harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Psi _ { u } ^ { c y c } } & { { } = \frac { 1 - \Lambda _ { 1 2 } \Lambda _ { 2 3 } \Lambda _ { 3 1 } } { 1 + \operatorname* { m a x } \big [ \Lambda _ { i j } ( 1 + \Lambda _ { j k } ) \big ] } \, , } \\ { \Psi _ { l } ^ { c y c } } & { { } = ( 1 - \Lambda _ { 1 2 } \Lambda _ { 2 3 } \Lambda _ { 3 1 } ) \left( \begin{array} { l } { \operatorname* { m i n } \big [ 1 , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 3 1 } } , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 2 3 } \Lambda _ { 3 1 } } \big ] } \\ { \operatorname* { m i n } \big [ 1 , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 1 2 } } , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 3 1 } \Lambda _ { 1 2 } } \big ] } \\ { \operatorname* { m i n } \big [ 1 , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 2 3 } } , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 1 2 } \Lambda _ { 2 3 } } \big ] } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \langle Z _ { 1 } \rangle } = \frac { 2 ^ { N } } { Z } \sinh ( \mu _ { 1 } ) \left( 1 + \sum _ { k = 2 } ^ { N } \binom { N - 1 } { k - 1 } \prod _ { j = 2 } ^ { k } \cosh ( \mu _ { j } ) \right) } \\ & { { \langle N _ { x } \rangle } = \frac { 2 ^ { N } } { Z } \left( 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \binom { N - 1 } { k } \prod _ { j = 1 } ^ { k } \cosh ( \mu _ { j } ) \right) } \\ & { { \langle N _ { x } N _ { y } \rangle } = 2 { \langle N _ { x } \rangle } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell _ { c } ( \theta , \lambda , \widehat z ) } & { \geq \operatorname* { l i m } _ { \gamma \to - \infty } ~ 1 + \log ( - \gamma ) + \sum _ { i \in [ d ] } \lambda h ( \gamma \theta _ { i } \widehat z _ { i } / \lambda ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \gamma \to - \infty } ~ 1 + \log ( - \gamma ) + \sum _ { i \in [ d ] : \, \theta _ { i } > 0 } - \lambda - \lambda \log ( - \gamma \theta _ { i } \widehat z _ { i } / \lambda ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \gamma \to - \infty } ~ ( 1 - \lambda \, \| \theta \| _ { 0 } ) ( 1 + \log ( - \gamma ) ) - \sum _ { i \in [ d ] : \, \theta _ { i } > 0 } \lambda \log ( \theta _ { i } \widehat z _ { i } / \lambda ) = + \infty , } \end{array}
\frac { \omega _ { p i } ^ { 2 } } { 4 \pi \Omega _ { i } ^ { 2 } } \left( \frac { \partial } { \partial t } + \mathbf { v } _ { E } \right) \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi = \nabla J _ { \| } + \frac { 2 } { B } \mathbb { b } \times \kappa \cdot \nabla p ,
\begin{array} { r l } { \left\langle \gamma , \omega \right\rangle - \left\langle \nabla ^ { \perp } \gamma , u \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle w , u _ { t } \right\rangle + \left\langle w , \omega u ^ { \perp } \right\rangle - \left\langle \nabla \cdot w , P \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall w \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } , } \\ { \left\langle \phi , \nabla \cdot u \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \phi \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } . } \end{array}
f _ { \mathbf k , \mathbf k ^ { \prime } } = Z _ { \mathbf k } \left. \frac { \partial \Sigma ( \mathbf k , { \epsilon _ { \mathbf k \downarrow } } ) } { \partial n _ { \mathbf k ^ { \prime } \downarrow } } \right\vert _ { n _ { \mathbf k ^ { \prime } \downarrow } = 0 } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { N E P } _ { \mathrm { p h o t o n } } ^ { 2 } } & { = 2 P _ { \mathrm { o p t } } h \nu \big ( 1 + \eta _ { \mathrm { o p t } } \bar { n } _ { \mathrm { p h } } ( \nu , T _ { \mathrm { b b } } ) \big ) , } \\ { \mathrm { N E P } _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } } & { = 2 P _ { \mathrm { o p t } } h \nu , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } \left( \infty , 0 , t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } , 0 , t ^ { \prime } \right) } & { { } = e ^ { - t ^ { \prime } } \left\{ \mathfrak { E i } \left[ \left( 1 + i \frac { 1 } { t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } } \right) t ^ { \prime } \right] \right\} _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } } \end{array}
\frac { \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ C ~ P ~ } } ^ { \mu \rightarrow e } \left( x _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { ( 2 ) } \right) } { \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ C ~ P ~ } } ^ { \mu \rightarrow e } \left( x _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { ( 1 ) } \right) } = \frac { \sin \frac { \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } x _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { ( 2 ) } } { 4 } \sin \frac { \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } x _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { ( 2 ) } } { 4 } \sin \frac { \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } x _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { ( 2 ) } } { 4 } } { \sin \frac { \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } x _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { ( 1 ) } } { 4 } \sin \frac { \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } x _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { ( 1 ) } } { 4 } \sin \frac { \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } x _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { ( 1 ) } } { 4 } } \; .
