harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { 2 ^ { r - 1 } \tilde { \epsilon } \left| \frac { a } { b } \right| \sum _ { i + j + k \ge r - 1 } \frac { ( i + j + k ) ^ { r - 1 } } { ( i + j + k ) ! } \epsilon ^ { i } \tilde { \epsilon } ^ { j } \bar { \epsilon } ^ { k } \| t ^ { i + j + k - ( r - 1 ) } \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } ^ { j } \bar { \partial } ^ { k } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \le 2 ^ { r - 1 } \tilde { \epsilon } \left| \frac { a } { b } \right| \frac { ( r - 1 ) ^ { r - 1 } } { ( r - 1 ) ! } \sum _ { i + j + k = r - 1 } \epsilon ^ { i } \tilde { \epsilon } ^ { j } \bar { \epsilon } ^ { k } \| \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } ^ { j } \bar { \partial } ^ { k } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \quad \quad + 2 ^ { r - 1 } T \tilde { \epsilon } \left| \frac { a } { b } \right| \sum _ { i + j + k \ge r } \frac { ( i + j + k ) ^ { r } } { ( i + j + k ) ! } \epsilon ^ { i } \tilde { \epsilon } ^ { j } \bar { \epsilon } ^ { k } \| t ^ { i + j + k - r } \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } ^ { j } \bar { \partial } ^ { k } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \end{array}
\Gamma ( H ) \; = \; { \frac { 1 } { 2 M _ { H } } } \; \sum _ { Q \bar { Q } } \sum _ { \mathrm { h a d r o n s } } \left| \psi _ { Q \bar { Q } } ^ { H } \otimes T _ { Q \bar { Q } \to \mathrm { h a d r o n s } } \right| ^ { 2 } ,
\overline { { { \alpha } } } \, ( Q ^ { 2 } ) \, = \, \alpha \, \left\{ 1 \, + \, \left[ \mathrm { p o w e r ~ s e r i e s i n } \, \frac { \alpha } { 4 \, \pi } \, \beta _ { 0 } \, \ln \, \left( \frac { Q ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) \right] \right\}
\varepsilon _ { g } = b _ { 1 } \left[ { \mathrm { E o } } ^ { b 2 } { \mathrm { A r } } ^ { b 3 } { \mathrm { F r } } ^ { b 4 } \left( { \frac { d _ { r } } { D } } \right) ^ { b 5 } \right] ^ { b 6 }
\begin{array} { r l r l } & { \mathbf { U } ( z ) , } & { \mathrm { f o r } \ } & { z \ \mathrm { o u t s i d e \ t h e \ f o u r \ l e n s \ r e g i o n s } , } \\ & { \mathbf { U } ( z ) \widetilde { S } _ { U _ { 2 } } , } & { \mathrm { f o r } \ } & { z \ \mathrm { i n \ t h e \ u p p e r \ p a r t \ o f \ t h e \ f i r s t \ l e n s \ r e g i o n } , } \\ & { \mathbf { U } ( z ) \widetilde { S } _ { U _ { 1 } } ^ { - 1 } , } & { \mathrm { f o r } \ } & { z \ \mathrm { i n \ t h e \ l o w e r \ p a r t \ o f \ t h e \ f i r s t \ l e n s \ r e g i o n } , } \\ & { \mathbf { U } ( z ) \widetilde { S } _ { L _ { 2 } } ^ { - 1 } , } & { \mathrm { f o r } \ } & { z \ \mathrm { i n \ t h e \ u p p e r \ p a r t \ o f \ t h e \ s e c o n d \ l e n s \ r e g i o n } , } \\ & { \mathbf { U } ( z ) \widetilde { S } _ { L _ { 1 } } , } & { \mathrm { f o r } \ } & { z \ \mathrm { i n \ t h e \ l o w e r \ p a r t \ o f \ t h e \ s e c o n d \ l e n s \ r e g i o n } , } \\ & { \mathbf { U } ( z ) \widetilde { S } _ { L _ { 4 } } ^ { - 1 } , } & { \mathrm { f o r } \ } & { z \ \mathrm { i n \ t h e \ u p p e r \ p a r t \ o f \ t h e \ t h i r d \ l e n s \ r e g i o n } , } \\ & { \mathbf { U } ( z ) \widetilde { S } _ { L _ { 3 } } , } & { \mathrm { f o r } \ } & { z \ \mathrm { i n \ t h e \ l o w e r \ p a r t \ o f \ t h e \ t h i r d \ l e n s \ r e g i o n } } \\ & { \mathbf { U } ( z ) \widetilde { S } _ { U _ { 4 } } ^ { - 1 } , } & { \mathrm { f o r } \ } & { z \ \mathrm { i n \ t h e \ u p p e r \ p a r t \ o f \ t h e \ f o u r t h \ l e n s \ r e g i o n } , } \\ & { \mathbf { U } ( z ) \widetilde { S } _ { U _ { 3 } } , } & { \mathrm { f o r } \ } & { z \ \mathrm { i n \ t h e \ l o w e r \ p a r t \ o f \ t h e \ f o u r t h \ l e n s \ r e g i o n } , } \end{array}
