harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \sqrt { n a _ { n } } \mathbb { E } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { | v | \leq K } \bigg | \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } W _ { i , n } \widetilde { \gamma } _ { n } ( v ; \mathbf { Z } _ { i } ) \bigg | \Big \vert \{ \mathbf { Z } _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { n } \bigg ] } \\ & { \leq C \frac { \sqrt { a _ { n } } } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname* { s u p } _ { | v | \leq K } | \widetilde { \gamma } _ { n } ( v ; \mathbf { Z } _ { i } ) | ( n _ { 0 } - 1 ) \mathbb { E } [ \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } | W _ { i , n } | ] n ^ { - 1 / 2 } } \\ & { \quad + C \sqrt { a _ { n } } \operatorname* { m a x } _ { n _ { 0 } \leq k \leq n } \mathbb { E } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { | v | \leq K } \bigg | \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { i = n _ { 0 } } ^ { k } \widetilde { \gamma } _ { n } ( v ; \mathbf { Z } _ { R _ { i } } ) \bigg | \Big \vert \{ \mathbf { Z } _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { n } \bigg ] } \\ & { \leq C \frac { \sqrt { a _ { n } } } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname* { s u p } _ { | v | \leq K } | \widetilde { \gamma } _ { n } ( v ; \mathbf { Z } _ { i } ) | \frac { n _ { 0 } n ^ { \mathfrak { r } } } { \sqrt { n } } } \\ & { \quad + C \sqrt { a _ { n } } \operatorname* { m a x } _ { n _ { 0 } \leq k \leq n } \mathbb { E } ^ { * } \operatorname* { s u p } _ { | v | \leq K } \bigg | \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { i = 1 } ^ { k } \widetilde { \gamma } _ { n } ( v ; \mathbf { Z } _ { i } ^ { * } ) \bigg | . } \end{array}
G _ { r } ( x ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \, \theta ( t ) \, \delta ( x ^ { 2 } ) \, \, , \, \, \, \, \tilde { G } _ { r } ( k ) = - \, \frac { 1 } { k ^ { 2 } + i \epsilon k _ { 0 } } \, \, .
W = { \frac { i } { 4 } } u _ { i } ^ { + } u _ { j } ^ { + } \bar { D } _ { \dot { \alpha } } ^ { i } \bar { D } ^ { j \dot { \alpha } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int d u _ { 1 } \ldots d u _ { n } \; { \frac { ( - i g ) ^ { n } V ^ { + + } ( u _ { 1 } ) \ldots V ^ { + + } ( u _ { n } ) } { ( u ^ { + } u _ { 1 } ^ { + } ) ( u _ { 1 } ^ { + } u _ { 2 } ^ { + } ) \ldots ( u _ { n } ^ { + } u ^ { + } ) } }
\left\{ \begin{array} { l l } { u _ { t t } - c _ { 1 } u _ { x x } + k _ { 1 } ( x ) u _ { t } = 0 , } & { ( x , t ) \in ( 0 , l _ { 1 } ) \times ( 0 , \infty ) , } \\ { \rho v _ { t t } - \alpha v _ { x x } + \gamma \beta p _ { x x } = 0 , } & { ( x , t ) \in ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) \times ( 0 , \infty ) , } \\ { \mu p _ { t t } - \beta p _ { x x } + \gamma \beta v _ { x x } = 0 , } & { ( x , t ) \in ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) \times ( 0 , \infty ) , } \\ { y _ { t t } - c _ { 2 } y _ { x x } + k _ { 2 } ( x ) y _ { t } = 0 , } & { ( x , t ) \in ( l _ { 2 } , L ) \times ( 0 , \infty ) , } \\ { u ( 0 , t ) = y ( L , t ) = 0 , } \\ { v ( l _ { 1 } , t ) = u ( l _ { 1 } , t ) , } \\ { v ( l _ { 2 } , t ) = y ( l _ { 2 } , t ) , } \\ { \alpha v _ { x } ( l _ { 1 } , t ) - \gamma \beta p _ { x } ( l _ { 1 } , t ) = c _ { 1 } u _ { x } ( l _ { 1 } , t ) , } & \\ { \alpha v _ { x } ( l _ { 2 } , t ) - \gamma \beta p _ { x } ( l _ { 2 } , t ) = c _ { 2 } y _ { x } ( l _ { 2 } , t ) , } & \\ { \beta p _ { x } ( l _ { 1 } , t ) = \gamma \beta v _ { x } ( l _ { 1 } , t ) , } & \\ { \beta p _ { x } ( l _ { 2 } , t ) = \gamma \beta v _ { x } ( l _ { 2 } , t ) , } & { t \in ( 0 , \infty ) , } \\ { ( u , v , p , y , u _ { t } , v _ { t } , p _ { y } , y _ { t } ) ( \cdot , 0 ) ) = ( u _ { 0 } , v _ { 0 } , p _ { 0 } , y _ { 0 } , u _ { 1 } , v _ { 1 } , p _ { 1 } , y _ { 1 } ) ( \cdot ) , } \end{array} \right.
