harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Lambda = { \frac { \lambda _ { 1 } } { 4 } } v ^ { 4 } \left[ { \frac { 1 6 \alpha \lambda _ { 2 } - 3 \epsilon ^ { 2 } } { 1 6 \alpha ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } ) - 3 \epsilon ^ { 2 } } } \right] .
\left\{ \begin{array} { l } { \mathcal { V } _ { g } ( - \infty ) = 1 , \quad \mathcal { V } _ { g } ( + \infty ) = 0 , \quad \mathcal { V } _ { s } ( x ) < \mathcal { V } _ { g } ( x ) < \mathcal { V } _ { b } ( x ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } x \in \mathbb { R } , } \\ { \mathcal { V } _ { g } \mathrm { ~ h a s ~ a ~ u n i q u e ~ l o c a l ~ m i n i m u m ~ } x _ { 1 } \in ( - L , L ) \mathrm { ~ a n d ~ a ~ u n i q u e ~ l o c a l ~ m a x i m u m ~ } x _ { 2 } > L . } \end{array} \right.
I _ { j , k } ^ { m } ( \boldsymbol { x } ) = \mathcal { F } ^ { - 1 } ( \chi _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { i \phi ( T _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) ) } \mathcal { F } ( I ) ( T _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) ) ) ( \boldsymbol { x } ) \, ,
0 . 0 1 1 8 + 0 . 0 1 2 9 e ^ { - 5 . 5 6 e - 0 5 t } + 0 . 0 2 2 5 e ^ { - 0 . 0 0 0 7 2 6 t } + 0 . 0 4 1 8 e ^ { - 0 . 0 0 9 1 7 t } + 0 . 0 7 6 5 e ^ { - 0 . 1 1 8 t } + 0 . 1 3 6 e ^ { - 1 . 5 6 t } + 0 . 2 3 3 e ^ { - 2 1 . 6 t } + 0 . 4 6 5 e ^ { - 3 5 0 t }
\left\{ \begin{array} { l l } { g _ { 1 \ell } = ( \mathcal T _ { \ell } ^ { 0 } ) ^ { - 1 } ( v \cdot \nabla _ { x } g _ { 0 \ell } ) - \delta _ { b _ { \ell } , 1 } ( \mathcal T _ { \ell } ^ { 0 } ) ^ { - 1 } ( \mathcal T _ { \ell } ^ { 1 } [ g _ { 0 1 } , g _ { 0 2 } , h _ { 0 } , g _ { 0 4 } , \cdots , g _ { 0 n } ] ( g _ { 0 \ell } ) ) , } \\ { h _ { 1 } = \delta _ { q , 1 } \mathcal T _ { 3 } ^ { - 1 } ( v \cdot \nabla _ { x } h _ { 0 } ) , } \end{array} \right.
\int _ { - \infty } ^ { \infty } d \theta \gamma _ { i } ( \theta ) \, e ^ { i t \theta } = 2 \pi \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } ( - i ) ^ { m } \nu _ { i } ^ { ( m ) } t ^ { m } = \pi \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { E _ { 2 m } } { ( 2 m ) ! } ( \pi \eta _ { i } ) ^ { 2 m } \, t ^ { 2 m } \, \, .
