harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal L } = { \cal L } _ { M } ^ { ( 2 ) } + { \cal L } _ { M B } ^ { ( 0 ) } + { \cal L } _ { M B } ^ { ( 1 ) } + { \cal L } _ { M B } ^ { ( 2 ) } + { \cal L } _ { M B } ^ { ( 3 ) } + { \cal L } _ { M T } ^ { ( 1 ) } + { \cal L } _ { M B T } ^ { ( 1 ) } + \ldots ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { a } ( \varphi _ { [ \imath ] } , \phi _ { [ \imath ] } ) [ n ] } & { = e ^ { \jmath \left[ \bar { n } \pi \cos \phi _ { [ \imath ] } \sin \varphi _ { [ \imath ] } + ( n - 1 - N _ { \mathrm { h } } \bar { n } ) \pi \sin \phi _ { [ \imath ] } \right] } , \quad 1 \leq n \leq N _ { 1 } , } \\ { \mathbf { b } ( \varphi _ { [ \imath ] } , \phi _ { [ \imath ] } ) [ n ] } & { = e ^ { \jmath \left[ \bar { n } \pi \cos \phi _ { [ \imath ] } \sin \varphi _ { [ \imath ] } + ( n - 1 - N _ { \mathrm { h } } \bar { n } ) \pi \sin \phi _ { [ \imath ] } \right] } , \quad N _ { 1 } + 1 \leq n \leq N , } \end{array}
\Lambda _ { \sigma \alpha } \eta ^ { \mu \sigma } \Lambda ^ { \nu \sigma } \eta _ { \beta \sigma } \eta _ { \mu \nu } = \Lambda _ { \sigma \alpha } \eta _ { \beta \sigma } \Lambda ^ { \nu \sigma } \delta _ { \nu } ^ { \sigma } = \Lambda _ { \nu \alpha } \eta _ { \beta \sigma } \Lambda ^ { \nu \sigma } \stackrel { \nu \leftrightarrow \beta } { = } [ \Lambda ] \cdot [ \eta ] \cdot [ \Lambda ] ^ { T }
A ( z , \vec { k } _ { \perp } , Q ^ { 2 } ) \; = \; \frac { Q ^ { 4 } } { Q ^ { 2 } \, + \, \left( \vec { k } _ { \perp } ^ { 2 } + m ^ { 2 } \right) \, / \, \left( z ( 1 - z ) \right) } \; .
\mathcal { L } ( \psi ) = \mathbb { E } _ { s , a , r , s ^ { \prime } } \left[ \left( Q ( s , a ; \psi ) - ( r + \gamma \operatorname* { m a x } _ { a ^ { \prime } } Q ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ; \psi ^ { \prime } ) ) \right) ^ { 2 } \right] ,
S _ { \gamma ^ { * } ( P ^ { 2 } ) } ( Q ^ { 2 } , P ^ { 2 } , x ) = S ^ { \mathrm { T } } { \gamma ^ { * } ( P ^ { 2 } ) } ( Q ^ { 2 } , P ^ { 2 } , x ) - { \frac { 1 } { 2 } } S ^ { \mathrm { L } } { \gamma ^ { * } ( P ^ { 2 } ) } ( Q ^ { 2 } , P ^ { 2 } , x ) .
I = \int \exp \{ a ^ { 4 } \sum _ { x } \{ b \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } [ b ^ { - 2 } ( \phi _ { n + 1 } ^ { * } ( x ) \exp \{ - i \gamma _ { 5 } \hat { D } b \} \phi _ { n } ( x ) + h . c . - 2 \phi _ { n } ^ { * } \phi _ { n } ) -
\begin{array} { r } { \| u _ { j } \| _ { W ^ { l + t _ { j } , p } ( \Omega ) } \leq K \Big ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \| F _ { i } \| _ { W ^ { l - s _ { i } , p } ( \Omega ) } + \sum _ { h = 1 } ^ { m } \| \phi _ { h } \| _ { W ^ { l - r _ { h } - \frac { 1 } { p } , p } ( \partial \Omega ) } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \| u _ { j } \| _ { L ^ { p } ( \Omega ) } \Big ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { P } _ { \mathrm { I } } ( z ) = \int _ { \mathcal D } \bar { \rho } d \tau , } \\ { \bar { P } _ { \mathrm { O } } ( z ) = \int _ { \bar { \mathcal D } } \bar { \rho } d \tau , } \end{array}
\tilde { \psi } ( x , t ) \approx \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi t } } e ^ { - i \frac { \pi } { 4 } } e ^ { i \frac { x ^ { 2 } } { 2 t } } \hat { \psi } _ { 0 } \big ( \frac { x } { t } \big ) .
