harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { A ^ { \prime \prime } ( 1 ) - A ^ { \prime } ( 1 ) ^ { 2 } + A ^ { \prime } ( 1 ) = \left[ ( \Bar { S } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } \right. - 4 \Bar { S } ^ { ( n ) } \mathbb { E } [ ( S ^ { ( n ) } ) ^ { 3 } ] - 2 4 \Bar { S } ^ { ( n ) } \mathbb { E } [ ( Y ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] \Bar { Y } ^ { ( n ) } + 4 \Bar { S } ^ { ( n ) } \mathbb { E } [ ( Y ^ { ( n ) } ) ^ { 3 } ] } \\ & { + 2 4 \Bar { S } ^ { ( n ) } ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 3 } - 2 \Bar { S } ^ { ( n ) } \Bar { Y } ^ { ( n ) } + 3 \mathbb { E } [ ( S ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } + 6 \mathbb { E } [ ( S ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] \mathbb { E } [ ( Y ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] - 1 2 \mathbb { E } [ ( S ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } + 4 \mathbb { E } [ ( S ^ { ( n ) } ) ^ { 3 } ] \Bar { Y } ^ { ( n ) } } \\ & { + 3 \mathbb { E } [ ( Y ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } + 1 2 \mathbb { E } [ ( Y ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } - 4 \mathbb { E } [ ( Y ^ { ( n ) } ) ^ { 3 } ] \Bar { Y } ^ { ( n ) } - 1 2 ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 4 } + \left. ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } \right] \bigg / 1 2 ( \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { 2 } ( x , t ) } & { { } = - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { k _ { B } T u _ { 1 i } u _ { 1 j } k } { \xi ^ { 2 } } \phi _ { i } ( x ) \phi _ { j } ( x ) } \end{array}
R ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { R _ { m a x } + R _ { m i n } } { 2 } - \frac { R _ { m a x } - R _ { m i n } } { 2 } \cos \left( \frac { \pi } { L + L _ { r } } z \right) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ - L < z < L _ { r } , } \\ { \frac { R _ { m a x } + R _ { m i n } } { 2 } - \frac { R _ { m a x } - R _ { m i n } } { 2 } \cos \left( \frac { \pi } { L - L _ { r } } z \right) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ L _ { r } \leq z < L , } \end{array} \right.
\varepsilon _ { 2 } = \sqrt { \frac { 1 } { \Omega } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \delta \Omega _ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \left( U _ { n , i } - \hat { U } _ { i } ( \mathbf { x _ { n } } ) \right) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r c l c l c l } { \dot { s } } & { = } & { k _ { 0 } - k _ { 1 } e _ { 0 } s } & { + } & { ( k _ { - 1 } + k _ { 1 } s ) c } \\ { \dot { c } } & { = } & { k _ { 1 } e _ { 0 } s } & { - } & { ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s ) c . } \end{array}
\Psi = \left\{ \begin{array} { c } { { a ^ { 1 } } } \\ { { a ^ { 0 } } } \\ { { a ^ { - 1 } } } \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array} { c } { { a \, e ^ { i \delta _ { 1 } } e ^ { - \frac { i } { \hbar } U _ { 1 } T } } } \\ { { b \, e ^ { i \delta _ { 0 } } e ^ { - \frac { i } { \hbar } U _ { 0 } T } } } \\ { { c \, e ^ { i \delta _ { - 1 } } e ^ { - \frac { i } { \hbar } U _ { - 1 } T } } } \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array} { c } { { a \, e ^ { i \delta _ { 1 } } e ^ { - \frac { i } { \hbar } U _ { 1 } T } } } \\ { { b \, e ^ { i \delta _ { 0 } } e ^ { - \frac { i } { \hbar } U _ { 0 } T } } } \\ { { c \, e ^ { i \delta _ { - 1 } } e ^ { - \frac { i } { \hbar } U _ { 1 } T } } } \end{array} \right\}
{ \frac { \delta { \hat { \boldsymbol { \theta } } } } { \delta t } } = { \dot { \boldsymbol { \theta } } } = - \cos ( \theta ) { \dot { \theta } } { \hat { \mathbf { x } } } - \sin ( \theta ) { \dot { \theta } } { \hat { \mathbf { y } } } = - { \dot { \theta } } { \hat { \mathbf { r } } }
( \sqrt { w _ { + \rho } \bar { w } _ { - \rho } } + \sqrt { w _ { - \rho } \bar { w } _ { + \rho } } ) ^ { 2 } + ( \sqrt { w _ { + \rho } w _ { - \rho } } - \sqrt { \bar { w } _ { + \rho } \bar { w } _ { - \rho } } ) ^ { 2 }
\hat { B } \approx { \frac { p - q + 2 r } { p - q } } \, { \frac { M ^ { - } } { 2 r } } + { \frac { p + q + 2 r } { p + q } } \, \left( \mathrm { I } _ { 4 } - { \frac { M ^ { - } } { 2 r } } \right) \, .
