harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \tilde { \mathbf { f } } ( x , t ) } & { { } = \mathbf { f } ( \Phi _ { t } ( x ) , t ) , } & { \quad \tilde { g } ( x , t ) } & { { } = g ( \Phi _ { t } ( x ) , t ) } & { \qquad } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } ( x , t ) \in \Omega _ { 0 } ^ { \pm } \times ( 0 , T ) , } \\ { \tilde { \mathbf { a } } _ { j } ( x , t ) } & { { } = \mathbf { a } _ { 1 } ( \Phi _ { t } ( x ) , t ) , } & { \quad \tilde { \mathbf { b } } _ { j } ( x , t ) } & { { } = \mathbf { b } _ { j } ( \Phi _ { t } ( x ) , t ) } & { \qquad } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } ( x , t ) \in \Gamma _ { 0 } \times ( 0 , T ) , j = 1 , 2 , } \\ { \tilde { b } _ { 0 } ( x , t ) } & { { } = b _ { 0 } ( \Phi _ { t } ( x ) , t ) , } & { } & { { } } & { \qquad } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } ( x , t ) \in \Gamma _ { 0 } \times ( 0 , T ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x ^ { \prime } , y ) - f ( x , y ^ { \prime } ) } & { = \left( x ^ { \prime } - 1 \right) \left( 1 - \frac { 1 } { y } \right) - \left( x - 1 \right) \left( 1 - \frac { 1 } { y ^ { \prime } } \right) } \\ & { = x ^ { \prime } - \frac { x ^ { \prime } - 1 } { y } - x + \frac { x - 1 } { y ^ { \prime } } > x ^ { \prime } - \frac { x ^ { \prime } } { y } - x = x ^ { \prime } \left( 1 - \frac { 1 } { y } - \frac { x } { x ^ { \prime } } \right) > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { B ( x , R ) } ( \mathrm { L i p } f _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } d \mu } & { \leq \sum _ { i , B _ { i } ^ { \varepsilon } \cap B ( x , R ) \neq \emptyset } \int _ { B _ { i } ^ { \varepsilon } } ( \mathrm { L i p } f _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } ( x ) d \mu ( x ) } \\ & { \leq C \sum _ { i , B _ { i } ^ { \varepsilon } \cap B ( x , R ) \neq \emptyset } \int _ { B _ { i } ^ { \varepsilon } } \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \fint _ { 5 B _ { i } ^ { \varepsilon } } \fint _ { B ( z , 2 \varepsilon ) } | f ( z ) - f ( y ) | ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( z ) \, d \mu ( x ) } \\ & { \leq C \sum _ { i , B _ { i } ^ { \varepsilon } \cap B ( x , R ) \neq \emptyset } \int _ { 5 B _ { i } ^ { \varepsilon } } \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \fint _ { B ( z , 2 \varepsilon ) } | f ( z ) - f ( y ) | ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( z ) } \\ & { \leq C \int _ { B ( x , 7 R ) } \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \fint _ { B ( z , 2 \varepsilon ) } | f ( z ) - f ( y ) | ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( z ) . } \end{array}
\left( { \frac { \partial } { \partial t } + \langle { \overline { { \bf { u } } } } \rangle \cdot \nabla } \right) \langle { \overline { { u ^ { \prime \prime } { } ^ { i } u ^ { \prime \prime } { } ^ { j } } } } \rangle = P ^ { \prime \prime } { } ^ { i j } + \Pi ^ { \prime \prime } { } ^ { i j } - \varepsilon ^ { \prime \prime } { } ^ { i j } + \frac { \partial T ^ { \prime \prime } { } ^ { i j \ell } } { \partial x ^ { \ell } } + { \cal { P } } ^ { \prime \prime } { } ^ { i j } ,
