harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal H } _ { i n t } = T _ { 2 } \epsilon _ { \alpha \beta \gamma } \epsilon _ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } \gamma ^ { \prime } } u _ { L \alpha } s _ { L \beta } s _ { R \gamma } u _ { L \alpha ^ { \prime } } s _ { L \beta ^ { \prime } } s _ { R \gamma ^ { \prime } } ,
L ^ { \psi } V = { \binom { L _ { 0 } \ L _ { 1 } } { L _ { 1 } \ L _ { 0 } } } ^ { \psi } { \binom { V _ { 0 } } { V _ { 1 } } } = { \binom { \psi _ { 0 0 } L _ { 0 } \ \psi _ { 1 1 } L _ { 1 } } { \psi _ { 1 0 } L _ { 1 } \ \psi _ { 0 1 } L _ { 0 } } } { \binom { V _ { 0 } } { V _ { 1 } } } .
u _ { \rho } ^ { \delta } ( s _ { 0 } ) = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } \; \frac { \gamma \, \rho \, ( z _ { 0 } - z ) } { { R _ { 2 } ^ { \delta } } ^ { 3 } } \, ( I _ { 1 } ^ { \delta } - I _ { 2 } ^ { \delta } ) \, d s
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ \left| \frac { \langle W ^ { ( \varepsilon ) } \rangle _ { \infty } } { 2 v ( \varepsilon , \theta , \gamma ) ^ { 2 } } - M ^ { \prime } ( e ^ { | \gamma | ^ { 2 } L } | f | ^ { 2 } ) \right| \mathbf { 1 } _ { \mathcal A _ { q , R } } \right] } & { = 0 , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ \left| \frac { \langle W ^ { ( \varepsilon ) } , W ^ { ( \varepsilon ) } \rangle _ { \infty } } { v ( \varepsilon , \theta , \gamma ) ^ { 2 } } \right| \mathbf { 1 } _ { \mathcal A _ { q , R } } \right] } & { = 0 . } \end{array}
\left( \frac { r } { \beta } \right) ^ { 3 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \left[ \frac { d I _ { n } \left( \lambda \right) } { d \lambda } \right] _ { \lambda = 1 } = \frac { \pi r ^ { 3 } \left| m _ { e f f } ^ { 2 } \right| ^ { 1 / 2 } } { 2 \beta ^ { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \left\{ \frac { d } { d \lambda } \frac { 1 } { \lambda } \left[ H _ { 1 } \left( \alpha \lambda \right) - N _ { 1 } \left( \alpha \lambda \right) \right] \right\} _ { \lambda = 1 } ,
\frac { d ^ { 2 } f } { d \rho ^ { 2 } } + \left( \frac { 1 } { \rho } - \rho \right) \frac { d f } { d \rho } + \left( \lambda - 1 - \frac { a } { \rho } \right) f \, \left( \rho \right) = 0 .
I _ { \mathrm { z } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { 2 } } } & { { \mathrm { u p ~ q u a r k } } } \\ { - { \frac { 1 } { 2 } } } & { { \mathrm { d o w n ~ q u a r k } } } \end{array} \right. }
\hat { \mathrm { H } } _ { u } \equiv \mathrm { L } \{ \frac { 1 } { 2 \mathrm { L } ^ { 2 } } ( \hat { \pi } _ { u } + \hbar \frac { e \mathrm { L } } { 2 \pi } \theta ) ^ { 2 } + \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi } \hbar u ^ { 2 } \}
{ \frac { d \hat { \sigma } } { d z } } = { \frac { 2 \pi \alpha ^ { 2 } } { \hat { s } } } N _ { c } { \frac { 1 + z ^ { 2 } } { 1 - z ^ { 2 } } } \biggl [ Q _ { f } ^ { 2 } - \lambda K { \frac { \hat { s } ^ { 2 } ( 1 - z ^ { 2 } ) } { 4 \pi \alpha M _ { s } ^ { 4 } } } \biggr ] ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathscr { C } ( u ) } & { = 2 \left( \frac { ( p - 1 ) ( \alpha ( p + 1 ) - n \beta ) } { \alpha ( p - 1 ) - 2 \beta } - p - 1 \right) d ( \vec { c } ) + 4 \| \mathbb { L } _ { \vec { c } } ^ { \frac 1 2 } \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } } \\ & { \geq 4 \| \mathbb { L } _ { \vec { c } } ^ { \frac 1 2 } \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \quad \omega ^ { \lambda } ( x ) = u _ { \lambda } ( x ) - u ( x ) } \\ & { \leq } & { \int _ { ( \Omega \setminus B _ { \lambda } ( 0 ) ) ^ { \lambda } } \Bigg [ K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ) - \left( \frac { \lambda } { | x | } \right) ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ) \Bigg ] } \\ & { } & { \times \left[ \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) ^ { n + 2 s } f \left( y ^ { \lambda } , \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) ^ { 2 s - n } u _ { \lambda } ( y ) \right) - f ( y , u ( y ) ) \right] \mathrm d y } \\ & { } & { + \int _ { ( \Omega \cap B _ { \lambda } ( 0 ) ) \setminus ( \Omega \setminus B _ { \lambda } ( 0 ) ) ^ { \lambda } } \left[ \left( \frac { \lambda } { | x | } \right) ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ) - K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ) \right] f ( y , u ( y ) ) \mathrm d y } \\ & { < } & { \int _ { ( \Omega \setminus B _ { \lambda } ( 0 ) ) ^ { \lambda } } \Bigg ( K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ) - \left( \frac { \lambda } { | x | } \right) ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ) \Bigg ) ( f ( y , u _ { \lambda } ( y ) ) - f ( y , u ( y ) ) ) \mathrm d y } \\ & { \leq } & { \int _ { \Omega _ { \lambda } ^ { + } } K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ) ( f ( y , u _ { \lambda } ( y ) ) - f ( y , u ( y ) ) ) \mathrm d y } \\ & { \leq } & { \int _ { \Omega _ { \lambda } ^ { + } } \frac { C } { | x - y | ^ { n - 2 s } } h _ { \lambda } ( y ) \omega ^ { \lambda } ( y ) \mathrm d y . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \langle \frac { \xi } { \varepsilon } \rangle ^ { - \frac { 1 } { 2 } } g _ { \alpha } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } \lesssim \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| 1 _ { B _ { 1 } } ( \xi ) | \xi | ^ { - \frac { 1 } { 2 } } g _ { \alpha } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } + \| \langle \xi \rangle ^ { - \frac { 1 } { 2 } } g _ { \alpha } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } \lesssim \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { P } _ { \mathrm { r a d } } } & { { } = } & { - \frac { I } { 2 c } \frac { n _ { 2 } ^ { 2 } - n _ { 1 } ^ { 2 } } { n _ { 2 } } \frac { \cos \theta _ { \mathrm { i } } } { \cos \theta _ { \mathrm { t } } } \left[ ( \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { i } } + \cos ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { t } } ) T _ { \mathrm { p } } \cos ^ { 2 } \alpha \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { e g } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { \frac { 2 i \Gamma _ { r } } { 4 \Omega _ { c } ^ { 2 } + \Gamma ^ { \prime } \Gamma _ { r } } } \\ { \rho _ { e g } ^ { ( 3 1 ) } } & { { } = } & { \frac { 1 6 i \Gamma _ { r } ^ { 2 } [ ( 4 i \Omega _ { c } ^ { 2 } + \Gamma _ { r } ( i \Gamma _ { e } - 2 \Delta ) ] ^ { 2 } } { \Gamma _ { e } ( \Gamma _ { e } ^ { 2 } \Gamma _ { r } ^ { 2 } + 8 \Gamma _ { e } ^ { 2 } \Omega _ { c } ^ { 2 } + 4 \Gamma _ { r } ^ { 2 } \Delta ^ { 2 } + 1 6 \Omega _ { c } ^ { 4 } ) ^ { 2 } } } \\ { \rho _ { e g } ^ { ( 3 2 ) } ( \mathbf { r _ { \bot } } - \mathbf { r _ { \bot } ^ { \prime } } ) } & { { } = } & { \frac { 2 5 6 ( \Gamma ^ { \prime } + \Gamma _ { r } ) \Omega _ { c } ^ { 4 } } { ( 4 i \Omega _ { c } ^ { 2 } - \Gamma ^ { \prime } \Gamma _ { r } ) | 4 \Omega _ { c } ^ { 2 } + \Gamma ^ { \prime } \Gamma _ { r } | ^ { 2 } } } \end{array}
