harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\boldsymbol X _ { t _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ c ~ y ~ c ~ } } } = \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol x _ { t _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ c ~ y ~ c ~ } } } , \boldsymbol x _ { t _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ c ~ y ~ c ~ } } + 1 0 \mathrm { ~ \scriptsize ~ m ~ s ~ } } , \cdots , \boldsymbol x _ { t _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ c ~ y ~ c ~ } } + 1 0 \mathrm { ~ \scriptsize ~ m ~ s ~ } \times ( \boldsymbol v - 1 ) } } \end{array} \right] ^ { T }
J ^ { L } ( x _ { R } ) = - { \frac { \bar { H } _ { m } ^ { 3 } \alpha ( p _ { R } \cosh ( \alpha D ) - p _ { L } ) } { \sinh ( \alpha D ) } } \sim - \bar { H } _ { m } ^ { 3 } \gamma - { \frac { \beta \mu } { 6 } } D ( p _ { L } + 2 p _ { R } ) + O ( \beta ^ { 2 } )
\hat { V } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ S ~ } } ( \vec { x } ) = - \frac { Z } { \vert \vec { x } \vert } + \int d ^ { 3 } x ^ { \prime } \frac { \rho ( { \vec { x } } ^ { \prime } ) } { \vert { \vec { x } } - { \vec { x } } ^ { \prime } \vert } - \frac { 3 } { 2 } \left[ \frac { 3 } { \pi } \rho ( \vec { x } ) \right] ^ { \frac { 1 } { 3 } } ,
\begin{array} { r l } { D _ { \Gamma } V _ { \alpha } \phi ( x ) } & { = \frac { 1 } { c _ { d } } \int _ { \Gamma } \frac { ( x - y ) \cdot n ( y ) } { | x - y | ^ { d } } \alpha ^ { ( d - 1 ) / 2 } \phi ( \alpha y ) \, \mathrm { d } s ( y ) } \\ & { = \frac { \alpha ^ { ( d - 1 ) / 2 } } { c _ { d } } \int _ { \Gamma } \frac { ( x - \alpha ^ { - 1 } y ) \cdot n ( \alpha ^ { - 1 } y ) } { | x - \alpha ^ { - 1 } y | ^ { d } } \phi ( y ) \, \alpha ^ { - ( d - 1 ) } \mathrm { d } s ( y ) } \\ & { = \frac { \alpha ^ { ( d - 1 ) / 2 } } { c _ { d } } \int _ { \Gamma } \frac { ( \alpha x - y ) \cdot n ( y ) } { | \alpha x - y | ^ { d } } \phi ( y ) \, \mathrm { d } s ( y ) } \\ & { = V _ { \alpha } D _ { \Gamma } \phi ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { g ( { \mathbf y } ) + \frac { \bar { \rho } } { 2 } \| { \mathbf y } - { \mathbf x } \| ^ { 2 } \leq \bar { \epsilon } ^ { 2 } - \frac { \underline { { q } } ^ { 2 } } { 2 } \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { \beta + \bar { \rho } } , \frac { \kappa } { 4 \alpha ^ { 2 } } \right\} \leq - \frac { \underline { { q } } ^ { 2 } } { 4 } \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { \beta + \bar { \rho } } , \frac { \kappa } { 4 \alpha ^ { 2 } } \right\} \leq - \theta . } \end{array}
\delta { m _ { k } } ^ { 2 } = \sqrt { \left( 2 E _ { k } \delta { E _ { k } } \right) ^ { 2 } + \left( 2 p _ { k } \delta { p _ { k } } \right) ^ { 2 } } \simeq 2 \sqrt { 2 } E \sigma _ { p } \, ,
\begin{array} { r l } & { \langle \mathbf { \tilde { f } } ( t ) , \boldsymbol \varphi \rangle : = \langle \mathbf { f } ( t ) , \boldsymbol \varphi \rangle } \\ & { \quad - \langle \partial _ { t } \mathbf { u } ( t ) , \boldsymbol { \varphi } \rangle _ { V ( \Omega ) ^ { \prime } , V ( \Omega ) } + \int _ { \Omega } ( \mathbf { u } \cdot \nabla \mathbf { v } _ { 0 } + \mathbf { v } _ { 0 } \cdot \nabla \mathbf { u } ) \cdot \boldsymbol { \varphi } \, d x + \sum _ { \pm } \int _ { \Omega _ { t } ^ { \ensuremath { \varepsilon } , \pm } ( t ) } \nu ^ { \pm } D \mathbf { u } : D \boldsymbol { \varphi } \, d x } \end{array}
= - \varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } \intop \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { \nu } d ^ { 3 } x ( \nabla \times \textbf { B } _ { 1 } ( \textbf { x } ) ) \boldsymbol { \cdot } \hat { \chi } _ { 1 } ( \textbf { x } ) d t = 0 .
