harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { A } ( C , t ) | \vec { A } , \vec { E } ; \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } { \rangle } _ { e _ { 3 } } \propto | \vec { A } + \Omega ( \vec { x } , T ) , \vec { E } ; \phi _ { 1 } \Omega ( \vec { x } , T ) , \phi _ { 2 } { \rangle } _ { e _ { 3 } }
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { - 1 / \gamma } ( 1 + x \xi ( x ) ) ^ { - 3 - \frac { 1 } { \xi ( x ) } } x ^ { 4 } \mathrm { d } x } & { \leq \frac { 1 } { \gamma ^ { 4 } } \int _ { 0 } ^ { - 1 / \gamma } ( 1 + \gamma x ) ^ { - 1 + \beta } \mathrm { d } x } \\ & { \leq \frac { 1 } { ( - \gamma ) ^ { 5 } } \frac { 1 } { \beta } . } \end{array}
\frac { { \mathrm { E m b o d i e d ~ e n e r g y } } + { \mathrm { E n e r g y ~ c o n s u m e d } } - { \mathrm { E n e r g y ~ r e c o v e r e d } } } { { \mathrm { B u i l t ~ a r e a } } \times { \mathrm { U t i l i z a t i o n ~ r a t e } } \times { \mathrm { Q u a l i t y ~ f a c t o r } } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \int P _ { n } ( d y ^ { 1 } , d y ^ { 2 } , d u ^ { 2 } ) g ( y ^ { 1 } , y ^ { 2 } , u ^ { 2 } ) = \int P _ { n } ( d y ^ { 1 } | y ^ { 2 } ) P _ { n } ( d u ^ { 2 } , y ^ { 2 } ) g ( y ^ { 1 } , y ^ { 2 } , u ^ { 2 } ) } \\ & { } & { = \int P ( d y ^ { 1 } | y ^ { 2 } ) P _ { n } ( d u ^ { 2 } , y ^ { 2 } ) g ( y ^ { 1 } , y ^ { 2 } , u ^ { 2 } ) } \end{array}
\displaystyle \frac { 1 } { \tau _ { n \mathbf { k } \to m \mathbf { k } + \mathbf { q } } } = \frac { 1 } { \tau _ { n \mathbf { k } \to m \mathbf { k } + \mathbf { q } } ^ { \mathrm { p h } } } + \frac { 1 } { \tau _ { n \mathbf { k } \to m \mathbf { k } + \mathbf { q } } ^ { \mathrm { i m p } } } .
{ \begin{array} { r l r l } { b } & { = b \cdot e } & & { { \mathrm { ( } } e { \mathrm { ~ i s ~ t h e ~ i d e n t i t y ~ e l e m e n t ) } } } \\ & { = b \cdot ( a \cdot c ) } & & { { \mathrm { ( } } c { \mathrm { ~ i s ~ a n ~ i n v e r s e ) } } } \\ & { = ( b \cdot a ) \cdot c } & & { { \mathrm { ( a s s o c i a t i v i t y ) } } } \\ & { = e \cdot c } & & { { \mathrm { ( } } b { \mathrm { ~ i s ~ a n ~ i n v e r s e ) } } } \\ & { = c } & & { { \mathrm { ( } } e { \mathrm { ~ i s ~ t h e ~ i d e n t i t y ~ e l e m e n t ) } } } \end{array} }
+ \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \, { \frac { \psi _ { \bf k } ^ { * } ( { \bf x } ) \psi _ { \bf k } ( { \bf y } ) } { k ^ { 2 } / m _ { q } - E } } \, ,
\begin{array} { r l } { \underline { H } _ { \mathbb \nu + \mathbb \delta _ { i } } \big \vert _ { \tau = 0 } } & { = \frac { 1 } { 3 \delta } \left( D ^ { ( \nu _ { 1 } - 1 , \nu _ { 2 } , \nu _ { 3 } , \nu _ { 4 } ) + \mathbb \delta _ { i } } ( \underline { x } . \Lambda ( \underline { H } , \underline { x } ) ) _ { \tau = 0 } + D ^ { ( \nu _ { 1 } - 1 , \nu _ { 2 } , \nu _ { 3 } , \nu _ { 4 } ) + \mathbb \delta _ { i } } ( \underline { x } ^ { N + 1 } . R ( \underline { H } , \underline { \phi } , \underline { x } ) ) _ { \tau = 0 } \right) , } \\ { \underline { \phi } _ { \nu + \mathbb \delta _ { i } } \big \vert _ { \tau = 0 } } & { = \frac { 1 } { 3 \delta } \left( D ^ { ( \nu _ { 1 } - 1 , \nu _ { 2 } , \nu _ { 3 } , \nu _ { 4 } ) + \mathbb \delta _ { i } } ( \underline { x } ^ { - 2 } . \Omega ( \underline { H } , \underline { x } ) ) _ { \tau = 0 } + D ^ { ( \nu _ { 1 } - 1 , \nu _ { 2 } , \nu _ { 3 } , \nu _ { 4 } ) + \mathbb \delta _ { i } } ( \underline { x } ^ { N - 1 } . P ( \underline { H } , \underline { \phi } , \underline { x } ) ) \right) _ { \tau = 0 } . } \end{array}
V _ { \mathbf { d } } = \{ \mathbf v \in [ W ^ { 1 , 1 + \frac { 1 } { n } } ( \Omega ) ] ^ { 2 } , \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } \mathbf v = \mathbf { d } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma _ { d } \}
( \tau _ { 2 } + \tau _ { 3 } + 3 , \tau _ { 4 } + \tau _ { 5 } + 3 , \tau _ { 6 } + \tau _ { 7 } + 3 , \dots ) = ( \tau _ { i } + \tau _ { i + 1 } + 3 ) _ { i = 2 } ^ { \dots }
\begin{array} { l } { { [ L _ { i } , L _ { j } ] = i \varepsilon _ { i j k } L _ { k } , } } \\ { { { [ } L _ { i } , A _ { j } ] = i \varepsilon _ { i j k } A _ { k } , } } \\ { { { [ } A _ { i } , A _ { j } ] = i \varepsilon _ { i j k } L _ { k } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \pi } ^ { j \pi } y | y | ^ { - \alpha } f ( y / \xi ) e ^ { - \mathrm { i } y } d y } & { = \int _ { \pi } ^ { j \pi } y | y | ^ { - \alpha } f ( y / \xi ) \frac { 1 } { - \mathrm { i } } \frac { d } { d y } ( e ^ { - \mathrm { i } y } ) d y } \\ & { = \frac { 1 } { \mathrm { i } } \int _ { \pi } ^ { j \pi } \left( ( 1 - \alpha ) y ^ { - \alpha } f ( y / \xi ) + \frac { 1 } { \xi } y ^ { 1 - \alpha } f ^ { \prime } ( y / \xi ) \right) e ^ { - \mathrm { i } y } d y + ( y ^ { 1 - \alpha } f ( y / \xi ) \frac { 1 } { - \mathrm { i } } \bigg | _ { y = \pi } ^ { y = j \pi } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \Phi ( \alpha _ { t } x ) } & { = } & { \partial _ { t } \left[ \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \alpha _ { t } x } e ^ { - \frac { s ^ { 2 } } { 2 } } d s \right] = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \left[ \dot { \alpha } ( t ) x \right] e ^ { - \frac { \alpha ^ { 2 } ( t ) x ^ { 2 } } { 2 } } } \\ { \partial _ { x } \Phi ( \alpha _ { t } x ) } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \alpha _ { t } e ^ { - \frac { \alpha ^ { 2 } ( t ) x ^ { 2 } } { 2 } } } \\ { \partial _ { x } Q } & { = } & { - \frac { x } { t } Q + N ( t ) \alpha _ { t } e ^ { - x ^ { 2 } \left[ \frac { 1 } { 2 t } + \frac { \alpha ^ { 2 } ( t ) } { 2 } \right] } , } \end{array}
( \Phi _ { b } ^ { 0 } ) ^ { - 1 } \circ \Phi _ { b } \colon ( t _ { * } , \, r , \, \theta , \, \varphi ) \mapsto \left( t _ { * } + \int \left( \frac { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } { \Delta _ { b } } - \frac { r ^ { 2 } } { \Delta _ { b _ { 0 } } } \right) ( 1 - \chi _ { 0 } ) \, d r , \, r , \, \theta , \, \varphi + \int \frac { a } { \Delta _ { b } } ( 1 - \chi _ { 0 } ) \, d r \right) .