f ( r , s , n , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \prod _ { i = 0 } ^ { 2 r - n } ( s t + n - r + i ) \, , } } & { { n \leq 2 r \, , } } \\ { { 1 \, , } } & { { n \geq 2 r + 1 \, . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left\{ X + \frac { \operatorname { t a n h } } { \sqrt { \mu } } \dot { X } - x ^ { T } \right\} } & { = \frac { \operatorname { t a n h } } { \sqrt { \mu } } \ddot { X } + \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \operatorname { s e c h } ^ { 2 } \right) \dot { X } } \\ & { = \left( - \frac { 1 } { 2 } \operatorname { t a n h } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \operatorname { s e c h } ^ { 2 } \right) \dot { X } - \frac { \operatorname { t a n h } } { \sqrt { \mu } } \nabla f ( X ) } \\ & { = - \dot { X } - \frac { \operatorname { t a n h } } { \sqrt { \mu } } \nabla f ( X ) } \end{array}
\mathbf { u } _ { j } = { \frac { 1 } { D _ { j - 1 } } } { \left| \begin{array} { l l l l } { \langle \mathbf { v } _ { 1 } , \mathbf { v } _ { 1 } \rangle } & { \langle \mathbf { v } _ { 2 } , \mathbf { v } _ { 1 } \rangle } & { \dots } & { \langle \mathbf { v } _ { j } , \mathbf { v } _ { 1 } \rangle } \\ { \langle \mathbf { v } _ { 1 } , \mathbf { v } _ { 2 } \rangle } & { \langle \mathbf { v } _ { 2 } , \mathbf { v } _ { 2 } \rangle } & { \dots } & { \langle \mathbf { v } _ { j } , \mathbf { v } _ { 2 } \rangle } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \langle \mathbf { v } _ { 1 } , \mathbf { v } _ { j - 1 } \rangle } & { \langle \mathbf { v } _ { 2 } , \mathbf { v } _ { j - 1 } \rangle } & { \dots } & { \langle \mathbf { v } _ { j } , \mathbf { v } _ { j - 1 } \rangle } \\ { \mathbf { v } _ { 1 } } & { \mathbf { v } _ { 2 } } & { \dots } & { \mathbf { v } _ { j } } \end{array} \right| }
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } + \frac { 2 \Delta _ { T + 1 } } { \eta } } & { \leq \frac { 2 \Delta _ { 1 } } { \eta } + 3 \sigma ^ { 2 } \eta L T + \frac { 2 } { w \eta } \log \frac { 1 } { \delta } } \\ & { = \frac { 2 \Delta _ { 1 } } { \eta } + 3 \sigma ^ { 2 } \eta L T + 1 2 \sigma ^ { 2 } \log \frac { 1 } { \delta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E [ ( \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } | F ^ { ( R ) } ( s ) | ^ { 2 } d t ) ^ { 1 / 2 } ] } & { \approx \mathbb E [ ( \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } \mathbf { 1 } _ { \mathcal { G } } | F ^ { ( R ) } ( s ) | ^ { 2 } d t ) ^ { 1 / 2 } ] + \mathbb E [ ( \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } \mathbf { 1 } _ { \mathcal { G } ~ \mathrm { f a i l } } | F ^ { ( R ) } ( s ) | ^ { 2 } d t ) ^ { 1 / 2 } ] } \\ & { \ll \mathbb E [ ( \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } \mathbf { 1 } _ { \mathcal { G } } | F ^ { ( R ) } ( s ) | ^ { 2 } d t ) ^ { 1 / 2 } ] + \mathbb P ( \mathbf { 1 } _ { \mathcal { G } ~ \mathrm { f a i l } } ) ^ { 1 / 2 } ( \mathbb E [ | F ^ { ( R ) } ( s ) | ^ { 2 } ] ) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
G _ { E } ( t ) \simeq \frac { 1 } { [ 1 - t / ( 0 . 7 1 \, { \mathrm { G e V } } ^ { 2 } ) ] ^ { 2 } } \; , \; \; \; G _ { M } ( t ) \simeq 2 . 7 9 \; G _ { E } ( t ) \; .
