harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { J _ { + , j } ( t , 0 ) } & { = \alpha _ { + , j } ( \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ( t ) ) \, g _ { + , j } ( \boldsymbol { f } _ { j } ( t , 0 ) ) , } \\ { - J _ { - , j } ( t , 0 ) } & { = \beta _ { - , j } ( \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ( t ) ) \, f _ { - , j } ( t , 0 ) , } \\ { J _ { + , j } ( t , L _ { j } ( t ) ) } & { = \beta _ { + , j } ( \Lambda _ { j } ( t ) ) \, f _ { + , j } ( t , L _ { j } ( t ) ) , } \\ { - J _ { - , j } ( t , L _ { j } ( t ) ) } & { = \alpha _ { - , j } ( \Lambda _ { j } ( t ) ) \, g _ { - , j } ( \boldsymbol { f } _ { + , j } ( t , L ( t ) ) ) , } \end{array} \quad j = 1 , 2 ,
\begin{array} { r l r } { { \cal H } _ { M } } & { { } = } & { - t _ { h } \sum _ { i , \sigma } ( c _ { i , \sigma } ^ { \dagger } c _ { i + 1 , \sigma } + h . c . ) + U \sum _ { i , \sigma } n _ { i , \sigma } n _ { i , - \sigma } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { d } ^ { \star } } & { { } \geq \operatorname* { m a x } ( A x ^ { \star } - p , 0 ) = ( A x ^ { \star } - p ) _ { + } , } \\ { \underline { d } ^ { \star } } & { { } \geq \operatorname* { m a x } ( - ( A x ^ { \star } - p ) , 0 ) = - \operatorname* { m i n } ( A x ^ { \star } - p , 0 ) = ( A x ^ { \star } - p , 0 ) _ { - } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rVert \left( \Phi _ { 1 } ^ { - 1 } - I \right) h \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , 1 ] } \rVert \Phi _ { \tau } ^ { - 1 } \partial _ { x } b ( \tau ) \Phi _ { \tau } ^ { - 1 } h \rVert ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) _ { s } } . } \end{array}
\langle s \rangle = \left[ \sqrt { ( - m ^ { 2 } ) } { \cal M } ^ { K } \right] ^ { \frac { 1 } { K + 1 } } = \mu _ { K } \sim ( m _ { s o f t } { \cal M } ^ { K } ) ^ { \frac { 1 } { K + 1 } } ,
\boldsymbol { \phi } \left( h _ { i \, N _ { i j } } ^ { n } \, , h _ { j \, N _ { i j } } ^ { n } \, , \overline { { \mathbf { q } } } _ { i \, N _ { i j } } \, , \overline { { \mathbf { q } } } _ { j \, N _ { i j } } \, , { \mathbf { n } } _ { i j } \right) = \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \left( { \cal Z } ( h _ { i \, N _ { i j } } ^ { n } \, , \overline { { \mathbf { q } } } _ { i \, N _ { i j } } \, , \mathbf { n } _ { i j } ) + { \cal Z } ( h _ { j \, N _ { i j } } ^ { n } \, , \overline { { \mathbf { q } } } _ { j \, N _ { i j } } \, , \mathbf { n } _ { i j } ) \right) - \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { R S , \, i j } ^ { n } \left( \overline { { \mathbf { q } } } _ { j \, N _ { i j } } - \overline { { \mathbf { q } } } _ { i \, N _ { i j } } \right) .
