harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { P \big ( \mathbf { J } ( \tau + 1 ) \big ) } & { { } = \sum _ { \mathbf { J } ( \tau ) } W _ { \tau } \big [ \mathbf { J } ( \tau + 1 ) ; \mathbf { J } ( \tau ) \big ] P \big ( \mathbf { J } ( \tau ) \big ) } \\ { W _ { \tau } \big [ \mathbf { J } ( \tau + 1 ) ; \mathbf { J } ( \tau ) \big ] } & { { } = \prod _ { k \neq j } W _ { \tau } \big [ J _ { k j } ( \tau + 1 ) ; J _ { k j } ( \tau ) \big ] } \\ { W _ { \tau } \Big [ J _ { k j } ( \tau + 1 ) ; J _ { k j } ( \tau ) \Big ] } & { { } = \frac { e ^ { \displaystyle \beta J _ { k j } ( \tau + 1 ) h _ { k j } ( \tau ) } } { 2 \, \mathrm { c o s h } \big [ \beta h _ { k j } ( \tau ) \big ] } \, . } \end{array}
\psi ( x ) = \int \frac { d ^ { D } p } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \tilde { \psi } ( p ) e ^ { - i p \dot { x } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \bar { \psi } ( x ) = \int \frac { d ^ { D } p } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \bar { \tilde { \psi } } ( p ) e ^ { + i p \dot { x } } \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { q _ { 1 } ( s , t ) = c _ { 2 } ( 1 - 3 s ) ^ { 2 } \exp { [ - 9 s ^ { 2 } - ( 3 t - 2 ) ^ { 2 } ] } , } \\ & { } & { q _ { 2 } ( s , t ) = ( \frac { 3 } { 5 } s - 2 7 s ^ { 3 } - ( 3 ( t - 1 ) ) ^ { 5 } ) \exp { [ - ( 9 s ^ { 2 } + 9 ( t - 1 ) ^ { 2 } ) ] } , } \\ & { } & { q _ { 3 } ( s , t ) = \exp { [ - ( 3 s + 1 ) ^ { 2 } - 9 ( t - 1 ) ^ { 2 } ] } , } \end{array}
\Delta S ( \beta ; { \bf m } , { \bf n } ) = \frac { \pi } { 2 } N T _ { I I } \beta ^ { 2 } [ m _ { \ell } \Omega _ { \ell i } - n _ { i } ] ( ( \Im \Omega ) ^ { - 1 } ) _ { i j } [ \bar { \Omega } _ { j k } m _ { k } - n _ { j } ] = \mathrm { g } ^ { \mu \nu } ( \Omega ) { \cal N } _ { \mu } { \cal N } _ { \nu } ,
S = \int d \tau \left\{ p _ { a } \dot { x } ^ { a } - \frac { \varsigma } { 2 } q _ { \alpha } \dot { q } ^ { \alpha } - \frac { e ( \tau ) } { 2 } ( p ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) + \lambda ( \tau ) \left( \frac { \varsigma } { 4 } ( p ^ { a } \sigma _ { a } ) _ { \alpha \beta } q ^ { \alpha } q ^ { \beta } + m s \right) \right\}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \int \frac { x ( \frac { z } { c _ { 1 } ( z ) } + 1 ) } { - z - c _ { 1 } ( z ) + x \psi \phi ^ { - 1 } } \, d H ( x ) - \int \frac { x ( \frac { z } { c _ { 2 } ( z ) } + 1 ) } { - z - c _ { 2 } ( z ) + x \psi \phi ^ { - 1 } } \, d H ( x ) } \\ & { = \int \Bigg \{ \frac { x ( c _ { 1 } ( z ) - c _ { 2 } ( z ) ) } { ( - z - c _ { 1 } ( z ) + x \psi \phi ^ { - 1 } ) ( - z - c _ { 2 } ( z ) + x \psi \phi ^ { - 1 } ) } + \frac { z ^ { 2 } x ( \frac { c _ { 1 } ( z ) - c _ { 2 } ( z ) } { c _ { 1 } ( z ) c _ { 2 } ( z ) } ) } { ( - z - c _ { 1 } ( z ) + x \psi \phi ^ { - 1 } ) ( - z - c _ { 2 } ( z ) + x \psi \phi ^ { - 1 } ) } } \\ & { + \frac { z x ^ { 2 } \psi \phi ^ { - 1 } ( \frac { c _ { 2 } ( z ) - c _ { 1 } ( z ) } { c _ { 1 } ( z ) c _ { 2 } ( z ) } ) } { ( - z - c _ { 1 } ( z ) + x \psi \phi ^ { - 1 } ) ( - z - c _ { 2 } ( z ) + x \psi \phi ^ { - 1 } ) } + \frac { z x ( \frac { ( c _ { 1 } ( z ) - c _ { 2 } ( z ) ) ( c _ { 1 } ( z ) + c _ { 2 } ( z ) ) } { c _ { 1 } ( z ) c _ { 2 } ( z ) } ) } { ( - z - c _ { 1 } ( z ) + x \psi \phi ^ { - 1 } ) ( - z - c _ { 2 } ( z ) + x \psi \phi ^ { - 1 } ) } \Bigg \} \, d H ( x ) . } \end{array}
