harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { | \Phi _ { 1 } \rangle } & { { } \approx | 1 , 0 , 1 \rangle \otimes \downarrow + \frac { \delta } { 2 \lambda } | 0 , 1 , 1 \rangle \otimes \downarrow , \quad } \\ { \mathcal { E } } & { { } \simeq \Delta _ { 0 } - \lambda / 2 + \hbar \Omega , } \\ { | \Phi _ { 2 } \rangle } & { { } \approx | 0 , 1 , 1 \rangle \otimes \uparrow + \frac { \delta } { 2 \lambda } | 1 , 0 , 1 \rangle \otimes \uparrow , \quad } \\ { \mathcal { E } } & { { } \simeq \Delta _ { 0 } - \lambda / 2 - \hbar \Omega , } \\ { | \Phi _ { 3 } \rangle } & { { } \approx | 0 , 1 , 1 \rangle \otimes \downarrow - \frac { \delta } { 2 \lambda } | 1 , 0 , 1 \rangle \otimes \downarrow , \quad } \\ { \mathcal { E } } & { { } \simeq \Delta _ { 0 } + \lambda / 2 + \hbar \Omega + \frac { \delta ^ { 2 } } { 4 \lambda ^ { 2 } } ( \lambda + \hbar \Omega ) , } \\ { | \Phi _ { 4 } \rangle } & { { } \approx | 1 , 0 , 1 \rangle \otimes \uparrow - \frac { \delta } { 2 \lambda } | 0 , 1 , 1 \rangle \otimes \uparrow , \quad } \\ { \mathcal { E } } & { { } \simeq \Delta _ { 0 } + \lambda / 2 - \hbar \Omega + \frac { \delta ^ { 2 } } { 4 \lambda ^ { 2 } } ( \lambda - \hbar \Omega ) . } \end{array}
1 + { \frac { ( q ^ { \alpha } - 1 ) ( q ^ { \beta } - 1 ) } { ( q - 1 ) ( q ^ { \gamma } - 1 ) } } x + { \frac { ( q ^ { \alpha } - 1 ) ( q ^ { \alpha + 1 } - 1 ) ( q ^ { \beta } - 1 ) ( q ^ { \beta + 1 } - 1 ) } { ( q - 1 ) ( q ^ { 2 } - 1 ) ( q ^ { \gamma } - 1 ) ( q ^ { \gamma + 1 } - 1 ) } } x ^ { 2 } + \cdots
J _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } ( p ^ { 2 } + q ^ { 2 } ) , ~ ~ ~ ~ J _ { 1 } = \frac { p } { 2 } ~ \sqrt { p ^ { 2 } + q ^ { 2 } } , ~ ~ ~ ~ ~ J _ { 2 } = \frac { q } { 2 } ~ \sqrt { p ^ { 2 } + q ^ { 2 } } ,
[ \Delta ( \hat { n } _ { e f } + \hat { n } _ { g h } ) ] ^ { 2 } = \left< ( \hat { n } _ { e f } + \hat { n } _ { g h } ) ^ { 2 } \right> - \left< ( \hat { n } _ { e f } + \hat { n } _ { g h } ) \right> ^ { 2 }
\sigma _ { p } ^ { 2 } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } p ^ { 2 } \cdot | \varphi ( p ) | ^ { 2 } \, d p - \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } p \cdot | \varphi ( p ) | ^ { 2 } \, d p \right) ^ { 2 } ~ .
