harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
R ( x ) = \left\{ \begin{array} { l c c } { \displaystyle { R _ { 0 } } } & { \mathrm { f o r } } & { | x | < \displaystyle \frac { L } { 2 } } \\ { \displaystyle { R _ { 0 } } \mathrm { e } ^ { \frac { | x | - L / 2 } { 2 \delta } } } & { \mathrm { f o r } } & { | x | > \displaystyle \frac { L } { 2 } } \end{array} , \right.
{ \mathcal L } = \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \varphi \partial _ { \mu } \varphi + \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } \varphi ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 4 ! } \mu ^ { 2 \epsilon } \varphi ^ { 4 } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb E \big [ \| \widehat C _ { \mathbb H } ^ { m , t } - C _ { \mathbb H } ^ { t } \| _ { H S } ^ { 2 } \big ] } & { = \frac 1 m \left[ \mathbb E _ { 0 } ( t ) + 2 \sum _ { j = \nu _ { 0 } } ^ { \infty } \frac { d _ { j , t } q _ { j } } { 1 - q _ { j } } \left( 1 - \frac { 1 } m \cdot \frac { 1 - q _ { j } ^ { m } } { 1 - q _ { j } } \right) \right] + \frac { m - 1 } m \sum _ { j = 1 } ^ { \nu _ { 0 } - 1 } d _ { j , t } , } \end{array}
T _ { \mu \nu } = ( \rho + p _ { \varphi } ) u _ { \mu } u _ { \nu } + p _ { \varphi } g _ { \mu \nu } + ( p _ { z } - p _ { \varphi } ) s _ { \mu } s _ { \nu } + ( p _ { r } - p _ { \varphi } ) t _ { \mu } t _ { \nu } \; ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { P } _ { n } ^ { * } | \boldsymbol { \vartheta } , \boldsymbol { \varphi } _ { n } ^ { * } } & { { } \sim \{ \mathcal { M } + \mathcal { E } _ { T } + \mathcal { E } _ { B } \} | \boldsymbol { \vartheta } , \boldsymbol { \varphi } _ { n } ^ { * } } \end{array}
E _ { \mathrm { t o t a l } } = E _ { \mathrm { e l e c t r o n i c } } + E _ { \mathrm { v i b r a t i o n a l } } + E _ { \mathrm { r o t a t i o n a l } } + E _ { \mathrm { n u c l e a r ~ s p i n } } .
D _ { \chi } ( k _ { 0 } , t ) = \int _ { 0 } ^ { t } d s ~ u ( s ) \left[ \mathrm { R e } G _ { + + } ^ { 2 } ( 2 k _ { 0 } ; t - s ) + 2 \mathrm { R e } G _ { + + } ^ { 2 } ( 0 ; t - s ) \right] .
A ( t ) : = \frac { 1 } { T } \int _ { t } ^ { t + T } \frac { 1 } { \mathcal { \left| D \right| } } \int _ { D } \left( T _ { s } - \mathbb { E } \left( T _ { s } \right) \right) ( \vec { r } , u ) \, \mathrm { d } \vec { r } \mathrm { d } u
{ \boldsymbol { P } } = 2 ~ { \boldsymbol { F } } \cdot { \frac { \partial W } { \partial { \boldsymbol { C } } } } \qquad { \mathrm { o r } } \qquad P _ { i K } = 2 ~ F _ { i L } ~ { \frac { \partial W } { \partial C _ { L K } } } ~ .
