harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\operatorname { t a n h } ( \zeta _ { v } + \zeta _ { u ^ { \prime } } ) = { \frac { \operatorname { t a n h } \zeta _ { v } + \operatorname { t a n h } \zeta _ { u ^ { \prime } } } { 1 + \operatorname { t a n h } \zeta _ { v } \operatorname { t a n h } \zeta _ { u ^ { \prime } } } }
D _ { \hat { \alpha } } \xi _ { \hat { \beta } } = - { \frac { 1 } { 4 } } ( \Gamma ^ { \mu \nu } ) _ { \hat { \beta } \hat { \alpha } } \partial _ { \mu } \xi _ { \nu } + { \frac { 1 } { 1 2 } } C _ { \hat { \beta } \hat { \alpha } } \partial _ { \sigma } \xi ^ { \sigma } + { \frac { 1 } { 1 2 } } ( \Gamma ^ { i j } ) _ { \hat { \beta } \hat { \alpha } } D _ { \sigma [ i j ] } \xi ^ { \sigma } ,
G ( M ^ { 2 } ) = \sum _ { X } \left| \langle B ( p _ { B } ) | H _ { e f f } | \bar { D } ( p _ { \bar { D } } ) X \rangle \right| ^ { 2 } ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { 4 } ( p _ { B } - p _ { \bar { D } } - p _ { X } )
\begin{array} { r l r l } { S ( ( n - 1 , n - 3 , 1 ) , \mathrm { T e a m ~ } A \mathrm { ~ w i n s } ) } & { = p _ { A } , } & { Q ( ( n - 1 , n - 3 , 1 ) , ( n - 1 , n - 3 , 2 ) ) } & { = q _ { A } , } \\ { Q ( ( n - 1 , n - 3 , 2 ) , ( n - 1 , n - 2 , 2 ) ) } & { = p _ { B } , } & { Q ( ( n - 1 , n - 3 , 2 ) , ( n - 1 , n - 3 , 1 ) ) } & { = q _ { B } , } \\ { S ( ( n - 1 , n - 2 , 1 ) , \mathrm { T e a m ~ } A \mathrm { ~ w i n s } ) } & { = p _ { A } , } & { Q ( ( n - 1 , n - 2 , 1 ) , ( n - 1 , n - 2 , 2 ) ) } & { = q _ { A } , } \\ { Q ( ( n - 1 , n - 2 , 2 ) , ( n - 1 , n - 1 , 2 ) ) } & { = p _ { B } , } & { Q ( ( n - 1 , n - 2 , 2 ) , ( n - 1 , n - 2 , 1 ) ) } & { = q _ { B } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { X } & { { } = } & { ( a _ { 1 A } + a _ { 1 B } + a _ { 1 2 } ) ( a _ { 2 A } + a _ { 2 B } + a _ { 1 2 } ) - a _ { 1 2 } ^ { 2 } , } \\ { Y } & { { } = } & { ( a _ { 1 A } + a _ { 1 B } ) \, a _ { 2 A } \, a _ { 2 B } + ( a _ { 2 A } + a _ { 2 B } ) \, a _ { 1 A } \, a _ { 1 B } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Delta \mathbf { X } \cdot \nabla _ { \mathbf { X } } P \left( \mathbf { X } \right) = \left( 1 - \frac { P \left( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } \right) } { P \left( \mathbf { Y } \right) } \right) P \left( \mathbf { X } , t \right) \approx \mathbf { i } \left( \mathbf { X } : \mathbf { Y } \right) P \left( \mathbf { X } \right) } \\ & { \implies \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Delta X _ { i } \frac { \partial } { \partial X _ { i } } P \left( \mathbf { X } \right) = \mathbf { i } \left( \mathbf { X } : \mathbf { Y } \right) P \left( \mathbf { X } \right) } \\ & { \implies \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Delta X _ { i } \frac { \partial } { \partial X _ { i } } \Big ( \ln { P \left( \mathbf { X } \right) } \Big ) = \mathbf { i } \left( \mathbf { X } : \mathbf { Y } \right) } \end{array}
