harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left\| C _ { T } ( { \bf x } ) \right\| _ { 2 } } & { = \left\| { \bf x } - { \bf x } ^ { T } \right\| _ { 2 } \leq \left\| { \bf x } - \overline { { \bf x } } \right\| _ { 2 } + \left\| { \bf x } ^ { T } - \overline { { \bf x } } \right\| _ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 + 1 / \sqrt { 2 } ) \left\| { \bf x } - \overline { { \bf x } } \right\| _ { 2 } , } \\ { \left\| C _ { T } ( { \bf x } ) \right\| _ { 2 } } & { = \left\| { \bf x } - { \bf x } ^ { T } \right\| _ { 2 } \geq \left\| { \bf x } - \overline { { \bf x } } \right\| _ { 2 } - \left\| { \bf x } ^ { T } - \overline { { \bf x } } \right\| _ { 2 } } \\ & { \geq ( 1 - 1 / \sqrt { 2 } ) \left\| { \bf x } - \overline { { \bf x } } \right\| _ { 2 } } \end{array}
{ \frac { 1 - \alpha ^ { 2 } } { 1 + \alpha ^ { 2 } } } = { \sqrt { 1 - w ^ { 2 } } } , \quad { \frac { 2 \alpha } { 1 - \alpha ^ { 2 } } } = { \frac { w } { \sqrt { 1 - w ^ { 2 } } } } ,
R ( \{ \Pi _ { i } ^ { \prime } \} ) = \operatorname* { i n f } _ { \substack { | \vec { c } | = 1 \, - 1 \le c _ { 0 } \le 1 } } \sum _ { i } | \beta _ { i } ( c _ { 0 } + \vec { c } \cdot \hat { n } _ { i } ) | = \sum _ { i } | \beta _ { i } ( c _ { 0 } ^ { * } + \vec { c ^ { * } } \cdot \hat { n } _ { i } ) | = \frac { 1 } { \sum _ { j } \alpha _ { j } \eta _ { j } } \sum _ { i } | \alpha _ { i } \eta _ { i } ( c _ { 0 } ^ { * } + \vec { c ^ { * } } \cdot \hat { n } _ { i } ) |
\begin{array} { r l } { \| \nabla l _ { t } ( \Theta ) \| _ { F } } & { \leq \| g _ { t } z _ { t } ^ { \top } \| _ { F } + \| ( { A } _ { t , \mathcal { B } _ { t } } ^ { - 1 } ) ^ { \top } { A } _ { t , \mathcal { N } _ { t } } { g } _ { t } { z } ^ { \top } \| _ { F } } \\ & { \leq \| g _ { t } \| _ { 2 } \| z _ { t } \| _ { 2 } + \| { A } _ { t , \mathcal { B } _ { t } } ^ { - 1 } \| _ { F } \| { A } _ { t , \mathcal { N } _ { t } } \| _ { F } \| g _ { t } \| _ { 2 } \| z _ { t } \| _ { 2 } } \\ & { \leq \sqrt { n } + \| { A } _ { t , \mathcal { B } _ { t } } ^ { - 1 } \| _ { F } \| { A } _ { t , \mathcal { N } _ { t } } \| _ { F } \cdot \sqrt { n } } \\ & { \leq \sqrt { n } + \bar { \sigma } m n , } \end{array}
\bigoplus _ { i = 1 } ^ { n } \mathbf { A } _ { i } = \operatorname { d i a g } ( \mathbf { A } _ { 1 } , \mathbf { A } _ { 2 } , \mathbf { A } _ { 3 } , \ldots , \mathbf { A } _ { n } ) = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { A } _ { 1 } } & { { \boldsymbol { 0 } } } & { \cdots } & { { \boldsymbol { 0 } } } \\ { { \boldsymbol { 0 } } } & { \mathbf { A } _ { 2 } } & { \cdots } & { { \boldsymbol { 0 } } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { { \boldsymbol { 0 } } } & { { \boldsymbol { 0 } } } & { \cdots } & { \mathbf { A } _ { n } } \end{array} \right] } \,
\int d ^ { 4 } \xi e ^ { i q \cdot \xi } T \left[ J _ { \mu } ^ { \mathrm { e m } } ( \xi ) J _ { \nu } ^ { \mathrm { e m } } ( 0 ) \right] = - 2 i \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } { \frac { q _ { \alpha } } { Q ^ { 2 } } } \left[ { \frac { 1 } { 3 } } C _ { 2 } ( \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) ) J _ { 5 \beta } ( 0 ) - { \frac { 8 } { 2 7 Q ^ { 2 } } } C _ { 4 } ( \alpha _ { s } ) O _ { 4 \beta } + . . . \right] ,
