harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } \omega } & { = \frac { \omega ^ { 2 } v _ { b } \nabla _ { s } \kappa } { \kappa ^ { 2 } } - \frac { \nabla _ { s } \kappa \nabla _ { s } ^ { 2 } v _ { b } } { \kappa ^ { 2 } } - \frac { \omega ^ { 2 } \nabla _ { s } v _ { b } } { \kappa } - \frac { 2 \omega v _ { b } \nabla _ { s } \omega } { \kappa } + \kappa \nabla _ { s } v _ { b } + \frac { \nabla _ { s } ^ { 3 } v _ { b } } { \kappa } - \frac { 2 \omega \nabla _ { s } \kappa \nabla _ { s } v _ { n } } { \kappa ^ { 2 } } } \\ & { \quad - \frac { v _ { n } \nabla _ { s } \kappa \nabla _ { s } \omega } { \kappa ^ { 2 } } + \frac { 2 \omega \nabla _ { s } ^ { 2 } v _ { n } } { \kappa } + \frac { 3 \nabla _ { s } \omega \nabla _ { s } v _ { n } } { \kappa } + \frac { v _ { n } \nabla _ { s } ^ { 2 } \omega } { \kappa } + v _ { t } \nabla _ { s } \omega + 2 \kappa \omega v _ { n } } \end{array}
c ^ { 2 } { d \tau } ^ { 2 } = - { \frac { 1 } { 4 } } \left( 3 { \sqrt { 1 - { \frac { r _ { s } } { r _ { g } } } } } - { \sqrt { 1 - { \frac { r ^ { 2 } r _ { s } } { r _ { g } ^ { 3 } } } } } \right) ^ { 2 } c ^ { 2 } d t ^ { 2 } + \left( 1 - { \frac { r ^ { 2 } r _ { s } } { r _ { g } ^ { 3 } } } \right) ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } \left( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta \, d \varphi ^ { 2 } \right) ,
\delta _ { - } ^ { p } ( H ) \{ a _ { i } , a _ { j } ^ { * } \} _ { - } = \sum _ { m = 0 } ^ { p } { \binom { p } { m } } \{ \delta _ { - } ^ { p - m } ( H ) a _ { i } , \delta _ { - } ^ { m } ( H ) a _ { j } ^ { * } \} _ { - } ,
\begin{array} { r l r } { \left( \mathbf { t } A ( \mathbf { s } ) \right) _ { j } } & { = } & { s _ { j } \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { d } \frac { q _ { i } a _ { i j } } { v _ { i } } } \\ & { = } & { \displaystyle \frac { q _ { j } } { v _ { j } \sum _ { i = 1 } ^ { d } \frac { q _ { i } a _ { i j } } { v _ { i } } } \cdot \sum _ { i = 1 } ^ { d } \frac { q _ { i } a _ { i j } } { v _ { i } } } \\ & { = } & { \displaystyle \frac { q _ { j } } { v _ { j } } = t _ { j } } \end{array}
- \frac { { \partial } ^ { 2 } F } { { \partial } \tau ^ { 2 } } + \frac { { \partial } ^ { 2 } F } { { \partial } \sigma _ { c } ^ { 2 } } + \frac { 2 a ^ { 2 } } { \cosh ^ { 2 } a \sigma _ { c } } F = 0
\psi ( r ) = \frac { N ( x ) } { \sqrt { 4 \pi } } \left( \begin{array} { c } { { \sqrt { \frac { w + m } { w } } j _ { 0 } \left( \frac { x r } { R } \right) \chi } } \\ { { \sqrt { \frac { w - m } { w } } \imath \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a \cdot \hat { r } ~ } j _ { 1 } \left( \frac { x r } { R } \right) \chi } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { | \mathcal { L } _ { h } u _ { 0 , \delta } | } & { \leq L _ { u _ { 0 } } ^ { p - 1 } \left( \sum _ { 0 < | y _ { \beta } | < 1 } | y _ { \beta } | ^ { a ( p - 1 ) } \omega _ { \beta } + \| u _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } ) } ^ { p - 1 } \sum _ { | y _ { \beta } | \geq 1 } \omega _ { \beta } \right) } \\ & { \leq 2 L _ { u _ { 0 } } ^ { p - 1 } C _ { s , p , d } S _ { a ( p - 1 ) } ( r ) . } \end{array}
\sim T \left( { \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } T ^ { ( 4 - D ) } T ( g _ { 0 } T ) ^ { ( D - 3 ) } } { ( g _ { 0 } T ) ^ { 2 } } } \right) ^ { p } ( g _ { 0 } T ) ^ { ( D - 1 ) } = T ^ { D } \ g _ { 0 } ^ { ( D - 1 ) + ( D - 3 ) p } \, .
