harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } = } & { \left( 2 ( 1 - p ) ( 2 - p T ^ { 2 } - R T ) + T ( 1 - p ) ( 1 - T ( 1 - p ) ) \frac { e V } { k _ { B } \mathcal { T } } \right) k _ { B } \mathcal { T } , } \\ { A _ { 2 } = } & { ( 4 + 0 . 1 6 R T + p ( - 3 . 8 4 + ( 1 . 8 4 - 2 R ) R - 2 . 3 3 R T ) + p ^ { 2 } ( - 0 . 1 6 + ( - 0 . 8 4 + R ) R + 1 . 1 6 R T ) ) k _ { B } \mathcal { T } , } \\ { B _ { 1 } = } & { \left( 4 ( 1 - p ) ^ { 2 } + 2 p ( 1 - p ) \frac { e V } { k _ { B } \mathcal { T } } \right) k _ { B } \mathcal { T } , \quad B _ { 2 } = \left( 4 - p ( 3 . 6 8 + 0 . 3 3 p ) \right) k _ { B } \mathcal { T } , } \\ { C _ { 1 } = } & { \bigg ( 2 ( 1 - p ) ( 2 - p - R + ( 1 - p ) R ^ { 2 } ) + ( 1 - p ) ( p + R - ( 1 - p ) R ^ { 2 } ) \frac { e V } { k _ { B } \mathcal { T } } \bigg ) k _ { B } \mathcal { T } , } \\ { C _ { 2 } = } & { \bigg ( 2 ( 1 - p ) ( 2 - p - R + ( 1 - p ) R ^ { 2 } ) + 2 . 1 6 ( ( 1 - p ) p + R - p R - ( 1 - p ) ^ { 2 } R ^ { 2 } ) \bigg ) k _ { B } \mathcal { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \Delta _ { 1 1 } ( \zeta , k ) } { \Delta _ { 2 2 } ( \zeta , k ) } = \frac { \delta ( \frac { 1 } { k } ) ^ { 2 } \delta ( \omega k ) \delta ( \omega ^ { 2 } k ) } { \delta ( k ) ^ { 2 } \delta ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) \delta ( \frac { 1 } { \omega k } ) } \frac { \mathcal { P } ( \zeta , \omega k ) } { \mathcal { P } ( \zeta , \omega ^ { 2 } k ) } = z _ { ( 0 ) } ^ { 2 i \nu } d _ { 0 } ( \zeta , t ) d _ { 1 } ( \zeta , k ) , } \\ & { d _ { 0 } ( \zeta , t ) = e ^ { 2 \chi ( \zeta , k _ { 1 } ) } t ^ { - i \nu } z _ { \star } ^ { - 2 i \nu } \frac { \delta ( \frac { 1 } { k _ { 1 } } ) ^ { 2 } \delta ( \omega k _ { 1 } ) \delta ( \omega ^ { 2 } k _ { 1 } ) } { \delta ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k _ { 1 } } ) \delta ( \frac { 1 } { \omega k _ { 1 } } ) } , } \\ & { d _ { 1 } ( \zeta , k ) = e ^ { 2 ( \chi ( \zeta , k ) - \chi ( \zeta , k _ { 1 } ) ) } \hat { z } ^ { - 2 i \nu } \frac { \delta ( \frac { 1 } { k } ) ^ { 2 } \delta ( \omega k ) \delta ( \omega ^ { 2 } k ) } { \delta ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) \delta ( \frac { 1 } { \omega k } ) } \bigg ( \frac { \delta ( \frac { 1 } { k _ { 1 } } ) ^ { 2 } \delta ( \omega k _ { 1 } ) \delta ( \omega ^ { 2 } k _ { 1 } ) } { \delta ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k _ { 1 } } ) \delta ( \frac { 1 } { \omega k _ { 1 } } ) } \bigg ) ^ { - 1 } \frac { \mathcal { P } ( \zeta , \omega k ) } { \mathcal { P } ( \zeta , \omega ^ { 2 } k ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi \left[ t _ { d } , \boldsymbol { x } ( t ) , \Delta B _ { 0 } \right] = \gamma \int _ { 0 } ^ { t _ { d } } d t ^ { \prime } } & { \left\{ \boldsymbol { x } ( t ^ { \prime } ) \cdot \boldsymbol { G } f _ { G } ( t ^ { \prime } ) \right. } \\ & { \left. + f _ { 0 } ( t ^ { \prime } ) \Delta B _ { 0 } [ \boldsymbol { x } ( t ^ { \prime } ) ] \right\} , } \end{array}
\psi _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ I ~ } } = \sum _ { n _ { 1 } = 1 } ^ { \infty } B _ { n _ { 1 } } ^ { \mathrm { ~ I ~ } } \psi _ { n _ { 1 } } ^ { \mathrm { ~ I ~ } } ,
