harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\gamma ( \pi \mathcal { G } , \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } ) = \pi \gamma ( \mathcal { G } , \hat { \mathcal { G } } ) \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \pi \in \mathbb { S } _ { N } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \hat { \pi } \in \mathbb { S } _ { \hat { N } }
\begin{array} { l l l l l } { { a _ { 0 } ^ { 0 } = 0 . 2 0 , \; } } & { { a _ { 0 } ^ { 2 } = - 0 . 0 3 7 , \; } } & { { a _ { 1 } ^ { 1 } = 0 . 0 3 8 , \, \; } } & { { a _ { 2 } ^ { 0 } = 0 . 0 0 1 7 , \; } } & { { a _ { 2 } ^ { 2 } = - 0 . 0 0 1 1 ~ . } } \end{array}
{ \frac { \int _ { a } ^ { b } f ( x + h , t ) \, d t - \int _ { a } ^ { b } f ( x , t ) \, d t } { h } } = { \frac { 1 } { h } } \int _ { x } ^ { x + h } \int _ { a } ^ { b } f _ { x } ( x , t ) \, d t \, d x = { \frac { F ( x + h ) - F ( x ) } { h } }
\exp { \left( - \beta \hat { \cal H } \right) } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } \left( \beta \frac { g { \ensuremath { \mu _ { \mathrm { B } } } } } { \hbar } \hat { S } _ { z } B _ { z } \right) ^ { k } ,
\begin{array} { r l } { c ( y ) } & { = \int _ { \mathfrak { A } } \int _ { \mathbb { R } ^ { p } } \int _ { \mathbb { R } ^ { q } } \bigg [ \prod _ { i = 1 } ^ { n } \exp [ ( y _ { i } \theta _ { i } - b ( \theta _ { i } ) ) + d ( y _ { i } ) ] \bigg ] \phi _ { q } ( u ; 0 , \Psi ) d u \pi ( \Psi ) d \beta \, d \Psi } \\ & { \propto \int _ { \mathfrak { A } } \int _ { \mathbb { R } ^ { p } } \int _ { \mathbb { R } ^ { q } } \bigg [ \prod _ { i = 1 } ^ { n } \exp [ ( y _ { i } \theta _ { i } - b ( \theta _ { i } ) ) ] \bigg ] \phi _ { q } ( u ; 0 , \Psi ) d u \pi ( \Psi ) d \beta \, d \Psi } \\ & { \le M ^ { n - p } \int _ { \mathfrak { A } } \int _ { \mathbb { R } ^ { p } } \int _ { \mathbb { R } ^ { q } } \bigg [ \prod _ { i = 1 } ^ { p } \exp [ ( y _ { i } \theta ( \eta _ { i } ) - b ( \theta ( \eta _ { i } ) ) ) ] \bigg ] \phi _ { q } ( u ; 0 , \Psi ) d u \pi ( \Psi ) d \beta \, d \Psi } \\ & { = M ^ { n - p } { \mathrm { E } } _ { u } \bigg [ \int _ { \mathbb { R } ^ { p } } \prod _ { i = 1 } ^ { p } \exp [ ( y _ { i } \theta ( \eta _ { i } ) - b ( \theta ( \eta _ { i } ) ) ) ] d \beta \bigg ] , } \end{array}
\frac { u _ { v } \left( t \right) } { \tilde { u } _ { v } \left( t \right) } = \frac { e ^ { - \chi t } \left( e ^ { t A } \right) _ { v v } } { e ^ { - \chi t } \left( e ^ { t \left| A \right| } \right) _ { v v } } = \frac { \left( e ^ { t A } \right) _ { v v } } { \left( e ^ { t \left| A \right| } \right) _ { v v } } .
{ \textbf { J } _ { c u r l \parallel } = \left( \frac { \textbf { B } \cdot \textbf { J } _ { c u r l } } { | \textbf { B } | } \right) \hat { \textbf { B } } \ \ , \ \ \textbf { J } _ { c u r l \perp } = \textbf { J } _ { c u r l } - \textbf { J } _ { c u r l \parallel } } .