\psi _ { n } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( t / \tau ) = \mathrm { H } _ { n } ^ { G } ( t / \tau ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } n ! \tau \sqrt { \pi } } } H _ { n } \left( \frac { t } { \tau } \right) \exp \left( \frac { - t ^ { 2 } } { 2 \tau ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { D ( \theta ) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int d \omega \mathrm { T r } \left\{ \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { > } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { A } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { < } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { A } + \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { > } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { < } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { A } \right. + \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { > } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { A } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { < } + \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { > } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { < } + \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { > } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { A } \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { < } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { A } } \\ & { + \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { > } \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { < } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { A } \left. + \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { > } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { A } \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { < } + \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { > } \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { < } + \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { > } \tilde { \zeta } _ { ( 0 ) } ^ { < } + \tilde { \zeta } _ { ( 0 ) } ^ { > } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { < } \right. + \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { > } \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { < } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { A } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { A } } \\ & { + \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { > } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { A } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { A } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { < } + \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { > } \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { < } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { A } \left. + \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { > } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { A } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { < } + \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { > } \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { < } + \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { > } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { < } \right\} , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { m a x } } & { \quad \left\| \mathcal { A } \times _ { 1 } \mathbf { Q } _ { 1 } ^ { \top } \times _ { 2 } \mathbf { Q } _ { 2 } ^ { \top } \dots \times _ { N } \mathbf { Q } _ { N } ^ { \top } \right\| _ { F } ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { \quad \mathbf { Q } _ { n } \in \mathbb { R } ^ { I _ { n } \times \mu _ { n } } \mathrm { ~ i s ~ o r t h o n o r m a l ~ w i t h ~ } n = 1 , 2 , \dots , N . } \end{array} \right.