\begin{array} { r l } { \left| \left\langle { A _ { 1 } ( G _ { 2 } - m _ { 2 } I ) A _ { 2 } } \right\rangle \right| } & { \le \left| \left\langle { G _ { 2 } - m _ { 2 } } \right\rangle \left\langle { A _ { 1 } A _ { 2 } } \right\rangle \right| + \left| \left\langle { ( G _ { 2 } - m _ { 2 } ) ( A _ { 2 } A _ { 1 } ) ^ { \circ } } \right\rangle \right| } \\ & { \prec \frac { 1 } { L } + \frac { \Lambda _ { k + 1 } } { \sqrt { L N } } + \frac { \Lambda _ { k + 4 } } { N L } \prec \frac { 1 } { L } + \frac { \Lambda _ { k + 4 } ^ { 2 } } { \sqrt { N L } } . } \end{array}
\rho _ { \theta , i } ^ { l a t } = \rho _ { 0 } ^ { l a t } \bigg \{ 1 + \frac { 1 } { T _ { 0 } ^ { l a t } } \left( h _ { i } ^ { l a t } - \frac { H ^ { l a t } \left( M , N _ { r } \right) } { N _ { r } \left( M + \frac { N _ { r } } { 2 } \right) } \right) \bigg \} ,
\left\langle 7 s \, ^ { 2 } \! S _ { 1 / 2 } | | D | | 6 p \, ^ { 2 } \! P _ { 3 / 2 } \right\rangle / \left\langle 7 s \, ^ { 2 } S _ { 1 / 2 } | | D | | 6 p \, ^ { 2 } \! P _ { 1 / 2 } \right\rangle = 1 . 5 2 7 2 ( 1 7 )
\begin{array} { r l } & { c = c _ { 1 } + c _ { 2 } p _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } + \dots + c _ { a } p _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } p _ { 2 } ^ { m _ { 2 } } \ldots p _ { a - 1 } ^ { m _ { a - 1 } } , } \\ & { d = d _ { 1 } + d _ { 2 } q _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } + \dots + d _ { b } q _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } q _ { 2 } ^ { n _ { 2 } } \ldots q _ { b - 1 } ^ { n _ { b - 1 } } , } \end{array}
| \widetilde { S } | = \sqrt { { \widetilde { S } } _ { m n } { \widetilde { S } } _ { m n } } , ~ s _ { i j } = \frac { { \widetilde { S } } _ { i j } } { | \widetilde { S } | } , ~ \omega _ { i j } = \frac { { \widetilde { \Omega } } _ { i j } } { | \widetilde { S } | } .
\left[ \dot { \boldsymbol { s } } _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } , \dot { \boldsymbol { s } } _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \right] = [ - \boldsymbol { Q } _ { 9 9 . 7 } ( | \dot { \boldsymbol { s } } _ { t } ^ { ( \mathcal { D } ) } | ) , ~ \boldsymbol { Q } _ { 9 9 . 7 } ( | \dot { \boldsymbol { s } } _ { t } ^ { ( \mathcal { D } ) } | ) ] \enspace .
\begin{array} { r } { u _ { \mathrm { o u t } } \left( \mathbf { r } , z ; k \right) = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } d ^ { 2 } \mathbf { r } ^ { \prime } T ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ; z ; z _ { \mathrm { a p } } ) u _ { \mathrm { i n } } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } , z ; k \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { U _ { \mathbf { a } } = - \alpha \sum _ { \hat { \mathbf { n } } } I _ { \mathbf { a } } ^ { \hat { \mathbf { n } } } \approx - \alpha \sum _ { \hat { \mathbf { n } } } I _ { 0 } ^ { \hat { \mathbf { n } } } \left( 1 - 2 \frac { | \mathbf { a } _ { \hat { \mathbf { n } } } | ^ { 2 } } { W _ { \hat { \mathbf { n } } } ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\sum _ { i = 1 , 2 } | U _ { e i } | ^ { 2 } \leq a _ { e } ^ { 0 } \ \mathrm { a n d } \, s u m _ { i = 1 , 2 } | U _ { { \mu } i } | ^ { 2 } \geq 1 - a _ { \mu } ^ { 0 } \, ,
I = \int _ { \cal { M } } d ^ { d } \! x \sqrt { \tilde { g } } e ^ { \Phi } \left( \tilde { R } ( \tilde { g } ) + \left( \nabla \Phi \right) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 1 2 } } H _ { \mu \nu \rho } H ^ { \mu \nu \rho } + \Lambda \right) \ ,
A _ { 0 } = \mathrm { ~ M ~ a ~ x ~ B ~ a ~ s ~ e ~ l ~ i ~ n ~ e ~ } \qquad \Delta t _ { 0 } = \mathrm { ~ I ~ n ~ d ~ e ~ x ~ o ~ f ~ t ~ h ~ e ~ m ~ a ~ x ~ i ~ m ~ u ~ m ~ v ~ a ~ l ~ u ~ e ~ } \qquad D _ { 0 } = \mathrm { ~ B ~ a ~ s ~ e ~ l ~ i ~ n ~ e ~ }
\begin{array} { r l } { 1 - u _ { g } ( r , \sqrt { 2 } r + x ) = } & { \mathbb { E } \left[ \prod _ { u \in N ( r ) } e ^ { - \sum _ { v \in N _ { u } ( t ) } f ( - x - \sqrt { 2 } ( t + r ) + X _ { v } ( t + r ) ) } \right] } \\ & { \mathbb { E } \left[ \prod _ { u \in N ( r ) } \mathbb { E } [ e ^ { - \sum _ { v \in N _ { u } ( t ) } f ( - x - \sqrt { 2 } ( t + r ) + X _ { v } ( t + r ) ) } \vert \mathcal { F } _ { r } ] \right] } \\ { = } & { \mathbb { E } \left[ \prod _ { u \in N ( r ) } \underbrace { \mathbb { E } [ e ^ { - \sum _ { v \in N ( t ) } f ( y - \sqrt { 2 } t + X _ { v } ( t ) ) } ] \vert _ { y = - x - \sqrt { 2 } r + X _ { u } ( r ) } } _ { = e ^ { - g ( - x - \sqrt { 2 } r + X _ { u } ( r ) ) } } \right] } \end{array}
\overline { { v _ { a } ^ { 2 } } } = \alpha ^ { 2 } \sum _ { m , n = 1 } ^ { 5 } \dot { a } _ { m } \dot { a } _ { n } \frac { 1 } { 4 \pi } \underbrace { \int Y _ { m } ( \theta , \phi ) Y _ { n } ( \theta , \phi ) \sin \theta d \theta } _ { \delta _ { m n } } = \frac { \alpha ^ { 2 } } { 4 \pi } \sum _ { m = - 2 } ^ { 2 } \dot { a } _ { m } ^ { 2 } .
R _ { \mu \nu \sigma } ^ { \lambda } = - \partial _ { \sigma } \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \lambda } + \partial _ { \nu } \Gamma _ { \mu \sigma } ^ { \lambda } + \Gamma _ { \rho \nu } ^ { \lambda } \Gamma _ { \mu \sigma } ^ { \rho } - \Gamma _ { \rho \sigma } ^ { \lambda } \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \rho }
a _ { n } = \frac { \sqrt { w _ { + \rho } ( n ) w _ { - \rho } ( n + 1 ) } - \sqrt { \bar { w } _ { + \rho } ( n ) \bar { w } _ { - \rho } ( n + 1 ) } } { \sqrt { w _ { + \rho } ( n ) \bar { w } _ { - \rho } ( n + 1 ) } + \sqrt { \bar { w } _ { + \rho } ( n ) w _ { - \rho } ( n + 1 ) } } .
