harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathrm { I } _ { i } } & { \approx \frac { \sqrt { 2 } } { \sigma _ { 1 } \sqrt { \pi } } \left[ \frac { 1 } { 1 2 } e ^ { u _ { 0 , i } } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \alpha - m _ { 0 , i } } { s _ { 0 , i } } \right) ^ { 2 } } \mathrm { d } \alpha + \frac { 1 } { 4 } e ^ { u _ { 1 , i } } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \alpha - m _ { 1 , i } } { s _ { 1 , i } } \right) ^ { 2 } } \mathrm { d } \alpha \right] } \\ & { = \frac { 1 } { \sigma _ { 1 } } \left[ \frac { 1 } { 6 } e ^ { u _ { 0 , i } } s _ { 0 , i } \mathrm { Q } \left( - \frac { m _ { 0 , i } } { s _ { 0 , i } } \right) + \frac { 1 } { 2 } e ^ { u _ { 1 , i } } s _ { 1 , i } \mathrm { Q } \left( - \frac { m _ { 1 , i } } { s _ { 1 , i } } \right) \right] , \; i = 1 , 2 , } \end{array}
\frac { \partial u _ { i } } { \partial t } = - u _ { j } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } + F _ { i } ,
\psi ( x , y ) = \sum _ { \hbar \omega _ { x } ( n _ { x } + \frac { 1 } { 2 } ) + \hbar \omega _ { y } ( n _ { y } + \frac { 1 } { 2 } ) = E } c _ { n _ { x } n _ { y } } \psi _ { n _ { x } } ( x ) \psi _ { n _ { y } } ( y ) \, ,
\left( \begin{array} { l } { a ( 0 ) } \\ { { b } ( 0 ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) , \ \left( \begin{array} { l } { \dot { a } ( 0 ) } \\ { \dot { b } ( 0 ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) ,
\int _ { \mathcal { M } } G \left( \xi _ { \psi ^ { \prime } , N ^ { \prime } , n _ { 1 } ^ { \prime } } \cdot \xi _ { \psi ^ { \prime } , N ^ { \prime } , n _ { 2 } ^ { \prime } } \cdot \xi _ { \psi ^ { \prime } , N ^ { \prime } , n _ { 3 } ^ { \prime } } \cdot \xi _ { \psi ^ { \prime } , N ^ { \prime } , n _ { 4 } ^ { \prime } } \right) ( \chi ) \cdot \xi _ { \psi , N , n _ { 1 } } \cdot \xi _ { \psi , N , n _ { 2 } } \cdot \xi _ { \psi , N , n _ { 3 } } \cdot \xi _ { \psi , N , n _ { 4 } } ( \chi ) d \lambda ( \chi ) \geq 0
\begin{array} { r l } { \upsilon ^ { z } } & { = \frac { \upsilon ^ { p } } { 2 } - \frac { { { \left( { { \upsilon } ^ { p } } \right) } ^ { 2 } } } { 2 \left( \sigma _ { w } ^ { 2 } + { { \upsilon } ^ { p } } \right) } } \\ { \times } & { \left( \frac { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } ( \eta _ { 1 } e ^ { - \frac { \eta _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } } - \eta _ { 2 } e ^ { - \frac { \eta _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } } ) } { \Phi ( \eta _ { 1 } ) - \Phi ( \eta _ { 2 } ) } + \left( \frac { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } ( e ^ { - \frac { \eta _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } } - e ^ { - \frac { \eta _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } } ) } { \Phi ( \eta _ { 1 } ) - \Phi ( \eta _ { 2 } ) } \right) ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } \Vert ^ { 2 } } & { = \Vert ( 1 - \gamma ) \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } + \gamma \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } \Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 - \gamma ) \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } + \gamma \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } \Vert ^ { 2 } . } \end{array}
f _ { i } ^ { e q } = w _ { i } \bigg ( \rho + \frac { c _ { i \alpha } } { c _ { s } ^ { 2 } } \rho u _ { \alpha } + \frac { ( c _ { i \alpha } c _ { i \beta } - c _ { s } ^ { 2 } \delta _ { \alpha \beta } ) } { 2 c _ { s } ^ { 4 } } \rho u _ { \alpha } u _ { \beta } \bigg ) ,
\langle E \rangle _ { i , j } ^ { 2 } = \left( \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } E \cdot \rho _ { i } ( E ) \cdot f _ { j } ( E ) \cdot \mathrm { ~ d ~ } E } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \rho _ { i } ( E ) \cdot f _ { j } ( E ) \cdot \mathrm { ~ d ~ } E } \right) ^ { 2 } .
