harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \Omega _ { g e } ( t ) \! } & { { } = } & { \! \vec { d } _ { g e } \cdot \sum _ { p } \frac { \hat { \epsilon } _ { p } E _ { 0 p } ( \vec { r } , t ) } { \hbar } e ^ { i [ ( \omega _ { p } - \omega _ { v } ) t - \vec { k } _ { p } \cdot \vec { r } + \phi _ { p } ] } \Bigg \rvert _ { \vec { r } = \vec { r } _ { m } ( t ) } . } \end{array}
Y _ { \ell } ^ { \pm \ell } ( \theta , \varphi ) = { \frac { ( \mp 1 ) ^ { \ell } } { 2 ^ { \ell } \ell ! } } { \sqrt { \frac { ( 2 \ell + 1 ) ! } { 4 \pi } } } \sin ^ { \ell } \theta \, e ^ { \pm i \ell \varphi } ,
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { 1 } ( t ) } & { = a x _ { 1 } ( t ) - b x _ { 1 } ( t ) x _ { 2 } ( t ) - \alpha x _ { 1 } ( t ) x _ { 3 } ( t ) , } \\ { \dot { x } _ { 2 } ( t ) } & { = b x _ { 1 } ( t ) x _ { 2 } ( t ) - c x _ { 2 } ( t ) - d x _ { 2 } ( t ) x _ { 3 } ( t ) , } \\ { \dot { x } _ { 3 } ( t ) } & { = d x _ { 2 } ( t ) x _ { 3 } ( t ) - e x _ { 3 } ( t ) + \alpha x _ { 1 } ( t ) x _ { 3 } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( E _ { j } ^ { { \theta / 2 } ^ { * } } E _ { j } ^ { \theta / 2 } \mathbf { h } ) ( x ) } & { = \exp \left( \frac { \theta } { 2 } ( H _ { j } ( x ) ^ { * } H _ { j } ( x ) ) \right) \mathbf { h } ( x ) } \\ & { = \exp \left( \frac { \theta } { 2 } \left( \frac { e ^ { - i \phi } + e ^ { i \phi } } { 2 } F _ { j } ( x ) \otimes I _ { d } + \frac { e ^ { i \phi } + e ^ { - i \phi } } { 2 } I _ { d } \otimes F _ { j } ( x ) \right) \right) \mathbf { h } ( x ) } \\ & { = \exp \left( \frac { \theta \cos ( \varphi ) } { 2 } ( F _ { j } ( x ) \otimes I _ { d } + I _ { d } \otimes F _ { j } ( x ) ) \right) \mathbf { h } ( x ) } \\ & { = ( E _ { T _ { j } } ^ { \theta } \mathbf { h } ) ( x ) . } \end{array}
\frac { 1 } { 3 \pi m _ { P } ^ { 2 } a } \Bigl ( \frac { \partial S _ { E } } { \partial a } \Bigr ) ^ { 2 } - \frac { 3 \pi m _ { P } ^ { 2 } } { 4 } V _ { g } + \langle \hat { H } _ { E } \rangle = 0 ,
\hat { \sigma } _ { \gamma \gamma \rightarrow \gamma \gamma } ^ { r } ( s _ { \gamma \gamma } ) = 8 \pi \, { \frac { \Gamma _ { \eta _ { T } ^ { \prime } \rightarrow \gamma \gamma } ^ { 2 } } { ( s _ { \gamma \gamma } - m _ { \eta _ { T } ^ { \prime } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + m _ { \eta _ { T } ^ { \prime } } ^ { 2 } \Gamma _ { \eta _ { T } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } \; .
