harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \mathbf { A } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } r B \mathbf { e } _ { \alpha } = \frac { 1 } { 2 } ( x \mathbf { e } _ { y } - y \mathbf { e } _ { x } ) B , } \\ { \Phi } & { { } = } & { \omega r A _ { \alpha } = \frac { 1 } { 2 } r ^ { 2 } B \omega = \frac { 1 } { 2 } B \omega ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) . } \end{array}
h _ { 0 } = \frac { H } { N _ { 0 } } = 0 . 4 , h _ { 1 } = \frac { H } { N _ { 1 } } = 0 . 2 , h _ { 2 } = \frac { H _ { 0 } } { N _ { 2 } } \approx 0 . 0 0 2 2
\begin{array} { r l r l } & { \partial _ { t } \left( l \rho \right) = 0 , \quad } & { \partial _ { t } \left( \boldsymbol { u } \cdot \mathbb { A } \right) = 0 , \quad } & { \partial _ { t } \left( \left( \boldsymbol { p } / m \right) \cdot \mathbb { A } \right) = 0 , } \\ & { \partial _ { t } \left( l ^ { \Gamma } P \right) = 0 , \quad } & { \partial _ { t } \left( l B _ { i } / a _ { i } \right) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { \mathrm { ~ L ~ J ~ } } ^ { \mathrm { ~ w ~ a ~ l ~ l ~ - ~ i ~ o ~ n ~ } } \sim - 4 \pi \epsilon _ { i w } \rho _ { w } \left[ \frac { \sigma _ { i w } ^ { 6 } } { 2 \sigma _ { i w } ^ { 4 } } - \frac { \sigma _ { i w } ^ { 1 2 } } { 5 \sigma _ { i w } ^ { 1 0 } } + \frac { \sigma _ { i w } ^ { 6 } } { 2 L ^ { 4 } } - \frac { \sigma _ { i w } ^ { 1 2 } } { 5 L ^ { 1 0 } } \right] \approx \frac { 6 \pi \epsilon _ { i w } \rho _ { w } \sigma _ { i w } ^ { 2 } } { 5 } } \end{array}
\mathbb { P } [ \mathbb { T } _ { k } \neq \overline { \mathbb { T } } _ { k } ] = \mathrm { E } \left[ \mathrm { P } _ { \omega } [ \mathbb { T } _ { k } - \overline { \mathbb { T } } _ { k } \geq 1 ] \right] \leq \mathrm { E } \left[ \mathrm { E } _ { \omega } ( \mathbb { T } _ { k } - \overline { \mathbb { T } } _ { k } ) \right] \leq C \big ( \mathrm { E } \rho ^ { \gamma } \big ) ^ { k - p _ { n } }
\tilde { \phi } _ { i } ^ { ( \alpha ) } = \phi _ { i } ^ { ( \alpha ) } + \frac { \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } ^ { ( \alpha ) } \zeta } { M ^ { ( \alpha ) } ( N - M ^ { ( \alpha ) } ) } \delta \left( \phi _ { i } ^ { ( \alpha ) } \right) ,
\begin{array} { r } { n _ { \mathrm { L F } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { L F } } + d } { d } } = n _ { \mathrm { H F } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { H F } } + d } { d } } \frac { C _ { \mathrm { L F } } } { C _ { \mathrm { H F } } } \frac { \nu _ { \mathrm { H F } } } { \rho _ { \mathrm { L F } } \nu _ { \mathrm { L F } } } \, . } \end{array}
f \left( t , \boldsymbol { x } _ { k } \left( t \right) , \boldsymbol { p } _ { k } \left( t \right) \right) = f \left( 0 , \boldsymbol { x } _ { k } \left( 0 \right) , \boldsymbol { p } _ { k } \left( 0 \right) \right)
\frac { \delta E [ f ] } { \delta f ( { \bf x } ) } = 2 \, f ( { \bf x } ) \left[ \Tilde { b } ( { \bf x } ) - \int d { \bf y } \; \Tilde { \chi } ( { \bf x } , { \bf y } ) \, f ^ { 2 } ( { \bf y } ) \right] \, ,
\left( \rho , u , p \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 , 0 , 1 0 0 0 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 . 0 \leq x < 0 . 1 , } \\ { ( 1 , 0 , 0 . 0 1 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 . 1 \leq x < 0 . 8 , } \\ { ( 1 , 0 , 1 0 0 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 . 8 \leq x \leq 1 . 0 , } \end{array} \right.
