harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \int _ { A _ { + } \cup A _ { - } } \frac { 1 } { \lambda } \zeta \Psi _ { 0 } ( \lambda \, \partial _ { \tau } \hat { u } ) \ d \tau \, d z } & { \leq C \int _ { \{ \zeta > 0 \} } \frac { 1 } { \lambda } \Psi _ { 0 } ( \lambda \, \partial _ { \tau } \hat { u } ) \ d \tau \, d z } \\ & { \leq C \frac { 1 } { \lambda } \int _ { \{ \zeta > 0 \} } \Psi _ { 0 } ( | u ^ { + } ( r _ { * } ( \tau , z ) , z ) - u ^ { - } ( r _ { * } ( \tau , z ) , z ) | ) + C \Psi _ { 0 } ( \lambda \sum _ { \pm } \textup { a v g } _ { \pm } ( | \partial _ { \tau } u | ) ) \ d \tau \, d z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| g ( X ) - g ( X _ { \Delta x } ) \| _ { 1 } } & { = \int _ { \mathcal { S } \cap \mathcal { S } _ { \Delta x } ^ { c } } \left| g ( X ) ( \xi ) - g ( X _ { \Delta x } ) ( \xi ) \right| d \xi } \\ & { \qquad + \int _ { \mathcal { S } ^ { c } \cap \mathcal { S } _ { \Delta x } } \left| g ( X ) ( \xi ) - g ( X _ { \Delta x } ) ( \xi ) \right| d \xi } \\ & { \qquad + \int _ { \mathcal { S } ^ { c } \cap \mathcal { S } _ { \Delta x } ^ { c } } \left| g ( X ) ( \xi ) - g ( X _ { \Delta x } ) ( \xi ) \right| d \xi . } \end{array}
V = { \frac { \pi R ^ { 3 } } { 3 } } { \frac { ( 2 - 3 \cos \theta _ { \mathrm { a v g } } + \cos ^ { 3 } \theta _ { \mathrm { a v g } } ) } { \sin ^ { 3 } \theta _ { \mathrm { a v g } } } } ,
A _ { T } ^ { \mathrm { f u l l } } = i { \frac { \lambda ^ { 2 } } { 1 2 \pi N _ { f } M ^ { 2 } } } \ \bar { U } _ { s } \sigma ^ { \mu \nu } U _ { \tau } \ \bar { U } _ { e } \sigma _ { \mu \nu } U _ { d } \, s u m _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { n } ( \alpha _ { s } N _ { f } ) ^ { n } + { \cal O } ( { \frac { 1 } { M ^ { 4 } } } ) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } ^ { \prime } [ \{ u _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d _ { 1 } } , } & { \{ v _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { k } , \{ w _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d } ] } \\ & { \geq c | \operatorname* { d e t } \{ u _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d _ { 1 } } | ^ { \frac { s } { d _ { 1 } } } | \operatorname* { d e t } \{ v _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { k } | ^ { \frac { s } { k } } | \operatorname* { d e t } \{ w _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d } | ^ { \frac { s } { d } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \lambda _ { \mu } } \mathcal E _ { \mathrm { E C C } } } & { { } = \langle \mu \vert e ^ { \hat { \Lambda } ^ { \dagger } } e ^ { - \hat { T } } \hat { H } e ^ { \hat { T } } \vert \phi _ { 0 } \rangle , } \\ { \partial _ { t _ { \mu } } \mathcal E _ { \mathrm { E C C } } } & { { } = \langle \phi _ { 0 } \vert e ^ { \hat { \Lambda } ^ { \dagger } } [ e ^ { - \hat { T } } \hat { H } e ^ { \hat { T } } , \hat { X } _ { \mu } ] \vert \phi _ { 0 } \rangle . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \frac { S [ \underline { { x } } + \epsilon \underline { { u } } ] - S [ \underline { { x } } ] } { \epsilon \underline { { u } } } = \frac { \partial S } { \partial \underline { { x } } } = \frac { \partial L } { \partial \underline { { x } } _ { \tau } } .
