harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { L _ { k p q } ^ { s s _ { p } s _ { q } } } & { { } = } & { L _ { k q p } ^ { s s _ { q } s _ { p } } \, , } \\ { L _ { 0 p q } ^ { s s _ { p } s _ { q } } } & { { } = } & { 0 \, , } \\ { L _ { - k - p - q } ^ { s s _ { p } s _ { q } } } & { { } = } & { L _ { k p q } ^ { s s _ { p } s _ { q } } \, , } \\ { L _ { k p q } ^ { - s - s _ { p } - s _ { q } } } & { { } = } & { L _ { k p q } ^ { s s _ { p } s _ { q } } \, , } \\ { s s _ { q } L _ { q p k } ^ { s _ { q } s _ { p } s } } & { { } = } & { L _ { k p q } ^ { s s _ { p } s _ { q } } \, , } \\ { s s _ { p } L _ { p k q } ^ { s _ { p } s s _ { q } } } & { { } = } & { L _ { k p q } ^ { s s _ { p } s _ { q } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { 2 } \kappa _ { 1 } - \omega _ { 1 } ( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 2 } ) } & { { } = 0 , } \\ { \nabla _ { 1 } \kappa _ { 2 } - \omega _ { 2 } ( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 2 } ) } & { { } = 0 , } \\ { \nabla _ { 1 } \omega _ { 2 } - \nabla _ { 2 } \omega _ { 1 } + \omega _ { 1 } ^ { 2 } + \omega _ { 2 } ^ { 2 } } & { { } = - \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } . } \end{array}
e q 4 0 \tilde { R } ^ { 2 } = 3 | \tilde { z } | ^ { 2 } \qquad \mathrm { w i t h } \quad \tilde { z } = \int d ^ { 3 } r \psi _ { 1 , 1 , 0 } ^ { \ast } \; ( r \cos \theta ) \; \psi _ { 0 , 0 , 0 } \; .
\begin{array} { r l } { \bigg ( \frac { A _ { \bar { t } _ { s } } } { \alpha _ { \bar { t } _ { s } - 1 } } - \frac { A _ { \bar { t } _ { s - 1 } } } { \alpha _ { \bar { t } _ { s - 1 } - 1 } } \bigg ) } & { \leq - \frac { 6 4 } { 9 b M } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } A _ { t } + \frac { 2 c _ { \nu } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b M } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } ^ { 3 } + \frac { 1 6 I \tilde { L } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { b M } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } D _ { t } } \\ & { \qquad + \frac { 8 \tilde { L } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { b M } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } E _ { t } + \frac { 8 \tilde { L } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } { b M } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } F _ { t } + \frac { 1 6 I \tilde { L } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } { b M } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } G _ { t } } \\ & { \qquad + \frac { 3 2 I L ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } { b M } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } J _ { t } + \frac { 1 6 L ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } { b M } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } Q _ { t } } \end{array}
a _ { 2 , 2 } = \int _ { { \cal M } _ { 3 } } h ^ { 1 / 2 } d ^ { 3 } x ~ \mathrm { T r } \left[ - { \frac { 1 } { 3 2 } } F ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 1 2 } } F ^ { j k } F _ { j k } \right] = - { \frac { 1 } { 2 4 } } \int _ { { \cal M } _ { 3 } } h ^ { 1 / 2 } d ^ { 3 } x ~ F ^ { j k } F _ { j k }
X _ { \ast s } \equiv M _ { s } \frac { \left\vert \mathbf { V } _ { \ast s } \right\vert ^ { 2 } } { 2 } + \frac { Z _ { s } e } { c } \psi \Omega _ { \ast s } - Z _ { s } e \Phi _ { s } ^ { e f f } .
