harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { E _ { j } ^ { n + 1 } ( \rho _ { \dagger } ^ { \varDelta } ) = } & { \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \omega + \frac { 2 } { \gamma - 1 } } \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { - \omega } d x } \\ { = } & { \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - \omega } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \omega + \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x } \\ & { - \omega \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - \omega - 1 } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \omega + \frac { 2 } { \gamma - 1 } } r ( x , T ) d x } \\ & { + o ( { \varDelta } x ) \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x } \\ { : = } & { I _ { 0 } - I _ { 1 } + I _ { 2 } . } \end{array}
{ \mathcal { L } } = { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { \mu } \pi ^ { k } ) ( \partial ^ { \mu } \pi ^ { k } ) + { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { \mu } \sigma ) ( \partial ^ { \mu } \sigma ) - { \frac { 1 } { 2 } } ( 2 \mu ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } - { \sqrt { \lambda } } \mu \sigma ^ { 3 } - { \sqrt { \lambda } } \mu \pi ^ { k } \pi ^ { k } \sigma - { \frac { \lambda } { 2 } } \pi ^ { k } \pi ^ { k } \sigma ^ { 2 } - { \frac { \lambda } { 4 } } ( \pi ^ { k } \pi ^ { k } ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { \partial _ { y _ { 1 } } p _ { 0 } = - \frac { \mathrm { R e } } { \mathrm { F r ^ { 2 } } } \sin \theta ( \rho _ { 0 } - \Gamma _ { 0 } ( y _ { 1 } \sin \theta + y _ { 3 } \cos \theta ) ) , } \\ & { \partial _ { y _ { 3 } } p _ { 0 } = - \frac { \mathrm { R e } } { \mathrm { F r ^ { 2 } } } \cos \theta ( \rho _ { 0 } - \Gamma _ { 0 } ( y _ { 1 } \sin \theta + y _ { 3 } \cos \theta ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { y } } & { = \sqrt { \rho } ( \mathbf { x } ^ { T } \otimes \mathbf { I } _ { M _ { r } } ) \mathbf { H } _ { c } \tilde { \boldsymbol { \psi } } + \mathbf { w } } \\ & { = \sqrt { \rho } ( \tilde { \boldsymbol { \psi } } ^ { T } \otimes \mathbf { x } ^ { T } \otimes \mathbf { I } _ { M _ { r } } ) \mathbf { h } _ { c } + \mathbf { w } } \\ & { \triangleq \sqrt { \rho } \mathbf { Z } \mathbf { h } _ { c } + \mathbf { w } , } \end{array}
{ \cal W } = X _ { 1 } ^ { 8 } + X _ { 2 } ^ { 8 } + X _ { 3 } ^ { 4 } + X _ { 4 } ^ { 4 } + X _ { 5 } ^ { 4 } - 8 \psi \, X _ { 1 } X _ { 2 } X _ { 3 } X _ { 4 } X _ { 5 } - 2 \phi \, X _ { 1 } ^ { 4 } X _ { 2 } ^ { 4 }
a _ { i } ^ { I } ( { \bf r } , t ) = \epsilon ^ { i j } \nabla _ { j } \frac { 1 } { \kappa _ { I } } \sum _ { p } q _ { p } ^ { I } \int \! d ^ { 2 } \! { \bf r } ^ { \prime } \, G ( { \bf r } - { \bf r } ^ { \prime } ) \rho _ { p } ( { \bf r } ^ { \prime } , t ) ,
