harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Tilde { Y } _ { \lambda } } & { = e ^ { - \lambda \gamma } \Tilde { Y } _ { 0 } - e ^ { - \lambda \gamma } h _ { t a m , \gamma } ( \Tilde { x } _ { 0 } ) \int _ { 0 } ^ { \lambda } e ^ { \gamma s } d s + \sqrt { 2 \gamma \beta ^ { - 1 } } e ^ { - \lambda \gamma } \int _ { 0 } ^ { \lambda } e ^ { \gamma s } d W _ { s } } \\ & { = \psi _ { 0 } ( \lambda ) \Tilde { Y } _ { 0 } - e ^ { - \lambda \gamma } h _ { t a m , \gamma } ( \Tilde { x } _ { 0 } ) \frac { 1 } { \gamma } ( e ^ { \lambda \gamma } - 1 ) + \sqrt { 2 \gamma \beta ^ { - 1 } } e ^ { - \lambda \gamma } \int _ { 0 } ^ { \lambda } e ^ { \gamma s } d W _ { s } } \\ & { = \psi _ { 0 } ( \lambda ) \Tilde { Y } _ { 0 } - h _ { t a m , \gamma } ( \Tilde { x } _ { 0 } ) \int _ { 0 } ^ { \lambda } \psi _ { 0 } ( s ) d s + \sqrt { 2 \gamma \beta ^ { - 1 } } e ^ { - \lambda \gamma } \int _ { 0 } ^ { \lambda } e ^ { \gamma s } d W _ { s } } \\ & { = \psi _ { 0 } ( \lambda ) \Tilde { Y } _ { 0 } - \psi _ { 1 } ( \lambda ) h _ { t a m , \gamma } ( \Tilde { x } _ { 0 } ) + \sqrt { 2 \gamma \beta ^ { - 1 } } e ^ { - \lambda \gamma } \int _ { 0 } ^ { \lambda } e ^ { \gamma s } d W _ { s } } \end{array}
\mathscr { A } ( \mathscr { U } ( k ) ) = \left[ \begin{array} { l l l l l } { a ( k ) } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 2 a ( k ) \mathbb { E } [ u ( k ) ] } & { a ^ { 2 } ( k ) } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 3 a ( k ) \mathbb { E } [ u ^ { 2 } ( k ) ] } & { 3 a ^ { 2 } ( k ) \mathbb { E } [ u ( k ) ] } & { a ^ { 3 } ( k ) } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \\ { \binom { 2 n } { 1 } a ( k ) \mathbb { E } [ u ^ { 2 n - 1 } ( k ) ] } & { \binom { 2 n } { 2 } a ^ { 2 } ( k ) \mathbb { E } [ u ^ { 2 n - 2 } ( k ) ] } & { \binom { 2 n } { 3 } a ^ { 3 } ( k ) \mathbb { E } [ u ^ { 2 n - 3 } ( k ) ] } & & { a ^ { 2 n } ( k ) } \end{array} \right] .
\chi ^ { 2 } / N _ { p } = \frac { 1 } { N _ { p } } \sum _ { i } \frac { \left\langle \left[ p _ { i } - p _ { i } ^ { a } \right] ^ { 2 } \right\rangle } { \left\langle \Delta p _ { i } ^ { 2 } \right\rangle }
L ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { l } ) = \frac { G _ { \varepsilon } ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { l } ) } { [ \varrho ( \mathbf { x } _ { k } ) ] ^ { \alpha } [ \varrho ( \mathbf { x } _ { l } ) ] ^ { \alpha } } ,
\begin{array} { r } { \Phi _ { 1 } ( t ) = \frac { s i n ( x _ { c } + c t ) } { | | s i n ( x _ { c } + c t ) | | } , } \\ { \Phi _ { 2 } ( t ) = \frac { c o s ( x _ { c } + c t ) } { | | c o s ( x _ { c } + c t ) | | } } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { 2 } ^ { \beta } \left( t , s \right) } & { { } = \int _ { t } ^ { s } e ^ { - i \Omega _ { \beta \beta ^ { \prime } \gamma ^ { \prime } } s _ { 1 } } G _ { 1 } \left( t , s _ { 1 } \right) d s _ { 1 } , } \end{array}
