harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \vphantom { f ^ { 2 } } { } u _ { 2 } } & { { } = u _ { 4 } } & { } & { { } = u _ { 1 } + \ell _ { 1 2 } \sin { \theta } _ { 1 } } & { } & { { } = u _ { 3 } - \ell _ { 3 2 } \sin { \theta } _ { 2 } \, , } \\ { v _ { 1 } } & { { } = v _ { 3 } } & { } & { { } = v _ { 2 } + \ell _ { 1 2 } \cos { \theta } _ { 1 } } & { } & { { } = v _ { 4 } - \ell _ { 3 2 } \cos { \theta } _ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { H \sim \sum _ { i \neq j = 1 } ^ { 4 } \vec { Q } _ { i } \vec { Q } _ { j } - \frac { 3 } { 2 } \sum _ { i \neq j = 1 } ^ { 4 } ( \vec { Q } _ { i } \times \vec { Q } _ { j } ) ^ { 2 } } \end{array}
\int \sqrt { g } ~ \widehat { R } ^ { \mu \nu \lambda \rho } \widehat { R } _ { \mu \nu \lambda \rho } , \qquad \int \sqrt { g } ~ \widehat { R } ^ { \mu \nu } \widehat { R } _ { \mu \nu } , \qquad \int \sqrt { g } ~ \widehat { R } ^ { 2 } .
d \sigma _ { h A \rightarrow \ell ^ { + } \ell ^ { - } } = \left( \frac { 2 \alpha _ { e m } } { 3 Q ^ { 2 } } \right) \, \left( - g _ { \mu \nu } \, W _ { h A \rightarrow \gamma ^ { * } } ^ { \mu \nu } ( q ) \right) \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { \hbar \Omega } { N ^ { 2 } m } \frac { S _ { X X } ^ { \mathrm { o u t } } ( \omega ) } { | \sqrt { \kappa } H _ { X F } ( \omega ) | ^ { 2 } } = } & { S _ { a a } ( \omega ) + \frac { \hbar \Omega } { N ^ { 2 } m } \left[ S _ { \xi \xi } ( \omega ) + S _ { \mathrm { o p t } } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) \right] , } \end{array}
[ ( \underbrace { m _ { 1 1 } \ldots m _ { 1 1 } } _ { n _ { 1 1 } ~ \times } \ldots \underbrace { m _ { 1 e _ { 1 } } \ldots m _ { 1 e _ { 1 } } } _ { n _ { 1 e _ { 1 } } \times } ) \ldots ( \underbrace { m _ { t 1 } \ldots m _ { t 1 } } _ { n _ { t 1 } \times } \ldots \underbrace { m _ { t e _ { t } } \ldots m _ { t e _ { t } } } _ { n _ { t e _ { t } } \times } ) ]
\mathrm { ~ M ~ A ~ T ~ - ~ R ~ M ~ S ~ D ~ } \left( \mathbb { S } _ { \mathrm { ~ C ~ R ~ E ~ S ~ T ~ } } , \mathbb { S } _ { \mathrm { ~ P ~ D ~ B ~ } } \right) = \frac { 1 } { \lvert \mathbb { S } _ { \mathrm { ~ P ~ D ~ B ~ } } \rvert } \sum _ { \mathbf { R } ^ { \prime } \in \mathbb { S } _ { \mathrm { ~ P ~ D ~ B ~ } } } \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { R } \in \mathbb { S } _ { \mathrm { ~ C ~ R ~ E ~ S ~ T ~ } } } \mathrm { ~ R ~ M ~ S ~ D ~ } \left( \mathbf { R } , \mathbf { R } ^ { \prime } \right)
\mathrm { a v e r a g e \ l o s s \ ( \mathbf { \hat { A } _ { t } } , \mathbf { A _ { t } } ) } = \frac { 1 } { N _ { t e s t } } \times \frac { 1 } { 4 M ^ { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { t e s t } } \sum _ { t = 1 } ^ { 4 M ^ { 2 } } | \mathbf { \hat { A } _ { t } } - \mathbf { A _ { t } } e ^ { i \phi _ { c } } |
