harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { m _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { 4 } \beta { \pmb \beta } _ { 2 } } = m _ { \beta { \pmb \beta } _ { 2 } \alpha { \pmb \alpha } _ { 4 } } = } \\ & { } & { R _ { p } ^ { 4 } \int _ { r = R _ { p } } \frac { h _ { \alpha \beta { \pmb \beta } _ { 2 } } ( { \pmb x } ) } { 8 \pi } \bigg [ \delta _ { \alpha \gamma } n _ { { \pmb \alpha } _ { 4 } } ( { \pmb x } ) - \hat { \lambda } ( 4 t _ { \alpha \gamma } n _ { { \pmb \alpha } _ { 4 } } ( \pmb x ) + t _ { \alpha _ { 1 } \gamma } n _ { \alpha \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } \alpha _ { 4 } } ( \pmb x ) + t _ { \alpha _ { 2 } \gamma } n _ { \alpha \alpha _ { 1 } \alpha _ { 3 } \alpha _ { 4 } } ( \pmb x ) } \\ & { } & { + t _ { \alpha _ { 3 } \gamma } n _ { \alpha \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 4 } } ( \pmb x ) + t _ { \alpha _ { 4 } \gamma } n _ { \alpha \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } } ( \pmb x ) ) \bigg ] d S ( { \pmb x } ) = } \\ & { } & { - \frac { R _ { p } ^ { 7 } } { 1 6 8 ( 1 + 4 \hat { \lambda } ) ( 1 + 7 \hat { \lambda } ) } \bigg [ ( 5 + 2 0 \hat { \lambda } - 5 6 \hat { \lambda } ^ { 2 } ) \delta _ { \alpha \beta } \mathrm { H } _ { { \pmb \beta } _ { 2 } { \pmb \alpha } _ { 4 } } + ( 1 + 4 \hat { \lambda } + 2 8 \hat { \lambda } ^ { 2 } ) ( \delta _ { \alpha \beta _ { 1 } } \mathrm { H } _ { \beta \beta _ { 2 } { \pmb \alpha } _ { 4 } } + \delta _ { \alpha \beta _ { 2 } } \mathrm { H } _ { \beta \beta _ { 1 } { \pmb \alpha } _ { 4 } } ) \bigg ] } \\ & { } & { + ( \mathrm { t e r m s ~ g i v i n g ~ v a n i s h i n g ~ c o n t r i b u t i o n ~ t o } \, \mathcal { F } _ { \alpha \beta { \pmb \beta } _ { 2 } } ) } \end{array}
+ \frac { 1 } { \sigma _ { 0 } } \left( \frac { - 6 4 } { \sigma _ { 0 } } + \frac { 3 2 } { 3 } C _ { \rho } + \epsilon 8 C _ { a d j } \right) \Omega _ { \alpha \beta } : \psi _ { \mu } \partial \psi ^ { \mu } : ,
{ \cal L } _ { \mathrm { \scriptsize ~ e f f } } = - d \psi ^ { \dagger } \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { \nu } \gamma _ { 5 } } } \\ { { \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { \nu } \gamma _ { 5 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) F _ { \mu \nu } \psi
\begin{array} { r l } { a ( w , v ) } & { : = \int _ { Q } \big ( c ^ { 2 } ( x , t ) \nabla w ( x , t ) \cdot \nabla v ( x , t ) - \partial _ { t } w ( x , t ) \partial _ { t } v ( x , t ) \big ) \ d Q + \int _ { \Sigma _ { R } } \vartheta c ( x , t ) \partial _ { t } w ( x , t ) v ( x , t ) \ d \Sigma _ { R } } \\ { \mathcal { F } ( v ) } & { : = \int _ { Q } f ( x , t ) v ( x , t ) \ d Q + \int _ { \Sigma _ { 0 } } u _ { 1 } ( x ) v ( x , 0 ) \ d \Sigma _ { 0 } + \int _ { \Sigma _ { N } } g _ { N } ( x , t ) v ( x , t ) \ d \Sigma _ { N } + \int _ { \Sigma _ { R } } g _ { R } ( x , t ) v ( x , t ) \ d \Sigma _ { R } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( i r ) } } \big ( \alpha \big ) = \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { d } } } \int _ { 0 } ^ { \tau \mathrm { d } } d \tau _ { 2 } \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( i r ) } } ( \alpha ; \tau _ { 2 } ) , } \\ & { \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( i i ) } } \big ( \alpha \big ) = \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { d } } } \int _ { 0 } ^ { \tau \mathrm { d } } d \tau _ { 2 } \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( i i ) } } ( \alpha ; \tau _ { 2 } ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { m a x } \{ \widetilde a _ { - 1 } , \widetilde a _ { 1 } , \widetilde b _ { 1 } , \widetilde c _ { 0 } \} = \frac { \pi k } h \, \operatorname* { m a x } \left\{ 1 , \frac { \mu } { \lambda + \mu } \, \ln \left( \frac { \pi k } h \right) \right\} \, } & { \qquad \mathrm { i f ~ j = 1 ~ , } } \\ { \operatorname* { m a x } \{ \widetilde a _ { - 1 } , \widetilde a _ { 1 } , \widetilde b _ { 1 } , \widetilde c _ { 0 } \} = \frac h { \pi k } } & { \qquad \mathrm { i f ~ j = 2 ~ , } } \\ { \operatorname* { m a x } \{ \widetilde a _ { - 1 } , \widetilde a _ { 1 } , \widetilde b _ { 1 } , \widetilde c _ { 0 } \} = \frac h { \pi k } \, \operatorname* { m a x } \left\{ 1 , \frac { 2 ( \lambda + 2 \mu ) } { \lambda + \mu } \, \ln \left( \frac { \pi k } h \right) \right\} } & { \qquad \mathrm { i f ~ j = 3 ~ , } } \\ { \operatorname* { m a x } \{ \widetilde a _ { - 1 } , \widetilde a _ { 1 } , \widetilde b _ { 1 } , \widetilde c _ { 0 } \} = 1 } & { \qquad \mathrm { i f ~ j = 4 ~ . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { | \! | X _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 1 } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } } & { \geq T _ { 1 } \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( \Gamma ^ { ( 1 ) } ) | \! | \boldsymbol { v } _ { 1 } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 1 0 8 T _ { 1 } \zeta _ { 1 } \Lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( \Sigma _ { \boldsymbol { U } _ { 1 } } ) } { \mathfrak m ( f ) } \left( | \! | \boldsymbol { v } _ { 1 } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } + \frac 2 { s _ { 1 } } | \! | \boldsymbol { v } _ { 1 } | \! | _ { 1 } ^ { 2 } \right) } \\ & { \geq \frac { T _ { 1 } \Lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( \Sigma _ { \boldsymbol { U } _ { 1 } } ) } { \mathfrak M ( f ) } | \! | \boldsymbol { v } _ { 1 } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 1 0 8 T _ { 1 } \zeta _ { 1 } \Lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( \Sigma _ { \boldsymbol { U } _ { 1 } } ) } { \mathfrak m ( f ) } \left( | \! | \boldsymbol { v } _ { 1 } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } + \frac 2 { s _ { 1 } } | \! | \boldsymbol { v } _ { 1 } | \! | _ { 1 } ^ { 2 } \right) } \\ & { = T _ { 1 } \left( \frac { \Lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( \Sigma _ { \boldsymbol { U } _ { 1 } } ) } { \mathfrak M ( f _ { 1 } ) } - \frac { 1 0 8 \zeta _ { 1 } \Lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( \Sigma _ { \boldsymbol { U } _ { 1 } } ) } { \mathfrak m ( f _ { 1 } ) } \right) | \! | \boldsymbol { v } _ { 1 } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 2 1 6 T _ { 1 } \zeta _ { 1 } \Lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( \Sigma _ { \boldsymbol { U } _ { 1 } } ) } { s _ { 1 } \mathfrak m ( f _ { 1 } ) } | \! | \boldsymbol { v } _ { 1 } | \! | _ { 1 } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { T } ( Y = y | \varphi ) = \sum _ { \mathbf { x } \in \mathbf { X } } P _ { T } ( Y = y | \mathbf { X } = \mathbf { x } , \varphi ) \cdot P _ { T } ( \mathbf { X } = \mathbf { x } | \varphi ) = \sum _ { \mathbf { x } \in \mathbf { X } } P _ { S } ( Y = y | \mathbf { X } = \mathbf { x } , \varphi ) \cdot P _ { T } ( \mathbf { X } = \mathbf { x } | \varphi ) } \end{array}
\frac { \mathrm { d } | \hat { A _ { 1 } } | ^ { - 2 } } { \mathrm { d } t } = - 2 | \hat { A _ { 1 } } | ^ { - 2 } \left( 1 - \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) | \hat { A _ { 2 } } | ^ { 2 } ( t ) \right) + 2 b _ { 0 } .
