harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sigma = - i { \frac { \lambda } { 2 N } } \left\langle \left[ \Psi _ { i } ^ { \dag } , { \gamma } ^ { 0 } \Psi _ { i } \right] \right\rangle \equiv - i { \frac { \lambda } { 2 } } \left\langle \left[ \psi ^ { \dag } , { \gamma } ^ { 0 } \psi \right] \right\rangle ,
\begin{array} { l c l l } { { M } } & { { = } } & { { S ^ { 4 } } } & { { ( \mathrm { s p a c e ~ t i m e } ) } } \\ { { \tilde { M } } } & { { = } } & { { S ^ { 3 } \times [ - 1 , 1 ] } } & { { ( \mathrm { e n l a r g e d ~ s p a c e ~ t i m e } ) } } \\ { { N P } } & { { = } } & { { ( 0 , 0 , 0 , 0 , 1 ) } } & { { ( \mathrm { n o r t h ~ p o l e ~ o f ~ } S ^ { 4 } ) } } \\ { { S P } } & { { = } } & { { ( 0 , 0 , 0 , 0 , - 1 ) } } & { { ( \mathrm { s o u t h ~ p o l e ~ o f ~ } S ^ { 4 } ) } } \\ { { U _ { 1 } } } & { { = } } & { { S ^ { 4 } \setminus \{ S P \} } } & { { ( \mathrm { n o r t h e r n ~ h e m i s p h e r e ~ o f ~ } S ^ { 4 } ) } } \\ { { U _ { 2 } } } & { { = } } & { { S ^ { 4 } \setminus \{ N P \} } } & { { ( \mathrm { s o u t h e r n ~ h e m i s p h e r e ~ o f ~ } S ^ { 4 } ) } } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { M _ { 1 } } } & { { = } } & { { - \frac { P _ { i j } ^ { 2 } + P _ { i j } ( \mu ^ { 2 } + m _ { Z } ^ { 2 } + M _ { 2 } S _ { i j } - S _ { i j } ^ { 2 } ) + \mu m _ { Z } ^ { 2 } M _ { 2 } s _ { w } ^ { 2 } \sin 2 \beta } { P _ { i j } ( S _ { i j } - M _ { 2 } ) + \mu ( c _ { w } ^ { 2 } m _ { Z } ^ { 2 } \sin 2 \beta - \mu M _ { 2 } ) } } } \end{array}
{ \vec { v } } = { \vec { v } } _ { 0 } + { \vec { a } } _ { 0 } \, t + { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { \jmath } } _ { 0 } \, t ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 } } { \vec { s } } _ { 0 } \, t ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 2 4 } } { \vec { c } } \, t ^ { 4 }
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { U _ { 1 1 } } \\ { U _ { 2 1 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \beta _ { 1 } x _ { 1 } , \ldots , \beta _ { M } x _ { M } } \\ { x _ { 1 } , \ldots , x _ { M } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u _ { n } - \overline { { u } } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } } & { = \operatorname* { m a x } \Big \{ \| u _ { n } - \overline { { u } } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega \setminus B _ { R _ { \delta } } ) } , \| u _ { n } - \overline { { u } } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega \cap B _ { R _ { \delta } } ) } \Big \} } \\ & { \le \operatorname* { m a x } \Big \{ 2 \, \omega ( \delta ) , \| u _ { n } - \overline { { u } } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega \cap B _ { R _ { \delta } } ) } \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( t ) = \Omega \exp \left[ - \frac { \left( t ^ { \prime } - t _ { 0 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } { 2 T ^ { 2 } } \right] \exp \left( i \omega _ { 0 } ^ { \prime } t ^ { \prime } \right) , } \end{array}
\lambda _ { a _ { 1 } } ^ { a _ { 2 } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \sum _ { l = 1 } ^ { L } f _ { a _ { 1 } } ^ { l } \bar { \mu } ^ { l } , } & { 1 \leq a _ { 1 } \leq D - 1 , a _ { 2 } = a _ { 1 } + 1 } \\ { \displaystyle \sum _ { l = 1 } ^ { L } f _ { a } ^ { l } ( 1 - \bar { \mu } ^ { l } ) , } & { a _ { 1 } = 1 , \cdots , D , a _ { 2 } = 1 } \\ { \displaystyle \sum _ { l = 1 } ^ { L } f _ { D } ^ { l } ( 1 - \bar { \mu } ^ { l } ) , } & { a _ { 1 } = D , a _ { 2 } = D } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
= { \bigg ( } { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 8 } } { \bigg ) } \; \; \; s e t a t + { \bigg ( } 7 + { \frac { 1 } { 2 } } { \bigg ) } \; \; \; c u b i t \; \; \; s t r i p
\Gamma _ { 0 e } ( b _ { e } ) ^ { 1 / 2 } = G _ { 1 0 e } , \qquad ( \Gamma _ { 0 e } ( b _ { e } ) - \Gamma _ { 1 e } ( b _ { e } ) ) ^ { 1 / 2 } = 2 G _ { 1 0 e } G _ { 2 0 e } .