2 0 \log _ { 1 0 } ( | \beta A _ { \mathrm { O L } } | _ { 1 8 0 } ) = 2 0 \log _ { 1 0 } ( | A _ { \mathrm { O L } } | ) - 2 0 \log _ { 1 0 } ( \beta ^ { - 1 } )
( \widecheck { d } f ^ { ! } ) ^ { R } = ( \widecheck { \pi } ^ { ! } ) ^ { R } ( \widecheck { \delta } _ { * } ) ^ { R } = ( \widecheck { \pi } ^ { * } ) ^ { R } ( - \otimes \omega _ { X / Y } [ r ] ) ^ { R } \widecheck { \delta } ^ { ! } = ( \widecheck { \pi } _ { * } \otimes \omega _ { X / Y } ^ { - 1 } [ - r ] ) ( \widecheck { \delta } ^ { * } \otimes \omega _ { \mathbb { T } _ { X } ^ { * } [ 2 ] / \mathbb { T } _ { Y } ^ { * } [ 2 ] \times _ { Y } X } [ - r ] ) = \widecheck { d } f _ { * } \langle r \rangle
\left\Vert \Phi _ { \mathcal { L } + W } ^ { t } ( p _ { 0 } ) - \frac { \psi _ { 0 } } { \Vert \psi _ { 0 } \Vert _ { L ^ { 1 } } } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( 1 / \nu ) } \le C \left\Vert p _ { 0 } - \frac { \psi _ { 0 } } { \Vert \psi _ { 0 } \Vert _ { L ^ { 1 } } } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( 1 / \nu ) } e ^ { - ( \lambda _ { 0 } - \lambda _ { 1 } ) t } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { S } _ { i } ^ { - } } & { = \left[ \boldsymbol { T } _ { i } ^ { ( 0 ) } , \boldsymbol { T } _ { i } ^ { ( 1 ) } , \cdots , \boldsymbol { T } _ { i } ^ { ( m - 1 ) } \right] \in \mathbb { R } ^ { N _ { x } ^ { 2 } \times m } , } \\ { \mathbf { S } _ { i } ^ { + } } & { = \left[ \boldsymbol { T } _ { i } ^ { ( 1 ) } , \boldsymbol { T } _ { i } ^ { ( 2 ) } , \cdots , \boldsymbol { T } _ { i } ^ { ( m ) } \right] \in \mathbb { R } ^ { N _ { x } ^ { 2 } \times m } . } \end{array}
F _ { \gamma } ^ { 2 } = F _ { \gamma } \frac { \gamma _ { \mathrm { s } } ^ { \mathrm { H G \ } } } { \gamma _ { \mathrm { s } } ^ { \mathrm { Q G P } } } = \left. \frac { s } { \gamma _ { \mathrm { s } } b } \right| _ { Q G P } \cdot \left. \frac { \gamma _ { \mathrm { s } } b } { s } \right| _ { H G } \, ,
\tilde { T } _ { N - 2 } ^ { n + 1 } = \tilde { T } _ { N - 1 } ^ { n + 1 } + \frac { { \delta { { \tilde { x } } ^ { 2 } } } } { 2 } \left( { \frac { { \tilde { T } _ { N - 1 } ^ { n + 1 } - \tilde { T } _ { N - 1 } ^ { n } } } { { \delta \tilde { t } } } - Q \tilde { T } _ { N - 1 } ^ { n + 1 } } \right) .
