harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \langle Z _ { 1 } \rangle } & { { } = \sum _ { b _ { 0 } , b _ { 1 } } ( 1 - 2 b _ { 1 } ) \frac { \mathrm { ~ c ~ o ~ u ~ n ~ t ~ s ~ } _ { b _ { 0 } b _ { 1 } } } { n _ { \mathrm { ~ s ~ h ~ o ~ t ~ s ~ } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \psi ^ { \prime \prime } ( r ) + V ( r ) \psi ( r ) = { \cal E } \psi ( r ) , \qquad V ( r ) = v ^ { 2 } ( r ) - v ^ { \prime \prime } ( r ) , \qquad { \cal E } = - \omega ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { 1 } ( \bar { H } - \bar { F } ) } & { \geq 2 \operatorname* { m i n } \{ 1 , \theta _ { 1 } \} D _ { \phi _ { 1 } } - 2 \operatorname* { m a x } \{ \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \} \lvert B _ { \phi _ { 1 } } \rvert - 2 \theta _ { 1 } \phi _ { 2 } G } \\ & { \geq 2 D _ { \phi _ { 1 } } ( \operatorname* { m i n } \{ 1 , \theta _ { 1 } \} I - \operatorname* { m a x } \{ \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \} D _ { \phi _ { 1 } } ^ { - 1 } ( \lvert B _ { \phi _ { 1 } } \rvert + \phi _ { 2 } G ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mu _ { z } ( X ) = \frac { 2 \phi _ { 0 } } { \mu _ { 0 } \Lambda _ { 0 } } \int _ { - W / 2 } ^ { W / 2 } \! \! d x \tilde { \psi } _ { X } ( x , 0 ) , } \\ & { } & { \biggl ( - F \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } - F ^ { \prime } \frac { \partial } { \partial x } \biggr ) \tilde { \psi } _ { X } ( x , 0 ) = \delta ( x - X ) . } \end{array}
{ \frac { \partial \hat { \phi } _ { k } ^ { b } } { \partial t } } = \frac { i b _ { 0 } k ^ { 2 } } { k _ { \parallel } } \hat { \phi } _ { k } ^ { u } + \frac { i } { k _ { \perp } ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 6 } } \frac { p _ { \perp } ^ { 2 } q ^ { 2 } } { q _ { \parallel } } \left[ { \bf p } \cdot { \bf q } + q _ { \perp } ^ { 2 } - p _ { \parallel } q _ { \parallel } \right] \hat { \phi } _ { p } ^ { b } \hat { \phi } _ { q } ^ { u } \delta _ { { \bf k } , { \bf p } { \bf q } } \mathrm { d } { \bf p } \mathrm { d } { \bf q } \, ,
\frac { \partial a _ { n , l } } { \partial t _ { 1 } } = a _ { n , l } ( b _ { n + 1 , l } - b _ { n , l } ) , \; \; \; \frac { \partial b _ { n , l } } { \partial t _ { - 1 } } = a _ { n , l } - a _ { n - 1 , l } ,
\Big ( \frac { 1 } { 4 } \Big ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 ( 1 - \frac { V } { U } ) } y ^ { 2 } + \frac { 1 } { ( 1 - ( \frac { V } { U } ) ^ { 2 } ) } \Bigg ( | x | - \frac { 1 } { 4 } \sqrt { 1 - \Big ( \frac { V } { U } \Big ) ^ { 2 } } \Bigg ) ^ { 2 }
( \eta , \phi _ { \partial } , \Sigma ) \in \mathring { \mathfrak { B } } ^ { \ast 1 } \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \partial \Omega ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \partial \Omega )
