harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { T ( e _ { 1 } ) } & { = 0 , } \\ { T ( e _ { 2 } ) } & { = \frac { 1 } { 4 } \frac { d } { d x _ { 1 } } ( f ( x _ { 1 } ) ^ { - 1 } ) ( e ^ { 1 2 } + e ^ { 3 4 } - e ^ { 5 6 } - e ^ { 7 8 } ) , } \\ { T ( e _ { 3 } ) } & { = \frac { 1 } { 4 } \frac { d } { d x _ { 1 } } ( f ( x _ { 1 } ) ^ { - 1 } ) ( e ^ { 1 3 } - e ^ { 2 4 } - e ^ { 5 7 } + e ^ { 6 8 } ) , } \\ { T ( e _ { 4 } ) } & { = \frac { 1 } { 4 } \frac { d } { d x _ { 1 } } ( f ( x _ { 1 } ) ^ { - 1 } ) ( e ^ { 1 4 } + e ^ { 2 3 } - e ^ { 5 8 } - e ^ { 6 7 } ) , } \\ { T ( e _ { 5 } ) } & { = \frac { 1 } { 4 } \frac { d } { d x _ { 1 } } ( f ( x _ { 1 } ) ^ { - 1 } ) ( 3 e ^ { 1 5 } - e ^ { 2 6 } - e ^ { 3 7 } - e ^ { 4 8 } ) , } \\ { T ( e _ { 6 } ) } & { = \frac { 1 } { 4 } \frac { d } { d x _ { 1 } } ( f ( x _ { 1 } ) ^ { - 1 } ) ( 3 e ^ { 1 6 } + e ^ { 2 5 } + e ^ { 3 8 } - e ^ { 4 7 } ) , } \\ { T ( e _ { 7 } ) } & { = \frac { 1 } { 4 } \frac { d } { d x _ { 1 } } ( f ( x _ { 1 } ) ^ { - 1 } ) ( 3 e ^ { 1 7 } - e ^ { 2 8 } + e ^ { 3 5 } + e ^ { 4 6 } ) , } \\ { T ( e _ { 8 } ) } & { = \frac { 1 } { 4 } \frac { d } { d x _ { 1 } } ( f ( x _ { 1 } ) ^ { - 1 } ) ( 3 e ^ { 1 8 } + e ^ { 2 7 } - e ^ { 3 6 } + e ^ { 4 5 } ) . } \end{array}
\sigma \equiv \sigma _ { m i r r o r } = \frac { 3 ^ { 2 / 3 } \left( 3 A _ { 1 } \chi _ { 1 } ^ { 2 } + 4 \right) } { \mathcal { A } } - \frac { \mathcal { B } } { 2 A _ { 1 } \chi _ { 1 } } - \frac { 2 } { \chi _ { 1 } ^ { 2 } } + 1 ,
\begin{array} { r l } { p ( h + \mathrm { h t } ( \alpha ) + 2 \mathrm { h t } ( \beta ) ) } & { > ( h + 1 ) ( h + \mathrm { h t } ( \alpha ) + 2 \mathrm { h t } ( \beta ) ) } \\ & { = ( h + \mathrm { h t } ( \alpha ) + \mathrm { h t } ( \beta ) ) + h \big ( h + \mathrm { h t } ( \alpha ) + 2 \mathrm { h t } ( \beta ) \big ) + \mathrm { h t } ( \beta ) } \\ & { = ( h + \mathrm { h t } ( \alpha ) + \mathrm { h t } ( \beta ) ) + h \big ( h + \mathrm { h t } ( \alpha + 2 \beta ) \big ) + \mathrm { h t } ( \beta ) } \\ & { > ( h + \mathrm { h t } ( \alpha ) + \mathrm { h t } ( \beta ) ) + ( h + \mathrm { h t } ( \beta ) ) \mathrm { ~ } ( \mathrm { a s ~ } h + \mathrm { h t } ( \alpha + 2 \beta ) > 1 ) } \\ & { > h + \mathrm { h t } ( \alpha ) + \mathrm { h t } ( \beta ) \mathrm { ~ } ( \mathrm { a s ~ } h + \mathrm { h t } ( \beta ) > 1 ) . } \end{array}
\phi _ { i } ( x _ { 1 } ) = \overline { { { N } } } _ { i } x _ { 1 } ^ { n } ( 1 - x _ { 1 } ) ^ { m } \exp \{ - b _ { i } ^ { 2 } M _ { i } ^ { 2 } ( x _ { 1 } - x _ { i 0 } ) ^ { 2 } \}
\begin{array} { r l r } { T _ { \mathrm { C A S , 1 } } ( \mu ) } & { { } = } & { B _ { 1 } ( \mu ) } \\ { T _ { \mathrm { C A S , 2 } } ( \mu ) } & { { } = } & { B _ { 2 } ( \mu ) - 1 / 2 T _ { \mathrm { C A S , 1 } } ( \mu ) ^ { 2 } } \\ { T _ { \mathrm { C A S , 3 } } ( \mu ) } & { { } = } & { B _ { 3 } ( \mu ) - T _ { \mathrm { C A S , 1 } } ( \mu ) T _ { \mathrm { C A S , 2 } } ( \mu ) - 1 / 6 T _ { \mathrm { C A S , 1 } } ( \mu ) ^ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { q ^ { \prime } + 1 } + D _ { q ^ { \prime } + 1 } } & { = d _ { q ^ { \prime } } + \delta _ { q ^ { \prime } + 1 } + D _ { q ^ { \prime } } + \Delta _ { q ^ { \prime } + 1 } } \\ { } & { = d _ { q ^ { \prime } } + f _ { 1 1 } ( c _ { q ^ { \prime } } , d _ { q ^ { \prime } } , D _ { q ^ { \prime } } , F _ { q ^ { \prime } } ) + D _ { q ^ { \prime } } + f _ { 1 0 } ( c _ { q ^ { \prime } } , d _ { q ^ { \prime } } , D _ { q ^ { \prime } } , F _ { q ^ { \prime } } ) } \\ { } & { = d _ { q ^ { \prime } } + \frac { c _ { q ^ { \prime } } ( F ^ { * } ) - c _ { q ^ { \prime } } ( F _ { q ^ { \prime } } ) - ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { q ^ { \prime } } - D _ { q ^ { \prime } } ) \cdot \left( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { q ^ { \prime } } ) \right) } { \mu ( F _ { q ^ { \prime } } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { ~ ~ + D _ { q ^ { \prime } } + \frac { c _ { q ^ { \prime } } ( F _ { q ^ { \prime } } ) - c _ { q ^ { \prime } } ( F ^ { * } ) + ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { q ^ { \prime } } - D _ { q ^ { \prime } } ) \cdot \mu \left( F ^ { * } \setminus F _ { q ^ { \prime } } \right) } { \mu ( F _ { q ^ { \prime } } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { = d _ { q ^ { \prime } } + D _ { q ^ { \prime } } + ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { q ^ { \prime } } - D _ { q ^ { \prime } } ) \cdot \left( - \frac { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F _ { q ^ { \prime } } \setminus F ^ { * } ) } + \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F _ { q ^ { \prime } } \setminus F ^ { * } ) } \right) } \\ { } & { = d _ { q ^ { \prime } } + D _ { q ^ { \prime } } + ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { q ^ { \prime } } - D _ { q ^ { \prime } } ) } \\ { } & { = \ell ^ { \mathrm { i n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d c a y } _ { \tilde { \mathbf { x } } } \left( \tilde { \mathbf { y } } \right) \mathrm { c a y } \left( \tilde { \mathbf { x } } \right) } & { { } = \left( \mathbf { d c a y } _ { \mathbf { x } } \mathbf { y } \right) ^ { \sim } \mathrm { c a y } \left( \tilde { \mathbf { x } } \right) } \end{array}
W _ { \nu \mu } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , \vec { L } } = \frac { 1 } { V _ { \textrm { F B Z } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \textrm { F B Z } } ^ { \epsilon _ { i } ^ { \vec { k } } < \epsilon _ { \textrm { F } } } e ^ { \mathrm { i } \vec { k } \cdot \vec { L } } \left( c _ { \nu i } ^ { \sigma , \vec { k } } ~ \epsilon _ { i } ^ { \vec { k } } ~ c _ { \mu i } ^ { * \sigma ^ { \prime } , \vec { k } } \right) \textrm { d } ^ { 3 } k ,
\begin{array} { r l } { \hat { U } _ { t + 1 } } & { = \operatorname* { m i n } _ { \nu _ { t } > 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \zeta _ { t } > 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \tau _ { t } \ge 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } \ge 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \rho _ { t } ^ { 2 } \ge h \left( \nu _ { t } , \zeta _ { t } , \tau _ { t } , \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } \right) } \left( \rho _ { t } ^ { 2 } \hat { U } _ { t } + F ( \nu _ { t } , \zeta _ { t } ) \right) \right) \right) \right) \right) } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { \nu _ { t } > 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \zeta _ { t } > 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \tau _ { t } \ge 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } \ge 0 } \, \, \left( h ( \nu _ { t } , \zeta _ { t } , \tau _ { t } , \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } ) \hat { U } _ { t } + F ( \nu _ { t } , \zeta _ { t } ) \right) \right) \right) \right) } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { \nu _ { t } > 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \zeta _ { t } > 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \tau _ { t } \ge 0 } \, \, \left( \psi _ { t } ( \nu _ { t } , \zeta _ { t } ) \bar { F } ( \zeta _ { t } ) \hat { U } _ { t } + \tau _ { t } ( L _ { t } ^ { 2 } - m _ { t } ^ { 2 } ) \hat { U } _ { t } + F ( \nu _ { t } , \zeta _ { t } ) \right) \right) \right) } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { \nu _ { t } > 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \zeta _ { t } > 0 } \, \, \left( \left( 1 + \nu _ { t } \right) \left( \left( 1 + \zeta _ { t } \right) \left( \bar { F } ( \zeta _ { t } ) \hat { U } _ { t } + \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } c _ { t } ^ { 2 } } { \zeta _ { t } } \right) + \frac { \sigma _ { t } ^ { 2 } } { \nu _ { t } } \right) \right) \right) } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { \nu _ { t } > 0 } \, \, \left( \left( 1 + \nu _ { t } \right) \left( \left( \sqrt { \left( 1 - 2 \alpha _ { t } m _ { t } + \alpha _ { t } ^ { 2 } L _ { t } ^ { 2 } \right) \hat { U } _ { t } } + \alpha _ { t } \sqrt { c _ { t } ^ { 2 } + \delta _ { t } ^ { 2 } L _ { t } ^ { 2 } \hat { U } _ { t } } \right) ^ { 2 } + \frac { \sigma _ { t } ^ { 2 } } { \nu _ { t } } \right) \right) } \\ & { = \left( \sqrt { ( 1 - 2 m _ { t } \alpha _ { t } + \alpha _ { t } ^ { 2 } L _ { t } ^ { 2 } ) \hat { U } _ { t } } + \alpha _ { t } \sqrt { c _ { t } ^ { 2 } + \delta _ { t } ^ { 2 } L _ { t } ^ { 2 } \hat { U } _ { t } } + \sigma _ { t } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \times } & { { } \delta _ { m _ { j ^ { \prime } } m _ { j } } ( - 1 ) ^ { j + l + s ^ { \prime } } \left\{ \begin{array} { l l l } { l ^ { \prime } } & { l } & { 1 } \\ { s } & { s ^ { \prime } } & { j } \end{array} \right\} \sqrt { l ( l + 1 ) ( 2 l + 1 ) } } \\ { \times } & { { } \sqrt { s ( s + 1 ) ( 2 s + 1 ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r r ^ { 2 } R _ { n ^ { \prime } l ^ { \prime } } ( r ) \left( \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \right) R _ { n l } ( r ) . } \end{array}
S _ { \mathrm { g h } } = \int d ^ { 4 } x c _ { a } ^ { \dagger } \left( x \right) \left( \frac { 1 } { i } \partial _ { 3 } \delta ^ { a b } + i g \epsilon ^ { 3 a b } a _ { 3 } \left( x _ { \perp } \right) \right) c _ { b } \left( x \right) \ .
\langle \rho _ { 2 } | U ^ { \dagger } ( \phi , 1 ) | \overline { { { \rho _ { 1 } } } } \rangle = \langle \rho _ { 1 } | U ( \overline { { \phi } } , - 1 ) | \overline { { { \rho _ { 2 } } } } \rangle \, ,
\begin{array} { r } { S _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \left( M \right) = \binom { M } { 2 } \log \left( 2 \right) - \mathbb { D } \left( P _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \Vert P _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \right) . } \end{array}
\varphi _ { 0 } = \pi ^ { - 1 } \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { - } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } { { { \varphi } _ { L } } \left( { { q } _ { x } } \right) e ^ { - i q _ { x } x } d { { q } _ { x } } }
E _ { r , m } ^ { n } = \frac { 1 } { V _ { m } } \sum _ { i = 1 } ^ { N ^ { i n i } } w _ { i n i , p } ^ { n } , \ \ S _ { m } ^ { n } = \sum _ { i = 1 } ^ { N ^ { v o l } } w _ { v o l , p } ^ { n } .
