harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { { \cal E } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } , ( 1 ) } \! } & { = } & { \! - \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! \! \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \frac { \mathrm d k } { \pi } \frac { \kappa ^ { 2 } e ^ { - 2 \kappa | x | } } { k ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } } \Bigg ( 1 + \frac { \tilde { \varepsilon } _ { 1 } \varepsilon _ { k } } { m ^ { 2 } c ^ { 4 } } \Bigg ) f _ { k } ( x ) . } \end{array}
\tilde { m } _ { L R } ^ { 2 } \supset \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { X } } \end{array} \right) v \cos \beta + \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { \lambda } } \\ { { \lambda } } & { { 1 } } \end{array} \right) A Y _ { s } v \cos \beta
\begin{array} { r } { \tilde { S } ^ { \mathrm { F F } } \approx \sum _ { l \neq 0 } ^ { \infty } S _ { l } ^ { \mathrm { F F } } \Bigl ( 1 + r _ { l } ^ { ( \mathrm { s } ) } \Bigr ) , } \end{array}
+ \frac { x ^ { 5 } y ^ { 1 } z ^ { 5 } } { 5 ^ { a } 1 ^ { b } 5 ^ { c } } + \frac { x ^ { 5 } y ^ { 2 } z ^ { 5 } } { 5 ^ { a } 2 ^ { b } 5 ^ { c } } + \frac { x ^ { 5 } y ^ { 3 } z ^ { 5 } } { 5 ^ { a } 3 ^ { b } 5 ^ { c } } + \frac { x ^ { 5 } y ^ { 4 } z ^ { 5 } } { 5 ^ { a } 4 ^ { b } 5 ^ { c } } + \frac { x ^ { 5 } y ^ { 5 } z ^ { 5 } } { 5 ^ { a } 5 ^ { b } 5 ^ { c } }
\rho _ { w } = - \rho _ { \mathrm { ~ t ~ m ~ p ~ } } \times \left[ \sum _ { \mathbf v \cdot \mathbf n > 0 } ( \mathbf v \cdot \mathbf n ) f _ { w } ^ { M } \right] ^ { - 1 } \times \sum _ { \mathbf v \cdot \mathbf n < 0 } ( \mathbf v \cdot \mathbf n ) f ( \mathbf x _ { w } , \mathbf v , t ) .
( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 5 . 0 4 , 0 , 0 , 1 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x < 2 . 9 - 0 . 1 \sin \left[ 2 \pi \left( y + 0 . 2 5 \right) \right] , } \\ { ( 1 , 0 , 0 , 1 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x < 3 . 2 , } \\ { ( 1 . 4 1 1 2 , - 6 6 5 / 1 5 5 6 , 0 , 1 . 6 2 8 ) , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \phi _ { 0 } } & { { } = 0 . 4 2 1 = 2 4 . 1 ^ { \circ } , } \\ { \phi _ { 1 } } & { { } = 2 . 1 8 5 = 1 2 5 . 2 ^ { \circ } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 4 [ f ( + 1 , + 1 , + 1 ) + f ( - 1 , - 1 , + 1 ) ] } & { { } = } & { 1 + K _ { 3 } + K _ { 1 2 } + K _ { 1 2 3 } \ge 0 \; , } \\ { 4 [ f ( - 1 , + 1 , + 1 ) + f ( + 1 , - 1 , + 1 ) ] } & { { } = } & { 1 + K _ { 3 } - K _ { 1 2 } - K _ { 1 2 3 } \ge 0 \; , } \end{array}
{ \begin{array} { l l l } { ( 2 - 5 ) ^ { 2 } = ( - 3 ) ^ { 2 } = 9 } & & { ( 5 - 5 ) ^ { 2 } = 0 ^ { 2 } = 0 } \\ { ( 4 - 5 ) ^ { 2 } = ( - 1 ) ^ { 2 } = 1 } & & { ( 5 - 5 ) ^ { 2 } = 0 ^ { 2 } = 0 } \\ { ( 4 - 5 ) ^ { 2 } = ( - 1 ) ^ { 2 } = 1 } & & { ( 7 - 5 ) ^ { 2 } = 2 ^ { 2 } = 4 } \\ { ( 4 - 5 ) ^ { 2 } = ( - 1 ) ^ { 2 } = 1 } & & { ( 9 - 5 ) ^ { 2 } = 4 ^ { 2 } = 1 6 . } \end{array} }
