harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \bar { Q } \exp \left( - \frac { d _ { 0 } ^ { 2 } ( z _ { 1 } , y ) } { \bar { Q } T _ { \theta } } \right) \ge H ( x _ { 1 } , T _ { \theta } , y , 0 ) \cdot T ^ { \frac { n } { 2 } } \cdot \exp \left( \ensuremath { \mathcal { N } } _ { 0 } ^ { * } ( x _ { 1 } , T _ { \theta } ) \right) \ge \frac { 1 } { 2 } Q \exp \left( - \frac { d ^ { 2 } } { ( 4 + \epsilon ) T } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d x } { d t } } & { { } = f ( t , x ( t ) ) , \qquad x \in \Omega \subseteq \mathbb { R } ^ { n } , \ t \in [ 0 , T ] , } \\ { x ( 0 ) } & { { } = x _ { 0 } , } \end{array}
\widehat { w } _ { a } = \tilde { w } _ { a } - G _ { \Sigma } ( \tilde { s } ) , \quad G _ { \Sigma } ( \tilde { s } ) = \frac { 4 } { \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \Delta \Sigma _ { j } \tilde { s } _ { j } G \left( \frac { \tilde { s } _ { j } } { \tilde { s } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { T _ { A } ^ { \mu \nu } ( q , p ) } & { { } = } & { - \frac { 1 } { M } \gamma ^ { \mu \nu \alpha } q _ { \alpha } \, S _ { 1 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) + \frac { Q ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \gamma ^ { \mu \nu } S _ { 2 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { q _ { 1 } } V _ { m } } { d t ^ { q _ { 1 } } } = } & { { } F _ { 1 } ( t , V _ { m } , n , m , h ) , \qquad \frac { d ^ { q _ { 2 } } n } { d t ^ { q _ { 2 } } } = F _ { 2 } ( t , V _ { m } , n , m , h ) , } \\ { \frac { d ^ { q _ { 3 } } m } { d t ^ { q _ { 3 } } } = } & { { } F _ { 3 } ( t , V _ { m } , n , m , h ) , \qquad \frac { d ^ { q _ { 4 } } h } { d t ^ { q _ { 4 } } } = F _ { 4 } ( t , V _ { m } , n , m , h ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \ensuremath { \mathcal P } } _ { \mathrm { I I / I I I } } } & { : = \{ \sqrt { d / 2 } + i \beta \ : \beta > \sqrt { d / 2 } \} , } \\ { { \ensuremath { \mathcal P } } _ { \mathrm { I I / I I I } } ^ { \prime } } & { : = { \ensuremath { \mathcal P } } _ { \mathrm { I I / I I I } } \cup \{ \sqrt { d / 2 } ( 1 + i ) \} } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi = \left( m _ { w } , \bar { \sigma } _ { w } \right) , \psi = \left( m _ { x _ { 0 } } , \bar { \sigma } _ { x _ { 0 } } , m _ { \theta } , L _ { \theta } ^ { - } , \bar { l } \right) , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \ \Tilde { \phi } = \left( m _ { \Tilde { w } } , \bar { \sigma } _ { \Tilde { w } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { d _ { K } \left( \mathcal { L } ^ { * } \left( J ^ { 1 / 2 } \left( \underline { { \widehat f ^ { * } } } _ { K , n } - \underline { { \widehat f } } _ { K , n } \right) \right) , \mathcal { L } \left( J ^ { 1 / 2 } \left( \underline { { \widehat f } } _ { K , n } - \underline { { f } } _ { K } \right) \right) \right) = o _ { P } ( 1 ) , } \end{array}
E _ { \mathrm { m u l t i l o o p } } = E _ { 0 } + E _ { \mathrm { b r } } \times [ \mathrm { b r a n c h e s } ] + E _ { \mathrm { u n } } \times [ \textrm { u n p a i r e d n u c l e o t i d e s } ] ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { w ( \cdot ) \geq 0 } } & { \quad \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mathbb { E } } \left[ \int _ { D ^ { [ k ] } } ^ { D ^ { [ k ] } + \Gamma } \texttt { m s e } _ { \mathrm { M A F } } ^ { [ k ] } \left( t , \tilde { S } ^ { [ k ] } \right) d t \right] } { \mathbb { E } \left[ \Gamma \right] } } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { \quad { \mathbb { E } } \left[ w \left( \tilde { Y } \right) \right] \geq \frac { 1 } { 1 - \epsilon } \left( \frac { K } { f _ { \operatorname* { m a x } } } - \frac { K } { \mu } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { K } ^ { T } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathsf { P } } \\ { - \mathsf { P } } & { 0 } \end{array} \right) \mathsf { K } \dot { \mathbf { z } } = } & { { } \, \frac { 1 } { 2 } \mathsf { K } ^ { T } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathsf { P } ^ { \mathcal { R } } } \\ { \mathsf { P } ^ { \mathcal { R } } } & { 0 } \end{array} \right) \mathsf { K } \dot { \mathbf { z } } + \nabla _ { z } H } \end{array}
\mathcal E ^ { \prime } = \oint _ { l ^ { \prime } } \vec { E } ^ { \prime } \cdot \vec { d l ^ { \prime } } = - \frac { d } { d t ^ { \prime } } \int _ { S ^ { \prime } } \vec { B } ^ { \prime } \cdot \hat { n } ^ { \prime } d S ^ { \prime } .
