harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( { { L } _ { x } } , { { L } _ { y } } , { { L } _ { z } } \right) = \left( 4 0 0 0 { { \lambda } _ { m i c 0 } } , 4 0 0 0 { { \lambda } _ { m i c 0 } } , 4 0 { { \lambda } _ { m i c 0 } } \right)
\begin{array} { r l } { A v _ { S } } & { = \sum _ { a } ( - 1 ) ^ { a _ { S } } A | a _ { 1 } \cdots a _ { k } \rangle } \\ & { = \sum _ { a } ( - 1 ) ^ { a _ { 1 } } ( - 1 ) ^ { a _ { T } } A | a _ { 1 } \cdots a _ { k } \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a } ( - 1 ) ^ { a _ { T } } ( - 1 ) ^ { a _ { 1 } } \left( | a _ { 2 } \cdots a _ { k } 0 \rangle + | a _ { 2 } \cdots a _ { k } 1 \rangle \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a _ { 2 } , \cdots a _ { k } = 0 } ^ { 1 } ( - 1 ) ^ { a _ { T } } \left( | a _ { 2 } \cdots a _ { k } 0 \rangle + | a _ { 2 } \cdots a _ { k } 1 \rangle \right) \sum _ { a _ { 1 } = 0 } ^ { 1 } ( - 1 ) ^ { a _ { 1 } } } \\ & { = 0 } \end{array}
\mathrm { t r } \big ( \mathrm { l i } ( \tilde { e } _ { \Sigma } ) - \mathrm { l i } ^ { \prime } ( \tilde { e } _ { \Sigma } ) \big ) = E ( e _ { \Sigma } ) - E ( e _ { \Sigma } ) = 0 \quad \mathrm { ~ a ~ t ~ } \ \partial \Omega .
\begin{array} { r l } { \vartheta _ { i } } & { : = \big \{ \big ( ( \alpha , \beta ) , q \big ) : \: ( \alpha , \beta ) \in \mu \times \delta , \ \, q \ensuremath { \Vdash } \vartheta _ { i } ^ { \prime } \in ^ { \mu } \delta \land ( \alpha , \beta ) \in \vartheta _ { i } ^ { \prime } \big \} , } \\ { \sigma _ { i } } & { : = \big \{ \big ( ( \alpha , \beta ) , q \big ) : \: ( \alpha , \beta ) \in \mu \times \mu , \ \, q \ensuremath { \Vdash } ( \alpha , \beta ) \in [ \dot { h } ] ( \vartheta _ { i } ) \big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( v _ { i } \rightarrow e ) } & { = \frac { \mathcal { I } _ { i e } } { \lambda } \frac { Z _ { i } ( e ) } { \psi _ { i } } , } \\ { P ( e \rightarrow v _ { k } | v _ { i } ) } & { = \frac { \psi _ { k } \mathcal { I } _ { e k } ^ { T } ( 1 - \delta _ { i k } ) } { Z _ { i } ( e ) } , } \\ { Z _ { i } ( e ) } & { = \sum _ { k \neq i } \mathcal { I } _ { e k } ^ { T } \psi _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { M } = \left[ \begin{array} { l l l } { m _ { 1 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { m _ { 2 2 } } & { m _ { 2 3 } } \\ { 0 } & { m _ { 3 2 } } & { m _ { 3 3 } } \end{array} \right] , } & { \quad \mathbf { C } ( \boldsymbol { \nu } ) = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { c _ { 1 3 } ( \boldsymbol { \nu } ) } \\ { 0 } & { 0 } & { c _ { 2 3 } ( \boldsymbol { \nu } ) } \\ { c _ { 3 1 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { c _ { 3 2 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { 0 } \end{array} \right] , \quad \mathbf { D } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { d _ { 1 1 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { d _ { 2 2 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { d _ { 2 3 } ( \boldsymbol { \nu } ) } \\ { 0 } & { d _ { 3 2 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { d _ { 3 3 } ( \boldsymbol { \nu } ) } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( R _ { I , n } - \widehat { R } _ { I , n } ) _ { 2 } } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { I + n } C _ { I - i , i } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } f _ { j } - \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } f _ { j , n } ( \mathcal { Q } _ { I , n } ) \right) + \sum _ { i = 0 } ^ { I + n } C _ { I - i , i } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } f _ { j , n } ( \mathcal { Q } _ { I , n } ) - \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \widehat { f } _ { j , n } \right) } \\ & { = ( R _ { I , n } - \widehat { R } _ { I , n } ) _ { 2 } ^ { ( 1 ) } + ( R _ { I , n } - \widehat { R } _ { I , n } ) _ { 2 } ^ { ( 2 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 6 + 4 \gamma } \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d t \Big ) ^ { 2 } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 4 + 2 \gamma } \mathbb E \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) ) d t \Big ) ^ { 2 } } \longrightarrow \alpha _ { 1 } \ge 1 \mathrm { ~ i n ~ p r o b a b i l i t y ~ w h e n ~ } \, N , T \rightarrow \infty . } \end{array}
