harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Gamma _ { \epsilon } ( x ) = [ 1 - e ^ { - 2 \pi \epsilon } ] ^ { 1 - x } \prod _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 - \exp ( - 2 \pi \epsilon ( n + 1 ) ) } { 1 - \exp ( - 2 \pi \epsilon ( x + n ) ) } } \ ,
\overline { { { u } } } _ { f } i \sigma ^ { \mu \nu } \gamma _ { 5 } q _ { \nu } u _ { i } = ( m _ { f } - m _ { i } ) \overline { { { u } } } _ { f } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } u _ { i } - ( p _ { i } + p _ { f } ) ^ { \mu } \overline { { { u } } } _ { f } \gamma _ { 5 } u _ { i }
{ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { T } } \\ { \mathbf { N } } \\ { \mathbf { B } } \end{array} \right] } = \| \mathbf { r } ^ { \prime } ( t ) \| { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \kappa } & { 0 } \\ { - \kappa } & { 0 } & { \tau } \\ { 0 } & { - \tau } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { T } } \\ { \mathbf { N } } \\ { \mathbf { B } } \end{array} \right] }
k = { \frac { u _ { 1 } } { 2 } } \, \Big [ \, { \frac { { \cal E } _ { 1 } + \sqrt { { \cal E } _ { 1 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } } { K + \sqrt { K ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } } } - { \frac { K + \sqrt { K ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } } { { \cal E } _ { 1 } + \sqrt { { \cal E } _ { 1 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } } } \, \Big ] \, .
\begin{array} { r l } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \frac { i ( m - i ) } { \Gamma ( a + i + 1 ) \Gamma ( b - i + m + 1 ) } \sum _ { j = 1 } ^ { m - i } \frac { \Gamma ( a - j + m + 1 ) \Gamma ( b + j + m + 1 ) } { j \Gamma ( i + j + 1 ) \Gamma ( m - i - j + 1 ) } } \\ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { \times ( \psi _ { 0 } ( b + j + m + 1 ) - \psi _ { 0 } ( a + b + 2 m + 2 ) + \psi _ { 0 } ( m - i + 1 ) - \psi _ { 0 } ( j + 1 ) ) . } \end{array}
e ^ { - 2 \phi } = e ^ { - 2 \rho } = \frac { 4 C _ { 1 } } { T ^ { 2 } } ( 1 - e ^ { - \frac { T ^ { 2 } } { 4 } } ) - 2 x ^ { - } \frac { 1 } { a T ^ { 2 } } e ^ { - \frac { T ^ { 2 } } { 4 } }
\tilde { D } _ { n } \xrightarrow [ n \to \infty ] { p } \sqrt { c } \left( a _ { 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \alpha _ { l } f _ { Z _ { 1 } } ( s _ { l } ) f _ { Z _ { 2 } } ^ { ' } ( t _ { l } ) \int m k _ { 2 } ( m ) d m + a _ { 3 } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \alpha _ { l } f _ { Z _ { 2 } } ( t _ { l } ) f _ { Z _ { 1 } } ^ { ' } ( s _ { l } ) \int m k _ { 1 } ( m ) d m \right) .
\mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } \mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } ( v _ { 2 } , v _ { - 2 } ) } & { = K ( x ) = - D } \\ { I _ { 2 } ( v _ { - 2 } , v _ { 2 } ) } & { = K ( x ) = - D } \\ { I _ { 2 } ( \tilde { v } _ { 0 } , \tilde { v } _ { 0 } ) } & { = K ( 2 x ) = - 2 D } \\ { I _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { = 0 \mathrm { ~ o t h e r w i s e ~ } } \end{array}
\langle \Delta _ { ( I _ { 3 } ^ { 1 } ) ^ { ( l ^ { 1 } + 1 ) } } g _ { 1 } \rangle _ { I _ { 3 } ^ { 1 } } \langle g _ { 2 } \rangle _ { ( I _ { 3 } ^ { 1 } ) ^ { ( l ^ { 1 } ) } } + \langle g _ { 1 } \rangle _ { ( I _ { 3 } ^ { 1 } ) ^ { ( l ^ { 1 } + 1 ) } } \langle \Delta _ { ( I _ { 3 } ^ { 1 } ) ^ { ( l ^ { 1 } + 1 ) } } g _ { 2 } \rangle _ { I _ { 3 } ^ { 1 } } .
