harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { 1 } { \alpha k _ { 0 } ^ { 2 } - | \mathbf { k } | ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \varepsilon } + \frac { 1 } { \alpha k _ { 0 } ^ { 2 } - | \mathbf { k } | ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \varepsilon } \bullet \frac { - \delta \alpha k _ { 0 } ^ { 2 } } { \alpha k _ { 0 } ^ { 2 } - | \mathbf { k } | ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \varepsilon } + . . . . . .
\vec { \gamma } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \vec { \sigma } } } \\ { { - \vec { \sigma } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \; , \; \gamma _ { 5 } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \; , \; \gamma _ { 0 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
P ( \mathcal I \, | \, \boldsymbol \uprho , \vec { w } ) \propto \prod _ { ( \vec { k } _ { 1 } , \dots , \vec { k } _ { l } ) \in \mathcal I } \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } \int _ { \mathrm { S O } ( 3 ) } P ( \vec { k } _ { 1 } , \dots , \vec { k } _ { l } \, | \, \vec { R } \rho _ { i } ) \, \mathrm d \vec { R } \, .
\mathbf { b } ^ { i } = { \boldsymbol { F } } ^ { - \mathrm { { T } } } \mathbf { e } ^ { i } ~ ; ~ ~ g ^ { i j } = [ { \boldsymbol { F } } ^ { - \mathrm { { 1 } } } { \boldsymbol { F } } ^ { - \mathrm { { T } } } ] _ { i j } ~ ; ~ ~ g _ { i j } = [ g ^ { i j } ] ^ { - 1 } = [ { \boldsymbol { F } } ^ { \mathrm { { T } } } { \boldsymbol { F } } ] _ { i j }
\begin{array} { r l } { \alpha ( \hbar \omega ) \approx \frac { 1 } { \hbar \omega } \Bigg ( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 2 R ^ { * } } { n ^ { 3 } } } & { \mathcal { G } \left( E _ { x _ { n } } - \hbar \omega \right) + } \\ & { \int _ { E _ { g } } ^ { \infty } \frac { \mathcal { G } \left( E - \hbar \omega \right) } { 1 - e ^ { - 2 \pi \sqrt { \frac { R ^ { * } } { E - E _ { g } } } } } d E \Bigg ) } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } } \\ { a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } & { \cdots } & { a _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { n 1 } } & { a _ { n 2 } } & { \cdots } & { a _ { n n } } \end{array} \right] } \mapsto { \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 1 } } & { t _ { 1 } t _ { 2 } ^ { - 1 } a _ { 1 2 } } & { \cdots } & { t _ { 1 } t _ { n } ^ { - 1 } a _ { 1 n } } \\ { t _ { 2 } t _ { 1 } ^ { - 1 } a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } & { \cdots } & { t _ { 2 } t _ { n } ^ { - 1 } a _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { t _ { n } t _ { 1 } ^ { - 1 } a _ { n 1 } } & { t _ { n } t _ { 2 } ^ { - 1 } a _ { n 2 } } & { \cdots } & { a _ { n n } } \end{array} \right] } .