g _ { a } ^ { - 2 } ( \mu ) = g _ { a } ^ { - 2 } ( \tilde { \Lambda } ) + \frac { - 3 T _ { a } ( G ) } { 8 \pi ^ { 2 } } \ln \frac { \tilde { \Lambda } } { \mu \left( { g _ { a } ^ { 2 } ( \tilde { \Lambda } ) } / { g _ { a } ^ { 2 } ( \mu ) } \right) ^ { 1 / 3 } } + \sum _ { r } \frac { T _ { a } ^ { ( r ) } } { 8 \pi ^ { 2 } } \ln \frac { \tilde { \Lambda } } { \mu Z _ { r } ( \tilde { \Lambda } , \mu ) }
\begin{array} { r l } { \frac { t | \sin ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) | } { ( 1 - t ) ^ { 2 } + t \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) } } & { { } \leqslant \frac { t | \sin ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) | } { \Big [ ( 1 - t ) ^ { 2 } + t \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \Big ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { t } \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| } } \end{array}
\frac { 1 } { 4 } \sum | { \cal M } ( ^ { 1 } D _ { 2 } ) | ^ { 2 } = \hat { c } ^ { 2 } { \cal F } \frac { 1 } { 4 } \sum | { \cal M } ( ^ { 1 } S _ { 0 } ) | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { a ^ { * } } & { = a ^ { * } ( m _ { 0 } , \omega _ { 2 } , r _ { 2 } ) = \frac { 1 } { r _ { 2 } \eta } \operatorname { a r c c o t h } \frac { 1 + \mu } { \eta } } \\ & { = \frac { 2 0 } { \sqrt { 3 9 9 } } \left( \operatorname { a r c c o t h } \frac { 2 0 } { \sqrt { 3 9 9 } } - \operatorname { a r c c o t h } \sqrt { \frac { 2 1 } { 1 9 } } \right) } \\ & { \approx 1 . 8 4 6 4 . } \end{array}
, \ldots , \left( \begin{array} { c c c c c c c c c c c } { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\mathbf { F } _ { c l a s s } = \kappa _ { \parallel } \mathbf { \hat { b } } \left( \mathbf { \hat { b } } \cdot \nabla T \right) + \kappa _ { \perp } \left[ \nabla T - \mathbf { \hat { b } } \left( \mathbf { \hat { b } } \cdot \nabla T \right) \right]
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , 1 ] } \rVert \partial _ { \varphi _ { j } } ^ { \mathtt { b } } ( \Psi _ { k } ( \tau ) ) | D | ^ { - \mathtt { b } ( 1 + m ) } h \rVert _ { s } } & { \le _ { s , \mathtt { b } _ { 0 } , m } \rVert h \rVert _ { s } + | \mathfrak { a } | _ { m , s + \mu _ { 0 } , \eta _ { 0 } } \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } } , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , 1 ] } \rVert | D | ^ { - \mathtt { b } ( 1 + m ) } \partial _ { \varphi _ { j } } ^ { \mathtt { b } } ( \Psi _ { k } ( \tau ) ) h \rVert _ { s } } & { \le _ { s , \mathtt { b } _ { 0 } , m } \rVert h \rVert _ { s } + | \mathfrak { a } | _ { m , s + \mu _ { 0 } , \eta _ { 0 } } \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } } } \end{array}
A _ { \mu } = \Bigl ( \bigl ( { \frac { Q _ { e } r } { r ^ { 2 } + A ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } } \bigr ) , ~ 0 , ~ 0 , { } ~ - \bigl ( { \frac { Q _ { e } r A \sin ^ { 2 } \theta } { r ^ { 2 } + A ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } } \bigr ) \Bigr )