\mathrm { a d v } _ { \mathrm { e r r o r } } = \frac { \sum _ { \mathrm { c e l l } = 1 } ^ { N _ { \mathrm { c e l l s } } } | f _ { m , \mathrm { i n i } , \mathrm { c e l l } } - f _ { m , \mathrm { c e l l } } | } { \sum _ { \mathrm { c e l l } = 1 } ^ { N _ { \mathrm { c e l l s } } } f _ { m , \mathrm { i n i } , \mathrm { c e l l } } } \mathrm { ~ , ~ }
S _ { \mathrm { b r a n e } } \, = \, \int d ^ { d } x \operatorname * { d e t } { e } \biggl [ - \tau + e _ { \ \alpha } ^ { \mu } ( x ) \bar { \psi } ( x ) i \gamma ^ { \alpha } \Bigl ( \frac { \stackrel { \leftrightarrow } { \nabla } _ { \mu } } { 2 } - i g a _ { \mu } ( x ) \Bigr ) \psi ( x ) - m \bar { \psi } ( x ) \psi ( x ) + \cdots \, \biggr ] ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Big ( E ( u , \alpha ) + \frac 1 2 \| v - \beta \| ^ { 2 } \Big ) + \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { ( u _ { x } ) ^ { 2 } } { u } \mathrm { d } x + \| ( v - \beta ) _ { x } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } ( u - \alpha ) \big ( \beta _ { x } - \frac { \alpha ^ { \prime } } { \alpha } \big ) \mathrm { d } x - \varepsilon \int _ { 0 } ^ { 1 } ( v - \beta ) ^ { 2 } \beta _ { x } \mathrm { d } x - \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 2 \varepsilon \beta \beta _ { x } + \beta _ { t } ) ( v - \beta ) \mathrm { d } x } \\ { \le } & { \Big ( \frac { | \alpha ^ { \prime } | } { \alpha } + | \beta _ { x } | \Big ) \int _ { 0 } ^ { 1 } | u - \alpha | \mathrm { d } x + \varepsilon | \beta _ { x } | \, \| \beta - v \| ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { 1 } \big ( 2 \varepsilon | \beta \beta _ { x } | + | \beta _ { t } | \big ) | v - \beta | \mathrm { d } x . } \end{array}
Q _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { ~ u ~ } } = N _ { \mu } N _ { \nu } e ^ { - \theta _ { \mu \nu } d _ { \mu \nu } ^ { 2 } } \Big ( \frac { \pi } { \alpha _ { \mu \nu } } \Big ) ^ { 3 / 2 } \Big ( \frac { \alpha _ { \nu } d _ { \mu \nu } } { \alpha _ { \mu \nu } } + \frac { 2 \omega ^ { 2 } R _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } { \alpha _ { \mu \nu } + \omega ^ { 2 } } \Big ) ^ { l _ { \mu } } \Big ( \frac { \alpha _ { \mu } d _ { \mu \nu } } { \alpha _ { \mu \nu } } + \frac { 2 \omega ^ { 2 } R _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } { \alpha _ { \mu \nu } + \omega ^ { 2 } } \Big ) ^ { l _ { \nu } }
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } ( t ) } & { = } & { \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } \lambda ^ { j } } { j ! } \Big [ r _ { k } B _ { \theta } ( j , x - j + 1 ) \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \tau _ { i } + \Gamma ( j ) ^ { 2 } { \theta } ^ { j } \: _ { 3 } \tilde { F } _ { 2 } ( j , j , j - x ; j + 1 , j + 1 ; \theta ) \Big ] } { r _ { k } \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } \lambda ^ { j } } { j ! } B _ { \theta } ( j , x - j + 1 ) } . } \end{array}
\left\langle \xi ( z ) \frac { 1 } { 2 } c \partial c \partial ^ { 2 } c ( w ) e ^ { - 2 \phi ( y ) } \right\rangle = \langle 0 | \xi _ { 0 } c _ { 1 } c _ { 0 } c _ { - 1 } e ^ { - 2 \phi ( 0 ) } | 0 \rangle = 1 .
