harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\; \; \; \; \; \left\{ \begin{array} { l } { { \overline { { { R } } } \, x _ { 1 } ^ { \prime } \, x _ { 2 } = c \, x _ { 1 } \, x _ { 2 } ^ { \prime } \, , } } \\ { { c ^ { - 1 } \, x _ { 1 } ^ { \prime } \, d x _ { 2 } = R \, d x _ { 1 } \, x _ { 2 } ^ { \prime } + \lambda \, x _ { 1 } \, d x _ { 2 } ^ { \prime } \, , } } \\ { { R \, d x _ { 1 } ^ { \prime } \, x _ { 2 } = c \, x _ { 1 } \, d x _ { 2 } ^ { \prime } \, , } } \\ { { R \, d x _ { 1 } ^ { \prime } \, d x _ { 2 } = - c \, d x _ { 1 } \, d x _ { 2 } ^ { \prime } \, . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \beta ( x ) \phi ^ { \prime } ( n ^ { + } / \varepsilon ) 1 _ { \{ \arg x \in [ \alpha , \alpha + \frac { \pi } { 2 } ] \} } \textrm { d } x = - \int _ { 0 } ^ { + \infty } \beta ( \tau ^ { + } , 0 ) \textrm { d } \tau ^ { + } , } \end{array}
\delta _ { p i t m a n } = \sum _ { k = 1 } ^ { n } { x _ { k } \left[ { \frac { { \mathrm { R e } } \{ w _ { k } \} } { \sum _ { m = 1 } ^ { n } { { \mathrm { R e } } \{ w _ { k } \} } } } \right] } , \qquad n > 1 ,
\begin{array} { r l r } { | \mathrm { P o r t \ 4 ^ { \prime } } \rangle } & { { } = } & { \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 2 } } , \pi / 2 ) \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 1 } } , \delta \phi _ { \mathrm { p } } ) | \mathrm { P o r t \ 4 } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { L ( \boldsymbol { \theta } ; \lambda , K ) } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left\{ y _ { i } \exp \left( - \int _ { 0 } ^ { 1 } x _ { i } ( t ) \boldsymbol { B } ^ { T } ( t ) \boldsymbol { \theta } \mathrm { d } t \right) + y _ { i } ^ { - 1 } \exp \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } x _ { i } ( t ) \boldsymbol { B } ^ { T } ( t ) \boldsymbol { \theta } \mathrm { d } t \right) - 2 \right\} } \\ & { + \frac { \lambda } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\{ \left( \boldsymbol { B } ^ { ( q ) } ( t ) \right) ^ { T } \boldsymbol { \theta } \right\} ^ { 2 } \mathrm { d } t , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { 1 } } & { = } & { \sqrt { 1 - R ^ { 2 } ( x _ { a } , X _ { \mathit { A } _ { - a } } ) } \theta _ { a } ^ { 0 } \| x _ { a } \| _ { 2 } } \\ { \Delta _ { 2 } } & { = } & { \| Y - X _ { \mathit { A } } \theta _ { \mathit { A } } ^ { 0 } \| _ { 2 } R ( Y - X _ { \mathit { A } } \theta _ { \mathit { A } } ^ { 0 } , ( I - P _ { \mathit { A } _ { - a } } ) x _ { a } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { q _ { r } ^ { \pm } = \sqrt { \frac { - \left( 2 \beta \sigma \chi + ( 3 \beta + \sigma ) ^ { 2 } \right) \pm \sqrt { \left( 2 \beta \sigma \chi + ( 3 \beta + \sigma ) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 \beta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } w ^ { 2 } ( 3 \beta + \sigma ) / D } } { 2 \beta \sigma w ^ { 2 } } } \; . } \end{array}
\Big ( \frac { R _ { m p } } { R _ { p } } \Big ) = \Big [ \frac { k _ { m } ^ { 2 } ( \frac { B _ { p } } { B _ { s w } } ) ^ { 2 } } { 1 + \frac { C } { B _ { p } ^ { 2 } } ( \frac { B _ { p } } { B _ { s w } } ) ^ { 2 } } \Big ] ^ { 1 / 6 } \thinspace ,
\{ \Gamma _ { + } ^ { - 1 } , C _ { 3 } \} = C + \frac { 1 } { 2 } \frac { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } { 1 + \mu \alpha k } C U _ { 3 } ^ { - 1 } Y Y ^ { \mathrm { T } } C U _ { 3 } ^ { - 1 } .