\hat { \omega } = \sqrt { \omega _ { c } ^ { 2 } + \omega _ { p } ^ { 2 } / 2 - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } \sqrt { 4 \omega _ { c } ^ { 2 } + V _ { 0 } ^ { 2 } } } { 2 V _ { 0 } } } ,
\widetilde { \Gamma } _ { \mathrm { o } } [ { \cal D } ^ { \prime } , { \cal D } ] = \Gamma _ { \mathrm { o } } [ { \cal D } ] - \Gamma _ { \mathrm { o } } [ { \cal D } ^ { \prime } ] + h ( { \cal D } ^ { \prime } , { \cal D } ) ,
\begin{array} { r } { \chi _ { i j } = \frac { R \Delta \theta _ { i j } } { \mu \kappa _ { i } ^ { + } \kappa _ { j } ^ { - } } = \frac { N \Delta \theta _ { i j } } { 2 \pi \mu \kappa _ { i } ^ { + } \kappa _ { j } ^ { - } } \ , } \end{array}
\lambda _ { \psi K _ { S } } = - \bigg ( { \frac { V _ { t b } ^ { * } V _ { t d } } { V _ { t b } V _ { t d } ^ { * } } } \bigg ) \, \bigg ( { \frac { V _ { c b } V _ { c s } ^ { * } } { V _ { c b } ^ { * } V _ { c s } } } \bigg ) \, \bigg ( { \frac { V _ { c s } V _ { c d } ^ { * } } { V _ { c s } ^ { * } V _ { c d } } } \bigg ) = - e ^ { - 2 i \beta } \, ,
( x _ { \alpha _ { 2 } } ^ { + } \otimes 1 ) ^ { a _ { 1 } } ( x _ { \alpha _ { 1 } } ^ { + } \otimes 1 ) ^ { a _ { 2 } } ( x _ { \theta } ^ { - } \otimes t ) ^ { ( | \mu | ) } v _ { \lambda , \mu } = ( x _ { \alpha _ { 1 } } ^ { - } \otimes t ) ^ { ( a _ { 1 } ) } ( x _ { \theta } ^ { - } \otimes t ) ^ { ( | \mu | - a _ { 1 } - a _ { 2 } ) } ( x _ { \alpha _ { 2 } } ^ { - } \otimes t ) ^ { a _ { 2 } } v _ { \lambda , \mu } \in \operatorname { K e r } \phi ( \lambda , \mu ) .
\hat { \textbf { S } } _ { i } \equiv ( \hat { a } _ { i \uparrow } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i \downarrow } , \hat { a } _ { i \downarrow } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i \uparrow } , \frac { 1 } { 2 } ( \hat { n } _ { i \uparrow } - \hat { n } _ { i \downarrow } ) )
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \left[ \operatorname* { m a x } _ { y \in \mathcal { C } _ { \mathbb { B } _ { r _ { y } } ( \mathbf { 0 } ) , \Delta } } \left| \int _ { \mathbb { R } ^ { m } } ( \hat { p } _ { t } - p _ { t } ) ( x ) f ( x , y ) d x \right| > \rho \right] \leq 2 \left( 1 + \frac { 2 r _ { y } } { \Delta } \right) ^ { n } \exp { \left( - \frac { \rho ^ { 2 } M } { 2 } \right) } , } \end{array}
\int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \frac { d t } { \sqrt { ( t - t _ { 0 } ) ( t - t _ { 1 } ) ( t _ { 2 } - t ) ( t _ { 3 } - t ) } } = \frac 2 { \sqrt { ( t _ { 3 } - t _ { 1 } ) ( t _ { 2 } - t _ { 0 } ) } } K ( k ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { Z } & { = \left( \frac { 2 \pi } { \beta } \right) ^ { N _ { s } / 2 } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } { K _ { i } } \right) ^ { - 1 / 2 } } \\ & { \qquad \qquad \times \int { \left( \prod _ { a = 1 } ^ { N _ { \mathrm { n o d e } } } { \mathrm { d } ^ { D } \vec { R } _ { a } } \right) \prod _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } { \delta \big ( L _ { i } - L _ { 0 i } \big ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi _ { 0 } ^ { ( m ) } \equiv \sum _ { j = 0 } ^ { m } \left[ \frac { 1 } { 2 } B _ { 0 } ^ { ( m j ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } j ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } \right] \equiv \sum _ { j = 0 } ^ { m } \left[ \frac { 1 } { 2 } \bar { \Phi } _ { 0 } ^ { ( m j ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } j ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { 1 } } & { = [ q _ { 1 , i j } ] , { \quad } q _ { 1 , i j } = \int _ { \Omega } \phi _ { j } \, \phi _ { i } } \\ { F _ { 1 } } & { = [ f _ { 1 , i j } ] , \quad f _ { 1 , i j } = \nu \int _ { \Omega } \nabla \phi _ { j } \cdot \nabla \phi _ { i } + \int _ { \Omega } ( \vec { \, w } _ { h } \cdot \nabla \phi _ { j } ) \, \phi _ { i } . } \end{array}
\boldsymbol { L } _ { \mathrm { F P } } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \left[ - \frac { \partial } { \partial x _ { i } } v _ { i } - \frac { 1 } { m } \frac { \partial } { \partial v _ { i } } F _ { \mathrm { t o t } , i } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial v _ { i } ^ { 2 } } D _ { i i } \right]
\begin{array} { r l } { 0 = } & { { } - \frac { \pi a _ { 0 } } { 9 } - \frac { a _ { 0 } } { 6 } + \frac { \sqrt { 3 } a _ { 0 } } { 3 } + \frac { a _ { 2 } } { 3 } - \frac { \pi a _ { 4 } } { 9 } - \frac { a _ { 4 } } { 6 } + } \end{array}
M ( e _ { m } ^ { ( j ) } , \bar { e } _ { \bar { m } } ^ { ( \bar { j } ) } ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( 2 j , 2 \bar { j } ) } \lambda _ { j , \bar { j } , k } C _ { m , \bar { m } ; m + \bar { m } } ^ { j , \bar { j } ; j + \bar { j } - k } e _ { m + \bar { m } } ^ { ( j - \frac { k } { 2 } , \bar { j } - \frac { k } { 2 } ) } .
\begin{array} { r l } { \langle X ^ { 2 } \rangle \sim } & { { } \ C _ { 0 } \epsilon T _ { L } ^ { 2 } t = 2 U _ { \alpha } ^ { 2 } T _ { L } t , \phantom { \frac { 1 } { 1 } } } \\ { \langle X U \rangle \sim } & { { } \ \frac { C _ { 0 } \epsilon T _ { L } ^ { 2 } } { 2 } = U _ { \alpha } ^ { 2 } T _ { L } , } \\ { \langle U ^ { 2 } \rangle \sim } & { { } \ \frac { C _ { 0 } \epsilon T _ { L } } { 2 } = U _ { \alpha } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \; = \; } & { { } \pi _ { \rho ^ { \prime } } G _ { \rho , \lambda } ( D ) ^ { 2 } ( ( H ^ { s } ) ^ { * } H ^ { s } \oplus H ^ { s } ( H ^ { s } ) ^ { * } ) G _ { \rho , \lambda } ( D ) ^ { 2 } \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } } \\ { \geq \; } & { { } \; g ^ { 2 } \pi _ { \rho ^ { \prime } } G _ { \rho , \lambda } ( D ) ^ { 4 } \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } } \\ { = \; } & { { } \; g ^ { 2 } \pi _ { \rho ^ { \prime } } G _ { \rho , \lambda } ( D ) ^ { 4 } \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { a _ { 1 1 } + \sqrt { a _ { 1 1 } ^ { 2 } + 4 a _ { 1 2 } a _ { 2 1 } } } { 2 } , } \\ { \lambda _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { a _ { 1 1 } - \sqrt { a _ { 1 1 } ^ { 2 } + 4 a _ { 1 2 } a _ { 2 1 } } } { 2 } . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } m _ { i } } { \mathrm { d } t } = \frac { V _ { i } } { R T / M } \frac { \mathrm { d } p _ { i } } { \mathrm { d } t } - \frac { p _ { i } V _ { i } } { R T ^ { 2 } / M } \frac { \mathrm { d } T } { \mathrm { d } t } .
