harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\langle c | \mathrm { e } ^ { - \pi \ell H } | c \rangle _ { \mathrm { N S - N S } } \sim \sum _ { m , k } \left[ 1 + ( - 1 ) ^ { m } \right] \left[ 1 + ( - 1 ) ^ { k } \right] \mathrm { e } ^ { - { \frac { \pi \alpha ^ { \prime } \ell } { 2 R ^ { 2 } } } ( k - \gamma m ) ^ { 2 } }
\xi [ h , v _ { \alpha } ] = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \xi _ { n } [ \varphi , v _ { \alpha } ; m ^ { 2 } ] \, , \quad \zeta [ f , v _ { \alpha } ] = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \zeta _ { n } [ \phi , v _ { \alpha } ; M ] \, .
\mathrm { V } ( { \rho } _ { \mathrm { N } } ; { \rho } _ { \mathrm { N } } ) = \frac { 1 } { 4 } ( 1 + \mathrm { N } ) ^ { 2 } \mathrm { V } ( { \rho } ; { \rho } ) + \frac { 1 } { 4 } ( 1 - \mathrm { N } ) ^ { 2 } \mathrm { V } ( { \sigma } ; { \sigma } ) + \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \mathrm { N } ^ { 2 } ) \mathrm { V } ( { \rho } ; { \sigma } ) .
\begin{array} { r l r l } { z } & { { } = z _ { 0 } + A f t + N ( \mu , \sigma ) , } & { } & { { } 0 \leq t \leq \frac { T } { 2 } } \\ { z } & { { } = z _ { 0 } + A ( 1 - f t ) + N ( \mu , \sigma ) , } & { } & { { } \frac { T } { 2 } < t \leq T } \end{array}
= Q \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, { \mathrm { a t ~ c o n s t a n t ~ p r e s s u r e . } }
\left\{ \begin{array} { l l } { \hat { \zeta } _ { 1 } ( \hat { y } _ { 0 } ) = \hat { \zeta } _ { 2 } ( \hat { y } _ { 0 } ) , } \\ { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { \hat { y } \to \hat { y } _ { 0 } } \frac { - \hat { \zeta } _ { 1 } ^ { \prime \prime } } { \left[ 1 + ( \hat { \zeta } _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right] ^ { 3 / 2 } } = \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { \hat { y } \to \hat { y } _ { 0 } } \frac { + \hat { \zeta } _ { 2 } ^ { \prime \prime } } { \left[ 1 + ( \hat { \zeta } _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right] ^ { 3 / 2 } } , } \end{array} \right.
\varphi _ { b } \simeq \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { \lambda } } v \left( \frac { v } { \mu } \right) ^ { 2 } \left[ \cos \left( \sqrt { \frac { 5 } { 3 } } \ln \frac { \mu } { v } \right) + \sqrt { \frac { 3 } { 5 } } \sin \left( \sqrt { \frac { 5 } { 3 } } \ln \frac { \mu } { v } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \mathsf { G p d } ( { \mathcal { W } } ) ( | A | _ { \partial } , G ) } & { = \mathsf { G p d } ( { \mathcal { W } } ) ( \int ^ { v \in \mathsf { W e i l } _ { 1 } } A ( v ) \bullet \partial v , G ) } \\ & { = \int _ { v \in \mathsf { W e i l } _ { 1 } } \mathsf { G p d } ( { \mathcal { W } } ) ( A ( v ) \bullet \partial v , G ) } \\ & { = \int _ { v \in \mathsf { W e i l } _ { 1 } } { \mathcal { W } } ( A ( v ) , \mathsf { G p d } ( { \mathcal { W } } ) ( \partial v , G ) ) } \\ & { = \int _ { v \in \mathsf { W e i l } _ { 1 } } { \mathcal { W } } ( A ( v ) , N _ { \partial } ( G ) ( v ) ) } \\ & { = [ \mathsf { W e i l } _ { 1 } , { \mathcal { W } } ] ( A , N _ { \partial } ( G ) ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho _ { i } ( t ) : = \frac { 1 } { 1 + \varepsilon _ { \rho , i } \cos \left( \Omega t + \phi _ { \rho , i } \right) } , \quad \kappa _ { i } ( t ) : = \frac { 1 } { 1 + \varepsilon _ { \kappa , i } \cos \left( \Omega t + \phi _ { \kappa , i } \right) } , } \end{array}
E _ { x } ^ { \mathrm { L D A } } [ \rho ] = - { \frac { 3 } { 4 } } \left( { \frac { 3 } { \pi } } \right) ^ { 1 / 3 } \int \rho ( \mathbf { r } ) ^ { 4 / 3 } \ \mathrm { d } \mathbf { r } \ .
