harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n } \sum _ { x \in S _ { x } ^ { \prime } ( \gamma ) \setminus A } | f ( x ) - { \widehat { f } } ( x ) | } & { \leq \frac { 1 } { n } \sum _ { x \in S _ { x } ^ { \prime } ( \gamma ) \setminus A } \frac { \gamma } { \rho ( x , N _ { A } ( x ) ) ^ { \beta } } | f ( x ) - { \widehat { f } } ( x ) | } \\ & { \leq \frac { \gamma } { n } \sum _ { x \in S _ { x } ^ { \prime } ( \gamma ) \setminus A } \frac { | f ( x ) - { \widehat { f } } ( N _ { A } ( x ) ) | + | { \widehat { f } } ( N _ { A } ( x ) ) - { \widehat { f } } ( x ) | } { \rho ( x , N _ { A } ( x ) ) ^ { \beta } } } \\ & { = \frac { \gamma } { n } \sum _ { x \in S _ { x } ^ { \prime } ( \gamma ) \setminus A } \frac { | f ( x ) - f ( N _ { A } ( x ) ) | } { \rho ( x , N _ { A } ( x ) ) ^ { \beta } } + \frac { | { \widehat { f } } ( N _ { A } ( x ) ) - { \widehat { f } } ( x ) | } { \rho ( x , N _ { A } ( x ) ) ^ { \beta } } } \\ & { \leq \frac { \gamma } { n } \sum _ { x \in S _ { x } ^ { \prime } ( \gamma ) \setminus A } \Lambda _ { f } ^ { \beta } ( x , A ) + \Lambda _ { \widehat { f } } ^ { \beta } ( x , A ) } \\ { \left[ \mathrm { \ t h m r e f { t h m : e x t e n s i o n } } \right] } & { \leq \frac { 2 \gamma } { n } \sum _ { x \in S _ { x } ^ { \prime } ( \gamma ) \setminus A } \Lambda _ { \widehat { f } } ^ { \beta } ( x , A ) } \\ & { \leq 2 \gamma L ~ . } \end{array}
V + \Delta V = ( L + \Delta L ) ^ { 3 } = L ^ { 3 } + 3 L ^ { 2 } \Delta L + 3 L \Delta L ^ { 2 } + \Delta L ^ { 3 } \approx L ^ { 3 } + 3 L ^ { 2 } \Delta L = V + 3 V { \frac { \Delta L } { L } } .
\begin{array} { r l } { \mathop { \textrm { m i n i m i z e } } _ { \left\{ { M _ { n } } \right\} } \ \ \mathcal { F } _ { { \widetilde { \mathcal { P } _ { \mathcal { N } _ { 1 } } } } } } & { \triangleq \frac { \beta _ { 1 } \rho } { f ^ { m a x } } { ( \sum _ { n \in \mathcal { N } _ { 1 } } \sqrt { C ( M _ { n } ) } ) ^ { 2 } } } \\ & { + { \beta _ { 1 } d ( \sum _ { n \in \mathcal { N } _ { 1 } } \sqrt { \frac { M _ { n } } { R _ { n } } } ) ^ { 2 } } + \beta _ { 2 } d p _ { n } ( \sum _ { n \in \mathcal { N } _ { 1 } } \frac { M _ { n } } { R _ { n } } ) } \\ & { - \sum _ { n \in \mathcal { N } _ { 1 } } \beta _ { 3 } \Phi ( M _ { n } ) , } \\ { \textrm { s u b j e c t t o } \ \ \ \ } & { . } \end{array}
a ^ { 4 { \frac { p - 1 } { p - 3 } } } \leq { \frac { ( p - 3 ) ^ { 2 } + 1 6 } { ( p - 3 ) ^ { 2 } } } \bar { \cal E } ^ { - 2 } \bar { \cal P } _ { \phi } ^ { 2 { \frac { p - 1 } { p - 3 } } } ,