\ \varepsilon _ { E } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { l ^ { 2 } - L ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 - { \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } } \right)
[ \mathrm { N O } _ { 2 } \mathrm { S O } _ { 4 } ] ^ { - } ( a q ) + \mathrm { H } _ { 2 } \mathrm { O } \rightarrow \mathrm { S O } _ { 4 } ^ { 2 - } ( a q ) + \mathrm { N O } _ { 3 } ^ { - } ( a q ) + \mathrm { H } ^ { + } ( a q )
\begin{array} { r l } & { \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 2 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = \frac { ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } ( \cos \theta - 1 ) } \equiv \frac { 1 } { 2 ( \cos \theta - 1 ) } I _ { 1 } , } \\ & { \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 3 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 3 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = \frac { ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 3 } ) ^ { 2 } } { 2 \alpha _ { 1 } \alpha _ { 3 } ( \cos \theta - 1 ) } \equiv \frac { 1 } { 2 ( \cos \theta - 1 ) } I _ { 1 } , } \\ & { \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = \frac { ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 4 } ) ^ { 2 } } { 2 \alpha _ { 1 } \alpha _ { 4 } ( \cos \theta - 1 ) } \equiv \frac { 1 } { 2 ( \cos \theta - 1 ) } I _ { 3 } , } \\ & { \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 3 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 3 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = \frac { ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } ) ^ { 2 } } { - 4 \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } \sin ^ { 2 } \theta } = - \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } , } \\ & { \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = \frac { ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 4 } ) ^ { 2 } } { - 2 \alpha _ { 2 } \alpha _ { 4 } \sin ^ { 2 } \theta } \equiv - \frac { 1 } { 2 \sin ^ { 2 } \theta } I _ { 2 } , } \\ & { \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 3 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 3 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = \frac { ( \alpha _ { 3 } + \alpha _ { 4 } ) ^ { 2 } } { - 2 \alpha _ { 3 } \alpha _ { 4 } \sin ^ { 2 } \theta } \equiv - \frac { 1 } { 2 \sin ^ { 2 } \theta } I _ { 2 } , } \end{array}
S _ { 0 } ( \tilde { \lambda } ) = \exp \Bigl \{ 2 \pi i \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \tilde { \lambda } _ { 1 } } K _ { 1 } ^ { q _ { + } q _ { + } } ( \lambda - \tilde { \lambda } _ { i } ) d \lambda \Bigr \}
\Im S _ { j } ( \mathbf { \tilde { p } } _ { s } , \textbf { r } _ { s } , t _ { r } ^ { \prime } , t _ { s } ^ { \prime } ) = \Im S ^ { \mathrm { t u n } } ( \mathbf { \tilde { p } } _ { s } , \textbf { r } _ { s } , t _ { r } ^ { \prime } , t _ { s } ^ { \prime } ) ,
H = - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { i } ^ { 2 } } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } V ( x _ { i } ) + 2 c \sum _ { i > j = 1 } ^ { N } \delta ( x _ { i } - x _ { j } ) ,
\frac { \partial n ( k ) } { \partial t } \biggr \rvert _ { A } \equiv 2 \textnormal { I m } \langle \hat { \psi } _ { k } ^ { * } \mathcal { F } [ B _ { A } ( \psi ( x ) ) B _ { A } ( \psi ( x ) ) B _ { A } ( \psi ^ { * } ( x ) ) ] \rangle ,
\Omega _ { \mathbf { m } } ^ { 0 } = \frac { N _ { \mathrm { s i t e s } } ! } { ( N _ { \mathrm { s i t e s } } - B ) ! } \prod _ { b = 1 } ^ { S } \frac { 1 } { m _ { b } ! } \left( \frac { S ! } { ( S - b ) ! b ! } \right) ^ { m _ { b } } .
