harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { \zeta } ^ { [ 2 ] } ( k ) } { \partial t ^ { 2 } } + i \left[ \Omega ^ { ( 1 ) } ( k ) + \Omega ^ { ( 2 ) } ( k ) \right] \frac { \partial \tilde { \zeta } ^ { [ 2 ] } ( k ) } { \partial t } - \Omega ^ { ( 1 ) } ( k ) \Omega ^ { ( 2 ) } ( k ) \tilde { \zeta } ^ { [ 2 ] } ( k ) } \\ & { } & { + \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k ^ { \prime } \; \tilde { W } _ { 1 } ( k ^ { \prime } , k - k ^ { \prime } ) \tilde { \zeta } ^ { [ 1 ] } ( k ^ { \prime } ) \tilde { \zeta } ^ { [ 1 ] } ( k - k ^ { \prime } ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k ^ { \prime } \; \tilde { W } _ { 2 } ( k ^ { \prime } , k - k ^ { \prime } ) \left( \tilde { \zeta } ^ { [ 1 ] } ( k ^ { \prime } ) \frac { \partial \tilde { \zeta } ^ { [ 1 ] } ( k - k ^ { \prime } ) } { \partial t } + \frac { \partial \tilde { \zeta } ^ { [ 1 ] } ( k ^ { \prime } ) } { \partial t } \tilde { \zeta } ^ { [ 1 ] } ( k - k ^ { \prime } ) \right) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k ^ { \prime } \; \tilde { W } _ { 3 } ( k ^ { \prime } , k - k ^ { \prime } ) \left( \tilde { \zeta } ^ { [ 1 ] } ( k ^ { \prime } ) \frac { \partial \tilde { \zeta } ^ { [ 1 ] } ( k - k ^ { \prime } ) } { \partial t } - \frac { \partial \tilde { \zeta } ^ { [ 1 ] } ( k ^ { \prime } ) } { \partial t } \tilde { \zeta } ^ { [ 1 ] } ( k - k ^ { \prime } ) \right) } \\ & { } & { + \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k ^ { \prime } \; \tilde { W } _ { 4 } ( k ^ { \prime } , k - k ^ { \prime } ) \frac { \partial \tilde { \zeta } ^ { [ 1 ] } ( k ^ { \prime } ) } { \partial t } \frac { \partial \tilde { \zeta } ^ { [ 1 ] } ( k - k ^ { \prime } ) } { \partial t } = 0 \; . } \end{array}
U _ { \mathrm { c f } } ( \boldsymbol { \rho } , z ) \propto \exp \left( - \frac { ( \boldsymbol { \rho } - \xi _ { \rho } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \rho } ^ { 2 } } - \frac { ( z - \xi _ { z } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { z } ^ { 2 } } \right) .
( P ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } q ^ { 2 } m ^ { 2 } ) { \cal F } _ { \mu } = ( P ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } q ^ { 2 } m ^ { 2 } ) { \tilde { \cal F } } _ { \mu } = 0 .
\left( \hat { S } _ { n } ^ { z } \hat { S } _ { n + 1 } ^ { z } + ( \hat { S } _ { n } ^ { + } \hat { S } _ { n + 1 } ^ { - } + \hat { S } _ { n } ^ { - } \hat { S } _ { n + 1 } ^ { + } ) / 2 \right)
{ \cal L } = \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \phi \, \partial ^ { \mu } \phi - \frac { 1 } { 2 } \mu ^ { 2 } \phi ^ { 2 } + \bar { \psi } ( i \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } - m + i g \gamma _ { 5 } \phi ) \psi .
