harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { \tilde { G } _ { N } ( x _ { 1 } \ldots x _ { N } ) \equiv } } & { { < 0 | T \left\{ \varphi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \ldots A _ { T } ( x _ { k } ) \ldots \varphi _ { N } ( x _ { N } ) \right\} | 0 > } } \\ { { = } } & { { \tilde { D } _ { T } ( x _ { k } - x _ { l } ) \tilde { G } _ { N - 2 } ( \ldots ) + \left[ \tilde { D } _ { T } ( x _ { k } - x _ { l } ) \tilde { D } _ { T } ( x _ { m } - x _ { n } ) + \right. } } \\ { { \mathrm { } } } & { { \left. + \, \mathrm { { ( p e r m u t a t i o n s ) } } \right] \, \, \tilde { G } _ { N - 4 } ( \ldots ) + \, \, { \mathrm { ( o t h e r \, \, d i s c o n n e c t e d \, \, t e r m s ) } } } } \\ { { \mathrm { } } } & { { + \, \int d ^ { 4 } y _ { 1 } \ldots \int d ^ { 4 } y _ { N } \tilde { \Delta } _ { 1 } ( x _ { 1 } - y _ { 1 } ) \ldots \tilde { D } _ { T } ( x _ { k } - y _ { k } ) \ldots \tilde { \Delta } _ { N } ( x _ { N } - y _ { N } ) } } \\ { { \mathrm { } } } & { { \times \, \tilde { T } _ { N } ( y _ { 1 } \ldots y _ { k } \ldots y _ { N } ) \, , } } \end{array}
\varrho ( \mathsf { A } ) : = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \operatorname* { s u p } _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { n } \in \mathcal { I } } \left\| A _ { i _ { n } } \cdots A _ { i _ { 1 } } \right\| ^ { \frac { 1 } { n } } = \operatorname* { i n f } _ { n \geq 1 } \operatorname* { s u p } _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { n } \in \mathcal { I } } \left\| A _ { i _ { n } } \cdots A _ { i _ { 1 } } \right\| ^ { \frac { 1 } { n } } .
{ \begin{array} { r l } { f _ { v v } ^ { i } } & { \approx { \frac { f _ { i } ( { \boldsymbol { x } } + h { \boldsymbol { \delta } } ) - 2 f _ { i } ( { \boldsymbol { x } } ) + f _ { i } ( { \boldsymbol { x } } - h { \boldsymbol { \delta } } ) } { h ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { 2 } { h } } \left( { \frac { f _ { i } ( { \boldsymbol { x } } + h { \boldsymbol { \delta } } ) - f _ { i } ( { \boldsymbol { x } } ) } { h } } - { \boldsymbol { J } } _ { i } { \boldsymbol { \delta } } \right) } \end{array} }
E _ { k } = m _ { Q } + E _ { 0 } ^ { k } + E _ { 1 } ^ { k } + E _ { 2 } ^ { k } , \quad U _ { k , \; j } = U _ { k , \; j } ^ { ( 1 ) } + U _ { k , \; j } ^ { ( 2 ) } , \quad V _ { k , \; k ^ { \prime } } ^ { j } = V _ { k , \; k ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) \; j } + V _ { k , \; k ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) \; j } ,
\begin{array} { r l } { Z _ { i j } } & { = \textit { u p } \times \textnormal { e } ^ { - \beta ( a _ { j _ { \uparrow } } + \omega _ { j j _ { \uparrow } } ) } \times \mathrm { C a l c \_ Z _ { i j } } ( i , j _ { \uparrow } , a , \omega ) } \\ & { + \textit { d o w n } \times \textnormal { e } ^ { - \beta ( a _ { j _ { \downarrow } } + \omega _ { j j _ { \downarrow } } ) } \times \mathrm { C a l c \_ Z _ { i j } } ( i , j _ { \downarrow } , a , \omega ) } \\ & { + \textit { l e f t } \times \textnormal { e } ^ { - \beta ( a _ { j _ { \leftarrow } } + \omega _ { j j _ { \leftarrow } } ) } \times \mathrm { C a l c \_ Z _ { i j } } ( i , j _ { \leftarrow } , a , \omega ) } \\ & { + \textit { r i g h t } \times \textnormal { e } ^ { - \beta ( a _ { j _ { \rightarrow } } + \omega _ { j j _ { \rightarrow } } ) } \times \mathrm { C a l c \_ Z _ { i j } } ( i , j _ { \rightarrow } , a , \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lbrace \left\lbrace \partial _ { i } \wedge \partial _ { j } \right\rbrace _ { 1 } ^ { \prime } , \partial _ { I _ { 2 } } \ldots , \partial _ { I _ { n } } \right\rbrace _ { n } ^ { \prime } } & { = ( - 1 ) ^ { \sum _ { k = 2 } ^ { n } \lvert \partial _ { I _ { k } } \rvert + 1 } \left( \varphi _ { i } \left\lbrace \partial _ { j } , \partial _ { I _ { 2 } } \ldots , \partial _ { I _ { n } } \right\rbrace _ { n } ^ { \prime } - \varphi _ { j } \left\lbrace \partial _ { i } , \partial _ { I _ { 2 } } \ldots , \partial _ { I _ { n } } \right\rbrace _ { n } ^ { \prime } \right) } \\ & { = - ( - 1 ) ^ { \sum _ { k = 2 } ^ { n } \lvert \partial _ { I _ { k } } \rvert } \sum _ { i _ { 2 } \in I _ { 2 } , \ldots , i _ { n } \in I _ { n } } \epsilon ( i _ { 2 } , \ldots , i _ { n } ) \iota _ { \varphi } ( \partial _ { i } \wedge \partial _ { j } ) [ \varphi _ { i _ { 2 } \cdots i _ { n } } ] \, \partial _ { I _ { 2 } ^ { i _ { 2 } } \bullet \cdots \bullet I _ { n } ^ { i _ { n } } } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \sum _ { k = 2 } ^ { n } \lvert \partial _ { I _ { k } } \rvert } \sum _ { i _ { 2 } \in I _ { 2 } , \ldots , i _ { n } \in I _ { n } } \epsilon ( i _ { 2 } , \ldots , i _ { n } ) \rho ( \partial _ { i } \wedge \partial _ { j } ) [ \varphi _ { i _ { 2 } \cdots i _ { n } } ] \, \partial _ { I _ { 2 } ^ { i _ { 2 } } \bullet \cdots \bullet I _ { n } ^ { i _ { n } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - s _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \pi _ { 1 } , \pi _ { 1 5 } } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { s _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \pi _ { 7 } , \pi _ { 9 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - s _ { 0 } e ^ { - 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } & { 1 } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \pi _ { 8 } , \pi _ { 1 6 } ^ { - } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - s _ { 0 } ^ { - 1 } } \\ { s _ { 0 } } & { 0 } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in ( z _ { 2 , - } , z _ { 2 , + } ) , } \end{array}
\phi _ { h } = \sum _ { r = 1 } ^ { h } { \frac { ( - 1 ) ^ { r } } { r } } \left( { 2 h - 1 \atop r - 1 } \right) P _ { r , 2 h - r } - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { ( - 1 ) ^ { h } } { h } } \left( { 2 h - 1 \atop h - 1 } \right) P _ { h , h } \, ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { { p } } ( v ) = \sigma _ { { p } } ( P ) ^ { - 1 } \sigma _ { { p } } ( f ) } & { \quad \mathrm { o n ~ } { \Lambda \cap \mathrm { C h a r } ( P ) } , } \\ { \mathcal { L } _ { H _ { P } } \sigma _ { { p } } ( v ) + \iota \sigma _ { \mathrm { s u b } } ( P ) \sigma _ { { p } } ( v ) = 0 } & { \quad \mathrm { o n ~ } \Lambda ^ { g } , } \end{array}
\hat { B } _ { K } = B _ { K } ( \mu ) \ \big ( \alpha _ { s } ( \mu ) \big ) ^ { - \gamma _ { 0 } / 2 \beta _ { 0 } } \big ( 1 + { \frac { \alpha _ { s } ( \mu ) } { 4 \pi } } \big [ { \frac { \beta _ { 1 } \gamma _ { 0 } - \beta _ { 0 } \gamma _ { 0 } } { 2 \beta _ { 0 } ^ { 2 } } } \big ] \big ) \ .