\begin{array} { r l } { ( { \bf V } _ { l } , { \bf E } _ { l } ) } & { { } \leftarrow \mathrm { ~ M ~ M ~ P ~ } _ { { \cal E } , l } ( { \bf V } _ { l } , { \bf E } _ { l } , { \bf A } _ { l } ) , \quad l = 0 , \ldots , L , } \\ { ( { \bf V } _ { l + 1 } , { \bf E } _ { l + 1 } , { \bf A } _ { l + 1 } ) } & { { } \leftarrow \mathrm { ~ T ~ o ~ p ~ K ~ } _ { l } ^ { l + 1 } ( { \bf V } _ { l } , { \bf E } _ { l } , { \bf A } _ { l } | { \bf p } _ { l } ) , \quad l = 0 , \ldots , L - 1 , } \end{array}
V _ { 0 } ( m ) = { \frac { m ^ { 2 } } { 2 g ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } } \left[ { \frac { \Lambda ^ { 4 } } { 2 } } \Bigl ( 1 - { \frac { m ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } } \Bigr ) { \mathrm { e } } ^ { - { \frac { m ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } } } + { \frac { m ^ { 4 } } { 2 } } E _ { 1 } ( { m ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } } ) \right] ,
\begin{array} { r l } { { \mathcal { R } } _ { \mathrm { v \rightarrow f } } ( \mathbf { W } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j + \frac { 1 } { 2 } , k } = ~ \frac { 1 } { 4 } ~ { \Big ( } } & { { } \mathbf { e } _ { Z } \cdot ( \mathbf { W } _ { i , j , k } + \mathbf { W } _ { i , j + 1 , k } + \mathbf { W } _ { i + 1 , j , k } + \mathbf { W } _ { i + 1 , j + 1 , k } ) { \Big ) } \mathbf { e } _ { Z } , } \\ { { \mathcal { R } } _ { \mathrm { v \rightarrow f } } ( \mathbf { W } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k + \frac { 1 } { 2 } } = ~ \frac { 1 } { 4 } ~ { \Big ( } } & { { } \mathbf { e } _ { \phi } \cdot ( \mathbf { W } _ { i , j , k } + \mathbf { W } _ { i , j , k + 1 } + \mathbf { W } _ { i + 1 , j , k } + \mathbf { W } _ { i + 1 , j , k + 1 } ) { \Big ) } \mathbf { e } _ { \phi } , } \\ { { \mathcal { R } } _ { \mathrm { v \rightarrow f } } ( \mathbf { W } ) _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } , k + \frac { 1 } { 2 } } = ~ \frac { 1 } { 4 } ~ { \Big ( } } & { { } \mathbf { e } _ { R } \cdot ( \mathbf { W } _ { i , j , k } + \mathbf { W } _ { i , j + 1 , k } + \mathbf { W } _ { i , j , k + 1 } + \mathbf { W } _ { i , j + 1 , k + 1 } ) { \Big ) } \mathbf { e } _ { R } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \Theta \in \mathcal { K } , s \in \mathbb { R } ^ { T } , y \in \mathcal { Y } } \ } & { \frac { \lambda } { 2 } \| \Theta \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } s _ { t } , } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { s _ { t } \geq \Delta ( y _ { t } , y ) - \langle \Theta , \phi ( ( z _ { t } , A _ { t } ) , y _ { t } ) \rangle + \langle \Theta , \phi ( ( z _ { t } , A _ { t } ) , y ) \rangle , \quad \forall t \in [ T ] , \ \forall y \in \mathcal { Y } , } \\ & { s _ { t } \geq 0 , \quad \forall t \in [ T ] . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { a _ { w } = g _ { 1 2 3 } ^ { 2 } \, , \; } } & { { c _ { w } = c _ { z } \, , } } \\ { { b _ { w } = - g _ { 1 2 3 } ( g _ { 3 } ^ { 2 } - g _ { 1 2 3 } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \, , \; } } & { { d _ { w } = d _ { z } \, . } } \end{array}
Z \mid _ { \mathrm { o n - s h e l l } } = \int d ( \mathrm { z e r o ~ m o d e s } ) \big [ { \frac { \Pi _ { j = 0 } ^ { 2 } \mathrm { d e t } \Delta _ { j F } ^ { ( - 1 ) ^ { j } } } { \Pi _ { i = 1 } ^ { 4 } \mathrm { d e t } \Delta _ { i B } ^ { ( - 1 ) ^ { i } } } } \big ] ^ { \frac { 1 } { 4 } } .