\begin{array} { r l } { \delta _ { e / o } ( E ) } & { { } \approx \delta _ { e / o } ( E _ { 0 } ) + \frac { d \delta _ { e / o } } { d E } \Big | _ { E _ { 0 } } ( E - E _ { 0 } ) } \\ { k ( E ) } & { { } \approx k ( E _ { 0 } ) + \frac { d k } { d E } \Big | _ { E _ { 0 } } ( E - E _ { 0 } ) } \\ { E } & { { } = E _ { 0 } + ( E - E _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg [ \int _ { \mathcal { D } } | U ( x ^ { \prime } ) U ( x ) L ^ { * } \varphi ( x ) | d x \bigg ] } & { = \int _ { \mathcal { D } } | L ^ { * } \varphi ( x ) | \mathbb { E } [ | U ( x ) U ( x ^ { \prime } ) | ] d x } \\ & { \leq \int _ { \mathcal { D } } | L ^ { * } \varphi ( x ) | \mathbb { E } [ U ( x ) ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } \mathbb { E } [ U ( x ^ { \prime } ) ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } d x } \\ & { \leq \sigma ( x ^ { \prime } ) \int _ { \mathcal { D } } | L ^ { * } \varphi ( x ) | \sigma ( x ) d x < + \infty . } \end{array}
\mathrm { \ d e l t a _ { 1 , r e s } ^ { P } = 3 . 1 3 \cdot 1 0 ^ { - 4 } , ~ ~ ~ \ d e l t a _ { 1 , n o n r e s } ^ { P } = 2 . 0 1 \cdot 1 0 ^ { - 4 } , ~ ~ \ d e l t a _ { 1 } ^ { P } = 5 . 1 4 \cdot 1 0 ^ { - 4 } , }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial p } \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] } & { = \frac { \partial } { \partial p } \sum _ { k = n + 1 } ^ { N } \binom { N } { k } p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { N - k } } \\ & { = \sum _ { k = n + 1 } ^ { N } \binom { N } { k } ( k p ^ { k - 1 } ( 1 - p ) ^ { N - k } - ( N - k ) p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { N - k - 1 } ) } \\ & { = \sum _ { k = n + 1 } ^ { N } \binom { N } { k } p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { N - k } \frac { k ( 1 - p ) - N p } { p ( 1 - p ) } } \\ & { \leq \frac { N } { p } \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { \mathrm { p } } ( H ) + A _ { + } t _ { 0 } ^ { k _ { + } } + A _ { - } t _ { 0 } ^ { k _ { - } } } & { = } & { 0 , } \\ { \Delta \varphi _ { \mathrm { p } } ( \frac { L } { 2 } ) + A _ { + } + A _ { - } } & { = } & { A _ { 0 } , } \\ { \Delta \varphi _ { \mathrm { p } } ^ { \prime } ( \frac { L } { 2 } ) - \frac { k _ { + } A _ { + } + k _ { - } A _ { - } } { \delta } } & { = } & { A _ { 0 } \kappa \operatorname { t a n h } \left( \frac { \kappa L } { 2 } \right) , } \end{array}
\Psi _ { k j , i l } ^ { \alpha \beta } \mathbf { 1 } _ { \left\vert \overline { { \mathbf { g } } } \right\vert ^ { 2 } > 2 \widetilde { \Delta } I _ { i l , k j } ^ { \alpha \beta } } = \left\vert \overline { { \mathbf { g } } } \right\vert \sqrt { \left\vert \overline { { \mathbf { g } } } \right\vert ^ { 2 } - 2 \widetilde { \Delta } I _ { i l , k j } ^ { \alpha \beta } } \mathbf { 1 } _ { \left\vert \overline { { \mathbf { g } } } \right\vert ^ { 2 } > 2 \widetilde { \Delta } I _ { i l , k j } ^ { \alpha \beta } } \leq C \left( 1 + \left\vert \mathbf { g } \right\vert \right) ^ { 2 } ,
