harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
S _ { B } : \begin{array} { l l l l l l } { { \frac { \partial \tilde { m } _ { s } } { \partial B _ { i j } } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 2 } \tilde { m } ^ { i j } \ , \quad } } & { { \frac { \partial \tilde { m } ^ { i j } } { \partial B _ { k l } } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 2 } \tilde { m } ^ { s i j k l } \ , \quad } } \\ { { \frac { \partial \tilde { m } ^ { s i j k l } } { \partial B _ { m n } } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 2 } \tilde { m } ^ { s ; s i j k l m n } \ , \quad } } & { { \frac { \partial \tilde { m } ^ { s ; s i j k l m n } } { \partial B _ { p q } } } } & { { = } } & { { 0 \ , \quad } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ( A ^ { U } , E ^ { U } ) } & { = \omega ( A , E ) + \mathbb { d } \int _ { \Sigma } \mathbf { t r } \big ( \mathsf { G } \mathbb { d } U U ^ { - 1 } ) + } \\ & { \qquad + \mathbb { d } \int _ { S _ { \mathrm { f i n } } } \mathbf { t r } \big ( E ^ { \mathrm { f i n } } \mathbb { d } U ^ { \mathrm { f i n } } ( U ^ { \mathrm { f i n } } ) ^ { - 1 } \big ) - \mathbb { d } \int _ { S _ { \mathrm { i n } } } \mathbf { t r } \big ( E ^ { \mathrm { i n } } \mathbb { d } U ^ { \mathrm { i n } } ( U ^ { \mathrm { i n } } ) ^ { - 1 } \big ) . } \end{array}
\left[ \frac { \partial } { \partial z } - \frac { i } { 2 k _ { \mathcal { P } } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } \right) \right] \mathcal { P } = - \frac { \kappa _ { \mathcal { P } } } { 2 } \mathcal { P } .
\begin{array} { r l } { \iint _ { \Sigma } ( \nabla \times \mathbf { A } ) \cdot d \mathbf { a } } & { { } = \iint _ { \Sigma } { \Bigg ( } \left( { \frac { \partial R } { \partial y } } - { \frac { \partial Q } { \partial z } } \right) \, d y \, d z + \left( { \frac { \partial P } { \partial z } } - { \frac { \partial R } { \partial x } } \right) \, d z \, d x + \left( { \frac { \partial Q } { \partial x } } - { \frac { \partial P } { \partial y } } \right) \, d x \, d y { \Bigg ) } } \end{array}
\mathbf { A } : \mathbf { B } = \sum _ { i } \sum _ { j } A _ { i j } { \overline { { B _ { i j } } } } = \mathrm { t r } ( \mathbf { B } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { A } ) = \mathrm { t r } ( \mathbf { A } \mathbf { B } ^ { \mathrm { H } } ) .
N _ { \alpha } ^ { B } ( z ) = e ^ { i \alpha \phi ( z ) } \qquad N _ { \alpha } ^ { F } ( z ) = \psi ( z ) e ^ { i \alpha \phi ( z ) } \qquad R _ { \alpha } ^ { \pm } ( z ) = \sigma ^ { \pm } ( z ) e ^ { i \alpha \phi ( z ) }
\begin{array} { r l } { Y ^ { ( k ) } ( x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \int _ { 0 } ^ { x } Y ^ { ( k ) } ( s ) q ( s ) y _ { 0 } ^ { 2 } ( s ) d s , } & { \mathrm { ~ i f ~ } k \mathrm { ~ i s ~ e v e n } , } \\ { \int _ { 0 } ^ { x } \frac { Y ^ { ( k ) } ( s ) } { y _ { 0 } ^ { 2 } ( s ) } d s , } & { \mathrm { ~ i f ~ } k \mathrm { ~ i s ~ o d d } , } \end{array} \right. } \\ { \tilde { Y } ^ { ( k ) } ( x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \int _ { 0 } ^ { x } \tilde { Y } ^ { ( k ) } ( s ) q ( s ) y _ { 0 } ^ { 2 } ( s ) d s , } & { \mathrm { ~ i f ~ } k \mathrm { ~ i s ~ o d d } , } \\ { \int _ { 0 } ^ { x } \frac { \tilde { Y } ^ { ( k ) } ( s ) } { y _ { 0 } ^ { 2 } ( s ) } d s , } & { \mathrm { ~ i f ~ } k \mathrm { ~ i s ~ e v e n } . } \end{array} \right. } \end{array}
