harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { P } [ x _ { j } ] } & { = { \sqrt { \frac { m \omega } { \pi \hbar } } } \int _ { ( j - 1 / 2 ) \delta x } ^ { ( j + 1 / 2 ) \delta x } \exp \left( - { \frac { m \omega x ^ { 2 } } { \hbar } } \right) \, d x } \\ & { = { \sqrt { \frac { 1 } { \pi } } } \int _ { ( j - 1 / 2 ) \delta x { \sqrt { m \omega / \hbar } } } ^ { ( j + 1 / 2 ) \delta x { \sqrt { m \omega / \hbar } } } e ^ { u ^ { 2 } } \, d u } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \operatorname { e r f } \left( \left( j + { \frac { 1 } { 2 } } \right) \delta x \cdot { \sqrt { \frac { m \omega } { \hbar } } } \right) - \operatorname { e r f } \left( \left( j - { \frac { 1 } { 2 } } \right) \delta x \cdot { \sqrt { \frac { m \omega } { \hbar } } } \right) \right] } \end{array} }
d s ^ { 2 } = \left( { \frac { 1 - | Z | ^ { 2 } } { 1 - | Z _ { \infty } | ^ { 2 } } } \right) ^ { - 1 } \, d t ^ { 2 } - \left( { \frac { 1 - | Z | ^ { 2 } } { 1 - | Z _ { \infty } | ^ { 2 } } } \right) \, d \vec { x } ^ { 2 } \ .
\begin{array} { r l } & { \int _ { G ( F ) \backslash G ( \mathbb { A } ) } \int _ { \mathrm { M a t } _ { n } ^ { 0 } ( F ) \backslash \mathrm { M a t } _ { n } ^ { 0 } ( \mathbb { A } ) } \phi ( h ) } \\ { \times } & { \int _ { U ( F ) \backslash U ( \mathbb { A } ) } E \left( u \left( \left[ \begin{array} { c c } { 1 _ { n } } & { z } \\ { 0 } & { 1 _ { n } } \end{array} \right] , h \right) ; f _ { 2 n , k , s } \right) \psi _ { U } ( u ) \psi ( \mathrm { t r } ( T z ) ) d u d z . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \mathbf L } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { \mathbf L _ { \mathrm { W } } } & { \mathbf L _ { \mathrm { E } } } & { \mathbf L _ { \mathrm { S } } } & { \mathbf L _ { \mathrm { N } } } & { \mathbf L _ { \mathrm { B } } } & { \mathbf L _ { \mathrm { T } } } \end{array} \right] \, , } \end{array}
\hat { p } ^ { \prime } ( \mathbf { y } , \omega ) = \int _ { V } \frac { \partial ^ { 2 } \hat { T } _ { i j } ( \mathbf { x } , \omega ) } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } G _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ; \omega ) \mathrm { d } x
W ( C ) _ { \mathrm { m o n } } ^ { \cal N } = \frac { 1 } { N } { \, } \mathrm { t r } { \, } \exp \left( \frac { i g } { 2 } \vec { H } \int d ^ { 3 } x \vec { F } _ { \mu \nu } ^ { \cal N } \Sigma _ { \mu \nu } \right) = \frac { 1 } { N } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N } W _ { \alpha } ^ { \cal N } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla u _ { \theta } ( x , t ) | ^ { 2 } + q ( u _ { \theta } ( x , t ) ) \right) d x } \\ & { } & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } M _ { \theta } ( u _ { \theta } ( x , \tau ) \left| \nabla \frac { - \Delta u _ { \theta } ( x , \tau ) + q ^ { \prime } ( u _ { \theta } ( x , \tau ) } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ( x , \tau ) ) } \right| ^ { 2 } d x d \tau } \\ & { \leq } & { \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla u _ { 0 } ( x ) | ^ { 2 } + q ( u _ { 0 } ( x ) ) \right) d x . } \end{array}
R = \frac { r ^ { 2 } ( \omega - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } + t ^ { 2 } ( 1 / \tau ) ^ { 2 } \pm 2 r t ( \omega - \omega _ { 0 } ) ( 1 / \tau ) } { ( \omega - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( 1 / \tau ) ^ { 2 } }
p _ { m a x } = - \frac { \sqrt { 2 } \, P } { 1 + P ^ { 2 } } B _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } \biggl ( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } - \nu \biggr ) ^ { 2 } , \quad k _ { m a x } ^ { 2 } = \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } \biggl ( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } - \nu ) .