\begin{array} { r } { - \nabla \cdot \left( \varepsilon _ { \mathrm { r } } \left( x , y \right) \nabla \phi \left( x , y \right) \right) = \frac { \rho \left( x , y \right) } { \varepsilon _ { 0 } } , ~ \forall x , y \in \Omega } \\ { \phi \left( x , y \right) = h \left( x , y \right) , ~ \forall x , y \in \Gamma _ { \mathrm { D i r i c h l e t } } } \\ { \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { n } } \phi \left( x , y \right) = g \left( x , y \right) , ~ \forall x , y \in \Gamma _ { \mathrm { N e u m a n n } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = ( \frac { l n ( \frac { | e ^ { S _ { \infty } ^ { * } } - 1 | } { e - 1 } ) } { 1 - S _ { \infty } ^ { * } + l n ( \frac { | e ^ { S _ { \infty } ^ { * } } - 1 | } { e - 1 } ) } ) ^ { - 1 } ( \frac { ( 1 - S _ { \infty } ^ { * } + l n ( \frac { | e ^ { S _ { \infty } ^ { * } } - 1 | } { e - 1 } ) ) \cdot ( ( \frac { | e ^ { S _ { \infty } ^ { * } } - 1 | } { e - 1 } ) ^ { - 1 } \frac { e ^ { S _ { \infty } ^ { * } } } { e - 1 } ) - ( l n ( \frac { | e ^ { S _ { \infty } ^ { * } } - 1 | } { e - 1 } ) ) \cdot ( - 1 + ( \frac { | e ^ { S _ { \infty } ^ { * } } - 1 | } { e - 1 } ) ^ { - 1 } \frac { e ^ { S _ { \infty } ^ { * } } } { e - 1 } ) } { ( 1 - S _ { \infty } ^ { * } + l n ( \frac { | e ^ { S _ { \infty } ^ { * } } - 1 | } { e - 1 } ) ) ^ { 2 } } ) - 1 } \end{array}
C ^ { L E ^ { c } H _ { 1 } } = \left( \begin{array} { c c c } { { n - k - h _ { + } } } & { { \frac { m + n - h _ { + } } { 2 } } } & { { \frac { n - k - h _ { + } } { 2 } } } \\ { { \frac { m + n - h _ { + } } { 2 } } } & { { m + k } } & { { \frac { m + k } { 2 } } } \\ { { \frac { n - k - h _ { + } } { 2 } } } & { { \frac { m + k } { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\mathcal { S } ( A ) = \frac { \vert \vert A _ { \mathrm { s } } \vert \vert _ { 2 } - \vert \vert A _ { \mathrm { a } } \vert \vert _ { 2 } } { \vert \vert A _ { \mathrm { s } } \vert \vert _ { 2 } + \vert \vert A _ { \mathrm { a } } \vert \vert _ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { Q _ { \lambda ^ { \prime } \ell ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { \bar { \ell } ^ { \prime } \bar { m ^ { \prime } } } ( \theta ^ { \prime } , \phi ^ { \prime } ) } & { { } = \frac { 4 \pi c ^ { 2 } } { \eta _ { 0 } } ( - \mathrm { i } ) ^ { \ell ^ { \prime } - \bar { \ell } ^ { \prime } } \Omega _ { \ell ^ { \prime } m ^ { \prime } } \Omega _ { \bar { \ell } ^ { \prime } \bar { m ^ { \prime } } } ^ { * } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E } & { { } = } & { - \left( u _ { \mu } + \frac { q } { m } A _ { \mu } \right) X ^ { \mu } = f ( r ) u ^ { t } \, , } \\ { L } & { { } = } & { \left( u _ { \mu } + \frac { q } { m } A _ { \mu } \right) Y ^ { \mu } = r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \left( u ^ { \phi } + \mathcal { B } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C _ { i } ^ { ( - 1 ) } ( x ) = \left( \begin{array} { l l l } { \alpha _ { i } ( x ) } & { \alpha _ { i } ( x ) } & { \beta _ { i } ( x ) } \\ { - \alpha _ { i } ( x ) } & { - \alpha _ { i } ( x ) } & { - \beta _ { i } ( x ) } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ & { C _ { i } ^ { ( 0 ) } ( x ) = - I + \left( \begin{array} { l l l } { \gamma _ { i , 3 } ( x ) } & { \gamma _ { i , 4 } ( x ) } & { \gamma _ { i , 5 } ( x ) } \\ { \gamma _ { i , 4 } ( x ) + ( - 1 ) ^ { i } \alpha _ { i } ( x ) } & { \gamma _ { i , 3 } ( x ) + ( - 1 ) ^ { i } \alpha _ { i } ( x ) } & { \gamma _ { i , 5 } ( x ) + ( - 1 ) ^ { i } \beta _ { i } ( x ) } \\ { \gamma _ { i , 1 } ( x ) } & { \gamma _ { i , 1 } ( x ) } & { \gamma _ { i , 2 } ( x ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\frac { \mathrm { { B r } } ( b \rightarrow s \mu ^ { - } \mu ^ { + } ) } { { \mathrm { B r } } ( b \rightarrow c \mu ^ { - } { \overline { { { \nu _ { \mu } } } } } ) } = \frac { 1 } { 4 x ^ { 2 } } \frac { | d _ { 3 2 } | ^ { 2 } | d _ { 3 3 } | ^ { 2 } } { | V _ { c b } | ^ { 2 } f ( z ) } \left( \sin ^ { 4 } \beta - 4 \sin ^ { 2 } \beta \sin ^ { 2 } \phi \sin ^ { 2 } \theta + 8 \sin ^ { 4 } \theta \sin ^ { 4 } \phi \right) \, .
