harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
y ^ { \prime \prime } = [ a ( 2 m + k ) y ^ { 2 k } + b ( 2 m - k ) ] y ^ { m - k - 1 } y ^ { \prime } - ( a ^ { 2 } m y ^ { 4 k } + c y ^ { 2 k } + b ^ { 2 } m ) y ^ { 2 m - 2 k - 1 }
\left[ \begin{array} { c c } { { k } } & { { [ m ] _ { n } } } \\ { { s } } & { { [ m ] _ { n - 1 } } } \end{array} \right] = \sqrt { \frac { \prod _ { s ^ { \prime } \neq s } ^ { n - 1 } ( p _ { k n } - p _ { s ^ { \prime } , n - 1 } ) \prod _ { k ^ { \prime } \neq k } ^ { n } ( p _ { s , n - 1 } - p _ { k ^ { \prime } n } + 1 ) } { \prod _ { k ^ { \prime } \neq k } ^ { n } ( p _ { k n } - p _ { k ^ { \prime } n } ) \prod _ { s ^ { \prime } \neq s } ^ { n - 1 } ( p _ { s , n - 1 } - p _ { s ^ { \prime } , n - 1 } + 1 ) } }
\sum _ { j = 1 } ^ { N } C _ { i j } ^ { \alpha } w _ { j } ( t ) = - \frac { \ell _ { i } \rho _ { \mathrm { r } } } { \delta \kappa _ { \mathrm { r } } } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \frac { 1 } { \kappa _ { i } ( t ) } \frac { \mathrm { d } w _ { i } ( t ) } { \mathrm { d } t } \right) , \quad \forall \, i = 1 , \dots , N ,
a _ { 0 } \sin ( \phi _ { 0 } ) \; = \; \frac { 1 } { 2 } \, \biggl ( 1 - \eta _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \cos ( 2 \delta _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ) \biggr ) + \frac { 1 } { 4 } \, \biggl ( 1 - \eta _ { 0 } ^ { 3 / 2 } \cos ( 2 \delta _ { 0 } ^ { 3 / 2 } ) \biggr ) \, ,
\begin{array} { r l r } { d \alpha } & { = } & { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ \left( { \frac { \partial \alpha } { \partial \/ x _ { i } } } \right) ^ { 2 } ( d \, x _ { \it \/ i } ) ^ { 2 } \mathrm { \, ~ + ~ \, } \left( { \frac { \partial \alpha } { \partial \/ y _ { i } } } \right) ^ { 2 } ( d \, y _ { \it \/ i } ) ^ { 2 } \right] \ } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \hat { \eta } ( t , x ) = \beta \Delta _ { x } \hat { \eta } ( t , x ) , } \\ & { \partial _ { t } \eta ( t , x ) = - \beta \Delta _ { x } \eta ( t , x ) , } \\ & { \eta ( 0 , x ) \hat { \eta } ( 0 , x ) = \rho _ { 0 } ( x ) , \quad \eta ( T , x ) = e ^ { \frac { \Phi ( T , x ) } { 2 \beta } } = e ^ { - \frac { V ( x ) } { 2 \beta } } . } \end{array} \right.
