harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { E \left[ | H ( X _ { s - \cdot } ) - H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) | \right] } & { \leq E \left[ \int _ { 0 } ^ { \delta } \left| f ( v ) \right| \left| X _ { s - v } - X _ { t _ { k - 1 } - v } \right| d v \right] } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { \delta } E \left[ \left| X _ { s - v } - X _ { t _ { k - 1 } - v } \right| \right] \, \mathrm { d } v } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { \delta } \bigg [ ( s - t _ { k - 1 } ) \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } - \delta \leq u \leq t _ { k } } E \left[ \left| X _ { u } \right| + \left| H ( X _ { u - \cdot } ) \right| \right] } \\ & { \quad + \varepsilon \sqrt { s - t _ { k - 1 } } \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } - \delta \leq u \leq t _ { k } } \left\{ E \left[ 1 + | X _ { u } | ^ { p } + | H ( X _ { u - \cdot } ) | ^ { p } \right] \right\} \bigg ] d v } \end{array}
W [ A ^ { \theta _ { 1 } \theta _ { 2 } } ] - W [ A ] - ( W [ A ^ { \theta _ { 1 } } ] - W [ A ] ) - ( W [ A ^ { \theta _ { 2 } } ] - W [ A ] ) = - 2 i \int d ^ { 4 } x \ t r \left[ \theta _ { 2 } \delta _ { \theta _ { 1 } } a ( A ) \right]
\begin{array} { r l } { f ( \alpha ) = } & { \log _ { 2 } \left( \frac { 1 \! - \! \alpha } { 1 \! + \! \alpha } \right) \left( 1 \! - \! \frac { p } { q } \right) \! + \! 2 \log _ { 2 } ( 1 \! + \! ( q \! - \! p ) ^ { 2 } \alpha ) } \\ & { - \frac { p } { q } \log _ { 2 } ( 2 q ) - \frac { p } { q } \log _ { 2 } ( 2 p ) + \frac { p } { q } \log _ { 2 } ( 1 \! + \! ( q \! - \! p ) ) + \frac { p } { q } \log _ { 2 } ( 1 - ( q - p ) ) } \\ { = } & { \log _ { 2 } \left( \frac { 1 \! - \! \alpha } { 1 \! + \! \alpha } \right) \! \left( 1 \! - \! \frac { p } { q } \right) \! + \! 2 \log _ { 2 } ( 1 \! + \! ( q \! - \! p ) ^ { 2 } \alpha ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega \delta \mathbf { B } = \mathbf { k } \times ( \mathbf { B } _ { 0 } \times \delta \mathbf { V } _ { p } ) \sim | \mathbf { k } | \hat { \mathbf { k } } _ { S V D } \times ( \mathbf { B } _ { 0 } \times \delta \mathbf { V } _ { p } ) , } \end{array}
I l l ( r , \theta , t ) \propto i ^ { n } \textrm { s i n c } \left( \frac { n \alpha } { 2 } \right) e ^ { i n ( \frac { \alpha } { 2 } + \pi / 2 + \theta ) } \int _ { 0 } ^ { R } J _ { n } \left( \frac { 2 \pi } { \lambda f } r _ { D } r \right) r _ { d } d r _ { d }
\begin{array} { r l } { [ \mathbf { H } ] _ { q , p } ^ { \mathrm { p o l } } = } & { \sum _ { \beta = 1 } ^ { n _ { \mathrm { R } } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { n _ { \mathrm { S } } } \eta _ { \mathrm { R } , q } [ \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { R } } ^ { \theta } ] _ { q , \beta } [ \mathbf { H } _ { \mathrm { a } } ^ { \theta \theta } ] _ { \beta , \alpha } [ \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { S } } ^ { \theta } ] _ { p , \alpha } ^ { * } \eta _ { \mathrm { S } , p } } \\ & { + \sum _ { \beta = 1 } ^ { n _ { \mathrm { R } } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { n _ { \mathrm { S } } } \eta _ { \mathrm { R } , q } [ \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { R } } ^ { \theta } ] _ { q , \beta } [ \mathbf { H } _ { \mathrm { a } } ^ { \theta \phi } ] _ { \beta , \alpha } [ \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { S } } ^ { \phi } ] _ { p , \alpha } ^ { * } \eta _ { \mathrm { S } , p } } \\ & { + \sum _ { \beta = 1 } ^ { n _ { \mathrm { R } } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { n _ { \mathrm { S } } } \eta _ { \mathrm { R } , q } [ \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { R } } ^ { \phi } ] _ { q , \beta } [ \mathbf { H } _ { \mathrm { a } } ^ { \phi \theta } ] _ { \beta , \alpha } [ \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { S } } ^ { \theta } ] _ { p , \alpha } ^ { * } \eta _ { \mathrm { S } , p } } \\ & { + \sum _ { \beta = 1 } ^ { n _ { \mathrm { R } } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { n _ { \mathrm { S } } } \eta _ { \mathrm { R } , q } [ \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { R } } ^ { \phi } ] _ { q , \beta } [ \mathbf { H } _ { \mathrm { a } } ^ { \phi \phi } ] _ { \beta , \alpha } [ \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { S } } ^ { \phi } ] _ { p , \alpha } ^ { * } \eta _ { \mathrm { S } , p } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta V ( \vec { f } ) } & { = V ( \vec { f } ^ { t + 1 } ) - V ( \vec { f } ^ { t } ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \{ \theta ( \int _ { 0 } ^ { f ^ { t + 1 } } { C _ { i } ^ { t + 1 } } \mathrm { d } x - \int _ { 0 } ^ { f ^ { t } } { C _ { i } ^ { t } } \mathrm { d } x ) + [ f _ { i } ^ { t + 1 } \mathrm { l n } ( P _ { i } ^ { t + 1 } f _ { i } ^ { t + 1 } ) - f _ { i } ^ { t } \mathrm { l n } ( P _ { i } ^ { t } f _ { i } ^ { t } ) ] \} } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \{ \theta ( \int _ { 0 } ^ { f ^ { t + 1 } } { C _ { i } ^ { t + 1 } } \mathrm { d } x + \int _ { f ^ { t } } ^ { 0 } { C _ { i } ^ { t } } \mathrm { d } x ) + ( f _ { i } ^ { t + 1 } \mathrm { l n } ( P _ { i } ^ { t + 1 } f _ { i } ^ { t + 1 } ) - f _ { i } ^ { t } \mathrm { l n } ( P _ { i } ^ { t } f _ { i } ^ { t } ) ] \} } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \{ \theta \int _ { f ^ { t } } ^ { f ^ { t + 1 } } { C _ { i } ^ { t + 1 } } \mathrm { d } x + [ f _ { i } ^ { t + 1 } \mathrm { l n } ( P _ { i } ^ { t + 1 } f _ { i } ^ { t + 1 } ) - f _ { i } ^ { t } \mathrm { l n } ( P _ { i } ^ { t } f _ { i } ^ { t } ) ] \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle w , u _ { t } \right\rangle + \left\langle q w , m ^ { \perp } \right\rangle - \left\langle \nabla \cdot w , \frac { 1 } { 2 } | u | ^ { 2 } + g ( D + b ) \right\rangle } & { = 0 , \, \quad \forall w \in \mathring { \mathbb { V } } _ { h } ^ { 1 } , } \\ { \left\langle \phi , D _ { t } \right\rangle + \left\langle \nabla \cdot m \right\rangle } & { = 0 , \, \forall \phi \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \left\langle \gamma , ( q D ) _ { t } \right\rangle + \left\langle \nabla \gamma , q m \right\rangle } & { = 0 , \, \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P } & { { } \sim } & { \alpha \, { \frac { \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } + \epsilon _ { 2 } ^ { 2 } + p _ { 1 z } ^ { 2 } + p _ { 2 z } ^ { 2 } } { \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } } } } \end{array}
\hat { \bf t } \cdot \hat { \bf n } = \cos \psi \, , \quad \hat { \bf t } \cdot \hat { \bf e } _ { 1 } = \sin \psi \cos \phi \, , \quad \hat { \bf t } \cdot \hat { \bf e } _ { 2 } = \sin \psi \sin \phi \, .
