harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left| f \left( { \frac { p } { q } } \right) \right| = \left| \sum _ { i = 0 } ^ { n } c _ { i } p ^ { i } q ^ { - i } \right| = { \frac { 1 } { q ^ { n } } } \left| \sum _ { i = 0 } ^ { n } c _ { i } p ^ { i } q ^ { n - i } \right| \geq { \frac { 1 } { q ^ { n } } }
\begin{array} { r } { \left\lvert c _ { \Delta } ( \eta , \xi _ { \Delta } ) \right\rvert = \left\lvert c _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \eta _ { \Delta ^ { c } } , \eta _ { \Delta } ) \frac { \gamma _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \lvert \eta _ { \Delta ^ { c } } } { \gamma _ { \Delta } ( \eta _ { \Delta } \lvert \eta _ { \Delta ^ { c } } ) } \right\rvert \leq \frac { 1 } { \delta } e ^ { R } c _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \eta _ { \Delta ^ { c } } , \eta _ { \Delta } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f [ \lambda _ { k } ] } & { { } = } & { f ( \lambda _ { k } ) } \\ { f [ \lambda _ { k - 1 } , \lambda _ { k } ] } & { { } = } & { \frac { f [ \lambda _ { k } ] - f [ \lambda _ { k - 1 } ] } { \lambda _ { k } - \lambda _ { k - 1 } } } \\ { f [ \lambda _ { l } , \dots , \lambda _ { k } ] } & { { } = } & { \frac { f [ \lambda _ { l + 1 } , \dots , \lambda _ { k } ] - f [ \lambda _ { l } , \dots , \lambda _ { k - 1 } ] } { \lambda _ { k } - \lambda _ { l } } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \hat { \nu } _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \left( 1 + \frac { 1 7 } { 1 6 I } \right) \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } + 8 I \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ 2 \| \eta \bar { \nu } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } + \| \gamma \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } \bigg ] + 1 6 I L ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \tau q _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 1 2 8 I ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + 3 2 I ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } L ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| u _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 8 I M ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } + 3 2 I M ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \zeta _ { f } ^ { 2 } + 6 4 I ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } M \frac { C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( U ^ { ( M , 3 ) } \right) ^ { \dagger } \mathcal { D } ^ { ( M , 3 ) } U ^ { ( M , 3 ) } } \\ & { = \mathrm { D i a g } \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 0 , } & { \sin \left[ \frac { 2 \pi } { M } \right] \sigma _ { 1 } , } & { \sin \left[ \frac { 4 \pi } { M } \right] \sigma _ { 1 } , } & { \cdots , } & { \sin \left[ \frac { 2 \pi \left( M - 1 \right) } { M } \right] \sigma _ { 1 } , } & { - i \sqrt { \frac { M } { 2 } } \sigma _ { 2 } , } & { i \sqrt { \frac { M } { 2 } } \sigma _ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { | x - f l ( x ) | } { | x | } } } & { { } = { \frac { | d _ { 0 } . d _ { 1 } d _ { 2 } \ldots d _ { p - 1 } d _ { p } d _ { p + 1 } \ldots \times \beta ^ { n } - d _ { 0 } . d _ { 1 } d _ { 2 } \ldots d _ { p - 1 } \times \beta ^ { n } | } { | d _ { 0 } . d _ { 1 } d _ { 2 } \ldots \times \beta ^ { n } | } } } \end{array}
