harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
e _ { f } ^ { \mu } = \left( { \frac { 1 } { 2 } } \left( e ^ { \mu [ - 2 ] } + e ^ { \mu [ + 2 ] } \right) , { \frac { 1 } { 2 } } \left( e ^ { \mu [ - 2 ] } - e ^ { \mu [ + 2 ] } \right) \right)
{ \dot { r } _ { 0 } } ^ { 2 } + { \frac { 2 { \cal E } } { \chi } } [ { \frac { { \cal L } ^ { 2 } } { 2 { \cal E } \xi } } r _ { 0 } ^ { 6 } - r _ { 0 } ^ { 4 } ] = 0 .
\begin{array} { r l } { \mathop { \mathbb { E } } \left[ \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\| \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \nabla F ( { \mathbf w } _ { t } ^ { k } ) \right\| \right] } & { \le 2 \frac { F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } } { D N } + 2 \frac { K D G \sqrt { T } } { D N } + \frac { G } { \sqrt { T } } } \\ & { \le \frac { 2 T ( F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } ) } { \delta N } + \frac { 3 G } { \sqrt { T } } } \\ & { \le \operatorname* { m a x } \left( \frac { 5 G ^ { 2 / 3 } ( F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } ) ^ { 1 / 3 } } { ( N \delta ) ^ { 1 / 3 } } , \frac { 6 G } { \sqrt { N } } \right) + \frac { 2 ( F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } ) } { \delta N } , } \end{array}
V _ { \mathrm { ~ h ~ } } = V _ { 0 } \left[ 1 + \alpha ( T - T _ { 0 } ) + \beta ( T - T _ { 0 } ) ^ { 2 } \right] \mathrm { R e } ( \mathrm { e } ^ { i \omega t } ) = \mathrm { R e } ( V _ { \omega } \mathrm { e } ^ { i \omega t } + V _ { 3 \omega } \mathrm { e } ^ { 3 i \omega t } + V _ { 5 \omega } \mathrm { e } ^ { 5 i \omega t } ) { . }
\begin{array} { r l r l r l r l r l r l } { i } & { = 3 : } & { \alpha ( 3 ) } & { = 1 , } & { \lambda ( 3 ) } & { = \{ 2 , 1 , 4 \} , } & { \lambda ^ { + } ( 3 ) } & { = \{ 4 \} , } & { \rho ( 3 ) } & { = \varnothing , } & { \rho ^ { + } ( 3 ) } & { = \varnothing . } \\ { i } & { = 4 : } & { \alpha ( 4 ) } & { = 4 , } & { \lambda ( 4 ) } & { = \{ 2 , 1 \} , } & { \lambda ^ { + } ( 4 ) } & { = \varnothing , } & { \rho ( 4 ) } & { = \{ 3 \} , } & { \rho ^ { + } ( 4 ) } & { = \varnothing . } \\ { i } & { = 1 1 : } & { \alpha ( 1 1 ) } & { = 1 , } & { \lambda ( 1 1 ) } & { = \{ 1 0 , 9 , 6 \} , } & { \lambda ^ { + } ( 1 1 ) } & { = \varnothing , } & { \rho ( 1 1 ) } & { = \{ 1 3 , 1 2 \} , } & { \rho ^ { + } ( 1 1 ) } & { = \{ 1 3 , 1 2 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \leq L ^ { 3 } 4 \pi a \rho _ { \uparrow } \rho _ { \downarrow } + O ( L ^ { 3 } a ^ { 2 } b ^ { - 1 } \rho ^ { 2 } ) + O _ { K } ( L ^ { 3 } a ^ { 2 } b ^ { 2 } \rho ^ { 3 } ) + O _ { K } \left( L ^ { 3 } a \rho ^ { 2 } ( s a b ^ { 2 } \rho ( \log N ) ^ { 3 } ) ^ { K + 1 } \right) } \\ & { \quad + O ( L ^ { 3 } s a ^ { 3 } \rho ^ { 3 } \log ( b / a ) ( \log N ) ^ { 3 } ) . } \end{array}
\psi _ { \mathrm { o u t } } ( \lambda _ { \mathrm { i n } } ) = ( 1 - \lambda _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } ) \sum _ { a , b = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { \mathrm { i n } } ) ^ { a + b } \left( \delta _ { a b } ( 1 - \lambda _ { x } ^ { 2 } ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \lambda _ { x } ^ { 2 n } \left| n \middle > \middle < n \right| + \mathcal { E } _ { x , y } ^ { \{ m m \} } [ \left| a \middle > \middle < b \right| ] + \mathcal { E } _ { x , y } ^ { \{ l m \} } [ \left| a \middle > \middle < b \right| ] \right) _ { S } \otimes \left| a \middle > \middle < b \right| _ { I } .
