harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \partial f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) } { \partial { E } _ { k , \sigma } ^ { i j } } } & { { } = \frac { 1 } { k _ { B } T } \left( \textbf { I } _ { m _ { k , \sigma } } + e ^ { \frac { - \left( \mathbf { E } _ { k , \sigma } - \mu _ { \sigma } \textbf { I } _ { m _ { k , \sigma } } \right) } { k _ { B } T } } \right) ^ { - 1 } e ^ { \frac { - \left( \mathbf { E } _ { k , \sigma } - \mu _ { \sigma } \textbf { I } _ { m _ { k , \sigma } } \right) } { k _ { B } T } } \left( \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } + \frac { [ \mathbf { E } _ { k , \sigma } , \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } ] } { 2 k _ { B } T } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { \pm , \mu \nu } ^ { R R } = } & { \langle \partial _ { \mu } \psi _ { \pm } ^ { R } | \partial _ { \nu } \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle - \langle \partial _ { \mu } \psi _ { \pm } ^ { R } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle \langle \psi _ { \pm } ^ { R } | \partial _ { \nu } \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } \\ { \Omega _ { n } ^ { z , R R } = } & { i \Big ( \langle \partial _ { k _ { x } } \psi _ { n } ^ { R } | \partial _ { k _ { y } } \psi _ { n } ^ { R } \rangle - \langle \partial _ { k _ { y } } \psi _ { n } ^ { R } | \partial _ { k _ { x } } \psi _ { n } ^ { R } \rangle \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { 0 } = \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 ^ { T } } \\ { 0 } & { 0 _ { p \times p } } \end{array} \right] , \quad A _ { i } = \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { \frac { 1 } { 2 } e _ { i } ^ { T } } \\ { \frac { 1 } { 2 } e _ { i } } & { - e _ { i } e _ { i } ^ { T } } \end{array} \right] , \quad E _ { i } = \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { \frac { 1 } { 2 } e _ { i } ^ { T } } \\ { \frac { 1 } { 2 } e _ { i } } & { 0 _ { p \times p } } \end{array} \right] , \; \; i = 1 , \ldots , p . } \end{array}
\mathbf { e } _ { j } = { \frac { 1 } { \sqrt { D _ { j - 1 } D _ { j } } } } { \left| \begin{array} { l l l l } { \langle \mathbf { v } _ { 1 } , \mathbf { v } _ { 1 } \rangle } & { \langle \mathbf { v } _ { 2 } , \mathbf { v } _ { 1 } \rangle } & { \dots } & { \langle \mathbf { v } _ { j } , \mathbf { v } _ { 1 } \rangle } \\ { \langle \mathbf { v } _ { 1 } , \mathbf { v } _ { 2 } \rangle } & { \langle \mathbf { v } _ { 2 } , \mathbf { v } _ { 2 } \rangle } & { \dots } & { \langle \mathbf { v } _ { j } , \mathbf { v } _ { 2 } \rangle } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \langle \mathbf { v } _ { 1 } , \mathbf { v } _ { j - 1 } \rangle } & { \langle \mathbf { v } _ { 2 } , \mathbf { v } _ { j - 1 } \rangle } & { \dots } & { \langle \mathbf { v } _ { j } , \mathbf { v } _ { j - 1 } \rangle } \\ { \mathbf { v } _ { 1 } } & { \mathbf { v } _ { 2 } } & { \dots } & { \mathbf { v } _ { j } } \end{array} \right| }
