harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t t } \mathbf { d } _ { s } - \nabla \cdot \boldsymbol { \sigma } _ { s } = 0 } \\ { \boldsymbol { \sigma } _ { s } = \mu ( \nabla \mathbf { d } _ { s } + \nabla \mathbf { d } _ { s } ^ { T } ) + \lambda \; t r ( \frac { 1 } { 2 } ( \nabla \mathbf { d } _ { s } + \nabla \mathbf { d } _ { s } ^ { T } ) ) I } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \mathbf { I } _ { n } ( t _ { n + 1 } ) \equiv } & { { } \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \pmb { \mathcal { E } } ( ( t _ { n + 1 } - \tau ) \Omega ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( j - 1 ) \beta \omega _ { 0 } \tau } \mathrm { d } \tau } \\ { = } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { i } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( j - 1 ) \beta \omega _ { 0 } t _ { n + 1 } } \left\{ \frac { 1 - \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } [ \omega _ { 0 } + ( j - 1 ) \beta \omega _ { 0 } + \Omega ] \Delta t } } { \omega _ { 0 } + ( j - 1 ) \beta \omega _ { 0 } + \Omega } \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { \frac { \Omega } { g } } \\ { - \frac { g } { \Omega } } & { 1 } \end{array} \right] + \right. } \end{array}
\langle M _ { \psi \psi } ( x ) M _ { \psi \psi } ^ { \dagger } ( 0 ) \rangle = \langle \mathrm { T r } { \cal S } ( x , 0 ) C T _ { 2 } \gamma ^ { 5 } { \cal S } ^ { T } ( x , 0 ) C T _ { 2 } \gamma ^ { 5 } \rangle = \langle \mathrm { T r } { \cal S } ( x , 0 ) { \cal S } ^ { \dagger } ( x , 0 ) \rangle .
\gamma ( \kappa ) = - i \displaystyle \frac { \bar { \mu } ^ { 2 } \kappa } { 8 } \pm \sqrt { \eta \kappa ^ { 2 } \Bigl ( \bar { \mu } M _ { 0 } - \eta \kappa ^ { 2 } \Bigr ) - \frac { \bar { \mu } ^ { 4 } \kappa ^ { 2 } } { 6 4 } } \: ,
| \partial _ { \rho } ^ { m } ( \theta _ { 0 } ( \rho ) \mp 1 ) | \leq C _ { m } e ^ { - \alpha | \rho | } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \rho \in \ensuremath { \mathbb { R } } \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \rho \gtrless 0 ,
\begin{array} { r l r } { \hat { P } _ { x } } & { { } = } & { \hat { P } _ { y } = 0 } \\ { \hat { P } _ { z } } & { { } = } & { \hbar k \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { m ( 0 ) = 1 ; \, m ( 1 ) = 0 ; \, m ^ { \prime } ( 1 ) = 0 ; \, m ( d ) < 0 , \, \, \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ n ~ } \, \, 0 < d < 1 . } \end{array}
\int x \operatorname { a r c o t h } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { 2 } \operatorname { a r c o t h } ( a x ) } { 2 } } - { \frac { \operatorname { a r c o t h } ( a x ) } { 2 a ^ { 2 } } } + { \frac { x } { 2 a } } + C
\hat { S } _ { I } ( r _ { I } , \theta _ { I } ) = \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \{ ( - r _ { I } / 2 ) ( \hat { a } _ { I } ^ { 2 } e ^ { - 2 i \theta _ { I } } - \hat { a } _ { I } ^ { \dagger 2 } e ^ { 2 i \theta _ { I } } ) \}
\begin{array} { r l } & { b ^ { + } ( x ) \Biggl ( \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { \partial P ( x ) } { \partial x _ { k } } f _ { k } ( x ) + P ( x ) \partial f ( x ) + \partial ^ { \top } f ( x ) P ( x ) \Biggr ) } \\ & { ( b ^ { + } ( x ) ) ^ { \top } \preceq - \varepsilon _ { p } b ^ { + } ( x ) P ( x ) ( b ^ { + } ( x ) ) ^ { \top } , \quad \forall x \in { \mathbb R } ^ { n } . } \end{array}
