harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sum _ { k \not = 0 } \mathcal { F } _ { k } \left( I _ { 0 } ^ { \tau } ( f ) \right) \mathrm { e } ^ { i k x } } & { = \sum _ { k \not = 0 } \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } = k } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathrm { e } ^ { - i s ( k ^ { 2 } + k _ { 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 } ^ { 2 } ) } d s \widehat { \overline { { f } } } _ { k _ { 1 } } \widehat { \overline { { f } } } _ { k _ { 2 } } \mathrm { e } ^ { i k x } } \\ & { = \sum _ { k \not = 0 } \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } = k } \frac { k _ { 1 } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathrm { e } ^ { - 2 i s ( k _ { 2 } ^ { 2 } + k k _ { 1 } ) } d s \widehat { \overline { { f } } } _ { k _ { 1 } } \widehat { \overline { { f } } } _ { k _ { 2 } } \mathrm { e } ^ { i k x } } \\ & { \quad + \sum _ { k \not = 0 } \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } = k } \frac { k _ { 2 } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathrm { e } ^ { - 2 i s ( k _ { 1 } ^ { 2 } + k k _ { 2 } ) } d s \widehat { \overline { { f } } } _ { k _ { 1 } } \widehat { \overline { { f } } } _ { k _ { 2 } } \mathrm { e } ^ { i k x } } \\ & { \quad + \sum _ { k \not = 0 } \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } = k } \frac { 2 k _ { 1 } k _ { 2 } } { k ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathrm { e } ^ { - 2 i s ( k ^ { 2 } - k _ { 1 } k _ { 2 } ) } d s \widehat { \overline { { f } } } _ { k _ { 1 } } \widehat { \overline { { f } } } _ { k _ { 2 } } \mathrm { e } ^ { i k x } } \\ & { = T _ { 1 } ^ { \tau } ( f ) + T _ { 2 } ^ { \tau } ( f ) + T _ { 3 } ^ { \tau } ( f ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu ( \mathbf { X } ) } & { = \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { 1 } { | \mathcal { S } _ { g } | ^ { 2 } } \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathcal { S } _ { g } | } \mathbb { E } \left[ \mathbf { X } _ { i } \mathbf { X } _ { i } ^ { T } \right] \right\| _ { \mathbf { x } } , \frac { 1 } { | \mathcal { S } _ { g } | ^ { 2 } } \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathcal { S } _ { g } | } \mathbb { E } \left[ \mathbf { X } _ { i } ^ { T } \mathbf { X } _ { i } \right] \right\| _ { \mathbf { x } } \right\} } \\ & { \le \frac { 1 } { | \mathcal { S } _ { g } | ^ { 2 } } \operatorname* { m a x } \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathcal { S } _ { g } | } \mathbb { E } \left[ \left\| \mathbf { X } _ { i } \mathbf { X } _ { i } ^ { T } \right\| _ { \mathbf { x } } \right] , \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathcal { S } _ { g } | } \mathbb { E } \left[ \left\| \mathbf { X } _ { i } ^ { T } \mathbf { X } _ { i } \right\| _ { \mathbf { x } } \right] \right\} } \end{array}
C _ { Y } ( \infty , \Delta ) = \frac { \alpha _ { 2 } ( \alpha _ { 2 } - 1 ) \Gamma ^ { 2 } \left( ( \alpha _ { 2 } + 1 ) / 2 \right) \delta ^ { 2 } } { 2 \Gamma ( \alpha _ { 2 } ) \mathrm { s i n } ( \pi \alpha _ { 2 } / 2 ) } \Delta ^ { \alpha _ { 2 } - 2 } .
r _ { j } ( u ) = \frac { - ( \xi _ { 0 } ^ { 2 } + u ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } { 2 \xi _ { 0 } \sqrt { 1 + \xi _ { 0 } ^ { 2 } } } \, \, ( 1 - u ^ { 2 } ) \partial _ { u } T _ { j } ( u , \xi _ { 0 } ) \, .