\begin{array} { r l } & { ( ) \lesssim \mathbb { E } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { 1 \leqslant j \leqslant \tilde { T } } \left| \frac { 1 } { \tilde { T } } \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } W ( x _ { j } , x _ { k } ) \zeta _ { k } \right| ^ { 2 } \right\} + \mathbb { E } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { 1 \leqslant j \leqslant \tilde { T } } \left| \frac { 1 } { \tilde { T } } \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } W ( x _ { j } , x _ { k } ) \xi _ { k } \right| ^ { 2 } \right\} + o \{ ( n p ) ^ { - 1 } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S } & { = \left\{ \phi \in \mathcal { C } : | \phi ( h ) - \phi ( r ) | \leq \sqrt { 2 } R _ { 0 } \left( \overline { D } + p ( R _ { 0 } ) \right) | h - r | \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } h , \, r \in [ - \tau , 0 ] \right\} } \\ { S _ { 0 } } & { = \left\{ \phi \in S : \| \phi \| \leq 2 \, \overline { s } , \, | \phi _ { 2 } ( 0 ) | \geq \delta \right\} , } \\ { S _ { 1 } } & { = \left\{ \phi \in S : \| \phi \| < 3 \, \overline { s } , \, | \phi _ { 2 } ( 0 ) | > \delta / 2 \right\} , } \\ { S _ { 2 } } & { = \left\{ \phi \in S : \| \phi \| \leq R _ { 0 } , \, | \phi _ { 2 } ( 0 ) | \geq e ^ { - \overline { D } T ^ { i n } } \delta / 2 \right\} . } \end{array}
V _ { f } ^ { ( 1 ) } = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { d s } { s ^ { 3 } } e ^ { - ( m _ { f } ^ { 2 } s + \beta ^ { 2 } n ^ { 2 } / 4 s ) } ( e H s ) c o t h ( e H s ) ,
\rho _ { \lambda _ { V } ^ { } \lambda _ { V } ^ { \prime } } = \frac { 1 } { N } \sum _ { \lambda _ { N } ^ { \prime } , \lambda _ { \gamma } , \lambda _ { N } ^ { } , \lambda _ { \gamma } ^ { \prime } } T _ { \lambda _ { V } ^ { } \lambda _ { N } ^ { \prime } , \lambda _ { \gamma } \lambda _ { N } ^ { } } \rho ( \gamma ) _ { \lambda _ { \gamma } \lambda _ { \gamma } ^ { \prime } } T _ { \lambda _ { V } ^ { \prime } \lambda _ { N } ^ { \prime } , \lambda _ { \gamma } ^ { \prime } \lambda _ { N } ^ { } } ^ { * } ,
K _ { P H , O _ { 2 } } ^ { i n } = K _ { O _ { 2 } , m a x } ^ { i n } \ \frac { \frac { S _ { I C } } { S _ { O _ { 2 } } } } { \frac { S _ { I C } } { S _ { O _ { 2 } } } + K _ { R _ { I C / O _ { 2 } } } }
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \delta } \frac 1 2 \kappa _ { i j } m _ { i j } d x = \int _ { 0 } ^ { \delta } \frac 1 2 c \omega ( x ) d x = \frac 1 2 E I \kappa ^ { 2 } = \frac 1 2 E I \to c = \frac { E I } { \int _ { 0 } ^ { \delta } \omega ( x ) d x } . } \end{array}
D _ { 1 } ^ { + + } G ^ { ( 1 , 1 ) } ( x _ { 1 } , \theta _ { 1 } ^ { + } , u _ { 1 } \vert x _ { 2 } , \theta _ { 2 } ^ { + } , u _ { 2 } ) = \delta ^ { 4 } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ( \theta _ { 1 } ^ { + } - ( u _ { 1 } ^ { + } u _ { 2 } ^ { - } ) \theta _ { 2 } ^ { + } ) ^ { 4 } ( u _ { 1 } ^ { - } u _ { 2 } ^ { + } ) \delta ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) \; .
