x _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } = } & { { } x _ { 1 s } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } + \delta x _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } , } \\ { x _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } = } & { { } x _ { 2 s } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } + \delta x _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { z ( s ) } & { = } & { g ( x ( s ) , y ( s ) ) } \\ & { = } & { k y ( s ) + x ( s ) y ( s ) b ( x ( s ) , y ( s ) ) + y ( s ) ^ { 2 } c ( y ( s ) ) } \\ & { \leq } & { k | y ( s ) | + | y ( s ) | | x ( s ) b ( x ( s ) , y ( s ) ) + y ( s ) c ( y ( s ) ) | } \\ & { \leq } & { k | y ( s ) | + C _ { 1 } | y ( s ) | } \\ & { \leq } & { ( k + C _ { 1 } ) ( 1 + \beta ) k _ { 1 } z ( s ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k _ { k 3 } C _ { K - C a - C a } C _ { C a } : k _ { d 4 } C _ { K - C a - C a - C a - C a } : k _ { d 3 } C _ { K - C a - C a - C a } } & { } & { = } \\ { k _ { k 3 } C _ { C a } : k _ { d 4 } \frac { C _ { K - C a - C a - C a - C a } } { C _ { K - C a - C a } } : k _ { d 3 } \frac { C _ { K - C a - C a - C a } } { C _ { K - C a - C a } } } & { } & { = } \\ { k _ { k 3 } C _ { C a } : \frac { k _ { d 4 } k _ { k 3 } k _ { k 4 } N ^ { 2 } ( t - t _ { 7 } ) ^ { 4 } } { 6 \times 8 } : \frac { k _ { d 3 } k _ { k 3 } N ( t - t _ { 7 } ) ^ { 2 } } { 6 } } & { } & { = } \\ { k _ { k 3 } C _ { C a } : \frac { k _ { d 4 } k _ { k 3 } C _ { C a } k _ { k 4 } N ( t - t _ { 7 } ) ^ { 3 } } { 6 \times 8 } : \frac { k _ { d 3 } k _ { k 3 } C _ { C a } ( t - t _ { 7 } ) } { 6 } } & { } & { = } \\ { 1 : \frac { k _ { d 4 } k _ { k 4 } N ( t - t _ { 7 } ) ^ { 3 } } { 6 \times 8 } : \frac { k _ { d 3 } ( t - t _ { 7 } ) } { 6 } } & { } & { = } \end{array}
\rho _ { n + 1 } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) = \sum _ { ( x , y ) \in f ^ { - 1 } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) } \frac { \rho _ { n } ( x , y ) } { \lambda | \partial T / \partial x | } = \sum _ { x \in T ^ { - 1 } ( x ^ { \prime } ) } \frac { \rho _ { n } ( x , ( y ^ { \prime } - \tau ^ { 1 / 2 } x ) / \lambda ) } { \lambda | \partial T / \partial x | }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l l } { x \equiv \langle \alpha | \hat { x } | \alpha \rangle = \sqrt { \frac { \lambda } { 2 } } ( \alpha ^ { * } + \alpha ) } \\ { p \equiv \langle \alpha | \hat { p } | \alpha \rangle = i \sqrt { \frac { \lambda } { 2 } } ( \alpha ^ { * } - \alpha ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \varepsilon ( \mathbf { x } ) } & { { } = ( \varepsilon _ { c } ( \mathbf { x } ) - \varepsilon _ { 0 } ) \chi ( \Omega _ { c } ) + ( \varepsilon _ { s } ( \mathbf { x } ) - \varepsilon _ { 0 } ) \chi ( \Omega _ { s } ) + \varepsilon _ { 0 } , } \\ { \mu ( \mathbf { x } ) } & { { } = ( \mu _ { c } ( \mathbf { x } ) - \mu _ { 0 } ) \chi ( \Omega _ { c } ) + \mu _ { 0 } , } \\ { \sigma ( \mathbf { x } ) } & { { } = \sigma _ { c } ( \mathbf { x } ) \chi ( \Omega _ { c } ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \rho } + p \frac { 1 \! + \! \alpha } { 1 \! - \! \rho } \left( \frac { 1 } { 1 + ( q \! - \! p ) \frac { \rho + \alpha } { 1 - \rho } } - \frac { 1 } { 1 - ( q \! - \! p ) \frac { \rho + \alpha } { 1 - \rho } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \rho } + p \frac { 1 \! + \! \alpha } { 1 \! - \! \rho } \frac { \left( 1 \! - \! ( q \! - \! p ) \frac { \rho \! + \! \alpha } { 1 \! - \! \rho } \right) - \left( 1 \! + \! ( q \! - \! p ) \frac { \rho \! + \! \alpha } { 1 \! - \! \rho } \right) } { 1 - ( q - p ) ^ { 2 } \left( \frac { \rho + \alpha } { 1 - \rho } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { \rho } - 2 \frac { p ( 1 + \alpha ) ( q - p ) ( \rho + \alpha ) } { ( 1 - \rho ) ^ { 2 } - ( q - p ) ^ { 2 } ( \rho + \alpha ) ^ { 2 } } = } \\ & { \frac { ( 1 \! - \! \rho ) ^ { 2 } \! - \! ( q \! - \! p ) ^ { 2 } ( \rho \! + \! \alpha ) ^ { 2 } \! - \! 2 p \rho ( 1 \! + \! \alpha ) ( q \! - \! p ) ( \rho \! + \! \alpha ) } { \rho ( 1 - \rho ) ^ { 2 } - \rho ( q - p ) ^ { 2 } ( \rho + \alpha ) ^ { 2 } } . } \end{array}
( \mathcal D , \mathcal E ) = \underset { ( \mathcal D , \mathcal E ) } { \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ m ~ i ~ n ~ } } ~ \frac { 1 } { N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ p ~ o ~ s ~ } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ p ~ o ~ s ~ } } } \| \mathcal D \circ \mathcal E ( \overline { { \boldsymbol X } } _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ p ~ o ~ s ~ } } ^ { ( i ) } ) - \overline { { \boldsymbol X } } _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ p ~ o ~ s ~ } } ^ { ( i ) } \| _ { 2 } ^ { 2 }
\psi _ { t _ { 1 } , t _ { 2 } } ^ { \mathrm { o u t } } = \iint \frac { d \omega _ { 1 } ^ { \prime } d \omega _ { 2 } ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } e ^ { - \mathrm { i } \omega _ { 1 } ^ { \prime } t _ { 1 } } e ^ { - \mathrm { i } \omega _ { 2 } ^ { \prime } t _ { 2 } } \psi _ { \omega _ { 1 } ^ { \prime } , \omega _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { \mathrm { o u t } } \: .
\begin{array} { r l } { \mu _ { k \setminus i } ^ { t } = \mu _ { k \setminus i } ^ { t } [ \boldsymbol { \mathcal { O } } ] } & { { } = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { k } } \int D \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] \left( - \mathrm { i } \hat { h } _ { k } ^ { t } \right) } \end{array}
S _ { i j k l } ( \vec { x } , \vec { y } ) = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \Bigl ( \eta _ { i j , k l } \, \nabla ^ { 2 } + \partial _ { i j , k l } ^ { 2 } \Bigr ) \, \delta ( \vec { x } - \vec { y } )
M _ { \eta _ { N S } } ^ { 2 } = M _ { u \bar { u } } ^ { 2 } + 2 \beta = M _ { \pi } ^ { 2 } + 2 \beta = 0 . 5 9 2 \, \, \mathrm { G e V } ^ { 2 } = ( 7 6 9 \, \, \mathrm { M e V } ) ^ { 2 }
