harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \rho _ { C R } } { c } c \boldsymbol { E } + \frac { \boldsymbol { j } _ { C R } } { c } \times \boldsymbol { B } = } & { { } \frac { \left( \rho _ { C R , 0 } + \rho _ { \delta } \right) } { c } c \boldsymbol { E } + \frac { \left( \boldsymbol { j } _ { C R , 0 } + \boldsymbol { j } _ { \delta } \right) } { c } \times \boldsymbol { B } , } \\ { \frac { \boldsymbol { j } _ { C R } } { c } \cdot \left( c \boldsymbol { E } \right) = } & { { } \frac { \left( \boldsymbol { j } _ { C R , 0 } + \boldsymbol { j } _ { \delta } \right) } { c } \cdot \left( c \boldsymbol { E } \right) , } \end{array}
d s ^ { 2 } = g ( \mathbf { x } , d \mathbf { x } ) = { \frac { \left\| d \mathbf { x } \right\| ^ { 2 } } { 1 - \left\| \mathbf { x } \right\| ^ { 2 } } } + { \frac { ( \mathbf { x } \cdot d \mathbf { x } ) ^ { 2 } } { { \bigl ( } 1 - \left\| \mathbf { x } \right\| ^ { 2 } { \bigr ) } ^ { 2 } } } = { \frac { ( 1 - \left\| \mathbf { x } \right\| ^ { 2 } ) \left\| d \mathbf { x } \right\| ^ { 2 } + ( \mathbf { x } \cdot d \mathbf { x } ) ^ { 2 } } { { \bigl ( } 1 - \left\| \mathbf { x } \right\| ^ { 2 } { \bigr ) } ^ { 2 } } }
( V _ { i j } ) _ { a b } = \delta _ { a b } + \left( \cos { \varphi _ { i j } } - 1 \right) \left( \delta _ { i a } \delta _ { i b } + \delta _ { j a } \delta _ { j b } \right) + \sin { \varphi _ { i j } } \left( \delta _ { i a } \delta _ { j b } - \delta _ { j a } \delta _ { i b } \right) \, .
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { P E } } [ \rho _ { \mathrm { A } } , \rho _ { \mathrm { e n v } } ^ { ( 0 ) } ] = E _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { P E } } [ \rho _ { \mathrm { A } } , \rho _ { \mathrm { e n v } } ^ { ( 0 ) } ] + E _ { \mathrm { e n v } } ^ { \mathrm { P E } } [ \rho _ { \mathrm { e n v } } ^ { ( 0 ) } , \rho _ { \mathrm { A } } ] + E _ { \mathrm { i n t } } ^ { \mathrm { m u l t } } [ \rho _ { \mathrm { A } } , \rho _ { \mathrm { e n v } } ^ { ( 0 ) } ] , } \end{array}
\int \csc ^ { 3 } x \, d x = { \frac { 1 } { 2 } } ( - \csc x \cot x + \ln | \csc x - \cot x | ) + C = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \ln \left| \tan { \frac { x } { 2 } } \right| - \csc x \cot x \right) + C
\begin{array} { r l } { 2 v \partial _ { t } v } & { = \partial _ { t } v ^ { 2 } = \partial _ { t } \langle \partial _ { u } C , \partial _ { u } C \rangle = 2 \langle \partial _ { t } \partial _ { u } C , \partial _ { u } C \rangle } \\ & { = 2 \langle - ( \partial _ { u } \rho ) \nu + ( - \rho + 2 h ) \partial _ { u } \nu , \partial _ { u } C \rangle } \\ & { = 2 ( - \rho + 2 h ) \langle \partial _ { u } \nu , \partial _ { u } C \rangle = 2 v ^ { 2 } \rho ( - \rho + 2 h ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu } & { { } = d \psi ( z ) } \\ { \beta : = \iota _ { B } \mu } & { { } = d F ( z ) \wedge d \theta _ { 1 } - d G ( z ) \wedge d \theta _ { 2 } , } \\ { \vartheta : = \iota _ { u } \mu } & { { } = d K ( z ) \wedge d \theta _ { 1 } - d L ( z ) \wedge d \theta _ { 2 } , } \end{array}
d x ^ { 4 } \wedge d x ^ { 5 } \left( e ^ { \psi } \delta ^ { i j } \partial _ { i } \partial _ { j } + \partial _ { z } \partial _ { \bar { z } } \right) H - \delta ( x ^ { 6 } ) \ldots \delta ( x ^ { 9 } ) d b \wedge d c = 0
\Upsilon _ { 3 V } ^ { W X Y } = \big \{ \big ( ( - 1 , 1 ) , I _ { 3 V } ^ { W } \big ) , \quad \big ( ( 1 . 2 , - 0 . 8 ) , I _ { 3 V } ^ { X } \big ) , \quad \big ( ( 0 . 8 , - 1 . 2 ) , I _ { 3 V } ^ { Y } \big ) \big \} ,
\left( \frac { \partial \hat { \psi } } { \partial \hat { y } } , - \frac { \partial \hat { \psi } } { \partial \hat { x } } \right) = \int _ { 0 } ^ { \hat { H } } \left( \hat { u } , \hat { v } \right) ~ \mathrm { ~ d ~ } \hat { z } = \hat { H } \left( \hat { \bar { u } } , \hat { \bar { v } } \right) .
