harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathrm { T } \, \{ \Phi ( x _ { 1 } ) \Phi ( x _ { 2 } ) \} \equiv \Phi ( x _ { 1 } ) \Phi ( x _ { 2 } ) \Theta ( x _ { 1 } ^ { 0 } - x _ { 2 } ^ { 0 } ) \pm \Phi ( x _ { 2 } ) \Phi ( x _ { 1 } ) \Theta ( x _ { 2 } ^ { 0 } - x _ { 1 } ^ { 0 } ) \; \; .
\lambda ^ { - 1 } \hat { \mathbf { B } } _ { 1 , 0 } \Phi _ { 1 } ^ { \mathrm { ( e l e c ) } } + \left[ E \hat { I } - \hat { { \mathbf { H } } } _ { 1 , 1 } \right] \Phi _ { 1 } ^ { \mathrm { ( e l e c ) } } + \lambda \hat { \mathbf { B } } _ { 1 , 2 } \Phi _ { 1 } ^ { \mathrm { ( e l e c ) } } = 0 .
R = R _ { \mathrm { ~ 0 ~ } } + \frac { T _ { \mathrm { ~ 0 ~ } } ^ { 2 } R _ { \mathrm { ~ g ~ } } } { 1 - R _ { \mathrm { ~ 0 ~ } } R _ { \mathrm { ~ g ~ } } } ; \, \, \, T = \frac { ( 1 - R _ { \mathrm { ~ g ~ } } ) T _ { \mathrm { ~ 0 ~ } } } { 1 - R _ { \mathrm { ~ 0 ~ } } R _ { \mathrm { ~ g ~ } } }
F _ { L } ( x ) = { \frac { \alpha _ { S } } { 2 \pi } } x ^ { 2 } \int _ { x } ^ { A } { \frac { d y } { y ^ { 3 } } } \left( { \frac { 8 } { 3 } } F _ { 2 } ( y ) + 2 \sum e _ { i } ^ { 2 } ( 1 - x / y ) \, y G ( y ) \right) .
\begin{array} { r l } { f _ { \psi \vert \phi } ^ { \alpha } \left( \boldsymbol { x } + \boldsymbol { c } ^ { \alpha } \Delta { t } , t + \Delta { t } \right) } & { = } \\ { f _ { \psi \vert \phi } ^ { \alpha } ( \boldsymbol { x } , t ) - \frac { \Delta { t } } { \tau } \left[ f _ { \psi \vert \phi } ^ { \alpha } ( \boldsymbol { x } , t ) \right. } & { \left. - f _ { \mathrm { e q } , \psi \vert \phi } ^ { \alpha } ( \boldsymbol { x } , t ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { X _ { 3 } = \frac { \gamma ( { \mathbf { C } } ) } { \Delta ^ { 2 } } \{ \frac { \widetilde { \gamma } } { \Delta } [ \zeta ( { \mathbf { C } } ) + \frac { 1 } { \Delta } ( \gamma ( { \mathbf { C } } ) \zeta \widetilde { \gamma } + \eta \widetilde { \gamma } \eta ( { \mathbf { C } } ) ) + \frac { 1 } { \Delta ^ { 2 } } ( \eta ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { C } } ) - \eta \widetilde { \eta } \gamma \gamma ( { \mathbf { C } } ) ) ] } \\ & { - \frac { \widetilde { \eta } \gamma } { \Delta } [ \frac { 1 } { \Delta } \eta ( { \mathbf { C } } ) + \frac { 1 } { \Delta ^ { 2 } } ( \gamma ( { \mathbf { C } } ) \eta \widetilde { \gamma } - \widetilde { \eta } \gamma ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { C } } ) ) ] - \frac { \gamma ( { \mathbf { C } } ) } { \Delta } ( \frac { \widetilde { \eta } \eta - \widetilde { \zeta } \gamma ^ { 2 } } { \Delta } ) \} } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { ( { \mathcal R } ^ { 3 } ) _ { j k } = \omega ^ { 3 } \langle j , m | \, { \hat { R } } ^ { 3 } \, { | k , m \rangle } \qquad \qquad \quad \quad \qquad \qquad } & \\ & { = 2 \, ( 5 k ^ { 2 } + 5 k + 3 - 3 m ^ { 2 } ) ( 2 k + 1 ) \, \delta _ { j k } \quad } & \\ & { + 3 \, ( 5 k ^ { 2 } + 1 - m ^ { 2 } ) \sqrt { k ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \, \delta _ { j , k - 1 } } & \\ & { + 3 \, ( 2 k - 1 ) \sqrt { k ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \sqrt { ( k - 1 ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \, \delta _ { j , k - 2 } } & \\ & { + \sqrt { k ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \sqrt { ( k - 1 ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \sqrt { ( k - 2 ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \, \delta _ { j , k - 3 } } & \\ & { + 3 \, ( 5 k ^ { 2 } + 1 0 k + 6 - m ^ { 2 } ) \sqrt { ( k + 1 ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \, \delta _ { j , k + 1 } \quad \; } & \\ & { + 3 \, ( 2 k + 3 ) \sqrt { ( k + 1 ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \sqrt { ( k + 2 ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \, \delta _ { j , k + 2 } } & \\ & { + \sqrt { ( k + 1 ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \sqrt { ( k + 2 ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \quad } & \\ & { \times \sqrt { ( k + 3 ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \, \delta _ { j , k + 3 } \; \; } & \end{array}
\bar { \lambda } ^ { ( 1 ) } ( M ) = \frac { d ^ { 4 } V _ { e f f } } { d \phi ^ { 4 } } = \lambda + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \left( 3 \ln \frac { M ^ { 2 } } { 2 \sigma } + 8 + 4 \frac \sigma { M ^ { 2 } } - 4 \frac { \sigma ^ { 2 } } { M ^ { 4 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { S ( \beta ) = } & { \frac { n _ { d } c } { 8 \pi } \int d ^ { 2 } \boldsymbol { \rho } } \\ & { \hat { \mathbf { z } } \cdot \left[ \left( \mathbf { E } ^ { + } \times \mathbf { B } ^ { + \ast } \right) _ { z = 0 } - \left( \mathbf { E } ^ { - } \times \mathbf { B } ^ { - \ast } \right) _ { z < z _ { d } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { 1 } } & { = \int _ { \Omega \setminus \Sigma } \vartheta ^ { \# } ( \mathbf { x } ; \chi ) \, \mathrm { d } \Omega - \frac { 1 } { f _ { 0 } } \int _ { \Omega \setminus \Sigma } \vartheta ^ { \# } ( \mathbf { x } ; \chi ) \, h _ { T } \, \Big ( \mu ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \Big ) \, \mathrm { d } \Omega } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \frac { 1 } { f _ { 0 } } \int _ { \Omega \setminus \Sigma } \vartheta ^ { \# } ( \mathbf { x } ; \chi ) \, \Big ( d \, \mathrm { d i v } \big [ \kappa ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { g r a d } [ \mu ( \mathbf { x } ) ] \big ] \Big ) \, \mathrm { d } \Omega } \\ & { = \frac { 1 } { f _ { 0 } } \int _ { \Omega \setminus \Sigma } \vartheta ^ { \# } ( \mathbf { x } ; \chi ) \, \Big ( d \, \mathrm { d i v } \big [ \kappa ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { g r a d } [ \mu ( \mathbf { x } ) ] \big ] + f _ { 0 } - h _ { T } \, \big ( \mu ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \big ) \Big ) \, \mathrm { d } \Omega } \end{array}
\frac { \delta H [ \pi ( x ) , \phi ( x ) ] } { \delta \pi ( x ) } = \pi ( x ) \; \; \; , \frac { \delta H [ \pi ( x ) , \phi ( x ) ] } { \delta \phi ( x ) } = - v ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \phi ( x ) } { \partial x ^ { 2 } }
\langle k _ { 1 } \, s _ { 1 } \left| J _ { \mu } ^ { E M } ( 0 ) \right| k _ { 2 } \, s _ { 2 } \rangle = \bar { u } _ { N } ( k _ { 1 } , s _ { 1 } ) \left[ F _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) \gamma _ { \mu } + \frac { i \kappa } { 2 M _ { N } } F _ { 2 } ( q ^ { 2 } ) \sigma _ { \mu \nu } q ^ { \nu } \right] u _ { N } ( k _ { 2 } , s _ { 2 } ) \; ,
