harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
- { \cal L } = h _ { 1 } ^ { i j } L _ { \alpha } ^ { i } L _ { \beta } ^ { j } H ^ { \alpha \beta } + h _ { 2 } ^ { i j } L _ { \alpha } ^ { i } L _ { \beta } ^ { j } \overline { { { \phi } } } _ { \gamma } \epsilon ^ { \alpha \beta \gamma } + \mathrm { h . c . \ , }
\left\| \nabla \rho / \rho _ { \infty } \right\| = \sqrt { \left( \frac { \partial \rho / \rho _ { \infty } } { \partial x } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial \rho / \rho _ { \infty } } { \partial y } \right) ^ { 2 } }
\left( \begin{array} { c } { F _ { 1 } ( x , t , w ) = - \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( f _ { i } ( S ) + g _ { i } ( S ) \right) } \\ { F _ { 2 } ( x , t , w ) = f _ { 1 } ( S ) u _ { 1 } - \frac { 1 } { y _ { u , 1 } } \alpha _ { 1 } ( u , v ) u _ { i } + \beta _ { 1 } ( u , v ) v _ { 1 } } \\ { F _ { 3 } ( x , t , w ) = g _ { 1 } ( S ) v _ { 1 } + \alpha _ { 1 } ( u , v ) u _ { 1 } - \frac { 1 } { y _ { v , 1 } } \beta _ { 1 } ( u , v ) v _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { F _ { 2 m } ( x , t , w ) = f _ { m } ( S ) u _ { m } - \frac { 1 } { y _ { u , m } } \alpha _ { m } ( u , v ) u _ { m } + \beta _ { m } ( u , v ) v _ { m } } \\ { F _ { 2 m + 1 } ( x , t , w ) = g _ { m } ( S ) v _ { m } + \alpha _ { m } ( u , v ) u _ { m } - \frac { 1 } { y _ { v , m } } \beta _ { m } ( u , v ) v _ { m } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { { \cal E } _ { N } ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ v ~ p ~ } } , ( 1 ) } = { \cal E } _ { N } ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ v ~ p ~ } } , ( 1 ) , \mathrm { ~ D ~ C ~ } } + { \cal E } _ { N } ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ v ~ p ~ } } , ( 1 ) , \mathrm { ~ X ~ C ~ } } + { \cal E } _ { N } ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ v ~ p ~ } } , ( 1 ) , \mathrm { ~ D ~ B ~ } } + { \cal E } _ { N } ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ v ~ p ~ } } , ( 1 ) , \mathrm { ~ X ~ B ~ } } . } \end{array}
F ^ { k } \! _ { i } F ^ { l } \! _ { j } \left( g ^ { i j } \left\{ \begin{array} { c } { { a } } \\ { { a k } } \end{array} \right\} - g ^ { j b } \left\{ \begin{array} { c } { { i } } \\ { { k b } } \end{array} \right\} \right) \partial _ { l } + F ^ { l } \! _ { i } g ^ { i j } ( \partial _ { k } F ^ { k } \! _ { j } ) \partial _ { l } = 0 \; ,
\hat { \rho } _ { \hat { V } _ { 1 } \hdots \hat { V } _ { n } } ^ { ( n ) } = \frac { 1 } { \omega ^ { ( n ) } - \hat { \epsilon } } \circ \left[ \hat { V } _ { n } \, , \, \hat { \rho } _ { \hat { V } _ { 1 } \hdots \hat { V } _ { n - 1 } } ^ { ( n - 1 ) } \right] \mathrm { ~ , ~ }
- \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \frac { d ^ { 2 } f _ { n } ( q ) } { d q ^ { 2 } } + \hbar \omega q \frac { d f _ { n } ( q ) } { d q } + ( \frac { 1 } { 2 } \hbar \omega - E _ { n } ) f _ { n } ( q ) = 0 .
