harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t + 1 } ) ] } & { \leq \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t } ) ] + \mathbb { E } \langle \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) , \bar { x } _ { t + 1 } - \bar { x } _ { t } \rangle + \frac { \bar { L } } { 2 } \mathbb { E } \| \bar { x } _ { t + 1 } - \bar { x } _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t } ) ] - \eta \mathbb { E } \langle \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) , \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \nu } _ { t } ] \rangle + \frac { \eta ^ { 2 } \bar { L } } { 2 } \mathbb { E } \| \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \nu } _ { t } ] \| ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 2 } \bar { L } \sigma ^ { 2 } } { 2 b _ { x } M } } \\ & { \overset { ( a ) } { = } \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t } ) ] - \frac { \eta } { 2 } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } + \frac { \eta } { 2 } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) - \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \nu } _ { t } ] \| ^ { 2 } - \left( \frac { \eta } { 2 } - \frac { \eta ^ { 2 } \bar { L } } { 2 } \right) \| \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \nu } _ { t } ] \| ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 2 } \bar { L } \sigma ^ { 2 } } { 2 b _ { x } M } } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t } ) ] - \frac { \eta } { 2 } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } - \frac { \eta } { 4 } \| \mathbb { E } _ { \xi } [ \nu _ { t } ^ { ( m ) } ] \| ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 2 } \bar { L } \sigma ^ { 2 } } { 2 b _ { x } M } } \\ & { \qquad + \frac { \eta \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { x } _ { t } - x _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| \bar { y } _ { t } - y _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| y _ { \bar { x } _ { t } } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + 2 \eta L ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg \| u _ { \bar { x } _ { t } } - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
\left< T ^ { \mu } { } _ { \nu } \right> = \frac { 1 } { r ^ { 4 } } \left( \begin{array} { c c c c } { { - A } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - A } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 3 A } } & { { \kappa B / r ^ { 2 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \kappa B } } & { { - A } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l } { { \left( { \rho , { u _ { x } } , { u _ { y } } , p } \right) _ { S 1 } } = \left( { 3 . 1 3 0 4 , 0 , - 0 . 2 8 0 0 5 , 2 . 1 1 8 7 } \right) } \\ { { \left( { \rho , { u _ { x } } , { u _ { y } } , p } \right) _ { S 2 } } = \left( { 2 . 3 3 3 3 , 0 , 0 , 1 . 4 } \right) } \\ { { \left( { \rho , { u _ { x } } , { u _ { y } } , p } \right) _ { S 3 } } = \left( { 1 , 0 , 0 , 1 . 