g ^ { \prime } ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { - { \mathord { \cos ( { \frac { 1 } { x } } ) } } + 2 x \sin ( { \frac { 1 } { x } } ) } & { { \mathrm { i f ~ } } x \neq 0 , } \\ { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } x = 0 . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \sum _ { 1 \le j \le i } \left( \frac { \mathtt { j } _ { j } } { \mathtt { j } _ { k } } \right) ^ { \frac { 3 - \alpha } { 2 } } \left( \frac { \mathtt { j } _ { j } } { \mathtt { j } _ { i } } \right) ^ { 3 - \alpha } } & { \le \nu R _ { S _ { 0 } ^ { + } } ^ { 3 - \alpha } \left( \frac { \mathtt { j } _ { i } } { \mathtt { j } _ { k } } \right) ^ { \frac { 3 - \alpha } 2 } , } \\ { \sum _ { i < j \le k } \left( \frac { \mathtt { j } _ { j } } { \mathtt { j } _ { k } } \right) ^ { \frac { 3 - \alpha } { 2 } } \left( \frac { \mathtt { j } _ { i } } { \mathtt { j } _ { j } } \right) ^ { 3 - \alpha } } & { = \sum _ { i < j \le k } \left( \frac { \mathtt { j } _ { i } } { \mathtt { j } _ { k } } \right) ^ { \frac { 3 - \alpha } { 2 } } \left( \frac { \mathtt { j } _ { j } } { \mathtt { j } _ { i } } \right) ^ { \frac { 3 - \alpha } 2 } \left( \frac { \mathtt { j } _ { i } } { \mathtt { j } _ { j } } \right) ^ { 3 - \alpha } \le \nu R _ { S _ { 0 } ^ { + } } ^ { \frac { 3 - \alpha } 2 } \left( \frac { \mathtt { j } _ { i } } { \mathtt { j } _ { k } } \right) ^ { \frac { 3 - \alpha } 2 } , } \\ { \sum _ { k < j \le \nu } \left( \frac { \mathtt { j } _ { k } } { \mathtt { j } _ { j } } \right) ^ { \frac { 3 - \alpha } { 2 } } \left( \frac { \mathtt { j } _ { i } } { \mathtt { j } _ { j } } \right) ^ { 3 - \alpha } } & { = \sum _ { k < j \le \nu } \left( \frac { \mathtt { j } _ { i } } { \mathtt { j } _ { k } } \right) ^ { \frac { 3 - \alpha } 2 } \left( \frac { \mathtt { j } _ { i } \mathtt { j } _ { k } ^ { 2 } } { \mathtt { j } _ { j } ^ { 3 } } \right) ^ { \frac { 3 - \alpha } 2 } \le \nu R _ { S _ { 0 } ^ { + } } ^ { \frac { 3 - \alpha } 2 } \left( \frac { \mathtt { j } _ { i } } { \mathtt { j } _ { k } } \right) ^ { \frac { 3 - \alpha } 2 } . } \end{array}
0 = \mathrm { p . v . } \int { d \beta } \left\{ { { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \cot \left( { { \frac { \alpha - \beta } { 2 } } } \right) - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \left( { \zeta _ { B } ( x ^ { n } ) - ( - 1 ) ^ { n } \zeta _ { F } ( x ^ { n } ) } \right) \sin \left( { n ( \alpha - \beta ) } \right) } } \right\} \rho ( \beta )
\begin{array} { r l } { \operatorname { U E L B O } ( \phi , \psi , \Tilde { \phi } | y ) } & { { } = \operatorname { \mathbb { E } } _ { w \sim q _ { \phi } , \lambda \sim q _ { \psi } } \left[ \log \left\{ \frac { p ( y | w , \lambda ) \exp \left\{ - \beta H ( w | \lambda ) \right\} p ( \lambda ) } { q _ { \phi } ( w ) q _ { \psi } ( \lambda ) } \right\} \right] } \end{array}