\zeta ( 0 ) = { \frac { 1 } { \pi } } \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \ \sin \left( { \frac { \pi s } { 2 } } \right) \ \zeta ( 1 - s ) = { \frac { 1 } { \pi } } \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \ \left( { \frac { \pi s } { 2 } } - { \frac { \pi ^ { 3 } s ^ { 3 } } { 4 8 } } + . . . \right) \ \left( - { \frac { 1 } { s } } + . . . \right) = - { \frac { 1 } { 2 } }
\begin{array} { r l } { \sqrt { \operatorname* { d e t } g _ { i j } } } & { = \left\vert \frac { \partial G } { \partial t } \times \frac { \partial G } { \partial s } \right\vert = \left\langle G , \frac { \partial G } { \partial t } \times \frac { \partial G } { \partial s } \right\rangle = \operatorname* { d e t } \left( G , \frac { \partial G } { \partial t } , \frac { \partial G } { \partial s } \right) } \\ & { = \operatorname* { d e t } \left( G , \frac { \alpha ^ { \prime } ( t ) } { r } , - \frac { \beta ^ { \prime } ( s ) } { r } \right) = \frac { \operatorname* { d e t } \left( \alpha ^ { \prime } ( t ) , \beta ^ { \prime } ( s ) , \beta ( s ) - \alpha ( t ) \right) } { \left\vert \alpha ( t ) - \beta ( s ) \right\vert ^ { 3 } } . } \end{array}
\pi _ { * } { \cal O } _ { \pi ^ { * } { \cal S } } ( A \sigma | _ { \pi ^ { * } { \cal S } } ) \simeq { \cal O } _ { { \cal S } } \oplus \bigoplus _ { i = 2 } ^ { A } { \cal O } _ { { \cal S } } ( i ( r - 2 ) )
\begin{array} { r l } { - \frac { \alpha } { s _ { t } \sigma _ { t } ^ { 2 } } \nabla _ { \hat { x } _ { t } } \| C D _ { \theta } ( \hat { x } _ { t } , \sigma _ { t } ) - y \| ^ { 2 } } & { { } = - \frac { \alpha } { \sigma _ { t } ^ { 2 } } \nabla _ { x _ { t } } \| C D _ { \theta } ( \hat { x } _ { t } , \sigma _ { t } ) - y \| ^ { 2 } } \end{array}
S ( t ) = \exp \left[ - \frac { i E _ { 0 } t } { \hbar } + \frac { 4 i } { 3 } \sqrt { \frac { n a _ { 1 1 } ^ { 3 } } { \pi } } \left( \frac { a _ { 1 2 } } { a _ { 1 1 } } \right) ^ { 2 } \mathcal { R } \left( \frac { t } { t _ { n } } \right) \right] ,
\begin{array} { r } { D _ { + } ^ { 2 } - a _ { + } = - ( D _ { - } ^ { 2 } - a _ { - } ) \; , } \\ { D _ { + } ^ { 2 } - a _ { - } = - ( D _ { - } ^ { 2 } - a _ { + } ) \; , } \\ { ( D _ { + } ^ { 2 } - a _ { + } ) ( D _ { + } ^ { 2 } - a _ { - } ) = a _ { c o } ^ { 2 } \; . } \end{array}
\mathcal { A } _ { m + 1 } [ u ] = \sqrt { | u _ { m + 1 } | ^ { 2 } + \sum _ { j \ge 1 } { \alpha ^ { j } | u _ { m + 1 - j } | ^ { 2 } } } = \sqrt { | u _ { m + 1 } | ^ { 2 } + \alpha \mathcal { A } _ { m } ^ { 2 } [ u ] } = \mathcal { A } _ { m } [ u ] \sqrt { \alpha + \big | U _ { 1 } ^ { ( m ) } \big | ^ { 2 } }