\begin{array} { r l } { \ \ \ \ \mathbb { E } [ \widetilde X ( t _ { 1 } ) \widetilde X ( t _ { 2 } ) } & { \widetilde X ( t _ { 3 } ) \widetilde X ( t _ { 4 } ) ] = 1 0 5 a _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 3 } ^ { 2 } a _ { 4 } ^ { 2 } + 1 5 a _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 3 } ^ { 2 } b _ { 4 } ^ { 2 } + 1 5 a _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 3 } ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } + 1 5 a _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 3 } ^ { 2 } d _ { 4 } ^ { 2 } } \\ & { + 1 5 a _ { 2 } ^ { 2 } b _ { 3 } ^ { 2 } a _ { 4 } ^ { 2 } + 9 a _ { 2 } ^ { 2 } b _ { 3 } ^ { 2 } b _ { 4 } ^ { 2 } + 3 a _ { 2 } ^ { 2 } b _ { 3 } ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } + 3 a _ { 2 } ^ { 2 } b _ { 3 } ^ { 2 } d _ { 4 } ^ { 2 } } \\ & { + 1 5 a _ { 2 } ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } a _ { 4 } ^ { 2 } + 3 a _ { 2 } ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } b _ { 4 } ^ { 2 } + 9 a _ { 2 } ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } + 3 a _ { 2 } ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } d _ { 4 } ^ { 2 } } \\ & { + 3 0 a _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 3 } b _ { 3 } a _ { 4 } b _ { 4 } + 3 0 a _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 3 } c _ { 3 } a _ { 4 } c _ { 4 } + 6 a _ { 2 } ^ { 2 } b _ { 3 } c _ { 3 } b _ { 4 } c _ { 4 } } \\ & { + 1 5 b _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 3 } ^ { 2 } a _ { 4 } ^ { 2 } + 9 b _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 3 } ^ { 2 } b _ { 4 } ^ { 2 } + 3 b _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 3 } ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } + 3 b _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 3 } ^ { 2 } d _ { 4 } ^ { 2 } } \\ & { + 9 b _ { 2 } ^ { 2 } b _ { 3 } ^ { 2 } a _ { 4 } ^ { 2 } + 1 5 b _ { 2 } ^ { 2 } b _ { 3 } ^ { 2 } b _ { 4 } ^ { 2 } + 3 b _ { 2 } ^ { 2 } b _ { 3 } ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } + 3 b _ { 2 } ^ { 2 } b _ { 3 } ^ { 2 } d _ { 4 } ^ { 2 } } \\ & { + 3 b _ { 2 } ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } a _ { 4 } ^ { 2 } + 3 b _ { 2 } ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } b _ { 4 } ^ { 2 } + 3 b _ { 2 } ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } d _ { 4 } ^ { 2 } } \\ & { + 3 6 b _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 3 } b _ { 3 } a _ { 4 } b _ { 4 } + 1 2 b _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 3 } c _ { 3 } a _ { 4 } c _ { 4 } + 1 2 b _ { 2 } ^ { 2 } b _ { 3 } c _ { 3 } b _ { 4 } c _ { 4 } } \\ & { + 6 0 a _ { 2 } b _ { 2 } a _ { 3 } ^ { 2 } a _ { 4 } b _ { 4 } + 3 6 a _ { 2 } b _ { 2 } a _ { 4 } b _ { 4 } b _ { 3 } ^ { 2 } + 1 2 a _ { 2 } b _ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } a _ { 4 } b _ { 4 } } \\ & { + 6 0 a _ { 2 } b _ { 2 } a _ { 3 } b _ { 3 } a _ { 4 } ^ { 2 } + 3 6 a _ { 2 } b _ { 2 } a _ { 3 } b _ { 3 } b _ { 4 } ^ { 2 } + 1 2 a _ { 2 } b _ { 2 } a _ { 3 } b _ { 3 } c _ { 4 } ^ { 2 } } \\ & { + 1 2 a _ { 2 } b _ { 2 } a _ { 3 } b _ { 3 } d _ { 4 } ^ { 2 } + 2 4 a _ { 2 } b _ { 2 } a _ { 3 } b _ { 3 } d _ { 4 } ^ { 2 } + 2 4 a _ { 2 } b _ { 2 } a _ { 3 } c _ { 3 } b _ { 4 } c _ { 4 } + 2 4 a _ { 2 } b _ { 2 } b _ { 3 } c _ { 3 } a _ { 4 } c _ { 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { m } ( x ) = } & { \sum _ { i _ { 1 } < i _ { 2 } \ldots i _ { m - 1 } < i _ { m } } U ( x - x _ { i _ { m } } ) } \\ & { \times \prod _ { j = 1 } ^ { m - 1 } \left[ U ( x _ { i _ { j + 1 } } - x _ { i _ { j } } ) \right] \frac { B _ { i n } ( x _ { i _ { 1 } } , \omega ) } { B _ { i n } ( 0 , \omega ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bigtriangleup } & { { } = } & { \Big [ \sum _ { b , c } p ( a | b , c ) ^ { 2 } p ( b , c ) - p ( a ) ^ { 2 } \Big ] - \Big [ \sum _ { b } p ( a | b ) ^ { 2 } p ( b ) - p ( a ) ^ { 2 } \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { 5 } } & { = } & { \Bigg | \mathbb { E } \Bigg [ \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } ) } \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ] ( g _ { k - 1 } ) \} \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ] ( g _ { k - 1 } ) \} \Bigg ] \Bigg | } \\ { T _ { 6 } } & { = } & { \Bigg | \mathbb { E } \Bigg [ \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } [ \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } + \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } ) - \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \times } \\ & { } & { [ \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } + \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } - \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } ) \Bigg ] \Bigg | . } \end{array}
E _ { k } = E - E _ { 0 } = - m c ^ { 2 } - ( - m _ { 0 } c ^ { 2 } ) = - { \frac { m _ { 0 } c ^ { 2 } } { \sqrt { 1 + \displaystyle { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } + m _ { 0 } c ^ { 2 } = m _ { 0 } c ^ { 2 } ( 1 - { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \displaystyle { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } ) < 0
\begin{array} { r l r } { J _ { \parallel } } & { { } = } & { \frac { J _ { z } B _ { z } + \boldsymbol { J } _ { p } \cdot \boldsymbol { B } _ { p } } { B } = \frac { 1 } { B } \left( B _ { z } \nabla ^ { 2 } \psi - \frac { d B _ { z } } { d \psi } B _ { p } ^ { 2 } \right) } \end{array}
| | h _ { \beta } ^ { \pm } | | ^ { 2 } = | | \bar { h } _ { \beta } ^ { \pm } | | ^ { 2 } = 4 \pi ^ { 3 / 2 } ( \alpha - 1 ) { \frac { \Gamma ( \alpha + 3 ) } { \Gamma ( \alpha + 3 / 2 ) } } | C ( \beta ) | ^ { 2 } ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { d d ^ { c } \phi } & { = - d ( \phi \pi ^ { * } \theta ^ { c } ) = - \phi ^ { 2 } \pi ^ { * } \theta \wedge \pi ^ { * } \theta ^ { c } - \phi d ( \pi ^ { * } \theta ^ { c } ) } \\ & { = - \phi ^ { 2 } \pi ^ { * } \theta \wedge \pi ^ { * } \theta ^ { c } + \phi ^ { 2 } \pi ^ { * } \theta \wedge \pi ^ { * } \theta ^ { c } + \phi \pi ^ { * } \omega = \phi \pi ^ { * } \omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu ( E _ { \lambda } ) } & { \leq \sum _ { i \geq 0 } \mu ( B ( x _ { i } , 5 \rho _ { i } ) ) \leq C \sum _ { i \geq 0 } \mu ( B ( x _ { i } , \rho _ { i } ) ) } \\ & { \leq C \lambda ^ { - 2 } \sum _ { i \geq 0 } \operatorname* { l i m i n f } _ { r \to 0 ^ { + } } E _ { d _ { w } / 2 , B ( x _ { i } , \rho _ { i } ) } ( f , r ) \leq C \lambda ^ { - 2 } \operatorname* { l i m i n f } _ { r \to 0 ^ { + } } E _ { d _ { w } / 2 , X } ( f , r ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { F } _ { i j } ^ { C 1 } } & { { } = } & { - ( \frac { 1 } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \sigma _ { j } ^ { 2 } } ) \frac { \rho _ { j } p _ { i } + \rho _ { i } p _ { j } } { \rho _ { i } + \rho _ { j } } \frac { \partial { W } } { \partial { r _ { i j } } } \mathbf { e } _ { i j } , } \\ { \mathbf { F } _ { i j } ^ { D 1 } } & { { } = } & { ( \frac { 1 } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \sigma _ { j } ^ { 2 } } ) \frac { 2 \eta _ { i } \eta _ { j } } { \eta _ { i } + \eta _ { j } } \frac { \mathbf { v } _ { i j } } { r _ { i j } } \frac { \partial { W } } { \partial { r _ { i j } } } . } \end{array}
\langle O _ { 1 } \cdots O _ { n } \rangle = \frac { 1 } { Z } \int \prod _ { x , \mu } d A _ { \mu } ( x ) \prod _ { x } d \psi ( x ) d \bar { \psi } ( x ) \, O _ { 1 } \cdots O _ { n } \, e ^ { - S _ { \mathrm { Q C D } } }
\begin{array} { r l } { \prod _ { k = 1 } ^ { n } \hat { F } _ { k } ( s ) } & { = \exp \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { n } \ln \hat { F } _ { k } ( s ) \right] } \\ & { \approx \exp \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( \hat { F } _ { k } ( s ) - 1 ) \right] } \\ & { \approx \exp \left[ \int _ { 0 } ^ { n } ( \hat { F } _ { k } ( s ) - 1 ) d k \right] } \\ & { = \frac { 1 } { \cosh \left( n ^ { 1 - a / 2 } s ^ { 1 / 2 } / \sqrt { 2 } \right) ^ { \frac { 4 } { 2 - a } } } \; . } \end{array}
\begin{array} { c } { ( - 0 . 6 6 6 6 6 7 - 0 . 2 5 i ) - ( 0 . 2 7 9 9 + 0 . 2 4 4 2 7 6 i ) z ^ { 1 / 4 } } \\ { ( - 0 . 6 6 6 6 6 7 - 0 . 2 5 i ) + ( 0 . 2 4 4 2 7 6 - 0 . 2 7 9 9 I ) z ^ { 1 / 4 } } \\ { ( - 0 . 6 6 6 6 6 7 - 0 . 2 5 i ) + ( 0 . 2 7 9 9 + 0 . 2 4 4 2 7 6 I ) z ^ { 1 / 4 } } \\ { ( - 0 . 6 6 6 6 6 7 - 0 . 2 5 i ) - ( 0 . 2 4 4 2 7 6 - 0 . 2 7 9 9 I ) z ^ { 1 / 4 } , } \end{array}
\Gamma _ { \tilde { P } P } ^ { ( s _ { R } ) a } = \Gamma _ { \tilde { P } P } ^ { ( s _ { R } ^ { \prime } ) a } \left( \frac { s _ { R } } { s _ { R } ^ { \prime } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } \omega ( t _ { P \tilde { P } } ) } \simeq \Gamma _ { \tilde { P } P } ^ { ( s _ { R } ^ { \prime } ) a } \left( 1 + \frac { 1 } { 2 } \omega ( t _ { P \tilde { P } } ) \ln { \left( \frac { s _ { R } } { s _ { R } ^ { \prime } } \right) } \right) ,
