harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \sum _ { k \in I _ { 2 } } m _ { k } z _ { k } \preceq \epsilon ^ { 2 } , } & { } & { \sum _ { k \in I _ { 1 } , \ j \in I _ { 2 } } m _ { k } m _ { j } Z _ { j k } \preceq \epsilon ^ { 4 } , } \\ { \sum _ { k \in I _ { 1 } } m _ { k } w _ { k } \preceq \epsilon ^ { 2 } , } & { } & { \sum _ { k \in I _ { 1 } , \ j \in I _ { 2 } } m _ { k } m _ { j } W _ { j k } \preceq \epsilon ^ { 4 } . } \end{array}
q \equiv f _ { 1 } ( \gamma , \beta _ { 1 } ( \overline { { g } } _ { 1 } ( \gamma , \underline { { u } } ^ { \prime } ) , \overline { { g } } _ { 2 } ( \gamma , \underline { { u } } ^ { \prime } ) ) ) \bullet q _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ^ { \prime } ) : f _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u ) = \pi _ { 1 } \underline { { u } } ^ { \prime }
\prod ^ { e . m . } ( Q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } b _ { 0 } } ( \frac { 1 } { \alpha _ { s } ( \mu ^ { 2 } ) } - \frac { 1 } { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } ) + \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } b _ { 0 } } \ln ( \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { \alpha _ { s } ( \mu ^ { 2 } ) } ) + \sum \tilde { p } _ { n } \alpha _ { s } ^ { n } ( Q ^ { 2 } ) + \Delta \prod
\ v _ { \mathsf { o u t } } = \alpha _ { 1 } { \Bigl ( } A _ { 1 } \cos ( \omega _ { 1 } t ) + A _ { 2 } \cos ( \omega _ { 2 } t ) { \Bigr ) } + \alpha _ { 2 } { \Bigl ( } A _ { 1 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( \omega _ { 1 } t ) + 2 A _ { 1 } A _ { 2 } \cos ( \omega _ { 1 } t ) \ \cos ( \omega _ { 2 } t ) + A _ { 2 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( \omega _ { 2 } t ) { \Bigr ) } + \cdots
\begin{array} { r l r } { p ( x - t ) = \sum _ { n = 0 } ^ { m } r _ { n } ( x - t ) ^ { n } } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { m } r _ { n } \left( \sum _ { i = 0 } ^ { n } \beta _ { n , i } x ^ { n - i } \right) } & { \mathrm { s e t t i n g ~ } \beta _ { n , 0 } : = 1 } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { m } \left( \sum _ { n = j } ^ { m } r _ { n } \beta _ { n , n - j } \right) x ^ { j } } & { \mathrm { w h e r e ~ } j : = n - i , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \alpha _ { 1 } \left( \partial _ { t } \varrho + u _ { 1 } \cdot \nabla _ { x } \varrho \right) + \varrho _ { 1 } \left( \partial _ { t } \alpha + u _ { 1 } \cdot \nabla _ { x } \alpha \right) } \\ & { = - \Bigg ( \partial _ { t } \varrho _ { 2 } \alpha + \partial _ { t } \alpha _ { 2 } \varrho + [ \varrho u _ { 1 } + \varrho _ { 2 } u ] \cdot \nabla _ { x } \alpha _ { 2 } + [ \alpha u _ { 1 } + \alpha _ { 2 } u ] \cdot \nabla _ { x } \varrho _ { 2 } + \alpha \rho _ { 1 } \mathrm { d i v } _ { x } u _ { 1 } + \alpha _ { 2 } \varrho \mathrm { d i v } _ { x } u _ { 1 } + \alpha _ { 2 } \varrho _ { 2 } \mathrm { d i v } _ { x } u \Bigg ) , } \end{array}
M _ { i j k } = \lambda _ { 1 } \epsilon _ { i j k } + \lambda _ { 2 } p _ { i } \epsilon _ { j k q } p _ { q } + \lambda _ { 3 } p _ { j } \epsilon _ { i k q } p _ { q } + \lambda _ { 4 } p _ { k } \epsilon _ { i j q } p _ { q }
