harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \sigma _ { 1 1 } ^ { e } = \sigma _ { 2 2 } ^ { e } = \frac { \nu } { 1 - \nu } \sigma _ { 3 3 } - ( p _ { f } + p _ { t } ) \frac { 1 - 2 \nu } { 1 - \nu } , } \\ { p _ { t } = 2 \kappa T _ { f } G \frac { 1 + \nu } { 1 - 2 \nu } \qquad \qquad \qquad \qquad \quad } \end{array}
\mathcal { F } _ { \perp } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } ( k _ { x } , k _ { y } ) = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \overset { \infty } { \underset { - \infty } { \iint } } \mathbf { E } _ { \perp } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } ( x , y , 0 ) \, e ^ { - i ( k _ { x } \, x + k _ { y } \, y ) } \, \mathrm { ~ d ~ } x \, \mathrm { ~ d ~ } y .
\begin{array} { r } { \mathbf { \dot { r } } = \left( v _ { \parallel } + \frac { \mu } { q _ { s } } \mathbf { b \cdot \nabla \times b } \right) \mathbf { b } - \frac { \mathbf { E } \times \mathbf { b } } { B } + \frac { v _ { \parallel } ^ { 2 } } { \Omega _ { s } } \mathbf { b } \times \mathbf { ( b \cdot \nabla ) b } + \frac { \mu } { q _ { s } B } \mathbf { b } \times \nabla B , } \end{array}
[ \phi ^ { i n } ( v _ { 1 } , \Omega _ { 1 } ) ~ , ~ \partial _ { v _ { 2 } } \phi ^ { i n } ( v _ { 2 } , \Omega _ { 2 } ) ] ~ = ~ 2 \pi i \delta ( v _ { 1 2 } ) ~ \delta ^ { ( 2 ) } ( \Omega _ { 1 } - \Omega _ { 2 } ) ~ .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \tan \varepsilon } \frac { t ^ { d - 2 } } { ( 1 + t ^ { 2 } ) ^ { \frac { d + 1 } { 2 } } } \, d t } & { = \int _ { 0 } ^ { \tan \varepsilon } \frac { 1 } { t ^ { 2 } ( 1 + t ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \, \exp \bigg [ - d \biggl ( - \log \biggl ( \frac { t } { ( 1 + t ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \biggr ) \biggr ) \bigg ] \, d t = } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \tan \varepsilon } e ^ { - d \, a ( t ) } b ( t ) \, d t , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta _ { j } f = \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { \varphi _ { j } } ( D ) f = \varphi _ { j } \ast f } & { \mathrm { f o r ~ } j \geq 0 } \\ { \hat { \Phi } ( D ) f = \Phi \ast f } & { \mathrm { f o r ~ } j = - 1 } \\ { 0 } & { \mathrm { f o r ~ } j \leq - 2 , } \end{array} \right. \quad \dot { \Delta } _ { j } f = \left\{ \begin{array} { l l } { \Delta _ { j } f } & { \mathrm { f o r ~ } j \geq 0 } \\ { \hat { \varphi _ { j } } ( D ) f = \varphi _ { j } \ast f } & { \mathrm { f o r ~ } j \leq - 1 , } \end{array} \right. } \end{array}
( v - v ^ { \prime } ) ^ { 2 } \rightarrow \frac { ( v - v ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { \Omega ( v ) \Omega ( v ^ { \prime } ) } \, , \quad \vec { x } _ { \alpha } \rightarrow \frac { \vec { x } _ { \alpha } } { \Omega ( v ) } \, \quad \vec { x } _ { \alpha } ^ { \prime } \rightarrow \frac { \vec { x } _ { \alpha } ^ { \prime } } { \Omega ( v ^ { \prime } ) } \, .