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \bar { \mathfrak { d } } ( x ) w ( x ) \mathrm { d } x } & { = \operatorname* { l i m } _ { h \downarrow 0 } \int _ { \Omega } \bar { \mathfrak { d } } _ { h } ( x ) w _ { h } ( x ) \mathrm { d } x } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \downarrow 0 } \frac { 1 } { \| \bar { q } _ { h } - \bar { q } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \left( \int _ { \Omega } \bar { \mathfrak { d } } _ { h } ( \mathcal { P } _ { h } ( \bar { q } ) - \bar { q } ) \mathrm { d } x + \int _ { \Omega } \bar { \mathfrak { d } } _ { h } ( \bar { q } _ { h } - \mathcal { P } _ { h } ( \bar { q } ) ) \mathrm { d } x \right) , } \end{array}
D _ { q \rightarrow q } ^ { ( 1 ) } ( z ) = C _ { F } \left( { \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } } \right) \left[ \frac { 1 + z ^ { 2 } } { ( 1 - z ) _ { + } } + \frac { 3 } { 2 } \delta ( 1 - z ) \right] \left( { \frac { 1 } { - \epsilon } } \right) \ ,
\begin{array} { r l } { H _ { - n } } & { { } \! = \! \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \left\{ - 2 i { \cal J } _ { n } ( A ( z ) a ) t _ { | | } \left[ \sin ( k _ { x } a ) + e ^ { i n \varphi } \sin ( k _ { y } a ) \right] \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \right. } \\ { H _ { n } } & { { } \! = \! \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \left\{ 2 i { \cal J } _ { n } ( A ( z ) a ) t _ { | | } \left[ \sin ( k _ { x } a ) + e ^ { - i n \varphi } \sin ( k _ { y } a ) \right] \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { - } & { \int _ { S } \{ n _ { 2 } \mu | \partial _ { n } u | ^ { 2 } + n _ { 2 } ( \lambda + \mu ) | \nabla \cdot u | ^ { 2 } \} \, \mathrm { d } s } \\ & { \le 2 k _ { s } \Im \int _ { D _ { h } } g \cdot \bar { u } \, \mathrm { d } x - 2 \Re \int _ { D _ { h } } g \cdot \partial _ { 2 } \bar { u } \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \frac { | a _ { k } | } { k } } & { \leq } & { C _ { M P S } \frac { 1 } { M _ { n } } \int _ { - M _ { n } / 2 } ^ { M _ { n } / 2 } | \Psi _ { n } ( t ) | \, \mathrm { d } t } \\ & { \leq } & { C _ { M P S } \frac { 1 } { M _ { n } } \int _ { - M _ { n } / 2 } ^ { M _ { n } / 2 } | \Phi ( t ) | \, \mathrm { d } t + 2 \pi \varepsilon \sum _ { k = 1 } ^ { N } | a _ { k } | . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 2 N \theta _ { 1 } ( \lambda _ { j } ) } & { = } & { 2 \pi j + [ \sum _ { l \neq 0 , j } \theta _ { 2 } ( \lambda _ { j } - \lambda _ { l } ) + \theta _ { 2 } ( \lambda _ { j } + \lambda _ { l } ) ] , } \\ { 2 \theta _ { 1 } ^ { \prime } ( \lambda _ { j } ) \sigma _ { j } } & { = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { l \neq 0 , j } \theta _ { 2 } ^ { \prime } ( \lambda _ { j } - \lambda _ { l } ) ( \sigma _ { j } - \sigma _ { l } ) + \theta _ { 2 } ( \lambda _ { j } + \lambda _ { l } ) ( \sigma _ { j } + \sigma _ { l } ) ] } \\ & { } & { + \mathrm { I m } [ \theta _ { 2 } ( \lambda _ { j } - x _ { 0 } ) + \theta _ { 2 } ( \lambda _ { j } + x _ { 0 } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { \beta } = \frac { \sum _ { \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } } { \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) ( - \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 