harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { 2 } \, = \, } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \bigl \{ ( \beta _ { \epsilon } - 1 ) P _ { 1 } \eta _ { 1 } + L P _ { 1 } \eta _ { 1 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} + \frac { 1 } { 2 \pi } \bigl \{ \beta _ { \epsilon } P _ { 2 } \eta _ { 0 } + L P _ { 2 } \eta _ { 0 } + Q _ { 2 } \eta _ { 0 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} } \\ & { + \bigl \{ \phi _ { 1 } \, , \eta _ { 1 } \bigr \} + ( \partial _ { Z } \phi _ { 1 } ) \eta _ { 0 } + ( \partial _ { Z } \phi _ { 0 } ) \eta _ { 1 } - R \Bigl ( \bigl \{ \phi _ { 1 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} + \bigl \{ \phi _ { 0 } \, , \eta _ { 1 } \bigr \} + 2 ( \partial _ { Z } \phi _ { 0 } ) \eta _ { 0 } \Bigr ) } \\ & { + \delta \partial _ { R } ( R \eta _ { 0 } ) - \frac { r _ { 0 } \dot { \bar { z } } _ { 0 } } { \Gamma } \, \partial _ { Z } \eta _ { 1 } \, . } \end{array}
f _ { \mathrm { ~ 1 ~ J ~ F ~ F ~ } } ^ { \mathrm { ~ a ~ x ~ o ~ n ~ } } ( \ell , N _ { \mathrm { ~ M ~ T ~ } } ) = n _ { \mathrm { ~ D ~ } } ( N _ { \mathrm { ~ M ~ T ~ } } / N _ { 0 } ) ^ { 1 / d } [ ( \lambda n _ { \mathrm { ~ D ~ } } / \ell _ { 0 } ) \operatorname { t a n h } ( \ell / 2 n _ { \mathrm { ~ S ~ } } \ell _ { 0 } ) - n _ { \mathrm { ~ S ~ } } ]
\rho _ { \pm } = | \Upsilon _ { \pm } | ^ { 2 } + \frac 1 2 \operatorname { d i v } ( \mathbf { z } | \Upsilon _ { \pm } | ^ { 2 } ) + \hbar \operatorname { I m } \{ \Upsilon _ { \pm } ^ { * } , \Upsilon _ { \pm } \}
\mathrm { ~ C ~ o ~ r ~ } ( y _ { j } ( \mathbf x ) , y _ { j } ( \mathbf x ^ { \prime } ) ) = \mathrm { ~ C ~ o ~ r ~ } ( y _ { j ^ { \prime } } ( \mathbf x ) , y _ { j ^ { \prime } } ( \mathbf x ^ { \prime } ) )
\hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = E _ { 1 } + \left( \begin{array} { c c } { \frac { \Delta _ { 1 } } { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { \Delta _ { 1 } } { 2 } } \end{array} \right) + \sum _ { j } \left( \begin{array} { c c } { \langle 1 _ { + } ^ { \prime } | \hat { V } _ { j } | 1 _ { + } ^ { \prime } \rangle } & { \langle 1 _ { + } ^ { \prime } | \hat { V } _ { j } | 1 _ { - } ^ { \prime } \rangle } \\ { \langle 1 _ { - } ^ { \prime } | \hat { V } _ { j } | 1 _ { + } ^ { \prime } \rangle } & { \langle 1 _ { - } ^ { \prime } | \hat { V } _ { j } | 1 _ { - } ^ { \prime } \rangle } \end{array} \right) \otimes ( \hat { b } _ { j } + \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } ) + \sum _ { j } \omega _ { j } \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } .
\begin{array} { r l r } { r _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } } & { { } = } & { \frac { M _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ( 2 , 1 ) } { M _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ( 1 , 1 ) } , } \\ { t _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { M _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ( 1 , 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 2 \delta } { 5 } - \frac { \delta ^ { 2 } } { 2 } } & { \le 1 - \frac { 1 } { a _ { i } } + \frac { \mu _ { y } } { a _ { i } } = \frac { \mu _ { y } - \delta ^ { 2 } / 2 } { 1 - \delta ^ { 2 } / 2 } \le \frac { \delta + \delta ^ { 2 } } { 2 } } \\ { \frac { 2 ^ { d - 1 } } { 5 } \delta n } & { \le \mathrm { v o l } ( S ^ { + } ( a ) ) \le 2 ^ { d - 3 } ( 1 + \delta ) \delta n . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( t , x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \frac { 2 } { 3 } t + \frac { 1 } { 1 8 } \alpha t ^ { 2 } , } & { x \leq x _ { 1 } ( t ) , } \\ { \left( x + \frac { 1 } { 5 4 } ( 2 - \alpha ) t ^ { 3 } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } - \frac { 1 } { 1 8 } ( 2 - \alpha ) t ^ { 2 } , } & { x _ { 1 } ( t ) < x \leq x _ { 2 } ( t ) , } \\ { \left( 1 - \alpha \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \left( x + \frac { 1 } { 5 4 } ( 2 - \alpha ) t ^ { 3 } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } - \frac { 1 } { 1 8 } ( 2 - \alpha ) t ^ { 2 } , } & { x _ { 2 } ( t ) < x \leq - \frac { 1 } { 5 4 } \alpha t ^ { 3 } , } \\ { \left( x + \frac { 1 } { 5 4 } ( 2 + \alpha ) t ^ { 3 } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } - \frac { 1 } { 1 8 } ( 2 + \alpha ) t ^ { 2 } , } & { - \frac { 1 } { 5 4 } \alpha t ^ { 3 } < x \leq x _ { 3 } ( t ) , } \\ { 1 + \frac { 2 } { 3 } t - \frac { 1 } { 1 8 } \alpha t ^ { 2 } , } & { x _ { 3 } ( t ) < x , } \end{array} \right. } \\ { F ( t , x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { x \leq x _ { 1 } ( t ) , } \\ { \frac { 4 } { 3 } \left( \left( x + \frac { 1 } { 5 4 } ( 2 - \alpha ) t ^ { 3 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } + 1 - \frac { t } { 3 } \right) , } & { x _ { 1 } ( t ) < x \leq x _ { 2 } ( t ) , } \\ { \frac { 4 } { 3 } \left( ( 1 - \alpha ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } \left( x + \frac { 1 } { 5 4 } ( 2 - \alpha ) t ^ { 3 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } + 1 - \frac { t } { 3 } \right) , } & { x _ { 2 } ( t ) < x \leq - \frac { 1 } { 5 4 } \alpha t ^ { 3 } , } \\ { \frac { 4 } { 3 } \left( \left( x + \frac { 1 } { 5 4 } ( 2 + \alpha ) t ^ { 3 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } + 1 ( 1 + \alpha ) \frac { t } { 3 } \right) , } & { - \frac { 1 } { 5 4 } \alpha t ^ { 3 } < x \leq x _ { 3 } ( t ) , } \\ { \frac { 8 } { 3 } - \frac { 4 } { 9 } \alpha t , } & { x _ { 3 } ( t ) < x , } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { t _ { b , n } / T _ { 2 , b } } { t _ { d } / T _ { 2 , d } } > \frac { c _ { d } } { c _ { b , n } } = \frac { d ^ { 2 } - 1 } { 3 \log _ { 2 } ( d ) } = \frac { 4 ^ { n } - 1 } { 3 n } .
\begin{array} { r } { \langle \Delta \Theta _ { i } \Delta \Theta _ { j } \rangle = \ln \left[ 1 + \frac { \langle \Delta W _ { i } ^ { 2 } \Delta W _ { j } ^ { 2 } \rangle } { \langle W _ { i } ^ { 2 } \rangle \langle W _ { j } ^ { 2 } \rangle } \right] . } \end{array}
\frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } m _ { u } ( \mathbf { x } ) = \bar { \mu } _ { l } ( \mathbf { x } ) + f ( \mathbf { x } ) - \mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { X } _ { T _ { l } } ) ^ { \top } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { X } _ { T _ { l } } \mathbf { X } _ { T _ { l } } } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } f ( \mathbf { X } _ { T _ { l } } ) .
\begin{array} { r l } { \bar { U } ^ { j } } & { { } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 _ { M _ { C } ^ { j } \times M _ { C } ^ { j } } } & { } & { } \end{array} \right) , } \\ { \bar { V } ^ { j } } & { { } = \left( \begin{array} { l l l } { I _ { M _ { C } ^ { j } } } & { } & { } \end{array} \right) . } \end{array}
S _ { \mu \nu } ^ { 0 } = \delta _ { \mu \nu } / { \hat { p } ^ { 2 } } \quad , \quad V _ { \mu \nu } = ( A ^ { 2 } + \hat { p } \! \cdot \! A + A \! \cdot \! \hat { p } ) \delta _ { \mu \nu } + 2 i G _ { \mu \nu } \quad .