\begin{array} { r l } { \lVert v _ { n } - v _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { s } } ^ { * } \rVert _ { \infty } = } & { \gamma ^ { n } [ \frac { 2 \epsilon _ { 1 } } { 1 - \gamma } + \lVert v _ { 0 } - v _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { s } } ^ { * } \rVert _ { \infty } ] + \frac { 2 \epsilon _ { 1 } } { 1 - \gamma } } \\ { \leq } & { \gamma ^ { n } [ \frac { \epsilon } { 3 } + \lVert v _ { 0 } - v _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { s } } ^ { * } \rVert _ { \infty } ] + \frac { \epsilon } { 3 } } \\ { \leq } & { \gamma ^ { n } \frac { \epsilon } { 3 } + \frac { \epsilon } { 3 } + \frac { \epsilon } { 3 } \leq \epsilon . } \end{array}
\begin{array} { r } { - ( \varepsilon \partial _ { t } \vec { w } , \partial _ { t } \vec { \eta } ) _ { L ^ { 2 } ( Q _ { ( 0 , b ) } ) } + ( \sigma \partial _ { t } \vec { w } , \vec { \eta } ) _ { L ^ { 2 } ( Q _ { ( 0 , b ) } ) } + ( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { w } , \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \eta } ) _ { L ^ { 2 } ( Q _ { ( 0 , b ) } ) } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle D G , u \rangle _ { { \mathbb H } } } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \partial _ { m } F ( { x _ { 0 } ^ { 1 } } + W _ { t } ^ { * 1 } , x _ { 0 } + W _ { t } ) { \mathbf 1 } _ { \{ W _ { s } ^ { 1 * } < W _ { t } ^ { 1 * } \} } B ^ { 1 } ( x _ { 0 } + W _ { s } ) { Z _ { s } } d s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } { \partial _ { k } } F ( { x _ { 0 } ^ { 1 } } + W _ { t } ^ { * 1 } , x _ { 0 } + W _ { t } ) B ^ { k } ( x _ { 0 } + W _ { s } ) { Z _ { s } } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | l , \zeta | C _ { 4 } ^ { \mathrm { A } } \lesssim } & { { } e ^ { c \lambda | k - l , \eta - \xi | ^ { s } } e ^ { c \lambda | \xi - \zeta | ^ { s } } e ^ { 2 0 \mu | k - l , \eta - \xi | ^ { \frac 1 2 } } e ^ { 2 0 \mu | \zeta - \xi | ^ { \frac 1 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { V \approx } & { { } V _ { 0 } + \frac { 3 } { 2 } k \left( 1 - \frac { l _ { 0 } } { l _ { e q } } \right) x ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } k \left( 1 - \frac { l _ { 0 } } { l _ { e q } } \right) y ^ { 2 } } \end{array}
\hbar ^ { 2 } \hat { \ell } ^ { 2 } : = - \hbar ^ { 2 } \left[ ( \sin \theta ) ^ { - 1 } \partial _ { \theta } \sin \theta \partial _ { \theta } + ( \sin \theta ) ^ { - 2 } \partial _ { \varphi } ^ { 2 } \right] \; ,
\begin{array} { r l } { \left( g _ { 1 } , \dots , g _ { j } , g _ { j + 1 } , \dots , g _ { k } \right) } & { \sim \left( g _ { 1 } , \dots , g _ { j } g _ { j + 1 } g _ { j } ^ { - 1 } , g _ { j } , \dots , g _ { k } \right) } \\ { \left( g _ { 1 } , \dots , g _ { j } , g _ { j + 1 } , \dots , g _ { k } \right) } & { \sim \left( g _ { 1 } , \dots , g _ { j + 1 } , g _ { j + 1 } ^ { - 1 } g _ { j } g _ { j + 1 } , \dots , g _ { k } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { E } [ | L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) - \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } | ] } \\ & { \leq } & { C _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 } \exp ( - c _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \slash 2 ) + C _ { L } ^ { \prime } + C L ^ { 1 \slash 2 } e ^ { - L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } } \\ & { } & { + \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \operatorname* { m a x } \{ e ^ { 4 L ^ { - 1 } } ( 1 + L ^ { - 1 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 } \slash 2 , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) - 1 , } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad 1 - e ^ { - 6 L ^ { - 1 } } ( 1 - 2 L ^ { - 1 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 } \slash 2 , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) \} . } \end{array}
f ( \alpha , \beta ) = 2 \int _ { 0 } ^ { ( 1 - \sqrt { \beta } ) ^ { 2 } } { \frac { d x [ ( 1 - \beta ) ^ { 2 } + ( 1 - \beta ) x - 2 x ^ { 2 } ] ( 1 + \beta ^ { 2 } + x ^ { 2 } - 2 ( \beta + \beta x + x ) ) ^ { 1 / 2 } } { [ ( 1 - x \alpha ) ^ { 2 } + \Gamma _ { W } ^ { 4 } / M _ { W } ^ { 4 } ] ^ { 2 } ] } }
\begin{array} { r l r } { \hat { H } ^ { ( 0 ) } } & { { } = } & { V _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \omega _ { i } \left( \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \right) } \end{array}
\bar { M } _ { Z } ^ { 2 } = m _ { 1 } ^ { 2 } \left( 1 + \left( \frac { \Gamma _ { 1 } } { m _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } \quad \mathrm { a n d } \quad \bar { \Gamma } _ { Z } ^ { 2 } = \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } \left( 1 + \left( \frac { \Gamma _ { 1 } } { m _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } ,
Q _ { 1 2 } = Q _ { 2 1 } = \frac { a _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } k ^ { 2 } \sin 2 \theta \left( c _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } k ^ { 2 } - 2 \omega ^ { 2 } \right) - 2 c _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } k _ { x } k _ { z } \left( \left( a _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } + 4 c _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } \right) k ^ { 2 } - 6 \omega ^ { 2 } \right) } { 4 ( \chi + 1 ) \omega ^ { 2 } } .