{ \cal Q } = { \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { D } } } \int _ { S ^ { \bar { d } - 1 } } * F _ { q + 2 } = ( d - 1 ) \Omega _ { d } \tilde { Q } , \qquad \tilde { Q } = { \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { D } } } \sqrt { \frac { 2 ( D - 2 ) } { \Delta } } Q ,
\langle { \bf k } _ { \perp } ^ { 2 } \rangle = \int \mathrm { d } \alpha \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf k } _ { \perp } { \bf k } _ { \perp } ^ { 2 } | \Psi _ { \Lambda _ { Q } } ( \alpha , { \bf k } _ { \perp } ) | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \hat { D } _ { P } ^ { ( n ) } ( P , u ) } & { { } = \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \frac { \hat { M } ^ { ( n ) } ( P , u , \tau _ { m } ) } { n ! \cdot \tau _ { m } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf y ^ { ( 2 ) } } & { = \mathbf y ^ { n } + \Delta t \varphi \left( \Delta t \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { f _ { i } ^ { [ D ] } ( \mathbf y ^ { n } ) } { y _ { i } ^ { n } } \right) \mathbf f ( \mathbf y ^ { n } ) , } \\ { \mathbf y ^ { n + 1 } } & { = \mathbf { y } ^ { n } + \frac { \Delta t } { 2 } \varphi \left( \Delta t \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { w _ { i } ^ { + } ( \mathbf y ^ { n } ) } { y _ { i } ^ { n } } \right) \left( \mathbf { f } ( \mathbf y ^ { n } ) + \mathbf f ( \mathbf y ^ { ( 2 ) } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { { \xi } _ { 1 } : } } & { { \varphi ^ { \prime } = e ^ { 2 { \lambda } _ { 1 } } \varphi , \; \; \; \; \; } } & { { { \sigma } ^ { \prime } = e ^ { 2 { \lambda } _ { 1 } } \sigma } } \\ { { { \xi } _ { 2 } : } } & { { \varphi ^ { \prime } = \varphi , \; \; \; \; } } & { { { \sigma } ^ { \prime } = \sigma + { \lambda } _ { 2 } } } \\ { { { \xi } _ { 3 } : } } & { { \varphi ^ { \prime } = \frac { \varphi } { \gamma ^ { 2 } ( \varphi ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } ) + 2 \gamma \sigma + 1 } , \; \; \; \; } } & { { \sigma ^ { \prime } = \frac { \gamma ( \varphi ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } ) + \sigma } { \gamma ^ { 2 } ( \varphi ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } ) + 2 \gamma \sigma + 1 } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( Z ^ { \star } , \Omega ^ { \star } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \ell \rightarrow \infty } \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } } ) , } \\ { \nabla _ { z } \mathcal { L } ( Z ^ { \star } , \Omega ^ { \star } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \ell \rightarrow \infty } \nabla _ { z } \mathcal { L } ( z ^ { t _ { k _ { \ell } } } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { c _ { 2 } } & { = ( a _ { 1 } + a _ { 2 } + c _ { 1 } - 1 ) / 2 - K } \\ { c _ { 3 } } & { = ( 3 a _ { 1 } + 3 a _ { 2 } - c _ { 1 } - 3 ) / 2 - K } \\ { c _ { 4 } } & { = 2 a _ { 1 } + 2 a _ { 2 } - c _ { 1 } - 2 } \\ { c _ { 5 } } & { = ( 3 a _ { 1 } + 3 a _ { 2 } - c _ { 1 } - 3 ) / 2 + K } \\ { c _ { 6 } } & { = ( a _ { 1 } + a _ { 2 } + c _ { 1 } - 1 ) / 2 + K . } \end{array} }
B _ { 3 } : ~ v - \pi / 2 = 0 , ~ w _ { 0 } ^ { \prime } - \pi / 2 \leq u \leq w _ { 0 } ^ { \prime \prime } - \pi / 2 ; ~ ~ B _ { 3 } ^ { \prime } : ~ u = 0 , ~ ~ w _ { 0 } ^ { \prime } - \pi / 2 \leq u \leq 0
