harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \varphi ( x _ { 1 } ) - \varphi ( x _ { 2 } ) \le \underbrace { f ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ^ { \prime } ) - f ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } _ { ( i ) } , \quad \forall y _ { 1 } ^ { \prime } \in Y ^ { * } ( x _ { 1 } ) ; } \\ & { \varphi ( x _ { 2 } ) - \varphi ( x _ { 1 } ) \le \underbrace { f ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ^ { \prime } ) - f ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) } _ { ( i i ) } , \quad \forall y _ { 2 } ^ { \prime } \in Y ^ { * } ( x _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { k } } & { = ( a _ { k - 1 } a _ { k - 2 } \dots a _ { 1 } b _ { 0 } ) + ( a _ { k - 1 } a _ { k - 2 } \dots a _ { 2 } b _ { 1 } ) + ( a _ { k - 1 } a _ { k - 2 } \dots a _ { 3 } b _ { 2 } ) + \dots } \\ & { + ( a _ { k - 1 } a _ { k - 2 } b _ { k - 3 } ) + ( a _ { k - 1 } b _ { k - 2 } ) + ( b _ { k - 1 } ) , \qquad \mathrm { f o r ~ } \quad k \ge 1 . } \end{array}
N = N _ { x } \times N _ { y } \times N _ { z } = 1 2 9 ^ { 3 } , 2 5 7 ^ { 3 } , 3 8 5 ^ { 3 } , 5 1 3 ^ { 3 } , 6 4 1 ^ { 3 } , 7 6 9 ^ { 3 }
{ \frac { \partial f } { \partial \mathbf { v } } } \cdot \mathbf { u } = \left( { \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial \mathbf { v } } } + { \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial \mathbf { v } } } \right) \cdot \mathbf { u } .
5 . 1 2 w S _ { 2 } + S _ { 1 } \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } } \log ( w ) + \frac { S _ { 0 } } { w } \left[ \frac { \beta _ { 1 } ^ { 2 } } { \beta _ { 0 } ^ { 2 } } \log ( w ) + \left( \frac { \beta _ { 2 } } { \beta _ { 0 } } - \frac { \beta _ { 1 } ^ { 2 } } { \beta _ { 0 } ^ { 2 } } \right) ( w - 1 ) \right] = 0
\left\{ \begin{array} { l c l c l } { { x } } & { { = } } & { { s _ { 2 j - 1 } ^ { j } z _ { 2 j - 1 } ^ { j - 1 } } } & { { = } } & { { s _ { 2 j } ^ { j } t _ { 2 j } z _ { 2 j } ^ { j } } } \\ { { y } } & { { = } } & { { s _ { 2 j - 1 } ^ { j - 1 } t _ { 2 j - 1 } z _ { 2 j - 1 } ^ { j - 1 } } } & { { = } } & { { s _ { 2 j } ^ { j } z _ { 2 j } ^ { j - 1 } } } \\ { { z } } & { { = } } & { { s _ { 2 j - 1 } z _ { 2 j - 1 } } } & { { = } } & { { s _ { 2 j } z _ { 2 j } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { P _ { n + 1 , k } } & { = P _ { n , k } + \frac { \beta } { \operatorname* { m a x } \left| O _ { n } \right| ^ { 2 } } O _ { n } ^ { * } \left( \psi _ { k } - P _ { n , k } \cdot O _ { n } \right) } \\ { O _ { n + 1 } } & { = O _ { n } + \frac { \beta } { \operatorname* { m a x } \left( \sum _ { k } \left| P _ { n , k } \right| ^ { 2 } \right) } \sum _ { k } P _ { n , k } ^ { * } \left( \psi _ { k } - P _ { n , k } \cdot O _ { n } \right) , } \end{array}
\langle X , Y \rangle _ { \mathfrak { g } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { \langle X , Y \rangle _ { p } \quad } & { X , Y \in T _ { p } M \cong { \mathfrak { m } } } \\ { - B ( X , Y ) \quad } & { X , Y \in { \mathfrak { h } } } \\ { 0 } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right. }
p ( \lambda , \beta | d ) = \int _ { \Phi } \mathcal { D } \phi \: p ( \phi , \lambda , \beta | d ) = \int _ { \Phi } \mathcal { D } \phi \: p ( d | \phi ) \frac { \exp \left\{ - \left( H [ \phi | \lambda , \beta ] + H [ \lambda , \beta ] \right) \right\} } { Z [ \lambda , \beta ] } .