\begin{array} { r l r } { C _ { \mathrm M } \frac { d V _ { i } } { d t } } & { = } & { - g _ { \mathrm K } n _ { i } ^ { 4 } ( V _ { i } - E _ { \mathrm K } ) - g _ { \mathrm { N a } } m _ { i } ^ { 3 } h _ { i } ( V _ { i } - E _ { \mathrm { N a } } ) } \\ & { } & { - g _ { \mathrm { \ell } } ( V _ { i } - E _ { \mathrm \ell } ) + I _ { i , \mathrm { e x t } } + I _ { \mathrm { i , c o u p } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb E \prod _ { k : \varepsilon ^ { \prime } < | \xi _ { 1 , k } | \le \varepsilon } ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \xi _ { 1 , k } ) \bar { s } _ { 1 , k } \delta _ { 1 } ) ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb E \prod _ { k \le \pi ( \varepsilon ^ { - \alpha } - \varepsilon ^ { - \alpha } ) } ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta g _ { \varepsilon , \varepsilon ^ { \prime } , k } ) \bar { s } _ { 1 , k } \delta _ { 1 } ) ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb E _ { w , u , \delta } \exp \Bigl ( ( \varepsilon ^ { - \alpha } - \varepsilon ^ { - \alpha } ) \bigl ( \mathbb E _ { g , v } ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta g _ { \varepsilon , \varepsilon ^ { \prime } , k } ) \bar { s } _ { 1 , k } \delta _ { 1 } ) ^ { 2 } - 1 \bigr ) \Bigr ) } \\ & { = \mathbb E _ { w , u } \exp \Bigl ( ( \varepsilon ^ { - \alpha } - \varepsilon ^ { - \alpha } ) \mathbb E _ { g , v } \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( \beta g _ { \varepsilon , \varepsilon ^ { \prime } , k } ) \bar { s } _ { 1 , k } ^ { 2 } ) \Bigr ) } \\ & { = \mathbb E _ { w , u } \exp \Bigl ( \mathbb E _ { v } \bar { s } _ { 1 , k } ^ { 2 } \int _ { \varepsilon ^ { \prime } < | x | \le \varepsilon } \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( \beta x ) \mu ( d x ) \Bigr ) } \\ & { \le \exp \Bigl ( \int _ { | x | \le \varepsilon } \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( \beta x ) \mu ( d x ) \Bigr ) \xrightarrow [ \varepsilon \downarrow 0 ] 1 , } \end{array}
G ( z \vert \tau ) = \log \chi \ , \ \ \chi = 2 \pi e ^ { - \pi y ^ { 2 } / \tau _ { 2 } } \Bigl \vert { \frac { \theta _ { 1 } ( z \vert \tau ) } { \theta _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 \vert \tau ) } } \Bigr \vert \ \ ,
\begin{array} { r } { B _ { c } = \{ b \in B \quad | \quad C N T R Y ( b ) = c \} } \\ { \ E _ { c } = \{ e \in E \quad | \quad e \in n e i ( b ) \forall b \in B _ { c } \} } \\ { \ I _ { c } = \{ i \in I \quad | \quad I \in n e i ( e ) \forall e \in E _ { c } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { 0 } } & { { } = \frac { k _ { f } \cos ( \theta _ { \mathrm { p } } - \theta ) - k _ { i } \cos \theta _ { \mathrm { p } } } { q } } \\ { \epsilon _ { \pm 1 } } & { { } = \frac { - i } { \sqrt { 2 } } \frac { \sin \theta _ { \mathrm { p } } ( k _ { f } \cos \theta - k _ { i } ) - k _ { f } \cos \theta _ { \mathrm { p } } \sin \theta } { q } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 0 } = } & { { } { \frac { 2 A } { 3 } } } \\ { a _ { n } = } & { { } { \frac { 4 A } { \pi ^ { 2 } n ^ { 2 } } } } \\ { b _ { n } = } & { { } 0 } \end{array}
\frac { 1 6 } { A _ { 2 } } ( h _ { \mathrm { i } } - h _ { 0 } ( t ) ) + \frac { a ( 2 1 A _ { 2 } - 1 6 A _ { 1 } ) } { A _ { 2 } ^ { 2 } } \ln { \left( \frac { A _ { 1 } a + A _ { 2 } h _ { \mathrm { i } } } { A _ { 1 } a + A _ { 2 } h _ { 0 } ( t ) } \right) } = \frac { 3 1 5 } { 1 6 } v _ { \mathrm { e } } ^ { 0 } t .
