harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Theta _ { 1 } } & { = \left( \begin{array} { l l } { F ^ { \top } P + P F + 2 \delta P + \epsilon S _ { 1 , N } E _ { 1 } ^ { \top } E _ { 1 } } & { P \mathcal { L } } \\ { \mathcal { L } ^ { \top } P } & { - \eta I } \end{array} \right) + \epsilon S _ { 2 , N } E _ { 2 } ^ { \top } E _ { 2 } , } \\ { \Psi _ { n } } & { = \left[ - 2 \left( 1 - \frac { N _ { 0 } ^ { 2 } } { \epsilon } \right) + \eta S _ { \varphi , N } \right] \lambda _ { n } + \left[ \frac { 2 N _ { 0 } ^ { 2 } } { \epsilon } + \eta S _ { \varphi , N } \right] \nu + 2 \delta , \quad n \geq N + 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { F e } + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { O } _ { 2 } } & { { } = \mathrm { F e O } , } \\ { \mathrm { F e O } + \frac { 1 } { 4 } \mathrm { O } _ { 2 } } & { { } = \mathrm { F e O } _ { 1 . 5 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { 1 } = - \frac { 3 F h _ { \mathrm { i } } ( L + a ) } { E _ { \mathrm { i } } b ( L - a ) ^ { 3 } } } \\ { C _ { 2 } = \frac { 2 F h _ { \mathrm { i } } ( L ^ { 2 } + a ^ { 2 } + L a ) } { E _ { \mathrm { i } } b ( L - a ) ^ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \| A w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { { } \geq \delta \| ( \nabla w ) \varphi ^ { 1 / 2 } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } - C \Big ( \delta ^ { 2 } + \delta \mathsf { m } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \Big ) \| w \varphi ^ { 3 / 2 } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } - C \lambda \delta \| \nabla \varphi _ { 0 } \cdot \nabla w \| _ { L ^ { 2 } } \| w \varphi \| _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { C } _ { \chi } ^ { 1 / 2 } } & { { } : = \hat { C } _ { \chi } \frac { c _ { P } } { a _ { 0 } \Delta } \frac { \| \vec { u } \| _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } { \| \nabla s \| _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } , } \\ { { C } _ { \mu } ^ { 0 } } & { { } : = \hat { C } _ { \mu } \frac { \rho _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } | ( \epsilon : \epsilon ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } | _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } { \big [ \rho | \nabla \cdot \vec { u } | H ( - \nabla \cdot \vec { u } ) \big ] _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } , } \\ { { C } _ { \beta } ^ { 0 } } & { { } : = \frac { \hat { C } _ { \beta } } { \Delta } \frac { \rho _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \| \vec { u } \| _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } { \big [ \rho | \nabla \cdot \vec { u } | H ( - \nabla \cdot \vec { u } ) \big ] _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } , } \\ { { C } _ { k } ^ { 1 / 2 } } & { { } : = \frac { \hat { C } _ { k } } { a _ { 0 } \Delta } \frac { R \rho _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \| \vec { u } \| _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } { ( \gamma - 1 ) \big [ ( \rho / T ) \| \nabla e \| \big ] _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } . } \end{array}
F ^ { G } \times F ^ { G } = \left( \begin{array} { l l l } { 2 } & { 1 } & { \bar { \omega } } \\ { 1 } & { 2 } & { \bar { \omega } } \\ { \omega } & { \omega } & { 2 } \end{array} \right) = F ^ { A } + F ^ { B } + F ^ { G }
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { A } = \mathbf { L D L } ^ { \mathrm { T } } } & { = { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { L _ { 2 1 } } & { 1 } & { 0 } \\ { L _ { 3 1 } } & { L _ { 3 2 } } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { D _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { D _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { D _ { 3 } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { L _ { 2 1 } } & { L _ { 3 1 } } \\ { 0 } & { 1 } & { L _ { 3 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } } \\ & { = { \left( \begin{array} { l l l } { D _ { 1 } } & & { ( \mathrm { s y m m e t r i c } ) } \\ { L _ { 2 1 } D _ { 1 } } & { L _ { 2 1 } ^ { 2 } D _ { 1 } + D _ { 2 } } & \\ { L _ { 3 1 } D _ { 1 } } & { L _ { 3 1 } L _ { 2 1 } D _ { 1 } + L _ { 3 2 } D _ { 2 } } & { L _ { 3 1 } ^ { 2 } D _ { 1 } + L _ { 3 2 } ^ { 2 } D _ { 2 } + D _ { 3 } . } \end{array} \right) } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } P _ { \mathbf { a } } ( t , x ) - \nabla \cdot \mathbf { a } \nabla P _ { \mathbf { a } } ( t , x ) } & { = 0 } & { ~ ~ \mathrm { f o r } } & { ~ ~ ( t , x ) \in ( 0 , \infty ) \times \ensuremath { \mathbb { Z } ^ { d } } , } \\ { P _ { \mathbf { a } } ( 0 , x ) } & { = \delta _ { 0 } ( x ) - \frac { 1 } { \left| \mathbb { T } _ { L } \right| } } & { ~ ~ \mathrm { f o r } } & { ~ ~ x \in \mathbb { T } _ { L } , } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { M _ { \mu } } } & { { = } } & { { \langle M _ { p } ( v ^ { \prime } ) | J _ { \mu } ^ { V - A } | M _ { s } ( v ) \rangle } } \\ { { } } & { { = } } & { { \mathrm { T r } \{ \bar { \chi _ { \alpha } } ^ { \prime } \gamma _ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) \chi ( F _ { j } ( y ) v ^ { \alpha } + F _ { j } ^ { \prime } ( y ) \gamma ^ { \alpha } + F ^ { \prime \prime } ( y ) v ^ { ' \alpha } ) \} } } \end{array}
\theta _ { 2 } ^ { R ^ { r / l } } \stackrel { V _ { 1 } \rightarrow 0 } { \rightarrow } \frac { g } { 2 n Q ( \omega ) } \left[ \frac { 1 } { 2 } \bigg ( \frac { 1 } { n _ { 0 } } + \frac { n _ { 0 } } { n ^ { 2 } } \bigg ) \mp \frac { \omega } { c n ^ { 2 } } V _ { 2 } \bigg ( 1 \mp \frac { \omega } { 2 c n _ { 0 } } V _ { 2 } \bigg ) + \frac { R _ { 0 } ^ { r / l } } { Q ^ { r / l } ( \omega ) } \bigg ( \frac { \omega L } { c } \frac { \cot ( \frac { n \omega } { c } L ) } { \sin ^ { 2 } ( \frac { n \omega } { c } L ) } - \frac { n ^ { 2 } - ( n _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } V _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 4 n _ { 0 } ^ { 2 } n ^ { 3 } } \bigg ) \right] ,
\begin{array} { r l } { f _ { + } } & { = \! \! \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \frac { \lambda _ { k } { m _ { k } ^ { + } } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 1 } { N \beta } \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { N } \ln \! \left( 2 \cosh ( \beta h _ { i } ^ { + } ) \right) \! + \! \log ( p _ { + } ^ { + } + p _ { - } ^ { + } ) \! \right\} + \frac { 1 } { N } \sum _ { i < j , i , j , \in { \cal R } } J _ { i j } } \\ { f _ { - } } & { = \! \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \frac { \lambda _ { k } { m _ { k } ^ { - } } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 1 } { N \beta } \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { N } \ln \left( 2 \cosh ( \beta h _ { i } ^ { - } ) \right) + \ln \left( 1 - \left( p _ { + } ^ { - } + p _ { - } ^ { - } \right) \right) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { } & { \mathrm { d i s t } \left( 0 , \partial g ^ { * } ( y ^ { k } ) - K x ^ { k + 1 } \right) } \\ { \leq } & { \left\| K ( x ^ { k } - x ^ { k - 1 } ) + K ( x ^ { k } - x ^ { k + 1 } ) - M _ { 2 } ( y ^ { k } - y ^ { k - 1 } ) \right\| } \\ { \leq } & { \| K \| ( \| x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \| + \| x ^ { k } - x ^ { k + 1 } \| ) + \sqrt { \| M _ { 2 } \| } \| y ^ { k } - y ^ { k - 1 } \| _ { M _ { 2 } } , } \end{array}
\arctan ( x ) = 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { { \frac { 1 } { 2 n - 1 } } { \frac { { { a } _ { n } } \left( x \right) } { a _ { n } ^ { 2 } \left( x \right) + b _ { n } ^ { 2 } \left( x \right) } } } ,
Q _ { a } ^ { i } C _ { n } = \left. D _ { \alpha } ^ { i } ( D ) ^ { n } { \phi } \right| \ , \quad { \bar { Q } } _ { i { \dot { \alpha } } } C _ { n } = \left. D _ { i { \dot { \alpha } } } ( D ) ^ { n } { \phi } \right| \ ,
\hat { { \mathcal G } } _ { l + \nu } ( E ) \, \Psi _ { z , l + \nu } ( \kappa ) = \frac { 1 } { \left[ \eta _ { l + \nu } ( z ; \kappa ) \right] ^ { - 1 } - \lambda } \; \Psi _ { z , l + \nu } ( \kappa ) \; .
