harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { S _ { n } ( \chi , b ) } & { = \mathop { \sum _ { x _ { 1 } + \cdots + x _ { n } + \frac { b } { x _ { 1 } \cdots x _ { n } } \neq 0 } } _ { x _ { i } \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } \chi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \cdots \chi _ { n } ( x _ { n } ) \chi _ { n + 1 } \left( \frac { b } { x _ { 1 } \cdots x _ { n } } \right) } \\ & { \quad \times \psi \left( \frac { 1 } { x _ { 1 } + \cdots + x _ { n } + \frac { b } { x _ { 1 } \cdots x _ { n } } } \right) } \\ & { = \mathop { \sum _ { z \left( x _ { 1 } + \cdots + x _ { n } + \frac { b } { x _ { 1 } \cdots x _ { n } } \right) = 1 } } _ { z , \ x _ { i } \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } \chi _ { n + 1 } ( b ) \left( \chi _ { 1 } \overline { { \chi _ { n + 1 } } } \right) \! ( x _ { 1 } ) \cdots \left( \chi _ { n } \overline { { \chi _ { n + 1 } } } \right) \! ( x _ { n } ) \psi \left( z \right) } \\ & { = \frac { 1 } { q } \mathop { \sum _ { z , \ x _ { i } \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } } _ { y \in \mathbb { F } _ { q } } \chi _ { n + 1 } ( b ) \left( \chi _ { 1 } \overline { { \chi _ { n + 1 } } } \right) \! ( x _ { 1 } ) \cdots \left( \chi _ { n } \overline { { \chi _ { n + 1 } } } \right) \! ( x _ { n } ) } \\ & { \quad \times \psi \left( z + y \left( 1 - z \left( x _ { 1 } + \cdots + x _ { n } + \frac { b } { x _ { 1 } \cdots x _ { n } } \right) \right) \right) } \\ & { = \frac { \chi _ { n + 1 } ( b ) } { q } \left( \sum _ { z , \ x _ { i } \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } \left( \chi _ { 1 } \overline { { \chi _ { n + 1 } } } \right) \! ( x _ { 1 } ) \cdots \left( \chi _ { n } \overline { { \chi _ { n + 1 } } } \right) \! ( x _ { n } ) \psi \left( z \right) + E _ { n } ( \chi , b ) \right) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle - \frac { ( q - 1 ) ^ { n } } { q } \chi _ { 1 } ( b ) + \frac { 1 } { q } \chi _ { 1 } ( b ) E _ { n } ( \chi , b ) , } & { \mathrm { i f } \ \chi _ { 1 } = \cdots = \chi _ { n + 1 } , } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { q } \chi _ { n + 1 } ( b ) E _ { n } ( \chi , b ) , } & { \mathrm { i f } \ \chi _ { i } \neq \chi _ { j } \ \mathrm { f o r ~ s o m e } \ i \neq j , } \end{array} \right. } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { q ^ { * } = q ^ { n } - \Delta t \hat { D } _ { x } ( q ^ { n } u ^ { n } ) ; } \\ { \eta ^ { * } = \eta ^ { n } - \Delta t \hat { D } _ { x } ( q _ { b } ^ { n } ) - \Delta t \hat { D } _ { x } ( q ^ { * } ) ; } \\ { \eta ^ { n + 1 } = \eta ^ { * } + g \Delta t ^ { 2 } D _ { x } ( h ^ { n } D _ { x } ( \eta ^ { n + 1 } ) ) ; } \\ { q ^ { n + 1 } = q ^ { * } - \Delta t g h ^ { n } D _ { x } ( \eta ^ { n + 1 } ) ; } \\ { z _ { b } ^ { n + 1 } = z _ { b } ^ { n } - \Delta t \hat { D } _ { x } ( q _ { b } ^ { n } ) ; } \\ { h ^ { n + 1 } = \eta ^ { n + 1 } - z _ { b } ^ { n + 1 } - b . } \end{array} \right.
