harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \rVert } & { \Delta _ { 1 2 } e ^ { \mathrm { i } A } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s } } } \\ & { \ \le _ { s } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , 1 ] } \left( \rVert \Delta _ { 1 2 } A \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s } } \rVert e ^ { \mathrm { i } A ( \omega _ { 2 } ) } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s _ { 0 } } } \rVert e ^ { \mathrm { i } t \Delta _ { 1 2 } A } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s _ { 0 } } } + \rVert \Delta _ { 1 2 } A \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s _ { 0 } } } \left( \rVert e ^ { \mathrm { i } A } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s } } \rVert e ^ { \mathrm { i } t \Delta _ { 1 2 } A } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s _ { 0 } } } + \rVert e ^ { \mathrm { i } A } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s _ { 0 } } } \rVert e ^ { \mathrm { i } t \Delta _ { 1 2 } A } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s } } \right) \right) } \\ & { \le \rVert \Delta _ { 1 2 } A \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s } } + \rVert \Delta _ { 1 2 } A \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s _ { 0 } } } \left( 1 + \operatorname* { s u p } _ { \omega \in \Omega _ { 1 } } \rVert A ( \omega ) \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s + \mu _ { 0 } } } \right) , } \end{array}
{ \cal M } _ { f i } ^ { \nu } = - \frac { e ^ { 2 } } { 4 t s _ { W } ^ { 2 } } \bar { v } ( { \bf k } ^ { \prime } ) \epsilon ^ { \prime } \! \! \! / ( k \! \! \! / - p \! \! \! / ) \epsilon \! \! \! / ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) u ( { \bf k } ) .
M = \sum _ { i , j } a _ { i j } E _ { i j } + \sum _ { \bar { i } , \bar { j } } b _ { \bar { i } \bar { j } } E _ { \bar { i } \bar { j } } + \sum _ { i \bar { j } } \mu _ { i \bar { j } } E _ { i \bar { j } } ,
\begin{array} { r l } { \left( \frac { 1 } { \alpha } \log ( 1 + \alpha x ) + \frac { 1 } { \beta } \log ( 1 + \beta x ) - x \right) ^ { \left< - 1 \right> } } & { = x + ( \alpha + \beta ) \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + ( \alpha ^ { 2 } + 6 \alpha \beta + \beta ^ { 2 } ) \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + } \\ & { \qquad ( \alpha ^ { 3 } + 2 5 \alpha ^ { 2 } \beta + 2 5 \alpha \beta ^ { 2 } + \beta ^ { 3 } ) \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } + \cdots } \end{array}
t _ { x } = t _ { y } = t _ { z } = 1 , t _ { s o } = 0 . 4 , m _ { z } = 0 . 3 , \gamma _ { \downarrow } = 0 . 6 , \vec { K } = \pi / a ( \cos \theta , \sin \theta , 0 ) , \theta = 5 0 ^ { \circ }
\left( { \frac { N _ { \tau } } { N _ { p } } } \right) _ { C E R N } \simeq 0 . 2 8 ~ \sin ^ { 2 } 2 \theta ~ ( \Delta m _ { - 3 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } ~ ( \mathrm { k t o n } ~ 1 0 ^ { 1 9 } \, \mathrm { p o t } ) ^ { - 1 }
\sum _ { i } ^ { n } \! \left< g _ { + + } \! ( \xi _ { 1 } ) \! \dots \! \delta _ { \! f } \! g _ { + + } \! ( \xi _ { i } ) \! \dots \! g _ { + + } \! ( \xi _ { n } ) \right> \! + \! \frac { d \! \! - \! \! 2 8 \! \! + \! \! \lambda ^ { D } } { i 4 8 \pi } \! \! \int \! \! d \xi ^ { 2 } \! \, \delta \! f \! ( \! \xi \! ) \left< \partial _ { - } ^ { 3 } g _ { + + } \! ( \xi ) g _ { + + } \! ( \xi _ { 1 } ) \! \dots \! g _ { + + } \! ( \xi _ { n } ) \right> \! \! = \! \! 0 .
