harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { A } ^ { - 1 } = \mathbf { X } ^ { - 1 } - { \frac { \mathbf { X } ^ { - 1 } ( \mathbf { A } - \mathbf { X } ) \mathbf { X } ^ { - 1 } } { 1 + \operatorname { t r } ( \mathbf { X } ^ { - 1 } ( \mathbf { A } - \mathbf { X } ) ) } } ~ .
\begin{array} { r } { i \partial _ { z } \psi + \partial _ { t } ^ { 2 } \psi + 2 | \psi | ^ { 2 } \psi = i { \cal F } ^ { - 1 } ( \hat { g } ( \omega ) \hat { \psi } ) / 2 - i \epsilon _ { 3 } | \psi | ^ { 2 } \psi , } \end{array}
M ( \theta ) = \int _ { 0 } ^ { L } \nabla _ { \theta } \Psi _ { \theta } ( x ) \otimes \nabla _ { \theta } \Psi _ { \theta } ( x ) d x , \, \, \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \, \, F ( \theta ) = \int _ { 0 } ^ { L } \nabla _ { \theta } \Psi _ { \theta } ( x ) \mathcal { F } ( \nabla _ { \theta } \Psi _ { \theta } ( x ) ) d x .
\begin{array} { r l } { \left\| ( Z _ { p } ) ^ { - 1 } \hat { \boldsymbol { F } } _ { p } - ( Z _ { p ^ { \prime } } ) ^ { - 1 } \hat { \boldsymbol { F } } _ { p ^ { \prime } } \right\| _ { L ^ { 1 } } \leq } & { ( Z _ { p ^ { \prime } } ) ^ { - 1 } \left[ | Z _ { p } - Z _ { p ^ { \prime } } | + \| \hat { \boldsymbol { F } } _ { p } - \hat { \boldsymbol { F } } _ { p ^ { \prime } } \| _ { L ^ { 1 } } \right] } \\ { \leq } & { \zeta ( \lambda _ { 2 } / 2 ) \| p - p ^ { \prime } \| _ { L ^ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta B _ { \mathrm { ~ Q ~ N ~ L ~ } } = \frac { 1 } { \gamma \sqrt { n V } } \sqrt { \frac { 4 } { T _ { 2 } } + \frac { R _ { p r } \mathrm { ~ O ~ D ~ } } { 3 2 } + \frac { 8 } { R _ { p r } \mathrm { ~ O ~ D ~ } T _ { 2 } ^ { 2 } \eta } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { x } _ { n } ( t ) = \ } & { { } a _ { n } \ J _ { | n | } \left( \frac { \Delta \omega } { \Omega } \right) \sum _ { l } \Theta \left( t - t _ { l } \right) \; \left( \frac { \delta v _ { l } \; e ^ { - \Gamma \left( t - t _ { l } \right) / 2 } } { \sqrt { w ( t ) w ( t _ { l } ) } } \right) } \end{array}
\mathcal { B } _ { k } = \left\langle \sigma _ { 1 } , \dots , \sigma _ { k - 1 } \middle \vert \begin{array} { r l } { \sigma _ { i } \sigma _ { j } } & { = \sigma _ { j } \sigma _ { i } : | i - j | > 1 } \\ { \sigma _ { i } \sigma _ { i + 1 } \sigma _ { i } } & { = \sigma _ { i + 1 } \sigma _ { i } \sigma _ { i + 1 } : 1 \leqslant i \leqslant k - 2 } \end{array} \right\rangle
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } H _ { i } ( t ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = n + 1 } ^ { n + m } \alpha _ { j , i } H \big ( { u } _ { h i } ^ { - } ( b _ { i } , t ) , { u } _ { h j } ^ { + } ( a _ { j } , t ) \big ) } \\ & { = \sum _ { j = n + 1 } ^ { n + m } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \alpha _ { j , i } H \big ( { u } _ { h i } ^ { - } ( b _ { i } , t ) , { u } _ { h j } ^ { + } ( a _ { j } , t ) \big ) = \sum _ { j = n + 1 } ^ { n + m } H _ { j } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { g } _ { 1 } = } & { \frac { r _ { i + 1 } - r _ { i - 1 } } { 2 r _ { i } \overline { { \triangle } } _ { r } } \vec { r } = \frac { r _ { i + 1 } - r _ { i - 1 } } { 2 \overline { { \triangle } } _ { r } } \hat { r } ; } \\ { \vec { g } _ { 2 } = } & { \frac { \sin \triangle _ { \theta } } { \overline { { \triangle } } _ { r } } A _ { \frac { \pi } { 2 } } \vec { r } = \frac { \sin \triangle _ { \theta } } { \overline { { \triangle } } _ { r } } r _ { i } \hat { \theta } , } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { e l } } = \hat { T } _ { \mathrm { e } } + \hat { V } _ { \mathrm { e e } } + \hat { V } _ { \mathrm { e n } } + \hat { V } _ { \mathrm { n n } } + \hat { V } _ { \mathrm { S O } } ,