\begin{array} { l l l l l l l } { { \vec { P } } } & { { = } } & { { \vec { P } _ { \ell } } } & { { + } } & { { \vec { P } _ { Q } } } & { { } } & { { \vec { p } } } \\ { { \updownarrow } } & { { } } & { { \updownarrow } } & { { } } & { { \updownarrow } } & { { } } & { { \updownarrow } } \\ { { \vec { X } } } & { { } } & { { \vec { X } _ { \ell } } } & { { - } } & { { \vec { X } _ { Q } } } & { { = } } & { { \vec { x } } } \end{array} ,
V ( \Phi ) = - \frac { 1 } { 4 } m _ { 0 } ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } g _ { 0 } \Phi ^ { 4 } + \frac { 3 } { 8 } \frac { m _ { 0 } ^ { 4 } } { g _ { 0 } } = \frac { 1 } { 4 ! } g _ { 0 } \left( \Phi ^ { 2 } - v _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } & { \mu _ { m i x } \frac { d T _ { m i x } ^ { \prime } } { d t } = - \hat { \lambda } T _ { m i x } ^ { \prime } - \gamma ( T _ { m i x } ^ { \prime } - T _ { d e e p } ^ { \prime } ) + \Delta N ( t ) } \\ & { \mu _ { d e e p } \frac { d T _ { d e e p } ^ { \prime } } { d t } = \gamma ( T _ { m i x } ^ { \prime } - T _ { d e e p } ^ { \prime } ) } \end{array}
G _ { \parallel n } = \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \exp ( - x _ { \parallel } ^ { 2 } ) x _ { \parallel } ^ { n } d x _ { \parallel } = \frac { 1 + ( - 1 ) ^ { n } } { 2 \sqrt { \pi } } \Gamma _ { E } \left( \frac { 1 + n } { 2 } \right) ,
\dot { c } _ { s , \mathrm { t h e o } } = \frac { T _ { \mathrm { t h e o } } ( \alpha _ { 3 } \dot { c } _ { \mathrm { ~ o ~ } } - \alpha _ { 4 } k _ { \mathrm { ~ o ~ } } \dot { B } - \dot { B 0 } _ { \mathrm { ~ o ~ } } ) + \alpha _ { 2 } k _ { \mathrm { ~ s ~ } } \dot { B } + \dot { B 0 } _ { \mathrm { ~ s ~ } } } { \alpha _ { 1 } }
\begin{array} { r l r } { H _ { E \mathrm { g c } 1 } } & { { } = } & { q \, \Phi _ { 1 } \; + \; \mu _ { 0 } \, B _ { 0 } \; + \; \frac { B _ { 0 } } { \Omega _ { 0 } } \, q \, \Phi ^ { \prime } \; { \bf w } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \frac { \partial \bf x } { \partial \theta } \; - \; q \, \Phi ^ { \prime } \; G _ { 1 } ^ { \psi } } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( \boldsymbol { x } ) = \frac { 1 } { 5 1 . 9 5 } \left[ \left( \bar { x } _ { 2 } - \frac { 5 . 1 \bar { x } _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } + \frac { 5 \bar { x } _ { 1 } } { \pi } - 6 \right) ^ { 2 } + \left( 1 0 - \frac { 1 0 } { 8 \pi } \right) \cos \left( \bar { x } _ { 1 } \right) - 4 4 . 8 1 \right] } \end{array}
3 . 2 ^ { 1 / 3 } \frac { d } { d \tau } \Big [ ( \sinh ( 2 \tau ) - 2 \tau ) ^ { 2 / 3 } \frac { d f } { d \tau } \Big ] - ( k ^ { 2 } \epsilon ^ { 4 / 3 } ) \sinh ^ { 2 } ( \tau ) h ( \tau ) f = 0 .