\begin{array} { r l } { H _ { p _ { h , z } } } & { = - \rho _ { b } ^ { - 2 } \bigg ( \Big ( 2 \Delta _ { b } \big ( \xi _ { r } - z c ^ { \prime } ( r ) \big ) + 2 \chi \big ( a \xi _ { \varphi } - ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) z \big ) \Big ) \partial _ { r } + \Big ( 2 a \frac { \chi ^ { 2 } - 1 } { \Delta _ { b } } \big ( a \xi _ { \varphi } - ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) z \big ) + 2 \chi a \big ( \xi _ { r } - c ^ { \prime } ( r ) z \big ) \Big ) \partial _ { \varphi } } \\ & { \qquad \qquad - \frac { \partial ( - \rho _ { b } ^ { 2 } p _ { h , z } ) } { \partial r } \partial _ { \xi _ { r } } + H _ { \tilde { p } _ { h , z } } \bigg ) - \rho _ { b } ^ { - 2 } p _ { h , z } H _ { \rho _ { b } ^ { 2 } } } \end{array}
\gamma ^ { ( n ) } = \gamma ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } } = \gamma ^ { [ a _ { 1 } } \gamma ^ { a _ { 2 } } \ldots \gamma ^ { a _ { n } ] } = \frac { 1 } { n ! } \sum _ { p e r m ^ { \prime } s } ( - 1 ) ^ { p } \gamma ^ { a _ { 1 } } \ldots \gamma ^ { a _ { n } }
\begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } _ { X _ { \sim i } } \left[ \mathbb { E } _ { X _ { i } } \left[ Y _ { k } \right] \right] } & { { } = \mathbb { E } _ { X _ { \sim i } } \left[ \left( \mathbb { E } _ { X _ { i } } \left[ Y _ { k } \right] \right) ^ { 2 } \right] - \left( \mathbb { E } _ { X } \left[ Y _ { k } \right] \right) ^ { 2 } } \end{array}
\Psi ^ { \mu } ( z ) \Psi ^ { \mu } ( w ) = \frac { \alpha ^ { \prime } } { 2 } \frac { 1 } { z - w } + \cdots \, , \quad \tilde { \Psi } ^ { \mu } ( z ) \tilde { \Psi } ^ { \mu } ( w ) = \frac { \alpha ^ { \prime } } { 2 } \frac { 1 } { \bar { z } - \bar { w } } + \cdots \, ,
m \left( \boldsymbol { y } \right) = \frac { 1 } { l _ { 3 } } \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ t ~ } \left( \frac { y _ { 3 } } { l _ { 3 } } \right) \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \frac { l _ { j } - 2 | y _ { j } | } { l _ { j } } \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ t ~ } \left( \frac { y _ { j } } { 2 l _ { j } } \right) .
I _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \vec { p } \cdot \vec { p } - \frac { 1 } { 2 } \left( \vec { q } \cdot \vec { q } - 1 \right) ^ { 2 } - \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { a } ^ { 2 } q _ { a } ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \dot { \bf r } _ { i } ^ { ( l ) } ( t ) } & { { } = } & { { \bf v } _ { i } ^ { ( l ) } ( t ) , \mathrm { \ a n d } } \\ { { \mu } \dot { \bf v } _ { i } ^ { ( l ) } ( t ) } & { { } = } & { - \nabla _ { i } ^ { ( l ) } { \cal U } _ { n e t } + \frac { { \bf f } _ { l } ( t ) } { N } - \Gamma { \bf v } _ { i } ^ { ( l ) } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { C = \frac { g ( t _ { p r e } ) - g ( 0 ) } { [ 1 + e ^ { - s ( t _ { p r e } - t _ { c } ) } ] ^ { - 1 } - ( 1 + e ^ { s t _ { c } } ) ^ { - 1 } } , \ \ \ \ D = g ( 0 ) - \frac { g ( t _ { p r e } ) } { 1 + e ^ { s t _ { c } } } . } \end{array}
\xi ( \phi ) = \frac { { \phi - { \phi _ { h } } } } { { { \phi _ { l } } - { \phi _ { h } } } } { \xi _ { l } } + \frac { { \phi - { \phi _ { l } } } } { { { \phi _ { h } } - { \phi _ { l } } } } { \xi _ { h } } .
