harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sum _ { j } \{ \int _ { \Omega } \left( \nabla \times \vec { W } _ { i } \right) \cdot \left( \bar { \bar { \varepsilon } } ^ { - 1 } \nabla \times \vec { W } _ { j } \right) d \Omega - \omega ^ { 2 } \mu _ { 0 } \int _ { \Omega } \vec { W } _ { i } \cdot \vec { W } _ { j } d \Omega + } & { { } \int _ { \partial \Omega } \vec { W } _ { i } \cdot \left( \hat { n } \times \bar { \bar { \varepsilon } } ^ { - 1 } \nabla \times \vec { W } _ { j } \right) d \Gamma \} H _ { j } } \end{array}
N _ { + } ^ { \left( 3 \right) } \left( \epsilon \right) = \underset { \mathrm { p o i n t s o u t s i d e ~ t h e ~ a x e s } } { \underbrace { N _ { - } ^ { \left( 3 \right) } \left( \epsilon \right) } } + \underset { \mathrm { p o i n t s ~ a t ~ t h e ~ f a c e s } } { \underbrace { 3 N _ { - } ^ { \left( 2 \right) } \left( \epsilon \right) } } + \underset { \mathrm { p o i n t s a t ~ t h e ~ a x e s } } { \underbrace { 3 N _ { - } ^ { \left( 1 \right) } \left( \epsilon \right) + 1 } } \, .
\begin{array} { r l } { g ( y ^ { \prime } ) } & { \geq g ( y ) + \nabla g ( y ) ^ { T } ( y ^ { \prime } - y ) - N ( c ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } - M \| P _ { c } ( y - y ^ { \prime } ) \| ^ { 2 } } \\ & { = g ( y ) + \nabla g ( y ) ^ { T } ( y ^ { \prime } - y ) + \left( \frac { M } { \| c \| ^ { 2 } } - N \right) ( c ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } - M \| y - y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } \end{array}
{ h _ { 0 } ^ { 0 } } ( x ^ { \mu } ) = \sum { b _ { 0 } ^ { 0 } } ( t , z ) Y ( x ^ { i } ) , \quad { h _ { z } ^ { 0 } } ( x ^ { \mu } ) = \sum { b _ { z } ^ { 0 } } ( t , z ) Y ( x ^ { i } ) ,
\begin{array} { r l r l } & { L ( z ) = { \mathcal G } ( z ) ( X ^ { T } { \boldsymbol U } \widehat \Gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } { \boldsymbol U } ^ { T } Q + Q ^ { T } { \boldsymbol U } \widehat \Gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } { \boldsymbol U } ^ { T } X + X ^ { T } { \boldsymbol U } \widehat \Gamma { \boldsymbol U } ^ { T } X ) , } & & { { \mathcal G } ( z ) = ( Q ^ { T } Q - z I ) ^ { - 1 } . } \end{array}
f _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } ^ { \prime } \left( \hbar \omega \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } g _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } ( \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } ) \left( \frac { 1 } { 2 \hbar \omega } \right) \log \left[ \frac { \vert ( 1 - ( \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } / \hbar \omega ) ) \vert } { ( 1 + ( \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } / \hbar \omega ) } \right] } & { \quad n = 2 } \\ { ( 3 g _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } ( \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } ) / 2 ) \left( \frac { \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } } { \hbar \omega } \right) ^ { 3 / 2 } \left\{ \frac { \pi } { 2 } - \cot ^ { - 1 } ( \hbar \omega / \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } ) ^ { 1 / 2 } - \frac { 1 } { 2 } \log \left[ \frac { 1 + \sqrt { \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } / \hbar \omega } } { \vert 1 - \sqrt { \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } / \hbar \omega } \vert } \right] \right\} } & { \quad n = 2 . 