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathrm { P e } } } & { { } \equiv } & { \frac { Q H } { \left< \theta \right> D } , } \\ { \tilde { \mathrm { R a } } } & { { } \equiv } & { \frac { \left< k \right> \Delta _ { \rho } g H } { \mu \left< \theta \right> D } , } \\ { \tilde { \mathrm { S h } } } & { { } \equiv } & { \frac { \dot { M } H } { A \left< \theta \right> D c _ { \mathrm { s a t } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \left( \frac { 1 } { N } \| \boldsymbol { \Delta } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \| ^ { 2 } \geq \epsilon \right) \leq C k ^ { 2 } C _ { k - 1 } ^ { \prime } e ^ { - c c _ { k - 1 } ^ { \prime } n \epsilon / k ^ { 4 } } , \qquad \mathbb { P } \left( \frac { 1 } { N } \| \boldsymbol { \Delta } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \| ^ { 2 } \geq \epsilon \right) \leq C k ^ { 2 } C _ { k - 1 } e ^ { - c c _ { k - 1 } n \epsilon / k ^ { 4 } } . } \end{array}
{ \frac { d n } { d t } } = - { \frac { 3 } { 2 } } { \sqrt { G M } } r ^ { - 5 / 2 } { \frac { d r } { d t } } = - { \frac { 3 } { 2 } } { \frac { n } { r } } { \frac { d r } { d t } } = { \frac { 2 7 } { 4 } } k G { \frac { m A ^ { 5 } } { r ^ { 8 } } } \sin ( 2 \alpha )
h \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } \big ( \textstyle \sum _ { p = 1 } ^ { n } \beta _ { i p } ^ { \ell } ( k ) + \textstyle \sum _ { p = 1 } ^ { n } \beta _ { i p } ^ { w \ell } ( k ) w _ { m a x } ^ { \ell } \big ) \in [ 0 , 1 ]
Z \bar { Z } = M ^ { 2 } = \frac { W ^ { 3 / 2 } } { \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } \omega _ { 3 } } \frac { ( p ^ { 0 } ) ^ { 2 } W + [ 2 p ^ { 1 } p ^ { 2 } p ^ { 3 } - p ^ { 0 } ( p \cdot q ) ] ^ { 2 } } { 4 W } \ ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { Z } = \Big [ ( \sigma \sigma ^ { \top } ) ( \eta _ { 1 } + \eta _ { P } ) + A _ { 1 } ^ { \top } ( Q _ { 1 1 } ^ { 1 } ) ^ { - 1 } A _ { 1 } \Big ] ^ { - 1 } \left( ( \sigma \sigma ^ { \top } ) \eta _ { P } + A _ { 1 } ^ { \top } ( Q _ { 1 1 } ^ { 1 } ) ^ { - 1 } A _ { 1 } \right) \; , } \\ & { w ^ { P } ( t ) = \lambda ( T - t ) + \Lambda \; , } \\ & { { \alpha } _ { 1 } ^ { S B } ( z ^ { 1 } ) = ( Q _ { 1 1 } ^ { 1 } ) ^ { - 1 } ( A _ { 1 } z ^ { 1 } - L _ { 1 } ^ { 1 } ) \; , } \\ & { \hat { \mathcal { M } } ( z ^ { 1 } , t ) = g - \eta _ { 1 } z ^ { 1 } ( z ^ { 1 } ) ^ { \top } - \eta _ { P } \left( w ^ { P } ( t ) - z ^ { 1 } \right) \left( w ^ { P } ( t ) - z ^ { 1 } \right) ^ { \top } \; . } \end{array}
\left( J ^ { \alpha } \right) \left( J ^ { \beta } f \right) ( x ) = { \frac { 1 } { \Gamma ( \alpha ) \Gamma ( \beta ) } } \int _ { 0 } ^ { x } \left( x - s \right) ^ { \alpha + \beta - 1 } f ( s ) \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( 1 - r \right) ^ { \alpha - 1 } r ^ { \beta - 1 } \, d r \right) \, d s
\begin{array} { r } { \operatorname { \mathbb P } \left( \left| \frac 1 n \sum _ { i = 1 } ^ { n } H _ { i } \right| _ { 2 } \ge \delta \right) \le 2 \operatorname { \bf R a n k } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname { \mathbb { V } a r } ( H _ { i } ) \right) \exp \left\{ - \frac { n \delta ^ { 2 } } { 2 ( \sigma ^ { 2 } + b \delta ) } \right\} , } \end{array}
