harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
N _ { L i } = \left( \begin{array} { l } { { \nu } } \\ { { \nu _ { n L } } } \end{array} \right) _ { i } , \qquad N _ { R i } = \left( \begin{array} { l } { { \nu _ { R } } } \\ { { \nu _ { n R } } } \end{array} \right) _ { i } , \qquad n \ge 1 \qquad \mathrm { a n d } \qquad M _ { i } = \left( \begin{array} { l l l l } { { m _ { i } } } & { { \sqrt { 2 } m _ { i } } } & { { \sqrt { 2 } m _ { i } } } & { { \cdots } } \\ { { 0 } } & { { 1 / R } } & { { 0 } } & { { \cdots } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 2 / R } } & { { \cdots } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \ddots } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \tau } f _ { i } } & { { } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { i j } \, f _ { j } - f _ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j i } } \end{array}
\beta ( g _ { \mathrm { Y M } } ) = - 3 \, \frac { N g _ { \mathrm { Y M } } ^ { 3 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { N g _ { \mathrm { Y M } } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { f a r } ( \mathbf { k } ) = - j \omega \mu _ { 0 } \frac { e ^ { - j k _ { 0 } r } } { 4 \pi r } \int _ { v } } & { { } \left( \mathbf { a } _ { \theta } \mathbf { a } _ { \theta } + \mathbf { a } _ { \varphi } \mathbf { a } _ { \varphi } \right) \cdot \mathbf { J } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ a \frac { d } { d a } - a \right] L _ { n } ( a ) } & { { } = \sum _ { j = 0 } ^ { n + 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { j ! } \frac { ( n + 1 ) ! } { j ! ( n + 1 - j ) ! } j a ^ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { | \tau _ { 1 } | , | \tau _ { 2 } | \le 1 } | \mathfrak { c } _ { \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } } | _ { m + m ^ { \prime } , s , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } \le _ { m , m ^ { \prime } , s , \eta } | \mathfrak { a } | _ { m , s + \mu , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s _ { 0 } + \mu , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } + | \mathfrak { a } | _ { m , s _ { 0 } + \mu , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s + \mu , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } . } \end{array}
\small \begin{array} { r l } & { \Pi ( { \mathbf { P } } ) = \frac { \gamma ^ { 2 } ( \widetilde { \eta } ( { \mathbf { P } } ^ { 2 } ) - \delta \widetilde { \zeta } ( { \mathbf { P } } ^ { 2 } ) ) } { \Delta ^ { 2 } } + \frac { 2 \gamma ^ { 3 } \widetilde { \eta } ( { \mathbf { P } } ) ^ { 2 } + 2 \gamma ^ { 3 } \widetilde { \zeta } ( { \mathbf { P } } ) \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) } { \Delta ^ { 3 } } + \frac { ( \zeta + \gamma ^ { 4 } \widetilde { \zeta } ) \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) ^ { 2 } - 4 ( \eta - \gamma ^ { 3 } \widetilde { \eta } ) \gamma \widetilde { \eta } ( { \mathbf { P } } ) \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) } { \Delta ^ { 4 } } } \\ & { + \frac { 2 \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) ^ { 2 } ( \widetilde { \gamma } \eta ^ { 2 } + \gamma ^ { 5 } \widetilde { \eta } ^ { 2 } - 2 \gamma ^ { 2 } \eta \widetilde { \eta } ) } { \Delta ^ { 5 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \iint _ { \Omega \times Y } B \left( \frac { \left\vert \mathcal { T } _ { \varepsilon } \left( w \right) \right\vert } { \left( 1 + \left\vert Y \right\vert \right) k } \right) \left( x , y \right) d x d y \leq \frac { 1 } { \left( 1 + \left\vert Y \right\vert \right) } \iint _ { \Omega \times Y } B \left( \frac { \left\vert \mathcal { T } _ { \varepsilon } \left( w \right) \right\vert } { k } \right) \left( x , y \right) d x d y \leq } \\ { \frac { 1 } { \left\vert Y \right\vert } \iint _ { \Omega \times Y } B \left( \frac { \left\vert \mathcal { T } _ { \varepsilon } \left( w \right) \right\vert } { k } \right) \left( x , y \right) d x d y \leq \int _ { \Omega } B \left( \frac { \left\vert w \right\vert } { k } \right) \left( x \right) d x . } \end{array}
\sum _ { 1 \leq j < k \leq N } \mathbf { F } _ { j k } \cdot \mathbf { r } _ { k } + \sum _ { 1 \leq j < k \leq N } \mathbf { F } _ { k j } \cdot \mathbf { r } _ { j } = \sum _ { 1 \leq j < k \leq N } \left( \mathbf { F } _ { j k } \cdot \mathbf { r } _ { k } + \mathbf { F } _ { k j } \cdot \mathbf { r } _ { j } \right)
\delta _ { B } ( f ^ { ( 0 ) } u ^ { 4 } ) + \delta _ { F } ( f ^ { ( 2 ) } u ^ { 3 } \left[ \psi ^ { 2 } \right] ) + u ^ { i } u ^ { 2 } \epsilon \dot { N } ^ { i ( 0 ) } \psi + \frac { i } { 2 } u ^ { 3 } \psi \dot { M } ^ { ( 0 ) } \epsilon = 0 ~ ,
\begin{array} { r l r l } { { 3 } \beta _ { n m } } & { \ge \alpha _ { n } + \alpha _ { m } - 1 , } & & { \quad \forall ( n , m ) \in E , } \\ { \beta _ { n m } } & { \le \alpha _ { n } , } & & { \quad \forall ( n , m ) \in E , } \\ { \beta _ { n m } } & { \le \alpha _ { m } , } & & { \quad \forall ( n , m ) \in E . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } { \frac { \sin ^ { 2 } x } { \left( a \cos ^ { 2 } x + b \sin ^ { 2 } x \right) ^ { 2 } } } \, d x = { \frac { \pi } { 4 { \sqrt { a b ^ { 3 } } } } } .
\begin{array} { r l r } { { \hat { \sigma } } ^ { e e } } & { { } = } & { { \hat { \sigma } } _ { 1 } ^ { e e } + { \hat { \sigma } } _ { 2 } ^ { e e } } \\ { { \hat { \sigma } } _ { 1 } ^ { e e } } & { { } = } & { \sum _ { { \alpha } , { \alpha ^ { \prime } } = 1 , 2 , 3 } \frac { 1 } { \nu _ { \alpha } \, \nu _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { * } } \, { \hat { V } } ^ { e _ { \alpha } g _ { 1 } } \, { \hat { \sigma } } ^ { ( 1 ) } \, \left( { \hat { V } } ^ { e _ { \alpha ^ { \prime } } g _ { 1 } } \right) ^ { \dagger } } \\ { { \hat { \sigma } } _ { 2 } ^ { e e } } & { { } = } & { \sum _ { { \alpha } , { \alpha ^ { \prime } } = 4 , 5 } \frac { 1 } { \nu _ { \alpha } \, \nu _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { * } } \, { \hat { V } } ^ { e _ { \alpha } g _ { 2 } } \, { \hat { \sigma } } ^ { ( 2 ) } \left( { \hat { V } } ^ { e _ { \alpha ^ { \prime } } g _ { 2 } } \right) ^ { \dagger } \, . } \end{array}
M \simeq \frac { 3 \zeta _ { R } ( 3 ) T } { 3 2 \pi ^ { 3 } \alpha \varepsilon } - \frac { \pi ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } } { 2 4 \alpha ^ { 2 } } \frac { T ^ { 2 } } { \hbar c } , \quad T \to \infty \, { . }