\begin{array} { r l r } & { \frac { U _ { m k l } - \bar { U } _ { m k l } } { \underset { n } { \sum } \tilde { w } _ { n } ^ { 0 } } \rightarrow 0 , } & { a . s . } \\ & { \frac { T _ { m k l } - \bar { T } _ { m k l } } { \underset { n } { \sum } \tilde { w } _ { n } ^ { 1 } } \rightarrow 0 , } & { a . s . } \\ & { \frac { V _ { m k l } - \bar { V } _ { m k l } } { \underset { n } { \sum } \tilde { w } _ { n } ^ { 2 } } \rightarrow 0 , } & { a . s . } \end{array}
\eta \partial _ { r } \left( \frac { 1 } { r } \frac { \partial ( r u _ { \vartheta } ) } { \partial r } \right) - \frac { e B } { c } \delta j _ { r } - \frac { 3 P u _ { \vartheta } } { v _ { g } ^ { 2 } \tau _ { \mathrm { d i s } } } = 0 ,
( - 1 ) ^ { i + 1 } { \frac { \Delta ( H _ { 1 } , \cdots , H _ { i - 1 } , H _ { i + 1 } , \cdots , H _ { N } ) } { 2 ^ { N } ( p _ { 1 } ^ { + } \cdots p _ { N } ^ { + } ) \Delta ( H _ { 1 } , \cdots , H _ { N } ) } }
\begin{array} { r } { \left( \left( \begin{array} { l } { \partial _ { t } \tilde { x } ( \cdot , t ) } \\ { f _ { I } ( t ) } \\ { f _ { \partial } ( t ) } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l } { \delta _ { \tilde { x } } H ( \tilde { x } ( \cdot , t ) ) } \\ { e _ { I } ( t ) } \\ { e _ { \partial } ( t ) } \end{array} \right) \right) \in \mathcal { D } _ { \tilde { \mathcal { J } } _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { | \ \mathrm { H } \ \rangle _ { \mathrm { s } } | \ \mathrm { L } \ \rangle _ { \mathrm { o } } = } & { | \uparrow \ \rangle _ { \mathrm { s } } | \uparrow \ \rangle _ { \mathrm { o } } } \\ & { | \ \mathrm { H } \ \rangle _ { \mathrm { s } } | \ \mathrm { R } \ \rangle _ { \mathrm { o } } = } & { | \uparrow \ \rangle _ { \mathrm { s } } | \downarrow \ \rangle _ { \mathrm { o } } } \\ & { | \ \mathrm { V } \ \rangle _ { \mathrm { s } } | \ \mathrm { L } \ \rangle _ { \mathrm { o } } = } & { | \downarrow \ \rangle _ { \mathrm { s } } | \uparrow \ \rangle _ { \mathrm { o } } } \\ & { | \ \mathrm { V } \ \rangle _ { \mathrm { s } } | \ \mathrm { R } \ \rangle _ { \mathrm { o } } = } & { | \downarrow \ \rangle _ { \mathrm { s } } | \downarrow \ \rangle _ { \mathrm { o } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } & { { } = } & { \sum _ { k l m } \hat { a } _ { k l m } \, u _ { k l m } ( r , \theta , \phi ) } \\ { \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } & { { } = } & { \sum _ { k l m } \hat { a } _ { k l m } ^ { + } \, u _ { k l m } ^ { * } ( r , \theta , \phi ) } \end{array}
\mathbf { B } ( \mathbf { r } ) = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \iiint _ { V } \ { \frac { ( \mathbf { J } \, d V ) \times \mathbf { r } ^ { \prime } } { | \mathbf { r } ^ { \prime } | ^ { 3 } } }