\zeta ( 2 , b + 1 ) = \frac { 1 } { 2 ( b + 1 ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { ( b + 1 ) } + \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d y } { e ^ { 2 \pi y } - 1 } \, \frac { 4 ( b + 1 ) y } { [ y ^ { 2 } + ( b + 1 ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } } \; ,
( \dot { g } , \dot { A } ) = ( 2 \delta _ { g } ^ { * } \omega , \mathcal { L } _ { \omega ^ { \sharp } } A + d \phi ) \quad \! \! \mathrm { w i t h } \quad \! \! \omega = - \left( \begin{array} { l } { \Bigl ( \mathbf { X } + \frac { r ^ { 2 } } { k } \mathring { d } ( r ^ { - 1 } L ) \Bigr ) \mathsf { S } } \\ { - \frac { r } { k } L \mathring { d } \mathsf { S } } \end{array} \right) , \quad \! \! \phi = \iota _ { A } ( \mathbf { X } + \frac { r ^ { 2 } } { k } \mathring { d } ( r ^ { - 1 } L ) ) - \frac { r } { k } K .
\begin{array} { r } { X _ { \mathrm { n , a } } = \varrho _ { \mathrm { r } } \mathbb { E } \Big [ \big | \sum _ { n = 1 } ^ { N } \beta _ { n } \mathrm { e } ^ { \jmath \theta _ { n } } a _ { n } g _ { \mathrm { r } , n } ^ { * } \big | ^ { 2 } \Big ] \overset { ( a ) } { = } \varrho _ { \mathrm { r } } \ddot { \beta } \sigma _ { a } ^ { 2 } , } \end{array}
\ensuremath { \boldsymbol { \nabla } } \cdot ( ( \ensuremath { \boldsymbol { I } } + \ensuremath { \boldsymbol { \nabla } } \ensuremath { \boldsymbol { u } } _ { 0 } ) ( \ensuremath { \boldsymbol { I } } + \ensuremath { \boldsymbol { \nabla } } \ensuremath { \boldsymbol { u } } _ { 0 } ) ^ { T } ) ^ { \prime } = 0 , ~ ~ r \leq 1 ; ~ ~ ~ \ensuremath { \mathrm { ~ \boldmath ~ u ~ } } _ { 0 } | _ { r = \zeta } = 0
g _ { \rho } ( \nabla \mathcal { E } ( \rho ) , \sigma ) = \Bigl \langle \frac { \delta \mathcal { E } } { \delta \rho } , \sigma \Bigr \rangle = \Bigl \langle \frac { \delta \tilde { \mathcal { E } } } { \delta \tilde { \rho } } , \tilde { \sigma } \Bigr \rangle = g _ { \tilde { \rho } } ( \nabla \tilde { \mathcal { E } } ( \tilde { \rho } ) , \tilde { \sigma } ) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { r e s } _ { t = 0 } \ \partial \mathfrak { g } _ { \mathbb { V } } ^ { \circ } ( y ) _ { m , \mu } ^ { \prime \prime } } & { = 0 } \\ { \mathrm { r e s } _ { t = 0 } \ ( \partial \mathfrak { g } _ { \mathbb { V } } ^ { \circ } ( y ) _ { m , \mu } ^ { \prime } - \partial \mathfrak { g } _ { \mathbb { V } ^ { \mathrm { n i l p } } } ^ { \circ } ( y ) _ { m , \mu } ^ { \prime } ) } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Vert \varphi \Vert _ { { \mathbb H } _ { N + 1 } ^ { B , \sigma } } ^ { 2 } = \int _ { \mathbb R ^ { 2 } } \int _ { \mathscr D _ { N } ^ { \sigma } } \vert \varphi ( p , x ) \vert ^ { 2 } \mathrm { d } ^ { 2 } p \mathrm { d } \mu _ { N } ^ { B } ( x ) = \Vert \mathrm P _ { N + 1 } \Psi \Vert _ { { \mathbb H } _ { N + 1 } } ^ { 2 } \leq \Vert \Psi \Vert _ { { \mathbb H } _ { N + 1 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\epsilon ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { d } } = \sqrt { | g | } \, \epsilon ^ { a _ { 1 } \cdots a _ { d } } e _ { a _ { 1 } } { } ^ { \mu _ { 1 } } \ldots e _ { a _ { d } } { } ^ { \mu _ { d } } \, .
