harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
S _ { g } = \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { \ast } } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - { g } } \left[ { R } - 2 { g } ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \phi \partial _ { \nu } \phi - 2 { V } ( \phi ) \right] \, ,
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { F H } } = \, } & { { } - \sum _ { \mu } \sum _ { i j } t _ { i j \mu } a _ { i \mu } ^ { \dagger } a _ { j \mu } + \sum _ { \mu } \sum _ { i } V _ { i \mu } n _ { i \mu } } \\ { \, } & { { } + \sum _ { \mu \nu \delta \sigma } \sum _ { i j k l } U _ { i j k l ; \mu \nu \delta \sigma } a _ { i \mu } ^ { \dagger } a _ { j \nu } ^ { \dagger } a _ { k \delta } a _ { l \sigma } , } \end{array}
\Gamma _ { 3 } ( s ) = \frac { 1 } { s - m ^ { 2 } } \left[ ( s - m ^ { 2 } ) \frac { 1 } { 2 } \log \frac { C } { B } + 3 m ^ { 2 } \log \frac { m ^ { 2 } } { D } - A + 1 6 \pi ^ { 2 } \alpha _ { f } ( s ) ( s - m ^ { 2 } ) + \gamma _ { f } ( s ) \right] \; ,
{ \begin{array} { r l r l } { P _ { 1 1 } } & { = \left( a _ { 1 } u _ { 1 } , \; { \sqrt { ( a _ { 1 } ^ { 2 } - 1 ) ( 1 - u _ { 1 } ^ { 2 } ) } } \right) , } & { P _ { 2 2 } } & { = \left( a _ { 2 } u _ { 2 } , \; { \sqrt { ( a _ { 2 } ^ { 2 } - 1 ) ( 1 - u _ { 2 } ^ { 2 } ) } } \right) , } \\ { P _ { 1 2 } } & { = \left( a _ { 1 } u _ { 2 } , \; { \sqrt { ( a _ { 1 } ^ { 2 } - 1 ) ( 1 - u _ { 2 } ^ { 2 } ) } } \right) , } & { P _ { 2 1 } } & { = \left( a _ { 2 } u _ { 1 } , \; { \sqrt { ( a _ { 2 } ^ { 2 } - 1 ) ( 1 - u _ { 1 } ^ { 2 } ) } } \right) } \end{array} }
g ( r ) = A ( r ) = C _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( \alpha ) _ { n } ( \beta ) _ { n } } { n ! \left( \frac 5 2 \right) _ { n } } \, r ^ { 2 n } + C _ { 2 } ^ { ( 1 ) } r ^ { - 3 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \left( \alpha - \frac 3 2 \right) _ { n } \left( \beta - \frac 3 2 \right) _ { n } } { n ! \left( - \frac 1 2 \right) _ { n } } \, r ^ { 2 n } , \qquad k = + 1 .
\begin{array} { r l } { - i D _ { 1 } \sqrt { F } \sin \sqrt { F } x + i D _ { 2 } \sqrt { F } \cos \sqrt { F } x + m ( - i D _ { 1 } \cos \sqrt { F } x + \tilde { D _ { 2 } } \sin \sqrt { F } x ) } & { = - \eta ( D _ { 1 } \cos \sqrt { F } x + D _ { 2 } \sin \sqrt { F } x ) , } \\ { - D _ { 1 } \sqrt { F } \sin \sqrt { F } x + i \tilde { D _ { 2 } } \sqrt { F } \cos \sqrt { F } x - m D _ { 1 } \cos \sqrt { F } x - m D _ { 2 } \sin \sqrt { F } x } & { = \eta ( - i D _ { 1 } \cos \sqrt { F } x + \tilde { D _ { 2 } } \sin \sqrt { F } x ) . } \end{array}
\nabla ^ { 2 } \mathbf { E } - { \frac { n ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } } \mathbf { E } = { \frac { 1 } { \varepsilon _ { 0 } c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } } \mathbf { P } ^ { \mathrm { N L } } .