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { k \in \mathbb N } \tilde { \mathbb { E } } \left[ \left( \int _ { 0 } ^ { T } \| \tilde { u } _ { n _ { k } } \| _ { s - 1 } ^ { 2 } d t \right) ^ { \frac { p } { 2 } } \right] \leq \operatorname* { s u p } _ { k \in \mathbb N } \tilde { \mathbb { E } } \left[ \left( \int _ { 0 } ^ { T } \| \tilde { u } _ { n _ { k } } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } d t \right) ^ { \frac { p } { 2 } } \right] \leq C _ { T } \operatorname* { s u p } _ { k \in \mathbb N } \tilde { \mathbb { E } } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| \tilde { u } _ { n _ { k } } \| _ { \tilde { s } } ^ { p } < \infty . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { \langle \alpha | \phi ( x ) \phi ( y ) | \alpha \rangle } } & { { = } } & { { N _ { \alpha } ^ { 2 } \left( G _ { E } ( x , y ) + | \gamma | ^ { 2 } G _ { E } ( \bar { x } , \bar { y } ) + \gamma G _ { E } ( \bar { x } , y ) + \gamma ^ { * } G _ { E } ( x , \bar { y } ) \right) } } \\ { { } } & { { \equiv } } & { { G _ { \alpha } ( x , y ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \chi ( a _ { 1 } a _ { 2 } , a _ { 3 } ) + \chi ( a _ { 2 } a _ { 3 } , a _ { 1 } ) + \chi ( a _ { 3 } a _ { 1 } , a _ { 2 } ) = \chi ( a _ { 1 } a _ { 2 } , a _ { 3 } ) - \chi ( a _ { 1 } , a _ { 2 } a _ { 3 } ) - \chi ( a _ { 2 } , a _ { 3 } a _ { 1 } ) } \\ & { = \beta ( f ( a _ { 1 } a _ { 2 } ) , a _ { 3 } ) - \beta ( f ( a _ { 1 } ) , a _ { 2 } a _ { 3 } ) - \beta ( f ( a _ { 2 } ) , a _ { 3 } a _ { 1 } ) } \\ & { = \beta ( f ( a _ { 1 } a _ { 2 } ) , a _ { 3 } ) - \beta ( f ( a _ { 1 } ) a _ { 2 } , a _ { 3 } ) - \beta ( a _ { 1 } f ( a _ { 2 } ) , a _ { 3 } ) } \\ & { = \beta ( f ( a _ { 1 } a _ { 2 } ) - f ( a _ { 1 } ) a _ { 2 } - a _ { 1 } f ( a _ { 2 } ) , a _ { 3 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \Omega } } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } \times T _ { k } } & { = \Big ( ( i - \frac { 1 } { 2 } ) \Delta x , j \Delta y , k \Delta t \Big ) , \quad \mathrm { f o r ~ i = 0 , . . . , n _ x ~ , ~ j = 0 , . . . , n _ y - 1 ~ a n d ~ k = 0 , . . . , n _ t - 1 ~ } , } \\ { \overline { { \Omega } } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } \times T _ { k } } & { = \Big ( i \Delta x , ( j - \frac { 1 } { 2 } ) \Delta y , k \Delta t \Big ) , \quad \mathrm { f o r ~ i = 0 , . . . , n _ x - 1 ~ , ~ j = 0 , . . . , n _ y ~ a n d ~ k = 0 , . . . , n _ t - 1 ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathcal { G } } ^ { 2 } } & { \ll \frac { \gamma ^ { 2 } } { 1 6 } \frac { m ^ { 4 } } { L ^ { 2 } n _ { p } } } \\ { \sigma _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } } & { \ll \frac { \gamma ^ { 2 } } { 1 6 } \frac { m ^ { 4 } } { L ^ { 2 } n _ { p } \left\lVert d { \boldsymbol { \theta } } ^ { \mathrm { N R } } \right\rVert ^ { 2 } } < \frac { \gamma ^ { 2 } } { 1 6 } \frac { m ^ { 6 } } { L ^ { 2 } n _ { p } \lVert \dot { \mathcal { G } } _ { \mathrm { m a x } } \rVert ^ { 2 } \Delta t ^ { 2 } } } \end{array}
\aleph ^ { a b c } = C \; \left( 1 + \Sigma _ { s } { \frac { m _ { s } } { | \vec { x } - \vec { x } _ { s } | } } \right) ^ { - 1 } \bar { \epsilon } _ { 0 } \; \gamma ^ { a b c } \epsilon _ { 0 } \ , \qquad a = 0 , 1 , \dots 9 ,