\d R _ { 3 } = \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 \, \beta \, s } \, \int _ { t _ { 2 \operatorname * { m i n } } } ^ { t _ { 2 \operatorname * { m a x } } } \, \d t _ { 2 } \ \int _ { t _ { 1 \operatorname * { m i n } } } ^ { t _ { 1 \operatorname * { m a x } } } \, \d t _ { 1 } \ \delta _ { 1 } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \d x _ { 3 } \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \d x _ { 4 } \ .
f ^ { \prime } ( \delta _ { 1 } ^ { \prime } ) = \frac { 2 b } { 7 \log ^ { 2 } ( b ( \delta _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) ) } - \frac { 4 b } { 7 ( \delta _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) \log ^ { 3 } ( b ( \delta _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) ) } - \frac { 2 2 } { \delta _ { 1 } ^ { \prime } + 1 } \geq 0 .
\begin{array} { r l } { _ { \mathcal { C } } \langle b , a \rangle } & { \cong \textnormal { i d } _ { \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } ( a , \overline { { b } } ) \cong \widetilde { D } \circ \widetilde { D } ^ { - 1 } ( a , \overline { { b } } ) \overset { \cong } ( D ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ) _ { \star } \circ ( ( D ^ { - 1 } ) ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ) _ { \star } ( a , \overline { { b } } ) } \\ & { \overset { \cong } ( ( D \circ D ^ { - 1 } ) ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ) _ { \star } ( a , \overline { { b } } ) \overset { \cong } \ _ { \mathcal { C } } \langle D \circ D ^ { - 1 } ( b ) , a \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq \underline { o } _ { i } ^ { v ^ { * } } \leq 1 } \\ { 0 } & { \leq k _ { i } ^ { - 1 } [ \Delta H ] \left( \frac { \delta _ { i } } { 1 - v ^ { * } } - k _ { i } [ H _ { \operatorname* { m i n } } ] \right) \leq 1 } \\ { 0 } & { \leq \frac { \delta _ { i } } { 1 - v ^ { * } } - k _ { i } [ H _ { \operatorname* { m i n } } ] \leq k _ { i } [ \Delta H ] } \\ { ( 1 - v ^ { * } ) k _ { i } [ H _ { \operatorname* { m i n } } ] } & { \leq \delta _ { i } \leq ( 1 - v ^ { * } ) k _ { i } [ H ] , } \end{array}
\overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } = 2 / 3 k \delta _ { i j } - \nu _ { t } \left( { \frac { \partial \overline { { U _ { i } } } } { \partial x _ { j } } } + { \frac { \partial \overline { { U _ { j } } } } { \partial x _ { i } } } \right)
m ^ { 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { { \left( \frac k R - q ( l - 1 ) \right) ^ { 2 } } } & { { \mathrm { f o r ~ V ^ { z } ~ , } } } \\ { { \left( \frac { k ^ { \prime } } R - q l \right) ^ { 2 } } } & { { \mathrm { f o r ~ V ^ { \ m u } , \ V ^ { y } ~ } . } } \end{array} \right.