\begin{array} { r } { T _ { 2 } \lesssim \mathbb { E } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq \tilde { T } } \left| \frac { 1 } { \tilde { T } h } \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } \gamma _ { h } ( x _ { j } , x _ { k } ) \xi _ { k } ^ { - } \right| ^ { 2 } \right\} + \mathbb { E } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq \tilde { T } } \left| \frac { 1 } { \tilde { T } h } \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } \gamma _ { h } ( x _ { j } , x _ { k } ) \xi _ { k } ^ { + } \right| ^ { 2 } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { i } \equiv \frac { \bar { P } _ { f _ { 0 } ^ { i } } - \bar { P } } { P _ { \mathrm { r e f } } ^ { i } } , \quad \sigma _ { p _ { i } } ^ { 2 } = \left( \frac { \sigma _ { \bar { P } } } { P _ { \mathrm { r e f } } ^ { i } } \right) ^ { 2 } \left( 1 + \delta _ { i } ^ { 2 } \sum _ { j } F _ { j } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
( 1 + \epsilon ^ { 2 } \bar { \kappa } k ^ { 2 } ) c _ { p } ^ { 2 } - q _ { 1 } ( 2 + \epsilon ^ { 2 } \bar { \kappa } k ^ { 2 } ) c _ { p } - q _ { 2 } + q _ { 1 } ^ { 2 } = 0 \, ,
v _ { I } ( t ) = \frac { t _ { V } ^ { i + 1 } - t } { \Delta t _ { V } } \cdot v ( g ) ( t _ { V } ^ { i } ) + \frac { t - t _ { V } ^ { i } } { \Delta t _ { V } } \cdot v ( g ) ( t _ { V } ^ { i + 1 } )
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ E ~ x ~ c ~ e ~ s ~ s ~ D ~ e ~ p ~ t ~ h ~ } ( \nu ) = \frac { 2 \int _ { R _ { p } } ^ { R _ { s } } e ^ { - \tau _ { \nu } ( z ) } z d z } { R _ { s } ^ { 2 } - R _ { p } ^ { 2 } } } \end{array}
p _ { L } ( x ) = \frac { 2 } { 3 } \frac { \pi } { 1 6 } k _ { 0 } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } m \langle v ( x ) ^ { 2 } \rangle \right) \frac { d t } { e A _ { 0 } B _ { 0 } }
\boldsymbol { \sigma } = - \overline { { \mu } } \big [ \boldsymbol { \nabla u } + ( \boldsymbol { \nabla u } ) ^ { t } \big ] + \frac { 2 } { 3 } \overline { { \mu } } ( \boldsymbol { \nabla \cdot u } ) \boldsymbol { \delta } ,
E ( \psi _ { I } , \chi _ { I } ) = \left( \frac { \mathrm { d } f } { \mathrm { d } \psi _ { I } } + f ( \psi _ { I } ) \right) \left( \frac { \mathrm { d } g } { \mathrm { d } \chi _ { I } } + g ( \chi _ { I } ) \right) ,
\begin{array} { r l } { P ( \tau ) } & { \leq \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } \Sigma ^ { 2 - \gamma } } { \gamma \sigma ^ { 2 } \tau } \exp \left[ - \frac { \left( r _ { 0 } \Sigma - d \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right] } \\ & { \leq \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { \gamma \sigma ^ { 2 } \tau } \left( \ln \frac { \eta } { \tau } \right) ^ { \frac { 2 } { \gamma } - 1 } . } \end{array}
