harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \nabla f } & { = \varepsilon ^ { - 1 } \widehat { n } \partial _ { \xi } f + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { k } \xi ^ { k } K ^ { k } \nabla _ { \! \bot } f , } \\ { \nabla v } & { = \varepsilon ^ { - 1 } \widehat { n } \otimes ( \widehat { n } \, \partial _ { \xi } u _ { \sigma } + \partial _ { \xi } u _ { \bot } ) } \\ & { + \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { k } \xi ^ { k } K ^ { k } \right) \left( ( \nabla _ { \! \bot } u _ { \sigma } + K u _ { \bot } ) \otimes \widehat { n } + ( \nabla _ { \! \bot } u _ { \bot } \cdot \Pi - u _ { \sigma } \, K ) \right) , } \\ { | J | \nabla \cdot { u } } & { = \varepsilon ^ { - 1 } { \partial _ { \xi } u _ { \sigma } } - \partial _ { \xi } ( \xi \overline { { K } } u _ { \sigma } ) + \nabla _ { \bot } \cdot { u _ { \bot } } + \varepsilon \left( \partial _ { \xi } ( \xi ^ { 2 } \left| K \right| u _ { \sigma } ) - \xi \nabla _ { \bot } \cdot ( \widehat { K } u _ { \bot } ) \right) , } \\ { \nabla ^ { 2 } f } & { = \varepsilon ^ { - 2 } \partial _ { \xi } ^ { 2 } f + \varepsilon ^ { - 1 } ( - \overline { { K } } \partial _ { \xi } f ) + \varepsilon ^ { 0 } ( - \xi \overline { { K ^ { 2 } } } \partial _ { \xi } f + \nabla _ { \! \bot } \cdot \nabla _ { \! \bot } f ) + \O ( \varepsilon ) } \\ { - \nabla \times \nabla \times { u } } & { = \varepsilon ^ { - 2 } \partial _ { \xi } ^ { 2 } u _ { \bot } + \varepsilon ^ { - 1 } \left( - \overline { { K } } \partial _ { \xi } u _ { \bot } - \partial _ { \xi } \nabla _ { \! \bot } u _ { \sigma } - \widehat { n } \nabla _ { \! \bot } \cdot ( \partial _ { \xi } u _ { \bot } ) \right) + \O ( \varepsilon ^ { 0 } ) } \\ { { u } \cdot \nabla f } & { = \varepsilon ^ { - 1 } u _ { \sigma } \partial _ { \xi } f + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { k } \xi ^ { k } K ^ { k } u _ { \bot } \cdot \nabla _ { \! \bot } f } \\ { { u } \cdot \nabla { u } } & { = \varepsilon ^ { - 1 } \left( u _ { \sigma } \partial _ { \xi } u _ { \bot } + \widehat { n } u _ { \sigma } \partial _ { \xi } u _ { \sigma } \right) } \\ & { \quad + \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { k } \xi ^ { k } u _ { \bot } K ^ { k } \right) \cdot \left( ( \nabla _ { \! \bot } u _ { \sigma } + K u _ { \bot } ) \widehat { n } + ( \nabla _ { \! \bot } u _ { \bot } - K u _ { \sigma } ) \right) . } \end{array}
F = d A \quad \textrm { w h e r e } \quad A = \left( - \frac { 1 } { \kappa } \frac { q } { Z ^ { n - 3 } } + \Phi \right) d t \quad \textrm { a n d } \quad \kappa = \sqrt { \frac { 2 ( n - 3 ) } { n - 2 } } .