{ \begin{array} { l l l } & { M u l ( S ( x ) , y ) } \\ { = } & { \rho ( C _ { 0 } ^ { 1 } , A d d \circ ( P _ { 2 } ^ { 3 } , P _ { 3 } ^ { 3 } ) ) \; ( S ( x ) , y ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ D e f . ~ } } M u l } \\ { = } & { ( A d d \circ ( P _ { 2 } ^ { 3 } , P _ { 3 } ^ { 3 } ) ) \; ( x , M u l ( x , y ) , y ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ c a s e ~ } } \rho ( g , h ) \; ( S ( . . . ) , . . . ) } \\ { = } & { A d d ( M u l ( x , y ) , y ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ D e f . ~ } } \circ , P _ { 2 } ^ { 3 } , P _ { 3 } ^ { 3 } } \\ { = } & { M u l ( x , y ) + y } & { { \mathrm { ~ b y ~ p r o p e r t y ~ o f ~ } } A d d . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { K ( \tau ^ { \prime } , \tau ) } \\ & { = } & { e ^ { - 2 \beta \sum _ { t = 1 } ^ { k } ( i _ { t } - t _ { 0 } ) \tau ^ { \prime } ( i _ { t } ) } \int _ { \prod _ { i = 1 } ^ { n } [ 0 , e ^ { 2 \beta ( i _ { t } - t _ { 0 } ) \operatorname* { m i n } \{ \tau ( i _ { t } ) , \tau ^ { \prime } ( i _ { t } ) \} } ] } d u _ { 1 } \cdots d u _ { n } } \\ & { } & { \frac { 1 } { | \{ \kappa \in S _ { n } : \kappa ( i _ { t } ) \geq \log ( u _ { t } ) \slash ( 2 \beta ( i _ { t } - t _ { 0 } ) ) , \forall t \in [ k ] \mathrm { ~ a n d ~ } \kappa ( i ) = \tau ^ { \prime } ( i ) , \forall i \in [ n ] \backslash \{ i _ { 1 } , \cdots , i _ { k } \} \} | } } \\ & { = } & { e ^ { - 2 \beta \sum _ { t = 1 } ^ { k } ( i _ { t } - t _ { 0 } ) \tau ^ { \prime } ( i _ { t } ) } \int _ { \prod _ { i = 1 } ^ { n } [ 0 , e ^ { 2 \beta ( i _ { t } - t _ { 0 } ) \operatorname* { m i n } \{ \tau ( i _ { t } ) , \tau ^ { \prime } ( i _ { t } ) \} } ] } d u _ { 1 } \cdots d u _ { n } } \\ & { } & { \frac { 1 } { | \{ \kappa \in S _ { n } : \kappa ( i _ { t } ) \geq \log ( u _ { t } ) \slash ( 2 \beta ( i _ { t } - t _ { 0 } ) ) , \forall t \in [ k ] \mathrm { ~ a n d ~ } \kappa ( i ) = \tau ( i ) , \forall i \in [ n ] \backslash \{ i _ { 1 } , \cdots , i _ { k } \} \} | } . } \end{array}
f ( t ) = C _ { \mathrm { B k g } } + \frac { N } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \left\{ \exp { \left[ - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { t - \mu - \Delta } { \sigma } \right) ^ { 2 } \right] } + \right.
- ( \widehat { Q } ^ { 2 } + \widehat { \bar { Q } } ^ { 2 } ) \frac { x ^ { 3 } ( 1 - x ) ^ { 2 } ( \frac 2 3 - \frac 1 2 x ) } { [ x ( 1 - x ) - \eta ^ { 2 } ] ^ { 3 } } + \widehat { Q } \widehat { \bar { Q } } \frac { x ^ { 3 } ( 1 - x ) ^ { 3 } } { [ x ( 1 - x ) - \eta ^ { 2 } ] ^ { 3 } } \} ,
\frac { d w } { d r } = \frac { 4 R } { 3 \sqrt { M } } \left[ \frac { 1 } { 1 6 R ^ { 4 } } ( w ^ { 3 } - 3 w + 4 \kappa ) ( 1 - w ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 R ^ { 2 } } ( 2 \kappa - w ^ { 3 } ) - w \right] \, ,
\frac { d \mathbb { E } [ \Phi ( X ^ { \ast } , V _ { t } ^ { \ast } ) ] } { d t } = \mathbb { E } \left[ B ( X , X ^ { \ast } ) \bigl ( \Phi ( X ^ { \ast } , \Psi _ { \ast } ( V _ { t } ^ { \ast } , V _ { t } , \omega ) ) - \Phi ( X ^ { \ast } , V _ { t } ^ { \ast } ) \bigr ) \right] .