\Lambda = - \delta _ { 1 } U _ { e } ^ { \prime } / ( U _ { e } \delta _ { 1 } ^ { \prime } ) = \delta _ { 1 } ( P ^ { \prime } ) / ( U _ { e } ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { \prime } ) = ( U _ { p } / U _ { e } ) ^ { 2 } / \delta _ { 1 } ^ { \prime }
{ \begin{array} { r l } { u \otimes v \rightarrow \Pi ( \Lambda ) u \otimes \Pi ( \Lambda ) v } & { = { \Pi ( \Lambda ) ^ { \alpha } } _ { \beta } u ^ { \beta } \otimes { \Pi ( \Lambda ) ^ { \rho } } _ { \sigma } v ^ { \sigma } } \\ & { = { \Pi ( \Lambda ) ^ { \alpha } } _ { \beta } { \Pi ( \Lambda ) ^ { \rho } } _ { \sigma } u ^ { \beta } \otimes v ^ { \sigma } } \\ & { \equiv { \Pi ( \Lambda ) ^ { \alpha } } _ { \beta } { \Pi ( \Lambda ) ^ { \rho } } _ { \sigma } w ^ { \beta \sigma } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { { \mathcal H } ( t , X _ { t } ) = { \mathcal H } ( 0 , X _ { 0 } ) + \int _ { 0 } ^ { t } \partial _ { s } { \mathcal H } ( s , X _ { s } ) d s + } \\ & { \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { L } \mathcal { H } ( s , X _ { s } ) d s + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { A } \big ( { \mathcal H } ( s , X _ { s - } + f ( s , u ) ) - { \mathcal H } ( s , X _ { s - } ) \big ) q ( d s , d u ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \mathcal { H } } _ { j , \boldsymbol { k } } = \mathcal { H } _ { j , \boldsymbol { k } } ^ { \epsilon , \zeta } } & { = \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial d _ { \mathrm { d i v } , j , \boldsymbol { k } } ^ { \epsilon , n + 1 } \partial d _ { \mathrm { d i v } , j , \boldsymbol { k } } ^ { \zeta , n + 1 } } \displaystyle \int \left[ \frac { \boldsymbol { u } _ { j , \boldsymbol { k } } ^ { \prime , n + 1 } - \boldsymbol { u } _ { j , \boldsymbol { k } } ^ { \prime , n } } { \Delta t } + \boldsymbol { \mathcal { A } } _ { j , \boldsymbol { k } } ^ { \bot } - \boldsymbol { \mathcal { D } } _ { j , \boldsymbol { k } } - \boldsymbol { \mathcal { F } } _ { j , \boldsymbol { k } } ^ { \bot } \right] ^ { 2 } \mathrm { d } V _ { x } } \\ & { = \frac { 2 } { \Delta t ^ { 2 } } \displaystyle \int \boldsymbol { \varPsi } _ { \mathrm { d i v } , j , \boldsymbol { k } } ^ { \epsilon } ( \boldsymbol { \xi } ( \boldsymbol { x } ) ) \cdot \boldsymbol { \varPsi } _ { \mathrm { d i v } , j , \boldsymbol { k } } ^ { \zeta } ( \boldsymbol { \xi } ( \boldsymbol { x } ) ) \mathrm { d } V _ { x } , } \end{array}
S _ { F } = \int d ^ { 2 } x \left\{ \bar { \psi } { \gamma } ^ { \mu } [ i { \partial } _ { \mu } + e \sqrt { \pi } ( 1 + r { \gamma } ^ { 5 } ) A _ { \mu } ] { \psi } - { \frac 1 4 } F _ { { \mu } { \nu } } F ^ { { \mu } { \nu } } \right\} ,