4 } \right) } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { W _ { \rho \boxtimes \sigma } ( \vec { u } , \vec { v } ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { d ^ { 2 n } } \sum _ { \vec { p } , \vec { q } } \Xi _ { \rho \boxtimes \sigma } ( \vec { p } , \vec { q } ) \chi ( \vec { p } ^ { T } \vec { v } - \vec { q } ^ { T } \vec { u } ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { d ^ { 2 n } } \sum _ { \vec { p } , \vec { q } } \Xi _ { \rho } ( N g _ { 1 1 } \vec { p } , g _ { 0 0 } \vec { q } ) \Xi _ { \sigma } ( - N g _ { 1 0 } \vec { p } , g _ { 0 1 } \vec { q } ) \chi ( \vec { p } ^ { T } \vec { v } - \vec { q } ^ { T } \vec { u } ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { d ^ { 2 n } } \sum _ { \vec { p } , \vec { q } } \left( \sum _ { \vec { u } _ { 1 } , \vec { v } _ { 1 } } W _ { \rho } ( \vec { u } _ { 1 } , \vec { v } _ { 1 } ) \chi ( - N g _ { 1 1 } \vec { p } ^ { T } \vec { v } _ { 1 } + g _ { 0 0 } \vec { q } ^ { T } \vec { u } _ { 1 } ) \right) } \\ & { } & { \quad \times \left( \sum _ { \vec { u } _ { 2 } , \vec { v } _ { 2 } } W _ { \sigma } ( \vec { u } _ { 2 } , \vec { v } _ { 2 } ) \chi ( N g _ { 1 0 } \vec { p } ^ { T } \vec { v } _ { 2 } + g _ { 0 1 } \vec { q } ^ { T } \vec { u } _ { 2 } ) \right) \chi ( \vec { p } ^ { T } \vec { v } - \vec { q } ^ { T } \vec { u } ) } \\ & { = } & { \sum _ { \vec { u } _ { 1 } , \vec { v } _ { 1 } } \sum _ { \vec { u } _ { 2 } , \vec { v } _ { 2 } } W _ { \rho } ( \vec { u } _ { 1 } , \vec { v } _ { 1 } ) W _ { \sigma } ( \vec { u } _ { 2 } , \vec { v } _ { 2 } ) } \\ & { } & { \quad \times \frac { 1 } { d ^ { 2 n } } \sum _ { \vec { p } , \vec { q } } \chi ( - N g _ { 1 1 } \vec { p } ^ { T } \vec { v } _ { 1 } + g _ { 0 0 } \vec { q } ^ { T } \vec { u } _ { 1 } ) \chi ( N g _ { 1 0 } \vec { p } ^ { T } \vec { v } _ { 2 } + g _ { 0 1 } \vec { q } ^ { T } \vec { u } _ { 2 } ) \chi ( \vec { p } ^ { T } \vec { v } - \vec { q } ^ { T } \vec { u } ) } \\ & { = } & { \sum _ { \vec { u } _ { 1 } , \vec { v } _ { 1 } } \sum _ { \vec { u } _ { 2 } , \vec { v } _ { 2 } } W _ { \rho } ( \vec { u } _ { 1 } , \vec { v } _ { 1 } ) W _ { \sigma } ( \vec { u } _ { 2 } , \vec { v } _ { 2 } ) \delta _ { \vec { v } - N g _ { 1 1 } \vec { v } _ { 1 } + N g _ { 1 0 } \vec { v } _ { 2 } , \vec { 0 } } \delta _ { \vec { u } - g _ { 0 0 } \vec { u } _ { 1 } - g _ { 0 1 } \vec { u } _ { 2 } , \vec { 0 } } } \\ & { = } & { \sum _ { \vec { u } _ { 1 } , \vec { v } _ { 1 } } W _ { \rho } ( g _ { 0 0 } ^ { - 1 } \vec { u } _ { 1 } , ( N g _ { 1 1 } ) ^ { - 1 } \vec { v } _ { 1 } ) W _ { \sigma } ( g _ { 0 1 } ^ { - 1 } ( \vec { u } - \vec { u } _ { 1 } ) , ( N g _ { 1 0 } ) ^ { - 1 } ( \vec { v } _ { 1 } - \vec { v } ) ) \; . } \end{array}
\{ u ( \sigma , \tau ) , \dot { \bar { u } } ( \sigma ^ { \prime } , \tau ) \} = \{ \bar { u } ( \sigma , \tau ) , \dot { u } ( \sigma ^ { \prime } , \tau ) \} = 2 \gamma ^ { 2 } ( 1 + u \bar { u } ) \delta _ { 2 \pi } ( \sigma - \sigma ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } { \theta _ { I ( V ) } ( g \otimes v _ { d } ) } & { = g d g ^ { - 1 } \vartriangleright ( g \otimes v _ { d } ) = \tau ( g d g ^ { - 1 } , g ) ( d ) g d \otimes v _ { d } } \\ & { = \tau ( g d g ^ { - 1 } , g ) ( d ) \tau ( g , d ) ( d ) ^ { - 1 } g \otimes d \cdot v _ { d } = g \otimes d \cdot v _ { d } = I ( \theta _ { V } ) ( g \otimes v _ { d } ) , } \end{array}
