harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { d _ { 0 } } ( 0 ) ^ { c } } Q ( x ) } & { \left| ( \mathcal { H } _ { x } ^ { * } ( x , u _ { n } ( x ) ) ) ^ { \frac { b - 1 } { h _ { i } ^ { * } } } \chi _ { [ t _ { 0 } , t _ { 1 } ] } ( u _ { n } ( x ) ) ( u _ { n } ( x ) - u ( x ) ) \right| ^ { l } d x } \\ & { \leq c _ { 9 } \int _ { A _ { n } \cap B _ { d _ { 0 } } ( 0 ) ^ { c } } Q ( x ) | u _ { n } ( x ) | ^ { ( b - 1 ) l } \chi _ { [ t _ { 0 } , t _ { 1 } ] } ( | u _ { n } ( x ) | ) | u _ { n } ( x ) - u ( x ) | ^ { l } d x } \\ & { \leq c _ { 9 } \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , 2 \} } \left\lbrace \left( \int _ { A _ { n } \cap B _ { d _ { 0 } } ( 0 ) ^ { c } } Q ( x ) | u _ { n } ( x ) | ^ { b l } \chi _ { [ t _ { 0 } , t _ { 1 } ] } ( u _ { n } ( x ) ) d x \right) ^ { \frac { ( b - 1 ) } { b } } \right. } \\ & { \left. \left( \int _ { A _ { n } \cap B _ { d _ { 0 } } ( 0 ) ^ { c } } Q ( x ) | u _ { n } ( x ) - u ( x ) | ^ { b l } d x \right) ^ { \frac { 1 } { b } } \right\rbrace } \\ & { \leq c _ { 1 0 } t _ { 1 } ^ { ( b - 1 ) l } \left( \int _ { A _ { n } \cap B _ { d _ { 0 } } ( 0 ) ^ { c } } Q ( x ) \right) ^ { \frac { ( b - 1 ) } { b } } } \end{array}
< k ^ { 2 } > = \int _ { r } ^ { \infty } k ^ { 2 } p ( k ) d k = 3 r ^ { 2 } + \frac { 2 r ^ { 2 } } { 1 - \omega } + 2 \frac { \omega ^ { 2 } } { \omega - 1 } ( \frac { r } { \omega } ) ^ { 1 + 1 / \omega } ( k _ { M a x } + r \frac { 1 - \omega } { \omega } ) ^ { 1 - 1 / \omega } ,
\mathbf { A } = { \frac { d \mathbf { U } } { d \tau } } = \gamma ( \mathbf { u } ) \left( { \frac { d { \gamma } ( \mathbf { u } ) } { d t } } c , { \frac { d { \gamma } ( \mathbf { u } ) } { d t } } \mathbf { u } + \gamma ( \mathbf { u } ) \mathbf { a } \right) .
\mathrm { \mathrm { ~ d i s c } } \left[ { \cal D } ^ { \mu \nu } ( l ) \right] = 2 \pi \Theta ( l _ { 0 } ) \frac { 2 n ^ { * } l } { l _ { \perp } ^ { 2 } } \Bigg ( \delta ( l ^ { 2 } ) - \delta ( l ^ { 2 } + l _ { \perp } ^ { 2 } ) \Bigg ) \Bigg [ - g ^ { \mu \nu } ( n l ) + n ^ { \mu } l ^ { \nu } + n ^ { \nu } l ^ { \mu } \Bigg ] \; .