\begin{array} { r l } { B \sim 0 , } & { { } \qquad \lambda _ { 2 } B + \lambda _ { 3 } A \sim 0 } \\ { A \sim 0 , } & { { } \qquad \mu _ { 3 } B + \mu _ { 1 } A \sim 0 . } \end{array}
\boldsymbol { W } _ { i } ^ { f r } = \frac { 1 } { \Delta t } \left( \sum _ { \vec { x } _ { k } \in \Omega _ { i } } \boldsymbol { \phi } _ { k } - \sum _ { \vec { x } _ { k } ^ { n } \in \Omega _ { i } } \boldsymbol { \phi } _ { k } \right) ,
\begin{array} { r } { \mu ( n ) = \left\{ \begin{array} { c l } { \mathrm { ~ 1 ~ } } & { \quad \mathrm { i f ~ n = 1 ~ , } } \\ { \mathrm { ~ ( - 1 ) ^ r ~ } } & { \quad \mathrm { i f ~ n = p _ 1 \ldots ~ p _ r ~ f o r ~ d i s t i n c t ~ p r i m e s ~ p _ 1 , \ldots , p _ r ~ , } } \\ { \mathrm { ~ 0 ~ } } & { \quad \mathrm { i f ~ n ~ i s ~ d i v i s i b l e ~ b y ~ s o m e ~ p r i m e ~ s q u a r e } } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { h ^ { 2 } } { N _ { \mathrm { c i t } } } \: = \: \: \frac { h } { \left\langle { x } \right\rangle } c _ { b } \left( \frac { h } { \left\langle { x } \right\rangle } \right) = \: \: \frac { h } { \left\langle { x } \right\rangle } \overline { { C } } _ { b } ( h )
\Psi _ { \alpha } ^ { - } = \int d \beta ( \Psi _ { \beta } ^ { + } , \Psi _ { \alpha } ^ { - } ) \Psi _ { \beta } ^ { + } = \int d \beta | \Psi _ { \beta } ^ { + } \rangle \langle \Psi _ { \beta } ^ { + } | \Psi _ { \alpha } ^ { - } \rangle = \sum _ { n _ { 1 } \sigma _ { 1 } n _ { 2 } \sigma _ { 2 } \cdots } \int d ^ { 3 } p _ { 1 } d ^ { 3 } p _ { 2 } \cdots ( \Psi _ { \beta } ^ { + } , \Psi _ { \alpha } ^ { - } ) \Psi _ { \beta } ^ { + } ,
U _ { W } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 ( 1 + | \tilde { \varepsilon } | ^ { 2 } ) } } e ^ { i \chi _ { W } } \left( \begin{array} { l l } { { ( 1 + \tilde { \varepsilon } ) } } & { { ( 1 + \tilde { \varepsilon } ) } } \\ { { - ( 1 - \tilde { \varepsilon } ) } } & { { ( 1 - \tilde { \varepsilon } ) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { { e ^ { - i \beta _ { W } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { i \beta _ { W } } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { L _ { M } ( r ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } m _ { o } c \frac { d r _ { \mu } } { d s } \frac { d r ^ { \mu } } { d s } , } \\ { L _ { C } ^ { ( e x t ) } ( r ) } & { = } & { \frac { q } { c } \frac { d r } { d s } ^ { \mu } \overline { { A } } _ { \mu } ^ { ( e x t ) } ( r ) , } \\ { L _ { C } ^ { ( p l ) } ( r ) } & { = } & { \frac { q } { c } \frac { d r } { d s } ^ { \mu } \overline { { A } } _ { \mu } ^ { ( p l ) } ( r ) , } \end{array}
X _ { 1 \bar { i } j } = \partial _ { \bar { i } } \hat { K } _ { 1 } ^ { \prime } \partial _ { j } \hat { K } _ { 1 } ^ { \prime } - \hat { K } _ { 1 } ^ { \prime } \partial _ { \bar { i } } \partial _ { j } \hat { K } _ { 1 } ^ { \prime } \ .
