harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r c r c l } { { x = } } & { { - 7 ( e ^ { t } - 1 ) + 1 6 t \mathrm { ~ } } } & { { } } & { { t } } & { { < 0 \ , } } \\ { { } } & { { 9 ( e ^ { t } - 1 ) } } & { { 0 < } } & { { t } } & { { < T \ , } } \\ { { } } & { { 3 + 1 2 ( t - T ) } } & { { T < } } & { { t } } & { { \ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( x , } & { t _ { k } ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { i _ { 1 } } \sum _ { i _ { 2 } \geq 0 } h h _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { k } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t _ { j } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) \varLambda _ { 2 , \epsilon } ( X _ { t _ { k } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x ) \wedge \hat { \omega } _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } } \\ & { + \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { i _ { 1 } } \sum _ { i _ { 2 } \geq 0 } \delta h h _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \prod _ { l = j } ^ { k } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t _ { l } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) \nabla _ { x } \varLambda _ { 2 , \epsilon } ( X _ { t _ { k } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x ) \wedge F ( X _ { t _ { j - 1 } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { j - 1 } ) } \\ & { + \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { i _ { 1 } } \delta h h _ { w } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \prod _ { l = j } ^ { k } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t _ { l } } ^ { m , i _ { 1 } , 0 } ) \nabla _ { x } \varLambda _ { 2 , \epsilon } ( X _ { t _ { k } } ^ { m , i _ { 1 } , 0 } , x ) \wedge \tilde { \chi } _ { \varepsilon } ( X _ { t _ { j - 1 } } ^ { m , i _ { 1 } , 0 } , t _ { j - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { + } = \cos \left( \frac { \theta _ { 0 } } { 2 } \right) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad c _ { - } = \sin \left( \frac { \theta _ { 0 } } { 2 } \right) e ^ { i \phi _ { 0 } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { L \pm 1 } ( k R ) + \alpha _ { \pm } S _ { L \pm 1 } ( k R ) } & { { } = \frac { \pm c \mathcal { B } _ { L \pm 1 , M } ^ { \mathrm { ~ F ~ } } } { n { \cal I } _ { \pm } } \xi _ { L \pm 1 } ( k _ { 0 } R ) } \\ { p _ { L \pm 1 } ^ { \prime } ( k R ) + \alpha _ { \pm } S _ { L \pm 1 } ^ { \prime } ( k R ) \pm S _ { L } ( k R ) } & { { } = \frac { \pm c \mathcal { B } _ { L \pm 1 , M } ^ { \mathrm { ~ F ~ } } } { { \cal I } _ { \pm } } \xi _ { L \pm 1 } ^ { \prime } ( k _ { 0 } R ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathcal { Q } [ \{ u _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d _ { 1 } } , \{ v _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { k } , \{ w _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d } ] \right) ^ { 2 } } & { = } \\ { 1 + \sum _ { s = 1 } ^ { \operatorname* { m i n } \{ d , k \} } \sum _ { | \alpha | = | \beta | = | \gamma | = s } } & { \frac { ( s ! ) ^ { 3 } } { \alpha ! \beta ! \gamma ! } \left| ( u \cdot \nabla _ { t } ) ^ { \alpha } Q _ { s } ( t , v _ { \beta } , w _ { \gamma } ) \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma = 0 \ \mathrm { p l a n e : } } & { \quad \tilde { Q } ^ { * } ( \tilde { \omega } , \gamma = 0 , \kappa , \chi ) = \tilde { Q } ( \tilde { \omega } ^ { * } , \gamma = 0 , \kappa , \chi ) } \\ { \kappa = \frac { \gamma _ { 0 } } { 2 m _ { 0 } } \gamma \ \mathrm { p l a n e : } } & { \quad \sigma _ { x } \tilde { Q } ^ { \dagger } ( \tilde { \omega } , \kappa = \frac { \gamma _ { 0 } } { 2 m _ { 0 } } \gamma , \chi ) \sigma _ { x } = \tilde { Q } ( \tilde { \omega } ^ { * } , \kappa = \frac { \gamma _ { 0 } } { 2 m _ { 0 } } \gamma , \chi ) . } \end{array}
4 e \rho \le \left( \frac { \beta _ { \perp } } { \beta _ { \perp , \operatorname* { m a x } } } \right) ^ { 2 } + \left( \sqrt { e } \frac { r } { r _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } e ^ { - r ^ { 2 } / \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \leq 1 \, ,
\begin{array} { r l } { [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , \mathcal { L } _ { D } ^ { * } ] ] \mu ( x , v ) } & { = 2 \mu ( x , v ) \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) \Big ( \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle ^ { 2 } - \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle } \\ & { \quad - \langle R ( x ) v , \nabla \psi ^ { 2 } ( x ) R ( x ) v \rangle \Big ) . } \end{array}
{ \mathbb E } \{ S _ { 1 } ( x ) [ 2 ^ { j } \lambda ] \} = { \mathbb E } \{ A _ { j } \} { \mathbb E } \{ S _ { 1 } ( x ) [ \lambda ] \} = 2 ^ { - j \zeta _ { 1 } } { \mathbb E } \{ S _ { 1 } ( x ) [ \lambda ] \}
\begin{array} { r l } { B } & { + N _ { 1 } f _ { 1 } ^ { N } ( t ; \mu _ { \mathrm { T T } } , \sigma _ { \mathrm { T T } } ^ { 2 } ) } \\ & { + N _ { 2 } f _ { 2 } ^ { N } ( t ; \mu _ { K } , \sigma _ { K } ^ { 2 } ) } \\ & { + b _ { S } H ( \mu _ { \mathrm { T T } } + 3 \sigma _ { \mathrm { T T } } ) + N _ { S } f ^ { \mathrm { E x p } } \left( t - ( \mu _ { \mathrm { T T } } + 3 \sigma _ { \mathrm { T T } } ) ; \frac { 1 } { \tau _ { S } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { x } } & { = \frac { \frac { \{ \{ \, \{ f ( q ) \} _ { i + \frac 1 2 } \} \} _ { j \pm \frac 1 2 } } { 8 } - \frac 1 2 | u _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { * } | [ q ] _ { i + \frac 1 2 , j } } { 1 + \Delta t \left( \frac { \{ \{ [ u ] _ { i + \frac 1 2 } \} \} _ { j \pm \frac 1 2 } } { 4 \Delta x } + \frac { [ \{ v \} _ { i + \frac 1 2 } ] _ { j \pm 1 } } { 4 \Delta y } \right) } } \end{array}
d l = V _ { 0 } \tau + \frac { 1 } { 2 } g \tau ^ { 2 } - [ V _ { 0 } ( \tau - d t ) + \frac { 1 } { 2 } g ( \tau - d t ) ^ { 2 } ] \approx ( V _ { 0 } + g \tau ) d t = V d t
\begin{array} { r l } { \Vert \tilde { \theta } _ { t + 1 } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } } & { \leq \Vert \tilde { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } + 2 \alpha \langle { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } , \bar { g } ( \theta _ { t } ) \rangle + \alpha \left( \alpha + \frac { 1 } { \eta } \right) \Vert \bar { g } ( \theta _ { t } ) \Vert ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } \eta \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( a ) } \leq \Vert \tilde { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } - 2 \alpha ( 1 - \gamma ) \Vert \hat { V } _ { \theta _ { t } } - \hat { V } _ { \theta ^ { * } } \Vert _ { D } ^ { 2 } + \alpha \left( \alpha + \frac { 1 } { \eta } \right) \Vert \bar { g } ( \theta _ { t } ) \Vert ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } \eta \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( b ) } \leq \Vert \tilde { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } - \alpha \left( 2 ( 1 - \gamma ) - 4 \left( \alpha + \frac { 1 } { \eta } \right) \right) \Vert \hat { V } _ { { \theta } _ { t } } - \hat { V } _ { \theta ^ { * } } \Vert _ { D } ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } \eta \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( c ) } \leq \Vert \tilde { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } - \alpha ( 1 - \gamma ) \left( 1 - \frac { 4 \alpha } { ( 1 - \gamma ) } \right) \Vert \hat { V } _ { { \theta } _ { t } } - \hat { V } _ { \theta ^ { * } } \Vert _ { D } ^ { 2 } + \frac { 4 \alpha ^ { 3 } } { ( 1 - \gamma ) } \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( d ) } \leq \Vert \tilde { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } - \frac { \alpha ( 1 - \gamma ) } { 2 } \Vert \hat { V } _ { { \theta } _ { t } } - \hat { V } _ { \theta ^ { * } } \Vert _ { D } ^ { 2 } + \frac { 4 \alpha ^ { 3 } } { ( 1 - \gamma ) } \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \hat { H } _ { e m b } ^ { i } } & { { } = \hat { H } _ { 0 } ^ { i } - \sum _ { a , b = 1 } ^ { { B } \nu _ { i } } [ \Lambda _ { i } ] _ { a b } \dag , f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } + \hat { H } _ { l o c } ^ { i } [ c _ { i \alpha } ^ { \dagger } , c _ { i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } ] \dag } & { = \hat { H } _ { l o c } ^ { i } [ c _ { i \alpha } ^ { \dagger } , c _ { i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } ] - \sum _ { a , b = 1 } ^ { B \nu _ { i } } [ \Lambda _ { i } ^ { c } ] _ { a b } \dag , b _ { i a } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag } & { { } + \sum _ { a = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \nu _ { i } } \left( \left[ \mathcal { D } _ { i } \right] _ { b \alpha } \dag , c _ { i \alpha } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } + \mathrm { ~ H ~ . ~ c ~ . ~ } \right) \dag , , } \end{array}
u _ { \mathrm { e f f } } = \frac { 4 \ell ^ { 2 } } { 3 \pi ^ { 2 } L ^ { 3 } } \sum _ { \vec { r } } \varphi _ { \vec { r } } ^ { 2 } \left( \pi - \varphi _ { \vec { r } } \right) ^ { 2 } \ .
\frac { 1 } { \sqrt { 1 + | \nabla \xi | ^ { 2 } } } = 1 - \frac { 1 } { 2 } | \nabla \xi | ^ { 2 } + \cdots = 1 - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { c , d } \nabla \chi _ { c } \cdot \nabla \chi _ { d } \xi _ { c } \xi _ { d } + \cdots .
\eta = \frac { \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ D ~ } } } { \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ D ~ } } + \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ S ~ } } } = \frac { ( R ^ { A } ) ^ { 2 } [ \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ } ( \frac { \alpha } { 2 } ) - \alpha ] - ( R ^ { S } ) ^ { 2 } [ \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ } ( \frac { \alpha } { 2 } ) - \alpha ] } { ( R ^ { A } ) ^ { 2 } [ \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ } ( \frac { \alpha } { 2 } ) - \alpha ] } = 1 - ( \frac { R ^ { \mathrm { ~ S ~ } } } { R ^ { \mathrm { ~ A ~ } } } ) ^ { 2 } .