\begin{array} { r } { N + ( N + 1 ) N ( N - 1 ) \alpha _ { 0 } ^ { 2 } h _ { 1 } h _ { 2 } = 1 - ( 1 + \psi _ { 0 } h _ { 1 } h _ { 2 } ) ( 1 + \psi _ { 0 } h _ { 1 } h _ { 3 } ) ( 1 + \psi _ { 0 } h _ { 2 } h _ { 3 } ) , } \\ { 4 N + ( N + 2 ) N ( N - 2 ) \alpha _ { 0 } ^ { 2 } h _ { 1 } h _ { 2 } = 8 - ( 2 + \psi _ { 0 } h _ { 1 } h _ { 2 } ) ( 2 + \psi _ { 0 } h _ { 1 } h _ { 3 } ) ( 2 + \psi _ { 0 } h _ { 2 } h _ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } ^ { 2 } { C } ( 0 , p ) } & { = - \left\langle \nabla _ { N } \nabla _ { N } V _ { 1 } , J N \right\rangle - \left( X _ { 0 } \delta \right) ^ { 2 } + \left\langle \left[ N , X _ { 0 } \right] , J N \right\rangle } \\ & { = X _ { S } ( X _ { 0 } \delta ) - \left( X _ { 0 } \delta \right) ^ { 2 } + \left\langle - R ( J N , N ) N + \mathrm { T o r } \left( N , X _ { 0 } \right) + \left[ N , X _ { 0 } \right] , J N \right\rangle } \\ & { = X _ { S } ( X _ { 0 } \delta ) - \left( X _ { 0 } \delta \right) ^ { 2 } - \left\langle R ( J N , N ) N , J N \right\rangle - \left\langle \nabla _ { X _ { 0 } } N , J N \right\rangle . } \end{array}
u _ { i } = \frac { 1 } { 8 \pi \mu } \left( \frac { x _ { i } \delta _ { j k } } { r ^ { 3 } } - \frac { 3 x _ { i } x _ { j } x _ { k } } { r ^ { 5 } } \right) S _ { j k } ^ { ( \alpha ) } ,
\begin{array} { r l } & { N ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left| \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \vert t + k \vert ^ { - \gamma - \frac { 1 } { 2 } } J _ { \gamma + \frac { 1 } { 2 } } ( 2 \pi N \vert t + k \vert ) \right| } \\ & { \geq N ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| t \| ^ { - \gamma - \frac { 1 } { 2 } } \left| J _ { \gamma + \frac { 1 } { 2 } } ( 2 \pi N \| t \| ) \right| - N ^ { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { | t + k | \geq \frac { 1 } { 2 } } | t + k | ^ { - \gamma - \frac { 1 } { 2 } } \left| J _ { \gamma + \frac { 1 } { 2 } } ( 2 \pi N | t + k | ) \right| } \\ & { \geq \pi ^ { - 1 } \| t \| ^ { - \gamma - 1 } \left| \sin \left( 2 \pi N \| t \| - \frac { \pi \gamma } { 2 } \right) \right| - c N ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| t \| ^ { - \gamma - \frac { 1 } { 2 } } ( N \| t \| ) ^ { - \frac { 3 } { 2 } } } \\ & { \qquad - c N ^ { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { | t + k | \geq \frac { 1 } { 2 } } | t + k | ^ { - \gamma - \frac { 1 } { 2 } } ( N | t + k | ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \geq \pi ^ { - 1 } \| t \| ^ { - \gamma - 1 } \left| \sin \left( 2 \pi N \| t \| - \frac { \pi \gamma } { 2 } \right) \right| - c N ^ { - 1 } \| t \| ^ { - \gamma - 2 } - c } \\ & { = \pi ^ { - 1 } \| t \| ^ { - \gamma - 1 } \left( \left| \sin \left( 2 \pi N \| t \| - \frac { \pi \gamma } { 2 } \right) \right| - c N ^ { - 1 } \| t \| ^ { - 1 } - c \| t \| ^ { \gamma + 1 } \right) . } \end{array}
\psi ^ { ( 4 ) } ( u ) = \frac { \langle \bar { q } q \rangle } { m _ { \rho } f _ { \rho } f _ { \rho } ^ { \perp } } e ^ { m _ { \rho } ^ { 2 } / M _ { \rho } ^ { 2 } } \frac { 1 } { 6 } \, m _ { 0 } ^ { 2 } [ \delta ( u ) + \delta ( 1 - u ) ] .