\begin{array} { r l r } { B ( \sigma _ { t } ( s ) ) \cdot \mathbf { n } \, d A } & { = } & { B ( \sigma _ { t } ( s ) ) \cdot \left( \frac { \partial \sigma } { \partial s } \times \frac { \partial \sigma } { \partial t } \right) d s d t } \\ & { = } & { \left( \frac { \partial \sigma } { \partial t } \times B ( \sigma _ { t } ( s ) ) \right) \cdot \frac { \partial \sigma } { \partial s } d s d t } \\ & { = } & { \Big ( v \times B ( \sigma _ { t } ( s ) ) \Big ) \cdot \frac { \partial \sigma } { \partial s } d s d t . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \hat { \boldsymbol { \rho } } } } & { = \cos \varphi { \hat { \mathbf { x } } } + \sin \varphi { \hat { \mathbf { y } } } } \\ { { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } & { = - \sin \varphi { \hat { \mathbf { x } } } + \cos \varphi { \hat { \mathbf { y } } } } \\ { { \hat { \mathbf { z } } } } & { = { \hat { \mathbf { z } } } } \end{array} }
P _ { e e } ^ { i } = P _ { e , 1 } ^ { S } P _ { 1 , e } ^ { E } + P _ { e , 2 } ^ { S } P _ { 2 , e } ^ { E } + 2 \sqrt { P _ { e , 1 } ^ { S } P _ { e , 2 } ^ { S } P _ { 1 , e } ^ { E } P _ { 2 , e } ^ { E } } \cos \frac { \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } ( L ) } { 2 E } \; ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { 1 } ( x , y , } & { \theta ) = Q G \left( x \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) + y \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) ; q _ { x } , \beta _ { x } ^ { q G } \right) } \\ & { \times Q G \left( - x \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) + y \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) ; q _ { y } , \beta _ { y } ^ { q G } \right) ; } \\ { \rho _ { 2 } ( x , y , } & { \theta ) = Q G \left( x \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) - y \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) ; q _ { x } , \beta _ { x } ^ { q G } \right) } \\ & { \times Q G \left( - x \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) - y \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) ; q _ { y } , \beta _ { y } ^ { q G } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { E \left( { x } , { y } , z = 0 \right) = { E } _ { 0 } \mathrm { ~ A ~ i ~ } \left( \frac { x } { { x } _ { 0 } } \right) \exp \left( a \frac { x } { { x } _ { 0 } } \right) \times \mathrm { ~ A ~ i ~ } \left( \frac { y } { { x } _ { 0 } } \right) \exp \left( a \frac { y } { { x } _ { 0 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( 2 m + 3 ) } & { = \frac { 1 } { 2 ^ { m + 1 / 2 } \sqrt { e } } \int _ { 0 } ^ { \infty } t ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( t + 1 ) ^ { m + \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - \frac { t } { 2 } } \mathrm { d } t } \\ & { = \sqrt { \frac { \pi } { e } } \frac { 1 } { 2 ^ { m + 1 / 2 } } U \left( \frac { 1 } { 2 } , m + 2 , \frac { 1 } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l l } { V _ { u d } } & { V _ { u s } } & { V _ { u b } } \\ { V _ { c d } } & { V _ { c s } } & { V _ { c b } } \\ { V _ { t d } } & { V _ { t s } } & { V _ { t b } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { 0 . 