\begin{array} { r l } { C ( \varphi ) } & { \equiv D ( \varphi ) - 1 - \frac { 2 - \{ f ( \varphi ) , \varphi \} } { 2 f ^ { \prime } ( \varphi ) \sigma ( \varphi ) ^ { 2 } } , } \\ { D ( \varphi ) } & { \equiv \frac { \Gamma _ { N } } { \Omega _ { N } } + \frac { 1 } { 2 } - \frac { 2 } { \sigma ( \varphi ) ^ { 2 } } \left( \frac { E _ { N } ^ { 1 } } { \Omega _ { N } } - \frac { 1 } { 2 } \right) } \\ & { \quad + \frac { 2 - \{ f ( \varphi ) , \varphi \} } { 4 f ^ { \prime } ( \varphi ) ^ { 2 } \sigma ( \varphi ) ^ { 4 } } \left[ 4 + f ^ { \prime } ( \varphi ) \sigma ( \varphi ) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle h ( x , y , z ) \rangle = h ( \langle x \rangle , \langle y \rangle , \langle z \rangle ) + 1 / 2 h _ { x x } \sigma _ { x } ^ { 2 } + 1 / 2 h _ { y y } \sigma _ { y } ^ { 2 } + 1 / 2 h _ { z z } \sigma _ { z } ^ { 2 } + h _ { x y } \mathrm { c o v } ( x , y ) } \\ & { + h _ { x z } \mathrm { c o v } ( x , z ) + h _ { y z } \mathrm { c o v } ( y , z ) + \langle \mathrm { H . O . T . } \rangle , } \end{array}
\mathrm { C o v } ( B _ { C } ( \normalfont { \textbf { u } } ) , B _ { C } ( \normalfont { \textbf { v } } ) ) = C ( \normalfont { \textbf { u } \wedge \textbf { v } } ) - C ( \normalfont { \textbf { u } } ) C ( \normalfont { \textbf { v } } ) \overset { \mathcal { H } _ { 0 } } { = } C _ { \Pi } ( \normalfont { \textbf { u } \wedge \textbf { v } } ) - C _ { \Pi } ( \normalfont { \textbf { u } } ) C _ { \Pi } ( \normalfont { \textbf { v } } ) .
K = { \frac { 1 } { 2 } } a b \cdot \sin { \alpha } + { \frac { 1 } { 4 } } { \sqrt { 4 c ^ { 2 } d ^ { 2 } - ( c ^ { 2 } + d ^ { 2 } - a ^ { 2 } - b ^ { 2 } + 2 a b \cdot \cos { \alpha } ) ^ { 2 } } } ,
{ \frac { \partial u } { \partial t } } = \alpha \left( { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial z ^ { 2 } } } \right)
\begin{array} { r l r } { \left\langle \Delta x ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } \frac { 2 } { B _ { 0 } ^ { 2 } } { \int } \int _ { 0 } ^ { z } \int _ { 0 } ^ { z - { z } ^ { \prime } } P _ { x x } ( \mathbf { k } ) e ^ { - i k _ { z } \Delta z ^ { \prime } } } \end{array}
P _ { i } ^ { j } = \left( \begin{array} { c c } { { - i { \textstyle { \frac { 1 } { 4 } } } e ^ { 2 \phi } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { i { \textstyle { \frac { 1 } { 4 } } } e ^ { 2 \phi } } } \end{array} \right)
q _ { n } ( x , t | x _ { 0 } ) = \sum _ { m = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { ( c ^ { - \alpha } ; c ^ { - \alpha } ) _ { m } ( c ^ { \alpha } ; c ^ { \alpha } ) _ { n - m } } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \frac { ( t - t ^ { \prime } ) ^ { n - 1 } } { ( n - 1 ) ! } p _ { 0 } ( x - c ^ { n } x _ { 0 } , c ^ { \alpha m } t ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } \, } & { = \, - \frac { 1 } { \delta } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } W _ { \epsilon } \tilde { \eta } \bigl \{ \phi _ { * } \, , \, \tilde { \zeta } \bigr \} \, \mathrm { d } X + \frac { \epsilon \bar { r } \dot { \bar { z } } } { \delta \Gamma } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } W _ { \epsilon } \tilde { \eta } \, \partial _ { Z } \tilde { \eta } \, \mathrm { d } X } \\ { \, } & { = \, - \frac { 1 } { \delta } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } W _ { \epsilon } \tilde { \eta } \Bigl \{ \phi _ { * } - \frac { \bar { r } \dot { \bar { z } } } { 2 \Gamma } \, ( 1 + \epsilon R ) ^ { 2 } \, , \, \tilde { \zeta } \Bigr \} \, \mathrm { d } X } \\ { \, } & { = \, - \frac { 1 } { 2 \delta } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \Bigl \{ W _ { \epsilon } ( 1 + \epsilon R ) \, , \, \phi _ { * } - \frac { \bar { r } \dot { \bar { z } } } { 2 \Gamma } \, ( 1 + \epsilon R ) ^ { 2 } \Bigr \} \tilde { \zeta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { { \varrho } ^ { 2 } \le } & { C \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } \left\{ \displaystyle \frac { k _ { i } ^ { 2 \operatorname* { m i n } \{ r _ { i } - 2 , s \} + 2 } } { r _ { i } ^ { 2 ( s + 1 ) } } \right\} \| e \| _ { H ^ { 2 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 2 } \| w \| _ { H ^ { s + 1 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 2 } } \\ & { + C \| e \| _ { H ^ { 2 } ( 0 , t _ { n } ) } \| e \| _ { H ^ { 1 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 3 } \| w \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 2 } } \\ { \le } & { C \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } \left\{ \displaystyle \frac { k _ { i } ^ { 2 \operatorname* { m i n } \{ r _ { i } - 2 , s \} + 2 } } { r _ { i } ^ { 2 ( s + 1 ) } } \right\} \| e \| _ { H ^ { 2 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 2 } \left( | w _ { 0 } | ^ { 2 } + | w _ { 1 } | ^ { 2 } \right) } \\ & { + C \| e \| _ { H ^ { 2 } ( 0 , t _ { n } ) } \| e \| _ { H ^ { 1 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 3 } \left( | w _ { 0 } | ^ { 2 } + | w _ { 1 } | ^ { 2 } \right) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { n } \big ( C _ { \gamma } ( \boldsymbol v _ { \tau , h } - \partial _ { t } \boldsymbol u _ { \tau , h } , p _ { \tau , h } ) \big ) } & { = \sum _ { \mu = 1 } ^ { k + 1 } C _ { \gamma } ( \boldsymbol u _ { \tau _ { h } } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , \xi _ { n , \mu } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) p _ { \tau , h } ( t _ { n , \mu } ^ { \mathrm { G R } } ) ) = C _ { \gamma } ( \boldsymbol u _ { \tau _ { h } } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , p _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) ) } \\ & { = - \alpha \langle \nabla \cdot \boldsymbol u _ { \tau _ { h } } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , p _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle + \alpha \langle \boldsymbol u _ { \tau _ { h } } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \cdot \boldsymbol n , p _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle _ { \Gamma _ { \boldsymbol u } ^ { D } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { r } } _ { t } ^ { 1 } ( s , a ) } & { = \sum _ { a ^ { 2 } \in A ^ { 2 } } r ^ { 1 } ( s , a ^ { 1 } , a ^ { 2 } ) \overline { { \pi } } _ { t } ^ { 2 } ( s , a ^ { 2 } ) } \\ { \overline { { r } } _ { t } ^ { 2 } ( s , a ) } & { = \sum _ { a ^ { 1 } \in A ^ { 1 } } r ^ { 2 } ( s , a ^ { 1 } , a ^ { 2 } ) \overline { { \pi } } _ { t } ^ { 1 } ( s , a ^ { 1 } ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \partial _ { t } T ^ { \mathrm { e q } } \, , } \\ { 0 } & { = \partial _ { t } \rho ^ { \mathrm { e q } } = - \vec { v } ^ { \mathrm { e q } } \cdot \nabla \rho ^ { \mathrm { e q } } \, , } \\ { 0 } & { = \rho ^ { \mathrm { e q } } \partial _ { t } \vec { v } ^ { \mathrm { e q } } = - \nabla p ^ { \mathrm { e q } } + \rho ^ { \mathrm { e q } } \vec { F } \, . } \end{array}
P \sum _ { l = 1 } ^ { d ( \lambda _ { j } ) } H _ { l , \lambda _ { j } } * ( R _ { - l } ( \lambda _ { j } ) f ) = \sum _ { n \geq 0 } \sum _ { l = 1 } ^ { d ( \lambda _ { j } ) } e ^ { i \lambda _ { j } t } D _ { t } ^ { n } e ^ { - i \lambda _ { j } t } H _ { l , \lambda _ { j } } * \left[ \frac { 1 } { n ! } \frac { \partial ^ { n } P } { \partial \lambda ^ { n } } ( \lambda _ { j } ) R _ { - l } ( \lambda _ { j } ) f \right] .
