harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { l } { \bar { C } _ { n m } ^ { 0 * } = { { \bar { C } } _ { n m } } - \bar { C } _ { n m } ^ { 1 } } \\ { \bar { S } _ { n m } ^ { 0 * } = { { \bar { S } } _ { n m } } - \bar { S } _ { n m } ^ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { R } ^ { l ^ { \mathrm { { c } } } } } & { { } = \int q \left( l _ { n + 1 } ^ { \mathrm { c } } - l _ { n } ^ { \mathrm { c } } \right) \ \mathrm { ~ d ~ } { \Omega _ { 0 } } } \end{array}
\mathbf { r } _ { \mathbf { S } } ^ { \mathrm { d a t a } } = \left[ \begin{array} { l } { \hat { \mathbf { r } } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \hat { \mathbf { r } } _ { m } } \end{array} \right] , \quad \mathbf { a } _ { \mathbf { S } } ^ { \mathrm { d a t a } } = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { a } _ { M } ( \hat { \mathbf { r } } _ { 1 } ) + \hat { \mathbf { a } } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { a } _ { M } ( \hat { \mathbf { r } } _ { m } ) + \hat { \mathbf { a } } _ { m } } \end{array} \right] .
h ( \eta ) = \kappa _ { 1 } \bigg [ 2 D \, \eta \, e ^ { - \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 D } } + \sqrt { \pi } \, ( 2 D ^ { 3 / 2 } + \sqrt { D } \, \eta ^ { 2 } ) \, e r f \left( \frac { 1 } { 2 } \frac { \eta } { \sqrt { D } } \right) \bigg ] + \kappa _ { 2 } [ 2 D + \eta ^ { 2 } ]
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } \kappa \rho _ { k + 1 } \log \rho _ { k + 1 } \, d x = \sum _ { p = 1 } ^ { n } \int _ { \Omega } \kappa \log \Big ( \frac { \rho _ { k + 1 } ( x ) } { \rho _ { \infty } } \Big ) \times } \\ & { \qquad \qquad \qquad \Big ( \frac { \beta _ { p , k + 1 } } { \pi } \Big ) ^ { d / 2 } \exp \Big ( - \beta _ { p , k + 1 } \| x - x _ { p , k + 1 } \| ^ { 2 } \Big ) \, m _ { p } \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( \hat { \mathcal { S } } = \mathcal { S } ) } & { \geq \operatorname* { P r } \left[ \left( \operatorname* { m a x } _ { j \not \in \mathcal { S } } V _ { j } \leq 4 \ln d \right) \cap \left( \operatorname* { m i n } _ { i \in \mathcal { S } } V _ { i } \geq 4 \ln d \right) \right] } \\ & { \geq 1 - \operatorname* { P r } \left( \operatorname* { m a x } _ { j \not \in \mathcal { S } } V _ { j } \geq 4 \ln d \right) - \operatorname* { P r } \left( \operatorname* { m i n } _ { i \in \mathcal { S } } V _ { i } \leq 4 \ln d \right) } \\ & { \geq 1 - \frac { ( K + 1 ) } { d } . } \end{array}
\prod _ { a = 1 } ^ { N _ { c } } \pi _ { a } = 0 , \ \ \pi _ { B } \pi _ { \bar { B } } = - \Lambda ^ { 2 N _ { c } } \prod _ { i = N c + 1 } ^ { N _ { f } } \left( m _ { i } / \Lambda \right) ( = - { \tilde { \Lambda } } ^ { 2 N _ { c } } ) ,