\frac { d ^ { 2 } \sigma ( e ^ { + } e ^ { - } \rightarrow Q \bar { Q } e ^ { + } e ^ { - } X ) } { d x d y } = \frac { 2 \pi \alpha ^ { 2 } } { Q ^ { 4 } } S \left[ \left\{ 1 + ( 1 - y ) ^ { 2 } \right\} F _ { 2 } ^ { \gamma } ( x , Q ^ { 2 } , m ^ { 2 } ) - y ^ { 2 } F _ { L } ^ { \gamma } ( x , Q ^ { 2 } , m ^ { 2 } ) \right]
\operatorname { R e } \left( \frac { 1 } { z } \right) = \frac { \operatorname { R e } ( z ) } { | z | ^ { 2 } } > 0 , \quad \operatorname { R e } \left( \frac { 1 } { z ^ { 2 } } \right) = \frac { \operatorname { R e } \left( z ^ { 2 } \right) } { | z | ^ { 4 } } > 0 \quad , \operatorname { R e } \left( \frac { 1 } { z ^ { 3 } } \right) = \frac { \operatorname { R e } \left( z ^ { 3 } \right) } { | z | ^ { 6 } } > 0
\begin{array} { r } { \tilde { \mathbf { a } } \left( \varphi , \theta , \boldsymbol { \Phi } \right) \in { \mathbb { C } ^ { N S } } = \left[ \tilde { \mathbf { a } } _ { 1 } ^ { T } \left( \varphi , \theta , \phi _ { 1 } \right) , \dots , \tilde { \mathbf { a } } _ { S } ^ { T } \left( \varphi , \theta , \phi _ { S } \right) \right] ^ { T } , } \end{array}
\frac { \partial B _ { y } } { \partial t } = B _ { 0 } \frac { \partial u _ { y } } { \partial x } + \eta \frac { \partial ^ { 2 } B _ { y } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial } { \partial z } \eta \frac { \partial B _ { y } } { \partial z } ,
\pi _ { k } ^ { a } ( x ^ { 0 } , { \bf x } ) \equiv \frac { \delta L ^ { \prime } } { \delta \dot { A } _ { a } ^ { k } ( x ^ { 0 } , { \bf x } ) } = \left( \nabla _ { k } ( A ) A _ { 0 } \left\{ { \bf A } \right\} \right) ^ { a } - \dot { A } _ { k } ^ { a } - \left( \nabla _ { k } ( A ) C \right) ^ { a } ,
\mathcal { S } = \int { d ^ { 4 } x \sqrt { - \overline { { { g } } } } \left( \overline { { { \mathcal { R } } } } - \frac { 3 } { 2 } \left[ \overline { { { \nabla } } } \phi \right] ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } m ^ { 2 } \left[ 1 - e ^ { - \phi } \right] ^ { 2 } \right) } ,
Y _ { \overline { { { \beta V } } } } ^ { \overline { { { \alpha V } } } } = { \frac { 1 } { \eta ^ { d } { \overline { { \eta } } } ^ { d ^ { \prime } } } } \sum _ { { \vec { P } } \in { \cal I } ^ { * } ( { \overline { { { \alpha V } } } } , { \overline { { { \beta V } } } } ) } q ^ { { \frac { 1 } { 2 } } ( { \vec { P } } ^ { L } + \alpha { \vec { U } } ^ { L } ) ^ { 2 } } { \overline { { q } } } ^ { { \frac { 1 } { 2 } } ( { \vec { P } } ^ { R } + \alpha { \vec { U } } ^ { R } ) ^ { 2 } } \exp ( - 2 \pi i ( \beta { \vec { U } } \cdot { \vec { P } } + { \frac { 1 } { 2 } } \nu ( { \overline { { { \alpha V } } } } , { \overline { { { \beta V } } } } ) { \vec { P } } ^ { 2 } ) ) ~ ,
\ \mathbf { U } ( \mathbf { x } , t ) = \mathbf { b } + \mathbf { x } - \mathbf { X } ( \mathbf { x } , t ) \qquad { \mathrm { o r } } \qquad U _ { J } = b _ { J } + \alpha _ { J i } x _ { i } - X _ { J }
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { A } } & { = 2 \mathbf { i j } + { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \mathbf { j i } - 8 \pi \mathbf { j k } + { \frac { 2 { \sqrt { 2 } } } { 3 } } \mathbf { k k } } \\ & { = 2 { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } + { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } - 8 \pi { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } + { \frac { 2 { \sqrt { 2 } } } { 3 } } { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } } \\ & { = { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } } & { 0 } & { - 8 \pi } \\ { 0 } & { 0 } & { { \frac { 2 { \sqrt { 2 } } } { 3 } } } \end{array} \right) } } \end{array} }