u ( \mathbf { p , } i ) \simeq \left( 1 + \frac { \mathbf { p } ^ { 2 } } { 8 m ^ { 2 } } \right) \left[ \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { \frac { ( \overrightarrow { \mathbf { \sigma } } \mathbf { \cdot p } ) } { 2 m } } } \end{array} \right] \varphi _ { i } = \left[ \begin{array} { c } { { \left( 1 + \frac { \mathbf { p } ^ { 2 } } { 8 m ^ { 2 } } \right) } } \\ { { \frac { ( \overrightarrow { \mathbf { \sigma } } \mathbf { \cdot p } ) } { 2 m } } } \end{array} \right] \varphi _ { i }
\begin{array} { r l } { \phi ( k , i \omega _ { n } ) = } & { { } \frac { 1 } { \beta } \sum _ { k ^ { \prime } , n ^ { \prime } } \Bigl [ \frac { \lambda ( k , k ^ { \prime } ; i \omega _ { n } - i \omega _ { n ^ { \prime } } ) } { N ( 0 ) } } \end{array}
( q ^ { 2 t _ { j } } - 1 ) \left\langle \lambda _ { j } ^ { \vee } , ( \sigma _ { q } ) ^ { x } \gamma _ { i } \right\rangle = ( q ^ { 2 t _ { i } } - 1 ) \, \left\langle \lambda _ { i } ^ { \vee } , ( \sigma _ { q } ) ^ { x } \gamma _ { j } \right\rangle \, \, .
\begin{array} { r l } { ( \mu , \gamma ) = \bigg ( } & { e ^ { \nu t \partial _ { y y } } \mu _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { ( \nu \partial _ { y y } ) ( t - t ^ { \prime } ) } G ( \gamma ) \ d t ^ { \prime } , } \\ & { e ^ { \tilde { D } ^ { 2 } t } \left. \gamma _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { \tilde { D } ^ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } F ( \mu , \gamma ) \ d t ^ { \prime } \right) } \end{array}
\delta \xi _ { \mu } = \epsilon _ { \mu } , \qquad \delta x _ { \mu } = 2 i \epsilon _ { \mu \nu \lambda } \epsilon ^ { \nu } \cdot \int _ { \tau _ { i } } ^ { \tau } v ( \tau ^ { \prime } ) \xi ^ { \lambda } ( \tau ^ { \prime } ) d \tau ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { a _ { I P } ( \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { v } _ { h } ) } } \\ & { } & { : = ( \kappa \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { v } _ { h } ) _ { \mathcal { T } _ { h } } + ( \mu \nabla \times \boldsymbol { u } _ { h } , \nabla \times \boldsymbol { v } _ { h } ) _ { \mathcal { T } _ { h } } - < \{ \{ \mu \nabla \times \boldsymbol { v } _ { h } \} \} , [ [ \boldsymbol { u } _ { h } ] ] > _ { \mathcal { F } _ { h } } } \\ & { } & { \quad - < \{ \{ \mu \nabla \times \boldsymbol { u } _ { h } \} \} , [ [ \boldsymbol { v } _ { h } ] ] > _ { \mathcal { F } _ { h } } + \alpha h _ { f } ^ { - 1 } < [ [ \boldsymbol { u } _ { h } ] ] , [ [ \boldsymbol { v } _ { h } ] ] > _ { \mathcal { F } _ { h } } } \\ & { } & { = ( \boldsymbol { f } , \boldsymbol { v } _ { h } ) _ { \mathcal { T } _ { h } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d r } \left( \frac { r D V } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right) ( V - V _ { I } ) = - \frac { 4 A _ { 1 } ^ { 2 } n ^ { 2 } r ( R ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) } { ( n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \left[ \begin{array} { l l l } { { \underline { { 2 } } } } & { { \underline { { 3 } } } } & { { \underline { { 4 } } } } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { { \underline { { 1 0 0 0 } } } } \\ { 1 } & { { \underline { { 1 0 0 } } } } \\ { 0 } & { { \underline { { 1 0 } } } } \end{array} \right] } } & { { } = { \left[ \begin{array} { l l } { 3 } & { { \underline { { 2 3 4 0 } } } } \\ { 0 } & { 1 0 0 0 } \end{array} \right] } . } \end{array}
\omega ^ { I \pm } = \omega _ { ( 0 ) \alpha \beta } ^ { I \pm } d X ^ { \alpha } \wedge d X ^ { \beta } + \omega _ { ( 0 ) a b } ^ { I \pm } d \Phi ^ { a } \wedge d \Phi ^ { b } + \mathrm { s m a l l ~ c o r r e c t i o n s }
\begin{array} { r } { E ^ { \prime \prime } = \displaystyle \sum _ { \rho = 0 } ^ { n ^ { \prime } - 2 } \left( \prod _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { b ^ { \prime } } \omega _ { q _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } } ^ { \left( d _ { j ^ { \prime } } \left( \rho + 1 \right) _ { j ^ { \prime } } - d _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } ( \rho _ { j ^ { \prime } } ) \right) } \right) . } \end{array}
G _ { \beta } ^ { B } ( \mathrm { \bf r } _ { 2 } , \mathrm { \bf r } _ { 1 } ) = { \frac { m \omega _ { c } } { \pi } } e ^ { - \beta \omega _ { c } } \exp \left( - { \frac { m \omega _ { c } r _ { 2 1 } ^ { 2 } } { 2 } } - i { \frac { r _ { 2 } \wedge r _ { 1 } } { 2 } } \right) .
\left\{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \substack { x , z _ { 1 } , \ldots , z _ { s } } } } & { f ( x ) } \\ { \mathit { s . t . } } & { \nabla _ { u } h ( x , z _ { j } ) p _ { j } ( x , z _ { j } ) = \nabla _ { u } g _ { j } ( x , z _ { j } ) , } \\ & { 0 \le h ( x , z _ { j } ) \perp p _ { j } ( x , z _ { j } ) \ge 0 , } \\ & { x \in X . } \end{array} \right.
i \frac { \partial } { \partial t } \psi _ { 1 } ( x , t ) = - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { \mu } } { \partial | x | ^ { \mu } } \psi _ { 1 } ( x , t ) + \gamma e ^ { i \omega t } \psi _ { 2 } ( x , t ) ,
\mathcal { L } _ { \mathcal { M } } ( \hat { \boldsymbol { u } } , \boldsymbol { u } _ { \mathcal { M } } ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathcal { T } } \int _ { \Omega } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathcal { M } } } \biggl ( \hat { u } ( \boldsymbol { x } , t ; \boldsymbol { m } ) - u _ { \mathcal { M } } ( \boldsymbol { x } _ { i } , t ) \biggr ) ^ { 2 } \delta ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x } _ { i } ) d \Omega d \mathcal { T } .