| n ( { \vec { p } } _ { 1 } ^ { + } ) n ( { \vec { p } } _ { 1 } ^ { - } ) \cdots n ( { \vec { p } } _ { N } ^ { + } ) n ( { \vec { p } } _ { N } ^ { + } ) \rangle \propto [ d ^ { \dag } ( { \vec { p } } _ { 1 } ^ { + } ) ] ^ { n ( { \vec { p } } _ { 1 } ^ { + } ) } [ c ^ { \dag } ( { \vec { p } } _ { 1 } ^ { - } ) ] ^ { n ( { \vec { p } } _ { 1 } ^ { - } ) } \cdots [ d ^ { \dag } ( { \vec { p } } _ { N } ^ { + } ) ] ^ { n ( { \vec { p } } _ { N } ^ { + } ) } [ c ^ { \dag } ( { \vec { p } } _ { N } ^ { + } ) ] ^ { n ( { \vec { p } } _ { N } ^ { + } ) } | 0 \rangle
\begin{array} { r } { w ^ { 0 , d } \mathbf { Z } ^ { ( 1 ) } \mathbf { J } ^ { \alpha - 1 } = \mathbf { R } ^ { \alpha - 1 } \qquad \alpha = 1 , \ldots , N _ { \mathrm { t } } - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K ^ { 1 } ( x , y ) } & { { } = k ^ { - } ( x , y ) \cdot \frac { \partial T } { \partial y _ { 2 } } ( y ) - k ^ { + } ( x , y ) \cdot \frac { \partial T } { \partial y _ { 2 } } ( y ) , } \\ { K ^ { 2 } ( x , y ) } & { { } = - k ^ { - } ( x , y ) \cdot \frac { \partial T } { \partial y _ { 1 } } ( y ) + k ^ { + } ( x , y ) \cdot \frac { \partial T } { \partial y _ { 1 } } ( y ) , } \end{array}
\mathbf { P } _ { s _ { 1 } , s _ { 2 } , C } ( \lambda _ { k } ) = \frac { \lambda _ { k } ^ { N _ { C } } \left( 1 - \lambda _ { k } \right) ^ { N _ { A } - N _ { C } } W _ { s _ { 1 } } W _ { s _ { 1 } } \det g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } { \sum _ { s _ { 1 } , s _ { 2 } , C \in A } \lambda _ { k } ^ { N _ { C } } \left( 1 - \lambda _ { k } \right) ^ { N _ { A } - N _ { C } } W _ { s _ { 1 } } W _ { s _ { 1 } } \det g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \left\| \mathbb { E } _ { k } [ u ^ { k + 1 } - u ^ { k } ] \right\| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 1 } { m ^ { 4 } n ^ { 2 } } \| A \| ^ { 2 } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| { \tilde { y } } _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { = \frac { R ^ { 2 } } { m ^ { 3 } n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| { \tilde { y } } _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } , } \end{array}
j _ { a 1 } = \frac { \widetilde { C C } + \widetilde { C B } + \widetilde { D A } + \widetilde { D D } } { 2 } \, , \qquad j _ { b 2 } = \frac { \widetilde { C C } + \widetilde { B C } + \widetilde { A D } + \widetilde { D D } } { 2 }
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \mathbf { X } _ { 0 } } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( - f _ { x } \cos { \Omega t } \cos \theta - f _ { y } \sin { \Omega t } \sin \theta \right) \, \mathbf { e } _ { r } , } \\ { \left( \, \, \, \, f _ { x } \cos { \Omega t } \sin \theta - f _ { y } \sin { \Omega t } \sin \theta \right) \, \mathbf { e } _ { \theta } , } \end{array} \right.
\frac { \partial f _ { s 1 } } { \partial t } + \frac { \partial } { z } \left( v _ { \parallel } f _ { s 1 } \right) - \frac { \partial } { \partial v _ { \parallel } } \left( \frac { q _ { s } } { \partial m _ { s } } \frac { \partial \phi _ { 1 } } { \partial z } f _ { s 0 } \right) = 0 .
