harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \displaystyle \sum _ { \alpha } - \left( ( \pi _ { \alpha } + p \phi _ { \alpha } ) \mathbf { I } + \tilde { \rho } _ { \alpha } \nabla \phi _ { \alpha } \otimes \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } + \hat { \mathbf { T } } _ { \alpha } \right) : \nabla \mathbf { v } _ { \alpha } } & { } \\ { + \mathrm { d i v } \left( \mathbf { q } _ { \alpha } - \theta \hat { \boldsymbol { \Phi } } _ { \alpha } - \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \phi _ { \alpha } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } - \gamma _ { \alpha } \right) \right) + \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \theta s _ { \alpha } - r _ { \alpha } \right) } & { } \\ { + \left( \boldsymbol { \pi } _ { \alpha } - \gamma _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } / 2 - p \nabla \phi _ { \alpha } \right) \cdot \mathbf { v } _ { \alpha } + \gamma _ { \alpha } \left( \hat { \psi } _ { \alpha } + \chi _ { \alpha } + \rho _ { \alpha } ^ { - 1 } p \right) } & { ~ \leq 0 . } \end{array}
G ( ( W _ { 1 } , W _ { 1 } ^ { \prime } ) f _ { 1 } , W _ { 2 } f _ { 2 } ) = G ^ { ( 1 ) } ( W _ { 1 } f _ { 1 } , W _ { 2 } f _ { 2 } ) + G ^ { ( 2 ) } ( W _ { 1 } ^ { \prime } f _ { 1 } , W _ { 2 } f _ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { k } { \left( \frac { \gamma _ { i + 1 } } { 4 } \| \Delta x _ { i + 1 } \| ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { i } } { 4 } \| \Delta x _ { i } \| ^ { 2 } \right) } } & { \leq P _ { 1 } - P _ { k + 1 } { \overset { { \mathrm { L e m m a ~ } } } { \leq } } P _ { 1 } - ( \bar { L } - 1 ) } \\ & { { \overset { } { \leq } } 4 \bar { U } + 4 c _ { 0 } - 3 \bar { L } + 8 \| \lambda _ { 0 } \| ^ { 2 } + 3 - \bar { L } } \\ & { = \hat { \alpha } - \bar { L } . } \end{array}
\int _ { \mathbb { X } } \mathcal { K } ^ { \Delta t } [ \hat { h } ^ { T } \Psi ] \Psi ^ { T } \hat { \rho } \, d x = \int _ { \mathbb { X } } \hat { h } ^ { T } \Psi \mathcal { P } ^ { \Delta t } [ \Psi ^ { T } \hat { \rho } ] \, d x \, .
\begin{array} { r l r } { B _ { 2 } } & { = } & { 3 \; \mathrm { I m } \; \mathrm { L i } _ { 2 } \left( r _ { 3 } \right) , } \\ { B _ { 3 } } & { = } & { \frac { 2 4 } { 5 } \mathrm { I m } \; \mathrm { L i } _ { 3 } \left( \frac { i } { \sqrt { 3 } } \right) - \frac { 1 7 } { 9 0 } \pi ^ { 3 } - \frac { 1 } { 1 0 } \pi \left( \ln \left( 3 \right) \right) ^ { 2 } , } \\ { B _ { 4 } } & { = } & { - \frac { 6 3 } { 1 0 } \mathrm { I m } \; \mathrm { L i } _ { 4 } \left( r _ { 3 } \right) + \frac { 4 8 } { 5 } \mathrm { I m } \; \mathrm { L i } _ { 4 } \left( \frac { i } { \sqrt { 3 } } \right) + \frac { 1 7 } { 9 0 } \pi ^ { 3 } \ln ( 3 ) + \frac { 1 } { 3 0 } \pi \left( \ln \left( 3 \right) \right) ^ { 3 } . } \end{array}
\frac { \omega ^ { 2 } } { a ^ { 2 } \mu ^ { 2 } b ^ { 2 } ( k ) } = 3 , 3 k ^ { 2 } , 0 , 1 + k ^ { 2 } \pm 2 \sqrt { 1 - k ^ { 2 } + k ^ { 4 } } ~ ,
- \Bigl [ \left[ Q ( \xi ) , Q ( \eta ) \right] , b ( k , \sigma ) \Bigr ] \stackrel { ! } { = } \Bigl [ \left[ Q ( \eta ) , b ( k , \sigma ) \right] , Q ( \xi ) \Bigr ] + \Bigl [ \left[ b ( k , \sigma ) , Q ( \xi ) \right] , Q ( \eta ) \Bigr ]
T \: \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } \: T ^ { - 1 } = \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } \; \; , \; \; T \: \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } \: T ^ { - 1 } = - \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } \; \; , \; \; T \: \mathrm { ~ \bf ~ s ~ } \: T ^ { - 1 } = - \mathrm { ~ \bf ~ s ~ } \; ,