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } ( \Gamma _ { 1 } ^ { p } ( N ) , \chi \circ \operatorname* { d e t } ) _ { \rho } } & { = H _ { 1 } ( \Gamma _ { 1 } ^ { p } ( N ) , \chi \circ \operatorname* { d e t } ) _ { \rho } = 0 , } \\ { H _ { 2 } ( \Gamma _ { 1 } ^ { p } ( N ) , \chi \circ \operatorname* { d e t } ) _ { \rho } } & { \simeq \frac { k [ T , S ] } { ( T - b , S - b ^ { 2 } ) } \otimes _ { k [ T , S ] } V _ { a , \rho } , } \\ { H _ { 3 } ( \Gamma _ { 1 } ^ { p } ( N ) , \chi \circ \operatorname* { d e t } ) _ { \rho } } & { \simeq \mathrm { H o m } _ { k [ T , S ] } \left( \frac { k [ T , S ] } { ( T - b , S - b ^ { 2 } ) } , V _ { a , \rho } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \partial _ { t } \pi ^ { i j } = } & { - N { \sqrt { g } } \left( R ^ { i j } - { \frac { 1 } { 2 } } R g ^ { i j } \right) + { \frac { N } { 2 { \sqrt { g } } } } g ^ { i j } \left( \pi ^ { m n } \pi _ { m n } - { \frac { 1 } { 2 } } \pi ^ { 2 } \right) - { \frac { 2 N } { \sqrt { g } } } \left( \pi ^ { i n } { \pi _ { n } } ^ { j } - { \frac { 1 } { 2 } } \pi \pi ^ { i j } \right) } \\ & { + { \sqrt { g } } \left( \nabla ^ { i } \nabla ^ { j } N - g ^ { i j } \nabla ^ { n } \nabla _ { n } N \right) + \nabla _ { n } \left( \pi ^ { i j } N ^ { n } \right) - { N ^ { i } } _ { ; n } \pi ^ { n j } - { N ^ { j } } _ { ; n } \pi ^ { n i } } \end{array} }
\int \theta _ { k } ( \rho _ { t } ^ { B } ) \mathrm { d } \pi - \int \theta _ { k } ( \rho _ { 0 } ^ { B } ) \mathrm { d } \pi = \int _ { 0 } ^ { t } \iint \mathsf { D } \theta _ { k } ^ { \prime } ( \rho _ { s } ^ { B } ) w _ { s } ^ { B } \mathrm { d } \pi \mathrm { d } m \mathrm { d } s = \int _ { 0 } ^ { t } \int \theta _ { k } ^ { \prime } ( \rho _ { s } ^ { B } ) \mathsf { D } ^ { \star } w _ { s } ^ { B } \mathrm { d } \pi \mathrm { d } s .
\Psi _ { ( 1 ) } = \sqrt { \frac { V } { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \; \; \; \Psi _ { ( 2 ) } = \sqrt { \frac { V } { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { \tau } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \tau } } \end{array} \right) .
{ \hat { T } ^ { \prime } = \hat { T } _ { 1 } + \hat { T } _ { 2 } ^ { \prime } = \sum _ { i } ^ { \mathrm { o c c } } \sum _ { a } ^ { \mathrm { v i r t } } t _ { i } ^ { a } \hat { E } _ { a i } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } ^ { \mathrm { o c c } } \sum _ { a , b } ^ { \mathrm { v i r t } } ~ t _ { i j } ^ { a b } ~ \hat { E } _ { a i } \hat { E } _ { b j } } ,
{ \bf g } _ { 0 } = \left. \frac { \partial \tau } { \partial { \bf x } } \right| _ { { \bf x } = { \bf x } _ { 0 } } \, , \quad g _ { 3 } ( 0 ) = \sqrt { 1 - ( \| { \bf g } _ { 0 } \| v _ { g } ) ^ { 2 } } \, .
