harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { L _ { \nu } ( z ) } & { { } = \sum _ { m \ge 0 } \frac { \left( \frac { z } { 2 } \right) ^ { 2 m + \nu + 1 } } { \Gamma \left( m + \frac { 3 } { 2 } \right) \Gamma \left( m + \nu + \frac { 3 } { 2 } \right) } \, , } \\ { I _ { \nu } ( z ) } & { { } = \sum _ { m \ge 0 } \frac { \left( \frac { z } { 2 } \right) ^ { 2 m + \nu } } { \Gamma \left( m + 1 \right) \Gamma \left( m + \nu + 1 \right) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { A _ { t } } { \alpha _ { t - 1 } } - \frac { A _ { t - 1 } } { \alpha _ { t - 2 } } } & { \leq - \frac { 3 2 } { 9 b M } \alpha _ { t - 1 } A _ { t - 1 } + \frac { 2 c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 3 } G _ { 2 } ^ { 2 } } { b M } + \frac { 4 \hat { L } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } } { b M } ( D _ { t - 1 } + E _ { t - 1 } ) + \frac { 2 \hat { L } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } F _ { t - 1 } } { b M } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { X ( s ) } & { = { \mathcal { L } } \left\{ x ( t ) \right\} \ { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ \int _ { - \infty } ^ { \infty } x ( t ) e ^ { - s t } \, d t , } \\ { Y ( s ) } & { = { \mathcal { L } } \left\{ y ( t ) \right\} \ { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ \int _ { - \infty } ^ { \infty } y ( t ) e ^ { - s t } \, d t . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } } & { \big [ \mathcal { T } ( \beta , k , \sigma , \alpha , \tilde { \alpha } ; \hbar ) \big ] = \frac { ( 2 \pi ) ^ { ( 2 k - 2 - n ) d } \hbar ( \rho \hbar ) ^ { 2 k - 4 - n } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { | \alpha | + | \tilde { \alpha } | } } f ( \boldsymbol { s } , \boldsymbol { \tilde { s } } ) \int \Lambda _ { n } ( \boldsymbol { p } , \boldsymbol { q } , \sigma ) \hat { \varphi } ( \frac { p _ { 0 } } { \hbar } ) \overline { { \hat { \varphi } ( \frac { q _ { 0 } } { \hbar } ) } } } \\ { \times } & { \delta ( \frac { t } { \hbar } - \boldsymbol { s } _ { 0 , k + \beta } ^ { + } - \tilde { s } _ { k + \beta + 1 } - \boldsymbol { t } _ { 1 , a _ { k + \beta } } ^ { + } ) \delta ( \frac { t } { \hbar } - \boldsymbol { \tilde { s } } _ { 1 , k + \beta + 1 } ^ { + } - \boldsymbol { \tilde { t } } _ { 1 , a _ { k + \beta } } ^ { + } ) \mathcal { P } _ { \beta } ( p _ { k - 2 } , \boldsymbol { \tilde { p } } , \boldsymbol { s } ) \mathcal { P } _ { \beta } ( q _ { k - 2 } , \boldsymbol { \tilde { q } } , \boldsymbol { \tilde { s } } ) } \\ { \times } & { e ^ { i s _ { k - 2 } \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { p } _ { - 2 } + \tilde { p } _ { - 1 } ) ^ { 2 } } e ^ { - i \tilde { s } _ { k - 2 } \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { q } _ { - 2 } + \tilde { q } _ { - 1 } ) ^ { 2 } } e ^ { i s _ { k - 3 } \frac { 1 } { 2 } ( p _ { k - 3 } + \tilde { p } _ { \beta } + \pi _ { \beta } ( \boldsymbol { \tilde { p } } ) ) ^ { 2 } } e ^ { - i \tilde { s } _ { k - 3 } \frac { 1 } { 2 } ( q _ { k - 3 } + \tilde { q } _ { \beta } + \pi _ { \beta } ( \boldsymbol { \tilde { q } } ) ) ^ { 2 } } \prod _ { i = 1 } ^ { a _ { k + \beta } } e ^ { i t _ { i } \frac { 1 } { 2 } \eta _ { i } ^ { 2 } } } \\ { \times } & { \prod _ { i = 1 } ^ { \tilde { a } _ { k + \beta } } e ^ { - i \tilde { t } _ { i } \frac { 1 } { 2 } \xi _ { i } ^ { 2 } } \prod _ { m = 0 } ^ { k - 4 } e ^ { i s _ { m } \frac { 1 } { 2 } ( p _ { m } + \tilde { \pi } _ { m } ( \tilde { p } _ { \beta } ) ) ^ { 2 } } e ^ { - i \tilde { s } _ { m } \frac { 1 } { 2 } ( q _ { m } + \tilde { \pi } _ { m } ( \tilde { q } _ { \beta } ) ) ^ { 2 } } \mathcal { G } ( \boldsymbol { p } , \boldsymbol { \tilde { p } } , \boldsymbol { \tilde { q } } , \boldsymbol { \eta } , \boldsymbol { \xi } , \sigma ) d \boldsymbol { \eta } d \boldsymbol { \xi } d \boldsymbol { p } d \boldsymbol { q } d \boldsymbol { \tilde { p } } d \boldsymbol { \tilde { q } } d \boldsymbol { t } d \boldsymbol { \tilde { t } } d \boldsymbol { s } d \boldsymbol { \tilde { s } } , } \end{array}
\mathrm { ~ e } ^ { - S _ { \mathrm { e f f } } [ A _ { 0 } ] } \equiv \sum _ { B _ { M } } \int [ d \vec { a } ] < \vec { a } \vert \mathrm { ~ e } ^ { - H / T } \mathrm { ~ e } ^ { i \frac { \kappa } { T } \int A _ { 0 } ( B _ { M } + B / 2 ) } \vert \vec { a } + \vec { \nabla } A _ { 0 } / T >
\begin{array} { r l } { \bigl [ \hat { A } , \, \hat { B } \bigr ] } & { { } = \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } \Bigl [ \hat { C } _ { n } , \, \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } \Bigr ] } \end{array}
\begin{array} { r } { Z _ { u } ^ { j } = j \omega \frac { { \sum _ { i = 1 } ^ { { N _ { u } } , i \ne j } { L _ { u u } ^ { i j } I _ { u - t a r } ^ { i } } } } { { I _ { u - t a r } ^ { j } } } } \end{array}
U _ { L } = { \frac { 1 } { \sqrt 3 } } \left[ \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { \omega } } & { { \omega ^ { 2 } } } \\ { { 1 } } & { { \omega ^ { 2 } } } & { { \omega } } \end{array} \right] .
| \hat { \cal M } | ^ { 2 } = \left( 1 + ( q b _ { c } ) ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { n + 2 } { n + 1 } } \, \frac { n ^ { \frac { 2 } { n + 1 } } } { n + 1 } \, F ( q b _ { c } ) \, .
\begin{array} { r l } { I ( X ^ { n } ; J _ { k } | \mathcal { C } _ { n } ) } & { = I ( X ^ { n } ; M _ { k } | \mathcal { C } _ { n } ) } \\ & { = H ( M _ { k } | \mathcal { C } _ { n } ) - H ( M _ { k } | X ^ { n } , \mathcal { C } _ { n } ) } \\ & { \le n ( R _ { k } - K _ { k } ) - H ( M _ { k } | X ^ { n } , \mathcal { C } _ { n } ) . } \end{array}
\mathrm { ~ S ~ D ~ } \equiv \mathrm { ~ S ~ } ^ { ( 1 , 0 ) } \mathrm { ~ S ~ } ^ { ( 0 , 1 ) } \mathrm { ~ D ~ } ^ { ( 0 , 2 ) } \mathrm { ~ D ~ } ^ { ( 1 , 1 ) } \mathrm { ~ D ~ } ^ { ( 2 , 0 ) } \, .