\mathbf { x } ^ { - } = \mathbf { x } _ { 0 } + \sum _ { k = 0 } ^ { N _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } - 1 } \dot { \mathbf { x } } ( t _ { 0 } + k \Delta t _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ) \Delta t _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ,
u _ { z } ( r , z ) = { \frac { 3 R ^ { 3 } } { 4 } } \cdot \left( { \frac { 3 u z ^ { 2 } } { { \sqrt { r ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } ^ { 5 } } } - { \frac { u } { \sqrt { r ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } \right) + u - { \frac { 3 R } { 4 } } \cdot \left( { \frac { u } { \sqrt { r ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } + { \frac { u z ^ { 2 } } { { \sqrt { r ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } ^ { 3 } } } \right)
\begin{array} { r l } { \hat { \gamma } ^ { \mathrm { I I } } = } & { { } ~ - \breve { m } \left( \frac { 2 \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } } { \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } } \bar { \tau } ^ { \mathrm { I I } } + \omega p \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ \operatorname* { i n f } \left\{ \| \nabla h ( { \mathbf x } ) \| ~ \big | ~ g ( { \mathbf x } ) \in [ ( \underline { \kappa } - \kappa ) / 2 , \bar { \epsilon } ^ { 2 } ] \right\} \geq \operatorname* { i n f } \left\{ q ( { \mathbf x } ) ~ \big | ~ g ( { \mathbf x } ) \in [ ( \underline { \kappa } - \kappa ) / 2 , \bar { \epsilon } ^ { 2 } ] \right\} } \\ { = } & { ~ \operatorname* { i n f } \left\{ q ( { \mathbf x } ) ~ \big | ~ | h ( { \mathbf x } ) | \in [ ( \kappa + \underline { \kappa } ) / 2 , \kappa + \bar { \epsilon } ^ { 2 } ] \right\} \geq \operatorname* { i n f } \left\{ q ( { \mathbf x } ) ~ \big | ~ | h ( { \mathbf x } ) | \in [ ( \kappa + \underline { \kappa } ) / 2 , ( \kappa + \overline { \kappa } ) / 2 ] \right\} } \\ { = } & { ~ \underline { { q } } > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Theta ^ { 0 0 } \! } & { { } = } & { \! \frac { 1 } { 2 } \left( { \bf E } ^ { \, 2 } + { \bf B } ^ { 2 } \right) + \frac { \alpha _ { D } } { 4 8 \pi ^ { 2 } } \frac { \left( \sqrt { 2 } \, { \cal G } ^ { 2 } + 4 \beta \, \sqrt { - { \cal F } } \, { \cal F } \right) { \bf E } ^ { \, 2 } } { \sqrt { 2 } \, { \cal G } ^ { 2 } + \sqrt { - { \cal F } } \beta ( - 2 { \cal F } + \beta ^ { 2 } ) } } \\ { \Theta ^ { 0 i } \! \! } & { { } = } & { \! \! \left\{ 1 + \frac { \alpha _ { D } } { 4 8 \pi ^ { 2 } } \frac { \sqrt { 2 } \, { \cal G } ^ { 2 } + 4 \beta \, \sqrt { - { \cal F } } \, { \cal F } } { \sqrt { 2 } \, { \cal G } ^ { 2 } + \sqrt { - { \cal F } } \beta ( - 2 { \cal F } + \beta ^ { 2 } ) } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \Big \{ \big \| ( \partial _ { t } } & { + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( s ) \big \| _ { L ^ { 2 } } + \big \| \partial _ { y } ^ { 2 } \psi _ { k } ( s ) \big \| _ { L ^ { 2 } } \Big \} } \\ & { \leq g _ { k } ( t ) + \frac { \lambda _ { k } ( t ) ^ { 3 } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } ( t - s ) ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , s ] } \Big \{ \big \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( \tau ) \big \| _ { L ^ { 2 } } + \big \| \partial _ { y } ^ { 2 } \psi _ { k } ( \tau ) \big \| _ { L ^ { 2 } } \Big \} d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 3 } } & { = ( Z _ { l , m } ( { \boldsymbol { \theta } } + { \boldsymbol { h } } ) - Z _ { l , m } ( { \boldsymbol { \theta } } ) ) \int _ { \left\lvert { \boldsymbol { \theta } } - { \boldsymbol { \eta } } \right\rvert = 2 \left\lvert { \boldsymbol { h } } \right\rvert } G _ { k , l } ^ { j } \left( A ( { \boldsymbol { \theta } } - { \boldsymbol { \eta } } ) \right) n _ { m } ( { \boldsymbol { \eta } } ) d l ( { \boldsymbol { \eta } } ) , } \end{array}
\operatorname* { i n f } _ { \substack { \{ \lambda _ { m } \} \, \{ \mu _ { k , m } \} } } \operatorname* { s u p } _ { ( v , \{ r _ { m } \} , \{ \mathfrak { q } _ { k , m } \} ) \in H } \; \left\{ v - \sum _ { m = 0 } ^ { M } \lambda _ { m } r _ { m } - \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { m } \int _ { [ 0 , 1 ] } \mu _ { k , m } ( \alpha ) \; \mathrm { d } \mathfrak { q } _ { k , m } \right\} \leq \bar { V } .
