harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \breve { S } _ { k } ^ { \top } v _ { k } } & { = \breve { S } _ { k } ^ { \top } ( \psi _ { k } + \Phi _ { k } y _ { k } ) \mathrm { ~ , } } \\ { \hat { S } _ { k } ^ { \top } v _ { k } } & { = \hat { F } _ { k } ( \hat { S } _ { k } ^ { \top } v _ { k } , \tilde { S } _ { k } ^ { \top } v _ { k } ) \mathrm { ~ , } } \end{array}
| \, \overline { { u ^ { \textnormal { L , c r e s t } } } } \, | - | \, \overline { { u ^ { \textnormal { L , t r o u g h } } } } \, | = c \bigg [ 1 + \mathcal { C } _ { \alpha } ^ { 2 } \bigg \{ 1 - \frac { 8 } { \pi ^ { 2 } } ( 1 - \Gamma ) \bigg \} \bigg ] \epsilon ^ { 2 } > 0 ,
\mathrm { i } \tilde { u } _ { n } = - \frac { 1 } { \xi _ { n } } \frac { \partial \tilde { p } _ { n } } { \partial \varphi } + \frac { \delta _ { n } ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { u } _ { n } } { \partial y ^ { 2 } } , \ \ \ \ \mathrm { i } \tilde { w } _ { n } = - \frac { 1 } { \xi _ { n } } \frac { \partial \tilde { p } _ { n } } { \partial z } + \frac { \delta _ { n } ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { w } _ { n } } { \partial y ^ { 2 } } \ \ \ \ \mathrm { o r } \ \ \ \ \tilde { \mathbf { u } } _ { n } = \frac { \mathrm { i } } { \xi _ { n } } \nabla \tilde { p } _ { n } F _ { n } \left( y \right) ,
\widetilde { H } _ { e m } = - \frac { \widetilde { e } ^ { 2 } } { 2 4 \pi ^ { 2 } } \left[ \sum _ { q u a r k s } \widetilde { Q } _ { q u a r k s } ^ { 2 } \right] \widetilde { F } _ { \mu \nu } \widetilde { F } ^ { \mu \nu } \ ,
\begin{array} { r l } & { E \biggl [ \int _ { 0 } ^ { T } \hat { p } ^ { 1 } ( t ) ^ { T } \biggl ( ( \sigma ( t , Y ^ { u _ { 1 } } ( t ) , \alpha ( t ) , u _ { 1 } ( t ) , u _ { 2 } ^ { * } ( t ) ) - \hat { \sigma } ( t , \hat { Y } ( t ) , \alpha ( t ) , u _ { 1 } ^ { * } ( t ) , u _ { 2 } ^ { * } ( t ) ) ) ^ { 2 } } \\ & { \quad + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } ( \eta ( t , Y ^ { u _ { 1 } } ( t ) , \alpha ( t ) , u _ { 1 } ( t ) , u _ { 2 } ^ { * } ( t ) , z ) - \hat { \eta } ( t , \hat { Y } ( t ) , \alpha ( t ) , u _ { 1 } ^ { * } ( t ) , u _ { 2 } ^ { * } ( t ) , z ) ) ^ { 2 } \nu ( d z ) } \\ & { \quad + \sum _ { j = 1 } ^ { D } ( \gamma ^ { j } ( t , Y ^ { u _ { 1 } } ( t ) , \alpha ( t ) , u _ { 1 } ( t ) , u _ { 2 } ^ { * } ( t ) ) - \hat { \gamma } ^ { j } ( t , \hat { Y } ( t ) , \alpha ( t ) , u _ { 1 } ^ { * } ( t ) , u _ { 2 } ^ { * } ( t ) ) ) ^ { 2 } \lambda _ { j } ( t ) \biggr ) \hat { p } ^ { 1 } ( t ) d t \biggr ] < \infty } \end{array}
{ \cal A } _ { 3 } { \left( s ; \tau \right) } = P _ { 3 } { \left( s ; \tau \right) } e ^ { i \phi } , \qquad \Psi _ { 3 } { \left( s ; \tau \right) } = Q _ { 3 } { \left( s ; \tau \right) } e ^ { i \psi } ,