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathbf { p } ^ { n + 1 / 2 } - \mathbf { p } ^ { n - 1 / 2 } } { \Delta t } } & { { } = } & { \frac { q } { m } \left( \mathbf { E } ^ { n } + \frac { \mathbf { p } ^ { n } } { \gamma ^ { n } } \times \mathbf { B } ^ { n } \right) , } \\ { \frac { \mathbf { x } ^ { n + 1 } - \mathbf { x } ^ { n } } { \Delta t } } & { { } = } & { \mathbf { v } ^ { n + 1 / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { ( N , k , \theta _ { 0 } ) } ( \tau ) } & { : = [ 1 + \frac { k ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } \cos ^ { 2 } \left( \varphi - \theta _ { 0 } \right) ] ( 1 + \frac { k ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \varphi ) ^ { N + 1 } + ( 1 + \frac { k ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } \cos ^ { 2 } \varphi ) [ 1 + \frac { k ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } ( \varphi - \theta _ { 0 } ) ] ^ { N + 1 } } \\ & { \quad - ( [ 1 + \frac { k ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } \cos ^ { 2 } ( \varphi - \theta _ { 0 } ) ] [ 1 + \frac { k ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \varphi ] ^ { N + 1 } ) \sqrt { 3 - \cos ^ { 2 } 2 N \theta _ { 0 } + 2 \cos 2 N \theta _ { 0 } } . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } d t ~ t ^ { \frac { 4 - p } { 2 } } ~ e ^ { - { \frac { t b ^ { 2 } } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } } } = \Gamma ( { \frac { 6 - p } { 2 } } ) ~ ( { \frac { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } { b ^ { 2 } } } ) ^ { \frac { 6 - p } { 2 } }
\frac { R ( N , i _ { N } ) } { N ^ { 1 - \lambda _ { 1 } t - 2 \alpha } } \leq \frac { b _ { 1 } \omega N ^ { 2 \lambda _ { 1 } t + 2 \alpha } } { \lambda _ { 1 } i _ { N } ( i _ { N } + 1 ) } \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { k } ^ { N } ) k \int _ { 0 } ^ { \infty } \tilde { g } _ { N } ( s ) f _ { T _ { N } ^ { k } } ( s ) d s ,
{ \cal L } _ { \Omega _ { \cal Z } } ( y , x ; u , v ) = \int \, { \frac { d ^ { 2 } z } { 2 \pi \hbar } } \, { \cal K } _ { z } ( y , x ) \, ( \Omega _ { \cal Z } : { \cal K } _ { z } ) ( v , u ) ~ .
\begin{array} { r l r } { \frac { d \tau _ { \mathrm { A } } } { d t } = 1 - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \Big [ { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } { \vec { v } } _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } & { { } + } & { \frac { G M _ { \mathrm { E } } } { r _ { \mathrm { A } } } \Big ( 1 - \sum _ { \ell = 2 } ^ { \infty } \Big ( \frac { R _ { \mathrm { E } } } { r _ { \mathrm { A } } } \Big ) ^ { \ell } J _ { \ell } P _ { \ell 0 } ( \cos \theta ) + \sum _ { \ell = 2 } ^ { \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { + \ell } \Big ( \frac { R _ { \mathrm { E } } } { r _ { \mathrm { A } } } \Big ) ^ { \ell } P _ { \ell k } ( \cos \theta ) ( C _ { \ell k } \cos k \phi + S _ { \ell k } \sin k \phi ) \Big ) + } \end{array}
( \lambda _ { n } - D ) U _ { n } = \left( ( D - 1 ) z + \frac { 2 ( W _ { * } + \alpha ) } { \alpha ^ { 2 } + 1 + W _ { * } ^ { 2 } + 2 \alpha W _ { * } } \right) \frac { \partial U _ { n } } { \partial z } .
