harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { Z ^ { n } ( v ) } & { = \int _ { \mathbb { R } \times \mathbb { R } } Z _ { 0 , x ^ { \prime } } ^ { 0 , 1 } Z _ { x ^ { \prime } , y ^ { \prime } } ^ { 1 , n - 1 } Z _ { y ^ { \prime } , v n } ^ { n - 1 , n } d x ^ { \prime } d y ^ { \prime } } \\ & { \le W _ { 1 , - } ^ { n } + W _ { 1 , + } ^ { n } + W _ { 2 , - } ^ { n } + W _ { 2 , + } ^ { n } + W _ { 3 } ^ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { m } ^ { Y } } & { ( y , t , z ) = I - \frac { 1 } { 2 \pi i z } \int _ { Y } \hat { \mu } ^ { Y } \hat { w } ^ { Y } d z ^ { \prime } + \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { Y } \frac { z ^ { \prime } \hat { \mu } ^ { Y } \hat { w } ^ { Y } } { z ( z ^ { \prime } - z ) } d z ^ { \prime } } \\ { = } & { \; I - \frac { 1 } { 2 \pi i z } \int _ { Y } \hat { w } ^ { Y } d z - \frac { 1 } { 2 \pi i z } \int _ { Y } ( \hat { \mu } ^ { Y } - I ) \hat { w } ^ { Y } d z } \\ & { + O ( z ^ { - 2 } \| \hat { \mu } ^ { Y } - I \| _ { L ^ { 2 } ( Y ) } \| ( 1 + | \cdot | ) \hat { w } ^ { Y } \| _ { L ^ { 2 } ( Y ) } ) + O ( z ^ { - 2 } \| ( 1 + | \cdot | ) \hat { w } ^ { Y } \| _ { L ^ { 1 } ( Y ) } ) } \\ { = } & { \; I - \frac { 1 } { 2 \pi i z } \int _ { Y } \hat { w } ^ { Y } d z + O \bigg ( \frac { 1 } { z t ^ { 1 / 2 } } \bigg ) + O \bigg ( \frac { \ln t } { z ^ { 2 } t ^ { 1 / 3 } } \bigg ) } \end{array}
\| R \| \leq \operatorname* { m a x } _ { \substack { \beta \in \mathbb { R } ^ { n } \, \| \beta \| = 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } | \beta _ { i } | \, \| R e _ { i } \| \leq \operatorname* { m a x } _ { \substack { \beta \in \mathbb { R } ^ { n } \, \| \beta \| = 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } | \beta _ { i } | \sqrt { 1 + \varepsilon } \leq \sqrt { n ( 1 + \varepsilon ) } ,
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { z _ { i } ^ { 0 } } \\ { z _ { i } ^ { 1 } } \end{array} \right) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { j } \\ { j } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - j \pi / 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \hat { x } _ { i } } \\ { \hat { y } _ { i } e ^ { j \delta \phi _ { d _ { i } } } } \end{array} \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { j } \\ { j } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - j ( \pi / 2 - \delta \phi _ { d _ { i } } ) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \hat { x } _ { i } } \\ { \hat { y } _ { i } } \end{array} \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l } { ( \hat { x } _ { i } - \sin \phi _ { i } \hat { y } _ { i } ) + j \hat { y } _ { i } \cos \phi _ { i } } \\ { \hat { y } _ { i } \cos \phi _ { i } + j ( \hat { x } _ { i } + \sin \phi _ { i } \hat { y } ) } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | V _ { p , 1 } ( z _ { 0 } ) | } & { = \frac { 3 } { 4 } \left( \frac { 4 } { 5 } \right) ^ { 5 / 2 } \frac { k N _ { c } \pi R ^ { 2 } g } { R _ { c } ^ { 2 } } \left( \sqrt { \frac { 2 z _ { 0 } } { g } } - \frac { R _ { c } } { 2 \sqrt { 2 g z _ { 0 } } } \right) } \\ { | V _ { p , 2 } ( z _ { 0 } ) | } & { = \frac { 3 } { 4 } \left( \frac { 4 } { 5 } \right) ^ { 5 / 2 } \frac { k N _ { c } \pi R ^ { 2 } g } { R _ { c } ^ { 2 } } \left( \sqrt { \frac { 2 z _ { 0 } } { g } } + \frac { R _ { c } } { 2 \sqrt { 2 g z _ { 0 } } } \right) \, \, . } \end{array}
G _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } ^ { N N } = { \sqrt { ( 2 k _ { 1 } + 1 ) ( 2 k _ { 2 } + 1 ) } } \cdot e ^ { - i N \omega _ { L } t } \times \sum _ { M } { \left( \begin{array} { l l l } { I } & { I } & { k _ { 1 } } \\ { M ^ { \prime } } & { - M } & { N } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { I } & { I } & { k _ { 2 } } \\ { M ^ { \prime } } & { - M } & { N } \end{array} \right) }
\Sigma _ { 1 } ^ { \prime } = { \frac { g ^ { 2 } T ^ { 2 } } { 2 4 } } \left( - 1 + { \frac { 3 m _ { \mathrm { t h } } } { \pi T } } + { \frac { 3 } { 4 \pi ^ { 2 } } } \left( { \frac { m _ { \mathrm { t h } } } { T } } \right) ^ { 2 } \left[ \ln \left( { \frac { \mu ^ { 2 } } { 4 \pi T ^ { 2 } } } \right) + \gamma _ { E } \right] \right) + { \cal O } ( g ^ { 5 } \ln g ) \, ,
\begin{array} { r l r } { u _ { 1 } } & { = } & { \prod _ { \nu = 1 } ^ { k } \prod _ { \ell = 1 } ^ { n } \ensuremath { { \mathcal E } } _ { \ell } ( a _ { \ell , \nu } h , \cdot ) u _ { 0 } } \\ & { = } & { \ensuremath { { \mathcal E } } _ { n } ( a _ { n , k } h , \cdot ) \circ \cdots \circ \ensuremath { { \mathcal E } } _ { 1 } ( a _ { 1 , k } h , \cdot ) \circ \cdots \circ \ensuremath { { \mathcal E } } _ { n } ( a _ { n , 1 } h , \cdot ) \circ \cdots \circ \ensuremath { { \mathcal E } } _ { 1 } ( a _ { 1 , 1 } h , \cdot ) u _ { 0 } . } \end{array}
\forall n \in \mathbb { N } ^ { * } , \quad \forall \, 0 < a < b < \pi , \quad I _ { n } ( a , b ) = - \frac { \tan ^ { n } \left( \frac { a } { 2 } \right) \cot ^ { n } \left( \frac { b } { 2 } \right) } { n } \cdot
E _ { G , { \mathrm { E f f } } } = E _ { G } ^ { \mathrm { w e l l , r e l a x e d } } + \Delta E _ { G } ^ { \mathrm { S t r a i n } } + \Delta E _ { G } ^ { \mathrm { Q S E } } + \Delta E _ { G } ^ { \mathrm { Q C S E } }
\begin{array} { r l } { Q ( \mathbf { s } _ { 1 : T } , \pi ; \tilde { \boldsymbol { \phi } } ) } & { { } = Q ( \pi ; \phi _ { \pi } ) \prod _ { 1 : T } Q ( \mathbf { s } _ { t } ; \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { s } , t } ) } \end{array}