\Delta _ { _ N } \hat { \sigma } ^ { q } = { \frac { d \hat { \sigma } ^ { \ell q ^ { \uparrow } \to \ell q ^ { \uparrow } } } { d \hat { t } } } - { \frac { d \hat { \sigma } ^ { \ell q ^ { \uparrow } \to \ell q ^ { \downarrow } } } { d \hat { t } } } \, \cdot
\begin{array} { r } { \left( \partial _ { i } \partial _ { k } - \frac { 1 } { \ell ^ { 2 } } \delta _ { i k } \right) G _ { k j } ( x - x ^ { \prime } ) = - \delta _ { i j } \delta ^ { 2 } ( x - x ^ { \prime } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { P } _ { A ^ { \prime } } [ p ^ { \prime } ( a ) ] } & { { } = } & { \sum _ { a ^ { \prime } \in A ^ { \prime } } \delta _ { p ^ { \prime } ( a ) , p ( a | a ^ { \prime } ) } \, p ( a ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \mathbf { x } } } & { { } = s _ { I } \left( \mathbf { x } \right) = \frac { \mathbf { x } - ( \mathbf { x } _ { \operatorname* { m a x } } + \mathbf { x } _ { \operatorname* { m i n } } ) / 2 } { ( \mathbf { x } _ { \operatorname* { m a x } } - \mathbf { x } _ { \operatorname* { m i n } } ) / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } } & { = - \frac { 1 } { \sigma } ( z _ { \lambda } + z _ { \lambda ^ { \prime } } ) - \frac { \kappa } { \sigma ^ { 2 } } ( | \lambda | - | \lambda ^ { \prime } | ) ^ { 2 } , \ \ \mathrm { c l a s s ~ A I I I } , } \\ { x _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } } & { = - \frac { 1 } { \sigma } ( z _ { \lambda } + z _ { \lambda ^ { \prime } } ) - \frac { 2 \kappa } { \sigma ^ { 2 } } ( | \lambda | - | \lambda ^ { \prime } | ) ^ { 2 } , \ \ \mathrm { c l a s s ~ C I I } , } \\ { x _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } } & { = - \frac { 2 } { \sigma } ( z _ { \lambda } + z _ { \lambda ^ { \prime } } ) - \frac { 2 \kappa } { \sigma ^ { 2 } } ( | \lambda | - | \lambda ^ { \prime } | ) ^ { 2 } , \ \ \mathrm { c l a s s ~ B D I } . } \end{array}
\mathcal { E } _ { x , y } [ \left| a \middle > \middle < b \right| ] = ( 1 - \lambda _ { x } ^ { 2 } ) ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) \lambda _ { y } ^ { a + b } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { \chi _ { x , a + m } } { \sqrt { 1 - \chi _ { y , m } ^ { 2 } } } ( \lambda _ { x } ^ { b - a } \left| a \middle > \middle < b \right| - \delta _ { a b } \left| m \middle > \middle < m \right| ) + \delta _ { a b } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \chi _ { x , m } \left| m \middle > \middle < m \right| .
\begin{array} { r l } { \left\langle \psi \right| { \hat { F } } { \hat { F } } ^ { + } \left| \psi \right\rangle } & { { } = \gamma _ { 1 } ^ { 2 } \, \left\langle ( \delta { \hat { A } } ) ^ { 2 } \right\rangle + \gamma _ { 2 } ^ { 2 } \, \left\langle ( \delta { \hat { B } } ) ^ { 2 } \right\rangle + \gamma _ { 3 } ^ { 2 } \, \left\langle ( \delta { \hat { C } } ) ^ { 2 } \right\rangle + } \end{array}