\langle f _ { s } ^ { ( \pm ) } \! \left( \textbf { r } , \tau \right) f _ { s ^ { \prime } } ^ { ( \pm ) * } \! \left( \textbf { r } ^ { \prime } , \tau ^ { \prime } \right) \rangle = \delta _ { s s ^ { \prime } } F ( \textbf { r } _ { \bot } - \textbf { r } _ { \bot } ^ { \prime } ) \delta ^ { ( 1 / \Delta \omega ) } \! \left( \tau - \tau ^ { \prime } \right) \delta ^ { ( \varepsilon ) } \! \left( z - z ^ { \prime } + c \left( \tau - \tau ^ { \prime } \right) \right) .
\begin{array} { c c c c } { { Y _ { 1 } } } & { { = } } & { { \left( Y _ { 1 } \right) _ { \phantom { \Lambda _ { 1 } } \Sigma _ { 1 } } ^ { \Lambda _ { 1 } } } } & { { \mathrm { a d j o i n t ~ o f ~ \mathrm { S U ( N ) } _ { 1 } ~ } } } \\ { { Y _ { 2 } } } & { { = } } & { { \left( Y _ { 2 } \right) _ { \phantom { \Lambda _ { 2 } } \Sigma _ { 2 } } ^ { \Lambda _ { 2 } } } } & { { \mathrm { a d j o i n t ~ o f ~ \mathrm { S U ( N ) } _ { 2 } ~ } } } \\ { { u ^ { i } } } & { { = } } & { { \left( u ^ { i } \right) _ { \phantom { \Lambda _ { 1 } } \Sigma _ { 2 } } ^ { \Lambda _ { 1 } } } } & { { \mathrm { i n ~ t h e ~ ( { \bf ~ 3 } , { \bf ~ N } _ { 1 } , { \bf ~ \bar { ~ } N } _ { 2 } ) ~ } } } \\ { { v _ { i } } } & { { = } } & { { \left( v _ { i } \right) _ { \Sigma _ { 1 } } ^ { \phantom { \Sigma _ { 1 } } \Lambda _ { 2 } } } } & { { \mathrm { i n ~ t h e ~ ( { \bf ~ 3 } , { \bf ~ \bar { ~ } N } _ { 1 } , { \bf ~ N } _ { 2 } ) ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r } { z _ { \mathrm { m i n } } \approx \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { \lambda _ { \mathrm { e x } } } + \frac { 1 } { \lambda _ { \mathrm { e m } } } \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \coth ( \pi w ) } { \pi w } } - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ^ { 2 } + w ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { d \in [ 0 , 1 ] ^ { n } } \mu _ { 2 , ( - W ) ^ { 1 / 2 } } ( [ d ] W ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { d \in [ 0 , 1 ] ^ { n } } \alpha ( [ d ] W ) = 0 , } \\ { \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { d \in [ 0 , 1 ] ^ { n } } \mu _ { 2 , ( - W ) ^ { 1 / 2 } } ( W [ d ] ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { d \in [ 0 , 1 ] ^ { n } } \alpha ( W [ d ] ) = 0 . } \end{array}
J _ { \mu } ^ { L } = \frac { F _ { \pi } ^ { 2 } } { 4 } ~ U \partial _ { \mu } U ^ { \dag } = - \frac { F _ { \pi } ^ { 2 } } { 4 } ~ ( \partial _ { \mu } U ) U ^ { \dag } = i \mathrm { \boldmath ~ \ t a u ~ } \cdot ( \mathrm { \boldmath ~ V ~ } _ { \mu } - \mathrm { \boldmath ~ A ~ } _ { \mu } )
( A _ { \mu } , \psi _ { \mu } , \bar { \psi } _ { \mu } , \phi , V _ { \mu } , T _ { \mu \nu } ^ { \pm } , \lambda _ { \mu \nu } ^ { \pm } , Y _ { \mu } ^ { \pm } , \xi _ { \mu } ^ { \pm } ) \rightarrow ( - A _ { \mu } , i \bar { \psi } _ { \mu } , - i \psi _ { \mu } , - \phi , - V _ { \mu } , T _ { \mu \nu } ^ { \mp } , \mp \lambda _ { \mu \nu } ^ { \mp } , Y _ { \mu } ^ { \mp } , \mp \xi _ { \mu } ^ { \mp } ) ,
\, g _ { 1 } \left( w \right) \equiv - \frac { A _ { 1 } } { 2 \beta _ { 0 } } \, \frac { 1 } { w } \left[ \left( 1 - 2 w \right) \log \left( 1 - 2 w \right) - 2 \left( 1 - w \right) \log \left( 1 - w \right) \right] .
