harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \varphi _ { \gamma } } & { = f ( x ) + g ( T _ { \gamma } ( x ) ) - \gamma \langle \nabla f ( x ) , R _ { \gamma } ( x ) \rangle + \frac { \gamma } { 2 } \| R _ { \gamma } ( x ) \| ^ { 2 } } \\ & { = f ( x ) - \frac { \gamma } { 2 } \| \nabla f ( x ) \| ^ { 2 } + g ^ { \gamma } ( x - \gamma \nabla f ( x ) ) . } \end{array}
\frac { D \cos ( \theta + \phi ) } { 2 l _ { c } ^ { 2 } } \ln \left[ \frac { 4 + 8 d / D } { 1 + \sin ( \theta + \phi ) } \right] = \frac { 4 + 8 d / D } { D \cos ( \theta + \phi ) } - \frac { 2 } { D } .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { { \it ~ I f ~ ( M , g ) \in \mathcal { B } _ n \cup \mathcal ~ B _ n ^ * ~ , ~ d o e s ~ e v e r y ~ s e q u e n c e ~ \{ \Sigma _ j \} _ j ~ o f ~ c l o s e d , } } } \\ & { \mathrm { { \it ~ e m b e d d e d , ~ o r i e n t a b l e ~ s m o o t h ~ h y p e r s u r f a c e s ~ i n ~ M ~ } } } \\ & { \mathrm { { \it ~ w h o s e ~ s c a l a r ~ m e a n ~ c u r v a t u r e s ~ i n ~ ( M , g ) ~ c o n v e r g e } } } \\ & { \mathrm { { \it ~ t o ~ a ~ c o n s t a n t , ~ h a v e ~ s l i c e s ~ a s ~ t h e i r ~ o n l y ~ p o s s i b l e ~ l i m i t s ? } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( \tau + \tau _ { 1 } ) } & { { } = \Delta \theta ( \tau + \tau _ { 1 } ) + ( \psi _ { 0 1 } - \delta _ { \theta } \Delta + a \eta ^ { 2 } + 1 ) e ^ { - \tau } - a \eta ^ { 2 } - 1 , } \\ { \theta ( \tau + \tau _ { 1 } ) } & { { } = \left( \delta _ { \theta } - \frac { \eta } { \Delta } \right) e ^ { - \Delta \tau } + \frac { \eta } { \Delta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P \big ( \rho _ { r } , \rho _ { r } + \frac { 1 } { N } \big ) = } & { { } Q _ { G C V M } \Big [ ( \rho _ { r _ { e } } , \rho _ { r _ { i } } , \rho _ { r } ) , \big ( \rho _ { r _ { e } } + \frac { 1 } { N } , \rho _ { r _ { i } } , \rho _ { r } + \frac { 1 } { N } \big ) \Big ] } \\ { P \big ( \rho _ { r } , \rho _ { r } - \frac { 1 } { N } \big ) = } & { { } Q _ { G C V M } \Big [ ( \rho _ { r _ { e } } , \rho _ { r _ { i } } , \rho _ { r } ) , \big ( \rho _ { r _ { e } } - \frac { 1 } { N } , \rho _ { r _ { i } } , \rho _ { r } - \frac { 1 } { N } \big ) \Big ] } \\ { P ( \rho _ { r } , \rho _ { r } ) = } & { { } 1 - P \big ( \rho _ { r } , \rho _ { r } + \frac { 1 } { N } \big ) - P \big ( \rho _ { r } , \rho _ { r } - \frac { 1 } { N } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( P _ { 0 } + 2 \sigma / R _ { 0 } \right) V _ { B } ^ { \gamma } } & { { } = } \\ { \left( P _ { 0 } + 2 \sigma ( \frac { 4 \pi } { 3 V _ { b } } ) ^ { 1 / 3 } \right) V _ { b } ^ { \gamma } } & { { } = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ a ~ n ~ t ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Delta = \Delta _ { \mathrm { \tiny ~ I D D E S } } = \operatorname* { m i n } \left\{ { \operatorname* { m a x } \left[ { C _ { w } \cdot d _ { w } , C _ { w } \cdot h _ { \operatorname* { m a x } } , h _ { w n } } \right] , h _ { \operatorname* { m a x } } } \right\} , } \\ & { h _ { \mathrm { m a x } } = \operatorname* { m a x } { \{ h _ { x } , h _ { y } , h _ { z } \} } , \ \ \ C _ { w } = 0 . 1 5 } \end{array}
