harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { ( c \circ _ { r ( b ) } c ) \circ _ { r ( b ) } c ^ { * _ { r ( b ) } } } & { = ( e _ { 2 2 } \circ _ { e _ { 1 2 } } e _ { 2 2 } ) \circ _ { e _ { 1 2 } } e _ { 1 1 } + ( c _ { 0 } \circ _ { r ( b _ { 0 } ) } c _ { 0 } ) \circ _ { r ( b _ { 0 } ) } c _ { 0 } ^ { * _ { r ( b _ { 0 } ) } } } \\ & { = 0 + ( c _ { 0 } \circ _ { r ( b _ { 0 } ) } c _ { 0 } ) \circ _ { r ( b _ { 0 } ) } c _ { 0 } ^ { * _ { r ( b _ { 0 } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { { } = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \beta + \nu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \alpha + 2 \beta + \nu \right) \pi \right) } \end{array}
E _ { a } \approx - \frac { g } { \rho _ { \star } } \frac { d \rho _ { 0 } } { d z } ( z _ { r } ) \frac { ( z - z _ { r } ) ^ { 2 } } { 2 } = \frac { N _ { r } ^ { 2 } ( z - z _ { r } ) ^ { 2 } } { 2 }
\begin{array} { r l } & { ( \theta ( \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ) \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } - w _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } \theta ( u _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } ) u _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } ) ( u _ { 1 \ } ^ { \ 1 } + \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ) = \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } u _ { 1 } \Rightarrow } \\ & { \theta ( \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ) ( \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ) ^ { 2 } - ( w _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } \theta ( u _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } ) u _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } - \theta ( \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ) u _ { 1 \ } ^ { \ 1 } + u _ { 1 } ) \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } - w _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } \theta ( u _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } ) u _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } u _ { 1 \ } ^ { \ 1 } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { k = 1 } ^ { K - 1 } w _ { k } \Delta _ { k } } & { \leq } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K - 2 } \left( \frac { 3 L \omega } { 1 - L ^ { 2 } \gamma ( \gamma + \omega ) } + \frac { 3 2 } { ( 1 - L ^ { 2 } \gamma ( \gamma + \omega ) ) ^ { 2 } } \delta \gamma ^ { 2 } \right) w _ { k } \mathbb { E } \left[ \| F _ { v _ { k } } ( \hat { x } _ { k } ) \| ^ { 2 } \right] } \\ & { } & { \quad + \left( \frac { 3 } { 1 - L ^ { 2 } \gamma ( \gamma + \omega ) } + \frac { 3 2 } { ( 1 - L ^ { 2 } \gamma ( \gamma + \omega ) ) ^ { 2 } } \delta ( \gamma + \omega ) ^ { 2 } \right) w _ { 0 } \mathbb { E } \left[ \| F _ { v _ { 0 } } ( x _ { 0 } ) \| ^ { 2 } \right] } \\ & { } & { \quad + \frac { 4 8 } { ( 1 - L ^ { 2 } \gamma ( \gamma + \omega ) ) ^ { 2 } } \delta \sum _ { k = 1 } ^ { K - 1 } w _ { k } \mathbb { E } \left[ \| x _ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } \right] } \\ & { } & { \quad + \frac { 3 2 } { ( 1 - L ^ { 2 } \gamma ( \gamma + \omega ) ) ^ { 2 } } ( W _ { K } - w _ { 0 } ) \sigma _ { * } ^ { 2 } } \\ & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K - 2 } C _ { 1 } w _ { k } \mathbb { E } \left[ \| F _ { v _ { k } } ( \hat { x } _ { k } ) \| ^ { 2 } \right] + C _ { 2 } w _ { 0 } \mathbb { E } \left[ \| F _ { v _ { 0 } } ( x _ { 0 } ) \| ^ { 2 } \right] } \\ & { } & { \quad + 3 C _ { 3 } \delta \sum _ { k = 1 } ^ { K - 1 } w _ { k } \mathbb { E } \left[ \| x _ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } \right] + 2 C _ { 3 } W _ { K } \sigma _ { * } ^ { 2 } , } \end{array}
