harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\widehat { B } \left( M _ { 1 } ^ { 2 } , Q _ { 1 } ^ { 2 } \right) \widehat { B } \left( M _ { 2 } ^ { 2 } , Q _ { 2 } ^ { 2 } \right) \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \frac { \varphi ( u ) } { m _ { b } ^ { 2 } - ( p + u q ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { M _ { 1 } ^ { 2 } + M _ { 2 } ^ { 2 } } e ^ { - \frac { M _ { 1 } ^ { 2 } + M _ { 2 } ^ { 2 } } { M _ { 1 } ^ { 2 } M _ { 2 } ^ { 2 } } m _ { b } ^ { 2 } } \varphi \left( \frac { M _ { 1 } ^ { 2 } } { M _ { 1 } ^ { 2 } + M _ { 2 } ^ { 2 } } \right) .
i e { \cal A } ^ { 0 } ( q ) - i \frac { e } { 2 m } { s ^ { i } } { \cal A } ^ { i } ( q ) + \frac { e } { 2 m } ( 1 - \frac { e ^ { 2 } } { 2 \pi \theta } ) \epsilon ^ { i j } q ^ { j } { \cal A } ^ { i } ( q ) .
{ \cal { L } } _ { q e } = - \sqrt 2 ~ G _ { F } ~ f _ { t } ~ \bar { u } \sigma ^ { \alpha \lambda } d ^ { \prime } ~ { \frac { q _ { \alpha } q ^ { \beta } } { q ^ { 2 } } } ~ \bar { e } _ { R } \sigma _ { \beta \lambda } \nu _ { L } ,
\begin{array} { r l } { [ \hat { q } , \hat { p } ] } & { { } = i [ \hat { a } , \hat { a } ^ { \dagger } ] = i \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } & { - N } \end{array} \right) } \end{array}
H = \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \big ( p _ { x , i } ^ { 2 } + p _ { y , i } ^ { 2 } + p _ { z , i } ^ { 2 } \big ) + V \big ( \{ x \} , \{ y \} , \{ z \} , t \big ) \, .
\begin{array} { r l } { \frac { d m _ { f } ( t ) } { d t } } & { { } = - \beta \, m _ { f } ( t ) m _ { g } ( t ) ; } \\ { \frac { d m _ { g } ( t ) } { d t } } & { { } = - \gamma \mu \, m _ { g } ( t ) + \gamma \, m _ { f } ( t ) m _ { g } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \vec { \mathbf S } } & { { } = \left( \left[ \begin{array} { l l l } { - \Gamma _ { 2 } } & { \omega } & { 0 } \\ { - \omega } & { - \Gamma _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \Gamma _ { 1 } } \end{array} \right] \vec { \mathbf S } + \frac { R } { 2 } \mathbf { \hat { z } } \right) d t } \end{array}
\begin{array} { r } { d _ { k } : = \langle \lambda _ { d } , \xi _ { k } \rangle _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , 1 ] ) } , \quad c _ { k } : = \langle \lambda _ { c } , \xi _ { k } \rangle _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , 1 ] ) } , \quad \gamma : = \int _ { 0 } ^ { 1 } \lambda _ { c } ( y ) d y . } \end{array}
{ \bar { u } } _ { r } = - \frac { 6 } { a ^ { 3 } } \bar { r } e ^ { 3 \bar { r } ^ { 2 } / 2 { \sigma } ^ { 2 } } \left( \frac { \bar { z } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \bar { z } } { 2 } a e ^ { - \bar { r } ^ { 2 } / 2 { \sigma } ^ { 2 } } \right)
\left( \mathbf { k \cdot U } _ { 0 } - k c \right) ^ { 2 } w ^ { \prime } ( 0 ) - \left( \mathbf { k \cdot U } _ { 0 } ^ { \prime } \left( \mathbf { k \cdot U } _ { 0 } - k c \right) + \mathrm { g } k ^ { 2 } \right) w ( 0 ) = 0 ,
\begin{array} { r l } & { | J _ { 1 } ( \mu ^ { * } ; ( \gamma ^ { * , N } , \pi ^ { * } , \ldots , \pi ^ { * } ) ) - J ( \mu ^ { * } ; \gamma ^ { * , N } ) | } \\ & { \phantom { x x x x x x x x x } : = | \operatorname* { i n f } _ { \pi \in \Pi } J _ { 1 } ( \mu ^ { * } ; ( \pi , \pi ^ { * } , \ldots , \pi ^ { * } ) ) - J ( \mu ^ { * } ; \gamma ^ { * , N } ) | \leq \Theta _ { 2 } ( N , \varepsilon ) } \end{array}
