harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Omega = - { \cal H } \, \mathrm { d } z \wedge \mathrm { d } \bar { z } + \bar { p } \, \mathrm { d } z \wedge \mathrm { d } \varphi + p \, \mathrm { d } \varphi \wedge \mathrm { d } \bar { z } \quad \mathrm { w i t h } \quad { \cal H } : = p v + \bar { p } \bar { v } - { \cal L } \, .
\Delta ( ^ { [ g ] } { \overline { { D } } } ^ { [ h ] } ) \subset \sum _ { t \in S } { ^ { [ g ] } { \overline { { D } } } ^ { [ t ] } } \otimes { ^ { [ t ] } { \overline { { D } } } ^ { [ h ] } } = \sum _ { [ t ] \in \frac { S } { \sim } } { ^ { [ g ] } { \overline { { D } } } ^ { [ t ] } } \otimes { ^ { [ t ] } { \overline { { D } } } ^ { [ h ] } }
\begin{array} { r } { 2 = ( 2 ( a ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) c + 3 a c ^ { 2 } ) \left( 2 E \left( { \frac { \pi } { 2 } } , { \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) - E \left( \frac { t _ { 0 } } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } , { \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) \right) } \\ { - a ^ { 2 } c \left( 2 F \left( { \frac { \pi } { 2 } } , { \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) - F \left( \frac { t _ { 0 } } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } , { \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) \right) } \\ { - \frac { ( c ^ { 2 } - a ^ { 2 } ) h } { 2 } \sqrt { 1 - \left( \frac { 2 h ^ { 2 } - c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } + 2 \varepsilon ^ { 3 } + \sqrt { \varepsilon ^ { 2 } - h ^ { 2 } } ( 2 \varepsilon ^ { 2 } + h ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { M , N \to \infty } L _ { \alpha \beta } ( r ) } & { = L _ { \alpha \beta } ( 0 ) + r ( 1 - p _ { n o d e } ) ( \frac { L } { L _ { p } } - L _ { \alpha \beta } ( 0 ) ) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { M , N \to \infty } k _ { \mathcal { Y } } ^ { \alpha } ( r ) } & { = k _ { \mathcal { Y } } ^ { \alpha } ( 0 ) + r ( 1 - p _ { n o d e } ) ( \langle k _ { \mathcal { Y } } \rangle - k _ { \mathcal { Y } } ^ { \alpha } ( 0 ) ) } \end{array}
\alpha = \omega ^ { 2 } + 2 k ^ { 4 } \nu _ { 4 } \left( \nu _ { 4 } - \nu _ { o } \right) , \quad \beta = 4 k ^ { 4 } ( \nu _ { o } - \nu _ { 4 } ) ^ { 2 } ( \omega ^ { 2 } - \nu _ { 4 } ^ { 2 } k ^ { 4 } ) .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { u } _ { r } ^ { + } - \boldsymbol { u } _ { r } ^ { - } } & { = \sum _ { k = d + 1 } ^ { r _ { i + 1 } } ( \Phi _ { i + 1 } ) _ { , k } ( \boldsymbol { a } _ { i + 1 } ) _ { k } - \sum _ { l = d + 1 } ^ { r _ { i } } ( \Phi _ { i } ) _ { , l } ( \boldsymbol { a } _ { i } ) _ { l } + \sum _ { j = 1 } ^ { d } \frac { \boldsymbol { e } _ { j } } { | | \boldsymbol { e } _ { j } | | _ { \Omega _ { h } } } ( ( \boldsymbol { a } _ { i + 1 } ) _ { j } - ( \boldsymbol { a } _ { i } ) _ { j } ) } \\ & { = \widetilde { \Phi } _ { i + 1 } \widetilde { \boldsymbol { a } } _ { i + 1 } - \widetilde { \Phi } _ { i } \widetilde { \boldsymbol { a } } _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { p , q } ^ { \mathrm { L G } } ( t ) } & { = \sqrt { \frac { \gamma ^ { p } g ^ { q } T _ { 1 } ^ { p + q } T _ { 3 } } { p ! q ! T _ { 2 } ^ { 2 q } } } e ^ { c ^ { \dagger } c \ln T _ { 2 } } c ^ { \dagger q } c ^ { p } } \\ { T _ { 1 } } & { = \frac { 1 - e ^ { - 2 ( \gamma - g ) t } } { \gamma - g e ^ { - 2 ( \gamma - g ) t } } } \\ { T _ { 2 } } & { = \frac { ( \gamma - g ) e ^ { - ( \gamma - g ) t } } { \gamma - g e ^ { - 2 ( \gamma - g ) t } } } \\ { T _ { 3 } } & { = \frac { \gamma - g } { \gamma - g e ^ { - 2 ( \gamma - g ) t } } = 1 - g T _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { f } ( \boldsymbol { k } , t ) \equiv \int \frac { \mathrm { d } \vec { x } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, e ^ { i \vec { k } \cdot \vec { x } } f ( \boldsymbol { x } , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { \bf k } } & { { } = } & { \cos \left( \frac { \theta _ { \bf k } } { 2 } \right) } \\ { v _ { \bf k } } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { i \phi } \sin \left( \frac { \theta _ { \bf k } } { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { X } } & { { } = - \mathrm { i } \hbar \left( \sin \chi \frac { \partial } { \partial \theta } - \csc \theta \cos \chi \frac { \partial } { \partial \phi } + \cot \theta \cos \chi \frac { \partial } { \partial \chi } \right) , } \\ { J _ { Y } } & { { } = - \mathrm { i } \hbar \left( \cos \chi \frac { \partial } { \partial \theta } + \csc \theta \sin \chi \frac { \partial } { \partial \phi } - \cot \theta \sin \chi \frac { \partial } { \partial \chi } \right) , } \\ { J _ { Z } } & { { } = - \mathrm { i } \hbar \frac { \partial } { \partial \chi } , } \end{array}
P = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \mu _ { 1 } , \cdots , \mu _ { n } = 1 } ^ { N } \int { \frac { { d \theta _ { 1 } } \cdots { d \theta _ { n } } } { { n ! } ( 2 \pi ) ^ { n } } | V _ { \mu _ { 1 } } ( \theta _ { 1 } ) \cdots V _ { \mu _ { n } } ( \theta _ { n } ) \rangle \langle V _ { \mu _ { 1 } } ( \theta _ { 1 } ) \cdots V _ { \mu _ { n } } ( \theta _ { n } ) | }
( e _ { 2 } ) ^ { 2 } = \int _ { x _ { 0 } } ^ { x _ { J } } d x \ \big | \psi ( x , t _ { \mathrm { f } } ) - \psi _ { \mathrm { e x a c t } } ( x , t _ { \mathrm { f } } ) \big | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { d ^ { 2 } \eta ( \tau ) } { d \tau ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 4 M ^ { 2 } } \Bigg \{ \frac { 1 } { \eta ^ { 2 } ( \tau ) } \left[ 1 + \frac { l ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } ( \tau ) \left( 1 - \frac { q ^ { 2 } } { \eta ( \tau ) } \right) } \right] } \\ & { } & { - \left( 1 - \frac { 1 } { \eta ( \tau ) } \right) \left[ \frac { 2 l ^ { 2 } } { \eta ^ { 3 } ( \tau ) \left( 1 - \frac { q ^ { 2 } } { \eta ( \tau ) } \right) } + \frac { l ^ { 2 } q ^ { 2 } } { \eta ^ { 4 } ( \tau ) \left( 1 - \frac { q ^ { 2 } } { \eta ( \tau ) } \right) ^ { 2 } } \right] \Bigg \} = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { ( \phi _ { h } , \log ( \phi _ { h } + 1 ) ) _ { h } } & { \le } & { \displaystyle 4 ( \delta + \frac { 1 + \lambda } { 8 \chi _ { \Omega } } ) \| \phi _ { h } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } \| \nabla i _ { h } ( \log ( \phi _ { h } + 1 ) ) \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + 4 M \| \phi _ { h } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 3 } } \\ & & { \displaystyle + ( M - \log \bar { \phi } _ { h } ) \| \phi _ { h } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } . } \end{array}
\mathbf { \hat { x } } _ { a v } ^ { T \hat { G } } = R \mathbf { \hat { x } } _ { a v } ^ { \hat { G } } + t \quad \Rightarrow \quad \bar { \mathbf { x } } ^ { \mathbf { T v } } = R \bar { \mathbf { x } } ^ { \mathbf { v } } + t
\begin{array} { r l } { | | r _ { i } ^ { ( N ) } | | } & { \leq \sum _ { l = 0 } ^ { i } B ^ { i - l } \times C _ { N , \deg P _ { 0 } , \varepsilon } B ^ { l } l ^ { N } e ^ { 6 N l \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( 1 + \varepsilon ) } h ^ { N ( 1 - 2 \varepsilon ) } h ^ { - M \varepsilon } } \\ & { \leq C _ { N , \deg P _ { 0 } , \varepsilon } B ^ { i } \sum _ { l = 0 } ^ { i } l ^ { N } e ^ { 6 N l \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( 1 + \varepsilon ) } h ^ { N ( 1 - 2 \varepsilon ) } h ^ { - M \varepsilon } } \end{array}
\psi ^ { I } ( \rho , z ) \approx \ 2 k _ { 1 } \sum _ { g = - \infty } ^ { \infty } D _ { g } s i n c \sqrt { k _ { 1 } ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \left( k _ { 1 } z + g \pi \right) ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r } { \hat { V } _ { s } ( \hat { q } _ { s } ) \equiv \hat { V } _ { \mathrm { L L } } ^ { ( s ) } \hat { q } _ { s } + \frac { 1 } { 2 } \hat { V } _ { \mathrm { S L } } ^ { ( s ) } \hat { q } _ { s } ^ { 2 } , } \end{array}
\left\langle f \left| { \widehat { \mathbb { O } } } \right| 1 _ { \mathbf { k } _ { 1 } } , 1 _ { \mathbf { k } _ { 2 } } \right\rangle = e ^ { i \delta } \left\langle f \left| { \widehat { \mathbb { O } } } \right| 1 _ { \mathbf { k } _ { 2 } } , 1 _ { \mathbf { k } _ { 1 } } \right\rangle
\begin{array} { r } { \| { \boldsymbol x } ( t _ { n } + \tilde { t } ) - { \boldsymbol x } _ { 0 } \| \leq \| { \boldsymbol x } ( t _ { n } + \tilde { t } ) - { \boldsymbol x } ( t _ { n } ) \| + \| { \boldsymbol x } ( t _ { n } ) - { \boldsymbol x } _ { 0 } \| < r . } \end{array}
{ _ { - \infty } } ^ { C } D _ { x _ { j } ^ { + } } \overline { { U _ { i } ^ { + } } } = \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) ) } \int _ { - \infty } ^ { x _ { j } ^ { + } } ( x _ { j } ^ { + } - \xi ) ^ { - \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) } \frac { d \overline { { U _ { i } ^ { + } } } ( \xi ) } { d \xi } d \xi