\epsilon = \frac { a ^ { 3 } } { 4 ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int { d ^ { 3 } { \bf k } \frac { F ^ { 2 } } { ( D _ { k } M ) ^ { 1 / 2 } } \omega _ { \bf k } \delta ( k _ { z } v - \omega _ { \bf k } ) } ~ ,
Z = \int D \varphi \; \exp \left\{ i \int d ^ { 4 } x \; \left[ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \left( \partial \varphi \right) ^ { 2 } - m ^ { 2 } \varphi ^ { 2 } \right) + J \varphi \right] \right\}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { t } { 2 \rho ^ { t } } \big ( \| \lambda - \lambda ^ { t + 1 } \| ^ { 2 } - \| \lambda - \lambda ^ { t } \| ^ { 2 } \big ) \geq - \frac { 1 } { 2 \rho ^ { 1 } } \| \lambda - \lambda ^ { 1 } \| ^ { 2 } + \sum _ { t = 2 } ^ { T } \Big ( \frac { t - 1 } { 2 \rho ^ { t - 1 } } - \frac { t } { 2 \rho ^ { t } } \Big ) \| \lambda - \lambda ^ { t } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { \lambda } \mathbb { g } _ { \mu \nu } = \partial _ { \lambda } \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \phi = \langle \partial _ { \lambda } ( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \varrho ) \rangle = \langle \partial _ { \lambda } ( \partial _ { \mu } \varrho \partial _ { \nu } \varrho ) \rangle = - \langle \partial _ { \lambda } \varrho \partial _ { \mu } \varrho \partial _ { \nu } \varrho \rangle , } \end{array}
d s ^ { 2 } = - { \frac { 1 } { 1 - { \frac { 2 m } { r } } } } \, d r ^ { 2 } - r ^ { 2 } ( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta \, d \varphi ^ { 2 } ) + \left( 1 - { \frac { 2 m } { r } } \right) \, d t ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { p _ { i } ( k _ { j } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \oint \mathrm { d } k _ { i } \mathrm { ~ T ~ r ~ } [ \mathcal { A } _ { i } ( { \bf k } ) ] \; \; \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ 1 ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { s e c } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \sqrt { \Delta \mathcal { I } _ { 0 1 } ( \mathbf { r } ) ^ { 2 } + \Delta \mathcal { I } _ { 1 2 } ( \mathbf { r } ) ^ { 2 } + \Delta \mathcal { I } _ { 2 0 } ( \mathbf { r } ) ^ { 2 } } , } \\ { \phi _ { l } } & { { } = \frac { 2 l \pi } { 3 } , \, l = 0 : 2 . } \end{array}
{ { \left( Q _ { x } ^ { r } \right) } _ { i - 1 / 2 } } = \frac { 1 } { 1 2 \Delta x } \left( { { { \bar { Q } } } _ { i - 2 } } - 1 5 { { { \bar { Q } } } _ { i - 1 } } + 1 5 { { { \bar { Q } } } _ { 0 } } - { { { \bar { Q } } } _ { i + 1 } } \right) .
\frac { \displaystyle { \operatorname* { m a x } _ { 0 \le N < M } S _ { N } ( \alpha ) - E _ { M } } } { \sigma _ { M } } \overset { d } { \to } \mathrm { S t a b } ( 1 , 1 ) \qquad \textrm { a n d } \qquad \frac { \displaystyle { \operatorname* { m i n } _ { 0 \le N < M } S _ { N } ( \alpha ) + E _ { M } } } { \sigma _ { M } } \overset { d } { \to } \mathrm { S t a b } ( 1 , - 1 ) .