\begin{array} { r l } { L ( \theta , \sigma _ { G } , G ) } & { = \mathbb E _ { u , b , D \sim p } \log p ( u , b \vert D ) } \\ & { = \underbrace { \mathbb E _ { u , D \sim p } \log p _ { \theta } ( u \vert D ) } _ { \mathrm { S t e p ~ 1 } } + \underbrace { \mathbb E _ { u , b } \log p _ { \sigma _ { G } , G } ( b \vert u ) } _ { \mathrm { S t e p ~ 2 } } . } \end{array}
S _ { \mathrm { I } } = \frac { 1 } { 1 6 \pi \alpha ^ { \prime 4 } } \int d ^ { 1 0 } x \sqrt { | g _ { 1 0 } | } \left[ e ^ { - \Phi } \left( R _ { 1 0 } + \left( \nabla \Phi \right) ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { 1 2 } H _ { 3 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } e ^ { - \Phi / 2 } F _ { 2 } ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigl [ \exp ( \gamma Z ^ { 2 } ) 1 \{ | Z | \leq B \} \bigr ] } & { \leq 1 + \int _ { 0 } ^ { B ^ { 2 } } \gamma \exp ( \gamma x ) \mathbb { P } ( | Z | > \sqrt { x } ) d x } \\ & { \leq 1 + 2 \gamma \int _ { 0 } ^ { B ^ { 2 } } \exp ( \gamma x ) \exp \biggl \{ - \frac { x } { 2 ( \sigma ^ { 2 } + b \sqrt { x } ) } \biggr \} d x } \\ & { \leq 1 + 2 \gamma \int _ { 0 } ^ { B ^ { 2 } } \exp ( \gamma x ) \exp \biggl \{ - \frac { x } { 2 ( \sigma ^ { 2 } + b B ) } \biggr \} d x } \\ & { \leq 1 + 2 \gamma \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp \biggl \{ - \frac { 1 - 2 \gamma ( \sigma ^ { 2 } + b B ) } { 2 ( \sigma ^ { 2 } + b B ) } x \biggr \} d x } \\ & { \leq 1 + \frac { 4 \gamma ( \sigma ^ { 2 } + b B ) } { 1 - 2 \gamma ( \sigma ^ { 2 } + b B ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| e ^ { k + 1 } \| _ { H ^ { 1 } } } & { \leq \| \Phi ^ { \tau } ( I _ { N } \psi ^ { k } ) - \Phi ^ { \tau } ( P _ { N } \psi ( \cdot , t _ { k } ) ) \| _ { H ^ { 1 } } } \\ & { \quad + \| \Phi ^ { \tau } ( P _ { N } \psi ( \cdot , t _ { k } ) ) - P _ { N } \psi ( \cdot , t _ { k + 1 } ) \| _ { H ^ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { i , \nu } ( t ) } & { { } = Q _ { i , \nu } ( 0 ) \cos \omega _ { \nu } t + P _ { i , \nu } ( 0 ) / \omega _ { \nu } \sin \omega _ { \nu } t } \\ { P _ { i , \nu } ( t ) } & { { } = - \omega _ { \nu } Q _ { \nu } ( 0 ) \sin \omega _ { \nu } t + P _ { \nu } ( 0 ) \cos \omega _ { \nu } t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textrm { P S F } _ { 1 } ( r , \theta , t ) } & { { } \propto I l l ( r , \theta , t ) \cdot \frac { J _ { 1 } \left( \frac { 2 \pi O N } { \lambda } r \right) } { r } } \\ { \textrm { P S F } _ { 2 } ( r , \theta , t ) } & { { } \propto I l l ( r , \theta , t ) \cdot I l l ( r , \theta + \pi , t ) \ \ . } \end{array}
\boldsymbol { \mathbf { v } } _ { i j k } = \left( v _ { x , m i n } + i \Delta v , v _ { y , m i n } + j \Delta v , v _ { z , m i n } + k \Delta v \right) = \left( v _ { x , i } , v _ { y , j } , v _ { z , k } \right) .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { b u l k } } & { } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \Delta \phi - \Omega _ { u } ^ { 2 } \phi = 0 \, , } & { { \bf x } \in \Omega \backslash \bigcup _ { j = 1 } ^ { m } \Omega _ { j } \, , } \\ { \Delta \psi - \Omega _ { v } ^ { 2 } \psi = 0 \, , } & { { \bf x } \in \Omega \backslash \bigcup _ { j = 1 } ^ { m } \Omega _ { j } \, , } \\ { \partial _ { \tilde { n } } \phi = \partial _ { \tilde { n } } \psi = 0 \, , } & { { \bf x } \in \partial \Omega \, , } \end{array} \right. } \\ { \mathrm { r e a c t i o n ~ f l u x e s } } & { } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \varepsilon D _ { u } \partial _ { n _ { j } } \phi = d _ { 1 } ^ { u } \phi - d _ { 2 } ^ { u } \xi _ { j } \, , } & { { \bf x } \in \partial \Omega _ { j } \, , \; \; } \\ { \varepsilon D _ { v } \partial _ { n _ { j } } \psi = d _ { 1 } ^ { v } \psi - d _ { 2 } ^ { v } \zeta _ { j } , } & { { \bf x } \in \partial \Omega _ { j } \, , } \end{array} \right. } \\ { \mathrm { c o m p a r t m e n t s } } & { } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \lambda I - J _ { j } \right) \left( \begin{array} { l } { \xi _ { j } } \\ { \zeta _ { j } } \end{array} \right) = \varepsilon ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { \int _ { \partial \Omega _ { j } } ( d _ { 1 } ^ { u } \phi - d _ { 2 } ^ { u } \xi _ { j } ) \; d S } \\ { \int _ { \partial \Omega _ { j } } ( d _ { 1 } ^ { v } \psi - d _ { 2 } ^ { v } \zeta _ { j } ) \; d S } \end{array} \right) \, , \qquad j \in \lbrace { 1 , \ldots , m \rbrace } \, . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { } } & { { \tilde { L } _ { i } = \frac { ( 2 \pi ) ^ { 2 } { l _ { p } } ^ { 3 } } { L _ { i } R } } } \\ { { } } & { { g ^ { 2 } = \frac { ( 2 \pi ) ^ { 6 } { l _ { p } } ^ { 6 } } { L _ { 1 } L _ { 2 } L _ { 3 } L _ { 4 } R } } } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { f _ { \mu } ^ { c } - \alpha _ { u , j } ^ { \perp } } & { f _ { \eta } ^ { c } } \\ { g _ { \mu } ^ { c } } & { g _ { \eta } ^ { c } - \alpha _ { v , j } ^ { \perp } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \tilde { \mu } _ { c } } \\ { \tilde { \eta } _ { c } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } { E \left[ \left| \tilde { V } _ { k , \, i } \right| ^ { 2 } \right] } & { = E \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { r } } \tilde { H } _ { k , \, j , \, i } ^ { * } \tilde { W } _ { k , \, j } \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { r } } \tilde { H } _ { k , \, m , \, i } \tilde { W } _ { k , \, m } ^ { * } \right] } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { r } } \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { r } } E \left[ \tilde { H } _ { k , \, j , \, i } ^ { * } \tilde { H } _ { k , \, m , \, i } \right] E \left[ \tilde { W } _ { k , \, m } ^ { * } \tilde { W } _ { k , \, j } \right] } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { r } } \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { r } } 2 \sigma _ { H } ^ { 2 } \delta _ { K } ( j - m ) 2 \sigma _ { W } ^ { 2 } ( j - m ) } \\ & { = 4 N _ { r } \sigma _ { H } ^ { 2 } \sigma _ { W } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { 2 ^ { 2 h ( X | U _ { k } , Q ) } \ge 2 ^ { 2 h ( \frac { \sigma _ { X } ^ { 2 } } { \sigma _ { X } ^ { 2 } + \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } } Y _ { k } | U _ { k } , Q ) } + 2 ^ { 2 h ( N _ { k } ^ { \prime } | U _ { k } , Q ) } = \left( \frac { \sigma _ { X } ^ { 2 } } { \sigma _ { X } ^ { 2 } + \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } 2 ^ { 2 h ( Y _ { k } | U _ { k } , Q ) } + 2 \pi e \left( \frac { \sigma _ { X } ^ { 2 } \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } } { \sigma _ { X } ^ { 2 } + \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\zeta ( s ) = { \frac { 1 } { s - 1 } } + { \frac { 1 } { 2 } } + 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \sin ( s \arctan t ) } { \left( 1 + t ^ { 2 } \right) ^ { s / 2 } \left( e ^ { 2 \pi t } - 1 \right) } } \, \mathrm { d } t
