harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \bar { n } _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { Z } \sum _ { n } \, \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { n } n _ { 1 } \, \frac { n ! } { n _ { 1 } ! n _ { 2 } ! } e ^ { - \beta \left\{ \epsilon _ { 1 } n _ { 1 } + \epsilon _ { 2 } n _ { 2 } - \mu ( n _ { 1 } + n _ { 2 } ) \right\} } } \\ & { = \frac { - 1 } { Z } \frac { \partial } { \partial ( \beta \epsilon _ { 1 } ) } \sum _ { n } \, \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { n } \frac { n ! } { n _ { 1 } ! n _ { 2 } ! } e ^ { - \beta \left\{ \epsilon _ { 1 } n _ { 1 } + \epsilon _ { 2 } n _ { 2 } - \mu ( n _ { 1 } + n _ { 2 } ) \right\} } } \\ & { = \frac { - 1 } { Z } \frac { \partial Z } { \partial ( \beta \epsilon _ { 1 } ) } = - \frac { \partial \ln Z } { \partial ( \beta \epsilon _ { 1 } ) } } \\ & { = + \frac { \partial } { \partial ( \beta \epsilon _ { 1 } ) } \ln \left( 1 - z _ { 1 } \right) } \\ & { = \frac { \partial } { \partial ( \beta \epsilon _ { 1 } ) } \ln \left\{ 1 - e ^ { - \beta ( \epsilon _ { 1 } - \mu ) } - e ^ { - \beta ( \epsilon _ { 2 } - \mu ) } \right\} } \\ & { = \frac { e ^ { - \beta ( \epsilon _ { 1 } - \mu ) } } { 1 - e ^ { - \beta ( \epsilon _ { 1 } - \mu ) } - e ^ { - \beta ( \epsilon _ { 2 } - \mu ) } } } \end{array}
R = \frac { 1 } { \kappa } = \frac { | \mathbf { X } _ { s } | ^ { 3 } } { \sqrt { | \mathbf { X } _ { s } | ^ { 2 } | \mathbf { X } _ { s s } | ^ { 2 } - ( \mathbf { X } _ { s } \cdot \mathbf { X } _ { s s } ) ^ { 2 } } }
\Phi ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } ) = \frac { 2 ( \alpha _ { 0 } \alpha _ { 1 } ) ^ { \frac 1 2 } } { d } \cdot \frac { \alpha _ { 0 } F _ { 2 , d } ^ { [ 2 ] } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } ) - \alpha _ { 1 } F _ { 2 , d } ^ { [ 2 ] } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 1 } ) } { \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 0 } } , \quad \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } > 0 .
\begin{array} { r l } { H _ { n , d , t ; a , b , c } } & { = P _ { d + 1 } \cup ( ( K _ { a } \cup K _ { b } ) \vee K _ { c } ) + \{ w v _ { i } : t - 2 \le i \le t , w \in V ( K _ { a } ) \} } \\ & { \quad + \{ w v _ { i } : t \le i \le t + 2 , w \in V ( K _ { b } ) \} } \\ & { \quad + \{ w v _ { i } : t - 1 \le i \le t + 1 , w \in V ( K _ { c } ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Vert \mathcal { J } _ { 1 } ^ { \prime } ( g + \delta g ) - \mathcal { J } _ { 1 } ^ { \prime } ( g ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { \frac { \ell ^ { 3 } } { 3 } \Vert \delta \phi _ { x x } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } \leq \frac { 4 \ell ^ { 6 } } { 9 r _ { 0 } ^ { 2 } } C _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 + T ) \Vert \delta \xi ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \frac { 4 \ell ^ { 9 } } { 2 7 r _ { 0 } ^ { 2 } } C _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 + T ) \Vert \delta u _ { x x t } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } \leq L _ { 2 } ^ { 2 } \Vert \delta g \Vert _ { H ^ { 1 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { h } ^ { \mathrm { ~ u ~ } } ( \boldsymbol { x } ) = \frac { 2 K _ { \mathrm { ~ u ~ 1 ~ } } } { \mu _ { 0 } \, M _ { s } } \; \boldsymbol { e } _ { \mathrm { ~ u ~ } } \; ( \boldsymbol { e } _ { \mathrm { ~ u ~ } } \cdot \boldsymbol { m } ) + \frac { 4 K _ { \mathrm { ~ u ~ 2 ~ } } } { \mu _ { 0 } \, M _ { s } } \; \boldsymbol { e } _ { \mathrm { ~ u ~ } } \; ( \boldsymbol { e } _ { \mathrm { ~ u ~ } } \cdot \boldsymbol { m } ) ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - K _ { 2 } \left( \mathbf { X } \right) P \left( \mathbf { Y } , t \mid \mathbf { X } \right) P \left( \mathbf { X } \right) } \\ & { + 2 P \left( \mathbf { X } \right) \nabla _ { \mathbf { Y } } \cdot \left( \sigma _ { 1 2 } \left( \mathbf { Y } , \mathbf { X } , t \right) \right) P \left( \mathbf { Y } , t \mid \mathbf { X } \right) + 2 P \left( \mathbf { X } \right) \sigma _ { 1 2 } \left( \mathbf { Y } , \mathbf { X } , t \right) \nabla _ { \mathbf { Y } } \left( P \left( \mathbf { Y } , t \mid \mathbf { X } \right) \right) } \\ & { + \nabla _ { \mathbf { X } } \cdot \left( \sigma _ { 2 2 } \left( \mathbf { X } \right) \right) P \left( \mathbf { Y } , t \mid \mathbf { X } \right) P \left( \mathbf { X } \right) + \sigma _ { 2 2 } \left( \mathbf { X } \right) P \left( \mathbf { X } \right) \nabla _ { \mathbf { X } } \left( P \left( \mathbf { Y } , t \mid \mathbf { X } \right) \right) } \\ & { + \sigma _ { 2 2 } \left( \mathbf { X } \right) P \left( \mathbf { Y } , t \mid \mathbf { X } \right) \nabla _ { \mathbf { X } } \left( P \left( \mathbf { X } \right) \right) = 0 . } \end{array}
E _ { \mathrm { S H G } } ( \mathbf { u } _ { o } , \mathbf { u } _ { i } ) = \int \, H ( \mathbf { u } _ { o } , \mathbf { r } ) \, \chi ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { r } ) \, G ( \mathbf { r } , \mathbf { u } _ { i } ) \, d ^ { 2 } \mathbf { r }
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { r } { v } \\ { v _ { b } } \end{array} \right) = \mathscr { S } _ { \boldsymbol { m } , \omega } ^ { * } \left( \begin{array} { l } { g } \\ { g _ { b } } \end{array} \right) \quad \iff \quad \left\{ \begin{array} { r l } { - ( \Delta + \omega ^ { 2 } { m } ) v } & { = g \quad \mathrm { o n } \quad \Omega } \\ { ( \partial / \partial n + \mathrm { i } \sqrt { m } \omega ) v } & { = g _ { b } \quad \mathrm { o n } \quad \partial \Omega , } \\ { v _ { b } } & { = v \vert _ { \partial \Omega } } \end{array} \right. , } \end{array}
\left\langle \left( \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i + 1 ) } \right) ^ { 2 } \right\rangle = \texttt { V a r } \left( r _ { j } ^ { ( i + 1 ) } \right) + \left\langle \left( \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i ) } \right) ^ { 2 } \right\rangle \, .