\| \nabla _ { y } \mathcal { U } _ { \delta _ { n } } u _ { n } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; L ^ { 2 } ( Q ; \mathbb { R } ^ { N \times M } ) ) } ^ { 2 } = \delta _ { n } ^ { 2 } \| \mathcal { U } _ { \delta _ { n } } ( \nabla u _ { n } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; L ^ { 2 } ( Q ; \mathbb { R } ^ { N \times M } ) ) } ^ { 2 } \leq \delta _ { n } ^ { 2 } \| \nabla u _ { n } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { N \times M } ) } ^ { 2 } .
\begin{array} { l c l c l } { ( ) } & { } & { } & { = } & { \emptyset } \\ { ( 1 ) } & { = } & { ( ) \rightarrow 1 } & { = } & { \{ \{ ( ) \} , \{ ( ) , 1 \} \} } \\ { ( 1 , 2 ) } & { = } & { ( 1 ) \rightarrow 2 } & { = } & { \{ \{ ( 1 ) \} , \{ ( 1 ) , 2 \} \} } \\ { ( 1 , 2 , 3 ) } & { = } & { ( 1 , 2 ) \rightarrow 3 } & { = } & { \{ \{ ( 1 , 2 ) \} , \{ ( 1 , 2 ) , 3 \} \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { f [ V _ { k - 1 } ^ { \prime } ( x ) \to V _ { k - 1 } ( y ) ] } & { = \log \int _ { \mathcal { Q } [ V _ { k } ^ { \prime } ( x ) \to V _ { k } ( y ) ] } \exp ( f ( \pi ) ) \, d \pi } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { k + 1 } f _ { i } ( y ) - f _ { i } ( x ) + \log \int _ { \mathcal { Q } [ ( x , 1 ) \searrow ( y , k + 1 ) ] } \exp ( - f ( \rho ) ) \, d \rho } \\ & { = f [ V _ { k + 1 } ( x ) \to V _ { k + 1 } ( y ) ] - f [ ( x , 1 ) \searrow ( y , k + 1 ) ] . } \end{array}
\hat { S } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - \hat { g } } e ^ { - 2 \phi } \left\{ \hat { R } + \hat { \kappa } ( \nabla \phi ) ^ { 2 } - \frac 1 { 1 2 } \hat { H } _ { [ 3 ] } ^ { 2 } - \hat { U } ( \phi ) \right\} ,
\begin{array} { r l } & { \quad _ { j , i + 1 , 7 } + _ { i , j , 1 1 } } \\ & { = \hbar ^ { 2 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = j + 1 } ^ { n } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i + 1 , j } e _ { v , j } t ^ { - w } \otimes e _ { i + 1 , u } t ^ { - s - 1 } e _ { u , v } t ^ { s + w + 1 } } \\ & { \quad - \hbar ^ { 2 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i + 1 , j } e _ { v , j } t ^ { - w } \otimes e _ { i + 1 , u } t ^ { - s - 1 } e _ { u , v } t ^ { s + w + 1 } } \\ & { = - \hbar ^ { 2 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i + 1 , j } e _ { v , j } t ^ { - w } \otimes e _ { i + 1 , i + 1 } t ^ { - s - 1 } e _ { i + 1 , v } t ^ { s + w + 1 } . } \end{array}
( S f ) ( y , x _ { 0 } , \dots , x _ { d - 1 } ) = \int \frac { \prod _ { i = 0 } ^ { d - 1 } d p _ { i } } { ( 2 \pi y ) ^ { d / 2 } } \, f ( y , p _ { 0 } , \dots , p _ { d } ) \, e ^ { \frac { i } { y } \sum _ { i = 0 } ^ { d - 1 } p _ { i } x _ { i } }