\widetilde { \mathbf { R } } ( z ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \mathbf { T } ( z ) \left[ \widetilde { \mathbf { P } } ^ { ( 1 , \pm ) } ( z ) \right] ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in U ( z _ { 1 , \pm } , \delta ) \setminus \Sigma _ { \mathbf { T } } , } \\ & { \mathbf { T } ( z ) \left[ \widetilde { \mathbf { P } } ^ { ( 2 , \pm ) } ( z ) \right] ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in U ( z _ { 2 , \pm } , \delta ) \setminus \Sigma _ { \mathbf { T } } , } \\ & { \mathbf { T } ( z ) \left[ \widetilde { \mathbf { P } } ^ { ( 0 ) } ( z ) \right] ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in U ( 0 , \delta ) \setminus \Sigma _ { \mathbf { T } } , } \\ & { \mathbf { T } ( z ) \left[ \widetilde { \mathbf { P } } ^ { ( \infty ) } ( z ) \right] ^ { - 1 } , \quad } & { \mathrm { e } } & { \mathrm { l s e w h e r e } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { K ^ { 1 / 2 } e _ { i } ^ { j } = \varepsilon \mu A ^ { n - 2 i } e _ { i } ^ { j } , K ^ { 1 / 2 } \overline { { e } } _ { i } ^ { j } = \varepsilon \mu A ^ { \overline { { n } } - 2 i } \overline { { e } } _ { i } ^ { j } , L ^ { 1 / 2 } e _ { i } ^ { j } = \mu A ^ { 2 i - n } e _ { i } ^ { j } , L ^ { 1 / 2 } \overline { { e } } _ { i } ^ { j } = \mu A ^ { 2 i - \overline { { n } } } \overline { { e } } _ { i } ^ { j } ; } \\ & { F e _ { n } ^ { k + 1 } = 0 , F e _ { n } ^ { j } = \overline { { e } } _ { 0 } ^ { j } \mathrm { ~ f o r ~ } j \neq k + 1 , F \overline { { e } } _ { \overline { { n } } } ^ { j } = 0 , F e _ { i } ^ { j } = e _ { i + 1 } ^ { j } \mathrm { ~ f o r ~ } i \neq n , F \overline { { e } } _ { i } ^ { j } = \overline { { e } } _ { i + 1 } ^ { j } \mathrm { ~ f o r ~ } i \neq \overline { { n } } ; } \\ & { E e _ { 0 } ^ { 1 } = 0 , E e _ { 0 } ^ { j } = \overline { { e } } _ { \overline { { n } } } ^ { j - 1 } \mathrm { ~ f o r ~ } j \neq 1 , E \overline { { e } } _ { 0 } ^ { j } = 0 , E e _ { i } ^ { j } = \mu ^ { 2 } [ i ] [ n - i + 1 ] e _ { i - 1 } ^ { j } , E \overline { { e } } _ { i } ^ { j } = \mu ^ { 2 } [ i ] [ \overline { { n } } - i + 1 ] \overline { { e } } _ { i - 1 } ^ { j } \mathrm { ~ f o r ~ } i \neq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { i } ^ { - 1 } ( z _ { i + 1 } , \chi ) } & { = m ^ { ( i ) } ( z _ { i + 1 } ) + ( 1 - m ^ { ( i ) } ) \left( z _ { i + 1 } + t ^ { ( i ) } ( m ^ { ( i ) } ( z _ { i + 1 } ) , \chi ) \right) e ^ { - s ^ { ( i ) } ( m ^ { ( i ) } ( z _ { i + 1 } ) , \chi ) } } \\ { f _ { \theta } ^ { - 1 } ( \tilde { \phi } ) } & { = \left( g _ { n } ^ { - 1 } \circ \dots \circ g _ { 1 } ^ { - 1 } \right) ( \tilde { \phi } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } } & { { } \supset - \frac { \epsilon } { 2 \cos \theta _ { W } } B _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } \ \mathrm { ( v e c t o r \ p o r t a l ) } } \\ { \mathcal { L } } & { { } \supset \left( \mu \phi + \lambda \phi ^ { 2 } \right) H ^ { \dagger } H \ \ \ \mathrm { ( H i g g s \ p o r t a l ) } , } \end{array}
\mathcal { D } = [ \Phi _ { 1 } \Phi _ { 2 } ] \left[ \begin{array} { l l } { \sigma _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \sigma _ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \Psi _ { 1 } } \\ { \Psi _ { 2 } } \end{array} \right]