\begin{array} { r l } { \big | \{ \varphi _ { k + 1 } v _ { k + 1 } > 0 \} \big | } & { \le \big | \{ \varphi _ { k } v _ { k } > 2 ^ { - k - 1 } \} \big | } \\ & { = \big | \{ \varphi _ { k } ^ { 2 } v _ { k } ^ { 2 } > 2 ^ { - 2 k - 2 } \} \big | } \\ & { \le 2 ^ { 2 ( k + 1 ) } \int _ { B _ { 1 } } \varphi _ { k } ^ { 2 } v _ { k } ^ { 2 } \, d x = 2 ^ { 2 ( k + 1 ) } V _ { k } . } \end{array}
\delta _ { J } \langle 0 , x _ { 0 } ^ { \prime } | 0 , x _ { 0 } ^ { \prime \prime } \rangle _ { J } = i { \Big \langle } 0 , x _ { 0 } ^ { \prime } { \Big | } \int _ { x _ { 0 } ^ { \prime \prime } } ^ { x _ { 0 } ^ { \prime } } d x _ { 0 } ~ \delta J { \Big ( } a ^ { \dagger } + a { \Big ) } { \Big | } 0 , x _ { 0 } ^ { \prime \prime } ~ { \Big \rangle } _ { J }
s ^ { \xi } = - \frac { b } { 2 a } \left( 1 \pm \mathrm { i } \sqrt { \frac { 4 a c } { b ^ { 2 } } - 1 } \right) = - \lambda \pm \mathrm { i } \eta = z _ { \pm } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \lambda = \frac { b } { 2 a } > 0 \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \eta = \frac { b } { 2 a } \sqrt { \frac { 4 a c } { b ^ { 2 } } - 1 } > 0 ,
\sum _ { d \leq \frac { x ^ { \theta } } { ( \log x ) ^ { B } } } \operatorname* { m a x } _ { ( a , d ) = 1 } \operatorname* { m a x } _ { y \le x } \bigg | \sum _ { \substack { n \leq y \, n \equiv a \pmod * { d } } } f ( n ) - \frac { 1 } { \phi ( d ) } \sum _ { \substack { n \leq y \, ( n , d ) = 1 } } f ( n ) \bigg | \ll _ { A } \frac { x } { ( \log x ) ^ { A } } .
\begin{array} { r l } { \left\langle [ N , X _ { 0 } ] , J N \right\rangle } & { = \left\langle [ ( X _ { 1 } \delta ) X _ { 1 } + ( X _ { 2 } \delta ) X _ { 2 } , X _ { 0 } ] , - ( X _ { 2 } \delta ) X _ { 1 } + ( X _ { 1 } \delta ) X _ { 2 } \right\rangle } \\ & { = ( X _ { 2 } \delta ) ( X _ { 0 } X _ { 1 } \delta ) - ( X _ { 1 } \delta ) ( X _ { 0 } X _ { 2 } \delta ) } \\ & { \quad + \left\langle ( X _ { 1 } \delta ) [ X _ { 1 } , X _ { 0 } ] + ( X _ { 2 } \delta ) [ X _ { 2 } , X _ { 0 } ] , - ( X _ { 2 } \delta ) X _ { 1 } + ( X _ { 1 } \delta ) X _ { 2 } \right\rangle } \\ & { = ( X _ { 2 } \delta ) ( X _ { 1 } X _ { 0 } \delta ) - ( X _ { 1 } \delta ) ( X _ { 2 } X _ { 0 } \delta ) - c _ { 0 1 } ^ { 2 } ( X _ { 2 } \delta ) ^ { 2 } + c _ { 0 2 } ^ { 1 } ( X _ { 1 } \delta ) ^ { 2 } } \\ & { \quad + 2 ( c _ { 0 2 } ^ { 2 } - c _ { 0 1 } ^ { 1 } ) ( X _ { 1 } \delta ) ( X _ { 2 } \delta ) . } \end{array}
3 . 3 1 R _ { 2 } [ z ] = \frac { < \bar { f } f > } { 2 4 m ^ { 3 } } \frac { [ - 2 m ^ { 2 } ( 1 - z ) - q ^ { 2 } z + i z \sqrt { 4 m ^ { 2 } q ^ { 2 } - q ^ { 4 } } ] } { m ^ { 2 } ( 1 - z ) ^ { 2 } + q ^ { 2 } z } ,