g \left( \{ U _ { m } \} _ { m = 1 } ^ { n } \right) = \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , \cdots , k _ { t } } \beta _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , \cdots , k _ { t } } U _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } U _ { 2 } ^ { k _ { 2 } } \cdots U _ { n } ^ { k _ { n } }
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathsf { G } } } _ { [ x , \widehat { x } ] } ( x , \widehat { x } ) } & { = [ \overline { { A } } ( x , \widehat { x } ) ] ^ { + } \widehat { x } + [ \overline { { A } } ( x , \widehat { x } ) ] ^ { - } x + \overline { { b } } ( x , \widehat { x } ) \ge [ \overline { { A } } ( x , \widehat { x } ) ] ^ { + } z + [ \overline { { A } } ( x , \widehat { x } ) ] ^ { - } z + \overline { { b } } ( x , \widehat { x } ) } \\ & { = [ \overline { { A } } ( x , \widehat { x } ) ] z + \overline { { b } } ( x , \widehat { x } ) \ge \mathsf { N } ( z ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta U _ { a r e a } } & { = \sum _ { i \in \{ S _ { 1 } , S _ { 2 } , E _ { 1 } , E _ { 2 } \} } { ( a _ { i } ^ { f i n } - 1 ) ^ { 2 } - ( a _ { i } ^ { i n } - 1 ) ^ { 2 } } } \\ & { = \sum _ { i \in \{ S _ { 1 } , S _ { 2 } , E _ { 1 } , E _ { 2 } \} } \Delta a _ { i } ^ { 2 } + 2 a _ { i } ^ { i n } \Delta a _ { i } - 2 \Delta a _ { i } , } \end{array}
k _ { \mu } = { \frac { 1 } { 8 \pi } } \epsilon _ { \mu \nu \alpha \beta } \epsilon _ { a b c } \partial ^ { \nu } { \hat { \phi } } ^ { a } \partial ^ { \alpha } { \hat { \phi } } ^ { b } \partial ^ { \beta } { \hat { \phi } } ^ { c }
\kappa ( r _ { r e s } ) = 2 \frac { ( \Delta \sin 2 \theta _ { M } + V _ { G } ( r _ { r e s } ) \sin 2 \theta _ { G } ) ^ { 2 } } { \left| \frac { \mathrm { d } V _ { e } } { \mathrm { d } r } + \frac { \mathrm { d } V _ { G } } { \mathrm { d } r } \cos 2 \theta _ { G } \right| _ { r e s } }
\begin{array} { r l } { K _ { m , \alpha } } & { = \frac { 1 } { 2 } \omega _ { m , \alpha } ^ { 2 } a ^ { 2 } \Bigg ( I _ { m - 1 } ( \omega _ { m , \alpha } a ) I _ { m + 1 } ( \omega _ { m , \alpha } a ) \frac { J _ { m } ^ { 2 } ( \omega _ { m , \alpha } a ) } { I _ { m } ^ { 2 } ( \omega _ { m , \alpha } a ) } } \\ & { - J _ { m - 1 } ( \omega _ { m , \alpha } a ) J _ { m + 1 } ( \omega _ { m , \alpha } a ) \Bigg ) . } \end{array}
\phi _ { n } ( p , t ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \hbar } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \psi _ { n } ( x , t ) e ^ { - i k x } \, d x = { \sqrt { \frac { L } { \pi \hbar } } } \left( { \frac { n \pi } { n \pi + k L } } \right) \, { \textrm { s i n c } } \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( n \pi - k L ) \right) e ^ { - i k x _ { c } } e ^ { i ( n - 1 ) { \frac { \pi } { 2 } } } e ^ { - i \omega _ { n } t } ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { f o r g e t ~ g a t e : ~ } \mathfrak { f } _ { k } = \rho _ { \mathrm { s } } ( W _ { f } x _ { k } + U _ { f } h _ { k - 1 } + b _ { f } ) , } \\ & { \mathrm { i n p u t ~ g a t e : ~ } \mathfrak { i } _ { k } = \rho _ { \mathrm { s } } ( W _ { i } x _ { k } + U _ { i } h _ { k - 1 } + b _ { i } ) , } \\ & { \mathrm { o n t p u t ~ g a t e : ~ } \mathfrak { o } _ { k } = \rho _ { \mathrm { s } } ( W _ { o } x _ { k } + U _ { o } h _ { k - 1 } + b _ { o } ) , } \\ & { \mathrm { c e l l : ~ } \mathfrak { c } _ { k } = \mathfrak { f } _ { k } \odot \mathfrak { c } _ { k - 1 } + \mathfrak { i } _ { k } \odot \rho _ { \operatorname { t a n h } } ( W _ { c } x _ { k } + U _ { c } h _ { k - 1 } + b _ { c } ) , } \\ & { \mathrm { o u t p u t ~ o f ~ t h e ~ } k ^ { t h } \mathrm { ~ u n i t : ~ } h _ { k } = \mathfrak { o } _ { k } \odot \rho _ { \operatorname { t a n h } } ( \mathfrak { c } _ { k } ) , } \end{array}
