harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \ddot { x } + x + 2 C x y } & { { } = } & { 0 \, , \qquad \ddot { y } + y + C ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) = 0 } \\ { g _ { 2 } ( t ) } & { { } = } & { 4 + \frac { 1 0 } { 3 } C \frac { y ( t ) \big [ 3 x ^ { 2 } ( t ) - y ^ { 2 } ( t ) \big ] } { x ^ { 2 } ( t ) + y ^ { 2 } ( t ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { 2 } ( \delta ) } & { = } & { \frac { b } { \cos ^ { 2 } \theta _ { 0 } } [ \sin ^ { 2 } ( \theta _ { 0 } ) - \sin ^ { 2 } ( \theta _ { 0 } + \delta ) ] } \\ & { = } & { \frac { b } { \cos ^ { 2 } \theta _ { 0 } } [ \sin ( \theta _ { 0 } ) + \sin ( \theta _ { 0 } + \delta ) ] [ \sin ( \theta _ { 0 } ) - \sin ( \theta _ { 0 } + \delta ) ] } \\ & { = } & { \frac { b } { \cos ^ { 2 } \theta _ { 0 } } [ \sin ( \theta _ { 0 } ) + \sin ( \theta _ { 0 } + \delta ) ] [ \sin ( \theta _ { 0 } ) - \sin ( \theta _ { 0 } ) \cos \delta - \cos ( \theta _ { 0 } ) \sin \delta ] } \\ & { = } & { \frac { b } { \cos ^ { 2 } \theta _ { 0 } } [ \sin ( \theta _ { 0 } ) + \sin ( \theta _ { 0 } + \delta ) ] [ - \cos ( \theta _ { 0 } ) \sin \delta + \sin ( \theta _ { 0 } ) ( 1 - \cos \delta ) ] } \\ & { \geq } & { \frac { b } { \cos ^ { 2 } \theta _ { 0 } } \sin ( \theta _ { 0 } ) [ - \cos ( \theta _ { 0 } ) \sin \delta ] = b \tan ( \theta _ { 0 } ) | \sin \delta | . } \end{array}
L \left( x , \dot { x } ; \sigma , \dot { \sigma } \right) = \frac { m } { 2 } \dot { x } ^ { 2 } + \frac { m \hbar } { 2 } \dot { \sigma } ^ { 2 } - V \left( x \right) - \frac { m \hbar } { 2 } \frac { 1 } { 4 m ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } - \frac { \hbar } { 2 } V ^ { \prime \prime } \left( x \right) \sigma ^ { 2 } - \frac { \hbar } { 8 } V ^ { ( I V ) } \left( x \right) \sigma ^ { 4 }
\left\{ \begin{array} { l l } { D _ { t } u ^ { \varepsilon } ( t , x ) + H ( \varepsilon ^ { - 1 } x , D _ { x } u ^ { \varepsilon } ( t , x ) ) = 0 } & { \quad \mathrm { f o r ~ t ~ > ~ 0 ~ a n d ~ x ~ \in ~ \mathbb { R } ^ d ~ , } } \\ { u ^ { \varepsilon } ( 0 , x ) = u _ { 0 } ( x ) } & { \quad \mathrm { f o r ~ x ~ \in ~ \mathbb { R } ^ d ~ , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot \mathbf { E } } & { = } & { \rho } \\ { \nabla \cdot \mathbf { B } } & { = } & { 0 } \\ { \nabla \times \mathbf { E } } & { = } & { - \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } } \\ { \nabla \times \mathbf { B } } & { = } & { \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } + \mathbf { J } . } \end{array}
\frac { \partial E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } ^ { \lambda } [ n ] } { \partial \lambda } \geq \bigg ( - \frac { \partial E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } ^ { \lambda } [ n ] } { \partial \lambda } + 2 \frac { E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } ^ { \lambda } [ n ] } { \lambda } \bigg ) \Bigr | _ { \lambda \to \infty } \, ,
S _ { 3 } = \frac { 1 6 \pi } { 3 } \frac { s ^ { 3 } } { \Delta P ^ { 2 } } = \frac { 1 6 \pi } { 3 } \frac { \left[ \lambda f _ { \pi } ^ { 3 } I ( y ) \right] ^ { 3 } } { \Delta P ^ { 2 } }