J _ { s } ( t ) = \frac { e v _ { \perp } } { L _ { \perp } } D _ { F } ( t ) \int _ { 0 } ^ { \varepsilon _ { F } } \{ D ( \varepsilon _ { \parallel } ) \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } [ ( \varepsilon _ { \parallel } - \varepsilon _ { F } ) / d _ { F } ( t ) ] \} d { \varepsilon _ { \parallel } } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { E _ { 1 1 } = \big [ A _ { 1 1 } ( k _ { 1 , 0 } ) A _ { 1 1 } ( k _ { 2 , 0 } ) A _ { 1 1 } ( k _ { 3 , 0 } ) + A _ { 1 2 } ( k _ { 1 , 0 } , { \bf q } _ { 1 } ) A _ { 2 1 } ( k _ { 2 , 0 } , { \bf q } _ { 2 } ) A _ { 1 1 } ( k _ { 3 , 0 } ) } \\ & { } & { + A _ { 1 1 } ( k _ { 1 , 0 } ) A _ { 1 2 } ( k _ { 2 , 0 } , { \bf q } _ { 2 } ) A _ { 2 1 } ( k _ { 3 , 0 } , { \bf q } _ { 3 } ) + A _ { 1 2 } ( k _ { 1 , 0 } , { \bf q } _ { 1 } ) A _ { 2 2 } ( k _ { 2 , 0 } ) A _ { 2 1 } ( k _ { 3 , 0 } , { \bf q } _ { 3 } ) \big ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { 3 D } = \frac { 1 } { 3 ^ { 2 / 3 } \pi ^ { 5 / 6 } } \sqrt { \frac { m e ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } } } \, n _ { 3 D } ^ { - 1 / 6 } \omega _ { p l } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { r } ^ { - } ( r ) = } & { { } l r ^ { l - 1 } \left( a _ { 1 } + \frac { a _ { 3 } r ^ { 2 } } { 2 l + 3 } \right) } \\ { v _ { \theta } ^ { - } ( r ) = } & { { } r ^ { l - 1 } \left( a _ { 1 } + \frac { a _ { 3 } r ^ { 2 } ( l + 3 ) } { ( l + 1 ) ( 2 l + 3 ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { t \rho ^ { t } } { 2 } \big ( \| z ^ { * } - z ^ { t + 1 } \| ^ { 2 } - \| z ^ { * } - z ^ { t } \| ^ { 2 } \big ) } \\ & { = - \frac { \rho ^ { 1 } } { 2 } \| z ^ { * } - z ^ { 1 } \| ^ { 2 } + \sum _ { t = 2 } ^ { T } \Big ( \underbrace { \frac { ( t - 1 ) \rho ^ { t - 1 } - t \rho ^ { t } } { 2 } } _ { \leq 0 \mathrm { ~ a s ~ } \rho ^ { t } \geq \rho ^ { t - 1 } } \Big ) \| z ^ { * } - z ^ { t } \| ^ { 2 } + \frac { T \rho ^ { T } } { 2 } \| z ^ { * } - z ^ { T + 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \geq - \frac { \rho ^ { 1 } U _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } + \sum _ { t = 2 } ^ { T } \Big ( \frac { ( t - 1 ) \rho ^ { t - 1 } - t \rho ^ { t } } { 2 } \Big ) U _ { 2 } ^ { 2 } = \frac { - U _ { 2 } ^ { 2 } T \rho ^ { T } } { 2 } \geq \frac { - U _ { 2 } ^ { 2 } T \rho ^ { \mathrm { m a x } } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathcal { M } _ { 1 } : \frac { \mathrm { d } s _ { 2 } } { \mathrm { d } t } } & { = s _ { 1 } + s _ { 3 } - s _ { 2 } \ , } & { \mathcal { M } _ { 2 } : \frac { \mathrm { d } s _ { 1 } } { \mathrm { d } t } } & { = s _ { 2 } - s _ { 1 } \ , } \\ { \frac { \mathrm { d } s _ { 1 } } { \mathrm { d } t } } & { = \frac { \mathrm { d } s _ { 3 } } { \mathrm { d } t } = 0 \ ; } & { \frac { \mathrm { d } s _ { 2 } } { \mathrm { d } t } } & { = 0 \ . } \end{array}
\xi ( \omega ) = \frac { \omega _ { k } ^ { 2 } - 2 \omega ^ { 2 } } { \omega _ { k } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } \sim \left\{ \begin{array} { l l } { 1 ^ { - } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \omega _ { k } \gg \omega } \\ { 2 ^ { + } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \omega _ { k } \ll \omega } \end{array} \right. .