| n + \delta \rangle _ { m } = \sum _ { j = 0 } ^ { m } c _ { j } \bar { z } ^ { - \frac { \delta } { 2 } + j } z ^ { - \frac { \delta } { 2 } + n - m + j } e ^ { - z \bar { z } / 2 } \quad ( 0 \leq m \leq n ) ,
{ \mathcal { A } } ( | { \overrightarrow { p } } \rangle \to | { \overrightarrow { p } } ^ { \prime } \rangle ) - 1 = 2 \pi \delta ( E _ { p } - E _ { p ^ { \prime } } ) ( - \mathrm { i } ) \int \mathrm { d } ^ { 3 } r V ( { \vec { r } } ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( { \vec { p } } - { \vec { p } } ^ { \prime } ) { \vec { r } } }
\Delta . \mathbf { { \Sigma } } _ { A [ f ] } ^ { B [ f . A ] } \xrightarrow { \textnormal { s p l i t } _ { \big ( \; \Delta . A [ f ] . B [ f . A ] \; \xrightarrow { c [ f . A . B ] } \; \Delta . A [ f ] . B [ f . A ] . \big ( \; C \big [ p _ { A } ^ { B } ( f . A . B ) \big ] \; = \; C \big [ f . \mathbf { { \Sigma } } _ { A } ^ { B } \big ] \big [ p _ { A [ f ] } ^ { B [ f . A ] } \big ] \; \big ) \; \big ) } } \Delta . \mathbf { { \Sigma } } _ { A [ f ] } ^ { B [ f . A ] } . C [ f . \mathbf { { \Sigma } } _ { A } ^ { B } ]
\begin{array} { r l } { \langle \vec { \mu } _ { a } \rangle ( \omega ) } & { \approx \alpha _ { a } ( \omega ) \vec { E } ( \omega ) + i \omega \frac { g _ { a } ( \omega ) } { c } \vec { H } ( \omega ) , } \\ { \langle \vec { m } _ { a } \rangle ( \omega ) } & { \approx \beta _ { a } ( \omega ) \vec { H } ( \omega ) - i \omega \frac { g _ { a } ( \omega ) } { c } \vec { E } ( \omega ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } } & { \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla f ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] = \mathcal { O } \Big ( \frac { \hat { \alpha } _ { 3 } + \hat { \alpha } _ { 3 } ^ { - 1 } } { \sqrt { n K } } + \frac { 1 } { \operatorname* { m i n } ( \hat { \alpha } _ { 1 } , \hat { \alpha } _ { 2 } ) K } + { b ^ { 2 } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { W } \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 - \delta \} } \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } & { + \frac { 1 } { 2 \varepsilon } \int _ { \Omega } W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) g ( u _ { \varepsilon } ) \eta ^ { 2 } } \\ & { \leq C _ { W } \delta \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \leq 1 - \delta \} } \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } + \tau \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 - \delta \} } \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + \frac { \varepsilon } { 2 } \int _ { \Omega } | f _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } \\ & { + \left( \delta r ^ { - 1 } + C \delta ^ { 2 } \tau ^ { - 1 } r ^ { - 2 } \right) \mathcal L ^ { n + 1 } ( \Omega ) + C \varepsilon \tau ^ { - 1 } r ^ { - 2 } \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 \} } W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\langle \varphi ^ { 2 } ( x ) \rangle = \int d ^ { 3 } p \left[ | \psi _ { 0 } ( z _ { 0 } ) | ^ { 2 } | \chi _ { 0 } | ^ { 2 } + \int _ { - \frac { H } { \Delta + 2 } } ^ { \infty } d m \; | \psi _ { m } ( z _ { 0 } ) | ^ { 2 } | \chi _ { m } | ^ { 2 } \right] .