\varepsilon ^ { a d } ( P _ { \pm } ) _ { A c } ^ { B b } + \varepsilon ^ { b d } ( P _ { \pm } ) _ { A c } ^ { B a } - ( \sigma ^ { \alpha } ) ^ { a b } ( \sigma _ { \alpha } ) _ { ~ c } ^ { e } ( P _ { \mp } ) _ { A e } ^ { B d } = - ( \sigma ^ { \alpha } ) ^ { a b } \bigr ( ( \sigma _ { \alpha } ) _ { ~ c } ^ { d } \delta _ { A } ^ { B } + \delta _ { c } ^ { d } ( \sigma _ { \alpha } ) _ { ~ A } ^ { B } \bigr )
\begin{array} { r l } { \dot { v } _ { 1 } } & { { } = - c v _ { 1 } \big ( r ( t ) - v _ { 2 } \big ) , } \\ { \dot { v } _ { 2 } } & { { } = b v _ { 2 } + d ( t ) + v _ { 1 } \big ( l r ( t ) - v _ { 2 } \big ) , } \\ { y } & { { } = v _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { q _ { \overline { { x } } } : = \partial _ { \overline { { x } } } \varphi ( \overline { { x } } , \overline { { y } } ) = L _ { 1 } h ^ { \prime } ( | \overline { { x } } - \overline { { y } } | ) \frac { \overline { { x } } - \overline { { y } } } { | \overline { { x } } - \overline { { y } } | } + 2 L _ { 2 } ( \overline { { x } } - x _ { 0 } ) , } \\ & { q _ { \overline { { y } } } : = - \partial _ { \overline { { y } } } \varphi ( \overline { { x } } , \overline { { y } } ) = L _ { 1 } h ^ { \prime } ( | \overline { { x } } - \overline { { y } } | ) \frac { \overline { { x } } - \overline { { y } } } { | \overline { { x } } - \overline { { y } } | } - 2 L _ { 2 } ( \overline { { y } } - x _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } } & { \left[ \left| X ^ { H ( \cdot ) } ( t _ { 0 } + \varepsilon t ) - X ^ { H ( \cdot ) } ( t _ { 0 } + \varepsilon s ) \right| ^ { p } \right] } \\ & { \leq \left( ( \varepsilon | t - s | ) ^ { \operatorname* { m i n } \{ H ( t _ { 0 } + \varepsilon t ) , H ( t _ { 0 } + \varepsilon s ) \} } + | H ( t _ { 0 } + \varepsilon t ) - H ( t _ { 0 } + \varepsilon s ) | \right) ^ { p } . } \end{array}
\rho _ { \gamma } ( R , Z , \epsilon ) \, = \, \left\{ \begin{array} { l l } { \, \rho } & { \mathrm { i f } \quad \rho \le \epsilon ^ { - \sigma _ { 1 } } \, , } \\ { \, \epsilon ^ { - \sigma _ { 1 } } } & { \mathrm { i f } \quad \epsilon ^ { - \sigma _ { 1 } } < \rho < \epsilon ^ { - \sigma _ { 2 } } \, , } \\ { \, \rho ^ { \gamma } } & { \mathrm { i f } \quad \rho \ge \epsilon ^ { - \sigma _ { 2 } } \, , } \end{array} \right.
\hat { G } ^ { \hat { \alpha } _ { 1 } \ldots \hat { \alpha } _ { 4 } } = \left( f ^ { - 1 } \right) ^ { \hat { \alpha } _ { 1 } \ldots \hat { \alpha } _ { 4 } } { } _ { \hat { \beta } _ { 1 } \ldots \hat { \beta } _ { 4 } } \left( \hat { B } ^ { \hat { \beta } _ { 1 } \ldots \hat { \beta } _ { 4 } } - { } ^ { \star } \hat { B } ^ { \hat { \beta } _ { 1 } \ldots \hat { \beta } _ { 7 } } \hat { A } _ { \hat { \beta } _ { 5 } \hat { \beta } _ { 6 } \hat { \beta } _ { 7 } } \right) \, ,