{ \begin{array} { r l } { M _ { x } } & { = \iint _ { D } y \, \rho ( x , y ) \, d x \, d y = \int _ { x = 0 } ^ { 2 } \int _ { y = x } ^ { 4 - x } y \, ( 2 x + 3 y + 2 ) \, d y \, d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 } ( x y ^ { 2 } + y ^ { 3 } + y ^ { 2 } ) { \Big | } _ { y = x } ^ { 4 - x } \, d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 } ( - 2 x ^ { 3 } + 4 x ^ { 2 } - 4 0 x + 8 0 ) \, d x } \\ & { = \left. \left( - { \frac { x ^ { 4 } } { 2 } } + { \frac { 4 x ^ { 3 } } { 3 } } - 2 0 x ^ { 2 } + 8 0 x \right) \right| _ { x = 0 } ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { 2 4 8 } { 3 } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \| \nabla ^ { ( \alpha ) } G _ { k } ( \widetilde \mathbf { x } ) \| = \left\| \sum _ { k = 0 } ^ { n } \beta ^ { n - k } \nabla ^ { ( \alpha ) } E _ { k } ( \widetilde \mathbf { x } ) \right\| \leq \sum _ { k = 0 } ^ { n } \beta ^ { n - k } \| \nabla ^ { ( \alpha ) } E _ { k } ( \widetilde \mathbf { x } ) \| \leq \frac { c _ { 0 } } { 1 - \beta } , } \end{array}
\frac { 1 } { n } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } h _ { j , j + 1 } ^ { 2 } = \int _ { [ \frac { n } { 2 } , \frac { n } { 2 } ] } \big | \widehat { h \mathbf { 1 } _ { j ^ { \prime } = j + 1 } } ( \xi ) \big | ^ { 2 } d \xi = \int _ { [ \frac { n } { 2 } , \frac { n } { 2 } ] } \bigg ( \int _ { [ \frac { n } { 2 } , \frac { n } { 2 } ] } \widehat { u } ( \xi , \xi ^ { \prime } ) d \xi ^ { \prime } \bigg ) ^ { 2 } d \xi .
\left\{ \begin{array} { r l } & { \lambda q = - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \Delta _ { x } q + k \cdot \nabla _ { x } p + \gamma \sigma _ { 1 } \star \left( \displaystyle \int _ { \mathbb R ^ { n } } ( - \Delta ) ^ { - 1 / 2 } \sigma _ { 2 } \phi \, { \mathrm { d } } z \right) , } \\ & { \lambda p = - \displaystyle \frac 1 2 \Delta _ { x } p - k \cdot \nabla _ { x } q , } \\ & { \lambda \phi = \displaystyle \frac 1 2 \phi + \gamma ( - \Delta ) ^ { - 1 / 2 } \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } \star q , } \\ & { \lambda \pi = \displaystyle \frac 1 2 \pi . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { H ( \alpha , \beta , e , p ) } & { : = } & { p ^ { 2 } ( p - 6 - 2 e ) + \alpha ^ { 2 } p ( 3 - e ) ( 1 + e ) + 2 \kappa ^ { 2 } \left[ p ( 3 + 2 e + e ^ { 2 } ) - 2 \alpha ^ { 2 } ( 1 + e ) \right] } \\ & { + } & { 2 \alpha \beta p \sqrt { 1 + e } \sqrt { ( 3 - e ) p ^ { 2 } - 2 p ( 1 - e ^ { 2 } ) - \kappa ^ { 2 } \left[ 4 p - ( 3 + e ) ( 1 - e ^ { 2 } ) \right] } } \end{array}
\begin{array} { l r } { \varphi ( m , n , 0 ) = m + n } \\ { \varphi ( m , 0 , 1 ) = 0 } \\ { \varphi ( m , 0 , 2 ) = 1 } \\ { \varphi ( m , 0 , p ) = m { \mathrm { ~ f o r ~ } } p > 2 } \\ { \varphi ( m , n , p ) = \varphi ( m , \varphi ( m , n - 1 , p ) , p - 1 ) { \mathrm { ~ f o r ~ } } n > 0 { \mathrm { ~ a n d ~ } } p > 0 . } \end{array}
t { \frac { 8 \pi ^ { 3 } g ^ { 2 } } { h ^ { 4 } } } \times \left| \int v _ { m } ^ { * } u _ { n } d \tau \right| ^ { 2 } { \frac { p _ { \sigma } ^ { 2 } } { v _ { \sigma } } } \left( { \tilde { \psi } } _ { s } \psi _ { s } - { \frac { \mu c ^ { 2 } } { K _ { \sigma } } } { \tilde { \psi } } _ { s } \beta \psi _ { s } \right) ,
I _ { n } ^ { ( d ) } = \Gamma \left( n - \frac { d } { 2 } \right) \int _ { 0 } ^ { 1 } d x _ { 1 } { \ldots } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x _ { n - 1 } ~ J _ { n } h _ { n } ^ { ( d / 2 - n ) } ,