C _ { J } = \frac { V _ { p } V ( S ^ { d - 1 } ) } { 4 G } h ^ { \frac { d - 2 } { 2 } } r _ { 0 } ^ { \frac { d - 2 } { 2 } } r _ { H } ( d - 2 - 2 \kappa ) \frac { \Delta _ { S J } } { \Delta _ { T J } }
\langle W [ \mathrm { c i r c l e } ] \rangle = \frac { 2 } { \sqrt { \lambda } } I _ { 1 } ( \sqrt { \lambda } ) ~ ~ \approx ~ ~ \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \frac { e ^ { \sqrt { \lambda } } } { \lambda ^ { 3 / 4 } } ~ \mathrm { a s } ~ \lambda \to \infty
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } } & { { } = - \nabla p _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } , } \\ { \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } } & { { } = - \nabla p _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| \prod _ { m = 0 } ^ { ( n - 3 ) / 2 } S _ { n - 2 m } \right\| _ { \infty } \le \frac { 3 ( \lambda + \mu ) ( n + 1 ) } { \mu 2 ^ { n } \left[ \left( \frac { n - 1 } 2 \right) ! \right] ^ { 2 } } \, , \qquad \left\| \prod _ { m = 1 } ^ { j } S _ { n - 2 m + 2 } \right\| _ { \infty } \le \frac { ( \lambda + \mu ) ( n - 2 j + 2 ) ( j + 1 ) } { \mu \prod _ { m = 1 } ^ { j } ( n + 1 - 2 m ) ^ { 2 } } \, , } \\ & { \left\| \prod _ { m = j + 1 } ^ { ( n - 3 ) / 2 } S _ { n - 2 m } \right\| _ { \infty } \le \frac { 3 ( \lambda + \mu ) ( n - 2 j - 1 ) } { 2 \mu \prod _ { m = j + 2 } ^ { ( n - 1 ) / 2 } \, ( n + 1 - 2 m ) ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C _ { \ast } ( r , \tau ) = c _ { 0 } \, \left[ \cos ( \tilde { \omega } _ { 0 } \tau ) \, g _ { \mathrm { r e } } ^ { \ast } ( r , \tau ) - \sin ( \tilde { \omega } _ { 0 } \lvert \tau \rvert ) \, g _ { \mathrm { i m } } ^ { \ast } ( r , \tau ) \right] , } \\ & { g _ { \mathrm { r e } } ^ { \ast } ( r , \tau ) = \frac { \mathrm { e } ^ { - \lambda _ { 0 } ^ { 2 } \, r ^ { 2 } } \, \cos \left( \kappa _ { 0 } ^ { 2 } \, r ^ { 2 } + \frac { d \phi _ { 0 } } { 2 } \right) } { ( 4 \pi ) ^ { d / 2 } \, \left( \epsilon ^ { 2 } + b ^ { 2 } \, \tilde { \omega } _ { 0 } ^ { 2 } \, \lvert \tau \rvert ^ { 2 } \right) ^ { d / 4 } } , } \\ & { g _ { \mathrm { i m } } ^ { \ast } ( r , \tau ) = \frac { \mathrm { e } ^ { - \lambda _ { 0 } ^ { 2 } \, r ^ { 2 } } \, \sin \left( \kappa _ { 0 } ^ { 2 } \, r ^ { 2 } + \frac { d \phi _ { 0 } } { 2 } \right) } { ( 4 \pi ) ^ { d / 2 } \, \left( \epsilon ^ { 2 } + b ^ { 2 } \, \tilde { \omega } _ { 0 } ^ { 2 } \, \lvert \tau \rvert ^ { 2 } \right) ^ { d / 4 } } \, , } \end{array}
i \hbar \frac { d } { d t } \psi _ { C } = ( E _ { C } ( { \bf k } ) - i \hbar \gamma _ { C } ) \psi _ { C } + \frac { \hbar \tilde { \Omega } _ { R } } { 2 } \psi _ { X } + F e ^ { - i \omega _ { p } t } ,
W _ { 1 } ^ { a } L _ { - 1 } v ^ { ( 1 ) \pm } = L _ { 1 } W _ { - 1 } ^ { a } v ^ { ( 1 ) \pm } = - \frac { 1 } { 2 } L _ { 1 } L _ { - 1 } W _ { 0 } ^ { a } v ^ { ( 1 ) \pm } ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { P _ { n + 1 } = \Phi P _ { n } \Phi ^ { t } + \Sigma - ( \Phi P _ { n } H ^ { t } ) ( H P _ { n } H ^ { t } ) ^ { - 1 } ( H P _ { n } \Phi ^ { t } ) , } \\ { K _ { n } = ( \Phi P _ { n } H ^ { t } ) ( H P _ { n } H ^ { t } ) ^ { - 1 } , } \\ { \hat { X } _ { n + 1 | n } = ( \Phi - K _ { n } H ) \hat { X } _ { n | n - 1 } + K _ { n } Y _ { n } , } \\ { \hat { Y } _ { n | n - 1 } = H \hat { X } _ { n | n - 1 } , } \\ { \hat { \epsilon } _ { n } = Y _ { n } - \hat { Y } _ { n | n - 1 } , } \end{array} \right. } \end{array}
\langle \mathcal A _ { i } \rangle _ { 1 P I } ^ { ( 1 ) } = ( \frac { \alpha } { \pi } ) \frac { 1 } { \epsilon } \sum _ { i = 0 } ^ { 1 3 } \gamma _ { i j } \langle \mathcal O _ { i } ^ { ( 3 ) } \rangle _ { 1 P I } ^ { ( 0 ) }
U ^ { - 1 } ( t , 0 ) a ( t ) U ( t , 0 ) = \exp [ - i \varphi ( t ) ] \sum _ { n = 1 } \sqrt { n } | n - 1 ; 0 \bigr > \bigl < n ; 0 | = a ( 0 ) \exp [ - i \varphi ( t ) ] .