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \sum \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { j \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { m \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { p \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { j } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathcal { X } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { p \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \mathcal { Z } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! . \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { 2 } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} + \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} + 2 \Re \{ \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { x } } ^ { \ast } b _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { \ast } \} \}
\begin{array} { r l } { \mathop { \mathbb { E } } \| \bar { e } _ { x } ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \mu \alpha ) \mathop { \mathbb { E } } \| \bar { e } _ { x } ^ { k } \| ^ { 2 } - \alpha \big ( \mathop { \mathbb { E } } f ( \bar { x } ^ { k } ) - f ( x ^ { \star } ) \big ) } \\ & { \quad + \frac { 3 \alpha c _ { 1 } ^ { 2 } L } { 2 n } \mathop { \mathbb { E } } \| \hat { { \mathbf { x } } } ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { \alpha ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { n } , } \end{array}
g _ { \tilde { r } \tilde { r } } ( G _ { \mu } ^ { \mu } - 2 G _ { t } ^ { t } ) = 1 6 \pi G \frac { m } { f } ( L _ { M } + g ^ { t t } \frac { \partial L _ { M } } { \partial g ^ { t t } } - g ^ { \tilde { r } \tilde { r } } \frac { \partial L _ { M } } { \partial g ^ { \tilde { r } \tilde { r } } } - g ^ { \theta \theta } \frac { \partial L _ { M } } { \partial g ^ { \theta \theta } } - g ^ { \varphi \varphi } \frac { \partial L _ { M } } { \partial g ^ { \varphi \varphi } } )
\Big \langle \nabla \mathcal { J } _ { 2 } , \iota ^ { \prime } \Big \rangle _ { H ^ { 1 } } = \int _ { 0 } ^ { c _ { s , m a x } } \left( I d - \ell ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } } { d c _ { s } ^ { 2 } } \right) \nabla \mathcal { J } _ { 2 } \, \iota ^ { \prime } \, d c _ { s } - \ell ^ { 2 } \frac { d \left( \nabla \mathcal { J } _ { 2 } \right) } { d c _ { s } } \iota ^ { \prime } \Bigg | _ { 0 } ^ { c _ { s , m a x } } .
\nabla _ { r } \hat { p } = \nabla _ { r } p _ { \bot } + \nabla _ { \theta } \frac { { p _ { \parallel e } - p _ { \bot e } } } { { B ^ { 2 } } } B _ { r } B _ { \theta } \approx \nabla _ { \theta } \left( \frac { \Lambda _ { e } } { 4 \pi } B _ { r } B _ { \theta } \right)
| n \rangle | \{ N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } , \alpha } \} \rangle \; \; \; \mathrm { w i t h \; \; e i g e n e n e r g i e s } \; \; \; E ( n , \{ N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \} ) = E _ { n } + \sum _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } , \alpha } N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \; \hbar \omega _ { k }
\begin{array} { r c l } { L _ { 2 } \mathrm { ~ - ~ E ~ r ~ r ~ o ~ r ~ } } & { = } & { \sqrt { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( u _ { i } ^ { e x a c } - u _ { i } ^ { a p p r o x } \right) ^ { 2 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( u _ { i } ^ { e x a c } \right) ^ { 2 } } } } \end{array}