\begin{array} { r l } { S _ { j } ^ { ( 1 ) } ( s ) } & { \ll \left( \left( q ^ { D _ { 1 } + j + 1 } + q ^ { A _ { 2 } - D _ { 1 } - j } \right) \sum _ { \deg ( g ) \leq A _ { 2 } } \frac { \tau _ { k } ( g ) } { | g | } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \left( q ^ { D _ { 1 } + j + 1 } + q ^ { Y _ { j } - D _ { 1 } - j } \right) \sum _ { \deg ( h ) \leq Y _ { j } } \frac { \tau _ { k } ( h ) } { | h | } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \ll \left( q ^ { 2 Q } + q ^ { Y _ { j } + 1 } + q ^ { A _ { 2 } + 1 } + q ^ { A _ { 2 } + Y _ { j } - 2 D _ { 1 } - 2 j } \right) ^ { 1 / 2 } A _ { 2 } ^ { k / 2 } Y _ { j } ^ { k / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | A | = } & { \left| B _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 1 ( 3 ) } \right| + \left| B _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 ( 3 ) } \right| + \left| A \cap ( 3 \! \cdot \! \mathbf { N } ) \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| } \\ { \leqslant } & { \left( \frac { 1 1 n } { 9 0 } + 4 - \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| } { 5 } - \frac { \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } { 6 } \right) + \left( \frac { n } { 1 2 } + 2 - \frac { \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| } { 2 } \right) } \\ & { + \frac { n } { 9 } + C + \left( \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| - 2 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| - | Z _ { B } | + 3 \right) + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| } \\ { = } & { \frac { 5 7 n } { 1 8 0 } + C + 9 + \frac { \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| } { 1 0 } + \frac { 5 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } { 6 } - \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| - \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| - \left| Z _ { B } \right| } \\ { \leqslant } & { \frac { 1 9 n } { 6 0 } + C + 9 + \frac { \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| } { 1 0 } + \frac { 5 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } { 6 } - \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| } { 3 } - | Z _ { B } | } \\ { = } & { \frac { 1 9 n } { 6 0 } + C + 9 + \frac { \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| } { 1 0 } + \frac { \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } { 6 } - \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } ] } \right| } { 3 } - | Z _ { B } | } \\ { \leqslant } & { \frac { 1 9 n } { 6 0 } + C + 1 0 + \frac { n } { 9 0 } + \frac { \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } { 6 } - \frac { 1 7 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } ] } \right| } { 3 0 } - | Z _ { B } | } \\ { \leqslant } & { \frac { 5 9 n } { 1 8 0 } + C + 1 0 + \frac { \frac { n } { 6 } + 2 4 } { 6 } - \frac { 1 7 } { 3 0 } \left( \frac { n } { 2 4 } - 1 1 \right) } \\ { \leqslant } & { \frac { 2 3 9 n } { 7 2 0 } + C + 2 2 , } \end{array}
\operatorname { V a r } [ F ] \quad { \left\{ \begin{array} { l l } { = 2 { \frac { ( \nu _ { 1 } + \lambda ) ^ { 2 } + ( \nu _ { 1 } + 2 \lambda ) ( \nu _ { 2 } - 2 ) } { ( \nu _ { 2 } - 2 ) ^ { 2 } ( \nu _ { 2 } - 4 ) } } \left( { \frac { \nu _ { 2 } } { \nu _ { 1 } } } \right) ^ { 2 } } & { { \mathrm { i f ~ } } \nu _ { 2 } > 4 } \\ { { \mathrm { d o e s ~ n o t ~ e x i s t } } } & { { \mathrm { i f ~ } } \nu _ { 2 } \leq 4 . } \end{array} \right. }
p o l e s = \frac { 1 } { k _ { 1 } ^ { 2 } + i \epsilon } \, \frac { 1 } { k _ { 1 } ^ { 2 } - i \epsilon } \, \frac { 1 } { k _ { 2 } ^ { 2 } + i \epsilon } \, \frac { 1 } { k _ { 2 } ^ { 2 } - i \epsilon } \, .
