harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\rho \left( 1 \right) = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \qquad \rho \left( u \right) = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { u } \end{array} \right] } \qquad \rho \left( u ^ { 2 } \right) = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { u ^ { 2 } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = m } ^ { \infty } { \frac { m ! } { n ! } } C _ { m } ( n ) t ^ { n } } & { = e ^ { b t ^ { d + 1 } } \theta ( t ^ { m } e ^ { - a t ^ { d + 1 } } ) } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { i ! } \sum _ { k = 0 } ^ { i } { \binom { i } { k } } { \frac { \gamma _ { \mu _ { 1 } } ( k ( d + 1 ) + m ) } { \gamma _ { \mu _ { 2 } } ( k ( d + 1 ) + m ) } } b ^ { i - k } ( - a ) ^ { k } \, t ^ { i ( d + 1 ) + m } . } \end{array}
\delta { \cal P } = [ \Sigma , { \cal P } ] - \operatorname { d i v } ( { \cal P } \boldsymbol { \cal Y } ) , \qquad \qquad \ \delta \xi = \partial _ { t } \Sigma + [ \Sigma , \xi ] + \boldsymbol { \cal X } \cdot \nabla \Sigma - \boldsymbol { \cal Y } \cdot \nabla \xi ,
\tilde { G } _ { \phi } ( k _ { 4 } , y ) = \frac { 1 } { 2 k _ { 4 } } \frac { 1 } { \sinh [ k _ { 4 } \pi R ] } \left\{ \cosh [ k _ { 4 } ( \pi R - y ) ] - \frac { m \cosh [ k _ { 4 } y ] } { 2 k _ { 4 } \sinh [ k _ { 4 } \pi R ] + m \cosh [ k _ { 4 } \pi R ] } \right\} ,
U = \left( \begin{array} { l l l l } { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { e ^ { \frac { 2 \pi i } { N } } } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \ddots } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { e ^ { \frac { 2 \pi i ( N - 1 ) } { N } } } } \end{array} \right)
i ) \, \, [ \frac { 1 + \ln ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) } { ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) ^ { 2 } } ] [ \frac { 1 + \ln ( z _ { 3 } - z _ { 4 } ) } { ( z _ { 3 } - z _ { 4 } ) ^ { 2 } } ]
\left. { \begin{array} { l l } { = } & { 3 \underbrace { \uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \uparrow } 3 } \\ & { 3 \underbrace { \uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \uparrow } 3 } \\ & { 3 \underbrace { \uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3 } \\ & { \underbrace { \qquad \; \; \vdots \qquad \; \; } } \\ & { 3 \underbrace { \uparrow \uparrow \cdots \cdot \uparrow } 3 } \\ & { 3 \uparrow 3 } \end{array} } \right\} \left. { \begin{array} { l } { 3 \underbrace { \uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \uparrow } 3 } \\ { 3 \underbrace { \uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3 } \\ { \underbrace { \qquad \; \; \vdots \qquad \; \; } } \\ { 3 \underbrace { \uparrow \uparrow \cdots \cdot \uparrow } 3 } \\ { 3 \uparrow 3 } \end{array} } \right\} \ 3 \uparrow 3 = { \mathrm { 2 7 ~ l a y e r s } }