\begin{array} { r l } { \kappa \int _ { \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } } a _ { \kappa } \partial _ { s } \tilde { h } \partial _ { s } ^ { 2 } \tilde { h } \, d s } & { { } = - \kappa \int _ { \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } } \partial _ { s } a _ { \kappa } \frac { | \partial _ { s } \tilde { h } | ^ { 2 } } 2 \, d s \leq C \kappa \| \tilde { h } ( t ) \| _ { H ^ { 1 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) } ^ { 2 } , } \\ { - \int _ { \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } } ( \partial _ { s } g + \tilde { b } _ { \kappa } \tilde { h } ) \kappa \partial _ { s } ^ { 2 } \tilde { h } \, d s } & { { } \leq C ( \| \partial _ { s } g ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) } + \| \partial _ { s } h ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) } ) \kappa \| \partial _ { s } ^ { 2 } \tilde { h } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) } . } \end{array}
R _ { \mu \nu \rho } { } ^ { \sigma } = \partial _ { \mu } \bigl \{ \begin{array} { l } { { \sigma } } \\ { { \nu \rho } } \end{array} \bigr \} - \partial _ { \nu } \bigl \{ \begin{array} { l } { { \sigma } } \\ { { \mu \rho } } \end{array} \bigr \} + \bigl \{ \begin{array} { l } { { \sigma } } \\ { { \mu \lambda } } \end{array} \bigr \} \bigl \{ \begin{array} { l } { { \lambda } } \\ { { \nu \rho } } \end{array} \bigr \} - \bigl \{ \begin{array} { l } { { \sigma } } \\ { { \nu \lambda } } \end{array} \bigr \} \bigl \{ \begin{array} { l } { { \lambda } } \\ { { \mu \rho } } \end{array} \bigr \} \ ,
\left( { \bf J } ^ { 1 } \right) _ { A } ^ { B } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } & { { \sqrt { 3 / 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \sqrt { 3 / 2 } } } & { { 0 } } & { { \sqrt { 3 / 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \sqrt { 3 / 2 } } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad \left( { \bf J } ^ { 2 } \right) _ { A } ^ { B } = i \left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { \sqrt { 3 / 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \sqrt { 3 / 2 } } } & { { 0 } } & { { \sqrt { 3 / 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - \sqrt { 3 / 2 } } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad \left( { \bf J } ^ { 3 } \right) _ { A } ^ { B } = \left( { \bf J } ^ { 0 } \right) _ { A } ^ { B }
\mathcal { W } [ x , p ] = \frac { 1 } { 2 \pi \hbar Z } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! \! \! d \Delta x \left< x - \frac { \Delta x } { 2 } \middle | e ^ { - \beta \widehat { H } } \middle | x + \frac { \Delta x } { 2 } \right> e ^ { \frac { j } { \hbar } p \Delta x }
p _ { c } = { \frac { ( { \sqrt [ [object Object] ] { 2 } } - 1 ) ^ { 7 / 3 } } { 3 ^ { 1 / 3 } } } R ^ { 1 / 3 } { \frac { a ^ { 2 / 3 } } { b ^ { 5 / 3 } } } , \quad T _ { c } = 3 ^ { 2 / 3 } ( { \sqrt [ [object Object] ] { 2 } } - 1 ) ^ { 4 / 3 } ( { \frac { a } { b R } } ) ^ { 2 / 3 } , \qquad V _ { m , c } = { \frac { b } { { \sqrt [ [object Object] ] { 2 } } - 1 } } , \qquad Z _ { c } = { \frac { 1 } { 3 } }
\begin{array} { r l } { f _ { j } } & { : = \mathbb { P } _ { C } ( A _ { j - 1 , \tau _ { x } } \mid \tau _ { x } > j - 1 , A _ { 0 , j - 1 } ) , } \\ { g _ { j } } & { : = \mathbb { P } _ { C } ( A _ { j - 1 , j } \mid \tau _ { x } > j - 1 , A _ { 0 , j - 1 } ) , } \\ { r _ { j } } & { : = \mathbb { P } _ { C } ( \tau _ { x } > j \mid \tau _ { x } > j - 1 , A _ { 0 , j - 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { \mathrm { i s o } } } & { = - E _ { 0 } \left[ x ( z ) - \cos ( k y ) \int _ { 0 } ^ { z } d z ^ { \prime } \frac { \tilde { B } ( z ^ { \prime } ) } { B _ { 0 } } \right] , } \\ { \mathbf { E } _ { \mathrm { i s o } } } & { = E _ { 0 } \left[ \hat { x } + \hat { y } \int _ { 0 } ^ { z } d z ^ { \prime } k \frac { \tilde { B } ( z ^ { \prime } ) } { B _ { 0 } } \sin ( k y ) - \hat { z } \frac { \tilde { B } ( z ) } { B _ { 0 } } \cos ( k y ) \right] . } \end{array}
M \rightarrow \left( \begin{array} { c c } { { a } } & { { b } } \\ { { c } } & { { d } } \end{array} \right) M , \; \; \; \; \; \left( \begin{array} { c c } { { a } } & { { b } } \\ { { c } } & { { d } } \end{array} \right) \in S p ( 4 ; Z ) .
