harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( \frac { d y } { d x } \right) ^ { 2 } = 1 - y + c y ^ { 2 } \; \; , \; \; \; \; c = H _ { 0 } ^ { 4 } R _ { 0 } ^ { 4 } \; \Omega _ { 1 } \Omega _ { 2 } \; .
{ \begin{array} { r l } { A ( N ) } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { N } { \frac { a _ { n } } { n ^ { s _ { 0 } } } } n ^ { s _ { 0 } } } \\ & { = B ( N ) N ^ { s _ { 0 } } + \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } B ( n ) \left( n ^ { s _ { 0 } } - ( n + 1 ) ^ { s _ { 0 } } \right) } \\ & { = ( B ( N ) - \ell ) N ^ { s _ { 0 } } + \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } ( B ( n ) - \ell ) \left( n ^ { s _ { 0 } } - ( n + 1 ) ^ { s _ { 0 } } \right) } \\ & { = o ( N ^ { s _ { 0 } } ) + \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } { \mathcal { o } } ( n ^ { s _ { 0 } - 1 } ) } \\ & { = o ( N ^ { s _ { 0 } } ) } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \exp \left\{ \lambda M _ { j } | Y _ { k } ^ { * } | \right\} \right] \leq c _ { 4 } \exp \{ m / 2 \} { \sum _ { b \in \{ c \delta / m , c M _ { 0 } / m \} } } ( b m / 2 ) ^ { - \frac { \lambda M _ { j } } { \sqrt { 2 } } } + ( b m / 2 ) ^ { \frac { \lambda M _ { j } } { \sqrt { 2 } } } = \mathcal { O } ( L ^ { m } ) , } \end{array}
\Gamma ( t \to \tilde { t } _ { 1 } \tilde { B } ) = \left[ \frac { 4 } { 9 } \sin ^ { 2 } \theta _ { \tilde { t } } + \frac { 1 } { 3 6 } \cos ^ { 2 } \theta _ { \tilde { t } } \right] \frac { \alpha } { \cos ^ { 2 } \theta _ { W } } \frac { E _ { \tilde { B } } } { m _ { t } } \sqrt { E _ { \tilde { B } } ^ { 2 } - m _ { \tilde { B } } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } ( \eta ) = } & { { } \frac { R ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { b w } } ^ { 2 } \eta \, \vartheta ( 2 / W _ { \mathrm { S T } } ) } \left( \ln \frac { \eta _ { 0 } } { \eta } \right) ^ { \frac { 2 } { \vartheta ( 2 / W _ { \mathrm { S T } } ) } - 1 } } \end{array}
X _ { d } = 2 i g \sum _ { \alpha \in \Delta } x _ { d } ( \alpha \cdot q , \xi ) E _ { d } ( \alpha ) , \quad Y _ { d } = i g \sum _ { \alpha \in \Delta } y _ { d } ( \alpha \cdot q , \xi ) E _ { d } ( \alpha ) , \quad E _ { d } ( \alpha ) _ { \beta \gamma } = \delta _ { \beta - \gamma , 2 \alpha } .
\delta { \bf u } _ { i } = \left( \frac { ( \omega _ { 0 } + \Omega _ { c e } ) ( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - c ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } ) } { ( \omega _ { p e } ^ { 2 } + \omega _ { p i } ^ { 2 } ) k _ { 0 } } - \frac { \omega _ { 0 } } { k _ { 0 } } \right) \frac { { \delta \bf B } } { B _ { 0 } }
\begin{array} { r } { \tilde { \nabla } _ { M _ { 1 } } \cdots \tilde { \nabla } _ { M _ { r } } \tilde { R } _ { I J K L } ^ { \prime } | _ { \rho ^ { \prime } = 0 , t ^ { \prime } = 1 } = { \cal B } ( x ) ^ { s _ { - } + s _ { + } - 2 } \tilde { \nabla } _ { M _ { 1 } } \cdots \tilde { \nabla } _ { M _ { r } } \tilde { R } _ { I J K L } ^ { \prime } | _ { \rho ^ { \prime } = 0 , t ^ { \prime } = { \cal B } ( x ) } \, . } \end{array}
m _ { 6 } = \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } m _ { 4 } - m _ { 1 } m _ { 5 } - m _ { 2 } a _ { 1 1 } b _ { 1 1 } } { m _ { 1 } m _ { 4 } - a _ { 1 1 } b _ { 1 1 } } .
