harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { 0 = \int _ { \mathbb R ^ { N } } \biggl \{ \biggl [ \frac 1 p g ( u ) ^ { p } | D u | ^ { p } - \frac \lambda k V | u | ^ { k } - \frac { \beta } { \alpha p ^ { * } } K | u | ^ { \alpha p ^ { * } } \biggr ] \, \mathrm { d i v } h } \\ & { + h _ { i } \biggl ( - \frac { \lambda } { k } \frac { \partial V } { \partial x _ { i } } | u | ^ { k } - \frac { \beta } { \alpha p ^ { * } } \frac { \partial K } { \partial x _ { i } } | u | ^ { \alpha p ^ { * } } \biggr ) - g ( u ) ^ { p } | D u | ^ { p - 2 } \frac { \partial u } { \partial x _ { i } } \frac { \partial u } { \partial x _ { j } } \frac { \partial h _ { j } } { \partial x _ { i } } } \\ & { - g ( u ) ^ { p } | D u | ^ { p - 2 } u \frac { \partial u } { \partial x _ { i } } \frac { \partial a } { \partial x _ { i } } - a g ( u ) ^ { p - 1 } | D u | ^ { p } \bigl [ g ( u ) + u g ^ { \prime } ( u ) \bigr ] + a \bigl [ \lambda V | u | ^ { k } + \beta K | u | ^ { \alpha p ^ { * } } \bigr ] \biggr \} d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { P } ( X = x | \varphi ) = \alpha \cdot \hat { P } _ { S } ( X = x | \varphi ) + ( 1 - \alpha ) \cdot \hat { P } _ { T } ( X = x | \varphi ^ { \prime } ) } \\ & { \hat { P } ( X \leq x | \varphi ) = \alpha \cdot \hat { P } _ { S } ( X \leq x | \varphi ) + ( 1 - \alpha ) \cdot \hat { P } _ { T } ( X \leq x | \varphi ^ { \prime } ) } \end{array}
\mathbf { R } \mathbf { u } = \frac { 1 } { N _ { T } } \mathbf { u } \mathbf { u } ^ { * } \mathbf { u } = \mathbf { u } ( \frac { 1 } { N _ { T } } \mathbf { u } ^ { * } \mathbf { u } ) = \mathbf { u } \mathbf { C }
\begin{array} { r l } { \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { M } } } ^ { \top } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { ( k ) } } & { = \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { ( k ) } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { ( k ) } + \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { ( k ) } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } ^ { \top } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { ( k ) } } \\ & { = \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { ( k ) } ) \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { ( k ) } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { 1 } } } - \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { ( k ) } ) \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { ( k ) } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { 1 } } } = \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } . } \end{array}
\eta ( t , x ) = A \, \cos ( k x - \omega t ) \, , \qquad \Phi ( t , x , y ) = A \, \frac { \omega } { k } \, \frac { \cosh k ( y + h _ { 0 } ) } { \sinh k h _ { 0 } } \, \sin ( k x - \omega t ) \, ,
\dot { W _ { r } } ( x , p , t ) = - \{ H _ { \mathrm { s y s t } } - { \frac { 1 } { 2 } } M { \tilde { \Omega } } ^ { 2 } ( t ) , W _ { r } \} _ { \mathrm { P B } } + 2 \gamma ( t ) \partial _ { p } ( p W _ { r } ) + D ( t ) \partial _ { p p } ^ { 2 } W _ { r } - f ( t ) \partial _ { p x } ^ { 2 } W _ { r } ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { \alpha ^ { \prime } } } & { { } = \mathcal { M } ^ { \prime } [ | \alpha \rangle \! \langle \alpha | ] \equiv \mathcal { G } _ { 2 } \circ \mathcal { M } \circ \mathcal { G } _ { 1 } [ | \alpha \rangle \! \langle \alpha | ] \; , } \\ { \rho _ { \beta } } & { { } = | \beta \rangle \! \langle \beta | \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { a } } ( f ) } & { { } \triangleq { \left\{ \begin{array} { l l } { 2 S ( f ) , } & { { \mathrm { f o r } } \ f > 0 , } \\ { S ( f ) , } & { { \mathrm { f o r } } \ f = 0 , } \\ { 0 , } & { { \mathrm { f o r } } \ f < 0 } \end{array} \right. } } \end{array}
