harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
f _ { k } ( x ) = 1 - { \frac { x ^ { 2 } } { k } } + { \frac { x ^ { 4 } } { 2 ! k ( k + 1 ) } } - { \frac { x ^ { 6 } } { 3 ! k ( k + 1 ) ( k + 2 ) } } + \cdots \quad ( k \notin \{ 0 , - 1 , - 2 , \ldots \} ) .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \| \tilde { v } _ { t } \| ^ { 2 } + \frac 1 2 \| \tilde { v } _ { x t } \| ^ { 2 } \le \big ( | \beta _ { 1 } ^ { \prime \prime } | + | \beta _ { 2 } ^ { \prime \prime } | \big ) \| \tilde { v } _ { t } \| ^ { 2 } + C \big ( } & { \| \tilde { u } _ { x x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { u } _ { x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { v } _ { x x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { v } _ { x } \| ^ { 2 } + | \alpha ^ { \prime } | } \\ & { + | \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } | + | \beta _ { 1 } ^ { \prime } | + | \beta _ { 2 } ^ { \prime } | + | \beta _ { 1 } ^ { \prime \prime } | + | \beta _ { 2 } ^ { \prime \prime } | \big ) . } \end{array}
{ \mathcal { F } } _ { m } ^ { ( L ) } = ( - 1 ) ^ { m + 1 } \sqrt { 2 L + 1 } \sum _ { \mu = - 1 } ^ { 1 } \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 1 } & { L } \\ { \mu } & { m - \mu } & { - m } \end{array} \right) \mathcal { E } _ { \mu } ^ { \ast } \mathcal { E } _ { m - \mu } ,
\begin{array} { r l } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \delta ( i ) ( 1 - T _ { i , i } ) = \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \mu \frac { 1 - q _ { i + L } } { 1 - q _ { i } } + \nu \frac { 1 - q _ { i - 1 } } { 1 - q _ { i } } = \mu + \nu } \\ { \operatorname* { l i m } _ { i \to - \infty } \delta ( i ) ( 1 - T _ { i , i } ) = \mu \alpha ^ { L } + \nu \alpha ^ { - 1 } = \mu + \nu + d } \end{array} \right. } \\ { \Rightarrow } & { \operatorname* { i n f } _ { i \in \mathbb { Z } } \{ \delta ( i ) ( 1 - T _ { i , i } ) \} > 0 . } \end{array}
\left\lvert \nabla _ { x } \left( \frac { \lambda _ { i } ( x , v ) } { \lambda ( x , v ) } \right) \right\rvert = \left\lvert \frac { \nabla _ { x } \lambda _ { i } ( x , v ) } { \lambda ( x , v ) } - \frac { \lambda _ { i } ( x , v ) \nabla _ { x } \lambda ( x , v ) } { \lambda ( x , v ) ^ { 2 } } \right\rvert \leq \left\lvert \frac { \nabla _ { x } \lambda _ { i } ( x , v ) } { \lambda ( x , v ) } \right\rvert + \sum _ { j = 1 } ^ { d } \left\lvert \frac { \nabla _ { x } \lambda _ { j } ( x , v ) } { \lambda ( x , v ) } \right\rvert .