\begin{array} { r l } & { \partial _ { r } \big ( r ^ { 2 } \partial _ { r } g ( r , \phi , \theta ) \big ) = 2 r \partial _ { r } g ( r , \phi , \theta ) + r ^ { 2 } \bigg ( \partial _ { x } \partial _ { x } f \cos ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \phi + 2 \partial _ { y } \partial _ { x } f \cos ^ { 2 } \theta \cos \phi \sin \phi } \\ & { + 2 \partial _ { z } \partial _ { x } f \cos \theta \sin \theta \cos \phi + \partial _ { y } \partial _ { y } f \cos ^ { 2 } \theta \sin ^ { 2 } \phi + 2 \partial _ { z } \partial _ { y } f \cos \theta \sin \theta \sin \phi + \partial _ { z } \partial _ { z } f \sin ^ { 2 } \theta \bigg ) } \\ & { \partial _ { \theta } \big ( \sin \theta \partial _ { \theta } g ( r , \phi , \theta ) \big ) = \cos \theta \partial _ { \theta } g ( r , \theta , \phi ) + \sin \theta \bigg ( - \partial _ { x } f r \cos \theta \cos \phi - \partial _ { y } f r \cos \theta \sin \phi - \partial _ { z } f r \sin \theta } \\ & { \qquad + \partial _ { x } \partial _ { x } f r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \phi + 2 \partial _ { y } \partial _ { x } f r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \cos \phi \sin \phi - 2 \partial _ { x } \partial _ { z } f r ^ { 2 } \cos \theta \sin \theta \cos \phi } \\ & { \qquad + \partial _ { y } \partial _ { y } f r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \sin ^ { 2 } \phi - 2 \partial _ { z } \partial _ { y } f r ^ { 2 } \cos \theta \sin \theta \sin \phi + \partial _ { z } \partial _ { z } f r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \bigg ) } \\ & { \partial _ { \phi } \partial _ { \phi } g ( r , \phi , \theta ) = - \partial _ { x } f r \cos \theta \cos \phi - \partial _ { y } f r \cos \theta \sin \phi + \partial _ { x } \partial _ { x } f r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \sin ^ { 2 } \phi } \\ & { \qquad - 2 \partial _ { y } \partial _ { x } f r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \cos \phi \sin \phi + \partial _ { y } \partial _ { y } f r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \phi } \end{array}
{ \mathbb C } \cup \{ \infty \} \stackrel { \cong } { \longrightarrow } { \mathbb C } { \mathbb P } ^ { 1 } \stackrel { \cong } \longrightarrow S ^ { 2 } \longrightarrow S ^ { 2 } / J \stackrel { \cong } \longrightarrow { \mathbb R } { \mathbb P } _ { \mathrm { r e d } } ^ { 2 } \longrightarrow { \mathbb C } { \mathbb P } ^ { 1 } \stackrel { \cong } \longrightarrow { \mathbb C } \cup \{ \infty \}
\frac { d \rho } { d t } = - i \left[ H _ { \textrm { i n t } } , \rho \right] + \sum _ { i = 1 , 2 } { \gamma _ { i } \left( 2 \sigma _ { \textrm { g } _ { i } \textrm { e } } \rho \sigma _ { \textrm { e g } _ { i } } - \sigma _ { \textrm { e g } _ { i } } \sigma _ { \textrm { g } _ { i } \mathrm { e } } \rho - \rho \sigma _ { \textrm { e g } _ { i } } \sigma _ { \textrm { g } _ { i } \textrm { e } } \right) } + \kappa \left( 2 a \rho a ^ { \dagger } - a ^ { \dagger } a \rho - \rho a ^ { \dagger } a \right) .