{ \boldsymbol { \sigma } } ^ { T } \cdot ( J ~ { \boldsymbol { F } } ^ { - T } \cdot \mathbf { n } _ { 0 } ~ d \Gamma _ { 0 } ) = { \boldsymbol { N } } ^ { T } \cdot \mathbf { n } _ { 0 } ~ d \Gamma _ { 0 }
\begin{array} { r l } { F _ { \bar { t } _ { s } } - F _ { \bar { t } _ { s - 1 } } } & { \leq - \frac { \mu \tau } { 4 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } F _ { t } + \frac { 5 I \tau ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 4 b _ { x } M } + \frac { 5 \eta ^ { 2 } \bar { L } ^ { 2 } } { \mu \tau } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } E _ { t } + \frac { 5 I \eta ^ { 2 } \bar { L } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { \mu \tau b _ { x } M } } \\ & { \qquad + \frac { 5 I ^ { 2 } \tilde { L } _ { 2 } ^ { 2 } \tau } { 1 6 \mu } \bigg [ \eta ^ { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } D _ { t } + 2 \gamma ^ { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } B _ { t } \bigg ] + \frac { 5 I \tilde { L } _ { 2 } ^ { 2 } \tau } { 8 \mu } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } C _ { t } } \end{array}
( \alpha , \beta ; i , j ) = J ~ { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 0 } \end{array} \right] } _ { \alpha \beta } \otimes { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 0 } \end{array} \right] } _ { i j } ,
E _ { s } ^ { i } ( t ) = ( \pm 1 ) _ { i } \times A _ { s } ^ { i } \frac { 2 ( t - t _ { i } ) } { \tau ^ { \frac { 3 } { 2 } } } e ^ { - ( \frac { t - t _ { i } } { \tau } ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { t _ { \gamma } ^ { - 1 } t _ { \delta } ^ { - 1 } t _ { \alpha } } & { = } & { t _ { \delta _ { 1 } } ^ { - 1 } t _ { \delta _ { 2 } } ^ { - 1 } t _ { \delta _ { 3 } } ^ { - 1 } t _ { \gamma _ { 1 } } \quad \mathrm { a n d } } \\ { t _ { \delta } ^ { - 1 } t _ { \gamma } ^ { - 1 } t _ { \alpha } } & { = } & { t _ { \delta _ { 1 } } ^ { - 1 } t _ { \delta _ { 2 } } ^ { - 1 } t _ { \delta _ { 3 } } ^ { - 1 } t _ { \gamma _ { 2 } } . } \end{array}
\sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \frac { \left\langle \mathbf { G } _ { k } ^ { i } , \mathbf { p } _ { i + 1 } \right\rangle _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } ^ { 2 } } { \left\| \mathbf { p } _ { i + 1 } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } ^ { 2 } } = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \frac { \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } ^ { 4 } } { \left\| \mathbf { p } _ { i + 1 } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } ^ { 2 } } \times \frac { \langle \mathbf { G } _ { k } ^ { i } , \mathbf { p } _ { i + 1 } \rangle _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } ^ { 2 } } { \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } ^ { 4 } } \ge \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \frac { C ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } { \hat { C } ( i + 1 ) } = \infty .