\begin{array} { r l } { d _ { \tau + 1 } ^ { 2 } - d _ { 1 } ^ { 2 } + \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } 2 r _ { t } \gamma _ { t } \Delta _ { t } \leq } & { \frac { D _ { \tau } ^ { 2 } + d _ { 1 } ^ { 2 } + r ^ { 2 } / 2 } { 2 } } \\ { \Rightarrow d _ { \tau + 1 } ^ { 2 } + \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } 2 r _ { t } \gamma _ { t } \Delta _ { t } \leq } & { \frac { D _ { \tau } ^ { 2 } + 3 d _ { 1 } ^ { 2 } + r ^ { 2 } / 2 } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl ( \mathrm { a d } _ { ( x ^ { * } ) ^ { [ p ] _ { \mathfrak { g } } } } ^ { \mathfrak { g } } \bigr ) ( x ^ { * } ) - \bigl ( \mathrm { a d } _ { x ^ { * } } ^ { \mathfrak { g } } \bigr ) ^ { p } ( x ^ { * } ) } & { = \big [ a _ { 0 } + \gamma x ^ { * } + \tilde { \lambda } x , x ^ { * } \big ] _ { \mathfrak { g } } - ( \mathrm { a d } _ { x ^ { * } } ^ { \mathfrak { g } } ) ^ { p - 1 } \bigl ( [ x ^ { * } , x ^ { * } ] _ { \mathfrak { g } } \bigr ) } \\ & { = - ( \mathscr { D } ( a _ { 0 } ) + \omega _ { \mathfrak { a } } ( Z _ { \Omega } , a _ { 0 } ) x x ) + \tilde { \lambda } \lambda x } \\ & { = - \mathscr { D } ( a _ { 0 } ) + \bigl ( \tilde { \lambda } \lambda - \omega _ { \mathfrak { a } } ( Z _ { \Omega } , a _ { 0 } ) \bigr ) x } \\ & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { { \mathbf { U } } ^ { - 1 } \tilde { { \mathbf { x } } } ^ { k + 1 } } \\ { { \mathbf { U } } ^ { - 1 } \tilde { { \mathbf { z } } } ^ { k + 1 } } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 2 \mathbf { \Sigma } ^ { 2 } - { \mathbf { I } } } & { - ( { \mathbf { I } } - \mathbf { \Sigma } ) } \\ { { \mathbf { I } } - \mathbf { \Sigma } } & { { \mathbf { I } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { { \mathbf { U } } ^ { - 1 } \tilde { { \mathbf { x } } } ^ { k } } \\ { { \mathbf { U } } ^ { - 1 } \tilde { { \mathbf { z } } } ^ { k } } \end{array} \right] } \\ & { \quad - \alpha \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { \Sigma } ^ { 2 } { \mathbf { U } } ^ { - 1 } \big ( { \nabla } \mathbf { f } ( \mathbf { x } ^ { k } ) - { \nabla } { \mathbf { f } } ( { \mathbf { x } } ^ { \star } ) + { \mathbf { v } } ^ { k } \big ) } \\ { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r } { \mathsf { c } _ { R } ( a ) = a } & { } & { \mathsf { c } _ { R } ( \mathsf { d } ( a ) ) = \mathsf { d } ^ { \prime } ( a ) } & { } & { \mathsf { c } _ { R } ( \mathsf { d } ^ { \prime } ( a ) ) = \mathsf { d } ( a ) } & { } & { \mathsf { c } _ { R } ( \mathsf { d } ^ { \prime } \mathsf { d } ( a ) ) = \mathsf { d } ^ { \prime } \mathsf { d } ( a ) } \end{array}
{ \cal O } ( X ) / I \times { \cal O } ( X ) / I \rightarrow \mathbb { C } , \quad \mathrm { w i t h } \quad \langle g , h \rangle _ { \mathrm { r e s } } \, = \, \sum _ { j = 1 } ^ { \chi } \, \langle g , v _ { j } \rangle _ { \mathrm { e v } } \cdot \langle h , v _ { j } \rangle _ { \mathrm { e v } } \, = \, \sum _ { j = 1 } ^ { \chi } \, \frac { g ( x ^ { ( j ) } ) h ( x ^ { ( j ) } ) } { \eta _ { j } } .