{ L _ { r e f } } = { L _ { c } } , { \qquad } { \rho _ { r e f } } = { \rho _ { \infty } } , { \qquad } { T _ { r e f } } = { T _ { \infty } } , { \qquad } { U _ { r e f } } = \sqrt { 2 R { T _ { r e f } } } ,
\Delta { { h } _ { c } } = \Delta t { { \left[ \frac { \partial \left( U _ { i } ^ { n } \right) } { \partial { { x } _ { j } } } + { { \theta } _ { 1 } } \frac { \partial \Delta U _ { i } ^ { * } } { \partial { { x } _ { i } } } - \Delta t { { \theta } _ { 1 } } \frac { { { \partial } ^ { 2 } } { { p } ^ { n - { { \theta } _ { 2 } } } } } { \partial { { x } _ { i } } \partial { { x } _ { i } } } \right] } }
\begin{array} { r l } { | C _ { \alpha } ( a ) | } & { < \log ^ { \alpha } ( 1 + a ) \left| \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { 1 + a } - \frac { \log ( 1 + a ) } { \alpha + 1 } + \frac { 1 } { 1 2 ( 1 + a ) ^ { 2 } } \right| + \left| \frac { 1 } { 1 2 } \frac { \log ^ { \alpha - 1 } ( 1 + a ) } { ( 1 + a ) ^ { 2 } } \alpha \right| + \frac { 1 } { 6 } | S _ { 1 } | } \\ & { < 1 + \frac { 1 } { 1 2 } \alpha + \frac { 1 } { 6 } \left[ \alpha + 3 . 3 + ( \alpha ^ { 2 } + 2 \alpha + 2 ) \left( \left( 1 + \frac { \pi } { 2 } \right) + \left( 2 \log \alpha + \frac { \pi } { 2 } \right) \cdot e ^ { \Re \left( - \frac { \alpha } { w _ { 1 } ( \alpha ) } + \alpha \log w _ { 1 } ( \alpha ) \right) } \right) \right] } \\ & { < 1 . 5 5 + \frac { \alpha } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \alpha ^ { 2 } + 2 \alpha + 2 \right) + \frac { 1 } { 6 } \left( \frac { 3 } { 2 } \alpha ^ { 2 } \right) ( 3 \log \alpha ) \cdot e ^ { \Re \left( - \frac { \alpha } { w _ { 1 } ( \alpha ) } + \alpha \log w _ { 1 } ( \alpha ) \right) } } \\ & { < \; \alpha ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } \alpha ^ { 2 } \log \alpha \cdot \left| e ^ { \alpha ( \log w ( \alpha ) - 1 / w ( \alpha ) ) } \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \tau _ { 2 } } & { { } = } & { - \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \left\langle \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ^ { \dagger } \cdot \left[ { \bf F } _ { \omega _ { 0 } } \left( { \bf u } _ { \Sigma } \right) - \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } { \bf F } _ { \omega _ { 0 } } \left( { \bf u } _ { k } \right) \right] \right\rangle _ { j } } \end{array}
{ \mathcal B } ( D ^ { + } \to \pi ^ { 0 } \mu ^ { + } \nu _ { \mu } ) / { \mathcal B } ( D ^ { + } \to \pi ^ { 0 } e ^ { + } \nu _ { e } ) = 0 . 9 6 4 \pm 0 . 0 3 7 \pm 0 . 0 2 6
S ^ { [ N ] } \vert p , 0 > _ { N } = \sum _ { j = 0 } ^ { N } { \binom { N } { j } } ^ { 1 / 2 } \left( - i \sqrt { q } \, \right) ^ { j } \left( \sqrt { 1 - q } \, \right) ^ { N - j } \vert p , j > _ { N } ,
P = { \frac { g _ { \rho } ^ { 2 } } { 6 } } \, \frac { \pi T } { ( 2 \pi ) ^ { 5 } } \, \frac { 1 6 } { 9 \pi } \, w ( 4 E ^ { 2 } , m , m ) \ \sigma _ { p \bar { p } \rightarrow \rho \rho } ( 4 E ^ { 2 } ) \, K _ { 1 } \left( \frac { 2 E } { T } \right) \, .