\cot { \frac { \alpha } { 2 } } + \cot { \frac { \beta } { 2 } } + \cot { \frac { \gamma } { 2 } } = \cot { \frac { \alpha } { 2 } } \cdot \cot { \frac { \beta } { 2 } } \cdot \cot { \frac { \gamma } { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { d e t } ( A - \lambda \, I ) } & { = } & { \ ( \lambda - 3 ) ( \lambda - 1 ) ^ { 9 } ( \lambda + 2 ) ^ { 4 } } \\ & { } & { \! \! \! \! \times \left( \lambda ^ { 2 } - \lambda - 3 \right) ^ { 5 } \left( \lambda ^ { 2 } + \lambda - 4 \right) ^ { 4 } } \\ & { } & { \! \! \! \! \times \left( \lambda ^ { 2 } + \lambda - 1 \right) ^ { 5 } \left( \lambda ^ { 2 } + 3 \lambda + 1 \right) ^ { 3 } } \\ & { } & { \! \! \! \! \times \left( \lambda ^ { 2 } - ( 1 + \varphi ) \, \lambda - 2 + \varphi \right) ^ { 3 } } \\ & { } & { \! \! \! \! \times \left( \lambda ^ { 2 } - ( 2 - \varphi ) \, \lambda - 1 - \varphi \right) ^ { 3 } . } \end{array}
[ g _ { h , \ell , \chi , N , \tau } , g _ { h ^ { \prime } , \ell ^ { \prime } , \chi ^ { \prime } , N , \tau } ] _ { N } = \delta _ { h = h ^ { \prime } } \delta _ { \ell = \ell ^ { \prime } } \delta _ { \chi = \chi ^ { \prime } } + \mathcal { O } \biggl ( \frac { 1 } { \sqrt { N } } + \frac { H \exp \bigl ( - \frac { c _ { 0 } } { 4 } \sqrt { \log N } \bigr ) } { | \lambda _ { h , \ell } ( \tau ) | | \lambda _ { h ^ { \prime } \ell ^ { \prime } } ( \tau ) | } \biggr )
\left. \partial _ { 0 } \phi ( x _ { 0 } ) \right| _ { x _ { 0 } = \epsilon } = \left( { \frac { \partial _ { \epsilon } \phi _ { h } ( \epsilon ) } { \phi _ { h } ( \epsilon ) } } - { \frac { \lambda } { \epsilon } } \right) \phi _ { \epsilon } .
I _ { 1 } ( \mu ) - I _ { 1 } ( \mu _ { 0 } ) = { \frac { 1 } { 2 } } ( \mu ^ { 2 } - \mu _ { 0 } ^ { 2 } ) I _ { 0 } ( \mu _ { 0 } ) - \frac { \mu _ { 0 } ^ { 3 } } { 8 \pi } \left[ { \frac { 1 } { 3 } } \left( \sqrt { \frac { \mu ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } ^ { 2 } } } - 1 \right) ^ { 2 } \left( 2 \sqrt { \frac { \mu ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } ^ { 2 } } - 1 } \right) \right] ,
d ^ { 5 } R _ { 3 } ( P ; q _ { 1 } , q _ { 2 } , q _ { 3 4 } ) = { \frac { 1 } { 3 2 \lambda ^ { 1 / 2 } ( s , m ^ { 2 } , m ^ { 2 } ) \sqrt { - \Delta _ { 4 } } } } \; d s _ { 1 2 } d t _ { - 3 4 } d s _ { 1 3 4 } d t _ { + 2 } d \varphi
\mathrm { t r } _ { \mathrm { \tiny ~ B O S O N S } } \; \Omega R e ^ { - 2 \pi t H _ { B } } = e ^ { - i \pi \frac { 2 } { 3 } } \frac { 1 } { f _ { 1 } ^ { 8 } \left( e ^ { - \pi ( t + \frac { i } { 2 } ) } \right) } .