\left| \sum _ { \alpha \beta \gamma \delta } \langle \Phi _ { \alpha } \Phi _ { \beta } \Phi _ { \gamma } \Phi _ { \delta } \rangle _ { c } \left. \right/ \sum _ { \alpha \beta \gamma \delta } \langle \Phi _ { \alpha } \Phi _ { \beta } \Phi _ { \gamma } \Phi _ { \delta } \rangle \right| = \left| \langle \Phi ^ { 4 } ( x ) \rangle _ { c } \left. \right/ \langle \Phi ^ { 4 } ( x ) \rangle \right| \; ( n = 4 ) \; ,
Z _ { b } = \int \prod _ { p } d C _ { p } \int \prod _ { p } d D _ { p } \exp \left\{ - \frac { 1 } { 2 } ( \begin{array} { l l } { { C _ { p } } } & { { D _ { p } } } \end{array} ) G ( p ) \left( \begin{array} { l } { { C _ { p } } } \\ { { D _ { p } } } \end{array} \right) \right\} ,
\begin{array} { r l r } { ~ P _ { y } = } & { { } } & { \frac { s a _ { 1 } d \sin \psi _ { x } } { 2 } \left[ \frac { - R \cos ( \omega t - \alpha _ { 1 } - \beta ) } { R ^ { 2 } + Q ^ { 2 } ( P ) ( \omega _ { L } - \omega ) ^ { 2 } } \right. } \end{array}
\mathcal { Y } \, = \, \Bigl \{ \eta \in L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) \, \Big | \, \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } | \eta ( X ) | ^ { 2 } \, e ^ { | X | ^ { 2 } / 4 } \, \mathrm { d } X < \infty \Bigr \} \, ,
Y _ { K Q ^ { \prime } } ( \theta _ { p } ^ { \prime } , \phi _ { p } ^ { \prime } ) = \sum _ { Q } D _ { Q Q ^ { \prime } } ^ { K } ( \alpha _ { R } ; \beta _ { R } ; \gamma _ { R } ) Y _ { K Q } ( \theta _ { p } , \phi _ { p } ) .
\begin{array} { r } { \frac { { \mathscr Z } _ { \alpha \beta , \gamma \delta } } { { \mathscr Z } _ { \mathrm { p e r t } } } \simeq \frac { { \mathscr Z } _ { \alpha \beta } } { { \mathscr Z } _ { \mathrm { p e r t } } } \times \frac { { \mathscr Z } _ { \gamma \delta } } { { \mathscr Z } _ { \mathrm { p e r t } } } \times \frac { \left( \upzeta _ { \alpha } ^ { \star } - \upzeta _ { \gamma } ^ { \star } \right) \left( \upzeta _ { \beta } ^ { \star } - \upzeta _ { \delta } ^ { \star } \right) } { \left( \upzeta _ { \alpha } ^ { \star } - \upzeta _ { \delta } ^ { \star } \right) \left( \upzeta _ { \beta } ^ { \star } - \upzeta _ { \gamma } ^ { \star } \right) } + o ( g _ { \mathrm { s } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \int _ { I _ { n } } U ^ { \prime \prime } \varphi d t = \displaystyle \int _ { I _ { n } } f ( t , \widetilde { U } , \widetilde { U } ^ { \prime } ) \varphi ( t ) d t , } \\ { U | _ { I _ { n } } ( t _ { n - 1 } ) = U | _ { I _ { n - 1 } } ( t _ { n - 1 } ) , \quad U ^ { \prime } | _ { I _ { n } } ( t _ { n - 1 } ) = U ^ { \prime } | _ { I _ { n - 1 } } ( t _ { n - 1 } ) } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } ( \tau ) = } & { { } \left\{ \varepsilon + \hbar \omega / 2 + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } t _ { i } \cos \left[ \textbf { q } \cdot \textbf { b } _ { i } + \theta _ { i } ( \tau ) \right] \right\} \sigma _ { z } } \end{array}
S _ { i n t } = \frac { i } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \int _ { z ^ { 2 } = 0 } d z ^ { 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \nu } F _ { \mu \lambda } \xi ^ { \nu } \xi ^ { \lambda } \partial _ { 1 } \bar { X } ^ { \mu } + \frac { 1 } { 3 } \partial _ { \nu } F _ { \mu \lambda } \xi ^ { \nu } \xi ^ { \lambda } \partial _ { 1 } \xi ^ { \mu } \right) .