C o h = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( E _ { d a t a } - \bar { E } _ { d a t a } ) ( E _ { m o d } - \bar { E } _ { m o d } ) } { \sqrt { { \sum _ { i = 1 } ^ { N } } ( E _ { d a t a } - \bar { E } _ { d a t a } ) ^ { 2 } ( E _ { m o d } - \bar { E } _ { m o d } ) ^ { 2 } } }
\frac { m _ { s } } { m } = \frac { 2 m _ { s } } { m _ { u } + m _ { d } } = \frac { 2 b _ { s } } { 1 - b _ { s } } = 2 \left( 1 + \frac { 1 } { 2 } c _ { A } \right) \left( \frac { m _ { K } } { m _ { \pi } } \right) ^ { 2 } - 1 ~ ,
E _ { \mathrm { b u l k } } = { \frac { 4 \pi a ^ { 3 } } { 3 } } \int { \frac { ( d { \bf k } ) } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { 2 } } k \left( 1 - { \frac { 1 } { n } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \langle 2 _ { i } | 2 _ { i } \rangle } & { = } & { | c o n s t | ^ { 2 } \langle 1 _ { i } | \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { + } | 1 _ { i } \rangle = | c o n s t | ^ { 2 } \langle 1 _ { i } | \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { + } \hat { a } _ { i } ^ { + } | 0 \rangle = } \\ & { = } & { | c o n s t | ^ { 2 } \langle 1 _ { i } | ( 1 + \hat { a } _ { i } ^ { + } \hat { a } _ { i } ) \hat { a } _ { i } ^ { + } | 0 \rangle = | c o n s t | ^ { 2 } [ \langle 1 _ { i } | \hat { a } _ { i } ^ { + } | 0 \rangle + } \\ & { + } & { \langle 1 _ { i } | \hat { a } _ { i } ^ { + } ( 1 + \hat { a } _ { i } ^ { + } \hat { a } _ { i } ) | 0 \rangle ] = 2 | c o n s t | ^ { 2 } \langle 1 _ { i } | 1 _ { 1 } \rangle = 2 | c o n s t | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { i j } \! } & { { } = } & { \! \left[ 1 - { \bf n } ^ { 2 } + \frac { d _ { 1 } } { c _ { 1 } } \left( { \bf n } \times { \bf B } _ { 0 } \right) ^ { 2 } \right] \delta _ { i j } + } \end{array}
\left. { \cal A } _ { \mathrm { C P } } ^ { \mathrm { d i r } } ( B _ { d } \to \pi ^ { + } \pi ^ { - } ) \right| _ { \gamma = 9 0 ^ { \circ } } = - \left[ \frac { 2 \, d \sin \theta } { 1 + d ^ { 2 } } \right] , \quad \left. { \cal A } _ { \mathrm { C P } } ^ { \mathrm { d i r } } ( B _ { s } \to K ^ { + } K ^ { - } ) \right| _ { \gamma = 9 0 ^ { \circ } } = + \left[ \frac { 2 \, \epsilon \, d ^ { \prime } \sin \theta ^ { \prime } } { \epsilon ^ { 2 } + d ^ { 2 } } \right] ,
E _ { \mathrm { t o t } } = \sum _ { l = 1 } ^ { f / 2 } \sum _ { n = - ( N - 1 ) } ^ { N - 1 } E _ { \mathrm { b e n d } } ^ { ( l ) } ( \theta _ { n } ) + \sum _ { l = 1 } ^ { f / 2 } \sum _ { n = - N } ^ { N - 1 } E _ { \mathrm { b o n d } } ^ { ( l ) } ( r _ { n } )
J _ { R } ( \lambda , x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) J _ { S } \left( P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) \right) ^ { - 1 } , } & { \qquad \lambda \in \left( \gamma _ { \pm 2 } \cup \gamma _ { 1 } \cup \tilde { \gamma } _ { \pm 1 } \right) , } \\ { P ( \lambda , t ) \left( P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) \right) ^ { - 1 } , } & { \qquad \lambda \in \partial D ( - 2 \lambda _ { 0 } , \delta ) , } \\ { Q ( \lambda , t ) \left( P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) \right) ^ { - 1 } , } & { \qquad \lambda \in \partial D ( \lambda _ { 0 } , \delta ) . } \end{array} \right.