\begin{array} { r l } { | \! | \! | S ^ { \delta } z | \! | \! | _ { X } } & { \leq \frac { 1 } { \gamma ^ { \delta } \sqrt { m ^ { \delta } } } \operatorname* { s u p } _ { 0 \neq y \in Y ^ { \delta } } \frac { | ( G S ^ { \delta } z ) ( y ) | } { \| y \| _ { Y ^ { \delta } } } \leq \frac { 1 } { \gamma ^ { \delta } \sqrt { m ^ { \delta } } } \operatorname* { s u p } _ { 0 \neq y \in Y ^ { \delta } } \frac { | ( G z ) ( y ) | } { \| y \| _ { Y ^ { \delta } } } } \\ & { \leq \frac { \sqrt { M ^ { \delta } } } { \gamma ^ { \delta } \sqrt { m ^ { \delta } } } \operatorname* { s u p } _ { 0 \neq y \in Y ^ { \delta } } \frac { | ( G z ) ( y ) | } { \| y \| _ { Y } } \leq \frac { \sqrt { M ^ { \delta } } } { \gamma ^ { \delta } \sqrt { m ^ { \delta } } } | \! | \! | z | \! | \! | _ { X } , } \end{array}
\hat { \bf e } _ { 3 } ( \mathbf { k } ) = \hat { \bf k } ; ~ ~ ~ \hat { \bf e } _ { 1 } ( \mathbf { k } ) = ( \hat { \bf k } \times \hat { \bf n } ) / \lvert \hat { \bf k } \times \hat { \bf n } \rvert ; ~ ~ ~ \hat { \bf e } _ { 2 } ( \mathbf { k } ) = \hat { \bf k } \times \hat { \bf e } _ { 1 } ( \mathbf { k } )
\begin{array} { r l } { ( - 1 ) ^ { k } \omega A _ { 0 } \varDelta s _ { k } = } & { { } n _ { \mathrm { j i t t e r } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) + n _ { \mathrm { P I } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \ddot { u } _ { q } + \omega _ { q } ^ { 2 } u _ { q } = - \sum _ { n } \omega _ { q } g _ { n } ^ { - q } S _ { n } ^ { x } , } \\ { \omega _ { q } = \omega _ { 0 } - \frac { 2 J } { \hbar } \cos q b . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { S } _ { m k } ( t ) } & { { } = - \mathbb { E } \left[ \left\langle \partial _ { x } f ( X _ { \ell } ^ { 1 } S _ { \ell i } W _ { i } ^ { 1 } ) ) X _ { k } ^ { 1 } ( t , \cdot ) \right\rangle W _ { m } ^ { 1 } \right] } \\ { S _ { m k } ( t _ { 0 } ) } & { { } = M _ { m \ell } S _ { \ell j } ^ { 0 } N _ { k j } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } K _ { j } ^ { - } ( t ) d t = \widetilde { K } _ { j } ^ { - } ( 0 ) = \frac { 2 \kappa _ { j } } { 2 + \kappa _ { j } ^ { - 1 } \kappa _ { j - 1 } / [ 1 + 2 \kappa _ { j - 1 } L _ { j } / D _ { j } ) } , } \\ { \int _ { 0 } ^ { \infty } K _ { j } ^ { + } ( t ) d t = \widetilde { K } _ { j } ^ { + } ( 0 ) = \frac { 2 \kappa _ { j } } { 2 + \kappa _ { j } ^ { - 1 } \kappa _ { j + 1 } / [ 1 + 2 \kappa _ { j + 1 } L _ { j } / D _ { j + 1 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { \mathrm { s } } ^ { \mathrm { ( H E ) } } = \sum _ { l \neq 0 } \frac { 4 v _ { 0 } ^ { 2 } } { l \Omega } | \mathcal { B } _ { \bf e } ^ { ( l ) } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { S ( { \bf k } + { \cal K } ) \ge c o n s t \: ( { \cal K } \cdot { \bf e } _ { t } ) ^ { 2 } | \rho ( { \cal K } ) | ^ { 2 } \frac { 1 } { k ^ { 3 / 2 } } ~ ~ . } \end{array}
{ S _ { 2 4 } ^ { q } = S _ { 2 4 } ^ { s h } = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } R T \bigg ( e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \bigg ) } .
