harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { m _ { 1 } \, ( \mathbf v _ { 1 } - \mathbf u _ { 1 } ) = - \lambda \, \mathbf n } \\ & { m _ { 2 } \, ( \mathbf v _ { 2 } - \mathbf u _ { 2 } ) = \lambda \, \mathbf n } \\ & { \left[ ( \mathbf v _ { 2 } - \mathbf { v } _ { 1 } ) + \epsilon \, ( \mathbf u _ { 2 } - \mathbf u _ { 1 } ) \right] \cdot \mathbf n = 0 } \end{array}
\hat { \mu } = G _ { \sharp } \bar { \mu } , \quad d \bar { \mu } ( U ) = \frac { \sqrt { \alpha + | U _ { 1 } | ^ { 2 } } } { \langle \sqrt { \alpha + | U _ { 1 } | ^ { 2 } } \rangle _ { \mu } } \, d \mu ( U ) .
A _ { \{ 1 } A _ { 2 } A _ { 3 \} } + B _ { \{ 1 } B _ { 2 } B _ { 3 \} } + C _ { \{ 1 } C _ { 2 } C _ { 3 \} } + A _ { \mu } \Gamma _ { \mu } ^ { \alpha \alpha ^ { \prime } } \psi \psi + B _ { \mu } \Gamma _ { \mu } ^ { \beta \beta ^ { \prime } } \psi \psi + C _ { \mu } \Gamma _ { \mu } ^ { \gamma \gamma ^ { \prime } } \psi \psi
D ^ { n - 1 } \left( \frac { e ^ { A _ { 2 } w ^ { 2 } } } { k ^ { 2 } + w ^ { 2 } } \right) = \, \frac { a _ { 3 ( n - 1 ) } w ^ { 3 ( n - 1 ) } + \dots + a _ { 0 } } { ( k ^ { 2 } + w ^ { 2 } ) ^ { n } } e ^ { A _ { 2 } w ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \mathbb { P } _ { P } \left( \widehat { \mu } _ { T } ^ { \mathrm { H I R } , a } \leq \widehat { \mu } _ { T } ^ { \mathrm { H I R } , b } \right) \leq \exp \left( - \frac { T ( \Delta ^ { a , b } ) ^ { 2 } } { 2 V ^ { a , b } ( P ) } + \left\{ \frac { \sqrt { T } \Delta ^ { a , b } } { \sqrt { V ^ { a , b } ( P ) } } + \frac { T ( \Delta ^ { a } ( P ) ) ^ { 2 } } { 2 V ^ { a } ( P ) } \right\} \varepsilon \right) . } \end{array}
{ 1 } + { \frac { 1 } { 3 } } + \cdots + { \frac { 1 } { 2 a - 1 } } - { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 4 } } - \cdots - { \frac { 1 } { 2 b } } + { \frac { 1 } { 2 a + 1 } } + \cdots + { \frac { 1 } { 4 a - 1 } } - { \frac { 1 } { 2 b + 2 } } - \cdots
X ^ { i } ( \sigma , \tau ) = X _ { u } ^ { i } + p ^ { i } \tau + \frac { w ^ { i } \sigma } { 2 \pi } + \frac { i } { 2 \pi } \sum _ { n \neq 0 } \left( \frac { \alpha _ { n } ^ { i } } { n } e ^ { - i n ( \tau - \sigma ) } + \frac { { \tilde { \alpha } } _ { n } ^ { i } } { n } e ^ { - i n ( \tau + \sigma ) } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \Vert P _ { \widehat { \mathcal { C } } } \left( z \right) - P _ { \mathcal { C } } \left( z \right) \Vert } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq r } \Bigg \vert \left( - 1 \right) ^ { i } \left( \sum _ { M \in \mathcal { P M } _ { i } \left( \widehat { \mathcal { C } } \right) } M - \sum _ { M \in \mathcal { P M } _ { i } \left( \mathcal { C } \right) } M \right) \Bigg \vert , } \\ { = } & { 0 . } \end{array}
\mathrm { t r } \rho _ { V V } = 4 + 8 { \frac { m _ { t } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } \qquad \mathrm { t r } \rho _ { V A } = \mathrm { t r } \rho _ { A V } = 0 \qquad \mathrm { t r } \rho _ { A A } = 4 \beta ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \Pi _ { N } ^ { \otimes n } \rho _ { n } ( t , x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) } & { = \frac { 1 } { n ! } \sum _ { j _ { 1 } , . . . j _ { n } = 1 } ^ { N } \mathbb { E } \left[ \left( \partial _ { z _ { j _ { 1 } } } \cdot \cdot \cdot \partial _ { z _ { j _ { n } } } u _ { N } \right) ( t , Z ) \right] \xi _ { j _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \cdot \cdot \cdot \xi _ { j _ { n } } ( x _ { n } ) } \\ & { = \frac { 1 } { n ! } \sum _ { j _ { 1 } , . . . j _ { n } = 1 } ^ { N } \rho _ { 0 } ^ { ( N ) } ( t ) c _ { j _ { 1 } } g _ { j _ { 1 } } ( t ) \cdot \cdot \cdot c _ { j _ { n } } g _ { j _ { n } } ( t ) \xi _ { j _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \cdot \cdot \cdot \xi _ { j _ { n } } ( x _ { n } ) } \\ & { = \rho _ { 0 } ^ { ( N ) } ( t ) \frac { 1 } { n ! } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } c _ { j } g _ { j } ( t ) \xi _ { j } ( x _ { 1 } ) \right) \cdot \cdot \cdot \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } c _ { j } g _ { j } ( t ) \xi _ { j } ( x _ { n } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( E - H ) ^ { - 1 } \| _ { 2 } } & { = \| ( E - V \Lambda V ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } \| _ { 2 } } \\ & { = \| V ( E - \Lambda ) ^ { - 1 } V ^ { - 1 } \| _ { 2 } } \\ & { \le \| V \| _ { 2 } \| ( E - \Lambda ) ^ { - 1 } \| _ { 2 } \| V ^ { - 1 } \| _ { 2 } } \\ & { = \kappa ( V ) / \mathrm { m i n } _ { E _ { \alpha } \in \sigma ( H ) } ( E - E _ { \alpha } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha ( G ) } & { \ge } & { \frac 1 2 | N _ { S ^ { + } } | + \frac 1 2 | X | - \frac 1 4 | N _ { I } | + \frac 1 2 ( | S ^ { - } | - | X | + | N _ { I } | ) + \frac 1 4 ( | I | - | N _ { I } | ) + \frac 1 2 ( | S ^ { + } | - | N _ { S ^ { + } } | ) } \\ & { \ge } & { \frac 1 2 | S ^ { - } | + \frac 1 4 | I | + \frac 1 2 | S ^ { + } | } \end{array}
f ( \theta , \varphi ) \triangleq \mathtt { f } \big ( C _ { 1 } ( \theta , \varphi ) \big ) , \qquad \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \mathtt { f } ( \xi ) d \sigma ( \xi ) \triangleq \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } f ( \theta , \varphi ) \sin ( \theta ) d \theta d \varphi .
\begin{array} { r l } { I _ { \textrm { s c a t t e r e d } } ( \mathbf { Q } ) \propto \iiint _ { V } } & { \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } ( \Delta \mathbf { r } ) ^ { T } \mathbf { \Sigma } ( \mathbf { r } _ { A } ) \, \Delta \mathbf { r } \right] } \\ & { \times \exp ( - i \mathbf { Q } \cdot \Delta \mathbf { r } ) \, \mathrm { d } ( \Delta \mathbf { r } ) . } \end{array}
F _ { \lambda } \ensuremath { [ n ] } \geq E _ { \lambda } ^ { \ast } [ v _ { \lambda } ] - \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, n ( \mathbf { r } ) v _ { \lambda } ( \mathbf { r } ) \quad \forall n \in \chi \, , \, v _ { \lambda } \in \chi ^ { \ast } ,
\sum _ { \substack { j \colon { \bf S } _ { j } \mathrm { ~ i s ~ T 4 } \, Q ( { \bf S } _ { j } ) \subset P } } \sigma ( Q ( { \bf S } _ { j } ) ) \le \frac { C _ { 3 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \sum _ { \substack { j \colon { \bf S } _ { j } \mathrm { ~ i s ~ T 4 } \, Q ( { \bf S } _ { j } ) \subset P } } \iint _ { \Omega _ { \mathcal { F } _ { N , j } , Q ( { \bf S } _ { j } ) } } | \nabla u ( Y ) | ^ { 2 } \delta ( Y ) \, d Y \, \lesssim \frac { C _ { 3 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \iint _ { T _ { P } } | \nabla u ( Y ) | ^ { 2 } \delta ( Y ) \, d Y \lesssim \frac { C _ { 3 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \sigma ( P ) ,
\forall \beta \in ( \alpha , 1 ) , \quad \| \mathcal { H } h \| _ { C ^ { \beta } ( \mathbb { T } ) } \lesssim \| \partial _ { \varphi } h \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \lesssim \| h \| _ { C ^ { 1 + \alpha } ( \mathbb { T } ) } .