| \nu _ { e } \rangle = \cos \theta ^ { m } | \nu _ { 1 m } \rangle + \sin \theta ^ { m } | \nu _ { 2 m } \rangle ; \qquad | \nu _ { \mu } \rangle = - \sin \theta ^ { m } | \nu _ { 1 m } \rangle + \cos \theta ^ { m } | \nu _ { 2 m } \rangle
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \langle u ( t ) , g _ { 1 } \rangle { \langle u ( t ) , g _ { 2 } \rangle } ] } & { = \int _ { \mathbb { R } _ { x _ { 1 } } ^ { d } \times \mathbb { R } _ { x _ { 2 } } ^ { d } } \left( \int _ { \mathbb R _ { k } ^ { d } } | k | ^ { - 2 H - d } F ( t , | k | ) e ^ { i 2 \pi k ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } \, d k \right) g _ { 1 } ( x _ { 1 } ) g _ { 2 } ( x _ { 2 } ) \, d x _ { 1 } d x _ { 2 } } \\ & { = \int _ { \mathbb R _ { k } ^ { d } } | k | ^ { - 2 H - d } F ( t , | k | ) \, \widehat { g _ { 1 } } ( k ) \, \overline { { \widehat { g _ { 2 } } ( k ) } } d k } \end{array}
F _ { 1 } = \frac { d t _ { \mathrm { ~ c ~ m ~ } } ^ { - 2 } } { d u } \Big | _ { { u = 0 } } = \frac { 2 } { t _ { \mathrm { ~ c ~ m ~ } } ^ { 3 } } \left[ E _ { a } \frac { d t _ { \mathrm { ~ c ~ m ~ } } } { d E _ { l } } \Big | _ { E _ { a } } + x _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ } } \frac { d t _ { \mathrm { ~ c ~ m ~ } } } { d x _ { m } } \Big | _ { x _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ } } } \right]
\operatorname* { m a x } _ { j } \frac { \Delta t } { \mu _ { - } \Delta x _ { j } } \sigma \left( u _ { j } ^ { n } , u _ { j } ^ { n , - } \right) \leq 1 , \qquad \operatorname* { m a x } _ { j } \frac { \Delta t } { \mu _ { + } \Delta x _ { j } } \sigma \left( u _ { j } ^ { n , + } , u _ { j } ^ { n } \right) \leq 1
( \hat { g } _ { I J } ) = 6 \, \left( \begin{array} { c c c c c c c c } { { 2 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 2 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\mathrm { ~ t ~ r ~ } ( \mathrm { ~ J ~ a ~ c ~ } _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ B ~ a ~ } } ) = - \frac { 2 \gamma } { \pi \tau _ { m } R ^ { * } } - \hat { g } _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ n ~ } } \tau _ { m } R ^ { * } < 0
\begin{array} { r } { \zeta _ { \mathrm { ~ r ~ o ~ t ~ } } = 8 \pi \eta _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } R _ { \mathrm { ~ f ~ } } ^ { 3 } \quad , \quad \zeta _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ n ~ s ~ } } = 6 \pi \eta _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } R _ { \mathrm { ~ f ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { i } ( G _ { r } , M ) \cong } & { \varinjlim _ { ( n , p ) = 1 } ( \bigwedge ^ { i } ( X _ { r } \otimes _ { { \mathbb Z } } { \mathbb Z } / n { \mathbb Z } ) ) \otimes _ { { \mathbb Z } / n { \mathbb Z } } M [ n ] } \\ { = } & { \varinjlim _ { ( n , p ) = 1 } ( \bigwedge ^ { i } X _ { r } ) \otimes _ { { \mathbb Z } } M [ n ] } \\ { = } & { ( \bigwedge ^ { i } X _ { r } ) \otimes _ { { \mathbb Z } } M ^ { \prime } , } \end{array}
{ \cal S } = \int d ^ { 5 } x \sqrt { - g } \left[ { \frac { \cal R } { 1 6 \pi G _ { N } } } - { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } \Phi ^ { a } \partial ^ { \mu } \Phi ^ { a } - { \frac { \lambda } { 4 } } ( \Phi ^ { a } \Phi ^ { a } - \eta ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] - \int _ { i } d ^ { 4 } x \sqrt { - h } \sigma _ { i } ( \Phi ^ { a } ) \, ,