\left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { A } D _ { t } ^ { A } e _ { A } + ( \mathrm { { d i v } } v _ { A } ) \pi _ { A } = { \mathrm { d i v } } q _ { A } + e _ { D _ { A } } } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { A , T } , } \\ { \rho _ { B } D _ { t } ^ { B } e _ { B } + ( \mathrm { { d i v } } v _ { B } ) \pi _ { B } = { \mathrm { d i v } } q _ { B } + e _ { D _ { B } } } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { B , T } , } \\ { \rho _ { S } D _ { t } ^ { S } e _ { S } + ( \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } v _ { S } ) \pi _ { S } = { \mathrm { d i v } } _ { \Gamma } q _ { S } + e _ { D _ { S } } + q _ { B } \cdot n _ { \Gamma } - q _ { A } \cdot n _ { \Gamma } } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { T } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Ddot { Q } + \omega _ { Q } ^ { 2 } Q + \beta _ { 1 } \dot { Q } - \gamma P ^ { 2 } Q } & { { } = Z _ { q } E ( t ) , } \\ { \Ddot { P } + \omega _ { P } ^ { 2 } P + \beta _ { 0 } \dot { P } - \gamma Q ^ { 2 } P + \alpha P ^ { 3 } } & { { } = Z _ { p } E ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { \mu \nu \kappa \lambda } } & { = \int \frac { \chi _ { \mu } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \chi _ { \nu } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \mathrm { e r f c } ( \omega r _ { 1 2 } ) \chi _ { \kappa } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) \chi _ { \lambda } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) } { r _ { 1 2 } } d \mathbf { r } _ { 1 } ^ { 3 } d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 2 } } \\ & { \lesssim N _ { \mu } N _ { \nu } N _ { \kappa } N _ { \lambda } e ^ { - \theta _ { \mu \nu } d _ { \mu \nu } ^ { 2 } } e ^ { - \theta _ { \kappa \lambda } d _ { \kappa \lambda } ^ { 2 } } \sum _ { k } ^ { l _ { \mu \nu } } \sum _ { l } ^ { l _ { \kappa \lambda } } | L _ { l _ { \mu } , l _ { \nu } } ^ { k } ( d _ { \mu \nu } ) L _ { l _ { \kappa } , l _ { \lambda } } ^ { l } ( d _ { \kappa \lambda } ) | \frac { \pi ^ { 3 } \nu _ { k + l } ( \theta _ { \mu \nu \kappa \lambda \omega } , R ) } { \alpha _ { \mu \nu } ^ { k + 3 / 2 } \alpha _ { \kappa \lambda } ^ { l + 3 / 2 } } , } \end{array}
C ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 2 \xi \sinh ( 1 / \xi ) } \cdot \left( \begin{array} { c c c c c c c } { e ^ { 1 / \xi } } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 2 \cosh ( 1 / \xi ) } & { - 1 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & & { \vdots } & { \vdots } \\ { \vdots } & & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \vdots } & & & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { - 1 } & { 2 \cosh ( 1 / \xi ) } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { \dots } & { \dots } & { 0 } & { - 1 } & { e ^ { 1 / \xi } } \end{array} \right) .
e _ { j } \; = \; - \frac 1 2 \, \Bigl ( \sigma _ { j } ^ { x } \sigma _ { j + 1 } ^ { x } \; + \; \sigma _ { j } ^ { y } \sigma _ { j + 1 } ^ { y } \; + \; \frac { q + q ^ { - 1 } } 2 \, ( \sigma _ { j } ^ { z } \sigma _ { j + 1 } ^ { z } - 1 ) \; + \; \frac { q - q ^ { - 1 } } 2 \, ( \sigma _ { j } ^ { z } - \sigma _ { j + 1 } ^ { z } ) \Bigr ) \, .
