harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sqrt { | | t | - | t _ { p } | | ^ { 2 } + | | s | - | s _ { p } | | ^ { 2 } } } & { = \sqrt { \left( \frac { 1 } { | t | + | t _ { p } | } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { | s | + | s _ { p } | } \right) ^ { 2 } } \frac { | x _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } H } C x _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } } | } { c _ { 1 , k } - c _ { 2 , k } } } \\ & { \leq \sqrt { \frac { 1 } { | t | ^ { 2 } } + \frac { 1 } { | s | ^ { 2 } } } \frac { | x _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } H } C x _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } } | } { c _ { 1 , k } - c _ { 2 , k } } } \\ & { = \sqrt { \frac { c _ { 1 , k } - c _ { 2 , k } } { - c _ { 2 , k } } + \frac { c _ { 1 , k } - c _ { 2 , k } } { c _ { 1 , k } } } \frac { | x _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } H } C x _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } } | } { c _ { 1 , k } - c _ { 2 , k } } } \\ & { = \frac { | x _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } H } C x _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } } | } { \sqrt { - c _ { 1 , k } c _ { 2 , k } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( 1 ) a , b , c , d > 0 , \operatorname { t h e n } \ m i n \{ \frac { a } { b } , \frac { c } { d } \} \leq \frac { a + c } { b + d } \leq m a x \{ \frac { a } { b } , \frac { c } { d } \} } \\ & { ( 2 ) a > b > 0 , 0 > c > - b , \operatorname { t h e n } \ \frac { a + c } { b + c } > \frac { a } { b } } \\ & { ( 3 ) b > a > 0 , 0 > c > - a , \operatorname { t h e n } \ \frac { a + c } { b + c } < \frac { a } { b } } \end{array}
\sqrt { \frac { 1 } { 2 \pi \hbar \epsilon ( 1 + f ( q _ { j } ) \Delta q _ { j } ) } } \; \exp \left[ \frac { ( \Delta q _ { j } ) ^ { 2 } } { 2 \hbar \epsilon ( 1 + f ( q _ { j } ) \Delta q _ { j } ) } \right] \, \approx \, \sqrt { \frac { 1 } { 2 \pi \hbar \epsilon } } \; \exp \left\{ \frac { \epsilon } { \hbar } \left[ \frac { 1 } { 2 } { \dot { q } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \hbar f ( q ) \dot { q } \right] \right\} \, ,
\begin{array} { r l r } { \langle { X } _ { j } \rangle _ { \mathrm { F } } } & { { } = } & { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \sum _ { k } \left( 1 - { F } _ { i } \frac { \theta } { n } \right) _ { j k } ^ { n } \langle { X } _ { k } \rangle _ { \mathrm { I } } = \sum _ { k } \left( \mathrm { e } ^ { - { F } _ { i } \theta } \right) _ { j k } \langle { X } _ { k } \rangle _ { \mathrm { I } } , } \end{array}
\tilde { s } ^ { 0 } ( x , y ) = i e ^ { 2 } \int \! d ^ { 4 } \! z \, S _ { \mathrm { F } } ( x , z ) \, \gamma ^ { \mu } \, S _ { \mathrm { F } } ( z , y ) \, [ d _ { \mu } ( x - z ) + d _ { \mu } ( z - y ) ]
P _ { k } \equiv \Delta p _ { k } / ( \sqrt { E _ { 0 } / E _ { a } } \kappa ) , \, P _ { E } \equiv \Delta p _ { E } / ( \sqrt { E _ { 0 } / E _ { a } } E _ { 0 } / \omega ) , \, P _ { B } \equiv \Delta p _ { B } / ( \sqrt { E _ { 0 } / E _ { a } } \kappa )
\overline { { H } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) = \frac { \mathrm { ~ T ~ r ~ a ~ c ~ e ~ } [ \overline { { \mathbf { W } } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) ] } { 2 } = \frac { { } _ { 1 } \overline { { \kappa } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) + { } _ { 2 } \overline { { \kappa } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } { 2 }
\Gamma _ { k } ( \mathbf { x } ) = - \frac { e ^ { \mathrm { i } k \| \mathbf { x } \| } } { 4 \pi \| \mathbf { x } \| } , ~ ~ \mathbf { x } \in \mathbb { R } ^ { 3 } , \quad \mathbf { x } \neq \mathbf { 0 } .
