harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \pi _ { n n } ^ { D } = - \dot { z } _ { n } ^ { n } ( t ) + \delta _ { n } z _ { n } ^ { n } ( t ) - p \; , \quad \quad \pi _ { n j } ^ { D } = - \dot { z } _ { j } ^ { n } ( t ) + \delta _ { j } z _ { j } ^ { n } ( t ) \; , \quad \quad \pi _ { j j } ^ { V } = - h \; , \quad \quad \pi _ { 1 2 } ^ { V } = \pi _ { 2 1 } ^ { V } = 0 \; , \quad \quad } \end{array}
\langle k _ { \mathrm { ~ u ~ } } , k _ { \mathrm { ~ d ~ } } \vert U \vert n \rangle = \sqrt { \binom { n } { k _ { \mathrm { ~ u ~ } } } } \cos ^ { k _ { \mathrm { ~ u ~ } } } { \theta } \sin ^ { k _ { \mathrm { ~ d ~ } } } { \theta } \delta ( k _ { \mathrm { ~ u ~ } } + k _ { \mathrm { ~ d ~ } } - n ) .
\begin{array} { r l } { \hat { X } _ { c } } & { { } \sim \mathrm { N o r m a l } ( \mu = X _ { c } , \sigma = \epsilon _ { c } ) \quad \forall c } \\ { \tau } & { { } \sim \mathrm { H a l f C a u c h y } ( \beta = 1 0 0 0 0 ) } \\ { Y _ { c } ^ { \dagger } } & { { } \sim \mathrm { N o r m a l } ( \mu = \hat { Y } _ { c } , \sigma = \tau ) \quad \forall c . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \Delta \nu _ { 1 , i a } = K _ { \nu _ { 1 } } \mu _ { i a } + F _ { \nu _ { 1 } } \delta R _ { i a } ^ { 2 } \ , } \\ { \Delta \nu _ { 2 , i a } = K _ { \nu _ { 2 } } \mu _ { i a } + F _ { \nu _ { 2 } } \delta R _ { i a } ^ { 2 } \ , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } V ( y ^ { \prime } - y ) f ( y ) d y } & { = \sum _ { \ell \ge 1 } \lambda _ { \ell } ( f | G _ { \ell } ) G _ { \ell } ( y ^ { \prime } ) } \\ & { = \sum _ { \ell \le N } \lambda _ { \ell } \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( y ) \overline { { G _ { \ell } } } ( y ) d y G _ { \ell } ( y ^ { \prime } ) + \sum _ { \ell \ge N + 1 } \lambda _ { \ell } ( G _ { \ell } | f ) G _ { \ell } ( y ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta { \mathbf { u } } \equiv } & { { } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 3 - r } \mathbf { R } ^ { ( \alpha ) } \delta v _ { \alpha } + \sum _ { \beta = 1 } ^ { r } \mathbf { \tilde { R } } ^ { ( \beta ) } \delta v _ { \beta + 3 - r } \equiv \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 3 } \mathbfcal { R } ^ { ( \alpha ) } \delta v _ { \alpha } \, , } \\ { \delta { \mathbf { x } } \equiv } & { { } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 3 - r } \mathbf { P } ^ { ( \alpha ) } \delta y _ { \alpha } + \sum _ { \beta = 1 } ^ { r } \mathbf { \tilde { P } } ^ { ( \beta ) } \delta y _ { \beta + 3 - r } \equiv \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 3 } \mathbfcal { P } ^ { ( \alpha ) } \delta y _ { \alpha } \, , } \end{array}
\varepsilon _ { u } = \eta _ { 1 } \gamma ^ { 1 3 } \varepsilon _ { l } , \ \ \ \ \, v a r e p s i l o n _ { u } = \eta _ { 2 } \gamma ^ { 2 4 } \varepsilon _ { l } , \ \ \ \ \, v a r e p s i l o n _ { u } = \eta _ { 5 } \gamma ^ { 5 6 } \varepsilon _ { l } , \ \ \ \ \, v a r e p s i l o n _ { u } = i \eta _ { e } \eta _ { q } \varepsilon _ { l } ,
\begin{array} { r l } { \dot { a } } & { { } = - i g \sigma _ { \mathrm { + } } - \frac { C } { 2 } a + \mathcal { F } _ { a } , } \\ { \dot { \sigma } _ { \mathrm { + } } } & { { } = - i g \sigma _ { \mathrm { z } } a - \frac { \gamma } { 2 } \sigma _ { \mathrm { + } } + \mathcal { F } _ { \mathrm { + } } , } \\ { \dot { \sigma } _ { \mathrm { z } } } & { { } = - 2 i g ( a ^ { \dagger } \sigma _ { \mathrm { + } } - \sigma _ { \mathrm { - } } a ) - \gamma ( \sigma _ { z } + 1 ) + \mathcal { F } _ { \mathrm { z } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { Q } & { = \left[ \begin{array} { l l } { P _ { 1 } } & { P _ { 2 } } \\ { - P _ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right] , \mathrm { ~ w i t h } } & { P _ { 1 } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] , \mathrm { ~ a n d } } & { P _ { 2 } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
{ \frac { 3 } { 2 } } m ^ { 2 } \gamma ^ { \mu } \psi _ { \mu } + ( \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } m ) \gamma ^ { \nu } \psi _ { \nu } - ( \partial _ { \mu } m ) \psi ^ { \mu } = - { \frac { 1 } { 2 } } G _ { \mu \nu } \gamma ^ { \mu } \psi ^ { \nu } \, .