\begin{array} { r } { H _ { r } = j \frac { k a ^ { 2 } I _ { 1 } \cos { \theta } } { 2 d ^ { 2 } } \left[ 1 + \frac { 1 } { j k d } \right] e ^ { - j k d } , } \\ { H _ { \theta } = - \frac { ( k a ) ^ { 2 } I _ { 1 } \sin { \theta } } { 4 d } \left[ 1 + \frac { 1 } { j k d } - \frac { 1 } { ( k d ) ^ { 2 } } \right] e ^ { - j k d } . } \end{array}
{ \frac { 1 } { { \widetilde g } _ { \mathrm { { \small Y M } } } ^ { 2 } ( p ^ { 2 } ) } } \equiv { \frac { 1 } { g _ { \mathrm { { \small Y M } } } ^ { 2 } } } + { \frac { \beta _ { 0 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } ~ \ln \left( { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } } \right) ~ ,
\begin{array} { r l } { v _ { 2 } \left( \frac { ( 2 6 ! ) ^ { n + 2 } } { 1 3 ! } \right) } & { = ( n + 2 ) v _ { 2 } ( 2 6 ! ) - v _ { 2 } ( 1 3 ! ) } \\ & { = ( n + 2 ) \left( \left\lfloor \frac { 2 6 } { 2 } \right\rfloor + \left\lfloor \frac { 2 6 } { 4 } \right\rfloor + \left\lfloor \frac { 2 6 } { 8 } \right\rfloor + \left\lfloor \frac { 2 6 } { 1 6 } \right\rfloor \right) } \\ & { \ \ \ - \left( \left\lfloor \frac { 1 3 } { 2 } \right\rfloor + \left\lfloor \frac { 1 3 } { 4 } \right\rfloor + \left\lfloor \frac { 1 3 } { 8 } \right\rfloor \right) } \\ & { = ( n + 2 ) ( 1 3 + 6 + 3 + 1 ) - ( 6 + 3 + 1 ) } \\ & { = 2 3 n + 3 6 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \bar { F } _ { H } ( y x ^ { - 1 / 2 } ) M _ { \beta } ( x ) d x } & { \leq C \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { - \hat { \kappa } y ^ { 2 } / x } M _ { \beta } ( x ) d x } \\ & { \leq C \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { - \hat { \kappa } y ^ { 2 } / x } d x } \\ & { = C \big ( e ^ { - \hat { \kappa } y ^ { 2 } } - \hat { \kappa } y ^ { 2 } \Gamma ( 0 , \hat { \kappa } y ^ { 2 } ) \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial f } { \partial t } - E \left( \xi \frac { \partial f } { \partial p } + \frac { 1 - \xi ^ { 2 } } { p } \frac { \partial f } { \partial \xi } \right) = C ( f ) + \alpha R ( f ) + S ( f ) \, , } \end{array}
\frac { \partial { \bf M } } { \partial t _ { 0 } } \ = { \bf Q } _ { 1 } ^ { - 1 } { \bf C } _ { 0 } { \bf Q } _ { 1 } ^ { - T } = v _ { 0 } ^ { 2 } \left[ { \bf Q } _ { 1 } ^ { - 1 } \frac { { \bf C } _ { 0 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } { \bf Q } _ { 1 } ^ { - T } \right] \, .
\begin{array} { l } { { { \bf X } _ { a , a - 2 } ^ { a - 1 } { \bf D } _ { a - 1 } ^ { ' } + c _ { 1 a } ( u _ { + } ) { \bf U } _ { a - 1 } { \bf X } _ { a , a - 2 } ^ { ' a - 1 } = c _ { 1 a } ( u _ { - } ) { \bf X } _ { a , a - 2 } ^ { ' a - 1 } { \bf D } _ { a - 1 } } } \\ { { \mathrm { } + c _ { 1 a } ( u _ { + } ) c _ { 1 a } ( u _ { - } ) { \bf U } _ { a - 1 } ^ { ' } { \bf X } _ { a , a - 2 } ^ { a - 1 } + c _ { 3 a } ( u ^ { ' } , u ) { \bf D } _ { a + 1 } ^ { ' } { \bf X } _ { a , a - 2 } ^ { a - 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial \theta _ { i } } R _ { \infty } ^ { p } ( \theta ^ { * } ) } \\ & { = ( 1 - 2 p ) \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \left( ( \langle Y X , \theta ^ { * } \rangle - \langle Y X , \hat { \theta } ^ { \infty } \rangle ) \tilde { l } ^ { \infty ^ { \prime \prime } } ( \langle Y X , \hat { \theta } ^ { \infty } \rangle ) + \frac { ( \langle Y X , \theta ^ { * } \rangle - \langle Y X , \hat { \theta } ^ { \infty } \rangle ) ^ { 2 } } { 2 } \tilde { l } ^ { \infty ^ { \prime \prime \prime } } ( c _ { ( X , Y ) } ^ { \infty } ) \right) Y X _ { i } \right] , } \end{array}
U ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , m ) = \operatorname* { m a x } \{ \, \! u ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) { \mathrm { ~ } } : { \mathrm { ~ } } p _ { 1 } x _ { 1 } + p _ { 2 } x _ { 2 } = m \} ,
c _ { \mathrm { s d } } ( m , \lambda ) = \int _ { \lambda ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } \mu ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \, w ( \mu ^ { 2 } / m ^ { 2 } ) \, \frac { \alpha _ { s } ( e ^ { - 5 / 6 } \mu ) } { 4 \pi } + O ( 1 / \beta _ { 0 } ^ { 2 } ) \, .
