harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } A ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } B ^ { 2 } + \lambda _ { 3 } A B + \lambda _ { 4 } A + \lambda _ { 5 } B + \lambda _ { 6 } } & { { } = 0 } \\ { \mu _ { 1 } A ^ { 2 } + \mu _ { 2 } B ^ { 2 } + \mu _ { 3 } A B + \mu _ { 4 } A + \mu _ { 5 } B + \mu _ { 6 } } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { 0 , y } ( Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { i , \varepsilon } - y _ { i } ) ( Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { j , \varepsilon } - y _ { j } ) } & { = \mathbf { E } _ { 0 , y } ( V _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { i , \varepsilon } - y _ { i } + \theta ^ { i } ( Y _ { \tau } ^ { \varepsilon } ) X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) ( V _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { j , \varepsilon } - y _ { j } + \theta ^ { j } ( Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) } \\ & { = \mathbf { E } _ { 0 , y } ( V _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { i , \varepsilon } - y _ { i } ) ( V _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { j , \varepsilon } - y _ { j } ) } \\ & { + \mathbf { E } _ { 0 , y } ( V _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { i , \varepsilon } - y _ { i } ) \theta ^ { j } ( Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } } \\ & { + \mathbf { E } _ { 0 , y } \theta ^ { i } ( Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ( V _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { j , \varepsilon } - y _ { j } ) } \\ & { + \mathbf { E } _ { 0 , y } \theta ^ { i } ( Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) \theta ^ { j } ( Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) | X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { V _ { 1 2 } } } & { { = } } & { { \displaystyle 2 ^ { 2 } \cos [ k _ { 1 \lambda _ { 1 } } \wedge k _ { 2 \lambda _ { 2 } } + ( p _ { \lambda } + q _ { \lambda } ) \wedge ( k _ { 1 \lambda _ { 1 } } - k _ { 2 \lambda _ { 2 } } ) ] \cos ( p _ { \lambda } \wedge q _ { \lambda } ) , } } \\ { { V _ { 3 4 } } } & { { = } } & { { \displaystyle 2 ^ { 2 } \cos [ k _ { 3 \lambda _ { 3 } } \wedge k _ { 4 \lambda _ { 4 } } + ( p _ { \lambda } + q _ { \lambda } ) \wedge ( k _ { 3 \lambda _ { 3 } } - k _ { 4 \lambda _ { 4 } } ) ] \cos ( p _ { \lambda } \wedge q _ { \lambda } ) , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i , k } ^ { i \neq k } \bar { F } _ { i i } \left[ \langle N | Q _ { i } ^ { 2 } | N \rangle \langle N | \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Q _ { k } ^ { 2 } } | N \rangle \right] } \\ & { } & { = - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i , k } ^ { i \neq k } \bar { F } _ { i i } \frac { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \langle n _ { i } | Q _ { i } ^ { 2 } | n _ { i } \rangle \exp \{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \} } { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \exp \{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \} } \frac { \sum _ { n _ { k } = 0 } ^ { \infty } \langle n _ { k } | { \partial ^ { 2 } } / { \partial Q _ { k } ^ { 2 } } | n _ { k } \rangle \exp \{ - \beta ( n _ { k } + 1 / 2 ) \omega _ { k } \} } { \sum _ { n _ { k } = 0 } ^ { \infty } \exp \{ - \beta ( n _ { k } + 1 / 2 ) \omega _ { k } \} } } \\ & { } & { = - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i , k } ^ { i \neq k } \bar { F } _ { i i } \left[ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } \right] \left[ \left\langle \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Q _ { k } ^ { 2 } } \right\rangle _ { 0 } \right] = - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i , k } ^ { i \neq k } \bar { F } _ { i i } \frac { f _ { i } + 1 / 2 } { \omega _ { i } } \left\{ - { \omega _ { k } ( f _ { k } + 1 / 2 ) } \right\} = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , k } ^ { i \neq k } \tilde { \bar { F } } _ { i i } \omega _ { k } ( f _ { i } + 1 / 2 ) ( f _ { k } + 1 / 2 ) , } \end{array}
\operatorname { P } [ p _ { j } ] = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \operatorname { e r f } \left( \left( j + { \frac { 1 } { 2 } } \right) \delta p \cdot { \frac { 1 } { \sqrt { \hbar m \omega } } } \right) - \operatorname { e r f } \left( \left( j - { \frac { 1 } { 2 } } \right) \delta x \cdot { \frac { 1 } { \sqrt { \hbar m \omega } } } \right) \right]
\begin{array} { r l } { = } & { { } \int _ { s } ^ { t } \textbf { F } ( t ^ { \prime } ) \times \left( \nabla _ { \textbf { k } } \times \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } \right) \mathrm { d } t ^ { \prime } + \int _ { s } ^ { t } \left( \textbf { F } ( t ^ { \prime } ) \cdot \nabla _ { \textbf { k } } \right) \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } \mathrm { d } t ^ { \prime } } \\ { = } & { { } \int _ { s } ^ { t } \textbf { F } ( t ^ { \prime } ) \times \left( \mathbf { \Omega } _ { c } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) } - \mathbf { \Omega } _ { v } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) } \right) \mathrm { d } t ^ { \prime } - \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) } \bigg | _ { t ^ { \prime } = s } ^ { t ^ { \prime } = t } , } \end{array}
Q _ { \mathrm { i n - m } } ( I _ { \mathrm { b e a m } } ) = \frac { Q _ { \mathrm { m e a s } } } { G _ { \mathrm { n o m } } } = \frac { Q _ { \mathrm { i n - s } } ( I _ { \mathrm { b e a m } } ) \times G _ { \mathrm { e f f } } ( I _ { \mathrm { b e a m } } ) } { G _ { \mathrm { n o m } } } .
\begin{array} { r l } { { \bf { V } } _ { N _ { T } } } & { = ( { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } + { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } ^ { L } ) { \bf { I } } _ { N _ { T } } + { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { R } } { \bf { I } } _ { N _ { R } } } \\ & { \quad + { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { S } } { \bf { I } } _ { N _ { R } } } \\ & { \approx ( { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } + { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } ^ { L } ) { \bf { I } } _ { N _ { T } } } \\ { { \bf { I } } _ { N _ { T } } } & { \approx ( { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } + { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } ^ { L } ) ^ { - 1 } { \bf { V } } _ { N _ { T } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { n } ( M _ { n + 1 } ^ { 2 q } ) } & { \leq | s M _ { n } | ^ { 2 q } + 2 q | s M _ { n } | ^ { 2 ( q - 1 ) } \mathbb { E } _ { n } ( s M _ { n } K _ { n } ) + \sum _ { i = 2 } ^ { 2 q } C _ { 2 q } ^ { i } \mathbb { E } _ { n } [ | s \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 q - i } | K _ { n } | ^ { i } ] } \\ & { \leq | s M _ { n } | ^ { 2 q } + 2 q | s M _ { n } | ^ { 2 q - 1 } \mathbb { E } g _ { n } + \ \sum _ { i = 0 } ^ { 2 q - 2 } \left( \begin{array} { c } { 2 q } \\ { i + 2 } \end{array} \right) \mathbb { E } _ { n } \left[ | s M _ { n } | ^ { 2 q - 2 - i } | K _ { n } | ^ { l } | K _ { n } | ^ { 2 } \right] } \\ & { = | s M _ { n } | ^ { 2 q } + 2 q | s M _ { n } | ^ { 2 q - 1 } \lambda \gamma C _ { 2 } + ( \begin{array} { c } { 2 q } \\ { 2 } \end{array} ) \sum _ { i = 0 } ^ { 2 q - 2 } ( \begin{array} { c } { 2 q - 2 } \\ { i } \end{array} ) C _ { 2 q - 2 } ^ { i } \mathbb { E } _ { n } \left[ | s M _ { n } | ^ { 2 q - 2 - i } | K _ { n } | ^ { l + 2 } \right] } \\ & { \leq | s M _ { n } | ^ { 2 q } + 2 q | s M _ { n } | ^ { 2 q - 1 } \lambda \gamma C _ { 2 } + q ( 2 q - 1 ) \mathbb { E } _ { n } \left[ ( | s M _ { n } | + | K _ { n } | ) ^ { 2 q - 2 } | K _ { n } | ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq s | M _ { n } | ^ { 2 q } + 2 q | M _ { n } | ^ { 2 q - 1 } \lambda \gamma C _ { 2 } } \\ & { + q ( 2 q - 1 ) 2 ^ { 2 q - 3 } | M _ { n } | ^ { 2 q - 2 } \mathbb { E } _ { n } | K _ { n } | ^ { 2 } + q ( 2 q - 1 ) 2 ^ { 2 q - 3 } \mathbb { E } _ { n } | K _ { n } | ^ { 2 q } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal G _ { \mathrm { E C C } } ( \hat { U } ) } & { = \mathcal G _ { \mathrm { E C C } } ( \hat { T } , \hat { \Lambda } ) } \\ & { = \Vert e ^ { - \hat { T } ^ { \dagger } } e ^ { \hat { \Lambda } } \Vert _ { { L ^ { 2 } } } \Vert e ^ { \hat { T } } - I \Vert _ { { L ^ { 2 } } } + \Vert e ^ { - \hat { T } ^ { \dagger } } e ^ { \hat { \Lambda } } - I \Vert _ { { L ^ { 2 } } } + K \Vert \phi _ { 0 } \Vert _ { H ^ { 1 } } \Vert e ^ { - \hat { T } ^ { \dagger } } \Vert _ { { L ^ { 2 } } } \Vert e ^ { \hat { T } } \Vert _ { { L ^ { 2 } } } \Vert e ^ { \hat { \Lambda } } - I \Vert _ { { L ^ { 2 } } } . } \end{array}
b _ { i , j } ^ { ( 2 ) } = \bigg [ ( a _ { i , j } ^ { ( 1 ) } + \theta _ { i , j } ^ { ( 1 ) } ) - \frac { ( a _ { i , 1 } ^ { ( 1 ) } + \theta _ { i , 1 } ^ { ( 1 ) } ) ( a _ { 1 , j } ^ { ( 1 ) } + \theta _ { 1 , j } ^ { ( 1 ) } ) } { ( a _ { 1 , 1 } ^ { ( 1 ) } + \theta _ { 1 , 1 } ^ { ( 1 ) } ) } \bigg ] + a _ { i , j } ^ { ( 2 ) } - \bigg [ a _ { i , j } ^ { ( 1 ) } - \frac { a _ { i , 1 } ^ { ( 1 ) } a _ { 1 , j } ^ { ( 1 ) } } { a _ { 1 , 1 } ^ { ( 1 ) } } \bigg ] = a _ { i , j } ^ { ( 2 ) } + \theta _ { i , j } ^ { ( 2 ) } ,