J _ { \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \pi \mathbf { v } ) ) = \boldsymbol { \pi } J _ { \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) \boldsymbol { \pi } ^ { - 1 }
\begin{array} { r } { \left( f + g \right) \left( \overline { { x } } \right) - \left( f + g \right) \left( x _ { t + 1 } \right) \geq \left( \frac { 1 } { 2 \alpha } - \frac { L _ { g } } { 2 } \right) \| x _ { t } - x _ { t + 1 } \| ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { 2 \alpha } - \frac { \rho } { 2 } \right) \left\Vert \overline { { x } } - x _ { t + 1 } \right\Vert ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \alpha } \| x _ { t } - \overline { { x } } \| ^ { 2 } , } \end{array}
L + \Delta L = v _ { 0 } T - v _ { 0 } \Bigl ( 1 - \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } \Bigr ) \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + T } \bigl ( h _ { \theta \phi \psi } ( t ) - h _ { \theta \phi \psi } ( t _ { 0 } ) \bigr ) d t .
\begin{array} { r l } { \mathrm { m i n i m i z e } : \quad } & { \mathrm { T r } ( P ) + \mathrm { T r } ( Q ) } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } : \quad } & { P \geq \mathcal { G } \left( \begin{array} { l l l } { S } & { . } & { . } \\ { . } & { T } & { . } \\ { . } & { . } & { U } \end{array} \right) , ~ Q \geq - \mathcal { G } \left( \begin{array} { l l l } { S } & { . } & { . } \\ { . } & { T } & { . } \\ { . } & { . } & { U } \end{array} \right) , } \\ { \Phi _ { 1 } \left( \begin{array} { l l l } { S } & { . } & { . } \\ { . } & { T } & { . } \\ { . } & { . } & { U } \end{array} \right) } & { = \mathrm { T r } ( U ) = 1 , P , Q , S , T , U \geq 0 . } \end{array}
f _ { \mathrm { R } } ^ { \infty } = \frac { L _ { \mathrm { c } } \left[ \left( 1 - r _ { \mathrm { r e c } } \right) ^ { \tau _ { b } } + 1 - 2 \left( 1 - r _ { \mathrm { r e c } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } ( N _ { \mathrm { c } } + 1 ) \tau _ { \mathrm { b } } } \right] } { \left[ 1 - \left( 1 - r _ { \mathrm { r e c } } \right) ^ { \tau _ { \mathrm { b } } } \right] N \phi }
\begin{array} { r l } { f ( r ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \varepsilon _ { \mathrm { i n } } \varepsilon _ { 0 } \kappa _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } } { \eta } ( 1 + \lambda ) \frac { d \psi ^ { \mathrm { e q } } } { d r } } & { \textrm { f o r } r < R } \\ { \displaystyle \frac { \varepsilon _ { \mathrm { o u t } } \varepsilon _ { 0 } \kappa _ { \mathrm { o u t } } ^ { 2 } } { \eta } \left( 1 + \lambda \frac { R ^ { 3 } } { r ^ { 3 } } \right) \frac { d \psi ^ { \mathrm { e q } } } { d r } } & { \textrm { f o r } r > R } \end{array} \right. . } \end{array}
\mathrm { T r } \; ( D _ { 0 } X ^ { 9 } ) ^ { 2 } \rightarrow \left( \frac { 1 } { 2 \pi \hat { R } _ { 9 } } \right) \int d \hat { x } \; \mathrm { T r } \; F _ { 0 9 } ^ { 2 } \ .