\begin{array} { r l r } { \phi } & { { } = } & { \phi _ { \mathrm { I I } } + \phi _ { \mathrm { L } } = \frac { c ^ { 2 } k _ { \mathrm { L } } } { \omega } A _ { 0 } ^ { \mathrm { ( L ) } } \, , } \\ { { \bf A } } & { { } = } & { { \bf A } _ { \mathrm { I I } } + { \bf A } _ { \mathrm { L } } = A _ { 0 } ^ { \mathrm { ( I I ) } } \hat { { \bf k } } \times \hat { { \bf y } } + A _ { 0 } ^ { \mathrm { ( L ) } } \hat { { \bf k } } \, . } \end{array}
\delta \varphi = - \frac { m ^ { 2 } - n ^ { 2 } } { 2 \, \Delta _ { m , n } } \, \frac { Q _ { 1 } } { r ^ { 6 } } ~ ~ ~ , ~ ~ ~ \delta \chi = \frac { m n } { \Delta _ { m , n } } \, \frac { Q _ { 1 } } { r ^ { 6 } } ~ ~ ,
\begin{array} { r l r } { \delta J } & { { } = } & { g ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \delta q - { q ^ { * } } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \underbrace { \left( E _ { \mathrm { l i n } } \delta q - \delta s \right) } _ { = 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mu _ { \mathbb { D } } ^ { \mathrm { l o o p } } ( \{ \wp \mathrm { ~ i n t e r s e c t i n g ~ } r _ { x } \mathbb { D } \mathrm { ~ a n d ~ } D ( y , r _ { y } ) \} ) } \\ & { = ( 1 + o ( 1 ) ) \Big ( \log \frac { 1 } { | x - y | } \Big ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { r _ { x } } \frac { \mathrm { d } r } { r } \frac { 1 } { \log \frac { 1 } { r } \big ( \log \frac { 1 } { r _ { y } } \log \frac { 1 } { r } - \big ( \log \frac { 1 } { | x - y | } \big ) ^ { 2 } \big ) } } \\ & { = - ( 1 + o ( 1 ) ) \log \left( 1 - \frac { ( \log | x - y | ) ^ { 2 } } { \log \frac { 1 } { r _ { x } } \log \frac { 1 } { r _ { y } } } \right) = ( 1 + o ( 1 ) ) \frac { ( \log | x - y | ) ^ { 2 } } { \log \frac { 1 } { r _ { x } } \log \frac { 1 } { r _ { y } } } . } \end{array}
F _ { \nabla } ( s ) = \sum _ { i , j = 1 } ^ { k } \sum _ { p , q = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { \partial \Gamma _ { q i } ^ { \ \ j } } { \partial x ^ { p } } } - { \frac { \partial \Gamma _ { p i } ^ { \ \ j } } { \partial x ^ { q } } } + \Gamma _ { p r } ^ { \ \ j } \Gamma _ { q i } ^ { \ \ r } - \Gamma _ { q r } ^ { \ \ j } \Gamma _ { p i } ^ { \ \ r } \right) s ^ { i } d x ^ { p } \wedge d x ^ { q } \otimes e _ { j } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { k } \sum _ { p , q = 1 } ^ { n } R _ { p q i } ^ { \ \ \ j } s ^ { i } d x ^ { p } \wedge d x ^ { q } \otimes e _ { j } .