\Omega = \left\{ \begin{array} { l l } { - 1 0 0 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } ( \Omega _ { i } S \cdot 5 + \Omega _ { i } ) \leq T } \\ { \Omega _ { i } S } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ w ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { { { \bf { E } } _ { k , n } } = } & { { \mathbb E } \left( { \left( { { { \bf { x } } _ { k , n } } - { \cal G } \left( { { { { \bf { \hat { x } } } } _ { k , n - 1 } } } \right) } \right) { { \left( { { { \bf { x } } _ { k , n } } - { \cal G } \left( { { { { \bf { \hat { x } } } } _ { k , n - 1 } } } \right) } \right) } ^ { H } } } \right) } \\ { = } & { { { \bf { G } } _ { k , n - 1 } } { { \bf { E } } _ { k , n - 1 } } { \bf { G } } _ { k , n - 1 } ^ { H } + { { \bf { \Sigma } } _ { k } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } ( \phi ) = } & { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { Q _ { i } } f ^ { i } ( x , t ) \phi ^ { i } ( x , t ) \; d x d t + \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { a } ^ { b _ { i } } y ^ { 0 , i } ( x ) \phi ^ { i } ( x , 0 ) \; d x } \\ & { + \displaystyle \sum _ { i = m + 1 } ^ { n } \int _ { 0 } ^ { T } v _ { i } ( t ) I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } ( \phi ^ { i } ) ( b _ { i } ^ { - } , t ) \; d t - \displaystyle \sum _ { i = 2 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { i } ( t ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } ( \phi ^ { i } ) ( b _ { i } ^ { - } , t ) \; d t . } \end{array}
\Phi ^ { \prime } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } , \dots , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } ) = \left[ \sum _ { b = 1 } ^ { N } \left( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla _ { \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { b } } ^ { 2 } \right) \right] \Phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } , \dots , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } )
k _ { \| } ^ { 2 } \to \frac { a ^ { 2 } k ^ { 2 } - z _ { k } } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } , \qquad \qquad k _ { \bot } ^ { 2 } \to \frac { b ^ { 2 } k ^ { 2 } + z _ { k } } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } .
\psi _ { n } ( x , t ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { A \sin ( k _ { n } x ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \omega _ { n } t } , } & { 0 < x < L , } \\ { 0 , } & { { \mathrm { o t h e r w i s e , } } } \end{array} \right. }
\tilde { H } ^ { ( n + 1 ) } = - \frac { 1 } { n + 1 } \int \Phi ^ { \mu } ( x ) \omega _ { \mu \nu } ( x , y ) X ^ { \nu \rho } ( y , z ) G _ { \rho } ^ { ( n ) } ( z ) d x d y d z , ~ ~ ( n \geq 0 )
d s ^ { 2 } = - { \frac { 4 \pi } { A \tau ^ { 2 } } } d t ^ { 2 } + \left( { \frac { A } { 4 \pi } } \right) \left[ { \frac { d \tau ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } } + ( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta d \varphi ^ { 2 } ) \right] \ .
\begin{array} { r l } { \frac { d \phi _ { j } } { d t } = } & { { } \beta \left( - \frac { 1 } { 2 } + \frac { \kappa ^ { 2 } - 1 } { 2 ( \kappa ^ { 2 } + 1 ) } \cos 2 \phi _ { j } \right) , } \\ { \frac { d \theta _ { j } } { d t } = } & { { } \beta \frac { ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) } { 4 ( \kappa ^ { 2 } + 1 ) } \sin 2 \theta _ { j } \sin 2 \phi _ { j } , } \end{array}
G ^ { 0 } = { \frac { 1 } { { \frac { 1 } { 2 } } P _ { 0 } + p _ { 0 } - h _ { 1 } + i \epsilon h _ { 1 } } } \, { \frac { 1 } { { \frac { 1 } { 2 } } P _ { 0 } - p _ { 0 } - h _ { 2 } + i \epsilon h _ { 2 } } } \beta _ { 1 } \beta _ { 2 }