\Omega _ { x _ { 0 } , r } ^ { + } = \left( \left( B _ { r } ( x _ { 0 } ) \cap \Omega \right) \cup \left( \cup _ { x \in X _ { x _ { 0 } , r } ^ { + } } B _ { \varepsilon } ( x ) \right) \right) \setminus \left( \cup _ { x \in X _ { x _ { 0 } , r } ^ { - } } B _ { \varepsilon } ( x ) \right)
\Biggl [ \eta ^ { \mu \nu } \Biggl ( \frac { \partial } { \partial x ^ { \mu } } + i q A _ { \mu } \Biggr ) \Biggl ( \frac { \partial } { \partial x ^ { \nu } } + i q A _ { \nu } \Biggr ) + m ^ { 2 } \Biggr ] \Phi ( t , { \bf x } ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { m _ { 3 } ( \bar { e } _ { \bar { m } } ^ { ( \bar { j } ) } \epsilon , e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } , e _ { m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } ) } & { = - m _ { 3 } ( e _ { m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } , e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } , \bar { e } _ { \bar { m } } ^ { ( \bar { j } ) } \epsilon ) , } \\ { m _ { 3 } ( e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } , \bar { e } _ { \bar { m } } ^ { ( \bar { j } ) } \epsilon , e _ { m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } ) } & { = m _ { 3 } ( e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } , e _ { m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } , \bar { e } _ { \bar { m } } ^ { ( \bar { j } ) } \epsilon ) - m _ { 3 } ( e _ { m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } , e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } , \bar { e } _ { \bar { m } } ^ { ( \bar { j } ) } \epsilon ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { H } ^ { \prime } } & { = d _ { H } + p ( 1 - \delta h ) ^ { - 1 } \delta i , } \\ { h ^ { \prime } } & { = h + h ( 1 - \delta h ) ^ { - 1 } \delta h , } \\ { p ^ { \prime } } & { = p + p ( 1 - \delta h ) ^ { - 1 } \delta h , } \\ { i ^ { \prime } } & { = i + h ( 1 - \delta h ) ^ { - 1 } \delta i . } \end{array}
\frac { N _ { \nu _ { e } } ^ { \mathrm { M C } } } { N _ { \nu _ { \mu } } ^ { \mathrm { C C } } } = \frac { N _ { \nu _ { e } } ^ { \mathrm { M C } } } { N _ { \nu _ { \mu } } ^ { \mathrm { N C } } + N _ { \nu _ { \mu } } ^ { \mathrm { C C } } } \, \frac { N _ { \nu _ { \mu } } ^ { \mathrm { N C } } + N _ { \nu _ { \mu } } ^ { \mathrm { C C } } } { N _ { \nu _ { \mu } } ^ { \mathrm { C C } } } \simeq \frac { N _ { \nu _ { e } } ^ { \mathrm { M C } } } { N _ { \mathrm { L } } ^ { \nu } + N _ { \mathrm { S } } ^ { \nu } } \left( 1 + R _ { \mathrm { N u T e V } } ^ { \nu } \right) \, ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { L } _ { a } | \Psi _ { n } ^ { ( a ) } ( \sigma ) \rangle = 0 , \, \, \, \, ( n = 1 , 2 ) } \\ & { } & { | \Psi _ { 1 } ^ { ( a ) } ( \sigma ) \rangle = \binom { u _ { 1 } ^ { ( a ) } } { v _ { 1 } ^ { ( a ) } } = \frac { \mathrm { s e c h } \sigma } { 2 } \binom { 2 - \sigma \operatorname { t a n h } \sigma } { - \sigma \operatorname { t a n h } \sigma } , } \\ & { } & { | \Psi _ { 2 } ^ { ( a ) } ( \sigma ) \rangle = \binom { u _ { 2 } ^ { ( a ) } } { v _ { 2 } ^ { ( a ) } } = \frac { \mathrm { s e c h } \sigma } { 2 } \binom { \operatorname { t a n h } \sigma + \sigma } { \operatorname { t a n h } \sigma - \sigma } . } \end{array}