P \left\{ \underset { h \in \mathcal { H } _ { \sigma } ( L , N , B , F , S ) } { \operatorname* { s u p } } [ \widehat { R } _ { n } ( h ) - R ( h ) ] > \varepsilon \right\} \leq C _ { 3 } \mathcal { N } \left( \mathcal { H } _ { \sigma } ( L , N , B , F , S ) , \frac { \varepsilon } { 4 G } \right) \exp \left( \log \log n - \frac { n ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } / 4 } { A _ { n } ^ { ' } + B _ { n } ^ { ' } ( n \varepsilon / 2 ) ^ { \nu } } \right) ,
q ^ { \frac { ( 1 - c _ { j } ) t _ { j } - ( 1 + c _ { i } ) t _ { i } } { 2 } } \, \tilde { \lambda } _ { j } \cdot \sigma _ { q } ^ { x } \gamma _ { i } + \, \, q ^ { 2 H + \frac { ( c _ { j } - 1 ) t _ { j } + ( 1 + c _ { i } ) t _ { i } } { 2 } } \,
\begin{array} { r } { L = \frac 1 2 I _ { 2 } [ \dot { \theta } ^ { 2 } + \dot { \varphi } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ] + \frac 1 2 I _ { 3 } [ \dot { \psi } + \dot { \varphi } \cos \theta ] ^ { 2 } + b \sin \theta \cos \varphi . } \end{array}
\frac { \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, x \left[ ( u - d ) + ( \bar { u } - \bar { d } ) \right] } { \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, x \left[ ( u + d ) + ( \bar { u } + \bar { d } ) \right] } \approx \frac { 1 } { 3 . 5 }
\begin{array} { r l r } { V _ { \mathrm { ~ s ~ } } ( t ) } & { { } = } & { \bigg [ V _ { \mathrm { ~ s ~ } } ( 0 ) - \bigg ( V _ { \mathrm { ~ B ~ } } + R \, \langle I _ { \mathrm { ~ t ~ } } \rangle + \frac { R \, I _ { 1 \omega } } { 1 + ( \omega R C ) ^ { 2 } } \bigg ) \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { + } = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { l } { - h ^ { \prime } } \\ { 1 } \end{array} \right) \qquad \textnormal { a n d } \qquad | \kappa | = \frac { | h ^ { \prime \prime } | } { ( 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } , } \end{array}
p ( t + \varepsilon ) = ( 1 - \varepsilon ) p ( t ) + \varepsilon \Bigl ( p _ { C } ( t - \tau _ { C } ) U _ { C } ( t - \tau _ { C } ) + p _ { D } ( t - \tau _ { D } ) U _ { D } ( t - \tau _ { D } ) \Bigr ) .
{ \cal W } _ { F } ^ { ( 2 ; 3 g ) } = 2 S _ { 1 1 2 } ^ { F } + 2 S _ { 1 2 3 } ^ { F } + 2 S _ { 1 2 4 } ^ { F } + 2 S _ { 2 3 3 } ^ { F } + 2 S _ { 1 4 4 } ^ { F } + 2 S _ { 3 4 4 } ^ { F } .
u _ { \zeta m } ( x , \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { i f ~ } x _ { 1 } - f _ { \zeta m } ( \tau _ { x } \omega ) < - n , } \\ { \frac { n + x _ { 1 } - f _ { \zeta m } ( \tau _ { x } \omega ) } { 2 n } , } & { \mathrm { i f ~ } - n \leq x _ { 1 } - f _ { \zeta m } ( \tau _ { x } \omega ) \leq n , } \\ { 1 , } & { \mathrm { i f ~ } x _ { 1 } - f _ { \zeta m } ( \tau _ { x } \omega ) > n , } \end{array} \right.
