harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { { \frac { \partial S _ { H J } [ \varphi ] } { \partial \xi _ { i } } } = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { R } d ^ { 2 } z \left[ \partial \left( { \frac { \partial \varphi } { \partial \xi _ { i } } } \right) \overline { { \partial } } \varphi + \partial \varphi \, \overline { { \partial } } \left( { \frac { \partial \varphi } { \partial \xi _ { i } } } \right) + e ^ { \varphi } \left( { \frac { \partial \varphi } { \partial \xi _ { i } } } \right) \right] } \\ & { \quad \quad - { \frac { i } { 4 \pi } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \int _ { \partial H _ { j } } \left( \partial \varphi \, \overline { { \partial } } \varphi + e ^ { \varphi } \right) \left( { \frac { \partial \gamma _ { j } } { \partial \xi _ { i } } } d \overline { { \gamma _ { j } } } - { \frac { \partial \overline { { \gamma _ { j } } } } { \partial \xi _ { i } } } d \gamma _ { j } \right) } \\ & { \quad \quad + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \Bigg [ { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { H _ { j } ^ { \epsilon } } d ^ { 2 } z \left[ \partial \left( { \frac { \partial \varphi } { \partial \xi _ { i } } } \right) \overline { { \partial } } \varphi + \partial \varphi \, \overline { { \partial } } \left( { \frac { \partial \varphi } { \partial \xi _ { i } } } \right) \right] + { \frac { i } { 4 \pi } } \int _ { \partial H _ { j } } \partial \varphi \, \overline { { \partial } } \varphi \left( { \frac { \partial \gamma _ { j } } { \partial \xi _ { i } } } d \overline { { \gamma _ { j } } } - { \frac { \partial \overline { { \gamma _ { j } } } } { \partial \xi _ { i } } } d \gamma _ { j } \right) \Bigg ] } \\ & { \quad \quad + { \frac { i } { 4 \pi } } \int _ { | z - \xi _ { i } | = \epsilon } d \overline { { z } } \, \partial \varphi \, \overline { { \partial } } \varphi + \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \frac { \lambda _ { j } ^ { 2 } } { r _ { j } [ H _ { j } ] } } { \frac { \partial r _ { j } [ H _ { j } ] } { \partial \xi _ { i } } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V } & { { } = \frac { 4 \pi } { 3 } R _ { 0 } ^ { 3 } } \\ { V } & { { } = \frac { \pi R _ { c } ^ { 3 } } { 3 } \frac { ( 2 + \cos \theta _ { e q } ) ( 1 - \cos \theta _ { e q } ) ^ { 2 } } { \sin ^ { 3 } \theta _ { e q } } } \end{array}
\omega _ { \alpha } ^ { \beta } ( \mathbf { e } \cdot g ) = ( g ^ { - 1 } ) _ { \gamma } ^ { \beta } d g _ { \alpha } ^ { \gamma } + ( g ^ { - 1 } ) _ { \gamma } ^ { \beta } \omega _ { \delta } ^ { \gamma } ( \mathbf { e } ) g _ { \alpha } ^ { \delta } .