\begin{array} { r l } { { 4 } A _ { p } ^ { ( r ) } } & { { } = B \cos \theta } \\ { A _ { s } ^ { ( r ) } } & { { } = B \sin \theta \cos \phi } \\ { A _ { i } ^ { ( r ) } } & { { } = B \sin \theta \sin \phi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| w - w _ { 1 } \| _ { \mathsf H } } & { = \| \mathsf H ^ { 1 / 2 } ( w - w _ { 1 } ) \| = \| a - \mathsf H ^ { 1 / 2 } ( w _ { 1 } - w ^ { * } ) \| } \\ & { = \left\| a - \mathsf H ^ { 1 / 2 } \left( \mathsf H ^ { \dag } \right) ^ { 1 / 2 } a _ { 1 } \right\| = \| a - \Pi a _ { 1 } \| = \| \Pi a - \Pi a _ { 1 } \| \leqslant \| a - a _ { 1 } \| \leqslant u . } \end{array}
\mathrm { I m } c _ { d } ^ { \gamma } = c _ { v } ^ { \gamma } ( { \frac { m _ { t } } { v } } ) ^ { 2 } { \frac { A _ { R } A _ { I } t ^ { 2 } } { 2 \pi \beta } } ( 1 - { \frac { h ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } } \log ( 1 + { \frac { \beta ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } } ) ) \; .
\begin{array} { r l } & { \ \ \ \ \ \mathbb { E } [ X \mid X _ { 1 } , \ldots , X _ { t } ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { X _ { m + 1 } , \ldots , X _ { m + k } } [ \mathbb { E } [ X \mid X _ { 1 } , \ldots , X _ { t } , X _ { m + 1 } , \ldots , X _ { m + k } ] ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { X _ { m + 1 } , \ldots , X _ { m + k } } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { t } \theta _ { X _ { i } , X } ^ { * } X _ { i } + \sum _ { i = m + 1 } ^ { m + k } \theta _ { X _ { i } , X } ^ { * } X _ { i } \right] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { t } \theta _ { X _ { i } , X } ^ { * } X _ { i } + \sum _ { i = m + 1 } ^ { m + k } \theta _ { X _ { i } , X } ^ { * } \mathbb { E } [ X _ { i } ] = \sum _ { i = 1 } ^ { t } \theta _ { X _ { i } , X } ^ { * ^ { \prime } } X _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \phi _ { p } * f _ { * } ) ( x ) } & { = \sum _ { s = 1 } ^ { S } w _ { s } \phi _ { p } ( x - x _ { s } ) + ( \phi _ { p } * r ) ( x ) \le \phi _ { p } ( \tau / K ) + \omega \phi _ { p } ( 0 ) } \\ & { \le ( 1 + 1 0 ^ { - 4 } ) \frac { K } { \sigma } \exp ( - \pi \frac { \tau ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } ) + \omega \phi _ { p } ( 0 ) \le ( 1 + 1 0 ^ { - 4 } ) \phi _ { p } ( 0 ) \exp ( - \pi \frac { \tau ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } ) + \omega \phi _ { p } ( 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } \left[ E ^ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } \right] } & { { } = \mathbb { E } \left[ \mathrm { V a r } \left[ E ^ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } | \theta \right] \right] + \mathrm { V a r } \left[ \mathbb { E } \left[ E ^ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } | \theta \right] \right] \ , } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { f } } ( x , \xi ) \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \searrow 0 } \frac { \mathbf { m } _ { \mathcal { G } } ( \xi ( \cdot - x ) + v _ { \varepsilon } , B _ { \varepsilon } ( x ) ) } { \varepsilon ^ { d } } \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \searrow 0 } \frac { 1 } { \varepsilon ^ { d } } \int _ { B _ { \varepsilon } ( x ) } f ( y , \xi + \nabla v _ { \varepsilon } ( y ) ) \, d y . } \end{array}
\mu _ { x } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { i } \, \sigma _ { x } ^ { 2 } = \frac { 1 } { N - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( x _ { i } - \mu _ { x } ) ^ { 2 } \, \sigma _ { x y } = \frac { 1 } { N - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( x _ { i } - \mu _ { x } ) ( y _ { i } - \mu _ { y } ) .