\begin{array} { r l } { u \cdot \nabla u = \widehat { n } \, \big ( } & { u _ { \sigma } \partial _ { \sigma } u _ { \sigma } + u _ { \bot } \cdot J ^ { - 1 } ( \nabla _ { \! \bot } u _ { \sigma } + K u _ { \bot } ) \big ) + u _ { \sigma } \partial _ { \sigma } u _ { \bot } + u _ { \bot } \cdot J ^ { - 1 } ( \nabla _ { \! \bot } u _ { \bot } - K u _ { \sigma } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { \mathrm { i s o } } } & { = \frac { a } { 2 b } \mathrm { e } ^ { b ( I _ { 1 } - 3 ) } \mathrm { , } } \\ { W _ { \mathrm { a n i s o } } } & { = \sum _ { i = \mathrm { f } , \mathrm { s } } \frac { a _ { i } } { 2 b _ { i } } \left( \mathrm { e } ^ { b _ { i } ( I _ { 4 i } - 1 ) ^ { 2 } } - 1 \right) + \frac { a _ { \mathrm { f s } } } { 2 b _ { \mathrm { f s } } } \left( \mathrm { e } ^ { b _ { \mathrm { f s } } I _ { 8 \mathrm { f s } } } - 1 \right) \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { i } ^ { n + 1 } } & { = q _ { i - 1 } ^ { n } \frac { U ( x _ { i - \frac 1 2 } ) \frac { \Delta t } { \Delta x } } { L _ { i - 1 } } + q _ { i } ^ { n } \frac { 1 - U ( x _ { i - \frac 1 2 } ) \frac { \Delta t } { \Delta x } } { L _ { i } } } \\ & { = q _ { i } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Delta x } \left( q _ { i } ^ { n } \frac { U ( x _ { i + \frac 1 2 } ) } { L _ { i } } - q _ { i - 1 } ^ { n } \frac { U ( x _ { i - \frac 1 2 } ) } { L _ { i - 1 } } \right) } \end{array}
{ \frac { 1 } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } = \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } { \frac { 4 \pi } { 2 \ell + 1 } } \sum _ { m = - \ell } ^ { \ell } ( - 1 ) ^ { m } { \frac { r _ { \scriptscriptstyle < } ^ { \ell } } { r _ { \scriptscriptstyle > } ^ { \ell + 1 } } } Y _ { \ell } ^ { - m } ( \theta , \varphi ) Y _ { \ell } ^ { m } ( \theta ^ { \prime } , \varphi ^ { \prime } ) .
\zeta _ { 0 } ( \nu ) = - { \frac { \varrho ^ { - 2 \nu } } { 2 \pi } } \sum _ { \omega } \int _ { C _ { + } } d z ( z ^ { 2 } + \breve { \omega } ^ { 2 } ( z ) ) ^ { - \nu } e ^ { i \epsilon z } ,
\begin{array} { r l } { Y _ { \ell m } } & { { } = { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \frac { i } { \sqrt { 2 } } } \left( Y _ { \ell } ^ { m } - ( - 1 ) ^ { m } \, Y _ { \ell } ^ { - m } \right) } & { { \mathrm { i f } } \ m < 0 } \\ { \displaystyle Y _ { \ell } ^ { 0 } } & { { \mathrm { i f } } \ m = 0 } \\ { \displaystyle { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( Y _ { \ell } ^ { - m } + ( - 1 ) ^ { m } \, Y _ { \ell } ^ { m } \right) } & { { \mathrm { i f } } \ m > 0 . } \end{array} \right. } } \end{array}
\left[ { \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } } + m ^ { 2 } \right] \phi _ { \mathrm { c l } } ( t ) + { \frac { 1 } { 3 ! } } \lambda \phi _ { \mathrm { c l } } ^ { 3 } ( t ) = 0 \, ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { s u r f a c e ~ t e n s i o n : } \ \gamma = 2 . 8 4 \times 1 0 ^ { - 2 } k g / s ^ { 2 } ; } \\ & { \mathrm { d e n s i t i e s : } \ \rho _ { 1 } = \rho _ { 2 } = 4 2 9 . 7 k g / m ^ { 3 } ; \ ( \mathrm { a m b i e n t ~ f l u i d } \ \rho _ { 1 } , \ \mathrm { d r o p } \ \rho _ { 2 } ) } \\ & { \mathrm { d y n a m i c ~ v i s c o s i t i e s : } } \\ { t e x t { ( a m b i e n t f l u i d ) } \ \mu _ { 1 } = 1 2 . 0 4 8 \times 1 0 ^ { - 4 } k g / ( m \cdot s ) , \quad \mathrm { ( d r o p ) } \ \mu _ { 2 } = 2 \mu _ { 1 } ; } \\ & { \mathrm { p e r m i t t i v i t i e s : } \ \mathrm { ( a m b i e n t ~ f l u i d ) } \ \epsilon _ { 1 } = \epsilon _ { 0 } = 8 . 8 5 4 \times 1 0 ^ { - 1 2 } F / m , \quad \mathrm { ( d r o p ) } \ \epsilon _ { 2 } = 8 . 1 \epsilon _ { 0 } ; } \\ & { \mathrm { m o d e l ~ p a r a m e t e r s : } } \\ { e t a = 0 . 0 1 L _ { 0 } , \quad \lambda = \frac { 3 } { 2 \sqrt { 2 } } \gamma \eta , \quad \gamma _ { 1 } = 5 \times 1 0 ^ { - 6 } \frac { L _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { 1 } } , \quad \Delta t = 1 \times 1 0 ^ { - 6 } \frac { L _ { 0 } ^ { 2 } \mu _ { 1 } } { \epsilon _ { 0 } V _ { 0 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\zeta ( s ) = { \frac { s } { s - 1 } } - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \bigl ( } \zeta ( s + n ) - 1 { \bigr ) } { \frac { s ( s + 1 ) \cdots ( s + n - 1 ) } { ( n + 1 ) ! } } .
