harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \rho } & { = } & { \frac { 1 } { 1 2 r ^ { 4 } ( r + { r _ { 0 } } ) ^ { 2 } ( 3 r + { r _ { 0 } } ) \left( { r _ { 0 } } ( 2 r + { r _ { 0 } } ) - 3 r ^ { 2 } e ^ { \mu ( r - { r _ { 0 } } ) } \right) ^ { 2 } } \left\lbrace e ^ { \mu ( { r _ { 0 } } - r ) } \left( 2 4 r ^ { 2 } { r _ { 0 } } ^ { 2 } ( r + { r _ { 0 } } ) ^ { 2 } ( 2 r \right. \right. } \\ & { + } & { \left. \left. { r _ { 0 } } ) e ^ { \mu ( r - { r _ { 0 } } ) } \left( 6 ( \mu + 3 ) r ^ { 3 } + r ^ { 2 } ( 5 ( \mu + 3 ) { r _ { 0 } } - 1 8 ) + r { r _ { 0 } } ( ( \mu + 3 ) { r _ { 0 } } - 2 4 ) - 8 { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) \right. \right. } \\ & { - } & { \left. \left. 4 { r _ { 0 } } ^ { 3 } \left( 2 r ^ { 2 } + 3 r { r _ { 0 } } + { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( 6 ( \mu + 2 ) r ^ { 3 } + r ^ { 2 } ( 5 ( \mu + 2 ) { r _ { 0 } } - 1 2 ) + r { r _ { 0 } } ( ( \mu + 2 ) { r _ { 0 } } - 1 5 ) - 5 { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) \right. \right. } \\ & { - } & { \left. \left. 6 r ^ { 6 } \left( 2 7 \alpha r ^ { 8 } + 2 7 \alpha r ^ { 7 } { r _ { 0 } } + 9 \alpha r ^ { 6 } { r _ { 0 } } ^ { 2 } + \alpha r ^ { 5 } { r _ { 0 } } ^ { 3 } - 1 0 8 r ^ { 4 } - 3 6 r ^ { 3 } ( 7 { r _ { 0 } } - 3 ) - 3 6 r ^ { 2 } { r _ { 0 } } ( 5 { r _ { 0 } } - 9 ) \right. \right. \right. } \\ & { - } & { \left. \left. \left. 3 6 r ( { r _ { 0 } } - 9 ) { r _ { 0 } } ^ { 2 } + 1 0 8 { r _ { 0 } } ^ { 3 } \right) e ^ { 3 \mu ( r - { r _ { 0 } } ) } + r ^ { 4 } { r _ { 0 } } e ^ { 2 \mu ( r - { r _ { 0 } } ) } \left( 5 4 \alpha ( \mu + 2 ) r ^ { 9 } + 8 1 \alpha ( \mu + 2 ) r ^ { 8 } { r _ { 0 } } \right. \right. \right. } \\ & { + } & { \left. \left. \left. 9 \alpha r ^ { 7 } { r _ { 0 } } ( 5 ( \mu + 2 ) { r _ { 0 } } + 3 ) + \alpha r ^ { 6 } { r _ { 0 } } ^ { 2 } ( 1 1 ( \mu + 2 ) { r _ { 0 } } + 2 7 ) + r ^ { 5 } \left( - 2 1 6 ( \mu + 6 ) + \alpha ( \mu + 2 ) { r _ { 0 } } ^ { 4 } \right. \right. \right. \right. } \\ & { + } & { \left. \left. \left. \left. 9 \alpha { r _ { 0 } } ^ { 3 } \right) + r ^ { 4 } \left( \alpha { r _ { 0 } } ^ { 4 } - 6 1 2 ( \mu + 6 ) { r _ { 0 } } + 1 2 9 6 \right) - 3 6 r ^ { 3 } { r _ { 0 } } ( 1 7 ( \mu + 6 ) { r _ { 0 } } - 1 2 3 ) \right. \right. \right. } \\ & { - } & { \left. \left. \left. 3 6 r ^ { 2 } { r _ { 0 } } ^ { 2 } ( 7 ( \mu + 6 ) { r _ { 0 } } - 1 5 5 ) - 3 6 r { r _ { 0 } } ^ { 3 } ( ( \mu + 6 ) { r _ { 0 } } - 8 5 ) + 6 1 2 { r _ { 0 } } ^ { 4 } \right) \right) \right\rbrace } \end{array}
H ( \{ q _ { N _ { s } } \} ) = ( u _ { 1 } - u _ { 2 } ) ( v _ { 1 } - u _ { 2 } ) \left[ 1 - \frac { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } { 2 ( u _ { 1 } - u _ { 2 } ) } - \frac { \nu _ { 1 } \mu _ { 2 } } { 2 ( v _ { 1 } - u _ { 2 } ) } \right] \prod _ { s = 1 } ^ { n } ( u _ { s } - v _ { s } - \mu _ { s } \nu _ { s } ) ^ { - 1 }