\begin{array} { r l } { E _ { \theta } ( \Delta \theta ) } & { = \frac { 1 } { 2 } K _ { \theta } ( \Delta \theta ) ^ { 2 } + V _ { \mathrm { M o r s e } } ( \Delta \theta ) , } \\ { V _ { \mathrm { M o r s e } } ( \Delta \theta ) } & { = A \left[ e ^ { 2 \alpha ( \Delta \theta + 2 \theta _ { 0 } - 2 \theta _ { M } ) } - 2 e ^ { \alpha ( \Delta \theta + 2 \theta _ { 0 } - 2 \theta _ { M } ) } \right] } \\ & { + A \left[ e ^ { - 2 \alpha ( \Delta \theta + 2 \theta _ { 0 } + 2 \theta _ { M } ) } - 2 e ^ { - \alpha ( \Delta \theta + 2 \theta _ { 0 } + 2 \theta _ { M } ) } \right] , } \end{array}
{ } ^ { 2 } G _ { r _ { \kappa } s _ { \lambda } } ^ { p _ { \sigma } q _ { \tau } } = \langle \Psi | \hat { a } _ { p _ { \sigma } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { q _ { \tau } } \hat { a } _ { s _ { \lambda } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { r _ { \kappa } } | \Psi \rangle
\begin{array} { r l } { \omega ( x , t ) = } & { { } 1 _ { \{ x _ { 2 } = 0 \} } \sigma ( x _ { 1 } , t ) + \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } p _ { \nu } ( 0 , \eta , t , x ) \hat { \omega } ( \eta , 0 ) \mathrm { d } \eta } \end{array}
F _ { r i n t } ( | \Delta \varphi | / 2 ) + F _ { e x t } = F _ { r i n t } ( 0 ) = - 4 \psi ^ { 2 } f ^ { \prime } - { \frac { 1 } { 9 } } { \psi } ^ { 3 } f ^ { \prime \prime \prime } ,
e ^ { - i \hat { \mathcal { F } } \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } \hat { \mathcal { F } } ^ { \dagger } t } | \Psi _ { 0 } \rangle = \hat { \mathcal { F } } e ^ { - i \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } t } ( \hat { \mathcal { F } } ^ { \dagger } | \Psi _ { 0 } \rangle ) .
\frac { g _ { \mu \beta } \nabla _ { \alpha } g ^ { \mu \nu } \nabla _ { \nu } g ^ { \alpha \beta } } { 1 2 } - \frac { g _ { \nu \beta } \nabla _ { \mu } g ^ { \mu \nu } \nabla _ { \alpha } g ^ { \alpha \beta } } { 4 } ) ,
\left( \begin{array} { c c } { v _ { A } \lambda \sqrt { \rho \mu } } & { \omega + i \lambda ^ { 2 } \eta } \\ { \omega + i \lambda ^ { 2 } \nu } & { v _ { A } \lambda / \sqrt { \rho \mu } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \tilde { b } } \\ { \tilde { v } } \end{array} \right) = 0 ~ .
