harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { d u + \Big [ \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( u ^ { 1 } \partial _ { x } u ^ { 1 } + w ^ { 1 } \partial _ { z } u ^ { 1 } + \partial _ { x } p ^ { 1 } - \nu \partial _ { z z } u ^ { 1 } ) } \\ & { \qquad \qquad - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( u ^ { 2 } \partial _ { x } u ^ { 2 } + w ^ { 2 } \partial _ { z } u ^ { 2 } + \partial _ { x } p ^ { 2 } - \nu \partial _ { z z } u ^ { 2 } ) \Big ] d t } \\ & { = \Big [ \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( u ^ { 1 } ) - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( u ^ { 2 } ) \Big ] d W , } \\ & { u ( 0 ) = u ^ { 1 } ( 0 ) - u ^ { 2 } ( 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \eta ( t ) e ^ { i t \Delta } f \Vert _ { X ^ { s , b } } } & { \lesssim _ { \eta , b } \Vert f \Vert _ { H ^ { s } ( \mathbb { T } ^ { 2 } ) } , \quad s \in \mathbb { R } , ~ b \in \mathbb { R } , ~ f \in H ^ { s } ( \mathbb { T } ^ { 2 } ) ; } \\ { \Vert \eta ( t ) u \Vert _ { X ^ { s , b } } } & { \lesssim _ { \eta , b } \Vert u \Vert _ { X ^ { s , b } } , \quad s \in \mathbb { R } , ~ b \in \mathbb { R } ; } \\ { \Vert \eta ( \frac { t } { T } ) u \Vert _ { X ^ { s , b ^ { \prime } } } } & { \lesssim _ { \eta , b , b ^ { \prime } } T ^ { b - b ^ { \prime } } \Vert u \Vert _ { X ^ { s , b } } , \quad s \in \mathbb { R } , ~ - \frac { 1 } { 2 } < b ^ { \prime } < b < \frac { 1 } { 2 } , ~ T \in ( 0 , 1 ] ; } \\ { \left\Vert \eta ( t ) \int _ { - \infty } ^ { t } e ^ { i ( t - t ^ { \prime } ) \Delta } F ( t ^ { \prime } ) d s \right\Vert _ { X ^ { s , b } } } & { \lesssim _ { \eta , b } \Vert F \Vert _ { X ^ { s , b - 1 } } , \quad s \in \mathbb { R } , ~ b > \frac { 1 } { 2 } ; } \\ { \Vert u \Vert _ { L ^ { \infty } H ^ { s } } } & { \lesssim _ { b } \Vert u \Vert _ { X ^ { s , b } } , \quad s \in \mathbb { R } , ~ b > \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { c } { { ( B _ { \rho } - ( l + \frac { d - 3 } { 2 } ) ^ { 2 } ) R _ { l } = - ( l + 1 ) ( l + 2 ) R _ { l + 2 } } } \\ { { ( B _ { \rho ^ { \prime } } - ( l + \frac { d - 3 } { 2 } ) ^ { 2 } ) R _ { l } = - ( l + 1 ) ( l + 2 ) R _ { l + 2 } , } } \end{array}
\Phi _ { 1 } = \left( \begin{array} { c } { { \phi _ { 1 } ^ { + } } } \\ { { \phi _ { 1 } ^ { 0 } } } \end{array} \right) , \qquad \Phi _ { 2 } = \left( \begin{array} { c } { { \phi _ { 2 } ^ { + } } } \\ { { \phi _ { 2 } ^ { 0 } } } \end{array} \right) ,
\small E ( t ) = \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } \rho \textbf { u } \cdot \textbf { u } + F ( \phi , \nabla \phi ) + \frac { 1 } { 2 } \textbf { D } \cdot \textbf { E } \right) d \Omega + \int _ { \partial \Omega _ { s } } \Theta ( \phi ) d S .