| \lambda > = \left( \begin{array} { c } { { \lambda } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array} { c } { { \lambda } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) \otimes \cdots \left( \begin{array} { c } { { \lambda } } \\ { { 1 } } \end{array} \right)
{ \left( \begin{array} { l l l l l } { { \frac { 1 } { 1 5 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { { \frac { 1 } { 1 5 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { \frac { 1 } { 1 5 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - { \frac { 1 } { 1 0 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - { \frac { 1 } { 1 0 } } } \end{array} \right) } \in { \mathrm { S U } } ( 5 ) , \qquad \chi / 5 .
\begin{array} { r } { ( \nabla _ { z } ^ { 2 } A _ { 1 } ( \overline { { v } } ) [ h ] , g ) _ { L ^ { 2 } } = \frac { d ^ { 2 } } { d t d s } A _ { 1 } ( \overline { { v } } + t h + s g ) \bigg | _ { t = s = 0 } = 2 4 \sum _ { j _ { 1 } \in S ^ { + } , \ j _ { 3 } \in S ^ { \perp } } H _ { 4 , j _ { 1 } , - j _ { 1 } , j _ { 3 } , - j _ { 3 } } | \overline { { v } } _ { j _ { 1 } } | ^ { 2 } h _ { j _ { 3 } } g _ { - j _ { 3 } } . } \end{array}
\langle \mathcal { A } ( t _ { * } + r ) , \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ) r \rangle _ { \mathbb { V } ^ { * } } = \| \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ) r \| _ { \mathbb { V } ^ { * } } ^ { 2 } + o ( \| r \| _ { \mathbb { V } } ^ { 3 } ) ,
\omega _ { O } = \sqrt { \frac { 4 \pi e ^ { 2 } n } { m ^ { * } ( \epsilon _ { { \mathrm { ~ b ~ u ~ f ~ } } } + 1 ) } | q | } , \, \, \omega _ { G } = | q | \sqrt { \frac { 4 \pi e ^ { 2 } n d } { m ^ { * } \epsilon _ { \mathrm { ~ b ~ a ~ r ~ } } } }
{ \frac { 1 } { 2 } } \biggl [ 1 + \beta _ { 1 } { \frac { \phi } { S _ { 0 } } } + \beta _ { 2 } { \frac { \phi ^ { 2 } } { S _ { 0 } ^ { 2 } } } + \cdots \biggr ] \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \phi + \beta _ { 3 } ( \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \phi ) ^ { 2 } + \cdots ,
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( 2 ) } ( \omega ) = \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 c \omega } \int _ { \mathbb { R } ^ { 6 N } } \frac { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \b { q } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \b { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 N } } \; B _ { \mathrm { ~ W ~ } } ^ { ( 2 ) } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) \rho _ { 0 , \mathrm { ~ W ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { G _ { S _ { N } } ( z ) } & { = \operatorname { E } ( z ^ { S _ { N } } ) = \operatorname { E } ( z ^ { \sum _ { i = 1 } ^ { N } X _ { i } } ) } \\ & { = \operatorname { E } { \big ( } \operatorname { E } ( z ^ { \sum _ { i = 1 } ^ { N } X _ { i } } \mid N ) { \big ) } = \operatorname { E } { \big ( } ( G _ { X } ( z ) ) ^ { N } { \big ) } = G _ { N } ( G _ { X } ( z ) ) . } \end{array} }
\frac { 1 } { N _ { e } ( t _ { R } ) } \left| \frac { d N _ { e } ( t ) } { d t } \right| _ { t _ { R } } < < \, | \Delta _ { 0 } | \, \frac { \mathrm { \ o p e r a t o r n a m e { s i n } } ^ { 2 } 2 \theta _ { g } } { \mathrm { \ o p e r a t o r n a m e { c o s } } 2 \theta _ { g } } \; .