{ \boldsymbol { \sigma } } = \lambda _ { 1 } ~ { \frac { \partial W } { \partial \lambda _ { 1 } } } ~ \mathbf { n } _ { 1 } \otimes \mathbf { n } _ { 1 } + \lambda _ { 2 } ~ { \frac { \partial W } { \partial \lambda _ { 2 } } } ~ \mathbf { n } _ { 2 } \otimes \mathbf { n } _ { 2 } + \lambda _ { 3 } ~ { \frac { \partial W } { \partial \lambda _ { 3 } } } ~ \mathbf { n } _ { 3 } \otimes \mathbf { n } _ { 3 } - p ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } }
{ \cal A } _ { q } = - \sum _ { c y c l i c } \frac { 1 } { 8 } \langle ~ \Phi _ { A } ~ G _ { 0 } ^ { + } \Phi _ { B } ~ \Phi _ { C } ~ \tilde { G } _ { 0 } ^ { + } \Phi _ { D } ~ \rangle
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } _ { e \in { \mathrm { B S C } } _ { p } } [ D ( E ( m ) + e ) \neq m ] } & { = \sum _ { y \in \{ 0 , 1 \} ^ { n } } p ( y | E ( m ) ) \cdot 1 _ { D ( y ) \neq m } } \\ & { \leqslant \sum _ { y \notin B _ { 0 } } p ( y | E ( m ) ) \cdot 1 _ { D ( y ) \neq m } + \sum _ { y \in B _ { 0 } } p ( y | E ( m ) ) \cdot 1 _ { D ( y ) \neq m } } \\ & { \leqslant 2 ^ { - { \epsilon ^ { 2 } } n } + \sum _ { y \in B _ { 0 } } p ( y | E ( m ) ) \cdot 1 _ { D ( y ) \neq m } } \end{array} }
\frac { \ddot { H } } { H } - \frac 7 4 \frac { \dot { H } ^ { 2 } } { H ^ { 2 } } + \left( 3 + \tau _ { 0 } H ^ { - s } \right) \dot { H } + 6 \tau _ { 0 } H ^ { 2 - s } = 0 .
{ \mathbf { Q } } = \left[ \begin{array} { c c c c } { \vrule } & { \vrule } & { } & { \vrule } \\ { { { \mathbf { q } } } ^ { 1 } } & { { { \mathbf { q } } } ^ { 2 } } & { \cdots } & { { \mathbf { q } } ^ { N _ { t } } } \\ { \vrule } & { \vrule } & { } & { \vrule } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \phi _ { y } \cdot M } & { \sim \left( \begin{array} { l l l } { p ^ { d _ { 1 } } } & { p ^ { d _ { 1 } - d _ { 2 } } m _ { 2 } + \alpha p ^ { d _ { 3 } } + a p ^ { d _ { 1 } } } & { m _ { 1 } + b p ^ { d _ { 1 } } + 2 a ( p ^ { d _ { 1 } - d _ { 2 } } m _ { 2 } + \alpha p ^ { d _ { 3 } } ) } \\ { 0 } & { p ^ { d _ { 2 } } } & { m _ { 2 } + p ^ { d _ { 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { p ^ { d _ { 3 } } } \end{array} \right) } \\ & { \sim \left( \begin{array} { l l l } { p ^ { d _ { 1 } } } & { p ^ { d _ { 1 } - d _ { 2 } } m _ { 2 } + \alpha p ^ { d _ { 3 } } } & { m _ { 1 } + a p ^ { d _ { 1 } - d _ { 2 } } m _ { 2 } } \\ { 0 } & { p ^ { d _ { 2 } } } & { m _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { p ^ { d _ { 3 } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { w } ( n ) } & { \le 2 \sum _ { \vert m \vert \ge 2 } ( 2 c ) ^ { \vert m - n \vert + \chi } ( w + \frac { 4 } { \kappa \xi \eta } j ) ( k _ { m } , \tilde { s } _ { 0 } ) } \\ & { + ( 2 c ) ^ { \vert \vert n \vert - 2 \vert } ( 4 u _ { 1 } ( s _ { 0 } ) + 1 0 0 c u _ { 2 } ( s _ { 0 } ) + 3 N ) } \\ & { + ( 2 c ) ^ { \vert n \vert - 1 } ( u _ { 3 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) + \frac 2 { \kappa \xi \eta } j ( \tilde { s } _ { 0 } , k _ { \pm 1 } ) ) } \\ & { \le 2 M _ { n } , } \end{array}
\prod _ { \substack { ( a , b , c ) = 1 \, a , b , c \geq 1 } } \left( \frac { 1 } { 1 - x ^ { a } y ^ { b } z ^ { c } } \right) ^ { \frac { 1 } { a ^ { s } b ^ { t } c ^ { u } } } = \exp \left\{ \left( \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \frac { x ^ { i } } { i ^ { s } } \right) \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { y ^ { j } } { j ^ { t } } \right) \left( \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { z ^ { k } } { k ^ { u } } \right) \right\} .
