harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } _ { 1 , 2 k + 1 } } & { = - \frac { 1 } { b _ { 2 k } } \frac { \sin ( \varphi _ { N } - \varphi _ { 2 k + 1 } ) } { \sin ( \theta _ { 2 k + 1 } ) } \, , \quad \mathcal { U } _ { 1 , 2 k } = - \frac { b _ { 2 k } } { t } \frac { \sin ( \varphi _ { N } - \varphi _ { 2 k } ) } { \sin ( \theta _ { N } ) } \, , } \\ { \mathcal { U } _ { 2 , 2 k + 1 } } & { = \frac { 1 } { b _ { 2 k } } \frac { t \sin ( \varphi _ { N - 1 } - \varphi _ { 2 k + 1 } ) } { \sin ( \theta _ { 2 k + 1 } ) } \, , \quad \mathcal { U } _ { 2 , 2 k } = b _ { 2 k } \frac { \sin ( \varphi _ { N - 1 } - \varphi _ { 2 k } ) } { \sin ( \theta _ { N } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { f ^ { \mathcal { F } } ( L ) = \frac { C ( D ) e ^ { - z } } { \Theta ( \frac { 1 } { \nu } ) \Gamma \left( \nu \right) - \Gamma \left( \nu , z \right) } \qquad \alpha \neq - 1 \ } \end{array}
F _ { N } ( x ) = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } D _ { n } ( x ) = { \frac { 1 } { N } } \left( { \frac { \sin { \frac { N x } { 2 } } } { \sin { \frac { x } { 2 } } } } \right) ^ { 2 } .
G = \frac { 1 } { u _ { \tau } ^ { 2 } } \frac { \partial \overline { { u ^ { \prime } u ^ { \prime } } } } { \partial y ^ { + } } \Big | _ { y ^ { + } = c } \frac { \mathrm { d } y ^ { + } } { \mathrm { d } \sigma } \Big | _ { \sigma = 0 } .
\operatorname* { l i m } _ { \substack { \sigma _ { a } \rightarrow 0 \, \sigma _ { b } \rightarrow 0 } } p _ { s _ { \mathrm { m i x } } } ( s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , P ) = ( 1 - P ) \mu _ { t _ { a } } e ^ { - \mu _ { t _ { a } } s } + P \mu _ { t _ { b } } e ^ { - \mu _ { t _ { b } } s } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \left| y _ { 0 } \left[ \sum _ { q = 0 } ^ { p } \left( \begin{array} { l } { p } \\ { q } \end{array} \right) \frac { d ^ { q } x } { d x ^ { q } } ( x _ { 0 } ) \partial _ { x } ^ { p - q } i _ { \delta } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \right] + y _ { 0 } ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { p } j _ { \delta } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \right| } \\ & { \leq } & { | y _ { 0 } | C _ { 1 } \leq ( 1 8 a _ { 2 } ( \delta ) x _ { 0 } ^ { 2 } + 1 8 N | h ( 0 , 0 ) | x _ { 0 } ^ { N } ) A C C _ { 1 } } \\ & { \leq } & { \frac { c } { 2 } a _ { 2 } ( \delta ) + N ( N - 1 ) \cdots ( N - p + 1 ) x _ { 0 } ^ { N - p } | h ( 0 , 0 ) | \frac { c } { 2 } . } \end{array}
\sin ( 2 \alpha ) = \frac { 2 \bar { \eta } ( \bar { \eta } ^ { 2 } + \bar { \varrho } ^ { 2 } - \bar { \varrho } ) } { ( \bar { \varrho } ^ { 2 } + \bar { \eta } ^ { 2 } ) ( ( 1 - \bar { \varrho } ) ^ { 2 } + \bar { \eta } ^ { 2 } ) }
R _ { 2 } ^ { \prime \prime } \Theta _ { 2 } + \frac { 1 } { r } R _ { 2 } ^ { \prime } \Theta _ { 2 } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } R _ { 2 } \Theta _ { 2 } ^ { \prime \prime } - \omega ^ { 2 } R _ { 2 } \Theta _ { 2 } = 0 .