\begin{array} { r } { I ( \mathbf { r } , \omega _ { e x c } , \omega _ { e m } ) = P _ { e x c } ( \mathbf { r } , \omega _ { e x c } ) ~ \times ~ \phi _ { e m } ( \mathbf { r } , \omega _ { e m } ) \ \times ~ C _ { c o l l } ( \mathbf { r } , \omega _ { e m } ) } \end{array}
\sum _ { \alpha = 0 } ^ { N } Y _ { \alpha } ^ { N } ( \frac { a _ { { \eta } ^ { \prime } } } { a _ { B } } { \eta } ) Y _ { \alpha } ^ { N } ( \frac { a _ { B } } { a _ { { \eta } ^ { \prime } } } { \eta } ^ { \prime } ) = \sum _ { \alpha = 0 } ^ { N } Y _ { \alpha } ^ { N } ( { \eta } ) Y _ { \alpha } ^ { N } ( { \eta } ^ { \prime } )
\nabla \times \mathbf { E } = - \mu _ { 0 } \frac { \partial \mathbf { H } } { \partial t } \mathrm { ~ , ~ } \nabla \times \mathbf { H } = \varepsilon \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } + \sum _ { k } \mathbf { j } ( \mathbf { R } _ { k } , t ) \delta _ { \mathbf { r R } _ { k } } \mathrm { ~ \textbf ~ { ~ , ~ } ~ }
K _ { \mathrm { p } } \left( x \right) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \left( \left\langle \hat { u } ^ { 2 } \right\rangle + \left\langle \hat { v } ^ { 2 } \right\rangle + \left\langle \hat { w } ^ { 2 } \right\rangle \right) \mathrm { d } y \mathrm { ~ d } z ,
{ \overline { { X } } } \, = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } X _ { i } \qquad S ^ { 2 } = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \big ( } X _ { i } - { \overline { { X } } } \, { \big ) } ^ { 2 } \qquad
\phi ( r ) = { \frac { q } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } r } } \times { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - { \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } } \ln \left( { \frac { r } { { \bar { \lambda } } _ { \mathrm { c } } } } \right) } & { r \ll { \bar { \lambda } } _ { \mathrm { c } } } \\ { 1 + { \frac { \alpha } { 4 { \sqrt { \pi } } } } \left( { \frac { r } { { \bar { \lambda } } _ { \mathrm { c } } } } \right) ^ { - 3 / 2 } e ^ { - 2 r / { \bar { \lambda } } _ { \mathrm { c } } } } & { r \gg { \bar { \lambda } } _ { \mathrm { c } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r } { \| \nabla g _ { \mathbf x ^ { t } } ( \mathbf x ) \| } & { = } & { \left\| \frac { 2 e _ { 2 } ^ { \top } ( \mathbf x - \mathbf x ^ { t } ) } { r ^ { 2 } } ( \mathbf x - \mathbf x ^ { t } ) + \frac { \| \mathbf x - \mathbf x ^ { t } \| ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } e _ { 2 } - \frac { 2 e _ { 1 } ^ { \top } ( \mathbf x - \mathbf x ^ { t } ) } { r ^ { 2 } } ( \mathbf x - \mathbf x ^ { t } ) - \frac { \| \mathbf x - \mathbf x ^ { t } \| ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } e _ { 1 } + e _ { 1 } \right\| } \\ & { \leq } & { \frac { 4 \| \mathbf x - \mathbf x ^ { t } \| ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + \frac { 2 \| \mathbf x - \mathbf x ^ { t } \| ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + \| e _ { 1 } \| \ \leq \ 7 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { j _ { \| } } & { = ( - ) ^ { p + 1 } \tilde { c } _ { \phi } \, { * _ { k } \tilde { \mu } _ { \perp } } - \sigma \big ( i k { \mu _ { \perp } } - i k A _ { t } ^ { \perp } - i \omega A _ { \| } \big ) , } \\ { j _ { \perp } } & { = - \tilde { c } _ { \phi } { * _ { k } \tilde { \mu } _ { \| } } + i \omega \sigma A _ { \perp } , } \\ { \ell j _ { \| } ^ { \ell } } & { = - \ell \lambda \tilde { c } _ { \phi } { * _ { k } \tilde { \mu } _ { \psi } ^ { \perp } } + \Gamma \big ( n _ { \| } - \chi A _ { t } ^ { \| } + i \omega \chi \Phi _ { \| } \big ) } \\ & { \qquad - \ell \sigma _ { \ell } \big ( i k \mu _ { \ell } - i k \ell \Phi _ { t } ^ { \perp } \big ) } \\ & { \qquad + \ell \gamma _ { \times } \! * _ { k } \! \left( i \omega { \tilde { A } _ { \perp } } - \ell { \tilde { A } _ { \psi , t } ^ { \perp } } \right) , } \\ { \ell j _ { \perp } ^ { \ell } } & { = \ell ( - ) ^ { p } \lambda \tilde { c } _ { \phi } { * _ { k } \tilde { \mu } _ { \psi } ^ { \| } } + \Gamma \big ( n _ { \perp } - \chi A _ { t } ^ { \perp } + i \omega \chi \Phi _ { \perp } \big ) } \\ & { \quad + ( - ) ^ { p } \ell \gamma _ { \times } \! * _ { k } \! \left( i k { \tilde { \mu } _ { \perp } } - i k { \tilde { A } _ { t } ^ { \perp } } - i \omega { \tilde { A } _ { \| } } + \ell { \tilde { A } _ { \psi , t } ^ { \| } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Q _ { \mathrm { W } - 1 } = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } Q _ { \mathrm { W } + j } ( 1 - \mu _ { + j , \mathrm { W } } ) = \underbrace { \sum _ { j = 1 } ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } Q _ { \mathrm { W } + j } ( 1 - \mu _ { + j , \mathrm { W } } ) } _ { = \hat { Q } _ { \mathrm { W } - 1 } } + \sum _ { j = j _ { \operatorname* { m a x } } + 1 } ^ { \infty } Q _ { \mathrm { W } + j } ( 1 - \mu _ { + j , \mathrm { W } } ) \le \hat { Q } _ { \mathrm { W } - 1 } + \frac { 1 } { e _ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } , } \\ & { \Rightarrow Q _ { \mathrm { W } - j } = Q _ { \mathrm { W } - 1 } \prod _ { k = 1 } ^ { j - 1 } ( 1 - \mu _ { - k , \mathrm { W } } ) = \underbrace { \hat { Q } _ { \mathrm { W } - 1 } \prod _ { k = 1 } ^ { j - 1 } ( 1 - \mu _ { - k , \mathrm { W } } ) } _ { = \hat { Q } _ { \mathrm { W } - j } } + ( Q _ { \mathrm { W } - 1 } - \hat { Q } _ { \mathrm { W } - 1 } ) \prod _ { k = 1 } ^ { j - 1 } ( 1 - \mu _ { - k , \mathrm { W } } ) \le \hat { Q } _ { \mathrm { W } - j } + \frac { 1 } { e _ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } + j - 1 } , } \\ & { \Rightarrow \sum _ { j = 1 } ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } ( Q _ { \mathrm { W } - j } - \hat { Q } _ { \mathrm { W } - j } ) \le \frac { 1 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta x _ { G } } & { = } & { \frac { k _ { \perp } } { q \omega B } \delta \mathcal { E } \mathrm { , } } \\ { m \delta v _ { \parallel } } & { = } & { \frac { k _ { \parallel } } { \omega } \delta \mathcal { E } \mathrm { , } } \\ { m v _ { c } \delta v _ { c } } & { = } & { N \frac { \omega _ { c } } { \omega } \delta \mathcal { E } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { P r } \Big \{ \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } | D , P _ { X } ) \geq \log M + n \gamma \Big \} } \\ { * } & { = \operatorname* { P r } \Big \{ \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } | D , P _ { X } ) \geq \log M + n \gamma , ~ d ( X ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ) \leq D \Big \} } \\ { * } & { \qquad + \operatorname* { P r } \Big \{ \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } | D , P _ { X } ) \geq \log M + n \gamma , ~ d ( X ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ) > D \Big \} } \\ & { \leq \operatorname* { P r } \Big \{ \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } | D , P _ { X } ) \geq \log M + n \gamma , ~ d ( X ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ) \leq D \Big \} } \\ { * } & { \qquad + \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( D ) . } \end{array}
\frac { 1 } { \beta } \int _ { 0 } ^ { \beta } d \tau _ { 1 } \cdots \int _ { 0 } ^ { \beta } d \tau _ { n } \, \langle \eta ^ { k _ { 1 } } ( \tau _ { 1 } ) \cdots \eta ^ { k _ { n } } ( \tau _ { n } ) \rangle _ { 0 , c } \propto \beta ^ { n - 1 + ( k _ { 1 } + \cdots + k _ { n } ) / 2 } .
\epsilon ( \mathbf { c } _ { \beta } ^ { \mathrm { ~ R ~ I ~ } } ) = \int _ { u . c . } d \mathbf { r } \left| \tilde { \rho } _ { \beta } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } ; \mathbf { c } _ { \beta } ^ { \mathrm { ~ R ~ I ~ } } ) - \rho _ { \beta } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } ) \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \tilde { \rho } _ { 0 , \mathrm { ~ W ~ } } ^ { Z = 1 } \left( q , p \right) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } u \; \tilde { f } ( q , p , u ) , } \end{array}
R _ { \kappa \lambda \mu \nu } \, = \, R _ { \kappa \mu } g _ { \lambda \nu } - R _ { \lambda \mu } g _ { \kappa \nu } + R _ { \lambda \nu } g _ { \kappa \mu } - R _ { \kappa \nu } g _ { \lambda \mu } - \frac { R } { 2 } \left( g _ { \kappa \mu } g _ { \lambda \nu } - g _ { \kappa \nu } g _ { \lambda \mu } \right) .
\begin{array} { r } { \ensuremath { \mathcal { N } } _ { s } ^ { * } ( x _ { 1 } , t _ { 1 } ) - \ensuremath { \mathcal { N } } _ { s } ^ { * } ( x _ { 2 } , t _ { 2 } ) \le \sqrt { \frac { n } { 2 ( t ^ { * } - s ) } } d _ { W _ { 1 } } ^ { t ^ { * } } \left( v _ { x _ { 1 } , t _ { 1 } ; t ^ { * } } , v _ { x _ { 2 } , t _ { 2 } ; t ^ { * } } \right) + \frac { n } { 2 } \log \left( \frac { t _ { 2 } - s } { t ^ { * } - s } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { t ^ { \alpha } \dot { x } ( t ) } & { = - \int _ { 0 } ^ { t } u ^ { \alpha } \nabla \phi ( x ( u ) ) \, d u - \beta \int _ { 0 } ^ { t } u ^ { \alpha } \nabla ^ { 2 } \phi ( x ( u ) ) \dot { x } ( u ) \, d u } \\ & { = - \left[ \int _ { 0 } ^ { t } u ^ { \alpha } ( \nabla \phi ( x ( u ) ) - \nabla \phi ( z ) ) \, d u \right] - \left[ \beta \int _ { 0 } ^ { t } u ^ { \alpha } \nabla ^ { 2 } \phi ( x ( u ) ) \dot { x } ( u ) \, d u \right] - \frac { t ^ { \alpha + 1 } } { \alpha + 1 } \nabla \phi ( z ) . } \end{array}
\frac { d } { d t } \left\lVert \nabla f \left( z \left( t \right) \right) \right\rVert ^ { 2 } = 2 \left\langle \nabla f \left( z \left( t \right) \right) , \frac { d } { d t } \nabla f \left( z \left( t \right) \right) \right\rangle = - 2 \left\langle \dot { z } \left( t \right) , \frac { d } { d t } \nabla f \left( z \left( t \right) \right) \right\rangle \leq 0 \quad \forall t \geq t _ { 0 } .