\begin{array} { r l r } { \left( \epsilon _ { s } + \epsilon _ { s } ^ { ( 2 ) } | \delta \phi _ { 0 } | ^ { 2 } \right) \delta \phi _ { s } } & { { } = } & { \left[ \left( \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { s } } { 2 \omega _ { + } } \right) ^ { 2 } \frac { \beta _ { s } ^ { + } \delta \phi _ { 0 } ^ { * } \beta _ { + } } { \tau b _ { + } \epsilon _ { A + } } \delta \phi _ { 0 } \right. } \end{array}
\sigma _ { 0 } \mapsto \Bigg ( \begin{array} { c c } { { 0 \, } } & { { \; 1 } } \\ { { 1 \, } } & { { \; 0 } } \end{array} \Bigg ) \; , \quad \sigma ^ { 1 } = \sigma ^ { + } + \sigma ^ { - } \mapsto \Bigg ( \begin{array} { c c } { { 0 \, } } & { { - i \, } } \\ { { i \, } } & { { \; 0 } } \end{array} \Bigg ) \; , \quad \sigma ^ { 2 } = \sigma ^ { + } - \sigma ^ { - } \mapsto \Bigg ( \begin{array} { c c } { { i \; } } & { { \, 0 } } \\ { { 0 \; } } & { { - i \, } } \end{array} \Bigg ) \; .
\begin{array} { r l } { f _ { x } ( \theta , \phi ) } & { { } = e _ { \mathrm { f a r } , \theta } ( \theta , \phi ) \cos \theta - e _ { \mathrm { f a r } , \phi } ( \theta , \phi ) { \sin \phi } / { \cos \theta } } \\ { f _ { y } ( \theta , \phi ) } & { { } = e _ { \mathrm { f a r } , \theta } ( \theta , \phi ) \sin \phi + e _ { \mathrm { f a r } , \phi } ( \theta , \phi ) { \cos \phi } / { \cos \theta } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { i \leq N } \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { r \leq t } \vert X _ { r } ^ { i , N } - X _ { r } ^ { i , \infty } \vert } \\ & { \leq C \int _ { 0 } ^ { t } \operatorname* { s u p } _ { i \leq N } \mathbb { E } \vert X _ { s } ^ { i , N } - X _ { s } ^ { i , \infty } \vert \, d s + C \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } W _ { 1 } ( \overline { { \mu } } _ { s } ^ { N } , \mu _ { s } ) \, d s } \\ & { \leq C \int _ { 0 } ^ { t } \operatorname* { s u p } _ { i \leq N } \mathbb { E } \vert X _ { s } ^ { i , N } - X _ { s } ^ { i , \infty } \vert \, d s + C \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } W _ { 1 } ( \overline { { \mu } } _ { s } ^ { N } , \tilde { \mu } _ { s } ^ { N } ) + \mathbb { E } W _ { 1 } ( \tilde { \mu } _ { s } ^ { N } , \mu _ { s } ) \, d s , } \end{array}
B = - { \cal C } \Gamma _ { 1 } \cdots \Gamma _ { t } \, , \qquad B ^ { - 1 } = ( - ) ^ { ( t - 1 ) ( t - 2 ) / 2 } \Gamma _ { 1 } \cdots \Gamma _ { t } { \cal C } ^ { - 1 } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { K L } ( \mathbb { P } _ { \mathcal { T } _ { 1 } } , \mathbb { P } _ { \mathcal { T } _ { i } } ) } & { \le \frac { t } { 8 ( 2 ^ { n } - 1 ) } + \frac { t } { 2 ^ { 2 n + 1 } } } \\ & { \le \frac { 2 } { 3 } + \frac { 1 6 } { 3 } \cdot \frac { 2 ^ { n } - 1 } { 2 ^ { 2 n + 1 } } } \\ & { \le 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { n } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) } & { = \frac { E S S ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) } { \frac { 2 ( 2 \beta ^ { 2 } + 1 ) } { ( 2 \beta + 1 ) ^ { 5 / 2 } } - \frac { \beta ^ { 2 } } { ( \beta + 1 ) ^ { 3 } } } , } \\ { Q _ { n } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) } & { = \frac { E S S ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) } { T S S ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) / n } = n R _ { O L S } ^ { 2 } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) . } \end{array}