\begin{array} { r l } { K _ { 0 } \, \mathrm { d i s t } ( \gamma ( c ) , \gamma ( d ) ) } & { \geq u _ { \lambda } ( \gamma ( d ) ) - u _ { \lambda } ( \gamma ( c ) ) } \\ & { = \int _ { c } ^ { d } \big [ L ( \gamma ( s ) , \dot { \gamma } ( s ) , \lambda u _ { \lambda } ( \gamma ( s ) ) ) + c ( H ^ { 0 } ) \big ] \, \mathrm { d } s } \\ & { \geq \int _ { c } ^ { d } \big [ L ( \gamma ( s ) , \dot { \gamma } ( s ) , \lambda _ { 0 } { \mathfrak C } ) + c ( H ^ { 0 } ) \big ] \, \mathrm { d } s . } \end{array}
R ( i z ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d x \left( \sqrt { \frac { ( \cosh x + c ) ^ { 2 } - s ^ { 2 } } { ( 1 + c ) ^ { 2 } - s ^ { 2 } } } - 1 \right) \exp \left( - i z \cosh x \right) ,
\begin{array} { c } { { d K ^ { \left( 4 \right) } \left( { \bf 1 } \right) + K ^ { \left( 2 \right) } \left( \Gamma _ { 1 1 } \right) K ^ { \left( 3 \right) } \left( \Gamma _ { 1 1 } \right) = 0 \quad , } } \\ { { d K ^ { \left( 6 \right) } \left( \Gamma _ { 1 1 } \right) + K ^ { \left( 4 \right) } \left( { \bf 1 } \right) K ^ { \left( 3 \right) } \left( \Gamma _ { 1 1 } \right) = 0 \quad , } } \\ { { d K ^ { \left( 8 \right) } \left( { \bf 1 } \right) + K ^ { \left( 6 \right) } \left( \Gamma _ { 1 1 } \right) K ^ { \left( 3 \right) } \left( \Gamma _ { 1 1 } \right) = 0 \quad , } } \\ { { d K ^ { \left( 1 0 \right) } \left( \Gamma _ { 1 1 } \right) + K ^ { \left( 8 \right) } \left( { \bf 1 } \right) K ^ { \left( 3 \right) } \left( \Gamma _ { 1 1 } \right) = 0 \quad . } } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { r _ { 2 } } F ( r , \varphi ) \mathrm { d } r \, \mathrm { d } \varphi = [ \sigma r _ { 2 } / ( 2 \mu _ { 0 } ) ] \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp ( - \lambda | z _ { j } - z _ { i } | ) \lambda ^ { - 1 } J _ { 1 } ( \lambda r _ { 2 } ) J _ { 0 } ( \lambda r _ { i } \, \lambda \mathrm { d } \lambda )
\begin{array} { r } { F _ { a } [ \rho , { \bf P } ] = \int \mathrm { ~ d ~ } { \bf r } \left[ \frac { \alpha ( \rho ) } { 2 } | { \bf P } | ^ { 2 } + \frac { \beta } { 4 } | { \bf P } | ^ { 4 } + \frac { \kappa } { 2 } | \nabla { \bf P } | ^ { 2 } + \frac { w } { 2 } | { \bf P } | ^ { 2 } \nabla \cdot { \bf P } - \frac { v _ { 1 } } { 2 } ( \nabla \cdot { \bf P } ) \frac { \delta \rho } { \rho _ { 0 } } + \frac { D _ { \rho } } { 2 } ( { \delta \rho } ) ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } v _ { i } + \partial _ { i } P } & { { } = M _ { j } \partial _ { i } B _ { j } + \nu \nabla ^ { 2 } v _ { i } + \frac { \gamma } { 2 } \omega _ { j } \partial _ { j } M _ { i } } \\ { D _ { t } M _ { i } } & { { } = \epsilon _ { i j k } \omega _ { j } M _ { k } - \frac { 1 } { 4 \Gamma } \epsilon _ { i j k } M _ { j } \left( \epsilon _ { k l m } M _ { l } B _ { m } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { E } & { = \int d ^ { 2 } z \sqrt { g } \left| \frac { d } { d t } \alpha _ { 0 } ( z , { \bar { z } } | \{ z _ { i } ( t ) \} ) + \gamma ^ { - 1 } \frac { 1 } { \sqrt { g } } \frac { \delta \mathcal F [ \alpha _ { 0 } ] } { \delta \alpha } \right| ^ { 2 } } \\ & { = \int d ^ { 2 } z \sqrt { g } \left| \dot { z } _ { i } \partial _ { i } \alpha _ { 0 } + \dot { \bar { z } } _ { i } \bar { \partial } _ { i } \alpha _ { 0 } + \gamma ^ { - 1 } \frac { 1 } { \sqrt { g } } \frac { \delta \mathcal F [ \alpha _ { 0 } ] } { \delta \alpha } \right| ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { \alpha } { \pi } \eta ( y , z ) = \delta ^ { h a r d } + \frac { \alpha } { \pi } \left[ \frac { 3 } { 4 } - \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } - L i _ { 2 } ( 1 - y ) - \frac { 3 } { 2 } \ln y - \ln ( ( b ( z ) - y ) / y ) \right] \ ,
d s _ { T ^ { 1 , 1 } } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 9 } } \bigg ( d \psi + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \cos \theta _ { i } d \phi _ { i } \bigg ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \left( d \theta _ { i } ^ { 2 } + \mathrm { s i n } ^ { 2 } \theta _ { i } d \phi _ { i } ^ { 2 } \right) \ .