\it y _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ s ~ } } ^ { ( l ) } = W _ { \mathrm { ~ t ~ } } ^ { ( l ) } f _ { \mathrm { ~ N ~ } } ^ { ( l ) } ( W _ { \mathrm { ~ p ~ } } ^ { ( l ) } x _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ s ~ } } ^ { ( l ) } )
\dot { f } ( x ^ { 2 } ) \equiv \frac { d } { d x ^ { 2 } } f ( x ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \alpha \Big [ d _ { 1 } ( \alpha ^ { 2 } x ^ { 2 } ) + \alpha ^ { 2 } x ^ { 2 } d _ { 2 } ( \alpha ^ { 2 } x ^ { 2 } ) \Big ] .
{ \cal W } _ { F } ^ { ( 2 ; s e ) } = { \frac { C _ { F } C _ { A } } { 6 4 { \pi } ^ { 4 } } } { \frac { \Gamma ^ { 2 } ( D / 2 - 1 ) ( 3 D - 2 ) } { ( D - 4 ) ^ { 3 } ( D - 3 ) ( D - 1 ) } } { \cal E } ,
\begin{array} { r l } { \widetilde { v } ^ { \bullet } \left( r ^ { \bullet } , y ^ { \bullet } \right) } & { = - \mathrm { i } \frac { \mathrm { d } \widetilde { p } ^ { \bullet } } { \mathrm { d } y ^ { \bullet } } \left[ 1 - \frac { J _ { 0 } \left( \mathrm { i } ^ { 1 / 2 } K _ { v } r ^ { \bullet } \right) } { J _ { 0 } \left( \mathrm { i } ^ { 1 / 2 } K _ { v } \right) } \right] , } \\ { \widetilde { \tau } ^ { \bullet } \left( r ^ { \bullet } , y ^ { \bullet } \right) } & { = \left( \gamma - 1 \right) \mathrm { H e } ^ { 2 } \widetilde { p } ^ { \bullet } \left[ 1 - \frac { J _ { 0 } \left( \left( \mathrm { i } \mathrm { P r } \right) ^ { 1 / 2 } K _ { v } r ^ { \bullet } \right) } { J _ { 0 } \left( \left( \mathrm { i } \mathrm { P r } \right) ^ { 1 / 2 } \right) } \right] , } \end{array}
\partial _ { t } \Delta \tau \approx \boldsymbol { \theta } _ { 1 } ^ { \dagger } \left( T _ { 0 } / 2 \right) \mathbf { u } _ { 2 } \left( T _ { 0 } / 2 \right) - \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ^ { \dagger } \left( 0 \right) \mathbf { u } _ { 1 } \left( 0 \right) ,
\begin{array} { r l } & { - \iint _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } f _ { \varepsilon , 0 } \eta _ { 0 } \, d x d v - \int _ { 0 } ^ { T } \iint _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } f ^ { k + 1 } ( \partial _ { t } \eta + v \cdot \nabla _ { x } \eta ) \, d x d v d t } \\ & { \quad = \int _ { 0 } ^ { T } \iint _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } \left( M ^ { \varepsilon } [ f ^ { k } ] - f ^ { k + 1 } \right) \eta \, d x d v d t . } \end{array}
{ \cal L } _ { \xi } \hat { F } _ { \mu \nu } = \xi ^ { \rho } \partial _ { \rho } \hat { F } _ { \mu \nu } + \partial _ { \mu } \xi ^ { \rho } \hat { F } _ { \rho \nu } + \partial _ { \nu } \xi ^ { \rho } \hat { F } _ { \mu \rho } \ .