F _ { \mathbf { X , Y } } ( \mathbf { x , y } ) = F _ { \mathbf { X } } ( \mathbf { x } ) \cdot F _ { \mathbf { Y } } ( \mathbf { y } ) \quad { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } \mathbf { x } , \mathbf { y }
\{ F , H \} = - i \sum _ { m , n } g ^ { m n } \left( \frac { \partial F } { \partial \xi _ { m } ^ { * } } \frac { \partial H } { \partial \xi _ { n } } - \frac { \partial F } { \partial \xi _ { n } } \frac { \partial H } { \partial \xi _ { m } ^ { * } } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \bigg [ \sum _ { 1 \leq \ell < \ell ^ { \prime } \leq n } \sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \big ( e ^ { - t \lambda _ { k } } - 1 \big ) ^ { 2 } \big ( \phi _ { k } ( X _ { \ell } ) - \mathbb { E } [ \phi _ { k } ( X _ { \ell } ) ] \big ) \big ( \phi _ { k } ( X _ { \ell ^ { \prime } } ) - \mathbb { E } [ \phi _ { k } ( X _ { \ell } ^ { \prime } ) ] \big ) \bigg ] } \\ & { \leq \sum _ { 1 \leq \ell < \ell ^ { \prime } \leq n } \beta _ { \ell \ell ^ { \prime } } \operatorname* { s u p } _ { x , y \in \mathcal { M } } \bigg \vert \sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \big ( e ^ { - t \lambda _ { k } } - 1 \big ) ^ { 2 } \phi _ { k } ( x ) \phi _ { k } ( y ) \bigg \vert } \\ & { \stackrel { \lesssim } n \operatorname* { s u p } _ { x , y \in \mathcal { M } } \bigg \vert \sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \big ( e ^ { - t \lambda _ { k } } - 1 \big ) ^ { 2 } \phi _ { k } ( x ) \phi _ { k } ( y ) \bigg \vert . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle A , p | \hat { H } | B , q \rangle = } \\ & { } & { = \delta _ { A B } ( S _ { p q } E _ { A } + \tilde { h } _ { p q } ) \, + \, E _ { \mathrm { c o r e } } \, W _ { p q } ^ { B A } \, + } \\ & { } & { + { \sum _ { r } } ^ { \prime } \Big ( W _ { p r } ^ { B A } \tilde { h } _ { r q } + \tilde { h } _ { p r } W _ { r q } ^ { B A } \Big ) + { \sum _ { r s } } ^ { \prime } \tilde { h } _ { r s } P _ { p s , q r } ^ { B A } } \\ & { } & { + { \sum _ { r s } } ^ { \prime } \Big ( [ p q | r s ] Q _ { s r } ^ { B A } + [ p s | r q ] W _ { s r } ^ { B A } \Big ) + } \\ & { } & { + { \sum _ { r s t } } ^ { \prime } \Big ( [ p t | r s ] P _ { t s , q r } ^ { B A } + [ q t | r s ] P _ { p s , t r } ^ { B A } \Big ) + } \\ & { } & { + { \sum _ { t u r s } } ^ { \prime } [ t u | r s ] C _ { p s u , t r q } ^ { B A } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { A ( z ; h _ { 0 } , h _ { m } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { h _ { 0 } \, L ( z ) \quad } & { \left| Z \right| \leq Z _ { b t } , } \\ { h _ { 0 } \, L ( z ) ^ { 5 } \quad } & { Z _ { b t } < \left| Z \right| \leq Z _ { m } , } \\ { h _ { m } \sqrt { B ( z ) / B _ { m } } \quad } & { Z _ { m } < \left| Z \right| , } \end{array} \right. } \\ & { L ( z ) = 1 - \left[ \left( R ( z ) - R _ { b t } \right) / a _ { \mathrm { l i m } } \right] ^ { 2 } . } \end{array}
D _ { 5 } ( n ^ { 1 } P _ { 1 } ) ( y ) = 4 N _ { 1 } \frac { ( y - 1 ) ^ { 2 } y } { y ^ { 8 } } ( 3 y ^ { 3 } - 2 y ^ { 2 } + 6 y + 3 2 ) C _ { 1 } ,
p _ { \varphi } ^ { A } = \frac { 6 \, \sqrt 2 \, p _ { y } ^ { M } } { 8 + p _ { y } ^ { M } } \quad , \quad p _ { i } ^ { A } = \frac { 8 \, p _ { i } ^ { M } + p _ { y } ^ { M } } { 8 + p _ { y } ^ { M } } \, .