\left[ { \begin{array} { l l l } { T _ { 1 } ^ { ( \mathbf { e } ) } } & { T _ { 2 } ^ { ( \mathbf { e } ) } } & { T _ { 3 } ^ { ( \mathbf { e } ) } } \end{array} } \right] = \left[ { \begin{array} { l l l } { e _ { 1 } } & { e _ { 2 } } & { e _ { 3 } } \end{array} } \right] \cdot \left[ { \begin{array} { l l l } { \sigma _ { 1 1 } } & { \sigma _ { 1 2 } } & { \sigma _ { 1 3 } } \\ { \sigma _ { 2 1 } } & { \sigma _ { 2 2 } } & { \sigma _ { 2 3 } } \\ { \sigma _ { 3 1 } } & { \sigma _ { 3 2 } } & { \sigma _ { 3 3 } } \end{array} } \right] .
d _ { i } = d _ { 0 } \left( \frac { i } { L } \right) ^ { 2 } , \quad k _ { i } = 1 + ( k _ { \operatorname* { m a x } } - 1 ) ^ { m } , \quad \alpha _ { i } = \alpha _ { \operatorname* { m a x } } \left( 1 - \frac { i } { L } \right) ^ { p }
\begin{array} { r } { Z ( z ) = \sqrt { 2 } c _ { 1 } z ^ { 3 / 2 } \Gamma \left( 5 / 4 \right) I _ { - 3 / 4 } \left( z ^ { 2 } / 2 \right) } \\ { + \frac { c _ { 2 } } { \sqrt { 2 } } ( - 1 ) ^ { 3 / 4 } z ^ { 3 / 2 } \Gamma \left( 7 / 4 \right) I _ { 3 / 4 } ( z ^ { 2 } / 2 ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { f _ { r } ( \lambda _ { 2 } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \beta _ { i } \theta _ { 2 i } \rho _ { 2 i } ^ { 2 } } \\ { h _ { r } ( \lambda _ { 2 } ) \theta _ { 2 s } - \frac { \eta ^ { 2 } } { 3 } r ( \lambda _ { 1 } ) \rho _ { 1 s } = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \beta _ { i } \langle x _ { s } , x _ { i } \rangle \rho _ { 2 i } ^ { 2 } - \rho _ { 1 s } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \beta _ { i } \rho _ { 1 i } \rho _ { 2 i } ^ { 2 } } \\ { h _ { r } ( \lambda _ { 2 } ) \rho _ { 2 s } = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \beta _ { i } \theta _ { 2 i } \rho _ { 2 i } \langle y _ { s } , y _ { i } \rangle } \\ { \left[ \lambda _ { 2 } + \frac 2 3 r ( \lambda _ { 2 } ) \right] \eta = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \beta _ { i } \theta _ { 2 i } \rho _ { 1 i } \rho _ { 2 i } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { 2 \dot { A } \dot { \phi } + A \ddot { \phi } + \Gamma A \dot { \phi } = 0 } \\ { \ddot { A } / A + \Gamma \dot { A } / A + \omega ^ { 2 } ( t ) - \dot { \phi } ^ { 2 } = 0 } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { a _ { p } } \\ { \tilde { a } _ { p } ^ { \dagger } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { u _ { p } } & { - v _ { p } } \\ { v _ { p } } & { u _ { p } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { c _ { p } } \\ { \tilde { c } _ { p } ^ { \dagger } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } & { \frac { \textnormal { d } \mathcal { F } ( u , \cdot ) } { \textnormal { d } \mathcal { L } ^ { d } } ( x _ { 0 } ) = f ( x _ { 0 } , u ( x _ { 0 } ) , \nabla u ( x _ { 0 } ) ) , \ \ \ \mathrm { f o r ~ \mathcal { L } ^ d ~ - a . e . ~ x _ 0 ~ \in ~ \Omega ~ } , } \\ & { \frac { \textnormal { d } \mathcal { F } ( u , \cdot ) } { \textnormal { d } \mathcal { H } ^ { d - 1 } | _ { J _ { u } } } ( x _ { 0 } ) = g ( x _ { 0 } , u ^ { + } ( x _ { 0 } ) , u ^ { - } ( x _ { 0 } ) , \nu _ { u } ( x _ { 0 } ) ) , \ \ \ \mathrm { f o r ~ \mathcal { H } ^ { d - 1 } ~ - a . e . ~ x _ 0 ~ \in ~ J _ u ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { k } } & { = \Big ( \lambda F _ { k - 1 } ^ { - 1 } + \Delta q _ { k } \Delta q _ { k } ^ { \top } \Big ) ^ { - 1 } } \\ & { = \lambda ^ { - 1 } F _ { k - 1 } } \\ & { - \frac { \lambda ^ { - 2 } } { 1 + \lambda ^ { - 1 } \Delta q _ { k } ^ { \top } F _ { k - 1 } \Delta q _ { k } } F _ { k - 1 } \Delta q _ { k } \Delta q _ { k } ^ { \top } F _ { k - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { 1 } = } & { \sum _ { n \in \mathbb { Z } ^ { + } } ( \alpha _ { n } - \alpha _ { - n } ) \sin ( n \phi _ { l } ) } \\ { \sigma _ { 2 } = } & { 1 + \sum _ { n \in \mathbb { Z } ^ { + } } ( \alpha _ { n } + \alpha _ { - n } ) \cos ( n \phi _ { l } ) } \\ { \sigma _ { 3 } = } & { \omega _ { 0 } + \sum _ { n \in \mathbb { Z } ^ { + } } \big ( \alpha _ { n } ( \omega _ { 0 } + n \Omega ) + \alpha _ { - n } ( \omega _ { 0 } - n \Omega ) \big ) \cos ( n \phi _ { l } ) } \\ { \sigma _ { 4 } = } & { \sum _ { n \in \mathbb { Z } ^ { + } } \big ( \alpha _ { n } ( \omega _ { 0 } + n \Omega ) - \alpha _ { - n } ( \omega _ { 0 } - n \Omega ) \big ) \sin ( n \phi _ { l } ) } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \frac { E _ { 0 } } { N } = e _ { \infty } ^ { B R G } = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 3 ^ { m + 1 } } e _ { B } ( J ^ { ( m ) } , \Delta ^ { ( m ) } )
\zeta ^ { ( p ) } = \frac { 1 } { 3 } S ^ { ( p ) } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } B _ { k \ell } ^ { ( p ) } \sigma _ { k \ell } + S ^ { ( p ) } p _ { f } ^ { ( p ) } \, ,
( e ) _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \sqrt { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \sqrt { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \qquad ( h ) _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 2 } \end{array} \right) , \qquad ( f ) _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \sqrt { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \sqrt { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) .
