harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
| \Phi _ { T , n } ^ { h } \rangle : = \sum _ { n ^ { \prime } = n } ^ { N } U _ { n + 1 } ^ { \dagger } \cdots U _ { n ^ { \prime } } ^ { \dagger } U _ { T } | \psi _ { 0 } ^ { h } \rangle \operatorname { t r } ( U _ { n ^ { \prime } , 1 } U _ { T } ^ { \dagger } ) .
H = \int d ^ { 3 } r \left[ \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } | \nabla \psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) | ^ { 2 } + U ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) | \psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) | ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r } { \sigma ^ { \mathrm { e l a s t i c } } = \frac { \pi } { k ^ { 2 } } \sum _ { L , L ^ { \prime } } \left| \delta _ { L , L ^ { \prime } } - S _ { i , L ^ { \prime } ; i , L } ^ { ( \mathrm { L R } ) } \right| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { f \in { \cal P } _ { D } ( \beta , L ) } B _ { 2 } ( \Delta _ { n } ) } & { \le \sum _ { \| h \| _ { 2 } \ge \Delta _ { n } m _ { k } } \operatorname* { s u p } _ { f \in { \cal P } _ { D } ( \beta , L ) } \| C ( h ) \| _ { \mathrm { H S } } \| h \| _ { 2 } ^ { \beta } \| h \| _ { 2 } ^ { - \beta } } \\ & { \le ( \Delta _ { n } m _ { k } ) ^ { - \beta } \sum _ { \| h \| _ { 2 } \ge \Delta _ { n } m _ { k } } \operatorname* { s u p } _ { f \in { \cal P } _ { D } ( \beta , L ) } \| C ( h ) \| _ { \mathrm { H S } } \| h \| _ { 2 } ^ { \beta } } \\ & { \le ( \Delta _ { n } m _ { k } ) ^ { - \beta } \cdot L = { \cal O } ( \Delta _ { n } ^ { - \beta } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| { \mu _ { k _ { m } } \left( \mathbb { P } _ { m } \right) - \mu _ { k _ { m } } \left( \tilde { \mathbb { P } } _ { m , n ^ { \prime } } \right) } \right\| _ { \mathcal { H } _ { k _ { m } } } } & { \le \frac { c _ { k _ { m } , 1 } } { \sqrt { n } } + \frac { c _ { k _ { m } , 2 } } { n ^ { \prime } } + \frac { c _ { k _ { m } , 3 } \sqrt { \log ( n ^ { \prime } / \delta ) } } { n ^ { \prime } } \sqrt { \mathcal N _ { X _ { m } } \left( \frac { 1 2 a _ { k _ { m } } ^ { 2 } \log ( n ^ { \prime } / \delta ) } { n ^ { \prime } } \right) } , \mathrm { ~ h e n c e } } \\ { a _ { k _ { m } } + \left\| { \mu _ { k _ { m } } \left( \mathbb { P } _ { m } \right) - \mu _ { k _ { m } } \left( \tilde { \mathbb { P } } _ { m , n ^ { \prime } } \right) } \right\| _ { \mathcal { H } _ { k _ { m } } } } & { \le a _ { k _ { m } } + \frac { c _ { k _ { m } , 1 } } { \sqrt { n } } + \frac { c _ { k _ { m } , 2 } } { n ^ { \prime } } + \frac { c _ { k _ { m } , 3 } \sqrt { \log ( n ^ { \prime } / \delta ) } } { n ^ { \prime } } \sqrt { \mathcal N _ { X _ { m } } \left( \frac { 1 2 a _ { k _ { m } } ^ { 2 } \log ( n ^ { \prime } / \delta ) } { n ^ { \prime } } \right) } , } \end{array}
