harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\nu _ { 1 1 } ^ { * } = \mu _ { m a x , H } \frac { S _ { D O C } ^ { * } } { K _ { H , D O C } + S _ { D O C } ^ { * } } \frac { S _ { N O _ { 3 } } ^ { * } } { K _ { H , N O _ { 3 } } + S _ { N O _ { 3 } } ^ { * } } \frac { S _ { N H _ { 3 } } ^ { * } } { K _ { H , N H _ { 3 } } + S _ { N H _ { 3 } } ^ { * } } \frac { K _ { H , O _ { 2 } } } { K _ { H , O _ { 2 } } + S _ { O _ { 2 } } ^ { * } } \frac { K _ { M ^ { * } } ^ { i n } } { K _ { M } ^ { i n } + M ^ { * } } \psi _ { d _ { H } } ^ { * }
\begin{array} { r } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \alpha _ { k } \mathbb { E } \| \nabla \mathrm { e n v } _ { \psi } ^ { \eta } ( x ^ { k } ) \| ^ { 2 } \leq \frac { 2 ( \mathrm { e n v } _ { \psi } ^ { \eta } ( x ^ { 0 } ) - \operatorname* { i n f } \psi ) } { 1 - \eta ( \rho - \lambda ) } + \frac { \beta \theta } { \eta ( 1 - \eta ( \rho - \lambda ) ) } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \alpha _ { k } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k + 3 - 2 i , 2 k - 5 + 4 i } ^ { A , i - 1 } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k + 3 - 2 i , 2 k - 6 + 4 i } ^ { A , i - 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k + 3 - 2 i , 2 k - 6 + 4 i } ^ { B , i - 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k + 3 - 2 i , 2 k - 7 + 4 i } ^ { A , i - 1 } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k + 2 - 2 i , 2 k - 4 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
\langle \chi _ { T } ( k ) | \chi _ { T } ( k ^ { \prime } ) \rangle = \operatorname * { l i m } _ { n \to \infty } n ^ { 2 k ^ { 2 } } \langle e ^ { i k ^ { \prime } . X ( n \frac { \pi } { 4 } ) } e ^ { i k . X ( 0 ) } \rangle _ { C _ { n } }
\begin{array} { r l r l } { \frac { d \pi _ { \mu } } { d \tau } } & { { } = \frac { q F _ { \mu \nu } \pi ^ { \nu } } { m } } & { \frac { d x _ { \mu } } { d \tau } } & { { } = \frac { \pi _ { \mu } } { m } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { p _ { h } ( \cdot ) , \Omega } ( \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) } & { \lesssim \operatorname* { m a x } \{ 1 , h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 \alpha + d ( 1 - s ) } \} \big ( 1 + \| \nabla F ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } + \| ( \delta ^ { p ( \cdot ) - 1 } + \vert z \vert ) ^ { p ^ { \prime } ( \cdot ) - 2 } \vert f \vert ^ { 2 } \| _ { 1 , \{ p > 2 \} } } \\ & { \quad + \sigma ( f ; s ) ^ { s } + \rho _ { p ^ { \prime } ( \cdot ) s , \Omega } ( f ) + \rho _ { p ( \cdot ) s , \Omega } ( \nabla u ) \big ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( \cos \beta + \tan \beta \sin \beta ) n ! b _ { n } ( \delta ) = } \\ & { } & { \sum _ { p = 0 } ^ { n - 2 } \frac { \partial ^ { n - p } g _ { \delta } } { \partial x ^ { n - p } } ( x _ { 0 } , 0 ) \sum _ { I } c _ { I } ( \cos \beta ) ^ { n - p - | I | } ( \sin \beta ) ^ { | I | } b _ { 2 } ( \delta ) ^ { i _ { 1 } } b _ { 3 } ( \delta ) ^ { i _ { 2 } } \cdots b _ { p + 1 } ( \delta ) ^ { i _ { p } } } \\ & { } & { 2 ! ^ { i _ { 1 } } 3 ! ^ { i _ { 2 } } \cdots ( p + 1 ) ! ^ { i _ { p } } } \\ & { \Rightarrow } & { n ! b _ { n } ( \delta ) = \sum _ { p = 0 } ^ { n - 2 } \frac { \partial ^ { n - p } g _ { \delta } } { \partial x ^ { n - p } } ( x _ { 0 } , 0 ) \sum _ { I } c _ { I } ( \cos \beta ) ^ { n + 1 - p - | I | } ( \sin \beta ) ^ { | I | } b _ { 2 } ( \delta ) ^ { i _ { 1 } } b _ { 3 } ( \delta ) ^ { i _ { 2 } } \cdots b _ { p + 1 } ( \delta ) ^ { i _ { p } } } \\ & { } & { 2 ! ^ { i _ { 1 } } 3 ! ^ { i _ { 2 } } \cdots ( p + 1 ) ! ^ { i _ { p } } , } \end{array}
\hat { B } _ { K } \equiv B _ { K } ( \mu ) \left[ \alpha _ { s } ^ { ( 3 ) } ( \mu ) \right] ^ { - 2 / 9 } \left[ 1 + \frac { \alpha _ { s } ^ { ( 3 ) } ( \mu ) } { 4 \pi } J _ { 3 } \right]
\begin{array} { r l r } & { \displaystyle \dot { b } _ { 1 } = - \frac { 2 i b _ { 1 } ^ { * } b _ { 2 } } { \sqrt { \chi } } + \xi ( t ) , \quad \displaystyle \dot { b } _ { 2 } = - \frac { i b _ { 1 } ^ { 2 } } { { \sqrt { \chi } } } - b _ { 2 } , } & \\ & { \displaystyle \dot { b } _ { 1 } = - \frac { 2 i b _ { 1 } ^ { * } b _ { 2 } } { \sqrt { \chi } } - b _ { 1 } , \quad \displaystyle \dot { b } _ { 2 } = - \frac { i b _ { 1 } ^ { 2 } } { { \sqrt { \chi } } } + \xi ( t ) , } & \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { n - 1 } ( R ) } & { { } = { \frac { 2 \, \pi ^ { \frac { n } { 2 } } } { \Gamma \left( { \frac { n } { 2 } } \right) } } R ^ { n - 1 } } \\ { V _ { n } ( R ) } & { { } = { \frac { \pi ^ { \frac { n } { 2 } } } { \Gamma \left( { \frac { n } { 2 } } + 1 \right) } } R ^ { n } } \end{array}
\tilde { b } _ { k l } ^ { - 1 } ~ = ~ \tilde { b } _ { k m } ^ { - 1 } \, - \, \tilde { a } _ { l m } ^ { - 1 } ~ = ~ \tilde { b } _ { k m } ^ { - 1 } \, - \, f _ { k } \, + \, f _ { m } ~ ~ ~ ,
\hat { H } ^ { 1 } = \sum _ { i = 0 } ^ { N } \frac { \vec { p } _ { 1 i } ^ { 2 } } { 2 m _ { i } } = H _ { s } ^ { 1 } + H _ { c } ^ { 1 } = \frac { \vec { p } _ { 1 s } ^ { 2 } } { 2 M _ { N + 1 } } + \sum _ { j = 2 } ^ { N + 1 } \frac { \vec { \pi } _ { 1 j } ^ { 2 } } { 2 \mu _ { 1 j } }
{ \begin{array} { r l } { \prod _ { j = 1 } ^ { n + 1 } \left( \sum _ { k _ { j } = 0 } ^ { \infty } a _ { j , k _ { j } } \right) } & { = \left( \sum _ { k _ { n + 1 } = 0 } ^ { \infty } \overbrace { a _ { n + 1 , k _ { n + 1 } } } ^ { = : a _ { k _ { n + 1 } } } \right) \left( \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \overbrace { \sum _ { k _ { 2 } = 0 } ^ { k _ { 1 } } \cdots \sum _ { k _ { n } = 0 } ^ { k _ { n - 1 } } a _ { 1 , k _ { n } } a _ { 2 , k _ { n - 1 } - k _ { n } } \cdots a _ { n , k _ { 1 } - k _ { 2 } } } ^ { = : b _ { k _ { 1 } } } \right) } \\ & { = \left( \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \overbrace { \sum _ { k _ { 2 } = 0 } ^ { k _ { 1 } } \sum _ { k _ { 3 } = 0 } ^ { k _ { 2 } } \cdots \sum _ { k _ { n } = 