harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
v _ { i } = \frac { P _ { i } } { E _ { i } } = 1 - \frac { m _ { i } ^ { 2 } } { 2 P _ { 0 } ^ { 2 } } \left[ 1 - \frac { 2 \delta _ { \pi } ( m _ { \pi } ^ { 2 } + m _ { \mu } ^ { 2 } ) } { m _ { \pi } ( m _ { \pi } ^ { 2 } - m _ { \mu } ^ { 2 } ) } + \frac { 4 \delta _ { i } m _ { \mu } } { m _ { \pi } ^ { 2 } - m _ { \mu } ^ { 2 } } \right] ~ + ~ O ( m _ { i } ^ { 4 } , \delta _ { \pi } ^ { 2 } , \delta _ { i } ^ { 2 } )
\{ x ^ { i } , x ^ { j } \} _ { 1 } = 0 , \quad \{ x ^ { i } , \theta ^ { j } \} _ { 1 } = - \{ \theta ^ { j } , x ^ { i } \} _ { 1 } = \omega ^ { i j } , \quad \{ \theta ^ { i } , \theta ^ { j } \} _ { 1 } = - \{ \theta ^ { j } , \theta ^ { i } \} _ { 1 } = \frac { \partial \omega ^ { i j } } { \partial x ^ { k } } \theta ^ { k }
\begin{array} { r } { \| u _ { j } ^ { t + 1 } \| _ { 2 } = \left\| \frac { \sqrt { d _ { j } } + \beta _ { 1 } \left| \mathcal { F } ( \omega ^ { t } \circ S _ { j } z ^ { t } ) - \frac { 1 } { \beta _ { 1 } } \Lambda _ { j } ^ { t } \right| } { 1 + \beta _ { 1 } } \right\| _ { 2 } \geq \frac { \beta _ { 1 } } { 1 + \beta _ { 1 } } \left( \frac { 1 } { \beta _ { 1 } } \left\| \Lambda _ { j } ^ { t } \right\| _ { 2 } - \| \mathcal { F } ( \omega ^ { t } \circ S _ { j } z ^ { t } ) \| _ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \omega } } _ { + 1 } ( n ) } & { { } = k _ { - 1 } n \frac { k _ { - 2 } + k _ { + 1 } n } { k _ { + 2 } + k _ { - 1 } n } \, , } \\ { \overline { { \omega } } _ { - 1 } ( n + 1 ) } & { { } = k _ { + 1 } n \frac { ( n + 1 ) ( k _ { + 2 } + k _ { - 1 } n ) } { k _ { - 2 } + k _ { + 1 } n } \, , } \\ { \overline { { \omega } } _ { + 2 } ( n + 1 ) } & { { } = k _ { - 2 } \frac { ( n + 1 ) ( k _ { + 2 } + k _ { - 1 } n ) } { k _ { - 2 } + k _ { + 1 } n } \, , } \\ { \overline { { \omega } } _ { - 2 } ( n ) } & { { } = k _ { + 2 } \frac { k _ { - 2 } + k _ { + 1 } n } { k _ { + 2 } + k _ { - 1 } n } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a \sin x + b \cos x } & { = } & { a ( \sin x + \frac { b } { a } \cos x ) } \\ & { = } & { a ( \sin x + \tan \alpha \cos x ) } \\ & { = } & { a ( \sin x + \frac { \sin \alpha } { \cos \alpha } \cos x ) } \\ & { = } & { \frac { a } { \cos \alpha } ( \sin x \cos \alpha + \sin \alpha \cos x ) } \\ & { = } & { \frac { a } { \cos \alpha } \sin ( x + \alpha ) } \\ & { = } & { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \sin ( x + \alpha ) } \end{array}
\log \overline { { C } } \gtrsim - \frac { \delta F ^ { 2 } } { F ^ { 2 } } \frac { 3 k _ { B } T m _ { 1 } V } { \hbar ^ { 2 } \pi \bar { c } ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \frac { \mathrm { d } \omega } { \pi } \, \vert \tilde { a } ( \omega _ { k } ) \vert ^ { 2 } \, ,
\varphi ( t , { \vec { x } } ) = \varphi _ { 0 } + \int k _ { m } d x ^ { m } + \varphi _ { G } ^ { \tt E } ( t , { \vec { x } } ) + \varphi _ { G } ^ { \tt S } ( t , { \vec { x } } ) + \varphi _ { G } ^ { \mathrm { t i d a l } } ( t , { \vec { x } } ) + { \cal O } ( G ^ { 2 } ) .
g = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { \cdots \ 0 } \\ { 0 } & { } & { } \\ { \vdots } & { } & { g _ { \phi \phi } ( r , \phi ) } \\ { 0 } & { } & { } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( \sigma ^ { \prime } = \tau ^ { \prime } ) } & { = } & { \sum _ { \tau \in S _ { n } } \mathbb { P } ( \sigma = \tau ) K ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = \sum _ { \tau \in S _ { n } } \tilde { \mathbb { P } } _ { n , \beta } ( \tau ) K ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } \\ & { = } & { \sum _ { \tau \in S _ { n } } \tilde { \mathbb { P } } _ { n , \beta } ( \tau ^ { \prime } ) K ( \tau ^ { \prime } , \tau ) = \tilde { \mathbb { P } } _ { n , \beta } ( \tau ^ { \prime } ) . } \end{array}
\textit { E x p l a n a t i o n s s h o u l d b e n o m o r e s p e c i f i c t h a n n e c e s s a r y . } \footnote { W e d o n o t k n o w w h i c h p o s s i b i l i t i e s w i l l e v e n t u a t e . A l e s s s p e c i f i c s t a t e m e n t c o n t r a d i c t s f e w e r p o s s i b i l i t i e s . O f a l l h y p o t h e s e s s u f f i c i e n t t o e x p l a i n w h a t w e p e r c e i v e , t h e l e a s t s p e c i f i c i s m o s t l i k e l y . }
\begin{array} { r } { 1 = \int D g D \sigma \exp [ - N \int d t _ { 1 } d t _ { 2 } \ \sigma ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \Big ( g ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) - \frac { 1 } { N } \sum _ { i } \rho _ { i } ( t _ { 1 } ) \rho _ { i } ( t _ { 2 } ) \Big ) ] ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Lambda } & { { } \simeq } & { C _ { \textrm { N } } \frac { 1 } { K } W _ { \textrm { c } } \frac { \Delta ( K ^ { 2 } / \varepsilon ) } { D \Delta ( z / D ) } \simeq 0 . 2 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta S _ { \mathrm { T P G } } } & { { } = \frac { 1 } { 1 6 \pi G } \int _ { M } d ^ { 4 } x \sqrt { - g } G _ { \mu \nu } \delta g ^ { \mu \nu } + \frac { \epsilon } { 8 \pi G } \oint _ { \partial M } d ^ { 3 } \Omega \sqrt { h } n ^ { \mu } \left[ e _ { A } ^ { \alpha } \partial _ { \alpha } \delta e _ { \mu } ^ { A } - e _ { A } ^ { \alpha } \partial _ { \mu } \delta e _ { \alpha } ^ { A } \right] } \end{array}
z _ { k } ( t , y ) = \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \epsilon _ { i } \frac { 2 } { c } \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t } U ( \tau ) d \tau } v _ { k } ( t ^ { \prime } , y ) d t ^ { \prime } , \quad i = 1 , 2
\mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } , \mathrm { ~ O ~ } _ { 2 } , \mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } \mathrm { ~ O ~ } , \mathrm { ~ H ~ } , \mathrm { ~ O ~ } , \mathrm { ~ O ~ H ~ } , \mathrm { ~ H ~ O ~ } _ { 2 } , \mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } \mathrm { ~ O ~ } _ { 2 } , \mathrm { ~ N ~ } _ { 2 }
\{ k _ { y } ^ { a } \} = \left\{ a ( 2 \pi / D _ { \mathrm { i n } } ) \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } a \in \mathbb { Z } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } | k _ { y } ^ { a } | < ( 2 \pi / \lambda ) \sin { ( \mathrm { F O V / 2 ) } } \right\}