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { 0 } \sim p _ { 0 } } [ \log p _ { 0 } ^ { \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { 0 } ) ] \qquad \qquad \qquad } \\ { \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } \quad \mathbf { x } _ { T } = \mathbf { x } _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { T } \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t } ) - \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } ( t ) s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t } , t ) d t , } \end{array}
\left[ \gamma ^ { 0 } \left( \partial _ { \tau } + { \frac { 1 } { 2 \tau } } \right) + { \bf \gamma } _ { \perp } \cdot \partial _ { \perp } + { \frac { \gamma ^ { 3 } } { \tau } } ( \partial _ { \eta } - i e A _ { \eta } ) + m \right] \Psi = 0 \, ,
\tilde { P } ^ { - } = \frac { m } { R } ~ ~ , ~ ~ \tilde { P } ^ { + } = 2 \pi B n R + \frac { R } { 2 m } \left( \vec { p } ^ { ~ 2 } + \frac { 4 } { \alpha ^ { \prime } } ( N + \tilde { N } - 2 ) \right)
\Gamma _ { \mu } ^ { ( n ) g } = \sqrt { \bar { 1 / Z _ { n - 1 } } } \widetilde { \Gamma } _ { \mu } ^ { ( n ) g } \sqrt { 1 / Z _ { n - 1 } } + g ^ { 2 } \alpha _ { s } ^ { n } ( a _ { n } ^ { g } \gamma _ { \mu } + a _ { n } ^ { g 5 } \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } ) ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { i } \boldsymbol { \nabla } _ { i } \tau \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { i } } & { = \sum _ { i } \sum _ { a } \boldsymbol { \nabla } _ { i } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { a } ) \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { i } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \sum _ { a } \boldsymbol { \nabla } _ { i } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { a } ) \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { i } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \sum _ { a } \boldsymbol { \nabla } _ { a } u ( \boldsymbol { r } _ { a } , \boldsymbol { r } _ { i } ) \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { a } } \\ & { = \sum _ { i < j } \boldsymbol { \nabla } _ { i } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } ) \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { i } + \sum _ { i < j } \boldsymbol { \nabla } _ { j } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } ) \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { j } } \end{array}
u _ { z } = \frac { \partial b _ { 1 } } { \partial x } \frac { 1 } { 3 } ( 2 H ^ { 3 } + 3 z H ^ { 2 } - z ^ { 3 } ) - \frac { \partial b _ { 2 } } { \partial x } \frac { 1 } { 2 } { ( z + H ) } ^ { 2 } .
\frac { V ^ { 2 } ( \vec { x } ) } { 2 m c ^ { 2 } } \overset { \footnotesize ( ) } { = } \frac { 2 T ^ { 2 } ( \vec { x } ) } { m c ^ { 2 } } \overset { ^ { ( ) } } { \underset { ^ { ( ) } } { = } } \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m ^ { 2 } c ^ { 2 } } V ( \vec { x } ) \Delta .
