harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { 2 ( 2 n + 2 m + n _ { 2 } + m _ { 2 } + 3 ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( 5 ( n _ { 1 } + m _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( n _ { 1 } + m _ { 1 } ) ) + 4 ( n _ { 2 } + m _ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 ( n _ { 1 } + m _ { 1 } ) ( n _ { 2 } + m _ { 2 } ) } \\ & { \qquad + 6 ( n _ { 2 } + m _ { 2 } ) + 7 + 2 ( 2 n + 2 m + n _ { 2 } + m _ { 2 } + 3 ) ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \cdot 3 ^ { 2 } ( n + m + 1 ) ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } ( n + m + 1 ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( n + m + 1 ) + 4 ( n + m + 1 ) ^ { 2 } + 4 ( n + m + 1 ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 6 ( n + m + 1 ) + 7 ( n + m + 1 ) + 2 \cdot 3 ^ { 2 } ( n + m + 1 ) ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 8 + 3 + 1 + 4 + 4 + 6 + 7 + 1 8 ) ( n + m + 1 ) ^ { 2 } } \\ & { = 6 1 ( n + m + 1 ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \delta x _ { c } } = H _ { \delta y _ { c } } = } & { \frac { \sqrt { 2 \pi } k _ { \Lambda } ^ { 3 } } { w _ { D } } e ^ { - \frac { k _ { \Lambda } ^ { 2 } w _ { D } ^ { 2 } } { 2 } } \mathrm { E r f c } ( \frac { k _ { \Lambda } w _ { D } } { \sqrt { 2 } } ) } \\ & { \left[ 1 - \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } k _ { \Lambda } w _ { D } e ^ { - \frac { k _ { \Lambda } ^ { 2 } w _ { D } ^ { 2 } } { 2 } } \mathrm { E r f c } ( \frac { k _ { \Lambda } w _ { D } } { \sqrt { 2 } } ) \right] , } \end{array}
{ \tilde { f } } ^ { \prime \prime } + \left[ K _ { E l } ^ { 2 } ( r ) + \frac { 1 } { 4 h ^ { 2 } } h ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 h } h ^ { \prime \prime } \right] { \tilde { f } } = 0 .
\begin{array} { r l } { \Delta S } & { \equiv S _ { M } ( \rho ) - { \textstyle \sum } _ { k } \lambda _ { k } \, S _ { M } ( \rho _ { k } ) } \\ & { = H ( p _ { i } ) + { \textstyle \sum } _ { i } p _ { i } \log V _ { i } - { \textstyle \sum } _ { k } \lambda _ { k } \, [ H ( p _ { i | k } ) + { \textstyle \sum } _ { i } p _ { i | k } \log V _ { i } ] } \\ & { = H ( p _ { i } ) - { \textstyle \sum } _ { k } \lambda _ { k } \, H ( p _ { i | k } ) } \\ & { \equiv \Delta H . } \end{array}
{ \tilde { Z } } [ { \tilde { J } } ] = \int { \mathcal { D } } { \tilde { \phi } } \prod _ { p } \left[ e ^ { - ( p ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) { \tilde { \phi } } ^ { 2 } / 2 } e ^ { - \lambda / 4 ! \int d ^ { 4 } p _ { 1 } d ^ { 4 } p _ { 2 } d ^ { 4 } p _ { 3 } \delta ( p - p _ { 1 } - p _ { 2 } - p _ { 3 } ) { \tilde { \phi } } ( p ) { \tilde { \phi } } ( p _ { 1 } ) { \tilde { \phi } } ( p _ { 2 } ) { \tilde { \phi } } ( p _ { 3 } ) } e ^ { { \tilde { J } } { \tilde { \phi } } } \right] .
