harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
( 1 - i \alpha N _ { o p } ) \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ( 1 + i \alpha N _ { o p } ) = ( 1 + i \alpha ) \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \; \to \; [ N _ { o p } , \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ] = - \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } )
\begin{array} { r } { \Sigma _ { c } ^ { - , { \kappa = } 0 , { \nu ^ { \prime } = 0 } , - } \, : \, \left\{ \begin{array} { r l } { \dot { x } } & { = e ^ { \nu w } \cos \left( { w \sqrt { 4 - \nu ^ { 2 } } } \right) } \\ { \dot { y } } & { = e ^ { \nu w } \sin \left( { w \sqrt { 4 - \nu ^ { 2 } } } \right) } \\ { \dot { w } } & { = \frac { 1 } { 2 } u } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left| 0 ^ { \mathrm { p } } \right\rangle } & { { } = } & { \hat { U } _ { \mathrm { C S } } | 0 \rangle = \exp \left( z \hat { b } ^ { \dagger } - z ^ { \ast } \hat { b } \right) \left| 0 \right\rangle } \end{array}
C _ { \bullet } : V _ { B } ^ { G } ( \lambda ) \xrightarrow { f } \bigoplus _ { \substack { w \in \Omega _ { \emptyset } \, \ l ( w ) = 1 } } V _ { B } ^ { G } ( w ) \xrightarrow { g } \bigoplus _ { \substack { w \in \Omega _ { \emptyset } \, \ l ( w ) = 2 } } V _ { B } ^ { G } ( w ) \xrightarrow { h } V _ { B } ^ { G } ( s _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 1 } ) .
N _ { 2 } = \frac { 1 } { 1 6 0 \, \pi \, a ^ { 3 } } \, \int \frac { d ^ { 4 } p } { \left( 2 \, \pi \right) ^ { 4 } } \, \theta \left( p ^ { 0 } \right) \, \theta \left( p ^ { 2 } \right) \vert { \tilde { C } } ^ { a b c d } \left( p \right) \vert ^ { 2 } \, \, ,
f _ { \mathrm { ~ n ~ l ~ } } ( x , y ; x _ { \mathrm { ~ m ~ } } , y _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) = \frac { 1 } { \sqrt { ( x - x _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } & { \sigma ^ { z } = \frac { 2 \mu } { 1 - 2 \nu } \bigg [ ( 1 - \nu ) \frac { \partial u _ { 3 } } { \partial z } + \nu \bigg ( \frac { u ^ { r } } { \rho } + \frac { \partial u ^ { r } } { \partial \rho } \bigg ) \bigg ] \qquad \sigma ^ { r } = \frac { 2 \mu } { 1 - 2 \nu } \bigg [ ( 1 - \nu ) \frac { \partial u ^ { r } } { \partial \rho } + \nu \bigg ( \frac { u ^ { r } } { \rho } + \frac { \partial u _ { 3 } } { \partial z } \bigg ) \bigg ] } \\ & { \sigma ^ { \theta } = \frac { 2 \mu } { 1 - 2 \nu } \bigg [ ( 1 - \nu ) \frac { u ^ { r } } { \rho } + \nu \bigg ( \frac { \partial u ^ { r } } { \partial \rho } + \frac { \partial u _ { 3 } } { \partial z } \bigg ) \bigg ] \qquad \tau ^ { r z } = \mu \bigg [ \frac { \partial u ^ { r } } { \partial z } + \frac { \partial u _ { 3 } } { \partial \rho } \bigg ] , } \end{array}
A _ { n } ^ { * i } = \mathrm { e } ^ { - i { \frac { \pi } { 4 } } } \Omega _ { - } ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \bar { \psi } _ { n } ^ { i \dot { 1 } } , \qquad A _ { n } ^ { i } = \mathrm { e } ^ { i { \frac { \pi } { 4 } } } \Omega _ { - } ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } \psi _ { n 2 } ^ { i } .