\begin{array} { r l } { R ( \underline { { \theta } } , d _ { M } ) } & { = \mathbb { E } _ { \underline { { \theta } } } \left( \frac { \frac { n _ { 1 } \overline { { X } } _ { Q } + n _ { 2 } \overline { { Y } } } { n _ { 1 } + n _ { 2 } } - \mu _ { Q } } { \sigma } \right) ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { n _ { 1 } + n _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \widehat h } _ { _ { \mathrm { \scriptsize { e f f } } } } [ k , l ] } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { { y } ^ { ( b ) } \left[ k + \frac { M } { 2 } , l + \frac { N } { 2 } \right] \, e ^ { - j \pi \frac { l } { N } } } & { , - \frac { M } { 2 } \leq k < \frac { M } { 2 } } \\ & { \, \, - \frac { N } { 2 } \leq l < \frac { N } { 2 } } \\ { 0 } & { , \mathrm { \small { o t h e r w i s e . } } } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \langle S _ { + } \rangle = } & { \left[ - i \Omega _ { 0 } - i \gamma _ { \mathrm { R b } } B _ { \mathrm { a c } } \cos \left( { \omega _ { 0 } t + \theta _ { \mathrm { a c } } } \right) - \Gamma _ { \mathrm { R b } } \right] \langle S _ { + } \rangle } \\ { + } & { i \gamma _ { \mathrm { R b } } b ^ { + } e ^ { i \omega t } \langle S _ { z } \rangle } \end{array}
\lVert [ S _ { 1 } ] - [ S _ { 2 } ] \rVert _ { W ^ { \prime } } ^ { 2 } = \langle [ S _ { 1 } ] , [ S _ { 1 } ] \rangle _ { W ^ { \prime } } ^ { 2 } - 2 \langle [ S _ { 1 } ] , [ S _ { 2 } ] \rangle _ { W ^ { \prime } } + \langle [ S _ { 2 } ] , [ S _ { 2 } ] \rangle _ { W ^ { \prime } } ^ { 2 } .
\left( A _ { 1 } , \dots , A _ { N } , B _ { 1 } , \dots , B _ { N } \right) \mapsto \sum _ { k = 1 } ^ { P } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \left( u _ { i } ^ { N } \left( p _ { k } \right) - u _ { i } ^ { \mathrm { F E } } \left( p _ { k } \right) \right) ^ { 2 } \longrightarrow \mathrm { m i n }
\begin{array} { r l } { s _ { X } ( t ) } & { { } = \cos \theta _ { 0 } } \\ { s _ { Y } ( t ) } & { { } = C ( t ) \sin \theta _ { 0 } \sin [ \Omega t - \Theta ( t ) + \phi _ { 0 } ] } \\ { s _ { Z } ( t ) } & { { } = C ( t ) \sin \theta _ { 0 } \cos [ \Omega t - \Theta ( t ) + \phi _ { 0 } ] \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \left( \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \eta ( I ( \Omega ) ) \, \mathrm { d } \Omega \right) + \operatorname { d i v } _ { x } \left( \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \Omega \eta ( I ( \Omega ) ) \, \mathrm { d } \Omega \right) } & { { } = \frac { \sigma } { 4 \pi } \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } \times \mathbb { S } ^ { 2 } } [ \eta ^ { \prime } ( I ( \Omega ^ { \prime } ) ) - \eta ^ { \prime } ( I ( \Omega ) ) ] I ( \Omega ) \, \mathrm { d } \Omega ^ { \prime } \, \mathrm { d } \Omega , } \end{array}
{ \cal L } = \frac { 1 } { g ^ { 2 } } \left\{ - \, \frac { 1 } { 2 } \, \mathrm { T r } \, F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } + m ^ { 2 } \, \mathrm { T r } A _ { \mu } A ^ { \mu } + \frac { 1 } { 8 \xi } \, \mathrm { T r } \left[ A _ { \mu } \, , \, A _ { \nu } \right] ^ { 2 } \right\} \ ,
\begin{array} { r l } { \lambda _ { + } ^ { p } - \lambda _ { - } ^ { p } } & { \geq | \nabla f _ { \overline { { t } } } ^ { + } | ^ { p } - | \nabla f _ { \overline { { t } } } ^ { - } | ^ { p } } \\ & { = \left( \lambda _ { + } ^ { p } \left( 1 + \tau \frac { \epsilon } { 2 } \right) ^ { p } - \lambda _ { - } ^ { p } ( 1 - c _ { 1 } \eta \epsilon ) ^ { p } \right) \left( 1 + p c _ { 2 } \overline { { t } } \epsilon \partial _ { n } \varphi ( \overline { { x } } ) + O ( \epsilon ^ { 2 } ) \right) } \\ & { > \lambda _ { + } ^ { p } - \lambda _ { - } ^ { p } , } \end{array}