d z = \left[ { \left( { \frac { \partial z } { \partial x } } \right) } _ { y } { \left( { \frac { \partial x } { \partial y } } \right) } _ { z } + { \left( { \frac { \partial z } { \partial y } } \right) } _ { x } \right] d y + { \left( { \frac { \partial z } { \partial x } } \right) } _ { y } { \left( { \frac { \partial x } { \partial z } } \right) } _ { y } d z ,
\begin{array} { r l } { \langle \psi | \hat { K } | \psi \rangle = \langle \psi | \hat { K } ^ { \dag } | \psi \rangle ^ { \dag } } & { { } = R ( \psi ) e ^ { i \theta ( \psi ) } } \\ { \langle \psi | [ \hat { U } , \hat { K } ] | \psi \rangle = - \langle \psi | [ \hat { U } , \hat { K } ^ { \dag } ] | \psi \rangle ^ { \dag } } & { { } = P ( \psi ) e ^ { i \lambda ( \psi ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho ( [ \delta , \delta ^ { \prime } ] ) ( g ) ( p ) } & { = } & { [ \delta , \delta ^ { \prime } ] ( \tilde { g } ) ( p ) } \\ & { = } & { \delta ( \delta ^ { \prime } ( \tilde { g } ) ) ( p ) - \delta ^ { \prime } ( \delta ( \tilde { g } ) ) ( p ) } \\ & { = } & { \rho ( \delta ) ( \rho ( \delta ^ { \prime } ) ( g ) ) ( p ) - \rho ( \delta ^ { \prime } ) ( \rho ( \delta ) ( g ) ) ( p ) } \\ & { = } & { [ \rho ( \delta ) , \rho ( \delta ^ { \prime } ) ] ( g ) ( p ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( r ) = p _ { 0 } \exp \left( - \frac { \Phi ( r ) - \Phi ( r _ { \mathrm { ~ p ~ l ~ a ~ n ~ e ~ t ~ } } ) } { R _ { d } T _ { I } } \right) \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \rho ( r ) = \frac { 1 } { R _ { d } T _ { I } } p ( r ) } \end{array}
p _ { \mathrm { ~ S ~ H ~ G ~ } } ( \boldsymbol { \mathbf { u } } , \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { \prime } , \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { \prime \prime } , \omega ) \propto \mathcal { p } ( | k _ { r } ( 2 \omega ) \boldsymbol { \mathbf { u } } - k _ { r } ( \omega ) \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { \prime } - k _ { r } ( \omega ) \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { \prime \prime } | )
S _ { \mathrm { D 6 } } = - T _ { \mathrm { K K 1 1 } } \int d ^ { 7 } \hat { \xi } e ^ { - \hat { \phi } } \sqrt { | \mathrm { d e t } \ ( \hat { g } _ { \hat { \imath } \hat { \jmath } } + { \hat { \cal F } } _ { \hat { \imath } \hat { \jmath } } ) | } + \mathrm { W Z } \, ,
L \left( u , v \right) = \; \left\lbrace \begin{array} { l l } { d _ { v } - w \left( u , v \right) } & { \mathrm { i f } \; u = v , } \\ { - w \left( u , v \right) } & { \mathrm { i f } \; u \; \mathrm { a n d } \; v \; \mathrm { a r e } \; \mathrm { a d j a c e n t } , } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } \ldotp } \end{array} \right.
k _ { 3 } ( T ) = \frac { \gamma ^ { 5 } } { 1 0 } \sqrt { \frac { 2 } { \mu } } \Gamma \left( \frac { 1 0 + 7 \beta } { 2 \beta } \right) ( k _ { B } T ) ^ { ( 1 0 + \beta ) / ( 2 \beta ) } ,
S ( X , Y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \textrm { i f } X < Y , } \\ { \frac { 1 } { 2 } , } & { \textrm { i f } X = Y , } \\ { 0 , } & { \textrm { i f } X > Y . } \end{array} \right.
E _ { a b } < \left\{ \begin{array} { l l } { V _ { a b } ( r _ { 0 } ) + \frac { j ^ { \prime } ( j ^ { \prime } + 1 ) } { 2 \mu _ { a b } r _ { 0 } ^ { 2 } } } & { j ^ { \prime } \neq 0 } \\ { 0 } & { j ^ { \prime } = 0 } \end{array} \right.
p = p _ { 2 } k ^ { 2 } + \cdots = \bigl [ \frac { 1 } { 2 } \Delta ( \eta - 2 B _ { 0 } ^ { 2 } / \eta - B _ { 0 } ^ { 2 } \nu / \eta ^ { 2 } ) - \nu \bigr ] k ^ { 2 } + \cdots
\mathbb { P } \left( \tau _ { a } \le t \right) = \mathbb { P } \big ( \operatorname* { s u p } _ { 0 \le s \le t } \left( B _ { s } + \Lambda _ { s } \right) \ge a \sqrt { t } \big ) \ge \mathbb { P } \big ( \operatorname* { s u p } _ { 0 \le s \le t } B _ { s } \ge a \sqrt { t } \big ) = \mathbb { P } \left( \left| \mathcal { N } \right| \ge a \right) \! .