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol \gamma } _ { \mathcal { D } } } & { = { \boldsymbol \gamma } _ { \mathcal { D } } - { \boldsymbol \gamma } _ { \mathcal { S } } } \\ & { = n ^ { - 1 / 2 } ( \mathbf { P } _ { \mathcal { S } } - \mathbf { P } _ { \mathcal { D } } ) { \boldsymbol \mu } } \\ & { = n ^ { - 1 / 2 } ( \widehat { \mathbf { u } } _ { j _ { 0 } } \widehat { \mathbf { u } } _ { j _ { 0 } } ^ { \top } - \widehat { \mathbf { u } } _ { j } \widehat { \mathbf { u } } _ { j } ^ { \top } ) { \boldsymbol \mu } } \\ & { = n ^ { - 1 / 2 } ( \overline { { \mathbf { u } } } _ { j _ { 0 } } \overline { { \mathbf { u } } } _ { j _ { 0 } } ^ { \top } - \overline { { \mathbf { u } } } _ { j } \overline { { \mathbf { u } } } _ { j } ^ { \top } ) { \boldsymbol \mu } , } \end{array}
I = - \frac { 1 } { 1 6 \pi G } \int d ^ { 3 } x \sqrt { g } ( R - 4 ( \partial \phi ) ^ { 2 } + 2 \Lambda e ^ { b \phi } ) + \frac { 1 } { 8 \pi G } \int d ^ { 2 } x \sqrt { h } K + \frac { 1 } { 8 \pi G } \int d ^ { 2 } x \sqrt { h } \frac { c _ { 0 } } { l _ { \mathrm { e f f } } } ,
\Delta u \left( \mathbf { x } \right) = b \Leftrightarrow \int _ { \Omega } u ^ { * } \left( \mathbf { x } , { \mathbf \xi } \right) \Delta u \left( \mathbf { x } \right) \ d \Omega _ { \mathbf { x } } = \int _ { \Omega } u ^ { * } ( \mathbf { x } , { \mathbf \xi } ) b \ d \Omega _ { \mathbf { x } } .
\begin{array} { r l r } { ( Y ^ { \pi } \rfloor d \lambda ) \circ j \left( \frac { \partial } { \partial \tau } \right) } & { = } & { d \lambda \left( Y , \frac { \partial w } { \partial t } \right) } \\ { ( Y ^ { \pi } \rfloor d \lambda ) \circ j \left( \frac { \partial } { \partial t } \right) } & { = } & { - d \lambda \left( Y , \frac { \partial w } { \partial \tau } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } _ { i \theta } ( v ) } & { = \mathcal { T } _ { m \theta } ( m - 1 ) } \\ & { = \Lambda _ { m \theta } ( \theta T + t _ { m - 1 } ) - \Lambda _ { m ( \theta + 1 ) } ( ( \theta + 1 ) T + t _ { m - 1 } ) } \\ & { = \Big [ ( \theta + 1 ) \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } ( \alpha _ { \lambda _ { i } } - \alpha _ { \lambda _ { i + 1 } } ) t _ { i } + \alpha _ { \lambda _ { m } } ( \theta T + t _ { m - 1 } ) \Big ] } \\ & { \quad - \bigg \{ ( \theta + 2 ) \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } ( \alpha _ { \lambda _ { i } } - \alpha _ { \lambda _ { i + 1 } } ) t _ { i } } \\ & { \quad + \alpha _ { \lambda _ { m } } \Big [ ( \theta + 1 ) T + t _ { m - 1 } \Big ] \bigg \} } \\ & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } ( \alpha _ { \lambda _ { i } } - \alpha _ { \lambda _ { i + 1 } } ) t _ { i } - \alpha _ { \lambda _ { m } } T } \\ & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } ( \alpha _ { \lambda _ { i } } - \alpha _ { \lambda _ { i + 1 } } ) t _ { i } - \alpha _ { \lambda _ { m } } T + \alpha _ { \lambda _ { 1 } } t _ { 0 } } \\ & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { m } \alpha _ { \lambda _ { i } } ( t _ { i } - t _ { i - 1 } ) . } \end{array}
\mathbf { A } ^ { \dagger } = \mathbf { A } ^ { \mathsf { T } } = \mathbf { A } = \left( \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \right) ^ { - 1 }