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { 1 } + \varepsilon _ { 2 } + \varepsilon _ { 3 } } & { { } = { \frac { 1 } { E } } { \big ( } ( 1 + \nu ) ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 } ) - 3 \nu ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 } ) { \big ) } = { \frac { 1 - 2 \nu } { E } } ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 } ) } \\ { \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 } } & { { } = { \frac { E } { 1 - 2 \nu } } ( \varepsilon _ { 1 } + \varepsilon _ { 2 } + \varepsilon _ { 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { B = \left( \begin{array} { c c c c c c } { 0 } & { n _ { 2 } } & { n _ { 3 } } & { n _ { 4 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { n _ { 3 } } & { 0 } & { n _ { 5 } } & { 0 } \\ { 1 } & { n _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { n _ { 5 } } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { n _ { 6 } } \\ { 0 } & { n _ { 2 } } & { n _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { n _ { 4 } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
A _ { A _ { 1 } . . . A _ { p } } = \nabla _ { [ A _ { 1 } } u _ { A _ { 2 } . . . A _ { p } ] } + \epsilon _ { A _ { 1 } . . . A _ { p } B _ { 1 } . . . B _ { p } } \nabla ^ { B _ { 1 } } v ^ { B _ { 2 } . . . B _ { p } } \ ,
\begin{array} { r } { a _ { h } ^ { S V } ( \eta , v ^ { * } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { l = 0 } ^ { k } \frac { \sigma _ { i } ^ { l } } { h _ { i } } \left( \widetilde { u } _ { I } - P _ { h } ^ { l - 1 } \widetilde { u } _ { I } , v ^ { * } \right) _ { i } \lesssim h ^ { k + 2 } \left\lVert v ^ { * } \right\rVert _ { 0 } , \ \ \forall v \in \mathcal U _ { h } . } \end{array}
( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) = \sum _ { k \geqslant 0 } c _ { k } ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \operatorname { T r } \left( \pi _ { \nu , k } ( f _ { 1 } ) \pi _ { \nu , k } ( f _ { 2 } ) ^ { * } \right) \left( \nu ^ { 2 } + k ^ { 2 } \right) \, d \nu .
V ( \Phi ) = \mathrm { T r } \left| M \Phi + \lambda ( \Phi ^ { 2 } - \frac { 1 } { 6 } \mathrm { T r } \Phi ^ { 2 } ) \right| ^ { 2 } + \left( A _ { \Phi } \lambda \frac { 1 } { 3 } \mathrm { T r } \Phi ^ { 3 } + B _ { \Phi } M \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } \Phi ^ { 2 } + h . c . \right) + m _ { 0 } ^ { 2 } \mathrm { T r } | \Phi | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ^ { \mathrm { ~ r ~ i ~ n ~ g ~ } } } & { { } = \left( \gamma _ { \mathrm { ~ N ~ L ~ } } P _ { P } \right) ^ { 2 } \frac { 3 2 v _ { g } ^ { 4 } } { \omega ^ { 3 } } \frac { Q ^ { 3 } } { L ^ { 2 } } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathfrak { m } _ { 1 } | _ { 1 , 0 , 2 } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 2 } , \quad | d _ { i } \mathfrak { m } _ { 1 } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { 1 , 0 , 2 } \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } . } \end{array}
W = \frac { 1 } { \omega } \Omega = \frac { 3 6 0 } { 2 \pi } \frac { 2 \pi } { T } = 3 6 0 \frac { 1 } { \frac { 1 } { N - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } t _ { i + 1 } - t _ { i } } = 3 6 0 \frac { N - 1 } { t _ { N } - t _ { 1 } } \, .