p _ { 2 } ( \mathbf { r } _ { 2 k } , \mathbf { p } _ { 2 k } \mid \gamma _ { 2 k } , \tau _ { 2 k } ) = \prod _ { i = 1 } ^ { N } f ( [ \mathbf { x } _ { 0 } ] _ { i } \mid [ \mathbf { r } _ { 2 k } ] _ { i } , 1 / \gamma _ { 2 k } ) \prod _ { j = 1 } ^ { M } f ( [ \mathbf { z } _ { 0 } ] _ { j } \mid [ \mathbf { A } \mathbf { x } _ { 0 } ] _ { j } , 1 / \gamma _ { w } ) \, f ( [ \mathbf { p } _ { 2 k } ] _ { j } \mid [ \mathbf { z } _ { 0 } ] _ { j } , 1 / \tau _ { 2 k } ) .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \bar { K } } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) } & { = \left( \begin{array} { l l } { a _ { 1 , \beta } \boldsymbol { W } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) } & { \boldsymbol { 0 } _ { ( r + 1 ) \times ( p + 1 ) } } \\ { \boldsymbol { 0 } _ { ( p + 1 ) \times ( r + 1 ) } } & { a _ { 2 , \beta } \frac { 1 } { n } \mathbb { X } _ { n } ^ { T } \mathbb { X } _ { n } } \end{array} \right) , } \\ { \boldsymbol { \bar { J } } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) } & { = \left( \begin{array} { l l } { b _ { 1 , \beta } \boldsymbol { W } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) } & { \boldsymbol { 0 } _ { ( r + 1 ) \times ( p + 1 ) } } \\ { \boldsymbol { 0 } _ { ( p + 1 ) \times ( r + 1 ) } } & { b _ { 2 , \beta } \frac { 1 } { n } \mathbb { X } _ { n } ^ { T } \mathbb { X } _ { n } } \end{array} \right) , } \\ { \boldsymbol { W } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) } & { = \left( \begin{array} { l l } { \widetilde { \sigma } _ { \beta } ^ { 4 } ( h ^ { \prime } ( 0 ) ) ^ { 2 } \frac { 1 } { n } \mathbb { Z } _ { n } ^ { T } \mathbb { Z } _ { n } } & { \widetilde { \sigma } _ { \beta } ^ { 2 } h ^ { \prime } ( 0 ) \overline { { \boldsymbol { z } } } _ { n } } \\ { \widetilde { \sigma } _ { \beta } ^ { 2 } h ^ { \prime } ( 0 ) \overline { { \boldsymbol { z } } } _ { n } ^ { T } } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { \epsilon } ( \omega ) = \frac { I ( \mathbf { q } , \omega ) } { \epsilon } \left( \frac { e ^ { - \hbar \omega \epsilon } } { \mathcal { L } \left[ R ( \omega ) \right] ( \epsilon ) } - \frac { 1 } { \mathcal { L } \left[ R ( \omega ) \right] ( 0 ) } \right) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { r } \mathcal { U } ( \tau ) \hat { r } } & { { } = } & { \hat { r } \left[ e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf d } ( \tau - \tau _ { c } ) } + e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } \tau } \right] \hat { r } } \end{array}
\phi ^ { I } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \varphi ^ { I } + i \varphi ^ { I + 3 } \right) \: , \qquad \phi _ { I } ^ { \dagger } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \varphi ^ { I } - i \varphi ^ { I + 3 } \right) \; ,
\begin{array} { r } { d x ^ { 0 } = d \left( c [ a ] t ] \right) = \left( \frac { d \ln c } { d \ln a } \frac { d \ln a } { d t } t + 1 \right) c d t = \left( \frac { d \ln c } { d \ln a } H t + 1 \right) c d t \equiv \tilde { c } d t \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \textrm { r a w } } [ w ( t ) ] } & { { } = \frac { 1 } { N ^ { * } } \exp \left[ { - \frac { 1 } { 2 \gamma } \sum _ { i } \int _ { 0 } ^ { t } d \tau w _ { i } ^ { 2 } ( \tau ) } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bar L | _ { p ^ { \prime } } B } & { = \frac { d } { d \Bar t } \Big | _ { t = 0 } B \circ \gamma ( t ) = \frac { d } { d \Bar t } \Big | _ { t = 0 } \left( \mathbb { I } _ { m } - \gamma ( t ) \gamma ( t ) ^ { \ast } \right) B _ { 0 } \left( \mathbb { I } _ { m } - \gamma ( t ) ^ { \ast } \gamma ( t ) \right) } \\ & { = \frac { d } { d \Bar t } \Big | _ { t = 0 } \Big ( \big ( \mathbb { I } _ { m } - ( b + t \beta ) ( b + t \beta ) ^ { \ast } - ( a + t \alpha ) ( a + t \alpha ) ^ { \ast } \big ) B _ { 0 } } \\ & { \cdot \big ( \mathbb { I } _ { m } - \overline { { ( b + t \beta ) } } ( b + t \beta ) ^ { T } - \overline { { ( a + t \alpha ) } } ( a + t \alpha ) ^ { T } ) \big ) + \mathcal { O } ( | t | ^ { 2 } ) \Big ) } \\ & { = - b \beta ^ { \ast } B _ { 0 } - a \alpha ^ { \ast } B _ { 0 } - B _ { 0 } \Bar \beta b ^ { T } - B _ { 0 } \Bar \alpha a ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathbb { V } _ { k + 1 } - \mathbb { V } _ { k } | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le - \frac { \xi \alpha _ { k } } { 2 } \| \nabla F ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } - \frac { \lambda _ { k } T \mu _ { g } \gamma _ { k } } { 4 } \| z _ { k } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } - \frac { \lambda _ { k } T \mu _ { g } \beta _ { k } } { 4 } \| y _ { k } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + O ( \xi C _ { \lambda } ^ { 2 } ) \frac { \alpha _ { k } } { \lambda _ { k } ^ { 2 } } + O \left( \frac { l _ { g , 1 } l _ { f , 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { g } ^ { 3 } } \right) \frac { \delta _ { k } } { \lambda _ { k } ^ { 2 } } + O ( \xi ^ { 2 } l _ { F , 1 } ) ( \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } ) } \\ & { \quad + O ( T + \xi ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } ) \cdot l _ { g , 1 } \lambda _ { k } ( \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + ( \beta _ { k } ^ { 2 } + \gamma _ { k } ^ { 2 } ) \sigma _ { g } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \displaystyle \frac { d V _ { 1 } ( \varrho ( t ) ) } { d t } = \varrho ^ { \top } ( t ) ( W \otimes ( P A + A ^ { \top } P ) } \\ & { } & { \displaystyle - ( W L _ { 1 } + L _ { 1 } ^ { \top } W ) \otimes P B B ^ { \top } P ) \varrho ( t ) } \\ & { } & { \displaystyle - 2 \varrho ^ { \top } ( t ) ( W L _ { 1 } \otimes P B B ^ { \top } P ) ( \hat { \varrho } ( t ) - \varrho ( t ) ) } \\ & { } & { \displaystyle + 2 \varrho ^ { \top } ( t ) ( W \otimes P B ) \bigtriangleup ( t ) } \\ & { } & { \displaystyle \leq \varrho ^ { \top } ( t ) ( W \otimes ( P A + A ^ { \top } P ) - ( \mu \mathbb { I } _ { m } \otimes P B B ^ { \top } P ) ) \varrho ( t ) } \\ & { } & { \displaystyle - 2 \varrho ^ { \top } ( t ) ( W L _ { 1 } \otimes P B B ^ { \top } P ) ( \hat { \varrho } ( t ) - \varrho ( t ) ) } \\ & { } & { \displaystyle + 2 \varrho ^ { \top } ( t ) ( W \otimes P B ) \bigtriangleup ( t ) } \\ & { } & { \displaystyle \leq \underline { { \varrho } } ^ { \top } ( t ) ( \mathbb { I } _ { m } \otimes ( P A + A ^ { \top } P - \mu _ { 0 } P B B ^ { \top } P ) ) \underline { { \varrho } } ( t ) } \\ & { } & { \displaystyle - 2 \varrho ^ { \top } ( t ) ( W L _ { 1 } \otimes P B B ^ { \top } P ) ( \hat { \varrho } ( t ) - \varrho ( t ) ) } \\ & { } & { \displaystyle + 2 \varrho ^ { \top } ( t ) ( W \otimes P B ) \bigtriangleup ( t ) } \\ & { } & { \displaystyle = - \underline { { \varrho } } ^ { \top } ( t ) \underline { { \varrho } } ( t ) - 2 \varrho ^ { \top } ( t ) ( W L _ { 1 } \otimes P B B ^ { \top } P ) ( \hat { \varrho } ( t ) - \varrho ( t ) ) } \\ & { } & { \displaystyle + 2 \varrho ^ { \top } ( t ) ( W \otimes P B ) \bigtriangleup ( t ) } \\ & { } & { \displaystyle = - \varrho ^ { \top } ( t ) ( W \otimes \mathbb { I } _ { n } ) \varrho ( t ) } \\ & { } & { \displaystyle - 2 \varrho ^ { \top } ( t ) ( W L _ { 1 } \otimes P B B ^ { \top } P ) ( \hat { \varrho } ( t ) - \varrho ( t ) ) } \\ & { } & { \displaystyle + 2 \varrho ^ { \top } ( t ) ( W \otimes P B ) \bigtriangleup ( t ) } \\ & { } & { \displaystyle \leq - \beta _ { 1 } V _ { 1 } ( \varrho ( t ) ) + \beta _ { 2 } \varsigma < 0 , ~ ~ t \in [ t _ { 1 } , t _ { 2 } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathrm { D } _ { \tilde { \mathbf { x } } } \mathrm { c a y } \right) \left( \tilde { \mathbf { y } } \right) } & { { } : = \frac { d } { d t } \mathrm { c a y } ( \hat { \mathbf { X } } + t \hat { \mathbf { Y } } ) | _ { t = 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| I _ { n } ^ { 1 , 1 } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } } & { \geq C | z | \| \rho _ { n } \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } + C \| \rho _ { n } \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { 1 , \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } + C | z | ^ { 1 - \sigma } \| \rho _ { n } \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma + \sigma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad - C ( R , | \boldsymbol { X } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { \gamma } ( { \mathbb { S } ^ { 2 } } ) } ) \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \rho _ { n } \boldsymbol { Y } ) \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( \mathbf { y } ) = f ( \mathbf { p } , \mathbf { q } ) : = f _ { 1 } ( \mathbf { p } ) + f _ { 2 } ( \mathbf { q } ) = \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { p } - \mathbf { z } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \boldsymbol { \Lambda } _ { \Theta } \, \mathbf { q } \| _ { 1 } , \quad \mathbf { K } : = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf A } \\ { \nabla } \end{array} \right] , \quad g ( \mathbf { x } ) : = \mathbf { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \sum _ { i } | c _ { i } | \right) ^ { 2 } = \left( \sum _ { i } \frac { | c _ { i } | } { \sqrt { p _ { i } } } \sqrt { p _ { i } } \right) ^ { 2 } \leq \left( \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { p _ { i } } \right) \left( \sum _ { i } p _ { i } \right) = \left( \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { p _ { i } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { t } + ( h v ) _ { x } + v _ { x } } & { { } = 0 , } \\ { v _ { t } + v v _ { x } + \left[ \mathscr { L } , \mathscr { N } h \right] h + \mathscr { N } h } & { { } = 0 , } \end{array}
