harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { U _ { n , m , q } = } & { \sum _ { l \in \mathcal { L } } ( P _ { q r } ^ { n } P _ { q r } ^ { m } ) ^ { - 1 } \sum _ { 1 \le i _ { 1 } , \ldots , i _ { q r } \le n } ^ { * } \sum _ { 1 \le j _ { 1 } , \ldots , j _ { q r } \le m } ^ { * } } \\ & { \prod _ { c = 1 } ^ { q } h _ { l } ( X _ { i _ { ( c - 1 ) r + 1 } } , \ldots , X _ { i _ { c r } } ; Y _ { i _ { ( c - 1 ) r + 1 } } , \ldots , Y _ { i _ { c r } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ^ { ( + + + ) } } & { = \frac { 1 } { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } T _ { i } ^ { ( + + + ) } = \frac { \mathrm { T r } [ ( \mathbf { A } ^ { + } ) ^ { 3 } ] } { 6 } , } \\ { T ^ { ( + -- ) } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } T _ { i } ^ { ( + -- ) } = \frac { \mathrm { T r } [ \mathbf { A } ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { - } ) ^ { 2 } ] } { 2 } . } \end{array}
T = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { { \left| \begin{array} { l l l } { x _ { A } } & { x _ { B } } & { x _ { C } } \\ { y _ { A } } & { y _ { B } } & { y _ { C } } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right| } ^ { 2 } + { \left| \begin{array} { l l l } { y _ { A } } & { y _ { B } } & { y _ { C } } \\ { z _ { A } } & { z _ { B } } & { z _ { C } } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right| } ^ { 2 } + { \left| \begin{array} { l l l } { z _ { A } } & { z _ { B } } & { z _ { C } } \\ { x _ { A } } & { x _ { B } } & { x _ { C } } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right| } ^ { 2 } } } .
\mathbf { \Sigma } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ; \delta ) = \int _ { 0 } ^ { \delta } e ^ { \mathbf { f } _ { \mathbf { x } } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ) ( \delta - s ) } \mathbf { G } ( t _ { n } + s ) \mathbf { G } ^ { \intercal } ( t _ { n } + s ) e ^ { \mathbf { f } _ { \mathbf { x } } ^ { \intercal } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ) ( \delta - s ) } d s .
\begin{array} { r l } { \bar { c } _ { j , n _ { 0 } + 1 } ^ { ( i _ { 0 } ) } } & { : = \operatorname* { m a x } _ { 0 \le m \le i _ { 0 } } \left\{ \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { b _ { j } ^ { ( n _ { 0 } ) \leftarrow } ( t ) b _ { i _ { 0 } - j } ^ { \leftarrow } ( t ) } { b _ { m } ^ { ( n _ { 0 } ) \leftarrow } ( t ) b _ { i _ { 0 } - m } ^ { \leftarrow } ( t ) } \right\} } \\ & { \ge \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { b _ { j } ^ { ( n _ { 0 } ) \leftarrow } ( t ) b _ { i _ { 0 } - j } ^ { \leftarrow } ( t ) } { b _ { i _ { 0 } } ^ { ( n _ { 0 } ) \leftarrow } ( t ) b _ { 0 } ^ { \leftarrow } ( t ) } } \\ & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { ( t ^ { \alpha } \ell ( t ) ) ^ { j } \cdot t ^ { ( i _ { 0 } - j ) ( \alpha + \gamma ) } } { ( t ^ { \alpha } \ell ( t ) ) ^ { i _ { 0 } } \cdot 1 } = \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } t ^ { ( i _ { 0 } - j ) \gamma } ( \ell ( t ) ) ^ { ( j - i _ { 0 } ) } = \infty , } \end{array}
\begin{array} { r } { \| U _ { k } \| _ { W ^ { 1 , p } ( B _ { 1 / 2 } ) } \le \operatorname* { m a x } ( a , b ) \| u _ { k } \| _ { W ^ { 1 , p } ( B _ { 1 / 2 } ) } \le C ( \mu , M , N , p ) } \\ { \| U _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , p } ( B _ { 1 / 2 } ) } \le \operatorname* { m a x } ( a , b ) \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , p } ( B _ { 1 / 2 } ) } \le C ( \mu , M , N , p ) } \end{array}
y ( x ) = \frac { s x ^ { 2 } } { m _ { \pi } ^ { 4 } g _ { R } ^ { 4 } } \frac { \mathrm { d } \sigma } { \mathrm { d } \Omega } ( x ) = \sum _ { \mathrm { i = 0 } } ^ { \mathrm { n - 1 } } a _ { i } x ^ { i } .