0 } ^ { k _ { n - 1 } } a _ { 1 , k _ { n } } a _ { 2 , k _ { n - 1 } - k _ { n } } \cdots a _ { n , k _ { 1 } - k _ { 2 } } } ^ { = : a _ { k _ { 1 } } } \right) \left( \sum _ { k _ { n + 1 } = 0 } ^ { \infty } \overbrace { a _ { n + 1 , k _ { n + 1 } } } ^ { = : b _ { k _ { n + 1 } } } \right) } \\ & { = \left( \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \overbrace { \sum _ { k _ { 3 } = 0 } ^ { k _ { 1 } } \sum _ { k _ { 4 } = 0 } ^ { k _ { 3 } } \cdots \sum _ { k _ { n } + 1 = 0 } ^ { k _ { n } } a _ { 1 , k _ { n + 1 } } a _ { 2 , k _ { n } - k _ { n + 1 } } \cdots a _ { n , k _ { 1 } - k _ { 3 } } } ^ { = : a _ { k _ { 1 } } } \right) \left( \sum _ { k _ { 2 } = 0 } ^ { \infty } \overbrace { a _ { n + 1 , k _ { 2 } } } ^ { = : b _ { n + 1 , k _ { 2 } } = : b _ { k _ { 2 } } } \right) } \\ & { = \left( \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } a _ { k _ { 1 } } \right) \left( \sum _ { k _ { 2 } = 0 } ^ { \infty } b _ { k _ { 2 } } \right) } \\ & { = \left( \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { k _ { 2 } = 0 } ^ { k _ { 1 } } a _ { k _ { 2 } } b _ { k _ { 1 } - k _ { 2 } } \right) } \\ & { = \left( \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { k _ { 2 } = 0 } ^ { k _ { 1 } } \left( \overbrace { \sum _ { k _ { 3 } = 0 } ^ { k _ { 2 } } \cdots \sum _ { k _ { n } + 1 = 0 } ^ { k _ { n } } a _ { 1 , k _ { n + 1 } } a _ { 2 , k _ { n } - k _ { n + 1 } } \cdots a _ { n , k _ { 2 } - k _ { 3 } } } ^ { = : a _ { k _ { 2 } } } \right) \left( \overbrace { a _ { n + 1 , k _ { 1 } - k _ { 2 } } } ^ { = : b _ { k _ { 1 } - k _ { 2 } } } \right) \right) } \\ & { = \left( \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { k _ { 2 } = 0 } ^ { k _ { 1 } } \overbrace { \sum _ { k _ { 3 } = 0 } ^ { k _ { 2 } } \cdots \sum _ { k _ { n } + 1 = 0 } ^ { k _ { n } } a _ { 1 , k _ { n + 1 } } a _ { 2 , k _ { n } - k _ { n + 1 } } \cdots a _ { n , k _ { 2 } - k _ { 3 } } } ^ { = : a _ { k _ { 2 } } } \overbrace { a _ { n + 1 , k _ { 1 } - k _ { 2 } } } ^ { = : b _ { k _ { 1 } - k _ { 2 } } } \right) } \\ & { = \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { k _ { 2 } = 0 } ^ { k _ { 1 } } a _ { n + 1 , k _ { 1 } - k _ { 2 } } \sum _ { k _ { 3 } = 0 } ^ { k _ { 2 } } \cdots \sum _ { k _ { n + 1 } = 0 } ^ { k _ { n } } a _ { 1 , k _ { n + 1 } } a _ { 2 , k _ { n } - k _ { n + 1 } } \cdots a _ { n , k _ { 2 } - k _ { 3 } } } \end{array} }
V = \left( \begin{array} { l l l } { { V _ { u d } } } & { { V _ { u s } } } & { { V _ { u b } } } \\ { { V _ { c d } } } & { { V _ { c s } } } & { { V _ { c b } } } \\ { { V _ { t d } } } & { { V _ { t s } } } & { { V _ { t b } } } \end{array} \right)
f ( \varepsilon _ { R } , \varepsilon _ { L } ) = \sum _ { N } | \langle 0 | U ( 0 ) | k _ { 1 } , \dots , k _ { N } \rangle | ^ { 2 } \delta \left( \varepsilon _ { R } - \sum _ { i \in R } k _ { i , + } \right) \delta \left( \varepsilon _ { L } - \sum _ { j \in L } k _ { j , - } \right) \, .