a _ { O } ( s , t ) = [ 1 - \exp ( \gamma t ) ] a _ { O } \tilde { s } ^ { \alpha _ { O } ( t ) } [ e ^ { b _ { O } ( \alpha _ { O } ( t ) - 1 ) } ( b _ { O } + \ln \tilde { s } ) + d _ { O } \ln \tilde { s } ] ,
\left\{ \begin{array} { l l } { d X _ { t } ^ { i } } & { = \lambda \left( \overline { y } ^ { \alpha } ( \overline { \rho } _ { t } ^ { N } ) - X _ { t } ^ { i } \right) \, d t + \sigma \left( \overline { y } ^ { \alpha } ( \overline { \rho } _ { t } ^ { N } ) - X _ { t } ^ { i } \right) \otimes \, d B _ { t } ^ { i } } \\ { d Y _ { t } ^ { i } } & { = \nu ( X _ { t } ^ { i } - Y _ { t } ^ { i } ) S ^ { \beta } ( X _ { t } ^ { i } , Y _ { t } ^ { i } ) \, d t } \end{array} \right.
\arg \Gamma \left( { 1 - 2 i \lambda } \right) \ + \ { \frac { \pi } { 2 } } \ - \, a r g \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } - i \lambda - \widetilde { k } \right) \ + \, l a m b d a \ln \left( { \frac { 2 K } { m } } \right) \ = \ B + n \pi \ \ .
E ( h , v ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb R } \left( v ^ { 2 } ( 1 + h ) + ( \mathscr { B } h ) ^ { 2 } + h ( \mathscr { N } h ) ^ { 2 } \right) d x , \quad \mathscr { Q } = \mathscr { B } ^ { 2 } .
I ( \mathbf { r } ) = \int U ( \mathbf { r } , t ) U ^ { * } ( \mathbf { r } , t ) \, d t \propto A _ { 1 } ^ { 2 } ( \mathbf { r } ) + A _ { 2 } ^ { 2 } ( \mathbf { r } ) + 2 A _ { 1 } ( \mathbf { r } ) A _ { 2 } ( \mathbf { r } ) \cos [ \varphi _ { 1 } ( \mathbf { r } ) - \varphi _ { 2 } ( \mathbf { r } ) ] .