\begin{array} { r l } { \left. \frac { \sigma _ { i j } } { p _ { f } ^ { ( 2 ) } } \right| _ { { \bf { e } = \bf { 0 } } , \, p _ { f } ^ { ( 1 ) } = 0 } } & { \equiv - \alpha _ { i j } ^ { ( 2 ) } \, , } \\ { \left. \frac { \zeta ^ { ( 1 ) } } { p _ { f } ^ { ( 2 ) } } \right| _ { { \bf { e } = \bf { 0 } } , \, p _ { f } ^ { ( 1 ) } = 0 } } & { \equiv \frac { 1 } { M ^ { ( 1 , 2 ) } } \, , } \\ { \left. \frac { \zeta ^ { ( 2 ) } } { p _ { f } ^ { ( 2 ) } } \right| _ { { \bf { e } = \bf { 0 } } , \, p _ { f } ^ { ( 1 ) } = 0 } } & { \equiv \frac { 1 } { M ^ { ( 2 ) } } \, } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { e v } : { \overline { { \mathcal { M } } } } _ { g , n } ( X , A ) \to Y } \\ { \mathrm { e v } ( C , x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , f ) = \left( \operatorname { s t } ( C , x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) , f ( x _ { 1 } ) , \ldots , f ( x _ { n } ) \right) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { { \mathbb { E } } \left\{ \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 2 } \left( \| U _ { i } \| ^ { - 2 } - p ^ { - 1 } \right) \right\} } \\ & { \leq } & { p ^ { - 1 } { \mathbb { E } } \left( \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 2 } \| U _ { i } \| ^ { - 2 } \left| \| U _ { i } \| ^ { 2 } - p \right| \right) } \\ & { = } & { p ^ { - 1 } { \mathbb { E } } \left\{ \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 2 } \| U _ { i } \| ^ { - 2 } \left| \| U _ { i } \| ^ { 2 } - p \right| { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ) \right\} } \\ & { } & { + p ^ { - 1 } { \mathbb { E } } \left\{ \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 2 } \| U _ { i } \| ^ { - 2 } \left| \| U _ { i } \| ^ { 2 } - p \right| { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ^ { c } ) \right\} } \\ & { \leq } & { p ^ { - 1 } \{ p - \epsilon p ^ { ( 1 + \delta ) / 2 } \} ^ { - 1 } { \mathbb { E } } \left( \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 2 } \left| \| U _ { i } \| ^ { 2 } - p \right| \right) } \\ & { } & { + p ^ { - 1 } \mathrm { t r } ( \Omega ) { \mathbb { E } } \left\{ \left| \| U _ { i } \| ^ { 2 } - p \right| { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ^ { c } ) \right\} } \\ & { \leq } & { p ^ { - 1 } \{ p - \epsilon p ^ { ( 1 + \delta ) / 2 } \} ^ { - 1 } \left\{ { \mathbb { E } } ( \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 4 } ) \right\} ^ { 1 / 2 } \left\{ { \mathbb { E } } ( \left| \| U _ { i } \| ^ { 2 } - p \right| ^ { 2 } ) \right\} ^ { 1 / 2 } } \\ & { } & { + \left\{ { \mathbb { E } } ( \left| \| U _ { i } \| ^ { 2 } - p \right| ^ { 2 } ) \right\} ^ { 1 / 2 } \left\{ { \mathbb { P } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ^ { c } ) \right\} ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq } & { p ^ { - 1 } ( p - \epsilon p ^ { 1 - \delta } ) ^ { - 1 } \{ p ^ { 2 } + O ( p ^ { 2 - \delta } ) \} ^ { 1 / 2 } \times O ( p ^ { 1 / 2 } ) } \\ & { } & { + O ( p ^ { 1 / 2 } ) \times c _ { 1 } ^ { 1 / 2 } \exp \{ - c _ { 2 } p ^ { \delta \alpha / ( 4 \alpha + 4 ) } / 2 \} } \\ & { = } & { O ( p ^ { - 1 / 2 } ) \, . } \end{array}
S _ { \mathrm { t h } } = S _ { \mathrm { t h } } ( \omega _ { 0 } ) = S _ { \mathrm { F } } \left( \frac { Q } { m \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } = \frac { 4 k _ { \mathrm { B } } T Q } { m \omega _ { 0 } ^ { 3 } } .