9 7 3 7 0 \pm 0 . 0 0 0 1 4 } & { 0 . 2 2 4 5 \pm 0 . 0 0 0 8 } & { 0 . 0 0 3 8 2 \pm 0 . 0 0 0 2 4 } \\ { 0 . 2 2 1 \pm 0 . 0 0 4 } & { 0 . 9 8 7 \pm 0 . 0 1 1 } & { 0 . 0 4 1 0 \pm 0 . 0 0 1 4 } \\ { 0 . 0 0 8 0 \pm 0 . 0 0 0 3 } & { 0 . 0 3 8 8 \pm 0 . 0 0 1 1 } & { 1 . 0 1 3 \pm 0 . 0 3 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } L _ { n } ^ { m } ( t ) \tau ^ { n } = \frac { \mathrm { e } ^ { - \frac { t \tau } { 1 - \tau } } } { ( 1 - \tau ) ^ { m + 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial x } { \partial \partial s _ { i } } } & { { } = \frac { \partial p } { \partial s _ { i } } \cdot ( I - \sigma K ) \cdot \nabla x = ( 1 - \sigma \kappa _ { i } ) | t _ { i } | \widehat { t } _ { i } . } \end{array}
\kappa _ { a } ( \nu , T ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } ( 1 0 ^ { 7 } , 1 0 ^ { 8 } T / T _ { \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } } ) } & { h \nu < 0 . 0 1 \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } } \\ { \frac { 1 0 ^ { 7 } \left( 0 . 0 1 \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } / h \nu \right) ^ { 2 } } { ( 1 + 2 0 \cdot ( T / T _ { \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } } ) ^ { 1 . 5 } ) } } & { 0 . 0 1 \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } < h \nu < 0 . 1 \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } } \\ { \frac { 1 0 ^ { 7 } \left( 0 . 0 1 \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } / h \nu \right) ^ { 2 } } { ( 1 + 2 0 \cdot ( T / T _ { \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } } ) ^ { 1 . 5 } ) } + \frac { 1 0 ^ { 6 } \left( 0 . 1 \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } / h \nu \right) ^ { 2 } } { 1 + 2 0 0 \cdot ( T / T _ { \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } } ) ^ { 2 } } } & { 0 . 1 \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } < h \nu < 1 . 5 \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } } \\ { \frac { 1 0 ^ { 7 } \left( 0 . 0 1 \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } / h \nu \right) ^ { 2 } \sqrt { 1 . 5 \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } / h \nu } } { ( 1 + 2 0 \cdot ( T / T _ { \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } } ) ^ { 1 . 5 } ) } + \frac { 1 0 ^ { 5 } \left( 1 . 5 \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } / h \nu \right) ^ { 2 . 5 } } { 1 + 1 0 0 0 \cdot ( T / T _ { \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } } ) ^ { 2 } } } & { h \nu > 1 . 5 \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { Y _ { \mu } ( n l ; r ) } & { { } = \sum _ { n ^ { \prime } l ^ { \prime } } \sum _ { L = | l - l ^ { \prime } | } ^ { l + l ^ { \prime } } A _ { n l , n ^ { \prime } l ^ { \prime } , L } ^ { \mathrm { ~ H ~ } } Y ^ { L } ( n ^ { \prime } l ^ { \prime } , n ^ { \prime } l ^ { \prime } ; r ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d \eta } { d z } = \left[ - g _ { L } + \left( g _ { 0 } + g _ { L } \right) \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( \eta ) \operatorname { t a n h } ( V ) - 4 \epsilon _ { 3 } \eta ^ { 2 } / 3 \right] \eta . } \end{array}