{ \frac { 2 \epsilon ^ { 3 } } { 3 5 } } - { \frac { 5 7 } { 1 4 } } - { \frac { 1 } { 2 0 } } \, { \frac { \mathrm { B i } ^ { \prime } ( - \epsilon ) } { \mathrm { B i } ( - \epsilon ) } }
\tau = \left( \begin{array} { l l } { { i T _ { 1 1 } } } & { { i T _ { 1 2 } } } \\ { { i T _ { 2 1 } } } & { { i T _ { 2 2 } } } \end{array} \right) ~ ~ ~ , ~ ~ ~ I = \left( \begin{array} { l l } { { - 1 _ { 2 } } } & { { 0 _ { 2 } } } \\ { { 0 _ { 2 } } } & { { 1 _ { 2 } } } \end{array} \right) ~ ,
\begin{array} { r l } & { { \mathcal { L } _ { 2 - } } = { { Q } _ { - 2 } } \otimes { { I } _ { { { n } _ { H E O M } } } } \otimes M ^ { \prime \prime } } \\ & { = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { { { { - \tilde { \alpha } } } _ { 2 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { { \alpha } _ { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { { { \alpha } _ { 2 } } - { { { \tilde { \alpha } } } _ { 2 } } } \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { } & { } & { } \\ { } & { 1 } & { } & { } \\ { } & { } & { \ddots } & { } \\ { } & { } & { } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { \otimes \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { } & { } & { } & { } \\ { 1 } & { 0 } & { } & { } & { } \\ { } & { { 2 } } & { \ddots } & { } & { } \\ { } & { } & { \ddots } & { \ddots } & { } \\ { } & { } & { } & { { { n } _ { \operatorname* { m a x } } } } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Omega \mathrm { 2 B } } & { = } & { \Omega \mathrm { 2 b 1 } + \Omega \mathrm { 2 b 2 } + \Omega \mathrm { 2 b 3 } + \Omega \mathrm { 2 b 4 } + \Omega \mathrm { 2 b 5 } + \Omega \mathrm { 2 b 6 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { W _ { i j } W _ { i j } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } } ( f _ { i } + 1 ) ( f _ { j } + 1 ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { W _ { i j } W _ { i j } } { \omega _ { i } + \omega _ { j } } f _ { i } f _ { j } } \\ & { } & { + \sum _ { i , j } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { W _ { i j } W _ { i j } } { - \omega _ { i } + \omega _ { j } } ( f _ { i } + 1 ) f _ { j } } \\ & { } & { - \frac { \beta } { 4 } \sum _ { i , j } ^ { \mathrm { d e n o m . } = 0 } { W _ { i j } W _ { i j } } ( f _ { i } + 1 ) ( f _ { j } + 1 ) } \\ & { } & { - \frac { \beta } { 4 } \sum _ { i , j } ^ { \mathrm { d e n o m . } = 0 } { W _ { i j } W _ { i j } } f _ { i } f _ { j } } \\ & { } & { - \frac { \beta } { 2 } \sum _ { i , j } ^ { \mathrm { d e n o m . } = 0 } { W _ { i j } W _ { i j } } ( f _ { i } + 1 ) f _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( \int _ { 0 } ^ { T } | \xi ( s ) | \, | \nabla \xi ( s ) | ^ { 3 } d s \right) ^ { 2 } } & { \leq C ( 1 + | \xi _ { 0 } | ^ { 6 } ) ( 1 + | \xi _ { 0 } | ^ { 4 } + | \nabla \xi _ { 0 } | ^ { 2 } ) } \\ & { \leq C \exp ( c \alpha | \xi _ { 0 } | ^ { 2 } ) ( 1 + | \nabla \xi _ { 0 } | ^ { 2 } ) , } \end{array}
G _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( \vec { \rho } , v ) = - \frac { g } { L } \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d - 1 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \cos ( \frac { n \pi v } { L } ) \int d ^ { d - 1 } p \frac { e ^ { i \vec { p } . \vec { \rho } } } { ( \vec { p } ^ { \, 2 } + ( \frac { n \pi } { L } ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) } .