T _ { i } ^ { * } ( p _ { T } \rightarrow 0 ) ~ = ~ \frac { T } { 1 ~ - ~ \frac { 1 } { 2 } ~ \overline { { { v } } } _ { T } ^ { 2 } ~ ( m _ { i } / T ~ - ~ 1 ) } ~ \approx ~ T ~ + \frac { 1 } { 2 } ~ m _ { i } ~ \overline { { { v } } } _ { T } ^ { 2 } ~ ,
\begin{array} { r c l } { { { \cal L } _ { G G \phi } } } & { { = } } & { { \displaystyle + \frac { g ^ { 2 } v } { 2 \sqrt { 2 } } \left( A ^ { \mu } ( \pi _ { + } W _ { \mu } ^ { - } + W _ { \mu } ^ { + } \pi _ { - } ) + Z ^ { \mu } ( W _ { \mu } ^ { - } \pi _ { + } + \pi _ { - } W _ { \mu } ^ { + } ) \right) } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + \frac { g ^ { 2 } v } { 2 } ( W _ { \mu } ^ { - } W ^ { + \mu } + Z _ { \mu } Z ^ { \mu } ) \sigma , } } \end{array}
E _ { n } = { \frac { \hbar ^ { 2 } k _ { n } ^ { 2 } } { 2 m _ { w } ^ { * } } } = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { w } ^ { * } } } \left( { \frac { n \pi } { d } } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { x } & { { } = \frac { - \hslash \sqrt { \gamma _ { 0 } } B } { m Z _ { m } ( \gamma _ { + } - i \Omega ) } \left( \frac { \sqrt 2 \xi \omega _ { 0 } } { \gamma _ { + } } \big [ \sqrt { \gamma _ { 0 } } \, b _ { a } + \sqrt { \gamma _ { 1 } } \, c _ { a } \big ] + \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( k _ { 1 } ^ { o } \geq k _ { 2 } ^ { o } ) } & { = \mathbb { P } \left( \rho \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } \geq P _ { a } L _ { a w } ^ { o , \mathbb { B } } | { h } _ { a w } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } + \frac { \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } { \rho } \right) } \\ & { = \mathbb { P } \left( | { h } _ { a w } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } \leq \varrho ^ { o } \right) } \\ & { = 1 - Q _ { 1 } \left( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } , \sqrt { 2 ( k _ { \mathbb { B } } + 1 ) \varrho ^ { o } } \right) . } \end{array}
I ( k ^ { 2 } , m ^ { 2 } , m ^ { 2 } ) = m ^ { 2 } \ln { \frac { m ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } - { \frac { k ^ { 2 } } { 6 } } ( 1 + \ln { \frac { m ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } ) + { \cal O } ( k ^ { 4 } )
\begin{array} { r } { \| \nabla ^ { n } \widetilde f \| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } ^ { d } } ) } \leq \frac { C _ { f } n ! } { \widetilde r ^ { n } } , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \qquad \widetilde r = \frac { r } { R ( r + d C _ { X } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| ( I - e ^ { i \tau \Delta } ) ( f ( | \phi | ^ { 2 } ) \phi ) \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq \| ( I - e ^ { i \tau \Delta } ) ( f ( | \phi | ^ { 2 } ) \phi - f _ { \varepsilon } ( | \phi | ^ { 2 } ) \phi ) \| _ { L ^ { 2 } } + \| ( I - e ^ { i \tau \Delta } ) ( f _ { \varepsilon } ( | \phi | ^ { 2 } ) \phi ) \| _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
P _ { 1 } ( \mu _ { t _ { a } } , \sigma _ { a } ) P _ { 1 } ( \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { b } ) P _ { 1 } ( \mu _ { t _ { a } } , \sigma _ { a } ) P _ { 1 } ( \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { b } ) P _ { 1 } ( \mu _ { t _ { a } } , \sigma _ { a } ) \dots
