harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\nabla ^ { 2 } \gamma _ { B } ^ { 2 } ( y ) = \frac { 2 } { \left( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } \right) ^ { 3 } } \left( \left( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } + \| \bar { y } \| ^ { 2 } \right) \bar { \zeta } \bar { \zeta } ^ { T } - \left( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } \right) ( \bar { \zeta } \bar { y } ^ { T } + \bar { y } \bar { \zeta } ^ { T } ) + \left( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } \right) ^ { 2 } I \right) .
{ \mathcal { F } _ { D } ^ { 0 } } [ \hat { g } ] = { \frac { Q ^ { 2 } } { 1 6 \pi } } \int { d ^ { 2 } } \xi { d ^ { 2 } } \xi ^ { \prime } \sqrt { \hat { g } ( \xi ) } \hat { R } ( \xi ) { \hat { G } _ { D } } ( \xi , \xi ^ { \prime } ) \sqrt { \hat { g } ( \xi ^ { \prime } ) } \hat { R } ( \xi ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l r } { { \bf q } _ { \alpha } ( { \bf x } ) } & { = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } { \bf J } _ { \alpha \alpha } { { \bar { \bf F } } } _ { \alpha } ^ { * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } { \bf q } _ { 1 } ^ { + } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } { \bf F } _ { \alpha } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) { \bf q } _ { 1 } ^ { - } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \omega _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { = 2 . 3 3 4 3 8 5 8 8 5 0 8 6 , \quad } & { \omega _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { = 2 . 2 6 8 8 3 1 0 9 4 9 7 2 , \quad } & { \lambda ^ { ( 1 ) } } & { = 2 . 9 3 2 0 5 5 9 3 3 6 4 , } \\ { \omega _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } & { = 1 . 8 6 2 6 4 5 8 6 2 1 7 6 5 1 3 , \quad } & { \omega _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } & { = 1 . 7 8 6 1 7 6 1 4 2 8 9 , \quad } & { \lambda ^ { ( 2 ) } } & { = 2 . 1 5 8 6 7 4 3 2 0 3 . } \end{array}
\Delta s ( x ) = \int _ { x } ^ { 1 } { \frac { d y } { y } } \left[ \Delta d ^ { 0 } ( y ) P _ { d \rightarrow s K ^ { 0 } } ^ { - } ( { \frac { x } { y } } ) + \Delta u ^ { 0 } ( y ) P _ { u \rightarrow s K ^ { + } } ^ { - } ( { \frac { x } { y } } ) \right] ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \kappa _ { D } R \gg 1 } \psi ( 0 ) = } & { { } \frac { \epsilon _ { w } \sigma _ { 1 } R \left( R + w \right) 2 ( \kappa _ { D } R ) ( \kappa _ { D } w ) e ^ { - \kappa _ { D } R } } { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { w } \{ ( \epsilon _ { p } - \epsilon _ { w } ) \kappa _ { D } w ^ { 2 } + \epsilon _ { p } \kappa _ { D } R ^ { 2 } \} } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( R _ { A } ^ { G } ( \infty \cdot I _ { n } ) \circ ^ { - 1 } R _ { A } ^ { G } ( A ) \circ \vec { u } \right) \left( R _ { B } ^ { G } ( \infty \cdot I _ { m } ) \circ ^ { - 1 } R _ { B } ^ { G } ( B ^ { H } ) \circ \vec { v } \right) ^ { H } } \\ & { - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { B } } \left( R _ { A } ^ { G } ( z I _ { n } ) \circ ^ { - 1 } R _ { A } ^ { G } ( A ) \circ \vec { u } \right) \left( R _ { B } ^ { G } ( \bar { z } I _ { m } ) \circ ^ { - 