m _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { m } \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } ( { \pmb \xi } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) = m _ { \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } \alpha { \pmb \alpha } _ { m } } ( { \pmb \xi } ^ { \prime } , { \pmb \xi } )
\frac { 1 } { h _ { i } ^ { 2 } ( m ) } \approx \frac { 1 } { h _ { i } ^ { 2 } ( M ) } + \frac { b _ { i } } { 8 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { 4 } + \frac { b _ { h _ { i } } } { 8 \pi ^ { 2 } } \ln \frac { M } { m } - \frac { b _ { h _ { i } } } { 8 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { 4 } \ ,
\delta _ { \theta } \Phi ^ { \alpha _ { 2 a } } \approx \left\{ \begin{array} { l } { { D _ { \; \; \beta _ { L } } ^ { \alpha _ { L } } \theta ^ { \beta _ { L } } , \; \mathrm { f o r } \; L \; \mathrm { e v e n } , } } \\ { { D _ { \; \; \beta _ { L + 1 } } ^ { \alpha _ { L + 1 } } \theta ^ { \beta _ { L + 1 } } , \; \; \mathrm { f o r } \; L \; \mathrm { o d d } . } } \end{array} \right.
\hat { H } = \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 m _ { a } } [ \hat { \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } } _ { a } - q _ { a } \hat { \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } } _ { T } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) ] ^ { 2 } + V _ { C o u l } + \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int \left[ \hat { \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } } _ { T } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ^ { 2 } + c ^ { 2 } ( \nabla \times \hat { \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } } _ { T } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ) ^ { 2 } \right] d ^ { 3 } r
\begin{array} { r l r } { \beta _ { c i r c } ^ { t w } } & { { } = } & { \beta P _ { 2 } ( \cos \theta _ { c } ) , } \\ { \gamma _ { c i r c } ^ { t w } } & { { } = } & { \gamma P _ { 3 } ( \cos \theta _ { c } ) , } \\ { \delta _ { c i r c } ^ { t w } } & { { } = } & { \left( \delta + \frac { \gamma } { 5 } \right) P _ { 1 } ( \cos \theta _ { c } ) - \frac { \gamma } { 5 } P _ { 3 } ( \cos \theta _ { c } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\vert I _ { \Gamma _ { 4 } } \right\vert } & { \leqslant \int _ { - \pi } ^ { \pi } r ^ { \xi } \frac { \left\vert \phi _ { \varepsilon } \left( r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) \right\vert } { \left\vert \phi _ { \sigma } \left( r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) \right\vert } \mathrm { e } ^ { r t \mathrm { \cos } \varphi } \mathrm { d } \varphi } \\ & { \leqslant \int _ { - \pi } ^ { \pi } r ^ { \xi - \zeta _ { r } } \mathrm { d } \varphi \rightarrow 0 , \quad \mathrm { f o r } \quad r \rightarrow 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \alpha , \mathbf { x } ( \mathrm { I } ; \mathbf { b } ) - \mathbf { x } \rangle } & { = \langle \mathbf { A } ^ { \top } \lambda + \mu \mathbf { c } , \mathbf { x } ( \mathrm { I } ; \mathbf { b } ) - \mathbf { x } \rangle + \langle \mathbf { A } ^ { \top } \lambda + \mu \mathbf { c } - \alpha , \mathbf { x } - \mathbf { x } ( \mathrm { I } ; \mathbf { b } ) \rangle } \\ & { \geq 0 \, , } \end{array}
W = { \left| \begin{array} { l l } { e ^ { - 2 x } } & { x e ^ { - 2 x } } \\ { - 2 e ^ { - 2 x } } & { - e ^ { - 2 x } ( 2 x - 1 ) } \end{array} \right| } = - e ^ { - 2 x } e ^ { - 2 x } ( 2 x - 1 ) + 2 x e ^ { - 2 x } e ^ { - 2 x } = e ^ { - 4 x } .