\lambda _ { \ell } = \frac { 1 } { ( 2 \ell ) ! } | B _ { 2 \ell } | \, \big | f ^ { ( 2 \ell - 1 ) } ( L / 2 ) - f ^ { ( 2 \ell - 1 ) } ( - L / 2 ) \big | , \quad \ell = 1 , \dots , m
\begin{array} { r l } { M _ { \perp } ^ { T } } & { { } = - \frac { \alpha Z ^ { 2 } } { M } \left( 1 - \frac { 1 } { 3 } \omega ^ { 2 } \langle R ^ { 2 } \rangle \right) ~ , } \\ { M _ { \parallel } ^ { T } } & { { } = M _ { \perp } ^ { T } \cos \theta ~ , } \end{array}
{ \mathrm { w M A P E } } = { \frac { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( w _ { i } \cdot { \frac { \left| A _ { i } - F _ { i } \right| } { | A _ { i } | } } \right) } { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } } } = { \frac { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( | A _ { i } | \cdot { \frac { \left| A _ { i } - F _ { i } \right| } { | A _ { i } | } } \right) } { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left| A _ { i } \right| } }
\begin{array} { l l } { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ i ~ m ~ i ~ z ~ e ~ } } & { f ( \overline { d } , \underline { d } ) } \\ { \mathrm { ~ s ~ u ~ b ~ j ~ e ~ c ~ t ~ t ~ o ~ } } & { \overline { d } \geq ( A x - p ) _ { + } , \quad \underline { d } \geq ( A x - p ) _ { - } , \quad B x \leq c } \end{array}
E _ { x } ^ { * } | _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } = \frac { D _ { x } | _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } { \epsilon | _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } - v B _ { y } ,
\left\{ \begin{array} { r l } & { \beta _ { j } \cdot ( X _ { j } ) _ { s } - ( \gamma _ { j } ) _ { s } = F _ { j } ^ { ( 1 ) } , } \\ & { - L _ { j } ( \beta _ { j } ) _ { s } - \frac { B _ { j } } { 2 L _ { j } } ( X _ { j } ) _ { s } = F _ { j } ^ { ( 3 ) ( 1 , \dots , d ) } , } \\ & { \frac { ( B _ { j } ) _ { s } } { 4 } - \frac { B _ { j } ( L _ { j } ) _ { s } } { 2 L _ { j } } = F _ { j } ^ { ( 5 ) } , } \\ & { \frac { ( A _ { j } ) _ { s } } { A _ { j } } - \frac { ( L _ { j } ) _ { s } } { L _ { j } } = F _ { j } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \frac { ( X _ { j } ) _ { s } } { L _ { j } } = F _ { j } ^ { ( 4 ) ( 1 , \dots , d ) } , } \\ & { \frac { ( L _ { j } ) _ { s } } { L _ { j } } = F _ { j } ^ { ( 6 ) } , } \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array} { r l } { ( A _ { j } ) _ { s } } & { = A _ { j } \left( F _ { j } ^ { ( 2 ) } + F _ { j } ^ { ( 6 ) } \right) , } \\ { ( L _ { j } ) _ { s } } & { = L _ { j } F _ { j } ^ { ( 6 ) } , } \\ { ( B _ { j } ) _ { s } } & { = 4 F _ { j } ^ { ( 5 ) } + 2 B _ { j } F _ { j } ^ { ( 6 ) } , } \\ { ( X _ { j } ) _ { s } } & { = L _ { j } F _ { j } ^ { ( 4 ) ( 1 , \dots , d ) } , } \\ { ( \beta _ { j } ) _ { s } } & { = - \frac { 1 } { L _ { j } } F _ { j } ^ { ( 3 ) ( 1 , \dots , d ) } - \frac { B _ { j } } { 2 L _ { j } } F _ { j } ^ { ( 4 ) ( 1 , \dots , d ) } , } \\ { ( \gamma _ { j } ) _ { s } } & { = L _ { j } \beta _ { j } \cdot F _ { j } ^ { ( 4 ) ( 1 , \dots , d ) } - F _ { j } ^ { ( 1 ) } , } \end{array} \right.