r _ { \mathrm { b u b b l e } } = a _ { 0 } \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } + \sqrt [ 3 ] { \frac { 3 n _ { \mathrm { H e } } } { 3 2 \pi } } - \sqrt [ 3 ] { \frac { 3 } { 8 \pi } } \right) ,
{ \cal J } \left( { \phi , { \phi ^ { \mathrm { { f D N S } } } } } \right) = \int _ { 0 } ^ { T } { \sum _ { k = 1 } ^ { { k _ { \operatorname* { m a x } } } } { J \left[ { { D } \left( { k , t } \right) , D ^ { \mathrm { { f D N S } } } \left( { k , t } \right) } \right] } d t } ,
\langle \mathbf { v } _ { D } \cdot \nabla \alpha \rangle = - \frac { 1 } { q } \left( \frac { \partial \mathcal { J } } { \partial \psi } \right) _ { H , \mu , \alpha } \Bigg / \left( \frac { \partial \mathcal { J } } { \partial H } \right) _ { \mu , \psi , \alpha } ,
\begin{array} { r l } & { \left| \Phi ^ { ( \mu ) } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } , q | p _ { Z } ) - \Phi ^ { ( \mu ) } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } , p | p _ { Z } ) \right| } \\ & { \leq \mu \left| I _ { p } ( Z ; U ) - I _ { q } ( Z ; U ) \right| } \\ & { \quad + \bar { \mu } \left| J _ { p ; R _ { 1 } , R _ { 2 } } ( K _ { 1 } K _ { 2 } | U ) - J _ { q ; R _ { 1 } , R _ { 2 } } ( K _ { 1 } K _ { 2 } | U ) \right| } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { \leq } { \mu } \tau \log \frac { | { \cal U } | ^ { 2 } | { \cal Z } | ^ { 2 } } { \tau ^ { 3 } } + \bar { \mu } \tau \log \frac { | { \cal U } | ^ { 1 2 } | { \cal X } _ { 1 } | ^ { 2 } | { \cal X } _ { 2 } | ^ { 2 } } { \tau ^ { 1 2 } } } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( b ) } } { \leq } { \mu } \tau \log \frac { | { \cal Z } | ^ { 4 } } { \tau ^ { 3 } } + \bar { \mu } \tau \log \frac { | { \cal Z } | ^ { 1 2 } | { \cal X } _ { 1 } | ^ { 2 } | | { \cal X } _ { 2 } | ^ { 2 } } { \tau ^ { 1 2 } } } \\ & { \leq \tau \log \frac { | { \cal Z } | ^ { 1 2 } | { \cal X } _ { 1 } | ^ { 2 } { \cal X } _ { 2 } | ^ { 2 } } { \tau ^ { 1 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { 0 } ^ { 2 } \! = | \mathbf { X } ( t ) | ^ { 2 } \! + | \mathbf { X } ( t + 1 ) | ^ { 2 } \! - 2 | \mathbf { X } ( t ) | \, | \mathbf { X } ( t + 1 ) | \cos \theta ( t + 1 ) } \\ { = R ( t ) ^ { 2 } + R ( t + 1 ) ^ { 2 } - 2 R ( t ) R ( t + 1 ) \cos \theta ( t + 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \zeta ( \varphi _ { 2 } ) - \zeta ( \varphi _ { 1 } ) \right| \geq \left| e ^ { i \varphi _ { 2 } } - e ^ { i \varphi _ { 1 } } \right| - 2 | | | h | | | _ { C ( \overline { { \mathbb { D } } } ) } = 2 \left| \sin \left( \frac { \varphi _ { 2 } - \varphi _ { 1 } } { 2 } \right) \right| - 2 | | | h | | | _ { C ( \overline { { \mathbb { D } } } ) } > 0 . } \end{array}
\varlimsup _ { m \rightarrow \infty } \varlimsup _ { n \rightarrow \infty } n ^ { 2 - d } \sum _ { x \in \Lambda _ { n } \cap \xi } \sum _ { y \in D _ { n } \cap \xi } c _ { x , y } ( \nabla _ { x , y } u _ { \zeta m } ) ^ { 2 } \leq e ^ { - \zeta } c ( \zeta , \beta , \rho , \lambda ) \qquad { \ensuremath { \mathbb P } } _ { 0 , \rho } - \mathrm { a . s . }
G = \Pi _ { i = 1 } ^ { m + 1 } g ( \alpha _ { i } , k ) \approx 1 - \left( m + 1 - \sum _ { i = 1 } ^ { m + 1 } \alpha _ { i } \right) \frac { ( k \Delta x ) ^ { 2 } } { 2 } + \mathcal { O } ( k ^ { 4 } ) .
