harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \tau _ { 2 } } & { \approx } & { - \left\langle \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ^ { \dagger } \cdot \left( { \cal B } _ { 1 } - { \cal B } _ { 0 } \right) \mathbf { u } _ { 2 } \right\rangle _ { 1 } } \\ & { - } & { \left\langle \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ^ { \dagger } \left( t + T \right) \cdot \left( { \cal C } _ { 1 } - { \cal C } _ { 0 } \right) \mathbf { u } _ { 2 } \right\rangle _ { 1 } } \\ & { - } & { \left\langle \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ^ { \dagger } \cdot \left\{ \left( { \cal B } _ { 2 } - { \cal B } _ { 0 } \right) \mathbf { u } _ { 1 } \right\} \right\rangle _ { 2 } } \\ & { - } & { \left\langle \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ^ { \dagger } \left( t + T \right) \cdot \left( { \cal C } _ { 2 } - { \cal C } _ { 0 } \right) \mathbf { u } _ { 1 } \right\rangle _ { 2 } , } \end{array}
\kappa _ { w } = \frac { \int d \mathcal { E } ~ ( r e c t _ { w } \ast G a u s s _ { w } ) ( \mathcal { E } ) \zeta ^ { T h } ( \mathcal { E } ) } { \int d \mathcal { E } ~ ( r e c t _ { w } \ast G a u s s _ { w } ) ( \mathcal { E } ) \zeta ^ { R a } ( \mathcal { E } ) } .
\begin{array} { r } { \bar { \mathbf { y } } _ { k k ^ { \prime } } ^ { \mathrm { c r o s s } } ( \Tilde { t } ) = \mathcal { S } ( \Tilde { t } - k ) \mathcal { S } ( \Tilde { t } - k ^ { \prime } ) , \quad k , k ^ { \prime } = 1 , 2 , \cdots . } \end{array}
\Gamma ^ { \, \alpha , \, \alpha _ { 0 } } ( \Phi _ { c } ) : = \Bigl [ \, W _ { c } ^ { \, \alpha , \, \alpha _ { 0 } } ( J ) - < J , \Phi _ { c } > \, \Bigr ] _ { \, J = J ( \Phi _ { c } ) } \quad ,
{ \frac { ( m _ { 1 } u _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 2 m _ { 1 } } } + { \frac { ( m _ { 1 } u _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 2 m _ { 2 } } } = { \frac { ( m _ { 1 } v _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 2 m _ { 1 } } } + { \frac { ( m _ { 1 } v _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 2 m _ { 2 } } } \,
\left\{ \begin{array} { l l } { \exists G _ { 0 } \in { \mathbb R } ^ { d \times d } \, , \, \exists G _ { 1 } \in { \mathbb R } ^ { ( \xi + 1 ) \times ( \xi + 1 ) } \, , \, \exists u \in { \mathbb R } ^ { 2 ( \xi - d ) + 1 } \, : } \\ { G _ { j } ^ { \top } = G _ { j } \, , \, F ( G _ { j } ) \ge 0 \, , \, H ( G _ { 0 } , G _ { 1 } , u , \varphi _ { a } ^ { ( 0 ) } , \dots , \varphi _ { a } ^ { ( d ) } ) = 0 \, , } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { R } & { = T * 8 \Leftrightarrow } \\ { R } & { = T * 4 * 2 \Leftrightarrow \vdots { \mathrm { ~ s e e ~ p r o o f ~ o f ~ m e t h o d ~ 4 } } } \\ { R } & { = 1 0 ^ { n } * 2 * ( c _ { n } / 2 - 1 ) + 1 0 ^ { n - 1 } * 2 * ( ( 9 - c _ { n } ) + c _ { n - 1 } / 2 ) + 1 0 ^ { n - 2 } * 2 * ( ( 9 - c _ { n - 1 } ) + c _ { n - 2 } / 2 ) } \\ & { + \ldots + 1 0 ^ { 1 } * 2 * ( ( 9 - c _ { 2 } ) + c _ { 1 } / 2 ) + 1 0 ^ { 0 } * 2 * ( 1 0 - c _ { 1 } ) \Leftrightarrow } \\ { R } & { = 1 0 ^ { n } * ( c _ { n } - 2 ) + 1 0 ^ { n - 1 } * ( 2 * ( 9 - c _ { n } ) + c _ { n - 1 } ) + \ldots + 1 0 ^ { 2 } * ( 2 * ( 9 - c _ { 3 } ) + c _ { 2 } ) + 1 0 ^ { 1 } * ( 2 * ( 9 - c _ { 2 } ) + c _ { 1 } ) + 2 * ( 1 0 - c _ { 1 } ) } \\ & { Q E D } \end{array} }