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \operatorname* { m a x } } & { } & { \quad t } \\ & { } & { \quad \sum _ { k \in { \mathcal K } _ { 0 } } a _ { 0 k } y _ { k } } & { \ge t } \\ { \forall i \in [ m ] } & { } & { \quad \sum _ { k \in { \mathcal K } _ { i } } a _ { i k } y _ { k } } & { \ge 0 } \\ { \quad k \in [ K ] } & { } & { \quad y _ { k } } & { = \prod _ { j \in A _ { k } } x _ { j } } \\ { \forall j \in [ n ] } & { } & { \quad x _ { j } } & { \in \{ 0 , 1 \} } \end{array}
\int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } \int _ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - R _ { s } / 2 } ^ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } + R _ { s } / 2 } | P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 1 } ) | ^ { 2 } | P _ { \mathrm { I N T } } ( f _ { 2 } ) | ^ { 2 } | P _ { \mathrm { C O I } } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ) | ^ { 2 } \mu ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f ) \mu ^ { * } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } , f _ { 2 } , f ) d f _ { 1 } d f _ { 2 }
\begin{array} { r l } { H _ { i n t } } & { = \bigg [ \sum _ { \sigma } g _ { 1 } ( \hat { b } _ { \sigma } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \sigma } + \hat { a } _ { \sigma } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \sigma } ) \bigg ] ( \beta _ { 1 } ^ { \dagger } + \beta _ { 1 } ) + ( 1 \rightarrow 2 ) } \\ & { \equiv \hat { M } _ { 1 } ( \beta _ { 1 } ^ { \dagger } + \beta _ { 1 } ) + \hat { M } _ { 2 } ( \beta _ { 2 } ^ { \dagger } + \beta _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \left( { \frac { \psi } { \phi } } \right) } & { { } = { \frac { \phi \, \nabla \psi - \psi \, \nabla \phi } { \phi ^ { 2 } } } } \\ { \nabla \cdot \left( { \frac { \mathbf { A } } { \phi } } \right) } & { { } = { \frac { \phi \, \nabla { \cdot } \mathbf { A } - \nabla \! \phi \cdot \mathbf { A } } { \phi ^ { 2 } } } } \\ { \nabla \times \left( { \frac { \mathbf { A } } { \phi } } \right) } & { { } = { \frac { \phi \, \nabla { \times } \mathbf { A } - \nabla \! \phi \, { \times } \, \mathbf { A } } { \phi ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { v } ( { \mathbf v } ) } & { = \int _ { \Omega } \frac { \nu } { 2 } { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) : { \mathcal { D } } ( { \mathbf v } ) \, d { \mathbf x } , \qquad \omega _ { a } ( { \mathbf v } ) = \int _ { \Omega } ( { \mathbf u } \cdot \nabla { \mathbf u } ) \cdot { \mathbf v } - p { { \nabla \cdot } \, } { \mathbf v } \, d { \mathbf x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma } & { { } = \frac { P _ { 3 } } { P _ { 1 } P _ { 2 } } = A C L \eta } \\ { A } & { { } = \frac { 6 4 \pi d _ { 3 3 } ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } c n _ { 1 } n _ { 2 } \lambda _ { 3 } ^ { 3 } } } \end{array}