\begin{array} { r l } { p _ { i j } } & { = \mathrm { c o n s t } + \mathcal O ( \epsilon ^ { 2 } ) } \\ { \mathscr D _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } } & { : = \frac { u _ { i + 1 , j } - u _ { i j } + u _ { i + 1 , j + 1 } - u _ { i , j + 1 } } { 2 \Delta x } } \\ & { \phantom { m m m m m } + \frac { v _ { i + 1 , j + 1 } - v _ { i + 1 , j } + v _ { i , j + 1 } - v _ { i j } } { 2 \Delta y } \in \mathcal O ( \epsilon ) } \end{array}
S = \Big | \sum _ { k } \overline { { W } } _ { k } ^ { m + n } \langle s _ { k } \rangle _ { | D _ { k } | } \Big | / \sum _ { k } \Big | \overline { { W } } _ { k } ^ { m + n } \langle s _ { k } \rangle _ { | D _ { k } | } \Big | \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \boldsymbol { r } } G ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \xi } ) } & { { } = \delta ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { \xi } ) , \, \forall \, \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \xi } \in D } \\ { G ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \xi } ) } & { { } = 0 , \, \, \, \forall \, \boldsymbol { \xi } \in D ^ { \circ } \: \: \, \, \forall \: \boldsymbol { r } \in \partial D } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { \gamma } \operatorname* { l i m s u p } _ { X \to \infty } \left| \mathbb { E } _ { n \leq X } ^ { \log } f _ { 2 } ( \lfloor p \theta n + j \rfloor ) f _ { 2 } ( \frac { q \lfloor p \theta n + j \rfloor + r } { p } ) e ( \gamma n ) 1 _ { B } ( n ) 1 _ { q \lfloor p \theta n + j \rfloor + r \equiv 0 \, ( \operatorname { m o d } \, p ) } \right| = o _ { P \rightarrow \infty } ( 1 ) . } \end{array}
\hat { H } = - \frac { 1 } { 2 M } \nabla ^ { 2 } + 4 \varepsilon \sum _ { i } \left[ \left( \frac { \sigma } { r _ { i } } \right) ^ { 1 2 } - \left( \frac { \sigma } { r _ { i } } \right) ^ { 6 } \right] ,
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } { p _ { i , j ( \phi = \pi ) } ^ { ( 1 ) } } & { = p _ { i , j + 1 / 2 } ^ { ( 1 ) } \biggr | _ { \phi = \pi } - \frac { \Delta \phi _ { i , j + 1 / 2 \_ j } } { \Delta \phi _ { i , j + 1 } } \left( p _ { i , j + 3 / 2 } ^ { ( 1 ) } - p _ { i , j + 1 / 2 } ^ { ( 1 ) } \right) \biggr | _ { \phi = \pi } , } \end{array} } \end{array}
- { \bf I } \partial \sb \tau \sp 2 + g e \sb 0 F \partial \sb \tau = \exp \left( \frac { g e \sb 0 } { 2 } F \tau \right) \left( - { \bf I } \partial \sb \tau \sp 2 + \frac { g \sp 2 e \sb 0 \sp 2 } { 4 } F \sp 2 \right) \exp \left( - \frac { g e \sb 0 } { 2 } F \tau \right) \, ,
S _ { 1 } = \left[ \left( \frac { \partial { u _ { s } } } { \partial { n } } \right) ^ { * } h _ { m } ^ { * } - \frac { 1 } { \kappa ^ { \mathrm { r e f } } } \right] \ln { ( h _ { m } ^ { * } ) } \qquad \textrm { a n d } \qquad S _ { 2 } = u _ { s } ^ { * } - \left( \frac { \partial { u _ { s } } } { \partial { n } } \right) ^ { * } h _ { m } ^ { * } \ln { ( h _ { m } ^ { * } ) }
