harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \langle \exp } & { \{ - \sum _ { j } | \xi _ { j } | z _ { j } ^ { 2 } / 2 \} \rangle = } \\ & { = \frac { \operatorname* { d e t } ( \mathbf { D } ) } { | \operatorname* { d e t } ( \mathbf { S } ) | } \int d \mathbf { z } \exp \{ - \sum _ { j } | \xi _ { j } | z _ { j } ^ { 2 } / 2 \} = } \\ & { = \frac { \operatorname* { d e t } ( \mathbf { D } ) } { | \operatorname* { d e t } ( \mathbf { S } ) | } \frac { ( 2 \pi ) ^ { N / 2 } } { \sqrt { | \operatorname* { d e t } ( \mathbf { X } ) | } } = \frac { ( 2 \pi ) ^ { N / 2 } } { \sqrt { \left| \operatorname* { d e t } \left( \mathbf { U } _ { s } ^ { ( 2 ) } \right) \right| } } , } \end{array}
\alpha _ { e f f } ^ { \prime } = - \frac { 3 \alpha _ { s } } { 2 \pi } \frac { 1 } { Q ^ { 2 } + m _ { V } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z \partial \tau } \ln { \cal F } ( z , \tau ) .
\operatorname* { l i m } _ { r _ { s } \to \infty } \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } = \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ l ~ d ~ } } - \Delta \epsilon _ { \mathrm { ~ H ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } - \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } }
\begin{array} { r l } { \tilde { l } = \sin \varphi \cdot a + \cos \varphi \cdot l , \quad \tilde { \omega } _ { \mathrm { ~ L ~ } } } & { { } = \frac { ( \omega _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } + \omega _ { \mathrm { ~ L ~ } } ) - \sqrt { 4 J ^ { 2 } + ( \omega _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } - \omega _ { \mathrm { ~ L ~ } } ) ^ { 2 } } } { 2 } , } \\ { \tilde { a } = \cos \varphi \cdot a - \sin \varphi \cdot l , \quad \tilde { \omega } _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } } & { { } = \frac { ( \omega _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } + \omega _ { \mathrm { ~ L ~ } } ) + \sqrt { 4 J ^ { 2 } + ( \omega _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } - \omega _ { \mathrm { ~ L ~ } } ) ^ { 2 } } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { c c c c c } { { p _ { j } = - p _ { i } , } } & { { } } & { { \alpha _ { n } ^ { ( j ) } = - \alpha _ { - n } ^ { ( i ) } = - \alpha _ { n } ^ { ( i ) \dagger } , } } & { { } } & { { \bar { \alpha } _ { n } ^ { ( j ) } = - \bar { \alpha } _ { - n } ^ { ( i ) } = - \bar { \alpha } _ { n } ^ { ( i ) \dagger } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { U ( 2 T ) } & { \leq c _ { 7 } \nu _ { 2 } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { 2 r + 4 } } B _ { 0 } ^ { \frac { 2 ( r - 2 ) } { r } } \int _ { \tau } ^ { 2 T } U ( t ) \ d t + \int _ { \tau } ^ { 2 T } \left[ \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { 2 } ^ { 4 } + \left\lVert \boldsymbol { f } \right\rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right] d t + U ( \tau ) , } \\ & { \leq c _ { 8 } \nu _ { 2 } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { 2 r + 4 } } B _ { 0 } ^ { \frac { 4 ( r - 1 ) } { r } } + c _ { 9 } B _ { 0 } ^ { 5 } + c _ { 1 0 } B _ { 0 } \left\lVert \boldsymbol { f } \right\rVert _ { 2 } ^ { 2 } + c _ { 1 1 } B _ { 0 } . } \end{array}
\delta S = - \xi \omega \int \! d ^ { 2 } x \, \sqrt { g } \bar { h } ^ { \mu \nu } \Delta \left[ \widetilde { R } _ { \mu \nu } - { \frac { 1 } { 2 } } \widetilde { R } \widetilde { g } _ { \mu \nu } \right] \ .