\prod _ { j = 1 } ^ { J + m } ( y ^ { \prime } q ^ { 2 J ^ { \prime } } + y q ^ { - ( \varpi - 2 J + 2 j - 1 ) } ) \prod _ { \ell = 1 } ^ { J ^ { \prime } + m ^ { \prime } } ( y ^ { \prime } + y q ^ { \varpi - 2 J ^ { \prime } + 2 m + 2 \ell - 1 } ) =
{ \begin{array} { r l } { R _ { f f } ( \tau ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } { \frac { 1 } { T } } \int _ { 0 } ^ { T } f ( t + \tau ) { \overline { { f ( t ) } } } \, \mathrm { { d } } t } \\ { R _ { y y } ( \ell ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } { \frac { 1 } { N } } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } y ( n ) \, { \overline { { y ( n - \ell ) } } } . } \end{array} }
q _ { s } ^ { 2 } { \frac { \partial ^ { 2 } H } { \partial q _ { i } \partial q _ { i + 2 } } } = - ( c q _ { s } / ( 2 \Delta x ) ) ^ { 2 } \neq 0 \quad \mathrm { a n d } \quad { \frac { \partial ^ { 2 } H } { \partial p _ { i } \partial p _ { i + 2 } } } = 0 ,
{ \begin{array} { r l } { \ln q _ { \mu } ^ { * } ( \mu ) } & { = \operatorname { E } _ { \tau } \left[ \ln p ( \mathbf { X } \mid \mu , \tau ) + \ln p ( \mu \mid \tau ) + \ln p ( \tau ) \right] + C } \\ & { = \operatorname { E } _ { \tau } \left[ \ln p ( \mathbf { X } \mid \mu , \tau ) \right] + \operatorname { E } _ { \tau } \left[ \ln p ( \mu \mid \tau ) \right] + \operatorname { E } _ { \tau } \left[ \ln p ( \tau ) \right] + C } \\ & { = \operatorname { E } _ { \tau } \left[ \ln \prod _ { n = 1 } ^ { N } { \mathcal { N } } \left( x _ { n } \mid \mu , \tau ^ { - 1 } \right) \right] + \operatorname { E } _ { \tau } \left[ \ln { \mathcal { N } } \left( \mu \mid \mu _ { 0 } , ( \lambda _ { 0 } \tau ) ^ { - 1 } \right) \right] + C _ { 2 } } \\ & { = \operatorname { E } _ { \tau } \left[ \ln \prod _ { n = 1 } ^ { N } { \sqrt { \frac { \tau } { 2 \pi } } } e ^ { - { \frac { ( x _ { n } - \mu ) ^ { 2 } \tau } { 2 } } } \right] + \operatorname { E } _ { \tau } \left[ \ln { \sqrt { \frac { \lambda _ { 0 } \tau } { 2 \pi } } } e ^ { - { \frac { ( \mu - \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } \tau } { 2 } } } \right] + C _ { 2 } } \\ & { = \operatorname { E } _ { \tau } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( \ln \tau - \ln 2 \pi ) - { \frac { ( x _ { n } - \mu ) ^ { 2 } \tau } { 2 } } \right) \right] + \operatorname { E } _ { \tau } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } ( \ln \lambda _ { 0 } + \ln \tau - \ln 2 \pi ) - { \frac { ( \mu - \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } \tau } { 2 } } \right] + C _ { 2 } } \\ & { = \operatorname { E } _ { \tau } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { N } - { \frac { ( x _ { n } - \mu ) ^ { 2 } \tau } { 2 } } \right] + \operatorname { E } _ { \tau } \left[ - { \frac { ( \mu - \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } \tau } { 2 } } \right] + \operatorname { E } _ { \tau } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { 2 } } ( \ln \tau - \ln 2 \pi ) \right] + \operatorname { E } _ { \tau } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } ( \ln \lambda _ { 0 } + \ln \tau - \ln 2 \pi ) \right] + C _ { 2 } } \\ & { = \operatorname { E } _ { \tau } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { N } - { \frac { ( x _ { n } - \mu ) ^ { 2 } \tau } { 2 } } \right] + \operatorname { E } _ { \tau } \left[ - { \frac { ( \mu - \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } \tau } { 2 } } \right] + C _ { 3 } } \\ & { = - { \frac { \operatorname { E } _ { \tau } [ \tau ] } { 2 } } \left\{ \sum _ { n = 1 } ^ { N } ( x _ { n } - \mu ) ^ { 2 } + \lambda _ { 0 } ( \mu - \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } \right\} + C _ { 3 } } \end{array} }
\delta M _ { c } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { \tan \beta } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { \cot \beta } } \end{array} \right) ( \Delta _ { c _ { 1 } } ^ { 2 } + \Delta _ { c _ { 2 } } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \big \| E _ { P } \big [ \widehat \theta _ { S ( P ) } \big ] - E _ { P _ { 0 } } \big [ \widehat \theta _ { S ( P ) } \big ] \big \| _ { 2 } } & { \geq \| \theta \| _ { 2 } - \big \| E _ { P } [ \widehat \theta ] - \theta \big \| _ { 2 } - \big \| E _ { P _ { 0 } } [ \widehat \theta ] \big \| _ { 2 } } \\ & { \geq \sqrt { s \alpha \log ( n / s ^ { 2 } ) } - 2 \sqrt { \gamma s \log ( n / s ^ { 2 } ) } } \\ & { \geq \sqrt { \frac { s } { 2 5 \log ( n / s ^ { 2 } ) } } . } \end{array}
\left. + x ( 1 - x ) \frac { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } \vec { q } _ { 2 } ^ { \: \prime \: 2 } } { \vec { \Lambda } ^ { 2 } \Sigma } - x ( 1 - x ) \frac { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } } { \Sigma ^ { 2 } } \left( 1 - 2 x + 2 x ( 1 - x ) \frac { ( \vec { \Lambda } \vec { k } ) } { \vec { \Lambda } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right\} + \left\{ \vec { q } _ { i } ^ { ~ } \leftrightarrow \vec { q } _ { i } ^ { \: \prime } \phantom { \frac { . } { . } } \! \! \right\} ~ ,
\begin{array} { r } { \psi _ { F i b } ( \mathbf { r } ) = \left\{ \begin{array} { l r } { p \log \displaystyle \left( \frac { p } { 2 p - 1 } \right) + ( 1 - p ) \log \displaystyle \left( \frac { 2 p - 1 } { 1 - p } \right) } & { \textnormal { i f } p \geq \displaystyle \frac { 1 } { 2 } } \\ { - \infty } & { \textnormal { i f } p < \displaystyle \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( { \star \mu } ) _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { d + 1 - q } } } & { = \frac { 1 } { q ! } \epsilon _ { \nu _ { 1 } \ldots \nu _ { q } \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { d + 1 - q } } \mu ^ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { q } } , } \\ { ( \mathrm { d } \mu ) _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { q + 1 } } } & { = ( q + 1 ) \partial _ { [ \mu _ { 1 } } \mu _ { \mu _ { 2 } \ldots \mu _ { q + 1 } ] } , } \\ { ( \iota _ { X } \mu ) _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { q - 1 } } } & { = X ^ { \mu } \mu _ { \mu \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { q - 1 } } , } \\ { ( \iota _ { \partial } \mu ) _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { q - 1 } } } & { = \nabla ^ { \mu } \mu _ { \mu \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { q - 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbb A } _ { \mu , h } = { \mathbb A } _ { \infty , h } \, y = - y ^ { \prime \prime } + q ( x ) y - [ y ^ { \prime } ( \ell ) - h y ( \ell ) ] \, \delta ( x - \ell ) , } \\ & { { \mathbb A } _ { \mu , h } ^ { * } = { \mathbb A } _ { \infty , h } ^ { * } \, y = - y ^ { \prime \prime } + q ( x ) y - [ y ^ { \prime } ( \ell ) - \overline { { h } } \, y ( \ell ) ] \, \delta ( x - \ell ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \vartheta _ { 2 } ^ { \operatorname* { s u p } , \operatorname* { l i m } } ( A ( \omega , \rho ) ) = \operatorname* { s u p } _ { v _ { 1 } , v _ { 2 } \neq 0 } \frac { 1 } { q } \sum _ { j = 1 } ^ { q } g ( v _ { 1 } , F _ { \rho _ { 2 } } ^ { j - 1 } v _ { 2 } , \omega , \rho ) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { v _ { 1 } , v _ { 2 } \neq 0 } \sum _ { j = 1 } ^ { q } g ( v _ { 1 } , D _ { \rho _ { 2 } } T _ { 2 \pi \kappa } ^ { j - 1 } D _ { \rho _ { 2 } } ^ { - 1 } v _ { 2 } , \omega , \rho ) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { v _ { 1 } , v _ { 2 } \neq 0 } \frac { 1 } { q \tau _ { 1 } } \sum _ { j = 1 } ^ { q } \int _ { 0 } ^ { \tau _ { 1 } } \operatorname* { m a x } \big ( \alpha ( t , v _ { 1 } , \rho _ { 1 } , \omega _ { 1 } ) , \alpha ( t , D _ { \rho _ { 2 } } T _ { \varphi } ^ { j - 1 } D _ { \rho _ { 2 } } ^ { - 1 } v _ { 2 } , \rho _ { 2 } , \omega _ { 2 } ) \big ) d t } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { v _ { 1 } , v _ { 2 } \neq 0 } \frac { 1 } { 2 \pi q } \sum _ { j = 1 } ^ { q } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \operatorname* { m a x } \big ( \alpha ( \frac { \tau } { \omega _ { 1 } } , v _ { 1 } , \rho _ { 1 } , \omega _ { 1 } ) , \alpha ( \frac { \tau } { \omega _ { 1 } } , D _ { \rho _ { 2 } } T _ { \varphi } ^ { j - 1 } D _ { \rho _ { 2 } } ^ { - 1 } v _ { 2 } , \rho _ { 2 } , \omega _ { 2 } ) \big ) d \tau } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { v _ { 1 } , v _ { 2 } \neq 0 } \frac { 1 } { 2 \pi q } \sum _ { j = 1 } ^ { q } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \operatorname* { m a x } \Big ( \frac { \rho _ { 1 } \omega _ { 1 } \| D _ { \rho _ { 1 } } ^ { - 1 } v _ { 1 } \| ^ { 2 } } { \| D _ { \rho _ { 1 } } T _ { \tau } D _ { \rho _ { 1 } } ^ { - 1 } v _ { 1 } \| ^ { 2 } } , \frac { \rho _ { 2 } \omega _ { 2 } \| T _ { \varphi } ^ { j - 1 } D _ { \rho _ { 2 } } ^ { - 1 } v _ { 2 } \| ^ { 2 } } { \| D _ { \rho _ { 2 } } T _ { \tau \kappa + ( j - 1 ) \varphi } D _ { \rho _ { 2 } } ^ { - 1 } v _ { 2 } \| ^ { 2 } } \Big ) d \tau . } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } ( t ) = v _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } ( t ) - \lambda _ { \mathrm { R } } \tilde { I } _ { 1 } ^ { \zeta } ( t ) + O ( \lambda _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } ) \, ,
\begin{array} { c } { { B ^ { - } B ^ { + } - Q B ^ { + } B ^ { - } ~ = ~ Q ^ { - N _ { B } } } } \\ { { B ^ { - } B ^ { + } - Q ^ { - 1 } B ^ { + } B ^ { - } ~ = ~ Q ^ { N _ { B } } } } \\ { { Q ^ { N _ { B } } B ^ { + } Q ^ { - N _ { B } } ~ = ~ Q B ^ { + } } } \\ { { Q ^ { N _ { B } } B ^ { - } Q ^ { - N _ { B } } ~ = ~ Q ^ { - 1 } B ^ { - } } } \\ { { Q ^ { N _ { B } } Q ^ { - N _ { B } } ~ = ~ Q ^ { - N _ { B } } Q ^ { N _ { B } } ~ = ~ 1 } } \end{array}