\rho _ { n } ^ { \mathrm { d } } ( \omega ) = \frac { 2 } { \pi \omega } \, \mathrm { ~ I ~ m ~ } \! \left[ \frac { \varepsilon ^ { \prime } ( \omega _ { n } ) } { \varepsilon ( \omega ) - \varepsilon ^ { \prime } ( \omega _ { n } ) } \right] .
\begin{array} { r l } { f ( x , y ) } & { { } = 0 . 7 5 \exp \left( - \frac { 1 } { 4 } ( 9 x - 2 ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } ( 9 y - 2 ) ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | { \psi } _ { n _ { c } n _ { d } } ( \tau ) \rangle } & { = \frac { 1 } { \sqrt { \cal N } } \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } = 0 } ^ { N } \sqrt { { \binom { N } { k _ { 1 } } } { \binom { N } { k _ { 2 } } } } } \\ & { \times C _ { n _ { c } n _ { d } } ^ { \alpha } [ ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) \tau ] | k _ { 1 } , k _ { 2 } \rangle . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } ( M ^ { 2 } ) _ { \hat { i } \hat { j } } { A _ { \mu } ^ { \prime } } ^ { \hat { i } } { A ^ { \prime } } ^ { \hat { j } \mu } + \sum _ { i } \sum _ { j < i } \left( M _ { i } ^ { j } \right) ^ { 2 } \left( A _ { i \mu } ^ { j } \right) ^ { * } A _ { i } ^ { j \mu }
\begin{array} { r l r } { \int _ { D } \chi ^ { 2 } | \nabla ( d w ) | ^ { 2 } } & { \leq } & { \int _ { D } \frac { 2 \chi ^ { 2 } } { \epsilon } | \nabla ( d w ) | ^ { 2 } } \\ & { } & { + \left( 4 \| K \| _ { L ^ { \infty } ( \dot { \Sigma } ) } + 2 \epsilon \| d \chi \| _ { C ^ { 0 } ( D ) } \right) \int _ { D _ { 2 } } | d w | ^ { 2 } } \\ & { } & { + C _ { 1 } \int _ { D _ { 2 } } | d w | ^ { 4 } + \int _ { \partial D } | C ( \partial D ) | } \end{array}
| s _ { k + 1 } | = \left| { \frac { b } { \operatorname* { g c d } ( a , b ) } } \right| \geq 2 | s _ { k } | \qquad { \mathrm { a n d } } \qquad | t _ { k + 1 } | = \left| { \frac { a } { \operatorname* { g c d } ( a , b ) } } \right| \geq 2 | t _ { k } | .
\begin{array} { r l } { Q ^ { * } ( \eta _ { k } + \widetilde { r } ) - Q ^ { * } ( \eta _ { k } ) = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } - \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ { = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { - 2 \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \langle f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \frac { 1 } { 2 } \vert \vert f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } - 2 \vert \vert f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } + f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } } \end{array}
\mu \frac { { d } } { { d } \mu } \left( \! \! \begin{array} { c } { { { \Delta q ( x , \mu ) } } } \\ { { { \Delta g ( x , \mu ) } } } \end{array} \! \! \right) = \left( \! \! \begin{array} { c c } { { \Delta { \cal P } _ { q q } } } & { { \Delta { \cal P } _ { q g } } } \\ { { \Delta { \cal P } _ { g q } } } & { { \Delta { \cal P } _ { g g } } } \end{array} \! \! \right) \otimes \left( \! \! \begin{array} { c } { { { \Delta q } } } \\ { { { \Delta g } } } \end{array} \! \! \right) ( x , \mu ) \; \; \; .