0 = T r [ Q , L ^ { + } A _ { 1 } \cdots A _ { N - 2 } ] = ( 1 + n ( L ^ { + } ) ) T r \mu _ { 0 } A _ { 1 } \cdots A _ { N - 2 } + \mathrm { r e o r d e r i n g \; t e r m s }
\begin{array} { r l } { \phi _ { I } ( q | r ) } & { = \exp \left[ \underbrace { - 2 \pi \int _ { r _ { 0 } } ^ { \tau } \frac { b \, u + d \, u \, \Tilde { r } ^ { 2 } + d \, u ^ { 3 } } { 1 + j ( q P _ { t } l ( u ) ) ^ { - 1 } } d u } _ { T _ { 1 } } - 4 \int _ { r _ { 0 } } ^ { \tau } \frac { a | \Tilde { r } - u | ^ { - 1 } \, K ( u ) + c | \Tilde { r } - u | \, E ( u ) } { 1 + j ( q P _ { t } \, l ( u ) ) ^ { - 1 } } u \, d u \right] . } \end{array}
\Pi _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { n } , \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { n } } ( k ) = \int d ^ { 4 } x e ^ { i k \cdot x } i \langle 0 | J _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { n } } ^ { i } ( x ) \bar { J } _ { \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { n } } ^ { j } | 0 \rangle
\mathcal { R } _ { \mathrm { D } } = \frac { 3 } { 4 } \, h ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { R } \bigg ( \mathcal { K } _ { 3 } ( 0 , h , t ) f _ { \mathrm { D } } ( t ) + \mathcal { K } _ { 4 } ( 0 , h , t ) g _ { \mathrm { D } } ( t ) \bigg ) \mathrm { d } t ,
( a ( \varphi ) \Psi ) ( \mathbf { x } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N - 1 } ) = N ^ { - 1 / 2 } \int \varphi ( \mathbf { x } ) \Psi ( \mathbf { x } , \mathbf { x } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N - 1 } ) \, \mathrm { d } \mathbf { x }
\frac { d \mathcal { L } } { d \mu _ { p } } ( u , \chi , \zeta ; \mu ) = \int _ { 0 } ^ { T } \big [ \Big ( \frac { \partial e r r } { \partial u } , \Psi _ { p } \Big ) + \Big ( \chi , \nabla \cdot ( \frac { \partial A } { \partial \mu _ { p } } ( \mu ) \nabla u ) \big ) + \Big ( \chi , \frac { \partial [ \nabla \cdot ( A ( \mu ) \nabla u ) ] } { \partial u } \Psi _ { p } \big ) + \big ( \chi _ { t } , \Psi _ { p } \Big ) \big ] \textrm { d s } + \chi ( 0 ) \cdot \Psi _ { p } ( 0 ) .
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } d f _ { 1 } \wedge \ast \delta ( \mu \wedge d f _ { 2 } ) } & { { } = \int _ { \partial \Omega } \langle d f _ { 1 } , \mu \wedge i _ { \mathcal { N } } d f _ { 2 } \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } v _ { \partial \Omega } } \end{array}
{ \frac { 1 } { \sqrt 2 } } ( \nu _ { e } - c \nu _ { \mu } + s \nu _ { \tau } ) , ~ ~ ~ { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } ( \nu _ { e } + c \nu _ { \mu } - s \nu _ { \tau } ) , ~ ~ ~ s \nu _ { \mu } + c \nu _ { \tau } .