\mathbf { a b } \equiv \mathbf { a } \otimes \mathbf { b } \equiv \mathbf { a b } ^ { \mathsf { T } } = { \left( \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { b _ { 1 } } & { b _ { 2 } } & { b _ { 3 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l } { a _ { 1 } b _ { 1 } } & { a _ { 1 } b _ { 2 } } & { a _ { 1 } b _ { 3 } } \\ { a _ { 2 } b _ { 1 } } & { a _ { 2 } b _ { 2 } } & { a _ { 2 } b _ { 3 } } \\ { a _ { 3 } b _ { 1 } } & { a _ { 3 } b _ { 2 } } & { a _ { 3 } b _ { 3 } } \end{array} \right) } .
\mathbb { H } _ { 2 n } ( \boldsymbol { I } , \boldsymbol { \theta } , t ) = \widetilde { \mathbb { H } } _ { 2 n } ^ { \vec { 0 } , \vec { 0 } } ( \boldsymbol { I } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { \mathcal { M } _ { 2 n } } \mathcal { F } _ { i } ( \boldsymbol { I } , \boldsymbol { \theta } , t )
\begin{array} { r l } { \frac { \partial C } { \partial T _ { 1 } } } & { = \frac { \partial p _ { m } } { \partial T _ { 1 } } ( 1 + \ln p _ { m } ) + \frac { \partial p _ { e } } { \partial T _ { 1 } } ( 1 + \ln p _ { e } ) } \\ & { = \frac { \partial p _ { m } } { \partial T _ { 1 } } \ln \frac { p _ { m } } { p _ { e } } } \\ & { = \frac { 1 } { r _ { 1 } + r _ { 2 } } \frac { \partial \alpha _ { 1 } } { \partial T _ { 1 } } \ln \frac { \alpha } { \zeta } } \\ & { = - \frac { \epsilon \alpha _ { 1 } \zeta _ { 1 } } { T _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 1 } } \ln \frac { \alpha } { \zeta } } \\ & { \leq 0 \; \forall \; T _ { 1 } \in ( 0 , \infty ) } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle { } _ { 1 } F _ { 1 } ( 1 - N ; 1 ; z ) \, \sim \, \exp ( z / 2 ) \, J _ { 0 } \left( 2 \sqrt { N \, z } \right) \, , \qquad N \, \gg \, 1 \, , } \end{array}
I ( \omega ) \propto \Re \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } t e ^ { i \omega t } \left\langle \mathbf { m } ( t ) \mathbf { m } ( 0 ) e ^ { - i \int _ { 0 } ^ { t } d \tau \left\{ \omega ( \tau ) - \frac { i } { 2 T _ { 1 } ( \tau ) } \right\} } \right\rangle
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { B } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { 1 + \gamma } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } } \\ & { \leq } & { c \Bigg [ 1 + \int _ { B } | \partial _ { i } \partial _ { i } u | \Gamma ^ { \gamma } ( | \partial _ { i } u | ) f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } \\ & { } & { + \int _ { B } | \partial _ { i } \partial _ { i } u | \, | f _ { i } ^ { \prime } | ( \partial _ { i } u ) \, \Gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } + \gamma } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x \Bigg ] } \end{array}
| L ^ { a } ( r , u , w ) | ^ { \circleddash } = \left| \sum _ { \lambda _ { i } \in Q ( r , u , w ) } ( - 1 ) ^ { \sum _ { k } ( \lambda _ { 0 } ^ { k } - \lambda _ { i } ^ { k } ) } | \varepsilon ^ { a } ( r , u , w , \lambda _ { i } ) | \right|
3 6 \cdot V ^ { 2 } = { \left| \begin{array} { l l l } { \mathbf { a ^ { 2 } } } & { \mathbf { a } \cdot \mathbf { b } } & { \mathbf { a } \cdot \mathbf { c } } \\ { \mathbf { a } \cdot \mathbf { b } } & { \mathbf { b ^ { 2 } } } & { \mathbf { b } \cdot \mathbf { c } } \\ { \mathbf { a } \cdot \mathbf { c } } & { \mathbf { b } \cdot \mathbf { c } } & { \mathbf { c ^ { 2 } } } \end{array} \right| }
\mathbf { E } ^ { ( 1 , - ) } ( z ) = \mathbf { W } ^ { ( - ) } ( z ) \left( \frac { s _ { * } } { h _ { 0 } } \right) ^ { - \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } | x | ^ { { \beta } \sigma _ { 3 } } e ^ { \frac { i \sqrt { 3 } x ^ { 2 } } { 6 } \sigma _ { 3 } } 2 ^ { - \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { | x | \varphi _ { 3 } ( z ) } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right)
\exp ( \tau L _ { 0 } ) \, c = \left( \begin{array} { c } { { \strut c ^ { 0 } + e ^ { v } \tau } } \\ { { \strut c ^ { 0 } \tau + c ^ { d - 1 } + e ^ { v } { \frac { \tau ^ { 2 } } { 2 } } } } \\ { { \strut - c ^ { 0 } \tau + c ^ { d } - e ^ { v } { \frac { \tau ^ { 2 } } { 2 } } } } \end{array} \right) \ .