L _ { \mathrm { i n t } } = - { \frac { g } { 2 } } \Bigl ( e ^ { i \sqrt { 2 } X _ { L } ( t ) } \ - \ e ^ { i \sqrt { 2 } X _ { L } ( l + t ) } e ^ { - 2 \sqrt { 2 } \pi i p } \Bigr ) \ + \ \mathrm { h . c . } .
\begin{array} { r l } { \frac { d S } { d t } = } & { { } - \int \left[ \ln f _ { M B } + \ln \left( \frac { f } { f _ { M B } } \right) \right] \frac { \partial f } { \partial t } \bigr \rvert _ { c o l l } d x d v } \\ { = } & { { } - \int \left[ \ln \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \right) - \frac { v ^ { 2 } } { 2 } \right] \frac { \partial f } { \partial t } \bigr \rvert _ { c o l l } d x d v } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \hat { a } _ { s } } { \partial z } ( \vec { w } , z ) } & { { } = \frac { g } { l _ { c } } \int \frac { d ^ { 3 } \vec { w } _ { 0 } } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \, { \alpha } _ { p } ( \vec { w } _ { 0 } ) \, \hat { a } _ { s } ^ { \dagger } ( \vec { w } _ { 0 } - \vec { w } , z ) e ^ { - i \mathcal D ( \vec { w } ; \vec { w } _ { 0 } - \vec { w } ) z } , } \end{array}
\begin{array} { l c r } { { \{ \{ L _ { m _ { 1 } n _ { 1 } } , L _ { m _ { 2 } n _ { 2 } } \} , L _ { m _ { 3 } n _ { 3 } } \} = ( m _ { 2 } n _ { 1 } - m _ { 1 } n _ { 2 } ) [ m _ { 3 } ( n _ { 1 } + n _ { 2 } ) - n _ { 3 } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ] L _ { \sum _ { i = 1 , 2 , 3 } m _ { i } , \sum _ { i = 1 , 2 , 3 } n _ { i } } , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) , { x } ^ { t , k } - { x } ^ { t , k - 1 } \rangle + \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { z } \rangle } \\ { = \ } & { \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k } - { x } ^ { t , k - 1 } \rangle + \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k } - { x } ^ { t , k - 1 } \rangle } \\ & { + \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { z } \rangle } \\ { = \ } & { \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k } - { x } ^ { t , k - 1 } \rangle + \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k } - { z } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { n } ^ { \tau } } & { = \Pi _ { \tau } \left( | \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) | ^ { 2 } \Pi _ { \tau } e _ { n } + 2 \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) \cdot \Pi _ { \tau } e _ { n } \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) \right) , } \\ { Q _ { n } ^ { \tau } } & { = - \Pi _ { \tau } \left( 2 \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) \cdot \Pi _ { \tau } e _ { n } \Pi _ { \tau } e _ { n } + \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) | \Pi _ { \tau } e _ { n } | ^ { 2 } \right) , } \\ { C _ { n } ^ { \tau } } & { = \Pi _ { \tau } \left( | \Pi _ { \tau } e _ { n } | ^ { 2 } \Pi _ { \tau } e _ { n } \right) , } \end{array}
V = - \left( \frac { \partial \boldsymbol { z } } { \partial \boldsymbol { y } ^ { T } } \right) ^ { - 1 } \left( \frac { \partial \boldsymbol { z } } { \partial \boldsymbol { \boldsymbol { \psi } } ^ { T } } \right) \Bigr | _ { \hat { \boldsymbol { \psi } } _ { \mathrm { o b s } } } \, .
{ \cal T } ^ { \mu \nu \alpha \beta } = { \frac { 1 } { x } } \int { \frac { d \lambda } { 2 \pi } } e ^ { i \lambda x } \langle P ^ { \prime } S ^ { \prime } | F ^ { ( \mu \alpha } ( - { \frac { \lambda } { 2 } } n ) F ^ { \nu \beta ) } ( { \frac { \lambda } { 2 } } n ) | P S \rangle \ .
\hat { H } _ { \mathrm { e f f } } \approx \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ^ { ( 0 ) } + \frac { 1 } { \omega } \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ^ { ( 1 ) } = \hat { H } _ { 0 } + \frac { 1 } { \omega } \sum _ { m \neq 0 } \frac { \hat { V } _ { m } \hat { V } _ { - m } } { m } .