\left( \frac { x - x _ { 1 } } { s _ { 1 } } \right) ^ { \epsilon _ { 1 } } + \left( \frac { y - y _ { 1 } } { s _ { 2 } } \right) ^ { \epsilon _ { 2 } } + \left( \frac { z - z _ { 1 } } { s _ { 3 } } \right) ^ { \epsilon _ { 3 } } = 1 .
\begin{array} { r } { p ( \pi G | \hat { \pi } \hat { G } ) = p ( N | \hat { \pi } \hat { G } ) \, \cdot \, p ( \pi V | N , \hat { \pi } \hat { G } ) \, \cdot \, p ( \pi E | N , \pi V , \hat { \pi } \hat { G } ) \, \cdot \, p ( A | N , \pi V , \pi E , \hat { \pi } \hat { G } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \Lambda _ { f } \ast g \right) ( n ) } & { = \sum _ { d \mid n } \Lambda _ { f } ( d ) g \left( \frac { n } { d } \right) = \sum _ { d \mid n } \Lambda _ { f } ( d ) \left( g ( n ) - g ( d ) \right) } \\ & { = \sum _ { d \mid n } \Lambda _ { f } ( d ) g ( n ) - \sum _ { d \mid n } \Lambda _ { f } ( d ) g ( d ) } \\ & { = g ( n ) \sum _ { d \mid n } \Lambda _ { f } ( d ) - \sum _ { d \mid n } \Lambda _ { f } ( d ) g ( d ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \boldsymbol { x } _ { 1 } - \boldsymbol { x } _ { 2 } \| } & { { } = \| \boldsymbol { F } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { y } _ { 1 } ) - \boldsymbol { F } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { y } _ { 2 } ) \| \le \| \mathcal { D } \boldsymbol { F } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { y } _ { t } ) ( \boldsymbol { y } _ { 1 } - \boldsymbol { y } _ { 2 } ) \| } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { \mathrm { u } } ^ { \mathrm { w a v e } } ( z , z ^ { \prime } ) } & { = \frac { 1 } { 4 r r ^ { \prime } } \sum _ { \varepsilon , \varepsilon ^ { \prime } \in \{ - 1 , 1 \} } ( r + \varepsilon c | t | ) ( r ^ { \prime } + \varepsilon ^ { \prime } c | t ^ { \prime } | ) k _ { \mathrm { u } } ^ { 0 } \big ( ( r + \varepsilon c | t | ) ^ { 2 } , ( r ^ { \prime } + \varepsilon ^ { \prime } c | t ^ { \prime } | ) ^ { 2 } \big ) } \end{array}
P _ { 0 } ( Z ) = \left( \begin{array} { c c } { { I } } & { { - Z ^ { \dag } } } \\ { { Z } } & { { I ^ { \prime } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { I } } & { { } } \\ { { } } & { { O ^ { \prime } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { I } } & { { - Z ^ { \dag } } } \\ { { Z } } & { { I ^ { \prime } } } \end{array} \right) ^ { - 1 } .