P ( \nu _ { \alpha } \rightarrow \nu _ { \beta } ) \; = \; P _ { \mathrm { C P - e v e n } } ( \nu _ { \alpha } \rightarrow \nu _ { \beta } ) + P _ { \mathrm { C P - o d d } } ( \nu _ { \alpha } \rightarrow \nu _ { \beta } ) \; ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } | \mathrm { E C T } _ { \alpha } ( v , t ) - \mathrm { E C T } _ { \beta } ( v , t ) | \; \mathrm { d } t } & { = \int _ { a } ^ { b } | \mathrm { E C T } _ { \alpha } ( v , t ) - \mathrm { E C T } _ { \beta } ( v , t ) | \; \mathrm { d } t } \\ & { + \int _ { b } ^ { c } | \mathrm { E C T } _ { \alpha } ( v , t ) - \mathrm { E C T } _ { \beta } ( v , t ) | \; \mathrm { d } t } \\ & { + \int _ { c } ^ { d } | \mathrm { E C T } _ { \alpha } ( v , t ) - \mathrm { E C T } _ { \beta } ( v , t ) | \; \mathrm { d } t . } \end{array}
I = \left( g ^ { - 1 } + g ^ { - 2 } - g ^ { - 3 } + 2 g ^ { - 4 } - 2 g ^ { - 5 } + g ^ { - 6 } + g ^ { - 7 } + g ^ { - 8 } \right) ( 1 + h + h ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial f \left( \mathbf { F } _ { 1 , \mathrm { u } , ( 1 ) } , \dots , \mathbf { F } _ { K , \mathrm { u } , ( 1 ) } \right) } { \partial \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } , ( 1 ) } } } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { K } { \mu _ { l , ( 1 ) } \left( \mathbf { \hat { H } } _ { k } ^ { H } \mathbf { V } _ { l } \mathbf { W } _ { l , ( 1 ) } \mathbf { V } _ { l } ^ { H } \mathbf { \hat { H } } _ { k } + \mathbb { E } \left\{ \mathbf { \tilde { H } } _ { k } ^ { H } \mathbf { V } _ { l } \mathbf { W } _ { l , ( 1 ) } \mathbf { V } _ { l } ^ { H } \left. \mathbf { \tilde { H } } _ { k } \right| \mathbf { V } , \mathbf { W } \right\} \right) } + \lambda _ { k , ( 1 ) } \mathbf { I } _ { N } } \\ & { - \mu _ { k , ( 1 ) } \mathbf { \hat { H } } _ { k } ^ { H } \mathbf { V } _ { k } ^ { H } \mathbf { W } _ { k , ( 1 ) } . } \end{array}
{ \cal L } _ { M } ^ { ( 0 ) } = - ( \bar { \chi } ^ { - } ) ^ { ( 0 ) } \left( M _ { D } + \delta M _ { D } \right) ( \chi ^ { - } ) ^ { ( 0 ) } - \frac { 1 } { 2 } ( \bar { \chi } ^ { 0 } ) ^ { ( 0 ) } \left( M _ { D } ^ { 0 } + \delta M _ { D } ^ { 0 } \right) ( \chi ^ { 0 } ) ^ { ( 0 ) }
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R i c } _ { M } \! \! \! \! } & { = } & { \! \! \! \mathrm { R i c } _ { N } - \big \{ h \, h ^ { \prime \prime } + ( n - 2 ) \, ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } \big \} \, g _ { N } - ( n - 1 ) \, \big ( h ^ { \prime \prime } \big / h \big ) \, d r \otimes d r \, , \, \, \, \, } \\ { \mathrm { R } _ { M } \! \! \! \! } & { = } & { \! \! \! \big ( \mathrm { R } _ { N } \big / h ^ { 2 } \big ) - ( n - 1 ) \, \Big ( 2 \, \big ( h ^ { \prime \prime } \big / h \big ) + ( n - 2 ) \, \big ( h ^ { \prime } \big / h \big ) ^ { 2 } \Big ) \, . } \end{array}
( M _ { \pi } ) _ { A } ^ { \; B } = \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { \pi } ( \sigma _ { 1 } ) _ { A } ^ { \; B } \ , \quad ( \bar { M } _ { \pi } ) _ { A } ^ { \; B } = - \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { \pi } \mathrm { i } ( \sigma _ { 2 } ) _ { A } ^ { \; B } \ .