1 } } ( - \Delta v _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 2 } } + \lambda _ { n } ( \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 1 } } ( \Delta v _ { n } - \Delta v _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 2 } } } { 2 ^ { | \alpha _ { 2 } | } \alpha _ { 1 } ! \alpha _ { 2 } ! } } } { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) ( | \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 4 } + | \Delta v _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } ) + \lambda _ { n } ( | \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 4 } + | \Delta v _ { n } - \Delta v _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } ) } \to 0 } \end{array}
{ \bar { \bf { k } } _ { r } } = { \left[ { { e ^ { - j 2 \pi { f _ { 1 } } \frac { { \mathrm { { 2 } } { R _ { r } } } } { { \mathrm { c } } } } } , { e ^ { - j 2 \pi { f _ { 2 } } \frac { { \mathrm { { 2 } } { R _ { r } } } } { { \mathrm { c } } } } } , . . . , { e ^ { - j 2 \pi { f _ { n } } \frac { { \mathrm { { 2 } } { R _ { r } } } } { { \mathrm { c } } } } } } \right] ^ { T } } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \P ( Z _ { n } \leq y , \, N _ { n } ( U ) \neq 0 ) } & { \leq \Phi ( y + \delta ) \P ( N ( U ) \neq 0 ) , } \\ { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \P ( Z _ { n } \leq y , \, N _ { n } ( U ) \neq 0 ) } & { \geq \Phi ( y - \delta ) \P ( N ( U ) \neq 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { n } } & { = \operatorname* { m a x } \left\{ 1 , n ( d _ { T } + d _ { R } ) \Sigma _ { n } \right\} , } \\ { \Sigma _ { n } } & { : = \frac { 1 + 2 \sqrt { \frac { \ln ( 8 / \varepsilon ) } { 2 n } } + \frac { \ln ( 8 / \varepsilon ) } { n } } { 1 - 2 \sqrt { \frac { \ln ( 8 / \varepsilon ) } { 2 f _ { \mathrm { e t } } n } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { Q } ( \tau ^ { \prime } ) } & { = } & { \mathcal { M } _ { \bf u } e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } ( \tau _ { c } - \tau ^ { \prime } ) } - \mathcal { M } _ { \bf d } e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf d } \tau ^ { \prime } } } \\ & { = } & { \mathcal { C } _ { \bf u u } e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } ( \tau _ { c } - \tau ^ { \prime } ) } - \mathcal { C } _ { \bf d d } e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf d } \tau ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho \left[ \partial _ { t } q + \frac { 6 } { 5 } \partial _ { x } \left( \frac { q ^ { 2 } } { h } \right) \right] } & { { } = } & { - \frac { 3 \mu q } { h ^ { 2 } } + \sigma h \partial _ { x } ^ { 3 } h - \rho g ( t ) \cos ( \theta ) h \partial _ { x } h + \rho g ( t ) \sin ( \theta ) h , } \\ { \partial _ { t } h + \partial _ { x } q } & { { } = } & { 0 , } \end{array}
| \overline { { { \Phi _ { \eta } ( { \bf r } , { \bf r } ^ { \prime } ) } } } | ^ { 2 } = \frac { 2 \phi _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \big [ f ^ { 2 } ( r ) f ^ { 2 } ( r ^ { \prime } ) + g ^ { 2 } ( r ) g ^ { 2 } ( r ^ { \prime } ) + 2 / 3 f ( r ) g ( r ) f ( r ^ { \prime } ) g ( r ^ { \prime } ) ( { \bf n } { \bf n } ^ { \prime } ) \big ] .