\langle \boldsymbol { \hat { e } } _ { \perp } \cdot \boldsymbol { S } \cdot \boldsymbol { \hat { e } } _ { \perp } - 2 \boldsymbol { \hat { e } } _ { \parallel } \cdot \boldsymbol { S } \cdot \boldsymbol { \hat { e } } _ { \parallel } \rangle
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } u ( t ) } & { = \mathrm { e } ^ { - 2 v ( t ) } \Delta _ { \bar { g } } u ( t ) + \bar { K } \left( \frac 1 A - \mathrm { e } ^ { - 2 v ( t ) } \right) + f - \frac 1 A \int _ { M } f \mathrm { e } ^ { 2 v ( t ) } d \mu _ { \bar { g } } ; } \\ { u ( 0 ) } & { = u _ { 0 } \in \mathcal { C } _ { p , A } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \tilde { J } _ { 0 } ^ { 2 } } & { = \sum _ { n _ { x } , n _ { y } } p _ { n _ { x } , n _ { y } } [ \tilde { J } _ { 0 } \left( n _ { x } , n _ { y } \right) - J _ { 0 } ] ^ { 2 } } \\ & { = \{ \frac { \hbar } { 8 } \frac { \omega _ { r 0 } ^ { 2 } } { \omega _ { r } } [ \frac { \partial } { \partial v _ { 0 } } f ( \tilde { q } = 0 , v _ { 0 } / 4 ) - \frac { \partial } { \partial v _ { 0 } } f ( \tilde { q } = \pm 1 , v _ { 0 } / 4 ) ] \} ^ { 2 } \frac { 2 ( e ^ { \hbar \omega _ { r } / k _ { B } T } + 2 ) } { ( e ^ { \hbar \omega _ { r } / k _ { B } T } - 1 ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { m x } = } & { \iint _ { - \hbar k } ^ { \hbar k } \Bigr [ \hbar \chi _ { + } \hat { \psi } _ { \uparrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \downarrow } ( p ) \hat { \psi } _ { \downarrow } ^ { \dagger } ( q ) \hat { \psi } _ { \uparrow } ( q ) } \\ & { + \hbar \chi _ { - } \hat { \psi } _ { \downarrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \uparrow } ( p ) \hat { \psi } _ { \uparrow } ^ { \dagger } ( q ) \hat { \psi } _ { \downarrow } ( q ) \Bigr ] \, d p \, d q } \end{array}
l _ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) + \frac { - \textbf { i } \sqrt { 3 } } { 2 } ( p _ { 1 } - p _ { 2 } ) + \frac { 1 } { 3 } s R e ( P r + 1 )
\ddot { f } _ { k } ^ { \overline { { { ( 2 ) } } } } ( t ) - 2 i \omega _ { k } ^ { 0 } \dot { f } _ { k } ^ { \overline { { { ( 2 ) } } } } ( t ) = - V ( t ) f _ { k } ^ { \overline { { { ( 1 ) } } } } ( t ) \; .
\begin{array} { r l r } { r _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { \ell } u _ { x x x x } ^ { 2 } ( t ) d x } & { + } & { \frac { \kappa _ { 0 } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } u _ { x x x x \tau } ^ { 2 } d x d \tau \leq C _ { 2 } ^ { 2 } \Vert g ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } + \frac { 3 0 \bar { C } r _ { 2 } ^ { 2 } } { \kappa _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } u _ { x x x x } ^ { 2 } d x d \tau , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | { p _ { \ell } ( 0 ) } | } & { = | { \alpha ( 0 ) \lambda _ { 1 } ^ { \ell } + \beta ( 0 ) \lambda _ { 2 } ^ { \ell } } | } \\ & { = \frac { c } { c - 1 } ( c - 1 ) ^ { \ell } } \\ & { < 2 l ( c - 1 ) ^ { \ell / 2 } ( c - 1 ) ^ { \ell / 2 } } \\ & { < 2 l ( c - 1 ) ^ { \ell / 2 } ( d - 1 ) ^ { \ell / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d ( a ) } & { = } & { \operatorname* { m i n } \{ a _ { 1 } , \ldots , a _ { N } \} , } \\ { \# _ { d } ( a ) } & { = } & { \# \{ i \in \{ 1 , \ldots , N \} \, \vert \, a _ { i } = d ( a ) \} , } \\ { \Gamma ( a ) } & { = } & { \mathbb { Z } \langle a _ { 1 } - d ( a ) , \ldots , a _ { N } - d ( a ) \rangle , } \end{array}
k _ { x } k _ { z } E _ { x } + k _ { y } k _ { z } E _ { y } + \left( - k _ { x } ^ { 2 } - k _ { y } ^ { 2 } + { \frac { \omega ^ { 2 } n _ { z } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) E _ { z } = 0
\begin{array} { l } { { f _ { - } { \bf U } _ { a + 1 } { \bf X } _ { a + 2 , a } ^ { ' a + 1 } + c _ { 1 a } ( u _ { - } ) f _ { + } { \bf X } _ { a + 2 , a } ^ { a + 1 } { \bf U } _ { a - 1 } ^ { ' } + c _ { 2 a } ( u _ { + } ) f _ { - } { \bf X } _ { a + 2 , a } ^ { a + 1 } { \bf D } _ { a + 1 } ^ { ' } } } \\ { { \mathrm { ~ } = f _ { + } { \bf X } _ { a + 2 , a } ^ { ' a + 1 } { \bf U } _ { a - 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ddot { \phi } _ { 0 , d } - \frac { \dot { g } ( t ) } { g ( t ) } \dot { \phi } _ { 0 , d } + \omega _ { d } ^ { 2 } ( t ) \phi _ { 0 , d } } & { = 0 , } \\ { \ddot { \phi } _ { 0 , d } + 2 \frac { \dot { a } ( t ) } { a ( t ) } \dot { \phi } _ { 0 , d } + \frac { k _ { d } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } ( t ) } \phi _ { 0 , d } } & { = 0 . } \end{array}
S _ { 1 2 } ( \theta ) S _ { 1 3 } ( \theta + \theta ^ { \prime } ) S _ { 2 3 } ( \theta ^ { \prime } ) = S _ { 2 3 } ( \theta ^ { \prime } ) S _ { 1 3 } ( \theta + \theta ^ { \prime } ) S _ { 1 2 } ( \theta )
{ \bf Q } ( t _ { 0 } ) = \frac { t _ { 0 } } { v _ { 0 } } { \bf C } _ { 0 } { \bf K } _ { 0 } + { \bf I } \, , \quad { \bf P } ( t _ { 0 } ) = \frac { 1 } { v _ { 0 } } { \bf K } _ { 0 } \, .
\operatorname* { l i m } _ { x ^ { 0 } \rightarrow - \infty } \int \! \mathrm { d } ^ { 3 } x \langle \beta | \mathrm { e } ^ { i p \cdot x } { \bar { \Psi } } ( x ) \gamma ^ { 0 } u _ { \textbf { p } } ^ { s } | \alpha \rangle = { \sqrt { Z } } \int \! \mathrm { d } ^ { 3 } x \langle \beta | \mathrm { e } ^ { i p \cdot x } { \bar { \Psi } } _ { \mathrm { i n } } ( x ) \gamma ^ { 0 } u _ { \textbf { p } } ^ { s } | \alpha \rangle ,
| \mathcal { K } | \gtrsim \delta ^ { - \underline { { t } } } \cdot \mathcal { H } _ { \infty } ^ { \underline { { t } } } ( K _ { \mathrm { g o o d } } ) \geq \delta ^ { - \underline { { t } } } \cdot ( \mathcal { H } _ { \infty } ^ { \underline { { t } } } ( K ) - \mathcal { H } _ { \infty } ^ { \underline { { t } } } ( K _ { \mathrm { b a d } } ) ) \gtrsim \delta ^ { \epsilon / 1 0 0 } \cdot \delta ^ { - t } .