\begin{array} { r l } & { \partial _ { k } ^ { 2 } \left[ e ^ { i L \beta \cdot y - i \frac { B } { 4 } | y | ^ { 2 } } v \right] = e ^ { i L \beta \cdot y - i \frac { B } { 4 } | y | ^ { 2 } } } \\ & { \quad \times \left[ \partial _ { k } ^ { 2 } v + i \left( L \beta _ { k } - \frac { B } { 2 } y _ { k } \right) \partial _ { k } v - i \frac { B } { 2 } v + i \left( L \beta _ { k } - \frac { B } { 2 } y _ { k } \right) \left[ \partial _ { k } v + i \left( L \beta _ { k } - \frac { B } { 2 } y _ { k } \right) v \right] \right] } \\ & { = e ^ { i L \beta \cdot y - i \frac { B } { 4 } | y | ^ { 2 } } \left[ \partial _ { k } ^ { 2 } v + i \left( 2 L \beta _ { k } - B y _ { k } \right) \partial _ { k } v + \left( - i \frac { B } { 2 } - L ^ { 2 } \beta _ { k } ^ { 2 } + L B \beta _ { k } y _ { k } - \frac { B ^ { 2 } } { 4 } y _ { k } ^ { 2 } \right) v \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \theta } _ { N , T } - \theta _ { 0 } } & { = \frac { \widehat { \beta } _ { N , T } - \beta _ { 0 } } { I _ { 1 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 3 + 2 \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d t - \frac { \sigma } { I _ { 1 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 2 + \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d w _ { k } ( t ) } \\ { \widehat { \beta } _ { N , T } - \beta _ { 0 } } & { = \frac { \widehat { \theta } _ { N , T } - \theta _ { 0 } } { I _ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 3 + 2 \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d t + \frac { \sigma } { I _ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 1 + \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d w _ { k } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { N _ { s } } ( \varepsilon - \varepsilon _ { S } ) } & { { } : = \frac { E _ { 0 } \tilde { w } _ { N _ { s } } ^ { 2 } } { 2 } \big ( \varepsilon - \varepsilon _ { S } \big ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { 2 ^ { 2 h ( Y _ { k } | U _ { k } , Q ) } \le 2 \pi e \left( \frac { \sigma _ { X } ^ { 2 } + \sigma _ { N _ { 2 } } ^ { 2 } } { \sigma _ { X } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \sigma _ { X } ^ { 2 } ( \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } + \beta _ { k } ) } { \sigma _ { X } ^ { 2 } + \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } + \beta _ { k } } - \frac { \sigma _ { X } ^ { 2 } \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } } { \sigma _ { X } ^ { 2 } + \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } } \right) = 2 \pi e \left( \frac { \beta _ { k } ( \sigma _ { X } ^ { 2 } + \sigma _ { N _ { 2 } } ^ { 2 } ) } { \sigma _ { X } ^ { 2 } + \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } + \beta _ { k } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \frac { d ^ { 2 } } { d \mu ^ { 2 } } } \Big | _ { \mu = 0 } c _ { 1 / 2 , { \mu } } } & { = } & { \frac 1 { ( 2 \pi ) ^ { 2 s } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! x ^ { s - 1 } \sum _ { \ell \geq 1 } \cos ( 2 \pi \ell / 2 ) e ^ { - \ell ^ { 2 } x } { \frac { d ^ { 2 } } { d \mu ^ { 2 } } } \Big | _ { \mu = 0 } e ^ { - \frac { \pi ^ { 2 } \mu / \tau _ { 2 } } { x } } d x } \\ & { = } & { \frac 1 { ( 2 \pi ) ^ { 2 s } } \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { s - 1 } { \frac { 1 } { 2 } } ( \vartheta _ { 4 } ( 0 , i x / \pi ) - 1 ) \frac { \pi ^ { 4 } } { \tau _ { 2 } ^ { 2 } x ^ { 2 } } \, d x } \end{array}