\begin{array} { r l } { a _ { n m } } & { { } = 0 \quad \forall | m | \neq 1 , } \\ { b _ { n m } } & { { } = 0 \quad \forall | m | \neq 1 , } \\ { a _ { n , \pm 1 } } & { { } = \sqrt { 6 \pi } ( - 1 ) ^ { \pm 1 } \mathbf { e } _ { \theta } \cdot \mathbf { M } _ { n , \mp 1 } ^ { ( 3 ) } ( k _ { M } , \mathbf { R } _ { p } ) } \\ { b _ { n , \pm 1 } } & { { } = \sqrt { 6 \pi } ( - 1 ) ^ { \pm 1 } \mathbf { e } _ { \theta } \cdot \mathbf { N } _ { n , \mp 1 } ^ { ( 3 ) } ( k _ { M } , \mathbf { R } _ { p } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n } \mathbb { E } \sum _ { i \notin S } { \mathbb { I } \left\{ { \hat { z } _ { i } \neq z _ { i } ^ { * } } \right\} } { \mathbb { I } \left\{ { \mathcal { F } } \right\} } } \\ & { \leq \frac { 1 } { n } \mathbb { E } \sum _ { i \notin S } \sum _ { a \neq z _ { i } ^ { * } } \left( G _ { 1 , i , a } + G _ { 2 , i } + G _ { 3 , i } \right) } \\ & { \leq \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \sum _ { a \neq z _ { i } ^ { * } } \mathbb { E } G _ { 1 , i , a } + \frac { k } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \mathbb { E } G _ { 2 , i } + \frac { k } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \mathbb { E } H _ { 1 , i } + \frac { k } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \mathbb { E } H _ { 2 , i } } \\ & { \quad + \frac { k } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \left( \mathbb { E } H _ { 3 , i } + \mathbb { E } H _ { 4 , i } + \mathbb { E } H _ { 5 , i } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { B } _ { 1 + N , N } ( a _ { 0 } , a _ { 1 } ) } & { = N a _ { 1 } } \\ { \hat { B } _ { 2 + N , N } ( a _ { 0 } , a _ { 1 } , a _ { 2 } ) } & { = N a _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( N a _ { 1 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } N a _ { 1 } ^ { 2 } = N a _ { 2 } + \frac { N ( N - 1 ) } { 2 } a _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \hat { B } _ { 3 + N , N } ( a _ { 0 } , a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } ) } & { = N a _ { 3 } + ( N a _ { 1 } ) ( N a _ { 2 } ) - N a _ { 1 } a _ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } ( N a _ { 1 } ) ^ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } ( N a _ { 1 } ) ( N a _ { 1 } ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 3 } N a _ { 1 } ^ { 3 } } \\ & { = N a _ { 3 } + N ( N - 1 ) a _ { 1 } a _ { 2 } + \frac { N ( N - 1 ) ( N - 2 ) } { 6 } a _ { 1 } ^ { 3 } } \\ { \hat { B } _ { 4 + N , N } ( a _ { 0 } , a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , a _ { 4 } ) } & { = N a _ { 4 } + ( N a _ { 1 } ) ( N a _ { 3 } ) - N a _ { 1 } a _ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } \left( ( N a _ { 2 } ) ^ { 2 } - N a _ { 2 } ^ { 2 } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \left( ( N a _ { 1 } ) ( N a _ { 1 } ) ( N a _ { 2 } ) + 2 ( N a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ) - ( N a _ { 1 } ^ { 2 } ) ( N a _ { 2 } ) - 2 ( N a _ { 1 } ) ( N a _ { 1 } a _ { 2 } ) \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 4 ! } \left( ( N a _ { 1 } ) ^ { 4 } - 