C _ { I J K } C _ { J ^ { \prime } \left( L M \right. } C _ { \left. P Q \right) K ^ { \prime } } \delta ^ { J J ^ { \prime } } \delta ^ { K K ^ { \prime } } = \frac { 4 } { 3 } \delta _ { I \left( L \right. } C _ { \left. M P Q \right) }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { R _ { 1 } ( G , G , C ) = 1 } \\ { R _ { 1 } ( G , G , D ) = 0 } \\ { R _ { 1 } ( G , B , D ) = 1 } \\ { R _ { 1 } ( B , G , C ) = 1 } \\ { R _ { 1 } ( B , G , D ) = 0 } \\ { P ( G , G ) = 1 } \\ { P ( G , B ) = 0 } \\ { P ( B , G ) = 1 } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { c } { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } \left\| \bf { w } \right\| } \\ { \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } y _ { i } \left( \mathbf { w } ^ { T } \mathbf { x } ^ { i } - b \right) \geq 1 , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } i = 1 , . . . , n } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { p ( \mathbf { X } \mid \mathbf { Z } , \mathbf { \mu } , \mathbf { \Lambda } ) } & { = \prod _ { n = 1 } ^ { N } \prod _ { k = 1 } ^ { K } { \mathcal { N } } ( \mathbf { x } _ { n } \mid \mathbf { \mu } _ { k } , \mathbf { \Lambda } _ { k } ^ { - 1 } ) ^ { z _ { n k } } } \\ { p ( \mathbf { Z } \mid \mathbf { \pi } ) } & { = \prod _ { n = 1 } ^ { N } \prod _ { k = 1 } ^ { K } \pi _ { k } ^ { z _ { n k } } } \\ { p ( \mathbf { \pi } ) } & { = { \frac { \Gamma ( K \alpha _ { 0 } ) } { \Gamma ( \alpha _ { 0 } ) ^ { K } } } \prod _ { k = 1 } ^ { K } \pi _ { k } ^ { \alpha _ { 0 } - 1 } } \\ { p ( \mathbf { \mu } \mid \mathbf { \Lambda } ) } & { = \prod _ { k = 1 } ^ { K } { \mathcal { N } } ( \mathbf { \mu } _ { k } \mid \mathbf { \mu } _ { 0 } , ( \beta _ { 0 } \mathbf { \Lambda } _ { k } ) ^ { - 1 } ) } \\ { p ( \mathbf { \Lambda } ) } & { = \prod _ { k = 1 } ^ { K } { \mathcal { W } } ( \mathbf { \Lambda } _ { k } \mid \mathbf { W } _ { 0 } , \nu _ { 0 } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \lambda _ { k } ( \mathcal { L } ) = \operatorname* { m i n } _ { V \subset Q ( \mathcal { L } , d m ( V ) = k } \operatorname* { m a x } _ { v \in V , \| v \| _ { \mathsf { H } } = 1 } q _ { \mathcal { A } } ( v , v ) + \langle \mathcal { W } v , v \rangle _ { \mathsf { H } } } & { \geqslant \operatorname* { m i n } _ { V \subset Q ( \mathcal { L } , d m ( V ) = k } \operatorname* { m a x } _ { v \in V , \| v \| _ { \mathsf { H } } = 1 } q _ { \mathcal { A } } ( v , v ) } \\ & { \geqslant \operatorname* { m i n } _ { V \subset Q ( \mathcal { A } , d m ( V ) = k } \operatorname* { m a x } _ { v \in V , \| v \| _ { \mathsf { H } } = 1 } q _ { \mathcal { A } } ( v , v ) } \\ & { = \lambda _ { k } ( \mathcal { A } ) . } \end{array}
{ \frac { \phi } { c ^ { 2 } } } = { \frac { G M _ { \mathrm { s u n } } } { r _ { \mathrm { o r b i t } } c ^ { 2 } } } \sim 1 0 ^ { - 8 } , \quad \left( { \frac { v _ { \mathrm { E a r t h } } } { c } } \right) ^ { 2 } = \left( { \frac { 2 \pi r _ { \mathrm { o r b i t } } } { ( 1 \ \mathrm { y r } ) c } } \right) ^ { 2 } \sim 1 0 ^ { - 8 }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \Delta \bar { \phi } = | f _ { h } ^ { \prime } | ^ { 2 } G ^ { \prime } ( \phi _ { h } ) \bar { \phi } + 2 \mathrm { \normalfont ~ R e } \left[ ( 1 + h ^ { \prime } ) \overline { { g ^ { \prime } } } \right] G ( \phi _ { h } ) } & { \mathrm { i n ~ } \mathbb { D } , } \\ { \bar { \phi } = 0 } & { \mathrm { o n ~ } \partial \mathbb { D } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta s _ { A ^ { \prime } E ^ { \prime } } ^ { 2 } } & { \approx } & { 2 ( \vec { r } _ { E } - \vec { r } _ { A } ) \cdot ( \vec { r } _ { E ^ { \prime } } - \vec { r } _ { E } ) + \delta s _ { A E } ^ { 2 } \, , } \\ { \delta s _ { B ^ { \prime } E ^ { \prime } } ^ { 2 } } & { \approx } & { 2 ( \vec { r } _ { E } - \vec { r } _ { B } ) \cdot ( \vec { r } _ { E ^ { \prime } } - \vec { r } _ { E } ) + \delta s _ { B E } ^ { 2 } \, , } \\ { \delta s _ { C ^ { \prime } E ^ { \prime } } ^ { 2 } } & { \approx } & { 2 ( \vec { r } _ { E } - \vec { r } _ { C } ) \cdot ( \vec { r } _ { E ^ { \prime } } - \vec { r } _ { E } ) + \delta s _ { C E } ^ { 2 } \, . } \end{array}
{ \cal B } _ { 1 l } = \epsilon _ { \alpha _ { 1 } \ldots \alpha _ { N } } \epsilon ^ { \beta _ { 1 } \ldots \beta _ { N } } D _ { l } ^ { k _ { 1 } \ldots k _ { N } } \prod _ { i = 1 } ^ { N } A _ { k _ { i } \beta _ { i } } ^ { \alpha _ { i } } \ ,
\begin{array} { r l r } { \frac { e } { c } \, { \bf A } ^ { * } } & { { } \equiv } & { \frac { e } { c } \, { \bf A } + \epsilon \, { \bf P } _ { 0 } - \epsilon ^ { 2 } \, J \, { \bf R } ^ { * } , } \\ { W ^ { * } } & { { } \equiv } & { W \; + \; \epsilon ^ { 2 } \, J \, { \cal S } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { t + 1 } } & { = A _ { t } } \\ { g _ { t + 1 } } & { = \frac { B _ { t } - H _ { t + 1 } ^ { 2 } } { C _ { t } - \bar { x } H _ { t + 1 } } } \\ { \mu _ { t + 1 } } & { = \bar { x } - \frac { H _ { t + 1 } } { g _ { t + 1 } } } \\ { \sigma _ { t + 1 } ^ { 2 } } & { = \overline { { x ^ { 2 } } } - \bar { x } ^ { 2 } - \frac { B _ { t } - H _ { t + 1 } ^ { 2 } } { g _ { t + 1 } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { t } } & { { } \leq \sum _ { i = 1 } ^ { s } \frac { s ! } { i ! ( s - i ) ! } \big ( R _ { m } ( \left| \left| B \right| \right| _ { 2 } ) \big ) ^ { i } \left| \left| e ^ { B } \right| \right| _ { 2 } ^ { s - i } \left| \left| | \Psi \rangle \right| \right| _ { 2 } } \end{array}
\left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } + \beta ^ { 2 } \right) G _ { 2 D } ( x - x ^ { \prime } , z - z ^ { \prime } ) = \delta ( x - x ^ { \prime } , z - z ^ { \prime } )
\begin{array} { r } { y _ { x } : = W _ { C } \left[ \begin{array} { l } { f _ { \partial } } \\ { e _ { \partial } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { I + V ^ { \top } } & { - I + V ^ { \top } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { I - V } \\ { - I - V } \end{array} \right] \lambda _ { x } = 2 ( I - V ^ { \top } V ) \lambda _ { x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { D i r a c } = } & { { } \sum _ { \vec { j } } \Big \{ ( m _ { z } + i \gamma _ { \downarrow } / 2 ) \bigr ( | \vec { j } \uparrow \rangle \langle \vec { j } \uparrow | - | \vec { j } \downarrow \rangle \langle \vec { j } \downarrow | \bigr ) - \sum _ { k = x , y } \Big [ t _ { 0 } ^ { k } \bigr ( | \vec { j } \uparrow \rangle \langle \vec { j } + \vec { e } _ { k } \uparrow | - e ^ { - i \vec { K } \cdot \vec { e } _ { k } } | \vec { j } \downarrow \rangle \langle \vec { j } + \vec { e } _ { k } \downarrow | \bigr ) \Big ] } \end{array}
