harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { U ( I \otimes X ) U ^ { \dag } = } & { \sum _ { i , j } U \big ( | i \rangle \langle i | \otimes | j + 1 \rangle \langle j | \big ) U ^ { \dag } } \\ { = } & { \sum _ { i , j } | N g _ { 1 1 } i - N g _ { 1 0 } ( j + 1 ) \rangle \langle N g _ { 1 1 } i - N g _ { 1 0 } j | \otimes | - N g _ { 0 1 } i + N g _ { 0 0 } ( j + 1 ) \rangle \langle - N g _ { 0 1 } i + N g _ { 0 0 } j | } \\ { = } & { \sum _ { i ^ { \prime } , j ^ { \prime } } | i ^ { \prime } - N g _ { 1 0 } \rangle \langle i ^ { \prime } | \otimes | j ^ { \prime } + N g _ { 0 0 } \rangle \langle j ^ { \prime } | } \\ { = } & { X ^ { - N g _ { 1 0 } } \otimes X ^ { N g _ { 0 0 } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { j } ( x , z ) } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( 2 n ) ! } \epsilon ^ { 2 n } { H _ { j } } ( z ) ^ { 2 n } \partial _ { x } ^ { 2 n } u _ { 0 \, j } ( x ) \, , } \\ { w _ { j } ( x , z ) } & { = ( - 1 ) ^ { j - 1 } \epsilon \, \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( 2 n + 1 ) ! } \epsilon ^ { 2 n } H _ { j } ( z ) ^ { 2 n + 1 } \partial _ { x } ^ { 2 n + 1 } u _ { 0 \, j } ( x ) \, . } \end{array}
= \sum _ { a ^ { n } \in T _ { \delta } ^ { \mathbf { p } ^ { n } } } \operatorname* { P r } \left\{ E _ { a ^ { n } } \right\} \operatorname* { P r } _ { \mathcal { S } } \left\{ \exists E _ { b ^ { n } } : b ^ { n } \in T _ { \delta } ^ { \mathbf { p } ^ { n } } , \ b ^ { n } \neq a ^ { n } , \ E _ { a ^ { n } } ^ { \dagger } E _ { b ^ { n } } \in N \left( { \mathcal { S } } \right) \backslash { \mathcal { S } } \right\}
\begin{array} { r } { S _ { f } = \int d ^ { 4 } x \, \overline { { \mathcal { L } } } _ { f } \quad , \quad \overline { { \mathcal { L } } } _ { f } = \psi _ { f } ^ { \dagger } i e _ { \alpha } ^ { \mu } \sigma ^ { \alpha } \nabla _ { \mu } \psi _ { f } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \nabla f ( { x } ^ { t , j } ) , { x } ^ { t , j } - { z } \rangle - \langle \nabla f ( { x } ^ { t , i } ) , { x } ^ { t , i } - { z } \rangle } \\ { = \ } & { \sum _ { k = i + 1 } ^ { j } \left( \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) , { x } ^ { t , k } - { x } ^ { t , k - 1 } \rangle + \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { z } \rangle \right) } \end{array}
\left[ - \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } + v _ { \mathrm { e x t } } ( \mathbf { r } ) + v _ { \mathrm { H } } ( \mathbf { r } ) + v _ { \mathrm { x c } } ( \mathbf { r } ) \right] \phi _ { i } ( \mathbf { r } ) = E _ { i } \phi _ { i } ( \mathbf { r } ) .