\begin{array} { r l } { G _ { j _ { \| } \tilde { n } _ { \perp } } ^ { R } } & { { } = ( - ) ^ { p q } G _ { \tilde { n } _ { \perp } j _ { \| } } ^ { R } + ( - ) ^ { p } \tilde { c } _ { \phi } \frac { * k } { | k | } , } \\ { G _ { j _ { \perp } \tilde { n } _ { \| } } ^ { R } } & { { } = ( - ) ^ { p q + p + q + 1 } G _ { \tilde { n } _ { \| } j _ { \perp } } ^ { R } + \tilde { c } _ { \phi } \frac { * k } { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { 2 } ^ { ( N ) } } & { { } \simeq } & { P _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \; e ^ { - ( N - 1 ) \gamma T } \; \sin ^ { 2 } \left( \frac { N \theta } { 2 } \right) \sin ^ { - 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } \end{array}
m _ { i } \boldsymbol { \ddot { r } _ { i } } = \sum _ { j = 1 , j \neq i } ^ { 3 } G m _ { i } m _ { j } \frac { \boldsymbol { r _ { j } } - \boldsymbol { r _ { i } } } { | \boldsymbol { r _ { j } } - \boldsymbol { r _ { i } } | ^ { 3 } } \centering
\begin{array} { r l } { \frac { D ^ { 2 } s } { D t ^ { 2 } } + \frac { N _ { p } ^ { \prime } } { \gamma } \frac { D s } { D t } } & { { } = - N _ { \rho } ^ { \prime } ( 1 - R ^ { \prime } ) \frac { D \ln p } { D t } ; } \\ { \frac { D ^ { 2 } s } { D t ^ { 2 } } + N _ { \rho } ^ { \prime } \frac { D s } { D t } } & { { } = - \gamma N _ { \rho } ^ { \prime } ( 1 - R ^ { \prime } ) \frac { D \ln \rho } { D t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { p } } & { { } = \frac { \ell _ { p } } { \kappa \pi \varrho _ { p } ^ { 2 } } , } \\ { R _ { r } } & { { } = \frac { \ell _ { r } } { 2 \kappa \pi \varrho _ { r } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 4 \kappa \varrho _ { p } } , } \end{array}
V ( l ) = \rho _ { v } c ^ { 2 } l ^ { 3 } \sim \frac { G \hbar ^ { 2 } } { c ^ { 2 } l ^ { 3 } } = \hbar c \left( \frac { l _ { \mathrm { P } } } { l } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { l } = \alpha _ { g } \; \frac { \hbar c } { l } \, ,
T _ { \mu \nu } = \frac { \mathrm { e } ^ { - \phi } } { 2 \, \, 3 ! } \left[ 3 \, H _ { \mu \sigma \rho } H _ { \nu } ^ { \, \, \, \sigma \rho } - \frac { G _ { \mu \nu } } { 4 } H ^ { 2 } \right] + \frac { \mathrm { e } ^ { \phi } } { 2 \, \, 3 ! } \left[ 3 \, ( \tilde { F } _ { 3 } ) _ { \mu \sigma \rho } ( \tilde { F } _ { 3 } ) _ { \nu } ^ { \, \, \, \sigma \rho } - \frac { G _ { \mu \nu } } { 4 } F _ { 3 } ^ { 2 } \right]
{ \begin{array} { r l } { ( 1 - r ) S _ { n } = } & { \left[ a + ( a + d ) r + ( a + 2 d ) r ^ { 2 } + \cdots + [ a + ( n - 1 ) d ] r ^ { n - 1 } \right] } \\ & { - \left[ a r + ( a + d ) r ^ { 2 } + ( a + 2 d ) r ^ { 3 } + \cdots + [ a + ( n - 1 ) d ] r ^ { n } \right] } \\ { = } & { a + d \left( r + r ^ { 2 } + \cdots + r ^ { n - 1 } \right) - \left[ a + ( n - 1 ) d \right] r ^ { n } } \\ { = } & { a + d \left( r + r ^ { 2 } + \cdots + r ^ { n - 1 } + r ^ { n } \right) - \left( a + n d \right) r ^ { n } } \\ { = } & { a + d r \left( 1 + r + r ^ { 2 } + \cdots + r ^ { n - 1 } \right) - \left( a + n d \right) r ^ { n } } \\ { = } & { a + { \frac { d r ( 1 - r ^ { n } ) } { 1 - r } } - ( a + n d ) r ^ { n } , } \end{array} }