( \alpha X _ { 1 } X _ { 2 } ^ { 2 } + \beta X _ { 2 } X _ { 3 } ) \cdot ( \gamma X _ { 2 } X _ { 1 } + \delta X _ { 1 } ^ { 4 } X _ { 4 } ) = \alpha \gamma X _ { 1 } X _ { 2 } ^ { 3 } X _ { 1 } + \alpha \delta X _ { 1 } X _ { 2 } ^ { 2 } X _ { 1 } ^ { 4 } X _ { 4 } + \beta \gamma X _ { 2 } X _ { 3 } X _ { 2 } X _ { 1 } + \beta \delta X _ { 2 } X _ { 3 } X _ { 1 } ^ { 4 } X _ { 4 }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { 2 \partial \omega } \left( P V \left( \frac { 1 } { \omega - l \omega _ { c } - \frac { k _ { \parallel } p _ { \parallel } } { \gamma m } } \right) \right) \frac { \partial \left| E _ { k } \right| ^ { 2 } } { \partial t } } & { { } \approx } & { - \frac { 1 } { 2 \omega _ { c } ^ { 2 } } \frac { \partial \left| E _ { k } \right| ^ { 2 } } { \partial t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { v o l } ( \{ \lambda \in \widehat \Delta _ { \Delta } ^ { [ 4 0 ] , 0 . 0 1 } : \lambda > 0 \} \cap \Lambda _ { \Delta } ) } { \mathrm { v o l } ( \widehat \Delta _ { \Delta } ^ { [ 4 0 ] , 0 . 0 1 } ) } \approx 0 . 7 7 , } \\ & { \frac { \mathrm { v o l } ( \{ \lambda \in \widehat \Delta _ { \Delta } ^ { [ 4 0 ] , 0 . 0 1 } : \lambda > 0 \} ) } { \mathrm { v o l } ( \widehat \Delta _ { \Delta } ^ { [ 4 0 ] , 0 . 0 1 } ) } \approx 0 . 8 3 , } \\ & { \frac { \mathrm { v o l } ( \widehat \Delta _ { \Delta } ^ { [ 4 0 ] , 0 . 0 1 } \cap \Lambda _ { \Delta } ) } { \mathrm { v o l } ( \widehat \Delta _ { \Delta } ^ { [ 4 0 ] , 0 . 0 1 } ) } \approx 0 . 9 0 . } \end{array}
\boldsymbol { v } = ( \boldsymbol { v } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { 1 } _ { n } ) \, \boldsymbol { 1 } _ { n } - \boldsymbol { 1 } _ { n } \times ( \boldsymbol { 1 } _ { n } \times \boldsymbol { v } ) = - \boldsymbol { 1 } _ { n } \times ( \boldsymbol { 1 } _ { n } \times \boldsymbol { v } )
\begin{array} { r l r } { I _ { 0 , n } } & { { } = } & { I _ { n } ^ { - } + I _ { n } ^ { 0 } + C + \eta _ { 0 } } \\ { I _ { B , n } } & { { } = } & { ( 1 - \epsilon ) I _ { n } ^ { - } + ( 1 - \delta ) I _ { n } ^ { 0 } + C + \eta _ { B } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { m } ^ { Y } ( y , t , z ) = } & { \; I + \frac { \hat { m } _ { 1 , \ln } ^ { Y } ( y , \tilde { y } ) \ln t + \hat { m } _ { 1 } ^ { Y } ( y , \tilde { y } ) } { z t ^ { 1 / 3 } } + \frac { \hat { m } _ { 2 , \ln } ^ { Y } ( y , \tilde { y } ) \ln t } { z t ^ { 1 / 2 } } + O \bigg ( \frac { 1 } { z t ^ { 1 / 2 } } \bigg ) + O \bigg ( \frac { \ln t } { z ^ { 2 } t ^ { 1 / 3 } } \bigg ) , } \end{array}
\underbrace { \rho _ { f } h _ { f } } _ { \mathrm { ~ F ~ o ~ a ~ m ~ } } = \underbrace { \Phi \rho c _ { p } ( T - T _ { r e f } ) } _ { \mathrm { ~ A ~ i ~ r ~ } } + \underbrace { ( 1 - \Phi ) \rho _ { s } c _ { s } ( T _ { s } - T _ { r e f } ) } _ { \mathrm { ~ S ~ o ~ l ~ i ~ d ~ } } ,
\mathrm { H } ^ { i } ( X , \mathcal { C } _ { \rho } ^ { 2 } ) \cong \left( \mathrm { H } ^ { i } ( X , \Omega _ { X / k } ^ { 1 } ) \otimes _ { k } \Omega _ { A / k } ^ { 1 } / d ( \mathfrak { m } _ { A } ) \right) \oplus \left( \mathrm { H } ^ { i } ( X , \mathcal { O } _ { X } ) \otimes _ { k } \Omega _ { A / k } ^ { 2 } / d ( \Omega _ { A / k } ^ { 1 } ) \right)
Z = \int { \left( \prod _ { a = 1 } ^ { N _ { \mathrm { n o d e } } } { \mathrm { d } ^ { D } \vec { R } _ { a } } \right) \exp { \left( - \frac { \beta } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } { K _ { i } \big ( L _ { i } - L _ { 0 i } \big ) ^ { 2 } } \right) } } .