5 , } \\ { g _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } ( \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } ) \left( \frac { \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } } { \hbar \omega } \right) ^ { 2 } \log \left[ \frac { \vert 1 - ( \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } / \hbar \omega ) ^ { 2 } \vert } { ( \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } / \hbar \omega ) ^ { 2 } } \right] } & { \quad n = 3 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { 1 } ^ { \operatorname* { m i n } } ( G _ { 2 } ) } & { = \{ \{ 1 \} , \{ 5 , 6 \} , \{ 2 , 3 , 4 \} , \{ 2 , 4 , 5 \} , \{ 3 , 4 , 6 \} , \{ 2 , 3 , 6 \} , \{ 3 , 4 , 5 \} \} , } \\ { \mathcal { R } _ { 2 } ^ { \operatorname* { m i n } } ( G _ { 2 } ) } & { = \{ \{ 2 \} , \{ 3 , 5 \} , \{ 4 , 6 \} , \{ 1 , 3 , 4 \} , \{ 1 , 4 , 5 \} , \{ 1 , 3 , 6 \} \} , } \\ { \mathcal { R } _ { 3 } ^ { \operatorname* { m i n } } ( G _ { 2 } ) } & { = \{ \{ 3 \} , \{ 2 , 5 \} , \{ 1 , 2 , 4 \} , \{ 1 , 4 , 6 \} , \{ 1 , 2 , 6 \} , \{ 1 , 4 , 5 \} \} . } \end{array}
u _ { i + 1 } ^ { \mathrm { ~ T ~ O ~ R ~ } } \equiv u _ { i } ^ { \mathrm { ~ T ~ O ~ R ~ } } + \bigg ( \frac { L _ { i + 1 } } { L _ { i } } - 1 \bigg ) w _ { i } + \sigma _ { w } R _ { i + 1 }
\begin{array} { r l } { h _ { - 2 } } & { { } = h _ { 1 2 } } \\ { \ h _ { - 1 } } & { { } = h _ { 2 3 } } \\ { h _ { 0 } } & { { } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } h _ { 3 3 } } \\ { h _ { 1 } } & { { } = h _ { 1 3 } } \\ { h _ { 2 } } & { { } = \frac 1 2 ( h _ { 1 1 } - h _ { 2 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \sigma _ { i } \sigma _ { i + 1 } \rangle = \frac { 1 } { 4 } \left[ \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 2 } \sigma _ { 3 } + \sigma _ { 3 } \sigma _ { 4 } + \sigma _ { 4 } \sigma _ { 5 } \right] . } \end{array}
2 8 8 \cdot V ^ { 2 } = { \left| \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { d _ { 1 2 } ^ { 2 } } & { d _ { 1 3 } ^ { 2 } } & { d _ { 1 4 } ^ { 2 } } \\ { 1 } & { d _ { 1 2 } ^ { 2 } } & { 0 } & { d _ { 2 3 } ^ { 2 } } & { d _ { 2 4 } ^ { 2 } } \\ { 1 } & { d _ { 1 3 } ^ { 2 } } & { d _ { 2 3 } ^ { 2 } } & { 0 } & { d _ { 3 4 } ^ { 2 } } \\ { 1 } & { d _ { 1 4 } ^ { 2 } } & { d _ { 2 4 } ^ { 2 } } & { d _ { 3 4 } ^ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right| }
S ( p ) _ { a f } ^ { b g } = i \delta _ { a } ^ { b } \delta _ { f } ^ { g } ~ \left( \frac { \Lambda ^ { + } ( p ) } { p _ { o } ^ { 2 } - \xi _ { p } ^ { 2 } } + \frac { \Lambda ^ { - } ( p ) } { p _ { o } ^ { 2 } - \bar { \xi } _ { p } ^ { 2 } } \right) ~ ( p _ { \mu } \gamma ^ { \mu } - \mu \gamma _ { 0 } ) \, .