\begin{array} { r l } { A } & { { } = { \sqrt { 2 } } + { \sqrt { 3 } } , } \\ { B } & { { } = { \sqrt { 2 } } - { \sqrt { 3 } } , } \\ { C } & { { } = - { \sqrt { 2 } } + { \sqrt { 3 } } , } \\ { D } & { { } = - { \sqrt { 2 } } - { \sqrt { 3 } } . } \end{array}
V _ { c h } ^ { ( 2 ) } = - \frac { g ^ { 2 } } { 2 } [ G _ { \mu \mu } ( x , x ) G _ { \nu \nu } ( x , x ) + G _ { \mu \nu } ( x , x ) G _ { \nu \mu } ( x , x ) - 2 G _ { \mu \nu } ( x , x ) G _ { \mu \nu } ( x , x ) ] ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \sum _ { k = 0 } ^ { n } d _ { k } } \sum _ { k = 0 } ^ { n } d _ { k } \left( f ( x _ { k } ) - f _ { * } \right) } & { \leq \frac { 8 D } { ( n + 1 ) } \sqrt { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } } + \frac { 4 D } { n + 1 } \left( 2 \sqrt { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } } + 2 \frac { G ^ { 2 } } { \| g _ { 0 } \| } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { r _ { b } ^ { 3 } g \kappa \left[ \frac { 4 \kappa ^ { 2 } - 3 } { 4 \kappa \sqrt { \kappa ^ { 2 } - 1 } } \theta ( \kappa - 1 ) - 1 \right] \approx r _ { b } ^ { 3 } g \kappa \left[ \theta ( \kappa - 1 ) - 1 - \frac { \theta ( \kappa - 1 ) } { 4 \kappa ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
( a ^ { - 1 } ) _ { k - N ( a ) } a _ { N ( a ) } + \sum _ { l = k - N ( a ) + 1 } ^ { - N ( a ) } \sum _ { m = k - N ( a ) } ^ { l } { \binom { l } { m } } ( a ^ { - 1 } ) _ { l } D ^ { l - m } ( a _ { k - m } ) = 0 .
\begin{array} { r l } { \omega _ { k } ^ { \pm } } & { = : \omega _ { a } \pm \omega _ { k } = \Omega - \frac { \Phi _ { 1 } } { 2 \Phi _ { 2 } } } \\ & { \pm \sqrt { \left( \frac { \Phi _ { 1 } } { 2 \Phi _ { 2 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { \Phi _ { 2 } } \left[ ( 2 k + 1 ) \pi - \Phi _ { 0 } - i | \log \mathcal { A } | \right] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \widehat { L } , t ) f ( \widehat { L } ) \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } , t ) + P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | } & { { } \widehat { L } , t ) \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } f ( \widehat { L } ) P ( \widehat { L } , t ) = } \end{array}
\begin{array} { r } { \bigoplus _ { \mu } \left\{ f \in \bigotimes _ { v } \operatorname { I n d } _ { B ( \mathbb { Q } _ { v } ) } ^ { \mathrm { S L } _ { 2 } ( \mathbb { Q } _ { v } ) } \left( \mu _ { v } | \cdot | ^ { k - 1 } \right) \, \middle | \, \mathrm { ~ f ~ g e n e r a t e s ~ \mathcal { D } _ k ^ \pm ~ } \right\} = \bigoplus _ { \mu , \mu _ { \infty } = \operatorname { s g n } ^ { k } } \left( \bigotimes _ { v < \infty } \operatorname { I n d } _ { B ( \mathbb { Q } _ { v } ) } ^ { \mathrm { S L } _ { 2 } ( \mathbb { Q } _ { v } ) } \left( \mu _ { v } | \cdot | ^ { k - 1 } \right) \right) \otimes \mathcal { D } _ { k } ^ { \pm } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta E \approx \frac { 2 \pi } { 3 } Z ^ { 2 } \alpha \frac { \left< r _ { N } ^ { 2 } \right> } { a _ { 0 } ^ { 3 } } \approx 1 5 0 \frac { \mathrm { ~ G ~ H ~ z ~ } } { \mathrm { ~ f ~ m ~ } ^ { 2 } } \left< r _ { N } ^ { 2 } \right> \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \tau _ { R } = } & { { } I m \left[ \frac { G ^ { \prime } ( 0 ) } { G ( 0 ) } \right] - 2 \mathrm { ~ i ~ } \sum _ { p _ { \ell } \in \mathrm { ~ i ~ } \mathbb { R } } \frac { \nu _ { p _ { \ell } } } { p _ { \ell } } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert \hat { \xi } _ { 3 j + 1 } - \hat { \xi } _ { 3 j } \vert } & { = \vert \xi _ { 2 j } ^ { r } - \xi _ { 2 j } ^ { l } \vert = G _ { \Delta x } ( 0 , x _ { 2 j } + ) - G _ { \Delta x } ( 0 , x _ { 2 j } ) , } \\ { \vert \hat { \xi } _ { 3 j + 2 } - \hat { \xi } _ { 3 j + 1 } \vert } & { = \vert \xi _ { 2 j + 1 } - \xi _ { 2 j } ^ { r } \vert = \Delta x + G _ { \Delta x } ( 0 , x _ { 2 j + 1 } ) - G _ { \Delta x } ( 0 , x _ { 2 j } + ) , } \\ { \vert \hat { \xi } _ { 3 j + 3 } - \hat { \xi } _ { 3 j + 2 } \vert } & { = \vert \xi _ { 2 j + 2 } - \xi _ { 2 j + 1 } \vert = \Delta x + G _ { \Delta x } ( 0 , x _ { 2 j + 2 } ) - G _ { \Delta x } ( 0 , x _ { 2 j + 1 } ) , } \end{array}
\mathrm { R e L U } ( x ) = \operatorname* { m a x } _ { x } ( 0 , x ) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathrm { P R e L U } ( x ) = \operatorname* { m a x } ( 0 , x ) + a \operatorname* { m i n } ( 0 , x ) \, ,
K _ { 0 } - K _ { 1 } = L \left\{ \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } - \frac { \delta v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } - 1 \right\} . \eqno ( 6 1 )
\frac { \partial } { \partial t } \, G \; = \; - \, F _ { g g } \; G \; \; , \; \; \; \; \; \; \; \; F _ { g g } ( s ) \; \approx \; - \frac { 2 C _ { G } } { s } \; = \; - \lambda _ { + } ( s ) \; \; ,
\operatorname* { s u p } _ { a \in \mathcal { T } _ { ( \tilde { \omega } ) } } \Delta _ { ( \tilde { \omega } ) } ( \rho , a ) \leq 2 \operatorname* { s u p } _ { ( i _ { 1 } , i _ { 2 } , \ldots ) \in \{ 1 , 2 \} ^ { \mathbb { N } } } \Bigg ( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \ell _ { a _ { ( i _ { 1 } , \ldots , i _ { n } ) } } \Bigg ) + 4 \, \operatorname* { s u p } _ { a \in \mathcal { T } _ { ( \tilde { \omega } ) } } \ell _ { a } ,
{ \bf K } ( \vec { \varrho } _ { f } t _ { f } , \vec { \varrho } _ { i } t _ { i } ) \sim \int { \cal D } \left[ \vec { \varrho } \right] { \it e x p } \left[ \frac { i } { \hbar } \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } \left[ L _ { \theta } + L _ { 0 } \right] d t \right] ~ ~ ,
\delta A _ { m } ^ { \alpha } = { \frac { \varphi ( x ) } { u ^ { 2 } } } { \cal L } ^ { \alpha \beta } { \cal F } _ { m n } ^ { \beta } u ^ { n } , \qquad \delta \Lambda _ { m n } = { \frac { \varphi ( x ) } { ( u ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } { \cal F } _ { m } ^ { \alpha r } u _ { r } { \cal F } _ { n } ^ { \beta s } u _ { s } { \cal L } ^ { \alpha \beta } .