x _ { i } = \sum _ { j } A _ { i j } v _ { j \rightarrow i } \sim \sum _ { j } { \frac { k _ { i } k _ { j } } { N \langle k \rangle } ( k _ { j } - 1 ) } = \frac { \langle k ^ { 2 } \rangle - \langle k \rangle } { \langle k \rangle } k _ { i } ,
\begin{array} { r l } { \nu ^ { \frac 1 4 } \left\lVert \tilde { f } ^ { \nu } \right\rVert _ { L ^ { \frac 4 3 } ( ( 0 , T ) \times \Omega ) } } & { { } \le C ( \Omega ) \nu ^ { \frac 1 4 } \varepsilon _ { \nu } ^ { - \frac 1 4 } \left\lVert f ^ { \nu } \right\rVert _ { L ^ { 1 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } , } \\ { \nu ^ { \frac 1 4 } \left\lVert f _ { 1 } ^ { \nu } \right\rVert _ { L ^ { \frac 4 3 } ( ( 0 , T ) \times \Omega ) } } & { { } \le C ( \Omega ) \nu ^ { \frac 1 4 } \varepsilon _ { \nu } ^ { - \frac 1 4 } \left\lVert u ^ { \nu } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 6 } ( \Omega ) ) } \left\lVert \nabla u ^ { \nu } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } . } \end{array}
\hat { d } ( t ; r , A ) = A \left[ ( p _ { 0 } ( t ; \boldsymbol { \alpha } ) + i q _ { 0 } ( t ; \boldsymbol { \alpha } ) ) e ^ { i \Delta _ { 0 } t } + r ( p _ { 1 } ( t ; \boldsymbol { \alpha } ) + i q _ { 1 } ( t ; \boldsymbol { \alpha } ) ) e ^ { i \Delta _ { 1 } t } \right] .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { \Phi } _ { N } , \mathbf { \Phi } _ { M } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } } & { \log _ { 2 } \left( 1 + { \gamma } _ { k } \right) , } \\ { s . t . ~ } & { } \\ { \mathrm { C 1 } : } & { | \mathbf { \phi } _ { m } | ^ { 2 } = 1 , \forall m \in \{ 1 , 2 , . . . , M \} , } \\ { \mathrm { C 2 } : } & { | \mathbf { \phi } _ { n } | ^ { 2 } = 1 , \forall n \in \{ 1 , 2 , . . . , N \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \gamma \left( x _ { t } \right) } & { = \left( \mathcal { L } _ { \phi } \gamma \right) \left( x _ { t } \right) + \eta \left( x _ { t } \right) , \; x _ { t } \in D \times T , } \\ { \gamma \left( x _ { t } \right) } & { = \gamma _ { B } , \; x _ { t } \in \partial D \times T , } \\ { \gamma \left( x _ { 0 } \right) } & { = \gamma _ { I } , \; x _ { 0 } \in D \times \{ 0 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial t ^ { 2 } } - \nabla ^ { 2 } \phi } & { = } & { \frac { 1 } { \varepsilon _ { 0 } } \left( \varrho - \nabla \cdot \mathbf { P } \right) , } \\ { \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { A } } { \partial t ^ { 2 } } - \nabla ^ { 2 } \mathbf { A } } & { = } & { \mu _ { 0 } \left( \mathbf { j } + \nabla \times \mathbf { M } + \frac { \partial \mathbf { P } } { \partial t } \right) , } \end{array}
h _ { \Delta , w } ^ { * } ( t ) = \sum _ { x \in \Pi \cap \mathbb { Z } ^ { d + 1 } } t ^ { x _ { d + 1 } } \sum _ { \substack { I _ { 1 } \uplus \cdots \uplus I _ { r + 1 } = [ m ] } } \prod _ { i \in I _ { 1 } } \ell _ { i } ( v _ { 1 } ) \cdots \prod _ { i \in I _ { r + 1 } } \ell _ { i } ( v _ { r + 1 } ) \prod _ { j = 1 } ^ { r + 1 } A _ { | I _ { j } | } ^ { \lambda _ { j } ( x ) } ( t ^ { q } ) .