p = \left( { \frac { - 1 + \| v \| ^ { 2 } } { 1 + \| v \| ^ { 2 } } } , { \frac { 2 \mathbf { v } } { 1 + \| v \| ^ { 2 } } } \right) = { \frac { - 1 + \mathbf { v } } { 1 + \mathbf { v } } }
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { \mathrm { r m s } , A } ( _ { g } \hat { \mathbf { a } } ^ { ( d _ { r } ) } , \, ^ { [ i ] } \hat { \mathbf { a } } ^ { ( d _ { r } ) } ; \, A _ { c } ) } & { : = \left( \frac { 1 } { | \mathcal { N } | } \sum _ { n \in \mathcal { N } } \left| _ { g } \hat { a } _ { n } - ^ { [ i ] } \hat { a } _ { n } \right| ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } , } \\ { \varepsilon _ { \mathrm { r m s } , \theta } ( _ { g } \hat { \mathbf { a } } ^ { ( d _ { r } ) } , \, ^ { [ i ] } \hat { \mathbf { a } } ^ { ( d _ { r } ) } ; \, A _ { c } ) } & { : = \left( \frac { 1 } { | \mathcal { N } | } \sum _ { n \in \mathcal { N } } \left( \arg \left( _ { g } \hat { a } _ { n } \right) - \arg \left( ^ { [ i ] } \hat { a } _ { n } \right) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } ; } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu \| J _ { h } \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } \leq C _ { 1 } ^ { 2 } \mu h ^ { 2 } \| \nabla \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \delta } ( \theta , t ) } & { = R _ { 0 } + R _ { 0 } \, \delta \left( \beta \cos ( k \theta ) + \sqrt { 1 - \beta ^ { 2 } } \, \sin ( k \theta ) \right) \cos ( \nu t ) e ^ { - \alpha t } } \\ & { = \Re \left( R _ { 0 } + R _ { 0 } \, \delta \left( \beta \cos ( k \theta ) + \sqrt { 1 - \beta ^ { 2 } } \, \sin ( k \theta ) \right) e ^ { - \gamma t } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { Q _ { 7 } ^ { r } } } & { { = } } & { { \frac { 3 } { 2 } ( \overline { { { r } } } _ { \alpha } b _ { \alpha } ) _ { \mathrm { { \scriptsize ~ V - - A } } } \sum _ { q ^ { \prime } } e _ { q ^ { \prime } } ( \overline { { { q } } } _ { \beta } ^ { \prime } q _ { \beta } ^ { \prime } ) _ { \mathrm { { \scriptsize ~ V + A } } } } } \\ { { Q _ { 8 } ^ { r } } } & { { = } } & { { \frac { 3 } { 2 } ( \overline { { { r } } } _ { \alpha } b _ { \beta } ) _ { \mathrm { { \scriptsize ~ V - - A } } } \sum _ { q ^ { \prime } } e _ { q ^ { \prime } } ( \overline { { { q } } } _ { \beta } ^ { \prime } q _ { \alpha } ^ { \prime } ) _ { \mathrm { { \scriptsize ~ V + A } } } } } \\ { { Q _ { 9 } ^ { r } } } & { { = } } & { { \frac { 3 } { 2 } ( \overline { { { r } } } _ { \alpha } b _ { \alpha } ) _ { \mathrm { { \scriptsize ~ V - - A } } } \sum _ { q ^ { \prime } } e _ { q ^ { \prime } } ( \overline { { { q } } } _ { \beta } ^ { \prime } q _ { \beta } ^ { \prime } ) _ { \mathrm { { \scriptsize ~ V - - A } } } } } \\ { { Q _ { 1 0 } ^ { r } } } & { { = } } & { { \frac { 3 } { 2 } ( \overline { { { r } } } _ { \alpha } b _ { \beta } ) _ { \mathrm { { \scriptsize ~ V - - A } } } \sum _ { q ^ { \prime } } e _ { q ^ { \prime } } ( \overline { { { q } } } _ { \beta } ^ { \prime } q _ { \alpha } ^ { \prime } ) _ { \mathrm { { \scriptsize ~ V - - A } } } . } } \end{array}