\tilde { \Gamma } _ { s } = \left\{ z = z ^ { ( s ) } + \vartheta ^ { ( s ) } \varepsilon _ { s } ( z ^ { ( s ) } ) \, , \quad \vartheta = \vartheta ^ { ( s ) } \left( 1 + \frac { \varepsilon _ { s } \varepsilon _ { s } ^ { \prime } } 2 \right) + \varepsilon _ { s } ( z ^ { ( s ) } ) \right\} \, ,
\lambda ( \; \Gamma . A \xrightarrow { \Bigg ( \textnormal { e v } _ { \big ( \; \Gamma . A \xrightarrow { z [ P _ { A } ] } \Gamma . A . \mathbf { { \Pi } } _ { A } ^ { B } [ P _ { A } ] = \Gamma . A . \mathbf { { \Pi } } _ { A [ P _ { A } ] } ^ { B [ P _ { A } . A ] } \; \big ) } ^ { \big ( \; \Gamma . A \xrightarrow { v _ { A } } \Gamma . A . A [ P _ { A } ] \; \big ) } \Bigg ) } \Gamma . A . B [ \; ( P _ { A } . A ) v _ { A } \; ] = \Gamma . A . B \; ) = z
p ( T , A ) = \pm \frac { L _ { p } } { 2 } \left\{ \mathrm { a r c c o s h } \left[ \frac { - 4 \pi T A } { L _ { p } \sqrt { 1 + A ^ { 2 } / \ell ^ { 2 } } } \right] + 2 \pi i n \right\} .
\mathbf { u } ^ { \prime } = - \mathbf { E } : \frac { 5 ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { p } ) ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { p } ) ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { p } ) } { | \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { p } | ^ { 5 } } + O ( | \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { p } | ^ { - 4 } )
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathrm { H } [ p ] } { d t } } & { = \nu \int _ { \Omega } ( 1 + \log p ) \left( \frac { \nabla \omega \cdot \nabla p } { \omega } - \Delta p \right) \, d S + \nu \int _ { \Omega } p | \nabla \log p | ^ { 2 } \, d S , } \\ { \frac { d \mathrm { H } [ q ] } { d t } } & { = \nu \int _ { \Omega } ( 1 + \log q ) \left( \frac { \nabla \omega \cdot \nabla q } { \omega } - \Delta q \right) \, d S + \nu \int _ { \Omega } q | \nabla \log q | ^ { 2 } \, d S . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \| \xi \| _ { H ^ { 1 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } \leq } & { C k _ { n } \| \eta \| _ { H ^ { 1 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 2 } + C k _ { n } \| \xi \| _ { H ^ { 1 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 2 } + C k _ { n } \| \xi ^ { \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { C k _ { n } \| \eta \| _ { H ^ { 1 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 2 } + C k _ { n } \| \xi \| _ { H ^ { 1 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 2 } . } \end{array} } \end{array}
e _ { 0 } = { \frac { 1 } { 8 \pi } } \left\{ 2 \, \Lambda ^ { 2 } + 2 \, { m ^ { 2 } } \ln { \frac { 2 \, \Lambda } { m } } + { m ^ { 2 } } + \mathrm { O } ( \Lambda ^ { - 2 } ) \right\} .
N ^ { i } \equiv X _ { ( 5 i ) } + X _ { ( 0 i ) } = \omega ( { t _ { c } } ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) P ^ { i } + 2 x ^ { i } H + 2 \omega ( S _ { i 0 } t _ { c } + S _ { i j } x ^ { j } )