1 } R _ { B } ^ { G } ( B ^ { H } ) \circ \vec { y } \right) ^ { H } d z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ^ { * } ( \tau _ { i } , \underline { { \tau } } _ { \partial i } , x _ { i } ^ { 0 } , \{ s _ { j i } \} ) } & { { } = \mathbb { I } [ \tau _ { i } = \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \operatorname* { m i n } ( T + 1 , \operatorname* { m i n } _ { l \in \partial i } ( \tau _ { l } + s _ { l i } ) ) ] \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } \left( t , \mathbf { r } \right) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { 1 } } e _ { i } \left( t \right) w _ { i } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } ) , } \\ { \mathcal { B } \left( t , \mathbf { r } \right) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { 2 } } b _ { i } \left( t \right) w _ { i } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { r } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { { I I } } = E \left\{ \left( { \frac { 1 } { N + 1 } } \sum _ { i = 0 } ^ { N } \phi _ { i } \right) ^ { 2 } \right\} } & { { } = } & { { \frac { 1 } { ( N + 1 ) ^ { 2 } } } \left[ { \frac { N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) } { 6 } } - { \frac { N ( N + 1 ) ^ { 2 } } { 4 } } \right] \Psi ^ { 2 } = { \frac { N ( N - 1 ) } { 1 2 ( N + 1 ) } } \Psi ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| { U _ { i \cdot } } \right\| { \mathbb { I } \left\{ { \mathcal { F } } \right\} } } & { \leq \Bigg ( 4 \sqrt { \frac { k } { \beta n } } + \frac { 8 k } { \beta n ( p - q ) } \left\| { ( A _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) U ^ { * } } \right\| } \\ & { \quad + \frac { 8 k } { \beta n ( p - q ) } \left\| { ( \tilde { A } _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) ( I _ { n } - U ^ { * } U ^ { * T } ) ( U - \bar { U } ) } \right\| } \\ & { \quad + \frac { 8 k } { \beta n ( p - q ) } \left\| { ( \check { A } _ { i \cdot } - \check { P } _ { i \cdot } ) ( I _ { n } - U ^ { * } U ^ { * T } ) \bar { U } ^ { ( i ) } } \right\| } \\ & { \quad + \frac { 8 k } { \beta n ( p - q ) } \sqrt { \frac { k } { \beta n } } \sum _ { j \in S } A _ { i j } + \frac { 8 k } { \beta n ( p - q ) } \left( t + \sqrt { \frac { k } { \beta n } } \right) \sum _ { j \in S _ { i } } \left| A _ { i j } - \mathbb { E } A _ { i j } \right| \Bigg ) { \mathbb { I } \left\{ { \mathcal { F } } \right\} } . } \end{array}
i { \frac { d } { d t } } \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { m } ^ { 1 } } } \\ { { \nu _ { m } ^ { 2 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { - { \frac { \Delta _ { m } } { 2 } } } } & { { - i { \frac { d \theta _ { m } } { d t } } } } \\ { { i { \frac { d \theta _ { m } } { d t } } } } & { { { \frac { \Delta _ { m } } { 2 } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { m } ^ { 1 } } } \\ { { \nu _ { m } ^ { 2 } } } \end{array} \right) ,
\alpha = \frac { k _ { \mathrm { t } } ^ { \mathrm { L } } } { k _ { \mathrm { i } } ^ { \mathrm { L } } } \quad \mathrm { a n d } \quad \beta = \frac { \mu _ { 1 } k _ { \mathrm { t } } ^ { \mathrm { T } } } { \mu _ { 2 } k _ { \mathrm { i } } ^ { \mathrm { T } } } \, .