H = S _ { z } \sum _ { i } J _ { I } ^ { ( i ) } S _ { z } ^ { i } + \sum _ { i , j } J _ { I } ^ { ( i , j ) } S _ { z } ^ { i } S _ { z } ^ { j } + J _ { S , k } ^ { ( i , j ) } ( S _ { x } ^ { i } S _ { x } ^ { j } + S _ { y } ^ { i } S _ { y } ^ { j } ) + \sum _ { i } \Delta _ { i } S _ { z } ^ { i } .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { C } ( r _ { \textrm { w e a k } } ) } & { = - 2 ( \mathbb { D } _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } + \cdots \mathbb { D } _ { x _ { m } } ^ { 2 } ) ^ { T } \mathbb { W } _ { m , n } ^ { 2 } \big ( ( \mathbb { D } _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } + \cdots + \mathbb { D } _ { x _ { m } } ^ { 2 } ) C + \mathfrak { f } \big ) } \\ { \nabla _ { C } ( s _ { \textrm { w e a k } } ) _ { j } ^ { \pm } } & { = 2 \mathbb { W } _ { m - 1 , n } ^ { 2 } ( \mathbb { S } _ { m , n , j } ^ { \pm } C - \mathfrak { g _ { j } ^ { \pm } } ) \, . } \end{array}
\varepsilon _ { 0 } = 0 , \qquad \varepsilon _ { 1 } = 7 7 . 1 1 5 \; \mathrm { c m } ^ { - 1 } , \qquad \varepsilon _ { 2 } = 2 2 3 . 1 5 7 \; \mathrm { c m } ^ { - 1 } \, ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial { \bf u } } { \partial t } + ( { \bf u } \cdot \nabla ) { \bf u } } & { = } & { - \nabla ( { p } / { \rho } ) + \nu \nabla ^ { 2 } { \bf u } + { \bf F } _ { u } ( { \bf B , B } ) + { \bf F } _ { \mathrm { e x t } } , } \\ { \frac { \partial { \bf B } } { \partial t } + ( { \bf u } \cdot \nabla ) { { \bf B } } } & { = } & { \eta \nabla ^ { 2 } { { \bf B } } + { \bf F } _ { B } ( { \bf B , u } ) , } \\ { \nabla \cdot { \bf u } } & { = } & { 0 , } \\ { \nabla \cdot { \bf B } } & { = } & { 0 , } \end{array}
{ \cal M } ^ { 2 } ( r _ { \mu } \cdots , \partial / \partial r _ { \mu } \cdots ) \Psi _ { n } ^ { ( \pm ) } ( r \cdots , P _ { n } ) = M _ { n } ^ { 2 } \Psi _ { n } ^ { ( \pm ) } ( r \cdots , P _ { n } ) \; ,
\left. \begin{array} { l } { { Q ^ { 2 } \rightarrow \infty } } \\ { { x \rightarrow 1 } } \end{array} \right\} \; \; \; \; \; \; \mathrm { w i t h ~ \; \ m u ^ { 2 } ~ \equiv ~ ( 1 - x ) Q ^ { 2 } ~ \; ~ f i x e d , }
Q ^ { ( j ) } \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { h \Upsilon _ { h } ^ { ( j ) } } ( B ^ { ( j ) } + h Y _ { h } ^ { ( j ) } ) \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { - h \Upsilon _ { h } ^ { ( j ) } } ( Q ^ { ( j ) } ) ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { ( A \cap B ) ^ { c } } & { = \{ x \in U \mid x \not \in A \cap B \} } \\ & { = \{ x \in U \mid \neg ( p ( x ) \wedge q ( x ) ) \} } \\ & { = \{ x \in U \mid \neg p ( x ) \vee \neg q ( x ) \} } \\ & { = \{ x \in U \mid \neg p ( x ) \} \cup \{ x \in U \mid \neg q ( x ) \} } \\ & { = A ^ { c } \cup B ^ { c } } \end{array}
G _ { 0 } ^ { R } ( K ) \, G _ { 0 } ^ { A } ( K ) = \frac { 1 } { [ K ^ { 2 } - m _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } + i \, \textrm { s g n } ( k _ { 0 } ) \, \varepsilon ] [ K ^ { 2 } - m _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } - i \, \textrm { s g n } ( k _ { 0 } ) \, \varepsilon ] } .
