harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \kappa } \frac { \partial } { \partial \kappa } \left[ \kappa \frac { \partial \tilde { \psi } _ { 1 } } { \partial \kappa } \right] - } & { { } \frac { \tilde { \psi } _ { 1 } } { \kappa ^ { 2 } } = \tilde { r } _ { b } ^ { 3 } g \kappa \left[ \frac { 4 \kappa ^ { 2 } - 3 } { 4 \kappa \sqrt { \kappa ^ { 2 } - 1 } } \theta ( \kappa - 1 ) - 1 \right] . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { A } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } } & { \boldsymbol { B } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } } \\ { - \boldsymbol { B } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } } & { - \boldsymbol { A } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { X } _ { m } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } } \\ { \boldsymbol { Y } _ { m } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } } \end{array} \right) = \Omega _ { m } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { X } _ { m } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } } \\ { \boldsymbol { Y } _ { m } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } } \end{array} \right)
{ \frac { 1 } { N ^ { 2 } } } \left< \Psi \right| { T _ { 1 } } { T _ { 2 } } \left| \Psi \right> = { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } } \left< \Omega \right| { T _ { 1 } } { T _ { 2 } } \left| \Omega \right> - { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } } \int { \left[ T _ { 2 } , T \right] } \int { \left[ T _ { 1 } , T \right] } .
\begin{array} { r l } { \delta _ { \mathrm { H F } } } & { = E _ { \mathrm { i n t } } ^ { \mathrm { H F } } - \big ( E _ { \mathrm { e l s t } } ^ { ( 1 ) } ( \mathrm { H F } ) + E _ { \mathrm { e x c h } } ^ { ( 1 ) } ( \mathrm { H F } ) } \\ & { + E _ { \mathrm { i n d } } ^ { ( 2 ) } ( \mathrm { H F } ) + E _ { \mathrm { e x c h - i n d } } ^ { ( 2 ) } ( \mathrm { H F } ) \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } ( x , y , s , t ) } & { = ( x + s v , y - s t v , y - s t v , x - s v ) } \\ { \lambda _ { 2 } ( x , y , s , t ) } & { = ( x - s t v , y + s v , y - s v , x - s t v ) , } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { \prime } ( x , y , s , t ) } & { = ( x + s v , y - s t v , x - s v , y - s t v ) , } \\ { \lambda _ { 2 } ^ { \prime } ( x , y , s , t ) } & { = ( x - s t v , y + s v , x - s t v , y - s v ) , } \\ { \psi ( x , y , t ) } & { = ( ( 1 - t ) x + t y , t x + ( 1 - t ) y , y , x ) , } \\ { \psi _ { 1 } ( x , y , t , s ) } & { = ( ( 1 - t ) x + t y + s v , t x + ( 1 - t ) y - s v , y - s v , x - s v ) , } \\ { \psi _ { 2 } ( x , y , t , s ) } & { = ( ( 1 - t ) x + t y - s v , t x + ( 1 - t ) y + s v , y - s v , x - s v ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { g } _ { 0 0 } } & { = \int d ^ { 2 } \xi \frac { 1 } { \rho ( \xi ) } \left( \frac { \partial \rho ( \xi ) } { \partial \xi ^ { 0 } } \right) ^ { 2 } = - 1 , } \\ { \mathbb { g } _ { 1 1 } } & { = \int d ^ { 2 } \xi \frac { 1 } { \rho ( \xi ) } \left( \frac { \partial \rho ( \xi ) } { \partial \xi ^ { 1 } } \right) ^ { 2 } = 1 , } \\ { \mathbb { g } _ { 0 1 } } & { = \int d ^ { 2 } \xi \frac { 1 } { \rho ( \xi ) } \left( \frac { \partial \rho ( \xi ) } { \partial \xi ^ { 0 } } \right) \left( \frac { \partial \rho ( \xi ) } { \partial \xi ^ { 1 } } \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { I _ { A } = \left\{ j | m \geq j \in Z , A _ { j } = 1 \right\} , } \\ & { J _ { A } = \left\{ j | m \geq j \in Z , A _ { j } = 0 \right\} } \\ & { { \tt D P D } ( \mathbf { y ^ { a } } , \mathbf { y ^ { p } } ) = \left| \frac { \sum _ { i \in I _ { A } } y _ { i } ^ { p } } { | I _ { A } | _ { c } } - \frac { \sum _ { i \in J _ { A } } y _ { i } ^ { p } } { | J _ { A } | _ { c } } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { B } ^ { j } } & { { } = \sum _ { \xi } \frac { p _ { j \xi } ^ { 2 } } { 2 m _ { j \xi } } + \frac { 1 } { 2 } m _ { j \xi } \omega _ { j \xi } ^ { 2 } \left( x _ { j \xi } - \frac { c _ { j \xi } \hat { s } _ { j } } { m _ { j \xi } \omega _ { j \xi } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { W ^ { \frac { 3 } { 2 } } } & { = - { \frac { 2 } { 5 } } \int { \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } ~ J ^ { \mu } ( - p ) ~ { \Big [ } \gamma ^ { 0 } { \frac { ( p \! \! \! / + m ) { \Big ( } { \bar { \eta } } _ { \mu \nu } | _ { o n - s h e l l } - { \frac { 1 } { 3 } } \gamma ^ { \alpha } { \bar { \eta } } _ { \alpha \mu } | _ { o n - s h e l l } \gamma ^ { \beta } { \bar { \eta } } _ { \beta \nu } | _ { o n - s h e l l } { \Big ) } } { p ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } { \Big ] } ~ J ^ { \nu } ( p ) } \\ & { = - { \frac { 2 } { 5 } } \int { \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } ~ J ^ { \mu } ( - p ) ~ { \Big [ } \gamma ^ { 0 } { \frac { ( \eta _ { \mu \nu } - { \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { m ^ { 2 } } } ) ( p \! \! \! / + m ) - { \frac { 1 } { 3 } } { \Big ( } \gamma _ { \mu } + { \frac { 1 } { m } } p _ { \mu } { \Big ) } { \Big ( } p \! \! \! / + m { \Big ) } { \Big ( } \gamma _ { \nu } + { \frac { 1 } { m } } p _ { \nu } { \Big ) } } { p ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } { \Big ] } ~ J ^ { \nu } ( p ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \tau _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { \prime } } & { { } \gtrsim \tau _ { \mathrm { ~ L ~ B ~ } } : = \tau _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } - 2 w \sqrt { \frac { 2 \tau _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { 2 } + \tau _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } \sigma _ { \mathrm { ~ w ~ c ~ } } ^ { 2 } / \sigma _ { x } ^ { 2 } } { m _ { \Delta } } } , } \\ { \bar { n } _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { \prime } } & { { } \lesssim \bar { n } _ { \mathrm { ~ U ~ B ~ } } : = \bar { n } _ { \mathrm { ~ w ~ c ~ } } + w \frac { 2 \bar { n } _ { \mathrm { ~ w ~ c ~ } } + \nu _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } } { \sqrt { 2 m _ { \Delta } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \frac { d C _ { p } } { d t } = } & { \frac { k _ { i n } } { v _ { p } } - ( k _ { s } ^ { t r a n s } + k _ { f } ^ { t r a n s } + k _ { e l } ) C _ { p } + } \\ & { } & { + \frac { k _ { e p s } v _ { e s } } { v _ { p } } C _ { s } + \frac { k _ { e p f } v _ { e f } } { v _ { p } } C _ { f } } \\ & { \frac { d C _ { s } } { d t } = } & { \frac { k _ { s } ^ { t r a n s } v _ { p } } { v _ { e s } } C _ { p } - k _ { e p s } C _ { s } } \\ & { \frac { d C _ { f } } { d t } = } & { \frac { k _ { f } ^ { t r a n s } v _ { p } } { v _ { e f } } C _ { p } - k _ { e p f } C _ { f } } \end{array}
E _ { r ( \lambda , \mathcal { T } _ { N } ^ { \prime } ) } ( \lambda ) = \sum _ { \eta \in \mathcal { V } ( \mathcal { J } _ { \lambda } \cap \mathcal { T } _ { N } ) } E _ { r ( \eta , \mathcal { T } _ { N } ^ { \prime } ) } ( \eta ) = \sum _ { \eta \in \mathcal { V } ( \mathcal { J } _ { \lambda } \cap \mathcal { T } _ { N } ) } e _ { r ( \eta , \mathcal { T } _ { N } ^ { \prime } ) } ( \eta ) .