\widetilde { \Phi } _ { p p } = \frac { C _ { 2 } \widetilde { \omega } ^ { 2 } } { \left( \widetilde { \omega } ^ { 0 . 7 5 } + C _ { 1 } \right) ^ { 3 . 7 } + \left( C _ { 3 } \widetilde { \omega } \right) ^ { 7 } } = \frac { A } { B + C }
L ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) : = \frac { 1 } { q ^ { d } } \sum _ { x ^ { 1 } \in \mathbb F _ { q } ^ { d } } f _ { 1 } ( x ^ { 1 } ) \left( \frac { 1 } { | S _ { t } | } \sum _ { x ^ { 2 } \in \mathbb F _ { q } ^ { d } } f _ { 2 } ( x ^ { 1 } - x ^ { 2 } ) S _ { t } ( x ^ { 2 } ) \right) \lesssim | | f _ { 1 } | | _ { p _ { 1 } } | | f _ { 2 } | | _ { p _ { 2 } } .
k _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } r _ { \mathrm { ~ L ~ } } = k _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } a \cdot ( r _ { \mathrm { ~ L ~ } } / a ) = 2 \pi \times [ 3 / ( 4 \pi \, N ) ] ^ { 1 / 3 } \times ( \sqrt { 3 \Gamma } \beta ) ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { \operatorname { v a r } ( X ) } & { { } \equiv \sigma _ { X } ^ { 2 } } \\ { \operatorname { v a r } ( X _ { 1 } + X _ { 2 } ) } & { { } \equiv \operatorname { v a r } ( X _ { 1 } ) + \operatorname { v a r } ( X _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t + \epsilon ; \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } , t ) } & { { } = } & { \left( \frac { m } { 2 \pi i \hbar \epsilon } \right) ^ { 3 / 2 } \exp \left\{ \frac { i \epsilon } { \hbar } \left[ \frac { m } { 2 } \left( \frac { \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } } { \epsilon } \right) ^ { 2 } - e A _ { 0 } \left( \frac { \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } + \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } } { 2 } \right) \right] \; \; + \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial \partial _ { J } \eta \wedge A \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n } } & { = n A \wedge \bar { \partial } \bar { \partial } _ { J } \partial \partial _ { J } u \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n - 1 } } \\ & { = n ( n - 1 ) A \wedge \bar { \partial } \bar { \partial } _ { J } \Omega _ { h } \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n - 1 } - n \bar { \partial } \bar { \partial } _ { J } S _ { 1 } ( \Omega _ { h } ) \wedge A \wedge \Omega \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n - 1 } } \\ & { \quad + n \bar { \partial } \bar { \partial } _ { J } S _ { 1 } ( \widetilde { \Omega } ) \wedge A \wedge \Omega \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n - 1 } - n ( n - 1 ) A \wedge \bar { \partial } \bar { \partial } _ { J } \widetilde { \Omega } \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n - 1 } } \end{array}