R _ { i \alpha , i \beta } = R _ { i i } \left( \begin{array} { l l l } { q _ { 1 } P _ { 1 } } & { p _ { i 1 , i 2 } } & { p _ { i 1 , i 3 } } \\ { p _ { i 1 , i 2 } } & { q _ { 2 } P _ { 2 } } & { p _ { i 2 , i 3 } } \\ { p _ { i 1 , i 3 } } & { p _ { i 2 , i 3 } } & { q _ { 3 } P _ { 3 } } \end{array} \right)
\displaystyle \boldsymbol { \beta } = \bigl [ \begin{array} { l l } { 0 . 8 5 } & { 0 . 0 0 } \\ { 0 . 0 0 } & { 0 . 8 8 } \end{array} \bigr ] , \boldsymbol { \epsilon } _ { t } \sim \bigl [ \begin{array} { l l } { 1 . 0 0 } & { 0 . 1 0 } \\ { 0 . 1 0 } & { 1 . 5 0 } \end{array} \bigr ]
\widetilde { \mathbf { T } } _ { \lfloor 0 , 3 \rfloor } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { \alpha _ { 0 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \boldsymbol { \alpha } ( \lfloor 0 , 1 \rfloor ) } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \boldsymbol { \alpha } ( \lfloor 0 , 2 \rfloor ) } & { - 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \boldsymbol { \alpha } ( \lfloor 0 , 3 \rfloor ) } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 0 } \end{array} \right] , \quad \widetilde { \mathbf { T } } _ { \lceil 2 , 1 \rceil } = \left[ \begin{array} { l l l } { \alpha _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { \boldsymbol { \alpha } ( \lceil 2 , 1 \rceil ) } & { - 1 } & { 0 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 4 } ^ { c } } & { \approx \frac { ( \rho a ^ { 2 } \nu _ { p } + \mathcal { O } ( M ^ { 0 } ) ) + \sqrt { \rho ^ { 2 } a ^ { 4 } \nu _ { p } ^ { 2 } + \mathcal { O } ( M ^ { - 2 } ) } } { 2 } } \\ { \lambda _ { 4 } ^ { c } } & { \approx \frac { \rho a ^ { 2 } \nu _ { p } } { 2 } } \\ { \lambda _ { 4 } ^ { c } } & { \sim \mathcal { O } ( M ^ { - 2 } ) } \end{array}
\mathrm { ~ D ~ o ~ s ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ r ~ f ~ a ~ c ~ e ~ } } = \mathrm { ~ D ~ o ~ s ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ 5 ~ m ~ m ~ } } \times \left( \frac { 5 \, \mathrm { ~ m ~ m ~ } } { 1 5 \, \mathrm { ~ m ~ m ~ } } \right) ^ { 2 } \approx 7 0 0 \, \mathrm { ~ c ~ G ~ y ~ } \times \left( \frac { 1 } { 9 } \right) = 7 7 . 8 \, \mathrm { ~ c ~ G ~ y ~ }
\begin{array} { r l r } { \gamma k ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { k - 1 } ( 2 \omega _ { 0 } ) } & { { } = } & { ( \gamma - \omega _ { 0 } + \omega _ { 0 } ) k ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { k - 1 } ( 2 \omega _ { 0 } ) } \end{array}
F _ { i , j } = \frac { \left< n _ { c h } ( n _ { c h } - 1 ) \ldots ( n _ { c h } - i + 1 ) ~ n _ { \gamma } ( n _ { \gamma } - 1 ) \ldots ( n _ { \gamma } - j + 1 ) \right> } { \left< n _ { c h } \right> ^ { i } \left< n _ { \gamma } \right> ^ { j } } \ .