{ \cal L } _ { c o r r } ^ { 0 } = - \left( { \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } } } \right) \; \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d s } { s ^ { 3 } } } \; e ^ { - i ( m ^ { 2 } - i \epsilon ) s } ,
\left\{ \begin{array} { c c l } { { x } } & { { = } } & { { \sqrt { r ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } } \ \sin { \theta } \cos { \varphi } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { y } } & { { = } } & { { \sqrt { r ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } } \ \sin { \theta } \sin { \varphi } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { z } } & { { = } } & { { r \cos { \theta } \, . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathcal { L } ^ { 4 } = \mathcal { D } _ { \omega } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } O p ^ { W } \left( \mathtt { m } _ { \alpha } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \left( \frac { T _ { \alpha } } { 4 } + \mathfrak { m } _ { \le 0 } ( \xi ) \right) + \varepsilon \mathfrak { b } _ { 1 } + \varepsilon ^ { 2 } \mathfrak { b } _ { 2 } + \mathfrak { r } _ { - 2 , \le 3 } \right) + \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } W _ { 1 } + R _ { 4 } , } \end{array}
[ { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) ] ^ { 2 } \simeq \left[ m ^ { 2 } + { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \left( | { \vec { q } } \, | ^ { 2 } - ( { \vec { \beta } } { \cdot } { \vec { q } } \, ) ^ { 2 } \right) \right] \, .
\begin{array} { r l } { \theta } & { { } = \int _ { 0 } ^ { t _ { f } } \Delta \Omega \cos ( \delta t ) d t = \frac { \Delta \Omega } { \delta } \sin ( \delta t ) | _ { 0 } ^ { t _ { f } } \leq \frac { \Delta \Omega } { \delta } } \\ { \epsilon } & { { } \leq 2 \left( \frac { \Delta \Omega } { \delta } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
G ^ { ( 1 , 1 ) } = g ^ { ( 1 , 1 ) } ( x _ { 1 2 } ^ { 2 } , u _ { 1 } , u _ { 2 } ) + \theta _ { 1 } ^ { + \alpha } \bar { \theta } _ { 1 } ^ { + \dot { \alpha } } \gamma _ { \alpha \dot { \alpha } } ^ { ( - 1 , 1 ) } ( x _ { 1 2 } ^ { 2 } , u _ { 1 } , u _ { 2 } ) + \ldots
S _ { i } ( \tilde { x } _ { i } , t ) = - \tilde { x } _ { i } ( t ) \sum _ { \substack { j = 1 \, j \neq i } } ^ { N } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \kappa _ { i j } K _ { i j } ( t - t _ { j } ) ,
N _ { e ^ { + } e ^ { - } } ( \tau ) = N _ { 0 } \left\{ \begin{array} { r l } { { \frac { 7 } { 1 2 } \ , } } & { { \tau \gg 1 } } \\ { { } } & { { } } \\ { { \frac { 3 } { 6 4 } \sqrt { 2 \pi } \, \tau ^ { 3 } \, \mathrm { e } ^ { - 1 / \tau ^ { 2 } } \ , } } & { { \tau \ll 1 \ . } } \end{array} \right.
F [ \Phi , X , \varphi , \chi ] = \int \! d x \; \left( \Phi ^ { j } J ^ { 1 ~ j } [ \varphi ] - \frac i 2 ~ \overline { { X } } ^ { j } \gamma ^ { 1 } \chi ^ { j } \right) = \int d x \Bigl ( \Phi ^ { i } ( \sqrt { 1 - { \varphi } ^ { 2 } } \frac { \stackrel { \leftrightarrow } { \partial } } { \partial x } \varphi ^ { i } + \varepsilon ^ { i j k } \varphi ^ { j } \frac \partial { \partial x } \varphi ^ { k } ) - \frac i 2 \overline { { X } } ^ { j } \gamma ^ { 1 } \chi ^ { j } \Bigr ) ~ .