\begin{array} { r l } & { O _ { O M 2 } ^ { - } x ^ { - \sigma + i \rho } = \left( 1 - 2 ^ { 1 - \sigma + i ( \rho - \rho _ { 0 } ) } \right) \zeta \left( \sigma - i ( \rho - \rho _ { 0 } ) \right) , \quad \sigma > 0 , } \\ & { O _ { O M 2 } ^ { + } x ^ { - \sigma + i \rho } = \left( 1 - 2 ^ { \sigma - i ( \rho - \rho _ { 0 } ) } \right) \zeta \left( 1 - \sigma + i ( \rho - \rho _ { 0 } ) \right) , \quad \sigma < 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } ^ { \mathrm { ~ n ~ } ^ { \prime } } ( t ) } & { { } = \mathbf { H } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ e ~ } } ^ { \mathrm { ~ n ~ } ^ { \prime } } + \mathbf { J } ^ { \mathrm { ~ n ~ n ~ } ^ { \prime } } ( \mathbf { P } ^ { \mathrm { ~ n ~ } ^ { \prime } } ( t ) ) + \mathbf { V } _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ n ~ } ^ { \prime } } ( \mathbf { P } ^ { \mathrm { ~ n ~ } ^ { \prime } } ( t ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { i } = } & { { } \frac { f _ { j } } { \mathrm { K n } } \left( \frac { x _ { i } x _ { j } } { 4 \pi r ^ { 2 } } - \frac { 2 \ln { r } - 1 } { 8 \pi } \delta _ { i j } \right) } \\ { q _ { i } = } & { { } \frac { g } { 2 \pi } \frac { x _ { i } } { r ^ { 2 } } - \frac { c _ { p } \mathrm { K n } } { \mathrm { P r } } \alpha _ { 0 } \frac { f _ { j } } { 2 \pi } \left( \frac { 2 x _ { i } x _ { j } } { r ^ { 4 } } - \frac { \delta _ { i j } } { r ^ { 2 } } \right) , } \\ { p = } & { { } \frac { f _ { i } x _ { i } } { 2 \pi r ^ { 2 } } , } \\ { T = } & { { } - \frac { \mathrm { P r } } { c _ { p } \mathrm { K n } } \frac { g \, \ln { r } } { 2 \pi } , } \\ { \sigma _ { i j } = } & { { } \frac { f _ { \ell } x _ { \ell } + 2 \mathrm { K n } ( h + \alpha _ { 0 } g ) } { 2 \pi } \left( \frac { 2 x _ { i } x _ { j } } { r ^ { 4 } } - \frac { \delta _ { i j } } { r ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { I ( \alpha _ { 2 } , \beta _ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \! \! \phi _ { \alpha _ { 2 } } \phi _ { \beta _ { 2 } } \omega _ { 0 } ( \xi _ { 2 } ) \mathrm { d } \xi _ { 2 } . } \end{array}
2 { \widetilde a } _ { 1 , 2 } = { \frac { 1 } { g _ { \mathrm { { \small Y M } } } ^ { 2 } } } + { \frac { \beta _ { 0 } ^ { ( 1 , 2 ) } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } ~ \ln \left( { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } } \right) ~ ,
{ \left( \begin{array} { l } { u ^ { \prime } } \\ { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \\ { z ^ { \prime } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { u } \\ { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l l } { p } & { - q } & { - r } & { - s } \\ { q } & { \; \, \, p } & { \; \, \, s } & { - r } \\ { r } & { - s } & { \; \, \, p } & { \; \, \, q } \\ { s } & { \; \, \, r } & { - q } & { \; \, \, p } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathbf { q } } ^ { ( j ) } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { I } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { q } ^ { ( j ) } } \end{array} \right] . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial y _ { i } } \mathrm { ~ T ~ r ~ } | _ { ( y _ { i } , 0 ) } = - \frac { N _ { I } ( 1 - r ) [ 1 + ( w - 1 ) y _ { i } ] ^ { N _ { I } - 1 } } { N _ { T } } < 0 .