\begin{array} { r l r } { \left\langle a , b \right\rangle } & { \leq } & { \| a \| \| b \| , } \\ { \left\langle a , b \right\rangle } & { \leq } & { \frac { 1 } { 2 \alpha } \| a \| ^ { 2 } + \frac { \alpha } { 2 } \| b \| ^ { 2 } , } \\ { \| a + b \| ^ { 2 } } & { \leq } & { 2 \| a \| ^ { 2 } + 2 \| b \| ^ { 2 } , } \\ { \| a \| ^ { 2 } } & { \geq } & { \frac { 1 } { 2 } \| a + b \| ^ { 2 } - \| b \| ^ { 2 } , } \\ { \bigg \| \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } \bigg \| ^ { 2 } } & { \leq } & { n \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| a _ { i } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\bar { E } [ u , \mathbf { A } ] = \operatorname* { i n f } _ { \rho , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } } \{ F [ \rho , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } ] + \langle u , \rho \rangle + \langle \mathbf { A } , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } \rangle \} .
\begin{array} { r } { \begin{array} { c l l } & { \mathbb { P } \, : \, \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \longrightarrow \mathrm { N } _ { 2 } ( \mathrm { d } ^ { \ast } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \, \mathrm { , ~ } \, } & { [ \mathrm { I } - \mathbb { P } ] \, : \, \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \longrightarrow \overline { { \mathrm { R } _ { 2 } ( \mathrm { d } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) } } \mathrm { , ~ } } \\ & { \mathbb { Q } \, : \, \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \longrightarrow \mathrm { N } _ { 2 } ( \delta , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \, \mathrm { , ~ } \, } & { [ \mathrm { I } - \mathbb { Q } ] \, : \, \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \longrightarrow \overline { { \mathrm { R } _ { 2 } ( \delta ^ { \ast } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) } } \mathrm { , ~ } } \end{array} } \end{array}
{ \frac { \ell } { s } } = { \frac { t - d } { s - t } } \ \ \Rightarrow \ \ { \frac { s - t } { s } } = { \frac { t - d } { \ell } } \ \ \Rightarrow \ \ 1 - { \frac { t } { s } } = { \frac { t } { \ell } } - { \frac { d } { \ell } } \ \ \Rightarrow \ \ { \frac { t } { \ell } } + { \frac { t } { s } } = 1 + { \frac { d } { \ell } } .
\mathbf { f } = \varepsilon _ { 0 } \left[ ( { \boldsymbol { \nabla } } \cdot \mathbf { E } ) \mathbf { E } - \mathbf { E } \times ( { \boldsymbol { \nabla } } \times \mathbf { E } ) \right] + { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } } \left[ - \mathbf { B } \times \left( { \boldsymbol { \nabla } } \times \mathbf { B } \right) \right] - \varepsilon _ { 0 } { \frac { \partial } { \partial t } } \left( \mathbf { E } \times \mathbf { B } \right) .
