harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \eta _ { \mathrm { ~ H ~ a ~ h ~ n ~ } } ^ { \mathrm { ~ e ~ n ~ s ~ , ~ s ~ h ~ o ~ } } \approx } & { { } \frac { \hbar } { \Delta m _ { s } g _ { e } \mu _ { B } } \frac { 1 } { C e ^ { - \left( \tau / T _ { 2 } \right) ^ { p } } \sqrt { \mathscr { N } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { P } ( m ) = \sum _ { P < N ( n ) \leq P ^ { \prime } } \Lambda ( n ) \frac { \lambda ^ { m } ( n ) } { \textnormal { N } ( n ) } , \quad E ( m ) = \sum _ { P < \textnormal { N } ( n ) \leq P ^ { \prime } } \left( 1 _ { n \textnormal { p r i m e } } - \frac { \Lambda ( n ) } { \log P } \right) \frac { \lambda ^ { m } ( n ) } { \textnormal { N } ( n ) } . } \end{array}
\Delta T _ { q g } ^ { A } ( x , \ell _ { T } ^ { 2 } ) \equiv \int _ { 0 } ^ { 1 } d z \frac { 1 } { 1 - z } \left[ 2 T _ { q g } ^ { A } ( x , x _ { L } ) | _ { z = 1 } - ( 1 + z ^ { 2 } ) T _ { q g } ^ { A } ( x , x _ { L } ) \right] \, .
\begin{array} { r l } { n _ { 2 , \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( R ) = } & { { } - \bar { f } \int _ { 0 } ^ { \bar { k } _ { F } } e ^ { i \vec { q } \cdot \vec { R } } \frac { d \vec { q } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \bar { k } _ { F } } e ^ { - i \vec { q } ^ { \prime } \cdot \vec { R } } \frac { d \vec { q } ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \\ { = } & { { } - \bar { f } \bigg | \frac { \bar { k } _ { F } ^ { 3 } } { 6 \pi ^ { 2 } } g ( \bar { k } _ { F } R ) \bigg | ^ { 2 } \equiv - \Pi _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } N ( \bar { k } _ { F } R ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { c _ { 1 2 } } { c _ { 2 1 } } } & { = } & { \frac { k - 1 } { 2 } K _ { \mathrm { i n t r a } } e ^ { - \Delta G _ { \mathrm { c } } } } \\ { \frac { c _ { 2 3 } } { c _ { 3 2 } } } & { = } & { \frac { k - 2 } { 3 } K _ { \mathrm { i n t r a } } e ^ { - 2 \Delta G _ { \mathrm { c } } } } \\ & { \vdots } & \\ { \frac { c _ { n , n + 1 } } { c _ { n + 1 , n } } } & { = } & { \frac { k - n } { n + 1 } K _ { \mathrm { i n t r a } } e ^ { - n \Delta G _ { \mathrm { c } } } } \end{array}
\delta \varphi ^ { \alpha } = \Lambda ^ { a } \xi _ { a } ^ { \alpha } \ \ , \ \ \delta \tilde { \varphi } _ { a } ^ { \overline { { { \alpha } } } } = \Lambda ^ { a } \tilde { \xi } ^ { \overline { { { \alpha } } } } ( \tilde { \varphi } ) .