\begin{array} { r l } { H ^ { \prime } } & { { } = \Omega J _ { z } + \Omega ^ { \prime } S _ { z } + g _ { z } S _ { z } J _ { z } + \frac { g _ { x } ^ { 2 } \Omega + g _ { x } g _ { y } \Omega ^ { \prime } } { 2 ( \Omega ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } ) } S _ { x } ^ { 2 } J _ { z } + \frac { g _ { y } ^ { 2 } \Omega + g _ { x } g _ { y } \Omega ^ { \prime } } { 2 ( \Omega ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } ) } S _ { y } ^ { 2 } J _ { z } - \frac { g _ { x } ^ { 2 } \Omega ^ { \prime } + g _ { x } g _ { y } \Omega } { 2 ( \Omega ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } ) } S _ { z } J _ { x } ^ { 2 } } \end{array}
g = \kappa M ^ { 2 - 2 \Delta _ { V } } \quad , \quad \kappa = \frac { 2 \Gamma ( \Delta _ { V } ) } { \pi \Gamma ( 1 - \Delta _ { V } ) } \left( \frac { \sqrt { \pi } } { 2 \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 - 2 \Delta _ { V } } \right) \Gamma \left( \frac { h } { 4 - 4 \Delta _ { V } } \right) } \right) ^ { 2 - 2 \Delta _ { V } } .
\mathbb { E } _ { P } \left[ \exp \left( \lambda \xi _ { t } ^ { a } ( P ) \right) | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] = 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } ( \lambda / \sqrt { T } ) ^ { k } \mathbb { E } _ { P } \left[ ( \sqrt { T } \xi _ { t } ^ { a } ( P ) ) ^ { k } / k ! | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] + O \left( \left( \lambda / \sqrt { T } \right) ^ { 3 } \right)
\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \delta ^ { n } } { n ! } \left[ \ln ( M ^ { - 2 } \phi ^ { 2 } ) \right] ^ { n } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \delta ^ { n } } { n ! } \frac { d ^ { n } } { d k ^ { n } } ( M ^ { - 2 } \phi ^ { 2 } ) ^ { k } | _ { k = 0 } = e ^ { \delta \partial _ { k } } ( M ^ { - 2 } \phi ^ { 2 } ) ^ { k } | _ { k = 0 } \: ,
v _ { e f f } ( \chi ) = \int d \chi ~ 2 q ( p ^ { - 1 } ( \chi ) ) \frac { \partial ^ { 2 } { \cal L } _ { b u l k } } { ( \partial \chi ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \left( \chi , q ( p ^ { - 1 } ( \chi ) ) \right) .
\begin{array} { r l } { \overleftrightarrow { G } ( \vec { r } , \vec { r } ^ { \prime } , \omega ) \approx } & { ( \overleftrightarrow { 1 } - \hat { x } \otimes \hat { x } ) \sum _ { \lambda } g _ { \lambda } ( z , z ^ { \prime } ) e ^ { i q _ { \lambda } ( x - x ^ { \prime } ) } , } \\ { \overleftrightarrow { G } _ { m m } ( \vec { r } , \vec { r } ^ { \prime } , \omega ) \approx } & { k _ { 0 } ^ { 2 } \overleftrightarrow { G } ( \vec { r } , \vec { r } ^ { \prime } , \omega ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { x _ { i } + ( 0 , 1 , \dots , a _ { i } / 2 - 1 ) } & { \mathrm { i f ~ } r _ { i } = 0 } \\ { x _ { i } + ( 0 ) } & { \mathrm { i f ~ } r _ { i } = 1 } \\ { x _ { i } + ( 0 , 1 , \dots , a _ { i } / 2 - 1 ) } & { \mathrm { i f ~ } r _ { i } = 2 } \\ { \emptyset } & { \mathrm { i f ~ } r _ { i } = 3 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { } & { \check { \Gamma } _ { 0 , 0 , 1 } ^ { 0 } = \mathcal { G } ^ { 0 \times } \subset { \Gamma } _ { 0 , 0 , 1 } ^ { 0 } = \tilde { \Gamma } _ { 0 , 0 , 1 } ^ { 0 } = { \Gamma } _ { 0 , 0 , 1 } ^ { 1 } = \check { \Gamma } _ { 0 , 0 , 1 } ^ { 1 } = \tilde { \Gamma } _ { 0 , 0 , 1 } ^ { 1 } } \\ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { } & { \qquad = { \Gamma } _ { 0 , 0 , 1 } ^ { 0 1 } = \check { \Gamma } _ { 0 , 0 , 1 } ^ { 0 1 } = \tilde { \Gamma } _ { 0 , 0 , 1 } ^ { 0 1 } = \Lambda _ { 1 } ^ { \times } , \quad \mathrm { ~ n = 1 ~ } ; } \\ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { } & { \check { \Gamma } _ { 0 , 0 , n } ^ { 0 } = \check { \Gamma } _ { 0 , 0 , n } ^ { 0 n } = \Lambda _ { n } ^ { ( 0 ) \times } \subset { \Gamma } _ { 0 , 0 , n } ^ { 0 } = \tilde { \Gamma } _ { 0 , 0 , n } ^ { 0 } = { \Gamma } _ { 0 , 0 , n } ^ { n } = \check { \Gamma } _ { 0 , 0 , n } ^ { n } } \\ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { } & { \qquad = \tilde { \Gamma } _ { 0 , 0 , n } ^ { n } = { \Gamma } _ { 0 , 0 , n } ^ { 0 n } = \tilde { \Gamma } _ { 0 , 0 , n } ^ { 0 n } = \Lambda _ { n } ^ { \times } , \quad \mathrm { ~ n ~ i s ~ e v e n } ; } \\ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { } & { \check { \Gamma } _ { 0 , 0 , n } ^ { 0 } = \Lambda _ { n } ^ { ( 0 ) \times } \subset \check { \Gamma } _ { 0 , 0 , n } ^ { 0 n } = ( \Lambda _ { r } ^ { ( 0 ) } \oplus \Lambda _ { r } ^ { n } ) ^ { \times } \subset { \Gamma } _ { 0 , 0 , n } ^ { 0 } = \tilde { \Gamma } _ { 0 , 0 , n } ^ { 0 } = { \Gamma } _ { 0 , 0 , n } ^ { n } } \\ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { } & { \qquad = \check { \Gamma } _ { 0 , 0 , n } ^ { n } = \tilde { \Gamma } _ { 0 , 0 , n } ^ { n } = { \Gamma } _ { 0 , 0 , n } ^ { 0 n } = \tilde { \Gamma } _ { 0 , 0 , n } ^ { 0 n } = \Lambda _ { n } ^ { \times } , \quad \mathrm { ~ n \geq 3 ~ i s ~ o d d } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ( y , r ) } & { \leq \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } \sigma _ { 0 } \mathbb { 1 } _ { \{ | \hat { y } - \bar { t } | \leq \kappa \} } [ | \partial _ { x _ { m } } \hat { y } | + | \partial _ { x _ { m } } y - \partial _ { x _ { m } } \hat { y } | ] } \\ & { = \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } \sigma _ { 0 } \mathbb { 1 } _ { \{ | \hat { y } - \bar { t } | \leq \kappa \} } | \partial _ { x _ { m } } \hat { y } | + \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } \sigma _ { 0 } \mathbb { 1 } _ { \{ | \hat { y } - \bar { t } | \leq \kappa \} } | \partial _ { x _ { m } } y - \partial _ { x _ { m } } \hat { y } | } \\ & { = V ( \hat { y } , \kappa ) + \sigma _ { 0 } \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } \mathbb { 1 } _ { \{ | \hat { y } - \bar { t } | \leq \kappa \} } | \partial _ { x _ { m } } y - \partial _ { x _ { m } } \hat { y } | , } \end{array}
\sigma _ { 2 \rightarrow 2 } ^ { N L O } = \sigma ^ { H C } + \sum _ { q _ { 1 } , \bar { q _ { 2 } ^ { \prime } } } \int d x _ { a } d x _ { b } f _ { q _ { 1 } / A } ( x _ { a } , Q ^ { 2 } ) f _ { \bar { q _ { 2 } ^ { \prime } } / B } ( x _ { b } , Q ^ { 2 } ) \hat { \sigma } ^ { N L O }