\frac { \partial \vec { G } _ { L } } { \partial t } = - \vec { G } _ { L } \cdot \frac { \partial } { \partial t } \left( \vec { F } \cdot \vec { F } ^ { T } \right) \cdot \vec { G } _ { L } \qquad \mathrm { w i t h } \qquad \vec { G } _ { L } = \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { A } _ { L } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } & { \left| \sqrt { P _ { n } \big ( f ( w , Z ) - f ( w ^ { * } , Z ) \big ) ^ { 2 } } - \sqrt { P _ { n } \big ( f ( w _ { \gamma / L } , Z ) - f ( w ^ { * } , Z ) \big ) ^ { 2 } } \right| } \\ & { \leqslant \sqrt { P _ { n } \big ( f ( w , Z ) - f ( w _ { \gamma / L } , Z ) \big ) ^ { 2 } } \leqslant L \| w - w _ { \gamma / L } \| _ { \mathsf H } \leqslant \gamma . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\Vert \mathrm { K } _ { G _ { 3 , i } ^ { \beta } } ^ { \mathrm { f r e e } } \left[ \partial _ { x } ^ { \overline { { I } } ^ { i } - \beta } \mathrm { J } _ { \varepsilon } \varrho \right] \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { 1 } ) } \lesssim \underset { 0 \leq s , t \leq T } { \operatorname* { s u p } } \Vert G _ { 3 , i } ^ { \beta } ( t , s ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { \ell + 1 } } \left\Vert \partial _ { x } ^ { \overline { { I } } ^ { i } - \beta } \varrho \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { 1 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { p _ { G * } } \biggr \{ \biggr ( \frac { ( \Delta \widehat { \mu } _ { n } ) _ { i } } { ( \Delta \mu ^ { * } ) _ { i } } - 1 \biggr ) ^ { 2 } \biggr \} } & { \lesssim } & { \frac { \log ^ { 2 } n } { n ( \lambda ^ { * } ) ^ { 2 } \left\{ ( \Delta \mu ^ { * } ) _ { i } \right\} ^ { 4 } } , } \\ { \mathbb { E } _ { p _ { G * } } \biggr \{ \biggr ( \frac { ( \Delta \widehat { \Sigma } _ { n } ) _ { u v } } { ( \Delta \Sigma ^ { * } ) _ { u v } } - 1 \biggr ) ^ { 2 } \biggr \} } & { \lesssim } & { \frac { \log ^ { 2 } n } { n ( \lambda ^ { * } ) ^ { 2 } \left\{ ( \Delta \Sigma ^ { * } ) _ { u v } \right\} ^ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \Psi \rangle = \hat { \mathcal { U } } \, | \mathrm { v a c } \rangle \, , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \hat { \mathcal { U } } = \exp \left\{ \frac { 1 } { 2 } \xi \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { s } \mathrm { d } \omega _ { i } \, F ( \omega _ { s } , \omega _ { i } ) \hat { a } ^ { \dagger } ( \omega _ { s } ) \hat { a } ^ { \dagger } ( \omega _ { i } ) - \mathrm { h . c . } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { p ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } \cdot \left[ \begin{array} { l } { 1 - \beta } \\ { \frac { 1 + \beta } { 2 } } \\ { \frac { 1 + \beta } { 2 } } \end{array} \right] , \quad \mathrm { a n d } \quad q ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } \cdot \left[ \begin{array} { l } { 1 - \beta + 2 \gamma ^ { 1 + \delta } ( 3 \beta - 1 ) } \\ { \frac { 1 + \beta } { 2 } + ( \gamma - \gamma ^ { 1 + \delta } ) ( 3 \beta - 1 ) } \\ { \frac { 1 + \beta } { 2 } + ( - \gamma - \gamma ^ { 1 + \delta } ) ( 3 \beta - 1 ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { H } _ { 1 } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { d \theta } { 2 \pi } } \int _ { - 4 \, S c + \theta } ^ { 4 \, S c + \theta } d \theta _ { 2 } \, \Bigg \{ \int _ { - \pi / 2 } ^ { - \phi _ { C } } d \phi \, Q ( \theta , \theta _ { 2 } , \phi ) + \int _ { \phi _ { C } } ^ { \pi / 2 } d \phi \, Q ( \theta , \theta _ { 2 } , \phi ) \Bigg \} } \\ & { } & { \hat { H } _ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { d \theta } { 2 \pi } } \int _ { - \pi + \theta } ^ { - 4 \, S c + \theta } d \theta _ { 2 } \, \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } d \phi \, Q ( \theta , \theta _ { 2 } , \phi ) } \\ & { } & { \hat { H } _ { 3 } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { d \theta } { 2 \pi } } \int _ { 4 \, S c + \theta } ^ { \pi + \theta } d \theta _ { 2 } \, \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } d \phi \, Q ( \theta , \theta _ { 2 } , \phi ) } \end{array}
D _ { \star } = \frac { c } { H _ { 0 } } \int _ { a _ { \star } } ^ { 1 } \frac { \mathrm { d } a } { a ^ { 2 } \, ( \Omega _ { M } / a ^ { 3 } + \Omega _ { R } / a ^ { 4 } ) ^ { 1 / 2 } } \, ,
\begin{array} { r l } & { ( 2 , - 6 ) , ( 3 , - 2 ) , ( 5 , 0 ) , ( 7 , 7 ) , ( 1 1 , - 6 6 ) , ( 1 3 , 1 6 ) , ( 1 7 , 5 1 ) , ( 1 9 , 1 6 ) , } \\ & { ( 2 3 , 1 5 3 ) , ( 2 9 , - 1 8 ) , ( 3 1 , - 1 8 5 ) , ( 3 7 , 2 2 0 ) , ( 4 1 , 6 0 ) , ( 4 3 , - 4 5 8 ) , ( 4 7 , 9 ) , } \\ & { ( 5 3 , 1 3 8 ) , ( 5 9 , 8 4 ) , ( 6 1 , - 2 1 8 ) , ( 6 7 , 7 0 ) , ( 7 1 , 2 7 9 ) , ( 7 3 , - 2 3 ) , ( 7 9 , 8 0 8 ) , } \\ & { ( 8 3 , - 4 9 2 ) , ( 8 9 , - 2 4 0 ) , ( 9 7 , 1 0 4 2 ) , } \\ & { ( 1 0 1 , 1 3 8 ) , ( 1 0 3 , - 5 ) , ( 1 0 7 , - 1 8 0 ) , ( 1 0 9 , 6 7 6 ) , ( 1 1 3 , - 1 0 8 6 ) , } \\ & { ( 1 2 7 , - 1 0 4 ) , ( 1 3 1 , - 2 2 7 4 ) , ( 1 3 7 , 1 4 4 ) , ( 1 3 9 , - 8 0 ) , ( 1 4 9 , 3 0 6 ) , } \\ & { ( 1 5 1 , - 1 7 2 1 ) , ( 1 5 7 , - 3 2 0 ) , ( 1 6 3 , 1 7 9 8 ) , ( 1 6 7 , 9 7 5 ) , ( 1 7 3 , 1 4 2 2 ) , ( 1 7 9 , - 2 7 8 4 ) , } \\ & { ( 1 8 1 , - 1 6 0 4 ) , ( 1 9 1 , 2 6 6 1 ) , ( 1 9 3 , 2 0 1 7 ) , ( 1 9 7 , - 9 6 ) , ( 1 9 9 , 2 4 2 8 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { K \left( d K \left( a x + b , c \right) + e , f \right) } \\ & { = } & { d K \left( K \left( a x + b , c \right) , d ^ { - 1 } \left( f - e \right) \right) + e } \\ & { = } & { d K \left( a K \left( x , a ^ { - 1 } \left( c - b \right) \right) + b , d ^ { - 1 } \left( f - e \right) \right) + e } \\ & { = } & { d \left\{ a K \left( K \left( x , a ^ { - 1 } \left( c - b \right) \right) , a ^ { - 1 } \left( d ^ { - 1 } \left( f - e \right) - b \right) \right) + b \right\} + e } \\ & { = } & { d a K \left( K \left( x , a ^ { - 1 } \left( c - b \right) \right) , a ^ { - 1 } \left( d ^ { - 1 } \left( f - e \right) - b \right) \right) + d b + e } \\ & { = } & { d a K \left( x , K \left( a ^ { - 1 } \left( c - b \right) , a ^ { - 1 } \left( d ^ { - 1 } \left( f - e \right) - b \right) \right) \right) + d b + e } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { { \boldsymbol \rho } , R } = \tau _ { \boldsymbol \rho } ( \sigma _ { R } ( f ) ) } & { = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { l } \gamma _ { l , m } ( { \boldsymbol \rho } , R ) Z _ { l } ^ { m } } \\ { \Leftrightarrow ~ \tau _ { \boldsymbol \rho } ( f ) = \tau _ { \boldsymbol \rho } ( \sigma _ { R } ( \sigma _ { R } ^ { - 1 } ( f ) ) ) } & { = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { l } \gamma _ { l , m } ( { \boldsymbol \rho } , R ) \, \sigma _ { R } ^ { - 1 } ( Z _ { l } ^ { m } ) } \\ & { = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { l } \underbrace { \frac { \gamma _ { l , m } ( { \boldsymbol \rho } , R ) } { R ^ { l } } } _ { = : \, \gamma _ { l , m } ( { \boldsymbol \rho } ) } Z _ { l } ^ { m } } \end{array}
\alpha \, = \, \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \, \frac { \gamma _ { E _ { 2 } , 0 } - \gamma _ { E _ { 2 } , 3 } } { \gamma _ { E _ { 2 } , 0 } + \gamma _ { E _ { 2 } , 3 } }
\begin{array} { r l r } { \Sigma _ { \ell , k } } & { = } & { \frac c { \delta ^ { 2 } } \mathbb { E } ( U ^ { \ell } + \bar { a } ) _ { + } ( U ^ { k } + \bar { a } ) _ { + } \quad \textrm { f o r } \ \ell \in [ k ] \ , } \\ { \Sigma _ { 0 , k } } & { = } & { \frac c { \delta ^ { 2 } } \mathbb { E } ( 1 + \bar { a } ) _ { + } ( U ^ { k } + \bar { a } ) _ { + } \ . } \end{array}
S = \frac { k \psi ^ { 2 } } { 8 \pi } \{ \int _ { \cal M } t r ( \tilde { u } ^ { - 1 } \partial _ { x } \tilde { u } \tilde { u } ^ { - 1 } \partial _ { t } \tilde { u } - \tilde { v } ^ { - 1 } \partial _ { x } \tilde { v } \tilde { v } ^ { - 1 } \partial _ { t } \tilde { v } +
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left( \bar { \varphi } ( \xi _ { N , \delta } ^ { k } ( \xi _ { 0 } ) ) \right) ^ { 2 } \leq 2 \left\{ \mathbb { E } \left[ \bar { \varphi } ( \xi _ { N , \delta } ^ { k } ( \xi _ { 0 } ) ) - \bar { \varphi } ( \bar { \xi } ) \right] ^ { 2 } + \bar { \varphi } ( \bar { \xi } ) ^ { 2 } \right\} \leq 2 \left\{ L _ { \varphi } \mathbb { E } \rho _ { \varepsilon , s , \alpha } ( \xi _ { N , \delta } ^ { k } ( \xi _ { 0 } ) , \bar { \xi } ) ^ { 2 } + \bar { \varphi } ( \bar { \xi } ) ^ { 2 } \right\} . } \end{array}
W _ { s } ^ { r } ( \boldsymbol { r } ) = \int d \boldsymbol { r } ^ { \prime } \frac { \phi _ { r } ^ { * } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \phi _ { s } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) } { | \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } ^ { \prime } | } .