\Gamma _ { p } \sim \frac { \pi \eta _ { t } } { 4 } \frac { ( p \, \xi ) ^ { 2 z } } { 1 + ( p \, \xi ) ^ { 2 z } } \frac { v ( \mu ) \mu ^ { 1 - z } } { \xi ^ { z } } \left[ 1 + \left( p \, \xi \right) ^ { 2 z } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } }
\mathrm { d } \mu = \frac { 1 } { 2 ^ { 5 } } \, \frac { \Lambda _ { \mathrm { o n e - f l } } ^ { 5 } } { \Phi ^ { 2 } ( x _ { 0 } , \theta _ { 0 } ) } \, \exp \left( - 4 \pi ^ { 2 } \, \bar { \Phi } \Phi \, \rho _ { \mathrm { i n v } } ^ { 2 } \right) \frac { \mathrm { d } \rho ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \, \mathrm { d } ^ { 4 } x _ { 0 } \, \mathrm { d } ^ { 2 } \theta _ { 0 } \, \mathrm { d } ^ { 2 } \bar { \beta } \, \mathrm { d } ^ { 2 } \bar { \theta } _ { 0 } \, .
\begin{array} { r l } { H _ { : \cdot \cdot } ( \mathbf { x } ^ { R } , \mathbf { p } ^ { R } ) } & { = \Big ( \frac { | \mathbf { p } _ { 0 } ^ { R } | ^ { 2 } } { 2 M _ { 0 } ^ { R } } - \frac { k _ { 0 } ^ { R } } { | \mathbf { x } _ { 0 } ^ { R } | } \Big ) + \Big ( \frac { | \mathbf { p } _ { 1 } ^ { R } | ^ { 2 } } { 2 M _ { 1 } ^ { R } } - \frac { k _ { 1 } ^ { R } } { | \mathbf { x } _ { 1 } | } \Big ) + \Big ( \frac { | \mathbf { p } _ { 2 } ^ { R } | ^ { 2 } } { 2 M _ { 2 } ^ { R } } - \frac { k _ { 2 } ^ { R } } { | \mathbf { x } _ { 2 } ^ { R } | } \Big ) + U _ { 1 2 } , } \\ { k _ { 0 } ^ { R } } & { = 1 , \; k _ { 1 } ^ { R } = m _ { 1 } m _ { 2 } , \; k _ { 2 } ^ { R } = 2 ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) , } \\ { U _ { 1 2 } } & { = \frac { k _ { 2 } ^ { R } } { | \mathbf { x } _ { 2 } ^ { R } | } - \frac { m _ { 1 } } { | - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } _ { 0 } ^ { R } - \mathbf { x } _ { 2 } ^ { R } + \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } \mathbf { x } _ { 1 } ^ { R } | } - \frac { m _ { 1 } } { | \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } _ { 0 } ^ { R } - \mathbf { x } _ { 2 } ^ { R } + \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } \mathbf { x } _ { 1 } ^ { R } | } } \\ & { \quad \quad - \frac { m _ { 2 } } { | - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } _ { 0 } ^ { R } - \mathbf { x } _ { 2 } ^ { R } - \frac { m _ { 1 } } { m _ { 2 } + m _ { 2 } } \mathbf { x } _ { 1 } ^ { R } | } - \frac { m _ { 2 } } { | \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } _ { 0 } ^ { R } - \mathbf { x } _ { 2 } ^ { R } - \frac { m _ { 1 } } { m _ { 2 } + m _ { 1 } } \mathbf { x } _ { 1 } ^ { R } | } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi ( \theta , \tilde { y } ; \alpha ) = } & { { } } & { \frac { \kappa } { 2 } \left( \tilde { y } _ { 0 } ( \theta ; \alpha ) - \tilde { y } \right) ^ { 2 } \; \Theta \left( \tilde { y } _ { 0 } ( \theta ; \alpha ) - \tilde { y } \right) } \end{array}
\ln ( 2 ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { n } } = 1 - { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 3 } } - { \frac { 1 } { 4 } } + \cdots .