u _ { 3 } ^ { ( g v S K ) } = \frac { 1 } { 4 } \left[ 8 + 2 \sqrt { 5 } - 1 2 \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } ^ { 2 } ( \frac { t ^ { 4 } } { 3 2 } - x ) \right] .
\begin{array} { r l r l } { \epsilon _ { 1 } \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } & { = \eta _ { 1 } ( - x ^ { 3 } + 9 x ^ { 2 } - 2 4 x + 2 1 - y ) x \ , } & { \frac { \mathrm { d } s _ { 1 } } { \mathrm { d } t } } & { = ( s _ { 2 } - s _ { 1 } ) v \ , } \\ { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } } & { = \eta _ { 1 } ( x - 3 ) y \ , } & { \frac { \mathrm { d } s _ { 2 } } { \mathrm { d } t } } & { = ( s _ { 1 } + s _ { 3 } - s _ { 2 } ) u \ , } \\ { \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } \frac { \mathrm { d } u } { \mathrm { d } t } } & { = \eta _ { 1 } ( \epsilon _ { 1 } ( p - u ) - u v ) \ , } & { \frac { \mathrm { d } s _ { 3 } } { \mathrm { d } t } } & { = 0 \ . } \\ { \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } \frac { \mathrm { d } v } { \mathrm { d } t } } & { = \eta _ { 1 } ( \epsilon _ { 1 } ( x - v ) - u v ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { n \mathsf { C } = \mathsf { I } ( M ; Y ^ { ( n ) } ) + n \epsilon _ { n } } & { \le \mathsf { I } ( M ; Y ^ { ( n ) } , S ^ { ( n ) } ) + n \epsilon _ { n } } \\ & { = \mathsf { I } ( M ; Y ^ { ( n ) } | S ^ { ( n ) } ) + n \epsilon _ { n } } \\ & { \le \mathsf { I } ( M ; X ^ { ( n ) } + Z ^ { ( n ) } ) + n \epsilon _ { n } } \\ & { \le n \mathsf { C } _ { 0 } ( \mathsf { A } , \sigma ) + n \epsilon _ { n } , } \end{array}
N + \frac { N ^ { \frac { 1 1 } { 6 } } \varepsilon _ { \mathrm { D P } } ^ { \frac { 4 } { 3 } } } { d ^ { \frac { 2 } { 3 } } } + \frac { N ^ { \frac { 1 9 } { 1 2 } } \varepsilon _ { \mathrm { D P } } ^ { \frac { 5 } { 6 } } } { d ^ { \frac { 1 } { 6 } } } + \frac { N ^ { \frac { 5 } { 3 } } P \varepsilon _ { \mathrm { D P } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } } { d ^ { \frac { 1 } { 3 } } }
\begin{array} { r l r } { E _ { 1 _ { \pm } ^ { \prime } } } & { { } = } & { E _ { 1 } \pm \frac { \Delta _ { 1 } } { 2 } - \sum _ { j } \frac { 1 } { \omega _ { j } } \left( \langle 1 | \hat { V } _ { j } | 1 \rangle \mp w _ { j } ^ { z } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbb { R } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \setminus \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \{ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\left( { \frac { p } { 5 } } \right) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } p = 5 } \\ { 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } p \equiv \pm 1 { \pmod { 5 } } } \\ { - 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } p \equiv \pm 2 { \pmod { 5 } } . } \end{array} \right. }
\frac { 1 } { q ^ { d } | S _ { t } | ^ { 2 } | S _ { t } ^ { d - 2 } | } \sum _ { x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , x ^ { 3 } , x ^ { 4 } \in \mathbb F _ { q } ^ { d } } S _ { t } ( x ^ { 1 } - x ^ { 2 } ) S _ { t } ( x ^ { 2 } - x ^ { 3 } ) S _ { t } ( x ^ { 3 } - x ^ { 4 } ) S _ { t } ( x ^ { 3 } - x ^ { 1 } ) \prod _ { i = 1 } ^ { 4 } f _ { i } ( x ^ { i } ) .