\mathrm { { B r } } ( \mu \rightarrow e e e ) = \frac { | L _ { 3 1 } | ^ { 2 } | L _ { 3 2 } | ^ { 2 } } { 4 x ^ { 2 } } \left( ( | L _ { 3 1 } | ^ { 2 } - 2 \sin ^ { 2 } \phi \sin ^ { 2 } \theta ) ^ { 2 } + 4 \sin ^ { 4 } \phi \sin ^ { 4 } \theta \right) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ c ~ i ~ s ~ i ~ o ~ n ~ } ( a _ { n } > 1 ) } & { { } = \frac { \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ e ~ p ~ o ~ s ~ i ~ t ~ i ~ v ~ e ~ } } { \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ e ~ p ~ o ~ s ~ i ~ t ~ i ~ v ~ e ~ } + \mathrm { ~ \bf ~ f ~ a ~ l ~ s ~ e ~ p ~ o ~ s ~ i ~ t ~ i ~ v ~ e ~ } } = \frac { \mathrm { ~ i ~ n ~ s ~ t ~ a ~ n ~ c ~ e ~ s ~ o ~ f ~ A ~ } } { \mathrm { ~ i ~ n ~ s ~ t ~ a ~ n ~ c ~ e ~ s ~ o ~ f ~ A ~ } + \mathrm { ~ i ~ n ~ s ~ t ~ a ~ n ~ c ~ e ~ s ~ o ~ f ~ C ~ } } , } \\ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ a ~ l ~ l ~ } ( a _ { n } > 1 ) } & { { } = \frac { \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ e ~ p ~ o ~ s ~ i ~ t ~ i ~ v ~ e ~ } } { \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ e ~ p ~ o ~ s ~ i ~ t ~ i ~ v ~ e ~ } + \mathrm { ~ \bf ~ f ~ a ~ l ~ s ~ e ~ n ~ e ~ g ~ a ~ t ~ i ~ v ~ e ~ } } = \frac { \mathrm { ~ i ~ n ~ s ~ t ~ a ~ n ~ c ~ e ~ s ~ o ~ f ~ A ~ } } { \mathrm { ~ i ~ n ~ s ~ t ~ a ~ n ~ c ~ e ~ s ~ o ~ f ~ A ~ } + \mathrm { ~ i ~ n ~ s ~ t ~ a ~ n ~ c ~ e ~ s ~ o ~ f ~ B ~ } } , } \end{array}
< 0 | T \psi ( x ) \bar { \psi } ( y ) | 0 > = i \int \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } e ^ { - i q \cdot ( x - y ) } \frac { ( \gamma \cdot q ) + m } { q ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i | \epsilon | } ,
A _ { 3 \pi } ^ { \mathrm { i n t } } = \frac { \mathrm { T r } [ O _ { 3 \pi } ^ { \mathrm { i n t } } { \overline { { \rho } } ( t ) } ] - \mathrm { T r } [ O _ { 3 \pi } ^ { \mathrm { i n t } } \rho ( t ) ] } { \mathrm { T r } [ O _ { 3 \pi } ^ { \mathrm { i n t } } { \overline { { \rho } } ( t ) } ] + \mathrm { T r } [ O _ { 3 \pi } ^ { \mathrm { i n t } } \rho ( t ) ] } \ ,
\frac { \gamma - 1 } { \gamma } \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial T } \right) _ { s } = \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial T } \right) _ { \rho } - \frac { 1 } { \gamma } \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial T } \right) _ { p } ,
{ \begin{array} { r l } { B } & { = 7 \, 4 6 0 \, 5 1 4 = 4 6 5 7 \times 1 6 0 2 , } \\ { W } & { = 1 0 \, 3 6 6 \, 4 8 2 = 4 6 5 7 \times 2 2 2 6 , } \\ { D } & { = 7 \, 3 5 8 \, 0 6 0 = 4 6 5 7 \times 1 5 8 0 , } \\ { Y } & { = 4 \, 1 4 9 \, 3 8 7 = 4 6 5 7 \times 8 9 1 , } \\ { b } & { = 4 \, 8 9 3 \, 2 4 6 , } \\ { w } & { = 7 \, 2 0 6 \, 3 6 0 , } \\ { d } & { = 3 \, 5 1 5 \, 8 2 0 , } \\ { y } & { = 5 \, 4 3 9 \, 2 1 3 , } \end{array} }
d s ^ { 2 } = - d t ^ { 2 } + d x _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + d x _ { 5 } ^ { 2 } + H ( d y _ { 6 } ^ { 2 } + \cdots + d y _ { 9 } ^ { 2 } ) , \ \ \ e ^ { 2 \phi } = H .
\Gamma [ \phi ] = \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \phi ^ { \dagger } ( p ) \phi ( p ) p ^ { 2 } \left[ 1 + \frac { 1 } { 2 } b _ { 0 } g ^ { 2 } \ln \left( \frac { - p ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right) \right] ^ { \frac { c _ { 0 } } { b _ { 0 } } } .