{ \begin{array} { r l } { 1 - \operatorname* { P r } ( \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } E _ { n } ) } & { = 1 - \operatorname* { P r } \left( \{ E _ { n } { \mathrm { ~ i . o . } } \} \right) = \operatorname* { P r } \left( \{ E _ { n } { \mathrm { ~ i . o . } } \} ^ { c } \right) } \\ & { = \operatorname* { P r } \left( \left( \bigcap _ { N = 1 } ^ { \infty } \bigcup _ { n = N } ^ { \infty } E _ { n } \right) ^ { c } \right) = \operatorname* { P r } \left( \bigcup _ { N = 1 } ^ { \infty } \bigcap _ { n = N } ^ { \infty } E _ { n } ^ { c } \right) } \\ & { = \operatorname* { P r } \left( \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } E _ { n } ^ { c } \right) = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \operatorname* { P r } \left( \bigcap _ { n = N } ^ { \infty } E _ { n } ^ { c } \right) , } \end{array} }
\mathbb { X } _ { \ell \nu } ^ { \mathrm { ~ T ~ E ~ } } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - i \sigma _ { m } ^ { ( \ell ) } / \eta _ { 0 } } \\ { i \sigma _ { e } ^ { ( \ell ) } \eta _ { 0 } } & { 1 } \end{array} \right)
\mathcal { D } = h ( \sqrt { b _ { 2 } } ) - h ( \sqrt { s ^ { - } } ) - h ( \sqrt { s ^ { + } } ) + h \big ( \frac { \sqrt { b _ { 1 } + 2 \sqrt { b _ { 1 } b _ { 2 } } + 2 I _ { 3 } } } { 1 + 2 \sqrt { b _ { 2 } } } \big ) ,
\begin{array} { r l } { C _ { s } \bigr ( \mathbb { R } _ { + } ; \mathcal { B } ( L ^ { 2 } + L ^ { \infty } , L ^ { 1 } \cap L ^ { 2 } ) \bigr ) } & { \rightarrow C _ { s } \bigr ( \mathbb { R } _ { + } ; \mathcal { B } ( L ^ { 2 } + L ^ { \infty } , L ^ { 1 } \cap L ^ { 2 } ) \bigr ) } \\ { \chi _ { 0 } } & { \mapsto \chi ^ { \mathrm { R P A } } \in \ker \{ \chi _ { 0 } + \mathcal { C } ( \chi _ { 0 } , \cdot ) - \cdot \} . } \end{array}
\frac { k _ { 1 } t ^ { 2 } ( 1 + \nu ) } { 1 2 r ^ { 2 } } \frac { z _ { 0 } } { z ^ { 2 } } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 r ^ { 2 } } z = 2 c _ { 2 } \frac { z } { r ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { \Psi ^ { \prime } ( p ^ { \prime } ( s ) ) = \langle p ^ { \prime } ( s ) , f ^ { \prime } ( s ) \rangle = \frac { \lambda _ { F } \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } ( T ) } { \lambda _ { p } } \langle T p ( s ) , T ^ { - T } f ( s ) \rangle } \\ { \Psi ^ { \prime } ( p ^ { \prime } ( s ) ) = \frac { \lambda _ { F } \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } ( T ) } { \lambda _ { p } } \Psi ( p ( s ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( t + \lambda ) ^ { \alpha } \mu \left( \frac { t + \lambda } { R ^ { 2 } } \right) } \\ { = } & { \lambda ^ { \alpha } \left[ \sum _ { i = 0 } ^ { k } c _ { i } \left( \frac { t } { \lambda } \right) ^ { i } + R _ { k + 1 } ( \lambda , t ) \right] \mu \left( \frac { t + \lambda } { R ^ { 2 } } \right) } \\ { = } & { t ^ { \alpha } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { k } c _ { i } \left( \frac { t } { \lambda } \right) ^ { i - \alpha } \mu \left( \frac { t + \lambda } { R ^ { 2 } } \right) \right] + \lambda ^ { \alpha } \mu \left( \frac { t + \lambda } { R ^ { 2 } } \right) + \lambda ^ { \alpha } R _ { k + 1 } ( \lambda , t ) \mu \left( \frac { t + \lambda } { R ^ { 2 } } \right) } \\ { = } & { t ^ { \alpha } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { k } c _ { i } \left( \frac { t } { \lambda } \right) ^ { i - \alpha } \mu \left( \frac { t + \lambda } { R ^ { 2 } } \right) \right] + \lambda ^ { \alpha } \left[ \sum _ { j = 0 } ^ { k } d _ { j } \mu ^ { ( j ) } \left( \frac { \lambda } { R ^ { 2 } } \right) \left( \frac { t } { R ^ { 2 } } \right) ^ { j } + R _ { k + 1 } ^ { \prime } ( \lambda , t ) \right] } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \lambda ^ { \alpha } R _ { k + 1 } ( \lambda , t ) \mu \left( \frac { t + \lambda } { R ^ { 2 } } \right) } \\ { = } & { t ^ { \alpha } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { k } c _ { i } \left( \frac { t } { \lambda } \right) ^ { i - \alpha } \mu \left( \frac { t + \lambda } { R ^ { 2 } } \right) + \sum _ { j = 1 } ^ { k } d _ { j } \mu ^ { ( j ) } \left( \frac { \lambda } { R ^ { 2 } } \right) \left( \frac { t } { R ^ { 2 } } \right) ^ { j } \left( \frac { \lambda } { t } \right) ^ { \alpha } \right] + \lambda ^ { \alpha } \mu \left( \frac { \lambda } { R ^ { 2 } } \right) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \lambda ^ { \alpha } R _ { k + 1 } ( \lambda , t ) \mu \left( \frac { t + \lambda } { R ^ { 2 } } \right) + \lambda ^ { \alpha } R _ { k + 1 } ^ { \prime } ( \lambda , t ) } \\ { : = } & { t ^ { \alpha } \tilde { \mu } \left( \frac { t } { R ^ { 2 } } \right) + \lambda ^ { \alpha } \mu \left( \frac { \lambda } { R ^ { 2 } } \right) + \lambda ^ { \alpha } R _ { k + 1 } ( \lambda , t ) \mu \left( \frac { t + \lambda } { R ^ { 2 } } \right) + \lambda ^ { \alpha } R _ { k + 1 } ^ { \prime } ( \lambda , t ) , } \end{array}
\partial _ { \vec { z } } ^ { 2 } H _ { K } = 0 , \ \ \ \partial _ { z _ { i } } H _ { K } = \epsilon _ { i j k } \partial _ { z _ { j } } A _ { k } , \ \ \ \partial _ { \vec { z } } ^ { 2 } H _ { W } + H _ { K } \partial _ { \vec { x } } ^ { 2 } H _ { W } = 0 .
\ensuremath { \mathbf { b } } \in L ^ { 1 } ( [ 0 , 1 ] ; C ^ { \alpha } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { d } ) ) \cap L ^ { \infty } ( [ 0 , 1 ] ; L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { d } ) )
\omega ^ { 1 } { } _ { 2 } = \frac { \mathsf { G } _ { 1 , 2 } } { 2 \mathsf { G } _ { 1 } \sqrt { \mathsf { G } _ { 2 } } } \, \vartheta ^ { 1 } - \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } \, \frac { \mathsf { G } _ { 2 , 1 } } { 2 \mathsf { G } _ { 2 } \sqrt { \mathsf { G } _ { 1 } } } \, \vartheta ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \mathbb { \tilde { E } } [ u ( \bar { t } - s , \bar { x } + \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \tilde { \eta } _ { s } , \bar { z } + \tilde { \zeta } _ { s } ) - u ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) ] } \\ & { \leq \mathbb { \tilde { E } } [ \psi ( \bar { t } - s , \bar { x } + \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \tilde { \eta } _ { s } , \bar { z } + \tilde { \zeta } _ { s } ) - \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) ] . } \end{array}
U = \frac { 1 } { 6 } \left( \begin{array} { l l l l l l l } { - \frac { 3 } { h } } & { 0 } & { \frac { 3 } { h } } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { d _ { 1 } } & { 2 } & { 0 } & { \ddots } & { } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { d _ { 2 } } & { 1 } & { \ddots } & { } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d _ { 3 } } & { \ddots } & { } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { } & { } & { 0 } & { d _ { M + 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 3 d _ { M + 2 } } { h } } \end{array} \right) ,
W _ { \mathrm { P S , 1 } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \frac { \alpha _ { \mathrm { s } } } { 2 \pi } \, C _ { F } \, \frac { { \mathrm { d } } Q ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \, \frac { 2 \, { \mathrm { d } } z } { 1 - z } \, \frac { 1 } { { \mathrm { d } } x _ { 1 } \, { \mathrm { d } } x _ { 2 } } = \frac { \alpha _ { \mathrm { s } } } { 2 \pi } \, C _ { F } \, \frac { 2 } { x _ { 3 } \, ( 1 + r _ { 2 } ^ { 2 } - r _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } ) } ~ ,