E ( \epsilon ) = \left\{ \begin{array} { l l } { E ^ { * } / k , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \epsilon < \epsilon _ { \mathrm { f } } ^ { ( c ) } , } \\ { E ^ { * } { \, \, \, \, \, \, } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \epsilon _ { \mathrm { f } } ^ { ( c ) } \leq \epsilon \leq \epsilon _ { \mathrm { f } } ^ { ( t ) } , } \\ { E ^ { * } / k , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \epsilon > \epsilon _ { \mathrm { f } } ^ { ( t ) } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \tilde { \sigma } _ { r r } } & { { } = \frac { 3 \nu } { 1 + \nu } \epsilon _ { k k } + \frac { 3 ( 1 - 2 \nu ) } { 1 + \nu } \epsilon _ { r r } - \frac { b M } { K } \tilde { p } , } \\ { \tilde { \sigma } _ { \theta \theta } } & { { } = \frac { 3 \nu } { 1 + \nu } \epsilon _ { k k } + \frac { 3 ( 1 - 2 \nu ) } { 1 + \nu } \epsilon _ { \theta \theta } - \frac { b M } { K } \tilde { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } ( x , w ) } & { { } = - \frac { 1 } { 4 \pi } \iint _ { \mathcal { S } _ { p } } \frac { w - u } { \left( \left( x - v \right) ^ { 2 } + \left( w - u \right) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \mathrm { d } u \mathrm { d } v } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { T r } ( X \left( \mathcal { T } _ { \pi _ { B } , \pi _ { A } } \mathcal { L } ^ { * } \right) ( Y ) ) } \\ & { = \int _ { G } \mathrm { ~ T r } ( X \pi _ { A } ( x ) ^ { * } \mathcal { L } ^ { * } ( \pi _ { B } ( x ) Y \pi _ { B } ( x ) ^ { * } ) \pi _ { A } ( x ) ) d x } \\ & { = \int _ { G } \mathrm { ~ T r } ( \pi _ { B } ( x ) ^ { * } \mathcal { L } ( \pi _ { A } ( x ) X \pi _ { A } ( x ) ^ { * } ) \pi _ { B } ( x ) \, Y ) d x } \\ & { = \mathrm { T r } ( \left( \mathcal { T } _ { \pi _ { A } , \pi _ { B } } \mathcal { L } \right) ( X ) \, Y ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( T _ { S m , S m } ^ { - , - } ) _ { \mathrm { ~ C ~ h ~ a ~ n ~ n ~ e ~ l ~ 1 ~ } } \cong \frac { 1 } { \varphi _ { z , \mathrm { ~ O ~ U ~ T ~ } } ^ { 3 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { S } _ { k + 1 } = \frac { \mathbf { s } _ { i , k + 1 } - \overline { { \mathbf { s } _ { k + 1 } } } } { \sqrt { N _ { e } - 1 } } \; , \qquad \overline { { \mathbf { s } _ { k + 1 } } } = \frac { 1 } { N _ { e } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { e } } \mathbf { s } _ { i , k + 1 } } \\ { \mathbf { E } _ { k + 1 } = \frac { \mathbf { e } _ { i , k + 1 } - \overline { { \mathbf { e } _ { k + 1 } } } } { \sqrt { N _ { e } - 1 } } \; , \qquad \overline { { \mathbf { e } _ { k + 1 } } } = \frac { 1 } { N _ { e } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { e } } \mathbf { e } _ { i , k + 1 } } \\ { \mathbf { K } _ { k + 1 } = \mathbf { X } _ { k + 1 } ^ { f } ( \mathbf { S } _ { k + 1 } ^ { f } ) ^ { T } \left[ \mathbf { S } _ { k + 1 } ^ { f } ( \mathbf { S } _ { k + 1 } ^ { f } ) ^ { T } + \mathbf { E } _ { k + 1 } ( \mathbf { E } _ { k + 1 } ) ^ { T } \right] ^ { - 1 } } \end{array}
u _ { S } ^ { + } \left( z ^ { + } , t ^ { + } \right) = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left[ \widetilde { H } _ { L } \left( z ^ { + } , f ^ { + } \right) \mathcal { F } \left[ u _ { O } ^ { + } \left( t ^ { + } \right) \right] \right] ,
