harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathrm { ( I ) } } & { = \| \frac { h \dot { f } ( t ) } { h \dot { f } ( t ) + r ( h ) } \cdot \dot { \gamma } \left( f ( t ) \right) \| _ { \gamma ( f ( t ) ) } ^ { 2 } + \| \dot { \gamma } \left( f ( t ) \right) \| _ { \gamma ( f ( t ) ) } ^ { 2 } - 2 \Big \langle \frac { h \dot { f } ( t ) } { h \dot { f } ( t ) + r ( h ) } \cdot \dot { \gamma } \left( f ( t ) \right) , \dot { \gamma } ( f ( t ) ) \Big \rangle _ { \gamma ( f ( t ) ) } } \\ & { = \left( 1 - \frac { h \dot { f } ( t ) } { h \dot { f } ( t ) + r ( h ) } \right) ^ { 2 } \| \dot { \gamma } \left( f ( t ) \right) \| _ { \gamma ( f ( t ) ) } ^ { 2 } \quad \to 0 \quad \mathrm { ~ a s ~ } h \to 0 + . } \end{array}
N _ { \mathrm { t o t a l } } f _ { \mathrm { P } } ^ { - 1 } = ( 2 i _ { \mathrm { m a i n } } + N _ { \mathrm { m a i n } } ) f _ { \mathrm { P } } ^ { - 1 } \approx 5 0 ~ \mathrm { s }
\operatorname { e s s \, s u p p } ( f ) : = X \setminus \bigcup \left\{ \Omega \subset X \mid \Omega { \mathrm { ~ i s ~ o p e n ~ a n d ~ } } f = 0 \, \mu { \mathrm { - a l m o s t ~ e v e r y w h e r e ~ i n ~ } } \Omega \right\} .
1 \equiv \int [ d \delta e ] e ^ { - | \delta e | ^ { 2 } / 2 } = J _ { \partial M } ( \hat { e } ) \int [ d \delta f ] _ { \hat { g } } [ d \delta \rho ] _ { { \hat { g } } e ^ { \phi } } e ^ { - | \delta e | ^ { 2 } / 2 } \quad ,
\begin{array} { r } { ( p + \alpha _ { 1 } p _ { * 2 } + \alpha _ { 2 } p _ { * 1 } ) ( p + \langle \alpha _ { k } p _ { * k } \rangle ) } \\ { = p ^ { 2 } + ( p _ { * 1 } + p _ { * 2 } ) p + ( \alpha _ { 1 } p _ { * 2 } + \alpha _ { 2 } p _ { * 1 } ) \langle \alpha _ { k } p _ { * k } \rangle , } \\ { \alpha _ { 1 } p _ { * 2 } + \alpha _ { 2 } p _ { * 1 } ) \langle \alpha _ { k } p _ { * k } \rangle - p _ { * 1 } p _ { * 2 } } \\ { = \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } ( p _ { * 1 } ^ { 2 } + p _ { * 2 } ^ { 2 } ) + ( \alpha _ { 1 } ^ { 2 } + \alpha _ { 2 } ^ { 2 } - ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) ^ { 2 } ) p _ { * 1 } p _ { * 2 } } \\ { = \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } ( p _ { * 1 } - p _ { * 2 } ) ^ { 2 } . } \end{array}
d { \cal L } _ { 2 } \vert _ { \Psi _ { - } ^ { I } = 0 } = - 2 i E _ { \dot { q } } ^ { - } \wedge E _ { \dot { q } } ^ { - } \wedge E ^ { + + } + { \frac { 1 } { 2 } } E ^ { i } \wedge ( E ^ { \mp \mp } \wedge \Omega ^ { \pm \pm i } - 4 i E _ { q } ^ { + } \wedge E _ { \dot { q } } ^ { - } \gamma _ { q \dot { q } } ^ { i } )
{ \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - x } \, \ln \! \left( 1 + { \frac { 2 } { x } } \right) < E _ { 1 } ( x ) < e ^ { - x } \, \ln \! \left( 1 + { \frac { 1 } { x } } \right) \qquad x > 0
S = \int d t \int d ^ { 2 } x \left[ \frac { \dot { A } _ { i } ^ { 2 } } { 2 \rho _ { 0 } } - B \partial _ { 0 } \tilde { \mu } + \frac { k } { 2 \rho _ { 0 } } \epsilon ^ { i j } A _ { i } \dot { A } _ { j } \right] \; ,
\begin{array} { r l } { L _ { 0 } } & { { } = \frac { \pi \mu _ { 0 } n ^ { 2 } } { 4 l } \Big [ 4 r _ { 2 } ^ { 2 } + r _ { 1 } ^ { 2 } \Big ( \frac { r _ { 1 } \omega _ { 0 } } { c _ { 1 } } \Big ) ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } \Big ( 1 - \Big ( \frac { r _ { 1 } } { r _ { 2 } } \Big ) ^ { 4 } \Big ) \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 2 } } \Big ) ^ { 2 } } \end{array}