\begin{array} { r l r } { G ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { { } \to } & { { \cal G } _ { B } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = \frac { T } { 2 { \cal Z } ^ { 2 } } \biggl ( { \frac { \cal Z } { \mathrm { s i n } { \cal Z } } } \, \mathrm { e } ^ { - i { \cal Z } \dot { G } _ { 1 2 } } + i { \cal Z } \dot { G } _ { 1 2 } - 1 \biggr ) } \\ { G _ { F } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { { } \to } & { { \cal G } _ { F } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = G _ { F 1 2 } { \frac { \mathrm { e } ^ { - i { \cal Z } \dot { G } _ { 1 2 } } } { \mathrm { c o s } { \cal Z } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta ^ { 2 } \mu _ { 1 } ( e _ { 1 1 } , e _ { 1 2 } , e _ { 2 1 } ) } & { = } & { - \mu _ { 1 } ( e _ { 1 1 } , e _ { 1 1 } + e _ { 2 2 } ) - [ e _ { 1 1 } , e _ { 2 2 } + e _ { 1 1 } ] } \\ & { } & { + \mu _ { 1 } ( e _ { 1 2 } , e _ { 2 1 } ) + \mu _ { 1 } ( e _ { 1 2 } , - e _ { 2 1 } ) + [ e _ { 2 1 } , e _ { 2 1 } ] + [ e _ { 1 2 } , - e _ { 1 2 } ] } \\ & { = } & { 0 } \end{array}
\big ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } - M ( w _ { 1 } , \mathring { A } _ { 1 } , w _ { 2 } ) \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } = - \big ( \underline { { G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ^ { \prime } W G _ { 2 } } } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } + \mathcal { O } _ { \prec } \big ( \mathcal { E } _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } \big )
P A P ^ { - 1 } = { \left( \begin{array} { l l l l l l } { O } & { A _ { 1 } } & { O } & { O } & { \ldots } & { O } \\ { O } & { O } & { A _ { 2 } } & { O } & { \ldots } & { O } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & & { \vdots } \\ { O } & { O } & { O } & { O } & { \ldots } & { A _ { h - 1 } } \\ { A _ { h } } & { O } & { O } & { O } & { \ldots } & { O } \end{array} \right) } ,
V ( T ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \exp \left( - \frac { T ^ { 2 } } { 8 \ln 2 } \right) } } & { { \mathrm { f o r ~ s m a l l ~ T ~ b u t ~ T \ge ~ 0 ~ } } } \\ { { \exp \left( - \frac { T } { \sqrt { 2 } } \right) } } & { { \mathrm { f o r ~ l a r g e ~ T ~ } } } \end{array} . \right.
\overline { { { \cal T } } } _ { s } ^ { H } ( G ^ { 0 } G ^ { 0 } ) \ = \ - i [ \Gamma _ { 0 } ^ { H G ^ { 0 } G ^ { 0 } } + \widehat { \Gamma } ^ { H G ^ { 0 } G ^ { 0 } } ( q , k _ { 1 } , k _ { 2 } ) ] \, \widehat { \Delta } ^ { H } ( q ) \, \Big ( \frac { g _ { w } m } { 2 M _ { W } } \Big ) \, \bar { v } ( p _ { 2 } ) u ( p _ { 1 } ) \, ,
2 \int _ { \mathcal { A } } ^ { \mathcal { A } + \gamma } \left( \pi \xi \right) ^ { d - 1 } \left( \mathit { \Omega } \left( \xi , \tau \right) - \mathit { \Omega } \left( \xi , 0 \right) \right) \mathrm { ~ d ~ } \xi = \tau - \left( \mathit { \Pi } _ { w } \left( \tau \right) - \mathit { \Pi } _ { w } \left( 0 \right) \right)
\frac { i } { T } ( \pm j _ { \pm } ) = \pm i \psi ^ { \mu \pm } G _ { \mu \nu } \partial _ { \pm } X ^ { \nu } - \frac { 1 } { 6 } \psi ^ { \mu \pm } \psi ^ { \nu \pm } \psi ^ { \rho \pm } H _ { \mu \nu \rho } .