\begin{array} { r l } { \int _ { ( t _ { 0 } - t ) / a } ^ { \infty } \frac { \frac { a u } { t } - \frac { ( a u ) ^ { 2 } } { 2 t ^ { 2 } } + \frac { ( a u ) ^ { 3 } } { 3 t ^ { 3 } } } { \cosh ^ { 2 } u } \mathrm { d } u } & { \le \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \frac { a u } { t } - \frac { ( a u ) ^ { 2 } } { 2 t ^ { 2 } } + \frac { ( a u ) ^ { 3 } } { 3 t ^ { 3 } } } { \cosh ^ { 2 } u } \mathrm { d } u + \int _ { ( t - t _ { 0 } ) / a } ^ { \infty } \frac { \frac { a u } { t } + \frac { ( a u ) ^ { 2 } } { 2 t ^ { 2 } } + \frac { ( a u ) ^ { 3 } } { 3 t ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { 4 } e ^ { 2 u } } \mathrm { d } u } \\ & { \le - \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 } \frac { a ^ { 2 } } { t ^ { 2 } } + \frac { 4 0 a ^ { 3 } } { 3 t ^ { 3 } } \int _ { ( t - t _ { 0 } ) / a } ^ { \infty } u ^ { 3 } e ^ { - 2 u } \mathrm { d } u } \\ & { < - \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 } \frac { a ^ { 2 } } { t ^ { 2 } } + 1 0 ^ { - 1 0 0 } \frac { a ^ { 3 } } { t ^ { 3 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \Delta \hat { X } _ { n } : } & { = \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 1 } - \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 2 } , \quad \Delta \hat { Y } _ { n } : = \hat { Y } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 1 } - \hat { Y } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 2 } , } \\ { \Delta \hat { Z } _ { n } : } & { = \hat { Z } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 1 } - \hat { Z } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 2 } , \quad \Delta \hat { \Gamma } _ { n } : = \hat { \Gamma } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 1 } - \hat { \Gamma } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 2 } . } \end{array} } \end{array}
T _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } F _ { X } \left( \frac { T ^ { \prime \prime } } { P _ { t } l _ { 0 } } \right) - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { \normalfont ~ I m } \left[ \phi _ { I } ( q | r _ { 0 } , \theta _ { 0 } ) \int _ { 0 } ^ { \frac { T ^ { \prime \prime } } { P _ { t } l _ { 0 } } } \exp \left( - j q \frac { x P _ { t } l _ { 0 } } { T } \right) \, e ^ { j q \sigma ^ { 2 } } e ^ { - x } d x \right] \, q ^ { - 1 } d q .
\psi ( x , t ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { i \xi x } e ^ { - i \frac { 1 } { 2 } \xi ^ { 2 } t } \hat { \psi } _ { 0 } ( \xi ) \, d \xi , \; \; x \in \mathbb { R } , \; \; t \geq 0 ,
\begin{array} { r l r } { { \frac { \partial \alpha } { \partial \/ x _ { i } } } } & { = } & { { \frac { 1 } { N } } \left( \frac { y _ { i } - \langle { y } \rangle } { \langle { x } ^ { 2 } \rangle \ - \ \langle { x } \rangle \/ ^ { 2 } } \right) \ - \ { \frac { 2 } { N } } \left( \frac { \left( x _ { i } \ - \ \langle { x } \rangle \right) \cdot \left( \langle { x \, y } \rangle \ - \ \langle { x } \rangle \langle { y } \rangle \right) } { \left[ \langle { x } ^ { 2 } \rangle \ - \ \langle { x } \rangle \/ ^ { 2 } \right] ^ { 2 } } \right) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { x , y \in D } | K _ { I _ { Z } , M } ( ( x , y ) , \cdot ) | ( B ) } & { \leq \operatorname* { s u p } _ { x , y \in D } \sqrt { C _ { I _ { Z } } ( ( x , y ) , ( x , y ) ) } \sqrt { | C _ { M } | ( B \times B ) } } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { x , y \in D } \sqrt { C _ { I _ { Z } } ( ( x , y ) , ( x , y ) ) } \sqrt { | C _ { M } | ( A \times A ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta R _ { \mathrm { m a t c h } , m } } & { { } = \alpha _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ i ~ o ~ r ~ } , m } \left( \Delta R _ { \mathrm { m a t c h } } ^ { \mathrm { m e a n } } + \Delta \alpha _ { m } \right) } \\ { \Delta R _ { \mathrm { m a t c h } } ^ { \mathrm { m e a n } } } & { { } \sim \mathcal { N } \left( 0 , 5 \right) } \\ { \Delta \alpha _ { m } } & { { } \sim \mathcal { N } \left( 0 , \sigma _ { \alpha } \right) } \\ { \sigma _ { \alpha } } & { { } \sim \mathrm { ~ H ~ a ~ l ~ f ~ N ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } \left( 5 \right) . } \end{array}
\frac { d N _ { 2 } } { d t } = N _ { 1 } \left[ \rho ( E ) R _ { 1 \rightarrow 2 } ( E , \Delta T ) \right] - N _ { 2 } \left[ \rho ( E ) R _ { 2 \rightarrow 1 } ( E , \Delta T ) + A _ { 2 \rightarrow 1 } ( E , \Delta T ) \right]
\begin{array} { r l r } { { \mathbb K } _ { 1 } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { r r r r } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { { \mathbb K } _ { 2 } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { r r r r } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { { \mathbb K } _ { 3 } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { r r r r } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { \mathrm { g } ( Y _ { k , t } , Y _ { k , t } ) } \mathrm { d } t } & { \leq \sqrt { \mathrm { g } ( X , X ) - 2 k \tau ( \mathrm { I m } ( x ) - \frac { k \tau } { 2 } ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { | 1 + z | ^ { 2 } } \mathrm { d } t } \\ & { + \sqrt { | 2 k \mu \mathrm { R e } ( x ) | } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \sqrt { t } } { | 1 + z | ^ { 2 } } \mathrm { d } t } \\ & { + k \sqrt { | \frac { \mu } { 2 } ( | x | ^ { 2 } + \bar { y } ^ { \top } y - k \tau \mathrm { I m } ( x ) + 2 \mu ) | } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { t } { | 1 + z | ^ { 2 } } \mathrm { d } t } \\ & { + k | \mu | \sqrt { \frac { k | \mathrm { R e } ( x ) | } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \sqrt { t } ^ { 3 } } { | 1 + z | ^ { 2 } } \mathrm { d } t } \\ & { + \frac { k ^ { 2 } | \mu | } { 4 } \sqrt { | x | ^ { 2 } + \bar { y } ^ { \top } y } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { t ^ { 2 } } { | 1 + z | ^ { 2 } } \mathrm { d } t } \\ & { \leq f _ { k } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { | 1 + z | ^ { 2 } } \mathrm { d } t + \frac { k ^ { 2 } | \mu | } { 4 } \sqrt { | x | ^ { 2 } + \bar { y } ^ { \top } y } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { t ^ { 2 } } { | 1 + z | ^ { 2 } } \mathrm { d } t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y ( t ) = } & { \ b ( t , Y ( t ) , \alpha ( t ) , u _ { 1 } ( t ) , u _ { 2 } ( t ) ) d t } \\ & { + \sigma ( t , Y ( t ) , \alpha ( t ) , u _ { 1 } ( t ) , u _ { 2 } ( t ) ) d W ( t ) } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \eta ( t , Y ( t - ) , \alpha ( t - ) , u _ { 1 } ( t - ) , u _ { 2 } ( t - ) , z ) \tilde { N } _ { \alpha } ( d t , d z ) } \\ & { + \gamma ( t , Y ( t - ) , \alpha ( t - ) , u _ { 1 } ( t - ) , u _ { 2 } ( t - ) ) d \tilde { \Phi } ( t ) , \qquad t \in [ 0 , T ] , } \\ { Y ( 0 ) = } & { \ y _ { 0 } \in \mathbb { R } ^ { N } , } \end{array}
S _ { v i s } \supset \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g _ { v i s } } \{ g _ { v i s } ^ { \mu \nu } D _ { \mu } H ^ { \dagger } D _ { \nu } H - \lambda ( | H | ^ { 2 } - v _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \} ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { S } _ { i } ^ { - } } & { { } = \left[ \boldsymbol { T } _ { i } ^ { ( 0 ) } , \boldsymbol { T } _ { i } ^ { ( 1 ) } , \cdots , \boldsymbol { T } _ { i } ^ { ( m - 1 ) } \right] \in \mathbb { R } ^ { N _ { x } ^ { 2 } \times m } , } \\ { \mathbf { S } _ { i } ^ { + } } & { { } = \left[ \boldsymbol { T } _ { i } ^ { ( 1 ) } , \boldsymbol { T } _ { i } ^ { ( 2 ) } , \cdots , \boldsymbol { T } _ { i } ^ { ( m ) } \right] \in \mathbb { R } ^ { N _ { x } ^ { 2 } \times m } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathscr { C } ^ { ( \mathcal { R } ) } ( \mathcal { N } _ { G } ) } & { = } & { \operatorname* { m a x } _ { \pi ( m ) } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { \mathrm { E } \in \mathcal { R } } I ( M ; ~ Y ) \right\} , } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { \pi ( m ) } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { \mathrm { E } \in \mathcal { R } } I ( X ; ~ Y ) \right\} } \\ & { ~ } & { [ ~ \mathrm { s i n c e } ~ I ( M ; Y ) \leq I ( X ; Y ) ~ ] , } \\ & { = } & { \operatorname* { m a x } _ { \pi ( m ) } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { \mathrm { E } \in \mathcal { R } } \left\{ H ( Y ) - f _ { L } ~ + ~ \omega ~ ( f _ { L } - f _ { W } ) \right\} \right\} , } \\ & { = } & { \operatorname* { m a x } _ { \pi ( m ) } \! \left\{ \! \operatorname* { m a x } _ { \mathrm { E } \in \mathcal { R } } \! \left\{ H ( Y ) \! + \! \omega ( f _ { L } - f _ { W } ) \! \right\} \right\} \! - \! f _ { L } } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { \pi ( m ) } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { \mathrm { E } \in \mathcal { R } } \left\{ H ( X ) + \omega ~ ( f _ { L } - f _ { W } ) \right\} \right\} - f _ { L } } \\ & { ~ } & { [ \mathrm { s i n c e } ~ H ( X ) \geq H ( Y ) ] , } \end{array}
( T + V _ { \textrm { C o u l o m b } } ) \, \psi _ { n } + \frac { \langle \psi _ { n } | \Sigma | \psi _ { n } \rangle } { \langle \psi _ { n } | \, \psi _ { n } \rangle } \, \psi _ { n } = \widetilde { E } _ { n } \, \psi _ { n } .