\begin{array} { r } { \mathbf { H } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } ^ { \mathcal { I } } = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } \times \mathbf { n } - \int _ { S ^ { \prime } } \big [ \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \times \nabla ^ { \prime } G _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \big ] d S ^ { \prime } , } \end{array}
\mathbb { T } _ { \ell \nu } ^ { \mathrm { ~ P ~ } } = [ \mathbb { D } _ { ( \ell + 1 ) \nu } ^ { \mathrm { ~ P ~ } } ( R _ { \ell } ) ] ^ { - 1 } \cdot \mathbb { X } _ { \ell \nu } ^ { \mathrm { ~ P ~ } } \cdot \mathbb { D } _ { \ell \nu } ^ { \mathrm { ~ P ~ } } ( R _ { \ell } )
\frac { { \partial \mathbb { L } } } { { \partial \bar { S } _ { i j } ^ { a } } } = \bar { S } _ { i j } ^ { a } - \lambda \left( { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } \bar { u } _ { j } ^ { \dag } } \right) = 0 \; \Rightarrow \; \bar { S } _ { i j } ^ { a } = \lambda \left( { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } \bar { u } _ { j } ^ { \dag } } \right) , \
\begin{array} { r l } { d _ { w _ { \alpha } } ( f , g ) } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \left( 2 h _ { f \vee g } ^ { ( \alpha ) } ( x ) - h _ { f } ^ { ( \alpha ) } ( x ) - h _ { g } ^ { ( \alpha ) } ( x ) \right) \left( 1 - \frac { \alpha \| x \| ^ { 2 } } { 2 } \right) _ { + } ^ { \frac { 1 - \alpha } { \alpha } } \, d x } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \left( 2 \operatorname* { m a x } \left\{ h _ { f } ^ { ( \alpha ) } ( x ) , h _ { g } ^ { ( \alpha ) } ( x ) \right\} - h _ { f } ^ { ( \alpha ) } ( x ) - h _ { g } ^ { ( \alpha ) } ( x ) \right) \left( 1 - \frac { \alpha \| x \| ^ { 2 } } { 2 } \right) _ { + } ^ { \frac { 1 - \alpha } { \alpha } } \, d x } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } | h _ { f } ^ { ( \alpha ) } ( x ) - h _ { g } ^ { ( \alpha ) } ( x ) | \left( 1 - \frac { \alpha \| x \| ^ { 2 } } { 2 } \right) _ { + } ^ { \frac { 1 - \alpha } { \alpha } } \, d x . } \end{array}
d s ^ { 2 } = \left( 1 - \frac { q ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } d t ^ { 2 } - \left( 1 - \frac { q ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) d \vec { x } ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \| ( A ^ { p + 1 } - A _ { n } ^ { p + 1 } ) g \| } \\ { \le } & { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \| ( A A ^ { p } - A A _ { n } ^ { p } ) g \| + \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \| ( A A _ { n } ^ { p } - A _ { n } A _ { n } ^ { p } ) g \| } \\ { \le } & { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \| A \| \| ( A ^ { p } - A _ { n } ^ { p } ) g \| + \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \| ( A - A _ { n } ) A _ { n } ^ { p } g \| = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \vec { w } } : = E _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \vec { w } , { \mathrm { ~ S ~ D ~ } } } + E _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \vec { w } , { \mathrm { ~ D ~ D ~ } } } \; , } \end{array}
\lambda ( \epsilon ) = \lambda _ { _ \mathrm { ( g s ) } } ^ { ( \ast ) } \, \left\{ 1 + \frac { \epsilon } { 2 } \left[ g ^ { ( 0 ) } - { \mathcal G } _ { _ \mathrm { ( g s ) } } ( \epsilon ) \right] \right\} + o ( \epsilon ) \; ,