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { \bf f } Q ( { \bf f } , { \bf g } ; x ) = { \bf 1 } _ { N } / N - \mathrm { e } ^ { { \bf f } / \varepsilon } \odot ( { \boldsymbol K } ( x ) \mathrm { e } ^ { { \bf g } / \varepsilon } ) , } \\ & { \nabla _ { \bf g } Q ( { \bf f } , { \bf g } ; x ) = { \bf 1 } _ { N } / N - \mathrm { e } ^ { { \bf g } / \varepsilon } \odot ( { \boldsymbol K } ( x ) ^ { \top } \mathrm { e } ^ { { \bf f } / \varepsilon } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { c _ { \mathrm { a } } \to 0 } E ^ { ( i ) } } & { { } = - 1 , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { c _ { \mathrm { a } } \to \infty } E ^ { ( i ) } } & { { } = 0 , } \end{array}
\langle n _ { g } ( t _ { g } ) \rangle = \frac { 3 } { \sigma _ { i n } ^ { N N } } \int _ { k _ { m i n } ^ { 2 } } ^ { \infty } d k ^ { 2 } \int _ { \alpha _ { m i n } } ^ { 1 } d \alpha \, \frac { d \sigma ( q N \rightarrow g X ) } { d \alpha d k ^ { 2 } } \, \left[ 1 - \exp \left( - \frac { t _ { g } } { t _ { c } ^ { g } } \right) \right] \, \, ,
\begin{array} { r l r } { K _ { 1 y } ^ { 1 } } & { = } & { d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ ( u ~ \kappa ^ { 2 } + 2 \gamma _ { 1 } ~ u ~ E _ { c } + \gamma _ { 1 } ~ t ~ v ~ E _ { c } + \gamma _ { 1 } ~ t ^ { 2 } ~ u ~ E _ { c } - \gamma _ { 1 } ~ H ~ ( 1 + t ^ { 2 } ) ~ u ) } \\ { K _ { 1 y } ^ { 2 } } & { = } & { d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ ( \gamma ~ \kappa ~ v + 2 ~ \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } ) } \\ { K _ { 1 y } ^ { 3 } } & { = } & { d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ ( - \gamma _ { 1 } ~ v ~ ( t ~ v + u ) + \kappa ~ u ) } \\ { K _ { 1 y } ^ { 4 } } & { = } & { - d x ^ { 3 } ~ \gamma _ { 1 } ~ \kappa ~ ( t ~ v + u ) } \end{array}
\xi \equiv \frac { g _ { a \gamma \gamma } ( D F S Z ) } { g _ { a \gamma \gamma } ( K S V Z ) } = \frac { \frac { 8 } { 3 } - \frac { 5 } { 3 } - \frac { m _ { d } - m _ { u } } { m _ { d } + m _ { u } } } { - \frac { 5 } { 3 } - \frac { m _ { d } - m _ { u } } { m _ { d } + m _ { u } } } \simeq - 0 . 3 7 .
\operatorname { I n d } _ { \mathfrak { h } } ^ { \mathfrak { g } } \circ \operatorname { R e s } _ { \mathfrak { h } } \simeq \operatorname { R e s } _ { \mathfrak { g } } \circ \operatorname { I n d } _ { \mathfrak { h _ { 1 } } } ^ { \mathfrak { g _ { 1 } } }
\begin{array} { r l } { i } & { { } \frac { d \psi _ { \sigma } } { d t } = \Big [ \Omega _ { \sigma } + \frac { i } { 2 } \left( R X _ { \sigma } - \Gamma \right) \Big ] \psi _ { \sigma } + \Omega _ { \parallel } \psi _ { - \sigma } e ^ { - \sigma i 2 \omega t } + \theta _ { \sigma } ( t ) , } \end{array}
\tilde { \alpha } _ { C P T } = \tilde { \beta } _ { C P T } = \frac { \sqrt { a + b } - \sqrt { a - b } } { \sqrt { a + b } + \sqrt { a - b } } \overset { ( \lambda _ { L } - \lambda _ { S } ) \not = 0 } { = } \frac { \alpha + \beta } { 1 + \alpha \beta + \sqrt { 1 + \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \pi ^ { \ast } \beta = ( \pi ^ { \ast } \beta ) _ { 0 } } & { \colon G _ { i , k } \to G _ { i , k + 1 } \lbrack 1 \rbrack } \\ { v ( \beta ) = v ( \beta ) _ { - 1 } } & { \colon G _ { i , k } \to G _ { i - 1 , k - 1 } \lbrack - 1 \rbrack } \\ { f ( \beta ) _ { 1 } = [ X _ { 1 } , v ( \beta ) ] } & { \colon G _ { i , k } \to G _ { i , k + 1 } \lbrack 1 \rbrack } \end{array}
\centering \langle q _ { \mathrm { H e } } \rangle = \frac { N _ { \mathrm { H e ^ { + } } } + 2 N _ { \mathrm { H e ^ { 2 + } } } } { N _ { \mathrm { H e } } + N _ { \mathrm { H e ^ { + } } } + N _ { \mathrm { H e ^ { 2 + } } } } .