\begin{array} { r l } { d _ { 1 } ( t ) = } & { { } m _ { 1 } \ell _ { c _ { 1 } } ^ { 2 } + m _ { 2 } ( \ell _ { 1 } ^ { 2 } + \ell _ { c _ { 2 } } ^ { 2 } + 2 \ell _ { 1 } \ell _ { c _ { 2 } } \cos \theta _ { 2 } ( t ) ) + I _ { 1 } + I _ { 2 } , } \\ { d _ { 2 } ( t ) = } & { { } m _ { 2 } ( \ell _ { c _ { 2 } } ^ { 2 } + \ell _ { 1 } \ell _ { c _ { 2 } } \cos \theta _ { 2 } ( t ) ) + I _ { 2 } , } \\ { \phi _ { 1 } ( t ) = } & { { } - m _ { 2 } \ell _ { 1 } \ell _ { c _ { 2 } } \dot { \theta } ( t ) ^ { 2 } \sin \theta _ { 2 } ( t ) \! - \! 2 m _ { 2 } \ell _ { 1 } \ell _ { c _ { 2 } } \dot { \theta } _ { 2 } ( t ) \dot { \theta } _ { 1 } ( t ) \sin \theta _ { 2 } ( t ) } \\ { \phi _ { 2 } ( t ) = } & { { } m _ { 2 } \ell _ { c _ { 2 } } g \cos ( \theta _ { 1 } ( t ) + \theta _ { 2 } ( t ) ) . } \end{array}
S _ { I } ^ { ( \alpha = 0 ) } = \frac { 4 k ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } \int _ { \tau _ { 0 } } ^ { \tau _ { f } } d \tau { } ~ { \sin } ^ { 2 } \, r ( \tau - \tau _ { 0 } ) \sim \frac { 2 k ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } ( \tau _ { f } - \tau _ { 0 } )
\begin{array} { r l } { \mathfrak { D } _ { 1 } u } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { M } \varrho _ { i } \mathbf { D } _ { t } ^ { \nu _ { i } } u - \sum _ { j = 1 } ^ { N } \gamma _ { j } \mathbf { D } _ { t } ^ { \mu _ { j } } u , \quad \mathfrak { D } _ { 2 } u = u _ { 0 } \{ \mathbf { D } _ { t } ^ { \nu } \varrho _ { 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { M } \mathbf { D } _ { t } ^ { \nu _ { i } } \varrho _ { i } - \sum _ { j = 1 } ^ { N } \mathbf { D } _ { t } ^ { \mu _ { j } } \gamma _ { j } \} , } \\ { \mathfrak { D } _ { 3 } u } & { = \frac { \nu } { \Gamma ( 1 - \nu ) } \int _ { 0 } ^ { t } ( t - s ) ^ { - 1 - \nu } [ \varrho _ { 0 } ( t ) - \varrho _ { 0 } ( s ) ] [ u ( x , s ) - u _ { 0 } ( x ) ] d s } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { M } \frac { \nu _ { i } } { \Gamma ( 1 - \nu _ { i } ) } \int _ { 0 } ^ { t } ( t - s ) ^ { - 1 - \nu _ { i } } [ \varrho _ { i } ( t ) - \varrho _ { i } ( s ) ] [ u ( x , s ) - u _ { 0 } ( x ) ] d s } \\ & { - \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { \mu _ { j } } { \Gamma ( 1 - \mu _ { j } ) } \int _ { 0 } ^ { t } ( t - s ) ^ { - 1 - \mu _ { j } } [ \gamma _ { j } ( t ) - \gamma _ { j } ( s ) ] [ u ( x , s ) - u _ { 0 } ( x ) ] d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ^ { \ast } A u } & { = ( \alpha v ^ { \ast } + \beta w ^ { \ast } ) ( \alpha A v + \beta A w ) } \\ & { = ( \alpha v ^ { * } + \beta w ^ { * } ) ( \alpha \lambda _ { i } v + \beta \lambda _ { j } w ) } \\ & { = \alpha ^ { 2 } \lambda _ { i } v ^ { \ast } v + \alpha \beta v ^ { \ast } w + \beta \alpha w ^ { \ast } v + \beta ^ { 2 } \lambda _ { j } w ^ { \ast } w } \\ & { = \alpha ^ { 2 } \lambda _ { i } + \beta ^ { 2 } \lambda _ { j } . } \end{array}