\begin{array} { r l } { \langle \dot { v } ( t ) , v ( t ) \rangle \ \leq \ } & { \left( \frac { \gamma \beta \dot { \varepsilon } ( t ) } { 2 \sqrt { \varepsilon ( t ) } } - \gamma \sqrt { \varepsilon ( t ) } \right) \left( \varphi _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) - \varphi _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ( x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ) \right) } \\ & { + \ \left( \frac { \gamma \dot { \varepsilon } ( t ) } { 2 \sqrt { \varepsilon ( t ) } } + \gamma ( \gamma - \alpha ) \varepsilon ( t ) \right) \langle x ( t ) - x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } , \dot { x } ( t ) \rangle } \\ & { + \ \left( \frac { \gamma ^ { 2 } \dot { \varepsilon } ( t ) } { 2 } + \frac { \gamma ^ { 3 } \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) } { 2 b } - \frac { \gamma \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) } { 2 } - \frac { \gamma \beta \dot { \varepsilon } ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 2 } \right) \| x ( t ) - x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } \| ^ { 2 } } \\ & { + \ \left( \frac { \gamma } { a } + \gamma - \alpha \right) \frac { \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 2 } \| \dot { x } ( t ) \| ^ { 2 } + \frac { ( \gamma - \alpha ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 2 } \| \dot { x } ( t ) + \beta \nabla \Phi _ { \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) \| ^ { 2 } } \\ & { + \ \frac { \gamma ( 2 a + b ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 2 } \left\| \frac { d } { d t } x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } \right\| ^ { 2 } } \\ & { + \ \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \gamma \beta ^ { 2 } \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { a } - \beta - \beta ^ { 2 } ( \gamma - \alpha ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } \right) \| \nabla \Phi _ { \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) \| ^ { 2 } } \\ & { - \ \left\langle \nabla \varphi _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) , \dot { x } ( t ) \right\rangle + \left( \frac { \beta \varepsilon ^ { 2 } ( t ) } { 2 } - \frac { \gamma \beta \dot { \varepsilon } ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 4 } \right) \| x ( t ) \| ^ { 2 } - \frac { \beta } { 2 } \| \nabla \varphi _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) \| ^ { 2 } } \\ & { + \ \frac { \gamma \beta \dot { \varepsilon } ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 4 } \| x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ( V a r ^ { * } ( A _ { 3 , K , I , n } ^ { * } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } ) ) } & { \leq \sum _ { i = K + 1 } ^ { I + n } \mu _ { i } \sum _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \left( \prod _ { h = i } ^ { j - 1 } f _ { h } \right) \sigma _ { j } ^ { 2 } \left( \prod _ { l = j + 1 } ^ { I + n - 1 } \left( f _ { l } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { l } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { l } } \right) \right) } \\ & { \leq \mu _ { \infty } ^ { 2 } \left( \prod _ { l = 0 } ^ { \infty } \left( f _ { l } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { l } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { l } } \right) \right) \sum _ { i = K + 1 } ^ { I + n } \sum _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \sigma _ { j } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( \theta ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } G _ { \varepsilon } ( x _ { j } - x ) \ell ( \mathcal { T } _ { \theta } \circ \mathcal A , g ) ( x ) d x } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } \big ( G _ { \varepsilon } \ast \ell ( \mathcal { T } _ { \theta } \circ \mathcal A , g ) \big ) ( x _ { j } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| w ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } - \| w ( t _ { 0 } ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \nu \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \| w ( s ) \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } d s } \\ & { \quad \leq - \left( \mu - \frac { c M _ { 1 } ^ { 2 } } { \nu } \right) \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \| w ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } d s + \frac { c \mu ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } { \nu } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \phi ( s ) d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V a r \left( ( R _ { I , \infty } - \widehat { R } _ { I , \infty } ) _ { 1 } | \mathcal { Q } _ { I , \infty } \right) } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } C _ { I - i , i } \sum _ { j = i } ^ { \infty } \left( \prod _ { k = i } ^ { j - 1 } f _ { k } \right) \sigma _ { j } ^ { 2 } \left( \prod _ { l = j + 1 } ^ { \infty } f _ { l } ^ { 2 } \right) = O _ { P } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { h _ { p } } \left( h _ { p } \right) } & { = \frac { R _ { a } ^ { 2 } } { \ln ( 2 ) ^ { 2 / \lambda } \sigma _ { s } ^ { 2 } \lambda h _ { p } } \exp \left[ - \frac { R _ { a } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { s } ^ { 2 } } \left( \frac { \ln ( 1 / h _ { p } ) } { \ln ( 2 ) } \right) ^ { 2 / \lambda } \right] } \\ & { \times \ln ( 1 / h _ { p } ) ^ { 2 / \lambda - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { z } \rho ( \vec { x } , z , \omega ) + \nabla _ { X } \cdot \left[ \rho ( \vec { x } , z , \omega ) \vec { v } _ { S } ( \vec { x } , z , \omega ) \right] + \nabla _ { X } \cdot \left[ \rho ( \vec { x } , z , \omega ) \vec { v } _ { V } ( \vec { x } , z , \omega ) \right] = 0 } \end{array}
y = - \frac { 1 - r _ { \mathrm { 4 b } } } { r _ { \mathrm { 4 b } } + s _ { \mathrm { 4 b } } } \ , \ \ \ z = \frac { 1 } { r _ { \mathrm { 4 b } } + s _ { \mathrm { 4 b } } } \ .
\mathrm { P } ( \nu _ { \alpha } \to \nu _ { \alpha ^ { \prime } } ) = \left| \sum _ { i } U _ { { \alpha ^ { \prime } } i } \; e ^ { - i \Delta m _ { i 1 } ^ { 2 } \frac { L } { 2 E } } \; U _ { { \alpha } i } ^ { * } \right| ^ { 2 }
\operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { 1 } { \varepsilon ^ { d } } \int _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } \psi \left( x , \frac { | v _ { \varepsilon } ( x ) - u ( x _ { 0 } ) - \nabla u ( x _ { 0 } ) ( x - x _ { 0 } ) | } { \varepsilon } \right) \, d x = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { 1 } { \varepsilon ^ { d } } \int _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } \psi \left( x , \frac { | \mathfrak { u } _ { \varepsilon } ^ { \psi } ( x ) | } { \varepsilon } \right) \, d x = 0 .
x _ { p } ^ { \mu } ( \xi ) = x _ { p } ^ { \mu } [ x _ { \perp } ^ { A } ( \xi ) , \xi ] = \bar { x } _ { p } ^ { \mu } ( \xi ) + x _ { \perp } ^ { A } ( \xi ) \bar { n } _ { A } ^ { \mu } ( \xi ) \, .