\frac { B _ { n } } { ( 4 \pi ) ^ { d / 2 } } = \operatorname * { l i m } _ { s \to d / 2 - n } \left( s + n - d / 2 \right) \zeta ( s ) \Gamma ( s ) , \quad n = 0 , \, 1 / 2 , \, 1 , \, \ldots \, { . }
\begin{array} { r l } & { \cdots \Rightarrow \pi _ { - i - j } \operatorname * { c o f i b } \left( L _ { K ( 1 ) } ( K / p ^ { k } ) ( \mathcal { O } _ { S } ) \overset { \delta } { \longrightarrow } L _ { K ( 1 ) } ( K / p ^ { k } ) ( \mathsf { L C A } _ { \mathcal { O } _ { S } , a d } ) \right) } \\ & { \qquad \cong \pi _ { - i - j } L _ { K ( 1 ) } \operatorname * { c o f i b } \left( ( K / p ^ { k } ) ( \mathcal { O } _ { S } ) \overset { \delta } { \longrightarrow } ( K / p ^ { k } ) ( \mathsf { L C A } _ { \mathcal { O } _ { S } , a d } ) \right) } \\ & { \qquad \cong \pi _ { - i - j } L _ { K ( 1 ) } ( K / p ^ { k } ) K ( \mathsf { L C A } _ { \mathcal { O } _ { S } } ) \qquad \mathrm { ( b y ~ T h m . ~ ) . } } \end{array}
\langle { \vec { k } } _ { a } ; \epsilon _ { \mu } | { \vec { k } } _ { b } ; \epsilon _ { \nu } \rangle = ( - \eta _ { \mu \nu } ) \, 2 | { \vec { k } } _ { a } | \, \delta ( { \vec { k } } _ { a } - { \vec { k } } _ { b } )
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 0 } ^ { R - 1 } \left( 1 - p \right) p ^ { i } \mathbb { E } \left[ { D } _ { i } \right] } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { R - 1 } \left( 1 - p \right) p ^ { i } \left( i + \alpha \right) T _ { B I } } \\ & { = T _ { B I } \left( 1 - p \right) \left( \sum _ { i = 0 } ^ { R - 1 } p ^ { i } \cdot i + \alpha \sum _ { i = 0 } ^ { R - 1 } p ^ { i } \right) } \\ & { = T _ { B I } \left( \frac { p ^ { R + 1 } \left( R - 1 \right) - R p ^ { R } + p } { 1 - p } + \left( 1 - p ^ { R } \right) \alpha \right) . } \end{array}
\exp \left( i t \mu _ { 1 } + i t \mu _ { 2 } - | c _ { 1 } t | ^ { \alpha } - | c _ { 2 } t | ^ { \alpha } + i \beta _ { 1 } | c _ { 1 } t | ^ { \alpha } \operatorname { s g n } ( t ) \Phi + i \beta _ { 2 } | c _ { 2 } t | ^ { \alpha } \operatorname { s g n } ( t ) \Phi \right)
\mathbf { K } _ { 1 1 } = \boldsymbol { \Phi } _ { 1 1 } ^ { \bar { \mathbf { B } } \bar { \mathbf { B } } } = \bar { \mathbf { B } } _ { 1 } ^ { \boldsymbol { \Phi } _ { 1 1 } } \boldsymbol { \Phi } _ { 1 1 } \bar { \mathbf { B } } _ { 2 } ^ { \boldsymbol { \Phi } _ { 1 1 } }
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { 2 } \nu } & { { } = \left( \frac { - 1 } { 4 \pi \langle T p ^ { 2 } \rangle } \right) \sum _ { { \mu } , { \nu } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { f _ { { \mu } \, { \nu } } ^ { \alpha \beta } ( \theta ) \left[ \phi _ { { \mu } { \nu } } ^ { \alpha \beta } ( \theta ) p \right] ^ { 3 } p } { p ^ { 2 } + \left[ \phi _ { { \mu } { \nu } } ^ { \alpha \beta } ( \theta ) p \right] ^ { 2 } } \, d \cos ( \theta ) , } \end{array}
C _ { i _ { 1 } ^ { 1 } \ldots i _ { n } ^ { 1 } \, \ldots \, i _ { 1 } ^ { d } \ldots i _ { n } ^ { d } } \, F _ { i _ { 1 } ^ { 1 } \ldots i _ { n } ^ { 1 } } \, \ldots \, F _ { i _ { 1 } ^ { d } \ldots i _ { n } ^ { d } } ,
