harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal M } _ { \nu N } = \left[ \begin{array} { c c c c c c } { { m _ { 0 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { m _ { D } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { m _ { 0 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { m _ { D } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { m _ { 0 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { m _ { D } } } \\ { { m _ { D } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { M _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { m _ { D } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { M _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { m _ { D } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { M _ { 3 } } } \end{array} \right] .
- \int _ { V } \lambda _ { p } \ p \, \delta D ^ { r i _ { 2 } . . . i _ { p } } \wedge \delta A _ { r i _ { 2 } . . . i _ { p } } = ( - 1 ) ^ { p + 1 } \int _ { V } \lambda _ { p } \ \delta \Pi _ { A _ { 2 } . . . A _ { p } } ^ { ( 1 ) } \wedge \delta Q _ { ( 1 ) } ^ { A _ { 2 } . . . A _ { p } } \ .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } p _ { \textrm { c o n t } } ( r ; s ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } z _ { 0 } e ^ { - \tau _ { r } s } \left[ f _ { o } ( y ; s ) + \left( 1 - e ^ { - \tau _ { r \epsilon } s } \right) h _ { o } ( y ; s ) \right] , \quad r \geq 0 , } & { } & { { } } \\ { p _ { \textrm { c o n t } } ( r _ { b } ; s ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } z _ { 0 } e ^ { - \tau _ { r b } s } \left[ f _ { o } ( y ; s ) + \left( 1 - e ^ { + \tau _ { r \epsilon } s } \right) h _ { o } ( y ; s ) \right] , \quad r _ { b } \geq 0 , } & { } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 7 } = v _ { 4 } ^ { ( 1 ) } v _ { 5 } ^ { ( 1 ) } v _ { 6 } ^ { ( 1 ) } , \qquad v _ { 5 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { f ( k ) } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { f ( k ) } { 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) } } \end{array} \right) + v _ { 5 , r } ^ { ( 1 ) } , } \\ & { v _ { 4 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { a _ { 1 2 , a } e ^ { - \theta _ { 2 1 } } } & { a _ { 1 3 , a } e ^ { - \theta _ { 3 1 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { a _ { 3 2 , a } e ^ { \theta _ { 3 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) , \qquad v _ { 6 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { a _ { 2 1 , a } e ^ { \theta _ { 2 1 } } } & { 1 } & { a _ { 2 3 , a } e ^ { - \theta _ { 3 2 } } } \\ { a _ { 3 1 , a } e ^ { \theta _ { 3 1 } } } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { c } { { C ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c } { { \gamma _ { 4 } } } \\ { { \gamma _ { 5 } } } \end{array} \right) C = R _ { C } \left( \begin{array} { c } { { \gamma _ { 4 } ^ { T } } } \\ { { \gamma _ { 5 } ^ { T } } } \end{array} \right) , } } \\ { { \Pi ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c } { { \gamma _ { 4 } } } \\ { { \gamma _ { 5 } } } \end{array} \right) \Pi = R _ { P } \left( \begin{array} { c } { { \gamma _ { 4 } } } \\ { { \gamma _ { 5 } } } \end{array} \right) , } } \end{array}
\frac { 1 } { 2 4 . 8 \pi ^ { 2 } } \, \int _ { \cal M } R \wedge R = \frac { 1 } { 2 4 . 8 \pi ^ { 2 } } \, \int _ { { \cal M } } \mathrm { d } C = \frac { 1 } { 2 4 . 8 \pi ^ { 2 } } \, \int _ { \partial { \cal M } } C \, ,