\begin{array} { r l } { L _ { { \bf J } } \Big ( c d t \wedge d x \wedge d y \wedge d z \Big ) } & { = \Big ( c L _ { { \bf J } } ( d t ) \wedge d x \wedge d y \wedge d z \Big ) + \Big ( c d t \wedge L _ { { \bf J } } ( d x ) \wedge d y \wedge d z \Big ) } \\ & { + \Big ( c d t \wedge d x \wedge L _ { \bf J } ( d y ) \wedge d z \Big ) + \Big ( c d t \wedge d x \wedge d y \wedge L _ { \bf J } ( d z ) \Big ) } \\ & { = \Big ( \mathsf { d i v } ( J ) + \frac { \partial \rho } { \partial t } \Big ) \Big ( c d t \wedge d x \wedge d y \wedge d z \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { ( G _ { 2 } ^ { \otimes m + 1 } ) ^ { \prime } } \left( U _ { i } \, | \, Z ( W ) = \epsilon \right) } & { \leq Z \left[ W ( U _ { i } ) \, | \, Z ( W ( X _ { j } ) ) = 2 \epsilon - \epsilon ^ { 2 } , \mathrm { ~ f o r ~ } 1 \leq j \leq f ( m ) \right] } \\ & { = Z _ { ( G _ { 2 } ^ { \otimes m } ) ^ { \prime } } \left( U _ { i } \, | \, Z ( W ) = 2 \epsilon - \epsilon ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq Z _ { G _ { 2 } ^ { \otimes m } } \left( U _ { i } \, | \, Z ( W ) = 2 \epsilon - \epsilon ^ { 2 } \right) } \\ & { = Z _ { G _ { 2 } ^ { \otimes m + 1 } } \left( U _ { i } \, | \, Z ( W ) = \epsilon \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { i } ^ { \prime } ( \theta ) } & { = \lambda ^ { \{ F \} } v _ { i } ( \theta ) + \frac { 1 } { c _ { i } ^ { \{ S \} } } \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \omega _ { i , j } \left( \frac { \theta } { c _ { i } ^ { \{ S \} } H } \right) ( \lambda ^ { \{ E \} } Y _ { j } ^ { \{ S \} } + \lambda ^ { \{ I \} } Y _ { j } ^ { \{ S \} } ) } \\ & { = \lambda ^ { \{ F \} } v _ { i } ( \theta ) + \frac { 1 } { c _ { i } ^ { \{ S \} } } \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \Omega } - 1 } \omega _ { i , j } ^ { \{ k \} } \left( \frac { \theta } { c _ { i } ^ { \{ S \} } H } \right) ^ { k } ( \lambda ^ { \{ E \} } Y _ { j } ^ { \{ S \} } + \lambda ^ { \{ I \} } Y _ { j } ^ { \{ S \} } ) } \end{array}
E = \sqrt { ( x _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ c ~ r ~ o ~ } } - x _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ c ~ r ~ o ~ } } ) ^ { 2 } + ( y _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ c ~ r ~ o ~ } } - y _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ c ~ r ~ o ~ } } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \| f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } ] } ^ { k _ { 0 } } \| _ { k _ { 0 } } } & { = \sqrt { \langle \int k _ { 0 } ( \cdot , x ) \mathrm { d } \hat { \mu } [ \vec { x } ] ( x ) , \int k _ { 0 } ( \cdot , x ^ { \prime } ) \mathrm { d } \hat { \mu } [ \vec { x } ] ( x ^ { \prime } ) \rangle _ { k _ { 0 } } } } \\ & { = \sqrt { \int \int \langle k _ { 0 } ( \cdot , x ) , k _ { 0 } ( \cdot , x ^ { \prime } ) \rangle _ { k _ { 0 } } \mathrm { d } \hat { \mu } [ \vec { x } ] ( x ) \mathrm { d } \hat { \mu } [ \vec { x } ] ( x ^ { \prime } ) } } \\ & { \leq \sqrt { \int \int | k _ { 0 } ( x ^ { \prime } , x ) | \mathrm { d } \hat { \mu } [ \vec { x } ] ( x ) \mathrm { d } \hat { \mu } [ \vec { x } ] ( x ^ { \prime } ) } \leq \sqrt { C _ { k _ { 0 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { \mathrm { H V } } } & { = } & { \mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { H V } } \left( - \frac { \pi } { 2 } \right) \mathcal { D } _ { 2 } ^ { \mathrm { H V } } \left( - \frac { \pi } { 2 } \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { i } \\ { i } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \frac { \mathrm { e } ^ { i \pi / 4 } } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { i } & { - i } \end{array} \right) , } \end{array}
\check { x } _ { 3 1 ; 2 } = \tilde { x } _ { 3 1 } + { \frac { 4 i } { ( 1 2 ) } } \theta _ { 3 1 } ( \bar { \theta } _ { 2 } ^ { + } - ( 2 1 ^ { - } ) \bar { \theta } _ { 1 } ^ { + } ) \quad \Rightarrow \quad \delta \check { x } _ { 3 1 ; 2 } = 0 \; .