P _ { \mu \nu } ( Q ) = \int d ^ { 4 } x \, e ^ { - i Q x } \langle 0 | ( \overline { { d } } ( x ) \gamma _ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) u ( x ) ) ( \overline { { u } } ( 0 ) \gamma _ { \nu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) d ( 0 ) ) | 0 \rangle .
\begin{array} { r } { \mu _ { i j } = \frac { 1 } { 1 + a } \left[ \, \delta _ { i j } - \frac { b \, E _ { i } \, E _ { j } } { 1 + a + b \, { \bf E } ^ { 2 } } \, \right] \; , } \end{array}
{ \cal E } _ { a s } ^ { s p i n } \ = \ \frac { 1 } { 1 2 \pi R ^ { 2 } } \left[ \beta ^ { 2 } e _ { 1 } ( m _ { e } R ) \ + \ \beta ^ { 4 } e _ { 2 } ( m _ { e } R ) \right] \ ,
K _ { r } = \Theta ^ { \frac { 1 } { 2 } } [ \int _ { 0 } ^ { \Theta } \frac { 1 } { \psi ( \Theta ) } d \Theta / \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \psi ( \Theta ) } d \Theta ] ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| } & { = \| \mathcal { P } _ { \mathrm { d o m } ( h ) } ( x ^ { k } - ( M _ { k } + \mu _ { k } I ) ^ { - 1 } F ( x ^ { k } ) ) - x ^ { * } \| } \\ & { \leq 4 C \| F ( x ^ { k } ) - F ( x ^ { * } ) - ( M _ { k } + \mu _ { k } I ) ( x ^ { k } - x ^ { * } ) \| } \\ & { = o ( \| x ^ { k } - x ^ { * } \| ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \left\{ x \in B _ { 5 \rho _ { i } } \left( x _ { i } \right) : \left| D ^ { 2 } u \right| > 2 N _ { 1 } \mu \right\} \right| = \left| \left\{ x \in B _ { 5 \rho _ { i } } \left( x _ { i } \right) : \left| D ^ { 2 } u _ { \lambda } \right| > 2 N _ { 1 } \right\} \right| } \\ & { \leq \left| \left\{ x \in B _ { 5 \rho _ { i } } \left( x _ { i } \right) : \left| D ^ { 2 } w _ { \lambda } \right| > N _ { 1 } \right\} \right| + \left| \left\{ x \in B _ { 5 \rho _ { i } } \left( x _ { i } \right) : \left| D ^ { 2 } v _ { \lambda } \right| > N _ { 1 } \right\} \right| } \\ & { = \left| \left\{ x \in B _ { 5 \rho _ { i } } \left( x _ { i } \right) : \left| D ^ { 2 } w _ { \lambda } \right| > N _ { 1 } \right\} \right| \leq \frac { 1 } { N _ { 1 } ^ { p } } \int _ { B _ { 5 \rho _ { i } } \left( x _ { i } \right) } \left| D ^ { 2 } w _ { \lambda } \right| ^ { p } d x \leq \frac { C \left| B _ { \rho _ { i } } \left( x _ { i } \right) \right| } { M ^ { p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { c o s t } ( \mathbb { H } _ { H } ^ { D } | \mathcal { X } ) } & { = \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } { h _ { k } ^ { \prime } } ^ { \top } J _ { D } C _ { x } J _ { D } h _ { k } ^ { \prime } } \\ & { = \mathrm { T r } \{ { H ^ { \prime } } ^ { \top } J _ { D } C _ { x } J _ { D } H ^ { \prime } \} } \\ & { = \mathrm { T r } \{ { H ^ { \prime } } ^ { \top } J _ { D } V \Lambda V ^ { \top } J _ { D } H ^ { \prime } \} = \mathrm { T r } \{ W ^ { \top } \Lambda W \} } \\ & { \stackrel { ( \mathrm { a } ) } { = } \mathrm { T r } \{ W W ^ { \top } J _ { D } \Lambda J _ { D } \} = \mathrm { T r } \{ \mathcal { W } \Lambda J _ { D } \} , } \end{array}
\frac { | \mathit { { E } } _ { k } ^ { z } | } { | \mathit { { E } } _ { k } ^ { x } | } \approx \frac { c ^ { 2 } k _ { \parallel } ^ { 2 } \tan \theta } { \omega _ { 0 p e } ^ { 2 } + c ^ { 2 } k _ { \parallel } ^ { 2 } \tan ^ { 2 } \theta } .