\begin{array} { r } { \langle a _ { 0 } \, , \, \ell _ { n } ^ { \star } ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { n } ) \rangle _ { \star } = \pm \, \langle \mathsf { R } _ { \alpha _ { 0 } } \, \mathsf { R } _ { \alpha _ { 1 } } \cdots \mathsf { R } _ { \alpha _ { n - 1 } } ( a _ { n } ) \, , \, \ell _ { n } ^ { \star } ( \mathsf { R } ^ { \alpha _ { 0 } } ( a _ { 0 } ) , \mathsf { R } ^ { \alpha _ { 1 } } ( a _ { 1 } ) , \dots , \mathsf { R } ^ { \alpha _ { n - 1 } } ( a _ { n - 1 } ) ) \rangle _ { \star } \ . } \end{array}
\beta _ { \alpha } = \beta _ { \alpha } ^ { \mathrm { S M } } + \beta _ { \alpha } ^ { \mathrm { S U S Y } } = \left( \frac { 1 1 } { 3 } N - \frac { 2 } { 3 } n _ { f } \right) \; + \; \left( - \frac { 2 } { 3 } N - \frac { 1 } { 3 } n _ { s } \right)
\begin{array} { r l } { \Gamma ( e ) } & { = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \, , \qquad \Gamma ( P _ { 1 2 } ) = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \, , \qquad \Gamma ( P _ { 1 3 } ) = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { \Gamma ( P _ { 2 3 } ) } & { = \left( \begin{array} { c c } { - 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 1 } \end{array} \right) \, , \qquad \Gamma ( P _ { 1 2 3 } ) = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) \, , \qquad \Gamma ( P _ { 1 3 2 } ) = \left( \begin{array} { c c } { - 1 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
K = { \o \mathrm { i } { 2 \pi } } \, \partial \, { \bar { \partial } } \, \mathrm { l g } \, \left( \mathrm { i } \langle \Omega \vert { \bar { \Omega } } \rangle \right) \, \equiv \, { \o \mathrm { i } { 2 \pi } } \, \partial \, { \bar { \partial } } \, \mathrm { l g } \, \left( \mathrm { i } \Omega ^ { T } \, \left( \begin{array} { l l } { { { \bf 0 } } } & { { { \bf 1 } } } \\ { { - { \bf 1 } } } & { { { \bf 0 } } } \end{array} \right) { \bar { \Omega } } \right)
\begin{array} { r l } { G _ { n _ { \| } n _ { \| } } ^ { R } } & { = \frac { \chi \Gamma } { i \omega - k ^ { 2 } D _ { \ell } - \Gamma } , } \\ { G _ { j _ { \perp } j _ { \perp } } ^ { R } } & { = \frac { \lambda _ { s } ^ { 2 } c _ { \phi } ^ { 2 } } { \tilde { \chi } } \frac { i \omega ( 1 + \tau ) ^ { 2 } + i \omega \tilde { \tau } ^ { 2 } k ^ { 2 } / \tilde { k } _ { 0 } ^ { 2 } - \tilde { D } _ { \ell } k ^ { 2 } / \lambda _ { s } ^ { 2 } } { i \omega - \tilde { D } _ { \ell } k ^ { 2 } - \tilde { \Gamma } } - i \omega \sigma . } \end{array}
c _ { 0 } = x _ { 0 } 2 ^ { - \rho } + k \gamma [ \alpha \rho ( 1 + \gamma ) ] ^ { - 1 } [ 1 - 2 ^ { - \rho } ] + k [ \alpha ( 1 + \gamma ) ( 1 + \rho ) ] ^ { - 1 } [ 2 - 2 ^ { - \rho } ]
P S F ( x , y , z ) = \left| \int \int _ { p u p i l } P ( k _ { x } , k _ { y } ) e ^ { 2 \pi i ( k _ { x } x + k _ { y } y + k _ { z } z ) } \mathrm { d } _ { k _ { x } } \mathrm { d } _ { k _ { y } } \right|