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } ^ { \prime } ( \chi ) } & { = \sum _ { A _ { 1 } < \d ( g ) \leq ( 1 - \delta ) M } \psi _ { 1 } ( g ) \chi ( g ) \sum _ { \d ( h ) \leq M - \d ( g ) } \psi _ { 2 } ( h ) \chi ( h ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + \sum _ { \d ( h ) \leq \delta M } \psi _ { 2 } ( h ) \chi ( h ) \sum _ { ( 1 - \delta ) M < \d ( g ) \leq \operatorname* { m i n } { ( M - \d ( h ) , A _ { 2 } ) } } \psi _ { 1 } ( g ) \chi ( g ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p G _ { 0 } ^ { \prime } } & { = - \nu k ^ { 2 } G _ { 0 } ^ { \prime } + { k } ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { - 1 } G _ { - } + i k \tilde { B } _ { 0 } H _ { + } } \\ { p H _ { 0 } } & { = - \eta k ^ { 2 } H _ { 0 } + k H _ { - } + i k \tilde { B } _ { 0 } \, ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \, G _ { + } } \\ { p G _ { + } } & { = - \nu ( 1 + k ^ { 2 } ) G _ { + } + i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { - } + \frac { 1 } { 2 } { i k \tilde { B } _ { 0 } } ( - 1 + k ^ { 2 } ) H _ { 0 } } \\ { p G _ { - } } & { = - \nu ( 1 + k ^ { 2 } ) G _ { - } + \frac { 1 } { 2 } k ( 1 - k ^ { 2 } ) G _ { 0 } ^ { \prime } + i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { + } } \\ { p H _ { + } } & { = - \eta ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { + } + i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { - 1 } G _ { - } + \frac { 1 } { 2 } i k \tilde { B } _ { 0 } G _ { 0 } ^ { \prime } } \\ { p H _ { - } } & { = - \eta ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { - } - \frac { 1 } { 2 } k H _ { 0 } + i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { - 1 } G _ { + } } \end{array}
\frac { ( f ( R ) ) } { R } _ { F i g . 1 0 } = \frac { - 3 ( 1 - \xi ) } { 1 6 \pi ^ { 2 } } C _ { 2 } \int \frac { d ^ { 3 } x } { | \vec { x } | | \bar { x } - R | ^ { 3 } } = \frac { - 3 ( 1 - \xi ) } { 4 \pi } \frac { C _ { 2 } } { R } l n \frac { R e } { \delta }
S ( q ( z ) ) = \left( \begin{array} { c c c c } { q _ { 1 } } & { \cdots } & { q _ { n _ { 2 } - 1 } } & { q _ { n _ { 2 } } } \\ { \vdots } & { . } & { . \cdot } & { 0 } \\ { q _ { n _ { 2 } - 1 } } & { . \cdot } & { . \cdot } & { \vdots } \\ { q _ { n _ { 2 } } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right) .
G _ { s } ( t ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } v _ { \parallel } \left\langle \left( g _ { s } ( x , v _ { \parallel } , t ) - g _ { s } ( x , v _ { \parallel } , 0 ) \right) ^ { 2 } \right\rangle _ { x } ,
M : = \sum _ { j = 0 } ^ { x } \left( \left\lfloor \frac { 2 ^ { x } } { 2 ^ { j } } \right\rfloor - \left\lfloor \frac { k } { 2 ^ { j } } \right\rfloor - \left\lfloor \frac { 2 ^ { x } - k } { 2 ^ { j } } \right\rfloor \right) = \sum _ { j = 0 } ^ { x } \left( \left\{ \frac { k } { 2 ^ { j } } \right\} + \left\{ \frac { 2 ^ { x } - k } { 2 ^ { j } } \right\} \right) .
\begin{array} { r } { \Gamma _ { \mathrm { c l a s s } } ^ { \mathrm { g a i n } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) = \Gamma _ { 0 } ( \omega ) \frac { P _ { \mathrm { g a i n } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) } { P _ { 0 } ( \omega ) } , } \end{array}
Z _ { N } ^ { i n f } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { M } ) \equiv ( x _ { 1 } + \cdots + x _ { M } ) ^ { N } = \sum _ { { \lambda \atop | \lambda | = N } } n ( \lambda ) S _ { \lambda } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { M } ) \, \, \, \, ,
S [ x , y ] = 2 \int d \tau \sqrt { \frac { m } { 2 } \left( - \dot { x } ^ { 2 } + \dot { y } ^ { 2 } \right) \left( E - \frac { 1 } { 2 } ( k _ { x } x ^ { 2 } + k _ { y } y ^ { 2 } ) \right) } \, .