F _ { \alpha , i } = \mathbf { F } _ { i } \cdot w _ { \alpha } \left[ \frac { \mathbf { e } _ { \alpha } - \mathbf { u } } { c _ { s } ^ { 2 } } + \frac { \left( \mathbf { u } \cdot \mathbf { e } _ { \alpha } \right) \mathbf { e } _ { \alpha } } { c _ { s } ^ { 4 } } \right] + \nabla \rho _ { i } \cdot w _ { \alpha } \left[ - \mathbf { u } + \frac { \left( \mathbf { u } \cdot \mathbf { e } _ { \alpha } \right) \mathbf { e } _ { \alpha } } { c _ { s } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \mathbf { e } _ { \alpha } ^ { 2 } } { c _ { s } ^ { 2 } } - D \right) \mathbf { u } \right] ,
\begin{array} { r l r } { E } & { { } = } & { - \sqrt { \frac { 8 } { 2 7 } } \frac { \langle 1 | | r ( 1 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } } { R _ { 1 2 } ^ { 3 } } \frac { \langle 1 | | r ( 2 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } } { R _ { 1 3 } ^ { 3 } } \frac { \langle 1 | | r ( 3 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } } { R _ { 2 3 } ^ { 3 } } \times } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { d \rightarrow 0 } E _ { z , \mathrm { a v } } = \frac { \epsilon _ { 1 } E _ { 1 , z } ( 0 ) + \epsilon _ { 2 } E _ { 2 , z } ( 0 ) } { 2 \epsilon _ { \mathrm { ~ d ~ } } } \, . } \end{array}
( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 2 , 0 , - 0 . 0 2 5 c \cos ( 8 \pi x ) , 1 + 2 y ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 \leq y < 0 . 5 , } \\ { ( 1 , 0 , - 0 . 0 2 5 c \cos ( 8 \pi x ) , y + 1 . 5 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 . 5 \leq y \leq 1 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \partial \mathfrak { g } _ { \mathbb { V } } ^ { \circ } ( y ) _ { m , \mu } ^ { \prime } } & { = \int _ { 1 } ^ { \infty } \partial \tilde { \Theta } _ { \mathbb { V } } ( u y ) _ { m , \mu } ^ { \prime } \frac { d u } { u } } \\ { \partial \mathfrak { g } _ { \mathbb { V } } ^ { \circ } ( y ) _ { m , \mu } ^ { \prime \prime } } & { = \int _ { 1 } ^ { \infty } \partial \tilde { \Theta } _ { \mathbb { V } } ( u y ) _ { m , \mu } ^ { \prime \prime } \frac { d u } { u } . } \end{array}
- \log \operatorname* { d e t } \left[ I - N ( { \mathfrak { p } } ) ^ { - s } \rho \left( \mathbf { F r o b } _ { \mathfrak { p } } \right) \right] = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { { \mathrm { t r } } ( \rho ( \mathbf { F r o b } _ { \mathfrak { p } } ) ^ { m } ) } { m } } N ( { \mathfrak { p } } ) ^ { - s m }
\left. \begin{array} { r l } { \mathbf { S } _ { 0 } } & { { } = E ^ { 2 } = I \, , } \\ { \mathbf { S } _ { 1 } } & { { } = I \cos 2 \alpha \, , } \\ { \mathbf { S } _ { 2 } } & { { } = I \sin 2 \alpha \cos \beta \, , } \\ { \mathbf { S } _ { 3 } } & { { } = - I \sin 2 \alpha \sin \beta \, . \phantom { Z Z Z } } \end{array} \right\}
\nabla _ { \mu } S ^ { \mu } = \frac { \pi _ { \perp } ^ { \mu \nu } \pi _ { \perp \mu \nu } } { 2 \eta _ { \perp } T } + \frac { W _ { \perp l } ^ { \mu } W _ { \perp l \, \mu } } { \eta _ { l } T } + \frac { \left( \mathcal { P } _ { \perp } ^ { ( 1 ) } - \mathcal { P } _ { l } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } } { 3 \eta _ { l l } T } + \mathcal { O } ( \partial ^ { 3 } ) \; .
