harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } _ { \mathrm { b i o } } ( \mathcal { D V } ) | \mathcal { N } _ { \mathrm { b i o } } ( \mathcal { D V } _ { 1 : l } ) } & { { } \sim \mathfrak { N } ( \mu _ { l } ( \mathcal { D V } ) , \sigma _ { l } ^ { 2 } ( \mathcal { D V } ) ) } \\ { \mu _ { l } ( \mathcal { D V } ) } & { { } = \Sigma _ { 0 } ( \mathcal { D V } , \mathcal { D V } _ { 1 : l } ) \Sigma _ { 0 } ( \mathcal { D V } _ { 1 : l } , \mathcal { D V } _ { 1 : l } ) ^ { - 1 } \left( \mathcal { M } _ { \sf N U F E B } ( \mathcal { D V } _ { 1 : l } ) - \mu _ { 0 } ( \mathcal { D V } _ { 1 : l } ) + \mu _ { 0 } ( \mathcal { D V } ) \right) } \\ { \sigma _ { l } ^ { 2 } } & { { } = \Sigma _ { 0 } ( \mathcal { D V } , \mathcal { D V } ) - \Sigma _ { 0 } ( \mathcal { D V } , \mathcal { D V } _ { 1 : l } ) \Sigma _ { 0 } ( \mathcal { D V } _ { 1 : l } , \mathcal { D V } _ { 1 : l } ) ^ { - 1 } \Sigma _ { 0 } ( \mathcal { D V } _ { 1 : l } , \mathcal { D V } ) } \end{array}
[ \Pi ( \Lambda ) P ] ( u ) = P \left\{ { \begin{array} { l l l l } { \eta } & { \zeta } & { \theta } & { } \\ { \alpha } & { \beta } & { \gamma } & { \; u } \\ { \alpha ^ { \prime } } & { \beta ^ { \prime } } & { \gamma ^ { \prime } } & { } \end{array} } \right\} ,
\eta = \left( \begin{array} { l } { { \eta ^ { 0 } } } \\ { { \eta _ { 1 } ^ { - } } } \\ { { \eta _ { 2 } ^ { + } } } \end{array} \right) , \quad \rho = \left( \begin{array} { l } { { \rho ^ { + } } } \\ { { \rho ^ { 0 } } } \\ { { \rho ^ { + + } } } \end{array} \right) , \quad \chi = \left( \begin{array} { l } { { \chi ^ { - } } } \\ { { \chi ^ { -- } } } \\ { { \chi ^ { 0 } } } \end{array} \right) ,
\mathcal { I } = \mathbb { E } _ { \chi ^ { \prime } } [ \mathcal { I } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( \sigma , \eta ) w ( \sigma , \eta ) ] , \quad \chi ^ { \prime } ( \sigma , \eta ) = \frac { | \mathcal { I } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( \sigma , \eta ) | \chi ( \sigma , \eta ) } { \mathbb { E } _ { \chi } [ | \mathcal { I } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( \sigma , \eta ) | ] } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal E ( J ( \mathrm { H e a p } ( \mathsf { s o r t } _ { \mathsf { c } ^ { ( n ) } } ( w _ { 0 } ) ) ) ) } & { \leq \mathcal E \! \left( J \! \left( R _ { ( 2 n - 1 - r ( c ^ { ( n ) } ) ) \times ( n + r ( c ^ { ( n ) } ) ) } \right) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { p } \left( 3 + 2 \sqrt { ( 1 - p ) ( 2 - \overline { r } ) ( 1 + \overline { { r } } ) } \right) n + o ( n ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \gamma } _ { k \sigma , i } } & { { } = \sum _ { p } U _ { p k } \hat { \gamma } _ { \textsc { p } , i } = \hat { G } _ { \sigma } ^ { ( A ) \dagger } \hat { \gamma } _ { k \sigma , i } \hat { G } _ { \sigma } ^ { ( A ) } , } \\ { \tilde { \gamma } _ { l \tau , i } } & { { } = \sum _ { q } V _ { q l } \hat { \gamma } _ { l \tau , i } = \hat { G } _ { \tau } ^ { ( B ) \dagger } \hat { \gamma } _ { l \tau , i } \hat { G } _ { \tau } ^ { ( B ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ^ { \omega } \left[ \langle M ^ { N , a } \rangle _ { t } \right] } & { \leq C ^ { \prime } e ^ { b t } \Big ( \frac { N ^ { 2 } } { N ^ { 2 n } } \sum _ { x , y \in V } r ( x , y ) \left( G _ { N } ^ { \lambda } ( y / N ) - G _ { N } ^ { \lambda } ( x / N ) \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { N ^ { 2 n } } \sum _ { x \in V } b G _ { N } ^ { \lambda } ( x / N ) ^ { 2 } \Big ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } } } & { { } \leftrightarrow S _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } } - c _ { \phi } \int A \wedge \tilde { A } + ( - ) ^ { q } \ell \Phi \wedge \tilde { A } _ { \psi } . } \end{array}
\mathcal { L } ^ { \prime } ( x ) = \eta ^ { 2 } \eta _ { W } \left( \bar { \psi } ( x ^ { \prime } ) \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { 0 } \frac { ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) } { 2 } \gamma ^ { 0 } \psi ( x ^ { \prime } ) W _ { 0 } ( x ^ { \prime } ) - \bar { \psi } ( x ^ { \prime } ) \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { i } \frac { ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) } { 2 } \gamma ^ { 0 } \psi ( x ^ { \prime } ) W _ { i } ( x ^ { \prime } ) \right)
\begin{array} { r l } { \lVert c ( p _ { i + 1 } ) - c ( \phi _ { \ell } ( p ) ) \rVert } & { \leq \lVert w - c ( \phi _ { \ell } ( p ) ) \rVert + \lVert c ( p _ { i + 1 } ) - w \rVert } \\ & { = \lVert c ( p _ { i } ) - c ( \phi _ { \ell } ( p ) ) \rVert - \lVert c ( p _ { i } ) - w \rVert + \lVert c ( p _ { i + 1 } ) - w \rVert } \\ & { \leq \lVert c ( p _ { i } ) - c ( \phi _ { \ell } ( p ) ) \rVert - \left( 1 + \frac { 3 \epsilon } { 4 } \right) r ^ { * } + \frac { \epsilon } { 1 6 } r ^ { * } } \\ & { \leq \lVert c ( p _ { i } ) - c ( \phi _ { \ell } ( p ) ) \rVert - \left( 1 + \frac { 5 \epsilon } { 8 } \right) r ^ { * } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \| \nabla u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } } & { = - \int _ { M } \partial _ { t } u ( t ) \Delta u ( t ) d \mu _ { \bar { g } } } \\ & { = - \int _ { M } \Bigl ( a ( t ) | \Delta u ( t ) | ^ { 2 } + c ( t ) u ( t ) \Delta u ( t ) + d ( t ) \Delta u ( t ) \Bigr ) d \mu _ { \bar { g } } } \\ & { \le - a _ { T } \| \Delta _ { \bar { g } } u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } + \| c ( t ) u ( t ) + d ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } \| \Delta _ { \bar { g } } u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } } \\ & { \le - a _ { T } \| \Delta _ { \bar { g } } u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } + a _ { T } \| \Delta _ { \bar { g } } u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 a _ { T } } \| c ( t ) u ( t ) + d ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 4 a _ { T } } \| c ( t ) u ( t ) + d ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { i \leftarrow n l m } ( \mathbf { r } ) } & { { } = Y _ { l m } ( \hat { \mathbf { r } } ) P ( 2 n + l , r / r _ { 0 } ) } \\ { P ( n , x ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { n } ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } & { x < 1 } \\ { 0 } & { x \ge 1 } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \sigma _ { 1 } + \varepsilon \xi } { \sigma _ { 1 } + 2 \xi } } & { = ( 1 - \frac { \xi } { \sigma _ { 1 } + 2 \xi } ) \frac { \sigma _ { 1 } } { \sigma _ { 1 } + \xi } + \frac { \xi } { \sigma _ { 1 } + 2 \xi } \varepsilon } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } \left( \frac { \sigma _ { 1 } } { \sigma _ { 1 } + \xi } , \varepsilon \right) . } \end{array}
