harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { - \| x ^ { n } - x \| _ { Q ( \omega ) } } & { \leq \underset { k \rightarrow \infty } { \operatorname* { l i m } \operatorname* { i n f } } \, \| u ^ { k } ( \omega ) - x \| _ { Q ^ { k } ( \omega ) } - l ^ { n } ( \omega ) } \\ & { \leq \underset { k \rightarrow \infty } { \operatorname* { l i m } \operatorname* { s u p } } \, \| u ^ { k } ( \omega ) - x \| _ { Q ^ { k } ( \omega ) } - l ^ { n } ( \omega ) \leq \| x ^ { n } - x \| _ { Q ( \omega ) } . } \end{array}
\mathfrak { L } = f _ { r } n _ { b } \frac { N _ { + } N _ { - } } { 4 \pi \sigma _ { \perp } ^ { 2 } } \sum _ { j = 0 } ^ { j _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \exp \left( - \frac { 4 \pi R } { \gamma c \tau _ { \mu } } j \right) \, .
\begin{array} { r l r } { \frac { d \Psi _ { l } } { d t } } & { { } = } & { \Psi _ { l } ( \gamma _ { l } ( t ) - | \Psi _ { l } | ^ { 2 } ) + \sum _ { \bar { \Omega } } { \bf A } _ { i _ { 1 } , { \tiny { \cdot \cdot \cdot } } i _ { k } } ^ { k } \Psi _ { i _ { 1 } } { \tiny { . . . } } \Psi _ { i _ { k } } ^ { * } , } \\ { \frac { d \gamma _ { l } } { d t } } & { { } = } & { \epsilon ( \rho _ { \mathrm { t h } } - | \Psi _ { l } | ^ { 2 } ) , } \end{array}
\Phi = - \frac { i } { 2 e } \oint _ { \partial \bf R ^ { 2 } \mit } \left\{ n \frac { d z } { z } - n \frac { d \overline { { { z } } } } { \overline { { { z } } } } \right\} = \frac { 2 n \pi } { e } ~ ~ .
\begin{array} { r l } & { \Psi _ { s u p e r b e e } ( r ) = \operatorname* { m a x } [ 0 , \operatorname* { m i n } ( 2 r , 1 ) , \operatorname* { m i n } ( r , 2 ) ] } \\ & { \Psi _ { v a n L e e r } ( r ) = \frac { r + | r | } { 1 + r } } \\ & { \Psi _ { v a n A l b a d a } ( r ) = \frac { r ^ { 2 } + r } { 1 + r ^ { 2 } } } \\ & { \Psi _ { m i n m o d } ( r ) = \operatorname* { m a x } [ 0 , \operatorname* { m i n } ( r , 1 ) ] } \end{array} .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } \{ X ^ { n } \in ( \mathcal { B } _ { n } ( \gamma ) \cap \mathcal { C } _ { n } ) \} } & { = \sum _ { x ^ { n } \in ( \mathcal { B } _ { n } ( \gamma ) \cap \mathcal { C } _ { n } ) } P _ { X } ^ { n } ( x ^ { n } ) } \\ & { \leq \sum _ { x ^ { n } \in ( \mathcal { B } _ { n } ( \gamma ) \cap \mathcal { C } _ { n } ) } \frac { \exp ( - n \gamma ) } { M } } \\ & { \leq \frac { | \mathcal { C } _ { n } | \exp ( - n \gamma ) } { M } } \\ & { \leq \exp ( - n \gamma ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { n } ( \mu ) } & { = \operatorname* { i n f } _ { \phi \in F } \left( \int c _ { n } ( x , \phi ( x ) ) \mu ( d x ) + \int \mathbb { E } \big [ V _ { n + 1 } ( T ( x , \phi ( x ) , R _ { n + 1 } ) ) \big ] \mu ( d x ) \right) } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { \phi \in F } \left( \int c _ { n } ( x , \phi ( x ) ) + \mathbb { E } \big [ V _ { n + 1 } ( T ( x , \phi ( x ) , R _ { n + 1 } ) ) \big ] \mu ( d x ) \right) } \\ & { = \int c _ { n } ( x , \phi ^ { * } ( x ) ) + \mathbb { E } \big [ V _ { n + 1 } ( T ( x , \phi ^ { * } ( x ) , R _ { n + 1 } ) ) \big ] \mu ( d x ) } \end{array}