\begin{array} { r } { \left. \begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } w - \nabla \cdot \eta \mu \nabla w + w } & { = f } & & { \mathrm { i n ~ } L ^ { r } ( I , X _ { \theta } ) , } \\ { w ( 0 ) } & { = w _ { 0 } } & & { \mathrm { i n ~ } ( X _ { \theta } , Y _ { \theta } ) _ { 1 / r ^ { \prime } , r } } \end{array} \qquad \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \frac { \partial } { \partial \omega } \varphi \right| } & { \leq \left| \frac { 1 } { \widetilde { r } } \left( \widetilde { q } ^ { \prime } - q ^ { \prime } \right) \right| + \left| \frac { q ^ { \prime } } { \widetilde { r } } \left( \frac { r - \widetilde { r } } { r } \right) \right| + \left| \frac { q ^ { \prime } } { r } \left( 1 - e ^ { i \varphi } \right) \right| } \\ & { \leq \left| \frac { 1 } { \widetilde { r } } D \sigma \right| + \left| \frac { q ^ { \prime } } { \widetilde { r } } \sigma \right| + \left| \frac { q ^ { \prime } } { r } \sigma \right| } \\ & { \leq \left( 2 \frac { D } { M } + 2 \frac { D } { M } + \frac { D } { M } \right) \sigma = 5 \frac { D } { M } \sigma \; , } \end{array}
\sqrt { 1 + \operatorname* { m i n } \{ \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } ( \{ \tilde { Y } , \tilde { Z } \} ) , \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } ( \{ Y , Z \} ) \} } , \ \sqrt { 1 + \operatorname* { m i n } \{ \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } ( \{ \tilde { Z } , \tilde { Y } \} ) , \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } ( \{ Z , Y \} ) \} } .
\frac { \partial \overline { { \epsilon } } } { \partial t } + \overline { { u _ { k } } } \frac { \partial \overline { { \epsilon } } } { \partial x _ { k } } = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( C _ { \epsilon } \frac { \overline { { k } } } { \overline { { \epsilon } } } \overline { { u _ { i } ^ { ' } u _ { j } ^ { ' } } } \frac { \partial \overline { { \epsilon } } } { \partial x _ { j } } \right) + C _ { \epsilon 1 } \frac { P _ { i i } \overline { { \epsilon } } } { 2 \overline { { k } } } - C _ { \epsilon 2 } \frac { \overline { { \epsilon } } ^ { 2 } } { \overline { { k } } } .