e ^ { \lambda \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } } e ^ { \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } = e ^ { e ^ { \lambda } \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } e ^ { \lambda \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { I ( { \bf k } , \omega ) } & { = \langle \left( \begin{array} { l } { \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { C \dagger } ( \omega ) , \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { X \dagger } ( \omega ) } \end{array} \right) \mathcal { I } ( { \bf k } , \omega ) \left( \begin{array} { l } { \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { C } ( \omega ) } \\ { \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { X } ( \omega ) } \end{array} \right) \rangle , } \end{array}
i _ { A B } = \Bigg ( \frac { \hat { \rho } _ { A } } { 2 \pi } \cdot \frac { \gamma _ { B } \hat { \phi } _ { B } \times ( \boldsymbol { r _ { A } } - \boldsymbol { r _ { B } } ) } { | \boldsymbol { r _ { A } } - \boldsymbol { r _ { B } } | ^ { 3 } } \rho _ { B } d s _ { B } \, d \phi _ { B } \Bigg ) \gamma _ { A } \rho _ { A } d s _ { A } d s _ { A }
\langle N + m | \tilde { \psi } \rangle = e ^ { - \epsilon ^ { 2 } / 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { N } c _ { k } \frac { \epsilon ^ { N + m } } { \sqrt { ( N + m ) ! } } e ^ { 2 \pi i k ( N + m ) / ( N + 1 ) } = \epsilon ^ { N + 1 } a _ { m - 1 } \sqrt { \frac { ( m - 1 ) ! } { { ( N + m ) ! } } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { X } } & { { } \equiv \sum _ { s } \mathbf { E } ^ { * } \left( \boldsymbol { \kappa } \cdot \boldsymbol { \chi } _ { s } ^ { H } \cdot \mathbf { E } \right) } \\ { \mathbf { Y } } & { { } \equiv \sum _ { s } - \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { \kappa } \left( \mathbf { E } ^ { * } \cdot \boldsymbol { \chi } _ { s } ^ { H } \cdot \mathbf { E } \right) } \\ { \mathbf { Z } } & { { } \equiv \sum _ { s } \frac { 1 } { 2 } \mathbf { k } _ { r } \left( \mathbf { E } ^ { * } \cdot \left( \boldsymbol { \chi } _ { s } \right) _ { A } \cdot \mathbf { E } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \hat { T } } _ { x } } & { = - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } } } \\ { { \hat { T } } _ { y } } & { = - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } } } \\ { { \hat { T } } _ { z } } & { = - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } } } \end{array} }
\mathbf { M } _ { \mathrm { ~ r ~ r ~ e ~ f ~ } } = \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \epsilon ( \mathbf { k } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } ( E _ { - 1 , 0 } ( \mathbf { k } ) + E _ { 0 , - 1 } ( \mathbf { k } ) ) , } \\ { \Omega _ { x } ( \mathbf { k } ) } & { = \frac { 1 } { 2 k ^ { 2 } } \left( k _ { x } ^ { 2 } - k _ { y } ^ { 2 } \right) \left( E _ { 0 , - 1 } ( \mathbf { k } ) - E _ { - 1 , 0 } ( \mathbf { k } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \hat { \lambda } } } ( \lambda , \varphi ) } & { { } = \sec { \varphi } { \frac { \partial \mathbf { r } } { \partial \lambda } } = ( - \sin { \lambda } ) \mathbf { i } + ( \cos { \lambda } ) \mathbf { j } \, , } \\ { { \boldsymbol { \hat { \varphi } } } ( \lambda , \varphi ) } & { { } = { \frac { \partial \mathbf { r } } { \partial \varphi } } = ( - \cos { \lambda } \cdot \sin { \varphi } ) \mathbf { i } + ( - \sin { \lambda } \cdot \sin { \varphi } ) \mathbf { j } + ( \cos { \varphi } ) \mathbf { k } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname { I m } { \{ J _ { N } L _ { N } ^ { * } w \} } = \pm \sqrt { | J _ { N } L _ { N } | ^ { 2 } | w | ^ { 2 } - \operatorname { R e } ^ { 2 } { \{ J _ { N } L _ { N } ^ { * } w \} } } . } \end{array}
c a n n o t c a u s e t r a n s i t i o n s s o t h a t t h e m a g n e t i c d i p o l e e m i s s i o n m u s t g o v i a " s p i n - f l i p s " , i . e . ( i n c o n v e n t i o n a l l a n g u a g e ) v i a t h e c h a n g e o f t h e s p i n p r o j e c t i o n
