harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\tilde { Q } = \frac { 2 I _ { 0 } } { 5 } \, \frac { \tan \theta - \tan \theta _ { 1 } - \beta \chi h D } { \tan \theta _ { 2 } + \beta \chi h D - \tan \theta } \, \sqrt { \phi \cos \theta } \, \left( \frac { h } { d } \right) ^ { 5 / 2 } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \partial I _ { j } } { \partial t } = d _ { I _ { j } } \Delta I _ { j } + d _ { I } \sum _ { k \neq j } \left( \frac { L _ { j k } \bar { I } _ { k } } { | \Omega _ { j } | } - L _ { k j } I _ { j } \right) - { \gamma _ { j } I _ { j } } , } & { x \in \Omega _ { j } , t > 0 , j \in \Omega , } \\ { \displaystyle \frac { \partial I _ { j } } { \partial \nu } = 0 , } & { x \in \partial \Omega _ { j } , t > 0 , j \in \Omega . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } & { \partial _ { t } \theta ( t , x ) - \nu \Delta \theta ( t , x ) + ( \widetilde u \cdot \nabla ) \theta ( t , x ) + e \cdot \nabla \tilde { p } ( t , x ) = e \cdot \tilde { F } ( t , x ) , } & & { \forall ( t , x ) \in [ 0 , \tau ] \times \mathbb { R } ^ { d } , } \\ & { \theta ( \tau , \tilde { x } _ { 0 } ) - \theta ( \tau , \tilde { y } _ { 0 } ) = \Omega ( \tau , \xi ) , } & & { ( \tilde { x } _ { 0 } - \tilde { y } _ { 0 } ) = \xi e _ { 1 } . } \end{array}
\hat { U } = e ^ { - i \mathsf { V } \sum _ { n } \cos ( 2 \pi \alpha n ) \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } } e ^ { - i \mathsf { J } \sum ( e ^ { \gamma } \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n + 1 } + e ^ { - \gamma } \hat { c } _ { n + 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } ) } ,
\sum E _ { q } ^ { h } + \left( \sum E _ { q } ^ { h } - \sum \pi _ { P } ^ { f } \right) { \frac { d p } { d t } } = \sum { \frac { d I ^ { h } } { d t } } + \left\{ \sum \pi _ { z } ^ { f } { \frac { d z ^ { f } } { d t } } - \sum E _ { z } ^ { h } { \frac { d z ^ { h } } { d t } } \right\}
S = \sum _ { l = 1 } ^ { n } \left[ y _ { l } - g ( x _ { l } , \beta ; \{ v _ { i } \} ) \right] ^ { 2 } = \sum _ { l = 1 } ^ { n } \left[ y _ { l } - \beta r ( x _ { l } ; \{ v _ { i } \} ) - h ( x _ { l } ; \{ v _ { i } \} ) \right] ^ { 2 } .
C _ { h _ { q } h _ { q } ^ { * } } = \frac { \left\langle h _ { q } \left( q , t \right) { { h _ { q } } ^ { * } } \left( q , t ^ { \prime } \right) \right\rangle } { S _ { s } ^ { 2 } } = { { e } ^ { \Omega \left( q \right) \left| t - t ^ { \prime } \right| } } ,
\begin{array} { r l } { e _ { 2 } ^ { \perp } \mathcal { E } _ { \tau + \delta ( 3 ) } ^ { ( 3 ) } } & { = e _ { 2 } ^ { \perp } ( e _ { 2 } ^ { \perp } \mathcal { A } _ { \tau + \delta ( 3 ) } ) \otimes s _ { 3 } + e _ { 2 } ^ { \perp } ( e _ { 1 } ^ { \perp } \mathcal { A } _ { \tau + \delta ( 3 ) } ) \otimes s _ { 2 1 } + e _ { 2 } ^ { \perp } \mathcal { A } _ { \tau + \delta ( 3 ) } \otimes s _ { 1 1 1 } } \\ & { = e _ { 2 } ^ { \perp } ( \mathcal { A } _ { \tau } ) \otimes s _ { 3 } + e _ { 1 } ^ { \perp } ( \mathcal { A } _ { \tau } ) \otimes s _ { 2 1 } + \mathcal { A } _ { \tau } \otimes s _ { 1 1 1 } = \mathcal { E } _ { \tau } ^ { ( 3 ) } , } \end{array}