\begin{array} { r } { U = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \left( \begin{array} { c c } { D _ { + } ^ { 2 } - a _ { - } } & { a _ { c o } } \\ { a _ { c o } } & { D _ { - } ^ { 2 } - a _ { + } } \end{array} \right) \; , } \end{array}
\| \mathbb { E } ( \Psi ( u ) ) - E ^ { L } ( \Psi _ { L } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \le C h _ { L } ^ { ( 2 - \theta ) r } \le C ( \overline { c } _ { \mathcal { K } } ^ { L } h _ { 0 } ) ^ { ( 2 - \theta ) r } \ \le C \ensuremath { \varepsilon } ^ { \frac { \log ( \overline { c } _ { \mathcal { K } } ) } { \log ( \underline { c } _ { \mathcal { K } } ) } } h _ { 0 } ^ { \left( 1 - \frac { \log ( \overline { c } _ { \mathcal { K } } ) } { \log ( \underline { c } _ { \mathcal { K } } ) } \right) ( 2 - \theta ) r } \le C \ensuremath { \varepsilon } .
\begin{array} { r l } { \| v _ { x } - v _ { \hat { x } } \| } & { = \| [ H ( x ) D \Xi ( x ) y - H ( \hat { x } ) D \Xi ( \hat { x } ) \hat { y } \| } \\ & { \leq \| H ( x ) D \Xi ( x ) y - H ( \hat { x } ) D \Xi ( \hat { x } ) { y } \| + \| H ( \hat { x } ) D \Xi ( \hat { x } ) ( y - \hat { y } ) \| } \\ & { \leq \| H ( { x } ) D \Xi ( x ) - H ( { x } ) D \Xi ( \hat { x } ) + H ( { x } ) D \Xi ( \hat { x } ) - H ( \hat { x } ) D \Xi ( \hat { x } ) \| \| { y } \| } \\ & { \quad + \| H ( \hat { x } ) D \Xi ( \hat { x } ) ( y - \hat { y } ) \| } \\ & { \leq ( \| H ( { x } ) \| \| D \Xi ( x ) - D \Xi ( \hat { x } ) \| + \| H ( { x } ) - H ( \hat { x } ) \| \| D \Xi ( \hat { x } ) \| ) \| ( y - \hat { y } ) + \hat { y } \| } \\ & { \quad + \| H ( \hat { x } ) D \Xi ( \hat { x } ) \| \| y - \hat { y } \| } \\ & { \leq ( \tau L \| x - \hat { x } \| ^ { \alpha } + 2 \tau \| D \Xi ( \hat { x } ) \| ) ( \| \hat { y } \| + \| y - \hat { y } \| ) + \tau \| D \Xi ( \hat { x } ) \| \| y - \hat { y } \| } \\ & { \leq ( \tau L \tilde { \rho } ^ { \alpha } + 2 \tau \| D \Xi ( \hat { x } ) \| ) ( \| \hat { y } \| + \tilde { \delta } ) + \tau \| D \Xi ( \hat { x } ) \| \tilde { \delta } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \epsilon = \frac { \phi _ { 0 } } { 2 } \Psi _ { X } ( X _ { \xi } , 0 ) = \frac { \phi _ { 0 } ^ { 2 } \psi _ { X } ( X _ { \xi } , 0 ) } { \mu _ { 0 } \Lambda } , } \end{array}
L ^ { 2 } = - \hbar ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { \sin \theta } \frac { \partial } { \partial \theta } \sin \theta \frac { \partial } { \partial \theta } + \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \phi ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { J } = \frac { 1 } { 4 \ln ( 2 ) } \left( \frac { \beta _ { B } ^ { 2 } \, P _ { s } } { N _ { o } } \right) ^ { - \frac { k _ { A } + m _ { A } } { 2 } } } \\ & { \times \mathrm { G } _ { 2 , 4 } ^ { 4 , 1 } \left( \frac { \Xi ^ { 2 } \, N _ { o } } { \beta _ { B } ^ { 2 } \, P _ { s } } \left| \begin{array} { c } { - \frac { k _ { A } + m _ { A } } { 2 } , 1 - \frac { k _ { A } + m _ { A } } { 2 } } \\ { \frac { k _ { A } - m _ { A } } { 2 } , - \frac { k _ { A } - m _ { A } } { 2 } , - \frac { k _ { A } + m _ { A } } { 2 } , - \frac { k _ { A } + m _ { A } } { 2 } } \end{array} \right. \right) . } \end{array}
\int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } { \sqrt { \left( { \frac { d r } { d t } } \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \left( { \frac { d \theta } { d t } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { d z } { d t } } \right) ^ { 2 } } } d t .