E x p \left\{ - \frac { 1 } { 2 } t r l n [ ( g s { \bf F } ) ^ { - 1 } S i n ( g s { \bf F } ) ] \right\} = \frac { g ^ { 2 } s ^ { 2 } { \cal F } _ { 2 } } { \Im C o s h ( g s X ) }
\operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \left( \mathbf { M } ( \boldsymbol { z } _ { 0 } , t ) ^ { \mathrm { T } } \mathbf { M } ( \boldsymbol { z } _ { 0 } , t ) \right) ^ { 1 / 2 t } = \mathbf { \Lambda } ( \boldsymbol { z } _ { 0 } ) ,
\Sigma _ { 7 } = \frac { 6 4 } { \pi ^ { 4 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \left( \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sigma _ { n , m , l } ^ { ( 7 ) } \right) ^ { 2 }
e \Phi _ { \mathrm { s h } } ( t = 0 ) = - \frac { T _ { e 0 } } { 2 } \ln \left[ \frac { 2 \pi m _ { e } } { m _ { i } } ( 1 + \frac { T _ { i 0 } } { T _ { e 0 } } ) \right] .
\begin{array} { r } { \mathbb { P } _ { \mathcal { G } } \{ | S _ { i } ^ { \mathcal { G } , n } ( t ) - \mathbf { x } _ { i } ^ { \mathcal { G } , n } | \ge \varepsilon \} \le 2 \exp \bigg \{ - \frac { ( t \varepsilon - 2 \| g _ { i } ^ { \mathcal { G } , n } \| _ { s } ) ^ { 2 } } { 2 t \| g _ { i } ^ { \mathcal { G } , n } \| _ { s } ^ { 2 } } \bigg \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { h t } ^ { t ^ { 2 } } \frac { f ( x ) } { x ^ { 1 + s } } \mathrm { d } x \right| } & { = \left| \int _ { h t } ^ { t ^ { 2 } } \frac { f ( x ) \cos ( t \log x ) + i f ( x ) \sin ( t \log x ) } { x ^ { 1 + \sigma } } \mathrm { d } x \right| } \\ & { \le \frac { 4 \sqrt { 2 } h ^ { 1 - \sigma } } { t ^ { 1 + \sigma } } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 h } \cot \left( \frac { 1 } { 2 h } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \hat { \lambda } \times \ell ) \circ \hat { \lambda } } & { = ( \xi \circ \pi \circ \xi \circ \pi , \lambda \circ \xi \circ \pi , \ell \circ \lambda ) } \\ & { = ( \xi \circ \pi , T . ( \xi \circ \pi ) \circ \lambda , T . \lambda \circ \lambda ) } \\ & { = ( \pi _ { 0 } , T . ( \xi \circ \pi ) \circ \pi _ { 1 } , T . \lambda \circ \pi _ { 1 } ) \circ ( \xi \circ \pi , \lambda ) } \\ & { = ( i d \times T ( \hat { \lambda } ) ) \circ \hat { \lambda } . } \end{array}
U _ { n o } ( R ) \, { \mathbf { F } } _ { \alpha ; k l } ( x ) \, U _ { n o } ( R ) ^ { \dagger } = { \mathbf { F } } _ { \alpha ; k l } \bigl ( R ^ { - 1 } x \bigr ) = R ^ { - 1 } { \mathbf { F } } _ { \alpha ; k l } ( x ) ,
V ( M _ { X } ) = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 . 9 7 5 4 } } & { { 0 . 2 2 0 5 } } & { { - 0 . 0 0 2 6 i } } \\ { { - 0 . 2 2 0 3 e ^ { + 0 . 0 3 ^ { \circ } i } } } & { { 0 . 9 7 4 9 } } & { { 0 . 0 3 1 8 } } \\ { { 0 . 0 0 7 5 e ^ { - 1 9 ^ { \circ } i } } } & { { - 0 . 0 3 1 1 e ^ { + 1 . 0 ^ { \circ } i } } } & { { 0 . 9 9 9 5 } } \end{array} \right) \ \ ,
\mathrm { P f a f f i a n } \left( { \frac { x _ { i } - x _ { j } } { 1 - x _ { i } x _ { j } } } \right) _ { 1 \le i , j \le N } = \prod _ { 1 \le i < j \le N } { \frac { x _ { i } - x _ { j } } { 1 - x _ { i } x _ { j } } }
g _ { \mu \nu } \lesssim N _ { \mu } N _ { \nu } \frac { \pi ^ { 3 } \nu _ { l _ { \mu \nu } } ( \theta _ { \mu \nu \omega } , R ) } { \alpha _ { \mu } ^ { l + 3 / 2 } \alpha _ { \nu } ^ { l _ { \nu } + 3 / 2 } } .