\eta _ { \mu \nu } ( D X ^ { \nu } - \bar { D } X ^ { \nu } ) + B _ { \mu \nu } ( D X ^ { \nu } + \bar { D } X ^ { \nu } ) | _ { \sigma = 0 , \pi ; \theta = \bar { \theta } } = 0 , \quad ( \mu , \nu = 0 , 1 , \ldots , p )
\begin{array} { r l } { G ( x _ { \mu } ; x _ { \mu } ^ { \prime } ) = } & { { } \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k _ { \eta } e ^ { i k _ { \eta } ( \eta - \eta ^ { \prime } ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { \bot } k _ { \bot } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta e ^ { i k _ { \bot } r _ { \bot } \cos \theta } \cdot } \\ { = } & { { } \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k _ { \eta } e ^ { i k _ { \eta } ( \eta - \eta ^ { \prime } ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { \bot } k _ { \bot } J _ { 0 } ( k _ { \bot } r _ { \bot } ) \cdot } \\ { = } & { { } - \frac { \epsilon ( \tau - \tau ^ { \prime } ) \theta ( \lambda ^ { 2 } ) } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } k _ { \bot } d k _ { \bot } J _ { 0 } ( \lambda k _ { \bot } ) J _ { 0 } ( r _ { \bot } k _ { \bot } ) } \\ { { } = } & { { } - \frac { \epsilon ( \tau - \tau ^ { \prime } ) } { 2 \pi } \delta ( s ^ { 2 } ) } \end{array}
\psi ( \boldsymbol { x } ) = \sum _ { \alpha _ { 1 } , \dots , \alpha _ { n - 1 } } M _ { x _ { 1 } } ^ { \alpha _ { 0 } \alpha _ { 1 } } \cdots M _ { x _ { n } } ^ { \alpha _ { n - 1 } \alpha _ { n } } = \sum _ { \boldsymbol { \alpha } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } M _ { x _ { i } } ^ { \alpha _ { i - 1 } \alpha _ { i } } .
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { = } & { x \left( r _ { 1 } \left( 1 - x / K _ { 1 } \right) - \alpha _ { 1 2 } y - \frac { q _ { 1 } z } { 1 + a _ { 1 } x } \right) , } \\ { \dot { y } } & { = } & { y \left( r _ { 2 } \left( 1 - y / K _ { 2 } \right) - \alpha _ { 2 1 } x - \frac { q _ { 2 } z } { 1 + a _ { 2 } y } \right) , } \\ { \dot { z } } & { = } & { z \left( \frac { c _ { 1 } q _ { 1 } x } { 1 + a _ { 1 } x } + \frac { c _ { 2 } q _ { 2 } y } { 1 + a _ { 2 } y } - \mu - m z \right) , } \\ & { } & { \mathrm { c o n ~ } x ( 0 ) > 0 \mathrm { , ~ } y ( 0 ) > 0 \mathrm { , ~ } z ( 0 ) > 0 . } \end{array}
\frac { \partial \hat { u } _ { \mathcal { T } } } { \partial \textbf { v } _ { p } } ( \boldsymbol { \xi } ) = - f _ { \mathcal { T } } ( \boldsymbol { \xi } ) \textbf { w } _ { p } + 2 A _ { \mathcal { T } } \frac { \partial f _ { \mathcal { T } } ( \boldsymbol { \xi } ) } { \partial \textbf { v } _ { p } } ,
B _ { 5 } ^ { ( d - 2 ) } = - \frac { 4 ( d - 2 ) ( d - 3 ) ( 3 d - 8 ) ( 3 d - 1 0 ) } { 9 ( d - 4 ) ( d - 6 ) ^ { 3 } } B _ { 5 } ^ { ( d ) } - \frac { 6 4 ( 1 5 d - 5 2 ) } { 9 ( d - 4 ) ^ { 4 } ( d - 6 ) ^ { 3 } } .