{ \begin{array} { r c c c c c } & { \tan \alpha } & { : } & { \tan \beta } & { : } & { \tan \gamma } \\ { = } & { a \cos \beta \cos \gamma } & { : } & { b \cos \gamma \cos \alpha } & { : } & { c \cos \alpha \cos \beta } \\ { = } & { ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - c ^ { 2 } ) ( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) } & { : } & { ( - a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - c ^ { 2 } ) } & { : } & { ( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) ( - a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } = } & { \int _ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon - i T } ^ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon + i T } F _ { f } ( s , \ \chi _ { 0 } ) \frac { ( x + 1 ) ^ { s } } { s } \ \mathrm { d } s } \\ { \ll } & { x ^ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } ( T ( \log T ) ^ { 4 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } T ^ { \frac { 1 3 1 } { 2 0 } \times \frac { 1 } { 2 } + \epsilon - 1 } } \\ { \ll } & { x ^ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } T ^ { \frac { 1 1 1 } { 4 0 } + 3 \epsilon } . } \end{array}
0 . 0 9 6 \big \langle { \cal O } _ { 1 } ^ { \psi } ( ^ { 3 } S _ { 1 } ) \big \rangle + 4 . 2 1 \big \langle { \cal O } _ { 8 } ^ { \psi } ( { } ^ { 3 } S _ { 1 } ) \big \rangle + 6 . 7 6 \big \langle { \cal O } _ { 8 } ^ { \psi } ( { } ^ { 1 } S _ { 0 } ) \big \rangle + 2 5 . 3 { \frac { \big \langle { \cal O } _ { 8 } ^ { \psi } ( { } ^ { 3 } P _ { 0 } ) \big \rangle } { m _ { c } ^ { 2 } } } \in [ 0 . 2 4 , 0 . 4 5 ] ~ \mathrm { G e V } ^ { 3 } \; ,
V _ { \mathrm { c } } = { \frac { \lambda _ { 3 } } { 4 } } \phi ^ { 4 } \ln ( { \frac { \phi } { w } } ) ^ { 4 } + { \frac { \lambda _ { 4 } } { 4 } } \phi ^ { 4 } - \Lambda _ { 1 } ,
\begin{array} { r l } & { u ( s , X _ { s } ^ { t , x , \nabla u } ) - u ( t , X _ { t } ^ { t , x , \nabla u } ) - \int _ { t } ^ { s } ( \partial _ { t } + \mathcal { L } _ { \nabla u } u ( r , X _ { r } ^ { t , x , \nabla u } ) d r } \\ & { = u ( s , X _ { s } ^ { t , x , \nabla u } ) - u ( t , X _ { t } ^ { t , x , \nabla u } ) + \frac { 1 } { 2 } \int _ { t } ^ { s } | | \nabla u ( r , X _ { r } ^ { t , x , \nabla u } | | ^ { 2 } ) d r } \end{array}
\frac { 1 } { T } \sum _ { i = 1 } ^ { T } \parallel \Pi ^ { \top } [ ( \ensuremath { \mathbf { N } } ( \tilde { \ensuremath { \mathbf { v } } } ) \tilde { \ensuremath { \mathbf { v } } } + \ensuremath { \mathbf { A } } \tilde { \ensuremath { \mathbf { v } } } ) - ( \ensuremath { \mathbf { N } } ( \ensuremath { \mathbf { v } } ) \ensuremath { \mathbf { v } } + \ensuremath { \mathbf { A } } \ensuremath { \mathbf { v } } ) ] \parallel _ { \ensuremath { \mathbf { M } } ^ { - 1 } } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { T } ^ { \infty } \left\lvert f ^ { ( N + 1 ) } ( t ) \right\rvert \; d t } & { { } = \left\lvert \int _ { T } ^ { \infty } f ^ { ( N + 1 ) } ( t ) \; d t \right\rvert } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { Y = \frac { 2 } { 3 } Q _ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } Q _ { 2 } + Q _ { 0 } } } \\ { { \widetilde { Q _ { 1 } } = Q _ { 1 } } } \\ { { \widetilde { Q _ { 2 } } = 3 a Q _ { 3 } + 2 b Q _ { 2 } - ( 2 a + b ) Q _ { 0 } } } \\ { { \widetilde { Q _ { 3 } } = 3 c Q _ { 3 } + 2 d Q _ { 2 } - ( 2 c + d ) Q _ { 0 } } } \end{array} \right.