\left[ \begin{array} { l l } { L S _ { 1 1 } } & { 0 _ { \mathrm { M } } } \\ { S _ { 2 1 } } & { - I } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { A } ^ { \pm } } \\ { \ \mathbf { B } ^ { \pm } } \end{array} \right] = \exp ( \pm \mathrm { i } q W ) \left[ \begin{array} { l l } { I } & { - L S _ { 1 2 } L } \\ { 0 _ { \mathrm { M } } } & { - S _ { 2 2 } L } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { A } ^ { \pm } } \\ { \mathbf { B } ^ { \pm } } \end{array} \right] ,
W = - \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } { \frac { G m M } { r ^ { 3 } } } ( r \mathbf { e } _ { r } ) \cdot ( { \dot { r } } \mathbf { e } _ { r } + r { \dot { \theta } } \mathbf { e } _ { t } ) d t = - \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } { \frac { G m M } { r ^ { 3 } } } r { \dot { r } } d t = { \frac { G M m } { r ( t _ { 2 } ) } } - { \frac { G M m } { r ( t _ { 1 } ) } } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } } & { \left[ X ( t _ { 1 } ) \overline { { X ( s _ { 1 } ) } } \cdot ( X ( t _ { 2 } ) \overline { { X ( s _ { 2 } ) } } - C ( t _ { 2 } - s _ { 2 } ) ) \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ X ( t _ { 1 } ) \overline { { X ( s _ { 1 } ) } } X ( t _ { 2 } ) \overline { { X ( s _ { 2 } ) } } \right] - C ( t _ { 1 } - s _ { 1 } ) C ( t _ { 2 } - s _ { 2 } ) } \\ & { = \mathbb { E } \left[ X ( t _ { 1 } ) \overline { { X ( s _ { 1 } ) } } \right] \mathbb { E } \left[ X ( t _ { 2 } ) \overline { { X ( s _ { 2 } ) } } \right] + \mathbb { E } \left[ X ( t _ { 1 } ) X ( t _ { 2 } ) \right] \mathbb { E } \left[ \overline { { X ( s _ { 1 } ) } } \overline { { X ( s _ { 2 } ) } } \right] } \\ & { + \mathbb { E } \left[ X ( t _ { 1 } ) \overline { { X ( s _ { 2 } ) } } \right] \mathbb { E } \left[ \overline { { X ( s _ { 1 } ) } } X ( t _ { 2 } ) \right] - C ( t _ { 1 } - s _ { 1 } ) C ( t _ { 2 } - s _ { 2 } ) } \\ & { = \check { C } ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) \overline { { \check { C } ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) } } + C ( t _ { 1 } - s _ { 2 } ) C ( t _ { 2 } - s _ { 1 } ) } \end{array}
\zeta _ { \mathrm { a d d } } ^ { \mathrm { t h } } = \frac { \zeta \sqrt { N ^ { 2 } { N _ { \mathrm { r } } } \zeta ^ { 2 } - { N _ { \mathrm { r } } } ^ { 3 } } } { N ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } + { N _ { \mathrm { r } } } ^ { 2 } } \; .
H _ { n } ^ { ( 1 ) } = \int d z \, \tilde { h } _ { n } ^ { ( 1 ) } = \int d z \, \sum _ { k = 0 } ^ { [ { \frac { n } { 2 } } ] } c ( k , n ) V ( D V ) ^ { k ( \gamma - 1 ) } ( D U ) ^ { n - 2 k }
\tilde { S } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , Q _ { 1 } , Q _ { 2 } , k ) = \tilde { S } \left( \{ p , Q \} , k _ { i } \right) = - \frac { \alpha } { 4 \pi ^ { 2 } } \left( \frac { p _ { 1 } } { k p _ { 1 } } - \frac { p _ { 2 } } { k p _ { 2 } } - \frac { Q _ { 1 } } { k Q _ { 1 } } + \frac { Q _ { 2 } } { k Q _ { 2 } } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { A _ { 0 } ( \mathbf { x } ) = A _ { 0 } ^ { 0 } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \left\{ \ln { ( \varepsilon _ { \mathrm { a v g } } | \mathbf { q } | ) } , \mathcal { H } _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { q } ) \right\} \mathrm { d } t ^ { \prime } \right) . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l l l } { a } & { a } & { \cdots } & { a } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l l } { b } & { b } & { \cdots } & { b } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l } { a b } & { a b } & { \cdots } & { a b } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l } { b } & { b } & { \cdots } & { b } \\ { 0 } & { 0 } & & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l l } { a } & { a } & { \cdots } & { a } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right) }