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - r } r ^ { \beta + \gamma - 1 } E _ { \beta , \beta + \gamma } \left( - 2 ^ { - 1 } \nu r ^ { \beta } | \eta | ^ { \alpha } \right) \ensuremath { \mathrm { d } } r } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( - 2 ^ { - 1 } \nu | \eta | ^ { \alpha } \right) ^ { k } \frac { 1 } { \Gamma ( \beta k + \beta + \gamma ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { \beta k + \beta + \gamma - 1 } e ^ { - r } \ensuremath { \mathrm { d } } r } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( - 2 ^ { - 1 } \nu | \eta | ^ { \alpha } \right) ^ { k } = \frac { 1 } { 1 + 2 ^ { - 1 } \nu | \eta | ^ { \alpha } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \varphi ) } & { : = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { E } _ { \Xi _ { k } } \left[ \big \| v ^ { * } - h _ { k } \big ( \varphi , \Xi _ { k } \big ) \big \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] , } \\ { g _ { k } } & { : = \frac { \partial f ( \varphi ) } { \partial \varphi } \Bigg | _ { \varphi = q _ { k } } = - S _ { \varphi } ^ { \top } ( v ^ { * } - S _ { \varphi } q _ { k } - \mu _ { k } ) , } \end{array}
\delta _ { B } ^ { r } L _ { B } ^ { r } = \eta \; \frac { d } { d \tau } \; \Bigl [ q ^ { 1 / 2 } \lambda \; p _ { \mu } \dot { x } ^ { \mu } - \; \frac { \lambda e } { 1 + q ^ { 2 } } \; ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) + { \cal B } \frac { d } { d \tau } ( \lambda \; e ) \Bigr ] .
{ \begin{array} { r l } { J ( c ) } & { \equiv \int _ { c } ^ { \infty } { \frac { x ^ { 3 } } { e ^ { x } - 1 } } d x = \int _ { c } ^ { \infty } { \frac { x ^ { 3 } e ^ { - x } } { 1 - e ^ { - x } } } d x } \\ & { = \int _ { c } ^ { \infty } \sum _ { n \geq 1 } x ^ { 3 } e ^ { - n x } d x } \\ & { = \sum _ { n \geq 1 } e ^ { - n c } { \frac { ( n c ) ^ { 3 } + 3 ( n c ) ^ { 2 } + 6 n c + 6 } { n ^ { 4 } } } } \end{array} }
\delta = \mu \frac { \left( - 0 . 6 \sqrt { \left( 0 . 5 + 3 . 5 \tan ^ { 2 } \beta \right) \left( \tan ^ { 2 } \beta - 1 \right) } + 2 \sin ( 2 \beta ) \left( 1 + \tan ^ { 2 } \beta \right) \right) } { 0 . 5 + 3 . 5 \tan ^ { 2 } \beta } .
S = S _ { a } + S _ { v i s } = \int \frac { d ^ { 4 } x } { z _ { v } ^ { 4 } } \left( \left( \lambda _ { v 1 } + \lambda _ { h 1 } \left( \frac { z _ { v } } { z _ { h } } \right) ^ { 2 - \nu } \right) \chi + \left( \lambda _ { v 2 } ^ { ( 0 ) } + \lambda _ { h 2 } ^ { * ( 0 ) } + ( \lambda _ { h 2 } ^ { ( 0 ) } - \lambda _ { 2 } ^ { * ( 0 ) } ) \left( \frac { z _ { v } } { z _ { h } } \right) ^ { - 2 \nu } \right) \frac { \chi ^ { 2 } } { 2 } \right) .
\int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } 1 \, d x \, d y \, d z = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - 0 ) \, d y \, d z = \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - 0 ) d z = 1 - 0 = 1
\dot { V } ( \tilde { y } , \tilde { \lambda } ) = - \tilde { y } ^ { T } \frac { \partial \tilde { f } ( y ) } { \partial y } + \tilde { y } ^ { T } \frac { \partial \tilde { f } ( y ^ { \star } ) } { \partial y } - \tilde { y } ^ { T } \mathcal { L } \tilde { y } .
\frac { s _ { 0 } - s _ { \mathrm { c r o s s } } } { s _ { 0 } } \geq \frac { s _ { 0 } - s ( t _ { \ell } ^ { \dagger } ) } { s _ { 0 } } \geq \frac { k _ { 2 } } { 2 k _ { 1 } ( K _ { M } + s _ { 0 } ) } \varepsilon _ { S S l } ( 1 - \varepsilon _ { S S l } ) \log \left( \frac { k _ { 1 } K _ { M } } { \varepsilon _ { S S l } k _ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r } { \underline { { t } } _ { 1 } = \Big ( \Theta ( 1 ) + O \Big ( \frac { l _ { 0 } ^ { ( s ) } } { l _ { s } ^ { ( r ) } } \Big ) \Big ) r _ { 0 } n , ~ \overline { { t } } _ { 1 } = \Theta \Big ( \frac { l _ { s } ^ { ( r ) } } { l _ { d } ^ { ( r ) } \vee l _ { 0 } ^ { ( s ) } } \Big ) r _ { 0 } n . } \end{array}
\xi \rightarrow \infty : \ \ \alpha \simeq \xi ^ { 2 } \left( 1 + \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { 1 } { \xi ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 8 } \cdot \frac { 1 } { \xi ^ { 4 } } + { \cal O } ( 1 / \xi ^ { 6 } ) \right) .