\begin{array} { r l } { b } & { { } = a ( 1 - f ) = a \left( { \frac { 1 - n } { 1 + n } } \right) , } \\ { e ^ { 2 } } & { { } = 2 f - f ^ { 2 } = { \frac { 4 n } { ( 1 + n ) ^ { 2 } } } . } \end{array}
\mathbf { \widetilde { D } } _ { k , \sigma } + \mathbf { \widetilde { D } } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } = 4 \left[ \int \textbf { Q } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } \textbf { Q } _ { k , \sigma } \, d \boldsymbol { \textbf { r } } \right] f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) \, .
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { 0 } ^ { \mathrm { e f f } } = - \left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \Delta } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \Delta } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \Delta } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \Delta } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \Delta } \end{array} \right] , } \end{array}
\delta \psi _ { A \mu } = \mathcal { D } _ { \mu } \, \epsilon _ { A } - \frac { 1 } { 3 } \, \mathcal { T } _ { A B } ^ { \rho \sigma } \left( g _ { \mu \rho } \, \gamma _ { \sigma } - \frac { 1 } { 8 } \, \epsilon _ { \mu \rho \sigma \lambda \nu } \, \gamma ^ { \lambda \nu } \right) \, \epsilon ^ { B }
a _ { 1 } = { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \alpha } { c _ { W } ^ { 2 } } } { \frac { s ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 4 } } } \left( \begin{array} { l l l l } { { \tilde { c } _ { 3 R } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { - c _ { 3 L } \tilde { c } _ { 3 R } } } & { { - c _ { 3 L } \tilde { c } _ { 3 R } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - c _ { 3 L } \tilde { c } _ { 3 R } } } & { { 0 } } & { { c _ { 3 L } ^ { 2 } + c _ { 1 L } ^ { 2 } { \frac { c _ { W } ^ { 2 } } { s _ { W } ^ { 2 } } } } } & { { c _ { 3 L } ^ { 2 } - c _ { 1 L } ^ { 2 } { \frac { c _ { W } ^ { 2 } } { s _ { W } ^ { 2 } } } } } \\ { { - c _ { 3 L } \tilde { c } _ { 3 R } } } & { { 0 } } & { { c _ { 3 L } ^ { 2 } - c _ { 1 L } ^ { 2 } { \frac { c _ { W } ^ { 2 } } { s _ { W } ^ { 2 } } } } } & { { c _ { 3 L } ^ { 2 } + c _ { 1 L } ^ { 2 } { \frac { c _ { W } ^ { 2 } } { s _ { W } ^ { 2 } } } } } \end{array} \right) .
V \sim \left| \frac { Q \bar { Q } } { M _ { * } } \right| ^ { 2 } ( | f _ { \phi } { \phi } | ^ { 2 } + | f _ { \psi } { \psi } _ { \mathrm { e x } } | ^ { 2 } + | f _ { \psi } \bar { \psi } _ { \mathrm { e x } } | ^ { 2 } ) ,
W _ { H } = M _ { k } \xi _ { k } \overline { { { \xi } } } _ { k } + \lambda _ { a k l } S _ { a } \xi _ { k } \overline { { { \xi } } } _ { l } + \lambda _ { a k l } ^ { \prime } \xi _ { k } \Sigma _ { a } \overline { { { \xi } } } _ { l } + P ( S , \Sigma )
\rho _ { S } ^ { \prime } = \sum _ { i j } { \sqrt { p _ { i } } } \langle \psi _ { j } | U | \psi _ { i } \rangle \rho _ { S } { \sqrt { p _ { i } } } \langle \psi _ { i } | U ^ { \dagger } | \psi _ { j } \rangle .