\begin{array} { r l } { R ( \theta , \phi ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { { n _ { s m } } } R _ { 0 , n } \cos ( - n _ { \mathrm { f p } } n \phi ) + \sum _ { m = 1 } ^ { { n _ { s m } } } \sum _ { n = - { n _ { s m } } } ^ { { n _ { s m } } } R _ { m , n } \cos ( m \theta - n _ { \mathrm { f p } } n \phi ) , } \\ { Z ( \theta , \phi ) } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { { n _ { s m } } } Z _ { 0 , n } \sin ( - n _ { \mathrm { f p } } n \phi ) + \sum _ { m = 1 } ^ { { n _ { s m } } } \sum _ { n = - { n _ { s m } } } ^ { { n _ { s m } } } Z _ { m , n } \sin ( m \theta - n _ { \mathrm { f p } } n \phi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \left\langle \phi ( t _ { d } ) ^ { 2 } \right\rangle \right\rangle = } & { { } \left\langle \Delta \phi \left[ \boldsymbol { x } ( t _ { d } ) , \boldsymbol { G } _ { 0 } \right] ^ { 2 } \right\rangle _ { x , G _ { 0 } } } \\ { = } & { { } \beta _ { i j } ^ { G G } ( t _ { d } ) G _ { i } G _ { j } + \beta _ { i j } ^ { 0 0 } ( t _ { d } ) \left\langle \boldsymbol { G } _ { 0 } \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { i j } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } x ( n M T ) \ e ^ { - i \omega n } } & { = { \frac { 1 } { M T } } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } X \left( { \frac { \omega } { 2 \pi M T } } - { \frac { k } { M T } } \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { M T } } \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } \quad \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } X \left( { \frac { \omega } { 2 \pi M T } } - { \frac { m } { M T } } - { \frac { n } { T } } \right) , \quad { \mathrm { w h e r e } } \quad k \rightarrow m + n M } \\ & { = { \frac { 1 } { M } } \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } \quad { \frac { 1 } { T } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } X \left( { \frac { ( \omega - 2 \pi m ) / M } { 2 \pi T } } - { \frac { n } { T } } \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { M } } \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } \quad X _ { 2 \pi } \left( { \frac { \omega - 2 \pi m } { M } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r } { N _ { \mathrm { r m s } } [ n ] = \sqrt { \sum _ { m = 0 } ^ { n } g ^ { 2 m } } \gamma = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \sqrt { \frac { g ^ { 2 ( n + 1 ) } - 1 } { g ^ { 2 } - 1 } } \gamma } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } g \neq 1 , } \\ { \displaystyle { \vphantom { \Biggl ( } \sqrt { n + 1 } \gamma } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } g = 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb E \left[ x _ { - } ( t ) ^ { \top } \Sigma _ { k } x _ { - } ( t ) \right] \leq - \left\| y _ { k } - y _ { k - 1 } \right\| _ { L _ { t } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mathcal T _ { k , - } ( t ) + \sigma _ { k } \alpha _ { k } ( t ) + c \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb E \left[ x _ { - } ( s ) ^ { \top } \Sigma _ { k } x _ { - } ( s ) \right] d s . } \end{array}
m _ { \pi } ^ { 2 } = \frac { 4 \lambda } { f ^ { 2 } } ( m _ { u } + m _ { d } ) , \quad m _ { \eta } ^ { 2 } = \frac { 4 \lambda } { f ^ { 2 } } \frac { m _ { u } + m _ { d } + 4 m _ { s } } { 3 } .