f _ { \mathrm { H z } } = { \frac { 1 } { L _ { \mathrm { i n } } \times 2 . 5 4 \ \mathrm { c m / i n } \times d _ { \mathrm { i n } } \times 2 . 5 4 \ \mathrm { c m / i n } } } { \sqrt { \frac { T _ { \mathrm { l b } } \times 4 5 3 . 5 9 2 3 7 \ \mathrm { g / l b } \times 9 8 0 . 6 6 5 \ \mathrm { c m / s ^ { 2 } } } { \pi \times \rho _ { \mathrm { g / c m ^ { 3 } } } } } }
2 \pi = F _ { a , b } ( c _ { 0 } , 0 ) = \frac { 1 } { \sqrt { a b } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 - b x } { \sqrt { x ( 1 - x ) ( 1 + \frac { b } { a } x ) ( x + \frac { c _ { 0 } } { b } ) } } d x .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \mathrm { d } \eta \int _ { 0 } ^ { t - 2 \eta } \mathrm { d } \chi \hat { A _ { 2 } } ( t - \eta ) \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta - \chi ) \hat { A _ { 2 } ^ { * } } ( t - 2 \eta - \chi ) \cdot \eta u _ { 1 } \chi \cdot e ^ { - ( \hat { \nu } + p _ { 1 } i ) ( 2 \eta + \chi ) } } \\ { \approx \ } & { - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \mathrm { d } \eta \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 2 } } ( t ) | ^ { 2 } u _ { 1 } \eta \cdot ( \hat { \nu } + p _ { 1 } i ) ^ { - 1 } \left( \left. \chi e ^ { - ( \hat { \nu } + p _ { 1 } i ) ( 2 \eta + \chi ) } \right| _ { 0 } ^ { t - 2 \eta } - \int _ { 0 } ^ { t - 2 \eta } \mathrm { d } \chi e ^ { - ( \hat { \nu } + p _ { 1 } i ) ( 2 \eta + \chi ) } \right) } \\ { = \ } & { - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \mathrm { d } \eta \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 2 } } ( t ) | ^ { 2 } u _ { 1 } \eta \cdot ( \hat { \nu } + p _ { 1 } i ) ^ { - 1 } \left[ ( t - 2 \eta ) e ^ { - ( \hat { \nu } + p _ { 1 } i ) t } + ( \hat { \nu } + p _ { 1 } i ) ^ { - 1 } \left( e ^ { - ( \hat { \nu } + p _ { 1 } i ) t } - e ^ { - ( \hat { \nu } + p _ { 1 } i ) ( 2 \eta ) } \right) \right] } \\ { \approx \ } & { \frac { 1 } { 2 \hat { \nu } ^ { 4 } \Gamma ^ { 2 } } \ \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 2 } } ( t ) | ^ { 2 } \cdot u _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } x e ^ { - 2 \Gamma x } \mathrm { d } x \ \ \left( x = \hat { \nu } \eta \ ; \Gamma = 1 + \frac { p _ { 1 } } { \hat { \nu } } i \right) } \\ { = \ } & { b _ { 1 , 2 } \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 2 } } ( t ) | ^ { 2 } \implies b _ { 1 , 2 } = \frac { u _ { 1 } } { 8 \hat { \nu } ^ { 4 } \Gamma ^ { 4 } } = \frac { u _ { 1 } } { 8 \hat { \nu } ^ { 4 } } \left( 1 + \frac { p _ { 1 } } { \hat { \nu } } i \right) ^ { - 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \pi } _ { 1 } } & { { } \approx 0 . 5 \Delta t \left( \mathbf { f } _ { 1 } + \mathbf { w } _ { 1 } \boldsymbol { \pi } _ { 1 } \right) + \boldsymbol { \pi } _ { 0 . 