W ( \delta { \mathcal F } _ { e } , \delta { \mathcal F } _ { i } ) = \frac { 1 } { 2 } \int \mathrm { ~ d ~ } x \mathrm { ~ d ~ } y \left( \sum _ { s } \left( \tau _ { s } \rho _ { s } ^ { 2 } n _ { s } ^ { 2 } + \sigma _ { s } d _ { i } ^ { 2 } u _ { s } ^ { 2 } + \frac { \tau _ { s } \beta _ { e } } { 2 } \frac { 1 } { n _ { 0 } } \int \mathrm { ~ d ~ } \hat { \mathcal { W } } \hat { \mathcal { F } } _ { { e q } _ { s } } \mathcal { J } _ { 0 s } { h _ { s } ^ { \prime } } ^ { 2 } \right) + | \nabla _ { \perp } A _ { \parallel } | ^ { 2 } + d _ { i } ^ { 2 } | B _ { \parallel } ^ { 2 } | \right) .
\hat { V } _ { \mathrm { C K M } } = \left( \begin{array} { c c c } { { c _ { 1 2 } c _ { 1 3 } } } & { { s _ { 1 2 } c _ { 1 3 } } } & { { s _ { 1 3 } e ^ { - i \delta _ { 1 3 } } } } \\ { { - s _ { 1 2 } c _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { 1 3 } } } } & { { c _ { 1 2 } c _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { 1 3 } } } } & { { s _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } } \\ { { s _ { 1 2 } s _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { 1 3 } } } } & { { - c _ { 1 2 } s _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { 1 3 } } } } & { { c _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \nabla } \cdot \hat { \vec { B } } } & { { } = 0 } \\ { \tilde { \nabla } \cdot \hat { \vec { E } } } & { { } = \underbrace { \int \sum _ { \alpha } \frac { \Pi _ { 2 } \cdot \Pi _ { 3 \alpha } } { \Pi _ { 4 \alpha } } \operatorname { d } ^ { 3 } \tilde { \vec { p } } } _ { = 0 \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } t = 0 } } \\ { \tilde { \nabla } \times \hat { \vec { E } } } & { { } = - \frac { \Pi _ { 2 } } { \Pi _ { 1 } } \frac { \partial \hat { \vec { B } } } { \partial \tilde { t } } } \\ { \tilde { \nabla } \times \hat { \vec { B } } } & { { } = \frac { \Pi _ { 2 } } { \Pi _ { 1 } } \frac { \partial \hat { \vec { E } } } { \partial \tilde { t } } + \int \sum _ { \alpha } \frac { 4 \pi \Pi _ { 2 } \Pi _ { 3 \alpha } \tilde { \vec { p } } } { \sqrt { \tilde { p } ^ { 2 } \Pi _ { 4 \alpha } ^ { 2 } + 1 } } \hat { f } _ { \alpha } \operatorname { d } ^ { 3 } \tilde { \vec { p } } } \\ { 0 } & { { } = \frac { 1 } { \Pi _ { 1 } } \frac { \partial \hat { f } _ { \alpha } } { \partial \tilde { t } } + \frac { 1 } { \Pi _ { 2 } } \frac { \Pi _ { 4 \alpha } \tilde { \vec { p } } } { \sqrt { \tilde { p } ^ { 2 } \Pi _ { 4 \alpha } ^ { 2 } + 1 } } \frac { \partial \hat { f } _ { \alpha } } { \partial \tilde { \vec { r } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } ( L I S ( \sigma | _ { \mathcal { T } _ { s , 2 } } ) \geq 2 \sqrt { 2 C _ { 0 } ^ { \prime } } L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) } \\ & { \leq } & { \exp ( - c L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) + C L \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) \leq C L \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) . } \end{array}