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigl [ \tilde { R } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , a , J _ { 1 } ^ { * } ) \bigr ] } & { = r ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , a ) + \gamma \, \mathbb { E } \bigl [ J _ { 1 } ^ { * } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \bigr ] } \\ & { = r ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , a ) + \gamma \bigl ( \tilde { H } ^ { T - 1 } J _ { T } ^ { * } \bigr ) ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , } \\ & { = r ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , a ) + \gamma \bigl ( \tilde { H } ^ { T - 1 } \, \boldsymbol { 0 } \bigr ) ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { U } = \mathbf { U } ( \mathbf { x } , t ) = \left( \begin{array} { l } { \rho } \\ { m _ { 1 } } \\ { m _ { 2 } } \\ { m _ { 3 } } \\ { E } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho v _ { 1 } } \\ { \rho v _ { 2 } } \\ { \rho v _ { 3 } } \\ { \rho e } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } | \xi ^ { n } ( \xi _ { 0 } ) - \xi ( t ; \xi _ { 0 } ) | ^ { s } \leq \mathbb { E } | \xi ^ { n } ( \xi _ { 0 } ) - \xi _ { N } ( n \delta ; \xi _ { 0 } ) | ^ { s } + \mathbb { E } | \xi _ { N } ( n \delta ; \xi _ { 0 } ) - \xi ( n \delta ; \xi _ { 0 } ) | ^ { s } + \mathbb { E } | \xi ( n \delta ; \xi _ { 0 } ) - \xi ( t ; \xi _ { 0 } ) | ^ { s } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } , \qquad \partial _ { u ^ { a } } , \qquad t \partial _ { u ^ { b } } + \partial _ { u _ { 1 } ^ { b } } , \qquad u ^ { 1 } \partial _ { t } - t \partial _ { u ^ { 1 } } - \bigl ( 1 + \bigl ( u _ { 1 } ^ { 1 } \bigr ) ^ { 2 } \bigr ) \partial _ { u _ { 1 } ^ { 1 } } - u _ { 1 } ^ { 1 } \sum _ { b = 2 } ^ { m } u _ { 1 } ^ { b } \partial _ { u _ { 1 } ^ { b } } . } \end{array}
{ V } ( a ) \approx { \frac { k ^ { 4 } a ^ { 4 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \left( B + { \frac { g _ { * } ( - 1 ) ^ { S } \beta _ { 0 } ( \epsilon _ { T } ) } { \ln a + { 1 / \epsilon _ { P } } } } \right) + c o n s t . ,
\begin{array} { r l } { \langle X _ { 0 } X _ { 1 } \rangle } & { { } = \sum _ { b _ { 0 } , b _ { 1 } } ( 1 - 2 b _ { 0 } ) ( 1 - 2 b _ { 1 } ) \frac { \mathrm { ~ c ~ o ~ u ~ n ~ t ~ s ~ } _ { b _ { 0 } b _ { 1 } } } { n _ { \mathrm { ~ s ~ h ~ o ~ t ~ s ~ } } } . } \end{array}
{ \frac { 1 } { \sqrt { g } } } \left( { \frac { 1 } { 2 } } g _ { p q } g _ { r s } - g _ { p r } g _ { q s } \right) { \frac { \delta S } { \delta g _ { p q } } } { \frac { \delta S } { \delta g _ { r s } } } + { \sqrt { g } } R = 0
\operatorname* { d e t } \left( [ \mathbf { C } _ { v 1 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { C } _ { v 1 } ^ { \mathrm { i n } } \right) = \| \mathbf { p } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } \| \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } - ( [ \mathbf { p } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } ) .