\phi ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 \leq r \leq \frac { 1 } { 3 } , } \\ { \frac { 1 } { 2 } + 5 4 \Big ( r - \frac { 1 } { 2 } \Big ) ^ { 3 } - \frac { 9 } { 2 } \Big ( r - \frac { 1 } { 2 } \Big ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \frac { 1 } { 3 } < r \leq \frac { 2 } { 3 } , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } r > \frac { 2 } { 3 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { P _ { \alpha \beta } ^ { ( 0 ) } ( i \omega ) = } & { { } c _ { a i \alpha } P _ { a i a i } ^ { ( 0 ) } ( i \omega ) c _ { a i \beta } } \\ { = } & { { } 2 \left\{ c _ { i a \alpha } ^ { R } \mathrm { ~ R ~ e ~ } P _ { a i a i } ^ { ( 0 ) } - c _ { i a \alpha } ^ { I } \mathrm { ~ I ~ m ~ } P _ { a i a i } ^ { ( 0 ) } \right\} c _ { i a \beta } ^ { R } + 2 \left\{ c _ { i a \alpha } ^ { R } \mathrm { ~ I ~ m ~ } P _ { a i a i } ^ { ( 0 ) } + c _ { i a \alpha } ^ { I } \mathrm { ~ R ~ e ~ } P _ { a i a i } ^ { ( 0 ) } \right\} c _ { i a \beta } ^ { I } \; . } \end{array}
A ^ { m } \circ ( \partial _ { \omega } ^ { p } A ) \circ A ^ { n } = \left( { \frac { N ^ { m } ( \partial _ { \omega } ^ { p } N ) N ^ { n + 1 } } { 2 ( 2 \gamma ) ^ { n + m } } } S _ { n m } ( N d ) A - S _ { m n } ( N d ) A { \frac { N ^ { m } ( \partial _ { \omega } ^ { p } N ) N ^ { n + 1 } } { 2 ( 2 \gamma ) ^ { n + m } } } \right)
\mathbf { S } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 - S _ { p } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \qquad \mathrm { a n d } \qquad \mathbf { s } = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \\ { S _ { p } } \end{array} \right] ,
\mathbb { E } \left( y _ { t } ^ { i } \right) = \frac { s ^ { i } x _ { 0 } ^ { i } + \rho _ { t } \sum _ { j \in N ( i ) } w _ { i j } y _ { t - 1 } ^ { j } } { s ^ { i } + \rho _ { t } \sum _ { j \in N ( i ) } w _ { i j } } ,
\begin{array} { r l r } { h _ { 1 } ( \omega t ) } & { { } = } & { B _ { L } e ^ { i \omega t } e ^ { i \phi } + B _ { R } e ^ { - i \omega t } e ^ { i \phi } , } \\ { h _ { 2 } ( \omega t ) } & { { } = } & { B _ { R } e ^ { i \omega t } e ^ { - i \phi } + B _ { L } e ^ { - i \omega t } e ^ { - i \phi } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { u _ { \tau , \mathrm { b o t } } } { \kappa } \ln \left( \frac { z } { z _ { 0 , \mathrm { b o t } } } \right) , } & { } & { \mathrm { i f } \ z \leq z _ { \mathrm { l i m } } , } \\ { \frac { u _ { \tau , \mathrm { u p } } } { \kappa } \ln \left( \frac { z } { z _ { 0 , \mathrm { u p } } } \right) , } & { } & { \mathrm { i f } \ z > z _ { \mathrm { l i m } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { p } ^ { * ( 0 ) } } & { { } = \mathcal { A } t ^ { * } \cos \phi ^ { ( 0 ) } , } \\ { U _ { q } ^ { * ( 0 ) } } & { { } = - \mathcal { B } t ^ { * } \sin \phi ^ { ( 0 ) } , } \\ { \Omega _ { r } ^ { * ( 0 ) } } & { { } = \frac { \mathcal { A } \mathcal { B } \mathcal { C } } { 3 } t ^ { * 3 } \cos \phi ^ { ( 0 ) } \sin \phi ^ { ( 0 ) } , } \\ { \phi ^ { ( 0 ) } } & { { } = \phi ( t ^ { * } = 0 ) , } \end{array}
\partial _ { i } B _ { \bar { j } } ^ { \alpha \beta } + B _ { \bar { j } } ^ { \alpha \gamma } \Gamma _ { i \gamma } ^ { \beta } + B _ { \bar { j } } ^ { \gamma \beta } \Gamma _ { i \gamma } ^ { \alpha } - 2 \partial _ { i } K B _ { \bar { j } } ^ { \alpha \beta } = 0