\Delta \sigma _ { p _ { t } } \: \equiv \: \left\{ \overline { { { n ( \langle p _ { t } \rangle \: - \: \hat { p } _ { t } ) ^ { 2 } } } } \: - \: \sigma _ { \hat { p } _ { t } } ^ { 2 } \right\} / { 2 \sigma _ { \hat { p } _ { t } } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } ( \mathcal { D } _ { l } \cap \mathcal { C } _ { s } \cap \mathcal { E } _ { l } ) = \mathbb { E } [ \mathbb { P } ( \mathcal { D } _ { l } \cap \mathcal { C } _ { s } \cap \mathcal { E } _ { l } | \mathcal { B } _ { l } ) ] } \\ & { \leq } & { e ^ { - 2 L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { 2 } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } + 1 ) ^ { 2 } ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 2 } ( s _ { 2 } ^ { \prime } - s _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { \mu } ^ { \mathrm { E R M } } ( \omega ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t e ^ { i \omega t } \mathrm { J } _ { \mu } ^ { \mathrm { E R M } } ( t ) = \sum _ { \mathbf { k } } R _ { \mu } ^ { \mathbf { k } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } T ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , s ) } e ^ { - i \left[ S ^ { \mu } ( \mathbf { k } , t , s ) - \omega t \right] } \mathrm { d } s + \mathrm { c . c . } . } \end{array}
{ \widetilde { \cal L } } = \lambda _ { a } [ { \dot { \phi } } ^ { a } - \omega ^ { a b } \partial _ { b } H ] + i { \bar { c } } _ { a } [ \delta _ { b } ^ { a } \partial _ { t } - \omega ^ { a c } \partial _ { c } \partial _ { b } H ] c ^ { b } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { W \hat { W } } ( \ell ( W , \hat { W } ) \geq \rho ) } & { \leq L _ { W } ( \hat { W } , \rho ) \cdot \varphi ^ { - 1 } \left( \frac { I _ { \varphi } ( W , \hat { W } ) + ( 1 - L _ { W } ( \hat { W } , \rho ) ) \cdot \varphi ^ { \star } ( 0 ) } { L _ { W } ( \hat { W } , \rho ) } \right) } \\ & { \leq L _ { W } ( \rho ) ^ { \frac { p - 1 } { p } } \left( ( p - 1 ) \mathcal { H } _ { p } ( W , X ) + 1 \right) ^ { \frac 1 p } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac 1 2 \, \rho _ { 0 } ( x ) + \int _ { \partial K } \left( \frac { \partial G ( x , y ) } { \partial \mathbf { n } ( y ) } + 1 \right) \rho _ { 0 } ( y ) ~ d S ( y ) } & { = \int _ { \partial K } G ( x , y ) \, \mathbf { F } _ { 0 } ( y ) \cdot \mathbf { n } ( y ) ~ d S ( y ) ~ , } \\ { \frac 1 2 \, \hat { \rho } _ { 0 } ( x ) + \int _ { \partial K } \left( \frac { \partial G ( x , y ) } { \partial \mathbf { n } ( y ) } + 1 \right) \hat { \rho } _ { 0 } ( y ) ~ d S ( y ) } & { = \int _ { \partial K } G ( x , y ) \, \hat { \mathbf { F } } _ { 0 } ( y ) \cdot \mathbf { n } ( y ) ~ d S ( y ) ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a _ { l } ( x , \xi , \tau ) = \alpha _ { l } ( \xi ) \exp \left( - i \omega _ { L } \tau ( l + 1 ) \frac { 2 c ^ { 2 } } { \omega _ { L } ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \mathrm { H G } _ { l } \, , } \\ & { \mathrm { H G } _ { l } ( x ) = \sqrt { \frac { 1 } { 2 ^ { l } l ! } } \exp \left( - \frac { x ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) H _ { l } \left( \frac { \sqrt { 2 } \, x } { w _ { 0 } } \right) \, , } \\ & { \langle \mathrm { H G } _ { l ^ { \prime } } | ( . . . ) | \mathrm { H G } _ { l } \rangle \equiv \sqrt { \frac { 2 } { \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x \mathrm { H G } _ { l ^ { \prime } } ^ { * } ( . . . ) \mathrm { H G } _ { l } } \end{array}