- \frac { M } { 2 } \frac { \beta _ { k + 1 } ^ { - 1 / 2 } - \beta _ { k } ^ { - 1 / 2 } } { \beta _ { k + 1 } ^ { 3 / 2 } ( t _ { k + 1 } - t _ { k } ) } + \frac { \partial } { \partial \beta _ { k + 1 } } \sum _ { p = 1 } ^ { n } \kappa \log \Big ( \frac { \rho _ { k + 1 } ( x _ { p , k + 1 } ) } { \rho _ { \infty } } \Big ) \, m _ { p } = 0 ,
- i \, \hat { \nabla } \left( \begin{array} { c } { { \alpha _ { \lambda } ( \theta , \, \phi ) } } \\ { { \beta _ { \lambda } ( \theta , \, \phi ) } } \end{array} \right) = \lambda \, \left( \begin{array} { c } { { \alpha _ { \lambda } ( \theta , \, \phi ) } } \\ { { \beta _ { \lambda } ( \theta , \, \phi ) } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { P ( m ) } & { = \sum _ { \textnormal { N } ( n ) \leq N } \frac { \lambda ^ { m } ( n ) } { \textnormal { N } ( n ) } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \sum _ { n \in \mathbb { Z } [ i ] ^ { * } } \frac { \lambda ^ { m } ( n ) } { \textnormal { N } ( n ) } \int _ { c - i N } ^ { c + i N } \frac { N ^ { s } } { \textnormal { N } ( n ) ^ { s } } \frac { \d s } { s } + O \left( \frac { \log N } { N } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { c - i N } ^ { c + i N } L ( s + 1 , \lambda ^ { m } ) N ^ { s } \frac { \d s } { s } + O \left( \frac { \log N } { N } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { + } v _ { j } \equiv \frac { v _ { j + 1 } - v _ { j } } { \Delta x } } \\ & { D _ { - } v _ { j } \equiv \frac { v _ { j } - v _ { j - 1 } } { \Delta x } } \\ & { D _ { 0 } v _ { j } \equiv \frac { v _ { j + 1 } - v _ { j - 1 } } { 2 \Delta x } } \\ & { D _ { + } D _ { - } v _ { j } \equiv \frac { v _ { j + 1 } - 2 v _ { j } + v _ { j - 1 } } { \Delta x ^ { 2 } } . } \end{array}
\mathrm { d } ( \phi ^ { \prime } \circ F ^ { \prime } \circ F ^ { - 1 } \circ \phi ^ { - 1 } ) = \mathrm { d } ( \phi ^ { \prime } ) \circ \mathrm { d } \circ F ^ { \prime } \circ F ^ { - 1 } ) \circ ( \mathrm { d } \phi ) ^ { - 1 }
E = \frac { 4 \pi } { \kappa g } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ \frac { 1 } { 2 } \varphi _ { \infty } ^ { 2 } + e ^ { 2 \varphi _ { \infty } } \frac { n ^ { 2 } } { 2 x ^ { 4 } } \right] x ^ { 2 } d x = \frac { 4 \pi } { \kappa g } n \ ,
\begin{array} { r l } { w ^ { * } = \mathbb { E } _ { q _ { \theta } } \left[ \frac { p ( \phi ) } { q _ { \theta } ( \phi ) } \right] = } & { { } \int _ { \textrm { s u p p } ( q _ { \theta } ) } q _ { \theta } ( \phi ) \frac { p ( \phi ) } { q _ { \theta } ( \phi ) } \, \mathcal { D } [ \phi ] } \\ { = } & { { } \int _ { \textrm { s u p p } ( q _ { \theta } ) } p ( \phi ) \, \mathcal { D } [ \phi ] = 1 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { 3 , 3 } } & { = \{ x \in \mathbb { R } ^ { 2 } : x _ { 2 } \geq 0 , ~ x _ { 1 } - 9 x _ { 2 } \geq 0 , ~ - 4 x _ { 1 } + 9 x _ { 2 } \geq - 1 \} , } \\ { \mathcal { E } _ { 4 , 3 } } & { = \{ x \in \mathbb { R } ^ { 2 } : x _ { 2 } \geq 0 , ~ x _ { 1 } - 6 x _ { 2 } \geq 0 , ~ - 1 1 x _ { 1 } + 1 8 x _ { 3 } \geq - 3 , ~ - 4 x _ { 1 } + 9 x _ { 2 } \geq - 1 \} , } \\ { \mathcal { E } _ { 5 , 3 } } & { = \{ x \in \mathbb { R } ^ { 2 } : x _ { 2 } \geq 0 , ~ - 4 x _ { 1 } + 9 x _ { 2 } \geq - 1 , ~ - 1 1 x _ { 1 } + 1 8 x _ { 2 } \geq - 3 , ~ - 7 x _ { 1 } + 1 0 x _ { 2 } \geq - 2 , ~ x _ { 1 } - 5 x _ { 2 } \geq 0 \} } \end{array}
1 - \frac { \omega _ { n } M } { r _ { c } ^ { n - 1 } } + \frac { n \omega _ { n } ^ { 2 } Q ^ { 2 } } { 8 ( n - 1 ) r _ { c } ^ { 2 ( n - 1 ) } } - \frac { r _ { c } ^ { 2 } } { r _ { 0 } ^ { 2 } } = 0 .