\frac { 1 } { 2 \pi } \int \frac { d ^ { 3 } q } { 2 \omega } \frac { 2 ( p \cdot p _ { e } ) } { ( p \cdot q ) ( p _ { e } \cdot q ) } = L _ { e } \ln \left( \frac { 2 \Delta \epsilon } { \lambda } \right) - \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } - \frac { 1 } { 4 } L _ { e } ^ { 2 } \ .
\begin{array} { r } { \langle \Delta T ^ { * } \rangle \left( \tau ^ { * } \right) \approx \epsilon ^ { \prime } + \frac { \epsilon ^ { \prime \prime } \tau ^ { * } } { t _ { 2 } ^ { * } - t _ { 1 } ^ { * } } } \\ { \tau ^ { * } = t ^ { * } - t _ { 1 } ^ { * } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { p _ { t o t , t } } { p _ { t o t , u } } \right) _ { g e o m } } & { = \left( \frac { R _ { u } } { R _ { t } } \right) ^ { 0 . 5 \cdot \ln ( R _ { t } / R _ { x } ) / \ln ( R _ { t } / R _ { u } ) } = } \\ { ~ } & { = e ^ { - 0 . 5 \cdot \ln ( R _ { t } / R _ { x } ) } = } \\ { ~ } & { = \left( \frac { R _ { x } } { R _ { t } } \right) ^ { 0 . 5 } ~ ~ \mathrm { ~ f o r ~ } s _ { u } \in [ s _ { O M P } , s _ { x } ) } \\ { \left( \frac { p _ { t o t , t } } { p _ { t o t , u } } \right) _ { g e o m } } & { = \left( \frac { R _ { u } } { R _ { t } } \right) ^ { 0 . 5 } ~ ~ \mathrm { ~ f o r ~ } s _ { u } \in [ s _ { x } , s _ { t } ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \delta _ { \nu } } { u _ { * } ^ { 2 } } \frac { \partial \overline { { u ^ { 2 } } } - \overline { { v ^ { 2 } } } } { \partial x } = - \frac { \nu } { u _ { * } ^ { 2 } } \frac { U _ { e } } { x } \frac { \overline { u } _ { i } ^ { 2 } } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } - \frac { \nu U _ { e } } { u _ { * } ^ { 2 } } \frac { y } { \nu } \frac { u _ { * } } { x } \frac { 1 } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \frac { \partial \overline { { u _ { i } ^ { 2 } } } } { \partial y ^ { + } } - \Big \{ - 2 \frac { \nu } { u _ { * } } { x } \frac { v _ { i } ^ { 2 } } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } - \frac { \nu } { u _ { * } } \frac { y } { \nu } \frac { u _ { * } } { x } \frac { 1 } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \frac { \partial \overline { { v _ { i } ^ { 2 } } } } { \partial y ^ { + } } \Big \} } \\ { = - \frac { \nu } { u _ { * } \delta } \frac { \overline { { u _ { i } ^ { 2 } } } } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } - \frac { \nu } { u _ { * } \delta } \frac { 1 } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } y ^ { + } \frac { d \overline { { u _ { i } ^ { 2 } } } } { d y ^ { + } } - \Big \{ - 2 \frac { \nu } { U _ { e } \delta } \frac { \overline { { v _ { i } ^ { 2 } } } } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } - \frac { \nu } { U _ { e } \delta } \frac { y ^ { + } } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \frac { \partial \overline { { v _ { i } ^ { 2 } } } } { \partial y ^ { + } } \Big \} } \\ { \approx - R e _ { \delta } ^ { - 1 } \overline { { u _ { i } ^ { 2 } } } - R e _ { \delta } ^ { - 1 } y ^ { + } \frac { d \overline { { u _ { i } ^ { 2 } } } } { d y ^ { + } } + 2 R e _ { \delta } ^ { - 1 } \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \overline { { v _ { i } ^ { 2 } } } + R e _ { \delta } ^ { - 1 } \frac { u _ { * } } { U _ { e } } y ^ { + } \frac { \partial \overline { { v _ { i } ^ { 2 } } } } { \partial y ^ { + } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \phi + a \partial _ { x } u } & { = A _ { 1 1 } ^ { c } \partial _ { x x } \phi + A _ { 1 2 } ^ { c } \partial _ { x x } u } \\ { \partial _ { t } u + a \partial _ { x } \phi + u \partial _ { x } u } & { = A _ { 2 1 } ^ { c } \partial _ { x x } \phi + A _ { 2 2 } ^ { c } \partial _ { x x } u } \end{array}
\begin{array} { r } { \Gamma ( \nu ) - \Gamma ( \nu , z ) = \Gamma ( \nu ) z ^ { \nu } e ^ { - z } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { z ^ { n } } { \Gamma ( \nu + n + 1 ) } \qquad \mathrm { f o r } \ | z | < \infty \ , } \end{array}
\theta ^ { N - k _ { s - 2 } - 3 } \cdot P _ { k _ { s - 2 } } \cdot \sum _ { i _ { 1 } = k _ { s } } ^ { N - j - 2 } \frac { 1 } { P _ { i _ { 1 } } } \sum _ { i _ { 2 } = k _ { s - 1 } } ^ { i _ { 1 } - 1 } \frac { 1 } { P _ { i _ { 2 } } } + \ldots + \theta ^ { N - k _ { 1 } - s } \cdot P _ { k _ { 1 } } \cdot \sum _ { i _ { 1 } = k _ { s } } ^ { N - j - 2 } \frac { 1 } { P _ { i _ { 1 } } } \cdot \sum _ { i _ { 2 } = k _ { s - 1 } } ^ { i _ { 1 } - 1 } \frac { 1 } { P _ { i _ { 2 } } } \sum \cdots \sum _ { i _ { s - 1 } = k _ { 2 } } ^ { i _ { s - 2 } - 1 } \frac { 1 } { P _ { i _ { s - 1 } } } \Big ) .
\begin{array} { r l } { e ^ { \frac { t N ^ { - \alpha } } { 6 } I _ { p } ( T ) } = \int } & { \frac { [ d \chi ] } { ( 2 \pi ) ^ { N ^ { 3 } / 2 } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k = 1 } ^ { N } \chi _ { i j k } \chi _ { i j k } } } \\ & { e ^ { \sqrt { \frac { 2 t N ^ { - \alpha } } { 6 } } \sum _ { a _ { 1 } , a _ { 2 } , b _ { 1 } , b _ { 2 } , c _ { 1 } , c _ { 2 } = 1 } ^ { N } T _ { a _ { 1 } b _ { 1 } c _ { 1 } } T _ { a _ { 1 } b _ { 2 } c _ { 2 } } T _ { a _ { 2 } b _ { 1 } c _ { 2 } } \chi _ { a _ { 2 } b _ { 2 } c _ { 1 } } } \mathrm { , } } \\ { = \int } & { \frac { [ d \chi ] } { ( 2 \pi ) ^ { N ^ { 3 } / 2 } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k = 1 } ^ { N } \chi _ { i j k } \chi _ { i j k } + \sqrt { \frac { 2 t N ^ { - \alpha } } { 6 } } \tilde { I } _ { t } ( T , \chi ) } \mathrm { , } } \end{array}
\delta ( T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } T _ { p _ { 1 } } ^ { \mathcal { A } } T _ { p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } ) = \sum _ { p _ { k } } C _ { p _ { 1 } p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { p _ { k } ; \mathcal { A } } \delta ( T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } T _ { p _ { k } } ^ { \mathcal { A } } ) = \sum _ { p _ { k } } C _ { p _ { 1 } p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { p _ { k } ; \mathcal { A } } \delta _ { p _ { k } p _ { 3 } ^ { \prime } } | T _ { p _ { k } } ^ { \mathcal { A } } | = | T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } | C _ { p _ { 1 } p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { p _ { 3 } ^ { \prime } ; \mathcal { A } } \, .