V _ { \mathrm { e f f } } ( \sigma ) = - N \sigma [ { \frac { 1 } { g _ { 0 } ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 8 \pi } } \mathrm { e } ^ { \gamma \rho } ( \ln { \frac { \sigma } { \Lambda ^ { 2 } } } - 1 ) ] ,
\begin{array} { r l } { ( v ^ { - \alpha } v ^ { \beta } + v ^ { \beta } v ^ { - \alpha } ) ( ( v + v ^ { \prime } ) ^ { \gamma } - v ^ { \gamma } - v ^ { \gamma } ) } & { \leq v ^ { \gamma } ( z ^ { \beta } + z ^ { - \alpha } ) v ^ { \gamma } ( ( 1 + z ) ^ { \gamma } - 1 - z ^ { \gamma } ) } \\ & { \leq - ( 1 - \gamma ) v ^ { 2 \gamma } z ^ { \gamma } = - ( 1 - \gamma ) v ^ { \gamma } v ^ { \gamma } , } \end{array}
T _ { 1 } = \frac { \mathrm { D ^ { 2 } } } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } F _ { z ^ { \prime } z ^ { \prime } } - 4 \frac { \mathrm { D } } { \mathrm { d } t } F _ { z z ^ { \prime } } - F _ { z ^ { \prime } } \frac { \mathrm { D } } { \mathrm { d } t } F _ { z ^ { \prime } z ^ { \prime } } + 4 F _ { z ^ { \prime } } F _ { z z ^ { \prime } } - 3 F _ { z } F _ { z ^ { \prime } z ^ { \prime } } + 6 F _ { z z } , \quad C _ { 1 } = F _ { z ^ { \prime } z ^ { \prime } z ^ { \prime } z ^ { \prime } }
F ^ { ( 1 ) } = \pi \alpha ^ { 2 } \int { \frac { d x _ { A } } { x _ { A } } } { \frac { d x _ { B } } { x _ { B } } } d ^ { 2 } s \sigma ( x _ { A } , x _ { B } ) n ( r _ { A } , x _ { A } , y _ { A } , s ) n ( r _ { B } , x _ { B } , y _ { B } , b - s ) \, \, ,
\begin{array} { r } { \zeta _ { k } \equiv \sqrt { ( \eta _ { k } + \eta _ { \bar { k } } ^ { * } ) / 2 } \ \ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \ \ \xi _ { k } \equiv \frac { \eta _ { k } - \eta _ { \bar { k } } ^ { * } } { 2 i \zeta _ { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \parallel \! A ( i t ) \! \parallel _ { L _ { 1 } ^ { \infty } ( { \mathcal R } \subset { \mathcal { B } } , \sigma _ { { \mathrm { t r } } } ) } = } & { \parallel \! \sigma _ { B } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Phi _ { B } ( Y ( t ) \sigma ^ { 1 / 2 } \rho ( i t ) \sigma ^ { 1 / 2 } Y ( - t ) ^ { * } ) \sigma _ { B } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \! \parallel _ { L _ { 1 } ^ { \infty } ( { \mathcal R } \subset { \mathcal { B } } , \sigma _ { { \mathrm { t r } } } ) } } \\ { = } & { \operatorname* { i n f } _ { \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } } \parallel \! \gamma _ { 1 } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \sigma _ { B } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Phi _ { B } ( Y ( t ) \sigma ^ { 1 / 2 } \rho ( i t ) \sigma ^ { 1 / 2 } Y ( - t ) ^ { * } ) \sigma _ { B } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \gamma _ { 2 } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \! \parallel _ { \infty } } \end{array}