\left\| { \boldsymbol { z } } \right\| : = { \sqrt { \left| z _ { 1 } \right| ^ { 2 } + \cdots + \left| z _ { n } \right| ^ { 2 } } } = { \sqrt { z _ { 1 } { \bar { z } } _ { 1 } + \cdots + z _ { n } { \bar { z } } _ { n } } } .
\begin{array} { r l } { \eta _ { I } ^ { \left[ \beta \right] } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } & { = \delta _ { \lambda , \beta } \left( \sum _ { i \in \mathcal { N } } \pi _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } z _ { i } - \mathbf { z } _ { I } \right) + \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } \sum _ { \left( R , \alpha \right) } p _ { \left( R , \alpha \right) } ^ { \circ } \left( \gamma \right) q _ { \gamma \beta } \eta _ { \widetilde { \alpha } \left( I \right) } ^ { \left[ \gamma \right] } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) ; } \\ { \sum _ { i \in \mathcal { N } } \pi _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } \eta _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } & { = 0 \textrm { f o r s o m e } \beta \in \mathcal { L } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { D \rightarrow 0 } \dot { S } _ { \mathrm { i n t } } } & { { } \sim \operatorname* { l i m } _ { D \rightarrow 0 } \gamma ~ \frac { v } { D } \int _ { 0 } ^ { a } \mathrm { d } x ~ e ^ { - \frac { x } { l _ { D } } } + \int _ { a } ^ { \ell } \mathrm { d } x ~ \dots } \end{array}
f ( s ) = { \frac { 1 } { | G | } } \sum _ { \rho { \mathrm { ~ i r r . ~ r e p . ~ o f ~ } } G } \dim ( V _ { \rho } ) \cdot { \mathrm { T r } } ( \rho ( s ^ { - 1 } ) \cdot { \hat { f } } ( \rho ) ) .
1 2 a ^ { 3 } b ^ { 2 } - 3 0 a ^ { 4 } b c + 1 8 a ^ { 2 } b ^ { 3 } c ^ { 2 } = 6 a ^ { 2 } b ( 2 a b - 5 a ^ { 2 } c + 3 b ^ { 2 } c ^ { 2 } ) \, .
\begin{array} { r l } { \widetilde { Q } _ { n } } & { = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } ( \widetilde { \Omega } _ { i j } + W _ { i j } ) ( \widetilde { \Omega } _ { j k } + W _ { j k } ) ( \widetilde { \Omega } _ { k \ell } + W _ { k \ell } ) ( \widetilde { \Omega } _ { \ell i } + W _ { \ell i } ) } \\ { Q _ { n } ^ { * } } & { = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } ( \widetilde { \Omega } _ { i j } + W _ { i j } + \delta _ { i j } ) ( \widetilde { \Omega } _ { j k } + W _ { j k } + \delta _ { j k } ) ( \widetilde { \Omega } _ { k \ell } + W _ { k \ell } + \delta _ { k \ell } ) ( \widetilde { \Omega } _ { \ell i } + W _ { \ell i } + \delta _ { \ell i } ) . } \end{array}
W _ { 0 } ( 1 ) = 0 . 0 8 6 1 5 , W _ { 1 } ( 1 ) = 0 . 2 5 8 4 7 , W _ { 2 } ( 1 ) = 0 . 0 8 6 1 5 , W _ { 3 } ( 1 ) = - 0 . 2 0 1 0 3 .
