\begin{array} { r l r l } { \tau _ { j } ^ { n } } & { = } & & { \frac { 1 } { \Delta t } \left[ q ( x _ { j } , t ^ { n + 1 } ) - q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \right] + \frac { \lambda } { \Delta x } \left\lbrace \phantom { \frac { t } { b } } \! \! \! \left[ q ( x _ { j } , t ^ { n } ) - q ( x _ { j - 1 } , t ^ { n } ) \right] \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \frac { 1 } { 4 } \left[ q ( x _ { j + 1 } , t ^ { n } ) - q ( x _ { j } , t ^ { n } ) - q ( x _ { j - 1 } , t ^ { n } ) + q ( x _ { j - 2 } , t ^ { n } ) \right] \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \frac { \Delta t } { 2 } \left[ - \frac { \lambda } { 2 \Delta x } \left[ q ( x _ { j + 1 } , t ^ { n } ) - q ( x _ { j } , t ^ { n } ) - q ( x _ { j - 1 } , t ^ { n } ) + q ( x _ { j - 2 } , t ^ { n } ) \right] \right. \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \left. \frac { \beta } { \Delta x } \left( \phantom { \frac { t } { b } } \! \! \! \left[ q ( x _ { j } , t ^ { n } ) - q ( x _ { j - 1 } , t ^ { n } ) \right] \right. \right. \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \left. \left. \frac { 1 } { 4 } \left[ q ( x _ { j + 1 } , t ^ { n } ) - q ( x _ { j } , t ^ { n } ) - q ( x _ { j - 1 } , t ^ { n } ) + q ( x _ { j - 2 } , t ^ { n } ) \right] \right) \right] \right\rbrace } \\ & { } & { - } & { \frac { \beta } { \Delta x } \left[ q ( x _ { j } , t ^ { n } ) + \frac { \Delta t } { 2 } \left( - \frac { \lambda } { 2 \Delta x } \left( q ( x _ { j + 1 } , t ^ { n } ) - q ( x _ { j - 1 } , t ^ { n } ) \right) + \beta q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \right) \right] } \\ & { = } & & { \partial _ { t } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) + \lambda \partial _ { x } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) - \beta q ( x _ { j } , t ^ { n } ) } \\ & { } & { + } & { \lambda \left[ - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \Delta x + \frac { 1 } { 6 } \partial _ { x } ^ { ( 3 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 2 } \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \frac { 1 } { 4 } \left[ 2 \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \Delta x - \partial _ { x } ^ { ( 3 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 2 } \right] \right] } \\ & { } & { + } & { \Delta t \left\lbrace \frac { 1 } { 2 } \partial _ { t } ^ { ( 2 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) + \frac { \lambda } { 2 } \left[ - \frac { \lambda } { 2 } \left[ 2 \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) - \partial _ { x } ^ { ( 3 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \Delta x \right] \right. \right. } \\ & { } & { + } & { \beta \left( \partial _ { x } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \Delta x + \frac { 1 } { 6 } \partial _ { x } ^ { ( 3 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 2 } \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \left. \frac { 1 } { 4 } \left[ 2 \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \Delta x - \partial _ { x } ^ { ( 3 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 2 } \right] \right) \right] } \\ & { } & { - } & { \left. \frac { \beta } { 2 } \left[ - \frac { \lambda } { 2 \Delta x } \left( 2 \partial _ { x } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \Delta x + \frac { 1 } { 3 } \partial _ { x } ^ { ( 3 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 3 } \right) + \beta q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \right] \right\rbrace } \\ & { } & { + } & { \mathcal { O } \left( \Delta t ^ { 2 } \right) + \mathcal { O } \left( \Delta x ^ { 2 } \right) + \mathcal { O } \left( \Delta x \Delta t \right) } \\ & { = } & & { \frac { \Delta t } { 2 } \left[ \partial _ { t } ^ { ( 2 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) - \lambda ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) + 2 \lambda \beta \partial _ { x } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) - \beta ^ { 2 } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \right] } \\ & { } & { + } & { \mathcal { O } \left( \Delta t ^ { 2 } \right) + \mathcal { O } \left( \Delta x ^ { 2 } \right) + \mathcal { O } ( \Delta x \Delta t ) } \\ & { = } & & { \mathcal { O } \left( \Delta t ^ { 2 } \right) + \mathcal { O } \left( \Delta x ^ { 2 } \right) + \mathcal { O } ( \Delta x \Delta t ) . } \end{array}