\boldsymbol { W } ^ { i } \leftarrow \{ \boldsymbol { W } _ { C _ { i } } ^ { 1 , 2 , 3 } , \boldsymbol { W } _ { R _ { i } } ^ { 4 } , \texttt { r o t a t e - b a c k } ( \boldsymbol { W } _ { R _ { i } } ^ { 5 } ) \}
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } { T ( D ) = \Big \{ \sum _ { i = 1 } ^ { k } \lambda _ { i } T ( u _ { i } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { \ell } \mu _ { j } T ( v _ { j } ) \; \big | \; } & { \lambda _ { i } \geq 0 , \, \forall i = 1 , \ldots , k , \, \sum _ { i = 1 } ^ { k } \lambda _ { i } = 1 , } \\ & { \mu _ { j } \geq 0 , \, \forall j = 1 , \ldots , \ell \Big \} + T ( X _ { 0 } ) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { t \in \mathbb { R } } G ( x + t e _ { j } ) } & { = \operatorname* { m i n } _ { t \in \mathbb { R } } l ( t ) + \lambda \| x - x _ { j } e _ { j } \| _ { 1 , w } } \\ & { = \left\| \widetilde { r } ^ { \, j } - \frac { \widetilde { r } _ { \hat { i } ( j ) } ^ { \, j } } { \widetilde { A } _ { \hat { i } ( j ) , j } } \widetilde { a } _ { j } \right\| _ { 1 } + \lambda \| x - x _ { j } e _ { j } \| _ { 1 , w } } \\ & { = \left\| \widetilde { r } ^ { \, j } - \frac { \widetilde { r } _ { \hat { i } ( j ) } ^ { \, j } } { \widetilde { A } _ { \hat { i } ( j ) , j } } \widetilde { a } _ { j } \right\| _ { 1 } + \lambda \| x - x _ { j } e _ { j } \| _ { 1 , w } + \lambda w _ { j } | x _ { j } | - \lambda w _ { j } | x _ { j } | + \| r \| _ { 1 } - \| r \| _ { 1 } } \\ & { = G ( x ) - \left( \| r \| _ { 1 } + \lambda w _ { j } | x _ { j } | - \left\| \widetilde { r } ^ { \, j } - \frac { \widetilde { r } _ { \hat { i } ( j ) } ^ { \, j } } { \widetilde { A } _ { \hat { i } ( j ) , j } } \widetilde { a } _ { j } \right\| _ { 1 } \right) , } \end{array}
\mathbf { w } _ { \mu \nu } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) = \int \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 2 } } \, \phi _ { \mu } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \phi _ { \nu } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \nabla _ { 1 } \mathcal { U } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) ,
\begin{array} { r } { \rho _ { \mathrm { J } } ( \mathcal { E } _ { \mathrm { f } } , \mathcal { E } _ { \mathrm { i } } , t ; \omega _ { \mathrm { L , 0 } } ) = \left\{ f ( \mathcal { E } _ { \mathrm { i } } , t ; | E ( \omega _ { \mathrm { L , 0 } } ) | ^ { 2 } ) \rho _ { \mathrm { e } } ( \mathcal { E } _ { \mathrm { i } } ) \right\} \left\{ \left[ 1 - f ( \mathcal { E } _ { \mathrm { f } } , t ; | E ( \omega _ { \mathrm { L , 0 } } ) | ^ { 2 } ) \right] \rho _ { \mathrm { e } } ( \mathcal { E } _ { \mathrm { f } } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { \parallel } } & { { } = \frac { \sum _ { b } n _ { b } Z _ { b } ^ { 2 } \lambda _ { a b } / m _ { b } } { \sum _ { b } n _ { b } Z _ { b } ^ { 2 } \lambda _ { a b } T _ { b } / m _ { b } T _ { a } } , } \\ { Z _ { \perp } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \frac { \sum _ { b } n _ { b } Z _ { b } ^ { 2 } \lambda _ { a b } } { \sum _ { b } n _ { b } Z _ { b } ^ { 2 } \lambda _ { a b } m _ { a } T _ { b } / m _ { b } T _ { a } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| A \setminus A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } ] } \right| } & { = \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| + \left| A _ { [ \frac { 1 } { 2 } ] } \right| = \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| + \left| B _ { \frac { 1 } { 2 } } \right| } \\ & { \leqslant \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| + \left| Z _ { \frac { 1 } { 2 } } \right| + \frac { n } { 1 6 } + 3 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \prod _ { x , k } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \, \mathrm { R e } \, \Psi _ { b , k } \left( x \right) \, \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \, \mathrm { I m } \, \Psi _ { b , k } \, \int d \, \Psi _ { f , k } ^ { \, \ast } \left( x \right) \, \int d \, \Psi _ { f , k } \left( x \right) \; . } \end{array}
\frac { \partial \mathfrak { F _ { \ell } } } { \partial x } = \frac { \mathfrak { F _ { \ell - 2 } } - \mathfrak { F _ { \ell + 2 } } + 8 ( \mathfrak { F _ { \ell + 1 } } - \mathfrak { F _ { \ell - 1 } } ) } { 1 2 \Delta x } + O ( \Delta x ^ { 4 } ) .