{ \cal L } ( \frac { 1 } { 2 } , \alpha ) = \bar { \psi } [ \gamma _ { \mu } ( \partial _ { \mu } + i a _ { \mu } + i C _ { \mu } ) + M ] \psi - \frac { i } { 8 \pi \alpha } \epsilon _ { \mu \nu \lambda } a _ { \mu } \partial _ { \nu } a _ { \lambda } \; ,
\frac { \partial \mathcal { F } _ { 2 } } { \partial E } = \left[ \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n \frac { \partial \hat { A } _ { n } } { \partial E } ( - 1 ) ^ { n - 1 } \right] - \frac { \partial A _ { 1 } } { \partial E } ,
\delta _ { \nu _ { 1 } \dots \nu _ { p } } ^ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { + 1 } & { \quad { \mathrm { i f ~ } } \nu _ { 1 } \dots \nu _ { p } { \mathrm { ~ a r e ~ d i s t i n c t ~ i n t e g e r s ~ a n d ~ a r e ~ a n ~ e v e n ~ p e r m u t a t i o n ~ o f ~ } } \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p } } \\ { - 1 } & { \quad { \mathrm { i f ~ } } \nu _ { 1 } \dots \nu _ { p } { \mathrm { ~ a r e ~ d i s t i n c t ~ i n t e g e r s ~ a n d ~ a r e ~ a n ~ o d d ~ p e r m u t a t i o n ~ o f ~ } } \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p } } \\ { \; \; 0 } & { \quad { \mathrm { i n ~ a l l ~ o t h e r ~ c a s e s } } . } \end{array} \right. }
\Gamma ( B _ { c } ^ { + } \to \psi \pi ^ { + } ) = G _ { F } ^ { 2 } | V _ { b c } | ^ { 2 } \; \frac { 1 2 8 \pi \alpha _ { s } ^ { 2 } } { 8 1 } f _ { \pi } ^ { 2 } \tilde { f } _ { B _ { c } } ^ { 2 } \tilde { f } _ { \psi } ^ { 2 } \biggl ( \frac { M + m _ { \psi } } { M - m _ { \psi } } \biggr ) ^ { 3 } \; \frac { M ^ { 3 } } { ( M - m _ { \psi } ) ^ { 2 } m _ { \psi } ^ { 2 } } \; .