i D _ { T _ { \mu \nu } } ^ { \underline { { { a } } } \underline { { { b } } } } ( k ) = \frac { i \delta _ { \underline { { { a } } } \underline { { { b } } } } } { k ^ { 2 } - m _ { G } ^ { 2 } } \left[ - g _ { \mu \nu } + \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } } { k ^ { 2 } } \right] \; .
\int [ g _ { 1 } ^ { p } ( x ) - g _ { 1 } ^ { \Lambda } ( x ) ] d x = { \frac { 1 } { 1 2 } } [ ( g _ { A } / g _ { V } ) _ { n \rightarrow p } + ( g _ { A } / g _ { V } ) _ { \Lambda \rightarrow p } ]
P _ { e } ^ { 0 0 } ( n = 0 ) = \frac { \Omega _ { d } ^ { 2 } } { \Delta _ { d } ^ { 2 } + \Omega _ { d } ^ { 2 } } \sin { \left( \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \Delta _ { d } ^ { 2 } + \Omega _ { d } ^ { 2 } } t _ { \pi / 2 } \right) } \approx 1 7 \
\begin{array} { r l r } { \frac { d ^ { 2 } \tilde { \kappa } } { d \tilde { s } ^ { 2 } } \pm E _ { v } \left( \tilde { \kappa } ( \tilde { s } ) - \frac { K } { \tilde { d } } g ( \tilde { s } ) \right) } & { { } = } & { 0 , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \pi } { 4 } } \prod _ { p \equiv 1 { \pmod { 4 } } } \left( 1 - { \frac { 1 } { p ^ { 2 } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } & { = 0 . 7 6 4 2 2 3 . . . } \\ { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \prod _ { p \equiv 3 { \pmod { 4 } } } \left( 1 - { \frac { 1 } { p ^ { 2 } } } \right) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } } & { = 0 . 7 6 4 2 2 3 . . . } \end{array} }
\delta _ { u } = \frac { \sigma _ { 0 } ^ { u } + \sigma _ { 1 } ^ { u } + \sigma _ { 2 } ^ { u } } { \sigma _ { 0 } ^ { u } } , \qquad \delta _ { p } = \frac { \sigma _ { 0 } ^ { p } + \sigma _ { 1 } ^ { p } + \sigma _ { 2 } ^ { p } } { \sigma _ { 0 } ^ { p } }
\begin{array} { r l r } { A _ { 1 } ^ { s s } } & { { } = } & { 0 \mathrm { \: \: ( c o n d u c t i v e \: s t a t e ) } } \\ { A _ { 1 } ^ { s s } } & { { } = } & { \pm \sqrt { \sigma _ { 1 } / \gamma } \mathrm { \: \: ( t w o \ c o n v e c t i v e \: s t a t e s ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( } & { d - 1 ) ! \int _ { \mathbb { R } ^ { d - 1 } } \left( \int _ { \frac { k } { 2 ^ { j } } } ^ { \frac { k + 1 } { 2 ^ { j } } } \prod _ { \ell = 2 } ^ { d } ( s - x _ { \ell } ) _ { + } ^ { H _ { j , k } } \, d s \right) ^ { 2 } \, d x _ { 2 } \ldots d x _ { d } } \\ & { \, = \left\| X _ { d - 1 } ( \frac { k + 1 } { 2 ^ { j } } , \frac { ( d - 1 ) H \left( \frac { k + 1 } { 2 ^ { j } } \right) + 1 } { d } ) - X _ { d - 1 } ( \frac { k } { 2 ^ { j } } , \frac { ( d - 1 ) H \left( \frac { k + 1 } { 2 ^ { j } } \right) + 1 } { d } ) \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq c _ { 1 } 2 ^ { - 2 j \frac { ( d - 1 ) H \left( \frac { k + 1 } { 2 ^ { j } } \right) + 1 } { d } } . } \end{array}
\int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \lambda - \Omega \cdot n ) \boldsymbol { m } ( \Omega ) [ \boldsymbol { m } ( \Omega ) ] ^ { \top } \left( 1 + \frac { \boldsymbol { \lambda } ( \boldsymbol { \rho } ) \cdot \boldsymbol { m } ( \Omega ) } { K } \right) ^ { K - 1 } \, \mathrm { d } \Omega .