B _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { { } } & { { } } & { { \vdots } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { } } & { { \vdots } } & { { 0 } } \\ { { \cdots } } & { { \cdots } } & { { \cdots } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { } } & { { \vdots } } & { { v t } } \end{array} \right] , \ \ B _ { 2 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { { } } & { { } } & { { \vdots } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { } } & { { \vdots } } & { { 0 } } \\ { { \cdots } } & { { \cdots } } & { { \cdots } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { } } & { { \vdots } } & { { b } } \end{array} \right] , \ \ B _ { 3 } = 0 .
\begin{array} { r } { 0 = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left[ \varepsilon \left( W _ { 1 } ( X , 0 ) + H _ { 1 } ( X ) \right) + \varepsilon ^ { 2 } \left( W _ { 2 } ( X , 0 ) + H _ { 1 } ( X ) \partial _ { Y } W _ { 1 } ( X , 0 ) \right) \right] d X } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { u } ( \tilde { \mathbf { r } } ) } & { = - \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { \mathcal { D } } \frac { d \tilde { \mathbf { L } } ^ { \prime } \cdot \tilde { \mathbf { r } } } { \tilde { F } ( \tilde { \mathbf { r } } , \tilde { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) } } \\ & { = - \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { \mathcal { D } } \bigg [ \left( d \mathbf { L } ^ { \prime } \cdot \mathbf { r } - ( d \mathbf { L } ^ { \prime } + I \mathbf { r } \times d \mathbf { l } ^ { \prime } ) \cdot \mathbf { r } _ { t } \right) } \\ & { \qquad \cdot \left( \frac { 1 } { F ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) } + \frac { \bar { F } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } , \mathbf { r } _ { t } ) } { F ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) \tilde { F } ( \tilde { \mathbf { r } } , \tilde { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) } \right) \bigg ] } \\ & { = u ( \mathbf { r } ) + \bar { u } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { t } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { | \mathcal { Z } _ { \mathcal { G } , T } | \geqslant \prod _ { i = 1 } ^ { k } | \mathcal { Q } _ { W _ { i } , t _ { i } } | \geqslant \left( \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \mu } { 8 k } \right) ^ { k + 1 } \right) ^ { k } \prod _ { i = 1 } ^ { k } | \mathcal { Q } _ { W _ { i } } | \geqslant 3 { \theta } | \mathcal { Z } _ { \mathcal { G } } | , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { r } ^ { 1 } \frac { 1 } { F _ { m , \Omega _ { m } } ^ { 2 } ( s ) s ^ { 2 m + 1 } } \int _ { 0 } ^ { s } F _ { m , \Omega _ { m } } ( \tau ) \tau ^ { 2 m + 1 } \big ( f _ { 0 } ( \tau ) - 2 \Omega _ { m } \big ) d \tau d s } \\ & { \leqslant \int _ { r } ^ { 1 } \frac { 1 } { s ^ { 2 m + 1 } } \int _ { 0 } ^ { s } \tau ^ { 2 m + 1 } \left\{ f _ { 0 } ( \tau ) - 2 \Omega _ { m } \right\} d \tau d s } \\ & { \leqslant \frac { 1 - r ^ { 2 } } { 4 ( m + 1 ) } \big ( f _ { 0 } ( 1 ) - 2 \Omega _ { m } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \small d _ { z } ^ { ( A B ) } = \frac { C } { 2 } \left[ \sin \left( \omega _ { A } T _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ r ~ k ~ } } \right) - \sin \left( \omega _ { B } T _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ r ~ k ~ } } \right) \right] \, } \end{array}
U ( m , D ) = \langle { \mathcal { H } } ( d , s ) \rangle _ { { \mathcal { P } } ^ { \prime } ( s | d ^ { \prime } ) } = \int { \mathcal { D } } s \, { \mathcal { H } } ( d , s ) \, { \mathcal { G } } ( s - m , D ) .