\begin{array} { r l } { \mathrm { P r } ( \boldsymbol { z } _ { j } | \boldsymbol { \lambda } ) } & { = \sum _ { w = 1 } ^ { W } \sum _ { \mathbb { P } } \mathrm { P r } ( \boldsymbol { z } _ { j } | \mathbb { P } , E _ { 0 } ^ { w } ) \mathrm { P r } ( \mathbb { P } , E _ { 0 } ^ { w } | \boldsymbol { \lambda } ) } \\ & { = \sum _ { w = 1 } ^ { W } \sum _ { \mathbb { P } } z _ { j , \mathbb { P } , w } \mathrm { P r } ( \mathbb { P } , E _ { 0 } ^ { w } | \boldsymbol { \lambda } ) = \prod _ { w = 1 } ^ { W } \prod _ { \mathbb { P } } \mathrm { P r } ( \mathbb { P } , E _ { 0 } ^ { w } | \boldsymbol { \lambda } ) ^ { z _ { j , \mathbb { P } , w } } , } \end{array}
\overline { { \overline { { \mathbf { T } } } } } _ { A } = \frac { \varepsilon _ { 0 } \mu _ { 0 } } { \mu \left( t \right) \varepsilon \left( t \right) } \, \overline { { \overline { { \mathbf { T } } } } } _ { M } \left( \mathbf { r } , t \right)
\begin{array} { c c c c l } { { T _ { f U } } } & { { = } } & { { T _ { U f } } } & { { = } } & { { ( \sigma _ { V } ^ { \ast } \sigma _ { S } + \sigma _ { S } ^ { \ast } \sigma _ { V } ) \mathrm { ~ \left| ~ { \bf ~ q } ~ \right| ~ } , } } \\ { { T _ { f V } } } & { { = } } & { { T _ { V f } } } & { { = } } & { { - M \mathrm { ~ \left| ~ { \bf ~ q } ~ \right| ~ } | \sigma _ { V } | ^ { 2 } , \nonumber } } \\ { { T _ { f W } } } & { { = } } & { { T _ { W f } } } & { { = } } & { { - ( \sigma _ { V } ^ { \ast } \sigma _ { S } + \sigma _ { S } ^ { \ast } \sigma _ { V } ) q _ { 3 } + \frac { i } { 2 } ( \sigma _ { V } ^ { \ast } \sigma _ { S } - \sigma _ { S } ^ { \ast } \sigma _ { V } ) M , } } \\ { { T _ { U V } } } & { { = } } & { { T _ { V U } } } & { { = } } & { { - [ \frac { 1 } { 2 } ( \sigma _ { V } ^ { \ast } \sigma _ { S } + \sigma _ { S } ^ { \ast } \sigma _ { V } ) M + i q _ { 3 } ( \sigma _ { V } ^ { \ast } \sigma _ { S } - \sigma _ { S } ^ { \ast } \sigma _ { V } ) ] , } } \\ { { T _ { U W } } } & { { = } } & { { T _ { W U } } } & { { = } } & { { 2 q _ { 3 } \mathrm { ~ \left| ~ { \bf ~ q } ~ \right| ~ } | \sigma _ { V } | ^ { 2 } , } } \\ { { T _ { V W } } } & { { = } } & { { T _ { W V } } } & { { = } } & { { - i ( \sigma _ { V } ^ { \ast } \sigma _ { S } - \sigma _ { S } ^ { \ast } \sigma _ { V } ) \mathrm { ~ \left| ~ { \bf ~ q } ~ \right| ~ } , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { k } ( E ) } & { { } = } & { \sum _ { v = 0 } ^ { v _ { \mathrm { m a x } } } n _ { k v } \sum _ { v ^ { \prime } = 0 } ^ { v _ { \mathrm { m a x } } ^ { \prime } } \sum _ { J = 0 } ^ { J _ { \mathrm { m a x } } } \sum _ { J ^ { \prime } = J - 1 } ^ { J + 1 } s _ { k J J ^ { \prime } } \times } \end{array}
\pi _ { \boldsymbol { X } | \langle \boldsymbol { D } \rangle } ( \boldsymbol { x } | \langle \boldsymbol { d } \rangle ) = \pi _ { E } ( \epsilon ) \pi _ { \Sigma } ( \sigma ) \pi _ { M | \langle \boldsymbol { D } \rangle } ( m | \langle \boldsymbol { d } \rangle ) \, .
\mu _ { I J } = \left\{ \begin{array} { r l } { { \alpha \, , } } & { { { \cal B } _ { I J } ^ { \alpha } = 2 } } \\ { { - \alpha \, , } } & { { { \cal B } _ { I J } ^ { \alpha } = - 2 } } \\ { { 0 \, , } } & { { { \cal B } _ { I J } ^ { \alpha } = 0 { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } \alpha \, . } } \end{array} \right.
p ( \boldsymbol { \phi } \mid \mathbf { y } , \mathbf { Z } , \boldsymbol { \delta } ) ^ { \beta _ { l } } \propto [ \mathcal { L } ( \boldsymbol { \phi } ; \mathbf { y } , \mathbf { Z } , \boldsymbol { \delta } ) p ( \boldsymbol { \phi } ) ] ^ { \beta _ { l } } .