{ \begin{array} { r l } { I } & { = { \frac { R + G + B } { 3 } } } \\ { S } & { = 1 \, - \, { \frac { 3 } { ( R + G + B ) } } \, \operatorname* { m i n } ( R , G , B ) } \\ { H } & { = \cos ^ { - 1 } \left( { \frac { ( R - G ) + ( R - B ) } { 2 { \sqrt { ( R - G ) ^ { 2 } + ( R - B ) ( G - B ) } } } } \right) \qquad { \mathrm { a s s u m i n g ~ } } G > B } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \left| \frac { 1 } { \tilde { T } h } \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } K _ { h } ( x , x _ { k } ) g ( x _ { k } ) - g ( x ) \right| } & { \leq \frac { C L } { q ! } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } \int _ { x + ( l - 1 ) h } ^ { x + l h } \gamma ^ { \frac { | x - t | } { h } } | x - t | ^ { q } \frac { | \xi _ { x , t } - x | ^ { \alpha } } { h q ! } \, d t + \mathcal { O } ( \tilde { T } ^ { - \beta } ) } \\ & { \leq \frac { C L } { q ! } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } \int _ { x + ( l - 1 ) h } ^ { x + l h } \gamma ^ { \frac { | x - t | } { h } } \frac { | x - t | ^ { \beta } } { h } \, d t + \mathcal { O } ( \tilde { T } ^ { - \beta } ) } \\ & { \leq h ^ { \beta } \frac { C L } { q ! } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } \gamma ^ { | l - 1 | } | l | ^ { \beta } + \mathcal { O } ( \tilde { T } ^ { - \beta } ) } \\ & { = h ^ { \beta } \frac { 2 C L } { q ! } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \gamma ^ { l - 1 } l ^ { \beta } + \mathcal { O } ( \tilde { T } ^ { - \beta } ) = \mathcal { O } ( h ^ { \beta } ) + \mathcal { O } ( \tilde { T } ^ { - \beta } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { 1 2 } } & { { } = h _ { 2 1 } = a _ { 2 , x } a _ { 2 , y } - a _ { 1 , x } a _ { 1 , y } \, , } \\ { h _ { 1 3 } } & { { } = h _ { 3 1 } = a _ { 2 , x } a _ { 2 , z } - a _ { 1 , x } a _ { 1 , z } \, , } \\ { h _ { 2 3 } } & { { } = h _ { 3 2 } = a _ { 2 , y } a _ { 2 , z } - a _ { 1 , y } a _ { 1 , z } \, , } \\ { h _ { 1 4 } } & { { } = h _ { 4 1 } = a _ { 1 , z } a _ { 2 , y } - a _ { 1 , y } a _ { 2 , z } \, , } \\ { h _ { 2 4 } } & { { } = h _ { 4 2 } = a _ { 1 , x } a _ { 2 , z } - a _ { 1 , z } a _ { 2 , x } \, , } \\ { h _ { 3 4 } } & { { } = h _ { 4 3 } = a _ { 1 , y } a _ { 2 , x } - a _ { 1 , x } a _ { 2 , y } \, . } \end{array}
\frac { \Delta U _ { i } ^ { * * } } { \Delta t } = - \frac { \partial { { p } ^ { n + \theta _ { 2 } } } } { \partial { { x } _ { i } } } + \frac { \Delta t } { 2 } { { u } _ { k } } \frac { { { \partial } ^ { 2 } } { { p } ^ { n } } } { \partial { { x } _ { k } } \partial { { x } _ { i } } }