{ \overline { { L } } } _ { j } = { \frac { \partial } { \partial { \overline { { z _ { j } } } } } } - \imath z _ { j } { \frac { \partial } { \partial t } } , j = 1 , 2 , \ldots , n , ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , \ldots , z _ { n } ) \in \mathbb { C } ^ { n } , t \in \mathbb { R } .
u _ { t } + 6 u u _ { x } + u _ { x x x } + \epsilon \left[ c _ { 1 } u ^ { 2 } u _ { x } + c _ { 2 } u _ { x } u _ { x x } + c _ { 3 } u u _ { x x x } + c _ { 4 } u _ { x x x x x } \right] = 0 .
\begin{array} { r l } { \langle \textbf { f } \! \left( \textbf { r } , t \right) \otimes \textbf { f } \! \left( \textbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) \rangle } & { = \langle \textbf { f } ^ { \dag } \! \left( \textbf { r } , t \right) \otimes \textbf { f } ^ { \dag } \! \left( \textbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) \rangle = } \\ { \langle \textbf { f } \! \left( \textbf { r } , t \right) } & { \otimes \textbf { f } ^ { \dag } \! \left( \textbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) \rangle = \langle \textbf { f } ^ { * } \! \left( \textbf { r } , t \right) \otimes \textbf { f } ^ { \dag } \! \left( \textbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) \rangle = 0 , } \\ { \langle \textbf { f } \! \left( \textbf { r } , t \right) \otimes \textbf { f } ^ { * } \! \left( \textbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) \rangle } & { = \langle \textbf { f } ^ { \dag } \! \left( \textbf { r } , t \right) \otimes \textbf { f } ^ { \dag * } \! \left( \textbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) \rangle = \delta \! \left( \textbf { r } - \textbf { r } ^ { \prime } \right) \delta \! \left( t - t ^ { \prime } \right) \mathbb { I } . } \end{array}
W _ { H } ^ { \mathrm { p e r t } } ( b , Q , x _ { A } , x _ { B } ) = \sigma _ { g g \rightarrow h X } ^ { ( 0 ) } \, H _ { g g } ( \alpha _ { s } ( Q ) ) \, \sum _ { a , b } \left[ \phi _ { a / A } \otimes C _ { a \rightarrow g } \right] \otimes \left[ \phi _ { b / B } \otimes C _ { b \rightarrow g } \right] \times \mathrm { e } ^ { - S ( b , Q ) } ,
\begin{array} { r l } { x ( z ) } & { { } = q ^ { - 2 } + 2 q ^ { - 1 } + 5 + 9 q + 1 8 q ^ { 2 } + 2 9 q ^ { 3 } + 5 1 q ^ { 4 } + \ldots } \\ { y ( z ) } & { { } = q ^ { - 3 } + 3 q ^ { - 2 } + 9 q ^ { - 1 } + 2 1 + 4 6 q + 9 2 q ^ { 2 } + 1 8 0 q ^ { 3 } + \ldots } \end{array}
\mathbb { E } [ \tau ( u ) \, | \, \tau ( u ) < \infty ] = \frac { \mathbb { E } \left[ \tau ( u ) \mathbf { 1 } \{ \tau ( u ) < \infty \} \right] } { \pi ( u ) } , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } u \in \mathbb { N } _ { 0 } .
\begin{array} { c } { { { \bf P } ^ { ( 1 ) } = \sum _ { \{ s \} } \sum _ { \{ t \} } b _ { \{ s , t \} } { \bf P } _ { \{ s \} } ^ { ( 1 ) } , \quad { \bf P } ^ { ( 2 ) } = \sum _ { \{ s \} } \sum _ { \{ t \} } b _ { \{ s , t \} } { \bf P } _ { \{ t \} } ^ { ( 2 ) } , } } \\ { { T _ { i k } = \sum _ { \{ s \} } \sum _ { \{ t \} } b _ { \{ s , t \} } P _ { \{ s \} i } ^ { ( 1 ) } P _ { \{ t \} k } ^ { ( 2 ) } . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d H _ { \mathrm { R } } } { d t } = 2 \int _ { S } \left[ ( \mathrm { ~ \boldmath ~ A ~ } _ { \mathrm { p } } \cdot \mathrm { ~ \boldmath ~ B ~ } _ { \mathrm { h } } ) V _ { z } - ( \mathrm { ~ \boldmath ~ A ~ } _ { \mathrm { p } } \cdot \mathrm { ~ \boldmath ~ V ~ } _ { \mathrm { h } } ) B _ { z } \right] \, d S , } \end{array}
\frac { d \langle L _ { 2 } \rangle } { d \tau } = \frac { d a ( L _ { 0 } ) } { d L _ { 0 } } \langle L _ { 2 } \rangle + \frac { 1 } { 2 } \frac { d ^ { 2 } a ( L _ { 0 } ) } { d L _ { 0 } ^ { 2 } } \langle L _ { 1 } ^ { 2 } \rangle - \frac { \alpha } { L _ { 0 } }
0 = \nabla _ { \alpha } \langle \Phi _ { I } | \hat { H } ^ { e l } | \Phi _ { J } \rangle = ( E _ { I } - E _ { J } ) \langle \Phi _ { I } | \nabla _ { \alpha } | \Phi _ { J } \rangle + \langle \Phi _ { I } | ( \nabla _ { \alpha } \hat { H } ^ { e l } ) | \Phi _ { J } \rangle ~ .