\begin{array} { r l } { - \sum _ { k = 0 } ^ { n } \lambda _ { k } \left\langle g _ { k } , s _ { k } \right\rangle } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \lambda _ { k } ^ { 2 } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \lambda _ { k } ^ { 2 } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { i j } [ \boldsymbol { x } _ { i } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } ] } & { \approx \frac { 1 } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t } \left\{ \delta ( \hat { h } _ { i } ^ { t } ) \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , I } \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } ( 1 - r _ { i } ^ { t } ) + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \right) + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , R } \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t } , R } + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } r _ { i } ^ { t } \right) \right] \right. } \\ & { \quad \left. + \delta ( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } ) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , S } \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , I } \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \right] \right\} \prod _ { t } \left\{ e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \left( - \mathrm { i } \hat { h } _ { i } ^ { t } m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } \nu _ { i k } ^ { t } \mu _ { k \setminus i } ^ { t } \right) } p ( \mathcal { O } _ { i } ^ { t } | x _ { i } ^ { t } ) \right\} } \end{array}
T _ { \mu \nu } \sp { \underline { { { a } } } } \, = \partial _ { \mu } E _ { \nu } ^ { \underline { { { a } } } } - \partial _ { \nu } E _ { \mu } ^ { \underline { { { a } } } } = \, \, - { \frac { \lambda } { 2 } } \, \epsilon _ { \mu \nu \rho } \sum _ { \beta } \xi _ { \beta } \sp { \underline { { { a } } } } \, \dot { x } \sp { \rho , \beta } \, \delta ( \vec { x } - \vec { x } \sp { \beta } ) .
\begin{array} { r l r } { \hat { e } _ { 1 } ^ { ( u ) } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \hat { \lambda } _ { 6 } } \\ { \hat { e } _ { 2 } ^ { ( u ) } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \hat { \lambda } _ { 7 } } \\ { \hat { e } _ { 3 } ^ { ( u ) } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { 1 } { 2 } \hat { \lambda } _ { 3 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \hat { \lambda } _ { 8 } \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { | \langle \delta ^ { \nabla ^ { \pi } } [ ( w ^ { * } \lambda \circ j ) \wedge ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) \partial ^ { \pi } w ] , \partial ^ { \pi } w \rangle | } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { 2 c } \left( | \nabla ^ { \pi } ( \partial ^ { \pi } w ) | ^ { 2 } + | \nabla w ^ { * } \lambda | ^ { 2 } \right) + \left( c \| { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J \| _ { C ^ { 0 } ( M ) } ^ { 2 } + \| \nabla ^ { \pi } ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) \| _ { C ^ { 0 } ( M ) } \right) | d w | ^ { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { e ^ { - \nu \lambda _ { 1 } ( T - t ) } | \mathbf { u } ( t ) | ^ { 2 } + 2 \nu \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \nu \lambda _ { 1 } ( T - \tau ) } \| \mathbf { u } ( \tau ) \| ^ { 2 } d \tau } \\ & { \qquad \qquad = e ^ { - \nu \lambda _ { 1 } T } | \mathbf { u } _ { 0 } | ^ { 2 } + \nu \lambda _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \nu \lambda _ { 1 } ( T - \tau ) } | \mathbf { u } ( \tau ) | ^ { 2 } d \tau + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \nu \lambda _ { 1 } ( T - \tau ) } \left[ 2 ( \mathbf { u } ( \tau ) , \mathbf { f } ) + | \sigma | ^ { 2 } \right] d \tau + M _ { t } , } \end{array}
R _ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } \, G _ { \mu \nu } \, { \cal R } - \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { \mu } \varphi \, \partial _ { \nu } \varphi - \frac { 1 } { 2 } \, G _ { \mu \nu } \, \partial _ { \rho } \varphi \, \partial ^ { \rho } \varphi \right) = 0
\begin{array} { r } { \| w _ { m , n } \| _ { \sharp } ^ { 2 } : = \int _ { \underline { { X } } ^ { m + n } } \frac { d K ^ { ( m , n ) } } { | K ^ { ( m , n ) } | ^ { 2 } } \operatorname* { s u p } _ { r \geq 0 } \left[ \| w _ { m , n } ( r , K ^ { ( m , n ) } ) \| ^ { 2 } \prod _ { l = 1 } ^ { m } \left\{ r + \Sigma [ K ^ { ( l ) } ] \right\} \prod _ { \widetilde { l } = 1 } ^ { n } \left\{ r + \Sigma [ \widetilde { K } ^ { ( \widetilde { l } ) } ] \right\} \right] . } \end{array}
{ \cal H } = \frac { p _ { x } ^ { 2 } + p _ { y } ^ { 2 } + p _ { z } ^ { 2 } } { 2 \mu } + \varepsilon ( r ) - { \bf d } ( r ) \cdot { \bf E } ( t ) + { \bf E } ( t ) \cdot \alpha ( x , y , z ) { \bf E } ( t ) ,
H _ { \mathrm { t } } ( x ) = E _ { \mathrm { 0 } } ( \cos \theta _ { \mathrm { 1 } } e ^ { - j k _ { 0 } \sin \theta _ { \mathrm { 1 } } x } + \alpha \cos \theta _ { \mathrm { 2 } } e ^ { - j k _ { 0 } \sin \theta _ { \mathrm { 2 } } x } ) / Z _ { 0 }
\begin{array} { r l r } { a \! } & { { } = } & { \! \frac { \alpha _ { D } } { 4 8 \pi ^ { 2 } } \frac { \sqrt { 2 } \, { \cal G } ^ { 2 } + 4 \beta \, \sqrt { - { \cal F } } \, { \cal F } } { \sqrt { 2 } \, { \cal G } ^ { 2 } + \beta \sqrt { - { \cal F } } ( - 2 { \cal F } + \beta ^ { 2 } ) } } \\ { b \! } & { { } = } & { \! \frac { \alpha _ { D } } { 6 \pi ^ { 2 } } \frac { { \cal F } } { 2 \, { \cal G } ^ { 2 } + \beta \sqrt { - 2 { \cal F } } ( - { \cal F } + \beta ^ { 2 } ) } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( E _ { 5 } ) ^ { 2 } } & { { } = \mathbb { V } \{ \varDelta s _ { k } ^ { ( \mathrm { L } ) } \} } \\ { ( E _ { 6 } ) ^ { 2 } } & { { } = \mathbb { V } \{ \varDelta s _ { k } ^ { ( \mathrm { R } ) } \} } \\ { ( E _ { 7 } ) ^ { 2 } } & { { } = \mathbb { V } \{ \varDelta s _ { k } ^ { ( \mathrm { L } ) } - \varDelta s _ { k } ^ { ( \mathrm { R } ) } \} } \\ { ( E _ { 8 } ) ^ { 2 } } & { { } = \mathbb { V } \{ \varDelta s _ { k } ^ { ( \mathrm { L } ) } + \varDelta s _ { k } ^ { ( \mathrm { R } ) } \} } \end{array}
\tau ( \mathrm { n } \rightarrow K ^ { 0 } \bar { \nu } _ { u } ) \sim 1 . 0 \times 1 0 ^ { 3 2 } \times \left( \frac { M } { 3 0 \Lambda } \frac { 0 . 0 0 5 8 \mathrm { G e V } ^ { 3 } } { \beta } \frac { M _ { H _ { c } } } { 1 0 ^ { 1 6 } \mathrm { G e V } } \frac { \mathrm { T e V } ^ { - 1 } } { f ( \tilde { u } , \tilde { d } ) + f ( \tilde { u } , \tilde { e } ) } \right) ^ { 2 } \mathrm { y r s } .