\begin{array} { r l } { \Pi _ { j } ^ { ( 1 ) } ( x ) } & { = - \sin ( \omega _ { j } \sqrt { \bar { \rho } _ { 1 } } x ) , \quad \Pi _ { j } ^ { ( 2 ) } ( x ) = - \left( \frac { \sin \gamma _ { j } } { \sin \beta _ { j } } \right) \sin ( \omega _ { j } \sqrt { \bar { \rho } _ { 2 } } ( 1 - x ) ) , } \\ { \Upsilon _ { j } ^ { ( 1 ) } ( x ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { \bar { \rho } _ { 1 } } } \cos ( \omega _ { j } \sqrt { \bar { \rho } _ { 1 } } x ) , \quad \Upsilon _ { j } ^ { ( 2 ) } ( x ) = - \frac { 1 } { \sqrt { \bar { \rho } _ { 2 } } } \left( \frac { \sin \gamma _ { j } } { \sin \beta _ { j } } \right) \cos ( \omega _ { j } \sqrt { \bar { \rho } _ { 2 } } ( 1 - x ) ) , } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { a } } & { { b } } \\ { { c } } & { { d } } \end{array} \right) \mapsto \frac { a i + b } { c i + d } , \quad \mathrm { w h e r e \ } \left( \begin{array} { c c } { { a } } & { { b } } \\ { { c } } & { { d } } \end{array} \right) \in S l ( 2 ) .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } x _ { 2 } + \partial _ { T } X } & { { } = \alpha ^ { 2 } e ^ { 2 Z } + \nu \sin \Phi + \sigma ( \beta + Z ) } \\ { \partial _ { t } z _ { 2 } + \partial _ { T } Z } & { { } = \nu \cos \Phi - \nu _ { g } } \\ { \partial _ { t } \phi _ { 2 } + \partial _ { T } \Phi } & { { } = \alpha ^ { 2 } \lambda e ^ { 2 Z } [ \cos ( 2 \Phi ) + 2 \lambda \sin ^ { 2 } ( X - t + 2 \Phi ) ] - \frac { 1 } { 2 \Psi } \sin \Phi + \frac { \sigma } { 2 } ( 1 + \lambda \cos 2 \Phi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d v _ { z } } { d t } = } & { { } \frac { e n _ { 0 } c ^ { 2 } } { H _ { 0 } \gamma } \left( 1 - \frac { H _ { 0 } } { m _ { e } c ^ { 2 } n _ { 0 } } \frac { v _ { z } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) \frac { \partial \phi } { \partial z } - } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { t } + ( h v ) _ { x } + v _ { x } } & { { } = 0 , } \\ { v _ { t } + v v _ { x } + \mathscr { L } \left( h \mathscr { N } h \right) + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { x } \left( \mathscr { N } h \right) ^ { 2 } + \mathscr { N } h } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \pi _ { s } } & { = } & { \delta \pi _ { D } + \delta \pi _ { F \varphi } + \delta \pi _ { F _ { R } } } \\ & { = } & { n _ { M s } T _ { s } \left( - \alpha _ { s } D \right) \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { } & { + n _ { M s } T _ { s } \left( - \alpha _ { s } F \right) \frac { T _ { s } } { M _ { s } } 2 \left( \begin{array} { c c