harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Delta _ { L , R } = \left( \begin{array} { l l } { { \delta _ { L , R } ^ { + } / \sqrt { 2 } } } & { { \delta _ { L , R } ^ { + + } } } \\ { { \delta _ { L , R } ^ { 0 } } } & { { - \delta _ { L , R } ^ { + } / \sqrt { 2 } } } \end{array} \right) .
u ( x , t ) = \frac { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } f ( K [ 1 ] ) \left( e ^ { - \frac { ( x - K [ 1 ] ) ^ { 2 } } { 4 t } } - e ^ { - \frac { ( K [ 1 ] + x ) ^ { 2 } } { 4 t } } \right) \, d K [ 1 ] + \sqrt { t } x \left( \displaystyle \int _ { 0 } ^ { t } \frac { g ( K [ 2 ] ) e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 ( t - K [ 2 ] ) } } } { ( t - K [ 2 ] ) ^ { 3 / 2 } } \, d K [ 2 ] \right) } { 2 \sqrt { \pi } \sqrt { t } }
S _ { 1 } ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } = \left[ \begin{array} { l l } { 6 . 0 7 3 9 7 e - 0 9 } & { 1 . 3 3 3 8 8 e - 0 9 } \\ { 7 . 1 0 9 7 2 e - 0 2 } & { 2 . 6 9 6 4 4 e - 0 2 } \\ { 2 . 7 5 2 3 9 e - 0 1 } & { 1 . 6 5 1 9 5 e - 0 1 } \\ { 2 . 7 5 6 3 8 e - 0 1 } & { 1 . 9 8 2 2 1 e - 0 1 } \\ { 1 . 9 9 7 8 7 e - 0 1 } & { 1 . 6 9 3 3 3 e - 0 1 } \\ { 1 . 2 3 7 2 9 e - 0 1 } & { 1 . 5 6 8 2 7 e - 0 1 } \\ { 5 . 4 5 0 9 8 e - 0 2 } & { 7 . 8 3 2 0 2 e - 0 2 } \\ { 0 . 0 0 0 0 0 e + 0 0 } & { 6 . 4 4 0 2 4 e - 0 2 } \\ { 0 . 0 0 0 0 0 e + 0 0 } & { 5 . 0 6 9 6 9 e - 0 2 } \\ { 0 . 0 0 0 0 0 e + 0 0 } & { 3 . 7 8 7 4 5 e - 0 2 } \\ { 0 . 0 0 0 0 0 e + 0 0 } & { 2 . 6 6 2 9 7 e - 0 2 } \\ { 0 . 0 0 0 0 0 e + 0 0 } & { 1 . 6 9 1 2 5 e - 0 2 } \\ { 0 . 0 0 0 0 0 e + 0 0 } & { 8 . 1 8 1 0 9 e - 0 3 } \\ { 0 . 0 0 0 0 0 e + 0 0 } & { 4 . 4 3 0 6 4 e - 0 4 } \end{array} \right] , S _ { 2 } ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } = \left[ \begin{array} { l l } { 6 . 0 7 3 9 7 e - 0 9 } & { 0 . 0 0 0 0 0 e + 0 0 } \\ { 7 . 1 0 9 7 2 e - 0 2 } & { 0 . 0 0 0 0 0 e + 0 0 } \\ { 2 . 7 5 2 3 9 e - 0 1 } & { 6 . 6 3 8 0 7 e - 0 5 } \\ { 2 . 7 5 6 3 8 e - 0 1 } & { 1 . 4 2 7 6 1 e - 0 2 } \\ { 1 . 9 9 7 8 7 e - 0 1 } & { 8 . 1 9 1 1 1 e - 0 2 } \\ { 1 . 2 3 7 2 9 e - 0 1 } & { 1 . 7 7 4 5 3 e - 0 1 } \\ { 5 . 4 5 0 9 8 e - 0 2 } & { 1 . 3 8 6 8 0 e - 0 1 } \\ { 0 . 0 0 0 0 0 e + 0 0 } & { 1 . 4 9 7 7 5 e - 0 1 } \\ { 0 . 0 0 0 0 0 e + 0 0 } & { 1 . 4 0 3 7 4 e - 0 1 } \\ { 0 . 0 0 0 0 0 e + 0 0 } & { 1 . 1 7 5 4 2 e - 0 1 } \\ { 0 . 0 0 0 0 0 e + 0 0 } & { 8 . 9 1 0 5 6 e - 0 2 } \\ { 0 . 0 0 0 0 0 e + 0 0 } & { 5 . 9 4 6 5 0 e - 0 2 } \\ { 0 . 0 0 0 0 0 e + 0 0 } & { 2 . 9 7 1 0 5 e - 0 2 } \\ { 0 . 0 0 0 0 0 e + 0 0 } & { 1 . 6 4 1 7 1 e - 0 3 } \end{array} \right] .