\Omega _ { \pm } = \frac 1 { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { \exp \pm \frac { i \phi } 2 } } & { { - \exp \mp \frac { i \phi } 2 } } \\ { { \exp \pm \frac { i \phi } 2 } } & { { \hphantom { - } \exp \mp \frac { i \phi } 2 } } \end{array} \right) ; \qquad \Omega _ { \pm } ^ { - 1 } = \Omega _ { \pm } ^ { \dagger } ;
\begin{array} { r } { w ^ { \ast } = \left\{ \begin{array} { r } { 0 , \ \ | Z _ { i , s } | \leq \lambda _ { 1 } } \\ { - \frac { \left( Z _ { i , s } - \lambda _ { 1 } s g n \left( Z _ { i , s } \right) \right) } { \left( \lambda _ { 2 } + \sum _ { k = 1 } ^ { i } \sigma _ { k } \right) } , \ \ o t h e r w i s e } \end{array} \right. } \end{array}
\mathrm { < \frac { \ o p e r a t o r n a m e { l n } \ r h o } { \ r h o ^ { 4 } } > = - \frac { d ^ { 2 } - 4 d + 2 4 } { d ^ { 2 } ( d - 4 ) ^ { 2 } } < \frac { 1 } { \ r h o ^ { 3 } } > + \frac { 6 } { d ( d - 4 ) } < \frac { \ o p e r a t o r n a m e { l n } \ r h o } { \ r h o ^ { 3 } } > - }
\begin{array} { r l r } { \| E _ { l + 2 } \| _ { 1 } } & { \lesssim } & { \operatorname* { s u p } _ { v _ { h } } \frac { B ( u _ { h } ^ { l + 1 , 1 } ; E _ { l + 2 } , v _ { h } ) } { \| v _ { h } \| _ { 1 } } } \\ & { \lesssim } & { ( \| E _ { l + 1 } \| _ { 1 , \infty } + \| e _ { H } ^ { l + 1 } \| _ { 1 , \infty } ) ( \| E _ { l + 1 } \| _ { 1 } + \| e _ { H } ^ { l + 1 } \| _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { J \! D } & { = } & { J \! D \! N + { \frac { { \mathrm { h o u r } } - 1 2 } { 2 4 } } + { \frac { \mathrm { m i n u t e } } { 1 4 4 0 } } + { \frac { \mathrm { s e c o n d } } { 8 6 4 0 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( f * B ) ( x ) = } & { { } \frac { \alpha } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { 0 } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { - \frac { ( x - Q _ { 0 } - t ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } - \alpha t } H ( t ) d t } \\ { = } & { { } \frac { \alpha } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - \frac { ( x - Q _ { 0 } - t ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } - \alpha t } d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \tau , \bar { n } ) } & { { } = 2 w \sqrt { \frac { 2 \tau ^ { 2 } + \tau \sigma _ { x } ^ { - 2 } ( 2 \bar { n } + \nu _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } ) } { m _ { p } } } , } \\ { g ( \bar { n } ) } & { { } = \frac { w } { \sqrt { 2 m _ { p } } } ( 2 \bar { n } + \nu _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { K r o n } _ { 3 } } & { { } = \mathbf { 1 } _ { 3 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 1 } \, \rho _ { \alpha \alpha } } \end{array}
A ( m , n ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \uparrow ^ { m - 2 } n } & { { \mathrm { , ~ i f ~ } } m = 0 } \\ { 2 \uparrow ^ { m - 2 } ( n + 3 ) - 3 } & { { \mathrm { , ~ i f ~ } } m > 0 } \end{array} \right. }