P _ { \mu \nu } ^ { -- } = U _ { \mu } ^ { - } ( T _ { \mu } ^ { - } U _ { \nu } ^ { - } ) ( T _ { \mu } ^ { - } T _ { \nu } ^ { - } U _ { \mu } ^ { + } ) ( T _ { \nu } ^ { - } U _ { \nu } ^ { + } ) , P _ { \mu \nu } ^ { + + } = P _ { \mu \nu } ^ { -- } ( + \leftrightarrow - ) , \mu \neq \nu
\tau _ { i j } ^ { \left[ \beta \right] } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 0 } & { \displaystyle i = j , } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { N } + \sum _ { \gamma = 1 } ^ { L } \widetilde { q } _ { \beta \gamma } \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { N } p _ { i k } ^ { \left[ \gamma \right] } \tau _ { k j } ^ { \left[ \gamma \right] } + \frac { 1 } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { N } p _ { j k } ^ { \left[ \gamma \right] } \tau _ { i k } ^ { \left[ \gamma \right] } + \left( 1 - \frac { 2 } { N } \right) \tau _ { i j } ^ { \left[ \gamma \right] } \right) } & { \displaystyle i \neq j . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { e _ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { i } } \alpha _ { j } + ( e _ { i } \mu _ { i - 1 } ) \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { i } } \beta _ { j } } & { = k _ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { i } } \left( e _ { i - 1 } \alpha _ { j } + ( e _ { i - 1 } \mu _ { i - 1 } ) \beta _ { j } \right) \leq } \\ & { \leq k _ { i } ^ { 2 } e _ { i - 1 } ( e _ { i - 1 } \mu _ { i - 1 } ) = e _ { i } ( e _ { i } \mu _ { i - 1 } ) } \end{array}
{ \mathcal { L } } = { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { t } \phi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } \delta ^ { i j } \partial _ { i } \phi \partial _ { j } \phi - { \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } - { \frac { g } { 4 ! } } \phi ^ { 4 } .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } V } { \mathrm { d } t } } & { { } = - \frac { I _ { \mathrm { c a p } } } { C _ { \mathrm { c a p } } } - \frac { V _ { \mathrm { c a p } } } { R _ { \mathrm { c a p } } C _ { \mathrm { c a p } } } } \\ { \frac { \mathrm { d } I } { \mathrm { d } t } } & { { } = \frac { V _ { \mathrm { c a p } } - V - R _ { l } I } { L _ { l } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf { I } } _ { N _ { R } } } & { { } = ( { \bf { U } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } - { \bf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { S } } { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } ( { \bf { U } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } + { \bf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } } \end{array}
\left| \langle G G { A ^ { \prime } } G A \rangle \right| \prec \left( 1 + \frac { \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { a v } } } { N \eta } \right) + \int _ { \mathbf { B } _ { \ell \kappa _ { 0 } } } \frac { \left\vert \langle G ( x + \mathrm { i } \tilde { \eta } ) A ^ { \prime } G ( e + \mathrm { i } \eta ) A \rangle \right\vert } { ( x - e ) ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } \, \mathrm { d } x \, .