( \Phi , \Psi ) = N \int _ { \Lambda } d A ^ { \mathrm { T r } } \prod _ { x , i } \psi ( A _ { x , i } ^ { \mathrm { T r } } ) \operatorname * { d e t } M ^ { \prime } ( A ^ { \mathrm { T r } } ) \Phi ^ { * } ( A ^ { \mathrm { T r } } ) \Psi ( A ^ { \mathrm { T r } } ) ,
\mu ( k \eta , q ) = e ^ { - i k ( \eta - \eta _ { c } ) } \sqrt { 2 k ( \eta - \eta _ { c } ) } U ( \frac { 1 } { 2 } - i \frac { q ^ { 2 } \eta _ { c } } { k } , ~ 1 , ~ 2 i k ( \eta - \eta _ { c } ) ) , ~ ~ ~ ~ \eta < \eta _ { c }
\hat { \rho } ( w ) \sim { \frac { 1 6 } { \sqrt { 2 \pi } } } ( \frac { m } { | x - y | } ) ^ { 3 / 2 } w ^ { 2 } \exp [ - \frac { 2 m w ^ { 2 } } { | x - y | } ] \mathrm { \quad ~ f o r ~ } m \rightarrow \infty .
\begin{array} { r l } { R ( z ) } & { = \sum _ { u = 0 } ^ { C } s _ { u } ^ { ( n ) } \sum _ { i = 0 } ^ { u } q _ { i } ^ { ( n ) } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } z ^ { k } \sum _ { u = 0 } ^ { C } s _ { u } ^ { ( n ) } q _ { k + u } ^ { ( n ) } } \\ & { = \sum _ { u = 0 } ^ { C } s _ { u } ^ { ( n ) } \left[ \sum _ { i = 0 } ^ { u } q _ { i } ^ { ( n ) } + \frac { 1 } { z ^ { u } } Q ( z ) - \frac { 1 } { z ^ { u } } \sum _ { i = 0 } ^ { u } q _ { i } ^ { ( n ) } z ^ { i } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac 1 2 \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \| { \tilde { v } } _ { x x } \| ^ { 2 } + \alpha \| \tilde { v } _ { x x } \| = \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { u } _ { x t } { \tilde { v } } _ { x x } { \mathrm { d } x } - \int _ { 0 } ^ { 1 } ( \tilde { u } \tilde { v } ) _ { x x } { \tilde { v } } _ { x x } { \mathrm { d } x } - \overline { { v } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { u } _ { x x } { \tilde { v } } _ { x x } { \mathrm { d } x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \mathcal { L } _ { D } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , \mathcal { L } _ { D } ^ { * } ] ] } & { = \mu ( x , v ) \Big ( - 4 \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle ^ { 2 } \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) + 7 \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) } \\ & { \quad + \langle v , \nabla _ { x } ( \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) ) v \rangle ) \rangle + \langle R ( x ) v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) R ( x ) v \rangle \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left< e ^ { - \Omega _ { 0 , t } ( \Gamma ; 0 ) } e ^ { - \Omega _ { t + \tau , 2 t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) } \right> _ { \Omega _ { t , t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) = - A \tau } = } & { { } \left< e ^ { - \Omega _ { 0 , t } ( \Gamma ; 0 ) } \right> _ { \Omega _ { t , t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) = - A \tau } \times \hfill } \\ { = } & { { } C ( t ) , } \end{array}
( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) ^ { 2 } = ( c \, \Delta t ) ^ { 2 } - \Delta x ^ { 2 } \qquad \mathrm { a n d } \qquad ( \xi _ { 2 } - \xi _ { 1 } ) ^ { 2 } = ( c \, \Delta \tau ) ^ { 2 }