B _ { m } ( \zeta ) \approx 2 \int _ { 0 } ^ { \xi _ { m } a x } \sqrt { e ^ { \zeta - \xi } \left( \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 6 } e ^ { 2 r _ { m } - \xi } - \cosh ( \xi - \zeta ) \right) } d \xi \approx 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \pi } { 4 } e ^ { r _ { m } - \xi + \zeta / 2 } d \xi = \frac { \pi } { 2 } e ^ { r _ { m } + \zeta / 2 } \approx \frac { 1 } { 2 } \frac { m } { \nu } e ^ { \zeta / 2 } ,
Z _ { i } N _ { i } \exp \left( - \frac { Z _ { i } e \varphi _ { 0 } } { T _ { i } } + \frac { m _ { i } } { 2 T _ { i } } \omega ^ { 2 } R ^ { 2 } \right) = N _ { e } \exp \left( \frac { e \varphi _ { 0 } } { T _ { e } } + \frac { m _ { e } } { 2 T _ { e } } \omega ^ { 2 } R ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { { R _ { \alpha } } ( P _ { \theta _ { 0 } } | P _ { \theta _ { 1 } } , P _ { \theta _ { 2 } } ) = } & { \exp \Big ( A \big ( \theta _ { 0 } + \alpha \big ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } - 2 \theta _ { 0 } \big ) \big ) - A \big ( \theta _ { 0 } + \alpha \big ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 0 } \big ) \big ) } \\ & { \quad \quad - A \big ( \theta _ { 0 } + \alpha \big ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 0 } \big ) \big ) + A \big ( \theta _ { 0 } \big ) \Big ) - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { e ^ { - } } } \mathcal { L } \left( E _ { \mathrm { k } , j } ^ { \mathrm { F E P } } \right) } & { = \mathcal { L } \left( E _ { \mathrm { k } } ^ { \mathrm { P E } } \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { C O M } } } \mathcal { L } \left( E _ { \mathrm { k } , i } ^ { \mathrm { C O M } } \right) } \\ & { = \mathcal { L } \left( E _ { \gamma } ^ { N _ { \mathrm { C O M } } } \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { C O M } } } \mathcal { L } \left( E _ { \gamma } ^ { i - 1 } - E _ { \gamma } ^ { i } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { M } ^ { 2 } } & { { } \equiv \omega _ { m } ^ { 2 } + \mathfrak { R e } ( \omega _ { o s } ^ { 2 } ) , \quad \kappa _ { M } = \kappa _ { m } - \frac { \mathfrak { I m } ( \omega _ { o s } ^ { 2 } ) } { \Omega } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widetilde { R } ( x , t ) } & { { } \approx } & { 2 ^ { 2 / 3 } \pi ^ { - 5 / 6 } \textrm { D a } ^ { 1 / 3 } \textrm { P e } ^ { 2 / 3 } \left( 2 ^ { 1 / 6 } \pi ^ { - 1 / 6 } \textrm { D a } ^ { 1 / 3 } \textrm { P e } ^ { 1 / 6 } \frac { x } { \widetilde { \delta } _ { 0 } } \right) } \end{array}
\Delta _ { \perp } q ( x ) = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \int d z < N ^ { \uparrow } | \ \Psi _ { q } ^ { \dagger } ( 0 ) \ ( - \gamma ^ { 5 } \, \vec { \gamma } \cdot \vec { P } _ { \perp } ) \ \Psi _ { q } ( 0 , 0 , 0 , z ) \ | N ^ { \uparrow } > \ e ^ { - i k _ { z } z }
\frac { \mathrm { d } { A _ { 1 } } } { \mathrm { d } { \tau } } = \alpha _ { 1 } A _ { 2 } ^ { * } A _ { 3 } ^ { * } , \qquad \frac { \mathrm { d } { A _ { 2 } } } { \mathrm { d } { \tau } } = \alpha _ { 2 } A _ { 1 } ^ { * } A _ { 3 } ^ { * } , \qquad \frac { \mathrm { d } { A _ { 3 } } } { \mathrm { d } { \tau } } = 0 ,