U ( \phi , 0 ; \mu , T ) = U ( 0 , 0 ; \mu _ { \mathrm { t c } } , T _ { \mathrm { t c } } ) + \frac { a ( \mu , T ) } { 2 } \phi ^ { 2 } + \frac { b ( \mu , T ) } { 4 } \phi ^ { 4 } + \frac { c ( \mu , T ) } { 6 } \phi ^ { 6 } - h \phi \ ,
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \hat { x } } = \frac { \vec { x } } { R } , \quad \hat { t } = \frac { Q } { \pi R ^ { 2 } b } t , \quad \hat { p } = \frac { \pi b ^ { 3 } } { 6 \mu Q } p , \quad \hat { \vec { v } } = \frac { 2 \pi R b } { Q } \boldsymbol { v } , \quad \hat { V } = \frac { V } { \pi R ^ { 2 } b } , } \end{array}
\begin{array} { l } { 2 . 4 \cdot 1 0 ^ { - 3 } \leqslant X / \lambda \leqslant 2 . 4 \cdot 1 0 ^ { - 2 } , } \\ { 1 . 2 \cdot 1 0 ^ { - 2 } \leqslant X / r _ { B } \leqslant 0 . 6 4 } \end{array}
\frac { \partial N _ { 1 , k } } { \partial t } = \frac { N _ { 2 , k } ( t ) } { \tau _ { ( 2 1 ) , ( 3 2 ) } } - \frac { ( \mathbf { j } \cdot \mathbf { E } ) _ { k } } { \hbar \omega _ { a } } - \frac { N _ { 1 , k } } { \tau _ { 1 3 } } \mathrm { ~ , ~ } \frac { \partial N _ { 2 , k } } { \partial t } = \frac { N _ { 1 , k } ( t ) } { \tau _ { 1 2 } } + \frac { ( \mathbf { j } \cdot \mathbf { E } ) _ { k } } { \hbar \omega _ { a } } - \frac { N _ { 2 , k } } { \tau _ { 0 2 } } \mathrm { ~ , ~ }
\nabla _ { \sigma ; \mu } V _ { \nu } - \nabla _ { \mu ; \sigma } V _ { \nu } = ( \partial _ { \mu } \Gamma ^ { \alpha } _ { \nu \sigma } - \partial _ { \sigma } \Gamma ^ { \alpha } _ { \nu \mu } + \Gamma ^ { \rho } _ { \nu \sigma } \Gamma ^ { \alpha } _ { \rho \mu } - \Gamma ^ { \rho } _ { \nu \mu } \Gamma ^ { \alpha } _ { \rho \sigma } ) V _ { \alpha }
D _ { 1 } [ K \phi ] ( \tau _ { A } ) \leq ( 1 + \tau _ { A } ) ^ { - 4 } \int _ { \tau _ { A } } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } } [ ( 1 + \tau ) ^ { 1 + \delta } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { 1 - \epsilon } + r ^ { 2 } \chi _ { \tau _ { A } \leq \tau \leq \tau _ { A } + 1 } + r ^ { 1 + \epsilon } ] ( 1 + \tau ) ^ { 4 } | K ^ { 2 } G | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau .
\begin{array} { r l } { 0 } & { = d ( y ^ { k } g _ { 1 } ( x ) ) = k y ^ { k - 1 } g _ { 1 } ( x ) d y + y ^ { k } g _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) d x = \frac { k y ^ { k - 1 } g _ { 1 } ( x ) f ^ { \prime } ( x ) } { m y ^ { m - 1 } } d x + y ^ { k } g _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) d x } \\ & { = \frac { d x } { y ^ { m - k } } \left( \frac { k } { m } f ^ { \prime } ( x ) g _ { 1 } ( x ) + y ^ { m } g _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) \right) = \frac { d x } { y ^ { m - k } } \left( \frac { k } { m } f ^ { \prime } ( x ) g _ { 1 } ( x ) + f ( x ) g _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \textrm { d } } { r } \left( 4 \pi p _ { 0 } + \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } } { \textrm { d } 2 } \right) = - \frac { B _ { 0 \theta } ^ { 2 } } { r } . } \end{array}
{ \cal { B } } ^ { \varepsilon } ( k ) \; = \; \varepsilon \: { \cal { B } } _ { 0 } ( k ) + \varepsilon ^ { 2 } \: { \cal { B } } _ { 1 } ( k ) + \varepsilon ^ { 3 } \: { \cal { B } } _ { 2 } ( k ) + \cdots \; .