\begin{array} { l l c c l } { { J _ { L } } } & { { : } } & { { T _ { L } ^ { * } ( { \cal M } _ { n } ) } } & { { \rightarrow } } & { { T _ { L } ( { \cal M } _ { n } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { U } } & { { \mapsto } } & { { \ ( L U ) _ { + } \, L \, - \, L \, ( U L ) _ { + } \, + \, L \, \Phi _ { U } ( L ) \, + \, \bar { \Phi } _ { U } ( L ) \, L } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { T } _ { 1 } ( 0 , Q ^ { 2 } ) } & { { } = } & { - \frac { \pi \alpha _ { \mathrm { e m } } Q ^ { 2 } } { M ^ { 3 } } F _ { 2 } ^ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) } \\ { \overline { T } _ { L } ( i Q , Q ^ { 2 } ) } & { { } = } & { \frac { \pi \alpha _ { \mathrm { e m } } Q ^ { 2 } } { M ^ { 3 } } F _ { 2 } ^ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \dot { \rho } } & { = V ( h ) \rho , } \\ { \dot { h } } & { = - \frac { \gamma } { 2 } \eta V ( h ) \rho , } \\ { \dot { c } } & { = c \left( \rho \frac { \gamma } { 2 } \eta V ^ { \prime } ( h ) - V ( h ) \right) . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { \lambda _ { 1 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \left| \eta _ { y y } \right| } \left( \begin{array} { l l l } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left( \eta _ { y y } \right) } & { } & { \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left( \eta _ { y y } \right) } \\ { - \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left( \eta _ { y y } \right) } & { } & { \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left( \eta _ { y y } \right) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left( \lambda _ { \mathrm { ~ P ~ B ~ C ~ } } \right) } \\ { \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left( \lambda _ { \mathrm { ~ P ~ B ~ C ~ } } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { 2 } ( z + 1 ) ^ { 4 } } & { = - \theta _ { 2 } ( z ) ^ { 4 } , \qquad \theta _ { 2 } ( - 1 / z ) ^ { 4 } = - z ^ { 2 } \, \theta _ { 4 } ( z ) ^ { 4 } , } \\ { \theta _ { 3 } ( z + 1 ) ^ { 4 } } & { = \theta _ { 4 } ( z ) ^ { 4 } , \phantom { - } \qquad \theta _ { 3 } ( - 1 / z ) ^ { 4 } = - z ^ { 2 } \, \theta _ { 3 } ( z ) ^ { 4 } , } \\ { \theta _ { 4 } ( z + 1 ) ^ { 4 } } & { = \theta _ { 3 } ( z ) ^ { 4 } , \phantom { - } \qquad \theta _ { 4 } ( - 1 / z ) ^ { 4 } = - z ^ { 2 } \, \theta _ { 2 } ( z ) ^ { 4 } , } \\ { E _ { 2 } ( z + 1 ) } & { = E _ { 2 } ( z ) , \qquad \quad \, E _ { 2 } ( - 1 / z ) = z ^ { 2 } E _ { 2 } ( z ) - \frac { 6 i z } { \pi } , } \\ { E _ { 4 } ( z + 1 ) } & { = E _ { 4 } ( z ) , \qquad \quad \, E _ { 4 } ( - 1 / z ) = z ^ { 4 } E _ { 4 } ( z ) , } \\ { E _ { 6 } ( z + 1 ) } & { = E _ { 6 } ( z ) , \qquad \quad \, E _ { 6 } ( - 1 / z ) = z ^ { 6 } E _ { 6 } ( z ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { M F } ( \pmb { \theta } , \mathcal { P } ) } & { { } = \mathcal { L } _ { H } ( \pmb { \theta } , \mathcal { P } ) + \mathcal { L } _ { L } ( \pmb { \theta } ) } \end{array} .