\begin{array} { r } { \mathcal { M } _ { \mathbf { q } } = \sum _ { j \in \mathrm { ~ i ~ n ~ - ~ p ~ l ~ a ~ n ~ e ~ } } \left( \Omega _ { 0 j } - \mathrm { i } \frac { \Gamma _ { 0 j } } { 2 } \right) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \mathbf { q } \cdot \mathbf { r } _ { j } } = \widetilde \Omega ( \mathbf { q } ) - \mathrm { i } \frac { \widetilde \Gamma ( \mathbf { q } ) } { 2 } = - \frac { 3 } { 2 } \Gamma _ { 0 } \lambda _ { 0 } \widetilde G ( \mathbf { q } ; 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 4 } + J _ { 5 } + J _ { 8 } = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { | z | \leq 1 } } & { \Big [ \mathbf { e } ^ { \varphi ( \cdot , r , z ) } ( X _ { r - } ( x ) ) \Big ( h _ { n } \big ( \mathbf { e } ^ { \psi ( \cdot , r , z ) } ( Y _ { r - } ) - x \big ) - h _ { n } ( Y _ { r - } - x ) \Big ) } \\ & { - X _ { r - } ( x ) \Big ( \mathbf { e } ^ { \psi ( \cdot , r , z ) } ( Y _ { r - } ) - Y _ { r - } \Big ) h _ { n } ^ { \prime } ( Y _ { r - } - x ) \Big ] \, \nu ( \mathrm { d } z ) \, \mathrm { d } r } \end{array}
\begin{array} { c } { { \delta _ { 1 } ^ { ^ { \prime } 2 } = s _ { 2 } \left( s _ { 2 } + 1 \right) \ , \quad \delta _ { 2 } ^ { ^ { \prime } 2 } = m ^ { 2 } s _ { 1 } \left( s _ { 1 } + 3 \right) } } \\ { { s _ { 1 } \geq s _ { 2 } \qquad , \qquad s _ { 1 } , s _ { 2 } = 0 , 1 , 2 , . . . } } \end{array}
\mathcal { Z = } \int D A _ { i } D \varphi ^ { + } D \varphi \exp \left[ - \int d ^ { 3 } x \left( \frac { 1 } { 4 } F _ { i j } F _ { i j } + \left( \mathcal { D } _ { i } { \varphi } \right) ^ { + } \left( \mathcal { D } _ { i } { \varphi } \right) + V ( \varphi ) \; \right) \right] \; ,
( \rho , u , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 , 0 , 4 . 0 \mathrm { e } - 1 3 ) , } & { x < 2 - 0 . 5 \Delta x , x > 2 + 0 . 5 \Delta x } \\ { \left( 1 , 0 , \frac { 1 . 2 8 \mathrm { e } 6 } { \Delta x } \right) , } & { 2 - 0 . 5 \Delta x \leq x \leq 2 + 0 . 5 \Delta x } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } } & { \displaystyle \sum _ { e \in E } \displaystyle \sum _ { j \in P } \omega _ { e } L _ { e } z _ { j e } } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { \displaystyle \sum _ { j \in P } z _ { j e } \leq 1 , \forall e \in E , } \\ & { \displaystyle \sum _ { e \in S } z _ { j e } \leq d , \forall S \subset E ( | S | = d + 1 ) : \bigcap _ { e \in S } ( e \oplus \mathbb { B } _ { R } ( 0 ) ) = \emptyset , \forall j \in P , } \\ & { z _ { j e } \in \{ 0 , 1 \} , \forall e \in E , \forall j \in P . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { k , \ell , s } ^ { H _ { x } } = } & { \, \, - \frac { ( \ell + 1 ) \, \Delta t } { \mu \, s \Delta y } c _ { k , \ell + 1 , s - 1 } ^ { E _ { z } } , } \\ { c _ { k , \ell , s } ^ { H _ { y } } = } & { \, \, \frac { ( k + 1 ) \, \Delta t } { \mu \, s \Delta x } c _ { k + 1 , \ell , s - 1 } ^ { E _ { z } } } \\ { c _ { k , \ell , s } ^ { E _ { z } } = } & { \, \, \frac { \Delta t } { \epsilon \, s } \bigg ( \frac { ( k + 1 ) } { \Delta x } c _ { k + 1 , \ell , s - 1 } ^ { H _ { y } } - \frac { ( \ell + 1 ) } { \Delta y } c _ { k , \ell + 1 , s - 1 } ^ { H _ { x } } \bigg ) , } \end{array}