\begin{array} { r l } & { \Xi = g _ { m } + h _ { m , c } , } \\ & { g _ { m } = 1 - ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) \lambda ^ { 2 m } , \quad h _ { m , c } = \frac { 1 - \lambda ^ { 2 } } { c _ { \eta } ^ { ( m ) } } ( - \lambda _ { y } ) ^ { m } ( \eta _ { m m } + \gamma _ { m m } ) = \frac { 1 - \lambda ^ { 2 } } { c _ { \gamma } ^ { ( m ) } } ( - \lambda _ { y } ) ^ { m } ( \eta _ { m m } + \gamma _ { m m } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { 1 } } & { = \left( \begin{array} { l l } { - k _ { A _ { 1 } \to A _ { 2 } } } & { k _ { A _ { 1 } \to A _ { 2 } } } \\ { k _ { A _ { 2 } \to A _ { 1 } } } & { - k _ { A _ { 2 } \to A _ { 1 } } - k _ { A _ { 2 } \to A _ { 2 } + B } } \end{array} \right) } \\ { M _ { 2 } } & { = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { k _ { A _ { 2 } \to A _ { 2 } + B } } \end{array} \right) } \\ { \xi } & { = e ^ { \frac { 1 } { 2 } k _ { B \to \emptyset } t ^ { \prime } } x _ { 3 } + 2 ( e ^ { - \frac { 1 } { 2 } k _ { B \to \emptyset } t ^ { \prime } } - 1 ) . } \end{array}
2 E _ { \pi } \frac { d \sigma } { d ^ { 3 } { \displaystyle p } } = \frac { 2 \alpha _ { s } ^ { 3 } } { \pi ^ { 3 } \bar { \beta } } T _ { 3 } \ln \frac { s } { m ^ { 2 } } J _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ,
\begin{array} { r } { \sigma ^ { x } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \qquad \sigma ^ { y } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) , \qquad \sigma ^ { z } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
W = \left( \zeta + a _ { 0 } \frac { x _ { 8 } ^ { 4 - n } z ^ { 8 - n } } { \zeta } \right) + x ^ { 2 } + z ^ { 5 } - z y ^ { 2 } + c _ { 5 } z ^ { 4 } + c _ { 4 } z ^ { 3 } + c _ { 3 } z ^ { 2 } + c _ { 2 } z + c _ { 1 } + \cdots ,
\left\{ \begin{array} { l l } { x _ { i } ^ { t + 1 } = x _ { i } ^ { t } + 1 } & { \mathrm { i f ~ x _ { i } ^ { t } ~ < ~ x _ { b } ^ { t } ~ } \qquad \mathrm { ( a l s o ~ u p d a t e ~ c a c h e ~ b = i ~ ) } , } \\ { x _ { i } ^ { t + 1 } = x _ { i } ^ { t } + 1 } & { \mathrm { i f ~ x _ { i } ^ { t } ~ = ~ x _ { b } ^ { t } ~ } , } \\ { x _ { b } ^ { t + 1 } = x _ { b } ^ { t } + 1 } & { \mathrm { i f ~ x _ { i } ^ { t } ~ > ~ x _ { b } ^ { t } ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { M \mathbb { E } \underline { { \mathrm { S I N R } _ { 1 } } } \underline { { \mathrm { E S N R } _ { e x , 1 } } } \xrightarrow [ ] { M \rightarrow \infty } \mathbb { E } ( a _ { 1 } a _ { 3 } V _ { A _ { 1 } } + } \\ { a _ { 2 } a _ { 3 } V _ { A _ { 1 } , B _ { 1 } } + a _ { 1 } a _ { 4 } V _ { A _ { 1 } , E _ { 1 } } + a _ { 3 } a _ { 3 } V _ { B _ { 1 } , E _ { 1 } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { t \in ( s _ { 0 } , T ] } \| u ( t ) \| _ { L ^ { q _ { 0 } } } ^ { q _ { 0 } } \geq \gamma \Big ) } & { \leq \psi _ { s _ { 0 } } ( \gamma ) ( 1 + { \mathbb E } \| u _ { s _ { 0 } } \| _ { L ^ { \zeta _ { 0 } } } ^ { \zeta _ { 0 } } ) , } \\ { { \mathbb P } \Big ( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq \ell } \int _ { s _ { 0 } } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } | u _ { i } | ^ { q _ { 0 } - 2 } | \nabla u _ { i } | ^ { 2 } \, d x d t \geq \gamma \Big ) } & { \leq \psi _ { s _ { 0 } } ( \gamma ) ( 1 + { \mathbb E } \| u _ { s _ { 0 } } \| _ { L ^ { \zeta _ { 0 } } } ^ { \zeta _ { 0 } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } ( b + a ( \bar { y } _ { h } ) ) \nabla \bar { \varphi } _ { h } \cdot \nabla w _ { h } + \mathbb { 1 } _ { \{ \bar { y } _ { h } \neq \bar { t } \} } a ^ { \prime } ( \bar { y } _ { h } ) w _ { h } \nabla \bar { y } _ { h } \cdot \nabla \bar { \varphi } _ { h } \, \mathrm { d } x = \int _ { \Omega } \frac { \partial L } { \partial y } ( x , \bar { y } _ { h } ) w _ { h } \, \mathrm { d } x , } \\ & { \int _ { \Omega } ( \bar { \varphi } _ { h } + \nu \bar { u } _ { h } ) ( u _ { h } - \bar { u } _ { h } ) \, \mathrm { d } x \geq 0 \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } w _ { h } \in V _ { h } , u _ { h } \in \mathcal { U } _ { a d , h } \cap \overline { B } _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ( \bar { u } , \bar { \varepsilon } ) . } \end{array}
\left[ a ( { \bf k } , \lambda ) , a ^ { \dagger } ( { \bf k } ^ { \prime } , \lambda ^ { \prime } ) \right] = ( 2 \pi ) ^ { 3 } ( 2 | { \bf k } | ) \delta ^ { ( 3 ) } ( { \bf k } - { \bf k } ^ { \prime } ) \delta _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } .
\Sigma _ { x } = \frac { \int R ( \Delta _ { x } , 0 ) \, d \Delta _ { x } } { C _ { x } \, R ( 0 , 0 ) } ; \quad \Sigma _ { y } = \frac { \int R ( 0 , \Delta _ { y } ) \, d \Delta _ { y } } { C _ { y } \, R ( 0 , 0 ) } ,
H _ { s } ( \overline { { { \eta } } } _ { 2 } ) \exp \left[ z _ { 1 } \sqrt { 2 < n > } \overline { { { \eta } } } _ { 1 } - \frac 1 2 \left( \overline { { { \eta } } } _ { 1 } ^ { 2 } + \overline { { { \eta } } } _ { 2 } ^ { 2 } \right) \right] = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \beta _ { m } ^ { s } H _ { m } ( \xi ) \exp \left( - \frac 1 2 \xi ^ { 2 } \right) ,
\rho _ { q } ^ { f { / } h } ( \vec { x } ) = \prod _ { i = 1 } ^ { q } \left( \frac { - \delta } { \delta \lambda ( x _ { i } ) } \right) \left( \frac { Q _ { f } Q _ { \gamma } } { Q _ { h } } \right) \biggr | _ { \lambda = 0 } \, ;
f _ { g } = { \frac { 1 } { \alpha N _ { c } } } \int { \frac { d ^ { 2 } x _ { \perp } } { \pi x _ { \perp } ^ { 2 } } } e ^ { - i k _ { \perp } \cdot x _ { \perp } } ( 1 - e ^ { - x _ { \perp } ^ { 2 } Q _ { s } ^ { 2 } / 4 } ) \simeq { \frac { 1 } { \alpha N _ { c } } } \int _ { 1 } ^ { \infty } { \frac { d t } { t } } e ^ { - t k _ { \perp } ^ { 2 } / Q _ { s } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { ( 2 T ) \Sigma } & { = ( 2 k _ { B } T ) \log \frac { p ( \{ u \} | u _ { 0 } ) } { p _ { r } ( \{ u \} | u _ { 0 } ) } } \\ & { = \int d t \int \frac { d \omega } { 2 \pi } e ^ { - i \omega t } \int \frac { d \omega ^ { \prime } } { 2 \pi } \times } \\ & { \, \, \times \left( \langle \hat { v } ( \omega ^ { \prime } ) \hat { F } ( \omega - \omega ^ { \prime } ) \rangle + \langle \hat { v } ( \omega - \omega ^ { \prime } ) \hat { F } ( \omega ^ { \prime } ) \rangle \right) \, . } \end{array}
\left. \left. + \frac { 1 } { 2 } I ( \vec { q } ^ { \: 2 } , \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } ; \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } ) - \frac { 3 } { 4 } J ( \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } , \vec { q } ^ { \: 2 } ; \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } ) \right\} + \biggl \{ \vec { q } _ { 1 } \leftrightarrow \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime } \biggr \} \right] + \frac { 1 } { \pi } \int \frac { d \vec { q } _ { 2 } } { \vec { q } _ { 2 } ^ { \: 2 } \vec { q } _ { 2 } ^ { \: \prime \: 2 } } \: { \cal K } _ { 3 } = 0 \; ,
( Z + \bar { Z } ) [ ( ( 1 - \mu ^ { 2 } Z _ { , \mu } ) _ { , \mu } - ( ( 1 - \eta ^ { 2 } ) Z _ { , \eta } ) _ { , \eta } ] = 2 [ ( 1 - \mu ^ { 2 } Z _ { , \mu } ^ { 2 } - ( 1 - \eta ^ { 2 } ) Z _ { , \eta } ^ { 2 } ] .