\frac { \partial \varepsilon ( T ) } { \partial t } = { \sum _ { g = 1 } ^ { G } \bigg ( \int _ { 4 \pi } I _ { g } d \Omega - B _ { g } ( T ) \bigg ) \varkappa _ { g } ( T ) } , \quad T | _ { t = 0 } = T ^ { 0 } \, ,
\begin{array} { r l } { R ( X , Y ) Z } & { { } = u \left( 2 \Omega \left( \pi ^ { - 1 } ( X ) , \pi ^ { - 1 } ( Y ) \right) \right) \left( u ^ { - 1 } ( Z ) \right) , } \\ { T ( X , Y ) } & { { } = u \left( 2 \Theta \left( \pi ^ { - 1 } ( X ) , \pi ^ { - 1 } ( Y ) \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s = } & { { } D ( x _ { t + \Delta t } , x _ { t } | \theta _ { D } ) } \\ { \tilde { s } = } & { { } D ( \tilde { x } _ { t + \Delta t } , x _ { t } | \theta _ { D } ) = D ( G ( x _ { t } , z | \theta _ { G } ) , x _ { t } | \theta _ { D } ) } \end{array}
\| u \| _ { H _ { \mathrm { b } , h } ^ { s } ( \bar { X } ) } ^ { 2 } : = \sum _ { \substack { 1 \leq i _ { 1 } , \ldots , i _ { j } \leq N \, 0 \leq j \leq k } } \Vert ( h V _ { i _ { 1 } } ) \cdots ( h V _ { i _ { j } } ) u \Vert _ { L ^ { 2 } ( \bar { X } ) } ^ { 2 } , \quad \| u \| _ { H _ { \mathrm { b } , h } ^ { k , \ell } ( \bar { X } ) } : = \| \rho ^ { - \ell } u \| _ { H _ { \mathrm { b } , h } ^ { k } ( \bar { X } ) } ,
\begin{array} { r l } { \nu _ { 3 } ( g ) } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) W _ { 3 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , 0 ) \, d x _ { 1 } d x _ { 2 } } \\ & { = 2 + \widehat g ( 0 ) + 6 \int _ { 0 } ^ { 1 } \widehat g ( x , 0 ) ( x - 1 ) \, d x - 1 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { - x _ { 2 } } ^ { 0 } \widehat g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) x _ { 2 } \, d x _ { 1 } d x _ { 2 } . } \end{array}
\zeta _ { D } ( s , r , \theta ) = \frac { 1 } { 2 } \zeta ( s , r ) + \frac { 1 } { 8 \sqrt \pi \alpha ( r \sin ( p \theta ) ) ^ { 3 - 2 s } } \frac { \Gamma ( 3 / 2 - s ) } { \Gamma ( s ) } \, { . }
\begin{array} { r l } { \mathcal { P I F } _ { \beta } ( \boldsymbol { y } ; \boldsymbol { \theta } _ { 0 } , \boldsymbol { \delta } ) } & { = 2 \nu _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } , \boldsymbol { \delta } ) \boldsymbol { \delta } ^ { T } \mathcal { I F } \left( \boldsymbol { y } , \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \right) } \\ & { \times \left[ Q _ { \frac { r } { 2 } + 1 } ( \nu _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } , \boldsymbol { \delta } ) , \chi _ { r , \alpha } ^ { 2 } ) - Q _ { \frac { r } { 2 } } ( \nu _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } , \boldsymbol { \delta } ) , \chi _ { r , \alpha } ^ { 2 } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta S _ { - } ^ { \phi } } & { { } = } & { \left[ \frac { \partial S _ { - } ^ { \phi } } { \partial x _ { s } } \right] _ { \overline { { x } } _ { s \, } } \delta x _ { s } + \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \partial ^ { 2 } S _ { - } ^ { \phi } } { \partial x _ { s } ^ { 2 } } \right] _ { \overline { { x } } _ { s \, } } \left( \delta x _ { s } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\check { \Sigma } = \left( \begin{array} { l l l l l } { \check { \Sigma } _ { 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { } & { } \\ { 0 } & { \check { \Sigma } _ { 2 } } & { 0 } & { \cdots } & { } \\ { \vdots } & { 0 } & { \ddots } & { 0 } & { \cdots } \end{array} \right) ,
