harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { { ( \rho ) _ { i , j , K _ { M A X } } } } & { { } { = } } & { { ( \rho ) _ { i , j , 1 } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { ( u ) _ { i , j , K _ { M A X } } } } & { { } { = } } & { { ( u ) _ { i , j , 1 } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { ( v ) _ { i , j , K _ { M A X } } } } & { { } { = } } & { { ( v ) _ { i , j , 1 } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { ( w ) _ { i , j , K _ { M A X } } } } & { { } { = } } & { { ( w ) _ { i , j , 1 } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { ( e ) _ { i , j , K _ { M A X } } } } & { { } { = } } & { { ( e ) _ { i , j , 1 } \, \mathrm { ~ . ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle \left( u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 3 } \right\rangle } & { { } = } & { \frac { 3 X ^ { 2 } } { 2 \sqrt { 2 } } \frac { 1 - X ^ { 2 } } { 1 - X ^ { 3 } } \left( \frac { k _ { B } T } { m } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \Gamma _ { 3 } \, . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } d u \left[ \frac { 1 } { u ^ { 2 } } \right] _ { + } f ( u ) \equiv \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \frac { 1 } { u ^ { 2 } } ( f ( u ) - f ( 0 ) - u f ^ { \prime } ( 0 ) ) \, .
\begin{array} { r l } { [ A _ { 1 } a _ { 0 } , H _ { 1 } G _ { 1 } F E _ { 2 } E _ { 1 } A _ { 2 } A _ { 1 } a _ { 0 } ] } & { \cong \mathbf 3 + \omega + \Xi ( \zeta , \zeta , \omega ^ { * } + ( \omega + \omega ^ { * } ) \cdot \omega ) + \omega ^ { * } } \\ & { \ \ \ + \mathbf 1 + ( \omega + \omega ^ { * } ) \cdot \omega + \Xi ( \zeta , \zeta , \omega ^ { * } + ( \omega + \omega ^ { * } ) \cdot \omega ) + \omega ^ { * } } \\ & { \ \ \ + \omega + \Xi ( \zeta , \zeta , \omega ^ { * } + ( \omega + \omega ^ { * } ) \cdot \omega ) + \omega ^ { * } } \\ & { \cong \omega + \Xi ( \zeta , \zeta , \omega ^ { * } + ( \omega + \omega ^ { * } ) \cdot \omega ) + \omega ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { 1 \leq i \leq p - 1 } i s _ { i } ^ { \mathfrak { g } } ( a , b ) \mu ^ { i - 1 } } & { = ( \mathrm { a d } _ { \mu a + b } ^ { \mathfrak { g } } ) ^ { p - 1 } ( a ) } \\ & { = ( \mathrm { a d } _ { \mu a + b } ^ { \mathfrak { a } } ) ^ { p - 1 } ( a ) + \omega _ { \mathfrak { a } } \bigl ( ( { \mathscr D } + { \mathscr D } ^ { * } ) ( \mu a + b ) , ( \mathrm { a d } _ { \mu a + b } ^ { \mathfrak { a } } ) ^ { p - 2 } ( a ) \bigr ) x , } \end{array}
t _ { \mathrm { ~ a ~ r ~ r ~ i ~ v ~ a ~ l ~ } } ( \vec { x } ) = t _ { O } - \frac { t _ { O } - t ^ { * } } { 2 } + \sqrt { \left( \frac { t _ { O } - t ^ { * } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { | \vec { x } | } { c } \right) ^ { 2 } } .