\begin{array} { r l } { p _ { u | \psi \xi } ( u | \psi , \xi ; \phi ) } & { = p _ { u _ { n } } ( u _ { n } ) \cdot \frac { \sin \psi } { \sin \psi _ { n } } = } \\ & { = p _ { u _ { n } } \left( \frac { u \sin \psi } { \sin \left( \psi - \bar { K } _ { \psi } ( \xi ; \phi ) \right) } \right) \cdot \frac { \sin \psi } { \sin \left( \psi - \bar { K } _ { \psi } ( \xi ; \phi ) \right) } } \end{array} \mathrm { , }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { \partial { s } } \, \frac { 1 } { r } } & { { } = } & { - \frac { ( { \vec { s } } \cdot { \vec { r } } ) } { r ^ { 3 } } , \qquad \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial { s } ^ { 2 } } \, \frac { 1 } { r } = \frac { 3 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { r } } ) ^ { 2 } } { r ^ { 5 } } - \frac { 1 } { r ^ { 3 } } , \qquad \frac { \partial ^ { 3 } } { \partial { s } ^ { 3 } } \, \frac { 1 } { r } = - 3 \Big ( \frac { 5 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { r } } ) ^ { 3 } } { r ^ { 7 } } - \frac { 3 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { r } } ) } { r ^ { 5 } } \Big ) , } \\ { \frac { \partial ^ { 4 } } { \partial { s ^ { 4 } } } \, \frac { 1 } { r } } & { { } = } & { 3 \Big ( \frac { 3 5 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { r } } ) ^ { 4 } } { r ^ { 9 } } - \frac { 3 0 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { r } } ) ^ { 2 } } { r ^ { 7 } } + \frac { 3 } { r ^ { 5 } } \Big ) . } \end{array}
g _ { \mu \nu } \left( x + \pi ( \xi ) \right) = g _ { \mu \nu } + g _ { \mu \nu ; \lambda } \xi ^ { \lambda } + { \frac { 1 } { 2 } } \left[ g _ { \mu \nu ; \lambda \sigma } + { \frac { 1 } { 3 } } \left( R _ { ~ \lambda \mu \sigma } ^ { \kappa } g _ { \kappa \nu } + R _ { ~ \lambda \nu \sigma } ^ { \kappa } g _ { \kappa \mu } \right) \right] \xi ^ { \lambda } \xi ^ { \sigma } + . . .
\begin{array} { r l } { \tilde { u } ( - d ) } & { = \left( \begin{array} { c c } { ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 1 } } } & { ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } } \\ { - \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 c } ( c \eta ) ^ { 1 - \gamma _ { 1 } } } & { - \frac { \gamma _ { 2 } } { 2 c } ( c \eta ) ^ { 1 - \gamma _ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 4 c ^ { 2 } u _ { 1 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) - 2 c u _ { 2 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) } \\ { u _ { 1 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) + c u _ { 2 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) } \end{array} \right) } \\ & { \approx u _ { 1 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) \left( \begin{array} { c c } { ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } } \\ { O ( c ) ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } } \end{array} \right) } \end{array}
\hat { \sigma } _ { a b } ( x _ { a } x _ { b } s _ { H } , \tilde { m } ^ { 2 } ; M ^ { 2 } ) = \alpha _ { s } ^ { 2 } ( \mu ^ { 2 } ) \hat { \sigma } _ { a b } ^ { \mathrm { t r e e } } + \alpha _ { s } ^ { 3 } ( \mu ^ { 2 } ) \hat { \sigma } _ { a b } ^ { \mathrm { l o o p } } ( \mu ^ { 2 } ) + ~ \alpha _ { s } ^ { 3 } ( \mu ^ { 2 } ) \hat { \sigma } _ { a b } ^ { \mathrm { r e a l } } ( M ^ { 2 } ) + { \cal O } ( \alpha _ { s } ^ { 4 } ) .