\Phi ( \vec { k } , t ) = \int d ^ { 3 } k { \hat { \Phi } } ( \vec { k } , t ) e ^ { i { \vec { k } } \cdot { \vec { x } } } , \quad \mathrm { w i t h } \quad { \overline { { { \hat { \Phi } } } } } ( \vec { k } , t ) = { \hat { \Phi } } ( - \vec { k } , t ) , \nonumber
\begin{array} { r l r } { \left\| y - s _ { 0 } - r \frac { \zeta _ { 0 } } { \| \zeta _ { 0 } \| } \right\| } & { = } & { \left\| \left( y - x - \frac { r } { 2 } \frac { \zeta _ { 0 } } { \| \zeta _ { 0 } \| } \right) + \left( x - s _ { 0 } - \frac { r } { 2 } \frac { \zeta _ { 0 } } { \| \zeta _ { 0 } \| } \right) \right\| } \\ & { \leq } & { \left\| y - x - \frac { r } { 2 } \frac { \zeta _ { 0 } } { \| \zeta _ { 0 } \| } \right\| + \left\| x - s _ { 0 } - \frac { r } { 2 } \frac { \zeta _ { 0 } } { \| \zeta _ { 0 } \| } \right\| } \\ & { \leq } & { \frac { r } { 2 } + \left\| r _ { 0 } \frac { \zeta _ { 0 } } { \| \zeta _ { 0 } \| } - \frac { r } { 2 } \frac { \zeta _ { 0 } } { \| \zeta _ { 0 } \| } \right\| } \\ & { = } & { \frac { r } { 2 } + \frac { r } { 2 } - r _ { 0 } = r - r _ { 0 } < r . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \eta _ { i } } _ { t } + ( \eta _ { i } { \overline { { u } } } _ { i } ) _ { x } = 0 , \qquad i = 1 , 2 , } \\ & { { { \overline { { u } } } _ { 1 } } _ { t } + { { \overline { { u } } } _ { 1 } } { { \overline { { u } } } _ { 1 } } _ { x } - g { \eta _ { 1 } } _ { x } + \frac { P _ { x } } { \rho _ { 1 } } + D _ { 1 } = 0 , } \\ & { { { \overline { { u } } } _ { 2 } } _ { t } + { { \overline { { u } } } _ { 2 } } { { \overline { { u } } } _ { 2 } } _ { x } + g { \eta _ { 2 } } _ { x } + \frac { P _ { x } } { \rho _ { 2 } } + D _ { 2 } = 0 . } \end{array}
H ^ { 2 [ y ] } = N \xi \Bigg [ \frac 1 { 2 4 } ( 1 2 8 - 1 2 0 \xi + 3 6 \xi ^ { 2 } + 5 \xi ^ { 3 } ) t _ { 3 } - \frac 1 { 3 6 } ( 2 8 0 - 1 1 8 \xi - 1 5 \xi ^ { 2 } ) v \Bigg ] .
F ~ = ~ \left( \begin{array} { l l } { { f _ { 1 } ( x ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { f _ { 2 } ( x ) } } \end{array} \right) ~ ~ , ~ ~ D ~ = ~ d . 1 ~ + ~ D _ { Q } ~ = ~ \left( \begin{array} { l l } { { d } } & { { m \theta } } \\ { { m { \bar { \theta } } } } & { { d } } \end{array} \right)
2 l \cos { \alpha } = 2 l \cos { \alpha _ { 0 } } + v - v _ { b } , \quad u _ { i } = l \left( \sin { \alpha _ { 0 } } - \sin { \alpha } \right) , \quad v _ { i } = v _ { b } + l \left( \cos { \alpha } - \cos { \alpha _ { 0 } } \right) .
\begin{array} { r l } { ( Q _ { n } ^ { t } \circ Q _ { m } ^ { t } ) ( f ^ { \prime } ) ( f ) } & { = Q _ { m } ^ { t } ( f ^ { \prime } ) ( Q _ { n } ( f ) ) = Q _ { m } ^ { t } ( f ^ { \prime } ) ( \lambda _ { n } ( f ) f _ { n } ) = f ^ { \prime } ( \lambda _ { m } ( \lambda _ { n } ( f ) f _ { n } ) f _ { m } ) } \\ & { = \lambda _ { m } ( f _ { n } ) \lambda _ { n } ( f ) f ^ { \prime } ( f _ { m } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \lambda _ { n } ( f ) f ^ { \prime } ( f _ { n } ) } & { , \; m = n , } \\ { 0 } & { , \; m \neq n , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( p , 0 ) } & { { } = f _ { 0 } ( p ) , \ } & { p \in \mathbb { R } _ { p } , } \\ { W ( k , 0 ) } & { { } = W _ { 0 } ( k ) , \ } & { k \in \mathbb { R } _ { k } , } \end{array}
