harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { P } } \\ { \mathbf { M } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \epsilon _ { 0 } \overline { { \overline { { \chi } } } } _ { \mathrm { e e } } } & { c _ { 0 } ^ { - 1 } \overline { { \overline { { \chi } } } } _ { \mathrm { e m } } } \\ { \eta _ { 0 } ^ { - 1 } \overline { { \overline { { \chi } } } } _ { \mathrm { m e } } } & { \overline { { \overline { { \chi } } } } _ { \mathrm { m m } } } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { E } _ { \mathrm { a v } } } \\ { \mathbf { H } _ { \mathrm { a v } } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { n } \biggl \{ \varepsilon _ { n } \hat { a } _ { n } ^ { \dagger } \hat { a } _ { n } - \sum _ { i = 1 } ^ { Z } \left[ t _ { n , i } \left( e ^ { i ( \theta _ { i } ( \tau ) + \textbf { q } \cdot \textbf { b } _ { i } ) } \hat { a } _ { n } ^ { \dagger } \hat { a } _ { n } + h . c . \right) \right] } \\ & { - \textbf { F } ( \tau ) \cdot \hat { r } \sum _ { n ^ { \prime } } \eta _ { n n ^ { \prime } } \hat { a } _ { n } ^ { \dagger } \hat { a } _ { n ^ { \prime } } \biggl \} ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sigma ^ { \varepsilon , \delta } | _ { \mathbb { R } ^ { n - 1 } } = f _ { \varepsilon , \delta } \, A ^ { t } \, E \, A , } \\ & { \sigma ^ { \varepsilon , \delta } ( e _ { n } , e _ { i } ) = \sigma ^ { \varepsilon , \delta } ( e _ { i } , e _ { n } ) = 0 \mathrm { ~ f o r ~ } \, i = 1 , \, 2 , \dots , n - 1 , \mathrm { ~ a n d } } \\ & { \sigma ^ { \varepsilon , \delta } ( e _ { n } , e _ { n } ) = - K \, f _ { \varepsilon , \delta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 0 = \frac { \xi } { 2 } \mathbf { C } _ { 0 } + \mathbf { D } ( \mathbf { C } _ { 0 } ) \partial _ { \xi } \mathbf { C } _ { 0 } , \quad 0 = \frac { \xi } { 2 } \mathbf { C } _ { \mathrm { P e } } - \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathbf { D } ( \mathbf { C } _ { \mathrm { P e } } ) ^ { - 1 } \partial _ { \xi } \mathbf { C } _ { \mathrm { P e } } . } \end{array}
S _ { 1 2 } = R _ { 2 } ^ { 2 } ( \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 1 } ) + b ^ { 2 } \int _ { \lambda _ { 1 } } ^ { \lambda _ { 2 } } { \biggl ( } { \frac { 1 } { 2 { \bigl ( } 1 - e ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \varphi { \bigr ) } } } + { \frac { \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } ( e \sin \varphi ) } { 2 e \sin \varphi } } - { \frac { R _ { 2 } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } { \biggr ) } \sin \varphi \, d \lambda ,
\begin{array} { r l } { \overline { { v } } = \frac { \int h v _ { x , a v e } \, d x } { \int h \, d x } = } & { { } \frac { 1 } { \int h \, d x } \int \bigg [ h \frac { \partial p _ { l } } { \partial x } \bigg ( \frac { h ^ { 2 } } { 6 } - \frac { h \zeta } { 2 } - \frac { \xi ^ { 2 } } { 2 } + \zeta \xi \bigg ) + \left( \epsilon ^ { 2 } C _ { l } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \sigma } { \partial x } h \bigg ( \frac { h } { 2 } - \xi \bigg ) } \end{array}
S ^ { \prime \prime \prime } ( \beta _ { 1 } ) = \frac { S ^ { \prime \prime } [ \beta _ { r } ( \beta _ { 1 } ) ] } { \tau ( \beta _ { 1 } ) } \frac { \beta _ { 1 } } { \sqrt { ( k _ { r } ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } ) + \beta _ { 1 } ^ { 2 } } } \, \, ,