\mathcal { E } _ { k } = V \left( x _ { k } , z _ { k } , \mathbf { t } _ { k } \right) = \frac { 1 } { 2 } \cosh ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k } \right) \left\Vert z _ { k } - x ^ { * } \right\Vert ^ { 2 } + \frac { \mathbf { t } _ { k } ^ { 2 } } { 4 } \operatorname { s i n h c } ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k } \right) \left( f \left( x _ { k } \right) - f \left( x ^ { * } \right) \right) ,
= \frac { 6 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \Gamma _ { + } \frac { \delta _ { 0 \rho } ( \rho _ { c } - \rho _ { + } ) + ( z _ { c } - z _ { + } ) \delta _ { 0 z } } { { { R _ { 2 A } ^ { \delta } } ^ { 5 } ( 1 - { k _ { A } ^ { \delta } } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ) ^ { 5 / 2 } } } ( z _ { c } - z _ { + } ) \, d \theta
\begin{array} { r l } { \overline { { \nabla } } f ( x , y ) \approx } & { \nabla _ { x } f ( x , y ; \xi ) - \nabla _ { x y } ^ { 2 } g \big ( x , y , ; \zeta ^ { N ^ { ' } + 1 } \big ) \bigg [ \frac { N } { l _ { g , 1 } } \prod _ { n = 1 } ^ { N ^ { ' } } \Big ( I - \frac { 1 } { l _ { g , 1 } } \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ; \zeta ^ { n } ) \Big ) \bigg ] \nabla _ { y } f ( x , y ; \xi ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H ( { \bf k } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \rho _ { 0 } \left\langle \hat { \bf u } _ { k } \cdot \hat { \bf b } _ { k } ^ { * } + \hat { \bf b } _ { k } \cdot \hat { \bf u } _ { k } ^ { * } \right\rangle = \frac { 1 } { 2 } \rho _ { 0 } \left\langle k _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } \left[ \hat { \phi } _ { k } ^ { u } ( \hat { \phi } _ { k } ^ { b } ) ^ { * } + ( \hat { \phi } _ { k } ^ { u } ) * \hat { \phi } _ { k } ^ { b } \right] \right\rangle } \end{array}
{ \mathcal { M } } = { \frac { i } { \sqrt { Z } } } \int \! \mathrm { d } ^ { 4 } x _ { 1 } \mathrm { e } ^ { i p _ { 1 } \cdot x _ { 1 } } { \big ( } i \partial _ { \mu } \eta ( x _ { 1 } ) \gamma ^ { \mu } + \eta ( x _ { 1 } ) m { \big ) } u _ { { \textbf { p } } _ { 1 } } ^ { s _ { 1 } } .
( \pi _ { \mathbb { R } ^ { d } } , \pi _ { \mathbb { R } ^ { d } } ) _ { \sharp } \hat { \Beta } _ { \mu , \nu } = ( \textnormal { I d } , \textnormal { I d } ) _ { \sharp } \mu ^ { 0 } \qquad \mathrm { a n d } \qquad \gamma ( t ) : = ( \textnormal { \textsf { e } } _ { t } , \textnormal { \textsf { e } } _ { t } ) _ { \sharp } \hat { \Beta } _ { \mu , \nu } \in \Gamma _ { o } ( \mu ( t ) , \nu ( t ) )
\begin{array} { r l r } { \Delta \omega _ { \mathrm { r t } } } & { { } = } & { \delta _ { n - 1 } + n d T _ { \mathrm { s } } = d T _ { \mathrm { s } } \frac { 1 } { g ^ { \prime } } , } \\ { \Delta \omega _ { \mathrm { p p } } } & { { } = } & { \delta _ { n - 1 } + ( n - 1 ) d T _ { \mathrm { s } } = d T _ { \mathrm { s } } \frac { 1 - g ^ { \prime } } { g ^ { \prime } } . } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \phi \rightarrow \infty } \Phi _ { j } ( x , \bar { x } ) = e ^ { \frac { 2 j } { \alpha _ { + } } \phi } \delta ^ { ( 2 ) } ( \gamma - x ) + \frac { 2 j + 1 } { \pi } \left| \gamma - x \right| ^ { - 4 j - 4 } e ^ { \frac { - 2 j - 2 } { \alpha _ { + } } \phi } + { \cal O } ( e ^ { \frac 1 { \alpha _ { + } } j \phi } ) ,
\frac { d u } { d p } = \frac { d u } { d \rho } \frac { d \rho } { d p } = \mp \frac { c _ { K } ( s _ { K } , p ) } { \rho ( p ) } \frac { 1 } { c _ { K } ^ { 2 } ( s _ { K } , p ) } = \mp \frac { 1 } { c _ { K } ( s _ { K } , p ) \rho ( p ) } .