\begin{array} { r l } { E _ { \left| - \frac 1 2 \right\rangle } = E _ { 0 } = } & { N - 1 + \pi - ( 2 N + 1 ) \ln ( 4 ) - \frac { 1 } { \xi + i \chi } - \frac { 1 } { \xi - i \chi } + \psi ^ { ( 0 ) } \left( \frac { \xi + i \chi } { 2 } + 1 \right) } \\ & { - \psi ^ { ( 0 ) } \left( \frac { \xi + i \chi } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \right) + \psi ^ { ( 0 ) } \left( \frac { \xi - i \chi } { 2 } + 1 \right) - \psi ^ { ( 0 ) } \left( \frac { \xi - i \chi } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \right) \in \mathbb { R } . } \end{array}
\hat { \kappa } _ { \perp } ^ { 2 } = - r ^ { 2 } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } / ( n ^ { 2 } q ^ { 2 } ) = \left( \hat { s } \eta - \alpha \sin \eta \right) ^ { 2 } \left( 1 + 2 \Delta ^ { \prime } \cos \eta \right) - 2 \hat { s } \eta \Delta ^ { \prime } \sin \eta + 1 - 2 \left( r / R _ { 0 } + \Delta ^ { \prime } \right) \cos \eta
\mathcal { H } _ { \mathrm { O Q S } } \equiv \mathbb { C } ^ { 2 J + 1 } \oplus \bigoplus _ { j = 0 ( \frac { 1 } { 2 } ) } ^ { J - 1 } \mathbb { C } ^ { 2 j + 1 } \otimes \mathbb { C } ^ { 2 j + 1 } .
\begin{array} { r l } & { \frac { \operatorname* { P r } \left( Y _ { i 2 } = y _ { 2 } , X _ { i 2 } = x _ { 2 } , Y _ { i 1 } = y _ { 1 } \, | \, X _ { i 1 } = x _ { 1 } \right) } { [ G _ { y _ { 1 } , x _ { 1 } } ^ { 2 } ] ^ { x _ { 2 } } [ 1 - G _ { y _ { 1 } , x _ { 1 } } ^ { 2 } ] ^ { 1 - x _ { 2 } } } } \\ & { = \int _ { { \cal { S } } } \, F ( \theta x _ { 2 } + \alpha ) ^ { y _ { 2 } } [ 1 - F ( \theta x _ { 2 } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { 2 } } F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ^ { y _ { 1 } } [ 1 - F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { 1 } } \pi _ { x _ { 1 } } ( \alpha ) d \mu ( \alpha ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { R } _ { D R 2 } } & { = \mathbb { E } \left[ \log _ { 2 } \left( \frac { 1 + \left| \mathcal { H } _ { 2 } \right| ^ { 2 } \left( \beta _ { 1 } ^ { 2 } + \beta _ { 2 } ^ { 2 } \right) \, \rho _ { r } } { 1 + \left| \mathcal { H } _ { 2 } \right| ^ { 2 } \beta _ { 1 } ^ { 2 } \rho _ { r } } \right) \right] , } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \log _ { 2 } \left( 1 + \Xi _ { 2 } \left| \mathcal { H } _ { 2 } \right| ^ { 2 } \right) - \log _ { 2 } \left( 1 + \Xi _ { 3 } \left| \mathcal { H } _ { 2 } \right| ^ { 2 } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathbf { G } _ { k } ^ { i } , \mathbf { p } _ { i + 1 } \rangle _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } } & { \approx - \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } ^ { 2 } + \beta _ { i } \langle \mathbf { G } _ { k } ^ { i } , \mathcal { P } _ { \alpha _ { i } ^ { * } \mathbf { p } _ { i } } \mathbf { p } _ { i } \rangle _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } } \\ & { \approx - \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } ^ { 2 } \le - C \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } } & { { } : = \operatorname { R e } A _ { 0 } = \operatorname { R e } A _ { t } \mathrm { ~ \ \ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \mathcal { B } } & { { } : = \operatorname { I m } A _ { 0 } = \operatorname { I m } A _ { t } } \end{array}