\frac { 2 } { 9 } P _ { \mathrm { S } } \otimes F _ { 2 } ^ { \mathrm { 0 , t - 2 } } + P _ { \mathrm { G } } \otimes G = C _ { d } \, F _ { 2 } ^ { \mathrm { d , t - 2 } } - \frac { 1 } { 1 8 } P _ { \mathrm { N S } } \otimes F _ { 2 } ^ { \mathrm { 8 , t - 2 } } \, ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \boldsymbol { U } _ { h } : = \left\{ \boldsymbol { v } _ { h } \in \mathbf { L } ^ { 2 } ( \Omega ) \left| ~ \boldsymbol { v } _ { h } \right| _ { \tau } \in \mathcal { R } _ { 1 } ( \tau ) , ~ \boldsymbol { v } _ { h } | _ { e } = 0 , \forall \tau \in \mathcal { T } _ { h } \right\} , } \\ & { } & { \mathbb { Q } _ { h } : = \left\{ { q } _ { h } \in { L } ^ { 2 } ( \Omega ) \left| ~ { q } _ { h } \right| _ { \tau } \in P _ { 0 } ( \tau ) , \forall \tau \in \mathcal { T } _ { h } \right\} , } \end{array}
\Gamma _ { 4 } ( \omega _ { i } , \vec { p } _ { i } , \Lambda ) = - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 8 \pi } \: \left( \mathrm { l o g } \frac { \Lambda ^ { 2 } } { E - \frac { P ^ { 2 } } { 4 } } + i \pi \right) ,
d s _ { ( - 1 , 3 ) } ^ { 2 } = H _ { - 1 } ^ { 1 / 2 } \left[ { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } ( d \vec { x } ^ { 2 } + d z ^ { 2 } ) + d \Omega _ { 5 } ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l r } { q \sigma _ { z } | p \rangle = { \frac { u u d } { \sqrt { 6 } } } \Big ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { } & { { \frac { 2 e } { 3 } } ( - 2 \uparrow \uparrow \downarrow + \uparrow \downarrow \uparrow - \downarrow \uparrow \uparrow ) } \\ & { + } & { { \frac { 2 e } { 3 } } ( - 2 \uparrow \uparrow \downarrow - \uparrow \downarrow \uparrow + \downarrow \uparrow \uparrow ) } \\ & { - } & { { \frac { e } { 3 } } ( + 2 \uparrow \uparrow \downarrow + \uparrow \downarrow \uparrow + \downarrow \uparrow \uparrow ) \Big ) } \end{array}
P _ { a } ( \vec { r } | s , x _ { s } ) = G _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } ( \vec { r } , ( 1 - x _ { s } ) s | \vec { 0 } , 0 ) = \frac { 1 } { ( 4 \pi D \tilde { s } _ { a } [ s , x _ { s } ] ) ^ { 3 / 2 } } \exp \left( - \frac { r ^ { 2 } } { 4 D \tilde { s } _ { a } [ s , x _ { s } ] } \right) ,
\Phi _ { A A ^ { \prime } } ^ { c c ^ { \prime } ( 1 ) \{ q \bar { q } \} } ( \vec { q } _ { 1 } , \vec { q } ) = { C _ { 1 } } _ { A A ^ { \prime } } ^ { c c ^ { \prime } } I _ { 1 } + { C _ { 2 } } _ { A A ^ { \prime } } ^ { c c ^ { \prime } } I _ { 2 } ~ ,
\begin{array} { r l r l } { { 3 } \hat { \mu } _ { S } ( p ) } & { = \sum _ { i \in S } \hat { \mu } _ { i } ( p ) , \quad } & & { \hat { \sigma } _ { S } ^ { 2 } ( p ) = \sum _ { i \in S } \hat { \sigma } _ { i } ^ { 2 } ( p ) , } \\ { U _ { S } ^ { \mu } ( p ) } & { = \sum _ { i \in S } U _ { i } ^ { \mu } ( p ) , \quad } & & { L _ { S } ^ { \mu } ( p ) = \sum _ { i \in S } L _ { i } ^ { \mu } ( p ) , } \\ { U _ { S } ^ { \mathrm { v } } ( p ) } & { = \sum _ { i \in S } U _ { i } ^ { \mathrm { v } } ( p ) , \quad } & & { L _ { S } ^ { \mathrm { v } } ( p ) = \sum _ { i \in s } L _ { i } ^ { \mathrm { v } } ( p ) . } \end{array}