\begin{array} { r l } { \| u _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } & { = \int _ { B _ { \varepsilon } ( 0 ) } | \mathcal { F } _ { h } { u } _ { h } ( \xi ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi + \int _ { ( - \pi / h , \pi / h ) ^ { d } \setminus B _ { \varepsilon } ( 0 ) } | \mathcal { F } _ { h } { u } _ { h } ( \xi ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { = : I _ { 1 } + I _ { 2 } , } \end{array}
\epsilon ^ { f _ { p } \ldots f _ { 1 } f } ( \Gamma _ { \{ f _ { 1 } \} \ldots \{ f _ { p } \} } C ^ { - { 1 } } ) _ { { b a } } = - i ^ { { { \frac { p ( p - 1 ) } { 2 } } } } p ! ( \Gamma ^ { \{ f \} } C ^ { - { 1 } } \Gamma ^ { \prime } ) _ { a } ^ { c }
\begin{array} { r l r } { D ( p | | q ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \ln \left[ \frac { 4 \alpha \beta - \delta ^ { 2 } } { 4 \alpha ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } \beta ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } } \right] - ( \alpha - \alpha ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } ) \sigma _ { x x } ^ { f } - ( \beta - \beta ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } ) \sigma _ { v v } ^ { f } - \delta \sigma _ { x v } ^ { f } \, , } \end{array}
v _ { 1 } ^ { n } = \displaystyle { \sum _ { i = 1 } ^ { r + l } \alpha _ { n } ^ { i } e _ { i } ( m ) } \underset { n \to + \infty } { \longrightarrow } v _ { 1 } \quad \mathrm { a n d } \quad v _ { 2 } ^ { n } = \displaystyle { \sum _ { i = 1 } ^ { r + l } \beta _ { n } ^ { i } e _ { i } ( m ) } \underset { n \to + \infty } { \longrightarrow } v _ { 2 }
= \frac 1 2 \otimes \underbrace { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } _ { \in \mathfrak g } + \frac { 1 } { 2 y } \otimes \underbrace { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { y } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { y } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } _ { \in \mathfrak g }
\begin{array} { r l r } { C ( x , t ) } & { = } & { e r f \left( { \frac { x } { 2 \sqrt { D t } } } \right) , } \\ { C ( x , t ) } & { = } & { \left( \frac { \kappa _ { 1 } x } { t ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 D t } } , } \\ { C ( x , t ) } & { = } & { \left( \frac { \kappa _ { 1 } x } { t ^ { \frac { 5 } { 2 } } } \right) e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 D t } } \left( 1 - \frac { x ^ { 2 } } { 6 D t } \right) , } \\ { C ( x , t ) } & { = } & { \left( \frac { \kappa _ { 1 } x } { t ^ { \frac { 7 } { 2 } } } \right) e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 D t } } \left( 1 - \frac { x ^ { 2 } } { 3 D t } + \frac { x ^ { 4 } } { 6 0 ( D t ) ^ { 2 } } \right) , } \\ { C ( x , t ) } & { = } & { \left( \frac { \kappa _ { 1 } x } { t ^ { \frac { 9 } { 2 } } } \right) e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 D t } } \left( 1 - \frac { x ^ { 2 } } { 2 D t } + \frac { x ^ { 4 } } { 2 0 ( D t ) ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 6 } } { 8 4 0 ( D t ) ^ { 3 } } \right) , } \end{array}
