harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
S _ { f } = \int d ^ { D } x \, \left( - \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } } \Psi _ { f } ^ { \dagger } \partial ^ { M } \partial _ { M } \Psi _ { f } - \mu _ { 0 } \Psi _ { f } ^ { \dagger } \Psi _ { f } + V _ { 0 } \Psi _ { f } ^ { \dagger } \Psi _ { f } \right)
\begin{array} { r l } { \int _ { - 1 } ^ { 1 } P _ { k } ^ { \, d } ( t ) Q ( t ) ( 1 - t ^ { 2 } ) ^ { ( d - 3 ) / 2 } } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { \beta } \frac { ( c _ { j , \, d } ( \beta ) ) ^ { 2 } } { \nu _ { d } ( j ) } \left\langle P _ { k } ^ { d } , P _ { j } ^ { d } \right\rangle - \int _ { - 1 } ^ { 1 } P _ { k } ^ { \, d } ( t ) \psi _ { d } ^ { 2 } ( \beta ) ( 1 - t ^ { 2 } ) ^ { ( d - 3 ) / 2 } \mathrm { d } t } \\ & { = \frac { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } [ d - 2 ] | } \sum _ { j = 0 } ^ { \beta } \left( \frac { c _ { j , \, d } ( \beta ) } { \nu _ { d } ( j ) } \right) ^ { 2 } \delta _ { k j } - \psi _ { d } ^ { 2 } ( \beta ) \left\langle P _ { k } ^ { d } , P _ { 0 } ^ { d } \right\rangle } \\ & { = \frac { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } [ d - 2 ] | } \left[ \left( \frac { c _ { k , \, d } ( \beta ) } { \nu _ { d } ( k ) } \right) ^ { 2 } - \delta _ { k 0 } \psi _ { d } ^ { 2 } ( \beta ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \boldsymbol { \psi } _ { \mathrm { S } } ( m _ { x } , m _ { y } ) ] _ { p } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { N _ { \mathrm { S } } } } e ^ { - j \left( \frac { 2 \pi m _ { x } } { L _ { \mathrm { S } , x } } s _ { x } ^ { p } + \frac { 2 \pi m _ { y } } { L _ { \mathrm { S } , y } } s _ { y } ^ { p } + \gamma _ { \mathrm { S } } ( m _ { x } , m _ { y } ) s _ { z } ^ { p } \right) } } \\ & { \times F _ { \mathrm { S } , p } \left( \theta _ { \mathrm { S } } ^ { * } ( m _ { x } , m _ { y } ) , \phi _ { \mathrm { S } } ^ { * } ( m _ { x } , m _ { y } ) \right) , } \end{array}
- \tau D _ { r } \nabla _ { p } ^ { 2 } \psi _ { ( 1 ) } + \psi _ { ( 1 ) } = \frac { 3 } { 4 \pi } ( \Lambda + \alpha _ { 1 } \mathrm { ~ D ~ e ~ } \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { a } / 8 \pi ) \boldsymbol { \mathsf { E } } ^ { \infty } : \boldsymbol { p p } .