\omega = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { d u _ { i } ^ { - } } { u _ { i } ^ { - } } \wedge d \beta _ { i } ^ { - } - \sum _ { i < j } \frac { d \beta _ { i } ^ { - } \wedge d \beta _ { j } ^ { - } } { \beta _ { i } ^ { -- } \beta _ { j } ^ { - } } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { d u _ { i } ^ { + } } { u _ { i } ^ { + } } \wedge d \beta _ { i } ^ { + } - \sum _ { i < j } \frac { d \beta _ { i } ^ { + } \wedge d \beta _ { j } ^ { + } } { \beta _ { i } ^ { + } - \beta _ { j } ^ { + } } .
R _ { n l } ( r ) = - \left\{ \left( \frac { 2 } { n a _ { 0 } } \right) ^ { 3 } \frac { ( n - l - 1 ) ! } { 2 n [ ( n + l ) ! ] ^ { 3 } } \right\} ^ { 1 / 2 } e ^ { - \rho / 2 } \rho ^ { l } L _ { n + l } ^ { 2 l + 1 } ( \rho )
\frac { 1 } { \mu _ { 0 } e } \vec { \nabla } \times \left( \frac { \vec { \nabla } \times \vec { B } } { n _ { e } } \right) + \frac { e \vec { B } } { m _ { e } } = \vec { \nabla } \times \vec { u } _ { i } - \overrightarrow { W } .
\begin{array} { r l r } { E _ { X U V , x } ( t ) } & { { } = } & { \int _ { \omega _ { i } = 2 0 \omega _ { 0 } } ^ { \infty } e ^ { i \omega t } \tilde { a } _ { x } ( \omega ) \; d \omega , } \\ { E _ { X U V , y } ( t ) } & { { } = } & { \int _ { \omega _ { i } = 2 0 \omega _ { 0 } } ^ { \infty } e ^ { i \omega t } \tilde { a } _ { x } ( \omega ) \; d \omega . } \end{array}
f _ { x } ( T ) = \frac { \gamma _ { s } \Delta _ { x } } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { 1 } { T ^ { \gamma _ { s } / 2 + 1 } } \exp \Bigg ( - \frac { \Delta _ { x } ^ { 2 } } { 2 T ^ { \gamma _ { s } } } \Bigg ) .
