harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\eta = \left( 1 + \frac { Q _ { \mathrm { ~ J ~ J ~ } } } { Q _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ t ~ } } } \right) ^ { - 1 } \approx \left( 1 + \frac { 1 } { \alpha } \frac { I _ { \mathrm { ~ J ~ J ~ } } ^ { 2 } \tan { \delta } } { 4 \pi f _ { r } ^ { 2 } C _ { r } E _ { \mathrm { ~ J ~ J ~ } } } \right) ^ { - 1 } .
\begin{array} { r } { \mathbf { v } ( \mathbf { r } ) = \left[ \mathbf { G } ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { + } ) - \mathbf { G } ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { - } ) \right] \cdot \mathbf { f } \, , } \end{array}
I _ { 4 c } ^ { ( n ) } = \frac { 1 } { 4 M _ { W } ^ { 4 } } \int d ^ { D } k \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } ) ^ { 2 n - 2 } [ ( p - k ) ^ { 2 } ] ^ { 2 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } \, ,
\begin{array} { r l } { Q _ { j } ^ { ( n + 1 ) } } & { { } = \alpha _ { j } q _ { j - 1 } ^ { ( n ) } + \left( \beta _ { j } q _ { 1 } ^ { ( n ) } + \gamma _ { j } q _ { N - 1 } ^ { ( n ) } \right) \left( 1 - \sum _ { i = 1 } ^ { j - 1 } q _ { i } ^ { ( n ) } \right) , } \\ { j } & { { } = 2 , \ldots , N - 1 . } \end{array}
\mathrm { N } _ { 2 } \mathrm { O } _ { 5 } ( g ) + 2 \mathrm { B r } ^ { - } ( \mathrm { g l y } ) \rightarrow \mathrm { B r } _ { 2 } ( g ) + \mathrm { N O } _ { 3 } ^ { - } ( \mathrm { g l y } ) + \mathrm { N O } _ { 2 } ^ { - } ( \mathrm { g l y } )
{ \cal J } _ { 2 0 1 } ( \omega , q ) \simeq - q \frac { 1 8 \sqrt { 2 } } { ( 9 / 4 + q ^ { 2 } ) ^ { 3 } } + q \; \omega \frac { 3 \sqrt { 2 } ( 2 4 3 + 6 8 4 q ^ { 2 } + 1 2 8 q ^ { 4 } ) } { 2 ( 9 / 4 + q ^ { 2 } ) ^ { 5 } } ,
\Gamma _ { \boldsymbol { k } + \boldsymbol { q } } = \Gamma _ { \boldsymbol { k } + \boldsymbol { q } } ^ { ( \mathrm { 1 p h } ) } + \Gamma _ { \boldsymbol { k } + \boldsymbol { q } } ^ { ( \mathrm { 2 p h } ) }
\frac { c h ^ { * } ( v ) } { h ( v ) } \left\{ \begin{array} { l l } { > \frac { 1 1 } { 1 5 } , } & { \mathrm { ~ i f ~ v ~ i s ~ a n ~ e x t e r n a l ~ 4 ^ + ~ - v e r t e x } ; } \\ { \geq \frac { 1 } { 2 } , } & { \mathrm { ~ i f ~ v ~ i s ~ a n ~ i n t e r n a l ~ 4 ^ + ~ - v e r t e x } ; } \\ { \geq \frac { 8 } { 1 3 } , } & { \mathrm { ~ i f ~ v ~ i s ~ a n ~ e x t e r n a l ~ 3 - v e r t e x } ; } \end{array} \right.