\begin{array} { r } { \langle \phi \rangle _ { \mathrm { d o m a i n } } = \frac { 1 } { V _ { \mathrm { d o m a i n } } } \int \displaylimits _ { \Omega _ { \mathrm { d o m a i n } } } \phi \mathrm { d } V , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textrm { G R S } _ { k + \Delta - ( r - 2 b ) } ( \Omega _ { \alpha } \cup \Omega _ { \beta } ) = \{ u _ { 1 } h ( \alpha _ { 1 } ) , \ldots , u _ { \Delta } h ( \alpha _ { \Delta } ) , v _ { 1 } h ( \beta _ { 1 } ) , } \\ & { \ldots , v _ { k } h ( \beta _ { k } ) ) | h \in \mathbb { F } _ { q ^ { s } } [ \xi ] , \deg ( h ) < k + \Delta - r + 2 b = k - t \} , } \end{array}
4 0 0 0 \ { \mathrm { g } } \, H _ { 2 } O \cdot { \frac { 1 \ { \mathrm { m o l } } \, H _ { 2 } O } { 1 8 \ { \mathrm { g } } \, H _ { 2 } O } } \cdot { \frac { 1 0 \ { \mathrm { m o l } } \, e ^ { - } } { 1 \ { \mathrm { m o l } } \, H _ { 2 } O } } \cdot { \frac { 9 6 , 0 0 0 \ { \mathrm { C } } \, } { 1 \ { \mathrm { m o l } } \, e ^ { - } } } = 2 . 1 \times 1 0 ^ { 8 } C \ \,
I ^ { m } ( \boldsymbol { x } ) = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( e ^ { i \phi ( \boldsymbol { \xi } ) } \mathcal { F } ( I ) ( \boldsymbol { \xi } ) \right) ( \boldsymbol { x } ) \, , \qquad \forall \, \boldsymbol { x } \in \mathbb { R } ^ { 2 } \, ,
( X , \frac { X ^ { 1 / 2 } \log ^ { 5 / 4 } X } { | V _ { \Psi _ { 4 } , \texttt { 1 1 . a . 1 } } ( X ) | } ) , ( X , \frac { X ^ { 1 / 2 } \log ^ { - 3 / 4 } X } { | V _ { \Psi _ { 4 } ^ { \prime } , \texttt { 1 1 . a . 1 } } ( X ) | } ) , ( X , \frac { X ^ { 1 / 2 } \log ^ { 1 / 4 } X } { | V _ { \Psi _ { 4 } ^ { \mathrm { t o t } } , \texttt { 1 1 . a . 1 } } ( X ) | } )
\begin{array} { r l } { \Omega _ { 1 } ( \delta , v ) } & { = \sum _ { J \in \operatorname { a d } ( \gamma ) } \prod _ { c \in A } ( - 1 ) ^ { \# J } ( i \omega \cdot \gamma _ { J } ( c ) ) ^ { - 1 } , } \\ { \Omega _ { 2 } ( \delta , v ) } & { = \sum _ { J \in \operatorname { a d } ^ { * } ( \gamma ) } \prod _ { c \in A \setminus \{ n \} } ( - 1 ) ^ { \# J } ( i \omega \cdot \gamma _ { J } ( c ) ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { \mathcal { M } } } & { = \mathrm { d } p \, \mathrm { d } x + \mathrm { d } q \, \mathrm { d } y - \mathrm { d } \psi \, \mathrm { d } \chi - \mathrm { d } \xi \, \mathrm { d } \phi } \\ { \Theta _ { \mathcal { M } } } & { = - \psi p - \xi q + \frac { 1 } { 4 ! } F _ { 4 } \psi ^ { 4 } + \frac { 1 } { 3 ! } H _ { 3 } \psi ^ { 3 } \xi } \end{array}
\frac { \partial L _ { s t r } } { \partial { \bf u } ^ { \prime } } - ( - 1 ) ^ { a } \frac { \partial } { \partial t } \frac { \partial L _ { a } } { \partial \dot { \bf u } _ { a } } \, = \, 0 \, { , } \quad a = 1 , 2 \, { , } \quad r _ { a } = 0 , R .