R _ { \tau } = N _ { c } \int _ { 0 } ^ { M _ { \tau } ^ { 2 } } 2 ( 1 - { \frac { s } { M _ { \tau } ^ { 2 } } } ) ^ { 2 } ( 1 + 2 { \frac { s } { M _ { \tau } ^ { 2 } } } ) \rho ( s ) { \frac { d s } { M _ { \tau } ^ { 2 } } } \ .
\begin{array} { r l } { \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n , ( 1 ) } } & { { } = \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Delta x _ { i } } \left[ \mathbf { F } _ { 1 , i + 1 / 2 } - \mathbf { F } _ { 1 , i - 1 / 2 } \right] + \Delta t \mathbf { S } _ { 1 } ( \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n } ) } \\ { \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n , ( 2 ) } } & { { } = \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n , ( 1 ) } - \frac { \Delta t } { \Delta y _ { j } } \left[ \mathbf { F } _ { 2 , j + 1 / 2 } - \mathbf { F } _ { 2 , j - 1 / 2 } \right] + \Delta t \mathbf { S } _ { 2 } ( \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n , ( 1 ) } ) } \\ { \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n , ( 3 ) } } & { { } = \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n , ( 2 ) } - \frac { \Delta t } { \Delta z _ { k } } \left[ \mathbf { F } _ { 3 , k + 1 / 2 } - \mathbf { F } _ { 3 , k - 1 / 2 } \right] + \Delta t \mathbf { S } _ { 3 } ( \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n , ( 2 ) } ) } \\ { \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n + 1 } } & { { } = \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n , ( 3 ) } + \Delta t \mathbf { S } _ { \mathrm { s p l i t } } ( \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n , ( 3 ) } ) } \end{array}
H _ { \textrm { t o t , q M C } } = \omega _ { 1 } \sigma _ { \textrm { e } } + ( \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) \sigma _ { \textrm { g } _ { 2 } } + \omega _ { \textrm { c } } a ^ { \dagger } a + g ( a ^ { \dagger } \sigma _ { \textrm { g } _ { 1 } \textrm { e } } + \textrm { h . ~ c . } ) + \frac { \Omega } { 2 } ( \sigma _ { \textrm { g } _ { 2 } \textrm { e } } e ^ { i \omega _ { \textrm { p } \mathrm { { ' } } } t } + \textrm { h . ~ c . } ) + \epsilon ( a e ^ { i \omega _ { \textrm { p } } t } + \textrm { h . ~ c . } ) ,
- \log p ( \theta , \lambda | d ) = \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { s } \left[ \hat { \phi } ( x _ { j } ; \theta ) - d _ { j } \right] ^ { 2 } + \beta \int _ { \Omega } d x \left[ D [ \hat { \phi } ( x ; \theta ) ; \lambda ] ( x ) - f ( x ) \right] ^ { 2 } + \log Z ( \lambda ) + H ( \lambda ) .
\Gamma = \frac { 3 g ^ { 2 } } { 6 4 \pi E _ { i } } \; q _ { \bot } ^ { 2 } = \frac { 3 } { 1 6 } \; \alpha _ { s } \; \frac { m ^ { 2 } } { E _ { i } } \: \chi ^ { 2 / 3 } \; ,
\begin{array} { r l r } { { \bf a } _ { 1 } } & { { } = } & { \hat { x } a / 2 - \hat { y } \sqrt { 3 } a / 2 } \\ { { \bf a } _ { 2 } } & { { } = } & { \hat { x } a / 2 + \hat { y } \sqrt { 3 } a / 2 } \\ { { \bf a } _ { 3 } } & { { } = } & { \hat { z } c } \end{array}
\begin{array} { r } { s _ { i j } ^ { * } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \delta _ { i j } } { v _ { i , i } ^ { * } ( t ) } + \frac { 1 } { v _ { 2 n , 2 n } ^ { * } ( t ) } , } & { i , j \in [ n ] ~ ~ \mathrm { o r } ~ ~ i , j = [ n - 1 ] _ { n } , } \\ { \frac { 1 } { v _ { 2 n , 2 n } ^ { * } ( t ) } , } & { ~ ~ ~ \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \Delta \theta } = \left[ \begin{array} { r } { 2 . 2 } \\ { 2 . 2 } \\ { - 2 . 7 } \\ { - 6 . 8 } \\ { - 1 0 . 0 } \\ { 2 . 8 } \end{array} \right] \mathrm { ~ K ~ } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad { \Delta \zeta } = \left[ \begin{array} { r } { 0 } \\ { 0 . 1 0 } \\ { 0 . 0 9 } \\ { - 0 . 1 7 } \\ { - 0 . 6 7 } \\ { - 1 . 2 3 } \end{array} \right] \mathrm { ~ k ~ m ~ } .