\dot { b } _ { \hat { b } } = \left( U ^ { \hat { c } } \nabla _ { \hat { c } } b \right) _ { \hat { b } } = U ^ { \hat { c } } \partial _ { \hat { c } } b _ { \hat { b } } + \left( a ^ { \hat { c } } b _ { \hat { c } } \right) U _ { \hat { b } } + { \varepsilon } _ { \hat { b } \hat { e } \hat { c } } W ^ { \hat { e } } b ^ { \hat { c } } \; .
W = A ( \mathrm { d e t } \, T _ { ( 0 , \, 2 ) } - M _ { 0 } M _ { 1 } M _ { 2 } + \Lambda _ { 1 } ^ { 4 } M _ { 2 } + \Lambda _ { 2 } ^ { 4 } M _ { 0 } ) + m _ { 2 } M _ { 2 }
\begin{array} { r l r } { S } & { { } = } & { S _ { 0 } + \sum _ { \overline { { x } } , k } a \left\langle \left\langle \Delta \rho _ { k } \right\rangle + \delta \rho _ { k } \right\rangle a _ { 0 } ^ { D } - \sum _ { \overline { { x } } , k } a ^ { \prime } \left\langle \left( \left\langle \Delta \rho _ { k } \right\rangle + \delta \rho _ { k } \right) ^ { 2 } \right\rangle \left( a _ { 0 } ^ { D } \right) ^ { 2 } } \end{array}
{ \cal L } _ { S Q E D } ^ { E } = \chi ^ { * } \biggl [ m ^ { 2 } - \partial ^ { 2 } - 2 i e A \partial - i e \partial A + e ^ { 2 } A ^ { 2 } \biggr ] \chi + \frac { 1 } { 2 } A ( \mu ^ { 2 } - \partial ^ { 2 } ) A .
P _ { 2 , 2 } ( \theta ) = \frac { \theta ^ { 2 } \cdot \theta ^ { 5 - 1 } ( 1 - \theta ) ^ { 2 - 1 } \cdot ( 1 - \theta ) ^ { 1 } } { \int _ { 0 } ^ { 1 } y ^ { 2 } \cdot y ^ { 5 - 1 } ( 1 - y ) ^ { 2 - 1 } \cdot ( 1 - y ) ^ { 1 } \mathrm { ~ d ~ } y } .
\begin{array} { r } { \frac { \tau _ { 1 } ^ { { p _ { \psi } - 1 } } - \tau _ { 0 } ^ { { p _ { \psi } - 1 } } } { ( \tau _ { 1 } \tau _ { 0 } ) ^ { p _ { \psi } - 1 } ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 0 } ) } \int _ { \Omega } \psi \left( ( \nabla y _ { \mathrm { o l d } } ) ^ { - 1 } ( \nabla y _ { \mathrm { v i } , { \tau _ { 0 } } } - \nabla y _ { \mathrm { o l d } } ) \right) \leq \frac { \phi _ { \tau _ { 0 } } ( y _ { \mathrm { o l d } } ) - \phi _ { \tau _ { 1 } } ( y _ { \mathrm { o l d } } ) } { \tau _ { 1 } - \tau _ { 0 } } } \\ { \quad \leq \frac { \tau _ { 1 } ^ { { p _ { \psi } - 1 } } - \tau _ { 0 } ^ { { p _ { \psi } - 1 } } } { ( \tau _ { 1 } \tau _ { 0 } ) ^ { p _ { \psi } - 1 } ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 0 } ) } \int _ { \Omega } \psi \left( ( \nabla y _ { \mathrm { o l d } } ) ^ { - 1 } ( \nabla y _ { \mathrm { v i } , { \tau _ { 1 } } } - \nabla y _ { \mathrm { o l d } } ) \right) . } \end{array}