\widetilde { \phi } _ { i } = { \bf B } \phi _ { i } = \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \operatorname* { m a x } ( \phi ^ { 1 } ) - \operatorname* { m i n } ( \phi ^ { 1 } ) } } & { } & { } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \phi _ { i } ^ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \phi _ { i } ^ { D } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { \frac { m _ { \mathrm { ~ o ~ , ~ t ~ o ~ t ~ } } ( t ) } { \mathcal { W } _ { \mathrm { ~ o ~ } } } } \\ { V _ { \mathrm { ~ T ~ } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { \nu _ { \mathrm { ~ v ~ } } ( t ) } & { \nu _ { \mathrm { ~ l ~ } } ( t ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { n _ { \mathrm { ~ v ~ } } ( t ) } \\ { n _ { \mathrm { ~ l ~ } } ( t ) } \end{array} \right] } \end{array}
S _ { ( f ) \sigma } ( z , z ^ { \prime } ) = G _ { ( \sigma ) } ( z , z ^ { \prime } ) - \sum _ { r = 1 } ^ { n } \sum _ { N _ { r } = \mu _ { r } , \nu _ { r } } \int _ { C _ { b } ^ { ( r ) } } G _ { ( \sigma ) } ( z , z ^ { \prime \prime } ) \frac { d \theta ^ { \prime \prime } d z ^ { \prime \prime } } { 2 \pi i } \tilde { Y } _ { \sigma , N _ { r } } ^ { ( 1 ) } ( t ^ { \prime \prime } ) \Psi _ { \sigma , N _ { r } } ^ { ( 0 ) } ( z ^ { \prime } )
V _ { 4 } = u _ { q } ( \sum _ { i } Q _ { i } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + v _ { q } \sum _ { i } Q _ { i } ^ { 4 } + u _ { p } ( \sum _ { i } P _ { i } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + v _ { p } \sum _ { i } P _ { i } ^ { 4 } ,
\rho ( z ) = \frac { 1 } { Z } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \ e ^ { - \beta U ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) } \ \delta \left[ \xi ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) - z \right] = \left< \delta \left[ \xi ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) - z \right] \right>
\rho _ { a } ^ { v a c , 0 } ( t _ { 1 } ) \sim { \frac { 1 } { 2 } } m _ { a } ^ { 2 } ( t _ { 1 } ) f _ { a } ^ { 2 } \langle \alpha ^ { 2 } ( t _ { 1 } ) \rangle \sim { \frac { 1 } { 2 } } m _ { a } ^ { 2 } ( t _ { 1 } ) f _ { a } ^ { 2 } ~ ~ ~ \mathrm { ( c a s e ~ 1 ) } \ ,
\mathrm { c a r d } ( C ^ { 0 } ( \mathbb { R } ) ) \leq \mathrm { c a r d } ( \mathbb { R } ^ { \mathbb { Q } } ) = ( 2 ^ { \aleph _ { 0 } } ) ^ { \aleph _ { 0 } } = 2 ^ { \aleph _ { 0 } \cdot \aleph _ { 0 } } = 2 ^ { \aleph _ { 0 } } = { \mathfrak { c } }
\begin{array} { r l } { \bar { F } _ { 3 \, 1 } ^ { 1 } ( i ) } & { { } = \frac { 1 5 } { 3 2 } \sqrt { 4 2 } ( \sin i ) ^ { 2 } \cos i + \frac { 5 } { 3 2 } \sqrt { 4 2 } ( \sin i ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { g ( X , t ) = \frac { \int _ { B _ { \varepsilon } } ( X - y e ^ { - \frac { t } { 2 } } ) e ^ { - \frac { \| X - y e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } p _ { d a t a } ( y ) d y } { \int _ { \Omega } e ^ { - \frac { \| X - y e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } p _ { d a t a } ( y ) d y } + \frac { \int _ { \Omega \backslash B _ { \varepsilon } } ( X - y e ^ { - \frac { t } { 2 } } ) e ^ { - \frac { \| X - y e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } p _ { d a t a } ( y ) d y } { \int _ { \Omega } e ^ { - \frac { \| X - y e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } p _ { d a t a } ( y ) d y } . } \end{array}
J _ { D 0 } ( p ) = \frac { \mathrm { P f } ( \theta ^ { - 1 } ) } { 2 \pi } \int d ^ { 2 } x ~ \left[ e ^ { i p x } P \exp \left( i \int _ { 0 } ^ { 1 } \hat { A } _ { i } ( x + l \tau ) l ^ { i } d \tau \right) \right] \; ,
\begin{array} { r } { \ddot { \theta } _ { J } = \frac { g ( 1 + \chi \cos \theta _ { J } ) \sec \theta _ { J } \sin ( \alpha + \theta _ { J } ) } { R \left( k _ { m } + \frac { \chi ^ { 2 } } { 1 - k _ { m } } + 1 + 2 \chi \cos \theta _ { J } \right) } . } \end{array}
\tilde { { \cal H } } _ { \perp } = 2 \sin \theta \ | \gamma _ { , \rho } | \left( 2 \gamma \gamma _ { , \rho \rho } - 1 + ( \gamma _ { , \rho } ) ^ { 2 } + \, f r a c { 3 } { l ^ { 2 } } \gamma ^ { 2 } \right) \ .