p _ { i + 1 / 2 , j + 1 / 2 } ^ { f } ( x , y , t ) = \sum _ { k = 0 } ^ { 2 \, m + 1 } \sum _ { \ell = 0 } ^ { 2 \, m + 1 } \sum _ { s = 0 } ^ { q } c _ { k , \ell , s } ^ { f } \bigg ( \frac { x - x _ { i + 1 / 2 } } { \Delta x } \bigg ) ^ { k } \, \bigg ( \frac { y - y _ { j + 1 / 2 } } { \Delta y } \bigg ) ^ { \ell } \, \bigg ( \frac { t - t _ { 0 } } { \Delta t } \bigg ) ^ { q } .
\tilde { \phi } _ { \mathrm { i n } } ( \tilde { \rho } ) = \frac { - 2 } { \log ( \tilde { k } _ { i } ) } \sqrt { \frac { \pi \tilde { k } _ { i } \tilde { \rho } } { \tilde { L } } } K _ { 0 } \left( \sqrt { \frac { 8 } { \tilde { \rho } } } \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { \Delta _ { t , i } } { \Delta _ { t , c } } } & { { } \lesssim \sqrt { A } } \\ { \frac { \Delta _ { t , c } } { \tau _ { r } / d } } & { { } \lesssim \sqrt { \frac { 2 \ln { 2 } } { 1 + A } } ( \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } ^ { - 1 } ( 1 - e ) ) ^ { - 1 } } \\ { \frac { \Delta _ { f , c } } { \omega _ { r } / d } } & { { } \lesssim \tan ( \frac { \pi } { 2 } ( 1 - e ) ) ^ { - 1 } , } \end{array}
\left( { { K _ { i + 1 } } + { K _ { i } } } \right) { h _ { i + 1 } } - \left( { { K _ { i + 1 } } + 2 { K _ { i } } + { K _ { i - 1 } } } \right) { h _ { i } } + \left( { { K _ { i } } + { K _ { i - 1 } } } \right) { h _ { i - 1 } } = 0 .