\left( \begin{array} { l } { { \psi _ { R } } } \\ { { \psi _ { G } } } \\ { { \psi _ { B } } } \end{array} \right) \rightarrow \exp ( - i \theta _ { a } \lambda _ { a } / 2 ) \left( \begin{array} { l } { { \psi _ { R } } } \\ { { \psi _ { G } } } \\ { { \psi _ { B } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { { E } _ { C } \Big [ \Big ( p ( a | b ^ { \prime } , c ) - p ( a | b ^ { \prime } ) \Big ) ^ { 2 } \Big | b ^ { \prime } \Big ] } & { { } = } & { \sum _ { c } ( p ( a | b ^ { \prime } , c ) - p ( a | b ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } p ( c | b ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { I } ^ { - 1 } = \frac { 1 } { I _ { 1 1 } I _ { 2 2 } - I _ { 1 2 } I _ { 2 1 } } \left( \begin{array} { l l } { I _ { 2 2 } } & { - I _ { 1 2 } } \\ { - I _ { 2 1 } } & { I _ { 1 1 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { J _ { 1 1 } } & { - J _ { 1 2 } } \\ { - J _ { 2 1 } } & { J _ { 2 2 } . } \end{array} \right) } \end{array}
Z _ { \infty } ^ { p , q } = \bigcap _ { r = 0 } ^ { \infty } Z _ { r } ^ { p , q } = \bigcap _ { r = 0 } ^ { \infty } \ker ( F ^ { p } C ^ { p + q } \rightarrow C ^ { p + q + 1 } / F ^ { p + r } C ^ { p + q + 1 } )
P \left( E \right) = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } P \left( E \mid X = k \right) P \left( X = k \right) = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left[ 1 - \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { k } - k \left( \frac { 1 } { 4 } \right) \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { k - 1 } \right] \left( \frac { 3 } { 1 0 } \right) ^ { k - 1 } \left( \frac { 7 } { 1 0 } \right)
F _ { \rho } ^ { G } = F _ { \rho } ^ { c , e } + \omega F _ { \rho } ^ { c , c } + \bar { \omega } F _ { \rho } ^ { c , c ^ { 2 } } + F _ { \rho } ^ { c ^ { 2 } , e } + \bar { \omega } F _ { \rho } ^ { c ^ { 2 } , c } + \omega F _ { \rho } ^ { c ^ { 2 } , c ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \bar { h } _ { j } [ u , \mathbf { A } ] } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { j } ^ { 2 } - \frac { \mathrm { i } } { 2 } \{ \nabla _ { j } , \mathbf { A } ( \mathbf { r } _ { j } ) \} + u ( \mathbf { r } _ { j } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \frac { 1 - \delta } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| h _ { \tau , ( k ) } ^ { 0 } - \nabla f ^ { \tau } ( x ^ { k - 1 } ) - \nabla \psi ( x ^ { k - 1 } ) - \kappa ( x ^ { k - 1 } - y ^ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 - \delta } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| h _ { \tau , ( k - 1 ) } ^ { T _ { k - 1 } } - \nabla f ^ { \tau } ( x ^ { k - 1 } ) - \nabla \psi ( x ^ { k - 1 } ) - \kappa ( x ^ { k - 1 } - y ^ { k - 2 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { = \quad \frac { 1 - \delta } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| h _ { \tau , ( k - 1 ) } ^ { T _ { k - 1 } } - \nabla G _ { k - 1 } ^ { \tau } ( x ^ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 3 ( 1 - \delta ) } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \left( \| h _ { \tau , ( k - 1 ) } ^ { T _ { k - 1 } } - \nabla G _ { k - 1 } ^ { ( \tau ) } ( w _ { ( k - 1 ) } ^ { T _ { k - 1 } } ) \| ^ { 2 } + \| \nabla G _ { k - 1 } ^ { ( \tau ) } ( w _ { ( k - 1 ) } ^ { T _ { k - 1 } } ) - \nabla G _ { k - 1 } ^ { ( \tau ) } ( x ^ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\int f _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } [ n _ { 0 } ] ( { \bf r } , { \bf r } ^ { \prime } , \omega ) \nabla n _ { 0 } ( { \bf r } ^ { \prime } ) d ^ { 3 } r ^ { \prime } = \nabla v _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } [ n _ { 0 } ] ( { \bf r } )