\begin{array} { r l r } { \rho } & { { } = } & { { \frac { 1 } { 2 i } } \left( \phi ^ { * } \dot { \phi } - \dot { \phi } ^ { * } \phi ) \right) = { \frac { 1 } { 2 i } } \left( \phi ^ { * } \pi ^ { * } - \pi \phi \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } P \left( \Delta ; t \right) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l c c } { \delta \left( \Delta + 1 - q \right) , } & { \mathrm { i f } } & { q < \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \left( \delta \left( \Delta - \frac { 1 } { 2 } \right) + \delta \left( \Delta + \frac { 1 } { 2 } \right) \right) , } & { \mathrm { i f } } & { q = \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \delta \left( \Delta - q \right) , } & { \mathrm { i f } } & { q > \frac { 1 } { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
a _ { m } a _ { n } ^ { \dagger } = \delta _ { m n } , \; \; \; \; \; \; a _ { m } \mid 0 \rangle = 0 , \; \; \; \; \; \; a _ { m } ^ { \dagger } a _ { m } = 1 - \mid 0 \rangle \langle 0 \mid
\begin{array} { r l r } { h ( \stackrel { \rightharpoonup } { x } ) } & { = } & { \frac { \sum _ { e _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { e _ { 2 } = - \infty } ^ { \infty } . . . \sum _ { e _ { n - 1 } = - \infty } ^ { \infty } \Psi ( e _ { 1 } , e _ { 2 } , . . . , e _ { n - 1 } ) \prod _ { i = 1 } ^ { n - 1 } x _ { i } ^ { e _ { i } } } { ( 1 - \sum _ { u _ { 1 } = 1 } ^ { k _ { 1 } } \sum _ { u _ { 2 } = 1 } ^ { k _ { 2 } } . . . \sum _ { u _ { n - 1 } = 1 } ^ { k _ { n - 1 } } c _ { u _ { 1 } u _ { 2 } . . . u _ { n - 1 } } \prod _ { i = 1 } ^ { n - 1 } x _ { i } ^ { s _ { i } - ( u _ { i } - 1 ) } x _ { n } ) } } \\ & { = } & { \sum _ { e _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { e _ { 2 } = - \infty } ^ { \infty } . . . \sum _ { e _ { n - 1 } = - \infty } ^ { \infty } \Psi ( e _ { 1 } , e _ { 2 } , . . . , e _ { n - 1 } ) \prod _ { i = 1 } ^ { n - 1 } x _ { i } ^ { e _ { i } } } \\ & { } & { \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } ( \sum _ { u _ { 1 } = 1 } ^ { k _ { 1 } } \sum _ { u _ { 2 } = 1 } ^ { k _ { 2 } } . . . \sum _ { u _ { n - 1 } = 1 } ^ { k _ { n - 1 } } c _ { u _ { 1 } u _ { 2 } . . . u _ { n - 1 } } \prod _ { i = 1 } ^ { n - 1 } x _ { i } ^ { s _ { i } - ( u _ { i } - 1 ) } ) ^ { j } x _ { n } ^ { j } . } \end{array}
( 1 - e ^ { 2 } ) \, X _ { k } ^ { \ell , m } = X _ { k } ^ { \ell + 1 , m } + \frac { e } { 2 } \left[ X _ { k } ^ { \ell + 1 , m - 1 } + X _ { k } ^ { \ell + 1 , m + 1 } \right] \ ,
\begin{array} { r } { \langle 4 f ^ { 1 3 } 6 s ^ { 2 } \, ^ { 2 } F _ { 7 / 2 } | | H _ { \gamma } ( E 3 ) | | 4 f ^ { 1 4 } 6 s \, ^ { 2 } S _ { 1 / 2 } \rangle = \sqrt { \frac { 1 } { \pi \alpha \omega \tau } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H } & { { } = \sum _ { i } h _ { 0 } ( i ) + V _ { c } \, , } \\ { h _ { 0 } ( i ) } & { { } = c \boldsymbol { \alpha } _ { i } \cdot { \bf p } _ { i } + m _ { e } c ^ { 2 } \beta _ { i } } \\ { V _ { c } } & { { } = \frac 1 2 \sum _ { i \neq j } \frac { e ^ { 2 } } { | { \bf r } _ { i } - { \bf r } _ { j } | } - \sum _ { i } U ( r _ { i } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { k } ^ { c } ( t ) } & { { } = I _ { k } ^ { r } ( t ) - I _ { k + 1 } ^ { r } ( t ) , \qquad k = 1 , \ldots , n - 1 , } \\ { I _ { n } ^ { c } ( t ) } & { { } = I _ { n } ^ { r } ( t ) \, . } \end{array}