\begin{array} { r l r } & { \hat { H } _ { e f f } ( r ) } & { = \left( \begin{array} { c c c c } { \tilde { V } _ { 2 2 } ^ { 2 2 } ( r ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \tilde { V } _ { 2 1 } ^ { 2 1 } ( r ) } & { \tilde { V } _ { 1 2 } ^ { 2 1 } ( r ) } & { 0 } \\ { 0 } & { \tilde { V } _ { 2 1 } ^ { 1 2 } ( r ) } & { \tilde { V } _ { 1 2 } ^ { 1 2 } ( r ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \tilde { V } _ { 1 1 } ^ { 1 1 } ( r ) } \end{array} \right) , } \\ & { \mathrm { w h e r e } } & { ~ ~ ~ \tilde { V } _ { l k } ^ { i j } ( r ) = U _ { l k } ^ { i j ( 2 ) } + U _ { l k } ^ { i j ( 4 a ) } ( r ) + U _ { l k } ^ { i j ( 4 b ) } , ~ ~ ~ \{ i , j , l , k \} \in \{ 1 , 2 \} . } \end{array}
V _ { \mathrm { W _ { B } } } ( \theta ) = \frac { N T _ { 0 } } { L \cos { \theta } } \Bigl ( 1 - \frac { L ^ { 4 } \sin ^ { 4 } { \theta } } { 4 \sqrt { N ^ { 2 } - 1 } } + \frac { L ^ { 8 } \sin ^ { 6 } { \theta } \cos ^ { 2 } { \theta } } { 3 2 ( N ^ { 2 } - 1 ) } \Bigr ) \, ,
\begin{array} { r l r l } { \alpha _ { 1 } } & { { } \leq \frac { | \eta _ { c } | ( 1 - \Gamma ) ^ { 3 ⁄ 4 } } { \sqrt { 3 } ( \Delta p / p _ { 0 } ) _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ s ~ i ~ r ~ e ~ d ~ } } } } & { \mathrm { ~ W ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \Gamma } & { { } = \frac { 4 \xi \alpha _ { 1 } } { \eta _ { c } ^ { 2 } } } \end{array}
\underline { { \mathbf { n } } } _ { k } = \left[ \begin{array} { c c } { \mathfrak { R } \{ \mathbf { \Gamma } _ { 1 } \mathbf { n } + \mathbf { \Gamma } _ { 2 } \mathbf { n } ^ { * } \} ^ { T } } & { \mathfrak { I } \{ \mathbf { \Gamma } _ { 1 } \mathbf { n } + \mathbf { \Gamma } _ { 2 } \mathbf { n } ^ { * } \} ^ { T } } \end{array} \right] ^ { T } .
\begin{array} { r l } { \textbf { C . } \, \mathcal { Z } = } & { \tilde { Z } ^ { 0 } \int \delta \left( \left( V o l ( \mathcal { M } ) - V o l ( \mathcal { M } ) \vert _ { \lambda = 0 } \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { e x p \Bigg [ - R m ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) \Bigg ] \prod _ { l } \left( \frac { l \sqrt { w _ { l } } } { \sqrt { V _ { l } } } \right) D \left[ l \right] } \end{array}
\varphi _ { p } ( x - x _ { p } ( t ) , t ) = \Big ( \frac { \beta _ { p } ( t ) } { \pi } \Big ) ^ { d / 2 } \, \mathrm { e } ^ { - \beta _ { p } ( t ) \| x - x _ { p } ( t ) \| ^ { 2 } } : = { N } ( x - x _ { p } ( t ) , \beta _ { p } ( t ) ) ,
\frac { \partial B _ { 2 } } { \partial T _ { 2 } } = \mathrm { ~ i ~ } \, \frac { \zeta _ { _ { D C } } } { 4 } \Lambda F ^ { 2 } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } 2 \Lambda T _ { 1 } } + \mathrm { ~ i ~ } \, \frac { \chi _ { _ { D C } } } { 4 } B _ { 2 } F ^ { 2 } + \mathrm { ~ i ~ } \, \nu _ { _ { D C } } | B _ { 2 } | ^ { 2 } B _ { 2 } + \mathrm { ~ i ~ } \, \xi _ { _ { D C } } | A _ { 2 } | ^ { 2 } B _ { 2 } .