{ G } _ { l , l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } } ^ { k } ( \zeta ) = \textrm { e } ^ { - i ( t _ { k } + \zeta ) \delta _ { l , l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } } } \widehat { \xi } _ { l _ { 1 } } \left( t _ { k } + \zeta \right) \widehat { \xi } _ { l _ { 2 } } \left( t _ { k } + \zeta \right) \widehat { \xi } _ { l _ { 3 } } \left( t _ { k } + \zeta \right) , \quad \zeta \in \mathbb { R } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { m } ^ { v : \{ u , w \} } } & { \cong \mathcal { G } _ { m - 2 } \times \{ L , R \} } \\ { \mathcal { G } _ { m } ^ { v : \{ u , 0 \} } } & { \cong \mathcal { G } _ { m - 2 } } \\ { \mathcal { G } _ { m } ^ { v : \{ u \} } } & { \cong \mathcal { G } _ { m - 1 } } \\ { \mathcal { G } _ { m } ^ { 0 : \{ u \} } } & { \cong \mathcal { G } _ { m - 1 } } \end{array}
r _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \mathbf { k } _ { \| } ) = \frac { | \mathbf { E } _ { \mathrm { r e f } } ^ { \sigma } ( \mathbf { k } _ { \| } ) | } { | \mathbf { E } _ { \mathrm { i n c } } ^ { \sigma ^ { \prime } } | } = \frac { i k } { 2 A \varepsilon _ { 0 } } | \mathbf { e } _ { \sigma } \cdot \hat { \boldsymbol { \alpha } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \cdot \mathbf { e } _ { \sigma ^ { \prime } } |
\begin{array} { l } { \displaystyle { \frac { d X } { d t } = 2 c Y ( t - \tau _ { 3 } ) - d X ( t ) ^ { 2 } - b X ( t ) Y ( t ) - a X ( t ) , } } \\ { \displaystyle { \frac { d Y } { d t } = d X ( t - \tau _ { 4 } ) ^ { 2 } - c Y ( t - \tau _ { 3 } ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal T } _ { M } ( { \bf x } _ { s } , { \bf x } _ { r } ) } & { { } = \sqrt { t _ { 0 } ^ { 2 } + \Delta { \bf x } _ { s } \cdot [ t _ { 0 } { \bf \Gamma } _ { M } ] \Delta { \bf x } _ { s } } } \end{array}
M ( \eta ) \, \left( \begin{array} { l l } { a } & { 0 } \\ { 0 } & { b } \end{array} \right) \, M ( \eta ) ^ { \dagger } = \left( \begin{array} { l l } { \eta a + ( 1 - \eta ) b } & { \sqrt { \eta ( 1 - \eta ) } ( a - b ) } \\ { \sqrt { \eta ( 1 - \eta ) } ( a - b ) } & { ( 1 - \eta ) a + \eta b } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \textbf { H } ( \textbf { r } , \textbf { r } ^ { \prime \prime } ) } & { { } = \int \textbf { G } ( \textbf { r } , \textbf { r } ^ { \prime } ) \textbf { K } _ { \alpha } ( \textbf { r } ^ { \prime } , \textbf { r } ^ { \prime \prime } ) d ^ { 2 } r ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } } & { = \left( 1 - \frac { 1 } { \lambda } \right) F _ { \operatorname* { m a x } } ^ { - 1 } \geq 0 , } \\ { c _ { 2 } } & { = \left\{ 1 - ( 1 - \beta ) ^ { 2 } \left[ \frac { 1 } { \lambda } + \frac { \kappa } { \lambda ( \eta - \kappa ) } + \frac { 4 \lambda } { \eta ^ { 2 } } \right] \right\} F _ { \operatorname* { m a x } } ^ { - 1 } \geq 0 , } \end{array}
\hat { \cal A } _ { 2 } = - g { \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { 2 ^ { 2 n - 1 } n ! } } ( { \frac { g } { \pi } } ) ^ { n } \epsilon _ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } . . . \mu _ { n } \nu _ { n } } \theta ^ { \alpha \beta } \partial _ { \beta } ( \hat { A } _ { \alpha } \hat { F } _ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } } . . . \hat { F } _ { \mu _ { n } \nu _ { n } } ) .