\begin{array} { r l } { f ( x ) ^ { - 1 } } & { f ( \gamma _ { t } ( k + 1 ) ) = f ( x ) ^ { - 1 } f ( \gamma _ { t } ( k ) ) \cdot f ( \gamma _ { t } ( k ) ) ^ { - 1 } f ( \gamma _ { t } ( k + 1 ) ) } \\ & { = \delta _ { t } ( \delta _ { \lambda _ { 1 } } ( \partial _ { j _ { 1 } } f ( x ) ) \cdot \ldots \cdot \delta _ { \lambda _ { k } } ( \partial _ { j _ { k } } f ( x ) ) ) \Sigma _ { k , x } ( t ) \cdot f ( \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( k ) ) ^ { - 1 } f ( \mathcal { X } _ { i _ { k + 1 } } ( \lambda _ { k + 1 } t , \Pi _ { \tilde { U } } ( \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( k ) ) ) ) } \\ & { = \delta _ { t } ( \delta _ { \lambda _ { 1 } } ( \partial _ { j _ { 1 } } f ( x ) ) \cdot \ldots \cdot \delta _ { \lambda _ { k } } ( \partial _ { j _ { k } } f ( x ) ) ) \delta _ { t } ( \delta _ { \lambda _ { k + 1 } } ( \partial _ { j _ { k + 1 } } f ( x ) ) ) } \\ & { \qquad \qquad \cdot ( \delta _ { t \lambda _ { k + 1 } } ( \partial _ { j _ { k + 1 } } f ( x ) ) ) ^ { - 1 } \Sigma _ { k , x } ( t ) \cdot \underbrace { f ( \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( k ) ) ^ { - 1 } f ( \Pi _ { \tilde { U } } ( \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( k ) ) ) } _ { \Theta _ { k + 1 , x } ^ { a } ( t ) } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \cdot \underbrace { f ( \Pi _ { \tilde { U } } ( \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( k ) ) ) ^ { - 1 } f ( \mathcal { X } _ { i _ { k + 1 } } ( \lambda _ { k + 1 } t , \Pi _ { \tilde { U } } ( \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( k ) ) ) ) } _ { \delta _ { t \lambda _ { k + 1 } } ( \partial _ { j _ { k + 1 } } f ( \Pi _ { \tilde { U } } ( \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( k ) ) ) ) \tilde { \Delta } _ { k , x } ( t ) } } \\ & { = \delta _ { t } ( \delta _ { \lambda _ { 1 } } ( \partial _ { j _ { 1 } } f ( x ) ) \cdot \ldots \cdot \delta _ { \lambda _ { k } } ( \partial _ { j _ { k } } f ( x ) ) \delta _ { t } ( \delta _ { \lambda _ { k + 1 } } ( \partial _ { j _ { k + 1 } } f ( x ) ) ) ) } \\ & { \qquad \cdot \underbrace { ( \delta _ { t \lambda _ { k + 1 } } ( \partial _ { j _ { k + 1 } } f ( x ) ) ) ^ { - 1 } \delta _ { t \lambda _ { k + 1 } } ( \partial _ { j _ { k + 1 } } f ( \Pi _ { \tilde { U } } ( \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( k ) ) ) ) } _ { \Sigma _ { k + 1 , x } ^ { a } ( t ) } } \\ & { \, \qquad \cdot \underbrace { \delta _ { t \lambda _ { k + 1 } } ( \partial _ { j _ { k + 1 } } f ( \Pi _ { \tilde { U } } ( \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( k ) ) ) ) ^ { - 1 } \Sigma _ { k , x } ( t ) \Theta _ { k + 1 , x } ^ { a } ( t ) \delta _ { t \lambda _ { k + 1 } } ( \partial _ { j _ { k + 1 } } f ( \Pi _ { \tilde { U } } ( \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( k ) ) ) ) } _ { \Sigma _ { k + 1 , x } ^ { b } ( t ) } \cdot \tilde { \Delta } _ { k , x } ( t ) , } \end{array}
{ \cal M } _ { \mathrm { Q E D } } ^ { ( 1 ) } = { \cal M } _ { \mathrm { Q E D } } ^ { \mathrm { B o r n } } \left\{ 1 + \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \left( - \frac { 1 } { 2 } \log ^ { 2 } \frac { s } { \lambda ^ { 2 } } + \frac { 3 } { 2 } \log \frac { s } { \lambda ^ { 2 } } - 2 + 2 \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } \right) \right\}
\bar { \beta } = \Big ( \frac { M _ { f } L _ { y } } { 2 } \bar { \alpha } _ { 2 } + 1 1 M _ { f } L _ { y } + \eta L _ { y x } D _ { h } ^ { 2 } \bar { \alpha } _ { 2 } + \frac { ( 6 + \frac { \bar { \alpha } _ { 2 } } { 3 } ) ( N + 1 ) \lambda L _ { y } L _ { g } ^ { 2 } } { M _ { f } } \Big ( \frac { 3 2 8 \rho ^ { 2 } M ^ { 2 } } { \mu ^ { 3 } } + \frac { 6 L _ { f } ^ { 2 } } { \mu } \Big ) \Big ) \frac { 1 } { \mu }
- \frac { 1 } { 2 \pi i ( u - v ) } \left[ \left( e ^ { - i [ \theta _ { p } ( u ) - \theta _ { p } ( v ) + \mathrm { a r g } \, \Gamma ( 1 + i u ) - \mathrm { a r g } \, \Gamma ( 1 + i v ) ] } - 1 \right) { \left( \frac { a } { 2 } \right) } ^ { i ( u - v ) } \right.