f ( s ) = \biggl ( { \frac { - i } { 2 } } \biggr ) \int \, { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \, { \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } + i \epsilon ) ( ( p _ { 1 } + p _ { 2 } - k ) ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } + i \epsilon ) } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { P C C } } } & { { } \simeq \mathcal { L } _ { \mathrm { P C C } } ^ { ' } + \frac { ( \delta \phi _ { \mathrm { P C C } } ) ^ { 2 } } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 1 } ^ { \mathrm { g } } : \quad } & { g ^ { 7 } ( 1 ) = 1 , \; g ^ { 7 } ( 2 ) = 2 , \; g ^ { 7 } ( 3 ) = 2 , \; g ^ { 7 } ( 4 ) = 3 , \; g ^ { 7 } ( 5 ) = 3 , } \\ & { g ^ { 7 } ( 6 ) = 4 , \; g ^ { 7 } ( 7 ) = 4 , \; g ^ { 7 } ( 8 ) = 5 , \; g ^ { 7 } ( 9 ) = 5 , \; g ^ { 7 } ( 1 0 ) = 7 , } \\ & { g ^ { 7 } ( 1 1 ) = 7 , \; g ^ { 7 } ( 1 2 ) = 8 , \; g ^ { 7 } ( 1 3 ) = 8 , \; g ^ { 7 } ( 1 4 ) = 8 , \; } \\ & { g ^ { 7 } ( 1 5 ) = 9 , \; g ^ { 7 } ( 1 6 ) = 9 , \; g ^ { 7 } ( 1 7 ) = 9 , \; g ^ { 7 } ( 1 8 ) = 1 0 , } \\ & { g ^ { 7 } ( 1 9 ) = 1 0 , \; g ^ { 7 } ( 2 0 ) = 1 2 , \; g ^ { 7 } ( 2 1 ) = 1 2 , } \\ & { g ^ { 7 } ( 2 2 ) = 1 4 , \; g ^ { 7 } ( 2 3 ) = 1 4 \; . } \end{array}
A ^ { 2 } \eta \geq \left\{ \begin{array} { l l } { { 0 . 1 0 4 \quad } } & { { m _ { t } = 2 0 0 \; \mathrm { G e V } , } } \\ { { 0 . 1 3 } } & { { m _ { t } = 1 7 5 \; \mathrm { G e V } , } } \\ { { 0 . 1 6 } } & { { m _ { t } = 1 5 0 \; \mathrm { G e V } , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left[ B _ { 1 } \sin ( B _ { 1 } ^ { \top } \theta ) \right] _ { i } } & { { } = \sum _ { \epsilon \in \mathcal { E } } ( B _ { 1 } ) _ { i \epsilon } \sin ( B _ { 1 } ^ { \top } \theta ) _ { \epsilon } = \sum _ { \epsilon \in \mathcal { E } } ( B _ { 1 } ) _ { i \epsilon } \sin ( \theta _ { \mathbf { h } ( \epsilon ) } - \theta _ { \mathbf { t } ( \epsilon ) } ) } \end{array}
\ell _ { 1 } ( c ) = \left( \begin{array} { c } { \frac { 1 } { e } \, \mathrm { d } c } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) \ , \quad \ell _ { 1 } ( { \cal A } ) = \left( \begin{array} { c } { \delta \, \mathrm { d } A } \\ { \frac 1 6 \, \ast _ { \textrm { \tiny H } } ( \mathrm { d } \bar { \psi } \wedge V ) } \\ { - \frac 1 6 \, \ast _ { \textrm { \tiny H } } ( V \wedge \mathrm { d } \psi ) } \end{array} \right) { \qquad \mathrm { a n d } \qquad } \ell _ { 1 } ( { \cal A } ^ { + } ) = \frac 1 e \, \delta A ^ { + } \ .
\begin{array} { r } { \widehat { \epsilon } = \operatorname* { m a x } _ { \phi ^ { \prime } \in \mathcal { S } } \operatorname* { m a x } _ { \widetilde { \phi } \in \mathcal { C } } \Big | \log \Big ( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } I ( \mathcal { A } _ { \epsilon } ( \phi ) = \widetilde { \phi } ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } I ( \mathcal { A } _ { \epsilon } ( \phi ^ { \prime } ) = \widetilde { \phi } ) } \Big ) \Big | , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { i } ^ { \lambda } ( \mathbf { X } , t ) = \int _ { \tau } d \tau \iint _ { \Sigma } } & { \lambda _ { 1 } \big [ U _ { j } ( \pmb { \xi } , \tau ) \big ] ~ \lambda _ { 2 } c _ { j k p q } ~ \lambda _ { 3 } \mathbf { G } _ { i p , q } ( \mathbf { X } , t ; \pmb { \xi } , \tau ) ~ \lambda _ { 4 } \nu _ { k } ~ d \Sigma ( \pmb { \xi } ) } \\ & { \textnormal { a n d } ~ \prod _ { k = 1 } ^ { 4 } \lambda _ { k } = \lambda } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { p } = \sqrt { ( p + p _ { 0 } ) ( \rho _ { 0 } ^ { - 1 } - \rho ^ { - 1 } ) } , } \\ { U _ { s } = \rho _ { 0 } ^ { - 1 } \sqrt { \frac { p + p _ { 0 } } { \rho _ { 0 } ^ { - 1 } - \rho ^ { - 1 } } } . } \end{array}
\partial _ { t } \delta \rho + \delta \rho \nabla _ { i } v ^ { i } + v ^ { i } \nabla _ { i } \delta \rho + \rho \nabla _ { i } \delta v ^ { i } = 0 \Longrightarrow - i \omega \delta \rho + i \rho k _ { i } \delta v ^ { i } = 0 \; ,
O _ { n + 1 , k } = O _ { n , k } + \frac { \beta } { \operatorname* { m a x } \left| P _ { n , k } \right| ^ { 2 } } P _ { n , k } ^ { * } \left( \psi _ { k } - P _ { n , k } \cdot O _ { n , k } \right) .