D _ { n } ( \eta ) D _ { n ^ { \prime \prime } } ( \eta ) = \mathrm { e } ^ { - \eta ^ { 2 } / 4 } \sum _ { m = 0 } ^ { \mathrm { m i n } ( n , n ^ { \prime \prime } ) } \frac { n ! n ^ { \prime \prime } ! } { m ! ( n - m ) ! ( n ^ { \prime \prime } - m ) ! } D _ { n + n ^ { \prime \prime } - 2 m } ( \eta ) ,
S = \int \! { \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \, \biggl ( \psi ^ { \dagger } ( p ) ( i p _ { 0 } + \epsilon _ { p } ) \psi ( p ) + e \psi ^ { \dagger } ( p ) \psi ( p ) ( i A _ { 0 } ( 0 ) + v _ { i } A _ { i } ( 0 ) ) \biggr ) + \int \! d ^ { 4 } x \, { \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } } A _ { i } A _ { i }
\mathrm { L e n } _ { \delta _ { \mathcal M , p } } ( \rho ) = \operatorname* { s u p } _ { \substack { N \in \mathbb { N } ^ { * } , \; ( t _ { i } ) _ { 0 \leq i \leq N } \in [ 0 , 1 ] ^ { N + 1 } \, 0 = t _ { 0 } < t _ { 1 } < \ldots < t _ { N } = 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \delta _ { \mathcal M , p } ( \rho _ { t _ { i - 1 } } , \rho _ { t _ { i } } ) .
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + \cdots } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 5 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \| ( \hat { p } - \tilde { \hat { p } } ) \cdot \hat { x } \| _ { Y ( 0 , T ; \Gamma _ { R } ^ { + } ) } \leq C \int _ { 0 } ^ { T } \| \nabla \cdot ( \hat { p } - \tilde { \hat { p } } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { P M L } ^ { + } ) } + \| \partial _ { t } ( \hat { p } - \tilde { \hat { p } } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { P M L } ^ { + } ) } \, d t . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma ^ { i l } } & { { } = } & { \frac { S } { 1 5 \rho } ( g ^ { i l } + 2 n ^ { i } n ^ { l } ) + \frac 1 { 7 \rho } \left( 2 P ^ { i j } n _ { j } n ^ { l } + 2 P ^ { l j } n _ { j } n ^ { i } + P ^ { i l } + P ^ { j k } n _ { j } n _ { k } g ^ { i l } \right) + \frac 1 \rho R ^ { i j k l } n _ { j } n _ { k } + } \end{array}
{ \cal E } ( \vec { n } ) | k _ { 1 } , \dots , k _ { N } \rangle = \sum _ { j = 1 } ^ { N } k _ { j } ^ { 0 } \, \delta ( \cos \theta _ { j } - \cos \chi ) \delta ( \phi _ { j } - \varphi ) | k _ { 1 } , \dots , k _ { N } \rangle \, ,
i D _ { \sigma \sigma } ^ { - 1 } ( - q ^ { 2 } = 0 ) = - \frac { 8 N } { ( 4 \pi ) ^ { D / 2 } } \Gamma ( 2 - D / 2 ) \sigma _ { \mathrm { s o l } } ^ { D - 2 } , \qquad i D _ { \pi \pi } ^ { - 1 } ( - q ^ { 2 } = 0 ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { { \mathbb { E } } _ { X \left\lvert { \mathscr { S } } \right. } \left[ { \left( X - \mu \right) } ^ { 2 } \left\lvert X \in { \mathscr { S } } \right. \right] } & { \le { \mathbb { E } } _ { U \left\lvert { \mathscr { S } } \right. } \left[ { \left( X - \mu \right) } ^ { 2 } \left\lvert X \in { \mathscr { S } } \right. \right] \ = \ { \frac { 1 } { 3 } } k ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { S u r f a c e ~ A r e a } } & { = 2 . 5 \pi x + \pi ( y + 1 . 2 5 ) \left( ( y - 1 . 2 5 ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } \left( y - 1 . 