p _ { f i n a l } = \sum _ { i \in \mathcal { B } } \left. p _ { i } ^ { B } ( t ) \right| _ { t = t _ { f i n a l } } - \sum _ { i \in \mathcal { R } } \left. p _ { i } ^ { R } ( t ) \right| _ { t = t _ { f i n a l } } .
\begin{array} { r l r } { { \frac { \alpha } { \sqrt { \pi \beta r ^ { 2 } } } } \; \sin ( \beta r ) \; \mathrm { e } ^ { - \phi r ^ { 2 } } . } & { \approx } & { { \frac { 1 } { \langle r \rangle } } \, \left( { \frac { \gamma \, r ^ { 2 } } { 2 } } \right) ^ { \frac { ( 2 N - 1 ) } { 4 } } \, \sum _ { \mu , \nu } \, a _ { \mu \nu } \, F _ { \mu \nu } ( r ) \; \, \mathrm { e } ^ { - { \frac { ( \mu ^ { 2 } - 1 ) ( 2 N - 1 ) ^ { 2 } \, I _ { 0 } ( \theta ) } { 4 \langle r \rangle } } } } \end{array}
\exp \left[ B _ { i } ( \phi _ { i } , a ) + B _ { f } ( \phi _ { f } , b ^ { * } ) + B _ { i } ^ { * } ( \phi _ { i } ^ { \prime } , a ^ { * } ) + B _ { f } ^ { * } ( \phi _ { f } ^ { \prime } , b ) + i S ( \phi ) - i S ( \phi ^ { \prime } ) \right]
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { \psi \mapsto ( \rho , \mathbf { j } ) } \left\{ \langle \psi | H _ { 0 } | \psi \rangle \right\} + \langle \mathbf { A } , \mathbf { j } \rangle + \langle v - \frac 1 2 \vert \mathbf { A } \vert ^ { 2 } , \rho \rangle } & { { } } \\ { = : F _ { 1 } [ \rho , \mathbf { j } ] + \langle \mathbf { A } , \mathbf { j } \rangle + \langle v - \frac 1 2 \vert \mathbf { A } \vert ^ { 2 } , \rho \rangle } & { { } , } \end{array}
\begin{array} { l l l l l l } { { \displaystyle D } } & { { = 3 } } & { { : \quad } } & { { S p ( 4 ; R ) } } & { { \to } } & { { O S p ( N ; 1 | R ) } } \\ { { \displaystyle D } } & { { = 4 } } & { { : \quad } } & { { S U ( 2 , 2 ) } } & { { \to } } & { { S U ( 2 , 2 | N ) } } \\ { { \displaystyle D } } & { { = 6 } } & { { : \quad } } & { { U _ { \alpha } ( 4 ; H ) } } & { { \to } } & { { U U _ { \alpha } ( N ; 4 | R ) } } \end{array}
{ \sqrt [ [object Object] ] { \cos ( { \frac { 2 \pi } { 7 } } ) / \cos ( { \frac { 4 \pi } { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { \cos ( { \frac { 4 \pi } { 7 } } ) / \cos ( { \frac { 8 \pi } { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { \cos ( { \frac { 8 \pi } { 7 } } ) / \cos ( { \frac { 2 \pi } { 7 } } ) } } = - { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } .
f \left( T _ { a } ( z ) , \zeta \right) = T _ { a } ^ { \prime } ( z ) \left[ f ( z , \zeta ) + \sum _ { b } \frac { 1 } { 2 } ( \zeta - k ) ( a _ { b } z + b _ { b } ) ^ { 2 } \ln \left( \frac { a _ { b } ( d _ { b } a _ { a } - c _ { b } b _ { a } ) } { c _ { b } ( b _ { b } a _ { a } - a _ { b } b _ { a } ) } \right) \right] \ .