V _ { \mathrm { e f f } } = - i \varepsilon ^ { 2 } \int \frac { \mathrm { ~ d ~ } k \mathrm { ~ d ~ } \omega } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { k } { D _ { 0 } k ^ { 2 } - i \omega } S ( k , \omega ) .
\begin{array} { r l r } { \delta { \bf F } _ { \mathrm { g c } } } & { { } \equiv } & { \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \left( \delta { \sf S } \; + \; \frac { e } { c } \, \delta \varphi \right) \, \dot { \bf X } \; - \; \delta { \bf X } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left( { \bf E } \frac { } { } \mathrm { ~ \boldmath ~ \cal ~ P ~ } _ { \mathrm { g c } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { \beta } \\ { 1 } \end{array} \right) } & { = A _ { 1 } ^ { n } A _ { 2 } ^ { m } \left( \begin{array} { l } { r e ^ { i \theta } } \\ { 1 } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l } { e ^ { i n \phi } } & { e ^ { i n \phi } - 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { e ^ { i m \psi } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { r e ^ { i \theta } } \\ { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { e ^ { i n \phi } ( 1 + r e ^ { i ( m \psi + \theta ) } ) - 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ddot { \Phi } } & { { } = - \omega _ { \mathrm { s } } \dot { \Theta } - \Omega _ { 1 } ^ { 2 } \Phi , } \\ { \ddot { \Theta } } & { { } = \omega _ { \mathrm { s } } \dot { \Phi } - \Omega _ { 2 } ^ { 2 } \Theta , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { { } = } & { n _ { \mathrm { ~ l ~ } } \nu _ { \mathrm { ~ l ~ } } - V _ { \mathrm { ~ l ~ } } } \\ { 0 } & { { } = } & { n _ { \mathrm { ~ v ~ } } \nu _ { \mathrm { ~ v ~ } } - V _ { \mathrm { ~ v ~ } } \equiv n _ { \mathrm { ~ v ~ } } \nu _ { \mathrm { ~ v ~ } } - U V _ { \mathrm { ~ l ~ } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - \int _ { 0 } ^ { \infty } r d r \frac { r } { 2 } \partial _ { r } | u | ^ { 2 } } & { { } = } & { \left[ - \frac { r ^ { 2 } } { 2 } | u | ^ { 2 } \right] _ { 0 } ^ { \infty } + \int _ { 0 } ^ { \infty } d r r | u | ^ { 2 } } \end{array}
U _ { 1 2 3 } ( x _ { r } , \mathrm { { \bf p } } _ { r T } ; x _ { s } ^ { \prime } , \mathrm { { \bf p } ^ { \prime } } _ { s T } ) = i \sum _ { i \ne j \ne k } x _ { k } U _ { i j } ( { x _ { i j } , \mathrm { \bf p } } _ { i j T } ; { x _ { i j } ^ { \prime } , \mathrm { \bf p } ^ { \prime } } _ { i j T } ) 2 ( 2 \pi ) ^ { 3 } \delta ( x _ { k } - x _ { k } ^ { \prime } ) \delta ^ { 2 } ( \mathrm { { \bf p } } _ { k T } - \mathrm { { \ b f p } ^ { \prime } } _ { k T } ) ,
{ \mathbb { E } } \big ( e ^ { s \hat { X } _ { \rho } + t \hat { Y } _ { \rho } } \big ) = 1 + { \mathbb { E } } ( \hat { X } _ { \rho } ) s + { \mathbb { E } } ( \hat { Y } _ { \rho } ) t + { \mathbb { E } } ( \hat { X } _ { \rho } ^ { 2 } ) \frac { s ^ { 2 } } { 2 } + { \mathbb { E } } ( \hat { X } _ { \rho } \hat { Y } _ { \rho } ) s t + { \mathbb { E } } ( \hat { Y } _ { \rho } ^ { 2 } ) \frac { t ^ { 2 } } { 2 } + \mathcal { O } \big ( ( s + t ) ^ { 3 } \big ) ,