\tilde { A } _ { \gamma , \gamma ^ { \prime } } ( \delta ) ( \underline { { x } } , \underline { { x } } ^ { \prime } ) : = \mathfrak { H } _ { 0 } \big ( ( \underline { { x } } + \underline { { x } } ^ { \prime } + \gamma + \gamma ^ { \prime } ) / 2 + F ( \delta ( \gamma + \gamma ^ { \prime } ) / 2 ) \, , \, \underline { { x } } + \gamma - \underline { { x } } ^ { \prime } - \gamma ^ { \prime } \big ) .
\Delta _ { D } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } c _ { i } ^ { 2 } ( | | \bar { \mathbf { v } } _ { i } | | _ { \Omega } ^ { 2 } + | | \mathbf { v } _ { i } ^ { \prime } | | _ { \omega } ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { J } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } c _ { i } ^ { 2 } | | \bar { \mathbf { v } } _ { i } | | _ { \Omega } ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } ( 1 - \frac { 1 } { J } ) c _ { i } ^ { 2 } | | \bar { \mathbf { v } } _ { i } | | _ { \Omega } ^ { 2 } + \lambda _ { i } c _ { i } ^ { 2 } | | \mathbf { v } _ { i } ^ { \prime } | | _ { \omega } ^ { 2 } \leq 0 .
\begin{array} { r l } & { \quad ( W _ { p , q } ^ { ( 2 ) } ) _ { ( 1 ) } W _ { i , j } ^ { ( 2 ) } } \\ & { = - ( \alpha _ { 2 } e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] ) _ { ( 1 ) } ( \sum _ { w > m - n } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 2 ) } - \sum _ { w \leq m - n } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { 2 } e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] ) } \\ & { \quad + ( \sum _ { x > m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { p , x } ^ { ( 2 ) } ) _ { ( 1 ) } ( \sum _ { w > m - n } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 2 ) } - \sum _ { w \leq m - n } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { 2 } e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] ) } \\ & { \quad - ( \sum _ { x \leq m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( 1 ) } ( \sum _ { w > m - n } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 2 ) } - \sum _ { w \leq m - n } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { 2 } e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } _ { 2 } ^ { * } \mu ( x , v ) = \frac { 1 } { 1 2 } \Big ( [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , \mathcal { L } _ { D } ^ { * } + \mathcal { L } _ { B } ^ { * } ] ] + [ \mathcal { L } _ { D } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { D } ^ { * } , \mathcal { L } _ { B } ^ { * } ] ] + [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { D } ^ { * } , \mathcal { L } _ { B } ^ { * } ] ] + [ \mathcal { L } _ { D } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , \mathcal { L } _ { B } ^ { * } ] ] } \\ & { \quad - \frac { 1 } { 2 } [ \mathcal { L } _ { D } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { D } ^ { * } , \mathcal { L } _ { R } ^ { * } ] ] - \frac { 1 } { 2 } [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , \mathcal { L } _ { R } ^ { * } ] ] - \frac { 1 } { 2 } [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , \mathcal { L } _ { D } ^ { * } ] ] \Big ) } \\ & { = \frac { \mu ( x , v ) } { 1 2 } \Bigg ( - \frac { 3 } { 2 } \lambda _ { r } \Big ( b \, \mathrm { t r } \big ( \nabla \psi ( x ) \nabla \psi ( x ) ^ { T } - \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) \big ) + 2 \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) + \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle \Big ) } \\ & { \quad + 3 \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) \Big ( - 2 \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle + \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle ^ { 2 } \Big ) - \langle v , \nabla ( \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle ) \rangle \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sqrt { \frac { \hbar \omega } { 2 \epsilon V } } \frac { 1 } { v } \sqrt { \frac { \hbar \omega } { 2 \epsilon V } } \frac { 1 } { v ^ { 2 } \mu _ { 0 } } V = \frac { 1 } { v } \frac { \hbar \omega } { 2 } \frac { 1 } { v ^ { 2 } \epsilon \mu _ { 0 } } = \frac { \hbar k } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( [ Z ( x ) - Z ( x _ { 0 } ) ] ^ { 2 } \right) } & { = \mathbb { E } \left( \left[ \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { 1 } { | x - u | ^ { \frac { 1 } { 8 } } } - \frac { 1 } { | x _ { 0 } - u | ^ { \frac { 1 } { 8 } } } d W ( u ) \right] ^ { 2 } \right) } \\ & { = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left[ \frac { 1 } { | x - u | ^ { \frac { 1 } { 8 } } } - \frac { 1 } { | x _ { 0 } - u | ^ { \frac { 1 } { 8 } } } \right] ^ { 2 } d u } \\ & { = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { \left[ | x \vee x _ { 0 } - u | ^ { \frac { 1 } { 8 } } - | x \wedge x _ { 0 } - u | ^ { \frac { 1 } { 8 } } \right] ^ { 2 } } { | x \vee x _ { 0 } - u | ^ { \frac { 1 } { 4 } } | x \wedge x _ { 0 } - u | ^ { \frac { 1 } { 4 } } } d u . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \eta _ { t } } \mathbb { E } \| \nabla _ { x } f ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) - u _ { t + 1 } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { \eta _ { t - 1 } } \mathbb { E } \| \nabla _ { x } f ( x _ { t } , y _ { t } ) - u _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq - 1 0 \eta _ { t } \mathbb { E } \| \nabla _ { x } f ( x _ { t } , y _ { t } ) - u _ { t } \| ^ { 2 } + 4 L _ { f } ^ { 2 } \eta _ { t } \big ( \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) + 2 c _ { 1 } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 3 } \sigma ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { b _ { 1 } = \frac { \omega _ { 1 } ^ { 4 } - 2 \omega _ { 1 } ^ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { 2 } + \omega _ { 2 } ^ { 2 } \omega _ { 3 } ^ { 2 } } { \omega _ { 1 } ^ { 2 } - \omega _ { 2 } ^ { 2 } } \ , } \\ & { } & { d _ { 2 } = \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } \left( \omega _ { 2 } ^ { 2 } - \omega _ { 3 } ^ { 2 } \right) + \omega _ { 3 } ^ { 2 } \left( \omega _ { 4 } ^ { 2 } - \omega _ { 2 } ^ { 2 } \right) } { \omega _ { 2 } ^ { 2 } - \omega _ { 3 } ^ { 2 } } \ , } \\ & { } & { d _ { 0 } = \omega _ { 1 } ^ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { 2 } + \omega _ { 3 } ^ { 2 } \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } \left( \omega _ { 4 } ^ { 2 } - \omega _ { 2 } ^ { 2 } \right) + \omega _ { 2 } ^ { 2 } \left( \omega _ { 3 } ^ { 2 } - \omega _ { 4 } ^ { 2 } \right) } { \omega _ { 2 } ^ { 2 } - \omega _ { 3 } ^ { 2 } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { \mathrm { n u m , A D } } } & { = } & { \int _ { \Omega } \left[ \left( u _ { i } \mathcal { E } _ { \mathrm { t r u n c } } ^ { ( \rho u _ { i } ) } - \frac { 1 } { 2 } u _ { i } ^ { 2 } \mathcal { E } _ { \mathrm { t r u n c } } ^ { ( \rho ) } \right) + \left( u _ { i } \mathcal { D } _ { \mathrm { f i l } } \rho u _ { i } - \frac { 1 } { 2 } u _ { i } ^ { 2 } \mathcal { D } _ { \mathrm { f i l } } \rho \right) \right] d \Omega } \\ { \epsilon _ { \mathrm { n u m , R F } } } & { = } & { \int _ { \Omega } \left[ \left( u _ { i } \mathcal { E } _ { \mathrm { t r u n c } } ^ { ( \rho u _ { i } ) } - \frac { 1 } { 2 } u _ { i } ^ { 2 } \mathcal { E } _ { \mathrm { t r u n c } } ^ { ( \rho ) } \right) + \left( u _ { i } \mathcal { D } _ { \mathrm { f i l } } \mathcal { R } _ { \mathrm { o } } ^ { ( \rho u _ { i } ) } - \frac { 1 } { 2 } u _ { i } ^ { 2 } \mathcal { D } _ { \mathrm { f i l } } \mathcal { R } _ { \mathrm { o } } ^ { ( \rho ) } \right) \right] d \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | \left\langle { G _ { 1 } G _ { 2 } A } \right\rangle | \prec \frac { \Lambda _ { k } } { L \sqrt { \eta _ { * } } } + \frac { \Lambda _ { k + 4 } } { L ^ { 2 } } , } \\ & { | \left\langle { \Im G _ { 1 } G _ { 2 } A } \right\rangle | \prec \rho _ { 1 } \frac { \Lambda _ { k } } { L \sqrt { \eta _ { * } } } + \rho _ { 1 } \frac { \Lambda _ { k + 4 } } { L ^ { 2 } } , } \\ & { | \left\langle { \Im G _ { 1 } \Im G _ { 2 } A } \right\rangle | \prec \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \frac { \Lambda _ { k } } { L \sqrt { \eta _ { * } } } + \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \frac { \Lambda _ { k + 4 } } { L ^ { 2 } } . } \end{array}
| f _ { L } , f _ { R } \rangle = e ^ { f _ { L } s _ { L } ^ { \dag } } | I \rangle \star | \Xi \rangle \star e ^ { f _ { R } s _ { R } ^ { \dag } } | I \rangle = e ^ { f _ { L } A ^ { \dag } } | \Xi \rangle \langle \Xi | e ^ { f _ { R } A } \equiv | f _ { L } \rangle \langle f _ { R } | .