\frac { d \vec { M } } { d t } = \gamma \vec { M } \times \vec { B _ { e } } - \left( \begin{array} { l } { M _ { x } / T _ { 2 } } \\ { M _ { y } / T _ { 2 } } \\ { ( M _ { z } - M _ { 0 } ) / T _ { 2 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \dot { \theta } } & { { } = } & { ( \frac { 1 } { I _ { y } } - \frac { 1 } { I _ { x } } ) \sin \theta \sin \psi \cos \psi } \\ { \dot { \phi } } & { { } = } & { \frac { 1 } { I _ { y } } \sin ^ { 2 } \psi + \frac { 1 } { I _ { x } } \cos ^ { 2 } \psi } \\ { \dot { \psi } } & { { } = } & { ( \frac { 1 } { I _ { z } } - \frac { 1 } { I _ { y } } \sin ^ { 2 } \psi - \frac { 1 } { I _ { x } } \cos ^ { 2 } \psi ) \cos \theta . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { \mathrm { e F H } } } & { { } = } & { - J \sum _ { l , \lambda } \left( \hat { c } _ { l , \lambda } ^ { \dag } \hat { c } _ { l + 1 , \lambda } + \mathrm { h . c . } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { t } } & { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } J ^ { \star } - { \mathbb E } \left[ J ( \theta _ { t } ) \right] \, , } \\ { V _ { t } } & { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } { \mathbb E } \left[ \left\| d _ { t } - \nabla J ( \theta _ { t } ) \right\| ^ { 2 } \right] \, , } \\ { \Lambda _ { t } } & { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \delta _ { t } + \lambda _ { t - 1 } V _ { t } \, , } \\ { R _ { t } } & { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } { \mathbb E } \left[ \left\| \theta _ { t + 1 } - \theta _ { t } \right\| ^ { 2 } \right] \, , } \end{array}
S _ { \mathrm { m i n } } \approx \int _ { t _ { \mathrm { i } } } ^ { t _ { \mathrm { f } } } d t \ \sigma r \int _ { 0 } ^ { 1 } d \lambda \ [ 1 - ( \lambda \dot { { \bf z } } _ { 1 \mathrm { T } } + ( 1 - \lambda ) \dot { { \bf z } } _ { 2 \mathrm { T } } ) ^ { 2 } ] ^ { \frac { 1 } { 2 } }
| z > = e ^ { - \frac { 1 } { 2 } | z | ^ { 2 } } \, e ^ { z a ^ { \dagger } } \, | 0 > \ \ \ , \ \ \ | q , p > = e ^ { - \frac { i } { \hbar } q \hat { p } } \, e ^ { \frac { i } { \hbar } p \hat { q } } \, | 0 > \ ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { [ c ] V _ { t + \Delta { t } } } & { = ( 1 - \Theta ) V _ { t } + \Theta \Psi ( V _ { t } , V _ { t } ^ { \ast } , \omega ) } \\ { V _ { t + \Delta { t } } ^ { \ast } } & { = ( 1 - \Theta ) V _ { t } ^ { \ast } + \Theta \Psi _ { \ast } ( V _ { t } ^ { \ast } , V _ { t } , \omega ) . } \end{array} } \end{array}