\begin{array} { r l } { l ( \textbf { x } , \textbf { y } ) } & { { } = \frac { 2 \mu _ { x } \mu _ { y } + C _ { 1 } } { \mu _ { x } ^ { 2 } + \mu _ { y } ^ { 2 } + C _ { 1 } } \textbf { , } } \\ { c ( \textbf { x } , \textbf { y } ) } & { { } = \frac { 2 \sigma _ { x } \sigma _ { y } + C _ { 2 } } { \sigma _ { x } ^ { 2 } + \sigma _ { y } ^ { 2 } + C _ { 2 } } \textbf { , } } \\ { s ( \textbf { x } , \textbf { y } ) } & { { } = \frac { \sigma _ { x y } + C _ { 3 } } { \sigma _ { x } \sigma _ { y } + C _ { 3 } } \textbf { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { v ^ { 2 } ( t ) } } = } & { { } e ^ { 2 \beta t / M } v ^ { 2 } ( 0 ) } \\ { + } & { { } 2 D / M ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { \beta ( t - s ^ { \prime } ) / M } e ^ { \beta ( t - s ) / M } \overline { { d W ( s ^ { \prime } ) d W ( s ) } } } \\ { = } & { { } e ^ { 2 \beta t / M } \bigg ( v ^ { 2 } ( 0 ) + \frac { D } { M \beta } \bigg ) - \frac { D } { M \beta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial F _ { \vartheta } } { \partial A } } & { = 2 A \sqrt { 2 } \zeta _ { 4 } / ( k _ { 0 } \sigma ^ { 2 } ) + ( A \sqrt { 2 } c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } ) ( 2 4 / \sigma ^ { 2 } + 5 k _ { 0 } \vartheta ) / ( 2 k _ { 0 } \sigma ^ { 2 } ) + ( A \sqrt { 2 } c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } ) ( 8 / \sigma ^ { 2 } - k _ { 0 } \vartheta ) / ( 2 k _ { 0 } \sigma ^ { 2 } ) , } \\ { \frac { \partial F _ { \vartheta _ { \tau } } } { \partial A } } & { = 2 A \sqrt { 2 } \zeta _ { 4 } / ( k _ { 0 } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } ) + ( A \sqrt { 2 } c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } ) ( 8 / \sigma ^ { 2 } - k _ { 0 } \vartheta ) / ( 2 k _ { 0 } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } ) + ( A \sqrt { 2 } c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } ) ( 8 / \sigma ^ { 2 } - k _ { 0 } \vartheta ) / ( 2 k _ { 0 } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } ) , } \\ { \frac { \partial F _ { A } } { \partial \sigma } } & { = A ^ { 3 } c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } \sqrt { 2 } ( 1 5 0 k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta ^ { 2 } \sigma - 1 9 9 2 / \sigma ^ { 3 } ) / 1 2 8 , } \end{array}
6 g ^ { 6 } { \frac { p ^ { 4 } } { M ^ { 4 } } } l n { \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } + p ^ { 2 } } { m _ { 0 } ^ { 2 } } } - 2 g ^ { 6 } l n { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { m _ { 0 } ^ { 2 } } } + 2 g ^ { 6 } l n { \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } + p ^ { 2 } } { m _ { 0 } ^ { 2 } } } + . . .