a ^ { \prime } ( r _ { 2 } ) - a ^ { \prime } ( r _ { 1 } ) = - \frac { 1 5 } { 2 } \pi ^ { 2 } \int _ { S ( r _ { 1 } , y ) } ^ { S ( r _ { 2 } , y ) } \mathrm { d } ^ { 4 } x \ | x - y | ^ { 4 } \langle \Theta ( x ) \, T h e t a ( y ) \rangle .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { i } ^ { * } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { i } \Big ( 1 - \frac { j - 1 } { d + 1 } \Big ) \frac { \alpha } { 2 ^ { j - 1 } } = \alpha _ { i } \frac d { d + 1 } + \frac { i \alpha } { ( d + 1 ) 2 ^ { { i - 1 } } } , } \\ { b _ { i } ^ { * } ( t ) } & { = ( b _ { \alpha } ( t ) ) ^ { \alpha / \alpha _ { i } ^ { * } } , } \\ { \mu _ { i } ^ { * } } & { \left( \{ \boldsymbol z \in \mathbb { E } _ { d } ^ { ( i ) } : z _ { j } > x _ { j } \; \forall \, \ j \in S \} \right) = \prod _ { j = 1 } ^ { i } \left( { x } _ { ( j ) } \right) ^ { - \alpha \left( 1 - \frac { j - 1 } { d + 1 } \right) 2 ^ { - ( j - 1 ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { \pm } ( z , t ) } & { = n _ { \pm } ^ { ( 0 ) } + v n _ { \pm } ^ { ( 1 ) } ( z , t ) + v ^ { 2 } n _ { \pm } ^ { ( 2 ) } ( z , t ) + } \\ & { \quad \quad + v ^ { 3 } n _ { \pm } ^ { ( 3 ) } ( z , t ) + O ( v ^ { 4 } ) } \\ { \rho ( z , t ) } & { = v \rho ^ { ( 1 ) } ( z , t ) + v ^ { 3 } \rho ^ { ( 3 ) } ( z , t ) + O ( v ^ { 5 } ) } \\ { \phi ( z , t ) } & { = v \phi ^ { ( 1 ) } ( z , t ) + v ^ { 3 } \phi ^ { ( 3 ) } ( z , t ) + O ( v ^ { 5 } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { X } _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l } { \hat { X } _ { p , p } ^ { ( l - 1 ) } } \\ { Y _ { p , p } ^ { ( l - 1 ) } } \end{array} \right] , \; \mathcal { X } _ { 2 } = \hat { X } _ { p + 1 , p + 1 } ^ { ( l - 1 ) } \mathcal { X } _ { 1 } ^ { \dagger } . } \end{array}
T ^ { \mu \nu } \stackrel { \mathrm { l a r g e } ~ q ^ { - } } { = } - { \frac { 1 } { q ^ { - } } } \int d \xi ^ { - } d ^ { 2 } \xi _ { \bot } e ^ { i q \cdot \xi } \langle P S | [ J ^ { \mu } ( \xi ) , J ^ { \nu } ( 0 ) ] _ { \xi ^ { + } = 0 } | P S \rangle \, .