\alpha _ { k } \leq \tilde { \alpha } \leq \frac { 2 \bar { \tau } _ { \operatorname* { m i n } } \kappa _ { l } \left( 1 - \theta - \eta \sqrt { \frac { \bar { \tau } _ { - 1 } } { \kappa _ { l } } } \cdot \operatorname* { m a x } \left\{ \sqrt { \frac { 1 + \epsilon _ { \tau } \omega _ { 2 } } { 1 - \eta \omega _ { 5 } } } , \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \eta \omega _ { 6 } } } \right\} \right) } { \bar { \tau } _ { \operatorname* { m i n } } L + \Gamma } ,
\left\{ Q _ { \alpha a } , \bar { Q } _ { \dot { \beta } b } \right\} = \sigma _ { \alpha \dot { \beta } } ^ { \mu } \, \, p _ { \mu } \, \, \left( v _ { 0 ^ { \prime } } + \sigma _ { 1 } v _ { 1 ^ { \prime } } + \sigma _ { 3 } v _ { 2 ^ { \prime } } \right) _ { a b }
\begin{array} { r l } { \nabla \times \left( \frac { { \mathbf { j } } \times { \mathbf { b } } } { \rho } \right) } & { { } = \frac { \nabla \rho \times \nabla ( b _ { \phi } ^ { 2 } / 2 ) } { \rho ^ { 2 } } - { \mathbf { e } } _ { \phi } \partial _ { z } ( b _ { \phi } ^ { 2 } / \rho \varpi ) } \end{array}
\frac { p ( \mathbf { x } _ { j } , \mathbf { y } _ { j } ) } { p ^ { 2 } ( \mathbf { x } _ { j } ) } \approx M \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { x } _ { j } ^ { p } - \mathbf { x } _ { i } ^ { p } ) \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { y } _ { j } ^ { p } - \mathbf { y } _ { i } ^ { p } ) } { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { M } \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { x } _ { j } ^ { p } - \mathbf { x } _ { i } ^ { p } ) \right) ^ { 2 } } .
\Delta E _ { a } = \frac { \frac { 1 } { 2 \pi i } \oint _ { \Gamma } d E \left( E - E _ { a } ^ { ( 0 ) } \right) \Delta \mathcal { G } _ { a a } ( E ) } { 1 + \frac { 1 } { 2 \pi i } \oint _ { \Gamma } d E \Delta \mathcal { G } _ { a a } ( E ) } ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \| h ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) } ^ { 2 } + \frac { \kappa c _ { 0 } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } } | \partial _ { s } h | ^ { 2 } \, d s \, d t } \\ & { \leq C \operatorname* { s u p } _ { s \in \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } , t \in [ 0 , T ] } \left( | \partial _ { s } a _ { \kappa } ( s , t ) | + | b _ { \kappa } ( s , t ) | + | \partial _ { s } c _ { \kappa } ( s , t ) | ^ { 2 } \right) \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } } | h | ^ { 2 } \, d s \, d t } \\ & { \qquad + \int _ { 0 } ^ { T } \| g ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) } \, d t \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \| h ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) } . } \end{array}
{ \cal U } _ { \Delta } ^ { \dagger } B _ { i } ^ { 3 } \, { \cal U } _ { \Delta } = \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { i j k } \left\{ \left( e ^ { - i g \Delta } F _ { j k } e ^ { i g \Delta } \right) ^ { 3 } + i g \, { \cal U } _ { \Delta } ^ { \dagger } \left( [ A _ { j } , A _ { k } ] \right) ^ { 3 } { \cal U } _ { \Delta } \right\} \ .