\begin{array} { c } { { l i m } } \\ { { \theta \rightarrow \theta _ { 0 } ^ { + } } } \end{array} \frac { \partial } { \partial \theta } \begin{array} { c } { { l i m } } \\ { { \varepsilon \rightarrow 0 } } \end{array} I m I ^ { \prime } \rightarrow \infty
\begin{array} { r l r } { u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } & { { } = } & { \sqrt { c _ { 1 } } \, v ^ { n } + \frac { \sqrt { c _ { 3 } } \, \Delta { t } } { 2 m } \, f ^ { n } + \frac { \sqrt { c _ { 3 } } } { 2 m } \, \beta ^ { n + 1 } } \\ { r ^ { n + 1 } } & { { } = } & { r ^ { n } + \sqrt { c _ { 3 } } \, \Delta { t } \, u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } \\ { v ^ { n + 1 } } & { { } = } & { \frac { c _ { 2 } } { \sqrt { c _ { 1 } } } \, u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } + \sqrt { \frac { c _ { 3 } } { c _ { 1 } } } \, \frac { \Delta { t } } { 2 m } \, f ^ { n + 1 } + \sqrt { \frac { c _ { 3 } } { c _ { 1 } } } \, \frac { 1 } { 2 m } \, \beta ^ { n + 1 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S } & { = \sum _ { i \in \{ 1 , 2 , 3 \} } \Big ( \lambda ( B _ { i } C _ { i } ) - \lambda ( A _ { i } B _ { i } ) \Big ) , } \\ { T } & { = \sum _ { \{ i , j , k \} = \{ 1 , 2 , 3 \} } \lambda ( A _ { i } B _ { j } C _ { k } ) , } \\ { Z } & { = \operatorname* { m a x } \Big ( \{ | \lambda ( A _ { i } ) | , | \lambda ( B _ { i } ) | , | \lambda ( C _ { i } ) | \colon i \in \{ 1 , 2 , 3 \} \} } \\ & { \phantom { = \operatorname* { m a x } \Big ( x } \cup \{ | \lambda ( A _ { i } B _ { j } ) | , | \lambda ( B _ { i } C _ { j } ) | , | \lambda ( A _ { i } C _ { j } ) | \colon i \neq j \} } \\ & { \phantom { = \operatorname* { m a x } \Big ( x } \cup \{ | \lambda ( A _ { i } B _ { j } C _ { k } ) | \colon | \{ i , j , k \} | \le 2 \} \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert \nabla f _ { k } ^ { ( j ) } \left( y , z \right) \right\Vert _ { 2 } } & { = \sqrt { \left\Vert \nabla _ { z } f _ { k } ^ { ( j ) } \left( y , z \right) \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } + \left\Vert \nabla _ { y } f _ { k } ^ { ( j ) } \left( y , z \right) \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { \leq \sqrt { \left( m + 1 \right) \left( \frac { 9 m ^ { - 1 } } { \delta ^ { 2 } \left( 2 \pi \right) ^ { d } } R ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 2 } { \delta ^ { 2 } \left( 2 \pi \right) ^ { d } } + \left( \frac { 3 \sqrt { m } R } { \delta ^ { 2 } \left( 2 \pi \right) ^ { d } } \right) ^ { 2 } } \triangleq C _ { \mathsf { l i p } , f } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Theta _ { V } [ f ] ( x , k , t ) } & { { } \approx \Theta _ { V } ^ { T } [ f _ { N _ { k } } ] ( x , k , t ) = \sum _ { \nu = - N _ { k } / 2 + 1 } ^ { N _ { k } / 2 } c _ { \nu } ( x ) \, \alpha _ { \nu } ( x , t ) \, \psi _ { \nu } ( k ) , } \\ { c _ { \nu } ( x ) } & { { } = \int _ { \mathcal { K ^ { \prime } } } V _ { w } ( x , k ^ { \prime } ) \, \mathrm { e } ^ { - 2 \pi \mathrm { i } \nu k ^ { \prime } / L _ { k } } \, \mathrm { d } k ^ { \prime } , \quad \mathcal { K ^ { \prime } } = [ - L _ { k } , \, L _ { k } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { G _ { o } ^ { R } ( E ) = \frac { | \varphi , e \rangle \langle \varphi , e | } { \big ( E - \omega _ { e } + i \epsilon \big ) } + \int _ { - \pi } ^ { \pi } d q \sum _ { x , x ^ { \prime } } \frac { e ^ { i q ( x - x ^ { \prime } ) } } { 4 \pi } } \\ & { \Bigg [ \frac { \Big ( e ^ { - i \theta _ { q } } \, | x , A \rangle + | x , B \rangle \Big ) | g \rangle \langle g | \Big ( e ^ { i \theta _ { q } } \, \langle x ^ { \prime } , A | + \langle x ^ { \prime } , B | \Big ) } { \big ( E - \omega _ { q } ^ { + } + i \epsilon \big ) } + } \\ & { \frac { \Big ( - e ^ { - i \theta _ { q } } \, | x , A \rangle + | x , B \rangle \Big ) | g \rangle \langle g | \Big ( - e ^ { i \theta _ { q } } \langle x ^ { \prime } , A | + \langle x ^ { \prime } , B | \Big ) } { \big ( E - \omega _ { q } ^ { - } + i \epsilon \big ) } \Bigg ] . } \end{array}
\alpha _ { n } : = \operatorname* { m a x } \left\{ \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \| \mu _ { k } \| _ { 3 } ^ { 3 } } { n _ { k } \bar { N } _ { k } } , \quad \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \| \mu _ { k } \| ^ { 2 } } { n _ { k } ^ { 2 } \bar { N } _ { k } ^ { 2 } } \right\} \bigg / \bigg ( \sum _ { k = 1 } ^ { K } \| \mu _ { k } \| ^ { 2 } \bigg ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { \Bigl \langle \Biggl ( \frac { c _ { i } ^ { 2 } Q _ { y } ( 0 ) } { 4 \omega _ { i } ( \dot { \gamma } - \omega _ { i } ) } + \frac { c _ { i } } { 4 } q _ { y } ( 0 ) + \frac { c _ { i } } { 4 \omega _ { i } } p _ { x } \Biggr ) \Biggl ( \frac { - c _ { i } ^ { 2 } Q _ { y } ( 0 ) } { 4 \omega _ { i } ( \dot { \gamma } + \omega _ { i } ) } + \frac { c _ { i } } { 4 } q _ { y } ( 0 ) - \frac { c _ { i } } { 4 \omega _ { i } } p _ { x } \Biggr ) \Bigr \rangle = \frac { c _ { i } ^ { 2 } ( 4 c _ { i } ^ { 2 } Q _ { y } ( 0 ) ^ { 2 } + k _ { B } T \omega _ { i } ^ { 2 } ) } { 1 6 \omega _ { i } ^ { 4 } } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { q _ { i } + d ( \lambda ^ { i } ) + ( 0 , 0 , \dots , 0 ) } & { \mathrm { ~ i f ~ r _ i = 0 ~ } } \\ { \emptyset } & { \mathrm { ~ i f ~ r _ i = 1 ~ } } \\ { q _ { i } + d ( \lambda ^ { i } ) + ( 0 , 0 , \dots , 0 ) } & { \mathrm { ~ i f ~ r _ i = 2 ~ } } \\ { q _ { i } + d ( \lambda ^ { i } ) + ( 0 ) } & { \mathrm { ~ i f ~ r _ i = 3 ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \Sigma ^ { i j } } & { = } & { \mathsf { c o r r e l } _ { i , j } ( t , ( x _ { t } ^ { k } ) _ { k = 1 } ^ { M } ) } \\ { \Delta W _ { t } } & { = } & { \sqrt { \Delta t } N ( 0 , \Sigma ) } \\ { x _ { t _ { n e w } } ^ { i } } & { = } & { x _ { t } ^ { i } + \mathsf { d r i f t } _ { i } ( t , ( x _ { t } ^ { j } ) _ { j = 1 } ^ { M } ) \Delta t + \sum _ { k = 1 } ^ { K _ { i } } \mathsf { v o l } _ { i k } ( t , ( x _ { t } ^ { j } ) _ { j = 1 } ^ { M } ) \Delta W _ { t } ^ { \mathsf { i n d } ( i , k ) } \qquad ( i \in { \cal I } _ { S } ) } \\ { x _ { t _ { n e w } } ^ { i } } & { = } & { f _ { i } ( t , ( x _ { t _ { n e w } } ^ { j } ) _ { j = 1 } ^ { i - 1 } ) \qquad ( i \in { \cal I } _ { F } ) } \\ { x _ { t _ { n e w } } ^ { i } } & { = } & { \mathsf { u p d } _ { i } ( t , \Delta t , ( ( x _ { t } ^ { j } ) _ { j = 1 } ^ { M } , ( x _ { t _ { n e w } } ^ { j } ) _ { j = 1 } ^ { i - 1 } ) \qquad ( i \in { \cal I } _ { U } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E \left[ Y _ { i } ( \boldsymbol { \theta } ) Y _ { j } ( \boldsymbol { \theta } ) \right] } & { = } & { a ^ { 2 } \mathrm { ~ } \left( \frac { \tau } { 2 } \right) ^ { 2 } \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \tau } } \\ & { } & { \times E \left[ C _ { 1 } + C _ { 2 } + C _ { 3 } + C _ { 4 } + C _ { 5 } + C _ { 6 } + C _ { 7 } + C _ { 8 } + C _ { 9 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { V ^ { 2 } } { L } \partial _ { \hat { t } } \hat { v } + \frac { V ^ { 2 } } { L } ( \hat { v } \cdot \hat { \nabla } ) \hat { v } = - \frac { V ^ { 2 } } { L } \hat { \nabla } \hat { p } + G \hat { g } + \frac { \nu V } { L ^ { 2 } } \hat { \Delta } \hat { v } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { y } _ { \mathrm { L F } } } & { { } \leftarrow \log { \boldsymbol { y } _ { \mathrm { L F } } } - \mathbb { E } [ \log { \boldsymbol { y } _ { \mathrm { L F } } } ] ; } \\ { \boldsymbol { y } _ { \mathrm { H F } } } & { { } \leftarrow \log { \boldsymbol { y } _ { \mathrm { H F } } } . } \end{array}
Q _ { i } \equiv \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \; ( A ^ { \dagger } \gamma ) _ { M _ { 1 } } \ldots ( A ^ { \dagger } \gamma ) _ { M _ { n } } ( A ^ { \dagger } \Gamma _ { i } A ) A _ { M _ { n } } \ldots A _ { M _ { 1 } }
\mathrm { \ m b { D } } _ { t } \Theta : = \mathrm { d } _ { t } \Theta + \Big ( \big ( \boldsymbol { u } - \mathrm { \scriptsize ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { a } \big ) \, \mathrm { d } t + \boldsymbol { \sigma } _ { t } \mathrm { d } \boldsymbol { B } _ { t } \Big ) \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } \Theta - \mathrm { \scriptsize ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } \big ( \boldsymbol { a } \boldsymbol { \nabla } \Theta \big ) \, \mathrm { d } t = 0 ,
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \left( [ \mathbf { C } _ { v , k + 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ^ { T } \mathbf { C } _ { v , k + 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \mathrm { ~ s i n g u l a r } \right) \leq C k ^ { 8 } C _ { k - 1 } \exp \left( - n c c _ { k - 1 } / k ^ { 1 1 } \right) , } \\ { \mathbb { P } \left( \left| \left[ ( [ \mathbf { C } _ { v , k + 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ^ { T } \mathbf { C } _ { v , k + 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ) ^ { - 1 } \right] _ { i j } - \left[ \boldsymbol { \Pi } _ { v k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \right] _ { i j } \right| \geq \epsilon \right) \leq C k ^ { 8 } C _ { k - 1 } \exp \left( - n c c _ { k - 1 } / k ^ { 1 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathbf { w } \| _ { \ell ^ { 1 } } } & { \leq \| \hat { \mathbf { w } } \| _ { \ell ^ { 1 } } + \| B I [ \boldsymbol { \tau } ] \| _ { \ell ^ { 1 } } , } \\ { \| \hat { \mathbf { w } } \| _ { \ell ^ { 1 } } } & { \leq \| \mathbf { w } \| _ { \ell ^ { 1 } } + \| B I [ \boldsymbol { \tau } ] \| _ { \ell ^ { 1 } } . } \end{array}
\Lambda _ { 4 } = 2 \langle \Lambda _ { 4 } \rangle - \frac { 1 } { 3 } \int _ { - a } ^ { a } d x ^ { 5 } f ^ { 2 } \left( 2 \Lambda ( x ^ { 5 } ) + T \delta ( x ^ { 5 } + l ) + T \delta ( x ^ { 5 } - l ) \right) \; .