\begin{array} { r l } { E ( \mathbf { r } ) } & { \propto \int _ { 0 } ^ { \Theta ^ { \prime } } d \theta ^ { \prime } \sin \theta ^ { \prime } \sqrt { \frac { \cos \theta ^ { \prime } } { \cos \theta } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi e ^ { i \mathbf { q } ^ { \prime } \cdot \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } - i k \cos \theta z } } \\ & { \propto \int _ { 0 } ^ { \Theta ^ { \prime } } d \theta ^ { \prime } \sin \theta ^ { \prime } \sqrt { \frac { \cos \theta ^ { \prime } } { \cos \theta } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi e ^ { i | \mathbf { q } | \rho \cos \phi - i k \cos \theta z } } \\ & { \propto \int _ { 0 } ^ { \Theta } d ( \sin \theta ) \sin \theta \frac { J _ { 0 } ( k \sin \theta \rho ) } { \sqrt { \cos \theta ^ { \prime } \cos \theta } } e ^ { - i k \cos \theta z } , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \operatorname { R e } ( \mu ) \to \infty } \operatorname { L i } _ { s } ( e ^ { \mu } ) = - { \frac { \mu ^ { s } } { \Gamma ( s + 1 ) } } \qquad ( s \neq - 1 , - 2 , - 3 , \ldots )
\left| { \omega ^ { \prime } } \widetilde { f } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } - \frac { m ^ { \prime } \omega } { m } \widetilde { f } _ { m ^ { \prime } } ^ { \frac { m ^ { \prime } \omega } { m } } \right| \lesssim | m ^ { \prime } | \frac { | m ^ { \prime } \omega - m { \omega ^ { \prime } } | } { | \omega | | { \omega ^ { \prime } } | } v .
K [ w , \varphi ] \geq C \left( \mathsf { m } \lambda ^ { 2 } | \nabla \varphi _ { 0 } \cdot \nabla w | ^ { 2 } \varphi ^ { 2 } + \mathsf { m } ^ { 3 } \lambda ^ { 4 } | w | ^ { 2 } \varphi ^ { 3 } \right) - C ^ { \prime } \mathsf { m } \lambda | \nabla w | ^ { 2 } \varphi ,
\begin{array} { r l } { \displaystyle \frac { \partial ( \beta h ) } { \partial t } + \partial _ { a } \left( \beta h v ^ { a } \right) } & { { } = \beta \mathfrak { M } , } \\ { \displaystyle \frac { \partial ( h \beta v ^ { c } ) } { \partial t } + \partial _ { a } \left( \beta h v ^ { c } v ^ { a } \right) + h \beta \gamma _ { a b } ^ { c } v ^ { a } v ^ { b } + h \beta \beta ^ { c a } \partial _ { a } { w } } & { { } = \beta \mathfrak { F } ^ { c } , } \end{array}
L = { \frac { 2 \pi ^ { 5 } } { 1 5 } } { \frac { k ^ { 4 } T ^ { 4 } } { c ^ { 2 } h ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { \pi } } = \sigma T ^ { 4 } { \frac { 1 } { \pi } }
\chi _ { i } ^ { 0 } = \frac { 1 } { N _ { i } } \left( \begin{array} { c } { { \frac { M } { m _ { Z } } ( 1 - \frac { M ^ { \prime } } { M } ) \sin \theta _ { W } \cos \theta _ { W } ( m _ { i } ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } ) } } \\ { { \frac { 1 } { m _ { Z } } \left( m _ { i } - M ( \sin ^ { 2 } \theta _ { W } + \frac { M ^ { \prime } } { M } \cos ^ { 2 } \theta _ { W } ) \right) ( m _ { i } ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } ) } } \\ { { \left( m _ { i } - M ( \sin ^ { 2 } \theta _ { W } + \frac { M ^ { \prime } } { M } \cos ^ { 2 } \theta _ { W } ) \right) ( m _ { i } + \mu \sin 2 \beta ) } } \\ { { \left( m _ { i } - M ( \sin ^ { 2 } \theta _ { W } + \frac { M ^ { \prime } } { M } \cos ^ { 2 } \theta _ { W } ) \right) ( - \mu \cos 2 \beta ) } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \varrho ( x , t ) / q } & { { } = } & { 2 \, \mathrm { I m } [ \phi ( x , t ) ] \cdot \mathrm { R e } [ \dot { \phi } ( x , t ) ] - 2 \, \mathrm { R e } [ \phi ( x , t ) ] \cdot \mathrm { I m } [ \dot { \phi } ( x , t ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { E } ^ { \dag } ( U _ { 1 } ^ { \dag } w ( \vec { p } , \vec { q } ) U _ { 1 } ) } \\ & { = } & { \mathcal { E } ^ { \dag } ( \chi ( 2 \vec { p } _ { 0 } \cdot \vec { q } - \vec { p } \cdot \vec { q } _ { 0 } ) w ( M _ { 1 } ( \vec { p } , \vec { q } ) ) ) } \\ & { = } & { \chi ( 2 \vec { p } _ { 0 } \cdot \vec { q } - \vec { p } \cdot \vec { q } _ { 0 } ) w \left( \left( \begin{array} { l l } { 2 ^ { - 1 } I _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { n } } \end{array} \right) M _ { 1 } ( \vec { p } , \vec { q } ) \right) \otimes w \left( \left( \begin{array} { l l } { 2 ^ { - 1 } I _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { n } } \end{array} \right) M _ { 1 } ( \vec { p } , \vec { q } ) \right) } \\ & { = } & { \chi ( 2 \vec { p } _ { 0 } \cdot \vec { q } - \vec { p } \cdot \vec { q } _ { 0 } ) w ( M ( 2 ^ { - 1 } \vec { p } , \vec { q } ) ) \otimes w ( M ( 2 ^ { - 1 } \vec { p } , \vec { q } ) ) } \\ & { = } & { ( U ^ { \dag } \otimes U ^ { \dag } ) \mathcal { E } ^ { \dag } ( w ( \vec { p } , \vec { q } ) ) ( U \otimes U ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \int x ^ { m } \left( A + B \, x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } \right) ^ { p } \left( c + d \, x ^ { n } \right) ^ { q } d x = { \frac { B \, x ^ { m + 1 } \left( a + b \, x ^ { n } \right) ^ { p + 1 } \left( c + d \, x ^ { n } \right) ^ { q } } { b ( m + n ( p + q + 1 ) + 1 ) } } \, + \, { \frac { 1 } { b ( m + n ( p + q + 1 ) + 1 ) } } \, \cdot } \\ & { \qquad \int x ^ { m } \left( c ( ( A \, b - a \, B ) ( 1 + m ) + A \, b \, n ( 1 + p + q ) ) + ( d ( A \, b - a \, B ) ( 1 + m ) + B \, n \, q ( b \, c - a \, d ) + A \, b \, d \, n ( 1 + p + q ) ) \, x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } \right) ^ { p } \left( c + d \, x ^ { n } \right) ^ { q - 1 } d x } \end{array} }
\begin{array} { r l } { | Z _ { n + 1 } - Z _ { n } - d _ { i } \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { n } ) [ \widehat { \mathfrak { I } } _ { n + 1 } ] | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } - \mu _ { \mathtt { p } } } } & { \overset { , } { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon \left( | \widehat { \mathfrak { I } } _ { n + 1 } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } } | \widehat { \mathfrak { I } } _ { n + 1 } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } + ( | \mathfrak { I } _ { n + 1 } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } } + | \mathfrak { I } _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } } ) | \widehat { \mathfrak { I } } _ { n + 1 } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } ^ { 2 } \right) } \\ & { \overset { , , } { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon ^ { 1 3 - 8 b } \left( N _ { n } ^ { \mathtt { k } } N _ { n - 1 } ^ { - \sigma _ { 3 } } + \varepsilon ^ { 6 - 4 b } N _ { n - 1 } ^ { - 2 \sigma _ { 3 } } N _ { n } ^ { \mathtt { k } } \right) } \\ & { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n } ^ { \mathtt { k } } . } \end{array}