\begin{array} { r } { \overline { { v _ { t } ^ { 2 } } } ( r , \theta ) = \frac { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \frac { d ^ { \prime } } { 2 } } v _ { t } ^ { 2 } g ( r ^ { \prime } ) r ^ { \prime } \, \mathrm { d } r ^ { \prime } \mathrm { d } \theta ^ { \prime } } { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \frac { d ^ { \prime } } { 2 } } g ( r ^ { \prime } ) r ^ { \prime } \, \mathrm { d } r ^ { \prime } \mathrm { d } \theta ^ { \prime } } , } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \left[ \begin{array} { l } { \hat { v } } \\ { \hat { \eta } } \end{array} \right] = - i \left[ \begin{array} { l l l } { \mathcal { L } _ { O S } } & & { 0 } \\ { \mathcal { L } _ { C } } & & { \mathcal { L } _ { S Q } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \hat { v } } \\ { \hat { \eta } } \end{array} \right] \mathrm { . }
{ \cal R } \sim \frac { \delta \phi } { \vert \dot { \phi } \vert H ^ { - 1 } } \sim \frac { H ^ { 3 } } { \mu ^ { 3 } } \sim \frac { H ^ { 2 } } { m _ { T } ^ { 2 } } \left( \frac { H } { \phi _ { \ast } - \varphi _ { T } } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { K r o n } _ { 1 } } & { = \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \otimes \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \, \rho _ { \alpha \alpha } } \\ & { + \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \otimes \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \, \rho _ { \alpha \beta } } \\ & { + \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \otimes \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \, \rho _ { \beta \alpha } } \\ & { + \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \otimes \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \, \rho _ { \beta \beta } . } \end{array}
\int _ { \mathrm { V o l } ( E ) \geq 0 } { \cal D } E { \cal D } A \prod _ { x \in \cal M } \cos ( { \cal L } _ { B F } ( x ) ) = \int { \cal D } g \prod _ { x \in \cal M } \cos ( i { \cal L } _ { g r } ( x ) ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { Z _ { z x ^ { \prime } } - Z _ { z , - x ^ { \prime } } } \\ & { } & { \quad = \frac { \left[ F _ { z } ( \Delta , \Delta , 0 ) + F _ { z } ( - \Delta , - \Delta , 0 ) - 2 F _ { z } ( 0 ) \right] } { \sqrt { 2 } \Delta } } \\ & { } & { \quad = \sqrt { 2 } \, \frac { \partial Z _ { z x } } { \partial E _ { y } } \, \Delta + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \, ( Z _ { z x } - Z _ { z , - x } + Z _ { z y } - Z _ { z , - y } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \rho } ( q ) } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { w } } e \, z \, e ^ { i \vec { q } \cdot \vec { r } } \left( - 2 e ^ { - i \vec { q } . \vec { r } _ { \mathrm { M } _ { i } } } + e ^ { - i \vec { q } . \vec { r } _ { \mathrm { H } _ { 1 , i } } } + e ^ { - i \vec { q } . \vec { r } _ { \mathrm { H } _ { 2 , i } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| Q ^ { K } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } \leq } & { \left( 1 - \frac { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } } { 7 2 } \right) ^ { K } \| T Q _ { 0 } - Q _ { 0 } \| _ { \mu } + \frac { 6 \tau _ { 1 } \sqrt { \log ( 2 K / \delta ) } } { ( 1 - \gamma ) \sqrt { \lambda _ { 0 } N } } + \frac { 1 } { 1 - \gamma } \| \Pi _ { \mu } Q ^ { \pi } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D L - ( 2 n + 1 ) ( 2 N _ { \mathrm { B } } + 2 N _ { \mathrm { H } } + N _ { f } ) } & { { } < 0 } \\ { n } & { { } > \frac { D L } { ( 2 N _ { \mathrm { B } } + 2 N _ { \mathrm { H } } + N _ { f } ) } - \frac { 1 } { 2 } \, , } \end{array}
\mathbf { \mathcal { E } } _ { n } ( t ) = \sum _ { \mathbf { k } , \mu } \mathcal { E } _ { k } \left( a _ { \mathbf { k } , \mu } e ^ { i \mathbf { k } _ { j } \mathbf { R } _ { n } ( t ) } + a _ { \mathbf { k } , \mu } ^ { \dagger } e ^ { - i \mathbf { k } _ { j } \mathbf { R } _ { n } ( t ) } \right) \mathbf { \epsilon } _ { \mathbf { k } , \mu }
\mathbb { E } \left[ \left( \sqrt { \frac { b _ { N } } { N } } \sum _ { j } Y _ { j } \right) ^ { 2 } \right] = \frac { b _ { N } } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { \lfloor N / b _ { N } \rfloor } \mathbb { E } Y _ { j } ^ { 2 } + \frac { b _ { N } } { N } \sum _ { | j - j ^ { \prime } | = 1 } | \mathbb { E } Y _ { j } Y _ { j ^ { \prime } } | + 2 \sum _ { h \ge 2 } \operatorname* { s u p } _ { j } | \mathbb { E } Y _ { j } Y _ { j + h } | .