\begin{array} { c c c r } { { x ^ { ( 1 / 2 ) } ( \alpha \cdot q , \xi ) } } & { { \rightarrow } } & { { 2 \exp ( - { \frac { \alpha \cdot Q } { 2 } } ) \exp [ \omega _ { 3 } \delta \rho \cdot \alpha ] , } } & { { 0 < \epsilon / 2 - \delta \rho \cdot \alpha < 1 , } } \\ { { } } & { { \rightarrow } } & { { - { \frac { 2 } { Z } } \exp ( { \frac { 3 { \alpha \cdot Q } } { 2 } } ) \exp [ \omega _ { 3 } ( 2 \epsilon - 3 \delta \rho \cdot \alpha - 4 ) ] , } } & { { 1 \leq \epsilon / 2 - \delta \rho \cdot \alpha < 2 , } } \end{array}
\delta S = \left. \left[ { \frac { \partial L } { \partial { \dot { q } } } } \delta q \right] \right| _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } + \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \left( { \frac { \partial L } { \partial q } } - { \frac { d } { d t } } { \frac { \partial L } { \partial { \dot { q } } } } \right) \delta q d t .
{ { \nabla \cdot } \, } ( { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) { \mathbf v } ) = ( \Delta { \mathbf u } ) \cdot { \mathbf v } + { \mathbf v } \cdot \nabla ( { { \nabla \cdot } \, } { \mathbf u } ) + { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) : { \mathcal { D } } ( { \mathbf v } )
\begin{array} { r l r } { r _ { \mathrm { ~ p ~ } } + \theta } & { { } \rightarrow } & { r _ { \mathrm { ~ p ~ } } } \\ { 2 r _ { \mathrm { ~ p ~ } } ^ { 2 } + G _ { \mathrm { ~ T ~ } } \theta r _ { \mathrm { ~ p ~ } } + G _ { \mathrm { ~ T ~ } } \theta ^ { 2 } } & { { } \rightarrow } & { 2 r _ { \mathrm { ~ p ~ } } ^ { 2 } } \\ { \mathrm { ~ E ~ q ~ u ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } ~ ( ) \Rightarrow \dot { Q } } & { { } \rightarrow } & { 4 \pi k ^ { * } ( T _ { \mathrm { ~ p ~ } } - T _ { \mathrm { ~ g ~ } } ) r _ { \mathrm { ~ p ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { i } ( g _ { 0 } , \ldots , g _ { m } ) } & { = ( g _ { 0 } , \ldots , g _ { i - 1 } , g _ { i + 1 } , \ldots , g _ { m } ) , \quad \mathrm { e t } } \\ { \sigma _ { i } ( g _ { 0 } , \ldots , g _ { m } ) } & { = ( g _ { 0 } , \ldots , g _ { i } , g _ { i } , \ldots , g _ { m } ) , \quad i = 0 , \ldots , m . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 3 } v _ { n } } & { = - \frac { 1 } { 1 - f _ { 1 } } \frac { b ^ { 2 } } { 1 2 \mu } \mathrm { \boldmath ~ \nabla ~ } p \cdot \boldsymbol { n } , \qquad \qquad } & { \boldsymbol { x } } & { \in \partial \Omega ( t ) , } \\ { p } & { = p _ { g } ( t ) - \gamma \left( \frac { \pi } { 4 } \kappa + \frac { 2 f _ { 2 } } { b } \right) , \qquad \qquad } & { \boldsymbol { x } } & { \in \partial \Omega ( t ) , } \end{array}
R _ { \mathrm { ~ B ~ E ~ } } = \frac { \left\langle \langle n _ { \mathrm { ~ B ~ } } n _ { \mathrm { ~ E ~ } } \right\rangle \rangle } { \sigma _ { n _ { \mathrm { ~ B ~ } } } \cdot \sigma _ { n _ { \mathrm { ~ E ~ } } } } ,
\frac { \partial E _ { \theta } } { \partial \theta ^ { * } } \approx \mathbb { E } _ { x \sim P _ { \theta } ( x ) } \left[ \left( E _ { \theta } ^ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( x ) - E _ { \theta } \right) \frac { \partial \log \psi _ { \theta } ^ { * } ( x ) } { \partial \theta ^ { * } } \right] ,