\begin{array} { r l r } { \displaystyle \frac { d S } { d t } } & { { } = } & { - A S I } \\ { \displaystyle \frac { d I } { d t } } & { { } = } & { ( A S - B ) I } \\ { \displaystyle \frac { d R } { d t } } & { { } = } & { B I } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { Y } = \frac { \mathcal { Z } - \mathcal { Z } _ { 1 } ^ { F } } { \mathcal { Z } - \mathcal { Z } _ { 2 } ^ { F } } = \frac { \mathcal { Z } + i \sqrt { \epsilon _ { c } } } { \mathcal { Z } - i \sqrt { \epsilon _ { c } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 0 , o u t } ( \theta _ { \mathrm { Q W P } } ) = } & { { } \frac { S _ { 0 } } { 2 } + \frac { S _ { 1 } } { 4 } - \frac { S _ { 3 } } { 2 } \sin { 2 \theta _ { \mathrm { Q W P } } } } \end{array}
\mid Z ( \lambda ) \mid ^ { 2 } = \frac { 1 } { N _ { 0 } ^ { K } } { \operatorname * { d e t } } ^ { \prime } ( \partial _ { 1 } ^ { K } d _ { 0 } ^ { K } ) { \operatorname * { d e t } } ^ { \prime } ( T _ { K } ^ { 2 } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ Q ^ { ( n ) } ] } & { = \frac { \Bar { \Bar { S } } ^ { ( n ) } + \Bar { \Bar { Y } } ^ { ( n ) } + ( \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) [ 1 + 2 ( \Bar { S } ^ { ( n ) } - C ) ] - ( \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } } { 2 ( \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) } + \sum _ { i = 1 } ^ { C - 1 } \frac { 1 } { 1 - z _ { i } ^ { * } } } \\ { \mathrm { V a r } [ Q ^ { ( n ) } ] } & { = \frac { 1 } { 1 2 ( \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } } \bigg [ - 4 ( \Bar { \Bar { \Bar { S } } } ^ { ( n ) } - \Bar { \Bar { \Bar { Y } } } ^ { ( n ) } ) ( \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) + 3 ( \Bar { \Bar { S } } ^ { ( n ) } + \Bar { \Bar { Y } } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } } \\ & { - [ 6 ( { \Bar { \Bar { S } } } ^ { ( n ) } - { \Bar { \Bar { Y } } } ^ { ( n ) } ) - 1 ] ( \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } - ( \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 4 } \bigg ] - \sum _ { i = 1 } ^ { C - 1 } \frac { z _ { i } ^ { * } } { ( 1 - z _ { i } ^ { * } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\mathbf { M } _ { \mathrm { e } } ( \omega ) = \left[ \begin{array} { l l l l l } { \mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) } & & & & \\ & { \mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) } & & & \\ & & { \ddots } & & \\ & & & { \mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) } & \\ & & & & { \mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l } { T _ { \epsilon } = } & { { } \int _ { \epsilon } ^ { 0 } \frac { - L \mathrm { d } \theta } { u \sin \theta ( 1 + \cos \theta ) } } \\ { \approx } & { { } \int _ { \epsilon } ^ { 0 } \frac { - L \, \mathrm { d } \theta } { 2 u \theta } = \frac { - L } { 2 u } \ln \theta \big \vert _ { \epsilon } ^ { 0 } . } \end{array}
N _ { s \pm } ^ { \left( d \right) } \left( \omega \right) = \frac { 1 } { \pi ^ { d / 2 } } \frac { d } { 2 ^ { d } } \left[ \frac { 1 } { \Gamma \left( \frac { d } { 2 } + 1 \right) } \left( \frac { \omega L } { c _ { s 0 } ^ { \left( d \right) } } \right) ^ { d } \pm \frac { d \pi ^ { 1 / 2 } } { \Gamma \left( \frac { d - 1 } { 2 } + 1 \right) } \left( \frac { \omega L } { c _ { s \pm } ^ { \left( d \right) } } \right) ^ { d - 1 } \right] \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \int _ { \omega _ { m i n } } ^ { \omega _ { m a x } } d \omega [ F ^ { * } ( \omega ) - F ( \omega ) ] } { \int _ { \omega _ { m i n } } ^ { \omega _ { m a x } } d \omega F ( \omega ) } \simeq } \\ & { } & { \simeq - 2 \frac { \Delta \sigma } { \sigma } \frac { \left[ \frac { - 2 \omega \sigma e ^ { - ( \frac { \omega \sigma } { c } ) ^ { 2 } } + \sqrt { \pi } c \, e r f \left( \omega \sigma / c \right) } { 4 \sigma } \right] _ { \omega _ { m i n } } ^ { \omega _ { m a x } } } { \left[ \frac { \sqrt { \pi } c } { 2 \sigma } e r f ( \omega \sigma / c ) \right] _ { \omega _ { m i n } } ^ { \omega _ { m a x } } } , } \end{array}
x \, G ( x , Q ^ { 2 } ) \, \, = \, \, \frac { 8 } { \pi ^ { 3 } } \, \int _ { x } ^ { 1 } \, \frac { d r _ { \perp } ^ { 2 } } { r _ { \perp } ^ { 4 } } \, \int \, d ^ { 2 } b _ { t } \, \left( \, 1 \, \, - \, \, e ^ { - \frac { ( 9 / 4 ) \Omega ( x , r _ { \perp } ; b _ { t } ) } { 2 } } \, \right) \, \, .