\begin{array} { r l } & { + c _ { k } \big ) + \beta _ { k + 1 } ^ { i } \big ) - \beta _ { k } ^ { i } - \frac { F _ { k } ^ { i } G _ { k } ^ { i } } { D _ { k } ^ { i } } , ~ \mathrm { a n d } } \\ { N _ { k } ^ { i } } & { : = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j \in - i } ( r _ { k } ^ { i j } + \bar { r } _ { k } ^ { i j } ) ( \bar { \delta } _ { k } ^ { j } ) ^ { 2 } - { \mu _ { k } ^ { i \star } } ^ { \prime } \big ( \sum _ { j \in - i } \bar { n } _ { k } ^ { i j } \bar { \delta } _ { k } ^ { j } + p _ { k } ^ { i } \big ) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { k + 1 } ^ { i } ( \sigma _ { k } ) ^ { 2 } \mathbb { E } [ ( w _ { k } ) ^ { 2 } ] + \frac { 1 } { 2 } \bar { \alpha } _ { k + 1 } ^ { i } \big ( \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \bar { \delta } _ { k } ^ { j } + c _ { k } \big ) ^ { 2 } } \\ & { + \beta _ { k + 1 } ^ { i } \big ( \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \bar { \delta } _ { k } ^ { j } + c _ { k } \big ) + \gamma _ { k + 1 } ^ { i } - \gamma _ { k } ^ { i } - \frac { 1 } { 2 } \frac { ( G _ { k } ^ { i } ) ^ { 2 } } { D _ { k } ^ { i } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \tilde { x } } ^ { 1 } } & { = \frac { m _ { d } + J _ { 2 } } { J _ { 2 } } y ^ { 1 } + y ^ { 2 } = \tilde { y } ^ { 1 } } \\ { \dot { \tilde { y } } ^ { 1 } } & { = \frac { m _ { d } + J _ { 2 } } { J _ { 2 } } \left( \frac { m _ { 0 } } { m _ { d } } \sin x ^ { 1 } - \frac { 1 } { m _ { d } } u \right) - \frac { m _ { 0 } } { m _ { d } } \sin x ^ { 1 } + \frac { m _ { d } + J _ { 2 } } { m _ { 2 } J _ { 2 } } u } \\ & { = \frac { m _ { 0 } } { J _ { 2 } } \sin x ^ { 1 } = L _ { e } h = \tilde { x } ^ { 2 } } \\ { \dot { \tilde { x } } ^ { 1 } } & { = \frac { m _ { 0 } } { J _ { 2 } } \cos x ^ { 1 } y ^ { 1 } = \tilde { y } ^ { 2 } } \\ { \dot { \tilde { y } } ^ { 2 } } & { = - \frac { m _ { 0 } } { J _ { 2 } } \sin x ^ { 1 } y ^ { 1 } y ^ { 1 } + \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 m _ { d } J _ { 2 } } \sin ( 2 x ^ { 1 } ) - \frac { m _ { 0 } } { m _ { d } J _ { 2 } } \cos x ^ { 1 } u = \tilde { u } . } \end{array}
\langle \widehat { \sigma _ { z } ^ { 2 } } \rangle \simeq \sigma _ { z } ^ { 2 } , ~ \mathrm { v a r } ( \widehat { \sigma _ { z } ^ { 2 } } ) \simeq \frac { 2 \sigma _ { z } ^ { 4 } } { m _ { p } } .
\cfrac { d } { d t } L ^ { 2 } \leq - ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } ) \cdot L ^ { 2 } + \frac 1 2 \cdot \ ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } ) \cdot \left( \varepsilon _ { S S l } \cdot \varepsilon _ { M M } \right) ^ { 2 } \cdot s _ { 0 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { M e a n \ e r r o r } = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \psi _ { i } ^ { \mathrm { f c s t } } - \psi _ { i } ^ { \mathrm { g t } } ) } \\ & { \mathrm { R M S \ e r r o r } = \sqrt { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \psi _ { i } ^ { \mathrm { f c s t } } - \psi _ { i } ^ { \mathrm { g t } } ) ^ { 2 } } } \\ & { \mathrm { S 1 \ s c o r e } = \frac { \sum _ { \mathrm { a d j a c e n t \ p a i r s } } | \Delta \psi ^ { \mathrm { f c s t } } - \Delta \psi ^ { \mathrm { g t } } | } { \sum _ { \mathrm { a d j a c e n t \ p a i r s } } \operatorname* { m a x } ( | \Delta \psi ^ { \mathrm { f c s t } } | , | \Delta \psi ^ { \mathrm { g t } } | ) } \times 1 0 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 2 j } } & { \simeq \Sigma ^ { 8 j } v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { j } \oplus \Sigma ^ { 8 j + 8 , 1 } v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { j - 1 } , } \\ { v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 2 j + 1 } } & { \simeq v _ { 2 } ^ { - 1 } \Sigma ^ { 8 j } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { j } \otimes \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mapsto \begin{array} { c c c c c c c c c c c } { \boxed { - 2 } } & { - 1 } & & & & & & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & \\ { 3 } & { 4 } & & { 1 } & { - 1 } & & & & { 1 } & & \\ { - 4 6 } & { 5 6 5 } & { 8 4 } & & & { 7 } & { 1 3 2 } & { 9 6 } & { - 9 6 } & & { - 2 } \end{array} } \\ & { \mapsto \begin{array} { c c c c c c c c c c } { - 5 } & & { - 2 } & { 2 } & & & { - 3 } & { 1 } & { 3 } & \\ { - 1 1 7 6 } & { - 1 6 8 } & & & { - 1 4 } & { - 2 6 4 } & { - 1 4 6 } & { 1 4 6 } & { - 4 6 } & { 4 } \end{array} } \\ & { \mapsto \begin{array} { c c c c c c c c c c } { \boxed { - 5 } } & & { - 2 } & { 2 } & & & { - 3 } & { 1 } & { 3 } & \\ { - 5 8 8 } & { - 8 4 } & & & { - 7 } & { 1 3 2 } & { - 7 3 } & { 7 3 } & { - 2 3 } & { 2 } \end{array} } \\ & { \mapsto \begin{array} { c c c c c c c c c c } & { 4 2 0 } & { - 1 1 7 6 } & { 1 1 7 6 } & { 3 5 } & { 6 6 0 } & { - 1 3 9 9 } & { 2 2 3 } & { 1 8 7 9 } & { - 1 0 } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( { \mathcal { R } } ^ { ( 1 ) } \leq r _ { 1 } - z ) } & { = \mathbb { P } ( { \mathcal { R } } ^ { ( 1 ) } - r _ { 1 } \leq - z ) } \\ & { \leq \frac { v _ { 1 } } { z ^ { 2 } } } \\ & { \leq \frac { 1 } { z ^ { 2 } } \left( \frac { 4 c ^ { 2 } s ^ { 2 } } { ( a + b ) ( 1 - c ^ { 2 } ) } + \frac { 1 - c } { 1 + c } s ( 1 - s ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { i j } = \log \left( \frac { 1 } { 2 T } \sum _ { \tau = - T ; \tau \neq 0 } ^ { T } \frac { P ( x ^ { ( t ) } = i , x ^ { ( t + \tau ) } = j ) } { P ( x ^ { ( t ) } = i ) P ( x ^ { ( t ) } = j ) } \right) . } \end{array}
| \psi _ { n } ^ { \prime } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { ( \hbar \omega } ) ^ { n } } \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 n ) ! ! } } \hat { A } _ { 0 } ^ { ' \dagger } \hat { A } _ { 1 } ^ { ' \dagger } \cdots \hat { A } _ { n - 1 } ^ { ' \dagger } | \psi _ { 0 } ^ { \prime } \rangle ,
f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { - { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } } } & { { \mathrm { i f ~ } } x \neq 0 } \\ { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } x = 0 } \end{array} \right. }
\Xi _ { r _ { \nu } } ^ { 1 } ( u | \Re z ) \; \equiv \; \operatorname * { l i m } _ { \Im z \downarrow 0 } ( \Im z ) ^ { \frac { 1 } { 2 } b ^ { 2 } } \Theta ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( u | z ) \ \ ,
\begin{array} { r l } { \mathscr { D } _ { t , m - 1 } ^ { \ell } \nabla T _ { m - 1 } ^ { ( i ) } } & { { } = \kappa _ { m - 1 } \sum _ { \ell ^ { \prime } = 0 } ^ { \ell - 1 } \sum _ { \ell ^ { \prime \prime } = 0 } ^ { \ell ^ { \prime } } c _ { \ell , \ell ^ { \prime } , \ell ^ { \prime \prime } } \bigl ( \mathrm { a d } \mathscr { D } _ { t , m - 1 } \bigr ) ^ { \ell ^ { \prime \prime } } ( \nabla ) \bigl ( \mathrm { a d } \mathscr { D } _ { t , m - 1 } \bigr ) ^ { \ell ^ { \prime } - \ell ^ { \prime \prime } } ( \nabla ) \mathscr { D } _ { t , m - 1 } ^ { \ell - 1 - \ell ^ { \prime } } \nabla T _ { m - 1 } ^ { ( i ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { { N u } } } & { { } \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { \Omega _ { \delta } } \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } \| \nabla T \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } \ d y \ d t + C \left( \frac { 1 } { \delta } + \| \kappa \| _ { \infty } \right) } \end{array}