{ \begin{array} { r l } { A C ^ { 2 } B C ^ { 2 } - C D ^ { 2 } A C ^ { 2 } - C D ^ { 2 } B C ^ { 2 } } & { = 0 } \\ { A C ^ { 2 } B C ^ { 2 } } & { = C D ^ { 2 } B C ^ { 2 } + C D ^ { 2 } A C ^ { 2 } } \\ { { \frac { 1 } { C D ^ { 2 } } } } & { = { \frac { B C ^ { 2 } } { A C ^ { 2 } \cdot B C ^ { 2 } } } + { \frac { A C ^ { 2 } } { A C ^ { 2 } \cdot B C ^ { 2 } } } } \\ { \therefore \; \; { \frac { 1 } { C D ^ { 2 } } } } & { = { \frac { 1 } { A C ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { B C ^ { 2 } } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { R = \mathcal { R } _ { \mathbb { F } } \cong \mathcal { T } _ { \mathbb { G } } ^ { \prime } \otimes \mathcal { S } _ { \mathbb { H } } ^ { \prime } = \Big ( \underset { x \in \mathrm { I r r } ( \mathbb { G } ) } { \bigoplus } \mathcal { T } _ { x } ^ { \prime } \Big ) \otimes \Big ( \underset { y \in \mathrm { I r r } ( \mathbb { H } ) } { \bigoplus } \mathcal { S } _ { y } ^ { \prime } \Big ) \cong \underset { y \in \mathrm { I r r } ( \mathbb { H } ) } { \underset { x \in \mathrm { I r r } ( \mathbb { G } ) } { \bigoplus } } \mathcal { T } _ { x } ^ { \prime } \otimes \mathcal { S } _ { y } ^ { \prime } . } \end{array}
d s ^ { 2 } = - \left( - 8 M G + \frac { r ^ { 2 } } { \ell ^ { 2 } } \right) d t ^ { 2 } + \left( - 8 M G + \frac { r ^ { 2 } } { \ell ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \varphi ^ { 2 }
\mathcal { E } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ n ~ g ~ } } = \left\{ e _ { i j } \, \big | \, \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ t ~ } \left( \vec { p } _ { i } , \vec { P } _ { j } \right) \leq r _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ n ~ g ~ } } , \, \forall i \in \mathcal { U } , \, \forall j \in \mathcal { V } \right\} .
p _ { n } = 1 2 1 3 2 6 6 3 7 7 \times 2 ^ { 3 5 0 0 0 } + 2 4 2 9 , \quad p _ { n - 1 } = p _ { n } - 2 4 3 0 , \quad p _ { n + 1 } = p _ { n } + 2 4 3 0 .