{ \mathcal { L } } _ { S } = - { \frac { 1 } { G } } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { \mu \nu } \left( { \frac { \nabla _ { \mu } G \nabla _ { \nu } G } { G ^ { 2 } } } + { \frac { \nabla _ { \mu } \mu \nabla _ { \nu } \mu } { \mu ^ { 2 } } } - \nabla _ { \mu } \omega \nabla _ { \nu } \omega \right) + { \frac { V _ { G } ( G ) } { G ^ { 2 } } } + { \frac { V _ { \mu } ( \mu ) } { \mu ^ { 2 } } } + V _ { \omega } ( \omega ) \right] { \sqrt { - g } } ,
\log \left\| e ^ { t _ { k } A _ { i _ { k } } } \cdot \cdot e ^ { t _ { 1 } A _ { i _ { 1 } } } e ^ { \tau _ { \ell } B _ { j _ { \ell } } } \cdot \cdot e ^ { \tau _ { 1 } B _ { j _ { 1 } } } \right\| \leq \log \left\| e ^ { t _ { k } A _ { i _ { k } } } \cdots e ^ { t _ { 1 } A _ { i _ { 1 } } } \right\| + \log \left\| e ^ { \tau _ { \ell } B _ { j _ { \ell } } } \cdots e ^ { \tau _ { 1 } B _ { j _ { 1 } } } \right\|
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } _ { G } ^ { \mathrm { 2 n d } } ( \mathrm { \boldmath ~ d ~ } ) } & { = \int \frac { d Q } { \sqrt { 2 \pi } } \mathrm { e } ^ { - \frac { Q ^ { 2 } } { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { N } \left( \oint \frac { d z _ { j } } { 2 \pi i } \frac { \mathrm { e } ^ { Q z _ { j } } } { z _ { j } ^ { 1 + d _ { j } } } \right) } \\ & { = \int \frac { d Q } { \sqrt { 2 \pi } } \mathrm { e } ^ { - \frac { Q ^ { 2 } } { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { N } \left( \left. \frac { 1 } { d _ { j } ! } \frac { \partial ^ { d _ { j } } \mathrm { e } ^ { Q z _ { j } } } { \partial z _ { j } ^ { d _ { j } } } \right| _ { z _ { j } = 0 } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \prod _ { j } d _ { j } ! } \int \frac { d Q } { \sqrt { 2 \pi } } \, Q ^ { \sum _ { j } d _ { j } } \mathrm { e } ^ { - \frac { Q ^ { 2 } } { 2 } } = \frac { ( 2 M - 1 ) ! ! } { \prod _ { j } d _ { j } ! } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \pi C _ { n } = } & { - \int _ { - \pi } ^ { \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d k _ { x } d k _ { y } ( \partial _ { k _ { x } } \mathcal { A } _ { n } ^ { y } - \partial _ { k _ { y } } \mathcal { A } _ { n } ^ { x } ) } \\ { = } & { \int _ { - \pi } ^ { \pi } d k _ { y } \partial _ { k _ { y } } \left( \int _ { - \pi } ^ { \pi } d k _ { x } \mathcal { A } _ { n } ^ { x } \right) } \\ { = } & { \int _ { - \pi } ^ { \pi } d \theta _ { n } ( k _ { y } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \varepsilon ^ { 2 } + o ( \varepsilon ^ { 2 } ) ) } & { \sum _ { y = 0 } ^ { \infty } \int _ { r } ^ { s } K _ { s - \tau } ( x , y ) \mathbb { E } [ ( Z _ { \tau } ( y ) ) ^ { 2 } | \mathcal F _ { r } ] d \tau - \varepsilon \int _ { r } ^ { s } K _ { s - \tau } ( x , 0 ) \mathbb { E } [ Z _ { \tau } ( 0 ) \nabla ^ { + } Z _ { \tau } ( 0 ) | \mathcal F _ { r } ] d \tau } \\ { - } & { \sum _ { y = 1 } ^ { \infty } \int _ { r } ^ { s } K _ { s - \tau } ( x , y ) \mathbb { E } [ \nabla ^ { - } Z _ { \tau } ( y ) \nabla ^ { + } Z _ { \tau } ( y ) | \mathcal F _ { r } ] d \tau . } \end{array}
T ( \omega ) = 1 - \frac { i \Gamma _ { \mathrm { ~ 1 ~ D ~ } } } { 2 } \sum _ { \xi = 1 } ^ { N } \frac { \eta _ { \xi } } { \omega - \omega _ { 0 } + i \Gamma ^ { \prime } / 2 - \lambda _ { \xi } } .
{ } \Omega ^ { 1 , 2 } ( \tau ) = - \alpha k _ { 3 } \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } \left( \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) + 2 \alpha k _ { 3 } R _ { 0 } ^ { 2 } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \right) ^ { - 1 } \mu ^ { 2 } ( \tau ^ { \prime } )
g ( z , \bar { z } ) = - \frac { 1 } { 2 } \left[ x ( z , \bar { z } ) \, s + x ^ { * } ( z , \bar { z } ) \, s ^ { * } + u ^ { * } ( z , \bar { z } ) \, t + u ( z , \bar { z } ) \, t ^ { * } \right] ,
\begin{array} { r l } { { \bf A } ^ { \{ S , F \} } } & { = C ^ { \{ S \} } \otimes b ^ { \{ F \} , T } \in \mathbb { R } ^ { s ^ { \{ S \} } \times s ^ { \{ S F \} } } , } \\ { { \bf A } ^ { \{ S , E \} } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \Omega } - 1 } \Omega ^ { \{ k \} } \frac { 1 } { k + 1 } = \overline { { \Omega } } \in \mathbb { R } ^ { s ^ { \{ S \} } \times s ^ { \{ S \} } } , } \\ { { \bf A } ^ { \{ S , I \} } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \Omega } - 1 } \Omega ^ { \{ k \} } \frac { 1 } { k + 1 } + \Gamma = \overline { { \Omega } } + \Gamma \in \mathbb { R } ^ { s ^ { \{ S \} } \times s ^ { \{ S \} } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { n } } & { = } & { \int _ { V _ { j } } f ( \mathbf x , \mathbf v , t ^ { n } ) d \mathbf x \quad \mathrm { a n d } } \\ { F _ { n + 1 / 2 } } & { = } & { \int _ { V _ { j } } \mathbf v \cdot \frac { \partial f } { \partial \mathbf x } ( \mathbf x , \mathbf v , t ^ { n } + \frac { \Delta t } { 2 } ) d \mathbf x . } \end{array}
\hat { p } ( \mu _ { \mathrm { p o p } } | \{ x _ { \mathrm { o b s } , i } \} , \sigma _ { \mathrm { o b s } } , \sigma _ { \mathrm { p o p } } ) \propto \prod _ { i } ^ { N _ { \mathrm { o b s } } } \sum _ { j } ^ { N _ { \mathrm { s a m p l e s } } } p ( x _ { i , j } | \mu _ { \mathrm { p o p } } , \sigma _ { \mathrm { p o p } } ) .