Z = \sum _ { m = 0 } ^ { M _ { \mathrm { p o l } } } \sum _ { n = - N _ { \mathrm { t o r } } } ^ { N _ { \mathrm { t o r } } } \mathrm { Z B S } _ { m , n } \sin ( m \theta - n _ { \mathrm { ~ f ~ p ~ } } n \phi )
\Delta S = \int \Delta L \approx \int { \frac { \partial L } { \partial { \dot { q } } } } \Delta { \dot { q } } \approx \int { \frac { \partial L } { \partial { \dot { q } } } } { \Bigl ( } \pm { \frac { \delta q } { \tau } } { \Bigr ) } \approx \ \pm { \frac { \partial L } { \partial { \dot { q } } } } \delta q = \pm { \frac { \partial L } { \partial { \dot { q } } } } \varphi
\operatorname* { P r } [ X \leq L ] = { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { e r f } \left( { \frac { L - \mu } { { \sqrt { 2 } } \sigma } } \right) \approx A \exp \left( - B \left( { \frac { L - \mu } { \sigma } } \right) ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l r } { { 2 } - \nabla \cdot \mathbf { a } \left( \frac { \cdot } { \varepsilon } \right) \nabla u ^ { \varepsilon } } & { = 0 \quad ( \mathrm { i n ~ } U ) , \qquad u ^ { \varepsilon } } & { = f \quad ( \mathrm { o n ~ } \partial U ) , } \\ { - \nabla \cdot \bar { \mathbf { a } } \nabla u } & { = 0 \quad ( \mathrm { i n ~ } U ) , \qquad u } & { = f \quad ( \mathrm { o n ~ } \partial U ) , } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c } { { S _ { 1 } ^ { 7 } } } & { { { \bf O } _ { + } } } & { { { \bf O } _ { v } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { - { \bf O } _ { + } ^ { \dagger } } } & { { S _ { 2 } ^ { 7 } } } & { { { \bf O } _ { - } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { - { \bf O } _ { v } ^ { \dagger } } } & { { - { \bf O } _ { - } ^ { \dagger } } } & { { - S _ { 1 } ^ { 7 } - S _ { 2 } ^ { 7 } } } \end{array} \right) \oplus G _ { 2 }
\begin{array} { r l } { U _ { t } ^ { \varepsilon } } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \Big [ b ^ { 0 } ( \cdot , \cdot ) + \varphi ^ { \varepsilon , 0 } ( \cdot , \cdot ) \Big ] \circ \Big ( \Phi ^ { \varepsilon } ( U _ { s } ^ { \varepsilon } , V _ { s } ^ { \varepsilon } ) , \Psi ^ { \varepsilon } ( U _ { s } ^ { \varepsilon } , V _ { s } ^ { \varepsilon } ) \Big ) \, \mathrm { d } s } \\ & { + \sum _ { l = 1 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { t } \Big [ \sigma _ { l } ^ { 0 } ( \cdot , \cdot ) + \varphi _ { l } ^ { \varepsilon , 0 } ( \cdot , \cdot ) \Big ] \circ \Big ( \Phi ^ { \varepsilon } ( U _ { s } ^ { \varepsilon } , V _ { s } ^ { \varepsilon } ) , \Psi ^ { \varepsilon } ( U _ { s } ^ { \varepsilon } , V _ { s } ^ { \varepsilon } ) \Big ) \, \mathrm { d } W _ { s } ^ { l } , } \\ { V _ { t } ^ { \varepsilon , i } } & { = y ^ { i } + \int _ { 0 } ^ { t } \Big [ b ^ { i } ( \cdot , \cdot ) - \theta ^ { i } ( \cdot ) b ^ { 0 } ( \cdot , \cdot ) ) - \sum _ { j = 1 } ^ { n } \theta _ { y ^ { j } } ^ { i } ( \cdot ) \Sigma ^ { i 