J _ { x } = { \frac { \hbar } { \sqrt { 2 } } } { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } \, \quad J _ { y } = { \frac { \hbar } { \sqrt { 2 } } } { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { i } & { 0 } \\ { - i } & { 0 } & { i } \\ { 0 } & { - i } & { 0 } \end{array} \right) } \, \quad J _ { z } = \hbar { \left( \begin{array} { l l l } { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } & { f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) } \\ { } & { ~ ~ > f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - \big ( f _ { 6 } ( c _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) + u ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } \big ) } \\ { } & { ~ ~ = f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - \frac { \big ( f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - ( u ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \big ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } - ( u ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) } \\ { } & { ~ ~ = f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) \cdot \left( 1 - \frac { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } \right) + ( u ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \cdot \left( \frac { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } - 1 \right) } \\ { } & { ~ ~ = \big ( f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - ( u ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \big ) \cdot \frac { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } } \\ { } & { ~ ~ > 0 . } \end{array}
\begin{array} { l l } & { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \displaystyle \int _ { Q _ { i } } y _ { n } ^ { \tau , i } \left( { \mathbb D } _ { T } ^ { \gamma } \phi ^ { i } + { \mathcal D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ) + q ^ { i } \phi ^ { i } \right) \, d x d t } \\ { = } & { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { Q _ { i } } f ^ { i } \phi ^ { i } \, d x d t - \sum _ { i = 2 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { T } v _ { n } ^ { \tau , i } \beta ^ { i } ( b _ { i } ) { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ( t , b _ { i } ^ { - } ) \, d t } \\ & { \displaystyle + \sum _ { i = m + 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { T } v _ { n } ^ { \tau , i } ( t ) I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \phi ^ { i } ( t , b _ { i } ^ { - } ) \mathrm { d } t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M ( \Gamma ; x , y ) } & { { } = \sum _ { i \leq j } \chi _ { i j } x ^ { i } y ^ { j } = 6 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 4 x ^ { 2 } y ^ { 3 } + x ^ { 3 } y ^ { 3 } , } \\ { N M ( \Gamma ; x , y ) } & { { } = \sum _ { i \leq j } \chi _ { ( i j ) } x ^ { i } y ^ { j } = 2 x ^ { 4 } y ^ { 4 } + 4 x ^ { 4 } y ^ { 5 } + 4 x ^ { 5 } y ^ { 7 } + x ^ { 7 } y ^ { 7 } , } \\ { C N M ( \Gamma ; x , y ) } & { { } = \sum _ { i \leq j } \chi _ { [ i j ] } x ^ { i } y ^ { j } = 2 x ^ { 6 } y ^ { 6 } + 4 x ^ { 6 } y ^ { 7 } + 4 x ^ { 7 } y ^ { 1 0 } + x ^ { 1 0 } y ^ { 1 