\frac { \partial u _ { i } } { \partial t } + u _ { j } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \nu \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } + g _ { i } ,
\left\langle A B _ { 1 } B _ { 2 } \right\rangle - \left\langle A B _ { 1 } \right\rangle \left\langle \tilde { B } _ { 2 } \right\rangle - \left\langle A B _ { 2 } \right\rangle \left\langle \tilde { B } _ { 1 } \right\rangle - \left\langle A \right\rangle \left\langle \tilde { B } _ { 1 } \tilde { B } _ { 2 } \right\rangle + 2 \left\langle A \right\rangle \left\langle \tilde { B } _ { 1 } \right\rangle \left\langle \tilde { B } _ { 2 } \right\rangle
\begin{array} { r l } { P _ { ( \overline { { e } } , \Gamma ^ { 0 } ) } ^ { T } = } & { \frac { 1 } { 6 } \left( ( e , e ) _ { T } + ( e , r ) _ { T } + ( e , r ^ { 2 } ) _ { T } + ( e , t ) _ { T } + ( e , t r ) _ { T } + ( e , t r ^ { 2 } ) _ { T } \right) , } \\ { P _ { ( \overline { { e } } , \Gamma ^ { 1 } ) } ^ { T } = } & { \frac { 1 } { 6 } \left( ( e , e ) _ { T } + ( e , r ) _ { T } + ( e , r ^ { 2 } ) _ { T } - ( e , t ) _ { T } - ( e , t r ) _ { T } - ( e , t r ^ { 2 } ) _ { T } \right) , } \\ { P _ { ( \overline { { e } } , \Gamma ^ { 2 } ) } ^ { T } = } & { \frac { 1 } { 3 } \left( 2 ( e , e ) _ { T } - ( e , r ) _ { T } - ( e , r ^ { 2 } ) _ { T } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { 1 } \left\{ x _ { 1 } = 0 , x _ { 2 } \in \left[ - \frac { 1 } { 2 } , 0 \right) , y \in \left( - 1 , - \frac { 1 } { 2 } \right) , \xi = 0 , \eta = \pm 1 , z _ { 1 } > 0 \right\} } & { = 0 , } \\ { \mu _ { 1 } \left\{ x _ { 1 } = 0 , x _ { 2 } \in \left( 0 , \frac { 1 } { 2 } \right] , y \in \left( - \frac { 1 } { 2 } , 0 \right) , \xi = 0 , \eta = \pm 1 , z _ { 1 } > 0 \right\} } & { = 0 , } \\ { \mu _ { 1 } \left\{ x _ { 1 } = 0 , x _ { 2 } \in \left( 0 , \frac { 1 } { 2 } \right] , y \in \left( 0 , \frac { 1 } { 2 } \right) , \xi = 0 , \eta = \pm 1 , z _ { 1 } < 0 \right\} } & { = 0 , } \\ { \mu _ { 1 } \left\{ x _ { 1 } = 0 , x _ { 2 } \in \left[ - \frac { 1 } { 2 } , 0 \right) , y \in \left( \frac { 1 } { 2 } , 1 \right) , \xi = 0 , \eta = \pm 1 , z _ { 1 } < 0 \right\} } & { = 0 , } \end{array}
8 \pi i \frac { d } { d \theta } F ( \theta ) = \int _ { C } \frac { d z } { \sinh ^ { 2 } { \frac { 1 } { 2 } ( z - \theta ) } } \ln F ( z ) = \int _ { \infty } ^ { \infty } \frac { d z } { \sinh ^ { 2 } { \frac { 1 } { 2 } ( z - \theta ) } } \ln { \frac { F ( z ) } { F ( z + 2 \pi i ) } } \ .
U _ { c } N _ { c } ^ { \mathrm { g h } } = U _ { 1 } N _ { 1 } ^ { \mathrm { g h } } G P U _ { 2 } ^ { \dagger } + U _ { 1 } \left[ G , N _ { 1 } ^ { \mathrm { g h } } \right] P U _ { 2 } ^ { \dagger } + U _ { 1 } G P U _ { 2 } ^ { \dagger } N _ { 2 } ^ { \mathrm { g h } } \ .