{ \cal L } _ { \rho \pi \pi } = - i \frac { g _ { \rho } ( 1 + g _ { A } ) } { 8 m _ { \rho } ^ { 2 } } \mathrm { t r } \left( \tilde { v } _ { \mu \nu } [ \partial _ { \mu } { \pi } , \partial _ { \nu } { \pi } ] \right) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } } & { : U ( Y ) \to C ^ { 1 , \alpha } ( Y ) } \\ { Y _ { \eta } } & { \mapsto F _ { \eta } ^ { * } ( \nu _ { Y _ { \eta } } u _ { \epsilon , Y _ { \eta } } ^ { + } ) \Big | _ { t = 0 } } \\ & { = ( F _ { \eta } ^ { - 1 } ) _ { * } ( \nu _ { \eta } ) F _ { \eta } ^ { * } ( u _ { \epsilon , Y _ { \eta } } ^ { + } ) \Big | _ { t = 0 } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { E } } & { { = } } & { { E _ { 0 } + \left( \displaystyle 2 \sinh \left( { \frac { 1 } { 2 } } \gamma _ { 0 } + { \frac { 1 } { 2 } } \gamma _ { 1 } J ( J + 1 ) \right) \right) ^ { - 1 } \times } } \\ { { } } & { { } } & { { \times \sinh \left( \left( \displaystyle \gamma _ { 0 } + \gamma _ { 1 } J ( J + 1 ) \right) \left( v + { \frac { \displaystyle 1 } { \displaystyle 2 } } + c _ { 0 } + c _ { 1 } J ( J + 1 ) \right) \right) h c \nu _ { \mathrm { v i b } } } } \\ { { } } & { { } } & { { + \displaystyle \frac { h ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } I } J ( J + 1 ) ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 0 } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) } & { = \left\langle E _ { X } ( \vec { x } _ { 1 } , z , \omega ) E _ { X } ^ { * } ( \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) \right\rangle + \left\langle E _ { Y } ( \vec { x } _ { 1 } , z , \omega ) E _ { Y } ^ { * } ( \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) \right\rangle } \\ & { = W _ { X X } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) + W _ { Y Y } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) } \\ { s _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) } & { = \left\langle E _ { X } ( \vec { x } _ { 1 } , z , \omega ) E _ { X } ^ { * } ( \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) \right\rangle - \left\langle E _ { Y } ( \vec { x } _ { 1 } , z , \omega ) E _ { Y } ^ { * } ( \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) \right\rangle } \\ & { = W _ { X X } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) - W _ { Y Y } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) } \\ { s _ { 2 } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) } & { = 2 R e \{ \left\langle E _ { X } ( \vec { x } _ { 1 } , z , \omega ) E _ { Y } ^ { * } ( \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) \right\rangle \} = \left\langle E _ { X } ( \vec { x } _ { 1 } , z , \omega ) E _ { Y } ^ { * } ( \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) \right\rangle + \left\langle E _ { Y } ( \vec { x } _ { 1 } , z , \omega ) E _ { X } ^ { * } ( \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) \right\rangle } \\ & { = W _ { X Y } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) + W _ { Y X } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) } \\ { s _ { 3 } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) } & { = - 2 I m \{ \left\langle E _ { X } ( \vec { x } _ { 1 } , z , \omega ) E _ { Y } ^ { * } ( \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) \right\rangle \} = i \left( \left\langle E _ { X } ( \vec { x } _ { 1 } , z , \omega ) E _ { Y } ^ { * } ( \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) \right\rangle - \left\langle E _ { Y } ( \vec { x } _ { 1 } , z , \omega ) E _ { X } ^ { * } ( \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) \right\rangle \right) } \\ & { = i \left( W _ { X Y } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) - W _ { Y X } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { \mathrm { s } } } & { { } < } & { 6 . 