V _ { \gamma } ( r ) = \frac { g _ { \gamma } ^ { 2 } } { 4 \pi } \frac { 1 } { 1 2 m _ { i } m _ { j } } \{ \theta ( r - r _ { 0 } ) \mu _ { \gamma } ^ { 2 } \frac { e ^ { - \mu _ { \gamma } r } } { r } - \frac { 4 } { \sqrt { \pi } } \alpha ^ { 3 } \exp ( - \alpha ^ { 2 } ( r - r _ { 0 } ) ^ { 2 } ) \}
\begin{array} { r l r } { \hat { N } } & { { } = } & { \sqrt { \frac { g } { a } \frac { \rho _ { p } - \rho _ { 2 } } { \overline { { \rho } } } } } \\ { f _ { 1 } } & { { } = } & { \alpha \frac { \rho _ { p } } { \overline { { \rho } } } \, \frac { V _ { 1 } } { \hat { h } \hat { N } } + \beta } \end{array}
\begin{array} { r } { X ^ { \ast } ( T ^ { \ast } , \mu ; v , n _ { X } ) = \frac { n _ { X } } { 1 + n _ { X } } \frac { v + \mu - v \mu - T ^ { \ast } \mu - \mu ^ { 2 } } { v + T ^ { \ast } + \mu } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { K } } & { \leq 2 a _ { 2 } ^ { \frac { 1 } { 3 } } \left( \frac { \| \bar { e } _ { x } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } { K } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } + a _ { 1 } \left( \frac { \| \bar { e } _ { x } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } { a _ { 2 } K } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \\ & { \leq 2 a _ { 2 } ^ { \frac { 1 } { 3 } } \left( \frac { \| \bar { e } _ { x } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } { K } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } + \left( \frac { a _ { 1 } \| \bar { e } _ { x } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } { K } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { t _ { n + 1 } } \frac { F ( \tau , x ( \tau ) ) } { ( t _ { n + 1 } - \tau ) ^ { 1 - \alpha } } \, d \tau \approx \frac { h ^ { \alpha } } { \alpha } \sum _ { j = 0 } ^ { n } F _ { j } \cdot b _ { n - j } ,
A = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) , \quad I = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mu ( k ^ { \prime } ) \mu ( k ) } & { = [ u ^ { \prime \prime } k ^ { \prime } , u ^ { \prime } ; g ^ { \prime } ] [ u ^ { \prime } k , u ; g ] = [ u ^ { \prime \prime } k ^ { \prime } k , u ^ { \prime } k ; \smash { \underbrace { g ^ { \prime } \psi ( k ) } _ { = g } } ] [ u ^ { \prime } k , u ; g ] = [ u ^ { \prime \prime } k ^ { \prime } k , u ; g ] } \\ & { = \mu ( k ^ { \prime } k ) . } \end{array}
M _ { a } = \frac { \alpha _ { s } C _ { F } } { 4 \pi } \frac { 1 } { \epsilon } O _ { 1 } , \ \ M _ { b } = - \frac { \alpha _ { s } C _ { F } } { 4 \pi } \frac { 3 } { \epsilon } O _ { 1 } , \ \ M _ { c } = \frac { \alpha _ { s } C _ { F } } { 4 \pi } \frac { 3 } { \epsilon } O _ { 1 } ,
