harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { p } & { { } = { \frac { R \, T } { V _ { m } - b } } - { \frac { a \, \alpha } { V _ { m } ^ { 2 } + 2 b V _ { m } - b ^ { 2 } } } } \\ { a } & { { } \approx 0 . 4 5 7 2 4 { \frac { R ^ { 2 } \, T _ { c } ^ { 2 } } { p _ { c } } } } \\ { b } & { { } \approx 0 . 0 7 7 8 0 { \frac { R \, T _ { c } } { p _ { c } } } } \\ { \alpha } & { { } = \left( 1 + \kappa \left( 1 - T _ { r } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) \right) ^ { 2 } } \\ { \kappa } & { { } \approx 0 . 3 7 4 6 4 + 1 . 5 4 2 2 6 \, \omega - 0 . 2 6 9 9 2 \, \omega ^ { 2 } } \\ { T _ { r } } & { { } = { \frac { T } { T _ { c } } } } \end{array}
| T ( \sigma ) - T ( \sigma _ { \varepsilon } ) | \le | T ( \sigma ) - T _ { \varepsilon } ( \sigma _ { \varepsilon } ) | + | T ( \sigma _ { \varepsilon } ) - T _ { \varepsilon } ( \sigma _ { \varepsilon } ) | \le | T ( \sigma ) - T _ { \varepsilon } ( \sigma _ { \varepsilon } ) | + \operatorname* { s u p } _ { \sigma } | T ( \sigma ) - T _ { \varepsilon } ( \sigma ) | .
\begin{array} { r } { \| \operatorname { t r } _ { A ^ { c } } ( \widetilde { \sigma } _ { i _ { j } } - \sigma _ { i _ { j } } ) \| _ { \infty } \le 2 ^ { r } + 1 \qquad \mathrm { ~ a n d ~ } \qquad \frac { \nu ( Z ) } { t } = \frac { 1 } { t } \, \Big \| \sum _ { j = 1 } ^ { t } \, \mathbb { E } [ S _ { j } ^ { 2 } ] \Big \| _ { \infty } \le 3 ^ { r } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( x _ { t + 1 } ) } & { \leq F ( x _ { t } ) + \langle \nabla F ( x _ { t } ) , x _ { t + 1 } - x _ { t } \rangle + \frac { L _ { F } } { 2 } \| x _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { = F ( x _ { t } ) + \eta _ { t } \langle \nabla F ( x _ { t } ) - w _ { t } + w _ { t } , \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \rangle + \frac { \eta _ { t } ^ { 2 } L _ { F } } { 2 } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq F ( x _ { t } ) + \eta _ { t } \langle \nabla F ( x _ { t } ) - w _ { t } , \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \rangle - \frac { \eta _ { t } } { \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { \eta _ { t } ^ { 2 } L _ { F } } { 2 } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq F ( x _ { t } ) + \eta _ { t } \gamma \| \nabla F ( x _ { t } ) - w _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { \eta _ { t } } { 4 \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } - \frac { \eta _ { t } } { \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { \eta _ { t } ^ { 2 } L _ { F } } { 2 } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq F ( x _ { t } ) + \eta _ { t } \gamma \| \nabla F ( x _ { t } ) - w _ { t } \| ^ { 2 } - \frac { \eta _ { t } } { 2 \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { R M S ( u ) = \sqrt { \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \biggl [ u _ { D a t a } ( 1 , 1 , n ) - u _ { D D F } ( 1 , 1 , n ) \biggr ] ^ { 2 } } \; m / s , } \\ & { } & { R M S ( \zeta ) = \sqrt { \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \biggl [ \zeta _ { D a t a } ( 1 , 1 , n ) - \zeta _ { D D F } ( 1 , 1 , n ) \biggr ] ^ { 2 } } \; m , } \end{array}
E ^ { ( n ) } ( \lambda ; z ) E ^ { ( n ^ { \prime } ) } ( \lambda ^ { \prime } ; 0 ) \sim \sum _ { l = 0 } ^ { k } \frac { N ^ { k } [ \lambda \lambda ^ { \prime } ] ^ { k } } { z ^ { k - l + 1 } } \frac { [ n - k + l ] _ { l } ( n ^ { \prime } - k ) ! } { [ n + n ^ { \prime } - 2 k + l + 1 ] _ { l } ( n + n ^ { \prime } - 2 k ) ! } ( \lambda \cdot \partial _ { \lambda ^ { \prime } } ) ^ { n - k } \frac { \partial _ { z } ^ { l } } { l ! } E ^ { ( n + n ^ { \prime } - 2 k ) } ( \lambda ^ { \prime } ; 0 ) .