\begin{array} { r } { u = \frac { K z } { x ^ { 2 } + z ^ { 2 } } , \quad v = 0 , \quad w = \frac { - K x } { x ^ { 2 } + z ^ { 2 } } , \quad p = \frac { u ^ { 2 } + w ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { \gamma } , \quad \rho = 1 + 0 . 1 \frac { 1 - \exp ( - 1 . 5 ( r - 0 . 5 ) ) } { 1 - \exp ( - 1 . 5 ) } , } \end{array}
p _ { i } ^ { ( N , G ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 - G } { 2 G - 1 } \frac { 1 } { N } \left( \frac { \Gamma ( N + 1 ) \, \Gamma ( i - 2 + 1 / G ) } { \Gamma ( N - 1 + 1 / G ) \, \Gamma ( i ) } - 1 \right) , } & { G \neq \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \frac { 1 } { N } \left( H _ { N } - H _ { i - 1 } \right) = \frac { 1 } { N } \sum _ { j = i } ^ { N } \frac { 1 } { j } , } & { G = \frac { 1 } { 2 } , } \end{array} \right.
\mathbf { D } _ { \mathrm { f i t } } \leftarrow \mathbf { D } _ { \mathrm { f i t } } \cup \mathrm { r a n d o m { \_ } c h o i c e } \left( \mathbf { D } ^ { \backslash \mathrm { f i t } } , \ \mathbf { P } _ { \mathrm { g o o d } } , \ N _ { \mathrm { g o o d } } \right)
\begin{array} { r l } { B _ { \alpha , \beta } } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { \beta } ( 1 - x ) ^ { \alpha - \beta } d x } \\ & { = \frac { x ^ { \beta } ( 1 - x ) ^ { \alpha - ( \beta - 1 ) } } { \alpha - ( \beta - 1 ) } \bigg \rvert _ { 0 } ^ { 1 } - \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { - \beta } { \alpha - ( \beta - 1 ) } x ^ { \beta - 1 } ( 1 - x ) ^ { \alpha - ( \beta - 1 ) } d x } \\ & { = 0 + \frac { \beta } { \alpha - ( \beta - 1 ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { \beta - 1 } ( 1 - x ) ^ { \alpha - ( \beta - 1 ) } d x } \\ & { = \frac { \beta } { \alpha - ( \beta - 1 ) } B _ { \alpha , \beta - 1 } } \end{array}
d \Omega _ { \kappa } ^ { 2 } = d \psi ^ { 2 } + \left( \frac { \sin \sqrt { \kappa } \psi } { \sqrt { \kappa } } \right) ^ { 2 } \left( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta d \varphi ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 - \delta / r _ { i } } d ( r ^ { 2 } ) \frac { r ^ { - 2 \chi } } { 1 - r ^ { 2 } } } & { { } \approx - \ln ( \delta / r _ { i } ) } \\ { \int _ { 1 + \delta / r _ { i } } ^ { \infty } d ( r ^ { 2 } ) \frac { r ^ { - 2 \chi } } { r ^ { 2 } - 1 } } & { { } \approx - \ln ( \delta / r _ { i } ) } \end{array}
T _ { \vec { k } _ { 1 } \vec { k } _ { 2 } } ^ { \vec { k } _ { 3 } \vec { k } _ { 4 } } = \frac { 1 } { 2 } ( T _ { \vec { k } _ { 1 } \vec { k } _ { 2 } } ^ { \vec { k } _ { 3 } \vec { k } _ { 4 } , { P R Z } } + T _ { \vec { k } _ { 3 } \vec { k } _ { 4 } } ^ { \vec { k } _ { 1 } \vec { k } _ { 2 } , { P R Z } } ) .