2 5 \right) ^ { 2 } } { 1 . 2 5 ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \mathrm { V o l u m e } } & { = g ( x , y ) = \pi x \left( \frac { 3 . 9 0 6 2 5 + y ^ { 3 } } { 3 . 7 5 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \theta _ { 0 } ( \tilde { \phi } ^ { n } , \tilde { \phi } ^ { n + 1 } ) \ge - \frac { 1 } { 2 } \theta _ { 0 } ^ { 2 } \| \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \| \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ & { - ( \Delta _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } , \tilde { \phi } ^ { n + 1 } ) = \| \nabla _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int } & { \exp \Big ( - ( t \alpha _ { 1 } + ( 1 - t ) \alpha _ { 2 } ) \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } V ( \Delta _ { k } \gamma + v ) - ( t \beta _ { 1 } + ( 1 - t ) \beta _ { 2 } ) \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } F _ { k } ( \gamma _ { k } ) \Big ) \mathrm { d } { \gamma } } \\ & { = \int \exp \Big ( - t \alpha _ { 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } V ( \Delta _ { k } \gamma + v ) - t \beta _ { 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } F _ { k } ( \gamma _ { k } ) \Big ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \times \exp \Big ( - ( 1 - t ) \alpha _ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } V ( \Delta _ { k } \gamma + v ) - ( 1 - t ) \beta _ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } F _ { k } ( \gamma _ { k } ) \Big ) \mathrm { d } { \gamma } } \\ & { \le \Big ( \int \exp \Big ( - \alpha _ { 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } V ( \Delta _ { k } \gamma + v ) - \beta _ { 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } F _ { k } ( \gamma _ { k } ) \Big ) \mathrm { d } { \gamma } \Big ) \Big ) ^ { t } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \times \Big ( \int \exp \Big ( - \alpha _ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } V ( \Delta _ { k } \gamma + v ) - \beta _ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } F _ { k } ( \gamma _ { k } ) \Big ) \mathrm { d } { \gamma } \Big ) \Big ) ^ { 1 - t } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta E _ { \parallel { k } } = - \frac { \mathbf { B } _ { 0 } } { B _ { 0 } } \cdot \nabla \left( \delta \phi - \delta \psi \right) = - \mathrm { ~ i ~ } k _ { \parallel } \left( \delta \phi - \delta \psi \right) _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( \mathbb { G } _ { i _ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { p _ { 1 } } u ) ( \mathbb { G } _ { i _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { p _ { 2 } } u ) \| _ { 2 } = \| \mathcal { F } ( ( \mathbb { G } _ { i _ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { p _ { 1 } } u ) ( \mathbb { G } _ { i _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { p _ { 2 } } u ) ) \| _ { 2 } } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { x \in \mathbb { R } ^ { m } } \frac { | h _ { 1 } ( x ) | } { | l ( x ) | } \| \frac { h _ { 2 } } { l } \| _ { 2 } \| u \| _ { l } ^ { 2 } } \\ & { = \| \frac { h _ { 1 } } { l } \| _ { \infty } \| \frac { h _ { 2 } } { l } \| _ { 