\begin{array} { r } { | \psi _ { o u t } \rangle = [ ( ( - 1 ) ^ { f ( 0 ) } + ( - 1 ) ^ { f ( 1 ) } ) | 0 \rangle + ( ( - 1 ) ^ { f ( 0 ) } - ( - 1 ) ^ { f ( 1 ) } ) | 1 \rangle ] * ( 1 / \sqrt { 2 } ) ( | 0 \rangle - | 1 \rangle ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widetilde { f } _ { j - 1 } ^ { + } ( x _ { 0 } , s ) \equiv D _ { j } \partial _ { x } \widetilde { p } _ { j } ( a _ { j - 1 } , s | x _ { 0 } ) } \\ & { = D _ { j } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \ell \Psi _ { j - 1 } ^ { + } ( \ell ) \int _ { 0 } ^ { \infty } d \ell ^ { \prime } \Psi _ { j } ^ { - } ( \ell ^ { \prime } ) \left[ \partial _ { \ell } \widetilde { P } _ { j } ( a _ { j - 1 } , \ell , \ell ^ { \prime } , s | x _ { 0 } ) + \widetilde { P } _ { j } ( a _ { j - 1 } , 0 , \ell ^ { \prime } , s | x _ { 0 } ) \right] } \\ & { = D _ { j } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \ell \psi _ { j - 1 } ^ { + } ( \ell ) \int _ { 0 } ^ { \infty } d \ell ^ { \prime } \Psi _ { j } ^ { - } ( \ell ^ { \prime } ) \widetilde { P } _ { j } ( a _ { j - 1 } , \ell , \ell ^ { \prime } , s | x _ { 0 } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r } { \alpha = { \frac { \left| P _ { 2 } - P _ { 3 } \right| ^ { 2 } \left( P _ { 1 } - P _ { 2 } \right) \cdot \left( P _ { 1 } - P _ { 3 } \right) } { 2 \left| \left( P _ { 1 } - P _ { 2 } \right) \times \left( P _ { 2 } - P _ { 3 } \right) \right| ^ { 2 } } } } \\ { \beta = { \frac { \left| P _ { 1 } - P _ { 3 } \right| ^ { 2 } \left( P _ { 2 } - P _ { 1 } \right) \cdot \left( P _ { 2 } - P _ { 3 } \right) } { 2 \left| \left( P _ { 1 } - P _ { 2 } \right) \times \left( P _ { 2 } - P _ { 3 } \right) \right| ^ { 2 } } } } \\ { \gamma = { \frac { \left| P _ { 1 } - P _ { 2 } \right| ^ { 2 } \left( P _ { 3 } - P _ { 1 } \right) \cdot \left( P _ { 3 } - P _ { 2 } \right) } { 2 \left| \left( P _ { 1 } - P _ { 2 } \right) \times \left( P _ { 2 } - P _ { 3 } \right) \right| ^ { 2 } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { X _ { 0 } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } = x ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , \quad } & { { } X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } = X _ { t _ { k - 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } + \delta u ( X _ { t _ { k - 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k - 1 } ) + \sqrt { 2 \nu } ( B _ { t _ { k } } ^ { 1 } - B _ { t _ { k - 1 } } ^ { 1 } ) , } \\ { Y _ { 0 } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } = x ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , \quad } & { { } Y _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } = Y _ { t _ { k - 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } + \delta u ( Y _ { t _ { k - 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k - 1 } ) + \sqrt { 2 \kappa } ( B _ { t _ { k } } ^ { 2 } - B _ { t _ { k - 1 } } ^ { 2 } ) , } \end{array}
- e ^ { i k x _ { 0 } } + s \hat { \tilde { p } } _ { r } ( k , s | x _ { 0 } ) = - ( r + D | k | ^ { \alpha } ) \hat { \tilde { p } } _ { r } ( k , s | x _ { 0 } ) + r \hat { \tilde { p } } _ { r } ( k c , s | x _ { 0 } ) ,
p ( \mathbf { x } ; A ) = \prod _ { n = 0 } ^ { N - 1 } p ( x [ n ] ; A ) = { \frac { 1 } { \left( \sigma { \sqrt { 2 \pi } } \right) ^ { N } } } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } ( x [ n ] - A ) ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ F ( w ^ { ( t + 1 ) } ) - F ( w ^ { ( t ) } ) ] } & { \leq - \eta | | \nabla F ( w ^ { ( t ) } ) | | _ { 1 } + \frac { L \eta ^ { 2 } d } { 2 } } \\ & { + 2 \eta \sum _ { i = 1 } ^ { d } | \nabla F ( w ^ { ( t ) } ) _ { i } | P \big ( s i g n ( \hat { g } ^ { ( t ) } ) _ { j } \neq s i g n ( \nabla F ( w ^ { ( t ) } ) _ { j } ) \big ) . } \end{array}
