harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
d \Gamma _ { B } ^ { c } \left( \ A ^ { - } \rightarrow B ^ { 0 } e ^ { - } \bar { \nu } _ { e } \, \gamma \right) \ d E = \frac { \alpha } { \pi } d \Omega \sum _ { i = 0 } ^ { 1 6 } H _ { i } ^ { \prime } \, \theta _ { i } ^ { T } \, ,
\langle V , V \rangle = \left\{ \begin{array} { l l } { \langle \! \langle V ^ { \perp } , V ^ { \perp } \rangle \! \rangle + \langle \! \langle V ^ { \mathrm { r } } , V ^ { \mathrm { r } } \rangle \! \rangle , } & { \mathrm { ~ i f ~ } K = 0 , } \\ { ( R ^ { 2 } / l ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } ( l / R ) \langle \! \langle V ^ { \perp } , V ^ { \perp } \rangle \! \rangle + \langle \! \langle V ^ { \mathrm { r } } , V ^ { \mathrm { r } } \rangle \! \rangle , } & { \mathrm { ~ i f ~ } K = 1 / R ^ { 2 } > 0 , } \\ { ( R ^ { 2 } / l ^ { 2 } ) \sinh ^ { 2 } ( l / R ) \langle \! \langle V ^ { \perp } , V ^ { \perp } \rangle \! \rangle + \langle \! \langle V ^ { \mathrm { r } } , V ^ { \mathrm { r } } \rangle \! \rangle , } & { \mathrm { ~ i f ~ } K = - 1 / R ^ { 2 } < 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \theta } f ( \theta , \lambda , \widehat Z ) } & { = \left( \gamma ^ { \star } \widehat Z _ { 1 } \, h ^ { \prime } ( \gamma ^ { \star } \theta _ { 1 } \widehat Z _ { 1 } / \lambda ) , \ldots , \gamma ^ { \star } \widehat Z _ { d } \, h ^ { \prime } ( \gamma ^ { \star } \theta _ { d } \widehat Z _ { d } / \lambda ) \right) } \\ { \nabla _ { \lambda } f ( \theta , \lambda , \widehat Z ) } & { = \varepsilon + \sum _ { i \in [ d ] } h ( \gamma ^ { \star } \theta _ { i } \widehat Z _ { i } / \lambda ) - \frac { 1 } { \lambda } \sum _ { i \in [ d ] } \gamma ^ { \star } \theta _ { i } \widehat Z _ { i } \, h ^ { \prime } ( \gamma ^ { \star } \theta _ { i } \widehat Z _ { i } / \lambda ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R _ { q } ^ { R X } ( \theta ) = s i n c ( \frac { \pi q } { L } ) e ^ { \frac { j \pi q } { L } } \sum _ { u = 1 } ^ { L } { e ^ { \frac { - j 2 \pi q u } { L } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { \gamma _ { n } ^ { u } } { L } } { I _ { 0 } e ^ { - \alpha ( n - 1 ) p } e } ^ { j k _ { 0 } ( n - 1 ) p c o s \theta } } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { F _ { 1 } \, = \, d D _ { 0 } , } } & { { \quad } } & { { F _ { 2 } \, = \, d D _ { 1 } , } } \\ { { F _ { 3 } \, = \, d D _ { 2 } - B _ { 2 } \wedge d D _ { 0 } , } } & { { } } & { { F _ { 4 } \, = \, d D _ { 3 } - B _ { 2 } \wedge d D _ { 1 } , } } \\ { { F _ { 5 } \, = \, d D _ { 4 } - B _ { 2 } \wedge d D _ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } B _ { 2 } \wedge B _ { 2 } \wedge d D _ { 0 } . } } & { { } } & { { ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { x _ { + } = ( 1 , 0 ) ^ { T } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \beta ( 0 ) = \beta _ { + , 1 } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \beta _ { + , 2 } , } \\ { x _ { - } = ( 0 , 1 ) ^ { T } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \beta ( 0 ) = \beta _ { - , 1 } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \beta _ { - , 2 } . } \end{array}