\delta \varphi \approx { \frac { 3 \pi m ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 2 L ^ { 2 } } } \left( { \frac { 4 G ^ { 2 } M ^ { 2 } } { c ^ { 4 } } } \right) = { \frac { 6 \pi G ^ { 2 } M ^ { 2 } m ^ { 2 } } { c ^ { 2 } L ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } & { \int _ { K _ { 1 } ^ { 2 } } H ( u , t , u ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) ( A + H ) _ { 1 } ^ { \mathrm { p r } } ( u , u ^ { \prime } ) d u \, d u ^ { \prime } - \int _ { K _ { 1 } ^ { 2 } } A ( u , t , u ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \left( ( A + H ) _ { 1 } ^ { \mathrm { p r } } ( u , u ^ { \prime } ) - A _ { 1 } ^ { \mathrm { p r } } ( u , u ^ { \prime } ) \right) d u \, d u ^ { \prime } } \\ { = } & { \int _ { K _ { 1 } ^ { 2 } } \left( H ( u , t , u ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) H _ { 1 } ^ { \mathrm { p r } } ( s , s ^ { \prime } ) ( u , u ^ { \prime } ) + H ( u , t , u ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) A _ { 1 } ^ { \mathrm { p r } } ( u , u ^ { \prime } ) + A ( u , t , u ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) H _ { 1 } ^ { \mathrm { p r } } ( u , u ^ { \prime } ) \right) d u \, d u ^ { \prime } } \end{array}
R _ { M L N L ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } = \frac { 2 \Lambda } { ( D - 1 ) ( D - 2 ) } ( g _ { M N } ^ { ( 0 ) } g _ { L L ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } - g _ { M L ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } g _ { L N } ^ { ( 0 ) } ) ,
A = \log ( 2 C ) , R _ { 1 } = 8 \sqrt { \frac { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } [ f ] } { \gamma n } } , R _ { 2 } = \frac { 8 0 M } { \gamma n } , s _ { 0 } = \frac { 2 0 M ( \log n ) ^ { 2 } } { n }
\begin{array} { r l } { { \mathbf { x } } ^ { k + 1 } } & { = { \mathbf { W } } [ { \mathbf { x } } ^ { k } - \alpha { \mathbf { g } } ^ { k } ] } \\ { { \mathbf { g } } ^ { k + 1 } } & { = { \mathbf { W } } [ { \mathbf { g } } ^ { k } + { \nabla } \mathbf { F } ( \mathbf { x } ^ { k + 1 } ) - { \nabla } \mathbf { F } ( \mathbf { x } ^ { k } ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } m _ { \mathrm { ~ f ~ } } } { \mathrm { d } t } } & { { } = } & { \dot { m } _ { \mathrm { ~ f ~ , ~ i ~ n ~ } } - \dot { m } _ { \mathrm { ~ f ~ , ~ o ~ u ~ t ~ } } } \\ { \frac { \mathrm { d } m _ { \mathrm { ~ o ~ } } } { \mathrm { d } t } } & { { } = } & { \dot { m } _ { \mathrm { ~ o ~ , ~ i ~ n ~ } } - \dot { m } _ { \mathrm { ~ o ~ , ~ o ~ u ~ t ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { k , 2 } \left( \mathbf W _ { 2 } , e _ { k } , \tau _ { 2 } \right) } & { \leq \tau _ { 2 } ^ { t } \log _ { 2 } ( \Psi _ { k , 2 } ^ { t } ) + \frac { \sum _ { i = 1 , i \neq k } ^ { K } \mathrm { t r } \left( \mathbf a _ { i , k , 2 } \mathbf a _ { i , k , 2 } ^ { H } \left( \mathbf W _ { i , 2 } - \mathbf W _ { i , 2 } ^ { t } \right) \right) } { \Psi _ { k , 2 } ^ { t } \ln 2 } + \frac { \hat { \sigma } _ { k } ^ { 2 } \left( e _ { k } - e _ { k } ^ { t } \right) } { \Psi _ { k , 2 } ^ { t } \ln 2 } } \\ & { + \left( \log _ { 2 } ( \Psi _ { k , 2 } ^ { t } ) - \frac { \Psi _ { k , 2 } ^ { t } - \tilde { \sigma } _ { k } ^ { 2 } } { \Psi _ { k , 2 } ^ { t } \ln 2 } \right) \left( \tau _ { 2 } - \tau _ { 2 } ^ { t } \right) \triangleq