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } _ { ( U , V ) } \widetilde { \gamma } _ { i } \mathcal { U } _ { ( U , V ) } ^ { \dagger } } & { = \sum _ { j \in [ n ] } U _ { i j } \widetilde { \gamma } _ { j } , } \\ { \mathcal { U } _ { ( U , V ) } \gamma _ { i } \mathcal { U } _ { ( U , V ) } ^ { \dagger } } & { = \sum _ { j \in [ n ] } V _ { i j } \gamma _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { b i a x i a l } } ^ { \mathrm { B F P } } ( y , z ) } & { = \ensuremath { \mathcal { F } } _ { z } \left\{ \ensuremath { \mathrm { A i } } \left( \frac { z } { z _ { 0 } } \right) \cdot \exp \left( \frac { a z } { z _ { 0 } } - \frac { y ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \ensuremath { \circledast } \delta \left( z - \frac { y ^ { 2 } } { 2 r _ { d } } \right) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { P ( E _ { k } ) = \frac { \left( \sum _ { n = 1 } ^ { L } \left| \psi _ { n } ^ { ( k ) } \right| ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { \sum _ { n = 1 } ^ { L } \left| \psi _ { n } ^ { ( k ) } \right| ^ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \tilde { u } ^ { 2 } d x } & { { } = \int _ { \Omega } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { r } \prod _ { j = 1 } ^ { d } \sum _ { k = 1 } ^ { b } a _ { i j k } P _ { k } ( x _ { j } ) \right) ^ { 2 } d x } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu ^ { \star } \ : = \ \operatorname* { m a x } _ { \lambda , h } \quad } & { \sum _ { k = 1 } ^ { N } r _ { k } ( s _ { k } , h _ { k } , \lambda ) } \\ { \mathrm { s u c h ~ t h a t ~ } \quad } & { \lambda \in \Lambda , \ h \in \times _ { k = 1 } ^ { N } H _ { k } } \\ & { s _ { k + 1 } = f _ { k } ( s _ { k } , h _ { k } , \lambda ) \ \ \forall k . } \end{array}
\Theta _ { [ j = 1 ] } = \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { u _ { x } ^ { ( d ) } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \frac { | \mathbf { b } | } { 2 \pi } \left[ \arctan \left( \frac { \bar { y } } { \bar { x } } \right) + \frac { \bar { x } \bar { y } } { 2 ( 1 - \nu ) r ^ { 2 } } \right] , } \\ { u _ { y } ^ { ( d ) } ( \mathbf { r } ) } & { { } = - \frac { | \mathbf { b } | } { 2 \pi } \left[ \frac { ( 1 - 2 \nu ) \log ( r ^ { 2 } ) } { 4 ( 1 - \nu ) } + \frac { \bar { x } ^ { 2 } - \bar { y } ^ { 2 } } { 4 ( 1 - \nu ) r ^ { 2 } } \right] , } \\ { u _ { z } ^ { ( d ) } ( \mathbf { r } ) } & { { } = 0 , } \end{array}
{ \tilde { \delta } } \biggl [ { \dot { \varphi } } ^ { a } - \omega ^ { a b } { \frac { \partial H } { \partial \varphi ^ { b } } } \biggr ] = \int ~ { \cal D } \lambda _ { a } ~ \exp ~ i \int \lambda _ { a } \biggl [ { \dot { \varphi } } ^ { a } - \omega ^ { a b } { \frac { \partial H } { \partial \varphi ^ { b } } } \biggr ] d t \nonumber
l _ { i } ( k _ { 2 i - 1 } , k _ { 2 i } ) = ( \tilde { q } _ { i } + 4 k _ { 2 i - 1 } + 2 k _ { 2 i } ) ^ { 2 } + ( \tilde { t } _ { i } - 2 k _ { 2 i } ) ^ { 2 }