P \ = \ \mathrm { ~ \frac { 1 } { 9 0 } ~ } { \pi } ^ { 2 } ( N \! - \! 1 ) \, T ^ { 4 } \Bigg [ 1 \, + \, \frac { N \! - \! 2 } { 7 2 } \, \frac { T ^ { 4 } } { F ^ { 4 } } \, \ln { \frac { T _ { p } } { T } } \, + \, { \cal O } ( T ^ { 6 } ) \, \Bigg ] \, .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \rho _ { ( ( \varphi _ { h } ) ^ { * } ) _ { \smash { \vert \boldsymbol { \mathcal { A } } _ { h } ( \cdot , \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) \vert } } , \Omega } ( h _ { \mathcal { T } } f ) \lesssim \rho _ { ( ( \varphi _ { h } ) _ { \smash { \vert \nabla u \vert } } ) ^ { * } , \Omega } ( h _ { \mathcal { T } } f ) + \| F _ { h } ( \cdot , \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } \, . } \end{array} } \end{array}
J _ { 1 } ( \frac \phi v ) = \left( \begin{array} { c c c c } { { \phi _ { 2 } ^ { 1 } } } & { { \phi _ { 3 } ^ { 1 } } } & { { \cdots } } & { { \phi _ { m } ^ { 1 } } } \\ { { \phi _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { \phi _ { 3 } ^ { 2 } } } & { { \cdots } } & { { \phi _ { m } ^ { 2 } } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } \\ { { \phi _ { 2 } ^ { m - 1 } } } & { { \phi _ { 3 } ^ { m - 1 } } } & { { \cdots } } & { { \phi _ { m } ^ { m - 1 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { S _ { \tau } \left( \varphi \left( t _ { n } \right) \right) = e ^ { i \tau \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } \varphi \left( t _ { n } \right) + \varepsilon ^ { 2 } \cdot \frac { \tau } { 2 } \left[ G \left( \varphi \left( t _ { n } + \tau \right) \right) + e ^ { i \tau \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } G \left( \varphi \left( t _ { n } \right) \right) \right] , } \end{array}
p _ { R , n } ^ { k } = \pm \sqrt { ( E _ { n } ^ { k } ) ^ { 2 } - \bar { \omega } _ { - } ^ { 2 } ( R _ { n } ^ { k } ) ^ { 2 } - \left( \frac { l _ { n } ^ { k } } { R _ { n } ^ { k } } \right) ^ { 2 } } \ .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big [ \widetilde { C } _ { k } ( m , t , G , \sigma ( t , G ^ { ( 1 ) } ) ) - C _ { k } ( m , G ) \big ] } & { = ( 1 + \widetilde { O } ( n ^ { - 1 } ) ) ( 2 \beta ) ^ { k } , } \\ { \mathbb { E } \big [ \widetilde { C } _ { k } ( m , t , G , \sigma ( t , G ^ { ( 2 ) } ( t ) ) ) - C _ { k } ( m , G ) \big ] } & { = ( 1 + \widetilde { O } ( n ^ { - 1 / 4 } ) ) 2 \cdot ( 2 \beta ) ^ { k } , } \\ { \operatorname { V a r } \big [ \widetilde { C } _ { k } ( m , t , G , \sigma ( t , G ^ { ( 1 ) } ) ) - C _ { k } ( m , G ) \big ] } & { = O ( n ^ { - 5 / 6 } \operatorname { V a r } [ C _ { k } ( m , G ) ] ) , } \\ { \operatorname { V a r } \big [ \widetilde { C } _ { k } ( m , t , G , \sigma ( t , G ^ { ( 2 ) } ( t ) ) ) - C _ { k } ( m , G ) \big ] } & { = O ( n ^ { - 5 / 6 } \operatorname { V a r } [ C _ { k } ( m , G ) ] ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi ^ { - 1 } | \partial \nu _ { \mathbb { V } ^ { \mathrm { n i l p } } } ^ { \circ } ( v ) } & { - \partial \nu _ { \tilde { \mathbb { V } } ^ { \mathrm { n i l p } } } ^ { \circ } ( v ) | _ { t } } \\ & { = | e ^ { - 2 \pi h _ { \mathcal { V } } ( s _ { v } ) } \partial \| v \| _ { \mathcal { V } } ^ { 2 } - e ^ { - 2 \pi h _ { \tilde { \mathcal { V } } } ( s _ { v } ) } \partial \| v \| _ { \tilde { \mathcal { V } } } ^ { 2 } | _ { t } } \\ & { \leq | e ^ { - 2 \pi h _ { \mathcal { V } } ( s _ { v } ) } - e ^ { - 2 \pi h _ { \tilde { \mathcal { V } } } ( s _ { v } ) } | \cdot | \partial \| v \| _ { \tilde { \mathcal { V } } } ^ { 2 } | _ { t } } \\ & { \quad + e ^ { - 2 \pi h _ { \tilde { \mathcal { V } } } ( s _ { v } ) } \cdot | \partial \| v \| _ { \mathcal { V } } ^ { 2 } - \partial \| v \| _ { \tilde { \mathcal { V } } } ^ { 2 } | _ { t } } \\ & { \leq C e ^ { - \pi h _ { \tilde { \mathcal { V } } } ( s _ { v } ) } \cdot ( - \log | t | ) ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol R _ { s } = \left[ \begin{array} { c c c } { \cos \left( \Omega \, t \right) } & { - \sin \left( \Omega \, t \right) } & { 0 } \\ { \sin \left( \Omega \, t \right) } & { \cos \left( \Omega \, t \right) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { \rho } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \epsilon _ { s } = 1 + \tau - \tau \left\langle \left( \frac { \omega - \omega _ { * i } } { \omega - k _ { \parallel } v _ { \parallel } - \omega _ { d } } \right) _ { s } \frac { F _ { M i } } { N _ { 0 } } J _ { s } ^ { 2 } \right\rangle _ { v } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { z } & { { } = \left( \tan \frac { \theta } { 2 } \right) ^ { 1 / a } e ^ { i \phi } } \\ { e ^ { \varphi } } & { { } = \frac { a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } { \left( \tan \frac { \theta } { 2 } \right) ^ { 2 / a } } . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } V _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } \frac { P _ { 0 } } { \rho _ { 0 } } - \frac { G M _ { \odot } } { R _ { \odot } } \equiv \frac { 1 } { 2 } V _ { m } ^ { 2 } > 0
\Delta _ { P , A , V } = { \frac { \sqrt 2 } { G _ { F } V _ { u s } } } \bigg [ { \frac { G _ { P } m _ { K } ^ { 2 } } { ( m _ { s } + m _ { d } ) m _ { \mu } } } , ~ G _ { A } , ~ G _ { V } \bigg ] \, ,
u _ { \mathrm { ~ r ~ } , 2 } = \xi ( 2 c _ { w } u _ { \mathrm { ~ i ~ m ~ p ~ } } \rho _ { w } + \big ( \frac { c _ { w } \rho _ { w } } { c _ { i , 2 } \rho _ { i } } + \frac { c _ { i , 2 } } { c _ { i , 1 } } - 1 \big ) p _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ } } + c _ { w } \rho _ { w } u _ { \mathrm { ~ r ~ } , 1 } ) \ ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } ^ { ( k ) } ( \mathcal { N } _ { n , p , d } ) } & { = \frac { 1 } { k } \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq l \leq k } \mathcal { P } ^ { ( 1 ) } ( R _ { d } ^ { \otimes n l } \otimes \mathcal { E } _ { p , d } ^ { \otimes k - l } ) } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } \left\{ \begin{array} { l l } { 2 n } \\ { \frac { 2 n } { k } + \frac { k - 1 } { k } ( 1 - p ) n ^ { \alpha } } \\ { ( 1 - 2 p ) n ^ { \alpha } , } \end{array} \right. } \\ { \mathcal { P } ^ { ( k ) } ( \mathcal { N } _ { n , p , d } ^ { c } ) } & { = \frac { 1 } { k } \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq l \leq k } \mathcal { P } ^ { ( 1 ) } ( R _ { d } ^ { c \, \otimes n l } \otimes \mathcal { E } _ { 1 - p , d } ^ { \otimes k - l } ) } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } \left\{ \begin{array} { l l } { 2 n } \\ { \frac { 2 n } { k } + \frac { k - 1 } { k } p n ^ { \alpha } . } \end{array} \right. } \end{array}
R e ( \tilde { n } ( 0 ) ) - 1 = { \frac { 4 4 r _ { e } ^ { 2 } \lambda _ { e } } { 1 3 5 m c ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { n ( \epsilon ) \epsilon d \epsilon } = { \frac { 4 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { 2 0 2 5 } } { \frac { T ^ { 4 } } { m ^ { 4 } c ^ { 8 } } } \, .