\rho _ { 3 3 } = \frac { 1 } { \Gamma } \left( \frac { \mathrm { i } \Omega \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi _ { 1 } } } { 2 } \rho _ { 1 3 } ^ { * } - \frac { \mathrm { i } \Omega \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \phi _ { 1 } } } { 2 } \rho _ { 1 3 } + \frac { \mathrm { i } \Omega \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi _ { 2 } } } { 2 } \rho _ { 2 3 } ^ { * } - \frac { \mathrm { i } \Omega \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \phi _ { 2 } } } { 2 } \rho _ { 2 3 } \right) .
\Sigma _ { ( f ) } = M ^ { 2 } \{ { \frac { \hat { \lambda } } { 2 \epsilon } } + { \hat { \lambda } } ^ { 2 } ( { \frac { 1 } { 2 \epsilon ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 4 \epsilon } } ) \} + { \frac { { \hat { \lambda } } ^ { 2 } } { 2 4 \epsilon } } p ^ { 2 } + { \frac { { \hat { \lambda } } ^ { 2 } } { 2 \epsilon } } M ^ { 2 } { \frac { \partial } { \partial { M ^ { 2 } } } } G + { \frac { 3 \hat { \lambda } } { 2 \epsilon } } G .
\begin{array} { r l } { U _ { A B } = { } } & { { } { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \sum _ { \ell _ { A } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \ell _ { B } = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { \ell _ { B } } { \binom { 2 \ell _ { A } + 2 \ell _ { B } } { 2 \ell _ { A } } } ^ { 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left< h _ { 1 } , r , X \middle | r ^ { 2 } = 1 , X ^ { n - 1 } h _ { 1 } ^ { 2 } = 1 \right> } \\ & { \cong } & { \left< h _ { 1 } , r , X , Y \middle | r ^ { 2 } = 1 , Y ^ { 2 } = 1 , Y = X ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } h _ { 1 } \right> } \\ & { \cong } & { \left< r , X , Y \middle | r ^ { 2 } = 1 , Y ^ { 2 } = 1 \right> } \\ & { \cong } & { \mathbb { Z } [ X ] \oplus \mathbb { Z } _ { 2 } [ r ] \oplus \mathbb { Z } _ { 2 } [ Y ] , } \end{array}
\sum _ { \boldsymbol { \alpha } \in I ^ { k } } \lambda ^ { \boldsymbol { \alpha } } \int _ { \mathbb { S } ^ { k ( d - 1 ) } } \textup { d } \rho ( \boldsymbol { \sigma } ) \, \boldsymbol { A } _ { k } ^ { T } ( \boldsymbol { \alpha } , \boldsymbol { \sigma } ) \boldsymbol { A } _ { k } ( \boldsymbol { \alpha } , \boldsymbol { \sigma } ) = e ^ { - \lambda t } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( \Lambda t ) ^ { k } } { k ! } \boldsymbol { P } \boldsymbol { L } \left( \mathcal { P } ^ { k } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \right) \boldsymbol { P } ^ { T } .