\kappa _ { \gamma } \ell _ { p } p _ { \gamma } ^ { 2 } = m _ { e } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { p _ { e ^ { + } } } + \frac { 1 } { p _ { e ^ { - } } } \right) + \kappa _ { e } \ell _ { p } ( p _ { e ^ { + } } ^ { 2 } + p _ { e ^ { - } } ^ { 2 } ) .
f _ { \mathrm { f r e e } } = Q _ { \mathrm { i n j } } t _ { \mathrm { a c c , 0 } } \left( \frac { \gamma } { \gamma _ { \mathrm { i n j } } } \right) ^ { - s _ { \mathrm { f r e e } } } , { \; \mathrm { f o r \; } } \gamma _ { \mathrm { i n j } } < \gamma < \gamma _ { \mathrm { i n j } } + t / t _ { \mathrm { a c c , 0 } } .
{ n _ { p } } ( \sigma , \theta , \kappa ) = { n _ { 0 } ( \sigma , \theta ) } \frac { { \int _ { 2 } ^ { \infty } { g ( E , \kappa ) f ( E , \theta ) d E } } } { { \int _ { 0 } ^ { \infty } { { g _ { 0 } } ( E _ { 0 } ) { f } ( E _ { 0 } , \theta ) d E _ { 0 } } } } ,
C _ { j } ^ { \epsilon _ { m + 1 } \epsilon _ { m } } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \sigma _ { \Delta q _ { \epsilon _ { m + 1 } \epsilon _ { m } } ( j ) } ^ { x } + \tau _ { j } ^ { \epsilon _ { m + 1 } \epsilon _ { m } } \right) .
A _ { | _ { \delta , t \ll 1 } } ^ { ( \mathrm { C P } ) } \ \simeq \ \frac { \mp \lambda ^ { 2 } \lambda _ { J ^ { \prime } J } \left[ ( 1 + \overline { { { y } } } ) ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right] \ - \ 2 \delta _ { J ^ { \prime } J } \lambda \sqrt { \frac { J } { J + 1 } } \left[ ( 1 + \overline { { { x } } } ) ( 1 + \overline { { { y } } } ) - x y \right] } { \left[ ( 1 + \overline { { { x } } } ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } \right] \ + \ \lambda ^ { 2 } \left[ ( 1 + \overline { { { y } } } ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right] } \ \ \ ,
\begin{array} { r l } { \| \nabla u \| _ { p } } & { = \| \nabla ^ { 2 } \phi \| _ { p } \leq \| \nabla ^ { 2 } \bar { \phi } \| _ { p } + C \| h ^ { \prime \prime } \| _ { \infty } \| u _ { 1 } \| _ { 1 } } \\ & { \leq C \left( \| \nabla ^ { 2 } \tilde { \phi } \| _ { p } + \| \kappa \| _ { \infty } \| \nabla \tilde { \phi } \| _ { p } + \| h ^ { \prime \prime } \| _ { \infty } \| u _ { 1 } \| _ { 1 } \right) } \\ & { \leq C \left( \| \omega \| _ { p } + \| \kappa \| _ { \infty } \| u \| _ { p } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | Z _ { n + 1 } - Z _ { n } - d _ { i } \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { n } ) [ \widehat { \mathfrak { I } } _ { n + 1 } ] | _ { s _ { 0 } } } & { \overset { , } { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon \left( 1 + ( | \mathfrak { I } _ { n + 1 } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } + | \mathfrak { I } _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } ) \right) | \widehat { \mathfrak { I } } _ { n + 1 } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } ^ { 2 } } \\ & { \overset \le 2 \varepsilon | \widehat { \mathfrak { I } } _ { n + 1 } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } ^ { 2 } } \\ & { \overset { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon ^ { 1 3 - 8 b } N _ { n - 1 } ^ { - 2 \sigma _ { 3 } } } \\ & { \overset \le \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n } ^ { - \sigma _ { 4 } } . } \end{array}
\partial _ { t } \gamma = - \partial _ { x } \gamma - \frac { 1 } { \kappa } \, \bar { \jmath } \, \gamma , \qquad \partial _ { t } \bar { \jmath } = \partial _ { x } \bar { \jmath } - \kappa [ \gamma a _ { - } \gamma ^ { - 1 } , a _ { + } ] .