\int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { \parallel } v _ { \parallel } ^ { 2 } \exp \left( - \frac { v _ { \parallel } ^ { 2 } } { v _ { t h e \parallel } ^ { 2 } } \right) = \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } v _ { t h e \parallel } ^ { 3 } ,
\nabla _ { i } \mathcal { H } = - 1 2 \sum _ { j \ne i } ( \mathbf x _ { i } - \mathbf x _ { j } ) \left( \frac 1 { | \mathbf x _ { i } - \mathbf x _ { j } | ^ { 1 4 } } - \frac 1 { | \mathbf x _ { i } - \mathbf x _ { j } | ^ { 8 } } \right)
V ( \Phi ) = \frac { 2 } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { \epsilon } - \gamma + \frac { 3 } { 2 } - \ln \, \frac { g ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } } { 4 \pi \mu ^ { 2 } } \right] g ^ { 4 } \Phi ^ { 4 }
\frac { \nu ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \sqrt { ( \sigma ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } + 4 ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ( \delta ^ { 2 } - 1 ) } \ - \ ( \sigma ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } - 1 ) \right] .
\begin{array} { r l } { P ( ( i , j ) \in E ) _ { i _ { k } = i _ { j } } } & { = \left\{ \begin{array} { c c } { 0 } & { ( 1 - p _ { 1 } ) ( 1 - p _ { 2 } ) + p _ { 1 } p _ { 2 } } \\ { 1 } & { p _ { 1 } ( 1 - p _ { 2 } ) } \\ { - 1 } & { ( 1 - p _ { 1 } ) p _ { 2 } } \end{array} \right. } \\ { P ( ( i , j ) \in E ) _ { i _ { k } \not = i _ { j } } } & { = \left\{ \begin{array} { c c } { 0 } & { ( 1 - p _ { 1 } \rho ) ( 1 - p _ { 2 } \rho ) + \rho ^ { 2 } p _ { 1 } p _ { 2 } } \\ { 1 } & { p _ { 1 } \rho ( 1 - p _ { 2 } \rho ) } \\ { - 1 } & { ( 1 - p _ { 1 } \rho ) p _ { 2 } \rho } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \alpha ^ { \prime } ( y ) + a \alpha ( y ) \leq f ( y , \alpha ( y ) ) + a \alpha ( y ) ~ ~ ~ ~ ~ } \\ { \implies } & { ( \alpha ( y ) e ^ { a y } ) ^ { \prime } \leq [ f ( y , \alpha ( y ) ) + a \alpha ( y ) ] e ^ { a y } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( \mathrm { m u l t i p l y i n g ~ b o t h ~ s i d e s ~ b y } ~ e ^ { a y } ) } \\ { \implies } & { \alpha ( y ) e ^ { a y } - \alpha ( 0 ) \leq \int _ { 0 } ^ { y } [ f ( s , \alpha ( s ) ) + a \alpha ( s ) ] e ^ { a s } ~ d s . } \end{array}
= \; \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 2 } p \frac { 1 } { p ^ { 2 } + m _ { d } ^ { 2 } } \; \frac { 1 } { p ^ { 2 } } \; \sin ^ { 2 } ( p _ { 1 } L ) \; \bigg [ \frac { p _ { 2 } } { p _ { 1 } } e ^ { i p _ { 2 } L } - \frac { p _ { 1 } } { p _ { 2 } } \Big ( 1 - e ^ { i p _ { 2 } L } \Big ) \bigg ] \; = \; 0 \; .