O ( \varepsilon ) : ( { \bf { I } } { \partial _ { t 1 } } + { { \bf { D } } _ { 1 } } ) { { \bf { m } } ^ { e q } } = - \frac { { \bf { S } } } { { \Delta t } } { { \bf { m } } ^ { ( 1 ) } } + { { \bf { \tilde { F } } } ^ { ( 1 ) } } ,
\begin{array} { r l } & { \ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } | \hat { s } ^ { \lambda } ( \tau , z ) - \phi ^ { \lambda } * \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , z ) | d z \, d \tau } \\ { \leq } & { \ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \Big ( | \hat { s } ^ { \lambda } ( \tau , z ) - \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , z ) | + | \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , z ) - \phi ^ { \lambda } * \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , z ) | \Big ) d z \, d \tau } \\ { \leq } & { \ \delta \, T + 2 | K _ { \lambda } | + C ^ { \prime } \, \lambda . } \end{array}
f _ { \mathrm { ~ F ~ P ~ } } = \frac { A ( 1 - R _ { 1 } ) ^ { 2 } R _ { 2 } } { ( 1 - \sqrt { R _ { 1 } R _ { 2 } } ) ^ { 2 } + 4 \sqrt { R _ { 1 } R _ { 2 } } \sin ^ { 2 } { \phi } } ,
\left\{ \begin{array} { r l } { { x ^ { 5 } } } & { { \rightarrow \gamma \left( x ^ { 5 } + v t \right) } } \\ { { } } & { { } } \\ { { t } } & { { \rightarrow \gamma \left( t + v x ^ { 5 } \right) } } \end{array} \right. \qquad \mathrm { w h e r e } \quad \gamma = \left( 1 - v ^ { 2 } \right) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } = \cosh \alpha .
\Delta E _ { s } ^ { 1 / r ^ { 4 } } = - \frac { ( Z \alpha ) ^ { 2 } } { m ^ { 2 } M } \int \frac { d ^ { 3 } k ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { 4 \pi ^ { 2 } ( { \bf k ^ { \prime } k } ) } { k ^ { 2 } k ^ { 2 } } < n ( { \bf r } ) | e ^ { i { \bf ( k + k ^ { \prime } ) r } } | n ( { \bf r } ) > .
( f _ { 1 } = 2 . 6 , \mathrm { G H z } , k _ { 2 } = - 1 2 . 5 , \mathrm { r a d / } \mu \mathrm { m } \mathrm { \ a n d \ } f _ { 2 } = 3 . 7 , \mathrm { G H z } , k _ { 2 } = 2 1 . 7 , \mathrm { r a d / } \mu \mathrm { m } )
\begin{array} { r } { K = { \frac { 1 } { 2 } } M \left( \dot { \bf R } - \frac { \dot { m } _ { 1 } m _ { 2 } - m _ { 1 } \dot { m } _ { 2 } } { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ^ { 2 } } { \bf r } \right) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \mu \dot { \bf r } ^ { 2 } , \quad } \end{array}
Z [ G _ { \mu \nu } , B _ { \mu \nu } , \Phi , X ^ { M } ] = \int \frac { [ d A _ { a } ] [ d X ^ { 0 } ] [ d \chi ] } { [ d A _ { a } ] [ d X ^ { 0 } ] [ d \chi ] } { g a u g e \ v o l u m e } e ^ { - S _ { g a u g e d } }
\operatorname* { l i m } _ { \lambda _ { B } \rightarrow 0 } \left[ { \frac { N _ { A 0 } \lambda _ { A } } { \lambda _ { B } - \lambda _ { A } } } \left( e ^ { - \lambda _ { A } t } - e ^ { - \lambda _ { B } t } \right) \right] = { \frac { N _ { A 0 } \lambda _ { A } } { 0 - \lambda _ { A } } } \left( e ^ { - \lambda _ { A } t } - 1 \right) = N _ { A 0 } \left( 1 - e ^ { - \lambda _ { A } t } \right) ,