\begin{array} { r l r } & { } & { i k _ { 1 \mu } { M ^ { 0 } } _ { 5 } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m _ { u } , m _ { d } , m _ { s } ) = } \\ & { } & { N _ { c } ( \frac { g _ { W } } { 2 \sqrt { 2 } } ) ^ { 2 } V _ { u d } { V ^ { \ast } } _ { u \bar { s } } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \mathrm { { T r } } \left[ \frac { i } { p \! \! \! / - m _ { u } } ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) i k \! \! \! / _ { 1 } \frac { i } { p \! \! \! / + k \! \! \! / _ { 1 } - m _ { d } } i \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { 5 } \frac { i } { p \! \! \! / - k \! \! \! / _ { 2 } - m _ { s } } ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) \gamma ^ { \nu } \right] } \\ & { } & { + N _ { c } ( \frac { g _ { W } } { 2 \sqrt { 2 } } ) ^ { 2 } V _ { u d } { V ^ { \ast } } _ { u \bar { s } } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } { \mathrm { T r } } \left[ \frac { i } { p \! \! \! / - m _ { u } } ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) \gamma ^ { \nu } \frac { i } { p \! \! \! / + k \! \! \! / _ { 2 } - m _ { d } } i \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { 5 } \frac { i } { p \! \! \! / - k \! \! \! / _ { 1 } - m _ { s } } ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) i k \! \! \! / _ { 1 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( S - S _ { c } ) ^ { 2 } = - 2 \frac { f _ { p } ^ { \prime } ( p _ { c } , S _ { c } ) } { f _ { S S } ^ { \prime \prime } ( p _ { c } , S _ { c } ) } ( p - p _ { c } ) } \\ & { - 2 \frac { f _ { S p } ^ { \prime \prime } ( p _ { c } , S _ { c } ) + f _ { p S } ^ { \prime \prime } ( p _ { c } , S _ { c } ) } { f _ { S S } ^ { \prime \prime } ( p _ { c } , S _ { c } ) } ( S - S _ { c } ) ( p - p _ { c } ) + . . . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \Phi \left( 2 \right) \right\rangle = } & { a \left| 0 \right\rangle \otimes \left| \textrm { A l i c e m e a s u r e d 0 } \right\rangle \otimes \left| \textrm { B o b r e c e i v e d 0 } \right\rangle + } \\ & { + b \left| 1 \right\rangle \otimes \left| \textrm { A l i c e m e a s u r e d 1 } \right\rangle \otimes \left| \textrm { B o b r e c e i v e d 1 } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { \mathrm { E } \in V _ { L } } \omega \leq \operatorname* { m a x } _ { \mathcal { M } _ { r _ { m a x } } } \left\{ \sum _ { m \in \mathcal { M } _ { r _ { m a x } } } \pi ( m ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { k l } } & { = } & { \frac { m _ { k } \, m _ { l } } { m _ { k } + m _ { l } } \, , } \\ { \sigma _ { R } ^ { k l } \left( \epsilon \right) } & { \ge } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \sigma _ { 2 i - 1 } ^ { k l } \, , } & { \epsilon _ { 2 i - 1 } ^ { k l } \le \epsilon \le \epsilon _ { 2 i } ^ { k l } } \\ { 0 \, , } & { \mathrm { e l s e } } \end{array} \right. } \end{array}
{ \tilde { \epsilon } } _ { K } ^ { \textrm { i m p } } \approx - \frac { R ( 1 + K ) } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \Delta B _ { x } ( \theta ^ { \prime } ) } { B \rho } e ^ { i K \Phi ( \theta ^ { \prime } ) } d \theta ^ { \prime }