Z ( \mu , V , T ) = \sum _ { M = 0 } ^ { N _ { \mathrm { s i t e s } } } \mathrm { e } ^ { M \mu / k _ { \mathrm { B } } T } \sum _ { B = M } ^ { N _ { \mathrm { s i t e s } } } \mathrm { e } ^ { - B \varepsilon / k _ { \mathrm { B } } T } Z _ { { M , B } } ,
\begin{array} { r } { \ensuremath { { \mathchoice { \mathrm { \boldmath ~ \displaystyle ~ y ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \textstyle ~ y ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \scriptstyle ~ y ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \scriptscriptstyle ~ y ~ } } } } = \ensuremath { { \mathchoice { \mathrm { \boldmath ~ \displaystyle ~ A ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \textstyle ~ A ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \scriptstyle ~ A ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \scriptscriptstyle ~ A ~ } } } } \ensuremath { { \mathchoice { \mathrm { \boldmath ~ \displaystyle ~ x ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \textstyle ~ x ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \scriptstyle ~ x ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \scriptscriptstyle ~ x ~ } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { Q } _ { t } ( \pi _ { t } , u _ { t } ) : = } & { \operatorname* { m a x } \Big \{ \operatorname* { s u p } _ { c _ { t } \in [ [ C _ { t } | \pi _ { t } , u _ { t } ] ] } c _ { t } , } \\ & { \; \; \; \operatorname* { s u p } _ { \pi _ { t + 1 } \in [ [ \Pi _ { t + 1 } | \pi _ { t } , u _ { t } ] ] } \bar { V } _ { t + 1 } ( \pi _ { t + 1 } ) \Big \} , } \\ { \bar { V } _ { t } ( \pi _ { t } ) : = } & { \relax _ { u _ { t } \in [ [ U _ { t } ] ] } \bar { Q } _ { t } ( \pi _ { t } , u _ { t } ) , } \end{array}
e ^ { i \Gamma _ { f } [ A _ { + } , A _ { - } ] } = \int d \psi ^ { \dagger } d \psi e ^ { i \int d ^ { 2 } x ( \psi _ { L } ^ { \dagger } ( i \partial _ { + } + A _ { + } ) \psi _ { L } + \psi _ { R } ^ { \dagger } ( i \partial _ { - } + A _ { - } ) \psi _ { R } ) } \, ,
\begin{array} { r l } { u = } & { \left( G { \langle G \rangle } ^ { - 1 } \langle G _ { , x ^ { \prime } } \check { C } \rangle - G _ { , x ^ { \prime } } \check { C } \right) \langle \varepsilon \rangle } \\ & { + \left( G { \langle G \rangle } ^ { - 1 } \langle G \rho \rangle - G \rho \right) s ^ { 2 } \langle u \rangle + \langle u \rangle , } \end{array}
{ \overline { { \psi } } } ^ { T } = \left( \psi ^ { \dagger } \gamma ^ { 0 } \right) ^ { T } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { I } \\ { I } & { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { \psi _ { L } ^ { * } } \\ { \psi _ { R } ^ { * } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { \psi _ { R } ^ { * } } \\ { \psi _ { L } ^ { * } } \end{array} \right) }
\frac { d \hat { \sigma } _ { q A \rightarrow \gamma ^ { * } } ^ { ( S H ) } } { d Q ^ { 2 } d q _ { T } ^ { 2 } d y } = \frac { 1 } { 2 x ^ { \prime } s } \, \int d x \, d x _ { 1 } \, d x _ { 2 } \, \int d ^ { 2 } k _ { T } \, \overline { { { T } } } ( x , x _ { 1 } , x _ { 2 } , k _ { T } , p ) \, \overline { { { H } } } ( x ^ { \prime } p ^ { \prime } , x , x _ { 1 } , x _ { 2 } , k _ { T } , p , q ) \ ,