\begin{array} { r l } { k _ { \mathrm { a } } } & { { } = \frac { x z } { w } , } \\ { k _ { \mathrm { w } } } & { { } = x y = 1 , } \\ { x } & { { } = y + z , } \\ { c _ { \mathrm { a } } } & { { } = w + z . } \end{array}
M = { \frac { 1 } { 4 } } { \left( \begin{array} { l l l l } { a _ { 0 0 } + a _ { 1 1 } + a _ { 2 2 } + a _ { 3 3 } } & { + a _ { 1 0 } - a _ { 0 1 } - a _ { 3 2 } + a _ { 2 3 } } & { + a _ { 2 0 } + a _ { 3 1 } - a _ { 0 2 } - a _ { 1 3 } } & { + a _ { 3 0 } - a _ { 2 1 } + a _ { 1 2 } - a _ { 0 3 } } \\ { a _ { 1 0 } - a _ { 0 1 } + a _ { 3 2 } - a _ { 2 3 } } & { - a _ { 0 0 } - a _ { 1 1 } + a _ { 2 2 } + a _ { 3 3 } } & { + a _ { 3 0 } - a _ { 2 1 } - a _ { 1 2 } + a _ { 0 3 } } & { - a _ { 2 0 } - a _ { 3 1 } - a _ { 0 2 } - a _ { 1 3 } } \\ { a _ { 2 0 } - a _ { 3 1 } - a _ { 0 2 } + a _ { 1 3 } } & { - a _ { 3 0 } - a _ { 2 1 } - a _ { 1 2 } - a _ { 0 3 } } & { - a _ { 0 0 } + a _ { 1 1 } - a _ { 2 2 } + a _ { 3 3 } } & { + a _ { 1 0 } + a _ { 0 1 } - a _ { 3 2 } - a _ { 2 3 } } \\ { a _ { 3 0 } + a _ { 2 1 } - a _ { 1 2 } - a _ { 0 3 } } & { + a _ { 2 0 } - a _ { 3 1 } + a _ { 0 2 } - a _ { 1 3 } } & { - a _ { 1 0 } - a _ { 0 1 } - a _ { 3 2 } - a _ { 2 3 } } & { - a _ { 0 0 } + a _ { 1 1 } + a _ { 2 2 } - a _ { 3 3 } } \end{array} \right) }
P _ { \alpha } = C _ { \alpha \beta } ^ { ( 2 ) } \mu _ { \beta } + \frac { 1 } { 2 } C _ { \alpha \beta \gamma } ^ { ( 3 ) } \mu _ { \beta } \mu _ { \gamma } + \frac { 1 } { 6 } C _ { \alpha \beta \gamma \delta } ^ { ( 4 ) } \mu _ { \beta } \mu _ { \gamma } \mu _ { \delta } ,
\begin{array} { r l } { f ( x , x ^ { \prime } ) } & { { } = \iiiint f ( x , x ^ { \prime } , y , y ^ { \prime } , \phi , w ) { d y } { d y ^ { \prime } } { d \phi } { d w } , } \\ { f ( y , y ^ { \prime } ) } & { { } = \iiiint f ( x , x ^ { \prime } , y , y ^ { \prime } , \phi , w ) { d x } { d x ^ { \prime } } { d \phi } { d w } , } \\ { f ( \phi , w ) } & { { } = \iiiint f ( x , x ^ { \prime } , y , y ^ { \prime } , \phi , w ) { d x } { d x ^ { \prime } } { d y } { d y ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { S } } & { { } = \hat { S } _ { i j } = \frac { { S } _ { i j } } { ( | \alpha | + | S _ { i j } | ) } , \; { S } _ { i j } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial \bar { u } _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) , } \\ { \boldsymbol { R } } & { { } = \hat { R } _ { i j } = \frac { { R } _ { i j } } { ( | \alpha | + | R _ { i j } | ) } , \; { R } _ { i j } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial \bar { u } _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { \mathcal { I } } _ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } ^ { ( \alpha ) } ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ) } & { { } = } & { \boldsymbol { \mathcal { I } } _ { o } ( \omega ) \, \, \big | \tilde { \ddot { d } } _ { z } ^ { ( \alpha ) } ( \omega ) \big | ^ { 2 } \, \, \big | \hat { S } ( k _ { x } ^ { ( \alpha ) } , k _ { z } ^ { ( \alpha ) } ) \big | ^ { 2 } \, , \quad \quad } \end{array}