\hat { T } _ { M N } ( \hat { \phi } ) = \partial _ { M } \hat { \phi } \, \partial _ { N } \hat { \phi } - \hat { g } _ { M N } \, \biggl [ \frac { 1 } { 2 } \, \partial _ { P } \hat { \phi } \, \partial ^ { P } \hat { \phi } + V _ { B } ( \hat { \phi } ) \biggl ] \, .
\left[ W _ { \mu } , P _ { \nu } \right] = 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \left[ W _ { \mu } , M _ { \nu \kappa } \right] = i ( g _ { \nu \mu } W _ { \kappa } - g _ { \kappa \mu } W _ { \nu } ) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \left[ W _ { \mu } , W _ { \nu } \right] = i \epsilon _ { \mu \nu \kappa \lambda } W ^ { \kappa } P ^ { \lambda }
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { c } { { \hat { A } } ( \mathbf { k } , t _ { n + 1 } ) } \\ { { \hat { B } } _ { s } ( \mathbf { k } , t _ { n + 1 } ) } \end{array} \right] = } & { { } \pmb { \mathcal { E } } ( ( t _ { n + 1 } - t _ { 0 } ) \Omega ) \left[ \begin{array} { c } { { \hat { A } } ( \mathbf { k } , t _ { 0 } ) } \\ { { \hat { B } } _ { s } ( \mathbf { k } , t _ { 0 } ) } \end{array} \right] + } \end{array}
t _ { 4 } = 4 \frac { ( - 1 6 \nu _ { 1 } \nu _ { 4 } + \nu _ { 2 } ^ { 2 } \nu _ { 4 } \nu _ { 1 } ) t _ { 1 } t _ { 3 } + ( - 1 6 \nu _ { 2 } \nu _ { 4 } + \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } ^ { 2 } \nu _ { 3 } ) t _ { 3 } ^ { 2 } - 1 6 \nu _ { 2 } \nu _ { 4 } + 1 6 \nu _ { 1 } \nu _ { 3 } } { ( \nu _ { 2 } ^ { 2 } \nu _ { 4 } \nu _ { 1 } \nu _ { 3 } - 2 5 6 \nu _ { 2 } ) t _ { 1 } t _ { 3 } ^ { 2 } + ( 1 6 \nu _ { 1 } \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } - 2 5 6 \nu _ { 2 } ) t _ { 1 } + ( - 1 6 \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } ^ { 2 } + 2 5 6 \nu _ { 1 } ) t _ { 3 } } .
\begin{array} { r l } { f _ { t + h } } & { { } = ( 1 - h \nu + \frac { ( h \nu ) ^ { 2 } } { 2 } ) f _ { t } + ( 1 - 1 + h \nu - \frac { ( h \nu ) ^ { 2 } } { 2 } ) f ^ { M } } \end{array}
( \bar { M } ^ { - 1 } ) _ { \gamma } ^ { \beta } = ( q ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } - \bar { q } ^ { { \frac { 3 } { 2 } } } ) \bar { a } _ { + } ^ { \beta } \bar { a } _ { - } ^ { \sigma } { \cal E } _ { \sigma \gamma } + \bar { q } ^ { \bar { N } + { \frac { 3 } { 2 } } } \delta _ { \gamma } ^ { \beta }
\nu ^ { 3 } \sum _ { i \ne j \ne k } \sum _ { l \ne m } \bigg [ \epsilon _ { l } ( y _ { l m } K _ { l m } ^ { \mathrm { t o t } } ) , \xi _ { i } ( y _ { i j } K _ { i j } ^ { \mathrm { t o t } } ) ( y _ { j k } K _ { j k } ^ { \mathrm { t o t } } ) \bigg ] \, .