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { e ^ { - i \phi _ { \pm } ^ { L R } } \cos \frac { \theta _ { \pm } ^ { L R } } { 2 } } \\ { \sin \frac { \theta _ { \pm } ^ { L R } } { 2 } } \end{array} \right) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } } \sqrt { \frac { h _ { - } } { h _ { + } } } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } \\ { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { i \phi _ { \pm } ^ { L R } } \cos \frac { \theta _ { \pm } ^ { L R } } { 2 } } & { \sin \frac { \theta _ { \pm } ^ { L R } } { 2 } } \end{array} \right) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } } \sqrt { \frac { h _ { + } } { h _ { - } } } \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | . } \end{array}
\frac { \gamma ^ { 2 } R ^ { 2 } } { 1 6 \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } } \left( \frac { \Gamma _ { x x } + \Gamma _ { y y } } { ( \Omega - \omega ) ^ { 2 } + \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { 3 \Gamma _ { x x } - \Gamma _ { y y } } { ( \Omega + \omega ) ^ { 2 } + \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r } { m _ { 2 } = \sigma _ { B } ^ { 2 } + \mu _ { B } ^ { 2 } = c _ { 1 } ^ { 2 } \sigma _ { v } ^ { 2 } + 3 c _ { 2 } ^ { 4 } \sigma _ { v } ^ { 4 } + 2 c _ { 2 } ^ { 2 } \sigma _ { v } ^ { 2 } f ( \mu _ { v } ) + f ^ { 2 } ( \mu _ { v } ) , } \end{array}
\boldsymbol { \hat { y } _ { n } } ( \boldsymbol { k } ) = \boldsymbol { C } ( \boldsymbol { k } ) \boldsymbol { \hat { u } } ( \boldsymbol { k } ) + \boldsymbol { \hat { n } } ( \boldsymbol { k } ) = \boldsymbol { \hat { y } } ( \boldsymbol { k } ) + \boldsymbol { \hat { n } } ( \boldsymbol { k } ) ,
{ \begin{array} { l r c l r } { \operatorname* { m a x } _ { x _ { T - 1 } } } & { E [ U ( W _ { T } ) | \xi _ { [ T - 1 ] } ] } & \\ { { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } } & { W _ { T } } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \xi _ { i T } x _ { i , T - 1 } } \\ & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i , T - 1 } } & { = } & { W _ { T - 1 } } \\ & { x _ { T - 1 } } & { \geq } & { 0 } \end{array} }
N _ { \mathrm { S P } } = 3 ^ { 2 } , \epsilon = 0 . 0 1 , L _ { \operatorname* { m a x } } = 4 , 5 , 6 , 7 , n _ { e } = 1 2 , N _ { 0 } = 4 \times 1 , T _ { \mathrm { t o t a l } } = 0 . 2
\begin{array} { l } { { \partial _ { - i } x ^ { i } = x ^ { i } \partial _ { - i } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ i \not = 0 ~ , } } \\ { { \partial _ { i } x ^ { j } = q x ^ { j } \partial _ { i } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ j > - i , ~ \mathrm { a n d } ~ j \not = i ~ , } } \\ { { \partial _ { i } x ^ { j } = q x ^ { j } \partial _ { i } - q \lambda q ^ { - \rho _ { j } - \rho _ { k } } x ^ { - i } \partial _ { - j } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ j < - i ~ , ~ ~ \mathrm { a n d } ~ i \not = j ~ , } } \\ { { \partial _ { j } x ^ { j } = 1 + q ^ { 2 } x ^ { j } \partial _ { j } + q \lambda \displaystyle \sum _ { k > j } x ^ { k } \partial _ { k } - q ^ { 1 - 2 \rho _ { j } } \lambda x ^ { - j } \partial _ { - j } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ j < 0 ~ , } } \\ { { \partial _ { j } x ^ { j } = 1 + q ^ { 2 } x ^ { j } \partial _ { j } + q \lambda \displaystyle \sum _ { k > j } x ^ { k } \partial _ { k } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ j > 0 ~ . } } \end{array}