{ \bf x } _ { t + 1 } = { \bf x } _ { t } + \Delta t \left[ - \alpha \nabla F ( { \bf x } _ { t } + \gamma ( { \bf x } _ { t } - { \bf x } _ { t - 1 } ) ) - \beta ( t ) { \bf x } _ { t } + \gamma ( { \bf x } _ { t } - { \bf x } _ { t - 1 } ) \right] .
\widehat { \Xi } _ { 2 } ^ { \mathrm { c o n d } } ( T , y ) = { \frac { \alpha _ { s } \langle \bar { q } q \rangle \, T } { 6 \pi } } \, \bigg [ { \frac { 1 - r ( y ) } { y - 1 } } + { \frac { 1 } { y + 1 } } \bigg ] - { \frac { \langle \alpha _ { s } G G \rangle } { 9 6 \pi } } \bigg ( { \frac { 2 } { y + 1 } } \bigg ) ,
\begin{array} { r l } { \tau _ { 0 } \frac { d c _ { \mathrm { - } \mu } ^ { R } ( t ) } { d t } } & { = - c _ { \mathrm { - } \mu } ^ { R } ( t ) + \frac { \beta } { \sqrt { 2 \pi } } F _ { \mu } ( t ) \cos \big ( \gamma ( t ) \big ) } \\ { \tau _ { 0 } \frac { d c _ { \mathrm { - } \mu } ^ { I } ( t ) } { d t } } & { = - c _ { \mathrm { - } \mu } ^ { I } ( t ) - \frac { \beta } { \sqrt { 2 \pi } } F _ { \mu } ( t ) \sin \big ( \gamma ( t ) \big ) . } \end{array}
{ \mathcal J } ^ { \mu } \; = \; \sum _ { i = 1 \atop s = \uparrow , \downarrow } ^ { N } { \mathcal J } ^ { ( i , s ) \mu } ~ , ~ ~ \widehat { { \mathcal J } } _ { \ell / r } ^ { \mu } \; = \; \sum _ { i = 1 \atop s = \uparrow , \downarrow } ^ { N } \widehat { { \mathcal J } } _ { \ell , r } ^ { ( i , s ) \mu } ~ .
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } _ { r } ^ { ( 0 ) } ( \mathcal { P } ) : } & { = \mathrm { S E S } ( A ; B ) + \mathrm { N P M } _ { r } ( \mathcal { P } ) , } \\ { \mathcal { C } _ { r } ( \mathcal { P } ) : } & { = \left( \mathcal { C } _ { r } ^ { ( 0 ) \ast } ( \mathcal { P } ) + \mathrm { N P M } _ { r } ( \mathcal { P } ) \right) ^ { \ast } . } \end{array}
C _ { F } ( d - \tilde { \eta } _ { o } ) = C _ { F } ^ { - 1 } ( \tilde { \eta } _ { o } ) = \frac { \Gamma ( \tilde { \eta } _ { o } ) \Gamma ( \tilde { \eta } _ { o } - \mu ) \Gamma ^ { 4 } ( \mu - \frac { 1 } { 2 } \tilde { \eta } _ { o } + \frac { 1 } { 2 } ) } { \Gamma ( d - \tilde { \eta } _ { o } ) \Gamma ( \mu - \tilde { \eta } _ { o } ) \Gamma ^ { 4 } ( \frac { 1 } { 2 } \tilde { \eta } _ { o } + \frac { 1 } { 2 } ) } \, .