\hat { T } _ { M N } ^ { \varphi } = { \frac { 1 } { 4 \epsilon } } ( \frac { 1 } { 2 } \hat { g } _ { M N } \partial _ { P } \varphi \partial ^ { P } \varphi - \partial _ { M } \varphi \partial _ { N } \varphi ) + \frac { V } { \epsilon } e ^ { - \varphi } \hat { g } _ { M N } \: .
{ \vert O _ { k } \rangle } _ { \nu \bar { \nu } } = \epsilon ^ { l _ { 1 } . . l _ { k - 2 } } \, \epsilon ^ { t _ { 1 } \cdots t _ { k - 2 } } \, ( \Gamma _ { A _ { 1 } B _ { 1 } } ^ { z } \, \nu _ { l _ { 1 } } ^ { A _ { 1 } } \, \nu _ { t _ { 1 } } ^ { B _ { 1 } } ) \cdots ( \Gamma _ { A _ { k - 2 } B _ { k - 2 } } ^ { z } \, \nu _ { l _ { k - 2 } } ^ { A _ { k - 2 } } \, \nu _ { t _ { k - 2 } } ^ { B _ { k - 2 } } ) \, \vert \Phi \rangle
\left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \alpha , { \frac { \alpha ^ { 2 } \pm k ^ { 2 } \alpha + k ^ { 2 } } { 3 k } } } & { m \equiv \pm 1 { \bmod { 9 } } } \\ { 1 , \alpha , { \frac { \alpha ^ { 2 } } { k } } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right.
K ( x , y ) = K _ { y } ( x ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } G ( x , y ) d x = { \left\{ \begin{array} { l l } { x , } & { 0 \leq x < y } \\ { y , } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } . } \end{array} \right. } = \operatorname* { m i n } ( x , y )
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { 0 } \left[ W \right] } & { \leq \left( \frac { 1 } { \mu n } \right) ^ { 3 } \sum _ { a , b , c \in V } w _ { a } w _ { b } w _ { c } } \\ & { = \left( \frac { 1 } { \mu n } \right) ^ { 3 } \left( \sum _ { i \in V } w _ { i } \right) ^ { 3 } } \\ & { = \left( \frac { 1 } { \mu n } \right) ^ { 3 } ( \mu n ) ^ { 3 } ( 1 + o ( 1 ) ) } \\ & { = 1 + o ( 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c ^ { \mathrm { e q } } ( k ) } & { { } = \frac { 1 } { \left( \pi M k _ { B } T \right) ^ { 3 / 2 } } \exp \left( - \frac { k ^ { 2 } } { M k _ { B } T } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q _ { t z } ^ { x } } & { = } & { Q _ { t z } K _ { t z } ^ { x } , } \\ { H _ { t z } ^ { x } } & { = } & { H _ { t z } , } \\ { D _ { t z } ^ { x } } & { = } & { D _ { t z } + Q _ { t z } ( 1 - K _ { t z } ^ { x } ) , } \\ { Q _ { t + 1 , z } } & { = } & { Q _ { t z } ^ { x } - \xi _ { z } Q _ { t z } ^ { x } + \lambda _ { z } Q _ { t z } ^ { x } H _ { t z } + Q _ { z } ^ { i n i t } ( K _ { t + 1 , z } - K _ { t z } ^ { x } ) , } \\ { H _ { t + 1 , z } } & { = } & { H _ { t z } ^ { x } - \lambda _ { z } Q _ { t z } ^ { x } H _ { t z } - Q _ { z } ^ { i n i t } ( K _ { t + 1 , z } - K _ { t z } ^ { x } ) , } \\ { D _ { t + 1 , z } } & { = } & { D _ { t z } ^ { x } + \xi _ { z } Q _ { t z } ^ { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { x , y \in \overline { { \Omega } } _ { h } } \left\lvert \log \left( \frac { f ( x ) } { f ( y ) } \right) \right\rvert } & { { } = \operatorname* { m a x } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { x , y \in \overline { { \Omega } } _ { h } } \log \left( \frac { f ( x ) } { f ( y ) } \right) , - \operatorname* { m i n } _ { x , y \in \overline { { \Omega } } _ { h } } \log \left( \frac { f ( x ) } { f ( y ) } \right) \right\} } \end{array}