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \left( \frac { 1 } { N } \| \boldsymbol { \Delta } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \| ^ { 2 } \geq \epsilon \right) \leq C k C _ { k - 1 } ^ { \prime } \exp \left( - c c _ { k - 1 } ^ { \prime } n \epsilon / k ^ { 2 } \right) , } \\ { \mathbb { P } \left( \frac { 1 } { N } \| \boldsymbol { \Delta } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \| ^ { 2 } \geq \epsilon \right) \leq C k C _ { k - 1 } \exp \left( - c c _ { k - 1 } n \epsilon / k ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| \varphi ( y , x ) - \varphi ( y , x _ { 0 } ) \| } & { \leq } & { \| \varphi ( y , x ) - \varphi ( y , x _ { 1 } ) \| + \| \varphi ( y , x _ { 1 } ) - \varphi ( y , x _ { 0 } ) \| } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { y \in \mathrm { c l } \mathrm { B } ( y _ { 0 } , r ) } \| \varphi ( y , x ) - \varphi ( y , x _ { 1 } ) \| + \operatorname* { m a x } _ { y \in \mathrm { c l } \mathrm { B } ( y _ { 0 } , r ) } \| \varphi ( y , x _ { 1 } ) - \varphi ( y , x _ { 0 } ) \| } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { y \in \mathrm { c l } \mathrm { B } ( y _ { 0 } , r ) } \| \varphi ( y , x ) - \varphi ( y , x _ { 1 } ) \| + l ( x _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { R } _ { 2 } ^ { 2 } = \frac { W Z - 1 + \alpha _ { 3 } \left( 1 + R _ { 3 } \right) } { r ^ { 2 } C ^ { 2 } } - 1 2 \lambda ^ { 2 } - \frac { 1 } { r ^ { 2 } C ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) \cot \theta ^ { 2 } + \frac { W ^ { \prime } A } { r C } + } \\ & { \frac { W A } { r ^ { 2 } C } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } M _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) - \frac { U W } { r C A } , } \\ & { \tilde { R } _ { 3 } ^ { 3 } = \frac { - Z U } { r C A } + \frac { A Z ^ { \prime } } { r C } - \frac { 1 - Z W - \alpha _ { 3 } \left( 1 + R _ { 3 } \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) \cot \theta ^ { 2 } } { r ^ { 2 } C ^ { 2 } } + } \\ & { \frac { A Z } { r ^ { 2 } C } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) - 1 2 \lambda ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 3 } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { { \textstyle \frac { 1 } { 3 } } k r _ { g } C _ { 3 0 } R _ { \oplus } ^ { 3 } \Big \{ - \sin \theta \sin \phi _ { \xi } \Big ( 4 \sin ^ { 2 } \theta \sin ^ { 2 } \phi _ { \xi } - 3 \sin ^ { 2 } \theta \Big ) \Big \{ \frac { 1 } { b } \Big ( \frac { 1 } { r \big ( r + ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) \big ) } - \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { 2 r ^ { 3 } } \Big ) \Big \} + } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \boldsymbol { r } _ { d } - \boldsymbol { r } ^ { \prime } | } & { { } = } & { ( y _ { d } - y ^ { \prime } ) \sqrt { 1 + \frac { ( x _ { d } - x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { ( y _ { d } - y ^ { \prime } ) ^ { 2 } } + \frac { ( x _ { d } - x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { ( y _ { d } - y ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } } \end{array}
F _ { X } ( x ) = { \mathcal { L } } ^ { - 1 } \! \left\{ { \frac { 1 } { s } } \operatorname { E } \left[ e ^ { - s X } \right] \right\} \! ( x ) = { \mathcal { L } } ^ { - 1 } \! \left\{ { \frac { 1 } { s } } { \mathcal { L } } \{ f \} ( s ) \right\} \! ( x ) .