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } Q ( w _ { t } , w ) \leq } & { \gamma _ { 1 } \eta _ { 1 } \mathrm { K L } ( p \| p _ { 0 } ) - \gamma _ { k } ( \eta _ { k } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( p \| p _ { k } ) + \gamma _ { 1 } \tau _ { 1 } \mathrm { K L } ( q \| q _ { 0 } ) } \\ & { - \gamma _ { k } \left( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } - \frac { 1 } { 4 \eta _ { k } } \right) \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ) + 4 \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } ( 1 + \mu _ { t } ) \epsilon } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \{ ( \tau _ { t } + 2 \tau _ { t + 1 } + \lambda _ { 2 } ) \left[ \delta _ { t , 1 } ( q ) + \delta _ { t , 2 } ( q ) \right] + ( \eta _ { t } + 2 \eta _ { t + 1 } + \lambda _ { 2 } ) \left[ \delta _ { t , 1 } ( p ) + \delta _ { t , 2 } ( p ) \right] \} , } \end{array}
\partial _ { i i } \overline { { P } } + \partial _ { i i } \tilde { p } = - \partial _ { i } \partial _ { j } ( \overline { { Z } } _ { i } ^ { \mp } \overline { { Z } } _ { j } ^ { \pm } + \overline { { Z } } _ { i } ^ { \mp } \tilde { z } _ { j } ^ { \pm } + \tilde { z } _ { i } ^ { \mp } \overline { { Z } } _ { j } ^ { \pm } + \tilde { z } _ { i } ^ { \mp } \tilde { z } _ { j } ^ { \pm } ) .
\left. { \begin{array} { r l } { \gamma } & { { } = \cos \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) - \{ a _ { 1 } \sigma _ { 2 } \sigma _ { 3 } + a _ { 2 } \sigma _ { 3 } \sigma _ { 1 } + a _ { 3 } \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } \} \sin \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) } \end{array} } \right\}
E ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , \theta ) = \sum _ { i , j , k } A _ { i j k } ( 1 / ( i ! j ! k ! ) ) ( r _ { 1 } - 4 . 2 9 7 9 ) ^ { i } ( r _ { 2 } - 1 . 8 0 0 4 ) ^ { j } ( \theta - 1 8 0 ^ { \circ } ) ^ { k }
\xi ^ { \top } e _ { 2 } \geq ( 1 - \lambda ) \xi ^ { \top } e _ { 2 } \geq \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } \right) \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } ( ( e _ { 2 } - e _ { 1 } ) ^ { \top } \mathbf z _ { i } ) ^ { 2 } \right) \geq \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } | ( e _ { 2 } - e _ { 1 } ) ^ { \top } \mathbf z _ { i } | \right) ^ { 2 } .