g _ { k , 2 } ^ { \mathrm { u b , \it t } } \left( \mathbf W _ { 2 } , e _ { k } , \tau _ { 2 } \right) , \ \forall k \in \mathcal K , } \\ { g _ { k , 3 } \left( \mathbf W _ { 3 } , \tau _ { 3 } \right) } & { \leq \tau _ { 3 } ^ { t } \log _ { 2 } ( \Psi _ { k , 3 } ^ { t } ) + \frac { \sum _ { i = 1 , i \neq k } ^ { K } \mathrm { t r } \left( \mathbf a _ { i , k , 3 } \mathbf a _ { i , k , 3 } ^ { H } \left( \mathbf W _ { i , 3 } - \mathbf W _ { i , 3 } ^ { t } \right) \right) } { \Psi _ { k , 3 } ^ { t } \ln 2 } } \\ & { + \left( \log _ { 2 } ( \Psi _ { k , 3 } ^ { t } ) - \frac { \Psi _ { k , 3 } ^ { t } - \sigma _ { k } ^ { 2 } } { \Psi _ { k , 3 } ^ { t } \ln 2 } \right) \left( \tau _ { 3 } - \tau _ { 3 } ^ { t } \right) \triangleq g _ { k , 3 } ^ { \mathrm { u b , \it t } } \left( \mathbf W _ { 3 } , \tau _ { 3 } \right) , \ \forall k \in \mathcal K , } \end{array}
[ \alpha _ { n } ^ { R } , \; ( \alpha _ { n } ^ { R } ) ^ { \dag } ] = [ \tilde { \alpha } _ { n } ^ { R } , \; ( \tilde { \alpha } _ { n } ^ { R } ) ^ { \dag } ] = 1 , \; \; \; \; \; \; \mathrm { f o r ~ a l l } \; \; n \geq 0 ,
\imath ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) G _ { 0 } ( p ) - \frac { \lambda } { 2 } \int \frac { d ^ { 4 } p ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \{ G _ { 0 } ( p ^ { \prime } ) + ( \varphi _ { 0 } ) ^ { 2 } \delta ^ { 4 } ( p ^ { \prime } ) \} G _ { 0 } ( p ) = 1 \ .
\begin{array} { r } { M _ { 1 } ( \varphi ) [ \langle \hat { \eta } \rangle ] = ( 6 \varepsilon ^ { 2 b } \mathbb { A } + \underbrace { ( K _ { 2 0 } - 6 \varepsilon ^ { 2 b } \mathbb { A } + K _ { 1 1 } ^ { T } \mathcal { L } _ { \omega } ^ { - 1 } \partial _ { x } ( K _ { 1 1 } ) } _ { = : M _ { 3 } ( \varphi ) } ) ) [ \langle \hat { \eta } \rangle ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal F _ { Q } } & { { } = 2 ( K + K ^ { \prime } ) \times } \\ { \mathcal F _ { g } } & { { } = \int d ^ { 2 } u \, e ^ { \varphi } [ K _ { \varphi } R \varphi + \lambda ] } \\ { \mathcal F _ { e l } } & { { } = B \int d ^ { 2 } u \, \left( \frac { \varphi ^ { \prime \prime } } { \sqrt { 4 - \varphi ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 4 - \varphi ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { A _ { k } } ^ { - 1 } = \vert \widehat { \mathbf { h } } _ { k } \mathbf { w } _ { k } \vert ^ { 2 } , } \\ & { } & { B _ { k } = \sum _ { i = k + 1 } ^ { K } ( \vert \widehat { \mathbf { h } } _ { k } \mathbf { w } _ { i } \vert ^ { 2 } ) + \vert \mathbf { g } _ { k } ^ { \mathrm { H } } \boldsymbol { \Theta } _ { k } \mathbf { n } _ { s } \vert ^ { 2 } + \sigma _ { k } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Z _ { p } ^ { - 1 } \equiv \mathbb { E } _ { \phi \sim p } \left[ \frac { q _ { \theta } ( \phi ) } { e ^ { - S ( \phi ) } } \right] \approx \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { q _ { \theta } ( \phi _ { i } ) } { e ^ { - S ( \phi _ { i } ) } } \equiv \hat { Z } _ { p } ^ { - 1 } \, , } & { { } } & { \phi _ { i } \sim p \, . } \end{array}