\Gamma _ { \gamma } = - \frac { f _ { v ^ { 2 } } } { f _ { D } } \frac { 1 + \alpha } { 2 } \frac { \nu _ { \mathrm { o p t } } ^ { r } } { | \nu _ { \mathrm { o p t } } | ^ { 2 } } \frac { 3 } { 2 } \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } ,
\{ W _ { J _ { 1 } , m _ { 1 } } , W _ { J _ { 2 } , m _ { 2 } } \} = 4 ( m _ { 2 } J _ { 1 } - m _ { 1 } J _ { 2 } ) W _ { J _ { 1 } + J _ { 2 } - 1 , m _ { 1 } + m _ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { { \Tilde { g } ^ { ( i , j ) } } _ { i ^ { \prime } } } & { \triangleq \sum _ { j ^ { \prime } } P _ { i ^ { \prime } , j ^ { \prime } } ( \Xi * Q ) _ { j ^ { \prime } m _ { x } + i ^ { \prime } , j m _ { x } + i } ~ , } \\ { { \Tilde { h } ^ { ( i , j ) } } _ { i ^ { \prime } } } & { \triangleq \sum _ { j ^ { \prime } } P _ { i ^ { \prime } , j ^ { \prime } } ( ( 1 - \Xi ) * Q ) _ { j ^ { \prime } m _ { x } + i ^ { \prime } , j m _ { x } + i } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle A , p | \hat { H } | B , q \rangle = \delta _ { A B } ( S _ { p q } E _ { A } + \tilde { h } _ { p q } ) + } \\ & { } & { + { \sum _ { r } } ^ { \prime } W _ { p r } ^ { B A } \tilde { h } _ { r q } + { \sum _ { r s } } ^ { \prime } \Big ( [ p q | r s ] Q _ { s r } ^ { B A } + [ p s | r q ] W _ { s r } ^ { B A } \Big ) + } \\ & { } & { + { \sum _ { r s t } } ^ { \prime } [ q t | r s ] P _ { p s , t r } ^ { B A } \qquad \qquad q \in \mathrm { V O } . } \end{array}
{ S _ { 1 4 } ^ { \uparrow \uparrow , t h } } = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \int d E [ T _ { 1 4 } ^ { \uparrow \uparrow } f _ { 4 } ( 1 - f _ { 4 } ) + T _ { 4 1 } ^ { \uparrow \uparrow } f _ { 1 } ( 1 - f _ { 1 } ) ] .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { ( x _ { 1 } + \varepsilon x _ { 2 } ) ^ { 4 } } \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { \varepsilon } \\ { \varepsilon } & { \left( 2 \left( \frac { x _ { 1 } } { x _ { 2 } } \right) ^ { 2 } + 4 \varepsilon \frac { x _ { 1 } } { x _ { 2 } } + 3 \varepsilon ^ { 2 } \right) } \end{array} \right) = } \\ { = \frac { 2 } { ( x _ { 1 } + \varepsilon x _ { 2 } ) ^ { 4 } } \left( \varepsilon + \frac { x _ { 1 } } { x _ { 2 } } \right) ^ { 2 } = \frac { 2 } { x _ { 2 } ^ { 2 } ( x _ { 1 } + \varepsilon x _ { 2 } ) ^ { 2 } } \ , } \end{array}
\exists x , y \in [ 0 , 1 ] ^ { p } , \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ , ~ 1 ~ } } \neq \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ , ~ 2 ~ } } \neq \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ S ~ J ~ L ~ } , L ^ { 1 } }
\rho _ { \frac { s } { 2 } } \left( x \right) = \sinh \frac { i } { 2 } \frac { d } { d x } \rho \left( x \right) \qquad \qquad \rho _ { \frac { c } { 2 } } \left( x \right) = \cosh \frac { i } { 2 } \frac { d } { d x } \rho \left( x \right)