\frac { \partial E } { \partial { \boldsymbol { \ell } _ { 1 } } } = K \left( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ^ { 2 } - \boldsymbol { \ell } _ { 2 } \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \cdot \boldsymbol { \ell } _ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } & { \psi _ { 2 , 2 , 2 } \le C \left( \| q _ { 0 } \| _ { H ^ { 2 r - 1 } ( \Omega ) } + \| f \| _ { H ^ { 2 r - 3 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } \right) + \sum _ { i \ge r } \frac { ( i + 1 ) ^ { r } } { ( i + 1 ) ! } \epsilon ^ { i } \bar { \epsilon } \| t ^ { i + 1 - r } \partial _ { t } ^ { i } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { + C \sqrt { 2 ^ { r - 1 } } \sum _ { i \ge r } \frac { ( i + 2 ) ^ { r } } { ( i + 2 ) ! } \epsilon ^ { i } \bar { \epsilon } ^ { 2 } \| t ^ { i + 2 - r } \partial _ { t } ^ { i } \bar { \partial } \bar { \partial } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } + C \sqrt { 2 ^ { r - 1 } } \sum _ { i \ge r } \frac { i ^ { r } } { i ! } \epsilon ^ { i } \| t ^ { i - r } \partial _ { t } ^ { i } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \le C \| q _ { 0 } \| _ { H ^ { 2 r - 1 } ( \Omega ) } + C \| f \| _ { H ^ { 2 r - 3 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } + C 2 ^ { r - 1 } \bar { \epsilon } T \psi _ { 2 , 2 , 3 } + C \sqrt { 2 ^ { r - 1 } } \psi _ { 2 , 2 , 1 } + C \sqrt { 2 ^ { r - 1 } } \psi _ { 2 , 2 , 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { P Z } } [ n ^ { \alpha } , n ^ { \beta } ] = E _ { \mathrm { K S } } [ n ^ { \alpha } , n ^ { \beta } ] - \sum _ { \sigma } \sum _ { i } ^ { N ^ { \sigma } } E _ { \mathrm { S I } } [ n _ { i } ^ { \sigma } ] . } \end{array}
P _ { e e } ^ { 3 \nu } ( \mathrm { \small ~ M S W } ) \simeq \cos ^ { 4 } { \varphi } \left( P _ { e e } ^ { 2 \nu } \right) _ { v \to v \cos ^ { 2 } \varphi } + \sin ^ { 4 } { \varphi } \ ,
\begin{array} { r l r } { C ( t , t ^ { \prime } ) } & { { } = } & { \left. \left< \hat { \mathcal P } _ { 1 , 2 } ( t ) \hat { \mathcal P } _ { 1 , 2 } ( t ^ { \prime } ) \right> \right| _ { \Omega _ { p } = 0 } } \end{array}
\epsilon _ { k } \left| \left\langle k _ { z } - k _ { 0 } , e _ { k } \right\rangle \right| ^ { 2 } = \epsilon _ { k } \left| \left\langle k _ { z } , e _ { k } \right\rangle \right| ^ { 2 } = \epsilon _ { k } \left| z ^ { \alpha ( k ) } \right| ^ { 2 } < \epsilon _ { k } \rho ^ { 2 | \alpha ( k ) | } \leq | \alpha ( k ) | \epsilon _ { k } \rho ^ { 2 | \alpha ( k ) | }
R ( u _ { 1 } - u _ { 2 } ) t _ { b } ^ { c } ( u _ { 1 } ) \otimes t _ { a } ^ { b } ( u _ { 2 } ) = \sum _ { d } W \left( \left. \begin{array} { c c } { { c } } & { { d } } \\ { { b } } & { { a } } \end{array} \right| u _ { 1 } - u _ { 2 } \right) t _ { a } ^ { d } ( u _ { 1 } ) \otimes t _ { d } ^ { c } ( u _ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { H _ { e f f } = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 N } \hbar \omega _ { 0 } b _ { j } ^ { \dag } b _ { j } ^ { \vphantom { \dag } } - i \hbar \Gamma _ { 0 } \sum _ { j , l = 1 } ^ { 2 N } b _ { j } ^ { \dag } b _ { l } e ^ { i \varphi | z _ { l } - z _ { j } | / d } . } \end{array}
\frac { b ^ { \ast } \, w } { f ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \, \frac { k _ { + 1 } ^ { 2 } k _ { + 2 } } { k _ { - 1 } ^ { 2 } k _ { - 2 } } \, \frac { k _ { + 2 } + k _ { - 1 } } { 2 \, k _ { + 2 } + k _ { - 1 } } .