E _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ r ~ } } [ X ^ { q } ] = q \left( \Bar { V } _ { \mathrm { ~ e ~ s ~ p ~ } } ^ { \infty } [ X ^ { q } ] - \Bar { V } _ { \mathrm { ~ e ~ s ~ p ~ } } ^ { \infty } [ \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } ] \right) ,
\begin{array} { r l } { I } & { \leq 2 \left\| \left( 1 - \mathbb { E } \big [ \exp \big ( \Phi - \Phi _ { N } \big ) \big ] \right) ^ { 2 } \right\| _ { L _ { \mu ^ { y } } ^ { 1 } } } \\ & { \leq 2 \int _ { U } \left( \mathbb { E } \big [ \left( 1 + \exp \left( \Phi ( u ) - \Phi _ { N } ( u ) \right) \right) \left( \Phi ( u ) - \Phi _ { N } ( u ) \right) \big ] \right) ^ { 2 } \mu ^ { y } ( \mathrm { d } u ) } \\ & { \leq 2 \left\| \mathbb { E } \big [ \left( 1 + \exp \left( \Phi - \Phi _ { N } \right) \right) ^ { p _ { 2 } } \big ] ^ { 1 / { p _ { 2 } } } \right\| _ { L _ { \mu ^ { y } } ^ { 2 p _ { 1 } } } ^ { 2 } \left\| \mathbb { E } \big [ \left( \Phi - \Phi _ { N } \right) ^ { p _ { 2 } ^ { \prime } } \big ] ^ { 1 / p _ { 2 } ^ { \prime } } \right\| _ { L _ { \mu ^ { y } } ^ { 2 p _ { 1 } ^ { \prime } } } ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 ^ { p _ { 2 } } ( 1 + C _ { 1 } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) ) \left\| \mathbb { E } \big [ \left( \Phi - \Phi _ { N } \right) ^ { p _ { 2 } ^ { \prime } } \big ] ^ { 1 / p _ { 2 } ^ { \prime } } \right\| _ { L _ { \mu ^ { y } } ^ { 2 p _ { 1 } ^ { \prime } } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathbb { L } ^ { p } ( \mathcal { U } ) , } & { { } \Vert . \Vert _ { \mathbb { L } ^ { p } ( \mathcal { U } ) } ) \longrightarrow ( \mathcal { D } ( \mathcal { A } ) , \Vert . \Vert _ { \mathcal { D } ( \mathcal { A } ) } ) } \end{array}
\frac { d N } { d M } = \frac { 1 } { 3 } N _ { \psi } \frac { 1 } { 6 0 } \frac { \alpha } { \pi } \frac { m _ { c } ^ { 2 } } { m _ { \psi } ^ { 2 } } \Big [ \frac { M _ { \eta } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } - 1 \Big ] \frac { \vert \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { d x } { x } } \ln \frac { m _ { c } ^ { 2 } - x ( 1 - x ) M _ { \eta } ^ { 2 } } { m _ { c } ^ { 2 } - x ( 1 - x ) M ^ { 2 } } \vert ^ { 2 } } { \vert \int _ { 0 } ^ { 1 } d x x ( 1 - x ) \ln \frac { m _ { c } ^ { 2 } - x ( 1 - x ) M _ { \psi } ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } \vert ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } & { \quad \Big | \frac { 1 } { b - s } \sum _ { i = 1 } ^ { b - s } \Big ( f ^ { s , e } \Big ) _ { i } - \frac { 1 } { \eta _ { k } - s } \sum _ { i = 1 } ^ { \eta _ { k } - s } \Big ( f ^ { s , e } \Big ) _ { i } \Big | = \frac { b - \eta _ { k } } { b - s } \Big | - \frac { 1 } { \eta _ { k } - s } \sum _ { i = 1 } ^ { \eta _ { k } - s } f _ { i } \Big ( X \Big ( j ^ { * } \Big ) \Big ) + f _ { \eta _ { k + 1 } } \Big ( X \Big ( j ^ { * } \Big ) \Big ) \Big | } \\ & { \leq \frac { b - \eta _ { k } } { b - s } \Big ( C _ { R } + 1 \Big ) \kappa _ { s _ { 0 } , e _ { 0 } } ^ { \operatorname* { m a x } } , } \end{array}