\begin{array} { r l } { V _ { L } \dot { S _ { L } } } & { = - ( F + F _ { N } + \eta ( F _ { L } - F _ { N } ) ) S _ { 0 } , } \\ & { + | q _ { L } | ( S _ { A } - S _ { L } ) , } \\ { V _ { N } \dot { S _ { N } } } & { = - ( F + F _ { N } ) S _ { 0 } + | q _ { N } | ( S _ { A } - S _ { N } ) , } \\ { V _ { T o t a l } S _ { 0 } } & { = V _ { L } S _ { L } + V _ { A } S _ { A } + V _ { N } S _ { N } , } \\ { q _ { L } } & { = - k [ \alpha ( T _ { N } + \mu ( T _ { L } - T _ { N } ) - T _ { A } ) } \\ & { - \beta ( S _ { L } - S _ { A } ) ] , } \\ { q _ { N } } & { = - k \left[ \alpha ( T _ { N } - T _ { A } ) - \beta ( S _ { N } - S _ { A } ) \right] . } \end{array}
\chi _ { 1 } = \lambda _ { 1 } \left( \mathbf { m } ^ { T } \mathbf { B } _ { x } ^ { T } \mathbf { B } _ { x } \mathbf { m } + \mathbf { m } ^ { T } \mathbf { B } _ { z } ^ { T } \mathbf { B } _ { z } \mathbf { m } \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \beta ( x ) \phi ^ { \prime \prime } ( | x | / \varepsilon ) \textrm { d } x } & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \beta ( \varepsilon r , \psi ) \phi ^ { \prime \prime } ( r ) r \textrm { d } r \textrm { d } \psi } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \Big ( \beta ( \varepsilon r , \psi ) + \varepsilon r \frac { \partial \beta } { \partial r } ( \varepsilon r , \psi ) \Big ) \phi ^ { \prime } ( r ) \textrm { d } r \textrm { d } \psi } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \beta \Big ( \frac { \varepsilon } { 3 } , \psi \Big ) \textrm { d } \psi + \varepsilon \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \frac { \partial \beta } { \partial r } ( \varepsilon r , \psi ) \phi ( r ) \textrm { d } r \textrm { d } \psi } \\ & { - \varepsilon \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } r \frac { \partial \beta } { \partial r } ( \varepsilon r , \psi ) \phi ^ { \prime } ( r ) \textrm { d } r \textrm { d } \psi . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { s p } ^ { \lambda } ( q ) } & { = } & { \sum _ { \chi \in w t ( \mathcal { B } ( \lambda ) ) } \vert \mathcal { B } ( \lambda ) _ { \chi } \vert q ^ { p w r ( \chi ) } } \\ & { = } & { \sum _ { \chi \in \mathcal { A } } \vert \mathcal { B } ( \lambda ) _ { \chi } \vert \sum _ { \xi \in \mathcal { A } _ { \chi } } q ^ { p w r ( \xi ) } } \\ & { \equiv } & { \sum _ { \chi \in \mathcal { A } } \vert \mathcal { B } ( \lambda ) _ { \chi } \vert ( 1 + q + \cdots + q ^ { 2 m } - 1 ) \mod q ^ { 2 m } - 1 } \\ & { = } & { \frac { \vert S P ( \lambda , 2 m ) \vert } { 2 m } ( 1 + q + \cdots + q ^ { 2 m - 1 } ) \mod q ^ { 2 m } - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { a } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ( \mathbb { P } u , v ) } & { = \big \langle \mathrm { d } \mathbb { P } u , \mathrm { d } v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } + \big \langle \mathrm { d } ^ { \ast } \mathbb { P } u , \mathrm { d } ^ { \ast } v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } \\ & { = \big \langle \mathrm { d } u , \mathrm { d } v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } \\ & { = \big \langle \mathrm { d } u , \mathrm { d } \mathbb { P } v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } \\ & { = \big \langle \mathrm { d } u , \mathrm { d } \mathbb { P } v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } + \big \langle \mathrm { d } ^ { \ast } u , \mathrm { d } ^ { \ast } \mathbb { P } v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } \\ & { = \mathfrak { a } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ( u , \mathbb { P } v ) \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { i \partial _ { t } \psi = \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } \psi - \left( V + \frac { i } { 2 } \right) \psi - ( 1 - i \alpha ) \frac { W _ { 0 } + W _ { r } } { 1 + | \psi | ^ { 2 } } \psi - ( h + i \tilde { h } ) | \psi | ^ { 2 } \psi , } \end{array}
e _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } = \psi _ { + , 0 } ^ { ( \digamma ) } f _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } = H _ { 1 } ^ { - k _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } } f _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } , \quad f _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } = - \psi _ { - , 0 } ^ { ( \digamma ) } e _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } = - H _ { 1 } ^ { k _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } } e _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } .
{ \widehat { T } } _ { m } ^ { ( j ) } \rightarrow U ( R ) ^ { \dagger } { \widehat { T } } _ { m } ^ { ( j ) } U ( R ) = e x p \left( { i { \frac { \theta } { \hbar } } { \hat { n } } \cdot a d _ { \vec { J } } } \right) { \widehat { T } } _ { m } ^ { ( j ) } = \sum _ { m ^ { \prime } } D _ { m ^ { \prime } m } ^ { ( j ) } ( R ^ { - 1 } ) { \widehat { T } } _ { m ^ { \prime } } ^ { ( j ) }
\mathcal { N } ^ { * } { \mathbf M } _ { N } \mathcal { N } ^ { - 1 } = \mathrm { d i a g } ( m _ { \chi _ { 1 } ^ { 0 } } , m _ { \chi _ { 2 } ^ { 0 } } , m _ { \chi _ { 3 } ^ { 0 } } , m _ { \chi _ { 4 } ^ { 0 } } , m _ { \nu _ { 1 } } , m _ { \nu _ { 2 } } , m _ { \nu _ { 3 } } )
\begin{array} { r l } { ( 1 , 2 , 3 ) } & { { } = ( ( ( \emptyset , 1 ) , 2 ) , 3 ) } \\ { ( 1 , 2 , 3 , 4 ) } & { { } = ( ( ( ( \emptyset , 1 ) , 2 ) , 3 ) , 4 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { \Delta } _ { 0 } ^ { \mathrm { B } } \! = \! \frac { F } { \eta } \exp \! { \Big ( \frac { C \eta } { F } \big ( 1 \! \! - \! \! \frac { \eta } { F } \big ) ^ { \delta - 1 } } \Big ) \! + \! \frac { ( F ^ { 2 } \! \! - \! \! 1 ) \eta } { 1 2 F } \exp \! { \Big ( \! \! - \! \! \frac { C \eta } { F } \Big ) } \! + \! \frac { 1 \! \! - \! \! F } { 2 } , } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 6 } } - { \frac { 1 } { 8 } } + { \frac { 1 } { 1 0 } } + \cdots + { \frac { 1 } { 2 ( 2 k - 1 ) } } - { \frac { 1 } { 2 ( 2 k ) } } + \cdots