\hat { B } _ { ( 0 ) } \hat { Q } _ { ( n ) } \vert 0 \rangle _ { [ 0 ] } = \hat { a } \hat { Q } _ { ( n ) } \vert 0 \rangle _ { [ 0 ] } = - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \hat { B } _ { ( n - k ) } \hat { Q } _ { ( k ) } \vert 0 \rangle _ { [ 0 ] } .
\begin{array} { r } { \left| \frac { \delta ( \frac { 1 } { k _ { 1 } } ) ^ { 2 } \delta ( \omega k _ { 1 } ) \delta ( \omega ^ { 2 } k _ { 1 } ) } { \delta ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k _ { 1 } } ) \delta ( \frac { 1 } { \omega k _ { 1 } } ) } \right| = \exp \bigg ( \nu \arg k _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \Gamma _ { 5 } ^ { ( 2 ) } } \arg s \; d \ln ( 1 + r _ { 1 } ( s ) r _ { 2 } ( s ) ) \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \{ \theta \in [ 0 , 2 \pi ] : g _ { t } r _ { \theta } v \in B ( \varepsilon T , \varepsilon \delta ) \} | } & { < \operatorname { a r c c o s } ( \operatorname* { m a x } ( 0 , \varepsilon ^ { 2 } \eta _ { 1 } ) - 1 ) - \operatorname { a r c c o s } ( \varepsilon ^ { 2 } \eta _ { 2 } - 1 ) } \\ & { < \varepsilon ( \operatorname { a r c c o s } ( \operatorname* { m a x } ( 0 , \eta _ { 1 } ) - 1 ) - \operatorname { a r c c o s } ( \eta _ { 2 } - 1 ) ) } \\ & { < \varepsilon | \{ \theta \in [ 0 , 2 \pi ] \ | \ g _ { t } r _ { \theta } v \in B ( T , \delta ) \} | . } \end{array}
\Delta S _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ g ~ h ~ t ~ n ~ i ~ n ~ g ~ } } = 1 . 1 \times 1 0 ^ { - 5 } \, \tilde { \epsilon } _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ g ~ h ~ t ~ n ~ i ~ n ~ g ~ } } \frac { \alpha ^ { 7 } \, \beta ^ { 3 / 2 } } { \lambda ^ { 5 / 2 } \, \gamma ^ { 4 } }
\begin{array} { r l } { F _ { \mathrm { J } _ { 4 } } : = \, } & { \lambda ( \lambda ^ { 5 } y - 2 \lambda ^ { 3 } y + 1 2 \lambda ^ { 2 } - 8 \lambda + 3 2 y ) ( \lambda ^ { 9 } x ^ { 3 } y - 8 \lambda ^ { 7 } x ^ { 3 } y + 1 2 \lambda ^ { 6 } x ^ { 3 } + 2 4 \lambda ^ { 5 } x ^ { 3 } y + 8 \lambda ^ { 5 } x ^ { 3 } - 3 2 \lambda ^ { 4 } x ^ { 3 } y } \\ & { - 7 2 \lambda ^ { 4 } x ^ { 3 } - 3 2 \lambda ^ { 3 } x ^ { 3 } y - 1 6 \lambda ^ { 4 } x ^ { 2 } - 3 2 \lambda ^ { 3 } x ^ { 3 } + 1 9 2 \lambda ^ { 3 } x ^ { 2 } y + 1 4 4 \lambda ^ { 2 } x ^ { 3 } + 1 6 \lambda \, x ^ { 3 } y + 6 4 \lambda ^ { 2 } x ^ { 2 } - 3 8 4 \lambda ^ { 2 } x y } \\ & { + 3 2 \lambda \, x ^ { 3 } - 9 6 x ^ { 3 } + 2 5 6 \lambda y - 6 4 x ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { u } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { { } = - \bigg ( ( \beta + 1 ) ( 1 9 \lambda + 1 6 ) x _ { 1 } \Big ( 9 ( - 1 2 7 \beta + 2 3 9 \lambda + 1 3 9 ) + 5 6 0 ( \beta + 1 ) ( \lambda + 1 ) x _ { 1 } ^ { 4 } - x _ { 1 } ^ { 2 } \big ( - 3 7 8 ( \beta - 1 ) \lambda ^ { 2 } } \end{array}
