harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \| ( \widehat S - \lambda I ) ^ { - 1 } \| ^ { - 1 } } & { \geq } & { \nu _ { \ell } - | \lambda - \mu _ { \ell } | \geq \nu _ { \ell } - \frac { s } { 2 } \nu _ { \ell } = \left( 1 - \frac { s } { 2 } \right) \nu _ { \ell } \quad \mathrm { a n d } } \\ { \| ( \widehat S - \lambda I ) ^ { - 1 } \| ^ { - 1 } } & { \geq } & { \nu _ { \ell + 1 } - | \lambda - \mu _ { \ell + 1 } | \geq \nu _ { \ell + 1 } - \frac { 1 - s } { 2 } \nu _ { \ell } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \hat { \lambda } _ { 1 } , \hat { \lambda } _ { 2 } \right] \neq 0 , \ \left[ \hat { \lambda } _ { 1 } , \hat { \lambda } _ { 3 } \right] \neq 0 , \ \left[ \hat { \lambda } _ { 2 } , \hat { \lambda } _ { 3 } \right] \neq 0 . } \end{array}
- \psi \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial z \partial t } = \nabla \cdot \left[ \left( - U \hat { \textbf { x } } + \textbf { u } \right) \psi \frac { \partial \psi } { \partial z } + \frac { \lambda } { 2 } \hat { \textbf { x } } \, \psi ^ { 2 } \right] + U \frac { \partial \psi } { \partial z } \frac { \partial \psi } { \partial x } ,
\begin{array} { r l } { \dot { E } _ { \mathrm { e f f } } } & { = \operatorname { T r } \{ m ^ { - 1 } \cdot \lbrack \operatorname { R e } \langle \hat { V } ^ { \prime } \otimes ( \hat { p } - p _ { t } ) ^ { T } \rangle - \langle \hat { V } ^ { \prime \prime } \rangle \cdot \operatorname { C o v } _ { R } ( \hat { q } , \hat { p } ) ] \} } \\ & { = 0 . } \end{array}
\frac { W _ { 1 } ^ { \prime } } { 2 \sqrt { W _ { 1 } } } \left[ 1 + \frac { R ^ { 2 } } { \Pi ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { 1 } { R _ { x } } \right) \right] + \frac { \sqrt { W _ { 1 } } } { 2 } W _ { 2 } ^ { \prime } R _ { x } ( R _ { x } - 1 ) = 0
\langle \Sigma _ { f } , J _ { \phi } ^ { f } \vert \Sigma _ { i } , J _ { \phi } ^ { i } \rangle = \delta ( Q _ { f } - Q _ { i } ) \int D [ g , \phi ] { e ^ { - S + i \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } d ^ { 3 } x \sqrt { g } J _ { \phi } ^ { \mu } \partial _ { \mu } \phi } }
\left. R _ { \mathrm { m i n } } \right| _ { \delta , r } = \left[ \frac { 1 + 2 \, q _ { \mathrm { C } } \, \rho _ { \mathrm { c } } \cos ( \theta _ { \mathrm { c } } + \omega _ { \mathrm { C } } ) + q _ { \mathrm { C } } ^ { 2 } \, \rho _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } { \left( 1 - 2 \, q _ { \mathrm { C } } \cos \omega _ { \mathrm { C } } \cos \gamma + q _ { \mathrm { C } } ^ { 2 } \right) \left( 1 + 2 \, \rho _ { \mathrm { c } } \cos \theta _ { \mathrm { c } } \cos \gamma + \rho _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \right) } \right] \sin ^ { 2 } \gamma ,
S _ { G } ( \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 1 } ; [ Q , P ] ) = \int _ { \lambda _ { 1 } } ^ { \lambda _ { 2 } } d \lambda \left( P ( \lambda ) \, { \frac { d Q ( \lambda ) } { d \lambda } } \, - G ( Q ( \lambda ) , P ( \lambda ) ) \right) .