N _ { p _ { D } n } = | g ( - | ^ { + } ) | ^ { 2 } = e ^ { - \pi \lambda } , \; \; \mathrm { i f } \quad \sqrt { \rho } \, T \gg 1 , \; \; \mathrm { a n d } \; \sqrt { \rho } T \gg \lambda , \; \mathrm { a n d } \; \rho ^ { 2 } T \gg | q E p _ { D } | \; ,
f _ { \nu } ^ { - } ( i k ) \ = \ i ^ { - \beta } k R \left[ I _ { \nu + \frac 1 2 } K _ { \nu - \frac 1 2 + \beta } + I _ { \nu - \frac 1 2 } K _ { \nu + \frac 1 2 + \beta } \right] \ , \ \ m < 0
\langle \Lambda _ { Q _ { j m } ^ { * } } \vert V _ { s o ( T h o m a s ) } ^ { o g e } \vert \Lambda _ { Q _ { j m } ^ { * } } \rangle = \langle \Lambda _ { Q _ { j m } ^ { * } } \vert V _ { s o ( T h o m a s ) } ^ { o g e ~ \Lambda _ { Q ^ { * } } } \vert \Lambda _ { Q _ { j m } ^ { * } } \rangle
\int _ { X } \left( \int _ { Y } f ( x , y ) \, { \mathrm { d } } y \right) \, { \mathrm { d } } x = \int _ { Y } \left( \int _ { X } f ( x , y ) \, { \mathrm { d } } x \right) \, { \mathrm { d } } y = \int _ { X \times Y } f ( x , y ) \, { \mathrm { d } } ( x , y ) .
p _ { \beta } ( x , \theta | y ) = \frac { p ( y | x , \theta ) p _ { \beta } ( x _ { - 0 } | x _ { 0 } , \theta ) p ( x _ { 0 } ) p ( \theta ) } { p ( y ) } = \frac { p ( y | x , \theta ) e ^ { - \beta H [ x _ { - 0 } | x _ { 0 } , \theta ] } p ( x _ { 0 } ) p ( \theta ) } { p ( y ) Z _ { \beta } ( x _ { 0 } , \theta ) } .
\begin{array} { r l } { { R _ { \alpha } } ( P _ { 0 } | P _ { 1 } , P _ { 2 } ) = } & { \exp \Big ( \frac { \| \theta _ { 0 } + \alpha ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } - 2 \theta _ { 0 } ) \| ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } - \frac { \| \theta _ { 0 } + \alpha ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 0 } ) \| ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \\ & { \quad \quad - \frac { \| \theta _ { 0 } + \alpha ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 0 } ) \| ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } + \frac { \| \theta _ { 0 } \| ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \Big ) - 1 } \\ & { = \exp \Big ( \frac { \| \alpha ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } - 2 \theta _ { 0 } ) \| ^ { 2 } - \| \alpha ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 0 } ) \| ^ { 2 } - \| \alpha ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 0 } ) \| ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \Big ) - 1 } \\ & { = \exp \Big ( \alpha ^ { 2 } \frac { \langle \theta _ { 1 } - \theta _ { 0 } , \theta _ { 2 } - \theta _ { 0 } \rangle } { \sigma ^ { 2 } } \Big ) - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \ell \ge 1 } | \lambda _ { \ell } | } & { \ll M \int _ { 1 / | \lambda _ { 1 } | } t \, e ^ { - \frac { c } { 3 0 } \sqrt { \log ( M t + 1 ) } } \frac { d t } { t ^ { 2 } } } \\ & { \ll M \int _ { M / | \lambda _ { 1 } | } e ^ { - \frac { c } { 3 0 } \sqrt { \log ( t + 1 ) } } \frac { d t } { t } \ll | \lambda _ { 1 } | e ^ { - \frac { c } { 3 0 } \sqrt { \log ( M | \lambda _ { 1 } | ^ { - 1 } + 1 ) } } . } \end{array}
\dot { \lambda } _ { R } + \frac { 3 } { 2 } \; \lambda _ { R } ^ { 2 } = 0 \Rightarrow \beta _ { \lambda } = - \frac { 3 } { 2 } \; \lambda _ { R } ^ { 2 } ~ ~ ; ~ ~ \beta _ { \lambda } = \kappa \; \frac { \partial } { \partial \kappa } \lambda _ { R } [ \kappa ] \; .