( \mathbf { b } _ { 0 } , \mathbf { b } _ { 1 } , . . . , \mathbf { b } _ { 6 } ) \to ( \mathbf { b } _ { 0 } , \mathbf { \tilde { b } } _ { 1 } , . . . , \mathbf { \tilde { b } } _ { 6 } )
\begin{array} { r l } { \hat { \boldsymbol { p } } = \left( \frac { \tau _ { r } } { \Delta t } \boldsymbol { I } + \hat { \mathcal { A } } \right) ^ { - 1 } } & { \Big ( \frac { \tau _ { r } } { \Delta t } p ^ { n } \boldsymbol { \hat { e } } - \tau _ { r } \boldsymbol { a } \, E _ { 0 } G ( A ^ { ( 1 ) } ) \partial _ { x } ( A u ) ^ { ( 1 ) } - \tau _ { r } \hat { \mathcal { A } } \, E _ { 0 } \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } } ) } \\ & { - \boldsymbol { a } \left( p ^ { ( 1 ) } - F ( A ^ { ( 1 ) } ) \right) + \hat { \mathcal { A } } \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \Big ) \, , } \end{array}
{ \delta ^ { \prime } } _ { Q + S } x ^ { \alpha \beta } = 0 \, , \qquad { \delta ^ { \prime } } _ { Q + S } \lambda ^ { 4 \alpha } = ( x ^ { \alpha \beta } + 2 i A _ { 4 4 } \lambda ^ { 4 \alpha } \lambda ^ { 4 \beta } ) \xi _ { \beta } ^ { 4 } \, , \qquad { \delta ^ { \prime } } _ { Q + S } ( 1 _ { i } ^ { I } , 2 _ { i } ^ { I } , 3 _ { i } ^ { I } ) = 0 \, .
\begin{array} { r } { u _ { i } = u _ { \infty } - \sum _ { j } ( u _ { \infty } - u _ { i , j } ) = u _ { \infty } - \sum _ { j } u _ { \infty } \bigg ( \frac { \Delta u _ { i , j } } { u _ { \infty } } \bigg ) . } \end{array}
t ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = 1 - \frac { 2 \rho ^ { 2 } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( \rho ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 2 } ) ( \rho ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 2 } ) } .
\Gamma ( 1 , t ) = e ^ { - X ( t ) } { \frac { \partial } { \partial t } } e ^ { X ( t ) } = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \partial \Gamma } { \partial s } } d s = \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { - \mathrm { a d } _ { s X } } X ^ { \prime } d s .
k \! = \! n ( \omega ) \omega / c \! = \! n _ { \mathrm { m } } k _ { \mathrm { o } } + \Omega / \widetilde { v } _ { \mathrm { m } } - \frac { 1 } { 2 } | k _ { 2 \mathrm { m } } | \Omega ^ { 2 }
\begin{array} { r } { R _ { n , \nu } ^ { \star } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \lambda _ { n , \star } ^ { - 1 / 2 } R } & { \mathrm { i f ~ } \nu = 2 } \\ { ( \nu / 2 - 1 ) \lambda _ { n , \star } ^ { ( \nu - 3 ) / 2 } n ^ { \nu / 2 - 1 } R } & { \mathrm { i f ~ } \nu \in ( 2 , 3 ] } \\ { ( \nu / 2 - 1 ) ( \lambda _ { n } ^ { \star } ) ^ { ( \nu - 3 ) / 2 } n ^ { \nu / 2 - 1 } R } & { \mathrm { i f ~ } \nu > 3 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mu _ { 1 } = 1 + 2 P e \theta \Gamma ( 2 - \alpha ) ( 1 - \cos ( k h ) ) , } \\ & { \mu _ { 2 } = 1 - \left( N _ { c } q \left( 1 - \frac { 2 } { 3 } \cos ( k h ) \right) + 2 P e ( 1 - \theta ) ( 1 - \cos ( k h ) ) - D a N _ { c } + I N _ { c } \sin ( k h ) \right. } \\ & { \left. \qquad - \frac { N _ { c } q } { 3 } \left( 2 e ^ { - I k h } - e ^ { - 2 I k h } \right) \right) \Gamma ( 2 - \alpha ) , } \\ & { r _ { j } ^ { \alpha } = j ^ { ( 1 - \alpha ) } - ( j - 1 ) ^ { ( 1 - \alpha ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { } \left( { U _ { n } > t } \right) } & { \leq \mathbb { P } _ { } \left( { S _ { n } > \sqrt { \frac { t } { 2 } } } \right) } \\ & { \leq \exp \left( { - \frac { n t } { 4 v } } \right) + C _ { 3 } \exp \left( { - \beta \operatorname* { m a x } ( \frac { 1 } { 2 } , c ( t , \beta , k ) ) J ( n \sqrt { t / 2 } ) } \right) + C _ { 3 } n \exp \left( { - J ( n \sqrt { t / 2 } ) } \right) . } \end{array}
e ^ { i \theta _ { A } ( G , G x _ { A } ) + i \theta _ { B } ( G , G x _ { B } ) - i \theta _ { A } ( G , G y _ { A } ) - i \theta _ { B } ( G , G y _ { B } ) } f _ { B ; A B } ( x _ { A } - x _ { B } ; x _ { A } - y _ { A } , x _ { A } - y _ { B } ) .