\begin{array} { r l r } { { \tilde { \epsilon } } _ { K } ^ { \textrm { i m p } } } & { \approx } & { - \frac { R ( 1 + K ) } { 2 \pi } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \frac { \nu _ { y } ^ { 2 } f _ { k } } { \nu _ { y } ^ { 2 } - k ^ { 2 } } } \\ & { \times } & { \oint \frac { \frac { \partial B _ { x } } { \partial y } } { B \rho } \beta _ { y } ^ { 1 / 2 } e ^ { i ( k \phi _ { y } + K \Phi ) } d \theta } \end{array}
G _ { \mu \nu } = G _ { \mu \nu } ^ { 0 } + G _ { \mu \lambda } ^ { 0 } \Sigma ^ { \lambda \sigma } G _ { \sigma \nu } ^ { 0 } + G _ { \mu \lambda } ^ { 0 } \Sigma ^ { \lambda \sigma } G _ { \sigma \tau } ^ { 0 } \Sigma ^ { \tau \pi } G _ { \pi \nu } ^ { 0 } + \cdots \ ,
\begin{array} { r l } { \langle \cos ^ { 2 } ( \theta ) \rangle ( \tau ) = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } } & { J _ { 1 } \left( \mathrm { P } \sin ( 2 \tau ) \right) } \\ & { \times \frac { \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } e ^ { - 2 \sigma ^ { 2 } ( \tau - n \pi ) ^ { 2 } } } { \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } e ^ { - 2 \sigma ^ { 2 } n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta ( t ) ( s ( g ) \otimes e _ { 1 } ^ { \theta ( g ) } ) } & { = s ( g ) \otimes ( e _ { 1 } ^ { \theta ( g ) } \cos ( \pi t ) + ( e _ { 1 } e _ { 2 } ) e _ { 1 } ^ { \theta ( g ) } \sin ( \pi t ) ) } \\ & { = s ( g ) \otimes ( e _ { 1 } ^ { \theta ( g ) } \cos ( \pi t ) + c ^ { \theta ( g ) } e _ { 1 } ^ { \theta ( g ) } ( e _ { 1 } e _ { 2 } ) \sin ( \pi t ) ) } \\ & { = s ( g ) \otimes ( e _ { 1 } ^ { \theta ( g ) } \cos ( ( - 1 ) ^ { \theta ( g ) } \pi t ) + e _ { 1 } ^ { \theta ( g ) } ( e _ { 1 } e _ { 2 } ) \sin ( ( - 1 ) ^ { \theta ( g ) } \pi t ) ) } \\ & { = ( s ( g ) \otimes e _ { 1 } ^ { \theta ( g ) } ) \eta ( ( - 1 ) ^ { \theta ( g ) } t ) . } \end{array}
\mathbf { F } ^ { \mathrm { e ^ { \prime } } } \mathbf { C } ^ { \mathrm { e ^ { \prime } } } = \mathbf { S } ^ { \mathrm { e } } \mathbf { C } ^ { \mathrm { e ^ { \prime } } } \boldsymbol { \varepsilon } ^ { \mathrm { e } }
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { H _ { v } ( \beta _ { J } ^ { * } ) } \\ & { = } & { \int \tilde { \phi } _ { v } ( y ) ( \tilde { Q } _ { J , \beta _ { J } ^ { * } } - \tilde { Q } ) ) d \mu ( y ) } \\ & { = } & { \int \Pi \left( \tilde { \phi } _ { v } \mid { \cal F } ^ { ( 0 ) } ( { \cal R } ) \right) ( y ) ( \tilde { Q } _ { J , \beta _ { J } ^ { * } } - \tilde { Q } ) ) d \mu ( y ) . } \end{array}
\alpha = \frac { \langle \mathbf { S } ( \alpha ) \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( \delta \mathbf { m } ) \mathbf { U } ( \alpha ) ^ { T } , \Delta \mathbf { d } \rangle _ { F } } { \langle \mathbf { S } ( \alpha ) \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( \delta \mathbf { m } ) \mathbf { U } ( \alpha ) ^ { T } , \mathbf { S } ( 0 ) \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( \delta \mathbf { m } ) \mathbf { U } ( \alpha ) ^ { T } \rangle _ { F } } = : \phi ( \alpha ) ,
\left| i \right> \equiv \left| \mathrm { X } ^ { 2 } \Sigma ^ { + } \! \! , J _ { \mathrm { X } } , M _ { \mathrm { X } } , \Omega _ { \mathrm { X } } \! = \! 0 , \mathcal { E } _ { \mathrm { X } } \right>