\begin{array} { r } { ( { \bf z } _ { A } , { \bf z } _ { B } ) = a _ { A B } , \qquad A , B = 2 , 3 , 4 , \quad { \bf z } _ { A } ~ \mathrm { ~ a ~ r ~ e ~ l ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ l ~ y ~ i ~ n ~ d ~ e ~ p ~ e ~ n ~ d ~ e ~ n ~ t ~ v ~ e ~ c ~ t ~ o ~ r ~ s ~ , ~ s ~ o ~ } ~ \operatorname* { d e t } a \ne 0 , } \\ { ( { \bf z } _ { A } , { \bf z } _ { \alpha } ) = a _ { A \alpha } , \qquad \alpha = 5 , 6 , \ldots , n . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad } \end{array}
S \left( \omega \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { h _ { a } / \omega _ { 0 } , } & { \omega < \omega _ { 0 } } \\ { h _ { p e a k } , } & { \omega _ { A C } - \Delta \omega _ { A C } / 2 < \omega < \omega _ { A C } + \Delta \omega _ { A C } / 2 } \\ { h _ { a } / \omega + h _ { b } , } & { \mathrm { O t h e r w i s e } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { p _ { 0 } } } & { = \langle x _ { 1 } , \dots , n _ { N } \rangle , } \\ { \mathcal { I } _ { \Pi _ { 1 } } } & { = \langle x _ { n + 1 } , \dots , n _ { N } \rangle , } \\ { \mathcal { I } _ { \Pi _ { i } } } & { = \langle x _ { i _ { n + 1 } } , \dots , n _ { i _ { N } } \rangle , \ i \ge 2 , } \\ { \mathcal { I } _ { H } } & { = \langle x _ { 0 } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { P \check { f } } _ { i } = \mu _ { i } ( i \omega \mathbf { I } - \mathbf { A } ) \mathbf { \check { q } } _ { i } , \; \; \; \; } & { \mu _ { i } \mathbf { Q } _ { q } \mathbf { \check { q } } _ { i } = ( - i \omega \mathbf { I } - \mathbf { A } ^ { * } ) \mathbf { \check { a } } , \; \; \; \; } & { \mathbf { P } ^ { * } \mathbf { \check { a } } = \mu _ { i } ^ { 2 } \mathbf { Q } _ { f } \mathbf { \check { f } } _ { i } . } \end{array}
W ( I _ { 1 } ) { \biggr | } _ { I _ { 1 } = 3 } = 0 \quad { \mathrm { a n d } } \quad { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } } { \biggr | } _ { I _ { 1 } = 3 } = { \frac { \mu } { 2 } } \, .
\begin{array} { r } { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) ( 1 - p _ { f } ) \! + \! p _ { f } C _ { 2 } ) \! \mid T ^ { ( n ) } \! > \! 0 , \theta \! = \! i ] p _ { f } ^ { n \! - \! 1 } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \mid T ^ { ( n ) } \! > \! 0 , \theta \! = \! i ] ( 1 \! - \! p _ { f } ) p _ { f } ^ { n \! - \! 1 } \! + \! \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } C _ { 2 } p _ { f } ^ { n } \, . } \end{array}
h _ { e } ^ { 1 / 2 } \, \left\| \underline { { { \boldsymbol \gamma } } } _ { * } \left( \nabla \mathbf { u } _ { \mathrm { D } } - \frac { 1 } { \nu } \big ( { \boldsymbol \sigma } _ { h } + ( \mathbf { u } _ { h } \otimes \mathbf { u } _ { h } ) \big ) ^ { \mathrm { d } } \right) \right\| _ { 0 , e } \, \leq \, C _ { 6 } \, \Big \{ \| { \boldsymbol \sigma } - { \boldsymbol \sigma } _ { h } \| _ { 0 , T _ { e } } + \| \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } - \mathbf { u } _ { h } \otimes \mathbf { u } _ { h } \| _ { 0 , T _ { e } } \Big \}