{ \begin{array} { r } { \operatorname { B i } ( u ) \rightarrow - { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } } { \frac { 1 } { \sqrt [ { 4 } ] { u } } } \sin { \left( { \frac { 2 } { 3 } } | u | ^ { \frac { 3 } { 2 } } - { \frac { \pi } { 4 } } \right) } \quad { \textrm { w h e r e , } } \quad u \rightarrow - \infty } \\ { \operatorname { B i } ( u ) \rightarrow { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } } { \frac { 1 } { \sqrt [ { 4 } ] { u } } } e ^ { { \frac { 2 } { 3 } } u ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \quad { \textrm { w h e r e , } } \quad u \rightarrow + \infty } \end{array} }
p ( n ) = { \frac { 1 } { \pi { \sqrt { 2 } } } } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } A _ { k } ( n ) { \sqrt { k } } \cdot { \frac { d } { d n } } \left( { { \frac { 1 } { \sqrt { n - { \frac { 1 } { 2 4 } } } } } \sinh \left[ { { \frac { \pi } { k } } { \sqrt { { \frac { 2 } { 3 } } \left( n - { \frac { 1 } { 2 4 } } \right) } } } \, \, \, \right] } \right) .
\gamma ( { \bf x } ) = \exp \left( \alpha ^ { 2 } \pi \sqrt { R ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { \bf x } ^ { 2 } \ln ( { \bf x } ^ { 2 } \Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } ) \, \rho \int _ { x _ { B j } } ^ { 1 } d x ^ { \prime } \, G ( x ^ { \prime } , 1 / { \bf x } ^ { 2 } ) \right) ,
{ \frac { d R } { d t } } = { \frac { d { \bar { x } } } { d t } } \cdot t + ( \sum \pi _ { z } ^ { f } { \frac { d z ^ { f } } { d t } } - \sum E _ { z } ^ { h } { \frac { d z ^ { h } } { d t } } ) = { \frac { d { \bar { x } } } { d t } } \cdot t + ( \Pi ^ { t } - B ^ { t } )
( H _ { 0 } , g _ { 0 } , \sigma _ { 0 } ^ { 2 } ) = ( H ( \hat { x } , \tilde { a } , \tilde { b } ) , g ( \hat { x } , \tilde { a } , \tilde { b } ) , \sigma ^ { 2 } ( \hat { x } , \tilde { a } , \tilde { b } ) )
{ \begin{array} { r l } { x ^ { ( 1 ) } } & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 . 0 0 0 } & { - 0 . 1 8 7 5 } \\ { 0 . 0 0 0 } & { - 0 . 1 1 9 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { 1 . 0 } \\ { 1 . 0 } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 6 8 7 5 } \\ { - 0 . 7 4 4 3 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 5 0 0 0 } \\ { - 0 . 8 6 3 6 } \end{array} \right] } . } \\ { x ^ { ( 2 ) } } & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 . 0 0 0 } & { - 0 . 1 8 7 5 } \\ { 0 . 0 0 0 } & { - 0 . 1 1 9 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 5 0 0 0 } \\ { - 0 . 8 6 3 6 } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 6 8 7 5 } \\ { - 0 . 7 4 4 3 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 8 4 9 4 } \\ { - 0 . 6 4 1 3 } \end{array} \right] } . } \\ { x ^ { ( 3 ) } } & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 . 0 0 0 } & { - 0 . 1 8 7 5 } \\ { 0 . 0 0 0 } & { - 0 . 1 1 9 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 8 4 9 4 } \\ { - 0 . 