p _ { h , z } = - \rho _ { b } ^ { - 2 } \Big ( \Delta _ { b } \big ( \xi _ { r } - z c ^ { \prime } ( r ) + \frac { \chi \big ( a \xi _ { \varphi } - ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) z \big ) } { \Delta _ { b } } \big ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { \Delta _ { b } } \big ( a \xi _ { \varphi } - ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) z \big ) ^ { 2 } + \tilde { p } _ { h , z } \Big )
\begin{array} { r l } { \psi _ { 1 s } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt \pi a _ { 0 } ^ { 3 / 2 } } e ^ { - r / a _ { 0 } } , } \\ { \psi _ { 2 s } } & { { } = \frac { 1 } { 4 \sqrt { 2 \pi } a _ { 0 } ^ { 3 / 2 } } \left( 2 - \frac { r } { a _ { 0 } } \right) e ^ { - r / ( 2 a _ { 0 } ) } . } \end{array}
\bigl | \bigl \{ \Phi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \zeta _ { * } ) \, , \, \Theta \bigr \} \bigr | \, \le \, C \bigl ( \epsilon \delta + \epsilon ^ { \gamma _ { 3 } } \bigr ) ( 1 + \rho ) ^ { N } \, W _ { \epsilon } \, \le \, C \bigl ( \epsilon \delta + \epsilon ^ { \gamma _ { 3 } } \bigr ) \, \epsilon ^ { - N \sigma _ { 1 } } \, W _ { \epsilon } \, ,
\Delta \bar { T } _ { 0 , c o } ( \Delta T _ { m } ) = \frac { \pm 1 . 7 6 \bar { \delta } _ { c o } + ( 2 \mathrm { ~ N ~ u ~ } \kappa / A \kappa _ { t } ) \Delta T _ { m } } { 1 + 2 \mathrm { ~ N ~ u ~ } \kappa / A \kappa _ { t } } \ .
\sum _ { k = 0 } ^ { 3 } { { { \left( { \frac { { \partial { R _ { k } } } } { { \partial { \bf { \bar { v } } } } } } \right) } ^ { \dag } } \cdot { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } } - \frac { { \partial J } } { { \partial { \bf { \bar { v } } } } } = 0 ,
\mathcal { H } ( x ; \alpha , \kappa ) = - \frac { 8 x ^ { 3 } } { 2 7 } + \frac { 4 } { 3 } ( \alpha + b _ { 2 } ) x + \frac { \frac { 4 } { \sqrt { 3 } } x \sin \left( \frac { x ^ { 2 } } { \sqrt { 3 } } - \frac { b _ { 2 } } { \sqrt { 3 } } \ln \left( 2 \sqrt { 3 } x ^ { 2 } \right) + \psi _ { 2 } \right) } { 2 \cos \left( \frac { x ^ { 2 } } { \sqrt { 3 } } - \frac { b _ { 2 } } { \sqrt { 3 } } \ln \left( 2 \sqrt { 3 } x ^ { 2 } \right) + \psi _ { 2 } \right) + 1 } + O \left( \frac { 1 } { x } \right) .
\begin{array} { r l } { L ( s , \ \mathrm { { s y m } } ^ { 2 } f ) = } & { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \lambda _ { { \mathrm { s y m } } ^ { 2 } f } ( n ) } { n ^ { s } } } \\ { = } & { \prod _ { p } \prod _ { j = 0 } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \alpha _ { f } ^ { 2 - j } ( p ) \beta _ { f } ^ { j } ( p ) } { p ^ { s } } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { \bar { C } _ { n m } ( t ) = \bar { C } _ { n m } + \sum _ { l = 0 } ^ { L } \phantom { } _ { l } \Delta \bar { C } _ { n m } \, \phantom { } _ { l } \xi _ { n } ( t - t _ { 0 } ) , } \\ { \bar { S } _ { n m } ( t ) = \bar { S } _ { n m } + \sum _ { l = 0 } ^ { L } \phantom { } _ { l } \Delta \bar { S } _ { n m } \, \phantom { } _ { l } \xi _ { n } ( t - t _ { 0 } ) , } \end{array} \right.