5 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \tilde { p } } _ { 1 } } & { { } = e ^ { \frac { 2 \pi \lvert g \rvert ^ { 2 } } { \lvert b _ { 1 } - b _ { 2 } \rvert } } , ~ { \tilde { p } } _ { 2 } } & { = e ^ { \frac { 2 \pi \lvert \gamma \rvert ^ { 2 } } { \lvert b _ { 1 } + b _ { 2 } \rvert } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { V } _ { l , s } ^ { * } = \frac { d \, V _ { l , s } ^ { * } } { d \, t ^ { * } } = - \frac { 6 \mathrm { ~ N ~ u ~ } \, \mathrm { ~ S ~ t ~ } } { \sqrt { \eta } \mathrm { ~ R ~ e ~ } \mathrm { ~ P ~ r ~ } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { \frac { \partial \rho } { \partial t } } & & { + \mathrm { d i v } \left( \rho \mathbf { u } \right) = 0 , } \\ & { \frac { \partial \rho \mathbf { u } } { \partial t } } & & { + \mathrm { d i v } \left( \rho \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } + \Pi \right) = 0 , \quad \Pi = P ( \rho , \eta , \j ) \ \mathbf { I } + \alpha ( \rho ) \ \j \otimes \j , } \\ & { \frac { \partial \j } { \partial t } } & & { + \nabla \left( \j \cdot \mathbf { u } + \theta ( \rho , \eta ) \right) + \left( \frac { \partial \j } { \partial \mathbf { x } } - \left( \frac { \partial \j } { \partial \mathbf { x } } \right) ^ { T } \right) \mathbf { u } = 0 , } \\ & { \frac { \partial \rho \eta } { \partial t } } & & { + \mathrm { d i v } \left( \rho \eta \mathbf { u } + \alpha ( \rho ) \j \right) = 0 . } \end{array}
\frac { 1 } { \Gamma _ { 0 } } \frac { d \Gamma _ { \mathrm { i n t } } } { d z } = \bigg ( \frac { 1 } { \Gamma _ { 0 } } \frac { d \Gamma _ { \mathrm { L O } } ^ { \mathrm { d i r } } } { d z } - z \bigg ) + \frac { 1 } { \Gamma _ { 0 } } \frac { d \Gamma _ { \mathrm { r e s u m } } } { d z } \, .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { C _ { 0 } } = \frac { 1 } { 2 r } \int _ { y _ { 0 } } ^ { y _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \Big [ 1 + K R ( y , r ) ^ { m - 1 } ( 1 - R ( y , r ) ) ^ { n - 1 } \Big ] \, d y } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| e ^ { [ j + 2 ] } \right\| _ { m + \alpha / 2 } } & { \leq { C K _ { 0 } T \tau ^ { 2 } } + { C L \varepsilon ^ { 2 } \tau } \sum _ { k = 0 } ^ { j + 1 } \left\| e ^ { [ k ] } \right\| _ { m + \alpha / 2 } } \\ & { \leq { C K _ { 0 } T \tau ^ { 2 } } \left( 1 + { C L \varepsilon ^ { 2 } \tau } \sum _ { k = 0 } ^ { j + 1 } \mathrm { e } ^ { C L ( k + 1 ) \varepsilon ^ { 2 } \tau } \right) } \\ & { \leq { C K _ { 0 } T \tau ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { C L ( j + 2 ) \varepsilon ^ { 2 } \tau } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \frac { \operatorname* { s u p } _ { x \in [ x _ { * } , x _ { 0 } ] } | ( x \sigma _ { \alpha } ( x ) ^ { \alpha } ) ^ { \prime \prime } ( x ) | } { \operatorname* { i n f } _ { x \in [ x _ { * } , x _ { 0 } ] } | ( x \sigma _ { \alpha } ( x ) ^ { \alpha } ) ^ { \prime } ( x ) | } } & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { \operatorname* { s u p } _ { x \in [ x _ { * } , x _ { 0 } ] } ( 2 \sigma _ { \alpha } ( x ) ^ { \alpha } + x \alpha ( \sigma _ { \alpha } ^ { \prime \prime } ( x ) \sigma _ { \alpha } ( x ) ^ { \alpha - 1 } + ( \alpha - 1 ) \sigma _ { \alpha } ^ { \prime } ( x ) ^ { 2 } \sigma _ { \alpha } ( x ) ^ { \alpha - 2 } ) ) } { \operatorname* { i n f } _ { x \in [ x _ { * } , x _ { 0 } ] } ( \sigma _ { \alpha } ( x ) ^ { \alpha } + x \alpha \sigma _ { \alpha } ^ { \prime } ( x ) \sigma _ { \alpha } ( x ) ^ { \alpha - 1 } ) } } \\ { \leqslant } & { \frac { \sigma _ { \alpha } ( 1 / 2 ) ^ { \alpha } } { \sigma _ { \alpha } ( 0 ) ^ { \alpha } } \frac { 1 + x _ { 0 } \alpha ( \sigma _ { \alpha } ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) / \sigma _ { \alpha } ( x _ { 0 } ) + ( \alpha - 1 ) \sigma _ { \alpha } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) ^ { 2 } / \sigma _ { \alpha } ( x _ { 0 } ) ^ { 2 } ) / 2 } { 1 + ( x _ { 0 } - 2 ^ { 1 - k } z _ { * } ) \alpha \sigma _ { \alpha } ^ { \prime } ( x _ { 0 } - 2 ^ { 1 - k } z _ { * } ) / \sigma _ { \alpha } ( x _ { 0 } - 2 ^ { 1 - k } z _ { * } ) } } \\ { \leqslant } & { \frac { \sigma _ { \alpha } ( 1 / 2 ) ^ { \alpha } } { \sigma _ { \alpha } ( 0 ) ^ { \alpha } } ( 1 + \frac { x _ { 0 } \alpha } { 2 } ( \sigma _ { \alpha } ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) / \sigma _ { \alpha } ( x _ { 0 } ) + ( \alpha - 1 ) \sigma _ { \alpha } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) ^ { 2 } / \sigma _ { \alpha } ( x _ { 0 } ) ^ { 2 } ) ) = M ( x _ { 0 } , k ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathbf { P } A ( \rho _ { 0 } ( g _ { i } ) ) \mathbf { P } ^ { * } - \rho ( g _ { i } ) \| } & { = \| ( \mathbf { Q } ^ { * } \mathbf { Q } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { Q } ^ { - 1 } A ( \rho _ { 0 } ( g _ { i } ) ) \mathbf { Q } ( \mathbf { Q } ^ { * } \mathbf { Q } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } - \rho ( g _ { i } ) \| } \\ & { = \| ( \mathbf { Q } ^ { * } \mathbf { Q } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \rho _ { 0 } ( g _ { i } ) ( \mathbf { Q } ^ { * } \mathbf { Q } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } - \rho ( g _ { i } ) \| + \mathcal { O } ( \varepsilon ) = \mathcal { O } ( \varepsilon ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C \ge \Big [ ( 1 - \alpha \delta ) H ( X ) - \Big ( 1 } & { - \alpha \delta - \frac { \mathbb { E } [ S ] } { s _ { \operatorname* { m a x } } } \Big ) \operatorname* { m i n } \{ H ( X ) , \log ( | \mathfrak { X } | - 1 ) \} } \\ & { - ( 1 - \alpha \delta ) H _ { b } \left( \frac { \mathbb { E } [ S ] } { ( 1 - \alpha \delta ) s _ { \operatorname* { m a x } } } \right) - \mathbb { E } [ S ] H ( X | Y ) \Big ] ^ { + } } \end{array}
\mathbf { f } = \varepsilon _ { 0 } \left[ ( { \boldsymbol { \nabla } } \cdot \mathbf { E } ) \mathbf { E } - \mathbf { E } \times ( { \boldsymbol { \nabla } } \times \mathbf { E } ) \right] + { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } } \left[ ( { \boldsymbol { \nabla } } \cdot \mathbf { B } ) \mathbf { B } - \mathbf { B } \times \left( { \boldsymbol { \nabla } } \times \mathbf { B } \right) \right] - \varepsilon _ { 0 } { \frac { \partial } { \partial t } } \left( \mathbf { E } \times \mathbf { B } \right) .