\begin{array} { r l } { \rho } & { { } = e \int d ^ { 3 } p f _ { 0 } } \\ { { \bf J } } & { { } = \frac { e } { m } \int d ^ { 3 } p \, \mathbf { p } ( f _ { 2 } + f _ { 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( * ) } & { = \sum _ { \substack { I _ { 1 } \uplus \cdots \uplus I _ { r + 1 } = [ m ] } } \left[ \prod _ { i \in I _ { 1 } } \ell _ { i } ( ( s _ { 1 } + \lambda _ { 1 } ( x ) ) v _ { 1 } ) \right] \cdots \left[ \prod _ { i \in I _ { r + 1 } } \ell _ { i } ( ( s _ { r + 1 } + \lambda _ { r + 1 } ( x ) ) v _ { r + 1 } ) \right] } \\ & { = \sum _ { \substack { I _ { 1 } \uplus \cdots \uplus I _ { r + 1 } = [ m ] } } \left[ \prod _ { i \in I _ { 1 } } \ell _ { i } ( v _ { 1 } ) \right] \cdots \left[ \prod _ { i \in I _ { r + 1 } } \ell _ { i } ( v _ { r + 1 } ) \right] ( s _ { 1 } + \lambda _ { 1 } ( x ) ) ^ { | I _ { 1 } | } \cdots ( s _ { r + 1 } + \lambda _ { r + 1 } ( x ) ) ^ { | I _ { r + 1 } | } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \Gamma _ { i j } ^ { k } } & { = \frac { 1 } { 2 } \Big ( \nabla _ { i } u _ { t } ( g _ { t } ) _ { j } ^ { k } + \nabla _ { j } u _ { t } ( g _ { t } ) _ { i } ^ { k } - \nabla ^ { k } u _ { t } ( g _ { t } ) _ { i j } \Big ) , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } R _ { i j } } & { = - \frac { 1 } { 2 } ( \triangle u _ { t } ) ( g _ { t } ) _ { i j } - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { i } \nabla _ { j } u _ { t } } \\ { \frac { \partial } { \partial t } R } & { = - 2 \triangle u _ { t } - u _ { t } R _ { t } , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \nabla _ { i } \nabla _ { j } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \Big ( \nabla _ { i } u _ { t } \nabla _ { j } + \nabla _ { j } u _ { t } \nabla _ { i } - \nabla ^ { k } u _ { t } ( g _ { t } ) _ { i j } \nabla _ { k } \Big ) , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \triangle } & { = - u _ { t } \triangle + \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { k } u _ { t } \nabla _ { k } , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } H _ { i j } ^ { 2 } } & { = ( - 2 u _ { t } + 2 \Tilde { u } _ { t } ) ( H _ { t } ^ { 2 } ) _ { i j } , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } | H | ^ { 2 } } & { = ( - 3 u _ { t } + 2 \Tilde { u } _ { t } ) | H _ { t } | ^ { 2 } , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } ( d ^ { * } H ) _ { i j } } & { = - u _ { t } ( d ^ { * } H _ { t } ) _ { i j } + d ^ { * } ( \Tilde { u _ { t } } H _ { t } ) _ { i j } + \frac { 3 } { 2 } ( i _ { \nabla u _ { t } } H ) _ { i j } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal E } = { \cal E } _ { \mathrm { a d v } } + \beta _ { \mathrm { r e g } } { \cal E } _ { \mathrm { r e g } } + \beta _ { \mathrm { g r a d } } { \cal E } _ { \mathrm { g r a d } } + \beta _ { \mathrm { c o n t } } { \cal E } _ { \mathrm { c o n t } } , } \end{array}