\begin{array} { r l } { 0 = } & { { } \partial _ { j } T _ { \, \, \, j } ^ { i } + \frac { 1 } { 2 } g ^ { i i } ( \partial _ { i } g _ { i i } ) ( T _ { \, \, \, i } ^ { i } - T _ { \, \, \, j } ^ { j } ) + g ^ { i i } ( \partial _ { j } g _ { i i } ) T _ { \, \, \, j } ^ { i } + \partial _ { t } T _ { \, \, \, i } ^ { 0 } + \frac { 3 } { 2 } g ^ { i i } ( \partial _ { 0 } g _ { i i } ) T _ { \, \, \, i } ^ { 0 } } \\ { = } & { { } \partial _ { j } T _ { \, \, \, j } ^ { i } + \frac { 1 } { R } \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } x ^ { i } } ( T _ { \, \, \, i } ^ { i } - T _ { \, \, \, j } ^ { j } ) + \frac { 2 } { R } \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } x ^ { j } } T _ { \, \, \, j } ^ { i } + \partial _ { t } T _ { \, \, \, i } ^ { 0 } + 3 \, \frac { \dot { a } } { a } T _ { \, \, \, i } ^ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { r ^ { 2 } \int _ { t _ { 0 } - \epsilon ^ { - 1 } r ^ { 2 } } ^ { t _ { 0 } - \epsilon r ^ { 2 } } \int _ { M } | R c | ^ { 2 } d v _ { x _ { 0 } , t _ { 0 } ; t } d t \le \epsilon , } \\ & { r ^ { 2 } \int _ { M } R \, d v _ { x _ { 0 } , t _ { 0 } ; t } \leq \epsilon , \quad \forall t \in [ t _ { 0 } - \epsilon ^ { - 1 } r ^ { 2 } , t _ { 0 } - \epsilon r ^ { 2 } ] . } \end{array}
\delta _ { k } = \frac { 1 } { \sum _ { m \in \mathcal { E } } \mathcal { E } _ { k m } p _ { m } + 1 } , \; \; \mathrm { ~ d ~ } _ { k } = \frac { 1 } { \sum _ { m \in \mathcal { E } } \mathcal { E } _ { k m } \mathcal { H } ( p _ { m } ) + \epsilon _ { 2 } } ,
( 1 , 2 , 3 ) ^ { ( - ) } = ( 1 , 4 , 5 ) ^ { ( - ) } = ( 1 , 7 , 6 ) ^ { ( - ) } = ( 2 , 4 , 6 ) ^ { ( - ) } = ( 2 , 5 , 7 ) ^ { ( - ) } = - 1
\begin{array} { r l } { \omega ( x , t ) = } & { 1 _ { \{ x _ { 2 } = 0 \} } \sigma ( x _ { 1 } , t ) + \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } p _ { \nu } ( 0 , \eta , t , x ) \hat { \omega } ( \eta , 0 ) \mathrm { d } \eta } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } p _ { \nu } ( s , \eta , t , x ) \hat { F } ( \eta , s ) \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \\ & { + 2 \nu \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \sigma ( \eta _ { 1 } , s ) \left. \frac { \partial } { \partial \eta _ { 2 } } \right| _ { \eta _ { 2 } = 0 } p _ { \nu } ( s , ( \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) , t , x ) \mathrm { d } \eta _ { 1 } \mathrm { d } s } \end{array}
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \vdots \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \vdots \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \vdots \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \vdots \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \vdots \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \vdots \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ddots
\delta V _ { A } ^ { 2 } ( k _ { \perp } ) = 2 \times \sum _ { k _ { \perp } = k _ { \perp } } ^ { k _ { \perp } \rightarrow \infty } \sum _ { k _ { \parallel } = 0 } ^ { k _ { \parallel } \rightarrow \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } P _ { V _ { A } } ( k _ { \perp } , k _ { \parallel } , f _ { s c } ) d f _ { s c }