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { e r r } } ( t _ { 2 } - t _ { 1 } > \tau _ { \mathrm { l } } | t _ { 1 } ) } & { { } = e ^ { - \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 1 } + \tau _ { \mathrm { l } } } d t ^ { \prime } k _ { \mathrm { f } } ( t ^ { \prime } ) } } \end{array}
{ \mathrm { A t t e n u a t i o n ~ ( d B ) } } = 1 0 \times \log _ { 1 0 } \left( { \frac { \mathrm { I n p u t ~ i n t e n s i t y ~ ( W ) } } { \mathrm { O u t p u t ~ i n t e n s i t y ~ ( W ) } } } \right)
\varphi : \pmb { r } _ { i } - \pmb { r } _ { j } \mapsto \bigoplus _ { k = 1 } ^ { N _ { \mathrm { r a d i a l } } } \exp \left( - \gamma \left( \lVert \pmb { r } _ { i } - \pmb { r } _ { j } \rVert _ { 2 } - \mu _ { k } \right) ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r } { \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + \frac { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } x } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x } + \frac { x ^ { 2 } } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x } = \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + x \left( \frac { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x } \right) = \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + x } \end{array}
\langle \epsilon \rangle = C \frac { u _ { \mathrm { r m s } } ^ { 3 } } { L _ { 1 1 } ^ { F } } , \quad \quad \langle \epsilon \rangle = C \frac { w _ { \mathrm { r m s } } ^ { 3 } } { L _ { 3 3 } ^ { F } }
\mathit { l M S E } = \frac { 1 } { \mathit { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \mathit { W _ { i } } ( 1 0 l o g _ { 1 0 } ( y _ { i } ^ { e x p e c t e d } ) - 1 0 l o g _ { 1 0 } ( y _ { i } ^ { p r e d i c t e d } ) ) ^ { 2 }
\begin{array} { r } { Q _ { s } : = \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } ( s ) \left( D _ { x = x _ { s } } ^ { s } d _ { s } ( x , z _ { i } ( s ) ) \otimes \nabla _ { x = x _ { s } } ^ { s } d _ { s } ( x , z _ { i } ( s ) ) + d _ { s } ( x , z _ { i } ( s ) ) D _ { x = x _ { s } } ^ { s } \nabla _ { x } ^ { s } d _ { s } ( x , z _ { i } ( s ) ) \right) . } \end{array}
S ^ { B H } = { \frac { \pi } { 6 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { \Sigma } d \sigma \left[ 2 \langle \hat { \phi } _ { i } ^ { 2 } \rangle + { \frac { 1 } { m _ { d , i } } } \langle \hat { \bar { \psi } } _ { i } \hat { \psi } _ { i } \rangle - 2 \langle \hat { V } _ { i } ^ { 2 } \rangle \right] ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( i i ) } } \big ( \alpha \big ) } & { { } = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } | \alpha | ^ { 2 } } \sum _ { f = 0 } ^ { n - 1 } \binom { n } { f + 1 } p ^ { n - f - 1 } ( 1 { - } p ) ^ { f + 1 } } \end{array}
r _ { \mathrm { G } } = \iint _ { S } \frac { r \, \omega } { \Gamma } ~ \mathrm { d } r \, \mathrm { d } z , \quad z _ { \mathrm { G } } = \iint _ { S } \frac { z \, \omega } { \Gamma } ~ \mathrm { d } r \, \mathrm { d } z ,
\frac { \partial u _ { l } } { \partial x _ { k } } = \sum _ { \beta = 1 } ^ { 3 } \frac { \partial u _ { l } } { \partial y _ { \beta } } \frac { \partial y _ { \beta } } { \partial x _ { k } } = \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { 3 } \mathcal { R } _ { l } ^ { ( \alpha ) } \frac { \partial v _ { \alpha } } { \partial y _ { \beta } } \mathcal { L } _ { k } ^ { ( \beta ) } = \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { 3 } \mathcal { R } _ { l } ^ { ( \alpha ) } C _ { \alpha \beta } \mathcal { L } _ { k } ^ { ( \beta ) } \, , \qquad l , k = 1 , 2 , 3 \, ,