\sum _ { i = 0 } ^ { 2 } [ \underset { \bar { \Omega } _ { T } } { \operatorname* { s u p } } | a _ { i } ( x , t ) | + \underset { \bar { \Omega } _ { T } } { \operatorname* { s u p } } | b _ { i } ( x , t ) | ] + \underset { \bar { \Omega } _ { T } } { \operatorname* { s u p } } \bigg | \frac { \partial a _ { 2 } } { \partial x } ( x , t ) \bigg | + \underset { \bar { \Omega } _ { T } } { \operatorname* { s u p } } \bigg | \frac { \partial b _ { 2 } } { \partial x } ( x , t ) \bigg | \leq C _ { 0 } .
\begin{array} { r } { \rVert \Psi _ { 3 } ( \tau ) h \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \rVert h \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } . } \end{array}
F ^ { n } ( \cdot ) = \mathrm { P } _ { \omega } \left[ \frac { a _ { d _ { n } } ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } ( 1 - \Upsilon ( L _ { d _ { n } } ) ) ^ { 2 } ( 2 \vartheta _ { 0 } - 1 ) + \frac { a _ { d _ { n } } ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \sum _ { k } x _ { k } ( L _ { d _ { n } } ) ^ { 2 } ( 2 \vartheta _ { k } - 1 ) { \bf 1 } _ { \{ L _ { d _ { n } } ( t _ { k } ) < n / a _ { d _ { n } } \} } \in \cdot \right]
\frac { 1 } { n \log n } u ^ { T } \mathbb { E } \big [ S _ { n } S _ { n } ^ { T } \big ] u = w ^ { T } W _ { n } \mathbb { E } \bigg [ \left( \begin{array} { l l } { \mathbb { E } \big [ \langle N ( u ) \rangle _ { n } \big ] } & { \mathbb { E } \big [ \langle N ( u ) , M ( u ) \rangle _ { n } \big ] } \\ { \mathbb { E } \big [ \langle M ( u ) , N ( u ) \rangle _ { n } \big ] } & { \mathbb { E } \big [ \langle M ( u ) \rangle _ { n } \big ] } \end{array} \right) \bigg ] W _ { n } ^ { T } w .
i \, \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \mathrm { ~ s ~ } \to \mathrm { ~ o ~ } \dagger } \frac { \partial } { \partial k } \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \mathrm { ~ s ~ } \to \mathrm { ~ o ~ } } \equiv \hat { \tau }
\varsigma = 4 \, { \left( t ^ { 3 } - { \left( r ^ { 2 } - 1 \right) } t \right) } \sqrt { r ^ { 2 } + 2 \, r t + t ^ { 2 } + 1 } \sqrt { r ^ { 2 } - 2 \, r t + t ^ { 2 } + 1 }
{ \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } } \int _ { { \cal C } ^ { 3 } } d ^ { 3 } \xi \sqrt { \operatorname * { d e t } h _ { i j } } = \int _ { { \cal C } ^ { 3 } } d ^ { 3 } \xi \frac { | \phi | } { \| \Omega \| } \, \geq \, \frac { 1 } { \| \Omega \| } \left| \int _ { { \cal C } ^ { 3 } } d ^ { 3 } \xi \phi \right| = \frac { 1 } { 6 \| \Omega \| } \left| \int _ { { \cal C } ^ { 3 } } f ^ { * } \Omega \right| = V _ { \mathrm { C Y } } ^ { 1 / 2 } \left| \int _ { { \cal C } ^ { 3 } } f ^ { * } \widehat { \Omega } \right| \ .