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } i D ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ) \langle \psi \mid { \mathcal { T } } \{ \varphi ( x _ { 2 } ) \varphi ( x _ { 3 } ) \} \mid \psi \rangle + i D ( x _ { 0 } , x _ { 2 } ) \langle \psi \mid { \mathcal { T } } \{ \varphi ( x _ { 1 } ) \varphi ( x _ { 3 } ) \} \mid \psi \rangle } \end{array}
\mathbf { S } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \quad \quad \, \, \, \mu _ { 1 } ^ { ' } - \mu _ { 2 } = \frac { 1 - \theta } { \theta } - \frac { 1 - \theta } { \theta ^ { 2 } } } \\ & { \implies \mu _ { 1 } ^ { ' } - \mu _ { 2 } = \frac { 1 - \theta } { \theta } \left( 1 - \frac { 1 } { \theta } \right) } \\ & { \implies \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } ^ { ' } = \left( \frac { 1 - \theta } { \theta } \right) ^ { 2 } } \\ & { \implies \frac { 1 - \theta } { \theta } = \sqrt { \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } ^ { ' } } } \\ & { \implies \theta = \frac { 1 } { 1 + \sqrt { \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } ^ { ' } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \qquad \qquad \qquad \qquad \frac { \# ( A \cap ( L ^ { - 1 } \mathbb { Z } ) ^ { 2 d } ) } { L ^ { 2 d } } \sim | t | ^ { - 1 } \sim \mathrm { V o l } ( A ) , \mathrm { \ w h e r e } } \\ & { A = \{ ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \in \mathbb R ^ { 2 d } : | k _ { 1 } | , | k _ { 2 } | \lesssim 1 , \, \, | \omega ( k _ { 1 } ) - \omega ( k _ { 2 } ) + \omega ( k + k _ { 2 } - k _ { 1 } ) - \omega ( k ) | \lesssim | t | ^ { - 1 } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { k \rightarrow \infty } T _ { 2 } ( \mu _ { n _ { k } } , \nu _ { n _ { k } } , c _ { n _ { k } } , h _ { c , { n _ { k } } } ) } & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { k \rightarrow \infty } \operatorname* { i n f } _ { \pi \in \Pi _ { c _ { n _ { k } } } ^ { \star } ( \mu _ { n _ { k } } , \nu _ { n _ { k } } ) } \pi ( h _ { c , { n _ { k } } } ) } \\ & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { k \rightarrow \infty } \pi _ { n _ { k } } ( h _ { c , { n _ { k } } } ) } \\ & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { k \rightarrow \infty } \pi _ { n _ { k } } ( h _ { c , { \infty } } ) - \left\| h _ { c , { \infty } } - h _ { c , { n _ { k } } } \right\| _ { \infty } } \\ & { = \pi _ { \infty } ( h _ { c , { \infty } } ) = T _ { 2 } ( \mu _ { \infty } , \nu _ { \infty } , c _ { \infty } , h _ { c , { \infty } } ) . } \end{array}
\tilde { \cal A } _ { m } ^ { n } = \frac { 3 } { 4 } \left( \begin{array} { c c c c } { { z ^ { - 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { z ^ { - 2 } } } \end{array} \right) + \mathrm { ~ m e a n ~ f i e l d ~ t e r m s }
\begin{array} { r } { d E _ { s } ( x , y , z _ { s } , t ) = d z _ { s } \frac { E _ { 0 } } { \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \omega } { n c } \hat { \psi } ( x , y ) f ( 2 z _ { s } - v _ { g } t ) \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( - z _ { s } \overline { { \alpha } } ( z _ { s } ) ) \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( 2 i \beta z _ { s } - i \omega t + \pi / 2 ) \times } \\ { \times \left( \int _ { S } d x d y \Delta \chi ( x , y , z _ { s } ) | \hat { \psi } | ^ { 2 } ( x , y ) \right) , } \end{array}
A ^ { 4 } - ( \operatorname { t r } A ) A ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 2 } } \left[ ( \operatorname { t r } A ) ^ { 2 } - \operatorname { t r } ( A ^ { 2 } ) \right] A ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 6 } } \left[ ( \operatorname { t r } A ) ^ { 3 } - 3 \operatorname { t r } ( A ^ { 2 } ) ( \operatorname { t r } A ) + 2 \operatorname { t r } ( A ^ { 3 } ) \right] A + \operatorname* { d e t } ( A ) I _ { 4 } = O ,
\lambda ^ { - 2 n } H , E _ { - \alpha } , \lambda ^ { - 2 n } E _ { \pm \alpha } , F _ { - \alpha _ { 1 } } , \lambda ^ { - 2 n } F _ { \pm \alpha _ { 1 } } , \lambda ^ { - 2 n } F _ { \alpha _ { 2 } } , F _ { - \alpha _ { 2 } } , \lambda ^ { - 2 n } F _ { - \alpha _ { 2 } } , \lambda ^ { - 1 } H ^ { \prime } , \lambda ^ { - ( 2 n + 1 ) } H ^ { \prime } , ~ ~ n > 0
2 \mathbb { E } [ k _ { \mathrm { i n } } ] \mathbb { E } [ k _ { \mathrm { i n } } k _ { \mathrm { o u t } } ] - \mathbb { E } [ k _ { \mathrm { i n } } ] \mathbb { E } [ k _ { \mathrm { o u t } } ^ { 2 } ] - \mathbb { E } [ k _ { \mathrm { i n } } ] \mathbb { E } [ k _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } ] + \mathbb { E } [ k _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } ] \mathbb { E } [ k _ { \mathrm { o u t } } ^ { 2 } ] - \mathbb { E } [ k _ { \mathrm { i n } } k _ { \mathrm { o u t } } ] ^ { 2 } > 0 .