\begin{array} { r c l } { { Q } } & { { = } } & { { \sqrt { \frac { 2 5 - D } { 6 } } } } \\ { { \alpha _ { \pm } } } & { { = } } & { { \frac { Q } { 2 } \pm \sqrt { \frac { Q ^ { 2 } } { 4 } - 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 4 } } \left( \sqrt { 2 5 - D } \pm \sqrt { 1 - D } \right) \ . } } \end{array}
E _ { i , j } : = \begin{array} { c c } { \left[ \begin{array} { c c c c c c c c c } { 1 } & & & & & & & & \\ & { . } & & & & & & & \\ & & { 1 } & { 0 } & { . } & { 0 } & { 1 } & & \\ & & & { 1 } & & & { 0 } & & \\ & & & & { . } & & { . } & & \\ & & & & & { 1 } & { 0 } & & \\ & & & & & & { 1 } & & \\ & & & & & & & { . } & \\ & & & & & & & & { 1 } \end{array} \right] } & { \begin{array} { c } { ( i ) } \\ { ( j ) } \end{array} } \end{array}
C _ { m n l } = \frac { | \int _ { V } \boldsymbol { B _ { 0 } } ( \boldsymbol { x } ) \cdot \boldsymbol { E } ( \boldsymbol { x } ) \, d x ^ { 3 } | ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } V \int _ { V } \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { d } ( \boldsymbol { x } ) | \boldsymbol { E } ( \boldsymbol { x } ) | ^ { 2 } \, d x ^ { 3 } } .
\begin{array} { r l r } { G ( s , t ) } & { = } & { \varPsi \left( \frac { s - 1 } { s } e ^ { r _ { k + 1 } ( t - \sum _ { i = 1 } ^ { k } \tau _ { i } ) } \right) } \\ & { = } & { e ^ { \left[ \frac { \lambda ( \frac { 1 } { 1 - \frac { s - 1 } { s } e ^ { r _ { k + 1 } ( t - \sum _ { i = 1 } ^ { k } \tau _ { i } ) } } - 1 ) } { 1 - \frac { 1 } { 1 - \frac { s - 1 } { s } e ^ { r _ { k + 1 } ( t - \sum _ { i = 1 } ^ { k } \tau _ { i } ) } } ( 1 - e ^ { - z } ) } \right] } } \\ & { = } & { e ^ { \left[ \frac { \lambda ( s - 1 ) } { 1 - s ( 1 - e ^ { - z ^ { \prime } } ) } \right] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \texttt { S u m ( b ) } } & { { } : \sum _ { t = 1 - T } ^ { 0 } \phi _ { k } ^ { \mid t + \tau \mid } \phi _ { j } ^ { ( - t + \tau ) } ( T + t ) } \\ { + } & { { } T \phi _ { k } ^ { \tau } \phi _ { j } ^ { \tau } \sum _ { t = - \tau + 1 } ^ { 0 } ( \phi _ { k } \phi _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { t } } \end{array}
\begin{array} { l l l l } { { e ^ { + } e ^ { - } } } & { { \bar { \nu } _ { e } e ^ { - } W ^ { + } Z } } & { { W ^ { + } Z } } & { { W ^ { + } Z } } \\ { { e ^ { + } e ^ { - } } } & { { e ^ { + } e ^ { - } Z Z } } & { { Z Z } } & { { Z Z } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \mathrm { J o n e s } \rangle } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { i \beta } \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \delta / 2 } \cos ( \gamma / 2 ) } \\ { \mathrm { e } ^ { i \delta / 2 } \sin ( \gamma / 2 ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \mathrm { o u t p u t } | { \bf \hat { S } } | \mathrm { o u t p u t } \rangle } & { { } = } & { \hbar N \left( \begin{array} { c } { \cos ^ { 2 } ( \Delta \phi ) } \\ { \sin ( \Delta \phi ) \cos ( \Delta \phi ) } \\ { - \sin ( \Delta \phi ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ \left. g _ { T _ { 0 } + \tau , i } ^ { 2 } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } & { \le \mathbb E \left[ \left. Q _ { T _ { 0 } + \tau - 1 , i } ^ { 2 } S _ { T _ { 0 } + \tau , i } ^ { 2 } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } \\ & { = \mathbb E \left[ \left. Q _ { T _ { 0 } + \tau - 1 , i } ^ { 2 } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] \cdot \mathbb E \left[ \left. S _ { T _ { 0 } + \tau , i } ^ { 2 } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } \\ & { \stackrel { ( a ) } \le ( Q _ { T _ { 0 } , i } ^ { 2 } + M ^ { 2 } ( \tau - 1 ) ^ { 2 } ) \cdot M ^ { 2 } } \\ & { \le ( ( 2 M m ) ^ { 2 } + M ^ { 2 } m ^ { 2 } ) \cdot M ^ { 2 } } \\ & { = 5 M ^ { 4 } m ^ { 2 } , } \end{array}
\left\{ - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \xi ^ { 2 } } + \frac { \alpha } { \sin ^ { 2 } \xi } + \Omega \left( \xi \right) + \Omega \left( \xi - \pi \right) \right\} f _ { l } ( \xi ) = B _ { l } ^ { 2 } ~ f _ { l } ( \xi ) , ~ \mathrm { w h e r e } ~ ~ B _ { l } = \frac { b _ { l } } { 3 } ~ ~ .
{ \cal F } _ { \mathrm { F } = 0 } ( x , y , t ) = i \sum _ { \mathrm { F } \neq 0 } \frac { 1 } { { \varepsilon } _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } } \{ \langle \mathrm { v a c } , A ( t ) | \frac { \delta : \hat { \mathrm { H } } _ { \mathrm { F } } : ( t ) } { \delta A _ { 1 } ( y , t ) } | \mathrm { F } , A ( t ) \rangle \cdot \langle \mathrm { F } , A ( t ) | \frac { \delta : \hat { \mathrm { H } } _ { \mathrm { F } } : ( t ) } { \delta A _ { 1 } ( x , t ) } | \mathrm { v a c } , A ( t ) \rangle
\begin{array} { r l } { e _ { k } ( \mathrm { p t } ) ^ { m } } & { = e _ { k - 1 } ( \mathrm { p t } ) ^ { m } \prod _ { ( \alpha _ { 1 } , \dots , \alpha _ { k - 1 } ) \in \mathbb { F } _ { 2 } ^ { k - 1 } } ( \alpha _ { 1 } x _ { 1 } + \cdots + \alpha _ { k - 1 } x _ { k - 1 } + x _ { k } ) ^ { m } } \\ & { = e _ { k - 1 } ( \mathrm { p t } ) ^ { m } \cdot x _ { k } ^ { 2 ^ { k - 1 } m } + p _ { 2 ^ { k - 1 } m - 1 } \cdot x _ { k } ^ { 2 ^ { k - 1 } m - 1 } + \cdots + p _ { 1 } \cdot x _ { k } + p _ { 0 } , } \end{array}
\left\lbrace \widetilde { u } , \widetilde { v } , \widetilde { w } , \widetilde { \tau } , \widetilde { p } \right\rbrace = \left\lbrace \overline { { u } } _ { 0 } , \, \left( \frac { 2 \overline { { x } } k _ { x } } { \mathrm { R } _ { \lambda } } \right) ^ { 1 / 2 } \overline { { v } } _ { 0 } , \, \overline { { w } } _ { 0 } , \, \overline { { \tau } } _ { 0 } , \, \left( \frac { k _ { x } } { \mathrm { R } _ { \lambda } } \right) ^ { 1 / 2 } \overline { { p } } _ { 0 } \right\rbrace \left( \overline { { x } } , \eta \right) .