\delta n _ { i } = [ \int _ { 0 } ^ { L _ { z } ^ { \prime } } \int _ { 0 } ^ { L _ { y } } n _ { i } ( z , y , t ) ^ { 2 } d z d y - ( \int _ { 0 } ^ { L _ { z } ^ { \prime } } \int _ { 0 } ^ { L _ { y } } n _ { i } ( z , y , t ) d z d y ) ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 }
{ \cal M } _ { \nu } = \left( \begin{array} { c c c } { { m _ { 0 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { m _ { 0 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { m _ { 3 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } _ { d } ^ { \pm } = } & { \frac { i n _ { d } k _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \pi } \int \frac { d ^ { 2 } \mathbf { q } } { w _ { d } } } \\ & { \Big [ \left( \mathbf { p } \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \right) \left( \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } ^ { \pm } - \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } ^ { + } r _ { \parallel } e ^ { i w _ { d } \left\vert z + z _ { d } \right\vert } \right) } \\ & { + \left( \left( \mathbf { p } \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } ^ { \pm } \right) + \left( \mathbf { p } \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } ^ { + } \right) r _ { \perp } e ^ { i w _ { d } \left\vert z + z _ { d } \right\vert } \right) \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \Big ] } \\ & { \exp \left[ i \mathbf { q } \cdot \left( \boldsymbol { \rho } - \boldsymbol { \rho } _ { d } \right) + i w _ { d } \left\vert z - z _ { d } \right\vert \right] . } \end{array}
\hat { Y } _ { \mathrm { ~ e ~ s ~ t ~ } } \equiv \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \hat { Y } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ( t ) \, d t \longrightarrow \langle \hat { Y } _ { \mathrm { ~ e ~ s ~ t ~ } } \rangle = \frac { \Delta _ { 0 } } { 2 g \cot \theta / \sqrt { \kappa } } .
\begin{array} { r l r } { E _ { x } ^ { \prime } } & { { } = } & { E _ { x } } \\ { E _ { y } ^ { \prime } } & { { } = } & { \Gamma [ E _ { y } + ( \vec { V } \times \vec { B } ) _ { y } ] } \\ { E _ { z } ^ { \prime } } & { { } = } & { \Gamma [ E _ { z } + ( \vec { V } \times \vec { B } ) _ { z } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { p } ( \tilde { f } ) } & { { } = - p \left[ E \xi + \alpha p \gamma ( 1 - \xi ^ { 2 } ) \right] \tilde { f } - ( p C _ { F } - C _ { A } ) \tilde { f } - p C _ { A } \frac { \partial \tilde { f } } { \partial p } , } \\ { \Gamma _ { \xi } ( \tilde { f } ) } & { { } = - ( 1 - \xi ^ { 2 } ) \left[ \left( \frac E p - \frac { \alpha \xi } { \gamma } \right) \tilde { f } + \frac { C _ { B } } { p ^ { 2 } } \frac { \partial \tilde { f } } { \partial \xi } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \hat { \textmd a } _ { I } ^ { \dagger } , \hat { \textmd a } _ { j } \right] } & { { } = 0 } \\ { \left[ \hat { \textmd a } _ { I } ^ { \dagger } , \hat { \textmd a } _ { j } ^ { \dagger } \right] } & { { } = \left[ \hat { \textmd a } _ { I } , \hat { \textmd a } _ { j } \right] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \delta f _ { m } ^ { N L } } { \partial t } + { i m \Omega _ { d } \delta f _ { m } ^ { N L } } = { \frac { S } { B _ { 0 } } \frac { \partial \delta f _ { m } ^ { L } } { \partial t } } - \frac { r \dot { S } } { 2 B _ { 0 } } \frac { \partial \delta f _ { m } ^ { L } } { \partial r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { k } ^ { - 1 } } & { { } = \frac { a } { a ^ { 2 } - | b | ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) - \frac { 1 } { a ^ { 2 } - | b | ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { b } \\ { b ^ { * } } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tt { s o = 3 ; } } \\ & { \tt { \lambda = \frac { 1 } { 4 } ; } } \\ & { \tt { L = 4 ; } } \\ & { \tt { \mathrm { N I n t e g r a t e } \left[ e ^ { \alpha 3 [ s ] } \left( f ^ { \prime } [ s ] ^ { 2 } + \frac { 4 \pi ^ { 2 } f [ s ] ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } + f [ s ] ^ { 2 } \left( - \left( \lambda + \alpha 1 ^ { \prime } [ s ] \right) ^ { 2 } \right) \right) , \{ s , - \mathrm { s o } , \mathrm { s o } \} \right] ; } } \end{array}
\begin{array} { l c c c l c c } { { { \mathrm R e } \Gamma _ { + - } ^ { T } ( p ^ { 2 } ) \big | _ { p ^ { 2 } = M _ { W } ^ { 2 } } } } & { { = } } & { { 0 } } & { { \qquad } } & { { { \mathrm R e } \Gamma _ { Z Z } ^ { T } ( p ^ { 2 } ) \big | _ { p ^ { 2 } = M _ { Z } ^ { 2 } } } } & { { = } } & { { 0 } } \\ { { \phantom { \mathrm R e } \Gamma _ { A A } ^ { T } ( p ^ { 2 } ) \big | _ { p ^ { 2 } = 0 } } } & { { = } } & { { 0 } } & { { \qquad } } & { { { \mathrm R e } \Gamma _ { H H } ( p ^ { 2 } ) \big | _ { p ^ { 2 } = m _ { H } ^ { 2 } } } } & { { = } } & { { 0 } } \end{array}
\xi _ { \sigma } ( \sigma ) = 1 - \frac { \pi e ^ { \sigma } } { 3 } + 8 \pi e ^ { \sigma } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { n e ^ { - 2 n \pi e ^ { \sigma } } } { 1 - e ^ { - 2 n \pi e ^ { \sigma } } }
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \Big ( T ( j ) x ^ { \prime \prime } \geq \bar { x } \Big ) } & { \leq \mathbb { P } \Big ( T ( j ) x ^ { \prime \prime } \geq T ( j ) \hat { x } ^ { \prime \prime } + \rho \Big ) , } \\ & { = \mathbb { P } \Big ( T ( j ) x ^ { \prime \prime } - T ( j ) \hat { x } ^ { \prime \prime } \geq \rho \Big ) , } \\ & { \leq \frac { T ( j ) \Sigma ^ { \prime \prime } T ( j ) ^ { T } } { T ( j ) \Sigma ^ { \prime \prime } T ( j ) ^ { T } + \rho ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } \sum _ { i : B _ { i , m } \cap | \gamma | \neq \emptyset } r _ { i , m } \left( \fint _ { { \lambda B _ { i , m } } } \rho ^ { n } \right) ^ { 1 / n } = 0 \quad \textrm { a n d } } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } \sum _ { i : B _ { i , m } \cap | \gamma | \neq \emptyset } r _ { i , m } = 0 . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( r , \tau ) } & { = c _ { 0 } \left( \frac { \tilde { \tau } _ { c } } { 2 \pi \left( b \lvert \tau \rvert + 2 \epsilon \tilde { \tau } _ { c } \right) } \right) ^ { d / 2 } \mathrm { e } ^ { - \frac { \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } - \frac { r ^ { 2 } \tilde { \tau } _ { c } } { 2 b \lvert \tau \rvert + 4 \epsilon \tilde { \tau } _ { c } } } \left[ 1 + \frac { \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } - \left( \frac { r ^ { 2 } \, b \lvert \tau \rvert \tilde { \tau } _ { c } } { 2 ( b \, \lvert \tau \rvert + 2 \epsilon \tilde { \tau } _ { c } ) ^ { 2 } } - \frac { d \, b \lvert \tau \rvert } { 2 b \lvert \tau \rvert + 4 \epsilon \tilde { \tau } _ { c } } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F _ { 1 } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } ) = e ^ { c _ { 4 } } \! \int \! \sin \alpha ( u _ { 1 } ) \, d u _ { 1 } + c _ { 1 } , } \\ & { F _ { 2 } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } ) = - e ^ { c _ { 4 } } \! \int \! \cos \alpha ( u _ { 1 } ) \, d u _ { 1 } + c _ { 2 } , } \\ & { F _ { 3 } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } ) = e ^ { - 2 c _ { 4 } } u _ { 2 } + c _ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { \mathrm { H a h n } } ^ { \mathrm { e n s , s h o } } \approx } & { \frac { \hbar } { \Delta m _ { s } g _ { e } \mu _ { B } } \frac { 1 } { C e ^ { - \left( \tau / T _ { 2 } \right) ^ { p } } \sqrt { \mathscr { N } } } } \\ & { \quad \times \frac { \sqrt { t _ { \mathrm { I } } \! + \! \tau \! + \! t _ { \mathrm { R } } \! + \! t _ { \mathrm { D } } } } { \tau } \frac { 1 } { F _ { \mathrm { p r o } } } , } \end{array}
\Pi _ { ( n ) } { } ^ { i } { } _ { j } \; \Pi _ { ( m ) } { } ^ { j } { } _ { k } = \Pi _ { ( n ) } { } ^ { i } { } _ { k } \, , \; \; \; \; \Pi _ { ( n ) } { } ^ { i } { } _ { j } \; \tilde { D } ^ { m - 1 } k ^ { j } = 0 \, . \; \; \; \; ( n > m )
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \| F _ { + } ^ { \varepsilon } \| _ { \mathfrak E } ^ { 2 } + \frac { 1 } { C _ { M } } \| F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ) \| _ { \mathfrak D _ { \varepsilon } ^ { + } } ^ { 2 } \leq C _ { M } ( \langle \| F _ { - } ^ { \varepsilon } \| _ { \mathfrak D } \rangle ^ { \frac { 3 } { 2 } } + \| \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ) \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } \cap \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { + } ) _ { v } } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\| { U U ^ { T } - U ^ { ( i ) } U ^ { ( i ) T } } \right\| _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } \leq \sum _ { s \in [ r ] } 3 6 k ^ { 2 } r \left\| { ( U _ { s } ) _ { i \cdot } } \right\| ^ { 2 } = 3 6 k ^ { 2 } r \left\| { U _ { i \cdot } } \right\| ^ { 2 } \leq 3 6 k ^ { 3 } \left\| { U _ { i \cdot } } \right\| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \kappa ^ { 2 } x ^ { 2 } \; \geq \; g ^ { 2 } ( \frac { 1 } { 2 } \rho ) ^ { - 2 } x ^ { 2 } \; \geq \; g ^ { 2 } \; \geq \; g ^ { 2 } ( { \bf 1 } - G _ { \rho } ( x ) ^ { 2 } ) \; , } \end{array}