D ^ { 2 } = \partial ^ { 2 } + A \! \! \! / ^ { 2 } + \varphi ^ { 2 } + ( \partial \! \! \! / A \! \! \! / ) + 2 A \cdot \partial + ( \partial \! \! \! / \Phi ) + \{ A \! \! \! / , \Phi \}
\boldsymbol { \mathbf { P } } = \varepsilon _ { 0 } \, \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } ( \varepsilon _ { r } - 1 ) } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - i \eta \omega } \, \boldsymbol { \mathbf { E } } + i \omega \varepsilon _ { 0 } \, \frac { A _ { 3 } \omega _ { 0 } } { ( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - i \eta \omega ) ^ { 2 } } \, \left[ \boldsymbol { \boldsymbol { \mathbf { M } } } \times \boldsymbol { \mathbf { E } } \right] .
\begin{array} { r l } & { - \frac { 1 } { 2 m } \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } u _ { 1 } \left( r \right) + V _ { 1 1 } \left( r \right) u _ { 1 } \left( r \right) + V _ { 1 2 } \left( r \right) u _ { 2 } \left( r \right) = E u _ { 1 } \left( r \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 m } \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } u _ { 2 } \left( r \right) + V _ { 2 1 } \left( r \right) u _ { 1 } \left( r \right) + V _ { 2 2 } \left( r \right) u _ { 2 } \left( r \right) = E u _ { 2 } \left( r \right) , } \end{array}
\frac { 1 } { A ^ { \alpha } P ^ { p } } = \frac { \Gamma ( \alpha + p ) } { \Gamma ( \alpha ) \Gamma ( p ) } \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! d y \, \frac { y ^ { p - 1 } } { ( A + y P ) ^ { \alpha + p } }
+ \mathrm { R e } \, ( \, ^ { \ast } \tilde { \Gamma } ( k , - k _ { 2 } , - k _ { 1 } , - k _ { 3 } ) \, ^ { \ast } \tilde { \Gamma } ^ { \dagger } ( k , - k _ { 1 } , - k _ { 3 } , - k _ { 2 } ) ) \} \, \frac { 1 } { \bar { u } ^ { 2 } ( k ) \bar { u } ^ { 2 } ( k _ { 1 } ) \bar { u } ^ { 2 } ( k _ { 2 } ) \bar { u } ^ { 2 } ( k _ { 3 } ) }
\gamma _ { 3 } = - \frac { c ^ { 2 } + u _ { A } ^ { 2 } } { 2 \nu _ { m } } , \quad \gamma _ { 4 } = - \frac { u _ { A } ^ { 2 } } { 2 \nu _ { m } c ^ { 2 } } ( c ^ { 2 } - c _ { s } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { k _ { 1 } = 0 , k _ { 2 } = 0 \ldots 0 . 5 , w _ { \{ 3 \} } \quad } & { { } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad k _ { 1 } = 0 . 5 , k _ { 2 } = 0 \ldots 0 . 5 , w _ { \{ 3 \} } , } \\ { k _ { 1 } = 0 \ldots 0 . 5 , k _ { 2 } = 0 , w _ { \{ 3 \} } \quad } & { { } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad k _ { 1 } = 0 \ldots 0 . 5 , k _ { 2 } = 0 . 5 , w _ { \{ 3 \} } , } \\ { k _ { 2 } = 0 , k _ { 3 } = 0 \ldots 0 . 5 , w _ { \{ 1 \} } \quad } & { { } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad k _ { 2 } = 0 . 5 , k _ { 3 } = 0 \ldots 0 . 5 , w _ { \{ 1 \} } . } \end{array}
\begin{array} { r } { B _ { 1 } = \frac { 1 } { ( \gamma - 1 ) } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \overline { { p u _ { j } } } - \overline { { p } } \widetilde { u _ { j } } \right) = \frac { \partial C _ { v } \mathcal { Q } _ { j } } { \partial x _ { j } } \, \mathrm { , } } \\ { B _ { 2 } = \overline { { p \frac { \partial u _ { k } } { \partial x _ { k } } } } - \overline { { p } } \frac { \partial \widetilde { u _ { k } } } { \partial x _ { k } } = \Pi _ { d i l } \, \mathrm { , } } \\ { B _ { 3 } = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \sigma _ { k j } \widetilde { u _ { k } } \right) \, \mathrm { , } } \\ { B _ { 4 } = \sigma _ { k j } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \widetilde { u _ { k } } \, \mathrm { , } } \\ { B _ { 5 } = \overline { { \tau _ { k j } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } u _ { k } } } - \overline { { \tau _ { i j } } } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \widetilde { u _ { k } } = \mathcal { E } \, \mathrm { , } } \\ { B _ { 6 } = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \overline { { \tau _ { i j } } } \widetilde { u _ { i } } - \check { \tau } _ { i j } \widetilde { u _ { i } } \right) = \frac { \partial \mathcal { D } } { \partial x _ { j } } \, \mathrm { , } } \\ { B _ { 7 } = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \overline { { q _ { j } } } - \check { q } _ { j } \right) \, \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( v _ { | | } - c _ { g } ) N _ { e } ^ { \prime } + n _ { e , 0 } V _ { e } ^ { \prime } } & { { } = 0 \, , } \\ { ( u _ { | | } - c _ { g } ) N _ { i } ^ { \prime } + n _ { i , 0 } V _ { i } ^ { \prime } } & { { } = 0 \, , } \\ { ( v _ { | | } - c _ { g } ) V _ { e } ^ { \prime } + \frac { c _ { s , e } ^ { 2 } } { n _ { e , 0 } } N _ { e } ^ { \prime } } & { { } = - \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \mu m _ { e } n _ { e , 0 } c ^ { 2 } k ^ { 2 } } ( | B _ { w } | ^ { 2 } ) ^ { \prime } } \\ { ( u _ { | | } - c _ { g } ) V _ { i } ^ { \prime } + \frac { c _ { s , i } ^ { 2 } } { n _ { i , 0 } } N _ { i } ^ { \prime } } & { { } = - \frac { \omega _ { p i } ^ { 2 } } { \mu m _ { i } n _ { i , 0 } c ^ { 2 } k ^ { 2 } } ( | B _ { w } | ^ { 2 } ) ^ { \prime } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { Y } } _ { u } : } & { = \{ A \in \mathcal { C } ( G ) : - P + A \subset A , A \neq \emptyset \} , } \\ { \overline { { X } } _ { u } : } & { = \{ A \in \overline { { Y } } _ { u } : - P \subset A \} = \{ A \in \overline { { Y } } _ { u } : 0 \in A \} , } \\ { Y _ { u } : } & { = \{ A \in \overline { { Y } } _ { u } : A \neq G \} , } \\ { X _ { u } : } & { = Y _ { u } \cap \overline { { X } } _ { u } , } \\ { \overline { { X } } _ { u } ^ { ( 0 ) } : } & { = \{ A \in \overline { { Y } } _ { u } : A \cap I n t ( P ) \neq \emptyset \} = \{ A \in \overline { { Y } } _ { u } : 0 \in I n t ( A ) \} , } \\ { X _ { u } ^ { ( 0 ) } : } & { = \{ A \in Y _ { u } : A \cap I n t ( P ) \neq \emptyset \} . } \end{array}
E [ \sigma ] = \int _ { m } ^ { \infty } \frac { d t } { 2 \pi } \frac { t } { \sqrt { t ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } \left[ \ln g ( i t , 0 ) + \ln \left( g ( i t , 0 ) - \frac { 1 } { t } g ^ { \prime } ( i t , 0 ) \right) \right] _ { 1 } + E _ { \mathrm { F D } } ^ { ( 1 ) } + E _ { \mathrm { C T } } \, ,
\mathcal { B } ^ { \lambda } ( t , \xi ) = [ \partial _ { \xi } \mathcal { A } ( t , \xi ) ] ^ { \lambda } = \exp \left( \mu _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } g ( r ) h ^ { \prime } \left( \Phi ( r , \mathcal { A } _ { t , \xi } \right) ) d r \right) = \eta ( t , \mathcal { A } _ { t , \xi } ) ,
{ \sf s } f = \partial ^ { \mu } ( \partial _ { \mu } c + i g [ c , G _ { \mu } ] ) + g ^ { 2 } \xi ( \Phi ^ { \dagger } c t ^ { A } \phi _ { 0 } + \phi _ { 0 } ^ { \dagger } t ^ { A } c \Phi ) t ^ { A } .