\begin{array} { r l r } { \frac { \boldsymbol \tau _ { \mathrm { N S O T } } } { a ^ { 2 } } } & { { } = } & { - g _ { \mathrm { f i e l d } } \left( \mathbf { m } \times \boldsymbol { \mu } \right) + g _ { \mathrm { d a m p } } \mathbf { m } \times \left( \mathbf { m } \times \boldsymbol { \mu } \right) , } \\ { g _ { \mathrm { f i e l d } } } & { { } = } & { \frac { e \mu _ { r } \mu _ { 0 } \gamma _ { I } k _ { F } I _ { p } } { 3 \pi ^ { 2 } a ^ { 2 } } , } \\ { g _ { \mathrm { d a m p } } } & { { } = } & { \frac { 5 ( e \mu _ { r } \mu _ { 0 } \gamma _ { I } k _ { F } ) ^ { 2 } I _ { p } ^ { 2 } } { 7 2 \pi ^ { 3 } a ^ { 2 } } , } \end{array}
\left[ \stackrel { \left( 0 \right) } { H } _ { B } , \Omega _ { 2 } \right] ^ { * } + \left[ H _ { 1 } , \Omega _ { 1 } \right] ^ { * } + \left[ H _ { 2 } , \Omega _ { 0 } \right] ^ { * } = 0 ,
\begin{array} { r l } { ( \ln \bar { N } + \alpha ) / \bar { N } = \epsilon _ { 0 } } & { \iff \ln \bar { N } + \alpha = \bar { N } \epsilon _ { 0 } } \\ & { \iff \bar { N } \exp ( - \bar { N } \epsilon _ { 0 } ) = \exp ( - \alpha ) } \\ & { \iff - \epsilon _ { 0 } \bar { N } \exp ( - \bar { N } \epsilon _ { 0 } ) = - \epsilon _ { 0 } \exp ( - \alpha ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \varrho + \mathrm { d i v } _ { x } ( \varrho \textbf { \textup { u } } ) } & { = 0 , } \\ { \partial _ { t } ( \varrho \textbf { \textup { u } } ) + \mathrm { d i v } _ { x } ( \varrho \textbf { \textup { u } } \otimes \textbf { \textup { u } } ) + \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 m } } \nabla _ { x } p ( \varrho , \vartheta ) } & { = \mathrm { d i v } _ { x } \mathbb { S } ( \vartheta , \nabla _ { x } \textbf { \textup { u } } ) + \frac { 1 } { \varepsilon ^ { m } } \varrho \nabla _ { x } G , } \\ { \partial _ { t } \big ( \varrho e ( \varrho , \vartheta ) \big ) + \mathrm { d i v } _ { x } \big ( \varrho e ( \varrho , \vartheta ) \textbf { \textup { u } } \big ) + \mathrm { d i v } _ { x } \textbf { q } ( \vartheta , \nabla _ { x } \vartheta ) } & { = \varepsilon ^ { 2 m } \ \mathbb { S } ( \vartheta , \nabla _ { x } \textbf { \textup { u } } ) : \nabla _ { x } \textbf { \textup { u } } - p ( \varrho , \vartheta ) \mathrm { d i v } _ { x } \textbf { \textup { u } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { x _ { i } ^ { t + 1 } = x _ { i } ^ { t } + 1 } & { \mathrm { i f ~ x _ { i } ^ { t } ~ < ~ x _ { b } ^ { t } ~ o r ~ b = \emptyset ~ } \qquad \mathrm { ( a l s o ~ u p d a t e ~ c a c h e ~ b = i ~ ) } , } \\ { x _ { i } ^ { t + 1 } = x _ { i } ^ { t } + 1 } & { \mathrm { i f ~ x _ { i } ^ { t } ~ = ~ x _ { b } ^ { t } ~ } , } \\ { x _ { b } ^ { t + 1 } = x _ { b } ^ { t } + 1 } & { \mathrm { i f ~ x _ { i } ^ { t } ~ > ~ x _ { b } ^ { t } ~ } . } \end{array} \right.
\beta _ { i } ^ { n + 1 } = \frac { 1 } { C _ { v } } \left( \frac { \partial \phi } { \partial T } \right) _ { i } ^ { n + 1 } = \left( \frac { 4 a c T ^ { 3 } } { C _ { v } } \right) _ { i } ^ { n + 1 } .
\left( \Gamma ^ { M } \right) _ { \alpha \beta } \left( \tilde { \Gamma } _ { M } \right) ^ { \gamma \delta } = 2 \delta _ { ( \alpha } ^ { \gamma } \delta _ { \beta ) } ^ { \delta } + 2 \left( \Lambda _ { j } \right) _ { ( \alpha } ^ { \gamma } \left( \Lambda _ { j } \right) _ { \beta ) } ^ { \delta } .