\begin{array} { r l r } { P \left( x , t \right) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } \left( t \right) } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } \left( t \right) } } } \\ { \sigma ^ { 2 } \left( t \right) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 } + t \, . } \end{array}
\phi _ { g } = \int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } B \left( \nu , T \right) d \nu
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { { } = l _ { 1 } \sin \alpha _ { 1 } , } \\ { \dot { x _ { 1 } } } & { { } = l _ { 1 } \dot { \alpha } _ { 1 } \cos \alpha _ { 1 } , } \\ { y _ { 1 } } & { { } = - l _ { 1 } \cos \alpha _ { 1 } , } \\ { \dot { y } _ { 1 } } & { { } = l _ { 1 } \dot { \alpha } _ { 1 } \sin \alpha _ { 1 } , } \\ { x _ { 2 } } & { { } = l _ { 1 } \sin \alpha _ { 1 } + l _ { 2 } \sin \alpha _ { 2 } , } \\ { \dot { x _ { 2 } } } & { { } = l _ { 1 } \dot { \alpha } _ { 1 } \cos \alpha _ { 1 } + l _ { 2 } \dot { \alpha } _ { 2 } \cos \alpha _ { 2 } , } \\ { y _ { 2 } } & { { } = - l _ { 1 } \cos \alpha _ { 1 } - l _ { 2 } \cos \alpha _ { 2 } , } \\ { \dot { y } _ { 2 } } & { { } = l _ { 1 } \dot { \alpha } _ { 1 } \sin \alpha _ { 1 } + l _ { 2 } \dot { \alpha } _ { 2 } \sin \alpha _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R \left( \partial _ { i } , \partial _ { j } \right) \partial _ { k } } & { = \nabla _ { \partial _ { i } } \nabla _ { \partial _ { j } } \partial _ { k } - \nabla _ { \partial _ { j } } \nabla _ { \partial _ { i } } \partial _ { k } - \nabla _ { \left[ \partial _ { i } , \partial _ { j } \right] } \partial _ { k } \mathrm { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } } \\ & { = \nabla _ { \partial _ { i } } \left( \sum _ { l } \Gamma _ { j k } ^ { l } \partial _ { l } \right) - \nabla _ { \partial _ { j } } \left( \sum _ { l } \Gamma _ { i k } ^ { l } \partial _ { l } \right) } \end{array}
p _ { j - 1 } = \sum _ { J _ { j - 1 } } \left\vert \theta _ { s } \right\vert ^ { i _ { 1 } } \left\vert \nabla \theta _ { s } \right\vert ^ { i _ { 2 } } . . . \left\vert \nabla ^ { j - 1 } \theta _ { s } \right\vert ^ { i _ { j } } \left\vert d \xi \right\vert ^ { k _ { 1 } } \left\vert \nabla d \xi \right\vert ^ { k _ { 2 } } . . . \left\vert \nabla ^ { j - 1 } d \xi \right\vert ^ { k _ { j } } ,
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { { } = } & { 2 i \Omega ( t ) ( y - y ^ { * } ) - \gamma _ { l } ( x - 1 ) } \\ { \dot { y } } & { { } = } & { - \left( i \Delta + \gamma _ { t } \right) y + i \Omega ( t ) x . } \end{array}
P _ { i j } ^ { l ^ { \prime } l } = \theta ( m _ { l ^ { \prime } } - m _ { l } - m _ { i } - m _ { j } ) \cdot 2 \int _ { x _ { \mathrm { \scriptsize ~ m i n } } } ^ { x _ { \mathrm { \scriptsize ~ m a x } } } ( x ^ { 2 } - 4 \delta _ { l l ^ { \prime } } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } { \cal M } d x
F ( T ) = - \xi ^ { 2 } \frac { T } { R } \left( 0 . 1 0 2 4 2 - \xi ^ { 2 } \frac { 3 } { 6 4 } \ln \tau + \frac { 1 5 } { 6 5 5 3 6 \tau ^ { 2 } } \right) + { \cal O } ( T ^ { - 3 } ) .