\omega ^ { 2 } ( k _ { \perp } ) = ( 3 \omega _ { \mathrm { ~ c ~ } } ) ^ { 2 } + \omega _ { \mathrm { ~ p ~ } } ^ { 2 } \left( \frac { 3 } { 1 0 } \pm \frac { \sqrt { 1 8 6 } } { 2 0 } \right) k _ { \perp } ^ { 2 } r _ { \mathrm { ~ L ~ } } ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { | \tilde { a } ( u _ { L } , u _ { L } ) | } & { \geq } & { \frac { 1 } { | s | } \mathrm { R e } [ s \tilde { a } ( u _ { L } , u _ { L } ) ] } \\ & { \geq } & { \frac { s _ { 1 } } { | s | } \left( \textnormal { R e } [ \tilde { a } ( u _ { L } , u _ { L } ) ] + \frac { s _ { 2 } } { s _ { 1 } } \textnormal { I m } [ \tilde { a } ( u _ { L } , u _ { L } ) ] \right) } \\ & { \geq } & { \frac { s _ { 1 } } { | s | } \left( \textnormal { R e } [ \tilde { a } ( u _ { L } , u _ { L } ) ] + \frac { s _ { 2 } } { s _ { 1 } + \sigma _ { \rho } } \textnormal { I m } [ \tilde { a } ( u _ { L } , u _ { L } ) ] \right) } \\ & { \geq } & { \frac { s _ { 1 } } { | s | } \left( \frac { s _ { 1 } } { s _ { 1 } + \sigma _ { \rho } } \right) ^ { 2 } \left( \| A \nabla u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| s \alpha \beta u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { \geq } & { \Big ( \frac { s _ { 1 } } { s _ { 1 } + \sigma _ { \rho } } \Big ) ^ { 2 } \frac { s _ { 1 } } { | s | } \Big | \frac { s _ { 1 } } { s + \sigma _ { \rho } } \Big | ^ { 2 } \left( \| \nabla u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| s u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
, d e n o t i n g t h e i c e s h e e t m a r g i n ( e i t h e r t e r r e s t r i a l o r m a r i n e m a r g i n ) , a n d , w h e n w e o n l y c o n s i d e r a p o r t i o n o f t h e i c e s h e e t , i n
( \leftarrow ) _ { j } \tau = { \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 1 } & { 2 } & { \cdots } & { i } & { \cdots } & { n - 1 } & { n } \\ { ( \leftarrow ) _ { j } ( \tau ( 1 ) ) } & { ( \leftarrow ) _ { j } ( \tau ( 2 ) ) } & { \cdots } & { n } & { \cdots } & { ( \leftarrow ) _ { j } ( \tau ( n - 1 ) ) } & { ( \leftarrow ) _ { j } ( \tau ( n ) ) } \end{array} \right) }
\chi _ { \boldsymbol { p } } ( \boldsymbol { r } , t ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } e ^ { - \dot { \iota } ( E _ { p } t - \boldsymbol { p r } ) } e ^ { - \dot { \iota } \Gamma ( \boldsymbol { r } , t ) } ,
\begin{array} { r l r } { \left[ \hat { v } _ { 3 } , \hat { v } _ { \pm } \right] } & { { } = } & { \pm \hat { v } _ { \pm } } \\ { \left[ \hat { v } _ { + } , \hat { v } _ { - } \right] } & { { } = } & { 2 \hat { v } _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \kappa _ { \parallel } } & { { } = } & { 5 . 6 \times 1 0 ^ { - 1 2 } \, T ^ { \frac { 5 } { 2 } } , } \\ { \kappa _ { \perp } } & { { } = } & { 3 . 3 \times 1 0 ^ { - 2 1 } \, \frac { n _ { H } ^ { 2 } } { \sqrt { T } B ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { L ( \mathbf { \theta } ) = \frac { 1 } { 3 N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = x , y , z } \left( \frac { \partial U _ { M L } } { \partial r _ { j , k } } - \frac { \partial U } { \partial r _ { j , k } } \right) ^ { 2 } + \frac { \lambda } { N - M } \sum _ { j = 1 } ^ { N - M } \mathcal { U } _ { j } ^ { 2 } , } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { \sigma [ \mathcal N _ { \mathrm { s u b } } ] } \sum _ { \mathscr E _ { \mathrm { s u b } } } 1 \lesssim ( C ^ { + } \delta ^ { - 1 / 2 } ) ^ { n _ { \mathrm { s u b } } } L ^ { ( d - \gamma ) n _ { \mathrm { s u b } } } \cdot L ^ { - \Delta _ { \mathrm { s u b } } } L ^ { - \eta ^ { 6 } \rho } \prod _ { j = 1 } ^ { q } \mathfrak X _ { j } ^ { - z _ { j } } .