S ( \Psi ) = { \frac { 1 } { 2 } } \langle \Psi | Y ( i ) Y ( - i ) Q _ { B } | \Psi \rangle + { \frac { 1 } { 3 } } \langle \Psi | Y ( i ) Y ( - i ) | \Psi * \Psi \rangle \ ,
\begin{array} { r l } { \left| \| \tilde { { \boldsymbol u } } ^ { ( k ) } \| _ { 2 } \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } r _ { j } ^ { ( k ) } \cos \theta - \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } r _ { j } ^ { ( k ) } \right| } & { \leq \left| \| \tilde { { \boldsymbol u } } ^ { ( k ) } \| _ { 2 } \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } r _ { j } ^ { ( k ) } \cos \theta - \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } r _ { j } ^ { ( k ) } \cos \theta \right| } \\ & { \quad + \left| \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } r _ { j } ^ { ( k ) } \cos \theta - \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } r _ { j } ^ { ( k ) } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { E } _ { a } ^ { 0 } ( x = 0 , t ) } & { { } = \Re \left[ t \left( \vec { X } _ { a } e ^ { - i ( \omega _ { a } t - k _ { a } \frac { L } { 2 } + \phi ) } + \frac { \Delta \vec { X } _ { a } } { 2 } \left( e ^ { - i ( \omega _ { + } t - k _ { + } \frac { L } { 2 } + \phi _ { + } ) } + e ^ { - i ( \omega _ { - } t - k _ { - } \frac { L } { 2 } + \phi _ { - } ) } \right) \right) \right] \, , } \end{array}
\eta = \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \tilde { \eta } _ { n } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \xi _ { n } t } \ \ \ \ \ \ \longrightarrow \ \ \ \ \ \ \forall n : \ \ \ \ \mathrm { ~ i ~ } \xi _ { n } \tilde { \eta } _ { n } = \tilde { w } _ { n } .
\mathcal { O } _ { \sigma } ( X , Y ) = \mathrm { T r } _ { V _ { N } ^ { \otimes m + n } } ( X ^ { \otimes m } \otimes Y ^ { \otimes n } \mathcal { L } _ { \sigma } ) = X _ { i _ { \sigma ( 1 ) } } ^ { i _ { 1 } } \dots X _ { i _ { \sigma ( m ) } } ^ { i _ { m } } Y _ { i _ { \sigma ( m + 1 ) } } ^ { i _ { m + 1 } } \dots Y _ { i _ { \sigma ( m + n ) } } ^ { i _ { m + n } } \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { k ^ { \prime } - } = } & { { } - i ( \alpha _ { k ^ { \prime } , t / c } S _ { k ^ { \prime } } \otimes I _ { n } - \tilde { \alpha } _ { k ^ { \prime } , t / c } I _ { n } \otimes S _ { k ^ { \prime } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } 2 ^ { 2 s } \int _ { Q _ { T } } \lvert \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } - u \partial _ { x } u \rvert ^ { 2 s } } \\ { = } & { { } 2 ^ { 2 s } \int _ { Q _ { T } } \lvert \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } - \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } u + \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } u - u \partial _ { x } u \rvert ^ { 2 s } } \\ { = } & { { } 2 ^ { 2 s } \int _ { Q _ { T } } \lvert \left( \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } - \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } u \right) + \partial _ { x } u \left( \tilde { u } _ { n } - u \right) \rvert ^ { 2 s } } \\ { \leq } & { { } C \int _ { Q _ { T } } \left( \lvert \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } - \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } u \rvert ^ { 2 s } + \lvert \partial _ { x } u \left( \tilde { u } _ { n } - u \right) \rvert ^ { 2 s } \right) } \end{array}