d ( i _ { k } N ^ { ( 8 ) } ) = ( i _ { k } C ^ { ( 1 ) } ) d ( i _ { k } B ^ { ( 8 ) } ) - [ ( i _ { k } C ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } + e ^ { - 2 \phi } k ^ { 2 } ] d C ^ { ( 7 ) }
\begin{array} { r l } { { p \mathcal { G } _ { g , g _ { 0 } } } _ { \ast } \nabla ^ { L . C . , g } } & { = p \mathcal { G } _ { g , g _ { 0 } } \circ \nabla ^ { L . C . , g } \circ p \mathcal { G } _ { g , g _ { 0 } } ^ { - 1 } } \\ & { = \tau _ { g , g _ { 0 } } \cdot ( \partial _ { i } + ^ { g } \Gamma _ { i } ) \cdot \tau _ { g , g _ { 0 } } ^ { - 1 } } \\ & { = \partial _ { i } + \tau _ { g , g _ { 0 } } \cdot ^ { g } \Gamma _ { i } \cdot \tau _ { g , g _ { 0 } } ^ { - 1 } - \tau _ { g , g _ { 0 } } \cdot \tau _ { g , g _ { 0 } } ^ { - 1 } \cdot \partial _ { i } \tau _ { g , g _ { 0 } } \cdot \tau _ { g , g _ { 0 } } ^ { - 1 } } \\ & { = \partial _ { i } + \tau _ { g , g _ { 0 } } \cdot ^ { g } \Gamma _ { i } \cdot \tau _ { g , g _ { 0 } } ^ { - 1 } - \partial _ { i } \tau _ { g , g _ { 0 } } \cdot \tau _ { g , g _ { 0 } } ^ { - 1 } . } \end{array}
\left[ { \begin{array} { c c c c } { 1 } & { - 1 } & { 2 } & { 8 } \\ { 0 } & { 2 } & { - 1 } & { - 3 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { - 1 1 } \end{array} } \right]
p _ { i } = \frac { 1 + \frac { \mathrm { s i g n } ( \hat { m } _ { 1 } \cdot \hat { n } _ { i } ) \sin ( \frac { \pi } { n } - x ) + \mathrm { s i g n } ( \hat { m } _ { 2 } \cdot \hat { n } _ { i } ) \sin ( \frac { \pi } { n } + x ) } { 2 \sin ( \frac { \pi } { n } ) } } { 2 } \longrightarrow \frac { 1 + \frac { \mathrm { s i g n } ( \hat { t } \cdot \hat { n } _ { i } ) ( \frac { 2 \pi } { n } - x ) + \mathrm { s i g n } ( \hat { t } \cdot \hat { n } _ { i } ) x } { 2 \frac { \pi } { n } } } { 2 } = \frac { 1 + \mathrm { s i g n } ( \hat { t } \cdot \hat { n } _ { i } ) } { 2 }
B _ { 0 } \lambda _ { 0 } { \frac { d \ell _ { 4 } ^ { ( i _ { 2 } ) } } { d \lambda _ { 0 } } } \, + \, \left( 2 B _ { 2 } - B _ { 0 } \right) \ell _ { 4 } ^ { ( i _ { 2 } ) } \, = \, B _ { 4 } ^ { ( i _ { 2 } , j _ { 2 } ) } \ell _ { 4 } ^ { ( j _ { 2 } ) } \, + \, L _ { 4 } ^ { ( i _ { 2 } ) } \, .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { p \geq 0 } \frac { 1 } { p ! } \left\vert \sum _ { ( \pi , G ) \in \mathcal { L } _ { p } ^ { 1 } } \Gamma _ { \pi , G } ^ { 1 } \right\vert } \\ & { \quad \leq C \rho \left( \sum _ { n _ { * } = 0 } ^ { \infty } \left[ C a ^ { 3 } \rho \log ( b / a ) \right] ^ { n _ { * } } \right) \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( k + 1 ) \left[ C s ( \log N ) ^ { 3 } \right] ^ { k } \left[ \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } ( C a ^ { 3 } \rho \log ( b / a ) ) ^ { n - 1 } \right] ^ { k } \right) } \\ & { \quad \leq C \rho < \infty , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l r } { { 6 } A } & { = } & { ( e i - f h ) , } & { \quad } & { D } & { = } & { - ( b i - c h ) , } & { \quad } & { G } & { = } & { ( b f - c e ) , } \\ { B } & { = } & { - ( d i - f g ) , } & { \quad } & { E } & { = } & { ( a i - c g ) , } & { \quad } & { H } & { = } & { - ( a f - c d ) , } \\ { C } & { = } & { ( d h - e g ) , } & { \quad } & { F } & { = } & { - ( a h - b g ) , } & { \quad } & { I } & { = } & { ( a e - b d ) . } \end{array} }
\int _ { - \infty } ^ { \infty } \operatorname { e r f } \left( a x + b \right) { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } } \exp \left( - { \frac { ( x - \mu ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \right) \, \mathrm { d } x = \operatorname { e r f } { \frac { a \mu + b } { \sqrt { 1 + 2 a ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } } } , \qquad a , b , \mu , \sigma \in \mathbb { R }
f _ { 0 } ( x , p ) = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int \! \! d y ~ { \frac { e ^ { - i y p } } { 2 \cosh ( x / \hbar - y / 2 ) \cosh ( x / \hbar + y / 2 ) } } = { \frac { 1 } { \pi } } \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \! d y ~ { \frac { \cos ( y p ) } { \cosh ( 2 x / \hbar ) + \cosh ( y ) } }
{ \hat { H } } _ { i } \; \; = \; \; \sum _ { j } \hat { \mathbf { S } } _ { i } \cdot \mathbf { A } _ { i , j } \cdot \hat { \mathbf { I } } _ { i , j } + \mathbf { \omega } \cdot \hat { \mathbf { S } } _ { i } .