\begin{array} { r l } & { \Lambda _ { a } ^ { \alpha - 1 } h : = \int _ { \mathbb { T } } ( 2 - 2 \cos ( x - y ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } a ( x , y ) ( h ( x ) - h ( y ) ) d y , } \\ & { \Upsilon _ { a } ^ { \alpha - 3 } h : = \int _ { \mathbb { T } } ( 2 - 2 \cos ( x - y ) ) ^ { 1 - \frac { \alpha } { 2 } } a ( x , y ) h ( y ) d y . } \end{array}
\Gamma = \frac { G _ { f } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta _ { c } } { 4 \pi ^ { 3 } } ( 1 + 3 g _ { A } ^ { 2 } ) n _ { p } e B \sum _ { \nu } ( 2 - \delta _ { \nu , 0 } ) \int _ { Q } ^ { \infty } \frac { E _ { e } ( E _ { e } - Q ) ^ { 2 } } { \sqrt { E _ { e } ^ { 2 } - m _ { e } ^ { 2 } - 2 \nu e B } } f _ { e } ( 1 - f _ { \nu } ) \, d E _ { e }
\mathbb { P } \bigg ( \frac { a _ { n } \mu _ { n } S _ { n } } { \vartheta _ { n } \sqrt { w _ { n } } } \in B \bigg ) \leq \sum _ { j = 1 } ^ { d } \mathbb { P } \bigg ( \bigg | \frac { a _ { n } \mu _ { n } S _ { n } ^ { j } } { \sqrt { w _ { n } } } \bigg | \geq \frac { \vartheta _ { n } x _ { B } } { d } \bigg ) \leq \big ( 1 - \Phi ( \vartheta _ { n } x _ { B } ) \big ) \mathscr { F } ( B , \vartheta , n ) ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left\| y ^ { k , t + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ( 1 - \beta _ { k , t } \mu _ { g } ) \left\| y ^ { k , t } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } + 2 \beta _ { k , t } ( 2 \beta _ { k , t } l _ { g , 1 } - 1 ) \mathbb { E } \left[ g ( x ^ { k } , y ^ { k , t } ) - g ( x ^ { k } , y ^ { * } ( x ^ { k } ) ) \right] + \frac { 4 \beta _ { k , t } ^ { 2 } ( \sigma _ { g , 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { g } ^ { 2 } ) } { n S } } \\ { \leq } & { ( 1 - \beta _ { k , t } \mu _ { g } ) \left\| y ^ { k , t } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } + \frac { 4 \beta _ { k , t } ^ { 2 } ( \sigma _ { g , 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { g } ^ { 2 } ) } { n S } . } \end{array}
v _ { \varphi } ( k , x ) = - \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 4 } \frac { \psi _ { \mathrm { e } } v _ { \psi } ( k , t _ { \mathrm { e } } ) } { J _ { 0 } ( x _ { \mathrm { e } } ) ^ { 2 } } \biggl [ x ^ { 2 } \biggl ( J _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) + 2 J _ { 1 } ^ { 2 } ( x ) - J _ { 0 } ( x ) J _ { 2 } ( x ) \biggr ) - G ( x _ { \mathrm { e } } ) - 2 F ( x _ { \mathrm { e } } ) \biggr ] ,
E _ { k } = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i } { \frac { | { \bf { { p } _ { i } | ^ { 2 } } } } { 2 m _ { i } } } = \sum _ { i } \left( { \frac { { { p _ { r } } _ { i } } ^ { 2 } } { 2 m _ { i } } } + { \frac { 1 } { 2 } } { \bf { { L } _ { i } } } ^ { \textsf { T } } { I _ { i } } ^ { - 1 } { \bf { { L } _ { i } } } \right)