\left\langle \widetilde { \Lambda } _ { 2 } \hat { H } \right\rangle = \textbf { P } \widetilde { \Lambda } _ { 2 } ( \boldsymbol { \alpha } _ { 0 } \eta + \boldsymbol { \alpha } _ { 1 } \psi _ { 1 } + + \boldsymbol { \alpha } _ { 2 } \psi _ { 2 } ) = \psi _ { 2 }
2 D _ { i j } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x _ { 2 } | \phi _ { i } ( x _ { 2 } ) | ^ { 2 } \int _ { B } ^ { x _ { 2 } } d y \int _ { A } ^ { y } d z | \phi _ { j } ( z ) | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \mathcal L = } & { { } - \frac { 1 } { 4 \mu _ { 0 } } \bar { F } ^ { \mu \nu } \bar { F } _ { \mu \nu } + j ^ { \mu } \left( \bar { A } _ { \mu } - \chi \phi _ { \mu } \right) - \frac { 1 } { 4 \mu _ { 0 } } \phi ^ { \mu \nu } \phi _ { \mu \nu } } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { y } ^ { \mathrm { e x t } } ( y , z ) = E _ { \mathrm { i n } } \left( e ^ { - j k z } - e ^ { j k z } \right) = - 2 j E _ { \mathrm { i n } } \sin { \left( k z \right) } } \end{array}
\xi _ { \alpha \beta } ( \mu _ { 1 } ^ { 2 } , \mu _ { 2 } ^ { 2 } , \mu _ { 3 } ^ { 2 } , p ^ { 2 } , q ^ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } d z \int _ { 0 } ^ { 1 - z } d y \frac { z ^ { \alpha } y ^ { \beta } } { Q ( y , z , \mu _ { 1 } ^ { 2 } , \mu _ { 2 } ^ { 2 } , \mu _ { 3 } ^ { 2 } , p ^ { 2 } , q ^ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r } { \rho _ { \phi , \mathrm { ~ W ~ } } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { M } c _ { i } ^ { 2 } f _ { i , i } ( q , p ) + \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = i + 1 } ^ { M } c _ { i } c _ { j } f _ { i , j } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U ( \vec { r } ) } & { = } & { G M \Big \{ \frac { 1 } { r } + \frac { 3 { \cal T } ^ { < a b > } } { 2 r ^ { 5 } } x ^ { a } x ^ { b } + \frac { 5 { \cal T } ^ { < a b c > } } { 2 r ^ { 7 } } x ^ { a } x ^ { b } x ^ { c } + \frac { 3 5 { \cal T } ^ { < a b c d > } } { 8 r ^ { 9 } } x ^ { a } x ^ { b } x ^ { c } x ^ { d } + { \cal O } ( r ^ { - 6 } ) \Big \} . } \end{array}
\boldsymbol { \dot { \xi } } ( t ) = - a _ { i } ( t ) - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( { L } _ { i j } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( Q _ { j i k } + Q _ { j k i } \right) a _ { k } ( t ) \right) \xi _ { j } ( t )
\begin{array} { r } { v _ { i j - \frac { 1 } { 2 } k } ^ { n + s } = v _ { i j - \frac { 1 } { 2 } k } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \left< \rho ^ { n } \right> _ { i j - \frac { 1 } { 2 } k } } \frac { P _ { i j k } ^ { n } - P _ { i j - 1 k } ^ { n } } { y _ { j } - y _ { j - 1 } } } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } \sigma } { d M ^ { 2 } d t } = \frac { G ( 0 ) } { 2 } \cdot ( s / s _ { 0 } ) ^ { \delta } \cdot \frac { s _ { 0 } ^ { \epsilon } } { ( M ^ { 2 } ) ^ { 1 + \epsilon } } \, e ^ { ( b _ { 0 } + 2 \alpha ^ { \prime } \ln ( s / M ^ { 2 } ) ) t }
\begin{array} { r l } & { X ^ { A } ( x , k ) = I + \int _ { x } ^ { \infty } e ^ { - ( x - x ^ { \prime } ) \widehat { \mathcal { L } ( k ) } } ( \mathsf { U } ^ { T } X ^ { A } ) ( x ^ { \prime } , k ) d x ^ { \prime } , } \\ & { Y ^ { A } ( x , k ) = I - \int _ { - \infty } ^ { x } e ^ { - ( x - x ^ { \prime } ) \widehat { \mathcal { L } ( k ) } } ( \mathsf { U } ^ { T } Y ^ { A } ) ( x ^ { \prime } , k ) d x ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { \vartheta } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi r } \Big [ \ddot { d } _ { z } ( t ^ { \prime } ) \sin \vartheta - \ddot { d } _ { y } ( t ^ { \prime } ) \cos \vartheta \sin \varphi - \ddot { d } _ { x } ( t ^ { \prime } ) \cos \vartheta \cos \varphi \, \Big ] \, , } \\ { E _ { \varphi } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi r } \Big [ \ddot { d } _ { x } ( t ^ { \prime } ) \sin \varphi - \ddot { d } _ { y } ( t ^ { \prime } ) \cos \varphi \, \Big ] \, , } \\ { E _ { r } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = } & { 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( y ) } & { = 2 t _ { 1 } ( r _ { 2 , y } - r _ { 2 , y - 2 } ) . } \\ { f _ { 2 } ( x , y ) } & { = t _ { x } \big ( ( r _ { 2 x - 1 , y } r _ { 2 x , y - 1 } - r _ { 2 x - 1 , y - 1 } r _ { 2 x , y } ) + ( r _ { 2 x - 1 , y - 2 } r _ { 2 x , y } - r _ { 2 x - 1 , y } r _ { 2 x , y - 2 } ) } \\ & { + ( r _ { 2 x - 1 , y - 3 } r _ { 2 x , y - 1 } - r _ { 2 x - 1 , y - 1 } r _ { 2 x , y - 3 } ) + ( r _ { 2 x - 1 , y - 3 } r _ { 2 x , y - 2 } - r _ { 2 x - 1 , y - 2 } r _ { 2 x , y - 3 } ) \big ) . } \\ { f _ { 3 } ( x , y ) } & { = t _ { x } \big ( ( r _ { 2 x - 1 , y } r _ { 2 x , y - 1 } - r _ { 2 x - 1 , y - 1 } r _ { 2 x , y } ) + r _ { 2 x - 1 , y - 2 } + r _ { 2 x - 1 , y - 1 } + r _ { 2 x , y } \big ) . } \end{array}
\mathcal { B } _ { \Sigma } \; = \int d ^ { D } x \, \left( \frac { \delta \Sigma } { \delta \varphi ^ { i } } \frac \delta { \delta \varphi ^ { i * } } \; + \; \frac { \delta \Sigma } { \delta \varphi ^ { i * } } \frac \delta { \delta \varphi ^ { i } } \right) \; \; ,
\begin{array} { r l } { D F _ { \mathrm { a c } , 2 j } - \left( D u _ { 2 j } \right) ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 \Delta x } \int _ { x _ { 2 j } } ^ { x _ { 2 j + 2 } } u _ { x } ^ { 2 } ( z ) d z - \left( \frac { 1 } { 2 \Delta x } \int _ { x _ { 2 j } } ^ { x _ { 2 j + 2 } } u _ { x } ( z ) d z \right) ^ { 2 } } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 \Delta x } \int _ { x _ { 2 j } } ^ { x _ { 2 j + 2 } } u _ { x } ^ { 2 } ( z ) d z - \frac { 1 } { 2 \Delta x } \int _ { x _ { 2 j } } ^ { x _ { 2 j + 2 } } u _ { x } ^ { 2 } ( z ) d z = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { 2 p , \beta } ^ { c } } & { = } & { \sum _ { N = n + n _ { 1 } + n _ { 2 } } S _ { 2 p , N , \beta } ^ { c } , } \\ { S _ { 2 p , N , \beta } ^ { c } } & { = } & { \frac { 1 } { n ! n _ { 1 } ! n _ { 2 } ! } \sum _ { \{ \underline { { \tau } } \} } \sum _ { { \cal J } _ { r _ { m a x } } ^ { \prime } } \prod _ { v } \int _ { \L _ { \beta , L } } d ^ { 3 } x _ { v } \lambda ^ { n } ( \delta \mu ) ^ { n _ { 1 } } [ \nu ] ^ { n _ { 2 } } } \\ & { } & { \quad \cdot \prod _ { \ell \in { \cal T } } \int d w _ { \ell } C _ { r , \sigma _ { \ell } } ( x _ { \ell } , x _ { \ell } ^ { \prime } ) { \operatorname* { d e t } } [ C _ { r , \sigma } ( w ) ] _ { l e f t } \ , } \end{array}
n = \frac { 3 } { 4 \pi } \frac { 1 } { ( r _ { s } a _ { B } ) ^ { 3 } } , \qquad k _ { B } T = E _ { \mathrm { H a } } \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 9 \pi } { 4 } \right) ^ { 2 / 3 } \frac { \Theta } { r _ { s } ^ { 2 } }
\sigma _ { \mathrm { z } } ^ { \mathrm { L E R } } [ \mathrm { m m } ] = 5 . 4 4 6 6 + 1 . 7 6 4 2 \times \frac { I ^ { \mathrm { L E R } } [ \mathrm { m A } ] } { n _ { \mathrm { b } } ^ { \mathrm { L E R } } } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { H ( \omega ) } & { { } = \alpha _ { 1 , 0 } + \frac { \alpha _ { 1 , 1 } } { \omega - p _ { 1 } } + . . . + \frac { \alpha _ { 1 , 2 } } { ( \omega - p _ { 1 } ) ^ { \nu _ { 1 } } } } \end{array} } \end{array}
{ \binom { 5 2 } { 5 } } = { \frac { 5 2 \times 5 1 \times 5 0 \times 4 9 \times 4 8 } { 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 } } = { \frac { 3 1 1 { , } 8 7 5 { , } 2 0 0 } { 1 2 0 } } = 2 { , } 5 9 8 { , } 9 6 0 .