T _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } \times ( M _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } + M _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ - ~ e ~ x ~ t ~ r ~ a ~ } } ) + T _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ f ~ e ~ r ~ } } \times M _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ f ~ e ~ r ~ } }
\begin{array} { r l } & { \mathrm { V a r } \bigg ( \sum _ { m } \Big ( c _ { m } \tilde { \xi } _ { j k } ^ { ( n ) } ( t _ { m } , x ) + d _ { m } \tilde { \xi } _ { j } ^ { ( n ) } ( t _ { m } , x ) \Big ) \bigg ) } \\ & { = \sum _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } } \big ( c _ { m _ { 1 } } c _ { m _ { 2 } } \phi ( x ) p _ { j k } ^ { \texttt { c } } ( t _ { m _ { 1 } } , t _ { m _ { 2 } } | x ) g ( x ) ^ { 2 } + d _ { m _ { 1 } } d _ { m _ { 2 } } \phi ( x ) p _ { j } ^ { \texttt { c } } ( t _ { m _ { 1 } } , t _ { m _ { 2 } } | x ) g ( x ) ^ { 2 } \big ) } \\ & { \quad + \sum _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } } ( c _ { m _ { 1 } } d _ { m _ { 2 } } \phi ( x ) p _ { j k } ^ { 3 , \texttt { c } } ( t _ { m _ { 1 } } , t _ { m _ { 2 } } | x ) g ^ { 2 } ( x ) + c _ { m _ { 2 } } d _ { m _ { 1 } } \phi ( x ) p _ { j k } ^ { 3 , \texttt { c } } ( t _ { m _ { 2 } } , t _ { m _ { 1 } } | x ) g ^ { 2 } ( x ) ) } \\ & { \quad + o ( 1 ) } \end{array}
F _ { n } ( \widehat { U } _ { n } ) = \left( \begin{array} { l } { \displaystyle \int _ { I _ { n } } f \Big ( t , \sum _ { l = 1 } ^ { r _ { n } + 1 } \hat { u } _ { n , l } \phi _ { n , l } ( t ) , \sum _ { l = 1 } ^ { r _ { n } + 1 } \hat { u } _ { n , l } \phi _ { n , l } ^ { \prime } ( t ) \Big ) \phi _ { n , 1 } ( t ) d t } \\ { \vdots } \\ { \displaystyle \int _ { I _ { n } } f \Big ( t , \sum _ { l = 1 } ^ { r _ { n } + 1 } \hat { u } _ { n , l } \phi _ { n , l } ( t ) , \sum _ { l = 1 } ^ { r _ { n } + 1 } \hat { u } _ { n , l } \phi _ { n , l } ^ { \prime } ( t ) \Big ) \phi _ { n , r _ { n } - 1 } ( t ) d t } \\ { U _ { n - 1 } ( t _ { n - 1 } ) } \\ { U _ { n - 1 } ^ { \prime } ( t _ { n - 1 } ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \} } & { { } \equiv } & { \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } , } \\ { \{ \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \} } & { { } \equiv } & { \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } . } \end{array}
r : \mathcal { E } _ { \mathfrak { n } } ^ { \prime } \cong \mathcal { E } _ { \mathfrak { n } } \otimes _ { \mathbb { Z } } \mathbb { Q } \hookrightarrow \mathcal { O } ( \Omega ) ^ { \ast } \otimes _ { \mathbb { Z } } \mathbb { Q } \overset { r \otimes 1 } { \rightarrow } \mathcal { H } ( \mathscr { T } , \mathbb { Z } ) \otimes _ { \mathbb { Z } } \mathbb { Q } \cong \mathcal { H } ( \mathscr { T } , \mathbb { Q } ) .