\mathbf { r } ^ { \mathrm { ~ R ~ } } = \overset \leftrightarrow { \mathbf { R } } _ { \phi } ( - \phi ) \, \overset \leftrightarrow { \mathbf { R } } _ { \theta } ( - \theta ) \, \mathbf { r } _ { \mathrm { ~ P ~ W ~ S ~ } } .
A _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { m } } M _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { m } } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) = A _ { \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } M _ { \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } ^ { ( m ) } ( { \pmb \xi } ^ { \prime } , { \pmb \xi } )
\begin{array} { r } { - \int _ { \mathbb R } w \partial _ { x } ^ { 5 } w \partial _ { x } ^ { 3 } w _ { t } \ d x = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb R } w \partial _ { t } ( \partial _ { x } ^ { 4 } w ) ^ { 2 } \ d x + \int _ { \mathbb R } w _ { x } \partial _ { x } ^ { 4 } w \partial _ { x } ^ { 3 } w _ { t } \ d x . } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { d } ( L _ { d } x ) = \left( \begin{array} { l l l l } { \tilde { F } _ { d } ( S _ { 1 } ^ { d } x ) ^ { \top } } & { \tilde { F } _ { d } ( S _ { 2 } ^ { d } x ) ^ { \top } } & { \dots } & { \tilde { F } _ { d } ( S _ { m _ { d } } ^ { d } x ) ^ { \top } } \end{array} \right) ^ { \top } . } \end{array}
\eta = \left[ 2 \, a \, \cos \left( { \frac { k _ { 1 } - k _ { 2 } } { 2 } } x - { \frac { \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } } { 2 } } t \right) \right] \; \cdot \; \sin \left( { \frac { k _ { 1 } + k _ { 2 } } { 2 } } x - { \frac { \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } } { 2 } } t \right) .
F ( x ; \mu , \sigma ) = \operatorname { R e } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { \operatorname { e r f } ( z ) } { 2 } } + { \frac { i z ^ { 2 } } { \pi } } \, _ { 2 } F _ { 2 } \left( 1 , 1 ; { \frac { 3 } { 2 } } , 2 ; - z ^ { 2 } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \dot { \delta m _ { i } } } & { = - \delta a _ { i } ( t ) / ( \alpha { \tau _ { \mathrm { m } } } ) + \eta _ { m _ { i } } ( t ) , } \\ { \dot { \delta x ^ { \ast } } } & { = \gamma \sum _ { i = 1 } ^ { R _ { \mathrm { T } } } \delta a _ { i } ( t ) - \delta x ^ { * } ( t ) / \tau _ { r } + \eta _ { x } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \omega _ { \gamma } ^ { D } - \omega _ { \gamma } ^ { S } } { \omega _ { \gamma } ^ { D } } \bigg | _ { \mathrm { ~ D ~ o ~ p ~ p ~ l ~ e ~ r ~ } } \! \! } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { L } \! \! d t \big [ h _ { 0 0 , 0 } ^ { \mathrm { P D } } - h _ { 0 0 , 1 } ^ { \mathrm { P D } } \big ] _ { x ^ { \mu } = ( t , L , 0 , 0 