\begin{array} { r l } { \vert \mathbf { B } _ { 0 } ( t , x , \gamma , \tau , k ) \vert } & { \lesssim \Vert f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { 3 + s } ) } \left\vert \frac { p ^ { \prime } ( \varrho ( t , x ) ) \rho ( t , x ) } { 1 - \varrho _ { f } ( t , x ) } - \frac { p ^ { \prime } ( \varrho ^ { \mathrm { i n } } ( x ) ) \varrho ^ { \mathrm { i n } } ( x ) } { 1 - \rho _ { f ^ { \mathrm { i n } } } ( x ) } \right\vert } \\ & { \leq R \int _ { 0 } ^ { T } \left\vert \partial _ { t } \left\lbrace \frac { p ^ { \prime } ( \varrho ( \theta , x ) ) \varrho ( \theta , x ) } { 1 - \rho _ { f } ( \theta , x ) } \right\rbrace \right\vert \, \mathrm { d } \theta } \\ & { \leq R T \left\Vert \partial _ { t } \left\lbrace \frac { p ^ { \prime } ( \varrho ) \varrho } { 1 - \rho _ { f } } \right\rbrace \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { \infty } ) } , } \end{array}
\frac { \partial C _ { F } ^ { i , j } } { \partial t } = D _ { \mathrm { a x } } ^ { i } \frac { \partial ^ { 2 } C _ { F } ^ { i , j } } { \partial x ^ { 2 } } - u \frac { \partial C _ { F } ^ { i , j } } { \partial x } + \frac { k _ { \mathrm { L } } a ^ { i } } { \epsilon } ( C _ { S } ^ { i , j } - C _ { F } ^ { i , j } ) \ .
\begin{array} { r l } { ( ) } & { \iff \frac { 1 } { 2 } \leq \sigma < \sqrt { \left( \frac { n } { \sqrt { 2 } } - \sigma \right) ^ { 2 } + \frac { n } { \sqrt { 2 } } - \sigma + \frac { 1 } { 2 } } - \left( \frac { n } { \sqrt { 2 } } - \sigma \right) } \\ & { \iff \frac { 1 } { 2 } + \left( \frac { n } { \sqrt { 2 } } - \sigma \right) \leq \sigma + \left( \frac { n } { \sqrt { 2 } } - \sigma \right) < \sqrt { \left( \frac { n } { \sqrt { 2 } } - \sigma \right) ^ { 2 } + \frac { n } { \sqrt { 2 } } - \sigma + \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \iff \left( \frac { n } { \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } - \sigma \right) ^ { 2 } \leq \frac { n ^ { 2 } } { 2 } < \left( \frac { n } { \sqrt { 2 } } - \sigma \right) ^ { 2 } + \frac { n } { \sqrt { 2 } } - \sigma + \frac { 1 } { 2 } } \\ & { \iff 0 < \sigma ^ { 2 } - \sqrt { 2 } n \sigma + \frac { n } { \sqrt { 2 } } - \sigma + \frac { 1 } { 2 } \leq \frac { 1 } { 4 } } \\ & { \iff 0 < - \left( \frac { n } { \sqrt { 2 } } - \left\lfloor \frac { n } { \sqrt { 2 } } \right\rfloor \right) \left( \frac { n } { \sqrt { 2 } } + \left\lfloor \frac { n } { \sqrt { 2 } } \right\rfloor \right) + \left\lfloor \frac { n } { \sqrt { 2 } } \right\rfloor + \frac { 1 } { 2 } \leq \frac { 1 } { 4 } } \\ & { \iff 0 < \left\lfloor \frac { n } { \sqrt { 2 } } \right\rfloor ^ { 2 } + \left\lfloor \frac { n } { \sqrt { 2 } } \right\rfloor + \frac { 1 } { 2 } ( 1 - n ^ { 2 } ) \leq \frac { 1 } { 4 } . } \end{array}
| q _ { c } \{ q _ { a } q _ { b } \} \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } ( 1 - \delta _ { a b } ) + 2 \delta _ { a b } } ( | q _ { c } q _ { a } q _ { b } \rangle + | q _ { c } q _ { b } q _ { a } \rangle ) ,