R ( h ^ { * } ) \leq ( \epsilon _ { 1 } + \epsilon _ { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { \epsilon _ { 3 } } { 2 } + 2 B M \sqrt { \frac { 2 \log ( 2 m _ { \phi } ) } { N } } + M ^ { 2 } \sqrt { \frac { \log { \frac { 1 } { \delta } } } { 2 N } }
\mathbf { M } _ { \mathrm { O O } } = \left[ \begin{array} { l l } { M _ { 0 } } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { 0 } } \end{array} \right] \, , \qquad \mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { m } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { m } } \end{array} \right] \, , \qquad \mathbf { m } = \left[ \begin{array} { l l } { m } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { m } } \end{array} \right] \, ,
U = \left( \begin{array} { l l l } { { c _ { 1 3 } c _ { 1 2 } } } & { { c _ { 1 3 } s _ { 1 2 } } } & { { s _ { 1 3 } e ^ { - i \phi } } } \\ { { - c _ { 2 3 } s _ { 1 2 } - s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } c _ { 1 2 } e ^ { i \phi } } } & { { c _ { 2 3 } c _ { 1 2 } - s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } s _ { 1 2 } e ^ { i \phi } } } & { { s _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } } \\ { { s _ { 2 3 } s _ { 1 2 } - c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } c _ { 1 2 } e ^ { i \phi } } } & { { - s _ { 2 3 } c _ { 1 2 } - c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } s _ { 1 2 } e ^ { i \phi } } } & { { c _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } } \end{array} \right) \ ,
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \operatorname { F S } } ( A ^ { \prime } ) } & { = \Big \{ \sum C + \sum D - \sum B : \, ( C , D ) \in \ensuremath { \mathcal P } ( A \setminus B ) \times \ensuremath { \mathcal P } ( B ) \Big \} } \\ & { = \Big \{ \sum C + \sum D : \, ( C , D ) \in \ensuremath { \mathcal P } ( A \setminus B ) \times \ensuremath { \mathcal P } ( B ) \Big \} - \sum B } \\ & { = \ensuremath { \operatorname { F S } } ( A ) - \sum B . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } } & { y _ { i } ^ { ( l ) } } & & { = \sum _ { i ^ { ( l ) } \in \mathcal { C } ( i ^ { ( l ) } ) } V _ { i ^ { \prime } } ^ { \dagger ( l ) ^ { * } } y _ { i ^ { \prime } } ^ { ( l + 1 ) } } & & { } \\ & { } & & { = V _ { i } ^ { { ( l ) } ^ { * } } x _ { i } ^ { ( l ) } } & & { \mathrm { ~ d e n o t e d ~ a s ~ E q u a t i o n ~ \mathrm { Y } _ { i } ^ { ( l ) } ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( x , t ) = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \alpha _ { k } H ( x - x _ { k } ) \chi _ { x _ { k } } ( t ) \widetilde { K } ^ { h } ( x _ { k } , t ) \ast \chi _ { x - x _ { k } } ( t ) \widetilde { K } _ { k } ( x , t ) } \\ & { + \sum _ { J \in \mathcal { J } _ { N } } \alpha _ { J } H ( x - x _ { j _ { | J | } } ) \left( \prod _ { l = 1 } ^ { | J | - 1 } \right) ^ { \ast } \left( \chi _ { x _ { j _ { l + 1 } } - x _ { j _ { l } } } ( t ) \widetilde { K } _ { j _ { l } } ( x _ { j _ { l + 1 } } , t ) \right) } \\ & { \qquad \ast \Big ( \chi _ { x - ( x _ { j _ { | J | } } - x _ { j _ { 1 } } ) } ( t ) \widetilde { K } _ { j _ { | J | } } ( x , t - x _ { j _ { 1 } } ) + \chi _ { x _ { j _ { 1 } } } ( t ) \widetilde { K } ^ { h } ( x _ { j _ { 1 } } , t ) \ast \chi _ { x - x _ { j _ { | J | } } } ( t ) \widetilde { K } _ { j _ { | J | } } ( x , t ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { F } ( I ) } & { = } & { \mathcal { F } \left( { \left| U _ { \mathrm { s } } \right| } ^ { 2 } + \left| U _ { \mathrm { s } } ^ { \perp } \right| ^ { 2 } + { \left| \it U _ { \mathrm { r e f } } \right| } ^ { 2 } \right) + \mathcal { F } \left( \it U _ { \mathrm { s } } ^ { \ast } U _ { \mathrm { r e f } } \right) + \mathcal { F } \left( \it U _ { \mathrm { s } } U _ { \mathrm { r e f } } ^ { \ast } \right) } \\ & { \approx } & { \mathcal { F } \left( { \left| U _ { \mathrm { s } } \right| } ^ { 2 } + \left| U _ { \mathrm { s } } ^ { \perp } \right| ^ { 2 } + { \left| \it U _ { \mathrm { r e f } } \right| } ^ { 2 } \right) + \it \Tilde { U } _ { \mathrm { s } } ^ { \ast } ( \bf k _ { \parallel } - k _ { \parallel } ^ { \mathrm { r e f } } ) + \it \Tilde { U } _ { \mathrm { s } } ( \bf k _ { \parallel } + k _ { \parallel } ^ { \mathrm { r e f } } ) , } \end{array}