B = 2 { \frac { \partial { \cal L } } { c ^ { 2 } \partial \mu ^ { 2 } } } \ , \qquad C = - 2 { \frac { \partial { \cal L } } { c ^ { 2 } \partial s ^ { 2 } } } \ , \qquad A = - { \frac { \partial { \cal L } } { c ^ { 2 } \partial y ^ { 2 } } } \ .
{ \varepsilon } _ { \mathrm { S t } } = \frac { l _ { r } } { t _ { r } v _ { r } } \; , \quad { \varepsilon } _ { \mathrm { M a } } = \frac { v _ { r } } { c _ { r } } \; , \quad { \varepsilon } _ { \mathrm { F r } } = \frac { v _ { r } } { \sqrt { \Phi _ { r } } } \; , \quad { \varepsilon } _ { B } = \frac { B _ { r } ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } \rho _ { r } v _ { r } ^ { 2 } } \; ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C } = \frac { 1 } { N } \right) = } & { { } ~ ( 1 - p _ { C } ) \sum _ { k _ { C } = 0 } ^ { k } { \frac { k ! } { k _ { C } ! ( k - k _ { C } ) ! } q _ { C | D } ^ { k _ { C } } q _ { D | D } ^ { k - k _ { C } } \mathcal { P } ( D \gets C ) } } \\ { = } & { { } ~ ( 1 - p _ { C } ) ( 1 - w _ { R } ) q _ { C | D } + ( 1 - p _ { C } ) w _ { R } ( 1 - w _ { R } ) \left( \pi _ { C | D } - ( 1 - w _ { I } ) \frac { 1 + ( k - 1 ) q _ { C | D } } { k } b \right) q _ { C | D } \delta } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S ( T _ { i } , T _ { i + 1 } , b _ { i } , b _ { i + 1 } , z _ { i } , z _ { i + 1 } , z ) } & { = } & { \frac { b _ { i + 1 } ( z - z _ { i } ) ^ { 3 } } { 6 h _ { i } } + \frac { b _ { i } ( z _ { i + 1 } - z ) ^ { 3 } } { 6 h _ { i } } } \\ & { } & { + \left[ \frac { T _ { i + 1 } } { h _ { i } } - \frac { b _ { i + 1 } h _ { i } } { 6 } \right] ( z - z _ { i } ) + \left[ \frac { T _ { i } } { h _ { i } } - \frac { b _ { i } h _ { i } } { 6 } \right] ( z _ { i + 1 } - z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( n \left( \mathrm { H } _ { 2 } \right) \, k _ { 1 2 } + \alpha _ { \mathrm { D R } , 1 } \, n \left( e ^ { - } \right) \right) \, x _ { 1 } - n \left( \mathrm { H } _ { 2 } \right) \, k _ { 2 1 } \, x _ { 2 } } & { { } = k _ { \mathrm { f o r m } , 1 } \, R } \\ { - n \left( \mathrm { H } _ { 2 } \right) \, k _ { 1 2 } \, x _ { 1 } + \left( n \left( \mathrm { H } _ { 2 } \right) \, k _ { 2 1 } + \alpha _ { \mathrm { D R } , 2 } \, n \left( e ^ { - } \right) \right) \, x _ { 2 } } & { { } = k _ { \mathrm { f o r m } , 2 } \, R } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } } & { = \left\| ( \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } ) + ( \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { t } ) \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \left\| \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } + \left\| \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { t } \right\| ^ { 2 } + 2 \langle \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } , \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { t } \rangle } \\ & { = \left\| \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } + 2 \langle \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { \star } , \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { t } \rangle - \left\| \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { t } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \left\| \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } - \left\| \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { t } \right\| ^ { 2 } + 2 \tau \langle \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { \star } , W ( \mathbf { \hat { x } } ^ { t } - \mathbf { x } ^ { \star } ) \rangle } \\ & { = \left\| \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } - \tau ^ { 2 } \left\| W \mathbf { \hat { x } } ^ { t } \right\| ^ { 2 } + 2 \tau \langle W ( \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { \star } ) , \mathbf { \hat { x } } ^ { t } - \mathbf { x } ^ { \star } \rangle } \\ & { = \left\| \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } - \tau ^ { 2 } \left\| W \mathbf { \hat { x } } ^ { t } \right\| ^ { 2 } + 2 \tau \langle \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { \star } , \mathbf { \hat { x } } ^ { t } - \mathbf { x } ^ { \star } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 2 } \lesssim } & { ( \| \nabla \varphi \| + \| \nabla \Delta \varphi \| ) \| u \| ( \| \varphi \| + \| \varphi _ { t } \| + \| \Delta \varphi \| ) + \| u \| ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \nabla u \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( \| \varphi \| + \| \varphi _ { t } \| + \| \Delta \varphi \| ) } \\ & { + ( \| \varphi \| ^ { 3 } + \| \nabla \varphi \| ^ { 3 } + \| \varphi \| ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \nabla \varphi \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } + \| \varphi \| ^ { 2 } ) ( \| \varphi \| + \| \varphi _ { t } \| + \| \Delta \varphi \| ) } \\ { \lesssim } & { ( \mathcal { E } _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t ) + \mathcal { E } _ { 0 } ( t ) ) \mathcal { D } _ { 0 } ( t ) \, . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \stackrel { R \to \infty } { x \to \infty } } V \left( - \frac { \pi } { 2 \alpha } - \frac { \pi } { 2 } \theta , R , x , \alpha , \theta \right) = \infty , \quad \mathrm { i f } \quad 1 < \alpha \leqslant 2 \quad \mathrm { a n d } \quad - \left( \frac { 2 } { \alpha } - 1 \right) \leqslant \theta \leqslant \frac { 2 } { \alpha } - 1 .
\begin{array} { r l } { \mathrm { i } \hbar \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \delta \hat { G } _ { i j } ^ { \mathrm { P A } } ( t ) = } & { { } \Big [ h ^ { \mathrm { H F } } , \delta \hat { G } ^ { \mathrm { P A } } \Big ] _ { i j } ( t ) + \Big [ \delta \hat { U } ^ { \mathrm { H F } } , G ^ { < } \Big ] _ { i j } ( t ) \, , \, } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { \mathbf { f } } [ L ( \mathbf { A f ^ { e } } , \mathbf { g ^ { e } } ) + R ( \mathbf { f ^ { e } } ) ] \quad \textrm { s . t . } \; \mathbf { f } \geq 0 , e \in \ [ E _ { 1 } , E _ { 2 } ]
\frac { 1 } { ( n ! ) ^ { 2 } } \sum _ { \substack { \sigma , \tau , \rho , \gamma \, \in S _ { n } } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \chi _ { R } ( \sigma ) \chi _ { S } ( \tau ) \delta ( \rho ^ { - 1 } \gamma ^ { - 1 } \sigma \gamma \tau ^ { - 1 } ) \left[ \mathrm { T r } ( B ^ { i } ) \right] ^ { C _ { i } ( \rho ) } = \frac { n ! \delta _ { R S } } { d _ { R } } \mathcal { O } _ { S } ( B ) \, .