i Q _ { G s } \simeq \left[ 1 + \left( 1 + \frac { \mu \bar { B } _ { 0 } } { \bar { v } _ { \parallel } ^ { 2 } } \right) \frac { r } { R _ { 0 } } \cos \theta \right] \frac { q R _ { 0 } } { r } \frac { \bar { v } _ { \parallel } } { \bar { \Omega } _ { s } } \partial _ { r } \; ,
{ \mathcal E } ( t , x ) = \frac { k } { 2 } ( 1 - e ^ { - 2 \beta t } ) e ^ { - k | x - \frac { B } { \beta } ( 1 - e ^ { - \beta t } ) | } + e ^ { - 2 \beta t } \delta \left( x - \frac { B } { \beta } ( 1 - e ^ { - \beta t } ) \right) .
\begin{array} { r l } { \| \Sigma _ { N - 2 } ^ { * } - \tilde { \Sigma } _ { N - 2 } \| } & { \leq \operatorname* { m i n } \bigg \{ \| \Sigma ^ { * } \| , \frac { \| \Sigma ^ { * } \| } { C _ { 2 } } , \frac { \epsilon } { 4 C _ { 1 } C _ { 2 } } \cdot \bigg \} } \\ { \| \delta _ { N - 2 } \| } & { \leq \operatorname* { m i n } \bigg \{ \sqrt { \frac { \| \Sigma ^ { * } \| } { C _ { 3 } } } , \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { \epsilon } { C _ { 1 } C _ { 3 } } } \bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { 1 } } & { { } = \int _ { 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } d \lambda \cos { ( \hbar k \lambda \nabla _ { p z } ) } } \\ { \Delta _ { 2 } } & { { } = \int _ { 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } d \lambda \lambda \sin { ( \hbar k \lambda \nabla _ { p z } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { P ^ { \mathrm { i n } } ( L _ { f } ) = \frac { \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } e ^ { - \frac { ( L _ { \mathrm { i n } } - L _ { f } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } { \sigma \left( \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } \left( \frac { L _ { \mathrm { i n } } } { \sqrt { 2 } \sigma } \right) + 1 \right) } } \end{array}
= \frac { 1 } { 2 } f \left( \frac { \ell + r } { 2 } \right) g _ { 0 } \left( \frac { r - \ell } { 2 \gamma } \right) + ~ \gamma \int _ { - ( r - \ell ) / ( 2 \gamma ) } ^ { \infty } f ^ { \prime } ( r + \gamma u ) g _ { 0 } ( | u | ) d u .
\begin{array} { r l } & { \Pi _ { f } ^ { ( R ) } ( r ) = \frac { i } { - 2 k \cdot x + \mu ^ { 2 } } = - \frac { i } { 2 k \cdot x } - \frac { i \mu ^ { 2 } } { 4 ( k \cdot x ) ^ { 2 } } + O ( \mu ) , } \\ & { \Pi _ { e } ^ { ( R ) } ( r ^ { \prime } ) = \frac { i } { + 2 k \cdot x + \mu ^ { 2 } } = + \frac { i } { 2 k \cdot x } - \frac { i \mu ^ { 2 } } { 4 ( k \cdot x ) ^ { 2 } } + O ( \mu ) . } \end{array}
\frac { \mathcal { Z } _ { X _ { 3 } } ^ { ( 2 | 1 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } _ { X _ { 3 } } ^ { ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } - \frac { \mathcal { Z } _ { X _ { 3 } } ^ { ( 1 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } _ { X _ { 3 } } ^ { ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } \, \frac { \mathcal { Z } _ { X _ { 3 } } ^ { ( 1 | 1 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } _ { X _ { 3 } } ^ { ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } \simeq - \frac { 4 \gamma _ { \mathrm { E } } + 5 \log z + 2 0 \log 2 + \log 7 2 9 } { 3 2 \cdot 3 ^ { 3 / 4 } \pi ^ { 3 / 2 } \, z ^ { 5 / 8 } } \, { \mathrm { e } } ^ { - \frac { 8 \sqrt { 3 } } { 5 } z ^ { \frac { 5 } { 4 } } } + \cdots ,
\Phi = \frac { \big [ 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } \chi \big ] ^ { 2 } } { J _ { 0 } ^ { 2 } } = \omega _ { 2 } \, \quad \Rightarrow \chi = \frac { \sqrt { \Phi } } { J _ { 0 } } \, , \quad \frac { m } { \sqrt { q } } = \frac { \omega _ { 1 } } { \sqrt { \Phi } } \quad \mathrm { a n d } \, \quad J _ { 0 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 \Phi }
\frac { d ^ { 2 } } { d p ^ { 2 } } \, \mathbf { P } ( N , N _ { 0 } , p ) \sim p ^ { N _ { 0 } - 2 } ( 1 - p ) ^ { N - N _ { 0 } - 1 } ( N _ { 0 } - 1 - p ( N - 1 ) ) = 0 .