\begin{array} { r l r l r l r } { { 4 } } & { X _ { 1 } = y \partial _ { z } - z \partial _ { y } , \qquad } & & { X _ { 2 } = z \partial _ { x } - x \partial _ { z } , \qquad } & & { X _ { 3 } = x \partial _ { y } - y \partial _ { x } , } & \\ & { Y _ { 1 } = R ^ { 2 } \partial _ { x } - x V , \qquad } & & { Y _ { 2 } = R ^ { 2 } \partial _ { y } - y V , \qquad } & & { Y _ { 3 } = R ^ { 2 } \partial _ { z } - z V , } & \end{array}
\begin{array} { r l } & { \# \{ x ^ { n } \in S ^ { d } : \ w _ { \mathbf { s } } ( x ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ e v e n } \} } \\ & { = \# \{ x ^ { n } \in S ^ { d } : \ w _ { \mathbf { s } } ( x ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ e v e n ~ a n d ~ x _ 1 ~ = ~ 0 ~ } \} \ + \# \{ x ^ { n } \in S ^ { d } : \ w _ { \mathbf { s } } ( x ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ e v e n ~ a n d ~ x _ 1 ~ = ~ 1 ~ } \} } \\ & { \stackrel { ( a ) } { = } \# \{ x _ { 2 } ^ { n } \in S ^ { d } : \ w _ { s _ { 2 } ^ { n } } ( x _ { 2 } ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ e v e n } \} \ + \# \{ x ^ { n } \in S ^ { d } : \ w _ { \mathbf { s } } ( x ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ e v e n ~ a n d ~ x _ 1 ^ { ( d + 1 ) } ~ = ~ 1 0 ^ d ~ } \} } \\ & { = \# \{ x _ { 2 } ^ { n } \in S ^ { d } : \ w _ { s _ { 2 } ^ { n } } ( x _ { 2 } ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ e v e n } \} + \# \{ x _ { d + 2 } ^ { n } \in S ^ { d } : \ w _ { s _ { d + 2 } ^ { n } } ( { x _ { d + 2 } ^ { n } } ) \mathrm { ~ i s ~ e v e n } \} , } \end{array}
0 = F _ { u } ^ { \prime \prime } + \frac { 2 } { r } F _ { u } ^ { \prime } \left[ 1 + r L _ { + } ^ { \prime } ( k r ) \right] - \frac { s ^ { \prime } } { s + \frac { \omega } { m } } \left[ F _ { u } ^ { \prime } + F _ { u } L _ { + } ^ { \prime } ( k r ) \right] + V ( r , m ) F _ { u }
\begin{array} { r l } { \operatorname { a r s e c h } x } & { { } = \operatorname { a r c o s h } \left( { \frac { 1 } { x } } \right) } \\ { \operatorname { a r c s c h } x } & { { } = \operatorname { a r s i n h } \left( { \frac { 1 } { x } } \right) } \\ { \operatorname { a r c o t h } x } & { { } = \operatorname { a r t a n h } \left( { \frac { 1 } { x } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { r } ^ { 1 } h ( s ) s ^ { 1 - n } d s = } & { \int _ { r } ^ { 1 } h ( s ) s ^ { n + 1 } s ^ { - 2 n } d s } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } h ( \tau ) \tau ^ { n + 1 } d \tau - r ^ { - 2 n } \int _ { 0 } ^ { r } h ( \tau ) \tau ^ { n + 1 } d \tau } \\ & { + 2 n \int _ { r } ^ { 1 } s ^ { - 1 - 2 n } \int _ { 0 } ^ { { s } } h ( \tau ) \tau ^ { n + 1 } d \tau d s . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { q _ { 1 } } & { { } = } & { \mathrm { e r f c } \left( \frac { ( x _ { 0 } - \sqrt { T } \alpha ) } { \sqrt { 2 ( \frac { 1 } { 4 } + \xi _ { \mathrm { c h } } + \xi _ { \mathrm { e l e } } ) } } \right) \ \mathrm { { a n d } } } \\ { q _ { 2 } } & { { } = } & { \mathrm { e r f c } \left( \frac { ( x _ { 0 } + \sqrt { T } \alpha ) } { \sqrt { 2 ( \frac { 1 } { 4 } + \xi _ { \mathrm { c h } } + \xi _ { \mathrm { e l e } } ) } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta _ { \mathsf { a } } } & { = s ( \rho _ { j k } ^ { \mathsf { u } } | g _ { j k } ^ { j k } - \widehat { g } _ { j k } ^ { j k } | ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } ) \ , } \\ { \zeta _ { \mathsf { b } } } & { = \frac { s } { 1 + s \rho _ { j k } ^ { \mathsf { u } } | \widehat { g } _ { j k } ^ { j k } | ^ { 2 } } ( \rho _ { j k } ^ { \mathsf { u } } | g _ { j k } ^ { j k } | ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } ) \ , } \\ { \mu } & { = \frac { s ^ { 2 } \left| { \rho _ { j k } ^ { \mathsf { u } } | g _ { j k } ^ { j k } | ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } - { ( g _ { j k } ^ { j k } ) } ^ { \ast } \widehat { g } _ { j k } ^ { j k } \rho _ { j k } ^ { \mathsf { u } } } \right| ^ { 2 } } { \zeta _ { \mathsf { a } } \zeta _ { \mathsf { b } } ( 1 + s \rho _ { j k } ^ { \mathsf { u } } | \widehat { g } _ { j k } ^ { j k } | ^ { 2 } ) } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \theta } _ { 1 } } & { { } = ( a f - f \ell + h ) ^ { 2 } ( a ( f + v ) + h ) ^ { 2 } , } \\ { \tilde { \theta } _ { 2 } } & { { } = - ( a f + h ) ^ { 2 } ( h + ( a - \ell ) ( f + v ) ) ^ { 2 } , } \\ { \tilde { \theta } _ { 3 } } & { { } = h \ell ^ { 2 } v ^ { 2 } ( 2 a f + h ) - 2 h \ell v ( a f + h ) ( a f + h - f \ell ) - 2 h \ell a v ^ { 2 } ( a f + h ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( C _ { 1 } - C _ { 3 } ) ^ { 2 } + 4 C _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { B ^ { 6 } } ( 4 \| c \| ^ { 2 } r ^ { 2 } B ^ { 6 } + ( 8 \| c \| ^ { 4 } - 1 2 \| c \| ^ { 2 } r ^ { 2 } ) B ^ { 5 } A + ( 4 \| c \| ^ { 4 } - 3 r ^ { 4 } ) B ^ { 4 } A ^ { 2 } + ( 8 r ^ { 4 } - 4 \| c \| ^ { 2 } r ^ { 2 } ) B ^ { 3 } A ^ { 3 } } \\ & { \quad + ( 2 r ^ { 4 } - 4 \| c \| ^ { 2 } r ^ { 2 } ) B ^ { 2 } A ^ { 4 } + r ^ { 4 } A ^ { 6 } ) } \\ & { = N } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l } { \widetilde { P } _ { 1 1 } } & { \widetilde { P } _ { 1 2 } } & { \widetilde { P } _ { 1 3 } } \\ { \widetilde { P } _ { 2 1 } } & { \widetilde { P } _ { 2 2 } } & { \widetilde { P } _ { 2 3 } } \\ { \widetilde { P } _ { 3 1 } } & { \widetilde { P } _ { 3 2 } } & { \widetilde { P } _ { 3 3 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l } { Z _ { 1 } Z _ { 2 } } & { - X _ { 1 } } & { - Z _ { 1 } X _ { 2 } } \\ { X _ { 1 } Z _ { 2 } } & { Z _ { 1 } } & { - X _ { 1 } X _ { 2 } } \\ { X _ { 2 } } & { - Y _ { 1 } Y _ { 2 } } & { Z _ { 2 } } \end{array} \right] .