\rho { c _ { p } } { h _ { i } } \left( { { \bf { x } } + { { \bf { c } } _ { i } } \Delta t , t + \Delta t } \right) - { h _ { i } } \left( { { \bf { x } } , t } \right) = \left( { \rho { c _ { p } } - 1 } \right) { h _ { i } } \left( { { \bf { x } } + { { \bf { c } } _ { i } } \Delta t , t } \right) - \frac { 1 } { { { \tau _ { h } } } } \left[ { { h _ { i } } \left( { { \bf { x } } , t } \right) - h _ { i } ^ { e q } \left( { { \bf { x } } , t } \right) } \right] + \Delta t { \widehat F _ { i } } \left( { { \bf { x } } , t } \right) ,
\delta y _ { \beta } = \mathbfcal { L } ^ { ( \beta ) } \cdot \delta { \mathbf { x } } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { 3 } \mathcal { L } _ { i } ^ { ( \beta ) } M _ { i j } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) \mathcal { R } _ { j } ^ { ( \alpha ) } \delta v _ { \alpha } + O ( | \delta v | ^ { 2 } ) \, ,
\boldsymbol { \lambda } = 2 \pi \times \{ 4 9 . 6 7 0 - i \; { 8 4 . 9 7 7 } , 5 7 . 6 3 6 - i \; { 2 9 . 8 3 4 } , 1 1 2 . 2 2 2 - i \; { 2 6 . 3 2 5 } \} \mathrm { H z }
\begin{array} { r l } { \| h ( x ) - h ( x ^ { \prime } ) \| } & { = \| A _ { L + 1 } \circ \sigma _ { L } \circ A _ { L } \circ \sigma _ { L - 1 } \circ \cdots \circ \sigma _ { 1 } \circ A _ { 1 } ( x ) - A _ { L + 1 } \circ \sigma _ { L } \circ A _ { L } \circ \sigma _ { L - 1 } \circ \cdots \circ \sigma _ { 1 } \circ A _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) \| } \\ & { \leq C _ { \sigma } ^ { L } \prod _ { i = 1 } ^ { L + 1 } \; \| W _ { i } \| \; \| x - x ^ { \prime } \| } \\ & { \leq C _ { \sigma } ^ { L } B ^ { L + 1 } \| x - x ^ { \prime } \| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha E _ { \alpha } ( - x ^ { \alpha } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - x ^ { \alpha } u } \, f _ { \alpha } ( u ^ { - 1 / \alpha } ) \, u ^ { - 1 / \alpha - 1 } \, d u } \\ & { = x \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - t } \, f _ { \alpha } ( x t ^ { - 1 / \alpha } ) \, t ^ { - 1 / \alpha - 1 } \, d t } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { i } ^ { ( 0 ) } } & { { } = \mathcal { Q } _ { i j , k } ^ { R } \varepsilon _ { j k l } \Bigl \{ \left[ \mathbb { A } ^ { R } p _ { l } p _ { m } + \mathbb { B } ^ { R } ( \delta _ { l m } - p _ { l } p _ { m } ) \right] \Delta \Omega _ { m } } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 1 } \big ( \operatorname { t r } _ { S ^ { c } } ( \sigma ( \beta , x ) ) , \operatorname { t r } _ { S ^ { c } } ( \sigma ( \beta , y ) ) \big ) } & { \le 2 \, | S | \, C _ { 1 } \, e ^ { - \frac { r } { 2 \xi } } + W _ { 1 } \big ( \sigma ( \beta , x | _ { \mathcal { S } ( r ) } ) , \sigma ( \beta , y | _ { \mathcal { S } ( r ) } ) \big ) } \\ & { \le 2 \, | S | \, C _ { 1 } \, e ^ { - \frac { r } { 2 \xi } } + \| x | _ { \mathcal { S } ( r ) } - y | _ { \mathcal { S } ( r ) } \| _ { \ell _ { 1 } } \, \operatorname { p o l y l o g } ( | S ( r ) | ) \, . } \end{array}