{ \begin{array} { r l } { 0 = } & { L [ \mathbf { q } [ t _ { 2 } ] , { \dot { \mathbf { q } } } [ t _ { 2 } ] , t _ { 2 } ] T - L [ \mathbf { q } [ t _ { 1 } ] , { \dot { \mathbf { q } } } [ t _ { 1 } ] , t _ { 1 } ] T - { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial \mathbf { q } } } { \dot { \mathbf { q } } } [ t _ { 2 } ] T + { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial \mathbf { q } } } { \dot { \mathbf { q } } } [ t _ { 1 } ] T } \\ & { + { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial \varepsilon } } [ t _ { 2 } ] - { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial \varepsilon } } [ t _ { 1 } ] . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { n _ { \mathrm { x c } } ^ { \lambda } ( \mathbf { r } , u ) } & { = \frac { 1 } { 4 \pi } \int \mathrm { d } \Omega _ { \mathbf { u } } n _ { \mathrm { x c } } ^ { \lambda } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } + \mathbf { u } ) } \\ & { \approx \sum _ { i } ^ { N _ { \Omega } } w _ { i } ^ { \Omega } n _ { \mathrm { x c } } ^ { \lambda } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { i } ^ { \Omega } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( \boldsymbol x ) = \int _ { \mathbb R ^ { 2 } } \hat { f } ( \boldsymbol v ) \, \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol v \boldsymbol x } \, \mathrm { d } \boldsymbol v = b ^ { 2 } \, \mathrm { s i n c } ^ { 2 } ( b \pi \boldsymbol x ) = b ^ { 2 } \, \mathrm { s i n c } ^ { 2 } ( b \pi x _ { 1 } ) \, \mathrm { s i n c } ^ { 2 } ( b \pi x _ { 2 } ) , \quad \boldsymbol x \in \mathbb R ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell ^ { \pm } ( \mathbf x ( \theta ) - \mathbf x ( \theta ^ { \prime } ) , \lambda ) } & { = G _ { 0 } ( \theta , \theta ^ { \prime } , \lambda ) ( \gamma _ { \lambda } ^ { \pm } ( \theta ) - \theta ^ { \prime } ) ( \theta - \theta ^ { \prime } ) } \\ { \ell _ { 1 } ^ { \pm } ( \mathbf x ( \theta ) - \mathbf x ( \theta ^ { \prime } ) , \lambda ) } & { = G _ { 1 } ( \theta , \theta ^ { \prime } , \lambda ) ( \theta - \theta ^ { \prime } ) , } \\ { \ell _ { 2 } ^ { \pm } ( \mathbf x ( \theta ) - \mathbf x ( \theta ^ { \prime } ) , \lambda ) } & { = G _ { 2 } ( \theta , \theta ^ { \prime } , \omega ) ( \theta - \theta ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf e ^ { \prime } : = \varphi ( \mathbf d ^ { \prime } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \overline { { 0 \mathbf w _ { 2 - i _ { 1 } } \cdots \mathbf w _ { 2 - i _ { n } } \mathbf w _ { 2 } \mathbf w _ { i _ { 1 } } \cdots \mathbf w _ { i _ { n } } ( 1 - i _ { n } / 2 ) } } , } & { d _ { m } = 0 } \\ { \overline { { 0 \mathbf w _ { 2 - i _ { 1 } } \cdots \mathbf w _ { 2 - i _ { n - 1 } } \mathbf w _ { 1 } \mathbf w _ { i _ { 1 } } \cdots \mathbf w _ { i _ { n } } ( 1 - i _ { n } / 2 ) } } , } & { d _ { m } = 1 } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { e _ { 1 } \cdots e _ { m - 1 } 0 \overline { { \mathbf d } } , } & { d _ { m } = 0 } \\ { e _ { 1 } \cdots e _ { m - 2 } 0 \overline { { \mathbf d } } , } & { d _ { m } = 1 } \end{array} \right. . } \end{array}
\Gamma ( b _ { 1 } \to \gamma + \gamma ) = \zeta \left( { \frac { M _ { 1 } } { 2 m _ { P } } } \right) ^ { 4 } \left( { \frac { A } { \ell _ { P } ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } { \frac { M _ { 1 } } { 2 \hbar } } .