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \xi } ( \xi ) } & { = \frac { 1 } { r _ { \mathrm { m a x } } - r _ { \mathrm { m i n } } } \int _ { r _ { \mathrm { m i n } } } ^ { r _ { \mathrm { m a x } } } p _ { \xi | r } ( \xi | r ) \, d \! r = } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \left[ 1 - \bar { K } _ { \xi r } \cdot \cos \phi \left( \cos 2 \xi \cdot \cos ^ { 3 } \xi - \frac { 1 } { 5 } \cos \xi \cdot \cos ^ { 4 } 2 \xi \right) \right] \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { \alpha \beta } ( r ) } & { { } = } & { 4 \epsilon _ { \alpha \beta } \Big [ \Big ( \frac { \sigma _ { \alpha \beta } } { r } \Big ) ^ { 1 2 } - \Big ( \frac { \sigma _ { \alpha \beta } } { r } \Big ) ^ { 6 } + A _ { 0 } + A _ { 1 } \Big ( \frac { r } { \sigma _ { \alpha \beta } } \Big ) + A _ { 2 } \Big ( \frac { r } { \sigma _ { \alpha \beta } } \Big ) ^ { 2 } \Big ] \ , r \le r _ { c u t } } \end{array}
\Omega ^ { v , \pm } = \Omega _ { 0 } ^ { \pm } + \Omega _ { v } ^ { \pm } = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left[ \sum _ { a , p } \Omega _ { a , p } ^ { \pm ( k , 1 ) } + \sum _ { p } \Omega _ { v , p } ^ { \pm ( k , 1 ) } \right]
\begin{array} { r } { [ ( G ^ { - 1 } ) _ { a \sigma b \sigma ^ { \prime } } ^ { \textrm { K } } ( \mathbf { k } , \omega ) ] _ { m n } = 2 i \Gamma \delta _ { m , n } \delta _ { a , b } \delta _ { \sigma , \sigma ^ { \prime } } \Gamma \operatorname { t a n h } \frac { \omega + m \Omega } { 2 T _ { \textrm { b } } } . } \end{array}
E _ { b } ( \lambda ) = - E _ { \mathrm { k i n } } ( \lambda ) + \frac { e ^ { 2 } } { \bar { \epsilon } \rho _ { 0 } } \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \beta ^ { 2 } } } \left[ \frac { \ln \left( \sqrt { 1 + \beta ^ { 2 } } + \beta \right) + \ln \left( \sqrt { 1 + \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { \beta } \right) } { 1 + \beta ^ { 2 } } - \frac { 1 - \beta } { \sqrt { 1 + \beta ^ { 2 } } } \right] .
\bar { \mathcal { F } } , \bar { \mathcal { G } } : \mathring { V } \Lambda ^ { 2 } ( \Omega ) \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \partial \Omega ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Sigma ) \to \mathbb { R }
\begin{array} { r l r } { \frac { \Delta a _ { \mu } } { 3 \! \times \! 1 0 ^ { - 9 } } \approx } & { { } } & { \left( \frac { 2 5 0 \, \mathrm { T e V } } { \Lambda } \right) ^ { 2 } \times } \end{array}
\mathbf { A } ( \mathbf { r } ) = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \int { \frac { \mathbf { J } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } \, \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime } \, .