\begin{array} { r l } { a _ { h } ( { \mathbf { y } _ { h } } , \mathbf { v } _ { h } ) } & { : = \int _ { \Omega } H _ { h } [ { \mathbf { y } _ { h } } ] : H _ { h } [ \mathbf { v } _ { h } ] } \\ & { + \gamma _ { 1 } ( \mathrm { h } ^ { - 1 } [ \nabla _ { h } { \mathbf { y } _ { h } } ] , [ \nabla _ { h } \mathbf { v } _ { h } ] ) _ { L ^ { 2 } ( \Gamma _ { h } ^ { a } ) } + \gamma _ { 0 } ( \mathrm { h } ^ { - 3 } [ { \mathbf { y } _ { h } } ] , [ \mathbf { v } _ { h } ] ) _ { L ^ { 2 } ( \Gamma _ { h } ^ { a } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { t } } & { = x + W _ { t } ^ { 1 } - \int _ { 0 } ^ { t } Y _ { s } \, \mathrm { d } s + \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 2 Y _ { s } ^ { 3 } } { \gamma + Y ^ { 2 } } \mathrm { d } s , } \\ { Y _ { t } } & { = y + W _ { t } ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { t } X _ { s } \, \mathrm { d } s - \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 2 X _ { s } ^ { 3 } Y _ { s } ^ { 4 } } { ( \gamma ^ { 2 } + X _ { s } ^ { 2 } ) ( \gamma + Y _ { s } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \, \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { a } _ { \mathrm { T } } ( \phi , \theta ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \left[ 1 , \dots , e ^ { - j \frac { 2 \pi } { \lambda } d \left( p \cos { \theta } \cos { \phi } + q \cos { \theta } \sin { \phi } \right) } , \right. } \\ & { \left. \dots , e ^ { - j \frac { 2 \pi } { \lambda } d \left( \left( N _ { x } - 1 \right) \cos { \theta } \cos { \phi } + \left( N _ { y } - 1 \right) \cos { \theta } \sin { \phi } \right) } \right] ^ { T } , } \end{array}
P _ { H } ( x _ { i + \xi } , y _ { j + \eta } ) = M _ { H } ( [ u _ { 1 } , \dots , u _ { 9 } ] , [ v _ { 2 } ~ v _ { 4 } ~ v _ { 5 } ~ v _ { 6 } ~ v _ { 8 } ] , [ w _ { 2 } ~ w _ { 4 } ~ w _ { 5 } ~ w _ { 6 } ~ w _ { 8 } ] , \xi , \eta ) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { S } _ { d } ^ { \ast } } & { { } = \frac { C \mathrm { S } _ { E } + A \bar { u } } { C } ; } \\ { B _ { d } } & { { } = b B _ { 0 } N ; } \\ { F } & { { } = 2 c A _ { \circ } . } \end{array}
F _ { \mathrm { ~ 1 ~ + ~ 1 ~ } } \subset H _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ n ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ i ~ n ~ t ~ ) ~ } } \subset \mathrm { ~ D ~ i ~ f ~ f ~ } _ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } ( \mathcal { M } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } )
\left( \begin{array} { l l l l } { - { \omega } } & { \rho k _ { 1 } } & { \rho k _ { 2 } } & { \rho k _ { 3 } } \\ { \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { \rho } k _ { 1 } } & { - { \omega } - i \sigma _ { 1 } - i \eta L _ { 1 } } & { i W ^ { 3 } - \frac { i } { 6 } \eta k _ { 1 } k _ { 2 } } & { - i W ^ { 2 } - \frac { i } { 6 } \eta k _ { 1 } k _ { 3 } } \\ { \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { \rho } k _ { 2 } } & { - i W ^ { 3 } - \frac { i } { 6 } \eta k _ { 2 } k _ { 1 } } & { - { \omega } - i \sigma _ { 2 } - i \eta L _ { 2 } } & { i W ^ { 1 } - \frac { i } { 6 } \eta k _ { 2 } k _ { 3 } } \\ { \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { \rho } k _ { 3 } } & { i W ^ { 2 } - \frac { i } { 6 } \eta k _ { 3 } k _ { 1 } } & { - i W ^ { 1 } - \frac { i } { 6 } \eta k _ { 3 } k _ { 2 } } & { - { \omega } + i \sigma _ { 3 } - i \eta L _ { 3 } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l } { A _ { y 1 } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { L } w _ { 1 } ( x ) \, \mathrm { d } x - \frac { 1 } { m L } \int _ { 0 } ^ { L } w _ { 1 } ( x ) \, x \, \mathrm { d } x } \\ { B _ { y 1 } } & { { } = \frac { 1 } { m L } \int _ { 0 } ^ { L } w _ { 1 } ( x ) \, x \, \mathrm { d } x } \\ { A _ { y 2 } } & { { } = A _ { y 1 } \pm \bigg ( 1 - \frac { 1 } { 2 m } \bigg ) R L } \\ { B _ { y 2 } } & { { } = B _ { y 1 } \pm \bigg ( \frac { 1 } { 2 m } \bigg ) R L } \end{array}
\psi _ { a , b } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { | x | ^ { 3 / 2 } J _ { \alpha _ { a , b } } \! \left( \sqrt { \tilde { E } } x ^ { 2 } \right) } & { \tilde { E } \neq 0 } \\ { | x | ^ { \frac { 3 } { 2 } + 2 \alpha _ { a , b } } } & { \tilde { E } = 0 } \end{array} \right. \quad , \quad \omega _ { a , b } > 0 \; .
