harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } ^ { O ( N ) } } & { = \mathcal { S } _ { \frac 1 2 } \cup \mathcal { S } _ { 1 } \cup \left\{ \delta _ { \langle 1 , 3 \rangle } \right\} \ , } \\ { \mathcal { S } ^ { \mathrm { P o t t s } } } & { = \mathcal { S } _ { 2 } \cup \left\{ \delta _ { \langle 1 , 2 \rangle } , \delta _ { \langle 1 , 3 \rangle } \right\} \cup \left\{ \delta _ { \Delta _ { ( 0 , \frac 1 2 ) } } \right\} \ , } \\ { \mathcal { S } ^ { \Delta } } & { = \mathcal { S } _ { 1 } \cup \left\{ \delta _ { \Delta } \right\} \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf F } _ { t } ( { \bf x } ( t _ { 0 } ) ) = { \bf x } ( t _ { 0 } + t ) = { \bf x } ( t _ { 0 } ) + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + t } \bf { f } ( { \bf x } ( \tau ) ) \, d \tau \, . } \end{array}
{ \hat { \lambda } } = { \frac { \nu } { \xi a ^ { 1 - \nu } ( 1 - ( a / \ell ) ^ { 2 \nu } ) } } - { \frac { \pi \nu } { ( 1 - ( a / \ell ) ^ { 2 \nu } ) } } - { \frac { C \nu ^ { 2 } a ^ { 2 \nu } } { ( 1 - ( a / \ell ) ^ { 2 \nu } ) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { W _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( z ; I ) } & { = \frac { \delta _ { | I | , 1 } \delta _ { g , 0 } } { x ( z ) - x ( u _ { 1 } ) } + \frac { \delta _ { | I | , 0 } \delta _ { g , 0 } } { \lambda } \Big ( x ( z ) + \frac { \lambda } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { d } \frac { r _ { k } } { x ( \varepsilon _ { k } ) - x ( z ) } \Big ) } \\ { * } & { + \frac { 1 } { N } \sum _ { l = 1 } ^ { d } r _ { l } U _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( z , \varepsilon _ { l } ; I ) - \sum _ { j = 1 } ^ { | I | } U _ { | I | } ^ { ( g ) } ( z , u _ { i } ; I { \setminus } u _ { i } ) + V _ { | I | + 1 } ^ { ( g - 1 ) } ( z , z ; I ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } ( F _ { g } ) ( Z ) } & { = \eta _ { g } ( \tau ) \cdot \exp \left( - \sum _ { d | N _ { g } } \mathbf { G } \big ( d ^ { - 1 } \phi _ { g , d } \big ) ( d Z ) \right) } \\ & { = \eta _ { g } ( \tau ) - \Theta _ { g } ( \tau , \mathfrak { z } ) \cdot s + O ( s ^ { 2 } ) , \quad s = e ^ { 2 \pi i w } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q _ { \Psi } } & { = } & { 1 - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } | \langle { \Psi _ { i } ^ { \mathrm { B o b } } } | { \Psi _ { i } ^ { \mathrm { A l i c e } } } \rangle | ^ { 2 } , } \\ { Q _ { \Phi } } & { = } & { 1 - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } | \langle { \Phi _ { i } ^ { \mathrm { B o b } } } { \Phi _ { i } ^ { \mathrm { A l i c e } } } \rangle | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { w _ { t } ^ { ( 0 ) } + v ^ { ( 0 ) } \hat { \pmb { \theta } } _ { t } ^ { ( 0 ) } \cdot \hat { \pmb { \tau } } + u ^ { ( 2 ) } w _ { \bar { r } } ^ { ( 0 ) } + \frac { w _ { \theta } ^ { ( 1 ) } v ^ { ( 1 ) } } { \bar { r } } + u ^ { ( 1 ) } w _ { \bar { r } } ^ { ( 1 ) } + \frac { w _ { \theta } ^ { ( 2 ) } v ^ { ( 0 ) } } { \bar { r } } } \\ { + \frac { w ^ { ( 0 ) } w _ { s } ^ { ( 1 ) } } { \sigma ^ { ( 0 ) } } + w ^ { ( 1 ) } v ^ { ( 0 ) } \kappa ^ { ( 0 ) } \sin \varphi ^ { ( 0 ) } + w ^ { ( 0 ) } v ^ { ( 1 ) } \kappa ^ { ( 0 ) } \sin \varphi ^ { ( 0 ) } } \\ { - w ^ { ( 0 ) } u ^ { ( 1 ) } \kappa ^ { ( 0 ) } \cos \varphi ^ { ( 0 ) } + w ^ { ( 0 ) } v ^ { ( 0 ) } \left( \frac { \kappa \sigma \sin \varphi } { h _ { 3 } } \right) ^ { ( 1 ) } + \hat { \pmb { \tau } } \cdot \frac { w ^ { ( 0 ) } } { \sigma ^ { ( 0 ) } } \dot { \mathbf { X } } _ { s } ^ { ( 0 ) } } \\ { = - \frac { 1 } { \sigma ^ { ( 0 ) } } \frac { P _ { s } ^ { ( 1 ) } } { \rho _ { 0 } } + \frac { \bar { \nu } } { \bar { r } } \left( \bar { r } w _ { \bar { r } } ^ { ( 0 ) } \right) _ { \bar { r } } + \alpha g \Tilde { T } ^ { ( 0 ) } \hat { \mathbf { y } } \cdot \hat { \pmb { \tau } } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { S _ { 1 } ( \vec { x } ) } } & { { = } } & { { S _ { 0 } \displaystyle \frac { z _ { \pm } ( \vec { x } ) + \overline { { { z } } } _ { \pm } ( \vec { x } ) } { 1 + z _ { \pm } ( \vec { x } ) \overline { { { z } } } _ { \pm } ( \vec { x } ) } \, , } } \\ { { S _ { 2 } ( \vec { x } ) } } & { { = } } & { { \pm i S _ { 0 } \displaystyle \frac { z _ { \pm } ( \vec { x } ) - \overline { { { z } } } _ { \pm } ( \vec { x } ) } { 1 + z _ { \pm } ( \vec { x } ) \overline { { { z } } } _ { \pm } ( \vec { x } ) } \, , } } \\ { { S _ { 3 } ( \vec { x } ) } } & { { = } } & { { \pm S _ { 0 } \displaystyle \frac { 1 - z _ { \pm } ( \vec { x } ) \overline { { { z } } } _ { \pm } ( \vec { x } ) } { 1 + z _ { \pm } ( \vec { x } ) \overline { { { z } } } _ { \pm } ( \vec { x } ) } \, . } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { O P D } & { = n _ { 2 } \left( { \frac { 2 d } { \cos ( \theta _ { 2 } ) } } \right) - 2 d \tan ( \theta _ { 2 } ) n _ { 2 } \sin ( \theta _ { 2 } ) } \\ & { = 2 n _ { 2 } d \left( { \frac { 1 - \sin ^ { 2 } ( \theta _ { 2 } ) } { \cos ( \theta _ { 2 } ) } } \right) } \\ & { = 2 n _ { 2 } d \cos { \big ( } \theta _ { 2 } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { q _ { k } } & { = \Big [ q _ { k - 1 } + \gamma _ { k } \widehat { S } _ { k - 1 } ^ { \top } \Delta v _ { k } ^ { * } + \gamma _ { k } \alpha _ { k } \nu _ { k } \Big ] _ { \underline { { q } } _ { k } + \underline { { \eta } } _ { k } } ^ { \overline { { q } } _ { k } - \overline { { \eta } } _ { k } } } \\ & { = \Big [ q _ { k - 1 } + \gamma _ { k } \big ( S _ { \varphi } + ( \widehat { S } _ { k - 1 } - S _ { \varphi } ) \big ) ^ { \top } \Delta v _ { k } ^ { * } } \\ & { \quad + \gamma _ { k } \alpha _ { k } \nu _ { k } \Big ] _ { \underline { { q } } _ { k } + \underline { { \eta } } _ { k } } ^ { \overline { { q } } _ { k } - \overline { { \eta } } _ { k } } } \\ & { = \Big [ q _ { k - 1 } - \gamma _ { k } ( g _ { k - 1 } + S _ { \varphi } ^ { \top } S _ { w } \xi _ { k - 1 } + \delta _ { k - 1 } - \alpha _ { k } \nu _ { k } ) \Big ] _ { \underline { { q } } _ { k } + \underline { { \eta } } _ { k } } ^ { \overline { { q } } _ { k } - \overline { { \eta } } _ { k } } . b } \end{array}
\int _ { \partial \Omega _ { f } } \boldsymbol { \nu } \cdot ( \boldsymbol { \sigma ^ { e } } + \boldsymbol { \sigma ^ { o } } ) \cdot \boldsymbol { n _ { f } } d s = \int _ { \partial \Omega _ { f } } \boldsymbol { \nu } \cdot \left( \gamma ( \nabla _ { s } . n _ { f } ) \boldsymbol { n _ { f } } + \frac { \partial \gamma } { \partial s } \boldsymbol { t _ { f } } \right) d s