+ q ^ { 2 } a _ { 1 } b _ { 1 } + q ( r - 1 ) a _ { 1 } f _ { 1 } + q ( r - 1 ) f _ { 1 } b _ { 1 } + \frac { \phi _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { h ^ { 2 } } { 4 } = 0 ;
\Delta M _ { l } ^ { ( 1 ) } \; = \; \frac { c _ { l } ^ { ~ } } { 3 } \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { \varepsilon _ { l } ^ { \prime } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \varepsilon _ { l } ^ { \prime } } } \\ { { \varepsilon _ { l } ^ { \prime } } } & { { \varepsilon _ { l } ^ { \prime } } } & { { \varepsilon _ { l } ^ { ~ } } } \end{array} \right) \; ,
x \partial _ { x } c ( x , \lambda ) = - \frac { d } { d \lambda } c ( x , \lambda ) = \kappa x ^ { 4 } \operatorname * { l i m } _ { y \rightarrow \infty } \operatorname * { l i m } _ { y ^ { \prime } \rightarrow \infty } e ^ { 4 \phi ( y ^ { \prime } ) } \partial _ { y ^ { \prime } } \int _ { - \lambda } ^ { y } d y _ { 1 } \int _ { y _ { 1 } } ^ { \infty } d y _ { 2 } \int _ { - \lambda } ^ { y _ { 2 } } d y _ { 3 } \; F _ { \lambda } ^ { \prime } \, ,
{ \frac { m _ { b } } { m _ { t } } } = { \sqrt { \frac { G _ { H _ { 2 } } } { G _ { H _ { 1 } } } } } { \frac { \mu _ { 3 } ^ { ( d ) } } { \mu _ { 3 } ^ { ( u ) } } } { \sqrt { \frac { \lambda _ { 3 } ^ { ( u ) } } { \lambda _ { 3 } ^ { ( d ) } } } } { \frac { 1 } { t a n \beta } }
\operatorname { V a r } \Big ( \partial _ { \hat { U } _ { \tau , k } } \sum _ { i } \langle \Psi | \hat { h } _ { i } | \Psi \rangle \Big ) = \Theta \big ( ( 2 \eta _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ } } ) ^ { \tau } \big ) + \mathcal { O } \big ( ( 2 \lambda _ { 3 } ) ^ { \tau } \big ) + \mathcal { O } ( 2 ^ { \tau } \eta _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ } } ^ { T } ) \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \eta _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ } } = \frac { \chi ^ { 2 } ( 1 + \chi ) ^ { 4 } } { 2 ( 1 + \chi ^ { 2 } ) ^ { 4 } } ,
\begin{array} { r l } { B _ { c _ { l + 1 } , b _ { l + 1 } } ^ { d _ { l + 1 } } = \sum _ { b _ { l + 2 } , c _ { l + 2 } , d _ { l + 2 } , a _ { l + 1 } , a _ { l + 1 } ^ { \prime } } } & { { } B _ { c _ { l + 2 } , b _ { l + 2 } } ^ { d _ { l + 2 } } Y _ { d _ { l + 1 } , d _ { l + 2 } } ^ { a _ { l + 1 } ^ { \prime } } \times } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ddot { \xi } _ { 1 } \equiv \frac { d ^ { 2 } } { d \tau ^ { 2 } } \xi _ { 1 } } & { { } = } & { - \omega ^ { 2 } \xi _ { 1 } - u ( \tau ) } \\ { \ddot { \xi } _ { 3 } } & { { } = } & { u ( \tau ) ~ . } \end{array}
\mathcal { A } _ { 2 } = \mathcal { K } _ { a } + \mathcal { O } _ { b } + \mathcal { S } _ { a } + \mathcal { S } _ { c } \ , \quad \mathcal { B } _ { 2 } = \mathcal { K } _ { b } \ , \quad \mathcal { C } _ { 2 } = \mathcal { R } _ { b } \ .