\begin{array} { r l r } { L } & { = } & { \alpha _ { 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { T } } \left( T _ { \mathrm { o b s } } ^ { ( i ) } - f _ { T } ( \mathbf { x } _ { r } ^ { ( i ) } , \mathbf { x } _ { s } ^ { ( i ) } ; \boldsymbol { \theta } _ { T } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { + } & { \alpha _ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { c } } \left( f _ { v } ( \mathbf { x } _ { c } ^ { ( i ) } ; \boldsymbol { \theta } _ { v } ) - \frac { 1 } { | \nabla f _ { T } ( \mathbf { x } _ { c } ^ { ( i ) } , \mathbf { x } _ { s } ^ { ( i ) } ; \boldsymbol { \theta } _ { T } ) | } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\left( - \omega ^ { 2 } + i \omega \Gamma + \omega _ { m } ^ { 2 } - \frac { 2 \beta } { I } P _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } \tau _ { 0 } [ \omega ] ( 1 + G [ \omega ] ) \right) \delta \theta [ \omega ] = \frac { 1 } { I } \left( \tau _ { \mathrm { { t h } } } [ \omega ] - 2 \beta P _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } \tau _ { 0 } [ \omega ] G [ \omega ] \theta _ { n } [ \omega ] \right) ,
\begin{array} { r } { \left( | T ( i _ { n } ) \Pi _ { n } Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } } + | \mathfrak { I } _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } } | T ( i _ { n } ) \Pi _ { n } Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } \right) \le _ { \mathtt { p _ { e } } } \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n } ^ { \mathtt { k } } . } \end{array}
\phi ( r ) = - G \frac { M _ { 1 } } { r } \left[ 5 - 2 \left( \frac { R _ { 1 } } { r } \right) ^ { 2 } \right] - 2 \frac { G M _ { 2 } } { R _ { 2 } } + \phi _ { s c } \ \ \ \mathrm { f o r } \ R _ { 1 } < r < R _ { 1 2 } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { - 1 } ^ { 1 } { \frac { T _ { n } ( y ) \, \mathrm { d } y } { \, ( y - x ) \, { \sqrt { 1 - y ^ { 2 } \, } } \, } } } & { { } = \pi \, U _ { n - 1 } ( x ) ~ , } \\ { \int _ { - 1 } ^ { 1 } { \frac { { \sqrt { \, 1 - y ^ { 2 } \, } } \, U _ { n - 1 } ( y ) \, \mathrm { d } y \, } { y - x } } } & { { } = - \pi \, T _ { n } ( x ) } \end{array}
\bar { f } _ { | | \nabla \tau ( x ^ { \prime } ) | | ^ { 2 } } ( x ) = \frac { \hat { f } _ { | | \nabla \tau ( x ^ { \prime } ) | | ^ { 2 } } ( x ) } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \hat { f } _ { | | \nabla \tau ( x ^ { \prime } ) | | ^ { 2 } } ( x ) } .
\begin{array} { r l r } { \alpha ( \omega , x ) } & { = } & { C _ { v } \left( \frac { \gamma - 1 } { \sqrt { P r } } + 1 \right) } \\ { \alpha _ { f } ( \omega , x ) } & { = } & { C _ { v } \left( 2 - 2 \, f \, k \, x \left( \frac { \gamma - 1 } { \sqrt { P r } } + 1 \right) \right) } \\ { \alpha _ { g } ( \omega , x ) } & { = } & { C _ { v } \left( 1 + 2 \, g \, ( k \, x ) ^ { 2 } \left( \frac { \gamma - 1 } { \sqrt { P r } } + 1 \right) \right) } \\ { \textrm { w i t h } } & { } & { C _ { v } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 2 } \frac { \delta _ { v } } { r ( x ) } ( 1 - \mathrm { j } ) \, } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { ( v , g _ { 1 , T } ) = \langle f , ( 1 - \chi _ { T + 1 } ( \rho _ { 1 } ) ) g _ { 1 } \rangle - \langle ( 1 - \chi ) f _ { 0 } , g _ { 1 , T } \rangle _ { 0 } , } & { \forall g _ { 1 } \in \mathscr K _ { 1 } ^ { * } } \\ { ( v , g _ { 2 , T } ) = - \langle f , ( 1 - \chi _ { T + 1 } ( \rho _ { 2 } ) ) g _ { 2 } \rangle + \langle ( 1 - \chi ) f _ { 0 } , g _ { 2 , T } \rangle _ { 0 } , } & { \forall g _ { 2 } \in \mathscr K _ { 2 } ^ { * } } \end{array} \right.