H = H _ { 0 } + \delta \Phi , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \mathrm { w h e r e } \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, H _ { 0 } = \frac { \mathbf { v } ^ { 2 } } { 2 } + \Phi _ { 0 } ( \mathbf { x } ) ,
\begin{array} { r l r } { \hat { S } _ { x } } & { = } & { \hbar \left( \hat { a } _ { \mathrm { L } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { R } } + \hat { a } _ { \mathrm { R } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { L } } \right) } \\ { \hat { S } _ { y } } & { = } & { \hbar \left( - i \hat { a } _ { \mathrm { L } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { R } } + i \hat { a } _ { \mathrm { R } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { L } } \right) } \\ { \hat { S } _ { z } } & { = } & { \hbar \left( \hat { n } _ { \mathrm { L } } - \hat { n } _ { \mathrm { R } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 \, ( n - 1 ) \, \omega _ { n - 1 } \, m ( g _ { t } ) } \\ & { \qquad = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \lambda ^ { - 1 } \, \bigg ( \sum _ { i , \, j = 1 } ^ { n } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } \cap { S } _ { \lambda } ^ { n - 1 } ( 0 ) } ( 1 + t \, v ) ^ { \frac { 4 } { n - 2 } } \, x ^ { i } \, \big [ ( \partial _ { j } g ) ( e _ { i } , e _ { j } ) - ( \partial _ { i } g ) ( e _ { j } , e _ { j } ) \big ] \, \mathrm { d } \mu ( \bar { g } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \int _ { ( \mathbb { R } ^ { n - 1 } \times \{ 0 \} ) \cap S _ { \lambda } ^ { n - 1 } ( 0 ) } ( 1 + t \, v ) ^ { \frac { 4 } { n - 2 } } \, x ^ { i } \, g ( e _ { i } , e _ { n } ) \, \mathrm { d } l ( \bar { g } ) \bigg ) } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 4 } { n - 2 } \, t \, \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \lambda ^ { - 1 } \, \sum _ { i , \, j = 1 } ^ { n } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } \cap { S } _ { \lambda } ^ { n - 1 } ( 0 ) } ( 1 + t \, v ) ^ { \frac { 6 - n } { n - 2 } } \, x ^ { i } \, \big [ \partial _ { j } v \, g ( e _ { i } , e _ { j } ) - \partial _ { i } v \, g ( e _ { j } , e _ { j } ) \big ] \, \mathrm { d } \mu ( \bar { g } ) . } \end{array}
A _ { F B } = \frac { \sigma ( \cos \theta > 0 ) - \sigma ( \cos \theta < 0 ) } { \sigma ( \cos \theta > 0 ) + \sigma ( \cos \theta < 0 ) } = \frac { 3 } { 2 } \langle \cos \theta \rangle = \frac { 3 } { 2 } R e [ \frac { T _ { 1 , 1 } ( a _ { 1 } ^ { A } ) } { T _ { 1 , 1 } ( \Phi ) } ]
P _ { \nu _ { e } \to \nu _ { e } } ^ { \mathrm { S u n } } = \frac { 1 } { 2 } + \left( \frac { 1 } { 2 } - P _ { c } \right) \cos { 2 \vartheta _ { 1 2 } } \, \cos { 2 \vartheta _ { 1 2 } ^ { M } } \, .
\begin{array} { r l } { R _ { u i } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { v = 1 } ^ { N } \frac { s _ { u v } ^ { \alpha } } { \sum _ { w } s _ { u w } ^ { \alpha } } \frac { r _ { v i } } { \sum _ { j } ^ { M } r _ { v j } } = } \end{array}
r ( x , y , M _ { Z ^ { \prime } } ^ { 2 } ) = 1 + \left( \frac { 5 0 0 } { M _ { Z ^ { \prime } } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } ( A _ { 1 } y + B _ { 1 } x ) + \left( \frac { 5 0 0 } { M _ { Z ^ { \prime } } ^ { 2 } } \right) ^ { 4 } ( A _ { 2 } y ^ { 2 } + B _ { 2 } x ^ { 2 } + C _ { 1 } x y ) .