\Delta _ { D } \leq \operatorname* { m a x } _ { i } ( \lambda _ { i } | | \mathbf { u } | | _ { \omega } ^ { 2 } - \frac { 1 } { J } \lambda _ { i } | | \mathbf { R } \bar { \mathbf { u } } | | _ { \omega } ^ { 2 } ) .
p _ { X | U } ( x | u ) = \frac { p _ { \tilde { X } | U } ( x | u ) } { \int _ { 0 } ^ { N } p _ { \tilde { X } | U } ( t | u ) ~ d t } = \frac { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \exp \left( - \frac { ( x - u ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) } { \left[ Q \left( - \frac { u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - u } { \sigma } \right) \right] } , ~ ~ ~ ~ x , u \in [ 0 , N [ ,
\int d ^ { 4 } x \, \phi _ { 1 } \star \phi _ { 2 } \star \phi _ { 3 } = \int d ^ { 4 } x \, \phi _ { 2 } \star \phi _ { 3 } \star \phi _ { 1 } = \int d ^ { 4 } x \, \phi _ { 3 } \star \phi _ { 1 } \star \phi _ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mu _ { \alpha } } & { { } \sim \mathbf { U n i f } ( - 1 0 , 1 0 ) } \\ { \sigma _ { \alpha } } & { { } \sim \mathbf { U n i f } ( 0 , 1 0 ) } \\ { \mu _ { \beta } } & { { } \sim \mathbf { U n i f } ( - 1 0 , 1 0 ) } \\ { \sigma _ { \beta } } & { { } \sim \mathbf { U n i f } ( 0 , 1 0 ) } \\ { \mu _ { \theta } } & { { } \sim \mathbf { U n i f } ( - 1 0 , 1 0 ) } \\ { \sigma _ { \theta } } & { { } \sim \mathbf { U n i f } ( 0 , 1 0 ) } \\ { \sigma } & { { } \sim \mathbf { U n i f } ( 0 , 1 0 ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { c _ { 2 } | 1 _ { 1 } , 1 _ { 2 } \rangle = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( c _ { 2 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } - c _ { 2 } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } ) } \\ { = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \psi _ { 2 } \oslash _ { - } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } - { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \psi _ { 2 } \oslash _ { - } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } \right) } \\ { = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( 0 - \psi _ { 1 } ) - { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( \psi _ { 1 } - 0 ) \right) } \\ { = } & { - \psi _ { 1 } } \\ { = } & { - | 1 _ { 1 } , 0 _ { 2 } \rangle . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \Omega ^ { ( n ) } } & { { } = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( n ) } \Big ] + \frac { ( - \beta ) } { 2 ! } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \left( \Big [ E _ { N } ^ { ( i ) } E _ { N } ^ { ( n - i ) } \Big ] - \Omega ^ { ( i ) } \Omega ^ { ( n - i ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } ) } \\ { * } & { \leq \operatorname* { P r } \bigg \{ R _ { 1 , n } < R ( \hat { T } _ { X ^ { n } } , D _ { 1 } ) ~ \mathrm { o r } ~ R _ { 2 , n } + \frac { c _ { 2 } \log ( n + 1 ) } { n } < H ( \hat { T } _ { g ( X ^ { n } ) } ) } \\ & { \qquad \qquad \mathrm { o r } ~ R _ { 1 , n } + R _ { 2 , n } < H ( \hat { T } _ { g ( X ^ { n } ) } ) + \mathsf { R } ( R _ { 1 , n } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | \hat { T } _ { X ^ { n } } ) } \\ { * } & { \qquad \qquad \mathrm { a n d } ~ \hat { T } _ { X ^ { n } } \in \mathcal { A } _ { n } ( P _ { X Y } ) \bigg \} + \operatorname* { P r } \Big \{ \hat { T } _ { X ^ { n } } \notin \mathcal { A } _ { n } ( P _ { X Y } ) \Big \} } \\ & { \leq \operatorname* { P r } \bigg \{ R _ { 1 } + \frac { L _ { 1 } } { \sqrt { n } } < \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } , D _ { 1 } | P _ { X } ) + O ( \xi _ { n } ) ~ \mathrm { o r } ~ R _ { 2 } < \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \log \frac { 1 } { P _ { Y } ( Y _ { i } ) } + O ( \xi _ { n } ) } \\ { * } & { \qquad \qquad \mathrm { o r } ~ R _ { 1 } + R _ { 2 } + \frac { ( 1 + s ^ { * } ) L _ { 1 } + L _ { 2 } } { n } } \\ { * } & { \qquad \qquad \quad < \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \Big ( \jmath ( X _ { i } , g ( X _ { i } ) | R _ { 1 } , D _ { 1 } , D _ { 2 } , P _ { X } ) - \log P _ { Y } ( Y _ { i } ) \Big ) + O ( \xi _ { n } ) \bigg \} } \\ { * } & { \qquad + \frac { 2 | \mathcal { X } | } { n ^ { 2 } } . } \end{array}
\left. \Delta ( x , x ^ { \prime } ) \right| _ { x _ { 0 } = x _ { 0 } ^ { \prime } } = 0 , \; \; \left. \partial _ { 0 } \Delta ( x , x ^ { \prime } ) \right| _ { x _ { 0 } = x _ { 0 } ^ { \prime } } = \delta ( { \bf x } - { \bf x } ^ { \prime } ) .
g _ { 2 } ( t ) = 4 + 1 2 \mu \, \frac { x ^ { 4 } ( t ) + 2 C x ^ { 2 } ( t ) \, y ^ { 2 } ( t ) + y ^ { 4 } ( t ) } { x ^ { 2 } ( t ) + y ^ { 2 } ( t ) } .
{ \begin{array} { r l } { { \mathrm { P r o b } } ( i ) } & { = \operatorname { t r } \left( V \rho _ { A } V ^ { \dagger } \Pi _ { i } \right) } \\ & { = \operatorname { t r } \left( V \rho _ { A } V ^ { \dagger } \left[ \operatorname { I } _ { A } \otimes | i \rangle \langle i | _ { B } \right] \right) } \\ & { = \operatorname { t r } \left( \rho _ { A } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \sqrt { F _ { j } } } _ { A } ^ { \dagger } \otimes { \langle j | } _ { B } \right) \operatorname { I } _ { A } \otimes | i \rangle \langle i | _ { B } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { n } { \sqrt { F _ { k } } } _ { A } \otimes { | k \rangle } _ { B } \right) \right) } \\ & { = \operatorname { t r } \left( \rho _ { A } { \sqrt { F _ { i } } } _ { A } \operatorname { I } _ { A } { \sqrt { F _ { i } } } _ { A } \right) } \\ & { = \operatorname { t r } ( \rho _ { A } F _ { i } ) } \end{array} }
\eta _ { ( N = 3 ) } ^ { \star } = 0 . 2 7 9 \pm 0 . 0 0 4 \, \, \, \, \, , \, \, \, \, \, \gamma = 1 . 5 9 \pm 0 . 1 0 \, \, \, \, \, , \, \, \, \, \,