\delta _ { \tilde { \partial } ^ { a } \varphi _ { j } , \tilde { \partial } ^ { b } \varphi _ { l } } ^ { \mu } = ( - 1 ) ^ { | b | } \partial ^ { a } \partial ^ { b } \delta _ { \varphi _ { j } , \varphi _ { l } } ^ { \mu } , \quad \varphi _ { j } , \varphi _ { l } \in { \cal G } .
{ \begin{array} { r l } { t ( \mathbf { r } ) } & { = \int { \frac { p ^ { 2 } } { 2 m _ { e } } } \ n ( \mathbf { r } ) \ F _ { \mathbf { r } } ( p ) \ d p } \\ & { = n ( \mathbf { r } ) \int _ { 0 } ^ { p _ { f } ( \mathbf { r } ) } { \frac { p ^ { 2 } } { 2 m _ { e } } } \ \ { \frac { 4 \pi p ^ { 2 } } { { \frac { 4 } { 3 } } \pi p _ { \mathrm { { F } } } ^ { 3 } ( \mathbf { r } ) } } \ d p } \\ & { = C _ { \mathrm { { k i n } } } \ [ n ( \mathbf { r } ) ] ^ { 5 / 3 } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \widehat { \epsilon } _ { k } ^ { \scriptscriptstyle ( d ) } = Y _ { k } ^ { \scriptscriptstyle ( d ) } - X _ { k , \cdot } ^ { \scriptscriptstyle ( d ) } \widehat { \beta } ^ { \scriptscriptstyle ( d ) } , \quad \widehat { \eta } _ { k , i } ^ { \scriptscriptstyle ( d ) } = X _ { k , i } ^ { \scriptscriptstyle ( d ) } - ( Y _ { k } ^ { \scriptscriptstyle ( d ) } - \bar { Y } ^ { \scriptscriptstyle ( d ) } , \widetilde X _ { k , - i } ^ { \scriptscriptstyle ( d ) } ) \widehat { \gamma } _ { i } ^ { \scriptscriptstyle ( d ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } v + ( v \cdot \nabla ) v = - \nabla P } & { \mathrm { i n ~ } E ( t ) , } \\ { \nabla \cdot v = 0 } & { \mathrm { i n ~ } E ( t ) , } \\ { n \cdot v = V _ { N } } & { \mathrm { o n ~ } \partial E ( t ) , } \\ { P = U _ { E ( t ) } + m U _ { X ( t ) } } & { \mathrm { o n ~ } \partial E ( t ) , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { 2 d t } \| y ( t , \omega ) \| _ { H } ^ { 2 } + ( \nu ( t , \omega ) \nabla y ( t , \omega ) , \nabla y ( t , \omega ) ) _ { H } + \langle a ( t ) y ( t , \omega ) , y ( t , \omega ) \rangle _ { V ^ { \prime } , V } } \\ & { - \langle y ( t , \omega ) , b ( t ) \cdot \nabla y ( t , \omega ) \rangle _ { V ^ { \prime } , V } + \lambda \langle P _ { \mathcal { O } _ { N } } ^ { \mathcal { E } _ { N } ^ { \perp } } \Delta P _ { \mathcal { E } _ { N } } ^ { \mathcal { O } _ { N } ^ { \perp } } y ( t , \omega ) , y ( t , \omega ) \rangle _ { V , V ^ { \prime } } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \left( \rho \boldsymbol { u } \right) + } & { { } \nabla ^ { \prime } \cdot \left( \rho \boldsymbol { u ^ { T } } \boldsymbol { u } - \boldsymbol { B ^ { T } } \boldsymbol { B } \right) + \nabla ^ { \prime } \left( P + B ^ { 2 } / 2 \right) } \\ { = } & { { } - \rho \boldsymbol { u } \frac { \partial _ { t } l } { l } - \rho \boldsymbol { u } \cdot \mathbb { D } - \left( \frac { \rho _ { C R } } { c } c \boldsymbol { E } + \frac { \boldsymbol { j } _ { C R } } { c } \times \boldsymbol { B } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { m } _ { x } } & { { } = } & { \hbar k r \sin \phi \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \\ { \hat { m } _ { y } } & { { } = } & { - \hbar k r \cos \phi \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \\ { \hat { m } _ { z } } & { { } = } & { \frac { \hbar } { i } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) , } \end{array}