\begin{array} { r } { \vec { E } _ { \ell } ^ { \mathrm { \, s } } ( \vec { r } ) = \frac { e ^ { i k _ { \mathrm { m } } | \vec { r } - \vec { r } _ { \ell } | } } { - i k _ { \mathrm { m } } | \vec { r } - \vec { r } _ { \ell } | } \, S _ { \ell } ( \theta , \varphi ) \vec { E } _ { \ell , 0 } ^ { \mathrm { \, e } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! , } \end{array}
| \hat { \Gamma } _ { < ; x y } ^ { l i ; n } ( \varphi ) | \lesssim \sum _ { \substack { j \in I \colon \, \alpha _ { j } + \beta < | l | } } ( 2 ^ { n } ) ^ { | l | - \alpha _ { j } - \beta } \, | y - x | ^ { \alpha _ { i } - \alpha _ { j } } + ( 2 ^ { n } ) ^ { | l | + \lceil \gamma + \beta \rceil ^ { + } - \alpha _ { i } - \beta } \, | y - x | ^ { \lceil \gamma + \beta \rceil ^ { + } } \, ,
\begin{array} { r l r l r l r l } { { 4 } } & { \mathcal { H } ^ { 1 } ( \mathcal { O } ) } & & { = } & { \; } & { \{ f \colon \omega ^ { - 1 } f \in H ^ { 1 } ( \mathcal { O } ) \} , } & { \qquad } & { \mathrm { w h e r e } \quad \mathcal { O } = \mathbb { R } ^ { d } \; \; \mathrm { o r } \; \; \Omega , } \\ & { \widetilde { \mathcal { H } } ^ { 1 } ( \Omega ) } & & { = } & & { \{ f \colon \omega ^ { - 1 } f \in \widetilde { H } ^ { 1 } ( \Omega ) \} , } & { \qquad } & { \| f \| _ { \mathcal { H } ^ { 1 } ( \mathcal { O } ) } = \| \omega ^ { - 1 } f \| _ { H ^ { 1 } ( \mathcal { O } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { n } } & { { } = \operatorname* { m a x } \left\{ 1 , n ( d _ { T } + d _ { R } ) \Sigma _ { n } \right\} , } \\ { \Sigma _ { n } } & { { } : = \frac { 1 + 2 \sqrt { \frac { \ln ( 8 / \varepsilon ) } { 2 n } } + \frac { \ln ( 8 / \varepsilon ) } { n } } { 1 - 2 \sqrt { \frac { \ln ( 8 / \varepsilon ) } { 2 f _ { \mathrm { e t } } n } } } . } \end{array}
{ { \frac { \Gamma ( Z ^ { 0 } \rightarrow \Upsilon b { \bar { b } } ) } { \Gamma ( Z ^ { 0 } \rightarrow b { \bar { b } } ) } } \; = \; 0 . 1 8 7 0 \; \alpha _ { s } ( 3 m _ { b } ) ^ { 2 } \; { \frac { | R ( 0 ) | ^ { 2 } } { M _ { \Upsilon } ^ { 3 } } } \; }
\begin{array} { r } { p ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , b , c ) = p ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , c ) p ( b | c ) , \quad t _ { C } < \mathrm { m i n } [ t _ { A _ { 1 } } , t _ { A _ { 2 } } , t _ { B } ] , } \end{array}
\sigma = \frac { h _ { e e } ^ { 2 } h _ { \ell \ell } ^ { 2 } } { 4 \pi } \times \frac { m _ { e } E _ { \nu } } { [ m _ { \Delta ^ { - } } ^ { 2 } - 2 m _ { e } E _ { \nu } ] ^ { 2 } + \Gamma _ { \Delta ^ { - } } ^ { 2 } m _ { \Delta ^ { - } } ^ { 2 } } ,
w _ { a } ( { \pmb x } ) = \frac { 1 } { 8 \pi \mu } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \mathcal { F } _ { \beta \alpha { \pmb \alpha } _ { n } } u _ { \beta } ( { \pmb \xi } ) } { n ! } \nabla _ { { \pmb \alpha } _ { n } } S _ { a \, \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } )
\beta = k _ { P } s \, \phi , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } s = \sqrt { \dot { x } _ { 0 } ^ { 2 } + \dot { y } _ { 0 } ^ { 2 } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \phi = \mathrm { ~ a ~ r ~ c ~ t ~ a ~ n ~ } \left[ - \frac { \dot { y } _ { 0 } } { \dot { x } _ { 0 } } \right] .