C ( n ) : = \int _ { \{ t _ { 1 } ( n ) < \tau _ { j } < t _ { 2 } ( n ) , \, \forall j \} } \frac { 1 } { ( \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { 1 } } \tau _ { j } ^ { 2 } ) ^ { \frac { k _ { 1 } + 2 s } { 2 } } } \to \int _ { \{ t _ { 1 } ^ { 0 } < \tau _ { j } < t _ { 2 } ^ { 0 } , \, \forall j \} } \frac { 1 } { ( \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { 1 } } \tau _ { j } ^ { 2 } ) ^ { \frac { k _ { 1 } + 2 s } { 2 } } } > 0 .
\begin{array} { r l } { h _ { i j } ( t ) : = } & { \frac { \Pi _ { l = 1 } ^ { n - 2 } ( \tilde { g } _ { t \wedge \tilde { \tau } _ { U } } ( \varphi ( z _ { i , t } ) ) - \mu _ { l } ^ { ( j ) } ( \mathbf { y } _ { t } ) ) } { \Pi _ { 1 \le l \le 2 n , x _ { l } \neq z _ { i , t } } ( \tilde { g } _ { t \wedge \tilde { \tau } _ { U } } ( \varphi ( z _ { i , t } ) ) - y _ { l , t } ) ^ { 1 / 2 } } \times \left( \int _ { y _ { 2 j + 1 , t } } ^ { y _ { 2 j + 2 , t } } \frac { \Pi _ { l = 1 } ^ { n - 2 } ( u - \mu _ { l } ^ { ( j ) } ( \mathbf { y } _ { t } ) } { \Pi _ { j = 1 } ^ { j = 2 n } ( u - y _ { l , t } ) ^ { 1 / 2 } } d u \right) ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underbrace { \nabla _ { \perp } \cdot \boldsymbol { u } _ { \perp } } _ { \epsilon ^ { \alpha _ { \xi } } } = } & { { } - \underbrace { \frac { 1 } { \Omega _ { i } } \nabla _ { \perp } \times \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { u } _ { \perp } } _ { \epsilon ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { C _ { i } } ( \gamma _ { i } ) = \langle e ^ { \gamma _ { i } \hat { P } _ { C _ { i } } } \rangle = \exp \left( \lambda _ { C _ { i } } ( \gamma _ { i } ) t \right) ~ ~ , ~ ~ M _ { D _ { k } } ( \delta _ { k } ) = \langle e ^ { \delta _ { k } \hat { P } _ { D _ { k } } } \rangle = \exp \left( \lambda _ { D _ { k } } ( \delta _ { k } ) t \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { x _ { k } ^ { \prime } } f _ { L } ( \beta , x ) = - \frac { \beta } { 2 } \, \operatorname { t r } \Big [ L \big \{ \Phi _ { H ( x ) } ( \partial _ { x _ { k } ^ { \prime } } H ( x ) ) , \sigma ( \beta , x ) \big \} \Big ] + \beta \operatorname { t r } ( \partial _ { x _ { k } ^ { \prime } } H ( x ) \sigma ( \beta , x ) ) \, \operatorname { t r } ( L \sigma ( \beta , x ) ) \, . } \end{array}
f _ { \scriptscriptstyle { 0 , L } } ( a ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { a } d r \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta \, e ^ { i \theta } \, e ^ { 2 \phi ( r , \theta ) } \, \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } b _ { \scriptscriptstyle { l , L } } \, r ^ { l } \, e ^ { i l \theta } \, .
\begin{array} { r l } { \left[ \mathop { \mathcal { P } _ { \star } ^ { ( p ) } } \right] ^ { 2 } } & { { } = 1 - \frac { A \big ( 1 - \frac { C ^ { 2 } } { B ^ { 2 } } \big ) } { \Big [ B - \frac { C ^ { 2 } } { B } \Big ] ^ { 2 } } = 1 - \frac { A } { B ^ { 2 } - C ^ { 2 } } \: , } \end{array}