[ \tilde { \delta } ( \epsilon _ { 1 } , t _ { 1 } ) , \tilde { \delta } ( \epsilon _ { 2 } , t _ { 2 } ) ] = { \frac { t _ { 1 } \tilde { \delta } ( \epsilon _ { 1 2 } , t _ { 1 } ) - t _ { 2 } \tilde { \delta } ( \epsilon _ { 1 2 } , t _ { 2 } ) } { t _ { 1 } - t _ { 2 } } } ,
f _ { T , t } : x \in E \mapsto f ( T , \Psi ( x , T , t ) ) \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } f _ { T , t } ^ { \mathcal { I } } : x \in E \mapsto \langle \nu , f _ { T , t } ( \mathfrak { j } ( x , \cdot ) ) \rangle .
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq ( \mu ( s ) - \overline { \pi } _ { t } ^ { i } ) \overline { Q } _ { \infty } ( s ) } \\ & { = ( \mu ( s ) - \overline { \pi } _ { t } ^ { i } ) ( \overline { Q } _ { \infty } ^ { i } ( s ) - \overline { Q } _ { t } ^ { i } ( s ) ) + \underbrace { ( \mu ( s ) - \overline { \pi } _ { t } ^ { i } ( s ) ) \overline { Q } _ { t } ^ { i } ( s ) } _ { \leq 0 } } \\ & { \leq ( \mu ( s ) - \overline { \pi } _ { t } ^ { i } ( s ) ) ( \overline { Q } _ { t } ^ { i } ( s ) - \overline { Q } _ { \infty } ^ { i } ( s ) ) \rightarrow 0 \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { x \in \mathbb Z _ { \ge 0 } ^ { d } } \Bigg [ \pi ( n - e _ { x } ) } & { q ( n - e _ { x } , n ) + \pi ( n + e _ { x } ) q ( n + e _ { x } , n ) } \\ & { + \sum _ { j } \pi ( n - e _ { x } + e _ { x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } } ) q ( n - e _ { x } + e _ { x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } } , n ) \Bigg ] } \\ & { = \pi ( n ) \sum _ { x \in \mathbb Z _ { \ge 0 } ^ { d } } \left( q ( n , n + e _ { x } ) + q ( n , n - e _ { x } ) + \sum _ { j } q ( n , n - e _ { x } + e _ { x + \nu _ { j } ^ { \prime } - \nu _ { j } } ) \right) } \end{array}
T ( \Delta x , \omega ) = \frac { p _ { 0 } } { \pi \kappa _ { 1 } ^ { \perp } l } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \exp [ - \sigma _ { p } ^ { 2 } \xi ^ { 2 } / 8 ] \cos ( \xi \Delta x ) } { A _ { 1 } ( \xi ) B _ { 1 } ( \xi ) } d \xi
{ \mathsf { L } } _ { \theta , n } ( a ) = { \mathsf { L } } _ { \mathcal { U } _ { n } ^ { \theta } , \beta _ { \theta } } ^ { \tau _ { \theta } , \kappa _ { \theta } } ( a ) = \operatorname* { m a x } _ { m \in \{ 0 , 1 , \ldots , n - 1 \} } \frac { \operatorname* { m a x } \left\{ \| a - E _ { m } ^ { \tau _ { \theta } } ( a ) \| _ { E _ { m } ^ { \tau _ { \theta } } } , \| a ^ { * } - E _ { m } ^ { \tau _ { \theta } } ( a ^ { * } ) \| _ { E _ { m } ^ { \tau _ { \theta } } } \right\} } { \kappa _ { \theta , m } \beta _ { \theta } ( m ) }
( a _ { 1 } { \mathbf { e } } _ { 1 } + a _ { 2 } { \mathbf { e } } _ { 2 } ) \wedge ( b _ { 1 } { \mathbf { e } } _ { 1 } + b _ { 2 } { \mathbf { e } } _ { 2 } ) = ( a _ { 1 } b _ { 2 } - a _ { 2 } b _ { 1 } ) \mathbf { e } _ { 1 } \mathbf { e } _ { 2 } .
\mathbb { C } _ { c a b } = \frac { 1 } { \Sigma } \iint \mathrm { d } \Sigma ~ \chi _ { c } \chi _ { a } \chi _ { b } \mathrm { ~ , ~ } \mathbb { C } _ { c d a b } = \frac { 1 } { \Sigma } \iint \mathrm { d } \Sigma ~ \chi _ { c } \chi _ { d } \chi _ { a } \chi _ { b } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \mathbb { D } _ { a b c d } = \frac { 1 } { \Sigma } \iint \mathrm { d } \Sigma ~ \chi _ { a } \chi _ { b } \nabla \chi _ { c } \cdot \nabla \chi _ { d } ~ .