\left\{ \begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } P _ { \mathbf { a } } ( t , x ) - \nabla \cdot \mathbf { a } \nabla P _ { \mathbf { a } } ( t , x ) } & { = 0 } & { ~ ~ \mathrm { f o r } } & { ~ ~ ( t , x ) \in ( 0 , \infty ) \times \ensuremath { \mathbb { Z } ^ { d } } , } \\ { P _ { \mathbf { a } } ( 0 , x ) } & { = \delta _ { 0 } ( x ) - \frac { 1 } { \left| \mathbb { T } _ { L } \right| } } & { ~ ~ \mathrm { f o r } } & { ~ ~ x \in \mathbb { T } _ { L } , } \end{array} \right.
g ( v ) = \frac { \partial \Gamma ( v ) } { \partial v } = h d * \Delta t * [ 2 \rho ^ { T } M \mathrm { d i a g } ( v ) + ( M ( v \odot v ) ) ^ { T } J ] + \beta ( \rho ^ { m } - \rho _ { 1 } ) ^ { T } \frac { \partial \rho ^ { m } } { \partial v } ,
{ } C _ { 0 i } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = \langle \phi _ { i } ( \tau ) \phi _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle _ { 0 } - \langle \phi _ { i } ( \tau ) \rangle _ { 0 } \langle \phi _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle _ { 0 } = 0
\begin{array} { r l } { \Phi ( x ^ { \lambda } y ^ { 1 - \lambda } ) } & { = 1 + \varphi ( \log ( x ^ { \lambda } y ^ { 1 - \lambda } ) = 1 + \varphi ( \lambda \log ( x ) + ( 1 - \lambda ) \log ( y ) ) } \\ & { \leq 1 + \lambda \varphi ( \log ( x ) ) + ( 1 - \lambda ) \varphi ( \log ( y ) ) = \lambda \Phi ( x ) + ( 1 - \lambda ) \Phi ( y ) , } \end{array}
\mathbf { p } _ { k } = \mathbf { r } _ { k } - \sum _ { i < k } { \frac { \mathbf { p } _ { i } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A } \mathbf { r } _ { k } } { \mathbf { p } _ { i } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A } \mathbf { p } _ { i } } } \mathbf { p } _ { i }
\begin{array} { r } { \frac { \gamma \alpha ^ { 2 k } } { ( 2 k + 1 ) ! } > \frac { ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 k } ( \gamma + 2 k \omega _ { 0 } ) } { ( 2 k + 1 ) ! } . } \end{array}
\bar { \zeta } ( s ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d k } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \lambda \, d \lambda } { ( k ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) ^ { s } } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { \pi } } \frac { \Gamma ( s - 1 / 2 ) } { \Gamma ( s ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \lambda ^ { 2 - 2 s } d \lambda \, { . }
\frac { \partial n _ { \bar { q } } } { \partial \tau } + \frac { n _ { \bar { q } } } { \tau } = n _ { g } R _ { 2 } ( 1 - \frac { \lambda _ { q } \lambda _ { \bar { q } } } { \lambda _ { g } ^ { 2 } } ) + \frac { n _ { \bar { q } } \eta } { \epsilon \tau ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \theta } & { = } & { \frac { \tau _ { 1 } + \tau _ { 2 } } { \sqrt { \tau _ { 1 } ^ { 2 } + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } } + \ldots } \\ { \theta ^ { \prime } } & { = } & { 0 + \ldots } \\ { \frac { 1 } { d - 1 } \theta ^ { 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { 3 } \frac { ( \tau _ { 1 } + \tau _ { 2 } ) ^ { 2 } } { { \tau _ { 1 } ^ { 2 } + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } } + \ldots } \\ { \sigma ^ { 2 } } & { = } & { \frac { 2 } { 3 } \frac { \tau _ { 1 } ^ { 2 } - \tau _ { 1 } \tau _ { 2 } + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } { \tau _ { 1 } ^ { 2 } + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } + \ldots \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { L } \dot { S _ { L } } } & { = - F _ { L } S _ { 0 } + | q _ { L } | ( S _ { A } - S _ { L } ) , } \\ { V _ { N } \dot { S _ { N } } } & { = - F _ { N } S _ { 0 } + | q _ { N } | ( S _ { A } - S _ { N } ) , } \\ { V _ { T o t a l } S _ { 0 } } & { = V _ { L } S _ { L } + V _ { A } S _ { A } + V _ { N } S _ { N } , } \\ { q _ { L } } & { = - k \left[ \alpha ( T _ { L } - T _ { A } ) - \beta ( S _ { L } - S _ { A } ) \right] , } \\ { q _ { N } } & { = - k \left[ \alpha ( T _ { N } - T _ { A } ) - \beta ( S _ { N } - S _ { A } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g ( \chi ) } & { { } = } & { 1 + \frac { K _ { 1 } } { \sigma ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \omega _ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { i j } \sin ( \chi ( \omega _ { j } - \omega _ { i } ) - \alpha ) + \frac { K _ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \end{array}
I _ { 3 } \le \| A [ h ] \| _ { L ^ { \infty } } \| h \| _ { L ^ { p } } ^ { p - 1 } \| \mu \| _ { W ^ { 2 , p } } \leq \| \mu \| _ { W ^ { 2 , p } } \| h \| _ { L ^ { p } } ^ { p - 1 } \| h \| _ { L ^ { 1 } } ^ { 1 - \frac { p } { 3 ( p - 1 ) } } \| h \| _ { L ^ { p } } ^ { \frac { p } { 3 ( p - 1 ) } } \le C ( p ) \| h \| _ { L ^ { p } } ^ { p \left( 1 - \frac { 1 } { p } + \frac { 1 } { 3 ( p - 1 ) } \right) } .
\begin{array} { r l } & { D _ { G } ( m + 1 , m + 1 , m + 1 , m + 1 , m , m + 1 , m + 1 , m , m + 1 , m , m + 1 , m , m , m , m , m ) } \\ & { \quad = D _ { 4 \times 2 } ( 2 m + 2 , 2 m + 1 , 2 m + 2 , 2 m + 1 , 2 m , 2 m + 1 , 2 m + 1 , 2 m ) F ( 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 1 , 0 ) ^ { 2 } } \\ & { \quad = D _ { 4 } ( 4 m + 2 , 4 m + 2 , 4 m + 3 , 4 m + 1 ) D _ { 4 } ( 2 , 0 , 1 , 1 ) f _ { 0 } ( 0 , - 1 , 0 , 1 ) ^ { 2 } f _ { 1 } ( 0 , 1 , 2 , 1 ) ^ { 2 } } \\ & { \quad = 2 \left\{ ( 8 m + 5 ) ^ { 2 } - ( 8 m + 3 ) ^ { 2 } \right\} \cdot 1 6 \cdot 2 ^ { 2 } \cdot ( - 4 ) ^ { 2 } } \\ & { \quad = 2 ^ { 1 5 } ( 2 m + 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { c c c } { \boldsymbol { \mu } } & { : = } & { \left( \underline { { \mu } } ^ { 1 } , \dots , \underline { { \mu } } ^ { k } \right) , } \\ { \boldsymbol { \sigma } } & { : = } & { \left( \sigma ^ { 1 } , \dots , \sigma ^ { k } \right) , } \\ { \mathcal { O } _ { \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \sigma } } } & { : = } & { \left( \mathcal { O } _ { \underline { { \mu } } ^ { 1 } , \sigma ^ { 1 } } , \dots , \mathcal { O } _ { \underline { { \mu } } ^ { k } , \sigma ^ { k } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { 0 } ^ { * } ( \theta , \lambda , r ) = } & { { } \frac { G M } { r } [ 1 + \sum _ { n = 2 } ^ { M } ( \frac { a } { r } ) ^ { n } \sum _ { m = 0 } ^ { n } ( \bar { C } _ { n m } ^ { 0 * } \cos m \lambda } \end{array}