P v = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { v _ { x } } \\ { v _ { y } } \\ { v _ { z } } \\ { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { v _ { x } } \\ { v _ { y } } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Delta _ { i } } & { = k \times \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } \frac { n } { k } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { k } \frac { 1 } { j } \right) + ( n - k ) \times \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } n } \\ & { = \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } \left( n \left( \sum _ { j = 1 } ^ { k } \frac { 1 } { j } \right) + n ( n - k ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { A ^ { \Lambda } ( m ) = - \Lambda ^ { 2 } + m ^ { 2 } \ln \frac { \Lambda ^ { 2 } + m ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } = \Delta _ { \Lambda } + A _ { r e g } ^ { \Lambda } ( m ) , } \\ & { } & { \Delta _ { \Lambda } = - \Lambda ^ { 2 } + m ^ { 2 } \ln \frac { \Lambda ^ { 2 } + m ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } - m ^ { 2 } , } \\ & { } & { \Rightarrow A _ { r e g } ^ { \Lambda } ( m ) = A _ { r e g } ^ { \infty } ( m ) , } \end{array}
c _ { s } ^ { \prime } { \frac { t ^ { \frac { s + 1 } { 2 } } } { ( \log t ) ^ { { \frac { s + 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { s - 2 } } } } } \leq R ( s , t ) \leq c _ { s } { \frac { t ^ { s - 1 } } { ( \log t ) ^ { s - 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { I _ { 7 } } & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \Omega } \gamma \nabla ( A ^ { 1 / 2 } v ^ { k } ) _ { i } \cdot \nabla ( A ^ { 1 / 2 } v ^ { k } ) _ { i } \mathrm { d } x } \\ & { \phantom { x x } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \Omega } \big ( ( u _ { i } ( t _ { k } ) - ( u _ { i } ^ { k } ) ^ { + } ) \nabla ( A u ( t _ { k } ) ) _ { i } + ( u _ { i } ^ { k } ) ^ { + } \nabla ( A ( u ( t _ { k } ) - u ^ { k } ) ) _ { i } \big ) \cdot \nabla ( A v ^ { k } ) _ { i } \mathrm { d } x } \\ & { \le - \gamma \| \nabla ( A ^ { 1 / 2 } v ^ { k } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \lambda _ { m } ^ { - 1 / 2 } \| A ^ { 1 / 2 } v ^ { k } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \lambda _ { M } ^ { 3 / 2 } \| \nabla u ( t _ { k } ) \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } \| \nabla ( A ^ { 1 / 2 } v ^ { k } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { \phantom { x x } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \Omega } ( u _ { i } ^ { k } ) ^ { + } | \nabla ( A v ^ { k } ) _ { i } | ^ { 2 } \mathrm { d } x \le \frac { \lambda _ { M } ^ { 3 } } { 4 \gamma \lambda _ { m } } \| \nabla u \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega _ { T } ) } ^ { 2 } \| A ^ { 1 / 2 } v ^ { k } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \quad \mathrm { a n d } } \\ { I _ { 8 } } & { \le \frac { ( \Delta t ) ^ { 2 } } { 3 \lambda _ { m } ^ { 1 / 2 } } \| \partial _ { t } ^ { 3 } u \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } \| A ^ { 1 / 2 } v ^ { k } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } . } \end{array}
S _ { [ 3 2 ] e f f } = \int d ^ { 2 } x \left[ \frac { 1 } { 2 e _ { 3 } ^ { 2 } } F _ { \mu \nu } \frac { 1 } { \sqrt { - \partial ^ { 2 } } } F ^ { \mu \nu } + \bar { \psi } ( i \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } ) \psi + A _ { \mu } j ^ { \mu } + \frac { 1 } { e _ { 3 } ^ { 2 } \xi } \partial _ { \mu } A ^ { \mu } \frac { 1 } { \sqrt { - \partial ^ { 2 } } } \partial _ { \nu } A ^ { \nu } \right] .