\mathbf { R } _ { c c } = \sum _ { n } 1 \left( \Omega _ { n } ^ { r } \neq \null \varnothing \right) \left( \sum _ { i j \in \Omega _ { n } ^ { r } } p _ { i j } - \sum _ { i j \in \Omega _ { n } ^ { d } } \log p _ { i j } \right)
\begin{array} { r l } { \mathop { \mathbb { E } } \Big [ ( H - \mathop { \mathbb { E } } [ H ] ) ( H - \mathop { \mathbb { E } } [ H ] ) \Big ] } & { = \mathop { \mathbb { E } } \bigg [ \bigg ( \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial P } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \left( P - \mu _ { P } \right) + \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial E } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \left( E - \mu _ { E } \right) \bigg ) } \\ & { \qquad \times \bigg ( \bigg ( \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial P } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \left( P - \mu _ { P } \right) + \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial E } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \left( E - \mu _ { E } \right) \bigg ) \bigg ] } \\ & { = \bigg ( \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial P } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \bigg ) ^ { 2 } \mathop { \mathbb { E } } \bigg [ \left( P - \mu _ { P } \right) \left( P - \mu _ { P } \right) \bigg ] + \bigg ( \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial E } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \bigg ) ^ { 2 } \mathop { \mathbb { E } } \bigg [ \left( E - \mu _ { E } \right) \left( E - \mu _ { E } \right) \bigg ] } \\ & { \qquad + 2 \bigg ( \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial E } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \bigg ) \bigg ( \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial P } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \bigg ) \mathbb { E } \bigg [ \left( E - \mu _ { E } \right) \left( P - \mu _ { P } \right) \bigg ] } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } \left( V - V _ { 0 } \right) ^ { 2 } \operatorname { C o v } \left( P , P \right) + \operatorname { C o v } \left( E , E \right) + ( V - V _ { 0 } ) \operatorname { C o v } ( E , P ) } \\ { K _ { H H } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) } & { = \frac { 1 } { 4 } \left( V - V _ { 0 } \right) ^ { 2 } K _ { P P } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) + K _ { E E } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) + ( V - V _ { 0 } ) K _ { P E } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) } \end{array}
m _ { * } = 1 \mathrm { ~ M ~ } _ { \odot } , r _ { * } = 1 \mathrm { ~ R ~ } _ { \odot } , m _ { p } = 1 \mathrm { ~ M ~ } _ { J } , r _ { p } = 1 \mathrm { ~ R ~ } _ { J } , a = 4 . 0 7 2 \times 1 0 ^ { - 2 } \mathrm { ~ A ~ U ~ } , e = 0 . 0 1 , k _ { L , * } = 0 . 0 7 , \tau _ { * } = 4 . 1 2 \times 1 0 ^ { - 4 } \mathrm { ~ s ~ } , C _ { * } = 0 . 0 7 , \Omega _ { * } = 2 7 \mathrm { ~ d ~ a ~ y ~ s ~ } , \theta _ { * } = 0 , k _ { L , p } = 0 . 3 , \tau _ { p } = 4 . 1 2 \mathrm { ~ s ~ } , C _ { p } = 0 . 3 , \Omega _ { p } = 0 . 5 \mathrm { ~ d ~ a ~ y ~ s ~ } , \theta _ { p } = 3 0 ^ { \circ }
{ \frac { \partial P _ { 0 } ( p ) } { \partial t } } = { \frac { - 2 } { [ 1 + P _ { z } ( p ) ] ^ { 2 } } } { \frac { \partial P _ { z } ( p ) } { \partial t } } , \ { \frac { \partial \bar { P } _ { 0 } ( p ) } { \partial t } } = { \frac { - 2 } { [ 1 + \bar { P } _ { z } ( p ) ] ^ { 2 } } } { \frac { \partial \bar { P } _ { z } ( p ) } { \partial t } } .