\begin{array} { r l } & { \| \mathcal { D } _ { n } \mathcal { N } _ { n } \psi - \mathcal { D } \mathcal { N } \psi \| _ { p + 2 } = \| ( \mathcal { D } _ { n } - \mathcal { D } ) \mathcal { N } \psi \| _ { p + 2 } } \\ & { \leq \| ( \mathcal { D } _ { n } - \mathcal { D } ) ( \mathcal { N } \psi - \mathcal { P } _ { n } \mathcal { N } \psi ) \| _ { p + 2 } + \| ( \mathcal { D } _ { n } - \mathcal { D } ) \mathcal { P } _ { n } \mathcal { N } \psi \| _ { p + 2 } } \\ & { \preceq \| \mathcal { N } \psi - \mathcal { P } _ { n } \mathcal { N } \psi \| _ { p - 1 } + 1 / n \| \mathcal { P } _ { n } \mathcal { N } \psi \| _ { p - 1 } } \\ & { \leq \| \mathcal { N } _ { 1 } \psi - \mathcal { P } _ { n } \mathcal { N } _ { 1 } \psi \| _ { p - 1 } + \| \mathcal { N } _ { 2 } \psi - \mathcal { P } _ { n } \mathcal { N } _ { 2 } \psi \| _ { p - 1 } + 1 / n \| \mathcal { P } _ { n } \mathcal { N } \psi \| _ { p - 1 } } \\ & { \preceq 1 / n ^ { 2 } \| \mathcal { N } _ { 2 } \psi \| _ { p + 1 } + 1 / n \| \mathcal { N } \psi \| _ { p - 1 } \preceq 1 / n \| \psi \| _ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { j \in \{ 0 , 1 , \dots , N - 1 \} } 2 ^ { j } K \mu _ { n } ( M _ { f } ( 2 ^ { j } K ) ) } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { j \in \{ 0 , 1 , \dots , N - 1 \} } 2 ^ { j } K \mu _ { n } ( M _ { f } ^ { + } ( 2 ^ { j } K ) ) } \\ & { \leq ( 1 + \alpha ) \operatorname* { m a x } _ { j \in \{ 0 , 1 , \dots , N - 1 \} } 2 ^ { j } L \mu ( M _ { f } ^ { + } ( 2 ^ { j } K ) ) } \\ & { \leq ( 1 + \alpha ) \operatorname* { m a x } _ { j \in \{ 0 , 1 , \dots , N - 1 \} } 2 ^ { j } K \left( \mu ( M _ { f } ( 2 ^ { j } K ) ) + \frac { 1 } { n } \right) } \\ & { \leq ( 1 + \alpha ) \widetilde { \Lambda } _ { f } ^ { \beta } ( \mu ) + \frac { 1 + \alpha } { n } ~ . } \end{array}
\textrm { I n t e g r a t e d G r a d i e n t } _ { i } ( x ) = ( x _ { i } - x _ { i } ^ { \prime } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \partial F ( x ^ { \prime } + \alpha ( x - x ^ { \prime } ) ) } { \partial x _ { i } } d \alpha
\begin{array} { r } { \| x - \hat { x } \| _ { \ell _ { 2 } } ^ { 2 } \le \frac { 2 \beta } { \alpha _ { 2 } } \, \sum _ { k , l } ( x _ { k , l } - \hat { x } _ { k , l } ) ( \widetilde { e } _ { k , l } - e _ { k , l } ( x ) ) \le \frac { 2 \beta } { \alpha _ { 2 } } \, \| x - \hat { x } \| _ { \ell _ { 2 } } \, \| e - \widetilde { e } \| _ { \ell _ { 2 } } \, , } \end{array}
\mathbf { u } ^ { i } ( \mathbf { x } ) = \int _ { 0 } ^ { L ^ { i } } \mathbf { G } \left( \mathbf { x } - \mathbf { r } ^ { i } ( s ^ { \prime } ) \right) \mathbf { f } ^ { i } ( s ^ { \prime } ) \, d s ^ { \prime } .
l _ { a 1 } \equiv \frac { \tilde { A } _ { a 1 } - \tilde { B } _ { a 1 } } { 2 } \, , \qquad l _ { b 2 } \equiv \frac { \tilde { A } _ { b 2 } - \tilde { B } _ { b 2 } } { 2 }
V ( \phi ) = \frac { d } { 2 } \log ( 2 \pi e ) + \frac { 1 } { N _ { y } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { y } } \left\{ \frac { 1 } { N _ { z } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { z } } \log p ( \Xi = h ( Z _ { j } , Y _ { i } ; \phi ) , Y _ { i } ) + \sum _ { r = 1 } ^ { d } \log L _ { r r } ( Y _ { i } ; \phi ) \right\} .