\begin{array} { r l } { p _ { \mathbf { z } } ( \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( T \mathbf { v } ) ) ) } & { { } = p _ { \mathbf { z } } ( \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( T _ { r o t } \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \rho _ { \infty } < t _ { 0 } \} } & { = \{ T < \rho _ { \infty } \} \cap \{ \rho _ { \infty } < t _ { 0 } \} = \{ \rho _ { \infty } > \lambda _ { r _ { 0 } , T } \wedge ( T \vee t _ { 0 } ) \} \cap \{ T < \rho _ { \infty } \} \cap \{ \rho _ { \infty } < t _ { 0 } \} } \\ & { = \{ \lambda _ { r _ { 0 } , T } < \rho _ { \infty } \} \cap \{ \rho _ { \infty } < t _ { 0 } \} \mathrm { ~ a . s . } } \end{array}
V [ \phi ] = - \mu \sum _ { ( a ) } | \phi ^ { ( a ) } | ^ { 2 } + \lambda \left\{ \sum _ { ( a ) } | \phi ^ { ( a ) } | ^ { 2 } \right\} ^ { 2 } + \kappa \sum _ { ( a ) \neq ( b ) } | \bar { \phi } ^ { ( a ) } . \phi ^ { ( b ) } | ^ { 2 } ,
\langle \tau _ { a \mu } ( x ) \tau _ { b \nu } ( y ) \rangle = - i \left( \eta _ { a b } \eta _ { \mu \nu } + \eta _ { a \nu } \eta _ { b \mu } - \frac { 2 } { N - 2 } \eta _ { a \mu } \eta _ { b \nu } \right) D ( x - y ) .
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { { } T ^ { 1 } ( N ) \cdot T ^ { 1 } ( S ) | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ t ~ } } } & { { } = \sum _ { i , j \mathrm { ~ b ~ o ~ n ~ d ~ e ~ d ~ } } \sum _ { n = 2 } ^ { 4 } K _ { n , i j } ( r _ { i j } - r _ { 0 , i j } ) ^ { n } } \end{array}
\partial _ { i } \hat { n } \cdot \partial _ { i } \hat { n } = \left( \frac { 2 k ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 k } } \right) | z - z _ { 0 } | ^ { 2 k - 2 } \frac { 1 } { \left[ 1 + \frac { 1 } { 4 \lambda ^ { 2 k } } | z - z _ { 0 } | ^ { 2 k } \right] ^ { 2 } }
{ \frac { 1 } { \Lambda ^ { 2 } } } \left( { Q } { \frac { \partial _ { K } \chi _ { d } } { \Lambda ^ { 2 } } } D ^ { c } \right) \left( { Q } { \frac { \partial ^ { K } \chi _ { d } } { \Lambda ^ { 2 } } } D ^ { c } \right) ^ { \dagger }
\begin{array} { r l } { J _ { 1 1 } } & { = r ( 1 - y _ { i } ) y _ { t } [ ( w - 1 ) y _ { i } + 1 ] ^ { N _ { I } - 1 } } \\ & { \quad - \frac { r y _ { t } \left\{ [ ( w - 1 ) y _ { i } + 1 ] ^ { N _ { I } } - 1 \right\} } { N _ { I } ( w - 1 ) } - ( 2 y _ { i } - 1 ) ( v _ { I } + y _ { t } - 1 ) , } \\ { J _ { 1 2 } } & { = \frac { ( 1 - y _ { i } ) \left( r \left\{ [ ( w - 1 ) y _ { i } + 1 ] ^ { N _ { I } } - 1 \right\} + N _ { I } ( w - 1 ) y _ { i } \right) } { N _ { I } ( w - 1 ) } , } \\ { J _ { 2 1 } } & { = \frac { N _ { I } ( r - 1 ) ( 1 - y _ { t } ) y _ { t } [ ( w - 1 ) y _ { i } + 1 ] ^ { N _ { I } - 1 } } { N _ { T } } , } \\ { J _ { 2 2 } } & { = \frac { ( 2 y _ { t } - 1 ) ( r - 1 ) \left\{ 1 - [ ( w - 1 ) y _ { i } + 1 ] ^ { N _ { I } } \right\} } { N _ { T } ( w - 1 ) } } \\ & { \quad - ( 2 y _ { t } - 1 ) v _ { T } . } \end{array}
B _ { 5 } = { \frac { 9 } { 8 } } \, { \zeta ^ { 2 } \left( \frac { z ^ { 2 } } { y ^ { 2 } } - \frac { 8 \, t ( \zeta ^ { \prime } ) ^ { 2 } + 8 \, t \zeta \zeta ^ { \prime \prime } } { y ( \zeta ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \right) , }