6 ( N a _ { 1 } ) ^ { 2 } ( N a _ { 1 } ^ { 2 } ) + 8 ( N a _ { 1 } ) ( N a _ { 1 } ^ { 3 } ) - 6 N a _ { 1 } ^ { 4 } + 3 ( N a _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right) } \\ & { = N a _ { 4 } + N ( N - 1 ) a _ { 1 } a _ { 3 } + \frac { N ( N - 1 ) } { 2 } a _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { N ( N - 1 ) ( N - 2 ) } { 2 } a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } + \frac { N ( N - 1 ) ( N - 2 ) ( N - 3 ) } { 4 ! } a _ { 1 } ^ { 4 } . } \end{array}
D _ { \mu } \phi = \frac { a } { 2 } \epsilon _ { ~ ~ ~ \mu } ^ { \rho \sigma \nu } \partial _ { \nu } A _ { \rho \sigma } \equiv \frac { a } { 3 ! 2 } \epsilon _ { ~ ~ ~ \mu } ^ { \rho \sigma \nu } F _ { \nu \rho \sigma } ( A )
\begin{array} { r l } { ( \bar { \mathcal { T } } _ { t } ^ { * } Q ) ( s , a ) } & { = \mathbb { E } [ Y _ { t } | S _ { t } = s , A _ { t } = a ] - 0 . 5 C ( \Lambda ) \sqrt { \mathrm { V a r } [ Y _ { t } | S _ { t } = s , A _ { t } = a ] } } \\ & { = ( \theta _ { R } + \gamma \beta ) ^ { \top } ( B S _ { t } + \theta _ { A } A _ { t } ) + \theta _ { A } \gamma 1 _ { d } ^ { \top } \theta _ { R } - 0 . 5 C ( \Lambda ) \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { d } ( \theta _ { R } + \gamma \beta ) _ { i } ^ { 2 } ( A S _ { t } + \sigma ) _ { i } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \left\langle \nabla \cdot w , c _ { p } \theta \Pi \right\rangle - \left\langle w , \frac { 1 } { D } s \nabla \theta \right\rangle } & { = - \left\langle \nabla \cdot ( \theta w ) , c _ { p } \Pi \right\rangle } \\ & { \qquad + \left\langle w , \left( c _ { p } \Pi - \frac { 1 } { D } s \right) \nabla \theta \right\rangle , } \end{array}
\mathbf { R } _ { N } ^ { A } = \left[ \begin{array} { l l l } { \cos { ( \mathrm { L S T } _ { 0 } + \omega _ { A } t ) } } & { \sin { ( \mathrm { L S T } _ { 0 } + \omega _ { A } t ) } } & { 0 } \\ { - \sin { ( \mathrm { L S T } _ { 0 } + \omega _ { A } t ) } } & { \cos { ( \mathrm { L S T } _ { 0 } + \omega _ { A } t ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r } { a \left( x - r _ { x } \right) = a \left( x \right) - \frac { 1 } { 1 ! } \frac { \partial a \left( x \right) } { \partial x } r _ { x } + \frac { 1 } { 2 ! } \frac { \partial ^ { 2 } a \left( x \right) } { \partial x ^ { 2 } } r _ { x } ^ { 2 } + \dots } \end{array}
\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } x ^ { 2 n } \, \frac { e ^ { - | z | ^ { 2 } } } { ( n ! ) ^ { 2 } } \, \left\{ \sum _ { \mu , \nu = 1 } ^ { M } \left( e ^ { i \omega _ { \mu } } | z _ { \mu + } ^ { + } | ^ { 2 } + e ^ { - i \omega _ { \mu } } | z _ { \mu - } ^ { + } | ^ { 2 } \right) \left( e ^ { i \omega _ { \nu } } | z _ { \nu + } ^ { - } | ^ { 2 } + e ^ { - i \omega _ { \nu } } | z _ { \nu - } ^ { - } | ^ { 2 } \right) \right\} ^ { n } \ \ \ .