F ^ { A ( B ) } ( k _ { \perp } , r _ { \perp } ; s ) = \sum { \frac { 1 } { n ! } } \left( g ^ { 2 } \ln { \frac { s } { m ^ { 2 } } } \right) ^ { n } f _ { n } ^ { A ( B ) } ( k _ { \perp } , r _ { \perp } )
\begin{array} { r l } { g _ { 2 } ( \tau ) } & { { } = { \frac { 2 } { 3 } } \pi ^ { 4 } \left( a ^ { 8 } + b ^ { 8 } + c ^ { 8 } \right) } \\ { g _ { 3 } ( \tau ) } & { { } = { \frac { 4 } { 2 7 } } \pi ^ { 6 } { \sqrt { \frac { \left( a ^ { 8 } + b ^ { 8 } + c ^ { 8 } \right) ^ { 3 } - 5 4 \left( a b c \right) ^ { 8 } } { 2 } } } } \\ { \Delta } & { { } = g _ { 2 } ^ { 3 } - 2 7 g _ { 3 } ^ { 2 } = 4 0 9 6 \pi ^ { 1 2 } \left( { \frac { 1 } { 2 } } a b c \right) ^ { 8 } = 4 0 9 6 \pi ^ { 1 2 } \eta ( \tau ) ^ { 2 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \upsilon ^ { ( 2 ) } \left( t \right) } & { { } = \varepsilon _ { \upsilon } \cos \left( \theta - \tau _ { \upsilon } \left( t \right) \right) } \\ { z ^ { ( 2 ) } \left( t \right) } & { { } = \varepsilon _ { z } \cos \left( \theta - \tau _ { z } \left( t \right) \right) } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c c c c c c } { J _ { 1 } ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) } & { 0 } & { - J _ { 1 } ( k _ { 2 } r _ { 1 } ) } & { 0 } & { H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 2 } r _ { 1 } ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { J _ { 1 } ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) } & { 0 } & { J _ { 1 } ( k _ { 2 } r _ { 1 } ) } & { 0 } & { - H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 2 } r _ { 1 } ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { J _ { 1 } ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) } & { 0 } & { H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) } & { 0 } & { - H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 3 } r _ { 2 } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { J _ { 1 } ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) } & { 0 } & { H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) } & { 0 } & { - H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 3 } r _ { 2 } ) } \\ { \frac { k _ { 1 } } { \mu _ { 1 } } J _ { 0 } ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) } & { - a _ { \theta } J _ { 1 } ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) } & { \frac { k _ { 1 } } { \mu _ { 2 } } J _ { 0 } ( k _ { 2 } r _ { 1 } ) } & { 0 } & { \frac { k _ { 2 } } { \mu _ { 2 } } H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 2 } r _ { 1 } ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { a _ { \theta } J _ { 1 } ( K _ { 1 } r _ { 1 } ) } & { - \frac { k _ { 1 } } { 2 \mu _ { 1 } } f ( 1 , 1 ) } & { 0 } & { \frac { k _ { 2 } } { 2 \mu _ { 2 } } f ( 2 , 1 ) } & { 0 } & { \frac { k _ { 2 } } { 2 \mu _ { 2 } } g ( 2 , 1 ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \frac { k _ { 2 } } { \mu _ { 2 } } J _ { 0 } ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) } & { - b _ { \theta } J _ { 1 } ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) } & { - \frac { k _ { 2 } } { \mu _ { 2 } } H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) } & { - b _ { \theta } H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) } & { \frac { k _ { 3 } } { \mu _ { 3 } } H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 3 } r _ { 2 } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { i b _ { \theta } J _ { 1 } ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) } & { - \frac { k _ { 2 } } { 2 \mu _ { 2 } } f ( 2 , 2 ) } & { i b _ { \theta } H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) } & { - \frac { k _ { 2 } } { 2 \mu _ { 2 } } g ( 2 , 2 ) } & { 0 } & { \frac { k _ { 3 } } { 2 \mu _ { 3 } } g ( 3 , 2 ) } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \underset { { \boldsymbol { n } } \in \mathbb { R } ^ { L + 1 } } { \operatorname* { m i n } } } & { \quad \mathbb { E } \left[ d _ { \mathrm { L E } } \left( \hat { { \boldsymbol { \Sigma } } } _ { { \boldsymbol { n } } } ^ { \mathrm { L E M F } } , { \boldsymbol { \Sigma } } \right) ^ { 2 } \right] } \\ { \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } } & { \quad c ( \boldsymbol { n } ) \le B \, } \end{array}
{ \frac { R ( y ) - 1 } { \hat { f } _ { \mathrm { V \ell } } ^ { 2 } + \hat { f } _ { \mathrm { A \ell } } ^ { 2 } } } = { \frac { \Delta \Gamma _ { \mathrm { C P } } ( \hat { f } _ { \mathrm { V \ell } } , \hat { f } _ { \mathrm { A \ell } } ; y ) } { \Gamma _ { \mathrm { S M } } ( \mathrm { Z \to \ell ^ { + } \ell ^ { - } \ g a m m a ) ( \hat { f } _ { \mathrm { V \ell } } ^ { 2 } + \hat { f } _ { \mathrm { A \ell } } ^ { 2 } ) } } }
\begin{array} { r } { a _ { j j ^ { \prime } } = \Bigg \{ \begin{array} { l l } { \sum _ { l = b _ { i - 1 } + 1 } ^ { k } y _ { l } , } & { \mathrm { i f ~ \left( j , j ^ { \prime } \right) = ( k , k + 1 ) ~ f o r ~ k = b _ { i - 1 } + 1 , \dots , ~ b _ { i } ~ - 1 ~ a n d ~ i = 1 , \dots , ~ I ~ } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { t \wedge T ( \epsilon ) } ( v ) } & { : = \frac { P _ { H } ( g _ { t \wedge T ( \epsilon ) } ( g ( v ) ) - g _ { t \wedge T ( \epsilon ) } ( 0 ) , W _ { t \wedge T ( \epsilon ) } - g _ { t \wedge T ( \epsilon ) } ( 0 ) ) } { P _ { H } ( g _ { t \wedge T ( \epsilon ) } ( g ( z ) ) - g _ { t \wedge T ( \epsilon ) } ( 0 ) , W _ { t \wedge T ( \epsilon ) } - g _ { t \wedge T ( \epsilon ) } ( 0 ) ) } } \\ & { = \frac { \mathrm { I m } \left( \frac { \sqrt { g _ { t \wedge T ( \epsilon ) } ( g ( v ) ) - g _ { t \wedge T ( \epsilon ) } ( 0 ) } } { g _ { t \wedge T ( \epsilon ) } ( g ( v ) ) - W _ { t \wedge T ( \epsilon ) } } \right) } { \mathrm { I m } \left( \frac { \sqrt { g _ { t \wedge T ( \epsilon ) } ( g ( z ) ) - g _ { t \wedge T ( \epsilon ) } ( 0 ) } } { g _ { t \wedge T ( \epsilon ) } ( g ( z ) ) - W _ { t \wedge T ( \epsilon ) } } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { F ^ { ( \delta , l ) } = \left( \begin{array} { l l } { \frac { \pi ^ { 2 } } { l \delta } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \pi ^ { 2 } } { l \delta } } \end{array} \right) \; . } \end{array}
\mathcal { F } \equiv F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } = - 2 \left( \textbf { E } ^ { 2 } - \textbf { B } ^ { 2 } \right) , \qquad \qquad \mathcal { G } \equiv F _ { \mu \nu } { \widetilde F } ^ { \mu \nu } = - 4 \left( \textbf { E } \cdot \textbf { B } \right) .
F _ { \mathbf { q } } ( A , B ) = \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { l m } e ^ { i \mathbf { q } \, ( \mathbf { r } _ { l } - \mathbf { r } _ { m } ) } \left\langle A _ { l } B _ { m } \right\rangle ,
\sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \left[ \begin{array} { c } { { n _ { i } + \tilde { n } _ { i } + \tilde { V } _ { i , r } } } \\ { { n _ { i } } } \end{array} \right] \tilde { x } ^ { n _ { i } } = \frac { 1 } { ( 1 - \tilde { x } ) ^ { \tilde { n } _ { i } + 1 + \tilde { V } _ { i } , r } } .