\begin{array} { r } { f ( \Delta t , \Delta k ) \, \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ( t , x ) = e ^ { - \mathrm { i } \Delta k x } \, \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ( t - \Delta t , x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E ( t ) } & { { } = } & { E _ { 0 } e ^ { - t ^ { 2 } / \tau _ { p } ^ { 2 } } - E _ { 0 } e ^ { - ( t - \Delta ) ^ { 2 } / \tau _ { p } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \mathcal { D } } _ { t r } } & { : = \{ ( x _ { i } , \mathrm { S o f t m a x } ( f _ { T } ( x _ { i } ) ) ) : ( x _ { i } , y _ { i } ) \in \mathcal { D } _ { t r } \} , } \\ { \bar { \mathcal { D } } _ { t s } } & { : = \{ ( x _ { i } , \mathrm { S o f t m a x } ( f _ { T } ( x _ { i } ) ) ) : ( x _ { i } , y _ { i } ) \in \mathcal { D } _ { t s } \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \left| N _ { k } ^ { ( i ) } \right| ^ { 2 } \right] = \sum _ { j = 1 } ^ { d } \left( \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } + \sum _ { j = 1 } ^ { d } \sum _ { l = 1 } ^ { d } \left( \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { l } } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { 1 } { \sin { \phi } ^ { 2 } } = \omega _ { 1 } ( \partial _ { \phi } , \partial _ { \theta } ) = d \alpha ( \partial _ { \phi } , \partial _ { \theta } ) = \mathcal { L } _ { \partial _ { \phi } } \left( \alpha ( \partial _ { \theta } ) \right) - \mathcal { L } _ { \partial _ { \theta } } \left( \alpha ( \partial _ { \phi } ) \right) - \alpha \left( [ \partial _ { \phi } , \partial _ { \theta } ] \right) = \frac { \partial \xi } { \partial \phi } - \frac { \partial \gamma } { \partial \theta } ,
\begin{array} { r } { \boldsymbol { K } _ { p , i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left[ \boldsymbol { I } _ { 3 \times 3 } \; \; - ( \boldsymbol { r } _ { i } - \boldsymbol { q } _ { p } ) ^ { \times } \right] } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left( \frac { 1 } { 2 } \vert \tilde { T } ( x , y , \hat { \theta } ) \vert ^ { 2 } \right) \leq } & { - \omega \vert T ( x , \hat { \theta } ) \vert ^ { 2 } + \epsilon \left( \vert \theta \vert ^ { 2 } - r \right) ^ { + } - M ( x , y , \hat { \theta } ) \left( y - k ( x , \hat { \theta } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { + \vert y - k ( x , \hat { \theta } ) \vert \vert T ( x , \hat { \theta } ) \vert \sum _ { j = 1 } ^ { p } \rho ( x , y , \hat { \theta } ) \vert \bar { P } _ { j } ( \theta ) \vert + \epsilon \sum _ { j = 1 } ^ { p } \left( \theta _ { j } - \bar { P } _ { j } ( \theta ) \right) ^ { 2 } } \\ & { + \left( y - k ( x , \hat { \theta } ) \right) ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { p } \left( \vert \bar { P } _ { j } ( \theta ) \vert + \vert \hat { \theta } _ { j } \vert \right) \rho ( x , y , \hat { \theta } ) } \\ & { + \frac { 1 } { 4 \epsilon } \left( y - k ( x , \hat { \theta } ) \right) ^ { 2 } \left( \varphi _ { n + 1 , j } ( x , y ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \partial k } { \partial x _ { i } } ( x , \hat { \theta } ) \varphi _ { i , j } ( x ) \right) ^ { 2 } } \\ & { + \vert y - k ( x , \hat { \theta } ) \vert \vert T ( x , \hat { \theta } ) \vert \sum _ { j = 1 } ^ { p } \rho ( x , y , \hat { \theta } ) \vert \hat { \theta } _ { j } \vert } \end{array}