\bar { \sigma } _ { \theta \theta } \sim G \left( \frac { r _ { 0 } ^ { 3 / 2 } } { a ^ { 1 / 2 } h ^ { * } } - 1 \right) \sim \frac { G r _ { 0 } ^ { 3 / 2 } } { a ^ { 1 / 2 } h ^ { * } } .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \mathcal { D } \in \mathscr { C } _ { j _ { 0 } } } n ^ { - 1 } ( R _ { \mathcal { D } } - R _ { \mathcal { D } } ) } \\ & { \leq \widehat { \tau } _ { j _ { 0 } } + 2 \widehat { \tau } _ { j _ { 0 } } ^ { 1 / 2 } \left( 4 \sqrt { 2 } \mathscr { E } _ { \mathcal { T } _ { \mathcal { I } _ { 0 } } } + \frac { 4 } { \sqrt { \log ( e p ) } } \right) \sigma \sqrt { \frac { \log ( e p ) } { n } } - \frac { \sigma ^ { 2 } { \mathscr { E } ^ { * } } _ { \mathcal { G } _ { \mathcal { I } _ { 0 } } } ^ { 2 } } { 4 } \frac { \log ( e p ) } { n } } \\ & { \leq \widehat { \tau } _ { j _ { 0 } } + 8 \sqrt { 2 } \widehat { \tau } _ { j _ { 0 } } ^ { 1 / 2 } \left( \mathscr { E } _ { \mathcal { T } _ { \mathcal { I } _ { 0 } } } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 \log ( e p ) } } \right) \sigma \sqrt { \frac { \log ( e p ) } { n } } - \frac { \sigma ^ { 2 } { \mathscr { E } ^ { * } } _ { \mathcal { G } _ { \mathcal { I } _ { 0 } } } ^ { 2 } } { 4 } \frac { \log ( e p ) } { n } } \\ & { \leq \widehat { \tau } _ { j _ { 0 } } + 1 0 \sqrt { 2 } \widehat { \tau } _ { j _ { 0 } } ^ { 1 / 2 } \mathscr { E } _ { \mathcal { T } _ { \mathcal { I } _ { 0 } } } \sigma \sqrt { \frac { \log ( e p ) } { n } } - \frac { \sigma ^ { 2 } { \mathscr { E } ^ { * } } _ { \mathcal { G } _ { \mathcal { I } _ { 0 } } } ^ { 2 } } { 4 } \frac { \log ( e p ) } { n } } \end{array}
{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \binom { n + 1 } { i } } ( 1 - t ) \mathbf { b } _ { i , n } = { \binom { n } { i } } \mathbf { b } _ { i , n + 1 } } \\ { { \binom { n + 1 } { i + 1 } } t \mathbf { b } _ { i , n } = { \binom { n } { i } } \mathbf { b } _ { i + 1 , n + 1 } } \end{array} \right. } \quad \implies \quad { \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 - t ) \mathbf { b } _ { i , n } = { \frac { n + 1 - i } { n + 1 } } \mathbf { b } _ { i , n + 1 } } \\ { t \mathbf { b } _ { i , n } = { \frac { i + 1 } { n + 1 } } \mathbf { b } _ { i + 1 , n + 1 } } \end{array} \right. }
( \hat { \sigma } , \rho _ { \mathrm { t o t } } , s , \omega , \omega ^ { \prime } ) \mapsto ( 2 \pi ) ^ { - ( n - 1 ) } \iint _ { \mathbb { R } \times \mathbb { R } ^ { n - 2 } } e ^ { i \xi s } e ^ { i \eta \cdot ( \omega - \omega ^ { \prime } ) } a ( \rho _ { \mathrm { t o t } } , \omega ; \hat { \sigma } , \xi , \eta ) \, { \mathrm d } \xi \, { \mathrm d } \eta ,
E = \frac { 1 } { g ^ { 2 } } \int d ^ { 2 q } x d ^ { 2 } y \, ( \frac { 1 } { 2 } \partial _ { x } \phi \partial _ { x } \phi + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { y } \phi \partial _ { \bar { y } } \phi + V ( * \phi ) ) \, \, .