0 } ( \cdot , \cdot ) + \psi ^ { i } ( \cdot , \cdot ) \Big ] \circ \Big ( \Phi ^ { \varepsilon } ( U _ { s } ^ { \varepsilon } , V _ { s } ^ { \varepsilon } ) , \Psi ^ { \varepsilon } ( U _ { s } ^ { \varepsilon } , V _ { s } ^ { \varepsilon } ) \Big ) \, \mathrm { d } s } \\ & { + \sum _ { l = 1 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { t } \Big [ \sigma _ { l } ^ { i } ( \cdot , \cdot ) - \theta ^ { i } ( \cdot ) \sigma _ { l } ^ { 0 } ( \cdot , \cdot ) - \psi _ { l } ^ { i } ( \cdot , \cdot ) \Big ] \circ \Big ( \Phi ^ { \varepsilon } ( U _ { s } ^ { \varepsilon } , V _ { s } ^ { \varepsilon } ) , \Psi ^ { \varepsilon } ( U _ { s } ^ { \varepsilon } , V _ { s } ^ { \varepsilon } ) \Big ) \, \mathrm { d } W _ { s } ^ { l } , } \end{array}
[ \delta _ { 1 } ( \Lambda _ { 1 } ) , \delta _ { 2 } ( \Lambda _ { 2 } ) ] = ( 1 - 2 ) \delta _ { 2 } ( \Lambda _ { 2 } ^ { \prime } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { k ^ { n + 1 } } { n ! } [ \Lambda _ { 1 } , \Lambda _ { 2 } , \Psi ^ { n } ] ) ,
\delta n = - \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } \left[ \frac { 2 0 } { 9 } T ^ { 2 } + \frac { 2 } { 9 } T \frac { K _ { 1 } \left( \frac { 1 } { T } \right) } { K _ { 2 } \left( \frac { 1 } { T } \right) } \right] n _ { J } .
A d j ( \mathscr { W } ) _ { 4 , 6 } = e ^ { \big ( \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \lambda _ { i } - \lambda _ { 4 } \big ) z } \left| \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { \lambda _ { 1 } } & { \lambda _ { 2 } } & { \lambda _ { 3 } } & { \lambda _ { 5 } } & { \lambda _ { 6 } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 2 } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 2 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 3 } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 2 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 4 } } \end{array} \right| = e ^ { \big ( \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \lambda _ { i } - \lambda _ { 4 } \big ) z } \mathscr { E } _ { \lambda , 4 } ( s )
M [ f ] = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \mathbf { 1 } _ { | u _ { f } - v | ^ { d } \le c _ { d } \rho _ { f } } \qquad } & { \mathrm { f o r } \quad \displaystyle \gamma = \frac { d + 2 } { d } , } \\ { \displaystyle c \left( \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \rho _ { f } ^ { \gamma - 1 } - | v - u _ { f } | ^ { 2 } \right) _ { + } ^ { n / 2 } \qquad } & { \mathrm { f o r } \quad \displaystyle \gamma \in \left( 1 , \frac { d + 2 } d \right) . } \end{array} \right.
- { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \nabla ^ { 2 } \chi + ( { \tilde { u } } _ { 1 } - E ) \chi + i { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } [ 2 \mathbf { \tau } _ { 1 2 } \nabla + \nabla \mathbf { \tau } _ { 1 2 } ] \chi + i ( u _ { 1 } - u _ { 2 } ) \psi _ { 2 } = 0 .