\frac { \mathsf { A C V } G _ { \delta } } { \mathsf { A C V } \hat { P } _ { \delta } ^ { - 1 } } = \left( 1 + \mathsf { A C V } ^ { 2 } \bar { P } + ( \mathsf { A C V } ^ { 2 } \bar { P } ) ( \mathsf { A C V } ^ { - 2 } \hat { P } _ { \delta } ^ { - 1 } ) \right) ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } ( \mathcal { I } _ { i } ) > \widetilde { \Phi } ( \mathcal { I } _ { j } ) \big ) - \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } ( \mathcal { I } _ { j } ) > \widetilde { \Phi } ( \mathcal { I } _ { i } ) \big ) } \\ { = } & { \Big ( \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } \in Y _ { i j } ^ { g } | \Phi \in Y _ { i j } ^ { g } \big ) - \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } \in Y _ { i j } ^ { l } | \Phi \in Y _ { i j } ^ { g } \big ) \Big ) \Big ( \mathbb { P } \big ( \Phi \in Y _ { i j } ^ { g } \big ) - \mathbb { P } \big ( \Phi \in Y _ { i j } ^ { l } \big ) \Big ) } \\ { = } & { \Big ( \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } \in Y _ { i j } ^ { g } | \Phi \in Y _ { i j } ^ { g } \big ) - \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } \in Y _ { i j } ^ { l } | \Phi \in Y _ { i j } ^ { g } \big ) \Big ) \Big ( \mathbb { P } \big ( \Phi ( \mathcal { I } _ { i } ) > \Phi ( \mathcal { I } _ { j } ) \big ) - \mathbb { P } \big ( \Phi ( \mathcal { I } _ { j } ) > \Phi ( \mathcal { I } _ { i } ) \big ) \Big ) } \\ { = } & { \Big ( \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } \in Y _ { i j } ^ { g } | \Phi \in Y _ { i j } ^ { g } \big ) - \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } \in Y _ { i j } ^ { l } | \Phi \in Y _ { i j } ^ { g } \big ) \Big ) ( 2 \eta _ { i j } - 1 ) > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { b _ { \pm } = \frac { 1 } { 2 } \left( 3 \left( 1 - \frac { v _ { 1 } ^ { 2 } } { v _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \pm \sqrt { 9 \left( 1 - \frac { v _ { 1 } ^ { 2 } } { v _ { 2 } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 4 v _ { 1 } ^ { 2 } } { v _ { 2 } ^ { 2 } } } \right) , } \end{array}
q ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial q ^ { 2 } } \; \widetilde { \rho } _ { \kappa } ( N , q ^ { 2 } ) \; \; = \; \; - \frac { 1 } { 2 } \, \eta _ { \kappa } \left( N , q ^ { 2 } , \, g ( q ^ { 2 } ) \right) \; \; \widetilde { \rho } _ { \kappa } ( N , q ^ { 2 } ) \; .
\hat { P } _ { \mathrm { a c t i v e } } = - 2 S _ { j } ^ { i } S _ { i } ^ { j } - \sum _ { \mathbf { t } } S _ { j } ^ { t _ { 1 } } S _ { t _ { 2 } } ^ { j } \hat { E } _ { t _ { 1 } t _ { 2 } } ^ { + } - \sum _ { \mathbf { u } } S _ { i } ^ { u _ { 1 } } S _ { u _ { 2 } } ^ { i } \hat { E } _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { + } - \sum _ { \mathbf { t } \mathbf { u } } S _ { u _ { 2 } } ^ { t _ { 1 } } S _ { t _ { 2 } } ^ { u _ { 1 } } \hat { E } _ { t _ { 1 } t _ { 2 } } ^ { \sigma } \hat { E } _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { \sigma } .