\mathrm { \mathbf { T } } _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ a ~ l ~ } } = \left[ \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { C } & { D } \end{array} \right] = \mathbf { M } _ { f } \mathbf { M } _ { 1 } \mathbf { M } _ { 0 } \mathbf { M } _ { 2 } \mathbf { M } _ { b } ,
- \frac { g ^ { 2 } Z _ { 1 } N _ { c } } { 6 } \! \! \int _ { q ^ { 2 } < k ^ { 2 } } \! \! \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, N ( p ^ { 2 } , q ^ { 2 } ; k ^ { 2 } ) \left( \frac { Z ( p ^ { 2 } ) G ( p ^ { 2 } ) } { G ( q ^ { 2 } ) } - \frac { Z ( q ^ { 2 } ) G ( q ^ { 2 } ) } { G ( p ^ { 2 } ) } \right) \frac { G ( k ^ { 2 } ) } { k ^ { 2 } \, p ^ { 2 } \, q ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } ^ { k } ( \hat { 1 } ) } & { = \mathrm { d } ^ { k } ( \hat { 1 } ) \wedge ( G _ { 2 } \vee G _ { 1 } \vee G _ { 3 } ) } \\ & { = G _ { 2 } \vee ( \mathrm { d } ^ { k } ( \hat { 1 } ) \wedge ( G _ { 1 } \vee G _ { 3 } ) ) } \\ & { = G _ { 2 } \vee ( \mathrm { d } ^ { k } ( \hat { 1 } ) \wedge G _ { 1 } ) \wedge ( \mathrm { d } ^ { k } ( \hat { 1 } ) \wedge G _ { 3 } ) } \\ & { \leq G _ { 2 } \vee G _ { 1 } \vee G _ { 2 } } \\ & { = G _ { 1 } \vee G _ { 2 } . } \end{array}
B _ { \nu , { \mathrm { m a x } } } ( T ) = { \frac { 2 k _ { \mathrm { B } } ^ { 3 } T ^ { 3 } ( 3 + W ( - 3 \exp ( - 3 ) ) ^ { 3 } } { h ^ { 2 } c ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { e ^ { 3 + W ( - 3 \exp ( - 3 ) ) } - 1 } } \approx \left( 1 . 8 9 6 \times 1 0 ^ { - 1 9 } { \frac { \mathrm { W } } { { \mathrm { m } } ^ { 2 } \cdot { \mathrm { H z } } \cdot { \mathrm { K } } ^ { 3 } } } \right) \times T ^ { 3 }
\begin{array} { r } { \int _ { ( \sigma _ { 1 } , \Sigma _ { 1 } ) \setminus \mathcal { E } _ { 1 } } H ^ { p } \left( \frac { 1 } { \mu _ { 1 } ^ { \prime } ( s ) } \right) \mu _ { 1 } ^ { \prime } ( s ) + \int _ { ( \sigma _ { 2 } , \Sigma _ { 2 } ) \setminus \mathcal { E } _ { 2 } } H ^ { p } \left( \frac { 1 } { \mu _ { 2 } ^ { \prime } ( s ) } \right) \mu _ { 2 } ^ { \prime } ( s ) - \int _ { ( \sigma , \Sigma ) \setminus \mathcal { E } } H ^ { p } \left( \frac { 1 } { \mu ^ { \prime } ( s ) } \right) \mu ^ { \prime } ( s ) = 0 . } \end{array}
\Gamma _ { a } \equiv h ^ { \mathrm { ~ a ~ c ~ o ~ u ~ s ~ t ~ i ~ c ~ } } / a ^ { \mathrm { ~ a ~ c ~ o ~ u ~ s ~ t ~ i ~ c ~ } } \lesssim 1 0 ^ { - 1 1 } \left( \mathrm { m / s ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 }
\left( \begin{array} { l } { { X ^ { I } } } \\ { { F _ { I } } } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { l l } { { { \bf a } } } & { { { \bf b } } } \\ { { { \bf c } } } & { { { \bf d } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { X ^ { I } } } \\ { { F _ { I } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \alpha ( d _ { \mathrm { p } } , \mathrm { R e } ) = 1 + { \frac { \tau _ { p } ( d _ { \mathrm { p } } ) } { \tau _ { 0 } } } \, \mathrm { R e } ^ { 1 / 4 } \, \ln ( \mathrm { R e } ) \, \left( { \frac { L _ { \mathrm { e f f } } } { \ell _ { 0 } } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { d } \lambda _ { i } ( x , v ) v _ { i } \sum _ { k \neq i } v _ { k } \partial _ { i k } \psi ( x ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { d } \lambda _ { i } ( x , v ) \left( \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle - \langle R _ { i } v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) R _ { i } v \rangle \right) . } \end{array}
( \partial _ { + } \Omega \partial _ { - } f + \partial _ { - } \Omega \partial _ { + } f ) + 2 \Omega \partial _ { + } \partial _ { - } f + \chi e ^ { \chi f - 2 \rho } \Omega ^ { 1 + \gamma / 4 - \epsilon / 2 } F _ { - + } ^ { 2 } = 0
\begin{array} { r l } { \frac { \textrm { d } p } { p } = } & { { } B ^ { \prime } ( t _ { c } - t ) ^ { m - 1 } + C ^ { \prime } ( t _ { c } - t ) ^ { m - 1 } \cos ( \omega \ln ( t _ { c } - t ) - \phi ^ { \prime } ) + \sigma ( t ) \textrm { d } W ( t ) } \end{array}
\bar { \rho } _ { s } ( \mu ^ { 2 } ) = - \frac { 1 } { 2 \pi i } D i s c \{ \bar { \alpha } _ { s } ( - \mu ^ { 2 } ) \} \equiv - \frac { 1 } { 2 \pi i } \{ \bar { \alpha } _ { s } \left[ - ( \mu ^ { 2 } + i \epsilon ) \right] - \bar { \alpha } _ { s } \left[ - ( \mu ^ { 2 } - i \epsilon ) \right] \}
\Delta ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f _ { 3 } ) \le \frac { 1 } { | S _ { t } ^ { d - 2 } | } \left( \operatorname* { m a x } _ { x ^ { 1 } , x ^ { 2 } \in \mathbb F _ { q } ^ { d } : | | x ^ { 1 } - x ^ { 2 } | | = t } \sum _ { x ^ { 3 } \in \mathbb F _ { q } ^ { d } : | | x ^ { 2 } - x ^ { 3 } | | = t = | | x ^ { 3 } - x ^ { 1 } | | } f _ { 3 } ( x ^ { 3 } ) \right) L ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { I } & { { } = \int d x f ( x ) p ( x ) \equiv \langle f \rangle _ { p ( x ) } } \\ { \hat { I } } & { { } = \frac { 1 } { M } \sum _ { x _ { j } \sim p ( x ) } ^ { j = M } f ( x _ { j } ) . } \end{array}
\rho \, ( S ^ { t } \, \delta _ { n } ) = \sum \langle \delta _ { n } , S \, ( Z _ { m } ^ { a _ { m } } \ldots Z _ { 1 } ^ { a _ { 1 } } ) \rangle \, x _ { 1 } ^ { a _ { 1 } } \ldots x _ { m } ^ { a _ { m } } =
( n _ { 1 } ^ { \mathrm { o p t } } , n _ { 2 } ^ { \mathrm { o p t } } ) = \left( \frac { 1 } { \sigma _ { \mathscr D } ^ { 2 } \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \zeta ( 1 + \sqrt \zeta ) } { ( 1 - \zeta ) ^ { 2 } } , \frac { 1 } { \sigma _ { \mathscr D } ^ { 2 } \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \zeta ( \sqrt \zeta + \zeta ) } { ( 1 - \zeta ) ^ { 2 } } \right) .
\tau = { \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } } { \mathrm { P e } ^ { 2 } + 2 \mathrm { P e } + 2 C } } + \left( { \frac { \mathrm { T a } ^ { 2 / 3 } } { 2 A ^ { 3 } } } \right) \mathrm { P e } ^ { 5 / 3 } .