\begin{array} { r l r l } { { 2 } p _ { \textrm { c o n t } } ( r ; s ) } & { = \frac { 1 } { 2 } z _ { 0 } e ^ { - \tau _ { r } s } \left[ f _ { o } ( y ; s ) + \left( 1 - e ^ { - \tau _ { r \epsilon } s } \right) h _ { o } ( y ; s ) \right] , \quad r \geq 0 , } & & { } \\ { p _ { \textrm { c o n t } } ( r _ { b } ; s ) } & { = \frac { 1 } { 2 } z _ { 0 } e ^ { - \tau _ { r b } s } \left[ f _ { o } ( y ; s ) + \left( 1 - e ^ { + \tau _ { r \epsilon } s } \right) h _ { o } ( y ; s ) \right] , \quad r _ { b } \geq 0 , } & & { } \end{array}
\begin{array} { l l } { { I ( g , { \bf A ) } } } & { { { \displaystyle = I _ { W Z N W } + \frac { k } { 2 \pi } \int d ^ { 2 } z t r ( \overline { { { \bf A } } } g ^ { - 1 } \partial g + { \bf A } \overline { { { \partial } } } g g ^ { - 1 } + { \bf A } \overline { { { \bf A } } } + g ^ { - 1 } { \bf A } g \overline { { { \bf A } } } ) , } } } \\ { { I _ { W Z N W } } } & { { { \displaystyle = \frac { k } { 4 \pi } \int _ { \Sigma } d ^ { 2 } z t r ( g ^ { - 1 } \partial g g ^ { - 1 } \overline { { { \partial } } } g ) - \frac { k } { 1 2 \pi } \int _ { B } d ^ { 3 } x t r ( g ^ { - 1 } d g \wedge g ^ { - 1 } d g \wedge g ^ { - 1 } d g ) } } } \end{array}
H = \frac { \vec { p } _ { 1 } ^ { ~ 2 } } { 2 m _ { 1 } } + \frac { \vec { p } _ { 2 } ^ { ~ 2 } } { 2 m _ { 2 } } + \frac { \vec { p } _ { 3 } ^ { ~ 2 } } { 2 m _ { 3 } } + V ( \vec { r } _ { 1 } , \vec { r } _ { 2 } , \vec { r } _ { 3 } ) ~ ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \big ( \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \| \nabla F ( x _ { t } ) - \hat { \nabla } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \| ^ { 2 } \big ) } & { \leq \sum _ { t = 1 } ^ { T } \big ( \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + 8 \| \nabla F ( x _ { t } ) - \hat { \nabla } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \| ^ { 2 } \big ) } \\ & { \leq \frac { 8 ( \Omega _ { 1 } - \Omega _ { T } ) } { 3 \gamma \eta } , } \end{array}
\operatorname* { l i m s u p } _ { j \in \mathbb { N } } \operatorname* { m a x } _ { k = 1 , \dots , j - 1 } \frac { \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \left| \left\langle L _ { F ^ { ( 2 ) } } e _ { l } , e _ { j } \right\rangle \right| \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \left| \left\langle L _ { F ^ { ( 2 ) } } e _ { k } , e _ { l } \right\rangle \right| } { \left| \Re \left( \left\langle L _ { F ^ { ( 2 ) } } e _ { j } , e _ { j } \right\rangle \right) \right| \left| \Re \left( \left\langle L _ { F ^ { ( 2 ) } } e _ { k } , e _ { k } \right\rangle \right) \right| } < \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } ,