{ \tilde { g } } = g { \frac { { \tilde { V } } _ { p } } { \ell _ { s } ^ { p } } } = g { \frac { \ell _ { s } ^ { p } } { V _ { p } } } = \ell _ { s } ^ { 3 - p } \left( E _ { f } ^ { \prime } \right) ^ { 3 } { \tilde { V } } _ { p } \quad .
\vec { D } = \left( \begin{array} { l l l } { - { \omega } + i \sigma _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - { \omega } + i \sigma _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - { \omega } - i ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } ) } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \, \mathrm { d } \hat { Y } _ { t } ^ { i } = - ( k _ { \scriptscriptstyle { H K } } * \hat { \rho _ { t } } ) ( \hat { Y } _ { t } ^ { i } ) \, \mathrm { d } t + \sigma ( t , \hat { Y } _ { t } ^ { i } ) \, \mathrm { d } B _ { t } ^ { i } , \quad \hat { Y } _ { 0 } ^ { i } = \hat { X } _ { 0 } ^ { i } , \quad t \geq 0 , } \\ { \hat { \rho } _ { t } \; \mathrm { i s \, t h e \, d e n s i t y \, o f } \, \hat { Y } _ { t } ^ { i } . } \end{array} \right. } \end{array}
\int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } | W _ { 1 } ( \alpha ) | d \alpha = 4 \int _ { 0 } ^ { 1 / 2 } e ^ { - 2 r ^ { 2 } } ( r - 4 r ^ { 3 } ) d r + 4 \int _ { 1 / 2 } ^ { \infty } e ^ { - 2 r ^ { 2 } } ( 4 r ^ { 3 } - r ) d r .
\begin{array} { r l } { d _ { m } = \frac { 1 } { 2 \zeta _ { m } ^ { 2 } \Big ( - 2 \mu _ { m } ^ { \prime } + \zeta _ { m } ^ { 2 } \Big ) } \Bigg ( - 6 ( \mu _ { m } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - \zeta _ { m } ^ { 2 } } & { \Big ( \kappa _ { m } + 1 3 \zeta _ { m } ^ { 2 } - 6 \mu _ { m } ^ { \prime } \Big ) } \\ & { + \mu _ { m } ^ { \prime } \Big ( 1 4 \zeta _ { m } ^ { 2 } + \kappa _ { m } - 6 \mu _ { m } ^ { \prime } \Big ) \Bigg ) e x p \Bigg ( \frac { 1 2 \zeta _ { m } ^ { 2 } } { \kappa _ { m } } \Bigg ) , } \end{array}
\mathrm { ~ I ~ m ~ } \left( \omega \right) \approx - \frac { m n _ { \mathrm { ~ C ~ R ~ } } } { \rho _ { 0 } } \Omega _ { 0 } \left( 1 \pm \frac { 1 - \xi ^ { 2 } } { \xi ^ { 2 } } \frac { \Omega _ { 0 } } { k U _ { A } } \right) \frac { Q _ { 2 } \left( k \right) } { 2 \xi ^ { 2 } } ,
A _ { i \rightarrow f } ^ { M } = \left( - g _ { A } ^ { M } \right) \left[ \overline { { { u } } } _ { f } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } u _ { i } - \bar { v } _ { i } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } v _ { f } \right] D _ { \mu \nu } B ^ { \nu } ,
\begin{array} { r l } { \left\langle w , u _ { t } \right\rangle + \left\langle w , \omega \times m \right\rangle } & { } \\ { \qquad - \left\langle \nabla \cdot w , \frac { 1 } { 2 } | u | ^ { 2 } + g z + c _ { p } \theta \Pi \right\rangle - \left\langle w , \frac { 1 } { D } s \nabla \theta \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall w \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \left\langle \phi , D _ { t } + \nabla \cdot m \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \phi \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 3 } , } \\ { \left\langle \gamma , \theta _ { t } \right\rangle + \left\langle \gamma \frac { 1 } { D } \alpha \nabla \theta , m \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle r , m - u D \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall r \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \left\langle v , \omega \right\rangle - \left\langle \nabla \times v , u \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall v \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 1 } , } \\ { \left\langle \alpha , s - c _ { p } D \Pi \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \alpha \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \Pi ^ { \frac { 1 - \kappa } { \kappa } } } & { = \frac { R } { p _ { 0 } } D \theta . } \end{array}