\begin{array} { r l } { \mathrm { P S D } _ { \vec { x } ( t ) } ( k ) } & { { } \approx \mathrm { P S D } _ { \vec { x } ( 0 ) } ( k ) + \mathrm { P S D } _ { \vec { \eta } ( t ) } ( k ) } \\ { \mathbf { \eta ( t ) } } & { { } \sim \mathcal { N } ( \mathbf { \boldsymbol { 0 } } , \sigma ^ { 2 } ( t ) ) . } \end{array}
\left\lbrace \begin{array} { r l } { \partial _ { t } w } & { = \Delta w + \mathrm { d i v } [ B _ { 1 } ( \nabla J * ( w - v ) ) w ] + F ( \frac { 1 } { 2 } ( w + v ) ) } \\ { \partial _ { t } v } & { = \Delta v + \mathrm { d i v } [ B _ { 2 } ( \nabla J * ( w - v ) ) v ] + F ( \frac { 1 } { 2 } ( w + v ) ) } \end{array} \right. , \quad ( t , x ) \in Q _ { T } ,
\begin{array} { r l r l } & { \left\{ \frac { 1 } { m - 1 } \cdot ( \mathbf { 1 } _ { m } - \mathbf { x } ) \, \middle | \, \mathbf { x } \in P _ { \ell _ { i } , j } \right\} } \\ & { = \{ \mathbf { y } \in \mathbb { R } ^ { m } ~ ~ | ~ ~ \mathbf { 1 } _ { m } - ( m - 1 ) \cdot \mathbf { y } \in P _ { \ell _ { i } , j } \} } \\ & { = \{ \mathbf { y } \in \mathbb { R } ^ { m } ~ ~ | ~ ~ \widehat { \mathbf { y } } \in P _ { \ell _ { i } , j } \} } \\ & { = \{ \mathbf { y } \in \mathbb { R } ^ { m } ~ ~ | ~ ~ \widehat { \mathbf { y } } \in \Delta ^ { m - 1 } ~ , ~ j \in \ell _ { i } ( \widehat { \mathbf { y } } ) \} } \\ & { = \{ \mathbf { y } \in \mathbb { R } ^ { m } ~ ~ | ~ ~ \mathbf { y } \in \delta ^ { m - 1 } ~ , ~ j \in \ell _ { i } ( \widehat { \mathbf { y } } ) \} } & & { \mathrm { ( s i n c e ~ \widehat { \mathbf { y } } ~ \in ~ \Delta ^ { m - 1 } ~ i f f ~ \mathbf { y } \in \delta ^ { m - 1 } ~ ) } } \\ & { = Q _ { h _ { i } , j } . } \end{array}
b _ { - 1 } = \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { q _ { 1 } / \sqrt { 2 E _ { \nu } ( E _ { \nu } - m _ { \nu } ) } } } \\ { { \sqrt { ( E _ { \nu } - m _ { \nu } ) / 2 E _ { \nu } } } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { A } } \\ { { B } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) .