\chi = \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \biggl ( R _ { \alpha \beta \mu \nu } R ^ { \alpha \beta \mu \nu } - 4 R _ { \mu \nu } R ^ { \mu \nu } + R ^ { 2 } \biggr )
r _ { 2 } ^ { 2 } = ( x - a e ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = x ^ { 2 } - 2 x a e + a ^ { 2 } e ^ { 2 } + \left( x ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) \left( e ^ { 2 } - 1 \right) = ( e x - a ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { W _ { 2 } \left( \mathcal { L } ( \bar { x } _ { n } ^ { \lambda } , \bar { Y } _ { n } ^ { \lambda } ) , \pi _ { \beta } \right) \leq C ( \lambda \gamma ^ { 2 } K + \gamma \epsilon + \gamma ^ { - { q } + 2 } ) + \sqrt { 2 } e ^ { - \frac { m } { \gamma \beta } \lambda n } W _ { 2 } ( \mathcal { L } ( \theta _ { 0 } , V _ { 0 } ) , \pi _ { \beta } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { 3 } } & { = \alpha = - 2 \left( { { D _ { 2 1 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 1 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 1 } } } \right) { D _ { 2 1 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } } \\ { + } & { { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } \left( { { D _ { 2 1 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 1 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 1 } } } \right) } \\ { + } & { \left( { { D _ { 2 1 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 1 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 1 } } } \right) + { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - 1 , } \\ { q _ { 3 ^ { ' } } } & { = \beta = \left( { { D _ { 2 1 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 1 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 1 } } } \right) \left( { { D _ { 2 1 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 1 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 1 } } } \right) } \\ { - } & { 2 \left( { { D _ { 2 1 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 1 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 1 } } } \right) + 1 , } \end{array}
J _ { \mathrm { c o l l } , \pi } ^ { q , \mathrm { l o s s } } = \frac { 2 \pi i } { 2 E _ { p } } \mathrm { t r } \left[ \Sigma _ { \pi } ^ { + - } ( X , p _ { 0 } = E _ { p } , \vec { p } ) \sum _ { s } u _ { s } ( p ) \bar { u } _ { s } ( p ) f _ { q } ( X , \vec { p } ) \right] ,
\begin{array} { r } { E _ { 0 } ( \int \| f - f _ { 0 } \| _ { \infty } d \Pi _ { \alpha _ { n } } ( f | Y ^ { n } ) ) \lesssim \frac { 1 } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } \sqrt { L _ { n } } 2 ^ { \frac { L _ { n } } { 2 } } + 2 ^ { - \beta L _ { n } } \lesssim \frac { \log ( n \alpha _ { n } ) } { n \alpha _ { n } } ^ { \frac { \beta } { 2 \beta + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu ( F ) } & { { } = \frac { \alpha ( F \alpha \sigma _ { X } ^ { 2 } + \mu \sigma _ { F } ^ { 2 } ) } { \alpha ^ { 2 } \sigma _ { X } ^ { 2 } + \sigma _ { F } ^ { 2 } } } \\ { \sigma ( F ) ^ { 2 } } & { { } = \sigma _ { F } ^ { 2 } + \frac { \alpha ^ { 2 } \sigma _ { X } ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } \sigma _ { X } ^ { 2 } + \sigma _ { F } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { E } \, d _ { \mathcal { X } _ { 1 } } ( \tilde { X } _ { 1 } , \tilde { Y } _ { 1 } ) \leq \mathbb { E } \ensuremath { \! \left[ d _ { \mathcal { X } _ { 1 } } ( f _ { 1 } ( \tilde { U } _ { 1 } ) , f _ { 1 } ( \tilde { V } _ { 1 } ) ) + d _ { \mathcal { X } _ { 1 } } ( f _ { 1 } ( \tilde { V } _ { 1 } ) , g _ { 1 } ( \tilde { V } _ { 1 } ) \right] } } \\ & { \le } & { L _ { 1 } \, \mathbb { E } | \tilde { U } _ { 1 } - \tilde { V } _ { 1 } | + \| f _ { 1 } - g _ { 1 } \| _ { \infty } = L _ { 1 } \, W _ { 1 } ( \mathcal { L } ( U _ { 1 } ) , \mathcal { L } ( V _ { 1 } ) ) + \| f _ { 1 } - g _ { 1 } \| _ { \infty } , } \end{array}
y _ { i } = \frac { k _ { i } ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N } y _ { j } } = \frac { k _ { i } ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { \sqrt { 2 L ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } }
\nabla _ { E ^ { \pm } \otimes \pi ^ { * } F ^ { \pm } } ( t ) = t ( \nabla _ { E ^ { \pm } } \otimes I + I \otimes \pi ^ { * } \nabla _ { F ^ { \pm } } ) + ( 1 - t ) \nabla _ { E ^ { \pm } \otimes \pi ^ { * } F ^ { \pm } } .