D _ { \mu } = \partial _ { \mu } - i e ( A _ { \mu } ^ { e x t } + A _ { \mu } ) , \qquad A _ { \mu } ^ { e x t } = \left( 0 , - \frac { B } { 2 } x _ { 2 } , \frac { B } { 2 } x _ { 1 } , 0 \right) ,
R _ { \mathrm { m a s s i v e } } ^ { \mathrm { b o u n d a r y } } ( r ) = A _ { \mathrm { o u t } } \frac { 1 } { r ^ { \beta } } \left( 1 - \frac { i } { \pi } \left( \frac { 2 r _ { H } } { r } \right) ^ { 1 - 2 \beta } \right) + A _ { \mathrm { i n } } \frac { 1 } { r ^ { \beta } } \left( 1 + \frac { i } { \pi } \left( \frac { 2 r _ { H } } { r } \right) ^ { 1 - 2 \beta } \right) ,
\begin{array} { r l } & { W _ { 2 } ^ { 2 } ( \nu ^ { m , t } , \nu ^ { m } ) + W _ { 2 } ^ { 2 } ( \mu ^ { n , t } , \mu ^ { n } ) + \big ( W _ { 2 } ( \nu ^ { m , t } , \nu ^ { m } ) + W _ { 2 } ( \mu ^ { n , t } , \mu ^ { n } ) \big ) W _ { 2 } ( \mu ^ { n } , \nu ^ { m } ) } \\ & { \leq \mathcal { C } _ { n } \frac { \log ( n ) } { n } \bigg ( \sqrt { \frac { \log \log ( n ) } { \log ( n ) } } + \sqrt { \log ^ { \kappa - 1 } ( n ) \| \rho _ { t + \frac { 1 } { n } } - \rho _ { t } \| _ { \mathrm { L } ^ { 1 } } } \bigg ) . } \end{array}
\omega _ { n , 0 } = \sqrt { \frac { n ( n - 1 ) ( n + 2 ) \gamma } { \rho _ { - } R _ { 0 } ^ { 3 } } } , \qquad \lambda _ { n } = \frac { ( 2 n + 1 ) ( n - 1 ) \mu _ { - } } { \rho _ { - } R _ { 0 } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { i \partial _ { t } \psi _ { 1 } = \left[ \frac { \left[ \hat { p } _ { x } ^ { 2 } + \hat { p } _ { y } ^ { 2 } \right] } { 2 m } + \frac { m \omega _ { 0 } ^ { 2 } ( \hat { x } ^ { 2 } + \hat { y } ^ { 2 } ) } { 2 } + \omega _ { 0 } \hat { L } _ { z } \right] \psi _ { 1 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { L _ { n } ^ { ( \alpha ) } ( x ) } & { = \left( 2 + { \frac { \alpha - 1 - x } { n } } \right) L _ { n - 1 } ^ { ( \alpha ) } ( x ) - \left( 1 + { \frac { \alpha - 1 } { n } } \right) L _ { n - 2 } ^ { ( \alpha ) } ( x ) } \\ & { = { \frac { \alpha + 1 - x } { n } } L _ { n - 1 } ^ { ( \alpha + 1 ) } ( x ) - { \frac { x } { n } } L _ { n - 2 } ^ { ( \alpha + 2 ) } ( x ) } \end{array} }
\begin{array} { r c c c l } { { G _ { i \mu } } } & { { \to } } & { { G _ { i \mu } ^ { \prime } } } & { { = } } & { { U _ { i } \star G _ { i \mu } \star U _ { i } ^ { - 1 } + i g _ { i } ^ { - 1 } U _ { i } \star \partial _ { \mu } U _ { i } ^ { - 1 } , } } \\ { { \Phi } } & { { \to } } & { { \Phi ^ { \prime } } } & { { = } } & { { U _ { 1 } \star \Phi \star U _ { 2 } ^ { - 1 } , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { 1 , \nu } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( Q _ { k } - Q _ { - k } ) \; \; \; , \; \; \; P _ { 1 , \nu } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( P _ { k } - P _ { - k } ) } \\ { Q _ { 2 , \nu } } & { = \frac { 1 } { \omega _ { k } \sqrt { 2 } } ( P _ { k } + P _ { - k } ) \; \; \; , \; \; \; P _ { 2 , \nu } = - \frac { \omega _ { k } } { \sqrt { 2 } } ( Q _ { k } + Q _ { - k } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } Q _ { \mathbf { s } , \mu _ { 2 } , \nu _ { 2 } } ^ { S } } & { = \frac { d _ { R } d _ { S } } { ( \mathbf { m } ! ) ^ { 2 } } \sum _ { \alpha \in S _ { \mathbf { m } } } \left[ \sum _ { \tau \in S _ { \mathbf { m } } } \chi _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } ( \tau ^ { - 1 } \alpha ) \chi _ { \mathbf { s } , \mu _ { 2 } , \nu _ { 2 } } ^ { S } ( \tau ) \right] \alpha ^ { - 1 } } \\ & { = \delta ^ { R S } \delta _ { \mathbf { r } \mathbf { s } } \delta _ { \nu _ { 1 } \mu _ { 2 } } \left( \frac { d _ { R } } { \mathbf { m ! } } \sum _ { \alpha \in S _ { \mathbf { m } } } \chi _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 2 } } ^ { R } ( \alpha ) \alpha ^ { - 1 } \right) } \\ & { = \delta ^ { R S } \delta _ { \mathbf { r } \mathbf { s } } \delta _ { \nu _ { 1 } , \mu _ { 2 } } Q _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 2 } } ^ { R } } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { 2 } ( x ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { x < \frac { t L } { N } , } \\ { - c R / 2 , } & { \frac { t L } { N } \leq x < \frac { ( t + 1 ) L } { N } , } \\ { c R , } & { \frac { ( t + 1 ) L } { N } \leq x < \frac { ( t + 2 ) L } { N } , } \\ { - c R / 2 , } & { \frac { ( t + 2 ) L } { N } \leq x < \frac { ( t + 3 ) L } { N } , } \\ { 0 , } & { \frac { ( t + 3 ) L } { N } \leq x } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { d \rho } { d t } = - i \left[ H _ { \textrm { i n t } } , \rho \right] + \sum _ { i = 1 , 2 } { \gamma _ { i } \left( 2 \sigma _ { \textrm { g } _ { i } \textrm { e } } \rho \sigma _ { \textrm { e g } _ { i } } - \sigma _ { \textrm { e g } _ { i } } \sigma _ { \textrm { g } _ { i } \mathrm { { e } } } \rho - \rho \sigma _ { \textrm { e g } _ { i } } \sigma _ { \textrm { g } _ { i } \textrm { e } } \right) } + \kappa \left( 2 a \rho a ^ { \dagger } - a ^ { \dagger } a \rho - \rho a ^ { \dagger } a \right) .
\Delta \left\langle \otimes \mathbf { r } ^ { ( l - 2 k ) } \otimes { \mathsf { \boldsymbol { \delta } } } ^ { k } \right\rangle = 2 \left\langle \otimes \mathbf { r } ^ { ( l - 2 k - 2 ) } \otimes { \mathsf { \boldsymbol { \delta } } } ^ { ( k + 2 ) } \right\rangle , \quad ( \mathbf { r } \mathbf { \nabla } ) \left\langle \otimes \mathbf { r } ^ { ( l - 2 k ) } \otimes { \mathsf { \boldsymbol { \delta } } } ^ { ( k ) } \right\rangle = l \left\langle \otimes \mathbf { r } ^ { ( l - 2 k ) } \otimes { \mathsf { \boldsymbol { \delta } } } ^ { ( k ) } \right\rangle
\Delta M _ { \mathrm { ~ X ~ U ~ V ~ } } \sim \frac { B _ { \star } ^ { 2 } \, R _ { \star } ^ { 3 } } { a _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ m ~ p ~ } } ^ { 2 } \, G \, \rho _ { \mathrm { ~ r ~ o ~ c ~ k ~ } } } \, \operatorname* { m i n } ( \Omega _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ v ~ } } , \Omega _ { 0 } ) \, \sqrt { t _ { \star } \, t _ { \mathrm { ~ b ~ r ~ a ~ k ~ e ~ } } }
\begin{array} { r l } & { \| \Theta _ { t } ^ { \theta } ( \cdot ) - \Theta _ { t } ^ { \theta ^ { \prime } } ( \cdot ) \| _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , T ] ) } \leq C \left( | \lambda - \lambda ^ { \prime } | + \| G - G ^ { \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , T ] ) } \right) \| { \mathbb { E } } [ A _ { ( \cdot ) } - A _ { T } \mid \mathcal { F } _ { t } ] \| _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , T ] ) } . } \end{array}