\begin{array} { r l r } { \frac { \omega ^ { 2 } } { c _ { 0 } ^ { 2 } } \widetilde { \bf H } ( { \bf r } , \omega ) } & { = } & { M _ { \mu } ^ { 1 / 2 } ( { \bf r } ) \nabla \times M _ { \epsilon } ( { \bf r } ) [ \nabla \times M _ { \mu } ^ { 1 / 2 } ( { \bf r } ) \widetilde { \bf H } ( { \bf r } , \omega ) ] } \\ & { = : } & { { \cal L } _ { \widetilde { \bf H } } \widetilde { \bf H } ( { \bf r } , \omega ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { 0 } ( Q , \{ \tilde { u } _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d _ { 1 } } , } & { \{ \tilde { v } _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { k } , \{ \tilde { w } _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d } ) } \\ { : = \Big \{ ( \alpha , \beta , \gamma ) } & { \in { \mathbb Z } _ { \geq 0 } ^ { d _ { 1 } } \times { \mathbb Z } _ { \geq 0 } ^ { k } \times { \mathbb Z } _ { \geq 0 } ^ { d } \ | \ | \alpha | = | \beta | = | \gamma | \leq \operatorname* { m i n } \{ d , k \} } \\ & { \mathrm { ~ a n d ~ e i t h e r ~ } | \alpha | = 0 \mathrm { ~ o r ~ } ( \tilde { u } \cdot \nabla _ { t } ) ^ { \alpha } Q _ { | \alpha | } ( t , \tilde { v } _ { \beta } , \tilde { w } _ { \gamma } ) \neq 0 \Big \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { B } ( s , \omega ) = } & { \sum _ { n - 0 } ^ { \infty } ( - i \frac { \zeta } { 2 } F ( \omega ) ) ^ { n } \tilde { U } ( s ) ^ { n } \tilde { B } _ { i n } ( s , \omega ) , } \\ { \tilde { U } ( s ) = } & { \sum _ { i } \frac { \xi _ { i } } { s - i q _ { i } } , } \\ { \tilde { B } _ { i n } ( s , \omega ) = } & { \sum _ { i } \frac { \beta _ { i } } { s - i q _ { i } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { r } \, { ^ { 2 } \Gamma _ { p r q r } } = \frac { N - 1 } { 2 } \; { ^ { 1 } \Gamma _ { p q } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \sum _ { p } \, { ^ { 1 } \Gamma _ { p p } } = N \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { B _ { \frac { 1 } { 2 } } } \left( \frac { | \nabla \tilde { u } _ { i } | ^ { 2 } } { 2 } - W ( \tilde { u } _ { i } ) \right) _ { + } } \\ & { \leq C { \delta ^ { p _ { 3 } } } \int _ { B _ { \frac { 1 } { 2 } } } \left( \frac { | \nabla \tilde { u } _ { i } | ^ { 2 } } { 2 } + W ( \tilde { u } _ { i } ) \right) + \int _ { B _ { \frac { 1 } { 2 } } \cap \{ | \tilde { u } _ { i } | \geq 1 - \delta \} } \frac { | \nabla \tilde { u } _ { i } | ^ { 2 } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { h _ { \mathrm { e f f } } ^ { \prime } } } & { { } ( \Omega ) = } \\ { + } & { { } \frac { 2 a _ { 1 } ^ { 2 } } { w _ { D } ^ { 2 } } \left| \int \frac { d ^ { 2 } x _ { \perp } } { \pi w _ { D } ^ { 2 } } \langle \mathrm { H G } _ { 0 0 } | x _ { \perp } \rangle \langle x _ { \perp } | \mathrm { H G } _ { 0 1 } \rangle \frac { \partial h ( x , y ) } { \partial x } \right| ^ { 2 } S _ { \delta y _ { c } } ( \Omega ) , } \end{array}
\mathcal { H } _ { \theta } ( f , g ) = \mathcal { H } _ { \theta } ( G _ { f } , G _ { g } ) = \operatorname* { m a x } \{ \operatorname* { s u p } _ { x \in G _ { f } } \operatorname* { i n f } _ { y \in G _ { g } } d _ { \theta } ( x , y ) , \operatorname* { s u p } _ { y \in G _ { g } } \operatorname* { i n f } _ { x \in G _ { f } } d _ { \theta } ( x , y ) \} .