V ^ { \prime } ( x ) = n ^ { 2 } - { n ( n - 1 ) } / { \cosh ^ { 2 } ( { \frac { \sqrt { 2 m } x } { \hbar } } ) } \qquad \mathrm { ~ t o ~ i t s ~ c o n t i g u o u s } \qquad V ( x ) = n ^ { 2 } - { n ( n + 1 ) } / { \cosh ^ { 2 } ( { \frac { \sqrt { 2 m } x } { \hbar } } ) } ,
c _ { s _ { i } s _ { j } , k } ^ { p } = \alpha _ { k } w _ { s _ { i } s _ { j } , k } ^ { p } + \beta _ { k } \frac { l _ { s _ { i } s _ { j } , k } ^ { p } } { v _ { p } } + \gamma _ { k } r ^ { p } l _ { s _ { i } s _ { j } , k } ^ { p } + \theta _ { k } \left( \frac { d _ { s _ { i } } } { v _ { w } } + \frac { d _ { s _ { j } } } { v _ { w } } \right) ,
{ \psi } ^ { \prime } ( x ) = e ^ { i { t } ^ { a } { \omega } _ { a } } { \psi } ( x ) , \ \ \ \overline { { { \psi } } } ^ { \prime } ( x ) = \overline { { { \psi } } } ( x ) e ^ { - i { t } ^ { a } { \omega } _ { a } } ,
\widetilde \Psi ^ { \prime \prime ( \alpha ) } ( z ) = \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { 3 } ^ { \prime \prime ( \alpha ) } ( z ) } } \\ { { \psi _ { 4 } ^ { \prime \prime ( \alpha ) } ( z ) } } \end{array} \right) \, , \quad \widetilde \Phi ( z ) = \mathrm { d i a g } \! \left( 1 , e ^ { - i \Delta _ { 4 3 } ^ { M } z / 2 p } \right) \, ,
Z [ \lambda , T ] = \frac { \int d A _ { \mu } e ^ { - \int _ { 0 } ^ { 1 / T } F _ { \mu \nu } ^ { 2 } / 4 + \lambda \int d x e ^ { i e \int _ { 0 } ^ { 1 / T } d \tau A _ { 0 } ( \tau , x ) + \mathrm { c . c . } } } } { \int d A _ { \mu } e ^ { - \int _ { 0 } ^ { 1 / T } F _ { \mu \nu } ^ { 2 } / 4 } }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { k \in \mathbb { N } } \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \| \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } _ { n _ { k } } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } - ( \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } ) _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( \tilde { u } _ { n _ { k } } ) \| _ { L _ { 2 } \left( \mathscr { U } , L ^ { 2 } \right) } ^ { 2 } \, d t \right] ^ { \frac p 2 } } \\ & { \leq C _ { T } \operatorname* { s u p } _ { k \in \mathbb { N } } \mathbb { E } \left[ 1 + \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| \tilde { u } _ { n _ { k } } \| ^ { p } \right] < \infty . } \end{array}
\sum _ { l = 0 } ^ { \infty } ( 2 l + 1 ) [ s _ { l } ^ { \prime } ( \lambda r ) e _ { l } ( \lambda \rho ) ] ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 r \rho } \int _ { r - \rho } ^ { r + \rho } \left( \frac { 1 } { \lambda } \, \frac { \partial { \cal D } } { \partial r } \right) ^ { 2 } R \, d R \, .
\begin{array} { r l } { A _ { N i } = M _ { N i } + M _ { - N i } } & { { } = 2 | J _ { N } | ^ { 2 } | w _ { i } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | L _ { N } | ^ { 2 } } \\ { B _ { N i } = M _ { N i } - M _ { - N i } } & { { } = 2 \operatorname { R e } { \{ J _ { N } L _ { N } ^ { * } w _ { i } \} } . } \end{array}