p _ { 0 } ^ { 2 } = \vec { p } ^ { 2 } + b _ { 0 } ^ { 2 } + \vec { b } ^ { 2 } + m ^ { 2 } \pm 2 \sqrt { b _ { 0 } ^ { 2 } \vec { p } ^ { 2 } + \vec { b } ^ { 2 } ( b _ { 0 } ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) } > 0 \ ,
\begin{array} { r l r } { g B _ { 0 } \frac { \partial f } { \partial t } + \frac { 3 \mu B _ { 0 } } { q \gamma r ^ { 2 } } \frac { \partial f } { \partial \varphi } } & { { } + } & { \sum _ { m } e ^ { i m \varphi } \left[ \frac { \mu A _ { m } } { q \gamma r } + i \frac { r \dot { A } _ { m } } { 7 m } \right] \frac { \partial f } { \partial \varphi } = - \left[ \frac { r \dot { S } } { 2 } + \sum _ { m } e ^ { i m \varphi } \left( \frac { 8 r ^ { 2 } \dot { A } _ { m } } { 2 1 } - i m \frac { \mu A _ { m } } { q \gamma } \right) \right] \frac { \partial f } { \partial r } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L } & { { } = } & { h \, h ^ { 2 } + h \sin ^ { 2 } \beta + \frac { h _ { 0 } ^ { 2 } } { h } - 2 h _ { 0 } \sin \beta \, , } \\ { { \cal H } } & { { } = } & { h \, h ^ { 2 } - h \sin ^ { 2 } \beta - \frac { h _ { 0 } ^ { 2 } } { h } + 2 h _ { 0 } \sin \beta \, , } \end{array}
I ( \tau ) \; = \; \exp \left( \sum _ { i , j = 1 } ^ { M } V _ { n } ( w _ { i } - z _ { j } ) - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \neq j } ^ { M } V _ { n } ( w _ { i } - w _ { j } ) - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \neq j } ^ { M } V _ { n } ( z _ { i } - z _ { j } ) \right) \; .
\begin{array} { r l } { t _ { 1 , \frac { n - 1 } { 2 } } ^ { 2 } } & { = \underline { { t _ { 1 , \frac { n + 1 } { 2 } } ^ { 2 } } } t _ { 1 , n - 1 } \delta _ { 0 } ^ { - n } = ( t _ { 1 , \frac { n - 1 } { 2 } } t _ { 1 , n - 1 } ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } \delta _ { 0 } ^ { - \frac { n - 3 } { 2 } n } ) ^ { 2 } t _ { 1 , n - 1 } \delta _ { 0 } ^ { - n } } \\ & { = t _ { 1 , \frac { n - 1 } { 2 } } ^ { 2 } t _ { 1 , n - 1 } ^ { n - 1 } \delta _ { 0 } ^ { - ( n - 3 ) n } t _ { 1 , n - 1 } \delta _ { 0 } ^ { - n } } \\ & { = t _ { 1 , \frac { n - 1 } { 2 } } ^ { 2 } t _ { 1 , n - 1 } ^ { n } \delta _ { 0 } ^ { - ( n - 2 ) n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { 8 \pi \, m _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { m } \beta { \pmb \beta } _ { n } } ( { \pmb \xi } , { \pmb \xi } ) = \int _ { \partial D _ { b } } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb \alpha } _ { m } } h _ { \alpha \beta { \pmb \beta } _ { n } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) d S ( { \pmb x } ) } \\ & { } & { + \int _ { \partial D _ { b } } \, \left( v _ { \alpha \beta { \pmb \beta } _ { n } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) \nabla _ { b } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb \alpha } _ { m } } + n _ { \alpha } ( { \pmb x } ) v _ { c \beta { \pmb \beta } _ { n } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) \nabla _ { c } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb \alpha } _ { m } } \right) d S ( { \pmb x } ) } \end{array}
4 . 1 6 6 6 6 \times 1 0 ^ { - 7 } T ^ { 4 } - 0 . 0 0 0 0 6 6 6 6 6 T ^ { 3 } + 0 . 0 0 3 8 9 5 8 3 3 T ^ { 2 } - 0 . 1 9 8 3 3 3 T + 3 7 . 3 0 2 3
\psi ( h u _ { 1 } ) \le \frac { h ^ { 2 } } { 2 } \frac { 1 } { \lambda } \left\| u _ { 1 } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { h ^ { 2 } } { 2 } \frac { 1 } { \delta ^ { \prime } } \left\| u _ { 1 } \right\| ^ { 2 } \ .