\begin{array} { r l } { \langle \overline { { \overline { { \mathbf { T } } } } } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \textrm { R e } \Bigr [ \epsilon _ { 0 } \mathbf { E } \mathbf { E } ^ { * } + \mu _ { 0 } \mathbf { H } \mathbf { H } ^ { * } } \\ { \qquad } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \left( \epsilon _ { 0 } | \mathbf { E } | ^ { 2 } + \mu _ { 0 } | \mathbf { H } | ^ { 2 } \right) \overline { { \overline { { \mathbf { I } } } } } \Bigr ] } \end{array}
v _ { i j k l } = ( i j | k l ) = \iint \frac { \chi _ { i } ( { \bf r } _ { 1 } ) \chi _ { j } ( { \bf r } _ { 1 } ) \chi _ { k } ( { \bf r } _ { 2 } ) \chi _ { l } ( { \bf r } _ { 2 } ) } { \left| { \bf r } _ { 1 } - { \bf r } _ { 2 } \right| } d { \bf r } _ { 1 } d { \bf r } _ { 2 } ,
\xi _ { \ell } = \frac { \ell } { 1 - \Delta } , \qquad \mathrm { i } \sigma _ { \ell } ^ { \pm } = \pm \mathrm { i } \frac { ( - 1 ) ^ { \ell + 1 } ( 1 - \Delta ) ^ { 2 \ell } \Delta ^ { \frac { 2 \Delta \ell } { 1 - \Delta } } } { \ell ! ^ { 2 } } \frac { \Gamma \bigl ( 1 + \frac { \ell } { 1 - \Delta } \bigr ) \Gamma \bigl ( 1 + \frac { \ell \Delta } { \Delta - 1 } \bigr ) } { \Gamma \bigl ( - \frac { \ell } { 1 - \Delta } \bigr ) \Gamma \bigl ( 1 + \frac { \ell \Delta } { 1 - \Delta } \bigr ) } .
\mathop { B } ^ { \underline { { { a } } } } ( \vec { x } , t ) = - { \frac { \lambda } { 2 } } \sum _ { \alpha } m _ { \alpha } \xi _ { \alpha } ^ { \underline { { { a } } } } \delta ^ { ( 2 ) } ( \vec { x } - \vec { x } _ { \alpha } ( t ) ) .
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t t } \Psi ( \rho , t ) = \widehat { \Delta } \Psi ( \rho , t ) + \eta _ { 2 } ( \rho , t ) \quad } & { \mathrm { f o r ~ } ( \rho , t ) \in ( 0 , \infty ) \times ( 0 , \infty ) , } \\ { \Psi ( \rho , 0 ) = \eta _ { 0 } ( \rho ) \quad } & { \mathrm { f o r ~ } \rho \in [ 0 , \infty ) , } \\ { \partial _ { t } \Psi ( \rho , 0 ) = \eta _ { 1 } ( \rho ) \quad } & { \mathrm { f o r ~ } \rho \in [ 0 , \infty ) , } \\ { \partial _ { \rho } \Psi ( 0 , t ) = 0 \quad } & { \mathrm { f o r ~ } t \in ( 0 , \infty ) , } \end{array} \right.