H = - t \sum _ { \sigma = \uparrow , \downarrow } ( a _ { 1 \sigma } ^ { \dagger } a _ { 2 \sigma } + a _ { 2 \sigma } ^ { \dagger } a _ { 1 \sigma } ) + U \sum _ { i } \hat { n } _ { i \uparrow } \hat { n } _ { i \downarrow } + \sum _ { i } v _ { i } \hat { n } _ { i }
\mathrm { N u } = 2 + 0 . 6 \, \mathrm { R e } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \, \mathrm { P r } ^ { \frac { 1 } { 3 } } , ~ 0 \leq ~ \mathrm { R e } < 2 0 0 , ~ 0 \leq \mathrm { P r } < 2 5 0
\begin{array} { r l r } { \parallel Q - Q _ { { \bf J } , \beta } ^ { k } \parallel _ { v } ^ { * } } & { = } & { \sum _ { s } \parallel \sum _ { j , j ( 1 ) = s } \bar { \phi } _ { j } ^ { k - 1 } \left\{ \mu _ { { \bf J } , \beta _ { j } } ^ { k - 1 } ( \tilde { Q } _ { j } ^ { ( k ) } ) - \mu ^ { k - 1 } ( \tilde { Q } _ { j } ^ { ( k ) } ) \right\} \parallel _ { 1 , \mu } , } \end{array}
\{ x _ { \mu } , n _ { \nu } \} = - \frac { n _ { \mu } p _ { \nu } } { p ^ { 2 } } ~ ; ~ \{ x _ { \mu } , { p _ { n } } _ { \nu } \} = - \frac { { p _ { n } } _ { \mu } p _ { \nu } } { p ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \| m ^ { \omega k _ { 4 } } ( x , t , \cdot ) - I \| _ { L ^ { \infty } ( \partial D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) ) } = O ( t ^ { - 1 / 2 } ) , } \\ & { m ^ { \omega k _ { 4 } } - I = \frac { Y _ { 1 } ( \zeta , t ) m _ { 1 } ^ { X , ( 1 ) } Y _ { 1 } ( \zeta , t ) ^ { - 1 } } { z _ { 1 , \star } \sqrt { t } ( k - \omega k _ { 4 } ) \hat { z } _ { 1 } ( \zeta , k ) } + O ( t ^ { - 1 } ) } \end{array}
G _ { x ^ { \prime } } ( x , x ^ { \prime } ) = \frac { \displaystyle \int ^ { \prime } d \Omega _ { x ^ { \prime } } G ( x , x ^ { \prime } ; \Omega _ { x ^ { \prime } } ) } { \displaystyle \int ^ { \prime } d \Omega _ { x ^ { \prime } } } ,
\begin{array} { r } { \int _ { \partial e _ { A } } z d \nu _ { x } ^ { \infty } = \int _ { \partial \mathbb { B } ^ { d } } \int _ { \{ ( w _ { n } ) _ { n } \} } z d P _ { z } ( ( w _ { n } ) _ { n } ) d \pi _ { \partial \mathbb { B } ^ { d } } \nu _ { x } ^ { \infty } = \int _ { \partial \mathbb { B } ^ { d } } z d \pi _ { \partial \mathbb { B } ^ { d } } \nu _ { x } ^ { \infty } , } \end{array}
{ \bf { I } } _ { \mathrm { { V } } } = \left( { 0 , 0 , 2 \omega _ { \mathrm { { F } } } \sin \theta \left( { - \frac { \partial D _ { \Gamma } } { \partial y } + \frac { \partial ^ { 2 } \Gamma _ { x } } { \partial y ^ { 2 } } - \frac { \partial ^ { 2 } \Gamma _ { y } } { \partial x \partial y } } \right) } \right) .