\Delta E = { \frac { 1 } { 2 } } \alpha _ { 0 } \left( T - T _ { 0 } \right) P _ { x } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 4 } } \alpha _ { 1 1 } P _ { x } ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 6 } } \alpha _ { 1 1 1 } P _ { x } ^ { 6 }
\begin{array} { r l r } { H _ { i } ( \mathbf { r } , t ) } & { { } = } & { \mathbf { r } \cdot \mathbf { E } ( \eta ) , } \\ { H _ { 0 } } & { { } = } & { H _ { a } - \mathbf { r } \cdot \mathbf { E } ( \eta ) \alpha _ { k } } \end{array}
{ \cal L } = { \cal L } _ { \mathrm { S M } } + \frac { 1 } { 2 } \, \left( \partial _ { \mu } \vec { \Phi } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \, \delta | H | ^ { 2 } \vec { \Phi } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \, M ^ { 2 } \vec { \Phi } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 ! } \lambda _ { s } \vec { \Phi } ^ { 4 }
{ \begin{array} { r l r } { x ^ { 2 } - p ^ { 2 } } & { = c - p ^ { 2 } } \\ { ( x + p ) ( x - p ) } & { = c - p ^ { 2 } } \\ { x - p } & { = { \frac { c - p ^ { 2 } } { p + x } } } \\ { x } & { = p + { \frac { c - p ^ { 2 } } { p + x } } } \\ & { = p + { \cfrac { c - p ^ { 2 } } { p + \left( p + { \cfrac { c - p ^ { 2 } } { p + x } } \right) } } } & { = p + { \cfrac { c - p ^ { 2 } } { 2 p + { \cfrac { c - p ^ { 2 } } { 2 p + { \cfrac { c - p ^ { 2 } } { 2 p + \ddots \, } } } } } } \, } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { { \bf r } ( \boldsymbol { \theta } _ { T } , \boldsymbol { \theta } _ { v } ) = \left[ r _ { \mathrm { E E } } ^ { ( 1 ) } , r _ { \mathrm { E E } } ^ { ( 2 ) } , \dots , r _ { \mathrm { E E } } ^ { ( N _ { c } ) } \right] , } \\ & { r _ { \mathrm { E E } } ^ { ( i ) } = f _ { v } ( \mathbf { x } _ { c } ^ { ( i ) } ; \boldsymbol { \theta } _ { v } ) - \frac { 1 } { | \nabla f _ { T } ( \mathbf { x } _ { c } ^ { ( i ) } , \mathbf { x } _ { s } ^ { ( i ) } ; \boldsymbol { \theta } _ { T } ) | } , } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { \mathrm { p } ; m , n } ( u , \psi ) = \int _ { \Omega } \left[ \rho \psi - \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { n } ( u ) | \nabla \psi | ^ { 2 } - ( { p _ { n } } - u ^ { p _ { n } } ) ^ { 1 / ( 2 m + 1 ) } B ( \psi ) \right] \, d x , } \end{array}
c _ { 2 } ( V ^ { 1 } ) - \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } ( T X ) = ( \eta ^ { ( 1 ) } - 6 c _ { 1 } ( B ) ) \sigma - \frac { 1 } { 2 } \left( 1 7 2 - \frac { 1 5 } { \lambda ^ { ( 1 ) } } \left( \lambda ^ { ( 1 ) 2 } - \frac { 1 } { 4 } \right) \right) F ,
\begin{array} { r l r } { A } & { { } = } & { \left[ ( m ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) ( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } - \nu ^ { 2 } ) - 2 m ^ { 2 } k ^ { 2 } \nu ^ { 2 } \right] \, ( R _ { + } - R _ { - } ) ( r _ { + } - r _ { - } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { L } f , f \rangle _ { \mathbf { x } , \mathbf { v } } } & { = \langle - \mathbf { v } \cdot \nabla _ { \mathbf { x } } f - \frac { 1 } { \tau } f + \frac { 1 } { \tau } \mathbb { P } _ { 5 } f , f \rangle _ { \mathbf { x } , \mathbf { v } } } \\ & { = \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } ( - \mathbf { v } \cdot \nabla _ { \mathbf { x } } f - \frac { 1 } { \tau } f + \frac { 1 } { \tau } \mathbb { P } _ { 5 } f ) f e ^ { - \frac { | \mathbf { v } | ^ { 2 } } { 2 } } \, d \mathbf { x } d \mathbf { v } } \\ & { = \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } - \frac { 1 } { \tau } [ ( 1 - \mathbb { P } _ { 5 } ) f ] ( \mathbb { P } _ { 5 } f + ( 1 - \mathbb { P } _ { 5 } ) f ) e ^ { - \frac { | \mathbf { v } | ^ { 2 } } { 2 } } \, d \mathbf { x } d \mathbf { v } } \\ & { = - \frac { 1 } { \tau } \| ( 1 - \mathbb { P } _ { 5 } ) f \| _ { \mathbf { x } , \mathbf { v } } ^ { 2 } , } \end{array}