C _ { \mathbb H } ^ { ( \beta _ { i } , s _ { i } ) _ { i } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \prod _ { i = 1 } ^ { m } | s _ { i } | _ { + } ^ { - \beta _ { i } ( Q - \frac { \beta _ { i } } { 2 } ) } e ^ { \sum _ { j = i + 1 } ^ { m } \frac { \beta _ { i } \beta _ { j } } { 4 } G _ { \mathbb H } ( s _ { i } , s _ { j } ) } } & { \qquad \mathrm { i f ~ s _ 1 \neq ~ \infty ~ , } } \\ { \prod _ { i = 2 } ^ { m } | s _ { i } | _ { + } ^ { - \beta _ { i } ( Q - \frac { \beta _ { i } } { 2 } - \frac { \beta _ { 1 } } { 2 } ) } e ^ { \sum _ { j = i + 1 } ^ { m } \frac { \beta _ { i } \beta _ { j } } { 4 } G _ { \mathbb H } ( s _ { i } , s _ { j } ) } } & { \qquad \mathrm { i f ~ s _ 1 = \infty ~ . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { X } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l } { x _ { 1 } } & { , ~ \cdots ~ , } & { x _ { m } } \end{array} \right] } \\ { Y } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l } { x _ { 1 } ^ { + } } & { , ~ \cdots ~ , } & { x _ { m } ^ { + } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { s w } } & { { } = \int \frac { 1 } { 2 } h _ { h } \boldsymbol { u } _ { h } \cdot \boldsymbol { u } _ { h } + \frac { g } { 2 } h _ { h } ^ { 2 } \mathrm { d } \Omega } \\ { Z _ { s w } } & { { } = \int \frac { 1 } { 2 } h _ { h } q _ { h } ^ { 2 } \mathrm { d } \Omega , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underline { { t } } } & { : = \frac { \log ( 1 5 c _ { x } \sqrt { r _ { 0 } n } / | c _ { \xi , x } | ) } { \log [ ( 1 - \lambda _ { 2 } ) / ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ] } , } \\ { \overline { { t } } } & { : = \operatorname* { m i n } \bigg \{ \frac { \log ( | c _ { \xi , x } | / 5 | c _ { \eta , x } | ) } { \log [ ( 1 - \lambda _ { 1 } ) / ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ] } , \frac { \log ( | c _ { \xi , x } | / 5 | \zeta _ { 1 } | ) } { \log [ 1 / ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ] } , } \\ & { \qquad \frac { \log \{ [ ( l _ { d } ^ { ( r ) } r _ { 0 } n + l ^ { ( s ) } ) | c _ { \xi , x } | / 5 l ^ { ( s ) } | \zeta _ { 2 } | ] + 1 \} } { \log [ 1 / ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ] } , } \\ & { \qquad \frac { \log \{ [ \frac 1 2 ( l _ { s } ^ { ( r ) } + l _ { d } ^ { ( r ) } ) r _ { 0 } n + l ^ { ( s ) } ] | c _ { \xi , x } | / 1 5 l ^ { ( s ) } c _ { x } \sqrt { r _ { 0 } n } \} } { \log [ 1 / ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ] } \bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \parallel \int _ { ( 0 , \epsilon _ { J } ] } D _ { \beta _ { J , x - } ^ { u s d } } ^ { * } d x \parallel _ { 1 } } & { = } & { \sum _ { u \in { \cal R } ( d , J ) } \left| \int _ { ( 0 , \epsilon _ { J } ] } D _ { \beta _ { J , x - } ^ { u s d } } ^ { * } ( u ) d x \right| } \\ & { \leq } & { \int _ { ( 0 , \epsilon _ { J } ] } \sum _ { u \in { \cal R } ( d , J ) } \left| D _ { \beta _ { J , x - } ^ { u s d } } ^ { * } ( u ) \right| d x } \\ & { = } & { \int _ { ( 0 , \epsilon _ { J } ] } \parallel D _ { \beta _ { J , x - } ^ { u s d } } ^ { * } \parallel _ { 1 } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi _ { 1 } ^ { i , j + 1 } } & { = } & { \psi _ { 1 } ^ { i , j } - \sum _ { k = 1 } ^ { j } [ ( k + 1 ) ^ { ( 1 - \alpha ) } - k ^ { ( 1 - \alpha ) } ] [ \psi _ { 1 } ^ { i , j + 1 - k } - \psi _ { 1 } ^ { i , j - k } ] + i ^ { - \alpha } \beta _ { \alpha , \mu } ( V _ { 1 } ^ { j } \psi _ { 2 } ^ { i , j } + V _ { 1 } ^ { j + 1 } \psi _ { 2 } ^ { i , j + 1 } ) } \\ & { - } & { i ^ { - \alpha } \xi _ { \alpha , \mu } \sum _ { k = 0 } ^ { i - 1 } [ \psi _ { 1 } ^ { i - k + 1 , j } - 2 \psi _ { 1 } ^ { i - k , j } + \psi _ { 1 } ^ { i - k - 1 , j } ] [ ( k + 1 ) ^ { 2 - \mu } - k ^ { 2 - \mu } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { s r } \left( t \right) } & { { } = \sigma _ { s r } ^ { \left( \mathrm { N P } \right) } \left( t \right) } \\ { \sigma _ { s r } \left( t \right) } & { { } = \sigma _ { s r } ^ { \left( \mathrm { N P } \right) } \left( t \right) } \end{array}
\psi _ { n 0 0 } ^ { \bullet } ( \omega ; \vec { r } ) \approx \sum _ { p = 1 } ^ { \mathfrak { N } } D _ { n 0 , p } ^ { \bullet \, ( \mathfrak { N } ) } \mathfrak { f } _ { p 0 0 } ( \omega ; r ) \, ,
\{ j _ { 0 } ^ { a } ( x ) , \psi _ { \pm } ^ { b } ( y ) \} = f ^ { a b c } \psi _ { \pm } ^ { c } \delta ( x { - } y ) \, , \qquad \{ j _ { 1 } ^ { a } ( x ) , \psi _ { \pm } ^ { b } ( y ) \} = \pm { \frac { 1 } { 2 } } f ^ { a b c } \psi _ { \pm } ^ { c } \delta ( x { - } y ) \ .
\left\{ \begin{array} { r l } { 0 = } & { ~ \frac { \alpha } { r + \mu } \varepsilon _ { 0 } \Lambda - \alpha y _ { 0 } ^ { * * } - \frac { \mu n ^ { * } y _ { 0 } ^ { * * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } , } \\ { 0 = } & { ~ \frac { \alpha } { r + \mu } ( 1 - p _ { I } ) \varepsilon _ { 1 } \Lambda - \alpha ( 1 - p _ { I } ) y _ { 1 } ^ { * * } - \frac { \mu n ^ { * } ( 1 - p _ { I } ) y _ { 1 } ^ { * * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } , } \\ { 0 = } & { ~ \frac { \alpha } { r + \mu } ( 1 - p _ { S } ) ( 1 - p _ { I } ) \varepsilon _ { 2 } \Lambda - \alpha ( 1 - p _ { S } ) ( 1 - p _ { I } ) y _ { 2 } ^ { * * } - \frac { \mu n ^ { * } ( 1 - p _ { I } ) y _ { 2 } ^ { * * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } . } \end{array} \right.
b ^ { - 2 } ( \phi _ { n + 1 } ^ { \alpha } + \phi _ { n - 1 } ^ { \alpha } - 2 \phi _ { n } ^ { \alpha } ) + i L ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \chi ^ { \alpha } e ^ { i D _ { \alpha } n b } = 0 , \quad n \neq - N
\begin{array} { r l r } { \dot { S } } & { { } = } & { \mu ( X / n _ { X } ; S _ { \mathrm { e x t } } ) - \phi S X - \mu S , } \\ { \dot { X } } & { { } = } & { \phi S X - 2 \phi ( X ^ { 2 } - v Y ) - \mu X , } \\ { \dot { Y } } & { { } = } & { \phi ( X ^ { 2 } - v Y ) - \mu Y , } \end{array}
Q _ { 1 2 } = ( \vec { \sigma } _ { Q } \cdot \vec { L } \, \vec { \sigma } _ { \bar { q } } \cdot \vec { L } + \vec { \sigma } _ { \bar { q } } \cdot \vec { L } \, \vec { \sigma } _ { Q } \cdot \vec { L } ) / 2 .