\gamma _ { k } = \frac { { { { \left| { { \boldsymbol { h } } _ { \mathrm { { d } } , k } ^ { H } { \boldsymbol { w } _ { { \mathrm { d } } , k } } } \right| } ^ { 2 } } } } { { \sum _ { u \ne k } { { { \left| { \boldsymbol { h } _ { \mathrm { { d } } , k } ^ { H } { \boldsymbol { w } _ { { \mathrm { d } } , u } } } \right| } ^ { 2 } } } + { \sigma ^ { 2 } } } }
h _ { t } + \partial _ { x } \left( \frac { 3 } { 4 } h ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \mathscr { N } ( h \mathscr { N } h ) - \frac { 1 } { 4 } ( \mathscr { N } h ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \mathscr { Q } h - \frac { h } { 2 } \right) = 0 ,
\Phi \, = \, \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \pm \epsilon _ { i } \pm \epsilon _ { j } \, \, 1 \le i < j \le r } } & { { d + 2 = 2 r } } \\ { { \pm \epsilon _ { i } \pm \epsilon _ { j } \, \, 1 \le i < j \le r \, , \, \pm \epsilon _ { i } \, \, i = 1 , . . . , r } } & { { d + 2 = 2 r + 1 } } \end{array} \right. \right.
f ( v ) = \frac { v } { \sqrt { \pi } v _ { 0 } v _ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } } e ^ { - ( v + v _ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } ) ^ { 2 } / v _ { 0 } ^ { 2 } } ( e ^ { 4 v v _ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } / v _ { 0 } ^ { 2 } } - 1 )
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { \mathrm { s t a g } } } & { { } = \left\langle \left| \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( - 1 \right) ^ { i } \frac { n _ { i } - 1 / 2 } { N } \right| \right\rangle , } \end{array}
\theta _ { 0 } = \textrm { t a n } ^ { - 1 } \left( \frac { g ( y _ { 1 } - y _ { 0 } ) v _ { 0 } } { ( g ( y _ { 1 } - y _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( g ( x _ { 1 } - x _ { 0 } ) - v _ { 0 } ) ^ { 2 } - v _ { 0 } ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { W _ { 1 0 } ( \alpha ) } & { = W _ { 0 1 } ( \alpha ) = ( 1 - e ^ { i \alpha } ) \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } J _ { k } ( \Theta ) J _ { k - 1 } ( \Theta ) } \\ { W _ { 0 0 } ( \alpha ) } & { = J _ { 0 } ^ { 2 } ( \Theta ) + ( 1 + e ^ { i \alpha } ) \frac { 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } ( \Theta ) } { 2 } } \\ { W _ { 1 1 } ( \alpha ) } & { = e ^ { i \alpha } J _ { 0 } ^ { 2 } ( \Theta ) + ( 1 + e ^ { i \alpha } ) \frac { 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } ( \Theta ) } { 2 } , } \end{array}
F = \frac { 4 x ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } ( \gamma - 1 ) ^ { 2 } ( 1 + \gamma ) } { A ^ { 4 } ( e ^ { \frac { x ^ { 2 } } { A ^ { 2 } L } } - \alpha ) ( \alpha - \alpha \gamma + e ^ { \frac { x ^ { 2 } } { A ^ { 2 } L } } ( 1 + 3 \gamma ) ) L ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } & { C _ { i } ( i ^ { t } , \underline { { A } } _ { \partial i } ) = } \\ & { \prod _ { j \in \partial i } \left[ \delta _ { A _ { j } } ^ { 0 } + \sum _ { s = 1 } ^ { t - 1 } \left( \delta _ { A _ { j } } ^ { j ^ { s } } + \sum _ { l \in \partial j \backslash i } \delta _ { A _ { j } } ^ { l ^ { s } } \right) + \delta _ { A _ { j } } ^ { i ^ { t } } + \sum _ { s = t + 1 } ^ { H } \left( \delta _ { A _ { j } } ^ { j ^ { s } } + \sum _ { l \in \partial j \backslash i } \delta _ { A _ { j } } ^ { l ^ { s } } \right) \right] } \\ & { \times \Theta \left\{ \sum _ { j \in \partial i } \left[ \sum _ { l \in \partial j \backslash i } \delta _ { A _ { j } } ^ { l ^ { t - 1 } } + \delta _ { A _ { j } } ^ { i ^ { t } } + \sum _ { s = t + 1 } ^ { H } \left( \delta _ { A _ { j } } ^ { j ^ { s } } + \sum _ { l \in \partial j \backslash i } \delta _ { A _ { j } } ^ { l ^ { s } } \right) \right] - K \right\} } \\ & { \times \Theta \left[ K - 1 - \sum _ { j \in \partial i } \sum _ { s = t + 1 } ^ { H } \left( \delta _ { A _ { j } } ^ { j ^ { s } } + \sum _ { l \in \partial j \backslash i } \delta _ { A _ { j } } ^ { l ^ { s } } \right) \right] . } \end{array}
U ( \theta _ { 1 2 } , \theta _ { 2 3 } , \theta _ { 1 3 } , \delta ) = \left( \begin{array} { l l l } { { c _ { 1 2 } c _ { 1 3 } } } & { { s _ { 1 2 } c _ { 1 3 } } } & { { s _ { 1 3 } e ^ { - i \delta } } } \\ { { - s _ { 1 2 } c _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta } } } & { { c _ { 1 2 } c _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta } } } & { { s _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } } \\ { { s _ { 1 2 } s _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta } } } & { { - c _ { 1 2 } s _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta } } } & { { c _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { p } & { = \mathbb P ( | G _ { 2 1 } | > | G _ { 1 1 } | ) = \mathbb P ( | Z _ { 1 } | > \sqrt 2 | Z _ { 2 } | ) = \mathbb P ( Z _ { 1 } ^ { 2 } / Z _ { 2 } ^ { 2 } > 2 ) } \\ & { = \mathbb P ( F _ { 1 , 1 } > 2 ) = \frac 1 \pi \int _ { 2 } ^ { \infty } \frac { d x } { \sqrt x ( 1 + x ) } = \frac 2 \pi \arctan \left( \frac 1 { \sqrt 2 } \right) \approx 0 . 3 9 1 8 2 6 5 5 2 } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \Gamma _ { ( K _ { 3 } , K _ { 4 } ; K _ { 1 } , K _ { 2 } ) } } & { = \int { \prod _ { i = 1 } ^ { 2 } { d X _ { i } \, e ^ { i K _ { i } X _ { i } } } \prod _ { i = 3 } ^ { 4 } { d X _ { i } \, e ^ { - i K _ { i } X _ { i } } } \langle T \psi ^ { \dagger } ( X _ { 3 } ) \psi ^ { \dagger } ( X _ { 4 } ) \psi ( X _ { 1 } ) \psi ( X _ { 2 } ) \rangle } } \\ & { = ( 2 \pi ) ^ { 8 } \delta ( K _ { 1 } - K _ { 3 } ) \delta ( K _ { 2 } - K _ { 4 } ) G ( K _ { 1 } ) G ( K _ { 2 } ) - } \\ & { { \phantom { = } } ( 2 \pi ) ^ { 8 } \delta ( K _ { 1 } - K _ { 4 } ) \delta ( K _ { 2 } - K _ { 3 } ) G ( K _ { 1 } ) G ( K _ { 2 } ) + } \\ & { { \phantom { = } } ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ( { K _ { 1 } + K _ { 2 } - K _ { 3 } - K _ { 4 } } ) G ( K _ { 1 } ) G ( K _ { 2 } ) G ( K _ { 3 } ) G ( K _ { 4 } ) i \Gamma _ { ( K _ { 3 } , K _ { 4 } ; K _ { 1 } , K _ { 2 } ) } { \mathrm { . } } } \end{array} }
D _ { 1 } \underset { n \longrightarrow \infty } { \overset { \mathcal { P } } { \longrightarrow } } \frac { \tau } { 4 } \frac { \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \frac { \tau } { 2 } } } { \left( 2 \pi \right) ^ { m \tau / 2 } \left( 1 + \tau \right) ^ { m / 2 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) .