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \pi } { 4 } } } & { = \left( \prod _ { p \equiv 1 { \pmod { 4 } } } { \frac { p } { p - 1 } } \right) \left( \prod _ { p \equiv 3 { \pmod { 4 } } } { \frac { p } { p + 1 } } \right) } \\ & { = { \frac { 3 } { 4 } } \cdot { \frac { 5 } { 4 } } \cdot { \frac { 7 } { 8 } } \cdot { \frac { 1 1 } { 1 2 } } \cdot { \frac { 1 3 } { 1 2 } } \cdot { \frac { 1 7 } { 1 6 } } \cdot { \frac { 1 9 } { 2 0 } } \cdot { \frac { 2 3 } { 2 4 } } \cdot { \frac { 2 9 } { 2 8 } } \cdots } \end{array} }
\begin{array} { r l } { B } & { { } \equiv \overline { { R } } _ { 1 } ( G , B ) + \overline { { R } } _ { 2 } ( G , B ) + \overline { { R } } _ { 1 } ( B , G ) + \overline { { R } } _ { 2 } ( B , G ) } \end{array}
\hat { N } _ { \mu } = \frac { 1 } { \cal { I } } \int \frac { d ^ { 4 } x } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { d \hat { T } d \hat { T } ^ { ' } } { 4 \pi } e ^ { i K \cdot x } Y _ { I I _ { z } } ^ { * } ( \hat { T } ) Y _ { I I _ { z } } ( \hat { T } ^ { ' } ) \hat { T } _ { \mu } \hat { T } ^ { ' } { } _ { \mu } ^ { * } \rho ( x ) ( e ^ { \rho ( x ) \hat { T } \cdot \hat { T } ^ { ' } } - 1 ) ,
\begin{array} { r l r } { - \left( \frac { ( 2 - 3 / K _ { 2 } ) r _ { 2 } - r _ { 1 } - 1 0 m } { 1 0 } \right) \times } & { } & \\ { \left( \frac { 4 r _ { 2 } K _ { 2 } ( 2 K _ { 2 } - 3 ) ( r _ { 1 } + 1 0 m ) - 5 ( r _ { 1 } K _ { 2 } ^ { 2 } ( 9 c _ { 1 } r _ { 1 } + 8 m ) + r _ { 2 } ^ { 2 } ( 1 - 4 K _ { 2 } ) ^ { 2 } ) } { 4 0 0 K _ { 2 } ^ { 2 } } \right) } & { = } & \\ { \frac { r _ { 1 } r _ { 2 } ( K _ { 2 } ( 9 c _ { 1 } r _ { 1 } + 8 m ) ( 2 K _ { 2 } - 3 ) - r _ { 2 } ( 1 - 4 K _ { 2 } ) ^ { 2 } ) } { 8 0 0 K _ { 2 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| \hat { k } \| _ { \infty } } & { \leq } & { \| k \| _ { \infty } + \epsilon \leq \bar { \beta } \mathrm { e } ^ { \bar { \beta } } + \epsilon } \\ { \| \hat { l } \| _ { \infty } } & { \leq } & { \left( \bar { \beta } + ( 1 + \bar { \beta } ) \epsilon \right) \mathrm { e } ^ { ( 1 + \bar { \beta } ) \epsilon } } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } f ^ { n + 1 } + v \cdot \nabla _ { x } f ^ { n + 1 } + \mathrm { d i v } _ { v } \left[ f ^ { n + 1 } ( E ^ { n } ( t , x ) - v ) \right] = 0 , } \\ { \partial _ { t } \mathfrak { m } ^ { n + 1 } + \mathrm { d i v } _ { x } ( \mathfrak { m } ^ { n + 1 } u ^ { n } ) = 0 , } \\ { \partial _ { t } u ^ { n + 1 } - \frac { 1 } { \mathfrak { m } ^ { n } } \Big ( \Delta _ { x } + \nabla _ { x } \mathrm { d i v } _ { x } \Big ) u ^ { n + 1 } = - ( u ^ { n } \cdot \nabla _ { x } ) u ^ { n } - \nabla _ { x } \pi ( \varrho ^ { n } ) + \frac { 1 } { \mathfrak { m } ^ { n } } ( j _ { f ^ { n } } - \rho _ { f ^ { n } } u ^ { n } ) , } \\ { \varrho ^ { n + 1 } = \frac { 1 } { 1 - \rho _ { f ^ { n } } } \mathfrak { m } ^ { n + 1 } , } \\ { E ^ { n } : = u ^ { n } - p ^ { \prime } ( \varrho ^ { n } ) \nabla _ { x } \left[ ( I - \varepsilon ^ { 2 } \Delta _ { x } ) ^ { - 1 } \varrho ^ { n } \right] , } \\ { { f ^ { n + 1 } } _ { \mid t = 0 } = f ^ { \mathrm { i n } } , \ \ { \mathfrak { m } ^ { n + 1 } } _ { \mid t = 0 } = \alpha ^ { \mathrm { i n } } \varrho ^ { \mathrm { i n } } , \ \ { u ^ { n + 1 } } _ { \mid t = 0 } = u ^ { \mathrm { i n } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } P ( n ; \mu ) } & { { } = 1 , } \\ { \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } n P ( n ; \mu ) } & { { } = \mu , } \\ { \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } n ^ { 2 } P ( n ; \mu ) } & { { } = \mu ( \mu + 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Vert \varrho _ { \varepsilon } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { \infty } ) } \lesssim \Vert \varrho _ { \varepsilon } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m - 2 } ) } \leq \Lambda \left( T , R , \Vert \varrho ^ { \mathrm { i n } } \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m - 2 } } , \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { 3 } ^ { * } ( \ell ) = - \frac { 6 \theta ^ { 2 } } { d ( d + 2 ) } X _ { i } X _ { i } X _ { i } \mathbb { E } [ \psi ( x ) \psi ( x + \ell ) ] + \frac { 6 \theta ^ { 2 } } { d ( d + 2 ) } X _ { i } X _ { i } X _ { i } \mathbb { E } [ \psi ( x ) \psi ( x + \ell ) ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { Q _ { l } } = \frac { 1 } { Q _ { i } } + \frac { 1 } { Q _ { e } } = \frac { 1 } { Q _ { c } } + \frac { 1 } { Q _ { d } } + \frac { 1 } { Q _ { r } } + \frac { 1 } { Q _ { e } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \langle A _ { 1 } A _ { - 1 } \rangle } _ { 0 } = 4 \frac { f ( V ) ^ { 2 } } { Z _ { 0 } } \sum _ { m = - V / 2 } ^ { V / 2 } e ^ { 2 \mu _ { 0 } V } \left[ \frac { m ^ { 2 } } { 2 } + \frac { V } { 4 } \left( \frac { V } { 2 } + 1 \right) \right] } \\ & { { \langle A _ { 1 } \rangle } _ { 0 } = \frac { 2 f ( V ) } { Z _ { 0 } } \sum _ { m = - V / 2 } ^ { V / 2 } e ^ { 2 \mu _ { 0 } V } m } \end{array}
\mathbf { v } _ { i } \in \mathbb { R } ^ { 2 K + 1 } , \, A _ { i } \in \mathbb { R } ^ { ( 2 K + 1 ) \times ( 2 K + 1 ) } , \, B _ { i } \in \mathbb { R } ^ { ( 2 K + 1 ) \times ( 2 K + 1 ) }
\mathbf { r } _ { 1 } = ( L _ { 1 } \sin \theta _ { 1 } , - L _ { 1 } \cos \theta _ { 1 } ) , \quad \mathbf { r } _ { 2 } = ( L _ { 1 } \sin \theta _ { 1 } , - L _ { 1 } \cos \theta _ { 1 } ) + ( L _ { 2 } \sin \theta _ { 2 } , - L _ { 2 } \cos \theta _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { c o r r } _ { L } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \frac { \tau } { \tau ^ { \prime } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } + \frac { 1 } { \alpha - 1 } } } & { \qquad \mathrm { f o r } \ \tau < \tau ^ { \prime } } \\ { \left( \frac { \tau ^ { \prime } } { \tau } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } + \frac { 1 } { \alpha - 1 } } } & { \qquad \mathrm { f o r } \ \tau > \tau ^ { \prime } } \\ { 1 } & { \qquad \mathrm { f o r } \ \tau = \tau ^ { \prime } \ . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { i j k l } ^ { \uparrow \uparrow } } & { { } = } & { \langle \Psi | \hat { a } _ { k \alpha } ^ { \dagger } \, \hat { a } _ { l \alpha } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j \alpha } \, \hat { a } _ { i \alpha } | \Psi \rangle } \\ { \Gamma _ { i j k l } ^ { \downarrow \downarrow } } & { { } = } & { \langle \Psi | \hat { a } _ { k \beta } ^ { \dagger } \, \hat { a } _ { l \beta } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j \beta } \, \hat { a } _ { i \beta } | \Psi \rangle } \\ { \Gamma _ { i j k l } ^ { \uparrow \downarrow } } & { { } = } & { \langle \Psi | \hat { a } _ { k \alpha } ^ { \dagger } \, \hat { a } _ { l \beta } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j \beta } \, \hat { a } _ { i \alpha } | \Psi \rangle + } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - 1 } ^ { 1 } { \sqrt { 4 - x ^ { 2 } } } \, d x } & { { } = \int _ { - \pi / 6 } ^ { \pi / 6 } { \sqrt { 4 - 4 \sin ^ { 2 } \theta } } \, ( 2 \cos \theta ) \, d \theta } \end{array}
\sum _ { A = T , \, L , \, C , \, D , \, g } \int d ^ { \, 4 } Q \, \Delta _ { F } ^ { A \, ( r s ) } ( Q ) \, { \cal H } ^ { A } ( Q ) \; \; \; \; \; \; \; \; \; ( r , s = 1 , 2 ) \, .