\begin{array} { r l r } { \mathscr { W } ( y _ { L } ( y ; 0 ) , y _ { R } ( y ; 0 ) ) } & { { } = } & { \frac { y _ { 1 } ( b ; 0 ) } { y _ { 2 } ( b ; 0 ) } \mathscr { W } ( y _ { 1 } ( y ; 0 ) , y _ { 2 } ( y ; 0 ) ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \| F _ { h } ( \cdot , \nabla u _ { h } ^ { \textit { c } } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } \lesssim \operatorname* { i n f } _ { v _ { h } \in \mathcal { S } _ { D } ^ { 1 } ( \mathcal { T } _ { h } ) } { \| F _ { h } ( \cdot , \nabla v _ { h } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } } + h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 \alpha } \, \big ( 1 + \rho _ { p ( \cdot ) s , \Omega } ( \nabla u ) \big ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \delta ( \cdot , t ) , \partial _ { t } \delta ( \cdot , t ) \rangle } & { = \int _ { \Omega } \delta ( x , t ) \left( \nabla \cdot ( A ( x ) \nabla \delta ( x , t ) ) + b ( x ) \cdot \nabla \delta ( x , t ) \right) \, d x } \\ & { \qquad + \int _ { \Omega } \delta ( x , t ) ( f ( u _ { \theta _ { t } } ( x ) ) - f ( u ^ { * } ( x , t ) ) + r ( x , t ) ) \, d x } \\ & { = : I ( t ) + J ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { A } _ { i j } ^ { \left( n \right) } = \frac { 1 - \delta _ { i j } } { \left( n + 1 \right) ! } \sum _ { \{ i , j \} _ { n + 1 } \subset V } \prod _ { \omega \in S _ { n + 1 } ^ { \{ i , j \} } } \mathbf { M } _ { \omega } , } \end{array}
( 3 , 4 , 5 ) , ( 5 , 1 2 , 1 3 ) , ( 8 , 1 5 , 1 7 ) , ( 7 , 2 4 , 2 5 ) , ( 2 0 , 2 1 , 2 9 ) , ( 1 2 , 3 5 , 3 7 ) , \dots
\begin{array} { r l } { Q ( r ) } & { = \int _ { B ( x , r ) } \frac { f ( y ) } { \| x - y \| ^ { n - 2 } } d y = \left( f ( x ) + \mathcal { O } ( r ) \right) \int _ { B ( x , r ) } \frac { 1 } { \| x - y \| ^ { n - 2 } } d y } \\ & { = \left( f ( x ) + \mathcal { O } ( r ) \right) \int _ { 0 } ^ { r } \frac { n \omega _ { n } s ^ { n - 1 } } { s ^ { n - 2 } } d s = \left( f ( x ) + \mathcal { O } ( r ) \right) \frac { n \omega _ { n } } { 2 } r ^ { 2 } } \end{array}
\mu ^ { 2 } - \frac { \mu } { 2 } = 0 \Rightarrow \mu _ { \pm } = \frac { 1 \pm 1 } { 4 } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \nu ^ { 2 } - \frac { \nu } { 2 } - \frac { \omega _ { a , b } } { 4 } = 0 \Rightarrow \nu _ { a , b } = \frac { 1 } { 4 } \left( 1 - \sqrt { 1 + 4 \omega _ { a , b } } \right) \; ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { H } _ { m , 1 } + \mathcal { H } _ { m , 2 } + \mathcal { H } _ { m , 3 } = \frac { ( 1 - r ^ { 2 } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } s f _ { 0 } ( s ) d s + ( m + 1 ) r ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } s ( 1 - s ^ { 2 m } ) ( f _ { 0 } ( s ) - f _ { 0 } ( s r ) ) d s } { m ( \Omega _ { m } - \widehat { \Omega } _ { m } ) } } \\ & { + \frac { 2 ( m + 1 ) r \mu _ { \Omega } ^ { 0 } ( r ) } { f _ { 0 } ^ { \prime } ( r ) } F _ { m , \Omega _ { m } } ( r ) \int _ { r } ^ { 1 } \frac { 1 } { F _ { m , \Omega _ { m } } ^ { 2 } ( s ) s ^ { 2 m + 1 } } \int _ { 0 } ^ { s } F _ { m , \Omega _ { m } } ( \tau ) \tau ^ { 2 m + 1 } \left\{ { f _ { 0 } ( \tau ) } - 2 \Omega _ { m } \right\} d \tau d s . } \end{array}
V ( r ) = { \frac { \mu c ^ { 2 } } { 2 } } \left[ - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } + { \frac { a ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } a ^ { 2 } } { r ^ { 3 } } } \right]
{ \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } A \in { \mathcal { A } } \qquad \| \varphi _ { i } - \varphi \| _ { A } = \operatorname* { s u p } _ { x \in A } | \varphi _ { i } ( x ) - \varphi ( x ) | { \underset { i \to \infty } { \longrightarrow } } 0 .