\begin{array} { r l } { f ( \vec { x } ) } & { { } = \frac { \exp \! \big ( - \frac { 1 } { 2 } ( \vec { x } - \vec { \mu } ) ^ { \intercal } \mathbf { \Sigma } ^ { - 1 } ( \vec { x } - \vec { \mu } ) \big ) } { 2 \pi \sqrt { | \mathbf { \Sigma } | } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { N } } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { ~ d ~ } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } } \mathrm { ~ d ~ } \tau _ { \mathrm { ~ d ~ } } P ( \tau _ { \mathrm { ~ d ~ } } ) \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { ~ u ~ } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } } \mathrm { ~ d ~ } \tau _ { \mathrm { ~ u ~ } } P ( \tau _ { \mathrm { ~ u ~ } } ) \mathcal { N } \left( \tau _ { \mathrm { ~ d ~ } } , \tau _ { \mathrm { ~ u ~ } } \right) , } \\ { \overline { { F } } } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { ~ d ~ } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } } \mathrm { ~ d ~ } \tau _ { \mathrm { ~ d ~ } } P ( \tau _ { \mathrm { ~ d ~ } } ) \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { ~ u ~ } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } } \mathrm { ~ d ~ } \tau _ { \mathrm { ~ u ~ } } P ( \tau _ { \mathrm { ~ u ~ } } ) \overline { { F } } \left( \tau _ { \mathrm { ~ d ~ } } , \tau _ { \mathrm { ~ u ~ } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { f } { g _ { n } } } & { = \frac { z ^ { \beta } } { z _ { n } ^ { \beta } } \frac { h _ { 2 } \sin ( x ) ^ { \gamma } - \mathrm { i } h _ { 1 } z ^ { \alpha - \beta } } { c ^ { \prime } \sin ( x ) ^ { \gamma } - \mathrm { i } c z _ { n } ^ { \alpha - \beta } } = \frac { z ^ { \beta } } { z _ { n } ^ { \beta } } w , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Big ( E ( u , \alpha ) + \frac 1 2 \| v - \beta \| ^ { 2 } + 1 \Big ) + \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { ( u _ { x } ) ^ { 2 } } { u } \mathrm { d } x + \varepsilon \| ( v - \beta ) _ { x } \| ^ { 2 } } \\ { \le \ } & { C \big ( | \alpha ^ { \prime } | + \varepsilon | \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } | + | \beta _ { 1 } ^ { \prime } | + | \beta _ { 2 } ^ { \prime } | \big ) \Big ( E ( u , \alpha ) + \frac 1 2 \| v - \beta \| ^ { 2 } + 1 \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { T _ { x } \mathbb { R } ^ { m } } & { = T _ { x } S + \textrm { K e r } ( \textrm { d } f _ { x } ) } & & { \mathrm { ( P r o p e r t y ~ ) } } \\ & { = T _ { x } S + T _ { x } f ^ { - 1 } ( y ) } \\ & { \subseteq T _ { x } S + T _ { x } \partial \mathcal { X } } & & { \mathrm { ( P r o p e r t y ~ ) } } \\ & { = T _ { x } S + T _ { x } \partial B . } \end{array}
L ( \Delta f ) = \frac { F K T _ { 0 } } { 2 P _ { o } } \left[ 1 + \frac { 1 } { f _ { m } ^ { 2 } } \left( \frac { \Delta f } { 2 Q _ { U L } } \right) ^ { 2 } \right] \left( 1 + \frac { f _ { \alpha } } { f _ { m } } \right)