\begin{array} { r l } { { \mathbb P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \| u ( s ) - u _ { 0 } ^ { ( n ) } ( s ) \| _ { \mathcal { Y } _ { p } } \geq \gamma , \ \sigma _ { 0 } \wedge \sigma _ { 0 } ^ { ( n ) } > t \Big ) \leq \frac { C _ { 0 } } { \gamma ^ { p } } { \mathbb E } \| u _ { 0 } - u _ { 0 } ^ { ( n ) } \| _ { \mathcal { Y } _ { p } } ^ { p } , } & { } \\ { { \mathbb P } ( \sigma _ { 0 } \wedge \sigma _ { 0 } ^ { ( n ) } \leq t ) \leq C _ { 0 } \big [ { \mathbb E } \| u _ { 0 } - u _ { 0 } ^ { ( n ) } \| _ { \mathcal { Y } _ { p } } ^ { p } + { \mathbb P } ( \sigma _ { 1 } \leq t ) \big ] . } & { } \end{array}
F _ { \mu \nu } = \eta _ { \mu \alpha } F ^ { \alpha \beta } \eta _ { \beta \nu } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { E _ { x } / c } & { E _ { y } / c } & { E _ { z } / c } \\ { - E _ { x } / c } & { 0 } & { - B _ { z } } & { B _ { y } } \\ { - E _ { y } / c } & { B _ { z } } & { 0 } & { - B _ { x } } \\ { - E _ { z } / c } & { - B _ { y } } & { B _ { x } } & { 0 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { E _ { 0 0 c d } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] , E _ { 1 1 c d } = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] , } \\ { E _ { 0 1 c d } } & { { } = E _ { 1 0 c d } = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\left\{ 0 < b _ { 1 } + b _ { 2 } < 1 , b _ { 1 } b _ { 2 } \leq 0 \right\} \cup \left\{ b _ { 1 } + b _ { 2 } \geq 1 , b _ { 1 , 2 } > 0 \right\} \cup \left\{ b _ { 1 } + b _ { 2 } < 0 , b _ { 1 } b _ { 2 } < 0 \right\} .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } v _ { i } } & { = \{ v _ { i } , H \} - \frac { \delta R } { \delta v _ { i } } - \partial _ { i } \lambda , } \\ { \partial _ { t } \ell _ { i } } & { = \{ \ell _ { i } , H \} - \frac { \delta R } { \delta \ell _ { i } } , } \\ { \partial _ { t } M _ { i } } & { = \{ M _ { i } , H \} - \frac { \delta R } { \delta M _ { i } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \varphi \| _ { 2 , \alpha , \overline { { B _ { 2 r } ( P ) } } } \leq C \, , \qquad \| \varphi \| _ { m , \overline { { B _ { r } ( P ) } } } \leq C _ { m } \, ; } \end{array}
h _ { i } ( \mathbf { x } + \mathbf { c _ { i } } \Delta t , t + \Delta t ) - h _ { i } ( \mathbf { x } , t ) = - \frac { \Delta t } { \tau _ { \phi } } \left[ h _ { i } ( \mathbf { x } , t ) - h _ { i } ^ { e q } ( \mathbf { x } , t ) \right] + S _ { h _ { i } } ( \mathbf { x } , t ) \Delta t
\left\{ \begin{array} { r c l } { { G } } & { { = } } & { { d C - H \wedge C + m e ^ { B } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { H ^ { ( 7 ) } } } & { { = } } & { { d B ^ { ( 6 ) } - m C ^ { ( 7 ) } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { n = 4 } { } ^ { \star } G ^ { ( 2 n + 2 ) } \wedge C ^ { ( 2 n - 1 ) } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { { \cal H } ^ { ( 7 ) } } } & { { = } } & { { d { \cal B } ^ { ( 6 ) } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { n = 4 } { } ^ { \star } G ^ { ( 2 n + 3 ) } \wedge C ^ { ( 2 n ) } \, , } } \end{array} \right.