\sum _ { j = 1 } ^ { N } \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ b ~ } _ { i \rightarrow j } ^ { u u } + \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ b ~ } _ { i \rightarrow m } ^ { u m } \equiv \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ b ~ } _ { i } ^ { u u } + \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ b ~ } _ { i } ^ { u m } = 1
\begin{array} { r l } & { \sum _ { | \alpha | \leq s } \Big | p \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \| D ^ { \alpha } v _ { n } \| ^ { p - 2 } \left\langle D ^ { \alpha } ( u _ { n } \partial _ { x } v _ { n } + w _ { n } \partial _ { z } v _ { n } ) , D ^ { \alpha } v _ { n } \right\rangle \Big | } \\ { \leq } & { \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \left( C _ { p } n ( 1 + \| u _ { n } \| _ { W ^ { 2 , \infty } } ^ { 2 } ) \| v _ { n } \| _ { H ^ { s } } ^ { p } + \frac p { 2 n } \| \partial _ { x } ^ { s } v _ { n } \| ^ { p - 2 } \| \partial _ { x } ^ { s + 1 } v _ { n } \| ^ { 2 } \right) } \\ { \leq } & { C _ { p , \rho } n \| v _ { n } \| _ { H ^ { s } } ^ { p } + \frac p { 2 n } \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \| \partial _ { x } ^ { s } v _ { n } \| ^ { p - 2 } \| \partial _ { x } ^ { s + 1 } v _ { n } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\delta = \epsilon ^ { 0 } \, \underline { { \epsilon } } _ { 0 } + \epsilon ^ { + } \, \underline { { \epsilon } } _ { + } + \epsilon ^ { - } \, \underline { { \epsilon } } _ { - } + \alpha ^ { I } \, \underline { { \alpha } } _ { I } + \beta _ { I } \, \underline { { \beta } } ^ { I } + \hat { \alpha } { } ^ { I } \, \underline { { { \hat { \alpha } } } } _ { I } + \hat { \beta } _ { I } \, \underline { { { \hat { \beta } } } } { } ^ { I } + \omega ^ { i } \, \underline { { \omega } } _ { i } \ .
\tau _ { m e } = \frac { 1 } { 1 + b \chi + \chi ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { { ( b + \chi ) ^ { 2 } } } & { { - 2 } } & { { b + \chi } } \\ { { - \frac { 1 } { 2 } } } & { { \chi ^ { 2 } } } & { { \frac { \chi } { 2 } } } \\ { { - 2 ( b + \chi ) } } & { { - 4 \chi } } & { { - 1 + b \chi + \chi ^ { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { | | ( U _ { S } ^ { T } ( t ) \rho ( U _ { S } ^ { T } ( t ) ) ^ { \dagger } ) ^ { T _ { R } } | | _ { 1 } \leq \sum _ { k , n = 0 } ^ { \infty } \frac { t ^ { k } } { k ! } \frac { t ^ { n } } { n ! } \left( \sum _ { q = 0 } ^ { \infty } | | Z _ { S + q } | | d _ { R \cap ( S + q ) } ^ { 2 } \right) ^ { n + k } = \exp \left( 2 t \sum _ { q = 0 } ^ { \infty } | | Z _ { S + q } | | d _ { R \cap ( S + q ) } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
P _ { j j + 1 } w _ { \cdots \alpha _ { j + 1 } \alpha _ { j } \cdots } ( \cdots , z _ { j + 1 } , z _ { j } , \cdots ) = R _ { j j + 1 } ( z _ { j } / z _ { j + 1 } ) w _ { \cdots \alpha _ { j } \alpha _ { j + 1 } \cdots } ( \cdots , z _ { j } , z _ { j + 1 } , \cdots ) .