2 } \| u \| _ { l } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { _ { A } \mathfrak { V } _ { k } } & { : = \frac { U _ { \mathfrak { A } _ { k + 1 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } a _ { k } e ( \mathfrak { A } _ { k + 1 } / \mathcal { O } _ { E } ) } } { U _ { \mathfrak { A } _ { k } } ^ { \frac { 1 } { 2 } a _ { k } e ( \mathfrak { A } _ { k } / \mathcal { O } _ { E } ) } U _ { \mathfrak { A } _ { k + 1 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } a _ { k } e ( \mathfrak { A } _ { k + 1 } / \mathcal { O } _ { E } ) + } } } \\ & { \simeq \frac { \mathfrak { P } _ { \mathfrak { A } _ { k + 1 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } a _ { k } e ( \mathfrak { A } _ { k + 1 } / \mathcal { O } _ { E } ) } } { \mathfrak { P } _ { \mathfrak { A } _ { k } } ^ { \frac { 1 } { 2 } a _ { k } e ( \mathfrak { A } _ { k } / \mathcal { O } _ { E } ) } + \mathfrak { P } _ { \mathfrak { A } _ { k + 1 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } a _ { k } e ( \mathfrak { A } _ { k + 1 } / \mathcal { O } _ { E } ) + } } . } \end{array}
\mathbf { E } _ { n m } = - \frac { k _ { 0 } \eta } { 4 } I _ { m } \left[ H _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( k _ { 0 } y _ { m n } ) - H _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( k _ { 0 } \sqrt { y _ { m n } ^ { 2 } + 4 h ^ { 2 } } ) \right] \hat { x } ,
\begin{array} { r l } { M ^ { I } ( v _ { n + 1 } ^ { I \alpha } - v _ { n } ^ { I \alpha } ) } & { { } = \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } F ^ { \mathrm { B O , I \ a l p h a } } d t ^ { \prime } + \sum _ { J \beta } \Omega _ { n + 1 } ^ { I \alpha , J \beta } ( R _ { n + 1 } ^ { J \beta } - R _ { n } ^ { J \beta } ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \left| \Gamma ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } \right| ^ { 2 } + \left| T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } \right| ^ { 2 } = 1 } \\ { \theta ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } - \theta _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } = \pm \frac { \pi } { 2 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \left| \sum _ { k = 4 } ^ { \infty } \mathrm { i } ^ { k } f _ { k } ^ { k } t ^ { k } \right| } { \left| \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { h } } \right| ^ { 3 } \bar { \alpha } _ { h } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } h ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } < \frac { \sum _ { k = 4 } ^ { \infty } \left| \mathrm { i } ^ { k } f _ { k } ^ { k } t ^ { k } \right| } { \left| \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { h } } \right| ^ { 3 } \bar { \alpha } _ { h } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } h ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } < \sum _ { k = 4 } ^ { \infty } \epsilon ^ { k } = \frac { \epsilon ^ { 4 } } { 1 - \epsilon } , } \end{array}
\frac { d \Gamma _ { ^ 1 \! P _ { s } \to 3 \gamma } } { d \cos \delta } = \frac { m \alpha ^ { 6 } } { 2 4 \pi } \left( \frac { m ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \! \cos ^ { 2 } \! \delta \left( 3 7 \pi ^ { 2 } - \frac { 5 4 3 4 } { 1 5 } \right) .