\begin{array} { r } { S _ { \mathrm { b } z } = \frac { 1 } { 2 } ( c _ { \mathcal { B } \alpha } ^ { \dagger } c _ { \mathcal { B } \alpha } - c _ { \mathcal { B } \beta } ^ { \dagger } c _ { \mathcal { B } \beta } ) = \frac { 1 } { 2 } ( P ^ { \alpha } - P ^ { \beta } ) . } \end{array}
L = \frac { 1 } { 2 } M _ { i j } \left( { \bf v } _ { i } \cdot { \bf v } _ { j } - { \frac { q _ { i } q _ { j } } { g ^ { 2 } } } \right) + \frac { g } { 4 \pi } q _ { i } { \bf W } _ { i j } \cdot { \bf v } _ { j } ,
A _ { 3 } = \widetilde { Z } ^ { 1 / 2 } A _ { 3 } ^ { R } ; \; \; \; \; A _ { \mu } = Z _ { 3 } ^ { 1 / 2 } A _ { \mu } ^ { R } ; \; \; \; \mu = 0 , 1 , 2 \; \; \; g = Z _ { 1 } g ^ { R }
^ { i b } A : = { \left\{ \begin{array} { l l } { ^ { i } A } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } \operatorname { s p a n } ( A - a ) { \mathrm { ~ i s ~ a ~ b a r r e l l e d ~ l i n e a r ~ s u b s p a c e ~ o f ~ } } X { \mathrm { ~ f o r ~ a n y / a l l ~ } } a \in A { \mathrm { , } } } \\ { \varnothing } & { { \mathrm { ~ o t h e r w i s e } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r } { y ( x ) : = \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } y _ { j } c _ { j } ( x ) = y _ { 0 } { \frac { ( x - 1 ) ( x - 2 ) } { ( 0 - 1 ) ( 0 - 2 ) } } + y _ { 1 } { \frac { ( x - 0 ) ( x - 2 ) } { ( 1 - 0 ) ( 1 - 2 ) } } + y _ { 2 } { \frac { ( x - 0 ) ( x - 1 ) } { ( 2 - 0 ) ( 2 - 1 ) } } } \\ { = y _ { 0 } { \frac { ( x - 1 ) ( x - 2 ) } { 2 } } + y _ { 1 } { \frac { ( x - 0 ) ( x - 2 ) } { - 1 } } + y _ { 2 } { \frac { ( x - 0 ) ( x - 1 ) } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | b _ { h } ( \widetilde { g } ; \sigma , v ) | } & { \le C \left( \| g _ { h } - g \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \sum _ { T } h _ { T } ^ { 2 } | g _ { h } - g | _ { H ^ { 1 } ( T ) } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \quad \times \left( 1 + \operatorname* { m a x } _ { T } h _ { T } ^ { - 1 } \| g _ { h } - g \| _ { L ^ { \infty } ( T ) } + \operatorname* { m a x } _ { T } | g _ { h } - g | _ { W ^ { 1 , \infty } ( T ) } \right) \| v \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega ) } . } \end{array}
\overline { { y _ { n } } } \ = \ \sqrt { m _ { 0 } } \left[ 2 \ln \left( \frac { 6 0 ^ { 2 } T } { 2 \pi } \sqrt { \frac { m _ { 2 } } { m _ { 0 } } } \right) \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } }
\begin{array} { r } { K _ { N - n + j } ( { V } _ { n , d } ) = ( - 1 ) ^ { \frac { j } { 2 } } d ^ { \frac { n } { 2 } } \biggl ( \frac { d - 1 } { d } \biggr ) ^ { \frac { j } { 2 } } \frac { 2 ^ { n + 2 - j } \pi ^ { \frac { N } { 2 } } \Gamma \left( \frac { n } { 2 } + 1 \right) } { \Gamma \left( \frac { j } { 2 } + 1 \right) \Gamma ( n + 1 - j ) \Gamma \left( \frac { N + j - n } { 2 } \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Dot { \hat { a } } _ { 1 / 2 } = - i \omega _ { 1 / 2 } \hat { a } _ { 1 / 2 } + \sqrt { \kappa _ { 1 / 2 } ^ { \mathrm { e x t 1 } } } \alpha _ { p , i n } e ^ { - i \omega _ { p } t } - \frac { \kappa _ { 1 / 2 } } { 2 } \hat { a } _ { 1 / 2 } , } \end{array}
1 2 d s ^ { 2 } = \frac { \Delta + b ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } { \Sigma } \left( d t - \omega d \varphi \right) ^ { 2 } - \Sigma \left( \frac { d r ^ { 2 } } { \Delta } + d \theta ^ { 2 } + \frac { \Delta \sin ^ { 2 } \theta } { \Delta + b ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } d \varphi ^ { 2 } \right) .