\begin{array} { r l } { \frac { d X _ { i } } { d t } } & { { } = \frac { 1 } { K _ { i } } \sum _ { j \neq i } \, \phi \big ( | X _ { i } - X _ { j } | \big ) ^ { 2 } \, ( X _ { j } - X _ { i } ) , \quad X _ { i } ( 0 ) = X _ { i } ^ { 0 } } \\ { K _ { i } } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \phi \big ( | X _ { i } - X _ { j } | \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \# \{ 0 \leq k < n : k ^ { \prime } ( \omega ) \in A \} } & { = \! \! \! \sum _ { j \in [ g ( 0 ) , g ( n - 1 ) ] \cap A } \! \! \! \# \left( g ^ { - 1 } ( \{ j \} ) \cap [ 0 , n - 1 ] \right) \geq \! \! \! \sum _ { j \in [ g ( 0 ) , g ( n - 1 ) - 1 ] \cap A } \! \! \! \# \left( g ^ { - 1 } ( \{ j \} ) \right) } \\ & { \geq \# \left( [ g ( 0 ) , g ( n - 1 ) - 1 ] \cap A \right) \geq \# \left( [ 0 , g ( n - 1 ) ] \cap A \right) - ( g ( 0 ) + 1 ) } \\ & { \geq \# \left( \left[ 0 , \frac { n - 1 } { B } \right] \cap A \right) - ( M + 1 ) . } \end{array}
\mathrm { d } \sigma _ { A _ { 1 } A _ { 2 } } = { Z _ { 1 } } { Z _ { 2 } } \, \mathrm { d } \sigma _ { \mathrm { p p } } + { N _ { 1 } } { Z _ { 2 } } \, \mathrm { d } \sigma _ { \mathrm { n p } } + { Z _ { 1 } } { N _ { 2 } } \, \mathrm { d } \sigma _ { \mathrm { p n } } + { N _ { 1 } } { N _ { 2 } } \, \mathrm { d } \sigma _ { \mathrm { n n } } \, .
\begin{array} { r l r } { { \mathbb { E } } ( \| U _ { i } \| ^ { 6 } ) } & { = } & { p { \mathbb { E } } ( U _ { i , j } ^ { 6 } ) + 3 p ( p - 1 ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , j } ^ { 4 } ) + p ( p - 1 ) ( p - 2 ) , } \\ { { \mathbb { E } } ( \| U _ { i } \| ^ { 8 } ) } & { = } & { p { \mathbb { E } } ( U _ { i , j } ^ { 8 } ) + 4 p ( p - 1 ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 1 } } ^ { 6 } ) + 3 p ( p - 1 ) \{ { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 1 } } ^ { 4 } ) \} ^ { 2 } } \\ & { } & { + 3 p ( p - 1 ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , j } ^ { 4 } ) + p ( p - 1 ) ( p - 2 ) ( p - 3 ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { m , \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) = \sum _ { j } w _ { m } \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { j } \right) e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { j } \right) } , } \\ { w _ { m } \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { j } \right) = \frac { 1 } { V _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } } \int _ { \mathrm { B Z } } u _ { m , \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) e ^ { i \mathbf { k } \cdot \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { j } \right) } \mathrm { d } \mathbf { k } . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \int _ { z _ { 1 } } ^ { z _ { 2 } } \Gamma _ { z } \, \mathrm { d } z = - \left[ \left( \tilde { w } _ { s } \Gamma \right) _ { z } \right] _ { z _ { 1 } } ^ { z _ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { h _ { \mathbb { B } ^ { n } } ( x , y ) } & { = \log \frac { | u - y | | x - v | } { | u - x | | y - v | } = \log \left( \left( \frac { | u - q | + | x - y | / 2 } { | u - q | - | x - y | / 2 } \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { = 2 \log \left( \frac { \sqrt { 4 ( 1 - | x | ^ { 2 } ) + | x - y | ^ { 2 } } + | x - y | } { \sqrt { 4 ( 1 - | x | ^ { 2 } ) + | x - y | ^ { 2 } } - | x - y | } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( \hat { d } _ { 1 } < \hat { q } _ { \alpha , 1 } ^ { * } + \epsilon ) } & { = } & { \mathbb { P } ( \sqrt { n } ( \hat { d } _ { 1 } - d _ { 1 } ) < \sqrt { n } ( \hat { q } _ { \alpha , 1 } ^ { * } + \epsilon - d _ { 1 } ) ) } \\ & { = } & { \mathbb { P } ( \sqrt { n } ( \hat { d } _ { 1 } - d _ { 1 } ) < \sqrt { n } \thinspace \hat { q } _ { \alpha , 1 } ^ { * } ) \xrightarrow { n \to \infty } \alpha . } \end{array}
V _ { \mathrm { n p } } = \frac { A ^ { 2 } N _ { f } ^ { 2 } \Sigma _ { 0 } ^ { 3 } } { 3 2 } \left[ - { \frac { 7 } { 3 } } + \frac { 3 } { 4 \nu ^ { 2 } } - { \frac { 1 } { \nu } } \sin { 2 \theta } - \left( 1 + \frac { 3 } { 4 \nu ^ { 2 } } \right) \cos { 2 \theta } \right] .