- \langle u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } - b _ { i } ^ { \prime } b _ { j } ^ { \prime } \rangle \frac { \partial \langle B \rangle _ { i } } { \partial x _ { j } } = \frac { 7 } { 1 0 } \beta \mathcal { S } _ { i j } \mathcal { M } _ { i j } - \frac { 7 } { 1 0 } \gamma \mathrm { T r } \left( \boldsymbol { \mathcal { M } } ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l r } { N _ { \mathrm { ~ p ~ } } ^ { \mathrm { ~ v ~ a ~ c ~ } } } & { { } = } & { Z \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } u } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } k \; \frac { B _ { k } ^ { 2 } } { ( u ^ { 2 } + \varepsilon _ { k } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \phantom { x x x x x x x x x } } \end{array}
R _ { 2 } = \frac { \mathrm { ~ F ~ e ~ } } { \mathrm { ~ M ~ g ~ + ~ S ~ i ~ + ~ O ~ } } = 5 . 0 \times 1 0 ^ { - 3 } \, \frac { \beta ^ { . 8 2 } \, \gamma ^ { . 5 4 } } { \kappa ^ { . 8 1 } \, \alpha ^ { . 5 6 } }
\psi _ { q } ^ { \prime } ( \tau ) \approxeq \psi _ { q } ^ { \prime } ( 0 ) \tilde { \psi } _ { q } ^ { \prime } ( \tau ) = \psi _ { q } ^ { \prime } ( 0 ) \exp \left( \int _ { 0 } ^ { \tau } \Lambda ( t ) \mathrm { ~ d } t \right) ,
\begin{array} { c c c c c c c c } { { 0 } } & { { p _ { 1 2 } } } & { { p _ { 1 3 } } } & { { p _ { 1 4 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - p _ { 1 2 } } } & { { 0 } } & { { - p _ { 1 4 } } } & { { p _ { 1 3 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { p _ { 1 3 } } } & { { - p _ { 1 4 } } } & { { 0 } } & { { p _ { 3 4 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { p _ { 1 4 } } } & { { p _ { 1 3 } } } & { { - p _ { 3 4 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - p _ { 5 6 } } } & { { - p _ { 5 7 } } } & { { - p _ { 5 8 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { p _ { 6 5 } } } & { { 0 } } & { { - p _ { 6 7 } } } & { { - p _ { 6 8 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { p _ { 7 5 } } } & { { p _ { 7 6 } } } & { { 0 } } & { { - p _ { 7 8 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { p _ { 8 5 } } } & { { p _ { 8 6 } } } & { { p _ { 8 7 } } } & { { 0 } } \end{array}
\mathrm { I m } \, \sigma _ { x x } ( \omega ) = \frac { v ^ { 2 } } { 4 } \int \mathrm { d } \epsilon _ { + } \frac { 1 } { \sqrt { ( 1 - 4 b m ) v ^ { 4 } + 4 b ^ { 2 } \epsilon _ { + } ^ { 2 } } } \bigg [ 1 + \frac { ( m v ^ { 2 } + b \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { \epsilon _ { + } ^ { 2 } } \bigg ] \Bigg [ \frac { \hbar \omega - 2 \epsilon _ { + } } { ( \hbar \omega - 2 \epsilon _ { + } ) ^ { 2 } + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 \tau ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { 2 \epsilon _ { + } + \hbar \omega } \Bigg ]
C _ { 1 } \alpha _ { n } ^ { \mu i } C _ { 1 } ^ { - 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \oint _ { \xi _ { i } = 0 } d \xi _ { i } \ ( V _ { 0 i } ^ { - 1 } V _ { i } \xi _ { i } ) ^ { n } P ^ { \mu i } ( \xi _ { i } ) \ .
\widehat { \vartheta } _ { t } = \mathbb { E } _ { \theta \sim P _ { t } ( \theta ) } [ \theta ] = \frac { \alpha + \hat { S } _ { t } } { \alpha + \beta + \hat { S } _ { t } + \hat { F } _ { t } } , \quad \forall t \in \mathbb { N } ,
n _ { i \alpha } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } \beta } \\ { 0 \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } 1 - \beta , } \end{array} \right.