{ \hat { \alpha } } \approx { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { { \hat { G } } _ { X } } { 2 ( 1 - { \hat { G } } _ { X } - { \hat { G } } _ { ( 1 - X ) } ) } } { \mathrm { ~ i f ~ } } { \hat { \alpha } } > 1
\begin{array} { c } { { | \xi \wedge \eta | ^ { 2 } = 2 | P _ { 1 } ( \xi \wedge \eta ) | ^ { 2 } = - { \frac { 1 } { 4 } } \left( \xi \wedge \eta , \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } I _ { a } ^ { 2 } ( \xi \wedge \eta ) \right) = } } \\ { { = { \frac { 3 } { 2 } } | \xi \wedge \eta | ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } \left( \xi \wedge \eta , \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } I _ { a } \xi \wedge I _ { a } \eta \right) = } } \\ { { = { \frac { 3 } { 2 } } | \xi \wedge \eta | ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( \xi , I _ { a } \eta ) ( \eta , I _ { a } \xi ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \mathcal { M } _ { \bf u } - f \hat { \mu } _ { \bf u } / \mu _ { 2 n } ) ^ { - 1 } } & { = } & { \mathcal { M } _ { \bf u } + f \hat { \mu } _ { \bf u } / \mu _ { 2 n } } \\ { ( \mathcal { M } _ { \bf d } + f \hat { \mu } _ { \bf d } / \mu _ { 2 n } ) ^ { - 1 } } & { = } & { \mathcal { M } _ { \bf d } - f \hat { \mu } _ { \bf d } / \mu _ { 2 n } . } \end{array}
\begin{array} { l } { { R } } \end{array} { i j } { k \ell } = g ^ { i m } \begin{array} { l } { { \tilde { R } } } \end{array} { n j } { m \ell } g _ { n k } = g ^ { j m } \begin{array} { l } { { ( R ^ { - 1 } ) } } \end{array} { i n } { k m } g _ { n \ell } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \big ( \frac { \beta } { \beta _ { c } } \big ) ^ { 2 } + \big ( \frac { \kappa } { \kappa _ { c } } \big ) ^ { 2 } \Bigg [ \frac { 1 + \frac { \beta } { \beta _ { c } } \frac { 1 } { 2 Z _ { i } ^ { 0 } } } { 1 + \big ( \frac { \kappa } { \kappa _ { c } } \big ) ^ { 2 } \big ( \frac { 1 } { 2 Z _ { i } ^ { 0 } } \big ) ^ { 2 } } \Bigg ] ^ { 2 } \leqslant 1 . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \displaystyle - C _ { \alpha _ { p } l } ^ { j } k _ { \alpha _ { 1 } \dots \alpha _ { p - 1 } j i _ { p + 1 } \dots i _ { m } } } } & { { = \displaystyle \sum _ { s = 1 } ^ { p - 1 } C _ { \alpha _ { s } l } ^ { j } k _ { \alpha _ { 1 } \dots \widehat { \alpha _ { s } } j \dots \alpha _ { p - 1 } \alpha _ { p } i _ { p + 1 } \dots i _ { m } } } } \\ { { } } & { { + \displaystyle \sum _ { s = p + 1 } ^ { m - 1 } C _ { i _ { s } l } ^ { j } k _ { \alpha _ { 1 } \dots \alpha _ { p - 1 } \alpha _ { p } i _ { p + 1 } \dots \widehat { i _ { s } } j \dots i _ { m } } + C _ { i _ { m } l } ^ { j } k _ { \alpha _ { 1 } \dots \alpha _ { p } i _ { p + 1 } \dots i _ { m - 1 } j } \quad . } } \end{array}
v _ { x } ^ { i } \simeq v _ { \downarrow x } ^ { i } + \frac { v _ { \downarrow z } ^ { i } - v _ { z } ^ { i } } { v _ { s } + v _ { \downarrow z } ^ { i } } [ u _ { x } ( z _ { \downarrow \ast } ^ { i } ) - v _ { \downarrow x } ^ { i } ] ,
