harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { z _ { 1 , 2 } } & { { } = 0 . 2 4 2 4 \pm 1 . 0 3 9 5 j } \\ { z _ { 3 , 4 } } & { { } = - 0 . 2 4 2 4 \pm 1 . 0 3 9 5 j } \\ { z _ { 5 , 6 } } & { { } = 0 . 5 8 9 4 \pm 0 . 4 2 7 5 j } \\ { z _ { 7 , 8 } } & { { } = - 0 . 5 8 9 4 \pm 0 . 4 2 7 5 j } \end{array}
\varepsilon _ { i j } ^ { \prime \prime } = - { \frac { 2 \omega } { \pi } } { \cal P } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { ( \varepsilon _ { i j } ^ { \prime } - \delta _ { i j } ) \, d x } { x ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } } \, ,
\left[ \begin{array} { l l l l l l l } { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } \\ { \ddots } & { \hat { H } _ { 0 } + 2 \omega } & { \hat { H } _ { 1 } } & { \hat { H } _ { 2 } } & { \hat { H } _ { 3 } } & { \hat { H } _ { 4 } } & { \ddots } \\ { \ddots } & { \hat { H } _ { - 1 } } & { \hat { H } _ { 0 } + \omega } & { \hat { H } _ { 1 } } & { \hat { H } _ { 2 } } & { \hat { H } _ { 3 } } & { \ddots } \\ { \ddots } & { \hat { H } _ { - 2 } } & { \hat { H } _ { - 1 } } & { \hat { H } _ { 0 } } & { \hat { H } _ { 1 } } & { \hat { H } _ { 2 } } & { \ddots } \\ { \ddots } & { \hat { H } _ { - 3 } } & { \hat { H } _ { - 2 } } & { \hat { H } _ { - 1 } } & { \hat { H } _ { 0 } - \omega } & { \hat { H } _ { 1 } } & { \ddots } \\ { \ddots } & { \hat { H } _ { - 4 } } & { \hat { H } _ { - 3 } } & { \hat { H } _ { - 2 } } & { \hat { H } _ { - 1 } } & { \hat { H } _ { 0 } - 2 \omega } & { \ddots } \\ { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \vdots } \\ { | u _ { \varepsilon } ( \omega _ { - 2 } ) \rangle } \\ { | u _ { \varepsilon } ( \omega _ { - 1 } ) \rangle } \\ { | u _ { \varepsilon } ( \omega _ { 0 } ) \rangle } \\ { | u _ { \varepsilon } ( \omega _ { 1 } ) \rangle } \\ { | u _ { \varepsilon } ( \omega _ { 2 } ) \rangle } \\ { \vdots } \end{array} \right] = \varepsilon \left[ \begin{array} { l } { \vdots } \\ { | u _ { \varepsilon } ( \omega _ { - 2 } ) \rangle } \\ { | u _ { \varepsilon } ( \omega _ { - 1 } ) \rangle } \\ { | u _ { \varepsilon } ( \omega _ { 0 } ) \rangle } \\ { | u _ { \varepsilon } ( \omega _ { 1 } ) \rangle } \\ { | u _ { \varepsilon } ( \omega _ { 2 } ) \rangle } \\ { \vdots } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { h _ { p q } ^ { A } = \frac { 1 } { N _ { k } } \sum _ { k } \sum _ { \mu \nu } ^ { N } T _ { \mu p } ^ { k , A } F _ { \mu \nu } ^ { k } T _ { \nu q } ^ { k , A } - V _ { p q } ^ { H F , A } } \end{array}
H _ { \mathrm { e f f } } = \frac { 1 } { 2 } \omega ( \sigma _ { z } ^ { ( 1 ) } + \sigma _ { z } ^ { ( 2 ) } ) - \frac { 1 } { 2 } g \sigma _ { z } ^ { ( 1 ) } \sigma _ { z } ^ { ( 2 ) } ,