\mathsf { o c } _ { 1 } ( \alpha ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \cal O } \left( \frac { M _ { c } } { \varepsilon ^ { 2 } } + \frac { M _ { v } } { \operatorname* { m i n } \{ { \tau , \kappa \alpha \} ^ { 2 } } } \right) , } & { \mathrm { f o r ~ t h e ~ n o n - c o n v e x ~ c a s e , } } \\ { { \cal O } \left( \frac { M _ { c } } { \varepsilon } + \frac { M _ { v } } { \operatorname* { m i n } \{ { \tau , \kappa \alpha \} ^ { 2 } } } \right) , } & { \mathrm { f o r ~ t h e ~ s t r o n g l y ~ c o n v e x ~ c a s e . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \langle C _ { \Delta } \rangle } & { = \frac { 1 } { N - \Delta } \sum _ { i = 1 } ^ { N - \Delta } \langle \vec { V } _ { i } \cdot \vec { V } _ { i + \Delta } \rangle } \\ & { = \widetilde { C } _ { \Delta } + \frac { 2 s ^ { 2 } } { \Delta t ^ { 2 } } \left( 2 \delta _ { \Delta , 0 } - \delta _ { \Delta , 1 } - \delta _ { \Delta , - 1 } \right) . } \end{array}
\left. \frac { \partial \phi } { \partial x } \right| _ { i + \frac { 1 } { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \left( \left. \frac { \partial \phi } { \partial x } \right| _ { i } + \left. \frac { \partial \phi } { \partial x } \right| _ { i + 1 } \right) + \frac { \alpha } { 2 \Delta x } \left( \phi _ { R } - \phi _ { L } \right) ,
\Omega _ { 2 } L _ { 3 } ^ { 2 } + \Omega _ { 3 } L _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \Omega _ { 1 } L _ { 2 } L _ { 3 } = \Omega _ { 2 } ^ { 4 } \Omega _ { 3 } + \Omega _ { 2 } \Omega _ { 3 } ^ { 2 } \big ( \Omega _ { 3 } ^ { 2 } - 2 \Omega _ { 1 } \Omega _ { 2 } \big ) .
\begin{array} { r l } { g ( \alpha , m ) = } & { \, ( 2 \alpha ^ { 4 } + 6 \alpha ^ { 3 } - 9 \alpha ^ { 2 } + 1 ) m ^ { 3 } + ( 8 \alpha ^ { 4 } + 9 \alpha ^ { 3 } - 3 4 \alpha ^ { 2 } + \alpha ) m ^ { 2 } - 2 ( 3 5 \alpha ^ { 4 } + 1 5 4 \alpha ^ { 3 } - 1 3 5 \alpha ^ { 2 } } \\ & { + 2 0 \alpha + 1 4 ) m - 4 ( 7 5 \alpha ^ { 4 } - 7 9 \alpha ^ { 3 } + 1 3 7 \alpha ^ { 2 } - 2 1 \alpha - 1 6 ) < 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { L } ( \varphi ( \eta , t ) ) ( \eta , t ) : = \frac { 1 - \gamma } { 2 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } K _ { \epsilon , R } ^ { n } ( \eta , \eta ^ { \prime } ) \xi _ { R } ( v + v ^ { \prime } ) \chi _ { \varphi } ( \eta , \eta ^ { \prime } , t ) ( g _ { 1 } ( \eta ^ { \prime } , t ) + g _ { 2 } ( \eta ^ { \prime } , t ) ) \textup { d } \eta ^ { \prime } . } \end{array}
= Z _ { \phi } ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } \phi _ { R } \bar { \delta } ^ { 4 } ( p ) + Z _ { h } ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } \tilde { h } _ { R } ( p ) = \phi _ { B } \bar { \delta } ^ { 4 } ( p ) + \tilde { h } _ { B } ( p ) = \tilde { \Phi } _ { B } ( p ) .