H _ { k , i } ( L ) : = \int _ { S ^ { 1 } } \mathrm { r e s \, } \left( L _ { d } ( L ) \right) _ { i i } ^ { k / { 2 p } } , \qquad \forall \, i = 1 , \ldots , s , \quad k = 1 , 2 , \dots \, ,
\left( \gamma ( u _ { n } + \frac { 1 } { n } ) \partial _ { x } z _ { n } , \partial _ { x } z _ { n } \right) _ { \Omega } = - \left( \partial _ { t } z _ { n } , z _ { n } \right) _ { \Omega } + \left( g _ { 0 } z _ { n } , z _ { n } \right) _ { \Omega } + \left( u _ { n } \partial _ { x } g _ { 0 } , z _ { n } \right) _ { \Omega }
\tau ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) = - \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { n } \left< \bar { \psi } ( x _ { 1 } ) * \psi ( x _ { 1 } ) \ldots \bar { \psi } ( x _ { n } ) * \psi ( x _ { n } ) \right> _ { 0 } ^ { \mathrm { c o n n . } }
P ( y _ { 2 } , t _ { 2 } | y _ { 1 } , t _ { 1 } ) = \int d y _ { 3 } \; P ( y _ { 2 } , t _ { 2 } | y _ { 3 } , t _ { 3 } ) P ( y _ { 3 } , t _ { 3 } | y _ { 1 } , t _ { 1 } ) \; ,
\begin{array} { r l } & { c \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \widetilde { \Theta } _ { k } - \Theta _ { 0 k } | | _ { F } ^ { 2 } + \lambda \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\{ | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { - } | | _ { 1 } - | | \Theta _ { 0 k } ^ { - } | | _ { 1 } \right\} } \\ { \leq } & { \lambda _ { 0 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { - } - \Theta _ { 0 k } ^ { - } | | _ { 1 } + \rho \sum _ { k < k ^ { \prime } } \Big \{ | | \Theta _ { 0 k } ^ { - } - \Theta _ { 0 k ^ { \prime } } ^ { - } | | _ { 1 } - | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { - } - \widetilde { \Theta } _ { k ^ { \prime } } ^ { - } | | _ { 1 } \Big \} } \\ & { + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\{ | | \widehat { \Sigma } _ { k } ^ { + } - \Sigma _ { 0 k } ^ { + } | | _ { F } | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { + } - \Theta _ { 0 k } ^ { + } | | _ { F } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta > } & { { } \delta _ { 1 } ^ { \textrm { t h } } = \frac { b + \sqrt { - 4 S ( b + S ) } } { c } } \\ { \delta < } & { { } \delta _ { 2 } ^ { \textrm { t h } } = \frac { b - \sqrt { - 4 S ( b + S ) } } { c } } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \nabla T , \nabla v ) _ { \mathcal D } - \int _ { \Gamma } { \bf n } \cdot { \nabla } T v \, d s - { \int _ { \Gamma } T { \bf n } \cdot { \nabla } v \, d s } + { \eta \int _ { \Gamma } T v \, d s } = - { \int _ { \Gamma } g { \bf n } \cdot { \nabla } v \, d s } } \\ { + { \eta \int _ { \Gamma } g _ { D } v \, d s } + \int _ { \mathcal D } g v \, d x . \quad } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \frac { \xi } { 2 } \partial _ { \xi } \mathbf { C } - \mathrm { P e } ^ { 2 } \partial _ { \xi } \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathbf { D } ^ { - 1 } \partial _ { \xi } \mathbf { C } + \partial _ { \xi } \mathbf { D } ( \mathbf { C } ) \partial _ { \xi } \mathbf { C } . } \end{array}
\sum _ { g = g _ { 0 } ( t ) } ^ { n _ { t } } \sum _ { \ell = 0 } ^ { k } \frac { \binom { N _ { t } p _ { t , \ell } } { g } a _ { g , \ell } ^ { t } } { \binom { N _ { t } } { n _ { t } } } \prod _ { s \in \tau _ { i } \setminus \{ t \} } \frac { b _ { g } ^ { s } } { \binom { N _ { s } } { n _ { s } } } \leq \sum _ { g = g _ { 0 } ( t ) } ^ { n _ { t } } \mathbb { P } ( t , g ) \leq 1 ,