\begin{array} { r } { | \widetilde \gamma | \subset ( | \gamma | \setminus \overline { E } ) \cup \bigcup _ { i = 1 } ^ { N } ( | \gamma _ { i } | \setminus \partial \gamma _ { i } ) \quad \textrm { a n d } \quad | \widetilde \gamma | \cap E \subset \bigcup _ { i = 1 } ^ { N } ( | \gamma _ { i } | \setminus \partial \gamma _ { i } ) \cap E . } \end{array}
\sigma = \Phi \! \! \left( \! \! \begin{array} { c c } { { 2 } } & { { 2 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \! \! \right) , ~ ~ \bar { \sigma } = \Phi \! \! \left( \! \! \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 2 } } & { { 2 } } \end{array} \! \! \right) ,
\begin{array} { r l } & { I _ { 5 , 1 } = \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } , \ \mathrm { a n d } , } \\ & { I _ { 5 , 2 } = 2 \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \langle f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } , F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial F _ { n , i } ^ { \lambda } } { \partial G _ { n ^ { \prime } , i ^ { \prime } } ^ { \lambda ^ { \prime } } } = } & { \delta ( \lambda - \lambda ^ { \prime } ) \delta _ { n , n ^ { \prime } } \left\lbrace ( i + 1 ) \delta _ { i + 1 , i ^ { \prime } } - i \delta _ { i , i ^ { \prime } } \right. } \\ & { + \left. \lambda ( i - 1 ) ( n - i + 1 ) \delta _ { i - 1 , i ^ { \prime } } - \lambda i ( n - i ) \delta _ { i , i ^ { \prime } } \right\rbrace } \\ & { + n p _ { \lambda , n } \frac { \partial \rho } { \partial G _ { n ^ { \prime } , i ^ { \prime } } ^ { \lambda ^ { \prime } } } \left[ \delta _ { i - 1 , 0 } - \delta _ { i , 0 } \right] \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { V } = } & { \left\{ \ A { \boldsymbol { \cdot } } A ^ { * } = \left( \begin{array} { c c } { a _ { 1 1 } ^ { 2 } + \langle a _ { 1 2 } , a _ { 1 2 } \rangle } & { a _ { 2 2 } a _ { 1 2 } } \\ { a _ { 2 2 } a _ { 1 2 } ^ { * } } & { a _ { 2 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right) \ , \ a _ { i i } \in \mathbb { K } \ , \ a _ { 1 2 } \in W \ \right\} = } \\ { = } & { \left\{ \ X \in W \ \mathrm { w i t h } \ \begin{array} { l l } { x _ { 1 1 } x _ { 2 2 } - \langle x _ { 1 2 } , x _ { 1 2 } \rangle \neq 0 \ , \ x _ { 2 2 } \neq 0 } & { \mathrm { i f } \ \mathbb { K } = \mathbb { C } } \\ { x _ { 1 1 } x _ { 2 2 } - \langle x _ { 1 2 } , x _ { 1 2 } \rangle > 0 \ , \ x _ { 2 2 } > 0 } & { \mathrm { i f } \ \mathbb { K } = \mathbb { R } } \end{array} \ \right\} \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \left\Vert \mathbf { y } _ { k + 1 } - H _ { k + 1 } \right\Vert ^ { 2 } \right] } & { \leq \left( 1 - \frac { \alpha } { 3 } \right) \mathbb { E } \left[ \left\Vert \mathbf { y } _ { k } - H _ { k } \right\Vert ^ { 2 } \right] + \frac { 9 \gamma } { \alpha } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \check { z } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } \right] } \\ & { \quad + \frac { 2 2 \eta _ { k } ^ { 2 } n L ^ { 2 } } { \alpha } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \bar { z } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } \right] + \frac { 1 1 \eta _ { k } ^ { 2 } n \sigma ^ { 2 } } { \alpha } + \frac { 1 8 ( \eta _ { k } - \eta _ { k + 1 } ) ^ { 2 } } { \alpha } \left\Vert \nabla F ( \mathbf { x } ^ { * } ) \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { a a } ( t ) = } & { \frac { 1 } { 2 H } \sigma _ { \lambda ( t ) } ( [ \overrightarrow { H } , \overrightarrow { H } ^ { \prime } ] , \overrightarrow { H } ^ { \prime } ) = 2 H + h _ { 0 } ^ { 2 } = | \lambda _ { 0 } | ^ { 2 } , \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ { R _ { c c } ( t ) = } & { \frac { 1 } { 2 H } \sigma _ { \lambda ( t ) } ( [ \overrightarrow { H } , [ \overrightarrow { H } , \overrightarrow { H } ^ { \prime } ] ] , [ \overrightarrow { H } , \overrightarrow { H } ^ { \prime } ] ) - \frac { 1 } { ( 2 H ) ^ { 2 } } \sigma _ { \lambda ( t ) } ( [ \overrightarrow { H } , \overrightarrow { H } ^ { \prime } ] , \overrightarrow { H } ^ { \prime } ) ^ { 2 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { t _ { d n } } = } & { { t _ { d n } } _ { 0 } \left( 1 - \zeta _ { s n } \frac { { n _ { n } } _ { 1 } } { { n _ { n } } _ { 0 } } - \zeta _ { w n } \frac { ( { u _ { d } } _ { 0 } - { u _ { n } } _ { 0 } ) \cdot ( { u _ { d } } _ { 1 } - { u _ { n } } _ { 1 } ) } { | { u _ { d } } _ { 0 } - { u _ { n } } _ { 0 } | ^ { 2 } } \right) } \\ { { t _ { d i } } = } & { { t _ { d i } } _ { 0 } \left( 1 - \zeta _ { s i } \frac { { n _ { i } } _ { 1 } } { { n _ { i } } _ { 0 } } - \zeta _ { w i } \frac { ( { u _ { d } } _ { 0 } - { u _ { i } } _ { 0 } ) \cdot ( { u _ { d } } _ { 1 } - { u _ { i } } _ { 1 } ) } { | { u _ { d } } _ { 0 } - { u _ { i } } _ { 0 } | ^ { 2 } } \right) } \\ { { t _ { d A } } = } & { { t _ { d A } } _ { 0 } \left( 1 - \zeta _ { s A } \frac { { n _ { i } } _ { 1 } } { { n _ { i } } _ { 0 } } - \zeta _ { w A } \frac { ( { u _ { d } } _ { 0 } - { u _ { i } } _ { 0 } ) \cdot ( { u _ { d } } _ { 1 } - { u _ { i } } _ { 1 } ) } { | { u _ { d } } _ { 0 } - { u _ { i } } _ { 0 } | ^ { 2 } } \right) } \\ { { t _ { n i } } = } & { { t _ { n i } } _ { 0 } \left( 1 - \zeta _ { n i } \frac { { n _ { i } } _ { 1 } } { { n _ { i } } _ { 0 } } \right) } \end{array}
\eta _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } = 1 - e ^ { - 2 a _ { R } ^ { 2 } / w _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ^ { 2 } } \simeq \frac { 2 a _ { R } ^ { 2 } } { w _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ^ { 2 } } : = \eta _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ^ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ,
\mathbf { S } ( x , y ) = \left[ \operatorname { c o m b } \left( { \frac { x } { c } } , { \frac { y } { d } } \right) * \operatorname { r e c t } \left( { \frac { x } { a } } , { \frac { y } { b } } \right) \right] \cdot \operatorname { r e c t } \left( { \frac { x } { M \cdot c } } , { \frac { y } { N \cdot d } } \right)
a ^ { 6 } - b ^ { 6 } = { \overline { { Q } } } _ { 1 } ( a , b ) { \overline { { Q } } } _ { 2 } ( a , b ) { \overline { { Q } } } _ { 3 } ( a , b ) { \overline { { Q } } } _ { 6 } ( a , b ) = ( a - b ) ( a + b ) ( a ^ { 2 } - a b + b ^ { 2 } ) ( a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } ) ,
M ^ { i j } = \oint _ { \partial \Omega } { \mathcal { M } } ^ { i j 0 } d \Sigma _ { 0 } = \oint _ { \partial \Omega } \left[ \left( X ^ { i } - Y ^ { i } \right) T ^ { j 0 } - \left( X ^ { j } - Y ^ { j } \right) T ^ { i 0 } \right] d x d y d z