\begin{array} { r l } { k ^ { \dagger \dagger } = } & { U _ { s ( m ) + 1 } \cdot T _ { s ( m ) + 1 } ^ { \dagger \dagger } \cdot 2 ^ { ( 4 e ( m ) - t _ { s ( m ) } ) \cdot ( 2 M _ { s ( m ) + 1 } + 3 ) } } \\ { = } & { U _ { s ( m ) + 1 } \cdot T _ { s ( m ) + 2 } ^ { \dagger \dagger } \cdot 2 ^ { 8 e ( m ) \cdot ( M _ { s ( m ) + 2 } + M _ { s ( m ) + 1 } + 3 ) - t _ { s ( m ) } \cdot ( 2 M _ { s ( m ) + 1 } + 3 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sqrt { n h _ { n } } \left\{ E \left( \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 , i } - t } { h _ { n } } \right) \right) - f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( s , t ) \right\} } \\ & { = } & { \sqrt { n h _ { n } } \left\{ E \left( \frac { 1 } { h _ { n } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } k \left( \frac { Z _ { 1 } - s } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 } - t } { h _ { n } } \right) \right) - f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( s , t ) \right\} } \\ & { = } & { \sqrt { n h _ { n } } \frac { 1 } { h _ { n } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \left\{ \int k \left( \frac { z _ { 1 } - s } { h _ { n } } , \frac { z _ { 2 } - s } { h _ { n } } \right) f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) d z _ { 1 } d z _ { 2 } - f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( s , t ) \right\} } \\ & { = } & { \sqrt { n h _ { n } ^ { 2 } } \left\{ \int k \left( m _ { 1 } , m _ { 2 } \right) f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( s + m _ { 1 } h _ { n } , t + m _ { 2 } h _ { n } ) d m _ { 1 } d m _ { 2 } - f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( s , t ) \right\} } \\ & { = } & { \sqrt { n h _ { n } ^ { 2 } } \left\{ \int k \left( m _ { 1 } , m _ { 2 } \right) \left[ f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( s , t ) + h _ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \left( \frac { \partial f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( \xi _ { n } ) } { \partial Z _ { i } } \right) m _ { i } \right] d m _ { 1 } d m _ { 2 } - f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( s , t ) \right\} } \\ & { = } & { \sqrt { n } h _ { n } h _ { n } \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \left( \frac { \partial f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( \xi _ { n } ) } { \partial Z _ { i } } \right) \int m _ { i } k ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) d m _ { 1 } d m _ { 2 } \right\} . } \end{array}
F _ { \mu i } ^ { x c , ( j ) } = \sum _ { \nu \in \mathcal { B } _ { j } } D _ { \mu \nu } ^ { x c , ( j ) } \Phi _ { \mu i } ^ { ( j ) } , \qquad \mu \in \mathcal { B } _ { j } , i \in \mathcal { Q } _ { j } ,
\begin{array} { r l } { \tilde { B } _ { i t } } & { { } = 2 \{ 2 [ h _ { t i } + \sum _ { j } ( 2 g _ { t i j j } - g _ { t j j i } ) ] + 2 [ \sum _ { v w } D _ { v w } ( g _ { t i v w } - \frac { 1 } { 2 } g _ { t v w i } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r } { E ( \theta ) = \frac 1 2 \dot { \theta } ^ { 2 } + \frac { m _ { 3 } ^ { 2 } } { 2 I _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { ( 1 - \cos \theta ) ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } \theta } . } \end{array}