+ U \sum _ { i } \left( \overline { { n } } _ { i \downarrow } - \overline { { n } } _ { 0 i \downarrow } \right) n _ { i \uparrow } + \sum _ { i , j } V _ { i j } \left( \overline { { n } } _ { j } - \overline { { n } } _ { 0 j } \right) n _ { i }
{ \cal L } _ { k i n } = - { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { z } \pi \partial _ { \bar { z } } \pi + { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { z } \chi \partial _ { \bar { z } } \chi + \lambda _ { - } \partial _ { \bar { z } } \lambda _ { + } + \tilde { \lambda } ^ { - } \partial _ { z } \tilde { \lambda } ^ { + }
\begin{array} { r l } { { \mathcal { L } } = } & { \frac { i } { 2 } \left( \bar { u } _ { 1 } ^ { * } \bar { u } _ { 1 , z } - \bar { u } _ { 1 } \bar { u } _ { 1 , z } ^ { * } \right) - | \bar { u } _ { 1 , \tau } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | \bar { u } _ { 1 } | ^ { 4 } - \left( \Delta + ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 | v _ { s } | ^ { 2 } \right) | \bar { u } _ { 1 } | ^ { 2 } } \\ & { + i \phi ^ { \prime } \left( \bar { u } _ { 1 } ^ { * } \bar { u } _ { 1 , \tau } - \bar { u } _ { 1 } \bar { u } _ { 1 , \tau } ^ { * } \right) - \frac { i } { 2 } \left( \bar { u } _ { 2 } ^ { * } \bar { u } _ { 2 , z } - \bar { u } _ { 2 } \bar { u } _ { 2 , z } ^ { * } \right) + | \bar { u } _ { 2 , \tau } | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } | \bar { u } _ { 2 } | ^ { 4 } } \\ & { + \left( \Delta + ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 | v _ { s } | ^ { 2 } \right) | \bar { u } _ { 2 } | ^ { 2 } - i \phi ^ { \prime } \left( \bar { u } _ { 2 } ^ { * } \bar { u } _ { 2 , \tau } - \bar { u } _ { 2 } \bar { u } _ { 2 , \tau } ^ { * } \right) } \\ & { + \Big [ - i ( 1 + \phi ^ { \prime \prime } ) \bar { u } _ { + } + \left( ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 | \bar { u } _ { + } | ^ { 2 } - \phi ^ { \prime \prime } \right) v _ { s } - ( v _ { s } ) ^ { 2 } \bar { u } _ { + } ^ { * } - ( \bar { u } _ { + } ) ^ { 2 } v _ { s } ^ { * } \Big ] \bar { u } _ { - } , } \end{array}
\phi ( x , t ) = \phi _ { s } ( x - x _ { 0 } ) + \frac { g } { N } a _ { 0 } ( t ) \frac { d \phi _ { s } } { d x } + g \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } ( t ) \Psi _ { n } ( x - x _ { 0 } ) .
r e c t _ { w } ( \mathcal { E } ) = \left\{ \begin{array} { c c } { 1 , } & { { \mathcal { E } ~ \mathrm { w i t h i n ~ t h e ~ e n e r g y ~ w i n d o w } ~ w , } } \\ { 0 , } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } . } \end{array} \right.
{ \cal Q } _ { k } = { \frac { 1 } { 2 } } m e ^ { 2 \delta _ { k } } , \ \ \ \ \ L _ { i } = { \frac { l _ { i } } { \sqrt { m } } } , \ \ \ ( k = 1 , 2 , 3 ; \ i = 1 , 2 ) .
d \mu = \frac { V \kappa ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 3 } ( a + 1 ) ^ { 2 } } \, \left( 1 - e ^ { - ( a + 1 ) P _ { 0 } / \kappa } \right) ^ { 2 } \, e ^ { - ( 4 a + 1 ) P _ { 0 } / \kappa } \, d P _ { 0 } .
\begin{array} { r l } { \mathscr { F } _ { \mathfrak { p } } ^ { \mathrm { b a l } } ( \widetilde { \mathbf { V } } _ { Q _ { 0 } } ^ { \dagger } ) } & { \simeq \bigl ( T _ { f } ^ { \vee } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - 1 } \Psi _ { W _ { 1 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) } \\ { \mathscr { F } _ { \bar { \mathfrak { p } } } ^ { \mathrm { b a l } } } & { \simeq \{ 0 \} } \end{array}
\delta \varepsilon _ { 1 , a } = \bigg | \frac { \partial \varepsilon _ { 1 , a } } { \partial r _ { N } } \bigg | \, \delta r _ { N } , \quad \delta \varepsilon _ { 1 , b } = \bigg | \frac { \partial \varepsilon _ { 1 , b } } { \partial r _ { N } } \bigg | \, \delta r _ { N } .
a _ { i } = \oint _ { \alpha _ { i } } \frac { d x } { 2 \pi i } \left( N - \frac { x F ^ { \prime } ( x ) } { F ( x ) } + \tilde { q } \frac { x ^ { 2 N } ( N F - x F ^ { \prime } ) } { 2 F ( x ) ^ { 3 } } + \mathcal { O } ( \tilde { q } ^ { 2 } ) \right) .