c } { 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \, \mathrm { d } X _ { t } = } & { B \left( t , X _ { t } , \mathcal { L } ( X _ { t } , Y _ { t } , Z _ { t } ) , Y _ { t } , Z _ { t } \right) \, \mathrm { d } t + \sigma ( t , X _ { t } , \mathcal { L } ( X _ { t } , Y _ { t } , Z _ { t } ) , Y _ { t } , Z _ { t } ) \, \mathrm { d } W _ { t } , } \\ { \, \mathrm { d } Y _ { t } = } & { - F \Big ( t , X _ { t } , \mathcal { L } ( X _ { t } , Y _ { t } , Z _ { t } ) , Y _ { t } , \sigma ^ { \operatorname { T } } ( t , X _ { t } , \mathcal { L } ( X _ { t } , Y _ { t } , Z _ { t } ) , Y _ { t } , Z _ { t } ) Z _ { t } \Big ) \, \mathrm { d } t + Z _ { t } \, \mathrm { d } W _ { t } , } \\ { \mathcal { L } ( X _ { 0 } ) } & { = \mu _ { 0 } , \qquad Y _ { T } = G ( X _ { T } , \mathcal { L } ( X _ { T } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ^ { ( 2 ) } } & { { } = \sum _ { k \neq 0 } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | \hat { V } | \Phi _ { k } \rangle \langle \Phi _ { k } | \hat { V } | \Phi _ { 0 } \rangle } { E - \bar { E } _ { k } } } \end{array}
d s ^ { 2 } = \sum _ { j = 2 } ^ { N } d s _ { j } ^ { 2 } , \quad \quad \, d s _ { j } ^ { 2 } = d t _ { j } ^ { 2 } + R _ { j } ^ { 2 } ( t ) \, d x _ { j } ^ { 2 } \, , \qquad j = 2 , \cdots , N \, ,
\begin{array} { r } { \sigma ^ { x } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad \sigma ^ { z } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) , \quad \Sigma ^ { x } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad \Sigma ^ { z } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \omega } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \omega ^ { 2 } } \end{array} \right) , \quad \Gamma = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { i = 1 } ^ { 2 ^ { n _ { 1 } - 1 } } \theta ( n , \xi _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } ^ { - 1 } ( F _ { i } ^ { n _ { 1 } } \times N _ { 2 ^ { n _ { 2 } } } ) ) = 2 ^ { n - n _ { 1 } } ( 3 \cdot 2 ^ { 2 n _ { 1 } - 3 } - 2 ^ { n _ { 1 } - 1 } ) . } \\ & { } & { \sum _ { j = 1 } ^ { 2 ^ { n _ { 2 } } - 1 } \theta ( n , \xi _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } ^ { - 1 } ( N _ { 2 ^ { n _ { 1 } } } \times N _ { j } ) ) = 2 ^ { n - n _ { 2 } } ( 2 ^ { 2 n _ { 2 } - 1 } - 2 ^ { n _ { 2 } - 1 } ) . } \end{array}
\prod _ { j = 1 } ^ { N } f _ { j } \Longrightarrow \prod _ { j = N + 1 } ^ { 0 } { \frac { 1 } { f _ { j } } } \equiv \prod _ { j = 1 } ^ { - N } { \frac { 1 } { f _ { 1 - j } } } , \quad \mathrm { ~ f o r } \quad N \leq - 1 .