\begin{array} { r l } & { \quad - \kappa ( | \Delta _ { t } ^ { n } | ) | \Delta _ { t } ^ { n } | f ^ { \prime } ( | \Delta _ { t } ^ { n } | ) + 2 f ^ { \prime \prime } ( | \Delta _ { t } ^ { n } | ) \vert \lambda ^ { n } ( \Delta _ { t } ^ { n } ) \vert ^ { 2 } } \\ & { \le - | \Delta _ { t } ^ { n } | \vert \lambda ^ { n } ( \Delta _ { t } ^ { n } ) \vert ^ { 2 } - \kappa ( | \Delta _ { t } ^ { n } | ) | \Delta _ { t } ^ { n } | \vert \pi ^ { n } ( \Delta _ { t } ^ { n } ) \vert ^ { 2 } } \\ & { \le - | \Delta _ { t } ^ { n } | + \rho ( \delta _ { n } ) + \delta _ { n } . } \end{array}
d \Gamma _ { r } = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 5 } } \frac { d ^ { 3 } p _ { 2 } } { 2 p _ { 2 0 } } \frac { d ^ { 3 } k _ { 2 } } { 2 k _ { 2 0 } } \frac { d ^ { 3 } k } { 2 k _ { 0 } } \delta ( p + k _ { 1 } - k _ { 2 } - k - p _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { H _ { \alpha _ { 1 } . . . \alpha _ { n } } ^ { ( n ) } ( \mathbf { r } _ { 1 } , . . . , \mathbf { r } _ { n } ) \equiv } & { { } \ \langle \hat { \rho } _ { \alpha _ { 1 } } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \times . . . \times \hat { \rho } _ { \alpha _ { n } } ( \mathbf { r } _ { n } ) \rangle } \\ { = } & { { } \frac { \delta ^ { n } \ln ( \Xi ) } { \delta \ln ( z _ { \alpha _ { 1 } } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) ) . . . \delta \ln ( z _ { \alpha _ { n } } ( \mathbf { r } _ { n } ) ) } , } \end{array}
\omega _ { i } ( z ) \to \left\{ \begin{array} { c c c } { { \omega _ { i } ^ { ( 1 ) } ( z ) + \frac { 1 } { 4 } t \omega ^ { ( 1 ) } ( p _ { 1 } ) \omega _ { p _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ( z ) , } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { z \epsilon \Sigma ^ { ( 1 ) } } } \\ { { \frac { 1 } { 4 } t \omega ^ { ( 1 ) } ( p _ { 1 } ) \omega _ { p _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } ( z ) + O ( t ^ { 2 } ) } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { z \epsilon \Sigma ^ { ( 2 ) } } } \end{array} \right.
n = \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - 3 k | y | } \left( \cos ( k y ) + \sin ( k y ) \right) ^ { 2 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } k _ { f } ^ { 2 } ( y - y _ { i } ) ^ { 2 } } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { { \bf S } ^ { \prime } \equiv \langle \mathrm { o u t p u t } | { \bf \hat { S } } | \mathrm { o u t p u t } \rangle } & { { } = \hbar N \left( \begin{array} { c } { \cos ( \gamma ) } \\ { \sin ( \gamma ) \cos \left( \delta + \delta _ { \mathrm { f s } } \right) } \\ { \sin ( \gamma ) \sin \left( \delta + \delta _ { \mathrm { f s } } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { { \mathbf { \eta } } _ { k } } \left[ E ( \mathbf { x } + { \mathbf { \eta } } _ { k } ) + \frac { h } { 4 } \| \nabla E ( \mathbf { x } + { \mathbf { \eta } } _ { k } ) \| ^ { 2 } ) \right] } \\ { = } & { \mathbb { E } _ { { \mathbf { \eta } } _ { k } } \left[ E ( \mathbf { x } ) + { \mathbf { \eta } } _ { k } ^ { T } \nabla E ( \mathbf { x } ) + \frac { 1 } { 2 } ( { \mathbf { \eta } } _ { k } ) ^ { T } \nabla ^ { 2 } E ( \mathbf { x } ) { \mathbf { \eta } } _ { k } \right] } \\ & { + \frac { h } { 4 } \mathbb { E } _ { { \mathbf { \eta } } _ { k } } \| \nabla E ( \mathbf { x } ) + \nabla ^ { 2 } E ( \mathbf { x } ) { \mathbf { \eta } } _ { k } + \nabla ^ { 3 } E ( \mathbf { x } ) [ { \mathbf { \eta } } _ { k } , { \mathbf { \eta } } _ { k } ] \| ^ { 2 } ) + O ( \sigma ^ { 3 } ) } \\ { = } & { E ( \mathbf { x } ) + \sigma ^ { 2 } T r ( \nabla ^ { 2 } E ( \mathbf { x } ) ) + \frac { h } { 4 } \left[ \sigma ^ { 2 } \| \nabla ^ { 2 } E ( \mathbf { x } ) \| _ { F } ^ { 2 } + \mathbb { E } _ { { \mathbf { \eta } } _ { k } } \| \nabla E ( \mathbf { x } ) + \nabla ^ { 3 } E ( \mathbf { x } ) [ { \mathbf { \eta } } _ { k } , { \mathbf { \eta } } _ { k } ] \| ^ { 2 } \right] + O ( \sigma ^ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boxed { P _ { E D } = 2 a \int _ { 0 } ^ { \Delta } \frac { 1 - \lambda _ { \rho } ^ { 3 } } { \hat { r } } e ^ { b ( I _ { 1 } - 3 ) } \mathrm { ~ d ~ } \delta } . } \end{array}
\left[ c _ { 0 } - { \frac { 3 } { 2 } } \left( { \frac { \pi } { 3 } } \right) ^ { 1 / 3 } \right] { \frac { 1 - J _ { n } } { R } } - { \frac { 6 \alpha _ { 0 } } { \Lambda ^ { 2 } } } { \frac { D } { R ^ { 3 } } } = { \frac { 8 \pi \alpha _ { 0 } } { \Lambda ^ { 2 } } } < 0 | \overline { { \psi } } \psi | 0 > ,
A _ { 3 } ( 0 , x ^ { - } ) = { \frac { g L } { 2 \pi ^ { 2 } } } \sum _ { N = - \infty } ^ { \infty } \! \! \! \! { } ^ { \stackrel { \prime } { } } \; { \frac { C _ { N } ^ { 3 } } { N ^ { 2 } } } e ^ { - i N \pi x ^ { - } / L } \; .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathbf { m } _ { \mathcal { F } } ( u , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \omega _ { d - 1 } \varepsilon ^ { d - 1 } } } & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathcal { F } ( w _ { \varepsilon } , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \omega _ { d - 1 } \varepsilon ^ { d - 1 } } } \\ & { \leq ( 1 + \eta ) ( 1 - 3 \theta ) ^ { d - 1 } \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathbf { m } _ { \mathcal { F } } ( \overline { { u } } _ { x _ { 0 } } ^ { \textnormal { s u r f } } , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \omega _ { d - 1 } \varepsilon ^ { d - 1 } } + 2 b ( 1 + \eta ) ( 1 - ( 1 - 4 \theta ) ^ { d - 1 } ) . } \end{array}
\delta _ { \epsilon } B = - { \frac { 1 } { 2 } } \bar { \epsilon } \Gamma _ { M N } \theta ( d X ^ { M } d X ^ { N } + { \frac { 2 } { 3 } } \bar { \theta } \Gamma ^ { M } d \theta d X ^ { N } + { \frac { 1 } { 1 5 } } \bar { \theta } \Gamma ^ { M } d \theta \bar { \theta } \Gamma ^ { N } d \theta )
\left( \mu ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial \mu ^ { 2 } } + \beta _ { \rho } \frac { \partial } { \partial \rho } - 4 \gamma _ { \phi } - 2 \frac { 1 - 8 \chi } { s } \gamma _ { g } \right) V _ { 1 } = 0
\begin{array} { r l } { ( { \bf K } _ { E } ) _ { i , j } } & { = { \mathbb E } \left[ \int _ { a _ { i } } ^ { a _ { i + 1 } } \int _ { a _ { j } } ^ { a _ { j + 1 } } E ( r ) E ^ { * } ( r ^ { \prime } ) \mathrm { d } r \mathrm { d } r ^ { \prime } \right] } \\ & { = ( a _ { i + 1 } - a _ { i } ) ( a _ { j + 1 } - a _ { j } ) K _ { E } ( r _ { i } , r _ { j } ) , } \end{array}
\frac { d _ { 1 } } { D _ { p } } = \Bigg ( \frac { 0 . 2 5 } { \mu _ { r e p } } \Bigg ) \Bigg ( \frac { \rho _ { p } } { \rho } \Bigg ) ; \qquad \frac { \kappa D _ { p } } { m _ { p } g } = 1 2 \mu _ { r e p } \Bigg ( \frac { \rho } { \rho _ { p } } \Bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } }
V = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { - \sqrt { 2 } t / U } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { - \sqrt { 2 } t / U } & { 0 } \\ { t / U } & { t / U } & { 1 / \sqrt { 2 } } & { 1 / \sqrt { 2 } } \\ { t / U } & { t / U } & { 1 / \sqrt { 2 } } & { - 1 / \sqrt { 2 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { A \colon L ( V ^ { 1 } , V ^ { 3 } ) } & { { } \to \mathbb R ^ { 3 } } \\ { v } & { { } \mapsto \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( e ^ { i } \circ v ) ( e _ { 0 } ) } \end{array}
\langle W ( C ) \rangle _ { Y M } = e ^ { [ \cdots ] } \int d \mu _ { C } ( \xi ) \Biggr \langle \exp \left[ 2 i \rho ^ { - 1 } K ^ { 1 / 2 } J g \int _ { S _ { C } } d S ^ { \mu \nu } ( x ) { \cal D } [ \partial _ { x } ] h _ { \mu \nu } ^ { \xi } ( x ) \right] \Biggr \rangle _ { A P E G T } ,
\int d \mathrm { L i p s } _ { n } ( P ; p _ { 1 } , p _ { 2 } , . . . , p _ { n } ) = \int ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ( P - \sum _ { i = 1 } ^ { n } p _ { i } ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 p _ { i } ^ { 0 } } ,
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \bar { x } , { { \bf { x } } _ { e , k } } } ^ { { t _ { 1 } } } } & { = \frac { { { \alpha _ { e } } { \rho _ { s } } } } { { { \alpha _ { c } } { \rho _ { s } } + { { [ { { ( { \bf { H } } { { _ { s \bar { x } } ^ { { t _ { 1 } } H } } } { \bf { H } } _ { s \bar { x } } ^ { { t _ { 1 } } } ) } ^ { - 1 } } ] } _ { k , k } } } } } \\ & { = \frac { { { \alpha _ { e } } { \rho _ { s } } } } { { { \alpha _ { c } } { \rho _ { s } } + { { [ { { ( { { \bf { \Lambda } } ^ { H } } { \bf { \Xi } } { { _ { s \bar { x } } ^ { { t _ { 1 } } H } } } { \bf { \Xi } } _ { s \bar { x } } ^ { { t _ { 1 } } } { \bf { \Lambda } } ) } ^ { - 1 } } ] } _ { k , k } } } } = \frac { { { \alpha _ { e } } { \rho _ { s } } } } { { { \alpha _ { c } } { \rho _ { s } } + \frac { { \varTheta _ { s c } ^ { { t _ { 1 } } } } } { { M N } } } } } \\ { \gamma _ { c , { { \bf { x } } _ { c , k } } } ^ { { t _ { 1 } } } } & { = \frac { { { \alpha _ { c } } { \rho _ { s } } } } { { { { [ { { ( { \bf { H } } { { _ { s c } ^ { { t _ { 1 } } H } } } { \bf { H } } _ { s c } ^ { { t _ { 1 } } } ) } ^ { - 1 } } ] } _ { k , k } } } } = \frac { { M N { \alpha _ { c } } { \rho _ { s } } } } { { \varTheta _ { s c } ^ { { t _ { 1 } } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 1 } ( y \mid x ) } & { = 1 - { \left( 1 + { \left( \frac { y } { x } \right) } ^ { \theta } \right) } ^ { - 1 / \theta } , } \\ { H _ { 2 } ( y \mid x ) } & { = \left( 1 - { \left( 1 + { \left( \frac { y } { x } \right) } ^ { \theta } \right) } ^ { - 1 / \theta - 1 } \right) \textrm { e } ^ { - \frac { 1 } { y } + { \left( 1 + { \left( \frac { y } { x } \right) } ^ { \theta } \right) } ^ { - 1 / \theta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { x } ^ { \left( t \right) } } & { { } = } & { \frac { M _ { 1 2 } M _ { 2 3 } - M _ { 1 3 } M _ { 2 2 } } { M _ { 1 1 } M _ { 2 2 } - M _ { 1 2 } M _ { 2 1 } } } \\ { E _ { y } ^ { \left( t \right) } } & { { } = } & { \frac { M _ { 1 3 } M _ { 2 1 } - M _ { 1 1 } M _ { 2 3 } } { M _ { 1 1 } M _ { 2 2 } - M _ { 1 2 } M _ { 2 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { \mathrm { m i n } } ^ { \varepsilon _ { \mathrm { s } } } ( B ^ { n } | E ^ { n } R ) _ { \sigma ^ { n } } \geq H _ { \mathrm { m i n } } ^ { \varepsilon _ { \mathrm { s } } } ( B ^ { n } | E ^ { n } ) _ { \sigma ^ { n } } - \log _ { 2 } \mathrm { d i m } _ { R } } \\ & { = H _ { \mathrm { m i n } } ^ { \varepsilon _ { \mathrm { s } } } ( B ^ { n } | E ^ { n } ) _ { \sigma ^ { n } } - \mathrm { l e a k } _ { \mathrm { e c } } - \left\lceil - \log _ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { c o r } } \right\rceil } \\ & { \ge H _ { \mathrm { m i n } } ^ { \varepsilon _ { \mathrm { s } } } ( B ^ { n } | E ^ { n } ) _ { \sigma ^ { n } } - \mathrm { l e a k } _ { \mathrm { e c } } - \log _ { 2 } ( 2 / \varepsilon _ { \mathrm { c o r } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { n + 2 , k + 2 } } & { = f _ { 2 n + 2 , k + 2 } + f _ { 2 n + 2 , k + 1 } + f _ { 2 n + 2 , k } - f _ { 2 n , k } + f _ { 2 n - 2 , k } } \\ & { \phantom { = } + f _ { 2 n - 2 , k - 1 } + f _ { 2 n - 2 , k - 2 } - f _ { 2 n - 4 , k - 2 } } \\ & { = c _ { n + 1 , k + 2 } + c _ { n + 1 , k + 1 } + c _ { n + 1 , k } - c _ { n , k } . } \end{array}
G = \langle \sigma _ { 1 } , \ldots , \sigma _ { n - 1 } \mid \sigma _ { i } \sigma _ { j } \sigma _ { i } = \sigma _ { j } \sigma _ { i } \sigma _ { j } { \mathrm { ~ f o r ~ } } \vert i - j \vert = 1 , \sigma _ { i } \sigma _ { j } = \sigma _ { j } \sigma _ { i } { \mathrm { ~ f o r ~ } } \vert i - j \vert \geqslant 2 \rangle
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ v ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { V _ { 0 } m } \left[ \eta T \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } ( x ^ { 2 } ) + \sigma _ { x } ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \hat { A _ { 1 } } | _ { s a t } = } & { \sqrt { \frac { b _ { 0 } - \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) } { b _ { 0 } ^ { 2 } - \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } } , } \\ { | \hat { A _ { 2 } } | _ { s a t } = } & { \sqrt { \frac { b _ { 0 } - \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } { b _ { 0 } ^ { 2 } - \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } } . } \end{array}
\left. + 2 ( g _ { m } \zeta ) ^ { 2 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { 3 } \int d ^ { 3 } x d ^ { 3 } y \cos \left( g _ { m } \vec { q } _ { i } \vec { \chi } ( { \bf x } ) \right) D _ { m } ( { \bf x } - { \bf y } ) \cos \left( g _ { m } \vec { q } _ { j } \vec { \chi } ( { \bf y } ) \right) \right\} .
\begin{array} { r l r } { T } & { : = } & { \operatorname* { l i m } _ { r \to \infty } \int _ { \{ r \} \times S ^ { 1 } } ( w | _ { \{ r \} \times S ^ { 1 } } ) ^ { * } \lambda } \\ { Q } & { : = } & { \operatorname* { l i m } _ { r \to \infty } \int _ { \{ r \} \times S ^ { 1 } } ( ( w | _ { \{ r \} \times S ^ { 1 } } ) ^ { * } \lambda \circ j ) } \end{array}
\begin{array} { c } { { \displaystyle \int \frac { d ^ { 4 } k _ { 1 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int \frac { d ^ { 4 } k _ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } D _ { m } ^ { 2 } ( k _ { 1 } ) D _ { m } ( k _ { 2 } ) D _ { m } ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) \overline { { { D ( k _ { 1 } + p ) } } } K _ { 1 } . } } \end{array}