\Gamma \sim N ^ { - 1 / 2 } 1 0 ^ { 2 3 } \mathrm { s } ^ { - 1 } \exp \left[ - { \frac { 8 \sqrt { 2 } } { 3 \cdot 1 3 7 } } \left( { \frac { - E } { m _ { e } } } \right) ^ { 3 / 2 } { \frac { B _ { 0 } } { N B } } A ^ { 1 / 2 } \left( { \frac { m _ { p } } { m _ { e } } } \right) ^ { 1 / 2 } \right] ,
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 - \rho _ { t } ^ { 2 } - 2 \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } L _ { t } m _ { t } } & { - \alpha _ { t } + \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } ( L _ { t } + m _ { t } ) } & { 1 } & { - \alpha _ { t } } \\ { - \alpha _ { t } + \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } ( L _ { t } + m _ { t } ) } & { \alpha _ { t } ^ { 2 } - 2 \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } } & { - \alpha _ { t } } & { \alpha _ { t } ^ { 2 } } \\ { 1 } & { - \alpha _ { t } } & { 1 - \lambda _ { t } ^ { ( 2 ) } } & { - \alpha _ { t } } \\ { - \alpha _ { t } } & { \alpha _ { t } ^ { 2 } } & { - \alpha _ { t } } & { \alpha _ { t } ^ { 2 } - \lambda _ { t } ^ { ( 3 ) } } \end{array} \right] \preceq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { B } \mathrm { d } \mathfrak { m } _ { k , m + 1 } ^ { + } } & { \leq } & { { \mathbb { P } } \Big \{ \mathsf { c } ( \mathsf { c } ( { \boldsymbol { z } } _ { 1 } , \ldots , { \boldsymbol { z } } _ { m } ) , { \boldsymbol { z } } _ { m + 1 } ) = \mathsf { c } ( { \boldsymbol { z } } _ { 1 } , \ldots , { \boldsymbol { z } } _ { m } ) } \\ & { } & { \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \mathsf { c } ( { \boldsymbol { z } } _ { 1 } , \ldots , { \boldsymbol { z } } _ { m } ) = \mathsf { m s } ( { \boldsymbol { z } } _ { 1 } , \ldots , { \boldsymbol { z } } _ { k } ) \mathrm { ~ a n d ~ } { \boldsymbol { \phi } } _ { m } \in B \Big \} . } \end{array}
\left( \partial _ { x } + E + A \right) \left( \begin{array} { c } { { \theta _ { 1 2 } } } \\ { { \theta _ { 2 2 } } } \\ { { \theta _ { 3 2 } } } \end{array} \right) \exp \left( - \sum \lambda ^ { n } t _ { n } / 3 \right) = 0 \, .
\left( \bar { \mathbf { w } } _ { L } ^ { ( k ) } \right) _ { \mu } = \bar { w } _ { \mu } ^ { ( k ) } , \left( \bar { \mathbf { w } } _ { R } ^ { ( k ) } \right) _ { \mu } = \bar { w } _ { m + \mu } ^ { ( k ) } , \left( \bar { \mathbf { z } } _ { L } ^ { ( k ) } \right) _ { \mu } = \bar { z } _ { \mu } ^ { ( k ) } , \left( \bar { \mathbf { z } } _ { R } ^ { ( k ) } \right) _ { \mu } = \bar { z } _ { \mu + m } ^ { ( k ) }
{ \Pi } _ { 0 } ^ { \mu \nu } ( p ) = { \cal F } < 0 | T j ^ { \mu } ( y _ { 1 } ) \, j ^ { \nu } ( y _ { 2 } ) | 0 > _ { 0 } = ( p ^ { \mu } p ^ { \nu } - \eta ^ { \mu \nu } p ^ { 2 } ) \, T ( p ^ { 2 } )
A _ { 1 } ( z , \bar { z } ) = \partial _ { \bar { z } } \varphi _ { 0 } = \frac { 2 } { \cosh { l } } \, , \quad \bar { A } _ { 1 } ( z , \bar { z } ) = \partial _ { z } \varphi _ { 0 } = \frac { 2 } { \cosh { l } } \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 2 \Delta } { \eta T } + \left( 3 6 C _ { 1 } \hat { L } ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } + 1 2 C _ { 1 } \hat { L } ^ { 2 } G _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 2 C _ { 1 } \hat { L } ^ { 2 } G _ { 2 } ^ { 2 } } { b _ { x } } \right) \eta ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { 1 8 \hat { L } ^ { 2 } \Delta _ { y } } { \mu \gamma T } + \frac { 5 4 \hat { L } ^ { 2 } \gamma \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } \mu } + \frac { G _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 b _ { x } M } + \frac { 5 G _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 b _ { x } M } + G _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array}
P \left( X _ { i } \right) = f _ { 0 } \exp { \left( \int ^ { X _ { i } } d \tilde { X } _ { i } \frac { K _ { 2 } \left( \tilde { X } _ { i } \right) } { \sigma _ { 2 2 } \left( \tilde { X } _ { i } \right) } - \ln \sigma _ { 2 2 } \left( X _ { i } \right) \right) } .