F ( \Delta ) = \mathrm { ~ T ~ r ~ } \{ \rho H ( \Delta ) \} + T \mathrm { ~ T ~ r ~ } \{ \rho \log \rho \} + \lambda \left( \mathrm { ~ T ~ r ~ } \{ \rho \sum _ { k , \sigma } \gamma _ { k , \sigma } ^ { \dag } ( \Delta ) \gamma _ { k , \sigma } ( \Delta ) \} - n ^ { * } \right) + z \left( \mathrm { ~ T ~ r ~ } \{ \rho \} - 1 \right) ,
\begin{array} { r l r } { \displaystyle { \frac { \partial V } { \partial t } } + V \displaystyle { \frac { \partial V } { \partial x } } } & { = } & { - U , \quad \displaystyle { \frac { \partial U } { \partial t } } + V \displaystyle { \frac { \partial U } { \partial x } } = V , } \\ { ( V , U ) | _ { t = 0 } } & { = } & { ( V _ { 0 } , U _ { 0 } ) \in C ^ { 1 } ( { \mathbb R } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \{ \bar { v } _ { i , i } ( t ) \} = } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { j \neq i } \mathbb { E } \{ \mu _ { 0 } e ^ { \pi _ { i j } ^ { * } ( t ) } + \mu _ { 1 2 } e ^ { \pi _ { i j } ^ { * } ( t ) } \pi _ { i j } ^ { * ( 1 ) } ( t ) h + O _ { p } ( q _ { n } e ^ { q _ { n } } h ^ { 2 } ) \} } \\ { = } & { \mu _ { 0 } v _ { i , i } ^ { * } ( t ) + \mu _ { 1 2 } h \widetilde v _ { i , i } ^ { * } ( t ) + O ( q _ { n } e ^ { q _ { n } } h ^ { 2 } ) , ~ ~ i \in [ n ] , } \\ { \mathbb { E } \{ \bar { v } _ { n + j , n + j } ( t ) \} = } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { i \neq j } \mathbb { E } \{ \mu _ { 0 } e ^ { \pi _ { i j } ^ { * } ( t ) } + \mu _ { 1 2 } e ^ { \pi _ { i j } ^ { * } ( t ) } \pi _ { i j } ^ { * ( 1 ) } ( t ) h + O _ { p } ( q _ { n } e ^ { q _ { n } } h ^ { 2 } ) \} } \\ { = } & { \mu _ { 0 } v _ { n + j , n + j } ^ { * } ( t ) + \mu _ { 1 2 } h \widetilde v _ { n + j , n + j } ^ { * } ( t ) + O ( q _ { n } e ^ { q _ { n } } h ^ { 2 } ) , ~ ~ j \in [ n - 1 ] , } \\ { \mathbb { E } \{ \bar { v } _ { i , j } ( t ) \} = } & { \mathbb { E } \{ \bar { v } _ { j , i } ( t ) \} = \frac { 1 } { n } \mathbb { E } \{ \mu _ { 0 2 } e ^ { \pi _ { i j } ^ { * } ( t ) } + \mu _ { 1 2 } e ^ { \pi _ { i j } ^ { * } ( t ) } \pi _ { i j } ^ { * ( 1 ) } ( t ) h + O _ { p } ( q _ { n } e ^ { q _ { n } } h ^ { 2 } ) \} } \\ { = } & { \mu _ { 0 } v _ { i j } ^ { * } ( t ) + h \mu _ { 1 2 } \widetilde v _ { i j } ^ { * } ( t ) + O ( q _ { n } e ^ { q _ { n } } h ^ { 2 } / n ) , ~ ~ i \in [ n ] , ~ j \in n + [ n - 1 ] , } \\ { \mathbb { E } \{ \bar { v } _ { i , j } ( t ) \} = } & { 0 , ~ ~ ~ \mathrm { o t h e r w i s e } ~ ~ ~ ( \mathrm { H e r e , ~ w e ~ s e t } ~ ~ v _ { i j } ^ { * } ( t ) = 0 ~ \mathrm { a n d } ~ \widetilde v _ { i j } ^ { * } ( t ) = 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } n _ { d } = } & { - \nabla \cdot \left[ \left( \mathbf { b } v _ { | | , d } + \mathbf { v } _ { \perp , d } \right) n _ { d } \right] - R _ { i z } + R _ { r c } } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left( m _ { d } n _ { d } v _ { | | , d } \right) = } & { - \nabla \cdot \left[ \left( \mathbf { b } v _ { | | , d } + \mathbf { v } _ { \perp , d } \right) m _ { d } n _ { d } v _ { | | , d } \right] - \mathbf { b } \cdot \nabla p _ { d } } \\ & { - R _ { c x } m _ { d } \left( v _ { | | , d } - v _ { | | , d + } \right) + R _ { r c } m _ { d } v _ { | | , d + } } \\ & { - R _ { i z } m _ { d } v _ { | | , d } } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left( \frac { 3 } { 2 } p _ { d } \right) = } & { - \nabla \cdot \left[ \left( \mathbf { b } v _ { | | , d } + \mathbf { v } _ { \perp , d } \right) \frac { 5 } { 2 } p _ { d } \right] + v _ { | | , d } \mathbf { b } \cdot \nabla p _ { d } } \\ & { + \nabla \left( \kappa _ { d } \nabla T _ { d } \right) + \frac { 1 } { 2 } m _ { d } \left( R _ { c x } + R _ { r c } \right) \left( v _ { | | , d } - v _ { | | , d + } \right) ^ { 2 } } \\ & { - R _ { i z } \frac { 3 } { 2 } e T _ { d } + R _ { r c } \frac { 3 } { 2 } e T _ { d + } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { \mathrm { o } } ^ { \mathrm { h } } ( \boldsymbol { q } , \Omega , A ) } & { { } = \mathcal { X } _ { \mathrm { o } } ( \boldsymbol { q } , \Omega ) \mathcal { U } _ { \mathrm { o } } ( A ) \, , } \\ { \mathcal { P } _ { \mathrm { e } } ^ { \mathrm { h } } ( \boldsymbol { q } , \Omega , A ) } & { { } = \mathcal { X } _ { \mathrm { e } } ( \boldsymbol { q } , \Omega ) \mathcal { U } _ { \mathrm { e } } ( A ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma = 1 + \omega \operatorname* { m a x } \left\{ \gamma _ { \mathrm { t } , 1 } ^ { 2 } + \gamma _ { \mathrm { t } , 2 } ^ { 2 } , \gamma _ { \mathrm { x } , 1 } ^ { 2 } + \gamma _ { \mathrm { x } , 2 } ^ { 2 } \right\} , \quad \bar { C } _ { \mathbf { f } } = \omega C _ { \mathbf { f } } ^ { \mathrm { \mathrm { ~ r e g } } } \zeta \operatorname* { m a x } \left\{ \gamma _ { \mathrm { t } , 1 } + \gamma _ { \mathrm { t } , 2 } , \gamma _ { \mathrm { x } , 1 } + \gamma _ { \mathrm { x } , 2 } \right\} } \end{array}
\int _ { \mathbb { R } ^ { k } } \frac { d \tilde { \eta } _ { \mathfrak { A } ^ { k } ( \mathbf { x } ^ { - } ) , \mathfrak { A } ^ { k } ( \mathbf { x } ^ { + } ) , \mathfrak { A } | _ { U ^ { c } } } } { d \mathbf { y } d \mu ^ { k } } ( \mathbf { y } , f ) d \mathbf { y } = \int _ { \mathbb { R } ^ { k } } \frac { d \tilde { \eta } _ { \mathfrak { A } ^ { k } ( \mathbf { x } ^ { - } ) , \mathfrak { A } ^ { k } ( \mathbf { x } ^ { + } ) , \mathfrak { A } | _ { U ^ { c } } } } { d \tilde { \nu } _ { \mathfrak { A } ^ { k } ( \mathbf { x } ^ { - } ) , \mathfrak { A } ^ { k } ( \mathbf { x } ^ { + } ) } } \frac { d \tilde { \nu } _ { \mathfrak { A } ^ { k } ( \mathbf { x } ^ { - } ) , \mathfrak { A } ^ { k } ( \mathbf { x } ^ { + } ) } } { d \mathbf { y } d \mu ^ { k } } ( \mathbf { y } , f ) d \mathbf { y }