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( M ) } & { : = \operatorname* { P r } \{ d ( X ^ { n } , \phi ( f ( X ^ { n } ) ) ) > D \} } \\ & { = \mathsf { E } _ { P _ { X } ^ { n } } \left[ \big ( 1 - \operatorname* { P r } \{ d ( X ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ) \leq D | \, X ^ { n } \} \big ) ^ { M } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \bf e } _ { \omega } ^ { H } ( L _ { N } - l _ { 2 , \omega } I ) { \bf u } ^ { n } } & { = } & { \hat { \bf e } _ { \omega } ^ { H } [ - D _ { N } P _ { N } D _ { N } + Q _ { N } ] { \bf u } ^ { n } - l _ { 2 , \omega } ( \hat { \bf e } _ { \omega } ^ { H } { \bf u } ^ { n } ) } \\ & { = } & { - i \omega \hat { \bf e } _ { \omega } ^ { H } P _ { N } D _ { N } { \bf u } ^ { n } + \hat { \bf e } _ { \omega } ^ { H } Q _ { N } { \bf u } ^ { n } - l _ { 2 , \omega } ( \hat { \bf e } _ { \omega } ^ { H } { \bf u } ^ { n } ) } \\ & { = } & { ( \bar { p } \omega ^ { 2 } + \bar { q } ) ( \hat { \bf e } _ { \omega } ^ { H } { \bf u } ^ { n } ) - i \omega \hat { \bf e } _ { \omega } ^ { H } \tilde { P } _ { N } D _ { N } { \bf u } ^ { n } + \hat { \bf e } _ { \omega } ^ { H } \tilde { Q } _ { N } { \bf u } ^ { n } - l _ { 2 , \omega } ( \hat { \bf e } _ { \omega } ^ { H } { \bf u } ^ { n } ) } \\ & { = } & { - i \omega \hat { \bf e } _ { \omega } ^ { H } \tilde { P } _ { N } D _ { N } { \bf u } ^ { n } + \hat { \bf e } _ { \omega } ^ { H } \tilde { Q } _ { N } { \bf u } ^ { n } . } \end{array}
S _ { 3 } = { \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \int \frac { 1 } { 2 } \rho | u | ^ { 2 } + \int 2 \mu | D ( u ) | ^ { 2 } } \\ & { = \int \Delta \left( { \rho } { \varphi } ^ { - 1 } \right) \frac { | u | ^ { 2 } } { 2 } + \int \rho u _ { t } \cdot Q + \int \rho ( \Phi + \nabla \varphi ^ { - 1 } ) \cdot \nabla u \cdot Q + \int 2 \mu D ( u ) \cdot \nabla Q . } \end{array}
\int _ { \Omega _ { \rho } } | \nabla \Phi _ { q } | ^ { 2 } \, d x = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \int _ { \partial B _ { \rho } ( q _ { j } ) \cap \Omega } \Phi _ { q } \frac { \partial \Phi _ { q } } { \partial n _ { q _ { j } } } d s + \int _ { \Gamma \setminus ( \Gamma _ { \rho } ( q _ { 1 } ) \cup \Gamma _ { \rho } ( q _ { 2 } ) ) } \Phi _ { q } \frac { \partial \Phi _ { q } } { \partial n } d s
\langle \mathcal { A } ( t ) - \mathcal { A } ( s ) , t - s \rangle \ge C _ { \mathrm { S M } } ( t _ { * } , \delta ) \| t - s \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \quad t , s \in B _ { \mathbb { V } } ( t _ { * } , \delta ) .
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } } & { \mathsf { v a r } ^ { \bullet } } & & { : } & & { \forall A \ A ^ { \bullet } \ ( x : \mathsf { V a r } ( A ) ) \to \mathsf { T m } ^ { \bullet } ( A ^ { \bullet } , \mathsf { v a r } ( x ) ) , } \\ & { \mathsf { v a r } ^ { \bullet } ( A ^ { \bullet } , x ) } & & { \triangleq } & & { A _ { u } ^ { \bullet } ( \mathsf { v a r } ^ { \mathsf { n e } } ( x ) ) . } \end{array}
f ( z ) = { \frac { 1 } { z + 1 } } - { \frac { 1 } { z - 1 } } + { \frac { 3 i } { 2 } } { \frac { 1 } { z + i } } - { \frac { 3 i } { 2 } } { \frac { 1 } { z - i } } .