\begin{array} { r } { d \widehat { L } ( t ) = - \left( \gamma _ { 1 } ^ { c } ( \widehat { L } - \widehat { L } _ { m } ) + \gamma _ { 2 } ^ { c } \left( \frac { \overline { { \widehat { c } ( t _ { \mathrm { s w } } ) } } \overline { { \widehat { L } ( t _ { \mathrm { s w } } ) } } } { \widehat { L } ( t ) } \right) ^ { n } \right) d t + \sqrt { D } \ d W _ { t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ^ { \mathrm { a t o m } } } & { = \sum _ { \mu } P _ { \mu \mu } \varepsilon _ { \mu } ^ { \mathrm { f r e e } } + \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { A A } ^ { \mathrm { f r } } \sum _ { \mu \kappa } \Delta P _ { \mu \mu } \Delta P _ { \kappa \kappa } } \\ & { - \frac { 1 } { 4 } \left( \alpha \gamma _ { A A } ^ { \mathrm { f r , H F } } + \beta \gamma _ { A A } ^ { \mathrm { l r , H F } } \right) \sum _ { \mu \nu } \Delta P _ { \mu \nu } \Delta P _ { \mu \nu } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j } n _ { i } n _ { j } \gamma _ { A A } ^ { \mathrm { f r } } - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i } n _ { i } ^ { 2 } \left( \alpha \gamma _ { A A } ^ { \mathrm { f r , H F } } + \beta \gamma _ { A A } ^ { \mathrm { l r , H F } } \right) + \mathcal { O } ( n _ { i } ) , } \end{array}
I \; = \; I ( q ^ { 2 } ; m _ { 1 } , \ldots , m _ { 5 } ) \; = \; \int \int \mathrm { d } ^ { 4 } k \; \mathrm { d } ^ { 4 } l \; \frac { 1 } { P _ { 1 } P _ { 2 } P _ { 3 } P _ { 4 } P _ { 5 } } \; ,
\beta _ { \mu } = \frac { 3 } { 2 } \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } d z \frac { \mu ^ { 2 } z ( 1 - z ) } { \mu ^ { 2 } z ( 1 - z ) - m _ { \mu } ^ { 2 } } \right] \lambda ^ { 2 } + O ( \lambda ^ { 3 } ) .
D _ { 2 } = ( { \Psi _ { 1 } ^ { H } } { } ^ { 2 } - { \bar { \Psi } _ { 1 } ^ { H } } { } ^ { 2 } ) + ( { \Psi _ { 2 } ^ { H } } { } ^ { 2 } - { \bar { \Psi } _ { 2 } ^ { H } } { } ^ { 2 } ) + ( { \Psi _ { 4 } ^ { H } } { } ^ { 2 } - { \bar { \Psi } _ { 4 } ^ { H } } { } ^ { 2 } ) = 0
\{ 0 . 0 4 , 0 . 0 6 , 0 . 0 8 , 0 . 1 0 , 0 . 1 2 , 0 . 1 4 , 0 . 1 6 , 0 . 1 8 , 0 . 2 0 , 0 . 2 2 \}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \eta _ { 0 } = \eta _ { l } } \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { r _ { 1 } } \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { i } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] \right] } \\ & { = ( 1 - p ) \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { l } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] + \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } p ^ { 2 } ( 1 - p ) ^ { k - 2 } \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { l } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] \left( \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { u } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] \right) ^ { k - 1 } } \\ & { = \frac { \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { l } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] ( 1 - p + ( 2 p - 1 ) \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { u } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] ) } { 1 - ( 1 - p ) \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { u } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial \hat { \rho } } { \partial t } } } & { { } = \frac { 1 } { i \hbar } \left[ \hat { H } _ { s y s } , \hat { \rho } \right] + \sum _ { j } \Gamma _ { j } \left( \bar { n } _ { j } + 1 \right) ( 2 \hat { A } _ { j } \hat { \rho } \hat { A } _ { j } ^ { \dagger } - \hat { A } _ { j } ^ { \dagger } \hat { A } _ { j } \hat { \rho } - \hat { \rho } \hat { A } _ { j } ^ { \dagger } \hat { A } _ { j } ) \, \, } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( n - \ell + 1 ) \mathbb { E } \left[ \| \phi ( I _ { \ell } ) \| ^ { 2 } \right] } \\ & { = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| \phi ( i ) \| ^ { 2 } - \mathbb { E } \left[ \sum _ { r = 1 } ^ { \ell - 1 } \| \phi ( I _ { r } ) \| ^ { 2 } \right] \right) } \\ & { = n \mathbb { E } \left[ \| \phi ( I _ { 1 } ) \| ^ { 2 } \right] - ( \ell - 1 ) \mathbb { E } \left[ \| \phi ( I _ { 1 } ) \| ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } } & { \neq 0 \Rightarrow 1 > \frac { \left( 1 - \rho _ { 1 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { 1 + \rho _ { 1 } ^ { 2 } } \neq \frac { 2 \Delta _ { 1 } } { k _ { 1 } } , } \\ { \lambda _ { 2 } } & { \neq 0 \Rightarrow 1 > \left( 1 - \rho _ { 1 } ^ { 2 } \right) \neq \frac { 2 \Delta _ { 1 } } { k _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { { \bf X } _ { I } } ( \omega _ { ~ b c } ^ { a } ) = { X } _ { I } ^ { ~ d } \mathrm { { \bf ~ h } } _ { d } ( \omega _ { ~ b c } ^ { a } ) + \omega _ { ~ b c } ^ { d } f _ { I } ^ { ~ \hat { i } } \lambda _ { \hat { i } ~ d } ^ { a } - \omega _ { ~ d c } ^ { a } f _ { I } ^ { ~ \hat { i } } \lambda _ { \hat { i } ~ b } ^ { d } - \omega _ { ~ b d } ^ { a } f _ { I } ^ { ~ \hat { i } } \lambda _ { \hat { i } ~ c } ^ { d } - \mathrm { { \bf ~ h } } _ { c } ( f _ { I } ^ { ~ \hat { i } } ) \lambda _ { \hat { i } ~ b } ^ { a } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } _ { l } ( \sigma ) } & { = \mathbb E _ { u , \delta , x } \Bigl ( \prod _ { i \in C _ { l } ^ { 1 } } \delta _ { i } \Bigr ) \exp \Bigl ( \beta \sum _ { i \leq n } \sum _ { k \leq \pi _ { i } ( \gamma ) } y _ { i , k } s _ { i , k } \delta _ { i } \Bigr ) \Bigl ( \prod _ { i \in C _ { l } ^ { 2 } } s _ { i } \Bigr ) \exp \Bigl ( \beta \sum _ { k \leq r } \hat { y } _ { k } \hat { s } _ { 1 , k } \hat { s } _ { 2 , k } \Bigr ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { u } ( k , \omega ) \Big | _ { y = 0 } = c \chi ( k , \omega ) \tilde { \rho } ( k , \omega ) \Big | _ { y = 0 } , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \chi ( k , \omega ) = \left( \frac { c ^ { 2 } k + \omega \operatorname { R e } ( s _ { 1 } ) } { c \omega + c k \operatorname { R e } ( s _ { 1 } ) } \right) } \end{array}
\cos \delta _ { \mathrm { n } } = \frac { 1 } { h _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } + k _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } } \left[ \frac { \left( 1 - R _ { \mathrm { n } } + v ^ { 2 } r _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } \right) u _ { \mathrm { n } } h _ { \mathrm { n } } } { 2 \, r _ { \mathrm { n } } } \pm k _ { \mathrm { n } } \sqrt { h _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } + k _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } - \left[ \frac { \left( 1 - R _ { \mathrm { n } } + v ^ { 2 } r _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } \right) u _ { \mathrm { n } } } { 2 \, r _ { \mathrm { n } } } \right] ^ { 2 } } \right] .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { C H } _ { \mathrm { d a t a } } ( x , y ) } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 } + \frac { x y } { 4 } \left( E _ { 1 } ^ { ( 1 2 ) } - E _ { 2 } ^ { ( 1 2 ) } + E _ { 3 } ^ { ( 1 2 ) } + E _ { 4 } ^ { ( 1 2 ) } \right) \; . } \end{array}
\bar { \Sigma } { | M | } _ { q \bar { q } \rightarrow \gamma q \bar { q } } ^ { 2 } = { \frac { { K ^ { \prime } } _ { q g } } { 2 } } C _ { F } Q _ { q } ^ { 2 } \omega _ { 3 } M _ { q q q q } ( t _ { 1 5 } , t _ { 1 3 } , t _ { 1 4 } , s _ { 1 2 } , s _ { 3 5 } , s _ { 4 5 } , t _ { 2 5 } , s _ { 3 4 } , t _ { 2 3 } , t _ { 2 4 } ) \; .