| K _ { 1 } | \leq C \left\| h _ { x x } \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \left\| \mathscr { L } \partial _ { x } ^ { 3 } v \right\| _ { L ^ { 2 } } \leq \left\| h _ { x x } \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } v \right\| _ { L ^ { 2 } } ,
\rho ( \theta ) = \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \frac { \sqrt { n ^ { 2 } - \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } \theta } - \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } \theta } { \sqrt { n ^ { 2 } - \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } \theta } + \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } \theta } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { n ^ { 2 } \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } \theta - \sqrt { n ^ { 2 } - \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } \theta } } { n ^ { 2 } \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } \theta + \sqrt { n ^ { 2 } - \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } \theta } } \right) ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \tau } } & { \int _ { 2 \tau } ^ { T } \big | \langle \mathrm { D } _ { \tau } u _ { i } ^ { ( \tau ) } , \phi _ { i } \rangle _ { W ^ { 1 , d + 2 } ( \Omega ) ^ { \prime } } \big | ^ { r } \mathrm { d } t } \\ & { \le \gamma ^ { r } C \int _ { 2 \tau } ^ { T } \int _ { \Omega } | \nabla u _ { i } ^ { ( \tau ) } \cdot \nabla \phi _ { i } | ^ { r } \mathrm { d } x \mathrm { d } t + C \int _ { 2 \tau } ^ { T } \int _ { \Omega } | ( u _ { i } ^ { ( \tau ) } ) ^ { + } \nabla p _ { i } ( u ^ { ( \tau ) } ) \cdot \nabla \phi _ { i } | ^ { r } \mathrm { d } x \mathrm { d } t } \\ & { \le \gamma ^ { r } C \| \nabla u _ { i } ^ { ( \tau ) } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { T } ) } ^ { r } \| \nabla \phi _ { i } \| _ { L ^ { 2 d + 4 } ( \Omega _ { T } ) } ^ { r } } \\ & { \phantom { x x } + C \| u _ { i } ^ { ( \tau ) } \| _ { L ^ { ( 2 d + 4 ) / d } ( \Omega _ { T } ) } ^ { r } \| \nabla p _ { i } ( u ^ { ( \tau ) } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { T } ) } ^ { r } \| \nabla \phi _ { i } \| _ { L ^ { 2 d + 4 } ( \Omega _ { T } ) } ^ { r } } \\ & { \le C \| \phi _ { i } \| _ { L ^ { 2 d + 4 } ( 0 , T ; W ^ { 1 , 2 d + 4 } ( \Omega ) ) } ^ { r } , } \end{array}
{ \bf \Omega } { \bf L } { \bf \Omega } ^ { T } = { \bf L } , \ \ \ { \bf L } = \left( \begin{array} { l l l } { { \bar { L } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { ( u _ { i } ^ { + } - y _ { i } - f _ { i } ( t ) ) ^ { 2 } } { 4 ( x _ { i } ^ { + } - t ) } } & { \le \frac { ( 2 \textsf { T } f _ { i } ( t ) + c _ { k } t \sqrt { E _ { t , f } } ) ^ { 2 } } { 4 \sqrt { \textsf { T } f _ { i } ( t ) + t ^ { 2 } } } } \\ & { \le [ \textsf { T } f _ { i } ( t ) ] ^ { 3 / 2 } + c _ { k } t E _ { t , f } . } \end{array}
\sum _ { m , n = 0 } ^ { \infty } Q ( m , n ) z ^ { m } q ^ { n } = 1 + \sum _ { s = 1 } ^ { \infty } { \frac { q ^ { s ( s + 1 ) / 2 } } { ( 1 - z q ) ( 1 - z q ^ { 2 } ) \cdots ( 1 - z q ^ { s } ) } }
\left[ e ^ { 2 \sigma } \left( \partial _ { i } - \frac { 3 } { 2 } \partial _ { i } \sigma \right) ^ { 2 } + m ^ { 2 } + \left( \frac { 3 } { 1 6 } - \xi \right) R \right] \varphi + V ^ { \prime } ( \varphi ) = 0 .
C = \frac { n _ { i } \sin \theta _ { i } ^ { + } } { 1 - \beta n _ { i } \cos \theta _ { i } ^ { + } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ \quad ~ } D _ { n } = \sqrt { ( 1 + C ^ { 2 } \beta ^ { 2 } ) n _ { n } ^ { 2 } - C ^ { 2 } } .