S _ { \mathrm { i n d } } = { \frac { i } { 2 } } N \mathrm { T r l n } ( D _ { \mu } \mathrm { e } ^ { \gamma \rho } D _ { \mu } z + \sigma ) + { \frac { N } { g _ { 0 } ^ { 2 } } } \int d ^ { 2 } x \sigma .
\Omega \sim \int { \left( \prod _ { a = 1 } ^ { N _ { \mathrm { n o d e } } } { \mathrm { d } ^ { D } \vec { R } _ { a } } \right) \prod _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } } { \delta ( L _ { i } - L _ { 0 i } ) } } ,
\begin{array} { r l r } { \dot { V } _ { u } ( x ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } 2 x ( z ) \Big ( - x _ { z z z z } ( z ) - \lambda x _ { z z } ( z ) - b x ( z ) x _ { z } ( z ) + v ( z ) \Big ) d z } \\ & { = } & { - 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } x ( z ) x _ { z z z z } ( z ) d z - 2 \lambda \int _ { 0 } ^ { 1 } x ( z ) x _ { z z } ( z ) d z } \\ & { } & { \qquad \qquad - 2 b \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 2 } ( z ) x _ { z } ( z ) d z + 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } x ( z ) v ( z ) d z . } \end{array}
\gamma \, = \, ( 9 6 \pi ) ^ { - 1 } [ D - 2 6 - \frac { 3 } { 2 } \alpha ^ { \prime } ( { \cal R } - \frac { 1 } { 1 2 } H _ { i j k } H ^ { i j k } + 4 \partial _ { i } C \partial ^ { i } C ) \, + \, 0 ( \alpha ^ { 2 } { \cal R } ^ { 2 } ) ] .
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { o } } ( f ( v ) ) = } & { { } \frac { v ^ { n \, m } } { f ^ { \ast \, m } \, ( v ^ { \ast \, n } + v ^ { n } ) ^ { m } + v ^ { n \, m } } } \\ { = } & { { } \frac { v ^ { n \, m } } { f ^ { \ast \, m } \, v ^ { \ast \, n \, m } \, ( 1 + \tilde { v } ^ { n } ) ^ { m } + v ^ { n \, m } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \kappa _ { \mathrm { R , K N } } } & { { } = } & { \frac { 4 \pi ^ { 4 } } { 1 5 } \kappa _ { \mathrm { T h } } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { u ^ { 4 } e ^ { - u } } { ( 1 - e ^ { - u } ) ^ { 2 } } d u \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega ^ { 2 } } \| x - y \| ^ { 2 } d \widetilde { \gamma } ( x , y ) + \lambda ( | \mu ^ { 0 } | + | \mu ^ { j } | - 2 | \widetilde { \gamma } | ) } \\ & { \qquad = \underbrace { \int _ { \Omega ^ { 2 } } \| x - y \| d \gamma ^ { * } ( x , y ) + \lambda ( | \mu ^ { 0 } | + | \mu ^ { j } | - 2 | \gamma | ) } _ { O P T _ { \lambda } ( \mu ^ { 0 } , \mu ^ { j } ) } + \int _ { D _ { t } } \left( \| x - T ( T _ { t } ^ { - 1 } ( x ) ) \| ^ { 2 } - \| T _ { t } ^ { - 1 } ( x ) - T ( T _ { t } ^ { - 1 } ( x ) ) \| ^ { 2 } \right) d \widetilde { \nu } ^ { 0 } ( x ) } \\ & { \qquad < O P T _ { \lambda } ( \mu ^ { 0 } , \mu ^ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { E } } & { { } = \operatorname { R e } \langle \hat { p } ^ { T } \cdot m ^ { - 1 } \cdot ( \hat { V } ^ { \prime } - \hat { V } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \prime } ) \rangle \mathrm { ~ \ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \dot { E } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } & { { } = \langle d \hat { V } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } [ \psi ( t ) ] / d t \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha \leq \beta + \int _ { 0 } ^ { 1 } f \, 1 _ { E _ { \beta } } \, d \mu \leq \beta + \int _ { 0 } ^ { 1 } | f | \, 1 _ { E _ { \beta } } \, d \mu \leq \beta + \sqrt { \int _ { 0 } ^ { 1 } | f | ^ { 2 } \, d \mu } \sqrt { \int _ { 0 } ^ { 1 } 1 _ { E _ { \beta } } \, d \mu } = \beta + \sqrt { \mu ( E _ { \beta } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { { \bf w } } _ { V } ^ { \, \, \, - } ( { \bf x } _ { o } ) } & { { } = } & { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 \, , \epsilon < 0 } { \bf w } ( { \bf x } _ { o } + \epsilon \, { { \bf n } } _ { e } ) } \end{array}
{ { \bar { F } } _ { i } } \mathrm { { = } } \omega ( { \left| { { { \bf { e } } _ { i } } } \right| ^ { 2 } } ) \left[ { \frac { { { { \bf { e } } _ { i } } - { \bf { u } } } } { { c _ { s } ^ { 2 } } } + \frac { { ( { \bf { u } } \cdot { { \bf { e } } _ { i } } ) { { \bf { e } } _ { i } } } } { { c _ { s } ^ { 4 } } } } \right] \cdot { \bf { F } } ,
\begin{array} { r l r } { k _ { F G R } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \sum _ { i \in S _ { i } } \sum _ { f \in S _ { f } } p _ { i } \left| \langle \psi _ { f } | \hat { H } _ { c } | \psi _ { i } \rangle \right| ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t e ^ { i ( E _ { f } - E _ { i } ) t / \hbar } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lambda ^ { \prime } ( p ) - 2 g ( \mu ) \frac { \lambda ^ { \prime \prime } ( p ) \lambda ( p ) } { \lambda ^ { \prime } ( p ) } + \frac { 4 \lambda ( p ) ( \mu - \lambda ( p ) ) } { h _ { 0 } C } } \\ { = ~ } & { - b \lambda ( p ) - 2 \frac { \mu } { \mu - \lambda } \cdot \frac { b ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } ( p ) } { - b \lambda ( p ) } + \frac { 4 \lambda ( \mu - \lambda ) - 2 b p \lambda ( \mu - \lambda ) } { h _ { 0 } C } } \\ { > ~ } & { - b \lambda ( p ) + 2 \frac { \mu } { \mu - \lambda } b \lambda ( p ) = b \lambda ( p ) > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { F } _ { m _ { x } , \P } ^ { n } ) _ { i } } & { { } = \phantom { - } \int _ { \P } ( F _ { \mathbf { v } , x } ^ { n } - \Delta t \frac { \partial p ^ { n } } { \partial x } ) \varphi _ { i } \, d \mathbf { x } , } \\ { ( \mathbf { F } _ { m _ { y } , \P } ^ { n } ) _ { i } } & { { } = \phantom { - } \int _ { \P } ( F _ { \mathbf { v } , y } ^ { n } - \Delta t \frac { \partial p ^ { n } } { \partial y } ) \varphi _ { i } \, d \mathbf { x } , } \\ { ( \mathbf { F } _ { c , \P } ^ { n } ) _ { i } } & { { } = - \int _ { \P } ( \nabla \cdot \mathbf { v } ^ { \ast } + \Delta t \Delta p ^ { n } ) \varphi _ { i } \, d \mathbf { x } . } \end{array}