\begin{array} { r l } { \left( X M ^ { \mathrm { T } } X \right) M } & { = \left( \begin{array} { l l } { m _ { 1 1 } m _ { 2 2 } + m _ { 1 2 } m _ { 2 1 } } & { 2 m _ { 1 2 } m _ { 2 2 } } \\ { 2 m _ { 1 1 } m _ { 2 1 } } & { m _ { 1 1 } m _ { 2 2 } + m _ { 1 2 } m _ { 2 1 } } \end{array} \right) } \\ { M \left( X M ^ { \mathrm { T } } X \right) } & { = \left( \begin{array} { l l } { m _ { 1 1 } m _ { 2 2 } + m _ { 1 2 } m _ { 2 1 } } & { 2 m _ { 1 1 } m _ { 1 2 } } \\ { 2 m _ { 2 1 } m _ { 2 2 } } & { m _ { 1 1 } m _ { 2 2 } + m _ { 1 2 } m _ { 2 1 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \Phi _ { t } } & { = \gamma ( M + N ) \mathbb E \ln \bigl \langle e ^ { \beta y \sigma _ { I ( 1 ) } \sigma _ { I ( 2 ) } } \bigr \rangle _ { t } - \gamma M \mathbb E \ln \bigl \langle e ^ { \beta y ^ { \prime } \tau _ { I ^ { \prime } ( 1 ) } \tau _ { I ^ { \prime } ( 2 ) } } \bigr \rangle _ { t } - \gamma N \mathbb E \ln \bigl \langle e ^ { \beta y ^ { \prime \prime } \rho _ { I ^ { \prime \prime } ( 1 ) } \rho _ { I ^ { \prime \prime } ( 2 ) } } \bigr \rangle _ { t } . } \end{array}
\eta ^ { 2 } \approx \eta _ { p , 0 } ^ { 2 } + \xi _ { 1 } \left( \frac { E _ { 0 } } { E _ { c } } \right) ^ { 2 } \left[ 1 - \eta _ { p , 0 } ^ { 2 } \right] ^ { 2 } \, .
S ( Q ^ { 2 } ) = S ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) e x p [ \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \gamma ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } ] , \ ~ ~ \ ~ ~ \ \ t = l o g \frac { Q ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \alpha \theta } + \gamma _ { \theta \beta } \cos \left( \theta \right) + \gamma _ { \alpha \beta } \cos \left( \alpha \right) } & { { } = 0 } \\ { \gamma _ { \alpha \theta } \cos \left( \theta \right) + \gamma _ { \theta \beta } + \gamma _ { \alpha \beta } \cos \left( \beta \right) } & { { } = 0 } \\ { \gamma _ { \alpha \theta } \cos \left( \alpha \right) + \gamma _ { \theta \beta } \cos \left( \beta \right) + \gamma _ { \alpha \beta } } & { { } = 0 } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \frac { \mathrm { d } \bar { \mathbf { u } } } { \mathrm { d } t } } \\ { \frac { \mathrm { d } \mathbf { s } } { \mathrm { d } t } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { f _ { H } ( \bar { \mathbf { u } } ) } \\ { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] + \mathcal { K } ( \bar { \mathbf { u } } , \mathbf { s } , \mathbf { \Omega } ) \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \Omega } \bar { \mathbf { u } } } \\ { \boldsymbol { \Omega } \mathbf { s } } \end{array} \right] + \mathcal { P } ( \bar { \mathbf { u } } , \mathbf { s } , \mathbf { \Omega } ) \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \Omega } \bar { \mathbf { u } } } \\ { \boldsymbol { \Omega } \mathbf { s } , } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { R ^ { { \Sigma } } } & { = R ^ { M } - 2 \mathrm { R i c } ^ { M } \left( \partial _ { r } , \partial _ { r } \right) \sin ^ { 2 } \theta } \\ & { + ( n - 2 ) ( n - 1 ) \left( \frac { 1 } { r ^ { 2 } } + O ( 1 ) \right) \sin ^ { 2 } \theta } \\ & { - ( n - 1 ) \left( \frac { 1 } { r } + O ( r ) \right) k \sin \theta . } \end{array}