\left[ { \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } } - { \frac { D - 1 } { r } } { \frac { d } { d r } } - { \frac { n ( n + D - 2 ) } { r ^ { 2 } } } + \omega ^ { 2 } \right] A ( r ) = 0 \quad ( r \neq r ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \zeta ^ { [ 2 ] } = \sum _ { a } \sum _ { b } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k _ { 2 } \; C _ { 1 } ^ { ( a ) } C _ { 2 } ^ { ( b ) } \; \exp \big \{ i ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) x - i \left[ \Omega _ { 1 } ^ { ( a ) } + \Omega _ { 2 } ^ { ( b ) } \right] t \big \} } \\ & { } & { \times \bigg \{ s ^ { ( a b ) } - \frac { k _ { 1 } + k _ { 2 } } { \Omega _ { 1 } ^ { ( a ) } + \Omega _ { 2 } ^ { ( b ) } } \bigg ( \cosh \left[ ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) h \right] \epsilon _ { c } ^ { ( a b ) } + \sinh \left[ ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) h \right] \epsilon _ { s } ^ { ( a b ) } + \cosh \left[ q _ { 1 2 } ^ { ( a b ) } h \right] \mu _ { c } ^ { ( a b ) } + \sinh \left[ q _ { 1 2 } ^ { ( a b ) } h \right] \mu _ { s } ^ { ( a b ) } \bigg ) \bigg \} \; . \quad } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { a } _ { 1 } ( x , y ; a , b ) } & { = 1 - a x , } \\ { \widehat { a } _ { 2 } ( x , y ; a , b ) } & { = y + b , } \end{array} \quad \begin{array} { r l } { \widehat { b } _ { 1 } ( x , y ; a , b ) } & { = 1 + a y , } \\ { \widehat { b } _ { 2 } ( x , y ; a , b ) } & { = x - b , } \end{array} \quad \begin{array} { r l } { { \widehat { d } } _ { 1 } ( x , y ; a , b ) } & { = 1 - a b , } \\ { { \widehat { d } } _ { 2 } ( x , y ; a , b ) } & { = x + y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lVert v _ { 0 } \right\rVert _ { B _ { \frac 6 5 , \frac 4 3 } ^ { \frac 1 2 } ( \Omega ) } \le C ( \Omega ) \left\lVert v _ { 0 } \right\rVert _ { B _ { \frac 4 3 , \frac 4 3 } ^ { \frac 1 2 } ( \Omega ) } } & { \le C ( \Omega ) \left\lVert v _ { 0 } \right\rVert _ { H ^ { \frac 1 2 } ( \Omega ) } } \\ & { \le C ( \Omega ) \left\lVert v _ { 0 } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { \frac 1 2 } \left\lVert v _ { 0 } \right\rVert _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { \frac 1 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( h _ { \mathrm { e f f } } ) _ { A B } } & { { } = E { \left( \begin{array} { l l } { \delta _ { a b } } & { 0 } \\ { 0 } & { \delta _ { { \bar { a } } { \bar { b } } } } \end{array} \right) } + { \frac { 1 } { 2 E } } { \left( \begin{array} { l l } { ( { \tilde { m } } ^ { 2 } ) _ { a b } } & { 0 } \\ { 0 } & { ( { \tilde { m } } ^ { 2 } ) _ { { \bar { a } } { \bar { b } } } ^ { * } } \end{array} \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { a = } & { { } G + 1 / T _ { 1 } + \left[ 2 - f ( \epsilon ) \right] / T _ { 2 } , } \\ { b = } & { { } G P _ { 0 } \left[ 2 \alpha - 3 f ( \epsilon ) \alpha _ { c } + 2 \alpha _ { c } \right] , } \\ { c = } & { { } \alpha ^ { 2 } A _ { L C , \pm } ^ { 2 } / ( 2 T _ { 2 } ) , } \end{array}
\dot { m } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ , ~ } \dot { Q } } = \dot { m } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } \cdot \left( \frac { \dot { Q } _ { \mathrm { ~ i ~ m ~ p ~ } } } { \dot { m } \Delta h } \right) ^ { 1 / 3 } .