\int _ { m ^ { 2 } } ^ { l _ { { i - 1 } _ { \perp } } ^ { 2 } } \frac { d l _ { { i } _ { \perp } } ^ { 2 } } { l _ { { i } _ { \perp } } ^ { 2 } } \frac { \alpha _ { s } ( m ^ { 2 } ) \log \frac { l _ { { i } _ { \perp } } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } { 1 + c \; \log \frac { l _ { { i } _ { \perp } } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } = - \frac { \alpha _ { s } ( m ^ { 2 } ) } { c ^ { 2 } } \left( \log \frac { \alpha _ { s } ( m ^ { 2 } ) } { \alpha _ { s } ( l _ { { i - 1 } _ { \perp } } ^ { 2 } ) } - c \log \frac { l _ { { i - 1 } _ { \perp } } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { \zeta ( s ) } & { { } = { \frac { 1 } { s - 1 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } H _ { n + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { k } { \binom { n } { k } } ( k + 2 ) ^ { 1 - s } } \\ { \zeta ( s ) } & { { } = { \frac { 1 } { s - 1 } } \left\{ - 1 + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } H _ { n + 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { k } { \binom { n } { k } } ( k + 2 ) ^ { - s } \right\} } \\ { \zeta ( s ) } & { { } = { \frac { k ! } { ( s - k ) _ { k } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( n + k ) ! } } \left[ { n + k \atop n } \right] \sum _ { \ell = 0 } ^ { n + k - 1 } \! ( - 1 ) ^ { \ell } { \binom { n + k - 1 } { \ell } } ( \ell + 1 ) ^ { k - s } , \quad k = 1 , 2 , 3 , \ldots } \\ { \zeta ( s ) } & { { } = { \frac { 1 } { s - 1 } } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } | G _ { n + 1 } | \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { k } { \binom { n } { k } } ( k + 1 ) ^ { - s } } \\ { \zeta ( s ) } & { { } = { \frac { 1 } { s - 1 } } + 1 - \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } C _ { n + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { k } { \binom { n } { k } } ( k + 2 ) ^ { - s } } \\ { \zeta ( s ) } & { { } = { \frac { 2 ( s - 2 ) } { s - 1 } } \zeta ( s - 1 ) + 2 \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } G _ { n + 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { k } { \binom { n } { k } } ( k + 1 ) ^ { - s } } \\ { \zeta ( s ) } & { { } = - \sum _ { l = 1 } ^ { k - 1 } { \frac { ( k - l + 1 ) _ { l } } { ( s - l ) _ { l } } } \zeta ( s - l ) + { \frac { k } { s - k } } + k \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } G _ { n + 1 } ^ { ( k ) } \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { k } { \binom { n } { k } } ( k + 1 ) ^ { - s } } \\ { \zeta ( s ) } & { { } = { \frac { ( a + 1 ) ^ { 1 - s } } { s - 1 } } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \psi _ { n + 1 } ( a ) \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { k } { \binom { n } { k } } ( k + 1 ) ^ { - s } , \quad \Re ( a ) > - 1 } \\ { \zeta ( s ) } & { { } = 1 + { \frac { ( a + 2 ) ^ { 1 - s } } { s - 1 } } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \psi _ { n + 1 } ( a ) \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { k } { \binom { n } { k } } ( k + 2 ) ^ { - s } , \quad \Re ( a ) > - 1 } \\ { \zeta ( s ) } & { { } = { \frac { 1 } { a + { \frac { 1 } { 2 } } } } \left\{ - { \frac { \zeta ( s - 1 , 1 + a ) } { s - 1 } } + \zeta ( s - 1 ) + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \psi _ { n + 2 } ( a ) \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { k } { \binom { n } { k } } ( k + 1 ) ^ { - s } \right\} , \quad \Re ( a ) > - 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { d } { d t } } { \frac { \partial T } { \partial { \vec { \omega } } } } } & { { } = { \frac { \partial T } { \partial { \vec { \omega } } } } \times { \vec { \omega } } + { \frac { \partial T } { \partial { \vec { v } } } } \times { \vec { v } } + { \vec { Q } } _ { h } + { \vec { Q } } , } \\ { { \frac { d } { d t } } { \frac { \partial T } { \partial { \vec { v } } } } } & { { } = { \frac { \partial T } { \partial { \vec { v } } } } \times { \vec { \omega } } + { \vec { F } } _ { h } + { \vec { F } } , } \\ { T } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \vec { \omega } } ^ { T } { \tilde { I } } { \vec { \omega } } + m v ^ { 2 } \right) } \\ { { \vec { Q } } _ { h } } & { { } = - \int p { \vec { x } } \times { \hat { n } } \, d \sigma , } \\ { { \vec { F } } _ { h } } & { { } = - \int p { \hat { n } } \, d \sigma } \end{array}
\psi _ { L } ^ { i = 1 , 2 , 3 } = \left( \nu ^ { i } , \ell ^ { i } , \omega ^ { i } \right) _ { L } ^ { T } : \left( \textbf { 3 } , - \frac { 1 } { 3 } \right) , \quad \ell _ { L } ^ { 1 , 2 , 3 } : \left( \textbf { 1 } , - 1 \right) , \quad \omega _ { R } ^ { 1 , 2 , 3 } : \left( \textbf { 1 } , 0 \right) ,
{ \cal A } _ { T } \approx \frac { \lambda y ( 2 - y ) P _ { T } ^ { h } \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } \alpha _ { g _ { 1 T } } ^ { ( 0 ) } A _ { g _ { 1 T } } ^ { ( 0 ) } } { [ 1 + ( 1 - y ) ^ { 2 } ] m _ { D } \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } A _ { f _ { 1 } } ^ { ( 0 ) } } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { y } ^ { 0 } } & { { } = \mathbf { x } } \\ { \mathbf { y } ^ { l } } & { { } = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { l } \mathbf { y } ^ { l - 1 } + \mathbf { b } ^ { l } ) , \qquad 1 \le l \le L } \\ { \mathbf { y } \; } & { { } = \mathbf { y } ^ { L + 1 } = \mathbf { W } ^ { L + 1 } \mathbf { y } ^ { L } + \mathbf { b } ^ { L + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textnormal { e r f } ( Z \! R + i \, Z I ) } & { { } \simeq } & { \textnormal { e r f } ( Z \! R ) + \frac { e ^ { - Z \! R ^ { 2 } } } { 2 \pi Z \! R } \{ ( 1 - \textnormal { c o s } ( 2 Z \! R Z I ) ) + i \, \textnormal { s i n } ( 2 Z \! R Z I ) \} + } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { a _ { j } } ^ { b _ { j } } ( { u } _ { h j } ) _ { t } \varphi _ { j } \ \mathrm { d } x - \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h j } } \int _ { K } { f } ( { u } _ { h j } ) \varphi _ { j } ^ { \prime } \ \mathrm { d } x + \sum _ { x \in \mathcal { F } _ { h j } ^ { I } } H \big ( { u } _ { h j } ^ { - } , { u } _ { h j } ^ { + } \big ) \left[ \varphi _ { j } \right] } & { } \\ { \quad + H \big ( { u } _ { h j } ^ { - } ( b _ { j } ) , { u } _ { D j } \big ) \varphi _ { j } ^ { - } ( b _ { j } ) - H _ { j } \varphi _ { j } ^ { + } ( a _ { j } ) } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mathcal { L } ( \lambda , S , P ) } { \partial \lambda } = - \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \mathcal { L } - P \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial P } \right) ^ { 2 } - 2 S \left( \mathcal { L } - P \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial P } \right) \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial S } - P ^ { 2 } \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial S } \right) ^ { 2 } \right] \, . } \end{array}
\rho _ { \mu } \approx P _ { \mu \mu } + { \frac { 1 } { r } } P _ { e \mu } = 1 - { \frac { 1 } { 2 } } \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 2 3 } - { \frac { c _ { 2 3 } ^ { 2 } } { r } } ( \rho _ { e } - 1 ) .