\begin{array} { r } { \mathsf { A } _ { m - 1 , i } : = { \bf 1 } _ { \{ i = 0 \} } + { \bf 1 } _ { \{ i \in \{ 1 , 2 \} \} } \Bigl ( C _ { 0 } ^ { 3 } \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 \delta } \bigl ( 1 \vee \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 + \gamma } R _ { \theta _ { 0 } } ^ { - 2 } \bigr ) \Bigr ) + { \bf 1 } _ { \{ i \geq 3 \} } \Bigl ( C _ { 0 } ^ { 3 } \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 \delta } \bigl ( 1 \vee \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 + \gamma } R _ { \theta _ { 0 } } ^ { - 2 } \bigr ) \Bigr ) ^ { \frac { i } { 2 } } \, . } \end{array}
M _ { r } ^ { J / \psi } = \left\langle { \cal O } ^ { J / \psi } \left[ { } ^ { 1 } \! S _ { 0 } ^ { ( 8 ) } \right] \right\rangle + \frac { r } { m _ { c } ^ { 2 } } \left\langle { \cal O } ^ { J / \psi } \left[ { } ^ { 3 } \! P _ { 0 } ^ { ( 8 ) } \right] \right\rangle ,
\mathcal B ( q , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 3 q , p / 3 ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 \leq q < 1 / 3 } \\ { ( 3 q - 1 , ( p + 1 ) / 3 ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 1 / 3 \leq q < 2 / 3 } \\ { ( 3 q - 2 , ( p + 2 ) / 3 ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 2 / 3 \leq q < 1 } \end{array} \right.
j _ { \mu } ^ { X } ( { \cal { A } } ) \, = - \, i N _ { c } \int \frac { d ^ { d } p } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \, T r \, \left[ \left( \gamma _ { \mu } L \, \Lambda ^ { X } \right) S ( p ) \, \left( \gamma _ { \sigma } \gamma _ { 5 } { \cal { A } } ^ { \sigma } \right) \, S ( p ) \, \right] \; \sim \; T r \, \left[ \Lambda ^ { X } \, { \cal { A } } _ { \mu } \right] \; .
[ a ^ { m } , a ^ { \dagger n } ] = \sum _ { g = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 ^ { 2 g } ( 2 g + 1 ) ! } \prod _ { k = 0 } ^ { 2 g } ( m - k ) ( n - k ) ( a ^ { m - 2 g - 1 } a ^ { \dagger n - 2 g - 1 } ) _ { W } .
\begin{array} { r l } { | B _ { 1 } | } & { \leqslant \frac { 5 n } { 1 8 } - \varepsilon n - \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| } { 3 } + 2 + \left\lceil \frac { n } { 2 7 } + \frac { 2 \varepsilon n } { 3 } \right\rceil } \\ & { \leqslant \frac { 1 7 n } { 5 4 } - \frac { \varepsilon n } { 3 } - \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| } { 3 } + 3 } \\ & { \leqslant \frac { 1 7 n } { 5 4 } - \frac { \varepsilon n } { 3 } - \operatorname* { m i n } \left( \frac { n } { 1 8 } + \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } { 3 } , \frac { 5 n } { 5 4 } + \frac { \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } { 3 } \right) + 6 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big [ \big ( ( \partial _ { t } + 1 ) ( \partial _ { t } } & { + i k U _ { \mathrm { s h } } ( y ) ) - \partial _ { y } ^ { 2 } \big ) ^ { 2 } \partial _ { y } \psi _ { k } \Big ] ( t , y ) \overline { { \omega _ { \tau , k } ( t , y ) } } d y d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { 1 } [ i k U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } ( y ) , \partial _ { y } ^ { 2 } ] \big ( ( \partial _ { t } + 1 ) \psi _ { k } ( t , y ) \big ) \overline { { \omega _ { \tau , k } ( t , y ) } } d y d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \varphi } & { { } = - \frac { \Omega _ { 0 } x _ { 0 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } + \Omega _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 } } \mathrm { d } v } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \mathrm { a } } \left( \frac { \partial T _ { \mathrm { a } } } { \partial t } + J \left( \psi _ { \mathrm { a } } , T _ { \mathrm { a } } \right) - \sigma \omega \frac { p } { R } \right) } & { = - \lambda \left( T _ { \mathrm { a } } - T _ { \mathrm { o } } \right) + \varepsilon \sigma _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { o } } ^ { 4 } - \varepsilon \sigma _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { a } } ^ { 4 } + R _ { \mathrm { a } } } \\ { \gamma _ { \mathrm { o } } \left( \frac { \partial T _ { \mathrm { o } } } { \partial t } + J \left( \psi _ { \mathrm { o } } , T _ { \mathrm { o } } \right) \right) } & { = - \lambda \left( T _ { \mathrm { o } } - T _ { \mathrm { a } } \right) - \sigma _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { o } } ^ { 4 } + \varepsilon \sigma _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { a } } ^ { 4 } + R _ { \mathrm { o } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } F ( { \boldsymbol x } ) _ { i } \leq - u _ { - } \| { \boldsymbol x } \| _ { 1 } + \varepsilon ^ { p } \| { \boldsymbol x } \| _ { 1 } < 0 , } \end{array}
\begin{array} { l l } { { c _ { 1 } = { \frac { 1 } { 8 } } ( e _ { s } + 2 e _ { u } ) , } } & { { c _ { 2 } = { \frac { - 7 } { 1 8 } } ( e _ { s } f \phi + 2 e _ { u } ) , } } \\ { { c _ { 3 } = { \frac { - 1 } { 7 2 } } ( e _ { s } + 2 e _ { u } ) , } } & { { c _ { 4 } = { \frac { - 1 } { 9 } } ( e _ { s } f \phi + e _ { u } f + e _ { u } ) , } } \\ { { c _ { 5 } = { \frac { 1 } { 1 8 } } ( - 2 e _ { s } f + 9 e _ { s } + 9 e _ { u } f + 5 e _ { u } ) , } } & { { c _ { 6 } = { \frac { - 1 } { 1 8 } } ( e _ { s } f \phi + 2 e _ { u } ) ( 7 \kappa + \xi ) , } } \\ { { c _ { 7 } = { \frac { 1 } { 2 7 } } ( - e _ { s } f + 3 e _ { s } + 5 e _ { u } f - e _ { u } ) \kappa _ { v } , } } & { { c _ { 8 } = { \frac { - 1 } { 5 4 } } ( e _ { s } f \phi + e _ { u } f + e _ { u } ) ( 7 \kappa + \xi ) , } } \\ { { c _ { 9 } = { \frac { 7 } { 2 1 6 } } ( e _ { s } f \phi + e _ { u } f + e _ { u } ) , } } & { { c _ { 1 0 } = { \frac { - 5 } { 7 2 } } ( e _ { s } + e _ { u } f + e _ { u } ) , } } \end{array}
R \left( 6 ^ { \circ } , 0 ; 2 \pi \right) = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 2 \pi } f _ { r } \left( \theta _ { i } = 6 ^ { \circ } , \phi _ { i } = 0 ; \theta _ { r } , \phi _ { r } \right) \mathrm { d } \Omega _ { r } ,
Z = \beta ^ { N / 2 } \Gamma ( ( N - 1 ) / 2 ) ^ { - 1 } { \LARGE \int _ { 0 } ^ { \infty } } d \sigma { \LARGE \int _ { - \infty } ^ { \infty } } d \sigma _ { 1 } ( 4 \beta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + ( 2 \beta \sigma _ { 1 } + v ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ^ { M } \sigma ^ { N - 2 } e x p [ - \beta ( \sigma ^ { 2 } + \sigma _ { 1 } ^ { 2 } ) ]