\begin{array} { r l } { \left\langle \delta \alpha , \delta \phi _ { t } \right\rangle - f \left\langle \delta \alpha , \nabla \psi \right\rangle - g \left\langle \delta \alpha , \delta \eta \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { 2 } , } \\ { \left\langle \nabla \gamma , \nabla \psi _ { t } \right\rangle + f \left\langle \nabla \gamma , \delta \phi \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle \phi , \eta _ { t } + H \nabla \cdot \delta \phi \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \phi \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } . } \end{array}
V _ { \mathrm { o u t } } = - R _ { \mathrm { f } } \left( { \frac { V _ { 1 } } { R _ { 1 } } } + { \frac { V _ { 2 } } { R _ { 2 } } } + \cdots + { \frac { V _ { n } } { R _ { n } } } \right)
\begin{array} { r l } { \nu _ { 1 } \mathbb { E } \Big \lVert V _ { \bar { \theta } _ { t } } - } & { V _ { \theta ^ { * } } \Big \rVert _ { \bar { D } } ^ { 2 } \le ( \frac { 1 } { \alpha } - \nu _ { 1 } ) \mathbb { E } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } - \frac { 1 } { \alpha } \mathbb { E } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t + 1 } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + \underbrace { \frac { 2 \alpha \sigma ^ { 2 } } { N K } } _ { O ( \alpha ^ { 1 } ) } } \\ { + } & { \underbrace { \frac { 1 0 8 0 \alpha ^ { 2 } } { K \alpha _ { g } ^ { 2 } \nu } ( \sigma ^ { 2 } + 3 K B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 2 K G ^ { 2 } ) } _ { O ( \alpha ^ { 2 } ) } + \underbrace { 2 B ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G + 6 \alpha B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) } _ { \mathrm { h e t e r o g e n e i t y ~ t e r m } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d _ { 3 } ( G _ { 1 } , G _ { 2 } ) } & { = } & { \lambda _ { 1 } \| ( \Delta \mu _ { 1 } , \Delta \Sigma _ { 1 } ) \| \| ( \mu _ { 1 } , \Sigma _ { 1 } ) - ( \mu _ { 2 } , \Sigma _ { 2 } ) \| , } \\ { d _ { 4 } ( G _ { 1 } , G _ { 2 } ) } & { = } & { | \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } | \| ( \Delta \mu _ { 1 } , \Delta \Sigma _ { 1 } ) \| ^ { 2 } . } \end{array}
\ensuremath { \boldsymbol { S } } = \underbrace { \left[ \begin{array} { l l } { \frac { \tau _ { u u } - \tau _ { v v } } { 2 } } & { \tau _ { u v } } \\ { \tau _ { u v } } & { - \frac { \tau _ { u u } - \tau _ { v v } } { 2 } } \end{array} \right] } _ { \ensuremath { \boldsymbol { S } } _ { d } } \, + \, \underbrace { \frac { \tau _ { u u } + \tau _ { v v } } { 2 } \ensuremath { \boldsymbol { \mathcal { I } } } } _ { \ensuremath { \boldsymbol { S } } _ { 0 } } \, ,
{ \frac { 1 } { A } } { \frac { \partial { \cal E } } { \partial m ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int \int { \frac { d k _ { 1 } d k _ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { \sqrt { k _ { 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 } ^ { 2 } + { \frac { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + m ^ { 2 } } } } \, .
\zeta \left( t \right) = \zeta _ { 0 } + \zeta _ { \mathrm { m } } \left( t \right) = c _ { 0 } / \left( 2 m \omega _ { 0 } \right) + c _ { \mathrm { m } } \left( t \right) / \left( 2 m \omega _ { 0 } \right)