n ^ { * } = \sum _ { k , \sigma } \left\langle \gamma _ { k , \sigma } ^ { \dag } \gamma _ { k , \sigma } \right\rangle = \sum _ { k , \sigma } \frac { 1 } { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( \beta ( \sqrt { \xi _ { k } ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } } + \lambda ) \right) + 1 }
p = \frac { \sqrt { B } } { 1 - \left[ \cos \left( D / 2 \right) \right] ^ { 2 } } ; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } = \frac { B \left[ \cos \left( D / 2 \right) \right] ^ { 4 } } { \left\{ 1 - \left[ \cos \left( D / 2 \right) \right] ^ { 2 } \right\} ^ { 2 } }
\Delta E _ { I I } ^ { \prime } = < \Psi _ { E ^ { \prime } } \mid \tilde { \tilde { V } } ( E ^ { \prime } ) \left( 1 + G ^ { \prime } \, _ { C } ^ { + } ( E ^ { \prime } ) \tilde { \tilde { V } } ( E ^ { \prime } ) \right) \mid \Psi _ { E ^ { \prime } } > ,
P _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ i ~ p ~ l ~ e ~ } } = \frac { \epsilon } { 1 8 \pi \, r ^ { 3 } } \, e ^ { \frac { 2 7 L } { 8 \, \epsilon } } = 1 . 6 \times 1 0 ^ { - 3 } \, \alpha ^ { 5 } \, m _ { e } ^ { 4 } \, e ^ { - . 4 2 4 / \sqrt { \beta } }
H ( x , u ) = \left[ \begin{array} { l l l l } { \nabla _ { u } h _ { 1 } } & { \nabla _ { u } h _ { 2 } } & { \cdots } & { \nabla _ { u } h _ { m } } \\ { h _ { 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { h _ { 2 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { h _ { m } } \end{array} \right] , \quad \eta _ { j } ( x , u ) = \left[ \begin{array} { l } { \nabla _ { u } g _ { j } } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { I _ { d } ^ { A _ { 2 } } ( \theta ) = } & { { } c o s ^ { 2 } \beta \, s i n ^ { 4 } \theta + s i n ^ { 2 } \beta \, s i n ^ { 2 } 2 \theta } \\ { I _ { p + d } ^ { B _ { 1 } } ( \theta ) = } & { { } 2 b _ { 1 } ^ { 2 } s i n ^ { 2 } \theta + \frac { 3 } { 2 } b _ { 2 } ^ { 2 } [ s i n ^ { 2 } \beta s i n ^ { 4 } \theta + c o s ^ { 2 } \beta s i n ^ { 2 } 2 \theta ] } \\ { I _ { p + d } ^ { B _ { 2 } } ( \theta ) = } & { { } 2 b _ { 3 } ^ { 2 } ( s i n ^ { 2 } \beta \, c o s ^ { 2 } \theta + c o s ^ { 2 } \beta \, s i n ^ { 2 } \theta ) + } \end{array}
\begin{array} { r l } { U ( r , z ) } & { = - k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { t r a p } } \frac { e ^ { - 2 r ^ { 2 } / w ^ { 2 } ( z ) } } { 1 + z ^ { 2 } / z _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } } \cos ^ { 2 } \left( k z + \tan ^ { - 1 } \left( \frac { z } { z _ { \mathrm { R } } } \right) + \frac { k r ^ { 2 } } { 2 R ( z ) } \right) } \\ & { \approx - k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { t r a p } } \frac { w _ { 0 } ^ { 2 } } { w ^ { 2 } ( z ) } e ^ { - 2 r ^ { 2 } / w ^ { 2 } ( z ) } \cos ^ { 2 } ( k z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \textstyle \left[ \overline { { \frac { \alpha _ { i } } { 2 } } } \right] } \mathcal { Q } _ { i , a q _ { i } } ^ { ( q ) } } & { \tilde { \mathcal { Q } } _ { i , a q _ { i } ^ { - 1 } } ^ { ( q ) } - { \textstyle \left[ \overline { { \frac { \alpha _ { i } } { 2 } } } \right] } ^ { - 1 } \mathcal { Q } _ { i , a q _ { i } ^ { - 1 } } ^ { ( q ) } \tilde { \mathcal { Q } } _ { i , a q _ { i } } ^ { ( q ) } } \\ & { = \prod _ { \{ j \in I | C _ { i , j } = - 1 \} } \mathcal { Q } _ { j , a } ^ { ( q ) } \prod _ { \{ j \in I | C _ { i , j } = - 2 \} } \mathcal { Q } _ { j , a q ^ { - 1 } } ^ { ( q ) } \mathcal { Q } _ { j , a q } ^ { ( q ) } \prod _ { \{ j \in I | C _ { i , j } = - 3 \} } \mathcal { Q } _ { j , a q ^ { - 2 } } ^ { ( q ) } \mathcal { Q } _ { j , a } ^ { ( q ) } \mathcal { Q } _ { j , a q ^ { 2 } } ^ { ( q ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 5 x ^ { 2 } - 1 1 x - 1 4 ) ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { - 1 } } & { = ( 1 5 x ^ { 2 } - 1 1 x - 1 4 ) \sum _ { k \ge 0 } x ^ { 2 k } } \\ & { = \sum _ { k \ge 1 } 1 5 x ^ { 2 k } - \sum _ { k \ge 0 } 1 1 x ^ { 2 k + 1 } - \sum _ { k \ge 0 } 1 4 x ^ { 2 k } } \\ & { = - 1 4 + \sum _ { k \ge 1 } ( 1 5 - 1 4 ) x ^ { 2 k } - \sum _ { k \ge 0 } 1 1 x ^ { 2 k + 1 } } \\ & { = - 1 4 + \sum _ { k \ge 1 } x ^ { 2 k } - \sum _ { k \ge 0 } 1 1 x ^ { 2 k + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v _ { + } ( r ) } & { = } & { \sqrt { \frac { 2 } { x } } \cdot \frac { 1 } { \left( 1 + 1 2 ( \alpha - 1 ) / x ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 4 } } \times } \\ & { } & { \quad \times \frac { 1 - \frac { 4 } { x } \sqrt { \frac { 1 + 1 2 ( \alpha - 1 ) / x ^ { 2 } } { 1 + 1 6 \alpha / x ^ { 2 } } } } { \sqrt { 1 - \frac { 4 } { x } \sqrt { \frac { 1 + 1 2 ( \alpha - 1 ) / x ^ { 2 } } { 1 + 1 6 \alpha / x ^ { 2 } } } + \frac { 8 \xi ^ { 2 } } { x ^ { 3 } } \sqrt { 1 + \frac { 1 2 ( \alpha - 1 ) } { x ^ { 2 } } } } \, + \, \frac { 4 \xi } { x ^ { 2 } } \sqrt { \frac { x } { 2 } } \left( 1 + \frac { 1 2 ( \alpha - 1 ) } { x ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } } , } \end{array}
D : = - i ( \sigma _ { 1 } \, \delta _ { 1 } + \sigma _ { 2 } \, \delta _ { 2 } + \sigma _ { 3 } \, \delta _ { 3 } ) = - i \left( \begin{array} { l l } { { \delta _ { 3 } } } & { { \delta _ { 1 } - i \delta _ { 2 } } } \\ { { \delta _ { 1 } + i \delta _ { 2 } } } & { { - \delta _ { 3 } } } \end{array} \right)
\alpha _ { s } ( \mu ) = \frac { 4 \pi } { 2 \beta _ { 0 } \ln ( \mu / \bar { \Lambda } _ { \overline { { { \mathrm { M S } } } } } ^ { ( n _ { f } ) } ) } \left[ 1 - \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } ^ { 2 } } \, \frac { \ln ( 2 \ln ( \mu / \bar { \Lambda } _ { \overline { { { \mathrm { M S } } } } } ^ { ( n _ { f } ) } ) ) } { 2 \ln ( \mu / \bar { \Lambda } _ { \overline { { { \mathrm { M S } } } } } ^ { ( n _ { f } ) } ) } \right]
E _ { n _ { x } , n _ { y } , n _ { z } } = E _ { 0 } + { \frac { \hbar ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { 2 m L ^ { 2 } } } \left( n _ { x } ^ { 2 } + n _ { y } ^ { 2 } + n _ { z } ^ { 2 } \right)
W _ { f , 0 } ^ { \mathrm { Q S } } = \cos \Big ( \frac { \theta } { 2 } \Big ) W _ { f , 0 } ^ { \mathrm { M C } } + \sin \Big ( \frac { \theta } { 2 } \Big ) e ^ { \mathrm { i } \phi } W _ { f , 0 } ^ { \mathrm { B C } }