\begin{array} { r } { u ( x , y ) = - [ 1 . 5 \cos ( \pi x + 0 . 0 . 4 \pi ) + 2 \cos ( 2 \pi x - 0 . 2 \pi ) ] [ 1 . 5 \cos ( \pi y + 0 . 0 . 4 \pi ) + 2 \cos ( 2 \pi y - 0 . 2 \pi ) ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M } & { = } & { \frac { s } { q } \Bigg [ 1 + \bigg ( 1 - \frac { s } { q } \bigg ) h \Bigg \{ 1 + \frac { 2 } { q } K + \frac { 1 } { 2 } \Big ( 1 - \frac { 2 s } { q } \Big ) h + \frac { 1 } { q } K ^ { 2 } + \frac { 3 } { q } \Big ( 1 - \frac { 2 s } { q } \Big ) K h } \\ & { + } & { \Big ( \frac { 1 } { 6 } - \frac { s } { q } \Big ( 1 - \frac { s } { q } \Big ) \Big ) h ^ { 2 } + O ( K ^ { 3 } , K ^ { 2 } h , K h ^ { 2 } , h ^ { 3 } ) \Bigg \} \, \Bigg ] \quad \mathrm { a s } \ T \to \infty \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \lambda } ^ { \gamma } ( s ) } & { = \mathbb { E } _ { s } ^ { \pi } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \lambda ^ { n - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } R ( s _ { k } , a _ { k } ) \gamma ^ { n - k } \right] , } \\ { V ^ { \gamma } ( s ) } & { = \mathbb { E } _ { s } ^ { \pi } \left[ \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { k } R ( s _ { i } , a _ { i } ) \gamma ^ { k - i } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \nabla \cdot \left( \epsilon _ { 1 } ( \mathbf { x } ) \nabla \phi _ { 1 } ( \mathbf { x } ) \right) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { q } } q _ { k } \delta ( \mathbf { x } , \mathbf { x } _ { k } ) } & & { \mathbf { x } \in \Omega _ { 1 } , } \\ { \left( \nabla ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } \right) \phi _ { 2 } ( \mathbf { x } ) } & { = 0 } & & { \mathbf { x } \in \Omega _ { 2 } , } \\ { \phi _ { 1 } ( \mathbf { x } ) } & { = \phi _ { 2 } ( \mathbf { x } ) , } & & { \mathbf { x } \in \Gamma , } \\ { \epsilon _ { 1 } ( \mathbf { x } ) \frac { \partial \phi _ { 1 } } { \partial \mathbf { n } } ( \mathbf { x } ) } & { = \epsilon _ { 2 } \frac { \partial \phi _ { 2 } } { \partial \mathbf { n } } ( \mathbf { x } ) } & & { \mathbf { x } \in \Gamma . } \end{array}
\xi _ { z e r o } ^ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \, k ^ { 2 } \, e ^ { - k ^ { 2 } l ^ { 2 } } G ( k ) \bigg / \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \, k ^ { 4 } \, e ^ { - k ^ { 2 } l ^ { 2 } } G ( k )
\begin{array} { r } { H ( \mathbf { x } , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ \mathbf ~ { ~ x ~ } ~ i ~ s ~ i ~ n ~ f ~ l ~ u ~ i ~ d ~ 1 ~ } } \\ { 0 \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ \mathbf ~ { ~ x ~ } ~ i ~ s ~ i ~ n ~ f ~ l ~ u ~ i ~ d ~ 2 ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\Xi _ { \mathrm { t h } } ( \omega , \omega ^ { \prime } , y ) = \int \! \mathrm { d } \nu \, \mathrm { d } \nu ^ { \prime } \, { \frac { \rho _ { \mathrm { t h } } ( \nu , \nu ^ { \prime } , y ) } { ( \nu - \omega - i \epsilon ) ( \nu ^ { \prime } - \omega ^ { \prime } - i \epsilon ) } } + \mathrm { s u b t r a c t i o n s } ,