\left( y ^ { ( 1 ) a _ { 2 k + 1 } } , \pi _ { a _ { 2 k + 1 } } ^ { ( 1 ) } \right) , \; \left( y ^ { ( 2 ) a _ { 2 k + 1 } } , \pi _ { a _ { 2 k + 1 } } ^ { ( 2 ) } \right) , \; k = 0 , \cdots , a ,
\begin{array} { r l r } { F _ { 1 } ( \bar { r } , t ) S ^ { ( 0 ) } ( t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \bar { r } ^ { 3 } \left( \frac { w ^ { ( 0 ) } } { \bar { r } ^ { 2 } } \right) _ { \bar { r } } \dot { S } ^ { ( 0 ) } ( t ) - w ^ { ( 0 ) } \int _ { 0 } ^ { S _ { 0 } } \left< w _ { s ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } \right> d s ^ { \prime } - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { S _ { 0 } } \left< P _ { s ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } \right> d s ^ { \prime } } \\ { F _ { 2 } ( \bar { r } , t ) S ^ { ( 0 ) } ( t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { \left( \bar { r } v ^ { ( 0 ) } \right) _ { \bar { r } } } { \bar { r } } \dot { S } ^ { ( 0 ) } ( t ) - w ^ { ( 0 ) } \int _ { 0 } ^ { S _ { 0 } } \left< v _ { s ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } \right> d s ^ { \prime } + \frac { \zeta ^ { ( 0 ) } } { \bar { r } } \int _ { 0 } ^ { S _ { 0 } } \rho \Gamma \left< w _ { s ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } \right> d s ^ { \prime } } \end{array}
\beta ( g ) \equiv { \frac { 1 } { \Lambda } } { \frac { d g } { d \Lambda } } = { \frac { g ^ { 3 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \left( - 1 1 + { \frac { 2 } { 3 } } N _ { f } \right) + O ( g ^ { 5 } ) ,
\begin{array} { r l } { r _ { 1 3 } \mapsto \mathbf { R } _ { 1 3 } = { \small \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } , \quad } & { r _ { 1 2 } \mapsto \mathbf { R } _ { 1 2 } = { \small \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } . \quad } \end{array}
- \mathbf n \cdot \Delta \mathbf n = \mathrm { ~ t ~ r ~ } ( ( \nabla \mathbf n ) ^ { 2 } ) = \mathrm { ~ t ~ r ~ } ( \mathbf H ^ { 2 } ) = \kappa _ { 1 } ^ { 2 } + \kappa _ { 2 } ^ { 2 }
( { \cal A } _ { 8 } ^ { ( - ) } ) _ { A B } ^ { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \Gamma _ { A ^ { \prime } A } ^ { c } \left[ \left( \frac { - s } { - t } \right) ^ { j ( t ) } - \left( \frac { + s } { - t } \right) ^ { j ( t ) } \right] \Gamma _ { B ^ { \prime } B \mathrm { ~ \ \ } } ^ { c } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { d e t } ( \{ C ( f _ { i } , g _ { j } ) ( s _ { 1 } ) \} ) _ { 1 , l e f t , { \cal T } } = \operatorname* { d e t } ( \{ C ( f _ { i } , g _ { j } ) ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) \} ) _ { 1 , l e f t , { \cal T } } \} ) | _ { s _ { 2 } = 1 } } \\ & { } & { = \operatorname* { d e t } ( \{ C ( f _ { i } , g _ { j } ) ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) \} ) _ { 1 , l e f t , { \cal T } } \} ) | _ { s _ { 2 } = 0 } } \\ & { } & { \quad \quad \quad + \int _ { 0 } ^ { 1 } d s _ { 2 } \frac { d } { d s _ { 2 } } \operatorname* { d e t } ( \{ C ( f _ { i } , g _ { j } ) ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) \} ) _ { 1 , l e f t , { \cal T } } \} ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { g , + w } ( - ) - \delta _ { l , + w } ( - ) } & { { } = \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { ( + ) } ^ { - 1 } A _ { ( + ) } D _ { ( - ) } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( + ) } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( + ) } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( + ) } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } \, } \end{array}
\Delta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } = \frac 1 { 2 m ^ { 2 } } i p ^ { ( 1 ) } \left( i p ^ { ( 1 ) } - \varepsilon m \right) \left( 1 - \sigma _ { p } ^ { ( 1 ) 2 } \right) = \Psi _ { 0 } ^ { ( 1 ) } \cdot \overline { { { \Psi } } } _ { 0 } ^ { ( 1 ) }
Z = \frac { { \displaystyle \int } { \cal D } { \bar { \psi } } { \cal D } \psi \, \, \, { \displaystyle e } ^ { i S ( { \bar { \psi } } , \psi , A _ { - } , A _ { + } , A _ { - } ^ { 5 } , A _ { + } ^ { 5 } ) } } { { \displaystyle \int } { \cal D } { \bar { \psi } } { \cal D } \psi \, \, \, { \displaystyle e } ^ { i S ( { \bar { \psi } } , \psi ) } } ,
\begin{array} { r } { d _ { V ^ { \prime } } ^ { \mathcal { H } ^ { \prime \prime } } ( v _ { 0 } ) \leqslant \frac { 1 } { 4 } a b + \frac { 1 } { 4 } b ^ { 2 } \leqslant \frac { m - 1 } { 4 } \cdot \frac { m - 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { m - 1 } { 3 } \right) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 9 } ( m - 1 ) ^ { 2 } < \left( \frac { 1 } { 8 } - 3 \beta \right) m ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { L } { 2 } = \int _ { \phi _ { 1 } } ^ { \phi _ { 2 } } \frac { d \phi } { \sqrt { \frac { 2 } { B } [ P _ { 0 } \sin ( \beta _ { 2 } - \phi ) + \frac { 2 B ( \sin \phi _ { 1 } - \sin \phi _ { 0 } ) ^ { 2 } } { R ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \phi _ { 1 } } - P _ { 0 } \sin ( \beta _ { 2 } - \phi _ { 1 } ) ] } } ,
\left( \begin{array} { l } { 1 . 0 0 \pm 0 . 0 2 } \\ { 3 . 7 6 \pm 0 . 0 2 } \\ { 5 . 6 9 \pm 0 . 0 2 } \\ { 3 . 7 5 \pm 0 . 0 2 } \\ { 1 . 0 3 \pm 0 . 0 2 } \end{array} \right)
\frac { 1 } { 2 } \left( \hat { P } _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \hat { Q } _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } ^ { 2 } \right) \to \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \hat { P } _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } - P _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } ^ { ( 0 ) } \right) ^ { 2 } + \omega _ { k } ^ { 2 } \left( \hat { Q } _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } - Q _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } ^ { ( 0 ) } \right) ^ { 2 } \right] + E _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } ^ { ( 0 ) }