e _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } \left( n \right) = e _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n \right) = e _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n \right) = e \left( n \right) = \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \left( n _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 2 } ^ { 2 } + n _ { 3 } ^ { 2 } \right) }
\rho _ { [ s ] } ^ { + } ( x ) \rho _ { [ t ] } ^ { - } ( y ) \rho _ { [ s ] } ^ { + } ( x ^ { - 1 } ) = \prod _ { \substack { \operatorname* { g c d } ( i , j ) = 1 \, ( i , j ) \in \mathbb { N } \times \mathbb { N } _ { > 0 } } } \left( 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } s ^ { k i } t ^ { k j } \nu _ { k i , k j } ( x , y ) \right) \mod ( s ^ { k i + 1 } t ^ { k j + 1 } ) ,
f ( \rho ) = A _ { 1 } \left( 1 - \frac { \omega \rho } { R _ { 1 } \rho _ { 0 } } \right) \exp \Big ( - \frac { R _ { 1 } \rho _ { 0 } } { \rho } \Big ) + A _ { 2 } \left( 1 - \frac { \omega \rho } { R _ { 2 } \rho _ { 0 } } \right) \exp \Big ( - \frac { R _ { 2 } \rho _ { 0 } } { \rho } \Big ) ,
\begin{array} { r l } { \lambda \Big ( M _ { 1 } \cap M _ { 2 } ^ { c } \Big ) \thinspace } & { = \lambda \Big ( | { \hat { \theta } } | > \frac { 1 } { s _ { n } } , \thinspace \theta = 0 \Big ) = \lambda \Big ( s _ { n } | { \hat { \theta } - \theta } | > 1 , \thinspace \theta = 0 \Big ) } \\ & { \leq \lambda \Big ( s _ { n } | { \hat { \theta } - \theta } | > 1 \Big ) = \lambda \Big ( \frac { s _ { n } } { \sqrt { n } } \sqrt { n } | { \hat { \theta } - \theta } | > 1 \Big ) , } \end{array}
P _ { z } = \frac { ( \Delta V - 2 \rho J z ) I } { 2 \pi \cosh ^ { - 1 } ( l / R ) } \int _ { - \tau _ { w } } ^ { \tau _ { w } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { R e } [ \beta ( \sigma + i \tau ) ] \, d \sigma d \tau .
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ( \mathbf { r } , t ) } & { { } = \left| \, \mathbf { E } \, \right| \mathrm { R e } \left\{ \mathbf { Q } \left| \psi \right\rangle \exp \left[ i \left( k z - \omega t \right) \right] \right\} } \\ { \mathbf { B } ( \mathbf { r } , t ) } & { { } = { \hat { \mathbf { z } } } \times \mathbf { E } ( \mathbf { r } , t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { - \int _ { a } ^ { b } \frac { \partial } { \partial z } c _ { 0 } ( z , t ) \mathcal { N } _ { 1 } ( z , t ) \varphi ( z ) \, d z = \int _ { a } ^ { 0 } \frac { \partial } { \partial z } ( \mathcal { N } _ { 1 } ^ { - } ( z , t ) \varphi ( z ) ) \, d z = \mathcal { N } _ { 1 } ^ { - } ( 0 ^ { - } , t ) \varphi ( 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { i j } } & { { } = \frac { \mathrm { T r } \left\{ | \psi ^ { \mathrm { o u t } } \rangle \langle \psi ^ { \mathrm { o u t } } | \hat { P } _ { i } \otimes \hat { P } _ { j } \right\} } { \mathrm { T r } \left\{ | \psi ^ { \mathrm { o u t } } \rangle \langle \psi ^ { \mathrm { o u t } } | \right\} } = \frac { \langle \psi ^ { \mathrm { o u t } } | \hat { P } _ { i } \otimes \hat { P } _ { j } | \psi ^ { \mathrm { o u t } } \rangle } { \langle \psi ^ { \mathrm { o u t } } | \psi ^ { \mathrm { o u t } } \rangle } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } x ( z ) x _ { z z z z } ( z ) d z } & { = } & { - 2 x ( z ) x _ { z z z } ( z ) \big | _ { z = 0 } ^ { z = 1 } + 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } x _ { z } ( z ) x _ { z z z } ( z ) d z } \\ & { = } & { - 2 x ( z ) x _ { z z z } ( z ) \big | _ { z = 0 } ^ { z = 1 } + 2 x _ { z } ( z ) x _ { z z } ( z ) \big | _ { z = 0 } ^ { z = 1 } - 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } x _ { z z } ^ { 2 } ( z ) d z } \\ { \big [ \mathrm { d u e ~ t o ~ } \big ] } & { = } & { - 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } x _ { z z } ^ { 2 } ( z ) d z . } \end{array}
I _ { \mathrm { c l } } = \frac { q } { \eta } \frac { \gamma _ { c } } { 2 \beta } \left( 2 \xi + 1 \right) \quad \mathrm { ~ ( ~ c ~ l ~ a ~ s ~ s ~ i ~ c ~ a ~ l ~ t ~ h ~ r ~ e ~ s ~ h ~ o ~ l ~ d ~ ) ~ }
A _ { L T } ^ { \cos ( \phi - \phi _ { S } ) } \propto \frac { \sum _ { a } e _ { a } ^ { 2 } g _ { 1 T } ^ { ( 1 ) } ( x ) \, z \, D _ { 1 } ( z ) } { \sum _ { a } e _ { a } ^ { 2 } f _ { 1 } ( x ) D _ { 1 } ( z ) } .
\mathbf { P } ( t ) = \varepsilon _ { 0 } ( \chi ^ { ( 1 ) } \mathbf { E } ( t ) + \chi ^ { ( 2 ) } \mathbf { E } ^ { 2 } ( t ) + \chi ^ { ( 3 ) } \mathbf { E } ^ { 3 } ( t ) + \ldots ) ,
\begin{array} { r l } { P ( t ) } & { { } = \int _ { \cal V } \mathrm { d } { \bf r } _ { 1 } \int _ { \cal V } \mathrm { d } { \bf r } _ { 2 } \int \mathrm { d } t _ { 1 } \int \mathrm { d } t _ { 2 } \, K ( t ; { \bf r } _ { 1 } , t _ { 1 } ; { \bf r } _ { 2 } , t _ { 2 } ) \, F ( { \bf r } _ { 1 } , t _ { 1 } ; { \bf r } _ { 2 } , t _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { g = 2 } ^ { \mathrm { s i n g } } ( T ) } & { = \frac { 5 1 0 3 \, { \mathrm { i } } } { 3 3 5 5 4 4 3 2 0 \, \sqrt { 2 } \, T ^ { 5 / 2 } } - \frac { 6 7 5 } { 8 3 8 8 6 0 8 \, T ^ { 2 } } - \frac { 8 7 1 \, { \mathrm { i } } } { 1 0 4 8 5 7 6 0 \, \sqrt { 2 } \, T ^ { 3 / 2 } } - \frac { 3 } { 4 0 9 6 \, T } - } \\ & { - \frac { 8 9 0 8 2 7 \, { \mathrm { i } } } { 4 7 7 7 5 7 4 4 0 \sqrt { 2 } \, \sqrt { T } } - \frac { 7 6 8 4 9 } { 2 0 1 5 5 3 9 2 0 } . } \end{array}
\mathcal { A } _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \rightarrow 0 , \ \ \mathcal { B } _ { 3 } ( x _ { 1 } ) \rightarrow 0 , \ \ \mathcal { B } _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \rightarrow - \mathcal { A } _ { 3 } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) ,
P _ { \pi } ^ { i d e a l } = \frac { 1 } { 6 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d p \, p ^ { 4 } } { \omega } } \bigg [ { \frac { 1 } { e ^ { ( \omega - \mu ) / T } - 1 } } + { \frac { 1 } { e ^ { ( \omega + \mu ) / T } - 1 } } + { \frac { 1 } { e ^ { \omega / T } - 1 } } \bigg ] \, .