\begin{array} { r l } & { p _ { k _ { \mathfrak { n d e } _ { \mathcal { G } } ( i ) } } ^ { \mathfrak { n d e } _ { \mathcal { G } } ( i ) } ( X ) = \sum _ { k _ { \mathfrak { d e } _ { \mathcal { G } } ( i ) } \in \mathbb { N } ^ { \mathfrak { d e } _ { \mathcal { G } } ( i ) } } \mathbb { P } ( N = k | X ) = \sum _ { k _ { \mathfrak { d e } _ { \mathcal { G } } ( i ) } \in \mathbb { N } ^ { \mathfrak { d e } _ { \mathcal { G } } ( i ) } } \, \prod _ { \ell \in V } \, \mathbb P ( N _ { \ell } = k _ { \ell } | N _ { \mathfrak { p a } _ { \mathcal G } ( \ell ) } = k _ { \mathfrak { p a } _ { \mathcal G } ( \ell ) } , X ) } \\ & { = \left( \sum _ { k _ { \mathfrak { d e } _ { \mathcal { G } } ( i ) } \in \mathbb { N } ^ { \mathfrak { d e } _ { \mathcal { G } } ( i ) } } \, \prod _ { \ell \in \mathfrak { d e } _ { \mathcal G } ( i ) } p _ { k _ { \overline { { \mathfrak { p a } } } _ { \mathcal { G } } ( \ell ) } } ^ { \{ \ell \} | \mathfrak { p a } _ { \mathcal { G } } ( \ell ) } ( X ) \right) \prod _ { j \in \mathfrak { n d e } _ { \mathcal { G } } ( i ) } p _ { k _ { \overline { { \mathfrak { p a } } } _ { \mathcal { G } } ( j ) } } ^ { \{ j \} | \mathfrak { p a } _ { \mathcal { G } } ( j ) } ( X ) = \prod _ { j \in \mathfrak { n d e } _ { \mathcal { G } } ( i ) } \, p _ { k _ { \overline { { \mathfrak { p a } } } _ { \mathcal { G } } ( j ) } } ^ { \{ j \} | \mathfrak { p a } _ { \mathcal { G } } ( j ) } ( X ) , } \end{array}
0 \, = \, \int { \mathcal D } \phi \; \exp \Big \{ - S [ \phi ] + j _ { i } \phi _ { i } \Big \} \; \left( \frac { \delta } { \delta \phi _ { k } } \, S [ \phi ] \, - j _ { k } \right) = : \, \Big \langle \, \Big ( \, \frac { \delta } { \delta \phi _ { k } } \, S [ \phi ] \, - \, j _ { k } \Big ) \, \Big \rangle _ { [ j ] } \; ,
\begin{array} { r l r } { M _ { V } } & { { } = } & { \frac { 1 } { | V | } \sum _ { i \in V } S _ { i } } \\ { \hat { M } _ { V } } & { { } = } & { \frac { 1 } { N _ { \mathrm { e } } | V | } \sum _ { i \in V } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { \mathrm { e } } } \hat { S } _ { i , k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { f } } & { { } = \iiint ( P _ { a } \boldsymbol { \nabla } E _ { a } + M _ { a } \boldsymbol { \nabla } B _ { a } ) \, \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } + \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \iiint \mathbf { P } \times \mathbf { B } \, \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { - \int _ { 0 } ^ { \delta } \lambda ( \varphi _ { r } ( z ) ) \left( Q f _ { k } ( \cdot , r ) ( z ) + r \int D _ { \Phi } Q ( z , d \tilde { z } ) f _ { k } ( \tilde { z } , r ) - f _ { k } ( \varphi _ { r } ( z ) , r ) \right) d r } \\ & { \quad + e ^ { R ( t _ { n } - t _ { k } ) } \mathcal { O } ( \delta ^ { 3 } \lVert g \rVert _ { C _ { \Phi } ^ { 2 , 0 } } ( 1 + \lvert z \rvert ^ { m _ { \lambda } } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { 2 } ( \theta ) } & { : = \theta - \mathrm { s i g n } ( \theta ) \pi \; , } & { \forall \theta \in ( - \frac { \pi } { 2 } , \frac { \pi } { 2 } ] \; , } \\ { \gamma _ { 4 } ( \theta ) } & { : = \theta - \mathrm { s i g n } ( \theta ) \frac { \pi } { 2 } \; , } & { \forall \theta \in ( - \frac { \pi } { 4 } , \frac { \pi } { 4 } ] \; , } \end{array}