\begin{array} { r l r l r } { \underset { \{ \mathbf { x } \} \in \mathcal { X } } { \operatorname* { m a x } } \, \, } & { \tilde { f } _ { 0 } \left( \left\{ \mathbf { x } \right\} \right) } & { \, \, \mathrm { s . t . } \, \, } & { \tilde { f } _ { i } \left( \left\{ \mathbf { x } \right\} \right) \geq 0 , } & { \forall i , } \\ & { } & & { \tilde { r } _ { l k } \geq r _ { l k } ^ { t h } , } & { \forall l , k . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \arg \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { G } \in \mathbb { F } _ { q } ^ { n \times k } } \quad } & { \big \{ \mathrm { n n z r } ( \mathbf { G } ) \big \} } \\ { \textrm { s . t . } \quad } & { \| \mathbf { G } _ { ( i ) } \| _ { 0 } = w , \ \forall i \in \mathbb { N } _ { n } } \\ & { \| \mathbf { G } ^ { ( j ) } \| _ { 0 } = d , \ \forall i \in \mathbb { N } _ { k } } \\ & { \mathrm { r a n k } ( \mathbf { G } _ { \mathcal { I } } ) = k , \ \forall \mathcal { I } : | \mathcal { I } | = k } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A ( t ) } & { = } & { A _ { 0 } + A _ { 1 } t + A _ { 2 } t ^ { 2 } + A _ { 3 } t ^ { 3 } , } \\ { { \bf x } ( t ) } & { = } & { { \bf x } _ { 0 } + { \bf x } _ { 1 } t + { \bf x } _ { 2 } t ^ { 2 } + { \bf x } _ { 3 } t ^ { 3 } , } \\ { { \bf b } ( t ) } & { = } & { { \bf b } _ { 0 } + { \bf b } _ { 1 } t + { \bf b } _ { 2 } t ^ { 2 } + { \bf b } _ { 3 } t ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l } { \tilde { Q } _ { 0 } ^ { h } } \\ { \tilde { Q } _ { 1 } ^ { h } } \end{array} \right) } & { { } - \lambda \frac { \partial } { \partial x _ { 0 } } \left( \begin{array} { l } { \tilde { Q } _ { 0 } ^ { h } } \\ { \tilde { Q } _ { 1 } ^ { h } } \end{array} \right) } \end{array}
B _ { m } ( \zeta ) = 2 \sqrt { 2 } \int _ { \xi _ { \operatorname* { m i n } } } ^ { \xi _ { \operatorname* { m a x } } } \sqrt { e ^ { \zeta - \xi } ( \cosh r _ { m } ( \xi ) - \cosh ( \xi - \zeta ) ) } d \xi + O ( e ^ { - R } )
\mathrm { e x p } \left[ \frac { 2 i \pi } { k } \tau e ( \tilde { n } - 1 / 2 ) + \frac { 2 i \pi } { k } e ( \widetilde { n _ { 0 } } z _ { 1 } + ( 1 - \widetilde { n _ { 0 } } ) z _ { 2 } - w ) + \frac { 2 i \pi } { k } ( \tilde { n } - 1 / 2 ) e _ { 0 } ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) \right] d w
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } - \mathrm { i } \omega ^ { - 1 } \nabla \times \Big ( ( \omega ^ { 2 } \varepsilon _ { 0 } \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { k _ { 0 } } [ \Psi _ { 0 } ] + \nabla \times \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { k _ { 0 } } [ \Phi _ { 0 } ] ) } & { { } } \\ { + \sum _ { l ^ { \prime } = 1 } ^ { l _ { 0 } } ( \omega ^ { 2 } \varepsilon _ { 0 } \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { k _ { 0 } } [ \Psi _ { l ^ { \prime } } ] + \nabla \times \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { k _ { 0 } } [ \Phi _ { l ^ { \prime } } ] ) \Big ) } & { { } \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ \ \mathbb { R } ^ { 3 } \setminus \overline { \Omega } , } \\ { \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } - \mathrm { i } \omega ^ { - 1 } \nabla \times \Big ( ( \omega ^ { 2 } \varepsilon _ { s } \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { k _ { s } } [ \Psi _ { 0 } ] + \nabla \times \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { k _ { s } } [ \Phi _ { 0 } ] ) } & { { } } \\ { + \sum _ { l ^ { \prime } = 1 } ^ { l _ { 0 } } ( \omega ^ { 2 } \varepsilon _ { s } \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { k _ { s } } [ \Psi _ { l ^ { \prime } } ] + \nabla \times \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { k _ { s } } [ \Phi _ { l ^ { \prime } } ] ) \Big ) } & { { } \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ \ \tilde { B } , } \\ { - \mathrm { i } \omega ^ { - 1 } \nabla \times \Big ( ( \omega ^ { 2 } \gamma _ { l } \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { \varsigma _ { l } } [ \Psi _ { 0 } ] + \nabla \times \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { \varsigma _ { l } } [ \Phi _ { 0 } ] ) } & { { } } \\ { + \sum _ { l ^ { \prime } = 1 } ^ { l _ { 0 } } ( \omega ^ { 2 } \gamma _ { l } \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { \varsigma _ { l } } [ \Psi _ { l ^ { \prime } } ] + \nabla \times \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { \varsigma _ { l } } [ \Phi _ { l ^ { \prime } } ] ) \Big ) } & { { } \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ \ B _ { l } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 2 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( x - t , y ) } & { { } = - p _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( x - t , y ) , } \\ { p _ { 2 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } ( x - t , y ) } & { { } = - p _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } ( x - t , y ) . } \end{array}
{ \frac { v } { c } } = \operatorname { t a n h } \zeta _ { v } \ , \quad { \frac { u ^ { \prime } } { c } } = \operatorname { t a n h } \zeta _ { u ^ { \prime } } \ , \quad \, { \frac { u } { c } } = \operatorname { t a n h } ( \zeta _ { v } + \zeta _ { u ^ { \prime } } ) .
\sqrt { M } ( \mathrm { E S N R } _ { e x , 1 } - \overline { { \mathrm { E S N R } } } _ { e x , 1 } ) \xrightarrow [ M \rightarrow \infty ] { i . p . } \frac { \sqrt { M } p _ { 1 } } { \rho ^ { 2 } \overline { { C } } } [ - \frac { 2 \overline { { E } } _ { 1 } ( A _ { 1 } - \overline { { A } } _ { 1 | { \mathbf { H } } _ { 1 } } ) } { ( 1 + \overline { { A } } _ { 1 } ) ^ { 3 } } + \frac { E _ { 1 } - \overline { { E } } _ { 1 | { \mathbf { H } } _ { 1 } } } { ( 1 + \overline { { A } } _ { 1 } ) ^ { 2 } } ] ,
Z _ { l } ^ { S U } ( g , \theta ) \sim \frac { \sqrt { 2 \pi } } { g } \exp \frac { g ^ { 2 } } { 8 } ( \frac { \theta } { \pi } ) ^ { 2 } \mathrm { d e t } _ { j k } \exp [ - \frac { g ^ { 2 } } { 2 N } \{ ( j - k ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } ( \frac { \theta } { \pi } ) ^ { 2 } \} ] .
U ^ { \prime } = U _ { \mathrm { a t m } } U _ { \odot } = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \cos \psi } } & { { \sin \psi } } \\ { { 0 } } & { { - \sin \psi } } & { { \cos \psi } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c } { { \cos \theta } } & { { \sin \theta } } & { { 0 } } \\ { { - \sin \theta } } & { { \cos \theta } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\mathcal { H } = \operatorname* { m a x } _ { \mathrm { ~ s ~ } \in \left[ 0 , \mathrm { ~ t ~ } \right] } \left[ \langle { \psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ + ~ } } ( { \bf E } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } , \xi ) - \psi ^ { * } / { 2 } } \rangle \right] .