6 4 1 3 } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 6 8 7 5 } \\ { - 0 . 7 4 4 3 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 8 0 7 7 } \\ { - 0 . 6 6 7 8 } \end{array} \right] } . } \\ { x ^ { ( 4 ) } } & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 . 0 0 0 } & { - 0 . 1 8 7 5 } \\ { 0 . 0 0 0 } & { - 0 . 1 1 9 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 8 0 7 7 } \\ { - 0 . 6 6 7 8 } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 6 8 7 5 } \\ { - 0 . 7 4 4 3 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 8 1 2 7 } \\ { - 0 . 6 6 4 6 } \end{array} \right] } . } \\ { x ^ { ( 5 ) } } & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 . 0 0 0 } & { - 0 . 1 8 7 5 } \\ { 0 . 0 0 0 } & { - 0 . 1 1 9 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 8 1 2 7 } \\ { - 0 . 6 6 4 6 } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 6 8 7 5 } \\ { - 0 . 7 4 4 3 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 8 1 2 1 } \\ { - 0 . 6 6 5 0 } \end{array} \right] } . } \\ { x ^ { ( 6 ) } } & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 . 0 0 0 } & { - 0 . 1 8 7 5 } \\ { 0 . 0 0 0 } & { - 0 . 1 1 9 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 8 1 2 1 } \\ { - 0 . 6 6 5 0 } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 6 8 7 5 } \\ { - 0 . 7 4 4 3 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 8 1 2 2 } \\ { - 0 . 6 6 5 0 } \end{array} \right] } . } \\ { x ^ { ( 7 ) } } & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 . 0 0 0 } & { - 0 . 1 8 7 5 } \\ { 0 . 0 0 0 } & { - 0 . 1 1 9 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 8 1 2 2 } \\ { - 0 . 6 6 5 0 } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 6 8 7 5 } \\ { - 0 . 7 4 4 3 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 8 1 2 2 } \\ { - 0 . 6 6 5 0 } \end{array} \right] } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { 2 \sin \phi _ { 0 } } & { { } = } & { \sin \phi _ { 1 } , } \\ { \frac { \sin \phi _ { 1 } } { 1 - \cos \phi _ { 1 } } } & { { } = } & { \frac { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \cos \phi } { \sqrt { ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } \, d \phi } { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \sin \phi } { \sqrt { ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } \, d \phi } . } \end{array}
p = \left( \frac { P } { 2 \nu } \, \frac { - \nu ^ { 2 } + 3 B _ { 0 } ^ { 2 } P } { \nu ^ { 2 } + B _ { 0 } ^ { 2 } P } - \frac { \nu } { P } \right) k ^ { 2 } + \cdots .