\begin{array} { r l r } { p _ { \mathrm { e q } } } & { { } = } & { 3 . 2 0 \times 1 0 ^ { 8 } \exp { \left( - \frac { 6 . 1 8 \times 1 0 ^ { 4 } ~ \mathrm { ~ K ~ } } { T } \right) } ~ \mathrm { ~ b ~ a ~ r ~ } . } \end{array}
\phi _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } \phi _ { \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } } \phi _ { \alpha _ { 3 } \alpha _ { 1 } } = f ^ { ( \alpha _ { 1 } ) } f ^ { ( \alpha _ { 2 } ) } { } ^ { - 1 } f ^ { ( \alpha _ { 2 } ) } f ^ { ( \alpha _ { 3 } ) } { } ^ { - 1 } f ^ { ( \alpha _ { 3 } ) } f ^ { ( \alpha _ { 1 } ) } { } ^ { - 1 } = 1
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { = \int _ { \delta } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } N ( t + x ) } { x ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 \pi } \left[ ( \delta ^ { - 1 } + t ^ { - 1 } ) \log ( t + \delta ) - \frac { \log \delta } { t } - \frac { \log 2 \pi } { \delta } \right] + \int _ { \delta } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } Q ( t + x ) } { x ^ { 2 } } } \end{array}
X ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } ) = \sum _ { n _ { 1 } = 1 } ^ { N - 1 } \sum _ { n _ { 2 } = 1 } ^ { N - 1 } \sum _ { n _ { 3 } = 1 } ^ { N - 1 } { \tilde { x } } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } ) \cos ( \phi k _ { 1 } ) \cos ( \phi k _ { 2 } ) \cos ( \phi k _ { 3 } )
\mathbf { V } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { H _ { 0 2 } } & { H _ { 0 3 } } \\ { 0 } & { 0 } & { H _ { 1 2 } } & { H _ { 1 3 } } \\ { H _ { 2 0 } } & { H _ { 2 1 } } & { 0 } & { H _ { 2 3 } } \\ { H _ { 3 0 } } & { H _ { 3 1 } } & { H _ { 3 2 } } & { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { F ( b ) - F ( a ) } & { { } = F ( x _ { n } ) + [ - F ( x _ { n - 1 } ) + F ( x _ { n - 1 } ) ] + \cdots + [ - F ( x _ { 1 } ) + F ( x _ { 1 } ) ] - F ( x _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { 2 } ^ { \prime } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) } & { + \epsilon _ { 3 } ^ { \prime } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } , \vec { p } _ { k } ) + \cdots } \\ & { = \textsc { A t o m w i s e L o n g R a n g e } ( h _ { i } , h _ { j } ) + \textsc { A t o m w i s e L o n g R a n g e } ( h _ { i } , h _ { j } , h _ { k } ) + \cdots } \\ & { \simeq \textsc { A t o m F r a g m e n t L o n g R a n g e } ( h _ { i } , \textsc { F r a g m e n t D e s c r i p t o r } ( \{ h _ { j } , h _ { k } , \cdots \} ) ) } \\ & { \simeq \textsc { A t o m F r a g m e n t L o n g R a n g e } ( h _ { i } , f _ { \alpha } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { p } _ { c d } = } & { \frac { 1 } { N k } \sum _ { n _ { c } ^ { o } , n _ { d } ^ { o } ; n _ { c } ^ { m } , n _ { d } ^ { m } } ( \mathrm { P } _ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { D } } ^ { i \rightarrow i } \Delta n _ { c d } ^ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { D } } + \mathrm { P } _ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { C } } ^ { i \rightarrow i } \Delta n _ { c d } ^ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { C } } } \\ & { + \mathrm { P } _ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { D } } ^ { i \rightarrow j } \Delta n _ { c d } ^ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { D } } + \mathrm { P } _ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { C } } ^ { i \rightarrow j } \Delta n _ { c d } ^ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { C } } } \\ & { + \mathrm { P } _ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { D } } ^ { i \rightarrow j } \Delta n _ { c d } ^ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { D } } + \mathrm { P } _ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { C } } ^ { i \rightarrow j } \Delta n _ { c d } ^ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { C } } ) , } \end{array}