a _ { 1 } = 1 . 2 3 1 , a _ { 2 } = 0 . 6 6 2 , a _ { 3 } = - 2 . 9 6 6 , a _ { 4 } = 2 . 8 8 3 , a _ { 5 } = - 0 . 2 3 1 , a _ { 6 } = 0 . 1 2 1
E ^ { \prime } ( \mathcal { A } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { m } a _ { i } b _ { i } \geq \sum _ { i = 1 } ^ { m } a _ { i } ^ { 2 } = \| ( a _ { 1 } , . . . , a _ { m } ) \| ^ { 2 } \| ( 1 / \sqrt { m } , . . . , 1 / \sqrt { m } ) \| ^ { 2 } \geq \frac { ( \sum _ { i = 1 } ^ { m } a _ { i } ) ^ { 2 } } { m } = \frac { | \mathcal { A } | ^ { 4 } | \mathcal { A } / \mathcal { A } | ^ { 2 } } { | \mathcal { A } / \mathcal { A } | | \mathcal { A } \mathcal { A } ^ { - 1 } | ^ { 2 } } = \frac { | \mathcal { A } | ^ { 4 } | \mathcal { A } / \mathcal { A } | } { | \mathcal { A } \mathcal { A } ^ { - 1 } | ^ { 2 } }
\mathcal { B } _ { 1 } ( \tilde { \theta } _ { t , t + 1 } ; \hat { \theta } _ { t } ) = \frac { \sin ( \hat { \theta } _ { t } ) \cos ( \hat { \theta } _ { t + 1 } ) - \cos ( \hat { \theta } _ { t } ) \sin ( \hat { \theta } _ { t + 1 } ) - ( \hat { \theta } _ { t } - \hat { \theta } _ { t + 1 } ) \sin ( \hat { \theta } _ { t } ) \sin ( \hat { \theta } _ { t + 1 } ) } { \sin ( \hat { \theta } _ { t } ) - \sin ( \hat { \theta } _ { t + 1 } ) } .
2 0 \Im _ { \mu 5 } ^ { 0 } \equiv F _ { 0 } \frac { \partial { \cal L } _ { e f f } } { \partial ( \partial ^ { \mu } \eta ^ { 0 } ) } = F _ { 0 } \frac { \partial { \cal L } _ { e f f } } { \partial ( \nabla ^ { \mu } \eta ^ { 0 } ) } = F _ { 0 } \nabla _ { \! \mu } \eta ^ { 0 } + \dots
\begin{array} { r } { P _ { S } ( t ) = \frac { S _ { 0 } ^ { + } - S _ { 0 } ^ { - } + \delta S ^ { + } ( t ) - \delta S ^ { - } ( t ) } { S _ { 0 } ^ { + } + S _ { 0 } ^ { - } + \delta S ^ { + } ( t ) + \delta S ^ { - } ( t ) } , } \end{array}
j _ { \pm \rho } ^ { \mathrm { ~ \, ~ } } \left( Q \right) = k _ { \pm \rho } \, Q ^ { S _ { \pm \rho } ^ { X } } \prod _ { Y _ { \sigma } \in Y } { y } _ { \sigma } ( Q ) ^ { \left( { S ^ { Y } } \right) _ { \pm \rho } ^ { \sigma } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \Psi } { \partial x } \bigg | _ { ( x _ { n } , y _ { n } ) } } & { \approx \frac { \Psi ( x _ { n } + h , y _ { n } ) - \Psi ( x _ { n } - h , y _ { n } ) } { 2 h } , } \\ { \frac { \partial \Psi } { \partial y } \bigg | _ { ( x _ { n } , y _ { n } ) } } & { \approx \frac { \Psi ( x _ { n } , y _ { n } + k ) - \Psi ( x _ { n } , y _ { n } - k ) } { 2 k } . } \end{array}
F _ { 2 } ^ { \rho ^ { 0 } } ( x , Q ^ { 2 } ) = F _ { 2 } ^ { \pi ^ { - } } ( x , Q ^ { 2 } ) = x \big ( { \frac { 4 } { 9 } } f _ { { \bar { u } } / \pi ^ { - } } + { \frac { 1 } { 9 } } f _ { d / \pi ^ { - } } \big ) = { \frac { 5 } { 9 } } x f _ { { \bar { u } } / \pi ^ { - } } .