[ a , b \Delta ( n , m ) c ] \phi ( t ) \sim a b \left[ D _ { x _ { 1 } x _ { 2 } \ldots x _ { n } } , D _ { y _ { 1 } y _ { 2 } \ldots y _ { n } } \right] c \phi ( t ) - b \left[ D _ { x _ { 1 } x _ { 2 } \ldots x _ { n } } , D _ { y _ { 1 } y _ { 2 } \ldots y _ { n } } \right] c a \phi ( t ) = 0 ,
\frac { d f _ { \mathrm { { b a l l } } } } { d \widetilde { \boldsymbol { p } } } = \frac { \partial f _ { \mathrm { { b a l l } } } } { \partial \widehat { \lambda } _ { \mathrm { { m a x } } } } \bigg \lvert _ { \widetilde { \boldsymbol { p } } , \widehat { \boldsymbol { p } } } \frac { \partial \widehat { \lambda } _ { \mathrm { { m a x } } } } { \partial \widetilde { \boldsymbol { p } } } \bigg \lvert _ { \widehat { \boldsymbol { p } } } + \frac { \partial f _ { \mathrm { { b a l l } } } } { \partial \widehat { \boldsymbol { p } } } \bigg \lvert _ { \widehat { \lambda } _ { \mathrm { { m a x } } } , \widetilde { \boldsymbol { p } } } \frac { \partial \widehat { \boldsymbol { p } } } { \partial \widetilde { \boldsymbol { p } } } \bigg \lvert _ { \widehat { \lambda } _ { \mathrm { { m a x } } } } + \frac { \partial f _ { \mathrm { { b a l l } } } } { \partial \widetilde { \boldsymbol { p } } } \bigg \lvert _ { \widehat { \lambda } _ { \mathrm { { m a x } } } , \widehat { \boldsymbol { p } } } .
\frac { 4 } { 9 } \, r _ { k } ^ { 2 } + \frac { J ^ { 2 } } { M _ { \mathrm { B H } } ^ { 2 } } = \frac { 3 2 G _ { 5 } M _ { \mathrm { B H } } } { 2 7 \pi } \ \ .
\begin{array} { r l } { \varepsilon ( s ) = C _ { l } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } - C _ { l } } & { { } = C _ { l } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } - \left( \frac { L } { 1 + L } C _ { l } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } - \frac { L } { 1 + L } n + \frac { 1 } { 1 + L } C _ { l , \mathrm { ~ g ~ } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( X _ { k , j } ; Y _ { k , j } ) = } & { \log | \mathcal { X } _ { k , j } | - \frac { 1 } { \prod _ { i = j } ^ { K } | \mathcal { X } _ { i , j } | } \sum _ { x _ { j , j } , \ldots , x _ { K , j } } \mathbb { E } _ { Z _ { k } } \left[ \log \left( \frac { \sum _ { x _ { j , j } ^ { \prime } , \ldots , x _ { K , j } ^ { \prime } } e ^ { - \left| Z _ { k } + h _ { k } \sum _ { i = j } ^ { K } ( x _ { i , j } - x _ { i , j } ^ { \prime } ) \right| ^ { 2 } } } { \sum _ { x _ { j , j } ^ { \prime } , \ldots , x _ { k - 1 , j } ^ { \prime } , x _ { k + 1 , j } ^ { \prime } , \ldots , x _ { K , j } ^ { \prime } } e ^ { - \left| Z _ { k } + h _ { k } \sum _ { i = j , i \neq k } ^ { K } ( x _ { i , j } - x _ { i , j } ^ { \prime } ) \right| ^ { 2 } } } \right) \right] , } \\ { V ( X _ { k , j } ; Y _ { k , j } ) = } & { \frac { 1 } { \prod _ { i = j } ^ { K } | \mathcal { X } _ { i , j } | } \sum _ { x _ { j , j } , \ldots , x _ { K , j } } \mathbb { E } _ { Z _ { k } } \left[ \left( \log \left( \frac { \sum _ { x _ { j , j } ^ { \prime } , \ldots , x _ { K , j } ^ { \prime } } e ^ { - \left| Z _ { k } + h _ { k } \sum _ { i = j } ^ { K } ( x _ { i , j } - x _ { i , j } ^ { \prime } ) \right| ^ { 2 } } } { \sum _ { x _ { j , j } ^ { \prime } , \ldots , x _ { k - 1 , j } ^ { \prime } , x _ { k + 1 , j } ^ { \prime } , \ldots , x _ { K , j } ^ { \prime } } e ^ { - \left| Z _ { k } + h _ { k } \sum _ { i = j , i \neq k } ^ { K } ( x _ { i , j } - x _ { i , j } ^ { \prime } ) \right| ^ { 2 } } } \right) \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { - \left( \frac { 1 } { \prod _ { i = j } ^ { K } | \mathcal { X } _ { i , j } | } \sum _ { x _ { j , j } , \ldots , x _ { K , j } } \mathbb { E } _ { Z _ { k } } \left[ \log \left( \frac { \sum _ { x _ { j , j } ^ { \prime } , \ldots , x _ { K , j } ^ { \prime } } e ^ { - \left| Z _ { k } + h _ { k } \sum _ { i = j } ^ { K } ( x _ { i , j } - x _ { i , j } ^ { \prime } ) \right| ^ { 2 } } } { \sum _ { x _ { j , j } ^ { \prime } , \ldots , x _ { k - 1 , j } ^ { \prime } , x _ { k + 1 , j } ^ { \prime } , \ldots , x _ { K , j } ^ { \prime } } e ^ { - \left| Z _ { k } + h _ { k } \sum _ { i = j , i \neq k } ^ { K } ( x _ { i , j } - x _ { i , j } ^ { \prime } ) \right| ^ { 2 } } } \right) \right] \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\alpha _ { 1 } ^ { \mathrm { { L F } } } \geq \hat { \alpha } _ { 1 } ^ { \mathrm { { L F } } } + \beta _ { 1 } , \qquad \alpha _ { 2 } ^ { \mathrm { { L F } } } \geq \hat { \alpha } _ { 2 } ^ { \mathrm { { L F } } } + \beta _ { 2 }
U _ { i } = \left( \begin{array} { c c } { { A _ { i } } } & { { E _ { i } } } \\ { { C _ { i } } } & { { D _ { i } } } \end{array} \right) , \quad V _ { i } = \left( \begin{array} { c c } { { B _ { i } } } & { { F _ { i } } } \\ { { G _ { i } } } & { { H _ { i } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { { \mathbb { V } } [ \widehat { Q } _ { 0 , \infty } ^ { \mathrm { C L M C } } ] \ } & { \leq \frac { c _ { 5 } } { M ( r - \frac { \beta _ { C } } { 2 } ) ^ { 2 } } \bigg ( \frac { \beta _ { C } } { \beta _ { C } - r } - \frac { 4 r } { \beta _ { C } } \bigg ) + \frac { c _ { 4 } ^ { 2 } } { M ( r - \alpha _ { C } ) ^ { 2 } } \bigg ( \frac { r } { 2 \alpha _ { C } - r } - \frac { r ^ { 2 } } { \alpha _ { C } ^ { 2 } } \bigg ) } \\ { \ } & { = \frac { 1 } { M } \bigg ( \frac { 4 c _ { 5 } } { ( \beta _ { C } - r ) \beta _ { C } } + \frac { c _ { 4 } ^ { 2 } r } { ( 2 \alpha _ { C } - r ) \alpha _ { C } ^ { 2 } } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( x \circ y ) \circ z - x \circ ( y \circ z ) } & { = ( R ( x ) \cdot y ) \circ z - x \circ ( R ( y ) \cdot z ) } \\ & { = R ( R ( x ) \cdot y ) \cdot z - R ( x ) \cdot ( R ( y ) \cdot z ) } \\ & { = ( R ^ { 2 } ( x ) \cdot y + R ( x ) \cdot R ( y ) ) \cdot z - R ( x ) \cdot ( R ( y ) \cdot z ) } \\ & { = ( R ^ { 2 } ( x ) \cdot y ) \cdot z } \\ & { = ( ( \alpha . \, x ) \cdot y ) \cdot z . } \end{array}
\left. \ - \frac { ( \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } \vec { q } _ { 2 } ^ { \: \prime \: 2 } - \vec { q } _ { 2 } ^ { \: 2 } \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } ) } { { \vec { k } } _ { { } } ^ { 2 } } \left( ( \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } ) ^ { \epsilon } - ( \vec { q } _ { 2 } ^ { \: 2 } ) ^ { \epsilon } \right) + \; \; ( \vec { q } _ { 1 } \longleftrightarrow \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime } , \; \; \vec { q } _ { 2 } \longleftrightarrow \vec { q } _ { 2 } ^ { \: \prime } ) \right\} ~ .