\displaystyle { S _ { m i n } = \int \ { \mathrm { T r } } _ { \mathrm { \bf ~ { k } } } ^ { 0 } \left( \frac { 1 } { 2 } \widetilde { { \cal A } } Q \widetilde { { \cal A } } + \frac { 1 } { 3 } \widetilde { { \cal A } } ^ { 3 } \right) } ,
\Big \vert { \frac { g _ { \tau } } { g _ { \mu } } } \Big \vert \, = \, 0 . 9 9 5 \pm 0 . 0 0 7 \, ; \qquad \qquad \Big \vert { \frac { g _ { \mu } } { g _ { e } } } \Big \vert \, = \, 1 . 0 0 1 \pm 0 . 0 0 6 \, ,
\begin{array} { r l } { F _ { D } } & { { } = { } \rho v _ { 0 } \left( 1 - E \right) { v _ { n } } { S _ { p } } + \frac { 1 } { v _ { 0 } } \left( p _ { 0 } - p _ { I I I } \right) \frac { { v _ { n } } } { E } { S _ { p } } , } \end{array}
{ \cal R } = \frac { { \cal B } _ { \Upsilon { \rightarrow } \gamma _ { s } \ell \ell } } { { \cal B } _ { \ell \ell } } = \biggl [ \frac { m _ { b } ^ { 2 } k ^ { 3 } \xi _ { b } ^ { 2 } \xi _ { \ell } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } { \alpha } \Gamma _ { t o t } v ^ { 4 } } \biggr ] \times \frac { m _ { \ell } ^ { 2 } } { { \delta } m ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { I _ { 2 c } ^ { ( 1 ) } } & { = \frac { i p ^ { 4 } ( D - 1 0 ) ( D - 8 ) ( D - 6 ) ( D - 4 ) ( D - 2 ) D \pi ^ { D / 2 + 1 } } { 3 2 \sin \big ( \frac { \pi D } { 2 } \big ) m _ { f } ^ { 1 2 - D } } \bigg ( \prod _ { k = 1 } ^ { D - 2 } \frac { \Gamma \big ( \frac { D - k } { 2 } \big ) } { \Gamma \big ( \frac { D - k + 1 } { 2 } \big ) } \bigg ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times \int _ { 0 } ^ { 1 } d r \int _ { 0 } ^ { 1 - r } d s \int _ { 0 } ^ { 1 - r - s } d y \frac { ( 1 - y - r - s ) y ( y + s ) ^ { 2 } } { ( r + s ) ^ { 6 - \frac { D } { 2 } } } } \\ & { = \frac { i p ^ { 4 } ( D - 1 0 ) ( D - 8 ) ( D - 6 ) ( D - 4 ) ( D - 2 ) D \cdot 2 \pi ^ { D / 2 + 1 } } { 3 2 \sin \big ( \frac { \pi D } { 2 } \big ) m _ { f } ^ { 1 2 - D } } \frac { \Gamma ( 1 ) } { \Gamma \big ( \frac { D } { 2 } \big ) } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times \frac { 1 } { 6 0 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d r \int _ { 0 } ^ { 1 - r } d s \frac { ( 1 - r - s ) ^ { 3 } ( 3 ( r - 1 ) ^ { 2 } - 4 ( r - 1 ) s + 3 s ^ { 2 } ) } { ( r + s ) ^ { 6 - \frac { D } { 2 } } } } \\ & { = \frac { i p ^ { 4 } \pi ^ { \frac { D } { 2 } + 1 } ( D - 1 0 ) ( D ^ { 2 } - 2 D + 2 4 ) } { 6 ( D + 2 ) \sin \big ( \frac { \pi D } { 2 } \big ) \Gamma \big ( \frac { D } { 2 } \big ) m _ { f } ^ { 1 2 - D } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \Delta \mathbf { W } \in \mathcal { B } _ { F } ( \gamma ) } \left\{ f _ { \ell _ { q } } ( \mathbf { W } ^ { \star } + \Delta \mathbf { W } ) - f _ { \ell _ { q } } ( \mathbf { W } ^ { \star } ) \right\} \leq - \frac { q t _ { 0 } ^ { q - 1 } } { q + 1 } \cdot \frac { | \mathcal { S } _ { t } | } { m } \cdot \zeta \leq - \frac { q t _ { 0 } ^ { q - 1 } } { 6 ( q + 1 ) } \cdot \sqrt { p p _ { 0 } } \cdot \gamma , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( \omega ) } & { : = \omega \cdot l - \frac { 1 } { \mathrm { i } } ( d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , k ) ) = a _ { j k } + \vec { b } _ { l j k } \cdot \omega + q _ { j k } ( \omega ) } \\ { a _ { j k } } & { : = - \left( - \frac { 1 } { 2 } ( \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) ) + \frac { T _ { \alpha } } 4 ( j - k ) ) \right) + \frac { \pi } 6 \left( ( j \vec { D } ( j ) - k \vec { D } ( k ) ) \cdot \mathbb { A } ^ { - 1 } \overline { { \omega } } \right) } \\ { \vec { b } _ { l j k } } & { : = l - \frac { \pi } 6 \left( j \left( \mathbb { A } ^ { - 1 } \right) ^ { T } \vec { D } ( j ) - k \left( \mathbb { A } ^ { - 1 } \right) ^ { T } \vec { D } ( k ) \right) , } \\ { q _ { j k } ( \omega ) } & { : = - \mathtt { m } _ { \alpha , 2 } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) ) - ( j \mathfrak { m } _ { \le 0 , 2 } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - k \mathfrak { m } _ { \le 0 , 2 } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , k ) ) } \\ & { \ - \frac { 1 } { \mathrm { i } } \left( r _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - r _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , k ) \right) . } \end{array}
\langle 0 | G _ { \mu \nu } ^ { a } G _ { \alpha \beta } ^ { a } | 0 \rangle = { \frac { 1 } { 9 6 } } \langle 0 | G _ { \rho \sigma } ^ { a } G ^ { a \rho \sigma } | 0 \rangle ( g _ { \mu \alpha } g _ { \nu \beta } - g _ { \mu \beta } g _ { \nu \alpha } ) \; ,
\begin{array} { r l } { C _ { m , n } = } & { \ 2 \pi h _ { m } h _ { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } A ( r ) L _ { \frac { m + n } { 2 } } \left( \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right) \frac { 1 } { 2 \pi } e ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { 2 } } r d r } \\ { = } & { \ h _ { m } h _ { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } A ( \sqrt { 2 u } ) L _ { \frac { m + n } { 2 } } \left( u \right) e ^ { - u } d u . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( 2 a \lambda ) \frac { d \Phi _ { - 2 } } { d x } = \Phi _ { 0 } + \frac { d \left[ ( 2 a - 1 - x ) \Phi _ { - 2 } \right] } { d x } } \\ & { ( 2 a \lambda ) \frac { d \Phi _ { 0 } } { d x } = \Phi _ { 2 } - \Phi _ { - 2 } } \\ & { ( 2 a \lambda ) \frac { d \Phi _ { 2 } } { d x } = - \Phi _ { 0 } + \frac { d \left[ ( 2 a - 1 + x ) \Phi _ { 2 } \right] } { d x } . } \end{array}
\underline { { \hat { f } } } = \{ \underline { { f } } \} - \frac { U } { 2 } \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { \Delta \rho } \\ { \Delta \rho u } \\ { \Delta \rho v } \\ { \Delta \rho E } \end{array} \right) } \end{array} - \delta U \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho u } \\ { \rho v } \\ { \rho E } \end{array} \right) } \end{array} - \delta p \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { n _ { x } } \\ { n _ { y } } \\ { U } \end{array} \right) } \end{array}
\dot { E } _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ e ~ a ~ r ~ t ~ h ~ } } = \frac { \omega } { 2 } \int _ { r _ { C } } ^ { R _ { E } } \left( \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \left[ \mathrm { ~ I ~ m ~ } ( \tilde { \sigma } _ { i j } ) \mathrm { ~ R ~ e ~ } ( \tilde { \epsilon } _ { i j } ) - \mathrm { ~ R ~ e ~ } ( \tilde { \sigma } _ { i j } ) \mathrm { ~ I ~ m ~ } ( \tilde { \epsilon } _ { i j } ) \right] d \theta d \phi \right) d r .