h \sim \Big [ 3 \Big ( \frac { 3 \alpha + 1 } { 3 n + 5 } \Big ) \Big ] ^ { \frac { 1 } { 3 } } \eta _ { f } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \beta ^ { - \frac { n + 1 } { 3 n + 5 } } B ^ { \frac { 2 } { 3 n + 5 } } ( 1 - y ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } t ^ { \frac { 2 \alpha - n - 1 } { 3 n + 5 } } ,
{ \mathcal { F } } _ { \mu \nu } \equiv \left\{ { \mathcal { A } } _ { \mu } , { \mathcal { A } } _ { \nu } \right\} _ { \mathrm { M B } } = \omega ^ { a b } \partial _ { a } { \mathcal { A } } _ { \mu } \circ \partial _ { b } { \mathcal { A } } _ { \nu } .
g ( \Delta x _ { 0 } , \Delta p _ { 0 } ) : = 4 \frac { \Delta x _ { 0 } \Delta p _ { 0 } } { \hbar } \frac { 2 \Delta x _ { 0 } \Delta p _ { 0 } + \sqrt { 4 ( \Delta x _ { 0 } \Delta p _ { 0 } ) ^ { 2 } + { \hbar } ^ { 2 } } - \hbar } { 2 \Delta x _ { 0 } \Delta p _ { 0 } + \sqrt { 4 ( \Delta x _ { 0 } \Delta p _ { 0 } ) ^ { 2 } + { \hbar } ^ { 2 } } + \hbar }
F ^ { 0 } ( N , g _ { j } ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { j _ { 1 } \cdots j _ { n } } \delta g _ { j _ { 1 } } \cdots \delta g _ { j _ { n } } + \sum _ { i } \left( V _ { i j } \delta g _ { j } \right) ^ { 2 - \gamma _ { 0 } ^ { ( i ) } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } b _ { ( i ) j _ { 1 } \cdots j _ { n } } \delta g _ { j _ { 1 } } \cdots \delta g _ { j _ { n } } ,
{ \cal L } _ { \mathrm { \tiny ~ B X } } ^ { ( 1 ) } = T _ { 1 } \epsilon _ { \alpha \beta \gamma } \epsilon _ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } \gamma ^ { \prime } } \bar { u } _ { R \alpha } ^ { c } d _ { R \beta } \bar { d } _ { L \gamma } ^ { c } d _ { L \gamma ^ { \prime } } \bar { u } _ { R \alpha ^ { \prime } } ^ { c } d _ { R \beta ^ { \prime } } \quad .
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \left\langle \left( A _ { t } \cdot x + p _ { t } \right) g ( x ) \right\rangle , } \\ { 0 } & { { } = \left\langle x g ( x ) \right\rangle , } \\ { 0 } & { { } = \left\langle x \otimes x ^ { T } g ( x ) \right\rangle , } \\ { 0 } & { { } = \left\langle g ( x ) \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { L } \left[ ( t + g ) \hat { c } _ { j + 1 , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \uparrow } + ( t - g ) \hat { c } _ { j , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 , \uparrow } + w _ { j } \hat { c } _ { j , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \uparrow } \right] } \end{array}
\langle 0 \vert J _ { 5 \mu } ^ { a } ( 0 ) \vert \pi ^ { b } ( q ) \rangle _ { T , \mu } = i \delta ^ { a b } \left[ V _ { \mu } ( V \cdot q ) f _ { \pi L } + ( g _ { \mu \nu } - V _ { \mu } V _ { \nu } ) q ^ { \nu } f _ { \pi T } \right] \ ,
\begin{array} { r l } { [ X , \overset { \mathtt { v } } { \Delta } ] u } & { = - X \overset { \mathtt { v } } { \operatorname { d i v } } \overset { \mathtt { v } } { \nabla } u + \overset { \mathtt { v } } { \operatorname { d i v } } \overset { \mathtt { v } } { \nabla } X u } \\ & { = \overset { \mathtt { h } } { \operatorname { d i v } } \overset { \mathtt { v } } { \nabla } u - \overset { \mathtt { v } } { \operatorname { d i v } } X \overset { \mathtt { v } } { \nabla } u + \overset { \mathtt { v } } { \operatorname { d i v } } X \overset { \mathtt { v } } { \nabla } u + \overset { \mathtt { v } } { \operatorname { d i v } } \overset { \mathtt { h } } { \nabla } u } \\ & { = 2 \overset { \mathtt { v } } { \operatorname { d i v } } \overset { \mathtt { h } } { \nabla } u + ( n - 1 ) X u , } \end{array}