\frac { { \partial } ^ { 2 } \psi } { \partial u _ { \mu } ^ { 2 } } + \frac { 2 M } { \hbar ^ { 2 } } \left( E - \frac { M \omega ^ { 2 } u ^ { 2 } } { 2 } \right) \psi = 0 , \, \, \, \, u _ { \mu } \in R ^ { 8 }
\begin{array} { r l } { \mathsf { E r r } _ { 2 } } & { { } \leq \frac { \kappa _ { m - 1 } } { 4 } \bigl \| \nabla \partial ^ { \aa } V _ { m - 1 } ^ { ( i ) } \bigr \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } } \end{array}
\frac { 1 } { 4 } ( \partial ^ { 3 } + 2 t \partial + ( \partial t ) ) h - \frac { 1 } { 2 } ( ( \partial g _ { a } ) + 3 g _ { a } \partial ) \psi ^ { a } - ( \partial A ) \cdot u = \overline { { { \partial } } } t \, .
\begin{array} { r l } & { \int _ { { \Gamma ^ { \pm } } } { \frac { \partial { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) } { \partial \nu } } u _ { N } ^ { \prime } ( \mathbf x ) \mathrm d \sigma = \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } { { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) { \frac { \partial [ u ^ { \prime } ( \mathbf x ) - u ( \mathbf x ) ] } { \partial \nu } } } \mathrm d \sigma - \eta ( \mathbf 0 ) \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } { { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) [ u ( \mathbf x ) - u ^ { \prime } ( \mathbf x ) ] } \mathrm d \sigma } \\ & { - \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } \delta \eta ( \mathbf x ) { { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) [ u ( \mathbf x ) - u ^ { \prime } ( \mathbf x ) ] } \mathrm d \sigma - \eta ( \mathbf 0 ) \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } { { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) } u _ { N } ^ { \prime } ( \mathbf x ) \mathrm d \sigma - \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } \delta \eta ( \mathbf x ) { { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) } u _ { N } ^ { \prime } ( \mathbf x ) \mathrm d \sigma } \\ & { - \eta ( \mathbf 0 ) \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } \delta { u _ { N + 1 } ^ { \prime } } ( \mathbf x ) { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) \mathrm d \sigma - \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } \delta \eta ( \mathbf x ) \delta { u _ { N + 1 } ^ { \prime } } ( \mathbf x ) { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) \mathrm d \sigma - \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } \delta { u _ { N + 1 } ^ { \prime } ( \mathbf x ) { \frac { \partial { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) } { \partial \nu } } } \mathrm d \sigma } \\ & { + \int _ { { \Gamma ^ { \pm } \setminus \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } { \frac { \partial { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) } { \partial \nu } } u _ { N } ^ { \prime } ( \mathbf x ) \mathrm d \sigma + \int _ { \Lambda _ { h } } \left[ { { u _ { 0 } ( \mathbf x ) } { \frac { \partial u ^ { \prime } ( \mathbf x ) } { \partial \nu } } - u ^ { \prime } ( \mathbf x ) } { \frac { \partial { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) } { \partial \nu } } \right] \mathrm d \sigma . } \end{array}