\begin{array} { r l } { \langle \hat { n } \rangle } & { = \sum _ { \lambda } \eta _ { \lambda } ^ { 2 } \left( \sinh \xi _ { \lambda } \right) ^ { 2 } \, , } \\ { p _ { \mathrm { t r i g } } } & { = 1 - \sum _ { \lambda } \frac { \mathrm { s e c h } \, \xi _ { \lambda } } { \sqrt { 1 - ( 1 - \eta _ { \lambda } ) ^ { 2 } \left( \operatorname { t a n h } \xi _ { \lambda } \right) ^ { 2 } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \! \left[ \int _ { \mathcal { X } } \lVert P k ( \cdot , x ) \rVert _ { \mathcal { H } _ { k } } \, \mathrm { d } \mu ( x ) \right] \le \mathbb { E } \! \left[ \frac 2 \ell \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \lVert P k ( \cdot , z _ { i } ) \rVert _ { \mathcal { H } _ { k } } \right] } & { } \\ { + \ 4 \sqrt { \sum _ { i > m } \sigma _ { i } } + \frac { \sqrt { k _ { \operatorname* { m a x } } } } { \ell } \left( \frac { 8 0 m ^ { 2 } \log ( 1 + 2 \ell ) } 9 + 6 9 \right) } & { , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 S _ { \Omega } | _ { \sigma } ^ { \rho ^ { a d e } } } & { = ( S _ { \Omega } + S _ { \Omega _ { - } } ) | _ { \sigma } ^ { \rho ^ { a d e } } } \\ & { = ( S _ { \Omega _ { 2 } \Omega _ { 4 } \Omega _ { 5 } } ) | _ { \sigma } ^ { \rho ^ { a d e } } } \\ & { = ( S _ { \Omega _ { 2 } } + S _ { \Omega _ { 4 } } + S _ { \Omega _ { 5 } } ) | _ { \sigma } ^ { \rho ^ { a d e } } } \\ & { = 2 \ln ( d _ { a } d _ { d } d _ { e } ) ~ . } \end{array}
\{ \tilde { a } _ { 1 } \otimes 1 , \dots , \tilde { a } _ { i - 1 } \otimes 1 , \{ a _ { 1 } \otimes 1 , \dots , a _ { k } \otimes 1 , 1 \otimes b _ { 1 } , \dots , 1 \otimes b _ { l - 1 } , 1 \otimes \tilde { b } _ { i } \} , a _ { i + 1 } \otimes 1 , \dots , \tilde { a } _ { k } \otimes 1 , 1 \otimes \tilde { b } _ { 1 } , \dots , 1 \otimes \tilde { b } _ { l } \}
f _ { 0 } ( N ; x , p ) = { \frac { 1 } { \pi } } \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \! d y ~ { \frac { \cos ( y p ) } { ( \cosh ( 2 x / \hbar ) + \cosh ( y ) ) ^ { N } } } = { \frac { 1 } { ( N - 1 ) ! } } ~ \left( \frac { - \hbar } { 2 \sinh ( 2 x / \hbar ) } \partial _ { x } \right) ^ { N - 1 } f _ { 0 } ( 1 ; x , p ) ,
H = \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int d ^ { 3 } r \left[ \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } ^ { 2 } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + c ^ { 2 } ( \nabla \times \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ) ^ { 2 } \right] + \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 m _ { a } } \left[ \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } _ { a } - q _ { a } \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) \right] ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } \left[ \exp \left( \alpha | \Bar { X } _ { t } ^ { r } | ^ { 2 } \right) \right] } & { \le \mathbf { E } \left[ e ^ { \alpha | \xi | ^ { 2 } } \right] e ^ { - 2 \alpha \left( \Bar { b } + d / \beta \right) t } + 2 \exp \left( \frac { 2 \alpha ( \Bar { b } + d / \beta ) } { \Bar { m } - 2 \alpha / \beta } \right) \left( 1 - e ^ { - 2 \alpha \left( \Bar { b } + d / \beta \right) t } \right) . } \end{array}
\bar { \rho } _ { \alpha } = - \rho _ { \alpha + 1 } + 2 \rho _ { \alpha } - \rho _ { \alpha - 1 } , \quad ( \rho _ { \alpha } ) _ { x } + \sum _ { s = 1 } ^ { m i n ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) } \sum _ { k = 0 } ^ { s - 1 } f _ { \alpha - k } ^ { s } \bar { f } _ { \alpha - k } ^ { s } = 0
\, \mathrm { d } \rho _ { t } = \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } \Big ( \frac { \sigma _ { t } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } { 2 } \rho _ { t } \Big ) \, \mathrm { d } t + \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( ( k * \rho _ { t } ) \rho _ { t } ) \, \mathrm { d } t - \nu \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { t } \, \mathrm { d } W _ { t } .