\mu ^ { 2 } = \frac { m _ { H _ { 1 } } ^ { 2 } - m _ { H _ { 2 } } ^ { 2 } \tan ^ { 2 } \beta } { \tan ^ { 2 } \beta - 1 } - \frac { 1 } { 2 } M _ { Z } ^ { 2 } ,
\ { \mathcal { L } } _ { \mathrm { i n t } } = i { \frac { g } { 2 } } \Phi ^ { \mathsf { T } } A _ { \mu } ^ { \mathsf { T } } \partial ^ { \mu } \Phi + i { \frac { g } { 2 } } ( \partial _ { \mu } \Phi ) ^ { \mathsf { T } } A ^ { \mu } \Phi - { \frac { g ^ { 2 } } { 2 } } ( A _ { \mu } \Phi ) ^ { \mathsf { T } } A ^ { \mu } \Phi
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \bar { u } _ { 0 } ( \bar { r } , t ) } & { \; = } & & { \; \frac { 2 \sqrt { 2 \bar { r } } } { ( 1 - t ) ( 1 - \mathrm { e } ^ { - \bar { r } } ) } , } \\ { \bar { u } _ { 1 } ( \bar { r } , t ) } & { \; = } & & { \; \frac { 4 } { ( 1 - t ) } - \frac { 4 \bar { r } } { ( 1 - t ) ( 1 - \mathrm { e } ^ { - \bar { r } } ) } , } \\ { \bar { u } _ { 2 } ( \bar { r } , t ) } & { \; = } & & { \; \frac { 3 \bar { r } ^ { 3 / 2 } } { \sqrt { 2 } ( 1 - t ) ( 1 - \mathrm { e } ^ { - \bar { r } } ) } - \frac { 4 \sqrt { 2 \bar { r } } } { ( 1 - t ) ( 1 - \mathrm { e } ^ { - \bar { r } } ) } + \frac { \sqrt { 2 } \bar { r } ^ { 3 / 2 } \mathrm { e } ^ { - \bar { r } } } { ( 1 - t ) ( 1 - \mathrm { e } ^ { - \bar { r } } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { u } , \mathbf { y } } \quad } & { \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { u } _ { \mathrm { s } } - \mathbf { H } _ { \mathbf { u } } \mathbf { u } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { y } _ { \mathrm { s } } - \mathbf { H } _ { \mathbf { y } } \mathbf { y } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \gamma \mathcal { R } ( \mathbf { y } ) , } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \mathbf { l } ( \mathbf { u } , \mathbf { y } ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \textrm { d } x _ { C } ( t ) } { \textrm { d } t } = \frac { E ( \Delta x _ { C } ) } { \Delta t } } \\ & { = \frac { \frac { 1 } { n } P ( \Delta x _ { C } = \frac { 1 } { n } ) - \frac { 1 } { n } P ( \Delta x _ { C } = - \frac { 1 } { n } ) } { \frac { 1 } { n } } } \\ & { = \omega \Psi ( x _ { C } , x _ { C \mid C } , \omega ) , } \\ & { = \omega \bigg \{ \frac { 1 } { 2 } x _ { C } ( 1 - x _ { C | C } ) \Big [ \frac { ( k - 1 ) b ( x _ { C \mid C } - x _ { C } ) } { 1 - x _ { C } } } \\ & { - k c - b \Big ] + o ( \omega ) \bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { m } \partial _ { m } \boldsymbol { v } \left( \boldsymbol { x } \right) } & { = } & { \left[ \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \frac { \partial } { \partial r } \right) + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \phi ^ { 2 } } \right] \left( \begin{array} { c c } { \cos \phi } & { - \sin \phi } \\ { \sin \phi } & { \cos \phi } \end{array} \; \right) \boldsymbol { v } \left( \boldsymbol { x } _ { 0 } \right) } \\ & { = } & { \left[ \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \frac { \partial } { \partial r } \right) - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \right] \boldsymbol { v } \left( \boldsymbol { x } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | \gamma _ { N , L } ^ { \textnormal { D i r / N e u } } ( r , \tilde { r } ) | \lesssim _ { \epsilon } \bar { \rho } \biggr ( N ^ { - \frac { 3 5 } { 6 9 } + \epsilon } + ( 1 + | r - \tilde { r } | _ { D , 2 L } ) ^ { - 2 } \biggl ) , } \\ & { | \gamma _ { N , L } ^ { \textnormal { P e r } } ( r , \tilde { r } ) | \lesssim _ { \epsilon } \bar { \rho } \biggr ( N ^ { - \frac { 3 5 } { 6 9 } + \epsilon } + ( 1 + | r - \tilde { r } | _ { D , L } ) ^ { - 2 } \biggl ) . } \end{array}