\left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu \rho ^ { 5 } } \frac { \partial } { \partial \rho } \rho ^ { 5 } \frac { \partial } { \partial \rho } + \frac { \hat { \Lambda } ^ { 2 } } { 2 \mu \rho ^ { 2 } } + V ( \rho , \Tilde { \theta } , \phi ) \right] \Psi ( \rho , \Tilde { \theta } , \phi , \alpha , \beta , \gamma ) = E \Psi ( \rho , \Tilde { \theta } , \phi , \alpha , \beta , \gamma ) ,
\small \begin{array} { r l } { { \sf d e e c [ 2 ] } = } & { { } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } - \frac { 3 } { 3 2 } \, z \, a ( - k n ) \bigg [ 4 x \left( 1 - 3 x ^ { 2 } \right) \left( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \right) ^ { 2 } + 3 x \left( 1 - x ^ { 2 } \right) \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } + \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| G ^ { n } ( t , \tilde { u } _ { t } ^ { n } ) - \hat { G } ( t , \tilde { u } _ { t } ) \| _ { H } } \\ & { = \| P _ { n } \hat { G } ( t , P _ { n } \tilde { u } _ { t } ^ { n } ) - \hat { G } ( t , \tilde { u } _ { t } ) \| _ { H } } \\ & { \le \| P _ { n } \hat { G } ( t , P _ { n } \tilde { u } _ { t } ^ { n } ) - P _ { n } \hat { G } ( t , P _ { n } \tilde { u } _ { t } ) \| _ { H } } \\ & { \quad + \| P _ { n } \hat { G } ( t , P _ { n } \tilde { u } _ { t } ) - P _ { n } \hat { G } ( t , \tilde { u } _ { t } ) \| _ { H } + \| P _ { n } \hat { G } ( t , \tilde { u } _ { t } ) - \hat { G } ( t , \tilde { u } _ { t } ) \| _ { H } } \\ & { \le \| \hat { G } ( t , P _ { n } \tilde { u } _ { t } ^ { n } ) - \hat { G } ( t , P _ { n } \tilde { u } _ { t } ) \| _ { H } + \| \hat { G } ( t , P _ { n } \tilde { u } _ { t } ) - \hat { G } ( t , \tilde { u } _ { t } ) \| _ { H } } \\ & { \quad + \| P _ { n } \hat { G } ( t , \tilde { u } _ { t } ) - \hat { G } ( t , \tilde { u } _ { t } ) \| _ { H } . } \end{array}
{ \frac { \langle L _ { i } ^ { 0 } \rangle } { \langle H _ { 1 } ^ { 0 } \rangle } } = - { \frac { B _ { i } \tan \beta + ( m _ { L _ { i } H _ { 1 } } ^ { 2 } + \mu \mu _ { i } ) + \Sigma _ { L _ { i } } ^ { ( 1 ) } } { m _ { L _ { i } } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } M _ { Z } ^ { 2 } c _ { 2 \beta } + \Sigma _ { L _ { i } } ^ { ( 2 ) } } } \, ,
\frac { \partial a _ { s } } { \partial \ln \mu ^ { 2 } } = - \beta _ { 0 } a _ { s } ^ { 2 } - \beta _ { 1 } a _ { s } ^ { 3 } - \beta _ { 2 } a _ { s } ^ { 4 } - \beta _ { 3 } a _ { s } ^ { 5 } + O ( a _ { s } ^ { 6 } ) ~ .