\ell ( \tilde { \vec { u } } ^ { ( 1 ) } , \tilde { \vec { u } } ^ { ( 2 ) } , \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } , \mathbf { u } ^ { ( 2 ) } ) = w ^ { ( 1 ) } \ell ^ { ( 1 ) } ( \tilde { \vec { u } } ^ { ( 1 ) } , \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } ) + w ^ { ( 2 ) } \ell ^ { ( 2 ) } ( \tilde { \vec { u } } ^ { ( 2 ) } , \mathbf { u } ^ { ( 2 ) } ) ,
\begin{array} { r l r } { \alpha } & { \approx } & { \frac { 1 } { 6 \hbar } \sum _ { n ^ { \prime } } { | \langle n ^ { \prime } P _ { 1 / 2 } \, | | \, d \, | | \, n S _ { 1 / 2 } \rangle | ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { \Delta _ { 1 } ( n ^ { \prime } ) } + \frac { 2 } { \Delta _ { 2 } ( n ^ { \prime } ) } \right] , } \\ { \beta } & { \approx } & { \frac { 1 } { 6 \hbar } \sum _ { n ^ { \prime } } { | \langle n ^ { \prime } P _ { 1 / 2 } \, | | \, d \, | | \, n S _ { 1 / 2 } \rangle | ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { \Delta _ { 1 } ( n ^ { \prime } ) } - \frac { 1 } { \Delta _ { 2 } ( n ^ { \prime } ) } \right] , } \end{array}
\alpha _ { s } ( \mu ) = \frac { 4 \pi } { \beta _ { 0 } \ln ( \mu ^ { 2 } / \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } ^ { 2 } ) } \left[ 1 - \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \ln \ln ( \mu ^ { 2 } / \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } ^ { 2 } ) } { \ln ( \mu ^ { 2 } / \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } ^ { 2 } ) } \right] ,
u ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { A ^ { \prime } \sin \left( \sqrt { k _ { 0 } ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } } \ r \right) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } r < R , } \\ { B ^ { \prime } e ^ { - \kappa r } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } r > R , } \end{array} \right.
\theta ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { \psi } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad \theta ^ { T } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \psi ^ { T } } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\varphi ( \mathbf r , t ) = \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } \left[ \mathbf p ( t _ { 0 } ) + \frac { r } { c } \dot { \mathbf p } ( t _ { 0 } ) \right] \cdot \frac { \hat { \mathbf r } } { r ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { H _ { 0 , \mathrm { d s } } = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { N } \varepsilon _ { j n } c _ { j n } ^ { \dagger } c _ { j n } + \sum _ { n , m } \left( t _ { j } c _ { j n } ^ { \dagger } c _ { j m } + \mathrm { ~ h . c . ~ } \right) \right] + \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left( t _ { n } ^ { I C } c _ { 1 n } ^ { \dagger } c _ { 2 n } + \mathrm { ~ h . c . ~ } \right) . } \end{array}
H _ { \rho = - 1 , m , N _ { s } = 1 , M _ { \sigma } = 1 } ^ { \rho = 1 , n , N _ { s } = 0 , M _ { \sigma } = 0 } = \pm g \int v _ { m } ^ { * } u _ { n } { \tilde { \psi } } _ { s } \delta \phi _ { \sigma } ^ { * } d \tau ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ ( \sigma _ { i } ^ { j } - \sigma _ { i } ^ { j + } ) ^ { 2 } ] } & { = \sum _ { n } ( \widehat { \phi } _ { i } ^ { j } ( n ) - \widehat { \phi } _ { i } ^ { j + } ( n ) ) ^ { 2 } } \\ & { \ge \sum _ { n \in B } ( \widehat { \phi } _ { i } ^ { j } ( n ) - \widehat { \phi } _ { i } ^ { j + } ( n ) ) ^ { 2 } . } \end{array}
I _ { \mathrm { S T } } = \frac { \pi } { 4 } \left[ \left( \frac { d _ { \mathrm { o } } } { 2 } + s _ { \mathrm { o } } \right) ^ { 4 } - \left( \frac { d _ { \mathrm { o } } } { 2 } \right) ^ { 4 } \right] .