W _ { \mathrm { a b s } } ( t ) = \int _ { - \infty } ^ { t } P ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } , \, \, \mathrm { w i t h } \, \, \sum _ { i } e q _ { i } \Vec { v } _ { i } ( t ) \cdot \Vec { \varepsilon } ( t ) .
\mathbf { A } ( \mathbf { r } , t ) = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \iint { \frac { q \mathbf { v } _ { s } ( t ^ { \prime } ) \delta ^ { 3 } ( \mathbf { r ^ { \prime } } - \mathbf { r } _ { s } ( t ^ { \prime } ) ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } \delta ( t ^ { \prime } - t _ { r } ^ { \prime } ) \, d t ^ { \prime } \, d ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime }
\mathcal { J } _ { 2 } ^ { \prime } ( \iota ( c _ { s } ) ; \iota ^ { \prime } ( c _ { s } ) ) = \left\langle \nabla ^ { L ^ { 2 } } \mathcal { J } , \iota ^ { \prime } \right\rangle _ { L ^ { 2 } } = \int _ { 0 } ^ { c _ { s , m a x } } \nabla ^ { L ^ { 2 } } { \mathcal { J } } _ { 2 } ( c _ { s } ) \cdot \iota ^ { \prime } ( c _ { s } ) \, d c ,
{ \begin{array} { r l } { \sin ^ { - 1 } x = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( 2 n - 1 ) ! ! } { ( 2 n ) ! ! } } \cdot { \frac { x ^ { 2 n + 1 } } { 2 n + 1 } } } & { = x + \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } + \left( { \frac { 1 \cdot 3 } { 2 \cdot 4 } } \right) { \frac { x ^ { 5 } } { 5 } } + \left( { \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 } { 2 \cdot 4 \cdot 6 } } \right) { \frac { x ^ { 7 } } { 7 } } + \cdots } \\ & { = x + x \left( { \frac { x ^ { 2 } } { 2 \cdot 3 } } \right) + x \left( { \frac { x ^ { 2 } } { 2 \cdot 3 } } \right) \left( { \frac { ( 3 x ) ^ { 2 } } { 4 \cdot 5 } } \right) + x \left( { \frac { x ^ { 2 } } { 2 \cdot 3 } } \right) \left( { \frac { ( 3 x ) ^ { 2 } } { 4 \cdot 5 } } \right) \left( { \frac { ( 5 x ) ^ { 2 } } { 6 \cdot 7 } } \right) + \cdots } \\ & { = { \cfrac { x } { 1 - { \cfrac { \frac { x ^ { 2 } } { 2 \cdot 3 } } { 1 + { \frac { x ^ { 2 } } { 2 \cdot 3 } } - { \cfrac { \frac { ( 3 x ) ^ { 2 } } { 4 \cdot 5 } } { 1 + { \frac { ( 3 x ) ^ { 2 } } { 4 \cdot 5 } } - { \cfrac { \frac { ( 5 x ) ^ { 2 } } { 6 \cdot 7 } } { 1 + { \frac { ( 5 x ) ^ { 2 } } { 6 \cdot 7 } } - \ddots } } } } } } } } } \end{array} }
| \langle 2 \pi ^ { 0 } | H _ { w } ^ { \mathrm { p v } } | K _ { S } \rangle | = \left| 2 \langle 2 \pi | \sigma \rangle \frac { 1 } { m _ { K } ^ { 2 } - m _ { \sigma } ^ { 2 } + i m _ { \sigma } \Gamma _ { \sigma } } \langle \sigma | H _ { w } ^ { \mathrm { p v } } | K _ { S } \rangle \right| \simeq \left| \frac { \langle \sigma | H _ { w } ^ { \mathrm { p v } } | K _ { S } \rangle } { f _ { \pi } } \right| ,
\frac { \partial ^ { 2 } \phi ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \partial x \partial y } , \; \; \frac { \partial ^ { 2 } \phi ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \partial x \partial \tau } , \; \; \frac { \partial ^ { 2 } \phi ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \partial y \partial \tau } .