T _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ o ~ n ~ a ~ } } \sim \left( \frac { e ^ { 4 } \, m _ { e } ^ { 1 / 2 } } { m _ { p } ^ { 2 } } \, \frac { \rho _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ o ~ n ~ a ~ } } ^ { 1 / 2 } \, B _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ r ~ f ~ } } } { g } \right) ^ { 2 / 3 } = 4 . 6 \times 1 0 ^ { - 3 } \, \frac { \lambda ^ { 5 / 6 } \, m _ { e } ^ { 5 / 3 } } { \alpha ^ { 1 / 3 } \, m _ { p } ^ { 2 / 3 } }
\begin{array} { r l } { | C _ { 1 } | ^ { 2 } + | C _ { 2 } | ^ { 2 } } & { = \left[ \tau ^ { 2 } + k ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( \varphi - \theta _ { 0 } \right] ( \tau ^ { 2 } + k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \varphi ) ^ { N + 1 } } \\ & { \quad + \left( \tau ^ { 2 } + k ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \varphi \right) [ \tau ^ { 2 } + k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \varphi - \theta _ { 0 } ) ] ^ { N + 1 } } \\ & { = \tau ^ { 2 N + 4 } \{ [ 1 + \frac { k ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } \cos ^ { 2 } \left( \varphi - \theta _ { 0 } \right) ] ( 1 + \frac { k ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \varphi ) ^ { N + 1 } } \\ & { \quad + ( 1 + \frac { k ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } \cos ^ { 2 } \varphi ) [ 1 + \frac { k ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } ( \varphi - \theta _ { 0 } ) ] ^ { N + 1 } \} . } \end{array}
E = \gamma \pi \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } A _ { 0 , \alpha } ^ { 2 } K _ { 0 , \alpha } + \frac { \gamma \pi } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } ( C _ { n , \alpha } ^ { 2 } + D _ { n , \alpha } ^ { 2 } ) K _ { n , \alpha } ,
\sum _ { R } G _ { _ R } = \sum r \rightarrow { \cal V } \int { \frac { d p _ { _ 1 } d p _ { _ 2 } d p _ { _ 3 } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { 3 } } } \ , \qquad { \cal V } = \int d x ^ { _ 1 } d x ^ { _ 2 } d x ^ { _ 3 } \ .