\left| { \begin{array} { c c } { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } \\ { x _ { 2 } } & { x _ { 1 } } \end{array} } \right| = \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \right) \left( x _ { 1 } - x _ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l r } { \eta _ { k l } } & { { } = } & { \frac { \Delta n _ { k } } { n _ { l } } = \frac { 1 - e ^ { - \left( n _ { k } - n _ { l } \right) \, \int _ { t } ^ { t + \Delta t } d \tau \, u _ { k } ( \tau ) \, \sigma _ { R } ^ { k l } \left( u _ { k } ( \tau ) \right) } } { 1 - \frac { n _ { l } } { n _ { k } } \, e ^ { - \left( n _ { k } - n _ { l } \right) \, \int _ { t } ^ { t + \Delta t } d \tau \, u _ { k } ( \tau ) \, \sigma _ { R } ^ { k l } \left( u _ { k } ( \tau ) \right) } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \beta S _ { n } \sum _ { m } P _ { n m } \frac { \sum _ { k } P _ { k m } I _ { k } } { \sum _ { k } P _ { k m } N _ { k } } \approx \beta S _ { n } \frac { I _ { n } } { N _ { n } } } \\ & { + \beta \frac { S _ { n } } { N _ { n } } \sum _ { m \neq n } \left( N _ { n } P _ { n m } + N _ { m } P _ { m n } \right) \left( \frac { I _ { m } } { N _ { m } } - \frac { I _ { n } } { N _ { n } } \right) . } \end{array}
F ( x ^ { + } , x ^ { - } , 0 ) _ { B } = \frac { i } { 2 ( 2 \pi ) ^ { 3 } } m ^ { 5 } \left( \frac { x ^ { + } } { x ^ { - } } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { x } K _ { 5 / 2 } ^ { 2 } ( m x ) \, ,
- \mathrm { i } \frac { \widetilde \Gamma } { 4 \Delta _ { s } } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } k _ { z } ( \ell - \ell _ { s } ) } \hat { e } _ { \xi } \cdot \left[ \sqrt { \gamma _ { s } ^ { e } } \hat { d } _ { s } + \mathrm { i } \xi \sqrt { \gamma _ { s } ^ { m } } \hat { \mu } _ { s } \right] \left[ \sqrt { \gamma _ { s } ^ { e } } \hat { d } _ { s } ^ { * } - \mathrm { i } \xi \sqrt { \gamma _ { s } ^ { m } } \hat { \mu } _ { s } ^ { * } \right] \cdot \hat { e } _ { \xi }
Z _ { G } = \sum _ { N _ { s } = 0 } ^ { N _ { t o t } } \underbrace { \sum _ { n _ { 1 } } \sum _ { n _ { 2 } } . . . \sum _ { n _ { i } } . . . } _ { \mathrm { w i t h ~ t h e ~ c o n d i t i o n ~ } N _ { s } = \sum _ { i } n _ { i } } e ^ { - \beta E _ { s } } e ^ { \beta \mu N _ { s } } = \underbrace { \sum _ { n _ { 1 } } \sum _ { n _ { 2 } } . . . \sum _ { n _ { i } } . . . } _ { \mathrm { o n ~ a l l ~ p o s s i b l e ~ v a l u e s } } e ^ { - \beta \sum _ { i } \epsilon _ { i } n _ { i } } e ^ { \beta \mu \sum _ { i } n _ { i } } = \prod _ { i } \sum _ { n _ { i } } e ^ { - \beta ( \epsilon _ { i } - \mu ) n _ { i } }
\hat { Q } = J ^ { - 1 } \left[ \overline { { \rho } } \quad \overline { { \rho } } \tilde { u } \quad \overline { { \rho } } \tilde { v } \quad \overline { { \rho } } \tilde { w } \quad \overline { { e } } \right] ^ { T } \quad \mathrm { ~ , ~ }
\langle \varphi ^ { 2 } ( x ) \rangle _ { b } \approx \frac { ( 1 - 2 \delta _ { B 0 } ) \Gamma \left( \frac { D - 1 } { 2 } \right) } { ( 4 \pi ) ^ { ( D + 1 ) / 2 } ( a - r ) ^ { D - 1 } } .