{ \begin{array} { r l r l } { \prod _ { p \, \in \, \mathbb { P } } \left( { \frac { p ^ { 2 } + 1 } { p ^ { 2 } - 1 } } \right) } & { = { \frac { 5 } { 3 } } \cdot { \frac { 1 0 } { 8 } } \cdot { \frac { 2 6 } { 2 4 } } \cdot { \frac { 5 0 } { 4 8 } } \cdot { \frac { 1 2 2 } { 1 2 0 } } \cdots } & { = { \frac { \zeta ( 2 ) ^ { 2 } } { \zeta ( 4 ) } } } & { = { \frac { 5 } { 2 } } , } \\ { \prod _ { p \, \in \, \mathbb { P } } \left( { \frac { p ^ { 4 } + 1 } { p ^ { 4 } - 1 } } \right) } & { = { \frac { 1 7 } { 1 5 } } \cdot { \frac { 8 2 } { 8 0 } } \cdot { \frac { 6 2 6 } { 6 2 4 } } \cdot { \frac { 2 4 0 2 } { 2 4 0 0 } } \cdots } & { = { \frac { \zeta ( 4 ) ^ { 2 } } { \zeta ( 8 ) } } } & { = { \frac { 7 } { 6 } } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } ( O _ { \theta } \overline { { E } } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ) } & { { } = \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } ( O _ { \theta } E _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { { \mathrm { s } } \parallel } } & { { } = \frac { ( \rho _ { \mathrm { p } } - \rho ) d _ { \mathrm { p } } \ell _ { \mathrm { p } } g } { 1 8 \rho \nu } \frac { 3 } { 8 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left[ \phantom { - } \frac { 2 \mathrm { A R } } { 1 - \mathrm { A R } ^ { 2 } } + \frac { 2 ( 1 - 2 \mathrm { A R } ^ { 2 } ) } { ( 1 - \mathrm { A R } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \tan ^ { - 1 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \frac { \sqrt { 1 - \mathrm { A R } ^ { 2 } } } { \mathrm { A R } } \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right) \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right] , } \\ { v _ { { \mathrm { s } } \bot } } & { { } = \frac { ( \rho _ { \mathrm { p } } - \rho ) d _ { \mathrm { p } } \ell _ { \mathrm { p } } g } { 1 8 \rho \nu } \frac { 3 } { 8 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left[ - \frac { \mathrm { A R } } { 1 - \mathrm { A R } ^ { 2 } } - \frac { 2 \mathrm { A R } ^ { 2 } - 3 } { ( 1 - \mathrm { A R } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \sin ^ { - 1 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \sqrt { 1 - \mathrm { A R } ^ { 2 } } \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right) \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right] . } \end{array}
k C R P S ~ \left( \mathbf { x } , y \right) = \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } | x _ { i } - y | - \frac { 1 } { 2 M ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } | x _ { i } - x _ { j } | ,
\begin{array} { r l } { \Im \left[ \left( \mathbf { E } ^ { * } \cdot \boldsymbol { \chi } _ { s } \cdot \mathbf { E } \right) \mathbf { k } ^ { * } \right] } & { = \Im [ \left( \mathbf { E } ^ { * } \cdot ( \boldsymbol { \chi } _ { s } ) _ { H } \cdot \mathbf { E } \right) ( - i \boldsymbol { \kappa } _ { r } ) } \\ & { \qquad + i \left( \mathbf { E } ^ { * } \cdot ( \boldsymbol { \chi } _ { s } ) _ { A } \cdot \mathbf { E } \right) i \mathbf { k } _ { r } ] . } \end{array}
V _ { G } ^ { ( b ) } ( \Phi _ { 0 } ) = V _ { G E P } ^ { 2 + 1 } ( \Phi _ { 0 } ) + \frac { 3 { \hat { \lambda } } ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 3 } } ( \sqrt { x } - 1 ) ( 1 - \ln { \frac { 4 } { 3 } } ) - { \frac { 3 } { 4 \pi ^ { 3 } } } { \hat { \lambda } } ^ { 2 } \sqrt { x } \ln \sqrt { x } \; .