{ \begin{array} { l } { = { \frac { 3 2 ! } { 2 } } \cdot 6 0 ^ { 3 2 } \cdot { \frac { 8 0 ! } { 2 } } \cdot { \frac { 2 4 ^ { 8 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 1 6 0 ! } { 2 } } \cdot { \frac { 1 2 ^ { 1 6 0 } } { 3 } } \cdot { \frac { 1 6 0 ! } { 2 } } \cdot { \frac { 1 2 ^ { 1 6 0 } } { 3 } } \cdot { \frac { 8 0 ! \cdot 4 0 ! } { 2 } } \cdot { \frac { 6 ^ { 8 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 2 ^ { 4 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 3 2 0 ! } { 2 4 ^ { 8 0 } } } \cdot { \frac { 6 ^ { 3 2 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 3 2 0 ! } { 2 4 ^ { 8 0 } } } \cdot { \frac { 6 ^ { 3 2 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 3 2 0 ! } { 2 4 ^ { 8 0 } } } \cdot { \frac { 6 ^ { 3 2 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 6 4 0 ! } { 2 4 ^ { 1 6 0 } } } \cdot { \frac { 3 ^ { 6 4 0 } } { 3 } } \cdot { \frac { 3 2 0 ! } { 2 4 ^ { 8 0 } } } \cdot { \frac { 6 ^ { 3 2 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 2 4 0 ! } { 6 ! ^ { 4 0 } } } \cdot } \\ { { \frac { 2 ^ { 2 4 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 4 8 0 ! } { 1 2 ! ^ { 4 0 } } } \cdot { \frac { 2 ^ { 4 8 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 3 2 0 ! } { 8 ! ^ { 4 0 } } } \cdot { \frac { 2 ^ { 3 2 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 2 4 0 ! } { 6 ! ^ { 4 0 } } } \cdot { \frac { 2 ^ { 2 4 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 9 6 0 ! } { 2 4 ! ^ { 4 0 } } } \cdot { \frac { 2 ^ { 9 6 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 9 6 0 ! } { 2 4 ! ^ { 4 0 } } } \cdot { \frac { 2 ^ { 9 6 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 4 8 0 ! } { 1 2 ! ^ { 4 0 } } } \cdot { \frac { 2 ^ { 4 8 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 9 6 0 ! } { 2 4 ! ^ { 4 0 } } } \cdot { \frac { 2 ^ { 9 6 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 3 2 0 ! } { 8 ! ^ { 4 0 } } } \cdot { \frac { 2 ^ { 3 2 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 8 0 ! } { 8 ! ^ { 1 0 } } } \cdot { \frac { 2 4 0 ! } { 2 4 ! ^ { 1 0 } } } \cdot { \frac { 3 2 0 ! } { 3 2 ! ^ { 1 0 } } } \cdot { \frac { 1 6 0 ! } { 1 6 ! ^ { 1 0 } } } \cdot { \frac { 8 0 ! } { 8 ! ^ { 1 0 } } } \cdot } \\ { { \frac { 4 8 0 ! } { 4 8 ! ^ { 1 0 } } } \cdot { \frac { 9 6 0 ! } { 9 6 ! ^ { 1 0 } } } \cdot { \frac { 6 4 0 ! } { 6 4 ! ^ { 1 0 } } } \cdot { \frac { 2 4 0 ! } { 2 4 ! ^ { 1 0 } } } \cdot { \frac { 9 6 0 ! } { 9 6 ! ^ { 1 0 } } } \cdot { \frac { 9 6 0 ! } { 9 6 ! ^ { 1 0 } } } \cdot { \frac { 3 2 0 ! } { 3 2 ! ^ { 1 0 } } } \cdot { \frac { 6 4 0 ! } { 6 4 ! ^ { 1 0 } } } \cdot { \frac { 1 6 0 ! } { 1 6 ! ^ { 1 0 } } } } \end{array} }
\begin{array} { r c l } { { { \hat { c } } ^ { ( 6 ) } { } _ { i j k l m 5 } } } & { { = } } & { { - 5 ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) \partial _ { [ i } v ^ { ( 0 ) } c ^ { ( 4 ) } { } _ { j k l m ] } - 5 { \textstyle \frac { m } { 2 } } ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) ^ { 3 } v ^ { ( 0 ) } b _ { [ i } \partial _ { j } b _ { k } \partial _ { l } b _ { m ] } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { + v ^ { ( 5 ) } { } _ { i j k l m } \, , } } \end{array}
\prod _ { i = 1 } ^ { 3 } { \cal D } \mu [ \pi _ { i } ] = \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } \operatorname * { d e t } \left( \frac { \partial \pi _ { n } } { \partial \phi _ { m } } \right) \frac { { \cal D } \phi _ { i } } { \cos \phi } = N \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } \frac { \sin ^ { 2 } \phi } { \phi ^ { 2 } } { \cal D } \phi _ { i } .