\begin{array} { r l r } { \dot { \theta _ { i } } } & { { } = } & { \omega _ { i } + [ - K _ { 1 } k _ { i } ^ { ( 1 ) } \sin \alpha - K _ { 2 } k _ { i } ^ { ( 2 ) } \sin \beta ] - K _ { 1 } \cos \alpha [ k _ { i } ^ { ( 1 ) } \theta _ { i } - \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { i j } \theta _ { j } ] - K _ { 2 } \cos \beta [ k _ { i } ^ { ( 2 ) } \theta _ { i } - \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { i j } ( \sum _ { l = 1 } ^ { N } A _ { j l } A _ { l i } ) \theta _ { j } } \end{array}
{ } _ { 2 } F _ { 1 } ( a , b ; c ; z ) = ( 1 - z ) ^ { c - a - b } \, { } _ { 2 } F _ { 1 } ( c - a , c - b ; c ; z ) \ \ \ { \mathrm { E u l e r ~ t r a n s f o r m a t i o n } }
- \frac { 1 } { 2 } \frac { \alpha ^ { \prime } } { a ^ { 2 } } \ddot { T } ( X ^ { 0 } ) - 2 T ( X ^ { 0 } ) + \frac { \alpha ^ { \prime } } { a ^ { 2 } } \dot { \phi } \dot { T } ( X ^ { 0 } ) = 0 \ ,
\begin{array} { r l } { \gamma _ { l , 1 } ^ { T } \left[ \begin{array} { l l l } { 0 _ { l + 1 } } & { \dots } & { 0 _ { l + 1 } } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] ^ { T } } & { L ^ { T } L \left[ \begin{array} { l l l } { 0 _ { l + 1 } } & { \dots } & { 0 _ { l + 1 } } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { l + 1 } } \\ { \Theta _ { l + 1 , t } } \end{array} \right] ^ { T } L ^ { T } L \left[ \begin{array} { l l l } { 0 _ { l + 1 } } & { \dots } & { 0 _ { l + 1 } } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] } \\ & { = z _ { t } ^ { T } [ z _ { t _ { 1 } } \dots z _ { t _ { c } } ] } \\ & { = \bar { \gamma } _ { l , 1 } ^ { T } [ z _ { t _ { 1 } } \dots z _ { t _ { c } } ] ^ { T } [ z _ { t _ { 1 } } \dots z _ { t _ { c } } ] } \\ & { = \bar { \gamma } _ { l , 1 } ^ { T } \left[ \begin{array} { l l l } { 0 _ { l + 1 } } & { \dots } & { 0 _ { l + 1 } } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] ^ { T } L ^ { T } L \left[ \begin{array} { l l l } { 0 _ { l + 1 } } & { \dots } & { 0 _ { l + 1 } } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] } \end{array}
\Gamma = { \frac { 2 \lambda \mu + \tau _ { 0 } - \sqrt { 4 \lambda ^ { 2 } \mu ^ { 2 } + 4 \lambda \mu \tau _ { 0 } + \tau _ { 0 } ^ { 2 } - 8 \sigma ^ { 2 } \mu ^ { 2 } \log 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } } \; .