\begin{array} { r l } { \phi _ { \mathrm { f } } ( x , y ) = } & { \sum _ { i , j } ^ { 0 , 1 } \frac { 1 - ( - 1 ) ^ { j } 2 } { 8 } \phi ( x - \frac { \delta } { 2 } - ( - 1 ) ^ { i + j } \frac { 1 + ( - 1 ) ^ { i } 2 } { 2 } \delta , y ) } \\ { = } & { \delta \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } ( - 1 ) ^ { j } \frac { 2 - | j - 2 | } { 8 } \frac { \partial } { \partial x } \phi ( x + \frac { 3 } { 2 } \delta - j \delta , y ) } \\ { = } & { \delta ^ { 2 } [ \frac { 1 } { 8 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \phi ( x , y ) - \frac { 1 } { 8 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \phi ( x - \delta , y ) ] } \\ { = } & { \frac { 1 } { 8 } \delta ^ { 3 } \frac { \partial ^ { 3 } } { \partial x ^ { 3 } } \phi ( x + \frac { 1 } { 2 } \delta , y ) , } \end{array}
R _ { G \; i j } = \left\langle r _ { i } r _ { j } \right\rangle = \frac { 1 } { N } \sum _ { v e r t i c e s } \left( \begin{array} { l l l } { x ^ { 2 } } & { x y } & { x z } \\ { x y } & { y ^ { 2 } } & { y z } \\ { z x } & { y z } & { z ^ { 2 } } \end{array} \right)
d L ( \mathbf { q } , { \dot { \mathbf { q } } } , t ) = { \frac { \partial L } { \partial \mathbf { q } } } d \mathbf { q } + { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } d { \dot { \mathbf { q } } } + { \frac { \partial L } { \partial t } } d t .
\begin{array} { r l } { \Phi ^ { \prime } \colon T _ { 2 } } & { \longrightarrow \mathcal { F } ^ { \prime } } \\ { ( u , \xi , x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 4 } , x _ { 3 } ) } & { \longmapsto \Big ( x _ { 2 } ^ { d \cdot a _ { 3 } } u : x _ { 2 } ^ { d \cdot \frac { d _ { 1 } } { \iota _ { X } } } \xi : x _ { 2 } ^ { d } x _ { 0 } : x _ { 2 } ^ { d \cdot \frac { a _ { 1 } } { \iota _ { X } } } x _ { 1 } : x _ { 2 } ^ { d \cdot \frac { a _ { 4 } - a _ { 3 } } { \iota _ { X } } } x _ { 4 } : x _ { 3 } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { x c } ^ { \pm } ( q ) } & { { } \equiv \frac { f _ { x c } ^ { \uparrow \uparrow } ( q ) \pm f _ { x c } ^ { \uparrow \downarrow } ( q ) } { 2 } = \int d \mathbf { r } e ^ { - i \mathbf { q } \cdot \mathbf { r } } f _ { x c } ^ { \pm } ( r ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( ( \mathbf { v } _ { 1 } , \mathbf { G } _ { 1 } , \mathbf { M } _ { 1 } , z _ { 1 } , y _ { 1 } ) , ( \mathbf { v } _ { 2 } , \mathbf { G } _ { 2 } , \mathbf { M } _ { 2 } , z _ { 2 } , y _ { 2 } ) ) _ { X } } \\ & { : = \int _ { \Omega } \nabla \mathbf { v } _ { 1 } \colon \nabla \mathbf { v } _ { 2 } + \int _ { \Omega } \mathbf { G } _ { 1 } \colon \mathbf { G } _ { 2 } + \int _ { \Omega } \mathbf { M } _ { 1 } \colon \mathbf { M } _ { 2 } + \int _ { \Omega } \nabla z _ { 1 } \cdot \nabla z _ { 2 } + \int _ { \Omega } \nabla y _ { 1 } \cdot \nabla y _ { 2 } , } \end{array}
q \to \mathrm { d i a g } ( - e ^ { - \pi i / ( F - 4 ) } , e ^ { - \pi i / ( F - 4 ) } , \ldots , e ^ { - \pi i / ( F - 4 ) } ) e ^ { \frac { \pi i ( 2 F - 4 ) } { F ( F - 4 ) } } q ,