\begin{array} { r c r c r c r c r c r } { 3 ^ { 1 } } & { = } & { 3 } & { = } & { 3 ^ { 0 } \times 3 } & { \equiv } & { 1 \times 3 } & { = } & { 3 } & { \equiv } & { 3 { \pmod { 7 } } } \\ { 3 ^ { 2 } } & { = } & { 9 } & { = } & { 3 ^ { 1 } \times 3 } & { \equiv } & { 3 \times 3 } & { = } & { 9 } & { \equiv } & { 2 { \pmod { 7 } } } \\ { 3 ^ { 3 } } & { = } & { 2 7 } & { = } & { 3 ^ { 2 } \times 3 } & { \equiv } & { 2 \times 3 } & { = } & { 6 } & { \equiv } & { 6 { \pmod { 7 } } } \\ { 3 ^ { 4 } } & { = } & { 8 1 } & { = } & { 3 ^ { 3 } \times 3 } & { \equiv } & { 6 \times 3 } & { = } & { 1 8 } & { \equiv } & { 4 { \pmod { 7 } } } \\ { 3 ^ { 5 } } & { = } & { 2 4 3 } & { = } & { 3 ^ { 4 } \times 3 } & { \equiv } & { 4 \times 3 } & { = } & { 1 2 } & { \equiv } & { 5 { \pmod { 7 } } } \\ { 3 ^ { 6 } } & { = } & { 7 2 9 } & { = } & { 3 ^ { 5 } \times 3 } & { \equiv } & { 5 \times 3 } & { = } & { 1 5 } & { \equiv } & { 1 { \pmod { 7 } } } \\ { 3 ^ { 7 } } & { = } & { 2 1 8 7 } & { = } & { 3 ^ { 6 } \times 3 } & { \equiv } & { 1 \times 3 } & { = } & { 3 } & { \equiv } & { 3 { \pmod { 7 } } } \end{array}
{ S S I M } ( I , \hat { I } ) = \frac { ( 2 \mu _ { I } \mu _ { \hat { I } } + C _ { 1 } ) ( 2 \sigma _ { I \hat { I } } + C _ { 2 } ) } { ( \mu _ { I } ^ { 2 } + \mu _ { \hat { I } } ^ { 2 } + C _ { 1 } ) ( \sigma _ { I } ^ { 2 } + \sigma _ { \hat { I } } ^ { 2 } + C _ { 2 } ) }
\begin{array} { r } { \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { k - l } } \frac { \boldsymbol { 1 } _ { [ 0 , t ] _ { \leq } ^ { k - l + 1 } } ( \boldsymbol { s } _ { k , l } ) } { \operatorname* { m a x } ( 1 , \hbar ^ { - 1 } | s _ { l } | ) ^ { \frac { d } { 2 } } } \, d \boldsymbol { s } _ { l , k - 1 } \leq \frac { 4 \hbar } { d - 2 } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { k - l - 1 } } \frac { \boldsymbol { 1 } _ { [ 0 , t ] _ { \leq } ^ { k - l - 1 } } ( \boldsymbol { s } _ { k - 1 , l + 1 } ) } { ( 1 + \hbar ^ { - 1 } s _ { k } ) ^ { \frac { d - 2 } { 2 } } } \, d \boldsymbol { s } _ { l + 1 , k - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u _ { i } } { \partial t } } & { = - \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial ( u _ { i } u _ { j } ) } { \partial x _ { j } } + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \partial ^ { 2 } u _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } , } \\ { \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { D ^ { ( n ) } = \frac { n _ { y } } { 2 \pi } \left( - 2 \cos ^ { 2 } \left( \frac { 2 \pi } { n _ { y } } n \right) - 2 \cos \left( \frac { 2 \pi } { n _ { y } } n \right) + 4 \right) \frac { 1 } { 3 } } \end{array}
| 0 , 0 , - J , \pi > = \frac { 1 } { \sqrt { 4 } } ( | \downarrow \downarrow \uparrow \uparrow > - | \downarrow \uparrow \uparrow \downarrow > - | \uparrow \downarrow \downarrow \uparrow > + | \uparrow \uparrow \downarrow \downarrow > ) \quad .