\varepsilon ( t ) = \frac { \big | x ^ { \prime } ( t ) - x ( t ) \big | + \big | y ^ { \prime } ( t ) - y ( t ) \big | + \big | z ^ { \prime } ( t ) - z ( t ) \big | } { \big | x ^ { \prime } ( t ) \big | + \big | y ^ { \prime } ( t ) \big | + \big | z ^ { \prime } ( t ) \big | } ,
( 1 + \tilde { v } ^ { n } ) ^ { m } = \sum _ { k ^ { \prime } = - m / 2 } ^ { m / 2 } \binom { m } { k ^ { \prime } + \frac { m } { 2 } } \, ( \tilde { v } ^ { n } ) ^ { \frac { m } { 2 } - k ^ { \prime } } .
t = { \frac { 2 v \sin \theta } { g } } \cdot { \frac { 1 } { 2 - { \tilde { v } } ^ { 2 } } } \left( 1 + { \frac { 1 } { { \sqrt { 2 - { \tilde { v } } ^ { 2 } } } \, { \tilde { v } } \sin \theta } } \arcsin { \frac { { \sqrt { 2 - { \tilde { v } } ^ { 2 } } } \, { \tilde { v } } \sin \theta } { \sqrt { 1 - \left( 2 - { \tilde { v } } ^ { 2 } \right) { \tilde { v } } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } } } \right)
\begin{array} { r l } { c _ { \mathrm { A l } } } & { { } = 0 . 5 \frac { n _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { i d e a l } } } { n _ { \mathrm { t o t } } } - \rho _ { \mathrm { v _ { A l } } } + \rho _ { \mathrm { { A l } _ { i } } } + \rho _ { \mathrm { { A l } _ { N } } } - \rho _ { \mathrm { { N } _ { A l } } } - \rho _ { \mathrm { { ( N \mathrm { ~ - ~ } N ) } _ { A l } } } - \rho _ { \mathrm { { A r } _ { A l } } } } \\ { c _ { \mathrm { N } } } & { { } = 0 . 5 \frac { n _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { i d e a l } } } { n _ { \mathrm { t o t } } } - \rho _ { \mathrm { v _ { N } } } + \rho _ { \mathrm { N _ { i } } } + 2 \rho _ { \mathrm { { ( N \mathrm { ~ - ~ } N ) } _ { i } } } + \rho _ { \mathrm { { ( N \mathrm { ~ - ~ } N ) } _ { N } } } + 2 \rho _ { \mathrm { { ( N \mathrm { ~ - ~ } N ) } _ { A l } } } - \rho _ { \mathrm { { A l } _ { N } } } - \rho _ { \mathrm { { A r } _ { N } } } } \\ { c _ { \mathrm { A r } } } & { { } = \rho _ { \mathrm { { A r } _ { i } } } + \rho _ { \mathrm { { A r } _ { A l } } } + \rho _ { \mathrm { { A r } _ { N } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { n m } } & { { } = 0 \quad \forall | m | \neq 1 , } \\ { f _ { n m } } & { { } = 0 \quad \forall | m | \neq 1 , } \\ { e _ { n , \pm 1 } } & { { } = \mathrm { i } \sqrt { \frac { 3 } { 8 } ( 2 n + 1 ) } \frac { \psi _ { n } ( x _ { p } ) } { x _ { p } } , } \\ { f _ { n , \pm 1 } } & { { } = \mp \sqrt { \frac { 3 } { 8 } ( 2 n + 1 ) } \frac { \psi _ { n } ^ { \prime } ( x _ { p } ) } { x _ { p } } . } \end{array}
\footnotesize \mathscr { C } ^ { ( d ) } ( \tau ) = \frac { 1 } { T - \tau } \sum _ { t = 1 } ^ { T - \tau } \frac { 1 } { ( d - 1 ) ! ^ { 2 } } \left[ A ^ { ( d ) } ( t ) - \mu ^ { ( d ) } \right] \cdot \left[ A ^ { ( d ) } ( t + \tau ) - \mu ^ { ( d ) } \right] ^ { \intercal } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \bar { F } _ { i i } \left[ \langle N | Q _ { i } ^ { 2 } | N \rangle \right] } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \bar { F } _ { i i } \left[ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } \right] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \bar { F } _ { i i } \frac { f _ { i } + 1 / 2 } { \omega _ { i } } } \\ & { = } & { \sum _ { i } \tilde { \bar { F } } _ { i i } { ( f _ { i } + 1 / 2 ) } , } \end{array}
H = N \left[ - \frac { 1 } { 2 4 } \epsilon _ { i j k } ( \hat { \theta } ^ { i } - \frac { 1 } { 2 } \theta ^ { i } ) ( \hat { \theta } ^ { j } - \frac { 1 } { 2 } \theta ^ { j } ) ( \hat { \theta } ^ { k } - \frac { 1 } { 2 } \theta ^ { k } ) - \frac { 1 } { 3 2 } \epsilon _ { i j k } \theta ^ { i } \theta ^ { j } ( \hat { \theta } ^ { k } - \frac { 1 } { 2 } \theta ^ { k } ) \right] \, .