{ \frac { \Gamma _ { t \rightarrow f } } { \Gamma _ { f \rightarrow t } } } = e ^ { S _ { E } ( \phi _ { t } ) - S _ { E } ( \phi _ { f } ) } = \exp \left[ - { \frac { 3 M _ { \mathrm { P l } } ^ { 4 } } { 8 } } \left( { \frac { 1 } { V ( \phi _ { t } ) } } - { \frac { 1 } { V ( \phi _ { f } ) } } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } } & { \left| \partial _ { t } \left( t Z _ { t } ^ { \alpha } ( n , m ) - t \int _ { \frac { 1 } { n } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { - t ( 1 - \cos \theta ) } \theta J _ { \alpha + 1 } ( \gamma _ { n } \theta ) J _ { \alpha } ( \gamma _ { m } \theta ) \sin \frac { \theta } { 2 } \cos \frac { \theta } { 2 } d \theta \right) \right| d t } \\ & { \le C \left( n ^ { \alpha + 1 } m ^ { \alpha } \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { m } } \theta ^ { 2 \alpha + 1 } d \theta + n ^ { \alpha + 1 } m ^ { - 1 / 2 } \int _ { \frac { 1 } { m } } ^ { \frac { 1 } { n } } \theta ^ { \alpha + 1 / 2 } d \theta \right) } \\ & { \le C \left( \frac { n ^ { \alpha + 1 } m ^ { \alpha } } { m ^ { 2 \alpha + 2 } } + \frac { n ^ { \alpha + 1 } m ^ { - 1 / 2 } } { n ^ { \alpha + 3 / 2 } } \right) \le C \left( \frac { 1 } { m } + \frac { 1 } { \sqrt { n m } } \right) \le \frac { C } { \sqrt { n m } } . } \end{array}
\tau _ { k } \int _ { V } | \boldsymbol { Q } _ { k } | ^ { 2 } \, \mathrm { d } V = E \int _ { V } \boldsymbol { Q } _ { k } ^ { \dagger } \boldsymbol { \cdot } \nabla ^ { 2 } ( \boldsymbol { Q } _ { k } + E ^ { 1 / 2 } \widetilde { \boldsymbol { Q } } _ { k } ) \, \mathrm { d } V .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \mathbf { x } ^ { t } ( i ) ) \right\| ^ { 2 } } & { \leq 2 L ^ { 2 } \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left\| \mathbf { x } ^ { t } ( i ) - \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } \right\| ^ { 2 } } { m } + 2 \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } } \\ & { \overset { a ) } { \leq } 2 L ^ { 2 } C _ { 2 } \eta ^ { 2 } \Big ( \frac { \lambda ^ { Q } + 1 } { ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } m ^ { 2 ( Q - 1 ) } } + \frac { \lambda ^ { Q } + 1 } { ( 1 - \lambda ^ { Q } ) ^ { 2 } } \Big ) + 2 \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textbf { G } _ { n f , i } ^ { - } = } & { { } } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ \Psi _ { i } ( f ^ { e q } ) _ { b o u n d a r y } } \\ { = } & { { } } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \ ( \hat { f } _ { i } ^ { e q } ) _ { b o u n d a r y } } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle p _ { i } ^ { t \, 2 } \rangle = \frac { 9 } { S _ { F } ^ { f } } \left[ \langle \Gamma _ { 3 1 } ^ { 2 } \rangle + \langle \Gamma _ { 3 2 } ^ { 2 } \rangle \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } ( \rho \mathbf { v } ) + \mathrm { d i v } \left( \rho \mathbf { v } \otimes \mathbf { v } \right) + \nabla p + \phi \nabla \left( \rho \bar { \upsilon } + \bar { \psi } \frac { \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } } { 2 } \right) } & { } \\ { - \mathrm { d i v } \left( \nu ( 2 \mathbf { D } + \lambda ( \mathrm { d i v } \mathbf { v } ) \mathbf { I } ) \right) - \rho \mathbf { b } } & { = ~ 0 , } \\ { \partial _ { t } \rho + \mathrm { d i v } ( \rho \mathbf { v } ) } & { = ~ 0 , } \\ { \partial _ { t } \phi + \mathrm { d i v } ( \phi \mathbf { v } ) - \mathrm { d i v } \left( \bar { \mathbf { M } } \nabla \left( \rho \bar { \upsilon } + \bar { \psi } \frac { \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } } { 2 } + \omega p \right) \right) } & { } \\ { + \zeta m \left( \left( \rho \bar { \upsilon } + \bar { \psi } \frac { \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } } { 2 } \right) + \omega p \right) } & { = ~ 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) , \tilde { \Pi } E _ { T } ^ { \theta / 2 } ( E _ { T } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T } ^ { \theta / 2 } ) ^ { n - 1 } E _ { T } ^ { \theta / 2 } \tilde { \Pi } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } } \\ { \leq \, } & { \left\lVert \tilde { \Pi } E _ { T } ^ { \theta / 2 } ( E _ { T } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T } ^ { \theta / 2 } ) ^ { n - 1 } E _ { T } ^ { \theta / 2 } \tilde { \Pi } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } \left\lVert \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } ^ { 2 } } \\ { = \, } & { d \left\lVert \tilde { \Pi } E _ { T } ^ { \theta / 2 } ( E _ { T } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T } ^ { \theta / 2 } ) ^ { n - 1 } E _ { T } ^ { \theta / 2 } \tilde { \Pi } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } } \\ { = \, } & { d \left\lVert \tilde { \Pi } ( \hat { P } E _ { T } ^ { \theta } ) ^ { n } \tilde { \Pi } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } , } \end{array}
\frac { 1 } { \pi \delta ^ { 2 } } \left[ D ( x , y ) - \frac { 1 } { 2 } \theta _ { 0 } ^ { 2 } \right] = \int _ { z = - T _ { s } } ^ { z = 0 } \varrho _ { n } ( x , y , z ) [ \ell ( x , y , z ) ] ^ { 2 } \, \mathrm { d } z .
q _ { i } \stackrel { U } { \longrightarrow } U _ { i i ^ { \prime } } q _ { i ^ { \prime } } \quad \mathrm { a n d } \quad \bar { q } _ { i } \stackrel { U } { \longrightarrow } U _ { i i ^ { \prime } } ^ { * } \bar { q } _ { i ^ { \prime } } = \bar { q } _ { i ^ { \prime } } U _ { i ^ { \prime } i } ^ { \dagger } \, .
\begin{array} { r l } { \Tilde { f } } & { = \frac { n } { \sqrt { \operatorname* { d e t } 2 \pi \boldsymbol { \Sigma } } } \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } ( \mathbf { u } - \mathbf { v } ) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } ( \mathbf { u } - \mathbf { v } ) \right] } \\ { \boldsymbol { \Sigma } } & { = \{ \Sigma _ { \alpha \beta } \} = \frac { 1 } { \operatorname* { P r } } \frac { k _ { B } T } { m } \delta _ { \alpha \beta } + ( 1 - \frac { 1 } { \operatorname* { P r } } ) \frac { P _ { \alpha \beta } } { n m } ; \quad \operatorname* { P r } > \frac { 1 } { 2 } } \end{array}
w _ { 1 } = \frac { f _ { B } M _ { B } } { f _ { \pi } ^ { 2 } } \left[ \frac { g M _ { \pi } } { M _ { \pi } + \Delta } \left( \frac { M _ { B } } { M _ { K } + M _ { \pi } } - 1 \right) + \frac { M _ { \pi } + \mu _ { s } / 2 } { M _ { K } + M _ { \pi } + \mu _ { s } } \right] ~ ,