D _ { { \mu } { \nu } } ^ { a b } ( k ) = \frac { i { \delta } _ { a b } } { k ^ { 2 } + i { \epsilon } } ( - g _ { { \mu } { \nu } } + \frac { n _ { \mu } k _ { \nu } + n _ { \nu } k _ { \mu } } { n \cdot k } )
\gamma = 1 ~ \mathrm { \frac { d y n } { c m } } = 1 ~ \mathrm { \frac { e r g } { c m ^ { 2 } } } = 1 ~ \mathrm { \frac { 1 0 ^ { - 7 } \, m \cdot N } { 1 0 ^ { - 4 } \, m ^ { 2 } } } = 0 . 0 0 1 ~ \mathrm { \frac { N } { m } } = 0 . 0 0 1 ~ \mathrm { \frac { J } { m ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { \partial _ { \zeta } U } & { = } & { \Tilde { V } , \quad \partial _ { \zeta } V = \Tilde { U } , } \\ { \partial _ { \zeta } \Tilde { U } } & { = } & { - ( \theta - \langle U ^ { 2 } + V ^ { 2 } \rangle ) U - V + U V ^ { 2 } + U ^ { 3 } } \\ { \partial _ { \zeta } \Tilde { V } } & { = } & { - ( \theta - \langle U ^ { 2 } + V ^ { 2 } \rangle ) V + U + V U ^ { 2 } + V ^ { 3 } - S } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \alpha , \tilde { \nabla } ^ { 2 } \phi \right\rangle - \left\langle \alpha , \nabla \cdot \sigma \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \alpha \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } . } \end{array}
\big ( \boldsymbol { \delta } \boldsymbol { \Phi } , \mathcal { B } \boldsymbol { \Phi } \big ) _ { P } = \Phi _ { s } \big [ \epsilon \Phi _ { x s } - ( 1 - \dot { x } _ { s } ) \Phi _ { s } \big ] + \big [ - \epsilon \Phi _ { x e } + \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \dot { x } _ { e } ) \Phi _ { e } \big ] \Phi _ { e } .
\sum _ { l } \lambda _ { i j l } = 0 \quad ( i < j ) \ , \ \sum _ { \tiny l = 1 , 3 , 5 } \mu _ { i l } = 0 \quad ( i \neq 1 ) \ , \ \sum _ { \tiny l = 1 , 3 , 5 , 7 } \mu _ { 1 l } = 0 \quad .
\begin{array} { r l } { - i \omega { n _ { \perp } } + i k { j _ { \| } } } & { { } = - i ( - ) ^ { p } \tilde { c } _ { \phi } * _ { k } \! \left( k \tilde { A } _ { t } ^ { \perp } + \omega \tilde { A } _ { \| } \right) - \ell { j _ { \perp } ^ { \ell } } , } \\ { i \omega { n } _ { \| } } & { { } = - i \omega \tilde { c } _ { \phi } { * _ { k } \tilde { A } _ { \perp } } + \ell j _ { \| } ^ { \ell } , } \\ { i k { n _ { \| } } } & { { } = - i k \tilde { c } _ { \phi } { * _ { k } \tilde { A } _ { \perp } } + \ell { n _ { \ell } ^ { \perp } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t = s + 1 } ^ { s + L } \sum _ { i = k + s + 1 } ^ { t + k } \mathbb { E } \left[ \ensuremath { \lVert F _ { \alpha } ( A ) A ^ { i - ( k + s + 1 ) } B u _ { t + k - i } u _ { t + k - j } ^ { \top } \rVert } _ { F } ^ { 2 } \right] } \\ & { = \sum _ { t = s + 1 } ^ { s + L } \sum _ { i = k + s + 1 } ^ { t + k } \mathbb { E } \left[ \textsf { T r } \left( F _ { \alpha } ( A ) A ^ { i - ( k + s + 1 ) } B u _ { t + k - i } u _ { t + k - j } ^ { \top } u _ { t + k - j } u _ { t + k - i } ^ { \top } \left( F _ { \alpha } ( A ) A ^ { i - ( k + s + 1 ) } B \right) ^ { \top } \right) \right] } \\ & { = \sum _ { t = s + 1 } ^ { s + L } \sum _ { i = k + s + 1 } ^ { t + k } p \ensuremath { \lVert F _ { \alpha } ( A ) A ^ { i - ( k + s + 1 ) } B \rVert } _ { F } ^ { 2 } } \\ & { \leq L p G _ { \alpha , L } \, . } \end{array}