\begin{array} { r l } & { \frac { d C _ { V } } { d t } = \ensuremath { \mathrm { N P P } } \emph { f } _ { n v } - C _ { V } ( \emph { f } _ { v d } + \emph { f } _ { v s } ) - F _ { L C } \emph { f } _ { l v } \mathrm { ~ , } } \\ & { \frac { d C _ { D } } { d t } = \ensuremath { \mathrm { N P P } } \emph { f } _ { n d } + C _ { V } \emph { f } _ { v d } - C _ { D } \emph { f } _ { d s } - \ensuremath { \mathrm { R H } } _ { d e t } - F _ { L C } \emph { f } _ { l d } \mathrm { ~ , } } \\ & { \frac { d C _ { S } } { d t } = \ensuremath { \mathrm { N P P } } \emph { f } _ { n s } + C _ { V } \emph { f } _ { v s } + C _ { D } \emph { f } _ { d s } - \ensuremath { \mathrm { R H } } _ { s o i l } - F _ { L C } f _ { l s } \mathrm { ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { c } { \dot { x } _ { 1 } = \omega x _ { 2 } , } \\ { \dot { y } _ { 1 } = \omega y _ { 2 } ; } \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array} { c } { \dot { x } _ { 2 } = - \omega x _ { 1 } , } \\ { \dot { y } _ { 2 } = - \omega y _ { 1 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { D i c k } } ( \tau ) = \frac { \sigma _ { \mathrm { L O } } } { \sqrt { 2 \mathrm { l n } 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \bigg | \frac { \mathrm { s i n } ( \pi m T / T _ { c } ) } { \pi m T / T _ { c } } \bigg | \sqrt { \frac { T _ { c } } { m \tau } } .
\mid \tilde { P } _ { 0 } \rangle \: = \: \prod _ { \nu = 0 } ^ { 3 } \, { \mathbf a } _ { \nu } ^ { \dagger } \prod _ { \mu = 0 } ^ { 3 } \, { \mathbf b } ^ { \dagger \mu } \, \mid 0 \rangle .
\begin{array} { r l } { \Delta \rho _ { K S } } & { { } = \rho _ { K S } ( g ) - \rho _ { K S } ( 0 ) \, , } \\ { \Delta \rho _ { O F } } & { { } = \rho _ { O F } ( g ) - \rho _ { O F } ( 0 ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { \sqrt n } { \mathcal { W } } ( u _ { 2 } , v _ { 1 } , w _ { 2 } ) \right] = \frac { 1 } { \sqrt n } \sum _ { i j k } \mathbb { E } [ u _ { 2 i } v _ { 1 j } w _ { 2 k } W _ { i j k } ] } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt n } \sum _ { i j k } \mathbb { E } \left[ \frac { \partial u _ { 2 i } } { \partial W _ { i j k } } v _ { 1 j } w _ { 2 k } + u _ { 2 i } \frac { \partial v _ { 1 j } } { \partial W _ { i j k } } w _ { 2 k } + u _ { 2 i } v _ { 1 j } \frac { \partial w _ { 2 k } } { \partial W _ { i j k } } \right] } \\ & { \simeq - \frac 1 n \sum _ { i j k } \mathbb { E } \left[ v _ { 2 j } w _ { 2 k } Q _ { i i } ^ { 1 1 } ( \lambda _ { 2 } ) v _ { 1 j } w _ { 2 k } + u _ { 2 i } u _ { 1 i } w _ { 1 k } R _ { j j } ^ { 2 2 } ( \lambda _ { 1 } ) w _ { 2 k } + u _ { 2 i } v _ { 1 j } u _ { 2 i } v _ { 2 j } Q _ { k k } ^ { 3 3 } ( \lambda _ { 2 } ) \right] } \\ & { \xrightarrow [ n \to \infty ] - \langle v _ { 1 } , v _ { 2 } \rangle [ q _ { 1 } ( \lambda _ { 2 } ) + q _ { 3 } ( \lambda _ { 2 } ) ] - \langle u _ { 1 } , u _ { 2 } \rangle \langle w _ { 1 } , w _ { 2 } \rangle r _ { 2 } ( \lambda _ { 1 } ) } \end{array}
{ \cal W } ( { \bf q } ) = \left[ \operatorname * { d e t } ( 2 \pi { \bf M } ) \right] ^ { - \frac 1 2 } \exp \left\{ - \frac 1 2 ( { \bf q } - \langle { \bf q } \rangle ) { \bf M } ^ { - 1 } ( { \bf q } - \langle { \bf q } \rangle ) \right\} ,
u _ { r } ( r , z ) = { \frac { 3 R ^ { 3 } } { 4 } } \cdot { \frac { r z u } { { \sqrt { r ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } ^ { 5 } } } - { \frac { 3 R } { 4 } } \cdot { \frac { r z u } { { \sqrt { r ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } ^ { 3 } } }
\mathbf { K } _ { c } = \mathbf { P } _ { c } ^ { \bf { x } , \tilde { \bf { y } } } { \left[ \mathbf { P } _ { c } ^ { \tilde { \bf { y } } , \tilde { \bf { y } } } + \mathbf { R } _ { c } \right] } ^ { - 1 } .