{ \cal M } _ { \tilde { t } _ { 1 } \tilde { t } _ { 2 } \tilde { c } _ { L } } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c c } { { m _ { \tilde { t } _ { 1 } } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { \Delta _ { L } \cos \theta _ { t } + \Delta _ { R } \sin \theta _ { t } } } \\ { { 0 } } & { { m _ { \tilde { t } _ { 2 } } ^ { 2 } } } & { { - \Delta _ { L } \sin \theta _ { t } + \Delta _ { R } \cos \theta _ { t } } } \\ { { \Delta _ { L } ^ { \ast } \cos \theta _ { t } + \Delta _ { R } ^ { \ast } \sin \theta _ { t } } } & { { - \Delta _ { L } ^ { \ast } \sin \theta _ { t } + \Delta _ { R } ^ { \ast } \cos \theta _ { t } } } & { { m _ { \tilde { c } _ { L } } ^ { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i , k } ^ { i = k } \bar { F } _ { i i } \left[ \langle N | Q _ { i } ^ { 2 } | N \rangle \langle N | \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Q _ { k } ^ { 2 } } | N \rangle \right] } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i } ^ { } \bar { F } _ { i i } \frac { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \langle n _ { i } | Q _ { i } ^ { 2 } | n _ { i } \rangle \langle n _ { i } | { \partial ^ { 2 } } / { \partial Q _ { i } ^ { 2 } } | n _ { i } \rangle \exp \{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \} } { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \exp \{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \} } } \end{array}
{ \boldsymbol { \beta } } ^ { ( s + 1 ) } = { \boldsymbol { \beta } } ^ { ( s ) } + \Delta ; \quad \Delta = - \left( \mathbf { J _ { r } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { J _ { r } } \right) ^ { - 1 } \mathbf { J _ { r } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } .
0 < v _ { T } < v _ { T } ^ { * } = \frac { \operatorname* { l i m } _ { w \rightarrow 1 } ( 1 - r ) \left( w ^ { N _ { I } } - 1 \right) } { \operatorname* { l i m } _ { w \rightarrow 1 } N _ { T } ( w - 1 ) } = \frac { N _ { I } ( 1 - r ) } { N _ { T } }
\operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathcal { F } ( u , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \omega _ { d } \varepsilon ^ { d } } = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathbf { m } _ { \mathcal { F } } ( u , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \omega _ { d } \varepsilon ^ { d } } < + \infty .
a = - \frac { A } { 8 } \left( R _ { 1 } ^ { 2 } + R _ { 2 } ^ { 2 } \right) < 0 , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } b = \frac { A } { 8 } R _ { 1 } ^ { 2 } R _ { 2 } ^ { 2 } > 0 .
\vec { \alpha } = \Sigma _ { j } ^ { I } \vec { \Sigma } ^ { I I } , \; \beta = \Sigma _ { k } ^ { I } \; \; \mathrm { a n d } \; \; \vec { \alpha } = \Sigma _ { j } ^ { I I } \vec { \Sigma } ^ { I } , \; \beta = \Sigma _ { k } ^ { I I } , \; \; \; k \neq j , \; \; j , k = 1 , 2 , 3 .
\log f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } = \frac { 2 } { \ln { 1 0 } } \frac { \Delta G _ { r } } { { \cal R } T } + 2 \log { \left( \frac { a _ { \mathrm { F e O } } } { a _ { \mathrm { F e } } } \right) } .