{ \begin{array} { r l } { \nabla ( f \circ \phi ) } & { = \left( f ^ { \prime } \circ \phi \right) \nabla \phi } \\ { ( \mathbf { r } \circ f ) ^ { \prime } } & { = ( \mathbf { r } ^ { \prime } \circ f ) f ^ { \prime } } \\ { ( \phi \circ \mathbf { r } ) ^ { \prime } } & { = ( \nabla \phi \circ \mathbf { r } ) \cdot \mathbf { r } ^ { \prime } } \\ { ( \mathbf { A } \circ \mathbf { r } ) ^ { \prime } } & { = \mathbf { r } ^ { \prime } \cdot ( \nabla \mathbf { A } \circ \mathbf { r } ) } \\ { \nabla ( \phi \circ \mathbf { A } ) } & { = ( \nabla \mathbf { A } ) \cdot ( \nabla \phi \circ \mathbf { A } ) } \\ { \nabla \cdot ( \mathbf { r } \circ \phi ) } & { = \nabla \phi \cdot ( \mathbf { r } ^ { \prime } \circ \phi ) } \\ { \nabla \times ( \mathbf { r } \circ \phi ) } & { = \nabla \phi \times ( \mathbf { r } ^ { \prime } \circ \phi ) } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { G _ { S } ( R \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \theta } , F ) } & { = } & { - F \left( G _ { S } ^ { ( 0 , 0 ) } + R ^ { 2 } G _ { S } ^ { ( 2 , 0 ) } \right) + F \mathrm { e } ^ { - 2 \mathrm { i } \theta } \left( 1 + R ^ { 2 } G _ { S } ^ { ( 2 , - 2 ) } \right) } \\ & { } & { + F R ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } \theta } G _ { S } ^ { ( 2 , 2 ) } + \mathcal { O } \left( R ^ { 4 } , \frac { R ^ { 4 } } { h ^ { 4 } } \right) , } \\ { G _ { D } ( R \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \theta } , R ^ { 2 } D ) } & { = } & { - D \frac { \mathrm { e } ^ { - 2 \mathrm { i } \theta } } { 4 \pi ^ { 2 } } - D \frac { R ^ { 2 } } { 1 2 } B ( \rho ) + \mathcal { O } \left( R ^ { 4 } , \frac { R ^ { 4 } } { h ^ { 4 } } \right) , } \\ { G _ { Q } ( R \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \theta } , R ^ { 4 } Q ) } & { = } & { - Q \frac { R ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } \theta } } { 4 \pi ^ { 2 } } - Q \frac { R ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - 4 \mathrm { i } \theta } } { 2 \pi ^ { 2 } } + \mathcal { O } \left( R ^ { 4 } , \frac { R ^ { 4 } } { h ^ { 4 } } \right) , } \\ { G _ { O } ( R \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \theta } , R ^ { 6 } O ) } & { = } & { - O \frac { 3 R ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - 4 \mathrm { i } \theta } } { 8 \pi ^ { 4 } } + \mathcal { O } \left( R ^ { 4 } , \frac { R ^ { 4 } } { h ^ { 4 } } \right) , } \end{array}
S = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int d ^ { 2 } x \, { \sqrt { - g } } \left\{ e ^ { - 2 \phi } \left[ R + 4 \left( \nabla \phi \right) ^ { 2 } + 4 \lambda ^ { 2 } \right] - \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { 2 } } \left( \nabla f _ { i } \right) ^ { 2 } \right\}
\begin{array} { r l } { c _ { 0 } } & { { } = \frac { 1 } { \varepsilon _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { x } ) + \varepsilon _ { \mathrm { B } } ( \mathbf { x } ) } \frac { 4 \pi e ^ { 2 } \hbar } { | \mathbf { q } | } \Pi _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { q } ) . } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } ) + \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } }
\frac { d \sigma } { d x _ { \scriptscriptstyle B } \, d z \, d y \, d ^ { 2 } \mathrm { \boldmath ~ q ~ } _ { T } } = \frac { \pi \, \alpha ^ { 2 } \, y \, z } { 2 \, Q ^ { 4 } } L _ { \mu \nu } \, 2 M { \cal W } ^ { \mu \nu } ,
\begin{array} { r l } { T _ { p } : H ^ { 1 } ( \Omega ) } & { { } \to H ^ { 1 } ( \Omega ) , \quad \forall p \in \Omega , } \\ { T _ { p } q ( \eta ) } & { { } \mapsto \chi _ { \Omega } ( \eta ) q ( \eta - p ) , \quad \forall \eta \in \Omega , q \in H ^ { 1 } ( \Omega ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { i j } \hat { \lambda } _ { i } ^ { 2 } \hat { \lambda } _ { j } ^ { 2 } = \sum _ { i j k } D _ { i j k } \hat { \lambda } _ { i } \hat { \lambda } _ { j } \hat { \lambda } _ { k } + \left( \frac { 2 } { 3 } + 3 \right) \sum _ { i } \hat { \lambda } _ { i } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d \mathbf { h } } { d t } + \mathbf { D } ( H \mathbf { u } + U \mathbf { h } ) = \tau _ { 1 1 } H \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { u } + \tau _ { 1 2 } U \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { h } - \alpha _ { h } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } ^ { \top } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { h } , } \\ & { \frac { d \mathbf { u } } { d t } + \mathbf { D } \left( g \mathbf { h } + U \mathbf { u } - \frac { H ^ { 2 } U } { 3 } \mathbf { D } ^ { 2 } \mathbf { u } - \frac { H ^ { 2 } } { 3 } \mathbf { D } \left( \frac { d \mathbf { u } } { d t } \right) \right) = \tau _ { 2 1 } g \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { h } + \tau _ { 2 2 } U \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { u } } \\ & { + \gamma _ { 2 1 } H ^ { 2 } \mathbf { D } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \frac { d \mathbf { u } } { d t } + \gamma _ { 2 2 } H ^ { 2 } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { D } \frac { d \mathbf { u } } { d t } + \gamma _ { 2 3 } H ^ { 2 } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \frac { d \mathbf { u } } { d t } } \\ & { + \sigma _ { 2 1 } H ^ { 2 } U \mathbf { D } ^ { 2 } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { u } + \sigma _ { 2 2 } H ^ { 2 } U \mathbf { D } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { D } \mathbf { u } + \sigma _ { 2 3 } H ^ { 2 } U \mathbf { D } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { u } } \\ & { + \sigma _ { 2 4 } H ^ { 2 } U \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { D } ^ { 2 } \mathbf { u } + \sigma _ { 2 5 } H ^ { 2 } U \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { D } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { u } + \sigma _ { 2 6 } H ^ { 2 } U \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { D } \mathbf { u } } \\ & { + \sigma _ { 2 7 } H ^ { 2 } U \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { u } - \alpha _ { u } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } ^ { \top } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { u } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \sf H } ( k ) } & { { } = \left[ \begin{array} { c c c c } { 0 } & { - \sigma _ { z } } & { 0 } & { { \sf h } ( k ) } \\ { - \sigma _ { z } } & { 0 } & { - \sigma _ { z } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \sigma _ { z } } & { 0 } & { - \sigma _ { z } } \\ { { \sf h } ^ { * } ( k ) } & { 0 } & { - \sigma _ { z } } & { 0 } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| w _ { t } - \nabla F ( x _ { t } ) \| ^ { 2 } } & { \leq 8 \| u _ { t } - \nabla _ { x } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \| ^ { 2 } + \frac { 8 C _ { f y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \| G _ { t } - \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 8 \kappa ^ { 2 } C _ { f y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \| H _ { t } - \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] \| ^ { 2 } + 8 \kappa ^ { 2 } \| h _ { t } - \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 4 \hat { L } ^ { 2 } } { \mu } \big ( g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) \big ) , } \end{array}
\left( \prod _ { \operatorname* { g c d } ( i , j ) = 1 , ( i , j ) \in ( \mathbb { N } _ { > 0 } ) ^ { 2 } } \exp ( o _ { i , j } ( x , y ) , s ^ { i } t ^ { j } ) \right) ^ { - 1 } = \prod _ { \operatorname* { g c d } ( i , j ) = 1 , ( i , j ) \in ( \mathbb { N } _ { > 0 } ) ^ { 2 } } \exp ( o _ { i , j } ( y ^ { - 1 } , x ^ { - 1 } ) , s ^ { j } t ^ { i } ) .