\begin{array} { r l } { \hat { c } _ { k + j | k } = } & { - \alpha _ { 1 } u _ { k + j | k } + ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } ) \Big [ r \big ( u _ { k + j | k } , w _ { f } ( t _ { j + k } ) \big ) } \\ & { - \overline { { P } } ( x _ { k + j | k } ) \Big ] ^ { + } + \alpha _ { 4 } \ell ( u _ { k + j | k } - u _ { k + j - 1 | k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big | \mathbf { E } _ { 0 , y } \int _ { 0 } ^ { \tau ^ { \varepsilon } } \Big ( \mathcal { L } f ( 0 , y ) - \mathcal { L } f ( X _ { u } ^ { \varepsilon } , Y _ { u } ^ { \varepsilon } ) \Big ) \, \mathrm { d } u \Big | } & { \lesssim \varepsilon \mathbf { E } _ { 0 , y } \tau ^ { \varepsilon } + \Big ( \mathbf { E } _ { 0 , y } | \tau ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } \cdot \mathbf { E } _ { 0 , y } \operatorname* { s u p } _ { u \leq \tau ^ { \varepsilon } } | Y _ { u } ^ { \varepsilon } - y | ^ { 2 } \Big ) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \lesssim \varepsilon ^ { 3 } \leq \frac { \eta } { 3 } \mathbf { E } _ { 0 , y } \tau ^ { \varepsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \mathrm { Q N M } } ^ { \mathrm { n l o s s } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) } & { { } = \frac { 2 | \mathbf { d } | ^ { 2 } } { \hbar \epsilon _ { 0 } } \int _ { V _ { \mathrm { L } } } \epsilon _ { \mathrm { I m } } ^ { \mathrm { L } } ( \mathbf { r } , \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { \mathbf { R } _ { 0 } } \left[ \int _ { 0 } ^ { \mathbf { t } _ { 0 } } d s f \circ \hat { \pi } \left( \cdot , \bar { 0 } , s \right) \right] } & { = \mu _ { \mathbf { R } _ { 0 } } \left[ \int _ { 0 } ^ { \mathbf { t } _ { 0 } } d s f \circ \hat { \pi } _ { \bar { 0 } } \left( \cdot , \cdot , s \right) \right] = \mu _ { \mathbf { R } _ { 0 } } \left[ \int _ { 0 } ^ { \mathbf { t } _ { 0 } } d s \breve { f } \left( \tilde { \pi } _ { 0 } \left( \cdot , s \right) , \bar { 0 } \right) \right] } \\ & { = \mu _ { R _ { 0 } } \left[ \int _ { 0 } ^ { \tau _ { 0 } } d s \check { f } \circ \tilde { \pi } _ { 0 } \left( \cdot , s \right) \right] } \end{array}
\mathcal { R } \left( x \right) = \int _ { 0 } ^ { 1 } d u z ( u ) ^ { 2 } \left\{ x \sqrt { w ( u ) } + e ^ { \frac { i x w ( u ) } { 2 } + \frac { i \pi } { 4 } } \sqrt { \frac { \pi x } { 2 } } \left( 3 i - w ( u ) x \right) \mathrm { e r f c } \left[ \frac { 1 + i } { 2 } \sqrt { x w ( u ) } \right] \right\} ,
\left( n ^ { A } ( { \cal R } _ { A B } - \frac { 1 } { 2 } { \cal R } G _ { A B } - 8 \pi { \bf G } { \cal T } _ { A B } ) y _ { \, , \mu } ^ { B } \right) ^ { ( 1 ) } + \left( n ^ { A } ( { \cal R } _ { A B } - \frac { 1 } { 2 } { \cal R } G _ { A B } - 8 \pi { \bf G } { \cal T } _ { A B } ) y _ { \, , \mu } ^ { B } \right) ^ { ( 2 ) } = 0 ~ .