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { 1 + 6 Q ^ { 2 } , \Delta } \left[ \begin{array} { l l } { \Delta _ { 3 } } & { \Delta _ { 2 } } \\ { \Delta _ { 4 } } & { \Delta _ { 1 } } \end{array} \right] ( \xi ) = \exp \left( Q ^ { 2 } \, \widetilde { f } _ { \delta / 2 } \left[ \begin{array} { l l } { \delta _ { 3 } / 2 } & { \delta _ { 2 } / 2 } \\ { \delta _ { 4 } / 2 } & { \delta _ { 1 } / 2 } \end{array} \right] ( \xi ) \right) \, . } \end{array}
d = \left( \frac { \kappa _ { T } \nu } { \alpha g \left( \frac { d T _ { 0 } } { d z } - \frac { d T _ { \mathrm { a d } } } { d z } \right) } \right) ^ { 1 / 4 } = \left( \frac { \kappa _ { T } \nu } { N _ { T } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } ,
\mathbf D _ { \mathbf y } \mathbf F ( \mathbf x , \mathbf g ( \mathbf x ) ) = \mathbf I - \Delta t \mathbf A \mathbf x \nabla _ { \mathbf y } \widetilde H _ { i } ( \mathbf x , \mathbf g ( \mathbf x ) ) = \mathbf I - \Delta t \mathbf A \mathbf x \mathbf e _ { i } ^ { \mathsf { T } } \frac { r ( \mathbf x ) } { \sigma _ { i } ( \mathbf x ) } \left( \frac { g _ { i } ( \mathbf x ) } { \sigma _ { i } ( \mathbf x ) } \right) ^ { r ( \mathbf x ) - 1 }
\begin{array} { r l } { W _ { 1 } } & { = W _ { 2 } } \\ { W _ { f } } & { = W _ { e ^ { - } } + W _ { e ^ { + } } } \\ { h \nu } & { = W _ { k e ^ { - } } + W _ { 0 e ^ { - } } + W _ { k e ^ { + } } + W _ { 0 e ^ { + } } } \\ { h \nu } & { = \left[ m _ { e } c ^ { 2 } \gamma ( v _ { 1 } ) - m _ { e } c ^ { 2 } \right] + m _ { e } c ^ { 2 } + \left[ m _ { e } c ^ { 2 } \gamma ( v _ { 2 } ) - m _ { e } c ^ { 2 } \right] + m _ { e } c ^ { 2 } } \\ { h \nu } & { = m _ { e } c ^ { 2 } \gamma ( v _ { 1 } ) + m _ { e } c ^ { 2 } \gamma ( v _ { 2 } ) } \\ { h \nu } & { = m _ { e } c ^ { 2 } \left[ \gamma ( v _ { 1 } ) + \gamma ( v _ { 2 } ) \right] } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { i { \mathcal { M } } } & { = i ( { \mathcal { M } } _ { t } - { \mathcal { M } } _ { u } ) } \\ & { = - i ( - i e ) ^ { 2 } \left[ { \frac { 1 } { t } } { \bar { u } } ( p _ { 3 } ) \gamma ^ { \mu } u ( p _ { 1 } ) { \bar { u } } ( p _ { 4 } ) \gamma _ { \mu } u ( p _ { 2 } ) - { \frac { 1 } { u } } { \bar { u } } ( p _ { 3 } ) \gamma ^ { \mu } u ( p _ { 2 } ) { \bar { u } } ( p _ { 4 } ) \gamma _ { \mu } u ( p _ { 1 } ) \right] . } \end{array} }