{ \bf M } _ { \Delta _ { 3 / 2 } } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { c _ { 1 } N _ { c } - \frac 1 6 c _ { 2 } } } & { { } } & { { + \frac { 5 } { 6 \sqrt { 2 } } c _ { 2 } + \frac { 1 } { 4 8 \sqrt { 2 } } c _ { 3 } } } & { { } } & { { + \frac { \sqrt { 3 } } { 1 6 } c _ { 3 } } } \\ { { + \frac { 5 } { 6 \sqrt { 2 } } c _ { 2 } + \frac { 1 } { 4 8 \sqrt { 2 } } c _ { 3 } } } & { { } } & { { c _ { 1 } N _ { c } - \frac { 2 } { 1 5 } c _ { 2 } - \frac { 1 } { 1 5 } c _ { 3 } } } & { { } } & { { - \frac { 3 } { 1 0 } \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } c _ { 2 } - \frac { 7 } { 8 0 } \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } c _ { 3 } } } \\ { { + \frac { \sqrt { 3 } } { 1 6 } c _ { 3 } } } & { { } } & { { - \frac { 3 } { 1 0 } \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } c _ { 2 } - \frac { 7 } { 8 0 } \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } c _ { 3 } } } & { { } } & { { c _ { 1 } N _ { c } - \frac { 7 } { 1 0 } c _ { 2 } - \frac { 7 } { 1 2 0 } c _ { 3 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { K _ { X Y } \left( r , r ^ { \prime } \right) } & { { } = \frac { 1 } { \left[ L , j _ { i } \right] } \left( \sum _ { a m n , L } \frac { K _ { X Y } ^ { \left( a m n , L \right) } \left( r , r ^ { \prime } \right) } { \varepsilon _ { a 0 } - \varepsilon _ { m n } } \right. } \end{array}
u ( O _ { \mathrm { t h r } } - O _ { \mathrm { e x p } } ) = \sqrt { u ^ { 2 } ( O _ { \mathrm { t h r } } ) - 2 \, \mathrm { c o v } ( O _ { \mathrm { t h r } } , O _ { \mathrm { e x p } } ) + u ^ { 2 } ( O _ { \mathrm { e x p } } ) }
\begin{array} { r l r } { { { c } _ { 0 , u } } } & { { } = } & { a \sqrt { \frac { { { k } _ { u } } } { { { M } _ { n } } } } , } \\ { \gamma } & { { } = } & { a \sqrt { \frac { { { M } _ { n } } } { 4 { { J } _ { n } } } } , } \\ { a } & { { } = } & { 2 l , } \\ { { { K } _ { \theta } } } & { { } = } & { \frac { 4 { { k } _ { \theta } } } { { { k } _ { u } } { { a } ^ { 2 } } } , } \\ { { { { C } ^ { \prime } } _ { i } } } & { { } = } & { \frac { 4 } { { { a } ^ { 2 } } { { k } _ { u } } } { { C } _ { i } } \ \ \ \ \ ( i = 4 , 6 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathtt { d i v } b ( x , y ) } & { = ( 1 + \epsilon x ^ { 2 } ) ( \frac { \partial } { \partial { x } } ( b ^ { 1 } \frac { 1 } { 1 + \epsilon x ^ { 2 } } ) + \frac { \partial } { \partial { y } } ( b ^ { 2 } \frac { 1 } { 1 + \epsilon x ^ { 2 } } ) ) } \\ & { = - 4 x ^ { 2 } - \gamma y ^ { 2 } + \epsilon + 3 \epsilon ^ { 2 } x ^ { 2 } } \\ & { + \frac { - 2 \epsilon x ( x - x ^ { 3 } - \gamma x y ^ { 2 } + \epsilon x + \epsilon ^ { 2 } x ^ { 3 } ) } { 1 + \epsilon x ^ { 2 } } . } \end{array}