\begin{array} { r l } { \| g _ { i } ( t ) - g _ { j } ( t ) \| _ { E } ^ { 2 } } & { = \| U _ { i j } ( t ) \| ^ { 2 } + \| W _ { i j } ( t ) \| ^ { 2 } + \| R _ { i j } ( t ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq e ^ { - \alpha ( P ) \, t } \left\| g _ { i } ^ { 0 } - g _ { j } ^ { 0 } \right\| ^ { 2 } \to 0 , \; \; \mathrm { a s } \; \, t \to \infty . } \end{array}
H \; = \; H _ { e } + H _ { p } \; = \; \frac { \alpha _ { f } \hbar c } { r _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { d \rho } \left[ \frac { \sin ^ { 4 } \alpha } { 2 \rho ^ { 2 } } + ( \partial _ { \rho } \cos \alpha ) ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } \cos ^ { 2 m } \alpha \right] .
\begin{array} { r l } { u ( x , y , t ) = } & { { } \bar { f } \, y - \bar { \tau } \, x , } \\ { v ( x , y , t ) = } & { { } - \bar { f } \, y \, \mathrm { t a n } \left( \bar { f } \, t \right) + \bar { \tau } \, x \, \mathrm { t a n } \left( \bar { f } \, t \right) , } \\ { h ( x , y , t ) = } & { { } \tilde { h } _ { 0 } ( 0 ) \mathrm { e } ^ { \bar { \tau } \, t } \sec \left( \bar { f } \, t \right) . } \end{array}
m \ddot { u } _ { i } + \frac { m v _ { 0 } } { a } \left( \dot { u } _ { i + 1 } - \dot { u } _ { i - 1 } \right) + \left( k - \frac { m v _ { 0 } ^ { 2 } } { { a ^ { 2 } } } \right) \left( 2 u _ { i } - { u } _ { i + 1 } - u _ { i - 1 } \right) = 0
\begin{array} { r l } { \underset { \ell \in \{ 1 , \cdots , r - D _ { m ^ { * } } \} } { \operatorname* { m i n } } \Big ( \mathbb { P } \big ( X _ { \ell } - \ell > \ell K - \ell \big ) \Big ) } & { \leq \underset { \ell = 1 , \cdots , ( r - D _ { m ^ { * } } ) } { \operatorname* { m i n } } \bigg ( e ^ { - \frac { \ell } { 4 } \big ( 1 - \sqrt { 2 K - 1 } \big ) ^ { 2 } } \bigg ) } \\ & { \leq e ^ { \frac { ( r - D _ { m ^ { * } } ) \sqrt { 2 K - 1 } } { 2 } } e ^ { - \frac { ( r - D _ { m ^ { * } } ) K } { 2 } } . } \end{array}
\sin \left( x \right) = x - { \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } } + { \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } } - { \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } } + \cdots \pm { \frac { 1 } { ( 2 n + 1 ) ! } } x ^ { 2 n + 1 } + \cdots .
\index { N s h a r p @ ( \mathcal { N } _ { \sharp } ) _ { m } ^ { \omega } } \mathcal { N } _ { \sharp } [ H , H ] _ { m } ^ { \omega } = \iint _ { \mathcal { A } ^ { \star } } ( 1 - \widetilde { \chi } _ { 1 } ) ^ { 2 } g _ { \sharp } ^ { 2 } \left( | \omega H _ { m } ^ { \omega } | ^ { 2 } + | m H _ { m } ^ { \omega } | ^ { 2 } + \left| v ^ { 2 } W _ { + } \left( \frac { H _ { m } ^ { \omega } } { v ^ { 2 } } \right) \right| ^ { 2 } \right) \, .
{ \Delta _ { 1 } u } ^ { \alpha ( i , j ) } = \frac { u ^ { \alpha ( i + 1 , j ) } - u ^ { \alpha ( i , j ) } } { x _ { 1 } ^ { ( i + 1 ) } - x _ { 1 } ^ { ( i ) } } , \qquad { \Delta _ { 2 } u } ^ { \alpha ( i , j ) } = \frac { u ^ { \alpha ( i , j + 1 ) } - u ^ { \alpha ( i , j ) } } { x _ { 2 } ^ { ( j + 1 ) } - x _ { 2 } ^ { ( j ) } } .
i \frac { \partial \phi } { \partial t } = \left[ - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } + g | \frac { \phi } { r } | ^ { 2 } + g _ { L H Y } | \frac { \phi } { r } | ^ { 3 } + V _ { 0 } | \Psi ( r ) | ^ { 2 } \right] \phi
\hat { T } _ { \! c } ~ u _ { c } = \frac { - \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \left[ \partial _ { \zeta } ^ { 2 } + \partial _ { \rho } ^ { 2 } + \rho ^ { - 2 } \left( \partial _ { \varphi } ^ { 2 } - \frac 1 4 \right) \right] ~ u _ { c } \, .