p _ { * } u _ { 0 } \sim - k _ { 0 } \, \mathrm { s i n } \left( \frac { e ^ { \phi _ { h } } } { ( 1 - 6 e ^ { 2 \phi _ { h } } ) ^ { 1 / 4 } } \ln ( r - r _ { h } ) + \varphi _ { 0 } \right)
\begin{array} { r l } { h _ { s } ^ { \mathrm { ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } } ( \vec { r } , v _ { \parallel } , v _ { \perp } , t ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left[ h _ { s } ( \vec { r } , v _ { \parallel } , v _ { \perp } , t ) + h _ { s } ( \vec { r } , - v _ { \parallel } , v _ { \perp } , t ) \right] , } \\ { h _ { s } ^ { \mathrm { ~ o ~ d ~ d ~ } } ( \vec { r } , v _ { \parallel } , v _ { \perp } , t ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left[ h _ { s } ( \vec { r } , v _ { \parallel } , v _ { \perp } , t ) - h _ { s } ( \vec { r } , - v _ { \parallel } , v _ { \perp } , t ) \right] . } \end{array}
\boldsymbol { \textbf { B } } = \frac { \partial f _ { k , \sigma } ^ { \mu _ { \sigma } } } { \partial \epsilon _ { k , \sigma } } \left[ - 2 w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \int \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \, d \boldsymbol { \textbf { r } } + \eta _ { \sigma } \textbf { I } _ { m _ { k , \sigma } } \right]
n = \sqrt { \mu \varepsilon _ { \mathrm { r } } } = \frac { \langle f _ { \mathrm { m } } + g \rangle _ { \mathrm { v a c u u m } } } { \langle f _ { \mathrm { m } } + g \rangle _ { \mathrm { p r e s s u r e } } ( 1 - \kappa _ { \mathrm { e f f } } p ) } ,
P _ { \mathrm { S R G M } } ( \mathbf { A } ) = \frac { e ^ { - \alpha L ^ { + } ( \mathbf { A } ) - \beta L ^ { - } ( \mathbf { A } ) } } { ( 1 + e ^ { - \alpha } + e ^ { - \beta } ) ^ { \binom N 2 } } \equiv \frac { x ^ { L ^ { + } ( \mathbf { A } ) } y ^ { L ^ { - } ( \mathbf { A } ) } } { ( 1 + x + y ) ^ { \binom N 2 } } \equiv ( p ^ { - } ) ^ { L ^ { - } } ( p ^ { 0 } ) ^ { L ^ { 0 } } ( p ^ { + } ) ^ { L ^ { + } }
\begin{array} { r l } { \mu _ { \mathrm { O D E } } ^ { i } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } & { { } = \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \\ { \mu _ { \mathrm { O D E } } ^ { k } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } & { { } = \mu _ { \mathrm { O D E } } ^ { k - 1 } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) + ( t _ { k } - t _ { k - 1 } ) \left[ \mathcal { P } ( \mu _ { \mathrm { O D E } } ^ { k - 1 } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) ) - \frac { 1 } { 2 } g _ { t _ { k } } ^ { 2 } s _ { \theta } ( \mu _ { \mathrm { O D E } } ^ { k - 1 } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) , t _ { k - 1 } ) \right] . } \end{array}
\delta M ^ { \prime } = \frac { 1 } { N _ { 1 1 } ^ { * 2 } } \left( \delta M _ { 1 } ^ { 0 } - \sum _ { \alpha \ \mathrm { o r } \ \beta \neq 1 } N _ { 1 \alpha } ^ { * } \delta { \cal M } _ { \alpha \beta } ^ { 0 } N _ { 1 \beta } ^ { * } \right) \, \, .
L _ { \mathrm { e f f } } = \int _ { 0 } ^ { L } \frac { \exp { ( - \alpha z ) } } { \big [ 1 + \big ( \frac { z } { L _ { D } } \big ) ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } } \, d z \simeq L _ { D } \mathrm { a s i n h } \left( \frac { L } { L _ { D } } \right) .