0 \to \operatorname { E x t } _ { \mathbf { Z } } ^ { 1 } ( \operatorname { H } _ { i - 1 } ( X , \mathbf { Z } ) , A ) \to H ^ { i } ( X , A ) \to \operatorname { H o m } _ { \mathbf { Z } } ( H _ { i } ( X , \mathbf { Z } ) , A ) \to 0 .
\begin{array} { r l } { l ( x ) } & { = \frac { 1 } { n } \, B _ { 0 } ( x ) + \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \frac { ( n - 1 ) ! } { ( n - k ) ! \, k ! } \, \biggl [ ( - 1 ) ^ { i + k - 1 } \, \binom { k - 1 } { i - 1 } + ( - 1 ) ^ { n - i } \, \binom { k - 1 } { n - i } \biggr ] \, B _ { k } ( x ) } \\ & { = \frac { 1 } { n } + \binom { n - 1 } { i - 1 } \cdot \biggl [ \sum _ { k = i } ^ { n - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { i + k - 1 } } { k } \, \binom { n - i } { n - k } \, B _ { k } ( x ) + \sum _ { k = n - i + 1 } ^ { n - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { n - i } } { k } \, \binom { i - 1 } { n - k } \, B _ { k } ( x ) \biggr ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { [ b ] \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) f ( x , s , t ; Y ) \, d s } & { + \partial _ { x } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) c ( x ; Y ) V ( s ) f ( x , s , t ; Y ) \, d s } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \varphi ( s ^ { \prime } ) - \varphi ( s ) ) f ( x , s , t ; Y ) f ( x + \eta , s _ { \ast } , t ; Y ) \, d s \, d s _ { \ast } . } \end{array} } \end{array}
U _ { R } = \left( \begin{array} { r r r } { { \cos \phi } } & { { - \sin \phi } } & { { - \cos \phi \epsilon _ { 1 } ^ { * } + \sin \phi \epsilon _ { 2 } ^ { * } } } \\ { { \sin \phi } } & { { \cos \phi } } & { { - \sin \phi \epsilon _ { 1 } ^ { * } - \cos \phi \epsilon _ { 2 } ^ { * } } } \\ { { \epsilon _ { 1 } } } & { { \epsilon _ { 2 } } } & { { 1 } } \end{array} \right)
m = { \frac { 2 ^ { \frac { 1 } { 3 } } \pi ^ { 4 / 3 } \Gamma ( 5 / 9 ) } { \Gamma ( 2 / 3 ) \Gamma ( 8 / 9 ) } } \, \left( { \frac { 2 \Gamma ( 1 1 / 1 6 ) } { \Gamma ( 5 / 1 6 ) \Gamma ( 3 / 4 ) } } \right) ^ { 8 / 9 } \, g ^ { 8 / 9 } \approx 4 . 9 2 7 7 9 1 2 2 4 4 \ldots g ^ { 8 / 9 } .