4 s _ { \mathrm { o b } } a _ { 2 0 0 0 } ^ { 3 } ( 2 s _ { \mathrm { i m } } a _ { 2 0 0 0 } + 1 ) - 4 s _ { \mathrm { i m } } a _ { 4 0 0 0 } + a _ { 3 0 1 0 }
\begin{array} { r l } { W ^ { + } ( \Delta ) \equiv } & { W _ { + + } + W _ { + - } } \\ { = } & { \frac { N } { 2 } \left( q - \Delta \right) \left( 1 - q + \Delta \right) } \\ & { \times \left( 1 - \varepsilon - 2 \varepsilon ^ { 2 } ( 1 + \Delta ) + 2 \varepsilon q ( 1 + \varepsilon ) \right) , } \\ { W ^ { - } ( \Delta ) } & { \equiv W _ { - + } + W _ { -- } } \\ & { = \frac { N } { 2 } \left( q - \Delta \right) \left( 1 - q + \Delta \right) } \\ & { \times \left( 1 + \varepsilon + 2 \Delta \varepsilon ^ { 2 } - 2 \varepsilon q ( 1 + \varepsilon ) \right) . } \end{array}
A _ { n } = a _ { 0 } \left( 1 + { \frac { 3 } { 5 } } \left( 1 - \left( { \frac { 4 } { 9 } } \right) ^ { n } \right) \right) = { \frac { a _ { 0 } } { 5 } } \left( 8 - 3 \left( { \frac { 4 } { 9 } } \right) ^ { n } \right) \, .
g ^ { 2 } D _ { \mu \nu } ( x - y ) = \int \, \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } e ^ { i k \cdot x } \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \left( \left[ \delta _ { \mu \nu } - \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } } { k ^ { 2 } } \right] F _ { \mathrm { T } } ( k ^ { 2 } ) + \xi \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } } { k ^ { 2 } } \right)
{ \mathcal { Z } } _ { 0 } = e ^ { i \mathrm { ~ } \sum _ { { \bf { k } } , { \bf { q } } \neq 0 } U _ { 0 } ( { \bf { q } } ) ( \frac { 1 } { 2 \mathrm { ~ } N \epsilon _ { { \bf { q } } } } ) ( \Lambda _ { { \bf { k } } } ( - { \bf { q } } ) ) ^ { 2 } \omega _ { { \bf { k } } } ( { \bf { q } } ) } e ^ { \frac { 1 } { 2 } \mathrm { ~ } \sum _ { { \bf { k } } , { \bf { q } } \neq 0 } ( \frac { 1 } { 2 \mathrm { ~ } N \epsilon _ { { \bf { q } } } } ) ^ { 2 } ( \Lambda _ { { \bf { k } } } ( - { \bf { q } } ) ) ^ { 2 } ( \omega _ { { \bf { k } } } ( { \bf { q } } ) ) ^ { 2 } } e ^ { \frac { 1 } { 2 } \mathrm { ~ } \sum _ { { \bf { k } } , { \bf { q } } \neq 0 } ( U _ { 0 } ( { \bf { q } } ) ) ^ { 2 } ( \Lambda _ { { \bf { k } } } ( - { \bf { q } } ) ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \delta H _ { + i } ^ { ( 1 ) } } & { \simeq } & { \frac { e } { T _ { i } } F _ { M } \left( 1 - \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { + } J _ { + } \delta \phi _ { + } , } \\ { \delta H _ { + e } ^ { ( 1 ) } } & { \simeq } & { - \frac { e } { T _ { e } } F _ { M } \left( 1 - \frac { \omega _ { * e } } { \omega } \right) _ { + } \delta \psi _ { + } . } \end{array}
\mathbf { f } ^ { s } = \sqrt { \frac { 2 m _ { e } \omega _ { s } } { 2 \hbar ^ { 2 } } } \sum _ { i a } X _ { i a } ^ { s } \left( \frac { \epsilon _ { a } - \epsilon _ { i } } { \omega _ { s } } \right) ^ { 1 / 2 } \mathbf { d } _ { i a }