\begin{array} { r l } { \hat { \mu } _ { a _ { l } ^ { t } } + \beta _ { a _ { l } ^ { t } } ( t ) } & { \le \mu _ { a _ { l } ^ { t } } + 2 \beta _ { a _ { l } ^ { t } } ( t ) } \\ & { \le \mu _ { a _ { l } ^ { t } } + \frac { \operatorname* { m a x } \{ \Delta _ { a _ { l } ^ { t } } , \varepsilon / 2 \} } { 2 } } \\ & { \le \mu _ { a _ { h } ^ { t } } - \Delta _ { a _ { l } ^ { t } } + \frac { \operatorname* { m a x } \{ \Delta _ { a _ { l } ^ { t } } , \varepsilon / 2 \} } { 2 } } \\ & { \le \hat { \mu } _ { a _ { h } ^ { t } } + \beta _ { a ^ { * } } ( T _ { a ^ { * } } ( t ) ) - \Delta _ { a _ { l } ^ { t } } + \frac { \operatorname* { m a x } \{ \Delta _ { a _ { l } ^ { t } } , \varepsilon / 2 \} } { 2 } } \\ & { \le \hat { \mu } _ { a _ { h } ^ { t } } - \beta _ { a ^ { * } } ( T _ { a ^ { * } } ( t ) ) + \frac { \operatorname* { m a x } \{ \Delta _ { a ^ { * } } , \varepsilon / 2 \} + \operatorname* { m a x } \{ \Delta _ { a _ { l } ^ { t } } , \varepsilon / 2 \} } { 2 } - \Delta _ { a _ { l } ^ { t } } } \\ & { \le \hat { \mu } _ { a _ { h } ^ { t } } - \beta _ { a ^ { * } } ( T _ { a ^ { * } } ( t ) ) + \frac { \Delta _ { a ^ { * } } + \varepsilon / 2 + \Delta _ { a _ { l } ^ { t } } + \varepsilon / 2 } { 2 } - \Delta _ { a _ { l } ^ { t } } } \\ & { \le \hat { \mu } _ { a _ { h } ^ { t } } - \beta _ { a ^ { * } } ( T _ { a ^ { * } } ( t ) ) + \varepsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { V T _ { n } = } & { \Bigg \langle s _ { 1 } , s _ { 2 } , \ldots , s _ { n - 1 } , \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } , \ldots , \rho _ { n - 1 } ~ \mid ~ s _ { i } ^ { 2 } = 1 , \quad \rho _ { i } ^ { 2 } = 1 \quad \mathrm { f o r } \quad 1 \leq i \leq n - 1 , } \\ & { } & { s _ { i } s _ { j } = s _ { j } s _ { i } , \quad \rho _ { i } \rho _ { j } = \rho _ { j } \rho _ { i } , \quad s _ { i } \rho _ { j } = \rho _ { j } s _ { i } \quad \mathrm { f o r } \quad | i - j | \ge 2 , } \\ & { } & { \rho _ { i } \rho _ { j } \rho _ { i } = \rho _ { j } \rho _ { i } \rho _ { j } , \quad \rho _ { i } s _ { j } \rho _ { i } = \rho _ { j } s _ { i } \rho _ { j } \quad \mathrm { f o r } \quad | i - j | = 1 \Bigg \rangle . } \end{array}
\forall \mathbf { x } _ { i _ { j } } \in X _ { i } \left\{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } \; \; } & { { } { r _ { i _ { j } } } } \\ { s . t . \; \; } & { { } d ( \mathbf { x } _ { i _ { j } } , \mathbf { y } ) \leq r _ { i } \quad \forall \mathbf { y } \in \bigcup _ { j \neq i } X _ { j } } \end{array} \right.