\begin{array} { r } { \frac { \partial \hat { \mathbf { a } } ^ { 0 } } { \partial p _ { i } } = \frac { a _ { n \ell } ^ { 0 E } } { J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } \left[ j s _ { n \ell } \mathbf { k } _ { o } \cdot \frac { \partial \mathbf { R } _ { n } } { \partial p _ { i } } + \frac { \partial s _ { n \ell } } { \partial p _ { i } } \right. } \\ { \left. - s _ { n \ell } k _ { o } \frac { J _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } { J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } \frac { \partial r _ { n } } { \partial p _ { i } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \, \mathrm { d } \rho _ { t } ^ { \zeta , m } = } & { \; a ^ { m } ( t , x ) \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } \rho _ { t } ^ { \zeta , m } \, \mathrm { d } t + b ^ { m } ( t , x ) \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { t } ^ { \zeta , m } \, \mathrm { d } t + c ^ { m } ( t , x ) \rho _ { t } ^ { \zeta , m } \, \mathrm { d } t - \nu \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { t } ^ { \zeta , m } \, \mathrm { d } W _ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { 1 \le t \le T } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } = } & { \mathcal { O } \Big ( \frac { ( f ( \overline { { { \bf x } ^ { 1 } } } ) - f ^ { * } ) + L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } } { \sqrt { K T } } + \frac { K ( L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) } { T } + \frac { K ^ { 3 / 2 } L ^ { 2 } \rho ^ { 4 } } { T ^ { 3 / 2 } ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } } + \frac { L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } } { K ^ { 1 / 2 } T ^ { 3 / 2 } ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha ^ { 2 } \Vert \widehat { g } _ { \alpha } ^ { \prime \prime \prime } - g _ { \alpha } ^ { \prime \prime \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 4 } } & { \leq } & { \Vert \widehat { g } _ { \alpha } - g _ { \alpha } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } \Vert \delta \varphi ( \ell , . ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \frac { T ^ { 6 } \ell ^ { 3 } } { 3 } \Vert \delta \varphi _ { x x } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } \Vert \widehat { g } _ { \alpha } ^ { \prime \prime \prime } - g _ { \alpha } ^ { \prime \prime \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } . } \end{array}
( \mu ^ { \prime } , \stackrel { m ^ { \prime } } { \dots } , \mu ^ { \prime } , \mu ^ { \prime \prime } , \stackrel { m ^ { \prime } } { \dots } , \mu ^ { \prime \prime } , 2 \mathbb { Z } _ { 8 } , \stackrel { n ^ { \prime } } { \dots } , 2 \mathbb { Z } _ { 8 } , \mathbb { Z } _ { 8 } { \setminus } 2 \mathbb { Z } _ { 8 } , \stackrel { r ^ { \prime } } { \dots } , \mathbb { Z } _ { 8 } { \setminus } 2 \mathbb { Z } _ { 8 } )
\begin{array} { r l } { G _ { 2 D } ^ { - } ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } [ G _ { 2 D } ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) - G _ { 2 D } ( \boldsymbol { \tilde { r } } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) ] } \\ { G _ { 2 D } ^ { + } ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } [ G _ { 2 D } ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) + G _ { 2 D } ( \boldsymbol { \tilde { r } } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Q _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } ^ { * } ( s , a ) : = - \alpha _ { s , a } - \gamma \beta _ { s , a } \kappa _ { q } ( v _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } ^ { * } ) + R _ { 0 } ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { 0 } ( s ^ { \prime } | s , a ) v _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { p r i } ( \mathbf { r } ) } & { = - \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { G } \frac { \mathbf { J } _ { p r i } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \times \mathbf { r } ^ { \prime } \cdot \mathbf { r } } { F ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) } \ d v ^ { \prime } } \\ { u _ { v o l } ( \mathbf { r } ) } & { = \frac { 1 } { 4 \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left( \sigma _ { j } ^ { \prime } - \sigma _ { j } ^ { \prime \prime } \right) \int _ { S _ { j } } V \left( \mathbf { r } ^ { \prime } \right) \frac { \mathbf { n } ^ { \prime } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } \right) \times \mathbf { r } ^ { \prime } \cdot \mathbf { r } } { F \left( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } \right) } \ d S _ { j } ^ { \prime } } \end{array}
\frac { d } { d t ^ { * } } \langle ( \theta ^ { * } - \langle \theta ^ { * } | q , r \rangle ) ^ { 2 } | q , r \rangle = 0 \; \; \; \implies \; \; \beta ( q , r ) = \sqrt { 2 ( \langle { \theta ^ { * } } ^ { 2 } | q , r \rangle - \langle \theta ^ { * } | q , r \rangle ^ { 2 } ) }
G _ { l + \nu } \left( \left. r ^ { \prime \prime } , r ^ { \prime } ; E \right| \lambda ; a ; \sigma \right) = G _ { l + \nu } ( r ^ { \prime \prime } , r ^ { \prime } ; E | \lambda ) - \frac { G _ { l + \nu } ( r ^ { \prime \prime } , a ; E | \lambda ) \, G _ { l + \nu } ( a , r ^ { \prime } ; E | \lambda ) } { G _ { l + \nu } ( a , a ; E | \lambda ) - 1 / \sigma } \; .