\begin{array} { r l } { \hat { A } _ { 1 } } & { { } = c _ { 1 , 1 } \hat { P } _ { 1 } + c _ { 1 , 3 } \hat { P } _ { 3 } , } \\ { \hat { A } _ { 2 } } & { { } = c _ { 2 , 1 } \hat { P } _ { 1 } + c _ { 2 , 2 } \hat { P } _ { 2 } + c _ { 2 , 3 } \hat { P } _ { 3 } ; } \end{array}
\mathcal { L } _ { D } = L _ { D } ^ { R a } = - \mathbb { E } _ { P _ { u } } \left[ \mathrm { l o g } ( D _ { R a } ( P _ { u } , P _ { u } ^ { ' } ) ) \right] - \mathbb { E } _ { P _ { u } ^ { ' } } \left[ \mathrm { l o g } ( 1 - D _ { R a } ( P _ { u } ^ { ' } , P _ { u } ) ) \right] .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \big [ \eta _ { t } \| w _ { t } - \nabla F ( x _ { t } ) \| ^ { 2 } + \frac { \eta _ { t } } { \gamma ^ { 2 } } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } \big ] \leq \frac { 4 ( \Phi _ { 1 } - \Phi _ { T + 1 } ) } { T \gamma } + \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \big ( \frac { 1 6 m \sigma ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } + \frac { 4 m \lambda \sigma ^ { 2 } } { \gamma k ^ { 2 } } \big ) \eta _ { t } ^ { 2 } . } \end{array}
\mathcal { L } ( \hat { L } , \rho ) = \hat { L } \rho \hat { L } ^ { \dagger } - \frac { 1 } { 2 } \hat { L } ^ { \dagger } \hat { L } \rho - \frac { 1 } { 2 } \rho \hat { L } ^ { \dagger } \hat { L }
\begin{array} { r l } { | R ( t ; x ) | } & { \leqslant \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \lambda _ { m } ^ { 2 } x _ { m } ^ { 2 } | R _ { m } ( t ) | \leqslant \frac { 3 } { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \lambda _ { m } ^ { 2 } x _ { m } ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { 2 m - 1 } ( J _ { n } ^ { 2 } ( 2 t ) + J _ { 2 m - n } ^ { 2 } ( 2 t ) ) } \\ & { = 3 \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \lambda _ { m } ^ { 2 } x _ { m } ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { 2 m - 1 } J _ { n } ^ { 2 } ( 2 t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { m } ( \hat { x } ) = U _ { m } ( \hat { x } ) \otimes \hat { H } _ { S , m } ^ { ( e g ) } \; \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \; U _ { m } ( \hat { x } ) = \left( 1 + \frac { \hat { x } } { d } \right) ^ { - m } \, , } \end{array}
\frac { R _ { \mu / e } } { R _ { \mu / e } ^ { M C } } = \frac { \langle P _ { \mu \mu } \rangle + \frac { N _ { e \mu } ^ { 0 } } { N _ { \mu \mu } ^ { 0 } } \langle P _ { e \mu } \rangle } { \langle P _ { e e } \rangle + \frac { N _ { \mu e } ^ { 0 } } { N _ { e e } ^ { 0 } } \langle P _ { \mu e } \rangle } \; .
\Gamma ( \textrm { M u } \to \nu _ { e } \bar { \nu } _ { \mu } ) = 4 8 \pi \left( \frac { \alpha m _ { e } } { m _ { \mu } } \right) ^ { 3 } \Gamma ( \mu ^ { + } \to e ^ { + } \nu _ { e } \bar { \nu } _ { \mu } ) \; .