\int x ^ { m } \operatorname { a r c c s c } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { m + 1 } \operatorname { a r c c s c } ( a x ) } { m + 1 } } \, + \, { \frac { 1 } { a \, ( m + 1 ) } } \int { \frac { x ^ { m - 1 } } { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { a ^ { 2 } x ^ { 2 } } } } } } \, d x \quad ( m \neq - 1 )
t ( \theta _ { \mathrm { z e n } } , h ) = \sqrt { \frac { ( \mathrm { R _ { E } } + h ) ^ { 3 } } { \mathrm { G } \mathrm { M _ { E } } } } \operatorname { a r c c o s } \left[ \frac { R _ { \mathrm { G } } + z ( h , \theta _ { \mathrm { z e n } } ) \cos \theta _ { \mathrm { z e n } } } { \mathrm { R _ { E } } + h } \right] ,
G _ { \hat { \Lambda } ^ { 1 6 } } ( x _ { p } ) = \langle \prod _ { p = 1 } ^ { 1 6 } g _ { _ { Y M } } ^ { 2 } \hat { \Lambda } _ { \alpha _ { p } } ^ { A _ { p } } ( x _ { p } ) \rangle _ { _ { K = 1 } } \; ,
( 1 - \beta _ { d } ^ { 2 } ) \left( \frac { p _ { t h } } { m _ { e } c } \right) ^ { 2 } - 2 \beta _ { d } \mathcal { A } \left( \frac { p _ { t h } } { m _ { e } c } \right) + 1 - \mathcal { A } ^ { 2 } = 0 ,
\begin{array} { r l } { R _ { u } \tau _ { u } ^ { \alpha } f ( x ) } & { = \left( \frac { 1 } { 2 } \cdot _ { \alpha } f \star _ { \alpha } \frac { 1 } { 2 } \cdot _ { \alpha } R _ { u } f \right) ( R _ { u } ( x ) ) = \operatorname* { s u p } _ { y + z = R _ { u } ( x ) } \left( \frac { 1 } { 2 } f ( 2 y ) ^ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } R _ { u } f ( 2 z ) ^ { \alpha } \right) ^ { 1 / \alpha } } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { y + z = R _ { u } ( x ) } \left( \frac { 1 } { 2 } R _ { u } f ( R _ { u } ( 2 y ) ) ^ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } f ( R _ { u } ( 2 z ) ) ^ { \alpha } \right) ^ { 1 / \alpha } } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { R _ { u } ( y ) + R _ { u } ( z ) = x } \left( \frac { 1 } { 2 } R _ { u } f ( 2 R _ { u } ( y ) ) ^ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } R _ { u } g ( 2 R _ { u } ( z ) ) ^ { \alpha } \right) ^ { 1 / \alpha } = \tau _ { u } ^ { \alpha } f ( x ) . } \end{array}
\frac { D f } { D t } = T \left( \frac { \partial f } { \partial T } \right) _ { \rho } \left[ \frac { D \ln \rho } { D t } + \frac { D \ln T } { D t } \right] - T \left( \frac { \partial f } { \partial T } \right) _ { p } \frac { D \ln \rho } { D t }
\mu { \frac { d \lambda _ { 6 } } { d \mu } } = { \frac { 6 \lambda _ { 6 } \lambda _ { 2 } } { 2 \pi \alpha } } + { \binom { 5 } { 2 } } { \frac { \lambda _ { 4 } ^ { 2 } } { 2 \pi \alpha } } .
\left( 1 + \frac { \gamma t ^ { 1 } } { 1 ! } + \frac { \alpha ^ { 2 } t ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { \gamma \alpha ^ { 2 } t ^ { 3 } } { 3 ! } + . . . \right) \geq ( 1 + \omega _ { 0 } t ) e ^ { ( \gamma - \omega _ { 0 } ) t } \, .
\begin{array} { r l } { = } & { { } \quad \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \left[ \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i - 1 } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } } [ | | \mathbf { x } _ { t _ { i - 1 } } - \mu _ { t _ { i - 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } ] + \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } } [ | | \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } - \mu _ { t _ { i + 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } ] \right] } \\ { = } & { { } \quad \mathbb { E } _ { ( \mathbf { x } _ { t _ { i - 1 } } , \mathbf { x } _ { t _ { i } } , \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } ) } \left[ | | \mathbf { x } _ { t _ { i - 1 } } - \mu _ { t _ { i - 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } + | | \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } - \mu _ { t _ { i + 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ { = } & { { } \quad \mathcal { L } _ { \mathrm { s i n g l e } } ( \theta ) . } \end{array}