\begin{array} { r l } { \psi _ { I } = } & { { } \sum _ { n } a _ { n } H _ { n } ^ { ( 2 ) } ( k \rho ) e ^ { \mathrm { i } n \varphi } \; \mathrm { f o r } \; \rho < R , } \\ { \psi _ { O } = } & { { } \sum _ { n } b _ { n } H _ { n } ^ { ( 1 ) } ( k \rho ) e ^ { \mathrm { i } n \varphi } \; \mathrm { f o r } \; \rho > R , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle r ^ { k } , c \rangle - \langle r ^ { k + 1 } , c \rangle } & { \geq r _ { k } ^ { k } c _ { k } + r _ { k + 1 } ^ { k } c _ { k + 1 } - r _ { k } ^ { k + 1 } c _ { k } + r _ { k + 1 } ^ { k + 1 } c _ { k + 1 } } \\ & { = c _ { k } \cdot \bigg ( \Big ( p _ { k } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } ( p _ { i } - q _ { i } ) \Big ) - q _ { k } \bigg ) + c _ { k + 1 } \cdot \bigg ( p _ { k + 1 } - \Big ( p _ { k + 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( p _ { i } - q _ { i } ) \Big ) \bigg ) } \\ & { = ( c _ { k } - c _ { k + 1 } ) \cdot \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( p _ { i } - q _ { i } ) } \\ & { \geq 0 . } \end{array}
V _ { e \mathrm { i } } ( q ) = \frac { V _ { e \mathrm { i } } ^ { \mathrm { C o u l o m b } } ( q ) } { \epsilon ^ { \mathrm { R P A } } ( q , 0 ) } = - \frac { e _ { e } e _ { \mathrm { i } } } { \epsilon _ { 0 } \Omega } \frac { 1 } { q ^ { 2 } \, \epsilon ^ { \mathrm { R P A } } ( q , 0 ) }
\begin{array} { r l } { d ( k _ { \mathcal { X } } , k _ { \mathcal { X } } ( r ) ) } & { { } = r ( 1 - p _ { l a y e r } ) N M \sqrt { p ( 1 - p ) } } \\ { d ( k _ { \mathcal { Y } } , k _ { \mathcal { Y } } ( r ) ) } & { { } = r ( 1 - p _ { n o d e } ) N M \sqrt { p ( 1 - p ) } } \end{array}
P _ { 1 } = E ( x _ { 1 } , 0 , 0 , t _ { 1 } ) , \quad P _ { 2 } = E ( x _ { 2 } , 0 , T _ { M } , - t _ { 2 } ) , \quad P _ { 3 } = E ( x _ { 3 } , 0 , - T _ { M } , - t _ { 3 } ) .
\begin{array} { r } { 1 - x _ { \mathrm { { C O } } } ^ { \mathrm { { g a s } } } - x _ { \mathrm { { C } } { \mathrm { { O } } _ { \mathrm { { 2 } } } } } ^ { \mathrm { { g a s } } } - x _ { { \mathrm { { O } } _ { \mathrm { { 2 } } } } } ^ { \mathrm { { g a s } } } - x _ { \mathrm { { C } } { \mathrm { { H } } _ { \mathrm { { 4 } } } } } ^ { \mathrm { { g a s } } } - x _ { { \mathrm { { H } } _ { \mathrm { { 2 } } } } } ^ { \mathrm { { g a s } } } - x _ { { \mathrm { { H } } _ { \mathrm { { 2 } } } } \mathrm { { O } } } ^ { \mathrm { { g a s } } } - x _ { \mathrm { { F e } } } ^ { \mathrm { { g a s } } } - x _ { \mathrm { { M g } } } ^ { \mathrm { { g a s } } } - x _ { \mathrm { { S i O } } } ^ { \mathrm { { g a s } } } - x _ { \mathrm { { N a } } } ^ { \mathrm { { g a s } } } = 0 } \end{array}
\Omega _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ( x ) = \int d ^ { 3 } y \ \Sigma _ { i _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ( x , y ) L _ { i _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ( y ) = \partial ^ { i } \alpha _ { A ^ { i } } ^ { ( 1 ) } + \alpha _ { 5 } ^ { ( 1 ) } + \alpha _ { 6 } ^ { ( 1 ) } = 0 .