\begin{array} { r l r } { P } & { { } = } & { \| \overline { { \boldsymbol { e } _ { i } } } \| , } \\ { M } & { { } = } & { \| \overline { { \boldsymbol { y } _ { i } \times \boldsymbol { e } _ { i } } } \| , } \\ { S } & { { } = } & { \left( \overline { { \| \boldsymbol { x } _ { i } - \overline { { \boldsymbol { x } _ { i } } } \| ^ { 2 } } } / a ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
- \Delta \epsilon ( T ) = \delta / R = ( 1 - \frac { z 0 } { z } ) \frac { k _ { 1 } t ^ { 2 } ( 1 + \nu ) } { 1 2 R ^ { 2 } } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 R ^ { 2 } } ( z ^ { 2 } - z _ { 0 } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { N _ { i , j } ( G ) + l _ { i , j } ^ { G } } & { = N _ { i , k } ( G ) r _ { k + 1 , j } ^ { G } + l _ { i , k } ^ { G } N _ { k + 1 , j } ( G ) + l _ { i , k } ^ { G } l _ { k + 1 , j } ^ { G } } \\ & { = N _ { i , k } r _ { k + 1 , j } ^ { G } + l _ { i , k } ^ { G } ( N _ { k + 1 , j } ( G ) + l _ { k + 1 , j } ^ { G } ) } \\ & { \stackrel { ( a ) } { \leq } N _ { i , k } ( G ) r _ { k + 1 , j } ^ { G } + l _ { i , k } ^ { G } r _ { k + 1 , j } ^ { G } } \\ & { \stackrel { ( b ) } { \leq } r _ { i , k } ^ { G } r _ { k + 1 , j } ^ { G } } \\ & { = r _ { i , j } ^ { G } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma ^ { \mathrm { p o l } } } { d { \bf q } } = } & { \frac { V } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \sum _ { s s ^ { \prime } } \sum _ { { \bf q } ^ { \prime } } \sigma _ { p { \bf q } s , e { \bf q } ^ { \prime } s ^ { \prime } } ^ { \mathrm { p o l } } } \\ { = } & { \frac { \alpha ^ { 2 } c ^ { 5 } } { 3 2 \pi ^ { 4 } N _ { p } \hbar \omega _ { \gamma } \omega _ { p } ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } { \bf q } ^ { \prime } \sum _ { \pm } \delta ( \varepsilon _ { q } + \varepsilon _ { q ^ { \prime } } - \omega _ { \gamma } \pm \omega _ { p } ) \sum _ { s s ^ { \prime } } \; \sum _ { j = 1 , 2 } \bigg | \overline { { u } } _ { { \bf q } ^ { \prime } s ^ { \prime } } \, \mathcal { M } _ { j } ^ { \pm } ( { \bf q } , { \bf q } ^ { \prime } ) \, v _ { { \bf q } s } \bigg | ^ { 2 } , } \end{array}
f \left( ( a + b { \sqrt { 2 } } ) + ( c + d { \sqrt { 2 } } ) { \sqrt { 3 } } \right) = ( a - b { \sqrt { 2 } } ) + ( c - d { \sqrt { 2 } } ) { \sqrt { 3 } } = a - b { \sqrt { 2 } } + c { \sqrt { 3 } } - d { \sqrt { 6 } } ,
\begin{array} { r l } { | \Psi | } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( n + 1 - e _ { i } ( \Psi ) ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( e _ { i + 1 } ( \Psi ) - e _ { i } ( \Psi ) ) i } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { \ell ( \Psi ) } ( \mathtt { e } _ { j + 1 } ( \Psi ) - \mathtt { e } _ { j } ( \Psi ) ) \mathtt { i } _ { j } ( \Psi ) = \sum _ { j = 1 } ^ { \ell ( \Psi ) } \sum _ { k = \mathtt { e } _ { j } ( \Psi ) } ^ { \mathtt { e } _ { j + 1 } ( \Psi ) - 1 } \mathtt { i } _ { j } ( \Psi ) , } \end{array}