{ \mathrm { Y e a r s ~ p e r ~ a d d e d ~ z e r o ~ o f ~ t h e ~ p r i c e } } = { \frac { 1 } { \log _ { 1 0 } \left( 1 + { \frac { \mathrm { i n f l a t i o n } } { 1 0 0 } } \right) } }
\widehat { \tau } _ { j _ { 0 } } \geq \left\{ \frac { \sqrt { 2 0 0 \mathscr { E } _ { \mathcal { T } _ { \mathcal { I } _ { 0 } } } ^ { 2 } + { \mathscr { E } ^ { * } } _ { \mathcal { G } _ { \mathcal { I } _ { 0 } } } ^ { 2 } } - 1 0 \sqrt { 2 } \mathscr { E } _ { \mathcal { T } _ { \mathcal { I } _ { 0 } } } } { 2 } \right\} ^ { 2 } \frac { \sigma ^ { 2 } \log ( e p ) } { n } .
\begin{array} { r l } { \int \mathrm { d } \mathbf { q } \, e ^ { - S ( \mathbf { q } ) / \hbar } } & { \sim \int \mathrm { d } \mathbf { q } \, e ^ { - S ( \tilde { \mathbf { q } } ) / \hbar - \frac { 1 } { 2 } ( \mathbf { q } - \tilde { \mathbf { q } } ) ^ { T } S ^ { ( 2 ) } ( \tilde { \mathbf { q } } ) ( \mathbf { q } - \tilde { \mathbf { q } } ) / \hbar } } \\ & { = e ^ { - S ( \tilde { \mathbf { q } } ) / \hbar } \operatorname* { d e t } \left( \frac { S ^ { ( 2 ) } ( \tilde { \mathbf { q } } ) } { 2 \pi \hbar } \right) ^ { - 1 / 2 } } \\ & { = e ^ { - S ( \tilde { \mathbf { q } } ) / \hbar } \operatorname* { d e t } \left( \frac { \mathbf { D } } { 2 \pi \hbar } \right) ^ { - 1 / 2 } . } \end{array}
\delta = 0 . 0 0 0 1 , \, \Omega = 0 . 0 5 , \varepsilon _ { \kappa } = \varepsilon _ { \rho } = 0 . 4 , \, \phi _ { i } = \pi / i , \, v _ { 0 } = v _ { \mathrm { r } } = 1 , \, \ell _ { i } = \ell _ { i ( i + 1 ) } = 1
W _ { \mathrm { Y u k a w a } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { 3 } U _ { i j } \left[ { \bf 1 0 } _ { i } { \bf 1 0 } _ { j } \right] { \bf 5 } _ { H } / v + \sum _ { i , j = 1 } ^ { 3 } D _ { i j } \left[ \overline { { { { \bf 5 } } } } _ { i } { \bf 1 0 } _ { j } \right] \overline { { { { \bf 5 } } } } _ { H } / v ^ { \prime } ,
\left\{ \sigma _ { 0 } , \, \, \sigma _ { \delta B } , \, \, k _ { \mathrm { B } } T / m _ { e } c ^ { 2 } \right\} = \left\{ 0 . 2 \times 1 0 ^ { - 3 } , \, \, 2 \times 1 0 ^ { - 2 } , \, \, 0 . 1 \right\}
\int _ { T } ^ { \infty } f ( t ) \exp ( i \vert x \vert t ) = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \left( \frac { i } { \lvert x \rvert } \right) ^ { n + 1 } \exp ( i \lvert x \rvert T ) + \varepsilon _ { N } ( \lvert x \rvert , T )
\mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ F } ~ } = \left( \begin{array} { c c c c } { { A ( s ) + A ( t ) } } & { { A ( s ) } } & { { A ( s ) } } & { { 0 } } \\ { { A ( s ) } } & { { A ( s ) + A ( t ) + A ( u ) } } & { { A ( s ) } } & { { 0 } } \\ { { A ( s ) } } & { { A ( s ) } } & { { A ( s ) + A ( t ) + A ( u ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { A ( t ) } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \tilde { a } ( \omega _ { n } ) } & { { } = \frac { \Delta t } { \sqrt { 2 \pi } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } e ^ { i \omega _ { n } t _ { j } } \bar { a } ( t _ { j } ) \, } \\ { \bar { a } ( t _ { j } ) } & { { } = \frac { \Delta \omega } { \sqrt { 2 \pi } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } e ^ { - i \omega _ { n } t _ { j } } \tilde { a } ( \omega _ { n } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { O ^ { 1 } } & { = \widehat { \rho } _ { n } ( { \boldsymbol { \theta } } ) \! \! \int _ { V _ { 5 R } } \! \! \! P _ { m k l } ^ { 1 } ( { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \eta } } ) \big ( \tilde { Z } _ { l , m } ( { \boldsymbol { \eta } } ) - \tilde { Z } _ { l , m } ( { \boldsymbol { \theta } } ) \big ) d \eta _ { 1 } d \eta _ { 2 } } \\ { O ^ { 2 } } & { = \widehat { \rho } _ { n } ( { \boldsymbol { \theta } } ) \tilde { Z } _ { l , m } ( { \boldsymbol { \theta } } ) \int _ { V _ { 5 R } } P _ { m , k , l } ^ { 1 } ( { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \eta } } ) d \eta _ { 1 } d \eta _ { 2 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \Tilde { Q } = Q _ { n } + \frac { h } { 2 } [ P , \Tilde { Q } ] _ { N } + \frac { h ^ { 2 } } { 4 } P \Tilde { Q } P } \\ { Q _ { n + 1 } = \Tilde { Q } + \frac { h } { 2 } [ \Tilde { P } , \Tilde { Q } ] _ { N } - \frac { h ^ { 2 } } { 4 } \Tilde { P } \Tilde { Q } \Tilde { P } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \tau ^ { b _ { 0 } } \| \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) \| _ { l _ { \tau } ^ { 6 } L ^ { 6 } } ^ { 3 } } & { \lesssim \tau ^ { b _ { 0 } - { \frac { 1 } { 4 } } - 3 ( { \frac { 1 } { 2 } } + \epsilon - ( \frac 1 2 - \epsilon ) ) } \| \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) \| _ { X _ { \tau } ^ { s _ { 0 } , \frac 1 2 - \epsilon } } ^ { 3 } } \\ & { \lesssim \tau ^ { b _ { 0 } - { \frac { 1 } { 4 } } - 6 \epsilon } \| \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) \| _ { X _ { \tau } ^ { s _ { 0 } , \frac 1 2 - \epsilon } } ^ { 3 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } f _ { x } ( x ) + k _ { x } ^ { 2 } f _ { x } ( x ) } & { = 0 } \\ { { \frac { d ^ { 2 } } { d y ^ { 2 } } } f _ { y } ( y ) + k _ { y } ^ { 2 } f _ { y } ( y ) } & { = 0 } \\ { { \frac { d ^ { 2 } } { d z ^ { 2 } } } f _ { z } ( z ) + k _ { z } ^ { 2 } f _ { z } ( z ) } & { = 0 } \\ { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } } & { = k ^ { 2 } } \end{array} }
p \, = \, \frac { 1 } { 2 } \, ( p _ { 1 } - p _ { 2 } ) \, ; \, q \, = \, \frac { 1 } { 2 } \, ( p _ { 3 } - p _ { 4 } ) \, ; \, P \, = \, p _ { 1 } + p _ { 2 } \, = \, p _ { 3 } + p _ { 4 } \, .