\tilde { \mathring { A } } ^ { { w , w ^ { \prime } } } : = A - \sum _ { \tau = \pm } \mathbf { 1 } _ { \delta } ^ { \tau \mathfrak { s } } ( w , w ^ { \prime } ) \frac { \langle M ( \mathrm { R e } \, w + \tau \mathrm { i } \mathrm { I m } \, w ) A M ( \mathrm { R e } \, w ^ { \prime } + \mathrm { i } \mathrm { I m } \, w ^ { \prime } ) E _ { \tau \mathfrak { s } } \rangle } { \langle M ( \mathrm { R e } \, w + \tau \mathrm { i } \mathrm { I m } \, w ) E _ { \tau \mathfrak { s } } M ( \mathrm { R e } \, w ^ { \prime } + \mathrm { i } \mathrm { I m } \, w ^ { \prime } ) E _ { \tau \mathfrak { s } } \rangle } E _ { \tau \mathfrak { s } }
\begin{array} { r l } { i \frac { d } { d t } \rho ( t ) = } & { { } \big [ F [ \rho ( t _ { 0 } ) ] + \Delta H + v ^ { H } [ \delta \rho ( t ) ] + v ^ { x } [ \delta \rho ( t ) ] , \rho ( t ) \big ] } \end{array}
\left( L ^ { d } - ( n _ { i _ { a } ^ { \prime } } - 1 ) \right) \sim ( L ^ { d } - 1 ) \; \mathrm { ~ a n d ~ } \; \left( L ^ { d } - ( n _ { i _ { b } ^ { \prime } } ) \right) \sim ( L ^ { d } - 1 ) .
\dot { C } _ { 1 ( 2 ) } ( { \vec { k } } , t ) = \frac { \dot { \nu } _ { k } } { { \nu } _ { k } } { \cal N } ^ { t } ( { \vec { k } } , t ) \mp 2 { \nu } _ { k } C _ { 1 ( 2 ) } ( { \vec { k } } , t ) .
E _ { \tilde { a } } ( t _ { 0 } ) = \int _ { 0 } ^ { m _ { \chi } / 2 } p f _ { \tilde { a } } ( t _ { 0 } , p ) d p = N _ { 0 } p ( \tau _ { \chi } , t _ { 0 } ) \left[ \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } \mathrm { E r f } \left[ \left( \frac { t _ { 0 } } { \tau _ { \chi } } \right) ^ { 1 / 2 } \right] - \left( \frac { t _ { 0 } } { \tau _ { \chi } } \right) ^ { 1 / 2 } e ^ { - t _ { 0 } / \tau _ { \chi } } \right] .
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { = \langle \mathcal { A } ^ { 1 } ( t _ { * } ^ { 1 } + r ^ { 1 } ) , r ^ { 1 } \rangle = \langle \mathcal { A } ^ { 1 } ( t _ { * } ^ { 1 } + r ^ { 1 } ) - \mathcal { A } ^ { 1 } ( t _ { * } ^ { 1 } ) , r ^ { 1 } \rangle \ge C _ { \mathrm { S M } } ^ { 1 } \| r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { i n f } \{ \lambda \in \mathbb { R } ^ { + } : \int _ { \| x \| _ { 2 } \leq M } \Phi ( \| x \| / \lambda ) \cdot | ( G - G ^ { \prime } ) \ast Z _ { \delta , d } ( x ) | \mathrm { d } x \leq 1 / 2 \} } \\ & { \leq } & { \operatorname* { i n f } \{ \lambda > 0 : \int _ { \| x \| \leq M } { \exp ( ( \| x \| / \lambda ) ^ { \beta } ) \cdot | ( G - G ^ { \prime } ) * Z _ { \delta , d } ( x ) | \mathrm { d } x } \leq 3 / 2 \} } \\ & { \leq } & { \operatorname* { i n f } \biggr \{ \lambda > 0 : \biggr ( \int _ { \| x \| \leq M } \exp ( ( M / \lambda ) ^ { \beta } ) \mathrm { d } x \biggr ) ^ { 1 / 2 } \biggr ( \int _ { \| x \| \leq M } | ( G - G ^ { \prime } ) * Z _ { \delta , d } ( x ) | ^ { 2 } \mathrm { d } x \biggr ) ^ { 1 / 2 } \leq 3 / 2 \biggr \} } \\ & { \leq } & { \operatorname* { i n f } \biggr \{ \lambda > 0 : \frac { \pi ^ { d / 4 } } { \sqrt { ( \frac { d } { 2 } + 1 ) \Gamma ( d / 2 ) } } M ^ { d / 2 } \exp ( ( M / \lambda ) ^ { \beta } ) \| ( G - G ^ { \prime } ) * Z _ { \delta , d } ( x ) \| _ { 2 } \leq 3 / 2 \biggr \} } \\ & { = } & { \frac { M } { ( \log ( c _ { d } / ( \| ( G - G ^ { \prime } ) * \zeta _ { \delta , d } \| _ { 2 } M ^ { d / 2 } ) ) ) ^ { 1 / \beta } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( \nabla x ) \times ( \nabla y ) } & { = \left( { \vec { e } } _ { x } { \frac { \partial x } { \partial x } } + { \vec { e } } _ { y } { \frac { \partial x } { \partial y } } + { \vec { e } } _ { z } { \frac { \partial x } { \partial z } } \right) \times \left( { \vec { e } } _ { x } { \frac { \partial y } { \partial x } } + { \vec { e } } _ { y } { \frac { \partial y } { \partial y } } + { \vec { e } } _ { z } { \frac { \partial y } { \partial z } } \right) } \\ & { = ( { \vec { e } } _ { x } \cdot 1 + { \vec { e } } _ { y } \cdot 0 + { \vec { e } } _ { z } \cdot 0 ) \times ( { \vec { e } } _ { x } \cdot 0 + { \vec { e } } _ { y } \cdot 1 + { \vec { e } } _ { z } \cdot 0 ) } \\ & { = { \vec { e } } _ { x } \times { \vec { e } } _ { y } } \\ & { = { \vec { e } } _ { z } } \\ { ( { \vec { u } } x ) \times ( { \vec { u } } y ) } & { = x y ( { \vec { u } } \times { \vec { u } } ) } \\ & { = x y { \vec { 0 } } } \\ & { = { \vec { 0 } } } \end{array} }
{ \begin{array} { r l r l } { \left[ { \begin{array} { l } { n } \\ { m } \end{array} } \right] } & { \equiv [ x ^ { m } ] ( x ^ { \lceil n / 3 \rceil } ( x + 1 ) ^ { \lceil ( n - 1 ) / 3 \rceil } ( x + 2 ) ^ { \lfloor n / 3 \rfloor } } & & { { \pmod { 3 } } } \\ & { \equiv \sum _ { k = 0 } ^ { m } { \binom { \lceil ( n - 1 ) / 3 \rceil } { k } } { \binom { \lfloor n / 3 \rfloor } { m - k - \lfloor n / 3 \rfloor } } 2 ^ { \lceil n / 3 \rceil + \lfloor n / 3 \rfloor - m + k } } & & { { \pmod { 3 } } } \end{array} }
\begin{array} { l } { \dot { x } = \frac { 2 } { 1 + \rho } ( x y P _ { D \to C } + x z P _ { L \to C } - x ( y + \rho ) P _ { C \to D } - x z P _ { C \to L } ) } \\ { \dot { y } = \frac { 2 } { 1 + \rho } ( x ( y + \rho ) P _ { C \to D } + ( y + \rho ) z P _ { L \to D } - x y P _ { D \to C } - y z P _ { D \to L } ) } \\ { \dot { z } = \frac { 2 } { 1 + \rho } ( x z P _ { C \to L } + y z P _ { D \to L } - x z P _ { L \to C } - ( y + \rho ) z P _ { L \to D } ) } \end{array} .