\begin{array} { r l } { \frac \epsilon 2 \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { 1 } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \right] } & { \le \left[ \frac { ( K + 1 ) M ^ { 2 } } 2 + ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) C _ { W } + 3 K M ^ { 2 } m _ { 0 } + 4 M ^ { 2 } \right] \mathbb E [ \mathcal T _ { 2 } ] } \\ & { \le \left[ \frac { ( K + 1 ) M ^ { 2 } } 2 + ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) C _ { W } + 3 K M ^ { 2 } m _ { 0 } + 4 M ^ { 2 } \right] \cdot 5 T . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ E ~ n ~ s ~ . ~ N ~ o ~ r ~ m ~ . ~ B ~ i ~ a ~ s ~ } _ { k } = \frac { 1 } { S N } \sum _ { s = 1 } ^ { S } \left\{ \frac { \sum _ { n = 1 } ^ { N } ( \hat { y } _ { s k } ^ { n } - y _ { s k } ) } { y _ { s k } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \mathrm { T V } } ( X , Y ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k \geq 0 } \left| p _ { k } - \frac { \lambda ^ { k } } { k ! } e ^ { - \lambda } \right| = \frac { 1 } { 2 } \left( | p _ { 0 } - e ^ { - \lambda } | + \sum _ { k = 1 } ^ { \omega } \left| p _ { k } - \frac { \lambda ^ { k } } { k ! } e ^ { - \lambda } \right| + \sum _ { k > \omega } \left| p _ { k } - \frac { \lambda ^ { k } } { k ! } e ^ { - \lambda } \right| \right) } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } ( \omega ^ { - 2 } + \omega \cdot \omega ^ { - 2 } + ( \omega ^ { - 2 } + \omega ^ { - 1 } ) ) \leq 3 \omega ^ { - 1 } . } \end{array}
n _ { i j } : = \sum _ { A _ { i j } = 0 } ^ { 1 } A _ { i j } P ( \mathbf A _ { i j } ) = \frac { 1 } { e ^ { \beta ( 1 - \mathbf { v } _ { i } \cdot \mathbf { v } _ { j } ) } + 1 } ,
\phi = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { 6 } A _ { 0 ; \underline { { 2 2 } } } \alpha ^ { 0 } - \psi _ { 0 } ^ { 0 } - \frac 1 3 \psi _ { 1 } ^ { 1 } } & { B _ { 2 0 } \alpha ^ { 0 } - \beta ^ { 2 } } & { \mu _ { 0 } + B _ { 0 i } \alpha ^ { i } } \\ { \alpha ^ { 1 } } & { - \frac { 1 } { 1 2 } A _ { 0 ; \underline { { 2 2 } } } \alpha ^ { 0 } + \frac 2 3 \psi _ { 1 } ^ { 1 } } & { B _ { 1 0 } \alpha ^ { 0 } + B _ { 1 1 } \alpha ^ { 1 } + \beta ^ { 1 } } \\ { \alpha ^ { 0 } } & { \alpha ^ { 2 } } & { - \frac { 1 } { 1 2 } A _ { 0 ; \underline { { 2 2 } } } \alpha ^ { 0 } + \psi _ { 0 } ^ { 0 } - \frac 1 3 \psi _ { 1 } ^ { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \tilde { F } _ { 1 } ( k ) } & { = \frac { \mathrm { e } ^ { - a _ { r } k ^ { 2 } } } { 2 } \, \left[ \mathrm { e } ^ { \jmath \left( \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert + b \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert \, k ^ { 2 } \right) } + \mathrm { e } ^ { - \jmath \left( \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert + b \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert k ^ { 2 } \right) } \right] , } \\ { \tilde { F } _ { 2 } ( k ) } & { = \frac { \mathrm { e } ^ { - a _ { r } k ^ { 2 } } } { 4 \jmath \, \tilde { \omega } _ { d } \tilde { \tau } _ { c } } \, \left[ \mathrm { e } ^ { \jmath \left( \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert + b \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert k ^ { 2 } \right) } - \mathrm { e } ^ { - \jmath \left( \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert + b \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert k ^ { 2 } \right) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { J : = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \; \; I : = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \; \; A _ { u } : = \left( \begin{array} { l l } { - d \partial _ { x } ^ { 2 } + \zeta - ( 3 u _ { 1 } ^ { 2 } + u _ { 2 } ^ { 2 } ) } & { - 2 u _ { 1 } u _ { 2 } } \\ { - 2 u _ { 1 } u _ { 2 } } & { - d \partial _ { x } ^ { 2 } + \zeta - ( u _ { 1 } ^ { 2 } + 3 u _ { 2 } ^ { 2 } ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H ( \theta ^ { k } ) : = \mathbb { E } _ { ( s , a ) \sim \mu } \left[ \nabla Q ( s , a ; \theta ^ { k } ) \nabla Q ( s , a ; \theta ^ { k } ) ^ { \top } \right] , } \\ & { g ( \theta ^ { k } ) : = \mathbb { E } _ { \xi \sim \mathcal { D } } \left[ \delta ^ { k } ( \xi ) \cdot \nabla Q ( s , a ; \theta ^ { k } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } = } & { \, \frac { 1 } { 2 } ( p - 1 ) \int _ { B _ { r } \cap \Omega } | \nabla \phi ( x ) \cdot y | ^ { p - 2 } y ^ { T } D ^ { 2 } \phi ( x ) y \, \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p } } } \\ & { + r ^ { 2 } O \left( \int _ { B _ { r } \cap \Omega } \left( | \nabla \phi ( x ) \cdot \frac { y } { | y | } | ^ { p - 2 } + | \nabla \phi ( x ) \cdot \frac { y } { | y | } | ^ { p - 3 } + ( p - 3 ) | \nabla \phi ( x ) \cdot \frac { y } { | y | } | ^ { p - 4 } \right) \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d - ( 1 - s ) p } } \right) } \\ { = } & { \, \frac { 1 } { 2 } ( p - 1 ) \int _ { B _ { r } \cap \Omega } | \nabla \phi ( x ) \cdot y | ^ { p - 2 } y ^ { T } D ^ { 2 } \phi ( x ) y \, \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p } } + O ( r ^ { 2 + ( 1 - s ) p } ) . } \end{array}
I ( x ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \, \Bigl ( g _ { 0 } \, { \sqcap \! \! \! \! \sqcup } \, \tilde { \phi } - 2 i e g _ { 0 } \, A _ { \mu } \partial _ { \mu } \tilde { \phi } + e \, \epsilon _ { \mu \nu } \, \partial _ { \mu } A _ { \nu } \Bigr ) \, .
\begin{array} { r l } { \partial _ { \theta } E = } & { { } \frac { - i \delta } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } E - \frac { 1 - 3 \delta ^ { 2 } } { 1 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 3 } E + \frac { 4 f } { \pi } \frac { ( 1 + i u ) ( 1 - i \delta ) } { ( 1 + u ^ { 2 } ) ( 1 + \delta ^ { 2 } ) } D E } \end{array}
\mathbf { a } _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ l ~ y ~ } } = - \frac { \mu } { V } \left( \sum _ { e \in \mathrm { ~ e ~ d ~ g ~ e ~ s ~ } } \mathbf { E } _ { e } \cdot \mathbf { r } _ { e } L _ { e } - \sum _ { f \in \mathrm { ~ f ~ a ~ c ~ e ~ s ~ } } \mathbf { F } _ { f } \mathbf { r } _ { f } w _ { f } \right) ,
C _ { \mathrm { H 2 O } } = ( 1 . 7 4 / \mathrm { s } ) \left[ \frac { M _ { D } } { 1 \mathrm { \ k t o n } } \right] \left[ \frac { 1 0 \mathrm { \ k p c } } { D } \right] ^ { 2 } \left[ \frac { 1 \mathrm { \ M e V } } { \langle E \rangle } \right] \, .