L _ { 0 } = \mathrm { D i a g o n a l } ( 0 , 2 , 3 , 4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 6 , 6 , 7 , 7 , 7 , 7 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , \ldots )
\hat { Q } _ { 2 \mu } = \sqrt { \frac { 4 \pi } { 5 } } \int r ^ { 2 } Y _ { 2 \mu } ( \theta , \phi ) \hat { \rho } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \, d ^ { 3 } r = \sqrt { \frac { 4 \pi } { 5 } } \sum _ { a = 1 } ^ { N } q _ { a } r _ { a } ^ { 2 } Y _ { 2 \mu } ( \theta _ { a } , \phi _ { a } )
\beta _ { 0 } = \frac { { \left\langle { { r ^ { ( 0 ) } } , A { \delta ^ { ( 0 ) } } } \right\rangle } } { { { { \| { A { \delta ^ { ( 0 ) } } } \| } ^ { 2 } } } } \quad { \mathrm { a n d } } \quad { { \gamma _ { 0 } } = \frac { { \left\langle { { r ^ { ( \frac { 1 } { 2 } ) } } , A { \delta ^ { ( \frac { 1 } { 2 } ) } } } \right\rangle } } { { { { \| { A { \delta ^ { ( \frac { 1 } { 2 } ) } } } \| } ^ { 2 } } } } } \, .
\begin{array} { r l } { D _ { l m } ^ { Y } ( r ) } & { { } = \frac { 1 } { \omega \mu _ { 0 } } \left[ \frac { \sqrt { l ( l + 1 ) } B _ { l m } ^ { X } ( r ) } { r } - i \frac { d B _ { l m } ^ { Z } ( r ) } { d r } \right] } \\ { B _ { l m } ^ { X } ( r ) } & { { } = \frac { \sqrt { l ( l + 1 ) } E _ { l m } ^ { Y } ( r ) } { \omega r } } \\ { B _ { l m } ^ { Z } ( r ) } & { { } = \frac { - i } { \omega } \frac { d E _ { l m } ^ { Y } ( r ) } { d r } } \\ { B _ { l m } ^ { Y } ( r ) } & { { } = - \frac { 1 } { \omega } \left[ \frac { \sqrt { l ( l + 1 ) } E _ { l m } ^ { X } ( r ) } { r } - i \frac { d E _ { l m } ^ { Z } ( r ) } { d r } \right] } \\ { D _ { l m } ^ { X } ( r ) } & { { } = - \frac { \sqrt { l ( l + 1 ) } B _ { l m } ^ { Y } ( r ) } { \omega \mu _ { 0 } r } } \\ { D _ { l m } ^ { Z } ( r ) } & { { } = \frac { i } { \omega \mu _ { 0 } } \frac { d B _ { l m } ^ { Y } ( r ) } { d r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \gamma } _ { k \sigma , i } ^ { ( 2 _ { \alpha } ) } } & { = \sum _ { p } U _ { t k p } ^ { ( 2 ) } \hat { \gamma } _ { p \sigma , i } , } \\ { \tilde { \gamma } _ { l \sigma , i } ^ { ( A _ { 2 \beta } ) } } & { = \sum _ { p } \tilde { U } _ { t l p } ^ { ( 2 ) } \hat { \gamma } _ { p \sigma , i } , } \\ { \tilde { \gamma } _ { l \sigma , i } ^ { ( B _ { 2 \beta } ) } } & { = \sum _ { q } V _ { t l q } ^ { ( 2 ) } \hat { \gamma } _ { q \sigma , i } , } \\ { \tilde { \gamma } _ { n \sigma , i } ^ { ( A _ { S } ) } } & { = \sum _ { p } U _ { n p } ^ { ( s ) } \hat { \gamma } _ { p \sigma , i } , } \\ { \tilde { \gamma } _ { n \sigma , i } ^ { ( B _ { S } ) } } & { = \sum _ { q } V _ { n q } ^ { ( s ) } \hat { \gamma } _ { q \sigma , i } . } \end{array}
V _ { d } ^ { + } ( \epsilon ) = \epsilon ^ { d - 1 } \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { M ( \epsilon ) } \cdots \sum _ { n _ { d - 1 } = 0 } ^ { M ( \epsilon ) } \sqrt { 1 - \epsilon ^ { 2 } ( n _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + n _ { d - 1 } ^ { 2 } ) } - \epsilon ^ { d } \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { M ( \epsilon ) } \cdots \sum _ { n _ { d - 1 } = 0 } ^ { M ( \epsilon ) } \eta \left( \frac { 1 } { \epsilon } \right) \, .