\gamma _ { k } = \frac { ( 1 - \rho ) \mu \big | \bf { h } \mit _ { k } ^ { T } \bf { w } \mit _ { k } \big | \mathrm { ^ 2 } } { \varrho + \bf { h } \mit _ { k } ^ { T } \bf { C _ { q } } \bf { h } \mit _ { k } ^ { * } + \mathrm { ( 1 - \ r h o ) \ n u \bf { h } \mit _ { k } ^ { T } \bf { V } \bf { V } \mit ^ { H } \bf { h } \mit _ { k } ^ { * } + \ s i g m a \mit _ { n } \mathrm { ^ 2 } } } ,
\big \langle \Psi _ { 1 } , \nabla \Psi _ { 2 } \cdot \nabla \Psi _ { 3 } \big \rangle = \frac { 1 } { 2 } \Big ( K _ { 2 } ^ { 2 } + K _ { 3 } ^ { 2 } - K _ { 1 } ^ { 2 } \Big ) \mathscr { C } ,
\begin{array} { r l } { p _ { 1 } ( 1 , \boldsymbol { u } ) = } & { { } ( x _ { 1 } ^ { \prime } - x _ { 1 } ) ^ { 2 } \left( \mathcal { A } _ { 1 } ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) - \mathcal { A } _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \right) ^ { 2 } / 4 \ \ ; } \\ { p _ { 2 } ( 1 , \boldsymbol { u } ) = } & { { } \left\{ \right. - 2 ( x _ { 1 } ^ { \prime } - x _ { 1 } ) ( \mathcal { A } _ { 3 } ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) - \mathcal { A } _ { 3 } ( x _ { 1 } ) ) ( \mathcal { B } _ { 1 } ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) + \mathcal { B } _ { 1 } ( x _ { 1 } ) ) + } \\ { p _ { 3 } ( 1 , \boldsymbol { u } ) = } & { { } \{ 1 0 \mathcal { B } _ { 3 } ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) \mathcal { B } _ { 3 } ( x _ { 1 } ) + 7 \mathcal { B } _ { 3 } ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) { } ^ { 2 } + 7 \mathcal { B } _ { 3 } ( x _ { 1 } ) { } ^ { 2 } \} / 1 4 4 0 \ \ ; } \end{array}
a ^ { \mu + } ( \kappa ) = \frac 1 { \sqrt { 2 } } ( \gamma ^ { l \mu } + \kappa \gamma ^ { r \mu } ) \, \, \, \, a ^ { \mu } ( \kappa ) = \frac 1 { \sqrt { 2 } } ( \gamma ^ { l \mu } - \kappa \gamma ^ { r \mu } ) ;
z _ { 1 } \equiv \frac { { \alpha } _ { s } ( Q _ { 1 } ^ { 2 } ) } { \pi } = \frac { 1 } { { \beta } _ { 0 } \ln ( Q _ { 1 } ^ { 2 } / { \Lambda } ^ { 2 } ) } \left[ 1 - \frac { { \beta } _ { 1 } } { { \beta } _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \ln \left( \ln \frac { Q _ { 1 } ^ { 2 } } { { \Lambda } ^ { 2 } } \right) } { \ln \frac { Q _ { 1 } ^ { 2 } } { { \Lambda } ^ { 2 } } } \right] \ ,
\begin{array} { r l } { \Delta x _ { k } ^ { ( j ) } } & { \simeq x _ { k } \Big ( J _ { k j } ^ { ( t t ) } ( \tau ) + \Delta J _ { k j } \Big ) - x _ { k } \Big ( J _ { k j } ^ { ( t t ) } ( \tau ) \Big ) } \\ & { = \frac { \partial x _ { k } } { \partial J _ { k j } } \Big | _ { J _ { k j } = J _ { k j } ^ { ( t t ) } ( \tau ) } \Delta J _ { k j } = \underline { { a _ { k j } } } \Delta J _ { k j } } \end{array}
\hat { \mathbf { S } } = \frac { \mathbf { S } } { \| \mathbf { S } \| + 1 / \tau _ { s } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \hat { \mathbf { \Omega } } = \frac { \mathbf { \Omega } } { \| \mathbf { \Omega } \| + 1 / \tau _ { s } } \mathrm { ~ . ~ }
\mathcal { F } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { { \bf E } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } - { \bf B } ^ { 2 } \right) \, \; , \, \; \mathcal { G } = \frac { { \bf E } \cdot { \bf B } } { c } \, .