\rho ( r _ { i , p } ) = \frac { 6 } { ( r _ { m a x } - r _ { m i n } ) } \sqrt { \frac { r _ { i , p } - r _ { m i n } } { r _ { m a x } - r _ { m i n } } } \sqrt { 1 - \frac { r _ { i , p } - r _ { m i n } } { r _ { m a x } - r _ { m i n } } }
\begin{array} { r l } { \beta ^ { ( i + 1 ) n } ( x _ { 1 } ) } & { = \beta ^ { n } ( \beta ^ { i n } ( x _ { 1 } ) ) } \\ & { = \beta ^ { n } ( \beta ^ { ( i - 1 ) n } ( w ) \dots \beta ^ { n } ( w ) w x _ { 1 } w ^ { - 1 } \beta ^ { n } ( w ^ { - 1 } ) \dots \beta ^ { ( i - 1 ) n } ( w ^ { - 1 } ) ) } \\ & { = \beta ^ { i n } ( w ) \dots \beta ^ { 2 n } ( w ) \beta ^ { n } ( w ) \beta ^ { n } ( x _ { 1 } ) \beta ^ { n } ( w ^ { - 1 } ) \beta ^ { 2 n } ( w ^ { - 1 } ) \dots \beta ^ { i n } ( w ^ { - 1 } ) } \\ & { = \beta ^ { i n } ( w ) \dots \beta ^ { 2 n } ( w ) \beta ^ { n } ( w ) w x _ { 1 } w ^ { - 1 } \beta ^ { 2 n } ( w ^ { - 1 } ) \dots \beta ^ { i n } ( w ^ { - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { T + 1 } } & { \le \frac { ( F _ { 1 } + \sigma ^ { 2 } / L _ { 2 , \infty } ) \tilde { W } } { T ^ { 2 } m ^ { 2 } n ^ { 2 } C _ { 3 } } + \frac { 1 1 2 L _ { 2 , \infty } ^ { 2 } ( \varsigma + \sigma ) ^ { 2 } \tilde { A } ^ { 2 } \tilde { W } ^ { 2 } } { T ^ { 2 } m ^ { 2 } n ^ { 2 } \mu ^ { 3 } } } \\ & { \le \frac { 1 } { T ^ { 2 } m ^ { 2 } n ^ { 2 } } \left( \frac { ( F _ { 1 } + \sigma ^ { 2 } / L _ { 2 \infty } ) \tilde { W } } { \tilde { C } _ { 3 } } + \frac { 1 1 2 L _ { 2 , \infty } ^ { 2 } ( \varsigma + \sigma ) ^ { 2 } \tilde { A } ^ { 2 } \tilde { W } ^ { 2 } } { \mu ^ { 3 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { l l l l l l l } { \mathrm { Z } } & { \cong } & { K * } & { \to } & { \mathrm { G L } } & { \to } & { \mathrm { P G L } } \\ { \mathrm { S Z } } & { \cong } & { \mu _ { n } } & { \to } & { \mathrm { S L } } & { \to } & { \mathrm { P S L } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \mathbf { a } _ { m , \theta + n _ { \theta _ { m } } } ^ { T } \mathbf { u } - b _ { m , \theta } \right\| } & { = \left\| n _ { \theta _ { m } } ( ( x _ { 0 } - x _ { m } ) \cos \theta _ { m } \right. } \\ & { ~ ~ ~ \left. + ( y _ { 0 } - y _ { m } ) \sin \theta _ { m } ) \right\| } \\ & { = \left\| n _ { \theta _ { m } } d _ { m } \cos \phi _ { m } \right\| } \end{array}
{ m _ { \sigma } } ^ { 2 } = \widetilde { M } _ { \phi } ^ { 2 } + \left( \frac { 6 4 } { 3 } \right) \left( \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 2 } } \right) \left[ 3 h _ { t } ^ { 4 } + 2 N h ^ { 4 } \right] { f ^ { \prime } } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \omega = } & { 1 + \frac { 3 } { 2 } \hat { k } ^ { 2 } + \frac { 1 5 } { 8 } \hat { k } ^ { 4 } + \frac { 1 4 7 } { 1 6 } \hat { k } ^ { 6 } + 7 3 6 . 4 3 7 \hat { k } ^ { 8 } - 1 4 7 2 9 . 