\begin{array} { r l } & { \int _ { A } ^ { + \infty } u ^ { - 2 } \sqrt { \log ( \operatorname* { m a x } \{ u , 1 \} ) } d u = \int _ { A } ^ { \exp ( 1 / 2 ) } u ^ { - 2 } \sqrt { \log ( \operatorname* { m a x } \{ u , 1 \} ) } d u + \int _ { \exp ( 1 / 2 ) } ^ { + \infty } u ^ { - 2 } \sqrt { \log ( u ) } d u } \\ { \leq } & { 2 ^ { - 1 / 2 } A ^ { - 1 } - 2 ^ { - 1 / 2 } \exp ( - 1 / 2 ) + 2 ^ { - 1 / 2 } \exp ( - 1 / 2 ) + \int _ { \exp ( 1 / 2 ) } ^ { + \infty } \frac { u ^ { - 2 } } { \sqrt { \log ( u ) } } d u } \\ { \leq } & { 2 ^ { - 1 / 2 } A ^ { - 1 } + A ^ { - a } \int _ { \exp ( 1 / 2 ) } ^ { + \infty } \frac { u ^ { - 2 + a } } { \sqrt { \log ( u ) } } d u , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } _ { D } ^ { \lambda } ( t , x , x ^ { \prime } , y , y ^ { \prime } ) } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \lambda ^ { 2 n } \widetilde { G } _ { D } ^ { \triangleright n } ( t , x , x ^ { \prime } , y , y ^ { \prime } ) } \\ & { \le C \lambda ^ { 2 } \frac { e ^ { - 2 \mu _ { 1 } t } } { 1 \wedge t ^ { d } } e ^ { - c _ { 1 } \Big ( \frac { | x - y | ^ { 2 } } { t } + \frac { | x ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t } \Big ) } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( C \lambda ^ { 2 } ) ^ { n - 1 } \widetilde { h } _ { n - 1 } ( t ) } \\ & { \le C ^ { \prime } \lambda ^ { 2 } \frac { e ^ { - 2 \mu _ { 1 } t } } { 1 \wedge t ^ { d } } e ^ { - c _ { 1 } \Big ( \frac { | x - y | ^ { 2 } } { t } + \frac { | x ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t } \Big ) } e ^ { t \Big ( c \lambda ^ { 2 } + c ^ { \prime } \lambda ^ { \frac { 4 } { 2 - \beta } } \Big ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { t , n } ^ { n } } & { = } & { ( \mathcal { D } _ { n } U _ { t } ) ( \mathcal { D } _ { n } U _ { t } ) \ldots ( \mathcal { D } _ { n } U _ { t } ) \quad ( n \mathrm { ~ t i m e s } ) } \\ & { = } & { \mathcal { D } _ { n } U _ { t } U _ { t } ^ { ( 1 ) } \mathcal { D } _ { n } ^ { 2 } U _ { t , n } \ldots \mathcal { D } _ { n } U _ { t , n } } \\ & { = } & { \mathcal { D } _ { n } \left( \prod _ { k = 0 } ^ { n - 1 } U _ { t } ^ { ( k ) } \right) \mathcal { D } _ { n } ^ { n - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ \ \ \ \ \ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } _ { M } [ Y \mid d o ( \boldsymbol { S } ^ { * } = \textbf { 1 } ) ] - \mathbb { E } _ { M } [ Y \mid d o ( \boldsymbol { S } _ { t } = \textbf { 1 } ) ] } \\ & { = \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( ( \mathbb { E } _ { M } [ Y \mid d o ( \boldsymbol { S } ^ { * } = \textbf { 1 } ) ] - \mathbb { E } _ { M ^ { \prime } } [ Y \mid d o ( \boldsymbol { S } ^ { * } = \textbf { 1 } ) ] ) + ( \mathbb { E } _ { M ^ { \prime } } [ Y \mid d o ( \boldsymbol { S } ^ { * } = \textbf { 1 } ) ] - \mathbb { E } _ { M ^ { \prime } } [ Y \mid d o ( \boldsymbol { S } _ { t } = \textbf { 1 } ) ] ) ) } \\ & { \le T _ { 0 } + \sum _ { t = T _ { 0 } + 1 } ^ { T } n ^ { 2 } ( n + 1 ) T ^ { - 1 / 3 } + \sum _ { t = T _ { 0 } + 1 } ^ { T } ( \mathbb { E } _ { M ^ { \prime } } [ Y \mid d o ( \boldsymbol { S } ^ { * } = \textbf { 1 } ) ] - \mathbb { E } _ { M ^ { \prime } } [ Y \mid d o ( \boldsymbol { S } _ { t } = \textbf { 1 } ) ] ) } \\ & { \le T _ { 0 } + n ^ { 2 } ( n + 1 ) T ^ { 2 / 3 } + c n ^ { 2 } \sqrt { n T \log T } } \\ & { = O ( ( n ^ { 3 } T ^ { 2 / 3 } + n ^ { 3 } \sqrt { T } ) \log T ) } \\ & { = O ( n ^ { 3 } T ^ { 2 / 3 } \log T ) , } \end{array}