\begin{array} { r l } { s _ { i } ( a , b ) } & { = \sum _ { \underset { \mathrm { c a r d } \{ k , ~ x _ { k } = a \} = i - 1 } { x _ { k } = a \mathrm { ~ o r ~ } b } } \frac { 1 } { i } [ x _ { 1 } , [ x _ { 2 } , [ \dots , [ x _ { p - 2 } , [ b , a ] ] \dots ] ] ] } \\ & { = \sum _ { \underset { \mathrm { c a r d } \{ k , ~ x _ { k } = a \} = i - 1 } { x _ { k } = a \mathrm { ~ o r ~ } b } } \frac { 1 } { \pi \{ a \} } [ x _ { 1 } , [ x _ { 2 } , [ \dots , [ x _ { p - 2 } , [ b , a ] ] \dots ] ] ] . } \end{array}
\sum _ { t = i } ^ { j - 1 } ( L _ { T _ { S _ { k } } } ( u _ { t } ) + L _ { T _ { S _ { k } } } ( u _ { t + 1 } ) ) - ( j - i ) ( d + 1 ) + ( d + 1 ) \leq ( k - 1 ) ( l - m ) ( 2 \alpha - d ) + \sum _ { t = l } ^ { m - 1 } ( L _ { T } ( u _ { t } ) + L _ { T } ( u _ { t + 1 } ) ) - ( l - m ) ( d _ { 0 } + 1 ) + ( d _ { 0 } + 1 ) + 2 - ( k - 1 ) ( l - m ) \leq d _ { T } ( u _ { l } , u _ { m } ) + 2 - ( k - 1 ) ( l - m ) \leq d _ { T } ( u _ { l } , u _ { m } ) = d _ { T _ { S _ { k } } } ( u _ { i } , u _ { j } )
\langle G \vert J _ { G B } ^ { i } \vert G \rangle = - \epsilon ^ { i l m } \int d ^ { 3 } x \langle G \vert x ^ { l } ( i \partial _ { ( x ) } ^ { m } [ \delta ^ { 3 } ( { \bf x - y } ) ] ) \vert G \rangle = - \epsilon ^ { i l m } \int d ^ { 3 } x \left( i \partial _ { ( x ) } ^ { m } [ \delta ^ { 3 } ( { \bf x - y } ) ] \right) x ^ { l }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \widehat { f } - f \| _ { \infty } ^ { 4 } } & { \leq c _ { 0 } \mathbb { E } \| \widehat { f } \| _ { \infty } ^ { 4 } + c _ { 1 } = c _ { 0 } \mathbb { E } \| ( m / 2 ) \exp \{ \sqrt { 2 } \widehat { H ( f ) } - \phi ( m / 2 ) \} \| _ { \infty } ^ { 4 } + c _ { 1 } } \\ & { \leq c _ { 0 } \left| ( m / 2 ) ^ { 4 } \exp \{ - 4 \phi ( m / 2 ) \} \right| \cdot \mathbb { E } [ \exp \{ 4 \sqrt { 2 } \| \widehat { H ( f ) } \| _ { \infty } \} ] + c _ { 1 } = \mathcal { O } ( T ) . } \end{array}
\widehat { z } \widehat { z } ^ { \prime } = q \widehat { z } ^ { \prime } \widehat { z } , \qquad \widehat { z } ^ { \prime } \widehat { z } ^ { \prime \prime } = q \widehat { z } ^ { \prime \prime } \widehat { z } ^ { \prime } , \qquad \widehat { z } ^ { \prime \prime } \widehat { z } = q \widehat { z } \widehat { z } ^ { \prime \prime } , \qquad \widehat { z } \widehat { z } ^ { \prime } \widehat { z } ^ { \prime \prime } = - q
F _ { \mathrm { c o n v } } = 0 . 2 2 \frac { k ( T _ { \mathrm { p o t } } - T _ { \mathrm { s f c } } ) } { d } \mathrm { R a } ^ { 2 / 7 } \mathrm { P r } ^ { - 1 / 7 } \lambda ^ { - 3 / 7 } ,
\mu \Psi ( \mathbf { r } ) = \left( - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \nabla ^ { 2 } + V ( \mathbf { r } ) + g \vert \Psi ( \mathbf { r } ) \vert ^ { 2 } \right) \Psi ( \mathbf { r } )
\begin{array} { r } { \int _ { \Sigma _ { 0 } \setminus K } r ^ { s } | \widecheck R | ^ { 2 } \lesssim \int _ { \Sigma _ { 0 } \setminus K } r ^ { s } | \widecheck R ^ { \prime } | ^ { 2 } + r ^ { s } \left( \frac { M ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } } { r ^ { s + 5 } } \right) \lesssim { \mathfrak { R } _ { 0 } ^ { \prime } } ^ { 2 } + \frac { M ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } } { R _ { 0 } ^ { 2 } } \lesssim \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { M } { 2 \pi ^ { 2 } } \widehat C _ { - 1 } \widehat C _ { 2 } \left( k ^ { 2 } + k ^ { 2 } + A \; p ^ { 2 } + \frac { 4 } { 3 } \frac { M \Lambda ^ { 3 } } { 2 \pi ^ { 2 } } V _ { 0 } \right) \frac { V _ { 0 } ( p , \Lambda ) ^ { 2 } } { \Lambda _ { 0 } } ,