\begin{array} { r l r } { \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } \setminus j } \frac { | k | } { | j - k | ^ { 3 } + 1 } } & { \leq } & { \operatorname* { m a x } \{ 2 , | j | \} + \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } , | k - j | > 1 } \frac { | k | } { | j - k | ^ { 3 } + 1 } } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } \{ 2 , | j | \} + 2 \sum _ { u = 2 } ^ { N } \frac { u } { u ^ { 3 } + 1 } + \frac { | j | } { u ^ { 3 } + 1 } } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } \{ 2 , | j | \} + 2 \int _ { 1 } ^ { \infty } u ^ { - 2 } + | j | u ^ { - 3 } \, d u } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } \{ 2 , | j | \} + 2 \left( 1 + \frac { | j | } { 2 } \right) , } \end{array}
\partial _ { t } \Omega ( t , \xi ) - 4 \nu \partial _ { \xi } ^ { 2 } \Omega ( t , \xi ) - g ( t ) \xi ^ { \beta } \partial _ { \xi } \Omega ( t , \xi ) \geq C _ { d } g ( t ) \left[ \int _ { 0 } ^ { \xi } \Omega ( t , \eta ) \eta ^ { \beta - 2 } d \eta + \frac { \Omega ( t , \xi ) } { ( 1 - \beta ) \xi ^ { 1 - \beta } } \right]
\begin{array} { r l } { S _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } ; \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } } } & { { } \equiv \mathscr { F } \left[ S _ { t _ { 1 } t _ { 2 } ; t _ { 1 } ^ { \prime } t _ { 2 } ^ { \prime } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { x } ^ { + } u | _ { x = x _ { i + 1 / 2 } } = } & { { } \Big ( c _ { 1 } ^ { + } ( x _ { i + 1 / 2 } ) u ( x _ { i + 1 } ) + c _ { 0 } ^ { + } ( x _ { i + 1 / 2 } ) u ( x _ { i } ) \Big ) } \\ { + } & { { } \Big ( c _ { 2 } ^ { + } ( x _ { i + 1 / 2 } ) u ( x _ { i + 2 } ) + c _ { - 1 } ^ { + } ( x _ { i + 1 / 2 } ) u ( x _ { i - 1 } ) \Big ) } \\ { + } & { { } \cdots } \\ { + } & { { } \Big ( c _ { r } ^ { + } ( x _ { i + 1 / 2 } ) u ( x _ { i + r } ) + c _ { - r + 1 } ^ { + } ( x _ { i + 1 / 2 } ) u ( x _ { i - r + 1 } ) \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { j , k } = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \partial _ { x _ { j } } ^ { \alpha + l } | x - x _ { j } | \partial _ { x _ { k } } ^ { \beta + m } | y - x _ { k } | \psi ( x , \mathbf { \hat { x } } ) \overline { { \psi ( y , \mathbf { \hat { x } } ) } } \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) \, d \mathbf { \hat { x } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \underset { \left\{ \mathbf { F } , \mathbf { V } , \mathbf { W } \right\} } { \operatorname* { m i n } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mu _ { k , ( 1 ) } \left[ \mathrm { t r } \left( \mathbf { W } _ { k , ( 1 ) } \mathbf { E } _ { k , ( 1 ) } \right) - \log _ { 2 } \left| \mathbf { W } _ { k , ( 1 ) } \right| \right] } } \\ & { \mathrm { s } . \mathrm { t } . \left\| \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } , ( 1 ) } \right\| ^ { 2 } \leqslant p _ { k } \, \, \forall k = 1 , \dots , K } \end{array}