\begin{array} { r } { \omega { L _ { u } } - \frac { 1 } { { \omega { C _ { u j } } } } = \omega \frac { { \sum _ { i = 1 } ^ { { N _ { u } } , i \ne j } { L _ { u u } ^ { i } I _ { u - t a r } ^ { i } } } } { { I _ { u - t a r } ^ { j } } } } \end{array}
T _ { 1 , \Delta = 0 } ( d \theta _ { \mathrm { t r } } , d \phi _ { \mathrm { t r } } ) = T _ { 1 , \mathrm { m a x } } e ^ { - D ^ { 2 } \left( d \theta _ { \mathrm { t r } } ^ { 2 } + d \phi _ { \mathrm { t r } } ^ { 2 } \right) / \theta _ { 0 } ^ { 2 } } .
\mathcal { M } _ { 2 2 } ^ { - 1 } \cdot \mathcal { M } _ { 2 1 } = \mathbb { 0 } _ { r } ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ o ~ r ~ } ~ ~ ~ ~ ~ \widetilde { \mathcal { M } } _ { 1 1 } ^ { - 1 } \cdot \widetilde { \mathcal { M } } _ { 1 2 } = \mathbb { 0 } _ { r } .
{ \begin{array} { r l } { f ( x ) g ( x ) } & { = \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { n } ( x - c ) ^ { n } \right) \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } b _ { n } ( x - c ) ^ { n } \right) } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } a _ { i } b _ { j } ( x - c ) ^ { i + j } } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( \sum _ { i = 0 } ^ { n } a _ { i } b _ { n - i } \right) ( x - c ) ^ { n } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { Y _ { r s } ^ { q } = W _ { r s } ^ { q } - \frac { 1 } { 2 } ( W _ { r s } ^ { q } + W _ { s r } ^ { q } ) = \frac { 1 } { 2 } ( W _ { r s } ^ { q } - W _ { s r } ^ { q } ) , } \end{array}
R _ { K _ { 2 } ^ { * } } \equiv \frac { B R ( B \to K _ { 2 } ^ { * } ( 1 4 3 0 ) \gamma ) } { B R ( B \to X _ { s } \gamma ) } = \frac 1 8 g _ { + } ^ { 2 } ( 0 ) \frac { M _ { B } ^ { 2 } } { M _ { K _ { 2 } ^ { * } } ^ { 2 } } \frac { \left( 1 - { M _ { K _ { 2 } ^ { * } } ^ { 2 } } / { M _ { B } ^ { 2 } } \right) ^ { 5 } \left( 1 + { M _ { K _ { 2 } ^ { * } } ^ { 2 } } / { M _ { B } ^ { 2 } } \right) } { \left( 1 - { m _ { s } ^ { 2 } } / { m _ { b } ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } \left( 1 + { m _ { s } ^ { 2 } } / { m _ { b } ^ { 2 } } \right) } .
\delta f ( 0 , w _ { \perp } , v _ { \parallel } ) = \frac { \delta n ( 0 ) } { n _ { 0 } } F _ { \mathrm { M } } ( v ) = - \frac { 2 } { \beta _ { 0 } } \frac { \delta B _ { \parallel } ( 0 ) } { B _ { 0 } } F _ { \mathrm { M } } ( v ) .