+ g ^ { 2 } v A _ { \mu } A ^ { \mu } \phi + \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } A _ { \mu } A ^ { \mu } \phi ^ { 2 } - \lambda v \phi ^ { 3 } - \frac { 1 } { 4 } \lambda \phi ^ { 4 } ,
\begin{array} { r l } { \zeta = ~ } & { \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { 0 } A _ { 1 1 } ^ { \prime } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \mathrm { i } \omega _ { 0 } t ) } + \mathrm { c . c . } + \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } A _ { 2 2 } ^ { \prime } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } ( \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \mathrm { i } \omega _ { 0 } t ) } + \frac { 1 } { 2 } A _ { 2 0 } ^ { \prime } + \mathrm { c . c . } \right) , } \\ { \Phi = ~ } & { \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { 0 } B _ { 1 1 } ^ { \prime } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \mathrm { i } \omega _ { 0 } t ) } + \mathrm { c . c . } + \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } B _ { 2 2 } ^ { \prime } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } ( \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \mathrm { i } \omega _ { 0 } t ) } + \frac { 1 } { 2 } B _ { 2 0 } ^ { \prime } + \mathrm { c . c . } \right) , } \end{array}
\Lambda _ { j \theta } ( t ) = \theta \Big [ \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } ( \alpha _ { \lambda _ { i } } - \alpha _ { \lambda _ { i + 1 } } ) t _ { i } + ( \alpha _ { \lambda _ { m } } - \alpha _ { \lambda _ { 1 } } ) T \Big ] + \sum _ { l = 1 } ^ { j - 1 } ( \alpha _ { \lambda _ { l } } - \alpha _ { \lambda _ { l + 1 } } ) ( \theta T + t _ { l } ) + \alpha _ { \lambda _ { j } } t
Q ( x , y ) = - { \frac { ( x + y ) ^ { 3 } } { 2 } } \partial _ { y } H = A + B \left[ \mathrm { l n } \left( { \frac { ( x + y ) ^ { 2 } } { \rho _ { 0 } ^ { 2 } y } } \right) + { \frac { x ^ { 2 } + 4 x y - 3 y ^ { 2 } } { 2 y ^ { 2 } } } \right]
\Theta = \left( \begin{array} { r r r r } { { 1 } } & { { - 1 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \ddots } } & { { - 1 } } \\ { { - 1 } } & { { } } & { { } } & { { 1 } } \end{array} \right)
T _ { \mathrm { t r } } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { e ^ { 2 \pi i / 3 } } & { e ^ { 4 \pi i / 3 } } \\ { 1 } & { e ^ { 4 \pi i / 3 } } & { e ^ { 2 \pi i / 3 } } \end{array} \right) .
\tilde { D } _ { 0 0 } ( M ; x - y ) \equiv - { \frac { e ^ { - M | \vec { x } - \vec { y } | } } { 4 \pi | \vec { x } - \vec { y } | } } = \int { \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } i { \frac { e ^ { - i q \cdot ( x - y ) } } { \vec { q } ^ { 2 } + M ^ { 2 } } } ~ ,
U \, { \mathbf { L } } _ { n } \, U ^ { \dagger } = U \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N - 1 } { \mathbf { X } } _ { \alpha } \times { \mathbf { P } } _ { \alpha } \, U ^ { \dagger } = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N - 1 } \bar { \mathbf { X } } _ { \alpha } \times \bar { \mathbf { P } } _ { \alpha } .
g _ { 2 } = \frac { d _ { 1 } M _ { 1 } a _ { 2 } } { d _ { 2 } M _ { 2 } a _ { 1 } } , \qquad g _ { 1 2 } = \frac { d _ { 1 2 } M _ { 1 } a _ { 1 2 } } { \sqrt { 2 } d _ { 2 } M _ { 1 2 } a _ { 1 } } ,
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \ln s } \, \, \ln \left| \frac { F ( s ) } { s } \right| \, \, \rightarrow \, \, \frac { 2 } { \pi } \; \arctan \left( \frac { \mathrm { R e } \, F ( s ) } { \mathrm { I m } \, F ( s ) } \right) \, \, \, .