\begin{array} { r l r } { \Omega 2 \mathrm { ~ b ~ } 4 } & { { } = } & { - \frac { \beta } { 4 } \sum _ { i , j } ^ { \mathrm { d e n o m . } = 0 } { W _ { i j } W _ { i j } } ( f _ { i } + 1 ) ( f _ { j } + 1 ) , } \\ { \Omega 2 \mathrm { ~ b ~ } 5 } & { { } = } & { - \frac { \beta } { 4 } \sum _ { i , j } ^ { \mathrm { d e n o m . } = 0 } { W _ { i j } W _ { i j } } f _ { i } f _ { j } , } \\ { \Omega 2 \mathrm { ~ b ~ } 6 } & { { } = } & { - \frac { \beta } { 2 } \sum _ { i , j } ^ { \mathrm { d e n o m . } = 0 } { W _ { i j } W _ { i j } } ( f _ { i } + 1 ) f _ { j } , } \end{array}
u _ { 1 } ^ { 3 } + u _ { 2 } ^ { 6 } + u _ { 3 } ^ { 6 } + u _ { 4 } ^ { 6 } + u _ { 5 } ^ { 6 } + a _ { 0 } \prod _ { i = 1 } ^ { 5 } \left( u _ { i } \right) = 0 .
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } _ { x x } } & { { } \to a _ { 1 } \beta h ^ { 2 } [ 1 - 2 a _ { 2 } h ( 3 Y ) ^ { - 1 } + ( a _ { 1 } ^ { - 1 } + 2 a _ { 2 } - 3 ) Y ^ { - 2 } ] \sim \textrm { e } ^ { - y ^ { 2 } } , } \\ { \mathcal { T } _ { x y } } & { { } \to a _ { 1 } \beta h [ a _ { 2 } ( 2 + h ^ { \prime } ) - ( 3 + Y ^ { 2 } ) ] \sim y ^ { 2 } \textrm { e } ^ { - y ^ { 2 } / 2 } , } \\ { \mathcal { T } _ { y y } } & { { } \to a _ { 2 } \beta ( 2 + h ^ { \prime } ) \sim 2 a _ { 2 } \beta + y \textrm { e } ^ { - y ^ { 2 } / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { Q } \left( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \bigg | \langle G _ { t } , \rho _ { t } \rangle - \langle G _ { 0 } , \rho ^ { \mathrm { i n i } } \rangle - \int _ { 0 } ^ { t } \langle \rho _ { s } , \partial _ { s } G _ { s } \rangle \mathrm { d } s - \int _ { 0 } ^ { t } \Big \langle \partial _ { u u } G _ { s } , \sum _ { k \geqslant 1 } \binom { m } { k } ( - 1 ) ^ { k } ( 1 - \rho _ { s } ) ^ { k } \mathrm { d } s \Big \rangle \bigg | > \delta \right) = 0 . } \end{array}
e = \frac { { \| { \mathbf { u } _ { { x } _ { C F D } } - \mathbf { u } _ { x _ { R O M } } } \| } _ { 1 } } { n \; \operatorname* { m a x } { \mathbf { u } _ { { x } _ { C F D } } } } \times 1 0 0 \
\begin{array} { r } { \eta ( t ) = \eta ^ { 0 } + \left( m \omega _ { \chi } - ( n - N m ) \omega _ { \zeta } + \omega \right) t + \sum _ { j \ne 0 } \left[ \frac { m \chi _ { j } } { j \omega _ { \chi } } - ( n - N m ) \frac { \zeta _ { j } } { j \omega _ { \chi } } \right] \sin ( j \left[ \chi ^ { 0 } + \omega _ { \chi } t \right] ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { { \mathcal { H } } } - V _ { 0 } = - \frac { \zeta _ { - } } { 2 } ( \tilde { Q } _ { 1 } ^ { 2 } + \tilde { P } _ { 1 } ^ { 2 } ) + \frac { \zeta _ { + } } { 2 } ( \tilde { Q } _ { 2 } ^ { 2 } + \tilde { P } _ { 2 } ^ { 2 } ) + \tilde { U } ( \tilde { Q } _ { 1 } , \tilde { Q } _ { 2 } ) \, , } \end{array}
A _ { n } = a _ { 0 } + \sum _ { k = 1 } ^ { n } b _ { k } = a _ { 0 } \left( 1 + { \frac { 3 } { 4 } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \left( { \frac { 4 } { 9 } } \right) ^ { k } \right) = a _ { 0 } \left( 1 + { \frac { 1 } { 3 } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \left( { \frac { 4 } { 9 } } \right) ^ { k } \right) \, .