\begin{array} { r l r } { \frac { n } { \sqrt { k } } \left( \left( \begin{array} { c } { E _ { ( k ) } } \\ { E _ { ( 2 k ) } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c } { \ln ( 1 - k / n ) } \\ { \ln ( 1 - 2 k / n ) } \end{array} \right) \right) } & { \stackrel { d } { = } } & { \frac { n } { \sqrt { k } } \left( \begin{array} { c } { f ( U _ { ( n - k ) } ) - f \big ( \frac { n - k } { n - 1 } \big ) } \\ { f ( U _ { ( n - 2 k ) } ) - f \big ( \frac { n - 2 k } { n - 1 } \big ) } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \frac { n } { \sqrt { k } } \left( \begin{array} { c } { f ^ { \prime } ( c _ { 1 } ) \big ( U _ { ( n - k ) } - \frac { n - k } { n - 1 } \big ) } \\ { f ^ { \prime } ( c _ { 2 } ) \big ( U _ { ( n - 2 k ) } - \frac { n - 2 k } { n - 1 } \big ) } \end{array} \right) } \end{array}
\operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } ( a _ { n } b _ { n } ) \leq { \biggl ( } \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } a _ { n } { \biggr ) } { \biggl ( } \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } b _ { n } { \biggr ) }
\begin{array} { r l } { C _ { n } ( t ) } & { = O _ { n } \left[ \frac { 1 } { \sigma } - \frac { 1 } { \sigma } \exp [ - \sigma t ] \right] = 1 - O _ { n } \left[ \frac { 1 } { \sigma } \exp [ - \sigma t ] \right] } \\ & { = 1 - \frac { 1 } { n ! \tau ^ { n + 1 } } \exp [ - \sigma t ] \frac { n ! } { \sigma ^ { n + 1 } } \sum _ { l = 0 } ^ { n } \frac { \sigma ^ { l } t ^ { l } } { l ! } } \\ & { = 1 - \exp [ - t / \tau ] \sum _ { l = 0 } ^ { n } \frac { t ^ { l } } { l ! \tau ^ { l } } } \end{array}
\mathrm { S e l } ^ { \mathrm { b a l } } ( \mathbf { Q } , { \mathbf { V } ^ { \dagger } } ) \xrightarrow { \mathrm { r e s } _ { p } } { \mathrm { H } } ^ { 1 } ( \mathbf { Q } _ { p } , \mathscr { F } _ { p } ^ { \mathrm { b a l } } ( { \mathbf { V } ^ { \dagger } } ) ) \rightarrow { \mathrm { H } } ^ { 1 } ( \mathbf { Q } _ { p } , \mathscr { F } _ { p } ^ { \mathrm { b a l } } ( { \mathbf { V } ^ { \dagger } } ) / \mathscr { F } _ { p } ^ { 3 } ( { \mathbf { V } ^ { \dagger } } ) ) \rightarrow { \mathrm { H } } ^ { 1 } ( \mathbf { Q } _ { p } , \mathbf { V } _ { { \boldsymbol { f } } } ^ { { \boldsymbol { g } } { \boldsymbol { h } } } )
\mathbf { A } : = \left\{ \mathbf { e } \in \mathbf { E } \ \backslash \ \left\langle \left. \mathcal { A } \mathbf { f } \right\vert \mathbf { e } \right\rangle = 0 \ \forall \ \mathbf { f } \in \mathbf { F } \ \right\} .
\left\{ \begin{array} { l l } { u _ { 0 } ^ { k } \in H _ { \# } ^ { 1 } ( C ) , \quad \displaystyle - \Delta _ { y } ^ { \prime } u _ { 0 } ^ { k } = \lambda _ { k } u _ { 0 } ^ { k } + 1 \, \, \, \, \mathrm { i n } \, \, D , } \\ { u _ { 0 } ^ { k } = 0 \, \, \, \mathrm { o n } \, \, \partial D , } \\ { v _ { k } \in L ^ { 2 } ( \omega ; H _ { 0 } ^ { 1 } ( 0 , L ) ) , } \\ { \displaystyle - \frac { \partial ^ { 2 } v _ { k } } { \partial x _ { 3 } ^ { 2 } } = \lambda _ { k } \Bigl ( 1 + \frac { \vert D \vert } { \vert C \setminus D \vert } + \frac { \lambda _ { k } } { \vert C \setminus D \vert } \displaystyle \int _ { D } u _ { 0 } ^ { k } \ d y \Bigr ) v _ { k } \quad \mathrm { i n } \, \, \, \Omega . } \end{array} \right.