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \Big ( \big \| \big ( \widehat f _ { n } ^ { \lambda } - f ^ { * } \big ) ( X _ { i } ) \big \| _ { n } ^ { 2 } \Big ) } & { \leq } & { \frac { \lambda } { 2 } + 2 \sigma ^ { 2 } \frac { N } { n } + 2 \frac { \sigma ^ { 2 } } { n } \sum _ { j = N + 1 } ^ { n } \mathbb E _ { X } \Big ( \frac { \lambda _ { j } ( A _ { n } ) } { \lambda _ { j } ( A _ { n } ) + \lambda } \Big ) } \\ & { \leq } & { \frac { \lambda } { 2 } + 2 \sigma ^ { 2 } \frac { N } { n } + 2 \frac { \sigma ^ { 2 } } { n \, \lambda } \sum _ { j = N + 1 } ^ { n } \mathbb E _ { X } \big ( \lambda _ { j } ( A _ { n } ) \big ) . } \end{array}
M ^ { \prime } = \left[ \begin{array} { c c } { { U _ { L } ^ { \dagger } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right] M \left[ \begin{array} { c c } { { U _ { R } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } { \cos \Phi ^ { * } ( z ) } & { { } = } & { e ^ { T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } - \frac { N _ { 0 , g } } { N ^ { * } ( z ) } \Big ( e ^ { T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } - 1 \Big ) , } \\ { \cos \Phi ^ { * } ( z ) } & { { } = } & { \frac { 1 - e ^ { 2 \alpha \int _ { 0 } ^ { z } N ^ { * } ( z ^ { \prime } ) d z ^ { \prime } } \cdot \tan ^ { 2 } \Big ( \frac { \Phi ^ { * } ( 0 ) } { 2 } \Big ) } { 1 + e ^ { 2 \alpha \int _ { 0 } ^ { z } N ^ { * } ( z ^ { \prime } ) d z ^ { \prime } } \cdot \tan ^ { 2 } \Big ( \frac { \Phi ^ { * } ( 0 ) } { 2 } \Big ) } , } \\ { 0 } & { { } \le } & { z \le L _ { g } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda _ { i j } = \frac { 2 g _ { i } g _ { j } } { g _ { i } + g _ { j } } ( \dot { \bf R } _ { i } , \dot { \bf R } _ { i } ) - \frac { g _ { i } ( { \bf R } _ { i } , { \bf F } _ { j } ) + g _ { j } ( { \bf R } _ { j } , { \bf F } _ { i } ) } { g _ { i } + g _ { j } } , \qquad \mathrm { w h e r e } \qquad ( { \bf F } _ { j } ) _ { i } \equiv b k _ { i } z _ { j } ( 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \iota _ { 4 ; 9 , 1 } } & { = } & { 1 \bar { y } 2 3 y 2 \bar { y } \underline { { \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { 2 } } } \bar { 3 } } \\ & { \stackrel { \mathrm { B R } } { = } } & { 1 \bar { y } 2 3 y 2 \underline { { \bar { y } \bar { 1 } } } \bar { 2 } \underline { { \bar { 1 } \bar { 3 } } } } \\ & { \stackrel { \mathrm { D I S } } { = } } & { 1 \bar { y } 2 3 y 2 1 \underline { { \bar { y } \bar { 2 } \bar { 3 } \bar { 1 } } } } \\ & { \stackrel { \mathrm { C O N J } } { \to } } & { \bar { y } \bar { 2 } \bar { 3 } \bar { y } 2 3 y 2 1 } \end{array}
w _ { t + 1 } = w _ { t } - \underbrace { D \varphi ( \bar { x } _ { t - 1 } , w _ { t } ) ^ { T } ( \alpha _ { t + 1 } \tilde { y } _ { t + 1 } + \alpha _ { t } \nabla f ( \bar { x } _ { t } ) ) } _ { \mathrm { B M G ~ u p d a t e } } + \underbrace { \alpha _ { t } D \varphi ( \bar { x } _ { t - 2 } , w _ { t - 1 } ) ^ { T } \tilde { y } _ { t } } _ { \mathrm { F T R L ~ e r r o r ~ c o r r e c t i o n } } .