\begin{array} { r l } & { \; \epsilon ^ { k } + \alpha \Delta \epsilon ^ { k } - \zeta ( \epsilon ^ { k } + \alpha \Delta \epsilon ^ { k } , X ^ { k } + \alpha \Delta X ^ { k } , y ^ { k } + \alpha \Delta y ^ { k } , Z ^ { k } + \alpha \Delta Z ^ { k } ) \hat { \epsilon } } \\ { \geq } & { \; \epsilon ^ { k } + \Delta \epsilon ^ { k } - \zeta ( \epsilon ^ { k } + \alpha \Delta \epsilon ^ { k } , X ^ { k } + \alpha \Delta X ^ { k } , y ^ { k } + \alpha \Delta y ^ { k } , Z ^ { k } + \alpha \Delta Z ^ { k } ) \hat { \epsilon } } \\ { = } & { \; \zeta ( \epsilon ^ { k } , X ^ { k } , y ^ { k } , Z ^ { k } ) \hat { \epsilon } - \zeta ( \epsilon ^ { k } + \alpha \Delta \epsilon ^ { k } , X ^ { k } + \alpha \Delta X ^ { k } , y ^ { k } + \alpha \Delta y ^ { k } , Z ^ { k } + \alpha \Delta Z ^ { k } ) \hat { \epsilon } } \\ { \geq } & { \; 0 , } \end{array}
L ( x , y , z , { \dot { x } } , { \dot { y } } , { \dot { z } } ) = { \frac { 1 } { 2 } } m ( { \dot { x } } ^ { 2 } + { \dot { y } } ^ { 2 } + { \dot { z } } ^ { 2 } ) - V ( x , y , z ) \, .
\begin{array} { r l } & { | A _ { p p } ^ { n } | - \sum _ { q \neq p } | A _ { p q } ^ { n } | = 1 - \Delta t \sum _ { i = 1 } ^ { d } a _ { j } ^ { i , n } + 2 \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { d } c _ { j } ^ { i , n } } \\ & { - \sum _ { i = 1 } ^ { d } \Big | \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } c _ { j } ^ { i , n } - \frac { \Delta t } { 2 h } b _ { j } ^ { i , n } \Big | - \sum _ { i = 1 } ^ { d } \Big | \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } c _ { j } ^ { i , n } + \frac { \Delta t } { 2 h } b _ { j } ^ { i , n } \Big | } \\ & { = 1 - \Delta t \sum _ { i = 1 } ^ { d } a _ { j } ^ { i , n } \quad \Big ( \because \frac { | b _ { j } ^ { i , n } | h } { c _ { j } ^ { i , n } } \leq \frac { | b _ { j } ^ { i , n } | L } { c _ { j } ^ { i , n } } \leq 2 \Big ) } \\ & { \geq 1 - \gamma \Delta t > 0 \quad ( \because \gamma \Delta t < 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H ^ { * } ( L { \mathbb R } P ^ { 2 m + 1 } ; { \mathbb Z } / p ) } & { \cong } & { H ^ { * } ( L S ^ { 2 m + 1 } ; { \mathbb Z } / p ) \oplus H ^ { * } ( L S ^ { 2 m + 1 } ; { \mathbb Z } / p ) } \\ & { \cong } & { ( \wedge ( y ) \otimes \Gamma [ \overline { { y } } ] ) ^ { \oplus 2 } \ \ \ \mathrm { a n d } } \\ { H ^ { * } ( L { \mathbb R } P ^ { 2 m } ; { \mathbb Z } / p ) } & { \cong } & { ( \wedge ( x \otimes u ) \otimes \Gamma [ w ] ) \oplus \mathbb { Z } / p , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varrho ( 0 ) \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { p } d x + \frac { \delta _ { 0 } } { 2 } I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { p - 2 } \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 2 } d x \bigg ) ( t ) } \\ & { \leq C _ { 2 } \bigg \{ p ( p - 1 ) I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \underset { \bar { \Omega } } { \operatorname* { s u p } } \bigg | \frac { \partial u } { \partial x } \bigg | ^ { p } \bigg ) ( t ) + I _ { t } ^ { \nu - \mu _ { N } } \bigg ( \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { p } d x \bigg ) ( t ) } \\ & { + \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u _ { 0 } } { \partial x } \bigg ) ^ { p } d x \bigg \} , } \end{array}
d = \frac { 1 } { 4 } a _ { \mathrm { m a x } } \, t _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } \, [ 1 - \frac { 8 } { ( \Omega \, t _ { \mathrm { f } } ) ^ { 2 } } \left( \operatorname { a r c c o s } ( \cos ^ { 2 } ( \Omega \, t _ { \mathrm { f } } / 4 ) ) \right) ^ { 2 } ] ~ .