\beta _ { \mathrm { t r o p } } = \operatorname* { m a x } \left\{ 0 , \sin \frac { \pi \left( \sigma - \sigma _ { \mathrm { s t r a } } \right) } { 2 \left( 1 - \sigma _ { \mathrm { s t r a } } \right) } \right\} .
\begin{array} { r } { \mathbf { C } _ { 3 } = \left[ \mathbf { 0 } \qquad \mathbf { 0 } \qquad \mathbf { 0 } \qquad n _ { i , 0 } \nabla \cdot \quad + ( \nabla n _ { i , 0 } ) \cdot \quad \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { r } ( \omega , j ) } & { : = d _ { 0 } ( \omega , j ) + r ( \omega , j ) , \mathrm { ~ w h e r e ~ d _ 0 ~ i s ~ a s ~ i n ~ } , \quad D _ { r } : = O p ^ { W } ( d _ { r } ) , } \\ { \tilde { \Omega } } & { : = \left\{ \omega \in \Omega : | \mathrm { i } \omega \cdot l - ( d _ { r } ( \omega , j ) - d _ { r } ( \omega , k ) ) | \ge \frac { \gamma } { 2 } | l | ^ { - \tau } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | , \ \forall | l | \le N , \ \forall j , k \in S _ { \mathtt { M } } ^ { \perp } \cup \left\{ 0 \right\} \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \sum _ { \sigma \in \operatorname { S h } _ { m , m - 2 } ^ { - 1 } } ( - 1 ) ^ { \sigma } \rho _ { m } ( [ x _ { \sigma ( 1 ) } , \dotsc , x _ { \sigma ( m ) } ] _ { m } , x _ { \sigma ( m + 1 ) } , \dotsc , x _ { \sigma ( 2 m - 2 ) } , a ) } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \sum _ { \sigma \in \operatorname { S h } _ { m , m - 2 } ^ { - 1 } } ( - 1 ) ^ { \sigma } k _ { m } ( \rho _ { m } ( x _ { \sigma ( 1 ) } , \dotsc , x _ { \sigma ( m - 1 ) } , a ) _ { m } , x _ { \sigma ( m ) } , \dotsc , x _ { \sigma ( 2 m - 2 ) } ) } \\ & { = \sum _ { \sigma \in \operatorname { S h } _ { m , m - 2 } ^ { - 1 } } ( - 1 ) ^ { \sigma } \rho _ { m } ( [ x _ { \sigma ( 1 ) } , \dotsc , x _ { \sigma ( m ) } ] _ { m } , x _ { \sigma ( m + 1 ) } , \dotsc , x _ { \sigma ( 2 m - 2 ) } , a ) } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \sum _ { \sigma \in \operatorname { S h } _ { m , m - 2 } ^ { - 1 } } ( - 1 ) ^ { \sigma } \rho _ { m } ( x _ { \sigma ( m ) } , \dotsc , x _ { \sigma ( 2 m - 2 ) } , \rho _ { m } ( x _ { \sigma ( 1 ) } , \dotsc , x _ { \sigma ( m - 1 ) } , a ) ) } \\ & { = \sum _ { \sigma \in \operatorname { S h } _ { m , m - 2 } ^ { - 1 } } ( - 1 ) ^ { \sigma } \rho _ { m } ( [ x _ { \sigma ( 1 ) } , \dotsc , x _ { \sigma ( m ) } ] _ { m } , x _ { \sigma ( m + 1 ) } , \dotsc , x _ { \sigma ( 2 m - 2 ) } , a ) } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \sum _ { \sigma \in \operatorname { S h } _ { m , m - 2 } ^ { - 1 } } ( - 1 ) ^ { \sigma } \rho _ { m } ( x _ { \sigma ( m ) } , \dotsc , x _ { \sigma ( 2 m - 2 ) } , \rho _ { m } ( x _ { \sigma ( 1 ) } , \dotsc , x _ { \sigma ( m - 1 ) } , a ) ) } \\ & { = \sum _ { \sigma \in \operatorname { S h } _ { m , m - 2 } ^ { - 1 } } ( - 1 ) ^ { \sigma } ( \rho _ { m } ( [ v _ { \sigma ( 1 ) } , \dotsc , v _ { \sigma ( m ) } ] , v _ { \sigma ( m + 1 ) } , \dotsc , v _ { \sigma ( 2 m - 2 ) } , a ) } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \rho _ { m } ( v _ { \sigma ( m ) } , \dotsc , v _ { \sigma ( 2 m - 2 ) } , \rho ( v _ { \sigma ( 1 ) } , \dotsc , v _ { \sigma ( m - 1 ) } , a ) ) ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { i j k l } = } & { { } \iint \frac { \psi _ { i } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) \psi _ { k } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { 2 } ) \psi _ { j } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) \psi _ { l } ( \mathbf { x } _ { 2 } ) } { r _ { 1 2 } } \mathrm { d } \mathbf { x } _ { 1 } \mathrm { d } \mathbf { x } _ { 2 } } \end{array}
G ( x , y ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } u \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } v \ e ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } u x + \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } v y } \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } v e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \left( u + v \right) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \Delta ( \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) \mathbf { U } _ { j } ( \mathbf { x } , t ) ) = \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) \Delta \mathbf { U } _ { j } ( \mathbf { x } , t ) + \mathbf { U } _ { j } ( \mathbf { x } , t ) \Delta \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) + 2 \nabla ^ { j } \mathbf { U } _ { j } ( \mathbf { x } , t ) \nabla _ { j } \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } \\ & { = \mathbf { U } ( \mathbf { x } , t ) \nabla _ { j } \nabla ^ { j } U _ { j } ( \mathbf { x } , t ) + \mathrm { U } _ { j } ( \mathbf { x } , t ) \nabla _ { j } \nabla ^ { j } \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) = \mathbf { U } _ { j } ( \mathbf { x } , t ) \nabla _ { j } \nabla ^ { j } \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) \equiv \mathbf { U } _ { j } ( \mathbf { x } , t ) \Delta \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1 - p ^ { 2 } } } & { \sqrt { 2 - p ^ { 2 } } \int _ { - \frac { \pi } { 2 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { \sqrt { 1 - p ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \theta ) } } { 1 - p ^ { 2 } ( 2 - p ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } ( \theta ) } \, d \theta } \\ & { = \sqrt { 1 - p ^ { 2 } } \sqrt { 2 - p ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { \sqrt { 1 - p ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \theta ) } } { 1 - p ^ { 2 } ( 2 - p ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } ( \theta ) } \, d \theta . } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \, \left\{ \frac { d } { d r } G \left( r , r ^ { \prime } \right) \vert _ { r = r ^ { \prime } + \epsilon } - \frac { d } { d r } G \left( r , r ^ { \prime } \right) \vert _ { r = r ^ { \prime } - \epsilon } \right\} = \frac { 1 } { r ^ { 3 } g ( r ) ^ { 2 } }