\begin{array} { r l r } { p _ { t } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 6 r ^ { 4 } ( 3 r + { r _ { 0 } } ) ^ { 2 } } \left\lbrace \alpha e ^ { \mu ( - r ) } \left( 6 r ^ { 2 } e ^ { \mu r } \left( 9 r ^ { 3 } + 9 r ^ { 2 } { r _ { 0 } } + r { r _ { 0 } } ( 2 { r _ { 0 } } - 3 ) + { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) \right. \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( y \mid \textbf { D } _ { \mathrm { o b s } } , x , x ^ { \prime } ) } & { : = \iint p ( y \mid f , x , x ^ { \prime } ) p ( f \mid \theta , \textbf { D } _ { \mathrm { o b s } } ) \mathrm { d } f \mathrm { d } p ( \theta \mid \textbf { D } _ { \mathrm { o b s } } ) , } \\ & { = \int p ( y \mid \theta , \textbf { D } _ { \mathrm { o b s } } , x , x ^ { \prime } ) \mathrm { d } p ( \theta \mid \textbf { D } _ { \mathrm { o b s } } ) , } \\ & { = \int L ( x \mid \theta ) \mathrm { d } \Pi ( \theta ) , } \\ & { \approx \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } L ( x \mid \theta _ { m } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| x _ { \pi } ( t ) - x ^ { 0 } \| } & { \le \sqrt { \varepsilon \gamma { M _ { F } } \| \nabla P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + N \varepsilon ) ) \| } e ^ { L _ { f x } \varepsilon } c _ { u } M _ { f } } \\ & { \le \sqrt { { M _ { F } } \| \nabla P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + N \varepsilon ) ) \| } e ^ { L _ { f x } \bar { \varepsilon } } c _ { u } M _ { f } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \{ \partial _ { t } + v \cdot \nabla _ { x } - E ^ { 0 } \cdot \nabla _ { v } \} F _ { + } ^ { 0 } = Q ( F _ { + } ^ { 0 } , F _ { + } ^ { 0 } ) } \\ & { \frac { d } { d t } \left\{ \frac { 3 } { 2 \beta } + \iint _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } \frac { | v | ^ { 2 } } { 2 } F _ { + } ^ { 0 } d x d v + \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { \mathbf T ^ { 3 } } | E ^ { 0 } | ^ { 2 } d x \right\} = 0 , } \\ & { - \Delta _ { x } \phi ^ { 0 } = 4 \pi ( n _ { + } ^ { 0 } - e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } ) . } \end{array}
M _ { S U S Y } = \prod _ { i } m _ { i } ^ { - \frac { 5 } { 3 8 } \left[ 4 b _ { 1 } ^ { i } - \frac { 9 6 } { 1 0 } b _ { 2 } ^ { i } + \frac { 5 6 } { 1 0 } b _ { 3 } ^ { i } \right] } ,
e _ { \gamma } = \alpha _ { i } \frac { \partial \gamma } { \partial \alpha _ { i } } - \gamma = \frac { \gamma _ { 2 } ^ { i j } } { 2 ! } \alpha _ { i } \alpha _ { j } + 2 \times \frac { \gamma _ { 3 } ^ { i j k } } { 3 ! } \alpha _ { i } \alpha _ { j } \alpha _ { k } + \dots + ( p - 1 ) \times \frac { \gamma _ { p } ^ { i j \dots } } { p ! } \alpha _ { i } \alpha _ { j } \dots + \dots