\Psi _ { ( h ; 1 ) } ( z ) \Psi _ { ( h ^ { \prime } ; 1 ) } ( 0 ) = \ldots + \frac { C _ { ( h , h ^ { \prime } ; 2 ) \iota } } { D _ { \iota \iota ^ { * } } } z ^ { h _ { \iota } - h - h ^ { \prime } } \chi _ { \iota } ( 0 ) + \ldots \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { V } _ { k } ( \mathbf { A } ) } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { k } \mathbf { P } ^ { l - 1 } \mathbf { N P } ^ { k - l } } \\ & { = \sum _ { l = 1 } ^ { k } \mathbf { Q \Lambda } ^ { l - 1 } \mathbf { Q } ^ { \top } \mathbf { N Q \Lambda } ^ { k - l } \mathbf { Q } ^ { \top } } \\ & { = \mathbf { Q } \left[ \left( \sum _ { l = 1 } ^ { k } \mathbf { L } ( k , l ) \right) \odot \mathbf { M } \right] \mathbf { Q } ^ { \top } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k + 2 , 4 k - 3 } ^ { A , 1 } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k + 1 , 4 k - 3 } ^ { B , 1 } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k , 4 k - 3 } ^ { B , 1 } \otimes v _ { 3 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k + 2 , 4 k - 4 } ^ { A , 1 } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k + 2 , 4 k - 5 } ^ { A , 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \end{array}
~ A _ { 0 } ^ { \prime } + A _ { 1 } ^ { \prime } + A _ { 2 } ^ { \prime } = \alpha _ { 0 } + \alpha _ { 1 } \chi _ { 1 } + \alpha _ { 2 } \chi _ { 1 } ^ { \prime } + \frac { 1 } { 1 2 } \epsilon \chi _ { 1 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 2 } \chi _ { 1 } ^ { \prime 2 } ,
\operatorname { t r } \left( \gamma _ { 5 } { a \! \! \! / } { b \! \! \! / } { c \! \! \! / } { d \! \! \! / } \right) = - 4 i \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } a ^ { \mu } b ^ { \nu } c ^ { \rho } d ^ { \sigma }
\begin{array} { r l r } { \dot { v } ( t ) } & { = } & { \hat { A } x ( t ) + f ( x ( t ) , w ( t ) ) - R \dot { u } ( t ) } \\ & { = } & { \hat { A } ( v ( t ) + R u ( t ) ) + f \big ( v ( t ) + R u ( t ) , w ( t ) \big ) - R \dot { u } ( t ) } \\ & { = } & { \hat { A } v ( t ) + f \big ( v ( t ) + R u ( t ) , w ( t ) \big ) - R \dot { u } ( t ) + \hat { A } R u ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { c } } & { { } = 1 . 0 \: m , \; x _ { 0 } = y _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } L = 5 m , \; } \\ { \epsilon _ { v } } & { { } = \frac { 5 } { 2 \sqrt { 2 } \pi } \approx 0 . 5 6 , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq R \} } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { 2 - \epsilon } | F _ { \xi } | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau \leq C \int _ { \Sigma _ { 0 } } \mathcal { E } _ { \epsilon } [ \phi ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r + C \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Sigma _ { \tau } } | G _ { m } | ^ { 2 } \, r ^ { 2 } d \sigma d r d \tau .
\begin{array} { r l } { \dim _ { \mathbb Q _ { p } } \mathrm H _ { f } ^ { 1 } ( G _ { p } , \mathbb Q _ { p } ( 1 ) ^ { D ( { \overline { { \mathbb Q } } } ) } ) } & { = \sum _ { x \in | D _ { \mathbb Q _ { p } } | } \dim _ { \mathbb Q _ { p } } \bigl ( \widehat { \mathcal { O } _ { \kappa ( x ) } ^ { \times } } \otimes \mathbb Q _ { p } \bigr ) } \\ & { = \sum _ { x \in | D _ { \mathbb Q _ { p } } | } [ \kappa ( x ) : \mathbb Q _ { p } ] } \\ & { = n . } \end{array}
\Sigma ( x ) = \left\{ \begin{array} { c c } { { m _ { T } } } & { { \quad x \leq m _ { T } ^ { 2 } } } \\ { { { \frac { m _ { T } ^ { 3 } } { x } } \left( { \frac { x } { m _ { T } ^ { 2 } } } \right) ^ { \gamma _ { m } / 2 } } } & { { \quad x > m _ { T } ^ { 2 } , } } \end{array} \right.