\begin{array} { r l } { \frac { ( n + 1 ) ^ { 2 } } { ( | { \boldsymbol { \alpha } } | + 1 ) ^ { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { s } \frac { 1 } { ( | { \boldsymbol { \ell } } _ { j } | + 1 ) ^ { 2 | { \boldsymbol { k } } _ { j } | } } } & { \leq \frac { ( n + 1 ) ^ { 2 } } { ( | { \boldsymbol { \alpha } } | + 1 ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { ( | { \boldsymbol { \ell } } _ { s } | + 1 ) ^ { 2 | { \boldsymbol { k } } _ { s } | } } } \\ & { \leq \frac { ( n + 1 ) ^ { 2 } } { ( | { \boldsymbol { \alpha } } | + 1 ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { ( \frac { n } { | { \boldsymbol { \alpha } } | } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { | { \boldsymbol { \alpha } } | ^ { 2 } } { ( | { \boldsymbol { \alpha } } | + 1 ) ^ { 2 } } \frac { ( n + 1 ) ^ { 2 } } { ( n + | { \boldsymbol { \alpha } } | ) ^ { 2 } } \leq 1 \, . } \end{array}
\begin{array} { c } { { J ^ { + } = q ^ { - J ^ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } } \ a _ { 1 } ^ { + } a _ { 2 } } } \\ { { J ^ { - } = q ^ { - J ^ { o } - \frac { 1 } { 2 } } a _ { 2 } ^ { + } a _ { 1 } } } \\ { { 2 J ^ { 0 } = N _ { 1 } - N _ { 2 } } } \\ { { \left[ J ^ { + } , J ^ { - } \right] = [ 2 J ^ { 0 } ] _ { q } = [ N _ { 1 } - N _ { 2 } ] _ { q } } } \\ { { \left[ N , J ^ { \pm } \right] = [ N , J ^ { 0 } ] = 0 . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { \mathrm { t f } } ^ { \theta } ( P ) } & { = 2 i e ^ { i \theta } \hat { \rho } \Bigl ( \hat { \rho } \partial _ { \hat { \rho } } - \frac { n - 1 } { 2 } - S | _ { \partial X } \Bigr ) + \hat { \rho } ^ { 2 } P _ { ( 0 ) } ( 0 , \omega , \hat { \rho } D _ { \hat { \rho } } , D _ { \omega } ) , } \\ { N _ { \mathrm { t f } } ^ { \pm } ( P ) } & { = \pm 2 i \hat { \rho } \Bigl ( \hat { \rho } \partial _ { \hat { \rho } } - \frac { n - 1 } { 2 } - S | _ { \partial X } \Bigr ) + \hat { \rho } ^ { 2 } P _ { ( 0 ) } ( 0 , \omega , \hat { \rho } D _ { \hat { \rho } } , D _ { \omega } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } _ { \Lambda , p } ( A ( t ; x ) , \mathcal { G } ) } & { = \mathcal { W } _ { \Lambda , p } ( d ( t ; x ) + C ( t ) , \mathcal { G } ) } \\ & { \leqslant \mathcal { W } _ { \Lambda , p } ( d ( t ; x ) + C ( t ) , d ( t ; x ) + \mathcal { G } ) + \mathcal { W } _ { \Lambda , p } ( d ( t ; x ) + \mathcal { G } , \mathcal { G } ) } \\ & { = \mathcal { W } _ { \Lambda , p } ( C ( t ) , \mathcal { G } ) + \| \Lambda d ( t ; x ) \| . } \end{array}
\tilde { \phi } ( \mathtt { d } ( a \ast b ) ) = \mathtt { d } ^ { \prime } ( \tilde { \phi } ( a \ast b ) ) = \mathtt { d } ^ { \prime } ( \tilde { \phi } ( a ) \star \tilde { \phi } ( b ) ) = \mathtt { d } ^ { \prime } ( \tilde { \phi } ( a ) ) \star \tilde { \phi } ( b ) = \tilde { \phi } ( \mathtt { d } ( a ) ) \star \tilde { \phi } ( b ) = \tilde { \phi } ( \mathtt { d } ( a ) \ast b )
\hat { U } _ { \mathrm { ~ s ~ s ~ } } ( t _ { 0 } , t _ { 1 } ) = \exp \left( { i \Phi ( t _ { 0 } , t _ { 1 } ) \sum _ { i , j } \hat { \sigma } _ { i } ^ { z } \hat { \sigma } _ { j } ^ { z } } \right)