\xi _ { y \pm } ^ { i } \approx \frac { r _ { e } } { 2 \pi e f _ { 0 } \gamma _ { \pm } \tan \frac { \theta _ { c } } { 2 } } \frac { I _ { b \mp } \beta _ { y \pm } ^ { * } } { \sigma _ { y \mp } ^ { * } \sigma _ { z \mp } } .
\begin{array} { r l } { H _ { n } ( r , \theta ) } & { = ( A _ { 1 } \cos ( n \theta ) + B _ { 1 } \sin ( n \theta ) ) } \\ & { \times ( C _ { 1 } J _ { n } ( \omega r ) + D _ { 1 } Y _ { n } ( \omega r ) ) } \\ & { + ( A _ { 2 } \cos ( n \theta ) + B _ { 2 } \sin ( n \theta ) ) } \\ & { \times ( C _ { 2 } I _ { n } ( \omega r ) + D _ { 2 } K _ { n } ( \omega r ) ) . } \end{array}
\mathbf { f } ^ { e m } = \left( \begin{array} { c c } { { f ^ { e m } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, , \, \mathbf { g } ^ { e m } = \left( \begin{array} { c c } { { g ^ { e m } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { \varphi } _ { i } : R ^ { n } } & { { } \to U _ { i } } \\ { ( y _ { 0 } , \dots , { \widehat { y _ { i } } } , \dots y _ { n } ) } & { { } \mapsto [ y _ { 0 } : \cdots : y _ { i - 1 } : 1 : y _ { i + 1 } : \cdots : y _ { n } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } \left( x _ { 1 } , . . . , x _ { m } \right) } & { { } = 0 } \\ { \vdots } \\ { f _ { n } \left( x _ { 1 } , . . . , x _ { m } \right) } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( 2 \pi ) = \frac { \rho J I L } { 2 \pi } \Bigg ( } & { { } \tan ^ { - 1 } \! \left( \frac { \tan \! \left( \pi \right) \left( 2 l - R \right) } { 2 l + R } \right) + \pi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \exp \left\{ \lambda M _ { j } | Y _ { k } ^ { * } | \right\} \right] } & { = \mathbb { E } \left[ \exp \left\{ \lambda M _ { j } / \sqrt { 2 } \left| \log \left( Q _ { k } / m \right) \right| \right\} \right] } \\ & { \leq c _ { 3 } \sum _ { b \in \{ c \delta / m , c M _ { 0 } / m \} } ( b m / 2 ) ^ { - \frac { \lambda M _ { j } } { \sqrt { 2 } } } + ( b m / 2 ) ^ { \frac { \lambda M _ { j } } { \sqrt { 2 } } } = \mathcal { O } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \lambda _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \eta _ { x x } \bar { \eta _ { 1 } } d x + \lambda _ { 0 } ( \eta _ { x } ( 2 \pi ) \bar { \eta _ { 1 } } ( 2 \pi ) - \eta _ { x } ( 0 ) \bar { \eta _ { 1 } } ( 0 ) ) + \bar { u } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \eta _ { x } \bar { \eta _ { 1 } } d x + \frac { R \bar { \theta } } { \bar { \rho } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \xi _ { x } \bar { \eta _ { 1 } } d x } \\ { + R \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \zeta _ { x } \bar { \eta _ { 1 } } d x + \nu \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \eta \bar { \eta _ { 1 } } d x = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } g \bar { \eta _ { 1 } } d x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \sin [ \Psi _ { 1 } ( a _ { 1 } ) ] \sin [ \Psi _ { 1 } ( a _ { 2 } ) ] } } | _ { \eta = 0 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \cos [ ( a _ { 1 } - a _ { 2 } ) \theta ] , } \\ { \overline { { \cos [ \Psi _ { 1 } ( a _ { 1 } ) ] \cos [ \Psi _ { 1 } ( a _ { 2 } ) ] } } | _ { \eta = 0 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \cos [ ( a _ { 1 } - a _ { 2 } ) \theta ] , } \\ { \overline { { \sin [ \Psi _ { 1 } ( a _ { 1 } ) ] \cos [ \Psi _ { 1 } ( a _ { 2 } ) ] } } | _ { \eta = 0 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sin [ ( a _ { 1 } - a _ { 2 } ) \theta ] \, . } \end{array}
