harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { C _ { 3 0 } ^ { \prime } } & { { } = } & { { \textstyle \frac { 1 } { 8 } } \Big ( 3 \cos \theta + 5 \cos 3 \theta \Big ) C _ { 3 0 } - { \textstyle \frac { 3 } { 4 } } \Big ( 3 + 5 \cos 2 \theta \Big ) \sin \theta \Big ( S _ { 3 1 } \cos \psi + C _ { 3 1 } \sin \psi \Big ) - } \\ { C _ { 3 1 } ^ { \prime } } & { { } = } & { { \textstyle \frac { 1 } { 8 } } \Big ( 3 + 5 \cos 2 \theta \Big ) \Big ( C _ { 3 1 } \cos \psi - S _ { 3 1 } \sin \psi \Big ) - { \textstyle \frac { 5 } { 2 } } \sin 2 \theta \Big ( S _ { 3 2 } \cos 2 \psi + C _ { 3 2 } \sin 2 \psi \Big ) - } \\ { C _ { 3 2 } ^ { \prime } } & { { } = } & { - { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \cos \theta \sin ^ { 2 } \theta \, C _ { 3 0 } - { \textstyle \frac { 1 } { 8 } } \Big ( 1 + 3 \cos 2 \theta \Big ) \sin \theta \Big ( S _ { 3 1 } \cos \psi + C _ { 3 1 } \sin \psi \Big ) + } \\ { C _ { 3 3 } ^ { \prime } } & { { } = } & { - { \textstyle \frac { 1 } { 8 } } \sin ^ { 2 } \theta \Big ( C _ { 3 1 } \cos \psi - S _ { 3 1 } \sin \psi \Big ) - { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \sin 2 \theta \Big ( C _ { 3 2 } \sin 2 \psi + S _ { 3 2 } \cos 2 \psi \Big ) + } \\ { S _ { 3 1 } ^ { \prime } } & { { } = } & { { \textstyle \frac { 1 } { 8 } } \sin \theta \Big ( 3 + 5 \cos 2 \theta \Big ) C _ { 3 0 } + { \textstyle \frac { 1 } { 8 } } \cos \theta \Big ( 1 5 \cos 2 \theta - 7 \Big ) \Big ( C _ { 3 1 } \sin \psi + S _ { 3 1 } \cos \psi \Big ) - } \\ { S _ { 3 2 } ^ { \prime } } & { { } = } & { \cos 2 \theta \Big ( C _ { 3 2 } \sin 2 \psi + S _ { 3 2 } \cos 2 \psi \Big ) + { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \sin 2 \theta \Big ( C _ { 3 1 } \cos \psi - S _ { 3 1 } \sin \psi \Big ) + { \textstyle \frac { 3 } { 2 } } \sin 2 \theta \Big ( C _ { 3 3 } \cos 3 \psi - S _ { 3 3 } \sin 3 \psi \Big ) , } \\ { S _ { 3 3 } ^ { \prime } } & { { } = } & { - { \textstyle \frac { 1 } { 2 4 } } \sin ^ { 3 } \theta \, C _ { 3 0 } - { \textstyle \frac { 1 } { 8 } } \cos \theta \sin ^ { 2 } \theta \Big ( C _ { 3 1 } \sin \psi + S _ { 3 1 } \cos \psi \Big ) + { \textstyle \frac { 1 } { 1 6 } } \Big ( 5 \sin \theta + \sin 3 \theta \Big ) \Big ( C _ { 3 2 } \cos 2 \psi - S _ { 3 2 } \sin 2 \psi \Big ) + } \end{array}
c ^ { 2 } \langle \rho ^ { 2 } \rangle - \langle j ^ { 2 } \rangle = c ^ { 2 } \rho _ { 0 } ^ { 2 } , \quad \quad \quad \langle \beta _ { v } ^ { 2 } \rangle = { \frac { \langle j ^ { 2 } \rangle } { c ^ { 2 } \langle \rho ^ { 2 } \rangle } } \quad \quad \implies \quad \quad c ^ { 2 } \langle \rho ^ { 2 } \rangle = { \frac { c ^ { 2 } \rho _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 - \langle \beta _ { v } ^ { 2 } \rangle } } , \quad \quad \quad \langle j ^ { 2 } \rangle = { \frac { c ^ { 2 } \rho _ { 0 } ^ { 2 } \langle \beta _ { v } ^ { 2 } \rangle } { 1 - \langle \beta _ { v } ^ { 2 } \rangle } } ,
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { Q _ { i } } = \sum _ { m = 1 } ^ { M } \frac { \overline { { R _ { s m } } } } { \Gamma _ { c m } } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { \overline { { \tan \! \delta _ { n } } } } { \Gamma _ { d n } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { S } = \underset { \mu = 0 , 1 , \dots , \mathfrak { N } - 1 } { \bigcup _ { \zeta \in \mathbb { Z } } } \! \! \bigcup _ { i = 1 } ^ { M } { \textbf { R } } _ { ( 2 \pi \zeta \alpha + \mu \Theta ) } \mathbf { r } _ { i } + \zeta \tau \, \textbf { e \textsubscript { Z } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N G } & { = N \sqrt { 2 L _ { 0 } \Delta } + \left[ 3 2 \eta ^ { 2 } T L _ { 1 } ^ { 2 } \sqrt { \frac { \log \frac { 4 T } { \delta } } { 1 - \beta } } + 1 6 \eta T \sigma _ { 1 } L _ { 1 } \sqrt { ( 1 - \beta ) \log \frac { 4 T } { \delta } } \right] \Delta } \\ & { \leq N \sqrt { 2 L _ { 0 } \Delta } + \frac { \Delta } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { \alpha \beta } ^ { q } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \sum _ { \gamma , \delta } \int d E [ A _ { \gamma \delta } ( \alpha ) A _ { \delta \gamma } ( \beta ) ] } \\ { ( f _ { \gamma } ( E ) [ 1 - f _ { \delta } ( E ) ] + [ 1 - f _ { \gamma } ( E ) ] f _ { \delta } ( E ) ) . } \end{array}
\mathrm { ~ F ~ o ~ r ~ M ~ I ~ G ~ 4 ~ : ~ } \quad \alpha \left( \frac { \partial u } { \partial \xi } \right) _ { i - 1 } + \left( \frac { \partial u } { \partial \xi } \right) _ { i } + \alpha \left( \frac { \partial u } { \partial \xi } \right) _ { i + 1 } = \frac { 2 ( 2 + \alpha ) } { 6 } \left( u _ { i + 1 } + u _ { i - 1 } \right) + \frac { - 1 + 4 \alpha } { 1 2 } \left( u _ { i + 2 } + u _ { i - 2 } \right)
V ^ { ( \phi ) } \approx \frac { m } { 4 \pi } g ^ { 2 } \frac { m ^ { 2 } } { 4 M ^ { 2 } } [ \frac { 1 } { 3 } \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } ^ { ( 1 ) } \cdot \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } ^ { ( 2 ) } \phi + S _ { 1 2 } \chi ]
\tilde { \Phi } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \iint _ { - \infty } ^ { + \infty } \Phi ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) e ^ { - i ( \omega _ { 1 } t _ { 1 } + \omega _ { 2 } t _ { 2 } ) } \mathrm { ~ d ~ } \omega _ { 1 } \mathrm { ~ d ~ } \omega _ { 2 }
\Gamma _ { t } ^ { ( n ) } ( { \bf { q } } _ { 1 } , \ldots , { \bf { q } } _ { n } ) \sim g _ { t } ^ { n / 2 } \gamma ^ { ( n ) } ( { \bf { q } } _ { 1 } , \ldots , { \bf { q } } _ { n } ) + O ( g _ { t } ^ { ( n + 2 ) / 2 } ) \; .
E _ { \mathrm { m a x } } ^ { * } \simeq 0 . 2 2 \mathrm { G e V } \frac { M } { 5 0 } \left( \frac { v _ { \mathrm { s h } } } { 1 0 ^ { 4 } \mathrm { k m ~ s } ^ { - 1 } } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { E _ { \theta 0 } } & { = } & { \frac { V _ { g } ( \omega ) A _ { 0 } ( k ) } { r \sin \theta } \left( e ^ { - j k r } + \Gamma _ { \mathrm { i n } } ( k ) e ^ { j k r } \right) , } \\ { H _ { \phi 0 } } & { = } & { \frac { V _ { g } ( \omega ) A _ { 0 } ( k ) } { r \eta \sin \theta } \left( e ^ { - j k r } - \Gamma _ { \mathrm { i n } } ( k ) e ^ { j k r } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { \partial K } { \partial C } } & { { } = \frac { \phi \frac { \partial K _ { D } } { \partial C } + \frac { K _ { f } ( 1 + \phi ) } { K _ { s } ^ { 2 } } \left( \frac { \partial K _ { s } } { \partial C } K _ { D } - \frac { \partial K _ { D } } { \partial C } K _ { s } \right) } { \phi ( 1 + \Delta ) } - } \\ { \frac { \partial G } { \partial C } } & { { } = \frac { \partial G _ { D } } { \partial C } , } \\ { \frac { \partial \rho } { \partial C } } & { { } = ( 1 - \phi ) \frac { \partial \rho _ { s } } { \partial C } , } \end{array} } \end{array}
{ \frac { \partial p _ { s } } { \partial t } } + \mathbf { v } \cdot { \boldsymbol { \nabla } } p _ { s } + { \frac { Z _ { s } e } { m _ { s } } } \left( \mathbf { E } + \mathbf { v } \times \mathbf { B } \right) \cdot { \boldsymbol { \nabla } } _ { v } p _ { s } = - { \frac { \partial } { \partial v _ { i } } } \left( p _ { s } \langle \Delta v _ { i } \rangle \right) + { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial v _ { i } \, \partial v _ { j } } } \left( p _ { s } \langle \Delta v _ { i } \, \Delta v _ { j } \rangle \right) ,
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { 2 } R _ { 5 , 1 , 1 } [ h ] } & { = \Pi _ { S ^ { \perp } } \varepsilon ^ { 2 } O p ^ { W } ( \mathfrak { a } _ { 5 , 1 } ) \Pi _ { S } \left( O p ^ { W } ( \mathfrak { b } _ { 5 , 1 } h \right) } \\ & { = \sum _ { j \in S } \Pi _ { S ^ { \perp } } \varepsilon ^ { 2 } O p ^ { W } ( \mathfrak { a } _ { 5 , 1 } ) \left( \frac { 1 } { 2 \pi } ( h , \left( O p ^ { W } ( \mathfrak { b } _ { 5 , 1 } ) \right) ^ { T } [ e ^ { \mathrm { i } j x } ] ) _ { L ^ { 2 } } e ^ { \mathrm { i } j x } \right) } \\ & { = \sum _ { j \in S } ( h , g _ { j } ) _ { L ^ { 2 } } \chi _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \log \left( \frac { g _ { x } ( t _ { 0 } ) ( V , V ) } { g _ { x } ( 0 ) ( V , V ) } \right) \right| } & { = \left| \int _ { 0 } ^ { t _ { 0 } } \frac { \partial } { \partial t } \left[ \log g _ { x } ( t ) ( V , V ) \right] d t \right| } \\ & { = \left| \int _ { 0 } ^ { t _ { 0 } } \frac { \frac { \partial } { \partial t } g _ { x } ( t ) ( V , V ) } { g _ { x } ( t ) ( V , V ) } d t \right| } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { t _ { 0 } } \left| \frac { \partial } { \partial t } g _ { x } ( t ) \left( \frac { V } { | V | _ { g ( t ) } } , \frac { V } { | V | _ { g ( t ) } } \right) \right| d t } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { t _ { 0 } } \left| \frac { \partial } { \partial t } g _ { x } ( t ) \right| _ { g ( t ) } d t } \\ & { \leq C . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \boldsymbol { y } } _ { t } = \boldsymbol { c } _ { p , i ^ { * } } ^ { ( t ) } , ~ ~ \mathrm { s . t . } ~ ~ ~ ~ i ^ { * } = \operatorname * { a r g m a x } _ { i _ { t } \in [ 2 ^ { R _ { t } } ] } ~ ~ \langle \boldsymbol { l } _ { p } ^ { ( t ) } , 1 - 2 { \boldsymbol { c } _ { p , i _ { t } } ^ { ( t ) } } \rangle , } \end{array}
\Delta _ { N } D ( z ) = N _ { F } \, \left[ \frac { z ^ { \alpha } \, ( 1 - z ) ^ { \beta } } { \frac { \alpha ^ { \alpha } \, \beta ^ { \beta } } { ( \alpha + \beta ) ^ { \alpha + \beta } } } \right] \{ 2 \, D ( z ) \} \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } E \left[ \tilde { \mathbf { Z } } _ { k } ^ { H } \tilde { \mathbf { Z } } _ { k } \right] } & { = N _ { r } \left[ \begin{array} { c c c c } { \sigma _ { Z , \, 1 } ^ { 2 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \sigma _ { Z , \, 2 } ^ { 2 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { \sigma _ { Z , \, N _ { t } } ^ { 2 } } \end{array} \right] } \\ & { \stackrel { \Delta } { = } \tilde { \mathbf { R } } _ { \tilde { \mathbf { Z } } \tilde { \mathbf { Z } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \nu \Delta v + \nabla \beta = 0 , } & { { } \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ \Omega , } \\ { \nabla \cdot v = 0 , } & { { } \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ \Omega , } \\ { v = 0 , } & { { } \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ \Gamma _ { \mathrm { ~ b ~ a ~ n ~ k ~ s ~ } } \cup \Gamma _ { \mathrm { ~ d ~ o ~ c ~ k ~ } } , } \\ { v = v _ { D } , } & { { } \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ \Gamma _ { \mathrm { ~ w ~ e ~ s ~ t ~ } } , } \\ { n \cdot ( \nu \nabla v - \beta I ) = 0 , } & { { } \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ \Gamma _ { \mathrm { ~ e ~ a ~ s ~ t ~ } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { q \mu ( v _ { | | } N + n _ { 0 } V ) = 0 \, , } \\ { \nabla \left( v _ { | | } V + \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { n _ { 0 } } N + \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \mu c ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } | \alpha _ { 1 } | ^ { 2 } | B _ { W } | ^ { 2 } \right) = } & { \nabla \left( v _ { | | } V + \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { n _ { 0 } } N + \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \mu c ^ { 2 } k ^ { 2 } } | B _ { W } | ^ { 2 } \right) = 0 \, . } \end{array}
{ C } _ { s p h } ( x _ { b } ) = \theta _ { \mu } ^ { s } ( x _ { b } , D ) \geq \theta _ { \mu } ^ { s } ( x _ { b } , D _ { k } ) = \frac { \mu ( B ( x _ { b } , D _ { k } ) ) } { ( 2 D _ { k } ) ^ { s } } \geq \frac { \mu _ { k } ( B ( x _ { b } , D _ { k } - 2 ^ { - k } ) ) } { ( 2 D _ { k } ) ^ { s } } = \underline { { C } } _ { s p h } ^ { k } ( x _ { b } ) .
\begin{array} { r l } { \left\langle \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \right\rangle _ { t } } & { = \left| \alpha _ { 0 } \right| ^ { 2 } + \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } | \alpha _ { d } | ^ { 2 } \kappa _ { 1 } } { 4 \Delta _ { a } \omega _ { z } } \left[ \frac { 1 } { \left( \Delta _ { d } - \omega _ { z } + i \kappa / 2 \right) \left( \Delta _ { d } - i \kappa / 2 \right) } - \frac { 1 } { \left( \Delta _ { d } + \omega _ { z } - i \kappa / 2 \right) \left( \Delta _ { d } + i \kappa / 2 \right) } \right] \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { + } \right\rangle e ^ { i \omega _ { z } t } } \\ & { + \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } | \alpha _ { d } | ^ { 2 } \kappa _ { 1 } } { 4 \Delta _ { a } \omega _ { z } } \left[ \frac { 1 } { \left( \Delta _ { d } - \omega _ { z } - i \kappa / 2 \right) \left( \Delta _ { d } + i \kappa / 2 \right) } - \frac { 1 } { \left( \Delta _ { d } + \omega _ { z } + i \kappa / 2 \right) \left( \Delta _ { d } - i \kappa / 2 \right) } \right] \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { - } \right\rangle e ^ { - i \omega _ { z } t } } \\ & { \equiv \left| \alpha _ { 0 } \right| ^ { 2 } + A \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { + } \right\rangle e ^ { i \omega _ { z } t } + A ^ { * } \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { - } \right\rangle e ^ { - i \omega _ { z } t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( f _ { 1 } , g ) \wedge \psi ( f _ { 2 } , g ) = } & { \psi \left( \underset { i } \sum \lambda _ { i } \chi _ { A } ( x _ { i } ) , \sum _ { j } \gamma _ { j } \chi _ { B } ( u _ { j } ) \right) \wedge \psi \left( \sum _ { k } \delta _ { k } \chi _ { A } ( y _ { k } ) , \sum _ { j } \gamma _ { j } \chi _ { B } ( u _ { j } ) \right) } \\ { = } & { \left( \sum _ { i , j } ( \lambda _ { i } \gamma _ { j } ) \hat { \chi } ( \epsilon _ { A } ( x _ { i } ) \wedge \epsilon _ { B } ( u _ { j } ) ) \right) \wedge \left( \sum _ { k , j } ( \delta _ { k } \gamma _ { j } ) \hat { \chi } ( \epsilon _ { A } ( y _ { k } ) \wedge \epsilon _ { B } ( u _ { j } ) ) \right) } \\ { = } & { \ 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ddot { b } _ { i } + \omega _ { i B } ^ { 2 } ( t ) b _ { i } - \frac { \omega _ { i B } ^ { 2 } ( 0 ) } { b _ { i } \prod _ { j } b _ { j } } } & { { } = 0 } \\ { \ddot { c } _ { i } + \omega _ { i } ^ { 2 } ( t ) c _ { i } - \frac { \omega _ { i } ^ { 2 } ( 0 ) } { c _ { i } ^ { 3 } } } & { { } = 0 . } \end{array}
\hat { U } ^ { - 1 } ( n ) \frac { i p _ { 0 } } { 1 + n _ { 0 } } ( \vec { \sigma } \wedge \vec { \bigtriangledown } _ { p } ) \hat { U } ( n ) D ( \Omega , \Omega ^ { \prime } ) = \delta ( \Omega - \Omega ^ { \prime } ) .
\rho ( K , q ) = \frac { \alpha } { \sqrt { \pi } } \sqrt { \frac { 1 - z } { 1 + z } } \exp \left[ - \alpha ^ { 2 } K ^ { 2 } \frac { 1 - z } { 1 + z } - \frac { \alpha ^ { 2 } q ^ { 2 } } { 4 } \frac { 1 + z } { 1 - z } \right] .
\begin{array} { r l } & { { \mathrm { R e s } } _ { v _ { m } \rightarrow 0 } \Bigg \{ \frac { { \mathrm { d } } v _ { m } } { 2 \pi i v _ { m } } \left[ \operatorname* { d e t } \left( \frac { 1 } { 1 - q ^ { L _ { i } } v _ { i } / v _ { j } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m } \right] ^ { 2 } \prod _ { 1 \leq i < j \leq m } \frac { \left( v _ { j } - q ^ { L _ { i } } v _ { i } \right) \left( v _ { i } - q ^ { L _ { j } } v _ { j } \right) } { \left( v _ { j } - v _ { i } \right) \left( q ^ { L _ { i } } v _ { i } - q ^ { L _ { j } } v _ { j } \right) } \Bigg \} = } \\ & { = \frac { 1 } { \left( 1 - q ^ { L _ { m } } \right) ^ { 2 } } \Bigg \{ \left[ \operatorname* { d e t } \left( \frac { 1 } { 1 - q ^ { L _ { i } } v _ { i } / v _ { j } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m - 1 } \right] ^ { 2 } \prod _ { 1 \leq i < j \leq m - 1 } \frac { \left( v _ { j } - q ^ { L _ { i } } v _ { i } \right) \left( v _ { i } - q ^ { L _ { j } } v _ { j } \right) } { \left( v _ { j } - v _ { i } \right) \left( q ^ { L _ { i } } v _ { i } - q ^ { L _ { j } } v _ { j } \right) } \Bigg \} . } \end{array}
S = { M } _ { \mathrm { { P l } } } ^ { 2 } \int _ { } ^ { } { d } ^ { 4 } x \sqrt { - g } ( - 2 \Lambda + R + a { R } ^ { 2 } + b { R } _ { \mu \nu } { R } ^ { \mu \nu } + c { R } _ { \mu \nu \lambda \kappa } { R } ^ { \mu \nu \lambda \kappa } + . . . )
m _ { L } \simeq \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \left( \frac { A v } { m _ { \tilde { \, l } } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { B } { m _ { \tilde { \, l } } } \right) \left( \frac { m _ { \tilde { \, l } } } { M _ { R } } \right) ^ { 3 } \left\{ \left( g _ { Y } Y _ { L } \right) ^ { 2 } m _ { \widetilde { B } } + \left( g _ { 2 } T _ { 3 L } \right) ^ { 2 } m _ { \widetilde { W } } \right\} \, .
| { \frac { \delta m ^ { 2 } } { 2 p } } { \frac { 6 b } { T } } { \frac { d T } { d t } } | \stackrel { < } { \sim } { \frac { \Gamma _ { \nu _ { \alpha } } ^ { 2 } } { 2 } } , \| { \frac { d a } { d T } } | \stackrel { < } { \sim } | { \frac { \Gamma _ { \nu _ { \alpha } } ^ { 2 } } { 2 } } { \frac { 2 p } { \delta m ^ { 2 } } } { \frac { d t } { d T } } | ,
3 . 5 3 0 8 \cos { \left( \Omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } \right) } + 2 \cos { \left( \omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } \right) } + \cos { \left( \zeta ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } - 5 . 3 5 4 \right) } - 0 . 2 8 3
\begin{array} { r l } { A } & { = \frac { ( a + s ) ( s - a + \beta ) ( b + \alpha + s ) ( b - s ) ( 2 s + 1 ) } { ( b + \alpha - s ) ( a - \beta + s ) ( s - a ) ( s + b ) ( 2 s - 1 ) } } \\ { B } & { = A \frac { ( a + s - 1 ) ( s - a + \beta - 1 ) ( b + \alpha + s - 1 ) ( b - s + 1 ) ( 2 s - 1 ) } { ( b + \alpha - s + 1 ) / ( a - \beta + s - 1 ) ( s - a - 1 ) ( s + b - 1 ) ( 2 s - 3 ) } } \\ { A 1 } & { = \frac { ( 2 s - 1 ) ( \sigma ( s - 1 ) + ( s - 1 ) \tau ( s - 1 ) - 2 \lambda s ( s - 1 ) ) } { ( s - 1 ) ( \sigma ( s - 1 ) + ( 2 s - 1 ) \tau ( s - 1 ) ) } } \\ { B 1 } & { = \frac { s \sigma ( s - 1 ) } { ( s - 1 ) ( \sigma ( s - 1 ) + ( 2 s - 1 ) \tau ( s - 1 ) ) } } \\ { S _ { 1 } } & { = \mathrm { s i g n } ( B 1 ) S _ { N , x - 2 } } \\ { S _ { 2 } } & { = \mathrm { s i g n } ( A 1 ) S _ { N , x - 1 } S _ { 1 } } \\ { L A } & { = S _ { 2 } \exp ( \log ( \lvert A 1 \rvert ) + \log ( A ) / 2 + L _ { N , x - 1 } - \log ( \lvert B 1 \rvert ) - \log ( B ) / 2 - L _ { N , x - 1 } - 1 } \\ { S _ { 3 } } & { = \mathrm { s i g n } ( L A ) , } \end{array}
\centering { \bf U } _ { m _ { 1 , 2 } } ^ { \nu _ { 1 , 2 } } ( { \bf r } , \phi ) = \cos \theta { \bf U } _ { m _ { 1 } } ^ { \nu _ { 1 } } ( { \bf r } , \phi ) \hat { \bf e } _ { R } + \sin \theta \exp ( i \alpha ) { \bf U } _ { m _ { 2 } } ^ { \nu _ { 2 } } ( { \bf r } , \phi ) \hat { \bf e } _ { L } ,
\begin{array} { r l r } { q ( x , y ) } & { { } = } & { ( 3 - \nu ) \ln ( r ) + ( 1 + \nu ) \frac { y ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } \\ { p ( x , y ) } & { { } = } & { ( 3 - \nu ) \ln ( r ) + ( 1 + \nu ) \frac { x ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } \\ { w ( x , y ) } & { { } = } & { - ( 1 + \nu ) \frac { x y } { r ^ { 2 } } } \end{array}
\Gamma ( B _ { s } ^ { 0 } ( t ) \to K ^ { + } K ^ { - } ) + \Gamma ( \overline { { { B _ { s } ^ { 0 } } } } ( t ) \to K ^ { + } K ^ { - } ) \propto R _ { \mathrm { H } } e ^ { - \Gamma _ { \mathrm { H } } ^ { ( s ) } t } + R _ { \mathrm { L } } e ^ { - \Gamma _ { \mathrm { L } } ^ { ( s ) } t }
\left\{ \begin{array} { r l r } { f ( p , 0 ) } & { { } = f _ { 0 } ( p ) , \ } & { p \in \mathbb { R } _ { p } , } \\ { W ( k , 0 ) } & { { } = W _ { 0 } ( k ) , \ } & { k \in \mathbb { R } _ { k } , } \end{array} \right.
( \Omega \Omega ^ { * } ) _ { N } ( \vec { x } ) \ = \ e ^ { 2 e _ { o } \sigma _ { N } ( \vec { x } ) } \ + \ \frac { 2 e _ { o } ^ { 2 } } { N } e ^ { 2 e _ { o } \sigma _ { N } ( \vec { x } ) } ( X _ { i } \sigma _ { N } ( \vec { x } ) ) ^ { 2 } \ + \ o ( e _ { o } ^ { 2 } N ^ { - 2 } ) \ ,
\langle J / \psi K _ { S } | H _ { p } | B ^ { 0 } \rangle = V _ { c b } ^ { \ast } V _ { c s } ( A _ { c } ^ { p } - A _ { t } ^ { p } ) + V _ { u b } ^ { \ast } V _ { u s } ( A _ { u } ^ { p } - A _ { t } ^ { p } )
- \partial _ { \mathbf { p } } ( v _ { 1 } L ) ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \cdot \left( \mathbf { p } ^ { \ell + 1 } - \mathbf { p } ^ { \ell } \right) + \mathbf { p } ^ { \ell + 1 } \cdot \mathbf { f } ^ { \ell + 1 } - \mathbf { p } ^ { \ell } \cdot \mathbf { f } ^ { \ell } = \mathbf { p } ^ { \ell + 1 } \cdot \mathbf { f } ^ { \ell + 1 } - ( v _ { 1 } L ) ^ { \ell + 1 } - \mathbf { p } ^ { \ell } \cdot \mathbf { f } ^ { \ell } + ( v _ { 1 } L ) ^ { \ell } .
W ^ { \Omega _ { z _ { 1 } } ^ { * } , \Omega _ { z _ { 2 } } } \left( \begin{array} { c c } { { c } } & { { d } } \\ { { b } } & { { a } } \end{array} \right) = ( - 1 ) ^ { n - 1 + \mu + \kappa } W ^ { ( n - 1 , 1 ) } \left( \left. \begin{array} { c c } { { c } } & { { d } } \\ { { b } } & { { a } } \end{array} \right| z _ { 1 } - z _ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } [ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { T } _ { s , 1 } } ) ] } & { \leq } & { ( 2 L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) ( C L \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) ) + 2 \sqrt { 2 C _ { 0 } } L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } } \\ & { \leq } & { C L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } + C L ^ { 2 } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) . } \end{array}
\left( - \nabla \cdot \left( \frac { \nabla } { | \nabla \bar { U } _ { i m } ^ { k } | } \right) + \lambda _ { 2 } + 2 \lambda _ { 3 } \left( ( \bar { U } _ { r e a l } ^ { k } ) ^ { 2 } + ( \bar { U } _ { i m } ^ { k } ) ^ { 2 } \right) \right) \bar { U } _ { i m } ^ { k + 1 } = \lambda _ { 2 } \hat { U } _ { i m } + 2 \lambda _ { 3 } \bar { U } _ { i m } ^ { k } \; \; \; \mathrm { ~ i ~ n ~ } \; \Omega .
\begin{array} { r l } & { g ^ { ( q ) } \left( \gamma , \phi \right) \langle \Tilde { F } _ { S } , m _ { \Tilde { F } , S } ; k = 2 , q = m _ { \Tilde { F } , D } - m _ { \Tilde { F } , S } \lvert \Tilde { F } _ { D } , m _ { \Tilde { F } , D } \rangle } \\ & { = g ^ { ( q ) } \left( \gamma , \phi \right) \times } \\ & { \sum _ { m _ { I , D } , m _ { J , D } } \sum _ { m _ { I , S } , m _ { J , S } } c _ { m _ { I , D } , m _ { J , D } } ^ { * } c _ { m _ { I , S } , m _ { J , S } } \langle J _ { S } = 1 / 2 , m _ { J , S } ; k = 2 , q = m _ { J , D } - m _ { J , S } \lvert J _ { D } = 5 / 2 , m _ { J , D } \rangle \delta _ { m _ { I , S } m _ { I , D } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \| ( { \Psi } y ) ( t ) - ( \Psi y ^ { * } ) ( t ) \| ^ { 2 } } & { \leq } & { \mathbb { E } \| { \cal K } _ { i } ( t , g _ { t } + \bar { y } _ { t } ) - { \cal K } _ { i } ( t , g _ { t } + \bar { y } _ { t } ^ { * } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { L _ { { \cal K } _ { i } } \| \bar { y } _ { t } - \bar { y } _ { t } ^ { * } \| _ { { \cal D } _ { h } } ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { L _ { { \cal K } _ { i } } \varpi ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { t \in { \cal J } } \mathbb { E } \| y ( t ) - y ^ { * } ( t ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { L _ { { \cal K } _ { i } } \varpi ^ { 2 } \| y - y ^ { * } \| _ { { \cal D } _ { T } ^ { 0 } } ^ { 2 } . \qquad \qquad \qquad \qquad } \end{array}
\langle \Psi _ { \pm } | \bar { \psi } ^ { a } \gamma ^ { 5 } \psi ^ { a } | \Psi _ { \pm } \rangle = \pm \frac { 2 i } { L } \cos \alpha _ { 0 } \langle \tilde { \Phi } _ { I } | \tilde { \Phi } _ { I I } \rangle \ ,
\begin{array} { r l } & { \frac { d C _ { A } } { d t } = - k _ { a } C _ { A } + k _ { a } \frac { k _ { H } } { \delta _ { a } \Lambda } C _ { U } + E ( t ) \mathrm { ~ , } } \\ & { \frac { d C _ { U } } { d t } = k _ { a } C _ { A } - k _ { a } \frac { k _ { H } } { \delta _ { a } \Lambda } C _ { U } - k _ { d } C _ { U } + \frac { k _ { d } } { \delta _ { d } } C _ { L } \mathrm { ~ , } } \\ & { \frac { d C _ { L } } { d t } = k _ { d } C _ { U } - \frac { k _ { d } } { \delta _ { d } } C _ { L } \mathrm { ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ^ { \eta } ( z _ { n } ) } & { \leq \int _ { Q } W ( y , z _ { n } + \psi ( y ) ) \; d y } \\ & { \leq \int _ { Q } W ( y , z + \psi ( y ) ) \; d y + \int _ { Q } \left| W ( y , z _ { n } + \psi _ { n } ( y ) ) - W ( y , z + \psi _ { n } ( y ) ) \right| \, d y } \\ & { \leq W ^ { \eta } ( z ) + \int _ { Q } \left| W ( y , z _ { n } + \psi _ { n } ( y ) ) - W ( y , z + \psi _ { n } ( y ) ) \right| \, d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { \infty } \| \widetilde { n } _ { { \Gamma _ { h } } } - n _ { { \Gamma _ { h } } } \| _ { 0 , \infty , \mathcal { T } _ { h } } ^ { 2 } \| \nabla v \| _ { \mathcal { T } _ { h } } ^ { 2 } } & { \lesssim ( b _ { \infty } \kappa ) ( \kappa h ) h ^ { - 1 } \| v \| _ { \mathcal { T } _ { h } } ^ { 2 } \lesssim ( \tau _ { c } h ) ^ { - 1 } \| v \| _ { \mathcal { T } _ { h } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { z \in B _ { X _ { n } } } \Big \vert \sum _ { \alpha \in \Lambda ( m , n ) } \varepsilon _ { \alpha } c _ { \alpha } z ^ { \alpha } \Big \vert \leq C m ( \log n ) ^ { 1 + \frac { 1 } { r ^ { \prime } } } \operatorname* { s u p } _ { \alpha } \bigg ( \vert c _ { \alpha } \vert \Big ( \frac { \alpha ! } { m ! } \Big ) ^ { \frac { 1 } { r } } \bigg ) \operatorname* { s u p } _ { z \in B _ { X _ { n } } } \Big ( \sum _ { k = 1 } ^ { n } \vert z _ { k } \vert ^ { r } \Big ) ^ { \frac { m - 1 } { r } } \operatorname* { s u p } _ { z \in B _ { X _ { n } } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \vert z _ { k } \vert \, . } \end{array}