{ \boldsymbol { \cal X } } = D ^ { - 1 } \langle \widehat { \cal D } , { \mathbf { X } } _ { \widehat { H } } \rangle + \hbar D ^ { - 1 \! } \operatorname { d i v } \! \big ( D \operatorname { T r } ( { \mathbf { X } } _ { \widehat { H } } \wedge \widehat { \boldsymbol \Gamma } ) \big )
\langle f _ { j } | O | \psi \rangle = \sum _ { i = 1 } ^ { n } c _ { i } \langle f _ { j } | O | e _ { i } \rangle = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \langle f _ { j } | e _ { i } \rangle \langle f _ { i } | h \rangle = \langle f _ { j } | h \rangle , \quad \forall j
\mathrm { c o C o m m } \{ 1 \} ( n ) \otimes _ { S _ { n } } \bigoplus _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { n } } \mathrm { I n d } _ { S _ { i _ { 1 } } \times \ldots \times S _ { i _ { n } } } ^ { S _ { i _ { 1 } + \ldots + i _ { n } } } \mathrm { c o L i e } \{ 1 \} ( i _ { 1 } ) \otimes _ { k } \ldots \otimes _ { k } \mathrm { c o L i e } \{ 1 \} ( i _ { n } ) \longrightarrow \bigoplus _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { n } } \mathcal { O } ( i _ { 1 } + \ldots i _ { n } ) [ 1 ] \: ,
\begin{array} { r l r } { | | \Phi | | _ { W _ { \mu } ^ { k , 2 } } : = \left( \sum _ { j = 0 } ^ { k } \int _ { M } \left| t ^ { j - \mu } \nabla _ { A } ^ { j } \Phi \right| ^ { 2 } t ^ { - 7 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } & { } & { | | \Phi | | _ { C _ { \mu } ^ { k } } : = \sum _ { j = 0 } ^ { k } \operatorname* { s u p } _ { M } \left| t ^ { j - \mu } \nabla _ { A } ^ { j } \Phi \right| } \end{array}
- \, { \frac { a } { 2 ! \, \Lambda ^ { 2 } } } \left\{ [ D _ { \mu } , D _ { \nu } ] \phi \right\} ^ { \dagger } [ D ^ { \mu } , D ^ { \nu } ] \phi + { \frac { \tilde { b } \, \kappa ^ { 2 } } { 2 ! \, \Lambda ^ { 2 } } } ( \phi ^ { \dagger } \stackrel { \leftrightarrow } { D ^ { \mu } } \phi ) ( \phi ^ { \dagger } \stackrel { \leftrightarrow } { D _ { \mu } } \phi ) ~ ,
\begin{array} { l c l } { { \delta _ { s u p e r } \xi _ { \alpha } } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { i } { 2 } ( \gamma _ { 5 } \gamma ^ { \mu } \epsilon ) _ { \alpha } \frac { A _ { \mu } } { g } - \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { \alpha } \phi + { \frac { 1 } { 2 } } \left( \gamma _ { 5 } \epsilon \right) _ { \alpha } N , } } \\ { { \delta _ { s u p e r } A _ { \mu } } } & { { = } } & { { i g \bar { \epsilon } \gamma _ { 5 } \left( \gamma _ { \mu } \sqrt { 2 } \Psi + i \gamma ^ { \nu } \gamma _ { \mu } \partial _ { \nu } \xi \right) , } } \\ { { \delta _ { s u p e r } \phi } } & { { = } } & { { - \bar { \epsilon } \left( \sqrt { 2 } \Psi - i \gamma ^ { \nu } \partial _ { \nu } \xi \right) , } } \\ { { \delta _ { s u p e r } N } } & { { = } } & { { \bar { \epsilon } \gamma _ { 5 } \left( \sqrt { 2 } \Psi + i \gamma ^ { \nu } \partial _ { \nu } \xi \right) , } } \\ { { \delta _ { s u p e r } \Psi _ { \alpha } } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } ( \gamma _ { 5 } \gamma ^ { \nu } \gamma ^ { \mu } \epsilon ) _ { \alpha } \frac { \partial _ { \mu } A _ { \nu } } { g } + \frac { i } { 2 } ( \gamma ^ { \mu } \epsilon ) _ { \alpha } \partial _ { \mu } \phi - { \frac { i } { 2 } } \left( \gamma _ { 5 } \gamma ^ { \mu } \epsilon \right) _ { \alpha } \partial _ { \mu } N . } } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { C _ { 1 1 } } & { C _ { 1 2 } } \\ { C _ { 2 1 } } & { C _ { 2 2 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { A _ { 1 1 } B _ { 1 1 } + A _ { 1 2 } B _ { 2 1 } } & { A _ { 1 1 } B _ { 1 2 } + A _ { 1 2 } B _ { 2 2 } } \\ { A _ { 2 1 } B _ { 1 1 } + A _ { 2 2 } B _ { 2 1 } } & { A _ { 2 1 } B _ { 1 2 } + A _ { 2 2 } B _ { 2 2 } } \end{array} \right] } .
\{ ( { \bf Q } _ { 1 } ) , ( { \bf Q } _ { 2 } ) , ( { \bf Q } _ { 3 } ) , ( { \bf Q } _ { 4 } ) \} _ { a b } = \left\{ \begin{array} { c c } { { \{ 1 , ( 2 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , ( 2 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , 1 \} } } & { { \mathrm { f o r ~ } a = b ; a \mathrm { ~ o d d , } } } \\ { { \{ - ( 2 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } i t , i , i , - ( 2 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } i t ^ { - 1 } \} } } & { { \mathrm { f o r ~ } a = b ; a \mathrm { e v e n , } } } \\ { { \{ i , - ( 2 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } i , ( 2 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } i , - i \} } } & { { \mathrm { f o r ~ } a = b - 1 ; a \mathrm { o d d , } } } \\ { { \{ ( 2 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } t , 1 , - 1 , - ( 2 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } t ^ { - 1 } \} } } & { { \mathrm { f o r ~ } a = b - 1 ; a \mathrm { e v e n , } } } \\ { { \{ 0 , 0 , 0 , 0 \} } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e . } } } \end{array} \right.