\begin{array} { r l r } { v _ { c m } } & { { } = } & { m _ { 1 2 } \sqrt { \frac { v _ { 1 } ^ { 2 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { v _ { 2 } ^ { 2 } } { m _ { 1 } ^ { 2 } } + 2 \frac { \vec { v } _ { 1 } \cdot \vec { v } _ { 2 } } { m _ { 1 } m _ { 2 } } } , } \\ { v _ { r } } & { { } = } & { \sqrt { v _ { 1 } ^ { 2 } + v _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \vec { v } _ { 1 } \cdot \vec { v } _ { 2 } } , } \\ { \cos \alpha } & { { } = } & { \frac { 1 } { v _ { 1 } v _ { r } } \left( v _ { 1 } ^ { 2 } - \vec { v } _ { 1 } \cdot \vec { v } _ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { \boldsymbol { k } } } & { = \frac { A _ { j } ( k ) } { \sqrt { 1 + \epsilon ^ { 2 } } } \sqrt { \boldsymbol { p } _ { x } ^ { 2 } + \epsilon ^ { 2 } \boldsymbol { p } _ { y } ^ { 2 } } \delta ( \boldsymbol { k } - \boldsymbol { k } _ { 0 } ) , \quad \theta _ { \boldsymbol { k } } = \phi _ { \mathrm { c e p } } + \Lambda \arctan ( \epsilon \tan ( \varphi _ { p } ) ) , } \\ { \rho _ { \boldsymbol { k } } } & { = \frac { A _ { j } ( \boldsymbol { k } ) } { \sqrt { 1 + \epsilon ^ { 2 } } } \frac { \sqrt { \boldsymbol { p } _ { x } ^ { 2 } + \epsilon ^ { 2 } \boldsymbol { p } _ { y } ^ { 2 } } } { \eta _ { j } ( \boldsymbol { k } ) } \delta ( \boldsymbol { k } - \boldsymbol { k } _ { 0 } ) , \quad \Delta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { + } = \frac { A _ { j } ( \boldsymbol { k } ) A _ { j } ( ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) } { 4 } \frac { 1 - \epsilon ^ { 2 } } { 1 + \epsilon ^ { 2 } } \delta ( \boldsymbol { k } - \boldsymbol { k } _ { 0 } ) \delta ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } - \boldsymbol { k } _ { 0 } ) , } \\ { \Delta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { - } } & { = \frac { A _ { j } ( \boldsymbol { k } ) A _ { j } ( ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) } { 4 } \delta ( \boldsymbol { k } - \boldsymbol { k } _ { 0 } ) \delta ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } - \boldsymbol { k } _ { 0 } ) , \quad \theta _ { \boldsymbol { k } } ^ { + } = 2 \phi _ { \mathrm { c e p } } \; \mathrm { a n d } \; \theta _ { \boldsymbol { k } } ^ { - } = 0 , \quad \sigma _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } = 0 , \; \xi _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } = \phi _ { \mathrm { c e p } } , } \\ { \alpha _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { \pm } } & { = \frac { A _ { j } ( \boldsymbol { k } ) A _ { j } ( ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) } { 4 } \frac { 1 \mp \epsilon ^ { 2 } } { 1 + \epsilon ^ { 2 } } \frac { 1 } { \eta _ { j } ( \boldsymbol { k } ) \pm \eta _ { j } ( \boldsymbol { k ^ { \prime } } ) } \delta ( \boldsymbol { k } - \boldsymbol { k } _ { 0 } ) \delta ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } - \boldsymbol { k } _ { 0 } ) , } \end{array}
Z ^ { \cal N } \, = \, \left( \begin{array} { c l c l } { { Z _ { 1 } \, \epsilon } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { Z _ { 2 } \, \epsilon } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { Z _ { 3 } \, \epsilon } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { Z _ { 4 } \, \epsilon } } \end{array} \right) \qquad , \qquad \epsilon \, = \, \left( \begin{array} { c l } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
S _ { n - 1 } = { \frac { n \pi ^ { \frac { n } { 2 } } } { \Gamma \left( { \frac { n } { 2 } } + 1 \right) } } = { \frac { 2 \pi ^ { \frac { n } { 2 } } } { \Gamma \left( { \frac { n } { 2 } } \right) } } .