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } ^ { \ell } u \in L ^ { \infty } ( 0 , T ; H ^ { \Lambda - \ell + 1 } ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { 2 } ) \, , \partial _ { t } ^ { \ell } u _ { t } \in L ^ { 2 } ( 0 , T ; L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } ) \, , } \\ & { \partial _ { t } ^ { \ell } p \in L ^ { \infty } ( 0 , T ; H ^ { \Lambda - \ell } ) \, , \ \partial _ { t } ^ { \ell } \phi \in L ^ { \infty } ( 0 , T ; H ^ { \Lambda - \ell + 2 } ) \, , \partial _ { t } ^ { \ell } \phi _ { t } \in L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { a } ^ { J } ( f ) ( x ) } & { : = ( \tilde { a } \times _ { J } f ) ( x ) \qquad \qquad \qquad \mathrm { ~ f o r ~ } f \in \mathcal { S } ^ { A } ( V ) , \ x \in V , } \\ & { = \iint \tilde { a } ( x + J u ) f ( x + v ) e ^ { 2 \pi i \langle u , v \rangle } \, d u \, d v } \\ & { = \iint \alpha _ { x + J u } ( a ) \tau _ { v } ( f ) ( x ) e ^ { 2 \pi i \langle u , v \rangle } \, d u \, d v . } \end{array}
\mathrm { T r } _ { \cal H } ( u T u ^ { \dag } ) = \sum _ { n _ { 1 } + n _ { 2 } > 0 } T | _ { Z _ { 1 } = n _ { 1 } \theta _ { 1 } , Z _ { 2 } = n _ { 2 } \theta _ { 2 } } .
\sigma \equiv \frac { B _ { \mathrm { u p } } ^ { 2 } / 4 \pi } { m _ { e } n _ { \mathrm { u p } } c ^ { 2 } \left[ \left( 1 - f _ { i } \right) + f _ { i } \frac { m _ { i } } { m _ { e } } \right] } \approx \frac { B _ { \mathrm { u p } } ^ { 2 } / 4 \pi } { m _ { e } n _ { \mathrm { u p } } c ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { G _ { Q } ( z - z _ { 0 } , Q ) } & { { } = } & { - \overline { { Q L ( \zeta , \rho ) } } - 2 Q L - Q \ln | \zeta | ^ { 2 } M ( \zeta , \rho ) - Q \ln ( \rho ^ { 2 } ) \rho \frac { \partial L } { \partial \rho } , } \\ { G _ { D } ( z - z _ { 0 } , D ) } & { { } = } & { - D L ( \zeta , \rho ) , } \\ { G _ { O } ( z - z _ { 0 } , O ) } & { { } = } & { O N ( \zeta , \rho ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \mathrm { x } } [ f _ { q } ] : = } & { - \frac { 1 } { n [ f _ { q } ] } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { \operatorname* { m a x } ( q , q ^ { \prime } ) } V ( q , q ^ { \prime } ) \frac { { q ^ { \prime } } ^ { 2 } d q ^ { \prime } } { 2 \pi ^ { 2 } } \frac { q ^ { 2 } d q } { 2 \pi ^ { 2 } } \; , } \end{array}
\tilde { \lambda } _ { \mathrm { e f f } , \mathrm { c a } } = \frac { \lambda _ { \mathrm { e f f } , \mathrm { c a } } } { R _ { 0 } } = \tilde { R } _ { 1 } \ln ( \tilde { R } _ { 1 } ) - 2 \tilde { R } _ { 1 } \frac { S } { I _ { - 1 } } ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega _ { T } } \Bigl ( \partial _ { t } u ( t , x ) - a ( t , x ) \Delta _ { \bar { g } } u ( t . x ) - c ( t , x ) u ( t , x ) - d ( t , x ) \Bigr ) \phi ( t , x ) d \mu _ { \bar { g } } ( x ) d t } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { \Omega _ { T } } \Bigl ( \partial _ { t } u _ { n } ( t , x ) - a _ { n } ( t , x ) \Delta _ { \bar { g } } u _ { n } ( t , x ) - c _ { n } ( t , x ) u _ { n } ( t , x ) - d _ { n } ( t , x ) \Bigr ) \phi ( t , x ) d \mu _ { \bar { g } } ( x ) d t = 0 , } \end{array}