\mathbf { E } _ { \mathrm { s c } } ( \mathbf { r } ) = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = - j } ^ { j } a _ { j m } ^ { \mathrm { e } } \mathbf { N } _ { j m } ^ { ( 3 ) } ( k \mathbf { r } ) + a _ { j m } ^ { \mathrm { m } } \mathbf { M } _ { j m } ^ { ( 3 ) } ( k \mathbf { r } ) ,
\begin{array} { r l } { \Dot { \hat { a } } _ { 2 / 1 } } & { = \mp i \Delta _ { 2 1 } \hat { a } _ { 2 / 1 } - \frac { \kappa _ { 2 / 1 } } { 2 } \hat { a } _ { 2 / 1 } + \sqrt { \kappa _ { 2 / 1 } ^ { \mathrm { e x t 1 } } } \hat { a } _ { 2 / 1 , i n } ^ { \mathrm { e x t 1 } } + \sqrt { \kappa _ { 2 / 1 } ^ { \mathrm { e x t 2 } } } \hat { a } _ { 2 / 1 , i n } ^ { \mathrm { e x t 2 } } + \sqrt { \kappa _ { 2 / 1 } ^ { \mathrm { i n t } } } \hat { a } _ { 2 / 1 , i n } ^ { \mathrm { i n t } } + C _ { \hat { a } _ { 2 / 1 } } ^ { r / b } } \\ { \Dot { \hat { b } } } & { = - i \Omega _ { m } \hat { b } - \frac { \Gamma _ { m } } { 2 } \hat { b } + \sqrt { \Gamma _ { m } } \hat { b } _ { \mathrm { i n } } + C _ { \hat { b } } ^ { r / b } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \theta } _ { \nu } } & { = \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } ( \nu ^ { \prime } U _ { i j } ) , \qquad \bar { W } _ { 1 } = \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } ( \nu ^ { \prime } U _ { i j } ) ^ { 2 } , } \\ { \bar { W } _ { 2 } } & { = \binom { n } { 3 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j < k } W _ { i j k } , \qquad W _ { i j k } = \frac { ( \nu ^ { \prime } U _ { i j } ) ( \nu ^ { \prime } U _ { i k } ) + ( \nu ^ { \prime } U _ { i j } ) ( \nu ^ { \prime } U _ { h , j k } ) + ( \nu ^ { \prime } U _ { i k } ) ( \nu ^ { \prime } U _ { h , j k } ) } { 3 } . } \end{array}
C = \{ L _ { k } \mid L _ { k } = | \boldsymbol { L } _ { k } | ; k = 1 , \cdots , N \} \cap \{ \theta _ { k + 1 } \mid \theta _ { k + 1 } = \cos ^ { - 1 } \left[ \langle \boldsymbol { L } _ { k } , \boldsymbol { L } _ { k + 1 } \rangle / ( L _ { k } L _ { k + 1 } ) \right] ; k = 1 , \cdots , N - 1 \}
\begin{array} { r l } { B _ { 6 } } & { \lesssim \sum _ { k } \sum _ { i \in S _ { k } } \sum _ { r \in [ N _ { i } ] } \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 4 } ( d i s t . ) } \big ( \frac { 1 } { M _ { k } } \Sigma _ { k j _ { 1 } j _ { 2 } } + \frac { 1 } { M } \Sigma _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } \big ) \big ( \frac { 1 } { M _ { k } } \Sigma _ { k j _ { 1 } j _ { 4 } } + \frac { 1 } { M } \Sigma _ { j _ { 1 } j _ { 4 } } \big ) \Omega _ { i j _ { 1 } } \Omega _ { i j _ { 2 } } \Omega _ { i j _ { 4 } } } \\ & { \lesssim \sum _ { k } \sum _ { i \in S _ { k } } \sum _ { r \in [ N _ { i } ] } \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 4 } } \frac { \Sigma _ { k j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { 2 } \Omega _ { i j _ { 1 } } \Omega _ { i j _ { 2 } } \Omega _ { i j _ { 4 } } } { M _ { k } ^ { 2 } } + 2 \sum _ { k } \sum _ { i \in S _ { k } } \sum _ { r \in [ N _ { i } ] } \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 4 } } \frac { \Sigma _ { k j _ { 1 } j _ { 2 } } \Sigma _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } \Omega _ { i j _ { 1 } } \Omega _ { i j _ { 2 } } \Omega _ { i j _ { 4 } } } { M _ { k } M } } \\ & { \quad + \sum _ { k } \sum _ { i \in S _ { k } } \sum _ { r \in [ N _ { i } ] } \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 4 } } \frac { \Sigma _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { 2 } \Omega _ { i j _ { 1 } } \Omega _ { i j _ { 2 } } \Omega _ { i j _ { 4 } } } { M ^ { 2 } } = : B _ { 6 1 } + B _ { 6 2 } + B _ { 6 3 } . } \end{array}