\frac { E _ { \mathrm { b a c k } } } { E _ { \mathrm { f r o n t } } } \approx \sqrt { \frac { 1 6 z _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } + ( L + 2 c \Delta T ) ^ { 2 } } { 1 6 z _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } + ( L - 2 c \Delta T ) ^ { 2 } } } ,
\sigma _ { i j , k l } ^ { \alpha \alpha } \left( \left\vert \mathbf { g } \right\vert , - \cos \theta \right) = \sigma _ { i j , k l } ^ { \alpha \alpha } \left( \left\vert \mathbf { g } \right\vert , \cos \theta \right) \mathrm { ~ a n d ~ } \sigma _ { i j , k l } ^ { \alpha \alpha } = \sigma _ { j i , k l } ^ { \alpha \alpha } = \sigma _ { j i , l k } ^ { \alpha \alpha } \mathrm { . }
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { { } = \frac { \gamma s ^ { 2 } } { 1 + \gamma s ^ { 2 } } } \\ { x _ { 2 } } & { { } = \frac { 2 } { 1 + \alpha ^ { 2 } } - 1 } \\ { x _ { 3 } } & { { } = \frac { G _ { 1 } } { 2 + G _ { 1 } } - \frac { 1 } { 2 } } \\ { x _ { 4 } } & { { } = \frac { G _ { 2 } } { 2 + G _ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } } \\ { x _ { 5 } } & { { } = \frac { G _ { 3 } } { 2 + G _ { 3 } } - \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \vert \omega _ { s + t } ( x , X _ { 1 } ) \vert ^ { 2 } ] \lesssim \| ( - s \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { P } _ { s + t } ( \delta _ { y } - \rho ) \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { = \| ( - s \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { P } _ { \frac { s } { 2 } } \mathrm { P } _ { \frac { s } { 2 } + t } ( \delta _ { y } - \rho ) \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \stackrel { \lesssim } \| \mathrm { P } _ { \frac { s } { 2 } + t } ( \delta _ { y } - \rho ) \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \int _ { \mathbb { R } } x ^ { k } \mu _ { B _ { n } } ( d x ) \right] = \frac { 1 } { N } \sum _ { \sigma _ { 1 } , \ldots , \sigma _ { k } \in K ^ { d - 1 } } \mathbb { E } \left[ B _ { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } B _ { \sigma _ { 2 } \sigma _ { 3 } } \ldots B _ { \sigma _ { k - 1 } \sigma _ { k } } B _ { \sigma _ { k } \sigma _ { 1 } } \right]
\begin{array} { r l } { ( U ^ { \epsilon _ { n } } , \phi ) - ( U _ { 0 } ^ { \epsilon _ { n } } , \phi ) } & { \to ( U , \phi ) - ( U _ { 0 } , \phi ) , } \\ { \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( ( U ^ { \epsilon _ { n } } , A \phi ) + ( G U ^ { \epsilon _ { n } } + f ^ { \epsilon _ { n } } , \phi ) \Big ) d r } & { \to \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( ( U , A \phi ) + ( G U + f , \phi ) \Big ) d r . } \end{array}
E _ { \epsilon } [ \eta ] \, = \, \frac 1 2 \, \| \eta \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } - E _ { \epsilon } ^ { \mathrm { k i n } } [ \eta ] \, , \qquad \eta \in \mathcal { X } _ { \epsilon } \, ,
I _ { \| , \mathrm { o h m } } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } P _ { i } \sigma _ { \| } \frac { E _ { y } \Delta y ^ { 2 } \Delta R } { 2 \pi R _ { \mathrm { m } } i } = \frac { E _ { y } \Delta R } { R _ { \mathrm { e f f } } } ,
E ^ { 2 } ( R ) = 2 { \frac { j ( j + 1 ) } { k + 2 } } - { \frac { m ^ { 2 } + \bar { m } ^ { 2 } } { k } } + { \frac { 1 } { 2 k } } \left[ ( m - \bar { m } + k M ) ^ { 2 } R ^ { 2 } + { \frac { ( m + \bar { m } + k N ) ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } } \right] + N ^ { \prime } + \bar { N } ^ { \prime }