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } a _ { j + 1 } - a _ { j } } & { \leq \frac { 1 } { 1 0 0 } \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } ( \log \beta ( a _ { j } ) ) ^ { - 2 } \leq \frac { 1 } { 1 0 0 } \cdot \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } \frac { 1 } { ( \log \beta ( 1 . 1 ) + j ) ^ { 2 } } , } \\ { a _ { k } - 1 . 1 } & { \leq \frac { 1 } { 1 0 0 } \cdot \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { j ^ { 2 } } \leq 0 . 0 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { 1 } V _ { 1 } } & { = } & { n _ { 2 } V _ { 2 } , } \\ { n _ { 1 } m V _ { 1 } ^ { 2 } + P _ { \parallel 1 } } & { = } & { n _ { 2 } m V _ { 2 } ^ { 2 } + P _ { \parallel 2 } , } \\ { m \frac { V _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { P _ { \parallel 1 } } { n _ { 1 } } + U _ { 1 } } & { = } & { m \frac { V _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } + U _ { 2 } + \frac { P _ { \parallel 2 } } { n _ { 2 } } , } \end{array}
_ { p } F _ { q } ^ { ( \alpha ) } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { p } ; b _ { 1 } , \ldots , b _ { q } ; X , Y ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \kappa \vdash k } { \frac { 1 } { k ! } } \cdot { \frac { ( a _ { 1 } ) _ { \kappa } ^ { ( \alpha ) } \cdots ( a _ { p } ) _ { \kappa } ^ { ( \alpha ) } } { ( b _ { 1 } ) _ { \kappa } ^ { ( \alpha ) } \cdots ( b _ { q } ) _ { \kappa } ^ { ( \alpha ) } } } \cdot { \frac { C _ { \kappa } ^ { ( \alpha ) } ( X ) C _ { \kappa } ^ { ( \alpha ) } ( Y ) } { C _ { \kappa } ^ { ( \alpha ) } ( I ) } } ,
\begin{array} { r l } & { \widehat { L _ { b } } ( \sigma ) \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ( \tilde { g } _ { 1 } , \tilde { A } _ { 1 } ) } \\ & { \quad = \sigma V _ { b } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 1 } ) + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } V _ { b } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 1 } ) } \\ & { \quad = i \sigma V _ { b } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } V _ { b } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 1 } ) } \\ & { \quad = i \sigma \big ( I - V _ { b } \check { L } _ { b } ( 0 ) ^ { - 1 } \big ) V _ { b } ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) + i \sigma V _ { b } ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } - \check { L } _ { b } ( 0 ) ^ { - 1 } ) \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) } \\ & { \quad \quad + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } V _ { b } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 1 } ) } \\ & { \quad = i \sigma V _ { b } ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } - \check { L } _ { b } ( 0 ) ^ { - 1 } ) \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } V _ { b } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 1 } ) } \end{array}
s = \| \mathbf { r } \| ^ { 2 } = \mathbf { r } ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { r } = \mathbf { r } ^ { \mathrm { { T } } } Q Q ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { r } = \mathbf { u } ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { u } + \mathbf { v } ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { v }