\vec { \mathsf { e } } = \left[ \frac { \delta e } { 2 } , \; \frac { 3 \delta e } { 2 } , \; \frac { 5 \delta e } { 2 } , \ldots , \; e _ { \mathrm { m a x } } - \frac { \delta e } { 2 } \right] , \quad \delta e = \frac { e _ { \mathrm { m a x } } } { N } ,
\begin{array} { r l r } { \hat { b } \cdot \dot { X } ^ { ( 0 ) } } & { { } = } & { \hat { b } \cdot Q _ { 0 } + \kappa ^ { ( 0 ) } \frac { \Gamma } { 4 \pi } \left( \ln \frac { R ^ { ( 0 ) } } { \epsilon } + C ( t ) \right) } \\ { \hat { n } \cdot \dot { X } ^ { ( 0 ) } } & { { } = } & { \hat { n } \cdot Q _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nu ( z ) } & { = } & { \big ( \nu _ { 0 } ( z ) , \, \nu _ { 1 } ( z ) , \, \cdots , \, \nu _ { n } ( z ) \big ) = \big ( z ^ { b _ { 0 } } \psi _ { 0 } ( z ) , \, z ^ { b _ { 1 } } \psi _ { ( } z ) , \, \cdots , \, z ^ { b _ { n } } \psi _ { n } ( z ) \big ) } \\ & { = } & { \big ( y _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , y _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , . . . , y _ { i _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ; \, y _ { 1 } ^ { ( 2 ) } , y _ { 1 } ^ { ( 2 ) } , . . . , y _ { i _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } ; \, \cdots ; \, y _ { 1 } ^ { ( k ) } , y _ { 2 } ^ { ( k ) } , . . . , y _ { i _ { k } } ^ { ( k ) } \big ) \cdot M , } \end{array}
Z _ { \mathrm { F i g . \, 3 } } ( t ) = \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } } \exp \left[ - 2 \pi ^ { 2 } t ( 6 n _ { 1 } ^ { 2 } + 5 n _ { 2 } ^ { 2 } + n _ { 3 } ^ { 2 } ) \right] ~ .
\widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } = ( s ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } ) ^ { - 1 } \left( \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } \right) \, .
\begin{array} { r l r l } { t ( 4 n ) } & { = 2 t ( n - 1 ) + a ( n ) , } & & { \quad ( n \geq 1 ) ; } \\ { t ( 4 n + 1 ) } & { = 2 t ( n - 1 ) , } & & { \quad ( n \geq 1 ) ; } \\ { t ( 4 n + 2 ) } & { = t ( n ) + t ( n - 1 ) , } & & { \quad ( n \geq 1 ) ; } \\ { t ( 4 n + 3 ) } & { = 2 t ( n ) , } & & { \quad ( n \geq 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 1 , 2 , 2 } } & { \leq 1 6 \bigg ( L ^ { 2 } + \frac { 2 L _ { y ^ { 2 } } ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \bigg ) \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + 4 L ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| u _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + 4 M \zeta _ { f } ^ { 2 } + \frac { 8 M C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , y y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { ( f ^ { n } , \mathfrak { m } ^ { n } , u ^ { n } ) \in \mathscr { C } ( 0 , T ^ { [ \varepsilon ] } ; \mathcal { H } _ { r } ^ { m } ) \times \mathscr { C } ( 0 , T ^ { [ \varepsilon ] } ; \mathrm { H } ^ { m } ) \times \mathscr { C } ( 0 , T ^ { [ \varepsilon ] } ; \mathrm { H } ^ { m } ) \cap \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m + 1 } ) , } \end{array}
{ \mathrm { W i d t h } } = { \mathrm { D i a g o n a l } } = { \frac { 1 + { \sqrt { 5 } } } { 2 } } \cdot { \mathrm { S i d e } } \approx 1 . 6 1 8 \cdot { \mathrm { S i d e } } ,