P _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ d ~ } } ( \tau ) = \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { \gamma \sigma _ { \mathrm { ~ P ~ } } ^ { 2 } \tau } \left( \ln \frac { \eta } { \tau } \right) ^ { \frac { 2 } { \gamma } - 1 } \exp \left[ - \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { ~ P ~ } } ^ { 2 } } \left( \ln \frac { \eta } { \tau } \right) ^ { \frac { 2 } { \gamma } } \right] .
p \{ e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } , e _ { m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { ( j _ { 2 } - 1 - \frac { i } { 2 } , \bar { j } + 1 - \frac { i } { 2 } ) } \} = \lambda _ { j _ { 2 } - 1 , \bar { j } + 1 , i } ^ { - 1 } \Pi _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , \bar { j } ; i } C _ { m _ { 2 } + \bar { m } , m _ { 1 } , m _ { 1 } + m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { j _ { 2 } + \bar { j } - i , j _ { 1 } ; j _ { 1 } + j _ { 2 } - \bar { j } - 3 } e _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { ( j _ { 1 } + j _ { 2 } - \bar { j } - 3 ) } ,
\begin{array} { r } { \delta { \bf V } \equiv { \bf V } _ { E } - { \bf V } \simeq c \left( \frac { 1 } { 1 6 k _ { 0 } ^ { 4 } w ^ { 2 } l ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 3 2 k _ { 0 } ^ { 4 } w ^ { 4 } } \right) \! \bar { \bf z } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Tilde { \rho } _ { a e } } & { { } = \rho _ { a e } e ^ { - i \omega _ { C } t } } \\ { \Tilde { \rho } _ { b e } } & { { } = \rho _ { b e } e ^ { - i \omega _ { P } t } } \\ { \Tilde { \rho } _ { c e } } & { { } = \rho _ { c e } e ^ { i \omega _ { C } t } } \\ { \Tilde { \rho } _ { a b } } & { { } = \rho _ { a b } e ^ { - i ( \omega _ { C } - \omega _ { P } ) t } } \\ { \Tilde { \rho } _ { b c } } & { { } = \rho _ { b c } e ^ { i ( \omega _ { C } - \omega _ { P } ) t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \textrm { d } ^ { 2 } s ( \rho ) } { \textrm { d } \rho ^ { 2 } } | _ { \rho = \Upsilon } } & { = \bigg ( 1 6 \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 8 } \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 6 } ( \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } \! \! - \! \! 4 \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } ) ^ { 4 } ( \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } \! \! - \! \! 2 \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } ) ^ { 3 } ( \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } \! \! + \! \! \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } \! \! - \! \! 2 \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } ) \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { \frac { - ( \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } + 2 \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } ) ( \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 4 } + 4 \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 4 } \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } - 8 \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 4 } - 2 \sqrt { \Psi } ) } { ( - \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } ( \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } - 2 \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } ) + \Gamma ) ^ { 3 } ( - 2 \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } + \Gamma ) ^ { 3 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 2 , 0 } ( U _ { \zeta } ( \theta , y , z ) ) } & { \overset { , } = \mathcal { H } _ { 2 } ( \varepsilon v _ { \varepsilon } ( \theta , y ) ) } \\ & { \overset = 2 \varepsilon ^ { 2 } \sum _ { j _ { k } \in S ^ { + } } j _ { k } \kappa _ { j _ { k } } \left( \zeta _ { k } + \varepsilon ^ { 2 ( b - 1 ) } y _ { k } \right) } \\ & { = \varepsilon ^ { 2 } C _ { 1 } ( \zeta ) + 2 \varepsilon ^ { 2 b } \sum _ { j _ { k } \in S ^ { + } } j _ { k } \kappa _ { j _ { k } } y _ { k } } \\ & { = : \varepsilon ^ { 2 } C _ { 1 } ( \zeta ) + 2 \pi \varepsilon ^ { 2 b } \overline { { \omega } } \cdot y , } \end{array}
\hat { U } _ { \alpha } = \sum _ { j = 1 } ^ { L } e ^ { - i E _ { j } } | \psi _ { j } ^ { \alpha } \rangle \langle \widetilde { \psi } _ { j } ^ { \alpha } | , \qquad \hat { \widetilde { U } } _ { \alpha } = \sum _ { j = 1 } ^ { L } e ^ { - i E _ { j } } | \widetilde { \psi } _ { j } ^ { \alpha } \rangle \langle \psi _ { j } ^ { \alpha } | .
\frac { \partial \langle { \rho } \rangle } { \partial t } + { \boldsymbol { \nabla } } { \boldsymbol { \cdot } } \left( { \langle { \rho } \rangle { \bf { U } } } \right) = - { \boldsymbol { \nabla } } { \boldsymbol { \cdot } } \left\langle { \rho ^ { \prime } { \bf { u } } ^ { \prime } } \right\rangle ,
\hat { \phi } _ { m } ( x ; \bar { W } ) = \hat { \phi } _ { m - 1 } ( x ; \bar { W } ) + \arg \operatorname* { m i n } _ { W } \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { N } \mathcal { L } \left( \mathcal { Y } _ { i } , \hat { \phi } _ { m - 1 } ( x ; W ) + \hat { \phi } \left( \mathcal { X } _ { i } ; W \right) \right) \right] \, .
\Delta _ { \pi } ( k ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d T } { T } \exp \{ - m ^ { 2 } \frac { T } { 2 } \} < V _ { 5 } ( k ) V _ { 5 } ( - k ) > _ { y , \psi _ { \mu } , \psi _ { 5 } , \psi _ { 6 } } .
\begin{array} { r l } & { - \int _ { 0 } ^ { T } \left( f , \partial _ { t } \zeta \right) _ { p } d t - \left( f _ { 0 } , \zeta _ { 0 } \right) _ { p } } \\ { = } & { - \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \lambda } ^ { + \infty } \left[ \left( \partial _ { p } u - \partial _ { p } \varphi _ { 0 } \right) \partial _ { t } \zeta \right] d p d t } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \lambda } ^ { + \infty } \left[ \left( u - \varphi _ { 0 } \right) \partial _ { t } \partial _ { p } \zeta \right] d p d t - \left. \int _ { 0 } ^ { T } \left[ \left( u - \varphi _ { 0 } \right) \partial _ { p } \zeta \right] d t \right| _ { \lambda } ^ { + \infty } } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \lambda } ^ { + \infty } \left[ \left( u - \varphi _ { 0 } \right) \partial _ { t } \partial _ { p } \zeta \right] d p d t . } \\ { = } & { \left( u , \partial _ { t } \left( \partial _ { p } \zeta \right) \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \varphi _ { 0 } , \partial _ { p } \zeta _ { 0 } \right) _ { \Omega ^ { * } } } \\ { = } & { \left( \frac { \gamma } { 2 } \partial _ { p } u ^ { 2 } , \partial _ { p } ^ { 2 } \zeta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \gamma ( \partial _ { p } u ) ^ { 2 } , \partial _ { p } \zeta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \left( \frac { \partial _ { p } \gamma } { 2 } \right) \partial _ { p } u ^ { 2 } , \partial _ { p } \zeta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } - \left( g _ { 0 } u , \partial _ { p } \zeta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } } \end{array}