[ \hat { \sigma } _ { \alpha \beta } , \hat { \sigma } _ { u ^ { \prime } v ^ { \prime } } ] = N _ { a } ^ { - 1 } ( \delta _ { \alpha v ^ { \prime } } \hat { \sigma } _ { u ^ { \prime } \beta } - \delta _ { u ^ { \prime } \beta } \hat { \sigma } _ { \alpha v ^ { \prime } } ) \delta _ { { r r ^ { \prime } } }
Q \sim 4 . 3 \times 1 0 ^ { 2 6 } \Omega _ { Q } ^ { 4 / 5 } \beta _ { \ell } ^ { 4 / 5 } m _ { F , 6 } ^ { 4 / 5 } T _ { R H , 5 } ^ { 4 } m _ { 3 / 2 , \mathrm { G e V } } ^ { - 4 } .
\begin{array} { r l r } { \Psi ( x ) _ { n = 0 } } & { = } & { \exp \left( - x ^ { 2 } \right) x } \\ { \Psi ( x ) _ { n = 1 } } & { = } & { \exp \left( - x ^ { 2 } \right) x \left( 1 - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) } \\ { \Psi ( x ) _ { n = 2 } } & { = } & { \exp \left( - x ^ { 2 } \right) x \left( 1 - x ^ { 2 } + \frac { x ^ { 4 } } { 2 } \right) . } \end{array}
H = N \left[ - \frac { 1 } { 2 4 } \epsilon _ { i j k } ( \hat { \theta } ^ { i } - A ^ { i } ) ( \hat { \theta } ^ { j } - A ^ { j } ) ( \hat { \theta } ^ { k } - A ^ { k } ) + \frac { 1 } { 4 } F ^ { i } ( \hat { \theta } ^ { i } - A ^ { i } ) \right] + h \, ,
\begin{array} { r } { \frac { u _ { 1 } ^ { n + 1 } - u _ { 1 } ^ { n } } { \Delta t } + a \frac { u _ { 1 } ^ { n } - u ^ { e x a c t } ( x _ { 1 } - h , t ^ { n } ) } { h } = s ( x _ { 1 } , t ^ { n } ) . } \end{array}
\langle n \| S _ { j } ( { \mathsf s } ) \| n ^ { \prime } \rangle = S _ { j } ( { \mathsf s } ) = \left\{ \begin{array} { l l l } { { } } & { { 2 i a _ { j } ( { \mathsf s } ) + 1 \quad } } & { { \mathrm { f o r ~ e l a s t i c ~ s c a t t e r i n g ~ n = n ~ ^ { \prime } ~ } } } \\ { { } } & { { 2 i a _ { j } ^ { ( n ) } ( { \mathsf s } ) \quad } } & { { \mathrm { f o r ~ r e a c t i o n ~ f r o m ~ n ^ { \prime } ~ i n t o ~ t h e ~ c h a n n e l ~ n ~ } \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { I } & { = \frac { M \sqrt { 2 } } { l } \left( 2 \int _ { 0 } ^ { l / \sqrt { 2 } } y ^ { 2 } d y + 2 \int _ { l / \sqrt { 2 } } ^ { l \sqrt { 2 } } y ^ { 2 } d y \right) } \\ & { = \frac { M 2 \sqrt { 2 } } { 3 l } \left( ( l / \sqrt { 2 } ) ^ { 3 } + ( l \sqrt { 2 } ) ^ { 3 } - ( l / \sqrt { 2 } ) ^ { 3 } \right) } \\ & { = \frac { 2 } { 3 } M l ^ { 2 } ( \sqrt { 2 } ) ^ { 4 } } \\ & { = \frac { 8 } { 3 } M l ^ { 2 } } \end{array}
\times \left( \frac { R _ { A s t r o } } { 0 . 9 y r ^ { - 1 } } \times \frac { f _ { B i o t e c h } } { 1 } \times \frac { \mathcal { L } _ { _ { I I I } } } { t _ { _ { I I I } } } \right) ^ { 2 / 3 } \; G e V \; s ^ { - 1 } \; c m ^ { - 2 } .