\begin{array} { r } { \tilde { W } = \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { 1 } } & { Q _ { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & \\ & { \tilde { \Lambda } _ { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \frac { 1 } { n } \mathbf { 1 } ^ { \intercal } } \\ { Q _ { 1 } ^ { \intercal } } \end{array} \right) , \ I - \tilde { W } = \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { 1 } } & { Q _ { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 0 } & \\ & { I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \frac { 1 } { n } \mathbf { 1 } ^ { \intercal } } \\ { Q _ { 1 } ^ { \intercal } } \end{array} \right) , } \end{array}
\hat { S } _ { + } = \sqrt { N } \sqrt { 1 - \frac { \hat { b } ^ { \dag } \hat { b } } { N } } \hat { b } , \quad \hat { S } _ { - } = \sqrt { N } \hat { b } ^ { \dag } \sqrt { 1 - \frac { \hat { b } ^ { \dag } \hat { b } } { N } } ,
\mu _ { m } = 6 . 5 \cdot 1 0 ^ { - 4 } \sqrt { \frac { T m } { k } } , \qquad \kappa _ { m } = \sum _ { s } \left( \frac { n _ { s } } { \sum _ { k } n _ { k } } \alpha _ { s } \right) T ^ { 0 . 6 9 } , \quad \mathrm { ~ ( ~ f ~ o ~ r ~ S ~ I ~ u ~ n ~ i ~ t ~ s ~ ) ~ }
\begin{array} { r l } { D ( x ) } & { = \sum _ { n \ge 2 } \frac { n ! } { 2 } \cdot \frac { x ^ { n } } { n ! } + \sum _ { n \ge 3 } \frac { ( n - 1 ) ! } { 2 } \cdot \frac { x ^ { n } } { n ! } } \\ & { = \frac 1 2 \left( \frac { 1 } { 1 - x } - 1 - x \right) + \frac 1 2 \left( - \log ( 1 - x ) - x - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) . } \end{array}
\mathsf { A C V } G = \mathsf { A C V } \hat { P } ^ { - 1 } \left( 1 + \frac { n - 3 } { 4 n } \frac { 1 } { \mu _ { e \mathrm { ~ - ~ } } } + \mathcal O ( \mu _ { e \mathrm { ~ - ~ } } ^ { - 2 } ) \right) ,
\left[ - \nabla _ { \mathrm { \boldmath ~ \scriptstyle { \ x i } ~ } } ^ { 2 } + { \mathcal V } ( \mathrm { \boldmath ~ \ x i ~ } ) \right] \, \Phi ( \mathrm { \boldmath ~ \ x i ~ } ) = \eta \, \Phi ( \mathrm { \boldmath ~ \ x i ~ } ) \; ,
\frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { g _ { \alpha , { \scriptstyle \mathrm { b a r e } } } ^ { 2 } } + b _ { \alpha } ( 4 \pi ) ^ { \epsilon } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d t } { t ^ { 1 - \epsilon } } \Gamma _ { F T } \left( \frac { \mu } { \sqrt { \pi } M } \right) \ .