\left( \begin{array} { l } { { \left| C _ { 1 } \right\rangle = \left| 3 / 2 , - 1 / 2 \right\rangle } } \\ { { \left| C _ { 2 } \right\rangle = \left| 1 / 2 , - 1 / 2 \right\rangle } } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { l } { { \left| C _ { 1 , o u t } \right\rangle = \left| 3 / 2 , - 1 / 2 \right\rangle _ { o u t } } } \\ { { \left| C _ { 2 , o u t } \right\rangle = \left| 1 / 2 , - 1 / 2 \right\rangle _ { o u t } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { e ^ { i \delta _ { 3 / 2 } } \left| 3 / 2 , - 1 / 2 \right\rangle } } \\ { { e ^ { i \delta _ { 1 / 2 } } \left| 1 / 2 , - 1 / 2 \right\rangle } } \end{array} \right)
\hat { \Omega } ^ { ( 1 ) } = - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \rho ^ { 2 } } + \frac 1 2 \mu \left[ \sin ^ { 2 } g ( \rho ) V ^ { \prime \prime } ( \cos g ( \rho ) ) - \cos g ( \rho ) V ^ { \prime } ( \cos g ( \rho ) ) \right]
\begin{array} { r l } { I _ { [ t + \varepsilon , \infty ) } ^ { f } ( n ) ( c ) } & { = \int _ { t + \varepsilon } ^ { \infty } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } c ^ { 2 } s + c b ( s ) } s ^ { n } f ( s ) \d s } \\ & { \leq n ^ { n } e ^ { - n } f _ { 1 } \int _ { t + \varepsilon } ^ { \infty } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } c ^ { 2 } s + c ( M + m s ) + s } \d s } \\ & { = \frac { n ^ { n } e ^ { - n } f _ { 1 } } { \frac { c ^ { 2 } } { 2 } - 1 - c m } e ^ { ( t + \varepsilon ) ( c m - \frac { c ^ { 2 } } { 2 } - 1 ) + c M } . } \end{array}
{ } \{ { \bf \Pi } ( { \bf u } ) , { \bf \Pi } ( { \bf v } ) \} = \int _ { M } d ^ { 3 } x \Pi _ { \mu } \left( v ^ { \nu } \frac { \partial u ^ { \mu } } { \partial X ^ { \nu } } - u ^ { \nu } \frac { \partial v ^ { \mu } } { \partial X ^ { \nu } } \right) ,
\delta \psi _ { 1 , 2 } ( x , y , t ) = \delta \varphi _ { 1 , 2 } ( y ) e ^ { i \kappa x - i \lambda t } + \delta \tilde { \varphi } _ { 1 , 2 } ^ { * } ( y ) e ^ { - i \kappa x + i \lambda ^ { * } t }
{ \frac { 1 } { { c } ^ { 2 } } } { \frac { { \partial } ^ { 2 } { \phi } _ { n } } { { \partial t } ^ { 2 } } } - { { \nabla } ^ { 2 } { \phi } _ { n } } + { \left( { \frac { m c } { \hbar } } \right) } ^ { 2 } { \phi } _ { n } = 0
\begin{array} { r l } & { \frac { \bar { \alpha } } { \alpha } D ( q _ { \alpha , \mu } ^ { * } | | \hat { q } _ { \alpha , \mu } ) = \frac { \bar { \alpha } } { \alpha } D ( q _ { Z ; \alpha , \mu } ^ { * } | | \hat { q } _ { Z ; \alpha , \mu } ) } \\ & { \leq \Phi ^ { ( \mu ) } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } , \hat { q } _ { \alpha , \mu } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) } \\ & { \quad - \Phi ^ { ( \mu ) } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } , q _ { \alpha , \mu } ^ { * } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { \leq } \log ( 3 | { \cal X } _ { 1 } | | { \cal X } _ { 2 } | | { \cal Z } | ) + R _ { 1 } + R _ { 2 } = \nu . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L _ { \mathrm { V A } } } & { = } & { \frac { N } { 2 } k - \frac { N ^ { 2 } } { 1 2 W } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { 2 } ( 2 \chi ) \right) - \frac { N } { 2 } \sin ( 2 \chi ) } \\ & { } & { + \left( 1 - 2 ^ { 1 - \alpha } \right) \Gamma ( 1 + \alpha ) \zeta ( \alpha ) \frac { N } { 2 ( \pi W ) ^ { \alpha } } , } \end{array}