8 \times 1 0 ^ { - 6 } \, \mathrm { H z } \, \left( \frac { S _ { 1 2 } } { 2 } \right) \left( \frac { 1 } { d _ { \mathrm { e f f } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi ^ { l } } & { = \chi _ { 0 } ^ { l } \mathrm { e x p } \left[ \frac { 1 } { c _ { 3 } } \left( \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \frac { | | \mathrm { d e v } ( \boldsymbol \sigma ) | | } { \sigma _ { Y } ( \varepsilon _ { p } ^ { l } ) } - 1 \right) \right] } \\ { \sigma _ { Y } ( \varepsilon _ { p } ^ { l } ) } & { = ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ( \varepsilon _ { p } ^ { l } ) ^ { n } ) \left[ 1 - \left( \frac { T - T _ { 0 } } { T _ { \mathrm { m e l t } } - T _ { 0 } } \right) ^ { m } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d z } U ( m _ { 1 } , m _ { 2 } , z ) = - m _ { 1 } U ( m _ { 1 } + 1 , m _ { 2 } + 2 , z ) , } \\ & { \frac { d } { d z } L ( m _ { 3 } , m _ { 2 } , z ) = - m _ { 3 } L ( m _ { 3 } - 1 , m _ { 2 } + 1 , z ) , } \\ & { L ( m _ { 3 } , m _ { 2 } , z ) = \frac { ( m _ { 2 } + 1 ) _ { m _ { 3 } } } { m _ { 1 } ! } F _ { 1 } ( - m _ { 3 } , m _ { 2 } + 1 , z ) . } \end{array}
\dot { \mathbf { p } } ^ { * } = \frac { 1 } { 2 B ^ { * } } \left[ - \mathbf { e } _ { g } + ( \mathbf { e } _ { g } \cdot \mathbf { p } ) \mathbf { p } \right] + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { \Omega } ^ { * } \times \mathbf { p } ,
\left| \frac { V _ { u b } } { V _ { c b } } \right| _ { p _ { _ F } = 0 . 5 } ^ { 2 } = \left| \frac { V _ { u b } } { V _ { c b } } \right| _ { p _ { _ F } = 0 . 3 } ^ { 2 } \times \frac { \widetilde { \Gamma } ( 0 . 3 ) } { \widetilde { \Gamma } ( 0 . 5 ) } = \left| \frac { V _ { u b } } { V _ { c b } } \right| _ { p _ { _ F } = 0 . 3 } ^ { 2 } \times 1 . 8 1 ,
\begin{array} { r l } { \iota _ { \hbar } ( h _ { i , 1 } ) } & { = - \hbar t _ { i , i } ^ { ( 2 ) } + \hbar t _ { i + 1 , i + 1 } ^ { ( 2 ) } - \frac { i } { 2 } \hbar ( t _ { i , i } ^ { ( 1 ) } - t _ { i + 1 , i + 1 } ^ { ( 1 ) } ) - \hbar t _ { i , i } ^ { ( 1 ) } t _ { i + 1 , i + 1 } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad + \hbar \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { i } t _ { i , u } ^ { ( 1 ) } t _ { u , i } ^ { ( 1 ) } - \hbar \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { i } t _ { i + 1 , u } ^ { ( 1 ) } t _ { u , i + 1 } ^ { ( 1 ) } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l l } { \zeta _ { \operatorname* { m i n } } } & { = \operatorname* { m a x } [ 0 , \xi - r _ { m } ] \medskip } \\ { \zeta _ { \operatorname* { m a x } } } & { = \xi + r _ { m } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { k } \widehat { p } _ { i } } & { \leq \frac { b n } { d } \int _ { 1 } ^ { k + 1 } \frac { 1 } { ( n - b x ) ^ { 2 } } \, \mathrm { d } x } \\ & { = \frac { b n } { d } \left[ \frac { 1 } { b ( n - b x ) } \right] _ { 1 } ^ { k + 1 } } \\ & { = \frac { n } { d } \left[ \frac { 1 } { n - b ( k + 1 ) } - \frac { 1 } { n - b } \right] } \\ & { = \frac { b n k } { d ( n - b ) ( n - b ( k + 1 ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { 0 } | 1 \rangle } & { = | 0 \rangle = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) , } & { f _ { 0 } | 0 \rangle = 0 } \\ { f _ { 0 } ^ { \dagger } | 1 \rangle } & { = 0 , } & { f _ { 0 } ^ { \dagger } | 0 \rangle = | 1 \rangle = \left( \begin{array} { l l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\Psi _ { \kappa } ^ { ( R ) } = \frac 1 { \pi \sqrt { 2 } } \, \exp \left( \frac { \pi \kappa } 2 - i \frac { \kappa } 2 \ln \left( \frac { x _ { + } } { - x _ { - } } \right) \right) K _ { i \kappa } \left( m \sqrt { - x _ { - } x _ { + } } \right) .