A _ { c o e f } = - \frac { \log _ { 1 0 } ( \sqrt { 4 T ^ { 2 } + ( 1 - 2 R _ { t } + R _ { t } ^ { 2 } - T ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - 1 + 2 R _ { t } - R _ { t } ^ { 2 } + T ^ { 2 } ) } { 2 d T }
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } _ { l m } ^ { \mathrm { ~ F ~ } } } & { { } = \frac { f _ { \mathrm { ~ F ~ } } } { c } \sum _ { L } \mathcal { T } _ { L l m } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } \mathcal { E } _ { L m } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } \\ { \mathcal { E } _ { l m } ^ { \mathrm { ~ F ~ } } } & { { } = f _ { \mathrm { ~ F ~ } } c \sum _ { L } \mathcal { T } _ { L l m } ^ { \mathrm { ~ E ~ } } \mathcal { B } _ { L m } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } \end{array}
\left( \frac { \sqrt { \lvert \hat { \mu } ^ { - 1 } \rvert } } { \sqrt { \lvert \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } \rvert } } ( \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } ) _ { l q } \hat { \mu } ^ { q a } \xi _ { a } \hat { \mu } ^ { k d } \xi _ { d } + \delta _ { l } ^ { k } \lvert \xi \rvert _ { \hat { \varepsilon } } ^ { 2 } - \xi _ { l } \xi _ { d } \hat { \varepsilon } ^ { d k } \right) H _ { k } = 0 ,
\begin{array} { r l } & { d _ { 0 } = e ^ { - \gamma } ( \cosh \gamma \cos k \cos \frac { \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } } { 2 } + i \sinh \gamma \sin k \cos \frac { \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } } { 2 } ) , } \\ & { d _ { 1 } = e ^ { - \gamma } ( \cosh \gamma \sin k \sin \frac { \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } } { 2 } + i \sinh \gamma \cos k \sin \frac { \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } } { 2 } ) , } \\ & { d _ { 2 } = e ^ { - \gamma } ( \cosh \gamma \cos k \sin \frac { \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } } { 2 } - i \sinh \gamma \sin k \sin \frac { \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } } { 2 } ) , } \\ & { d _ { 3 } = e ^ { - \gamma } ( - \cosh \gamma \sin k \cos \frac { \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } } { 2 } + i \sinh \gamma \cos k \cos \frac { \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } } { 2 } ) . } \end{array}
\mathcal { T } _ { \varepsilon } \left( \phi \right) \left( x , y \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \phi \left( \varepsilon \left[ \frac { x } { \varepsilon } \right] _ { Y } + \varepsilon y \right) } & { a . e f o r \left( x , y \right) \in \widehat { \Omega } _ { \varepsilon } \times Y } \\ { 0 } & { a . e f o r \left( x , y \right) \in \Lambda _ { \varepsilon } \times Y . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { H _ { \tilde { A } } } & { = T _ { 0 } + A T _ { q = 0 } ^ { 1 } ( L ) T _ { q = 0 } ^ { 1 } ( S ) + B ( J - L - S ) ^ { 2 } - D ( J - L - S ) ^ { 4 } } \\ & { + ( p _ { e } + 2 q _ { e } ) \sum _ { q = \pm 1 } e ^ { - 2 i q \theta } T _ { 2 q } ^ { 2 } ( J , S ) + \frac { 1 } { 2 } ( p _ { e D } + 2 q _ { e D } ) \sum _ { q = \pm 1 } [ N , e ^ { - 2 i q \theta } T _ { 2 q } ^ { 2 } ( J , S ) ] _ { + } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( z _ { 2 } + \partial _ { z _ { 2 } } ) ^ { 2 i } f } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } z _ { 1 } ^ { k - 1 } ( f _ { 1 , k } z _ { 1 } + f _ { 2 , k } z _ { 2 } ) , } \\ { ( z _ { 2 } + \partial _ { z _ { 2 } } ) ^ { 2 i - 1 } f } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } z _ { 1 } ^ { k } f _ { 2 , k + 1 } + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } z _ { 1 } ^ { k - 1 } z _ { 2 } f _ { 1 , k - 1 } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } z _ { 1 } ^ { k - 1 } ( f _ { 2 , k + 1 } z _ { 1 } + f _ { 1 , k - 1 } z _ { 2 } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { K } _ { X , Y } ( h _ { 1 } , h _ { 2 } ) = \operatorname { c o v } ( \mathbf { X } , \mathbf { Y } ) ( h _ { 1 } , h _ { 2 } ) } & { = \operatorname { E } \left[ \langle h _ { 1 } , ( \mathbf { X } - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] ) \rangle _ { 1 } \langle ( \mathbf { Y } - \operatorname { E } [ \mathbf { Y } ] ) , h _ { 2 } \rangle _ { 2 } \right] } \\ & { = \operatorname { E } [ \langle h _ { 1 } , \mathbf { X } \rangle _ { 1 } \langle \mathbf { Y } , h _ { 2 } \rangle _ { 2 } ] - \operatorname { E } [ \langle h , \mathbf { X } \rangle _ { 1 } ] \operatorname { E } [ \langle \mathbf { Y } , h _ { 2 } \rangle _ { 2 } ] } \\ & { = \langle h _ { 1 } , \operatorname { E } \left[ ( \mathbf { X } - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] ) ( \mathbf { Y } - \operatorname { E } [ \mathbf { Y } ] ) ^ { \dagger } \right] h _ { 2 } \rangle _ { 1 } } \\ & { = \langle h _ { 1 } , \left( \operatorname { E } [ \mathbf { X } \mathbf { Y } ^ { \dagger } ] - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] \operatorname { E } [ \mathbf { Y } ] ^ { \dagger } \right) h _ { 2 } \rangle _ { 1 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { a } & { { } = \frac { 1 + \gamma ( c _ { 1 } - T _ { S T C } ) } { R S D S _ { S T C } } , } \\ { b } & { { } = \frac { \gamma c _ { 3 } } { R S D S _ { S T C } } , } \\ { c } & { { } = \frac { \gamma c _ { 2 } } { R S D S _ { S T C } } , } \\ { d } & { { } = \frac { \gamma c _ { 4 } } { R S D S _ { S T C } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \biggl | \mathbb { P } ( \sigma _ { i } \sigma _ { j } \ne \sigma _ { i } ^ { \prime } \sigma _ { j } ^ { \prime } ) - \frac { 1 } { 2 } \biggr | } & { = \frac { 1 } { 2 } | 2 \mathbb { P } ( \sigma _ { i } \sigma _ { j } \ne \sigma _ { i } ^ { \prime } \sigma _ { j } ^ { \prime } ) - 1 | } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } | \mathbb { P } ( \sigma _ { i } \sigma _ { j } \sigma _ { i } ^ { \prime } \sigma _ { j } ^ { \prime } = 1 ) - \mathbb { P } ( \sigma _ { i } \sigma _ { j } \sigma _ { i } ^ { \prime } \sigma _ { j } ^ { \prime } = - 1 ) | } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } | \mathbb { E } ( \sigma _ { i } \sigma _ { j } \sigma _ { i } ^ { \prime } \sigma _ { j } ^ { \prime } ) | . } \end{array}
H _ { 3 } = - \frac { 2 } { n } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \big ( \xi _ { j - 1 } g ( \xi _ { j } ) - \xi _ { j } g ( \xi _ { j + 1 } ) \big ) \overline { { \xi } } _ { j } h _ { j , j } + \frac { 2 } { n } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \big ( \xi _ { j } g ( \xi _ { j + 1 } ) - \xi _ { j + 1 } g ( \xi _ { j } ) \big ) \overline { { \xi } } _ { j + 1 } h _ { j , j + 1 } .