\begin{array} { r l } & { { { \sigma _ { p } } } ( \mathcal { U } ^ { ( 3 ) } ) ( y , \eta ) = 2 ( 2 \pi ) ^ { - 2 } { { \sigma _ { p } } } ( Q _ { g } ) ( y , \eta , q , \zeta ) ( \zeta _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathcal { Q } ( \zeta ^ { ( 1 ) } , \zeta ^ { ( 2 ) } , \zeta ^ { ( 3 ) } ) \prod _ { m = 1 } ^ { 3 } { { \sigma _ { p } } } ( v _ { m } ) ( q , \zeta ^ { ( m ) } ) , } \end{array}
H _ { e f f } = \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { - ( i \Delta _ { a } + \kappa _ { 1 } ) } & { 0 } & { - i J } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - i g _ { m a } } & { 0 } \\ { 0 } & { - ( - i \Delta _ { a } + \kappa _ { 1 } ) } & { 0 } & { i J } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { i g _ { m a } } \\ { - i J } & { 0 } & { ( - i \Delta _ { a } + \kappa _ { 2 } ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { i J } & { 0 } & { ( i \Delta _ { a } + \kappa _ { 2 } ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - ( i \omega _ { b } + \kappa _ { b } ) } & { 0 } & { - i G ^ { * } } & { - i G } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - ( - i \omega _ { b } + \kappa _ { b } ) } & { i G ^ { * } } & { i G } \\ { - i g _ { m a } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - i G } & { - i G } & { - ( i \Delta _ { m } + \kappa _ { m } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { i g _ { m a } } & { 0 } & { 0 } & { i G ^ { * } } & { i G ^ { * } } & { 0 } & { - ( - i \Delta _ { m } + \kappa _ { m } ) } \end{array} \right)
\left\{ \begin{array} { l l } { \nabla ^ { 2 } H _ { 1 } ( r , \theta ) + \omega ^ { 2 } H _ { 1 } ( r , \theta ) = 0 , } \\ { \nabla ^ { 2 } H ( r , \theta ) - \omega ^ { 2 } H ( r , \theta ) = H _ { 1 } ( r , \theta ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { R ( t ) = } & { e ^ { - \gamma t / 2 + i \nu _ { 0 } t } \sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } \binom { n } { m } \frac { 1 } { ( n - m - 1 ) ! } ( i \nu _ { 0 } t ) ^ { n - m - 1 } \Theta ( t ) ^ { \prime } } \\ { = } & { i \nu _ { 0 } e ^ { - \gamma t / 2 + i \nu _ { 0 } t } \sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } \binom { n } { n - m - 1 } \frac { 1 } { m ! } ( i \nu _ { 0 } t ) ^ { m } \Theta ( t ) ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | f _ { n } | ^ { 2 } } & { \leq 2 \gamma ^ { 3 } \beta ^ { - 1 } \lambda | \Delta _ { n } | ^ { 2 } | \xi _ { n + 1 } | ^ { 2 } + \lambda \gamma \beta ^ { - 1 } | E _ { n } | ^ { 2 } | \xi _ { n + 1 } | ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \gamma ^ { 3 } \beta ^ { - 1 } \lambda | \xi _ { n + 1 } | ^ { 2 } | \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } + \gamma ^ { - 1 } \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } - \lambda \gamma ^ { - 1 } h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) | ^ { 2 } ) } \\ & { + \lambda \gamma \beta ^ { - 1 } | \xi _ { n + 1 } | ^ { 2 } | ( 1 - \lambda \gamma ) \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } - \lambda h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) | ^ { 2 } } \\ & { \leq 6 \gamma ^ { 3 } \beta ^ { - 1 } \lambda | \xi _ { n + 1 } | ^ { 2 } \left( | \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + \gamma ^ { - 2 } | \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { - 1 } ( m ^ { 2 } | \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + 4 \gamma ) \right) } \\ & { + \lambda \gamma \beta ^ { - 1 } | \xi _ { n + 1 } | ^ { 2 } \left( ( 1 - \lambda \gamma ) ^ { 2 } | \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \lambda ^ { 2 } ( m ^ { 2 } | \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + 4 \gamma ) \right) } \\ & { \leq C _ { 3 } \beta ^ { - 1 } \gamma ( M _ { n } + 1 ) \lambda | \xi _ { n + 1 } | ^ { 2 } , } \end{array}
K _ { \lambda \mu \nu } = - \frac { i } { 2 } \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial ^ { \lambda } \psi ) } S _ { \mu \nu } \psi + \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial ^ { \lambda } \bar { \psi } ) } S _ { \mu \nu } \bar { \psi } \right) , \quad S _ { \mu \nu } = \frac { i } { 4 } \left[ \gamma _ { \mu } , \gamma _ { \nu } \right] .