p \equiv - \phi _ { t } = \frac { 1 } { 2 \pi } ( \frac { t \Theta ( t - r ) } { ( t ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } - \frac { \delta ( t - r ) } { \sqrt { t ^ { 2 } - r ^ { 2 } } } ) .
g _ { c } ^ { \mathrm { ~ D ~ i ~ c ~ k ~ e ~ } } = \sqrt { \frac { \omega _ { c } \Delta } { 4 N } } \quad \xrightarrow [ \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ o ~ n ~ a ~ n ~ c ~ e ~ } ] { \; \Delta = \omega _ { \mathrm { ~ c ~ } } \; } \quad \frac { \omega _ { \mathrm { ~ c ~ } } } { 2 } \frac { 1 } { \sqrt { N } } .
\begin{array} { r l } { \arg \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { U } , \mathbf { V } , \mathbf { L } } } & { { } \left\| \mathcal { W } \left( \mathbf { s } - \mathcal { F C B } \left( \mathbf { U } \mathbf { V } + \mathbf { L } \right) \right) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { \boldsymbol { \gamma } _ { L } } \\ { \boldsymbol { p } _ { L } } \end{array} \right\} = \boldsymbol { \Phi } ^ { - 1 } \cdot \left\{ \begin{array} { c } { \boldsymbol { f } _ { L } } \\ { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right\}
\hat { H } ^ { \mathrm { ~ P ~ h ~ o ~ n ~ o ~ n ~ } } = \hbar \sum _ { \mathbf { k } } \omega _ { \mathbf { k } } \hat { b } _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \mathbf { k } } + \hbar \sum _ { { \mathbf { k } } , S } n _ { S } \left( \gamma _ { \mathbf { k } } ^ { S } \hat { b } _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } + \gamma _ { \mathbf { k } } ^ { S ^ { * } } \hat { b } _ { \mathbf { k } } \right) \vert S \rangle \langle S \vert ,
\operatorname * { d e t } [ \delta _ { b } ^ { a } \partial _ { t } - \omega ^ { a c } \partial _ { c } \partial _ { b } H ] = \int ~ { \cal D } c ^ { a } { \cal D } { \o c } _ { a } ~ \exp ~ \biggl [ - \int { \o c } _ { a } [ \delta _ { b } ^ { a } \partial _ { t } - \omega ^ { a c } \partial _ { c } \partial _ { b } H ] c ^ { b } ~ d t \biggr ]
\begin{array} { r l } & { ( R _ { I , n } ^ { + } - \widehat { R } _ { I , n } ^ { + } ) _ { 2 } } \\ { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { I + n } C _ { I - i , i } ^ { + } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j , n } - \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } f _ { j , n } ^ { + } ( \mathcal { Q } _ { I , n } ) \right) + \sum _ { i = 0 } ^ { I + n } C _ { I - i , i } ^ { + } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } f _ { j , n } ^ { + } ( \mathcal { Q } _ { I , n } ) - \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \widehat { f } _ { j , n } ^ { + } \right) } \\ { = } & { ( R _ { I , n } ^ { + } - \widehat { R } _ { I , n } ^ { + } ) _ { 2 } ^ { ( 1 ) } + ( R _ { I , n } ^ { + } - \widehat { R } _ { I , n } ^ { + } ) _ { 2 } ^ { ( 2 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | I _ { 2 } | } & { { } \leqslant C C _ { 0 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } \int _ { B _ { \varphi _ { 1 } } ( 3 d ) } \left| \sin \left( \frac { \varphi _ { 2 } - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - 1 } | \varphi _ { 2 } - \varphi ^ { \prime } | ^ { \alpha } d \varphi ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { S _ { F } ^ { \textrm { S S } } \rightarrow \infty } \frac { \langle ( 1 - p _ { 3 } ^ { 2 } ) ^ { 4 } \rangle } { \langle ( 1 - p _ { 3 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \rangle ^ { 2 } } = \frac { \mathcal { C } _ { 4 } ( R e _ { \lambda } ) } { \mathcal { C } _ { 2 } ( R e _ { \lambda } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\frac { V _ { i } } { v _ { g } } \frac { \partial \phi _ { g , i } ( t ) } { \partial t } + \sum _ { f \in \partial \Omega _ { i } } A _ { f } \frac { D _ { g , f } } { d _ { i n } } \left( \phi _ { g , i } ( t ) - \phi _ { g , n } ( t ) \right) + \Sigma _ { t , g , i } \phi _ { g , i } ( t ) = S _ { g , i } ( t ) V _ { i } .
\begin{array} { r } { 2 | \langle \theta u \cdot \nabla \eta \rangle | \leq C \delta ^ { \frac { 3 } { 2 } } \left( \mu \nu \langle | \partial _ { 2 } u | ^ { 2 } \rangle + \mu \nu ^ { - 1 } \langle | \partial _ { 2 } ^ { 2 } u | ^ { 2 } \rangle + \mu ^ { - 1 } \langle | \partial _ { 2 } \theta | ^ { 2 } \rangle \right) } \end{array}
i _ { e x t } = i - \mathrm { s i g n } ( \Delta c _ { x } ^ { \prime } ) , \: j _ { e x t } = j - \mathrm { s i g n } ( \Delta c _ { y } ^ { \prime } ) , \: k _ { e x t } = k - \mathrm { s i g n } ( \Delta c _ { z } ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } { \rho _ { \varepsilon } ( x , t ) } & { = \frac { \nu } { \varepsilon ^ { 2 } } \phi ^ { \prime \prime } ( x _ { 2 } / \varepsilon ) \theta _ { + } ( x _ { 1 } , t ) - \frac { 1 } { \varepsilon } \phi ^ { \prime } ( x _ { 2 } / \varepsilon ) u ^ { 2 } ( x , t ) \theta _ { + } ( x _ { 1 } , t ) } \\ & { + \phi ( x _ { 2 } / \varepsilon ) \left( \nu \frac { \partial ^ { 2 } \theta _ { + } } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } ( x _ { 1 } , t ) - \frac { \partial \theta _ { + } } { \partial t } ( x _ { 1 } , t ) \right) - \phi ( x _ { 2 } / \varepsilon ) u ^ { 1 } ( x , t ) \frac { \partial \theta _ { + } } { \partial x _ { 1 } } ( x _ { 1 } , t ) } \\ & { + \frac { \nu } { \varepsilon ^ { 2 } } \phi ^ { \prime \prime } ( - x _ { 2 } / \varepsilon ) \theta _ { - } ( x _ { 1 } , t ) + \frac { 1 } { \varepsilon } \phi ^ { \prime } ( - x _ { 2 } / \varepsilon ) u ^ { 2 } ( x , t ) \theta _ { - } ( x _ { 1 } , t ) } \\ & { + \phi ( - x _ { 2 } / \varepsilon ) \left( \nu \frac { \partial ^ { 2 } \theta _ { - } } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } ( x _ { 1 } , t ) - \frac { \partial \theta _ { - } } { \partial t } ( x _ { 1 } , t ) \right) - \phi ( - x _ { 2 } / \varepsilon ) u ^ { 1 } ( x , t ) \frac { \partial \theta _ { - } } { \partial x _ { 1 } } ( x _ { 1 } , t ) } \\ & { + \Big ( - \frac { 1 } { \varepsilon } \theta ( t ) \phi ^ { \prime } ( | x | / \varepsilon ) \frac { u ^ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) x _ { 1 } + u ^ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) x _ { 2 } } { | x | } } \\ & { - \theta ^ { \prime } ( t ) \phi ( | x | / \varepsilon ) + \frac { \nu } { \varepsilon ^ { 2 } } \theta ( t ) \phi ^ { \prime \prime } ( | x | / \varepsilon ) + \frac { \nu } { \varepsilon } \theta ( t ) \phi ^ { \prime } ( | x | / \varepsilon ) \frac { 1 } { | x | } \Big ) 1 _ { \{ x _ { 1 } < 0 \} } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } } & { \big [ \mathcal { T } ( \beta , k , \sigma , \alpha , \tilde { \alpha } ; \hbar ) \big ] = \frac { ( 2 \pi ) ^ { ( 2 k - 2 - n ) d } ( \rho \hbar ) ^ { 2 k - 4 - n } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { | \alpha | + | \tilde { \alpha } | } } f ( \boldsymbol { s } , \boldsymbol { \tilde { s } } ) \int \Lambda _ { n } ( \boldsymbol { p } , \boldsymbol { q } , \sigma ) \hat { \varphi } ( \frac { p _ { 0 } } { \hbar } ) \overline { { \hat { \varphi } ( \frac { q _ { 0 } } { \hbar } ) } } } \\ { \times } & { \delta ( \frac { t } { \hbar } - \boldsymbol { s } _ { 0 , k + \beta } ^ { + } - \boldsymbol { t } _ { 1 , a _ { k + \beta } } ^ { + } ) \delta ( \frac { t } { \hbar } - \boldsymbol { \tilde { s } } _ { 1 , k + \beta } ^ { + } - \boldsymbol { \tilde { t } } _ { 1 , a _ { k + \beta } } ^ { + } ) \mathcal { P } _ { \beta } ( p _ { k - 2 } , \boldsymbol { \tilde { p } } , \boldsymbol { s } ) \mathcal { P } _ { \beta } ( q _ { k - 2 } , \boldsymbol { \tilde { q } } , \boldsymbol { \tilde { s } } ) \prod _ { i = 1 } ^ { a _ { k + \beta } } e ^ { i t _ { i } \frac { 1 } { 2 } \eta _ { i } ^ { 2 } } \prod _ { i = 1 } ^ { \tilde { a } _ { k + \beta } } e ^ { - i \tilde { t } _ { i } \frac { 1 } { 2 } \xi _ { i } ^ { 2 } } } \\ { \times } & { e ^ { i s _ { k - 2 } \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { p } _ { - 2 } + \tilde { p } _ { - 1 } ) ^ { 2 } } e ^ { - i \tilde { s } _ { k - 2 } \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { q } _ { - 2 } + \tilde { q } _ { - 1 } ) ^ { 2 } } e ^ { i s _ { k - 3 } \frac { 1 } { 2 } ( p _ { k - 3 } + \pi _ { \beta } ( \boldsymbol { \tilde { p } } ) ) ^ { 2 } } e ^ { - i \tilde { s } _ { k - 3 } \frac { 1 } { 2 } ( q _ { k - 3 } + \pi _ { \beta } ( \boldsymbol { \tilde { q } } ) ) ^ { 2 } } } \\ { \times } & { \prod _ { m = 0 } ^ { k _ { 1 } - 4 } e ^ { i s _ { m } \frac { 1 } { 2 } p _ { m } ^ { 2 } } e ^ { - i \tilde { s } _ { m } \frac { 1 } { 2 } q _ { m } ^ { 2 } } \mathcal { G } ( \boldsymbol { p } , \boldsymbol { \tilde { p } } , \boldsymbol { \tilde { p } } , \boldsymbol { \eta } , \boldsymbol { \xi } , \sigma ) d \boldsymbol { \eta } d \boldsymbol { \xi } d \boldsymbol { p } d \boldsymbol { q } d \boldsymbol { \tilde { p } } d \boldsymbol { \tilde { q } } d \boldsymbol { t } d \boldsymbol { \tilde { t } } d \boldsymbol { s } d \boldsymbol { \tilde { s } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \mathbb { E } _ { n , 2 } \left[ \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } 1 ( F _ { i } ) 1 ( F _ { j } ) \right] - \left( \mathcal { P } _ { n , 2 } ( \hat { F } _ { 1 } ) \right) ^ { 2 } \right| = \left| \mathbb { E } _ { n , 2 } \left[ \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } 1 ( F _ { i } ) 1 ( F _ { j } ) \right] - \mathcal { P } _ { n , 2 } ( \hat { F } _ { 1 } \cap \hat { F } _ { 2 } ) \right| } \\ & { = \left| \mathcal { P } _ { n , 2 } ( F _ { I _ { n , 1 } } \cap F _ { I _ { n , 2 } } ) - \mathcal { P } _ { n , 2 } ( \hat { F } _ { 1 } \cap \hat { F } _ { 2 } ) \right| \le \mathcal { P } _ { n , 2 } ( C _ { I _ { n , 1 } } ^ { c } \cup C _ { I _ { n , 2 } } ^ { c } ) \rightarrow 0 } \end{array}
{ \mathcal { A } } = \frac { 2 } { 3 } \frac { \tilde { \chi } _ { \perp } - \tilde { \chi } _ { l } } { w } \left( f - \frac { 2 } { 3 } \right) - \frac { 3 \tilde { \eta } _ { l l } } { w } \, .
h = { \frac { M _ { \mathrm { { u } } } A _ { \mathrm { { r } } } ( \mathrm { { e } } ) c _ { 0 } \alpha ^ { 2 } } { R _ { \infty } } } { \frac { { \sqrt { 2 } } \ d _ { 2 2 0 } ^ { 3 } } { V _ { \mathrm { { m } } } ( \mathrm { { S i } } ) } } .
\lambda _ { L j } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left[ e N _ { j 1 } ^ { \prime } + a _ { L } N _ { j 2 } ^ { \prime } \right] , \qquad \lambda _ { R j } = - { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left[ e { N ^ { \prime } } _ { j 1 } ^ { * } + a _ { R } { N ^ { \prime } } _ { j 2 } ^ { * } \right]
\begin{array} { r l } { T _ { \mathrm { e q } } = } & { { } \operatorname* { m a x } \left\{ T _ { \mathrm { s t r a } } , \left[ T _ { \mathrm { s u r f } } + \Delta T _ { \mathrm { h o r i z } } \cos \left( \lambda - \lambda _ { \mathrm { s u b } } \right) \cos \phi \right. \right. } \end{array}
( \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } - \triangle ) { \cal A } ^ { I } ( { \bf x } ) = \frac { 4 \pi } { c } \sum _ { r } e _ { r } \frac { d { \bf x } _ { r } } { d \tau } \delta _ { f } ( { \bf x } _ { r } ( \tau ) , { \bf x } )
\begin{array} { r l } { | \dot { G } _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ n ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } , i , j } | } & { { } \propto \int _ { \Omega } \dot { \gamma } _ { t } ( \boldsymbol \xi ) \nabla u _ { t } ^ { i } ( \boldsymbol \xi ) \cdot \nabla u _ { t } ^ { j } ( \boldsymbol \xi ) d \boldsymbol \xi } \\ { | \dot { G } _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ m ~ o ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } , i , j } | } & { { } \propto \int _ { \partial \Omega } v _ { n } ( \boldsymbol \xi , t ) \gamma _ { t } ( \boldsymbol \xi ) \nabla u _ { t } ^ { j } ( \boldsymbol \xi ) \cdot \nabla u _ { t } ^ { k } ( \boldsymbol \xi ) d \boldsymbol s . } \end{array}
\operatorname* { l i m i n f } _ { N \to \infty } \frac { F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) } { F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) } = 0 \quad \mathrm { a n d } \quad \operatorname* { l i m s u p } _ { N \to \infty } \frac { F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) } { F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) } = \infty \quad \mathrm { d o ~ \textbf { n o t } ~ h o l d ~ s i m u l t a n e o u s l y } \ .