\begin{array} { r l r } { E ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ; b _ { 1 } , b _ { 2 } ) } & { { } \! = \! } & { { \frac { 1 } { ( a _ { 1 } + b _ { 1 } ) ( a _ { 2 } + b _ { 2 } ) } } \int _ { - a _ { 1 } } ^ { b _ { 1 } } d x _ { 1 } \, \int _ { - a _ { 2 } } ^ { b _ { 2 } } d x _ { 2 } \, f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } \end{array}
{ M } _ { i } ^ { C } = \frac { 1 } { 2 } ( \mathbb { I } + \vec { m } _ { i } \cdot \sigma ) ~ ~ ~ ~ \mathrm { w i t h } ~ ~ \vec { m } _ { i } \in \{ \frac { 1 } { 2 \sqrt { 3 } } ( \pm 1 , \pm 1 , \pm 1 ) , \frac { 1 } { 2 \sqrt { 3 } } ( \pm 2 , 0 , 0 ) , \frac { 1 } { 2 \sqrt { 3 } } ( 0 , \pm 2 , 0 ) , \frac { 1 } { 2 \sqrt { 3 } } ( 0 , 0 , \pm 2 ) \}
\begin{array} { r l } { \sum _ { r = k + 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 r } \mathbb E \bigl [ \operatorname { t a n h } ^ { 2 r } ( \beta \tilde { J } ) ; | \tilde { J } | \leq K \bigr ] \cdot \mathbb E \langle \sigma _ { i _ { t } } \sigma _ { j _ { t } } \rangle _ { t } ^ { 2 r } } & { \leq \mathbb E \bigl [ \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( \beta \tilde { J } ) ; | \tilde { J } | \leq K \bigr ] \sum _ { r = k } ^ { \infty } \operatorname { t a n h } ^ { 2 r } ( \beta K ) } \\ & { = \mathbb E \bigl [ \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( \beta \tilde { J } ) ; | \tilde { J } | \leq K \bigr ] \frac { \operatorname { t a n h } ^ { 2 k } ( \beta K ) } { 1 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( \beta K ) } . } \end{array}
i \Delta ^ { \left( + \right) } ( \xi ) = \frac { 1 } { 4 \pi } \epsilon ( \xi _ { 0 } ) \delta ( \xi ^ { 2 } ) + \frac { m } { \sqrt { - \xi ^ { 2 } } } \frac { i } { 8 \pi } \left( J _ { 1 } ( m \sqrt { \xi ^ { 2 } } ) \epsilon ( \xi _ { 0 } ) + i N _ { 1 } ( m \sqrt { \xi ^ { 2 } } ) \right) , \, \, \xi ^ { 2 } \geq 0
\left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { l l } { - \sum _ { i = 1 } ^ { d } \alpha _ { i } \frac { \partial u } { \partial x _ { i } ^ { 2 } } ( \mathbf { x } ) + \beta _ { i } \frac { \partial u } { \partial x _ { i } } ( \mathbf { x } ) = s ( \mathbf { x } ) , } & { \mathbf { x } \in \Omega \subset \mathbb { R } ^ { d } , } \\ { u ( \mathbf { x } ) = g ( \mathbf { x } ) , } & { \mathbf { x } \in \partial \Omega , } \end{array} } \end{array} \right.