s ( t ) = \big ( ( n + 4 ) B _ { 0 } ^ { 2 } t \big ) ^ { \frac { 1 } { n + 4 } } \left\{ \begin{array} { l l } { \big ( 1 + O \big ( t ^ { - \frac { \alpha ( n + 3 ) - 4 } { 2 ( n + 4 ) } } \big ) \big ) } & { \mathrm { i f ~ } \alpha \ne 2 \frac { n + 6 } { n + 3 } , } \\ { \left( 1 + O ( t ^ { - 1 } \log t ) \right) } & { \mathrm { i f ~ } \alpha = 2 \frac { n + 6 } { n + 3 } . } \end{array} \right.
\bar { H } _ { \mathrm { D } } ( q ^ { r } , p ^ { r } ) = H _ { \mathrm { D } } ( q ^ { r } , p ^ { r } ) + \lambda _ { a } ^ { ( 1 ) s _ { a } } \pi _ { a } ^ { s _ { a } } + \lambda _ { a } ^ { ( 2 ) s _ { a } } \psi _ { a } ^ { s _ { a } } ,
\sum _ { k = j } ^ { \infty } { \binom { k } { j } } \left( { \frac { - z } { 1 - z } } \right) ^ { k + 1 } = \left[ \left( { \frac { - z } { 1 - z } } \right) ^ { - 1 } - 1 \right] ^ { - j - 1 } = ( - z ) ^ { j + 1 } .
\epsilon _ { n m _ { e } , \mathrm { ~ s ~ i ~ l ~ i ~ c ~ a ~ } } + \epsilon _ { n \omega _ { \mathrm { ~ L ~ } } , \mathrm { ~ s ~ i ~ l ~ i ~ c ~ a ~ } } = ( - \epsilon _ { n \omega _ { \mathrm { ~ L ~ } } , \mathrm { ~ s ~ i ~ l ~ i ~ c ~ a ~ } } ) + \epsilon _ { n \omega _ { \mathrm { ~ L ~ } } , \mathrm { ~ s ~ i ~ l ~ i ~ c ~ a ~ } } = 0
\frac { u _ { ( i + 1 , j ) } - 2 u _ { ( i , j ) } + u _ { ( i - 1 , j ) } } { { \Delta x _ { 1 } } ^ { 2 } } + \frac { u _ { ( i , j + 1 ) } - 2 u _ { ( i , j ) } + u _ { ( i , j - 1 ) } } { { \Delta x _ { 2 } } ^ { 2 } } = f ( u _ { ( i , j ) } ) ,
\epsilon _ { t } = 1 - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } - \omega _ { c } ^ { 2 } } , \quad \epsilon _ { g } = \frac { - \omega _ { c } \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega ( \omega ^ { 2 } - \omega _ { c } ^ { 2 } ) } , \quad \epsilon _ { z } = 1 - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \widetilde { B } _ { 1 } } & { \= - h _ { 1 } ( x ) \, p _ { 1 } ( x ) + \varepsilon \, h _ { 2 } ( x ) \, q _ { 1 } ( x ) \ , } \\ { \widetilde { B } _ { 2 } } & { \= - h _ { 1 } ( x ) \, p _ { 2 } ( x ) + \varepsilon \, h _ { 2 } ( x ) \, q _ { 2 } ( x ) \ , } \\ { \widetilde { B } _ { 3 } } & { \= - h _ { 1 } ( x ) \, p _ { 3 } ( x ) + \varepsilon \, h _ { 2 } ( x ) \, q _ { 3 } ( x ) \ . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { i \hbar { \frac { \partial } { \partial t } } \Psi ( t , \mathbf { x } _ { 1 } , \dots , \mathbf { x } _ { N } ) = { \bigg ( } } & { - \sum _ { j = 1 } ^ { N } { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { j } } } \nabla _ { j } ^ { 2 } + \sum _ { j \neq k } V _ { j k } { \big ( } | \mathbf { x } _ { j } - \mathbf { x } _ { k } | { \big ) } } \\ & { - G \sum _ { j , k = 1 } ^ { N } m _ { j } m _ { k } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { y } _ { 1 } \cdots \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { y } _ { N } \, { \frac { | \Psi ( t , \mathbf { y } _ { 1 } , \dots , \mathbf { y } _ { N } ) | ^ { 2 } } { | \mathbf { x } _ { j } - \mathbf { y } _ { k } | } } { \bigg ) } \Psi ( t , \mathbf { x } _ { 1 } , \dots , \mathbf { x } _ { N } ) . } \end{array} }