U _ { \mathfrak { A } _ { 0 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } a _ { - 1 } e ( \mathfrak { A } _ { 0 } / \mathcal { O } _ { E } ) + } U _ { \mathfrak { A } _ { 1 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } a _ { 0 } e ( \mathfrak { A } _ { 1 } / \mathcal { O } _ { E } ) + } \cdots U _ { \mathfrak { A } _ { k } } ^ { \frac { 1 } { 2 } a _ { k - 1 } e ( \mathfrak { A } _ { k } / \mathcal { O } _ { E } ) + }
W _ { 1 } ^ { \gamma } = \frac { \alpha m a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } } { 4 } \left[ \frac { 1 } { 2 } + \frac { 4 } { \eta _ { e } } - \frac { 1 } { 2 ( 1 + 2 \eta _ { e } ) ^ { 2 } } + \left( 1 - \frac { 2 } { \eta _ { e } } - \frac { 2 } { \eta _ { e } ^ { 2 } } \right) \ln ( 1 + 2 \eta _ { e } ) \right] .
\sum _ { q > 0 } \{ \hat { \mathrm { G } } _ { + } ( q ) [ \hat { v } _ { \mathrm { H , + } } ( q ) , \hat { \tilde { \mathrm { G } } } _ { \pm } ( p ) ] _ { - } + \hat { \mathrm { G } } _ { - } ( q ) [ \hat { v } _ { \mathrm { H , - } } ( q ) , \hat { \tilde { \mathrm { G } } } _ { \pm } ( p ) ] _ { - } \} \mp { \hbar } ^ { 2 } \frac { e ^ { 2 } \mathrm { L } ^ { 2 } } { 8 { \pi } ^ { 2 } } p \hat { v } _ { \mathrm { H , \mp } } ( p )
\overline { { { \cal A } } } _ { \mathrm { v a c } ; + } ( x , t ) \equiv \overline { { { \langle \mathrm { v a c } ; A ; + | } } } i \frac { \delta } { \delta A _ { 1 } ( x , t ) } \overline { { { | \mathrm { v a c } ; A ; + \rangle } } }
\vert \nu _ { A } \rangle = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \vert \nu _ { A } \vert ^ { 2 } } } } \left( \begin{array} { c } { { - \nu _ { A } } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) \quad , \quad \langle \nu _ { A } \vert = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \vert \nu _ { A } \vert ^ { 2 } } } } \Bigl ( - \nu _ { A } ^ { * } \; \quad \; 1 \Bigr ) \; .