\begin{array} { r } { \Sigma _ { i j } = \langle t _ { i } t _ { j } \rangle = \langle \frac { \partial \ln \mathcal { L } } { \partial \theta _ { i } } \frac { \partial \ln \mathcal { L } } { \partial \theta _ { j } } \rangle = \hat { F } _ { i j } ^ { \mathrm { s t n d } } , } \end{array}
w ^ { \mathrm { B L M } } ( \mu ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \; \frac { \mathrm { d } \lambda ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } \; W ( \lambda ^ { 2 } ) \, \phi ^ { \mathrm { B L M } } ( \lambda ^ { 2 } ; \mu ) \; \; .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \Vert x _ { r _ { k } } \Vert ^ { p } } & { \leq \left( ( 1 + \epsilon ) h ^ { ( r ) } ( p ) \right) ^ { k } \mathbb { E } \Vert x _ { 0 } \Vert ^ { p } + \frac { 1 - ( ( 1 + \epsilon ) h ^ { ( r ) } ( p ) ) ^ { k } } { 1 - ( 1 + \epsilon ) h ^ { ( r ) } ( p ) } \frac { ( 1 + \epsilon ) ^ { \frac { p } { p - 1 } } - ( 1 + \epsilon ) } { \left( ( 1 + \epsilon ) ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } - 1 \right) ^ { p } } \mathbb { E } \left\Vert q _ { 1 } ^ { ( r ) } \right\Vert ^ { p } . } \end{array}
\sum _ { \substack { a ^ { \prime } , b ^ { \prime } \leqslant \operatorname* { m i n } ( X , N ) \, ( a ^ { \prime } , b ^ { \prime } ) = 1 } } \frac { r ( a ^ { \prime } ) r ( b ^ { \prime } ) a ^ { \prime } b ^ { \prime } } { \operatorname* { m a x } ( a ^ { \prime } , b ^ { \prime } ) ^ { 3 } } \Big / \prod _ { p | a ^ { \prime } b ^ { \prime } } ( 1 + r ( p ) ^ { 2 } ) \geqslant \exp \left( ( 2 + o ( 1 ) ) \sqrt { \frac { \log X } { \log \log X } } \right) .
\int d ^ { n } q _ { 1 } \, \frac { q _ { 1 , \mu _ { 1 } } \dots q _ { 1 , \mu _ { R } } } { q _ { 1 } ^ { 2 } ( q _ { 1 } + p _ { 1 } ) ^ { 2 } } , \qquad \int d ^ { n } q _ { 1 } \, \frac { q _ { 1 , \mu _ { 1 } } \dots q _ { 1 , \mu _ { R } } } { q _ { 1 } ^ { 2 } ( q _ { 1 } + p _ { 1 } ) ^ { 2 } ( q _ { 1 } + p _ { 2 } ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { a _ { 1 } ^ { \dagger } } & { \xrightarrow { B } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( a _ { 3 } ^ { \dagger } + a _ { 4 } ^ { \dagger } ) } \\ & { \xrightarrow { \Phi , M } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( e ^ { i \phi _ { 1 } } a _ { 3 } ^ { \dagger } + e ^ { i \phi _ { 2 } } a _ { 4 } ^ { \dagger } ) } \\ & { \xrightarrow { B } - \frac 1 2 \bigg ( ( e ^ { i \phi _ { 1 } } ( a _ { 1 } ^ { \dagger } + a _ { 2 } ^ { \dagger } ) + e ^ { i \phi _ { 2 } } ( a _ { 1 } ^ { \dagger } - a _ { 2 } ^ { \dagger } ) ) \bigg ) } \\ & { = - \frac 1 2 \bigg ( a _ { 1 } ^ { \dagger } ( e ^ { i \phi _ { 1 } } + e ^ { i \phi _ { 2 } } ) + a _ { 2 } ^ { \dagger } ( e ^ { i \phi _ { 1 } } - e ^ { i \phi _ { 2 } } ) \bigg ) } \end{array}
R _ { s c } \equiv \frac { \phi ( r _ { s } ) } { \phi ( 0 ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \int _ { 0 } ^ { r _ { s } } r ^ { 2 } n ( r ) d r } { r _ { s } \int _ { 0 } ^ { r _ { s } } r n ( r ) d r } \quad } & { m = 0 } \\ { \frac 1 2 \frac { n ( r _ { s } ) } { n ( 0 ) } } & { m \to \infty } \end{array} \right. \, ,
= ( 2 \pi ) ^ { 8 } \delta ( K _ { 1 } - K _ { 3 } ) \delta ( K _ { 2 } - K _ { 4 } ) G ( K _ { 1 } ) G ( K _ { 2 } ) - ( 2 \pi ) ^ { 8 } \delta ( K _ { 1 } - K _ { 4 } ) \delta ( K _ { 2 } - K _ { 3 } ) G ( K _ { 1 } ) G ( K _ { 2 } ) +