\begin{array} { r } { \Omega _ { U } = \frac { \zeta ^ { 2 } } { 2 \theta } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { 2 ^ { - m } \sum _ { u = 0 } ^ { m } { \binom { m } { u } U ( C ^ { u } ) ^ { T } C ^ { m - u } U } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } - \frac { 2 i g ^ { 2 } } { \pi } \frac { 1 } { ( \omega _ { 1 } - \alpha _ { a } ) ( \omega _ { 2 } - \alpha _ { a } ) ( \nu _ { 1 } - \alpha _ { a } ) ( \nu _ { 2 } - \alpha _ { a } ) ( \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } - \alpha _ { b } ) } \delta ( \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } - \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\{ \Phi _ { T ( + 3 ) } ^ { ( 0 ) } \right\} } & { = } & { \Big \{ | n _ { 1 } \dots ( n _ { i } + 3 ) \dots n _ { m } \rangle \Big \} } \\ & { } & { \cup \, \Big \{ | n _ { 1 } \dots ( n _ { i } + 2 ) \dots ( n _ { j } + 1 ) \dots n _ { m } \rangle \Big \} } \\ & { } & { \cup \, \Big \{ | n _ { 1 } \dots ( n _ { i } + 1 ) \dots ( n _ { j } + 1 ) \dots ( n _ { k } + 1 ) \dots n _ { m } \rangle \Big \} , } \\ { \left\{ \Phi _ { T ( + 1 ) } ^ { ( 0 ) } \right\} } & { = } & { \Big \{ | n _ { 1 } \dots ( n _ { i } + 2 ) \dots ( n _ { j } - 1 ) \dots n _ { m } \rangle \Big \} } \\ & { } & { \cup \, \Big \{ | n _ { 1 } \dots ( n _ { i } + 1 ) \dots ( n _ { j } + 1 ) \dots ( n _ { k } - 1 ) \dots n _ { m } \rangle \Big \} , } \end{array}
\omega = \left\{ \begin{array} { c l } { { { \frac { 2 n \pi } { T } } } } & { { \mathrm { f o r \; \; b o s o n s } } } \\ { { { \frac { ( 2 n + 1 ) \pi } { T } } } } & { { \mathrm { f o r \; \; f e r m i o n s } } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { t } + \mathbf { U } \cdot \nabla ) ^ { 2 } \partial _ { z } w ^ { ( 2 ) } - \mathbf { U } ^ { \prime } \cdot ( \partial _ { t } + \mathbf { U } \cdot \nabla ) \nabla w ^ { ( 2 ) } - \nabla ^ { 2 } w ^ { ( 2 ) } = ~ } & { { } \mathcal { F } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { x } , z , t ) ~ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } ~ z = 0 , } \\ { w ^ { ( 2 ) } = ~ } & { { } 0 ~ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } ~ z \to - \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \int _ { \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} } \gamma \tilde { u } _ { n } \left( \partial _ { x } \left( \tilde { u } _ { n } - u \right) \right) ^ { 2 } } \\ { = } & { { } \int _ { \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} } \gamma \tilde { u } _ { n } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) \partial _ { x } \left( \tilde { u } _ { n } - u \right) - \int _ { \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} } \gamma \tilde { u } _ { n } \left( \partial _ { x } u \right) \partial _ { x } \left( \tilde { u } _ { n } - u \right) } \\ { = } & { { } \int _ { \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} } \gamma \tilde { u } _ { n } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) \partial _ { x } \left( \tilde { u } _ { n } - u \right) } \\ { = } & { { } A _ { 1 } + A _ { 2 } + A _ { 3 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial } { \partial b } } \left( \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \, d x \right) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta b \to 0 } { \frac { 1 } { \Delta b } } \left[ \int _ { a } ^ { b + \Delta b } f ( x ) \, d x - \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \, d x \right] } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta b \to 0 } { \frac { 1 } { \Delta b } } \int _ { b } ^ { b + \Delta b } f ( x ) \, d x } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta b \to 0 } { \frac { 1 } { \Delta b } } \left[ f ( b ) \Delta b + O \left( \Delta b ^ { 2 } \right) \right] } \\ & { = f ( b ) , } \end{array} }
\mathcal { U } ( z ) = \frac { 2 } { \ln 2 } \frac { a _ { R } ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \left[ \left( 1 - \frac { z } { R _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \frac { z ^ { 2 } } { z _ { R } ^ { 2 } } \right] ^ { - 1 } .
\begin{array} { r } { \omega ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \omega ^ { - } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } t < 0 , } \\ { \omega ^ { + } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } t > 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
\mathrm { f o l d } : M ^ { * } \rightarrow M = l \mapsto { \left\{ \begin{array} { l l } { \varepsilon } & { { \mathrm { i f ~ } } l = \mathrm { n i l } } \\ { m \bullet \mathrm { f o l d } \, l ^ { \prime } } & { { \mathrm { i f ~ } } l = \mathrm { c o n s } \, m \, l ^ { \prime } } \end{array} \right. }