e ^ { \textstyle - J \alpha _ { - } \Phi ( \sigma , \tau ) } = c _ { J } \sum _ { m = - J } ^ { J } \, { \frac { ( - 1 ) ^ { J - m } \, \lambda _ { m } ^ { ( J ) } ( \varpi ) } { \sqrt { \lfloor \varpi \rfloor } \sqrt { \lfloor \varpi + 2 m \rfloor } } } \psi _ { m } ^ { ( J ) } ( x _ { + } ) \, { \overline { { \psi } } _ { m } ^ { ( J ) } } ( x _ { - } )
\begin{array} { r l } { J _ { c } ^ { * } } & { = J _ { c } ( z ) , } \\ & { = \mathbb { E \, } _ { W ^ { \prime } } \mathbb { E \, } _ { W ^ { \prime \prime } } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { T } \ell _ { k } \left( x _ { k } ^ { \prime \prime } , \kappa ^ { * } \left( x _ { k } ^ { \prime } \right) \right) \right) , } \\ & { = \left( \sum _ { k = 0 } ^ { N } \ell _ { k } \left( x _ { k } ^ { \prime } , \kappa ^ { * } \left( x _ { k } ^ { \prime } \right) \right) \right) , } \\ & { = J _ { d e s } ( z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { x } g \left[ \frac { 1 } { 2 } \partial _ { x } p \; g ^ { 2 } + A \left( g + \frac { 1 } { \beta } \right) \right] + \partial _ { t } g + g \left[ \frac { 1 } { 6 } \partial _ { x } ^ { 2 } p \; g ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { x } A \; g + \frac { 1 } { \beta } \partial _ { x } A \right] = 0 . } \end{array}
\mathcal { L } = \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \int _ { 0 } ^ { D } \frac { 1 } { D } \sqrt { \sum _ { B \in \{ N , P , Z , D I C , T A \} } \frac { 1 } { \sigma _ { B } } | B ^ { p r e d } ( z , T _ { i } ) - B ^ { t r u e } ( z , T _ { i } ) | } d z
\begin{array} { r } { W _ { l l ^ { \prime } } \approx l ^ { \prime } \left( 1 + \bar { n } _ { e } \right) \delta _ { l + 1 , l ^ { \prime } } + ( l ^ { \prime } + 1 ) \bar { n } _ { e } \delta _ { l - 1 , l ^ { \prime } } } \end{array}
\boldsymbol { \nu } _ { v _ { j } \to c _ { p } } = \frac { \boldsymbol { \alpha } _ { j } ( h ) \ensuremath { \mathbf { e } } _ { h } \circ \left( \operatorname * { \bigcirc } _ { c _ { \xi } \in N ( v _ { j } ) \setminus c _ { p } } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \xi } \to v _ { j } } \right) } { \left\langle \boldsymbol { \alpha } _ { j } , \operatorname * { \bigcirc } _ { c _ { \xi } \in N ( v _ { j } ) \setminus c _ { p } } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \xi } \to v _ { j } } \right\rangle } .