{ \cal L } = \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \mu } \phi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( \mu ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 4 ! } 2 M ^ { 2 } ) \phi ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 4 ! } M ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \delta ^ { n } } { n ! } \left[ \ln ( M ^ { - 2 } \phi ^ { 2 } ) \right] ^ { n } \: .
{ \frac { 1 } { \pi r _ { B } ^ { 2 } L _ { B } } } { \frac { 1 } { n ! } } \left( { \frac { r } { r _ { B } } } \right) ^ { 2 { \mathit { l } } } \exp \left( - { \frac { r ^ { 2 } } { r _ { B } ^ { 2 } } } \right) .
\begin{array} { r l } { ( 1 , 2 , 3 ) } & { { } = ( 1 , ( 2 , ( 3 , \emptyset ) ) ) } \\ { ( 1 , 2 , 3 , 4 ) } & { { } = ( 1 , ( 2 , ( 3 , ( 4 , \emptyset ) ) ) ) } \end{array}
S ( t , \tilde { \nu } ) \approx S _ { 0 } ^ { \mathrm { a i r } } + 2 \sum _ { n = 1 } ^ { 4 } \left[ \cos \left( { n \Omega t } \right) - \cos \left( { n \Omega t _ { \mathrm { m a x } } } \right) \right] S _ { n } ( \tilde { \nu } ) .
A _ { \mu } = \frac { 1 } { 2 } \begin{array} { c c c } { { - 2 A _ { \mu } ^ { 8 } / \sqrt { 3 } } } & { { \sqrt { 2 } W _ { \mu } } } & { { \sqrt { 2 } V _ { \mu } } } \\ { { \sqrt { 2 } W _ { \mu } ^ { * } } } & { { A _ { \mu } ^ { 3 } + A _ { \mu } ^ { 8 } / \sqrt { 3 } } } & { { \sqrt { 2 } U _ { \mu } } } \\ { { \sqrt { 2 } V _ { \mu } ^ { * } } } & { { \sqrt { 2 } U _ { \mu } ^ { * } } } & { { - A _ { \mu } ^ { 3 } + A _ { \mu } ^ { 8 } / \sqrt { 3 } } } \end{array}
( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 7 , 1 8 , 1 9 , 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 )
{ \frac { \mathrm { d } f ( \mathbf { A } ) } { \mathrm { d } t } } = \sum _ { i } g _ { i } ( \mathbf { A } ) { \frac { \mathrm { d } \mathbf { A } } { \mathrm { d } t } } h _ { i } ( \mathbf { A } ) ,
{ \frac { 1 } { \tau _ { C } } } = { \frac { 1 } { \tau _ { U } } } + { \frac { 1 } { \tau _ { M } } } + { \frac { 1 } { \tau _ { B } } } + { \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { p h - e } } } }
\left[ { \begin{array} { r r r r } { 2 } & { 1 } & { - 1 } & { 8 } \\ { 0 } & { { \frac { 1 } { 2 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } } } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} } \right]
{ \frac { 1 } { R ^ { 2 } } } \left( \zeta _ { , j } ^ { , i } - { \frac { 1 } { 3 } } \Delta \zeta \delta _ { j } ^ { i } \right) = { \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 } } \delta \pi _ { j } ^ { i } .