Z \equiv \frac { R ^ { 4 } } { \rho _ { + } ^ { 2 } \rho _ { - } ^ { 2 } } , \; \; \ \ \ \ \ \ \Omega = \left[ \frac { \rho _ { - } ^ { 2 } } { \rho _ { - } ^ { 2 } + \rho _ { c } ^ { 2 } } \right] ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { L } & { { } = } & { \alpha _ { 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { T } } \left( T _ { \mathrm { o b s } } ^ { ( i ) } - f _ { T } ( \mathbf { x } _ { r } ^ { ( i ) } , \mathbf { x } _ { s } ^ { ( i ) } ; \boldsymbol { \theta } _ { T } ) \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial t } = } & { { } \left( \frac { \dddot { f _ { 2 } } } { c ^ { 2 } } - \frac { 3 \ddot { f } _ { 2 } \dot { c } } { c ^ { 3 } } - \frac { \dot { f } _ { 2 } \ddot { c } } { c ^ { 3 } } + \frac { 3 \dot { f } _ { 2 } \dot { c } ^ { 2 } } { c ^ { 4 } } \right) \sum _ { i } { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } x _ { i } ^ { 2 } } \\ { + } & { { } \left( \frac { \dot { f } _ { 2 } } { c } - \frac { f _ { 2 } \dot { c } } { c ^ { 2 } } \right) V + \frac { f _ { 2 } } { c } \, \frac { \partial V } { \partial t } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { t r \big \langle \nabla E ( g ( \xi ) ) ^ { T } \cdot A _ { U ^ { n } } U ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \big \rangle } \\ & { = } & { t r \big \langle \nabla E ( g ( \xi ) ) ^ { T } \cdot A _ { U ^ { n } } \cdot ( I + \frac { \Delta t _ { n } } { 2 } A _ { U ^ { n } } ) ^ { - 1 } U ^ { n } \big \rangle } \\ & { = } & { t r \big \langle \nabla E ( g ( \xi ) ) ^ { T } \cdot A _ { U ^ { n } } U ^ { n } \big \rangle - \frac { \Delta t _ { n } } { 2 } t r \big \langle \nabla E ( g ( \xi ) ) ^ { T } \cdot A _ { U ^ { n } } A _ { U ^ { n } } U ^ { n } \big \rangle + o ( \Delta t _ { n } ) . } \end{array}
A _ { \mathrm { ~ I ~ R ~ } } ( t ) = - A _ { \mathrm { ~ I ~ R ~ } } ^ { 0 } \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ^ { 2 } ( \omega t / 2 n _ { c } ) * [ \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \omega ( t + \tau ) ) \vec { x } + \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( \omega ( t + \tau ) ) \vec { y } ]
\begin{array} { r l } { \gamma _ { k } ^ { i } } & { = \gamma _ { k + 1 } ^ { i } - \frac { 1 } { 2 } \beta _ { k + 1 } ^ { i } ( b _ { k } ^ { i } + \bar { b } _ { k } ^ { i } ) \bar { \delta } _ { k } ^ { i } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j \in - i } ( r _ { k } ^ { i j } + \bar { r } _ { k } ^ { i j } ) ( \bar { \delta } _ { k } ^ { j } ) ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 } \big ( \sum _ { j \in \mathsf { N } } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \bar { \delta } _ { k } ^ { j } + c _ { k } \big ) \big ( \bar { \alpha } _ { k + 1 } ^ { i } \big ( \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \bar { \delta } _ { k } ^ { j } + c _ { k } \big ) } \\ & { \quad + 2 \beta _ { k + 1 } ^ { i } \big ) - \frac { 1 } { 2 } { \mu _ { k } ^ { i \star } } ^ { \prime } \big ( 2 \sum _ { j \in \mathsf { N } } \bar { n } _ { k } ^ { i j } \bar { \delta } _ { k } ^ { j } - \bar { n } _ { k } ^ { i i } \bar { \delta } _ { k } ^ { i } + 2 p _ { k } ^ { i } \big ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { k + 1 } ^ { i } ( \sigma _ { k } ) ^ { 2 } \mathbb { E } [ ( w _ { k } ) ^ { 2 } ] . } \end{array}