h _ { \Omega _ { \delta } } ( v _ { \delta } ; ( x _ { 2 j } ^ { \delta } x _ { 2 j + 1 } ^ { \delta } ) ) : = \mathbb { P } _ { v _ { \delta } } [ \mathcal { R } _ { \delta } \mathrm { ~ h i t s ~ } ( x _ { 2 j } ^ { \delta } x _ { 2 j + 1 } ^ { \delta } ) \mathrm { ~ b e f o r e ~ } \cup _ { i \neq j } ( x _ { 2 i } ^ { \delta } x _ { 2 i + 1 } ^ { \delta } ) ] ,
{ \begin{array} { r l } { G _ { 2 } } & { = { \frac { k _ { 4 } } { k _ { 2 } ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { n ^ { 2 } \, [ ( n + 1 ) \, m _ { 4 } - 3 \, ( n - 1 ) \, m _ { 2 } ^ { 2 } ] } { ( n - 1 ) \, ( n - 2 ) \, ( n - 3 ) } } \; { \frac { ( n - 1 ) ^ { 2 } } { n ^ { 2 } \, m _ { 2 } ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { n - 1 } { ( n - 2 ) \, ( n - 3 ) } } \left[ ( n + 1 ) \, { \frac { m _ { 4 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } } } - 3 \, ( n - 1 ) \right] } \\ & { = { \frac { n - 1 } { ( n - 2 ) \, ( n - 3 ) } } \left[ ( n + 1 ) \, g _ { 2 } + 6 \right] } \\ & { = { \frac { ( n + 1 ) \, n \, ( n - 1 ) } { ( n - 2 ) \, ( n - 3 ) } } \; { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ^ { 4 } } { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } - 3 \, { \frac { ( n - 1 ) ^ { 2 } } { ( n - 2 ) \, ( n - 3 ) } } } \\ & { = { \frac { ( n + 1 ) \, n } { ( n - 1 ) \, ( n - 2 ) \, ( n - 3 ) } } \; { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ^ { 4 } } { k _ { 2 } ^ { 2 } } } - 3 \, { \frac { ( n - 1 ) ^ { 2 } } { ( n - 2 ) ( n - 3 ) } } } \end{array} }
\int ( \cosh a x ) ( \cosh b x ) \, d x = { \frac { 1 } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } } { \big ( } a ( \sinh a x ) ( \cosh b x ) - b ( \sinh b x ) ( \cosh a x ) { \big ) } + C \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } a ^ { 2 } \neq b ^ { 2 } { \mathrm { ) } }
\begin{array} { r l } { \biggl | \frac { x _ { 2 j + 2 } - x } { 2 \Delta x } } & { \left( u ( x ) - u ( x _ { 2 j } ) \right) + \frac { x - x _ { 2 j } } { 2 \Delta x } \left( u ( x ) - u ( x _ { 2 j + 2 } ) \right) \biggr | } \\ & { \leq \int _ { x _ { 2 j } } ^ { x } \left| u _ { x } ( z ) \right| d z + \frac 1 2 \int _ { x } ^ { x _ { 2 j + 2 } } \left| u _ { x } ( z ) \right| d z } \\ & { \leq \sqrt { x - x _ { 2 j } } \sqrt { F _ { \mathrm { a c } } ( x ) - F _ { \mathrm { a c } } ( x _ { 2 j } ) } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { x _ { 2 j + 2 } - x } \sqrt { F _ { \mathrm { a c } } ( x _ { 2 j + 2 } ) - F _ { \mathrm { a c } } ( x ) } } \\ & { \leq \left( 1 + \sqrt { 2 } \right) \sqrt { \frac { F _ { \mathrm { a c } } ( x _ { 2 j + 2 } ) - F _ { \mathrm { a c } } ( x _ { 2 j } ) } { 2 } } \Delta x ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { ~ o ~ o ~ } } = - \frac { \mu ^ { 3 } } { m _ { 1 } m _ { 2 } } \quad \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \quad E _ { \mathrm { ~ s ~ s ~ } } = - \frac { 2 \mu ^ { 3 } } { m _ { 1 } m _ { 2 } } \; } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \tau } \int _ { 0 } ^ { \tau } d