n _ { f } = n _ { 0 } ( \omega ) + n _ { 2 } \frac { \int R ( x - x ^ { \prime } , y - y ^ { \prime } ) I ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } d y ^ { \prime } } { \int R ( x - x ^ { \prime } , y - y ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } d y ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 9 } + _ { 5 } } \\ & { = - \delta _ { q , i } \delta ( j > m - n ) ( \alpha _ { 1 } ^ { 2 } + \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } ) e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } [ - 3 ] , } \\ & { \quad _ { 3 } + _ { 4 } + _ { 1 9 } + _ { 7 } } \\ & { = - \delta _ { q , i } \delta ( j > m - n ) ( \alpha _ { 1 } ^ { 2 } + \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } ) e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 3 ] , } \\ & { \quad _ { 5 } + _ { 9 } + _ { 5 } } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \delta _ { i , q } \delta ( j > m - n ) \partial ^ { 2 } W _ { p , j } ^ { ( 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \mathbf \Lambda _ { ( \hat { n } \cdot ) \mathrm { W } } = [ \hat { n } _ { \mathrm { W } } \cdot \hat { x } ] \ \mathbf I _ { n _ { z } + 1 } \otimes \mathbf I _ { n _ { y } + 1 } \, , } & { \mathbf \Lambda _ { ( \hat { n } \cdot ) \mathrm { E } } = [ \hat { n } _ { \mathrm { E } } \cdot \hat { x } ] \ \mathbf I _ { n _ { z } + 1 } \otimes \mathbf I _ { n _ { y } + 1 } \, , } \\ & { \mathbf \Lambda _ { ( \hat { n } \cdot ) \mathrm { S } } = [ \hat { n } _ { \mathrm { S } } \cdot \hat { y } ] \ \mathbf I _ { n _ { z } + 1 } \otimes \mathbf I _ { n _ { x } + 1 } \, , } & { \mathbf \Lambda _ { ( \hat { n } \cdot ) \mathrm { N } } = [ \hat { n } _ { \mathrm { N } } \cdot \hat { y } ] \ \mathbf I _ { n _ { z } + 1 } \otimes \mathbf I _ { n _ { x } + 1 } \, , } \\ & { \mathbf \Lambda _ { ( \hat { n } \cdot ) \mathrm { B } } = [ \hat { n } _ { \mathrm { B } } \cdot \hat { z } ] \ \mathbf I _ { n _ { y } + 1 } \otimes \mathbf I _ { n _ { x } + 1 } \, , } & { \mathbf \Lambda _ { ( \hat { n } \cdot ) \mathrm { T } } = [ \hat { n } _ { \mathrm { T } } \cdot \hat { z } ] \ \mathbf I _ { n _ { y } + 1 } \otimes \mathbf I _ { n _ { x } + 1 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( - \Delta _ { h } ) ^ { s } ( \theta _ { h } * u - u _ { h } ) ( x ) } \\ & { \quad = ( - \Delta _ { h } ) ^ { s } ( \theta _ { h } * u ) ( x ) - \Theta _ { h } * f ( x ) } \\ & { \quad = ( - \Delta _ { h } ) ^ { s } ( \theta _ { h } * u ) ( x ) - \Theta _ { h } * ( - \Delta ) ^ { s } u ( x ) } \\ & { \quad = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \int _ { \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } { \mathrm { e } } ^ { i \xi \cdot x } M _ { h } ( \xi ) ^ { 2 s } \mathcal { F } _ { h } [ \theta _ { h } * u ] ( \xi ) \, \mathrm { d } \xi - \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { \mathrm { e } } ^ { i \xi \cdot x } | \xi | ^ { 2 s } \mathcal { F } [ \Theta _ { h } ] ( \xi ) \mathcal { F } [ u ] ( \xi ) \, \mathrm { d } \xi } \\ & { \quad = I _ { 1 } + I _ { 2 } + I _ { 3 } + I _ { 4 } + I _ { 5 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { e _ { \upsilon } ( \widetilde { f } , \widetilde { f } ^ { * } ) = e _ { \upsilon } ( \widetilde { f } , \widetilde { f } _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) + e ( \widetilde { f } _ { \mathcal { F } } ^ { * } , \widetilde { f } ^ { * } ) = \widetilde { R } _ { \upsilon } ( \widetilde { f } ) - \widetilde { R } _ { \upsilon } ( \widetilde { f } _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) + \widetilde { R } _ { \upsilon } ( \widetilde { f } _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) - \widetilde { R } _ { \upsilon } ( \widetilde { f } ^ { * } ) , } \end{array}
e m b ^ { * } \left( W Z \right) = \frac 1 { \left( p + 1 \right) ! } d x ^ { \mu _ { 1 } } \cdots d x ^ { \mu _ { p + 1 } } \cdot \Pi _ { , \mu _ { 1 } } ^ { A _ { 1 } } \cdots \Pi _ { , \mu _ { p + 1 } } ^ { A _ { p + 1 } } \cdot \left( W Z \right) _ { A _ { p + 1 } \cdots A _ { 1 } } \left( \phi \right) \quad ;
\begin{array} { r } { \hat { d } _ { b } = \frac { 1 } { \sigma _ { b } } \sum _ { e } \sum _ { \kappa } ^ { o c c u p i e d } C _ { e \kappa } ^ { * } \left( \sum _ { f } V _ { f b } C _ { f \kappa } \right) \, \hat { c } _ { e } . } \end{array}
\left( \frac { r ^ { \beta ( Q - \frac { \beta } { 2 } ) } } { ( r ^ { 2 } + 1 ) ^ { \frac { \beta } { 2 } ( Q - \frac { \beta } { 2 } ) } } \right) ( \Im q ) ^ { 2 \Delta _ { \alpha } - \Delta _ { \beta } } | q | ^ { 2 \Delta _ { \beta } } \mathrm { L F } _ { \mathbb H } ^ { ( \alpha , q ) , ( \beta , 0 ) } = r ^ { \beta ( Q - \frac { \beta } { 2 } ) } ( f _ { r } ) _ { * } \left[ \mathrm { L F } _ { \mathbb H } ^ { ( \beta , r ) , ( \alpha , i ) } \right] .
\tilde { \zeta } ( r ; \, r _ { 0 } , r _ { \mathrm { d } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \, 0 } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; r \leq r _ { 0 } \, , } \\ { \, 1 } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; r \geq r _ { 0 } + r _ { \mathrm { d } } \, . } \end{array} \right.
\tilde { U } _ { \mathrm { U C C S D } } ^ { ( m ) } ( \boldsymbol { \theta } ^ { ( m ) } ) = \prod _ { k = 1 } ^ { N _ { \mathrm { o p s } } ^ { ( m ) } } e ^ { - i \frac { \theta _ { k } ^ { ( m ) } } { 2 } \tilde { O } _ { k } ^ { ( m ) } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { \Phi } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L } } & { { } = \mathbf { { \Phi } } _ { j } + \frac { \Delta x } { 2 } \left( \frac { \partial \mathbf { \Phi } } { \partial x } \right) _ { j } + \frac { \Delta x ^ { 2 } } { 1 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { \Phi } } { \partial x ^ { 2 } } \right) _ { j } , } \\ { \mathbf { \Phi } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { R } } & { { } = \mathbf { { \Phi } } _ { j + 1 } - \frac { \Delta x } { 2 } \left( \frac { \partial \mathbf { \Phi } } { \partial x } \right) _ { j + 1 } + \frac { \Delta x ^ { 2 } } { 1 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { \Phi } } { \partial x ^ { 2 } } \right) _ { j + 1 } \quad . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \left( \frac { ( c ^ { T } y ^ { \prime } ) A ^ { T } A y } { \| A y \| \| A y ^ { \prime } \| } \right) ^ { T } ( \| A y ^ { \prime } \| - \| A y \| ) ( y - y ^ { \prime } ) = \left( \frac { ( c ^ { T } y ^ { \prime } ) y ^ { T } \left( c c ^ { T } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) I \right) ^ { T } } { \| A y \| \| A y ^ { \prime } \| } \right) ( \| A y ^ { \prime } \| - \| A y \| ) ( y - y ^ { \prime } ) } \\ & { = ( \| A y ^ { \prime } \| - \| A y \| ) \frac { c ^ { T } y ^ { \prime } y ^ { T } c c ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) } { \| A y \| \| A y ^ { \prime } \| } + ( \| A y ^ { \prime } \| - \| A y \| ) \frac { c ^ { T } y ^ { \prime } y ^ { T } ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) ( y - y ^ { \prime } ) } { \| A y \| \| A y ^ { \prime } \| } } \\ & { \geq - r \| y - y ^ { \prime } \| \frac { \| c \| ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } c ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) - r \| y - y ^ { \prime } \| \frac { \| c \| ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) } { r \sqrt { r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } } } \| y - y ^ { \prime } \| } \\ & { = - \frac { \| c \| ^ { 2 } } { r } \| y - y ^ { \prime } \| c ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) - \| c \| \sqrt { r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } } \| y - y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle x , v _ { 1 } \rangle } & { = \langle x _ { 1 } v _ { 1 } + x _ { 2 } v _ { 2 } + x _ { 3 } v _ { 3 } , v _ { 1 } \rangle } \\ & { = x _ { 1 } \langle v _ { 1 } , v _ { 1 } \rangle + x _ { 2 } \langle v _ { 2 } , v _ { 1 } \rangle + x _ { 3 } \langle v _ { 3 } , v _ { 1 } \rangle } \\ & { = x _ { 1 } \cdot 1 + x _ { 2 } \cdot 0 + x _ { 3 } \cdot 0 } \\ & { = x _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left. { \frac { \partial } { \partial z } \frac { 1 } { 2 } ( u _ { z } ) ^ { 2 } } \right| _ { r = 0 } } & { = } & { - \left. { \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p } { \partial z } } \right| _ { r = 0 } } \\ & { = } & { - \left. { \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p } { \partial z } } \right| _ { r = r _ { \ast } } + \int _ { 0 } ^ { r _ { \ast } } \frac { \partial } { \partial z } \frac { ( u _ { \theta } ) ^ { 2 } } { r } d r } \\ & { = } & { \left. { \frac { \partial } { \partial z } \frac { 1 } { 2 } ( u _ { z } ) ^ { 2 } } \right| _ { r = r _ { \ast } } + \int _ { 0 } ^ { r _ { \ast } } \frac { \partial } { \partial z } \frac { ( u _ { \theta } ) ^ { 2 } } { r } d r . } \end{array}
\overline { { { \rho } } } _ { n } = \operatorname * { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \; { \frac { 1 } { ( m - 1 ) \, 2 ^ { J } } } \sum _ { t = 1 } ^ { ( m - 1 ) 2 ^ { J } } \left( \ln \varepsilon _ { t } \right) ^ { n } \, ,
\gamma ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { k } } = \frac { S _ { k } } { ( 6 - k ) ! } \epsilon ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { 6 } } \gamma _ { a _ { k + 1 } \ldots a _ { 6 } } \Gamma _ { * } \ , \qquad S _ { k } = \left\{ \begin{array} { l } { { + 1 : \quad k = 0 , 1 , 4 , 5 } } \\ { { - 1 : \quad k = 2 , 3 , 6 } } \end{array} \right.