\begin{array} { r l } { p _ { g } ( \beta ) } & { { } = \frac { 1 - e ^ { \beta - 1 } } { 1 - \beta } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { p _ { n } ( \beta ) } & { { } = \frac { - 2 e \beta - e ^ { \beta } ( ( \beta - 3 ) \beta + 1 ) + e } { e ( \beta - 1 ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { Q } _ { k , \sigma } \left( \mathbf { \widetilde { D } } _ { k , \sigma } + \mathbf { \widetilde { D } } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \right) } & { { } = 4 \left[ \int \textbf { Q } _ { k , \sigma } \textbf { Q } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } \textbf { Q } _ { k , \sigma } \, d \boldsymbol { \textbf { r } } \right] f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) } \end{array}
0 = \Omega _ { i j } ^ { u } k _ { \Sigma } ^ { i } k _ { \Gamma } ^ { j } + { \frac { 1 } { 2 } } { f ^ { \Lambda } } _ { \Sigma \Gamma } { \cal P } _ { \Lambda } ^ { u } - { \frac { 1 } { 2 } } \varepsilon ^ { u v z } { \cal P } _ { \Sigma } ^ { v } { \cal P } _ { \Gamma } ^ { z }
\begin{array} { r l } { N u _ { b } ( t ) } & { \equiv \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } ~ N u ( x , - 1 / 2 , t ) ~ \mathrm { d } x , } \\ { N u _ { m } ( t ) } & { \equiv \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } ~ N u ( x , 0 , t ) ~ \mathrm { d } x , } \\ { N u _ { t } ( t ) } & { \equiv \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } ~ N u ( x , 1 / 2 , t ) ~ \mathrm { d } x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { k , 0 } ^ { \mathrm { S R C } } } & { = \hat { F _ { d } } ( p _ { 1 } ^ { \mathrm { S R C } } ) , } \\ { q _ { k , 1 } ^ { \mathrm { S R C } } } & { = \hat { F _ { d } } ( p _ { 2 } ^ { \mathrm { S R C } } ) - \hat { F _ { d } } ( p _ { 1 } ^ { \mathrm { S R C } } ) , } \\ { q _ { k , 2 } ^ { \mathrm { S R C } } } & { = \hat { F _ { d } } ( p _ { 3 } ^ { \mathrm { S R C } } ) - \hat { F _ { d } } ( p _ { 2 } ^ { \mathrm { S R C } } ) , } \\ & { \vdots } \\ { q _ { k , N } ^ { \mathrm { S R C } } } & { = 1 - \hat { F _ { d } } ( p _ { N ^ { \mathrm { S R C } } } ) . } \end{array}
{ \frac { \partial f } { \partial { \boldsymbol { S } } } } : { \boldsymbol { T } } = \left( { \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial { \boldsymbol { S } } } } : { \boldsymbol { T } } \right) ~ f _ { 2 } ( { \boldsymbol { S } } ) + f _ { 1 } ( { \boldsymbol { S } } ) ~ \left( { \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial { \boldsymbol { S } } } } : { \boldsymbol { T } } \right)
\left[ \begin{array} { l } { \phi _ { k } ^ { - ( M - 1 ) / 2 } } \\ { \vdots } \\ { \phi _ { k } ^ { ( M - 1 ) / 2 } } \end{array} \right] = \overbrace { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { - ( M { - } 1 ) / 2 } \\ { \vdots } & { \vdots } \\ { 1 } & { ( M { - } 1 ) / 2 } \end{array} \right] } ^ { \mathbf { H } } \left[ \begin{array} { l } { \phi _ { k } ^ { s _ { 1 } } } \\ { \phi _ { k } ^ { s _ { 2 } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { h } _ { 1 } } & { \mathbf { h } _ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \phi _ { k } ^ { s _ { 1 } } } \\ { \phi _ { k } ^ { s _ { 2 } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { P _ { o u t } ( t ) = \frac { \left( 1 - R ( t ) \right) } { R ( t ) } P ( t ) \frac { \textnormal { e } ^ { \sigma N ( t ) - \alpha L } } { \frac { 1 } { \sqrt { \eta } R ( t ) } + \textnormal { e } ^ { \sigma N ( t ) - \alpha L } } \ . } \end{array}