s = \langle ( 1 , 1 , 1 ) _ { S } \rangle \quad a = \langle ( 1 , 1 , 1 5 ) _ { A } \rangle \quad b = \langle ( 1 , 3 , 1 ) _ { A } \rangle \quad \sigma = \langle ( 1 , 3 , 1 0 ) _ { \Sigma } \rangle \quad \overline { { \sigma } } = \langle ( 1 , 3 , \overline { { { 1 0 } } } ) _ { \overline { { \Sigma } } } \rangle \quad
\begin{array} { r } { \left| \widehat { \mathcal { H } } _ { 3 } ( f ) - \mathcal { H } _ { 3 } ( f ) \right| \leq 2 \underbrace { \iint _ { [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } \left| D ( f \| \hat { f } ) \right| d x d y } _ { ( 1 ) } + 2 \underbrace { \iint _ { [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } \left| D ( \hat { f } \| f ) \right| d x d y } _ { ( 2 ) } + C _ { m i n } \underbrace { \iint _ { [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } ( \hat { f } - f ) ^ { 2 } d x d y } _ { ( 3 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { i } } & { = f _ { i } \otimes \frac { I _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } { 2 } \qquad \mathrm { ( f o r ~ i ~ = ~ 1 , 2 , 3 ~ ) } } \\ { F _ { 3 i + j } } & { = f _ { i } \otimes g _ { j } \qquad \mathrm { ( f o r ~ i = 1 , 2 , 3 , 4 ~ a n d ~ j = 1 , 2 , 3 ~ ) } } \\ { F _ { 1 6 } } & { = \frac { I _ { 4 } } { 2 } } \end{array}
\partial _ { t } \overline { { G } } _ { \sigma } = \partial _ { z } \left( - v _ { 0 } \sigma \overline { { G } } _ { \sigma } + z \overline { { G } } _ { \sigma } - g \left( 1 - \frac { 1 } { N } \right) \overline { { G } } _ { \sigma , \sigma } ^ { ( 2 ) } ( z ) \right) + \gamma \overline { { G } } _ { - \sigma } - \gamma \overline { { G } } _ { \sigma }
\begin{array} { r l } { \left[ \hat { \rho } _ { n } \right] _ { \mathcal { W } } } & { = \left[ e ^ { - \beta \hat { H } _ { n } } \right] _ { \mathcal { W } } } \\ & { = \prod _ { i = 1 } ^ { N - F } \cfrac { 1 } { 2 \pi } \, \exp \left[ - \operatorname { t a n h } \left( \cfrac { \beta \omega _ { i } } { 2 } \right) \left( \cfrac { 1 } { \mu _ { i } \omega _ { i } } P _ { i } ^ { 2 } + \mu _ { i } \omega _ { i } R _ { i } ^ { 2 } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { q } ( \underline { { x _ { 1 } } } , \underline { { x _ { 2 } } } , \underline { { y } } | \underline { { \theta } } ) \propto \exp \left( \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { 1 } } x _ { q j } + \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { 2 } } y _ { j } \right] \mu _ { q } + \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { 1 } } x _ { ( 3 - q ) j } } { \sigma ^ { 2 } } \mu _ { 3 - q } - \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { 1 } } x _ { q j } ^ { 2 } + \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { 1 } } x _ { ( 3 - q ) j } ^ { 2 } + \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { 2 } } y _ { j } ^ { 2 } \right] \right) . } \end{array}