S _ { R } = \frac i { \pi } \int d ^ { 2 } \sigma \ \left\{ \psi _ { \mu } \partial _ { + } \psi ^ { \mu } + \psi ^ { \dag } ( \partial _ { + } + i q \partial _ { + } Y ) \psi + \psi ^ { Y } \partial _ { + } \psi ^ { Y } \right\} .
\begin{array} { r l } { \partial ( a \cdot b ) } & { = \frac { a \cdot b - F ( a \cdot b ) } { \mathbf T } = \frac { a \cdot b - F ( a ) \cdot F ( b ) } { \mathbf T } } \\ & { = \frac { a - F ( a ) } { \mathbf T } \cdot b + a \cdot \frac { b - F ( b ) } { \mathbf T } - \mathbf T \cdot \frac { a - F ( a ) } { \mathbf T } \cdot \frac { b - F ( b ) } { \mathbf T } } \\ & { = \partial ( a ) \cdot b + a \cdot \partial ( b ) - { \mathbf T } \cdot \partial ( a ) \cdot \partial ( b ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 8 \pi \, T _ { \, \, \, i } ^ { i } = } & { R _ { \, \, \, i } ^ { i } - \frac { 1 } { 2 } R } \\ { = } & { g ^ { 0 0 } \bigg [ 2 \frac { \ddot { a } } { a } + \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { 2 } \bigg ] + g ^ { l l } \frac { \partial _ { l } ^ { 2 } R } { R } - g ^ { l l } \left( \frac { \partial _ { l } R } { R } \right) ^ { 2 } + g ^ { i i } \left( \frac { \partial _ { i } R } { R } \right) ^ { 2 } } \\ { = } & { g ^ { 0 0 } \bigg [ 2 \frac { \ddot { a } } { a } + \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { 2 } \bigg ] - \frac { 1 } { a ^ { 2 } R ^ { 2 } } \frac { \partial _ { l } ^ { 2 } R } { R } + \frac { 1 } { a ^ { 2 } R ^ { 2 } } \left( \frac { \partial _ { l } R } { R } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { a ^ { 2 } R ^ { 2 } } \left( \frac { \partial _ { i } R } { R } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { s = ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) ^ { 2 } } } & { { t = ( p _ { 1 } - p _ { 4 } ) ^ { 2 } } } & { { u = ( p _ { 2 } - p _ { 4 } ) ^ { 2 } } } \end{array} \ .
\begin{array} { r l } { \chi _ { 1 } } & { { } = \theta _ { 1 } \left( x - \frac { p _ { 0 } } { 2 } \right) + \theta _ { 2 } \left( y - \frac { q _ { 0 } } { 2 } \right) + \theta _ { 3 } \left( t - \frac { r _ { 0 } } { 2 } \right) , } \\ { \chi _ { 2 } } & { { } = \theta _ { 4 } \left( x - \frac { p _ { 0 } } { 2 } \right) + \theta _ { 5 } \left( y - \frac { q _ { 0 } } { 2 } \right) + \theta _ { 6 } \left( t - \frac { r _ { 0 } } { 2 } \right) . } \end{array}
\tau _ { L } ^ { ( 3 ) } ( k ) = \lambda _ { L } ^ { ( 3 ) } [ 1 + \lambda _ { L } ^ { ( 3 ) } I _ { R L } ( k , \Lambda ) + \lambda _ { L } ^ { ( 3 ) ^ { 2 } } I _ { R L } ^ { 2 } ( k , \Lambda ) ] .