{ \frac { c d t } { d x } } = { \frac { \hat { c } d \hat { t } } { d \hat { x } } } , \ \ \ \ \ { \frac { \hbar } { d E d t } } = { \frac { \hat { \hbar } } { d \hat { E } d \hat { t } } } , \ \ \ \ \ { \frac { G _ { 4 } d E } { c ^ { 4 } d x } } = { \frac { \hat { G } _ { 4 } d \hat { E } } { \hat { c } ^ { 4 } d \hat { x } } } , \ \ \ \ \ { \frac { e ^ { 2 } } { d E d x } } = { \frac { \hat { e } ^ { 2 } } { d \hat { E } d \hat { x } } } ,
{ \begin{array} { r l } { I ^ { \prime } [ \varepsilon ] } & { = \int _ { t _ { 1 } + \varepsilon T } ^ { t _ { 2 } + \varepsilon T } L [ \mathbf { q } ^ { \prime } [ t ^ { \prime } ] , { \dot { \mathbf { q } } } ^ { \prime } [ t ^ { \prime } ] , t ^ { \prime } ] \, d t ^ { \prime } } \\ & { = \int _ { t _ { 1 } + \varepsilon T } ^ { t _ { 2 } + \varepsilon T } L [ \varphi [ \mathbf { q } [ t ^ { \prime } - \varepsilon T ] , \varepsilon ] , { \frac { \partial \varphi } { \partial \mathbf { q } } } [ \mathbf { q } [ t ^ { \prime } - \varepsilon T ] , \varepsilon ] { \dot { \mathbf { q } } } [ t ^ { \prime } - \varepsilon T ] , t ^ { \prime } ] \, d t ^ { \prime } } \end{array} }
\frac { \Delta M _ { F , A d v e c t i o n } } { M _ { F 0 } } + \frac { \Delta M _ { F , P G F } } { M _ { F 0 } } = \frac { \frac { 1 } { 2 } \rho U _ { F 0 } ^ { 2 } H _ { F } W \left( 1 - \beta ^ { 2 } \right) } { \tau _ { w 0 } L W } = \frac { 1 } { C _ { f 0 } } \frac { H _ { F } } { L } \left( 1 - \beta ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { G ^ { \prime } ( \omega ) } & { { } = \mu _ { 0 } ( 1 + \cos \left( m \pi / 2 \right) ( \omega \tau ) ^ { m } ) , } \\ { G " ( \omega ) } & { { } = \mu _ { 0 } \sin \left( m \pi / 2 \right) ( \omega \tau ) ^ { m } . } \end{array}
\displaystyle \frac { 3 n } { 2 ( n + 1 ) } I ^ { n } + \frac { 2 - n } { 2 ( n + 1 ) } \frac { I _ { \mathrm { e q } } ( \phi ) ^ { n + 1 } } { d \sqrt { \rho _ { s } } } p \sqrt { p }
\begin{array} { r l } { D c ( G _ { 2 } , G _ { 3 } , 4 , 1 ) } & { = \delta _ { 1 } c ( G _ { 2 } , G _ { 3 } , 4 ) + \delta _ { 3 } c ( G _ { 2 } , 1 ) - c ^ { \prime } ( G _ { 3 } , 1 ) , } \\ { D c ( G _ { 4 } , G _ { 3 } , 4 , 1 ) } & { = \delta _ { 1 } c ( G _ { 4 } , G _ { 3 } , 4 ) + c ^ { \prime } ( G _ { 4 } , 1 ) - c ^ { \prime } ( G _ { 3 } , 1 ) , } \\ { D c ( G _ { 3 } , G _ { 4 } , 1 , 4 ) } & { = \delta _ { 3 } c ( G _ { 3 } , G _ { 4 } , 1 ) + c ^ { \prime } ( G _ { 3 } , 4 ) + c ^ { \prime } ( G _ { 4 } , 4 ) , } \\ { D c ( G _ { 4 } , 4 , 1 ) } & { = c ^ { \prime } ( G _ { 4 } , 4 ) - c ^ { \prime } ( G _ { 4 } , 1 ) , } \\ { D c ( G _ { 3 } , 4 , 1 ) } & { = c ^ { \prime } ( G _ { 3 } , 4 ) - c ^ { \prime } ( G _ { 3 } , 1 ) . } \end{array}
t _ { \mathrm { 2 } } \approx \frac { \sqrt { 6 \pi } N _ { 0 } } { m _ { \phi } M _ { \ast } } \left\{ \ln \left[ \frac { 1 } { 2 g ^ { 2 } } \left( \frac { M _ { P } } { M _ { \ast } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { m _ { \phi } } { \bar { N } } \right) ^ { 2 } \right] \right\} ^ { 1 / 2 } \, .