\begin{array} { r l } { \theta ^ { \parallel } ( \theta ^ { \prime } , \phi ^ { \prime } ) } & { { } = \operatorname { a r c c o s } \Bigg \{ \frac { 1 } { { \gamma ( 1 + \beta \cos \theta ^ { \prime } ) } } } \\ { \phi ^ { \parallel } ( \theta ^ { \prime } , \phi ^ { \prime } ) } & { { } = \mathrm { a t a n 2 } [ \sin \theta ^ { \prime } \sin \phi ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { F } _ { i j } ^ { D } } & { = - \gamma \omega ^ { D } ( r _ { i j } ) \left( \frac { \textbf { r } _ { i j } } { | r _ { i j } | } \cdot \textbf { v } _ { i j } \right) \frac { \textbf { r } _ { i j } } { | r _ { i j } | } , } \\ { \textbf { F } _ { i j } ^ { R } } & { = \sigma \omega ^ { R } ( r _ { i j } ) \zeta \Delta t ^ { - 1 / 2 } \frac { \textbf { r } _ { i j } } { | r _ { i j } | } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \vec { D } _ { i , d 2 } ^ { m } | b _ { i } ^ { m } , } & { a _ { i } ^ { m * } ) = \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { K } } | \sigma _ { i , d 2 } ^ { m } | } } \\ & { \times \! \exp \! \left( \! - \frac { \sum _ { t _ { k } \in d 2 } ^ { K } \left[ b _ { i } ^ { m } - \left( D _ { i , d 2 } ^ { m } ( t _ { k } ) - a _ { i } ^ { m * } t _ { k } \right) \right] ^ { 2 } } { 2 ( \sigma _ { i , d 2 } ^ { m } ) ^ { 2 } } \! \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi } & { { } \equiv \left. \frac { \mathrm { d } \mathrm { I m } [ r _ { s \rightarrow s } ( \Phi ^ { \prime } ) ] } { \mathrm { d } \Phi ^ { \prime } } \right| _ { \Phi ^ { \prime } = 0 } . } \end{array}
\left( \mathcal { O } _ { \sigma } ( Z A ) \right) ^ { \dagger } = \left( \mathrm { T r } _ { V _ { N } ^ { \otimes n } } \left( ( Z A ) ^ { \otimes n } \mathcal { L } _ { \sigma } \right) \right) ^ { \dagger } = ( A ^ { \dagger } Z ^ { \dagger } ) _ { j _ { \sigma ^ { - 1 } ( 1 ) } } ^ { j _ { 1 } } \dots ( A ^ { \dagger } Z ^ { \dagger } ) _ { j _ { \sigma ^ { - 1 } ( n ) } } ^ { j _ { n } } = \mathcal { O } _ { \sigma ^ { - 1 } } ( A ^ { \dagger } Z ^ { \dagger } ) \, .
\begin{array} { r } { { S _ { 1 3 } ^ { q } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \sum _ { \gamma , \delta } \int d E [ A _ { \gamma \delta } ( 1 ) A _ { \delta \gamma } ( 3 ) ] } } \\ { \times { ( f _ { \gamma } ( E ) [ 1 - f _ { \delta } ( E ) ] + [ 1 - f _ { \gamma } ( E ) ] f _ { \delta } ( E ) ) . } } \end{array}
F ^ { ( 0 ) } ( x , y ) = \left( \begin{array} { c c c } { { O } } & { { - I } } & { { \vec { 0 } } } \\ { { I } } & { { O } } & { { \vec { 0 } } } \\ { { \vec { 0 } ^ { T } } } & { { \vec { 0 } ^ { T } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \delta ^ { 2 } ( x - y ) ,
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } ( U _ { t , s } ) } & { = } & { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { s = 1 } ^ { S } ( - \cos ( \lambda t + \mu s ) ) \mathbb { E } \left( \mathbb { I } _ { \{ \epsilon ( t , s ) \geq \frac { 1 } { \beta _ { T , S } } \} } - \mathbb { I } _ { \{ \epsilon ( t , s ) \leq - \frac { 1 } { \beta _ { T , S } } \} } \right) } \\ & { = } & { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { s = 1 } ^ { S } ( - \cos ( \lambda t + \mu s ) ) \left( \int _ { \frac { 1 } { \beta _ { T , S } } } ^ { \infty } d ( G ( \epsilon ( t , s ) ) ) - \int _ { - \infty } ^ { - \frac { 1 } { \beta _ { T , S } } } d ( G ( \epsilon ( t , s ) ) ) \right) } \\ & { = } & { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { s = 1 } ^ { S } ( - \cos ( \lambda t + \mu s ) ) \left( 1 - G \left( \frac { 1 } { \beta _ { T , S } } \right) - G \left( - \frac { 1 } { \beta _ { T , S } } \right) \right) . } \end{array}
\omega ^ { 6 } - 4 3 \omega ^ { 5 } + 7 3 1 \omega ^ { 4 } - 6 2 3 8 \omega ^ { 3 } + 2 7 9 3 6 \omega ^ { 2 } - 6 1 7 7 6 \omega + 5 2 2 7 2 = 0 .
