harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { M _ { n , n } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } = } & { { } \sum _ { r , s } \left( X _ { r , n } ^ { \mathbf { k } } - i Y _ { r , n } ^ { \mathbf { k } } \right) \left( P _ { r , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } + i Q _ { r , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } \right) \left( X _ { s , n } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } + i Y _ { s , n } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } \right) = C _ { n , n } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } + i D _ { n , n } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } , } \\ { C _ { n , n } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } = } & { { } \sum _ { r , s } \left( P _ { r , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } ( X _ { r , n } ^ { \mathbf { k } } X _ { s , n } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } + Y _ { r , n } ^ { \mathbf { k } } Y _ { s , n } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } ) - Q _ { r , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } ( X _ { r , n } ^ { \mathbf { k } } Y _ { s , n } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } - Y _ { r , n } ^ { \mathbf { k } } X _ { s , n } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } ) \right) , } \\ { D _ { n , n } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } = } & { { } \sum _ { r , s } \left( Q _ { r , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } ( X _ { r , n } ^ { \mathbf { k } } X _ { s , n } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } + Y _ { r , n } ^ { \mathbf { k } } Y _ { s , n } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } ) + P _ { r , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } ( X _ { r , n } ^ { \mathbf { k } } Y _ { s , n } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } - Y _ { r , n } ^ { \mathbf { k } } X _ { s , n } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } ) \right) . } \end{array}
\overleftrightarrow { \boldsymbol { \sigma } _ { \mathrm { M } } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle - \frac { \varepsilon _ { \mathrm { i n } } \varepsilon _ { 0 } } { 2 } ( \nabla \psi ) ^ { 2 } \boldsymbol { I } + \varepsilon _ { \mathrm { i n } } \varepsilon _ { 0 } \left( \nabla \psi \otimes \nabla \psi \right) } & { \textrm { f o r } r < R } \\ { \displaystyle - \frac { \varepsilon _ { \mathrm { o u t } } \varepsilon _ { 0 } } { 2 } ( \nabla \psi ) ^ { 2 } \boldsymbol { I } + \varepsilon _ { \mathrm { o u t } } \varepsilon _ { 0 } \left( \nabla \psi \otimes \nabla \psi \right) } & { \textrm { f o r } r > R } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { s } _ { t } } ^ { * } } & { = \sigma \left( \ln \left( \frac { \mathbf { I } ^ { \psi } } { \sum \mathbf { I } ^ { \psi } } \right) ^ { T } \mathbf { o } _ { t } + \ln \left( \mathbf { B } _ { \mathbf { u } _ { t - 1 } } \cdot \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { s } _ { t - 1 } } ^ { * } \right) \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \psi \rightarrow \infty } \sigma \left( \psi \ln \left( \mathbf { I } ^ { T } \mathbf { o } _ { t } \right) + \ln \left( \mathbf { B } _ { \mathbf { u } _ { t - 1 } } \cdot \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { s } _ { t } } ^ { * } \right) - \ln \sum \mathbf { I } ^ { \psi } \right) } \\ & { = \sigma \left( \ln \left( \mathbf { I } ^ { T } \mathbf { o } _ { 1 } \right) \right) = \mathbf { I } ^ { T } \mathbf { o } _ { 1 } } \end{array}
\mathbf { E } _ { m } ^ { \kappa } ( t ) : = \sum _ { k , k ^ { \prime } \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \xi _ { m , k } ( t ) \xi _ { m , k ^ { \prime } } ( t ) \, \Bigl \langle \! \kappa ( \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } ^ { \kappa } ) ^ { \intercal } ( \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k ^ { \prime } } ^ { \kappa } ) \Bigr \rangle \, .
\Gamma ( B \to X _ { u \bar { u } ( s + d ) } ) = { \frac { G _ { F } ^ { 2 } | V _ { u b } | ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 3 } } } \bigg ( { \frac { m _ { \Upsilon } } { 2 } } \bigg ) ^ { 5 } \, \Big [ 1 - 0 . 0 4 5 \epsilon + 0 . 1 5 7 L ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } \Big ] \, ,
\begin{array} { r } { \frac { n \bar { N } \| \mu \| ^ { 2 } \omega _ { n } ^ { 2 } } { \sqrt { \sum _ { i } \| \Omega _ { i } \| ^ { 2 } } } \geq \frac { \bar { N } \cdot \sum _ { k = 2 } ^ { M } \widetilde { \lambda } _ { k } ^ { 2 } } { \| \Omega \| _ { F } } = \frac { \bar { N } \cdot \sum _ { k = 2 } ^ { M } \widetilde { \lambda } _ { k } ^ { 2 } } { \sqrt { \sum _ { k = 1 } ^ { M } \lambda _ { k } ^ { 2 } } } , } \end{array}
\hat { H } _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ C ~ A ~ S ~ P ~ T ~ 2 ~ } } = | \Psi ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Psi ^ { ( 0 ) } | \hat { F } | \Psi ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Psi ^ { ( 0 ) } | + \sum _ { \substack { i , j \, i , j \in K } } | \Psi _ { i } \rangle \langle \Psi _ { i } | \hat { F } | \Psi _ { j } \rangle \langle \Psi _ { j } |
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } _ { \omega } \Phi _ { 1 } h } & { = \Phi _ { 1 } \mathcal { D } _ { \omega } h + \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 1 } \partial _ { x } \left( \Psi _ { 1 } ^ { T } [ \mathcal { D } _ { \omega } \beta ( \varphi , \cdot ) ] h \right) + \mathcal { D } _ { \omega } ( \Phi _ { 1 } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 1 } ) } \\ & { = \Phi _ { 1 } \mathcal { D } _ { \omega } h + \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } \left( \Psi _ { 1 } ^ { T } [ \mathcal { D } _ { \omega } \beta ( \varphi , \cdot ) ] h \right) + \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 1 } \Pi _ { S } \partial _ { x } \left( \Psi _ { 1 } ^ { T } [ \mathcal { D } _ { \omega } \beta ( \varphi , \cdot ) ] h \right) + \mathcal { D } _ { \omega } ( \Phi _ { 1 } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 1 } ) } \\ & { = \Phi _ { 1 } \mathcal { D } _ { \omega } h + \Phi _ { 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } \left( \Psi _ { 1 } ^ { T } [ \mathcal { D } _ { \omega } \beta ( \varphi , \cdot ) ] h \right) } \\ & { \ + \underbrace { \left( \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } - \Phi _ { 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \right) \partial _ { x } \left( \Psi _ { 1 } ^ { T } [ \mathcal { D } _ { \omega } \beta ( \varphi , \cdot ) ] h \right) + \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 1 } \Pi _ { S } \partial _ { x } \left( \Psi _ { 1 } ^ { T } [ \mathcal { D } _ { \omega } \beta ( \varphi , \cdot ) ] h \right) + \mathcal { D } _ { \omega } ( \Phi _ { 1 } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 1 } ) } _ { = : \mathcal { R } _ { \omega } [ h ] } . } \end{array}
\mathbf { \tilde { c } } _ { k } = \mathbf { V \tilde { \Sigma } ^ { - 1 } U ^ { \mathrm { ~ T ~ } } q } = \sum _ { i = 1 } ^ { k } \frac { \mathbf { u } _ { i } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \mathbf { q } } { \sigma _ { i } } \mathbf { v } _ { i }
N ^ { v o l } = \left\lfloor \frac { S _ { m } ^ { n } N _ { o b j } } { E _ { r , m } ^ { n } + S _ { m } ^ { n } } \right\rfloor = \frac { S _ { m } ^ { n } N _ { o b j } } { E _ { r , m } ^ { n } + S _ { m } ^ { n } }
\dot { n _ { B } } \equiv \frac { \dot { B } } { V } = - \frac { \Gamma _ { s p h } } { V } { \frac { \Delta F _ { ( \Delta B = 1 ) } } { T } } \Delta B ( s p h ) \, , \quad \Delta F _ { ( \Delta B = 1 ) } = \mu _ { B }
{ \mathrm { g a i n } } = { \frac { V _ { \mathrm { o u t } } ^ { 2 } / 5 0 } { V _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } / 5 0 } } = { \frac { V _ { \mathrm { o u t } } ^ { 2 } } { V _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } } } = { \frac { 1 0 ^ { 2 } } { 1 ^ { 2 } } } = 1 0 0 ~ { \mathrm { W / W } } .
\sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { b _ { 1 } , . . . b _ { m } } { G } ^ { ( 0 ) } ( a _ { 1 } , . . . , a _ { n } , \underbrace { b _ { 1 } , . . . , b _ { 1 } } _ { r } , . . . , \underbrace { b _ { m } , . . . , b _ { m } } _ { r } )
\Delta ( b ) = \frac { 1 } { 2 } \vert b \vert + \frac { 1 } { 2 \mu } \epsilon ( b ) + \frac { 1 } { 2 \mu } \exp \{ - \mu \vert b \vert \} - \frac { 1 } { 2 \mu } \epsilon ( b ) \exp \{ - \mu \vert b \vert \} .
\prod _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \left( { \frac { a _ { 1 } } { d } } + k \right) = { \frac { \Gamma \left( { \frac { a _ { 1 } } { d } } + n \right) } { \Gamma \left( { \frac { a _ { 1 } } { d } } \right) } }
G ( x , 0 ) = \frac { { \displaystyle \int } { \cal D } S { \cal D } { \bar { \psi } } { \cal D } \psi ~ { \bar { \psi } } ( x ) ~ e ^ { - 2 i \gamma ^ { 5 } S ( x ) } ~ \psi ( x ) ~ { \bar { \psi } } ( 0 ) ~ { \displaystyle e } ^ { - 2 i \gamma ^ { 5 } S ( 0 ) } ~ \psi ( 0 ) \, \, \, e ^ { i S _ { e f f } } } { { \displaystyle \int } { \cal D } S { \cal D } { \bar { \psi } } { \cal D } \psi \, \, \, { \displaystyle e } ^ { i S _ { e f f } } } ,
H ^ { ( 2 ) } = \int d ^ { 2 } x \left[ - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { i } \Phi ^ { 0 } \partial ^ { i } \Phi ^ { 0 } + \sqrt { m } \Phi ^ { 0 } \epsilon _ { i j } \partial ^ { i } \Phi ^ { j } + \frac { 1 } { 2 } m \Phi ^ { i } \Phi ^ { i } - ( \frac { 1 } { \sqrt { m } } \partial _ { i } \Phi ^ { i } + \frac { 1 } { 2 } \Phi ^ { 3 } ) \Phi ^ { 3 } \right] .
< { \bf E } _ { 1 } | { \bf E } _ { 2 } > : = \int d ^ { 3 } { \bf r } M _ { \epsilon } ^ { - 1 } ( { \bf r } ) { \bf E } _ { 1 } ^ { * } ( { \bf r } ) \cdot { \bf E } _ { 2 } ( { \bf r } ) \, ,
\begin{array} { r l } { W _ { 2 } ^ { 2 } ( \pi ^ { n , s } , \gamma _ { \delta } ^ { n , t } ) \lesssim } & { \, W _ { 2 } ^ { 2 } \big ( \nu ^ { m , t } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) _ { \# } \mu ^ { n , t } \big ) + W _ { 2 } \big ( \nu ^ { m , t } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) _ { \# } \mu ^ { n , t } \big ) W _ { 2 } ( \mu ^ { n , s } , \nu ^ { m } ) } \\ & { + W _ { 2 } ^ { 2 } ( \nu ^ { m , t } , \nu ^ { m } ) + W _ { 2 } ^ { 2 } ( \mu ^ { n , t } , \mu ^ { n , s } ) + \big ( W _ { 2 } ( \nu ^ { m , t } , \nu ^ { m } ) + W _ { 2 } ( \mu ^ { n , t } , \mu ^ { n , s } ) \big ) W _ { 2 } ( \mu ^ { n , s } , \nu ^ { m } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { m = \left\lceil n ^ { 2 } / p \right\rceil + 1 } ^ { \infty } m \mathbb { P } ( N = m ) } & { \leq \sum _ { m = \left\lceil n ^ { 2 } / p \right\rceil } ^ { \infty } ( m + 1 ) \mathbb { P } ( N > m ) } \\ & { \leq \sum _ { m = \left\lceil n ^ { 2 } / p \right\rceil } ^ { \infty } ( m + 1 ) \mathbb { P } \left( \sum _ { \ell = 1 } ^ { \binom { n } { 2 } } G _ { \ell } > m \right) } \\ & { \leq \sum _ { m = \left\lceil n ^ { 2 } / p \right\rceil } ^ { \infty } ( m + 1 ) \exp \left( - \frac { p m } { 2 } \left( 1 - \frac { 1 } { p m } \binom { n } { 2 } \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq \sum _ { m = \left\lceil n ^ { 2 } / p \right\rceil } ^ { \infty } ( m + 1 ) \exp \left( - p m / 8 \right) } \\ & { = O \left( n ^ { 2 } e ^ { - n ^ { 2 } / 8 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 4 } \Pi _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( 0 ) } & { { } = 1 , } \\ { \Pi _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( \ell ) } & { { } = 0 , } \\ { \Pi _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( a ) } & { { } = \Pi _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( a ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } \Pi _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( x ) } { \mathrm { d } x } \Big | _ { x = a } } & { { } = \frac { \mathrm { d } \Pi _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( x ) } { \mathrm { d } x } \Big | _ { x = a } , } \end{array}
( \omega ^ { 2 } - \mathbb { k } ^ { 2 } ) \, \mathbb { k } \cdot \mathbb { A } + \mathbb { k } ^ { 2 } \, \mathbb { k } \cdot \mathbb { A } = \omega ^ { 2 } \, \mathbb { k } \cdot \mathbb { A } = \mathbb { k } \cdot \mathbb { S } \, .
P ^ { \prime } ( w ^ { \prime } ) = L ^ { \beta k } \; r ^ { k } \; e ^ { - r T } \prod _ { j ^ { \prime } = 0 } ^ { k - 1 } \; \; ( q ( L X _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } - L X _ { j ^ { \prime } + 1 } ^ { \prime } ) L ^ { d } ) \times
\begin{array} { r l } & { = - \langle ( \Phi _ { i j } * _ { v } F _ { + } ) \partial _ { v _ { i } } F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } , \partial _ { v _ { j } } F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \leq - \frac { 1 } { C _ { k _ { F _ { + } } } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } . } \end{array}
\Delta ( x , a ) = \left[ \, \frac { 1 } { x } \bigg ( \ln x - \ln a + \frac 1 2 \bigg ) \right] _ { + } + \frac { \delta ( x ) } { 2 } \bigg ( \ln ^ { 2 } \! a - \ln a + \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } + \frac 1 2 \bigg ) \, .
\begin{array} { r l } { I \left( t \right) } & { = \eta _ { \mathrm { d e t } } \sqrt { P \left( t \right) P \left( t - \tau _ { d } \right) } \, \cos { \left( \phi \left( t \right) - \phi \left( t - \tau _ { d } \right) - \Delta \Omega \, t \right) } + \xi _ { I } \left( t \right) , } \\ { Q \left( t \right) } & { = \eta _ { \mathrm { d e t } } \sqrt { P \left( t \right) P \left( t - \tau _ { d } \right) } \, \sin { \left( \phi \left( t \right) - \phi \left( t - \tau _ { d } \right) - \Delta \Omega \, t \right) } + \xi _ { Q } \left( t \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | z _ { n } - z _ { n - 1 } | ^ { 2 } + | z _ { n } ^ { \prime } - z _ { n - 1 } ^ { \prime } | ^ { 2 } } & { \le 2 ( s _ { n - 1 } - s _ { n } ) , } \\ { | z _ { n } - y | ^ { 2 } + | z _ { n } ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } & { \le 5 ( s _ { n - 1 } - s _ { n } ) + 2 | x - y | ^ { 2 } + 3 | x ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } + 3 | x - x ^ { \prime } | ^ { 2 } , } \end{array}
8 f _ { 4 } ^ { ( 8 ) } \phi ^ { i } \phi ^ { j } \phi ^ { k } \phi ^ { l } v ^ { p } \left[ \delta ^ { s i } ( \theta \gamma ^ { p m } \theta ) ( \theta \gamma ^ { m j } \theta ) ( \theta \gamma ^ { k n } \theta ) ( \theta \gamma ^ { l n } \theta ) + \delta ^ { s p } ( \theta \gamma ^ { m i } \theta ) ( \theta \gamma ^ { m j } \theta ) ( \theta \gamma ^ { k n } \theta ) ( \theta \gamma ^ { l n } \theta ) \right] ~ ,
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { 0 } } & { { } = \omega _ { C } \hat { a } _ { C } ^ { \dagger } \hat { a } _ { C } + \sum _ { i = 1 , 2 } \omega _ { i } \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } \hat { b } _ { i } } \\ { \hat { V } } & { { } = \sum _ { i } g _ { i } \hat { a } _ { C } ^ { \dagger } \hat { a } _ { C } \left( \hat { b } _ { i } + \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } \right) } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { Q _ { 1 } ( \mathbf { x } , t ) } \\ { R _ { 1 } ( \mathbf { x } , t ) } \\ { u _ { 1 , z } ( \mathbf { x } , t ) } \\ { p _ { 1 } ( \mathbf { x } , t ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { q ( z ) } \\ { r ( z ) } \\ { w ( z ) } \\ { p ( z ) } \end{array} \right] e ^ { \lambda t + i ( k _ { x } x + k _ { y } y ) } ,
\begin{array} { r } { \left[ \mathbf { L } _ { H } ^ { \left( n \right) } \right] _ { i j } = \frac { 1 } { n } \left( \delta _ { i j } \mathbf { P } _ { i } ^ { \left( n \right) } - \mathbf { B } _ { i j } ^ { \left( n \right) } \right) . } \end{array}
R _ { r s } ( \frac { \rho } { \sqrt N } , \frac { \dot { \rho } } { \sqrt N } ) = 0 \; \; \longrightarrow \; \; R ( \rho , \dot { \rho } ) = \tilde { R } ( \tilde { \rho } , \dot { \tilde { \rho } } ) = 0
\dot { \boldsymbol { r } } _ { 2 } ( 0 ) = ( 0 . 0 3 9 4 8 2 2 2 0 3 8 8 5 7 4 7 7 , 0 . 0 8 3 5 8 1 9 2 5 4 2 1 6 7 5 1 8 ) ;
{ \mathrm { { Q } } ^ { * } } \left( { \; { \mathrm { { s } } _ { \mathrm { { t } } } } , { \mathrm { { a } } _ { \mathrm { { t } } } } } \right) \ge { \mathrm { { Q } } ^ { \pi } } \left( { { \mathrm { { s } } _ { \mathrm { { t } } } } , { \mathrm { { a } } _ { \mathrm { { t } } } } } \right)
\left( a _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \alpha } + a _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \beta } + a _ { 3 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \gamma } \right) \sigma \left( t \right) = \left( b _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \mu } + b _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \alpha + \beta + \mu } \right) \varepsilon \left( t \right) ,
\mathsf { L } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = \mathsf { K } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } - \mathsf { P } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } - \mathsf { W } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } , \qquad \mathsf { K } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = \frac { 1 } { 2 } \dot { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \dot { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } , \qquad \mathsf { W } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = \mathbf { F } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { X } _ { \mathrm { ~ O ~ } } \, ,
\mathrm { \mathrm { } ~ ^ { * } \! ~ } F _ { \mu \nu } ( x ) = 4 \pi \{ \mathrm { \small ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } [ \partial ^ { \sigma } { \tilde { \lambda } } ^ { \rho } ( x ) - \partial ^ { \rho } { \tilde { \lambda } } ^ { \sigma } ( x ) ] \} ,
{ v _ { i } } ^ { ( 1 ) } = \left( - { \frac { \partial { \tilde { \Omega } } ^ { i } } { \partial p _ { j } } } , { \frac { \partial { \tilde { \Omega } } ^ { i } } { \partial q _ { j } } } - { \frac { \partial { \tilde { \Omega } } ^ { i } } { \partial p _ { k } } } f ^ { k } , 1 \right) ,
\begin{array} { r l r } { A } & { { } = } & { u + v \frac { \cos k _ { x } } { 2 } \left( \sqrt { \bigg | \frac { u - \gamma / 2 } { u + \gamma / 2 } \bigg | } + \sqrt { \bigg | \frac { u + \gamma / 2 } { u - \gamma / 2 } \bigg | } \right) , ~ B = v \frac { \sin k _ { x } } { 2 } \left( \sqrt { \bigg | \frac { u - \gamma / 2 } { u + \gamma / 2 } \bigg | } - \sqrt { \bigg | \frac { u + \gamma / 2 } { u - \gamma / 2 } \bigg | } \right) , } \\ { C } & { { } = } & { v \frac { \sin k _ { x } } { 2 } \left( \sqrt { \bigg | \frac { u - \gamma / 2 } { u + \gamma / 2 } \bigg | } + \sqrt { \bigg | \frac { u + \gamma / 2 } { u - \gamma / 2 } \bigg | } \right) , ~ D = - v \frac { \cos k _ { x } } { 2 } \left( \sqrt { \bigg | \frac { u - \gamma / 2 } { u + \gamma / 2 } \bigg | } - \sqrt { \bigg | \frac { u + \gamma / 2 } { u - \gamma / 2 } \bigg | } \right) + \frac { \gamma } { 2 } . } \end{array}
\mu _ { n } ( e _ { m _ { 0 } } ^ { ( j _ { 0 } ) } , \bar { e } _ { m _ { 1 } } ^ { ( \bar { j } _ { 1 } ) } \epsilon , \dots \bar { e } _ { m _ { n - 1 } } ^ { ( \bar { j } _ { n - 1 } ) } \epsilon ) = \sum _ { i _ { 1 } , \dots , i _ { n - 1 } } ( \mu _ { n } ) _ { i _ { 1 } , \dots , i _ { n - 1 } } ^ { j _ { 0 } , \bar { j } _ { 1 } \dots , \bar { j } _ { n - 1 } } \left( \prod _ { l = 0 } ^ { n - 2 } C _ { M _ { l } , m _ { l + 1 } , M _ { l + 1 } } ^ { J _ { l } - i _ { l } , \bar { j } _ { l + 1 } , J _ { l + 1 } - i _ { l + 1 } } \right) e _ { M _ { n - 1 } } ^ { ( j _ { 0 } - \frac { n - 2 } { 2 } - \frac { i _ { n - 1 } } { 2 } , \bar { J } _ { n - 1 } + \frac { n - 2 } { 2 } - \frac { i _ { n - 1 } } { 2 } ) } \epsilon ,
\begin{array} { r l } { \smallint _ { G } \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } } d _ { \xi } \Vert \sigma _ { A } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \mathscr { S } _ { r } } ^ { r } \textnormal { d } x } & { \leq \smallint _ { G } \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } } d _ { \xi } \operatorname* { m a x } \{ 2 \Vert \sigma _ { | A | ^ { \frac { r } { 2 } } } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \textnormal { H S } } , \Vert r _ { A } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \textnormal { H S } } \} ^ { 2 } } \\ & { = 4 \operatorname* { m a x } \left\{ \smallint _ { G } \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } } d _ { \xi } \Vert \sigma _ { | A | ^ { \frac { r } { 2 } } } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \textnormal { H S } } ^ { 2 } \textnormal { d } x , \smallint _ { G } \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } } d _ { \xi } \Vert r _ { A } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \textnormal { H S } } ^ { 2 } \right\} } \\ & { \lesssim 4 \operatorname* { m a x } \left\{ \smallint _ { G } \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } } d _ { \xi } \Vert \sigma _ { | A | ^ { \frac { r } { 2 } } } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \textnormal { H S } } ^ { 2 } \textnormal { d } x , \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } } d _ { \xi } ^ { 2 } \langle \xi \rangle ^ { m r - 2 ( \rho - \delta ) } \right\} . } \end{array}
\mathbf { A } ( \mathbf { r } , t ) = \int { \frac { \delta \left( t ^ { \prime } + { \frac { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } { c } } - t \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } } { \frac { \mathbf { J } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) } { c } } d ^ { 3 } r ^ { \prime } d t ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \bigl \| \mathscr { D } _ { t , m - 1 } \widetilde { H } _ { m } \bigr \| _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , 1 ] \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } } \qquad } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \displaystyle | | \Delta \phi _ { m } | | ^ { 2 } \leq | | \nabla \mu _ { m } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } | | \nabla \phi _ { m } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } + C | | \phi _ { m } | | _ { H ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } + C | | \phi _ { m } | | _ { H ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 + q } } \\ & { \displaystyle + | | \phi _ { m } | | _ { H ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { \frac { 2 ( q + 4 ) } { 4 - q } } + | | \partial _ { \mathbf { \phi } _ { m } } w ( \phi _ { m } , \mathbf { F } _ { m } ) | | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | | \Delta \phi _ { m } | | ^ { 2 } . } \end{array}
h _ { s } ( \boldsymbol { R } _ { s } , E _ { s } , \mu _ { s } , t ) = - \frac { Z _ { s } e \varphi ( \boldsymbol { r } , t ) F _ { 0 s } } { T _ { s } } + \delta \! f _ { s } ( \boldsymbol { R } _ { s } , E _ { s } , \mu _ { s } , t ) .
\big \{ | \beta _ { 1 } | , | \beta _ { 2 } | , | \beta _ { 3 } | , | \beta _ { 4 } | \big \} _ { E = 4 } = \big \{ 0 . 6 6 6 7 , 1 . 0 0 0 , 1 . 0 0 0 , 4 . 0 0 0 \big \}
T = \left( \begin{array} { c c c c c } { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { - 1 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { - 1 } } \end{array} \right) ,
\epsilon _ { a } ^ { i } ( \theta ) \approx r \, a \, m _ { i } \cosh \theta - \sum _ { b = 1 } ^ { k - 1 } \left( \delta _ { a b } - 2 \left( K ^ { A _ { k - 1 } } \right) _ { \, \, \, a b } ^ { - 1 } \right) L _ { b } ^ { i } ( \theta ) - \sum _ { b = 1 } ^ { k - 1 } \left( K ^ { A _ { k - 1 } } \right) _ { \, \, \, a b } ^ { - 1 } L _ { b } ^ { j } ( \theta - \sigma ) \; .
\begin{array} { r l r } { u _ { n + 2 } ^ { > } ( t ) } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } G _ { n + 2 } ( t - t ^ { \prime } ) i a _ { 3 } k _ { n } u _ { n } ^ { < } ( t ^ { \prime } ) u _ { n + 1 } ^ { > } ( t ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \mathbb { Q } \in \mathcal { B } _ { \varepsilon } \left( \widehat { \mathbb { P } } _ { N } \right) } \mathbb { E } _ { \mathbb { Q } } [ F ( x , \xi ) ] } & { = \operatorname* { i n f } _ { \lambda \geq 0 } \left( \lambda \varepsilon ^ { 2 } + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { \gamma _ { x , F , 2 } ^ { 2 } } { 4 \lambda } + I _ { x , F } ( \widehat { \xi } _ { i } ) \right) \right) } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { \lambda \geq 0 } \left( \lambda \varepsilon ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { x , F , 2 } ^ { 2 } } { 4 \lambda } + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } I _ { x , F } ( \widehat { \xi } _ { i } ) \right) } \\ & { = \varepsilon \gamma _ { x , F , 2 } + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } F ( x , \widehat { \xi } _ { i } ) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \mathbb { Q } \in \mathcal { B } _ { \varepsilon \gamma _ { x , F , q } } \left( \widehat { \mathbb { P } } _ { N } ^ { x , F } \right) } \mathbb { E } _ { \zeta \sim \mathbb { Q } } \left[ \zeta \right] . } \end{array}
r _ { \mathrm { m a x } } = \left| \underset { n } { \operatorname* { m a x } } \left( h _ { n } ^ { k + 1 } - h _ { n } ^ { \mathrm { t m p } } + \frac { \Delta t } { r _ { n } } \frac { r _ { n + 1 } h _ { n + 1 } ^ { k + 1 } \langle u \rangle _ { n + 1 } ^ { k + 1 } - r _ { n - 1 } h _ { n - 1 } ^ { k + 1 } \langle u \rangle _ { n - 1 } ^ { k + 1 } } { 2 \Delta r } \right) \right|
\frac { h } { \bar { h } } \approx 1 + \frac { 1 } { \bar { h } } \frac { c ( 1 - \tilde { c } ) } { \tilde { c } ^ { 2 } } \frac { \partial \mu _ { c } } { \partial c } \frac { \partial \bar { h } } { \partial \eta } .
| \phi _ { s } \rangle \equiv \zeta ^ { i _ { 1 } } \ldots \zeta ^ { i _ { s } } \phi ^ { i _ { 1 } \ldots i _ { s } } \, , \qquad | \phi _ { s - 1 } \rangle \equiv \zeta ^ { i _ { 1 } } \ldots \zeta ^ { i _ { s - 1 } } \phi ^ { i _ { 1 } \ldots i _ { s - 1 } } \, .