\begin{array} { r } { \rho ( t , x , x ^ { \prime } ) \le \widetilde { J } ( t , x , x ^ { \prime } ) + \sum _ { m = 1 } ^ { n - 1 } ( \lambda L _ { \sigma } ) ^ { 2 m } \left( \widetilde { G } ^ { \triangleright m } \triangleright \widetilde { J } \right) ( t , x , x ^ { \prime } , 0 , 0 ) + ( \lambda L _ { \sigma } ) ^ { 2 n } \left( \widetilde { G } ^ { \triangleright n } \triangleright \rho \right) ( t , x , x ^ { \prime } , 0 , 0 ) . } \end{array}
\tau _ { r } = ( 1 - g ) \tau _ { i } \sqrt { \frac { p _ { i } ^ { 2 } + \tau _ { i } ^ { 2 } - \alpha _ { T } ( p _ { i } ^ { 2 } + \tau _ { i } ^ { 2 } - p _ { w } ^ { 2 } ) } { p _ { i } ^ { 2 } + \tau _ { i } ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r } { E _ { n + 1 } ^ { * } \geq C ( 1 + T ) ^ { 1 + \beta _ { 2 } } ( E _ { n } ^ { * } ) ^ { 1 + \beta _ { 1 } } \left[ \frac { 2 ^ { n ( \gamma + 1 ) } } { t K ^ { \gamma + 1 } } + \frac { 2 ^ { n ( \gamma + 2 ) } \left( 1 + E _ { 0 } ^ { \beta _ { 0 } } \right) } { K ^ { \gamma + 2 } } + \frac { 2 ^ { n ( \gamma + 2 ) } } { K ^ { \gamma + 1 } } + \frac { 2 ^ { n ( \gamma + 2 ) } } { K ^ { \gamma } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \lambda ^ { - 1 } D _ { [ \lambda x _ { 1 } ] } ( u _ { 1 } / \lambda ) \to \frac { 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i x _ { 1 } u _ { 1 } } } { - \mathrm i u _ { 1 } } , \qquad \lambda ^ { - \gamma } D _ { [ \lambda ^ { \gamma } x _ { 2 } ] } ( u _ { 2 } / \lambda ^ { \gamma } ) \to \frac { 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i x _ { 2 } u _ { 2 } } } { - \mathrm i u _ { 2 } } , } \\ & { } & { f _ { \lambda } ( \boldsymbol { u } ) \to g _ { \gamma } ( \boldsymbol { u } ) \ : = \ \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { 0 } ( \boldsymbol { u } ) , } & { \gamma = \gamma _ { 0 } , } \\ { f _ { 0 } ( u _ { 1 } , 0 ) , } & { \gamma > \gamma _ { 0 } , } \\ { f _ { 0 } ( 0 , u _ { 2 } ) , } & { \gamma < \gamma _ { 0 } , } \end{array} \right. } \end{array}
E _ { \mathrm { d i s s } } ( t _ { n } ) = \int _ { 0 } ^ { t _ { n } } \left( ( \Delta x ) ^ { 3 } \sum _ { \mathrm { c e l l } = 1 } ^ { N _ { \mathrm { c e l l s } } } \Phi _ { \mathrm { c e l l } } ( t ) \right) ~ d t \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { 2 e l , c r - S } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { m _ { a } } \sum _ { b } \sum _ { P , Q } ( - 1 ) ^ { P + Q } \frac { i } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega } \end{array}
B _ { j , k } = \mathrm { r o u n d } \left( { \frac { G _ { j , k } } { Q _ { j , k } } } \right) { \mathrm { ~ f o r ~ } } j = 0 , 1 , 2 , \ldots , 7 ; k = 0 , 1 , 2 , \ldots , 7