\begin{array} { r l } { \omega _ { s q } } & { { } \simeq \sqrt { \omega _ { m } ^ { 2 } + \mathfrak { R e } \left( \frac { \gamma _ { + } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \mathcal { X } \mathcal { H } } { \gamma _ { - } + i \omega _ { m } } \right) } = \sqrt { \omega _ { m } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { + } \gamma _ { - } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \mathcal { X } \mathcal { H } } { \gamma _ { - } ^ { 2 } + \omega _ { m } ^ { 2 } } } , } \\ { \Gamma _ { s q } } & { { } \simeq \kappa _ { m } + \frac { \mathfrak { I m } \left( \frac { \gamma _ { + } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \mathcal { X } \mathcal { H } } { \gamma _ { - } + i \omega _ { m } } \right) } { \omega _ { m } } = \kappa _ { m } + \frac { \gamma _ { + } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \mathcal { X } \mathcal { H } } { \gamma _ { - } ^ { 2 } + \omega _ { m } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi \left( x \right) } & { \le \frac { \omega _ { \nabla \Phi } ( 1 ) } { 2 } \left| x \right| \left| x - y \right| + \left( \left| \nabla \Phi \left( \mathbf { 0 } \right) \right| + \frac { 3 } { 2 } \omega _ { \nabla \Phi } ( 1 ) \right) \left| x - y \right| + \Phi \left( y \right) } \\ & { \le \frac { \omega _ { \nabla \Phi } ( 1 ) } { 2 } \left| x \right| ^ { 2 } + \left( \left| \nabla \Phi \left( \mathbf { 0 } \right) \right| + \frac { 3 } { 2 } \omega _ { \nabla \Phi } ( 1 ) \right) \left| x \right| + \left\| \Phi \right\| _ { L ^ { \infty } \left( B _ { 1 } \left( \mathbf { 0 } \right) \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } _ { \vec { \zeta } } [ S ( \vec { g } , \vec { \zeta } ) ] } & { { } = \frac { 1 } { n } \sum _ { c = 1 } ^ { C ^ { \vec { g } } } \sum _ { c ^ { \prime } = 1 } ^ { C ^ { \vec { g } } } \left( \frac { n _ { c } ^ { \vec { g } } n _ { c ^ { \prime } } ^ { \vec { g } } } { n } \right) ^ { 2 } \operatorname* { m i n } \left( \frac { 1 } { n _ { c } ^ { \vec { g } } } , \frac { 1 } { n _ { c ^ { \prime } } ^ { \vec { g } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { + } ( \lambda ) - G _ { - } ( \lambda ) } & { = \frac { F _ { + } ( k ) } { ( ( \lambda + 1 ) ^ { 2 / 3 } ) _ { + } } - \frac { F _ { - } ( k ) } { ( ( \lambda + 1 ) ^ { 2 / 3 } ) _ { - } } = \frac { F _ { + } ( k ) } { ( ( \lambda + 1 ) ^ { 2 / 3 } ) _ { + } } - \frac { F _ { - } ( \omega ^ { 2 } k ) } { ( ( \lambda + 1 ) ^ { 2 / 3 } ) _ { - } } } \\ & { = \frac { \mathbf { u } ( k ) \Delta _ { 3 + } ( k ) \overline { { \mathbf { u } ( \bar { k } ) } } ^ { T } } { ( ( \lambda + 1 ) ^ { 2 / 3 } ) _ { + } } - \frac { \mathbf { u } ( \omega ^ { 2 } k ) \Delta _ { 2 - } ( \omega ^ { 2 } k ) \overline { { \mathbf { u } ( \omega \bar { k } ) } } ^ { T } } { ( ( \lambda + 1 ) ^ { 2 / 3 } ) _ { - } } , \qquad k \in \Gamma _ { 2 } ^ { h } . } \end{array}
\frac { \alpha _ { W } ^ { 2 } } { M _ { \chi } ^ { 2 } } C _ { \tilde { \chi } } \left[ \frac { ( m _ { U } ^ { 2 } ) _ { s _ { L } t _ { R } } Y _ { t } V _ { t d } + V _ { t s } ^ { * } Y _ { t } ( m _ { U } ^ { 2 } ) _ { t _ { R } d _ { L } } } { { \tilde { m } ^ { 2 } } } \right] ^ { 2 } .