\begin{array} { r l } { r _ { \mathrm { o u t e r } } } & { { } \approx { \frac { 2 a ^ { 2 } } { r _ { \mathrm { { s } } } } } } \\ { r _ { \mathrm { i n n e r } } } & { { } \approx { \frac { 3 } { 2 } } r _ { \mathrm { { s } } } } \end{array}
{ { \tau } _ { i j } } \mathrm { ~ = ~ } \mu \left( \frac { \partial { { U } _ { i } } } { \partial { { x } _ { j } } } \mathrm { ~ + ~ } \frac { \partial { { U } _ { j } } } { \partial { { x } _ { i } } } - \frac { 2 } { 3 } { { \delta } _ { i j } } \frac { \partial { { U } _ { k } } } { \partial { { x } _ { k } } } \right)
\frac { \partial f _ { i } ^ { \sigma } } { \partial t } + v _ { i \alpha } \cdot \frac { \partial f _ { i } ^ { \sigma } } { \partial r _ { \alpha } } = - \frac { 1 } { \tau ^ { \sigma } } ( f _ { i } ^ { \sigma } - f _ { i } ^ { \sigma , E S } ) ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { R } ^ { \mathrm { d i f f } } [ \pi ] = \! \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \! \left( R ( \sigma _ { n } , \alpha _ { n } ) - \bar { R } [ \pi ] \right) \! } \\ & { \mathrm { ~ w h e r e ~ } \bar { R } [ \pi ] = \! \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 0 } ^ { N } \! \left\langle R ( \sigma _ { n } , \alpha _ { n } ) \right\rangle \! . } \end{array}
( \frac { g _ { 3 } } { g _ { 2 } } ) ^ { 2 } = - \frac { 9 - 3 6 \, \mathrm { s i n } ^ { 2 } \theta _ { W } } { 9 - 2 0 \, \mathrm { s i n } ^ { 2 } \theta _ { W } } ,
\begin{array} { r l } { \mu _ { i } ( \tau ) } & { { } = \langle \phi _ { i } ( \tau ) \rangle = \langle n _ { i } ( \tau ) \rangle } \\ { \tilde { \mu } _ { i } ( \tau ) } & { { } = \langle \tilde { \phi } _ { i } ( \tau ) \rangle = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { T _ { q = 0 } ^ { 1 } ( N ) T _ { q = 0 } ^ { 1 } ( S ) | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \\ & { = \delta _ { F , F ^ { \prime } } \delta _ { M , M ^ { \prime } } \delta _ { F _ { 1 } , F _ { 1 } ^ { \prime } } } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { N ^ { \prime } + F _ { 1 } + G } \left\{ \begin{array} { c c c } { G ^ { \prime } } & { N ^ { \prime } } & { F _ { 1 } } \\ { N } & { G } & { 1 } \end{array} \right\} } \\ & { \times K \times ( - 1 ) ^ { N - K } \left( \begin{array} { c c c } { N } & { 1 } & { N ^ { \prime } } \\ { - K } & { 0 } & { K ^ { \prime } } \end{array} \right) \sqrt { ( 2 N + 1 ) ( 2 N ^ { \prime } + 1 ) } } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { G ^ { \prime } + S + 1 + I } \sqrt { ( 2 G + 1 ) ( 2 G ^ { \prime } + 1 ) } \left\{ \begin{array} { c c c } { S } & { G ^ { \prime } } & { I } \\ { G } & { S } & { 1 } \end{array} \right\} \sqrt { S ( S + 1 ) ( 2 S + 1 ) } } \end{array}
- \frac { \partial P ( \widehat { L } , t , \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) } { \partial t } = - P ( \widehat { L } , t ) \frac { \partial } { \partial t } P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } , t ) - P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } , t ) \frac { \partial } { \partial t } P ( \widehat { L } , t ) \qquad .