\sum _ { i } \left\langle \frac { p _ { i } ^ { 2 } } { m } + x _ { i } F _ { i } ^ { x } \right\rangle = \frac { L _ { x } } { t } \left[ \sum _ { t _ { r } } p _ { r } - \sum _ { t _ { l } } p _ { l } \right]
\frac { k _ { x } \Phi _ { u u } ( k _ { x } ; \delta , \delta _ { \nu } ) } { u _ { \tau } ^ { 2 } } = \frac { k _ { x } \delta \Phi _ { u u } ( k _ { x } \delta ; R e _ { \tau } ) } { u _ { \tau } ^ { 2 } } = k _ { x } \delta g _ { 1 } ( k _ { x } \delta ; R e _ { \tau } ) = h _ { 1 } ( k _ { x } \delta ; R e _ { \tau } ) .
\sigma _ { \mathrm { t o t } } ( x _ { \mathrm { b j } } , Q ^ { 2 } ) = \sigma _ { \mathrm { t o t } } \Big ( x _ { 0 } , \frac { Q ^ { 2 } } { Q _ { s } ^ { 2 } ( x _ { \mathrm { b j } } ) } Q _ { 0 } ^ { 2 } \Big ) \ .
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { L } } _ { V ^ { 1 } } \left( \theta _ { 0 } ^ { \alpha } \right) } & { = { \mathcal { L } } _ { V ^ { 1 } } \left( d u ^ { \alpha } - u _ { i } ^ { \alpha } d x ^ { i } \right) } \\ & { = { \mathcal { L } } _ { V ^ { 1 } } d u ^ { \alpha } - \left( { \mathcal { L } } _ { V ^ { 1 } } u _ { i } ^ { \alpha } \right) d x ^ { i } - u _ { i } ^ { \alpha } \left( { \mathcal { L } } _ { V ^ { 1 } } d x ^ { i } \right) } \\ & { = d \left( V ^ { 1 } u ^ { \alpha } \right) - V ^ { 1 } u _ { i } ^ { \alpha } d x ^ { i } - u _ { i } ^ { \alpha } d \left( V ^ { 1 } x ^ { i } \right) } \\ & { = d \phi ^ { \alpha } - \chi _ { i } ^ { \alpha } d x ^ { i } - u _ { i } ^ { \alpha } d \rho ^ { i } } \\ & { = { \frac { \partial \phi ^ { \alpha } } { \partial x ^ { i } } } d x ^ { i } + { \frac { \partial \phi ^ { \alpha } } { \partial u ^ { k } } } d u ^ { k } + { \frac { \partial \phi ^ { \alpha } } { \partial u _ { i } ^ { k } } } d u _ { i } ^ { k } - \chi _ { i } ^ { \alpha } d x ^ { i } - u _ { i } ^ { \alpha } \left[ { \frac { \partial \rho ^ { i } } { \partial x ^ { m } } } d x ^ { m } + { \frac { \partial \rho ^ { i } } { \partial u ^ { k } } } d u ^ { k } + { \frac { \partial \rho ^ { i } } { \partial u _ { m } ^ { k } } } d u _ { m } ^ { k } \right] } \\ & { = { \frac { \partial \phi ^ { \alpha } } { \partial x ^ { i } } } d x ^ { i } + { \frac { \partial \phi ^ { \alpha } } { \partial u ^ { k } } } \left( \theta ^ { k } + u _ { i } ^ { k } d x ^ { i } \right) + { \frac { \partial \phi ^ { \alpha } } { \partial u _ { i } ^ { k } } } d u _ { i } ^ { k } - \chi _ { i } ^ { \alpha } d x ^ { i } - u _ { l } ^ { \alpha } \left[ { \frac { \partial \rho ^ { l } } { \partial x ^ { i } } } d x ^ { i } + { \frac { \partial \rho ^ { l } } { \partial u ^ { k } } } \left( \theta ^ { k } + u _ { i } ^ { k } d x ^ { i } \right) + { \frac { \partial \rho ^ { l } } { \partial u _ { i } ^ { k } } } d u _ { i } ^ { k } \right] } \\ & { = \left[ { \frac { \partial \phi ^ { \alpha } } { \partial x ^ { i } } } + { \frac { \partial \phi ^ { \alpha } } { \partial u ^ { k } } } u _ { i } ^ { k } - u _ { l } ^ { \alpha } \left( { \frac { \partial \rho ^ { l } } { \partial x ^ { i } } } + { \frac { \partial \rho ^ { l } } { \partial u ^ { k } } } u _ { i } ^ { k } \right) - \chi _ { i } ^ { \alpha } \right] d x ^ { i } + \left[ { \frac { \partial \phi ^ { \alpha } } { \partial u _ { i } ^ { k } } } - u _ { l } ^ { \alpha } { \frac { \partial \rho ^ { l } } { \partial u _ { i } ^ { k } } } \right] d u _ { i } ^ { k } + \left( { \frac { \partial \phi ^ { \alpha } } { \partial u ^ { k } } } - u _ { l } ^ { \alpha } { \frac { \partial \rho ^ { l } } { \partial u ^ { k } } } \right) \theta ^ { k } } \end{array} }