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } ( \tilde { \varphi } , f ) ^ { 2 } } & { = \mathbb { E } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { X _ { j } } { \sqrt { \lambda _ { j } } } ( v _ { j } , f ) \right) ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \lambda _ { j } } ( v _ { j } , f ) ^ { 2 } = \left( f , \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \lambda _ { j } } ( v _ { j } , f ) v _ { j } \right) } \\ & { = \left( f , ( - \Delta ) ^ { - s } f \right) = \| f \| _ { H ^ { - s } ( \Omega ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } , \alpha } \delta ( \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } \alpha ) = \sum _ { \gamma , \gamma _ { 2 } , \alpha } \delta ( \gamma \alpha ) = m ! \sum _ { \gamma , \alpha } \delta ( \gamma \alpha ) \implies \sum _ { \gamma , \alpha } \delta ( \gamma \alpha ) = \frac { 1 } { m ! } \sum _ { \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } , \alpha } \delta ( \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } \alpha ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m a x } _ { \{ \mathbf { x } \} \in \mathcal { X } } } & { e } \\ { \mathrm { s . t . } \, \, } & { \tilde { r } _ { l k } - \mu ^ { ( t , q ) } \left( p _ { c } + \eta \mathbf { x } _ { l k } ^ { H } \mathbf { x } _ { l k } \right) \geq \alpha _ { l k } e } & { \forall l , k , } \\ & { \tilde { r } _ { l k } \geq r _ { l k } ^ { t h } } & { \forall l , k , } \end{array}
\tan { \frac { 7 \pi } { 6 0 } } = \tan 2 1 ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 4 } } \left( 2 - \left( 2 + { \sqrt { 3 } } \right) \left( 3 - { \sqrt { 5 } } \right) \right) \left( 2 - { \sqrt { 2 \left( 5 + { \sqrt { 5 } } \right) } } \right)
\begin{array} { r l } { Y _ { n m } ^ { \mathrm { ~ T ~ E ~ } , ( \mathrm { ~ i ~ n ~ } ) } } & { { } = \frac { \beta _ { n m } ^ { ( \mathrm { ~ i ~ n ~ } ) } } { \eta _ { 0 } k _ { 0 } } } \\ { Y _ { n m } ^ { \mathrm { ~ T ~ M ~ } , ( \mathrm { ~ i ~ n ~ } ) } } & { { } = \frac { k _ { 0 } } { \eta _ { 0 } \beta _ { n m } ^ { ( \mathrm { ~ i ~ n ~ } ) } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { z } \overline { { p } } = - ( \overline { { \rho } } _ { d } + \overline { { \rho } } _ { v s } ) g , \qquad \overline { { p } } = ( \overline { { \rho } } _ { d } R _ { d } + \overline { { \rho } } _ { v s } R _ { v } ) \overline { { T } } , \qquad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \qquad \overline { { \rho } } _ { v s } ( \overline { { T } } ) = \frac { e _ { s } ( \overline { { T } } ) } { R _ { v } \overline { { T } } } , } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { T ( z ) } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { k + \check { g } } \{ \frac { 1 } { 2 } ( U _ { a } U ^ { a } + U ^ { a } U _ { a } ) + \frac { 1 } { 2 } ( K _ { + } K ^ { + } + K ^ { + } K _ { + } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { - \frac { k + 1 } { 2 } ( \psi _ { a } \partial \psi ^ { a } + \psi ^ { a } \partial \psi _ { a } ) - \frac { 1 } { 2 } ( k + \check { g } - 2 ) ( \psi _ { + } \partial \psi ^ { + } + \psi ^ { + } \partial \psi _ { + } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { + S _ { a } ^ { b } \psi ^ { a } \psi _ { b } + \frac { 1 } { \check { g } - 2 } S _ { a } ^ { a } \psi ^ { + } \psi _ { + } + \psi _ { + } \psi ^ { + } \psi ^ { a } \psi _ { a } + \frac { 1 } { 4 } \Omega _ { a b } \psi ^ { a } \psi ^ { b } \Omega ^ { c d } \psi _ { c } \psi _ { d } \} ( z ) } } \end{array}
{ \cal T } = \frac { S } { 4 \, \theta } \, | 0 \rangle \langle 0 | \, d \bar { z } \wedge d z \left( \begin{array} { r r } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \, , \qquad { \cal R } = 0 \, .