A { \left[ \begin{array} { l } { 5 } \\ { 5 } \\ { 5 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 5 } \\ { 5 } \\ { 5 } \end{array} \right] } = 1 \cdot { \left[ \begin{array} { l } { 5 } \\ { 5 } \\ { 5 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \| Q ^ { k + 1 } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } \leq } & { \ \| Q ^ { k + 1 } - Q ^ { k } - \beta ( T Q ^ { k } - Q ^ { k } ) \| _ { \mu } + \| T _ { \beta } Q ^ { k } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } } \\ { \leq } & { \ \left( 1 - ( 1 - \gamma ) \beta \right) \| Q ^ { k } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } + \frac { \beta \sigma _ { k } } { \lambda _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } \cdot \left( \frac { 3 \eta } { \lambda _ { 0 } } + \sqrt { \frac { 3 \log ( 1 / \delta _ { 0 } ) } { | \mathcal { D } _ { k } | } } \right) } \\ { \leq } & { \ \left( 1 - ( 1 - \gamma ) \beta \right) \| Q ^ { k } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } + \frac { \beta \sigma _ { k } } { \lambda _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } \cdot \left( \frac { 2 \omega } { \lambda _ { 0 } } + \sqrt { \frac { 3 \log ( 1 / \delta _ { 0 } ) } { | \mathcal { D } _ { k } | } } \right) } \end{array}
P _ { m _ { - } , m _ { 0 } , m _ { + } } ( u , v ) = ( u - m _ { - } ) ^ { m _ { 0 } } \prod _ { i = 1 } ^ { m _ { + } } ( v - u + m _ { -- } m _ { + } + i ) \prod _ { i = 1 } ^ { m _ { - } } ( v + u - m _ { - } + i )
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \langle f | | } a [ f ] ^ { ( Q ) } \ensuremath { | | i \rangle } } & { { } = ( - 1 ) ^ { F _ { i } + I - J _ { i } } [ F _ { f } , Q , F _ { i } ] ^ { 1 / 2 } } \end{array}
( \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathcal { D } } ^ { \top } \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathcal { D } } ) ^ { - 1 } \preceq \frac { 1 } { \psi _ { * } } ( \mathbf { X } _ { \mathcal { D } } ^ { \top } \mathbf { X } _ { \mathcal { D } } ) ^ { - 1 } \Rightarrow \mathbf { X } _ { \mathcal { D } } ( \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathcal { D } } ^ { \top } \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathcal { D } } ) ^ { - 1 } \mathbf { X } _ { \mathcal { D } } ^ { \top } \preceq \frac { 1 } { \psi _ { * } } \mathbf { P } _ { \mathcal { D } }
\begin{array} { r l } { \Vert f ( t ) \Vert _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } } & { \leq e ^ { - t } \Vert f _ { 0 } \Vert _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } + C _ { q } ( 1 - e ^ { - t } ) \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq t } \Vert f ( s ) \Vert _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } } \\ & { \quad + C _ { q } \left( \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq t } \Vert f ( s ) \Vert _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } \right) ^ { n } t e ^ { C _ { q } ( \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq t } \Vert f ( s ) \Vert _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } ) ^ { a } t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathbf { A } } ^ { ( j ) } ( P ) \mathbf { X } ^ { ( j ) } ( P ) } & { { } = \mathbf { X } ^ { ( j ) } ( P ) \mathbf { \Lambda } ^ { ( j ) } ( P ) , } \\ { \mathbf { \Phi } ^ { ( j ) } ( P ) } & { { } = \mathbf { U } ^ { ( j ) } ( P ) \mathbf { X } ^ { ( j ) } ( P ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \overline { { P } } _ { t } V ( x , v ) } { V ( x , v ) } } & { = \sum _ { w \in \{ \pm 1 \} ^ { d } } \! \! \! \! \frac { V ( x + v t + w t , w ) } { V ( x , v ) } } \\ & { \quad \prod _ { i = 1 } ^ { d } \left[ \frac { \lambda _ { i } ( x + v t , R _ { i } w ) + \frac { w _ { i } } { v _ { i } } \lambda _ { i } ( x + v t , v ) e ^ { - ( \lambda _ { i } ( x + v t , v ) + \lambda _ { i } ( x + v t , R _ { i } v ) ) t } } { \lambda _ { i } ( x + v t , v ) + \lambda _ { i } ( x + v t , R _ { i } v ) } \right] . } \end{array}
+ 2 7 3 3 7 5 u ^ { 2 } v ^ { 4 } + 4 5 6 4 8 u ^ { 1 0 } \mu - 1 8 2 3 0 4 0 u ^ { 7 } v \mu + 1 9 8 0 1 5 8 4 u ^ { 4 } v ^ { 2 } \mu - 7 0 1 2 3 9 6 8 u v ^ { 3 } \mu + 4 0 0 6 1 9 5 2 u ^ { 6 } { \mu } ^ { 2 }
\left\langle A _ { \nu } ^ { m } F ^ { n \mu \nu } \right\rangle = \left\langle A _ { \nu } ^ { m } \partial ^ { \mu } A ^ { n \nu } \right\rangle - \left\langle A _ { \nu } ^ { m } \partial ^ { \nu } A ^ { n \mu } \right\rangle + \epsilon ^ { n p q } \left\langle A _ { \nu } ^ { m } A ^ { p \mu } A ^ { q \nu } \right\rangle .