g _ { \mathrm { ~ a ~ c ~ t ~ i ~ v ~ i ~ t ~ y ~ } } = \frac { N _ { \mathrm { ~ a ~ c ~ t ~ i ~ v ~ i ~ t ~ y ~ } } } { \sum _ { \mathrm { ~ g ~ r ~ o ~ u ~ p ~ } } N _ { \mathrm { ~ a ~ c ~ t ~ i ~ v ~ i ~ t ~ y ~ } } }
\begin{array} { r l } { U _ { \Delta _ { 2 } } = } & { { } \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } \bar { 3 } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } \mathrm { { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } \bar { 3 } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } \mathrm { { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } \bar { 3 } } } } \right) { \eta _ { 1 } } + \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } \bar { 3 } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 1 ^ { \prime } } } } \\ { + } & { { } \left( { { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } \bar { 3 } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } \mathrm { { 3 } } } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 2 ^ { \prime } } } + \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } \mathrm { { 2 ^ { \prime } } } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } \bar { 3 } \mathrm { { 2 ^ { \prime } } } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } \mathrm { { 2 ^ { \prime } } } } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } \mathrm { { 2 ^ { \prime } } } } } } \right) { \eta _ { 3 ^ { \prime } } } . } \end{array}
\displaystyle { \left[ 2 \overline { { \alpha } } ( 1 - \overline { { \alpha } } ) + \overline { { \beta } } ( 1 - \overline { { \beta } } ) \right] \left( 1 + \frac { 3 } { 1 6 } a _ { 2 0 } \right) - \theta \frac { \overline { { \beta } } ^ { 2 } } { \kappa } \left( 1 - \frac { a _ { 2 0 } } { 1 6 } + \frac { a _ { 1 1 } } { 4 } \right) }
\gamma _ { ( o ) _ { E 8 } } \gamma _ { ( o ) _ { E 8 } } = \gamma _ { ( o ) _ { E 8 } } ( \gamma _ { ( o ) _ { 1 6 } } + \gamma _ { ( s ) _ { 1 6 } } ) \rightarrow \mathrm { T r u n c a t i o n } \rightarrow \gamma _ { ( v ) _ { 8 } } - \gamma _ { ( s ) _ { 8 } } \,
- \lambda ^ { 8 } + 1 0 \lambda ^ { 6 } \langle \omega ^ { 2 } \rangle - 1 5 \lambda ^ { 4 } \langle \omega ^ { 4 } \rangle + 7 \lambda ^ { 2 } \langle \omega ^ { 6 } \rangle - \langle \omega ^ { 8 } \rangle
\langle F _ { 1 } m _ { 1 } | d _ { \pm } | F _ { 2 } m _ { 2 } \rangle = ( - 1 ) ^ { F _ { 1 } - m _ { 1 } } \langle F _ { 1 } m _ { 1 } | d | F _ { 2 } m _ { 2 } \rangle \left( \begin{array} { l l l } { F _ { 1 } } & { 1 } & { F _ { 2 } } \\ { - m _ { 1 } } & { \pm 1 } & { m _ { 2 } } \end{array} \right) ,
{ \begin{array} { r l } { H ( x ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } - { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { 1 } { \tau + i \varepsilon } } e ^ { - i x \tau } d \tau } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { 1 } { \tau - i \varepsilon } } e ^ { i x \tau } d \tau . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { - i \omega v _ { r } } & { = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p ^ { \prime } } { \partial r } - \nu _ { o } \left[ \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \frac { \partial v _ { \phi } } { \partial r } \right) - \frac { v _ { \phi } } { r ^ { 2 } } \right] , } \\ { - i \omega v _ { \phi } } & { = \nu _ { o } \left[ \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \frac { \partial v _ { r } } { \partial r } \right) - \frac { v _ { r } } { r ^ { 2 } } \right] , } \\ { - i \omega v _ { z } } & { = - \frac { i k } { \rho } p ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { \mathbf { Q } _ { i } ^ { n * } } & & { = \mathbf { Q } _ { i } ^ { n } + \Delta t \left( - \delta _ { 1 } \frac { \mathbf { F } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { n } - \mathbf { F } _ { i - \frac { 1 } { 2 } } ^ { n } } { \Delta x } + \delta _ { 1 } \mathbf { S } _ { i } ^ { n * } \right) } \\ & { \mathbf { Q } _ { i } ^ { n + 1 } } & & { = \mathbf { Q } _ { i } ^ { n } - \Delta t \left( \delta _ { 2 } \frac { \mathbf { F } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { n } - \mathbf { F } _ { i - \frac { 1 } { 2 } } ^ { n } } { \Delta x } + ( 1 - \delta _ { 2 } ) \frac { \mathbf { F } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { n * } - \mathbf { F } _ { i - \frac { 1 } { 2 } } ^ { n * } } { \Delta x } \right) + \Delta t \left( ( 1 - \delta _ { 1 } ) \mathbf { S } _ { i } ^ { n * } + \delta _ { 1 } \mathbf { S } _ { i } ^ { n + 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 0 , 0 } } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \frac { 1 } { \mathrm { P r } \big [ E _ { t } = 0 \big ] } \mathrm { P r } \big [ E _ { t + 1 } = 0 \big | X _ { t } = n , \hat { X } _ { t } = n \big ] \mathrm { P r } \big [ X _ { t } = n , \hat { X } _ { t } = n \big ] } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \frac { 1 } { N } \mathrm { P r } \big [ E _ { t + 1 } = 0 \big | X _ { t } = n , \hat { X } _ { t } = n \big ] . } \end{array}
S _ { c } ^ { < } ( x ^ { 0 } - \tau ^ { 0 } + i \beta , \vec { p } ) \, S _ { c } ^ { > } ( \tau ^ { 0 } - i \beta - y ^ { 0 } , \vec { p } ) = S _ { c } ^ { > } ( x ^ { 0 } - \tau ^ { 0 } , \vec { p } ) \, S _ { c } ^ { < } ( \tau ^ { 0 } - y ^ { 0 } , \vec { p } )
\begin{array} { r l r } { \langle x _ { i } \rangle } & { { } = } & { 0 } \\ { \langle x _ { i } x _ { j } \rangle } & { { } = } & { \delta _ { i j } ( \Delta x _ { i } ) ^ { 2 } = \frac { \delta _ { i j } } { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } A } { \partial \mu _ { i j } \partial \mu _ { l m } } \mu _ { i j } \mu _ { l m } + \frac { 1 } { 6 } \frac { \partial ^ { 3 } A } { \partial \mu _ { i j } \partial \mu _ { l m } \partial \mu _ { p q } } \mu _ { i j } \mu _ { l m } \mu _ { p q } + \frac { 1 } { 2 4 } \frac { \partial ^ { 4 } A } { \partial \mu _ { i j } \partial \mu _ { l m } \partial \mu _ { p q } \partial \mu _ { r s } } \mu _ { i j } \mu _ { l m } \mu _ { p q } \mu _ { r s } + \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi ^ { \pi } ( s , a ) } & { = \mathrm { V a r } _ { s , a } ^ { \pi } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \gamma ^ { k } r _ { \pi } ( S _ { k } ) \right) } \\ & { = \mathrm { V a r } _ { s , a } ^ { \pi } \left( \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \sum _ { k = { \tau _ { j } } } ^ { \tau _ { j + 1 } - 1 } \gamma ^ { k } r _ { \pi } ( S _ { k } ) \right) } \\ & { \leq 2 \mathrm { V a r } _ { s , a } ^ { \pi } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \tau _ { 1 } - 1 } \gamma ^ { k } r _ { \pi } ( S _ { k } ) \right) + 2 \mathrm { V a r } _ { s , a } ^ { \pi } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \sum _ { k = { \tau _ { j } } } ^ { \tau _ { j + 1 } - 1 } \gamma ^ { k } r _ { \pi } ( S _ { k } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { k e r } \left( \mathsf { F } _ { \mathrm { K i r } } \right) \cap \mathrm { k e r } \left( \mathsf { F } _ { \mathrm { T } } \right) = \mathrm { k e r } \left( \mathsf { F } _ { \mathrm { c u r } } \right) \oplus \mathrm { k e r } \left( \mathsf { F } _ { \mathrm { v o l } } \right) \, , } \end{array}