\begin{array} { r c l } { { { \cal F } _ { 5 } } } & { { = } } & { { \sum _ { \ell = 1 } ^ { \infty } [ \ell S _ { \ell - } - ( \ell + 1 ) S _ { \ell + } ] P _ { \ell } ^ { \prime } , } } \\ { { { \cal F } _ { 6 } } } & { { = } } & { { \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } [ ( \ell + 1 ) S _ { \ell + } P _ { \ell + 1 } ^ { \prime } - \ell S _ { \ell - } P _ { \ell - 1 } ^ { \prime } ] } } \end{array}
\begin{array} { r } { \lvert \textbf { p } _ { B } \pm \frac { \textbf { q } _ { B } } { 2 } \rvert = q _ { B } \sqrt { \frac { p _ { B } ^ { 2 } } { q _ { B } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 4 } \pm \frac { p _ { B } } { q _ { B } } \cos \theta } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle \alpha _ { \mathrm { L } } , \alpha _ { \mathrm { R } } | \hat { \mathcal { R } } _ { \mathrm { L R } } ( \Delta \phi ) | \alpha _ { \mathrm { L } } , \alpha _ { \mathrm { R } } \rangle } \\ & { } & { = \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \Delta \phi } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \Delta \phi } { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi } { 2 } } \cos ( \theta / 2 ) } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \phi } { 2 } } \sin ( \theta / 2 ) \ } \end{array} \right) } \\ & { } & { = \mathcal { R } _ { \mathrm { L R } } ( \Delta \phi ) | \mathrm { B l o c h } \rangle , } \end{array}
{ \cal L } ^ { P V } = \frac { e h _ { \gamma \pi N N } } { m _ { N } ^ { 2 } } \overline { { { p } } } \left[ S ^ { \mu } , S ^ { \nu } \right] \pi ^ { + } n F _ { \mu \nu } + i \frac { e \widetilde { G } } { m _ { N } }
\begin{array} { r } { T _ { H } = \frac { - 3 \alpha g ^ { 2 } \log \left( \frac { r _ { + } } { | \alpha | } \right) + \alpha \left( g ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \right) + r _ { + } \left( r _ { + } ^ { 2 } - 2 g ^ { 2 } \right) } { 4 \pi r _ { + } ^ { 2 } \left( g ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { k + 1 } ^ { v , \tau _ { i } } \left( t _ { i } , S _ { 1 } , S _ { 2 } \right) } & { { } = \sum _ { \{ t _ { j } \} _ { j \leq k + 1 } } \prod _ { j \leq k + 1 } m _ { j \to \Psi _ { i } } ^ { v } ( t _ { i } , t _ { j } , \tau _ { i } ) \delta _ { S _ { 1 } , \sum _ { j \leq k + 1 } ( t _ { i } - t _ { j } - 1 ) _ { + } } \delta _ { S _ { 2 } , \sum _ { j \leq k + 1 } \theta ( t _ { i } - t _ { j } - 1 ) } = } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { A B E P } \leq } & { \sum _ { k _ { 1 } = 1 } ^ { L } \sum _ { { k _ { 2 } } = 1 } ^ { L } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { \hat { k } = 1 } ^ { L } \sum _ { { \hat { k } _ { 2 } } = 1 } ^ { L } \sum _ { \hat { m } = 1 } ^ { M } \frac { N ( [ k _ { 1 } , k _ { 2 } , m ] \to [ \hat { k } _ { 1 } , \hat { k } _ { 2 } , \hat { m } ] ) \bar { P } _ { r } } { { { L ^ { 2 } M \log _ { 2 } ( L ^ { 2 } M ) } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla ^ { \kappa , \rho } ( \mathcal { Z } _ { m , n } ^ { \kappa + 1 , \rho } ( z , \overline { { z } } ) ) = \nabla _ { 1 } ^ { \kappa , \rho } \left( \nabla _ { 1 } ^ { \kappa + 1 , \rho } \circ \nabla _ { 2 } ^ { \kappa + 1 , \rho } \circ \cdots \circ \nabla _ { m } ^ { \kappa + 1 , \rho } \right) ( e _ { n } ) = \mathcal { Z } _ { m + 1 , n } ^ { \kappa , \rho } ( z , \overline { { z } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathrm { G L } _ { n } ( F ) } \int _ { N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ^ { 0 } ( F ) } l _ { T } ( \pi ( m ( a ) ) v _ { 0 } ) \chi _ { T } ( \operatorname* { d e t } a ) | \operatorname* { d e t } a | ^ { - \frac { 3 n } { 2 } - 1 } } \\ { \times } & { \omega _ { \psi } ( \alpha _ { T } ^ { k } ( u ) ) \Phi ^ { 0 } ( a ) f _ { \mathcal { W } ( \tau \otimes \chi _ { T } , n , \psi _ { 2 T } ) , s } ^ { 0 } ( \eta t ( 1 , m ( a ) ) u ) d u d a . } \end{array}
\mathcal { S } \mathrm { ~ o ~ l ~ } : = \{ \mathbf { X } _ { E } \in \mathbf { T } _ { \mathfrak { u } } \mathbb { P } _ { L } \ \backslash \ \ i _ { \mathbf { X } _ { E } } \mathbf { \Omega } _ { L } = \mathbf { d } E \mathrm { ~ o ~ n ~ } \mathbb { P } _ { L } ^ { [ 1 ] } \} .