\begin{array} { r l } { \textbf { j } _ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } & { = - \langle \Psi _ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) | \left[ \hat { \textbf { p } } + \textbf { A } ( t ) \right] | \Psi _ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \rangle } \\ & { = - \sum _ { m , n } \langle \Psi _ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) | \varphi _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \rangle \langle \varphi _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) | \left[ \hat { \textbf { p } } + \textbf { A } ( t ) \right] | \varphi _ { n , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \rangle \langle \varphi _ { n , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) | \Psi _ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \rangle } \\ & { = - \sum _ { m , n } \langle \varphi _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) | \left[ \hat { \textbf { p } } + \textbf { A } ( t ) \right] | \varphi _ { n , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \rangle \rho _ { n m } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } \\ & { = - \sum _ { m , n } \textbf { p } _ { m n } ^ { \textbf { k } _ { 0 } + \textbf { A } ( t ) } \rho _ { n m } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathcal { R } } { 3 } \int _ { D } | x | ^ { 2 } d ^ { 2 } x } & { = \frac { \mathcal { R } } { 3 } 2 n \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { n } } \int _ { 0 } ^ { R _ { \mathrm { c e l l } } \cos ( \frac { \pi } { n } ) \sec \theta } d \theta r ^ { 3 } d r } \\ & { = \frac { \mathcal { R } } { 6 } R _ { \mathrm { c e l l } } ^ { 4 } \cos ^ { 4 } \left( \frac { \pi } { n } \right) n \left( \frac { 2 } { 3 } + \frac { 1 } { 3 } \sec ^ { 2 } \left( \frac { \pi } { n } \right) \right) \tan \left( \frac { \pi } { n } \right) } \end{array}
S _ { \mathrm { 2 1 , e x t } } = \frac { 2 Z _ { \mathrm { 2 1 , e x t } } Z _ { 0 } } { \left( Z _ { \mathrm { 1 1 , e x t } } + Z _ { 0 } \right) ^ { 2 } - Z _ { \mathrm { 2 1 , e x t } } ^ { 2 } } ,
\left( \begin{array} { c c } { { \partial _ { 1 } } } & { { \partial _ { 2 } } } \\ { { \partial _ { 4 } } } & { { \partial _ { 3 } } } \end{array} \right) \mapsto \left( \begin{array} { c c } { { \partial _ { 1 } q ^ { \alpha L _ { 6 } } } } & { { \partial _ { 2 } } } \\ { { \partial _ { 4 } } } & { { \partial _ { 3 } q ^ { - \alpha L _ { 6 } } } } \end{array} \right) \equiv \tilde { \partial } \quad ,
\begin{array} { r l } { w _ { 0 } ^ { S B } ( t ) - \dot { w } ^ { P } ( t ) \cdot x = \left( \lambda + A _ { 0 } w ^ { P } ( t ) - \sum _ { n = 1 } ^ { N } c _ { n } ^ { 0 } \right) \cdot x - \operatorname* { i n f } _ { { z } } } & { \left\{ - w ^ { P } ( t ) \cdot \sum _ { n = 1 } ^ { N } A _ { n } { \alpha } ^ { \star , n } ( z ) + \sum _ { n = 1 } ^ { N } c _ { n } ^ { \mathrm { m } } ( { \alpha } ^ { \star } ( z ) ) - f ^ { \star } ( \mathcal { M } ( z , x , w ^ { P } ( t ) , 0 ) ) \right\} \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { u } ^ { n } = - \boldsymbol { u } ^ { n } + 2 \boldsymbol { u } ^ { n - 1 } } \\ { + \frac { 2 } { \boldsymbol { \gamma } } \Bigg ( \frac { 1 } { \frac { 1 } { \boldsymbol { \gamma } } * \boldsymbol { K } _ { \gamma _ { x _ { 0 } } } } ( \boldsymbol { u } * \boldsymbol { K } _ { u _ { x _ { 0 } } } ) - \frac { 1 } { \frac { 1 } { \boldsymbol { \gamma } } * \boldsymbol { K } _ { \gamma _ { x _ { 1 } } } } ( \boldsymbol { u } * \boldsymbol { K } _ { u _ { x _ { 1 } } } ) } \\ { + \frac { 1 } { \frac { 1 } { \boldsymbol { \gamma } } * \boldsymbol { K } _ { \gamma _ { y _ { 0 } } } } ( \boldsymbol { u } * \boldsymbol { K } _ { u _ { y _ { 0 } } } ) - \frac { 1 } { \frac { 1 } { \boldsymbol { \gamma } } * \boldsymbol { K } _ { \gamma _ { y _ { 1 } } } } ( \boldsymbol { u } * \boldsymbol { K } _ { u _ { y _ { 1 } } } ) } \\ { + \frac { \Delta t ^ { 2 } } { 2 \rho _ { 0 } } \boldsymbol { f } \Bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } } & { = ( g ^ { 2 } \epsilon / 1 6 ) ^ { 1 / 3 } - \mathrm { i } ( g \epsilon ^ { 2 } / 4 ) ^ { 1 / 3 } / 6 + \ldots , } \\ { \lambda _ { 2 } } & { = ( g ^ { 2 } \epsilon / 1 6 ) ^ { 1 / 3 } e ^ { \mathrm { i } 2 \pi / 3 } - \mathrm { i } ( g \epsilon ^ { 2 } / 4 ) ^ { 1 / 3 } e ^ { - \mathrm { i } 2 \pi / 3 } / 6 + \ldots , } \\ { \lambda _ { 3 } } & { = ( g ^ { 2 } \epsilon / 1 6 ) ^ { 1 / 3 } e ^ { - \mathrm { i } 2 \pi / 3 } - \mathrm { i } ( g \epsilon ^ { 2 } / 4 ) ^ { 1 / 3 } e ^ { \mathrm { i } 2 \pi / 3 } / 6 + \ldots . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Big ( \mathbb { P } \big ( \Phi ( \mathcal { I } _ { i } ) > \Phi ( \mathcal { I } _ { j } ) \big ) - \mathbb { P } \big ( \Phi ( \mathcal { I } _ { i } ) < \Phi ( \mathcal { I } _ { j } ) \big ) \Big ) \Big ( \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } ( \mathcal { I } _ { i } ) > \widetilde { \Phi } ( \mathcal { I } _ { j } ) \big ) - \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } ( \mathcal { I } _ { i } ) < \widetilde { \Phi } ( \mathcal { I } _ { j } ) \big ) \Big ) > 0 , } \end{array}
\mathbb { E } { \bigl [ } | X Y | { \big | } \, { \mathcal { G } } { \bigr ] } \leq { \bigl ( } \mathbb { E } { \bigl [ } | X | ^ { p } { \big | } \, { \mathcal { G } } { \bigr ] } { \bigr ) } ^ { \frac { 1 } { p } } \, { \bigl ( } \mathbb { E } { \bigl [ } | Y | ^ { q } { \big | } \, { \mathcal { G } } { \bigr ] } { \bigr ) } ^ { \frac { 1 } { q } } \qquad \mathbb { P } { \mathrm { - a l m o s t ~ s u r e l y . } }
\delta M _ { s t } = 3 N _ { B } ^ { 2 } \int d ^ { 3 } { \hat { p } } _ { 3 } { \frac { ( m _ { q } + \omega _ { 3 } ) } { 2 \omega _ { 3 } } } \times \int d ^ { 3 } { \hat { q } } _ { 1 2 } { D _ { 1 2 } } ^ { 2 } \phi ^ { 2 } [ J _ { 1 } + J _ { 2 } ] ( - \delta m \tau _ { 3 } / 6 )
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathcal { I } _ { k + 1 } | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le \left( 1 + T \beta _ { k } \mu _ { g } / 4 \right) \mathbb { E } [ \| y _ { k + 1 } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } \\ & { \quad + O \left( \frac { \xi ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } } { \mu _ { g } T \beta _ { k } } \right) \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] + O \left( \frac { \delta _ { k } } { \lambda _ { k } ^ { 3 } } \frac { l _ { f , 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { g } ^ { 2 } } \right) + O ( \xi ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } ) \cdot ( \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } ) . } \end{array}
E _ { n } = \frac { P ^ { 2 } } { m { \cal M } \left[ \lambda , n , \displaystyle { \frac { \mu ^ { 2 } } { P ^ { 2 } } } \exp \left( { \frac { 8 \pi } { \sqrt { 3 } \lambda ^ { 2 } ( 1 - \xi ( \mu ) ) } } \right) \right] }
S _ { \mathrm { x x } } ^ { \mathrm { t o t a l } } ( \omega ) = S _ { \mathrm { x x } } ^ { \mathrm { h o r z } } ( \omega ) + \theta _ { \mathrm { v h } } ^ { 2 } S _ { \mathrm { x x } } ^ { \mathrm { v e r t } } ( \omega ) ~ ,
R _ { n } ( - a ) ~ { \vec { \sigma } } ~ R _ { n } ( a ) = e ^ { i { \frac { a } { 2 } } \left( { \hat { n } } \cdot { \vec { \sigma } } \right) } ~ { \vec { \sigma } } ~ e ^ { - i { \frac { a } { 2 } } \left( { \hat { n } } \cdot { \vec { \sigma } } \right) } = { \vec { \sigma } } \cos ( a ) + { \hat { n } } \times { \vec { \sigma } } ~ \sin ( a ) + { \hat { n } } ~ { \hat { n } } \cdot { \vec { \sigma } } ~ ( 1 - \cos ( a ) ) ~ .