g _ { W ^ { + } W ^ { - } H _ { i } ^ { 0 } } = g ^ { 2 } \sum _ { k } \langle H _ { i } ^ { 0 } | \phi _ { k } ^ { 0 , r } \rangle v _ { k } \left( T _ { k } ( T _ { k } + 1 ) - \frac { Y _ { k } ^ { 2 } } { 4 } \right) ,
G _ { f _ { l } g _ { l } } = \frac { 1 } { 2 } \left[ 2 f _ { l } ^ { * } ( u ) g _ { l } ( u ) + \frac { 1 } { u ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial u } \left( u f _ { l } ^ { * } ( u ) \frac { \partial } { \partial u } \left( u g _ { l } ( u ) \right) \right) \right] .
\begin{array} { r l r } { \rho } & { = } & { 1 + \frac { \left( a - b \right) ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 c ^ { 2 } } \sqrt { \left( a - b \right) ^ { 4 } + 4 c ^ { 2 } \left( a - b \right) ^ { 2 } } } \\ & { = } & { 1 + \frac { 1 - \sqrt { 1 + \frac { 4 c ^ { 2 } } { \left( a - b \right) ^ { 2 } } } } { \frac { 2 c ^ { 2 } } { \left( a - b \right) ^ { 2 } } } = 1 - \frac { 2 } { 1 + \sqrt { 1 + \frac { 4 c ^ { 2 } } { \left( a - b \right) ^ { 2 } } } } } \\ & { = } & { 1 - \frac { 2 } { 1 + \sqrt { 1 + \frac { \left( m _ { \alpha } - m _ { \beta } \right) ^ { 2 } } { 4 m _ { \alpha } m _ { \beta } } } } = \left( \frac { \sqrt { m _ { \alpha } } - \sqrt { m _ { \beta } } } { \sqrt { m _ { \alpha } } + \sqrt { m _ { \beta } } } \right) ^ { 2 } > 0 \mathrm { ~ i f ~ } m _ { \alpha } \neq m _ { \beta } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } [ D _ { c } ^ { ( 0 , 0 ) } ] ( u ) \Big | _ { u = 2 } } & { = \frac { - 6 \Gamma ( u ) } { ( 1 - u ) ( 2 - u ) \Gamma ( 3 - u ) } \left[ \mathcal { B } [ \Phi ^ { ( 0 ) } ] ( u ) \Big | _ { u = 2 } + . . . \right] } \\ & { = - \frac { 3 \pi \mathrm { i } } { ( 2 - u ) ^ { 2 } } - \frac { 3 \pi \mathrm { i } } { 2 - u } - S _ { 1 , 0 } ^ { 2 } \mathcal { B } [ D _ { c } ^ { ( 2 , 0 ) } ] ( u - 2 ) \frac { \log ( 1 - \frac { u } { 2 } ) } { 2 \pi \mathrm { i } } + . . . \, , } \end{array}
\mathcal { M } _ { D } ^ { k } [ \Phi ] ( \mathbf { x } ) = \mathrm { ~ p ~ . ~ v ~ . ~ } \quad \nu \times \nabla \times \int _ { \partial D } \Gamma _ { k } ( \mathbf { x } - \mathbf { y } ) \Phi ( \mathbf { y } ) ~ \mathrm { d } s _ { \mathbf { y } } .