\begin{array} { r l } { \frac { 3 } { 4 } \left[ 1 - x ^ { 2 } ( v - 1 ) ^ { 2 } \right] ( v - 2 ) x \mathrm { e } ^ { - \frac { 2 } { T } } + } & { { } } \\ { \frac { 1 } { 4 } \left[ x ^ { 2 } ( v - 1 ) ^ { 2 } ( v - 4 ) + 3 v - 4 \right] x \mathrm { e } ^ { - \frac { 6 } { T } } + } & { { } } \\ { \frac { 1 } { 2 } \left[ 1 - 3 v + 4 ( v - 1 ) ^ { 3 } x ^ { 2 } \right] x = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tan ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } ) } & { { } = { \frac { e _ { 1 } } { e _ { 0 } - e _ { 2 } } } = { \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 1 \ - \ x _ { 1 } x _ { 2 } } } = { \frac { \tan \theta _ { 1 } + \tan \theta _ { 2 } } { 1 \ - \ \tan \theta _ { 1 } \tan \theta _ { 2 } } } , } \\ { \tan ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } + \theta _ { 3 } ) } & { { } = { \frac { e _ { 1 } - e _ { 3 } } { e _ { 0 } - e _ { 2 } } } = { \frac { ( x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } ) \ - \ ( x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } ) } { 1 \ - \ ( x _ { 1 } x _ { 2 } + x _ { 1 } x _ { 3 } + x _ { 2 } x _ { 3 } ) } } , } \\ { \tan ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } + \theta _ { 3 } + \theta _ { 4 } ) } & { { } = { \frac { e _ { 1 } - e _ { 3 } } { e _ { 0 } - e _ { 2 } + e _ { 4 } } } } \end{array}
H = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { M _ { x } ^ { 2 } } { I _ { x } } + \frac { M _ { y } ^ { 2 } } { I _ { y } } + \frac { M _ { z } ^ { 2 } } { I _ { z } } \right) + M g l \mathbf { r } \cdot \boldsymbol { \chi } ,
\begin{array} { r } { \sigma _ { L } ^ { 2 } ( \tau ) = D \tau \left( \frac { 2 \gamma } { D } - \frac { 2 \Gamma \left( \frac { \gamma } { D } + 2 \right) ^ { 2 } } { \Gamma \left( \frac { \gamma } { D } + \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } } + 3 \right) \ . } \end{array}
{ \frac { d B } { d p ^ { 2 } } } = - 3 { \frac { \alpha } { 4 \pi ( p ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { p ^ { 2 } } d k ^ { 2 } { \frac { k ^ { 2 } B } { k ^ { 2 } + B } }
\widetilde { T } ^ { l } = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } Q _ { i } ^ { 1 , 0 } ( \widetilde { \mathcal { W } } _ { n } ^ { l } ) \, \widetilde { Y } _ { i } ^ { l } = \widetilde { \Omega } _ { 1 } ^ { l } + \widetilde { \Omega } _ { 2 } ^ { l } \, \overline { { T } } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \varepsilon _ { 1 , i } ^ { * } \, \widetilde { U } _ { i } ^ { l }
\begin{array} { r l } { v _ { g } ^ { \pm } } & { = \frac { \displaystyle \frac { k _ { \pm } ^ { \prime } } { \mu \omega } \mp \frac { \Sigma } { 2 \omega } + i \frac { \omega \epsilon ^ { \prime \prime } } { 2 k _ { \pm } ^ { \prime } } \left( 1 \mp \frac { \mu \Sigma } { 2 k _ { \pm } ^ { \prime } } \right) ^ { - 1 } } { \displaystyle \epsilon ^ { \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } + i \left( \epsilon ^ { \prime \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime \prime } } { \partial \omega } \right) } , } \end{array}
\vec { P } _ { 2 T } = \xi ^ { ' } { \vec { k } } _ { T } + \vec { \rho ^ { \prime } } - { \frac { ( \vec { P } _ { 1 } \vec { \rho ^ { \prime } } ) } { P _ { 1 } ^ { 2 } } } \vec { P } _ { 1 } ,
\hat { p } ( \mathbf x , \pmb \theta ( t ) ) = \sum _ { i = 1 } ^ { r } A _ { i } ^ { 2 } ( t ) \exp \left[ - \frac { | \mathbf x - \mathbf c _ { i } ( t ) | ^ { 2 } } { L _ { i } ^ { 2 } ( t ) } \right] ,