\begin{array} { r l } { - \int _ { 0 } ^ { 1 } y \, \partial _ { y } f _ { + } \, \eta _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( - f _ { + } ) \, \textup { d } y } & { = \eta _ { \varepsilon } ( - f _ { + } ( t , 1 ) ) - \int _ { 0 } ^ { 1 } \eta _ { \varepsilon } ( - f _ { + } ) \, \textup { d } y \le \int _ { 0 } ^ { 1 } \eta _ { \varepsilon } ( - f _ { + } ) \, \textup { d } y , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { i } } & { = } & { - \partial _ { i } A _ { 0 } + \partial _ { 0 } A _ { i } + [ A _ { i } , A _ { 0 } ] } \\ & { = } & { \partial _ { 0 } A _ { i } \mathrm { \ \ i n ~ t e m p o r a l ~ g a u g e } ; } \\ { B _ { x } } & { = } & { \partial _ { y } A _ { z } - \partial _ { z } A _ { y } - [ A _ { y } , A _ { z } ] } \end{array}
L = \exp \left( \begin{array} { c c } { { } } & { { \theta _ { N } } } \\ { { \overline { { { \theta } } } ^ { N } } } & { { } } \end{array} \right) \exp \left( \begin{array} { c c } { { i \frac { 1 + i \gamma ^ { 4 } } { 2 } \gamma _ { p } x ^ { p } } } & { { } } \\ { { } } & { { 0 _ { 4 } } } \end{array} \right) \exp \left( \begin{array} { c c } { { i \frac { \gamma ^ { 4 } } { 2 } \rho } } & { { } } \\ { { } } & { { 0 _ { 4 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { H _ { g , \mathrm { 2 D } } ^ { ( \mathrm { g e o ) } } = H _ { g } + t _ { 2 } ^ { \prime } \cos k _ { y } \sigma _ { z } + i t _ { 1 } \sin k _ { y } \sigma _ { 0 } , } \end{array}
\frac { h _ { n c } l _ { n c } } { k } = 0 . 1 5 \left( \frac { g \beta } { \nu ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 3 } l _ { n c } \, P r ^ { 1 / 3 } ( T - T _ { a } ) ^ { 1 / 3 } \Leftrightarrow h _ { n c } = \left[ 0 . 1 5 \left( \frac { g \beta } { \nu ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 3 } \, P r ^ { 1 / 3 } k \right] ( T - T _ { a } ) ^ { 1 / 3 } .
H ^ { \mu \nu \rho } ( k , k ^ { \prime } ) = \sum \frac { 1 } { n ! l ! } k ^ { \alpha _ { 1 } } . . . k ^ { \alpha _ { n } } k ^ { \beta _ { 1 } } . . . k ^ { \beta _ { l } } V _ { \alpha _ { 1 } . . . \alpha _ { n } , \beta _ { 1 } . . . \beta _ { l } } ^ { \mu \nu \rho } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \dot { a } = - \kappa a - i ( \omega _ { c } - g _ { m } X _ { m } ) a + E ( e ^ { - i \omega _ { 1 } t + i \theta _ { 1 } } + e ^ { - i \omega _ { 2 } t + i \theta _ { 2 } } ) } \\ & { } & { \dot { X } _ { m } = \omega _ { m } P _ { m } , } \\ & { } & { \dot { P } _ { m } = - \gamma _ { m } P _ { m } - \omega _ { m } X _ { m } + g _ { m } | a | ^ { 2 } + \sqrt { 2 \gamma _ { m } } \xi _ { m } ( t ) } \end{array}
\Gamma _ { \tilde { \nu } _ { \mu } } ( \lambda _ { 2 3 3 } ) = \Gamma \left( \tilde { \nu } _ { \mu } \to \overline { { { \tau _ { L } } } } \, \tau _ { R } \right) + \Gamma \left( \tilde { \nu } _ { \mu } \to \overline { { { \tau _ { R } } } } \, \tau _ { L } \right) = 2 \, \Gamma \left( \tilde { \nu } _ { \mu } \to \overline { { { \tau _ { L } } } } \, \tau _ { R } \right) ,
\begin{array} { r l r l r l } { \mathcal { O } ^ { * } } & { = \mathbb { E } _ { \phi \sim p } \left[ \mathcal { O } ( \phi ) \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \phi \sim { q } _ { \theta } } \left[ \frac { p ( \phi ) } { { q } _ { \theta } ( \phi ) } \mathcal { O } ( \phi ) \right] } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { p ( \phi _ { i } ) } { { q } _ { \theta } ( \phi _ { i } ) } \mathcal { O } ( \phi _ { i } ) , } & & { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } & & { \phi _ { i } \sim { q } _ { \theta } . } \end{array}