\int d ^ { 4 } x \sqrt { g _ { { } _ { E } \pm } } { \cal K } _ { { } _ { E } \pm } ^ { n } = \int d ^ { 4 } x \left( { \frac { z _ { \pm } } { z _ { 0 } } } \right) ^ { ( 4 - n ) \beta } { \frac { 1 } { z _ { \pm } ^ { n } } } \propto \int d ^ { 4 } x \; r _ { \pm } ^ { 4 + ( 4 / 3 ) D _ { 2 } - ( n / 3 ) D _ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname { f l } ( x \cdot y ) } & { { } = \operatorname { f l } { \big ( } f l ( x _ { 1 } \cdot y _ { 1 } ) + \operatorname { f l } ( x _ { 2 } \cdot y _ { 2 } ) { \big ) } , { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } \operatorname { f l } ( ) { \mathrm { ~ i n d i c a t e s ~ c o r r e c t l y ~ r o u n d e d ~ f l o a t i n g - p o i n t ~ a r i t h m e t i c } } } \end{array}
- \Bigl [ \left[ Q ( \xi ) , Q ( \eta ) \right] , a _ { B } ( k ) \Bigr ] = \Bigl [ \left[ Q ( \eta ) , a _ { B } ( k ) \right] , Q ( \xi ) \Bigr ] + \Bigl [ \left[ a _ { B } ( k ) , Q ( \xi ) \right] , Q ( \eta ) \Bigr ]
\begin{array} { r l } { - \Phi ^ { \prime } } & { = \left( 1 + \frac { A ^ { 2 } } { 4 } \right) \frac { \Gamma _ { m } } { 2 \Omega _ { m } } - f ^ { \prime } \frac { E _ { m } ^ { 1 } } { \Omega _ { m } } + \frac { 1 } { 1 + \frac { A ^ { 2 } } { 4 } } \left( 1 + \frac { 3 A ^ { 2 } } { 4 } + \frac { A ^ { 4 } } { 1 6 } - \frac { 3 B } { 8 } - \frac { A ^ { 2 } B } { 3 2 } \right) , } \\ { { \cal N } ^ { \prime } / { \cal N } } & { = - \frac { 1 } { 1 + \frac { A ^ { 2 } } { 4 } } \left( \frac { A } { 4 } + \frac { 3 A ^ { 3 } } { 1 6 } - \frac { A B } { 8 } \right) . } \end{array}
\lambda = \left\{ \begin{array} { l } { \lambda _ { m i n } , \mathrm { ~ i f ~ } \left\| \Delta \textbf { U } \right\| \leq \epsilon _ { 1 } \mathrm { ~ ( u n i f o r m ~ f l o w ) } } \\ { \lambda _ { s } , \mathrm { ~ i f ~ } \left\| \Delta \textbf { U } \right\| > \epsilon _ { 1 } , \left\| \Delta \textbf { G } \right\| \leq \epsilon _ { 2 } \mathrm { ~ ( s t e a d y ~ d i s c o n t i n u i t y ) } } \\ { m a x ( \lambda _ { m i n } , \lambda _ { s } ) , \mathrm { ~ o t h e r w i s e } } \end{array} \right\}