\mathcal { H } \left( \mathrm { i } ^ { 1 / 2 } K _ { v } \right) = \left[ \frac { 1 + \left( \gamma - 1 \right) \mathcal { F } \left( \left( \mathrm { i } \mathrm { P r } \right) ^ { 1 / 2 } K _ { v } \right) } { 1 - \mathcal { F } \left( \mathrm { i } ^ { 1 / 2 } K _ { v } \right) } \right] ^ { 1 / 2 } ,
\begin{array} { r l } { I ( L , N ) } & { \lesssim \Vert u _ { 0 , n } ^ { L _ { 0 } N _ { 0 } } u _ { 2 , n } ^ { L _ { 2 } N _ { 2 } } \Vert _ { l _ { \tau } ^ { 2 } L ^ { 2 } } \Vert u _ { 1 , n } ^ { L _ { 1 } N _ { 1 } } u _ { 3 , n } ^ { L _ { 3 } N _ { 3 } } \Vert _ { l _ { \tau } ^ { 2 } L ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim ( N _ { 2 } N _ { 3 } ) ^ { \varepsilon _ { 1 } } \Vert u _ { 0 , n } ^ { L _ { 0 } N _ { 0 } } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon _ { 1 } } } \Vert u _ { 1 , n } ^ { L _ { 1 } N _ { 1 } } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon _ { 1 } } } \Vert u _ { 2 , n } ^ { L _ { 2 } N _ { 2 } } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon _ { 1 } } } \Vert u _ { 3 , n } ^ { L _ { 3 } N _ { 3 } } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon _ { 1 } } } } \\ & { \lesssim ( L _ { 0 } L _ { 1 } L _ { 2 } L _ { 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon _ { 1 } - b } \frac { N _ { 0 } ^ { s } } { ( N _ { 1 } N _ { 2 } N _ { 3 } ) ^ { s } } ( N _ { 2 } N _ { 3 } ) ^ { \varepsilon _ { 1 } } \prod _ { j = 0 } ^ { 3 } c _ { j } ( L _ { j } , N _ { j } ) . } \end{array}
\mathrm { P } ( A | B C ) = { \frac { \frac { 4 } { 4 0 } } { { \frac { 4 } { 4 0 } } + { \frac { 1 } { 4 0 } } } } = { \frac { 4 } { 5 } } \neq \mathrm { P } ( A )
\left( \begin{array} { c } { { N } } \\ { { k } } \end{array} \right) { \frac { r _ { 1 } } { 1 + r _ { 1 } } } { \frac { r _ { 2 } } { 1 + r _ { 2 } } } \cdots { \frac { r _ { k } } { 1 + r _ { k } } } { \frac { 1 } { 1 + r _ { k + 1 } } } \cdots { \frac { 1 } { 1 + r _ { N } } } \ .
\gamma _ { P P } = \left( \begin{array} { l l } { { 4 C _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { - { \frac { 1 } { 3 } } ( 4 C _ { 2 } ) } } & { { 8 C _ { 2 } - 2 N } } \end{array} \right) \ .
2 J _ { n } = 2 \biggl [ { \frac { 1 } { 3 } } M _ { 8 } { \tilde { n } } _ { 8 } + M _ { 3 } { \tilde { n } } _ { 3 } + { \frac { 1 } { 3 } } M _ { 1 } { \tilde { n } } _ { 1 } \biggr ] \ .
\begin{array} { r l } { \delta _ { e } ^ { 1 } ( \Theta ( D ) ) ( a , b ) } & { = [ e , a e , a \Theta ( D ) ( b ) , \Theta ( D ) ( a b ) , \Theta ( D ) ( a ) b , e b , e ] } \\ & { = [ e , a e , a D ( b ) , a b , a e , D ( a b ) , a b , e , D ( a ) b , a b , e b , e b , e ] } \\ & { = [ e , D ( a b ) , a D ( b ) , a b , D ( a ) b ] = [ e , D ( a b ) , D ( a b ) ] = e , } \end{array}
\bar { I } _ { C S } \equiv \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \int _ { { \cal M } _ { 4 } } \hat { F } \wedge \hat { F } + \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \int _ { \partial { \cal M } _ { 4 } } ( A - \hat { A } ) \wedge ( F + \hat { F } ) \; .