a _ { n } ( \mathbf { r - R } ) = { \frac { V _ { C } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \int _ { \mathrm { B Z } } d \mathbf { k } e ^ { - i \mathbf { k } \cdot ( \mathbf { R - r } ) } u _ { n \mathbf { k } }
\mathbb { E } _ { X _ { t } = x } [ \tau _ { t } ] = t + \frac { x } { \rho - \lambda \mathbb { E } [ Y _ { 1 } ] } - \frac { \lambda \mathbb { E } [ Y _ { 1 } ] } { \rho - \lambda \mathbb { E } [ Y _ { 1 } ] } \int _ { t } ^ { \infty } \bar { L } ( s ) d s + \frac { \lambda \mathbb { E } [ Y _ { 1 } ] } { \rho - \lambda \mathbb { E } [ Y _ { 1 } ] } \mathbb { E } _ { X _ { t } = x } \left[ \int _ { \tau _ { t } } ^ { \infty } \bar { L } ( s ) d s \right] .
D _ { x , y , E } \leq \operatorname* { s u p } _ { P ( r _ { \alpha } ) \in \mathcal { P } _ { E } } 2 \int _ { r _ { \alpha } } f ( x , y , r _ { \alpha } ) P ( r _ { \alpha } ) d r _ { \alpha } , \quad \mathcal { P } _ { E } = \left\{ P ( r _ { \alpha } ) | \int _ { r _ { \alpha } } r _ { \alpha } ^ { 2 } P ( r _ { \alpha } ) d r _ { \alpha } \leq E \right\} .
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \frac { m _ { k } - n _ { k } } { l _ { k } } = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \frac { \frac { m _ { k } - n _ { k } } { m _ { k } } \cdot \frac { m _ { k } } { n _ { k } } } { \frac { m _ { k } } { n _ { k } } - \frac { m _ { k - 1 } - n _ { k - 1 } } { n _ { k } } \cdot \frac { m _ { k - 1 } } { m _ { k - 1 } - n _ { k - 1 } } } = \xi , } \end{array}
\frac { \partial U _ { \mathrm { s u r f } } } { \partial L _ { \mathrm { n e c k } } } \propto \frac { \partial U _ { \mathrm { s u r f } } } { \partial n _ { \mathrm { n e c k } } } \propto \left\{ \begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { R _ { \mathrm { n e c k } } } - \frac { 1 } { R } } & { { } , } & { \mathrm { C y l i n d e r } } \\ { \frac { 1 } { R _ { \mathrm { n e c k } } } - \frac { 1 } { R } } & { { } , } & { \mathrm { S p h e r e } } \\ { \frac { 1 } { R _ { \mathrm { n e c k } } } - \frac { 1 } { \delta } } & { { } , } & { \mathrm { V e s i c l e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \rho _ { P } ( \beta ) } & { { } = } & { \frac { 2 } { 3 } \, \delta \left( \frac { \beta } { \sqrt { \langle \beta ^ { n } \beta ^ { n } \rangle } } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \right) } \end{array}
\mathbb { P } \left( \left| \frac { 1 } { N } \| [ \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } } ^ { \perp } ] ^ { T } \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } - \rho _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } \right| \geq \epsilon \right) \leq \mathbb { P } \left( \left| \frac { 1 } { N } \| \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } - \mathbb { E } \{ [ V _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { 2 } \} \right| \geq \frac { \epsilon } { 2 } \right) + \mathbb { P } \left( \frac { ( [ \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { p } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } ) ^ { 2 } } { \| \mathbf { p } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } } \geq \frac { \epsilon } { 2 } \right) .
\nabla _ { a } \mu = \nabla _ { a } \left( \frac { \rho + p } { n } \right) - T _ { 0 } \nabla _ { a } \left( \frac { s } { n } \right) = \nabla _ { a } \left( \frac { \rho + p } { n } \right) - T _ { 0 } \left[ \frac { \nabla _ { a } \rho } { n T _ { 0 } } - \frac { p + \rho } { n ^ { 2 } T _ { 0 } } \nabla _ { a } n \right] = \frac { \nabla _ { a } p } { n } ~ ,