I = \left| \tilde { \psi } + \tilde { \rho } \right| ^ { 2 } = \left| \mathcal { F } \left( P \cdot O \right) + \tilde { \rho } \right| ^ { 2 } = \left| \mathcal { F } \left( P \right) \otimes \mathcal { F } \left( O \right) + \tilde { \rho } \right| ^ { 2 } .
C \bigl ( C \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 \delta } \bigr ) ^ { \! N _ { * } } \kappa _ { m - 1 } \bigl \| \nabla T _ { m - 1 } \bigr \| _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , 1 ] \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \leq \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 5 0 0 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\| \theta _ { 0 } \aftergroup \egroup \right\| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { \quad \mathbb E \left[ \left. Q _ { t , i } ^ { 2 } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } \\ & { \ge Q _ { T _ { 0 } , i } ^ { 2 } - \mathbb E \left[ \left. \sum _ { s = T _ { 0 } } ^ { t - 1 } \mathbb E \left[ \left. \left( Q _ { s + 1 , i } - Q _ { s , i } \right) ^ { 2 } \right\rvert \mathcal F _ { s } \right] - 2 \sum _ { T _ { 0 } \le s < s ^ { \prime } < t } \mathbb E \left[ \left. \left\lvert Q _ { s + 1 , i } - Q _ { s , i } \right\rvert \right\rvert \mathcal F _ { s } \right] \cdot \mathbb E \left[ \left. \left\lvert Q _ { s ^ { \prime } + 1 , i } - Q _ { s ^ { \prime } , i } \right\rvert \right\rvert \mathcal F _ { s ^ { \prime } } \right] \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } \\ & { \ge Q _ { T _ { 0 } , i } ^ { 2 } - ( t - T _ { 0 } ) M ^ { 2 } - 2 \binom { t - T _ { 0 } } { 2 } M ^ { 2 } } \\ & { = Q _ { T _ { 0 } , i } ^ { 2 } - ( t - T _ { 0 } ) ^ { 2 } M ^ { 2 } } \\ & { \ge Q _ { T _ { 0 } , i } ^ { 2 } - M ^ { 2 } m ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { y _ { \mathrm { m i n } } = \frac { 1 } { 2 \mathrm { N A } } \left( \frac { 1 } { \lambda _ { \mathrm { e x } } } + \frac { 1 } { \lambda _ { \mathrm { e m } } } \right) ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \frac { \partial } { \partial t } \widetilde { \psi } _ { 1 } ( k , t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } k ^ { 2 } \widetilde { \psi } _ { 1 } ( k , t ) + \gamma e ^ { i \omega t } \widetilde { \psi } _ { 2 } ( k , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \Big \{ \mathcal { G } ^ { \lambda } ( \tilde { s } ^ { n } ; ( 0 , T ) \times \mathbb { T } ^ { d } \big ) d \tau + \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \Big [ \tilde { s } ^ { n } ( T , z ) { g } ( z ) + \frac { 1 } { 2 \beta } \Phi \big ( \tilde { s } ^ { n } ( T , z ) \big ) \Big ] d z - \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \frac { 1 } { 2 \beta } \Phi \big ( s _ { 0 } ( z ) \big ) d z \Big \} } \\ { \leq } & { \ \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \Big \{ \mathcal { G } ^ { \lambda } ( s ^ { \lambda _ { n } , n } ; ( 0 , T ) \times \mathbb { T } ^ { d } \big ) d \tau + \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \Big [ { s } ^ { \lambda _ { n } , n } ( T , z ) { g } ( z ) + \frac { 1 } { 2 \beta } \Phi \big ( s ^ { \lambda _ { n } , n } ( T , z ) \big ) \Big ] d z - \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \frac { 1 } { 2 \beta } \Phi \big ( s _ { 0 } ^ { n } ( z ) \big ) d z \Big \} . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \delta u = - \frac { \alpha } { 2 \pi } ( y - y _ { 0 } ) e ^ { \phi ( 1 - r ^ { 2 } ) } , } \\ { \delta v = \frac { \alpha } { 2 \pi } ( x - x _ { 0 } ) e ^ { \phi ( 1 - r ^ { 2 } ) } , } \\ { \delta w = 0 , } \\ { \delta T = - \frac { \alpha ^ { 2 } ( \gamma - 1 ) } { 1 6 \phi \gamma \pi ^ { 2 } } e ^ { 2 \phi ( 1 - r ^ { 2 } ) } , } \end{array} \right.