\lambda _ { 6 } = - \frac 1 4 \left[ ( 2 J _ { 2 } - J _ { 1 } ) ( w _ { 1 } ^ { 2 } + w _ { 2 } ^ { 2 } + w _ { 3 } ^ { 2 } ) - ( e _ { 1 } ^ { 2 } w _ { 1 } ^ { 2 } + e _ { 2 } ^ { 2 } w _ { 2 } ^ { 2 } + e _ { 3 } ^ { 2 } w _ { 3 } ^ { 2 } ) \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( Z _ { 4 a , 2 } ^ { * } ) } & { \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 4 } } \sum _ { i k \ell s t } \big [ \beta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { s } \theta _ { t } + \beta _ { k } \beta _ { t } \theta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { s } \theta _ { t } ^ { 2 } + \beta _ { k } \beta _ { s } \theta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { s } ^ { 2 } \theta _ { t } ^ { 2 } \big ] } \\ & { \lesssim \frac { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } . } \end{array}
G _ { 1 } ( \zeta ) = \frac { ( \zeta - 1 ) ^ { 2 } ( 4 \zeta ^ { 2 } + 7 \zeta + 4 ) } { 3 \zeta ( 2 \zeta ^ { 3 } + 4 \zeta ^ { 2 } + 6 \zeta + 3 ) } .
\int _ { M } s ^ { * } ( \Phi _ { \Gamma } ( E ) ) \wedge { \cal O } _ { 1 } \wedge \dots \wedge { \cal O } _ { k } = \int _ { \mathrm { s u p e r s p a c e } } e ^ { - S _ { \mathrm { q } } } \tilde { { \cal O } } _ { 1 } \dots \tilde { { \cal O } } _ { k } ,
[ \rho _ { - } ( x ) , \phi _ { + } ( y ) ] = - K _ { 0 } ( m | x - y | ) - i \pi \theta ( x - y ) = \ln ( - i \overline { { { m } } } ( x - y + i \epsilon ) ) - \frac { i \pi } { 2 } + O ( ( x - y ) ^ { 2 } ) \,
{ \bf s } \left( { \bf x } \right) = \frac { m } { 2 g } \left[ - \frac { 1 + \cos \theta } { 2 g r \sin \theta } \hat { \varphi } \, \tau _ { 3 } + \left( ( \hat { \varphi } + i m \hat { \theta } ) e ^ { \pm i \varphi } \tau _ { + } + \mathrm { h . c . } \right) \right] \quad , \quad m = \pm 1 .
\begin{array} { r l } & { E \biggl [ e ^ { - \beta t } ( h ( x _ { 1 } ) ( t ) - h ( x _ { 2 } ) ( t ) ) ^ { 2 } \biggr ] + ( \beta - 1 ) E \biggl [ \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \beta s } ( X _ { 1 } ( s ) - X _ { 2 } ( s ) ) ^ { 2 } d s \biggr ] } \\ & { \leq 8 C ^ { 2 } ( 1 + L ) E \biggl [ \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \beta s } | x _ { 1 } ( s ) - x _ { 2 } ( s ) | ^ { 2 } d s \biggr ] . } \end{array}
\delta Z ^ { L ( g ) } = \delta Z ^ { R ( g ) } = - \frac { 2 } { 3 } \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \left[ B ^ { 0 } + B ^ { 1 } - 2 m _ { q } ^ { 2 } ( { \dot { B } } ^ { 0 } - { \dot { B } } ^ { 1 } ) - \frac { r } { 2 } \, \right]
Q = \frac { 1 } { 2 \pi } \left\{ \operatorname * { l i m } _ { r { \rightarrow } { \infty } } \left[ \overline { { { \cal { N } } } } ( r ) - { \sin } \left( \overline { { { \cal { N } } } } ( r ) \, \right) \, \right] + 2 \pi \ell - \overline { { { \cal { N } } } } ( 0 ) + { \sin } \left( \overline { { { \cal { N } } } } ( 0 ) \, \right) \right\} \, .
\frac { \partial T } { \partial t } + \frac { \partial \left[ C _ { n j } u _ { j } \right] T } { \partial \zeta _ { n } } = \frac { 1 } { \sqrt { R a P r } } \frac { \partial } { \partial \zeta _ { n } } \left( G _ { n j } \frac { \partial T } { \partial \zeta _ { j } } \right)
\int \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \left( \frac { 1 } { 4 \sqrt { p ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { 2 \sqrt { p ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } \frac { 1 } { \exp { \sqrt { p ^ { 2 } + m ^ { 2 } } / T } - 1 } \right)