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { d \eta } { d z } = 2 \eta \left[ 2 \epsilon _ { 3 } \left( \eta _ { 0 } ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } \right) \! / 3 + \epsilon _ { \omega } \left( \eta _ { 0 } ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } \right) \! / 3 + \epsilon _ { \omega } \left( \tilde { \beta } _ { 0 } ^ { 2 } - \tilde { \beta } ^ { 2 } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { - I _ { 2 } \ddot { \theta } + I _ { 2 } \dot { \varphi } ^ { 2 } \sin \theta \cos \theta - I _ { 3 } [ \dot { \psi } + \dot { \varphi } \cos \theta ] \dot { \varphi } \sin \theta + b \sin \theta = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \gamma \eta _ { t } } { 4 } \| w _ { t } - \nabla F ( x _ { t } ) \| ^ { 2 } + \frac { \eta _ { t } } { 4 \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } \leq \Gamma _ { t } - \Gamma _ { t + 1 } + 2 \hat { c } ^ { 2 } \gamma \sigma ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 3 } + 2 c _ { 3 } ^ { 2 } \lambda \sigma ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { \pi } \! \left( \tau _ { A } < \tau _ { B } \; \middle \vert \; \tau _ { A } \wedge \tau _ { B } < M \right) } & { = \mathbb { P } _ { \pi } \! \left( \tau _ { A } < M \; \middle \vert \; \tau _ { A } \wedge \tau _ { B } < M \right) + O ( \mathbb { P } _ { \pi } \! \left( \tau _ { A } \vee \tau _ { B } < M \; \middle \vert \; \tau _ { A } \wedge \tau _ { B } < M \right) ) } \\ & { = \frac { \mathrm { C a p } _ { M } ( A ) } { \mathrm { C a p } _ { M } ( A ) + \mathrm { C a p } _ { M } ( B ) } \left( 1 + O \left( \frac { \delta ^ { - 3 } M | B | } { n } \right) \right) . } \end{array}
\widehat { p } _ { R \rightarrow P } ( \Sigma _ { R } ) = \prod _ { n = 1 } ^ { n _ { \mathrm { m a x } } } \left( 1 - \frac { \eta _ { \mathrm { k i l l e d } } ^ { n } } { N _ { \mathrm { r e p } } } \right) ,
\dot { \pi } = c ^ { 2 } \boldsymbol \nabla ^ { 2 } \hat { a } - \frac { m _ { a } ^ { 2 } c ^ { 4 } } { \hbar ^ { 2 } } \hat { a } + \hbar c ^ { 3 } \sqrt { \frac { \epsilon _ { 0 } } { \mu _ { 0 } } } g _ { a \gamma \gamma } \hat { \boldsymbol E } \cdot \hat { \boldsymbol B } .
p _ { \mathrm { r } } ( \xi _ { \mathrm { r } } ) = \frac { k _ { 0 \mathrm { r } } \kappa _ { \xi } } { \dot { F } _ { \mathrm { r } } } \exp { \Big [ \beta \chi _ { \mathrm { r } } ^ { \ddag } \kappa _ { \xi } ( \xi _ { \mathrm { r } } - \xi _ { \mathrm { e q } } ) - \frac { k _ { 0 \mathrm { r } } } { \dot { F } _ { \mathrm { r } } \beta \chi _ { \mathrm { r } } ^ { \ddag } } \mathrm { e } ^ { \beta \chi _ { \mathrm { r } } ^ { \ddag } \kappa _ { \xi } ( \xi _ { \mathrm { r } } - \xi _ { \mathrm { e q } } ) } \Big ] } ~ .