V _ { \mathrm { s t a t } } ^ { q \overline { { { q } } } } = - \frac { 4 } { 3 } \frac { { \alpha } _ { s } } { r } + \sigma r - { \frac { 4 } { 3 } } { \frac { \alpha _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } } { 4 \pi } } { \frac { 1 } { r } } [ { \frac { 6 6 - 4 N _ { f } } { 3 } } ( \ln \mu r + \gamma ) + A ]
\begin{array} { r l } { e _ { n m } } & { { } = 0 \quad \forall ( n , m ) , } \\ { f _ { n m } } & { { } = 0 \quad \forall m \neq 0 , } \\ { f _ { n , 0 } } & { { } = \sqrt { \frac { 3 } { 2 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) } \frac { \psi _ { n } ( x _ { p } ) } { x _ { p } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 1 D } = } & { \sum _ { j } ( m _ { z } + i \gamma _ { \downarrow } / 2 ) \bigr ( | j \uparrow \rangle \langle j \uparrow | - | j \downarrow \rangle \langle j \downarrow | \bigr ) - t _ { 0 } \bigr ( | j \uparrow \rangle \langle j + 1 \uparrow | - | j \downarrow \rangle \langle j + 1 \downarrow | + h . c . \bigr ) } \\ & { + t _ { s o } \Big [ e ^ { - i K j } \bigr ( | j \downarrow \rangle \langle j + 1 \uparrow | - | j + 1 \downarrow \rangle \langle j , \uparrow | \bigr ) + h . c . \Big ] , } \end{array}
< \zeta > _ { { \bf R } } ( t ) = \frac { 1 0 0 } { \mathrm { d i m } \, { \bf R } } \sum _ { { \bf R } } \frac { | \zeta ( \mathrm { { \bf ~ R } } , t ) _ { \mathrm { d a t a } } - { \zeta } _ { \mathrm { D D F ~ F o r e c a s t } } ( \mathrm { { \bf ~ R } } , t ) | } { | \mathrm { M a x } \, \zeta _ { \mathrm { d a t a } } - \mathrm { M i n ~ } \, \zeta _ { \mathrm { d a t a } } | }
\rho ( x ) = \frac { \rho _ { v } + \rho _ { l } } { 2 } + \frac { \rho _ { l } - \rho _ { v } } { 2 } \operatorname { t a n h } \left( \frac { \rho _ { l } - \rho _ { v } } { 2 } \sqrt { \frac { 2 A } { \kappa } } x \right) .
\Lambda _ { n } ( \boldsymbol { p } , \boldsymbol { q } , \sigma ) = \delta ( p _ { k - 2 } - q _ { k - 2 } ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } \delta ( p _ { \sigma _ { i - 1 } } - q _ { \sigma { i - 1 } } - p _ { \sigma _ { n } } + q _ { \sigma _ { n } } ) ) \prod _ { i = 1 } ^ { n + 1 } \prod _ { m = \sigma _ { i - 1 } + 1 } ^ { \sigma _ { i } - 1 } \delta ( p _ { m } - p _ { \sigma _ { i - 1 } } ) \delta ( q _ { m } - q _ { \sigma _ { i - 1 } ^ { 1 } } ) .
\begin{array} { r l } { \dot { \varphi } _ { r n } } & { { } = \frac { 3 \delta \sqrt { \mu _ { E } } } { 2 a _ { r } ^ { \frac { 5 } { 2 } } } } \\ { \ddot { \varphi } _ { r n } } & { { } = \frac { 3 \sqrt { \mu _ { E } } } { 2 a _ { r } ^ { \frac { 5 } { 2 } } } \dot { \Delta a } } \end{array}
\prod _ { \substack { m , n \geq 1 \, m \leq n ; \, \operatorname* { g c d } ( m , n ) = 1 } } \left( \frac { 1 } { 1 - y ^ { m } z ^ { n } } \right) ^ { \frac { 1 } { m ^ { a } n ^ { b } } } = \exp \left\{ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \sum _ { m = 1 } ^ { n } \frac { y ^ { m } } { m ^ { a } } \right) \frac { z ^ { n } } { n ^ { b } } \right\} .