\left[ \begin{array} { l } { \dot { x } _ { F } } \\ { \dot { y } _ { F } } \\ { \omega _ { F } } \end{array} \right] = \left\{ \begin{array} { l l } { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 3 2 6 } & { 0 . 2 2 2 } & { - 0 . 2 1 3 } \\ { 0 . 1 8 5 } & { - 0 . 0 0 8 } & { - 0 . 0 7 6 } \\ { - 0 . 3 3 3 } & { - 0 . 1 4 7 } & { 0 . 2 2 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \dot { x } _ { 0 } } \\ { \dot { y } _ { 0 } } \\ { \omega _ { 0 } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { 1 7 5 } \\ { 9 0 . 4 } \\ { - 1 7 1 } \end{array} \right] } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 . 3 7 7 \dot { x } _ { 0 } + 2 . 2 5 \dot { y } _ { 0 } + \omega _ { 0 } < - 4 8 5 } \\ { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 6 0 6 } & { 0 . 6 4 9 } & { - 0 . 0 0 7 } \\ { 0 . 1 4 6 } & { - 0 . 0 8 9 } & { - 0 . 0 0 6 } \\ { - 0 . 1 9 2 } & { 1 . 0 1 } & { 0 . 8 8 7 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \dot { x } _ { 0 } } \\ { \dot { y } _ { 0 } } \\ { \omega _ { 0 } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { 1 1 7 } \\ { 4 9 . 3 } \\ { 3 5 . 0 } \end{array} \right] } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 . 3 7 7 \dot { x } _ { 0 } + 2 . 2 5 \dot { y } _ { 0 } + \omega _ { 0 } > - 4 8 5 . } \end{array} \right.
\sum _ { n } L _ { n } e ^ { - i n \phi } = - { \frac { k } { 2 } } g _ { a b } \left( \alpha ^ { a } \alpha ^ { b } \beta ^ { 2 } + 2 \alpha ^ { a } \partial _ { \phi } A ^ { b } + A ^ { a } A ^ { b } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \Vert \phi _ { x x } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { \frac { 4 C _ { 0 } ^ { 2 } } { 3 r _ { 0 } ^ { 2 } } \ ( 1 + T ) \ \ell ^ { 3 } \Vert \xi ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } , } \\ { \Vert \phi _ { x x t } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { \frac { ( C _ { 0 } ^ { 2 } + 1 ) } { 3 \kappa _ { 0 } \ r _ { 0 } } ( 1 + T ) \ell ^ { 3 } \ \Vert \xi ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } , } \\ { \Vert \phi _ { t } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathcal { V } _ { 1 } ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { \frac { C ^ { \ast } ( C _ { 0 } ^ { 2 } + 1 ) } { 3 \kappa _ { 0 } r _ { 0 } } \ \ ( 1 + T ) \ell ^ { 3 } \ \Vert \xi ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } , ~ ~ ~ ~ } \\ { \Vert \phi _ { t t } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { \frac { C _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \rho _ { 0 } } ( 1 + T ) \ell ^ { 3 } \Vert \xi ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\Delta \kappa _ { \gamma } = \frac { M _ { W } ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } ~ f = c ^ { 2 } \Delta g _ { 1 } ^ { Z } \; \; \; , \Delta \kappa _ { Z } = \frac { ( 1 - 2 s ^ { 2 } ) } { c ^ { 2 } } \Delta \kappa _ { \gamma } \; \; .