\frac { d m _ { N } ^ { 2 } } { d t } \approx \frac { 6 \lambda _ { N } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } m _ { N } ^ { 2 } ( t ) + \frac { 2 \lambda _ { H } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } ( m _ { H _ { u } } ^ { 2 } ( t ) + m _ { H _ { d } } ^ { 2 } ( t ) + m _ { N } ^ { 2 } ( t ) ) + \frac { 3 \lambda _ { q } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } ( m _ { \tilde { q } } ^ { 2 } ( t ) + m _ { \tilde { \bar { q } } } ^ { 2 } ( t ) ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| { \bf \zeta } ^ { j } \| ^ { 2 } } & { \leq \| { \bf W } ^ { Q } \| ^ { 2 } \cdot \mathbb { E } \| { \bf X } ^ { j } - { \bf Z } ^ { j } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \| { \bf W } - { \bf P } + { \bf P } \| ^ { 2 Q } \| { \bf X } ^ { j } - { \bf Z } ^ { j } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq ( \| { \bf W } - { \bf P } \| ^ { 2 Q } + \| { \bf P } \| ^ { 2 Q } ) \mathbb { E } \| { \bf X } ^ { j } - { \bf Z } ^ { j } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq ( \lambda ^ { Q } + 1 ) \mathbb { E } \| { \bf X } ^ { j } - { \bf Z } ^ { j } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\eta ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n + 1 } ) = \frac { \Delta x } { 2 } ( 2 \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } - \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } ) ^ { \top } ( 2 \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } - \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } ) = \eta ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } ) + 2 \Delta x ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { \top } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } - \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { \top } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } ) .
\begin{array} { r l r } { u ( x ) } & { = } & { \int _ { \mathcal { C } _ { k } } G _ { \mathcal { C } _ { k } } ^ { 1 } ( x , y ) v _ { 1 } ( y ) \mathrm { d } y + C _ { 0 } | x - P | ^ { k } \varphi _ { 1 } \left( \frac { x - P } { | x - P | } \right) } \\ & { = } & { \int _ { \mathcal { C } _ { k } } G _ { \mathcal { C } _ { k } } ^ { 1 } ( x , y ) \int _ { \mathcal { C } _ { k } } G _ { \mathcal { C } _ { k } } ^ { 1 } ( y , z ) v _ { 2 } ( z ) \mathrm { d } z \mathrm { d } y + C _ { 0 } | x - P | ^ { k } \varphi _ { 1 } \left( \frac { x - P } { | x - P | } \right) } \\ & { = } & { \int _ { \mathcal { C } _ { k } } G _ { \mathcal { C } _ { k } } ^ { 2 } ( x , y ) v _ { 2 } ( y ) \mathrm { d } y + C _ { 0 } | x - P | ^ { k } \varphi _ { 1 } \left( \frac { x - P } { | x - P | } \right) } \\ & { = } & { \cdots } \\ & { = } & { \int _ { \mathcal { C } _ { k } } G _ { \mathcal { C } _ { k } } ^ { s } ( x , y ) f ( y , u ( y ) ) \mathrm { d } y + C _ { 0 } | x - P | ^ { k } \varphi _ { 1 } \left( \frac { x - P } { | x - P | } \right) . } \end{array}
R ^ { \mu \nu } ( m _ { c } v , k _ { 1 } , k _ { 2 } ) = \varepsilon _ { \rho } w _ { 1 } ^ { \rho \mu \nu } + { \cal O } ( \frac { \lambda } { m _ { c } } ) + ( \mathrm { t e r m s \ p r o p o r t i o n a l \ t o \ } v ^ { \mu } \ \mathrm { o r } \ v ^ { \nu } ) .