\begin{array} { r l } { R } & { { } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { \sin ( \alpha + \gamma ) } & { \cos ( \alpha + \gamma ) } & { 0 } \\ { - \cos ( \alpha + \gamma ) } & { \sin ( \alpha + \gamma ) } & { 0 } \end{array} \right] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \vec { z } } _ { k } ^ { f } } & { { } = F \hat { \vec { z } } _ { k - 1 } ^ { a } } \\ { P _ { k } ^ { f } } & { { } = F P _ { k - 1 } ^ { a } F ^ { T } + Q } \end{array}
{ \frac { d } { d z } } \left[ z ^ { - b _ { q } } \; G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z \right) \right] = z ^ { - 1 - b _ { q } } \; G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { b _ { 1 } , \dots , b _ { q - 1 } , b _ { q } + 1 } \end{array} } \; \right| \, z \right) , \quad m
\begin{array} { r l } { | E ( u _ { n } ) | ( \Omega ^ { \prime } ) } & { = \int _ { \Omega ^ { \prime } } | e ( u _ { n } ) | \, d x + \int _ { J _ { u _ { n } } } | u _ { n } ^ { + } - u _ { n } ^ { - } | \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } } \\ & { \leq \int _ { \Omega ^ { \prime } \setminus \Omega } | e ( V ) | \, d x + \int _ { \Omega } | e ( u _ { n } ) | \, d x + \int _ { J _ { u _ { n } } } [ | u _ { n } ^ { + } | + | u _ { n } ^ { - } | ] \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } } \\ & { \leq \int _ { \Omega ^ { \prime } \setminus \Omega } | e ( V ) | \, d x + \frac { 1 } { 2 } \left[ | \Omega | + \int _ { \Omega } | e ( u _ { n } ) | ^ { 2 } \, d x + 2 { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } ( J _ { u _ { n } } ) + \int _ { J _ { u _ { n } } } [ | u _ { n } ^ { + } | ^ { 2 } + | u _ { n } ^ { - } | ^ { 2 } ] \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } \right] \leq \tilde { C } , } \end{array}
\tilde { B } _ { 2 } ( k ^ { 2 } ) = \frac { e ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \frac { 1 } { 2 \sqrt { k ^ { 2 } } } \theta ( k _ { 0 } ) \theta ( k ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { P r } _ { \boldsymbol { \varepsilon } , \boldsymbol { X } , Y } \left( X ^ { \prime } = 1 | \boldsymbol { \it A n c } ( X ) \setminus \{ X ^ { \prime } , X _ { 1 } \} = \boldsymbol { v } \right) \geq \zeta , } \\ & { \operatorname* { P r } _ { \boldsymbol { \varepsilon } , \boldsymbol { X } , Y } \left( X ^ { \prime } = 0 | \boldsymbol { \it A n c } ( X ) \setminus \{ X ^ { \prime } , X _ { 1 } \} = \boldsymbol { v } \right) \geq \zeta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( L ) = \widetilde { C } ( \alpha ) \; \Gamma \left( \frac { 1 } { \alpha + 1 } , - \frac { 2 \gamma L ^ { \alpha + 1 } } { D ( \alpha + 1 ) } \right) \Big | _ { 0 } ^ { L } \qquad \qquad } & { { } \ \alpha \neq - 1 \ , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { R / \lambda _ { + } \rightarrow 0 } c _ { n } ( k ) = \left\{ \begin{array} { l l } { k ^ { 4 } + 2 k ^ { 2 } \frac { R } { \lambda } } & { n = 0 } \\ { \left( k ^ { 2 } + n ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } & { n \geq 1 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { L ( n _ { U } , n _ { R } ) } & { = \int _ { r _ { 0 } } ^ { r _ { 1 } } \Big [ ( M + Q ( r , n _ { U } , n _ { R } ) \Big ] r ^ { - \alpha } \frac { 2 r } { r _ { 1 } ^ { 2 } - r _ { 0 } ^ { 2 } } d r } \\ { Q ( n _ { U } , n _ { R } , r ) } & { = \sum _ { n _ { U } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { U } ^ { \prime } | n _ { U } , r ) n _ { U } ^ { \prime } \sum _ { n _ { R } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { R } ^ { \prime } | n _ { R } , r ) n _ { R } ^ { - 1 } } \\ { R ( n _ { U } , n _ { R } ) } & { = \int _ { r _ { 0 } } ^ { r _ { 1 } } U ( n _ { U } , n _ { R } , r ) r ^ { - 2 \alpha } \frac { 2 r } { r _ { 1 } ^ { 2 } - r _ { 0 } ^ { 2 } } d r } \\ & { + ( n _ { R } - 1 ) \Bigg [ \int _ { r _ { 0 } } ^ { r _ { 1 } } \Big [ ( M + Q ( r , n _ { U } , n _ { R } ) \Big ] r ^ { - \alpha } \frac { 2 r } { r _ { 1 } ^ { 2 } - r _ { 0 } ^ { 2 } } d r \Bigg ] ^ { 2 } } \\ { U ( n _ { U } , n _ { R } , r ) } & { = M ( M + 1 ) + 2 M Q ( n _ { U } , n _ { R } , r ) + V ( n _ { U } , n _ { R } ) + W ( n _ { U } , n _ { R } ) } \\ { V ( n _ { U } , n _ { R } ) } & { = \sum _ { n _ { U } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { U } ^ { \prime } | n _ { U } , r ) n _ { U } ^ { \prime } \sum _ { n _ { R } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { R } ^ { \prime } | n _ { R } , r ) \rho _ { n _ { R } ^ { \prime } } } \\ { W ( n _ { U } , n _ { R } ) } & { = \sum _ { n _ { U } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { U } ^ { \prime } | n _ { U } , r ) n _ { U } ^ { \prime } ( n _ { U } ^ { \prime } - 1 ) \Bigg [ \sum _ { n _ { R } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { R } ^ { \prime } | n _ { R } , r ) n _ { R } ^ { - 1 } \Bigg ] ^ { 2 } } \\ { \rho _ { m } } & { = s _ { m } ^ { 2 } \frac { \Gamma ( 2 + k _ { m } ) } { \Gamma ( k _ { m } ) } } \end{array}
Q _ { a , b } ( \alpha , \alpha ^ { * } ) = \frac { 1 } { a ! b ! } \left. \frac { \partial ^ { a + b } } { \partial ^ { a } \alpha \, \partial ^ { b } \alpha ^ { * } } Q ( \alpha , \alpha ^ { * } ) \right| _ { \alpha = \alpha ^ { * } = 0 } .
S = { \frac { 1 } { 2 \kappa _ { 1 0 } ^ { 2 } } } \int d x ^ { 1 0 } \sqrt { - \hat { G } } \, e ^ { - \hat { \Phi } } \left[ { \cal R } _ { \hat { G } } + \partial _ { M } \hat { \Phi } \partial ^ { M } \hat { \Phi } - { \frac { 1 } { 2 \cdot 3 ! } } \hat { H } _ { M N P } \hat { H } ^ { M N P } \right] ,
\_ D = \frac { E _ { 0 } } { 2 } \Bigg [ \epsilon - { \frac { \chi ^ { 2 } } { \mu c ^ { 2 } } } \pm j { \frac { \chi } { \mu c } } \sqrt { \mu \epsilon - { \frac { \chi ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } \Bigg ] ( \_ a _ { x } \mp j \_ a _ { y } ) e ^ { - j \beta z } e ^ { j \omega t } , \quad \_ B = \pm j \frac { E _ { 0 } } { 2 } \sqrt { \mu \epsilon - { \frac { \chi ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } ( \_ a _ { x } \mp j \_ a _ { y } ) e ^ { - j \beta z } e ^ { j \omega t } .
\gamma _ { F } = \gamma _ { 0 } [ 1 - a _ { 1 } \gamma _ { 0 } - ( a _ { 2 } + B r _ { 1 } ) \gamma _ { 0 } ^ { 2 } - ( a _ { 3 } + 2 B r _ { 2 } + B r _ { 1 } ^ { 2 } ) \gamma _ { 0 } ^ { 3 } - ( a _ { 4 } + B ( 3 r _ { 3 } + 3 r _ { 2 } r _ { 1 } + B _ { 1 } r _ { 1 } + r _ { 1 } ^ { 3 } ) ) \gamma _ { 0 } ^ { 4 } ] .
\begin{array} { r } { \left| d _ { i } \left( \frac { 1 } { \delta _ { l j k } } \right) ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \right| \le C \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 3 } N ^ { 2 \tau } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | ^ { - 1 } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \boldsymbol H ^ { * } \boldsymbol W \boldsymbol f - \boldsymbol f \right\| _ { 2 } ^ { 2 } = \left\| \boldsymbol A \boldsymbol A ^ { * } \boldsymbol W \boldsymbol f - \boldsymbol f \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leq \left\| \boldsymbol A \boldsymbol A ^ { * } \boldsymbol W - \boldsymbol I _ { N } \right\| _ { \mathrm F } ^ { 2 } \cdot \left\| \boldsymbol f \right\| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varOmega = \; } & { { } \omega _ { k _ { 1 } } - \omega _ { k _ { 3 } } - \nabla _ { \vec { k } } \omega _ { k } \cdot \vec { q } + \mathcal { O } ( | \vec { q } | ^ { 2 } ) . } \end{array}