\begin{array} { r l } { \zeta _ { \Delta x , - \infty } ( t ) } & { = \int _ { 0 } ^ { t } U _ { \Delta x , - \infty } ( s ) d s } \\ & { = U _ { \Delta x , - \infty } ( 0 ) t - \frac { 1 } { 8 } H _ { \Delta x , \infty } ( 0 ) t ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { 4 } \alpha \int _ { \mathbb { R } } H _ { \Delta x , \xi } ( 0 , \xi ) \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \tau _ { \Delta x } ( \xi ) } ^ { s } \chi _ { \{ r \geq \tau _ { \Delta x } ( \xi ) > 0 \} } ( \xi ) d r d s d \xi } \\ & { = U _ { \Delta x , - \infty } ( 0 ) t - \frac { 1 } { 8 } \alpha H _ { \Delta x , \infty } ( 0 ) t ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { 8 } \alpha \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } H _ { k , \xi } ( 0 ) \left( \hat { \xi } _ { k + 1 } - \hat { \xi } _ { k } \right) \left( t - \tau _ { { \Delta x } } \left( \frac 1 2 ( \hat { \xi } _ { k } + \hat { \xi } _ { k + 1 } ) \right) \right) ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \times \chi _ { \left\{ s \geq \tau _ { \Delta x } \left( \frac 1 2 ( \hat { \xi } _ { k } + \hat { \xi } _ { k + 1 } ) \right) \right\} } ( t ) \chi _ { \left\{ j : \tau _ { \Delta x } \left( \frac 1 2 ( \hat { \xi } _ { j } + \hat { \xi } _ { j + 1 } ) \right) > 0 \right\} } ( k ) , } \end{array}
\Lambda = 2 \| ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } \| _ { L ^ { \infty } ( \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } ) } \leq 2 \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } \| u \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega \times [ 0 , \bar { t } ] ) } ,
R _ { n \kappa } ^ { \kappa ^ { \prime } L } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ f _ { n \kappa } { ( r ) } g _ { \varepsilon \kappa ^ { \prime } } { ( r ) } + g _ { n \kappa } { ( r ) } f _ { \varepsilon \kappa ^ { \prime } } { ( r ) } \right] j _ { L } { ( q r ) } d r \, ,
\begin{array} { r l } { \Delta _ { 2 } ^ { ( - 3 ) } } & { = \frac { 1 } { 2 ^ { 1 1 } 3 ^ { 4 } \lambda _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { - 4 5 5 } & { 0 } \\ { 0 } & { 3 8 5 } \end{array} \right) , \qquad \Delta _ { 2 } ^ { ( - 2 ) } = \frac { 1 } { 2 ^ { 1 0 } 3 ^ { 4 } \lambda _ { 0 } ^ { 3 } } \left( \begin{array} { l l } { - 9 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 7 7 } \end{array} \right) , } \\ { \Delta _ { 2 } ^ { ( - 1 ) } } & { = \frac { 1 } { 2 ^ { 1 1 } 3 ^ { 4 } 5 \lambda _ { 0 } ^ { 4 } } \left( \begin{array} { l l } { - 9 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 7 7 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \Pi _ { \alpha , \mathbf { q } } ( \rho ) \right) ^ { 2 } \left( J _ { \mathbf { q } } ^ { u } \right) ^ { - 1 } } & { \leq C \left( \Pi _ { \alpha , \mathbf { q } } ( \rho ) \right) ^ { 2 } \left( J _ { n n _ { 0 } } ^ { u } ( \rho ) \right) ^ { - 1 } } \\ & { \leq C \prod _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \left( \exp \left( \sum _ { j = 0 } ^ { n _ { 0 } - 1 } \varphi ( F ^ { i n _ { 0 } + j } ( \rho ) ) \right) \right) } \\ & { \leq C \prod _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \left( \operatorname* { s u p } _ { \rho _ { i } \in \mathcal { W } _ { q _ { i } } } \exp \left( \sum _ { j = 0 } ^ { n _ { 0 } - 1 } \varphi ( F ^ { j } ( \rho _ { i } ) ) \right) \right) } \\ & { \leq C \prod _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \left( C _ { 0 } \operatorname* { s u p } _ { \rho _ { i } \in \mathcal { W } _ { q _ { i } } \cap \mathcal { T } } \exp \left( \sum _ { j = 0 } ^ { n _ { 0 } - 1 } \varphi ( F ^ { j } ( \rho _ { i } ) ) \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n } l _ { i } ^ { 2 } \Bigg | ( g _ { j } , h _ { j } ) \right] } & { \leq \frac { 2 \log ( 1 / \rho ) } { 1 - \rho } \sum _ { i = 1 } ^ { n } s \mathbb { D } _ { \mathsf K L } \left( \boldsymbol { \mu } _ { ( g _ { j } , h _ { j } ) } ^ { ( i , j ) } , \boldsymbol { \mu } _ { ( a , b ) } ^ { ( i , j ) } \right) } \\ & { = \frac { 2 \log ( 1 / \rho ) } { 1 - \rho } s D . } \end{array}
T _ { \kappa , j } \left( E , \theta + i \epsilon \right) = \frac { j \kappa } { 2 } e ^ { - i \theta } e ^ { | \epsilon | } \left( \begin{array} { c c } { - F a _ { \kappa } } & { F a _ { \kappa - 1 } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) + O ( 1 ) .
V _ { \mu } ( x ) = { \bf \lambda \cdot V } _ { \mu } + \lambda ^ { 0 } V _ { \mu } ^ { 0 } = \sqrt { 2 } \left( \begin{array} { c c c } { { \frac { \rho _ { \mu } ^ { 0 } } { \sqrt { 2 } } + \frac { \omega _ { \mu } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \rho _ { \mu } ^ { + } } } & { { K _ { \mu } ^ { * + } } } \\ { { \rho _ { \mu } ^ { - } } } & { { - \frac { \rho _ { \mu } ^ { 0 } } { \sqrt { 2 } } + \frac { \omega _ { \mu } } { \sqrt { 2 } } } } & { { K _ { \mu } ^ { * 0 } } } \\ { { K _ { \mu } ^ { * - } } } & { { \bar { K } _ { \mu } ^ { * 0 } } } & { { \phi _ { \mu } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \tau _ { 1 } ( e _ { 1 } ) = \cdots = \tau _ { 1 } ( e _ { m - 1 } ) < \tau _ { 1 } ( e _ { m } ) < \tau _ { 1 } ( e _ { m + 1 } ) < \cdots < \tau _ { 1 } ( e _ { n } ) , } \\ { 0 } & { = \tau _ { 2 } ( e _ { 1 } ) = \cdots = \tau _ { 2 } ( e _ { m - 1 } ) = \tau _ { 2 } ( e _ { m } ) < \tau _ { 2 } ( e _ { m + 1 } ) < \cdots < \tau _ { 2 } ( e _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 0 } ^ { \varepsilon } ( x ) } & { { } = \omega _ { 0 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) - \theta _ { + } ( \tau ^ { + } , 0 ) \phi ( n ^ { + } / \varepsilon ) 1 _ { \{ \arg x \in [ \alpha , \alpha + \frac { \pi } { 2 } ] \} } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bar { \bf M } _ { \mathrm { F i e l d } } ( r , \phi , z ) } & { = } & { \frac { \bar { U } _ { \mathrm { F i e l d } } } { v _ { 0 } } \left( r \sin \phi - \frac { m } { k _ { n _ { 0 } } r } z \cos \phi , \right. } \\ & { } & { \quad - r \cos \phi - \frac { m } { k _ { n _ { 0 } } r } z \sin \phi , \ \left. \frac { m } { k _ { n _ { 0 } } r } \right) } \\ & { = } & { \frac { \bar { U } _ { \mathrm { F i e l d } } } { v _ { 0 } } \left( - \frac { m } { k _ { n _ { 0 } } r } z \hat { \bf r } - r \hat { \bf \Phi } + \frac { m } { k _ { n _ { 0 } } } \hat { \bf z } \right) } \\ & { = } & { \hbar m { \cal N } \left( - \frac { z } { r } \hat { \bf r } - \frac { k _ { n _ { 0 } } r } { m } \hat { \bf \Phi } + \hat { \bf z } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega ^ { ( 1 ) } ( \{ c _ { i \alpha } \} ) = } & { \; \Omega ^ { ( 1 ) } ( \{ c _ { \alpha } \} ) + \sum _ { i \alpha } \frac { \partial \Omega ^ { ( 1 ) } } { \partial c _ { i \alpha } } \Big \vert _ { \{ c _ { \alpha } \} } \Delta c _ { i \alpha } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \alpha ; j \alpha ^ { \prime } } \frac { \partial ^ { 2 } \Omega ^ { ( 1 ) } } { \partial c _ { i \alpha } \partial c _ { j \alpha ^ { \prime } } } \Big \vert _ { \{ c _ { \alpha } \} } \Delta c _ { i \alpha } \Delta c _ { j \alpha ^ { \prime } } + \dots . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \mathcal { M } _ { 2 } ^ { ( - 1 ) } ( x , t ) = \left( \begin{array} { l l l } { \alpha ( x , t ) } & { 0 } & { \beta ( x , t ) } \\ { - \alpha ( x , t ) } & { 0 } & { - \beta ( x , t ) } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } & & { \mathcal { M } _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( x , t ) = \left( \begin{array} { l l l } { \star } & { \gamma ( x , t ) } & { \star } \\ { \star } & { - \gamma ( x , t ) } & { \star } \\ { \star } & { 0 } & { \star } \end{array} \right) , } \\ & { \widetilde { \mathcal { M } } _ { 2 } ^ { ( - 1 ) } ( x , t ) = \left( \begin{array} { l l l } { \tilde { \alpha } ( x , t ) } & { 0 } & { \tilde { \beta } ( x , t ) } \\ { - \tilde { \alpha } ( x , t ) } & { 0 } & { - \tilde { \beta } ( x , t ) } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } & & { \widetilde { \mathcal { M } } _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( x , t ) = \left( \begin{array} { l l l } { \star } & { \tilde { \gamma } ( x , t ) } & { \star } \\ { \star } & { - \tilde { \gamma } ( x , t ) } & { \star } \\ { \star } & { 0 } & { \star } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { Z _ { \alpha , t _ { i } } \wedge Z _ { \beta , t _ { j } } > \operatorname* { m a x } { \left( Z _ { \alpha , t } , Z _ { \beta , t } \right) } , \ \ \textrm { f o r a l l } t , \ \ t _ { i } < t < t _ { j } , \ \ i , j = 1 , \ldots , T , i \neq j . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { i j } ^ { ( 1 ) } = } & { 2 \hat { P } _ { ( i j ) } = 2 \hat { P } _ { i j } - f _ { i j } ^ { ( 0 ) } \, . } \\ { \gamma _ { i j } ^ { ( 2 ) } = } & { \hat { \Omega } _ { i j } ^ { ( 1 ) } + \hat { P } ^ { k } _ { i } \hat { P } _ { k j } + \hat { \nabla } _ { ( i } ^ { ( 0 ) } a _ { j ) } ^ { ( 1 ) } \, , } \\ { \gamma _ { i j } ^ { ( 3 ) } = } & { \frac { 1 } { 3 } \hat { \Omega } _ { i j } ^ { ( 2 ) } + \frac { 4 } { 3 } \hat { \Omega } _ { k ( i } ^ { ( 1 ) } \hat { P } ^ { k } _ { j ) } + \frac { 2 } { 3 } \hat { \nabla } _ { ( i } ^ { ( 0 ) } a _ { j ) } ^ { ( 2 ) } + 2 a _ { i } ^ { ( 1 ) } a _ { j } ^ { ( 1 ) } - \frac { 1 } { 3 } a ^ { ( 1 ) } \cdot a ^ { ( 1 ) } \gamma _ { i j } ^ { ( 0 ) } } \\ & { + \frac { 1 } { 3 } P ^ { k } _ { ( i } \hat { \nabla } _ { j ) } ^ { ( 0 ) } a _ { k } ^ { ( 1 ) } - \frac { 1 } { 3 } a _ { ( 1 ) } ^ { k } ( \hat { \nabla } _ { i } ^ { ( 0 ) } \hat { P } _ { k j } + \hat { \nabla } _ { i } ^ { ( 0 ) } \hat { P } _ { j k } - \hat { \nabla } _ { k } ^ { ( 0 ) } \hat { P } _ { j i } + 2 \hat { \nabla } _ { j } ^ { ( 0 ) } \hat { P } _ { i k } - 2 \hat { \nabla } _ { k } ^ { ( 0 ) } \hat { P } _ { i j } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { { 2 } \left( \frac { u _ { h } ^ { n + 1 } - u _ { h } ^ { n } } { \tau ^ { n + 1 } } , \rho \right) + L _ { h } ^ { 1 } ( \pmb { q } _ { h } ^ { n + 1 } ; \rho ) = 0 , } \\ { ( \pmb { q } _ { h } ^ { n + 1 } , \pmb { \theta } ) + L _ { h } ^ { 2 } ( u _ { h } ^ { n + 1 } , \pmb { s } _ { h } ^ { n + 1 } ; \pmb { \theta } ) = 0 , } \\ { ( \pmb { s } _ { h } ^ { n + 1 } , \pmb { \eta } ) + L _ { h } ^ { 3 } ( p _ { h } ^ { n + 1 } ; \pmb { \eta } ) = 0 , } \\ { ( p _ { h } ^ { n + 1 } , \varphi ) + L _ { h } ^ { 4 } ( u _ { h } ^ { n + 1 } ; \varphi ) = 0 . } \end{array}
c ( F ( t _ { E } ) ) ^ { 2 } | \operatorname* { d e t } \{ v _ { i } \} | _ { i = 1 } ^ { d } | ^ { 2 } | \operatorname* { d e t } \{ u _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d _ { 1 } } | ^ { \frac { 2 s } { d _ { 1 } } } | \operatorname* { d e t } \{ v _ { i } ^ { * } \} _ { i = 1 } ^ { k } | ^ { \frac { 2 s } { k } } | \operatorname* { d e t } \{ w _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d } | ^ { \frac { 2 s } { d } } \lesssim 1
\gamma \omega = 0 \Leftrightarrow \omega = \frac { 1 } { q ! } \omega _ { \nu _ { 1 } . . . \nu _ { q } } ( [ F _ { \mu _ { 1 } . . . \mu _ { p + 1 } } ] , [ \phi _ { A } ^ { * } ] ) d x ^ { \nu _ { 1 } } \dots d x ^ { \nu _ { q } } .
a _ { l l } = \frac { N ( l ^ { + } l ^ { + } ) - N ( l ^ { - } l ^ { - } ) } { N ( l ^ { + } l ^ { + } ) + N ( l ^ { - } l ^ { - } ) } = \frac { | \xi | ^ { 4 } - 1 } { | \xi | ^ { 4 } + 1 } ,
\begin{array} { r } { | \Psi _ { \alpha \mathbf { k } } ( t ) \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { V } } e ^ { - i E _ { \alpha \mathbf { k } } t / \hbar } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \hat { \mathbf { r } } } | \Phi _ { \alpha \mathbf { k } } ( t ) \rangle } \end{array}
= 1 + \begin{array} { c c c c c c } & & & & & { + x ^ { 6 } y ^ { 6 } } \\ & & & { + x ^ { 4 } y ^ { 5 } } & { + x ^ { 5 } y ^ { 5 } } & \\ & & { + x ^ { 3 } y ^ { 4 } } & { + x ^ { 4 } y ^ { 4 } } & { + x ^ { 5 } y ^ { 4 } } & \\ & { + x ^ { 2 } y ^ { 3 } } & { + 2 x ^ { 3 } y ^ { 3 } } & { + x ^ { 4 } y ^ { 3 } } & & \\ { + x y ^ { 2 } } & { + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } & { + x ^ { 3 } y ^ { 2 } } & & & \\ { + x y } & { + x ^ { 2 } y } & & & & \end{array} ,