\begin{array} { r l } { C } & { \propto \frac { 1 } { \beta L ^ { d } } \sum _ { \mathbf { q } } \frac { ( \lambda _ { q } ^ { 2 } \Gamma _ { 2 } ^ { q q } ) ^ { 2 } } { ( i q _ { 0 } - \Omega _ { q } ) ( i q _ { 0 } + \Omega _ { q } ) } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 L ^ { d } } \sum _ { q } \frac { ( \lambda _ { q } ^ { 2 } \Gamma _ { 2 } ^ { q q } ) ^ { 2 } } { \Omega _ { q } } } \\ & { \approx \int _ { \Lambda } \frac { d ^ { d } q } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \frac { ( \lambda _ { q } ^ { 2 } \Gamma _ { 2 } ^ { q q } ) ^ { 2 } } { 2 \Omega _ { q } } , } \\ { D } & { \propto \int _ { \Lambda } \frac { d ^ { d } q } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \lambda _ { q } ^ { 2 } \Gamma _ { 3 } ^ { q } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { r } } & { = - \frac { r _ { 0 } } { 2 f _ { M } } \cdot \sqrt { g f _ { M } \cdot \left[ 1 - \cos \left( \vartheta \right) \right] } , } \\ { v _ { \varphi } } & { = \frac { r _ { 0 } } { 2 f _ { M } } \cdot \sqrt { g f _ { M } \cdot \left[ 1 + \cos \left( \vartheta \right) \right] } , } \\ { v _ { z } } & { = \sqrt { g f _ { M } \cdot \left[ 1 - \cos \left( \vartheta \right) \right] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| P _ { 1 } ( . ) \| _ { L ^ { 1 } ( 0 , t ) } } & { \leq \left\| \mathcal { L } ^ { - 1 } \left\{ \hat { P } _ { 1 1 } ( s ) \right\} \right\| _ { L ^ { 1 } ( 0 , t ) } \left\| \mathcal { L } ^ { - 1 } \left\{ \hat { P } _ { 1 2 } ( s ) \right\} \right\| _ { L ^ { 1 } ( 0 , t ) } } \\ & { \leq \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 } \hat { P } _ { 1 1 } ( R e ( s ) ) \hat { P } _ { 1 2 } ( R e ( s ) ) = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( A ^ { 1 } , \dots , c A ^ { j } , \dots ) } & { { } = \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) c a _ { \sigma ( j ) } ^ { j } \prod _ { i = 1 , i \neq j } ^ { n } a _ { \sigma ( i ) } ^ { i } } \\ { F ( A ^ { 1 } , \dots , b + A ^ { j } , \dots ) } & { { } = \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) \left( b _ { \sigma ( j ) } + a _ { \sigma ( j ) } ^ { j } \right) \prod _ { i = 1 , i \neq j } ^ { n } a _ { \sigma ( i ) } ^ { i } } \end{array}
\partial _ { t } \left( \begin{array} { l } { \hat { S } _ { x } } \\ { \hat { Y } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { - \frac { \Gamma } { 2 } } & { - 2 g N z } \\ { - g } & { - \frac { \kappa } { 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \hat { S } _ { x } } \\ { \hat { Y } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { ( i J ) \Delta _ { t } + \sqrt { N \gamma } \hat { X } _ { \gamma } ( t ) + \sqrt { N \gamma _ { p } } \hat { X } _ { \gamma _ { p } } ( t ) + \sqrt { N \gamma _ { d } } \hat { X } _ { \gamma _ { d } } ( t ) } \\ { \sqrt { \kappa } \delta \hat { Y } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { y ^ { \prime } ( s _ { 1 } ) > x ^ { \prime } ( s _ { 1 } ) \phi ( x ( s _ { 1 } ) ) , y ^ { \prime } ( s _ { 2 } ) < x ^ { \prime } ( s _ { 2 } ) \phi ( x ( s _ { 2 } ) ) } \\ { \Rightarrow y ^ { \prime } ( s _ { 2 } ) - y ^ { \prime } ( s _ { 1 } ) < x ^ { \prime } ( s _ { 2 } ) \phi ( x ( s _ { 2 } ) ) - x ^ { \prime } ( s _ { 1 } ) \phi ( x ( s _ { 1 } ) ) . } \end{array}
\| \bar { \mathcal { A } } \| _ { \mu } \leq \sqrt { \sum _ { z \in Z ^ { d } } ( a ( z ) ) ^ { 2 } \frac { \mu ( 0 ) } { \mu ( z ) } } \sim \sqrt { \sum _ { z \in Z ^ { d } } \frac { 1 + | z | ^ { d + \delta _ { 2 } } } { | z | ^ { 2 d + 2 \alpha } } } = \sqrt { C _ { 0 } + \sum _ { z \in Z ^ { d } } \frac { 1 } { | z | ^ { d + 2 \alpha - \delta _ { 2 } } } }