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l l } { | \varrho | ^ { 2 } } & { = \left| \displaystyle \int _ { 0 } ^ { t _ { n } } ( e ^ { \prime \prime } - \theta _ { 2 } e ^ { \prime } - \theta _ { 1 } e ) ( w - \Pi _ { * } ^ { \bf { r - 2 } } w ) d t + \displaystyle \int _ { 0 } ^ { t _ { n } } ( e ^ { \prime \prime } - \theta _ { 2 } e ^ { \prime } - \theta _ { 1 } e ) \Pi _ { * } ^ { \bf { r - 2 } } w d t \right| ^ { 2 } } \\ & { \le 2 \left| \displaystyle \int _ { 0 } ^ { t _ { n } } ( e ^ { \prime \prime } - \theta _ { 2 } e ^ { \prime } - \theta _ { 1 } e ) ( w - \Pi _ { * } ^ { \bf { r - 2 } } w ) d t \right| ^ { 2 } + 2 \left| \displaystyle \int _ { 0 } ^ { t _ { n } } \left( R _ { 1 } e ^ { 2 } + R _ { 2 } e e ^ { \prime } + R _ { 3 } ( e ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right) \Pi _ { * } ^ { \bf { r - 2 } } w d t \right| ^ { 2 } } \\ & { \le C \| e \| _ { H ^ { 2 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 2 } \| w - \Pi _ { * } ^ { \bf { r - 2 } } w \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 2 } + C \displaystyle \int _ { 0 } ^ { t _ { n } } \left( e ^ { 4 } + ( e ^ { \prime } ) ^ { 4 } \right) d t \| \Pi _ { * } ^ { \bf { r - 2 } } w \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 2 } } \\ & { \le C \| e \| _ { H ^ { 2 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 2 } \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { k _ { i } ^ { 2 \operatorname* { m i n } \{ r _ { i } - 2 , s \} + 2 } } { r _ { i } ^ { 2 ( s + 1 ) } } \| w \| _ { H ^ { s + 1 } ( I _ { i } ) } ^ { 2 } + C \displaystyle \int _ { 0 } ^ { t _ { n } } \left( e ^ { 4 } + ( e ^ { \prime } ) ^ { 4 } \right) d t \| w \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 2 } , } \end{array} } \end{array}
\frac { \partial \theta } { \partial t } \frac { \partial ^ { 2 } t } { \partial r \partial \theta } + \frac { \partial \theta } { \partial r } \frac { \partial ^ { 2 } r } { \partial r \partial \theta } + \frac { \partial \theta } { \partial \theta } \frac { \partial ^ { 2 } \theta } { \partial r \partial \theta } + \frac { \partial \theta } { \partial \phi } \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial r \partial \theta }
\begin{array} { r l r } { { \cal J } } & { { } = } & { X \left| \frac { \partial ( X , Z ) } { \partial ( \psi , \theta ) } \right| = \frac X 2 \left| \frac { \partial ( S _ { r } , \Theta ) } { \partial ( \psi , \theta ) } \right| . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { i n d } } } ( R _ { \rho \sigma } - { \frac { 1 } { 2 } } R \, g _ { \rho \sigma } \, + \, \Lambda _ { i n d } g _ { \rho \sigma } ) = { \frac { 1 } { 2 } } < T _ { \rho \sigma } > _ { g , 0 }
\mathbf { \boldsymbol { \mathsf { M } } } = ( \mathbf { \boldsymbol { B } } \otimes \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } ) \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { ( k ) } ) + \mathrm { d i a g } ( ( \mathbf { \boldsymbol { B } } \otimes \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { ( k ) } )
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial \lambda } \ln \frac { \pi ( m ) } { \pi ( m ^ { \prime } ) } } & { { } = \sum _ { i = m ^ { \prime } } ^ { m - 1 } \frac { \partial } { \partial \lambda } \ln \frac { \pi ( i + 1 ) } { \pi ( i ) } } \end{array}
G _ { E } ( t _ { 2 } ) \equiv F _ { 1 } ( t _ { 2 } ) + t _ { 2 } \frac { 1 } { 4 m _ { p } ^ { 2 } } F _ { 2 } ( t _ { 2 } ) , \qquad G _ { M } ( t _ { 2 } ) \equiv F _ { 1 } ( t _ { 2 } ) + F _ { 2 } ( t _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l r } { \tau _ { \varepsilon } ^ { ( 3 ) } = } & { \operatorname* { i n f } } & { \Big \{ t > h : ( { \mathcal X } _ { t } , { \mathcal Y } _ { t } ) \in \bigcup _ { \substack { 1 \le i , j \le L , i \neq j } } B _ { i } \times B _ { j } , \mathrm { a n d ~ f o r ~ c e r t a i n } \ s \in ( 0 , t ) , } \\ & { } & { ( { \mathcal X } _ { s } , { \mathcal Y } _ { s } ) \in \bigcup _ { 1 \le i \le L } B _ { i } \times B _ { i } \Big \} , } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } + \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } }
\boldsymbol { \mathcal U } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { \vec { u } _ { 1 } ^ { T } } & { \vec { \omega } _ { 1 } ^ { T } } & { \vec { u } _ { 2 } ^ { T } } & { \vec { \omega } _ { 2 } ^ { T } } & { \dots } & { \vec { u } _ { N } ^ { T } } & { \vec { \omega } _ { N } ^ { T } } \end{array} \right] ^ { T } , \quad \boldsymbol { \mathcal F } _ { \mathrm { e x t } } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { \vec { f } _ { 1 } ^ { T } } & { \vec { t } _ { 1 } ^ { T } } & { \vec { f } _ { 2 } ^ { T } } & { \vec { t } _ { 2 } ^ { T } } & { \dots } & { \vec { f } _ { N } ^ { T } } & { \vec { t } _ { N } ^ { T } } \end{array} \right] ^ { T } .