\psi ^ { j } ( \textbf { x } , t ) = \int F ^ { j } ( t , \hbar ) \exp \left( \frac { i } { \hbar } S _ { c l } ^ { j } ( \textbf { x } , t ; \textbf { x } _ { 0 } ^ { j } ) \right) \psi _ { 0 } ^ { j } ( \textbf { x } _ { 0 } ^ { j } ) d \textbf { x } _ { 0 } ^ { j }
\epsilon _ { a , 0 } ( \beta ) = T \sum _ { b = 1 } ^ { N - 1 } I _ { a b } ^ { ( N ) } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d \beta ^ { \prime } } { 2 \pi } \frac { N / 2 } { \cosh [ N ( \beta - \beta ^ { \prime } ) / 2 ] } \ln \left( 1 + e ^ { - \epsilon _ { b , 0 } ( \beta ^ { \prime } ) / T } \right)
{ \frac { R _ { A } R _ { B } } { \lambda ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } } \; \boldsymbol \Phi \boldsymbol \cdot \boldsymbol \Phi ^ { \prime } = { \frac { 1 } { \sin \alpha } } \; \boldsymbol \phi \boldsymbol \cdot \boldsymbol \phi ^ { \prime } \, .
\mu _ { \lambda } ( t ) = 2 \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left[ \mathbf { P } ^ { \mathrm { e } } ( t ) \hat { \mu } _ { \lambda } ^ { \mathrm { e } } \right] + \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left[ \mathbf { P } ^ { \mathrm { n } } ( t ) \hat { \mu } _ { \lambda } ^ { \mathrm { n } } \right] - 2 \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left[ \mathbf { P } ^ { \mathrm { e } } ( 0 ) \hat { \mu } _ { \lambda } ^ { \mathrm { e } } \right] - \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left[ \mathbf { P } ^ { \mathrm { n } } ( 0 ) \hat { \mu } _ { \lambda } ^ { \mathrm { n } } \right]
\begin{array} { r } { \mathcal { L } = \sum _ { s , i } ( \mathrm { N P Q } _ { \tau } ^ { \mathrm { m o d e l } } ( t _ { i } ; s ) - \mathrm { N P Q } _ { \tau } ^ { \mathrm { e x p } } ( t _ { i } ; s ) ) ^ { 2 } } \end{array}
\tilde { \phi } _ { k } ( \mathbf { r } ) = \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { \sqrt { 8 \pi ^ { 3 } } \sigma ^ { 3 } } \exp \left[ \frac { - ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { \ell } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { h P F } } ^ { 2 } } \right] .