\begin{array} { r l r } { \int _ { - \infty + i \, \Im z } ^ { \infty + i \, \Im z } } & { { } } & { \frac { e ^ { - y ^ { 2 } } \, d y } { z - i 0 ^ { + } - y } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { e ^ { - y ^ { 2 } } \, d y } { z - y } - 2 \, e ^ { - z ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { 1 } ( 0 , D ) } & { = \int _ { 0 } ^ { D } \log \left( 1 + \mathcal { N } ( \mathcal { G } ( n , p ) , \left\lVert \cdot \right\rVert _ { F } , \epsilon ) \right) d \epsilon } \\ & { \stackrel { ( a ) } { \leq } \int _ { 0 } ^ { 2 \sqrt { p } } 2 ( n - p ) p \log \left( \frac { c _ { 1 } \sqrt { p } } { \epsilon } \right) d \epsilon } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { 2 } 2 ( n - p ) p ^ { 3 / 2 } \log \left( \frac { c _ { 1 } } { \epsilon } \right) d \epsilon } \\ & { \leq c _ { 4 } n p ^ { 3 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lambda _ { j , k } ( j + \gamma - w ) \frac { j + 1 } { k + j + n } \Psi _ { j + 1 , k } + \lambda _ { j , k } ( k + \gamma - w ^ { \prime } ) \frac { k + n } { k + j + n } \Psi _ { j , k + 1 } } \\ & { = \lambda _ { j + 1 , k } ( j - w ) \frac { j + 1 } { k + j + n } \Psi _ { j + 1 , k } + \lambda _ { j , k + 1 } ( k - w ^ { \prime } ) \frac { k + n } { k + j + n } \Psi _ { j , k + 1 } . } \end{array}
\mathbb { E } _ { p _ { \hat { \theta } } ( \mathbf { \Delta x } \mid \mathbf { \bar { y } } ) } \, \left[ \mathbf { \Delta x } \mid \mathbf { \bar { y } } \right] \approx \frac { 1 } { N _ { \mathrm { s } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } } \mathbf { \Delta x } ^ { ( n ) } \, \, \, \mathrm { w h e r e } \, \, \mathbf { \Delta x } ^ { ( n ) } = f _ { \hat { \theta } } ^ { - 1 } ( \mathbf { z } ^ { ( n ) } ; \mathbf { \bar { y } } ) \, \, \mathrm { a n d } \, \, \mathbf { z } ^ { ( n ) } \sim \mathcal { N } ( 0 , \, I ) .
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \Gamma } _ { t } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { D } _ { t } ^ { - 1 } } & { - 2 \phi \boldsymbol { D } _ { t } ^ { - 1 } \boldsymbol { 1 } _ { t } ^ { * } } \\ { - 2 \phi \boldsymbol { 1 } _ { t } \boldsymbol { D } _ { t } ^ { - 1 } } & { - { 2 \phi } \mathrm { i d } + 4 \phi ^ { 2 } \boldsymbol { 1 } _ { t } \boldsymbol { D } _ { t } ^ { - 1 } \boldsymbol { 1 } _ { t } ^ { * } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { B ( x , 2 ) } | u | \leq \operatorname* { s u p } _ { B ( 0 , 4 ) } | u | = 2 ^ { \mathcal { N } ( 0 , 2 ) } \operatorname* { s u p } _ { B ( 0 , 2 ) } | u | } \\ & { \leq \exp ( C _ { 3 } \mathcal { N } ( 0 , 2 ) + C _ { 4 } ) \operatorname* { s u p } _ { B ( 0 , 1 0 ^ { - 4 } ) } | u | \leq \exp ( C _ { 3 } \mathcal { N } ( 0 , 2 ) + C _ { 4 } ) \operatorname* { s u p } _ { B ( x , 1 ) } | u | , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { T } { \varphi _ { a } ( q _ { T } , h _ { T } ^ { m } \vert \nabla _ { \! h } ^ { m } ( v _ { h } - I _ { h } ^ { \textit { a v } } v _ { h } ) \vert ) \, \mathrm { d } x } \lesssim \int _ { \omega _ { T } } { \varphi _ { a } ( q _ { T } , h _ { T } \vert \nabla _ { \! h } v _ { h } \vert ) \, \mathrm { d } x } } \\ & { \quad \lesssim \int _ { \omega _ { T } } { ( \varphi _ { h } ) _ { a } ( \cdot , h _ { T } \vert \nabla _ { \! h } v _ { h } \vert ) \, \mathrm { d } x } + \omega _ { p , \omega _ { T } } ( h _ { T } ) ^ { 2 } \, \| 1 + a ^ { p _ { h } ( \cdot ) s } + \vert \nabla _ { \! h } v _ { h } \vert ^ { p _ { h } ( \cdot ) s } \| _ { 1 , \omega _ { T } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { h \tau \sum _ { n \geq 1 } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \frac { \phi _ { j } ^ { n } - \phi _ { j } ^ { n - 1 } } { \tau } \rho _ { j } ^ { n } + h \tau \sum _ { n \geq 0 } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \frac { \phi _ { j + 1 } ^ { n } - \phi _ { j } ^ { n } } { h } g ( \rho _ { j } ^ { n } , \rho _ { j + 1 } ^ { n } , q _ { j } ^ { n } , q _ { j + 1 } ^ { n } ) + h \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \phi _ { j } ^ { 0 } \rho _ { j } ^ { 0 } = 0 . } \end{array}
U _ { \mathrm { { F Z Z } } } ( \alpha ) : = \frac { 4 } { \gamma } 2 ^ { - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } } \left( \frac { \pi \mu } { 2 ^ { \gamma \alpha } } \frac { \Gamma \left( \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } \right) } { \Gamma ( 1 - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } ) } \right) ^ { \frac { Q - \alpha } { \gamma } } \Gamma \left( \frac { \gamma \alpha } { 2 } - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } \right) \Gamma \left( \frac { 2 \alpha } { \gamma } - \frac { 4 } { \gamma ^ { 2 } } - 1 \right) \cos \left( ( \alpha - Q ) \pi s \right) ,
P _ { \omega } ( T ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \hbar [ \bar { n } _ { \omega } + 1 / 2 ] / \omega } } e ^ { - \frac { \omega ^ { 2 } Q _ { \omega } ^ { 2 } } { 2 \hbar \omega [ \bar { n } _ { \omega } + 1 / 2 ] } }
( g _ { L } ^ { e f f } ) ^ { 2 } = 0 . 3 0 0 5 \pm 0 . 0 0 1 4 , ~ ~ ~ ( g _ { R } ^ { e f f } ) ^ { 2 } = 0 . 0 3 1 0 \pm 0 . 0 0 1 1 ,
S ( \phi ) = \int d ^ { 4 } x \left[ \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \phi + \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } ( t ) \phi ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 4 ! } \phi ^ { 4 } \right] \, ,
\Delta \hat { \phi } ( \vec { x } ; \vec { \beta } , \vec { \gamma } ) = \vec { \beta } ^ { T } \Delta \left( \ell ( \vec { x } ) \vec { \sigma } _ { h } ( \vec { x } ) \right) + \vec { \gamma } ^ { T } \Delta \vec { \sigma } _ { g } ( \vec { x } ) .
\partial _ { \tau } R ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) - k _ { 2 } R ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) + \int d \tau ^ { \prime \prime } \, \Sigma ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime \prime } ) R ^ { * } ( \tau ^ { \prime \prime } , \tau ^ { \prime } )
\begin{array} { r l r } { \langle I ^ { \prime } , \gamma ^ { \prime } | \bigg [ \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \big [ B _ { M } ( r _ { k } ) - B _ { M } ( \bar { r } ) \big ] \hat { l } _ { k } ^ { 2 } \bigg ] | I , \gamma \rangle } & { { } = } & { \sum _ { \kappa ^ { \prime } , \kappa } \sum _ { \rho } \sum _ { j } \bigg [ \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \langle \kappa ^ { \prime } | \hat { l } _ { k } ^ { 2 } | \kappa \rangle \big [ B _ { M } ( r _ { k , j _ { k } } ) - B _ { M } ( \bar { r } ) \big ] \bigg ] } \end{array}
{ \cal L } _ { H \tilde { \chi } ^ { + } \tilde { \chi } ^ { - } } ^ { \mathrm { \scriptsize ~ i n t } } = - g ( H _ { 1 } ^ { 1 \ast } \bar { \tilde { H } } P _ { L } \tilde { W } + H _ { 2 } ^ { 2 \ast } \bar { \tilde { W } } P _ { L } \tilde { H } ) + \lambda N \bar { \tilde { H } } P _ { L } \tilde { H } + \mathrm { h . c . } \; \; .