Y _ { E } = \left( \begin{array} { c c c } { { W T ^ { 2 } \xi ^ { 2 } } } & { { W ^ { 2 } T ^ { 2 } \psi } } & { { \xi ^ { 4 } \psi } } \\ { { W ^ { 4 } T \xi \psi ^ { 2 } } } & { { W T ^ { 2 } } } & { { \xi \psi } } \\ { { W ^ { 3 } \xi ^ { 2 } \psi } } & { { W ^ { 2 } T \xi \psi } } & { { W T } } \end{array} \right) .
= 1 + \frac { z } { 1 ! } + \left| \begin{array} { l l } { 1 } & { - 1 } \\ { \left( \frac { 1 - y ^ { 2 } } { 1 - y } \right) ^ { 4 } } & { 1 } \end{array} \right| \frac { z ^ { 2 } } { 2 ! } + \left| \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 1 } & { 0 } \\ { \left( \frac { 1 - y ^ { 2 } } { 1 - y } \right) ^ { 4 } } & { 1 } & { - 2 } \\ { \left( \frac { 1 - y ^ { 3 } } { 1 - y } \right) ^ { 4 } } & { \left( \frac { 1 - y ^ { 2 } } { 1 - y } \right) ^ { 4 } } & { 1 } \end{array} \right| \frac { z ^ { 3 } } { 3 ! }
\begin{array} { r } { Y _ { t } ^ { \varepsilon } = y + \sum _ { j = 1 } ^ { k } \theta ( Y _ { \tau _ { j } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) ( X _ { \tau _ { j } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - X _ { \tau _ { j - 1 } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) + I _ { t } ^ { \varepsilon } + \theta ( Y _ { t } ^ { \varepsilon } ) ( X _ { t } ^ { \varepsilon } - X _ { \tau _ { k } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( | u ( t , x ) | \leq \epsilon , t \in [ 0 , T ] , x \in [ 0 , 1 ] ) } & { = P ( \cap _ { j = 1 } ^ { n _ { 1 } - 1 } B _ { j } ) } \\ & { \leq \exp ( - \frac { \mathcal { C } _ { 7 } } { ( 1 + \mathcal { D } ^ { 2 } ) \epsilon ^ { 2 \alpha } } ) ^ { \frac { T } { \epsilon ^ { 4 } } } } \\ & { \leq \exp ( - \frac { C _ { 7 } T } { ( 1 + \mathcal { D } ^ { 2 } ) \epsilon ^ { 2 \alpha + 4 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } } & { { } = \xi _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ } } + \xi _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } , } \\ { \xi _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ } } } & { { } : = \frac { 2 ( \bar { n } - \bar { n } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ) } { \tau } = \frac { 2 \eta _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \bar { n } _ { B } } { \tau } , } \\ { \xi _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } } & { { } : = \frac { 2 \bar { n } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } } { \tau } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 3 } } & { = \sum _ { s = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ \mu _ { s } \cdot ( \beta _ { s } - \lambda _ { s } ) \right] = \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } \left[ \mu _ { s } \cdot ( \beta _ { s } - \lambda _ { s } ) \big | \ \tilde { \mu } , \{ \tilde { \gamma } _ { t } , \gamma _ { t } \} _ { t = 1 } ^ { s - 1 } \right] \right] = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( - 1 ) ^ { \nu ( E ) } } & { { } = \frac { \mathrm { P f } [ ( H ( \pi ) - E ) T ] } { \mathrm { P f } [ ( H ( 0 ) - E ) T ] } \times \left[ \frac { | \operatorname* { d e t } ( H ( \pi ) - E ) T | } { | \operatorname* { d e t } ( H ( 0 ) - E ) T | } \right] ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
\breve { \mathbf { b } } _ { I } = \left[ \begin{array} { c } { \frac { 1 } { n _ { v } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 n _ { v } } \delta _ { i I } d o f _ { i } ( \mathbf { p } _ { 1 } ) } \\ { \frac { 1 } { n _ { v } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 n _ { v } } \delta _ { i I } d o f _ { i } ( \mathbf { p } _ { 2 } ) } \\ { \frac { 1 } { n _ { v } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 n _ { v } } \delta _ { i I } d o f _ { i } ( \mathbf { p } _ { 3 } ) } \end{array} \right] , \quad \quad \delta _ { i I } = \left\{ \begin{array} { c } { 0 \ \mathrm { f o r } \ i \neq I } \\ { 1 \ \mathrm { f o r } \ i = I . } \end{array} \right.