V _ { X } ( x ) \sim V _ { X } ( x _ { m } ) + \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 } \Delta y _ { m } ^ { 2 } + \frac { \varepsilon ^ { 3 } \Delta y _ { m } ^ { 3 } } { 3 ! } \frac { V _ { X } ^ { \prime \prime \prime } ( x _ { m } ) } { V _ { X } ^ { \prime \prime } ( x _ { m } ) ^ { 3 / 2 } } + \ldots ,
S _ { \eta } ( x _ { 1 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \sin \left( { \frac { 2 x _ { 1 } } { r _ { 2 } } } \right) , } } & { { \eta = + 1 } } \\ { { 1 , } } & { { \eta = 0 } } \\ { { \sinh \left( { \frac { 2 x _ { 1 } } { r _ { 2 } } } \right) , } } & { { \eta = - 1 . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { ( \mathrm { d i v } \, P ) ( E _ { 1 } ) \, } & { = \, - E _ { 2 } ( u ) \, + \, \sum _ { i = 3 } ^ { n } \langle \nabla _ { E _ { i } } E _ { i } \, | \, E _ { 2 } \rangle \, u \, = \, - E _ { 2 } ( u ) \, + \, \sum _ { i = 3 } ^ { n } \langle E _ { i } \, | \, [ E _ { 2 } , E _ { i } ] \rangle \, u \, , } \\ { ( \mathrm { d i v } \, P ) ( E _ { 2 } ) \, } & { = \, E _ { 1 } ( u ) \, - \, \sum _ { i = 3 } ^ { n } \langle \nabla _ { E _ { i } } E _ { i } \, | \, E _ { 1 } \rangle \, u \, \, = \, E _ { 1 } ( u ) \, - \, \sum _ { i = 3 } ^ { n } \langle E _ { i } \, | \, [ E _ { 1 } , E _ { i } ] \rangle \, u \, , } \\ { ( \mathrm { d i v } \, P ) ( E _ { i } ) \, } & { = \, - g ( \nabla _ { E _ { 1 } } E _ { i } , E _ { 2 } ) \, u + g ( \nabla _ { E _ { 2 } } E _ { i } , E _ { 1 } ) \, u \, , \quad i \geq 3 \, . } \end{array}
R = \left[ \begin{array} { l l l l } { { q } } & { { \, } } & { { \, } } & { { \, } } \\ { { \, } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { \, } } \\ { { \, } } & { { \lambda } } & { { 1 } } & { { \, } } \\ { { \, } } & { { \, } } & { { \, } } & { { q } } \end{array} \right] \; , \quad \hat { R } = \left[ \begin{array} { l l l l } { { q } } & { { \, } } & { { \, } } & { { \, } } \\ { { \, } } & { { \lambda } } & { { 1 } } & { { \, } } \\ { { \, } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { \, } } \\ { { \, } } & { { \, } } & { { \, } } & { { q } } \end{array} \right] \; , \quad { \cal P } R { \cal P } = R ^ { t } \; ,
\begin{array} { r l r } { \rho } & { { } = } & { 0 \; , } \\ { p _ { z } } & { { } = } & { 0 \; , } \\ { \left( \frac { \partial \beta } { \partial z } \right) ^ { 2 } + \beta \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial z ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial t \partial z } } & { { } = } & { - 8 \pi p _ { \perp } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { D \vec { v } _ { 0 } ( \vec { x } , z , \omega ) } { D z } } & { = - \left( \vec { \Omega } ( \vec { x } , z , \omega ) \cdot \nabla _ { X } \right) \vec { \Omega } ( \vec { x } , z , \omega ) + \nabla _ { X } g ( \vec { x } , z ) + \frac { 1 } { 2 k _ { 0 } ^ { 2 } } \nabla _ { X } \left( \frac { \nabla _ { X } ^ { 2 } \rho _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \vec { x } , z , \omega ) } { \rho _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \vec { x } , z , \omega ) } \right) . } \end{array}