\frac { 1 } { 4 \xi } ( \partial _ { \mu } A _ { \mu } ^ { - } ) ^ { 2 } \ + \ { \bf u } D _ { \mu } ^ { - } \partial _ { \mu } \bar { \bf v } \ + \, f r a c { 1 } { 4 \alpha } ( D _ { \mu } ^ { - } \Phi _ { \mu } ) ^ { 2 } \ + \ { \bf c } D _ { \mu } ^ { + } D _ { \mu } ^ { - } \bar { \bf b } \ + \, b a r { \bf b } D _ { \mu } ^ { + } D _ { \mu } ^ { - } { \bf u }
\begin{array} { r l } { \psi _ { \mathfrak { I } _ { N } } ( \rho , x ) } & { = \cos ( \rho ( b - x ) ) + \int _ { 0 } ^ { b - x } G _ { \mathfrak { I } _ { N } ^ { * } } ^ { H } ( b - x , t ) \cos ( \rho t ) d t } \\ & { = \psi _ { \mathfrak { I } _ { N } } ( \rho , x ) = \cos ( \rho ( b - x ) ) + \int _ { x } ^ { b } G _ { \mathfrak { I } _ { N } ^ { * } } ^ { H } ( b - x , b - t ) \cos ( \rho ( b - t ) ) d t , } \end{array}
\Omega _ { ( \zeta , \zeta ^ { \prime } , 0 ) } = \left\{ [ k ] \in M _ { 0 } ^ { \left( c \right) } ; \ [ k ] = [ k ] _ { ( \zeta , \zeta ^ { \prime } , 0 ) } \left( z , z _ { 0 } \right) ; z \in X _ { d } ^ { \left( c \right) } \right\} ,
\begin{array} { r l r } { G ( \theta _ { i } , \theta _ { o } , \theta _ { m } ) } & { { } = } & { \frac { 2 \chi ^ { + } \left( \frac { \cos \theta _ { i m } } { \cos \theta _ { i } } \right) } { 1 + \mathrm { e r f } ( a _ { i } ) + \frac { 1 } { a _ { i } \sqrt { \pi } } e ^ { - a _ { i } ^ { 2 } } } } \end{array}
e ^ { V _ { B } ^ { \prime } } = e ^ { - i \Lambda ^ { \dagger } } e ^ { V _ { B } } e ^ { i \Lambda } , \qquad V _ { Q } ^ { \prime } = e ^ { - i \Lambda } V _ { Q } e ^ { i \Lambda } , \qquad \Phi ^ { \prime } = e ^ { - i \Lambda } \Phi .
\left| { \lambda } ^ { 2 } \rho \beta \int _ { l _ { 1 } } ^ { l _ { 2 } } \theta _ { 1 } v \overline { { p } } d x \right| = o ( 1 ) , \ \left| \int _ { l _ { 1 } } ^ { l _ { 2 } } \theta _ { 1 } ^ { \prime } v _ { x } \overline { { p } } d x \right| = O ( { \lambda } ^ { - 1 } ) = o ( 1 ) , \ \left| i { \lambda } \beta \int _ { l _ { 1 } } ^ { l _ { 2 } } d _ { 2 } \theta _ { 1 } v \overline { { p } } d x \right| = o ( { \lambda } ^ { - 1 } ) , \ \left| \int _ { l _ { 1 } } ^ { l _ { 2 } } \theta _ { 1 } F ^ { 5 } \overline { { p } } d x \right| = o ( 1 ) .
\begin{array} { r } { L ^ { \textsc { C l i p } } ( \theta ) = \mathbb { E } _ { \tau \sim \pi _ { \theta } } \Bigg [ \sum _ { { t = t _ { 0 } } } ^ { T } \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } \big \lbrace r _ { t } ( \theta ) A ^ { \pi _ { \theta } } ( s _ { t } , a _ { t } ) ; } \\ { \mathrm { ~ c ~ l ~ i ~ p ~ } ( r _ { t } ( \tau ) , 1 - \epsilon , 1 + \epsilon ) A ^ { \pi _ { \theta } } ( s _ { t } , a _ { t } ) \big \rbrace \Bigg ] ~ , } \end{array}
c _ { 0 } \left( \mathbf { x } , \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } \right) = \frac { 2 \pi e ^ { 2 } \hbar } { \varepsilon _ { \mathrm { a v g } } ( \mathbf { x } ) | \partial S / \partial \mathbf { x } | } \Pi _ { 0 } \left( \mathbf { x } , \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } \right) \varphi _ { 0 } ( \mathbf { x } ) ,
\begin{array} { r l r } { \alpha } & { \leq \mu _ { \mathcal { A } ^ { ( i ) } } ( R ( x _ { k } ) ^ { T } c ) , } & { i \in [ n _ { \mathcal { A } } ] } \\ { \alpha } & { \leq \mu _ { \mathcal { A } ^ { ( i ) } } ( R ( x _ { k + 1 } ) ^ { T } c ) + c ^ { T } ( p ( x _ { k + 1 } ) - p ( x _ { k } ) ) , } & { i \in [ n _ { \mathcal { A } } ] } \\ { \beta } & { \geq \sigma _ { \mathcal { B } ^ { ( j ) } } ( S _ { k } ^ { T } c ) , } & { j \in [ n _ { \mathcal { B } } ] } \\ { \beta } & { \geq \sigma _ { \mathcal { B } ^ { ( j ) } } ( S _ { k + 1 } ^ { T } c ) + c ^ { T } ( d _ { k + 1 } - d _ { k } ) , } & { j \in [ n _ { \mathcal { B } } ] } \\ { \gamma } & { \leq \alpha - \beta + c ^ { T } ( p ( x _ { k } ) - d _ { k } ) - r ( x _ { k } , u _ { k } ) - w _ { k } } \\ { 1 } & { = \| c \| . } \end{array}
s _ { i } ^ { + } : = \left\{ \begin{array} { l l } { s _ { i } , } & { \mathrm { i f ~ } i > 0 , } \\ { { \operatorname Ḋ i d Ḍ } , } & { \mathrm { i f ~ } i < 0 , } \end{array} \right. \quad s _ { i } ^ { - } : = \left\{ \begin{array} { l l } { { \operatorname Ḋ i d Ḍ } , } & { \mathrm { i f ~ } i > 0 , } \\ { s _ { - i } , } & { \mathrm { i f ~ } i < 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathrm { i } \partial _ { t } u ( x , t ) } & { { } = A u ( x , t ) , \quad u ( x , 0 ) = u _ { 0 } ( x ) , } \\ { \mathrm { i } \partial _ { t } u ( x , t ) } & { { } = B ( u ( x , t ) ) , \quad u ( x , 0 ) = u _ { 0 } ( x ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \bf W } ( { \bf s } , x _ { 3 } ^ { \prime } , x _ { 3 , F } ) = \tilde { \bf W } ( { \bf s } , x _ { 3 } ^ { \prime } , x _ { 3 } ) \tilde { \bf W } ( { \bf s } , x _ { 3 } , x _ { 3 , F } ) . } \end{array}
f ^ { ( 2 ) } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { - \delta _ { i j } } } & { { 2 a _ { i } } } & { { \pi _ { i } } } \\ { { \delta _ { i j } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { a _ { i } } } \\ { { - 2 a _ { i } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - \pi _ { i } } } & { { - a _ { i } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { U _ { x } } & { { } = { \frac { 1 } { D } } \left[ ( A _ { x } ^ { 2 } + A _ { y } ^ { 2 } ) ( B _ { y } - C _ { y } ) + ( B _ { x } ^ { 2 } + B _ { y } ^ { 2 } ) ( C _ { y } - A _ { y } ) + ( C _ { x } ^ { 2 } + C _ { y } ^ { 2 } ) ( A _ { y } - B _ { y } ) \right] } \\ { U _ { y } } & { { } = { \frac { 1 } { D } } \left[ ( A _ { x } ^ { 2 } + A _ { y } ^ { 2 } ) ( C _ { x } - B _ { x } ) + ( B _ { x } ^ { 2 } + B _ { y } ^ { 2 } ) ( A _ { x } - C _ { x } ) + ( C _ { x } ^ { 2 } + C _ { y } ^ { 2 } ) ( B _ { x } - A _ { x } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ^ { + } } & { = \frac { N _ { \downarrow } \prod _ { i = 1 } ^ { q } \left( N _ { \uparrow } - i + 1 \right) } { \prod _ { i = 1 } ^ { q + 1 } \left( N - i + 1 \right) } + \frac { p \, N _ { \downarrow } } { N } \left[ 1 - \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { q } \left( N _ { \uparrow } - i + 1 \right) - \prod _ { i = 1 } ^ { q } \left( N _ { \downarrow } - i + 1 \right) } { \prod _ { i = 1 } ^ { q } \left( N - i + 1 \right) } \right] , } \\ { \varphi ^ { - } } & { = \frac { N _ { \uparrow } \prod _ { i = 1 } ^ { q } \left( N _ { \downarrow } - i + 1 \right) } { \prod _ { i = 1 } ^ { q + 1 } \left( N - i + 1 \right) } , } \end{array}
\begin{array} { c c l } { { \langle S \rangle } } & { { = } } & { { 0 , } } \\ { { \langle \mid \phi \mid \rangle } } & { { = } } & { { \langle \mid \bar { \phi } \mid \rangle = \mu / \sqrt { \kappa } \equiv M . } } \end{array}
\Psi ( t , \xi ) = \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } G ( \xi , \xi ^ { \prime } ) \Omega ( t , \xi ^ { \prime } ) d \sigma ( \xi ^ { \prime } ) , \qquad G ( \xi , \xi ^ { \prime } ) \triangleq \frac { 1 } { 2 \pi } \log \left( \frac { | \xi - \xi ^ { \prime } | _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } } { 2 } \right) ,
\Gamma _ { 1 2 } = { \frac { \pi \sqrt { 2 } ( \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } ) ^ { 2 } ( \rho _ { 1 } ^ { 2 } + \rho _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } { \sqrt { \theta } } } . \;
\left\{ \begin{array} { r l } { - \int _ { 0 } ^ { T } \left( f , \partial _ { t } \zeta \right) _ { p } d t - \left( f _ { 0 } , \zeta _ { 0 } \right) _ { p } } & { = \int _ { 0 } ^ { T } \langle \nabla _ { p } \cdot \Phi , f W \nabla _ { p } \zeta \rangle _ { p k } d t + \int _ { 0 } ^ { T } \langle \Phi , f W \nabla _ { p } \nabla _ { p } \zeta \rangle _ { p k } d t } \\ { - \int _ { 0 } ^ { T } \left( W , \partial _ { t } \xi \right) _ { k } d t - \left( W _ { 0 } , \xi _ { 0 } \right) _ { k } } & { = - \int _ { 0 } ^ { T } \langle \nabla _ { p } \cdot \Phi , f W \xi \nabla _ { p } E \rangle _ { p k } d t - \int _ { 0 } ^ { T } \langle \Phi , f W \xi \nabla _ { p } \nabla _ { p } E \rangle _ { p k } d t . } \end{array} \right.
\{ a _ { 1 , 1 } ^ { x _ { 1 , 1 } } , \ldots a _ { 1 , b _ { 1 } } ^ { x _ { 1 , b _ { 1 } } } ; \ldots ; a _ { i , 1 } ^ { x _ { i , 1 } } , a _ { i , 2 } ^ { x _ { i , 2 } } \ldots , a _ { i , b _ { i } } ^ { x _ { i , b _ { i } } } , \ldots \} : = \prod _ { i = 1 } ^ { h - 1 } \prod _ { j = 1 } ^ { b _ { i } } \left( \frac { \sin \pi \tau ( a _ { i , j } + i ) } { \sin \pi \tau i } \right) ^ { x _ { i , j } } \, .
\begin{array} { r l } { t _ { s } ( r _ { s } ) : = } & { { } \frac { C _ { t } } { r _ { s } ^ { 2 } } = \frac { 3 } { 1 0 } \big ( \frac { 9 \pi } { 4 } \big ) ^ { 2 / 3 } r _ { s } ^ { - 2 } = 1 . 1 0 4 9 5 r _ { s } ^ { - 2 } \; , } \\ { \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ } } ( r _ { s } ) : = } & { { } \frac { - C _ { x } } { r _ { s } } = - \frac { 3 } { 4 \pi } \big ( \frac { 9 \pi } { 4 } \big ) ^ { 1 / 3 } r _ { s } ^ { - 1 } = - 0 . 4 5 8 1 6 5 r _ { s } ^ { - 1 } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { z , \| z \| _ { 2 } = 1 } \| V _ { * } \Sigma _ { * } U _ { * } ^ { \top } U z \| _ { 2 } = } & { ~ \operatorname* { m i n } _ { z , \| z \| _ { 2 } = 1 } \| \Sigma _ { * } U _ { * } ^ { \top } U z \| _ { 2 } } \\ { \geq } & { ~ \operatorname* { m i n } _ { z , \| z \| _ { 2 } = 1 } \sigma _ { k } ^ { * } \cdot \| U _ { * } ^ { \top } U z \| _ { 2 } } \\ { = } & { ~ \sigma _ { k } ^ { * } \cdot \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( U ^ { \top } U _ { * } ) } \end{array}
\left[ \hat { a } _ { \mathbf { n } ^ { \prime } , \lambda ^ { \prime } } , \hat { a } _ { \mathbf { n } , \lambda } ^ { \dagger } \right] = \delta _ { \mathbf { n } , \mathbf { n } ^ { \prime } } \delta _ { \lambda ^ { \prime } , \lambda } ,
S = - \int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } \! \biggl \{ \gamma \! \int _ { \sigma _ { 0 } ( \tau ) } ^ { \sigma _ { 3 } ( \tau ) } \! \! \sqrt { - g } \, d \sigma + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } m _ { i } \sqrt { V _ { i } ^ { 2 } ( \tau ) } \biggr \} d \tau .
{ \tilde { \cal U } } ^ { ( 0 ) } \equiv { \cal U } ^ { ( 0 ) } / \left( \frac { m ^ { 4 } { \tilde { a } } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \right) = \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } ( 1 + p ^ { 2 } ) \ .
\begin{array} { r } { \left\| \mathcal { M } _ { 3 } ( - \partial _ { z } ^ { 2 } - ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) ^ { - \frac 1 2 } P _ { \neq } \Big ( \mathcal { S } _ { 2 } [ \Pi ] + \mathcal { S } _ { a } [ \Pi ] \Big ) \right\| _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { f } \mathscr { F } ( c , f ) [ h ] ( \varphi ) } & { = c \, h ^ { \prime } ( \varphi ) - h ( \varphi ) \frac { \cos \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) } { \sin ^ { 2 } \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) } \partial _ { \varphi } \Big ( \Psi \{ f \} \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \varphi \big ) \Big ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) } \partial _ { \varphi } \Big ( h ( \varphi ) ( \partial _ { \theta } \Psi \{ f \} ) \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \varphi \big ) \Big ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) } \partial _ { \varphi } \Big ( \big ( d _ { f } \Psi \{ f \} [ h ] \big ) \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \varphi \big ) \Big ) , } \end{array}
\bar { P } _ { r _ { 1 } . . . r _ { t } } ( i k _ { 1 } , . . . , i k _ { t } ) = \bar { P } _ { r _ { 1 } . . . r _ { t } } ( i k _ { 1 } , . . . , i k _ { t - 1 } , - i ( k _ { 1 } + . . . + k _ { t - 1 } ) ) + i k _ { \mu } \tilde { Q } _ { r _ { 1 } . . . r _ { t } } ^ { \mu } ( k _ { 1 } , . . . , k _ { t } )
\begin{array} { r l } { n _ { \mathrm { D } } ( F ) } & { { } = \frac { 1 } { v _ { \mathrm { D } } } \left( 1 - ( 1 - n _ { \mathrm { D } , 0 } \, v _ { \mathrm { D } } ) \, e ^ { - \eta v _ { \mathrm { D } } ^ { 2 / 3 } F } \right) \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \| \hat { \omega } \| _ { p } ^ { 2 } \leq \frac { p - 1 } { p } \mathrm { { P r } \mathrm { { R a } } ^ { 2 } | \Omega | ^ { \frac { 2 } { p } } - 4 \mathrm { { P r } \frac { p - 1 } { p ^ { 3 } C _ { p } ^ { 2 } } \| \hat { \ o m e g a } \| _ { p } ^ { 2 } . } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( 1 ) ~ \rho ( t , x ) \leq C _ { q } \overbar { M } , \quad \mathrm { a n d } \quad \rho ( t , x ) \geq C _ { 0 } e ^ { - C _ { q } \overbar { M } ^ { a } t } , } \\ & { ( 2 ) ~ | U ( t , x ) | \leq C _ { q } \overbar { M } e ^ { C _ { q } \overbar { M } ^ { a } t } } \\ & { ( 3 ) ~ T ( t , x ) \leq C _ { q } \overbar { M } e ^ { C _ { q } \overbar { M } ^ { a } t } , \quad \mathrm { a n d } \quad T ( t , x ) \geq C \overbar { M } ^ { - \frac { 2 } { 3 } } e ^ { - \frac { 2 } { 3 } C _ { q } \overbar { M } ^ { a } t } . } \end{array}
f ( x _ { i } ) = f ( x ) + f ^ { \prime } ( x ) ( x _ { i } - x ) + \frac { 1 } { 2 } f ^ { \prime \prime } ( x ) ( x _ { i } - x ) ^ { 2 } + \cdots + \frac { 1 } { n ! } f ^ { ( n ) } ( x ) ( x _ { i } - x ) ^ { n } + \cdots
\begin{array} { r l r } { M _ { 1 1 } } & { { } = } & { M _ { p p } \cos ^ { 2 } \varphi + M _ { s s } \sin ^ { 2 } \varphi , } \\ { M _ { 2 2 } } & { { } = } & { M _ { p p } \sin ^ { 2 } \varphi + M _ { s s } \cos ^ { 2 } \varphi , } \\ { M _ { 1 2 } } & { { } = } & { M _ { 2 1 } = \left( \frac { M _ { p p } - M _ { s s } } { 2 } \right) \sin { ( 2 \varphi ) } , } \end{array}
S _ { 0 } ^ { ( \mathrm { i n t } ) } ( \tau \pm T _ { \mathrm { r } } ) = \sum _ { n } \langle | E _ { n } | ^ { 2 } \rangle \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \omega _ { n } ( \tau \pm T _ { \mathrm { r } } ) } \, .
\hat { u } _ { x } = \hat { u } _ { x } ^ { H } + \hat { u } _ { x } ^ { P } = \sum _ { m = 1 } ^ { 5 } A _ { m } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { m } ^ { H } t } + \sum _ { m = 1 } ^ { 5 } M _ { m } e ^ { \mathrm { i } \lambda _ { m } ^ { P } t } ,
\begin{array} { r l } { F _ { y } ^ { \ast } ( w ) } & { = \operatorname* { s u p } _ { z \in \mathbb { R } ^ { m } } \, \langle z , w \rangle - F _ { y } ( z ) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { z \in \mathbb { R } ^ { m } } \, \langle z , w \rangle - \left( \frac 1 2 \| \cdot \| ^ { 2 } + \Psi \right) ( y ) - \left( \frac 1 2 \| \cdot \| ^ { 2 } + \Psi \right) ^ { \ast } ( z ) + \langle y , z \rangle } \\ & { = - \left( \frac 1 2 \| \cdot \| ^ { 2 } + \Psi \right) ( y ) + \operatorname* { s u p } _ { z \in \mathbb { R } ^ { m } } \, \langle z , w + y \rangle - \left( \frac 1 2 \| \cdot \| ^ { 2 } + \Psi \right) ^ { \ast } ( z ) } \\ & { = - \left( \frac 1 2 \| \cdot \| ^ { 2 } + \Psi \right) ( y ) + \left( \frac 1 2 \| \cdot \| ^ { 2 } + \Psi \right) ( w + y ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial M _ { + } } { \partial t } } & { = } & { M _ { + } \left( i \Delta \omega - \frac { 1 } { T _ { 2 } } \right) + i \gamma h ( \omega t ) e ^ { - i \omega t } M _ { z } , } \\ { \frac { \partial M _ { - } } { \partial t } } & { = } & { M _ { - } \left( - i \Delta \omega - \frac { 1 } { T _ { 2 } } \right) - i \gamma h ^ { * } ( \omega t ) e ^ { i \omega t } M _ { z } , } \\ { \frac { \partial M _ { z } } { \partial t } } & { = } & { \frac { - M _ { z } } { T _ { 1 } } - \frac { i \gamma } { 2 } \left[ h ( \omega t ) e ^ { - i \omega t } M _ { -- } h ^ { * } ( \omega t ) e ^ { i \omega t } M _ { + } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \omega } & { { } = \mathrm { d } \omega _ { a _ { 1 } \cdots a _ { k } } \wedge \mathrm { d } x ^ { a _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge \mathrm { d } x ^ { a _ { k } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lvert \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \mathbf { v } _ { 3 } , E _ { T } ^ { \theta } \boldsymbol \rho \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } \right\rvert } & { \leq \sqrt { \mathcal { V } } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \theta ^ { k } } { k ! } \mathcal { M } ^ { k - 1 } } \\ & { = \frac { \sqrt { \mathcal { V } } ( e ^ { \mathcal { M } \theta } - 1 ) } { \mathcal { M } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ( \eta ) } & { { } = \sqrt { \frac { \eta ^ { - 2 / q } - 1 } { 2 } } } \\ { \left\vert \frac { d \sigma } { d \eta } \right\vert } & { { } = \frac { \eta ^ { - 2 / q - 1 } } { 2 q \sigma } . } \end{array}
\left| T _ { \Lambda } \right| \simeq { \frac { g _ { Z } ^ { 2 } N _ { C } ^ { 2 } } { 1 6 \alpha } } { \frac { F _ { \pi } ^ { 4 } } { m _ { Z } ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } } } | g _ { 2 } ^ { U } | \simeq 1 7 | g _ { 2 } ^ { U } | ,
\begin{array} { r } { \kappa ( x ) \, = \, \frac { - 3 a _ { 1 } a _ { 1 3 } a _ { 2 4 } \wp ( x ) + a _ { 1 } ^ { 2 } s _ { 1 } ( a _ { 2 } , a _ { 3 } , a _ { 4 } ) - 2 a _ { 1 } s _ { 2 } ( a _ { 2 } , a _ { 3 } , a _ { 4 } ) + 3 s _ { 3 } ( a _ { 2 } , a _ { 3 } , a _ { 4 } ) } { - 3 a _ { 1 3 } a _ { 2 4 } \wp ( x ) + 3 a _ { 1 } ^ { 2 } - 2 a _ { 1 } s _ { 1 } ( a _ { 2 } , a _ { 3 } , a _ { 4 } ) + s _ { 2 } ( a _ { 2 } , a _ { 3 } , a _ { 4 } ) } } \end{array}
W ^ { ( 0 ) } ( \hat { t } , \hat { g } ) = \operatorname * { m i n } _ { \{ h , \psi \} } \left( \Gamma ^ { ( 0 ) } ( h , \psi ) - \frac { 1 } { 1 2 \pi } \int h \hat { t } - \frac { 1 } { 3 \pi } \int \hat { g } \psi \right) \, .
\begin{array} { r l } { \mathop { i \omega } \delta I } & { { } = - \frac { R _ { \ell } + R _ { 0 } ( 1 + \beta ) } { L } \delta I - \frac { \mathscr { L } G } { I _ { 0 } L } \delta T + \frac { \delta V } { L } , } \\ { \mathop { i \omega } \delta T } & { { } = \frac { I _ { 0 } R _ { 0 } ( 2 + \beta ) } { C } \delta I - \frac { 1 - \mathscr { L } } { \tau _ { 0 } } \delta T + \frac { \delta P } { C } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf j } _ { e } } & { = } & { { \bf j } _ { \bot e } + j _ { \parallel e } \frac { { \bf B } } { B } = 4 \pi c \Lambda _ { e } \left( { - { \bf e } _ { l } \left( { \nabla _ { n } B _ { m } - \frac { { B _ { m } \nabla _ { n } B } } { B } } \right) + { \bf e } _ { m } \left( { \nabla _ { n } B _ { l } - \frac { { B _ { m } \nabla _ { n } B } } { B } } \right) } \right) } \\ & { = } & { \frac { c \Lambda _ { e } } { 4 \pi } \left( { - { \bf e } _ { l } \nabla _ { n } B _ { m } + { \bf e } _ { m } \nabla _ { n } B _ { l } } \right) = \Lambda _ { e } { \bf j } } \end{array}