\alpha \left( \epsilon _ { s } \right) = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0 } & { , } & { \epsilon _ { s } \le k \epsilon _ { s , m a x } , } \\ & { \left( \frac { \epsilon _ { s } - k \epsilon _ { s , m a x } } { \epsilon _ { s , m a x } - k \epsilon _ { s , m a x } } \right) ^ { 2 } } & { , } & { \epsilon _ { s } > k \epsilon _ { s , m a x } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { C _ { \Delta \mathbf { R } _ { A } } ( t ; \delta t ) } & { \equiv } & { \left\langle \Delta \mathbf { R } _ { A } ( t ; \delta t ) \cdot \Delta \mathbf { R } _ { A } ( 0 ; \delta t ) \right\rangle } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \delta t } d t _ { 1 } \int _ { t } ^ { t + \delta t } d t _ { 2 } \langle \mathbf { v } ( t _ { 1 } ) \cdot \mathbf { v } ( t _ { 2 } ) \rangle } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { V } & { { } = \frac { 4 \pi } { 3 } R _ { 0 } ^ { 3 } } \\ { V } & { { } = \frac { \pi R _ { c } ^ { 3 } } { 3 } \frac { ( 2 + \cos \theta _ { e q } ) ( 1 - \cos \theta _ { e q } ) ^ { 2 } } { \sin ^ { 3 } \theta _ { e q } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathbf { y } \left( t \right) = \left( \begin{array} { l } { | A | \left( t \right) } \\ { \Phi _ { A } \left( t \right) } \\ { | B | \left( t \right) } \\ { \Phi _ { B } \left( t \right) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { a _ { 0 } } \\ { \phi _ { A , 0 } } \\ { b _ { 0 } } \\ { \phi _ { B , 0 } } \end{array} \right) + \epsilon \left( \begin{array} { l } { a _ { 1 } \left( t \right) } \\ { \phi _ { A , 1 } \left( t \right) } \\ { b _ { 1 } \left( t \right) } \\ { \phi _ { B , 1 } \left( t \right) } \end{array} \right) = } \\ { = \mathbf { y } _ { 0 } + \epsilon \mathbf { y } _ { 1 } \left( t \right) = \mathbf { y } _ { 0 } + \epsilon \left( \hat { \mathbf { y } } _ { 1 } e ^ { s t } + \mathrm { c . c . } \right) , \ \ \ } \end{array}
\begin{array} { r } { E [ X _ { 0 } | X _ { t } = X ] = \frac { \frac { 1 } { Z } \int X _ { 0 } \exp \Big ( - \frac { \| X - X _ { 0 } e ^ { - t / 2 } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } \Big ) p _ { d a t a } ( X _ { 0 } ) d X _ { 0 } , } { \frac { 1 } { Z } \int \exp \Big ( - \frac { \| X - X _ { 0 } e ^ { - t / 2 } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } \Big ) p _ { d a t a } ( X _ { 0 } ) d X _ { 0 } } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { K } X _ { 0 } ^ { ( i ) } \exp { \Big ( - \frac { \| X - X _ { 0 } ^ { ( i ) } e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } \Big ) } } { \sum _ { i = 1 } ^ { K } \exp { \Big ( - \frac { \| X - X _ { 0 } ^ { ( i ) } e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } \Big ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Omega _ { s , \, \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } _ { 1 } , \tau _ { 1 } ) f _ { s } ^ { ( + ) * } ( \textbf { r } _ { 2 } , \tau _ { 2 } ) \rangle = \, \, \, } & { { } i \frac { 3 } { 8 \pi } \lambda ^ { 2 } \Gamma _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ . ~ } } \delta ^ { ( 1 / \Delta \omega ) } ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } ) \int G ( \textbf { r } _ { 1 } - \textbf { r } ) F ( \textbf { r } _ { \bot } - \textbf { r } _ { 2 \bot } ) d \textbf { r } , } \\ { \langle \Omega _ { s , \, \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } _ { 1 } , \tau _ { 1 } ) f _ { s } ^ { ( - ) * } ( \textbf { r } _ { 2 } , \tau _ { 2 } ) \rangle = - } & { { } i \frac { 3 } { 8 \pi } \lambda ^ { 2 } \Gamma _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ . ~ } } \delta ^ { ( 1 / \Delta \omega ) } ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } ) \int G ^ { * } ( \textbf { r } _ { 1 } - \textbf { r } ) F ( \textbf { r } _ { \bot } - \textbf { r } _ { 2 \bot } ) d \textbf { r } , } \end{array}