\frac { d } { 2 \pi } \int _ { - \pi / d } ^ { + \pi / d } \mathrm { d } q \frac { \xi _ { q } ^ { 2 } } { \omega _ { q } ^ { \mathrm { p h } } - \omega _ { 0 } } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \alpha q d } = \frac { 2 \omega _ { 0 } a ^ { 3 } } { L _ { x } L _ { y } } \mathcal { I } ( \alpha ) ,
\begin{array} { r l r } { \rho _ { 2 } \circ v ( 0 ) } & { = } & { \rho _ { 2 } \circ \Big ( \big ( \frac { 1 } { 2 } \big ) _ { * } v \Big ) \big ( - \frac { 1 } { 2 } \big ) } \\ & { = } & { \rho _ { 2 } \circ \Big ( \big ( \frac { 1 } { 2 } \big ) _ { * } v \Big ) \big ( \frac { 1 } { 2 } \big ) } \\ & { = } & { \rho _ { 2 } ^ { 2 } \circ \Big ( \big ( \frac { 1 } { 2 } \big ) _ { * } v \Big ) \big ( 0 \big ) } \\ & { = } & { \Big ( \big ( \frac { 1 } { 2 } \big ) _ { * } v \Big ) \big ( 0 \big ) } \\ & { = } & { v \big ( \frac { 1 } { 2 } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l r l r l } { T } & { = 1 0 } & { n _ { T } } & { = 3 0 0 } & { \alpha _ { 1 } = \alpha _ { 2 } } & { = 5 \cdot 1 0 ^ { - 2 } } & { \gamma } & { = 1 0 } & { \zeta } & { = 1 0 ^ { - 2 } } & { \mu } & { = 5 \cdot 1 0 ^ { - 2 } } \\ { \varepsilon } & { = 1 0 ^ { - 5 } } & { \delta _ { 1 } } & { = 0 . 2 } & { \delta _ { 2 } } & { = 0 . 1 } & { \delta _ { 3 } } & { = 1 0 ^ { - 2 } } & { \delta _ { 4 } } & { = 0 . 1 . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l } { x _ { 1 1 } } & { x _ { 1 2 } } & { x _ { 1 3 } } \\ { x _ { 1 2 } } & { x _ { 2 2 } } & { x _ { 2 3 } } \\ { x _ { 1 3 } } & { x _ { 2 3 } } & { x _ { 3 3 } } \end{array} \right) \mapsto \left( \begin{array} { l l l } { x _ { 2 2 } } & { x _ { 1 2 } } & { x _ { 2 3 } } \\ { x _ { 1 2 } } & { x _ { 1 1 } } & { x _ { 1 3 } } \\ { x _ { 2 3 } } & { x _ { 1 3 } } & { x _ { 3 3 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { V } _ { b _ { 1 } , b _ { 2 } , \cdots b _ { L } } ^ { c _ { 1 } , c _ { 2 } , \cdots c _ { L } } ( \mu , \phi ) } & { = K ( \mu ; c _ { 1 } , b _ { 2 } ) K ( \pi - \mu + \phi ; c _ { 2 } , b _ { 2 } ) \ldots K ( \mu ; c _ { L } , b _ { 1 } ) K ( \pi - \mu + \phi ; c _ { 1 } , b _ { 1 } ) \, , } \\ { \mathbf { W } _ { a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots a _ { L } } ^ { b _ { 1 } , b _ { 2 } , \cdots b _ { L } } ( \lambda , \phi ) } & { = K ( \pi - \lambda - \phi ; b _ { 2 } , a _ { 1 } ) K ( \lambda ; b _ { 2 } , a _ { 2 } ) \ldots K ( \pi - \lambda - \phi ; b _ { 1 } , a _ { L } ) K ( \lambda ; b _ { 1 } , a _ { 1 } ) \, . } \end{array}
m = \frac { \left( q _ { e } ^ { 2 } + q _ { m } ^ { 2 } - n ^ { 2 } + r _ { 0 } ^ { 2 } \right) } { 2 r _ { 0 } } + \frac { r _ { 0 } ^ { 4 } + 6 n ^ { 2 } r _ { 0 } ^ { 2 } - 3 n ^ { 4 } } { 2 L ^ { 2 } r _ { 0 } } .
\langle f , K _ { x } \rangle _ { L ^ { 2 } } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( y ) \cdot { \overline { { K _ { x } ( y ) } } } d y = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { - a } ^ { a } F ( \omega ) \cdot e ^ { i \omega x } d \omega = f ( x ) .