\begin{array} { r } { F _ { k } ( \tau ) = \sum _ { \rho = K } ^ { \infty } \binom { \rho \! - \! 1 } { K \! - \! 1 } \epsilon ^ { \rho - K } ( 1 \! - \! \epsilon ) ^ { K } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } \tau } \gamma ( \mu \tau , \rho ) \! + \! \left( \frac { \mu } { 2 \theta _ { k } + \mu } \right) ^ { \rho } ( 1 \! - \! \gamma ( ( 2 \theta _ { k } \! + \! \mu ) \tau , \rho ) \right] , } \end{array}
\Omega = \int \! d x \, K _ { i \bar { j } } \left( \delta \phi _ { R } ^ { i } \delta ( \bar { \phi } _ { R } ^ { \bar { j } } + 2 a ^ { \bar { j } } ) + \delta \bar { \phi } _ { R } ^ { \bar { j } } \delta ( \phi _ { R } ^ { i } + 2 a ^ { i } ) + \delta \xi _ { + } ^ { i } \delta \xi _ { + } ^ { \bar { j } } - \delta \xi _ { - } ^ { i } \delta \xi _ { - } ^ { \bar { j } } \right) .
\hat { D } _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ o ~ n ~ t ~ } } = f _ { \mathrm { ~ e ~ d ~ g ~ e ~ } } \left( f _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } } \left( f _ { \mathrm { ~ f ~ e ~ a ~ t ~ } } ( I _ { \mathrm { ~ r ~ i ~ g ~ h ~ t ~ - ~ f ~ r ~ o ~ n ~ t ~ } } ) , f _ { \mathrm { ~ f ~ e ~ a ~ t ~ } } ( I _ { \mathrm { ~ l ~ e ~ f ~ t ~ - ~ f ~ r ~ o ~ n ~ t ~ } } ) \right) , I _ { \mathrm { ~ r ~ i ~ g ~ h ~ t ~ - ~ f ~ r ~ o ~ n ~ t ~ } } \right) .
\begin{array} { r } { \chi _ { p q r } ^ { ( 2 ) , R } ( \omega _ { \mathrm { I R } } ) = i \int _ { 0 } ^ { \infty } d t e ^ { - i \omega _ { \mathrm { I R } } t } \sum _ { \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } } \langle g ( z _ { \gamma _ { 2 } } , z _ { 1 } , z _ { 2 } ) \alpha _ { p q } ( \mathcal { X } _ { \gamma _ { 1 } } , t ) P _ { r } ( \mathcal { X } _ { \gamma _ { 2 } } , 0 ) \rangle , } \end{array}
f _ { \cal N } ( z ) = { \frac { P _ { \cal N } ( z ) } { { \cal A } { \cal B } \sum _ { i = 1 } ^ { \cal N } \left( { \frac { 1 } { z - a _ { i } } } - { \frac { 1 } { z - b _ { i } } } \right) } } \ , \quad \chi _ { \cal N } ( z ) = { \cal B } f _ { \cal N } ( z ) \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial Q _ { 0 } ^ { r = 0 } ( t | x _ { 0 } ) } { \partial t } = - } & { { } \lambda \frac { \partial Q _ { 0 } ^ { r = 0 } ( t | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } } + D \frac { \partial ^ { 2 } Q _ { 0 } ^ { r = 0 } ( t | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ { + } & { { } \alpha \left[ Q _ { 1 } ^ { r = 0 } ( t | x _ { 0 } ) - Q _ { 0 } ^ { r = 0 } ( t | x _ { 0 } ) \right] } \\ { \frac { \partial Q _ { 1 } ^ { r = 0 } ( t | x _ { 0 } ) } { \partial t } = - } & { { } \lambda \frac { \partial Q _ { 1 } ^ { r = 0 } ( t | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } } + D \frac { \partial ^ { 2 } Q _ { 1 } ^ { r = 0 } ( t | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ { + } & { { } \beta \left[ Q _ { 0 } ^ { r = 0 } ( t | x _ { 0 } ) - Q _ { 1 } ^ { r = 0 } ( t | x _ { 0 } ) \right] . } \end{array}
D ( \hat { W } _ { j } ^ { k } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , \hat { W } _ { j } ^ { k } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) ) \le \frac { \alpha _ { j } } { a ^ { k } - \alpha _ { j } } [ D ( ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , \hat { W } _ { j } ^ { k } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) ) + D ( ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) , \hat { W } _ { j } ^ { k } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) ) ] .