\begin{array} { r l } { c + \int _ { 0 } ^ { x } - 2 \cos ( t ) \sin ( t ) d t } & { = \cos ^ { 2 } ( x ) } \\ { c + \int _ { 0 } ^ { x } - \sin ( 2 t ) d t } & { = \cos ^ { 2 } ( x ) } \\ { c + \left[ \frac { \cos 2 t } { 2 } \right] _ { 0 } ^ { x } } & { = \cos ^ { 2 } ( x ) } \\ { c + \left[ \cos ^ { 2 } ( t ) - \frac { 1 } { 2 } \right] _ { 0 } ^ { x } } & { = \cos ^ { 2 } ( x ) } \\ { c - 1 } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { r } | \Delta G ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \} } & { { } = } & { \hat { r } \mathcal { U } ( \tau ) \hat { r } \hat { r } \mathcal { I } ^ { - 1 } \hat { r } \hat { r } \mathcal { R } ( \tau ^ { \prime } ) \hat { r } \hat { r } \hat { \kappa } \hat { r } \hat { r } | 0 ) } \end{array}
\Psi _ { n } = \left( \begin{array} { c } { \psi _ { 2 n - 1 } } \\ { \psi _ { 2 n } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { i } \end{array} \right) \alpha _ { n } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { i } \\ { 1 } \end{array} \right) \beta _ { n } .
\begin{array} { r l r } { \tilde { E } ( 1 S , \mathrm { H } ) } & { { } = } & { 3 . 0 \, \mathrm { ~ p ~ e ~ V ~ } , } \\ { \tilde { E } ( 1 S , \mu \mathrm { H } ) } & { { } = } & { 1 9 . 0 \, \upmu \mathrm { ~ e ~ V ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r } { A = \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { h } & { \frac { h ^ { 2 } } { 2 } } \\ { 0 } & { 1 } & { h } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] , \; C = \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , \; G = \left[ \begin{array} { l } { \frac { h ^ { 2 } } { 2 } } \\ { h } \\ { 1 } \end{array} \right] , Q = \sigma _ { w } ^ { 2 } , R = \sigma _ { v } ^ { 2 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \varphi \int _ { 0 } ^ { 3 a } \rho ^ { 3 } d \rho \int _ { - { \sqrt { 9 a ^ { 2 } - \rho ^ { 2 } } } } ^ { \sqrt { 9 a ^ { 2 } - \rho ^ { 2 } } } \, d z } & { = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { 3 a } 2 \rho ^ { 3 } { \sqrt { 9 a ^ { 2 } - \rho ^ { 2 } } } \, d \rho } \\ & { = - 2 \pi \int _ { 9 a ^ { 2 } } ^ { 0 } ( 9 a ^ { 2 } - t ) { \sqrt { t } } \, d t } & & { t = 9 a ^ { 2 } - \rho ^ { 2 } } \\ & { = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { 9 a ^ { 2 } } \left( 9 a ^ { 2 } { \sqrt { t } } - t { \sqrt { t } } \right) \, d t } \\ & { = 2 \pi \left( \int _ { 0 } ^ { 9 a ^ { 2 } } 9 a ^ { 2 } { \sqrt { t } } \, d t - \int _ { 0 } ^ { 9 a ^ { 2 } } t { \sqrt { t } } \, d t \right) } \\ & { = 2 \pi \left[ 9 a ^ { 2 } { \frac { 2 } { 3 } } t ^ { \frac { 3 } { 2 } } - { \frac { 2 } { 5 } } t ^ { \frac { 5 } { 2 } } \right] _ { 0 } ^ { 9 a ^ { 2 } } } \\ & { = 2 \cdot 2 7 \pi a ^ { 5 } \left( 6 - { \frac { 1 8 } { 5 } } \right) } \\ & { = { \frac { 6 4 8 \pi } { 5 } } a ^ { 5 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { [ x _ { i } , a , b , c ] ^ { 4 \alpha _ { i } } } & { = ( [ a , x _ { i } , b , c ] ^ { 2 } ) ^ { - 2 \alpha _ { i } } } \\ & { = ( [ a , b , x _ { i } , c ] ^ { - 2 } [ a , c , b , x _ { i } ] ^ { - 2 } g ) ^ { - 2 \alpha _ { i } } } \\ & { = [ a , b , x _ { i } , c ] ^ { 4 \alpha _ { i } } [ a , c , b , x _ { i } ] ^ { 4 \alpha _ { i } } } \end{array}
\left[ { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } d s \, \sqrt { x ^ { \prime \, 2 } } \right) ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d s \, \sqrt { x ^ { \prime \, 2 } } \, { \frac { \delta ^ { 2 } } { \delta \sigma ^ { \mu \nu } ( s ) \delta \sigma _ { \mu \nu } ( s ) } } - m ^ { 4 } \right] \Psi [ C ] = 0 \ , \qquad m ^ { 2 } \equiv 1 / 2 \pi \alpha ^ { \prime } \ .
\Gamma _ { i } = \int _ { 1 } ^ { \omega _ { \mathrm { m a x } } } d \omega \, \frac { d \Gamma _ { i } } { d \omega } \; \; \; ; \; \; \; \omega _ { \mathrm { m a x } } = \frac { 1 + r ^ { 2 } } { 2 r } .
\begin{array} { r l } { J ( V ) } & { = e \{ G _ { \mathrm { p } } - G _ { \mathrm { r } } ( V ) - R _ { \mathrm { n r } } ( V ) \} } \\ & { = e \Biggr [ \int _ { \omega _ { \mathrm { g } } } ^ { \infty } \Theta ( \omega , T _ { \mathrm { H } } , 0 ) \Phi _ { m p } ( \omega ) d \omega - \int _ { \omega _ { \mathrm { g } } } ^ { \infty } \Theta ( \omega , T _ { \mathrm { L } } , \mu ) \Phi _ { p m } ( \omega ) d \omega - ( R _ { \mathrm { A u g e r } } + R _ { \mathrm { S R H } } + R _ { \mathrm { S u r f } } ) \Biggr ] } \end{array}
\varepsilon \nabla ^ { 2 } \Phi ( \mathbf { r } ) = \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } { \frac { n _ { j } ^ { 0 } \, q _ { j } ^ { 2 } } { k _ { \mathrm { { B } } } T } } \right) \, \Phi ( \mathbf { r } ) - \, \sum _ { j = 1 } ^ { N } n _ { j } ^ { 0 } q _ { j } - \rho _ { \mathrm { { e x t } } } ( \mathbf { r } )
\omega ( X , Y ) = \omega ( f ( x ) \partial _ { x } , g ( x ) \partial _ { x } ) = { \frac { 1 } { 2 } } f ( x ) g ( x ) ( \mathrm { d } x ( \partial _ { x } ) \mathrm { d } y ( \partial _ { x } ) - \mathrm { d } y ( \partial _ { x } ) \mathrm { d } x ( \partial _ { x } ) )
\mathrm { A B } = R \operatorname { a r c c o s } \left[ \sin \lambda _ { \mathrm { A } } \, \sin \lambda _ { \mathrm { B } } + \cos \lambda _ { \mathrm { A } } \, \cos \lambda _ { \mathrm { B } } \, \cos \left( L _ { \mathrm { A } } - L _ { \mathrm { B } } \right) \right] .