\begin{array} { r l } { \left[ \partial _ { t } ( \sqrt { n } ) + \partial _ { x } ( \sqrt { n } \, v _ { x } ) + \frac { \nu e } { 4 \pi \hbar } E _ { x } \right] \bigg | _ { y = 0 } } & { { } = 0 \, . } \end{array}
T _ { \textrm { C } } = \frac { 1 } { \rho _ { \textrm { H C } } ^ { + } + \rho _ { \textrm { H C } } ^ { - } } \left( \overline { { \rho ^ { + } T _ { \textrm { o u t } } ^ { + } } } + \overline { { \rho ^ { - } T _ { \textrm { o u t } } ^ { - } } } + \frac { \dot { Q } _ { \textrm { J } } + \dot { Q } _ { \textrm { r } } } { Q c _ { p } } \right)
\begin{array} { r l } { \langle c _ { m } ( t ) c _ { n } ( t ) \rangle } & { = \langle D ^ { 2 } \lambda _ { m } ^ { 1 / 4 } \lambda _ { n } ^ { 1 / 4 } e ^ { - C ( \lambda _ { m } + \lambda _ { n } ) t } } \\ & { \times \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { C \lambda _ { m } s + C \lambda _ { n } \tau } d _ { m } ( s ) d _ { n } ( \tau ) d s d \tau \rangle } \\ & { = \frac { D ^ { 2 } \lambda _ { m } ^ { 1 / 4 } \lambda _ { n } ^ { 1 / 4 } } { L _ { x } } e ^ { - C ( \lambda _ { m } + \lambda _ { n } ) t } } \\ & { \times \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { C ( \lambda _ { m } + \lambda _ { n } ) \tau } \delta _ { m n } d \tau } \\ & { = \frac { D ^ { 2 } \lambda _ { m } ^ { 1 / 4 } \lambda _ { n } ^ { 1 / 4 } ( 1 - e ^ { - C ( \lambda _ { m } + \lambda _ { n } ) t } ) } { L _ { x } C ( \lambda _ { m } + \lambda _ { n } ) } \delta _ { m n } , } \end{array}
\displaystyle \int _ { \partial \mathcal { M } } d ^ { 3 } \sigma \sqrt { h } n _ { \mu } T ^ { \mu \nu } \xi _ { \mu } = \frac { 1 } { 2 } \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } d t a ( t ) t \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } d \rho \rho \Phi ^ { \prime } ( \rho ) \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } d z \Lambda ( z )
\begin{array} { r l } { \chi _ { \alpha \beta \gamma } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 3 } ; \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) } & { = \frac { - i e ^ { 3 } } { m ^ { 3 } \Tilde { \omega } _ { 3 } \Tilde { \omega } _ { 1 } \Tilde { \omega } _ { 2 } } \sum _ { S S ^ { \prime } } \Bigg [ \frac { \alpha _ { 0 S } \beta _ { S S ^ { \prime } } \gamma _ { S ^ { \prime } 0 } } { ( \Tilde { \omega } _ { 2 } - \Omega _ { S ^ { \prime } } ) ( \Tilde { \omega } _ { 3 } - \Omega _ { S } ) } + \frac { \beta _ { 0 S } \gamma _ { S S ^ { \prime } } \alpha _ { S ^ { \prime } 0 } } { ( \Tilde { \omega } _ { 1 } + \Omega _ { S } ) ( \Tilde { \omega } _ { 3 } + \Omega _ { S ^ { \prime } } ) } - \frac { \gamma _ { 0 S } \alpha _ { S S ^ { \prime } } \beta _ { S ^ { \prime } 0 } } { ( \Tilde { \omega } _ { 1 } - \Omega _ { S ^ { \prime } } ) ( \Tilde { \omega } _ { 2 } + \Omega _ { S } ) } } \\ { + } & { \frac { \alpha _ { 0 S } \gamma _ { S S ^ { \prime } } \beta _ { S ^ { \prime } 0 } } { ( \Tilde { \omega } _ { 1 } - \Omega _ { S ^ { \prime } } ) ( \Tilde { \omega } _ { 3 } - \Omega _ { S } ) } + \frac { \gamma _ { 0 S } \beta _ { S S ^ { \prime } } \alpha _ { S ^ { \prime } 0 } } { ( \Tilde { \omega } _ { 2 } + \Omega _ { S } ) ( \Tilde { \omega } _ { 3 } + \Omega _ { S ^ { \prime } } ) } - \frac { \beta _ { 0 S } \alpha _ { S S ^ { \prime } } \gamma _ { S ^ { \prime } 0 } } { ( \Tilde { \omega } _ { 2 } - \Omega _ { S ^ { \prime } } ) ( \Tilde { \omega } _ { 1 } + \Omega _ { S } ) } \Bigg ] } \end{array}
\frac { 1 } { q ^ { 3 } } T r _ { q } ( \Omega ^ { 2 } ) \; = \; \left( q ^ { - 1 } \Omega _ { + } \Omega _ { - } + q \Omega _ { - } \Omega _ { + } \right) + \frac { \Omega _ { 0 } ^ { \; 2 } + H ^ { 2 } } { q + q ^ { - 1 } } \; ,
G _ { p + 2 , \, q } ^ { \, m , \, n + 1 } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \alpha , \mathbf { a _ { p } } , \alpha ^ { \prime } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z \right) = ( - 1 ) ^ { \alpha ^ { \prime } - \alpha } \; G _ { p + 2 , \, q } ^ { \, m , \, n + 1 } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \alpha ^ { \prime } , \mathbf { a _ { p } } , \alpha } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z \right) , \quad n \leq p , \; \alpha ^ { \prime } - \alpha \in \mathbb { Z } ,
E _ { \mathrm { ~ P ~ V ~ } } ( s ) = E _ { \mathrm { ~ S ~ u ~ n ~ } } \cdot P _ { \mathrm { ~ M ~ P ~ P ~ } } \cdot ( 1 - \xi _ { \mathrm { ~ A ~ b ~ r ~ a ~ s ~ i ~ o ~ n ~ } } ) ^ { s - t - 1 }
\begin{array} { r l r } & { \partial _ { t } u _ { n } = \gamma \mathcal { P } _ { n } ( u _ { n } ) \partial _ { x } ^ { 2 } u _ { n } + g _ { 0 } u _ { n } , } & { \mathrm { i n ~ } \Omega } \\ & { u _ { n } ( x , t ) = 0 , } & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega } \\ & { u _ { n } ( x , 0 ) = \varphi _ { 0 } ( x ) , } & { \mathrm { i n ~ } \Omega } \end{array}
G _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ) \geq \frac { C _ { 0 } } { | x - y | ^ { n - 2 s } } , \qquad \forall \, \, x , y \in \mathcal { C } _ { 0 , \Sigma _ { 2 } } \, \, \, \mathrm { w i t h } \, \, | x | , \, | y | > R _ { 0 } , \, \, \frac { \sigma _ { 1 } ( 5 \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 1 } ) } { 4 \sigma _ { 2 } } \leq \frac { | x - y | } { | x | } \leq \frac { 3 \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 1 } } { 4 } .