\begin{array} { r } { \sum _ { t = 1 } ^ { n } \frac { \alpha _ { i } } { \alpha _ { t } } ( x _ { i } ^ { * } ) ^ { \frac { \alpha _ { i } } { \alpha _ { t } } - 1 } \frac { \partial x _ { i } ^ { * } } { \partial \alpha _ { j } } - ( x _ { i } ^ { * } ) ^ { \frac { \alpha _ { i } } { \alpha _ { j } } } \frac { \alpha _ { i } } { \alpha _ { j } ^ { 2 } } \ln x _ { i } ^ { * } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { l _ { k + } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname { a r c c o s } \frac { \sqrt { 1 + \sin ^ { - 2 } A } } { 2 } + 2 \pi k , \quad } & { \sin ^ { 2 } A \geq | \cos A | , } \\ { \operatorname { a r c c o s } \frac { 1 + | \cos A | } { 2 } + 2 \pi k , \quad } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \\ { r _ { k + } } & { = \operatorname { a r c c o s } \frac { 1 - | \cos A | } { 2 } + 2 \pi k , } \\ { l _ { k - } } & { = \operatorname { a r c c o s } \frac { - 1 + | \cos A | } { 2 } + 2 \pi k , } \\ { r _ { k - } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname { a r c c o s } \left( - \frac { \sqrt { 1 + \sin ^ { - 2 } A } } { 2 } \right) + 2 \pi k , \quad } & { \sin ^ { 2 } A \geq | \cos A | , } \\ { \operatorname { a r c c o s } \left( - \frac { 1 + | \cos A | } { 2 } \right) + 2 \pi k , \quad } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { R } _ { j + 1 } ^ { \prime } ( x ) = \alpha \cdot \frac { \psi _ { j + 1 } ^ { \prime } ( x ) ( 1 - 2 \psi _ { j + 1 } ( x ) ) x ( 1 - x ) - \psi _ { j + 1 } ( x ) ( 1 - \psi _ { j + 1 } ( x ) ) ( 1 - 2 x ) } { ( \psi _ { j + 1 } ( x ) ( 1 - \psi _ { j + 1 } ( x ) ) ) ^ { 1 - \alpha } \left( x \left( 1 - x \right) \right) ^ { 1 + \alpha } } . } \end{array}
\dot { G } _ { \pm } + \frac { i } { 2 } \phi ^ { \pm } D _ { \pm } ^ { 2 } G _ { \pm } + \frac { i } { 4 } D _ { \pm } \phi ^ { \pm } D _ { \pm } G _ { \pm } + \frac { 3 } { 4 } i D _ { \pm } ^ { 2 } \phi ^ { \pm } G _ { \pm } = \frac { \kappa _ { 0 } } { 2 } D _ { \pm } ^ { 5 } \phi ^ { \pm } ~ .
\hat { n } ^ { M } = \left[ \frac { a ^ { \prime } \, A } { ( 1 - k a ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } , 0 , \dots , 0 , \frac { 1 } { A } [ 1 - k \, a ^ { 2 } + ( a ^ { \prime } \, \, A ) ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } \right] .