{ \begin{array} { l l l l l l l l l } { \mathbf { \Delta } _ { 1 } ^ { 0 } } & { } & { } & { } & { \mathbf { \Delta } _ { 2 } ^ { 0 } } & { } & { } & { } & { \cdots } \end{array} } { \begin{array} { l l l l l l } { \quad \mathbf { \Delta } _ { \alpha } ^ { 0 } } & { } & { } & { } & { \mathbf { \Delta } _ { \alpha + 1 } ^ { 0 } } & { \cdots } \end{array} }
\operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i , j \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \left( \eta _ { t } ^ { 2 } G _ { i , t } ^ { ( 0 ) } G _ { j , t } ^ { ( 0 ) \prime } - E \left[ G _ { i , t } ^ { ( 0 ) } G _ { j , t } ^ { ( 0 ) \prime } \right] \right) \right\vert = O _ { p } ( k _ { \theta , n } / \sqrt { n } ) .
Q ( x \mid z ) = \frac { 1 } { \prod _ { k = 1 } ^ { D } \sqrt { 2 \pi { \tilde { \sigma } } _ { ( k ) } ^ { 2 } ( z ) } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \left\| \frac { x - { \tilde { \mu } } ( z ) } { { \tilde { \sigma } } ( z ) } \right\| ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t _ { n } } \frac { d } { d t } \big ( \langle \boldsymbol A _ { \gamma } \boldsymbol u _ { \tau , h } , \boldsymbol u _ { \tau , h } \rangle + \langle \rho \boldsymbol v _ { \tau , h } , \boldsymbol v _ { \tau , h } \rangle + \langle c _ { 0 } p _ { \tau , h } , p _ { \tau , h } \rangle \big ) \, \mathrm { d } t + Q _ { n } \big ( B _ { \gamma } ( p _ { \tau , h } , p _ { \tau , h } ) \big ) } \\ & { \quad + \langle \boldsymbol u _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , \boldsymbol A _ { \gamma } u _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle + \langle \rho \boldsymbol v _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , \boldsymbol v _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle + \langle c _ { 0 } p _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , p _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d s _ { l } ( t ) } { d t } } & { { } = - s _ { l } ( t ) k \gamma \sum _ { m = 1 } ^ { n } { A _ { l m } p _ { m } i _ { m } ( t ) } , } \\ { \frac { d i _ { l } ( t ) } { d t } } & { { } = s _ { l } ( t ) k \gamma \sum _ { m = 1 } ^ { n } { A _ { l m } p _ { m } i _ { m } ( t ) } - \mu i _ { l } ( t ) , } \\ { \frac { d r _ { l } ( t ) } { d t } } & { { } = \mu i _ { l } ( t ) . } \end{array}
\mathbf { P } \left( \omega _ { \mathrm { T H z } } \right) = \chi ^ { ( 3 ) } \mathbf { E } ( 2 \omega \left. - \omega _ { \mathrm { T H z } } \right) \mathbf { E } ^ { * } ( \omega ) \mathbf { E } ^ { * } ( \omega )
\left. V _ { 0 } \right| _ { R F } = R _ { e } \frac { k _ { \perp } } { a \omega B } \mathcal { P } _ { R F } \leq \frac { R } { \operatorname { t a n h } l / \lambda } \frac { k _ { \perp } } { a \omega B } \mathcal { P } _ { R F }
\begin{array} { r l } { I I _ { 1 } } & { \le c r _ { f } ^ { n } \left( | u _ { f } - u _ { g } | + | r _ { f } - r _ { g } | \right) \left\{ 1 + \frac 1 3 \left( ( u _ { g } - r _ { g } ) ^ { 2 } + ( u _ { g } - r _ { g } ) ( u _ { f } - r _ { g } ) + ( u _ { f } - r _ { g } ) ^ { 2 } \right) \right\} } \\ & { \le C \left( | \rho _ { f } - \rho _ { g } | + | u _ { f } - u _ { g } | \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { e } _ { \mathrm { f a r } } ( \theta , \phi ) } & { { } = \boldsymbol { \hat { a } } _ { \theta } e _ { \mathrm { f a r } , \theta } ( \theta , \phi ) + \boldsymbol { \hat { a } } _ { \phi } e _ { \mathrm { f a r } , \phi } ( \theta , \phi ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf J ( \textbf x ) } & { = \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } \bigl | \phi _ { m } ( \textbf x ) \bigr | ^ { 2 } ( m - | z | ^ { 2 } ) \, \mathrm { d } \varphi } \\ & { = \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } \Big ( m \bigl | \phi _ { m } ( \textbf x ) \bigr | ^ { 2 } - ( m + 1 ) \bigl | \phi _ { m + 1 } ( \textbf x ) \bigr | ^ { 2 } \Big ) \, \mathrm { d } \varphi } \\ & { = - N \bigl | \phi _ { N } ( \textbf x ) \bigr | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \varphi . } \end{array}
\boldsymbol { S } = \int _ { t ^ { n } } ^ { t ^ { n + 1 } } \frac { g ^ { * } - f } { \tau } \boldsymbol { \psi } \mathrm { { d } } \boldsymbol { \Xi } \mathrm { { d } } t = \int _ { t ^ { n } } ^ { t ^ { n + 1 } } \boldsymbol { s } \mathrm { { d } } t ,
\left\langle \frac { \partial } { \partial \delta } D ( \mathbf { x } ) \right\rangle ^ { \circ } = \left\langle \frac { \partial } { \partial \delta } \sum _ { i \in G } x _ { i } \left( b _ { i } ( \mathbf { x } ) - d _ { i } ( \mathbf { x } ) \right) \right\rangle ^ { \circ } > 0 ,
{ \begin{array} { r l } { \mu _ { \Omega , \nu } } & { = - { \frac { 1 } { L _ { \mathrm { e } , \Omega , \nu } } } { \frac { \mathrm { d } L _ { \mathrm { e } , \Omega , \nu } } { \mathrm { d } z } } , } \\ { \mu _ { \Omega , \lambda } } & { = - { \frac { 1 } { L _ { \mathrm { e } , \Omega , \lambda } } } { \frac { \mathrm { d } L _ { \mathrm { e } , \Omega , \lambda } } { \mathrm { d } z } } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { I , \mathrm { ~ d ~ i ~ r ~ } } = } & { { } g \left[ \sum _ { b = 0 , 1 } \sum _ { s \in \{ \mathrm { L } , \mathrm { M } , \mathrm { R } \} } U _ { s } ^ { b } \hat { n } _ { s \uparrow } ^ { b } \hat { n } _ { s \downarrow } ^ { b } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Psi } _ { \alpha } ^ { \mathrm { I } } \left( \phi _ { \alpha } ^ { \mathrm { e q } } ( \xi ) \right) = \hat { \psi } _ { \alpha } ^ { \mathrm { I I } } \left( \phi _ { \alpha } ^ { \mathrm { e q } } ( \xi ) \right) = } & { { } ~ \frac { 2 } { \mathbb { C } \mathrm { n } \mathbb { W } \mathrm { e } _ { \alpha } } W ( \phi _ { \alpha } ^ { \mathrm { e q } } ) } \\ { = } & { { } ~ \frac { 1 } { 4 \mathbb { C } \mathrm { n } \mathbb { W } \mathrm { e } _ { \alpha } } \left( 1 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } \left( \frac { \pm \xi } { \mathbb { C } \mathrm { n } \sqrt { 2 } } \right) \right) ^ { 2 } , } \\ { \hat { \Psi } _ { \alpha } ^ { \mathrm { I I } } \left( \phi _ { \alpha } ^ { \mathrm { e q } } ( \xi ) \right) = } & { { } ~ \frac { 4 } { \mathbb { C } \mathrm { n } \mathbb { W } \mathrm { e } _ { \alpha } } K ( \phi _ { \alpha } ^ { \mathrm { e q } } ) } \\ { = } & { { } ~ \frac { 1 } { 4 \mathbb { C } \mathrm { n } \mathbb { W } \mathrm { e } _ { \alpha } } \left( 1 + \operatorname { t a n h } \left( \frac { \pm \xi } { \mathbb { C } \mathrm { n } \sqrt { 2 } } \right) \right) \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 3 } } & { \leq 8 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \big \| \mu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \nabla h ^ { ( m ) } ( \bar { x } _ { t - 1 } ) \big \| ^ { 2 } + 8 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \nabla h ( \bar { x } _ { t - 1 } ) - \bar { \mu } _ { t - 1 } \bigg \| ^ { 2 } \leq 1 6 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \big \| \mu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \nabla h ^ { ( m ) } ( \bar { x } _ { t - 1 } ) \big \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 3 2 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \big \| \mu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \nabla h ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) \big \| ^ { 2 } + \big \| \nabla h ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) - \nabla h ^ { ( m ) } ( \bar { x } _ { t - 1 } ) \big \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } 3 2 \bar { L } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } \bigg ] + 3 2 \hat { L } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
n - n _ { \mathrm { n e c k } } = \left\{ \begin{array} { r l r } { 2 \pi R ^ { 2 } L \phi _ { \mathrm { p } } / v } & { { } , } & { \mathrm { C y l i n d e r } } \\ { \frac { 8 } { 3 } \pi R ^ { 3 } \phi _ { \mathrm { p } } / v } & { { } , } & { \mathrm { S p h e r e } } \\ { 8 \pi R ^ { 2 } \delta \phi _ { \mathrm { p } } / v } & { { } , } & { \mathrm { V e s i c l e } } \end{array} \right.
S _ { \mu } ^ { \lambda } ( s ^ { \prime } , s ) = { \frac { 1 } { 2 } } [ s ^ { \prime } ] ^ { 2 } [ s ] \sum _ { \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } = 0 } ^ { 1 } [ \lambda _ { 1 } ] [ \lambda _ { 2 } ] \ \left\{ \begin{array} { l l l } { { { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } } } & { { { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } } } & { { s ^ { \prime } } } \\ { { { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } } } & { { { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } } } & { { s } } \\ { { \lambda _ { 1 } } } & { { \lambda _ { 2 } } } & { { \lambda } } \end{array} \right\} \left( \sigma _ { 1 } ^ { \lambda _ { 1 } } \otimes \sigma _ { 2 } ^ { \lambda _ { 2 } } \right) _ { \mu } ^ { \lambda } ,
\begin{array} { r } { \mathbb { \Sigma } _ { \Lambda _ { j k } ^ { ( \varepsilon ) } } ^ { ( n ) } ( s , t | x ) = \frac { 1 } { n } \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } \frac { \tilde { \zeta } _ { j k } ^ { ( n , \ell , \varepsilon ) } ( s | x ) \tilde { \zeta } _ { j k } ^ { ( n , \ell , \varepsilon ) } ( t | x ) \mathbb { g } ^ { ( n , \ell ) } ( x ) } { \mathbb { g } ^ { ( n ) } ( x ) } , } \end{array}
| \widetilde C _ { 9 } ^ { \prime } ( y ) | ^ { 2 } + | C _ { 1 0 } | ^ { 2 } = ( | \widetilde C _ { 9 } ( y ) | ^ { 2 } + | C _ { 1 0 } | ^ { 2 } ) \, [ 1 + d ( y ) ] \, .
\begin{array} { r } { \mathcal { B } \big [ \alpha D _ { \mu \nu } ( k ) \big ] ( u ) = - \frac { \mathrm { i } } { k ^ { 2 } } \bigg ( \eta _ { \mu \nu } - \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } } { k ^ { 2 } } \bigg ) \bigg ( - \frac { \mu ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } e ^ { - C } \bigg ) ^ { u } - \mathrm { i } \xi \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } } { k ^ { 4 } } , } \end{array}