\langle \Psi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \cdots \Psi _ { n } ( x _ { n } ) \rangle = \displaystyle { \frac { F ( \hat { X } _ { 1 ( i ) } { \cdot \hat { X } _ { 1 ( j ) } } ) } { \displaystyle { \prod _ { l < m } ( x _ { l m } ^ { 2 } ) ^ { - \frac { 1 } { ( n - 1 ) ( n - 2 ) } ( \eta _ { 1 } + \cdots + \eta _ { n } ) + \frac { 1 } { n - 2 } ( \eta _ { l } + \eta _ { m } ) } } } } \, ,
\int _ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - R _ { s } / 2 } ^ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } + R _ { s } / 2 } \int _ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - R _ { s } / 2 } ^ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } + R _ { s } / 2 } | P _ { \mathrm { I N T } _ { h } } ( f _ { 1 } ) | ^ { 2 } | P _ { \mathrm { I N T } _ { h } } ( f _ { 2 } ) | ^ { 2 } | P _ { \mathrm { I N T } _ { h } ^ { \prime } } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ) | ^ { 2 } | \mu ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f ) | ^ { 2 } d f _ { 1 } d f _ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { \mathrm { H } } } & { { } = } & { \sqrt { { \mathcal N } } \mathrm { e } ^ { - i \delta / 2 } \cos \alpha } \\ { \alpha _ { \mathrm { V } } } & { { } = } & { \sqrt { { \mathcal N } } \mathrm { e } ^ { + i \delta / 2 } \sin \alpha , } \end{array}
g _ { 1 } ( x ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } e _ { i } ^ { 2 } \left\{ q _ { i ~ \uparrow } ( x ) - q _ { i ~ \downarrow } ( x ) + \bar { q } _ { i ~ \uparrow } ( x ) - \bar { q } _ { i ~ \downarrow } ( x ) \right\} \equiv \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } e _ { i } ^ { 2 } \delta q _ { i } ( x ) ~ ,
\begin{array} { r l r } { \langle i | f ^ { ( 1 ) } | j \rangle } & { = } & { \int d ^ { 3 } r u _ { i } ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ) f ^ { ( 1 ) } u _ { j } ( \mathrm { \bf ~ r } ) } \\ { \langle i j | f ^ { ( 2 ) } | k l \rangle } & { = } & { \int d ^ { 3 } r d ^ { 3 } r ^ { \prime } u _ { i } ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ) u _ { j } ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) f ^ { ( 2 ) } u _ { k } ( \mathrm { \bf ~ r } ) u _ { l } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) } \end{array}
\| f ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } - \mathsf { l a n } _ { k } ( f ) \| _ { 2 } \, l e q \operatorname* { m i n } _ { r } \left\{ ( C _ { r } + 2 ) \| \vec { b } \| _ { 2 } \| r - f \| _ { \mathcal I } + C _ { r } \operatorname* { m i n } _ { \deg ( p ) < k - c _ { r } } \| f ( \vec { A } ) \vec { b } - p ( \vec { A } ) \vec { b } \| _ { 2 } \right\} .
\operatorname { F } _ { j } ( x , b ) = { \frac { 1 } { \Gamma ( j + 1 ) } } \int _ { b } ^ { \infty } \! { \frac { t ^ { j } } { e ^ { t - x } + 1 } } \; \mathrm { d } t = { \frac { 1 } { \Gamma ( j + 1 ) } } \int _ { b } ^ { \infty } \! { \frac { t ^ { j } } { \displaystyle { \frac { e ^ { t } } { e ^ { x } } } + 1 } } \; \mathrm { d } t = - { \frac { 1 } { \Gamma ( j + 1 ) } } \int _ { b } ^ { \infty } \! { \frac { t ^ { j } } { \displaystyle { \frac { e ^ { t } } { - e ^ { x } } } - 1 } } \; \mathrm { d } t = - \operatorname { L i } _ { j + 1 } ( b , - e ^ { x } )