\dot { E } _ { U r c a } = { \frac { 4 5 7 \pi } { 1 0 0 8 0 } } { \frac { G ^ { 2 } c o s ^ { 2 } \theta _ { C } ( 1 + 3 g _ { A } ^ { 2 } ) } { \hbar ^ { 1 0 } c ^ { 5 } } } m _ { n } m _ { p } \mu _ { e } ( T ) ^ { 6 } \Theta _ { t } .
[ ( a _ { 1 } f _ { 0 } ^ { - 1 } . \, \xi ) ^ { 2 j - 1 } \overset { a _ { 1 } } { \longleftarrow } ( f _ { 0 } ^ { - 1 } . \, \xi ) ^ { 2 j - 1 } = ( a _ { 1 } ^ { - 1 } ( a _ { 1 } f _ { 0 } ^ { - 1 } ) . \, \xi ) ^ { 2 j - 1 } ] \quad \mathrm { a n d } \quad [ ( f _ { 0 } ^ { - 1 } . \, \xi ) ^ { 2 j } \overset { a _ { 1 } ^ { - 1 } } { \longleftarrow } ( a _ { 1 } f _ { 0 } ^ { - 1 } . \, \xi ) ^ { 2 j } ]
\begin{array} { r l } { \omega ( T , M _ { 1 } ) } & { = \omega ( T ) \prod _ { j \in M _ { 1 } } x _ { j } , } \\ { \omega ( T , M _ { 2 } ) } & { = \omega ( T ) \prod _ { j \in M _ { 2 } } \left( - \frac { 1 } { x _ { j } } \right) , } \\ { \omega ( T , M _ { 1 } , M _ { 2 } ) } & { = \omega ( T ) \prod _ { j \in M _ { 1 } } x _ { j } \prod _ { j \in M _ { 2 } } \left( - \frac { 1 } { x _ { j } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { j e t } = 2 \frac { d z _ { j e t } } { d \tau } = \frac { 1 . 5 K ( \beta ) } { \tan \beta } \sqrt { \frac { q _ { \infty } ( r _ { j e t } ) } { \tau } } \, , \quad r _ { j e t } v _ { j e t } \simeq 3 . 4 \, q _ { \infty } \, } \end{array}
2 g _ { 1 , \ell } ^ { \gamma ( P ^ { 2 } ) } ( x , Q ^ { 2 } ) _ { \mathrm { b o x } } | _ { \mathrm { u n i v . } } \equiv \sum _ { q = u , d , s } e _ { q } ^ { 2 } \left[ \Delta q _ { \mathrm { b o x } } ^ { \gamma ( P ^ { 2 } ) } ( x , Q ^ { 2 } ) + \Delta \bar { q } _ { \mathrm { b o x } } ^ { \gamma ( P ^ { 2 } ) } ( x , Q ^ { 2 } ) \right]
\begin{array} { l } { { [ J _ { i j } , q _ { l } ] = \frac { 1 } { 2 } \varepsilon _ { l ( i } q _ { j ) } , } } \\ { { [ A , q _ { \alpha i } ] = i q _ { \alpha i } , } } \\ { { [ A , q _ { \dot { \alpha } } ] = - i q _ { \dot { \alpha } } . } } \end{array}
\hat { H } = \hat { H } _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } B \hat { L } _ { z } + B \hat { S } _ { z } + \frac { 1 } { 8 } B ^ { 2 } \sum _ { i } ^ { N } ( x _ { i } ^ { 2 } + y _ { i } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l r } { B _ { 0 } } & { = } & { 0 , } \\ { B _ { 1 } } & { = } & { 0 , } \\ { B _ { 2 } } & { = } & { \frac { 3 } { 2 i } \left[ \mathrm { L i } _ { 2 } \left( r _ { 3 } \right) - \mathrm { L i } _ { 2 } \left( r _ { 3 } ^ { - 1 } \right) \right] , } \\ { B _ { 3 } } & { = } & { \frac { 3 } { 2 i } \left\{ - 2 \mathrm { L i } _ { 2 1 } \left( r _ { 3 } , 1 \right) - \mathrm { L i } _ { 3 } \left( r _ { 3 } \right) + 2 \mathrm { L i } _ { 2 1 } \left( r _ { 3 } ^ { - 1 } , 1 \right) + \mathrm { L i } _ { 3 } \left( r _ { 3 } ^ { - 1 } \right) \right\} } \\ & { } & { - \ln \left( 3 \right) B _ { 2 } , } \\ { B _ { 4 } } & { = } & { \frac { 3 } { 2 i } \left\{ 4 \mathrm { L i } _ { 2 1 1 } \left( r _ { 3 } , 1 , 1 \right) - 2 \mathrm { L i } _ { 3 1 } \left( r _ { 3 } , 1 \right) + \mathrm { L i } _ { 4 } \left( r _ { 3 } \right) - 4 \mathrm { L i } _ { 2 1 1 } \left( r _ { 3 } ^ { - 1 } , 1 , 1 \right) \right. } \\ & { } & { \left. + 2 \mathrm { L i } _ { 3 1 } \left( r _ { 3 } ^ { - 1 } , 1 \right) - \mathrm { L i } _ { 4 } \left( r _ { 3 } ^ { - 1 } \right) \right\} - \ln \left( 3 \right) B _ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } \ln ^ { 2 } \left( 3 \right) B _ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } \zeta _ { 2 } B _ { 2 } . } \end{array}
P _ { h \mu } ^ { ^ N } = P _ { h \mu } ^ { ^ n } , \ K = \sqrt { Q _ { h } ^ { 2 } \bigl ( 1 - \frac { y _ { h } } { x _ { h } } - \frac { Q _ { h } ^ { 2 } \tau _ { 1 } } { x _ { h } ^ { 2 } V } \bigr ) } , \ G = \sqrt { y _ { h } ^ { 2 } + 4 \frac { Q _ { h } ^ { 2 } \tau _ { 1 } } { V } } \ ,
\begin{array} { r l } { P _ { 1 } ^ { \alpha } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) } & { = N \tilde { l } ^ { \alpha { ' } } ( \theta _ { 1 } ) - \tilde { l } ^ { \alpha { ' } } ( - \theta _ { 1 } ) + 2 \gamma N \tilde { l } ^ { \alpha { ' } } ( \theta _ { 1 } \gamma - \theta _ { 2 } \gamma ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad - 2 \gamma \tilde { l } ^ { \alpha { ' } } ( - \theta _ { 1 } \gamma + \theta _ { 2 } \gamma ) + N \gamma \tilde { l } ^ { \alpha { ' } } ( \theta _ { 1 } \gamma + 5 \theta _ { 2 } \gamma ) - \gamma \tilde { l } ^ { \alpha { ' } } ( - \theta _ { 1 } \gamma - 5 \theta _ { 2 } \gamma ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \left( 1 + \frac { \delta } { 6 N } \right) N { \binom { N } { k } } \alpha ^ { k + 1 } ( 1 - \alpha ) ^ { N - k } } } \\ & { \leq } & { \left( 1 + \frac { \delta } { 6 N } \right) ( k + 1 ) { \binom { N + 1 } { k + 1 } } \alpha ^ { k + 1 } ( 1 - \alpha ) ^ { N + 1 - ( k + 1 ) } } \\ & { \leq } & { \frac { 7 } { 6 } ( k + 1 ) \sum _ { i = k + 1 } ^ { N + 1 } { \binom { N + 1 } { i } } \alpha ^ { i } ( 1 - \alpha ) ^ { N + 1 - i } } \\ & { \leq } & { \frac { 7 } { 6 } ( k + 1 ) \frac { 1 } { c ^ { k + 1 } } \sum _ { i = k + 1 } ^ { N + 1 } { \binom { N + 1 } { i } } ( \alpha c ) ^ { i } ( 1 - \alpha ) ^ { N + 1 - i } } \\ & { \leq } & { \frac { 7 } { 6 } ( k + 1 ) \frac { 1 } { c ^ { k + 1 } } \sum _ { i = 0 } ^ { N + 1 } { \binom { N + 1 } { i } } ( \alpha c ) ^ { i } ( 1 - \alpha ) ^ { N + 1 - i } } \\ & { = } & { \frac { 7 } { 6 } ( k + 1 ) \frac { \big ( 1 + \alpha ( c - 1 ) \big ) ^ { N + 1 } } { \big ( 1 + ( c - 1 ) \big ) ^ { k + 1 } } } \\ & { \leq } & { \frac { 7 } { 6 } ( k + 1 ) \mathrm { e } ^ { \alpha ( c - 1 ) ( N + 1 ) } \mathrm { e } ^ { - \left( c - 1 - \frac { ( c - 1 ) ^ { 2 } } { 2 } \right) ( k + 1 ) } , } \end{array}
\frac { ( k + 1 ) ( \gamma _ { k } - M \gamma _ { k } ^ { 2 } ) } { 2 } \operatorname* { m i n } _ { i \le k } \| R _ { \gamma _ { i } } ( x ^ { i } ) \| ^ { 2 } + \frac { ( k + 1 ) \beta \gamma _ { k } } { 2 } \operatorname* { m i n } _ { i \le k } \| R _ { \gamma _ { i } } ( w ^ { i } ) \| ^ { 2 } \le \varphi ( x ^ { 0 } ) - \operatorname* { i n f } \varphi .