\begin{array} { r l } { P \left( w _ { n } | \Lambda _ { n } \right) } & { = \sum _ { N _ { \mathrm { t e } , n } = 0 } ^ { \infty } \mathrm { P o i s s o n } ( N _ { \mathrm { t e } , n } ; \beta \Lambda _ { n } ) } \\ & { \times \mathrm { G a u s s i a n } ( w _ { n } ; \tilde { g } _ { n } N _ { \mathrm { t e } , n } + \mu _ { n } , \sigma _ { w , n } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \iota = \frac { N \rho } { \tau _ { c } \left( \Delta V \right) ^ { 2 } } \frac { N _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { N _ { \mathrm { ~ m ~ } } } \tilde { J } ( \tilde { \alpha } ) = \dot { \i } _ { N } ^ { ( V ) } \frac { N _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { N _ { \mathrm { ~ m ~ } } } \tilde { J } ( \tilde { \alpha } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { \mathrm { e } , n , s } ^ { ( f ) } } & { = } & { \delta _ { n } \frac { q ^ { 2 } v } { 4 r _ { c } ^ { 2 } } \frac { Q _ { n } ^ { 2 } ( u ) } { \varepsilon _ { 1 } } \sum _ { p , p ^ { \prime } = \pm 1 } \left( 1 + p p ^ { \prime } \beta ^ { 2 } \varepsilon _ { 1 } \right) \frac { I _ { n + p ^ { \prime } } ( \gamma _ { 0 } u ) } { W _ { n + p ^ { \prime } } ^ { I } } } \\ & { } & { \times \frac { I _ { n + p } ( \gamma _ { 0 } u ) } { W _ { n + p } ^ { I } } \left[ K _ { n + 2 p } ( \gamma _ { 1 } u ) K _ { n } ( \gamma _ { 1 } u ) - K _ { n + p } ^ { 2 } ( \gamma _ { 1 } u ) \right] | _ { u = u _ { n , s } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { k } ^ { ( v ) } ( x ) } & { { } \equiv \sum _ { r = 0 } ^ { k - 2 } \sum _ { z = r } ^ { \infty } { \frac { ( z + 1 ) P ^ { ( v ) } ( z + 1 ) } { \langle z \rangle ^ { ( v ) } } } \binom { z } { r } ( 1 - x ) ^ { r } x ^ { z - r } } \\ { \Phi _ { q } ^ { ( e ) } ( x ) } & { { } \equiv \sum _ { s = 0 } ^ { q - 2 } \sum _ { n = s } ^ { \infty } { \frac { ( n + 1 ) P ^ { ( e ) } ( n + 1 ) } { \langle n \rangle ^ { ( e ) } } } \binom { n } { s } ( 1 - x ) ^ { s } x ^ { n - s } } \end{array}
\langle G | \sum _ { j } ( \sigma _ { j } + \sigma _ { j } ^ { \dagger } ) | \sum _ { k } \mathcal { C } _ { k } ^ { \alpha } | \nu _ { k } \rangle = \sum _ { j } \langle \nu _ { j } | \sum _ { k } \mathcal { C } _ { k } ^ { \alpha } | \nu _ { k } \rangle = \sum _ { k } \mathcal { C } _ { k } ^ { \alpha } = 0
\begin{array} { r } { L _ { \mathrm { t o t a l } } ^ { ( t - 1 ) } = w _ { \mathrm { K L D } } \cdot \mathrm { m a x } ( L _ { \mathrm { K L D } } , m _ { K L D } ) + L _ { \mathrm { d i f f u s i o n } } ^ { ( t - 1 ) } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { u + u ^ { \prime } + p q ^ { \prime } - { \frac { 1 } { 2 } } \left( p + p ^ { \prime } \right) \left( q + q ^ { \prime } \right) } \\ { = } & { t + { \frac { 1 } { 2 } } p q + t ^ { \prime } + { \frac { 1 } { 2 } } p ^ { \prime } q ^ { \prime } + p q ^ { \prime } - { \frac { 1 } { 2 } } \left( p + p ^ { \prime } \right) \left( q + q ^ { \prime } \right) } \\ { = } & { t + t ^ { \prime } + { \frac { 1 } { 2 } } \left( p q ^ { \prime } - p ^ { \prime } q \right) } \end{array} }
\frac { 4 \Lambda ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } = G _ { 0 } \left[ ( \eta \omega _ { \ast } ) ^ { 2 } G _ { 2 } - 2 \Delta \omega _ { d } \eta \omega _ { \ast } G _ { 4 } + \Delta ^ { 2 } \omega _ { d } ^ { 2 } G _ { 5 } \right] - \left( \Delta \omega _ { d } G _ { 3 } - \eta \omega _ { \ast } G _ { 1 } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \zeta } { \partial t } = } & { { } \frac { \partial } { \partial x } \bigg [ \frac { 1 } { 3 } \frac { \partial p _ { l } } { \partial x } ( \zeta - \xi ) ^ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } \left( \epsilon ^ { 2 } C _ { l } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \sigma } { \partial x } ( \zeta - \xi ) ^ { 2 } - H \zeta \bigg ( \frac { \partial b _ { 2 } } { \partial t } - H \frac { \partial b _ { 1 } } { \partial t } \bigg ) \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ( \omega ) = \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 c \omega } \int _ { \mathbb { R } ^ { 6 N } } \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { r } } \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } B ( \ensuremath { \mathbf { r } } , \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) \rho _ { 0 } ( \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } , \ensuremath { \mathbf { r } } ) , } \end{array}
\lambda _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { R 1 } = P _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } \langle \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ } } \rangle \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } \varphi _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ f ~ } } ( \tau ) \Phi _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ } } ( \tau ) \Phi _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } ( \tau ) d \tau } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \Phi _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ f ~ } } ( \tau ) \Phi _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ } } ( \tau ) \Phi _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } ( \tau ) d \tau } .