F _ { P _ { k } } ( \Delta ) = \sum _ { \ell = 0 } ^ { k } \sum _ { n = 0 } ^ { \ell } a _ { \ell } ( \epsilon ) \, { \frac { A _ { n } } { \bar { \Lambda } ^ { n } } } \, { \binom { \ell } { n } } \, { \frac { 2 ( \ell + 6 ) } { ( \ell + 3 ) ( \ell + 4 ) } } \, .
\begin{array} { r l } { A _ { 0 } ( t ; x ) } & { = U _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } ( - \gamma A _ { 0 } ( s ; x _ { 0 } ) ) \mathrm { d } s + \sigma B ( t ) , } \\ { A _ { 1 } ( t ; x ) } & { = x _ { 1 } + \int _ { 0 } ^ { t } ( - A _ { 2 } ( s ; x ) - \nu A _ { 1 } ( s ; x ) ) \mathrm { d } s + A _ { 0 } ( t ) , } \\ { A _ { n } ( t ; x ) } & { = x _ { n } + \int _ { 0 } ^ { t } ( { A _ { n - 1 } ( s ; x ) } - A _ { n + 1 } ( s ; x ) - \nu A _ { n } ( s ; x ) ) \mathrm { d } s , \quad n \geqslant 2 , \, t \geqslant 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle t _ { \mathrm { A P } } \right\rangle } & { = \frac { \sqrt { 1 2 } \tau _ { \mathrm { r e s t } } } { \nu } \tilde { M } ( \tilde { \alpha } , u _ { \mathrm { t h } } ) , } \\ { \mathrm { V a r } \left( t _ { \mathrm { A P } } \right) } & { = \frac { 1 2 \tau _ { \mathrm { r e s t } } ^ { 2 } } { \nu ^ { 2 } } \tilde { S } ( \tilde { \alpha } , u _ { \mathrm { t h } } ) , } \end{array}
\mathbf { N } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) = \left( \nabla \mathbf { r } _ { 1 } \right) \left( \mathbf { u } _ { b } + \mathbf { u } \right) - \left( \nabla ( \mathbf { u } _ { b } + \mathbf { u } ) \right) ^ { \top } \mathbf { r } _ { 1 }
\begin{array} { r l } { d _ { H } ( \mathcal { X } , \textrm { H } ( Z _ { \delta } ) ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { u \in \partial B ( 0 , 1 ) } | h ( \mathcal { X } , u ) - h ( \textrm { H } ( Z _ { \delta } ) , u ) | = | h ( \mathcal { X } , u _ { 0 } ) - h ( \textrm { H } ( Z _ { \delta } ) , u _ { 0 } ) | } \\ & { = \bigg | \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { X } } x ^ { \top } u _ { 0 } - \operatorname* { s u p } _ { z \in \textrm { H } ( Z _ { \delta } ) } z ^ { \top } u _ { 0 } \bigg | } \end{array}
\frac { F } { V } = - \sum _ { \stackrel { n = 1 } { n ~ \mathrm { o d d } } } ^ { \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 2 } { k } \left( \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } \tau _ { 2 } } \right) ^ { 5 } e ^ { - n ^ { 2 } \beta ^ { 2 } / 4 \pi \alpha ^ { \prime } \tau _ { 2 } } \sum _ { M } e ^ { - \pi \alpha ^ { \prime } \tau _ { 2 } M ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \tilde { U } ( \mathbf { k } ^ { \prime } ) } & { { } \propto \tilde { E } _ { x } ^ { \prime } ( \mathbf { k } ^ { \prime } ) \otimes \tilde { B } _ { y } ^ { \prime * } ( \mathbf { k } ^ { \prime } ) - \tilde { E } _ { y } ^ { \prime } ( \mathbf { k } ^ { \prime } ) \otimes \tilde { B } _ { x } ^ { \prime * } ( \mathbf { k } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { A _ { \alpha \beta } } & { { } = \left\langle \epsilon _ { 1 } \nabla \phi _ { 1 } ^ { \alpha } , \nabla \phi _ { 1 } ^ { \beta } \right\rangle _ { \Omega _ { 1 } } , } & { \widetilde { M } _ { \alpha \beta } } & { { } = \left\langle \epsilon _ { 1 } \lambda _ { 1 } ^ { \beta } , \gamma \phi _ { 1 } ^ { \alpha } \right\rangle _ { \Gamma } , } \\ { K _ { \alpha \beta } } & { { } = \left\langle K _ { Y } ^ { \Gamma } \gamma \phi _ { 1 } ^ { \alpha } , \lambda _ { 1 } ^ { \beta } \right\rangle _ { \Gamma } , } & { V _ { \alpha \beta } } & { { } = \left\langle V _ { Y } ^ { \Gamma } \epsilon _ { 1 } \lambda _ { 1 } ^ { \alpha } , \lambda _ { 1 } ^ { \beta } \right\rangle _ { \Gamma } , } \\ { M _ { \alpha \beta } } & { { } = \left\langle \gamma \phi _ { 1 } ^ { \alpha } , \lambda _ { 1 } ^ { \beta } \right\rangle _ { \Gamma } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { A P F } } & { { } = { \frac { N _ { \mathrm { a t o m s } } V _ { \mathrm { a t o m } } } { V _ { \mathrm { u n i t ~ c e l l } } } } = { \frac { 2 \cdot { \frac { 4 } { 3 } } \pi r ^ { 3 } } { \left( { \frac { 4 r } { \sqrt { 3 } } } \right) ^ { 3 } } } } \end{array}
v ( t ) \approx \ensuremath { \tilde { v } } ( t ) = V _ { r } \ensuremath { \hat { \rho } } ( v ( t ) ) = \sum _ { i = 1 } ^ { r } \ensuremath { \hat { \rho } } _ { i } ( v ( t ) ) \ensuremath { \hat { v } } _ { i } ,
{ B } _ { \mathrm { b } } \stackrel { \mathrm { ~ \tiny ~ { ~ d ~ e ~ f ~ } ~ } } { = } { B } _ { \mathrm { s } } - 2 \omega \, ( { \psi } _ { \mathrm { b } } - { \psi } _ { \mathrm { s } } ) = \left< { u } _ { \mathrm { b } } ^ { \, 2 } \right> ,
x ^ { 4 } + 1 = ( x ^ { 4 } - 2 x ^ { 2 } + 1 ) + 2 x ^ { 2 } = ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } + \left( x { \sqrt { 2 } } \right) ^ { 2 } = \left( x ^ { 2 } + x { \sqrt { - 2 } } - 1 \right) \left( x ^ { 2 } - x { \sqrt { - 2 } } - 1 \right) .
\left\{ \begin{array} { l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } v ^ { \| } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \sqrt { \hat { g } _ { s s } } \dot { s } \right) = 0 } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } v ^ { \perp } = \ddot { h } = 0 } \end{array} \right. ,