P _ { \pm } ^ { ( r ) } = \pi \int _ { 0 } ^ { \rho } d r _ { \perp } r _ { \perp } \hat { \bf e } _ { z } \cdot \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left( { \bf E } _ { \omega _ { 2 } , \pm } ^ { ( r ) } \times { \bf H } _ { \omega _ { 2 } , \pm } ^ { ( r ) * } \right) ,
\textstyle \hat { \sigma } ( \eta ) = \sum _ { \alpha , z } f _ { \alpha } ^ { z } \dots f _ { \alpha } ^ { 1 } f _ { \alpha } ^ { 0 } \otimes [ \hat { \pi } ( a _ { \alpha } ^ { z } ) , [ \dots [ \hat { \pi } ( a _ { \alpha } ^ { 1 } ) , [ \hat { Y } ^ { 2 } , \hat { \pi } ( a _ { \alpha } ^ { 0 } ) ] ] \dots ] ] ~ .
\hat { y } _ { j } ( \cdot ) = \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ m ~ i ~ n ~ } _ { f _ { j } \in \mathcal H } \left\{ \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } ( y _ { j } ( \mathbf x _ { t } ) - f _ { j } ( \mathbf x _ { t } ) ) ^ { 2 } + \frac { \eta } { n } | | f _ { j } | | _ { \mathcal H } ^ { 2 } \right\} ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } } & { \mathbb { P } \left( \frac { X _ { n } ^ { i } ( 2 ^ { - 1 / 6 } n ^ { 2 / 3 } t ) - \frac { n } { \sqrt { 2 } } } { 2 ^ { - 5 / 6 } n ^ { 1 / 3 } } + t ^ { 2 } \leq s \right) } \\ & { = \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { 2 } ^ { i } ( t ) \leq s ) = F _ { 2 } ^ { i } ( s ) , } \end{array}
\left( a _ { 1 } b _ { 1 } - a _ { 2 } b _ { 2 } - { \frac { a _ { 4 } u _ { 1 } } { b _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } } } - { \frac { a _ { 3 } u _ { 2 } } { b _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 }
{ \bf Y } _ { 0 } = \frac { 1 } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \partial v _ { 0 } } { \partial { \bf q } } \otimes \frac { \partial v _ { 0 } } { \partial { \bf p } } \, , \quad { \bf V } _ { 0 } = \frac { 1 } { v _ { 0 } } \frac { \partial ^ { 2 } v _ { 0 } } { \partial { \bf q } \partial { \bf q } ^ { T } } \, ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \pi } ^ { \phi _ { 0 } + \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } U _ { z } ^ { ( 1 ) } H _ { \xi } H _ { \phi } d \xi d \phi } & { = \frac { U _ { 1 S } } { U _ { 1 S } + U _ { 2 S } } , } \\ { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } U _ { z } ^ { ( 2 ) } H _ { \xi } H _ { \phi } d \xi d \phi } & { = \frac { U _ { 2 S } } { U _ { 1 S } + U _ { 2 S } } . } \end{array}
\mathrm { V a r } ( \bar { c } _ { i } ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \bar { c } _ { i } x ^ { 2 } \mathrm { d } x - \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } \bar { c } _ { i } x \mathrm { d } x \right) ^ { 2 }
Z = ( \frac { \lambda } { 2 \pi } ) ^ { n } \displaystyle \int { \cal D } u { \cal D } \psi { \cal D } \chi \exp ( \frac { 1 } { 2 \lambda } G _ { i j a b } \psi ^ { i } \psi ^ { j } \chi ^ { a } \chi ^ { b } ) .