\Psi _ { 2 } ^ { \mathrm { i s o } } \prec 1 + \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } + \frac { \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { a v } } \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } + ( \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 2 } + \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { i s o } } } { N \eta } + \frac { \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { i s o } } + ( \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } \psi _ { 3 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 1 / 2 } } { ( N \eta ) ^ { 1 / 2 } } + \frac { ( \psi _ { 3 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 3 / 8 } + ( \psi _ { 4 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 3 / 8 } } { ( N \eta ) ^ { 3 / 1 6 } }
P _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) = P _ { 1 } ( t ) { \Biggl [ } - r _ { 2 } ( t ) + a _ { 2 1 } ( t ) p { \biggl ( } t - \tau _ { 2 1 } ( t ) { \biggr ) } - a _ { 2 2 } ( t ) P _ { 1 } { \biggl ( } t - \tau _ { 2 2 } ( t ) { \biggr ) } - a _ { 2 3 } ( t ) P _ { 2 } { \biggl ( } t - \tau _ { 2 3 } ( t ) { \biggr ) } { \Biggr ] }
\begin{array} { r l r l } { n _ { \pm } } & { { } = \pm \frac { 1 } { \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { l } { - h ^ { \prime } } \\ { 1 } \end{array} \right) , } & { \tau _ { \pm } } & { { } = \mp \frac { 1 } { \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { h ^ { \prime } } \end{array} \right) . } \end{array}
{ \cal L } _ { Y } ^ { U - q } = - \frac g { \sqrt { 2 } } \left( \overline { { { J } } } _ { 1 L } ^ { \prime } \gamma ^ { \mu } d _ { 1 L } ^ { \prime } - \sum _ { i , m } \overline { { { u } } } _ { i L } ^ { \prime \prime } \gamma ^ { \mu } J _ { m L } ^ { \prime } \right) e ^ { - i ( \theta _ { \rho } + \theta _ { \eta } ) } U _ { \mu } ^ { -- } + H . c . .
I _ { 8 } = - { \frac { 1 } { 4 } } Y _ { 4 } ^ { ( 5 ) } Y _ { 4 } ^ { ( 9 ) } - { \frac { 2 } { 3 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 1 6 } Y _ { 2 i } Y _ { 6 i } ,
\frac { d } { d \phi } \left( e ^ { - 2 \sigma } \frac { d } { d \phi } \chi ^ { ( n ) } \right) + [ 1 + c _ { 0 } \, \delta ( \phi ) + c _ { \pi } \, \delta ( \phi - \pi ) ] \, r _ { c } ^ { 2 } \, m _ { n } ^ { 2 } \, \chi ^ { ( n ) } = 0 \, .
m _ { Z } ^ { 2 } = \frac { m _ { H _ { 2 } } ^ { 2 } - m _ { H _ { 1 } } ^ { 2 } } { \cos 2 \beta } - ( m _ { H _ { 1 } } ^ { 2 } + m _ { H _ { 2 } } ^ { 2 } + 2 \mu ^ { 2 } )
\left[ 1 - i \hat { \Gamma } ^ { p + 1 } \cdots \hat { \Gamma } ^ { 8 } \hat { \Gamma } ^ { 9 } ( - \hat { \Gamma } _ { 1 1 } ) ^ { \frac { 8 - p } { 2 } } \right] \hat { \epsilon } = 0 \, ,
{ \frac { d N _ { \mathrm { M C } } ( l _ { \alpha } ) } { d \cos \theta } } = \int \epsilon _ { \alpha } ( E _ { \alpha } ) \sigma _ { \alpha } ( E _ { \nu } , E _ { \alpha } , \psi ) F _ { \alpha } ( E _ { \nu } , \theta - \psi ) d E _ { \alpha } d E _ { \nu } d \cos \psi ,