\begin{array} { r l } { E _ { p } ( t ) } & { = \sum _ { m = 0 } ^ { N } { \sqrt { I _ { p } } \exp \left[ - \frac { ( t - m \Delta \tau ) ^ { 2 } } { ( v _ { p } / 2 ) ^ { 2 } } \ln 2 \right] \cos ( \omega _ { p } ( t - m \Delta \tau ) - m \phi ) } } \\ { E _ { s } ( t ) } & { = \sum _ { m = 0 } ^ { N } { \sqrt { I _ { s } } \exp \left[ - \frac { ( t - m \Delta \tau ) ^ { 2 } } { ( v _ { s } / 2 ) ^ { 2 } } \ln 2 \right] \cos ( \omega _ { s } ( t - m \Delta \tau ) + m \phi ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big ( \int _ { B _ { R } } | \nabla \phi ^ { ( r ) } | ^ { 2 } \big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \big ( \frac { 1 } { r } \int _ { \partial B _ { R } } ( \phi _ { r } ^ { ( r ) } - \phi ^ { ( r ) } ) ^ { 2 } \big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } & { \lesssim \big ( \int _ { \partial B _ { R } } ( \bar { g } - \bar { f } ) ^ { 2 } \big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { i } = - \frac { \partial E } { \partial F _ { i } } \Big | _ { { \bf F } = { \bf 0 } } \; , \; \alpha _ { i j } } & { { } = - \frac { \partial ^ { 2 } E } { \partial F _ { i } \partial F _ { j } } \Big | _ { { \bf F } = { \bf 0 } } \; , \; \beta _ { i j k } = - \frac { \partial ^ { 3 } E } { \partial F _ { i } \partial F _ { j } \partial F _ { k } } \Big | _ { { \bf F } = { \bf 0 } } \; , } \\ { \; \textrm { a n d } \; \; \gamma _ { i j k l } } & { { } = - \frac { \partial ^ { 4 } E } { \partial F _ { i } \partial F _ { j } \partial F _ { k } \partial F _ { l } } \Big | _ { { \bf F } = { \bf 0 } } , } \end{array}
{ \small \begin{array} { l l l l } { B _ { 2 } ^ { 1 } \, B _ { 1 } ^ { 0 } = B _ { 1 } ^ { 1 } \, B _ { 2 } ^ { 0 } \ , } & { B _ { 3 } ^ { 1 } \, B _ { 1 } ^ { 0 } = B _ { 1 } ^ { 2 } \, B _ { 3 } ^ { 0 } \ , } & { B _ { 4 } ^ { 1 } \, B _ { 1 } ^ { 0 } = B _ { 1 } ^ { 2 } \, B _ { 4 } ^ { 0 } \ , } & { B _ { 3 } ^ { 1 } \, B _ { 2 } ^ { 0 } = B _ { 2 } ^ { 2 } \, B _ { 3 } ^ { 0 } \ , } \\ { B _ { 4 } ^ { 1 } \, B _ { 2 } ^ { 0 } = B _ { 2 } ^ { 2 } \, B _ { 4 } ^ { 0 } \ , } & { B _ { 4 } ^ { 2 } \, B _ { 3 } ^ { 0 } = B _ { 3 } ^ { 2 } \, B _ { 4 } ^ { 0 } \ , } & { B _ { 2 } ^ { 0 } \, B _ { 1 } ^ { 1 } = B _ { 1 } ^ { 0 } \, B _ { 2 } ^ { 1 } \ , } & { B _ { 3 } ^ { 0 } \, B _ { 1 } ^ { 1 } = B _ { 1 } ^ { 3 } \, B _ { 3 } ^ { 1 } \ , } \\ { B _ { 4 } ^ { 0 } \, B _ { 1 } ^ { 1 } = B _ { 1 } ^ { 3 } \, B _ { 4 } ^ { 1 } \ , } & { B _ { 3 } ^ { 0 } \, B _ { 2 } ^ { 1 } = B _ { 2 } ^ { 3 } \, B _ { 3 } ^ { 1 } \ , } & { B _ { 4 } ^ { 0 } \, B _ { 2 } ^ { 1 } = B _ { 2 } ^ { 3 } \, B _ { 4 } ^ { 1 } \ , } & { B _ { 4 } ^ { 3 } \, B _ { 3 } ^ { 1 } = B _ { 3 } ^ { 3 } \, B _ { 4 } ^ { 1 } \ , } \\ { B _ { 2 } ^ { 3 } \, B _ { 1 } ^ { 1 } = B _ { 1 } ^ { 3 } \, B _ { 2 } ^ { 2 } \ , } & { B _ { 3 } ^ { 3 } \, B _ { 1 } ^ { 2 } = B _ { 1 } ^ { 0 } \, B _ { 3 } ^ { 2 } \ , } & { B _ { 4 } ^ { 3 } \, B _ { 1 } ^ { 2 } = B _ { 1 } ^ { 0 } \, B _ { 4 } ^ { 2 } \ , } & { B _ { 3 } ^ { 3 } \, B _ { 2 } ^ { 2 } = B _ { 2 } ^ { 0 } \, B _ { 3 } ^ { 2 } \ , } \\ { B _ { 4 } ^ { 3 } \, B _ { 2 } ^ { 2 } = B _ { 2 } ^ { 0 } \, B _ { 4 } ^ { 2 } \ , } & { B _ { 4 } ^ { 0 } \, B _ { 3 } ^ { 2 } = B _ { 3 } ^ { 0 } \, B _ { 4 } ^ { 2 } \ , } & { B _ { 2 } ^ { 2 } \, B _ { 1 } ^ { 3 } = B _ { 1 } ^ { 2 } \, B _ { 2 } ^ { 3 } \ , } & { B _ { 3 } ^ { 2 } \, B _ { 1 } ^ { 3 } = B _ { 1 } ^ { 1 } \, B _ { 3 } ^ { 3 } \ , } \\ { B _ { 4 } ^ { 2 } \, B _ { 1 } ^ { 3 } = B _ { 1 } ^ { 1 } \, B _ { 4 } ^ { 3 } \ , } & { B _ { 3 } ^ { 2 } \, B _ { 2 } ^ { 3 } = B _ { 2 } ^ { 1 } \, B _ { 3 } ^ { 3 } \ , } & { B _ { 4 } ^ { 2 } \, B _ { 2 } ^ { 3 } = B _ { 2 } ^ { 1 } \, B _ { 4 } ^ { 3 } \ , } & { B _ { 4 } ^ { 1 } \, B _ { 3 } ^ { 3 } = B _ { 3 } ^ { 1 } \, B _ { 4 } ^ { 3 } \ . } \end{array} } \normalsize
\begin{array} { r l r } { S _ { r } ( \gamma _ { r } , m , E , L _ { z } , L ) } & { = } & { \frac { M _ { H } m C } { x _ { 1 2 3 4 } } \left\{ ( x _ { 1 } - x _ { 4 } ) ( x _ { 2 } - x _ { 4 } ) \mathbb { F } ( \chi , k ) - ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) ( x _ { 2 } - x _ { 4 } ) \mathbb { E } ( \chi , k ) \right. } \\ & { } & { \qquad \qquad + ( x _ { 1 } - x _ { 4 } ) ( x _ { 1 2 3 4 } - 4 ) \Pi ( \chi , b ^ { 2 } , k ) + \frac { 1 } { 2 } ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) \frac { \sin ( 2 \chi ) } { 1 - b ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \chi } } \\ & { } & { \left. \qquad \qquad - 2 \frac { x _ { 1 } - x _ { 4 } } { x _ { + } - x _ { - } } \left[ ( x _ { + } - x _ { 3 } ) ( x _ { 2 } - x _ { + } ) \Pi ( \chi , b _ { + } ^ { 2 } , k ) - ( + \leftrightarrow - ) \right] \right\} . } \end{array}
f _ { 1 } ( \bar { \xi } ) = g _ { 1 } ( \bar { \xi } ) - g _ { 1 } ( 0 ) , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad g _ { 1 } ( \bar { \xi } ) = \left( 1 + \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \Big ( - \alpha _ { 1 } ( \bar { \xi } - \beta _ { 1 } ) \Big ) \right) ^ { - 1 } .
K ( z , \bar { z } ) = - \log \left[ i \bar { Z } ^ { I } \frac { \partial } { \partial Z ^ { I } } F ( Z ) - i Z ^ { I } \frac { \partial } { \partial \bar { Z } ^ { I } } \bar { F } ( \bar { Z } ) \right] = - \log \left[ i \langle \bar { v } ( \bar { z } ) , v ( z ) \rangle \right] \ .