I _ { 1 } ( Q ^ { 2 } ) = \frac { 2 M ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { x _ { 0 } } \mathrm { d } x \, g _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) = \bar { I } _ { 1 } ( Q ^ { 2 } ) - F _ { 2 } ^ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) / 4 .
{ \frac { d \lambda _ { i } } { d t } } = { \frac { \lambda _ { i } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \left( \sum _ { j } c _ { j } \lambda _ { j } ^ { 2 } - \sum _ { k } a _ { k } g _ { k } ^ { 2 } \right) + \cdots
\rho _ { \alpha \beta } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { - m \delta _ { i j } } } & { { e \delta _ { i j } \delta ( \vec { y } - \vec { q } ) } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { m \delta _ { i j } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - e \delta _ { i j } \delta ( \vec { y } - \vec { q } ) } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \theta \delta _ { i j } \delta ( \vec { x } - \vec { y } ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - \theta \delta _ { i j } \delta ( \vec { x } - \vec { y } ) } } & { { 0 } } & { { 2 \theta \partial _ { i } \delta ( \vec { x } - \vec { y } ) } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 2 \theta \partial _ { j } \delta ( \vec { x } - \vec { y } ) } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \alpha _ { b } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { \partial x _ { 1 } } } & { { } = 1 , } \\ { \frac { \partial \alpha _ { b } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { \partial x _ { 2 } } } & { { } = \frac { ( 1 - b ) \big ( s l r ( t ) \big ) } { \Big ( s \big ( l r ( t ) - x _ { 2 } \big ) \Big ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s ^ { \prime } = e x p \big [ } & { { } - \big ( S ^ { v } [ \tilde { \pi } _ { m } ^ { ( \Psi ) } ] + \frac { ( \pi ^ { ( s ) } ) ^ { 2 } } { 2 m _ { s } } + S ^ { m } [ \Psi ^ { ( j ) } ] - S ^ { 0 } \big ) / ( \hbar n _ { f } ) \big ] } \end{array}
\sigma _ { ( a _ { i } ^ { \dag } a _ { k } ) } ^ { + } = < { \bf A } _ { + } \mid \frac { 1 } { 2 } ( a _ { i } ^ { \dag } a _ { k } + a _ { k } a _ { i } ^ { \dag } ) \mid { \bf A _ { + } } > = \alpha _ { i } ^ { * } \alpha _ { k } t a n h \mid { \bf A } \mid ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \delta _ { i k } , \nonumber \,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \Gamma _ { \mathbb { G } ( \hat { H } _ { 0 } ) } ^ { E } \otimes \Gamma _ { \mathbb { G } ( \hat { H } _ { 0 } ) } ^ { E } = } & { \Gamma _ { \mathbb { G } ( \hat { H } ) } ^ { A _ { 1 } } \otimes \Gamma _ { \mathbb { G } ( \hat { H } ) } ^ { A _ { 2 } } \otimes \Gamma _ { \mathbb { G } ( \hat { H } ) } ^ { E } } \\ { \Gamma _ { \mathbb { G } ( \hat { H } _ { 0 } ) } ^ { A _ { 1 } } \otimes \Gamma _ { \mathbb { G } ( \hat { H } _ { 0 } ) } ^ { E } = } & { \Gamma _ { \mathbb { G } ( \hat { H } ) } ^ { E } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ( \theta _ { i } ) : = } & { { } - \frac { E } { 2 u \ell } \left[ \frac { ( e - 1 ) \ell + E \ln ( 1 - \cos \theta _ { i } ) } { ( e - 1 ) ^ { 2 } } + \frac { ( e \ell + \ell - E ) \ln ( 1 - \cos \theta _ { i } ) } { ( e + 1 ) ^ { 2 } } \right. } \end{array}