\langle I _ { A ( B ) } ( t ) I _ { A ( B ) } ( t ^ { ' } ) + I _ { A ( B ) } ( t ^ { ' } ) I _ { A ( B ) } ( t ) \rangle / 2 = \gamma _ { m } ^ { A ( B ) } ( 2 \bar { n } _ { A ( B ) } + 1 ) \delta ( t - t ^ { ' } ) ,
A = \left( \frac { n \, q _ { m } - q _ { e } r } { r ^ { 2 } + n ^ { 2 } } + \phi _ { e } \right) d t + \left( \left[ \frac { 2 \, n \, q _ { e } r + q _ { m } \left( r ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) } { \left( r ^ { 2 } + n ^ { 2 } \right) } \right] c o s \theta + C \right) d \phi ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \wp } _ { 0 , 3 } } & { : = p _ { M _ { \cal A } ^ { ( n ) } Z ^ { n } K _ { 1 } ^ { n } K _ { 2 } ^ { n } } \Biggl \{ ( M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , Z ^ { n } , K _ { 1 } ^ { n } , K _ { 2 } ^ { n } ) \in { \cal T } _ { 3 } , } \\ { 0 } & { \geq \frac { 1 } { n } \log \frac { \hat { q } _ { 3 , M _ { \cal A } ^ { ( n ) } Z ^ { n } K _ { 1 } ^ { n } K _ { 2 } ^ { n } } ( M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , Z ^ { n } , K _ { 1 } ^ { n } , K _ { 2 } ^ { n } ) } { p _ { M _ { \cal A } ^ { ( n ) } Z ^ { n } K _ { 1 } ^ { n } K _ { 2 } ^ { n } } ( M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , Z ^ { n } , K _ { 1 } ^ { n } , K _ { 2 } ^ { n } ) } - \eta , } \\ { 0 } & { \geq \frac { 1 } { n } \log \frac { Q _ { Z ^ { n } } ( Z ^ { n } ) } { p _ { Z ^ { n } } ( Z ^ { n } ) } - \eta , } \\ { R _ { \cal A } } & { \geq \displaystyle \frac { 1 } { n } \log \frac { \tilde { Q } _ { Z ^ { n } | M _ { \cal A } ^ { ( n ) } } ( Z ^ { n } | M _ { \cal A } ^ { ( n ) } ) } { p _ { Z ^ { n } } ( Z ^ { n } ) } - \eta , } \\ { 0 } & { \geq \displaystyle \frac { 1 } { n } \log \frac { 1 } { p _ { K _ { 1 } ^ { n } K _ { 2 } ^ { n } | M _ { \cal A } ^ { ( n ) } } ( K _ { 1 } ^ { n } , K _ { 2 } ^ { n } | M _ { \cal A } ^ { ( n ) } ) } - \eta \Biggr \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } = \sum _ { b = 0 } ^ { \infty } \bigg [ } & { { } - t ^ { b } \bigg ( \hat { a } _ { L } ^ { \dagger } \hat { a } _ { M } + \hat { a } _ { M } ^ { \dagger } \hat { a } _ { R } + \mathrm { ~ H ~ . ~ c ~ . ~ } \bigg ) } \end{array}
\eta \left( \left( \prod _ { i = 2 } ^ { l - 1 } V _ { - j _ { i } - h _ { i } } ( \psi _ { i } ) \right) V _ { - j _ { 1 } - j _ { l } - h _ { 1 } - h _ { l } } ( V _ { j _ { 1 } - h _ { 1 } - k } ( \psi _ { 1 } ) \psi _ { l } ) \Omega \right) .