\begin{array} { r l } & { E [ ( X _ { s } - X _ { t _ { k - 1 } } ) ^ { i _ { 1 } } ( X _ { s } - X _ { t _ { k - 1 } } ) ^ { i _ { 2 } } | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } ] b ^ { i _ { 3 } } ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \theta _ { 0 } ) } \\ & { = \Bigg \{ \varepsilon ^ { 2 } ( s - t _ { k - 1 } ) [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \beta _ { 0 } ) + ( s - t _ { k - 1 } ) ^ { 2 } b ^ { i _ { 1 } } b ^ { i _ { 2 } } ( X _ { t _ { k - 1 } } , H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } , ~ \theta _ { 0 } ) } \\ & { \quad + R ( ( s - t _ { k - 1 } ) ^ { 3 } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) ) + R ( \varepsilon ( s - t _ { k - 1 } ) ^ { 5 / 2 } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) ) } \\ & { \quad + R ( \varepsilon ^ { 2 } ( s - t _ { k - 1 } ) ^ { 2 } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) ) + R ( \varepsilon ^ { 3 } ( s - t _ { k - 1 } ) ^ { 3 / 2 } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) ) \Bigg \} b ^ { i _ { 3 } } ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \theta _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { p q } ^ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { - } & { \alpha _ { p } ^ { i , n } , \quad q = p + ( N + 1 ) ^ { i - 1 } , i = 1 , 2 , \cdots , d , } \\ & { \beta _ { p } ^ { n } , \quad q = p , } \\ { - } & { \gamma _ { p } ^ { i , n } , \quad q = p - ( N + 1 ) ^ { i - 1 } , i = 1 , 2 , \cdots , d , } \\ & { 0 , \quad \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { \alpha _ { i k } \alpha _ { j k } } } & { { = } } & { { 0 , \; \; i \neq j \pm g } } \\ { { \alpha _ { i k } \alpha _ { i + g , k } } } & { { = } } & { { - \alpha _ { i + g , k } \alpha _ { i k } = \beta _ { k } , \; \; 1 \leq i \leq g } } \\ { { \alpha _ { i k } \alpha _ { j l } } } & { { = } } & { { - \alpha _ { j l } \alpha _ { i k } , \; k \neq l . } } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mu \mu } \simeq P _ { \mu \mu } ( \mathrm { ~ S ~ I ~ } ) + P _ { \mu \mu } ( \ensuremath { a _ { \mu \tau } } / \ensuremath { c _ { \mu \tau } } ) + \mathcal { O } ( \alpha ^ { 2 } , \alpha \sin ^ { 2 } \theta _ { 1 3 } , a _ { e \beta } ^ { 2 } , c _ { e \beta } ^ { 2 } , a _ { \mu \tau } ^ { 2 } , c _ { \mu \tau } ^ { 2 } ) , \, \, \, \, \, \, \, \beta = \mu , \tau . } \end{array}
= - \bigg [ \frac { ( D - 2 ) \beta + 4 \gamma } { 4 ( D - 3 ) } \bigg ] E + \bigg ( \frac { D - 2 } { D - 3 } \bigg ) ( \beta / 4 + \gamma ) C ^ { 2 } + \bigg [ \frac { 4 ( D - 1 ) \alpha + D \beta + 4 \gamma } { 4 ( D - 1 ) } \bigg ] R ^ { 2 } \,
\begin{array} { r l r } { V ( x , t ) } & { = } & { - x ^ { - 2 } * v ( x , t ) } \\ & { = } & { - \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { z ^ { 2 } } v ( x - z , t ) d z } \\ & { = } & { - \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 ^ { + } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \Re \Big [ \frac { 1 } { ( z - i \epsilon ) ^ { 2 } } \Big ] v ( x - z , t ) d z } \\ & { = } & { - \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 ^ { + } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { z ^ { 2 } - \epsilon ^ { 2 } } { ( z ^ { 2 } + \epsilon ^ { 2 } ) ^ { 2 } } v ( x - z , t ) d z . } \end{array}
\frac { \partial T ^ { \prime \prime } { } ^ { i j \ell } } { \partial x ^ { \ell } } = + \frac { \partial } { \partial x ^ { \ell } } \left( { - \left\langle { u ^ { \prime \prime } { } ^ { \ell } u ^ { \prime \prime } { } ^ { i } u ^ { \prime \prime } { } ^ { j } } \right\rangle + \langle { p ^ { \prime \prime } u ^ { \prime \prime } { } ^ { i } } \rangle \delta ^ { \ell j } + \langle { p ^ { \prime \prime } u ^ { \prime \prime } { } ^ { j } } \rangle \delta ^ { \ell i } + \nu \frac { \partial } { \partial x ^ { \ell } } \langle { u ^ { \prime \prime } { } ^ { i } u ^ { \prime \prime } { } ^ { j } } \rangle } \right) .