G = \frac { P \alpha ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 3 } \left( k _ { 0 } - 1 / z _ { 0 } \right) ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } c \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } n ^ { \prime } w _ { 0 } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { \underline { { \psi } } } } & { { } = \sum _ { i < j } [ - ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) w _ { i j } ^ { * } + p _ { i j } \ln ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textrm { C E } = \frac { r _ { \textrm { E F } } I _ { c } } { | E _ { t 0 } ^ { i } | ^ { 2 } } = { r _ { \textrm { E F } } } ^ { 2 } ( } & { { } \frac { \textrm { R e } [ E _ { t 0 } + r ^ { * } E _ { r 0 } ] } { F } } \\ { - } & { { } \frac { I _ { t 0 } + I _ { r 0 } + r _ { \textrm { E F } } \textrm { R e } [ r E _ { t 0 } E _ { r 0 } ^ { * } ] } { F ^ { 2 } } ) . } \end{array}
| K _ { 3 } - K _ { 4 } | = | K _ { 3 } \pm K _ { 1 } - ( K _ { 4 } \pm K _ { 1 } ) | \le | K _ { 3 } \pm K _ { 1 } | + | K _ { 4 } \pm K _ { 1 } | \le 2 \pm ( K _ { 1 3 } + K _ { 1 4 } ) \le 2 - | K _ { 1 3 } + K _ { 1 4 } |
1 = { \frac { \alpha ^ { 2 } } { 4 } } h _ { a } ^ { 2 } + q t h _ { a } ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } r _ { i } \Delta _ { a i } h _ { a } ^ { 2 } ( { \frac { 1 } { 2 } } \Delta _ { a i } - u )
\frac 1 5 ( { \tilde { h } } _ { + } ^ { 2 } + { \tilde { h } } _ { \times } ^ { 2 } ) \mathrm { T r } ( { \bf G } _ { 2 0 } ^ { \dagger } ( w ) { \bf S } _ { q q } ^ { - 1 } { \bf G } _ { 2 0 } ( w ) ) = \frac { 1 } { X ( w ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { \int _ { \mathbb R ^ { d } } \varphi ( \boldsymbol x ) \, \mathrm { d } \boldsymbol x = \langle 1 , \varphi \rangle = \langle T _ { \psi } , \varphi \rangle = \int _ { \mathbb R ^ { d } } \varphi ( \boldsymbol x ) \, \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j } \, \cdot | \mathcal I _ { \b { 2 M } } | \, \mathrm { s i n c } \left( 2 M \pi \left( \boldsymbol x _ { j } - \boldsymbol x \right) \right) \, \mathrm { d } \boldsymbol x } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \textbf { k } _ { A } } & { = \textbf { k } _ { 1 } - \textbf { k } _ { 2 } = \sqrt { 3 } k \mathbf { e } _ { x } } \\ { \Delta \textbf { k } _ { B } } & { = \textbf { k } _ { 2 } - \textbf { k } _ { 3 } = - k \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { e } _ { x } + \frac { 3 } { 2 } \mathbf { e } _ { y } \right) } \\ { \Delta \textbf { k } _ { C } } & { = \textbf { k } _ { 3 } - \textbf { k } _ { 1 } = k \left( - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { e } _ { x } + \frac { 3 } { 2 } \mathbf { e } _ { y } \right) \ . } \end{array}
P _ { i n } ( k ) d k = f ( \zeta ) d \zeta \approx \left( \frac { 2 k } { m } \right) ^ { - 2 } d \left( 2 \ln \frac { 2 k } { m } \right) = \frac { m ^ { 2 } } { 2 k ^ { 3 } } d k ; \; \; m < k < k _ { i n } ^ { \operatorname* { m a x } } ,
E = { \frac { M ( \rho ) \cosh ^ { 2 } \! \rho } { \sqrt { \cosh ^ { 2 } \! \rho - { \dot { \rho } } ^ { 2 } } } } - { 2 \pi q L T _ { \mathrm { F } } } \sinh ^ { 2 } \! \rho \, ,
\int _ { 0 } ^ { A } \frac { 1 } { r } J _ { k } J _ { l } d r = \frac { A } { ( l ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) } \bigg [ J _ { k } \frac { d J _ { l } } { d r } - J _ { l } \frac { d J _ { k } } { d r } \bigg ] _ { A } .
\begin{array} { r l } { V _ { 1 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \kappa _ { 0 } \theta _ { 1 } ^ { 2 } + V _ { 1 } ^ { 0 } , } \\ { V _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( \kappa _ { 0 } - \kappa ) \theta _ { 2 } ^ { 2 } + V _ { 2 } ^ { 0 } , } \\ { V _ { 3 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \chi ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } + V _ { 3 } ^ { 0 } , } \end{array}