\nabla ^ { 2 } \gamma _ { B } ^ { 2 } ( y ) = 2 \left( \frac { \frac { \zeta ^ { T } \bar { y } } { \alpha } + \| \bar { y } \| ^ { 2 } } { \left( \frac { \zeta ^ { T } \bar { y } } { \alpha } \right) ^ { 3 } } \right) \frac { \zeta \zeta ^ { T } } { \alpha ^ { 2 } } - 2 \left( \frac { \frac { \zeta ^ { T } \bar { y } } { \alpha } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } } { \left( \frac { \zeta ^ { T } \bar { y } } { \alpha } \right) ^ { 3 } } \right) \frac { \zeta \bar { y } ^ { T } + \bar { y } \zeta ^ { T } } { \alpha } + 2 \frac { \alpha } { \zeta ^ { T } \bar { y } } I
\Gamma _ { \mathrm { N R } } = \frac { 2 \pi } { \hbar } g \sum _ { n , m } p _ { i n } \left| \left\langle f m \left| H ^ { \mathrm { e } - \mathrm { p h } } \right| i n \right\rangle \right| ^ { 2 } \delta \left( E _ { f m } - E _ { i n } \right) ,
\theta ( | \mathbf { p } + \mathbf { q } | - 1 ) = \theta ( \mathbf { \hat { p } _ { . } q } + p / 2 ) = \theta ( \mathbf { q _ { . } \hat { p } } ) + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { ( p / 2 ) ^ { m } } { m ! } \delta ^ { ( m - 1 ) } ( \mathbf { q _ { . } \hat { p } } )
\left. \mathrm { D i s c } \; \left( \int d ^ { 4 } x { \frac { e ^ { i p \cdot x } } { | x | ^ { 2 m + 4 } } } \right) \right| _ { - p ^ { 2 } = \omega ^ { 2 } - i \epsilon } ^ { - p ^ { 2 } \omega ^ { 2 } + i \epsilon } = { \frac { 2 \pi ^ { 3 } i \omega ^ { 2 m } } { 4 ^ { m } m ! ( m + 1 ) ! } }
\mathbf { m } _ { j } = E _ { b } \kappa _ { 1 } ^ { j } \mathbf { d } _ { 1 } ^ { j } + E _ { b } \kappa _ { 2 } ^ { j } \mathbf { d } _ { 2 } ^ { j } + E _ { t } \kappa _ { 3 } ^ { j } \mathbf { d } _ { 3 } ^ { j } ,
\mathbf { T } = \int d \mathbf { r } \left\lbrace 3 ( \mathbf { r } \cdot \mathbf { J } ) \mathbf { r } - r ^ { 2 } \mathbf { J } \right\rbrace \frac { j _ { 2 } ( k r ) } { 2 r ^ { 2 } } ,
\langle \cos ^ { 2 } { \phi _ { z } } \rangle = \frac { 1 } { 2 } , \qquad \langle \cos ^ { 4 } { \phi _ { z } } \rangle = \frac { 3 } { 8 } , \qquad \langle \cos ^ { 6 } { \phi _ { z } } \rangle = \frac { 5 } { 1 6 } \; .
t _ { l } ^ { ( q ) } = \underbrace { \sum _ { q _ { 0 } = 0 } ^ { l } \sum _ { q _ { 1 } = 0 } ^ { l } \cdots \sum _ { q _ { l } = 0 } ^ { l } } _ { q _ { 0 } + \dots + q _ { l } = q \atop 1 \cdot q _ { 1 } + 2 \cdot q _ { 2 } + \dots + l \cdot q _ { l } = l + 1 - q } { \binom { n _ { 0 } + q _ { 0 } - 1 } { q _ { 0 } } } { \binom { n _ { 1 } + q _ { 1 } - 1 } { q _ { 1 } } } \cdots { \binom { n _ { l } + q _ { l } - 1 } { q _ { l } } } .
i \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ldots \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , k \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l r } { \mathcal { P } _ { n } ( d ) } & { \equiv } & { P \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \mathcal { W } _ { i } \boldsymbol { \mathring { Z } } _ { ( i ) } ( [ \boldsymbol { 0 } _ { k _ { \delta } } ^ { \prime } , 1 ] ) \right\vert / \sqrt { \ln \left( k _ { \theta , n } \right) } > \right. } \\ & { } & { \mathrm { ~ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \left. \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \sqrt { \frac { n } { \ln \left( k _ { \theta , n } \right) } } \mathcal { W } _ { n , i } \left( \hat { \theta } _ { i } - c _ { i } \sqrt { \frac { \ln \left( k _ { \theta , n } \right) } { n } } \right) + d _ { i } \right\vert | \mathfrak { S } _ { n } \right) , } \end{array}