\int \, d ^ { 3 } x d z \left[ { \frac { 1 } { 2 } } \, ( \partial _ { \mu } \phi ) ^ { 2 } \, + \, { \frac { \phi ^ { 2 } } { 4 } } \mathrm { l n } ( \phi ^ { 2 } ) - \phi ^ { 2 } \, F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } \, + \, . . . \right] ,
I _ { m , n } = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { a ( n - 1 ) \sin ^ { m - 1 } { a x } \cos ^ { n - 1 } { a x } } } + { \frac { m + n - 2 } { n - 1 } } I _ { m , n - 2 } } \\ { - { \frac { 1 } { a ( m - 1 ) \sin ^ { m - 1 } { a x } \cos ^ { n - 1 } { a x } } } + { \frac { m + n - 2 } { m - 1 } } I _ { m - 2 , n } } \end{array} \right. } \,
\begin{array} { r } { \mathrm { d e t } ( \mathbf { E } ) = \mathrm { d e t } ( \mathbf { A } ) \cdot \mathrm { d e t } ( \mathbf { D } - \mathbf { C } \cdot \mathbf { A } ^ { - 1 } \cdot \mathbf { B } ) , } \end{array}
\mathcal { M } _ { \ell } \simeq m _ { \tau } \left( \begin{array} { l l l } { { \lambda ^ { 6 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \lambda ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { - 2 \gamma \langle \nabla f ( x ^ { t } ) - \nabla f ( x ^ { * } ) , x ^ { t } - x ^ { * } \rangle } & { = } & { 2 \gamma \langle \nabla f ( x ^ { t } ) , x ^ { * } - x ^ { t } \rangle + 2 \gamma \langle \nabla f ( x ^ { * } ) , x ^ { t } - x ^ { * } \rangle } \\ & { \leq } & { 2 \gamma \left( f ( x ^ { * } ) - f ( x ^ { t } ) - \frac { \mu } { 2 } \Vert x ^ { t } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } \right) + 2 \gamma \langle \nabla f ( x ^ { * } ) , x ^ { t } - x ^ { * } \rangle } \\ & { = } & { - \gamma \mu \Vert x ^ { t } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } - 2 \gamma \left( f ( x ^ { t } ) - f ( x ^ { * } ) - \langle \nabla f ( x ^ { * } ) , x ^ { t } - x ^ { * } \rangle \right) } \end{array}
T ^ { \mu \nu } = e ^ { 2 } \left\{ - ( 2 p _ { 1 } + q _ { 1 } ) ^ { \mu } \frac { 1 } { s - \mu ^ { 2 } } ( 2 p _ { 2 } + q _ { 2 } ) ^ { \nu } - ( 2 p _ { 2 } - q _ { 1 } ) ^ { \mu } \frac { 1 } { u - \mu ^ { 2 } } ( 2 p _ { 1 } - q _ { 2 } ) ^ { \nu } + 2 g ^ { \mu \nu } \right\}
\left( \gamma \cdot ( p + \frac { 1 } { 2 } q ) - m \right) f ( q , p ) = g \int \frac { \mathrm { d } ^ { 4 } q ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \; \gamma \cdot A ( q ^ { \prime } ) f ( q - q ^ { \prime } , p - \frac { 1 } { 2 } q ^ { \prime } ) \; \; ,
q _ { \mathrm { c g s } } = { \frac { q _ { \mathrm { S I } } } { \sqrt { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } } } , \quad \mathbf { E } _ { \mathrm { c g s } } = { \sqrt { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } } \, \mathbf { E } _ { \mathrm { S I } } , \quad \mathbf { B } _ { \mathrm { c g s } } = { \sqrt { 4 \pi / \mu _ { 0 } } } \, { \mathbf { B } _ { \mathrm { S I } } } , \quad c = { \frac { 1 } { \sqrt { \varepsilon _ { 0 } \mu _ { 0 } } } } .