S = \left\{ \begin{array} { l l } { \Gamma \left( \frac { \epsilon } { \nu } \right) ^ { - 1 / 2 } } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \qquad r _ { 0 } \ll \eta } \\ { \left( \frac { r _ { 0 } } { L _ { \Gamma } } \right) ^ { 2 / 3 } } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \qquad r _ { 0 } \gg \eta } \end{array} \right.
{ \cal L } _ { e f f } = \frac { \alpha _ { s } ^ { 2 } ( M _ { S } ) } { 2 1 6 M _ { S } ^ { 2 } } \left( - 2 2 ( \delta _ { L L } ^ { d } ) ^ { 2 } \kappa _ { 1 } { \cal O } _ { 1 } - 2 2 ( \delta _ { R R } ^ { d } ) ^ { 2 } \kappa _ { 1 } \tilde { { \cal O } } _ { 1 } + \delta _ { L L } ^ { d } \delta _ { R R } ^ { d } ( \frac { 8 } { 3 } ( 4 \kappa _ { 4 } + 5 \kappa _ { 5 } ) { \cal O } _ { 4 } - 4 0 \kappa _ { 5 } { \cal O } _ { 5 } ) + \mathrm { h . c . } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbf Q _ { \boldsymbol \chi } } & { { } = \Gamma _ { 0 } ( T ) \boldsymbol \chi , } \\ { \mathbf J _ { \boldsymbol \chi } } & { { } = \Gamma _ { 1 } ( T ) \mathbf I + \Gamma _ { 2 } ( T ) \left( \frac { 1 } { 2 } | \boldsymbol \chi | ^ { 2 } \mathbf I + \boldsymbol \chi \otimes \boldsymbol \chi \right) , } \end{array}
n _ { \Psi _ { 1 } } \, ( \varepsilon ^ { \prime } + \delta ) \, \langle \Gamma _ { \Psi _ { 1 } } \rangle + n _ { \Psi _ { 1 } } ^ { E Q } \, ( \varepsilon ^ { \prime } + \delta ) \, \langle \Gamma _ { \Psi _ { 1 } } \rangle - \left( \frac { \mu } { T } \right) n _ { \Psi _ { 1 } } ^ { E Q } \, \langle \Gamma _ { \Psi _ { 1 } } \rangle \quad ,
\begin{array} { r l r } { \hat { C } ( t ) } & { { } = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { N } p _ { k } ( I _ { k } ^ { 2 } - I _ { k } \langle I ( 0 ) \rangle ) \int _ { t } ^ { \infty } \psi _ { k } ( x ) d x , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { Y } _ { m } ^ { \ell } ( \theta , \phi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { L _ { m } ^ { \ell } ( \theta ) \cos ( m \phi ) } & { \mathrm { ~ m ~ \geq ~ 0 ~ } } \\ { L _ { m } ^ { \ell } ( \theta ) \sin ( \vert m \vert \phi ) } & { \mathrm { ~ m ~ < ~ 0 ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } _ { \mathrm { s u s y - r B I } } ^ { ( \lambda , \gamma ) } } & { = } & { \int d ^ { 2 } \theta d ^ { 2 } \bar { \theta } \, \frac { 1 6 W ^ { 2 } \bar { W ^ { 2 } } } { ( D ^ { 2 } W ^ { 2 } ) ( \bar { D } ^ { 2 } \bar { W } ^ { 2 } ) } \, L _ { \mathrm { r B I } } ^ { ( \lambda , \gamma ) } ( \mathbb { S } , \mathbb { P } ) \, , } \\ { L _ { \mathrm { r B I } } ^ { ( \lambda , \gamma ) } ( \mathbb { S } , \mathbb { P } ) } & { = } & { \frac { \alpha } { \lambda } \sqrt { - 1 + 2 \lambda \left( \cosh ( \gamma ) \mathbb { S } + \sinh ( \gamma ) \sqrt { \mathbb { S } ^ { 2 } + \mathbb { P } ^ { 2 } } \right) + \lambda ^ { 2 } \mathbb { P } ^ { 2 } } - \frac { \alpha \mathrm { i } } { \lambda } + \beta \mathbb { P } \, . ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \end{array}