M ^ { ( a b ) } ( t , { \mathbf { u } } ) = \left( \begin{array} { c c c } { t - a \frac { 3 } { 2 \sqrt { 2 } { u _ { 1 } } \sqrt { \log \left( \frac { { u _ { 2 } } } { { u _ { 1 } } ^ { 3 } } \right) } } } & { } & { a \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } { u _ { 2 } } \sqrt { \log \left( \frac { { u _ { 2 } } } { { u _ { 1 } } ^ { 3 } } \right) } } } \\ { b \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } { u _ { 1 } } \sqrt { \log \left( \frac { { u _ { 1 } } } { { u _ { 2 } } } \right) } } } & { } & { t - b \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } { u _ { 2 } } \sqrt { \log \left( \frac { { u _ { 1 } } } { { u _ { 2 } } } \right) } } } \end{array} \right) \, , \qquad a , b = \pm
( 1 - 9 P _ { 3 6 } ^ { o \sigma f c } ) { \cal A } _ { \sigma f c } | \Delta \Delta \rangle = { \cal A } _ { \sigma f c } | \Delta \Delta \rangle - 9 P _ { 3 6 } ^ { o \sigma f c } { \cal A } _ { \sigma f c } | \Delta \Delta \rangle \ ,
R _ { \mathrm { ~ L ~ B ~ } } ^ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } = \frac { p _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } [ n R _ { \infty } - \sqrt { n } \Delta _ { \mathrm { ~ a ~ e ~ p ~ } } ^ { \prime } + \theta ^ { \prime } - 1 ] } { N } ,
{ \dot { Q } } = 4 k \pi { \frac { T _ { 1 } - T _ { 2 } } { 1 / { r _ { 1 } } - 1 / { r _ { 2 } } } } = 4 k \pi { \frac { ( T _ { 1 } - T _ { 2 } ) r _ { 1 } r _ { 2 } } { r _ { 2 } - r _ { 1 } } }
\Delta S = \int _ { i } ^ { f } \mathrm { d } S = \int _ { V _ { 0 } } ^ { 2 V _ { 0 } } { \frac { P \, \mathrm { d } V } { T } } = \int _ { V _ { 0 } } ^ { 2 V _ { 0 } } { \frac { n R \, \mathrm { d } V } { V } } = n R \ln 2 .
\begin{array} { r r r l l } { { { \cal B } _ { 0 } } } & { { : } } & { { f _ { 0 } - 1 } } & { { = } } & { { 0 \; , } } \\ { { \tilde { \cal B } _ { 1 } } } & { { : } } & { { G ( f _ { 0 } , f _ { 1 } ) } } & { { = } } & { { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \| \widetilde { \varphi } _ { n ( k ) , k } - \varphi \| _ { W ^ { 1 , p } ( \Omega \setminus \{ x _ { 0 } \} ) } } & { = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \| \widetilde { \varphi } _ { n ( k ) , k } - \varphi \| _ { W ^ { 1 , p } ( \Omega ) } } \\ & { \le \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \| \widetilde { \varphi } _ { n ( k ) , k } - \varphi _ { k } \| _ { W ^ { 1 , p } ( \Omega ) } + \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \| \varphi _ { k } - \varphi \| _ { W ^ { 1 , p } ( \Omega ) } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \partial _ { i } \theta } & { = \frac { m } { \hbar } \partial _ { t } v _ { i } - \partial _ { t } \left( \frac { e } { \hbar } A _ { i } + a _ { i } \right) + \epsilon _ { i j } \partial _ { j } \left( \frac { 1 } { 2 n } \partial _ { k } \left( n v _ { k } \right) \right) , } \\ { v _ { j } \partial _ { i } v _ { j } } & { = v _ { j } \partial _ { j } v _ { i } + \frac { \hbar } { m } \epsilon _ { i j } \epsilon _ { k l } v _ { j } \partial _ { k } \left( \frac { e } { \hbar } A _ { l } + a _ { l } + \frac { 1 } { 2 n } \epsilon _ { l p } \partial _ { p } n \right) } \end{array}
F _ { \mathcal { R } , \mathbf { r } } : = \left\{ \hat { L } ( \lambda ) = \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \infty } - 1 } \hat { L } ^ { [ \infty , k ] } \lambda ^ { k - 1 } + \sum _ { s = 1 } ^ { n } \sum _ { k = 0 } ^ { r _ { s } - 1 } \frac { \hat { L } ^ { [ X _ { s } , k ] } } { ( \lambda - X _ { s } ) ^ { k + 1 } } \, \, \mathrm { ~ w i t h ~ } \, \, \{ \hat { L } ^ { [ p , k ] } \} \in \left( \mathfrak { g l } _ { 2 } \right) ^ { r - 1 } \right\} / \mathrm { G L } _ { 2 } ( \mathbb { C } )