\begin{array} { r } { n _ { \pm } ( \tilde { r } , \tilde { \phi } , \xi ) = \frac { 1 } { 2 } \frac { \left( 1 \pm \sqrt { 1 - t } \right) ^ { 3 } } { \big | \left( 1 \pm \sqrt { 1 - t } \right) ^ { 2 } - t \big | } ( 1 + g r _ { 0 } ^ { \pm } \cos \phi _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { b : [ 0 , T ] \times \mathbb { R } ^ { N } \times S \rightarrow \mathbb { R } ^ { N } , } \\ & { \sigma : [ 0 , T ] \times \mathbb { R } ^ { N } \times S \rightarrow \mathbb { R } ^ { N \times M } , } \\ & { \eta : [ 0 , T ] \times \mathbb { R } ^ { N } \times S \times \mathbb { R } _ { 0 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { N \times L } , } \\ & { \gamma : [ 0 , T ] \times \mathbb { R } ^ { N } \times S \times \rightarrow \mathbb { R } ^ { N \times D } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( L ( \theta _ { m + 1 } ) | \mathcal { F } _ { m - 1 } \right) \leq } & { { } L ( \theta _ { m } ) - \left( \eta _ { m } - C \eta _ { m } ^ { 2 } / 2 \right) \left| \nabla _ { \theta } L ( \theta _ { m } ) \right| ^ { 2 } + \frac { C \eta _ { m } ^ { 2 } } { 2 n } } \\ { \leq } & { { } L ( \theta _ { m } ) - \frac { \eta _ { m } } { 2 } \left| \nabla _ { \theta } L ( \theta _ { m } ) \right| ^ { 2 } + \frac { C \eta _ { m } ^ { 2 } } { 2 n } } \end{array}
\langle \, p _ { f } = 0 \, | e ^ { - i H T / \hbar } | \, q _ { i } = 0 \, \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \hbar } } \exp \left\{ - \frac { i } { \hbar } \frac { 1 } { 6 } m \lambda ^ { 2 } T ^ { 3 } \right\} \; ,
A _ { \sigma \tau _ { 1 , 2 } } ( 1 - \alpha z _ { \sigma ( 1 ) } ) = - A _ { \sigma } \bigg [ ( 1 - \alpha z _ { \sigma ( 2 ) } ) + \alpha \beta \frac { ( z _ { \sigma ( 2 ) } - z _ { \sigma ( 1 ) } ) z _ { \sigma ( 2 ) } ^ { L } \prod _ { k = 1 } ^ { M } ( z _ { k } - 1 ) } { ( z _ { \sigma ( 2 ) } - 1 ) ^ { M - 1 } ( z _ { \sigma ( 1 ) } - 1 ) ( b z _ { \sigma ( 2 ) } - 1 ) } \bigg ]
\sum _ { t = 1 } ^ { \tau } t \left\langle \xi _ { t } ^ { u } , \frac { x _ { * } - x _ { t } } { \mathbb { D } _ { t } } \right\rangle \leq 3 G \log \frac { 4 } { \delta } + 1 3 \left( M \log \frac { 4 } { \delta } + \sqrt { \left( \sigma ^ { p } G ^ { 2 - p } + \sigma ^ { p } M ^ { 2 - p } \right) \log \frac { 4 } { \delta } } \right) T ^ { \frac { 1 } { p } } .