v ( k ) = f ( x _ { c } ) f ( k ) \left( \frac { c o s ( k \Delta x ) c o s ( c \Delta t ) } { { | | f ( i ) c o s ( i \Delta x ) | | } ^ { 2 } } + \frac { s i n ( k \Delta x ) s i n ( c \Delta t ) } { { | | f ( i ) s i n ( i \Delta x ) | | } ^ { 2 } } \right)
M _ { \mathrm { { l i m i t } } } = { \frac { \omega _ { 3 } ^ { 0 } { \sqrt { 3 \pi } } } { 2 } } \left( { \frac { \hbar c } { G } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } { \frac { 1 } { ( \mu _ { \mathrm { e } } m _ { \mathrm { H } } ) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { r _ { j } } & { = 1 - ( \tau _ { r _ { j - 1 } } + \Delta t _ { j } ) ^ { c _ { 1 } } \exp ( c _ { 0 } + \frac { c _ { 2 } } { R T _ { j } } ) } \\ { \tau _ { r _ { j - 1 } } } & { = ( 1 - r _ { j - 1 } ) ^ { - 1 / c _ { 1 } } \exp ( - \frac { 1 } { R T _ { j } } \frac { c _ { 2 } } { c _ { 1 } } + \frac { c _ { 0 } } { c _ { 1 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ Q _ { i } ^ { \prime } ] = } & { { } \sum _ { j } \lambda ( Q _ { i } ^ { \prime } , P _ { j } ) [ Q _ { j } ] = \sum _ { j k } \lambda ( Q _ { i } ^ { \prime } , P _ { k } ^ { \prime } ) \lambda ( \tilde { Q } _ { k } , P _ { j } ) [ Q _ { j } ] } \\ { = } & { { } \sum _ { j } \lambda ( \tilde { Q } _ { i } , P _ { j } ) [ Q _ { j } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { h _ { 0 } C \lambda ^ { \prime } + 4 \lambda ( \mu - \lambda ) - 2 \frac { h _ { 0 } C \mu - p ( \mu - \lambda ) ^ { 2 } } { \mu - \lambda } \frac { \lambda ^ { \prime \prime } \lambda } { \lambda ^ { \prime } } } \\ { \geq } & { h _ { 0 } C \lambda ^ { \prime } + 4 \lambda ( \underline { { \mu } } - \lambda ) - 2 \left( h _ { 0 } C + \frac { h _ { 0 } C \lambda } { \mu - \lambda } - p ( \mu - \lambda ) \right) \frac { \lambda ^ { \prime \prime } \lambda } { \lambda ^ { \prime } } } \\ { \geq } & { h _ { 0 } C \lambda ^ { \prime } + 4 \lambda ( \underline { { \mu } } - \lambda ) - 2 h _ { 0 } C \frac { \lambda ^ { \prime \prime } \lambda } { \lambda ^ { \prime } } - 2 \operatorname* { m a x } \left\{ \left( \frac { h _ { 0 } C \lambda } { \underline { { \mu } } - \lambda } - p ( \underline { { \mu } } - \lambda ) \right) \frac { \lambda ^ { \prime \prime } \lambda } { \lambda ^ { \prime } } , \left( \frac { h _ { 0 } C \lambda } { \bar { \mu } - \lambda } - p ( \bar { \mu } - \lambda ) \right) \frac { \lambda ^ { \prime \prime } \lambda } { \lambda ^ { \prime } } \right\} } \\ { > } & { 0 . } \end{array}
{ F } = { \sum _ { m = 1 / 2 } ^ { \infty } \psi _ { - m } \cdot \psi _ { m } } ~ ~ , ~ ~ { G } = { - \sum _ { m = 1 / 2 } ^ { \infty } \left( \gamma _ { - m } \beta _ { m } + \beta _ { - m } \gamma _ { m } \right) } ~ ~ .