\Tilde { S } _ { x } ( N ) = \frac { N ^ { 3 / 2 } } { \tau ( \overline { { \chi } } ) L \sqrt { p } } \sum _ { q \in \Phi } \frac { 1 } { q } \sum _ { 1 \leq n \ll N _ { q } } \frac { \lambda _ { f } ( n ) } { n ^ { 1 / 4 } } \mathcal { I } _ { 1 } ( n , x , q ) \sum _ { 1 \leq m \ll M _ { q } } \frac { \lambda _ { g } ( m ) } { m ^ { 1 / 4 } } I _ { 2 } ( q , m , x ) \mathcal { C } ,
\epsilon \sim \frac { 1 } { \pi } g ^ { 2 } ( 2 \pi T ) n _ { b } ( p ) = \frac { g ^ { 2 } ( 2 \pi T ) } { \pi ( e ^ { p / T } - 1 ) } \stackrel { p < T } { \sim } \frac { g ^ { 2 } ( 2 \pi T ) T } { \pi p } ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { 0 } ( T | \widehat { L } _ { 0 } ) } & { { } = \frac { \widehat { L } _ { 0 } } { \sqrt { 2 \pi D T ^ { 3 } } } e ^ { - \frac { ( \widehat { L } _ { 0 } - \gamma T ) ^ { 2 } } { 2 D T } } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I ( T ) } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { T / 2 } \ell ( t ) e ^ { i S ( t ) } d t + \underbrace { \int _ { T / 2 } ^ { T } \ell ( t ) e ^ { i S ( t ) } d t } _ { \pm e ^ { i a T / 2 } I ( T / 2 ) } } \end{array}
\exp t _ { 3 } \partial _ { \eta } \log H ( w - \phi \eta , \phi + \eta ) = \exp t _ { 3 } [ \phi \frac { \Theta ^ { \prime } ( w ; \tau ) } { \Theta ( w ; \tau ) } + \delta \frac { \dot { \Theta } ( w ; \tau ) } { \Theta ( w ; \tau ) } ] .
{ \begin{array} { r l r } { { \mathcal { H } } _ { 1 } } & { : = { \mathrm { I m a g e } } \; P } & { = \operatorname { s p a n } \{ | \omega _ { k } \rangle \in B _ { \mathrm { o p } } \; | \; \chi ( k ) = 1 \} , } \\ { { \mathcal { H } } _ { 0 } } & { : = { \mathrm { K e r } } \; P } & { = \operatorname { s p a n } \{ | \omega _ { k } \rangle \in B _ { \mathrm { o p } } \; | \; \chi ( k ) = 0 \} . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \langle f \rangle = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \Phi \int _ { 0 } ^ { \pi } \rho ( \Theta ) f \sin \Theta d \Theta = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } \rho ( \Theta ) f \sin \Theta d \Theta . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 L } \sum _ { k \neq q } \frac { e ^ { i L ( k - q ) } - 1 } { e ^ { i q } - e ^ { i k } } f _ { k } = - \frac { \mathrm { v . p . } } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d k \frac { f _ { k } } { e ^ { i q } - e ^ { i k } } = - \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d k \frac { f _ { k } - f _ { q } } { e ^ { i q } - e ^ { i k } } .
\Lambda _ { s } = \mathbf { Z } _ { p } [ G _ { s } ] \hookrightarrow \tilde { \Lambda } _ { s } = \mathbf { Z } _ { p } [ \Gamma _ { s } ] , \quad \Lambda = \varprojlim _ { s } \Lambda _ { s } = \mathbf { Z } _ { p } [ \! [ 1 + p \mathbf { Z } _ { p } ] \! ] \hookrightarrow \tilde { \Lambda } = \varprojlim _ { s } \tilde { \Lambda } _ { s } = \mathbf { Z } _ { p } [ \! [ \mathbf { Z } _ { p } ^ { \times } ] \! ] .