V _ { N } \cong \left( \frac { \vec { N } _ { 2 } \times \hat { N } _ { 3 } } { | \vec { N } _ { 2 } \times \hat { N } _ { 3 } | } , \frac { \vec { N } _ { 2 } - \vec { N } _ { 2 } \cdot \hat { N } _ { 3 } \hat { N } _ { 3 } } { | \vec { N } _ { 2 } \times \hat { N } _ { 3 } | } , \hat { N } _ { 3 } \right) .
v ( z , x ) = \frac { x - \chi } { z } , \quad n ( z , x ) = e ^ { - \mu ^ { 2 } } \frac { \chi } { x } \frac { \left( \beta - \alpha e ^ { - \chi ^ { 2 } } \right) } { \left( \beta - \alpha e ^ { - \mu ^ { 2 } } \right) } \, .
\begin{array} { r l r } { { \rho _ { f } = \left( \frac { \rho _ { e } ^ { \gamma } a _ { f } ^ { 2 } } { \gamma p _ { e } } \right) ^ { \frac { 1 } { \gamma - 1 } } \, \mathrm { ~ , ~ } } } & { { } \ } & { { p _ { f } = \frac { \rho _ { f } a _ { f } ^ { 2 } } { \gamma } \, \mathrm { ~ . ~ } } } \end{array}
( \sigma ^ { \prime } , \langle q ^ { \prime } \rangle ) = \mathcal { F } _ { \cal { V } ^ { \prime } } \circ \mathcal { F } _ { \cal { V } } ^ { - 1 } ( \sigma , \langle q \rangle ) = \widetilde { \mathbf { g } } _ { 0 } ^ { - 1 } \big ( e ^ { u ( \sigma ^ { \prime } , \langle q ^ { \prime } \rangle ) } \sigma ^ { \prime } \big ) = \widetilde { \mathbf { g } } _ { 0 } ^ { - 1 } \big ( \psi ^ { * } ( e ^ { u ( \sigma , \langle q \rangle ) } \sigma ) \big ) \in \mathcal { U } ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { ( ( D _ { \phi _ { 1 } } - \theta _ { 2 } L _ { \phi _ { 1 } } ) + \theta _ { 1 } \phi _ { \phi _ { 1 } } + \theta _ { 1 } \phi _ { 2 } ) z ^ { ( k + 1 ) } } & { = ( ( 1 - \theta _ { 1 } ) D _ { \phi _ { 1 } } + ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) L _ { \phi _ { 1 } } } \\ & { + \theta _ { 1 } U _ { \phi _ { 1 } } + \theta _ { 1 } \phi _ { \phi _ { 1 } } ) z ^ { ( k ) } + \theta _ { 1 } ( \lvert ( A _ { \phi _ { 1 } } } \\ & { - \phi _ { 2 } ) z ^ { ( k ) } + \phi _ { 1 } q + \phi _ { 2 } \psi ( z ^ { ( k ) } ) \rvert } \\ & { - \phi _ { 1 } q + \phi _ { 2 } \psi ( z ^ { ( k ) } ) ) , } \end{array}