\begin{array} { r } { F ( s ; a , b , N ) = \int _ { 0 } ^ { s } p _ { T e s _ { N } } ( s ^ { \prime } ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) d s ^ { \prime } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle U ^ { 0 } \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 0 } ) \Phi _ { 0 } , V ^ { 0 } \Phi _ { 0 } \rangle } & { { } = \langle \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 0 } ) \Phi _ { 0 } , ( U ^ { 0 } ) ^ { \dag } V ^ { 0 } \Phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } G _ { \mathrm { d } } ( x , t ) } & { { } = D \left[ - \frac { d } { d x } \frac { 2 \operatorname { t a n h } [ q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) ] } { b } G _ { \mathrm { d } } ( x , t ) + \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } G _ { \mathrm { d } } ( x , t ) \right] , } \\ { \frac { d } { d t } G _ { \mathrm { d } } ( x , t ) } & { { } \approx D \left[ - \frac { d } { d x } \frac { q F } { k _ { \mathrm { B } } T } G _ { \mathrm { d } } ( x , t ) + \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } G _ { \mathrm { d } } ( x , t ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { o u t } } [ \Omega ] = } & { | H _ { 0 } ^ { q } [ \Omega ] | ^ { 2 } \bar { S } _ { q q } ^ { 0 } [ \Omega ] + | H _ { \mathrm { G } } ^ { q } [ \Omega ] | ^ { 2 } \bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { G } } [ \Omega ] } \\ & { + 2 \mathrm { R e } \left[ H _ { 0 } ^ { q } [ \Omega ] H _ { \mathrm { G } } ^ { q } [ \Omega ] ^ { * } \bar { S } _ { q q } ^ { 0 , G } [ \Omega ] \right] , } \end{array}
{ \mathrm { C } } ( U ) = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { u _ { 0 0 } } & { u _ { 0 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { u _ { 1 0 } } & { u _ { 1 1 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r } { \sqrt { \operatorname* { m a x } \left[ \langle \rho ^ { 2 } \rangle ( t ) \right] \operatorname* { m i n } \left[ \langle \rho ^ { 2 } \rangle ( t ) \right] } = \frac { 1 } { m \omega _ { 0 } } \left( 2 n + | l | + 1 \right) , } \end{array}
{ \ensuremath { { \mathbf { u } } } } _ { \mathrm { o u t } } = \mathrm { d i a g } \left( \boldsymbol { \omega } \right) { \ensuremath { { \mathbf { u } } } } _ { \mathrm { i n } } + { \ensuremath { \mathbf { J } } } _ { { \ensuremath { \mathcal { A } } } } \mathrm { d i a g } \left( \boldsymbol { \omega } \right) { \ensuremath { { \mathbf { q } } } } ,
{ \begin{array} { r l } { \left\| | f | ^ { \frac { 1 } { p } } \right\| _ { 1 } } & { = \left\| | f g | ^ { \frac { 1 } { p } } \, | g | ^ { - { \frac { 1 } { p } } } \right\| _ { 1 } } \\ & { \leqslant \left\| | f g | ^ { \frac { 1 } { p } } \right\| _ { p } \left\| | g | ^ { - { \frac { 1 } { p } } } \right\| _ { q } } \\ & { = \| f g \| _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { p } } \left\| | g | ^ { \frac { - 1 } { p - 1 } } \right\| _ { 1 } ^ { \frac { p - 1 } { p } } } \end{array} }