\begin{array} { r l } { \left\| \operatorname* { s u p } _ { s > 0 } s ^ { - 1 } K ( s , f ( x , \cdot ) , A _ { 0 } , A _ { 1 } ) \right\| _ { L ^ { \infty } ( X ) } } & { = \operatorname* { s u p } _ { s > 0 , x \in X } s ^ { - 1 } K ( s , f ( x , \cdot ) , A _ { 0 } , A _ { 1 } ) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { s > 0 } s ^ { - 1 } \left\| K ( s , f ( x , \cdot ) , A _ { 0 } , A _ { 1 } ) \right\| _ { L ^ { \infty } ( X ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } } { a _ { 1 } \mu _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } + c _ { 2 } q _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \frac { K q _ { 1 } ( \mu _ { 2 } ( c _ { 1 } q _ { 1 } - a _ { 1 } \mu _ { 1 } ) - \mu _ { 1 } ( c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } ) ) } { m _ { 1 } ( K ( c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } ) - \mu _ { 2 } ) } } & { = } & { 0 . 1 5 5 5 2 . } \end{array}
\bar { \epsilon } _ { | | } = \frac { 1 + 6 b \bar { h } ^ { 2 } \arctan ^ { 2 } \left[ \operatorname { t a n h } \left( \frac { \bar { z } } { 2 } \right) \right] } { \left[ 2 \cosh ( \bar { z } ) \right] ^ { b } } ,
\Pi _ { g } : I \rightarrow \left( \bigcup _ { i \in I } ( \mathcal { I } ( \tau ( i ) ) \times \{ \mathcal { P } ( s ) | s \in \mathcal { I } ( S _ { \textup { i m m u t } } ) \} \rightarrow \mathcal { I } ( \tau ( i ) ) ) \right)
\begin{array} { r } { Q = \left\{ \begin{array} { l } { Q _ { \mathrm { a d } } \quad \hfill ( v _ { \mathrm { m i n } } \leq v _ { \mathrm { i m p } } \leq v _ { \mathrm { m a x } } ) , } \\ { 0 \hfill ( \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } ) , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { x } \psi _ { 1 } - \nabla ^ { 2 } \mathcal { T } _ { 1 } } & { { } = 0 } \\ { - \partial _ { x } \mathcal { T } _ { 1 } - \lambda \nabla ^ { 4 } \psi _ { 1 } } & { { } = 0 . } \end{array}
d _ { t } \mathbf { x } = \left[ \begin{array} { l } { d _ { t } E _ { \mathbf { 1 } } } \\ { \vdots } \\ { d _ { t } E _ { \mathbf { T } } } \\ { d _ { t } I _ { \mathbf { 1 } } } \\ { \vdots } \\ { d _ { t } I _ { \mathbf { T } } } \end{array} \right] = f ( \mathbf { x } ) - w ( \mathbf { x } ) = \left[ \begin{array} { l } { \Lambda _ { \mathbf { 1 } } S _ { \mathbf { 1 } } } \\ { \vdots } \\ { \Lambda _ { \mathbf { T } } S _ { \mathbf { T } } \ } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \end{array} \right] - \left[ \begin{array} { l } { \Psi E _ { \mathbf { 1 } } } \\ { \vdots } \\ { \Psi E _ { \mathbf { T } } } \\ { \Gamma I _ { \mathbf { 1 } } - \Psi E _ { \mathbf { 1 } } } \\ { \vdots } \\ { \Gamma I _ { \mathbf { T } } - \Psi E _ { \mathbf { T } } } \end{array} \right]
\tau \rightarrow \frac { a ^ { \prime } \tau + b ^ { \prime } } { c ^ { \prime } \tau + d ^ { \prime } } \; \; , \; \; \; \; \; \Gamma _ { \gamma } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { c c } { { a ^ { \prime } } } & { { b ^ { \prime } } } \\ { { c ^ { \prime } } } & { { d ^ { \prime } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { - \mathrm { d i v } \ \boldsymbol { D } \boldsymbol { w } _ { j } } & { = \lambda _ { j } \boldsymbol { w } _ { j } , } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega } \\ { \mathrm { d i v } \ \boldsymbol { w } _ { j } } & { = 0 , } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega } \\ { \boldsymbol { D } \boldsymbol { w } _ { j } \boldsymbol { n } + \alpha \boldsymbol { w } _ { j } } & { = \lambda _ { j } \beta \boldsymbol { w } _ { j } } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Gamma } \end{array}
\sum _ { j = 1 } ^ { M } c _ { j } \frac { \partial \vec { E } _ { j } } { \partial t } = - 4 \pi \frac { q c } { V _ { g } } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { M } c _ { j } ^ { 2 } \right) \frac { \vec { p } } { \sqrt { 1 + p ^ { 2 } } } = - 4 \pi \frac { q c } { V _ { g } } \xi \frac { \vec { p } } { \sqrt { 1 + p ^ { 2 } } } ,