- \operatorname * { d e t } ( \eta _ { a b } I + F _ { a b } ) = I + \frac { 1 } { 2 } F ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } F ^ { 3 } - \frac { 1 } { 4 } \left[ F ^ { 4 } - \frac { 1 } { 2 } ( F ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] + \frac { 1 } { 5 } F ^ { 5 } + \frac { 1 } { 1 2 } ( F ^ { 2 } F ^ { 3 } + F ^ { 3 } F ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } } & { { } = - \sqrt { \frac { 3 } { \sqrt { 5 } } } \frac { \pi ^ { 2 } a } { 2 \, \Gamma \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { 4 } } , } \\ { c _ { 2 } } & { { } = \sqrt { \frac { 3 } { \sqrt { 5 } } } \left[ \frac { 2 } { \pi } + \frac { \pi a } { \Gamma \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { 4 } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \theta _ { s } [ ^ { \circ } ] \approx \frac { \bar { q } _ { \mathrm { m i n } } - \bar { q } _ { 1 } } { k _ { i } [ \AA ^ { - 1 } ] } \cdot \frac { 2 0 7 . 9 } { r _ { s } \, \alpha [ n _ { e } ^ { \mathrm { t o t } } , T ] } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Psi ( t , r , \theta , \varphi ) = \sum _ { l = 0 } ^ { L _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \sum _ { m = - l } ^ { l } { \Psi _ { l } ^ { m } ( r , t ) Y _ { l } ^ { m } ( \theta , \varphi ) } , } \\ { \Phi ( t , r , \theta , \varphi ) = \sum _ { l = 0 } ^ { L _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \sum _ { m = - l } ^ { l } { \Phi _ { l } ^ { m } ( r , t ) Y _ { l } ^ { m } ( \theta , \varphi ) } , } \end{array}
s _ { a } + s _ { b } + s _ { c } = M ^ { 2 } + m _ { a } ^ { 2 } + m _ { b } ^ { 2 } + m _ { c } ^ { 2 } \equiv \Sigma ^ { 2 } = s _ { a } ^ { \prime } + s _ { b } ^ { \prime } + s _ { c } ^ { \prime }
{ \ddot { g } } _ { r s } = \cot \theta { \dot { g } } _ { r s } { \dot { \theta } } + \frac { 1 } { 2 } { \dot { g } } _ { r a } g ^ { a b } { \dot { g } } _ { b s } - 2 \sin \theta \nabla _ { r } \nabla _ { s } \sin \theta
\begin{array} { r l r } { \psi ( r , \phi , z ) } & { { } = } & { \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n + | m | ) ! } } \frac { 1 } { w } \left( \frac { \sqrt { 2 } r } { w } \right) ^ { | m | } L _ { n } ^ { | m | } \left( 2 \left( \frac { r } { w } \right) ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ r _ { 2 } ^ { 2 } ] } & { \leqslant C \varepsilon ^ { 8 } \varepsilon ^ { 4 \alpha } \int _ { \varepsilon ^ { - 3 } } ^ { \varepsilon ^ { - 4 } t } \int _ { \varepsilon ^ { - 3 } } ^ { s } \sum _ { x , x ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } \phi _ { \varepsilon } ^ { 2 } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) \phi _ { \varepsilon } ^ { 2 } ( \varepsilon ^ { 2 } x ^ { \prime } ) e ^ { 4 a \varepsilon ^ { 2 } x ^ { \prime } } \mathbb { E } \big [ | U ( x , r , s ) | \big ] d r d s } \\ & { \leqslant C \varepsilon ^ { 6 + 4 \alpha } \int _ { \varepsilon ^ { - 3 } } ^ { \varepsilon ^ { - 4 } t } \int _ { \varepsilon ^ { - 3 } } ^ { s } \sum _ { x = 1 } ^ { \infty } \phi _ { \varepsilon } ^ { 2 } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) \mathbb { E } \big [ | U ( x , r , s ) | \big ] d r d s . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \| { \boldsymbol { E } } - { \boldsymbol { E } } _ { h } \| _ { { \boldsymbol { X } } _ { p } ( { \cal M } ) } + \| \varphi _ { h } \| _ { M _ { p } ( { \cal M } ) } } \\ & { \le } & { C \Theta ^ { 1 / 2 } \frac { h ^ { \nu - 1 } } { p ^ { s - 3 / 2 } } \| { \boldsymbol { E } } \| _ { H ^ { s } ( \Omega _ { 1 } \cup \Omega _ { 2 } ) } + C C _ { \mathrm { r e g } } \Theta ^ { 1 / 2 } \, \frac { k h } { p ^ { 1 / 2 } } ( \| { \boldsymbol { E } } - { \boldsymbol { E } } _ { h } \| _ { { \boldsymbol { X } } _ { p } ( { \cal M } ) } + \| \varphi _ { h } \| _ { M _ { p } ( { \cal M } ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \mathcal { L } ^ { - 1 } \left\{ \frac { \exp ( 2 l s ^ { \alpha } ) \sinh ( l _ { 1 } s ^ { \alpha } ) } { \cosh ( l _ { 1 } s ^ { \alpha } ) \cdots \cosh ( l _ { n - 1 } s ^ { \alpha } ) \sinh ( l _ { n } s ^ { \alpha } ) } \right\} \| _ { L ^ { 1 } ( 0 , t ) } } \\ & { \leq 2 ^ { n } \left[ 1 + \frac { L ( t ) } { 2 l _ { 1 } } \right] \cdots \left[ 1 + \frac { L ( t ) } { 2 l _ { n } } \right] \exp \left( - n \Lambda \left( \frac { l _ { 2 } + \cdots + l _ { n } - 2 l } { n t ^ { \nu } } \right) ^ { \beta } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle A x , x \rangle _ { L ^ { 2 } } + \langle x , A x \rangle _ { L ^ { 2 } } } & { = \langle \mathcal { J } _ { 0 } x , x \rangle _ { L ^ { 2 } } + \langle x , \mathcal { J } _ { 0 } x \rangle _ { L ^ { 2 } } } \\ & { = 2 \langle e _ { \partial } , f _ { \partial } \rangle _ { 2 } - 2 e _ { I } f _ { I } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \mathbf { u } _ { t } \} _ { t = 0 } ^ { T - 1 , \; * } } & { = \underset { \{ \mathbf { u } _ { t } \} _ { t = 0 } ^ { T - 1 } } { \mathrm { a r g m a x } } \; a _ { l o c a l } \left( \mathbf { x } _ { 0 } , \; \{ \mathbf { u } _ { t } \} _ { t = 0 } ^ { T - 1 } , \{ \hat { \mathbf { x } } _ { t } \} _ { t = 1 } ^ { T } \right) } \\ { s . t . \quad \hat { \mathbf { x } } _ { t + 1 } } & { = \hat { \mathbf { f } } ( \hat { \mathbf { x } } _ { t } , \mathbf { u } _ { t } ; \boldsymbol { \theta } ) } \end{array}
E _ { C } ( \omega _ { N } ) = \sum _ { \omega _ { n } \leq \omega _ { N } } { \frac { \omega _ { n } ( { \bf c } ) } { 2 } } - \sum _ { \omega _ { n } \leq \omega _ { N } } { \frac { \omega _ { n } ^ { \it f r e e } } { 2 } } .
\langle \Phi _ { \nu } | H _ { N } ( \mu ) e ^ { T _ { \mathrm { C A S } } ( \mu ) } | \Phi _ { \mu } \rangle _ { C } = \langle \Phi _ { \nu } | H _ { N } ( \mu ) | \Psi _ { \mu } ^ { \mathrm { C A S } } \rangle _ { C }