\tilde { \tilde { \textbf { D } } } ^ { \prime } = \omega ^ { 1 - \gamma } \langle \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } \lambda \rangle + \omega ^ { 1 - \alpha } \langle \lambda \mathbf k \rangle \cdot \nabla _ { \mathbf x } P _ { 0 }
\mathcal { C } = \left\lbrace 0 , \left[ \begin{array} { c c } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } e _ { i } ^ { T } } & { 0 ^ { T } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c c } { 0 ^ { T } } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } e _ { i } ^ { T } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c c } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } e _ { i } ^ { T } } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } e _ { i } ^ { T } } \end{array} \right] \right\rbrace .
I _ { 1 0 } = \int \int \int \frac { \mathrm { d } ^ { D } k _ { 1 } \; \mathrm { d } ^ { D } k _ { 2 } \; \mathrm { d } ^ { D } k _ { 3 } \; } { ( k _ { 1 } + p ) ^ { 2 } \; ( k _ { 2 } ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) \; ( k _ { 3 } ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) \; ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) ^ { 2 } \; ( k _ { 3 } + k _ { 2 } ) ^ { 2 } }
\left( { \frac { \dot { R } } { R } } \right) ^ { 2 } = { \frac { 8 \pi } { 3 } } G _ { N } ( R ) \rho _ { Q } ( R ) + { \frac { 8 \pi } { 3 } } G _ { N } ( R ) \rho ( R ) + { \frac { \kappa _ { 5 } ^ { 4 } } { 3 6 } } \rho ( R ) ^ { 2 } .
{ \bf E } = \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ } \left( { \boldsymbol { \mathcal { E } } } \right) = [ \mathcal { E } _ { 1 1 } \, , \mathcal { E } _ { 2 1 } \, , \mathcal { E } _ { 1 2 } \, , \mathcal { E } _ { 2 2 } ] ^ { \top }
Z = { \mathrm { t r } } \left\{ \displaystyle e ^ { - \hbar \beta \omega a ^ { \dagger } a } \right\} = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } e ^ { - n \beta \hbar \omega } = { \frac { 1 } { 1 - e ^ { - \hbar \beta \omega } } } .
d s _ { 1 0 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { \sqrt { f _ { 0 } } } ( - d t ^ { 2 } + d x _ { 1 0 - p } ^ { 2 } + \ \cdots \ + d x _ { 9 } ^ { 2 } ) + \sqrt { f _ { 0 } } ( d x _ { 1 } ^ { 2 } + \ \cdots \ + d x _ { 9 - p } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } _ { t } + \mathcal { T } _ { \overline { { S } } } + \mathit { \Pi } _ { \overline { { S } } } } & { { } = \mathcal { D } _ { r , \nu } + \mathcal { D } _ { x , \nu } - \mathcal { \epsilon } + \mathcal { I } , } \\ { \mathit { \Pi } _ { \overline { { I } } } = \mathcal { T } _ { \overline { { I } } } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \mathcal { T } _ { p } , } \end{array}
P ^ { 2 } { \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) } = P { \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { 0 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { 0 } \end{array} \right) } = P { \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) }
\Psi \left( x , z , t \right) = A e ^ { - \alpha | z | } \exp \left[ i \alpha \left( x - c t \right) \right] = A \exp \left( \alpha { \sqrt { \frac { g { \tilde { \mathcal { A } } } } { \alpha } } } t \right) \exp \left( i \alpha x - \alpha | z | \right)
\mu _ { 2 } ^ { 2 } + v _ { 2 } ^ { 2 } \lambda _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( \lambda _ { 1 2 } + \delta ) v _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { 2 3 } v _ { 3 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \beta v _ { 1 } ^ { 2 } = 0