n ( k ) = { \frac { \bar { \Sigma } ^ { < } ( k ) } { \bar { \Sigma } ^ { > } ( k ) - \bar { \Sigma } ^ { < } ( k ) } } = { \frac { 1 } { e ^ { k _ { 0 } / T } - 1 } } \equiv n _ { B } ( k _ { 0 } ) \, ,
y _ { 1 } \simeq y _ { 2 } \simeq y _ { 3 } \gg y _ { 4 } \gg . . . \gg y _ { n } \, ; \qquad | p _ { 1 \perp } | \simeq | p _ { 2 \perp } | \simeq . . . \simeq | p _ { n \perp } | \, ,
\begin{array} { r } { \vert \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } \vert = \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \{ [ ( 1 + r ^ { 2 } ) \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) - 1 ] ^ { 2 } + r ^ { 2 } \exp ( - r ^ { 2 } ) [ 2 \exp ( r ^ { 2 } / 2 ) - ( 2 + r ^ { 2 } ) ] \sin ^ { 2 } \theta \} ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
R _ { i } ^ { ~ j } \equiv d A _ { i } ^ { ~ j } + A _ { i } ^ { ~ k } A _ { k } ^ { ~ j } = u _ { i } ^ { ~ \underline { { c } } } R _ { \underline { { c } } } ^ { ~ \underline { { d } } } u _ { \underline { { d } } } ^ { ~ j } - \hat { \Omega } _ { i } ^ { ~ a } \hat { \Omega } _ { a } ^ { ~ j } .
L _ { 1 } = \frac 1 2 L _ { 2 } = - \frac 1 4 L _ { 3 } = - \frac 1 2 K _ { 1 } f _ { \pi } ^ { 2 } = \frac { f _ { \pi } ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } } { 1 6 } .
\begin{array} { r l r } { 4 [ f ( + 1 , + 1 , + 1 ) + f ( - 1 , - 1 , - 1 ) ] } & { { } = } & { 1 + K _ { 1 2 } + K _ { 1 3 } + K _ { 2 3 } \ge 0 \; , } \\ { 4 [ f ( - 1 , + 1 , + 1 ) + f ( - 1 , + 1 , + 1 ) ] } & { { } = } & { 1 - K _ { 1 2 } - K _ { 1 3 } + K _ { 2 3 } \ge 0 \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \partial _ { t } G _ { i j } ^ { < } ( t ) } & { { } = [ h ^ { \textrm { H F } } ( t ) , G ^ { < } ( t ) ] _ { i j } + [ I + I ^ { \dagger } ] _ { i j } ( t ) } \\ { i \partial _ { t } \mathcal { G } _ { i j k l } ( t ) } & { { } = [ h ^ { ( 2 ) , \textrm { H F } } ( t ) , \mathcal { G } ( t ) ] _ { i j k l } + \Psi _ { i j k l } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \| G ^ { ( m _ { 0 } , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { = \langle [ \langle v \rangle ^ { m _ { 0 } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } , E ^ { \varepsilon } \cdot \nabla _ { v } ] G , G ^ { ( m _ { 0 } , s ) } \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle \langle v \rangle ^ { m _ { 0 } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \{ ( E ^ { 0 } - E ^ { \varepsilon } ) \cdot \nabla _ { v } F _ { + } ^ { 0 } \} , G ^ { ( m _ { 0 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle \langle v \rangle ^ { m _ { 0 } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } Q ( F _ { + } ^ { \varepsilon } , G ) , G ^ { ( m _ { 0 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle \langle v \rangle ^ { m _ { 0 } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } Q ( G , F _ { + } ^ { 0 } ) , G ^ { ( m _ { 0 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle \langle v \rangle ^ { m _ { 0 } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } Q _ { - + } ^ { \varepsilon } ( F _ { - } ^ { \varepsilon } , F _ { + } ^ { \varepsilon } ) , G ^ { ( m _ { 0 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } . } \end{array}
0 = C _ { i _ { p } , \beta \; j _ { q } , \gamma } ^ { k _ { s } , \alpha } C _ { l _ { t } , \rho \; m _ { u } , \sigma } ^ { i _ { p } , \beta } \omega ^ { j _ { q } , \gamma } \wedge \omega ^ { l _ { t } , \rho } \wedge \omega ^ { m _ { u } , \sigma } \quad ( \alpha , \beta , \gamma , \rho , \sigma = 1 , \ldots , N ) \; ,