s _ { 4 } = y _ { 1 } y _ { 2 } y _ { 3 } y _ { 4 } + y _ { 1 } y _ { 2 } y _ { 3 } y _ { 5 } + y _ { 1 } y _ { 2 } y _ { 4 } y _ { 5 } + y _ { 1 } y _ { 3 } y _ { 4 } y _ { 5 } + y _ { 2 } y _ { 3 } y _ { 4 } y _ { 5 }
\begin{array} { r l } { f ^ { \prime \prime } ( \tau ) } & { = 2 \langle \nabla _ { \gamma ^ { \prime } ( \tau ) } \big ( \nabla _ { \gamma ^ { \prime } ( \tau ) } J ( \tau ) \big ) , J ( \tau ) \rangle + 2 \langle \nabla _ { \gamma ^ { \prime } ( \tau ) } J ( \tau ) , \nabla _ { \gamma ^ { \prime } ( \tau ) } J ( \tau ) \rangle } \\ & { = - 2 \langle R ( J ( \tau ) , \gamma ^ { \prime } ( \tau ) ) \gamma ^ { \prime } ( \tau ) , J ( \tau ) \rangle + 2 \langle \nabla _ { \gamma ^ { \prime } ( \tau ) } J ( \tau ) , \nabla _ { \gamma ^ { \prime } ( \tau ) } J ( \tau ) \rangle \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathrm { e n v } _ { \psi } ^ { \eta } ( x ^ { k + 1 } ) \vert \mathcal { F } _ { k } ] } & { \leq \mathbb { E } [ \psi ( \hat { x } ^ { k } ) + \frac { 1 } { 2 \eta } \| x ^ { k + 1 } - \hat { x } ^ { k } \| ^ { 2 } \vert \mathcal { F } _ { k } ] } \\ & { \leq \underbrace { \psi ( \hat { x } ^ { k } ) + \frac { 1 } { 2 \eta } \| x ^ { k } - \hat { x } ^ { k } \| ^ { 2 } } _ { = \mathrm { e n v } _ { \psi } ^ { \eta } ( x ^ { k } ) } + \frac { 1 } { 2 \eta } \big [ \alpha _ { k } ( \rho - \eta ^ { - 1 } - \lambda ) \big ] \| x ^ { k } - \hat { x } ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } } { 2 \eta } \theta \beta . } \end{array}
h _ { t } - \left[ \frac { h ^ { 3 } } { 3 } \tilde { p } _ { x } + \frac { h ^ { 2 } } { 2 } \left( \frac { \sigma _ { 0 } \beta \Gamma _ { x } } { \Gamma _ { \infty } - \Gamma } \right) \right] _ { x } = 0 ,
\begin{array} { r l r } & { \partial _ { t } \rho + \nabla \cdot ( \rho u ) = \kappa \, \Delta \rho + \rho s , } & { \mathrm { i n ~ } \Omega \times [ 0 , T ] , } \\ & { \rho = g , } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { D } \times [ 0 , T ] , } \\ & { ( \kappa \nabla \rho - \rho u ) \cdot n = f , } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { N } \times [ 0 , T ] , } \\ & { \rho ( x , 0 ) = \rho _ { 0 } ( x ) , } & { \mathrm { i n ~ } \Omega , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \pi ( x ; q , a ) - \frac { \operatorname { L i } ( x ) } { \varphi ( q ) } \right| } & { \leq \left( \frac { \log { x } } { 8 \pi } + \left( 1 + \frac { 3 } { \log { x } } \right) \frac { \log { q } } { 2 \pi } + \frac { 1 } { 4 \pi } + \frac { 6 } { \log { x } } \right) \sqrt { x } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad - \sqrt { x } \left( \frac { 1 } { 2 \pi } + \frac { 3 } { \log { x } } \right) \sum _ { p | q } \frac { \log { p } } { p - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } A ( t ) } & { = \frac { 1 } { 3 } A ( t ) + \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } a ^ { \mu } ( c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } - a ) g ( \eta , t ) \textup { d } \eta } \\ & { \geq \frac { 1 } { 3 } A ( t ) - \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } a ^ { \mu + 1 } g ( \eta , t ) \textup { d } \eta } \\ & { \geq \frac { 1 } { 3 } A ( t ) - c _ { 0 } ^ { \mu + 1 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } v ^ { \gamma - \frac { 1 } { 3 } } g ( \eta , t ) \textup { d } \eta . } \end{array}