m ^ { 2 } = \Lambda ^ { 2 } \left[ \exp \left( \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { f ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) R \lambda _ { 0 } } - \gamma \right) + O \left( \frac { m ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { L = p _ { \phi } } & { { } = m r ^ { 2 } { \frac { d \varphi } { d \tau } } \, , } \\ { E = - p _ { t } } & { { } = m c ^ { 2 } \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } \right) { \frac { d t } { d \tau } } \, . } \end{array}
p _ { \mathrm { H } _ { 2 } \mathrm { O } } ( T ) = p _ { \mathrm { r e f } } \exp { \left( - \frac { L _ { \mathrm { H } _ { 2 } \mathrm { O } } } { R } \left( \frac { 1 } { T } - \frac { 1 } { T _ { \mathrm { r e f } } } \right) \right) } ,
\begin{array} { r } { C = M + B A ^ { - 1 } B \; , \quad F = Z + B A ^ { - 1 } H \; , } \\ { K _ { p } = \partial _ { p } K _ { 0 } + \partial _ { e } K _ { 0 } A ^ { - 1 } B \; , \quad K _ { \varphi } = \partial _ { \varphi } K _ { 0 } - \partial _ { e } K _ { 0 } A ^ { - 1 } H \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M ( w _ { 1 } , A _ { 1 } , w _ { 2 } , A _ { 2 } , w _ { 3 } ) = } & { M ( w _ { 1 } , \mathcal { X } _ { 1 2 } [ A _ { 1 } ] M ( w _ { 2 } ) A _ { 2 } , w _ { 3 } ) } \\ & { + \sum _ { \sigma } \sigma M ( w _ { 1 } , \mathcal { X } _ { 1 2 } [ A _ { 1 } ] M ( w _ { 2 } ) E _ { \sigma } , w _ { 3 } ) \langle M ( w _ { 2 } , A _ { 2 } , w _ { 3 } ) E _ { \sigma } \rangle \, . } \end{array}
\mathbb { E } ^ { s } = \mathbb { X } ^ { s } \times \mathbb { W } _ { 1 + s } \times \mathbb { R } \index { \textbf { F u n c t i o n s p a c e s } ! 5 0 @ \mathbb { E } ^ { s } } \quad \mathrm { a n d } \quad \mathbb { F } ^ { s } = \mathbb { Y } ^ { s } \times \mathbb { W } _ { 1 + s } \times \mathbb { R } \index { \textbf { F u n c t i o n s p a c e s } ! 6 0 @ \mathbb { F } ^ { s } }
V = \frac 1 2 \lambda ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \left( | \phi _ { - } | ^ { 2 } + | \phi _ { + } | ^ { 2 } \right) + \lambda ^ { 2 } | \phi _ { + } \phi _ { - } | ^ { 2 } + { \frac { g ^ { 2 } } { 2 } } \left( | \phi _ { + } | ^ { 2 } - | \phi _ { - } | ^ { 2 } + \xi \right) ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r } { P ( Y = 1 ) = \left\{ \begin{array} { r l r } & { 0 . 5 + \Delta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } & { \mathrm { i f } \ X _ { 1 } = X _ { 2 } = \cdots = X _ { n } = 0 } \\ & { 0 . 5 + 2 \Delta \ \ \ } & { \mathrm { i f } \ X _ { j } = b _ { j } \ \mathrm { f o r ~ a l l } \ 1 \le j \le n } \\ & { 0 . 5 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { F W M } } } & { { } = - \frac { \gamma _ { S I P _ { 1 } P _ { 2 } } \, \hbar ^ { 2 } \, \omega _ { S I P _ { 1 } P _ { 2 } } } { 4 \pi ^ { 2 } } \int \! \! \mathrm { d } x \, \mathrm { d } \omega _ { 1 } \, \mathrm { d } \omega _ { 2 } \, \mathrm { d } \omega _ { 3 } \, \mathrm { d } \omega _ { 4 } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } - \omega _ { 3 } - \omega _ { 4 } ) t } } \end{array}
S = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \left\{ { \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { N } } } { \cal R } - \frac { 1 } { 2 } g ^ { \mu \nu } G _ { I J } ( \phi ^ { K } ) \partial _ { \mu } \phi ^ { I } \partial _ { \nu } \phi ^ { J } - V ( \phi ^ { K } ) \right\} ,