\begin{array} { r l } { \delta \mathcal { B } _ { 1 2 , \widehat { \boldsymbol { \sigma } } } \left( c _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 2 } ^ { 2 } \right) = } & { 2 \overline { { \alpha } } ( \overline { { \alpha } } - 1 ) ( \mathbf { c } _ { 1 2 } \cdot \widehat { \boldsymbol { \sigma } } ) ^ { 2 } + 2 \overline { { \beta } } ( \overline { { \beta } } - 1 ) } \\ & { \times \left( \widehat { \boldsymbol { \sigma } } \times \mathbf { c } _ { 1 2 } \right) ^ { 2 } + 8 \overline { { \beta } } ^ { 2 } \frac { \theta } { \kappa } ( \widehat { \boldsymbol { \sigma } } \times \mathbf { W } _ { 1 2 } ) ^ { 2 } } \\ & { - 4 \overline { { \beta } } ( 2 \overline { { \beta } } - 1 ) \sqrt { \frac { \theta } { \kappa } } \mathbf { c } _ { 1 2 } \cdot ( \widehat { \boldsymbol { \sigma } } \times \mathbf { W } _ { 1 2 } ) , } \\ { \delta \mathcal { B } _ { 1 2 , \widehat { \boldsymbol { \sigma } } } \left( w _ { 1 } ^ { 2 } + w _ { 2 } ^ { 2 } \right) = } & { \frac { 2 \overline { { \beta } } ^ { 2 } } { \kappa \theta } \left( \widehat { \boldsymbol { \sigma } } \times \mathbf { c } _ { 1 2 } \right) ^ { 2 } + 8 \frac { \overline { { \beta } } } { \kappa } \left( \frac { \overline { { \beta } } } { \kappa } - 1 \right) } \\ & { \times \left( \widehat { \boldsymbol { \sigma } } \times \mathbf { W } _ { 1 2 } \right) ^ { 2 } + 4 \frac { \overline { { \beta } } } { \sqrt { \kappa \theta } } \left( 2 \frac { \overline { { \beta } } } { \kappa } - 1 \right) } \\ & { \times \mathbf { W } _ { 1 2 } \cdot ( \widehat { \boldsymbol { \sigma } } \times \mathbf { c } _ { 1 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau _ { 3 } } & { { } = } & { \tau _ { 1 } , } \\ { \tau _ { 2 } } & { { } = } & { 2 \left( \tau - \tau _ { 1 } \right) , } \\ { \tau _ { b 1 } } & { { } = } & { \tau _ { b 2 } \equiv \tau _ { b } . } \end{array}
\left| \frac { v _ { L } v _ { R } } { \epsilon _ { + } ^ { 2 } } - \frac { h _ { D 1 } ^ { 2 } } { 2 f _ { 1 } ^ { 2 } } \right| \simeq \frac { m _ { \nu _ { L } ^ { 1 } } m _ { W _ { R } } ^ { 2 } } { 2 m _ { \nu _ { R } ^ { 1 } } m _ { W _ { L } } ^ { 2 } } ~ ~ < ~ ~ 1 0 ^ { - 8 } .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { C H } _ { \mathrm { d a t a } } ( x , y ) } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 } + \frac { x y } { 4 } \left( C _ { 1 } - C _ { 2 } + C _ { 3 } + C _ { 4 } \right) \; , } \end{array}
{ \dot { \textbf { x } } } ( t ) = { \left[ \begin{array} { l l } { - 2 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } { \textbf { x } } ( t ) + { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] } { \textbf { u } } ( t )
m _ { \nu _ { 3 } } = \frac { \mu ^ { ( \nu ) } } { 2 9 } \frac { 2 4 } { 2 5 } \left( 6 2 4 + \varepsilon ^ { ( \nu ) } \right) \sim 2 . 1 2 \times 1 0 ^ { - 1 } \; \mathrm { e V } \; .