\delta P = s \mathrm { d } T + \frac { 1 } { 2 } \chi \delta \mu ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \chi _ { \ell } \delta \mu _ { \ell } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \tilde { \chi } } \delta \tilde { n } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \tilde { \chi } _ { \ell } } \delta \tilde { n } _ { \ell } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { t ^ { \prime } } & { = t , } \\ { x ^ { \prime } } & { = \left( x - X \right) \left( 1 - \frac { \mu } { M } \frac { t - T } { t _ { 0 } - T } \right) ^ { - 1 } + X , } \\ { T } & { = t _ { 0 } + \Delta \cdot s i g n ( t - t _ { 0 } ) , } \\ { X } & { = \frac { x _ { 0 } } { M } + \frac { c } { M } ( t - t _ { 0 } ) + s i g n ( x - x _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A A ^ { \top } z + A _ { \perp } A _ { \perp } ^ { \top } z = } & { ~ A A ^ { \top } A y + A _ { \perp } A _ { \perp } ^ { \top } A y } \\ { = } & { ~ A y + A _ { \perp } A _ { \perp } ^ { \top } A y } \\ { = } & { ~ A y + A _ { \perp } ( A ^ { \top } A _ { \perp } ) ^ { \top } y } \\ { = } & { ~ A y + 0 } \\ { = } & { ~ z , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { r \longrightarrow 0 } \psi ( r ) = \psi ( 0 ) = \frac { \epsilon _ { w } \sigma _ { 1 } R ^ { 2 } \kappa _ { D } w ^ { 2 } + \epsilon _ { p } [ \sigma _ { 1 } R ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ( R + w ) ^ { 2 } ] R + \epsilon _ { w } \sigma _ { 1 } ( 1 + \kappa _ { D } R ) w R ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { w } \{ ( \epsilon _ { p } - \epsilon _ { w } ) w ^ { 2 } + \epsilon _ { p } R ^ { 2 } \} } \mathrm { ~ c ~ s ~ c ~ h ~ } ( \kappa _ { D } R ) , } \end{array}
| 2 S \rangle _ { f q } = | M _ { 1 \bar { 4 } } \rangle _ { f q } | M _ { 2 \bar { 3 } } \rangle _ { f q } = \left\{ \begin{array} { l l } { { | \eta _ { 1 \bar { 4 } } ^ { \prime } \rangle _ { f q } | \eta _ { 2 \bar { 3 } } ^ { \prime } \rangle _ { f q } } } & { { \ \ \ \ \ \mathrm { f o r } \ \ \ \ } } \\ { { e t a ^ { \prime } \eta ^ { \prime } \ \ \ \mathrm { m e s o n s } } } \\ { { | \eta _ { 1 \bar { 4 } } \rangle _ { f q } | \eta _ { 2 \bar { 3 } } ^ { \prime } \rangle _ { f q } } } & { { \ \ \ \ \ \mathrm { o r } } } \\ { { | \eta _ { 1 \bar { 4 } } ^ { \prime } \rangle _ { f q } | \eta _ { 2 \bar { 3 } } \rangle _ { f q } } } & { { \ \ \ \ \ \mathrm { f o r } \ \ \ \ } } \\ { { e t a \eta ^ { \prime } \ \ \ \mathrm { m e s o n s } } } \\ { { | \eta _ { 1 \bar { 4 } } \rangle _ { f q } | \eta _ { 2 \bar { 3 } } \rangle _ { f q } } } & { { \ \ \ \ \ \mathrm { f o r } \ \ \ \ } } \\ { { e t a \eta \ \ \ \mathrm { m e s o n s } } } \\ { { | \pi _ { 1 \bar { 4 } } \rangle _ { f q } | \eta _ { 2 \bar { 3 } } ^ { \prime } \rangle _ { f q } } } & { { \ \ \ \ \ \mathrm { f o r } \ \ \ \ \ \pi \eta ^ { \prime } \ \ \ \mathrm { m e s o n s } } } \\ { { | \pi _ { 1 \bar { 4 } } \rangle _ { f q } | \eta _ { 2 \bar { 3 } } \rangle _ { f q } } } & { { \ \ \ \ \ \mathrm { f o r } \ \ \ \ \ \pi \eta \ \ \ \mathrm { m e s o n s } } } \end{array} \right. ,
{ \frac { d ^ { 2 } \psi } { d r ^ { 2 } } } ~ + ~ \left[ \omega ^ { 2 } ~ + ~ { \frac { - 3 / 4 ~ + \omega ^ { 2 } ( r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 5 } ^ { 2 } ) } { r ^ { 2 } } } \right] \psi = 0 ~ ,
\theta _ { 3 } ^ { M } = \arctan \frac { S _ { 3 } ^ { M } } { C _ { 3 } ^ { M } } = \arctan \frac { C _ { 2 } C _ { 3 } \alpha _ { 2 } z _ { 2 } + S _ { 3 } C _ { 2 } \beta _ { 2 } z _ { 2 } + S _ { 2 } z _ { 2 } } { C _ { 2 } C _ { 3 } \alpha _ { 1 } z _ { 1 } + S _ { 3 } C _ { 2 } \beta _ { 1 } z _ { 1 } + S _ { 2 } z _ { 1 } } .