\begin{array} { r l } { \int _ { x _ { \epsilon } } ^ { \infty } - f _ { + } ^ { \prime } ( x ) \tilde { G } ( x ) d x } & { \geq \int _ { x _ { \epsilon } } ^ { \infty } \frac { \epsilon } { G ( x ) } \tilde { G } ( x ) d x } \\ & { = \int _ { x _ { \epsilon } } ^ { \infty } \frac { \epsilon } { G ( x ) } d G ( x ) } \\ & { = \int _ { x _ { \epsilon } } ^ { \infty } \epsilon \ d \ln { G ( x ) } } \\ & { = \epsilon \ln { G ( x ) } | _ { \infty } - \epsilon \ln { G ( x _ { \epsilon } ) } = \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ( X _ { 0 } , \bar { \alpha } ) : = } & { \operatorname* { s u p } _ { \tiny \begin{array} { c } { x \in ( \mathbb { R } ^ { n } ) ^ { \mathbb { N } } } \\ { \alpha \in ( 0 , \bar { \alpha } ] ^ { \mathbb { N } } } \end{array} } ~ ~ \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| } \\ & { ~ ~ \mathrm { s u b j e c t ~ t o } ~ ~ ~ \left\{ \begin{array} { l } { x _ { k + 1 } = x _ { k } - \alpha _ { k } \nabla f ( x _ { k } ) , ~ \forall k \in \mathbb { N } , } \\ { x _ { 0 } \in X _ { 0 } . } \end{array} \right. } \end{array}
S _ { \mathrm { Y M } } [ A ] = \pm \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } K [ A ] + \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 4 } x \left( F _ { \mu \nu } ^ { a } \mp \tilde { F } _ { \mu \nu } ^ { a } \right) \left( F _ { a } ^ { \mu \nu } \mp \tilde { F } _ { a } ^ { \mu \nu } \right) \geq \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } \left| K [ A ] \right| \, .
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ x ( t ) ^ { \top } P ^ { - 1 } x ( t ) \right] } & { \leq - \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb E \left[ x ( s ) ^ { \top } P ^ { - 1 } B B ^ { \top } P ^ { - 1 } x ( s ) \right] d s + 2 \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb E \left[ x ( s ) ^ { \top } P ^ { - 1 } B u ( s ) \right] d s } \\ & { \quad + c \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb E \left[ x ( s ) ^ { \top } P ^ { - 1 } x ( s ) \right] d s } \\ & { = \mathbb E \int _ { 0 } ^ { t } \left\| u ( s ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } - \| B ^ { \top } P ^ { - 1 } x ( s ) - u ( s ) \| _ { 2 } ^ { 2 } d s + c \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb E \left[ x ( s ) ^ { \top } P ^ { - 1 } x ( s ) \right] d s } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \mathrm { a d j } ( \mathcal { D } \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { x } _ { t } ) ) \| _ { F } \le Q ^ { \frac { Q - 2 } { 2 } } \| \mathcal { D } \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { x } _ { t } ) \| _ { F } \le Q ^ { \frac { Q - 2 } { 2 } } Q \operatorname* { m a x } _ { k , m } | b _ { k m } | = Q ^ { \frac { Q } { 2 } } \operatorname* { m a x } _ { k , m } | b _ { k m } | . } \end{array}
\mathcal { E } _ { 1 } ( t ) = | t | \mathbb { E } | \mathcal { T } _ { \mathfrak { c } } ( \nu ^ { \prime } \bar { L } ) + ( H _ { \mathfrak { c } } + \mathcal { T } _ { \mathfrak { c } } ) ( \nu ^ { \prime } \bar { Q } ) | + t ^ { 2 } ( \mathbb { E } ( H _ { \mathfrak { c } } ( \nu ^ { \prime } \bar { L } ) ) ^ { 2 } + \mathbb { E } | H _ { \mathfrak { c } } ( \nu ^ { \prime } \bar { L } ) ( \nu ^ { \prime } \bar { Q } ) |