\begin{array} { r l } { - \int _ { \Omega } v _ { i } \partial _ { j } \sigma _ { i j } ^ { u } } & { = + \int _ { \Omega } ( \partial _ { j } v _ { i } ) \sigma _ { i j } ^ { u } - \int _ { \partial \Omega } v _ { i } \sigma _ { i j } ^ { u } n _ { j } } \\ & { = \int _ { \Omega } ( \partial _ { j } v _ { i } ) \left( \alpha \delta _ { i j } \partial _ { k } u _ { k } + \frac { \beta } { 2 } ( \partial _ { j } u _ { i } + \partial _ { i } u _ { j } ) \right) - \int _ { \partial \Omega } v _ { i } \sigma _ { i j } ^ { u } n _ { j } } \\ & { = - \alpha \int _ { \Omega } u _ { k } \partial _ { k } ( \partial _ { i } v _ { i } ) + \alpha \int _ { \partial \Omega } u _ { k } \partial _ { i } v _ { i } n _ { k } } \\ & { \quad \quad - \frac { \beta } { 2 } \int _ { \Omega } u _ { i } \partial _ { j } ( \partial _ { j } v _ { i } ) + \frac { \beta } { 2 } \int _ { \partial \Omega } u _ { i } \partial _ { j } v _ { i } n _ { j } } \\ & { \quad \quad - \frac { \beta } { 2 } \int _ { \Omega } u _ { j } \partial _ { i } ( \partial _ { j } v _ { i } ) + \frac { \beta } { 2 } \int _ { \partial \Omega } u _ { j } \partial _ { j } v _ { i } n _ { i } } \\ & { \quad \quad - \int _ { \partial \Omega } v _ { i } \sigma _ { i j } ^ { u } n _ { j } } \end{array}
\sigma ^ { l } = \pi \Omega _ { n + 1 } \left[ { \frac { \Gamma ( { \frac { n } { 2 } } + 1 ) } { \Gamma ( { \frac { n } { 2 } } + l + 1 ) \Gamma ( { \frac { n + 2 l } { 2 b } } ) } } \right] ^ { 2 } { \frac { 2 l + n } { n } } { \binom { l + n - 1 } { l } } S \left( { \frac { T } { b } } \right) ^ { { \frac { n + 2 l } { b } } - 1 } \left( { \frac { \omega } { 2 } } \right) ^ { { \frac { n + 2 l } { b } } + 2 l - 1 } .
\begin{array} { r } { f ( t ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \int _ { \gamma - i T } ^ { \gamma + i T } \mathrm { d } s \ f ( s ) \mathrm { e } ^ { s t } , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } { \frac { 1 } { t } } \int _ { 0 } ^ { t } \mathbf { F } ( \mathbf { u } ( s ) ) \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ( s ) \, \mathrm { d } s = { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \int _ { 0 } ^ { t } \mathbf { F } ( \mathbf { x } + s \mathbf { v } ) \cdot \mathbf { v } \, \mathrm { d } s { \bigg | } _ { t = 0 } = \mathbf { F } ( \mathbf { x } ) \cdot \mathbf { v }
d s _ { 4 } ^ { 2 } = - { \frac { 1 } { \sqrt { - { \frac { 1 } { 6 } } H ^ { 0 } C _ { a b c } H ^ { a } H ^ { b } H ^ { c } } } } d t ^ { 2 } + \sqrt { - { \frac { 1 } { 6 } } H ^ { 0 } C _ { a b c } H ^ { a } H ^ { b } H ^ { c } } d \vec { x } ^ { 2 } .