\left\{ \begin{array} { r l } { \rho \big ( \, \mathbf P \partial ^ { \circ } \mathbf u _ { T } + w _ { N } \mathbf H \mathbf u _ { T } + ( \nabla _ { \Gamma } \mathbf u _ { T } ) \mathbf u _ { T } \big ) - 2 \mu \mathbf P { \mathop { \, \mathrm { d i v } } } _ { \Gamma } E _ { s } ( \mathbf u _ { T } ) + \nabla _ { \Gamma } p } & { = \mathbf f } \\ { { \mathop { \, \mathrm { d i v } } } _ { \Gamma } \mathbf u _ { T } } & { = f } \end{array} \right. \quad \mathrm { o n } ~ \Gamma ( t ) ,
\begin{array} { r } { \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 3 } } J _ { 2 } P _ { 2 0 } ( \cos \theta ) \lesssim 6 . 8 6 \times 1 0 ^ { - 1 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { \lambda , \nu } ( \xi ; U ) = \left( \begin{array} { c c c c c c c c } { \xi \cdot v } & { \xi _ { 1 } \rho } & { \xi _ { 2 } \rho } & { \xi _ { 3 } \rho } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \xi _ { 1 } p _ { \rho } } & { \rho \xi \cdot v } & { 0 } & { 0 } & { \xi _ { 1 } p _ { \theta } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \xi _ { 2 } p _ { \rho } } & { 0 } & { \rho \xi \cdot v } & { 0 } & { \xi _ { 2 } p _ { \theta } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \xi _ { 3 } p _ { \rho } } & { 0 } & { 0 } & { \rho \xi \cdot v } & { \xi _ { 3 } p _ { \theta } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \xi _ { 1 } \theta p _ { \theta } } & { \xi _ { 2 } \theta p _ { \theta } } & { \xi _ { 3 } \theta p _ { \theta } } & { \rho e _ { \theta } \xi \cdot v } & { \xi _ { 1 } } & { \xi _ { 2 } } & { \xi _ { 3 } } \\ { 0 } & { } & { } & { } & { \xi _ { 1 } \kappa } & { \tau \xi \cdot v } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { } & { \tau \mathcal { Q } _ { \lambda , \nu } ( \xi ; q ) } & { } & { \xi _ { 2 } \kappa } & { 0 } & { \tau \xi \cdot v } & { 0 } \\ { 0 } & { } & { } & { } & { \xi _ { 3 } \kappa } & { 0 } & { 0 } & { \tau \xi \cdot v } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { \sum _ { j _ { 1 } , \dots j _ { \mathbf { m } } } \sum _ { \gamma \in S _ { m _ { 1 } } \times \dots \times S _ { m _ { l } } } ( B _ { 1 } ) _ { j _ { \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( 1 ) } } ^ { j _ { 1 } } \dots ( B _ { 1 } ) _ { j _ { \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( m _ { 1 } ) } } ^ { j _ { m _ { 1 } } } \dots } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \dots \times ( B _ { l } ) _ { j _ { \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( \mathbf { m } - m _ { l } ) } } ^ { j _ { ( \mathbf { m } - m _ { l } ) } } \cdots ( B _ { l } ) _ { j _ { \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( \mathbf { m } ) } } ^ { j _ { ( \mathbf { m } ) } } } \end{array}
\hat { v } = \left( \frac { 3 R } { 2 r } - \frac { R ^ { 3 } } { 2 r ^ { 3 } } \right) \cos { \theta } \hat { r } - \left( \frac { 3 R } { 4 r } + \frac { R ^ { 3 } } { 4 r ^ { 3 } } \right) \sin { \theta } \hat { \theta } \, ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \Delta W + k _ { + } ^ { 2 } W = 0 , \mathrm { ~ i n ~ } U _ { 0 } , } \\ { \Delta W + k _ { - } ^ { 2 } W = 0 , \mathrm { ~ i n ~ } \mathbb { R } \backslash ( \overline { { U } } _ { 0 } \cap \Gamma ) , } \\ { W _ { + } = W _ { - } , \partial _ { 2 } W \left| _ { + } = \partial _ { 2 } W \right| _ { - } \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 0 } } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { \left[ { \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} } \right] _ { f , t } } & { = [ x ^ { k - 1 } ] ( x ) _ { n , f , t } } \\ & { = f ( n - 1 ) t ^ { 1 - n } \left[ { \begin{array} { l } { n - 1 } \\ { k } \end{array} } \right] _ { f , t } + \left[ { \begin{array} { l } { n - 1 } \\ { k - 1 } \end{array} } \right] _ { f , t } + \delta _ { n , 0 } \delta _ { k , 0 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { ( ( p _ { 0 } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } + | \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { 0 } ^ { ( n ) } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 ( ( p _ { 0 } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } } \\ { + } & { | \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { 0 } ^ { ( n ) } | ^ { 2 } ) p _ { 0 } ^ { ( n ) } ( p _ { 0 } - p _ { 0 } ^ { ( n ) } ) - ( p _ { 0 } ^ { 2 } - | \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { 0 } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \\ { + } & { 4 ( ( p _ { 0 } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } + | \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { 0 } ^ { ( n ) } | ^ { 2 } ) ( \mathcal R ( \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { 0 } ^ { ( n ) } \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { 0 } ) - | \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { 0 } ^ { ( n ) } | ^ { 2 } ) } \\ { \geq } & { ( \beta _ { k } + \eta _ { k } ) ^ { 2 } - ( \beta _ { k } ^ { ( n ) } - \eta _ { k } ^ { ( n ) } ) ( \beta _ { k } - \eta _ { k } ) + ( \beta _ { k } ^ { ( n ) } - \eta _ { k } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } , } \end{array}
J _ { \mu } = \frac { \partial \sigma } { \partial X ^ { \mu } } = i \sum _ { \bf K } { \bf K } _ { \mu } \left( \sigma _ { \bf K } ( t ) e ^ { i ( { \bf K } \cdot { \bf X } ) } - \sigma _ { \bf K } ^ { \star } ( t ) e ^ { - i ( { \bf K } \cdot { \bf X } ) } \right)
\begin{array} { r } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { \langle \nu \rangle \langle \tilde { \nu } \rangle } { \langle p \rangle ^ { d + 1 } \langle p - q \rangle ^ { d + 1 } | \frac { 1 } { 2 } p ^ { 2 } + \nu + i \zeta | | \frac { 1 } { 2 } ( p - q ) ^ { 2 } + \tilde { \nu } + i \zeta | } \, d p \leq \frac { C \log ( \zeta ) ^ { 2 } } { | q | } . } \end{array}
F ( x , \sigma ) = \i \kappa [ ( \alpha _ { A } \beta ^ { A } + x \alpha _ { A } \acute { \alpha } ^ { A } ) \bar { \alpha } ^ { B ^ { \prime } } \bar { w } _ { B ^ { \prime } } ( x , \sigma ) - \alpha ^ { A } w _ { A } ( x , \sigma ) ( \bar { \alpha } _ { B ^ { \prime } } \bar { \beta } ^ { B ^ { \prime } } + x \bar { \alpha } _ { B ^ { \prime } } \acute { \bar { \alpha } } ^ { B ^ { \prime } } ) ] .
v _ { t } = 0 . 1 0 0 1 v _ { x x } + 0 . 1 0 0 1 v _ { y y } + 1 . 0 0 0 1 v - 0 . 9 9 9 6 u v ^ { 2 } - { 0 . 9 9 9 6 u } ^ { 3 } - 1 . 0 0 0 1 v ^ { 3 } - 1 . 0 0 0 1 u ^ { 2 } v
\begin{array} { r l r } { \xi \left( x _ { 0 } , y \right) } & { { } \simeq } & { h ( y ) + \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( x _ { 0 } ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \frac { x ^ { \prime } } { \sqrt { f ( x ^ { \prime } ) + g ( y ) } } - 1 \right) d x ^ { \prime } } \end{array}