\binom { 0 ^ { s _ { r } ^ { \prime } } 1 0 ^ { s _ { r - 1 } ^ { \prime } } \ldots 1 0 ^ { s _ { 1 } ^ { \prime } } 1 ^ { 1 + | v | _ { 1 } } } { 0 1 ^ { 1 + | v | _ { 1 } } } = \binom { w } { 0 1 ^ { 1 + | v | _ { 1 } } } - \binom { p 1 ^ { r + | v | _ { 1 } } } { 0 1 ^ { 1 + | v | _ { 1 } } } - \sum _ { j = 1 } ^ { r } ( s _ { j } - s _ { j } ^ { \prime } ) \binom { j + | v | _ { 1 } } { 1 + | v | _ { 1 } } \, .
\frac { \Gamma ( \eta _ { b } \to g g ) } { \Gamma ( \eta _ { b } \to \gamma \gamma ) } = \frac { 2 \alpha _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } } { 9 \alpha _ { \mathrm { e m } } ^ { 2 } Q ^ { 2 } } \left( 1 + 7 . 8 \frac { \alpha _ { \mathrm { s } } } { \pi } \right) .
A ^ { \alpha \beta } \: + \: A ^ { \beta \gamma } \: + \: A ^ { \gamma \alpha } \: = \: \omega _ { 1 , F } ^ { \alpha \beta \gamma } \: - \: \omega _ { 1 , R } ^ { \alpha \beta \gamma } \: + \: d \log h _ { \alpha \beta \gamma } ^ { B }
\begin{array} { r l } { { U ^ { \prime } V ^ { \dag } } } & { { = - \Delta ^ { \prime } f K ^ { \dag } ( 1 - K f K ^ { \dag } ) _ { \Pi } ^ { - 1 / 2 } ( 1 - K f K ^ { \dag } ) ^ { 1 / 2 } } } \\ { { } } & { { = - \Delta ^ { \prime } f K ^ { \dag } ( 1 - \Pi _ { 0 } ) = - \Delta ^ { \prime } f K ^ { \dag } . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } [ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) ] } & { \leq } & { ( 3 L \beta _ { n } ^ { - 1 } ) ( C L \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) ) + 2 4 e ^ { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } } \\ & { \leq } & { C L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + C L ^ { 2 } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { y } _ { L } } & { { } : = \widehat { g } _ { L } ( \mathbf { x } ) = s _ { O } ^ { - 1 } \left( g _ { L } ( \gamma \left( s _ { I } ( \mathbf { x } ) \right) ) \right) } \\ { \mathbf { y } _ { H } } & { { } : = \widehat { g } _ { H } ( \mathbf { x } ) = s _ { O } ^ { - 1 } \left( g _ { H } ( \gamma \left( s _ { I } ( \mathbf { x } ) \right) ) \right) } \end{array}
\Delta \omega _ { f i } = \omega _ { f i } ^ { 0 } - \omega _ { f i } ^ { E } = \omega _ { f i } ^ { 0 } \left( 1 - \sqrt [ 3 ] { \left( 1 + \frac { q _ { \mathrm { n } } E _ { z } } { m _ { \mathrm { n } } g } \right) ^ { 2 } } \right) \approx \omega _ { f i } ^ { 0 } \frac { 2 q _ { \mathrm { n } } E _ { z } } { 3 m _ { \mathrm { n } } g }
\begin{array} { r l } { \tilde { f } ( \tilde { \theta } ; \tilde { \rho } , \tilde { \rho } _ { \mathrm { p o s t } } ) } & { = A f ( \theta ; \rho , \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) } \\ { \tilde { h } ( \tilde { \theta } ; \tilde { \rho } , \tilde { \rho } _ { \mathrm { p o s t } } ) } & { = A h ( \theta ; \rho , \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) } \end{array}