\begin{array} { r l } { F } & { { } = - J M _ { 0 } ^ { 2 } \cos 2 \alpha + 2 K M _ { 0 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \alpha - 2 \mu _ { 0 } H _ { 0 } M _ { 0 } \sin \alpha - 2 K _ { e } M _ { 0 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta B _ { J } = } & { { } \Big [ { \omega ( L _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } + L _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ) r _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } [ 1 + ( d / r _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ) ^ { 2 } ] ^ { 3 / 2 } \Big ] ^ { - 1 } } \\ { \times } & { { } N _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } Q \sqrt { 4 k _ { B } T \rho \Big [ \frac { 4 ( l _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } + r _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ) N _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } { A _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } + \frac { 4 \pi r _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } N _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } { A _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } + \frac { 2 l _ { \mathrm { ~ l ~ e ~ a ~ d ~ } } } { A _ { \mathrm { ~ l ~ e ~ a ~ d ~ } } } \Big ] } , } \end{array}
\mathrm { s o } ( 1 , 3 ) = \left\{ 4 \times 4 \, \mathrm { m a t r i c e s } \, X \mid e ^ { t X } \in \mathrm { S O } ( 1 , 3 ) \, \mathrm { f o r } \, \mathrm { a l l } \, t \right\}
P ^ { j } = p ^ { j } \cdot { \bf 1 } + \sum _ { \bf k } \pi ^ { \perp j } ( { \bf k } ) \mu ( { \bf k } ) ^ { - 1 } ( d i m E ) ^ { - 1 } 2 ^ { - 1 / 2 } ( a ( - { \bf k } ) - a ^ { * } ( { \bf k } ) ) Z _ { \bf k }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \psi } { \partial t } } & { = - ( 1 + i \zeta _ { 0 } ) \psi + \frac { i } { 2 } \partial _ { \theta } ^ { 2 } \psi + i | \psi | ^ { 2 } \psi + f } \\ & { + v _ { g } \partial _ { \theta } \psi - i \Delta _ { \bar { \mu } } \psi _ { \bar { \mu } } e ^ { i { \bar { m } } \theta } - i \tau \psi \partial _ { \theta } | \psi | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { E ( \{ n _ { p } \} ) = \sum _ { p } n _ { p } \, h _ { p p } + \operatorname* { m i n } _ { \{ { ^ { 2 } \Gamma _ { p q r s } } \} \to \{ n _ { p } \} } \; \sum _ { p q r s } { ^ { 2 } \Gamma } _ { p q r s } \, g _ { r s p q } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { U } ( \kappa , k ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } p ( t _ { v } ) \int _ { 0 } ^ { t _ { v } } u ( \kappa ( t ) , k ( t ) ) \, \mathrm { d } t \, \mathrm { d } t _ { v } } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \Omega } _ { i j } = - ( R ^ { T } \dot { R } ) _ { i j } , \qquad \Omega _ { k } \equiv \frac 1 2 \epsilon _ { k i j } \hat { \Omega } _ { i j } = - \frac 1 2 \epsilon _ { k i j } ( R ^ { T } \dot { R } ) _ { i j } , \qquad \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ n ~ } \quad \hat { \Omega } _ { i j } = \epsilon _ { i j k } \Omega _ { k } . } \end{array}
\left< \phi \, ( \partial ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) \, \phi \right> + \frac { \lambda } { 2 } \frac { 1 } { N + 2 } \left< \phi ^ { 4 } \right> = \left< \phi \, ( \partial ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) \, \phi \right> _ { F R E E }
f _ { s } ( \mathbf { v _ { s } } ) = \left( \frac { m _ { s } } { 2 \pi T _ { s } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \exp \left( - \frac { m _ { s } ( \mathbf { v _ { s } } - \mathbf { u } ) ^ { 2 } } { 2 T _ { s } } \right) ,