\begin{array} { r l } & { \mathbf { y } _ { r } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \! = \mathbf { R } _ { r } \mathbf { y } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } \\ { = } & { \sqrt { P _ { s } } \mathbf { R } _ { r } \sum _ { k = 1 } ^ { L } \beta _ { l } \boldsymbol { a } _ { r } ( \theta _ { l } ^ { r } ) \boldsymbol { a } _ { t } ^ { H } ( \theta _ { l } ^ { t } ) \boldsymbol { a } _ { t } ( \theta _ { k _ { 1 } } ^ { t } ) x _ { \Re } } \\ & { + \sqrt { P _ { s } } \mathbf { R } _ { r } \sum _ { l = 1 } ^ { L } \beta _ { l } \boldsymbol { a } _ { r } ( \theta _ { l } ^ { r } ) \boldsymbol { a } _ { t } ^ { H } ( \theta _ { l } ^ { t } ) \boldsymbol { a } _ { t } ( \theta _ { k _ { 2 } } ^ { t } ) j x _ { \Im } + { n } _ { r } } \\ { \! = \! } & { \sqrt { P _ { s } } \boldsymbol { a } _ { { r } } ^ { { H } } \left( \theta _ { k _ { 1 } } ^ { r } \right) \boldsymbol { a } _ { r } ( \theta _ { k _ { 1 } } ^ { r } ) \beta _ { k _ { 1 } } \boldsymbol { a } _ { t } ^ { H } ( \theta _ { k _ { 1 } } ^ { t } ) \boldsymbol { a } _ { t } ( \theta _ { k _ { 1 } } ^ { t } ) x _ { \Re } } \\ & { \! + \! \sqrt { P _ { s } } \boldsymbol { a } _ { { r } } ^ { { H } } \! \left( \theta _ { k _ { 2 } } ^ { r } \! \right) \! \boldsymbol { a } _ { r } ( \theta _ { k _ { 2 } } ^ { r } ) \beta _ { k _ { 2 } } \boldsymbol { a } _ { t } ^ { H } ( \theta _ { k _ { 2 } } ^ { t } ) \boldsymbol { a } _ { t } ( \theta _ { k _ { 2 } } ^ { t } ) j x _ { \Im } \! + \! { n } _ { r } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \gamma _ { n } b _ { \infty } ) ^ { - 1 } I I I } & { \lesssim \| ( n _ { \Gamma _ { h } } - n _ { \Gamma } ^ { e } ) \cdot \nabla \pi _ { h } v \| _ { \mathcal { T } _ { h } } ^ { 2 } + \| n _ { \Gamma } ^ { e } \cdot ( \nabla v ^ { e } - \pi _ { h } v ) \| _ { \mathcal { T } _ { h } } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim h ^ { 2 k _ { g } } \| \nabla \pi _ { h } v \| _ { \mathcal { T } _ { h } } ^ { 2 } + h ^ { 2 r - 2 } \| v ^ { e } \| _ { r , \mathcal { T } _ { h } } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim h ^ { 2 k _ { g } + 1 } \| v \| _ { 1 , \Gamma } ^ { 2 } + h ^ { 2 r - 1 } \| v \| _ { r , \Gamma } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ddot { \rho } } & { = 2 G M \sin ( \gamma / 2 ) / a ^ { 2 } + A _ { 0 0 } + A _ { 0 2 } \cos \left( 2 \pi f _ { 0 2 } t + \varphi _ { 0 2 } \right) } \\ & { + A _ { 1 0 } \cos \left( 2 \pi f _ { 1 0 } t + \varphi _ { 1 0 } \right) + A _ { 2 0 } \cos \left( 2 \pi f _ { 2 0 } t + \varphi _ { 2 0 } \right) } \\ & { + A _ { 1 - 2 } \cos \left( 2 \pi f _ { 1 - 2 } t + \varphi _ { 1 - 2 } \right) + A _ { 1 2 } \cos \left( 2 \pi f _ { 1 2 } t + \varphi _ { 1 2 } \right) } \\ & { + A _ { 2 - 2 } \cos \left( 2 \pi f _ { 2 - 2 } t + \varphi _ { 2 - 2 } \right) + A _ { 2 2 } \cos \left( 2 \pi f _ { 2 2 } t + \varphi _ { 2 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { 1 } ( z ) U _ { 3 } ( w ) } & { \sim } & { - \frac { 1 } { h _ { 1 } h _ { 2 } } \left( \frac { N ( N - 1 ) ( N - 2 ) \alpha _ { 0 } ^ { 2 } } { ( z - w ) ^ { 4 } } + \frac { ( N - 1 ) ( N - 2 ) \alpha _ { 0 } U _ { 1 } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 3 } } + \frac { ( N - 2 ) U _ { 2 } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 2 } } \right) , } \\ { U _ { 1 } ( z ) U _ { 1 } U _ { 2 } ( w ) } & { \sim } & { - \frac { 1 } { h _ { 1 } h _ { 2 } } \left( \frac { N ( N - 1 ) \alpha _ { 0 } U _ { 1 } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 3 } } + \frac { ( N - 1 ) U _ { 1 } U _ { 1 } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 2 } } + \frac { N U _ { 2 } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 2 } } \right) , } \\ { U _ { 1 } ( z ) U _ { 1 } U _ { 1 } U _ { 1 } ( w ) } & { \sim } & { - \frac { 1 } { h _ { 1 } h _ { 2 } } \frac { 3 N U _ { 1 } U _ { 1 } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 2 } } , } \\ { U _ { 1 } ( z ) U _ { 2 } ^ { \prime } ( w ) } & { \sim } & { - \frac { 1 } { h _ { 1 } h _ { 2 } } \left( \frac { 3 N ( N - 1 ) \alpha _ { 0 } } { ( z - w ) ^ { 4 } } + \frac { 2 ( N - 1 ) U _ { 1 } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 3 } } + \frac { ( N - 1 ) U _ { 1 } ^ { \prime } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 2 } } \right) , } \\ { U _ { 1 } ( z ) U _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( w ) } & { \sim } & { - \frac { 1 } { h _ { 1 } h _ { 2 } } \frac { 6 N } { ( z - w ) ^ { 4 } } , } \\ { U _ { 1 } ( z ) U _ { 1 } ^ { \prime } U _ { 1 } ( w ) } & { \sim } & { - \frac { 1 } { h _ { 1 } h _ { 2 } } \left( \frac { 2 N U _ { 1 } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 3 } } + \frac { N U _ { 1 } ^ { \prime } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { c c } { { \mathrm { T r } [ A , \phi ] ^ { 2 } } } & { { = v ^ { 2 } \mathrm { T r } [ X ( \theta ) ^ { - 1 } A X ( \theta ) , \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 2 } } \end{array} \right) ] ^ { 2 } } } \\ { { } } & { { = 1 8 v ^ { 2 } ( ( A ^ { 1 } \sin \theta - A ^ { 2 } \cos \theta ) ^ { 2 } + ( A ^ { 3 } ) ^ { 2 } ) , } } \end{array}
\begin{array} { c } { { - \frac { 1 } { 2 } ( k - 1 ) k ( k + 1 ) < O _ { k - 2 } O _ { k _ { 1 } } . . . O _ { k _ { p - 1 } } P > _ { g - 1 } } } \\ { { + 4 t _ { 0 } ( k + 1 ) < O _ { k } O _ { k _ { 1 } } . . . O _ { k _ { p - 1 } } P > _ { g } + 4 t _ { 2 } ( k + 2 ) < O _ { k + 2 } O _ { k _ { 1 } } . . . O _ { k _ { p - 1 } } P > _ { g } } } \\ { { + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { p - 1 } ( 2 k + k _ { i } + 2 ) < O _ { k + k _ { i } } O _ { k _ { 1 } } . . . \hat { O } _ { k _ { i } } . . . O _ { k _ { p - 1 } } P > _ { g } = 0 , } } \end{array}