U ^ { \prime } = \left( \begin{array} { c c } { { U _ { o o } ^ { \prime } } } & { { U _ { o e } ^ { \prime } } } \\ { { U _ { e o } ^ { \prime } } } & { { U _ { e e } ^ { \prime } } } \end{array} \right) , \; \; \; \; \; \bar { U } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { c c } { { U _ { o o } ^ { \prime } } } & { { - U _ { o e } ^ { \prime } } } \\ { { - U _ { e o } ^ { \prime } } } & { { U _ { e e } ^ { \prime } } } \end{array} \right) .
P \left[ \left( \frac { \partial P \left( \mathbf { X } _ { v } \right) } { \partial V } \mid \mathbf { X } _ { v } , P , \mathbf { X } \right) > 0 \right] \leq \eta , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \mathbf { X } _ { v } \in \mathcal { X }
k ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } ) = \sigma ^ { 2 } \Biggl [ \frac { 1 } { \Gamma ( { 3 / 2 } ) 2 ^ { { 1 / 2 } } } \times \left( \frac { \sqrt { 3 } } { l } | | \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime } | | _ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } K _ { 3 / 2 } \left( \frac { \sqrt { 3 } } { l } | | \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime } | | _ { 2 } \right) \Biggr ] + \sigma _ { n } ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { P _ { n \kappa } ( r ) } & { { } = N _ { n \kappa } r ^ { \kappa } \left\{ r - \left[ \frac { ( E _ { n \kappa } - V _ { 0 } ) ( E _ { n \kappa } + 2 c ^ { 2 } - V _ { 0 } ) } { 2 c ^ { 2 } ( 3 + 2 \kappa ) } + \frac { V _ { 2 } ( 1 + 2 \kappa ) } { ( E _ { n \kappa } + 2 c ^ { 2 } - V _ { 0 } ) ( 3 + 2 \kappa ) } \right] r ^ { 3 } + \cdots \right\} } \\ { Q _ { n \kappa } ( r ) } & { { } = N _ { n \kappa } r ^ { \kappa } \left\{ \frac { c ( 1 + 2 \kappa ) } { ( E _ { n \kappa } + 2 c ^ { 2 } - V _ { 0 } ) } - \frac { E _ { n \kappa } - V _ { 0 } } { 2 c } r ^ { 2 } + \cdots \right\} \, , } \end{array} } \end{array}
\mathbf { U } _ { p } = \mathbf { V } _ { 0 } + M _ { 0 } \left[ \mathbf { I } _ { s } + \frac { \zeta \eta _ { s } ^ { 0 } } { \Pi _ { c } } \mathbf { A } \right] \boldsymbol { \cdot } \mathbf { F } _ { p } + \mathcal { O } ( \beta ^ { 2 } ) .
V _ { \mathrm { s o f t } } = \sum _ { i } M _ { i } ^ { 2 } | \phi _ { i } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left\{ [ M _ { 1 } \tilde { B } \tilde { B } + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } M _ { 2 } \tilde { W } ^ { j } \tilde { W } ^ { j } + \sum _ { k = 1 } ^ { 8 } M _ { 3 } \tilde { g } ^ { k } \tilde { g } ^ { k } ] + \mathrm { h . c . } \right\} ,