0 = \frac { \partial E _ { \theta } ^ { d } } { \partial \theta } = \frac { 2 } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \partial f _ { \theta } ^ { k } ( x _ { d } ) } { \partial \theta } \left[ n f _ { \theta } ^ { k } ( x _ { d } ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } y _ { i } ^ { k } \right] { \mathrm { , } }
v _ { c } ^ { 2 } \approx { \frac { g \ell } { 4 } } { \frac { D \rho } { \rho } } \approx { \frac { g \ell ^ { 2 } } { 8 H _ { P } } } { \frac { \chi _ { X } } { \chi _ { \rho } } } \left( \nabla _ { X } - \nabla _ { X , \mathrm { c r i t } } \right) ,
{ \begin{array} { r } { { \left( \begin{array} { l l l } { 4 } & { 1 2 } & { - 1 6 } \\ { 1 2 } & { 3 7 } & { - 4 3 } \\ { - 1 6 } & { - 4 3 } & { 9 8 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 6 } & { 1 } & { 0 } \\ { - 8 } & { 5 } & { 3 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { 2 } & { 6 } & { - 8 } \\ { 0 } & { 1 } & { 5 } \\ { 0 } & { 0 } & { 3 } \end{array} \right) } . } \end{array} }
L = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t \int d ^ { 3 } x ~ a ^ { 3 } ( t ) \left[ \frac { 1 } { 2 } \dot { \sigma } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 N m _ { P } ^ { 2 } } \right) ^ { - 2 } - V ( \sigma ) \right] ,
\mathbb { E } [ f _ { \theta } \left( \bar { X } _ { t } \right) ] \le f _ { \theta } ( x ) e ^ { - \theta t | \nabla U ( x ) | ^ { 2 } ( 1 - 2 L t ) } e ^ { - \frac { d } { 2 } \log \left( 1 - 2 \theta L \sigma ^ { 2 } t \right) } \exp \left( \frac { \theta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } t | \nabla U ( x ) | ^ { 2 } } { 2 ( 1 - 2 \theta L \sigma ^ { 2 } t ) } \right) .
\int _ { S } \boldsymbol { v } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \mathcal { T } } \, \mathrm { d } S = - \int _ { S } \boldsymbol { \mathcal { T } } \boldsymbol { \cdot } \left[ \boldsymbol { 1 } _ { n } \times ( \boldsymbol { 1 } _ { n } \times \boldsymbol { v } ) \right] \mathrm { d } S = - \int _ { S } \left[ \boldsymbol { \mathcal { T } } \times \boldsymbol { 1 } _ { n } \right] \boldsymbol { \cdot } \left[ \boldsymbol { v } \times \boldsymbol { 1 } _ { n } \right] \mathrm { d } S
\begin{array} { r l } { f ( \mathbf x _ { b } , \mathbf v , t _ { n + 1 / 2 } ) } & { = f ^ { t } ( \mathbf x _ { b } , \mathbf v , t _ { n } ) - \tau D _ { t } f ^ { t } ( \mathbf x _ { b } , \mathbf v , t _ { n } ) } \\ & { + \frac { \Delta t } { 2 } \partial _ { t } f ^ { t } ( \mathbf x _ { b } , \mathbf v , t _ { n } ) + O \left( \textrm { K n } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
E _ { \nu } \approx 1 5 \mathrm { \ G e V } \left( \frac { \delta m ^ { 2 } } { 3 . 5 \times 1 0 ^ { - 3 } \mathrm { \, e V ^ { 2 } } } \right) \left( \frac { 1 . 5 \mathrm { \ g / c m ^ { 3 } } } { \rho Y _ { e } } \right) \cos 2 \theta _ { 1 3 } \, .
\begin{array} { r l r } { k _ { q } } & { { } = } & { [ \sqrt { 2 } , 2 , - \sqrt { 2 } , - \sqrt { 2 } , \sqrt { 2 } , 2 ] } \\ { \theta _ { q } } & { { } = } & { [ \frac { 1 } { 8 } , \frac { 2 } { 8 } , \frac { 3 } { 8 } , \frac { 5 } { 8 } , \frac { 7 } { 8 } , 1 ] , } \end{array}