5 { F _ { \frac { p \pm 1 } { 2 } } } ^ { 2 } \equiv { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { 2 } } \left( 5 \left( { \frac { p } { 5 } } \right) \pm 5 \right) { \pmod { p } } } & { { \mathrm { i f ~ } } p \equiv 1 { \pmod { 4 } } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } } \left( 5 \left( { \frac { p } { 5 } } \right) \mp 3 \right) { \pmod { p } } } & { { \mathrm { i f ~ } } p \equiv 3 { \pmod { 4 } } . } \end{array} \right. }
\delta W _ { { \mathrm { \scriptsize ~ { r e n } } } } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \cal M } d ^ { 2 } z \sqrt { h } \delta h ^ { a b } T _ { a b } = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \cal M } d ^ { 2 } z \sqrt { h } \delta k ( x ) T _ { a } ^ { a } ( x ) \, ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \boldsymbol { v } _ { 1 } + 2 \boldsymbol { \Omega } _ { c } \times \boldsymbol { v } _ { 1 } } & { { } = \boldsymbol { \mathcal { L } } ( \boldsymbol { v } _ { 1 } ) + 2 E \nabla \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \epsilon } ( \boldsymbol { v } _ { 1 } ) - \nabla p , } \\ { \nabla \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { v } _ { 1 } } & { { } = 0 , } \end{array}
\left[ \frac { } { } \overline { { { D } } } _ { \perp } , \; \overline { { { F } } } _ { + \perp } \right] ^ { a } ( r ) \; = \; \left[ \frac { } { } \delta ^ { a b } \partial _ { \perp } - g f ^ { a b c } \overline { { { A } } } _ { \perp } ^ { c } ( r ) \, , \; \overline { { { F } } } _ { + \perp } ^ { b } \right] ( r ) \; = \; - \; \widehat { j } _ { + } ^ { a } ( r ) \; ,
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \mathrm { ~ S ~ H ~ G ~ } , \mathbf { k } } ^ { \mu \alpha \beta } ( \omega ) = \, \, } & { { } \sum _ { a , b , c } v _ { a b } ^ { \mu } \frac { \displaystyle v _ { b c } ^ { \beta } \frac { v _ { c a } ^ { \alpha } f _ { a c } } { \omega - \epsilon _ { c a } } - \frac { f _ { c b } v _ { b c } ^ { \alpha } } { \omega - \epsilon _ { b c } } v _ { c a } ^ { \beta } } { 2 \omega - \epsilon _ { b a } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla u } & { { } = \widehat { n } \otimes ( \widehat { n } \, \partial _ { \sigma } u _ { \sigma } + \partial _ { \sigma } u _ { \bot } ) + J ^ { - 1 } \left( ( \nabla _ { \! \bot } u _ { \sigma } + K u _ { \bot } ) \otimes \widehat { n } + ( \nabla _ { \! \bot } u _ { \bot } \cdot \Pi - u _ { \sigma } \, K ) \right) . } \end{array}
S = - \frac { 1 } { 2 } \int \! d \xi ^ { + } d \xi ^ { - } [ { ( { E _ { 0 } } ^ { - 1 } + \Pi ) ^ { - 1 } } _ { i j } ( \partial _ { + } g g ^ { - 1 } ) ^ { i } ( \partial _ { - } g g ^ { - 1 } ) ^ { j } + \partial _ { + } t \partial _ { - } t ] ,
\begin{array} { r l } { u _ { i } ( { \bf x } ) } & { { } = u _ { i } ^ { ( 0 ) } ( { \bf x } ) + \int _ { \Omega } d { \bf x } ^ { \prime } H _ { i j k } ^ { ( 0 ) } ( { \bf x } , { \bf x } ^ { \prime } ) \Delta c _ { j k l m } ( { \bf x } ^ { \prime } ) \epsilon _ { l m } ( { \bf x } ^ { \prime } ) } \end{array}
{ \frac { g _ { h b b } ^ { 2 } } { g _ { h _ { \mathrm { S M } } b b } ^ { 2 } } } \simeq 1 - { \frac { 4 c m _ { Z } ^ { 2 } \cos 2 \beta } { m _ { A } ^ { 2 } } } \left[ \sin ^ { 2 } \beta - { \frac { \Delta _ { b } } { 1 + \Delta _ { b } } } \right] \, .