\begin{array} { r l r } { P _ { u d } ^ { s . e } ( 2 \downarrow \uparrow \uparrow - \uparrow \downarrow \uparrow - \uparrow \uparrow \downarrow ) } & { = } & { 2 \downarrow \uparrow \uparrow - \uparrow \uparrow \downarrow - \uparrow \downarrow \uparrow , } \\ { P _ { s u } ^ { s . e } ( 2 \downarrow \uparrow \uparrow - \uparrow \downarrow \uparrow - \uparrow \uparrow \downarrow ) } & { = } & { 2 \uparrow \downarrow \uparrow - \downarrow \uparrow \uparrow - \uparrow \uparrow \downarrow , } \\ { P _ { s d } ^ { s . e } ( 2 \downarrow \uparrow \uparrow - \uparrow \downarrow \uparrow - \uparrow \uparrow \downarrow ) } & { = } & { 2 \uparrow \uparrow \downarrow - \uparrow \downarrow \uparrow - \downarrow \uparrow \uparrow } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { j } ( y ^ { s + 2 } ) } & { = \frac { p \rho _ { j } ( y ^ { s + 1 } ) } { ( p \! - \! q ) \rho _ { j } ( y ^ { s + 1 } ) \! + \! q } = \frac { p \frac { q \rho _ { j } ( y ^ { s } ) } { \rho _ { j } ( y ^ { s } ) ( q \! - \! p ) \! + \! p } } { ( p \! - \! q ) \frac { q \rho _ { j } ( y ^ { s } ) } { \rho _ { j } ( y ^ { s } ) ( q \! - \! p ) \! + \! p } \! + \! q } } \\ & { = \frac { p q \rho _ { j } ( y ^ { s } ) } { ( p \! - \! q ) q \rho _ { j } ( y ^ { s } ) \! + \! q ( \rho _ { j } ( y ^ { s } ) ( q \! - \! p ) \! + \! p ) } } \\ & { = \frac { q p \rho _ { j } ( y ^ { s } ) } { - \! ( q \! - \! p ) q \rho _ { j } ( y ^ { s } ) \! + \! ( q \! - \! p ) q \rho _ { j } ( y ^ { s } ) \! + \! q p } } \\ & { = \frac { q p \rho _ { j } ( y ^ { s } ) } { q p } = \rho _ { j } ( y ^ { s } ) \, . } \end{array}
\mathcal { M } _ { h } ^ { k } : = \bigcup _ { T \in \mathcal { T } _ { h } ^ { 1 } } Q _ { \psi , k } \left( T \right) = \bigcup _ { T \in \mathcal { T } _ { h } ^ { 1 } , \, \hat { p } \in \sigma } \sum _ { i = 1 } ^ { N \left( 2 , n \right) } \pi \big ( \xi \left( \hat { p _ { i } } \right) \big ) \mathcal { L } _ { i } ^ { k } \left( \hat { p } \right) .
\Lambda _ { \nu } ^ { \mu } ( x , y ) = \delta _ { \nu } ^ { \mu } \, \delta ^ { 3 } ( x - y ) - J ^ { \mu \alpha } \int d ^ { \, 3 } \! \rho \; d ^ { \, 3 } \! \sigma \, \delta _ { \alpha ( x ) } \varphi ^ { i } ( \rho ) \, J _ { i j } ( \rho , \sigma ) \, \delta _ { \nu ( y ) } \varphi ^ { j } ( \sigma )
\begin{array} { r } { \rho _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( t _ { f } | \widehat { L } , t ) = - \frac { \partial } { \partial t _ { f } } \int _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ^ { \infty } d L _ { f } \ P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } , t ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { x } \mathcal { V } } & { = y ^ { 1 + \alpha } \nabla _ { x } \mathcal { U } + ( 1 + \alpha ) \int _ { y } ^ { \mathcal { Y } } { \tau ^ { \alpha } \nabla _ { x } \mathcal { U } ( \tau ) \, d \tau } \quad \mathrm { a n d } \quad \partial _ { y } \mathcal { V } ( y ) = y ^ { 1 + \alpha } \partial _ { y } \mathcal { U } ( y ) . } \end{array}