z _ { 1 } = \frac { e ^ { i \psi / 2 } } { \sqrt { 2 } } \left( \cos \left( \frac { \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } } { 2 } \right) + i \cos \left( \frac { \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } } { 2 } \right) \sin \left( \frac { \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } } { 2 } \right) \right)
A _ { 9 } : = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 1 } & { 2 } & { 4 } \\ { 6 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 4 } & { 2 } & { 1 } \\ { 1 } & { 6 } & { 5 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 4 } & { 2 } & { 1 } \\ { 5 } & { 6 } & { 1 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 4 } & { 1 } & { 2 } \\ { 1 } & { 6 } & { 5 } \end{array} \right)
S _ { h } = \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { i h a _ { 0 } A } \, \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { i h b _ { 0 } B } \, \cdots \, \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { i h b _ { 2 n - 1 } B } \, \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { i h a _ { 2 n } A }
\begin{array} { r l } { \delta E _ { V } ^ { ( 0 ) } = } & { { } \ V _ { v v } \, , } \\ { \delta E _ { V } ^ { ( 1 ) } = } & { { } \ \sum _ { k \neq v } \frac { \big ( V _ { \mathrm { H F } } - U \big ) _ { v k } \, V _ { k v } } { \varepsilon _ { v } - \varepsilon _ { k } } + 2 \, \sum _ { a } I _ { \delta \! a v ; a v } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { L _ { t . x } ^ { 4 } } ^ { 4 } } & { \leq \operatorname* { s u p } _ { t \in I } | M ( t ) | + \| \mathcal { N } u \| _ { L _ { t , x } ^ { 1 } } + \| \mathcal { N } \nabla u \| _ { L _ { t , x } ^ { 1 } } } \\ & { \lesssim \operatorname* { s u p } _ { t \in I } E ( u ) ( t ) + \| \mathcal { N } u \| _ { L _ { t , x } ^ { 1 } } + \| \mathcal { N } \nabla u \| _ { L _ { t , x } ^ { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle P \cdot \mathcal { D } , Q \rangle } & { = } & { - \int _ { 0 } ^ { \infty } P ( x ) W ( x ) \left( Q \cdot ( 1 + x \partial _ { x } ) \right) ^ { \ast } ( x ) d x - \int _ { 0 } ^ { \infty } P ( x ) W ( x ) x W ^ { - 1 } ( x ) W ^ { \prime } ( x ) Q ^ { \ast } ( x ) d x } \\ & { } & { + \int _ { 0 } ^ { \infty } P ( x ) W ( x ) \left( W ^ { - 1 } ( x ) x ( A - 1 ) W ( x ) \right) Q ^ { \ast } ( x ) d x . } \end{array}
{ \overline { { ( \Delta x ) ^ { 2 } } } } = 2 D t = t { \frac { 3 2 } { 8 1 } } { \frac { u ^ { 2 } } { \pi \mu a } } = t { \frac { 6 4 } { 2 7 } } { \frac { { \frac { 1 } { 2 } } u ^ { 2 } } { 3 \pi \mu a } } ,
\begin{array} { l l } { { C _ { A , \ell } = \displaystyle \frac { 1 } { 2 \sin 2 \theta _ { W } } , } } & { { C _ { V , \ell } = - C _ { A , \ell } \, ( 1 - 4 \sin ^ { 2 } \theta _ { W } ) , } } \\ { { C _ { A , u } = - C _ { A , d } = - C _ { A , \ell } , } } & { { } } \\ { { C _ { V , u } = C _ { A , \ell } \, \displaystyle ( 1 - \frac { 8 } { 3 } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } ) , } } & { { C _ { V , d } = - C _ { A , \ell } \, \displaystyle ( 1 - \frac { 4 } { 3 } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } ) , } } \end{array}
F _ { k } ^ { \mathrm { i m p r o v e d } } ( 0 , 0 ; M _ { 0 } ^ { i } , m _ { 0 } ) = F ( M _ { 0 } ^ { i } - g M _ { 0 } ^ { i } , m _ { 0 } - g m _ { 0 } ) \Big | _ { k } .