\begin{array} { r l } & { \left( 1 + \eta V _ { y ^ { - 1 } , x ^ { - 1 } } ^ { + } + \eta ^ { 2 } \tau _ { y ^ { - 1 } , x ^ { - 1 } } ^ { + } \right) ( g ) = \left( \eta Q _ { g , x } ^ { ( 1 , 1 ) } y + \eta ^ { 2 } P _ { g , x } ^ { ( 1 , 2 ) } y , \eta T _ { g , x } ^ { ( 2 , 1 ) } y + \eta ^ { 2 } R _ { g , x } ^ { ( 2 , 2 ) } y - \eta ^ { 2 } \psi ( Q _ { g } y , Q _ { x } y ) \right) \cdot g , } \end{array}
b e i n g t h e r e f r a c t i v e i n d i c e s o f t h e d e t e c t i o n m e d i u m i n t h e f a r - f i e l d a t t h e i d l e r a n d s i g n a l f r e q u e n c i e s ( h e r e w e c o n s i d e r i t t o b e f r e e s p a c e
\begin{array} { r } { \mathrm { R } ^ { 2 } = 1 - \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \phi _ { \mathrm { T r u e } } - \phi _ { \mathrm { ~ P ~ r ~ e ~ d ~ } } \right) ^ { 2 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \phi _ { \mathrm { T r u e } } - \bar { \phi } _ { \mathrm { T r u e } } \right) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { a } } & { = \int d ^ { 2 } x \bigg \{ \bar { \psi } ^ { \prime } i \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \psi ^ { \prime } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \rho \partial ^ { \mu } \rho } \\ & { - \frac { 1 } { 2 \pi } \partial _ { \mu } ( e \Phi + \lambda \phi ) \partial ^ { \mu } ( e \Phi + \lambda \phi ) - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \phi \bigg \} \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg \| \bar { u } _ { t + 1 } - u _ { \bar { x } _ { t + 1 } } \bigg \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 + \frac { \mu \tau } { 4 } ) \mathbb { E } \bigg \| \bar { u } _ { t + 1 } - u _ { \bar { x } _ { t } } \bigg \| ^ { 2 } + ( 1 + \frac { 4 } { \mu \tau } ) \mathbb { E } \bigg \| u _ { \bar { x } _ { t } } - u _ { \bar { x } _ { t + 1 } } \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 + \frac { \mu \tau } { 4 } ) \mathbb { E } \bigg \| \bar { u } _ { t + 1 } - u _ { \bar { x } _ { t } } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 5 \bar { L } ^ { 2 } } { \mu \tau } \mathbb { E } \bigg \| \bar { x } _ { t } - \bar { x } _ { t + 1 } \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
A _ { \mu } ^ { ( I ) } : = \sum _ { b = 1 } ^ { N } U _ { I b } a _ { \mu } ^ { ( b ) } \; \; \stackrel { U ^ { T } = U ^ { - 1 } } { \Longleftarrow \! \! = \! \! = \! \! = \! \! = \! \! = \! \! \! \Longrightarrow } \; \; a _ { \mu } ^ { ( b ) } = \sum _ { I = 1 } ^ { N } U _ { I b } A _ { \mu } ^ { ( I ) } \; .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { P \in \mathcal { P } ^ { * } } \sqrt { T } \mathbb { E } _ { P } \left[ r _ { T } \left( \pi ^ { \mathrm { H I R } } \right) ( P ) \right] \leq 2 \log K \left( \sqrt { \sum _ { a \in [ K ] } \mathbb { E } ^ { X } \left[ \left( \sigma ^ { a } ( X ) \right) ^ { 2 } \right] } \right) + o ( 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( R ) [ \psi ( \sigma ( g ) ) [ V ] ] = \psi ( \sigma ( R ) \otimes \sigma ( g ) ) [ V ] \cong \psi ( \sigma ( R \otimes g ) ) [ V ] } & { = \psi ( \sigma ( g \otimes R ) ) [ V ] \cong \psi ( \sigma ( g ) ) [ \psi ( R ) [ V ] ] } \\ & { \xrightarrow { \psi ( \sigma ( g ) ) [ h _ { V } ] } \psi ( \sigma ( g ) ) [ V ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { t } - B _ { t - 1 } } & { \leq - \frac { \mu \gamma } { 2 } B _ { t - 1 } + \frac { 1 0 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { \mu \gamma } D _ { t - 1 } + \frac { 1 0 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { \mu \gamma } E _ { t - 1 } + \frac { 1 0 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } G _ { 2 } ^ { 2 } } { \mu \gamma b _ { x } M } + \frac { 3 \gamma ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } } \end{array}
\cdots \stackrel { a ( l - 1 ) ^ { \dagger } } { \longrightarrow } { \cal E } ( l - 1 ) \stackrel { a ( l ) ^ { \dagger } } { \longrightarrow } { \cal E } ( l ) \stackrel { a ( l + 1 ) ^ { \dagger } } { \longrightarrow } { \cal E } ( l + 1 ) \stackrel { a ( l + 2 ) ^ { \dagger } } { \longrightarrow } \cdots
S _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { s _ { 1 } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - s _ { - 1 } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { i } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) = S _ { - 1 } ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { i } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mu ( r , \phi , \varphi ) } & { = \frac { r ^ { 2 } } { N } \sum _ { n _ { y } = 1 } ^ { N _ { y } } \sum _ { n _ { z } = 1 } ^ { N _ { z } } \frac { 1 } { r _ { n _ { y } n _ { z } } ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { r ^ { 2 } } { N } \sum _ { n _ { y } = 1 } ^ { N _ { y } } \sum _ { n _ { z } = 1 } ^ { N _ { z } } \frac { 1 } { r ^ { 2 } - 2 r \cos ( \phi ) \sin ( \varphi ) \delta _ { y } ^ { ( n ) } d _ { y } - 2 r \sin ( \phi ) \delta _ { z } ^ { ( n ) } d _ { z } + ( \delta _ { y } ^ { ( n ) } d _ { y } ) ^ { 2 } + ( \delta _ { z } ^ { ( n ) } d _ { z } ) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { r ^ { 2 } } { N } \sum _ { n _ { y } = - \frac { N _ { y } - 1 } { 2 } } ^ { \frac { N _ { y } - 1 } { 2 } } \sum _ { n _ { z } = - \frac { N _ { z } - 1 } { 2 } } ^ { \frac { N _ { z } - 1 } { 2 } } \frac { 1 } { r ^ { 2 } - 2 r \cos ( \phi ) \sin ( \varphi ) n _ { y } d _ { y } - 2 r \sin ( \phi ) n _ { z } d _ { z } + n _ { y } ^ { 2 } d _ { y } ^ { 2 } + n _ { z } ^ { 2 } d _ { z } ^ { 2 } } } \\ & { \overset { N \rightarrow \infty } { = } \iint _ { A } \frac { r ^ { 2 } } { r ^ { 2 } - 2 r \cos ( \phi ) \sin ( \varphi ) N _ { y } d _ { y } { m _ { y } } + N _ { y } ^ { 2 } d _ { y } ^ { 2 } { m _ { y } } ^ { 2 } - 2 r \sin ( \phi ) N _ { z } d _ { z } { m _ { z } } + N _ { z } ^ { 2 } d _ { z } ^ { 2 } { m _ { z } } ^ { 2 } } \mathrm { d } { m _ { y } } \mathrm { d } { m _ { z } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \widetilde \mathbf { x } ^ { \prime \prime } ( t ) \| \leq \| \sum _ { k = 0 } ^ { n } \beta ^ { n - k } \nabla ^ { 2 } E _ { k } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \widetilde \mathbf { x } ^ { \prime } ( t ) \| + \frac { h } { 2 ( 1 - \beta ) } \| ( I ) \| + \frac { h \beta } { 2 ( 1 - \beta ) } \| ( I I ) \| . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L _ { n } ^ { m } ( t ) } & { = } & { ( - 1 ) ^ { m } \frac { d ^ { m } } { d t ^ { m } } L _ { n + m } ( t ) } \\ & { = } & { ( - 1 ) ^ { m } \frac { d ^ { m } } { d t ^ { m } } \left[ \frac { 1 } { ( n + m ) ! } \mathrm { e } ^ { t } \frac { d ^ { n + m } } { d t ^ { n + m } } \left( t ^ { n + m } \mathrm { e } ^ { - t } \right) \right] } \\ & { = } & { \frac { d ^ { m } } { d t ^ { m } } \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { n + m } \frac { 1 } { ( n + m - k ) ! } t ^ { n + m - k } \right. } \\ & { } & { \ \ \left. ( - 1 ) ^ { n - k } \frac { ( n + m ) ! } { ( n + m - k ) ! k ! } \right] } \\ & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { ( n + m - k ) ! } \frac { ( n + m - k ) ! } { ( n - k ) ! } t ^ { n - k } } \\ & { } & { \ \ ( - 1 ) ^ { n - k } \frac { ( n + m ) ! } { ( n + m - k ) ! k ! } } \\ & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { ( n + m ) ! } { ( n + m - k ) ! k ! ( n - k ) ! } ( - t ) ^ { n - k } } \end{array}
Z [ J _ { + } , J _ { - } ] = \langle 0 _ { - } | 0 _ { - } \rangle _ { J _ { - } , J _ { + } } = \langle 0 _ { - } | \tilde { T } [ e ^ { - \frac { i } { \hbar } \int _ { - \infty } ^ { \infty } J _ { - } \Phi _ { H } } ] T [ e ^ { \frac { i } { \hbar } \int _ { - \infty } ^ { \infty } J _ { + } \Phi _ { H } } ] ] 0 _ { - } \rangle ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } ( \{ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime } } ) \geq 2 \sqrt { 2 C _ { 0 } ^ { \prime } } L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \} \cap \mathcal { C } _ { s } \cap \mathcal { W } ) } \\ & { \leq } & { \mathbb { P } ( \{ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime } } ) \geq \lceil \sqrt { 2 C _ { 0 } ^ { \prime } } L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \rceil \} \cap \mathcal { C } _ { s } \cap \mathcal { W } ) } \\ & { \leq } & { 2 ^ { - \lceil \sqrt { 2 C _ { 0 } ^ { \prime } } L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \rceil } \leq \exp ( - c L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { c _ { s } ^ { + } } } & { { } = ( \bar { u } _ { x } + \varsigma ) k _ { x } + \mathrm { i } \nu \left( A + \frac { B } { 2 \bar { \rho } \varsigma ^ { 3 } } \right) k _ { x } ^ { 2 } , } \\ { \omega _ { c _ { s } ^ { - } } } & { { } = ( \bar { u } _ { x } - \varsigma ) k _ { x } + \mathrm { i } \nu \left( A - \frac { B } { 2 \bar { \rho } \varsigma ^ { 3 } } \right) k _ { x } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } | \nabla | \nabla v | ^ { q } | ^ { 2 } } & { \leq c _ { G N } \left( \int _ { \Omega } | \nabla | \nabla v | ^ { q } | ^ { 2 } \right) ^ { \frac { q - 1 } { q } } \int _ { \Omega } | \nabla v | ^ { 2 } + \left( \int _ { \Omega } | \nabla v | ^ { 2 } \right) ^ { q } } \\ & { \leq c \left( \int _ { \Omega } | \nabla | \nabla v | ^ { q } | ^ { 2 } \right) ^ { \frac { q - 1 } { q } } + c } \\ & { \leq \epsilon \int _ { \Omega } | \nabla | \nabla v | ^ { q } | ^ { 2 } + c } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { \vee } \vert \vert \phi \vert \vert ^ { \alpha _ { \vee } } - D _ { \vee } \leq S ( \phi ) < C _ { \wedge } \vert \vert \phi \vert \vert ^ { \alpha _ { \wedge } } + D _ { \wedge } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widehat { Q } ( y ) } & { = } & { P _ { n } \odot ( y \ominus r _ { 1 } ) \odot \cdots \odot ( y \ominus r _ { i - 1 } ) \odot ( y \ominus r _ { i } ) \odot \cdots \odot ( y \ominus r _ { n } ) } \\ & { = } & { P _ { n } \odot ( \ominus r _ { 1 } ) \odot \cdots \odot ( \ominus r _ { i - 1 } ) \odot y ^ { \odot n - i + 1 } } \\ & { = } & { P _ { n - i + 1 } \odot y ^ { \odot n - i + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | P _ { \mathrm { s s } , P _ { 0 } } ^ { \lambda } \rangle = \sum _ { l = 0 } ^ { n - 1 } w _ { l } | \Pi _ { l } ^ { \lambda } \rangle \, , } \\ & { w _ { l } = \frac { 1 } { n } + \frac { 1 } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } ( \phi _ { j } ) ^ { - l } \langle L _ { j , \mathrm { D } } ^ { \lambda } | P _ { 0 } \rangle \, . } \end{array}
d s ^ { 2 } = d { \bar { x } } ^ { 2 } + G ^ { 2 } ( { \bar { x } } ) \left[ - d { \bar { t } } ^ { 2 } + e ^ { 2 { \bar { t } } / L } ( d { \bar { y } } ^ { 2 } + d { \bar { z } } ^ { 2 } ) \right] .
\begin{array} { r } { k _ { i } = \bigg ( \frac { \omega } { c } \bigg ) \sqrt { - \frac { 1 } { 2 } ( \epsilon _ { r } ) + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \big ( \epsilon _ { r } \big ) ^ { 2 } + \big ( \epsilon _ { i } \big ) ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } ( j , k ) = } & { \ e ^ { - \hat { \nu } \Delta t } S _ { 1 } ( j - 1 , k ) + e ^ { - 2 k \hat { \nu } \Delta t } A _ { 1 } ( j - k ) A _ { 1 } ^ { * } ( j - 2 k ) } \\ { S _ { 2 } ( j , k ) = } & { \ e ^ { - \hat { \nu } \Delta t } S _ { 2 } ( j - 1 , k ) + e ^ { - 2 k \hat { \nu } \Delta t } A _ { 2 } ( j - k ) A _ { 2 } ^ { * } ( j - 2 k ) } \\ { S _ { 3 } ( j , k ) = } & { \ e ^ { - ( \hat { \nu } + i p _ { 1 } ) \Delta t } S _ { 3 } ( j - 1 , k ) + e ^ { - 2 k ( \hat { \nu } + i p _ { 1 } ) \Delta t } \hat { A _ { 1 } } ( j - k ) \hat { A _ { 2 } ^ { * } } ( j - 2 k ) } \\ { S _ { 4 } ( j , k ) = } & { \ e ^ { - ( \hat { \nu } + i p _ { 1 } ) \Delta t } \bigl [ S _ { 4 } ( j - 1 , k ) + S _ { 3 } ( j - 1 , k ) \bigr ] . } \end{array}
V _ { \alpha \beta \gamma } ( \{ m \} ) = \int \frac { d ^ { d } k _ { 1 } d ^ { d } k _ { 2 } } { ( k _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { \alpha } ( k _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { \beta } ( ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) ^ { 2 } - m _ { 3 } ^ { 2 } ) ^ { \gamma } } ,
\begin{array} { r } { c _ { 1 } \rightarrow \frac { 1 } { 2 } + x _ { 1 } + \xi _ { 1 } } \\ { c _ { 2 } \rightarrow \frac { 1 } { 2 } + x _ { 2 } + \xi _ { 2 } } \\ { c _ { 0 } \rightarrow \frac { 1 } { 2 } + \xi _ { 0 } } \end{array}
C _ { i _ { 1 } . . . i _ { s } } ^ { g } = \int _ { M _ { g , s + 1 } } \langle \oint _ { C _ { z _ { 1 } } } \! \! G ^ { - } { \bar { G } } ^ { - } \phi _ { i _ { 1 } } . . . \oint _ { C _ { z _ { s } } } \! \! G ^ { - } { \bar { G } } ^ { - } \phi _ { i _ { s } } \prod _ { j , { \bar { j } } = 1 } ^ { 3 g - 3 } G ^ { - } ( \chi _ { j } ) { \bar { G } } ^ { - } ( { \bar { \chi } } _ { \bar { j } } ) \rangle
\begin{array} { r l } { \frac { d K } { d t } } & { { } = - \left< \boldsymbol { u } , \mathcal { C } ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { u } ) \right> _ { L ^ { 2 } } - \left< \boldsymbol { u } , \mathcal { G } p \right> _ { L ^ { 2 } } + \nu \left< \boldsymbol { u } , \mathcal { D } \boldsymbol { u } \right> _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