d s ^ { 2 } = - { ( \prod _ { i = 1 } ^ { 4 } H _ { i } ) ^ { - 1 / 2 } } f d t ^ { 2 } + ( \prod _ { i = 1 } ^ { 4 } H _ { i } ) ^ { 1 / 2 } \bigg ( f ^ { - 1 } { d r ^ { 2 } } + r ^ { 2 } d \Omega _ { 2 , k } \bigg ) \ ,
\tilde { \omega } _ { + } ^ { \prime \prime } = - \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left. \frac { ( \tilde { \mathcal { M } } \tilde { \mathcal { D } } + \tilde { \mathcal { X } } ) ^ { \prime \prime } } { \tilde { \mathcal { M } } + \tilde { \mathcal { D } } } \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right| _ { \tilde { q } = 0 } = 2 ( 1 - \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ C ~ } } ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } { \| \nabla v _ { 2 } ( x ) - \nabla v _ { 2 } ( x ^ { \prime } ) \| } & { = \| \nabla _ { x } g ( x , y ) - \nabla _ { x } g ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) \| } \\ & { \leq L _ { g } ( \| x - x ^ { \prime } \| + \| y - y ^ { \prime } \| ) } \\ & { \leq L _ { g } ( 1 + L _ { S } ) \| x - x ^ { \prime } \| } \end{array}
\begin{array} { r } { \Vert \vartheta ( t ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } \leq \Vert \varrho ^ { \mathrm { i n } } \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } \Phi \Big ( T , \cdots , \Vert u \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m + 1 } ) } , \Vert f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { H } _ { r } ^ { m + 1 } ) } \Big ) , } \end{array}
\Gamma [ \phi ] = \sum _ { n } \int \frac { d ^ { 4 } p _ { 1 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \cdots \frac { d ^ { 4 } p _ { n } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { 4 } \left( \sum _ { i } p _ { i } \right) \Gamma ^ { ( n ) } ( \{ p _ { i } \} ) \hat { \phi } ( p _ { 1 } ) \cdots \hat { \phi } ( p _ { n } )
\begin{array} { r l } { \lambda _ { p , q } ( Q \times ( 0 , m + 1 ) ) } & { \le \left( \frac { \pi _ { p , q } } { 2 } \right) ^ { p } \, \left( \frac { \mathcal { H } ^ { N - 1 } ( Q \times ( 0 , m + 1 ) ) } { | Q \times ( 0 , m + 1 ) | ^ { 1 - \frac { 1 } { p } + \frac { 1 } { q } } } \right) ^ { p } } \\ & { \le \left( \frac { \pi _ { p , q } } { 2 } \right) ^ { p } \, \left( \frac { 2 \, ( N - 1 ) \, ( m + 1 ) + 2 } { ( m + 1 ) ^ { 1 - \frac { 1 } { p } + \frac { 1 } { q } } } \right) ^ { p } . } \end{array}
\sigma _ { \textrm { i n t e r } } ( \omega ) = \frac { 2 e ^ { 2 } k _ { B } T } { \pi \hbar ^ { 2 } } \frac { i } { \omega + i \tau ^ { - 1 } } \ln \left[ 2 \cosh \left( \frac { E _ { F } } { 2 k _ { B } T } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \left\Vert \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } g _ { i , k } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { G } _ { k } \right] } & { = \mathbb { E } \left[ \left\Vert \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ g _ { i , k } - \nabla f _ { i } ( x _ { i , k } ) + \nabla f _ { i } ( x _ { i , k } ) - \nabla f _ { i } ( \bar { x } _ { k } ) + \nabla f _ { i } ( \bar { x } _ { k } ) \right] \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { G } _ { k } \right] } \\ & { \leq \frac { \sigma ^ { 2 } } { n } + \frac { 2 L ^ { 2 } } { n } \left\Vert \mathbf { x } _ { k } - \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } \right\Vert ^ { 2 } + 2 \left\Vert \nabla f ( \bar { x } _ { k } ) \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { \sigma ^ { 2 } } { n } + \frac { 4 L ^ { 2 } } { n } \left\Vert \check { h } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } + 2 \left\Vert \nabla f ( \bar { x } _ { k } ) \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}