\begin{array} { r l r } { i \hbar \partial _ { t } \hat { c } _ { \bf k } } & { = } & { \left[ \hat { c } _ { \bf k } , \hat { H } _ { S } \right] + \int d q \, \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { C } \hat { e } _ { { \bf k } q } , } \\ { i \hbar \partial _ { t } \hat { x } _ { \bf k } } & { = } & { \left[ \hat { x } _ { \bf k } , \hat { H } _ { S } \right] + \int d q \, \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { X } \hat { e } _ { { \bf k } q } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big [ \big ( Q _ { T } ^ { u } - Q _ { T } ^ { u ^ { \theta ^ { \star } } } \big ) ^ { 2 } \big ] } & { \leq C \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } ( u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } - u _ { t } ) ^ { 2 } d t \right] } \\ & { \leq C \| u ^ { \theta ^ { \star } } - u \| _ { \mathcal H ^ { 2 } } ^ { 2 } . } \end{array}
{ } \partial _ { \tau } R _ { i } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) - k _ { 2 i } R _ { i } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) + \int d \tau ^ { \prime \prime } \, \Sigma _ { i i } ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime \prime } ) R _ { i } ( \tau ^ { \prime \prime } , \tau ^ { \prime } )
\Delta _ { h } ( t ) : = \frac { \varphi _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( u _ { 0 } + h v _ { 0 } ) - \varphi _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( u _ { 0 } ) } { h } - \theta _ { u _ { 0 } ; t _ { 0 } } ^ { t } ( v _ { 0 } )
Z = \int [ d \chi ] \prod _ { i } [ d Y _ { 0 } ^ { i } ] \exp \Big ( - S [ \tilde { G } _ { \mu \nu } , \tilde { B } _ { \mu \nu } , \Phi ] - S _ { P V } [ Y _ { 0 } ^ { i } ] \Big ) \ \ e ^ { - \tilde { W } } , \nonumber \,
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } } & { { } \geq \left( 3 \left| \lambda _ { 2 } \right| - \lambda _ { 2 } \right) / 2 } \\ { \quad \lambda _ { 1 } } & { { } \leq 1 / 3 - \lambda _ { 2 } } \end{array}
\{ ( \mathcal { H } _ { i } ) _ { A _ { N - 1 } } , ( \mathcal { H } _ { j } ) _ { A _ { N - 1 } } \} = \{ ( \mathcal { H } _ { i } ^ { \varepsilon } ) _ { A _ { N - 1 } } , ( \mathcal { H } _ { j } ^ { \varepsilon ^ { ^ { \prime } } } ) _ { A _ { N - 1 } } \} = 0 , \ \ \ \ \ \ \varepsilon , \varepsilon ^ { ^ { \prime } } = \pm , \, \ \ i , j = 1 , \ldots , N .
\begin{array} { r l } { M ^ { - l ( \lambda ) } \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { l ( \lambda ) } P _ { \lambda _ { i } } \right] } & { \exp ( F ( z _ { 1 } , . . . , z _ { M } ) ) \Bigr | _ { z _ { 1 } , . . . , z _ { M } = 0 } } \\ { = } & { \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { l ( \lambda ) } ( D _ { i } ) ^ { \lambda _ { i } } \right] \exp ( F ( z _ { 1 } , . . . , z _ { M } ) ) \Bigr | _ { z _ { 1 } , . . . , z _ { M } = 0 } + O ( \frac { 1 } { M } ) , } \end{array}