{ \alpha _ { n } ^ { \mu } } ^ { * } = \alpha _ { - n } ^ { \mu } \ \ , \ \ { \bar { \alpha } _ { n } ^ { \mu * } } = \bar { \alpha } _ { - n } ^ { \mu } \ \ , \alpha _ { 0 } ^ { \mu } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 2 \alpha ^ { \prime } } P ^ { \mu } = \bar { \alpha } _ { 0 } ^ { \mu } \ .
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } Z _ { t } \leq } & { \frac { 2 R } { 3 } \log \frac { 4 } { \delta } + \sqrt { 2 F \log \frac { 4 } { \delta } } } \\ { = } & { \frac { 8 G \lor 4 M T ^ { \frac { 1 } { p } } } { 3 } \log \frac { 4 } { \delta } + \sqrt { 1 6 0 \left( \sigma ^ { p } G ^ { 2 - p } + \sigma ^ { p } M ^ { 2 - p } \right) \log \frac { 4 } { \delta } } T ^ { \frac { 1 } { p } } } \\ { \leq } & { 3 G \log \frac { 4 } { \delta } + 1 3 \left( M \log \frac { 4 } { \delta } + \sqrt { \left( \sigma ^ { p } G ^ { 2 - p } + \sigma ^ { p } M ^ { 2 - p } \right) \log \frac { 4 } { \delta } } \right) T ^ { \frac { 1 } { p } } . } \end{array}
{ \mathrm { . . . . . . . } } \left( - { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } \right) { \sqrt [ [object Object] ] { - { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } + 6 + 3 \left( { \sqrt [ [object Object] ] { 5 - 3 { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } } } + { \sqrt [ [object Object] ] { 4 - 3 { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } } } \right) } }
\frac { 1 } { x } \left\{ { _ 2 F _ { 1 } } \left( \left. { - j , j + 3 \atop 2 } \right| x \right) - { _ 2 F _ { 1 } } \left( \left. { - j , j + 3 \atop 2 } \right| 0 \right) \right\} = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } d _ { j k } \, { _ 2 F _ { 1 } } \left( \left. { - k , k + 3 \atop 2 } \right| x \right)
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { B } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { 1 + \gamma } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } } \\ & { \leq } & { I _ { 1 , i } + I _ { 2 , i } + c ( \varepsilon , r ) \int _ { B } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { \gamma } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k - 2 } \, \mathrm { d } x } \\ & { } & { + \int _ { B } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { \gamma } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } \\ & { \leq } & { I _ { 1 , i } + I _ { 2 , i } + c ( \varepsilon , r ) \int _ { B } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { \gamma } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k - 2 } \, \mathrm { d } x \, . } \end{array}
\partial _ { + 2 } \psi _ { + } ^ { m } = ( e _ { + 2 } + f _ { + 2 } ) \psi _ { + } ^ { m } + d _ { + } \lambda _ { + } \sigma ^ { m } \lambda _ { + } , \ \partial _ { - 2 } \psi _ { - } ^ { m } = ( e _ { - 2 } + f _ { - 2 } ) \psi _ { - } ^ { m } + d _ { - } \lambda _ { - } \sigma ^ { m } \lambda _ { - } .