\left\{ \begin{array} { r l } & { \mathrm { \i } \partial _ { t } \psi ( \mathbf { x } , t ) = - \frac { 1 } { 2 } \Delta \psi ( \mathbf { x } , t ) + V ( \mathbf { x } ) \psi ( \mathbf { x } , t ) + \beta | \psi ( \mathbf { x } , t ) | ^ { 2 } \psi ( \mathbf { x } , t ) , } \\ & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } | \psi ( \mathbf { x } , t ) | ^ { 2 } d \mathbf { x } = 1 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { u _ { f } } & { { } = } & { u _ { e } + ( q _ { n f } - q _ { n _ { e } } ) \eta _ { x } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { v _ { f } } & { { } = } & { v _ { e } + ( q _ { n f } - q _ { n _ { e } } ) \eta _ { y } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { w _ { f } } & { { } = } & { w _ { e } + ( q _ { n f } - q _ { n _ { e } } ) \eta _ { z } \, \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\lambda _ { 2 } ( 1 , 1 ^ { \prime } ; 2 , 2 ^ { \prime } ) = \gamma _ { 2 } ( 1 , 1 ^ { \prime } ; 2 , 2 ^ { \prime } ) - \gamma _ { 1 } ( 1 , 1 ^ { \prime } ) \gamma _ { 1 } ( 2 , 2 ^ { \prime } ) + \gamma _ { 1 } ( 1 , 2 ^ { \prime } ) \gamma _ { 1 } ( 2 , 1 ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r } { T _ { l , m } ^ { N } = \frac { i } { \sqrt { 2 } } \left( \widehat { T } _ { l , m } ^ { N } + ( - 1 ) ^ { m } \widehat { T } _ { l , - m } ^ { N } \right) \quad \mathrm { f o r } \, \, m > 0 } \\ { T _ { l , - m } ^ { N } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \widehat { T } _ { l , - m } ^ { N } - ( - 1 ) ^ { m } \widehat { T } _ { l , m } ^ { N } \right) \quad \mathrm { f o r } \, \, m > 0 } \\ { T _ { l , 0 } ^ { N } = i \widehat { T } _ { l , 0 } ^ { N } \quad \mathrm { f o r } \, \, m = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta V _ { k } } & { \leq - c _ { 1 } \| \vartheta _ { k } - \theta ^ { * } \| ^ { 2 } - c _ { 2 } \| \theta _ { k } - \vartheta _ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad - A _ { k } [ ( \vartheta _ { k } - \theta ^ { * } ) ^ { \top } \phi _ { k } - ( 1 - \beta ) ( \theta _ { k } - \vartheta _ { k } ) ^ { \top } \phi _ { k } ] ^ { 2 } } \\ & { \leq 0 } \end{array}
\Delta E _ { n } ^ { ( 1 ) } = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \frac { 1 } { 2 } i \epsilon \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 1 ) } \right> _ { c } = - \delta m \int d \vec { x } \phi _ { n } ^ { \dag } \left( \vec { x } \right) \gamma ^ { 0 } \phi _ { n } \left( \vec { x } \right) \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } n } { \mathrm { d } t } = } & { - C _ { \mathrm { e , t r a p } } \left( N _ { \mathrm { T } } - n _ { \mathrm { T } } \right) n + E _ { \mathrm { e , t r a p } } n _ { \mathrm { T } } , } \\ { \frac { \mathrm { d } n _ { \mathrm { T } } } { \mathrm { d } t } = } & { + C _ { \mathrm { e , t r a p } } \left( N _ { \mathrm { T } } - n _ { \mathrm { T } } \right) n - E _ { \mathrm { e , t r a p } } n _ { \mathrm { T } } } \\ & { - C _ { \mathrm { h , t r a p } } n _ { \mathrm { T } } p , } \\ { \frac { \mathrm { d } p } { \mathrm { d } t } = } & { - C _ { \mathrm { h , t r a p } } n _ { \mathrm { T } } p , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \parallel } = } & { { } \left( c _ { \textup { t } , \tilde { G } , 6 } + c _ { \textup { t } , \tilde { G } , 7 } \ln ( \alpha ) ^ { c _ { \textup { t } , \tilde { G } , 8 } } \right) \, , } \\ { \gamma _ { \perp } = } & { { } \left( c _ { \textup { t } , \tilde { G } , 6 } + c _ { \textup { t } , \tilde { G } , 7 } \ln ( \alpha ) ^ { c _ { \textup { t } , \tilde { G } , 8 } } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { 2 } = } & { - \frac { 1 } { p } \int _ { M } { \partial _ { J } e ^ { - p u } \wedge \Big ( ( 2 \partial \Omega _ { 0 } ^ { n - 1 } + \partial \partial _ { J } u \wedge \partial \Omega ^ { n - 2 } ) \wedge { \overline { \Omega } } ^ { n } + ( 2 \Omega _ { 0 } ^ { n - 1 } + \partial \partial _ { J } u \wedge \Omega ^ { n - 2 } ) \wedge \partial { \overline { \Omega } } ^ { n } \Big ) } } \\ { = } & { \frac { 1 } { p } \int _ { M } { e ^ { - p u } \Big ( ( 2 \partial _ { J } \partial \Omega _ { 0 } ^ { n - 1 } + \partial \partial _ { J } u \wedge \partial _ { J } \partial \Omega ^ { n - 2 } ) \wedge { \overline { \Omega } } ^ { n } - ( 2 \partial \Omega _ { 0 } ^ { n - 1 } + \partial \partial _ { J } u \wedge \partial \Omega ^ { n - 2 } ) \wedge \partial _ { J } { \overline { \Omega } } ^ { n } \Big ) } } \\ & { + \frac { 1 } { p } \int _ { M } { e ^ { - p u } \Big ( ( 2 \partial _ { J } \Omega _ { 0 } ^ { n - 1 } + \partial \partial _ { J } u \wedge \partial _ { J } \Omega ^ { n - 2 } ) \wedge \partial { \overline { \Omega } } ^ { n } + ( 2 \Omega _ { 0 } ^ { n - 1 } + \partial \partial _ { J } u \wedge \Omega ^ { n - 2 } ) \wedge { \partial _ { J } \partial \overline { \Omega } } ^ { n } \Big ) } } \\ { = } & { \frac { 1 } { p } \int _ { M } { e ^ { - p u } \partial \partial _ { J } u \wedge \Big ( \partial _ { J } \partial \Omega ^ { n - 2 } \wedge { \overline { \Omega } } ^ { n } - \partial \Omega ^ { n - 2 } \wedge \partial _ { J } { \overline { \Omega } } ^ { n } + \partial _ { J } \Omega ^ { n - 2 } \wedge \partial { \overline { \Omega } } ^ { n } + \Omega ^ { n - 2 } \wedge \partial _ { J } \partial { \overline { \Omega } } ^ { n } \Big ) } } \\ & { + \frac { 1 } { p } \int _ { M } { e ^ { - p u } \Big ( 2 \partial _ { J } \partial \Omega _ { 0 } ^ { n - 1 } \wedge { \overline { \Omega } } ^ { n } - 2 \partial \Omega _ { 0 } ^ { n - 1 } \wedge \partial _ { J } { \overline { \Omega } } ^ { n } + 2 \partial _ { J } \Omega _ { 0 } ^ { n - 1 } \wedge \partial { \overline { \Omega } } ^ { n } + 2 \Omega _ { 0 } ^ { n - 1 } \wedge \partial _ { J } \partial { \overline { \Omega } } ^ { n } \Big ) } } \\ { = } & { \mathcal { I } _ { 2 1 } + \mathcal { I } _ { 2 2 } . } \end{array}
- \mathrm { i } \sum _ { j } \mathbf { a } ( \mathbf { r } _ { j } ) \cdot \nabla _ { j } \log ( \psi ) + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \widetilde { U } ( \mathbf { r } _ { j } ) = E _ { 2 } - E _ { 1 } ,
\begin{array} { r } { { \bf q } ( { { \bf x } } ) = \frac { \omega ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 2 } } \tilde { \bf Y } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) \tilde { \bf b } ( { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { { \bf s } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I I } & { \leq 2 \, Z \operatorname* { m a x } ( Z ^ { - 3 } , ( Z _ { N } ^ { \mathrm { m a r g i n a l } } ) ^ { - 3 } ) \left( Z - ( Z _ { N } ^ { \mathrm { m a r g i n a l } } ) \right) ^ { 2 } \int _ { U } \mathbb { E } \big [ \exp \big ( \Phi ( u ) - \Phi _ { N } ( u ) \big ) \big ] \mu ^ { y } ( \mathrm { d } u ) . } \end{array}
\tilde { \gamma } \rightarrow 0 , \quad \frac { 1 } { \hslash } \gamma g A e ^ { \mu _ { 1 } } \approx \frac { \gamma } { \sqrt { 1 - \gamma ^ { 2 } } t } , \quad e ^ { 2 \mu _ { 2 } } A ^ { 2 } \rightarrow A ^ { 2 } - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 1 - \gamma ^ { 2 } } .