\Omega _ { s } = - \mathrm { d } x ^ { a } \wedge \mathrm { d } p _ { a } + \Omega _ { \cal L } \qquad \Omega _ { \cal L } = - 2 i s \frac { \mathrm { d } z \wedge \mathrm { d } \bar { z } } { ( 1 - z \bar { z } ) ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l r } { \widehat { \nabla } _ { \Gamma ^ { \prime } } \Gamma ^ { \prime } } & { = } & { ^ { H } \! \big ( \gamma ^ { \prime \prime } - \mathcal { R } ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime } \big ) + ^ { T } \! \big ( ( \vartheta ^ { \prime \prime } + 2 \delta ^ { 2 } \mu \, \vartheta ^ { \prime } J ) J \big ) . } \end{array}
- ( \partial _ { x } ^ { 2 } + \partial _ { y } ^ { 2 } ) a + \sqrt { 2 } \, g ^ { 4 } \bar { \mu } _ { D } \, \left( \tilde { q } q + \frac i 2 \, \eta + \frac { \mu _ { D } } { \sqrt { 2 } } a \right) + 2 g ^ { 2 } a \left( \bar { q } q + \bar { \tilde { q } } \tilde { q } \right) = 0
\begin{array} { r l } { e ^ { - S _ { 2 } ^ { A } } } & { = \sum _ { \left\{ s _ { 1 } \right\} , \left\{ s _ { 2 } \right\} } P _ { s _ { 1 } } P _ { s _ { 2 } } \det g _ { A } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } \\ & { = \frac { \sum _ { \left\{ s _ { 1 } \right\} , \left\{ s _ { 2 } \right\} } W _ { s _ { 1 } } W _ { s _ { 2 } } \det g _ { C = A } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } { \sum _ { \left\{ s _ { 1 } \right\} , \left\{ s _ { 2 } \right\} } W _ { s _ { 1 } } W _ { s _ { 2 } } \det g _ { C = \varnothing } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } } \\ & { = \frac { Z ( 1 ) } { Z ( 0 ) } } \\ & { = \frac { Z ( \lambda _ { 1 } ) } { Z ( 0 ) } \frac { Z ( \lambda _ { 2 } ) } { Z ( \lambda _ { 1 } ) } \cdots \frac { Z ( \lambda _ { k + 1 } ) } { Z ( \lambda _ { k } ) } \cdots \frac { Z ( 1 ) } { Z ( \lambda _ { N _ { \lambda } } ) } . } \end{array}
{ { \frac { B } { A } } e ^ { - ( \beta - \alpha ) x _ { E } } = { \frac { { \alpha } ^ { 2 } - { \frac { \widetilde { E } } { 4 { x _ { E } } ^ { 2 } } } } { { \beta } ^ { 2 } - { \frac { \widetilde { E } } { \frac { 1 } { 4 { x _ { E } } ^ { 2 } } } } } } }
\begin{array} { r } { | \mathfrak { c } | _ { m + m ^ { \prime } - 1 , s , \eta } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } \le _ { m , m ^ { \prime } , \eta , s } | \mathfrak { a } | _ { m , s + \mu , \eta + N } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s _ { 0 } + \mu , \eta + N } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } + | \mathfrak { a } | _ { m , s _ { 0 } + \mu , \eta + N } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s + \mu , \eta + N } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { \gamma , \mathrm { 2 D } } ^ { \mathrm { P B C } } = H _ { \gamma , \mathrm { 2 D } } ^ { \mathrm { O B C } } + H _ { 1 \leftrightarrow N _ { x } } + H _ { 1 \leftrightarrow N _ { y } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \boldsymbol { b } _ { \perp } = } & { { } v _ { \mathrm { A } } \partial _ { z } \boldsymbol { u } _ { \perp } + \nabla _ { \perp } \times ( \boldsymbol { u } _ { \perp } \times \boldsymbol { b } _ { \perp } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { \mathrm { f } } \omega _ { \mathrm { r } } ^ { 2 } \left( \begin{array} { l } { \varphi } \\ { \theta _ { \mathrm { f } } } \\ { 0 } \end{array} \right) = m _ { \mathrm { f } } \left( \begin{array} { l } { B _ { \mathrm { r } , z } \varphi } \\ { B _ { \mathrm { r } , z } \theta _ { \mathrm { f } } + B _ { \mathrm { r } , \perp } } \\ { B _ { \mathrm { r } , \perp } \varphi } \end{array} \right) - \zeta _ { \mathrm { r o t } } \omega _ { \mathrm { r } } \left( \begin{array} { l } { - 1 } \\ { \theta _ { \mathrm { f } } \varphi } \\ { \theta _ { \mathrm { f } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { U } ^ { \dagger } \mathcal { \hat { H } } _ { T B } \hat { U } = \left( \begin{array} { l l l } { \hat { H } ^ { T B ( 0 ) } } & { 0 _ { N } } & { \hat { 0 } _ { N } } \\ { \hat { 0 } _ { N } } & { \hat { H } ^ { T B ( 1 ) } } & { \hat { 0 } _ { N } } \\ { \hat { 0 } _ { N } } & { \hat { 0 } _ { N } } & { \hat { H } ^ { T B ( 2 ) } } \end{array} \right) , } \\ & { } & { \hat { H } ^ { T B ( 0 ) } = \hat { H } + \hat { V } + \hat { V } ^ { T } , } \\ & { } & { \hat { H } ^ { T B ( 1 ) } = \hat { H } + e ^ { i \frac { 2 \pi } { 3 } } \hat { V } + e ^ { i \frac { 4 \pi } { 3 } } \hat { V } ^ { T } , } \\ & { } & { \hat { H } ^ { T B ( 2 ) } = \hat { H } + e ^ { i \frac { 4 \pi } { 3 } } \hat { V } + e ^ { i \frac { 2 \pi } { 3 } } \hat { V } ^ { T } , } \end{array}
\pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } , \pi ^ { + } \pi ^ { - } , \eta \pi ^ { 0 } , \eta \eta , K ^ { 0 } \bar { K } ^ { 0 } , K ^ { + } K ^ { - } , \eta ^ { \prime } \pi ^ { 0 } , \eta ^ { \prime } \eta , \eta ^ { \prime } \eta ^ { \prime }
G _ { M N } ( x + \triangle x , g ) = \mathrm { \boldmath { ~ e ~ } } _ { M } ( x + \triangle x , g ) \cdot \mathrm { \boldmath { ~ e ~ } } _ { N } ( x + \triangle x , g ) = \mathrm { \boldmath { ~ e ~ } } _ { M } ^ { H } ( x + \triangle x , g ) \cdot \mathrm { \boldmath { ~ e ~ } } _ { N } ^ { H } ( x + \triangle x , g ) .
\begin{array} { r l } { g ( \bar { k } _ { F } R ) \approx } & { { } \frac { 1 } { M } \int _ { 0 } ^ { ( \frac { 3 M } { 4 \pi } ) ^ { 1 / 3 } } \frac { \sin ( q k _ { V } R ) } { q k _ { V } R } 4 \pi q ^ { 2 } d q } \\ { = } & { { } \frac { 3 [ \sin ( \bar { k } _ { F } R ) - \bar { k } _ { F } R \cos ( \bar { k } _ { F } R ) ] } { ( \bar { k } _ { F } R ) ^ { 3 } } } \end{array}
\mathrm { d e x p } _ { \tilde { \mathbf { x } } } \left( \tilde { \mathbf { y } } \right) = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \left( i + 1 \right) ! } \mathrm { a d } _ { \tilde { \mathbf { x } } } ^ { i } \left( \tilde { \mathbf { y } } \right) .