\frac { \partial { u } _ { d x } } { \partial t } + { u } _ { d x } \frac { \partial { u } _ { d x } } { \partial x } = \mu \frac { \partial \phi } { \partial x } - \tilde { \alpha } \frac { 1 } { n _ { d } } \frac { \partial n _ { d } } { \partial x } ,
\begin{array} { r } { \frac { \lambda _ { \epsilon } ( p _ { \epsilon } ^ { t } - t p _ { \epsilon } + t - 1 ) } { 4 ( p _ { \epsilon } ^ { t } - p _ { \epsilon } ^ { t - 1 } ) ( p _ { \epsilon } - 1 ) } \geq \frac { ( p _ { \epsilon } ^ { t } - t p _ { \epsilon } + t - 1 ) } { 6 ( p _ { \epsilon } ^ { t } - p _ { \epsilon } ^ { t - 1 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { z z z } ^ { ( 2 ) } } & { { } = N _ { s } \left\langle \cos ^ { 3 } ( \theta ) \right\rangle \alpha _ { z z z } ^ { ( 2 ) } } \\ { \chi _ { x z x } ^ { ( 2 ) } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } N _ { s } \left\langle \cos ( \theta ) \sin ^ { 2 } ( \theta ) \right\rangle \alpha _ { z z z } ^ { ( 2 ) } } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \dot { r } } \\ { \dot { z } } \end{array} \right) = \frac { \Gamma _ { s } } { 2 \pi d ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l } { - ( z _ { s } - z _ { \mathrm { G } } ) } \\ { r _ { s } - r _ { \mathrm { G } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \left[ \log p _ { t _ { i } } ^ { t _ { j } , \, \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) \right] } & { { } = \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \left[ \log \left( \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { j } } } \left[ p _ { t _ { i } } ^ { { t _ { j } } , \, \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } | \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) \right] \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \everymath { \displaystyle } \left( { \begin{array} { c c } { \frac { \partial } { \partial \tau } + \nu k ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \partial } { \partial \tau } + \eta k ^ { 2 } } \end{array} } \right) } \left( { \begin{array} { c c } { G _ { u u } ^ { i j } } & { G _ { u b } ^ { i j } } \\ { G _ { b u } ^ { i j } } & { G _ { b b } ^ { i j } \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) } \\ & { } & { { \everymath { \displaystyle } + i \left( { \begin{array} { c c } { - 2 M ^ { i k m } \int _ { \Delta } u _ { 0 0 } ^ { k } } & { 2 M ^ { i k m } \int _ { \Delta } b _ { 0 0 } ^ { k } } \\ { N ^ { i k m } \int _ { \Delta } b _ { 0 0 } ^ { k } } & { - N ^ { i k m } \int _ { \Delta } u _ { 0 0 } ^ { k } } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { c c } { G _ { u u } ^ { m j } } & { G _ { u b } ^ { m j } } \\ { G _ { b u } ^ { m j } } & { G _ { b b } ^ { m j } \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) } } \\ & { } & { = \delta ^ { i j } \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) \left( { \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \hat { { \mathbf { x } } } ^ { 0 } \| ^ { 2 } \leq \| \hat { { \mathbf { V } } } ^ { - 1 } \| ^ { 2 } \left( \| \hat { { \mathbf { U } } } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } \tilde { { \mathbf { x } } } ^ { 0 } \| ^ { 2 } + \| \hat { { \mathbf { U } } } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } \tilde { { \mathbf { z } } } ^ { 0 } \| ^ { 2 } \right) . } \end{array}
p = p _ { 1 } k + \cdots = \pm B _ { 0 } \ell \left[ \frac { k ^ { 2 } } { \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } } \, \frac { \nu \eta + 2 \eta ^ { 2 } - B _ { 0 } ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } ( \nu \eta + B _ { 0 } ^ { 2 } ) } - 1 \right] ^ { 1 / 2 } + \cdots
Q ^ { ( 0 ) } \left( \lambda ; \, m , \vec { \mu } \right) = Q ^ { ( n - 1 ) } \left( - \lambda ; \, m , \vec { \mu ^ { s } } \right) = \sum _ { r = 0 } ^ { \infty } \frac { P _ { r ; m , \vec { \mu ^ { s } } } ^ { ( n - 2 ) } ( - \lambda ) } { ( - \lambda - i \, r ) ^ { n - 1 } } \, ,