a _ { \lambda } ( q ^ { 2 } ) = \left\{ \begin{array} { l l l } { { - } } & { { 1 } } & { { \qquad q ^ { 2 } < 0 \quad \mathrm { a n d } \quad \lambda = 0 } } \\ { { } } & { { 0 } } & { { \qquad q ^ { 2 } = 0 \quad \mathrm { a n d } \quad \lambda = 0 } } \\ { { + } } & { { 1 } } & { { \qquad \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left\| T _ { C } ( X ) \right\| _ { p } } & { = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( \ell ( 0 , b _ { i } ) - \ell ( 0 , a _ { i } ) ) ^ { p } \right) ^ { \frac { 1 } { p } } } \\ & { = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { k } \ell ( a _ { i } , b _ { i } ) ^ { p } \right) ^ { \frac { 1 } { p } } } \\ & { = \left\| X \right\| _ { p , C } , } \end{array}
\langle e _ { 1 } , \theta e _ { 2 } \rangle = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \theta \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \epsilon } \\ { - \epsilon } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) = \epsilon ,
\begin{array} { l l } { { \mathrm { S e c t o r } \ \ } } & { { \mathrm { F i e l d ~ c o n t e n t } } } \\ { { \mathrm { e v e n } } } & { { [ 1 , 1 ] , \, [ 3 , 3 ] , \, [ 5 , 5 ] , \, [ 7 , 7 ] , \, [ 9 , 9 ] , \, } } \\ { { \mathrm { o d d } } } & { { [ 2 , 2 ] , \, [ 4 , 4 ] , \, [ 6 , 6 ] , \, [ 8 , 8 ] , \, } } \\ { { \mathrm { t w i s t e d } } } & { { [ 1 , 9 ] , \, [ 3 , 7 ] , \, [ 5 , 5 ] , \, [ 7 , 3 ] , \, [ 9 , 1 ] . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { \mathcal { R } \left[ \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 4 } } \iint \hat { \mathcal { N } } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , \mathbf { x } , z , t ) \mathrm { d } \mathbf { k } _ { 1 } \mathrm { d } \mathbf { k } _ { 2 } \right] , } \\ { \mathcal { F } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { \mathcal { R } \left[ \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 4 } } \iint \hat { \mathcal { F } } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , \mathbf { x } , z , t ) \mathrm { d } \mathbf { k } _ { 1 } \mathrm { d } \mathbf { k } _ { 2 } \right] , } \end{array}
\ddot { w } = 2 \frac { w ( k - w ^ { 2 } ) } { a ^ { 2 } } \left( \frac { 1 - K ^ { 2 } } { 1 + V ^ { 2 } } \right) + \frac { 2 \dot { a } \dot { w } } { a } \left( \frac 1 2 - \frac { 1 - K ^ { 2 } } { 1 + V ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l } { \left| q \Sigma ^ { - 1 } + ( 1 - q ) \bar { \Sigma } ^ { - 1 } \right| } & { { } = \left| \Sigma ^ { - 1 } \left( q \bar { \Sigma } + ( 1 - q ) \Sigma \right) \bar { \Sigma } ^ { - 1 } \right| } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( \omega ) } & { { } = \frac { e ^ { 2 } E _ { \textrm { p } } ^ { 2 } } { 4 V ^ { 4 } \hbar ^ { 2 } m _ { e } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tau \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { u , v , u ^ { \prime } , v ^ { \prime } } \sum _ { \alpha , \gamma } \sum _ { m } \left( D _ { u v , \alpha \alpha , \mathbf { k } } ^ { ( - m ) } D _ { u ^ { \prime } v ^ { \prime } , \gamma \gamma , \mathbf { k } } ^ { ( m ) } e ^ { i m \Omega \tau } \right. } \end{array}
\frac { B ^ { 2 } } { T ^ { 4 } } = 6 . 2 6 \, \biggl ( \frac { m } { M _ { P } } \biggr ) ^ { - 3 } \biggl ( \frac { H _ { 1 } } { M _ { P } } \biggr ) ^ { 5 } \frac { 1 } { ( L \, T ) ^ { 4 } } .
\phi _ { I } ~ = ~ { \frac { 1 } { 2 } } ( \mathrm { t h } { \frac { \alpha - t } { 2 } } ~ + ~ 1 ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \phi _ { \bar { I } } ~ = ~ { \frac { 1 } { 2 } } ( \mathrm { t h } { \frac { t + \alpha } { 2 } } ~ + ~ 1 )
\nu _ { T } = - { \frac { \mathrm { I m } F } { 2 \vert P \vert } } = { \frac { g ^ { 2 } N _ { c } T } { 8 \pi } } \left( \ln { \frac { m _ { e l } ^ { 2 } } { m _ { g } ^ { 2 } + \nu _ { T } ^ { 2 } } } + 1 - { \frac { 2 } { \pi } } \arctan { \frac { m _ { g } } { \nu _ { T } } } \right) .