\mathbf { s } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \mathbf { x } ^ { ( t ) } , \mathbf { y } , t ) \approx \nabla _ { \mathbf { x } ^ { ( t ) } } \log { \mathrm { ~ p ~ } ( \mathbf { x } ^ { ( t ) } | \mathbf { y } } )
\begin{array} { r l r } { S _ { F F } ( \omega ) } & { = } & { \frac { S _ { X X } ( \omega ) } { | H _ { X F } ( \omega ) | ^ { 2 } } - S _ { \xi \xi } ( \omega ) - \frac { | H _ { X Y } ( \omega ) | ^ { 2 } } { | H _ { X F } ( \omega ) | ^ { 2 } } S _ { Y Y } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) - \frac { | H _ { X X } ( \omega ) | ^ { 2 } } { | H _ { X F } ( \omega ) | ^ { 2 } } S _ { X X } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) } \\ & { = } & { \frac { S _ { Y Y } ( \omega ) } { | H _ { Y F } ( \omega ) | ^ { 2 } } - S _ { \xi \xi } ( \omega ) - \frac { | H _ { Y X } ( \omega ) | ^ { 2 } } { | H _ { Y F } ( \omega ) | ^ { 2 } } S _ { X X } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) - \frac { | H _ { Y Y } ( \omega ) | ^ { 2 } } { | H _ { Y F } ( \omega ) | ^ { 2 } } S _ { Y Y } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) . } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { K } _ { \mu } } = \frac { - 1 } { 8 g ^ { 2 } } \left( \mathrm { T r } \{ { \cal F } _ { \ast } ^ { \mu \nu } { \cal F } _ { \mu \nu } \} - i \, \mathrm { T r } \{ { \cal F } _ { \ast } ^ { \mu \nu } { \cal F } _ { \mu \nu } \} \, i \right) ,
\rho \left( x , y , 0 \right) = \left\lbrace \begin{array} { l r } { 1 - \frac { 1 } { 2 } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { r } { 0 . 2 } \right) ^ { 2 } } } & { \mathrm { i f } \; r ^ { 2 } \le 0 . 1 , } \\ { 1 - \frac { 1 } { 2 } e ^ { - \frac { 5 } { 4 } } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. \qquad p \left( x , y , 0 \right) = 1 0 ^ { 5 } + y g _ { 2 } \qquad \mathbf { u } \left( x , y , 0 \right) = 0 ,
n _ { 0 } ^ { ( m ) } = ( 2 . 3 \times 1 0 ^ { - 4 } ) \frac { m T _ { 0 } ^ { 3 } } { \overline { { { M } } } _ { P } } \int _ { m / T _ { * } } ^ { \infty } \! d x \, x ^ { 3 } { \cal K } _ { 1 } ( x ) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { t } m _ { 1 } ^ { s } + m _ { 1 } ^ { s } = 0 } \\ & { } & { \partial _ { t } m _ { 1 } ^ { d } + ( 1 + 2 \gamma ) m _ { 1 } ^ { d } = v _ { 0 } } \\ & { } & { \partial _ { t } m _ { 2 } ^ { s } + 2 m _ { 2 } ^ { s } = 2 v _ { 0 } m _ { 1 } ^ { d } + g } \\ & { } & { \partial _ { t } m _ { 2 } ^ { d } + 2 ( 1 + \gamma ) m _ { 2 } ^ { d } = 2 v _ { 0 } m _ { 1 } ^ { s } } \end{array}
\partial B = \bigcup _ { i = 1 } ^ { n - s } \bigcup _ { c \in \{ a _ { i } , b _ { i } \} } \left( \prod _ { j = 1 } ^ { i - 1 } [ a _ { j } , b _ { j } ] \times \{ c \} \times \prod _ { k = i + 1 } ^ { n - s } [ a _ { k } , b _ { k } ] \right) .