\Gamma _ { S } = - i \ln \left[ { \frac { \operatorname * { d e t } ( - ( D \! \! \! \! \slash ) ^ { 2 } ) } { \operatorname * { d e t } ( - ( \partial \! \! \! \slash ) ^ { 2 } ) } } \right] ^ { - 1 } = 2 i \ln \left[ { \frac { \operatorname * { d e t } ( i D \! \! \! \! \slash ) } { \operatorname * { d e t } ( i \partial \! \! \! \slash ) } } \right]
\begin{array} { r l r } & { } & { | S ( \sigma _ { 0 } ) \cap [ z , z ^ { \prime } ] ^ { 2 } | \geq | S ( \sigma _ { 0 } ) \cap [ \lceil z \rceil , \lfloor z ^ { \prime } \rfloor ] ^ { 2 } | } \\ & { \geq } & { | [ \lceil z \rceil , \lfloor z ^ { \prime } \rfloor ] \cap \mathbb { N } ^ { * } | - | \mathcal { D } _ { \lceil z \rceil - 1 } ( \sigma _ { 0 } ) | - | \mathcal { D } _ { \lfloor z ^ { \prime } \rfloor } ^ { \prime } ( \sigma _ { 0 } ) | } \\ & { \geq } & { \lfloor z ^ { \prime } \rfloor - \lceil z \rceil + 1 - 2 C _ { 1 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \geq L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } - 1 - \frac { 1 } { 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } } \\ & { = } & { \frac { 3 } { 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } - 1 \geq \frac { 1 } { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \pmb { w } \star _ { 3 } \pmb { x } = ( \pmb { w } _ { 0 } \pmb { I } _ { n } + \pmb { w } _ { 1 } \pmb { A } + \pmb { w } _ { 2 } ( \pmb { A } ^ { 2 } - \pmb { D } ) + \pmb { w } _ { 3 } ( \pmb { A } ^ { 3 } - \pmb { \Sigma } \circ \pmb { A } ) ) \pmb { x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { B } ^ { 2 } ( z ) } & { = \frac { 1 } { ( 2 \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left( 2 ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) ^ { T } z ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) + ( 2 \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) z \right. } \\ & { \quad \left. - \frac { \left( 2 \left( ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) ^ { T } z \right) ^ { 2 } + ( 2 \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) \| z \| ^ { 2 } \right) ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) + ( 2 \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) ^ { T } z z } { \sqrt { \left( ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) ^ { T } z \right) ^ { 2 } + ( 2 \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) \| z \| ^ { 2 } } } \right) \ , } \end{array}
\frac { d u } { d t } = 2 \frac { b } { a } \, \frac { 1 - \frac { 4 } { 3 a b ^ { 2 } } \, t u ^ { 2 } } { 1 + \frac { 1 } { 3 a ^ { 2 } b } \, t ^ { 2 } u } .
\begin{array} { r } { \phi _ { s o s } ( z ^ { ( i ) } ) = \underbrace { \bigg [ a \sum _ { j = 1 } ^ { k } v _ { j } \ \sigma ( w _ { j } z ^ { ( i ) } + b _ { j } ) \bigg ] } _ { \mathrm { s u m ~ o f ~ m o n o t o n o u s ~ f u n c t i o n s } } + \underbrace { \bigg [ \ln \left( 1 + e ^ { ( z ^ { ( i ) } - s ) } \right) - \ln \left( 1 + e ^ { ( - z ^ { ( i ) } - s ) } \right) \bigg ] } _ { \mathrm { a p p r o x . ~ l i n e a r ~ f o r ~ } | z ^ { ( i ) } | \gg s \mathrm { , ~ a n d ~ z e r o ~ f o r } | z ^ { ( i ) } | \ll s } } \end{array}
S = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \sigma \int d \tau \left[ \sqrt { g } g ^ { \alpha \beta } G _ { i j } \partial _ { \alpha } X ^ { i } \partial _ { \beta } X ^ { j } + \epsilon ^ { \alpha \beta } B _ { i j } \partial _ { \alpha } X ^ { i } \partial _ { \beta } X ^ { j } - { \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { g } \phi { \cal R } ^ { ( 2 ) } \right] ,