- 2 A _ { \phi } ^ { \frac { 1 } { 2 } } A _ { \eta } ^ { \frac { 1 } { 2 } } < C < 2 \mathrm { M i n } ( { \frac { A _ { \phi } } { B _ { \phi } } } B _ { \eta } , { \frac { A _ { \eta } } { B _ { \eta } } } B _ { \phi } , A _ { \phi } ^ { \frac { 1 } { 2 } } A _ { \eta } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) ~ ~ ~ .
\breve { R } ^ { \alpha \beta } ( x ) = { \bf P } _ { \Lambda _ { 1 } } ^ { \alpha \beta } + \frac { 1 - x q ^ { \alpha + \beta } } { x - q ^ { \alpha + \beta } } \, { \bf P } _ { \Lambda _ { 2 } } ^ { \alpha \beta } \, ,
\Gamma [ g , A ] = - \frac 1 4 \int d ^ { 3 } x \sqrt { g } \left[ { \frac { 1 } { 4 \pi G } } ( R - 2 \Lambda ) - F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } + a R ^ { \mu \nu } R _ { \mu \nu } + b R ^ { 2 } \right] ~ ~ ~ .
\left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \alpha _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \beta _ { 1 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \alpha _ { 2 } } } & { { \beta _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - { \bar { \beta } } _ { 2 } } } & { { - \alpha _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \- { \bar { \beta } } _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - \alpha _ { 1 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \big \langle \mathrm { d } f , v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } & { = \big \langle f , \mathrm { d } ^ { \ast } v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } \\ & { = \lambda \big \langle u , \mathrm { d } ^ { \ast } v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } + \mathfrak { a } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ( u , \mathrm { d } ^ { \ast } v ) } \\ & { = \lambda \big \langle u , \mathrm { d } ^ { \ast } v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } + \big \langle \mathrm { d } u , \mathrm { d } \mathrm { d } ^ { \ast } v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } + \big \langle \mathrm { d } ^ { \ast } u , ( \mathrm { d } ^ { \ast } ) ^ { 2 } v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } \\ & { = \lambda \big \langle \mathrm { d } u , v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } + \big \langle \mathrm { d } ^ { \ast } \mathrm { d } u , \mathrm { d } ^ { \ast } v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } \\ & { = \lambda \big \langle \mathrm { d } u , v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } + \big \langle \mathrm { d } \mathrm { d } u , \mathrm { d } v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } + \big \langle \mathrm { d } ^ { \ast } \mathrm { d } u , \mathrm { d } ^ { \ast } v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } \\ & { = \lambda \big \langle \mathrm { d } u , v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } + \mathfrak { a } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ( \mathrm { d } u , v ) \mathrm { . ~ } } \end{array}
\delta \psi _ { z } = \left( \partial _ { z } + { \frac { 1 } { 4 } } \omega _ { z } ^ { a b } \Gamma _ { a b } + { \frac { i } { 8 } } X _ { I } \Gamma _ { z } ^ { m n } F _ { m n } ^ { I } \right) \epsilon .