H _ { P } ^ { \prime } = \frac { ( b + d ) \Gamma _ { 1 } + ( f + h ) \Gamma _ { 6 } + ( \beta + \gamma ) \Gamma _ { 1 1 } } { 2 } + \frac { i \left[ ( b - d ) \Gamma _ { 2 } + ( f - h ) \Gamma _ { 7 } + ( \beta - \gamma ) \Gamma _ { 1 2 } \right] } { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { r } \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } ( r ) } \left| \frac { 1 } { n m } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sigma _ { i j } \left( \mathcal { T } _ { \beta _ { U } } U _ { i } \right) \left( X _ { i j } \right) \left( f \left( X _ { i j } \right) - f ^ { \circ } \left( X _ { i j } \right) \right) \right| \right] } \\ & { + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( 4 ^ { k - 1 } + 1 ) r } \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } ( 4 ^ { k } r ) } \left| \frac { 1 } { n m } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sigma _ { i j } \left( \mathcal { T } _ { \beta _ { U } } U _ { i } \right) \left( X _ { i j } \right) \left( f \left( X _ { i j } \right) - f ^ { \circ } \left( X _ { i j } \right) \right) \right| \right] } \\ { \leq } & { \frac { 2 \beta _ { U } \phi ( r ) } { r } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 2 \beta _ { U } \phi ( 4 ^ { k } r ) } { ( 4 ^ { k - 1 } + 1 ) r } \leq \frac { 2 \beta _ { U } \phi ( r ) } { r } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 2 ^ { k + 1 } \beta _ { U } \phi ( r ) } { ( 4 ^ { k - 1 } + 1 ) r } \leq \frac { 8 \beta _ { U } \phi ( r ) } { r } . } \end{array}
\left\| \left. T _ { a } ^ { \mathrm { F } } \right| _ { L _ { 0 } ^ { 2 } ( X _ { n } ) } \right\| \le \prod _ { i \le n / 2 } \frac { 1 } { p ^ { ( k _ { n + 1 - i } - k _ { i } ) / 2 } } \frac { ( k _ { n + 1 - i } - k _ { i } ) ( p - 1 ) + ( p + 1 ) } { p + 1 } \le p ^ { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n / 2 } ( k _ { n + 1 - i } - k _ { i } ) } \cdot C ( k _ { 1 } , . . . , k _ { n } ) ,
\begin{array} { r } { \pi _ { i } ^ { F L o p t } = \frac { \lvert - y _ { i } \exp ( - \boldsymbol { B } _ { i } ^ { T } \hat { \boldsymbol { \theta } } _ { f u l l } ) + y _ { i } ^ { - 1 } \exp ( \boldsymbol { B } _ { i } ^ { T } \hat { \boldsymbol { \theta } } _ { f u l l } ) \rvert \Vert \boldsymbol { B } _ { i } \Vert _ { 2 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lvert - y _ { i } \exp ( - \boldsymbol { B } _ { i } ^ { T } \hat { \boldsymbol { \theta } } _ { f u l l } ) + y _ { i } ^ { - 1 } \exp ( \boldsymbol { B } _ { i } ^ { T } \hat { \boldsymbol { \theta } } _ { f u l l } ) \rvert \Vert \boldsymbol { B } _ { i } \Vert _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textrm { I I } _ { i i } } & { = \frac { 1 } { \rho _ { k } ^ { \alpha } [ \nabla u _ { k } ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } } \int \nabla \phi ( x ) \cdot A _ { k } ( z _ { k } - \rho _ { k } x ) \nabla u _ { k } ( z _ { k } - \rho _ { k } x ) \, d x } \\ & { = \frac { \rho _ { k } ^ { 1 - \alpha } } { [ \nabla u _ { k } ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } } \int \phi ( x ) f _ { k } ( z _ { k } - \rho _ { k } x ) \, d x . } \end{array}
g _ { i j } ( x ^ { k } ) \rightarrow g _ { i j } ( x ^ { k } - \varepsilon x ^ { l } \epsilon _ { l } ^ { ~ k } ) - \varepsilon \epsilon _ { i } ^ { ~ i ^ { \prime } } g _ { i ^ { \prime } j } ( x ) - \varepsilon \epsilon _ { j } ^ { ~ j ^ { \prime } } g _ { i j ^ { \prime } } ( x )