\psi _ { \mathrm { { L } } } \mapsto \psi _ { \mathrm { { L } } } ^ { \prime } = ( S ^ { \dagger } ) ^ { - 1 } \psi _ { \mathrm { { L } } } \qquad \psi _ { \mathrm { { R } } } \mapsto \psi _ { \mathrm { { R } } } ^ { \prime } = S \psi _ { \mathrm { { R } } }
\begin{array} { r l } { C _ { \perp } ( k , t ) } & { { } = e ^ { - \frac { t } { \tau _ { \perp } } } , } \\ { C _ { \parallel } ( k , t ) } & { { } = e ^ { - \frac { t } { \tau _ { \parallel } } } \left[ \cos ( \omega t ) - \beta \sin ( \omega t ) \right] , } \\ { C _ { \rho } ( k , t ) } & { { } = \frac { \gamma - 1 } { \gamma } e ^ { \frac { t } { \tau _ { \mathrm { T } } } } + \frac { 1 } { \gamma } e ^ { - \frac { t } { \tau _ { \parallel } } } \left[ \cos ( \omega t ) + \beta \sin ( \omega t ) \right] , } \end{array}
\int _ { \mathcal { C } _ { \mathrm { d } \sigma } ( \delta ) } \mathrm { d } \sigma \, \Gamma \cdot e ^ { \langle \theta , \sigma \rangle } = \, = ( - 1 ) ^ { { \boldsymbol { \kappa } } } \sum _ { I \in \mathcal { A } _ { C } ^ { \operatorname* { m i n } } } \sum _ { q \in \mathbb { K } _ { I } ^ { { \mathrm { e f f } } } ( \alpha ) } \mathrm { s i g n } \left( \frac { \Lambda _ { a = 1 } ^ { { \boldsymbol { \kappa } } } \xi _ { a } ^ { * } } { \Lambda _ { a = 1 } ^ { { \boldsymbol { \kappa } } } \mathsf { D } _ { i _ { a } } } \right) \int _ { \mathcal { C } ^ { I ^ { \mathrm { o r } } } ( q ) } \mathrm { d } \sigma \, \Gamma \cdot e ^ { \langle \theta , \sigma \rangle } .
\bar { \sigma } _ { j } ^ { \ddag } \cdot r _ { P } = \left( \sigma _ { j } ^ { \ddag } \sigma \right) \cdot r _ { P } = \sigma _ { j } ^ { \ddag } \cdot \left( g \cdot r _ { R } \right) = g \cdot \left( \sigma _ { j } ^ { \ddag } \cdot r _ { R } \right)
\begin{array} { r l } { \bar { v } } & { { } = \sqrt { 1 - \biggl ( \frac { 1 } { 1 - v _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { 3 \chi _ { \gamma } } { 8 } \log { \biggl [ \frac { \mathcal { C } [ \tilde { W } _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ( \chi _ { \gamma } ) ] ( 1 - r ) } { \mathcal { C } [ \tilde { W } _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ( \chi _ { \gamma } ) ] - \mathcal { C } [ \tilde { I } _ { p p } ( \bar { v } _ { 0 } , \chi _ { \gamma } ) ] } \biggr ] } \biggr ) ^ { - 1 } } , } \end{array}
\ln J = - \frac { 1 } { 1 6 } \int d ^ { 2 } \theta \frac { 2 t _ { 2 } ( \Phi ) } { 8 \pi ^ { 2 } } \mathrm { l n } ( e ^ { \alpha } ) W _ { \alpha } W ^ { \alpha } + O ( 1 / M ^ { 4 } ) ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } \mathbf { C } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { C } + \frac { \xi } { 2 } \partial _ { \xi } \mathbf { C } - \mathrm { P e } ^ { 2 } \partial _ { \xi } \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathbf { D } ( \mathbf { C } ) ^ { - 1 } \partial _ { \xi } \mathbf { C } + \partial _ { \xi } \mathbf { D } ( \mathbf { C } ) \partial _ { \xi } \mathbf { C } , } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { A ^ { - } ( \ell ) } } \\ { { A ^ { + } ( \ell ) } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \chi _ { E \ell } ( r ) } } \\ { { \chi _ { E \ell + 1 } ( r ) } } \end{array} \right) = \sqrt { E + \frac { 1 } { 2 ( \ell + 1 ) ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { c } { { \chi _ { E \ell } ( r ) } } \\ { { \chi _ { E \ell + 1 } ( r ) } } \end{array} \right) ,