\frac { 1 } { 4 } \, [ \, F _ { 3 } ^ { \nu ( p + n ) } + F _ { 3 } ^ { \bar { \nu } ( p + n ) } \, ] = \, u _ { v } + d _ { v } + ( s - \bar { s } ) + ( c - \bar { c } ) \approx \, u _ { v } + d _ { v } \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \mathcal { E } [ u ] ( t ) } & { = - \int _ { \Omega } \mu \, \mathrm { d i v } J \, d x = - \int _ { \partial \Omega } \mu \, J \cdot \nu \, d \sigma + \int _ { \Omega } \nabla \mu \cdot J \, d x } \\ & { = - \int _ { \Omega } D ( u ) | \nabla \mu | ^ { 2 } \, d x \leq 0 , \qquad \qquad \mathrm { ~ f o r ~ } \, t > 0 , } \end{array}
D _ { \mu , x } ^ { a b } i G ^ { [ s ] } ( x , x ^ { \prime } ) _ { \nu \rho } ^ { b c } = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d T \int _ { x ( 0 ) = x ^ { \prime } , x ( T ) = x } D x ( t ) \dot { x } _ { \mu } ( T ) e x p \left( - { \frac { 1 } { 4 } } \int _ { 0 } ^ { T } d t \, \dot { x } ^ { 2 } \right) \Phi _ { \nu \rho } ^ { [ 1 ] } [ C ^ { x x ^ { \prime } } ] U [ C ^ { x x ^ { \prime } } ] ^ { a c }
\begin{array} { r l } & { \int \frac { s \mathrm { d } H ( s , t ) } { \vert ( 1 + s \underline { { g } } ( z _ { n } ) + t \underline { { m } } ( z _ { n } ) ) ( 1 + s \tilde { g } + t \tilde { m } ) \vert } \leq \sqrt { A _ { 1 } ( n ) A _ { 1 } } \leq M , } \\ & { \int \frac { t \mathrm { d } H ( s , t ) } { \vert ( 1 + s \underline { { g } } ( z _ { n } ) + t \underline { { m } } ( z _ { n } ) ) ( 1 + s \tilde { g } + t \tilde { m } ) \vert } \leq \sqrt { B _ { 1 } ( n ) B _ { 1 } } \leq M , } \\ & { \int \frac { s t \mathrm { d } H ( s , t ) } { \vert ( 1 + s \underline { { g } } ( z _ { n } ) + t \underline { { m } } ( z _ { n } ) ) ( 1 + s \tilde { g } + t \tilde { m } ) \vert } \leq \sqrt { A _ { 2 } ( n ) A _ { 2 } } \leq M , } \\ & { \int \frac { t ^ { 2 } \mathrm { d } H ( u , t ) } { \vert ( 1 + s \underline { { g } } ( z _ { n } ) + t \underline { { m } } ( z _ { n } ) ) ( 1 + s \tilde { g } + t \tilde { m } ) \vert } \leq \sqrt { B _ { 2 } ( n ) B _ { 2 } } \leq M . } \end{array}
\vartheta ( z ; \tau ) = \prod _ { m = 1 } ^ { \infty } { \big ( } 1 - \exp ( 2 m \pi i \tau ) { \big ) } { \Big ( } 1 + \exp { \big ( } ( 2 m - 1 ) \pi i \tau + 2 \pi i z { \big ) } { \Big ) } { \Big ( } 1 + \exp { \big ( } ( 2 m - 1 ) \pi i \tau - 2 \pi i z { \big ) } { \Big ) } .
\begin{array} { r l } { L _ { 1 } ( { \nu } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \, \log \left\| \mathscr { A } ^ { n } ( \omega ) ( \theta ) \right\| \quad \mathrm { f o r } \quad { \nu } ^ { \mathbb { Z } } \times m \mathrm { ~ a . e . ~ } ( \omega , \theta ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \, \int _ { X \times \mathbb { T } ^ { d } } \frac { 1 } { n } \, \log \left\| \mathscr { A } ^ { n } ( \omega ) ( \theta ) \right\| \, d ( { \nu } ^ { \mathbb { Z } } \times m ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( Y _ { a } ) } & { \lesssim \frac { 1 } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 6 } } \sum _ { i _ { 2 } , i _ { 3 } } \big ( \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 4 } } \theta _ { i _ { 1 } } \theta _ { i _ { 3 } } \theta _ { i _ { 4 } } ( \beta _ { i _ { 1 } } \theta _ { i _ { 1 } } ) ( \beta _ { i _ { 4 } } \theta _ { i _ { 4 } } ) \big ) ^ { 2 } \theta _ { i _ { 2 } } \theta _ { i _ { 3 } } \lesssim \frac { 1 } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 6 } } \sum _ { i _ { 2 } , i _ { 3 } } \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \theta _ { i _ { 2 } } \theta _ { i _ { 3 } } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 5 } } . } \end{array}