\frac { \partial } { \partial t _ { p } } \left( \begin{array} { c c } { { \xi } } \\ { { { \overline { { \xi } } } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { { \Xi } _ { p } } } \\ { { { \overline { { \Xi } } } _ { p } } } \end{array} \right) ,
W _ { \mu \nu } = - \frac { 1 } { \pi } ( S _ { \mu \alpha \nu \beta } - i \varepsilon _ { \mu \alpha \nu \beta } ) \int d ^ { 4 } y e ^ { i q \cdot y } \left[ \partial ^ { \alpha } \Delta _ { u } ( y ) \right] \langle B \left| \bar { b } ( 0 ) \gamma ^ { \beta } U ( 0 , y ) b ( y ) \right| B \rangle \, ,
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { E } \left[ \sigma ^ { 2 } - s _ { n } ^ { 2 } \right] } & { = \operatorname { E } \left[ { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - \mu ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \operatorname { E } \left[ { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( ( x _ { i } ^ { 2 } - 2 x _ { i } \mu + \mu ^ { 2 } ) - ( x _ { i } ^ { 2 } - 2 x _ { i } { \overline { { x } } } + { \overline { { x } } } ^ { 2 } ) \right) \right] } \\ & { = \operatorname { E } \left[ { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \mu ^ { 2 } - { \overline { { x } } } ^ { 2 } + 2 x _ { i } ( { \overline { { x } } } - \mu ) \right) \right] } \\ & { = \operatorname { E } \left[ \mu ^ { 2 } - { \overline { { x } } } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } 2 x _ { i } ( { \overline { { x } } } - \mu ) \right] } \\ & { = \operatorname { E } \left[ \mu ^ { 2 } - { \overline { { x } } } ^ { 2 } + 2 ( { \overline { { x } } } - \mu ) { \overline { { x } } } \right] } \\ & { = \operatorname { E } \left[ \mu ^ { 2 } - 2 { \overline { { x } } } \mu + { \overline { { x } } } ^ { 2 } \right] } \\ & { = \operatorname { E } \left[ ( { \overline { { x } } } - \mu ) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \operatorname { V a r } ( { \overline { { x } } } ) } \\ & { = { \frac { \sigma ^ { 2 } } { n } } } \end{array} }
- \frac { 1 } { k _ { 0 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { ~ d ~ } x ^ { \prime } K ( x - x ^ { \prime } ) ( \ensuremath { \boldsymbol { \nabla } } _ { | | } ^ { \prime } \times \ensuremath { \boldsymbol { \nabla } } _ { | | } ^ { \prime } \times - k _ { 0 } ^ { 2 } ) \ensuremath { \boldsymbol { H } } _ { | | } ( x ^ { \prime } ) - \frac { 1 } { 2 } \Delta \chi \ensuremath { \operatorname { s i g n } } ( x ) \ensuremath { \boldsymbol { H } } _ { | | } = \chi _ { b } ^ { ( 0 ) } \ensuremath { \boldsymbol { H } } _ { | | } .
\frac { m _ { f } } { m _ { p } } = \frac { \rho } { \rho _ { p } } \frac { \frac { \pi } { 4 } D _ { p } ^ { 2 } H _ { p w } } { \frac { \pi } { 4 } D _ { p } ^ { 2 } H _ { p } } = \frac { \rho } { \rho _ { p } } \frac { H _ { p w } } { H _ { p } } = \frac { \phi } { \gamma } .
\underline { { \underline { { \mathbf { \Pi } } } } } = P \left( \begin{array} { c c c } { 1 - 2 \delta \pi _ { a } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 - 2 \delta \pi _ { a } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 - \delta \pi _ { a } } \end{array} \right) ,
Z ^ { \prime } ( 0 ) = - \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } n ^ { 2 } \biggr \{ 2 \ln \Bigr [ 1 - ( r _ { - } / r _ { + } ) ^ { 2 n } \Bigr ] + \ln \Bigr ( 1 - { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } \Bigr ) + { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } \biggr \} ,
G _ { { \bf k } } ^ { ( c ) } ( U ) = \sum _ { n | { \bf k } } n ^ { | { \bf k } | - 1 } \sum _ { R } \chi _ { R } ( { \bf C ( \vec { k } _ { \frac { 1 } { n } } ) } ) f _ { R } ( q ^ { n } , \lambda ^ { n } )