T ^ { 0 0 } = { \frac { 2 c o s h ^ { 2 } ( \gamma ) } { g ^ { 2 } } } \left[ - C ^ { 2 } s e c h ^ { 2 } ( C r ) \Big ( 1 - C r \; t a n h ( C r ) \Big ) ^ { 2 } + { \frac { ( C ^ { 2 } r ^ { 2 } s e c h ^ { 2 } ( C r ) + 1 ) ^ { 2 } } { 2 r ^ { 2 } } } \right]
{ \dot { \hat { \mathbf { x } } } } ( t ) = A ( t ) { \hat { \mathbf { x } } } ( t ) + B ( t ) { \mathbf { u } } ( t ) + L ( t ) \left( { \mathbf { y } } ( t ) - C ( t ) { \hat { \mathbf { x } } } ( t ) \right) , \quad { \hat { \mathbf { x } } } ( 0 ) = \mathbb { E } \left[ { \mathbf { x } } ( 0 ) \right] ,
\displaystyle { \frac { m _ { \pi } ^ { 2 } f _ { \pi } j _ { \pi } ( q ^ { 2 } ) } { m _ { \pi } ^ { 2 } - q ^ { 2 } } = \partial ^ { \mu } J _ { \mu } ( q ) = \frac { q ^ { 2 } f _ { \pi } j _ { \pi } ( q ^ { 2 } ) } { m _ { \pi } ^ { 2 } - q ^ { 2 } } + \partial ^ { \mu } \widehat J _ { \mu } ( q ) . }
\begin{array} { r } { \theta _ { \alpha ^ { \vee } } T _ { s } - T _ { s } \theta _ { - \alpha ^ { \vee } } = \left( ( q _ { 1 } - 1 ) + \theta _ { - \alpha ^ { \vee } } q _ { 1 } ^ { 1 / 2 } ( q _ { 0 } ^ { 1 / 2 } - q _ { 0 } ^ { - 1 / 2 } ) \right) \frac { \theta _ { \alpha ^ { \vee } } - \theta _ { - \alpha ^ { \vee } } } { \theta _ { 0 } - \theta _ { - 2 \alpha ^ { \vee } } } } \end{array}
c a n b e m a p p e d t o c o n f i g u r a t i o n s o f d i m e r s o n t h e b i p a r t i t e d i a m o n d l a t t i c e f o r m e d b y t h e c e n t e r s o f t e t r a h e d r a o f t h e p y r o c h l o r e l a t t i c e [ F i g . ~ ( b ) ] , w i t h e x a c t l y
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \mathscr Y _ { + } ^ { \varepsilon } + \| G \| _ { \mathfrak D ^ { \prime } } ^ { 2 } } \\ & { \quad \lesssim \langle \| ( F _ { + } ^ { \varepsilon } , F _ { + } ^ { 0 } ) \| _ { \mathfrak D } \rangle ^ { 2 } ( \varepsilon ^ { 2 } + \| G \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } ^ { 2 } ) + \| F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \beta } e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \beta } e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } \| _ { \mathfrak D ^ { \prime } } ^ { \frac { 3 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \psi , \, \tilde { K } _ { \delta } \psi \rangle } & { \leq \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } d y \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 d } } d u \, d v \, \overline { { \Psi _ { \delta } } } ( u + v / 2 , y ) \, f ( \sqrt { \delta } \, v ) \, e ^ { \frac { \delta \, v ^ { 2 } } { 1 6 } } \, \mathfrak { K } _ { 0 } ( u + F ( \delta \, y ) \, , \, v ) \, \times } \\ & { \quad \times { \Psi _ { \delta } } ( u - v / 2 , y ) + C \, \delta \, \Vert \psi \Vert ^ { 2 } . } \end{array}
u _ { 1 } = 0 \quad \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { \mathrm { l e f t } } \; , \quad u _ { 2 } = 0 \quad \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { \mathrm { b o t t o m } } \; , \quad u _ { 1 } = \mathrm { c o n s t . } \quad \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { \mathrm { r i g h t } } \; , \quad u _ { 2 } = \mathrm { c o n s t . } \quad \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { \mathrm { t o p } } \; .