\frac { 1 } { \lambda } \int _ { A \cap \{ 0 < \mathfrak { t } ( ( \tau , z ) , \Sigma _ { j + 1 } ) \leq \lambda \} } \Psi _ { 0 } ( \lambda \, \partial _ { \tau } \tilde { u } _ { j } ) \ d \tau \, d z \leq \mathcal { G } _ { l o c } ^ { \lambda } ( \tilde { u } _ { j } ; ( A \cup \Sigma \cup \cdots \cup \Sigma _ { j } ) ^ { o } ) - \mathcal { G } _ { l o c } ^ { \lambda } ( u ; A )
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \bigg ( \int _ { 0 } ^ { T _ { 1 } } \sigma _ { t } ( \overline { { Y } } _ { t } ) \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } u _ { t } ^ { m } ( \overline { { Y } } _ { t } ) \, \mathrm { d } B _ { t } \, \bigg | \, \mathcal { G } _ { 0 } \bigg ) = \mathbb { E } \bigg ( \mathbb { E } \bigg ( \int _ { 0 } ^ { T _ { 1 } } \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } u _ { t } ^ { m } ( \overline { { Y } } _ { t } ) \, \mathrm { d } B _ { t } \, | \mathcal { F } _ { 0 } \bigg ) \, \bigg | \, \mathcal { G } _ { 0 } \bigg ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 / S ^ { 2 } ) } & { U _ { n } ( 1 ) T ( 1 ) } \\ & { = ( 1 / S ^ { 2 } ) \mu _ { + } ( 1 ) U _ { n } \frac { d } { d r } U } \\ & { = 2 \mu _ { + } ( 1 ) \beta _ { + } ^ { - 1 } \mu _ { + } ^ { - 1 } ( 1 ) \exp ( i \omega \tau ( 1 ) + \operatorname { i } \delta _ { + } / 2 ) } \\ & { \qquad \qquad \cdot [ \exp ( i \omega \tau ( 1 ) + \operatorname { i } \delta _ { + } / 2 ) - A \exp ( - \operatorname { i } \omega \tau ( 1 ) - \operatorname { i } \delta _ { + } / 2 ) ] } \\ & { = 2 \beta _ { + } ^ { - 1 } \exp ( 2 i \omega \tau ( 1 ) + \operatorname { i } \delta _ { + } ) ( 1 - A \exp ( - 2 \operatorname { i } \omega \tau ( 1 ) - \operatorname { i } \delta _ { + } ) ) } \\ & { = 2 \beta _ { + } ^ { - 1 } \frac { h _ { + } ^ { ( 2 ) } ( 1 ) } { h _ { + } ^ { ( 1 ) } ( 1 ) } \left( 1 - A \frac { h _ { + } ^ { ( 1 ) } ( 1 ) } { h _ { + } ^ { ( 2 ) } ( 1 ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int } & { | K _ { N } ( y , y ^ { \prime } + h ) - K _ { N } ( y , y ^ { \prime } ) | d y ^ { \prime } } \\ & { = \int | K _ { N } ( y , y ^ { \prime } + h ) - K _ { N } ( y , y ^ { \prime } ) | | \varphi ( s ) | ^ { 2 } | \varphi ( s ^ { \prime } ) | ^ { 2 } d y ^ { \prime } d s d s ^ { \prime } } \\ & { = \int | \overline { { K } } _ { N } ( ( y , s ) , ( y ^ { \prime } + h , s ^ { \prime } ) ) - \overline { { K } } _ { N } ( ( y , s ) , ( y ^ { \prime } + h , s ^ { \prime } ) | | \varphi ( s ) | | \varphi ( s ^ { \prime } ) | d y ^ { \prime } d s d s ^ { \prime } } \\ & { \leq | | \varphi | | _ { \infty } \int | \overline { { K } } _ { N } ( ( y , s ) , ( y ^ { \prime } + h , s ^ { \prime } ) ) - \overline { { K } } _ { N } ( ( y , s ) , ( y ^ { \prime } + h , s ^ { \prime } ) | | \varphi ( s ) | d y ^ { \prime } d s d s ^ { \prime } } \\ & { \leq | | \varphi | | _ { 1 } | | \varphi | | _ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { s } \int | \overline { { K } } _ { N } ( ( y , s ) , ( y ^ { \prime } + h , s ^ { \prime } ) ) - \overline { { K } } _ { N } ( ( y , s ) , ( y ^ { \prime } + h , s ^ { \prime } ) | d y ^ { \prime } d s ^ { \prime } } \\ & { \leq C | h | ^ { \delta } | | \varphi | | _ { 1 } | | \varphi | | _ { \infty } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( a ) } & { < e ( a ^ { \prime } , b ) + \frac { 1 } { 6 } \varepsilon } \\ & { \leq d _ { e } ( a ^ { \prime } , c ^ { \prime } ) + 2 e ( c ^ { \prime } , b ) + \frac { 1 } { 6 } \varepsilon } \\ & { < d _ { e } ( a ^ { \prime } , c ^ { \prime } ) + 2 \frac { 1 } { 6 } \varepsilon + \frac { 1 } { 6 } \varepsilon } \\ & { \leq d _ { e } ( a , c ) + \frac { 2 } { 6 } \varepsilon + 2 \frac { 1 } { 6 } \varepsilon + \frac { 1 } { 6 } \varepsilon } \\ & { < r + \frac { 1 } { 6 } \varepsilon + \frac { 2 } { 6 } \varepsilon + 2 \frac { 1 } { 6 } \varepsilon + \frac { 1 } { 6 } \varepsilon } \\ & { = r + \varepsilon . } \end{array}
{ \cal H } _ { x } = { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { t } \phi _ { x } \partial _ { t } \phi _ { x } + { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \vec { x } } \phi _ { x } \partial _ { \vec { x } } \phi _ { x } + V ( \phi _ { x } ) \; .
\left. + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 4 i ^ { k } k } { k ^ { 2 } - p ^ { 2 } } J _ { k } ( \frac { z _ { 1 } z _ { 2 } } { \sinh ( \xi / 2 ) } ) \sinh ( k \xi / 2 ) \right] _ { z _ { 1 } = z _ { 2 } = 0 } .
\operatorname* { m i n } \left[ f _ { n u l l } ( \beta ) \right] = f _ { n u l l } ( \beta _ { 0 } ) \qquad \operatorname* { m i n } \left[ f _ { f r e e } ( \beta , \sigma ) \right] = f _ { f r e e } ( \beta _ { 1 } , \sigma _ { 1 } )
\begin{array} { r l } { \mathfrak { R } \left[ F _ { 0 } ( \omega , t _ { d } ) F _ { G } ^ { * } ( \omega , t _ { d } ) \right] } & { { } = 3 2 \sqrt { 2 \pi e } \alpha ^ { 2 } t _ { d } ^ { 2 } e ^ { - \frac { \alpha ^ { 2 } t _ { d } ^ { 2 } } { 2 } \omega ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| f _ { \omega } \| _ { L ^ { 2 } } \, } & { \leq \, \frac { 1 } { \kappa _ { \mathrm { m i n } } } \big ( \| \kappa ( \omega ) \| _ { W ^ { 1 , \infty } } \| u ( \omega ) \| _ { V } + \| \mathbf { a } ( \omega ) \| _ { L ^ { \infty } } \| u ( \omega ) \| _ { V } + | \lambda ( \omega ) | \big ) } \\ & { \leq \, \frac { 1 } { \kappa _ { \mathrm { m i n } } } \Big ( \big ( \kappa _ { \mathrm { m a x } } + \mathbf { a } _ { \mathrm { m a x } } \big ) \, \| u ( \omega ) \| _ { V } + | \lambda ( \omega ) | \Big ) , } \end{array}
\exists M \exists C > 0 ~ { \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ f o r ~ a l l ~ } } ~ { \vec { x } } ~ { \mathrm { ~ w i t h ~ } } ~ x _ { i } \geq M ~ { \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } } ~ i , | f ( { \vec { x } } ) | \leq C | g ( { \vec { x } } ) | ~ .