\omega _ { f { \bar { f } } } ^ { ( 1 ) } = { \frac { C _ { F } } { 2 } } \biggl ( 2 ( 1 + z ^ { 2 } ) { \cal D } _ { 1 } ( z ) + 3 { \cal D } _ { 0 } ( z ) + ( 1 + { \frac { 4 } { 3 } } \pi ^ { 2 } ) \delta ( 1 - z ) - 4 z - 6 \biggr ) ,
\begin{array} { r l } { E ( u _ { n } ) - E ( u ^ { * } ) } & { \geq \frac { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 0 } } { 2 } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } - \frac { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 0 } } { 8 } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 4 } } \\ & { \geq \frac { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 0 } } { 4 } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { s } n _ { s } \left[ \frac { \partial \vec { v } _ { s } } { \partial t } + \left( \vec { v } _ { s } \cdot \vec { \nabla } \right) \vec { v } _ { s } \right] \times \vec { B } } & { = } & \\ { q _ { s } n _ { s } \left( \vec { E } + \vec { v } _ { s } \times \vec { B } \right) \times \vec { B } } & { - } & { \vec { \nabla } p _ { s } \times \vec { B } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { D } { 2 } e ^ { \int ^ { \widehat { L } } \frac { 2 f ( \widehat { L ^ { \prime } } ) } { D } d \widehat { L ^ { \prime } } } \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \left( Q ( \widehat { L } ) e ^ { - \int ^ { \widehat { L } } \frac { 2 f ( \widehat { L ^ { \prime } } ) } { D } d \widehat { L ^ { \prime } } } \right) } & { { } = \lambda \left( 1 - \int _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ^ { \widehat { L } } P ^ { \mathrm { i n } } ( \widehat { L ^ { \prime } } ) d \widehat { L ^ { \prime } } \right) \ . } \end{array}
\hat { H } = \sum _ { i j } h _ { i j } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } + \frac 1 2 \sum _ { i j k l } v _ { i j k l } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { l } \hat { a } _ { j } + \sum _ { i j } \Delta _ { i j } ( t ) \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ~ ,
i G _ { F \bar { 0 } { 0 } } ( x , y ) = \theta ( x ^ { 0 } - y ^ { 0 } ) \sum _ { k } \bar { u } _ { k } ( x ) u _ { k } ^ { * } ( y ) \bigl ( \alpha _ { k } ^ { * } - \frac { | \beta _ { k } | ^ { 2 } } { \alpha _ { k } } \bigr ) + x \leftrightarrow y .
h = \sqrt { n ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } } = \sqrt { ( n _ { r } ^ { 2 } - n _ { i } ^ { 2 } ) k _ { 0 } ^ { 2 } - ( \beta _ { r } ^ { 2 } - \beta _ { i } ^ { 2 } ) + i ( 2 n _ { r } n _ { i } k _ { 0 } ^ { 2 } - 2 \beta _ { r } \beta _ { i } ) }
\begin{array} { r l } { \omega _ { 2 } } & { { } = w k \cos \theta + \frac { 2 u k } { 3 } \cos \theta \pm \frac { 2 k } { 3 } \sqrt { u ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + \frac { 3 } { 2 } u w \sin ^ { 2 } \theta } , } \\ { \left( \begin{array} { l } { \ensuremath { j _ { 0 x } ^ { \prime } } } \\ { \ensuremath { j _ { 0 y } ^ { \prime } } } \end{array} \right) } & { { } \propto \left( \begin{array} { l } { 3 w \sin \theta } \\ { - 2 u \cos \theta \pm \sqrt { 4 u ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + 6 u w \sin ^ { 2 } \theta } } \end{array} \right) . } \end{array}