\begin{array} { r l } & { \Pi ( { \mathbf { P } } ) = \frac { \gamma ^ { 2 } ( \widetilde { \eta } ( { \mathbf { P } } ^ { 2 } ) - \delta \widetilde { \zeta } ( { \mathbf { P } } ^ { 2 } ) ) } { \Delta ^ { 2 } } + \frac { 2 \gamma ^ { 3 } \widetilde { \eta } ( { \mathbf { P } } ) ^ { 2 } + 2 \gamma ^ { 3 } \widetilde { \zeta } ( { \mathbf { P } } ) \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) } { \Delta ^ { 3 } } + \frac { ( \zeta + \gamma ^ { 4 } \widetilde { \zeta } ) \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) ^ { 2 } - 4 ( \eta - \gamma ^ { 3 } \widetilde { \eta } ) \gamma \widetilde { \eta } ( { \mathbf { P } } ) \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) } { \Delta ^ { 4 } } } \\ & { + \frac { 2 \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) ^ { 2 } ( \widetilde { \gamma } \eta ^ { 2 } + \gamma ^ { 5 } \widetilde { \eta } ^ { 2 } - 2 \gamma ^ { 2 } \eta \widetilde { \eta } ) } { \Delta ^ { 5 } } } \end{array}
\frac { \mathrm { d } O } { \mathrm { d } t } = \frac { 1 } { \mathrm { i } \hbar } \left[ O , H \right] - \left[ O , a { ^ \dagger } \right] \left( \frac { \gamma } { 2 } a - \sqrt { \gamma } a _ { i n } ( t ) \right) + \left( \frac { \gamma } { 2 } a ^ { \dagger } - \sqrt { \gamma } a _ { i n } ^ { \dagger } ( t ) \right) \left[ O , a \right] ,
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { f ^ { 2 } } ( D _ { \xi } D _ { \tau } - 1 ) g . f - \frac { g } { f ^ { 3 } } D _ { \xi } D _ { \tau } ( f . f ) + \frac { 2 i | g | ^ { 2 } } { f ^ { 3 } f ^ { * } } D _ { \xi } ( g . f ) + \frac { s | g | ^ { 2 } } { f ^ { 3 } } - \frac { s | g | ^ { 2 } f ^ { * } } { f ^ { 3 } f ^ { * } } = 0 } \end{array}
R _ { \mathrm { N u T e V } } ^ { \nu } = \frac { N _ { \nu _ { \mu } } ^ { \mathrm { N C } } } { N _ { \nu _ { \mu } } ^ { \mathrm { C C } } } - \frac { N _ { \nu _ { e } } ^ { \mathrm { M C } } } { N _ { \nu _ { \mu } } ^ { \mathrm { C C } } } \left( 1 - P _ { \nu _ { e } \to \nu _ { e } } \right) = R ^ { \nu } - \frac { N _ { \nu _ { e } } ^ { \mathrm { M C } } } { N _ { \nu _ { \mu } } ^ { \mathrm { C C } } } \left( 1 - P _ { \nu _ { e } \to \nu _ { e } } \right) \, ,
\begin{array} { r l } & { P ^ { \pm } ( t _ { 1 } = T _ { 1 } = T _ { 2 } | d _ { 1 } = H ^ { + } ) } \\ & { \qquad = P ^ { \pm } ( t _ { 1 } = T _ { 1 } = T _ { 2 } | d _ { 1 } = H ^ { + } , T > t _ { 1 } - 2 ) P ^ { \pm } ( T > t _ { 1 } - 2 | d _ { 1 } = H ^ { + } ) } \\ & { \qquad = P ^ { \pm } ( t _ { 1 } = T _ { 1 } = T _ { 2 } | d _ { 1 } = H ^ { + } , T > t _ { 1 } - 2 ) P ( T > t _ { 1 } - 2 ) } \\ & { \qquad = P ^ { \pm } ( t _ { 1 } = T _ { 1 } = T _ { 2 } | d _ { 1 } = H ^ { + } , T > t _ { 1 } - 2 ) [ P ( T > 2 ) ] ^ { m - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \left( \partial _ { \xi } - \frac { ( \xi _ { 0 } ^ { 2 } + u ^ { 2 } ) } { 2 \xi _ { 0 } } \partial _ { \xi } ^ { 2 } \right) { \psi } } \Big \vert _ { \xi = \xi _ { 0 } } } \\ & { } & { = \, - \, \frac { \mathrm { M a } } { 2 \xi _ { 0 } \sqrt { 1 + \xi _ { 0 } ^ { 2 } } } ( \xi _ { 0 } ^ { 2 } + u ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } \, ( 1 - u ^ { 2 } ) \, \partial _ { u } T _ { 0 } [ u , \xi _ { 0 } ] \, , \qquad } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho } & { { } = } & { \frac { 1 } { 1 2 r ^ { 4 } ( r + { r _ { 0 } } ) ^ { 2 } ( 3 r + { r _ { 0 } } ) \left( { r _ { 0 } } ( 2 r + { r _ { 0 } } ) - 3 r ^ { 2 } e ^ { \mu ( r - { r _ { 0 } } ) } \right) ^ { 2 } } \left\lbrace e ^ { \mu ( { r _ { 0 } } - r ) } \left( 2 4 r ^ { 2 } { r _ { 0 } } ^ { 2 } ( r + { r _ { 0 } } ) ^ { 2 } ( 2 r \right. \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { \hat { x } } _ { k } = \sum _ { m = 1 } ^ { M } { \mathbf { A } _ { m k } ^ { H } \mathbf { \tilde { x } } _ { m k } } = \sum _ { m = 1 } ^ { M } { \mathbf { A } _ { m k } ^ { H } \mathbf { V } _ { m k } ^ { H } \mathbf { H } _ { m k } \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } \mathbf { x } _ { k } } + \sum _ { m = 1 } ^ { M } { \sum _ { l = 1 , l \ne k } ^ { K } { \mathbf { A } _ { m k } ^ { H } \mathbf { V } _ { m k } ^ { H } \mathbf { H } _ { m l } \mathbf { F } _ { l , \mathrm { u } } \mathbf { x } _ { l } } + } \mathbf { n } _ { k } ^ { \prime } , } \end{array}
\Phi _ { , i i } \approx \Gamma _ { 0 0 , i } ^ { i } \approx R _ { 0 0 } = K \left( T _ { 0 0 } - { \frac { 1 } { 2 } } T g _ { 0 0 } \right) \approx { \frac { 1 } { 2 } } K \rho c ^ { 4 }
\frac { d \Delta \sigma ^ { e ^ { + } e ^ { - } \rightarrow H X } } { d y d z } \equiv \frac { d \sigma ^ { e ^ { - } ( + ) , H ( + ) } } { d y d z } - \frac { d \sigma ^ { e ^ { - } ( + ) , H ( - ) } } { d y d z } = \frac { 6 \pi \alpha ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } ( 2 y - 1 ) g _ { 1 } ^ { ( T ) } ( z , Q ^ { 2 } ) \; .
J \simeq \frac { 1 } { \Sigma _ { z } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp \left( z _ { 0 } ^ { 2 } \Sigma _ { z } ^ { 2 } - z _ { 0 } ^ { 2 } t \right) \frac { d t } { \sqrt { t } } = \frac { \sqrt { \pi } } { z _ { 0 } \Sigma _ { z } } \exp ( z _ { 0 } ^ { 2 } \Sigma _ { z } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { 2 \beta \lefteqn { I m \int _ { \mathbb { R } } ( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } u ^ { j } ) _ { x } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } d x } } \\ { \leq } & { \ 4 \beta \| u ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { ( p - 1 ) / 2 ) } \| v ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p + 1 } \| u ^ { k } - u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \int _ { \mathbb { R } } \left| [ ( u ^ { k } ) ^ { ( p - 1 ) / 2 } ] _ { x } \right| \ | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | d x } \\ & { + 4 \beta \| u ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 1 } \| v ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { ( p + 1 ) / 2 } \, \| u ^ { k } - u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \int _ { \mathbb { R } } \left| [ ( v ^ { k } ) ^ { ( p + 1 ) / 2 } ] _ { x } \right| \ | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | d x } \\ & { + 2 \beta \| u ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 1 } \| v ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p + 1 } \int _ { \mathbb { R } } | u _ { x } ^ { j } | | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | d x + 2 \beta \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 1 } \| v ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p + 1 } \int _ { \mathbb { R } } | u _ { x } ^ { j } | | ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } | d x } \\ & { + 4 \beta \| u ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { ( p - 1 ) / 2 } \| v ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p + 1 } \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \int _ { \mathbb { R } } | [ ( u ^ { k } ) ^ { ( p - 1 ) / 2 } ] _ { x } | \ | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | d x } \\ & { + 4 \beta \| u ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 1 } \| v ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { ( p + 1 ) / 2 } | \| u ^ { j } | \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \int _ { \mathbb { R } } | [ ( v ^ { k } ) ^ { ( p + 1 ) / 2 } ] _ { x } | \ | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | d x } \\ & { + 4 \beta \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { ( p - 1 ) / 2 } \| v ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p + 1 } \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \int _ { \mathbb { R } } | [ ( u ^ { k } ) ^ { ( p - 1 ) / 2 ) } ] _ { x } | \, | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | d x } \\ & { + 4 \beta \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 1 } \| v ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { ( p + 1 ) / 2 } \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \int _ { \mathbb { R } } | [ ( v ^ { j } ) ^ { ( p + 1 ) / 2 } ] _ { x } | \ | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | d x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \omega ^ { 6 } } & { { } } & { + \omega ^ { 5 } \left( \mathcal { P } k _ { x } ^ { 2 } + \mathcal { P } k _ { y } ^ { 2 } + \mathcal { P } k _ { z } ^ { 2 } + 3 \mathcal { B } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { w } \approx } & { \frac { 1 } { \hat { Z } _ { p } } \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { e ^ { - S ( \phi _ { i } ) } } { { q } _ { \theta } ( \phi _ { i } ) } \right) } \\ { = } & { \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { { q } _ { \theta } ( \phi _ { j } ) } { e ^ { - S ( \phi _ { j } ) } } \right) \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { e ^ { - S ( \phi _ { i } ) } } { { q } _ { \theta } ( \phi _ { i } ) } \right) \equiv \hat { w } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { s } ( \pi ( u _ { i j } ) ) } & { = } & { \Delta _ { s } ( 1 \otimes \chi _ { i j } ) = \sum _ { \sigma \in S _ { N } , \, \sigma ( j ) = i } \Delta _ { s } ( 1 \otimes \delta _ { \sigma } ) = \sum _ { \sigma \in S _ { N } , \, \sigma ( j ) = i } \sum _ { \tau \in S _ { N } } ( 1 \otimes \delta _ { \tau } \otimes 1 \otimes \delta _ { \tau ^ { - 1 } \sigma } ) , } \\ { \Delta _ { s } ( \pi ( \nu _ { i } ( a ) ) ) } & { = } & { \sum _ { \sigma \in S _ { N } } \Delta _ { s } ( \nu _ { i } ( a ) \otimes \delta _ { \sigma } ) = \sum _ { \tau , \sigma \in S _ { N } } \left[ ( \mathrm { i d } \otimes \alpha _ { \tau } ) ( \Delta _ { G ^ { * N } } ( \nu _ { i } ( a ) ) ) \right] _ { 1 3 } ( 1 \otimes \delta _ { \tau } \otimes 1 \otimes \delta _ { \tau ^ { - 1 } \sigma } ) } \\ & { = } & { \sum _ { \tau \in S _ { N } } \left[ ( \mathrm { i d } \otimes \alpha _ { \tau } ) ( ( \nu _ { i } \otimes \nu _ { i } ) ( \Delta _ { G } ( a ) ) ) \right] _ { 1 3 } ( 1 \otimes \delta _ { \tau } \otimes 1 \otimes 1 ) . } \end{array}
\lambda _ { 1 } ^ { \prime } = \cdots = \lambda _ { g _ { 1 } } ^ { \prime } > \lambda _ { g _ { 1 } + 1 } ^ { \prime } = \cdots = \lambda _ { g _ { 1 } + g _ { 2 } } ^ { \prime } > \cdots > \lambda _ { g _ { 1 } + \dots + g _ { d - 1 } } ^ { \prime } > \lambda _ { g _ { 1 } + \dots + g _ { d - 1 } + 1 } ^ { \prime } = \cdots = \lambda _ { g _ { 1 } + \dots + g _ { d } } ^ { \prime } = \lambda _ { \lambda _ { 1 } } ^ { \prime }