{ \begin{array} { r l r l } { \operatorname* { g c d } ( 4 8 , 1 8 ) \quad } & { \to \quad \operatorname* { g c d } ( 4 8 - 1 8 , 1 8 ) = \operatorname* { g c d } ( 3 0 , 1 8 ) } & & { \to \quad \operatorname* { g c d } ( 3 0 - 1 8 , 1 8 ) = \operatorname* { g c d } ( 1 2 , 1 8 ) } \\ & { \to \quad \operatorname* { g c d } ( 1 2 , 1 8 - 1 2 ) = \operatorname* { g c d } ( 1 2 , 6 ) } & & { \to \quad \operatorname* { g c d } ( 1 2 - 6 , 6 ) = \operatorname* { g c d } ( 6 , 6 ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \vert \mathrm { R } \rangle = \Big ( } & { \cos ^ { 2 } \theta \; { c } _ { \mathcal { A } \alpha } ^ { \dagger } { c } _ { \mathcal { A } \beta } ^ { \dagger } + \sin ^ { 2 } \theta \; { c } _ { \mathcal { B } \alpha } ^ { \dagger } { c } _ { \mathcal { B } \beta } ^ { \dagger } } \\ { - } & { \cos \theta \sin \theta ( { c } _ { \mathcal { A } \alpha } ^ { \dagger } { c } _ { \mathcal { B } \beta } ^ { \dagger } - { c } _ { \mathcal { A } \beta } ^ { \dagger } { c } _ { \mathcal { B } \alpha } ^ { \dagger } ) \Big ) \vert \mathrm { v a c } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } \Tilde { f } _ { 1 } } & { = \frac { p ^ { 2 } } { m } ( \Tilde { f } _ { 2 } + \Tilde { f } _ { 3 } ) + 2 m \Tilde { f } _ { 2 } } \\ { D _ { t } \Tilde { f } _ { 2 } } & { = \frac { e E p _ { z } } { 2 m \epsilon } \Big ( 1 + \frac { m ^ { 2 } } { \epsilon ^ { 2 } } \Big ) - \Big ( \frac { p ^ { 2 } } { m } + 2 m \Big ) \Tilde { f } _ { 1 } } \\ { D _ { t } \Tilde { f } _ { 3 } } & { = - \frac { e E p _ { z } } { 2 m \epsilon } p ^ { 2 } + \frac { p ^ { 2 } } { m } \Tilde { f } _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { { } \geq \frac { 1 } { 2 } \langle | \nabla \theta | ^ { 2 } \rangle + 2 \langle \theta u \cdot \nabla \eta \rangle + \frac { b } { \mathrm { { R a } } } \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle + \frac { b } { \mathrm { { R a } } } \langle ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } } \end{array}
T _ { * } = \frac { 4 \pi m _ { W } ^ { 2 } } { g ^ { 2 } \left[ \left( 5 + 8 \, \frac { m _ { W } ^ { 2 } } { m _ { H } ^ { 2 } } \right) \ln \frac { m _ { W } } { g ^ { 2 } } + O \left( \ln \ln \frac { m _ { W } } { g ^ { 2 } } \right) \right] } ,
\int _ { \widehat { L } _ { a } } ^ { \widehat { L } _ { b } } d \widehat { L } \; M ( \widehat { L } _ { b } ) s ( \widehat { L } ) = M ( \widehat { L } _ { b } ) S ( \widehat { L } _ { a } , \widehat { L } _ { b } )
G _ { \mathrm { S M } } ^ { ( d ) } = \frac { G _ { \mathrm { F } } } { \sqrt { 2 } } \left( \frac { G _ { \mathrm { F } } M _ { W } ^ { 2 } } { \sqrt { 1 2 8 } \pi ^ { 2 } } \right) ( V _ { t d } V _ { t b } ^ { \ast } ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { D _ { t } } & { \leq \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \bigg ( 1 + \frac { 3 3 } { 3 2 I } \bigg ) ^ { t - \ell } \bigg ( 1 2 8 I \hat { L } ^ { 2 } c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } B _ { \ell } + 8 I \hat { L } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } E _ { \ell } + 4 I \hat { L } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } F _ { \ell } + 8 I c _ { \nu } ^ { 2 } G _ { 1 } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } + \frac { 8 I c _ { \nu } ^ { 2 } G _ { 2 } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } } { b _ { x } } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + 1 6 I c _ { \nu } ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } + 1 2 8 I ^ { 2 } \bar { L } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } \sum _ { \bar { \ell } = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \ell } \alpha _ { \bar { \ell } } ^ { 2 } D _ { \bar { \ell } } \bigg ) } \\ & { \leq \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \bigg ( 3 8 4 I \hat { L } ^ { 2 } c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } B _ { \ell } + 2 4 I \hat { L } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } E _ { \ell } + 1 2 I \hat { L } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } F _ { \ell } + 2 4 I c _ { \nu } ^ { 2 } G _ { 1 } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } + \frac { 2 4 I c _ { \nu } ^ { 2 } G _ { 2 } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } } { b _ { x } } } \\ & { \qquad \qquad + 1 6 I c _ { \nu } ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } + 3 8 4 I ^ { 2 } \bar { L } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } \sum _ { \bar { \ell } = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \ell } \alpha _ { \bar { \ell } } ^ { 2 } D _ { \bar { \ell } } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \sum _ { k = 0 } ^ { n } d _ { k } } \sum _ { k = 0 } ^ { n } d _ { k } \left( f ( x _ { k } ) - f _ { * } \right) } & { \leq \frac { 4 } { ( n + 1 ) d _ { n + 1 } } \left( 3 d _ { n + 1 } \left\Vert a _ { n + 1 } \right\Vert _ { 1 } D _ { \infty } + d _ { n + 1 } ^ { 2 } \left\Vert a _ { n + 1 } \right\Vert _ { 1 } \right) } \\ & { = \frac { 4 } { n + 1 } \left( 3 \left\Vert a _ { n + 1 } \right\Vert _ { 1 } D _ { \infty } + d _ { n + 1 } \left\Vert a _ { n + 1 } \right\Vert _ { 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \lambda _ { 1 } } & { { } = 9 \delta , } & { \mathbf { e } _ { 1 } } & { { } = [ 1 2 \delta , ( 5 + 3 n ) \delta - 1 ] ; } \\ { \lambda _ { 2 } } & { { } = - 3 \delta , } & { \mathbf { e } _ { 2 } } & { { } = ( 0 , 1 ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \theta = - i \ln z , \quad d \theta = { \frac { - i } { z } } d z , \quad \cos \theta = { \frac { z + z ^ { - 1 } } { 2 } } , \quad \sin \theta = { \frac { z - z ^ { - 1 } } { 2 i } } , \quad } \\ & { \sec \theta = { \frac { 2 } { z + z ^ { - 1 } } } , \quad \tan \theta = - i { \frac { z - z ^ { - 1 } } { z + z ^ { - 1 } } } , \quad } \\ & { \sec \theta + \tan \theta = - i { \frac { 2 i + z - z ^ { - 1 } } { z + z ^ { - 1 } } } = - i { \frac { ( z + i ) ( 1 + i z ^ { - 1 } ) } { ( z - i ) ( 1 + i z ^ { - 1 } ) } } = - i { \frac { z + i } { z - i } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { w _ { i j k l } ^ { \sigma _ { i } \sigma _ { j } \sigma _ { k } \sigma _ { l } } ( t ) } & { { } = U ( t ) \delta _ { i j } \delta _ { i k } \delta _ { i l } \delta _ { \sigma _ { i } \sigma _ { k } } \delta _ { \sigma _ { j } \sigma _ { l } } ( 1 - \delta _ { \sigma _ { i } \sigma _ { j } } ) } \end{array}
M ^ { 2 } ( W _ { R } ) = 4 g ^ { 2 } M _ { R } ^ { 2 } + 2 g ^ { 2 } M _ { B L } ^ { 2 } \; ; \; \quad M ^ { 2 } ( Z _ { R } ) = 4 ( g ^ { 2 } + g ^ { 2 } ) M _ { B L } ^ { 2 }
f _ { \textrm { m o d e l } } \left( \frac { r } { L ^ { M } } \right) = \frac { 2 } { \Gamma ( q ) } \left( \frac { r } { 2 L ^ { M } } \alpha \right) ^ { q } K _ { q } \left( \frac { r } { L ^ { M } } \alpha \right)