\begin{array} { r } { t ^ { \frac { \nu + n } { 4 } } \, \| u ( t , \, \cdot \, ) - u _ { 0 } ( t , \, \cdot \, ) \| _ { L ^ { \infty } ( \widetilde { \mu } ) } \, \le \, \| f - f _ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \widetilde { \mu } ) } \, t ^ { \frac { \nu + n } { 4 } } \, \| \widetilde { h } _ { t } \| _ { L ^ { \infty } ( \widetilde { \mu } ) } \, \lesssim \, \frac { \varepsilon } { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \Gamma ( a + t ) } { \Gamma ( a ) } } & { = \frac { \sqrt { 2 \pi / ( a + t ) } ( a + t ) ^ { a + t } \exp { ( - a - t ) } \left[ 1 + \mathcal { O } \{ 1 / ( a + t ) \} \right] } { \sqrt { 2 \pi / a } a ^ { a } \exp { ( - a ) } \left\{ 1 + \mathcal { O } ( 1 / a ) \right\} } } \\ & { = \sqrt { a / ( a + t ) } \left\{ ( a + t ) / a \right\} ^ { a } ( a + t ) ^ { t } \exp { ( - t ) } \left[ \frac { 1 + \mathcal { O } \{ 1 / ( a + t ) \} } { 1 + \mathcal { O } ( 1 / a ) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | ( \partial _ { j } h _ { Q \circ \varphi } ) ^ { \mathrm { o p } } | | _ { \mathrm { o p } , h _ { Q \circ \varphi } } } & { = | | \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( \partial _ { k } h _ { Q } ) ^ { \mathrm { o p } } \circ \varphi \cdot \partial _ { j } \varphi _ { k } | | _ { \mathrm { o p } , h _ { Q \circ \varphi } } } \\ & { \leq \sum | \partial _ { j } \varphi _ { k } | \cdot | | ( \partial _ { k } h _ { Q } ) ^ { \mathrm { o p } } \circ \varphi | | _ { \mathrm { o p } , h \circ \varphi } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } | \partial _ { j } \varphi _ { k } | \cdot | | ( \partial _ { k } h _ { Q } ) ^ { \mathrm { o p } } | | _ { \mathrm { o p } , h } \circ \varphi . } \end{array}
E _ { m } = { } ^ { ( C ) } \! E _ { m } + { } ^ { ( n C ) } \! E _ { m } = \frac 1 3 S ^ { i j k l } \varepsilon g _ { i j } u _ { k l } + \frac 1 3 A ^ { i j k l } \varepsilon g _ { i j } u _ { k l } \, .
\begin{array} { r } { - \frac { 1 } { 2 } { \tilde { \nabla } } ^ { 2 } { \tilde { \Psi } } + \frac 1 2 { \tilde { \omega } } ^ { 2 } { \tilde { \rho } } ^ { 2 } { \tilde { \Psi } } + | { \tilde { \Psi } } | ^ { 2 } \ln | { \tilde { \Psi } } | ^ { 2 } { \tilde { \Psi } } = { \tilde { \mu } } { \tilde { \Psi } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { 1 } = } & { \frac { \alpha x _ { a 0 } v _ { 0 } ^ { 3 } x _ { 0 } ^ { 2 \alpha } + p _ { a 0 } u _ { 0 } v _ { 0 } x _ { 0 } - p _ { b 0 } u _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 0 } } { \alpha v _ { 0 } x _ { 0 } \left( u _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 \alpha } \right) } } \\ { k _ { 2 } = } & { \frac { \alpha x _ { a 0 } u _ { 0 } v _ { 0 } - p _ { a 0 } v _ { 0 } x _ { 0 } + p _ { b 0 } u _ { 0 } x _ { 0 } } { \alpha v _ { 0 } \left( u _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 \alpha } \right) } } \\ { k _ { 3 } = } & { \frac { ( \alpha - 1 ) v _ { 0 } k _ { 1 } + p _ { b 0 } } { v _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { x } ( \xi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { i f ~ } \xi \leqslant \xi _ { 4 } } \\ { - E _ { 0 } \frac { \xi - \xi _ { 4 } } { \xi _ { 3 } - \xi _ { 4 } } , } & { \mathrm { i f ~ } \xi _ { 4 } < \xi \leqslant \xi _ { 3 } } \\ { - E _ { 0 } \frac { \xi _ { 0 } - \xi } { \xi _ { 0 } - \xi _ { 3 } } , } & { \mathrm { i f ~ } \xi _ { 3 } < \xi \leqslant \xi _ { 0 } } \\ { E _ { 0 } \frac { \xi - \xi _ { 0 } } { \xi _ { 1 } - \xi _ { 0 } } , } & { \mathrm { i f ~ } \xi _ { 0 } < \xi \leqslant \xi _ { 1 } } \\ { E _ { 0 } \frac { \xi _ { 2 } - \xi } { \xi _ { 2 } - \xi _ { 1 } } , } & { \mathrm { i f ~ } \xi _ { 1 } < \xi \leqslant \xi _ { 2 } } \\ { 0 , } & { \mathrm { i f ~ } \xi _ { 2 } < \xi } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { n } _ { c } ^ { i } } & { { } = } & { \nu _ { s } ^ { i } \left[ ( 1 - 2 \alpha ) ( n _ { l } ^ { i } + n _ { r } ^ { i } ) - 2 \alpha n _ { c } ^ { i } \right] } \\ { \dot { n } _ { l } ^ { i } } & { { } = } & { \nu _ { s } ^ { i } \left[ \alpha ( n _ { r } ^ { i } + n _ { c } ^ { i } ) - ( 1 - \alpha ) n _ { l } ^ { i } \right] - \nu _ { t } ^ { i } n _ { l } ^ { i } + \nu _ { t } ^ { i + 1 } n _ { l } ^ { i + 1 } } \\ { \dot { n } _ { r } ^ { i } } & { { } = } & { \nu _ { s } ^ { i } \left[ \alpha ( n _ { l } ^ { i } + n _ { c } ^ { i } ) - ( 1 - \alpha ) n _ { r } ^ { i } \right] - \nu _ { t } ^ { i } n _ { r } ^ { i } + \nu _ { t } ^ { i - 1 } n _ { r } ^ { i - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big | D _ { \mathbf { P } } ^ { \boldsymbol { \sigma } } | \nabla F ( \mathbf { y } ) | ^ { 2 } \big | } & { \le C \sum _ { \boldsymbol { \beta } \le \boldsymbol { \sigma } } \mu _ { \boldsymbol { \beta } } ( \mathbf { y } ) ^ { - | \boldsymbol { \beta } | } \mu _ { \boldsymbol { \sigma } - \boldsymbol { \beta } } ( \mathbf { y } ) ^ { - | \boldsymbol { \sigma } | + | \boldsymbol { \beta } | } } \end{array}
\beta _ { \cdot \cdot } = \left( \begin{array} { c c } { 1 + ( f ^ { \prime } ) ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { r ^ { 2 } } \end{array} \right) , \quad \beta = r \sqrt { 1 + ( f ^ { \prime } ) ^ { 2 } } .
2 K \gamma \phi ^ { \mathrm { e x t } } \approx - \left( \frac { g ^ { 2 } } { M _ { W } ^ { 2 } } \right) ( n _ { e } - n _ { \bar { e } } ) \left( \frac { K } { 1 0 ^ { 2 } G e V } \right) ^ { 2 } \phi ^ { \mathrm { e x t } }
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \mu } \ell \left( \mu , \Sigma \right) } & { = \left( \Sigma + I _ { d } \right) ^ { - 1 } \mu , } \\ { \nabla _ { \Sigma } \ell \left( \mu , \Sigma \right) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \Sigma + I _ { d } \right) ^ { - 1 } - \frac { 1 } { 2 } \left( \Sigma + I _ { d } \right) ^ { - 2 } - \frac { 1 } { 2 } \left( \Sigma + I _ { d } \right) ^ { - 1 } \mu \mu ^ { \top } \left( \Sigma + I _ { d } \right) ^ { - 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \Sigma + I _ { d } \right) ^ { - 1 } \left( \Sigma + I _ { d } - I _ { d } - \mu \mu ^ { \top } \right) \left( \Sigma + I _ { d } \right) ^ { - 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \Sigma + I _ { d } \right) ^ { - 1 } \left( \Sigma - \mu \mu ^ { \top } \right) \left( \Sigma + I _ { d } \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w ^ { ( j + 2 ) } ( z ) } & { { } + } & { 2 z w ^ { ( j + 1 ) } ( z ) + 2 ( j + 1 ) w ^ { ( j ) } ( z ) = 0 , \quad ( j = 0 , 1 , 2 , \cdots ) } \\ { w ^ { ( 0 ) } ( z ) } & { { } = } & { w ( z ) , \quad w ^ { \prime } ( z ) = - 2 z w ( z ) + \displaystyle { \frac { 2 i } { \sqrt \pi } } . } \end{array}