\begin{array} { r } { \Xi _ { \mathcal M ( \rho ) } ( \vec { p } , \vec { q } ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \Xi _ { \rho } ( \vec { p } , \vec { q } ) \; , } & & { | \Xi _ { \rho } ( \vec { p } , \vec { q } ) | = 1 \; , } \\ & { 0 \; , } & & { | \Xi _ { \rho } ( \vec { p } , \vec { q } ) | < 1 \; . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x _ { * } ( \tilde { z } , z ) } & { { } = } & { \frac { J _ { 0 } \sqrt { q } } { 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } \chi } \, \Big ( \Delta ( z ) + \tilde { z } \Big ) \, , \qquad \Delta ( z ) = \frac { \mu \cdot m _ { \infty } + \sigma z } { J _ { 0 } \sqrt { q } } } \\ { x _ { * } ( \tilde { z } , z ) } & { { } > } & { 0 \, \quad \mathrm { a n d } \, \quad \partial x _ { * } / \partial \tilde { z } > 0 \, \quad \mathrm { i f } \, \quad \tilde { z } > - \Delta ( z ) \, \quad \mathrm { a n d } \, \quad 1 > J _ { 0 } ^ { 2 } \chi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { a d _ { Z } } } & { { } = \mathrm { l o g } ( \mathrm { e x p ( \mathrm { a d } _ { Z } ) } ) = \mathrm { l o g } ( 1 + ( \mathrm { e x p ( \mathrm { a d } _ { Z } ) - 1 ) } ) } \end{array}
{ \beta } \mathcal { H } = \frac { \chi } { v } \int \mathrm { d } { \mathbf { r } } \hat { \phi } _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) \hat { \phi } _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) + \frac { 1 } { 2 } \int \mathrm { d } { \mathbf { r } } \int \mathrm { d } { \mathbf { r ^ { ' } } } \hat { \rho } _ { \mathrm { c } } ( \mathbf { r } ) C ( \mathbf { r } , \mathbf { r ^ { ' } } ) \hat { \rho } _ { \mathrm { c } } ( \mathbf { r } ^ { ' } )
\mathbf { E } ^ { \pm } ( \mathbf { r } ) = a _ { \pm } ( j , m ) \left( \frac { \mathbf { N } _ { j m } ^ { h } ( \mathbf { r } ) \pm \mathbf { M } _ { j m } ^ { h } ( \mathbf { r } ) } { \sqrt { 2 } } \right) .
\begin{array} { r } { \gamma _ { c } = \frac { C _ { 0 } } { D _ { 0 } } \left[ 1 - \mathrm { K n } \frac { C _ { 0 } } { D _ { 0 } } ( 0 . 1 2 4 2 2 6 ) \left( \frac { 1 } { r _ { 1 } } - \frac { 1 } { r _ { 2 } } \right) + \mathcal { O } ( \mathrm { K n } ^ { 2 } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol \phi { } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { } } & { { } = \boldsymbol \psi _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ t ~ } } \, , } \\ { \boldsymbol \phi { } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { Q } } & { { } = \boldsymbol 0 \, , } \\ { \boldsymbol \phi { } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { P } } & { { } = \nabla { } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { P } \boldsymbol \psi _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ t ~ } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u } & { { } = 2 \pi \ U _ { m a x } \ ( y - y _ { c } ) } \\ { v } & { { } = 2 \pi \ V _ { m a x } \ ( x _ { c } - x ) } \\ { w } & { { } = W _ { m a x } \ \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ^ { - 1 } \phi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { j } ( \tilde { x } ) = \psi \left( \frac { \tilde { w } _ { \mathrm { m a x } } \tilde { x } } { 2 ^ { j / N _ { \mathrm { s u b s } } } } \right) } & { { } \approx ( p _ { j } * \beta ^ { 3 } ) ( \tilde { x } ) } \end{array}