\begin{array} { r l } { { \mathcal { R } } _ { \mathrm { v \rightarrow e } } ( \mathbf { W } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k } = } & { ~ \frac { 1 } { 2 } ~ { \Big ( } \mathbf { e } _ { R } \cdot ( \mathbf { W } _ { i + 1 , j , k } + \mathbf { W } _ { i , j , k } ) { \Big ) } \mathbf { e } _ { R } , } \\ { { \mathcal { R } } _ { \mathrm { v \rightarrow e } } ( \mathbf { W } ) _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } , k } = } & { ~ \frac { 1 } { 2 } ~ { \Big ( } \mathbf { e } _ { \phi } \cdot ( \mathbf { W } _ { i , j + 1 , k } + \mathbf { W } _ { i , j , k } ) { \Big ) } \mathbf { e } _ { \phi } , } \\ { { \mathcal { R } } _ { \mathrm { v \rightarrow e } } ( \mathbf { W } ) _ { i , j , k + \frac { 1 } { 2 } } = } & { ~ \frac { 1 } { 2 } ~ { \Big ( } \mathbf { e } _ { Z } \cdot ( \mathbf { W } _ { i , j , k + 1 } + \mathbf { W } _ { i , j , k } ) { \Big ) } \mathbf { e } _ { Z } , } \end{array}
{ \mathcal { M } } = i { \sqrt { \frac { 2 \omega _ { p } } { Z } } } \int \mathrm { d } ( x ^ { 0 } ) \partial _ { 0 } \int \mathrm { d } ^ { 3 } x f _ { p } ( x ) { \overleftrightarrow { \partial _ { 0 } } } \eta ( x )
\exp \left[ L ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) \right] = \frac { 2 r ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } } \left[ \cosh ( r _ { + } \Delta \phi - r _ { - } \Delta t ) - \cosh ( r _ { + } \Delta t - r _ { - } \Delta \phi ) \right] + O \left( 1 \right) \ \ .
\frac { 1 } { \sum _ { j \in { \cal I } _ { k } ^ { ( t ) } } w _ { j } } \, \sum _ { j \in { \cal I } _ { k } ^ { ( t ) } } w _ { j } y _ { j } = \widehat { \mu } _ { i } ^ { ( t ) } ~ > ~ \widehat { \mu } _ { i + 1 } ^ { ( t ) } = \frac { 1 } { \sum _ { l \in { \cal I } _ { k + 1 } ^ { ( t ) } } w _ { l } } \, \sum _ { l \in { \cal I } _ { k + 1 } ^ { ( t ) } } w _ { l } y _ { l } .