\mathcal L ^ { \mathrm { s e c } } : \boldsymbol { \mathfrak X } \times \boldsymbol { C } ^ { \infty } \to \boldsymbol { C } ^ { \infty } , \quad \left( \boldsymbol W , \boldsymbol f \right) \mapsto \mathcal L _ { \boldsymbol W } ^ { \mathrm { s e c } } \boldsymbol f : = \big [ \operatorname { p r } \mathcal L _ { \overline { W } } \overline { \omega } \big ] ,
\begin{array} { r l } { t } & { { } = \gamma ( t ^ { \prime } + v x ^ { \prime } / c ^ { 2 } ) } \\ { x } & { { } = \gamma ( x ^ { \prime } + v t ^ { \prime } ) } \\ { y } & { { } = y ^ { \prime } } \\ { z } & { { } = z ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int ( \phi _ { t } ( y ) + \lambda _ { 1 } \| y \| ^ { 2 + \delta } ) ( q _ { t } - q ) ( y ) d y + \lambda _ { 2 } { \cal E } ( q _ { t } ) - \lambda _ { 2 } { \cal E } ( q ) } \\ { = } & { \int ( \phi _ { t } ( y ) + \lambda _ { 1 } \| y \| ^ { 2 + \delta } ) [ q _ { t } ^ { * } - q - ( q _ { t } ^ { * } - q _ { t } ) ] ( y ) d y + \lambda _ { 2 } ( { \cal E } ( q _ { t } ^ { * } ) - { \cal E } ( q ) ) - \lambda _ { 2 } ( { \cal E } ( q _ { t } ^ { * } ) - { \cal E } ( q _ { t } ) ) } \\ { = } & { \tau _ { t } [ \mathrm { K L } ( q \| q _ { t - 1 } ^ { * } ) - \mathrm { K L } ( q _ { t } ^ { * } \| q _ { t - 1 } ^ { * } ) - ( \mathrm { K L } ( q _ { t } \| q _ { t - 1 } ^ { * } ) - \mathrm { K L } ( q _ { t } ^ { * } \| q _ { t - 1 } ^ { * } ) ) ] - ( \tau _ { t } + \lambda _ { 2 } ) [ \mathrm { K L } ( q \| q _ { t } ^ { * } ) - \mathrm { K L } ( q _ { t } \| q _ { t } ^ { * } ) ] } \\ { = } & { \tau _ { t } [ \mathrm { K L } ( q \| q _ { t - 1 } ) - \mathrm { K L } ( q _ { t } \| q _ { t - 1 } ) ] - ( \tau _ { t } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { t } ) + ( \tau _ { t } + \lambda _ { 2 } ) ( \mathrm { K L } ( q _ { t } \| q _ { t } ^ { * } ) - \mathbb { E } _ { q } [ \log ( q _ { t } / q _ { t } ^ { * } ) ] ) } \\ & { + \tau _ { t } \{ \mathbb { E } _ { q } [ \log ( q _ { t - 1 } / q _ { t - 1 } ^ { * } ) ] - \mathbb { E } _ { q _ { t } } [ \log ( q _ { t - 1 } / q _ { t - 1 } ^ { * } ) ] \} } \\ { \leq } & { \tau _ { t } [ \mathrm { K L } ( q \| q _ { t - 1 } ) - \mathrm { K L } ( q _ { t } \| q _ { t - 1 } ) ] - ( \tau _ { t } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { t } ) + ( \tau _ { t } + \lambda _ { 2 } ) ( \delta _ { t , 1 } ( q ) + \delta _ { t , 2 } ( q ) ) + 2 \tau _ { t } \delta _ { t - 1 , 2 } ( q ) , } \end{array}
\varepsilon = \{ \varepsilon ^ { i j } \} = \left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \varepsilon ^ { 1 2 } } } & { { \varepsilon ^ { 1 3 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \varepsilon ^ { 1 2 } } } & { { 0 } } & { { \varepsilon ^ { 2 3 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \varepsilon ^ { 1 3 } } } & { { - \varepsilon ^ { 2 3 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\left( Y _ { 1 } ( s ) , Y _ { 2 } ( s ) \right) = ( 9 0 0 , 1 0 0 ) , \quad s \in [ - \tau _ { m a x } , 0 ] , \quad \tau _ { m a x } = \operatorname* { m a x } \{ \tau _ { 4 } , \tau _ { 5 } \} .