{ \mathrm { s i d e ~ } } a : { \mathrm { s i d e ~ } } b = \left( { \frac { a } { 2 } } \right) ^ { 2 } - 1 : { \mathrm { s i d e ~ } } c = \left( { \frac { a } { 2 } } \right) ^ { 2 } + 1
Z ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \cos ( 0 . 5 \pi x _ { 1 } ) \cos ( 0 . 5 \pi x _ { 2 } ) } & { | x _ { 1 } | \mathrm { ~ a n d ~ } | x _ { 2 } | \leq 1 , } \\ { \frac { \pi } { 4 } ( 1 - x _ { 1 } ^ { 2 } ) } & { | x _ { 1 } | > 1 \mathrm { ~ a n d ~ } | x _ { 2 } | < 1 , } \\ { \frac { \pi } { 4 } ( 1 - x _ { 2 } ^ { 2 } ) } & { | x _ { 1 } | < 1 \mathrm { ~ a n d ~ } | x _ { 2 } | > 1 , } \\ { \frac { \pi } { 4 } ( 2 - x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } ) } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\varphi _ { t } ( x , p ) = \exp \left[ - \frac { j } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { t } \! \! \! \! d u \, \left( V _ { b } \left( \overline { { x _ { u } } } \right) - V _ { a } \left( \overline { { x _ { u } } } \right) \right) \right]
\boldsymbol { \Delta } = - { \alpha ^ { 2 } \boldsymbol { I } } - { \left( m ^ { 2 } + 1 \right) \boldsymbol { r } ^ { - 2 } } + { \boldsymbol { r } ^ { - 1 } \boldsymbol { D } } + \boldsymbol { D } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { 0 } & { \le \phi ( x _ { 0 } ^ { \prime } + \sum _ { j = 1 } ^ { d - 1 } t _ { j } e _ { j } ) - P ( x _ { 0 } ^ { \prime } + \sum _ { j = 1 } ^ { d - 1 } t _ { j } e _ { j } ) } \\ & { \le \sum _ { j = 1 } ^ { d - 1 } \frac { | t _ { j } | } { | t | _ { 1 } } \big ( \phi ( x _ { 0 } ^ { \prime } + \mathrm { s g n } ( t _ { j } ) | t | _ { 1 } e _ { j } ) - P ( x _ { 0 } ^ { \prime } + \mathrm { s g n } ( t _ { j } ) | t | _ { 1 } e _ { j } ) \big ) } \\ & { \le \sum _ { j = 1 } ^ { d - 1 } \frac { | t _ { j } | } { | t | _ { 1 } } C r ^ { 2 } = C r ^ { 2 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \varphi \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n + 1 } \lambda _ { i } x _ { i } \right) } & { \leq ( 1 - \lambda _ { n + 1 } ) \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { \lambda _ { i } } { 1 - \lambda _ { n + 1 } } } \varphi ( x _ { i } ) + \lambda _ { n + 1 } \, \varphi ( x _ { n + 1 } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n + 1 } \lambda _ { i } \varphi ( x _ { i } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { r { \frac { \partial u } { \partial r } } } & { { } = r { \frac { \partial u } { \partial x } } { \frac { \partial x } { \partial r } } + r { \frac { \partial u } { \partial y } } { \frac { \partial y } { \partial r } } , } \\ { { \frac { \partial u } { \partial \varphi } } } & { { } = { \frac { \partial u } { \partial x } } { \frac { \partial x } { \partial \varphi } } + { \frac { \partial u } { \partial y } } { \frac { \partial y } { \partial \varphi } } , } \end{array}
d \sigma = \sum _ { a , b } x _ { 1 } f _ { a } ( x _ { 1 } , Q ^ { 2 } ) \; x _ { 2 } f _ { b } ( x _ { 2 } , Q ^ { 2 } ) \frac { | { \mathcal { M } _ { a b } } | ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 8 } ( 2 s ) } d y \frac { d \tau } { \tau ^ { 2 } } d \vec { \Phi } ,