\Gamma _ { 1 } ( \mathbf { u } ) = \rho - \epsilon , \quad \Gamma _ { 2 } ( \mathbf { u } ) = P - \epsilon , \quad \mathrm { a n d } \quad \Gamma _ { 3 } ( \mathbf { u } ) = \sigma - \sigma _ { \operatorname* { m i n } } - \epsilon ,
\begin{array} { r } { \langle \mathbf { f } \left( t \right) \rangle = 0 } \\ { \langle \textbf { f } \left( t \right) \otimes \textbf { f } \left( t ^ { \prime } \right) \rangle = 2 k _ { \mathrm { B } } T \textbf { Z } \textbf { I } \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) , } \end{array}
( W ^ { a } = \alpha p ^ { a } ) | \Phi \rangle , \quad \mathrm { w i t h } \quad \alpha = - \rho 2 ^ { n - 1 } ( n - 1 ) ! ( l _ { n - 1 } + n - 2 ) \ldots ( l _ { 2 } + 1 ) l _ { 1 }
\tilde { \Gamma } _ { \mathbf { k } , - \mathbf { k } , \mathbf { k } ^ { \prime } , - \mathbf { k } ^ { \prime } } ^ { \alpha , \beta , \alpha ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } } \equiv \frac { 1 } { \sqrt { v _ { \mathbf { k } } v _ { \mathbf { k } ^ { \prime } } } } \Gamma _ { \mathbf { k } , - \mathbf { k } , \mathbf { k } ^ { \prime } , - \mathbf { k } ^ { \prime } } ^ { \alpha , \beta , \alpha ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } }
F _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ } } ( \tau ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t _ { 0 } \cos \left( \frac { 2 A _ { m } } { \pi } \left[ \arcsin \left( \sin \left( \omega _ { m } ( \tau + t _ { 0 } ) \right) \right) - \arcsin \left( \sin \left( \omega _ { m } t _ { 0 } \right) \right) \right] \right) .
\begin{array} { r l } & { J _ { 1 } : = | e ^ { z ^ { 3 } ( \zeta q _ { o , e r r } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) + q _ { e , e r r } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) ) } - 1 | | e _ { 2 1 , N } | , } \\ & { J _ { 2 } : = \bigg | e ^ { z ^ { 3 } ( \zeta q _ { o , e r r } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) + q _ { e , e r r } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) ) } \sum _ { j = N + 1 } ^ { \infty } \frac { [ - \beta + z ^ { 3 } ( \zeta q _ { o , N } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) + q _ { e , N } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) ) ] ^ { j } } { j ! } \bigg | . } \end{array}
\mathbf B _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } ( \overline { { \mathbf x } } ) = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 n _ { \mathrm { ~ f ~ p ~ } } N _ { C } } I _ { i } \int _ { \mathbf \Gamma _ { i } } \frac { d \mathbf l _ { i } \times \mathbf r } { r ^ { 3 } } ,
r _ { 4 } = r _ { 3 } \frac { \big | \sqrt { 2 a ^ { 2 } - b } - \sqrt { 2 } | a | \big | ^ { \frac { | a | } { \sqrt { 2 ( 2 a ^ { 2 } - b ) } } + \frac { 1 } { 2 } } } { \big ( \sqrt { 2 a ^ { 2 } - b } + \sqrt { 2 } | a | \big ) ^ { \frac { | a | } { \sqrt { 2 ( 2 a ^ { 2 } - b ) ) } } - \frac { 1 } { 2 } } }
A = \left( \begin{array} { l l l } { \mathcal I _ { G } } & { \mathcal I _ { G } } & { \mathcal I _ { G } } \\ { \mathcal I _ { H } } & { 0 } & { \mathcal I _ { H } } \\ { \mathcal I _ { W } } & { \mathcal I _ { W } } & { 0 } \end{array} \right) .