\begin{array} { r } { \mathcal { S } ^ { * } \sim \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \epsilon ^ { - 1 } \int _ { V } \mathrm { d } \boldsymbol { r } \big \langle \big \vert J _ { 0 } ^ { \mathrm { d } } \big \vert ^ { 2 } \big \rangle \, , ~ ~ \mathrm { ~ a ~ s ~ } ~ \lambda _ { 1 } \rightarrow 0 \, . } \end{array}
J = \parallel \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i + 1 } - \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i } \parallel _ { \mathsf { P } } ^ { 2 } + \parallel \mathsf { y } _ { j } ^ { u } - \mathcal { H } [ \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i + 1 } ] \parallel _ { \mathsf { R } } ^ { 2 } + \parallel \mathsf { y } _ { j } ^ { b } - \mathcal { N } [ \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i + 1 } ] \parallel _ { \mathsf { Q } } ^ { 2 } \mathrm { ~ , ~ }
{ \kappa _ { 1 3 } } \mathord { \left/ { \vphantom { \kappa _ { 1 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { 1 3 } \kappa _ { i } } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } \sum _ { i = 1 } ^ { 1 3 } \kappa _ { i } < 1 \times 1 0 ^ { - 3 }
\begin{array} { r l } { \langle D ( t ^ { 1 } ) u ^ { 1 } , v ^ { 1 } \rangle } & { { } = \langle [ \mathcal { H } _ { K } ( t ^ { 0 } ) , U ^ { 0 } ] \Phi _ { 0 } , V ^ { 0 } \Phi _ { 0 } \rangle + \langle [ \mathcal { H } _ { K } ( t ^ { 1 } ) , U ^ { 1 } ] \Phi _ { 0 } , V ^ { \angle } \Phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { A } } & { { } = A ^ { n } \boldsymbol { e } - \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) } \\ { \boldsymbol { A u } } & { { } = ( A u ) ^ { n } \boldsymbol { e } - \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, \partial _ { x } \left( \boldsymbol { A u ^ { 2 } } \right) - \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, \frac { \boldsymbol { A } } { \rho } \, \partial _ { x } \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { A } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| x _ { 1 } x _ { 1 } ^ { \prime } - x _ { 2 } x _ { 2 } ^ { \prime } \| _ { X } } & { \leq } & { \sqrt { \pi } \| x _ { 1 } \| _ { \frac { 1 } { 2 } } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| _ { \frac { 1 } { 2 } } + \sqrt { \pi } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| _ { \frac { 1 } { 2 } } \| x _ { 2 } \| _ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = } & { \sqrt { \pi } ( \| x _ { 1 } \| _ { \frac { 1 } { 2 } } + \| x _ { 2 } \| _ { \frac { 1 } { 2 } } ) \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| _ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d e v } \{ a _ { \mathrm { P I , L } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} } { \omega V _ { 0 } } } & { { } = 4 4 . 3 ~ \mathrm { p s } , } \\ { \frac { \mathrm { d e v } \{ a _ { \mathrm { P I , R } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} } { \omega V _ { 0 } } } & { { } = 4 3 . 3 ~ \mathrm { p s } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( u ^ { \nu } , \bar { u } ) ( { \xi ^ { \nu } } ) } & { { } = ( u ^ { \nu } ( { \xi ^ { \nu } } ) , \bar { u } ( { \xi ^ { \nu } } ) - \bar { u } ( 0 ) ) + ( u ^ { \nu } ( { \xi ^ { \nu } } ) - \bar { u } ( { \xi ^ { \nu } } ) , \bar { u } ( 0 ) ) } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \lVert \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \rVert _ { L ^ { q } ( \Omega ^ { * } ) } \leq C _ { 7 } ( \varphi _ { 0 } , g _ { 0 } , T , q ) , \ \forall q \in [ 1 , + \infty )
\nu _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } ^ { + } } = n _ { \mathrm { ~ e ~ } } \left\langle v _ { \mathrm { ~ e ~ } } \sigma _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } ^ { + } } ( v _ { \mathrm { ~ e ~ } } ) \right\rangle