\begin{array} { r l r } { \left( { \bf E } ^ { * } \times { \bf B } \right) _ { x } } & { { } \approx } & { \frac { \omega } { 2 i } \left( A ^ { * } \partial _ { x } A - A \partial _ { x } A ^ { * } + i \sigma ( A ^ { * } \partial _ { y } A + A \partial _ { y } A ^ { * } ) \right) } \\ { \left( { \bf E } ^ { * } \times { \bf B } \right) _ { y } } & { { } \approx } & { \frac { \omega } { 2 i } \left( A ^ { * } \partial _ { y } A - A \partial _ { y } A ^ { * } - i \sigma ( A ^ { * } \partial _ { x } A + A \partial _ { x } A ^ { * } ) \right) } \\ { \left( { \bf E } ^ { * } \times { \bf B } \right) _ { z } } & { { } \approx } & { - i \omega A ^ { * } \partial _ { z } A , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { U } } & { { } = - \hat { p } _ { 0 , \psi } \mathbb { B } _ { - 1 } + \gamma ^ { u } \mathbb { B } , } \\ { \mathbb { H } } & { { } = - \frac { 5 } { 2 } \hat { T } _ { 0 , \psi } \mathbb { B } _ { - 1 } + \gamma ^ { h } \mathbb { B } , } \end{array}
R _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ , ~ L ~ o ~ S ~ } } = \beta I ( x : y ) _ { \tau ^ { \prime } , \bar { n } _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } ^ { \prime } } - \chi _ { \mathrm { ~ L ~ o ~ S ~ } } ( E : y ) _ { \tau ^ { \prime } , \bar { n } _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } ^ { \prime \prime } } ,
\left. \begin{array} { r l } { { \nabla \wedge { \bf E } = } } & { { - { \frac { \partial { \bf B } } { \partial t } } } } \\ { { } } & { { } } \\ { { \nabla \wedge { \bf B } = } } & { { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } { \frac { \partial { \bf E } } { \partial t } } } } \end{array} \right\} \, .
\begin{array} { r } { \psi \, \to \, \left( r - \frac { 1 } { r } \right) s i n \ \theta , \ \ \ \frac { \partial \psi } { \partial r } \, \to \, \left( 1 + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \right) s i n \ \theta } \\ { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \ \ \phi \, \to \, 0 \ \ \ \mathrm { ~ a ~ s ~ } \ \ \ r \, \to \, \frac { R _ { \infty } } { R _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { e ^ { - \sum _ { \alpha } c _ { \alpha } ^ { \dagger } A _ { \alpha } c _ { \alpha } } = \operatorname* { d e t } ^ { - 1 } A \int { \cal D } [ d , d ^ { * } ] e ^ { ( - c _ { \alpha } ^ { * } d _ { \alpha } + h . c . ) - d _ { \alpha } ^ { * } A _ { \alpha } d _ { \alpha } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \mathcal M _ { k + 1 } - \mathcal M _ { k } \Vert } & { = \Vert \left[ \begin{array} { l l } { ( \Delta _ { k + 1 } ^ { - 1 } - \Delta _ { k } ^ { - 1 } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { ( \Delta _ { k + 1 } - \Delta _ { k } ) } \end{array} \right] \Vert } \\ & { \leq \Vert \left[ \begin{array} { l l } { - \Delta _ { k + 1 } ^ { - 1 } \Delta _ { k } ^ { - 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbb I } \end{array} \right] \Vert \cdot \Vert \Delta _ { k + 1 } - \Delta _ { k } \Vert } \\ & { \leq C \cdot \Vert \Delta _ { k + 1 } - \Delta _ { k } \Vert . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { N } ^ { ( 1 ) } ( x _ { 1 } ; x _ { 2 } ) } & { = \rho - \frac { ( 6 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 / 3 } } { 1 0 } \rho ^ { 5 / 3 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 2 } + \frac { 3 \pi ^ { 2 } ( 6 \pi ^ { 2 } ) ^ { 1 / 3 } } { 1 4 0 } \rho ^ { 7 / 3 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 4 } + O ( \rho ^ { 5 / 3 } N ^ { - 1 / 3 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 2 } ) } \\ & { \qquad + O ( \rho ^ { 5 / 3 } s ^ { - 2 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 2 } ) + O ( \rho ^ { 7 / 3 } N ^ { - 1 / 3 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 4 } ) + O ( \rho ^ { 7 / 3 } s ^ { - 1 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 4 } ) } \\ & { \qquad + O ( \rho ^ { 3 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 6 } ) . } \end{array}
S _ { 1 } ( q , P , t ) = - \frac { B } { 2 A } q ^ { 2 } + \frac { \sqrt { \kappa } } { 2 A } \Bigl [ q \sqrt { \frac { A P } { \kappa } - q ^ { 2 } } + \frac { A P } { \kappa } \sin ^ { - 1 } \Bigl ( \sqrt { \frac { \kappa } { A P } } q \Bigr ) \Bigr ] + s _ { 1 } ( P , t ) ,
\begin{array} { r l } { d N _ { \mathrm { c o l l } } } & { { } = \left( { \frac { \partial f } { \partial t } } \right) _ { \mathrm { c o l l } } \Delta t d ^ { 3 } \mathbf { r } d ^ { 3 } \mathbf { p } } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { x } ( E ) } & { { } = \int | x - x _ { \mathrm { C } } | w ( x , y , E ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y , } \\ { M _ { y } ( E ) } & { { } = \int | y - y _ { \mathrm { C } } | w ( x , y , E ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y . } \end{array}
\langle P ( M _ { 2 } , p _ { 2 } ) | \bar { s } \gamma _ { \mu } c ( 0 ) | P ( M _ { 1 } , p _ { 1 } ) \rangle = f _ { + } ( q ^ { 2 } ) P _ { \mu } + f _ { - } ( q ^ { 2 } ) q _ { \mu } .
\partial _ { \alpha } \, ( \, \Gamma ^ { \, \alpha , \, \alpha _ { 0 } } ( \Phi _ { c } ) - \frac { 1 } { 2 } < \Phi _ { c } , \{ \tilde { C } _ { \alpha } ^ { \, \alpha _ { 0 } } \} ^ { \, - 1 } \Phi _ { c } > ) = [ \partial _ { \alpha } \, \tilde { \Delta } ( \alpha , \alpha _ { 0 } ) \, ] \ L ^ { \, \alpha , \, \alpha _ { 0 } } ( \Phi ) \, \vert _ { \, \Phi = \tilde { C } _ { \alpha } ^ { \, \alpha _ { 0 } } \! J ( \Phi _ { c } ) } \quad .
\begin{array} { r l } { S _ { R } ( x ) = } & { { } \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } P ( n ; \mu ) S _ { R } ^ { ( n ) } ( x ) } \\ { = } & { { } \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } P ( n ; \mu ) ( S _ { n } * B ) ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert \sum _ { ( k , j ) \not \in { \mathcal K } } \varphi _ { k , j } \rho _ { \delta _ { k } } * e ( u ) \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { r } ) } ^ { 2 } } & { = \left\Vert \sum _ { ( k , j ) \not \in { \mathcal K } } \varphi _ { k , j } \rho _ { \delta _ { k } } * e ( u ) \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { r } \setminus Q _ { r - 2 \delta r } ) } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \sum _ { ( k , j ) \not \in { \mathcal K } } \left\| \varphi _ { j , k } \rho _ { \delta _ { k } } * e ( u ) \right\| _ { L ^ { 2 } ( Q _ { 1 } \setminus Q _ { r - 2 \delta r } ) } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \| e ( u ) \| _ { L ^ { 2 } ( Q _ { 1 } \setminus Q _ { r - 3 \delta r } ) } ^ { 2 } \lesssim \delta ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| e ( u ) \| _ { L ^ { 2 } ( Q _ { 1 } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\hat { y } _ { i } = \, d _ { u _ { i } , r } ^ { - \alpha _ { r } } d _ { e _ { j } , r } ^ { - \alpha _ { e } } \hat { \varrho } ^ { 2 } \left( \frac { \rho _ { e _ { j } } } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { \rho _ { i } } { \rho _ { i } + 1 } \left( M + \rho \left( \kappa \right) ^ { 2 } \xi \right) + \frac { \rho _ { e _ { j } } } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { i } + 1 } M + \frac { \rho _ { i } } { \rho _ { i } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } M + \frac { 1 } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { i } + 1 } M + d _ { e _ { j } , i } ^ { - \alpha _ { e } } \right)
\begin{array} { r l } { \frac { d \vec { \mathbf { S } } } { d t } } & { = \left( \left[ \begin{array} { l l l } { - \Gamma _ { 2 } ^ { \prime } - R } & { \gamma B } & { 0 } \\ { - \gamma B } & { - \Gamma _ { 2 } ^ { \prime } - R } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \Gamma _ { 1 } ^ { \prime } - R } \end{array} \right] \right. } \\ & { + \left. \gamma \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \delta B _ { z } } & { - \delta B _ { y } } \\ { - \delta B _ { z } } & { 0 } & { \delta B _ { x } } \\ { \delta B _ { y } } & { - \delta B _ { x } } & { 0 } \end{array} \right] \right) \vec { \mathbf { S } } + \frac { R } { 2 } \mathbf { \hat { z } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } & { \frac { g ( \rho ( S _ { e } , T _ { 0 e } ) - \rho ( S _ { e } , T _ { b } ) ) ( H - h _ { e } ) ^ { 3 } } { \nu ( T _ { l } ) \kappa ( T _ { l } ) \rho ( S _ { e } , T _ { l } ) } , } & { T _ { m a x } } & { \le T _ { 0 e } , } & \\ & { \frac { g ( \rho ( S _ { e } , T _ { m a x } ) - \rho ( S _ { e } , T _ { b } ) ( H - h _ { e } - h _ { m a x } ) ^ { 3 } } { \nu ( T _ { u } ) \kappa ( T _ { u } ) \rho ( S _ { e } , T _ { u } ) } , } & { T _ { m a x } } & { \in ( T _ { 0 e } , T _ { b } ) . } & \end{array}
\omega _ { n } \overline { { { { \cal I } _ { n } } } } = \left\{ \begin{array} { l c } { { 0 . 7 4 2 \qquad n = 1 } } \\ { { 0 . 6 5 8 \qquad n = 2 } } \\ { { 0 . 3 2 8 \qquad n = 3 . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { C = C ( 0 ) + ( \lambda _ { 0 } - \lambda _ { 1 } ) D + ( \bar { \lambda } _ { 0 } - \bar { \lambda } _ { 1 } ) ( \bar { D } ) ^ { T } + \mathcal { O } \big [ ( \lambda _ { 0 } - \lambda _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( b : | B | ) \times C \, \mathrm { p t } _ { A } \, b } & { \simeq ( b : | B | ) \times ( ( h , t ) : C \, \mathrm { p t } _ { A } \, b ) \times ( q : b = \mathrm { p t } _ { B } ) \times ( h \, \mathsf { r e f l } _ { \mathrm { p t } _ { A } } = q ) } \\ & { \simeq ( h : \Omega A \to _ { \mathrm { p t } } \Omega B ) \times ( p : \mathrm { p t } _ { A } = \mathrm { p t } _ { A } ) \to ( f = D ( | h | , p ) ) , } \end{array}