\begin{array} { r l } { d L ( \mathbf { Q } , { \dot { \mathbf { Q } } } , t ) } & { { } = { \frac { \partial L } { \partial \mathbf { Q } } } d \mathbf { Q } + { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { Q } } } } } d { \dot { \mathbf { Q } } } + { \frac { \partial L } { \partial t } } d t } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R _ { X } = \frac { - 2 \gamma ^ { 2 } \tilde { C } _ { X } - \epsilon _ { X X } \gamma H } { \epsilon _ { X Y } H } - 1 ~ , } & { { } } & { R _ { Y } = \frac { - 2 \gamma ^ { 2 } \tilde { C } _ { Y } - \epsilon _ { Y Y } \gamma H } { \epsilon _ { Y X } H } - 1 ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D } & { { } = - N _ { y } N \left( \frac { \sigma _ { 1 2 } \Delta A _ { 1 2 } + \sigma _ { \mathrm { { 1 S } } } \Delta A _ { \mathrm { { 1 S } } } + \sigma _ { \mathrm { { 2 S } } } \Delta A _ { \mathrm { { 2 S } } } } { A _ { \mathrm { { C V } } } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \Delta G _ { i j } ^ { ( 1 ) , \lambda } ( t _ { 0 } ) } } = \overline { { \Delta G _ { i j } ^ { ( 2 ) , \lambda } ( t _ { 0 } ) } } } & { { } = 0 \, , } \\ { \overline { { \Delta G _ { i k } ^ { ( 1 ) , \lambda } ( t _ { 0 } ) \Delta G _ { j l } ^ { ( 2 ) , \lambda } ( t _ { 0 } ) } } } & { { } = - \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \delta _ { i l } \delta _ { j k } n _ { j } ( 1 \pm n _ { i } ) \, . \quad } \end{array}
\phi ( r ) = C + \int _ { 0 } ^ { r } \left( \frac D { r _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac g { r _ { 1 } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { r _ { 1 } } n ( r _ { 2 } ) r _ { 2 } ^ { 2 } d r _ { 2 } \right) d r _ { 1 } \, ,
\varphi _ { M } - \varphi _ { N } = \mathcal E \frac { \Delta \alpha } { 2 \pi } - i \Delta R = \mathcal E \frac { \Delta \alpha } { 2 \pi } - \frac { \mathcal E } { R } \left( R \frac { \Delta \alpha } { 2 \pi } \right) = 0 ,
( H _ { l } ) _ { K a b i r - G o o d } = \frac { 2 \pi n } { m _ { K } } \left( f _ { K ^ { 0 } } ( 0 ) | K ^ { 0 } \rangle \langle K ^ { 0 } | + f _ { \bar { K } ^ { 0 } } ( 0 ) | \bar { K } ^ { 0 } \rangle \langle \bar { K } ^ { 0 } | \right) ;
\begin{array} { r l } { \dot { \rho } _ { 1 1 } } & { { } = - 2 \gamma _ { 1 } \rho _ { 1 1 } , } \\ { \dot { \rho } _ { 1 3 } } & { { } = - i \omega _ { 1 3 } \rho _ { 1 3 } - \gamma _ { 1 } \rho _ { 1 3 } , } \\ { \dot { \rho } _ { 3 3 } } & { { } = 2 \gamma _ { 1 } \rho _ { 1 1 } , \quad e t c . , \: 2 \gamma _ { 1 } = \sum _ { k s } | g _ { k s } | ^ { 2 } \delta ( \omega _ { 1 3 } - \omega _ { k s } ) . } \end{array}
\mathrm { ( b ) } + \mathrm { ( c ) } = - \frac { g ^ { 2 } } { x _ { i j } ^ { 4 } } \sum _ { k } \Bigl ( \frac { 1 } { x _ { i k } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { x _ { j k } ^ { 2 } } \Bigr ) ( 1 - D ) \delta _ { \mu \nu } .