\left[ { \frac { \alpha } { \beta } } \right] \left[ { \frac { \beta } { \alpha } } \right] ^ { - 1 } = ( - 1 ) ^ { { \frac { N \alpha - 1 } { 4 } } { \frac { N \beta - 1 } { 4 } } } \epsilon ( \alpha ) ^ { \frac { N \beta - 1 } { 4 } } \epsilon ( \beta ) ^ { \frac { N \alpha - 1 } { 4 } }
\nu \equiv a _ { n } ( n - 1 ) + a _ { h } \ln ( h / 0 . 6 5 ) + a _ { 0 } \ln ( \Omega _ { 0 } / 0 . 3 5 ) + a _ { b } h ^ { 2 } ( \Omega _ { b } - 0 . 0 1 9 ) - 0 . 6 5 f ( \tau ) \tau \, .
\frac { \bar { \bf f } _ { j } } { \cos \psi } \cdot \left[ \frac { \partial v ^ { 2 } } { \partial \bar { \bf w } } \otimes \bar { \bf w } \right] \frac { \bar { \bf f } _ { i } } { \cos \psi } = - 2 \left( \frac { v _ { 0 } } { \cos \psi } \right) ^ { 2 } \left( \bar { \bf f } _ { j } \cdot \hat { \bf n } \right) \left( \bar { \bf f } _ { i } \cdot \hat { \bf n } \right) \, .
\left\{ \begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } ~ E \big ( \psi ( \cdot , t ) \big ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \big [ \frac { 1 } { 2 } | \nabla \psi ( \mathbf { x } , t ) | ^ { 2 } + V ( \mathbf { x } | \psi ( \mathbf { x } , t ) | ^ { 2 } ) + \frac { \beta } { 2 } | \psi ( \mathbf { x } , t ) | ^ { 4 } \big ] d \mathbf { x } , } \\ & { ~ \mathrm { s . t . } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } | \psi ( \mathbf { x } , t ) | ^ { 2 } d \mathbf { x } = 1 , ~ E \big ( \psi ( \mathbf { x } , t ) \big ) < \infty , } \end{array} \right.
\left\Vert \mathbf { \Phi } \mathbf { \mathcal { M } } _ { \mathrm { S S } } \right\Vert _ { 2 } \leq \mathcal { C } _ { \mathrm { S } } \triangleq | \alpha _ { \mathrm { S } } | \ \underset { i \in [ \eta + 1 , \eta + N _ { \mathrm { S } } ] } { \mathrm { m a x } } \, \sum _ { \substack { j \in [ \eta + 1 , \eta + N _ { \mathrm { S } } ] \, j \neq i } } | G _ { i j } | ,
\left\{ \begin{array} { l l } { q _ { i } + A _ { i } + ( 0 , 2 , \dots , a _ { i } - 2 ) } & { \mathrm { i f ~ } r _ { i } = 0 } \\ { \emptyset } & { \mathrm { i f ~ } r _ { i } = 1 } \\ { q _ { i } + A _ { i } + ( 0 , 2 , \dots , a _ { i } - 2 ) } & { \mathrm { i f ~ } r _ { i } = 2 } \\ { q _ { i } + A _ { i } + ( 0 ) } & { \mathrm { i f ~ } r _ { i } = 3 . } \end{array} \right.