E _ { 1 } ^ { - } = \sum _ { n } \frac 1 { n ! } \int d x _ { 1 } \dots d x _ { n } { \cal E } ^ { n } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) j _ { 2 } ( x _ { 1 } ) \dots j _ { 2 } ( x _ { n } ) \ .
W ^ { - } - R W ^ { + } = \left[ \begin{array} { l } { \phi _ { 1 } } \\ { \phi _ { 2 } + 2 \phi _ { 4 } ^ { 2 } / \phi _ { 2 } } \\ { \phi _ { 3 } } \end{array} \right] - \left[ \begin{array} { l } { R _ { 1 } } \\ { R _ { 2 } } \\ { R _ { 3 } } \end{array} \right] \phi _ { 4 } = \left[ \begin{array} { l } { \phi _ { 1 } } \\ { \phi _ { 2 } } \\ { \phi _ { 3 } } \end{array} \right] \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{array} { l } { R _ { 1 } } \\ { R _ { 2 } } \\ { R _ { 3 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 2 \phi _ { 4 } / \phi _ { 2 } } \\ { 0 } \end{array} \right] ,
\delta \bar { \Pi } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) = \frac { \lambda ^ { 2 } } 2 \, \bar { G } _ { T , \Lambda } ^ { 2 } ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) \left[ G _ { + + } ^ { 2 } ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) - G _ { + - } ^ { 2 } ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) \right] .
L _ { \mathrm { ~ c ~ } } = \operatorname* { l i m } _ { R \rightarrow \infty } 2 \pi \int _ { r _ { 2 } } ^ { R } \bigg ( \frac { 1 } { r } \mathrm { ~ R ~ e ~ } \ \hat { A } _ { \varphi } ( r , \omega _ { 0 } ) + \frac { \partial } { \partial r } \mathrm { ~ R ~ e ~ } \ \hat { A } _ { \varphi } ( r , \omega _ { 0 } ) \bigg ) r d r ,
\begin{array} { r l } { \langle ( N L ) J ( s ~ s _ { 3 } ) S ; } & { \mathcal { J } \mathcal { M } | P _ { \ell } ( \cos \theta ) | ( N ^ { \prime } L ^ { \prime } ) J ^ { \prime } ( s ^ { \prime } ~ s _ { 3 } ) S ^ { \prime } ; \mathcal { J } \mathcal { M } \rangle = } \\ & { \delta _ { J , J ^ { \prime } } \delta _ { s , s ^ { \prime } } \delta _ { S , S ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { J + S + \mathcal { J } + N + L } \left[ \mathcal { J } , J , J ^ { \prime } , \ell , N , N ^ { \prime } , L , L ^ { \prime } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ & { \times \left\{ \begin{array} { c c c } { N } & { N ^ { \prime } } & { \ell } \\ { L } & { L ^ { \prime } } & { \ell } \\ { J } & { J ^ { \prime } } & { 0 } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { c c c } { \mathcal { J } } & { 0 } & { \mathcal { J } ^ { \prime } } \\ { J ^ { \prime } } & { S } & { J } \end{array} \right\} \left( \begin{array} { c c c } { N } & { \ell } & { N ^ { \prime } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c } { L } & { \ell } & { L ^ { \prime } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
I = \beta \left( \frac { m } { 2 } + \frac { \left( q _ { m } + n \, \phi _ { e } \right) ^ { 2 } - \phi _ { e } ^ { 2 } r _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 r _ { 0 } } - \frac { r _ { 0 } ^ { 4 } + 3 n ^ { 2 } r _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \, L ^ { 2 } \, r _ { 0 } } \right) .