B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \subset \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! D \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } & { \sum _ { s } \sum _ { \hat { \sigma } } \int d \mathcal { E } d \mu \tau _ { b s } \frac { e _ { s } ^ { 2 } } { m _ { s } } \left( \overline { { \frac { \partial \bar { F } _ { 0 s } } { \partial \mathcal { E } } \delta \phi _ { z } } } - \sum _ { l } \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { z } - l \omega _ { b s } } \overline { { e ^ { i l \vartheta _ { c } - i Q _ { z s } } J _ { 0 } } } \overline { { e ^ { - i l \vartheta _ { c } + i Q _ { z s } } \frac { \partial \bar { F } _ { 0 s } } { \partial \mathcal { E } } J _ { 0 } \delta \phi _ { z } } } \right) } \\ & { + \sum _ { s } \sum _ { \hat { \sigma } } \int d \mathcal { E } d \mu \frac { 1 } { d \psi / d r } \frac { \partial } { \partial r } \overline { { \left[ \frac { e _ { s } ^ { 2 } } { m _ { s } } \frac { 2 \mu } { \Omega _ { s } ^ { 2 } } \frac { \partial \bar { F } _ { 0 s } } { \partial \mu } \left( \frac { J _ { 0 } ^ { 2 } - 1 } { \lambda _ { s } ^ { 2 } } \right) \tau _ { b s } \frac { d \psi } { d r } \frac { \partial } { \partial r } \delta \phi _ { z } \right] } } = } \\ & { \sum _ { s } \sum _ { \hat { \sigma } } \int d \mathcal { E } d \mu \tau _ { b s } e _ { s } \sum _ { l } \frac { i } { \omega _ { z } - l \omega _ { b s } } \overline { { e ^ { i l \vartheta _ { c } - i Q _ { z s } } J _ { 0 } } } \, \overline { { e ^ { - i l \vartheta _ { c } + i Q _ { z s } } N . L . } } . } \end{array}
\mathbb { M } \left( \begin{array} { l } { \alpha _ { \operatorname { I } } } \\ { \beta _ { \operatorname { I } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \alpha _ { \operatorname { I I I } } } \\ { \beta _ { \operatorname { I I I } } } \end{array} \right) , \quad \mathbb { M } = \left( \begin{array} { l l } { m _ { 1 1 } } & { m _ { 1 2 } } \\ { m _ { 2 1 } } & { m _ { 2 2 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \| z - x \| _ { 2 } \leq } & { ~ \epsilon _ { 0 } \cdot \frac { 1 } { ( n \kappa _ { 0 } ) ^ { C } } \cdot \frac { \| M _ { : , i } \| _ { 2 } } { \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( Y ) } } \\ { \leq } & { ~ \epsilon _ { 0 } \cdot \frac { 1 } { ( n \kappa _ { 0 } ) ^ { C } } \cdot \frac { \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ( M ) } { \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( Y ) } } \\ { = } & { ~ \epsilon _ { 0 } \cdot \frac { 1 } { n ^ { C } \kappa _ { 0 } ^ { C } } \cdot \kappa _ { 0 } } \\ { \leq } & { ~ \epsilon _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \cos ( a t ) - \cos ( b t ) } { t } } \, d t } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { p } { p ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } - { \frac { p } { p ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \right) \, d p } \end{array}
\sigma _ { c o r r } ^ { 2 } ( x _ { l } ) = \frac { \sigma ^ { 2 } ( x _ { l } ) } { N } \left[ 1 + 2 \sum _ { g = 1 } ^ { G - 1 } \left( 1 - \frac { g } { G } \right) \rho _ { k } ( x _ { l } ) \right]
\sum _ { i = 0 } ^ { \infty } d _ { n } [ i ] ^ { 2 } = \frac { 1 } { \pi } \! \int _ { 0 } ^ { \pi } \! \! \! \! \! \{ F ^ { n } ( e ^ { j \theta } ) F ^ { n } ( e ^ { - j \theta } ) \} \{ d _ { 0 } ( e ^ { j \theta } ) d _ { 0 } ( e ^ { - j \theta } ) \} d \theta \, .
{ \cal M } _ { b o x } ( \kappa ; s , t ) = e ^ { 4 } Q _ { f } ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \sum _ { \rho = \pm 1 } L _ { i } ^ { \rho \kappa } \, w _ { i } ^ { \rho } \; \; ,