\eta _ { 2 \omega } \approx \frac { ( \omega \chi _ { \mathrm { e f f } } ^ { ( 2 ) } L ) ^ { 2 } } { 2 c ^ { 3 } \epsilon _ { 0 } \bar { n } ^ { 2 } \bar { S } } { \mathrm { s i n c } ^ { 2 } \left( ( \Delta k - \frac { 2 \pi } { \Lambda } ) { \frac { L } { 2 } } \right) } ~ ,
\bar { m } _ { b } ( m _ { Z } ) = 2 . 8 5 \pm 0 . 2 2 ~ ( { \mathrm s t a t } ) \pm 0 . 2 0 ~ ( { \mathrm t h e o } ) \pm 0 . 3 6 ~ ( { \mathrm f r a g m e n t a t i o n } ) ~ G e V
\begin{array} { r l r } & { } & { { \mathcal C } _ { I } ^ { ( 1 ) } ( t ) = \frac { \lambda _ { 1 } } { \hbar \omega _ { c } } \tan ^ { - 1 } ( \tau _ { 0 } ) , } \\ & { } & { { \mathcal C } _ { I } ^ { ( 2 ) } ( t ) = \frac { \lambda _ { 2 } } { \hbar \omega _ { c } } \frac { \tau _ { 0 } } { ( 1 + \tau _ { 0 } ^ { 2 } ) } , } \\ & { } & { { \mathcal C } _ { I } ^ { ( 3 ) } ( t ) = \frac { \lambda _ { 3 } } { \hbar \omega _ { c } } \frac { \tau _ { 0 } } { ( 1 + \tau _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left< g , \mu f \right> } & { = \left< ( \lambda + \mathcal { A } _ { 0 } ) f , \mu f \right> } \\ & { = \lambda \left< \mu f , f \right> + \left< \mu \mathcal { A } _ { 0 } f , f \right> } \\ & { \geq ( \lambda \mu _ { m } + \tilde { c } _ { m } ) \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { O } ) } ^ { 2 } + \tilde { a } _ { m } \| \nabla f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { O } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg [ \bigg ( \bigg ( \frac { \partial } { \partial { t } } } & { { } + \omega _ { \nu } \bigg ) \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \eta } \right) + \omega _ { M } ^ { 2 } \bigg ) ^ { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \kappa } \right) + \omega _ { C } ^ { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \eta } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \kappa } \right) \bigg ] \hat { u } _ { x } } \end{array}
\overline { { I } } _ { \pm } \overline { { f } } _ { M } ^ { ( J ) } = \sqrt { ( J \mp M ) ( J \pm M + 1 ) } \overline { { f } } _ { M \pm 1 } ^ { ( J ) } , \quad \overline { { I } } _ { 3 } f _ { M } ^ { ( J ) } = M \overline { { f } } _ { M } ^ { ( J ) } ,
\frac { m c ^ { 2 } } { 2 B ^ { 2 } ( X _ { g y } ) } n _ { e } ( \textbf { x } ) = \frac { 1 } { 8 \pi } \frac { \rho _ { t h } ^ { 2 } } { \lambda _ { D } ^ { 2 } } = \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \Omega _ { c e } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { b _ { \alpha } } & { = \operatorname* { i n f } \left\{ \epsilon \in \{ \epsilon _ { 1 } , \dots , \epsilon _ { k } \} : \exists [ \beta ] \neq 0 \in H ^ { 1 } ( X ^ { \epsilon } ; \mathbb { R } ) \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } i ^ { * } [ \beta ] = [ \alpha ] \right\} } \\ { d _ { \alpha } } & { = \operatorname* { s u p } \left\{ \epsilon \in \{ \epsilon _ { k } , \dots , \epsilon _ { m } \} : i ^ { * } [ \alpha ] \neq 0 \in H ^ { 1 } ( X ^ { \epsilon } ; \mathbb { R } ) \right\} , } \end{array}