w ( z ) = \left( { \frac { z - a } { z - b } } \right) ^ { \alpha } \left( { \frac { z - c } { z - b } } \right) ^ { \gamma } { } _ { 2 } F _ { 1 } \left( \alpha + \beta + \gamma , \, \alpha + \beta ^ { \prime } + \gamma ; \, 1 + \alpha - \alpha ^ { \prime } ; \, { \frac { ( z - a ) ( c - b ) } { ( z - b ) ( c - a ) } } \right) ,
P ( m , n ) = \prod _ { i = 1 } ^ { k } { p _ { i } } ^ { \alpha _ { i } } \prod _ { j = 1 } ^ { r } { q _ { j } } ^ { \beta _ { j } } \leq ( m + n ) ^ { r } n ! \prod _ { i = 1 } ^ { k } { p _ { i } } ^ { \left\lfloor \frac { \log ( m + n ) } { \log ( p _ { i } ) } \right\rfloor } \leq ( m + n ) ^ { r } n ! \prod _ { i = 1 } ^ { k } { p _ { i } } ^ { \frac { \log ( m + n ) } { \log ( p _ { i } ) } }
\exp { \left( \begin{array} { l l l l l } { . } & { . } & { . } & { . } & { . } \\ { 1 } & { . } & { . } & { . } & { . } \\ { . } & { 2 } & { . } & { . } & { . } \\ { . } & { . } & { 3 } & { . } & { . } \\ { . } & { . } & { . } & { 4 } & { . } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { . } & { . } & { . } & { . } \\ { 1 } & { 1 } & { . } & { . } & { . } \\ { 1 } & { 2 } & { 1 } & { . } & { . } \\ { 1 } & { 3 } & { 3 } & { 1 } & { . } \\ { 1 } & { 4 } & { 6 } & { 4 } & { 1 } \end{array} \right) } ,
f : \mathbb { A } _ { p _ { 1 } } ^ { m _ { 1 } } \times \mathbb { A } _ { p _ { 2 } } ^ { m _ { 2 } } \times \dots \times \mathbb { A } _ { p _ { a } } ^ { m _ { a } } \times \mathbb { A } _ { q _ { 1 } } ^ { n _ { 1 } } \times \mathbb { A } _ { q _ { 2 } } ^ { n _ { 2 } } \times \dots \times \mathbb { A } _ { q _ { b } } ^ { n _ { b } } \rightarrow \mathbb { Z } .
\begin{array} { r l } { \Omega _ { Z } ^ { d } ( \log \Delta _ { X \times Y } | _ { Z } ) ( - \pi _ { Y } ^ { * } \Delta _ { Y } ) } & { = \omega _ { Z } ( \Delta _ { Z } + E _ { X } ^ { \textup { r e d } } + E _ { Y } ^ { \textup { r e d } } - \Delta _ { Z } - E _ { Y } ) } \\ & { \omega _ { Z } ( E _ { X } ^ { \textup { r e d } } + ( E _ { Y } ^ { \textup { r e d } } - E _ { Y } ) ) = \omega _ { Z } ( \sum _ { i } E _ { X } ^ { i } + \sum _ { i } ( 1 - a _ { Y } ^ { i } ) E _ { Y } ^ { i } ) } \end{array}
U _ { x } ( y ) = \frac { 3 } { 2 } \frac { R e ^ { W } } { R e ^ { E } } ( 1 - y ^ { 2 } / L _ { y } ^ { 2 } ) = \frac { 3 } { 2 } \times 0 . 0 6 4 \times ( 1 - y ^ { 2 } / L _ { y } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { r e d , 2 e l , c r - S } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { m _ { a } } \sum _ { b } \sum _ { P , Q } ( - 1 ) ^ { P + Q } \frac { i } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega } \end{array}
\begin{array} { r c l c r c l } { { A _ { L L } ( u _ { j } ) } } & { { \longrightarrow } } & { { \displaystyle A _ { L L } ^ { \mathrm { S M } } ( u ) + \frac { \lambda _ { 2 j k } ^ { \prime 2 } } { \hat { s } - m _ { d _ { R k } } ^ { 2 } + i m _ { d _ { R k } } \Gamma _ { d _ { R k } } } } } & { { \qquad } } & { { A _ { L R } ( \bar { u } _ { j } ) } } & { { \longrightarrow } } & { { \displaystyle A _ { L R } ^ { \mathrm { S M } } ( \bar { u } ) + \frac { \lambda _ { 2 j k } ^ { \prime 2 } } { \hat { u } - m _ { d _ { R k } } ^ { 2 } } } } \\ { { A _ { L L } ( \bar { d } _ { j } ) } } & { { \longrightarrow } } & { { \displaystyle A _ { L L } ^ { \mathrm { S M } } ( \bar { d } ) + \frac { \lambda _ { 2 k j } ^ { \prime 2 } } { \hat { s } - m _ { u _ { L k } } ^ { 2 } + i m _ { u _ { L k } } \Gamma _ { u _ { L k } } } } } & { { \qquad } } & { { A _ { L R } ( d _ { j } ) } } & { { \longrightarrow } } & { { \displaystyle A _ { L R } ^ { \mathrm { S M } } ( d ) + \frac { \lambda _ { 2 k j } ^ { \prime 2 } } { \hat { u } - m _ { u _ { L k } } ^ { 2 } } } } \end{array} \; ,
\begin{array} { r } { v ( x , t , k ) = \left\{ \begin{array} { l l } { Q _ { 1 } ^ { R } ( x , t , k ) , \quad \; } & { k \in \partial D _ { \epsilon } ( k _ { 0 } ) , \; k _ { 0 } \in \mathsf { Z } \cap D _ { \mathrm { r e g } } ^ { R } , } \\ { Q _ { 7 } ^ { R } ( x , t , k ) , } & { k \in \partial D _ { \epsilon } ( k _ { 0 } ) ^ { * } , \; k _ { 0 } \in \mathsf { Z } \cap D _ { \mathrm { r e g } } ^ { R } , } \\ { Q _ { 1 } ^ { L } ( x , t , k ) , } & { k \in \partial D _ { \epsilon } ( k _ { 0 } ) , \; k _ { 0 } \in \mathsf { Z } \cap D _ { \mathrm { r e g } } ^ { L } , } \\ { Q _ { 7 } ^ { L } ( x , t , k ) , } & { k \in \partial D _ { \epsilon } ( k _ { 0 } ) ^ { * } , \; k _ { 0 } \in \mathsf { Z } \cap D _ { \mathrm { r e g } } ^ { L } , } \\ { P _ { 1 } ^ { R } ( x , t , k ) , } & { k \in \partial D _ { \epsilon } ( k _ { 0 } ) , \; k _ { 0 } \in \mathsf { Z } \cap ( 1 , \infty ) , } \\ { P _ { 1 } ^ { L } ( x , t , k ) , } & { k \in \partial D _ { \epsilon } ( k _ { 0 } ) , \; k _ { 0 } \in \mathsf { Z } \cap ( - 1 , 0 ) , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u - u _ { \Delta x } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \left( \int _ { x _ { 2 j } } ^ { x _ { 2 j + 1 } } \left( u ( x ) - u _ { \Delta x } ( x ) \right) ^ { 2 } d x + \int _ { x _ { 2 j + 1 } } ^ { x _ { 2 j + 2 } } \left( u ( x ) - u _ { \Delta x } ( x ) \right) ^ { 2 } d x \right) } \\ & { \leq \sum _ { j \in \mathbb { Z } } 2 \left( 1 + \sqrt { 2 } \right) ^ { 2 } \left( F _ { \mathrm { a c } } ( x _ { 2 j + 2 } ) - F _ { \mathrm { a c } } ( x _ { 2 j } ) \right) \Delta x ^ { 2 } } \\ & { = 2 \left( 1 + \sqrt { 2 } \right) ^ { 2 } F _ { \mathrm { a c } , \infty } \Delta x ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { K P I } ( \mathbf { P } _ { 0 } , \boldsymbol { \alpha } , \mathbf { H } _ { \tau } ) = \sum _ { c = 1 } ^ { N _ { C } } \sum _ { u = 1 } ^ { N _ { U } } \log _ { 2 } \operatorname* { d e t } \bigg ( \mathbf { I } _ { N _ { R } } } \\ & { + 1 0 ^ { \frac { P _ { c , u } ^ { \mathrm { T X } } } { 1 0 } } \boldsymbol { \Gamma } _ { c , u } ^ { - 1 } \mathbf { H } _ { \tau , c , u , c } \mathbf { H } _ { \tau , c , u , c } ^ { \sf H } \bigg ) \quad [ \mathrm { b i t / s / H z } ] , } \end{array}
\cos { \frac { \gamma } { 2 } } + \sin { \frac { \gamma } { 2 } } \mathbf { C } = { \Big ( } \cos { \frac { \beta } { 2 } } \cos { \frac { \alpha } { 2 } } - \sin { \frac { \beta } { 2 } } \sin { \frac { \alpha } { 2 } } \mathbf { B } \cdot \mathbf { A } { \Big ) } + { \Big ( } \sin { \frac { \beta } { 2 } } \cos { \frac { \alpha } { 2 } } \mathbf { B } + \sin { \frac { \alpha } { 2 } } \cos { \frac { \beta } { 2 } } \mathbf { A } + \sin { \frac { \beta } { 2 } } \sin { \frac { \alpha } { 2 } } \mathbf { B } \times \mathbf { A } { \Big ) } .
\mathbf { \boldsymbol { \mathsf { f } } } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ) = - 2 ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } + \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } )
\begin{array} { r l } { G _ { i j } ^ { E E } ( \mathbf { x } , \omega ; \mathbf { x } _ { s } ) = } & { { } \frac { E _ { i } ( \mathbf { x } , \omega ; \mathbf { x } _ { s } ) } { J _ { j } ( \mathbf { x } _ { s } , \omega ) } = \sqrt { \frac { - \mathrm { i } \omega } { 2 \omega _ { 0 } } } \frac { E _ { i } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , \omega ; \mathbf { x } _ { s } ) } { J _ { j } ^ { \prime } ( \mathbf { x } _ { s } , \omega ) } , } \\ { G _ { i j } ^ { H E } ( \mathbf { x } , \omega ; \mathbf { x } _ { s } ) = } & { { } \frac { H _ { i } ( \mathbf { x } , \omega ; \mathbf { x } _ { s } ) } { J _ { j } ( \mathbf { x } _ { s } , \omega ) } = \frac { H _ { i } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , \omega ; \mathbf { x } _ { s } ) } { J _ { j } ^ { \prime } ( \mathbf { x } _ { s } , \omega ) } , } \end{array}
\Lambda ^ { 2 } = \frac { m ^ { 2 } ( \Lambda ) } { 2 \kappa ( \Lambda ) \left( 1 - \theta ( \Lambda ) \right) } \ \stackrel { < } { \approx } \ \frac { \lambda ( \Lambda ) \langle \varphi \rangle _ { 1 \ell t } ^ { 2 } } { 1 2 \kappa ( \Lambda ) \left( 1 - \theta ( \Lambda ) \right) } \ ,
Q ( \theta , \theta _ { 2 } , \phi ) = v _ { r e l } \, \mathrm { e } ^ { 2 \Gamma \, J _ { S } } \, \mathrm { c o s } \phi \, \mathrm { e x p } \left[ - i \theta m + i n _ { 1 } \theta _ { e n t r } + i n _ { 2 } \theta _ { 2 , e n t r } \right]
\begin{array} { r } { ( \omega _ { o p t } ( k ) - \omega _ { o p t } ( k - q _ { 1 } ) + ( \omega _ { o p t } ( k - q _ { 1 } ) - \omega _ { o p t } ( k - q _ { 1 } - q _ { 2 } ) ) + . . . } \\ { + ( \omega _ { o p t } ( k - q _ { 1 } - q _ { 2 } - . . . - q _ { n - 1 } ) - \omega _ { o p t } ( k - q _ { 1 } - q _ { 2 } - . . . - q _ { n } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { p } _ { z } ^ { \pm } ( \omega ) = } & { { } \frac { A _ { 0 } } { 2 \sqrt { 2 a } } \sum _ { j j ^ { \prime } } ^ { N } \bigg [ c _ { j ^ { \prime } } ^ { * } c _ { j } e ^ { \pm i \phi - \frac { ( \omega - \epsilon _ { j j ^ { \prime } } \pm \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 a } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | v | ^ { 2 } F d v = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \frac { \langle v \rangle ^ { q } } { \langle v \rangle ^ { q } } | v | ^ { 2 } F d v \leq \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \frac { 1 } { \langle v \rangle ^ { q } } | v | ^ { 2 } d v \| F ( s ) \| _ { L _ { v } ^ { \infty , q } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { L ( ( \psi _ { h } ^ { n , j } - \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } ) , v _ { h } ) + \tau ( K ( \theta ( \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } ) ) \nabla ( \psi _ { h } ^ { n , j } + z ) , \nabla v _ { h } ) } \\ & { = \tau ( f ^ { n } , v _ { h } ) - ( \theta ( \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } ) - \theta ( \psi _ { h } ^ { n - 1 } ) , v _ { h } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( r , \theta , z ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { s ( \theta _ { 1 } ) } { 4 \pi R } \, \mathrm { d } \theta _ { 1 } , } \\ { R ^ { 2 } } & { { } = r ^ { 2 } + r _ { i } ^ { 2 } - 2 r r _ { 1 } \cos ( \theta - \theta _ { 1 } ) + ( z - z _ { 1 } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\hat { P } _ { m } \, \left( \hat { \mathrm { ~ \bf ~ j ~ } } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } | n , \mathrm { ~ \bf ~ P ~ } _ { i } \rangle \right) = \left[ \hat { P } _ { m } \, , \, \hat { \mathrm { ~ \bf ~ j ~ } } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \right] | n , \mathrm { ~ \bf ~ P ~ } _ { i } \rangle + P _ { m } ^ { ( i ) } \hat { \mathrm { ~ \bf ~ j ~ } } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } | n , \mathrm { ~ \bf ~ P ~ } _ { i } \rangle
A _ { \cal O } ^ { ( h ) } ( s , t ) = g _ { { \cal O } h } ( 1 - e ^ { \beta _ { h } t } ) [ \ell n ( - i s / s _ { 0 } ) ] ^ { \nu } \frac { 1 } { ( 1 - t / t _ { { \cal O } h } ) ^ { 4 } } \ .
\frac { S _ { \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } } } { \gamma _ { 1 } ! \gamma _ { 2 } ! } = ( x _ { 1 } - y _ { 1 } ) \sum _ { j = 0 } ^ { \gamma _ { 1 } - 1 } \frac { H _ { \gamma _ { 1 } - j , \gamma _ { 2 } } ( x ) H _ { \gamma _ { 1 } - j , \gamma _ { 2 } } ( y ) } { ( \gamma _ { 1 } - j ) ! \gamma _ { 2 } ! } + \frac { S _ { 0 , \gamma _ { 2 } } } { 0 ! \gamma _ { 2 } ! } .
\frac { d \sigma ( g \rightarrow \gamma ) } { d \Omega ^ { \prime } } = \, \frac { k ^ { 2 } H _ { 0 } ^ { 2 } b ^ { 2 } p ^ { 2 } } { 4 ( 2 \pi ) ^ { 4 } ( p ^ { 2 } - \frac { m ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } ) } \left( 1 + 3 \frac { \omega } { p } \right) \sin ^ { 2 } \left( \frac { a p } { 2 } \right) 2 \sin ^ { 2 } \left[ \frac { c ( p + 2 k ) } { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { \mu _ { 1 } } & { = \frac { A - m B F + ( m ^ { 2 } F + D F - B - m A F ) i } { B F - 1 + ( A - m ) F i } } \\ & { = \frac { ( A - m B F ) ( B F - 1 ) + ( m ^ { 2 } F + D F - B - m A F ) ( A - m ) F } { ( B F - 1 ) ^ { 2 } + ( A - m ) ^ { 2 } F ^ { 2 } } } \\ & { \quad + i \frac { ( m ^ { 2 } F + D F - B - m A F ) ( B F - 1 ) - ( A - m B F ) ( A - m ) F } { ( B F - 1 ) ^ { 2 } + ( A - m ) ^ { 2 } F ^ { 2 } } . } \end{array}
m _ { \nu } = \rho \left( \begin{array} { l l } { { e ^ { - \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 } ( l + \delta ) ^ { 2 } } } } & { { e ^ { - \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 } ( l + \delta + \epsilon ) ^ { 2 } } } } \\ { { e ^ { - \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 } ( l + \epsilon ) ^ { 2 } } } } & { { e ^ { - \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 } l ^ { 2 } } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { c c c } { \displaystyle { \tau _ { C } = \frac { 6 ( 1 - 3 \overline { { c } } + 3 \overline { { c } } ^ { 2 } ) } { ( 5 - 1 4 \overline { { c } } + 1 4 \overline { { c } } ^ { 2 } ) } - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \bf s } } _ { j } = { \bf s } _ { j } + \frac { 1 } { 2 V _ { j } } \int _ { V _ { j } } ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) ^ { t } \nabla ^ { 2 } { \bf s } _ { j } ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) \, d V . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { ~ F ( ( s ~ + ~ s ^ { - 1 } ) ~ / ~ 2 ) ~ i s ~ a n a l y t i c ~ o n ~ \mathbb { A } _ R ~ a n d ~ F ( \cos \theta ) ~ i s ~ a n a l y t i c ~ o n ~ \mathbb { I } _ { \log ( R ) } ~ } , } \\ & { F ( ( s + s ^ { - 1 } ) / 2 ) = a _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } ( s ^ { n } + s ^ { - n } ) , s \in \mathbb { A } _ { R } , } \\ & { F ( \cos \theta ) = a _ { 0 } + 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } \cos ( n \theta ) , \theta \in \mathbb { I } _ { \log ( R ) } , } \\ & { F ( u ) = a _ { 0 } + 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } T _ { n } ( u ) , u \in \mathbb { E } _ { R } , } \\ & { \lvert a _ { n } \rvert \le \rho ^ { - n } \operatorname* { s u p } _ { u \in \mathbb { E } _ { \rho } } \lvert F ( u ) \rvert < \infty , 1 < \rho < R , n \in \mathbb { Z } _ { \ge 0 } , } \\ & { \lvert a _ { n } \rvert \le R ^ { - n } \operatorname* { s u p } _ { u \in \mathbb { E } _ { R } } \lvert F ( u ) \rvert < \infty , n \in \mathbb { Z } _ { \ge 0 } , \mathrm { ~ i f ~ R ~ \ne ~ \infty ~ a n d ~ \operatorname* { s u p } \limits _ { u ~ \in ~ \mathbb { E } _ R } ~ \lvert ~ F ( u ) ~ \rvert ~ < ~ \infty ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \bar { p } \omega ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { 1 / 2 } \left| \frac { 1 } { N } \hat { \bf e } _ { \omega } ^ { H } { \bf e } _ { N , 1 } \right| } & { \leq } & { \Delta t ^ { 4 } \frac { C _ { 1 1 } } { | \omega | ^ { m - 2 } } + \Delta t ^ { 5 } \frac { C _ { 1 2 } } { | \omega | ^ { m - 3 } } , } \\ { \left| \frac { 1 } { N } \hat { \bf e } _ { \omega } ^ { H } { \bf e } _ { N , 2 } \right| } & { \leq } & { \Delta t ^ { 3 } \frac { C _ { 2 1 } } { | \omega | ^ { m - 1 } } + \Delta t ^ { 4 } \frac { C _ { 2 2 } } { | \omega | ^ { m - 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \mathrm { X } } = } & { - \frac { 1 } { 3 } \int \mathrm { d } ^ { 3 } k \int _ { - \infty } ^ { \tau } \mathrm { d } \tau _ { 1 } G _ { b u } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) H _ { u b } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 3 } \int \mathrm { d } ^ { 3 } k \int _ { - \infty } ^ { \tau } \mathrm { d } \tau _ { 1 } G _ { u b } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) H _ { u b } \left( k , \mathbf { X } ; \tau _ { 1 } , \tau , T \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big [ \mathcal { W } _ { 1 } ( \hat { F } _ { n , X } , F _ { X } ) \big ] } & { \leq L \mathbb { E } \big [ \| X _ { \kappa _ { n } : n } ( X ) - X \| ^ { H } \big ] + M \kappa _ { n } ^ { - 1 / 2 } } \\ & { \leq L \mathbb { E } \big [ \| X _ { \kappa _ { n } : n } ( X ) - X \| ^ { 2 } \big ] ^ { H / 2 } + M \kappa _ { n } ^ { - 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { K L \left( \Phi \| \tilde { \Phi } \right) } \\ { = } & { - H \left[ \Phi \right] - \sum _ { k = 1 } ^ { n } \mu _ { k } \int _ { \mathcal { I } ^ { d } } \alpha _ { k } ( e ^ { i \boldsymbol { \theta } } ) \log \tilde { \Phi } ( e ^ { i \boldsymbol { \theta } } ) d \boldsymbol { \theta } } \\ { = } & { - H \left[ \Phi \right] - \sum _ { k = 1 } ^ { n } \mu _ { k } \tilde { c } _ { k } . } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { e f f } } ( l _ { i } \rightarrow l _ { j } \gamma ) = e \frac { m _ { l _ { i } } } { 2 } ~ \overline { { { l } } } _ { j } \sigma ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } \left[ F _ { j i } ^ { L } ( 0 ) P _ { L } + F _ { j i } ^ { R } ( 0 ) P _ { R } \right] l _ { i } .
\bar { \Delta } _ { \alpha } \mathrm { e x p } \{ ( i / \hbar ) W _ { m } \} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \int d ^ { 2 } \theta \, \theta ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \delta W _ { m } } { \partial \theta ^ { 2 } \delta \Phi ^ { A } ( \theta ) } \, \Phi ^ { B } ( \theta ) ( \sigma _ { \alpha } ) _ { B } ^ { ~ ~ \! A } + V _ { \alpha } W _ { m } = 0 ,
\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \alpha \int _ { 0 } ^ { \pi } d \beta \sin \beta \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \gamma \, \, D _ { m ^ { \prime } k ^ { \prime } } ^ { j ^ { \prime } } ( \alpha , \beta , \gamma ) ^ { \ast } D _ { m k } ^ { j } ( \alpha , \beta , \gamma ) = { \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { 2 j + 1 } } \delta _ { m ^ { \prime } m } \delta _ { k ^ { \prime } k } \delta _ { j ^ { \prime } j } .
\int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } ( \rho ^ { N } ( t ^ { N } ) ) ^ { 2 } = \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } ( \rho _ { 0 } ^ { N } ) ^ { 2 } + 2 \lambda \int _ { 0 } ^ { t ^ { N } } \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \rho ^ { N } \Re \left( \overline { { \psi ^ { N } } } B ^ { N } \psi ^ { N } \right) .
\Phi _ { x _ { 0 } } \left( u , z \right) = \frac { z ^ { x _ { 0 } } \left( \overline { { \alpha } } - z \right) + \overline { { \alpha } } u \left( 1 - z \right) \phi _ { \beta } \left( z \right) \Phi _ { x _ { 0 } } \left( u , \overline { { \alpha } } \right) } { \overline { { \alpha } } - z + \alpha u z \phi _ { \beta } \left( z \right) } .
\begin{array} { r } { t = \frac { \mu _ { \mathrm { ~ F ~ } } - \mu _ { \mathrm { ~ M ~ } } } { \sqrt { \frac { s _ { \mathrm { ~ F ~ } } ^ { 2 } } { n _ { \mathrm { ~ F ~ } } } } + \sqrt { \frac { s _ { \mathrm { ~ M ~ } } ^ { 2 } } { n _ { \mathrm { ~ M ~ } } } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | { e } _ { \mathrm { t a r } , \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ n ~ \_ ~ d ~ e ~ g ~ r ~ e ~ e ~ } , v } | } & { { } = | \boldsymbol { e } _ { \mathrm { t a r } , \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ n ~ \_ ~ a ~ n ~ g ~ l ~ e ~ } } | } \\ { { e } _ { \mathrm { t a r } , \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ n ~ \_ ~ a ~ n ~ g ~ l ~ e ~ } , h } } & { { } = 0 } \end{array}
{ \bf V } _ { i } ^ { ( i n t ) } ( t _ { 1 } ) { \bf V } _ { j } ^ { ( i n t ) } ( t _ { 2 } ) = q ^ { 2 ( { \bf e } _ { i } { \bf e } _ { j } ) } { \bf V } _ { j } ^ { ( i n t ) } ( t _ { 2 } ) { \bf V } _ { i } ^ { ( i n t ) } ( t _ { 1 } ) , \qquad t _ { 1 } > t _ { 2 }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } ( A ) } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \left( \operatorname { t r } ( A ) \right) ^ { 2 } - \operatorname { t r } \left( A ^ { 2 } \right) \right) , } \\ { \operatorname* { d e t } ( A ) } & { { } = { \frac { 1 } { 6 } } \left( \left( \operatorname { t r } ( A ) \right) ^ { 3 } - 3 \operatorname { t r } ( A ) ~ \operatorname { t r } \left( A ^ { 2 } \right) + 2 \operatorname { t r } \left( A ^ { 3 } \right) \right) , } \\ { \operatorname* { d e t } ( A ) } & { { } = { \frac { 1 } { 2 4 } } \left( \left( \operatorname { t r } ( A ) \right) ^ { 4 } - 6 \operatorname { t r } \left( A ^ { 2 } \right) \left( \operatorname { t r } ( A ) \right) ^ { 2 } + 3 \left( \operatorname { t r } \left( A ^ { 2 } \right) \right) ^ { 2 } + 8 \operatorname { t r } \left( A ^ { 3 } \right) ~ \operatorname { t r } ( A ) - 6 \operatorname { t r } \left( A ^ { 4 } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ( v _ { 1 } , v _ { 2 } , \ldots , v _ { p } ) = \sum _ { i } \omega _ { i } \left( v _ { i } + \frac { d _ { i } } { 2 } \right) } & { + \sum _ { j \leq i } x _ { i j } \left( v _ { i } + \frac { d _ { i } } { 2 } \right) \left( v _ { j } + \frac { d _ { j } } { 2 } \right) } \\ & { + \sum _ { j \leq i } g _ { i j } \ell _ { i } \ell _ { j } + \ldots } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \phi _ { \alpha j } ( t ) + 3 \frac { \dot { R } ( t ) } { R ( t ) } \frac { \partial } { \partial t } \phi _ { \alpha j } ( t ) + \left( m ^ { 2 } + \xi { \bf R } + \frac { { \bf k } ^ { 2 } } { R ^ { 2 } ( t ) } \right) \phi _ { \alpha j } ( t ) = 0 ,
\Bigl \{ \tilde { \phi } \, , \, \phi _ { * } - \frac { \bar { r } \dot { \bar { z } } } { 2 \Gamma } \, ( 1 + \epsilon R ) ^ { 2 } \Bigr \} - W _ { \epsilon } ( 1 + \epsilon R ) \bigl \{ \tilde { \phi } \, , \, \zeta _ { * } \bigr \} \, = \, \bigl \{ \tilde { \phi } \, , \, \Theta \bigr \} \, .
\begin{array} { r l } { \mathbf { f } } & { { } \approx \mu _ { a } \boldsymbol { \nabla } _ { \mathbf { R } _ { 0 } } E _ { a } ( \mathbf { R } _ { 0 } ) + \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left[ \boldsymbol { \mu } \times \mathbf { B } ( \mathbf { R } _ { 0 } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { \psi } ( s , z ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \exp { ( \lambda _ { i } z ) } \Bigg [ C _ { i } ( s ) + \mathscr { E } _ { i } ( s ) I _ { i } ( s , z ) \Bigg ] , } \end{array}
\{ P _ { A _ { a } A _ { b } } , T _ { A _ { a } A _ { b } } , e _ { A _ { a } A _ { b } } , a _ { A _ { a } A _ { b } } , \omega _ { A _ { a } A _ { b } } , \Omega _ { A _ { a } A _ { b } } , i _ { A _ { a } A _ { b } } \}
\begin{array} { r l } { \int f ( x , v ) \mu _ { \delta } ( x , v ) d x d v } & { = \int f ( x , v ) \mu _ { \delta } ( x , v ) d x d v + \delta \int \mathcal { L } f ( x , v ) \mu _ { \delta } ( x , v ) d x d v } \\ & { \quad + \delta ^ { 3 } \int \mathcal { L } _ { 2 } f ( x , v ) \mu _ { \delta } ( x , v ) d x d v + \mathcal { O } ( \delta ^ { 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \mathcal { F } _ { v \to \xi } [ ( \theta \circ u ^ { - 1 } ) ( u ^ { - 1 } ) ^ { \prime } ] ( \xi ) \right| \leq C e ^ { - \lambda _ { u , \th } \langle \xi \rangle ^ { s } } } \end{array}