\begin{array} { r l r l } { { \frac { x } { \log x - 1 } } } & { { } < \pi ( x ) } & { } & { { } { \mathrm { f o r ~ } } x \geq 5 3 9 3 , { \mathrm { ~ a n d } } } \\ { \pi ( x ) } & { { } < { \frac { x } { \log x - 1 . 1 } } } & { } & { { } { \mathrm { f o r ~ } } x \geq 6 0 1 8 4 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in T } \left\Vert \mathcal { X } _ { \varpi _ { n ^ { \prime } } ( t ) } - \mathcal { X } _ { t _ { 0 } } \right\Vert _ { \alpha } ^ { p } \right) ^ { 1 / p } } & { \leq } & { 2 \operatorname* { s u p } _ { t \in T } \left( \mathbb { E } \left\Vert \mathcal { X } _ { \varpi _ { n ^ { \prime } } ( t ) } - \mathcal { X } _ { t _ { 0 } } \right\Vert _ { \alpha } ^ { p } \right) ^ { 1 / p } } \\ & { \leq } & { 2 \operatorname* { s u p } _ { t \in T } \left( \mathbb { E } \left\Vert \mathcal { X } _ { t } - \mathcal { X } _ { t _ { 0 } } \right\Vert _ { \alpha } ^ { p } \right) ^ { 1 / p } . } \end{array}
\partial \, \lbrack A , A \rbrack = \partial \, ( \alpha _ { + } \alpha _ { - } ) \, \sigma _ { 3 } + \partial \, ( \alpha _ { + } \alpha _ { 3 } ) \, \sigma _ { + } + \partial \, ( \alpha _ { - } \alpha _ { 3 } ) \, \sigma _ { - } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } P ^ { ( 2 ) } ( E ) ( t ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { t } \kappa ( t - \tau _ { 1 } , 0 ) \, q ( E ( \tau _ { 1 } ) , E ( t ) ) \mathop { \mathrm { d } \tau _ { 1 } } + \int _ { - \infty } ^ { t } \kappa ( 0 , t - \tau _ { 2 } ) \, q ( E ( t ) , E ( \tau _ { 2 } ) ) \mathop { \mathrm { d } \tau _ { 2 } } } \\ & { \quad + \int _ { - \infty } ^ { t } \int _ { - \infty } ^ { t } ( \partial _ { 1 } + \partial _ { 2 } ) \kappa ( t - \tau _ { 1 } , t - \tau _ { 2 } ) \, q ( E ( \tau _ { 1 } ) , E ( \tau _ { 2 } ) ) \mathop { \mathrm { d } \tau _ { 1 } } \mathop { \mathrm { d } \tau _ { 2 } } } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { t } \int _ { - \infty } ^ { t } ( \partial _ { 1 } + \partial _ { 2 } ) \kappa ( t - \tau _ { 1 } , t - \tau _ { 2 } ) \, q ( E ( \tau _ { 1 } ) , E ( \tau _ { 2 } ) ) \mathop { \mathrm { d } \tau _ { 1 } } \mathop { \mathrm { d } \tau _ { 2 } } } \end{array}
\left\langle \widetilde { \textbf { f } } ^ { e q } \right\rangle = \textbf { P } \widetilde { \textbf { f } } ^ { e q } = \textbf { U } \Rightarrow \textbf { P } \boldsymbol { \alpha } _ { 0 } = I , \textbf { P } \boldsymbol { \alpha } _ { 1 } = 0
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { I o n ; M o t i o n } } } & { { } = g \left( a ^ { \dagger } \sigma _ { \mathrm { + } } + \sigma _ { \mathrm { - } } a \right) , } \\ { H _ { \mathrm { M o t i o n ; R e s e r v o i r 1 } } } & { { } = \sum _ { \mathrm { q } } g _ { \mathrm { q } } \left[ c _ { \mathrm { q } } ^ { \dagger } a e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { q } } ) t } + a ^ { \dagger } c _ { \mathrm { q } } e ^ { i ( \omega - \omega _ { \mathrm { q } } ) t } \right] , } \\ { H _ { \mathrm { I o n ; R e s e r v o i r 2 } } } & { { } = \sum _ { \mathrm { k } } g _ { \mathrm { k } } \left[ \sigma _ { \mathrm { + } } b _ { \mathrm { k } } e ^ { i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } + b _ { \mathrm { k } } ^ { \dagger } \sigma _ { \mathrm { - } } e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { e , i } } & { \le \sum _ { j = 1 } ^ { \hat { K } _ { n } } 2 ^ { - \Lambda _ { n } D ( \bar { \tau } \| q _ { 0 , \Phi } ^ { ( | i - L _ { j } | ) } ) } + 2 ^ { - \Lambda _ { n } D ( 1 - \bar { \tau } \| 1 - q _ { 1 , \Phi } ^ { \prime } ) } } \\ & { \le \sum _ { j = 1 } ^ { \hat { K } _ { n } } 2 ^ { - \Lambda _ { n } D ( \tau \| q _ { 0 , \Phi } ^ { \mathrm { m i n } } ) } + 2 ^ { - \Lambda _ { n } D ( 1 - \tau \| 1 - q _ { 1 , \Phi } ^ { \prime } ) } } \\ & { = \hat { K } _ { n } 2 ^ { - \Lambda _ { n } D ( \tau \| q _ { 0 , \Phi } ^ { \mathrm { m i n } } ) } + 2 ^ { - \Lambda _ { n } D ( 1 - \tau \| 1 - q _ { 1 , \Phi } ^ { \prime } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \phi ^ { \mathrm { o u t } } } { \partial l } } & { = \frac { n \lambda ^ { 2 } \Omega _ { \mathrm { R F } } ( 4 \gamma ^ { 2 } + 1 6 \Delta _ { \mathrm { R F } } ^ { 2 } + \Omega _ { \mathrm { R F } } ^ { 2 } ) \Omega _ { R } ^ { 2 } } { 7 2 \pi \Gamma ( \gamma ^ { 2 } + 4 \Delta _ { \mathrm { R F } } ^ { 2 } + \Omega _ { \mathrm { R F } } ^ { 2 } ) [ 4 ( \gamma ^ { 2 } + \Delta _ { \mathrm { R F } } ^ { 2 } ) + \Omega _ { \mathrm { R F } } ^ { 2 } ] } } \\ & { \approx \frac { n \lambda ^ { 2 } } { 7 2 \pi } \cdot \frac { \Omega _ { R } ^ { 2 } } { \Gamma } \cdot \Omega _ { \mathrm { R F } } \cdot \frac { 1 } { \Delta _ { \mathrm { R F } } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } \quad \mathrm { f o r } \; \; \Omega _ { \mathrm { R F } } ^ { 2 } \ll \gamma ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathcal { P T } } ^ { 2 } = 0 } & { { } \iff \left( d _ { R , x } ^ { \mathcal { P T } } \right) ^ { 2 } + \left( d _ { R , z } ^ { \mathcal { P T } } \right) ^ { 2 } = \left( d _ { I , y } ^ { \mathcal { P T } } \right) ^ { 2 } , } \\ { E _ { \mathrm { ~ p ~ s ~ H ~ } } ^ { 2 } = 0 } & { { } \iff \left( d _ { I , y } ^ { \mathrm { ~ p ~ s ~ H ~ } } \right) ^ { 2 } + \left( d _ { I , z } ^ { \mathrm { ~ p ~ s ~ H ~ } } \right) ^ { 2 } = \left( d _ { R , x } ^ { \mathrm { ~ p ~ s ~ H ~ } } \right) ^ { 2 } , } \\ { E _ { \mathrm { ~ C ~ S ~ } } ^ { 2 } = 0 } & { { } \iff \left( d _ { R , x } ^ { \mathrm { ~ C ~ S ~ } } \right) ^ { 2 } + \left( d _ { R , y } ^ { \mathrm { ~ C ~ S ~ } } \right) ^ { 2 } = \left( d _ { I , z } ^ { \mathrm { ~ C ~ S ~ } } \right) ^ { 2 } , } \\ { E _ { \mathcal { C P } } ^ { 2 } = 0 } & { { } \iff \left( d _ { I , x } ^ { \mathcal { C P } } \right) ^ { 2 } + \left( d _ { I , y } ^ { \mathcal { C P } } \right) ^ { 2 } = \left( d _ { R , z } ^ { \mathcal { C P } } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
{ \langle p \rangle } = 0 . 1 4 \left( 1 + 2 ^ { 2 } \right) \left( { \frac { 1 } { 1 . 2 5 } } \right) \left( 1 - { \frac { 1 } { 1 . 2 5 } } \right) ^ { 2 } 2 . 5 \cdot 7 . 5 ^ { 2 } = 2 . 6 { \mathrm { ~ a t m o s p h e r e s } } .
\begin{array} { r l } { \int _ { x _ { \epsilon } } ^ { \infty } f ( x ) g ( x ) d x } & { \geq \int _ { x _ { \epsilon } } ^ { \infty } \frac { \epsilon } { \tilde { G } ( x ) } g ( x ) d x } \\ & { = \int _ { x _ { \epsilon } } ^ { \infty } \frac { \epsilon } { \tilde { G } ( x ) } d \tilde { G } ( x ) } \\ & { = \int _ { x _ { \epsilon } } ^ { \infty } \epsilon \ d \ln { \tilde { G } ( x ) } } \\ & { = \epsilon \ln { \tilde { G } ( x ) } | _ { \infty } - \epsilon \ln { \tilde { G } ( x _ { \epsilon } ) } = \infty } \end{array}
w _ { 1 } ~ = ~ 2 \, \vec { u } \cdot \vec { u } - 1 \, , \quad w _ { 2 } = 2 \, \vec { u } \cdot \vec { v } \, , \quad \mathrm { w h e r e \ } \ 0 \le w _ { 1 } ^ { 2 } + w _ { 2 } ^ { 2 } \le 1 \, .