\left\{ \begin{array} { l } { \dot { x } ( t ) = - \, y ( t ) - z ( t ) , } \\ { \dot { y } ( t ) = x ( t ) + a \, y ( t ) + w ( t ) , } \\ { \dot { z } ( t ) = b + x ( t ) \, z ( t ) , } \\ { \dot { w } ( t ) = - \, c \, z ( t ) + d \, w ( t ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i } \Bigl [ \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { \omega _ { i } ^ { 2 } } \cos \Bigl ( \Bigl ( \omega _ { i } + \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) ( t - t ^ { \prime } ) \Bigr ) \cos \Bigl ( \frac { \dot { \gamma } } { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) \Bigr ) } \\ & { + \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { \omega _ { i } ^ { 4 } } \cos \left( \Bigl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) ( t - t ^ { \prime } ) \right) } \\ & { + \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { i } ^ { 3 } } ( t - t ^ { \prime } ) \sin \left( \Bigl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) ( t - t ^ { \prime } ) \right) \Bigr ] } \end{array}
( \frac { \ddot { a } } { a } ) = H ^ { 2 } + \dot { H } = \frac { \kappa } { 3 } \frac { V ( T ) } { \sqrt { 1 - \dot { T } ^ { 2 } } } ( 1 - \frac { 3 } { 2 } \dot { T } ^ { 2 } )
\partial _ { 2 n + 1 } c = \sum _ { n \geq 0 } ( \theta _ { 2 n + 1 } + \sigma \, ( n + \frac { 1 } { 2 } ) t _ { 2 n + 1 } ) \partial _ { 2 m + 1 } S _ { n } + \sigma \, ( m + \frac { 1 } { 2 } ) S _ { m } .
\frac { \mathrm { ~ d ~ } \mathbf { u } ^ { \prime } } { \mathrm { ~ d ~ } t } = \frac { \mathrm { ~ d ~ } \mathbf { u } } { \mathrm { ~ d ~ } t } - \mathbf { R } \frac { \mathrm { ~ d ~ } \bar { \mathbf { u } } } { \mathrm { ~ d ~ } t } .
P ( \tilde { e } _ { R } \to \mu ) = \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { R } \, \frac { ( \Delta m _ { R } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 4 m _ { R } ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } + ( \Delta m _ { R } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \ ,
U _ { s p , s p } = \frac { q ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \int d { \bf r } _ { 1 } d { \bf r } _ { 2 } \frac { 1 } { | { \bf r } _ { 1 } - { \bf r } _ { 2 } | } \phi _ { 1 s } ( { \bf r } _ { 1 } ) \phi _ { 2 p _ { z } } ( { \bf r } _ { 2 } ) \phi _ { 1 s } ( { \bf r } _ { 2 } ) \phi _ { 2 p _ { z } } ( { \bf r } _ { 1 } ) .
\begin{array} { r l } & { \langle F ( X ^ { \dagger } ( \omega ) ) , x - X ^ { \dagger } ( \omega ) \rangle = \langle F ( X ^ { \dagger } ( \omega ) ) , x - x _ { * } + x _ { * } - X ^ { \dagger } ( \omega ) \rangle } \\ & { = \langle F ( x _ { * } ) , x - x _ { * } \rangle + \langle F ( X ^ { \dagger } ( \omega ) ) , x _ { * } - X ^ { \dagger } ( \omega ) \rangle \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( \omega ) = \frac { c } { 2 n _ { \mathrm { c } } k _ { \parallel } ^ { \mathrm { m } } } \int _ { - k _ { \parallel } ^ { \mathrm { m } } } ^ { + k _ { \parallel } ^ { \mathrm { m } } } \delta ( \omega _ { \mathbf { k } } - \omega ) \ d k _ { \parallel } } & { = \frac { c } { 2 n _ { \mathrm { c } } k _ { \parallel } ^ { \mathrm { m } } } \int _ { 0 } ^ { \omega _ { \mathrm { m } } } \delta ( \omega _ { \mathbf { k } } - \omega ) \frac { d k _ { \parallel } } { d \omega _ { \mathbf { k } } } d \omega _ { \mathbf { k } } = \frac { \omega } { k _ { \parallel } ^ { \mathrm { m } } \sqrt { \omega ^ { 2 } - \omega _ { c } ^ { 2 } } } \cdot \Theta ( \omega - \omega _ { c } ) , } \end{array}