\begin{array} { r l } { R ( \theta , t ) } & { { } = S ( t ) \sum _ { n = 1 } ^ { N } { I _ { 0 } e ^ { - \alpha ( n - 1 ) p } e } ^ { j k _ { q } ( n - 1 ) p c o s \theta } U _ { n } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { \tilde { r } } + \mathbf { 1 } _ { i } ) ^ { ( m ) } = } & { { } \tilde { r } _ { i } ( \mathbf { \tilde { r } } - \mathbf { 1 } _ { i } ) ^ { ( m + 1 ) } + ( P _ { i } - C _ { i } ) ( \mathbf { \tilde { r } } ) ^ { ( m + 1 ) } , } \end{array}
\mathcal { L } ( \boldsymbol { \theta } _ { m } ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { U B } \sum _ { b = 1 } ^ { B } \sum _ { u = 1 } ^ { U } \left[ \operatorname* { m i n } \left( r _ { \boldsymbol { \theta } _ { m } ^ { \prime } , u } ^ { b } A _ { u } ^ { b } , \operatorname { c l i p } \left( r _ { \boldsymbol { \theta } _ { m } ^ { \prime } , u } ^ { b } , 1 - \epsilon , 1 + \epsilon \right) A _ { u } ^ { b } \right) + \sigma E \left[ \pi _ { \boldsymbol { \theta } _ { m } ^ { \prime } } \left( s _ { u } ^ { b } \right) \right) \right]
\begin{array} { r } { \langle \phi ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \phi ( \mathbf { r } _ { 2 } ) \rangle = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } d ^ { 2 } \boldsymbol { \kappa } \Phi _ { \phi } ( \boldsymbol { \kappa } ) e ^ { i \boldsymbol { \kappa } \cdot ( \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { 2 } ) } , } \end{array}
d s ^ { 2 } = H ^ { - 2 \frac { D - 2 - q } { q ( D - 2 ) } } \eta _ { \mu \nu } d y ^ { \mu } d y ^ { \nu } + H ^ { \frac { 2 } { D - 2 } } [ d z ^ { m } d z ^ { m } + d x ^ { \alpha } d x ^ { \alpha } ] ,
R _ { \mathrm { ~ g ~ e ~ n ~ } } ^ { \mathrm { ~ h ~ e ~ t ~ } } \geq \frac { n p _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } } { N } \left[ R _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ , ~ h ~ e ~ t ~ } } ^ { ( k ) } - \frac { \Delta _ { \mathrm { ~ a ~ e ~ p ~ } } } { \sqrt { n } } + \frac { \Theta - \Phi _ { n } } { n } \right] ,
\mathbb { A } _ { n } ( \tau ) = \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathbb { A } ( s ) \cdot \mathbb { A } _ { n - 1 } ( s ) d s : = \left[ \begin{array} { c c } { \mathbb { A } _ { n } ^ { 1 1 } ( \tau ) } & { \mathbb { A } _ { n } ^ { 1 2 } ( \tau ) } \\ { \mathbb { A } _ { n } ^ { 2 1 } ( \tau ) } & { \mathbb { A } _ { n } ^ { 2 2 } ( \tau ) } \end{array} \right] , \quad \mathbb { A } _ { 1 } ( \tau ) = \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathbb { A } ( s ) d s , \quad n \in \mathbb { N } .
S = \int \left[ - \frac { 1 } { 4 } t r F ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \xi } t r ( \partial ^ { \mu } A _ { \mu } ) ^ { 2 } - i t r ( \partial ^ { \mu } \bar { C } ) ( \nabla _ { \mu } C ) \right] .
\begin{array} { r l } & { v _ { 1 } ^ { A } ( t + h ) - v _ { 1 } ^ { A } ( t ) = ( \lambda _ { 1 } ^ { A } ) ^ { - 1 } \int _ { K } [ A ( s , t + h ) - A ( s , t ) ] v _ { 1 } ^ { A } ( s ) d s } \\ { \le } & { ( \lambda _ { 1 } ^ { A } ) ^ { - 1 } \Big \{ \int _ { K } [ A ( s , t + h ) - A ( s , t ) ] ^ { 2 } d s \Big \} ^ { 1 / 2 } \le \kappa \operatorname* { s u p } _ { t } | A ( s , t + h ) - A ( s , t ) | = o ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \dot { \rho } _ { g g } = - i \left[ \frac { \Omega _ { e g } } { 2 } \left( \rho _ { g e } - \rho _ { e g } \right) + \frac { \Omega _ { p g } } { 2 } \left( \rho _ { p g } - \rho _ { g p } \right) \right] + \Gamma _ { e e } \rho _ { e e } + \Gamma _ { p p } \rho _ { p p } } \\ & { \dot { \rho } _ { e e } = - i \left[ \frac { \Omega _ { e g } } { 2 } \left( \rho _ { e g } - \rho _ { g e } \right) + \frac { \Omega _ { c } } { 2 } \left( \rho _ { p g } - \rho _ { g p } \right) \right] - \Gamma _ { e e } \rho _ { e e } } \\ & { \dot { \rho } _ { p p } = - i \left[ \frac { \Omega _ { p g } } { 2 } \left( \rho _ { g p } - \rho _ { p g } \right) + \frac { \Omega _ { c } } { 2 } \left( \rho _ { e p } - \rho _ { p e } \right) \right] - \Gamma _ { p p } \rho _ { p p } } \\ & { \dot { \rho } _ { g e } = - i \left[ \frac { \Omega _ { e g } } { 2 } ( \rho _ { e e } - \rho _ { g g } ) - \Delta _ { e g } \rho _ { g e } + \frac { \Omega _ { p g } } { 2 } \rho _ { p e } - \frac { \Omega _ { c } } { 2 } \rho _ { g p } \right] - \frac { \Gamma _ { e g } \rho _ { g e } } { 2 } } \\ & { \dot { \rho } _ { g p } = - i \left[ \frac { \Omega _ { p g } } { 2 } \left( \rho _ { p p } - \rho _ { g g } \right) + \frac { \Omega _ { e g } } { 2 } \rho _ { e p } - \frac { \Omega _ { c } } { 2 } \rho _ { g e } - \Delta _ { p g } \rho _ { g p } \right] - \frac { \Gamma _ { p g } \rho _ { g p } } { 2 } } \\ & { \dot { \rho } _ { e p } = - i \left[ \frac { \Omega _ { e g } } { 2 } \rho _ { g p } - \frac { \Omega _ { p g } } { 2 } \rho _ { e g } + \Delta _ { e g } \rho _ { e p } + \frac { \Omega _ { c } } { 2 } \left( \rho _ { p p } - \rho _ { e e } \right) - \Delta _ { p g } \rho _ { e p } \right] } \end{array} .
\nu ^ { 0 } = \frac { 1 } { T t } \int \frac { d \phi } { { ( 2 \pi ) } ^ { 3 } } \int p ^ { 3 } ~ ( f _ { q } { \bar { f } _ { q } } \tau _ { c } ^ { q } - f _ { \bar { q } } { \bar { f } _ { \bar { q } } } \tau _ { c } ^ { \bar { q } } ) ~ d p ~ \int d \theta ~ ( c o s ^ { 2 } \theta - \gamma ) s i n \theta .
\begin{array} { r l } { \dot { W } ( x , u ) } & { = \nabla _ { 1 } W ( x , u ) p ( x , u ) + \nabla _ { 2 } W ( x , u ) \dot { u } } \\ & { \stackrel { ( a ) } { \leq } - c _ { 3 } \left\| x - h ( u ) \right\| ^ { 2 } + \nabla _ { 2 } W ( x , u ) \dot { u } } \\ & { \stackrel { ( b ) } { \leq } - c _ { 3 } \left\| x - h ( u ) \right\| ^ { 2 } + c _ { 5 } \left\| x - h ( u ) \right\| \left\| \dot { u } \right\| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } - \ell - 1 } { m _ { 2 } } } { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { m _ { 2 } } } } & { = \frac { m _ { 1 } ! \cdot ( m _ { 1 } + m _ { 2 } - \ell - 1 ) ! } { ( m _ { 1 } - \ell - 1 ) ! \cdot ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ! } } \\ & { = e ^ { - \frac { \ell m _ { 2 } } { m _ { 1 } } } \cdot \Big ( 1 + \mathcal { O } \big ( \textstyle { \frac { \ell m _ { 2 } ^ { 2 } } { m _ { 1 } ^ { 2 } } } \big ) + \mathcal { O } \big ( \textstyle { \frac { \ell ^ { 2 } m _ { 2 } } { m _ { 1 } ^ { 2 } } } \big ) + \mathcal { O } \big ( \textstyle { \frac { \ell } { m _ { 1 } } } \big ) + \mathcal { O } \big ( \textstyle { \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } } } \big ) \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } = \, } & { 1 0 8 a ^ { 2 } d ^ { 2 } - 1 0 8 a b c d + 2 7 a c ^ { 3 } + 3 2 b ^ { 3 } d - 9 b ^ { 2 } c ^ { 2 } , } \\ { R _ { 2 } = \, } & { 1 0 8 K ^ { 3 } a ^ { 2 } d ^ { 2 } - 1 0 8 K ^ { 3 } a b c d + 2 7 K ^ { 3 } a c ^ { 3 } + 3 2 K ^ { 3 } b ^ { 3 } d - 9 K ^ { 3 } b ^ { 2 } c ^ { 2 } - 2 4 K b d + 9 K c ^ { 2 } - 8 d . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \phi + \mathrm { d i v } ( \phi \, { \bf u } ) = 0 , } \\ & { \partial _ { t } ( ( 1 - \phi ) p _ { f } ) + \mathrm { d i v } ( ( 1 - \phi ) p _ { f } { \bf u } ) + p _ { \mathrm { a t m } } \mathrm { d i v } \, { \bf u } = p _ { \mathrm { a t m } } \mathrm { d i v } ( \kappa ( \phi ) \nabla p _ { f } ) , } \\ & { \phi \rho _ { s } \big ( \partial _ { t } { \bf u } + { \bf u } \boldsymbol { \cdot } \nabla { \bf u } \big ) = \phi \rho _ { s } { \bf g } - \nabla p + \mathrm { d i v } \Big ( Z ( \phi , I ) p \frac { \S } { | \mathrm { \bf S } | } \Big ) - \nabla p _ { f } , } \\ & { \mathrm { d i v } \, { \bf u } = 2 | \mathrm { \bf S } | f ( \phi , p , I ) . } \end{array}
I _ { \mathrm { R a m a n } , s } = \operatorname { c o n s t } \, \left( \omega _ { L } - \omega _ { s } \right) ^ { 4 } \frac { \hbar } { 2 \omega _ { s } } \left| \hat { e } _ { i } \, \frac { \partial \alpha _ { s } } { \partial Q _ { s } } \, \hat { e } _ { j } \right| ^ { 2 } \left( 1 + \bar { n } _ { s } \right) ,
\boldsymbol { P } ^ { \prime } = x ^ { \prime } ( \xi ) \boldsymbol { e } _ { 1 } + y ^ { \prime } ( \xi ) \boldsymbol { e } _ { 2 } , \qquad \boldsymbol { t } = \frac { \boldsymbol { P } ^ { \prime } } { | \boldsymbol { P } ^ { \prime } | } , \qquad \boldsymbol { n } = \frac { \boldsymbol { t } ^ { \prime } } { | \boldsymbol { t } ^ { \prime } | } ,
\begin{array} { r } { y ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) = b + \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } = 0 } ^ { r } \boldsymbol { K } ( j _ { 1 } , j _ { 2 } ) u ( i _ { 1 } - j _ { 1 } , i _ { 2 } - j _ { 2 } ) = b + \boldsymbol { C } _ { 1 } x _ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) + \boldsymbol { C } _ { 2 } x _ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) + \boldsymbol { D } u ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) . } \end{array}
\Gamma _ { \mu \, \nu } ^ { X \, Y } ( k ) = { \Gamma _ { 0 } } _ { \mu \, \nu } ^ { X \, Y } ( k ) + \Sigma ^ { X \, Y } ( k ) g _ { \mu \, \nu } + R ^ { X \, Y } ( k ) k _ { \mu } k _ { \nu } \, \, .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \mathscr { e } } _ { 1 } \left[ X \right] } & { = \cos \left[ \breve { \theta } \left[ X \right] \right] \boldsymbol { \mathscr { x } } _ { 1 } + \sin \left[ \breve { \theta } \left[ X \right] \right] \boldsymbol { \mathscr { x } } _ { 2 } , } \\ { \boldsymbol { \mathscr { e } } _ { 2 } \left[ X \right] } & { = - \sin \left[ \breve { \theta } \left[ X \right] \right] \boldsymbol { \mathscr { x } } _ { 1 } + \cos \left[ \breve { \theta } \left[ X \right] \right] \boldsymbol { \mathscr { x } } _ { 2 } , } \\ { \boldsymbol { \mathscr { e } } _ { 3 } \left[ X \right] } & { = \boldsymbol { \mathscr { x } } _ { 3 } . } \end{array}
| \mathcal { B } ^ { \prime } ( z _ { n } ) | \geq \left| \sum _ { j = 0 , 1 } \frac { 1 - | a _ { j } | ^ { 2 } } { ( 1 - \overline { { a _ { j } } } z _ { n } ) ^ { 2 } } \cdot \left( \frac { z _ { n } - a _ { j } } { 1 - \overline { { a _ { j } } } z _ { n } } \right) ^ { - 1 } \right| - \sum _ { j = 2 } ^ { n - 1 } P ( z _ { n } , a _ { j } ) \gtrsim n .