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } ( \gamma } & { ) = \mathrm { T r } \Bigg ( ( \gamma \tilde { \Sigma } _ { \alpha } ^ { - 1 } + \Phi ^ { \top } \Phi ) ^ { - 1 } \Big [ \sigma ^ { 2 } \Phi ^ { \top } \Phi + \gamma ^ { 2 } \tilde { \Sigma } _ { \alpha } ^ { - 1 } \bar { \alpha } ^ { \pi } ( \bar { \alpha } ^ { \pi } ) ^ { \top } \tilde { \Sigma } _ { \alpha } ^ { - 1 } + \Phi ^ { \top } r r ^ { \top } \Phi + 2 \gamma \tilde { \Sigma } _ { \alpha } ^ { - 1 } \bar { \alpha } ^ { \pi } r ^ { \top } \Phi \Big ] ( \gamma \tilde { \Sigma } _ { \alpha } ^ { - 1 } + \Phi ^ { \top } \Phi ) ^ { - 1 } \Bigg ) . } \end{array}
u _ { \mathrm { ~ 5 ~ t ~ h ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ } } ^ { ( i + 1 ) } = u ^ { ( i ) } \mp \left( \frac { 3 7 } { 3 7 8 } \frac { 1 } { \hat { \rho } _ { 1 } \hat { c } _ { 1 } } + \frac { 2 5 0 } { 6 2 1 } \frac { 1 } { \hat { \rho } _ { 3 } \hat { c } _ { 3 } } + \frac { 1 2 5 } { 5 9 4 } \frac { 1 } { \hat { \rho } _ { 4 } \hat { c } _ { 4 } } + \frac { 5 1 2 } { 1 7 7 1 } \frac { 1 } { \hat { \rho } _ { 6 } \hat { c } _ { 6 } } \right) \Delta p ^ { ( i ) } .
\begin{array} { r l } { V } & { \equiv \frac { 1 } { 2 } \int ~ \Pi ^ { 2 } ~ \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int ~ N ^ { 4 } \Omega _ { z } ^ { 2 } ~ \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z + \int ~ N ^ { 2 } \Omega _ { z } \boldsymbol { \Omega } \cdot \boldsymbol { \nabla } b ~ \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z + \frac { 1 } { 2 } \int ~ \left( \boldsymbol { \Omega } \cdot \boldsymbol { \nabla } b \right) ^ { 2 } ~ \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z } \\ & { \equiv V _ { 2 } + V _ { 3 } + V _ { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \{ v _ { i } , p , \sigma _ { i j } , \dot { \gamma } _ { i j } , F _ { i } , U _ { i } , \omega _ { i } \} } = } & { \left\{ v _ { i } ^ { ( 0 ) } , p ^ { ( 0 ) } , \sigma _ { i j } ^ { ( 0 ) } , \dot { \gamma } _ { i j } ^ { ( 0 ) } , F _ { i } ^ { ( 0 ) } , U _ { i } ^ { ( 0 ) } , \omega _ { i } ^ { ( 0 ) } \right\} } \\ & { + \beta \left\{ u _ { i } ^ { ( 1 ) } , p ^ { ( 1 ) } , \tau _ { i j } ^ { ( 1 ) } , \dot { \gamma } _ { i j } ^ { ( 1 ) } , F _ { i } ^ { ( 1 ) } , U _ { i } ^ { ( 1 ) } , \omega _ { i } ^ { ( 1 ) } \right\} + \ldots } \end{array}