\begin{array} { r l r } { \tilde { b } } & { { } = } & { U _ { \delta } b , } \\ { U _ { \delta } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c c } { \exp \left[ - \frac { i } { 2 } \nu \varepsilon \right] } & { } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) - \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \nu } _ { t } ] \bigg \| ^ { 2 } } & { \leq \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { x } f ( \bar { x } _ { t } , y _ { \bar { x } _ { t } } ) - \nabla _ { x y } g ( \bar { x } _ { t } , y _ { \bar { x } _ { t } } ) \times [ \nabla _ { y ^ { 2 } } g ( \bar { x } _ { t } , y _ { \bar { x } _ { t } } ) ] ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ( \bar { x } _ { t } , y _ { \bar { x } _ { t } } ) } \\ & { \qquad - \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \bigg ( \nabla _ { x } f ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { x y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) u _ { t } ^ { ( m ) } \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { x } f ( \bar { x } _ { t } , y _ { \bar { x } _ { t } } ) - \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \nabla _ { x } f ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 2 \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { x y } g ( \bar { x } _ { t } , y _ { \bar { x } _ { t } } ) \times [ \nabla _ { y ^ { 2 } } g ( \bar { x } _ { t } , y _ { \bar { x } _ { t } } ) ] ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ( \bar { x } _ { t } , y _ { \bar { x } _ { t } } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad - \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \nabla _ { x y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) u _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { g } _ { \mathrm { I } , \mathrm { u } } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( r \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \int _ { 0 } ^ { \pi } { G _ { \mathrm { u } } \left( \theta \right) f _ { \Theta | \sqrt { r ^ { 2 } - H _ { \mathrm { u } } ^ { 2 } } } \left( \theta \right) \, \mathrm { d } \theta } , } & { \varsigma = \mathrm { S A } , } \\ { G _ { \mathrm { u } } \left( \operatorname { a r c c o s } \left( H _ { \mathrm { u } } / r \right) \right) , } & { \varsigma = \mathrm { V A } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { g _ { x } ( x , y , s ) = \tau ^ { 0 } } \\ & { } & { g _ { y } ( x , y , s ) = \epsilon ^ { x } \tau ^ { 0 } } \\ & { } & { g _ { \sigma } ( x , y , s ) = \epsilon ^ { x + y ( y + 1 ) / 2 } g _ { \sigma } ( s ) } \\ & { } & { g _ { R } ( x , y , s ) = \epsilon ^ { x y + x ( x - 1 ) / 2 } g _ { R } ( s ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } = - \phi _ { 2 } = \phi _ { 3 } } & { { } > 0 , } \\ { - \phi _ { 4 } = \phi _ { 5 } = - \phi _ { 6 } } & { { } > 0 , } \\ { \phi _ { 7 } = \phi _ { 8 } = \phi _ { 9 } } & { { } < 0 . } \end{array}
R _ { b } ^ { * } = 0 , ~ ~ ~ ~ ~ ( R _ { 3 } ^ { * } , R _ { t } ^ { * } , R _ { \lambda } ^ { * } , R _ { k } ^ { * } ) = ( 0 , { \frac { 2 0 } { 2 7 } } , - { \frac { 1 9 } { 9 } } , { \frac { 2 9 } { 1 8 } } ) ,
- 3 H ^ { 2 } - 2 \dot { H } = p + \Bigg [ f ( G ) - G f ^ { \prime } ( G ) + 1 6 ( \dot { H } + H ^ { 2 } ) \dot { f ^ { \prime } ( G ) } \, + 8 H ^ { 2 } \ddot { f ^ { \prime } ( G ) } \Bigg ] + g ( T ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { { \mathbb { P } } \big \{ \mathcal { L } _ { 1 } - \mathbb { E } ( \mathcal { L } _ { 1 } ) \geq \frac { t } { 4 } n \big \} } & { = 5 \exp \left\{ - \frac { t ^ { 2 } n ^ { 2 } } { 2 5 6 ( \log ( 1 / t ) ) ^ { 2 } ( \frac { t n } { 4 \log ( 1 / t ) } + 2 n ) } \right\} } \\ & { \le 5 \exp \{ - c _ { t } n \} } \end{array}