\tilde { g } ^ { - 1 } \ = \ \frac 1 f \left( \begin{array} { l l } { \partial _ { y } ^ { 2 } \psi } & { - \partial _ { x } \partial _ { y } \psi } \\ { - \partial _ { x } \partial _ { y } \psi } & { \partial _ { x } ^ { 2 } \psi } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathrm { i } \hbar \frac { \partial } { \partial t } L _ { i j k l } ( t , t ^ { \prime } ) } & { { } = \big [ h ^ { \mathrm { H F } } , L \big ] _ { i j k l } ^ { ( 1 ) } ( t , t ^ { \prime } ) + \pi _ { i j k l } ^ { ( 1 ) } ( t , t ^ { \prime } ) \, , \; } \\ { \mathrm { i } \hbar \frac { \partial } { \partial t ^ { \prime } } L _ { i j k l } ( t , t ^ { \prime } ) } & { { } = \big [ h ^ { \mathrm { H F } } , L \big ] _ { i j k l } ^ { ( 2 ) } ( t , t ^ { \prime } ) + \pi _ { i j k l } ^ { ( 2 ) } ( t , t ^ { \prime } ) \, , \; \: } \end{array}
\frac { ( \boldsymbol { q } + \boldsymbol { q } ^ { \prime } + \boldsymbol { G } ) ( \boldsymbol { q } + \boldsymbol { q } ^ { \prime } + \boldsymbol { G } ) } { | ( \boldsymbol { q } + \boldsymbol { q } ^ { \prime } + \boldsymbol { G } ) | ^ { 2 } } \sim 1
\begin{array} { r l r } { \tilde { \ell } _ { 2 } ( \boldsymbol { z } ) } & { = } & { ( \boldsymbol { f } , \boldsymbol { z } ) - ( \nabla \times \boldsymbol { z } , \boldsymbol { p } _ { h } ) - ( \kappa \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } , \boldsymbol { z } ) } \\ & { = } & { ( \boldsymbol { f } , \boldsymbol { z } ) - ( \nabla \times \boldsymbol { z } , \boldsymbol { p } _ { h } ) - ( \kappa \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { z } ) + ( \kappa ( \boldsymbol { u } _ { h } - \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } ) , \boldsymbol { z } ) } \\ & { \leq } & { \bigg ( \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } h _ { \tau } ^ { 2 } \| R _ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { p } _ { h } ) \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } + \sum _ { f \in \mathcal { F } _ { h } } h _ { f } \| J _ { 1 } ( \boldsymbol { p } _ { h } ) \| _ { 0 , f } ^ { 2 } \bigg . } \\ { \bigg . } & { } & { + \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } \| \kappa \| _ { 0 , \infty } \| \boldsymbol { u } _ { h } - \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } \bigg ) ^ { 1 / 2 } \| \boldsymbol { v } \| _ { c u r l , \mathcal { T } _ { h } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial ( f _ { 1 } + g _ { 1 } ) } { \partial q _ { 1 } } = 0 , \ \ \frac { \partial ( f _ { 1 } + g _ { 1 } ) } { \partial q _ { 2 } } = n _ { x } , \ \ \frac { \partial ( f _ { 1 } + g _ { 1 } ) } { \partial q _ { 3 } } = n _ { y } , \ \ \frac { \partial ( f _ { 1 } + g _ { 1 } ) } { \partial q _ { 4 } } = 0 , } \\ & { \frac { \partial ( f _ { 2 } + g _ { 2 } ) } { \partial q _ { 1 } } = \left[ \frac { ( \gamma - 3 ) } { 2 } u ^ { 2 } + \frac { ( \gamma - 1 ) } { 2 } v ^ { 2 } \right] n _ { x } - u v n _ { y } , \ \ \frac { \partial ( f _ { 2 } + g _ { 2 } ) } { \partial q _ { 2 } } = ( 3 - \gamma ) u n _ { x } + v n _ { y } , } \\ & { \frac { \partial ( f _ { 2 } + g _ { 2 } ) } { \partial q _ { 3 } } = ( 1 - \gamma ) v n _ { x } + u n _ { y } , \ \ \frac { \partial ( f _ { 2 } + g _ { 2 } ) } { \partial q _ { 4 } } = ( \gamma - 1 ) n _ { x } , } \\ & { \frac { \partial ( f _ { 3 } + g _ { 3 } ) } { \partial q _ { 1 } } = - u v n _ { x } + \left[ \frac { ( \gamma - 3 ) } { 2 } v ^ { 2 } + \frac { \gamma - 1 } { 2 } u ^ { 2 } \right] n _ { y } , } \\ & { \frac { \partial ( f _ { 3 } + g _ { 3 } ) } { \partial q _ { 2 } } = v n _ { x } - ( \gamma - 1 ) u n _ { y } , \ \ \frac { \partial ( f _ { 3 } + g _ { 3 } ) } { \partial q _ { 3 } } = u n _ { x } + ( 3 - \gamma ) v n _ { y } , \ \ \frac { \partial ( f _ { 3 } + g _ { 3 } ) } { \partial q _ { 4 } } = ( \gamma - 1 ) n _ { y } , } \\ & { \frac { \partial ( f _ { 4 } + g _ { 4 } ) } { \partial q _ { 1 } } = \left[ - \gamma \frac { u e } { \rho } + ( \gamma - 1 ) u ^ { 3 } + ( \gamma - 1 ) u v ^ { 2 } \right] n _ { x } + \left[ - \gamma \frac { v e } { \rho } + ( \gamma - 1 ) u ^ { 2 } v + ( \gamma - 1 ) v ^ { 3 } \right] n _ { y } , } \\ & { \frac { \partial ( f _ { 4 } + g _ { 4 } ) } { \partial q _ { 2 } } = \left[ \gamma \frac { e } { \rho } - \frac { 3 } { 2 } ( \gamma - 1 ) u ^ { 2 } - ( \gamma - 1 ) \frac { v ^ { 2 } } { 2 } \right] n _ { x } + ( 1 - \gamma ) u v n _ { y } , } \\ & { \frac { \partial ( f _ { 4 } + g _ { 4 } ) } { \partial q _ { 3 } } = ( 1 - \gamma ) u v n _ { x } + \left[ \gamma \frac { e } { \rho } - ( \gamma - 1 ) \frac { u ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 3 } { 2 } ( \gamma - 1 ) v ^ { 2 } \right] n _ { y } , } \\ & { \frac { \partial ( f _ { 4 } + g _ { 4 } ) } { \partial q _ { 4 } } = \gamma u n _ { x } + \gamma v n _ { y } . } \end{array}
c _ { j } ( \alpha ) = \left\{ \begin{array} { r c l } { \frac { ( j - 1 - \alpha ) } { j } c _ { j - 1 } ( \alpha ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { j > 1 } \\ { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { j = 1 } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \langle j ^ { \prime } | \left( | 0 0 \rangle \sum _ { i \in [ m ] } \sqrt { w _ { i j } } | i \rangle + | 0 1 \rangle | g \rangle \right) ^ { * } \left( | 0 0 \rangle \sum _ { i \in [ m ] } \sqrt { w _ { i j } } | i \rangle + | 1 0 \rangle | g \rangle \right) | j \rangle } \\ { = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { i \in [ m ] } w _ { i j } = \frac { [ \mathbf { A } ^ { \top } x ] _ { j } } { \beta } } & { j = j ^ { \prime } } \\ { 0 } & { j \neq j ^ { \prime } } \end{array} \right. . } \end{array}
A _ { \pm } ( p ^ { 2 } , q ^ { 2 } ; k ^ { 2 } ) = G ( k ^ { 2 } ) \, \frac { 1 } { 2 } \, \left( \frac { G ( q ^ { 2 } ) } { G ( p ^ { 2 } ) Z ( p ^ { 2 } ) } \pm \frac { G ( p ^ { 2 } ) } { G ( q ^ { 2 } ) Z ( q ^ { 2 } ) } \right) \quad .
\mathrm { B i a s } = \left[ 1 0 ^ { \mu \left( \log _ { 1 0 } { { X _ { \mathrm { ~ H ~ I ~ } } ^ { \mathrm { ~ P ~ r ~ e ~ d ~ } } | \log _ { 1 0 } { X _ { \mathrm { ~ H ~ I ~ } } ^ { \mathrm { ~ T ~ r ~ u ~ e ~ } } } } } \right) } - X _ { \mathrm { ~ H ~ I ~ } } ^ { \mathrm { ~ T ~ r ~ u ~ e ~ } } \right] \frac { 1 } { X _ { \mathrm { ~ H ~ I ~ } } ^ { \mathrm { ~ T ~ r ~ u ~ e ~ } } } ,
{ \cal M } _ { 2 } = \pm \, \frac { e G _ { v } } { \sqrt 2 } \, \epsilon _ { \mu } \, H _ { \lambda } \, \frac { 1 } { 2 l \cdot k } \, { { \overline { { u } } } _ { l } \, \gamma _ { \mu } \, { \rlap / k } \, O _ { \lambda } \, v _ { \nu } \brace { \overline { { u } } } _ { \nu } \, O _ { \lambda } \, { \rlap / k } \, \gamma _ { \mu } \, v _ { l } }