\begin{array} { r l } { u ( \lambda , \theta ) } & { = \frac { \pi } { 2 } \mathrm { e x p } \left( - 2 \beta ^ { 2 } ( 1 - \sin ( \theta + \theta _ { c } ) ) \right) \, , } \\ { \zeta _ { 0 } ^ { ( z j ) } ( \lambda , \theta ) } & { = \sin ( \theta ) ( 2 \beta ^ { 2 } ( \cos ( \theta _ { c } ) \cos ( \theta ) - \sin ( \theta _ { c } ) \sin ( \theta ) ) + \cos ( \theta ) ) u ( \lambda , \theta ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { { } = } & { \int _ { D } \phi _ { l m } \mathcal { R } ( x , t ) \, \mathrm { d } r = \frac { \partial } { t } \int _ { D } \phi _ { l m } \mathcal { A } ( x , t ) \, \mathrm { d } r + \int _ { D } \phi _ { l m } \nabla \cdot \mathcal { F } ( x , t ) \, \mathrm { d } r - \int _ { D } \phi _ { l m } \mathcal { V } ( x , t ) \, \mathrm { d } r } \end{array}
\mathbf { d } \widetilde \Omega = \widetilde { d \Omega } + A ^ { \alpha } \widetilde { L _ { \alpha } \Omega } - F ^ { \alpha } \widetilde { i _ { \alpha } \Omega } = \widetilde { d \Omega } + \widetilde { A ^ { \alpha } L _ { \alpha } \Omega } - \widetilde { F ^ { \alpha } i _ { \alpha } \Omega }
\textbf { Z } _ { l } ^ { + } = ( i \textbf { L } _ { 1 } ^ { i + } + \textbf { L } _ { 1 } ^ { + } ) + k _ { e g } ( \textbf { L } _ { 2 0 } ^ { + } + i \textbf { L } _ { 2 } ^ { i + } + \textbf { L } _ { 2 } ^ { + } )
\begin{array} { r l } { r ( \omega , \theta ) } & { { } = \frac { - \tilde { \sigma } _ { s e } + \tilde { \sigma } _ { s m } } { 1 + \tilde { \sigma } _ { s e } \tilde { \sigma } _ { s m } + \tilde { \sigma } _ { s e } + \tilde { \sigma } _ { s m } } , } \\ { t ( \omega , \theta ) } & { { } = \frac { 1 - \tilde { \sigma } _ { s e } \tilde { \sigma } _ { s m } } { 1 + \tilde { \sigma } _ { s e } \tilde { \sigma } _ { s m } + \tilde { \sigma } _ { s e } + \tilde { \sigma } _ { s m } } , } \end{array}
u ( x , t ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi k t } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ \exp \left( - { \frac { ( x - y ) ^ { 2 } } { 4 k t } } \right) - \exp \left( - { \frac { ( x + y ) ^ { 2 } } { 4 k t } } \right) \right] g ( y ) \, d y
V _ { s o f t } = f A _ { f } \Phi _ { 1 } ^ { \dagger } \Phi _ { 2 } \chi + f ^ { \prime } A _ { f ^ { \prime } } \tilde { h } \tilde { h } ^ { c } \chi + \lambda _ { t } A _ { t } \Phi _ { 2 } \tilde { Q } _ { 3 } \tilde { t } ^ { c } + h . c . ,
\phi _ { 0 , 0 } \left( u \right) = { \bf E } \left( u ^ { \tau _ { 0 , 0 } } \right) = \frac { G _ { 0 , 0 } \left( u \right) - 1 } { G _ { 0 , 0 } \left( u \right) } = \frac { b _ { 0 } \left( z \left( u \right) - \overline { { \alpha } } \right) } { b _ { 0 } \left( z \left( u \right) - \overline { { \alpha } } \right) + \overline { { \alpha } } \left( 1 - z \left( u \right) \right) \phi _ { \beta } \left( z \left( u \right) \right) } \mathrm { ~ . ~ }
Q = \left( 1 + \frac { N + 1 } { \ell } \right) ^ { N } \left( 1 + \frac { N } { \ell + 1 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left[ \left( 1 + \frac { N } { \ell + 1 } \right) ^ { \ell + 1 } e ^ { - N } \right] e ^ { J ( N + \ell + 1 ) - J ( \ell + 1 ) } ,
F _ { 7 } = 6 ( 2 L ) ^ { 6 } \frac { q } { 4 ! } \left( ( \eta + \frac { 2 } { q } A ) \wedge \omega ^ { 3 } - \frac { 1 } { 4 } \, d A \wedge \eta \wedge \omega ^ { 2 } \right) \ .