f _ { i / p ( \mathrm { s e a } ) } ^ { 3 \mathrm { I } \! \mathrm { P } } \! \left( x , M _ { F } ^ { 2 } \right) = \sum _ { j } \int _ { x } ^ { 1 } \! \frac { d x _ { 1 } } { x _ { 1 } } \, \varphi _ { j / p ( \mathrm { s e a } ) } ^ { 3 \mathrm { I } \! \mathrm { P } } \! \left( x _ { 1 } \right) \, E _ { \mathrm { Q C D } } ^ { j i } \! \left( \frac { x } { x _ { 1 } } , Q _ { 0 } ^ { 2 } , M _ { F } ^ { 2 } \right) ,
\mathbf { R } ( z ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \mathbf { T } ( z ) \left[ \mathbf { P } ^ { ( 1 , \pm ) } ( z ) \right] ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in U ( z _ { 1 , \pm } , \delta ) \setminus \Sigma _ { \mathbf { T } } , } \\ & { \mathbf { T } ( z ) \left[ \mathbf { P } ^ { ( 2 , \pm ) } ( z ) \right] ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in U ( z _ { 2 , \pm } , \delta ) \setminus \Sigma _ { \mathbf { T } } , } \\ & { \mathbf { T } ( z ) \left[ \mathbf { P } ^ { ( 0 ) } ( z ) \right] ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in U ( 0 , \delta ) \setminus \Sigma _ { \mathbf { T } } , } \\ & { \mathbf { T } ( z ) \left[ \mathbf { P } ^ { ( \infty ) } ( z ) \right] ^ { - 1 } , \quad } & { \mathrm { e } } & { \mathrm { l s e w h e r e } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { u ^ { i } ( x , t ) } & { { } = \int _ { D } K ^ { i } ( x , \eta ) \sigma _ { \varepsilon } ( \eta , t ) \textrm { d } \eta + \int _ { D } \mathbb { E } \left[ K ^ { i } ( x , X _ { t } ^ { \eta } ) 1 _ { \left\{ t < \zeta ( X ^ { \eta } \circ \tau _ { t } ) \right\} } \right] W _ { \varepsilon } ( \eta , 0 ) \textrm { d } \eta } \end{array}
N _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } ( \vec { x } ) \equiv N _ { \mathrm { C H _ { 2 } O } } ( \vec { x } ) - \frac { M _ { \mathrm { C / C H _ { 2 } O } } } { M _ { \mathrm { C } } } N _ { \mathrm { C } } ( \vec { x } )
u _ { i } ^ { \prime } ( \boldsymbol { \xi } , \mathbf { X } ; \tau , T ) = \int \mathrm { d } ^ { 3 } k \hat { u } _ { i } ^ { \prime } ( \mathbf { k } , \mathbf { X ; \tau } , T ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \mathbf { k } \cdot ( \boldsymbol { \xi } - \left\langle \mathbf { U } \right\rangle \tau ) } ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \Delta x \Delta y } \int _ { I _ { i , j } ^ { k } } P _ { 0 } ( x , y ) d x d y = u _ { k } , \quad k = 1 , \dots , 9 , } \\ & { \frac { 1 } { \Delta x \Delta y } \int _ { I _ { i , j } ^ { 5 } } P _ { 0 } ( x , y ) \frac { x - x _ { i } } { \Delta x } d x d y = v _ { 5 } , } \\ & { \frac { 1 } { \Delta x \Delta y } \int _ { I _ { i , j } ^ { 5 } } P _ { 0 } ( x , y ) \frac { y - y _ { j } } { \Delta y } d x d y = w _ { 5 } } \end{array} \right. } \end{array}
S _ { \Delta \Phi , \mathrm { ~ A ~ } } ^ { \mathrm { ~ s ~ h ~ o ~ t ~ } } = \frac { 4 h c } { \lambda _ { 0 , \mathrm { ~ L ~ } } P _ { \mathrm { ~ L ~ } } } \left( 2 + 1 0 ^ { \gamma _ { \mathrm { ~ B ~ } } L _ { \mathrm { ~ B ~ } } } + 1 0 ^ { \gamma _ { \mathrm { ~ A ~ } } L _ { \mathrm { ~ A ~ } } } \right) ,