z ( 1 - z ) { \frac { d ^ { 2 } \psi } { d z ^ { 2 } } } + ( 1 - z ) { \frac { d \psi } { d z } } + \left( { \frac { A _ { 1 } } { z } } + { \frac { \mu / 4 } { 1 - z } } - B _ { 1 } \right) \psi = 0 ,
\begin{array} { r } { \frac { c ^ { 2 } } { 4 \pi \omega } k _ { \parallel } ^ { 2 } k _ { \perp } ^ { 2 } \delta \psi _ { { k } } - \sum _ { j } \left( \frac { n _ { 0 } q ^ { 2 } } { T _ { 0 } } \right) _ { j } \left( 1 - \Gamma _ { 0 k j } \right) \omega \delta \phi _ { { k } } = 0 . } \end{array}
\left\Vert u ^ { 3 } \right\Vert _ { H ^ { - 1 } ( \Omega ) } \leq C _ { 2 } \left\Vert u ^ { 3 } \right\Vert _ { L ^ { 4 / 3 } ( \Omega ) } = C _ { 2 } \left\Vert u \right\Vert _ { L ^ { 4 } ( \Omega ) } ^ { 3 } \leq C _ { 1 } ^ { 3 } C _ { 2 } \left\Vert u \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 3 } \leq C _ { u } ^ { 3 } C _ { 1 } ^ { 3 } C _ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \left( \mathrm { T } _ { \mathrm X } ^ { \mathrm { ( X Y ) } } \right) _ { j m , i k l n } } & { = \sum _ { x } ( \langle x | ) _ { i } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { j k } \, ( \langle x | ) _ { l } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { m n } } \\ & { = \sum _ { x } ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { x i } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { j k } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { x l } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { m n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { 4 k n - j } = } & { \eta _ { 4 k n - 4 k + 1 + ( 4 k - 1 - j ) } , \qquad j = 0 , 1 , \dots , 4 k - 1 } \\ { = } & { \eta _ { - j } \prod _ { s = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 + b \left( \prod _ { r = 0 } ^ { k - 1 } { \eta _ { \tau ( 4 k - 1 - j ) - 4 k + 1 + 4 r } } \right) ( k s + \lfloor \frac { 4 k - 1 - j } { 4 } \rfloor ) } { 1 + b \left( \prod _ { r = 0 } ^ { k - 1 } { \eta _ { \tau ( 4 k - 1 - j ) - 4 k + 1 + 4 r } } \right) ( k s + \lfloor \frac { 4 k - 1 - j } { 4 } \rfloor + 1 ) } } \\ { = } & { \eta _ { - j } \prod _ { s = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 + b \left( \prod _ { r = 0 } ^ { k - 1 } { \eta _ { - j + 4 \lfloor \frac { j } { 4 } \rfloor - 4 r } } \right) ( k s + k - 1 - \lfloor \frac { j } { 4 } \rfloor ) } { 1 + b \left( \prod _ { r = 0 } ^ { k - 1 } { \eta _ { - j + 4 \lfloor \frac { j } { 4 } \rfloor - 4 r } } \right) ( k s + k - \lfloor \frac { j } { 4 } \rfloor ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { i , j } = - \frac { q _ { e } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { r } } \cdot \frac { e ^ { - \frac { { d _ { i , j } } } { \lambda _ { \mathit { t f } } } } } { d _ { i , j } } \cdot n _ { j } , } \end{array}
\mathrm { u } = ( \mathrm { u } ^ { \mathrm { X } } , \mathrm { u } ^ { \mathrm { Y } } ) \in \mathcal { D } \left( [ 0 , T ] , \mathcal { M } _ { \mathrm { F } } \times \mathcal { M } _ { \mathrm { F } } \right)