\left[ N \frac { \partial } { \partial N } + 2 \right] F ( N , 0 , 1 , g , 0 , 0 , \ldots ) = \sum _ { ( n _ { 1 } , \ldots , n _ { k } ) } \beta _ { n _ { 1 } \cdots n _ { k } } ( g ) \frac { \partial F } { \partial g _ { n _ { 1 } \cdots n _ { k } } } ( N , 0 , 1 , g , 0 , 0 , \ldots ) .
{ \tilde { G } } [ { \tilde { x } } , { \tilde { x } ^ { \prime } } ] = \sum _ { i } \left[ u _ { i } ( { \tilde { x } } ) u _ { i } ^ { * } ( { \tilde { x } ^ { \prime } } ) \right] \; \sum _ { j } \left[ v _ { j } ^ { * } ( { \tilde { x } } ) \, v _ { j } ( { \tilde { x } ^ { \prime } } ) \right] .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { E } = \mathcal { E } _ { p a i r } + \mathcal { E } _ { b o n d } , } \\ & { \mathcal { E } _ { p a i r } = \sum _ { j > i } ^ { i , j \in \mathrm { p o i n t ~ p a r t i c l e s } } U _ { i j } ^ { L J } + \sum _ { l > k } ^ { k \lor l \in \mathrm { e l l i p s o i d s } } U _ { k l } ^ { G B } . } \end{array}
e _ { K } ( p _ { K } ^ { * } , \rho _ { K } ^ { * } ) - e _ { K } ( p _ { K } , \rho _ { K } ) + \frac { 1 } { 2 } ( p _ { K } + p _ { K } ^ { * } ) \Big ( \frac { 1 } { \rho _ { K } ^ { * } } - \frac { 1 } { \rho _ { K } } \Big ) = 0
i s a s s u m e d t o b e t h e s a m e w i t h o r w i t h o u t t h e c a v i t y . T h e c h a n g e o f f r e e e n e r g y b a r r i e r c o m p a r e d t o t h e b a r e m o l e c u l a r r e a c t i o n ( w i t h
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { { } } & { \qquad } & { { } \frac { d ^ { \beta } f } { d t ^ { \beta } } = \left( \frac { 1 } { \Delta t } \right) ^ { \beta } \sum _ { l = 1 } ^ { M + 1 } \varphi _ { l } f \left( \left( k + 1 - l \right) \Delta t \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \rho = 1 0 ^ { - 3 } U _ { \tt r a n d } + 1 0 ^ { - 1 0 } , } \\ { v = 1 . 9 9 9 9 U _ { \tt r a n d } - 1 . 9 9 9 9 / 2 , } \\ { p = 0 . 1 U _ { \tt r a n d } + 1 0 ^ { - 1 0 } , } \\ { \gamma = 1 . 0 0 0 1 + 0 . 9 9 9 9 U _ { \tt r a n d } . } \end{array} \right. } \end{array}
\left[ { \frac { \mathrm { { r } } } { { { \lambda _ { g } } ( { \bf { r } } ) } } - \nabla \cdot \frac { { \lambda _ { g } ^ { E } ( { \bf { r } } ) } } { 3 } \nabla } \right] { H _ { g } } ( { \bf { r } } ) = - \nabla \cdot { { \bf { U } } _ { g } } ( { \bf { r } } ) ,
\begin{array} { r l } { L y ^ { \prime } } & { { } = L y ^ { 0 } ( a ^ { L y } + b ^ { L y } ( E _ { r } - E _ { 0 } ^ { L y } ) ) } \\ { Q y ^ { \prime } } & { { } = Q y ^ { 0 } ( a ^ { Q y } + b ^ { Q y } ( E _ { r } - E _ { 0 } ^ { Q y } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { \mathrm { t o t a l } } ( t ) } & { { } = a _ { \mathrm { j i t t e r } } ( t ) + a _ { \mathrm { A M } } ( t ) + a _ { \mathrm { P I } } ( t ) , } \\ { x ( t ) } & { { } = \mathcal { L F } \{ c ( t ) + a _ { \mathrm { t o t a l } } ( t ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { J } ^ { \prime \prime } ( \hat { \Omega } ) [ V , W ] } & { = } & { L _ { y y } ( \hat { y } , 0 , \hat { p } ) [ y ^ { \prime } ( 0 ) [ V ] , y ^ { \prime } ( 0 ) [ W ] ] + L _ { y V } ( \hat { y } , 0 , \hat { p } ) [ V , y ^ { \prime } ( 0 ) [ W ] ] } \\ & { } & { + L _ { V y } ( \hat { y } , 0 , \hat { p } ) [ y ^ { \prime } ( 0 ) [ V ] , W ] + L _ { V V } ( \hat { y } , 0 , \hat { p } ) [ V , W ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { \mathbb { I } } \\ { X _ { N } ( \omega ) } \end{array} \right) = T ( \omega ) \left( \begin{array} { l } { \mathbb { I } } \\ { X _ { N - 1 } ( \omega ) } \end{array} \right) X _ { N } ( \omega ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { n m } \omega _ { n m } } & { = \sigma _ { A } \omega _ { A } + n ( \sigma _ { B } \omega _ { B } - \sigma _ { A } \omega _ { A } ) + m ( \sigma _ { C } \omega _ { C } - \sigma _ { A } \omega _ { A } ) , } \\ { \sigma _ { n m } \ell _ { n m } } & { = \sigma _ { A } \ell _ { A } + n ( \sigma _ { B } \ell _ { B } - \sigma _ { A } \ell _ { A } ) + m ( \sigma _ { C } \ell _ { C } - \sigma _ { A } \ell _ { A } ) . } \end{array}
0 = | b | \left( \frac { \chi _ { _ { D C } } } { 4 } f ^ { 2 } - \left( 2 \lambda - \frac { \nu _ { _ { D C } } + \xi _ { _ { D C } } } { 4 } | b | ^ { 2 } - \frac { 3 \nu _ { _ { D C } } - \xi _ { _ { D C } } } { 4 } | a | ^ { 2 } \right) \right) ,
\forall i , j \in [ t , t + \psi ] \wedge a \in [ T , H , R ] \; : \; i \leq j \leftrightarrow | | C _ { a } ^ { \prime } ( i ) - C _ { a } ( i ) | | \leq | | C _ { a } ^ { \prime } ( j ) - C _ { a } ( j ) | |
\begin{array} { r l } { \hat { \Psi } ( \phi , \nabla \phi ) = } & { ~ \hat { \Psi } _ { 1 } ( \phi _ { 1 } , \nabla \phi _ { 1 } ) + \hat { \Psi } _ { 2 } ( \phi _ { 2 } , \nabla \phi _ { 2 } ) , } \\ { \rho \hat { \psi } ( \phi , \nabla \phi ) = } & { ~ \tilde { \rho } _ { 1 } \hat { \psi } _ { 1 } ( \phi _ { 1 } , \nabla \phi _ { 1 } ) + \tilde { \rho } _ { 2 } \hat { \psi } _ { 2 } ( \phi _ { 2 } , \nabla \phi _ { 2 } ) . } \end{array}
\frac { \partial u _ { i } } { \partial t } + u _ { k } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { k } } = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { i } } { \partial x _ { k } \partial x _ { k } } + f _ { i } .
\alpha ^ { \prime } R \approx \frac { 1 } { g _ { \mathrm { e f f } } } \sim \sqrt { \frac { u ^ { 3 - p } } { \tilde { g } \tilde { b } } } \sim \sqrt { \frac { ( a u ) ^ { 3 - p } } { { \hat { g } } ^ { 4 / ( 7 - p ) } } } .
\begin{array} { r l r } { \Sigma _ { y } ^ { 2 } } & { = } & { \sigma _ { y } ^ { 2 } + \sigma _ { r } ^ { 2 } + D ^ { 2 } \sigma _ { \eta } ^ { 2 } , } \\ { \Sigma _ { y r } ^ { 2 } } & { = } & { \sigma _ { y } ^ { 2 } + \sigma _ { r } ^ { 2 } , } \\ { \Sigma _ { y \eta } ^ { 2 } } & { = } & { \sigma _ { y } ^ { 2 } + D ^ { 2 } \sigma _ { \eta } ^ { 2 } , } \\ { \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } } & { = } & { \sigma _ { p } ^ { 2 } + \sigma _ { \phi } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \mathrm { M i n i m i z e } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { 1 } \left( x , y \right) = 4 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } } \\ { f _ { 2 } \left( x , y \right) = \left( x - 5 \right) ^ { 2 } + \left( y - 5 \right) ^ { 2 } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } & { \Vert \Vert g \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } \leq \Vert \Vert f \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } + \Vert M _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \Vert \Vert \Vert f + g \Vert _ { ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } } \\ & { \Vert \Vert f + g \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } - ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } \leq \bigr ( 1 + \Vert M _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \Vert \bigr ) \Vert \Vert f + g \Vert _ { ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } . } \end{array}
U ( { \bf r } ^ { \prime } , { \bf r } _ { 2 } ) = - \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \omega \, 4 \pi \alpha _ { 1 } ( { \bf r } ^ { \prime } , i | \omega | ) \alpha _ { 2 } ( { \bf r } _ { 2 } , i | \omega | ) \, ( D _ { p j } ^ { ( 0 ) } ( { \bf r } ^ { \prime } , { \bf r } _ { 2 } , i \omega ) ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { x _ { i } } & { { } = - \frac { \partial F _ { 3 } } { \partial p _ { i } } = \sqrt { f _ { 2 } } \, \bar { x } _ { i } } \\ { \bar { p } _ { i } } & { { } = - \frac { \partial F _ { 3 } } { \partial \bar { x } _ { i } } = \sqrt { f _ { 2 } } \, p _ { i } - \frac { \dot { f } _ { 2 } } { 2 c } \bar { x } _ { i } \, . } \end{array}
S _ { 1 } ( p ) = \left[ \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { Z ( p ) { \bf S } _ { 0 } ( p ) ^ { + } } } \\ { { Z ( p ) { \bf S } _ { 0 } ( p ) ^ { - } } } & { { 0 } } \end{array} \right] \, ,
{ \mathbf x } _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , i } = ( { \mathbf x } _ { k } ^ { n } + { \mathbf x } _ { k } ^ { n + 1 , i } ) / 2 , \quad { \mathbf p } _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , i } = ( { \mathbf p } _ { k } ^ { n } + { \mathbf p } _ { k } ^ { n + 1 , i } ) / 2 , \quad { \mathbf A } _ { h } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , i } = ( { \mathbf A } _ { h } ^ { n } + { \mathbf A } _ { h } ^ { n + 1 , i } ) / 2 .
\begin{array} { r } { { \overline { { X } } } - \mu = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } X _ { i } - \mu = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } X _ { i } - { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mu \ = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( X _ { i } - \mu ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi _ { 0 r } } & { { } = } & { \left( \phi _ { 0 i } - c A _ { 0 i } \right) \tan ^ { 2 } \theta _ { i } , } \\ { \phi _ { 0 t } } & { { } = } & { c A _ { 0 t } = \phi _ { 0 i } + \phi _ { 0 r } , } \\ { A _ { 0 r } } & { { } = } & { \left( A _ { 0 i } - \phi _ { 0 i } / c + \phi _ { 0 r } / c \right) , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 r } } & { { } = } & { 2 \left( \phi _ { 0 i } / c - A _ { 0 i } \right) \tan \theta _ { i } . } \end{array}
\sum _ { i = 0 } ^ { s - 1 } a _ { g _ { 1 } ( e _ { 1 } ^ { i } g ) ^ { - 1 } t ( e _ { 1 } ^ { i } g ) } = \sum _ { i = 0 } ^ { s - 1 } a _ { g _ { 1 } ( g e _ { 1 } ^ { i } ) ^ { - 1 } t ( g e _ { 1 } ^ { i } ) } = \sum _ { i = 0 } ^ { s - 1 } a _ { g _ { 1 } e _ { 1 } ^ { - i } t ^ { \prime } e _ { 1 } ^ { i } } = a _ { g _ { 1 } \prod _ { i = 0 } ^ { s - 1 } e _ { 1 } ^ { - i } t ^ { \prime } e _ { 1 } ^ { i } } = 0
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \phi } { 2 \pi } \left( \sqrt { p _ { t } ^ { 2 } + k _ { t } ^ { 2 } + 2 k _ { t } p _ { t } \cos \phi } - p _ { t } \right) \simeq \frac { k _ { t } ^ { 2 } } { 4 p _ { t } }
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \mathrm { c u t } } } & { = \gamma _ { 2 } + \frac { \mathcal { L } _ { \mathrm { P C C } } \gamma _ { 1 } } { 2 } } \\ & { = \frac { c } { 4 l _ { \mathrm { a r m } } } \left[ \mathcal { L } _ { \mathrm { a r m } } + \frac { \pi \mathcal { L } _ { \mathrm { P C C } } } { \mathcal { F } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 1 } ^ { 1 / \sqrt { \lambda _ { j } } } \left\{ \gamma _ { 1 } ( j ) \cos \Big ( \frac { 2 \theta - \alpha \pi / 4 } { \alpha + 2 } \Big ) + \gamma _ { 2 } ( j ) \cos \Big ( \frac { 2 \theta + \alpha \pi / 4 } { \alpha + 2 } \Big ) \right\} ^ { 2 } d \theta } \\ & { \geq \Big \{ \frac { 1 } { \pi ( \alpha + 2 ) \sqrt { \lambda _ { j } } } - 2 \Big \} \cdot \int _ { 0 } ^ { \pi ( \alpha + 2 ) } \left\{ \gamma _ { 1 } ( j ) \cos \Big ( \frac { 2 \theta - \alpha \pi / 4 } { \alpha + 2 } \Big ) + \gamma _ { 2 } ( j ) \cos \Big ( \frac { 2 \theta + \alpha \pi / 4 } { \alpha + 2 } \Big ) \right\} ^ { 2 } d \theta } \end{array}
\left\lbrace \begin{array} { l } { \partial _ { z } \psi ( x , z ) - \frac { i } { 2 m } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi ( x , z ) = g \vert S ( x , z ) \vert ^ { 2 } \psi ( x , z ) , } \\ { 0 \le z \le L , \ x \in \Lambda \subset \mathbb { R } ^ { d } , \ \mathrm { a n d } \ \psi ( x , 0 ) = 1 . } \end{array} \right.
n _ { \mathrm { i n d } } ^ { ( l ) } ( \boldsymbol { k } , \omega ) = 2 \int \, [ d ^ { 3 } q / ( 2 \pi ) ^ { 3 } ] f _ { \boldsymbol { q } , \boldsymbol { k } , \omega } ^ { \mathrm { i n d } , ( l ) }
\left\langle \psi _ { i } ^ { n } - \frac { b _ { 1 1 n } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } \psi _ { i } ^ { 1 } , \phi _ { i } ^ { ( 1 ) } \right\rangle = 0 \quad \mathrm { ~ ~ ~ a ~ n ~ d ~ ~ ~ } \quad \left\langle \psi _ { i j } ^ { n } - \frac { b _ { 2 0 n } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } \psi _ { i j } ^ { 0 } , \phi _ { i j } ^ { ( 1 ) } \right\rangle = 0
{ \xi _ { 1 } ^ { a } } ^ { + + } \rightarrow \left\{ \begin{array} { l l } { { L _ { i } ^ { + } L _ { j } ^ { + } } } & { { ( L = - 2 ) } } \\ { { H _ { 2 } ^ { + } H _ { 2 } ^ { + } } } & { { ( L = 0 ) } } \\ { { \tilde { H } _ { 1 } ^ { + } \tilde { H } _ { 1 } ^ { + } } } & { { ( L = 0 ) } } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l } { - \nu \Delta \mathbf { v } + \nabla s = \mu \nabla \phi + \ensuremath { \operatorname { d i v } } \left( \mathbf { M } \mathbf { F } ^ { T } \right) + \left( \nabla \mathbf { F } \right) \odot \mathbf { M } , } \\ { \ensuremath { \operatorname { d i v } } \mathbf { v } = 0 , } \\ { \frac { \partial \mathbf { F } } { \partial t } + \left( \mathbf { v } \cdot \nabla \right) \mathbf { F } - ( \nabla \mathbf { v } ) \mathbf { F } + \gamma \mathbf { M } = 0 , } \\ { \mathbf { M } = \partial _ { \mathbf { F } } w ( \phi , \mathbf { F } ) - \lambda \Delta \mathbf { F } , } \\ { \frac { \partial \phi } { \partial t } + \mathbf { v } \cdot \nabla \phi - \ensuremath { \operatorname { d i v } } ( b ( \phi ) \nabla \mu ) = 0 , } \\ { \mu = \psi ^ { \prime } ( \phi ) - \Delta \phi + \partial _ { \phi } w ( \phi , \mathbf { F } ) , } \end{array} \right.
\varepsilon _ { \mathrm { w } } = \varepsilon _ { \mathrm { n { w } , + } } + \varepsilon _ { \mathrm { n { w } , - } } \propto \left\{ \begin{array} { l l } { k _ { \parallel } ^ { - 1 } , } & { \mathrm { a n i s o t r o p i c ~ A l f v \' e n i c ~ t u r b u l e n c e } , } \\ { k ^ { - 2 / 3 } , } & { \mathrm { i s o t r o p i c ~ K o l m o g o r o v ~ t u r b u l e n c e } , } \\ { k ^ { - 1 / 2 } , } & { \mathrm { i s o t r o p i c ~ I r o s h n i k o v - K r a i c h n a n ~ t u r b u l e n c e } . } \end{array} \right.
\Delta = \left( \begin{array} { c c } { { \sqrt { \zeta + \rho ^ { 2 } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \rho } } \\ { { \bar { z } _ { 2 } } } & { { - z _ { 1 } } } \\ { { \bar { z } _ { 1 } } } & { { z _ { 2 } } } \end{array} \right) , \quad \bar { \Delta } = \left( \begin{array} { c c c c } { { \sqrt { \zeta + \rho ^ { 2 } } } } & { { 0 } } & { { z _ { 2 } } } & { { z _ { 1 } } } \\ { { 0 } } & { { \rho } } & { { - \bar { z } _ { 1 } } } & { { \bar { z } _ { 2 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { A _ { m } ^ { ( 0 ) } = \tilde { A } _ { \mathrm { I n c } } \delta _ { 0 m } } \\ { B _ { m } ^ { ( 0 ) } \approx \tilde { B } _ { \mathrm { R } } \delta _ { 0 m } , } \end{array}
= - { \frac { 1 } { \pi ^ { D / 2 } \beta ^ { D - 1 } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \zeta _ { R } \left( D - 2 n \right) \Gamma \left( { \frac { D - 2 n } { 2 } } \right) \breve { c } _ { n } \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) ^ { 2 n } ~ ~ ~ ,