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { T 2 } ^ { E 2 } ( \omega ) } & { { } = } & { 9 \sqrt { \frac { 1 0 J _ { 0 } ( J _ { 0 } - 1 ) ( 2 J _ { 0 } - 1 ) ( 2 J _ { 0 } - 3 ) } { 7 ( 2 J _ { 0 } + 5 ) ( 2 J _ { 0 } + 4 ) ( 2 J _ { 0 } + 3 ) ( 2 J _ { 0 } + 2 ) ( 2 J _ { 0 } + 1 ) } } } \end{array}
P ( l ) = \frac { 2 \pi \lambda } { l ! ^ { 2 } ( l + 1 ) ! ^ { 2 } } \left( \frac { \omega r _ { 0 } } { 2 } \right) ^ { 2 l + 2 } \left| \frac { \Gamma ^ { 2 } \left( \frac { l + 2 } { 2 } - \frac { i \lambda } { 2 } \right) } { \Gamma \left( 1 - i \lambda \right) } \right| ^ { 2 } \, .
\frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial q _ { i } ^ { 2 } } = - \frac { \tilde { g } ^ { 2 } } { 2 \tilde { N } _ { c } } \sum _ { k \neq i } ( q _ { k } ^ { 2 } - \bar { q } _ { k } ^ { 2 } ) - m _ { q _ { 1 } } ^ { 2 } .
\begin{array} { l } { { A ( r ) = \displaystyle \frac { 1 } { \sqrt 2 } G _ { F } [ N _ { e } ( r ) - { \epsilon ^ { \prime } } _ { f } N _ { f } ( r ) ] , } } \\ { { C ( r ) = \sqrt 2 G _ { F } \epsilon _ { f } N _ { f } ( r ) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { e } & { = \frac { { 2 { \pi ^ { 2 } } r \sin 2 \theta } } { { { \lambda ^ { 2 } } { \varepsilon _ { T } } } } \left( { \frac { { { D _ { T } } } } { r } - 2 \pi \cos \theta } \right) , } \\ { p } & { = \frac { { 4 { \pi ^ { 2 } } } } { { { \lambda ^ { 2 } } { \varepsilon _ { T } } } } \left( { \frac { { { D _ { T } } } } { r } { { \sin } ^ { 2 } } \theta + \pi \cos \theta \cos 2 \theta } \right) , } \\ { c } & { = - j \frac { { 2 \pi r \sin 2 \theta } } { { \lambda { \varepsilon _ { T } } } } \left[ { \ln \left( { \frac { { { D _ { T } } } } { { r \cos \theta } } } \right) - 1 } \right] , } \\ { q } & { = j \frac { { 4 \pi } } { { \lambda { \varepsilon _ { T } } } } \left[ { { { \cos } ^ { 2 } } \theta \ln \left( { \frac { { { D _ { T } } } } { { r \cos \theta } } } \right) + { { \sin } ^ { 2 } } \theta } \right] . } \end{array}
d \, \widetilde { \alpha } = - \frac { 1 } { \mathsf { A } } \, d p _ { 2 } \wedge d \psi _ { 2 } = K \sqrt { \mathsf { G } _ { 1 } \mathsf { G } _ { 2 } } \, d p _ { 2 } \wedge d \psi _ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { I _ { K } [ \mathcal { C } \setminus B _ { \delta } ] ( u _ { j } , \xi _ { \bar { x } } , \bar { x } ) } & { \leq I _ { K } [ \mathcal { C } \setminus B _ { \delta } ] ( \varphi , e ) , } \\ { I _ { K } [ \mathcal { C } \setminus B _ { \delta } ] ( u _ { j } , \xi _ { \bar { y } } , \bar { y } ) } & { \geq - I _ { K } [ \mathcal { C } \setminus B _ { \delta } ] ( \varphi , e ) - C \operatorname { o s c } _ { B _ { 1 } } u _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } ( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi , x _ { \mu } ) = \frac { \rho _ { 0 } } { 2 } \left( ( \vec { \nabla } \dot { \psi } ) ^ { 2 } - c _ { 0 } ^ { - 2 } ( \ddot { \psi } + \vec { v _ { 0 } } \cdot \vec { \nabla } \dot { \psi } ) ^ { 2 } \right) . } \end{array}