L = ( 1 / 2 ) ( ( \partial \phi ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } ) + ( 1 / 2 ) ( ( \partial \chi ) ^ { 2 } + M ^ { 2 } \chi ^ { 2 } ) + \lambda _ { R } \phi ^ { 4 } + g _ { R } \chi ^ { 4 } + k _ { R } \phi ^ { 2 } \chi ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \langle \mathcal { W } \rangle \geq \frac { \sigma _ { \alpha } ^ { 2 } } { 1 + \sigma _ { \alpha } ^ { 2 } } + \frac { \sigma _ { \beta } ^ { 2 } } { 1 + \sigma _ { \beta } ^ { 2 } } \; . } \end{array}
\boldsymbol { \mathbf { E } } ^ { n + 1 } = \boldsymbol { \mathbf { E } } ^ { n } + \frac { \boldsymbol { \triangle } t } { \varepsilon _ { 0 } } \, \nabla \times \boldsymbol { \mathbf { H } } ^ { n + 1 / 2 } - \frac { 1 } { \varepsilon _ { 0 } } \left( \boldsymbol { \mathbf { P } } ^ { n + 1 } - \boldsymbol { \mathbf { P } } ^ { n } \right) .
\begin{array} { r } { \mathscr { K } _ { 1 } ( \theta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \delta _ { 1 } } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; \; \theta \leq \frac { \delta _ { 1 } } { N _ { 1 } } \, , } \\ { N _ { 0 } } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; \; \theta \geq \frac { 2 \delta _ { 1 } } { N _ { 1 } } \, , } \\ { \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ } } & { \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } \, , } \end{array} \right. } \end{array}
\epsilon ^ { 2 } \frac { \partial ( \rho ^ { \sigma } u _ { \alpha } ^ { \sigma } ) } { \partial t _ { 2 } } + \epsilon ^ { 2 } \frac { \partial M _ { 2 , \alpha \beta } ( f ^ { \sigma , ( 1 ) } ) } { \partial r _ { 1 \beta } } = 0 ,
\begin{array} { r } { \operatorname { \mathbb P } ( \mathcal { A } ) = \operatorname { \mathbb P } ( \mathcal { A } \mathcal { B } ) + \operatorname { \mathbb P } ( \mathcal { A } \mathcal { B } ^ { c } ) \le \operatorname { \mathbb P } ( \mathcal { A } \mathcal { C } ) + \operatorname { \mathbb P } ( \mathcal { B } ^ { c } ) \le \operatorname { \mathbb P } ( \mathcal { C } ) + \operatorname { \mathbb P } ( \mathcal { B } ^ { c } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { E } _ { T } } & { { } \leq 2 \left( \mathsf { E } _ { 0 } + \mathsf { E } _ { 0 } ^ { 3 / 2 } \right) + 2 C t \left( \mathsf { E } _ { T } ^ { 3 / 2 } + \mathsf { E } _ { T } \right) , } \end{array}
\hat { R } d K _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { R } K _ { 1 } = K _ { 1 } \hat { R } d K _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { R } ^ { - 1 } \; , \quad \hat { R } d K _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { R } d K _ { 1 } ^ { \dagger } = - d K _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { R } d K _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { R } ^ { - 1 } \; .
{ \partial _ { t } } = \varepsilon { \partial _ { t 1 } } + { \varepsilon ^ { 2 } } { \partial _ { t 2 } } \mathrm { { + } } . . . , { \bf { D } } \mathrm { { = } } \varepsilon { { \bf { D } } _ { 1 } } , { \bf { m } } = { { \bf { m } } ^ { e q } } + \varepsilon { { \bf { m } } ^ { ( 1 ) } } + { \varepsilon ^ { 2 } } { { \bf { m } } ^ { ( 2 ) } } + . . . , { \bf { \tilde { F } } } = \varepsilon { { \bf { \tilde { F } } } ^ { ( 1 ) } } ,
\mathbb { P } ( | V - v | > t ) \leq \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \exp \bigl ( - \frac { C _ { 1 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } t ^ { 2 } \bigr ) , } & { \mathrm { w h e n ~ } x _ { n } \| \theta \| _ { 1 } \leq t \leq \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } , } \\ { 2 \exp \bigl ( - C _ { 2 } t \bigr ) , } & { \mathrm { w h e n ~ } t > \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } . } \end{array} \right.
\Lambda = { \left( \begin{array} { l l l l } { \gamma } & { - \beta \gamma } & { 0 } & { 0 } \\ { - \beta \gamma } & { \gamma } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) }