\begin{array} { r l } { \langle \hat { P } _ { C } \rangle } & { { } = \left. \hat { P } _ { C } P ( t , \vec { z } ) \right| _ { \vec { z } = \vec { 1 } } = \left. ( \hat { P } _ { C } \gamma ) t P ( t , \vec { z } ) \right| _ { \vec { z } = \vec { 1 } } = \left( 2 r k _ { 1 } ( C _ { 0 } - 1 ) + 2 k _ { 2 } s D _ { 0 } \right) \, , } \\ { \langle \hat { P } _ { D } \rangle } & { { } = \left. \hat { P } _ { D } P ( t , \vec { z } ) \right| _ { \vec { z } = \vec { 1 } } = \left. ( \hat { P } _ { D } \gamma ) t P ( t , \vec { z } ) \right| _ { \vec { z } = \vec { 1 } } = \left( 2 \tau k _ { 2 } C _ { 0 } + 2 p k _ { 4 } ( D _ { 0 } - 1 ) \right) \, . } \end{array}
\mid \varphi _ { 2 } V _ { 2 } ( \varphi ) ( x ) - \upsilon _ { 2 } V _ { 2 } ( \upsilon ) ( x ) \mid \leq V _ { 2 , m a x } \left( ( 1 + \mid \tilde { \varphi } ( x ) \mid ) \mid \varphi _ { 2 } ( x ) - \upsilon _ { 2 } ( x ) \mid + \mid \upsilon _ { 2 } ( x ) \mid \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } \mid \varphi _ { i } ( x ) - \upsilon _ { i } ( x ) \mid \right) , \; x \in \Omega
\int d ^ { d } k \ \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } + L ) ^ { \alpha } } = \pi ^ { d / 2 } e ^ { i \pi / 2 - i \pi d / 2 } \frac { \Gamma ( \alpha - d / 2 ) } { \Gamma ( \alpha ) } L ^ { d / 2 - \alpha } ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { a } _ { \mathit { \Pi } _ { \overline { { I } } } } + \boldsymbol { a } _ { \mathcal { T } _ { \overline { { I } } } } } & { { } = \delta \boldsymbol { a } _ { p } , } \\ { \delta \boldsymbol { a } _ { l } + \boldsymbol { a } _ { \mathit { \Pi } _ { \overline { { S } } } } + \boldsymbol { a } _ { \mathcal { T } _ { \overline { { S } } } } } & { { } = \delta \boldsymbol { a } _ { \nu } + \delta \boldsymbol { f } , } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { 2 , 3 } = \left| \begin{array} { l l l l l } { R _ { 0 } } & & & & \\ { P _ { 2 } } & { - \Tilde { Q } _ { 2 } } & & & \\ & { P _ { 3 } } & { R _ { 3 } } & & \\ & & { - \tilde { Q } _ { 4 } } & { R _ { 4 } } & \\ & & & & { \ddots } \end{array} \right| = - R _ { 0 } \Tilde { Q } _ { 2 } \prod _ { i = 3 } ^ { \infty } R _ { i } , } \end{array}
\int _ { R ^ { 5 + 1 } } { \hat { C } } \wedge d { \hat { a } } ^ { ( 2 ) } \sim \int _ { R ^ { 4 + 1 } } C ^ { ( 3 ) } \wedge d b ^ { ( 1 ) } + \int _ { R ^ { 4 + 1 } } B ^ { ( 2 ) } \wedge d a ^ { ( 2 ) }
| | \sigma _ { 2 } \circ A _ { 2 } \circ \sigma _ { 1 } \circ A _ { 1 } ( x ) - \sigma _ { 2 } \circ A _ { 2 } \circ \sigma _ { 1 } \circ A _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) | | = | | \sigma _ { 2 } ( A _ { 2 } \circ \sigma _ { 1 } \circ A _ { 1 } ( x ) ) - \sigma _ { 2 } ( A _ { 2 } \circ \sigma _ { 1 } \circ A _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) ) | | = C _ { \sigma } ^ { 2 } \; | | W _ { 2 } | | \; | | W _ { 1 } | | \; | | x - x ^ { \prime } | |