\Sigma _ { - } \ : \ \tilde { x } ^ { 3 } - \frac { 3 } { 4 } \tilde { u } _ { 0 } ^ { 4 } \tilde { x } - \frac { 1 } { 4 } ( \tilde { u } _ { 0 } ^ { 6 } + \tilde { u } _ { 1 } ) + \frac { 1 } { 4 } ( \zeta + \frac { 1 } { \zeta } ) + { \cal O } ( \tilde { \epsilon } ) = 0 \ ,
B = \frac { 1 } { 2 e ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } h ^ { 2 } ( t ) d t = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } h ^ { 2 } ( t ) d t } { 2 \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } h ( t ) d t \right) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { E : = \frac { \biggr ( \lambda _ { n } ( | \Delta \mu _ { n } | ^ { 2 } + | \Delta v _ { n } | ) + \lambda _ { n } ^ { * } | ( \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } + | \Delta v _ { n } ^ { * } | ) \biggr ) \biggr ( | \mu _ { n } - \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } + | v _ { n } - v _ { n } ^ { * } | \biggr ) } { \overline { { \mathcal { Q } } } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } \to 1 . } \end{array}
Z _ { \mathrm { i n t } } = \left\{ \begin{array} { l l } { R _ { \mathrm { r } } + \frac { R _ { \mathrm { O N } } } { 1 + j \omega R _ { \mathrm { O N } } C _ { \mathrm { O N } } } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ O ~ N ~ s ~ t ~ a ~ t ~ e ~ , ~ } } \\ { R _ { \mathrm { r } } + \frac { 1 } { j \omega C _ { \mathrm { O F F } } } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ O ~ F ~ F ~ s ~ t ~ a ~ t ~ e ~ , ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \sigma _ { L } ^ { 2 } ( \tau ) = \frac { ( 2 - \beta ) ^ { - \frac { 4 } { \beta - 2 } } \left( 3 \ 4 ^ { \frac { 1 } { \beta - 2 } } \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 - \beta } \right) \Gamma \left( - \frac { 3 } { \beta - 2 } \right) - 4 ^ { \frac { \beta - 1 } { \beta - 2 } } \Gamma \left( - \frac { 2 } { \beta - 2 } \right) ^ { 2 } \right) } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 - \beta } \right) ^ { 2 } } ( D \tau ) ^ { \frac { 1 } { 1 - \beta / 2 } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d u _ { i } - \normalfont { \mathrm { d i v } } ( a _ { i } \cdot \nabla u _ { i } ) \, d t } & { = \Big [ \normalfont { \mathrm { d i v } } ( F _ { i } ( \cdot , u ) ) + f _ { i } ( \cdot , u ) \Big ] \, d t + \sum _ { n \geq 1 } \Big [ ( b _ { n , i } \cdot \nabla ) u _ { i } + g _ { n , i } ( \cdot , u ) \Big ] \, d w _ { t } ^ { n } , } \\ { u _ { i } ( s ) } & { = u _ { s , i } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { L L } : = \textbf { w } _ { \mathrm { r e c } } ^ { \top } \log \mathrm { B e r n o u l } ( \textbf { X } _ { \mathrm { r e c } } ; \textbf { w } _ { \mathrm { B e r } } ) } \\ { \mathrm { L L } : = \textbf { w } _ { \mathrm { r e c } } ^ { \top } \log \mathrm { C a t e g o r } ( \textbf { X } _ { \mathrm { r e c } } ; \textbf { w } _ { \mathrm { C a t } } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { u \in U } a _ { w u ^ { - 1 } } = \sum _ { u \in U } a _ { e _ { 1 } ^ { k } g _ { 1 } e _ { 1 } ^ { - k } d u ^ { - 1 } } = | U | \cdot a _ { e _ { 1 } ^ { k } g _ { 1 } e _ { 1 } ^ { - k } d } + a _ { e _ { 1 } ^ { k } g _ { 1 } e _ { 1 } ^ { - k } \prod _ { u \in U } u ^ { - 1 } } = a _ { e _ { 1 } ^ { k } g _ { 1 } e _ { 1 } ^ { - k } } = \alpha ( 1 ) = 0 . } \end{array}