M \times \, ^ { \prime \prime } 0 \; 1 \; 0 \; 0 { \mathrm { - 1 } } \; 1 { \mathrm { - 1 } } \; 0 \, ^ { \prime \prime } = M \times ( 2 ^ { 6 } - 2 ^ { 3 } + 2 ^ { 2 } - 2 ^ { 1 } ) = M \times 5 8 .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { j } ( t ) } & { = - i \frac { \eta _ { j } \Omega } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \, \mathrm { e } ^ { - i \delta t } \mathrm { e } ^ { i \phi _ { \mathrm { m } , j } } \mathrm { d } t = \frac { \Omega \eta _ { j } \mathrm { e } ^ { i \phi _ { \mathrm { m } , j } } } { 2 \delta } \left( \mathrm { e } ^ { - i \delta t } - 1 \right) , } \\ { \theta ( t ) } & { = \eta _ { 1 } \eta _ { 2 } \Omega ^ { 2 } \left( \frac { t } { \delta } - \frac { \sin ( \delta t ) } { \delta ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\alpha = \left( \begin{array} { c c c } { { \omega _ { 2 m } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \omega _ { 2 m } ^ { - 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) , ~ ~ ~ ~ \beta = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { i } } & { { 0 } } \\ { { i } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \frac { 2 + \sqrt { b c } } { \sqrt { b c } + a } } & { = \frac { \sqrt { [ a ( b + c + b c ) + b c ] [ 4 a ( b + c + b c ) + ( b + c + b c - a ) ^ { 2 } ] } + \sqrt { b c } ( a + b + c + b c ) } { \left( \sqrt { b c } + a \right) ( a + b + c + b c ) } } \\ & { \ge \frac { 2 a ( b + c + b c ) + \sqrt { b c } ( b + c + b c - a ) + \sqrt { b c } ( a + b + c + b c ) } { \left( \sqrt { b c } + a \right) ( a + b + c + b c ) } } \\ & { = \frac { 2 ( b + c + b c ) } { a + b + c + b c } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I ( \omega ) } & { = } & { \left| \int _ { - \infty } ^ { \infty } E ( t ) e ^ { - i \omega t } d t \right| ^ { 2 } \sim } \\ & { } & { \sim \left| \frac { 1 } { 1 / \tau - i ( \omega - \omega _ { s } ) } + \frac { 1 } { 1 / \tau ^ { \prime } + i ( \omega - \omega _ { s } ) } \right| ^ { 2 } \approx } \\ & { } & { \approx \frac { 1 } { 1 / \tau ^ { 2 } + ( \omega - \omega _ { s } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \tau \rightarrow \infty } { \cal A } _ { e h } ( \tau ) = a _ { n - 1 } \left( { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 \Lambda } } \right) ^ { ( n - 1 ) / 2 } = { \cal A } _ { d S } \, .
\begin{array} { r l } { \phi ^ { 1 } } & { : = ( \frac { 3 6 } { 5 } x ^ { 3 } + \frac { 7 2 } { 5 } x ^ { 2 } + \frac { 4 4 } { 5 } x + \frac { 8 } { 5 } ) \chi _ { [ - 1 , 0 ) } + ( - \frac { 3 6 } { 5 } x ^ { 3 } + \frac { 7 2 } { 5 } x ^ { 2 } - \frac { 4 4 } { 5 } x + \frac { 8 } { 5 } ) \chi _ { [ 0 , 1 ] } , } \\ { \phi ^ { 2 } } & { : = ( \frac { 1 0 8 } { 5 } x ^ { 3 } - 3 6 x ^ { 2 } + \frac { 7 2 } { 5 } x ) \chi _ { [ 0 , 1 ] } , \quad \mathrm { a n d } \quad \phi ^ { 3 } : = ( - \frac { 1 0 8 } { 5 } x ^ { 3 } + \frac { 1 4 4 } { 5 } x ^ { 2 } - \frac { 3 6 } { 5 } x ) \chi _ { [ 0 , 1 ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { k l } \left( \tau \right) } & { { } \approx } & { \sqrt { a - 2 \, b \, \tau + c \, \tau ^ { 2 } } \, , } \\ { a } & { { } = } & { \left( \vec { u } _ { k } - \vec { u } _ { l } + \vec { b } _ { k l m } - \vec { b } _ { l m k } \right) ^ { 2 } \, , } \\ { b } & { { } = } & { \left( \vec { u } _ { k } - \vec { u } _ { l } + \vec { b } _ { k l m } - \vec { b } _ { l m k } \right) \cdot \left( \nu _ { k e } \, \vec { u } _ { k } - \nu _ { l e } \, \vec { u } _ { l } \right) \, , } \\ { c } & { { } = } & { \left( \nu _ { k e } \, \vec { u } _ { k } - \nu _ { l e } \, \vec { u } _ { l } \right) ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { \pm } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } } & { { } = } & { \mp \frac { c _ { _ 0 } } { 4 s } \ \frac { c \mp c _ { _ 0 } q } { c \cosh { ( c _ { _ 0 } a ) } + c _ { _ 0 } q \sinh { ( c _ { _ 0 } a ) } } \ \exp { ( \mp c _ { _ 0 } a ) } , } \\ { A _ { - } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } } & { { } = } & { \frac { c _ { _ 0 } ^ { 2 } q } { 2 s } \ \frac { 1 } { c \cosh { ( c _ { _ 0 } a ) } + c _ { _ 0 } q \sinh { ( c _ { _ 0 } a ) } } , \ \exp { ( c a ) } } \end{array}
{ \cal L } = - { \frac { 1 } { 4 } } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } + ( D _ { \mu } \phi _ { a } ) ^ { * } D ^ { \mu } \phi _ { a } - m ^ { 2 } \phi _ { a } ^ { * } \phi _ { a } - { \frac { i e } { 2 } } \epsilon ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } \phi _ { a } ^ { * } ( \sigma _ { 3 } ) _ { a b } \phi _ { b } ,
\rho \left( a _ { x , 1 } ^ { \ast } a _ { y , 1 } a _ { u , 1 } ^ { \ast } a _ { v , 1 } \right) = \rho \left( a _ { x , 1 } ^ { \ast } a _ { y , 1 } \right) \rho \left( a _ { u , 1 } ^ { \ast } a _ { v , 1 } \right) + \rho \left( a _ { y , 1 } a _ { u , 1 } ^ { \ast } \right) \rho \left( a _ { x , 1 } ^ { \ast } a _ { v , 1 } \right) ,
\frac { 1 } { 2 } ( 1 \pm \gamma _ { 4 } ) \{ \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { n } ^ { ' } , \frac { 1 } { 2 } \lambda ^ { a } , \frac { 1 } { 4 } \sigma _ { n } ^ { ' } \lambda ^ { a } \}
\begin{array} { c c l } { { S } } & { { = } } & { { u + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } s _ { 1 } + \frac { \mathrm { i } } { \sqrt { 2 } } s _ { 2 } , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { H } } & { { = } } & { { \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { v + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } h } } \end{array} \right) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { i j } ^ { ( n + 1 ) } ( t ) } & { = \lambda _ { i j } ^ { ( n ) } ( t ) + m _ { i j } ^ { ( n + 1 ) } ( t ) - ( m _ { i j } ^ { \prime } ) ^ { ( n + 1 ) } ( t ) } \\ { \mu _ { i j } ^ { ( n + 1 ) } ( t ) } & { = \mu _ { i j } ^ { ( n ) } ( t ) + u _ { i k } ^ { ( n + 1 ) } ( t ) - ( u _ { i k } ^ { \prime } ) ^ { ( n + 1 ) } ( t ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { I _ { L } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } m _ { i } \left| \Delta \mathbf { r } _ { i } ^ { \perp } \right| ^ { 2 } } \\ & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { N } m _ { i } \mathbf { \hat { k } } \cdot \left[ \Delta \mathbf { r } _ { i } \right] ^ { 2 } \mathbf { \hat { k } } = \mathbf { \hat { k } } \cdot \left( - \sum _ { i = 1 } ^ { N } m _ { i } \left[ \Delta \mathbf { r } _ { i } \right] ^ { 2 } \right) \mathbf { \hat { k } } } \\ & { = \mathbf { \hat { k } } \cdot \mathbf { I } _ { \mathbf { R } } \mathbf { \hat { k } } = \mathbf { \hat { k } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { I } _ { \mathbf { R } } \mathbf { \hat { k } } , } \end{array} }
{ \frac { \partial ( y _ { 1 } , \ldots , y _ { k } ) } { \partial x _ { i } } } = \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } { \frac { \partial ( y _ { 1 } , \ldots , y _ { k } ) } { \partial u _ { \ell } } } { \frac { \partial u _ { \ell } } { \partial x _ { i } } } .