\begin{array} { r l } { - \frac { D } { D t } \left( 2 \nu _ { t } S _ { i j } \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \right) } & { = 2 \nu _ { t } S _ { i j } \frac { D } { D t } \left( 2 \nu _ { t } S _ { i j } \right) - 2 \nu _ { t } S _ { i j } \frac { D \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { D t } } \\ & { = - 2 \nu _ { t } S _ { i j } \frac { D \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { D t } - 2 \nu _ { t } S _ { i j } \frac { D \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { D t } } \\ & { = - 4 \nu _ { t } S _ { i j } \frac { D \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { D t } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l } { \bar { \bar { \mathbf { T } } } } & { \bar { \bar { \mathbf { K } } } } \\ { \bar { \bar { \mathbf { C } } } } & { \bar { \bar { \mathbf { D } } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \bar { \mathbf { I } } ^ { J } } \\ { \bar { \mathbf { I } } ^ { M } } \end{array} \right] \approx \bar { \mathbf { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { i } p _ { i } q _ { j } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } p _ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { i } q _ { j } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) } \end{array}
\sigma _ { \Lambda } ( k ^ { 2 } ) = \left( 1 + \frac { ( 1 + \alpha ) m ^ { 2 } M ^ { 2 } + \alpha m ^ { 4 } } { \Lambda ^ { 6 } } k ^ { 2 } \right) e ^ { - \frac { ( k ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ( k ^ { 2 } + \alpha m ^ { 2 } ) ( k ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) } { \Lambda ^ { 6 } } } .
U _ { D T R S } = { \frac { N } { g } } t r \left( D ^ { 2 } S _ { 1 } + { \frac { S _ { 1 } ^ { 3 } } { 1 2 } } - { \frac { c ^ { * } } { 2 } } S _ { 1 } ^ { 2 } + { \frac { ( 3 c ^ { * } - 1 ) ( 1 + c ^ { * } ) } { 4 } } S _ { 1 } \right) .
\frac { d m _ { Q _ { i } } ^ { 2 } } { d t } = \frac { h ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } ( m _ { Q _ { 1 } } ^ { 2 } + m _ { Q _ { 2 } } ^ { 2 } + m _ { Q _ { 3 } } ^ { 2 } + A ^ { 2 } ) - \frac { 2 C _ { i } ^ { a } \alpha _ { a } } { \pi } m _ { \lambda _ { a } } ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l r } { Z _ { q } ( l ) = \sum _ { b } \mu _ { b } ^ { q } ( k _ { b } ) } & { { } \simeq } & { N _ { \mathrm { ~ B ~ } } ( l ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \mu _ { b } ^ { q } ( k _ { b } ) P ( k _ { b } ) \, d k _ { b } } \end{array}
d s _ { \mathrm { D } p } ^ { 2 } = H ^ { ( 1 - q ) / 8 } f _ { \mu \nu } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } + H ^ { ( 9 - q ) / 8 } e ^ { \epsilon \Phi _ { 1 } } \delta _ { i j } d y ^ { i } d y ^ { j } ,
{ \frac { d ^ { 2 } \tilde { \psi } _ { \infty } } { d { \rho ^ { * } } ^ { 2 } } } - \left[ { \frac { 3 } { 4 } } - \mu \right] { \frac { \rho ^ { 2 } } { R ^ { 4 } } } \tilde { \psi } _ { \infty } = 0 .