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \mathrm { ~ T ~ } } = \nabla _ { \mathrm { ~ a ~ d ~ } } \qquad } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ \ r _ { 0 } \leq r \leq r _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ n ~ } } } \\ { \nabla _ { \mathrm { ~ T ~ } } = f ^ { t } ( r ) \nabla _ { \mathrm { ~ a ~ d ~ } } + \left[ 1 - f ^ { t } ( r ) \right] \nabla _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } } \qquad } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ \ r _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ n ~ } } < r \leq r _ { \mathrm { ~ C ~ B ~ M ~ } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mu _ { V , W \otimes U } ( \mathsf { I d } _ { I ( V ) } \otimes \mu _ { W , U } ) \alpha _ { I ( V ) , I ( W ) , I ( U ) } ( ( ( g \otimes v _ { d } ) \otimes ( g \otimes w _ { f } ) ) \otimes ( g \otimes u _ { h } ) ) } \\ & { \qquad = \gamma ^ { - 1 } ( g ) ( d , f h ) \gamma ^ { - 1 } ( g ) ( f , h ) \omega ^ { - 1 } \big ( g d g ^ { - 1 } , g f g ^ { - 1 } , g h g ^ { - 1 } \big ) g \otimes ( v _ { d } \otimes ( w _ { f } \otimes u _ { h } ) ) , } \\ & { I ( \alpha _ { V , W , U } ) \mu _ { V \otimes W , U } ( \mu _ { V , W } \otimes \mathsf { I d } _ { I ( W ) } ) ( ( ( g \otimes v _ { d } ) \otimes ( g \otimes w _ { f } ) ) \otimes ( g \otimes u _ { h } ) ) } \\ & { \qquad = \gamma ^ { - 1 } ( g ) ( d , f ) \gamma ^ { - 1 } ( g ) ( d f , h ) \omega ^ { - 1 } ( d , f , h ) g \otimes ( v _ { d } \otimes ( w _ { f } \otimes u _ { h } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \tilde { u } _ { R } \| _ { W ^ { 2 , { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } } ( B _ { \frac { 1 } { 2 } } ) } } & { \leq C \| \Delta \tilde { u } _ { R } \| _ { L ^ { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } ( B _ { 1 } ) } + C \| \tilde { u } _ { R } \| _ { L ^ { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } ( B _ { 1 } ) } } \\ & { \leq C \left( R ^ { 2 - \frac { n + 1 } { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } } \| \Delta \tilde { u } \| _ { L ^ { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } ( B _ { R } ) } + 1 \right) } \\ & { \leq C \left( R ^ { 2 - \frac { n + 1 } { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } } \left( \| W ^ { \prime } ( \tilde { u } ) \| _ { L ^ { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } ( B _ { R } ) } + \| \tilde { f } \| _ { L ^ { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } ( B _ { R } ) } \right) + 1 \right) } \\ & { \leq C \left( R ^ { 2 - \frac { n + 1 } { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } } ( R ^ { \frac { n + 1 } { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } } + \omega ) + 1 \right) } \\ & { \leq C R ^ { 2 } . } \end{array}
\hat { s } _ { i } ( G _ { s } ; \boldsymbol { \phi } ) = \sum _ { \boldsymbol { x } } \frac { e ^ { f _ { i } ( \boldsymbol { x } ; \phi ) / \tau } } { \sum _ { j = 0 } ^ { b } e ^ { f _ { j } ( \boldsymbol { x } ; \boldsymbol { \phi } ) / \tau } }
\mathbb { P } \big ( \neg { \mathcal A } _ { \mathrm { m a r k - g i a n t } } ( n , \overline { { w } } ) \big ) : = \mathbb { P } \big ( \exists v \in \Xi _ { n } [ A _ { 1 } k ^ { 1 - \sigma \gamma _ { \mathrm { h h } } } , \infty ) : v \notin { \mathcal C } _ { n } ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } \big ) \le n \exp \big ( - A _ { 2 } k ^ { \zeta _ { \mathrm { h h } } } \big ) .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } \Delta t ^ { 2 } g ( t _ { i } ) ^ { 4 } \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i } } } [ | | \nabla _ { \mathbf { x } } \log p _ { t } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) - \frac { 1 } { 2 } s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , t _ { i } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } ] , } \end{array}
( \tilde { j } _ { m } ^ { p } ) ^ { ( 0 ) } = - { \frac { 2 } { \pi \omega \mu a ^ { p } \tilde { h } _ { m } ^ { p p } } } \tilde { e } _ { m } ^ { i n c , p } \equiv q _ { m } ^ { p } \tilde { e } _ { m } ^ { i n c , p }
{ \cal L } = - { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \log \vec { q ^ { 2 } } \left( { \frac { 1 } { 1 2 0 } } R ^ { 2 } + { \frac { 7 } { 2 0 } } R _ { \mu \nu } R ^ { \mu \nu } \right)
{ \cal S } _ { \mathrm { m i c r o } } = 2 \pi \sqrt { q _ { 0 } D } + 2 \pi { \frac { 1 } { 1 2 } } c _ { 2 A } \, p ^ { A } \sqrt { { \frac { q _ { 0 } } { D } } } + \cdots \ ,
\left. M _ { \pi ^ { 0 } } ( q _ { 1 } ^ { 2 } = - Q ^ { 2 } , q _ { 2 } ^ { 2 } = 0 ) \right| _ { f i t } = \frac { g _ { \pi \gamma \gamma } } { 1 + Q ^ { 2 } / \Lambda _ { \pi } ^ { 2 } } , \ \ \ \ \ \Lambda _ { \pi } \simeq 0 . 7 7 \ G e V ,