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \left[ A _ { i } = 1 \right] = \int _ { \tilde { E } _ { 0 } - w } ^ { \tilde { E } _ { 0 } + w } p ( \xi _ { i } = \xi ) \cdot \mathbb { P } \left[ A _ { i } = 1 | \xi _ { i } = \xi \right] d \xi = \frac { 1 } { 2 w } \int _ { \tilde { E } _ { 0 } - w } ^ { \tilde { E } _ { 0 } + w } q ( \xi ) d \xi . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { \underline { { E } } _ { i } ^ { \mathrm { B s } } ( x , \widehat { x } , w , \widehat { w } ) } \\ { \overline { { E } } _ { i } ^ { \mathrm { B s } } ( x , \widehat { x } , w , \widehat { w } ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathsf { F } _ { i } ( x , \widehat { x } , \underline { { \mathsf { G } } } _ { [ \underline { { x } } ^ { k } , \overline { { x } } ^ { k } ] } ( x , \widehat { x } _ { [ i : x ] } ) , \overline { { \mathsf { G } } } _ { [ \underline { { x } } ^ { k } , \overline { { x } } ^ { k } ] } ( \widehat { x } _ { [ i : x ] } , x ) , w , \widehat { w } ) } \\ { \mathsf { F } _ { i } ( \widehat { x } , x , \underline { { \mathsf { G } } } _ { [ \underline { { x } } ^ { k } , \overline { { x } } ^ { k } ] } ( x _ { [ i : \widehat { x } ] } , \widehat { x } ) , \overline { { \mathsf { G } } } _ { [ \underline { { x } } ^ { k } , \overline { { x } } ^ { k } ] } ( \widehat { x } , x _ { [ i : \widehat { x } ] } ) , \widehat { w } , w ) } \end{array} \right] , } \end{array}
\lambda _ { 1 } = - 3 \, \sum _ { m } \, ( \bar { \Lambda } ^ { * \, ( m ) } - \bar { \Lambda } ) ^ { 2 } \, { \frac { | \zeta ^ { ( m ) } ( 1 ) | ^ { 2 } } { 4 } } - 6 \sum _ { p } \, ( \bar { \Lambda } ^ { \, ( p ) } - \bar { \Lambda } ) ^ { 2 } \, { \frac { | \tau ^ { ( p ) } ( 1 ) | ^ { 2 } } { 3 } } + \ldots \, ,
S _ { \alpha , \beta } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( r _ { \alpha } ^ { ( i ) } - r _ { \alpha } ^ { \mathrm { C M } } \right) \left( r _ { \beta } ^ { ( i ) } - r _ { \beta } ^ { \mathrm { C M } } \right) ,
a _ { 1 } \neq a _ { 2 } ; ~ ~ ~ a _ { 3 } = 0 . ~ ~ ~ A _ { 1 } = - A _ { 4 } \neq 0 ; ~ ~ ~ A _ { 2 } = - A _ { 3 } \neq 0 . ~ ~ ~ ~ ( C a s e ~ ~ ~ \beta ) .
\begin{array} { r l } { \left( \frac { b } { c } \right) ^ { \ast } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \left( 1 - a \right) N } & { N \rightarrow \infty , } \\ { \frac { - 3 N ^ { 9 } - 4 0 N ^ { 8 } - 2 0 4 N ^ { 7 } - 8 4 8 N ^ { 6 } - 2 4 6 4 N ^ { 5 } + 1 9 2 0 N ^ { 4 } + 1 5 8 7 2 N ^ { 3 } - 4 0 9 6 0 N ^ { 2 } + 2 4 5 7 6 N } { 6 N ^ { 8 } - 6 4 N ^ { 7 } - 5 2 0 N ^ { 6 } - 1 2 3 2 N ^ { 5 } + 3 8 7 2 N ^ { 4 } + 6 2 7 2 N ^ { 3 } - 2 4 3 2 0 N ^ { 2 } + 2 2 5 2 8 N + 4 0 9 6 } } & { a = \frac { 1 } { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 3 } v _ { n } } & { { } = - \frac { 1 } { 1 - f _ { 1 } } \frac { b ^ { 2 } } { 1 2 \mu } \mathrm { ~ \boldmath ~ \nabla ~ } p \cdot \boldsymbol { n } , \qquad \qquad } & { \boldsymbol { x } } & { { } \in \partial \Omega ( t ) , } \\ { p } & { { } = p _ { g } ( t ) - \gamma \left( \frac { \pi } { 4 } \kappa + \frac { 2 f _ { 2 } } { b } \right) , \qquad \qquad } & { \boldsymbol { x } } & { { } \in \partial \Omega ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { c c c c } { { \Psi _ { e L } : \; \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { e } ^ { c } } } \\ { { \nu _ { e } } } \\ { { e ^ { - } } } \end{array} \right) _ { L } , } } & { { \Psi _ { \mu L } : \; \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { \mu } ^ { c } } } \\ { { \nu _ { \mu } } } \\ { { \mu ^ { - } } } \end{array} \right) _ { L } ; } } & { { \Psi _ { \tau L } : \; \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { \tau } ^ { c } } } \\ { { \nu _ { \tau } } } \\ { { \tau ^ { - } } } \end{array} \right) _ { L } , } } & { { \Psi _ { T L } : \; \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { T } ^ { c } } } \\ { { \nu _ { T } } } \\ { { T ^ { - } } } \end{array} \right) _ { L } , } } \end{array}