\begin{array} { r l } & { e _ { 1 } = \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { s } e ^ { i ( \tau - s ) \Delta } P _ { N } \left( d B ( e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } v ( \sigma ) ) [ e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } B ( v ( \sigma ) ) ] \right) \mathrm { d } \sigma \mathrm { d } s , } \\ & { e _ { 2 } = \tau ^ { 2 } e ^ { i \tau \Delta } I _ { N } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - \theta ) \left( d B ( \Phi _ { B } ^ { \theta \tau } ( P _ { N } v _ { 0 } ) ) [ B ( \Phi _ { B } ^ { \theta \tau } ( P _ { N } v _ { 0 } ) ) ] \right) \mathrm { d } \theta \right) , } \\ & { e _ { 3 } = \int _ { 0 } ^ { \tau } e ^ { i ( \tau - s ) \Delta } P _ { N } B ( e ^ { i s \Delta } v _ { 0 } ) \mathrm { d } s - \tau e ^ { i \tau \Delta } I _ { N } B ( P _ { N } v _ { 0 } ) . } \end{array}
\alpha _ { s } ^ { ( \mathrm { C ) } } ( q ^ { 2 } ) = \frac { 4 \pi } { \beta _ { 0 } \ln \left( \frac { q ^ { 2 } + 4 M _ { g } ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) } { \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } ^ { 2 } } \right) } ,
\begin{array} { r } { W = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { - i ( \omega _ { - } - \omega _ { e ^ { \prime \prime } e } ) \tau _ { 0 } x } \tilde { \phi } ^ { * } \left( x \right) \tilde { \phi } \left( x + \frac { \Delta T } { \tau _ { 0 } } \right) d x . } \end{array}
G ^ { i j } = { \frac { 1 } { \operatorname * { d e t } ( G ) } } \left( \begin{array} { c c } { { G _ { 2 2 } } } & { { - G _ { 1 2 } } } \\ { { - G _ { 1 2 } } } & { { G _ { 1 1 } } } \end{array} \right) = { \frac { 4 } { 3 } } \left( \begin{array} { c c } { { G _ { 2 2 } } } & { { - G _ { 1 2 } } } \\ { { - G _ { 1 2 } } } & { { G _ { 1 1 } } } \end{array} \right) ~ .
\| ( ( \partial ^ { \alpha } \mathbb { L } ^ { - 1 } ) ^ { * } - \mathbb { K } _ { \alpha } ) v \| _ { 2 } ^ { 2 } = \| \mathbb { 1 } _ { \mathbb { R } ^ { m } \setminus \Omega _ { 0 } } ( \partial ^ { \alpha } \mathbb { L } ^ { - 1 } ) ^ { * } v \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { 0 } } ( ( \partial ^ { \alpha } \mathbb { L } ^ { - 1 } ) ^ { * } - \mathbb { K } _ { \alpha } ) v \| _ { 2 } ^ { 2 }
\begin{array} { l l } { f _ { 3 4 } = } & { { m _ { 1 } } \left( \frac { 1 } { \left( \left( { x _ { 1 } } - { x _ { 3 } } \right) ^ { 2 } + \left( { y _ { 1 } } - { y _ { 3 } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } - \frac { 1 } { \left( \left( { x _ { 1 } } - 1 \right) ^ { 2 } + { y _ { 1 } } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) \left( \left( - { x _ { 3 } } + 1 \right) { y _ { 1 } } + { y _ { 3 } } \left( { x _ { 1 } } - 1 \right) \right) - } \\ & { 2 { m _ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \left( \left( { x _ { 3 } } + 1 \right) ^ { 2 } + { y _ { 3 } } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } - \frac { 1 } { 8 } \right) { y _ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \mathrm { ~ \operatorname* { m a x } _ { R , x _ 0 } ~ } \quad R } \\ & { \; \mathrm { s . t . } \quad \; ( x _ { 0 } ^ { i } + R ) - x _ { 1 } \le - m _ { 1 i } } & { \quad \forall \; i \in \{ 2 , \dots , e \} } \\ & { \; x _ { 1 } - ( x _ { 0 } ^ { j } - R ) \le - m _ { j 1 } } & { \quad \forall \; j \in \{ 2 , \ldots , e \} } \\ & { \; ( x _ { 0 } ^ { j } + R ) - x _ { 0 } ^ { i } \leq - m _ { i j } } & { \quad \forall \; i , j \in \{ 2 , \ldots , e \} , \; i \neq j } \\ & { \; x _ { 0 } ^ { 1 } = 0 . } \end{array}