\ln \rho _ { n k } = \operatorname { E } [ \ln \pi _ { k } ] + { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { E } [ \ln | \mathbf { \Lambda } _ { k } | ] - { \frac { D } { 2 } } \ln ( 2 \pi ) - { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { E } _ { \mathbf { \mu } _ { k } , \mathbf { \Lambda } _ { k } } [ ( \mathbf { x } _ { n } - \mathbf { \mu } _ { k } ) ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { \Lambda } _ { k } ( \mathbf { x } _ { n } - \mathbf { \mu } _ { k } ) ]
\begin{array} { r l } { \| \nabla w _ { k + 1 } \| _ { L ^ { p } ( \Omega ) } ^ { p } } & { \leq \epsilon _ { 0 } ^ { p - 1 - \sigma } \int _ { \Omega } v ^ { \sigma } w _ { k + 1 } \ d x \leq \int _ { \{ w _ { k + 1 } > 0 \} } v ^ { \sigma } w _ { k + 1 } \ d x } \\ & { \leq \int _ { \{ w _ { k + 1 } > 0 \} } ( 1 + v ^ { p - 1 } ) w _ { k + 1 } \ d x } \\ & { \leq \int _ { \{ w _ { k + 1 } > 0 \} } ( 1 + A _ { k } ^ { p - 1 } w _ { k } ^ { p - 1 } ) w _ { k } \ d x } \\ & { \leq | \{ w _ { k + 1 } > 0 \} | ^ { 1 - \frac { 1 } { p } } U _ { k } ^ { \frac { 1 } { p } } + 2 ^ { ( k + 1 ) ( p - 1 ) } U _ { k } } \end{array}
s ^ { 2 } ( \hat { a } + \hat { b } x + z ) = s _ { z } ^ { 2 } \left[ 1 + \frac { 1 } { n } \left( 1 + \frac { ( x - \left\langle x \right\rangle ) ^ { 2 } } { \bar { s } _ { x } ^ { 2 } } \right) \right] \: ,
\begin{array} { r l } { \delta _ { 1 } \psi _ { k l } ^ { - } ( w _ { 3 1 } ) } & { \mathrm { ~ o f ~ } \delta _ { 1 } c ( G _ { 4 } , G _ { 3 } , 4 , 2 ) , \ \delta _ { 1 } \mu _ { k l } ^ { + } ( w _ { 3 1 } ) \mathrm { ~ o f ~ } \delta _ { 1 } c ( G _ { 2 } , 2 , 4 ) , } \\ { \delta _ { 1 } \mu _ { k l } ^ { - } ( w _ { 3 1 } ) } & { \mathrm { ~ o f ~ } \delta _ { 1 } c ( G _ { 3 } , 2 , 4 ) , \mathrm { ~ a n d ~ } \ \delta _ { 1 } \psi _ { k l } ^ { + } ( w _ { 3 1 } ) \mathrm { ~ o f ~ } \delta _ { 1 } c ( G _ { 2 } , G _ { 3 } , 4 , 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \Delta ^ { \acute { n } } F ( P _ { 0 } ) } { \Delta _ { 1 } P ^ { \acute { n } } } } } & { { } = { \frac { \sum _ { I = 0 } ^ { \acute { N } } { \binom { - 1 } { { \acute { N } } - I } } { \binom { \acute { N } } { I } } F ( P _ { 0 } + I \Delta _ { 1 } P ) } { \Delta _ { 1 } P ^ { \acute { n } } } } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } \delta \widetilde X _ { s } + \delta \widetilde X _ { s } A _ { 2 } - U V ^ { * } } & { = A _ { 1 } \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 1 } A _ { 2 } - U V ^ { * } + \sum _ { j = 1 } ^ { s - 1 } ( A _ { 1 } \Delta _ { j + 1 } + \Delta _ { j + 1 } A _ { 2 } ) } \\ & { = - r _ { 1 } ( A _ { 1 } ) ( U + \eta _ { 1 } ) V ^ { * } r _ { 1 } ( - A _ { 2 } ) ^ { - 1 } + \eta _ { 1 } V ^ { * } } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { s - 1 } \Bigg \{ - \frac { r _ { j + 1 } } { r _ { j } } ( A _ { 1 } ) \left[ ( A _ { 1 } - p _ { j } I ) \widetilde W _ { j } + \eta _ { j + 1 } \right] V ^ { * } r _ { j + 1 } ( - A _ { 2 } ) ^ { - 1 } } \\ & { + \left[ ( A _ { 1 } - p _ { j } I ) \widetilde W _ { j } + \eta _ { j + 1 } \right] V ^ { * } r _ { j } ( - A _ { 2 } ) ^ { - 1 } \Bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ \ \ \ \mathcal { T } \left( T ^ { H } M , g ^ { T Z } , h ^ { F } \right) } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { + \infty } \left( f ^ { \wedge } \left( C _ { t } ^ { \prime } , h ^ { E } \right) - \frac { \chi ^ { \prime } ( Z , F ) } { 2 } - \frac { \chi ( Z , F ) \dim Z - 2 \chi ^ { \prime } ( Z , F ) } { 4 } f ^ { \prime } \left( \frac { \sqrt { - 1 } \sqrt { t } } { 2 } \right) \right) \frac { d t } { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nabla h _ { 0 } ( x ) - \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \lambda _ { j } \nabla q _ { i } ^ { ( 1 ) } ( x ) \if { = \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] - \lambda _ { 1 } \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] - \lambda _ { 2 } \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] - \lambda _ { 3 } \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] - \lambda _ { 4 } \left[ \begin{array} { l } { 5 x _ { 1 } ^ { 4 } } \\ { 0 } \\ { - 2 x _ { 3 } } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } \fi = \left[ \begin{array} { l } { 1 - 5 \lambda _ { 4 } x _ { 1 } ^ { 4 } } \\ { 1 - \lambda _ { 3 } } \\ { 2 \lambda _ { 4 } x _ { 3 } } \\ { - \lambda _ { 2 } } \\ { - \lambda _ { 1 } } \end{array} \right] \, , } \\ & { \nabla h _ { 0 } ( x ) - \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \lambda _ { j } \nabla q _ { i } ^ { ( 2 ) } ( x ) \if { = \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] - \lambda _ { 1 } \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] - \lambda _ { 2 } \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] - \lambda _ { 3 } \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 5 x _ { 2 } ^ { 4 } } \\ { 0 } \\ { - 2 x _ { 4 } } \\ { 0 } \end{array} \right] - \lambda _ { 4 } \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } \fi = \left[ \begin{array} { l } { 1 - \lambda _ { 4 } } \\ { 1 - 5 \lambda _ { 3 } x _ { 2 } ^ { 4 } } \\ { - \lambda _ { 2 } } \\ { 2 \lambda _ { 3 } x _ { 4 } } \\ { - \lambda _ { 1 } } \end{array} \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R } & { \geq } & { - 4 C _ { 3 } K _ { 0 } T \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } r _ { s } ^ { - 1 \slash 2 5 } + \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { - ( | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L + 2 L ^ { - 1 } ) ^ { 2 } - 4 L ^ { - 1 } } } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \\ & { } & { - 3 0 L e ^ { 1 2 L ^ { 2 } } \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } + 1 ) ( s _ { 2 } ^ { \prime } - s _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) . } \end{array}
\left\langle \mathbf { h } , \widetilde { \mathbf { D } } \mathbf { h } \right\rangle _ { \mathbf { M } } = \left\langle \mathbf { u } , \widetilde { \mathbf { D } } \mathbf { u } \right\rangle _ { \mathbf { M } } = \left\langle \mathbf { u } , \widetilde { \mathbf { D } } ^ { 3 } \mathbf { u } \right\rangle _ { \mathbf { M } } = 0 \quad \mathrm { a n d } \quad \left\langle \mathbf { u } , \widetilde { \mathbf { D } } ^ { 2 } \frac { d \mathbf { u } } { d t } \right\rangle _ { \mathbf { M } } = - \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \| \widetilde { \mathbf { D } } \mathbf { u } \| _ { \mathbf { M } } ^ { 2 } ,