{ \cal { A } } = \sum _ { \eta = 1 } ^ { \infty } { \textstyle \frac { i g ^ { \eta } } { \eta ! } } { \int } d { \bf r } \; \{ \, \psi _ { ( \eta ) i } ^ { \gamma } ( { \bf { r } } ) \, + \, f _ { ( \eta ) } ^ { \vec { \alpha } \beta \gamma } \, { \cal { M } } _ { ( \eta ) } ^ { \vec { \alpha } } ( { \bf { r } } ) \, \overline { { { { \cal { B } } _ { ( \eta ) i } ^ { \beta } } } } ( { \bf { r } } ) \, \} \; \Pi _ { i } ^ { \gamma } ( { \bf { r } } ) \; .
\begin{array} { r l r } { A _ { 0 i } + A _ { 0 r } } & { { } = } & { A _ { 0 t } , } \\ { A _ { 0 i } - A _ { 0 r } } & { { } = } & { A _ { 0 t } , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 i } + \overline { { A } } _ { 0 r } } & { { } = } & { 0 , } \end{array}
q ( m , 2 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - 2 ^ { ( 1 - m ) / 2 } - 2 ^ { ( 2 - m ) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ m \geq 3 \ o d d } \\ { 1 - 2 ^ { - m / 2 } - 2 ^ { ( 2 - m ) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ m \geq 2 \ e v e n } \end{array} \right.
\Gamma _ { i \rightarrow a } ^ { e x } = \frac { 4 } { \hbar } \sum _ { s } | \mathcal { M } _ { i a } ^ { s } | ^ { 2 } \frac { \gamma _ { e x } } { ( \epsilon _ { i } - \epsilon _ { a } + \omega _ { s } ) ^ { 2 } + \gamma _ { e x } ^ { 2 } } \delta ( \omega - \omega _ { s } ) .
\begin{array} { r l } { \partial _ { z } \tilde { A } ( z , \omega ) } & { { } = - \sqrt { d } \tilde { P } ( z , \omega ) } \\ { i \omega \tilde { P } ( z , \omega ) } & { { } = - \bar { \gamma } \tilde { P } ( z , \omega ) + \sqrt { d } \tilde { A } ( z , \omega ) - \frac { i } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { \tilde { \Omega } ( \omega ) } { 2 } * \tilde { B } ( z , \omega ) } \\ { i \omega \tilde { B } ( z , \omega ) } & { { } = - \gamma _ { B } \tilde { B } ( z , \omega ) - \frac { i } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { \tilde { \Omega } ^ { * } ( - \omega ) } { 2 } * \tilde { P } ( z , \omega ) . } \end{array}
S = \int \, d ^ { 4 } x \left[ \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \phi + \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } ( t ) \phi ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 4 ! } \phi ^ { 4 } \right] \, ,
\begin{array} { r } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathcal { L } \supset - \frac { \phi } { \sqrt { 2 } M _ { \mathrm { P l } } } \left[ \displaystyle \sum _ { q = u , d } d _ { m _ { q } } \, m _ { q } \, \bar { q } q + \frac { d _ { g } \, \beta ( g _ { s } ) } { 2 g _ { s } } G ^ { \mu \nu } G _ { \mu \nu } \right] \! \! , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \zeta _ { i r i r } ^ { 2 } } & { = \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } , j _ { 4 } } \alpha _ { i i j _ { 1 } j _ { 2 } } \alpha _ { i i j _ { 3 } j _ { 4 } } \, \mathbb { E } Z _ { i j _ { 1 } r } Z _ { i j _ { 3 } r } Z _ { i j _ { 2 } r } Z _ { i j _ { 4 } r } } \\ & { \lesssim \sum _ { j _ { 1 } } \alpha _ { i i j _ { 1 } j _ { 1 } } ^ { 2 } \Omega _ { i j _ { 1 } } + \sum _ { j _ { 1 } \neq j _ { 4 } } \alpha _ { i i j _ { 1 } j _ { 1 } } \alpha _ { i i j _ { 1 } j _ { 4 } } \, \Omega _ { i j _ { 1 } } \Omega _ { i j _ { 4 } } } \\ & { \quad + \sum _ { j _ { 1 } \neq j _ { 3 } } \alpha _ { i i j _ { 1 } j _ { 1 } } \alpha _ { i i j _ { 3 } j _ { 3 } } \, \Omega _ { i j _ { 1 } } \Omega _ { i j _ { 3 } } + \sum _ { j _ { 1 } \neq j _ { 2 } } \alpha _ { i i j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { 2 } \, \Omega _ { i j _ { 1 } } \Omega _ { i j _ { 2 } } } \\ & { \quad + \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 3 } , j _ { 4 } ( d i s t . ) } \alpha _ { i i j _ { 1 } j _ { 1 } } \alpha _ { i i j _ { 3 } j _ { 4 } } \, \Omega _ { i j _ { 1 } } \Omega _ { i j _ { 3 } } \Omega _ { i j _ { 4 } } + \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 4 } ( d i s t . ) } \alpha _ { i i j _ { 1 } j _ { 2 } } \alpha _ { i i j _ { 1 } j _ { 4 } } \Omega _ { i j _ { 1 } } \Omega _ { i j _ { 2 } } \Omega _ { i j _ { 4 } } } \\ & { \quad + \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } , j _ { 4 } ( d i s t . ) } \alpha _ { i i j _ { 1 } j _ { 2 } } \alpha _ { i i j _ { 3 } j _ { 4 } } \Omega _ { i j _ { 1 } } \Omega _ { i j _ { 2 } } \Omega _ { i j _ { 3 } } \Omega _ { i j _ { 4 } } = : \sum _ { a = 1 } ^ { 7 } B _ { a , i , r } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } e _ { \omega } ^ { i } \wedge d \ast \big ( d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) \wedge \ast \omega \big ) = } & { { } ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } e _ { \omega } ^ { i } \wedge \ast \delta \big ( d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) \wedge \ast \omega \big ) } \\ { = } & { { } ( - 1 ) ^ { n - 1 } \langle d e _ { \omega } ^ { i } , d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) \wedge \ast \omega ) \rangle _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Omega ) } } \\ { = } & { { } - \int _ { \Omega } d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) \wedge ( \ast d e _ { \omega } ^ { i } ) \wedge ( \ast \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 1 D } = } & { \sum _ { j } \Big [ ( m _ { z } + i \gamma _ { \downarrow } / 2 ) \bigr ( | j \uparrow \rangle \langle j \uparrow | - | j \downarrow \rangle \langle j \downarrow | \bigr ) } \\ & { - t _ { 0 } \bigr ( | j \uparrow \rangle \langle j + 1 \uparrow | - e ^ { - i K } | j \downarrow \rangle \langle j + 1 \downarrow | + h . c . \bigr ) } \\ & { + t _ { \mathrm { s o } } \bigr ( | j \downarrow \rangle \langle j + 1 \uparrow | - e ^ { i K } | j + 1 \downarrow \rangle \langle j \uparrow | + h . c . \bigr ) \Big ] , } \end{array}
\Sigma = \left( \begin{array} { l l } { \sigma _ { 1 1 } ^ { 2 } } & { \rho \sigma _ { 1 1 } \sigma _ { 2 2 } } \\ { \rho \sigma _ { 1 1 } \sigma _ { 2 2 } } & { \sigma _ { 2 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right) ,
\lambda ( L , n , k _ { 1 } , k _ { 2 } , M _ { 1 } , M _ { 2 } ) = \frac { \sqrt { \sum _ { p = 0 } ^ { k _ { 1 } } C _ { n / 6 } ^ { p } C _ { n / 6 } ^ { k _ { 1 } - p } C _ { n / 3 - p } ^ { k _ { 2 } } \sum _ { q = 0 } ^ { M _ { 1 } - k _ { 1 } } C _ { ( L - n ) / 6 } ^ { q } C _ { ( L - n ) / 6 } ^ { M _ { 1 } - k _ { 1 } - q } C _ { ( L - n ) / 3 - q } ^ { M _ { 2 } - k _ { 2 } } } } { \sqrt { \sum _ { l = 0 } ^ { M _ { 1 } } C _ { L / 6 } ^ { l } C _ { L / 6 } ^ { M _ { 1 } - l } C _ { L / 3 - l } ^ { M _ { 2 } } } } .
\frac { O v e r s h o o t } { \textit { O u t b r e a k S i z e } } = \frac { \frac { 1 } { R _ { 0 } } - S _ { \infty } } { 1 - S _ { \infty } } = \frac { 1 } { R _ { 0 } ( 1 - S _ { \infty } ) } - \frac { S _ { \infty } } { 1 - S _ { \infty } }