\frac { \partial \mathcal { F } _ { 2 } } { \partial C } = \left[ \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n \frac { \partial \hat { A } _ { n } } { \partial C } ( - 1 ) ^ { n - 1 } \right] - \frac { \partial A _ { 1 } } { \partial C } ,
\begin{array} { r l r } { \dot { N } _ { a } } & { = } & { - \gamma _ { \mathrm { o } } N _ { a } - i g _ { \mathrm { o m } } ( \langle a _ { a s } ^ { \dagger } b _ { a c } \rangle - \langle a _ { a s } ^ { \dagger } b _ { a c } \rangle ^ { * } ) , } \\ { \dot { N } _ { b } } & { = } & { - \Gamma _ { \mathrm { m } } N _ { b } + i g _ { \mathrm { o m } } ( \langle a _ { a s } ^ { \dagger } b _ { a c } \rangle - \langle a _ { a s } ^ { \dagger } b _ { a c } \rangle ^ { * } ) + \Gamma _ { \mathrm { m } } n _ { \mathrm { t h } } , } \\ { \dot { \langle a _ { a s } ^ { \dagger } b _ { a c } \rangle } } & { = } & { - \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } + \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } \langle a _ { a s } ^ { \dagger } b _ { a c } \rangle - i g _ { \mathrm { o m } } N _ { a } + i g _ { \mathrm { o m } } N _ { b } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { \alpha } = } & { \tau ^ { \! - 1 } \left( \frac { 1 } { p \! + q } \cdot \tau ( \eta + \mu ) \right) \! - \tau ^ { \! - 1 } \left( \frac { 1 } { p \! + q } \cdot \tau ( \mu ) \right) } \\ { \leq } & { \tau ^ { \! - 1 } \left( \frac { 1 } { p \! + q } \cdot \tau ( \eta ^ { \prime } \! + \mu ^ { \prime } ) \right) \! - \tau ^ { \! - 1 } \left( \frac { 1 } { p \! + q } \cdot \tau ( \mu ^ { \prime } ) \right) } \\ { = } & { \eta _ { \beta } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { r \partial _ { r } \Psi _ { n } ^ { m } } & { } & { = \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n + m ) ! } } a ^ { m / 2 } \mathrm { e } ^ { - a / 2 } \mathrm { e } ^ { i m \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } } \\ & { } & { \cdot \left[ 2 ( n + m ) L _ { n } ^ { m - 1 } - m L _ { n } ^ { m } - a L _ { n } ^ { m } \right] , } \end{array}
\sigma _ { 1 2 } = { \sqrt 3 } { s _ { 3 } } / 2 ; \quad { \hat { q } } _ { 1 2 } = { \sqrt 3 } { { \hat { \xi } } _ { 3 } } / 2 ; \quad { \hat { \eta } } _ { 3 } = - { \hat { p } } _ { 3 } , \quad e t c
\begin{array} { r } { \frac { 1 } [ \mathbb { V } ^ { i } ] \nabla _ { x ^ { i } } \int _ { \delta _ { k } \mathbb { S } _ { - i } } \int _ { \delta _ { k } \mathbb { B } _ { i } } J ^ { i } ( \Bar { X } _ { k + 1 / 2 } ^ { i } + \Tilde { \tau } ^ { i } ; \Bar { X } _ { k + 1 / 2 } ^ { - i } + \tau ^ { - i } ) d \Tilde { \tau } ^ { i } d \tau ^ { - i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \Big \langle [ L _ { b } , t _ { b , * } ] ( \check { g } _ { 1 } ^ { \prime \prime } , \check { A } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) + \frac { 1 } { 2 } [ [ L _ { b } , t _ { b , * } ] , t _ { b , * } ] ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime \prime } , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) , ( \dot { g } ^ { * } , \dot { A } ^ { * } ) \Big \rangle + \Big \langle [ L _ { b } , t _ { b , * } ] ( \dot { g } _ { 2 } ^ { \prime \prime } , \dot { A } _ { 2 } ^ { \prime \prime } ) , ( \dot { g } ^ { * } , \dot { A } ^ { * } ) \Big \rangle } \\ & { \quad \quad = \langle \int _ { \mathbb { R } } t _ { b , * } f ( t _ { b , * } ) \, d t _ { b , * } , \ ( \dot { g } ^ { * } , \dot { A } ^ { * } ) \rangle \quad \mathrm { f o r ~ a l l } \quad ( \dot { g } ^ { * } , \dot { A } ^ { * } ) \in \mathcal { K } _ { b } ^ { * } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G _ { Q } ( z - z _ { 0 } , Q ) } & { = } & { - \overline { { Q L ( \zeta , \rho ) } } - 2 Q L - Q \ln | \zeta | ^ { 2 } M ( \zeta , \rho ) - Q \ln ( \rho ^ { 2 } ) \rho \frac { \partial L } { \partial \rho } , } \\ { G _ { D } ( z - z _ { 0 } , D ) } & { = } & { - D L ( \zeta , \rho ) , } \\ { G _ { O } ( z - z _ { 0 } , O ) } & { = } & { O N ( \zeta , \rho ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \{ K _ { i } , K _ { j } \} _ { D } = 0 , \qquad \{ \Omega _ { i } , \Omega _ { j } \} _ { D } = - \frac { I _ { k } } { I _ { i } I _ { j } } \epsilon _ { i j k } \Omega _ { k } , \qquad \{ \Omega _ { i } , K _ { k } \} _ { D } = - \frac { 1 } { I _ { i } } \epsilon _ { i k m } K _ { m } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { w } ( n ) } & { = 2 \sum _ { \vert m \vert \ge 2 } ( 2 c ) ^ { \vert m - n \vert + \chi } ( w + \frac { 4 } { \kappa \xi } j ) ( k _ { m } , \tilde { s } _ { 0 } ) } \\ & { + ( 2 c ) ^ { \vert \vert m \vert - 2 \vert } c ( 2 c _ { 1 } ^ { \ast } + \frac 1 { c ^ { 2 } } c _ { 2 } ^ { \ast } ) } \\ & { + ( 2 c ) ^ { \vert m \vert - 1 } ( u _ { 3 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) + \frac 2 { \kappa \xi \eta } ( j ( k _ { \pm 1 } , \tilde { s } _ { 0 } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathcal E _ { p } ^ { \textup { \bf f } } ( { \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } } \otimes { \mathbf { g } _ { \lambda } ^ { \circ } } , s ) \, \, = \left( 1 - \frac { p ^ { s - 1 } } { \alpha _ { \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } } \alpha _ { \mathbf { g } _ { \lambda } ^ { \circ } } } \right) \left( 1 - \frac { p ^ { s - 1 } } { \alpha _ { \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } } \beta _ { \mathbf { g } _ { \lambda } ^ { \circ } } } \right) \left( 1 - \frac { \beta _ { \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } } \alpha _ { \mathbf { g } _ { \lambda } ^ { \circ } } } { p ^ { s } } \right) \left( 1 - \frac { \beta _ { \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } } \beta _ { \mathbf { g } _ { \lambda } ^ { \circ } } } { p ^ { s } } \right) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \mathrm { w } ( \kappa ) > \mathrm { w } ( \lambda ) \, , } \\ { \mathcal E _ { p } ^ { \mathbf { g } } ( { \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } } \otimes { \mathbf { g } _ { \lambda } ^ { \circ } } , s ) = \left( 1 - \frac { p ^ { s - 1 } } { \alpha _ { \mathbf { g } _ { \lambda } ^ { \circ } } \alpha _ { \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } } } \right) \left( 1 - \frac { p ^ { s - 1 } } { \alpha _ { \mathbf { g } _ { \lambda } ^ { \circ } } \beta _ { \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } } } \right) \left( 1 - \frac { \beta _ { \mathbf { g } _ { \lambda } ^ { \circ } } \alpha _ { \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } } } { p ^ { s } } \right) \left( 1 - \frac { \beta _ { \mathbf { g } _ { \lambda } ^ { \circ } } \beta _ { \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } } } { p ^ { s } } \right) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \mathrm { w } ( \lambda ) > \mathrm { w } ( \kappa ) \, . } \end{array} } \end{array}