3 \hat { k } ^ { 1 0 } } \\ & { + 1 0 5 4 2 9 \hat { k } ^ { 1 2 } - 3 7 0 1 5 1 \hat { k } ^ { 1 4 } + 6 4 5 5 3 8 \hat { k } ^ { 1 6 } - 4 4 8 1 9 0 \hat { k } ^ { 1 8 } , } \\ { \gamma = } & { - \sqrt { \frac { \pi } { 8 } } \left( \frac { 1 } { \hat { k } ^ { 3 } } - 6 \hat { k } - 4 0 . 7 1 7 3 \hat { k } ^ { 3 } + 3 9 0 0 . 2 3 \hat { k } ^ { 5 } - 2 4 6 2 . 2 5 \hat { k } ^ { 7 } - 2 7 4 . 9 9 \hat { k } ^ { 9 } \right) } \\ & { \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 \hat { k } ^ { 2 } } - \frac { 3 } { 2 } - 3 \hat { k } ^ { 2 } - 1 2 \hat { k } ^ { 4 } - 5 7 5 . 5 1 6 \hat { k } ^ { 6 } + 3 7 9 0 . 1 6 \hat { k } ^ { 8 } \right. } \\ & { \left. - 8 8 2 7 . 5 4 \hat { k } ^ { 1 0 } + 7 2 6 6 . 8 7 \hat { k } ^ { 1 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \bar { f } _ { + } ^ { k } + \frac { D _ { T } } { ( h \, L ) ^ { 2 } } \left( - \bar { f } _ { + } ^ { k - 1 } + 2 \bar { f } _ { + } ^ { k } - \bar { f } _ { + } ^ { k + 1 } \right) } & { = \frac 1 { h \, L } \left( F _ { + } ^ { k - 1 / 2 } - F _ { + } ^ { k + 1 / 2 } \right) } \\ & { + \lambda \, ( \bar { f } _ { - } ^ { k } - \bar { f } _ { + } ^ { k } ) - \frac { L ^ { \prime } } { L } \, \bar { f } _ { + } ^ { k } , } \end{array}
\sigma ^ { 2 } = \frac { 1 } { n } \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ ( P _ { i } - \hat { P } _ { i } ) ^ { 2 } + ( | v _ { i } | - | \hat { v } _ { i } | ) ^ { 2 } \right] \right\} + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \xi _ { i } ( x _ { j } , y _ { j } , t _ { j } ) ^ { 2 } \; ,
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } } & { = \frac { \wp \, ( \wp + x ) ^ { 2 } \, ( \wp - y ) ^ { 2 } } { ( \wp - e _ { 1 } ) ^ { 2 } \, ( \wp + e _ { 1 } ) ^ { 2 } } \, d z - \frac { 4 c ^ { 2 } } { ( \wp - e _ { 1 } ) ( \wp + e _ { 1 } ) } \, d z , } \\ { \phi _ { 2 } } & { = \frac { i \wp \, ( \wp + x ) ^ { 2 } \, ( \wp - y ) ^ { 2 } } { ( \wp - e _ { 1 } ) ^ { 2 } \, ( \wp + e _ { 1 } ) ^ { 2 } } \, d z + \frac { 4 i \, c ^ { 2 } } { ( \wp - e _ { 1 } ) ( \wp + e _ { 1 } ) } \, d z , } \\ { \phi _ { 3 } } & { = 2 c \, \frac { \wp ^ { \prime } \, ( \wp + x ) \, ( \wp - y ) } { ( \wp - e _ { 1 } ) ^ { 2 } \, ( \wp + e _ { 1 } ) ^ { 2 } } \, d z . } \end{array}
E ^ { ( 2 ) } = \langle \Psi ^ { ( 1 ) } | \hat { H } _ { 0 } - E _ { 0 } | \Psi ^ { ( 1 ) } \rangle + 2 \langle \Psi ^ { ( 0 ) } | \hat { V } | \Psi ^ { ( 1 ) } \rangle
\begin{array} { r l } { i \dot { \tilde { \psi } } _ { j } } & { { } = \frac { \gamma } { 2 } \left( j - \frac { N } { 2 } \right) \tilde { \psi } _ { j } - \tilde { t } _ { j - 1 , i } \tilde { \psi } _ { j - 1 } - \tilde { t } _ { j , i + 1 } \tilde { \psi } _ { j + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ^ { * } = } & { { } \omega ^ { * } \sqrt { 1 + \delta _ { \omega } } [ 1 - \delta ( k _ { 0 } ^ { * } ) ] + \mathcal { O } ( \delta ^ { 2 } ) } \\ { = } & { { } \omega ^ { * } [ 1 + { \textstyle \frac 1 2 } \delta _ { \omega } - \delta ( k _ { 0 } ^ { * } ) ] + \mathcal { O } ( \delta ^ { 2 } ) . } \end{array}