\left. { \frac { \partial L } { \partial r } } \right| _ { r = r _ { 0 } } = 0 = ( m + S _ { 0 } ) \gamma _ { 0 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } r _ { 0 } - V _ { 0 } ^ { \prime } - { \frac { S _ { 0 } ^ { \prime } } { \gamma _ { 0 } } } \, ,
V _ { S S B } ^ { m } = m _ { 3 / 2 } ^ { 2 } \left( | \Psi | ^ { 2 } + | \overline { { { \Psi } } } | ^ { 2 } + | H | ^ { 2 } + | \bar { H } | ^ { 2 } + | X | ^ { 2 } + | Z | ^ { 2 } \right) ~ ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P r o b } \Big ( \theta _ { 1 } + \Delta \theta \le \theta _ { \ell } - \Delta \theta \le 2 \pi , \quad 2 \le \ell \le L \Big ) } \\ { = } & { \prod _ { \ell = 1 } ^ { L } \mathrm { P r o b } \Big ( \theta _ { 1 } + \Delta \theta \le \theta _ { \ell } - \Delta \theta \le 2 \pi \Big ) } \\ { = } & { \bigg ( \frac { 2 \pi - \theta _ { 1 } - \Delta \theta } { 2 \pi } \bigg ) ^ { L - 1 } . } \end{array}
[ x _ { 0 } , x _ { j } ] = i \lambda x _ { j } \qquad [ p _ { 0 } , x _ { 0 } ] = - i \qquad [ p _ { k } , x _ { j } ] = i \delta _ { j k } e ^ { - \lambda p _ { 0 } } \qquad [ p _ { j } , x _ { 0 } ] = [ p _ { 0 } , x _ { j } ] = 0
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \hat { e } } _ { + } ^ { * } \cdot \boldsymbol { \nabla } \Psi _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , 0 ) } } & { = \mathcal { D } _ { ( \alpha , 0 ) } ^ { + } \, \Psi _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , 0 ) } } \\ { \boldsymbol { \hat { e } } _ { - } ^ { * } \cdot \boldsymbol { \nabla } \Psi _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , 0 ) } } & { = \mathcal { D } _ { ( \alpha , 0 ) } ^ { - } \, \Psi _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , 0 ) } } \\ { \boldsymbol { \hat { e } } _ { 0 } ^ { * } \cdot \boldsymbol { \nabla } \Psi _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , 0 ) } } & { = \mathcal { D } _ { ( \alpha , 0 ) } ^ { 0 } \, \Psi _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , 0 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } } & { e ^ { i x \cdot \xi - i \mu t \Lambda _ { a } ( \xi ) } m ( \xi ) \widehat { f } ( \xi ) \psi _ { \tilde { k } } ( \Lambda _ { a } ( \xi ) - n ) d \xi = H _ { 1 } + H _ { 2 } , } \\ { H _ { 1 } } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { i x \cdot \xi - i \mu t \Lambda _ { a } ( \xi ) } m ( \xi ) \widehat { f _ { < m - \delta m , k } } ( \xi ) \psi _ { \tilde { k } } ( \Lambda _ { a } ( \xi ) - n ) d \xi , } \\ { H _ { 2 } } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { i x \cdot \xi - i \mu t \Lambda _ { a } ( \xi ) } m ( \xi ) \widehat { f _ { \geq m - \delta m , k } } ( \xi ) \psi _ { \tilde { k } } ( \Lambda _ { a } ( \xi ) - n ) d \xi . } \end{array}
[ \zeta , \mathbf { u } , w , P ] = \epsilon [ \zeta ^ { ( 1 ) } , \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } , w ^ { ( 1 ) } , P ^ { ( 1 ) } ] + \epsilon ^ { 2 } [ \zeta ^ { ( 2 ) } , \mathbf { u } ^ { ( 2 ) } , w ^ { ( 2 ) } , P ^ { ( 2 ) } ] ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { P o w e r s } } & { \mathrm { R e l a t i o n \ A m o n g \ C o e f f i c i e n t s } } & \\ { ( z - z _ { 0 } ) ^ { 0 } } & { c _ { 0 } } & { = a _ { 0 } } \\ { ( z - z _ { 0 } ) ^ { 1 } } & { c _ { 1 } - a _ { 0 } d _ { 1 } } & { = a _ { 1 } } \\ { ( z - z _ { 0 } ) ^ { 2 } } & { c _ { 2 } - a _ { 1 } d _ { 1 } - a _ { 0 } d _ { 2 } } & { = a _ { 2 } } \\ { ( z - z _ { 0 } ) ^ { 3 } } & { c _ { 3 } - a _ { 2 } d _ { 1 } - a _ { 1 } d _ { 2 } - a _ { 0 } d _ { 3 } } & { = a _ { 3 } } \\ { \cdots \cdots } & { \cdots \cdots \cdots \cdots } & \\ { ( z - z _ { 0 } ) ^ { k } } & { \, \, \, \, \, \, c _ { k } - a _ { k - 1 } d _ { 1 } - a _ { k - 2 } d _ { 2 } - \cdots - a _ { 0 } d _ { k } } & { = a _ { k } } \end{array}