\begin{array} { r l } { b ^ { \perp } } & { : = \left\{ \vec { w } \in \mathbb { R } ^ { \nu } : \vec { w } \cdot \vec { b } _ { l j k } = 0 , \mathrm { ~ a n d ~ s ~ \frac { \vec { b } _ { l j k } } { | \vec { b } _ { l j k } | } ~ + ~ \vec { w } \in ~ R _ { l j k } ( i _ n ) ~ f o r ~ s o m e ~ s \in ~ \mathbb { R } ~ } \right\} , } \\ { I _ { b } ( \vec { w } ) } & { : = \left\{ s \in \mathbb { R } : s \frac { \vec { b } _ { l j k } } { | \vec { b } _ { l j k } | } + \vec { w } \in R _ { l j k } ( i _ { n } ) \right\} , } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \frac { \partial g } { \partial x } } \\ { \frac { \partial g } { \partial y } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \frac { \partial \xi } { \partial x } } & { \frac { \partial \eta } { \partial x } } \\ { \frac { \partial \xi } { \partial y } } & { \frac { \partial \eta } { \partial y } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { \frac { \partial g } { \partial \xi } } } \\ { \frac { \partial g } { \partial \eta } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathbf { P } : } & { { } = \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \hat { \mathbf { x } } \cdot \tilde { \mathbf H } ( R _ { 0 } \hat { \mathbf { x } } ) ) \hat { \mathbf { x } } ~ \mathrm { d } s _ { \hat { \mathbf { x } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { r } ^ { \star } } & { \gg r \left[ \sqrt { \left( \mu r \omega _ { \sf m a x } ^ { 2 } + \omega _ { \sf c o l } \left( \omega _ { \sf r o w } + \omega _ { \sf c o l } \right) \right) } + \sqrt { \frac { \mu r } { n _ { 2 } } } \omega _ { \sf r o w } + \frac { \mu r } { n _ { 1 } } \omega _ { \sf c o l } \right] \sqrt { \log n } } \\ & { \asymp r \sqrt { \left( \mu r \omega _ { \sf m a x } ^ { 2 } + \omega _ { \sf c o l } \left( \omega _ { \sf r o w } + \omega _ { \sf c o l } \right) \right) \log n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hbar ^ { - 1 } \mathbf { M } ^ { ( j j ) } } & { { } = \left( \begin{array} { l l l l l } { \omega _ { c } + \Delta \omega ( 1 - \delta _ { j 0 } ) } & { \frac { g } { 2 } } & { \frac { g } { 2 } } & { . . . } & { \frac { g } { 2 } } \\ { \frac { g } { 2 } } & { \omega _ { x g } + \Delta \omega ( 1 - \delta _ { j 0 } ) } & { 0 } & { . . . } & { 0 } \\ { \frac { g } { 2 } } & { 0 } & { \omega _ { x g } + \Delta \omega ( 1 - \delta _ { j 0 } ) } & { . . . } & { 0 } \\ { \frac { g } { 2 } } & { 0 } & { . . . } & { 0 } & { \omega _ { x g } + \Delta \omega ( 1 - \delta _ { j 0 } ) } \end{array} \right) } \\ { j } & { { } = 0 , . . . , N . } \end{array}
\begin{array} { c c } { d = \operatorname { a c o s } \left( x _ { 1 } y _ { 1 } + x _ { 2 } y _ { 2 } + x _ { 3 } y _ { 3 } \right) } & { d = \operatorname { a c o s } \left( x _ { 1 } y _ { 1 } + x _ { 2 } y _ { 2 } + x _ { 3 } y _ { 3 } + x _ { 4 } y _ { 4 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { k , 1 } } & { = \frac { 2 p _ { k } [ t _ { k } \delta \Delta ( t _ { k } \gamma + \sigma ^ { 2 } ( 1 + t _ { k } \delta ) \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ) ] } { ( t _ { k } \gamma + \sigma ^ { 2 } ( 1 + t _ { k } \delta ) ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ) ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) } } \\ & { = \frac { 2 } { ( \tau \delta ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } ( 1 + \delta ) ^ { 2 } ) } } \\ { a _ { k , 2 } } & { = - \frac { p _ { k } t _ { k } ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \Delta ^ { 2 } } { ( t _ { k } \gamma + \sigma ^ { 2 } ( 1 + t _ { k } \delta ) ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ) \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) ^ { 2 } } } \\ { a _ { k , 3 } } & { = - \frac { 2 p _ { k } t _ { k } \overline { { d } } \gamma ( { \mathbf { C } } ) } { \rho ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ( 1 + t _ { k } \delta ) ^ { 3 } } } \\ { a _ { k , 4 } } & { = \frac { p _ { k } \Delta } { \rho ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ( 1 + t _ { k } \delta ) ^ { 2 } } } \\ { a _ { k , 5 } } & { = \frac { - 2 p _ { k } t _ { k } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { I } } _ { N } ) \gamma } { \sigma ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ( 1 + t _ { k } \delta ) ^ { 3 } } } \\ { a _ { k , 6 } } & { = \frac { p _ { k } \Delta } { \sigma ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ( 1 + t _ { k } \delta ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { U } ^ { ( 2 ) } = - \frac { v + u _ { x } } { 3 } \left( \begin{array} { l l l } { \omega } & { \omega ^ { 2 } } & { 1 } \\ { \omega } & { \omega ^ { 2 } } & { 1 } \\ { \omega } & { \omega ^ { 2 } } & { 1 } \end{array} \right) , \qquad \mathcal { U } ^ { ( 1 ) } = - \frac { 2 u } { 3 } \left( \begin{array} { l l l } { \omega ^ { 2 } } & { \omega } & { 1 } \\ { \omega ^ { 2 } } & { \omega } & { 1 } \\ { \omega ^ { 2 } } & { \omega } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \mathcal { V } ^ { ( 2 ) } = \frac { - 3 v _ { x } + u _ { x x } } { 9 } \left( \begin{array} { l l l } { \omega } & { \omega ^ { 2 } } & { 1 } \\ { \omega } & { \omega ^ { 2 } } & { 1 } \\ { \omega } & { \omega ^ { 2 } } & { 1 } \end{array} \right) , \qquad \mathcal { V } ^ { ( 0 ) } = \frac { 2 u } { 3 } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \omega } & { \omega ^ { 2 } } \\ { \omega ^ { 2 } } & { 0 } & { \omega } \\ { \omega } & { \omega ^ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ & { \mathcal { V } ^ { ( 1 ) } = \frac { v } { 3 } \left( \begin{array} { l l l } { - 2 \omega ^ { 2 } } & { \omega ^ { 2 } } & { \omega ^ { 2 } } \\ { \omega } & { - 2 \omega } & { \omega } \\ { 1 } & { 1 } & { - 2 } \end{array} \right) + \frac { ( 1 - \omega ) u _ { x } } { 9 } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { - \omega ^ { 2 } } & { 0 } & { \omega ^ { 2 } } \\ { \omega } & { - \omega } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\vec { \nabla } \cdot \vec { A } = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \int d ^ { 3 } x ^ { \prime } \left( \frac { \vec { \nabla } \cdot \vec { J } ( \vec { x } ^ { \prime } , t _ { r e t } ) } { R } - \vec { J } ( \vec { x } ^ { \prime } , t _ { r e t } ) \cdot \vec { \nabla } ^ { \prime } \frac { 1 } { R } \right) .
\begin{array} { r } { f _ { 1 } ^ { B } ( 0 , \iota _ { 1 } , \iota _ { 2 } , { \mathfrak { v } } ) = \overline { { \chi } } \left( \varepsilon ^ { - 1 } v _ { \eta } \right) \Big ( - \mathscr { A } \cdot \frac { \nabla _ { x } T } { 2 T ^ { 2 } } - \Phi _ { \infty } ( \iota _ { 1 } , \iota _ { 2 } , { \mathfrak { v } } ) \Big ) \ \ \mathrm { f o r } \ \ v _ { \eta } > 0 . } \end{array}
{ \widehat { \pmb { \mathscr { D } } } } = i \hbar \partial _ { \tau } + V , \qquad \qquad { \widehat { \bf P } } ^ { 2 } = { \left( - i \hbar \partial _ { s } \right) } ^ { 2 } + { \left| { \cal A } \right| } ^ { 2 } .
s _ { 3 } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { + \sqrt { \frac { 1 } { c ( x _ { 3 } ) ^ { 2 } } - { \bf s } _ { H } \cdot { \bf s } _ { H } } \quad \mathrm { f o r } \quad { \bf s } _ { H } \cdot { \bf s } _ { H } \leq \frac { 1 } { c ( x _ { 3 } ) ^ { 2 } } } \\ { + i \sqrt { { \bf s } _ { H } \cdot { \bf s } _ { H } - \frac { 1 } { c ( x _ { 3 } ) ^ { 2 } } } \quad \mathrm { f o r } \quad { \bf s } _ { H } \cdot { \bf s } _ { H } > \frac { 1 } { c ( x _ { 3 } ) ^ { 2 } } } \end{array} \right. .