\langle x , t \mid a _ { \mu } , t \rangle = \sum _ { \stackrel { \alpha } { t _ { \alpha } \leq t } } \langle x , t \mid \psi _ { F _ { \alpha } } ^ { t _ { \alpha } } \rangle _ { t } \langle \psi _ { F \alpha } ^ { t _ { \alpha } } \mid a _ { \mu } , t \rangle _ { t }
\pi ^ { i j } = \mathrm { d i a g } \left( \frac { 1 } { 2 } e ^ { - 2 \mu } \pi _ { \mu } , ~ \frac { 1 } { 4 } e ^ { - 2 \lambda } \pi _ { \lambda } , ~ \frac { 1 } { 4 } e ^ { - 2 \lambda } s i n ^ { - 2 } \theta \pi _ { \lambda } \right)
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } A _ { i } \partial _ { j } B _ { i j } } & { { } = \int _ { \Omega } \partial _ { j } ( A _ { i } B _ { i j } ) - \int _ { \Omega } ( \partial _ { j } A _ { i } ) B _ { i j } } \end{array}
\exp x : = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { k } } { k ! } } = 1 + x + { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { x ^ { 3 } } { 6 } } + { \frac { x ^ { 4 } } { 2 4 } } + \cdots
| \psi \rangle = \frac { 2 \pi A } { i \hbar } \int \int d \omega _ { i } d \omega _ { s } \mathcal { F } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \hat { a _ { i } } ^ { \dagger } ( \omega _ { i } ) \hat { a _ { s } } ^ { \dagger } ( \omega _ { s } ) | 0 \rangle
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { a \rightarrow \infty } \frac { z ^ { * } ( a , b ) } { \bar { F } ( a ) } = \operatorname* { l i m } _ { a \rightarrow \infty } \frac { z ^ { * } ( a , b ) } { \beta } = \operatorname* { l i m } _ { a \rightarrow \infty } \left( 1 - x u ( a ) \frac { \nu \mu } { \beta } + x ^ { 2 } u ^ { 2 } ( a ) \frac { \nu } { 2 \beta } \right) = 1 - x + \frac { \xi + 1 } { 2 } x ^ { 2 } . } \end{array}
\Sigma = \{ \xi _ { t } ^ { \mu } ( s ) ; s = 0 \rightarrow 2 \pi , t = 0 \rightarrow 2 \pi , \xi _ { t } ( 0 ) = \xi _ { t } ( 2 \pi ) = \xi _ { 0 } ( s ) = \xi _ { 2 \pi } ( s ) = P _ { 0 } \}
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } ^ { 2 } } & { { } \leq ( 1 + \epsilon ) \operatorname* { m a x } \lbrace \alpha _ { - } ^ { - 1 } , \alpha _ { + } ^ { - 1 } , 1 \rbrace \bigg [ ( 2 \alpha _ { - } + \kappa _ { - } ) \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { - } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \iota _ { j } ^ { \ast } f _ { i } = } & { ( \iota _ { i } \circ \chi _ { \frac { e _ { j } } { e _ { i } } } ) ^ { \ast } f _ { i } ( x , y ) + \epsilon _ { i , j } ( \iota _ { i } \circ \chi _ { \frac { e _ { j } } { e _ { i } } } ) ^ { \ast } \partial _ { y } f _ { i - 1 } ^ { k _ { i } } + } \\ & { + \sum _ { \ell = 2 } ^ { e _ { i } } \frac { 1 } { \ell ! } \epsilon _ { i , j } ^ { \ell } ( \iota _ { i } \circ \chi _ { \frac { e _ { j } } { e _ { i } } } ) ^ { \ast } \partial _ { y } ^ { \ell } f _ { i - 1 } ^ { k _ { i } } + \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \ell ! } \epsilon _ { i , j } ^ { \ell } ( \iota _ { i } \circ \chi _ { \frac { e _ { j } } { e _ { 1 } } } ) ^ { \ast } \partial _ { y } ^ { \ell } \delta _ { i } ( x , y ) . } \end{array}