\begin{array} { r l } { \left[ \left( \frac { \partial } { \partial t } \right) \nabla ^ { 2 } - U ^ { \prime \prime } \frac { \partial } { \partial x } - \frac { 1 } { R e } \nabla ^ { 4 } \right] v } & { = 0 , } \\ { \left[ \frac { \partial } { \partial t } + U \frac { \partial } { \partial x } - \frac { 1 } { R e } \nabla ^ { 2 } \right] \eta } & { = - U ^ { \prime } \frac { \partial v } { \partial z } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ( D ) } & { { } = ( 3 ^ { 2 } + 3 + 1 ) \cdot ( 7 ^ { 2 } + 7 + 1 ) \cdot ( 1 1 ^ { 2 } + 1 1 + 1 ) \cdot ( 1 3 ^ { 2 } + 1 3 + 1 ) \cdot ( 2 2 0 2 1 + 1 ) = ( 1 3 ) \cdot ( 3 \cdot 1 9 ) \cdot ( 7 \cdot 1 9 ) \cdot ( 3 \cdot 6 1 ) \cdot ( 2 2 \cdot 1 0 0 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { | \theta _ { l } , \phi _ { l } \rangle = \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi _ { l } } { 2 } } \cos \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \phi _ { l } } { 2 } } \sin \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } \\ { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { { \boldsymbol \rho } , R } = \tau _ { \boldsymbol \rho } ( \sigma _ { R } ( f ) ) } & { { } = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { l } \gamma _ { l , m } ( { \boldsymbol \rho } , R ) Z _ { l } ^ { m } } \\ { \Leftrightarrow ~ \tau _ { \boldsymbol \rho } ( f ) = \tau _ { \boldsymbol \rho } ( \sigma _ { R } ( \sigma _ { R } ^ { - 1 } ( f ) ) ) } & { { } = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { l } \gamma _ { l , m } ( { \boldsymbol \rho } , R ) \, \sigma _ { R } ^ { - 1 } ( Z _ { l } ^ { m } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } - \mathcal { X } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } \rVert _ { \infty } } & { = \lVert \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } - \mathcal { J } _ { h } [ ( \mathcal { X } _ { [ t _ { n - 1 } , \tau _ { k } ] } - \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n - 1 } , \tau _ { k } ] } ) \circ \Phi _ { \Delta t } ( t _ { n } ) ] - \mathcal { J } _ { h } [ \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n - 1 } , \tau _ { k } ] } \circ \Phi _ { \Delta t } ( t _ { n } ) ] \rVert _ { \infty } } \\ & { \leq \lVert \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } - \mathcal { J } _ { h } [ \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n - 1 } , \tau _ { k } ] } \circ \Phi _ { \Delta t } ( t _ { n } ) ] \rVert _ { \infty } + \lVert \mathcal { J } _ { h } \rVert \lVert \mathcal { X } _ { [ t _ { n - 1 } , \tau _ { k } ] } - \varphi _ { [ t _ { n - 1 } , \tau _ { k } ] } \rVert _ { \infty } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( X M ^ { \mathrm { T } } X \right) M } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { m _ { 1 1 } m _ { 2 2 } + m _ { 1 2 } m _ { 2 1 } } & { 2 m _ { 1 2 } m _ { 2 2 } } \\ { 2 m _ { 1 1 } m _ { 2 1 } } & { m _ { 1 1 } m _ { 2 2 } + m _ { 1 2 } m _ { 2 1 } } \end{array} \right) } \\ { M \left( X M ^ { \mathrm { T } } X \right) } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { m _ { 1 1 } m _ { 2 2 } + m _ { 1 2 } m _ { 2 1 } } & { 2 m _ { 1 1 } m _ { 1 2 } } \\ { 2 m _ { 2 1 } m _ { 2 2 } } & { m _ { 1 1 } m _ { 2 2 } + m _ { 1 2 } m _ { 2 1 } } \end{array} \right) } \end{array}
\left( a _ { 1 } \, { } _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \alpha + \beta + \nu } + a _ { 2 } \, { } _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \nu } + a _ { 3 } \, { } _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \alpha + \beta - \nu } \right) \sigma \left( t \right) = \left( b _ { 1 } \, { } _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \alpha } + b _ { 2 } \, { } _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \beta } \right) \varepsilon \left( t \right) ,
{ \cal L } _ { 2 } = - \, \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \frac { | \lambda _ { 1 2 k } | ^ { 2 } } { 2 m _ { \tilde { \ell } _ { k R } } ^ { 2 } } \; \left( \overline { { { e _ { L } } } } \gamma ^ { \mu } \nu _ { e L } \right) \; \left( \overline { { { \nu _ { \mu L } } } } \gamma _ { \mu } \mu _ { L } \right) \; .