\begin{array} { r } { \frac { t _ { 0 } ^ { q } } { t _ { 0 } } \approx 1 + \frac { \alpha } { 1 6 \pi ^ { 2 } c ^ { 3 } } \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } t _ { 0 } ^ { 2 } \left( \frac { c ^ { 4 } \Lambda ^ { 4 } } { \tilde { \omega } _ { P } ^ { 4 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf W } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = { \bf Y } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) { { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ L ~ } ~ } } } } } ^ { - 1 } ( { \bf x } _ { F } ) , } \end{array}
S _ { U V \psi } = N \mathrm { t r } _ { N } \psi _ { i } ^ { \dagger } \psi _ { i } + N \frac { 1 } { 2 } \mathrm { t r } _ { N } ( U ^ { 2 } + \mathrm { e } ^ { 2 \beta } V ^ { 2 } ) - N g \mathrm { t r } _ { N } ( \sum _ { i } \psi _ { i } U \psi _ { i } ^ { \dagger } + \sum _ { i , j } L _ { i j } \psi _ { j } V \psi _ { i } ^ { \dagger } ) .
J _ { \alpha } = \frac { \pi } { 2 e } \frac { \delta S } { \delta \bar { \chi } ^ { \alpha } } = \rho ^ { \beta } \rho _ { \alpha } \bar { \Psi } ^ { \mu } \partial _ { \beta } X _ { \mu } - \frac { 1 } { 4 } \bar { \Psi } ^ { \mu } \Psi _ { \mu } \rho _ { \alpha } \rho ^ { \beta } \chi _ { \beta } = 0
\begin{array} { r l } & { \Delta \left( e ^ { ( a ) } ( U ) \right) = e ^ { ( a ) } ( U ) \otimes 1 + \psi ^ { ( a ) } \left( C _ { 1 } ^ { 1 / 2 } U \right) \otimes e ^ { ( a ) } ( C _ { 1 } U ) , } \\ & { \Delta \left( f ^ { ( a ) } ( U ) \right) = 1 \otimes f ^ { ( a ) } ( U ) + f ^ { ( a ) } ( C _ { 2 } U ) \otimes f ^ { ( a ) } \left( C _ { 2 } ^ { 1 / 2 } U \right) , } \\ & { \Delta \left( \psi _ { + } ^ { ( a ) } ( U ) \right) = \psi _ { + } ^ { ( a ) } ( U ) \otimes \psi _ { + } ^ { ( a ) } \left( C _ { 1 } ^ { - 1 } U \right) , } \\ & { \Delta \left( \psi _ { - } ^ { ( a ) } ( U ) \right) = \psi _ { - } ^ { ( a ) } \left( C _ { 2 } ^ { - 1 } U \right) \otimes \psi _ { - } ^ { ( a ) } ( U ) , } \\ & { \Delta ( C ) = C \otimes C . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { F _ { q _ { \overline { { x } } } } ( X ) : = - \mathrm { t r } \left( ( \textbf { I } + ( p - 2 ) \frac { q _ { \overline { { x } } } + \xi } { | q _ { \overline { { x } } } + \xi | } \otimes \frac { q _ { \overline { { x } } } + \xi } { | q _ { \overline { { x } } } + \xi | } ) X \right) : = - \mathrm { t r } \left( A ( \eta _ { 1 } ) X \right) , } \\ & { F _ { q _ { \overline { { y } } } } ( Y ) : = - \mathrm { t r } \left( ( \textbf { I } + ( p - 2 ) \frac { q _ { \overline { { y } } } + \xi } { | q _ { \overline { { y } } } + \xi | } \otimes \frac { q _ { \overline { { y } } } + \xi } { | q _ { \overline { { y } } } + \xi | } ) Y \right) : = - \mathrm { t r } \left( A ( \eta _ { 2 } ) Y \right) , } \\ & { Q _ { i } ( q _ { \overline { { x } } } , \xi ) : = | q _ { \overline { { x } } } + \xi | ^ { a _ { i } } + a ( x ) | q _ { \overline { { x } } } + \xi | ^ { a _ { i } } , \ \ i = 1 , 