\begin{array} { r l } { \Psi _ { 3 } } & { { } = \sum _ { m \ge 0 } 4 \pi \Big ( b _ { m } ^ { 3 } \delta _ { m } T _ { m } - \sigma b _ { m } ^ { 4 } \lambda _ { m } \, U _ { m } \Big ) \sigma ^ { 2 m + 1 } , } \\ { \Psi _ { 4 } } & { { } = \sum _ { m \ge 0 } 2 b _ { m } ^ { 3 } \delta _ { m } G _ { m } \sigma ^ { 2 m + 1 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \mathop { \mathcal { P } _ { \star } ^ { ( p ) } } \right] ^ { 2 } } & { = 1 - \frac { A \big ( 1 - \frac { C ^ { 2 } } { B ^ { 2 } } \big ) } { \Big [ B - \frac { C ^ { 2 } } { B } \Big ] ^ { 2 } } = 1 - \frac { A } { B ^ { 2 } - C ^ { 2 } } \: , } \\ & { = 1 - \frac { 4 \rho _ { s p } ^ { 2 } ( \rho _ { \zeta , p p } - \rho _ { \varepsilon , p p } ) ^ { 2 } } { \left( \rho _ { \zeta , p p } ^ { 2 } + \rho _ { \varepsilon , p p } ^ { 2 } + 2 \rho _ { s p } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 \left( \rho _ { \zeta , p p } \rho _ { \varepsilon , p p } + \rho _ { s p } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \: . } \end{array}
\underbrace { ( w ^ { h } , i \omega \phi ^ { h } ) + ( w ^ { h } , a \phi _ { , x } ^ { h } ) + ( w _ { , x } ^ { h } , \kappa \phi _ { , x } ^ { h } ) } _ { \mathrm { B a s e l i n e ~ G a l e r k i n } } + \underbrace { \sum _ { e } \Big ( \tau a w _ { , x } ^ { h } , i \omega \phi ^ { h } + a \phi _ { , x } ^ { h } - \kappa \phi _ { , x x } ^ { h } \Big ) _ { \Omega _ { e } } } _ { \mathrm { T h e ~ S U P G ~ t e r m s } } = 0 ,
\begin{array} { r l } { L ( s , \ \chi _ { 0 } ) = } & { \zeta ( s ) \prod _ { p \mid q } \left( 1 - \frac { 1 } { p ^ { s } } \right) , } \\ { L ( s , \ \mathrm { { s y m } ^ { 2 } } f \otimes \chi _ { 0 } ) = } & { L ( s , \ { \mathrm { s y m } ^ { 2 } } f ) \prod _ { p \mid q } \prod _ { 0 \leq j \leq 2 } \left( 1 - \frac { \alpha _ { f } ^ { 2 - 2 j } ( p ) } { p ^ { s } } \right) , } \\ { L ( s , \ \mathrm { { s y m } ^ { 4 } } f \otimes \chi _ { 0 } ) = } & { L ( s , \ { \mathrm { s y m } ^ { 4 } } f ) \prod _ { p \mid q } \prod _ { 0 \leq j \leq 4 } \left( 1 - \frac { \alpha _ { f } ^ { 4 - 2 j } ( p ) } { p ^ { s } } \right) . } \end{array}
\bar { \mathcal { F } } ( \omega , \phi _ { \partial } , \Sigma ) : \mathring { V } \Lambda ^ { 2 } ( \Omega ) \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \partial \Omega ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Sigma )
\begin{array} { r l } & { e ^ { - \gamma t } \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r e e } } ( e ^ { \gamma \bullet } H ) ( t , x ) } \\ & { = \frac { p ^ { \prime } ( \varrho ( t , x ) ) } { ( 2 \pi ) ^ { d + 1 } } \int _ { - \infty } ^ { t } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \int _ { \mathbb R \times \mathbb Z ^ { d } } e ^ { - \gamma ( t - s ) } e ^ { i ( \tau s + k \cdot ( x - ( t - s ) v ) } i k \cdot \nabla _ { v } f ( t , x , v ) \mathcal { F } _ { t , x } H ( \tau , k ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } s \, \mathrm { d } \tau \, \mathrm { d } k , } \end{array}