P _ { N , \delta } : = \frac 1 N \sum _ { j = 1 } ^ { N } p _ { \delta , \pi } ( \theta _ { j } ) = \frac { 2 \pi } N \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { \delta ( t - T _ { j } ^ { k } ) } { 2 / \tau _ { m } } = \pi \tau _ { m } R _ { N } ,
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathbb { L } } _ { 0 } ^ { \Omega } [ h ] ( r ) } & { : = \mu _ { \Omega } ^ { 0 } ( r ) \mathbb { L } _ { 0 } ^ { \Omega } [ h ] ( r ) } \\ & { = { h ( r ) } - \sigma _ { \Omega } { \nu _ { \Omega } ( r ) } \int _ { r } ^ { 1 } \frac { 1 } { \tau } \int _ { 0 } ^ { \tau } s h ( s ) d s d \tau } \\ & { : = { h ( r ) } - \sigma _ { \Omega } \mathcal { L } _ { 0 } ^ { \Omega } [ h ] ( r ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V ^ { \mathrm { m o l } } ( R ) } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c c } { V _ { 1 } ( R ) } & { 0 } \\ { 0 } & { V _ { 2 } ( R ) } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { k } } & { { } = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } E _ { k } ^ { ( j ) } \lambda ^ { j } , } \\ { \Psi _ { k } } & { { } = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \Psi _ { k } ^ { ( j ) } \lambda ^ { j } , } \end{array}
\Pi ^ { 1 } = R \Psi ^ { 1 } / \Psi ^ { 0 } , \Pi ^ { 2 } = R \Psi ^ { 2 } / \Psi ^ { 0 } , . . . , \Pi ^ { i } = R \Psi ^ { i } / \Psi ^ { 0 } , . . . , \Pi ^ { N } = R \Psi ^ { N } / \Psi ^ { 0 }
\begin{array} { r } { \mathcal { G } \left( \mathbb { R } ^ { d _ { \gamma } } \times T \right) = \{ \mathbf { g } \vert \mathbf { g } : \mathbb { R } ^ { d _ { \gamma } } \times T \rightarrow \mathbb { C } ^ { d _ { \gamma } } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { * } \geq 0 , ~ s ^ { * } \geq 0 , ~ x ^ { 0 } > 0 , ~ s ^ { 0 } } & { > 0 , } \\ { ( x ^ { * } ) ^ { \top } s ^ { * } } & { = 0 , } \\ { A x ^ { * } } & { = b , } \\ { A ^ { \top } y ^ { * } + s ^ { * } } & { = c , } \\ { A x ^ { 0 } } & { = b , } \\ { A ^ { \top } y ^ { 0 } + s ^ { 0 } } & { = c . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \overline { { \textup { E } } } } { \textup { E } _ { \textup { m a t r i x } } } } & { = } & { 0 . 9 0 5 - 1 . 4 0 1 \Phi _ { \textup { m a c r o } } - 0 . 8 6 8 \Phi _ { \textup { m e s o } } , \ \textup { R } ^ { 2 } = 0 . 9 1 3 , } \\ { \frac { \overline { { \sigma } } } { \sigma _ { \textup { m a t r i x } } } } & { = } & { 0 . 6 1 0 - 1 . 3 0 3 \Phi _ { \textup { m a c r o } } - 0 . 7 0 4 \Phi _ { \textup { m e s o } } , \ \textup { R } ^ { 2 } = 0 . 7 4 8 , } \end{array}
( \tilde { X } , \tilde { V } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( x _ { 1 / 2 } + \frac { \delta } { 2 } R ( x _ { 1 / 2 } ) v , R ( x _ { 1 / 2 } ) v ) \quad } & { \mathrm { ~ w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } 1 - \exp ( - \delta \lambda ( x _ { 1 / 2 } , v ) ) , } \\ { ( x + \delta v , v ) \quad } & { \mathrm { ~ w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } \exp ( - \delta \lambda ( x _ { 1 / 2 } , v ) ) . } \end{array} \right.