\delta \tilde { H } ^ { \alpha } = \delta H _ { c } ^ { \alpha } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \delta G _ { ( n ) } ^ { \alpha } ( q _ { i } , p _ { i } ) \theta _ { \alpha } ^ { n } + n G _ { ( n ) } ^ { \alpha } ( q _ { i } , p _ { i } ) \theta _ { \alpha } ^ { ( n - 1 ) } \delta \theta _ { \alpha } \right) = 0 ,
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { ~ R ~ a ~ m ~ a ~ n ~ } } ( \omega _ { s } ) } & { { } \propto \omega _ { I } \omega _ { s } ^ { 3 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { - j ( \omega _ { I } - \omega _ { s } ) t } \left\langle \widehat { \mathcal { P } } ^ { \dagger } ( \omega _ { I } ) e ^ { j \frac { \widehat { H _ { a } } } { \hbar } t } \widehat { \mathcal { P } } ( \omega _ { I } ) e ^ { - j \frac { \widehat { H _ { a } } } { \hbar } t } \right\rangle _ { \rho } d t } \end{array}
Q _ { c } = \frac { c _ { 3 } } { \lambda } \left( \frac { M } { \sqrt { \alpha } \, T } \right) ^ { 5 } \frac { 1 } { \eta ^ { 5 / 2 } } \; \; , \; \; \; R _ { c } = c _ { 4 } \, \frac { \lambda ^ { 1 / 2 } } { \alpha } \, \frac { \phi } { T ^ { 2 } \, \eta }
\begin{array} { r } { \frac { \dot { \mathrm { ~ I ~ } } ^ { ( T ) } } { N } = \frac { \rho J ( \alpha ) } { \tau _ { c } ( \Delta T ) ^ { 2 } } \frac { N _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { N _ { \mathrm { ~ m ~ } } } = \frac { \rho J ( \alpha ) } { \tau _ { c } ( \Delta T ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 + N _ { \mathrm { ~ m ~ } } / N _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \phi _ { \mu , \nu } ( H ) } & { = - z _ { 1 } { \frac { \partial } { \partial z _ { 1 } } } + z _ { 2 } { \frac { \partial } { \partial z _ { 2 } } } - { \overline { { z _ { 1 } } } } { \frac { \partial } { \partial { \overline { { z _ { 1 } } } } } } + { \overline { { z _ { 2 } } } } { \frac { \partial } { \partial { \overline { { z _ { 2 } } } } } } } \\ { \phi _ { \mu , \nu } ( X ) } & { = - z _ { 2 } { \frac { \partial } { \partial z _ { 1 } } } - { \overline { { z _ { 2 } } } } { \frac { \partial } { \partial { \overline { { z _ { 1 } } } } } } } \\ { \phi _ { \mu , \nu } ( Y ) } & { = - z _ { 1 } { \frac { \partial } { \partial z _ { 2 } } } - { \overline { { z _ { 1 } } } } { \frac { \partial } { \partial { \overline { { z _ { 2 } } } } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { ( t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } - t _ { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { \beta - 1 } t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } ^ { \sigma - 2 } \tau _ { k - \frac { 1 } { 2 } } ^ { 3 - \beta } } \\ { \le } & { T ^ { \beta - 1 } \Big ( \frac { k } { N } \Big ) ^ { ( \beta - 1 ) \gamma } T ^ { \sigma - 2 } \Big ( \frac { k - 2 } { N } \Big ) ^ { \gamma ( \sigma - 2 ) } \Big ( \gamma k ^ { \gamma - 1 } T N ^ { - \gamma } \Big ) ^ { 3 - \beta } } \\ { \le } & { T ^ { \sigma } 3 ^ { 2 ( \gamma - 1 ) + \beta - 1 } ( k - 2 ) ^ { \operatorname* { m i n } \{ \gamma \sigma , ~ 3 - \beta \} - ( 3 - \beta ) } \Big ( \frac { k - 2 } { N } \Big ) ^ { \gamma \sigma - \operatorname* { m i n } \{ \gamma \sigma , ~ 3 - \beta \} } \gamma ^ { 3 - \beta } N ^ { - \operatorname* { m i n } \{ \gamma \sigma , ~ 3 - \beta \} } } \\ { \le } & { T ^ { \sigma } 3 ^ { 2 ( \gamma - 1 ) + \beta - 1 } \gamma ^ { 3 - \beta } N ^ { - \operatorname* { m i n } \{ \gamma \sigma , ~ 3 - \beta \} } , ~ ~ k \ge 3 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { ~ L ~ M ~ } } = } & { { } - } & { \int d \boldsymbol r ^ { 3 } \hat { \boldsymbol