L _ { q < 1 } ( \varepsilon ; \chi _ { 0 } ) \, = \, C _ { q } \, \left[ 1 \, - \, \frac { \varepsilon } { \alpha ^ { \prime } \chi _ { 0 } } \right] ^ { \alpha ^ { \prime } } \, = \, C _ { q } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \exp \left( - \frac { \varepsilon } { \chi } \right) \, f \left( \frac { 1 } { \chi } \right) \, d \left( \frac { 1 } { \chi } \right)
\begin{array} { r l } { \operatorname { \mathbb { P } } ( A _ { i } \mid A _ { i - 1 } ) } & { = \operatorname { \mathbb { P } } ( S _ { t _ { i } } \leq \operatorname { \mathbb { E } } [ S _ { n / m } ] / 2 \mid A _ { i - 1 } ) \leq \operatorname { \mathbb { P } } ( S _ { t _ { 1 } } \leq \operatorname { \mathbb { E } } [ S _ { n / m } ] / 2 ) = \operatorname { \mathbb { P } } ( A _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { t } ^ { \prime } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { M _ { x , 2 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { M _ { y , 2 } } \end{array} \right] T _ { s } ^ { \prime } \left[ \begin{array} { l l } { M _ { x , 1 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { M _ { y , 1 } } \end{array} \right] = S \left( S ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l l } { M _ { x , 2 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { M _ { y , 2 } } \end{array} \right] S \right) T _ { s } \left( S ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l l } { M _ { x , 1 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { M _ { y , 1 } } \end{array} \right] S \right) S ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta _ { j } \partial _ { z _ { j } } q _ { j } } & { = \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow + \infty } ( - \sin ^ { 2 } ( \theta ) \partial _ { \theta } + r \cos \theta \sin \theta \partial _ { r } ) \Tilde { q } ( X , \Xi , r , \theta ) } \\ & { = - \sin ^ { 2 } ( \theta ) \partial _ { \theta } \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow + \infty } \Tilde { q } ( X , \Xi , r , \theta ) . } \end{array}
H _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \ldots \mu _ { n } } ^ { ( n ) } = n \partial _ { [ \mu _ { 1 } } B _ { \mu _ { 2 } \ldots \mu _ { n } ] } ^ { ( n - 1 ) } = \hat { H } _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { n } }
\widehat { u } ( \xi , \xi ^ { \prime } ) = e ^ { - \frac { \pi \mathsf { i } } { n } ( \xi - \xi ^ { \prime } ) } \widehat { h } \bigg ( \frac { \xi + \xi ^ { \prime } } { 2 } , \frac { \xi - \xi ^ { \prime } } { 2 } \bigg ) = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \frac { \mathsf { i } e ^ { - \frac { \pi \mathsf { i } } { n } ( \xi - \xi ^ { \prime } ) } \Omega ( \frac { \xi + \xi ^ { \prime } } { 2 n } , \frac { \xi - \xi ^ { \prime } } { 2 n } ) } { - \alpha _ { n } ^ { - 1 } \Lambda ( \frac { \xi + \xi ^ { \prime } } { 2 n } , \frac { \xi - \xi ^ { \prime } } { 2 n } ) - \mathsf { i } \Omega ( \frac { \xi + \xi ^ { \prime } } { 2 n } , \frac { \xi - \xi ^ { \prime } } { 2 n } ) } \widehat { \varphi } _ { n } ( \xi ) .