S _ { \mathrm { d i l 1 } } = { \frac { 1 } { 2 \kappa _ { 4 } ^ { 2 } } } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \left[ R - ( \partial \tilde { d } ) ^ { 2 } - \frac { 3 2 k ^ { 2 } ( \Delta + 4 ) } { \Delta ^ { 2 } } \left( 2 e ^ { - a \sqrt { 4 / 3 } \tilde { d } } - e ^ { - 2 a \sqrt { 4 / 3 } \tilde { d } } - 1 \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { \frac { d S } { d t } } { \frac { d V } { d t } } } & { { } = \frac { - \beta S I - \lambda S I } { \lambda S I } } \\ { { \frac { d S } { d V } } } & { { } = - ( \frac { \beta + \lambda } { \lambda } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { L , s } ( x , t ) } & { { } = \frac { 1 } { Z _ { L } } \sum _ { A \in \mathcal { A } ( x , t ) } r _ { s } ( t ) | A \cdot ( 1 - n _ { s } ( t ) | A ) } \\ { Z _ { L } } & { { } = \sum _ { A \in \mathcal { A } ( x , t ) } 1 - n _ { s } ( t ) | A . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \gamma _ { 1 } } } & { = \partial _ { y } \overline { { ( \gamma _ { 1 } \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } \gamma _ { 1 } ) } } ; \ \ \ \ C _ { \gamma _ { 2 } } = \partial _ { y } \overline { { ( { \gamma _ { 2 } } \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } { \gamma _ { 2 } } ) } } . } \\ { C _ { \gamma _ { 1 } } - C _ { \gamma _ { 2 } } } & { = \partial _ { y } \overline { { ( \gamma _ { 1 } \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } \gamma _ { 1 } ) } } - \partial _ { y } \overline { { ( { \gamma _ { 2 } } \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } { \gamma _ { 2 } } ) } } } \\ & { = \partial _ { y } \overline { { ( ( \gamma _ { 1 } - { \gamma _ { 2 } } ) \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } \gamma _ { 1 } ) } } + \partial _ { y } \overline { { ( { \gamma _ { 2 } } \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } ( \gamma _ { 1 } - { \gamma _ { 2 } } ) ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widehat { S } \colon \mathcal { H } \to \mathbb R ^ { n } \quad \mathrm { ~ s . t . ~ } f \mapsto \frac { 1 } { \sqrt { n } } [ f ( x _ { i } ) ] _ { i \in [ n ] } } & { \quad \mathrm { ~ a n d ~ } } & { \widehat { Z } \colon \mathcal { H } \to \mathbb R ^ { n } \quad \mathrm { ~ s . t . ~ } f \mapsto \frac { 1 } { \sqrt { n } } [ f ( y _ { i } ) ] _ { i \in [ n ] } , } \end{array}
( 3 . a ) = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } ( d - 4 ) } \mathrm { t r } \int d ^ { d } k ( W k ) ( K k ) ^ { - 1 } \frac { \partial ( K ( k - p ) ) } { \partial \phi ^ { b } } \phi ^ { b } ( K ( k - p ) ) ^ { - 1 } .
\left\{ \begin{array} { l l l } { { x _ { s } ^ { + } } } & { { = } } & { { x _ { 0 } ^ { + } \, \frac { \kappa \lambda } { 4 M } \, \left( e ^ { \frac { 4 M } { \kappa \lambda } } - 1 \right) } } \\ { { x _ { s } ^ { - } } } & { { = } } & { { - \frac { \Delta } { 1 - e ^ { - \frac { 4 M } { \kappa \lambda } } } \; . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { g _ { x } ( x , y ) } & { = } & { 2 a x + ( 3 x ^ { 2 } c + x ^ { 3 } c _ { x } ) + ( 2 x y d + x ^ { 2 } y d _ { x } ) + ( y ^ { 2 } e + x y ^ { 2 } e _ { x } ) + y ^ { 3 } f _ { x } . } \\ { g _ { y } ( x , y ) } & { = } & { - 2 b y + x ^ { 3 } c _ { y } + ( x ^ { 2 } d + x ^ { 2 } y d _ { y } ) + ( 2 x y e + x y ^ { 2 } e _ { y } ) + ( 3 y ^ { 2 } f + y ^ { 3 } f _ { y } ) . } \end{array}