\frac { 1 } { k ^ { 2 } - M _ { G 2 } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { k ^ { 2 } - M _ { G } ^ { 2 } } + \frac { \delta _ { 2 } } { ( k ^ { 2 } - M _ { G 2 } ^ { 2 } ) ( k ^ { 2 } - M _ { G } ^ { 2 } ) } ,
\nu _ { r } ( \eta _ { 0 } ) = 3 . 5 8 ~ R ^ { \frac { 3 } { 4 } } ~ \biggl ( \frac { \lambda } { 1 0 ^ { - 1 4 } } \biggr ) ~ \biggl ( \frac { g _ { \mathrm { d e c } } } { g _ { \mathrm { t h } } } \biggr ) ^ { 1 / 3 } \mathrm { m H z } , ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ ~ \nu _ { 1 } ( \eta _ { 0 } ) = 3 5 8 ~ R ^ { - \frac { 1 } { 4 } } \biggl ( \frac { g _ { \mathrm { d e c } } } { g _ { \mathrm { t h } } } \biggr ) ^ { 1 / 3 } ~ \mathrm { G H z } ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } _ { n _ { k } } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } - ( \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } ) _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( \tilde { u } _ { n _ { k } } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n _ { k } } + \tilde { w } _ { n _ { k } } \partial _ { z } \tilde { u } _ { n _ { k } } ) , \phi \Big \rangle d t ^ { \prime } } \\ & { \rightarrow \int _ { 0 } ^ { t } \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( \tilde { u } \partial _ { x } \tilde { u } + \tilde { w } \partial _ { z } \tilde { u } ) , \phi \Big \rangle d t ^ { \prime } . } \end{array}
\alpha = - \Omega \frac { f _ { x x } ^ { \mathrm { s f } } \omega _ { x } ^ { 2 } - f _ { y y } ^ { \mathrm { s f } } \omega _ { y } ^ { 2 } } { f _ { x x } ^ { \mathrm { s f } } \omega _ { x } ^ { 2 } + f _ { y y } ^ { \mathrm { s f } } \omega _ { y } ^ { 2 } }
\tilde { A } ( i , j , k ) = \frac { 1 } { \left[ R _ { \mathrm { S P H } } ( i , j , k ) \right] ^ { 3 } } \left[ \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { \mathrm { X } } - 1 } A _ { l } W _ { l } \mathcal { S } \left( \frac { d _ { l } } { R _ { \mathrm { S P H } } ( i , j , k ) } \right) \right] .
{ \frac { 1 } { \Gamma _ { 0 } } } \; { \frac { d \Gamma ^ { \pm } } { \, d x \, d t } } = { \frac { 1 } { 2 } } F ^ { u n } \pm \left( \widetilde { F } + \widetilde { F } _ { + } - \widetilde { F } _ { - } \right) \ ,
\begin{array} { r l } { J _ { a } ^ { \alpha } f ( t ) } & { = c _ { \alpha } \int _ { a } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } u ^ { n - \alpha - 1 } \mathrm e ^ { - u } \, \mathrm d u \, ( t - \tau ) ^ { \alpha - 1 } f ( \tau ) \, \mathrm d \tau } \\ & { = c _ { \alpha } \int _ { a } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \frac { u } { t - \tau } \right) ^ { 1 - \alpha } \mathrm e ^ { - u } u ^ { n - 2 } f ( \tau ) \, \mathrm d u \, \mathrm d \tau . } \end{array}
m _ { n } \frac { g _ { \bar { z } j } ( z _ { n } ) ( \dot { z } _ { n } ^ { j } + N ^ { j } ) } { \sqrt { N ^ { 2 } - g _ { i j } ( \dot { z } _ { n } ^ { i } + N ^ { i } ) ( \dot { z } _ { n } ^ { j } + N ^ { j } ) } } \rightarrow P _ { n \bar { z } } .
\begin{array} { r } { \mu _ { s } \mu _ { i } \left| A _ { p } \right| ^ { 2 } > \nu _ { s } \nu _ { p } \left[ 1 + \frac { \left( \Delta k \right) ^ { 2 } } { ( \nu _ { s } + \nu _ { i } ) ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
U ^ { o u t } ( \textbf { x } _ { R } , t ) = \int R ( \textbf { x } _ { R } , \textbf { x } , t ) \ast U _ { 0 } ^ { i n } ( \textbf { x } , t ) \; d x - \int R ( \textbf { x } _ { R } , \textbf { x } , t ) \ast \Theta ( \textbf { x } , t ) U ^ { o u t } ( \textbf { x } , - t ) \; d x \; .