d s _ { 1 0 } ^ { 2 } = g _ { \mu \nu } ^ { 5 } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } + l ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } [ d \mu _ { i } ^ { 2 } + \mu _ { i } ^ { 2 } ( d \varphi _ { i } + \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } A _ { \mu } d x ^ { \mu } ) ^ { 2 } ] ,
c _ { 1 } = { \frac { h _ { 1 } - h _ { 2 } ( \mathbf { n } _ { 1 } \cdot \mathbf { n } _ { 2 } ) } { 1 - ( \mathbf { n } _ { 1 } \cdot \mathbf { n } _ { 2 } ) ^ { 2 } } }
\tan { \frac { \beta } { 2 } } \tan { \frac { \gamma } { 2 } } + \tan { \frac { \gamma } { 2 } } \tan { \frac { \alpha } { 2 } } + \tan { \frac { \alpha } { 2 } } \tan { \frac { \beta } { 2 } } = 1
\begin{array} { r l } { \dot { n } _ { r } } & { = i \frac { \Omega } { 2 } ( { \sigma } _ { g r } - { \sigma } _ { r g } ) - \gamma { n } _ { r } , } \\ { \dot { n } _ { s } } & { = i \frac { \Omega } { 2 } ( { \sigma } _ { g s } - { \sigma } _ { s g } ) - \gamma { n } _ { s } , } \\ { \dot { \sigma } _ { g r } } & { = i \frac { \Omega } { 2 } ( 2 { n } _ { r } + { n } _ { s } + { \sigma } _ { s r } - 1 ) + i \left( \Delta _ { r } - E _ { \mathrm { N L } } + i \frac { \gamma } { 2 } \right) { \sigma } _ { g r } , } \\ { \dot { \sigma } _ { g s } } & { = i \frac { \Omega } { 2 } ( 2 { n } _ { s } + { n } _ { r } + { \sigma } _ { r s } - 1 ) + i \left( \Delta _ { s } - E _ { \mathrm { N L } } + i \frac { \gamma } { 2 } \right) { \sigma } _ { g s } , } \\ { \dot { \sigma } _ { r s } } & { = i \frac { \Omega } { 2 } ( { \sigma } _ { g s } - { \sigma } _ { r g } ) - i ( \Delta _ { r } - \Delta _ { s } - i { \gamma } ) { \sigma } _ { r s } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ^ { ( n ) } } & { = \int d ^ { D } k \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } ) ^ { 2 n } ( k ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) } \frac { 1 } { [ ( p - k ) ^ { 2 } ] ^ { 2 n } ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) } } \\ & { = \int d ^ { D } k \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) } \\ & { \quad \times \frac { x ^ { 2 n - 1 } y ^ { 2 n - 1 } r ^ { 0 } s ^ { 0 } } { [ x k ^ { 2 } + y ( p - k ) ^ { 2 } + r ( k ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) + s ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) ] ^ { 4 n + 2 } } \frac { \Gamma ( 4 n + 2 ) } { \Gamma ( 2 n ) \Gamma ( 2 n ) \Gamma ( 1 ) \Gamma ( 1 ) } } \\ & { = \int d ^ { D } k \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \delta ( x + y + r + s - 1 ) d x d y d r d s } \\ & { \quad \times \frac { x ^ { 2 n - 1 } y ^ { 2 n - 1 } } { [ ( k - ( y + s ) p ) ^ { 2 } - ( r + s ) m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ] ^ { 4 n + 2 } } \frac { \Gamma ( 4 n + 2 ) } { \Gamma ^ { 2 } ( 2 n ) } } \end{array} \, .
e q 1 0 V ^ { v a c } ( r ) = \lambda \frac { e ^ { 2 } } { r } \int _ { 4 m _ { e } ^ { 2 } } ^ { \infty } d t \frac { e ^ { - r \sqrt { t } } } { 2 t } ( 1 + \frac { 2 m _ { e } ^ { 2 } } { t } ) \sqrt { 1 - \frac { 4 m _ { e } ^ { 2 } } { t } } \equiv \lambda \frac { e ^ { 2 } } { r } I ( r ) \quad ,
\begin{array} { r l } { { \delta } _ { u ^ { i } } P = } & { { \delta } _ { u ^ { i } } P _ { L } + ( - \partial _ { x } ) ^ { \sigma } \left( \zeta { \partial } _ { u ^ { i , \sigma } } P _ { N } \right) , } \\ { { \delta } _ { \theta _ { i } } P = } & { { \delta } _ { \theta _ { i } } P _ { L } - ( - \partial _ { x } ) ^ { \sigma } \left( \zeta { \partial } _ { \theta _ { i } ^ { \sigma } } P _ { N } \right) . } \end{array}