\begin{array} { r l r l } & { \frac { \mathrm { d } m _ { t } } { \mathrm { d } t } } & & { = \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } \bigl [ \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta _ { t } ) \bigr ] , } \\ & { \frac { \mathrm { d } C _ { t } } { \mathrm { d } t } } & & { = 2 I + \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } \bigl [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta _ { t } ) \bigr ] C _ { t } + C _ { t } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } \bigl [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta _ { t } ) \bigr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \gamma ^ { 2 } R ^ { 2 } } { 1 6 \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } \left( \omega ^ { 2 } + \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \right) } } & { \left( \frac { 2 \omega ^ { 2 } \Gamma _ { x x } + 2 \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \Gamma _ { y y } - \omega ( \Gamma _ { x x } - \Gamma _ { y y } ) \Omega } { ( \Omega - \omega ) ^ { 2 } + \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } } \right. } \\ & { \left. + \frac { 2 \omega ^ { 2 } \Gamma _ { x x } + 2 \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \Gamma _ { y y } + \omega ( \Gamma _ { x x } - \Gamma _ { y y } ) \Omega } { ( \Omega + \omega ) ^ { 2 } + \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\tau ~ ( p \to e ^ { + } \pi ^ { 0 } ) \, = \, 3 . 8 \times 1 0 ^ { 3 5 } \left( { \frac { M _ { 3 2 } } { 1 0 ^ { 1 6 } ~ \mathrm { G e V } } } \right) ^ { 4 } \left( { \frac { \alpha _ { 5 } ( M _ { 3 2 } ^ { \mathrm { m a x } } ) } { \alpha _ { 5 } ( M _ { 3 2 } ) } } \right) ^ { 2 } \left( { \frac { 0 . 0 1 5 ~ \mathrm { G e V } ^ { 3 } } { \alpha } } \right) ^ { 2 } ~ \mathrm { y } \ ,
\times \frac { i \left( - g ^ { { \mu } { \sigma } } + \frac { ( p - k ) ^ { \mu } ( p - k ) ^ { \sigma } } { m _ { w } ^ { 2 } } \right) } { ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { w } ^ { 2 } } \overline { { { \ell } } } \frac { i g } { 2 \sqrt { 2 } } \gamma _ { \sigma } ( 1 - { \gamma } _ { 5 } ) \nu _ { \ell } ,
\sigma _ { \mathrm { P _ { r } ^ { * } } } = \sqrt { \sigma _ { \mathrm { f P _ { r } ^ { * } } } ^ { 2 } + \left( \frac { \partial P _ { \mathrm { r } } ^ { * } ( S _ { \mathrm { l } } , S _ { \mathrm { r } } ) } { \partial S _ { \mathrm { l } } } \sigma _ { \mathrm { S _ { l } } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial P _ { \mathrm { r } } ^ { * } ( S _ { \mathrm { l } } , S _ { \mathrm { r } } ) } { \partial S _ { \mathrm { r } } } \sigma _ { \mathrm { S _ { r } } } \right) ^ { 2 } } \ ,
{ \frac { d Z } { d t } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { k + 1 } } \left\{ ( e ^ { \mathrm { a d } _ { t X } } e ^ { \mathrm { a d } _ { t Y } } - 1 ) ^ { k } X + ( e ^ { \mathrm { a d } _ { t X } } e ^ { \mathrm { a d } _ { t Y } } - 1 ) ^ { k } e ^ { \mathrm { a d } _ { t X } } Y \right\}
\begin{array} { r l } { { \widehat { \alpha } } , { \widehat { \beta } } } & { { } = { \mathrm { l e a s t - s q u a r e s ~ e s t i m a t o r s } } , } \\ { S E _ { \widehat { \alpha } } , S E _ { \widehat { \beta } } } & { { } = { \mathrm { t h e ~ s t a n d a r d ~ e r r o r s ~ o f ~ l e a s t - s q u a r e s ~ e s t i m a t o r s } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| D ^ { q } ( D ^ { d _ { n - 1 } } h ) \| _ { L ^ { 2 } } \| D ^ { m - q } u \| _ { L ^ { 2 } } } & { \lesssim \| D ^ { d _ { n - 1 } } h \| _ { L ^ { 2 } } ^ { \frac { m - q } { m } } \| D ^ { m + d _ { n - 1 } } h \| _ { L ^ { 2 } } ^ { \frac { q } { m } } \| u \| _ { L ^ { 2 } } ^ { \frac { q } { m } } \| D ^ { m } u \| _ { L ^ { 2 } } ^ { \frac { m - q } { m } } } \\ & { \leq \| h \| _ { H ^ { m + d _ { n - 1 } } } \| u \| _ { L ^ { 2 } } + \| h \| _ { H ^ { d _ { n - 1 } } } \| u \| _ { H ^ { m } } . } \end{array}
\phi _ { r e a c } ( \mathbf { x } ) = - K _ { \Gamma , L } ^ { \mathbf { x } } \left( \phi _ { 1 , \Gamma } \right) + V _ { \Gamma , L } ^ { \mathbf { x } } \left( \frac { \partial } { \partial \mathbf { n } } \phi _ { 1 , \Gamma } \right)