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { \varphi ( n ) } { \sqrt { n } } } g ( \log n ) = { \frac { 6 } { \pi ^ { 2 } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x \, g ( x ) e ^ { 3 x / 2 } + \sum _ { \rho } { \frac { h ( \gamma ) \zeta ( \rho - 1 ) } { \zeta ^ { \prime } ( \rho ) } } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { \zeta ( - 2 n - 1 ) } { \zeta ^ { \prime } ( - 2 n ) } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x \, g ( x ) e ^ { - x ( 2 n + 1 / 2 ) } .
\frac { \Phi _ { u u } ( k _ { x } , y ; \delta _ { \nu } ) } { u _ { \tau } ^ { 2 } } = \frac { \delta _ { \nu } \Phi _ { u u } ( k _ { x } ^ { + } , y ^ { + } ) } { u _ { \tau } ^ { 2 } } = \delta g _ { 2 } ( k _ { x } \delta , y ^ { + } ) .
\hat { C } = - i _ { y } C + ( d \hat { z } + i _ { y } B _ { 2 } ) \wedge \left( C ^ { ( - ) } - i _ { y } C \wedge \, { \frac { { E } ^ { { * } ( - ) } } { i _ { y } { E } ^ { { * } } } } \, \right) \,
\operatorname* { d e t } \left[ \begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } \ \ \ \ \ \ b _ { 0 } \ \ \ \ \ \lambda _ { 0 } \ \ \ \ \ 0 } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } x _ { 2 } } \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ 1 \ \ \ \ \ \ 0 } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } \ \ \ \ \ \ d _ { 0 } \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \lambda _ { 0 } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } x _ { 2 } } \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ 1 } \end{array} \right] ( { x _ { 0 } } ) \ne 0
\begin{array} { r l r } { C _ { v e } } & { { } = } & { \frac { 1 } { S } \int \mathrm { d } x \mathrm { d } y C _ { v } ( x , y ) } \\ { k _ { x e } } & { { } = } & { \frac { 1 } { D _ { y } } \int \mathrm { d } y \left[ \frac { 1 } { D _ { x } } \int \mathrm { d } x \frac { 1 } { k _ { x } ( x , y ) } \right] ^ { - 1 } } \\ { k _ { y e } } & { { } = } & { \frac { 1 } { D _ { x } } \int \mathrm { d } x \left[ \frac { 1 } { D _ { y } } \int \mathrm { d } y \frac { 1 } { k _ { y } ( x , y ) } \right] ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigotimes _ { i = 1 } ^ { n } \alpha _ { i } \triangleq } & { \alpha _ { 1 } \otimes _ { _ { T } } \alpha _ { 2 } \otimes _ { _ { T } } \cdots \otimes _ { _ { T } } \alpha _ { n } } \\ { = } & { \Bigg \langle \tau ^ { - 1 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \tau \left( \mu _ { \alpha _ { i } } \right) \right) , \tau ^ { - 1 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \tau \left( \eta _ { \alpha _ { i } } \! + \mu _ { \alpha _ { i } } \right) \right) } \\ & { \quad \! - \tau ^ { - 1 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \tau \left( \mu _ { \alpha _ { i } } \right) \right) , \zeta ^ { - 1 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \zeta \left( \nu _ { \alpha _ { i } } \right) \right) \Bigg \rangle . } \end{array}
H _ { T } = N \mathcal { H } _ { 0 } = N ( \frac { 1 } { 2 m } p _ { x } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 m } p _ { y } ^ { 2 } + \frac { k _ { x } } { 2 } x ^ { 2 } + \frac { k _ { y } } { 2 } y ^ { 2 } - E ) \, ,