\begin{array} { r l } & { E \{ | \Delta H \tilde { X } | ^ { 2 } \} } \\ { = } & { \sum _ { n } ^ { N } \sigma _ { n } ^ { 2 } \{ x _ { n } ^ { 2 } [ ( \langle \phi _ { n } , \hat { \phi } _ { n } \rangle - 1 ) + \langle \Delta \phi _ { m } , \hat { \phi } _ { m } \rangle \langle \Delta \phi _ { m } , \phi _ { n } \rangle ] ^ { 2 } } \\ & { + \sum _ { m \neq n } ^ { N } x _ { m } ^ { 2 } \langle \Delta \phi _ { m } , \hat { \phi } _ { m } \rangle ^ { 2 } \langle \Delta \phi _ { m } , \phi _ { n } \rangle ^ { 2 } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \Omega ] \approx } & { { } \frac { ( 1 - \eta ) ^ { 2 } + ( 1 - \eta e ^ { 2 r _ { \mathrm { ~ s ~ } } } ) ( 1 - \eta ) } { 2 \eta \tau ^ { 2 } \, \omega ^ { 2 } } } \\ { \bar { S } _ { p p } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \Omega ] \approx } & { { } \frac { ( 1 - \eta e ^ { 2 r _ { \mathrm { ~ s ~ } } } ) ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \, \omega ^ { 2 } + ( 1 - \eta e ^ { 2 r _ { \mathrm { ~ s ~ } } } ) ( 1 - \eta ) } { 2 \eta \left[ ( e ^ { 2 r _ { \mathrm { ~ s ~ } } } - 1 ) ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \, \omega ^ { 2 } \right] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \langle \hat { n } _ { j } ^ { r } \rangle = } & { { } \ i \frac { \Omega } { 2 } [ \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { g r } \rangle - \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { r g } \rangle ] - \gamma \langle \hat { n } _ { j } ^ { r } \rangle , } \\ { \partial _ { t } \langle \hat { n } _ { j } ^ { s } \rangle = } & { { } \ i \frac { \Omega } { 2 } [ \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { g s } \rangle - \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { s g } \rangle ] - \gamma \langle \hat { n } _ { j } ^ { s } \rangle , } \\ { \partial _ { t } \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { g r } \rangle = } & { { } \ i \frac { \Omega } { 2 } [ \langle \hat { n } _ { j } ^ { r } \rangle - \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { g g } \rangle + \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { s r } \rangle ] + i \left( \Delta _ { r } + i \frac { \gamma } { 2 } \right) \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { g r } \rangle } \\ { \partial _ { t } \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { g s } \rangle = } & { { } \ i \frac { \Omega } { 2 } [ \langle \hat { n } _ { j } ^ { s } \rangle - \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { g g } \rangle + \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { r s } \rangle ] + i \left( \Delta _ { s } + i \frac { \gamma } { 2 } \right) \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { g s } \rangle } \\ { \partial _ { t } \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { r s } \rangle = } & { { } \ i \frac { \Omega } { 2 } [ \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { g s } \rangle - \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { r g } \rangle ] - i ( \Delta _ { r } - \Delta _ { s } - i { \gamma } ) \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { r s } \rangle , } \end{array}