X _ { t _ { k + 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } = X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } + h \Hat { u } ( X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k } ) + \sqrt { 2 \nu } ( B _ { t _ { k + 1 } } - B _ { t _ { k } } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { z } _ { \kappa , \gamma } } & { = \mathbf { H } _ { \gamma } \mathbf { s } _ { \kappa , \gamma } \mathrm { e } ^ { \mathrm { j } \varphi _ { \kappa , \gamma } } + \mathbf { n } _ { \kappa , \gamma } } \\ & { = \mathbf { H } _ { \gamma } \mathbf { x } _ { \kappa } \mathrm { e } ^ { \mathrm { j } \varphi _ { \kappa , \gamma } } + \mathbf { n } _ { \kappa , \gamma } , } \end{array}
\begin{array} { r } { b _ { z } = \left\{ \begin{array} { l l } { z } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } z \ge 2 \, , } \\ { 3 } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } z = 1 \, . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { P } ( \textbf { x } , t ) } & { { } \equiv 1 6 \, \kappa \left[ \left( \textbf { E } ^ { 2 } - \textbf { B } ^ { 2 } \right) \textbf { E } + 2 \beta \left( \textbf { E } \cdot \textbf { B } \right) \textbf { B } \right] , } \\ { \textbf { M } ( \textbf { x } , t ) } & { { } \equiv 1 6 \, \kappa \left[ \left( \textbf { E } ^ { 2 } - \textbf { B } ^ { 2 } \right) \textbf { B } - 2 \beta \left( \textbf { E } \cdot \textbf { B } \right) \textbf { E } \right] . } \end{array}
\Gamma ^ { 6 , 2 2 } = \Gamma _ { 1 } ^ { 1 , 9 } \oplus \Gamma _ { 2 } ^ { 1 , 9 } \oplus \Gamma _ { 1 } ^ { 1 , 1 } \oplus \Gamma _ { 2 } ^ { 1 , 1 } \oplus \Gamma ^ { 2 , 2 } ,
\begin{array} { r l } { T = } & { { } ( 1 - R ) | \frac { F - r _ { \textrm { E F } } E _ { t 0 } } { F } | ^ { 2 } } \\ { = } & { { } ( 1 - R ) | \frac { ( 1 + i \alpha ) ^ { 2 } + ( \xi / 2 ) ^ { 2 } - r _ { \textrm { E F } } ( 1 + i \alpha ) } { ( 1 + i \alpha ) ^ { 2 } + ( \xi / 2 ) ^ { 2 } - i r _ { \textrm { E F } } r \xi / 2 } | ^ { 2 } . } \end{array}
\left\{ a _ { \mathbf { p } } ^ { s } , { a _ { \mathbf { q } } ^ { r } } ^ { \dagger } \right\} = \left\{ b _ { \mathbf { p } } ^ { s } , { b _ { \mathbf { q } } ^ { r } } ^ { \dagger } \right\} = ( 2 \pi ) ^ { 3 } \delta ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { p } - \mathbf { q } ) \delta ^ { s r } ,
Q ( \mathrm { i } \xi _ { m } ) = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { \mathbb { R } } \frac { G _ { - } ( \omega ) g _ { + } ( \omega ) } { \omega + \mathrm { i } \xi _ { m } } \mathrm { d } \omega + \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { \mathbb { R } } \frac { \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } B \omega } \sigma ( \omega ) Q ( \omega ) } { \omega + \mathrm { i } \xi _ { m } } \mathrm { d } \omega .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { J , i } } \{ f _ { j , 1 } ^ { i } , f _ { j , 2 } ^ { i } , f _ { j , 3 } ^ { i } , f _ { j , 4 } ^ { i } \} } \\ & { f _ { 1 , j } ^ { i } \succ f _ { 2 , j } ^ { i } \succ f _ { 3 , j } ^ { i } \succ f _ { 4 , j } ^ { i } , \; \; K \in \{ L , G \} , \; \; \Phi = \{ a , b , c \} } \\ & { f _ { j , 1 } = - C _ { j } ^ { i } \left( \sum _ { \phi \in \Phi } ( P _ { j } ^ { i K , \phi } - P _ { j } ^ { i K 0 , \phi } ) ^ { 2 } + ( Q _ { j } ^ { i K , \phi } - Q _ { j } ^ { i K 0 , \phi } ) ^ { 2 } \right) } \\ & { f _ { j , 2 } ^ { i } = \sum _ { \phi \in \Phi } \mu _ { j } ^ { i P , \phi } P _ { j } ^ { i , \phi } + \mu _ { j } ^ { i Q , \phi } Q _ { j } ^ { i , \phi } , \; f _ { j , 3 } ^ { i } = - \sum _ { \phi \in \Phi } ( \delta P _ { j } ^ { i K , \phi } + \delta Q _ { j } ^ { i K , \phi } ) } \\ & { f _ { j , 4 } ^ { i } = \beta _ { j } ^ { i P } \sum _ { \phi \in \Phi } \left( P _ { j } ^ { i K } - P _ { j } ^ { i K 0 } \right) ^ { 2 } + \beta _ { j } ^ { i Q } \sum _ { \phi \in \Phi } \left( Q _ { j } ^ { i K } - Q _ { j } ^ { i K 0 } \right) ^ { 2 } } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o : } } \\ & { P _ { j } ^ { i K , \phi } - \delta P _ { j } ^ { i K , \phi } \geq \underline { { P } } _ { j } ^ { i K , \phi } \; Q _ { j } ^ { i K , \phi } - \delta Q _ { j } ^ { i K , \phi } \geq \underline { { Q } } _ { j } ^ { i K , \phi } } \\ & { P _ { j } ^ { i K , \phi } + \delta P _ { j } ^ { i K , \phi } \leq \overline { { P } } _ { j } ^ { i K , \phi } , \; Q _ { j } ^ { i K , \phi } + \delta Q _ { j } ^ { i K , \phi } \leq \overline { { Q } } _ { j } ^ { i K , \phi } } \\ & { \delta P _ { j } ^ { i K , \phi } , \; \delta Q _ { j } ^ { i K , \phi } \geq 0 , \; 0 \leq \mu _ { j } ^ { i P } \leq \overline { { \mu } } ^ { i P } , 0 \leq \mu _ { j } ^ { i P } \leq \overline { { \mu } } ^ { i Q } \; } \\ & { \sum _ { t _ { s } } ^ { t _ { s } + \Delta t _ { p } } \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { J , i } } \sum _ { \phi \in \Phi } \left( \mu _ { j } ^ { i P , \phi } ( t ) P _ { j } ^ { i , \phi } ( t ) + \mu _ { j } ^ { i Q , \phi } ( t ) Q _ { j } ^ { i , \phi } ( t ) \right) \Delta t _ { s } } \\ & { \leq \sum _ { \phi \in \Phi } \left( \mu _ { i } ^ { P ^ { * } , \phi } ( \hat { t } _ { p } ) P _ { i } ^ { \phi ^ { * } } ( \hat { t } _ { p } ) + \mu _ { i } ^ { Q ^ { * } , \phi } ( \hat { t } _ { p } ) Q _ { i } ^ { \phi ^ { * } } ( \hat { t } _ { p } ) \right) \Delta t _ { p } } \\ & { \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { J , i } } P _ { j } ^ { i , \phi } ( t _ { s } ) = P _ { i } ^ { \phi ^ { * } } ( \hat { t } _ { p } ) , \quad \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { J , i } } Q _ { j } ^ { i , \phi } ( t _ { s } ) = Q _ { i } ^ { \phi ^ { * } } ( \hat { t } _ { p } ) } \end{array}
n a _ { n } ( \vec { q } \, ^ { \prime } , \vec { q } ) + \sum _ { \nu = 1 } ^ { 3 } ( q _ { \nu } ^ { \prime } - q _ { \nu } ) \frac { \partial a _ { n } ( \vec { q } \, ^ { \prime } , \vec { q } ) } { \partial q _ { \nu } ^ { \prime } } = \frac { 1 } { 2 } \Delta _ { \vec { q } \, ^ { \prime } } a _ { n - 1 } ( \vec { q } \, ^ { \prime } , \vec { q } ) - V ( \vec { q } \, ^ { \prime } ) a _ { n - 1 } ( \vec { q } \, ^ { \prime } , \vec { q } )
\begin{array} { r l } { a ( \omega ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { Z _ { 0 } } } \left[ v ( \omega ) + i ( \omega ) Z _ { 0 } \right] } \\ { b ( \omega ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { Z _ { 0 } } } \left[ v ( \omega ) - i ( \omega ) Z _ { 0 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \hat { X } _ { b } \rangle _ { \mathrm { F } } } & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \sum _ { c } \left( 1 - \hat { F } _ { a } \frac { \theta } { N } \right) _ { b c } ^ { N } \langle \hat { X } _ { c } \rangle _ { \mathrm { I } } } \\ & { = } & { \sum _ { c } \left( \mathrm { e } ^ { - \hat { F } _ { a } \theta } \right) _ { b c } \langle \hat { X } _ { c } \rangle _ { \mathrm { I } } . } \end{array}