\begin{array} { l } { u { ( t , { \bf { x } } ) _ { t } } + { \cal F } ( { \bf { x } } , u ( t , { \bf { x } } ) ) = f ( t , { \bf { x } } ) , \mathrm { { } } { \bf { x } } \in \Omega , t \in [ 0 , T ] , } \\ { { \cal B } ( u ) = b ( t , { \bf { x } } ) , \mathrm { { } } { \bf { x } } \in \partial \Omega , } \\ { { \cal I } ( u ) = i ( t , { \bf { x } } ) , \mathrm { { } } t = 0 . } \end{array}
\sin ( 2 ( \phi _ { M } + \phi _ { A } ) ) \simeq \sin \gamma = \frac { a _ { \epsilon + \epsilon ^ { \prime } } } { \sqrt { ( 1 - a _ { \epsilon } ^ { 2 } ) ( 1 - a _ { \epsilon ^ { \prime } } ^ { 2 } ) } } \simeq \frac { a _ { \epsilon + \epsilon ^ { \prime } } } { \sqrt { ( 1 - a _ { \epsilon ^ { \prime } } ^ { 2 } ) } }
\frac { 1 } { \tau _ { \lambda } } = \frac { 1 } { N } \left( \displaystyle \sum _ { \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } } ^ { ( + ) } \Gamma _ { \lambda \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } } ^ { ( + ) } + \displaystyle \sum _ { \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } } ^ { ( - ) } \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { \lambda \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } } ^ { ( - ) } \right) + \frac { 1 } { N } \displaystyle \sum _ { \lambda ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ( i s o ) } } \Gamma _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ( i s o ) } } + \frac { 1 } { N } \left( \displaystyle \sum _ { \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } \lambda ^ { \prime \prime \prime } } ^ { ( + + ) } \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { \lambda \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } \lambda ^ { \prime \prime \prime } } ^ { ( + + ) } + \displaystyle \sum _ { \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } \lambda ^ { \prime \prime \prime } } ^ { ( + - ) } \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { \lambda \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } \lambda ^ { \prime \prime \prime } } ^ { ( + - ) } + \displaystyle \sum _ { \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } \lambda ^ { \prime \prime \prime } } ^ { ( -- ) } \frac { 1 } { 6 } \Gamma _ { \lambda \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } \lambda ^ { \prime \prime \prime } } ^ { ( -- ) } \right) ,
\rho ^ { \prime } ( x ^ { \prime } ) = \rho ( x ) - \frac { 1 } { 2 } \left( \ln ( \frac { \partial { x ^ { \prime } } ^ { + } } { \partial x ^ { + } } ) + \ln ( \frac { \partial { x ^ { \prime } } ^ { - } } { \partial x ^ { - } } ) \right) .
\begin{array} { l } { { \Phi ( \theta , \chi ) = \displaystyle \frac { 1 } { 2 \pi \omega _ { n - 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \int _ { u u ^ { \prime } = 1 } \left[ a _ { k } ( u ) \cos k \theta + b _ { k } ( u ) \sin k \theta \right] P _ { \alpha _ { k } ( m _ { 0 } ) } ( \chi , u ) \dot { u } } } \\ { { = \displaystyle \frac { 1 } { 2 \pi \omega _ { n - 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \int _ { u u ^ { \prime } = 1 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left[ \Phi _ { 0 } ( \varphi , u ) \cos k \varphi \cos k \theta + \Phi _ { 0 } ( \varphi , u ) \sin k \varphi \sin k \theta \right] P _ { \alpha _ { k } ( m _ { 0 } ) } ( \chi , u ) d \varphi \dot { u } ~ , } } \end{array}
\chi _ { N } ^ { 2 } ( \mathbf { t } ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathop { d f } \frac { \left| \tilde { v } ( f ) - \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { j } ( \mathbf { t } ) \mathrm { e } ^ { - i \omega t _ { j } } \tilde { s } _ { j } ( f ) \right| ^ { 2 } } { J ( f ) } ,