t \, | \psi ( { \bf r } , t ) | ^ { 2 } = | C | ^ { 2 } \sum _ { \ell } | \alpha _ { \ell } ( { \bf r } ) | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { t } - d _ { S } ) S + } & { ( \partial _ { t } - d _ { I } \Delta ) I + ( \partial _ { t } - d _ { R } \Delta ) R + ( \partial _ { t } - d _ { S ^ { * } } \Delta ) ( S ^ { * } - z _ { S ^ { * } } ) } \\ & { = - \beta S ^ { * } ( ( 1 - \alpha ) I + I ^ { * } ) - \mu ( I + R ) N ^ { * } - \delta ( S + I + R ) \le 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( s ) \left[ s \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } ( s ) - \mathbf { X } _ { \mathrm { ~ O ~ } } ( 0 ) \right] - \frac { \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( s ) } { s } } & { { } = \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } \left[ s \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } ( s ) - \mathbf { X } _ { \mathrm { ~ O ~ } } ( 0 ) \right] + \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \left[ s \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } ( s ) - \mathbf { X } _ { \mathrm { ~ I ~ } } ( 0 ) \right] } \end{array}
V _ { \mathrm { \tiny ~ C K M } } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 . 9 7 5 5 - 0 . 0 1 2 4 i } } & { { - 0 . 0 3 3 4 + 0 . 2 1 7 2 i } } & { { - 0 . 0 0 2 2 + 0 . 0 0 0 3 i } } \\ { { 0 . 0 3 3 5 + 0 . 2 1 7 0 i } } & { { 0 . 9 7 4 7 + 0 . 0 1 2 4 i } } & { { 0 . 0 3 9 5 } } \\ { { 0 . 0 0 0 8 - 0 . 0 0 8 3 i } } & { { - 0 . 0 3 8 7 } } & { { 0 . 9 9 9 2 } } \end{array} \right) .
\| E ^ { ( s , j ) } ( t ^ { n } ) - E ^ { ( s - 1 , j ) } ( t ^ { n } ) \| _ { 2 } > \tilde { \epsilon } \| E ^ { ( s , j ) } ( t ^ { n } ) \| _ { 2 } , \ \ \| T ^ { ( s , j ) } ( t ^ { n } ) - T ^ { ( s - 1 , j ) } ( t ^ { n } ) \| _ { 2 } > \tilde { \epsilon } \| T ^ { ( s , j ) } ( t ^ { n } ) \| _ { 2 }
\begin{array} { r l r } { P _ { 0 } ( x , t ) } & { = } & { \frac { e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 D t } } } { \sqrt { 4 D \pi t } } , } \\ { P _ { 0 } ^ { \mu } ( x , t ) } & { = } & { P _ { 0 } ( x , t ) \, \mathrm { e } ^ { \frac { \mu x } { 2 D } - \frac { \mu ^ { 2 } t } { 4 D } } , } \\ { P ^ { \mu } ( x , t | y , t ^ { \prime } ) } & { = } & { \big [ P _ { 0 } ( | x - y | , t - t ^ { \prime } ) - P _ { 0 } ( x + y , t - t ^ { \prime } ) \big ] \, \mathrm { e } ^ { \frac { \mu ( x - y ) } { 2 D } - \frac { \mu ^ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } { 4 D } } . } \end{array}
\frac { 8 ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { N } \frac { C ^ { I _ { 1 } I _ { 2 } I _ { 3 } } } { x _ { 1 2 } ^ { 2 } x _ { 2 3 } ^ { 2 } x _ { 3 1 } ^ { 2 } } ( 1 + \mathcal { O } ( \frac { 1 } { N ^ { 2 } } ) )
f ( \tilde { \textbf { x } } , \tilde { t } ; u , c ) : = \mathcal { N } _ { 0 } [ u , c ] \big | _ { \textbf { x } = \tilde { \textbf { x } } , t = \tilde { t } } , \ \mathcal { N } _ { 0 } [ u , c ] = \partial _ { t } [ u ] - c \mathcal { N } [ u ] .