. I n t h e s i m u l a t i o n , n o f a s t r e c o n n e c t i o n r a t e i s o b s e r v e d s i n c e w e d i d n o t i n c l u d e H a l l p h y s i c s . W e a l s o n o t e t h a t t h e r e i s s t r o n g f i r e h o s e - t y p e a n i s o t r o p y (
D _ { \mathrm { v a l } - \mathrm { s e a } } ^ { j } \left( \hat { s } , b \right) = \sum _ { k } \int _ { 0 } ^ { 1 } \! d z ^ { - } \, E _ { \mathrm { s o f t } } ^ { k } \left( z ^ { - } \right) \, \sigma _ { \mathrm { h a r d } } ^ { j k } \! \left( z ^ { - } \hat { s } , Q _ { 0 } ^ { 2 } \right) \, \frac { 1 } { 4 \pi \, \lambda _ { \mathrm { s o f t } } ^ { \! ( 1 ) } ( 1 / z ^ { - } ) } \exp \! \left( \! \! - \frac { b ^ { 2 } } { 4 \lambda _ { \mathrm { s o f t } } ^ { \! ( 1 ) } \! \left( 1 / z ^ { - } \right) } \right)
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { k + 1 } x _ { i } y _ { i } } & { = x _ { k + 1 } y _ { k + 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { k } x _ { i } y _ { i } } \\ & { \le x _ { k + 1 } y _ { k + 1 } + \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { k } x _ { i } ^ { 2 } } \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { k } y _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { = x _ { k + 1 } y _ { k + 1 } + u _ { k } v _ { k } } \\ & { = \sqrt { x _ { k + 1 } ^ { 2 } + u _ { k } ^ { 2 } } \sqrt { y _ { k + 1 } ^ { 2 } + v _ { k } ^ { 2 } } } \\ & { = \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { k + 1 } x _ { i } ^ { 2 } } \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { k + 1 } y _ { i } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \ | | \mathrm { s y m b } _ { 1 } ( P _ { 1 } ) ( \mathrm { -- } , \eta _ { R } ^ { \prime } \mathrm { d } t ) ( u ) | | _ { 0 ; M _ { ( - R , R ) } } } \\ & { \leq | | \mathrm { s y m b } _ { 1 } ( P _ { 1 } ) ( \mathrm { -- } , \eta _ { R } ^ { \prime } \mathrm { d } t ) | | _ { 0 , 0 ; M _ { ( - R , R ) } } | | u | | _ { 0 , M _ { ( - R , R ) } } } \\ & { \leq | | \mathrm { s y m b } _ { 1 } ( P _ { 1 } ) ( \mathrm { -- } , \eta _ { R } ^ { \prime } \mathrm { d } t ) | | _ { \infty ; M _ { ( - R , R ) } } | | u | | _ { 0 } } \\ & { \leq \frac { | \eta ^ { \prime } | _ { \infty } } { R } | | \mathrm { s y m b } _ { 1 } ( P _ { 1 } ) ( \mathrm { -- } , \mathrm { d } t ) | | _ { \infty ; M _ { ( - R , R ) } } | | u | | _ { 0 } } \\ & { \leq \frac { C } { R } | | u | | _ { 0 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { \displaystyle [ A _ { 0 } ( T ) , A _ { 0 } ^ { \dag } ( T ) ] = 1 } } & { { } } \\ { { } } & { { \forall T } } \\ { { \sum _ { m = 0 } ^ { n } [ A _ { m } ( T ) , A _ { n - m } ^ { \dag } ( T ) ] = 0 , \, \, n \geq 1 } } & { { } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \mathscr { A } \= x _ { 2 } x _ { 3 } ^ { 2 } \left( \varepsilon _ { 1 } x _ { 2 } + 2 \varepsilon _ { 2 } x _ { 3 } \right) \ , \qquad \mathscr { B } \= x _ { 3 } ^ { 2 } \left( x _ { 1 } + \varepsilon _ { 1 } x _ { 3 } \right) ^ { 2 } \ , } \\ & { \mathcal { C } \= \varepsilon _ { 2 } x _ { 3 } ^ { 3 } \left( 2 x _ { 1 } + \varepsilon _ { 1 } x _ { 3 } \right) \ , } \\ & { \mathscr { D } \= x _ { 2 } ^ { 2 } \left( x _ { 1 } + \varepsilon _ { 1 } x _ { 3 } \right) ^ { 2 } + x _ { 3 } ^ { 2 } \left( \varepsilon _ { 1 } x _ { 2 } + \varepsilon _ { 2 } x _ { 3 } \right) ^ { 2 } + 2 \varepsilon _ { 2 } x _ { 3 } ^ { 3 } \left( \varepsilon _ { 1 } x _ { 2 } + \varepsilon _ { 2 } x _ { 3 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \omega ^ { 2 } } { c _ { 0 } ^ { 2 } } { \bf E } ( { \bf r } , \omega ) } & { { } = } & { M _ { \epsilon } ( { \bf r } ) \nabla \times [ M _ { \mu } ( { \bf r } ) \nabla \times { \bf E } ( { \bf r } , \omega ) ] } \end{array}
S = \int _ { c _ { 1 } ^ { 2 } / b ^ { 2 } } ^ { c _ { 2 } ^ { 2 } Q ^ { 2 } } { \frac { d \bar { \mu } ^ { 2 } } { \bar { \mu } ^ { 2 } } } \Bigl [ \ln \bigl ( { \frac { c _ { 2 } ^ { 2 } Q ^ { 2 } } { \bar { \mu } ^ { 2 } } } \bigr ) A ( \bar { \mu } ) + B ( \bar { \mu } ) \Bigr ] \;
\delta _ { \mathrm { T L S } } = F \delta _ { \mathrm { T L S } } ^ { 0 } \frac { \mathrm { t a n h } ( \frac { \hbar \omega } { 2 k _ { B } T } ) } { \sqrt { 1 + \frac { \langle n \rangle } { n _ { c } } } } ,
\begin{array} { r } { \nabla \cdot \left( \frac { \Delta t } { \rho } \nabla p \right) = \nabla \cdot \mathbf { u } ^ { * } - \hat { s } \left( \frac { 1 - f } { \rho _ { g } } - \frac { f } { \rho _ { l } } \right) \, , } \end{array}
d _ { i j k } \hat { \xi } _ { i } \hat { \xi } _ { j } = \frac { \frac { N } { 3 } + \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { \frac { 1 } { 3 } N ^ { 2 } + N } } \times \, \hat { \xi } _ { k } .
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { N } ^ { n } ( \overrightarrow { \varphi } ) \rangle _ { t } } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \big ( L _ { n } \mathcal { Z } _ { s } ^ { n } ( \overrightarrow { \varphi } ) ^ { 2 } - 2 \mathcal { Z } _ { s } ^ { n } ( \overrightarrow { \varphi } ) L _ { n } \mathcal { Z } _ { s } ^ { n } ( \overrightarrow { \varphi } ) \big ) d s } \\ & { = \frac { \theta ( n ) } { 2 n ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \eta _ { j } ( s ) - \eta _ { j + 1 } ( s ) ) ^ { 2 } \big ( \nabla ^ { 1 , n } T _ { f _ { 1 } t } ^ { - } \varphi _ { 1 } ( j / n ) \big ) ^ { 2 } d s } \\ & { \quad + \frac { \theta ( n ) } { 2 n ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \zeta _ { j } ( s ) - \zeta _ { j + 1 } ( s ) ) ^ { 2 } \big ( \nabla ^ { 2 , n } T _ { f _ { 2 } t } ^ { - } \varphi _ { 2 } ( j / n ) \big ) ^ { 2 } d s } \\ & { \quad + \frac { \theta ( n ) } { n ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \eta _ { j } ( s ) - \eta _ { j + 1 } ( s ) ) ( \zeta _ { j } ( s ) - \zeta _ { j + 1 } ( s ) ) \nabla ^ { 1 , n } T _ { f _ { 1 } t } ^ { - } \varphi _ { 1 } ( j / n ) \nabla ^ { 1 , n } T _ { f _ { 2 } t } ^ { - } \varphi _ { 2 } ( j / n ) d s } \end{array}
\ddot { Z } - \frac { A \delta ( z ) } { A S ( z ) + B } \dot { Z } - \left( A S ( z ) + B \right) Z = - \left( \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } - k _ { x } ^ { 2 } - k _ { y } ^ { 2 } \right) Z