\big \{ A _ { j _ { 1 } } , B _ { j _ { 2 } } \big \} _ { j _ { 3 } } = - ( - 1 ) ^ { j _ { 1 } + j _ { 2 } - j _ { 3 } } \big \{ B _ { j _ { 2 } } , A _ { j _ { 1 } } \big \} _ { j _ { 3 } } .
\vec { \psi } _ { \mp } ( x ) \left( \frac { d \vec { \phi } } { d x } \pm \vec { \nabla } W \right) | \vec { \phi } ( x ) , \vec { \psi } ( x ) \rangle = 0 \qquad , \, \vec { \psi } _ { \pm } ( x ) = \vec { \psi } _ { 1 } ( x ) \pm \vec { \psi } _ { 2 } ( x )
\frac { d } { d t } \left( \bar { \bf w } \cdot \hat { \bf e } _ { i } \right) = \frac { d \bar { \bf w } } { d t } \cdot \hat { \bf e } _ { i } + \bar { \bf w } \cdot \frac { d \hat { \bf e } _ { i } } { d t } = 0
\begin{array} { r } { \mathscr { P } _ { f ( t ) , \varrho ( t ) } ( x , \gamma , \tau , k ) = \frac { p ^ { \prime } ( \varrho ( t , x ) ) \varrho ( t , x ) } { 1 - \rho _ { f } ( t , x ) } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - ( \gamma + i \tau ) s } \frac { i k } { 1 + \vert k \vert ^ { 2 } } \cdot \left( \mathcal { F } _ { v } \nabla _ { v } f \right) ( t , x , k s ) \, \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { M } _ { 0 } ( r ) } & { { } = } & { 1 , } \\ { \mathcal { M } _ { a } ( r ) } & { { } = } & { \Theta ( r - r _ { a } ) , } \\ { \mathcal { M } _ { b } ( r ) } & { { } = } & { \frac { r ^ { 3 } } { r _ { b } ^ { 3 } } \, \Theta ( r _ { b } - r ) + \Theta ( r - r _ { b } ) . } \\ { \mathcal { M } _ { c } ( r ) } & { { } = } & { 4 \pi \vartheta _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { r } \frac { { r ^ { \prime } } ^ { 2 } d r ^ { \prime } } { e ^ { ( r ^ { \prime } - c _ { F } ) / a _ { F } } + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma ^ { - 1 } } & { \int _ { F _ { 3 } } ( 1 - x / a ) | h \partial _ { \nu } u | ^ { 2 } d S } \\ & { = \gamma ^ { - 1 } \int _ { F _ { 3 } \cap \{ x \geq \beta + \delta + \delta ^ { 2 } \} } ( 1 - x / a ) | h \partial _ { \nu } u | ^ { 2 } d S } \\ & { \quad + \gamma ^ { - 1 } \int _ { F _ { 3 } \cap \{ x \leq \beta + \delta + \delta ^ { 2 } \} } ( 1 - x / a ) | h \partial _ { \nu } u | ^ { 2 } d S } \\ & { \geq ( 1 - ( \beta + \delta + \delta ^ { 2 } ) / a ) \gamma ^ { - 1 } \int _ { F _ { 3 } \cap \{ x \leq \beta + \delta + \delta ^ { 2 } \} } | h \partial _ { \nu } u | ^ { 2 } d S . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \sigma } } } & { { } = - p ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } + 2 \left[ \left( { \cfrac { \partial { \hat { W } } } { \partial I _ { 1 } } } + I _ { 1 } ~ { \cfrac { \partial { \hat { W } } } { \partial I _ { 2 } } } \right) { \boldsymbol { B } } - { \cfrac { \partial { \hat { W } } } { \partial I _ { 2 } } } ~ { \boldsymbol { B } } \cdot { \boldsymbol { B } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { i } ^ { V _ { r e s } } ( \omega ) } & { { } = B _ { 1 } \omega } \\ { \alpha _ { i } ^ { T _ { r e s } } ( \omega ) } & { { } = A _ { 2 } + B _ { 2 } \, \omega ^ { 2 } } \end{array}