\begin{array} { r l } { Q ^ { \star } \boldsymbol { p } = 0 \quad } & { \Leftrightarrow \quad \boldsymbol { p } ^ { T } Q ^ { \star } \boldsymbol { p } = 0 } \\ & { \Leftrightarrow \quad \int _ { \Omega } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { p } } \boldsymbol { p } _ { i } \phi _ { i } \right) \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { p } } \boldsymbol { p } _ { j } \phi _ { j } \right) = 0 } \\ & { \Leftrightarrow \quad \int _ { \Omega } p ^ { 2 } = 0 \qquad \Leftrightarrow \quad p \equiv 0 \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { \mathrm { A } } } & { = \frac { \sqrt { \Omega _ { 1 } ^ { 2 } + \Omega _ { 2 } ^ { 2 } + \omega _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } - \sqrt { \left( \Omega _ { 1 } ^ { 2 } + \Omega _ { 2 } ^ { 2 } + \omega _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 \Omega _ { 1 } ^ { 2 } \Omega _ { 2 } ^ { 2 } } } } { \sqrt { 2 } } , } \\ { \Omega _ { \mathrm { B } } } & { = \frac { \sqrt { \Omega _ { 1 } ^ { 2 } + \Omega _ { 2 } ^ { 2 } + \omega _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } + \sqrt { \left( \Omega _ { 1 } ^ { 2 } + \Omega _ { 2 } ^ { 2 } + \omega _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 \Omega _ { 1 } ^ { 2 } \Omega _ { 2 } ^ { 2 } } } } { \sqrt { 2 } } . } \end{array}
{ \frac { \mathrm { p o s i t i v e \ z e r o \ c r o s s i n g s } } { \mathrm { s e c o n d } } } = { \frac { \mathrm { n e g a t i v e \ z e r o \ c r o s s i n g s } } { \mathrm { s e c o n d } } }
\begin{array} { r } { \boldsymbol { S } \triangleq \left( \begin{array} { l l l l } { s _ { 0 } ( 0 ) } & { s _ { 0 } ( 1 ) } & { \cdots \ } & { s _ { 0 } ( M - 1 ) } \\ { s _ { 1 } ( 0 ) } & { s _ { 1 } ( 1 ) } & { \cdots \ } & { s _ { 1 } ( M - 1 ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { s _ { N - 1 } ( 0 ) } & { s _ { N - 1 } ( 1 ) } & { \cdots \ } & { s _ { N - 1 } ( M - 1 ) } \end{array} \right) \in { \mathbb { C } } ^ { N \times M } } \end{array}
F _ { \alpha \beta } = \partial _ { \alpha } A _ { \beta } - \partial _ { \beta } A _ { \alpha } - i [ A _ { \alpha } , A _ { \beta } ] ~ , ~ ~ ~ D _ { \alpha } A _ { \rho } = \partial _ { \alpha } A _ { \rho } - i [ A _ { \alpha } , A _ { \rho } ] ~ , ~ ~ ~ \alpha , \beta = t , \theta , z \; .
\begin{array} { r } { \hat { \mathbf { O } } ( \boldsymbol { \beta } , \boldsymbol { \delta } ) = \big ( \tilde { \mathbf { A } } ^ { H } \tilde { \mathbf { A } } \big ) ^ { - 1 } \tilde { \mathbf { A } } ^ { H } \big ( \widetilde { \mathbf { R } } - \mathbf { I } _ { W } \big ) \tilde { \mathbf { A } } \big ( \tilde { \mathbf { A } } ^ { H } \tilde { \mathbf { A } } \big ) ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { C } ^ { ( Q ) } ( \mathcal { N } _ { G _ { M S } } ^ { ( 1 , \eta ) } ) } & { { } = } & { \log 9 , } \\ { \mathcal { C } ^ { ( Q ) } ( \mathcal { N } _ { G _ { M S } } ^ { ( \eta , 0 ) } ) } & { { } = } & { \log 9 - f ( 9 , \eta ) . } \end{array}
t _ { \mu \nu } = \frac { 1 } { 8 \pi { \cal G } } \left[ R _ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } g _ { \mu \nu } R _ { \; \; \; \alpha } ^ { \alpha } - R _ { \; \; \; \; \mu \nu } ^ { ( 1 ) } + \frac { 1 } { 2 } \eta _ { \mu \nu } R _ { \; \; \; \; \; \; \; \alpha } ^ { ( 1 ) \, \alpha } \right] \, .