S _ { i j } ^ { \mathrm { p a s } } = \frac { \mathrm { d } \psi \left( E _ { i j } ^ { \phantom { } } \right) } { \mathrm { d } E _ { i j } ^ { \phantom { } } } , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \psi = \psi ^ { \mathrm { { S } } } + \psi ^ { \mathrm { { V } } } ,
\mathrm { t r } \left( G _ { 0 } F G _ { 0 } F \right) = 4 \mathrm { t r } \left( \left( \Delta \delta _ { \mu \nu } + \Delta \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \Delta \right) \bar { F } _ { \nu \sigma } \left( \Delta \delta _ { \sigma \tau } + \Delta \partial _ { \sigma } \partial _ { \tau } \Delta \right) \bar { F } _ { \tau \mu } \right) + \textrm { c u b i c }
D _ { \mu ^ { * } \mu ^ { * } } = \frac { \mu ^ { * } } { 4 ^ { 5 / 4 } \tau _ { b } } \lbrack \frac { \pi } { \Gamma ( 9 / 8 ) } \rbrack ^ { 2 } \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 1 / 4 } } \exp - \frac { 2 F ( \mu ^ { * } ) } { \varepsilon }
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 4 } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { k r _ { g } \Big ( \frac { R _ { \oplus } } { b } \Big ) ^ { 4 } \bigg \{ 4 8 \Big \{ C _ { 4 4 } ^ { \prime } \cos 4 \phi _ { \xi } + S _ { 4 4 } ^ { \prime } \sin 4 \phi _ { \xi } \Big \} \Big \{ 1 - ( \vec { k } \cdot \vec { n } ) \Big ( 1 + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \frac { b ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + { \textstyle \frac { 3 } { 8 } } \frac { b ^ { 4 } } { r ^ { 4 } } + { \textstyle \frac { 5 } { 1 6 } } \frac { b ^ { 6 } } { r ^ { 6 } } \Big ) \Big \} - } \end{array}
\dot { \mathbf { P } } = \mathbf { V } \times \mathbf { P } - D \cdot \mathbf { P _ { T } } , \qquad \dot { \mathbf { \overline { { { P } } } } } = \mathbf { \overline { { { V } } } } \times \mathbf { \overline { { { P } } } } - \overline { { { D } } } \cdot \mathbf { \overline { { { P } } } _ { T } } ,
\operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } d s f \circ \mathfrak { u } _ { s } \left( y _ { 0 } \right) = \frac { \int _ { \left[ - 1 , 1 \right] } \lambda _ { \varepsilon } \left( d \eta \right) \int _ { \mathcal { M } } \nu _ { 2 } ^ { \varepsilon } \left( d x \right) \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \eta } \left( x \right) } d s f \left( \Phi _ { \eta } ^ { s } \left( x \right) \right) } { \int _ { \mathcal { M } } \nu _ { 2 } ^ { \varepsilon } \left( d x \right) \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } d s \left( 1 - F _ { \tau } ^ { \varepsilon } \left( s ; x \right) \right) \right] } \; , \; \mathbb { P } \mathrm { - a . s . }
| \alpha _ { i } \rangle = D ( \alpha _ { i } ) | \mathrm { ~ v ~ a ~ c ~ } \rangle = \exp \left( \alpha _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } - \alpha _ { i } ^ { * } \hat { a } _ { i } \right) | \mathrm { ~ v ~ a ~ c ~ } \rangle
\mathbb { E } [ \vert \omega _ { s + t } ( x , X _ { 1 } ) \vert ^ { 2 } ] \lesssim \operatorname* { m i n } \Big \{ ( s + t ) ^ { - 1 } , ( s + t ) ^ { - 2 } \Big \} \quad \mathrm { a n d } \quad \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathcal { M } } \vert \omega _ { s + t } ( x , y ) \vert \lesssim \sqrt { s } \operatorname* { m i n } \Big \{ ( s + t ) ^ { - \frac { 3 } { 2 } } , ( s + t ) ^ { - 2 } \Big \} .
\begin{array} { r l } { \textbf { R } ( \theta ) \vec { E } } & { { } = \left( \begin{array} { c c } { \cos 2 \theta } & { \sin 2 \theta } \\ { - \sin 2 \theta } & { \cos 2 \theta } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { x } \\ { y } \end{array} \right) } \end{array}
\tilde { S } ( x ) \; = \; \exp \left( - i \frac { x _ { 1 } } { \sqrt { x _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } } } \left[ \mathrm { a r c t a n } \left( \frac { x _ { 2 } } { \sqrt { x _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } } } \right) \; - \; \pi \Big ( \frac { 1 } { 2 } + m \Big ) \right] \; \right) \; ,