{ \mathcal { L } } = \, i \, { \bar { \psi } } _ { a } \partial \! \! \! / \psi ^ { a } + { \frac { \lambda } { 4 N } } \, \left[ \left( { \bar { \psi } } _ { a } \psi ^ { b } \right) \left( { \bar { \psi } } _ { b } \psi ^ { a } \right) - \left( { \bar { \psi } } _ { a } \gamma ^ { 5 } \psi ^ { b } \right) \left( { \bar { \psi } } _ { b } \gamma ^ { 5 } \psi ^ { a } \right) \right]
g \left( \boldsymbol { s } ^ { * } \right) = \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { \sum _ { t = 1 } ^ { T } s _ { t } ^ { * } } \sum _ { \boldsymbol { v } \in \mathcal { V } } \left[ \prod _ { t = 1 } ^ { T } \left( \begin{array} { c } { s _ { t } ^ { * } } \\ { v _ { t } } \end{array} \right) \right] \left( 2 \pi \right) ^ { N } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \boldsymbol { 1 } _ { \left\{ \Delta _ { i } = 0 \right\} } ,
\begin{array} { r l } { h = } & { - 2 \# \{ \textrm { c o m p o n e n t s o f } F \} + 2 \# \{ \textrm { g e n u s } \} } \\ & { + \# \{ \textrm { n o - } S _ { + } \textrm { n o n - c l o s e d c o m p o n e n t s o f } F \} } \\ & { + \# \{ \textrm { n o - } S _ { - } \textrm { n o n - c l o s e d c o m p o n e n t s o f } F \} } \\ & { + 2 \# \{ \textrm { c l o s e d c o m p o n e n t s o f } F \} } \\ & { + \# \{ S _ { + } \textrm { i n t e r v a l s } \} + \# \{ S _ { + } \textrm { c i r c l e s } \} } \\ & { + \# \{ S _ { - } \textrm { c i r c l e s } \} + \# \{ \textrm { b o u n d a r y c i r c l e s o f } F \textrm { w i t h b o t h } S _ { + } \textrm { a n d } S _ { - } \} } \end{array}
\lambda ( \epsilon ) = L _ { _ \mathrm { ( g s ) } } ( \epsilon ) \, \left\{ 1 + \frac { \epsilon } { 2 } \, \left[ g ^ { ( 0 ) } - { \mathcal G } _ { _ \mathrm { ( g s ) } } ( \epsilon ) \right] \right\} + o ( \epsilon ) \; ,
\begin{array} { r l r } { { \bar { \partial } } _ { t } { \cal E } _ { \epsilon } ^ { n } } & { = } & { { \bar { \partial } } _ { t } { \cal E } ^ { n } + \epsilon { \bar { \partial } } _ { t } \left( \partial _ { t } U ^ { n } , U ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \right) , } \\ & { = } & { - \alpha \| \delta _ { t } U ^ { n } \| ^ { 2 } + \epsilon \left( \partial _ { t } U ^ { n } , { \bar { \partial } } _ { t } U ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \right) + \epsilon \left( { \bar { \partial } } _ { t } \partial _ { t } U ^ { n } , U ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \operatorname* { m i n } \ } & { G ( x ) + ( \beta ^ { + } ) ^ { \top } u _ { \beta } ^ { + } + ( \beta ^ { - } ) ^ { \top } u _ { \beta } ^ { - } + b _ { \Omega } ^ { \top } u _ { \Omega } + c ^ { \top } y } \\ & { - \sum _ { i , j \in [ m ] } \left( h _ { i } ^ { - } \beta _ { j } ^ { - } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 1 } + h _ { i } ^ { + } \beta _ { j } ^ { + } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 2 } + h _ { i } ^ { + } \beta _ { j } ^ { - } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 3 } + h _ { i } ^ { - } \beta _ { j } ^ { + } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 4 } \right) } \\ { \mathrm { s . t . } \ } & { A y \geq b , } \\ & { B y + u _ { \beta } ^ { + } + u _ { \beta } ^ { - } - h _ { i } ^ { - } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i } ^ { 1 } - h _ { i } ^ { + } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i } ^ { 2 } - h _ { i } ^ { + } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i } ^ { 3 } - h _ { i } ^ { - } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i } ^ { 4 } \geq B _ { x } x + b _ { 0 } } & & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i \in [ m ] } \\ & { u _ { \beta } ^ { + } \geq 0 , \ - u _ { \beta } ^ { - } \geq 0 , } \\ & { ( A _ { \Omega } u _ { \Omega } ) _ { i } - \sum _ { j \in [ m ] } \left( \beta _ { j } ^ { - } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 1 } + \beta _ { j } ^ { + } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 2 } + \beta _ { j } ^ { - } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 3 } + \beta _ { j } ^ { + } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 4 } \right) \geq 0 } & & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i \in [ m ] , } \\ & { B _ { \Omega } u _ { \Omega } \geq 0 , } \\ & { ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 1 } + ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 2 } + ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 3 } + ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 4 } \geq ( B _ { h } ) _ { i j } } & & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i , j \in [ m ] , } \\ & { - ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 1 } , - ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 2 } \geq 0 } & & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i , j \in [ m ] , } \\ & { ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 3 } , ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 4 } \geq 0 } & & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i , j \in [ m ] , } \\ & { x \in \mathcal { X } , u _ { \beta } ^ { + } , u _ { \beta } ^ { - } \in \mathbb { R } ^ { J } , u _ { \Omega } \in \mathbb { R } ^ { k } , ( u _ { \mathrm { e n v } } ) ^ { 1 } , ( u _ { \mathrm { e n v } } ) ^ { 2 } , ( u _ { \mathrm { e n v } } ) ^ { 3 } , ( u _ { \mathrm { e n v } } ) ^ { 4 } \in \mathbb { R } ^ { I \times J } , y \in \mathbb { R } ^ { n + l } , } \\ & { y _ { m + 1 } , \ldots , y _ { m + l } \in \{ 0 , 1 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { 2 3 } = \frac { m _ { 0 } R ^ { 5 } } { 8 a ^ { 3 } } \sin \theta \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } } & { \bigg [ } & { \hat { k } _ { 2 } ( k n - \omega ) \left( 2 x X _ { k } ^ { - 3 , 0 } - ( 1 + x ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } + ( 1 - x ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) } \\ & { + } & { \hat { k } _ { 2 } ( k n + \omega ) \left( 2 x X _ { k } ^ { - 3 , 0 } + ( 1 - x ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } - ( 1 + x ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) \bigg ] \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k M } \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { n \in \mathbb { Z } ^ { m } , n \neq 0 } \int _ { \mathbb { R } ^ { m } \setminus ( { \Omega _ { 0 } } \cup ( { \Omega _ { 0 } } + 2 d n ) ) } e ^ { - a | y - x | _ { 1 } } e ^ { - a | y - 2 d n - z | _ { 1 } } d y \leq C ( d ) e ^ { - 4 a d } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \cosh ( a x _ { i } ) \cosh ( a z _ { k } ) } \end{array}