\begin{array} { r l } { I = } & { \omega \left( A ^ { \dagger } e ^ { t \mathcal { L } _ { N } } \left[ ( \Gamma _ { \ell } ^ { 2 } ( \Delta _ { N } ^ { \ell } ) - \Gamma _ { \ell } ^ { 2 } ( \Delta _ { \ell } ( t ) ) ) X \right] B \right) } \\ { = } & { \sum _ { \alpha } r _ { \ell \alpha } \, \omega \left( A ^ { \dagger } e ^ { t \mathcal { L } _ { N } } \left[ ( m _ { \alpha } ^ { N } - m _ { \alpha } ( t ) ) Q _ { \ell } X \right] B \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta } & { = \frac { ( 4 k + 3 - 2 x ^ { 2 } - x ^ { 4 } ) } { 4 k } \frac { w \, d z } { z ^ { 2 } - 1 } - \frac { ( k + 1 ) ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 ( 2 k + 1 ) } \, \mathrm { d } \bigg ( \frac { z w } { ( z ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } \bigg ) + } \\ & { - \frac { ( k + 1 ) ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 3 + x ^ { 2 } ) } { 4 k } \, \mathrm { d } \bigg ( \frac { z w } { z ^ { 2 } - 1 } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( p _ { \phi , m - 1 } ^ { ( \mathrm { k r } ) } ( \mathbf { L } ) } & { - \phi ( \mathbf { L } ) ) \mathrm { E } _ { W } ( \mathrm { E } _ { W } ^ { * } p _ { \phi , m - 1 } ^ { ( \mathrm { k r } ) } ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } + \gamma N \mathbf { I } _ { N } ) ^ { - 1 } \mathrm { y } \| _ { 2 } } \\ & { \dot { \leq } \frac { \| \mathrm { y } \| _ { 2 } } { ( \phi _ { \operatorname* { m i n } } + \gamma N ) } \left\| \phi ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } - p _ { \phi , m - 1 } ^ { ( \mathrm { k r } ) } ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } \right\| _ { 2 } . } \end{array}
T _ { f i } ^ { ( n ) } - T _ { i f } ^ { ( n ) * } \ = \ i \sum _ { i ^ { \prime } } ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { ( 4 ) } ( P _ { i ^ { \prime } } - P _ { i } ) \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } T _ { i ^ { \prime } f } ^ { ( k ) * } T _ { i ^ { \prime } i } ^ { ( n - k ) } .
\begin{array} { r l r } { A _ { \sigma } } & { = } & { \left\{ \mu _ { 1 } + \sigma \epsilon _ { 1 } < \mu _ { 2 } + \sigma \epsilon _ { 2 } < \ldots < \mu _ { n } + \sigma \epsilon _ { n } \right\} } \\ & { = } & { \bigcap _ { k = 2 } ^ { n } \left\{ \mu _ { k - 1 } + \sigma \epsilon _ { k - 1 } < \mu _ { k } + \sigma \epsilon _ { k } \right\} } \\ & { = } & { \left\{ \sigma \left( \epsilon _ { 1 } - \epsilon _ { 2 } \right) < \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } \right\} \cap \bigcap _ { k = 3 } ^ { n } \left\{ \mu _ { k - 1 } + \sigma \epsilon _ { k - 1 } < \mu _ { k } + \sigma \epsilon _ { k } \right\} . } \end{array}