T _ { 0 } ^ { \mu \nu } = - \left( \frac { g _ { s t r } \alpha ^ { \prime } } { 2 } \right) ^ { 2 } \prod _ { u } \frac { \delta ( \sqrt { \alpha ^ { \prime } } k _ { u } ) } { \sqrt { \tau _ { 2 } } } \left( \frac { \eta ^ { \mu \nu } } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \prod _ { o } \frac { \delta ( \sqrt { \alpha ^ { \prime } } k _ { o } ) } { \sqrt { \tau _ { 2 } } } X _ { 1 , 1 } + \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } } { 4 } 2 ^ { - ( d + 1 ) } X _ { 1 , 0 } \right)
\begin{array} { r l } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \left| \frac { \Phi ^ { \dagger } ( a + i b ) ( \Phi ( a + i b ) ) ^ { k } } { ( a + i b ) ^ { 1 - l } } \right| e ^ { a t _ { 2 } - x _ { 1 } \Re \Phi ( a + i b ) } \, d b \leq C \int _ { - \infty } ^ { + \infty } ( a ^ { n } + | b | ^ { n } ) e ^ { a t _ { 2 } - x _ { 1 } \Re \Phi ( a + i b ) } \, d b < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { [ \mathcal { L } _ { - 1 } , X _ { j + 1 } ] = \partial _ { x } X _ { j } ^ { ( o ) } - [ \mathcal { L } _ { 1 } , X _ { j - 1 } ] - \mathsf { U } _ { j } ^ { ( o ) } - \sum _ { i = 1 } ^ { j - 1 } ( \mathsf { U } _ { j - i } X _ { i } ) ^ { ( o ) } , } \\ { \partial _ { x } X _ { j } ^ { ( d ) } = \mathsf { U } _ { j } ^ { ( d ) } + \sum _ { i = 1 } ^ { j - 1 } ( \mathsf { U } _ { j - i } X _ { i } ) ^ { ( d ) } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { l } { { \frac { M } { A _ { 8 - p } } = \frac { 8 - p } { 2 } r _ { H } ^ { 7 - p } + \frac { 7 - p } { 2 } \alpha , } } \\ { { \left( \frac { Q _ { 0 } } { ( 7 - p ) A _ { 8 - p } } \right) ^ { 2 } = \alpha \left( \alpha + r _ { H } ^ { 7 - p } \right) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( z , \check { \alpha } _ { k } ( z ) ) \boldsymbol { v } _ { i - 1 } } & { = F _ { 1 } ( z , \check { \alpha } _ { k } ( z ) ) \boldsymbol { v } _ { i } + F _ { 2 } ( z ) \boldsymbol { v } _ { i + 1 } } \\ & { = ( F _ { 1 } ( z , \check { \alpha } _ { k } ( z ) ) + F _ { 2 } ( z ) ( \check { \alpha } _ { k } ( z ) I - G ( z ) ) ) \boldsymbol { v } _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \xi \sim \mathbb { P } } \| \nabla f _ { \xi } ( w ^ { \prime } ) - \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } \le \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \xi \sim \mathbb { P } } \big ( L _ { 0 } + L _ { 1 } \operatorname* { m a x } _ { \theta \in [ 0 , 1 ] } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { \theta } ) \| ^ { \alpha } \big ) ^ { 2 } } \end{array}
\int d t G ( x _ { 1 } , t _ { 1 } ; 0 , t ) G ( 0 , t ; x _ { 2 } , t _ { 2 } ) = - \int \frac { d \omega } { 2 \pi } e ^ { - i \omega ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) } e ^ { - i \hat { k } ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) } \frac { 1 } { ( i \hat { k } - 2 \sigma _ { 1 } ) ^ { 2 } } .