\begin{array} { r l } { \left\| A x ^ { k + 1 } - A A ^ { \dagger } b \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \left\| A x ^ { k } - A A ^ { \dagger } b \right\| _ { 2 } ^ { 2 } - \left\| A x ^ { k + 1 } - A x ^ { k } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \left\| A x ^ { k } - A A ^ { \dagger } b \right\| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { \langle A A _ { i _ { k } , : } ^ { \top } , r ^ { k } \rangle ^ { 2 } } { \| A A _ { i _ { k } , : } ^ { \top } \| _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { = \left\| A x ^ { k } - A A ^ { \dagger } b \right\| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { \langle A A _ { i _ { k } , : } ^ { \top } , A x ^ { k } - b \rangle ^ { 2 } } { \| A A _ { i _ { k } , : } ^ { \top } \| _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { = \left\| A x ^ { k } - A A ^ { \dagger } b \right\| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { \langle A A _ { i _ { k } , : } ^ { \top } , A x ^ { k } - A A ^ { \dagger } b \rangle ^ { 2 } } { \| A A _ { i _ { k } , : } ^ { \top } \| _ { 2 } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \left\langle R \left( J N , N \right) N , J N \right\rangle } & { = \left\langle - \nabla _ { J N } \nabla _ { N } N + \nabla _ { N } \nabla _ { J N } N + \nabla _ { \left[ J N , N \right] } N , J N \right\rangle } \\ & { = J N ( X _ { 0 } \delta ) - N ( \mathcal { H } ) + \left\langle \nabla _ { - \mathcal { H } J N - ( X _ { 0 } \delta ) N + X _ { 0 } } N , J N \right\rangle } \\ & { = - X _ { S } \left( X _ { 0 } \delta \right) - N \left( \mathcal { H } \right) + \mathcal { H } ^ { 2 } + \left( X _ { 0 } \delta \right) ^ { 2 } + \left\langle \nabla _ { X _ { 0 } } N , J N \right\rangle . } \end{array}
\Gamma _ { \beta \gamma } ^ { \alpha } = \frac 1 2 g ^ { \alpha \delta } \left( \frac { \partial g _ { \delta \beta } } { \partial q ^ { \gamma } } + \frac { \partial g _ { \delta \gamma } } { \partial q ^ { \beta } } - \frac { \partial g _ { \beta \gamma } } { \partial q ^ { \delta } } \right) .
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { a \times b } } & { = ( a _ { 2 } b _ { 3 } \mathbf { i } + a _ { 3 } b _ { 1 } \mathbf { j } + a _ { 1 } b _ { 2 } \mathbf { k } ) - ( a _ { 3 } b _ { 2 } \mathbf { i } + a _ { 1 } b _ { 3 } \mathbf { j } + a _ { 2 } b _ { 1 } \mathbf { k } ) } \\ & { = ( a _ { 2 } b _ { 3 } - a _ { 3 } b _ { 2 } ) \mathbf { i } + ( a _ { 3 } b _ { 1 } - a _ { 1 } b _ { 3 } ) \mathbf { j } + ( a _ { 1 } b _ { 2 } - a _ { 2 } b _ { 1 } ) \mathbf { k } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathrm { { \mathcal { L } } } = - \frac { 1 } { 4 } F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 4 } \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } \left( k _ { A F } \right) _ { \mu } A _ { \nu } F _ { \alpha \beta } - A _ { \mu } J ^ { \mu } , } \end{array}
\frac { 8 6 4 f _ { i } ^ { 4 } + 1 7 2 8 f _ { i } ^ { 3 } + 1 0 8 0 f _ { i } ^ { 2 } + 2 1 6 f _ { i } + 9 } { 1 6 \omega _ { i } ^ { 4 } }
\mathcal { D } _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } : = \{ 0 . 1 6 , 0 . 2 0 8 , 0 . 2 5 6 , 0 . 3 0 4 , 0 . 3 5 2 , 0 . 4 4 8 , 0 . 4 9 6 , 0 . 5 4 4 , 0 . 5 9 2 , 0 . 6 4 \}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } } & { = D _ { \alpha } \sum _ { k \geq 1 } ( D _ { \beta _ { R } } D _ { \beta _ { L } } + D _ { \alpha } ) ^ { k } + D _ { \beta _ { R } } D _ { \beta _ { L } } \sum _ { k \geq 0 } ( D _ { \beta _ { R } } D _ { \beta _ { L } } + D _ { \alpha } ) ^ { k } \mathrm { , } } \\ & { = ( D _ { \alpha } + D _ { \beta _ { R } } D _ { \beta _ { L } } ) \sum _ { k \geq 0 } ( D _ { \beta } ^ { 2 } + D _ { \alpha } ) ^ { k } - D _ { \alpha } \mathrm { , } } \\ & { = \frac { D _ { \alpha } + D _ { \beta _ { R } } D _ { \beta _ { L } } } { 1 - ( D _ { \alpha } + D _ { \beta _ { R } } D _ { \beta _ { L } } ) } - D _ { \alpha } \mathrm { , } } \end{array}