\begin{array} { r } { { \mathsf \Delta } _ { \textrm { \tiny B V } } ( a _ { 1 } \odot _ { \star } a _ { 2 } ) = { \mathsf \Delta } _ { \textrm { \tiny B V } } ( a _ { 1 } ) \odot _ { \star } a _ { 2 } + ( - 1 ) ^ { \vert a _ { 1 } \vert } \, a _ { 1 } \odot _ { \star } { \mathsf \Delta } _ { \textrm { \tiny B V } } ( a _ { 2 } ) + \{ a _ { 1 } , a _ { 2 } \} _ { \star } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \int _ { 0 } ^ { 1 } \partial _ { t } f _ { + } \, \eta _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( - f _ { + } ) \, \textup { d } y + \frac { D _ { T } } { L ( t ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \eta _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } ( - f _ { + } ) \, | \partial _ { y } f _ { + } | ^ { 2 } \, \textup { d } y } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { v _ { 0 } } { L ( t ) } \, \bigl ( f _ { + } \, ( 1 - \rho ) \bigr ) _ { \mathrm { t r } } \, \eta _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } ( - f _ { + } ) \, \partial _ { y } f _ { + } - \biggl ( \lambda ( f _ { - } - f _ { + } ) + \frac { L ^ { \prime } ( t ) } { L ( t ) } \, y \, \partial _ { y } f _ { + } \biggr ) \eta _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( - f _ { + } ) \, \textup { d } y } \\ & { \qquad + \beta _ { + } ( \Lambda ) \, f _ { + } ( t , 1 ) \, \eta _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( - f _ { + } ( t , 1 ) ) - \alpha _ { + } ( \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ) \, g _ { + } ( \boldsymbol { f } ( t , 0 ) ) \, \eta _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( - f _ { + } ( t , 0 ) ) . } \end{array}
\cos ( 2 z ) = \frac { \sinh z _ { \mathrm { \scriptscriptstyle A } } \, \sinh z _ { \mathrm { \scriptscriptstyle B } } \sin ( 2 \phi ) } { \sinh ^ { 2 } z _ { \mathrm { \scriptscriptstyle A } } \, \cos ^ { 2 } \phi + \sinh ^ { 2 } z _ { \mathrm { \scriptscriptstyle B } } \, \sin ^ { 2 } \phi } .
\begin{array} { r } { \widehat { \theta } _ { ( 1 ) } ^ { 2 } \geq \widehat { \theta } _ { ( 2 ) } ^ { 2 } \geq . . . \geq \widehat { \theta } _ { ( M ) } ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { ~ w i t h ~ } \widehat { \theta } _ { ( j ) } ^ { 2 } \mathrm { ~ d e n o t i n g ~ t h e ~ } j t h \mathrm { ~ l a r g e s t ~ s q u a r e d ~ c o e f f i c i e n t . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Im ( \omega _ { 1 } ) } & { { } = - \gamma ( \mathcal { A } + K _ { Q } q ^ { 2 } ) , } \\ { \Im ( \omega _ { 2 } ) } & { { } = \frac { \zeta \lambda } { 2 \eta } - \gamma ( \mathcal { A } + K _ { Q } q ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { ~ a ~ v ~ e ~ } } = \frac { \pi } { 4 } \mathcal { A } _ { 0 } ^ { 2 } } & { { } \left[ \omega _ { 0 } ^ { 2 } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + O ( 1 ) \right] } \end{array}
\vec { p } = - { \frac { \delta H _ { e f f } ^ { ( 2 ) } } { \delta \vec { E } } } = 4 \pi \alpha _ { E } ^ { p } \vec { E } , \quad \vec { \mu } = - { \frac { \delta H _ { e f f } ^ { ( 2 ) } } { \delta \vec { H } } } = 4 \pi \beta _ { M } ^ { p } \vec { H }
\left\{ \begin{array} { l l } { { \pmb v } ^ { [ i ] } ( { \pmb x } ) = - \frac { k } { \mu } \nabla p ^ { [ i ] } ( { \pmb x } ) } \\ { \nabla \cdot { \pmb v } ^ { [ i ] } ( { \pmb x } ) = 0 , \qquad { \pmb x } \in D _ { b } } \end{array} \right.