\frac { \partial ( \rho E ) } { \partial t } + \frac { \partial \left( \rho E u _ { j } + p u _ { j } \right) } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial \left( \tau _ { i j } u _ { i } - q _ { j } \right) } { \partial x _ { j } } = 0 ,
\rho ( E _ { \mathrm { k } } ) = \frac { 1 } { 3 } \rho ( E _ { \mathrm { k , t h } } ) + \frac { 2 } { 3 } \rho ( E _ { \mathrm { k , b g } } ) = 7 0 5 \, \mathrm { e r g } \cdot \mathrm { c m ^ { - 3 } } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { M } _ { s } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \sum M _ { s i } } & { 0 } \\ { 0 } & { \sum ( x _ { i } - x _ { c } ) ^ { 2 } M _ { s _ { i } } } \end{array} \right] } \\ { \mathbf { K } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { s } & { - ( x _ { s } - x _ { c } ) s } \\ { - ( x _ { s } - x _ { c } ) s } & { \sum ( x _ { i } - x _ { c } ) ( M _ { s _ { i } } - B _ { i } ) g + ( x _ { s } - x _ { c } ) ^ { 2 } s } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { C o v } } } & { = \frac { 1 } { V _ { 0 } m } \left[ \eta T \mathrm { V a r } ( x ^ { 2 } ) + \sigma _ { x } ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { V _ { 0 } m } \left[ \eta T 2 ( \sigma _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \sigma _ { x } ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { V _ { 0 } m } \eta T ( \sigma _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \left[ 2 + \frac { \sigma _ { z } ^ { 2 } } { \eta T \sigma _ { x } ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha = { \frac { \left| P _ { 2 } - P _ { 3 } \right| ^ { 2 } \left( P _ { 1 } - P _ { 2 } \right) \cdot \left( P _ { 1 } - P _ { 3 } \right) } { 2 \left| \left( P _ { 1 } - P _ { 2 } \right) \times \left( P _ { 2 } - P _ { 3 } \right) \right| ^ { 2 } } } } \\ { \beta = { \frac { \left| P _ { 1 } - P _ { 3 } \right| ^ { 2 } \left( P _ { 2 } - P _ { 1 } \right) \cdot \left( P _ { 2 } - P _ { 3 } \right) } { 2 \left| \left( P _ { 1 } - P _ { 2 } \right) \times \left( P _ { 2 } - P _ { 3 } \right) \right| ^ { 2 } } } } \\ { \gamma = { \frac { \left| P _ { 1 } - P _ { 2 } \right| ^ { 2 } \left( P _ { 3 } - P _ { 1 } \right) \cdot \left( P _ { 3 } - P _ { 2 } \right) } { 2 \left| \left( P _ { 1 } - P _ { 2 } \right) \times \left( P _ { 2 } - P _ { 3 } \right) \right| ^ { 2 } } } } \end{array}
\sqrt { A _ { n } - B _ { n } } = \frac { p _ { n } ( 4 ( 1 - p _ { n } ^ { 2 } ) + \lambda _ { n } ) } { \lambda + 4 p _ { n } ^ { 2 } } \; \smash { \left\{ \begin{array} { l l } { \geq \frac { 1 } { 1 0 } \lambda _ { n } \mathrm { ~ a n d } } \\ { \leq 4 \frac { 1 - p _ { n } ^ { 2 } } { \lambda _ { n } ^ { 2 } } \lambda _ { n } ^ { 2 } + \lambda _ { n } \leq ( 1 + 4 M ) \lambda _ { n } . } \end{array} \right. }