\begin{array} { r l } { \delta _ { k } ^ { ( 0 ) } } & { \sim \frac { \Gamma ( k - \beta ) } { A ^ { k - \beta } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \ell ^ { k - \beta } } e ^ { - \frac { \log ( \ell ) } { 1 / k } } \sum _ { h = 0 } ^ { \infty } \frac { \Gamma ( k - \beta - h ) } { \Gamma ( k - \beta ) } ( \ell A ) ^ { h } \tilde { d } _ { h } ^ { ( \ell , 0 ) [ 0 ] } + ( 0 , \ell ) \mathrm { - s e c t o r s } } \\ & { = \frac { \Gamma ( k - \beta ) } { A ^ { k - \beta } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \ell ^ { k - \beta } } e ^ { - \frac { \log ( \ell ) } { 1 / k } } \sum _ { h = 0 } ^ { \infty } p _ { h } ^ { ( \ell , 0 ) } \bigg ( \frac { 1 } { k } \bigg ) ^ { h } + ( 0 , \ell ) \mathrm { - s e c t o r s } } \end{array}
T _ { \pi ^ { 0 } } ( - Q ^ { 2 } , 0 ) = { \cal J } \, \frac { f _ { \pi } } { Q ^ { 2 } } \, \qquad ( { \cal J } \to \mathrm { c o n s t } \, \, \mathrm { a s \, \, } Q ^ { 2 } \to \infty ) ,
\Omega = \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } d \tau ^ { \prime } d ^ { 3 } { \bf r } ^ { \prime } \theta \left( r ^ { \prime } + \tau ^ { \prime } - b ^ { \prime } - t ^ { \prime } \right) = \frac \pi 3 \{ \left( b ^ { \prime } + t ^ { \prime } \right) ^ { 4 } - b ^ { \prime 4 } \}
\begin{array} { r l } & { { R _ { \alpha } } ( P _ { 0 } | P _ { 1 } , P _ { 2 } ) = \frac { \int \big ( \frac { d P _ { 1 } } { d P _ { 0 } } \big ) ^ { \alpha } \big ( \frac { d P _ { 2 } } { d P _ { 0 } } \big ) ^ { \alpha } d P _ { 0 } } { \int \big ( \frac { d P _ { 1 } } { d P _ { 0 } } \big ) ^ { \alpha } d P _ { 0 } \, \int \big ( \frac { d P _ { 2 } } { d P _ { 0 } } \big ) ^ { \alpha } d P _ { 0 } } - 1 } \\ & { = \exp \Big ( A \big ( \overline { \theta } _ { \alpha } \big ) - A \big ( \theta _ { 0 } + \alpha \big ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 0 } \big ) \big ) - A \big ( \theta _ { 0 } + \alpha \big ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 0 } \big ) \big ) + A \big ( \theta _ { 0 } \big ) \Big ) - 1 . } \end{array}
{ \prod } _ { j \in { m _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } } } ^ { - 1 } ( i _ { y } ) } ( f _ { j } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } ) ) - | | y _ { i _ { y } } | | ^ { 2 } = { \prod } _ { j \in { m _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } } } ^ { - 1 } ( i _ { y } ) } ( f _ { j } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } ) ) - { \Sigma } _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { m _ { l _ { 2 } } ( i _ { y } ) } { y _ { i _ { y } , j ^ { \prime } } } ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { H ( X ) } & { { } = } & { - \sum _ { i \in \{ 0 , 1 \} } p ( X = i ) \log p ( X = i ) , } \\ { H ( X , Y ) } & { { } = } & { - \sum _ { i , j \in \{ 0 , 1 \} } p ( X = i \wedge Y = j ) \log p ( X = i \wedge Y = j ) } \end{array}