\frac { \mathrm { d } { A _ { 1 } } } { \mathrm { d } { \tau } } = - \gamma A _ { 1 } ^ { * } A _ { 2 } \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { \mathrm { d } { A _ { 2 } } } { \mathrm { d } { \tau } } = \frac { \gamma } { 4 } A _ { 1 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { \langle R _ { 1 } ( r , Y ) \rangle _ { \theta } } & { \approx } & { \langle R _ { 1 } ( r , Y _ { 0 } ) \rangle _ { \theta } - 2 \gamma ( Y - Y _ { 0 } ) \sum _ { \nu } \, \nu \; \left[ c _ { 1 \nu } \, \mathrm { e } ^ { - \nu \gamma r ^ { 2 } } + d _ { 1 \nu } \left( { \frac { \gamma \, r ^ { 2 } } { 2 } } \right) ^ { \frac { ( N - 1 ) } { 2 } } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { ( 2 \nu + 1 ) \gamma r ^ { 2 } } { 2 } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { 1 } ( \omega ) } & { { } = \frac { - s \gamma _ { d } t _ { d } ( \omega ) - i \Delta _ { d } r _ { d } ( \omega ) } { - i \Delta _ { d } + \gamma _ { d } } } \\ { t _ { 1 } ( \omega ) } & { { } = \frac { - s \gamma _ { d } r _ { d } ( \omega ) - i \Delta _ { d } t _ { d } ( \omega ) } { - i \Delta _ { d } + \gamma _ { d } } , } \end{array}
H = { \frac { 1 } { 2 m } } ( p _ { r } ^ { 2 } + { \frac { p _ { \theta } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } + { \frac { p _ { \phi } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } s i n ^ { 2 } \theta } } ) + V ( r ) ,
Y _ { l _ { 1 } , \dots l _ { n - 1 } } ( \theta _ { 1 } , \dots \theta _ { n - 1 } ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } e ^ { i l _ { 1 } \theta _ { 1 } } \prod _ { j = 2 } ^ { n - 1 } { } _ { j } { \bar { P } } _ { l _ { j } } ^ { l _ { j - 1 } } ( \theta _ { j } )
\begin{array} { r l } { \left| G _ { p } ^ { x } \right| = } & { \left| d _ { p } \right| \sqrt { \sin ^ { 2 } ( \theta _ { p } - \phi _ { p } ^ { ( x ) } ) + x ^ { 2 } ( k _ { p } \delta - k _ { p } ^ { \prime } \zeta ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } , } \\ { \left| G _ { p } ^ { y } \right| = } & { \left| s _ { p } \right| \sqrt { \cos ^ { 2 } ( \theta _ { p } - \phi _ { p } ^ { ( x ) } ) + x ^ { 2 } ( q _ { p } \delta - q _ { p } ^ { \prime } \zeta ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\langle e ^ { X ^ { 0 } ( t _ { 1 } ) } \cdots e ^ { X ^ { 0 } ( t _ { n } ) } \rangle = \prod _ { i < j } | e ^ { i t _ { i } } - e ^ { i t _ { j } } | ^ { 2 } = 4 ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } \prod _ { i < j } \sin ^ { 2 } ( { \frac { t _ { i } - t _ { j } } { 2 } } ) ~ .
F ( A ) = \left\{ { \begin{array} { l l l } { \operatorname { P r o j } \left( { \frac { \mathbb { C } [ x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ] } { ( x _ { 0 } ^ { 4 } + x _ { 1 } ^ { 4 } + x _ { 2 } ^ { 4 } + x _ { 3 } ^ { 4 } ) } } \right) } & { \to } & { { \mathfrak { X } } } \\ { \downarrow } & & { \downarrow } \\ { \operatorname { S p e c } ( k ) } & { \to } & { \operatorname { S p e c } ( A ) } \end{array} } \right\}
\begin{array} { r l } { u ( x , y , t ) = } & { { } \frac { - \bar { f } \tilde { h } _ { y } - \bar { \tau } \tilde { h } _ { x } } { F ^ { 2 } ( \bar { f } ^ { 2 } + \bar { \tau } ^ { 2 } ) } , } \\ { v ( x , y , t ) = } & { { } \frac { \bar { f } \tilde { h } _ { x } - \bar { \tau } \tilde { h } _ { y } } { F ^ { 2 } ( \bar { f } ^ { 2 } + \bar { \tau } ^ { 2 } ) } , } \\ { h ( x , y , t ) = } & { { } \frac { \bar { \tau } ( \tilde { h } _ { x } ^ { 2 } + \tilde { h } _ { y } ^ { 2 } ) t } { F ^ { 2 } ( \bar { f } ^ { 2 } + \bar { \tau } ^ { 2 } ) } + \tilde { h } _ { 0 } ( 0 ) + \tilde { h } _ { x } x + \tilde { h } _ { y } y . } \end{array}