\Pi _ { i } \in \{ \Pi _ { 0 } , 3 ( \Pi _ { x x } + \Pi _ { y y } ) - 4 \Pi _ { 0 } , , \Pi _ { x } , 3 ( \Pi _ { x x x } + \Pi _ { x x y } ) - 5 \Pi _ { x } , \Pi _ { y } , 3 ( \Pi _ { y y y } + \Pi _ { x y y } ) - 5 \Pi _ { y } , \Pi _ { x x } - \Pi _ { y y } , \Pi _ { x y } \} .
Q = ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { ( 4 ) } ( p + p _ { 1 } - p _ { 3 } - p _ { 4 } ) \frac { d ^ { 3 } p _ { 3 } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { 3 } } \frac { d ^ { 3 } p _ { 4 } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { 4 } } ,
\begin{array} { r } { { E } _ { B , C } \Big [ ( p ( a | b , c ) - p ( a ) ) ^ { n } \Big ] \stackrel { B } { \rightarrow } { E } _ { C } \Big [ \Big ( p ( a | b ^ { \prime } , c ) - p ( a | b ^ { \prime } ) \Big ) ^ { n } \Big | b ^ { \prime } \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { M O } _ { t } ( \underline { { \hat { x } } } ^ { t } ) = \sum _ { \underline { { x } } ^ { t } } P ( \underline { { x } } ^ { t } | \mathcal { O } ) O _ { t } ( \underline { { x } } ^ { t } , \underline { { \hat { x } } } ^ { t } ) \ , } \end{array}
\Delta ^ { x _ { 1 } x _ { 2 } \cdots x _ { n } } = \Delta ^ { y _ { n } y _ { n - 1 } \cdots y _ { 1 } } S ^ { x _ { 1 } } { } _ { y _ { 1 } } S ^ { x _ { 2 } } { } _ { y _ { 2 } } \cdots S ^ { x _ { n } } { } _ { y _ { n } } .
\mathbf { a } - \mathbf { b } = ( a _ { 1 } - b _ { 1 } ) \mathbf { e } _ { 1 } + ( a _ { 2 } - b _ { 2 } ) \mathbf { e } _ { 2 } + ( a _ { 3 } - b _ { 3 } ) \mathbf { e } _ { 3 } .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | v ^ { \prime } ( A \odot \widetilde { A } \odot B ) v | } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } \| A \odot \widetilde { A } \odot D _ { s } ( v ) B D _ { s } ( v ) \| } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } \| \operatorname { d i a g } ( \widetilde { a } _ { 1 } , \dots , \widetilde { a } _ { p } ) D _ { s } ( v ) B D _ { s } ( v ) \operatorname { d i a g } ( a _ { 1 } , \dots , a _ { p } ) \| } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { j = 1 , \dots , d } | a _ { j } | \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , \dots , d } | \widetilde { a } _ { i } | \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } \| D _ { s } ( v ) B D _ { s } ( v ) \| } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { j = 1 , \dots , d } | a _ { j } | \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , \dots , d } | \widetilde { a } _ { i } | \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | v ^ { \prime } B v | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s = s \cdot s _ { 1 } + s ( 1 - s _ { 1 } ) } & { = \Omega \left( \frac { \log ( m K / \epsilon ) } { \delta ^ { 2 } \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { \log ( n / \epsilon ) } { \delta ^ { 2 } m } \right) } \\ & { = \Omega \left( \frac { \log ( m K / \epsilon ) } { \delta ^ { 2 } \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \right) } \end{array}