\begin{array} { r } { \mathbb { P } _ { u } \! \left( A \right) \leq \mathbb { P } _ { u } \! \left( I _ { A } \right) = | I _ { A } | \frac { \varepsilon } { I _ { \operatorname* { m a x } } } \leq \mathbb { P } _ { d } \! \left( I _ { A } \right) + \varepsilon \leq \mathbb { P } _ { d } \! \left( A ^ { \varepsilon } \right) + \varepsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { e _ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { e _ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { \tilde { z } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { \tilde { y } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } ^ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { x _ { 2 } ^ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { z ^ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { y ^ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } ^ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { x _ { 2 } ^ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { z ^ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { y ^ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 \ge } & { \sum _ { a _ { 1 } , \ldots , a _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } \in \mathcal { A } } \Big ( \frac { 1 } { q _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } ) ( \tau ( i ) ) ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } ( n - \lfloor n \alpha \rfloor ) } } \Big ) ^ { 2 \widehat { s } _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } ( \mathcal { A } , \alpha , { \tau ( i ) } ) } } \\ { \ge } & { \sum _ { a _ { 1 } , \ldots , a _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } \in \mathcal { A } } \Big ( \frac { 1 } { q _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } ) ( \tau ( i ) ) ^ { \lfloor n \alpha \rfloor + \frac { 1 } { 1 - \alpha } } } \Big ) ^ { 2 \widehat { s } _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } ( \mathcal { A } , \alpha , { \tau ( i ) } ) } } \\ { \ge } & { \sum _ { a _ { 1 } , \ldots , a _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } \in \mathcal { A } } \Big ( \frac { 1 } { q _ { n } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } , i , \ldots , i ) } \Big ) ^ { 2 \widehat { s } _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } ( \mathcal { A } , \alpha , { \tau ( i ) } ) + \varepsilon } , } \end{array}
( M _ { L G } ) ^ { 3 } ( { \cal { O } } ) = \ 0 \rightarrow \ { \cal { O } } ^ { \oplus 1 0 } \ \rightarrow \ { \cal { O } } ( 1 ) ^ { \oplus 1 0 } \rightarrow \ { \cal { O } } ( 2 ) ^ { \oplus 5 } \rightarrow \ { \cal { O } } ( 3 ) \, r i g h t a r r o w \ 0
- \frac 1 2 g ( K ^ { \star } , \nabla { \widetilde { \tau } } ) g ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } \psi \overline { { \partial _ { \beta } \psi } } = \frac { ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 \rho ^ { 2 } \Delta } ( - | K ^ { \star } \psi | ^ { 2 } + | R ^ { \star } \psi | ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 \rho ^ { 2 } } ( | \Phi ^ { \star } \psi | ^ { 2 } + | \partial _ { \theta } \psi | ^ { 2 } )
g _ { s } ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { 7 } { G ^ { m } } ^ { 2 } + \mathrm { T r } \left[ Q ^ { 2 } \right] \left( e \, A + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } g _ { s } G ^ { 8 } \right) ^ { 2 } \ ,