f _ { P } ^ { c } = - \frac { m _ { P } ^ { 2 } } { 1 2 m _ { c } ^ { 2 } } \, \frac { f _ { P } ^ { q } } { \sqrt { 2 } } \approx - 2 . 5 \, \mathrm { M e V } \, [ \eta ^ { \prime } ] , \, - 1 \, \mathrm { M e V } \, [ \eta ] ,
\bar { H } = \hat { H } - \sum _ { i < j } ^ { N _ { e } } \hat { K } ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } ) - \sum _ { i < j < k } ^ { N _ { e } } \hat { L } ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } , \boldsymbol { r } _ { k } )
{ \cal L } = \lambda _ { 1 } \mathrm { T r } \bigg [ \overline { { { Q _ { L } } } } ( f _ { L } ) ^ { c } \tau _ { 2 } \chi _ { R } \bigg ] + \lambda _ { 2 } \mathrm { T r } \bigg [ \overline { { { Q _ { R } } } } f _ { L } ^ { T } \tau _ { 2 } \chi _ { L } \bigg ] + \lambda _ { 3 } \mathrm { T r } \bigg [ \overline { { { Q _ { L } } } } \phi \tau _ { 2 } Q _ { R } \bigg ] + \lambda _ { 4 } \mathrm { T r } \bigg [ \overline { { { Q _ { L } } } } \phi ^ { c } \tau _ { 2 } Q _ { R } \bigg ] + \mathrm { H . c . } ,
p \left( \lambda \right) = \left( \lambda - \lambda _ { 1 } \right) ^ { n _ { 1 } } \left( \lambda - \lambda _ { 2 } \right) ^ { n _ { 2 } } \cdots \left( \lambda - \lambda _ { N _ { \lambda } } \right) ^ { n _ { N _ { \lambda } } } = 0 .
\delta [ \mathrm { C C S D T } ] = ( U _ { 3 } ^ { \mathrm { Y } } [ \mathrm { C C S D T } ] - U _ { 3 } ^ { \mathrm { Y } } [ \mathrm { C C S D ( T ) } ] ) / U _ { 3 } ^ { \mathrm { Y } } [ \mathrm { C C S D ( T ) } ] \times 1 0 0 \
\begin{array} { r l } { \int _ { B ( \xi ^ { k - 1 } , 1 ) } } & { \left( \xi _ { 1 } - \sqrt { 3 } \xi _ { 2 } \right) \xi _ { \ell } \, \widehat { a _ { k - 1 } } \left( \xi ^ { k } - \xi \right) \widehat { a _ { k - 1 } } ( \xi ) \, d \xi } \\ & { = \int _ { B ( \xi ^ { k - 1 } , 1 ) } \left( \xi _ { 1 } - \sqrt { 3 } \xi _ { 2 } \right) \xi _ { \ell } \, \chi \left( - \xi + \xi ^ { k - 1 } \right) \chi \left( \xi - \xi ^ { k - 1 } \right) d \xi } \\ & { = \int _ { B ( 0 , 1 ) } \left( \eta _ { 1 } - \sqrt { 3 } \eta _ { 2 } \right) \eta _ { \ell } \, \chi ^ { 2 } ( \eta ) d \eta } \end{array}
( K ^ { ( l ) } \: V \: K ^ { ( r ) } ) ( x , y ) \; = \; \frac { 1 } { 2 ^ { l + r } } \left( \frac { \partial } { \partial _ { u } } + \frac { \partial } { \partial v } \right) ^ { l } \left( \frac { \partial } { \partial _ { u } } - \frac { \partial } { \partial v } \right) ^ { r } \frac { \partial } { \partial u } \left. A _ { u v } \right| _ { u = 0 = v } \; .
T _ { \mathrm { e M M } } \approx \frac { m \Omega ^ { 2 } } { 1 6 k _ { B } } \left( \Delta q + \frac { ( \delta x - x _ { 0 } ) { } ^ { 2 } } { x _ { b } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 } ,
l _ { \mathrm { N L L } } = \lambda \sum _ { i = 0 } ^ { M } \theta _ { i } ^ { 2 } - \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \mathrm { o x i d e } } } ( y _ { \mathrm { o r d e r e d } , j } \ln { P _ { \mathrm { o r d e r e d } , j } } + ( 1 - y _ { \mathrm { o r d e r e d } , j } ) \ln ( 1 - P _ { \mathrm { o r d e r e d } , j } ) )
\begin{array} { r l } { 1 - \lambda _ { 2 } } & { = \frac { \langle v , ( I - A ) v \rangle } { \langle v , v \rangle } } \\ & { \geq \frac { \langle D _ { w } x , ( I - A ) D _ { w } x \rangle } { \langle D _ { w } x , D _ { w } x \rangle } } \\ & { \ \ \ \mathrm { [ f r o m ~ e q u a t i o n ~ ] } } \\ & { \geq \frac { 1 } { 8 } \cdot \frac { \left( 2 \alpha \cdot \langle D _ { w } x , D _ { w } x \rangle \right) ^ { 2 } } { \langle D _ { w } x , D _ { w } x \rangle ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \cdot \alpha ^ { 2 } } \end{array}
z _ { j e t } = 1 . 2 5 \left( 2 r _ { c } \right) ^ { 1 / 2 } \left( q _ { \infty } \tau \right) ^ { 1 / 4 } \quad \mathrm { a n d } \quad v _ { j e t } = 0 . 6 2 5 \, q _ { \infty } \, \left( 2 r _ { c } \right) ^ { 1 / 2 } \, \left( q _ { \infty } \, \tau \right) ^ { - 3 / 4 } \, ,
\mathcal { P } _ { \delta } : = \{ ( \frac { p _ { 1 } } { \delta } , \dots , \frac { p _ { N } } { \delta } ) | p _ { i } \in \mathbb { N } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } i = 1 , \dots , N \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \sum _ { i = 1 } ^ { N } p _ { i } = \delta \} .