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \check { \rho } _ { 1 } \check { v } _ { 0 } + \check { \rho } _ { 0 } \check { v } _ { 1 } , } \\ { \gamma b ^ { 2 } \frac { d \check { v } _ { 0 } } { d \xi } } & { { } = - \frac { d \check { p } _ { 1 } } { d \xi } + \nu \frac { d ^ { 2 } \check { v } _ { 1 } } { d \xi ^ { 2 } } , } \\ { \check { p } _ { 1 } } & { { } = \check { \rho } _ { 1 } \check { \theta } _ { 0 } + \check { \rho } _ { 0 } \check { \theta } _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { A _ { \lambda } ^ { ( n n ) } ( x | a _ { 1 } , \cdots , a _ { n } | b _ { 1 } , \cdots b _ { n } ) = } } & { { \displaystyle \prod _ { j = 1 } ^ { n } ( x - a _ { j } \tau ) \, g _ { \lambda } ^ { ( n ) } ( x | b _ { 1 } , \cdots , b _ { n } ) } } \\ { { } } & { { + \tau ^ { 2 ( \lambda - 1 ) } \displaystyle \prod _ { i = 1 } ^ { n } ( x - b _ { i } \tau ^ { - 1 } ) \, g _ { \lambda } ^ { ( n ) } ( x | a _ { 1 } , \cdots , a _ { n } ) . } } \end{array}
\Pi _ { H H } ^ { 1 } ( s ) = N _ { c } C _ { F } { \frac { G _ { F } } { 2 \pi ^ { 2 } \sqrt 2 } } \, { \frac { \alpha _ { s } } { \pi } } \! \sum _ { Q = U , D } \! m _ { Q } ^ { 4 } \left[ { \frac { 9 } { 2 } } X _ { 1 } - \left( { \frac { s } { 4 m _ { Q } ^ { 2 } } } - 3 \right) Y _ { 1 } - { \frac { s } { 4 m _ { Q } ^ { 2 } } } + 9 \zeta ( 3 ) + H _ { 1 } \left( { \frac { s } { 4 m _ { Q } ^ { 2 } } } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { 0 \leq \mathbb P ( \rho _ { \infty } \leq \lambda _ { r _ { 0 } , T } \wedge ( T \vee t _ { 0 } ) , T < \rho _ { \infty } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { r \to \infty } \mathbb P ( \rho _ { r , T } < \lambda _ { r _ { 0 } , T } \wedge ( T \vee t _ { 0 } ) , T < \rho _ { \infty } ) } \\ & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { r \to \infty } ( V ( r _ { 1 } ) + t _ { 0 } \eta ) / V ( r ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } \Big ( \tilde { \xi } ^ { ( n ) } ( x ) \Big ) } & { = a _ { n } ^ { d } \sum _ { m } \bigg ( \int \mathbb { k } ^ { ( n ) } ( u , x ) ^ { 2 } \lambda ( \mathrm { d } u ) - \Big ( \int \mathbb { k } ^ { ( n ) } ( u , x ) \, \lambda ( \mathrm { d } u ) \Big ) ^ { \! 2 } \bigg ) } \\ & { = g ( x ) ^ { 2 } \phi ( x ) + o ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Omega _ { g e } ( t ) \! } & { = } & { \! \vec { d } _ { g e } \cdot \sum _ { p } \frac { \hat { \epsilon } _ { p } E _ { 0 p } ( \vec { r } , t ) } { \hbar } e ^ { i [ ( \omega _ { p } - \omega _ { v } ) t - \vec { k } _ { p } \cdot \vec { r } + \phi _ { p } ] } \Bigg \rvert _ { \vec { r } = \vec { r } _ { m } ( t ) } . } \\ & { } & \end{array}