\chi _ { g } = \chi _ { g a } e ^ { a } = ( s \sqrt { 2 } / k ) \left( \begin{array} { c } { { d A + A H - B d \bar { Y } } } \\ { { d B - A G - B H } } \\ { { d C - C \bar { H } } } \\ { { C d Y } } \end{array} \right) ,
\nabla ( \mathbf { A } \cdot \mathbf { B } ) = ( \mathbf { A } \cdot \nabla ) \mathbf { B } + ( \mathbf { B } \cdot \nabla ) \mathbf { A } + \mathbf { A } \times ( \nabla \times \mathbf { B } ) + \mathbf { B } \times ( \nabla \times \mathbf { A } )
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 4 } } & { = { \bf b } ^ { \{ F \} , T } { \bf A } ^ { \{ F , \sigma \} } { \bf A } ^ { \{ S , F \} } { \bf c } ^ { \{ F \} } } \\ & { = ( e _ { s ^ { \{ S \} } } \otimes b ^ { \{ F \} } ) \left( \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \Omega } - 1 } \Omega ^ { \{ k \} } \otimes A ^ { \{ F \} } c ^ { \{ F \} \times k } \right) ( C ^ { \{ S \} } \otimes b ^ { \{ F \} } ) ( c ^ { \{ S \} } \otimes c ^ { \{ F \} } ) } \\ & { = e _ { s ^ { \{ S \} } } ^ { T } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \Omega } - 1 } \Omega ^ { \{ k \} } \frac { 1 } { ( k + 1 ) ( k + 2 ) } \right) C ^ { \{ S \} } c ^ { \{ S \} } \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
D ( P + R _ { 2 } ) D ( P + R _ { 1 } + K ) \approx \frac { D ( P + R _ { 2 } ) - D ( P + R _ { 1 } + K ) } { K ^ { 2 } + 2 K \cdot P + ( P + R _ { 1 } ) ^ { 2 } - ( P + R _ { 2 } ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { f _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { x } } & { = \frac { \displaystyle \frac { f ^ { x } ( q _ { i + 1 , j } ) + f ^ { x } ( q _ { i j } ) } { 2 } - \frac 1 2 | u _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { * } | ( q _ { i + 1 , j } - q _ { i j } ) } { \displaystyle 1 + \Delta t \left( \frac { u _ { i + 1 , j } - u _ { i j } } { \Delta x } + \frac { v _ { i + 1 , j + 1 } + v _ { i , j + 1 } - v _ { i + 1 , j - 1 } - v _ { i , j - 1 } } { 4 \Delta y } \right) } } \end{array}
\Gamma ( \mathbf { A } , \ \mathbf { B } ) = { \left| \begin{array} { l l } { \mathbf { A \cdot A } } & { \mathbf { A \cdot B } } \\ { \mathbf { B \cdot A } } & { \mathbf { B \cdot B } } \end{array} \right| } \ .
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { a b s } } } & { { } \propto \mathrm { R e } ( \rho _ { 1 0 } - \rho _ { 2 1 } ) , } \\ { S _ { \mathrm { d i s } } } & { { } \propto \mathrm { I m } ( \rho _ { 1 0 } - \rho _ { 2 1 } ) , } \end{array}
S _ { B H } = { \frac { A _ { H } } { 4 G _ { D } } } = { \frac { m ^ { \frac { D - p - 2 } { D - p - 3 } } V _ { S ^ { D - p - 2 } } \cosh ^ { \frac { 4 ( p + 1 ) ( D - p - 2 ) } { ( D - 2 ) \Delta _ { p } } } \alpha _ { p } } { 4 G _ { D } } } .
\begin{array} { r l } { a } & { { } = 2 \arctan \left[ \tan \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( b - c ) \right) { \frac { \sin \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( \beta + \gamma ) \right) } { \sin \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( \beta - \gamma ) \right) } } \right] , } \\ { \alpha } & { { } = 2 \operatorname { a r c c o t } \left[ \tan \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( \beta - \gamma ) \right) { \frac { \sin \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( b + c ) \right) } { \sin \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( b - c ) \right) } } \right] . } \end{array}
\textbf { a } _ { l } = \Gamma ( \epsilon \nabla \phi _ { l } - \phi _ { l } ( 1 - \phi _ { l } ) \widehat { \textbf { n } } _ { l } ) , \quad \textbf { R } _ { l } = \rho _ { l } ^ { ( 0 ) } \textbf { a } _ { l } , \quad \textbf { f } = \sum _ { l = 1 } ^ { 2 } \textbf { R } _ { l } , \quad k = \frac { 1 } { 2 } | | \textbf { u } | | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { ( \zeta _ { n } + \zeta _ { 0 } ) \sqrt { \frac { \hbar \omega } { 2 U _ { \mathrm { p } } } } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } [ ( \omega \tilde { t } _ { n } ) ^ { 2 } - ( \omega \tilde { t } _ { n } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ] } \end{array}
\omega _ { 2 } = { \frac { i } { 2 \hbar } } < \chi \chi > _ { J } - { \frac { i } { 2 \hbar } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } - { \frac { 1 } { 2 } } \{ \omega _ { 1 } , \omega _ { 1 } \} .
u = \frac { x _ { 1 } } { \omega x _ { 2 } } , ~ v = \frac { x _ { 4 } } { x _ { 3 } } , ~ z = \frac { z _ { 1 } } { z _ { 2 } } , ~ z _ { 1 } = \frac { x _ { 1 3 } } { \omega x _ { 1 4 } } , ~ z _ { 2 } = \frac { x _ { 2 3 } } { x _ { 2 4 } }
{ u } _ { 1 , i } = { \psi } _ { 0 , i } + { \tau } { \psi } _ { 1 , i } + \frac { { \tau } ^ { 2 } } { 2 } \left( { f } _ { 0 , i } + { q } _ { 0 } \tilde { \psi } _ { 0 , i } \right) \, , \ \mathrm { w i t h } \ { \psi } _ { 0 , i } = { \psi } _ { 0 } \left( { x } _ { i } \right) \ \mathrm { a n d } \ { \psi } _ { 1 , i } = { \psi } _ { 1 } \left( { x } _ { i } \right) \, .
\gamma _ { 5 } \left( \begin{array} { c } { { \lambda _ { A } ^ { i ^ { \star } } } } \\ { { \zeta ^ { \alpha } } } \\ { { \psi ^ { A } } } \end{array} \right) \, = \, - \, \left( \begin{array} { c } { { \lambda _ { A } ^ { i ^ { \star } } } } \\ { { \zeta ^ { \alpha } } } \\ { { \psi ^ { A } } } \end{array} \right)
{ \left[ \begin{array} { l } { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \\ { z ^ { \prime } } \\ { 1 } \end{array} \right] } = { \frac { 1 } { w _ { c } } } { \left[ \begin{array} { l } { x _ { c } } \\ { y _ { c } } \\ { z _ { c } } \\ { w _ { c } } \end{array} \right] }
\operatorname* { l i m i n f } _ { t \geq 0 } f ( \mathscr { X } _ { t } ) \stackrel { \mathrm { a . s . } } { = } \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { i n f } _ { T \in \mathcal T } f ( T ) < \infty } & { \mathrm { ~ \mathscr { X } ~ i s ~ r e c u r r e n t } , } \\ { \infty } & { \mathrm { ~ \mathscr { X } ~ i s ~ t r a n s i e n t . } } \end{array} \right.
\left\langle i \frac { \partial } { \partial t } \right\rangle = \int _ { \bf x } \hat { \pi } ( { \bf x } , t ) \dot { \varphi } ( { \bf x } , t ) + \int _ { \bf x , y } \Sigma ( { \bf x } , { \bf y } , t ) \dot { \Omega } ( { \bf y } , { \bf x } , t ) \; \; .
{ \mathcal { D } } { \mathcal { F } } \equiv \prod _ { k = 1 } ^ { n _ { f } } d { \bf { \chi } } _ { k } ^ { \dag } d { \bf { \chi } } _ { k } d { \bf { \varphi } } _ { k } ^ { \dag } d { \bf { \varphi } } _ { k } , \; \; { \mathcal { D } } { \mathcal { B } } \equiv \prod _ { l = 1 } ^ { n _ { b } } d { \bf { s } } _ { l } ^ { \dag } d { \bf { s } } _ { l } d { \bf { p } } _ { l } ^ { \dag } d { \bf { p } } _ { l }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { k } } { \partial x ^ { k } } \frac { \partial ^ { l } } { \partial t ^ { l } } g _ { \Phi } ( x , t ) \, = \, } & { \frac { 1 } { \pi } \int _ { \varepsilon } ^ { + \infty } \Im \left( \left( \Phi \left( \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } \right) \right) ^ { k } \rho ^ { l } e ^ { i l \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } e ^ { - x \Phi \left( \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } \right) + t \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } } \right) \, d \rho } \\ & { + \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { \varepsilon , \theta } } ( \Phi ( z ) ) ^ { k } z ^ { l } e ^ { - x \Phi ( z ) + t z } d z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } } & { { } = \frac { V _ { T } } { V _ { f } } = \frac { [ N _ { d } ( \texttt { f i n a l } ) - N _ { d } ( \texttt { i n i t i a l } ) ] \times d ^ { 3 } } { N _ { d } ( \texttt { f i n a l } ) \times d ^ { 3 } } } \end{array}
W = \sqrt { \left\langle \frac { 1 } { { { N } _ { b } } } \sum _ { i = 1 } ^ { i = { { N } _ { b } } } { { { \left( { { h } _ { i } } - \bar { h } \right) } ^ { 2 } } } \right\rangle } = \sqrt { \frac { 1 } { L _ { x } ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { i = { { N } _ { b } } } { { { \left| { { h } _ { q } } \right| } _ { r m s } ^ { 2 } } } } ,
A _ { m } ^ { T } A _ { m } = \left( \begin{array} { l l } { K I } & { 1 } \\ { 1 } & { K I } \end{array} \right) , A _ { m } ^ { T } B _ { m } = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right)
f ( \alpha ) = \left\{ \begin{array} { c c } { { 0 . 4 2 9 3 , } } & { { k = 2 , } } \\ { { 0 . 4 6 3 9 , } } & { { k = 3 , } } \\ { { 0 . 5 2 3 0 , } } & { { k = 4 , } } \end{array} \right.
\mathcal { I } _ { B } = \mathbb { E } \left[ \sum _ { i \in B } \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \mathbb { 1 } [ \sigma _ { i } ^ { t } = I ] \right] = \sum _ { i \in B } \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } P _ { I } ^ { i } ( t )
\begin{array} { r l } { C D F _ { Z } ( z ) } & { = B \int _ { x = x _ { m i n } } ^ { x = x _ { m a x } } x ^ { - \beta } \int _ { y = \frac { z _ { 0 } } { x } } ^ { y = \frac { z } { x } } y ^ { - \gamma } \, \mathrm { d } y \, \mathrm { d } x } \\ & { = \frac { B } { 1 - \gamma } \int _ { x = x _ { m i n } } ^ { x = x _ { m a x } } x ^ { - \beta } \left[ \left( \frac { z } { x } \right) ^ { 1 - \gamma } - \left( \frac { z _ { 0 } } { x } \right) ^ { 1 - \gamma } \right] \, \mathrm { d } x } \\ & { = \frac { B } { 1 - \gamma } \left( z ^ { 1 - \gamma } - z _ { 0 } ^ { 1 - \gamma } \right) \int _ { x = x _ { m i n } } ^ { x = x _ { m a x } } x ^ { \gamma - 1 - \beta } \, \mathrm { d } x } \\ & { = \frac { B } { 1 - \gamma } \frac { x _ { m a x } ^ { \gamma - \beta } - x _ { m i n } ^ { \gamma - \beta } } { \gamma - \beta } \left( z ^ { 1 - \gamma } - z _ { 0 } ^ { 1 - \gamma } \right) = C \left( z ^ { 1 - \gamma } - z _ { 0 } ^ { 1 - \gamma } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho _ { \alpha } } { \partial t } + \nabla \cdot \left[ - D _ { \alpha } \nabla \rho _ { \alpha } - \beta D _ { \alpha } q _ { \alpha } \rho _ { \alpha } \nabla \phi \right] } & { { } = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R \otimes _ { { \mathbb Z } [ P ] } { \mathbb Z } [ P ^ { \frac { 1 } { n } } \oplus \Gamma _ { n } ^ { r - 1 } ] } & { \rightarrow R \otimes _ { { \mathbb Z } [ P ] } { \mathbb Z } [ P ^ { \frac { 1 } { n } } \oplus \Gamma _ { n } ^ { r } ] } \\ { ( a , \bar { a } _ { 1 } , \cdots , \bar { a } _ { r - 1 } ) } & { \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { ( a , \bar { a } , \bar { a } _ { 1 } , \cdots , \bar { a } _ { r - 1 } ) , } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ ; } } \\ { ( a , \bar { a } _ { 1 } , \cdots , \bar { a } _ { i } , \bar { a } _ { i } , \cdots , \bar { a } _ { r - 1 } ) , } & { \mathrm { i f ~ 0 < i < r ~ ; } } \\ { ( a , \bar { a } _ { 1 } , \cdots , \bar { a } _ { r - 1 } , 0 ) , } & { \mathrm { i f ~ i = r ~ . } } \end{array} \right. } \end{array}
D = \frac { 1 } { \Omega _ { i } } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \left[ \nabla _ { \perp } \psi _ { 1 } \cdot \nabla _ { \perp } \nabla _ { \perp } ^ { - 2 } \left\{ \psi _ { 1 } , \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi _ { 1 } \right\} \right]
\left( { \frac { x ^ { - } } { x ^ { + } } } \right) ^ { 2 } F ( x ^ { - } , x ^ { + } ) = { \frac { N ^ { 2 } } { k } } \sum _ { n } \left( { \frac { 3 ( k - 2 n ) ^ { 2 } n _ { f } } { 4 \pi ^ { 2 } k ^ { 2 } r ^ { 4 } } } + { \frac { 3 n ( k - n ) n _ { b } } { \pi ^ { 2 } k ^ { 2 } r ^ { 4 } } } \right) = { \frac { N ^ { 2 } ( 2 n _ { b } + n _ { f } ) } { 4 \pi ^ { 2 } r ^ { 4 } } } \left( 1 - { \frac { 1 } { k } } \right)
I m [ A _ { \eta } A _ { \eta ^ { \prime } } ^ { * } ] - I m [ { \bar { A } _ { \eta } } { \bar { A } _ { \eta ^ { \prime } } ^ { * } } ] = 2 \sin \phi _ { w } \left[ P _ { \eta } T _ { \eta ^ { \prime } } \cos ( \theta _ { \eta } - \theta _ { \eta ^ { \prime } } + \delta _ { \eta } ) - P _ { \eta ^ { \prime } } T _ { \eta } \cos ( \theta _ { \eta } - \theta _ { \eta ^ { \prime } } - \delta _ { \eta ^ { \prime } } ) \right] .