\Phi _ { 1 2 3 4 , 4 } ^ { -- + + } = \int \frac { d c _ { 1 3 } ^ { \prime } d c _ { 1 4 } ^ { \prime } d c _ { 2 3 } ^ { \prime } d c _ { 2 4 } ^ { \prime } } { ( c _ { 1 3 } ^ { \prime } ) ^ { 1 + u _ { 4 } - u _ { 2 } } ( c _ { 2 4 } ^ { \prime } ) ^ { 1 + u _ { 3 } ^ { + } - u _ { 1 } ^ { + } } ( c _ { 1 4 } ^ { \prime } c _ { 2 3 } ^ { \prime } - c _ { 2 4 } ^ { \prime } c _ { 1 3 } ^ { \prime } ) ^ { 1 + u _ { 1 } ^ { + } - u _ { 4 } } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { W ^ { ( 2 ) } - \nabla \psi \cdot \nabla \zeta , ~ } \\ { \mathcal { W } ^ { ( 3 ) } = ~ } & { W ^ { ( 3 ) } + W ^ { ( 1 ) } ( \nabla \zeta ) ^ { 2 } , } \\ { \mathcal { W } ^ { ( 4 ) } = ~ } & { W ^ { ( 4 ) } + W ^ { ( 2 ) } ( \nabla \zeta ) ^ { 2 } , ~ \mathrm { a n d } ~ } \\ { \mathcal { W } ^ { ( 5 ) } = ~ } & { W ^ { ( 5 ) } + W ^ { ( 3 ) } ( \nabla \zeta ) ^ { 2 } , } \end{array}
Z ( \mu , \theta ) = \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \sum _ { N _ { \pm } } \mathrm { e } ^ { \mu ( N _ { + } + N _ { - } ) } \mathrm { e } ^ { i \, ( \theta + 2 \pi k ) ( N _ { + } - N _ { - } ) } Z _ { N _ { \pm } } \, \, .
F _ { o p } ^ { ( 1 ) } = \sum _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } r \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) f _ { \sigma ^ { \prime } \sigma } ^ { ( 1 ) } \hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } )
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { K \geq K _ { 0 } } \mathbb { P } \left( | \langle M ^ { H | K } ( f ) \rangle _ { S _ { K } } - \langle M ^ { H | K } ( f ) \rangle _ { T _ { K } } | \geq \alpha , T _ { K } \leq S _ { K } + \delta \right) } & { \leq \epsilon } \\ { \mathrm { a n d ~ } \operatorname* { s u p } _ { K \geq K _ { 0 } } \mathbb { P } \left( | V _ { S _ { K } } ^ { H | K } ( f ) - V _ { T _ { K } } ^ { H | K } ( f ) | \geq \alpha , T _ { K } \leq S _ { K } + \delta \right) } & { \leq \epsilon . } \end{array}
{ \frac { \mathrm { d } p ^ { 1 } } { \mathrm { d } \tau } } = q U _ { \beta } F ^ { 1 \beta } = q \left( U _ { 0 } F ^ { 1 0 } + U _ { 1 } F ^ { 1 1 } + U _ { 2 } F ^ { 1 2 } + U _ { 3 } F ^ { 1 3 } \right) .
\left\{ \begin{array} { l l } { a _ { 1 , j } = t , } & { j > 1 , } \\ { a _ { i , j } = a _ { i - 1 , j } + a _ { i , j - 1 } + a _ { i - 1 , j - 1 } , } & { j > i + 1 , \quad i > 1 , } \\ { a _ { i , j } = a _ { i - 1 , j } + a _ { i - 1 , j - 1 } + k ( - 1 ) ^ { i - 1 } , } & { j = i + 1 , \quad i > 1 , } \\ { a _ { i , j } = - a _ { j , i } , } & { j \leq i . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { I ( \gamma ) } & { = \int _ { \mathrm { S p } _ { 2 n } ( F ) \backslash \mathrm { S p } _ { 2 n } ( \mathbb { A } ) } \int _ { N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ( F ) \backslash N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ( \mathbb { A } ) } \phi ( h ) \theta _ { \psi } ^ { \Phi } ( \alpha _ { T } ^ { k } ( u ) i _ { T } ( 1 , h ) ) } \\ { \times } & { \sum _ { g \in H _ { \gamma } ( F ) \backslash P _ { n ^ { k - 1 } , k n } ( F ) } f _ { s } ( \gamma g u t ( 1 , h ) ) \psi _ { k } ( u ) d u d h , } \end{array}
| \epsilon \cdot J | _ { \| } ^ { 2 } = { \frac { | \Delta \vec { \beta } | ^ { 2 } } { 2 q _ { 0 } ^ { 2 } } } \int { \frac { d \Omega } { 4 \pi } } \left( { \frac { Q _ { a } } { ( 1 - \beta \cos \theta ) } } + { \frac { Q _ { b } } { ( 1 + \beta \cos \theta ) } } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \hat { \Sigma } _ { i j } } & { { } = \mu _ { a , i } ^ { \alpha } { C ^ { \alpha } } _ { a b } ^ { - 1 } C _ { b c , I } ^ { \beta } { C ^ { \alpha } } _ { c d } ^ { - 1 } \mu _ { d , j } ^ { \alpha } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } ( \overline { { U } } _ { 1 } , \overline { { W } } _ { 1 } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { S _ { 1 } ( Z ( a _ { 0 } , 1 ) ^ { * } , Z ( b _ { 1 } , 1 ) ^ { * } ) , } & { \mathrm { i f ~ m = 1 ~ } ; } \\ { S _ { 1 } ( Z ( a _ { 0 } , 1 ) ^ { * } , E ( 1 - m , 1 ) ) , } & { \mathrm { i f ~ m > 1 ~ } } \end{array} \right. } \\ & { = 0 . } \end{array}
\left[ \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } + \sum _ { j = 1 } ^ { M _ { 1 } } \frac { \partial ( \Phi _ { 1 } ) ^ { j } } { \partial x ^ { i } } ( x ) \frac { \partial } { \partial y _ { 1 } ^ { j } } + \cdots + \sum _ { j = 1 } ^ { M _ { d } } \frac { \partial ( \Phi _ { d } ) ^ { j } } { \partial x ^ { i } } ( x ) \frac { \partial } { \partial y _ { d } ^ { j } } \right] \overline { { F } } ( x , y _ { 1 } , \ldots , y _ { d } )
\begin{array} { r l } { H ( u _ { h } ^ { n } ) = } & { H ( u _ { h } ^ { n + 1 } ) + H ^ { \prime } ( u _ { h } ^ { n + 1 } ) ( u _ { h } ^ { n } - u _ { h } ^ { n + 1 } ) + \frac 1 2 H ^ { \prime \prime } ( \xi ^ { n + 1 } ) ( u _ { h } ^ { n + 1 } - u _ { h } ^ { n } ) ^ { 2 } , \quad \xi ^ { n + 1 } \in ( u _ { h } ^ { n } , u _ { h } ^ { n + 1 } ) , } \end{array}
\Im T _ { t h r e e } = \int T _ { 0 } ( p _ { 3 } \rightarrow k _ { 1 } + k _ { 3 } + k _ { 5 } ) d \Gamma _ { 3 } ( k _ { 1 } , k _ { 3 } , k _ { 5 } ) T _ { 0 } ( k _ { 1 } + k _ { 3 } + k _ { 5 } \rightarrow p _ { 1 } + p _ { 2 } ) + \mathrm { ( r e v e r s e d ) } .
\begin{array} { r l } { | \partial _ { \xi } ^ { \alpha } p ( x , \xi ) \hat { u } ( \xi ) | } & { \leq \sum _ { \beta \leq \alpha } | | \partial _ { \xi } ^ { \beta } p ( x , \xi ) | | \cdot | | \partial _ { \xi } ^ { \alpha - \beta } \hat { u } ( \xi ) | | } \\ & { \leq \sum C _ { \beta , 0 , K } ( 1 + | | \xi | | ) ^ { k - | \beta | } \cdot | | \partial _ { \xi } ^ { \alpha - \beta } \hat { u } ( \xi ) | | } \\ & { \leq \sum C _ { \beta , 0 , K } D _ { \alpha - \beta , l + k } ( 1 + | | \xi | | ) ^ { k - | \beta | } ( 1 + | | \xi | | ) ^ { - ( k - | \beta | + l ) } } \\ & { \leq \underbrace { \left( \sum C _ { \beta , 0 , K } D _ { \alpha - \beta , l + k } \right) } _ { = : D _ { \alpha , l } ^ { \prime } } ( 1 + | | \xi | | ) ^ { - l } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E \left[ \operatorname* { s u p } _ { - \delta \leq t \leq 1 } \left| X _ { t } ^ { n + 1 } - X _ { t } ^ { n } \right| ^ { p } \right] } & { \leq C _ { p } \left\{ 1 + \left( \mu \left( \left[ 0 , \delta \right] \right) \right) ^ { p } \right\} \int _ { 0 } ^ { 1 } E \left[ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq u \leq \delta } \left| X _ { s - u } ^ { n } - X _ { s - u } ^ { n - 1 } \right| ^ { p } \right] \, \mathrm { d } s } \\ & { \leq \frac { 1 } { n ! } \left[ C _ { p } \left\{ 1 + \left( \mu \left( \left[ 0 , \delta \right] \right) \right) ^ { p } \right\} \right] ^ { n + 1 } E \left[ \operatorname* { s u p } _ { - \delta \leq t \leq 1 } | X _ { t } ^ { 1 } | ^ { p } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm d p _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { S Y S } } ( t ) } { \mathrm d t } } & { = \frac { 1 } { C _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { S Y S } } } \left( Q _ { \mathrm { A V } } ( t ) - Q _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { S Y S } } ( t ) \right) , } \\ { \frac { \mathrm d p _ { \mathrm { V E N } } ^ { \mathrm { S Y S } } ( t ) } { \mathrm d t } } & { = \frac { 1 } { C _ { \mathrm { V E N } } ^ { \mathrm { S Y S } } } \left( Q _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { S Y S } } ( t ) - Q _ { \mathrm { V E N } } ^ { \mathrm { S Y S } } ( t ) \right) , } \\ { \frac { \mathrm d p _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { P U L } } ( t ) } { \mathrm d t } } & { = \frac { 1 } { C _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { P U L } } } \left( Q _ { \mathrm { P V } } ( t ) - Q _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { P U L } } ( t ) \right) , } \\ { \frac { \mathrm d p _ { \mathrm { V E N } } ^ { \mathrm { P U L } } ( t ) } { \mathrm d t } } & { = \frac { 1 } { C _ { \mathrm { V E N } } ^ { \mathrm { P U L } } } \left( Q _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { P U L } } ( t ) - Q _ { \mathrm { P U L } } ^ { \mathrm { V E N , ~ 3 D } } ( t ) \right) , } \\ { \frac { \mathrm d Q _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { S Y S } } ( t ) } { \mathrm d t } } & { = \frac { R _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { S Y S } } } { L _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { S Y S } } } \left( - Q _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { S Y S } } ( t ) - \frac { p _ { \mathrm { V E N } } ^ { \mathrm { S Y S } } ( t ) - p _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { S Y S } } ( t ) } { R _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { S Y S } } } \right) , } \\ { \frac { \mathrm d Q _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { P U L } } ( t ) } { \mathrm d t } } & { = \frac { R _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { P U L } } } { L _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { P U L } } } \left( - Q _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { P U L } } ( t ) - \frac { p _ { \mathrm { V E N } } ^ { \mathrm { P U L } } ( t ) - p _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { P U L } } ( t ) } { R _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { P U L } } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { M _ { \vec { \lambda } } ( A _ { 1 } , A _ { 2 } , \dots , A _ { N } ) } \\ { : = } & { \frac { \displaystyle \prod _ { \alpha = 1 } ^ { N } \prod _ { ( i , j ) \in \lambda ^ { ( \alpha ) } } ( 1 - A _ { \alpha } ^ { 2 } q ^ { i - j + ( \lambda ^ { ( \alpha ) } ) _ { j } ^ { t } - \lambda _ { i } ^ { ( \alpha ) } } ) } { \displaystyle \prod _ { 1 \le \alpha < \beta \le N } \prod _ { ( i , j ) \in \lambda ^ { ( \alpha ) } } ( 1 - A _ { \alpha } A _ { \beta } q ^ { i + j - 1 - \lambda _ { i } ^ { ( \alpha ) } - \lambda _ { j } ^ { ( \beta ) } } ) \prod _ { ( m , n ) \in \lambda ^ { ( \beta ) } } ( 1 - A _ { \alpha } A _ { \beta } q ^ { 1 - m - n + ( \lambda ^ { ( \beta ) } ) _ { n } ^ { t } + ( \lambda ^ { ( \alpha ) } ) _ { m } ^ { t } } ) } ~ . } \end{array}
\varphi ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 3 / 4 } & { 0 \leq x < 0 . 5 } \\ { \{ 3 / 4 , 1 / 4 \} } & { x = 0 . 5 } \\ { 1 / 4 } & { 0 . 5 < x \leq 1 } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r } { r _ { M H D } } & { { } = } & { \frac { \sqrt { \mathcal { C } } - ( 5 \sigma + 2 ) \chi _ { 1 } ^ { 2 } - 1 0 } { 2 \sigma \chi _ { 1 } ^ { 2 } } , } \\ { \mathcal { C } } & { { } = } & { ( \sigma + 2 ) ( 2 5 \sigma + 2 ) \chi _ { 1 } ^ { 4 } + 2 0 ( 5 \sigma + 2 ) \chi _ { 1 } ^ { 2 } + 1 0 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \mathcal { K } } { \partial t } + \overline { { u } } _ { j } \frac { \partial \mathcal { K } } { \partial x _ { j } } } & { = } & { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( ( \nu + \frac { \nu _ { T } } { \sigma _ { \mathcal { K } } } ) \frac { \partial \mathcal { K } } { \partial x _ { j } } \right) + \mathcal { P } - \varepsilon } \\ { \frac { \partial \varepsilon } { \partial t } + \overline { { u } } _ { j } \frac { \partial \varepsilon } { \partial x _ { j } } } & { = } & { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( ( \nu + \frac { \nu _ { T } } { \sigma _ { \mathcal { \varepsilon } } } ) \frac { \partial \varepsilon } { \partial x _ { j } } \right) + C _ { \varepsilon 1 } \frac { \varepsilon } { \mathcal { K } } \mathcal { P } - C _ { \varepsilon 2 } \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { \mathcal { K } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| e ^ { - s _ { 1 } t } \omega \| _ { { X ( 0 , T ; \Omega _ { R } ^ { + } ) } } ^ { 2 } \leq } & { C \Big \| e ^ { - s _ { 1 } t } \Big ( \hat { p } \cdot \hat { x } + \mathscr { T } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } \hat { u } \, d \tau \Big ) \Big ) \Big \| _ { Y ( 0 , T ; \Gamma _ { R } ^ { + } ) } \, \| e ^ { - s _ { 1 } t } \omega \| _ { Y ( 0 , T ; \Gamma _ { R } ^ { + } ) } } \\ { \leq } & { C \| e ^ { - s _ { 1 } t } \Big ( \hat { p } \cdot \hat { x } + \mathscr { T } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } \hat { u } \, d \tau \Big ) \Big ) \Big \| _ { Y ( 0 , T ; \Gamma _ { R } ^ { + } ) } \, \| e ^ { - s _ { 1 } t } \omega \| _ { X ( 0 , T ; \Omega _ { R } ^ { + } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad [ 1 \otimes H _ { i , 1 } , \hbar \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } e _ { v , j } t ^ { - w } \otimes e _ { j , v } t ^ { w } ] } \\ & { = - \frac { i } { 2 } \hbar ^ { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i , j } e _ { v , j } t ^ { - w } \otimes e _ { j , v } t ^ { w } + \frac { i } { 2 } \hbar ^ { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i + 1 , j } e _ { v , j } t ^ { - w } \otimes e _ { j , v } t ^ { w } } \\ & { \quad - \hbar ^ { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i , j } e _ { v , j } t ^ { - w } \otimes e _ { j , v } t ^ { w } e _ { i + 1 , i + 1 } - \hbar ^ { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i + 1 , j } e _ { v , j } t ^ { - w } \otimes e _ { i , i } e _ { j , v } t ^ { w } } \\ & { \quad + \hbar ^ { 2 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { i } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i , j } e _ { v , j } t ^ { - w } \otimes e _ { i , u } t ^ { - s } e _ { u , v } t ^ { s + w } } \\ & { \quad + \hbar ^ { 2 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta ( j \leq i ) e _ { v , j } t ^ { - w } \otimes e _ { i , v } t ^ { w - s } e _ { j , i } t ^ { s } } \\ & { \quad + \hbar ^ { 2 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = i + 1 } ^ { a } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i , j } e _ { v , j } t ^ { - w } \otimes e _ { i , u } t ^ { - s - 1 } e _ { u , v } t ^ { s + w + 1 } } \\ & { \quad + \hbar ^ { 2 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta ( j > i ) e _ { v , j } t ^ { - w } \otimes e _ { i , v } t ^ { w - s - 1 } e _ { j , i } t ^ { s + 1 } } \\ & { \quad - \hbar ^ { 2 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { i } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i + 1 , j } e _ { v , j } t ^ { - w } \otimes e _ { i + 1 , u } t ^ { - s } e _ { u , v } t ^ { s + w } } \\ & { \quad - \hbar ^ { 2 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta ( j \leq i ) e _ { v , j } t ^ { - w } \otimes e _ { i + 1 , v } t ^ { w - s } e _ { j , i + 1 } t ^ { s } } \\ & { \quad - \hbar ^ { 2 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = i + 1 } ^ { a } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i + 1 , j } e _ { v , j } t ^ { - w } \otimes e _ { i + 1 , u } t ^ { - s - 1 } e _ { u , v } t ^ { s + w + 1 } } \\ & { \quad - \hbar ^ { 2 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta ( j > i ) e _ { v , j } t ^ { - w } \otimes e _ { i + 1 , v } t ^ { w - s - 1 } e _ { j , i + 1 } t ^ { s + 1 } . } \end{array}
{ \mathcal D } ^ { - 1 } = { \mathcal D } _ { 0 } ^ { - 1 } - { \mathcal D } _ { 0 } ^ { - 1 } { \mathcal V } { \mathcal D } _ { 0 } ^ { - 1 } + { \mathcal D } _ { 0 } ^ { - 1 } { \mathcal V } { \mathcal D } _ { 0 } ^ { - 1 } { \mathcal V } { \mathcal D } _ { 0 } ^ { - 1 } - . . .
\begin{array} { r l r } { \tilde { { \bf Y } } _ { 1 } ^ { + } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) } & { = } & { { \bf J } _ { 1 1 } { \tilde { \bar { \bf F } } } _ { 1 } ^ { * } ( { { \bf x } } , - { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } , } \\ { \tilde { { \bf Y } } _ { 2 } ^ { + } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) } & { = } & { { \bf J } _ { 2 2 } { \tilde { \bar { \bf F } } } _ { 2 } ^ { * } ( { { \bf x } } , - { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { S T U , P Q R } ^ { B A } } & { { } = } & { \zeta \langle A | b _ { p \pi } ^ { \dagger } b _ { q \theta } ^ { \dagger } b _ { r \rho } ^ { \dagger } b _ { u _ { - \upsilon } } b _ { t _ { - \tau } } b _ { s _ { - \sigma } } | B \rangle = } \end{array}