s \equiv \frac { S } { V } = \frac { r _ { \mathrm { B H } } ^ { n } } { 4 G _ { n + 2 } R ^ { n } } = \frac { ( n - 1 ) r _ { \mathrm { B H } } ^ { n } } { 4 G _ { n + 1 } l _ { n + 2 } R ^ { n } } ,
\begin{array} { r l } { Q ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) } & { = \frac { e ^ { - \sum _ { i < j } H _ { i j } ( w _ { i j } ) } } { \int _ { \mathbb { W } _ { \mathbf { A } } } e ^ { - \sum _ { i < j } H _ { i j } ( w _ { i j } ) } d \mathbf { W } } } \\ & { = \prod _ { i < j } \frac { e ^ { - H _ { i j } ( w _ { i j } ) } } { \left[ \int _ { m _ { i j } } ^ { + \infty } e ^ { - H _ { i j } ( w _ { i j } ) } d w _ { i j } \right] ^ { a _ { i j } } } = \prod _ { i < j } \frac { e ^ { - H _ { i j } ( w _ { i j } ) } } { \zeta _ { i j } ^ { a _ { i j } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { c ( G , i , j ) = \sum _ { 1 \leq k \leq 3 } } & { ( - 1 ) ^ { k } \mu _ { k } ^ { \pm } ( w _ { 2 1 } ) + \sum _ { 1 \leq l < k \leq 3 } ( - 1 ) ^ { k + l + 1 } \mu _ { l k } ^ { \pm } ( w _ { 3 1 } ) } \\ & { \in \bigoplus _ { k } \bar { C } _ { * } ( \mathcal { T } _ { \delta _ { i j } \partial _ { k } G } ) \oplus \bigoplus _ { k < l } \bar { C } _ { * } ( \mathcal { T } _ { \delta _ { i j } \partial _ { k l } G } ) } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } d l _ { E } \frac { l _ { E } ^ { D - 1 } } { ( l _ { E } ^ { 2 } + \Delta ) ^ { 6 } } = - \frac { \pi ( D - 1 0 ) ( D - 8 ) ( D - 6 ) ( D - 4 ) ( D - 2 ) \csc \big ( \frac { \pi D } { 2 } \big ) } { 7 6 8 0 \Delta ^ { 6 - \frac { D } { 2 } } }
U _ { 0 , 0 } = - \frac { \alpha _ { \mathrm { s } } I } { 2 \epsilon _ { 0 } c } - \frac { \Delta \alpha _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } I ^ { 2 } } { 2 7 0 B \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } c ^ { 2 } } + B \left( O \left( \frac { \Delta \alpha _ { \mathrm { s } } I } { 2 B \epsilon _ { 0 } c } \right) ^ { 3 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \Dot { x _ { 1 } } } & { = x _ { 1 } \left( \xi - 3 \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } - \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } ^ { 2 } \right) + 3 x _ { 1 } ^ { 2 } \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } + x _ { 2 } \left( - \zeta - 2 \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } \right) - x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { + 2 x _ { 1 } x _ { 2 } \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } + x _ { 2 } ^ { 2 } \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } - x _ { 1 } ^ { 3 } + \left( - \xi \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } + \zeta \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } + \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } ^ { 3 } + \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
{ \cal H } _ { \mathrm { w } } ^ { \mathrm { ( C F ) } } = - V _ { u d } { V _ { c s } } ^ { * } { \frac { G _ { \mathrm { F } } } { \sqrt { 2 } } } \left[ : a _ { 1 } ( { \bar { u } } d ) ( { \bar { s } } c ) + a _ { 2 } ( { \bar { s } } d ) ( { \bar { u } } c ) : \right] \ \ .