V _ { T } ^ { D i r a c } ( r ) \simeq - { \frac { G _ { F } ^ { 2 } m ^ { 5 / 2 } g _ { V } g _ { V } ^ { \prime } } { 2 ^ { 1 / 2 } \pi ^ { 5 / 2 } r } } \; T ^ { 3 / 2 } \; \cosh { ( \mu / T ) } e ^ { - m / T }
\begin{array} { r l } { P _ { 1 } ( \mathcal { S } , K ) = } & { \Bigg \{ \mathbf { E } \in \mathbb { R } ^ { N } \mid \mathbf { E } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( \omega _ { k } \mathcal { S } _ { k } ^ { + } + ( 1 - \omega _ { k } ) \mathcal { S } _ { k } ^ { - } \right) } \\ & { \qquad 0 \leq \omega _ { k } \leq 1 , k \in \{ 1 , \ldots , K \} \Bigg \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell } & { = \log \Big ( \prod _ { i = 1 } ^ { N } f ( y _ { i } , m _ { i } ^ { * } , r _ { i } , c _ { i } | x _ { i } ) \Big ) } \\ & { = \log { \Bigg \{ \prod _ { i = 1 } ^ { N } \Big [ f ( y _ { i } , m _ { i } ^ { * } , r _ { i } | x _ { i } , c _ { i } = 0 ) P ( C _ { i } = 0 ) \Big ] ^ { 1 _ { ( c _ { i } = 0 ) } } \Big [ f ( y _ { i } , m _ { i } ^ { * } , r _ { i } | x _ { i } , c _ { i } = 1 ) P ( C _ { i } = 1 ) \Big ] ^ { 1 _ { ( c _ { i } = 1 ) } } \Bigg \} } } \\ & { = \log { \Bigg \{ \prod _ { i = 1 } ^ { N } \Big [ \Delta _ { i } f ( y _ { i } , m _ { i } ^ { * } , r _ { i } | x _ { i } , c _ { i } = 0 ) \Big ] ^ { 1 _ { ( c _ { i } = 0 ) } } \Big [ ( 1 - \Delta _ { i } ) f ( y _ { i } , m _ { i } ^ { * } , r _ { i } | x _ { i } , c _ { i } = 1 ) \Big ] ^ { 1 _ { ( c _ { i } = 1 ) } } \Bigg \} } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Bigg \{ 1 _ { ( c _ { i } = 0 ) } \Big [ \log ( \Delta _ { i } ) + \log ( f ( y _ { i } , m _ { i } ^ { * } , r _ { i } | x _ { i } , c _ { i } = 0 ) ) \Big ] + 1 _ { ( c _ { i } = 1 ) } \Big [ \log ( 1 - \Delta _ { i } ) + \log ( f ( y _ { i } , m _ { i } ^ { * } , r _ { i } | x _ { i } , c _ { i } = 1 ) ) \Big ] \Bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( y _ { 2 m - 1 } \mu - q x ) } & { = ( \widetilde { d } \, q / p \, y _ { 2 m - 1 } + \gamma \big ) ( \widetilde { d } \mu ) - q ( \widetilde { d } \, ^ { 2 } x + \beta _ { 2 } ) } \\ & { = ( \widetilde { d } \, ^ { 2 } { q / p } ) ( y _ { 2 m - 1 } \mu - p x ) - q \beta _ { 2 } } \\ & { = ( q / p ) ( y _ { 2 m - 1 } \mu - p x ) - q \beta _ { 2 } \qquad \mathrm { ( r e c a l l ~ \widetilde { d } \in \{ - 1 , 1 \} ~ ) } . } \end{array}
{ \cal L } = \frac { 1 } { 2 g } [ \sum _ { i = 1 } ^ { 9 } \mathrm { t r } \dot { X } _ { n } ^ { i } \dot { X } _ { - n } ^ { i } - \sum _ { j = 2 } ^ { 9 } \mathrm { t r } S _ { n } ^ { j } ( S _ { n } ^ { j } ) ^ { + } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j , k = 2 } ^ { 9 } \mathrm { t r } T _ { n } ^ { j k } ( T _ { n } ^ { j k } ) ^ { + } ] ,
B ( x ) = P ( 0 , \mu ) \frac { 1 } { \sigma _ { 0 } \sqrt { 2 \pi } } \exp \left( - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } \right) + P _ { e x p } \theta ( x ) \alpha \exp ( - \alpha x ) ,
( \frac { k _ { 0 } } { \sqrt { t ^ { 2 } + r ^ { 2 } } } ) ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } H _ { \frac { N - 1 } { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 0 } \sqrt { t ^ { 2 } + r ^ { 2 } } )
\operatorname* { d e t } \Sigma _ { 3 } ( H ) = \left| \begin{array} { l l l } { 1 } & { \rho _ { 1 } ( H ) } & { \rho _ { 2 } ( H ) } \\ { \rho _ { 1 } ( H ) } & { 1 } & { \rho _ { 1 } ( H ) } \\ { \rho _ { 2 } ( H ) } & { \rho _ { 1 } ( H ) } & { 1 } \end{array} \right| = 1 + 2 \rho _ { 1 } ^ { 2 } ( H ) \rho _ { 2 } ( H ) - \rho _ { 2 } ^ { 2 } ( H ) - 2 \rho _ { 1 } ^ { 2 } ( H ) ,