\begin{array} { r l } & { \gamma \tau \left( t \right) e ^ { - \gamma B ( t ) } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \frac { \varepsilon \left( u \right) } { \tau \left( u \right) } b ( u ) e ^ { \gamma B ( u ) } d u } \\ { = \ } & { \gamma \tau \left( t \right) e ^ { - \gamma B ( t ) } \left( \int _ { t _ { 0 } } ^ { T _ { \eta } } \frac { \varepsilon \left( u \right) } { \tau \left( u \right) } b ( u ) e ^ { \gamma B ( u ) } d u + \int _ { T _ { \eta } } ^ { t } \frac { \varepsilon \left( u \right) } { \tau \left( u \right) } b ( u ) e ^ { \gamma B ( u ) } d u \right) } \\ { \leq \ } & { \tau \left( t \right) e ^ { - \gamma B ( t ) } \left( \gamma \int _ { t _ { 0 } } ^ { T _ { \eta } } \frac { \varepsilon \left( u \right) } { \tau \left( u \right) } b ( u ) e ^ { \gamma B ( u ) } d u + \eta \gamma \int _ { T _ { \eta } } ^ { t } \frac { 1 } { \tau \left( u \right) } b ( u ) e ^ { \gamma B ( u ) } d u \right) } \\ { = \ } & { \tau \left( t \right) e ^ { - \gamma B ( t ) } \left( \gamma \int _ { t _ { 0 } } ^ { T _ { \eta } } \frac { \varepsilon \left( u \right) } { \tau \left( u \right) } b ( u ) e ^ { \gamma B ( u ) } d u + \frac { \eta } { \tau \left( t \right) } e ^ { \gamma B ( t ) } - \frac { \eta } { \tau \left( T _ { \eta } \right) } e ^ { \gamma B ( T _ { \eta } ) } + \eta \int _ { T _ { \eta } } ^ { t } \frac { \dot { \tau } \left( u \right) } { \left[ \tau \left( u \right) \right] ^ { 2 } } e ^ { \gamma B ( u ) } d u \right) } \\ { = \ } & { \tau \left( t \right) e ^ { - \gamma B ( t ) } \left( \gamma \int _ { t _ { 0 } } ^ { T _ { \eta } } \frac { \varepsilon \left( u \right) } { \tau \left( u \right) } b ( u ) e ^ { \gamma B ( u ) } d u + \frac { \eta } { \tau \left( t \right) } e ^ { \gamma B ( t ) } - \frac { \eta } { \tau \left( T _ { \eta } \right) } e ^ { \gamma B ( T _ { \eta } ) } + \frac { \eta } { \left[ \tau \left( t _ { 0 } \right) \right] ^ { \gamma } } \int _ { T _ { \eta } } ^ { t } \frac { \dot { \tau } \left( u \right) } { \left[ \tau \left( u \right) \right] ^ { 2 - \gamma } } d u \right) } \\ { = \ } & { \tau \left( t \right) e ^ { - \gamma B ( t ) } \left( \gamma \int _ { t _ { 0 } } ^ { T _ { \eta } } \frac { \varepsilon \left( u \right) } { \tau \left( u \right) } b ( u ) e ^ { \gamma B ( u ) } d u + \frac { \eta } { \tau \left( t \right) } e ^ { \gamma B ( t ) } - \frac { \eta } { \tau \left( T _ { \eta } \right) } e ^ { \gamma B ( T _ { \eta } ) } + \frac { \eta \left[ \tau \left( t _ { 0 } \right) \right] ^ { - \gamma } } { \gamma - 1 } \left( \frac { 1 } { \left[ \tau \left( t \right) \right] ^ { 1 - \gamma } } - \frac { 1 } { \left[ \tau \left( T _ { \eta } \right) \right] ^ { 1 - \gamma } } \right) \right) } \\ { \leq \ } & { \left( \gamma \int _ { t _ { 0 } } ^ { T _ { \eta } } \frac { \varepsilon \left( u \right) } { \tau \left( u \right) } b ( u ) e ^ { \gamma B ( u ) } d u \right) \tau \left( t \right) e ^ { - \gamma B ( t ) } + \eta + \frac { \eta } { \gamma - 1 } } \\ { \leq \ } & { C \left[ \tau \left( t \right) \right] ^ { 1 - \gamma } + \frac { \eta \gamma } { \gamma - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { \chi ^ { 2 } } ( y ) } & { = \sum _ { s \in \mathcal { S } } P _ { S } ( s ) \left( l ( s , y ) - 1 \right) ^ { 2 } \leq { \varepsilon } \Rightarrow P _ { S } ( { s _ { { y } } } ) \left( l ( s _ { y } , y ) - 1 \right) ^ { 2 } = P _ { S } ( s _ { y } ) ( \Lambda ( y ) - 1 ) ^ { 2 } \leq { \varepsilon } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) _ { \beta } \triangle _ { \mu \beta } = 0 } } \\ { { \varepsilon _ { \mu \nu \alpha \beta } ( k _ { 2 } - k _ { 1 } ) _ { \beta } ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) _ { \xi } \triangle _ { \xi \alpha } = 0 . } } \end{array} \right.