\frac { d \overline { { C } } } { d t } = \frac { \partial \overline { { C } } } { \partial t } + \overline { { u } } \frac { \partial \overline { { C } } } { \partial r } + \overline { { v } } \frac { \partial \overline { { C } } } { \partial \phi } + \overline { { w } } \frac { \partial \overline { { C } } } { \partial z }
e ^ { ( t _ { n } + h ) L } y ( t _ { n } + h ) = e ^ { t _ { n } L } y ( t _ { n } ) + L ^ { - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } G ^ { ( k ) } ( t _ { n } ) \frac { 1 } { k ! } \int _ { 0 } ^ { h } \tau ^ { k } e ^ { t _ { n } L } L e ^ { \tau L } \, d \tau .
g _ { j } ( k _ { z } ) = - { \boldsymbol { \upmu } } _ { j } ^ { \mathrm { ~ T ~ D ~ M ~ } } ( { \bf { R } } _ { j } ) \cdot { \bf { u } } _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } \sqrt { \frac { \hslash \omega _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } ( k _ { z } ) } { 2 \epsilon _ { 0 } V _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } } }
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \mathbb P } _ { \mu _ { n } } \left( \left| \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } f \, \mathrm { \normalfont ~ d } \ensuremath { \mathcal Z } _ { t } ^ { n } - \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } f \, \rho _ { t } \, \mathrm { \normalfont ~ d } x \right| > \varepsilon \right) = 0 \ , \qquad t \ge 0 \ , \ f \in \ensuremath { \mathcal C } _ { c } ^ { + } ( { \mathbb R } ^ { d } ) \ , \ \varepsilon > 0 \ , } \end{array}
{ \cal M } _ { \mathrm { 1 l o o p } } ( p _ { 1 } , . . . , p _ { 4 } ) = { \cal M } _ { \mathrm { B o r n } } ( p _ { 1 } , . . . , p _ { 4 } ) \left\{ 1 - \frac { g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { 3 } { 2 } \frac { m _ { t } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \log \frac { s } { M ^ { 2 } } \right\}
\begin{array} { r l } { T _ { i j } } & { { } = a \Lambda _ { i m } \Lambda _ { j k } T _ { m k } , } \\ { T _ { i j k } } & { { } = a \Lambda _ { i l } \Lambda _ { j m } \Lambda _ { k n } T _ { l m n } , } \\ { T _ { i j k l } } & { { } = a \Lambda _ { i m } \Lambda _ { j n } \Lambda _ { k o } \Lambda _ { l p } T _ { m n o p } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { k _ { r s } = E \left[ \frac { \partial ^ { 2 } \ell } { \partial \mu _ { r } \partial \mu _ { s } } \right] \, , } \\ & { k _ { r s t } = E \left[ \frac { \partial ^ { 3 } \ell } { \partial \mu _ { r } \partial \mu _ { s } \partial \mu _ { t } } \right] \, , } \\ & { k _ { r s t u } = E \left[ \frac { \partial ^ { 4 } \ell } { \partial \mu _ { r } \partial \mu _ { s } \partial \mu _ { t } \partial \mu _ { u } } \right] \, , } \end{array}
\mathbf { m } _ { \mathbb H , 0 } \ltimes \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathcal M _ { 0 , 2 } ^ { \mathrm { d i s k } } ( W ; \cdot , \ell ) \times \mathrm { Q D } _ { 0 , 1 } ( \ell ) d \ell \right) = C \cdot \mathrm { L F } _ { \mathbb H } ^ { ( \beta _ { 2 W + 2 } , 0 ) } ( d \phi ) \times \mathrm { S L E } _ { \kappa , 0 } ^ { \mathrm { b u b b l e } } ( \rho ) ( d \eta ) ,