\phi \to \phi - c _ { \phi } \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { d } \lambda , } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } q > 0 , } \\ { a , } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } q = 0 . } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathbf { X } } = } & { \left( m _ { x , 1 } ( t _ { n , 1 } ) , m _ { x , 1 } ( t _ { n , 2 } ) , \ldots , m _ { x , 1 } ( t _ { n , k } ) , \ldots , m _ { x , 1 } ( t _ { n , N _ { v } } ) , \right. } \\ & { \left. \ldots , m _ { x , i } ( t _ { n , 1 } ) , m _ { x , i } ( t _ { n , 2 } ) , \ldots , m _ { x , i } ( t _ { n , k } ) , \ldots , m _ { x , i } ( t _ { n , N _ { v } } ) , \ldots , \right. } \\ & { \left. m _ { x , N _ { p } } ( t _ { n , 1 } ) , m _ { x , N _ { p } } ( t _ { n , 2 } ) , \ldots , m _ { x , N _ { p } } ( t _ { n , k } ) , \ldots , m _ { x , N _ { p } } ( t _ { n , N _ { v } } ) \right) ^ { T } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathbf { K } _ { A } ^ { P } | } & { \hat { G } | \mathbf { K } _ { A } ^ { Q \neq P } \rangle = \sum _ { I \in \mathbf { K } } \langle A I \| Q I \rangle + \langle A P \| Q P \rangle , } \\ { \langle \mathbf { K } _ { A } ^ { P } | } & { \hat { G } | \mathbf { K } _ { B \neq A } ^ { P } \rangle = \sum _ { I \in \mathbf { K } } \langle B I \| A I \rangle + \langle B P \| A P \rangle , } \\ { \langle \mathbf { K } _ { A } ^ { P } | } & { \hat { G } | \mathbf { K } _ { B \neq A } ^ { Q \neq P } \rangle = \langle B P \| A Q \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { n } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } x ^ { ( i ) } ( x ^ { ( i ) } ) ^ { T } , } \\ { \| z \| ^ { 2 } } & { = \Big \| \sum _ { i = 1 } ^ { n } x ^ { ( i ) } ( x ^ { ( i ) } ) ^ { T } z \Big \| ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| x ^ { ( i ) } ( x ^ { ( i ) } ) ^ { T } z \| ^ { 2 } } \\ & { = \Big \| \sum _ { i = 1 } ^ { j } x ^ { ( i ) } ( x ^ { ( i ) } ) ^ { T } z \Big \| ^ { 2 } + \Big \| \sum _ { i = j + 1 } ^ { n } x ^ { ( i ) } ( x ^ { ( i ) } ) ^ { T } z \Big \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { \gamma _ { 1 } } } & { = { \gamma _ { 1 } } _ { x } \partial _ { y } \nabla ^ { - 2 } \gamma _ { 1 } ; \ \ \ \ A _ { \gamma _ { 2 } } = { \gamma _ { 2 } } _ { x } \partial _ { y } \nabla ^ { - 2 } \gamma _ { 2 } . } \\ { A _ { \gamma _ { 1 } } - A _ { \gamma _ { 2 } } } & { = { \gamma _ { 1 } } _ { x } \partial _ { y } \nabla ^ { - 2 } \gamma _ { 1 } - { \gamma _ { 2 } } _ { x } \partial _ { y } \nabla ^ { - 2 } { \gamma _ { 2 } } } \\ & { = ( { \gamma _ { 1 } } _ { x } - { \gamma _ { 2 } } _ { x } ) \partial _ { y } \nabla ^ { - 2 } \gamma _ { 1 } + { \gamma _ { 2 } } _ { x } \partial _ { y } \nabla ^ { - 2 } ( \gamma _ { 1 } - { \gamma _ { 2 } } ) . } \end{array}
I _ { 1 } ( a , b , d ) = - \frac { 1 } { \left( 2 \pi \right) ^ { d - 2 } a b } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int d ^ { d - 2 } p \frac { 1 } { ( \vec { p } ^ { \, 2 } + m ^ { 2 } + ( \frac { n \pi } { a } ) ^ { 2 } ) }