\begin{array} { r l } { c } & { = \frac { ( \lambda ^ { - 1 } - a ) ( \lambda - a ) \lambda ^ { 2 } - ( \lambda - a ) ( \lambda ^ { - 1 } - a ) } { b ( 1 - \lambda ^ { 2 } ) } } \\ & { = \frac { ( \lambda ^ { - 1 } - a ) ( \lambda - a ) ( \lambda ^ { 2 } - 1 ) } { b ( 1 - \lambda ^ { 2 } ) } } \\ & { = - \frac { ( \lambda ^ { - 1 } - a ) ( \lambda - a ) } { b } . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { t _ { n + 1 } } \frac { F ( \tau , x ( \tau ) ) } { ( t _ { n + 1 } - \tau ) ^ { 1 - \alpha } } \, d \tau \approx \frac { h ^ { \alpha } } { \alpha ( \alpha + 1 ) } \sum _ { j = 0 } ^ { n + 1 } F _ { j } \cdot a _ { n - j } ,
\begin{array} { r l } { C _ { i } - ( i + 1 - \Lambda _ { 1 } ) C _ { i + 1 } } & { = 0 , } \\ { \left( \partial _ { y _ { 2 } } - \frac { \Lambda _ { 1 } + \Lambda _ { 2 } } { 2 } - 1 \right) \varphi _ { 0 } ( a _ { 0 } ) - C _ { 1 } \Lambda _ { 2 } ( \Lambda _ { 1 } - 1 ) y _ { 2 } ^ { \frac { \Lambda _ { 1 } - \Lambda _ { 2 } + 2 } { 2 } } W _ { - \frac { \Lambda _ { 1 } - \Lambda _ { 2 } } { 2 } , \frac { \Lambda _ { 1 } + \Lambda _ { 1 } - 1 } { 2 } } ( y _ { 1 } ) } & { = 0 , } \\ { ( - \Lambda _ { 1 } + 1 ) C _ { d _ { \Lambda } - 1 } y _ { 2 } ^ { \frac { d _ { \Lambda } + 2 } { 2 } } W _ { \frac { \Lambda _ { 1 } - \Lambda _ { 2 } - 2 } { 2 } } ( y _ { 1 } ) + \left( \partial _ { y _ { 1 } } + \frac { 1 } { 2 } y _ { 1 } - \frac { \Lambda _ { 1 } - \Lambda _ { 2 } } { 2 } \right) \varphi _ { d _ { \Lambda } } ( a _ { 0 } ) } & { = 0 , } \\ { - C _ { d _ { \Lambda } - 1 } y _ { 2 } ^ { \frac { \Lambda _ { 1 } - \Lambda _ { 2 } + 2 } { 2 } } W _ { \frac { \Lambda _ { 1 } - \Lambda _ { 2 } } { 2 } , \frac { \Lambda _ { 1 } + \Lambda _ { 2 } - 1 } { 2 } } ( y _ { 1 } ) + \left( \partial _ { y _ { 2 } } - \frac { \Lambda _ { 1 } + \Lambda _ { 2 } } { 2 } - 1 \right) \varphi _ { d _ { \Lambda } } ( a _ { 0 } ) } & { = 0 } \end{array}
w _ { k } ^ { M } = \frac { w _ { k } \left( C _ { k } + \left( C _ { k } \right) ^ { 2 } - 3 C _ { k } w _ { k } + \left( w _ { k } \right) ^ { 2 } \right) } { \left( C _ { k } \right) ^ { 2 } - \left( 1 - 2 C _ { k } \right) w _ { k } }
\langle 0 , \ldots , 0 \vert H ^ { 2 } \vert 0 , \ldots , 0 \rangle = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \vert \langle 0 , \ldots , 0 \vert H ^ { \prime } \vert 0 , \ldots , 0 , 1 _ { ( j ) } , 0 , \ldots , 0 \rangle \vert ^ { 2 } .