\begin{array} { r l r } { \dot { f } ( t ) } & { { } = } & { \kappa ( t ) f ( t ) + \nu ( t ) g ( t ) \ , } \\ { \dot { g } ( t ) } & { { } = } & { - \nu ^ { * } ( t ) f ( t ) + \kappa ^ { * } ( t ) g ( t ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { S u b c a s e ~ 1 : } \quad r _ { 1 } \leq n _ { 1 } < n _ { 2 } \leq r _ { 2 } - 1 } \\ & { \mathrm { S u b c a s e ~ 2 : } \quad r _ { 1 } \leq n _ { 2 } < n _ { 1 } \leq r _ { 2 } - 1 } \\ & { \mathrm { S u b c a s e ~ 3 : } \quad n _ { 2 } < r _ { 1 } \leq n _ { 1 } \leq r _ { 2 } - 1 } \\ & { \mathrm { S u b c a s e ~ 4 : } \quad r _ { 1 } \leq n _ { 2 } \leq r _ { 2 } - 1 < n _ { 1 } } \\ & { \mathrm { S u b c a s e ~ 5 : } \quad r _ { 1 } \leq n _ { 1 } \leq r _ { 2 } - 1 < n _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { \textup { U } } } & { \in W ^ { 1 , 2 } ( 0 , T ^ { * } ; L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) \cap L ^ { \infty } ( 0 , T ^ { * } ; W ^ { 1 , 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T ^ { * } ; W ^ { 2 , 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) , } \\ { \Theta } & { \in W ^ { 1 , 2 } ( 0 , T ^ { * } ; W ^ { 1 , 2 } ( \Omega ) ) \cap L ^ { \infty } ( 0 , T ^ { * } ; W ^ { 2 , 2 } ( \Omega ) ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T ^ { * } ; W ^ { 2 , 3 } ( \Omega ) ) , } \\ { \Pi } & { \in L ^ { 2 } ( 0 , T ; W ^ { 1 , 2 } ( \Omega ) ) } \end{array}
\bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { g ^ { 2 } } { 4 } e ^ { \mp 2 i \theta } ( \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 1 } ) \bigg ) \psi _ { \pm } ^ { ( 1 ) } = 0 , \; \; \psi _ { \pm } ^ { ( 2 ) } = \frac { 2 e ^ { \pm i \theta } } { g ( \sqrt { \lambda _ { 1 } } + \sqrt { \lambda _ { 2 } } ) } \frac { \partial } { \partial r } \psi _ { \pm } ^ { ( 1 ) } .
\begin{array} { r l } { B _ { n } } & { = \frac { \sqrt { 1 - t _ { n } ^ { 2 } } \Tilde { f } ( x _ { n } ) - ( 1 - t _ { n } ) f ( 0 ) + t _ { n } \frac { \lvert x _ { n } \rvert ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { \hat { x } _ { n } } ^ { 2 } f ( 0 ) } { \sqrt { 1 - t _ { n } ^ { 2 } } + \lvert x _ { n } \rvert ^ { 2 } } + O _ { C ^ { 3 } ( B ( 1 ) ) } ( \lvert x _ { n } \rvert ) } \\ & { \to ( 1 - \beta ) \Tilde { f } ( 0 ) + \frac { \beta } { 2 } \partial _ { v } ^ { 2 } f ( 0 ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial \rho _ { j } } { \partial t } = D _ { j } \frac { \partial ^ { 2 } \rho _ { j } } { \partial x ^ { 2 } } , \quad x \in ( a _ { j - 1 } , a _ { j } ) , \ j = 1 , \ldots m , } \\ & { } & { \left. D _ { j } \frac { \partial \rho _ { j } ( x , t ) } { \partial x } \right| _ { x = a _ { j } ^ { - } } = \left. D _ { j + 1 } \frac { \partial \rho _ { j + 1 } ( x , t ) } { \partial x } \right| _ { x = a _ { j } ^ { + } } = \kappa _ { j } [ \rho _ { j + 1 } ( a _ { j } ^ { + } , t ) - \rho _ { j } ( a _ { j } ^ { - } , t ) ] , } \\ & { } & { j = 1 , \ldots m - 1 , } \\ & { } & { \left. D _ { 1 } \frac { \partial \rho _ { 1 } ( x , t ) } { \partial x } \right| _ { x = 0 } = 2 \kappa _ { 0 } \rho _ { 1 } ( 0 , t ) , \quad \left. D _ { m } \frac { \partial \rho _ { m } ( x , t ) } { \partial x } \right| _ { x = L } = - 2 \kappa _ { m } \rho _ { m } ( L , t ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { S _ { p } ( x , y ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { ( \xi , \eta ) \to ( x , y ) } \left( { \frac { \xi ^ { p } - \eta ^ { p } } { p ( \xi - \eta ) } } \right) ^ { 1 / ( p - 1 ) } } \\ & { = { \left\{ \begin{array} { l l } { x } & { { \mathrm { i f ~ } } x = y } \\ { \left( { \frac { x ^ { p } - y ^ { p } } { p ( x - y ) } } \right) ^ { 1 / ( p - 1 ) } } & { { \mathrm { e l s e } } } \end{array} \right. } } \end{array} }
\Delta W _ { m , n } = \frac { N ^ { 2 } } { 2 4 } m _ { 1 } m _ { 2 } m _ { 3 } \left[ E _ { 2 } \left( \frac { \tau + m } { N } \right) - E _ { 2 } \left( \frac { \tau + n } { N } \right) \right] .
\begin{array} { r } { s _ { 1 } = s _ { 0 1 } + \frac { G _ { 1 2 } w _ { 2 } ( s _ { 0 1 } - s _ { 0 2 } ) } { 1 - ( G _ { 1 2 } w _ { 2 } + G _ { 2 1 } w _ { 1 } ) } , } \\ { s _ { 2 } = s _ { 0 2 } - \frac { G _ { 2 1 } w _ { 1 } ( s _ { 0 1 } - s _ { 0 2 } ) } { 1 - ( G _ { 1 2 } w _ { 2 } + G _ { 2 1 } w _ { 1 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( I - P _ { n } ) f \| _ { H ^ { m } } ^ { 2 } } & { \leq C _ { m } \sum _ { | \boldsymbol { k } | > n } ( 1 + | \boldsymbol { k } | ^ { 2 m } ) | f _ { \boldsymbol { k } } | ^ { 2 } \leq \frac { C _ { m } } { n ^ { 2 } } \sum _ { | \boldsymbol { k } | > n } | \boldsymbol { k } | ^ { 2 } ( 1 + | \boldsymbol { k } | ^ { 2 m } ) | f _ { \boldsymbol { k } } | ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { C _ { m } } { n ^ { 2 } } \sum _ { | \boldsymbol { k } | > n } ( 1 + | \boldsymbol { k } | ^ { 2 m + 2 } ) | f _ { \boldsymbol { k } } | ^ { 2 } \leq \frac { C _ { m } } { n ^ { 2 } } \| ( I - P _ { n } ) f \| _ { H ^ { m + 1 } } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { ~ d ~ } \hat { s } _ { 0 } } { \mathrm { ~ d ~ } \hat { t } } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 ( 1 - f _ { 1 } ) \hat { s } _ { 0 } \ln \left( \hat { s } _ { 0 } \right) } \left[ \Delta \hat { p } _ { g } - \textrm { C a } ^ { - 1 } \left( \frac { \pi } { 4 \hat { s } _ { 0 } } + 2 \alpha f _ { 2 } \right) \right] , } \\ { \Delta \hat { p } _ { g } } & { { } = \frac { 1 } { 1 + \mathcal { V } ^ { - 1 } \left( \hat { s } _ { 0 } ( \hat { t } ) ^ { 2 } - \mathcal { S } ^ { 2 } - \hat { t } \right) } \left[ \mathcal { P } + \textrm { C a } ^ { - 1 } \left( \frac { \pi } { 4 \mathcal { S } } + 2 \alpha \right) \right] - \mathcal { P } , } \end{array}
k _ { z } = \sqrt { k ^ { 2 } - k _ { x } ^ { 2 } } \approx n _ { \mathrm { m } } k _ { \mathrm { o } } + \frac { \Omega } { \widetilde { v } _ { \mathrm { m } } } - \frac { 1 } { 2 } | k _ { 2 \mathrm { m } } | \Omega ^ { 2 } - \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { 2 n _ { \mathrm { m } } k _ { \mathrm { o } } } ,