\begin{array} { r l } { \left. \left. S ^ { 2 } \right| s , m _ { s } \right\rangle } & { { } = \hbar ^ { 2 } s ( s + 1 ) | s , m _ { s } \rangle } \\ { \left. \left. S _ { z } \right| s , m _ { s } \right\rangle } & { { } = \hbar m _ { s } | s , m _ { s } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta v ( \Xi ( \mathbf d ) ) + 5 K _ { \mathbf { d } } } & { \le 1 - \frac 5 \beta + c \sum _ { s = 1 } ^ { t } \left( \frac 1 { \beta ^ { p _ { 2 s - 1 } } } ( 1 - 1 / \beta ^ { 2 \ell _ { 2 s - 1 } } ) + \frac 1 { \beta ^ { p _ { 2 s } } } ( 1 - 1 / \beta ^ { 3 \ell _ { 2 s } } ) \right) + \frac c { \beta ^ { m - 3 } } } \\ & { = 1 - \frac 5 \beta + c \sum _ { s = 1 } ^ { t } \left( 1 / \beta ^ { p _ { 2 s - 1 } } - 1 / \beta ^ { p _ { 2 s } } + 1 / \beta ^ { p _ { 2 s } } - 1 / \beta ^ { p _ { 2 s + 1 } } \right) + \frac c { \beta ^ { m - 3 } } } \\ & { = 1 - \frac 5 \beta + c ( 1 / \beta - 1 / \beta ^ { m - 3 } ) + \frac c { \beta ^ { m - 3 } } } \\ & { = 1 - \frac 5 \beta + \frac c \beta } \\ & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { J _ { k + 1 } , j ^ { \prime } , j ^ { \prime \prime } } ( s ) } & { = H _ { J _ { k } , j ^ { \prime } , j ^ { \prime \prime } } ( s ) + H _ { J _ { k } , j ^ { \prime } , j _ { k + 1 } } ( s ) H _ { J _ { k } , j _ { k + 1 } , j ^ { \prime \prime } } ( s ) } \\ & { \quad + H _ { J _ { k } , j ^ { \prime } , j _ { k + 1 } } ( s ) H _ { J _ { k } , j _ { k + 1 } , j ^ { \prime \prime } } ( s ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } H _ { J _ { k } , j _ { k + 1 } , j _ { k + 1 } } ( s ) ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p ( z | c - d ) } & { { } = } & { \frac { 1 \pm z \cos \, n ( c - d ) } { 2 } = \left\{ \begin{array} { c c c } { \cos ^ { 2 } \frac { n ( c - d ) } { 2 } } & { , } & { z = \pm 1 } \\ { \sin ^ { 2 } \frac { n ( c - d ) } { 2 } } & { , } & { z = \mp 1 } \end{array} \right. \; . } \end{array}
I _ { \varepsilon } ( \nu ) \mathop { \longrightarrow } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } I ( \nu ) = \frac { 1 } { 4 ( 1 - \nu ) ^ { 2 } ( 2 - \nu ) } , \, \, \, \, \, \, \, \, \frac { 1 } { 2 } \leq \nu < 1 .
M \left( t \right) = \rho _ { q 1 , q 2 } \left( t \right) \left( \sigma _ { y } ^ { ( 1 ) } \otimes \sigma _ { y } ^ { ( 2 ) } \right) \rho _ { q 1 , q 2 } ^ { * } \left( t \right) \left( \sigma _ { y } ^ { ( 1 ) } \otimes \sigma _ { y } ^ { ( 2 ) } \right) ,
\begin{array} { l l } { { \{ Q ^ { \alpha } , Q ^ { \beta } \} = - 2 \tilde { \Gamma } ^ { m \alpha \beta } P _ { m } , } } & { { [ P _ { m } , Q ^ { \alpha } ] = - i \tilde { \Gamma } _ { m } { } ^ { \alpha \beta } \Sigma _ { \beta } , } } \\ { { { } [ M _ { m n } , Q ^ { \alpha } ] = \displaystyle \frac i 4 Q ^ { \beta } ( \Gamma _ { m n } ) _ { \beta } { } ^ { \alpha } , } } & { { [ M _ { m n } , \Sigma _ { \alpha } ] = - \displaystyle \frac i 4 ( \Gamma _ { m n } ) _ { \alpha } { } ^ { \beta } \Sigma _ { \beta } } } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { x _ { 0 } + x _ { 1 } } & { x _ { 2 } + i x _ { 3 } } \\ { x _ { 2 } - i x _ { 3 } } & { x _ { 0 } - x _ { 1 } } \end{array} \right] } = 2 { \left[ \begin{array} { l } { z } \\ { w } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { { \bar { z } } } & { { \bar { w } } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r } { \left( 1 - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } \right) \Delta t ^ { 2 } = \left( 1 + \varepsilon \bar { f } ( \Delta u ) \right) \Delta x ^ { 2 } + \left( 1 - \varepsilon \bar { f } ( \Delta u ) \right) \Delta y ^ { 2 } + 2 \varepsilon \bar { f } _ { \times } ( \Delta u ) \Delta x \Delta y + \left( 1 + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } \right) \Delta z ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } \Delta z \Delta t , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } C _ { \bf x } } & { = } & { { \cal L } \cdot C _ { \bf x } + { \cal Q } \cdot C _ { \bf x } \cdot C _ { \bf x } + { \cal Q } \cdot C _ { { \bf x } { \bf x } } , } \\ { \frac { d } { d t } C _ { { \bf x } { \bf x } } } & { = } & { \left\lbrace { \cal L } \cdot C _ { { \bf x } { \bf x } } + 2 { \cal Q } \cdot C _ { \bf x } \cdot C _ { { \bf x } { \bf x } } + { \cal Q } \cdot C _ { { \bf x } { \bf x } { \bf x } } \right\rbrace _ { 2 } , } \\ { \frac { d } { d t } C _ { { \bf x } { \bf x } { \bf x } } } & { = } & { \left\lbrace { \cal L } \cdot C _ { { \bf x } { \bf x } { \bf x } } + 2 { \cal Q } \cdot C _ { { \bf x } { \bf x } { \bf x } } \cdot C _ { { \bf x } } + 2 { \cal Q } \cdot C _ { { \bf x } { \bf x } } \cdot C _ { { \bf x } { \bf x } } \right\rbrace _ { 3 } } \\ & { + } & { { \cal O } ( C _ { { \bf x } { \bf x } { \bf x } { \bf x } } ) , } \end{array}
\mathbb { P } \{ \mathcal { N } > 0 \mid z _ { 0 } \} = 1 - \mathbb { P } \{ \mathcal { N } = 0 \mid z _ { 0 } \} = \mathcal { E } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) = \frac { q ( H - z _ { 0 } ) } { 1 + q H } .
\partial _ { N _ { r } } K _ { r } ^ { ( 1 ) } ( t _ { 2 } , t _ { 1 } ) = \sum _ { p = 1 , 2 } \int _ { C _ { p } ^ { ( r ) } } K _ { r } ^ { ( 1 ) } ( t _ { 2 } , t ) d t E _ { p , N _ { s } } ^ { ( 0 ) } ( K _ { r } ^ { ( 1 ) } ( t , t _ { 1 } ) )
\begin{array} { r l } { H _ { i j } = \frac { 1 - 3 \cos ^ { 2 } \theta _ { i j } } { R ^ { 3 } } } & { { } \left[ \frac { J _ { \perp } } { 2 } \left( S _ { i } ^ { + } S _ { j } ^ { - } + \mathrm { { h . c . } } \right) + J _ { z } S _ { i } ^ { z } S _ { j } ^ { z } \right. } \end{array}
\sum _ { c = 1 } ^ { m } \phi _ { c } \Delta H _ { i j k \ell _ { c } } = - \sum _ { c = 1 } ^ { m } \left( \frac { 1 } { 1 + \delta _ { c } } \right) Z _ { N _ { c } } n _ { i _ { c } } n _ { j _ { c } } n _ { k _ { c } } n _ { \ell _ { c } } \, ,
\begin{array} { l c l } { { X _ { n } ^ { ( J ) } ( \tau ) } } & { { = } } & { { { \displaystyle C _ { n } ^ { ( J ) } \sqrt { - \tau } ~ J _ { - \nu } \left( - \frac { 2 \pi } { \lambda _ { J } } | n | \tau \right) + D _ { n } ^ { ( J ) } \sqrt { - \tau } ~ J _ { \nu } \left( - \frac { 2 \pi } { \lambda _ { J } } | n | \tau \right) } ~ , ~ ( n \neq 0 ) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { X _ { 0 } ^ { ( J ) } ( \tau ) } } & { { = } } & { { { \displaystyle C _ { 0 } ^ { ( J ) } ( - \tau ) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \nu } + D _ { 0 } ^ { ( J ) } ( - \tau ) ^ { \frac { 1 } { 2 } + \nu } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { E } _ { \ell } \left( \left( \mathbb { E } _ { \ell } ( A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ) \mathbb { E } _ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } ) - E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell } ( A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ) E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } ) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \le C \left( h _ { \ell ^ { \prime } } ^ { \eta _ { \Psi } r } \frac { \| A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { 1 / 2 } } + h _ { \ell } ^ { \eta _ { \mathcal { O } } r } \frac { \| A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { 1 / 2 } } + \frac { \| A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \| A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } \right) } \\ & { \le C \left( \frac { h _ { \ell } ^ { \eta _ { \mathcal { O } } r } h _ { \ell ^ { \prime } } ^ { \eta _ { \Psi } r } } { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { 1 / 2 } } + \frac { h _ { \ell } ^ { \eta _ { \mathcal { O } } r } h _ { \ell ^ { \prime } } ^ { \eta _ { \Psi } r } } { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } \right) } \\ & { \le C M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { - 1 / 2 } h _ { \ell } ^ { \eta _ { \mathcal { O } } r } h _ { \ell ^ { \prime } } ^ { \eta _ { \Psi } r } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho ^ { ( n ) } = \frac { \Bar { Y } ^ { ( n ) } } { \Bar { S } ^ { ( n ) } } = \frac { \left( \mu \cdot \Phi \left( \frac { \mu } { \sigma } \right) + \sigma \cdot \phi \left( \frac { - \mu } { \sigma } \right) \right) \cdot \lambda ^ { ( n ) } } { \sum _ { u = 0 } ^ { C } s _ { u } ^ { ( n ) } u } = \frac { \lambda ^ { ( n ) } \cdot \mathbb { E } [ \hat { H } _ { \mathrm { N o r m a l } } ^ { ( n ) } ] } { \sum _ { u = 0 } ^ { C } s _ { u } ^ { ( n ) } u } < 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } ( \partial _ { s } + \theta ( n ) \alpha _ { n } A ) \mathcal { E } _ { s } ^ { n } ( \varphi ) d s } \\ & { \quad = \frac { \theta ( n ) \alpha _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \bigg ( \overline { { \xi } } _ { j + 1 } ( s ) \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) + 2 \lambda \overline { { \xi } } _ { j } - \frac { f _ { 2 } ( n ) } { \theta ( n ) \alpha _ { n } } \overline { { \zeta } } _ { j } ( s ) \bigg ) \partial _ { x } T _ { f _ { 2 } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s + E _ { t } ^ { 2 , n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 0 } + } & { { } a _ { 0 } a _ { 1 } + a _ { 0 } a _ { 1 } a _ { 2 } + \cdots + a _ { 0 } a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } \cdots a _ { n + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \widehat { F } _ { \mathrm { ~ I ~ S ~ A ~ I ~ R ~ } , p } ^ { ( k ) } = \left( \frac { 1 } { p / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { p / 2 } \widetilde { F } ^ { ( k ) } ( \xi _ { i } ) \right) + \gamma \left( \widehat { F } _ { \mathrm { ~ I ~ S ~ A ~ I ~ R ~ } , p } ^ { ( k - 1 ) } - \frac { 1 } { p / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { p / 2 } \widetilde { F } ^ { ( k - 1 ) } ( \xi _ { i } ) W _ { k } ( \xi _ { i } ) \right) \, , } \end{array}