\begin{array} { r } { n ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ v ~ p ~ } } } ( x ) = - \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \frac { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } k } { \pi } \frac { \kappa } { k ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } } f _ { k } ( x ) . } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { I } } = { \cal L } _ { \mathrm { i n v } } + \partial _ { \mu } B A ^ { \mu } + { \frac { \varepsilon } { 2 } } \left( Y _ { * } + \alpha B \right) ^ { 2 } + \partial _ { \mu } Y _ { * } \partial ^ { \mu } Y , \,
\ensuremath { \operatorname { P r o x } } _ { f } ( u ) ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \overline { { a } } \, , } & { \mathrm { ~ i f \ \ } u ( t ) > ( r + 1 ) \, \overline { { a } } \, , } \\ { u ( t ) / ( r + 1 ) \, , } & { \mathrm { ~ i f \ \ } ( r + 1 ) \, \underline { { a } } \le u ( t ) \le ( r + 1 ) \, \overline { { a } } \, , } \\ { \underline { { a } } \, , } & { \mathrm { ~ i f \ \ } u ( t ) < ( r + 1 ) \, \underline { { a } } \, ; } \end{array} \right.
P ( k ) \sim \left\{ \begin{array} { l l } { k ^ { - \gamma } } & { \textrm { i f } \, k \in [ k _ { \operatorname* { m i n } } , k _ { \operatorname* { m a x } } ] } \\ { 0 } & { \textrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. \; .
\begin{array} { r l } { E \left[ \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { s } \left| b ( X _ { u } , ~ H ( X _ { u - \cdot } ) , ~ \theta _ { 0 } ) \right| \, \mathrm { d } u \right] } & { \leq \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { s } E \left[ \left| X _ { u } \right| + \left| H ( X _ { u - \cdot } ) \right| \right] \, \mathrm { d } u } \\ & { \leq ( s - t _ { k - 1 } ) \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } \leq u \leq t _ { k } } E \left[ \left| X _ { u } \right| + \left| H ( X _ { u - \cdot } ) \right| \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { ~ \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \left[ \eta _ { t } \hat { \rho } ( \hat { \rho } - \rho ) \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( t ) } - { \mathbf x } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } - \eta _ { t } \hat { \rho } \widehat \lambda _ { t } \epsilon _ { t } \right] \mathbb { I } ( g ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) \leq \epsilon _ { t } ) + \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \hat { \rho } \epsilon _ { t } \mathbb { I } ( g ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) > \epsilon _ { t } ) \ } & { ~ \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \left[ \eta _ { t } \hat { \rho } ( \hat { \rho } - \rho ) \epsilon ^ { 2 } - \eta _ { t } \hat { \rho } \widehat \lambda _ { t } \epsilon _ { t } \right] \mathbb { I } ( g ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) \leq \epsilon _ { t } ) + \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \hat { \rho } \epsilon _ { t } \mathbb { I } ( g ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) > \epsilon _ { t } ) } \\ { \geq } & { ~ \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \hat { \rho } \epsilon _ { t } \mathbb { I } ( g ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) \leq \epsilon _ { t } ) + \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \hat { \rho } \epsilon _ { t } \mathbb { I } ( g ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) > \epsilon _ { t } ) = \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \hat { \rho } \epsilon _ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { M i n } \quad } & { \sum _ { u , v \in V : u v \in E ^ { - } } x _ { u v } + \sum _ { u , v \in V : u v \in E ^ { + } } ( 1 - x _ { u v } ) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { x _ { u v } + x _ { v r } - x _ { u r } \leq 1 , \quad \forall u < v < r \in V } \\ & { x _ { u v } - x _ { v r } + x _ { u r } \leq 1 , \quad \forall u < v < r \in V } \\ & { - x _ { u v } + x _ { v r } + x _ { u r } \leq 1 , \quad \forall u < v < r \in V } \\ & { x _ { u v } \in \{ 0 , 1 \} , \quad \forall u , v \in V . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Lambda ( \infty ) \equiv \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \Lambda ( t ) = \frac { \lambda _ { 0 } } { \frac { h } { \eta } \lambda _ { 0 } + 2 } = \frac { \lambda _ { 0 } } { \frac { h } { b } + 2 } . } \end{array}
p ^ { 2 } \xi _ { 2 0 } ( p , q ) - p . q \xi _ { 1 1 } ( p , q ) = { \frac { 1 } { 2 } } \left\{ - \left[ { \frac { 1 } { 2 } } + m ^ { 2 } \xi _ { 0 0 } ( p , q ) \right] + { \frac { q ^ { 2 } } { 2 } } \xi _ { 0 1 } ( p , q ) + { \frac { 3 p ^ { 2 } } { 2 } } \xi _ { 1 0 } ( p , q ) \right\}
\begin{array} { r l } { I I _ { a } } & { = h b _ { \infty } \| [ P _ { F } \nabla v ] \| _ { \mathcal { F } _ { h } } ^ { 2 } + h b _ { \infty } \| [ n _ { F } \cdot \nabla v ] \| _ { \mathcal { F } _ { h } } ^ { 2 } \lesssim \frac { b _ { \infty } } { h } \| [ v ] \| _ { \mathcal { F } _ { h } } ^ { 2 } + h b _ { \infty } \| [ n _ { F } \cdot \nabla v ] \| _ { \mathcal { F } _ { h } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \hat { l } _ { y } , \hat { l } _ { z } \right] } & { { } = } & { i \hbar \hat { l } _ { x } , } \\ { \left[ \hat { l } _ { z } , \hat { l } _ { x } \right] } & { { } = } & { i \hbar \hat { l } _ { y } } \end{array}
0 = \int \left( g _ { \mu \nu } { \frac { d ^ { 2 } x ^ { \nu } } { d \tau ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { d x ^ { \alpha } } { d \tau } } { \frac { d x ^ { \nu } } { d \tau } } \left( \partial _ { \alpha } g _ { \mu \nu } + \partial _ { \nu } g _ { \mu \alpha } - \partial _ { \mu } g _ { \alpha \nu } \right) \right) \delta x ^ { \mu } \, d \tau
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \int _ { \mathcal { D } } \int _ { \mathcal { D } } T ^ { * } \varphi ( x ) T ^ { * } \varphi ( x ^ { \prime } ) \mathbb { E } [ U ( x ) U ( x ^ { \prime } ) ] d x d x ^ { \prime } } \\ & { = \mathbb { E } \Bigg [ \Bigg ( \int _ { \mathcal { D } } T ^ { * } \varphi ( x ) U ( x ) d x \Big ) ^ { 2 } \Bigg ] = \mathbb { E } [ \langle U , T ^ { * } \varphi \rangle ^ { 2 } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { i \phi _ { 0 } ^ { \prime } Z } \prod _ { k = 1 } ^ { d } W ( x ) e ^ { i \phi _ { k } ^ { \prime } Z } } & { { } = e ^ { i \phi _ { 0 } Z } \prod _ { k = 1 } ^ { d } R ( x ) e ^ { i \phi _ { k } Z } } \end{array}
\gamma ^ { 0 } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - I _ { 2 } } \\ { - I _ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) } , \quad \gamma ^ { k } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \sigma ^ { k } } \\ { - \sigma ^ { k } } & { 0 } \end{array} \right) } , \quad \gamma ^ { 5 } = { \left( \begin{array} { l l } { I _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { - I _ { 2 } } \end{array} \right) } .