\begin{array} { r l r } { ( \hat { g } ^ { k } ) ^ { \top } ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \Phi ^ { \top } U \Phi ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \hat { g } ^ { k } } & { \overset { ( i ) } { \leq } } & { \, \, \frac { \lambda _ { 0 } + \eta + \omega } { \lambda _ { 0 } ^ { 2 } } \cdot \| \hat { g } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \, \, \frac { \lambda _ { 0 } + \eta + \omega } { \lambda _ { 0 } ^ { 2 } } \cdot \left( 2 \| g ( \theta ^ { k } ) \| ^ { 2 } + \frac { 6 \sigma _ { k } ^ { 2 } \log ( 1 / \delta _ { 0 } ) } { | \mathcal { D } _ { k } | } \right) } \\ & { \overset { ( i i ) } { \leq } } & { \, \, \frac { \lambda _ { 0 } + \eta + \omega } { \lambda _ { 0 } ^ { 2 } } \cdot \left( 8 \| Q ^ { k } - Q ^ { * } ) \| _ { \mu } ^ { 2 } + \frac { 6 \sigma _ { k } ^ { 2 } \log ( 1 / \delta _ { 0 } ) } { | \mathcal { D } _ { k } | } \right) } \end{array}
{ \cal L } _ { m u - t e r m } = \alpha \int d ^ { 4 } \theta { \frac { 1 } { M _ { P l } } } \left( \Sigma + \Sigma ^ { \dagger } \right) H _ { 1 } H _ { 2 } \Phi ^ { \dagger } \Phi + \mathrm { h . c . }
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \lambda _ { k } ( \alpha _ { k } ) ^ { 2 } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \alpha _ { k } \alpha _ { l } \int _ { \Omega _ { \sigma } } \lambda _ { k } ( \varepsilon \vec { \varphi } _ { k } , \vec { \varphi } _ { l } ) \, \mathrm d x } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \alpha _ { k } \alpha _ { l } \int _ { \Omega _ { \sigma } } ( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \varphi } _ { k } , \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \varphi } _ { l } ) \, \mathrm d x } \\ & { = \int _ { \Omega _ { \sigma } } ( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \phi } , \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \phi } ) \, \mathrm d x . } \end{array}
\hat { \mathbf { b } } _ { \mathbf { p } } = \hat { \mathbf { T } } ^ { - 1 } \left[ \hat { \mathbf { a } } _ { \mathbf { p } } ^ { 0 } - \hat { \mathbf { T } } _ { \mathbf { p } } \hat { \mathbf { b } } \right]
\begin{array} { r l } { a _ { 1 1 } = } & { \frac { \beta _ { 2 } } { 2 } \Omega ^ { 2 } + \frac { \beta _ { 4 } } { 2 4 } \Omega ^ { 4 } + \frac { \beta _ { 6 } } { 7 2 0 } \Omega ^ { 6 } + \alpha P _ { 0 } - \chi P _ { 0 } \Omega ^ { 2 } , } \\ { a _ { 1 2 } = } & { \alpha P _ { 0 } - \chi P _ { 0 } \Omega ^ { 2 } , \; \; a _ { 2 1 } = - \left( \alpha P _ { 0 } - \chi P _ { 0 } \Omega ^ { 2 } \right) , } \\ { a _ { 2 2 } = } & { - \left( \frac { \beta _ { 2 } } { 2 } \Omega ^ { 2 } + \frac { \beta _ { 4 } } { 2 4 } \Omega ^ { 4 } + \frac { \beta _ { 6 } } { 7 2 0 } \Omega ^ { 6 } + \alpha P _ { 0 } - \chi P _ { 0 } \Omega ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E ( k ) } & { { } = } & { C _ { E } \epsilon ^ { 2 / 3 } k ^ { - 5 / 3 } \quad \mathrm { f o r } \quad k _ { \mathrm { ~ I ~ } } < k < k _ { f } } \\ { E ( k ) } & { { } = } & { C _ { \Omega } \beta ^ { 2 / 3 } k ^ { - 3 } \quad \mathrm { f o r } \quad k _ { f } < k < k _ { \eta } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 4 } \mu _ { i 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \mu _ { i 2 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } ( \mathrm { ~ t ~ } _ { 1 } \mu _ { i 1 } + \mathrm { ~ t ~ } _ { 2 } \mu _ { i 2 } ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { \pi } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \Big [ \operatorname* { P r } ( B _ { b } | D _ { a } \land B _ { c } ) + \operatorname* { P r } ( D _ { b } | B _ { a } \land B _ { c } ) \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \Big ( \partial D ( x , r ) \overset { \mathcal { L } _ { D ( x , R _ { 2 } ) } ^ { \theta } } { \longleftrightarrow } \partial D ( x , d ) \Big ) = \mathbb { P } \Big ( \frac { r } { R _ { 2 } } \partial \mathbb { D } \overset { \mathcal { L } _ { \mathbb { D } } ^ { \theta } } { \longleftrightarrow } \frac { d } { R _ { 2 } } \partial \mathbb { D } \Big ) } \end{array}
| z | ^ { 2 } = { \Big ( } \operatorname { R e } ( z ) { \Big ) } ^ { 2 } + { \Big ( } \operatorname { I m } ( z ) { \Big ) } ^ { 2 } = { \Big ( } { \frac { z + z ^ { \ast } } { 2 } } { \Big ) } ^ { 2 } + { \Big ( } { \frac { z - z ^ { \ast } } { 2 i } } { \Big ) } ^ { 2 } .