\tilde { f } ( \omega ; \Delta t , N , \phi _ { s l i p } ) = \frac { \sin \left( \frac { N ( \Delta t \omega - \phi _ { s l i p } ) } { 2 } \right) } { \sin \left( \frac { \Delta t \omega - \phi _ { s l i p } } { 2 } \right) } e ^ { - j \frac { N - 1 } { 2 } ( \Delta t \omega - \phi _ { s l i p } ) } ,
\begin{array} { r l } & { d _ { W _ { 1 } } ^ { t _ { 0 } - T ^ { - } } ( v _ { p , t _ { 0 } ; t _ { 0 } - T ^ { - } } , v _ { x , t ; t _ { 0 } - T ^ { - } } ) } \\ { \le } & { d _ { W _ { 1 } } ^ { t _ { 0 } - T ^ { - } } ( v _ { p , t ; t _ { 0 } - T ^ { - } } , v _ { x , t ; t _ { 0 } - T ^ { - } } ) + d _ { W _ { 1 } } ^ { t _ { 0 } - T ^ { - } } ( v _ { p , t _ { 0 } ; t _ { 0 } - T ^ { - } } , v _ { p , t ; t _ { 0 } - T ^ { - } } ) } \\ { \le } & { d _ { t } ( x , p ) + d _ { W _ { 1 } } ^ { t _ { 0 } - T ^ { - } } ( v _ { p , t _ { 0 } ; t _ { 0 } - T ^ { - } } , v _ { p , t ; t _ { 0 } - T ^ { - } } ) \le S + d _ { W _ { 1 } } ^ { t _ { 0 } - T ^ { - } } ( v _ { p , t _ { 0 } ; t _ { 0 } - T ^ { - } } , v _ { p , t ; t _ { 0 } - T ^ { - } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \sigma ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { 2 ^ { - m - 1 } } { N } \sum _ { u = 0 } ^ { m } \binom { m } { u } \mathrm { t r a c e } \left( U C ^ { m } U \right) , } \end{array}
T = \frac { d - 2 - 2 \kappa } { 4 \pi r _ { H } } \frac { r _ { 0 } ^ { \frac { d - 2 } { 2 } } } { h ^ { \frac { d - 2 } { 2 } } } \sp \Omega _ { i } = \frac { l _ { i } } { ( l _ { i } ^ { 2 } + r _ { H } ^ { 2 } ) } \frac { r _ { 0 } ^ { \frac { d - 2 } { 2 } } } { h ^ { \frac { d - 2 } { 2 } } }
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq ( \partial _ { t } - \mathcal { L } ) \log Q } \\ & { = \frac { 2 \psi _ { 1 } F } { u _ { 1 } } - ( 2 - \gamma ) \eta - \sum _ { i } \frac { 2 \psi \dot { F } ^ { i i } u _ { i i } ^ { 2 } } { | \nabla u | ^ { 2 } } + 2 \psi \dot { F } ^ { 1 1 } - \gamma \psi \sum _ { i } \dot { F } ^ { i i } - \gamma \frac { ( 1 - k \alpha ) \psi F } { u } - 2 ( 1 - \gamma ) \frac { \psi \dot { F } ^ { 1 1 } u _ { 1 1 } } { u } . } \end{array}
l n F ( \vert A \vert , \vert B \vert ) = - \frac { d } { d s } \Bigl ( \zeta ( s , \vert A B \vert ) - \zeta ( s , \vert A \vert ) - \zeta ( s , \vert B \vert ) \Bigr ) _ { \scriptscriptstyle s = 0 } = 0
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial } { \partial x _ { i } } } f ( \mathbf { a } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } { \frac { f ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { i - 1 } , a _ { i } + h , a _ { i + 1 } , \ldots , a _ { n } ) - f ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { i } , \dots , a _ { n } ) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } { \frac { f ( \mathbf { a } + h \mathbf { e _ { i } } ) - f ( \mathbf { a } ) } { h } } \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { f _ { 1 } ( x ) } & { { } = } & { \exp ( \cos ( \exp ( - 1 / x ) ) ) - 1 . 7 1 8 2 8 1 9 5 3 0 3 2 } \\ { f _ { 2 } ( x ) } & { { } = } & { ( \cos ( 1 . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 \times \exp ( - 1 / x ) ) ) ^ { 2 } } \\ { f _ { 3 } ( x ) } & { { } = } & { ( \cos ( \exp ( - 1 / x ) ) ) ^ { 2 } } \\ { f _ { 4 } ( x ) } & { { } = } & { ( \cos ( x \times \exp ( - 1 / x ) ) ) ^ { 2 } } \\ { f _ { 5 } ( x ) } & { { } = } & { ( \cos ( x ^ { 3 } ) ) ^ { 2 } } \\ { f _ { 6 } ( x ) } & { { } = } & { 1 } \\ { f _ { 7 } ( x ) } & { { } = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { p } } & { { } = } & { \frac { \kappa } { 2 } \sqrt { \langle r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n } \rangle - \langle r ^ { n } r ^ { n } \rangle ^ { 2 } } } \\ { \sigma _ { k } } & { { } = } & { \frac { m } { 2 } \sqrt { \langle u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \rangle - \langle u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \rangle ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { 0 , 1 } ( \mathcal { N } _ { \alpha } ) } & { = \operatorname* { s u p } \left\{ \nu _ { \uparrow } ( \lambda ) - \nu ^ { \downarrow } ( \alpha \lambda ) | \lambda \neq 0 \right\} } \\ & { = - \nu ^ { \downarrow } ( \alpha ) + \operatorname* { s u p } \left\{ \nu _ { \uparrow } ( \lambda ) - \nu ^ { \downarrow } ( \lambda ) | \lambda \neq 0 \right\} = - \nu ^ { \downarrow } ( \alpha ) } \end{array}
( { \cal C } _ { m } ^ { k } ) _ { A 2 } = ( { \cal C } _ { m } ^ { k } ) _ { A 3 } = ( { \cal C } _ { m } ^ { k } ) _ { A 4 } - 2 ( { \cal C } _ { m } ^ { k } ) _ { A 5 } = - ( { \cal C } _ { m } ^ { k } ) _ { A 1 } \equiv - c _ { m } ^ { k } \; .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n _ { v } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 n _ { v } } d o f _ { i } ( \mathbf { v } ^ { h } ) d o f _ { i } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) = \frac { 1 } { n _ { v } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 n _ { v } } d o f _ { i } ( \Pi ( \mathbf { v } ^ { h } ) ) d o f _ { i } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) , \quad \mathrm { \normalfont ~ f o r } \ \alpha = 1 , 2 , 3 } \\ { \Rightarrow } & { \frac { 1 } { n _ { v } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 n _ { v } } v _ { i } ^ { h } d o f _ { i } ( \boldsymbol { \varphi } _ { I } ) d o f _ { i } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) = \frac { 1 } { n _ { v } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 n _ { v } } v _ { i } ^ { h } d o f _ { i } \left( \sum _ { \beta = 1 } ^ { n _ { k } } s _ { I , \beta } \mathbf { p } _ { \beta } \right) d o f _ { i } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } \\ { \Rightarrow } & { \frac { 1 } { n _ { v } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 n _ { v } } d o f _ { i } ( \boldsymbol { \varphi } _ { I } ) d o f _ { i } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) = \frac { 1 } { n _ { v } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 n _ { v } } d o f _ { i } \left( \sum _ { \beta = 1 } ^ { n _ { k } } s _ { I , \beta } \mathbf { p } _ { \beta } \right) d o f _ { i } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } \\ { \Rightarrow } & { \frac { 1 } { n _ { v } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 n _ { v } } d o f _ { i } ( \boldsymbol { \varphi } _ { I } ) d o f _ { i } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) = \frac { 1 } { n _ { v } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 n _ { v } } \sum _ { \beta = 1 } ^ { n _ { k } } s _ { I , \beta } d o f _ { i } ( \mathbf { p } _ { \beta } ) d o f _ { i } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } \end{array}