\mathbb { E } \bigg [ \Big ( \int _ { \mathcal { M } } \vert \nabla f \vert ^ { q } \, \mathrm { d } \mathrm { m } \Big ) ^ { \frac { 2 } { q } } \bigg ] \lesssim \frac { 1 } { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } \zeta ( s , t ) ( 1 + \log ^ { \frac { 1 } { \eta } } ( n ) s ^ { \frac { 1 } { 2 \log ( n ) } } \zeta ( s , t ) ^ { 1 - \frac { 1 } { \log ( n ) } } ) \, \mathrm { d } s .
u ( r , t ) = { \frac { G } { 4 \mu } } \left( R ^ { 2 } - r ^ { 2 } \right) - { \frac { 2 G R ^ { 2 } } { \mu } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { \lambda _ { n } ^ { 3 } } } { \frac { J _ { 0 } ( \lambda _ { n } r / R ) } { J _ { 1 } ( \lambda _ { n } ) } } e ^ { - \lambda _ { n } ^ { 2 } \nu t / R ^ { 2 } } , \quad J _ { 0 } \left( \lambda _ { n } \right) = 0
\begin{array} { r l } & { K _ { 1 } \Delta ( 1 - \Delta ) < \bar { \sigma } ^ { 2 } \mathrm { ~ ( p a t h s ~ i n ~ E _ 1 ~ a n d ~ E _ 2 ~ a r e ~ s a f e ) } , } \\ & { K _ { 1 } ( \Delta + \varepsilon _ { 2 } ) ( 1 - \Delta - \varepsilon _ { 2 } ) > \bar { \sigma } ^ { 2 } \mathrm { ~ ( p a t h s ~ i n ~ E _ 3 ~ a r e ~ u n s a f e ) } , } \\ & { K _ { 2 } ( \Delta - \varepsilon _ { 3 } ) ( 1 - \Delta + \varepsilon _ { 3 } ) > \bar { \sigma } \mathrm { ~ ( p a t h s ~ i n ~ E _ 4 ~ a r e ~ u n s a f e ) } , } \\ & { K _ { 2 } ( \Delta - \varepsilon _ { 3 } ) < K _ { 1 } \Delta \mathrm { ~ ( p a t h s ~ i n ~ E _ 4 ~ a r e ~ s u b o p t i m a l ) } , } \\ & { ( K _ { 1 } - 1 ) \cdot ( \Delta + \varepsilon _ { 2 } ) < K _ { 1 } \cdot \Delta ~ \Leftrightarrow ~ ( K _ { 1 } - 1 ) \cdot \varepsilon _ { 2 } < \Delta ~ \Leftrightarrow ~ \varepsilon _ { 2 } < \frac { \Delta } { K _ { 1 } - 1 } \mathrm { ~ ( p a t h s ~ i n ~ E _ 3 ~ a r e ~ s u b o p t i m a l ~ o r ~ u n s a f e ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { k \langle \Omega _ { 1 } - \Omega , \Omega \rangle + \langle \Omega ^ { * } \times \Omega , J \Omega \rangle = \lambda ^ { * } \langle \tilde { \Omega } , \Omega \rangle , } \\ & { - k \langle \Omega _ { 1 } - \Omega , \Omega _ { 1 } \rangle + \langle \Omega ^ { * } \times \Omega , I \Omega _ { 1 } \rangle = I \langle \tilde { \Omega } , \Omega _ { 1 } \rangle . } \end{array}
\langle 2 N + 2 | \tilde { \zeta } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 N + 2 ) ! } } \left( - \frac { 1 } { 2 a } e ^ { i \phi } \operatorname { t a n h } r \right) ^ { N + 1 } \frac { 1 } { \sqrt { \cosh r } } ,
\begin{array} { r l } & { \hat { Q } _ { 2 } ( s ) : = \frac { \exp ( 2 l s ^ { \alpha } ) \sinh ( l _ { 1 } s ^ { \alpha } ) \sinh ( l _ { n } s ^ { \alpha } ) } { \cosh ( l _ { 1 } s ^ { \alpha } ) \cosh ( l _ { 2 } s ^ { \alpha } ) \cdots \cosh ( l _ { n } s ^ { \alpha } ) } } \\ & { = - \frac { \exp ( 2 l s ^ { \alpha } ) } { \cosh ( l _ { 2 } s ^ { \alpha } ) \cdots \cosh ( l _ { n - 1 } s ^ { \alpha } ) } \left( 1 - \frac { \sinh ( l _ { 1 } s ^ { \alpha } ) \sinh ( l _ { n } s ^ { \alpha } ) } { \cosh ( l _ { 1 } s ^ { \alpha } ) \cosh ( l _ { n } s ^ { \alpha } ) } - 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } A _ { i } \partial _ { j } B _ { i j } } & { = \int _ { \Omega } \partial _ { j } ( A _ { i } B _ { i j } ) - \int _ { \Omega } ( \partial _ { j } A _ { i } ) B _ { i j } } \\ & { = - \int _ { \Omega } ( \partial _ { j } A _ { i } ) B _ { i j } + \int _ { \partial \Omega } A _ { i } B _ { i j } n _ { j } d S } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , i } \right] - \sum _ { j = 1 } ^ { m } \widehat { K } _ { j } ^ { * } \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , i } \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , j } \right] } & { = \widehat { K } ^ { * T } \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } \right] - \widehat { K } ^ { * T } \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } ^ { T } \right] \widehat { K } ^ { * } , \mathrm { ~ i f ~ \widehat { K } _ i ^ * ~ > ~ 0 ~ } } \\ { \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , i } \right] - \sum _ { j = 1 } ^ { m } \widehat { K } _ { j } ^ { * } \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , i } \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , j } \right] } & { \leq \widehat { K } ^ { * T } \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } \right] - \widehat { K } ^ { * T } \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } ^ { T } \right] \widehat { K } ^ { * } , \mathrm { ~ i f ~ \widehat { K } _ i ^ * ~ = ~ 0 ~ } } \end{array}
{ \begin{array} { c } { { \frac { { \partial } ^ { p } } { \partial { \lambda } ^ { p } } } f \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } = { \left( \mathrm { - } \mathrm { 1 } \right) } ^ { p } { \left( { \frac { \omega } { \mathrm { 2 } \pi c } } \right) } ^ { p } \sum _ { m = { 0 } } ^ { p } { { \mathcal { A } } \mathrm { ( } p , m \mathrm { ) } { \omega } ^ { m } { \frac { { \partial } ^ { m } } { \partial { \omega } ^ { m } } } f \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { m } ( \mathbf { y } _ { m } | \boldsymbol { \theta } ) \propto \frac { 1 } { \sqrt { | \boldsymbol { \Sigma } | } } \exp \Big ( - \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { \epsilon } _ { m } ^ { \mathbf { T } } \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } \boldsymbol { \epsilon } _ { m } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { l } { { { \bf { m } } ^ { e q } } = [ \rho , \rho { u _ { x } } , \rho { u _ { y } } , \rho { u _ { z } } , \rho { u _ { x } } { u _ { y } } , \rho { u _ { x } } { u _ { z } } , \rho { u _ { y } } { u _ { z } } , \rho ( 1 + { { \bf { u } } ^ { 2 } } ) , \rho ( u _ { x } ^ { 2 } - u _ { y } ^ { 2 } ) , \rho ( u _ { x } ^ { 2 } - u _ { z } ^ { 2 } ) , \rho c _ { s } ^ { 2 } { u _ { x } } , \rho c _ { s } ^ { 2 } { u _ { x } } , } \\ { \rho c _ { s } ^ { 2 } { u _ { y } } , \rho c _ { s } ^ { 2 } { u _ { z } } , \rho c _ { s } ^ { 2 } { u _ { y } } , \rho c _ { s } ^ { 2 } { u _ { z } } , \rho c _ { s } ^ { 2 } ( c _ { s } ^ { 2 } + u _ { x } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 2 } ) , \rho c _ { s } ^ { 2 } ( c _ { s } ^ { 2 } + u _ { x } ^ { 2 } + u _ { z } ^ { 2 } ) , \rho c _ { s } ^ { 2 } ( c _ { s } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 2 } + u _ { z } ^ { 2 } ) { ] ^ { \mathrm { T } } } \mathrm { { } } } \end{array}