S _ { G B } ^ { v o l u m e } = 2 ( e ^ { 2 U } ) ^ { \prime } | _ { r = r _ { h } } ) ^ { - 1 } \left\{ \left[ ( e ^ { 2 U } ) ^ { \prime } \left( 1 - ( e ^ { U } R ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right) \right] _ { r = r _ { h } } - \left[ ( e ^ { 2 U } ) ^ { \prime } \left( 1 - ( e ^ { U } R ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right) \right] _ { r = r _ { 0 } } \right\} \ .
\begin{array} { r } { \int _ { \Sigma _ { \tau } } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { \delta } \mathcal { E } _ { 0 } [ \widehat { \phi } ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r + \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } r ^ { 1 - \delta } | L \widehat { \psi } | ^ { 2 } d \sigma d r \leq C ( 1 + \tau ) ^ { - 2 - \frac { \nu _ { m } } { 2 } + \eta } ( D ^ { ( 1 ) } [ \phi ] + D ^ { ( 1 ) } [ K \phi ] ) . } \end{array}
w _ { 2 } ( y ^ { \prime } , \tau ^ { \prime } | x ^ { \prime } ) = \left\{ \begin{array} { l } { { \frac { w _ { 0 } } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } } e ^ { - { \frac { ( y ^ { \prime } - x ^ { \prime } - \lambda ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } \delta ( \tau ^ { \prime } - \tau _ { 0 } - \mu y ^ { \prime } ) , \quad y ^ { \prime } > 0 , \tau ^ { \prime } > 0 \; , } \\ { 0 , \quad y ^ { \prime } < 0 \mathrm { ~ o ~ r ~ } \tau ^ { \prime } < 0 \; . } \end{array} \right.
E _ { \mathrm { ~ C ~ h ~ u ~ } } = \mathbf { \check { q } } ^ { * } \mathbf { Q } _ { \mathrm { ~ C ~ h ~ u ~ } } \mathbf { \check { q } } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } \left( \overline { { \rho } } \| \mathbf { \check { v } } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { \gamma } \frac { \check { p } ^ { 2 } } { \overline { { p } } } + \gamma ( \gamma - 1 ) M ^ { 4 } \, \overline { { p } } \, \check { s } ^ { 2 } \right) \, d \Omega .
\begin{array} { r l } & { { \mu } _ { t } ^ { u , v , r } ( \boldsymbol { x } ) : = \mathbb { E } \left[ Q _ { t } ^ { u , v , r } \right] = \sum _ { p \in \mathcal { P } _ { t } ^ { u , v } } \sum _ { r ^ { \prime } \in \mathcal { R } ^ { u , v } } x _ { p , r ^ { \prime } } \cdot \pi _ { p , r ^ { \prime } } ^ { r } } \\ & { ( { \sigma } _ { t } ^ { u , v , r } ( \boldsymbol { x } ) ) ^ { 2 } : = \mathrm { V a r } \left[ Q _ { t } ^ { u , v , r } \right] = \sum _ { p \in \mathcal { P } _ { t ^ { \prime } } ^ { u , v } } \sum _ { r ^ { \prime } \in \mathcal { R } ^ { u , v } } x _ { p , r ^ { \prime } } \cdot \pi _ { p , r ^ { \prime } } ^ { r } \cdot ( 1 - \pi _ { p , r ^ { \prime } } ^ { r } ) } \end{array}
v _ { 0 } = \left[ \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 / \sqrt { 2 } } } & { { - 1 / \sqrt { 2 } } } \\ { { 0 } } & { { 1 / \sqrt { 2 } } } & { { 1 / \sqrt { 2 } } } \end{array} \right]