\left. C _ { 2 , q } ^ { S , ( n ) } \right| _ { n \rightarrow 1 } = \frac { C _ { F } } { C _ { A } } \, \left[ \left. C _ { 2 , g } ^ { ( n ) } \, \right| _ { n \rightarrow 1 } - \, \frac { 1 } { 3 } \, a _ { s } \, n _ { f } \, T _ { f } \right] \, [ 3 m m ]
{ \begin{array} { r l } { S } & { = - k _ { \mathrm { B } } \sum _ { i } \rho _ { i } \ln \rho _ { i } } \\ & { = - k _ { \mathrm { B } } \sum _ { i } \rho _ { i } \left( { \frac { \lambda _ { 2 } } { k _ { \mathrm { B } } } } E _ { i } - \ln ( Z ) \right) } \\ & { = - \lambda _ { 2 } \sum _ { i } \rho _ { i } E _ { i } + k _ { \mathrm { B } } \ln ( Z ) \sum _ { i } \rho _ { i } } \\ & { = - \lambda _ { 2 } U + k _ { \mathrm { B } } \ln ( Z ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 3 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 4 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 5 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E _ { \mathtt { S F } } ( \phi ) = - \big ( \nabla ^ { \beta } \nabla _ { \beta } \phi - V ^ { \prime } ( \phi ) \big ) \mathrm { v o l } _ { g } , } \\ & { b _ { \mathtt { S F } } ( \phi ) = \big ( f \; \overline { { \phi } } - \jmath ^ { * } ( \mathcal { L } _ { \nu } \phi ) \big ) \mathrm { v o l } _ { g } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { I } _ { j } ^ { l } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) } & { = \int \mathrm { d } { \mathbf { r } _ { 2 } } \, \chi _ { l } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \phi _ { j } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \nabla _ { 1 } u ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \bar { g } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) } \\ { J _ { j } ^ { l } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) } & { = \int \mathrm { d } { \mathbf { r } _ { 2 } } \, \chi _ { l } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \phi _ { j } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, u ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \bar { g } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \ell } \sigma m o e x \left( \mathcal { C } ( k ) \right) + \sum _ { k = 1 } ^ { \ell } \sigma m o e x \left( \mathcal { D } ( k ) \right) } \\ { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \ell } \sigma m o e x \left( \mathcal { C } ( k ) \right) + \sum _ { k = 1 } ^ { \ell - 1 } \sigma m o e x \left( \mathcal { D } ( k ) \right) + \sigma m o e x \left( \mathcal { D } ( \ell ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ S | { \bf n } , \beta ] } & { = \int d \boldsymbol { \rho } \; S ( \boldsymbol { \rho } | \beta ) \; p ( \boldsymbol { \rho } | { \bf n } ) } \\ & { = \psi _ { 0 } ( N + K \beta + 1 ) } \\ & { - \sum _ { i = 1 } ^ { K } \frac { n _ { i } + \beta } { N + K \beta } \, \psi _ { 0 } ( n _ { i } + \beta + 1 ) \; . } \end{array}
F _ { \mathbf { Z } } ( \mathbf { z } ) = F _ { \Re { ( Z _ { 1 } ) } , \Im { ( Z _ { 1 } ) } , \ldots , \Re { ( Z _ { n } ) } , \Im { ( Z _ { n } ) } } ( \Re { ( z _ { 1 } ) } , \Im { ( z _ { 1 } ) } , \ldots , \Re { ( z _ { n } ) } , \Im { ( z _ { n } ) } ) = \operatorname { P } ( \Re { ( Z _ { 1 } ) } \leq \Re { ( z _ { 1 } ) } , \Im { ( Z _ { 1 } ) } \leq \Im { ( z _ { 1 } ) } , \ldots , \Re { ( Z _ { n } ) } \leq \Re { ( z _ { n } ) } , \Im { ( Z _ { n } ) } \leq \Im { ( z _ { n } ) } )
\big ( \varphi _ { j } , \varphi _ { k } \big ) = \int _ { \Omega } w ( x ) \varphi _ { j } ( x ) \varphi _ { k } ^ { \ast } ( x ) \mathrm { d } x = \delta _ { j k } \lVert \varphi _ { j } \rVert ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { r _ { c } ( \lambda ^ { k + 1 } , s ^ { k + 1 } ) - r _ { c } ( \lambda ^ { k } , s ^ { k } ) = } & { A ^ { \top } \left( \lambda ( \alpha _ { k } ) + \Delta \lambda - \lambda ^ { k } \right) + \left( s ( \alpha _ { k } ) + \Delta s - s ^ { k } \right) } \\ { = } & { - \left( A ^ { \top } \dot { \lambda } + \dot { s } \right) \sin ( \alpha _ { k } ) + \left( A ^ { \top } \ddot { \lambda } + \ddot { s } \right) ( 1 - \cos ( \alpha _ { k } ) ) } \\ & { + \left( A ^ { \top } \Delta \lambda + \Delta s \right) } \\ { = } & { - r _ { c } ( \lambda ^ { k } , s ^ { k } ) \sin ( \alpha _ { k } ) . } \end{array}
d \left[ K ^ { \left( 2 q + 2 \right) } \left( S \right) - C ^ { \left( 2 q - 1 \right) } K ^ { \left( 3 \right) } \left( \Gamma _ { 1 1 } \right) \right] = d K ^ { \left( 2 q + 2 \right) } \left( S \right) + K ^ { \left( 2 q \right) } \left( S \Gamma _ { 1 1 } \right) K ^ { \left( 3 \right) } \left( \Gamma _ { 1 1 } \right) \quad ,
{ \cal R } _ { l ^ { \prime } } = \left[ 1 + \frac { \alpha } { 2 \pi } \left( \frac { 2 5 } { 4 } - \pi ^ { 2 } \right) \right] \left( 1 + \frac { 3 } { 5 } \frac { m _ { l ^ { \prime } } ^ { 2 } } { m _ { W } ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r } { \boldsymbol { { \mathcal { J } } } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 _ { 2 } } & { } & { I _ { 2 } } \\ { - I _ { 2 } } & { } & { \Lambda } \end{array} \right) \, , \qquad \Lambda = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { } & { \lambda } \\ { - \lambda } & { } & { 0 } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\frac { 1 } { ( 2 \pi \mathrm { i } ) ^ { 2 } } \oint _ { \Gamma _ { 0 } } \mathrm { d } u \oint _ { \Gamma _ { 0 } } \mathrm { d } v \, \frac { ( 1 + \kappa \theta v ) ^ { M - 1 } v ^ { 2 M - z - 1 } } { [ v ( \alpha - \theta v ) ] ^ { M } } \frac { ( 1 + \kappa \theta u ) ^ { k - M } } { [ u ( \beta - \theta u ) ] ^ { k - M + 1 } } \frac { ( \alpha - 2 \theta v - \kappa \theta ^ { 2 } v ^ { 2 } ) ( \beta - 2 \theta u - \kappa \theta ^ { 2 } u ^ { 2 } ) } { ( u - v ) ( \alpha - \theta u - \theta v - \kappa \theta ^ { 2 } u v ) }
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } [ u ] - \mathcal { N } [ u ^ { * } ] = } & { u ( x , y , 0 ) \exp [ - R ( x , y , t , u ) ] - u ^ { * } ( x , y , 0 ) \exp [ - R ( x , y , t , u ^ { * } ) ] } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \exp [ R ( x , y , s , u ) - R ( x , y , t , u ) ] \int _ { 0 } ^ { x } \int _ { 0 } ^ { y } u ( x - x ^ { \prime } , y - y ^ { \prime } , s ) u ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , s ) d y ^ { \prime } d x ^ { \prime } d s } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \exp [ R ( x , y , s , c ^ { * } ) - R ( x , y , t , c ^ { * } ) ] \int _ { 0 } ^ { x } \int _ { 0 } ^ { y } u ^ { * } ( x - x ^ { \prime } y - y ^ { \prime } , s ) u ^ { * } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , s ) d y ^ { \prime } d x ^ { \prime } d s . } \end{array}
\zeta _ { i } = \mathrm { s i g n } ( o _ { \zeta _ { i } } ) \operatorname { a r c c o s } ( ( \overline { { [ a _ { i } , b _ { i } ] } } , \overline { { [ c _ { i - 1 } , a _ { i } ] } } ) ) , \quad \mathrm { w h e r e } \quad o _ { \zeta _ { i } } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( [ a _ { i } , b _ { i } ] , c _ { i - 1 } ) , \mathrm { ~ i f ~ } i = 1 , 3 } \\ { ( [ c _ { i - 1 } , a _ { i } ] , b _ { i } ) , \mathrm { ~ i f ~ } i = 2 , 4 } \end{array} \right. ,
\left| \alpha - { \frac { p } { q } } \right| \leq { \frac { A } { q ^ { n } } } \leq A < \operatorname* { m i n } \left( 1 , { \frac { 1 } { M } } , \left| \alpha - \alpha _ { 1 } \right| , \left| \alpha - \alpha _ { 2 } \right| , \ldots , \left| \alpha - \alpha _ { m } \right| \right)
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } } & { \ge I ( Y _ { 1 } ; \Tilde { U } _ { 1 } | \Tilde { U } _ { 2 } , Q ) , ~ ~ ~ ~ R _ { 2 } \ge I ( Y _ { 2 } ; \Tilde { U } _ { 2 } | \Tilde { U } _ { 1 } , Q ) , ~ ~ ~ ~ R _ { 1 } + R _ { 2 } \ge I ( Y _ { 1 } , Y _ { 2 } ; \Tilde { U } _ { 1 } , \Tilde { U } _ { 2 } | Q ) , } \\ { \Delta _ { 1 } } & { \le H ( X ) - I ( X ; \Tilde { U } _ { 1 } | \Tilde { U } _ { 2 } , Q ) , ~ ~ ~ ~ ~ \Delta _ { 2 } \le H ( X ) - I ( X ; \Tilde { U } _ { 2 } | \Tilde { U } _ { 1 } , Q ) , } \\ { \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } } & { \le H ( X ) + H ( X | \Tilde { U } _ { 1 } , \Tilde { U } _ { 2 } , Q ) , ~ ~ ~ ~ ~ \Delta _ { 2 } - R _ { 1 } \le H ( X ) - I ( Y _ { 1 } , X ; \Tilde { U } _ { 1 } , \Tilde { U } _ { 2 } | Q ) , } \\ { \Delta _ { 1 } - R _ { 2 } } & { \le H ( X ) - I ( X , Y _ { 2 } ; \Tilde { U } _ { 1 } , \Tilde { U } _ { 2 } | Q ) , ~ ~ ~ ~ ~ D \ge H ( X | \Tilde { U } _ { 1 } , \Tilde { U } _ { 2 } , Q ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K _ { \gamma \mathrm { B I } } ( \mathbb { S } , \mathbb { P } ) } & { = } & { \frac { T - \sqrt { T ^ { 2 } - 2 T \left[ \cosh ( \gamma ) \mathbb { S } + \sinh ( \gamma ) \sqrt { \mathbb { S } ^ { 2 } + \mathbb { P } ^ { 2 } } \right] - \mathbb { P } ^ { 2 } } - \cosh ( \gamma ) \mathbb { S } } { \cosh ( \gamma ) ( \mathbb { S } ^ { 2 } + \mathbb { P } ^ { 2 } ) } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \end{array}
\hat { \phi } _ { n } ^ { ( i ) \mu } = \sqrt { \frac { \alpha ^ { \prime } } { 2 n } } i \left( \hat { a } _ { n } ^ { ( i ) \mu } - \hat { a } _ { n } ^ { \dagger ( i ) \mu } \right) ~ , \quad \hat { \pi } _ { n \mu } ^ { ( i ) } = \sqrt { \frac { n } { 2 \alpha ^ { \prime } } } g _ { \mu \nu } \left( \hat { a } _ { n } ^ { ( i ) \nu } + \hat { a } _ { n } ^ { \dagger ( i ) \nu } \right) ~ .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \Delta _ { n } } & { \leq \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left\{ E \left[ 1 ( I _ { n } < n ^ { c _ { \vartheta } } ) + 1 ( I _ { n } = 1 ) + \frac { 2 C _ { f } \mu I _ { n } ^ { - 2 \delta } } { f _ { * } } \right] \right\} \leq \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } P ( U < n ^ { c _ { \vartheta } - 1 } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { n } ^ { * } ( G _ { r } ) } & { \leq m _ { n } \left( \left\{ x \in B ( 0 , r ) : \int _ { \gamma + x } \rho \, d s \geq 1 \right\} \right) \leq \int _ { B ( 0 , r ) } \int _ { 0 } ^ { \ell ( \gamma ) } \rho ( \gamma ( t ) + x ) \, d t d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \ell ( \gamma ) } \int _ { B ( 0 , r ) } \rho ( \gamma ( t ) + x ) \, d x d t \leq \ell ( \gamma ) \| \rho \| _ { L ^ { 1 } ( B ( 0 , R ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { w } ^ { T } \tilde { \mathbf { \Gamma } } \vec { w } } & { { } = \frac { 1 } { v _ { \mathbf { k _ { 0 } } } } \sum _ { \beta , \beta ^ { \prime } } \Big [ \left< \left| \Sigma _ { \beta , \beta ^ { \prime } , - { \mathbf { k } _ { 0 } } , - { \mathbf { k } _ { 0 } } } \right| ^ { 2 } \right> _ { S _ { \phi } ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { W } ( z ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } ( \{ t \} - \frac 1 2 ) ( z t ^ { - 1 } W ^ { \prime } ( z / t ) + W ( z / t ) ) d t / t ^ { 2 } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } B _ { 2 } ^ { * } ( t ) ( 4 z t ^ { - 2 } W ^ { \prime } ( z / t ) + 2 W ( z / t ) t ^ { - 1 } + z ^ { 2 } t ^ { - 3 } W ^ { \prime \prime } ( z / t ) ) d t / t ^ { 2 } } \\ & { = z ^ { - 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } B _ { 2 } ^ { * } ( z / u ) ( 4 u ^ { 2 } W ^ { \prime } ( u ) + 2 u W ( u ) + u ^ { 3 } W ^ { \prime \prime } ( u ) ) d u } \end{array}
{ \cal M } _ { k } ^ { ( J ) } = { \cal M } _ { k , \mathrm { p e r t } } ^ { ( J ) } + { \cal M } _ { k , \mathrm { p o w e r } } ^ { ( J ) } = M _ { k } \, \delta _ { J = 1 } + { \cal M } _ { k , \mathrm { p o w e r } } ^ { ( J ) } \, .
R = \sum _ { k = 1 } ^ { M } p _ { k } \cdot \mathrm { l e n g t h } ( c _ { k } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { M } \mathrm { l e n g t h } ( c _ { k } ) \int _ { b _ { k - 1 } } ^ { b _ { k } } f ( x ) d x
\Sigma _ { T } ( B ) \; = \; \int \frac { d \nu } { 2 \pi i \nu } e ^ { 2 B \nu } \; \sigma ^ { 2 } ( \nu ) \, , \quad \Sigma _ { W } ( B ) \; = \; \left( \int \frac { d \nu } { 2 \pi i \nu } e ^ { 2 B \nu } \; \sigma ( \nu ) \right) ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { \mathrm { E r f } _ { \mathrm { S } ^ { \ast } < 0 } \left( R ^ { 2 } \right) } & { { } = \mathrm { E r f } _ { \mathrm { S } ^ { \ast } = 0 } \left( R ^ { 2 } + \mathrm { S } ^ { \ast } t \right) } \end{array}
E = \int \mathrm { d } \boldsymbol { v } \, \frac { 1 } { 2 } \, m _ { i } \boldsymbol { v } ^ { 2 } f _ { i } ( \boldsymbol { v } ) + \frac { 1 } { 2 } V n _ { i } ^ { 2 } \int \mathrm { d } \boldsymbol { r } \left( \frac { Z ^ { 2 } e ^ { 2 } } { r } \, \mathrm { e } ^ { - k _ { e 1 } r } \right) G _ { i i } ( \boldsymbol { r } ) \, ,