q \left( r , t \right) = \frac { 1 } { 2 \left( \pi r \right) ^ { d - 1 } } \left( Q _ { 0 } - U \frac { \mathrm { ~ d ~ } P _ { w } } { \mathrm { ~ d ~ } t } \right) \; \; \mathrm { a t } \; \; r = r _ { w }
D = t H - \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x ( x - v t ) { \cal P } ( x - v t ) - \frac { v } { 2 } t \int _ { \infty } ^ { \infty } d x { \cal P } ( x - v t ) = t ( H - \frac { v } { 2 } P ) - \frac { 1 } { 2 } D _ { 0 } ,
\alpha = \left( 1 + \left( 0 . 4 8 0 + 1 . 5 7 4 \, \omega - 0 . 1 7 6 \, \omega ^ { 2 } \right) \left( 1 - T _ { r } ^ { \, 0 . 5 } \right) \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \smallint _ { G } | K ( x , y ) | ^ { p ^ { \prime } } \textnormal { d } y } & { = \Vert y \mapsto \mathscr { F } _ { G } ^ { - 1 } ( \sigma _ { A } ( x , \cdot ) ) ( x y ^ { - 1 } ) \Vert _ { L ^ { p ^ { \prime } } ( G ; \textnormal { d } y ) } ^ { p ^ { \prime } } } \\ & { = \Vert z \mapsto \mathscr { F } _ { G } ^ { - 1 } ( \sigma _ { A } ( x , \cdot ) ) ( z ) \Vert _ { L ^ { p ^ { \prime } } ( G ; \textnormal { d } z ) } ^ { p ^ { \prime } } \leq \Vert \sigma _ { A } ( x , \cdot ) \Vert _ { \ell ^ { p } ( \widehat { G } ) } ^ { p ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { { } = - 2 \beta \alpha ^ { 3 } \left( 6 + 6 \alpha + \alpha ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } + \alpha ^ { 4 } \right) \, , } \\ { B } & { { } = \beta \alpha ^ { 3 } \left( 8 + 8 \alpha + 8 \alpha ^ { 2 } + 3 \alpha ^ { 3 } + 3 \alpha ^ { 4 } \right) \, , } \\ { C } & { { } = - \beta \alpha ^ { 5 } \left( 4 + \alpha + \alpha ^ { 2 } \right) \, , } \\ { D } & { { } = 2 \beta \alpha ^ { 3 } \left( 2 + 2 \alpha - \alpha ^ { 2 } \right) \, , } \\ { E } & { { } = - 2 \beta \alpha ^ { 2 } \left( 2 0 + 1 1 \alpha + 1 1 \alpha ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } + \alpha ^ { 4 } + \alpha ^ { 5 } \right) \, , } \\ { H } & { { } = 2 \beta \left( 8 + 2 \alpha + 2 \alpha ^ { 2 } + 2 \alpha ^ { 3 } + 2 \alpha ^ { 4 } - \alpha ^ { 5 } \right) \, , } \end{array}
C _ { \mathbf { d } } = \frac { 4 } { N _ { \mathbf { d } } } \sum _ { \mathbf { d } = \mathbf { d } _ { i , j } } ( \langle \hat { n } _ { i } \hat { n } _ { j } \rangle - \langle \hat { n } _ { i } \rangle \langle \hat { n } _ { j } \rangle ) ,
\begin{array} { r l } { Q _ { n } ( w ) = } & { Q _ { n } ( w _ { 0 } ) + \int _ { w _ { 0 } } ^ { w } Q _ { n } ^ { \prime } ( w ) \mathrm { d } w } \\ { = } & { ( ( s _ { n } - s _ { 0 } ) g _ { 0 } + ( t _ { n } - t _ { 0 } ) m _ { 0 } + \int _ { w _ { 0 } } ^ { w } Q _ { n } ^ { \prime } ( w ) \mathrm { d } w ) } \\ & { \left\{ \begin{array} { r c l } & { \geq } & { - d \sqrt { 2 ( g _ { 0 } ^ { 2 } + m _ { 0 } ^ { 2 } ) } + k \phi \eta > 0 \mathrm { ~ w h e n ~ } w = w _ { 0 } + \eta , } \\ & { \leq } & { d \sqrt { 2 ( g _ { 0 } ^ { 2 } + m _ { 0 } ^ { 2 } ) } - k \phi \eta < 0 \mathrm { ~ w h e n ~ } w = w _ { 0 } - \eta . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \beta \to 0 } G _ { ( 1 - X ) } = \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to \infty } G _ { ( 1 - X ) } = 0 } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 0 } G _ { ( 1 - X ) } = \operatorname* { l i m } _ { \beta \to \infty } G _ { ( 1 - X ) } = 1 } \end{array}
S _ { ( a ) } [ J ^ { \mu } , \varphi , \theta , { \tilde { \alpha } } ^ { r } , \beta _ { r } ; { } ^ { 4 } g _ { \mu \nu } ] = \int d ^ { 4 } x \Big [ | J | a ( { \frac { | J | } { \sqrt { { } ^ { 4 } g } } } , \partial _ { \mu } \theta J ^ { \mu } ) - J ^ { \mu } ( \partial _ { \mu } \varphi + \beta _ { r } \partial _ { \mu } { \tilde { \alpha } } ^ { r } ) \Big ]
\mathcal { F } _ { c } ( \mathbf { w } _ { i } ^ { n } , \mathbf { w } _ { j } ^ { n } , \widetilde { \boldsymbol { \eta } } _ { i j } ) = \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { F } _ { c } ( \mathbf { w } _ { i } ^ { n } ) + \mathbf { F } _ { c } ( \mathbf { w } _ { j } ^ { n } ) \right) \cdot \widetilde { \boldsymbol { \eta } } _ { i j } - \frac { 1 } { 2 } \widetilde { \alpha } _ { i j } ^ { n } \left( \mathbf { w } _ { j } ^ { n } - \mathbf { w } _ { i } ^ { n } \right) .