\eta _ { 2 n } ( s ) = \sum _ { k = 1 } ^ { 2 n } { \frac { ( - 1 ) ^ { k - 1 } } { k ^ { s } } } = 1 - { \frac { 1 } { 2 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { s } } } - { \frac { 1 } { 4 ^ { s } } } + \ldots + { \frac { ( - 1 ) ^ { 2 n - 1 } } { { ( 2 n ) } ^ { s } } } = 1 + { \frac { 1 } { 2 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 4 ^ { s } } } + \ldots + { \frac { 1 } { { ( 2 n ) } ^ { s } } } - 2 \left( { \frac { 1 } { 2 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 4 ^ { s } } } + \ldots + { \frac { 1 } { { ( 2 n ) } ^ { s } } } \right)
\hat { S } ( \theta ) = e ^ { - i \theta ( \hat { x } _ { A } \hat { p } _ { A } + \hat { p } _ { A } \hat { x } _ { A } \pm \hat { x } _ { B } \hat { p } _ { B } \pm \hat { p } _ { B } \hat { x } _ { B } ) / 4 }
\begin{array} { r } { \sum _ { 1 } ^ { n } [ \pi ( z _ { i } - z _ { i + 1 } ) ^ { 2 } ( 3 r _ { i } ^ { 2 } + 2 r _ { i } r _ { i + 1 } + r _ { i + 1 } ^ { 2 } ) / 1 2 } \\ { + \pi z _ { i + 1 } ( z _ { i } - z _ { i + 1 } ) ( r _ { i } ^ { 2 } + r _ { i } r _ { i + 1 } + r _ { i + 1 } ^ { 2 } ) / 3 ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| - \eta ( \mathbf 0 ) \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } { { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) } u _ { N } ^ { \prime } ( \mathbf x ) \mathrm d \sigma \right| } & { \leq 2 \left| \eta ( \mathbf 0 ) \right| C _ { N } \int _ { 0 } ^ { h } { { r ^ { N } } { e ^ { - \alpha ^ { \prime } \tau r } } \mathrm d r } } \\ & { \leq 2 M _ { 1 } C _ { N } \left[ { \frac { \Gamma ( N + 1 ) } { { { ( \alpha ^ { \prime } \tau ) } ^ { N + 1 } } } } + { \frac { 2 { e ^ { - { \frac { \tau h } { 2 } } } } } { \alpha ^ { \prime } \tau } } \right] } \\ & { \leq { C _ { 4 } } \left( { \frac { 1 } { { \tau ^ { N + 1 } } } } + { \frac { { e ^ { - { \frac { \tau h } { 2 } } } } } { \tau } } \right) , } \end{array}
\operatorname { v a r } ( T ) = { \frac { \operatorname { v a r } ( X - \mu ) ^ { 2 } } { n } } = { \frac { 1 } { n } } \left[ \operatorname { E } \left\{ ( X - \mu ) ^ { 4 } \right\} - \left( \operatorname { E } \{ ( X - \mu ) ^ { 2 } \} \right) ^ { 2 } \right]
\delta ( e e _ { { f } } ^ { \mu } ) = e e ^ { \mu { g } } \Omega _ { { \{ g \} \{ f \} } } ( \delta ) - 2 i a ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { { 1 / 2 } } H _ { { \{ f \} a } } ^ { \mu } v _ { \alpha } ^ { { a } } \delta \theta ^ { \alpha } ,