2 , } \\ & { Q _ { i } ( q _ { \overline { { y } } } , \xi ) : = | q _ { \overline { { y } } } + \xi | ^ { a _ { i } } + a ( x ) | q _ { \overline { { y } } } + \xi | ^ { a _ { i } } , \ \ i = 1 , 2 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathfrak { N } _ { ( j , p , d ) } = } & { - { ( \omega _ { p } - \omega _ { d } ) k _ { j } m _ { j } } \left[ \left( U _ { p } \bar { U } _ { d } ( k _ { j } ) + U _ { p } \bar { V } _ { d } l _ { p } - V _ { p } \bar { U } _ { d } l _ { d } + U _ { p } m _ { p } - m _ { d } \bar { U } _ { d } \right) \right] } \\ & { - { ( \omega _ { p } - \omega _ { d } ) l _ { j } m _ { j } } \left[ \left( V _ { p } \bar { V } _ { d } ( l _ { j } ) - U _ { p } \bar { V } _ { d } k _ { d } + V _ { p } \bar { U } _ { d } k _ { p } + V _ { p } m _ { p } - m _ { d } \bar { V } _ { d } \right) \right] } \\ & { + { ( \omega _ { p } - \omega _ { d } ) ( l _ { j } ^ { 2 } + k _ { j } ^ { 2 } ) } \left[ \bar { V } _ { d } l _ { p } - l _ { d } V _ { p } + m _ { j } + k _ { p } \bar { U } _ { d } - U _ { p } k _ { d } \right] } \\ & { + \textnormal { i } { ( l _ { j } ^ { 2 } + k _ { j } ^ { 2 } ) } \left[ \bar { U } _ { d } B _ { p } k _ { p } - U _ { p } \bar { B } _ { d } k _ { d } + \bar { V } _ { d } B _ { p } l _ { p } - V _ { p } \bar { B } _ { d } l _ { d } + B _ { p } m _ { p } - \bar { B } _ { d } m _ { d } \right] } \\ & { + \textnormal { i } { f l _ { j } m _ { j } } \left[ \left( U _ { p } \bar { U } _ { d } ( k _ { j } ) + U _ { p } \bar { V } _ { d } l _ { p } - V _ { p } \bar { U } _ { d } l _ { d } + U _ { p } m _ { p } - m _ { d } \bar { U } _ { d } \right) \right] } \\ & { - \textnormal { i } { f k _ { j } m _ { j } } \left[ \left( V _ { p } \bar { V } _ { d } ( l _ { j } ) - U _ { p } \bar { V } _ { d } k _ { d } + V _ { p } \bar { U } _ { d } k _ { p } + V _ { p } m _ { p } - m _ { d } \bar { V } _ { d } \right) \right] , } \end{array}
V = \frac { C _ { f } } { f _ { a } } \partial _ { \mu } a \bar { \psi } \gamma _ { 5 } \gamma ^ { \mu } \psi + C _ { \gamma } \frac { a } { f _ { a } } \tilde { F } ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } + C _ { g } \frac { a } { f _ { a } } \tilde { G } ^ { l \, \mu \nu } G _ { \mu \nu } ^ { l } \, .
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 6 } + _ { 5 } + _ { 3 } } \\ & { \qquad \qquad + _ { 5 } + _ { 6 } + _ { 1 0 } + _ { 7 } + _ { 8 } + _ { 1 1 } + _ { 1 4 } + _ { 5 } } \\ & { = \delta ( q , j > m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] e _ { i , j } ^ { ( 2 ) } + \delta ( q , j > m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad + \delta ( q , j > m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , j } ^ { ( 2 ) } + \delta ( q , j > m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , j } ^ { ( 2 ) } } \\ & { = \delta ( q , j > m - n ) ( \partial W _ { p , q } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , j } ^ { ( 1 ) } . } \end{array}