\hat { \tilde { \mathrm { G } } } _ { \pm } ^ { \mathrm { e x } } ( p ) | \mathrm { p h y s } ; A ; \mathrm { e x \rangle \equiv ( \hat { \mathrm { G } } _ { \pm } ^ { \mathrm { e x } } ( p ) \pm \hbar \frac { e ^ { 2 } \mathrm { L } ^ { 2 } } { 8 { \ p i } ^ { 2 } } \ a l p h a _ { \pm p } ) | \mathrm { p h y s } ; A ; \mathrm { e x \rangle = 0 . } }
\Big . \Big . \Big . \mid \widetilde { f } _ { \eta _ { k } } ^ { s , e } \Big ( X \Big ( j ^ { * } \Big ) \Big ) \Big | - | \widetilde { f } _ { b } ^ { s , e } \Big ( X \Big ( j ^ { * } \Big ) \Big ) \Big | | > c | b - \eta _ { k } | \Delta | \widetilde { f } _ { \eta _ { k } } ^ { s , e } \Big ( X \Big ( j ^ { * } \Big ) \Big ) \Big ) \mid ( e - s ) ^ { - 2 } .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \mathcal { A } } \left( \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ) \right) = \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } ) , \quad } & { \boldsymbol { x } \in \Omega , } \\ { \boldsymbol { \mathcal { B } } \left( \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ) \right) = \boldsymbol { g } ( \boldsymbol { x } ) , \quad } & { \boldsymbol { x } \in \Gamma , } \end{array}
\frac { d P ( M _ { j } ^ { 2 } ; \mu _ { F } ) } { d M _ { j } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { M _ { j } ^ { 2 } } \gamma ( g ( M _ { j } ) ) ~ \Theta ( M _ { j } ^ { 2 } / \mu _ { F } ^ { 2 } ) \exp \left[ - \int _ { M _ { j } ^ { 2 } } ^ { \mu _ { R } ^ { 2 } } \frac { d \mu ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \gamma ( g ( \mu ^ { \prime } ) ) \right] \left( 1 + O ( g ( M _ { j } ) ^ { 2 } ) \right) .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } L _ { n } ( t , \xi ) } & { { } = \left\langle - \partial _ { x } f ( X _ { i } ^ { 0 } L _ { i } ) X _ { n } ^ { 1 } \right\rangle } \\ { L _ { n } ( t _ { 0 } , \xi ) } & { { } = S _ { n i } ^ { 0 } W _ { i } ^ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Pi _ { y , i j k } = \frac { 1 } { 2 } \rho _ { i j k } \left( v _ { y , i j - \frac { 1 } { 2 } k } + v _ { y , i j + \frac { 1 } { 2 } k } \right) , } \end{array}
\mathcal { B } _ { i } ( t ) \tilde { U } _ { i } ( t ) = \mathcal { B } _ { i } ^ { ( 1 ) } ( t ) A _ { 1 } ( t ) + \mathcal { B } _ { i } ^ { ( 2 ) } ( t ) A _ { 2 } ( t ) + \mathcal { B } _ { i } ^ { ( 3 ) } ( t ) A _ { 3 } ( t )
\begin{array} { r l } & { \widehat { D } _ { \mathrm { C S } } ( p _ { s } ( \mathbf { y } ) ; p _ { t } ( \mathbf { y } ) ) = \log \left( \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { M } G _ { \sqrt { 2 } \sigma } ( { \bf y } _ { i } ^ { s } - { \bf y } _ { j } ^ { s } ) \right) + } \\ & { \log \left( \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } G _ { \sqrt { 2 } \sigma } ( { \bf y } _ { i } ^ { t } - { \bf y } _ { j } ^ { t } ) \right) - 2 \log \left( \frac { 1 } { M N } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { N } G _ { \sqrt { 2 } \sigma } ( { \bf y } _ { i } ^ { s } - { \bf y } _ { j } ^ { t } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { - S _ { 2 } ^ { A } } } & { = \frac { \sum _ { \left\{ s _ { 1 } \right\} , \left\{ s _ { 2 } \right\} } P _ { s _ { 1 } } P _ { s _ { 2 } } \det g _ { C = A } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } { \sum _ { \left\{ s _ { 1 } \right\} , \left\{ s _ { 2 } \right\} } P _ { s _ { 1 } } P _ { s _ { 2 } } \det g _ { C = \varnothing } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } } \\ & { = \frac { Z ( \lambda _ { 1 } ) } { Z ( 0 ) } \frac { Z ( \lambda _ { k } ) } { Z ( \lambda _ { 1 } ) } \cdots \frac { Z ( \lambda _ { k + 1 } ) } { Z ( \lambda _ { k } ) } \cdots \frac { Z ( 1 ) } { Z ( \lambda _ { N _ { \lambda } } ) } , } \end{array}
\varkappa \; v = \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \sqrt { 2 + \sqrt [ 3 ] { 1 7 - 1 2 \sqrt { 2 } } + \sqrt [ 3 ] { 1 7 + 1 2 \sqrt { 2 } } } = 1 . 0 3 9 9 . . . ,
\Lambda _ { h } ^ { 2 } = \sum _ { \substack { c _ { j } \in \{ 1 , \dots , N \} , \, \forall j \in \{ 1 , 2 \} } } \Phi _ { c _ { 1 } c _ { 2 } } ^ { 2 , h } x _ { c _ { 1 } } x _ { c _ { 2 } } = \sum _ { \substack { c _ { j } \in \{ 1 , \dots , N \} , \, \forall j \in \{ 1 , 2 \} } } \Phi _ { c _ { 1 } c _ { 2 } } ^ { 2 , h } \eta _ { c _ { 1 } c _ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { { \cal E } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ v ~ p ~ } } , ( 1 ) , \mathrm { ~ D ~ C ~ } } \! } & { { } = } & { \! - \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! \! \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \frac { \mathrm d k } { \pi } \frac { \kappa ^ { 2 } e ^ { - 2 \kappa | x | } } { k ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } } f _ { k } ( x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \hat { w } _ { \pm } ^ { ( 2 ) \prime \prime } } - \left( | \mathbf { k } _ { \pm } | ^ { 2 } + \frac { \mathbf { k } _ { \pm } \cdot \mathbf { U } ^ { \prime \prime } } { \mathbf { k } _ { \pm } \cdot \mathbf { U } - \omega _ { \pm } } \right) \hat { w } _ { \pm } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { \frac { \hat { \mathcal { N } } _ { \pm } ^ { ( 2 ) } } { \mathbf { k } _ { \pm } \cdot \mathbf { U } - \omega _ { \pm } } , } \end{array}
{ \cal A } ( P _ { 1 } , . . . , P _ { n } ) = \int \prod _ { i = 1 } ^ { n } d ^ { \, 4 } x _ { i } \, e ^ { - i \sum _ { l } P _ { l } \cdot x _ { l } } \tilde { A } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) ,
P _ { \mu } ^ { \varepsilon } \: P _ { \mu ^ { \prime } } ^ { \varepsilon } \; = \; \frac { 1 } { 4 } \left( X \: t _ { \mu } ^ { \varepsilon } \: t _ { \mu ^ { \prime } } ^ { \varepsilon } \: X ^ { * } + X \: t _ { \mu } ^ { \varepsilon } \: X \: t _ { \mu ^ { \prime } } ^ { \varepsilon } + t _ { \mu } ^ { \varepsilon } \: X ^ { * } \: t _ { \mu ^ { \prime } } ^ { \varepsilon } \: X ^ { * } \right) .