\frac 1 \ell \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \sum _ { \substack { s + 1 \le j \le \ell \, \lambda _ { j } > 0 } } \frac 1 { \lambda _ { j } } ( u _ { j } ^ { \top } k ( Z , z _ { i } ) ) ^ { 2 } = \frac 1 \ell \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \sum _ { j = s + 1 } ^ { \ell } \lambda _ { j } ( u _ { i } ^ { \top } { \mathrm { \boldmath ~ 1 ~ } } _ { j } ) ^ { 2 } = \frac 1 \ell \sum _ { j = s + 1 } ^ { \ell } \lambda _ { j } ,
\begin{array} { r l } { R = } & { g ^ { 0 0 } R _ { 0 0 } + g ^ { i i } R _ { i i } } \\ { = } & { - 3 g ^ { 0 0 } \frac { \ddot { a } } { a } - 3 g ^ { 0 0 } \bigg [ \frac { \ddot { a } } { a } + 2 \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { 2 } \bigg ] - g ^ { i i } \frac { \partial _ { i } ^ { 2 } R } { R } - g ^ { i i } \frac { \partial _ { j } ^ { 2 } R } { R } + 2 g ^ { i i } ( \frac { \partial _ { i } R } { R } ) ^ { 2 } } \\ { = } & { - 6 \, g ^ { 0 0 } \bigg [ \frac { \ddot { a } } { a } + \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { 2 } \bigg ] - 4 \, g ^ { i i } \frac { \partial _ { i } ^ { 2 } R } { R } + 2 \, g ^ { i i } ( \frac { \partial _ { i } R } { R } ) ^ { 2 } , } \end{array}
H ^ { \prime } = \frac 1 2 \int d ^ { 3 } x \left( B _ { a } ^ { i j } F _ { i j } ^ { a } - A _ { i } ^ { a } A _ { a } ^ { i } + \left( \left( D ^ { i } \right) _ { \; \; b } ^ { a } B _ { 0 i } ^ { b } \right) \left( D _ { j } \right) _ { a } ^ { \; \; c } B _ { c } ^ { 0 j } \right) \equiv \int d ^ { 3 } x \, h ^ { \prime } ,
P _ { w } = { \frac { C _ { d } } { 2 \, C _ { S O } } } \rho \, u ^ { 3 } \, \pi \, R _ { 0 } ^ { 2 } \, { \biggl ( } { \frac { P _ { R M F } } { u ^ { 2 } \, R _ { 0 } \, \rho \, \mu _ { 0 } } } { \biggr ) } ^ { 1 / f _ { o } } { \biggl ( } { \frac { \mu _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \pi \eta _ { p } } } { \frac { 2 f _ { o } - 1 } { f _ { o } ^ { 2 } } } { \biggr ) } ^ { 1 / f _ { o } }
\sigma _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ a ~ t ~ } , \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } , k } = \sqrt { \frac { 1 } { N _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ } } \left( N _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ } } - 1 \right) } \cdot \left[ \left( N _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ } } - N _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ p ~ } } \right) \cdot c _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } , k } ^ { 2 } + \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ p ~ } } } \left( c _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } , k l } - c _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } , k } \right) ^ { 2 } \right] }
( x - t ) ^ { 2 } + ( y - \frac { c _ { 2 } - c _ { 1 } } { 2 ( f _ { 1 } - f _ { 2 } ) } - \frac { g _ { 1 } - g _ { 2 } } { f _ { 1 } - f _ { 2 } } t ) ^ { 2 } = C _ { 1 } ( t , \frac { c _ { 2 } - c _ { 1 } } { 2 ( f _ { 1 } - f _ { 2 } ) } - \frac { g _ { 1 } - g _ { 2 } } { f _ { 1 } - f _ { 2 } } t ) = C _ { 2 } ( t , \frac { c _ { 2 } - c _ { 1 } } { 2 ( f _ { 1 } - f _ { 2 } ) } - \frac { g _ { 1 } - g _ { 2 } } { f _ { 1 } - f _ { 2 } } t )