[ { \Pi } _ { a } ( \theta ) , J _ { b } ^ { 1 } ( { \theta } ^ { ' } ) ] = i f _ { a b c } J _ { c } ^ { 1 } ( \theta ) + \frac { T r T _ { a } T _ { b } } { r ^ { 2 } } { \partial } _ { \theta } { \delta } ( \theta - { \theta } ^ { ' } ) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { B , \Theta } ~ } & { \frac { 1 } { n } \| Y - X B \| _ { F } ^ { 2 } + \frac { 1 } { n } \operatorname { t r } \left( Y ^ { T } Y \Theta \right) - \log \det ( \Theta ) } \\ & { + \lambda _ { 1 } | | B | | _ { 1 } - \tau | | B | | _ { 2 , 1 } + \lambda _ { 2 } \| \Theta \| _ { 1 } } \\ & { + \gamma \sum _ { ( k , m ) } \left| \theta _ { k m } \right| \cdot \left\| \beta _ { . k } + \operatorname { s g n } \left( \theta _ { k m } \right) \beta _ { . m } \right\| _ { 1 } . } \end{array}
b _ { a } = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \left( 3 C _ { a } - \sum _ { i } C _ { a } ^ { i } \right) ; \quad b _ { a } ^ { \prime } = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \left( C _ { a } - \sum _ { i } C _ { a } ^ { i } \right) .
\chi _ { + } \chi _ { - } - \chi _ { - } \chi _ { + } + ( 1 - r ^ { 2 } ) \chi _ { 2 } \chi _ { 1 } - ( 1 - r ^ { 2 } ) \chi _ { 2 } \chi _ { 2 } = r ( \chi _ { 1 } - \chi _ { 2 } )
M _ { j } ^ { i } = 0 , \qquad \tilde { B } ^ { j _ { 1 } \cdots j _ { s } } = 0 , \qquad B _ { i _ { 1 } \cdots i _ { s } } = m ^ { N _ { c } } \ \epsilon _ { 1 2 . . . N _ { c } i _ { 1 } \cdots i _ { s } } .
{ \cal { H } } ( \Psi ^ { a } , { \Psi ^ { a } } ^ { \dagger } ; S ^ { i } , { S ^ { i } } ^ { \dagger } ) = { \cal { H } } _ { V } ( \Psi ^ { a } , { \Psi ^ { a } } ^ { \dagger } ) + { \cal { H } } _ { H } ( S ^ { i } , { S ^ { i } } ^ { \dagger } ) ,
L ( \theta ) = \frac { r _ { d } } { s } \sum _ { i = 1 } ^ { s } \left[ d _ { i } - \hat { \phi } ( x _ { i } ; \theta ) \right] ^ { 2 } + r _ { p } \int _ { \Omega } d x \left[ D [ \hat { \phi } ( x ; \theta ) ] ( x ) - f ( x ) \right] ^ { 2 } ,
{ \begin{array} { r l } & { \int ( d + e \, x ) ^ { m } ( A + B \, x ) \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p } d x = { \frac { ( d + e \, x ) ^ { m + 1 } ( A \, e ( m + 2 p + 2 ) - B \, d ( 2 p + 1 ) + e \, B ( m + 1 ) x ) \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p } } { e ^ { 2 } ( m + 1 ) ( m + 2 p + 2 ) } } \, + \, { \frac { 1 } { e ^ { 2 } ( m + 1 ) ( m + 2 p + 2 ) } } p \, \cdot } \\ & { \qquad \int ( d + e \, x ) ^ { m + 1 } ( B ( b \, d + 2 a \, e + 2 a \, e \, m + 2 b \, d \, p ) - A \, b \, e ( m + 2 p + 2 ) + ( B ( 2 c \, d + b \, e + b \, e m + 4 c \, d \, p ) - 2 A \, c \, e ( m + 2 p + 2 ) ) x ) \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p - 1 } d x } \end{array} }
{ \frac { 1 } { 2 } } m _ { 1 } u _ { 1 } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } m _ { 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } \ = \ { \frac { 1 } { 2 } } m _ { 1 } v _ { 1 } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } m _ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } .