harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
a _ { n } = \frac { 2 } { T } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } T _ { c o s } ( t ) d t = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { f ^ { ( m ) } ( 0 ) } { m ! } C _ { c o s } ( n , m ) ,
\begin{array} { r l r } { \hat { W } _ { j } } & { = } & { \mu _ { \mathrm { B } } g _ { J } \mathbf { B } \cdot \left( \hat { V } _ { j } \hat { Q } _ { 1 } \hat { \mathbf { J } } + \hat { \mathbf { J } } \hat { Q } _ { 1 } \hat { V } _ { j } \right) } \\ & { = } & { \mu _ { \mathrm { B } } g _ { J } \mathbf { B } \cdot \hat { \mathbf { K } } _ { j } . } \end{array}
\mathrm { T } _ { 1 1 1 1 } , \mathrm { T } _ { 1 1 1 2 } , \cdots , \mathrm { T } _ { 1 1 1 q } , \mathrm { T } _ { 1 1 2 1 } , \cdots , \mathrm { T } _ { 1 1 n q } , \mathrm { T } _ { 1 2 1 1 } , \cdots , \mathrm { T } _ { m p 1 1 } , \cdots , \mathrm { T } _ { m p n q }
{ \cal L } _ { b } ( \frac { 1 } { 2 } , \alpha , g ) = \bar { \psi } [ \sigma _ { \mu } ( \partial _ { \mu } + i a _ { \mu } + i C _ { \mu } ) + M + i b ] \psi - \frac { i } { 8 \pi \alpha } \epsilon _ { \mu \nu \lambda } a _ { \mu } \partial _ { \nu } a _ { \lambda } + \frac { 1 } { g } b ^ { 2 } \; .
{ \it p } \ = \ T \Psi _ { \alpha _ { n } } ( y _ { n } ) \cdots \Psi _ { \alpha _ { 1 } } ( y _ { 1 } ) \bar { \Psi } _ { \beta _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \cdots \bar { \Psi } _ { \beta _ { n } } ( x _ { n } ) q ( A _ { \mu } , B _ { \mu } ) .
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { y } \left( \sum _ { v _ { 1 } < \cdots < v _ { n } , | v _ { i } | = s } \psi _ { 0 } ( \mathbb { U } ( \vec { v } ) ) \right) } & { = } & { h ( y ) s ^ { n - 1 } Q _ { y } ^ { n , s } ( \Delta \psi _ { 0 } ) , } \\ { \mathbb { E } _ { y } \left( \sum _ { w _ { 1 } < \cdots < w _ { K - n } , | w _ { i } | = s } \psi _ { 1 } ( \mathbb { U } ( \vec { w } ) ) \right) } & { = } & { h ( y ) s ^ { K - n - 1 } Q _ { y } ^ { K - n , s } ( \Delta \psi _ { 1 } ) . } \end{array}
T _ { \alpha \beta } ^ { X } = \frac { \Omega ^ { \delta } } { 2 } ( ( \partial _ { \alpha } - i e A _ { \alpha } ) X ( \partial _ { \beta } + i e A _ { \beta } ) X ^ { * } - \frac { 1 } { 2 } g _ { \alpha \beta } g ^ { \mu \nu } ( \partial _ { \mu } - i e A _ { \mu } ) X ( \partial _ { \nu } + i e A _ { \nu } ) X ^ { * } ) ,
\begin{array} { r l } { G _ { r } ( x _ { \mu } ; x _ { \mu } ^ { \prime } ) } & { = - \Theta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) G ( x _ { \mu } ; x _ { \mu } ^ { \prime } ) \: , } \\ { G _ { a } ( x _ { \mu } ; x _ { \mu } ^ { \prime } ) } & { = \Theta ( \tau ^ { \prime } - \tau ) G ( x _ { \mu } ; x _ { \mu } ^ { \prime } ) \: , } \\ { \bar { G } ( x _ { \mu } ; x _ { \mu } ^ { \prime } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ G _ { r } ( x _ { \mu } ; x _ { \mu } ^ { \prime } ) + G _ { a } ( x _ { \mu } ; x _ { \mu } ^ { \prime } ) \right] \: , } \end{array}
\begin{array} { r } { | \{ D v _ { I + \ell + 3 } | _ { \tilde { U } } \in \mathcal { W } _ { I + \ell + 1 , t _ { \ell + 3 } } ^ { 1 } \cup \mathcal { W } _ { I + \ell + 1 , t _ { \ell + 3 } } ^ { 2 } \} | > \varepsilon _ { \tilde { U } } | \tilde { U } | ; } \\ { | \{ D v _ { I + \ell + 3 } | _ { \tilde { U } } \in \mathcal { W } _ { I + \ell + 2 , t _ { \ell + 3 } } ^ { 1 } \cup \mathcal { W } _ { I + \ell + 2 , t _ { \ell + 3 } } ^ { 2 } \} | > \varepsilon _ { \tilde { U } } ^ { \prime } | \tilde { U } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { g } ( f ) } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathop { d t } g ( t ) \mathrm { e } ^ { - i \omega t } , } \\ { g ( t ) } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathop { d f } \tilde { g } ( f ) \mathrm { e } ^ { i \omega t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widehat { Q } _ { k } ( \eta _ { k } ) - \widehat { Q } _ { k } ( \eta _ { k } + \widetilde { r } ) - Q ^ { * } ( \eta _ { k } ) + Q ^ { * } ( \eta _ { k } + \widetilde { r } ) } \\ { = } & { - \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 1 } } } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } + \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 1 } } } - F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { + \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } - \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d P _ { x } ( \omega ) } { d t } = } & { { } \omega P _ { y } ( \omega ) + \alpha \bar { P } _ { x } P _ { z } ( \omega ) - \frac { P _ { x } ( \omega ) } { T _ { 2 } } , } \\ { \frac { d P _ { y } ( \omega ) } { d t } = } & { { } - \omega P _ { x } ( \omega ) + \alpha \bar { P } _ { y } P _ { z } ( \omega ) - \frac { P _ { y } ( \omega ) } { T _ { 2 } } , } \\ { \frac { d P _ { z } ( \omega ) } { d t } = } & { { } - \alpha \left[ \bar { P } _ { x } P _ { x } ( \omega ) + \bar { P } _ { y } P _ { y } ( \omega ) \right] - \frac { P _ { z } ( \omega ) } { T _ { 1 } } + G \left[ P _ { 0 } - P _ { z } ( \omega ) \right] , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \begin{array} { l } { A _ { i } ^ { \top } } \\ { - I } \end{array} } \end{array} \right] ^ { \top } \left[ \begin{array} { l } { \begin{array} { l l } { X _ { i } + X _ { i } ^ { \top } - \bar { S } _ { i } } & { \star } \\ { A _ { i } X _ { i } } & { \bar { S } _ { j } } \end{array} } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \begin{array} { l } { A _ { i } ^ { \top } } \\ { - I } \end{array} } \end{array} \right] = \bar { S } _ { j } - A _ { i } \bar { S } _ { i } A _ { i } ^ { \top } \succ 0 ,
\begin{array} { r l } { \Vert z \Vert _ { ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { - 1 } } } & { = \Vert ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } z \Vert = \Vert ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } M _ { 1 } ^ { 1 / 2 } M _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } z \Vert } \\ & { \leq \Vert ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } M _ { 1 } ^ { 1 / 2 } \Vert \Vert M _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } z \Vert } \\ & { = \Vert ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } M _ { 1 } ^ { 1 / 2 } \Vert \Vert z \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { i k l j } } & { { } = \mathcal { R } ( \delta _ { i k } \delta _ { l j } - \delta _ { i j } \delta _ { k l } ) + \mathcal { O } ( | x | ^ { 2 } ) } \\ { R _ { i j } } & { { } = \mathcal { R } \delta _ { i j } + \mathcal { O } ( | x | ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \forall g \ \forall \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } \ \ ( h ^ { * } \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ) \circ R = \bar { g } ^ { * } ( \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } \circ R ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } } & { { } = { \frac { 1 } { 3 } } r _ { \mathrm { a } } ^ { 2 } H , } \\ { C _ { 2 } } & { { } = { \frac { 2 r _ { \mathrm { i } } ^ { 2 } r _ { \mathrm { o } } ^ { 2 } } { r _ { \mathrm { a } } ^ { 2 } \left( r _ { \mathrm { o } } ^ { 2 } - r _ { \mathrm { i } } ^ { 2 } \right) } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( \operatorname { c u r l } \mathbf { A } ) _ { \phi } = \operatorname* { l i m } _ { S ^ { \perp { \boldsymbol { \hat { \phi } } } } \to 0 } { \frac { \int _ { \partial S } \mathbf { A } \cdot d \mathbf { \ell } } { \iint _ { S } d S } } } & { = { \frac { A _ { r } ( \theta ) \, d r + A _ { \theta } ( r + d r ) ( r + d r ) \, d \theta - A _ { r } ( \theta + d \theta ) \, d r - A _ { \theta } ( r ) r \, d \theta } { r \, d r \, d \theta } } } \\ & { = { \frac { 1 } { r } } { \frac { \partial ( r A _ { \theta } ) } { \partial r } } - { \frac { 1 } { r } } { \frac { \partial A _ { r } } { \partial \theta } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { 3 [ 2 \phi ( R _ { j } ^ { l } g _ { i k } + 2 R _ { k } ^ { l } g _ { i j } ) + \lambda ( R _ { j } ^ { x } R _ { x } ^ { l } g _ { i k } + R _ { k } ^ { y } R _ { y } ^ { l } g _ { i j } + R _ { k } ^ { l } R _ { i j } ) ] } \\ { - \lambda R _ { i j } R ^ { i j } ( \delta _ { k } ^ { l } g _ { i j } - \delta _ { j } ^ { l } g _ { i k } ) + \lambda R ( \delta _ { k } ^ { l } R _ { i j } - \delta _ { j } ^ { l } R _ { i k } ) = 0 , } \end{array}
\bar { \Upsilon } _ { s } ^ { - 1 } ( \alpha ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { i n f } _ { 0 \leq t \leq s } J \left( \Psi _ { t } ^ { - 1 } ( \alpha ) \right) } & { \mathrm { ~ i f ~ } J ( x ) \mathrm { ~ i n c r e a s e s ~ s t r i c t l y ~ } } \\ { \operatorname* { i n f } _ { 0 \leq t \leq s } J \left( \Psi _ { t } ^ { - 1 } ( 1 - \alpha ) \right) } & { \mathrm { ~ i f ~ } J ( x ) \mathrm { ~ d e c r e a s e s ~ s t r i c t l y ~ } } \end{array} \right. .
\int \cosh ( a x + b ) \cos ( c x + d ) \, d x = { \frac { a } { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } } } \sinh ( a x + b ) \cos ( c x + d ) + { \frac { c } { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } } } \cosh ( a x + b ) \sin ( c x + d ) + C
{ \cal Q } _ { { \bf 4 } _ { - } } ^ { ( 6 ) } = \left( \begin{array} { c c } { { } } & { { - { \cal Q } _ { \alpha } ^ { ( 4 ) 2 } } } \\ { { - \bar { { \cal Q } } _ { 1 } ^ { ( 4 ) \dot { \alpha } } } } & { { } } \end{array} \right) \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad { \cal Q } _ { { \bf 4 } _ { + } } ^ { ( 6 ) } = \left( \begin{array} { c c } { { { \cal Q } _ { \alpha } ^ { ( 4 ) 4 } } } & { { } } \\ { { } } & { { \bar { { \cal Q } } _ { 3 } ^ { ( 4 ) \dot { \alpha } } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { { \mathbb P } \Big ( \operatorname* { m i n } _ { i \in [ n ] } ~ d _ { i } ^ { * } \geq \delta \Big ) \geq } & { 1 - n ^ { 1 - \eta _ { 2 } ( \mathbf { g } , \rho ) - \eta _ { 2 } ( \mathbf { h } , \rho ) + o ( 1 ) } } \\ & { - n ^ { 1 - \eta _ { 2 } ( \mathbf { g } , 1 - \rho ) - \eta _ { 2 } ( \mathbf { h } , 1 - \rho ) + o ( 1 ) } . } \end{array}
\dot { A } = 2 - \frac { B } { A } - \frac { A ^ { 2 } } { C ^ { 2 } } , \quad \dot { B } = \frac { B ^ { 2 } } { A ^ { 2 } } - \frac { B ^ { 2 } } { C ^ { 2 } } , \quad \dot { C } = \frac { A } { C } + \frac { B } { 2 C } ,
\begin{array} { r l } { F _ { Y _ { 0 , k } ^ { \left( \varsigma \right) } } \left( y \right) } & { = \mathbb { P } \left( R _ { 0 , k } \le y \middle | X ^ { \star } \in \Phi _ { k } \right) } \\ & { = \frac { \mathbb { P } \left( R _ { 0 , k } \le y , X ^ { \star } \in \Phi _ { k } \right) } { \mathbb { P } \left( X ^ { \star } \in \Phi _ { k } \right) } } \\ & { = \frac { 1 } { A _ { k } ^ { \left( \varsigma \right) } } \int _ { 0 } ^ { y } { f _ { R _ { 0 , k } } \left( r \right) \prod _ { \ell \in \mathcal { K } \backslash \left\{ k \right\} } { \bar { F } _ { R _ { 0 , \ell } } \left( \dot { l } _ { \ell } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( l _ { k } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( r \right) \right) \right) } \, \mathrm { d } r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { 1 \le t \le T } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } = } & { \mathcal { O } \Big ( \frac { ( f ( \overline { { { \bf x } ^ { 1 } } } ) - f ^ { * } ) + \sigma _ { l } ^ { 2 } } { \sqrt { K T } } + \frac { K ( \beta ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) } { T } + \frac { L ^ { 2 } } { K ^ { 1 / 2 } T ^ { 3 / 2 } } + { \bf \Phi } ( \lambda , m , Q ) \frac { \beta ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } } { K ^ { 1 / 2 } T ^ { 3 / 2 } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { F } _ { 3 \, 2 } ^ { - 1 } ( i ) } & { { } = \frac { 3 } { 1 6 } \sqrt { 1 0 5 } \sin i ( \cos i ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 8 } \sqrt { 1 0 5 } \sin i \cos i } \end{array}
\begin{array} { r l } & { h _ { u } ^ { \prime } ( t ) = \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } h \left( x , y , \frac { | t u ( x ) - t u ( y ) | } { | x - y | ^ { s } } \right) \frac { ( t u ( x ) - t u ( y ) ) ^ { 2 } } { t | x - y | ^ { N + 2 s } } d x \ d y } \\ & { + \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \frac { V ( x ) h _ { x } ( x , | t u ( x ) | ) ( t u ( x ) ) ^ { 2 } d x } { t } - \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \frac { K ( x ) K ( y ) F ( u ( x ) ) f ( t u ( y ) ) u ( y ) } { | x - y | ^ { \lambda } } d x d y = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \| w _ { k + 1 } \| _ { H } \leq \| { \mathcal { G } } _ { \alpha _ { k } } ( u _ { k } ) \| _ { H } + \| { \nabla { \mathcal { F } } } ( u _ { k + 1 } ) - { \nabla { \mathcal { F } } } ( u _ { k } ) \| _ { H } \leq ( 1 + \frac { { L _ { { \mathcal { F } } ^ { \prime } } } } { \alpha _ { k } } ) \| { \mathcal { G } } _ { \alpha _ { k } } ( u _ { k } ) \| _ { H } \to 0 , } & & { k \to \infty } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } \Psi } { d r ^ { 2 } } + \left[ - \frac { l ( l + 1 ) } { r ^ { 2 } } + \omega ^ { 2 } \left( 1 + \frac { e ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } \right) \right] \Psi = 0
A _ { 3 } = { \frac { q A _ { 0 3 } } { T } } \ \ \ \ A _ { 4 } = - { \frac { q s } { 2 \sqrt 2 } } { \frac { 1 - 8 s ^ { 2 } f _ { 0 } I _ { 0 } ^ { - 3 } } { T } } .
\widehat { \mathrm { M M D } } _ { u } [ p _ { s } ( \mathbf { x } ) , p _ { t } ( \mathbf { x } ) ] = \left[ \frac { 1 } { M ( M - 1 ) } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j \neq i } ^ { M } \kappa ( \mathbf { y } _ { i } ^ { s } , \mathbf { y } _ { j } ^ { s } ) + \frac { 1 } { N ( N - 1 ) } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j \neq i } ^ { N } \kappa ( \mathbf { y } _ { i } ^ { t } , \mathbf { y } _ { j } ^ { t } ) - \frac { 2 } { M N } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \kappa ( \mathbf { y } _ { j } ^ { t } , \mathbf { y } _ { i } ^ { s } ) \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } ,
{ \sin ^ { 2 } \theta _ { W } } ( m _ { Z } ) = 0 . 2 3 1 6 \pm 0 . 0 0 0 3 - 0 . 8 8 \times 1 0 ^ { - 7 } { \mathrm { \, G e V } } ^ { 2 } \left[ { m _ { t } } ^ { 2 } - ( 1 6 0 \mathrm { \, G e V } ) ^ { 2 } \right] .
\nabla _ { x } ^ { 2 } a \left( x _ { 1 } \right) \rightarrow \frac { 2 } { \Delta x ^ { 2 } } \left[ a \left( x _ { 2 } \right) - a \left( x _ { 1 } \right) - \tilde { a } ^ { \prime } \left( x _ { 1 } \right) \Delta x \right] .
E ^ { ( n ) } ( \lambda ; z ) E ^ { ( n ^ { \prime } ) } ( \lambda ^ { \prime } ; 0 ) \sim \frac { N ^ { k } [ \lambda \lambda ^ { \prime } ] ^ { k } } { z ^ { k + 1 } } \frac { ( n ^ { \prime } - k ) ! } { ( n + n ^ { \prime } - 2 k ) ! } ( \lambda \cdot \partial _ { \lambda ^ { \prime } } ) ^ { n - k } E ^ { ( n + n ^ { \prime } - 2 k ) } ( \lambda ^ { \prime } ; 0 ) \dots ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P _ { 1 } ( x , p , t ) } { \partial t } = } & { { } \frac { \partial V _ { 1 } ( x , p ) } { \partial x } \frac { \partial P _ { 1 } ( x , p , t ) } { \partial p } - \frac { p } { m } \frac { \partial P _ { 1 } ( x , p , t ) } { \partial x } } \end{array}
u ( x ) = \sum _ { i = 1 } ^ { r } \prod _ { j = 1 } ^ { d } \sum _ { k = 1 } ^ { b } a _ { i j k } \phi _ { k } ( x _ { j } ) , \quad x = ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { d } ) \in \Omega \subset \mathbb { R } ^ { d } ,
\begin{array} { r l r } { F _ { 1 } \left( x \right) } & { = } & { e ^ { \varepsilon \ln \left( x \right) } } \\ & { = } & { 1 + \varepsilon \ln \left( x \right) + \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { 2 } \left( \ln \left( x \right) \right) ^ { 2 } + { \mathcal O } \left( \varepsilon ^ { 3 } \right) , } \\ { F _ { 2 } \left( x \right) } & { = } & { \left( 1 + 2 \varepsilon \right) e ^ { \varepsilon \ln \left( x \right) } } \\ & { = } & { 1 + \varepsilon \left[ 2 + \ln \left( x \right) \right] + \varepsilon ^ { 2 } \left[ 2 \ln \left( x \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( \ln \left( x \right) \right) ^ { 2 } \right] + { \mathcal O } \left( \varepsilon ^ { 3 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { U } _ { 1 } } & { { } = 2 u \left( - y , z , y \right) , \qquad \mathbf { V } _ { 1 } = 2 \left( u ^ { 2 } , y ( x + z ) , u ^ { 2 } - z ( x + z ) \right) , } \\ { \mathbf { U } _ { 2 } } & { { } = 2 \left( x + z \right) \left( 0 , u , 0 \right) , \qquad \mathbf { V } _ { 2 } = 2 \left( x + z \right) \left( x , 0 , - z \right) , } \\ { \mathbf { U } _ { 3 } } & { { } = - 4 \left( y z , z x , x y \right) , \qquad \mathbf { V } _ { 3 } = 4 u \left( - x , 0 , z \right) , } \end{array}
p \left( \boldsymbol { X } \right) \sim \mathcal { N } \left( \bar { p } - \Sigma _ { 2 1 } \Sigma _ { 1 1 } ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { O } - \nabla \bar { p } \big | _ { \boldsymbol { X } _ { * } } \right) , \Sigma _ { 2 2 } - \Sigma _ { 2 1 } \Sigma _ { 1 1 } ^ { - 1 } \Sigma _ { 1 2 } \right) .
\frac { 1 } { I _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } = \frac { 2 \mathsf { K } } { \mathsf { A } ^ { 2 } } - \frac { p _ { 2 } ^ { 2 } } { \mathsf { A } ^ { 2 } } + \frac { p _ { 2 } } { \mathsf { A } \, I _ { 1 } } \, .
[ F ^ { 8 } ] ^ { 2 } = [ F _ { \eta } ^ { 8 } ] ^ { 2 } + [ F _ { \eta ^ { \prime } } ^ { 8 } ] ^ { 2 } = \left[ \frac { ( 1 + 2 z ) } { 3 } \right] ^ { 2 } f _ { \pi } ^ { 2 } + \frac { 2 } { 9 } ( 1 - z ) ^ { 2 } f _ { \pi } ^ { 2 } ~ ~ .
\mathcal { L } _ { k ^ { \prime } + } = - i ( S _ { k ^ { \prime } } \otimes I _ { n } - I _ { n } \otimes S _ { k ^ { \prime } } ) \otimes \prod _ { k ^ { \prime \prime } = 1 } ^ { K } M _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { p _ { \mathbf { z } } ( \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { G } } ^ { 2 } ( \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { G } } ^ { 1 } ( \pi \mathbf { v } ) ) ) } & { = p _ { \mathbf { z } } ( \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { G } } ^ { 2 } ( \pi \Gamma _ { \hat { G } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) ) } \\ & { = p _ { \mathbf { z } } ( \pi \Gamma _ { \hat { G } } ^ { 2 } ( \Gamma _ { \hat { G } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) ) } \\ & { = p _ { \mathbf { z } } ( \Gamma _ { \hat { G } } ^ { 2 } ( \Gamma _ { \hat { G } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) ) } \end{array}
{ \cal M } _ { \nu } = \left( \begin{array} { c c c } { { b \: \epsilon ^ { \: 2 l } } } & { { c \: \epsilon ^ { \: 2 l } } } & { { e } } \\ { { c \: \epsilon ^ { \: 2 l } } } & { { d \: \epsilon ^ { \: 2 l } } } & { { a } } \\ { { e } } & { { a } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \chi _ { \varphi } ( a , v , a ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) } & { : = \varphi ( a + a ^ { \prime } , v + v ^ { \prime } ) - \varphi ( a , v ) - \varphi ( a ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) ; } \\ { \langle \mathbb { K } [ f ] , \varphi \rangle } & { : = \frac { 1 } { 2 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } K ( a , v , a ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) \chi _ { \varphi } ( a , v , a ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) f ( a ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) f ( a , v ) \textup { d } v ^ { \prime } \textup { d } a ^ { \prime } \textup { d } v \textup { d } a . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { a } _ { x } } & { { } = } & { - [ \hat { H } , [ \hat { H } , \hat { x } ] ] \; = \; \left[ \hat { H } , \frac { \partial } { \partial r } \right] \; \mathrm { c o s ( \ t h e t a ) } , } \\ { \hat { a } _ { y } } & { { } = } & { - [ \hat { H } , [ \hat { H } , \hat { y } ] ] \; = \; \left[ \hat { H } , \frac { \partial } { \partial r } \right] \; \mathrm { s i n ( \ t h e t a ) c o s ( \ p h i ) } , } \end{array}
\frac { d \sigma } { d E _ { r } } = \frac { G _ { F } ^ { 2 } M _ { A } } { \pi } \left[ 1 - \frac { E _ { r } } { E _ { \nu } } - \frac { M _ { A } E _ { r } } { 2 E _ { \nu } ^ { 2 } } \right] \frac { Q _ { W } ^ { 2 } } { 4 } F ^ { 2 } ( q )
\frac { - i { \cal E } ^ { 2 } ( k ^ { 2 } ) } { k ^ { 2 } - i \epsilon } = - i \int _ { 1 } ^ { \infty } \frac { d \tau } { \Lambda _ { F } ^ { 2 } } \exp \biggl ( - \tau \frac { k ^ { 2 } } { \Lambda _ { G } ^ { 2 } } \biggr ) ,
Q ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 9 \cdot 1 0 ^ { - 9 } \mathrm { ~ m } ^ { 3 } / \mathrm { s } , \quad } & { 0 \mathrm { ~ s } < t \leqslant 3 1 \mathrm { ~ s } , } \\ { 6 . 5 \cdot 1 0 ^ { - 9 } \mathrm { ~ m } ^ { 3 } / \mathrm { s } , \quad } & { 3 1 \mathrm { ~ s } < t \leqslant 1 5 1 \mathrm { ~ s } , } \\ { 2 . 3 \cdot 1 0 ^ { - 9 } \mathrm { ~ m } ^ { 3 } / \mathrm { s } , \quad } & { 1 5 1 \mathrm { ~ s } < t . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \widehat { \lambda } \big ( \mathcal P _ { J } ( \ell _ { r } ^ { n } ( \ell _ { s } ^ { k } ) ) \big ) \prec _ { C ^ { m } } \Big ( \frac { n } { m } \Big ) ^ { \frac { m } { r ^ { \prime } } } k ^ { \frac { m } { s ^ { \prime } } } \, \, \, \operatorname* { m a x } \left\{ \Big ( \frac { m ^ { 2 } } { n } \Big ) ^ { \frac { m } { r ^ { \prime } } } \left( \frac { 1 } { m ^ { \frac { m } { s ^ { \prime } } } } \right) , \Big ( \frac { m ^ { 2 } } { n } \Big ) ^ { m ( \frac 1 { s } - \frac { 1 } { r } ) } \left( \frac { 1 } { n ^ { \frac { m ^ { a } } { s ^ { \prime } } } } \right) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { m \geq \eta \mu n / p } \mathbb { P } \left( \sum _ { x \in \mathcal C } G _ { x } > m \right) \leq \sum _ { m \geq \eta \mu n / p } e ^ { - \frac { p m } { 2 } \left( 1 - \eta ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } } = O \left( e ^ { - \frac { p ( \eta \mu n / p ) } { 2 } \left( 1 - \eta ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } } \right) = O \left( e ^ { - \frac { \eta \mu n } { 2 } \left( 1 - \eta ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { ( 6 , 0 , 4 ) } ( z , q ) } & { = S _ { 1 3 } ( ( 0 , 0 , 1 ) | ( 0 , 0 , 0 ) ) - q S _ { 1 3 } ( ( 0 , 1 , 1 ) | ( 0 , 0 , 1 ) ) - S _ { 1 3 } ( ( 1 , 0 , 0 ) | ( 0 , 0 , 0 ) ) } \\ & { + ( 1 - q z ) S _ { 1 3 } ( ( 1 , 0 , 0 ) | ( 0 , 0 , 1 ) ) - ( 1 - q ) S _ { 1 3 } ( ( 1 , 0 , 1 ) | ( 0 , 0 , 1 ) ) } \\ & { - q ( 1 - q z ) S _ { 1 3 } ( ( 1 , 0 , 1 ) | ( 0 , 1 , 1 ) ) + q S _ { 1 3 } ( ( 1 , 1 , 1 ) | ( 0 , 1 , 1 ) ) } \\ & { + ( 1 - q z ) S _ { 1 3 } ( ( 2 , 0 , 0 ) | ( 0 , 0 , 1 ) ) - q ^ { 2 } z ( 1 - q z ) S _ { 1 3 } ( ( 2 , 0 , 0 ) | ( 0 , 1 , 1 ) ) } \\ & { - ( 1 - q z ) S _ { 1 3 } ( ( 2 , 0 , 1 ) | ( 0 , 0 , 0 ) ) - q ( 1 - q z ) S _ { 1 3 } ( ( 2 , 0 , 1 ) | ( 0 , 1 , 1 ) ) } \\ & { + q ^ { 3 } z ( 1 - q z ) S _ { 1 3 } ( ( 2 , 0 , 1 ) | ( 1 , 1 , 1 ) ) + S _ { 1 3 } ( ( 2 , 1 , 1 ) | ( 0 , 0 , 0 ) ) } \\ & { + q ( 1 - q z ) S _ { 1 3 } ( ( 2 , 1 , 1 ) | ( 0 , 0 , 1 ) ) + ( 1 - q z ) ( 1 - q ^ { 2 } z ) S _ { 1 3 } ( ( 3 , 0 , 0 ) | ( 0 , 0 , 0 ) ) } \\ & { - q ^ { 3 } z ( 1 - q z ) ( 1 - q ^ { 2 } z ) S _ { 1 3 } ( ( 3 , 0 , 0 ) | ( 1 , 1 , 1 ) ) - ( 1 - q z ) ( 1 - q ^ { 2 } z ) S _ { 1 3 } ( ( 3 , 0 , 1 ) | ( 0 , 0 , 0 ) ) } \\ & { - q ( 1 - q z ) ( 1 - q ^ { 2 } z ) S _ { 1 3 } ( ( 3 , 0 , 1 ) | ( 0 , 0 , 1 ) ) - q ^ { 3 } z ( 1 - q z ) S _ { 1 3 } ( ( 3 , 1 , 1 ) | ( 0 , 0 , 1 ) ) . } \end{array}
B _ { 2 1 } = 2 \pi i ~ e ^ { i \pi ( c - a - b ) } \frac { \Gamma ( 2 - c ) \Gamma ( 1 - c ) } { \Gamma ( 1 - a ) \Gamma ( 1 - b ) \Gamma ( 1 + a - c ) \Gamma ( 1 + b - c ) }
, t h e n i t i s n o l o n g e r a u n i t a r y p i v o t a l s t r u c t u r e . I n p a r t i c u l a r , w e c a n ^ { \prime } t a s s u m e t h e i m a g e o f t h e e l e m e n t s s p e c i f i e d b y a K W c e l l s y s t e m f o r m a u n i t a r y s u b c a t e g o r y . H e n c e w e d o n o t h a v e t h a t ( A n t i - S y m 1 ) h o l d s f o r f r e e . T o s h o w e x i s t e n c e o f m o d u l e c a t e g o r i e s o v e r t h e s e n o n - u n i t a r y
C _ { j } ^ { a } \equiv \sum _ { \hat { n } } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } E _ { j , { \hat { n } } } ^ { b } \mathrm { T r } \left( \sigma ^ { a } U _ { j , { \hat { n } } } \sigma ^ { b } U _ { j , { \hat { n } } } ^ { \dagger } \right) - E _ { j - { \hat { n } } , { \hat { n } } } ^ { a } \right] - 2 \epsilon _ { a b c } p _ { j } ^ { b } A _ { j } ^ { c } = 0 .
\begin{array} { r l r } { \langle \mu ^ { \mathrm { e } } | \otimes \langle n | e ^ { - \hat { T } } \hat { H } _ { A } e ^ { \hat { T } } | 0 \rangle \otimes | 0 ^ { \mathrm { e } } \rangle } & { { } = } & { \delta _ { \mu 0 } \delta _ { n 0 } E _ { \mathrm { C C } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { c } \frac { \partial I } { \partial t } + \frac { 1 } { \varepsilon } \vec { \Omega } \cdot \nabla I = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \sigma \left( \phi ^ { n + 1 } b ^ { n } - I \right) , } \\ & { \frac { 1 } { \beta ^ { n } } \frac { \phi ^ { n + 1 } - \phi ^ { n } } { \Delta t } = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } c \sigma _ { p } \left( \frac { 1 } { \sigma _ { p } } \int _ { R } \int _ { s ^ { 2 } } \sigma I \mathrm { d } \Omega \mathrm { d } \nu - \phi ^ { n + 1 } \right) , } \end{array}