\begin{array} { r l } { P ( \vec { a } , \sigma , m , n ) : = } & { \left( \kappa \left( \frac { m a _ { \sigma ( 1 ) } } { n } \right) , \kappa \left( \frac { m a _ { \sigma ( 2 ) } } { n } \right) , \dots , \kappa \left( \frac { m a _ { \sigma ( k ) } } { n } \right) \right) , } \\ { = } & { \left( \kappa \left( \frac { m _ { 1 } a _ { \sigma ( 1 ) } } { n _ { 1 } } \right) , \kappa \left( \frac { m _ { 1 } a _ { \sigma ( 2 ) } } { n _ { 1 } } \right) , \dots , \kappa \left( \frac { m _ { 1 } a _ { \sigma ( k ) } } { n _ { 1 } } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { P _ { a v } } & { { } = \left( I ( t ) ^ { 2 } R \right) _ { a v } } & { } & { { } { \mathrm { w h e r e ~ } } \left( \cdots \right) _ { a v } { \mathrm { ~ d e n o t e s ~ t h e ~ t e m p o r a l ~ m e a n ~ o f ~ a ~ f u n c t i o n } } } \end{array}
S ~ = ~ - \frac { 1 } { 2 } \int e ^ { - { \bf \Phi } } \Bigl \{ \epsilon _ { a b c } { \bf e } ^ { a } { \bf R } ^ { b c } + d { \bf \Phi } ~ { ^ { * } d } { \bf \Phi } - 2 { \bf H } ~ { ^ { * } { \bf H } } + { \frac { \alpha ^ { \prime } } { 8 } } T r { \bf F } ~ { ^ { * } { \bf F } } + \frac { \Lambda ( \Phi ) } { 3 } \epsilon _ { a b c } { \bf e } ^ { a } { \bf e } ^ { b } { \bf e } ^ { c } ~ \Bigr \}
O _ { 2 } = ( e _ { o 2 } ^ { \uparrow } , h _ { o 2 } ^ { \uparrow } , e _ { o 4 } ^ { \uparrow } , h _ { o 4 } ^ { \uparrow } , e _ { i 6 } ^ { \uparrow } , h _ { i 6 } ^ { \uparrow } )
\overline { { T } } ( B , D ) = \frac { 1 } { ( - \mu \dot { \gamma } ) } \left[ \frac { 1 } { 2 b } \int _ { - b } ^ { b } \tau _ { z y } ( x , d ) d x \right] = \frac { 1 } { 2 B } \int _ { - B } ^ { B } \partial _ { y } W ( X , D ) d X ,
M _ { n } ^ { r . h . s . } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) = f _ { B ^ { \ast } } f _ { B } { \frac { m _ { B } ^ { 2 } } { m _ { b } + m _ { d } } } { \frac { g _ { B ^ { \ast } B \gamma } } { 2 } } { \frac { 1 } { ( { \overline { { m } } } _ { B } ^ { 2 } + Q _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { n + 2 } } } [ 1 + \delta _ { n } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) ]
C _ { \mu \nu } ^ { - 1 } = \frac { 1 } { \nabla ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \delta ^ { 2 } ( x - y ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } ( ( \mathscr { E } _ { l } ^ { \prime } ) ^ { c } ) \leq \mathbb { P } ( ( \mathscr { E } _ { l } ^ { \prime } ) ^ { c } \cap \mathcal { D } _ { l } ^ { c } \cap \mathcal { H } _ { l } ) + \mathbb { P } ( \mathcal { D } _ { l } ) + \mathbb { P } ( \mathcal { H } _ { l } ^ { c } ) } \\ & { \leq } & { C \exp ( - \Phi _ { 4 } ^ { 1 \slash 4 } ) + C L \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 } \slash ( K _ { 0 } ^ { 5 } T ^ { 5 } ) ) + C _ { 0 } \exp ( - c _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 3 \slash 4 } ) . } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \left( \int _ { l _ { 1 } } ^ { l _ { 2 } } \left( \rho | v _ { t } | ^ { 2 } + \alpha _ { 1 } | v _ { x } | ^ { 2 } + \mu | p _ { t } | ^ { 2 } + \beta | \gamma v _ { x } - p _ { x } | ^ { 2 } \right) d x \right) + \Re \left( \left( \alpha v _ { x } ( l _ { 1 } , t ) - \gamma \beta p _ { x } ( l _ { 1 } , t ) \right) \overline { { v _ { t } ( l _ { 1 } , t ) } } \right) } \\ { \displaystyle - \Re \left( \left( \alpha v _ { x } ( l _ { 2 } , t ) - \gamma \beta p _ { x } ( l _ { 2 } , t ) \right) \overline { { v _ { t } ( l _ { 2 } , t ) } } \right) = - \int _ { l _ { 1 } } ^ { l _ { 2 } } d _ { 2 } | v _ { t } | ^ { 2 } d x . } \end{array}