\langle \phi _ { i } ( \tau ) \tilde { \phi } ( \tau _ { + } ^ { \prime } ) \phi _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle = \langle \phi _ { i } ( \tau ) \tilde { \phi } ( \tau _ { + } ^ { \prime } ) \rangle \langle \phi _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle
\begin{array} { r l } { \vert u _ { 1 } \vert ( - d ) } & { \le 2 M ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } } \\ { \vert u _ { 2 } \vert ( - d ) } & { \le 2 M ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } , } \\ { \vert u _ { 3 } \vert ( - d ) } & { \le 2 M _ { 1 } , } \\ { \vert w ( k _ { n } , - d ) \vert } & { \le 2 M _ { n } , } \\ { \vert j \vert ( k _ { 0 } , - d ) } & { \le \frac { c } \beta M ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } \operatorname* { m i n } ( \kappa _ { k _ { 0 } } c ^ { - 2 } , 1 ) , } \\ { \vert j \vert ( k _ { \pm 1 } , - d ) } & { \le \frac 4 { \beta \eta ^ { 2 } } M , } \\ { \vert j \vert ( k _ { n } , - d ) } & { \le \frac 4 { \beta \eta ^ { 2 } } M _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \theta _ { 1 } \to 0 ^ { + } } ( \rho _ { 5 } ^ { \mathrm { w k } } , O _ { 5 } ^ { \mathrm { w k } } , u _ { 5 } ^ { \mathrm { w k } } \xi ^ { P _ { 0 } ^ { 1 } } ) = ( \rho _ { 0 } , \mathbf { 0 } , - v _ { 2 } \eta _ { 0 } ) \, , \qquad \operatorname* { l i m } _ { \theta _ { 1 } \to \theta ^ { \mathrm { d - } } } ( \rho _ { 5 } ^ { \mathrm { w k } } , \rho _ { 5 } ^ { \mathrm { s g } } , O _ { 5 } ^ { \mathrm { w k } } , O _ { 5 } ^ { \mathrm { s g } } ) \, , } \end{array}
{ \cal { A } } _ { n o n r e l } ^ { c l a s s } \, = \, \cdots \int ^ { \infty } d ^ { 3 } k \left( \, \cdots \, \frac { i } { ( k ^ { 0 } + p ^ { 0 } ) - ( \vec { k } + \vec { p } ) ^ { 2 } / 2 m } \, \right) \, \cdots
\Phi : \left( \tilde { \gamma } _ { 2 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } , \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \Psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \Gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } , \tilde { L } _ { 3 } \right) \longmapsto \left( \hat { \gamma } _ { 2 } , \hat { \Gamma } _ { 2 } , \hat { \psi } _ { 1 } , \hat { \Psi } _ { 1 } , \hat { \gamma } _ { 3 } , \hat { \Gamma } _ { 3 } , \hat { \ell } _ { 3 } , \hat { L } _ { 3 } \right)
\| F \| _ { \infty , \epsilon } \leq \sum _ { | \alpha | \leq \sigma } \frac { 1 } { \alpha ! } A _ { \epsilon , | \alpha | } | F _ { \alpha } ( 0 ) | + \sum _ { | \alpha | = \sigma + 1 } \frac { 1 } { \alpha ! } B _ { \epsilon , \sigma + 1 } \| F _ { \alpha } \| _ { \infty , \epsilon } ,
p _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } D ( \bar { \rho } _ { A B E F | T _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } } ^ { n } , \omega _ { A B } ^ { n } \otimes \bar { \rho } _ { E F | T _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } } ^ { n } ) \leq \varepsilon : = \varepsilon _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ } } + \varepsilon _ { \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ } } .