\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \tilde { \ell } _ { 2 } \left( \nabla \psi + \boldsymbol { v } ^ { \bot } - \nabla S _ { h } \psi - \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } \right) } } \\ & { = } & { \tilde { \ell } _ { 2 } \left( \nabla \psi - \nabla S _ { h } \psi \right) + \tilde { \ell } _ { 2 } \left( \boldsymbol { v } ^ { \bot } - \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } \right) } \\ & { = } & { ( \boldsymbol { f } , \nabla \psi - \nabla S _ { h } \psi ) _ { \mathcal { T } _ { h } } - ( \mathrm { c u r l } _ { h } ( \nabla \psi - \nabla S _ { h } \psi ) , \alpha p _ { h } ) _ { \mathcal { T } _ { h } } - ( \beta \boldsymbol { v } _ { h } ^ { c o n f } , \nabla \psi - \nabla S _ { h } \psi ) _ { \mathcal { T } _ { h } } } \\ & { } & { + ( \boldsymbol { f } , \boldsymbol { v } ^ { \bot } - \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } ) _ { \mathcal { T } _ { h } } - ( \mathrm { c u r l } _ { h } ( \boldsymbol { v } ^ { \bot } - \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } ) , \alpha p _ { h } ) _ { \mathcal { T } _ { h } } - ( \beta \boldsymbol { v } _ { h } ^ { c o n f } , \boldsymbol { v } ^ { \bot } - \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } ) _ { \mathcal { T } _ { h } } } \\ & { = } & { ( \boldsymbol { f } , \nabla \psi - \nabla S _ { h } \psi ) _ { \mathcal { T } _ { h } } - ( \beta \boldsymbol { u } _ { h } , \nabla \psi - \nabla S _ { h } \psi ) _ { \mathcal { T } _ { h } } + ( \beta ( \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { v } _ { h } ^ { c o n f } ) , \nabla \psi - \nabla S _ { h } \psi ) _ { \mathcal { T } _ { h } } } \\ & { } & { + ( \boldsymbol { f } , \boldsymbol { v } ^ { \bot } - \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } ) _ { \mathcal { T } _ { h } } - ( \mathrm { c u r l } _ { h } ( \boldsymbol { v } ^ { \bot } - \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } ) , \alpha p _ { h } ) _ { \mathcal { T } _ { h } } - ( \beta \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { v } ^ { \bot } - \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } ) _ { \mathcal { T } _ { h } } } \\ & { } & { + ( \beta ( \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { v } _ { h } ^ { c o n f } ) , \boldsymbol { v } ^ { \bot } - \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } ) _ { \mathcal { T } _ { h } } } \\ & { = } & { - \left( \nabla \cdot \left( \boldsymbol { f } - \beta \boldsymbol { u } _ { h } \right) , \psi - S _ { h } \psi \right) _ { \mathcal { T } _ { h } } + \left\langle [ \boldsymbol { f } - \beta \boldsymbol { u } _ { h } ] _ { e } , \psi - S _ { h } \psi \right\rangle _ { \mathcal { E } _ { h } } } \\ & { } & { + ( \beta ( \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { v } _ { h } ^ { c o n f } ) , \nabla \psi - \nabla S _ { h } \psi ) _ { \mathcal { T } _ { h } } + \left( \boldsymbol { f } - \mathbf { c u r l } _ { h } ~ \alpha p _ { h } - \beta \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { v } ^ { \bot } - \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } \right) _ { \mathcal { T } _ { h } } } \\ & { } & { - \left\langle [ [ \alpha p _ { h } ] ] _ { e } , \boldsymbol { v } ^ { \bot } - \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } \right\rangle _ { \mathcal { E } _ { h } } + ( \beta ( \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { v } _ { h } ^ { c o n f } ) , \boldsymbol { v } ^ { \bot } - \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } ) _ { \mathcal { T } _ { h } } . } \end{array}