\begin{array} { r l r } { { \bar { f } } _ { 1 } } & { = } & { \hbar k \frac { 1 6 } { 3 } \frac { \delta _ { 1 } s _ { 1 } \, s _ { 2 } \, \, \sin ( 2 \Delta \phi ) } { \left( 8 s _ { 1 } s _ { 2 } \cos ^ { 2 } ( \Delta \phi ) + ( 2 s _ { 2 } - s _ { 1 } ) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \left[ | \sin ( \Delta \phi ) | \sqrt { 2 s _ { 1 } s _ { 2 } } \left( ( 2 s _ { 2 } + 3 s _ { 1 } ) ( 2 s _ { 2 } - s _ { 1 } ) - 8 s _ { 2 } s _ { 1 } \cos ^ { 2 } ( \Delta \phi ) \right) \right. } \\ & { } & { + \left. 1 6 s _ { 2 } ^ { 2 } s _ { 1 } \cos ^ { 2 } ( \Delta \phi ) - s _ { 1 } ( 6 s _ { 2 } + s _ { 1 } ) ( 2 s _ { 2 } - s _ { 1 } ) \right] \, , } \\ { { \bar { f } } _ { 2 } } & { = } & { \hbar k \frac { 4 } { 3 } \frac { \delta _ { 2 } \, s _ { 1 } \, s _ { 2 } \, \, \sin ( 2 \Delta \phi ) } { \left( 8 s _ { 1 } s _ { 2 } \cos ^ { 2 } ( \Delta \phi ) + ( 2 s _ { 2 } - s _ { 1 } ) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \left[ | \sin ( \Delta \phi ) | \sqrt { 2 s _ { 1 } s _ { 2 } } \left( ( 6 s _ { 2 } + s _ { 1 } ) ( 2 s _ { 2 } - s _ { 1 } ) + 8 s _ { 2 } s _ { 1 } \cos ^ { 2 } ( \Delta \phi ) \right) \right. } \\ & { } & { - \left. 8 s _ { 2 } s _ { 1 } ^ { 2 } \, \cos ^ { 2 } ( \Delta \phi ) - 2 \, s _ { 2 } \, ( 2 s _ { 2 } + 3 s _ { 1 } ) ( 2 s _ { 2 } - s _ { 1 } ) \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathop { \mathbb { E } } ( f ( \bar { x } ^ { k } ) - f ( x ^ { \star } ) ) \ } & { \leq \frac { 1 } { \alpha } \left( \mathop { \mathbb { E } } \| \bar { e } _ { x } ^ { k } \| ^ { 2 } - \mathop { \mathbb { E } } \| \bar { e } _ { x } ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } \right) } \\ & { \quad + \frac { 3 c _ { 1 } ^ { 2 } L } { 2 n } \mathop { \mathbb { E } } \| \hat { { \mathbf { x } } } ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { \alpha \sigma ^ { 2 } } { n } . } \end{array}