P } ( \boldsymbol r ) \cdot \hat { \boldsymbol D } ^ { \perp } ( \boldsymbol r ) - \int d \boldsymbol r ^ { 3 } \hat { \boldsymbol M } ( \boldsymbol r ) \cdot \hat { \boldsymbol B } ( \boldsymbol r ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M _ { A } } = } & { { } \left( \begin{array} { l l l } { \delta _ { 1 } - i \kappa _ { 1 } / 2 } & { G _ { 1 } } & { 0 } \\ { G _ { 1 } } & { - i \gamma _ { m } / 2 } & { G _ { 2 } } \\ { 0 } & { G _ { 2 } } & { \delta _ { 2 } - i \kappa _ { 2 } / 2 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d ^ { 2 } y _ { 1 } } { d \tau ^ { 2 } } } & { = } & { ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) - 1 } \\ { \frac { d ^ { 2 } y _ { j } } { d \tau ^ { 2 } } } & { = } & { \alpha _ { j } ( y _ { j - 1 } - y _ { j } ) + \beta _ { j } ( y _ { j + 1 } - y _ { j } ) , \qquad j = 2 , \cdots , n } \\ { \frac { d ^ { 2 } y _ { n } } { d \tau ^ { 2 } } } & { = } & { \alpha _ { n } ( y _ { n - 1 } - y _ { n } ) } \end{array}
\rho \left[ { \frac { \partial { \overline { { u _ { i } } } } } { \partial t } } + { \frac { \partial { \overline { { u _ { i } } } } \, { \overline { { u _ { j } } } } } { \partial x _ { j } } } + { \frac { \partial { \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } } { \partial x _ { j } } } \right] = - { \frac { \partial { \bar { p } } } { \partial x _ { i } } } + \mu { \frac { \partial ^ { 2 } { \overline { { u _ { i } } } } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } } .
A _ { k } ^ { i } \left. \left| 0 \right\rangle \! \right\rangle = B _ { m } ^ { j } \left. \left| 0 \right\rangle \! \right\rangle = \tilde { A } _ { k } ^ { i } \left. \left| 0 \right\rangle \! \right\rangle = \tilde { B } _ { m } ^ { j } \left. \left| 0 \right\rangle \! \right\rangle = 0 .
{ \cal H } = \left( \begin{array} { c c c } { { \omega _ { b } - \frac { i } { 2 } \gamma _ { b } } } & { { \Omega _ { N } } } & { { 0 } } \\ { { \Omega _ { N } } } & { { \omega _ { c } - \frac { i } { 2 } \gamma _ { c } } } & { { \kappa } } \\ { { 0 } } & { { \kappa } } & { { \omega _ { a } - \frac { i } { 2 } \gamma _ { a } } } \end{array} \right) .
\frac { w } { w _ { f } } \simeq \sqrt { 1 - 2 S _ { f } ( \cos \theta _ { f } - \cos \theta ) \left[ ( \mu B _ { f } + u _ { f } ) ^ { 2 } \frac { r } { R } - \frac { Z e } { m } \phi _ { c } \right] } .
\overline { { { | { \cal A } | } } } ^ { 2 } = \frac { 2 7 \pi ^ { 2 } \alpha _ { s } ^ { 3 } ( 4 \pi ) ^ { 3 } } { 1 6 } \frac { s ^ { 2 } } { k _ { t } ^ { 2 } } ( 1 - \frac { k _ { T } ^ { 2 } } { M _ { X } ^ { 2 } } ) ^ { 2 } | { \cal I } | ^ { 2 } .
{ \cal E } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d u \int _ { - \pi } ^ { \pi } d \phi \ u \left\{ \left[ b - b _ { \mathrm { e x t } } \right] ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \kappa ^ { 2 } f ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 } \kappa ^ { 2 } \right\} .
\mathbb { E } \left[ \mathbf { f } _ { b } \mathbf { f } _ { b } ^ { \mathsf { ^ { * } T } } \right] = \frac { 4 E ( \omega ) d \omega } { \pi \omega n ( \omega ) } \mathrm { ~ I ~ m ~ } ( \mathbf { D } _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ r ~ } } ( \omega ) )
{ \frac { k _ { 0 } } { k ^ { 2 } } } ( k _ { 0 } \Sigma _ { 0 } - 1 ) = { \frac { 1 } { 3 } } \ { \displaystyle { \frac { k _ { 0 } } { k _ { 0 } d _ { 1 } ( 1 - { \displaystyle { \frac { k ^ { 2 } \ { b _ { 1 } ^ { ( 0 ) } } ^ { 2 } } { d _ { 1 } d _ { 2 } \ X _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } } ) - { \frac { k ^ { 2 } } { 3 } } } } } }