\begin{array} { r l } { r _ { i } } & { { } = \left( c _ { i - 1 } + \sum _ { j + k = i + 1 } a _ { j } b _ { k } \right) \mod D } \\ { c _ { i } } & { { } = \left\lfloor ( c _ { i - 1 } + \sum _ { j + k = i } a _ { j } b _ { k } ) / D \right\rfloor } \\ { c _ { 0 } } & { { } = 0 } \end{array}
{ \cal { L } } _ { e f f } = - { \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } } { \frac { \alpha } { 4 \pi \sin ^ { 2 } \theta _ { W } } } V _ { t s } ^ { * } V _ { t d } \left( 4 \ D \overline { { { s } } } _ { L } \gamma _ { \mu } d _ { L } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \nu _ { L _ { i } } \gamma ^ { \mu } \nu _ { L _ { i } } \right)
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w ^ { \prime } ) - \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } } \\ & { \le \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \xi } \int _ { 0 } ^ { 1 } \big ( L _ { 0 } + L _ { 1 } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { \theta } ) \| \big ) ^ { 2 } d \theta } \\ & { \le 2 \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } L _ { 0 } ^ { 2 } + L _ { 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { \theta } ) \| ^ { 2 } d \theta } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } 2 \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } \Big ( L _ { 0 } ^ { 2 } + ( L _ { 0 } ^ { 2 } + 2 L _ { 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } ) \big ( \exp ( 1 2 L _ { 1 } ^ { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } ) - 1 \big ) + 2 L _ { 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } \| \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } \Big ) } \\ & { = 2 \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } ( L _ { 0 } ^ { 2 } + 2 L _ { 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } ) \exp ( 1 2 L _ { 1 } ^ { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \boldsymbol { \lambda } } ^ { I _ { 0 } } ( u ) } & { = \sum _ { i \in I _ { 0 } } \boldsymbol { \lambda } _ { \pi ( i ) } \vert u _ { i } \vert , } \\ { J _ { \boldsymbol { \lambda } , { \beta ^ { 0 } } } ^ { I _ { j } } ( u ) } & { = \sum _ { i \in I _ { j } } \boldsymbol { \lambda } _ { \pi ( i ) } u _ { i } s g n ( \beta _ { i } ^ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { \mathrm { ~ L ~ } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \int d \boldsymbol r ^ { 3 } \left[ \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } \hat { \boldsymbol D } ^ { \perp 2 } ( \boldsymbol r ) + \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \hat { \boldsymbol B } ^ { 2 } ( \boldsymbol r ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathcal { C } _ { 1 } + \mathcal { C } _ { 2 } \right) ^ { \ast } } & { = \mathcal { C } _ { 1 } ^ { \ast } \cap \mathcal { C } _ { 2 } ^ { \ast } . } \\ { \left( \mathcal { C } _ { 1 } \cap \mathcal { C } _ { 2 } \right) ^ { \ast } } & { = \mathcal { C } _ { 1 } ^ { \ast } + \mathcal { C } _ { 2 } ^ { \ast } . } \end{array}
W [ \Phi _ { 0 } , a , M ] = - { \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 2 } } } \tau ( { \frac { 4 } { 3 } } \pi a ^ { 3 } ) \Phi _ { 0 } ^ { 4 } { \frac { 1 } { 3 5 } } L o g { \frac { M ^ { 2 } } { \Phi _ { 0 } ^ { 2 } } } ( 1 + { \frac { 7 0 } { 6 3 } } { \frac { 1 } { \Phi _ { 0 } ^ { 2 } a ^ { 2 } } } + { \frac { 3 5 } { 2 } } { \frac { m ^ { 2 } } { \Phi _ { 0 } ^ { 2 } } } ) + . . .