G _ { 0 } ^ { \sigma } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega ) = \sum _ { m } \frac { \phi _ { m \sigma } ( \mathbf { r } ) \phi _ { m \sigma } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { \omega - \varepsilon _ { m \sigma } - i \eta \; \mathrm { s i g n } ( \mu - \varepsilon _ { m \sigma } ) } \; \; ,
\langle 0 \mid \left[ { \alpha } _ { m - n } { \alpha } _ { n } , { \alpha } _ { - m - s } { \alpha } _ { s } \right] \mid 0 \rangle = n ( m - n ) \left( { \varepsilon } _ { m - n } - { \varepsilon } _ { - n } \right) \left( { \delta } _ { n - m - s } + { \delta } _ { n + s } \right)
\begin{array} { r l } { \| \Phi _ { M } ( \sigma \vec { x } ) - \Phi _ { M } ( \vec { x } ) \| _ { \mathcal { H } _ { M } } ^ { 2 } } & { = \langle \Phi _ { M } ( \sigma \vec { x } , \Phi _ { M } ( \sigma \vec { x } ) \rangle _ { \mathcal { H } _ { M } } - 2 \langle \Phi _ { M } ( \sigma \vec { x } ) , \Phi _ { M } ( \vec { x } ) \rangle _ { \mathcal { H } _ { M } } } \\ & { \quad + \langle \Phi _ { M } ( \vec { x } ) , \Phi _ { M } ( \vec { x } ) \rangle _ { \mathcal { H } _ { M } } } \\ & { = k ^ { [ M ] } ( \sigma \vec { x } , \sigma \vec { x } ) - 2 k ^ { [ M ] } ( \sigma \vec { x } , \vec { x } ) + k ^ { [ M ] } ( \vec { x } , \vec { x } ) } \\ & { = k ^ { [ M ] } ( \vec { x } , \vec { x } ) - 2 k ^ { [ M ] } ( \vec { x } , \vec { x } ) + k ^ { [ M ] } ( \vec { x } , \vec { x } ) } \\ & { = 0 } \end{array}
p ( y ) = \frac { \int _ { 0 } ^ { N } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { ( y - u ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \cdot \left[ Q \left( \frac { - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - u } { \sigma } \right) \right] \, d u } { \int _ { 0 } ^ { N } \left[ Q \left( \frac { - t } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - t } { \sigma } \right) \right] ^ { 2 } \, d t } .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \psi } ^ { * } = \ } & { { } \frac { 1 } { \sqrt { - 2 \ln ( r _ { 1 } r _ { 3 } ) } } \left( \sqrt { - 2 \ln r _ { 1 } } \cos ( 2 \pi r _ { 2 } ) + \sqrt { - 2 \ln r _ { 1 } } \sin ( 2 \pi r _ { 2 } ) \boldsymbol { i } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { c _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { 6 \pi \eta _ { 0 } a } \frac { 1 } { Y _ { A } } ; } & & { Y _ { A } = \frac { 1 6 } { 3 } e ^ { 3 } \left[ 2 e + ( 3 e ^ { 2 } - 1 ) L \right] ^ { - 1 } } \\ { c _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 6 \pi \eta _ { 0 } a } \frac { 1 } { X _ { A } } } & & { X _ { A } = \frac { 8 } { 3 } e ^ { 3 } \left[ - 2 e + ( 1 + e ^ { 2 } ) L \right] ^ { - 1 } } \\ { c _ { 3 } } & { = \frac { 1 } { 8 \pi \eta _ { 0 } a ^ { 3 } } \frac { 1 } { Y _ { C } } } & & { Y _ { C } = \frac { 4 } { 3 } e ^ { 3 } ( 2 - e ^ { 2 } ) \left[ - 2 e + ( 1 + e ^ { 2 } ) L \right] ^ { - 1 } } \\ { c _ { 4 } } & { = \frac { 1 } { 8 \pi \eta _ { 0 } a ^ { 3 } } \frac { 1 } { X _ { C } } } & & { X _ { C } = \frac { 4 } { 3 } e ^ { 3 } ( 1 - e ^ { 2 } ) \left[ 2 e - ( 1 - e ^ { 2 } ) L \right] ^ { - 1 } } \end{array}