\frac { 1 } { \mathcal { R } _ { 0 } } \int _ { \Omega _ { j } } \beta _ { j } \varphi _ { j } ^ { 2 } = d _ { I _ { j } } \int _ { \Omega _ { j } } | \triangledown \varphi _ { j } | ^ { 2 } + d _ { I } L _ { j j } \left( \frac { 1 } { | \Omega _ { j } | } \bar { \varphi } _ { j } ^ { 2 } - \int _ { \Omega _ { j } } \varphi _ { j } ^ { 2 } \right) - d _ { I } \sum _ { k \in \Omega } \frac { L _ { j k } } { | \Omega _ { j } | } \bar { \varphi } _ { j } \bar { \varphi } _ { k } + \int _ { \Omega _ { j } } \gamma _ { j } \varphi _ { j } ^ { 2 } ,
E [ b _ { \mathbf 1 } ^ { * } b _ { \mathbf 2 } ^ { * } b _ { \mathbf 3 } b _ { \mathbf 4 } ] = n _ { 1 } n _ { 3 } \delta _ { \mathbf 1 \mathbf 4 } \delta _ { \mathbf 2 \mathbf 3 }
K _ { \mathrm { n p } } = d \left( \frac { S _ { R } } { 4 \pi } \right) ^ { p / 2 } e ^ { - b \sqrt { S _ { R } } } \left[ 1 + { \cal O } \left( \frac { 1 } { \pi S _ { R } } , \frac { 1 } { \pi T _ { R } } \right) \right] + { \cal O } ( e ^ { - 2 \pi S } , e ^ { - 2 \pi T } ) ,
\begin{array} { r l } { \Vert } & { \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , \cdot ) \star \nabla ^ { j } \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - \cdot ) \nabla ^ { k } p _ { \alpha } ( t - u , \cdot - y ) \Vert _ { L ^ { p ^ { \prime } } } ^ { q ^ { \prime } } } \\ & { = \left( \int \left| \int \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , z - w ) \nabla ^ { j } \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - w ) \nabla ^ { k } p _ { \alpha } ( t - u , w - y ) \mathrm { d } w \right| ^ { p ^ { \prime } } \mathrm { d } z \right) ^ { \frac { q ^ { \prime } } { p ^ { \prime } } } } \\ & { = \left( \int \left| \int \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , z - w ) [ \nabla ^ { j } \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - w ) \nabla ^ { k } p _ { \alpha } ( t - u , w - y ) \right. \right. } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left. \left. - \nabla ^ { j } \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - z ) \nabla ^ { k } p _ { \alpha } ( t - u , z - y ) ] \mathrm { d } w \right| ^ { p ^ { \prime } } \mathrm { d } z \right) ^ { \frac { q ^ { \prime } } { p ^ { \prime } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot \vec { E } } & { = } & { 4 \pi \varrho } \\ { \nabla \times \vec { E } } & { = } & { - \frac { 1 } { c } \frac { \partial \vec { B } } { \partial t } } \\ { \nabla \cdot \vec { B } } & { = } & { 0 } \\ { \nabla \times \vec { B } } & { = } & { \frac { 4 \pi } { c } \vec { j } + \frac { 1 } { c } \frac { \partial \vec { E } } { \partial t } } \end{array}
H _ { i } ( t ) \leq \left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \overline { { a } } _ { i } \Gamma ^ { \frac { q _ { i } ^ { - } - 2 } { 2 } } ( | t | ) \quad \mathrm { i f ~ t ~ < ~ - 1 ~ } } \\ { \displaystyle \overline { { a } } _ { i } \Gamma ^ { \frac { q _ { i } ^ { + } - 2 } { 2 } } ( | t | ) \quad \mathrm { i f ~ t ~ > ~ 1 ~ } } \end{array} \right. \, .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { R } ( \Omega _ { \bar { \varepsilon } } ^ { 5 } ) = \{ ( x , y ) \, : \, 0 < \hat { x } < \bar { \varepsilon } , \, 0 < y < { f } _ { 5 , \mathrm { s h } } ( \hat { x } ) \} \, , } \\ & { \mathcal { R } ( \Gamma _ { \mathrm { s h o c k } } \cap \partial \Omega _ { \bar { \varepsilon } } ^ { 5 } ) = \{ ( x , y ) \, : \, 0 < \hat { x } < \bar { \varepsilon } , \, y = { f } _ { 5 , \mathrm { s h } } ( \hat { x } ) \} \, , } \end{array}