U _ { k } = \left( \begin{array} { l l l l l l l } { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { \vdots } } & { { } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { } } & { { \vdots } } \\ { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { V } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { \vdots } } & { { } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { } } & { { \vdots } } \\ { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \end{array} \right) _ { k , k + 1 }
\begin{array} { l } { \displaystyle { \varphi = \varphi _ { 0 } ( T , n , \overline { { c } } ) + \frac { K } { 2 } \big ( \nabla \delta c \big ) ^ { 2 } + a _ { 2 } \frac { ( \delta c ) ^ { 2 } } { 2 } + a _ { 3 } \frac { ( \delta c ) ^ { 3 } } { 3 } + a _ { 4 } \frac { ( \delta c ) ^ { 4 } } { 4 } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bigl ( y ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \bigr ) \bigl ( w _ { 1 } ^ { 1 } , \ldots , w _ { k _ { 1 } } ^ { 1 } , \ldots , w _ { 1 } ^ { n } , \ldots , w _ { k _ { n } } ^ { n } \bigr ) } \\ & { = y \Bigl ( x _ { 1 } ( w _ { 1 } ^ { 1 } , \ldots , w _ { k _ { 1 } } ^ { 1 } ) , \ldots , x _ { n } ( w _ { 1 } ^ { n } , \ldots , w _ { k _ { n } } ^ { n } ) \Bigr ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \hat { a } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( t ) \hat { a } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { \dagger } \left( t ^ { \prime } \right) \right\rangle = } & { { } \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) , } \\ { \left\langle \hat { a } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( t ) \hat { a } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { \dagger } \left( t ^ { \prime } \right) \right\rangle = } & { { } \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) , } \\ { \left\langle \hat { a } _ { \mathrm { i n } } ^ { \dagger } ( t ) \hat { a } _ { \mathrm { i n } } \left( t ^ { \prime } \right) \right\rangle = } & { { } 0 , } \\ { \left\langle \hat { o } _ { \mathrm { i n } } ^ { \dagger } ( t ) \hat { o } _ { \mathrm { i n } } \left( t ^ { \prime } \right) \right\rangle = } & { { } n _ { \mathrm { t h } } \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) , } \\ { \left\langle \hat { o } _ { \mathrm { i n } } ( t ) \hat { o } _ { \mathrm { i n } } ^ { \dagger } \left( t ^ { \prime } \right) \right\rangle = } & { { } \left( n _ { \mathrm { t h } } + 1 \right) \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \Delta v = v _ { \mathrm { { e f f } } } \int _ { 0 } ^ { \phi } { \frac { d x } { 1 - x } } = v _ { \mathrm { { e f f } } } \ln { \frac { 1 } { 1 - \phi } } = v _ { \mathrm { { e f f } } } \ln { \frac { m _ { 0 } } { m _ { f } } }