a [ { \mathrm { B q / g } } ] = { \frac { 4 . 1 7 \times 1 0 ^ { 2 3 } [ { \mathrm { m o l } } ^ { - 1 } ] } { T _ { 1 / 2 } [ { \mathrm { y e a r } } ] \times 3 6 5 \times 2 4 \times 6 0 \times 6 0 [ { \mathrm { s / y e a r } } ] \times M } } \approx { \frac { 1 . 3 2 \times 1 0 ^ { 1 6 } [ { \mathrm { m o l } } ^ { - 1 } { \cdot } { \mathrm { s } } ^ { - 1 } { \cdot } { \mathrm { y e a r } } ] } { T _ { 1 / 2 } [ { \mathrm { y e a r } } ] \times M [ { \mathrm { g / m o l } } ] } } .
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 3 , 2 k + 2 } ^ { A , k - 1 } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 , 2 k + 1 } ^ { B , k } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 , 2 k } ^ { B , k } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 4 , 2 k + 2 } ^ { A , k - 1 } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 5 , 2 k + 2 } ^ { A , k - 1 } \otimes v _ { 3 , 1 } } \end{array}
f _ { s } ( \mathbf { v } , x , z ) = \frac { n _ { 0 } } { ( 2 \pi T _ { s } / m _ { s } ) ^ { 3 / 2 } } \exp \left[ - \frac { m _ { s } \left( \mathbf { v } - \mathbf { v } _ { d s } ( x , z ) \right) ^ { 2 } } { 2 T _ { s } } \right] ,
\hat { T } = { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } { \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \mathrm { e } ^ { i { \frac { 2 \pi } { 3 } } j } f _ { j } } { \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } f _ { k } } } , \qquad { \cal M } _ { j } = { \frac { f _ { j } } { \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } f _ { k } } } .
\frac { d ^ { 2 } \hat { R } } { d \hat { t } ^ { 2 } } \frac { 1 } { \hat { R } } = \left( \frac { a } { 2 } \right) ^ { 2 } \left[ 1 - \frac { 8 } { a ^ { 2 } \mathrm { ~ W ~ e ~ } } \frac { ( \hat { \kappa } _ { E } - \hat { \kappa } _ { W } ) } { \hat { R } ^ { 2 } } \right] ,
\frac { \partial ( \rho \vec { u } ) } { \partial t } + \nabla \cdot \Big ( ( \rho \vec { u } - \vec { S } ) \otimes \vec { u } \Big ) = - \nabla P + \nabla \cdot \Big ( \mu ( \nabla \vec { u } + \nabla ^ { \mathrm { T } } \vec { u } ) \Big ) + \vec { F } _ { B } ,
\frac { \nu } { d } u _ { \mathrm { s } } = \left[ \sqrt { \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { A } { B } \right) ^ { 2 / m } + \left( \frac { 4 } { 3 } \frac { d _ { * } ^ { 3 } } { B } \right) ^ { 1 / m } } - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { A } { B } \right) ^ { 1 / m } \right] ^ { m } ,
\Gamma ^ { \mu \nu } ( k , k _ { 1 } ) = ( 2 \pi ) ^ { 4 } ~ \delta ( k _ { 1 } ^ { - } ) ~ \delta ^ { 2 } ( k _ { 1 T } ) ~ \frac { 1 } { k ^ { + } } ~ \frac { 1 } { x _ { 1 } ( 1 - x _ { 1 } ) } \nonumber \, \left[ \frac { 1 } { 2 } ~ d _ { T } ^ { \mu \nu } ~ \Phi ^ { G } ( x _ { 1 } , \zeta , m _ { \pi \pi } ) \right] ,