P = \left\{ \begin{array} { l l } { \rho c _ { s , v } ^ { 2 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \rho \leq \rho _ { 1 } } \\ { \rho _ { 1 } c _ { s , v } ^ { 2 } + \left( \rho - \rho _ { 1 } \right) c _ { s , m } ^ { 2 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \rho _ { 1 } \leq \rho \leq \rho _ { 2 } } \\ { \rho _ { 1 } c _ { s , v } ^ { 2 } + \left( \rho _ { 2 } - \rho _ { 1 } \right) c _ { s , m } ^ { 2 } + \left( \rho - \rho _ { 2 } \right) c _ { s , l } ^ { 2 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \rho _ { 2 } \leq \rho } \end{array} \right.
\mathcal { N } ( t ) = \frac { 1 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { t } ( m _ { 0 } u _ { 0 } ) ( 1 ^ { - } , \tau ) \, \mathrm { ~ d ~ } \tau = \frac { 1 } { \pi } \left( 1 - \sqrt { 1 - t } - \frac { t } { 2 } \right) .
\Gamma _ { 0 0 } ^ { 0 } = \mathcal { O } ^ { 4 } , \quad \Gamma _ { 0 0 } ^ { i } = \mathcal { O } ^ { 2 } , \quad \Gamma _ { 0 i } ^ { 0 } = \mathcal { O } ^ { 2 } , \quad \Gamma _ { 0 i } ^ { j } = \mathcal { O } ^ { 3 } , \quad \Gamma _ { i j } ^ { 0 } = \mathcal { O } ^ { 3 } , \quad \Gamma _ { i j } ^ { k } = \Gamma _ { i j } ^ { k } ( h ) + \mathcal { O } ^ { 2 } , \quad \Gamma _ { i j } ^ { k } ( h ) = \mathcal { O } ^ { 1 } .
W _ { \mathrm { c o u p l i n g s } } = g _ { k } T r X ^ { k + 1 } + m _ { i } ^ { \bar { \imath } } Q ^ { i } \widetilde { Q } _ { \bar { \imath } } + \sum _ { a } m _ { a } Q ^ { N _ { c } + a } \widetilde { Q } _ { N _ { c } + a } + b B +
\Big ( A ( r ) \; { Q _ { i } } ^ { j } \epsilon _ { j } + B ( r ) \; { M _ { i } } ^ { j } \epsilon _ { j } \Big ) \; \phi ^ { x \prime } = \sqrt { 6 } g \, g ^ { x y } \partial _ { y } P _ { i } \, ^ { j } \epsilon _ { j } \, .
\begin{array} { r } { \Big [ X _ { N } \Big ] \equiv \frac { \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } X _ { N } \exp ( - \beta E _ { N } ^ { ( 0 ) } ) } { \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } \exp ( - \beta E _ { N } ^ { ( 0 ) } ) } . } \end{array}
e ^ { - i \Sigma _ { i = 1 } ^ { Q } \hat { p } _ { i } \frac { \Delta t } { \tau } ( \Sigma _ { j = 1 , \neq i } ^ { Q } \hat { q } _ { j } + f _ { i } ^ { e q } [ \vec { u } ( \vec { x } , t ) ] - 1 ) }
H = \hbar \sum _ { i } { \omega _ { i } a _ { i } ^ { \dagger } a _ { i } + } \hbar \omega _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } ( \vec { k } ) b ^ { \dagger } b + \sum _ { i } { g _ { i } ( a _ { i } ^ { \dagger } b + b ^ { \dagger } a _ { i } ) } .