\begin{array} { r l } { \gg _ { \mathscr { O } } } & { = \int _ { n _ { 1 2 } } \: d x \: { A } _ { 1 2 } ^ { \mathscr { O } } ( x ) + \int _ { n _ { 2 3 } } \: d y \: { A } _ { 2 3 } ^ { \mathscr { O } } ( y ) + \int _ { n _ { 3 1 } } \: d z \: { A } _ { 3 1 } ^ { \mathscr { O } } ( z ) } \\ & { \equiv \oint _ { \Delta } \: d l \: { A } ^ { \mathscr { O } } ( l ) . } \end{array}
\Phi _ { 0 } ( x ^ { \mu } , y + 2 \pi R ) = + \Phi _ { 0 } ( x ^ { \mu } , y ) , \quad \Phi _ { \pm } ( x ^ { \mu } , y + 2 \pi R ) = e ^ { \pm 2 \pi i \alpha } \Phi _ { \pm } ( x ^ { \mu } , y ) .
\begin{array} { r l } & { U _ { + } ^ { \infty } = U ( \mathbf { x } _ { s } ) + \left( \delta { \mathbf { x } } ^ { + \infty } \right) ^ { T } \left( \mathbf { \Sigma } ^ { - 1 } \right) ^ { + + } \delta { \mathbf { x } } ^ { + \infty } + } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j , j ^ { \prime } = 2 } ^ { N ^ { - } } \mathbf { v } _ { j } ^ { T } \left( \mathbf { \Sigma } ^ { - 1 } \right) ^ { -- } \mathbf { v } _ { j ^ { \prime } } y _ { j } ^ { \infty } y _ { j ^ { \prime } } ^ { \infty } , } \\ & { U _ { - } ^ { \infty } = a y _ { 1 } ^ { \infty } - \sum _ { j = 2 } ^ { N ^ { - } } \mathbf { v } _ { j } ^ { T } \left( \mathbf { \Sigma } ^ { - 1 } \right) ^ { - + } \delta \mathbf { x } ^ { + \infty } y _ { j } ^ { \infty } . } \end{array}
\chi _ { 1 } ( \omega ) = { \frac { 1 } { \pi } } { \mathcal { P } } \! \! \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { \omega ^ { \prime } \chi _ { 2 } ( \omega ^ { \prime } ) } { \omega ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } } \, d \omega ^ { \prime } + { \frac { \omega } { \pi } } { \mathcal { P } } \! \! \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { \chi _ { 2 } ( \omega ^ { \prime } ) } { \omega ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } } \, d \omega ^ { \prime } .
u ( \vec { x } ) _ { \mathrm { ~ t ~ a ~ r ~ g ~ e ~ t ~ } } = \frac { \sum _ { i = i } ^ { N _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ u ~ r ~ c ~ e ~ } } } \omega _ { i } ( \vec { x } ) u _ { i , \mathrm { ~ s ~ o ~ u ~ r ~ c ~ e ~ } } } { \sum _ { i = i } ^ { N _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ u ~ r ~ c ~ e ~ } } } \omega _ { i } ( \vec { x } ) }
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { = } & { \langle \Psi _ { f } ^ { ( 1 , 1 ) } | \Psi _ { i } ^ { ( 0 , 0 ) } \rangle + \langle \Psi _ { f } ^ { ( 1 , 0 ) } | D | \Psi _ { i } ^ { ( 0 , 0 ) } \rangle } \\ & { } & { + \langle \tilde { \Psi } _ { f } ^ { ( 0 , 1 ) } | H _ { W } | \Psi _ { i } ^ { ( 0 , 0 ) } \rangle } \\ & { = } & { \langle \Phi _ { f } | \Omega _ { f } ^ { ( 1 , 1 ) \dagger } \Omega _ { i } ^ { ( 0 , 0 ) } | \Phi _ { i } \rangle + \langle \Phi _ { f } | \Omega _ { f } ^ { ( 1 , 0 ) \dagger } D \Omega _ { i } ^ { ( 0 , 0 ) } | \Phi _ { i } \rangle } \\ & { + } & { \langle \Phi _ { f } | \tilde { \Omega } _ { f } ^ { ( 0 , 1 ) \dagger } H _ { W } \Omega _ { i } ^ { ( 0 , 0 ) } | \Phi _ { i } \rangle , } \end{array}
\widetilde H ( \widetilde { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ y Ḍ Ḍ } ( t ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) : = H ( \ensuremath { \mathbf Ḋ \Gamma Ḍ } _ { \mathrm { Ḋ } L S L Ḍ } ( \widetilde { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ y Ḍ Ḍ } ( t ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) ) )