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( \zeta ( 2 n + 1 ) - 1 ) \, t ^ { 2 n } = { \frac { t ^ { 2 } } { t ^ { 2 } - 1 } } + { \frac { 1 } { 2 } } \left( \psi ^ { 0 } ( t ) + \psi ^ { 0 } ( - t ) \right) - \gamma
\Gamma ( v ) + i \Delta ( v ) = \Gamma _ { 0 } + i \Delta _ { 0 } + ( \Gamma _ { 2 } + i \Delta _ { 2 } ) \left( \frac { v ^ { 2 } } { v _ { m } ^ { 2 } } - \frac { 3 } { 2 } \right) ,
\begin{array} { r } { f _ { \pm } = \frac { f _ { 1 } + f _ { 2 } } { 2 } \pm \mathrm { R e } \left( \sqrt { g ^ { 2 } + \left( \frac { \Delta f - i \Delta \gamma / 2 } { 2 } \right) ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \underset { x _ { i } \sim \mu \left( { \cal { X } } \right) } { \mathbb { E } } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } Z _ { i } ( x ) = \frac { 1 } { L ^ { m } } \int _ { { \cal { X } } } F _ { \Lambda } ( x - y ) f ( y ) \mathrm { d } y = f * F _ { \Lambda } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon \left( \dot { E } ( t ) + \eta \dot { E } ( t - 1 ) \right) = } & { { } \left[ i f \chi ( D ( t ) ) - 1 - i \delta \right] E ( t ) + \eta \left[ i f \chi ( D ( t - 1 ) ) - 1 - i \delta \right] E ( t - 1 ) } \\ { \epsilon \dot { D } = } & { { } \gamma \left[ - D ( t ) + \Im ( \chi ( D ) ) | E | ^ { 2 } \right] . } \end{array}
b _ { h } \; \equiv \; \operatorname { \mathbb { E } } { \biggl [ } \; \left( { \widehat { \theta } } _ { \mathrm { m l e } } - \theta _ { 0 } \right) _ { h } \; { \biggr ] } \; = \; { \frac { 1 } { \, n \, } } \, \sum _ { i , j , k = 1 } ^ { m } \; { \mathcal { I } } ^ { h i } \; { \mathcal { I } } ^ { j k } \left( { \frac { 1 } { \, 2 \, } } \, K _ { i j k } \; + \; J _ { j , i k } \right)
\lbrace k _ { i } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ / ~ u ~ u ~ } } , k _ { i } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ / ~ u ~ u ~ } } , k _ { i } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ / ~ u ~ m ~ } } \rbrace _ { i = 1 , \dots , N }
\Bar { \boldsymbol { H } } ^ { \mathrm { ~ G ~ F ~ } 2 } = \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { A } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } } & { \boldsymbol { V } } \\ { \boldsymbol { V } ^ { \dag } } & { \boldsymbol { C } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r c l } { \widetilde { W } } & { : = } & { { \mathbb R } ^ { 2 } \times T ^ { * } { \mathbb S } ^ { n - 1 , } } \\ { \widetilde { Y } } & { : = } & { \{ 0 \} \times { \mathbb R } \times T ^ { * } { \mathbb S } ^ { n - 1 } , } \\ { W ^ { + } } & { : = } & { ( 0 , + \infty ) \times { \mathbb R } \times T ^ { * } { \mathbb S } ^ { n - 1 } , } \\ { W ^ { - } } & { : = } & { ( - \infty , 0 ) \times { \mathbb R } \times T ^ { * } { \mathbb S } ^ { n - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } ( r ^ { \prime } ) } \left| \frac { 1 } { n m } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sigma _ { i j } \left( \mathcal { T } _ { \beta _ { U } } U _ { i } \right) \left( X _ { i j } \right) \left( f \left( X _ { i j } \right) - f ^ { \circ } \left( X _ { i j } \right) \right) \right| \right] } \\ { = } & { \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } ( r ^ { \prime } ) } \left. \left| \frac { 1 } { n m } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sigma _ { i j } \left( \mathcal { T } _ { \beta _ { U } } U _ { i } \right) \left( X _ { i j } \right) \left( f \left( X _ { i j } \right) - f ^ { \circ } \left( X _ { i j } \right) \right) \right| \right| U , X \right] \right] } \\ { \leq } & { 2 \beta _ { U } \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } ( r ^ { \prime } ) } \left| \frac { 1 } { n m } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sigma _ { i j } \left( f \left( X _ { i j } \right) - f ^ { \circ } \left( X _ { i j } \right) \right) \right| \right] } \\ { \leq } & { 2 \beta _ { U } \phi ( r ^ { \prime } ) . } \end{array}
\psi ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \psi _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ } } ( x , t ) + \psi _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( x , t ) \, , } & { x < a } \\ { \psi _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ n ~ } } ( x , t ) } & { x > a } \end{array} \right. \, ,