3 \times 2 { \frac { 3 } { 4 } } = 3 \times \left( { \frac { 8 } { 4 } } + { \frac { 3 } { 4 } } \right) = 3 \times { \frac { 1 1 } { 4 } } = { \frac { 3 3 } { 4 } } = 8 { \frac { 1 } { 4 } }
\begin{array} { r l } { \big ( R H S \big ) _ { E _ { D } ^ { \infty } } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } E _ { D } ^ { \infty } \mathbf { \nabla } \cdot \textbf { \emph { v } } - \Big ( 2 a - \frac { 1 } { 2 } \Big ) E _ { T } ^ { \infty } \mathbf { \nabla } \cdot \textbf { \emph { v } } + \frac { 1 } { 4 } \big ( E _ { D } ^ { \infty } - \big < z ^ { \infty \pm 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } \big < z ^ { \infty \mp 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } \big ) \big ( \big < z ^ { \infty + 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \big < z ^ { \infty - 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } \big ) \frac { 1 } { \rho } \textbf { \emph { \^ n } } \cdot \mathbf { \nabla } \rho } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P ( x , v _ { 2 } + u _ { f } ) ( \tilde { p } _ { 2 } - \tilde { p } _ { 1 } ) } \\ { = } & { \widetilde { F } ( x , \partial _ { t } ^ { 2 } u _ { f } , \Delta u _ { f } , v _ { 2 } + u _ { f } , \partial _ { t } ( v _ { 2 } + u _ { f } ) ) - \widetilde { F } ( x , \partial _ { t } ^ { 2 } u _ { f } , \Delta u _ { f } , v _ { 1 } + u _ { f } , \partial _ { t } ( v _ { 1 } + u _ { f } ) ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + ( P ( x , v _ { 1 } + u _ { f } ) - P ( x , v _ { 2 } + u _ { f } ) ) \tilde { p } _ { 1 } } \\ { = } & { ( \alpha ( x , v _ { 2 } + u _ { f } ) - \alpha ( x , v _ { 1 } + u _ { f } ) ) \Delta ( u _ { f } - \tilde { p } _ { 1 } ) + \langle ( \kappa ( v _ { 2 } + u _ { f } ) - \kappa ( v _ { 1 } + u _ { f } ) ) b ( x ) , \nabla ( u _ { f } - \tilde { p } _ { 1 } ) \rangle } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + ( \kappa ( v _ { 2 } + u _ { f } ) - \kappa ( v _ { 1 } + u _ { f } ) ) h ( x ) ( u _ { f } - \tilde { p } _ { 1 } ) + ( ( q _ { 1 } ( x , v _ { 2 } + u _ { f } ) ( v _ { 2 } + u _ { f } ) } \\ & { - q _ { 1 } ( x , v _ { 1 } + u _ { f } ) ( v _ { 1 } + u _ { f } ) ) \partial _ { t } ^ { 2 } u _ { f } + ( q _ { 2 } ( x , v _ { 2 } + u _ { f } ) ( \partial _ { t } ( v _ { 2 } + u _ { f } ) ) ^ { 2 } - q _ { 2 } ( x , v _ { 1 } + u _ { f } ) ( \partial _ { t } ( v _ { 2 } + u _ { f } ) ) ^ { 2 } ) } \\ { = } & { ( \alpha ( x , v _ { 2 } + u _ { f } ) - \alpha ( x , v _ { 1 } + u _ { f } ) ) \Delta ( u _ { f } - \tilde { p } _ { 1 } ) + \langle ( \kappa ( v _ { 2 } + u _ { f } ) - \kappa ( v _ { 1 } + u _ { f } ) ) b ( x ) , \nabla ( u _ { f } - \tilde { p } _ { 1 } ) \rangle } \\ & { + ( \kappa ( v _ { 2 } + u _ { f } ) - \kappa ( v _ { 1 } + u _ { f } ) ) h ( x ) ( u _ { f } - \tilde { p } _ { 1 } ) + ( q _ { 1 } ( x , v _ { 2 } + u _ { f } ) - q _ { 1 } ( x , v _ { 1 } + u _ { f } ) ) ( v _ { 2 } + u _ { f } ) \partial _ { t } ^ { 2 } u _ { f } } \\ & { + q _ { 1 } ( x , v _ { 1 } + u _ { f } ) ( v _ { 2 } - v _ { 1 } ) \partial _ { t } ^ { 2 } u _ { f } + ( q _ { 2 } ( x , v _ { 2 } + u _ { f } ) - q _ { 2 } ( x , v _ { 1 } + u _ { f } ) ) ( \partial _ { t } ( v _ { 2 } + u _ { f } ) ) ^ { 2 } ) + q _ { 2 } ( x , v _ { 1 } + u _ { f } ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \partial _ { t } ( v _ { 2 } + v _ { 1 } + 2 u _ { f } ) \partial _ { t } ( v _ { 2 } - v _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { F } _ { 1 } ( z ) } & { = - 4 8 0 \pi i z + ( 2 8 8 0 0 \pi ^ { 2 } z ^ { 2 } - 1 2 3 8 4 0 \pi i z - 1 2 3 8 4 0 ) q ^ { 2 } , } \\ { \widetilde { F } _ { 2 } ( z ) } & { = \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 8 } q ^ { - 2 } ( E _ { 2 } E _ { 4 } - E _ { 6 } ) ^ { 2 } z ^ { 2 } - 2 q ^ { - 2 } ( E _ { 4 } ^ { 2 } - 1 ) + ( - 2 8 8 0 0 \pi ^ { 2 } z ^ { 2 } + 1 2 3 8 4 0 ) q ^ { 2 } , } \\ { \widetilde { F } _ { 3 } ( z ) } & { = - \frac { 2 \pi i } { 3 } q ^ { - 2 } E _ { 4 } ( E _ { 2 } E _ { 4 } - E _ { 6 } ) z + ( 4 8 0 \pi i z + 1 2 3 8 4 0 \pi i z q ^ { 2 } ) , } \end{array}
g ^ { ( 2 ) } ( y ) = \frac { \hbar c \xi ^ { 2 } } { 4 \pi } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \, y ^ { 2 } \partial _ { y } \left[ y { { \partial } _ { y } } ( I _ { n } ( a y ) K _ { n } ( a y ) ) \right] ^ { 2 } = \frac { 2 \hbar c \xi ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \, \frac { u ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - u ^ { 2 } } } y ^ { 2 } { { \partial } _ { y } } ( a y K _ { 1 } ( 2 a y u ) ) ^ { 2 } ,
\varepsilon \bigg ( \sum _ { \sigma \in { \mathcal E } _ { K } } \tau _ { \sigma } \mathrm { D } _ { K , \sigma } w _ { i } ^ { \varepsilon } - \operatorname { m } ( K ) w _ { i , K } ^ { \varepsilon } \bigg ) = \frac { \operatorname { m } ( K ) } { \Delta t } \bigg ( \frac 3 2 w _ { i , K } ^ { \varepsilon } - 2 u _ { i , K } + \frac 1 2 u _ { i , K } ^ { k - 2 } \bigg ) + \sum _ { \sigma \in { \mathcal E } _ { K } } { \mathcal F } _ { i , K , \sigma } ( w ^ { \varepsilon } ) .
\begin{array} { r } { \mathcal { P } _ { B , C } [ p ^ { \prime } ( a ) ] \stackrel { B } { \rightarrow } \mathcal { P } _ { B , C } [ p ^ { \prime } ( a ) | b ^ { \prime } ] = \sum _ { c \in C } \delta _ { p ^ { \prime } ( a ) , p ( a | b ^ { \prime } , c ) } \, p ( c | b ^ { \prime } ) } \end{array}
U ^ { \mathbf { k } } \exp ( U ^ { \mathbf { k } \dagger } \Delta U ^ { \mathbf { k } } ) \approx U ^ { \mathbf { k } } ( 1 + U ^ { \mathbf { k } \dagger } \Delta U ^ { \mathbf { k } } ) = U ^ { \mathbf { k } } + \Delta U ^ { \mathbf { k } } .
{ \displaystyle U ( { \bf R } ) = \operatorname* { m i n } _ { { \bf D } } \left\{ 2 \mathrm { T r } \left[ { \bf h } { \bf D } \right] + \mathrm { T r } \left[ { \bf D } { \bf G } \left( { \bf D } \right) \right] - 2 T _ { e } { \cal S } ( { \bf f } ) \right\} + V _ { n n } ( { \bf R } ) }
\begin{array} { r l } { I _ { D V C } \left[ B ^ { 2 } \Sigma _ { 1 / 2 } ^ { + } ( 0 0 0 ) \rightarrow X ^ { 2 } \Sigma _ { 1 / 2 } ^ { + } ( 0 1 0 ) \right] } & { { } \propto \frac { | \lambda | ^ { 2 } } { 2 ( \Delta E _ { A B } - \omega ^ { A } ( 0 1 0 ) ) ^ { 2 } } | h _ { \mathrm { ~ A ~ X ~ } } ^ { \mathrm { ~ d ~ i ~ p ~ } } | ^ { 2 } } \end{array}
\mathbf { z } ( t ) = ( \mathbf { q } _ { 1 } ( t ) , \mathbf { q } _ { 2 } ( t ) , \mathbf { p } _ { 1 } ( t ) , \mathbf { p } _ { 2 } ( t ) ) , \quad t \in \{ t _ { 0 } , t _ { 1 } , \ldots , t _ { T } \} .
\begin{array} { r l r } { \left\vert \nabla \theta _ { A \left( t \right) s } \right\vert } & { \leq } & { C e ^ { 2 C t \left\vert \xi \right\vert } \left( \left\vert \theta _ { s } \right\vert ^ { 2 } + t \left\vert d \xi \right\vert \left\vert \theta _ { s } \right\vert + t ^ { 2 } \left\vert d \xi \right\vert ^ { 2 } + \left\vert \nabla \theta _ { s } \right\vert + t \left\vert \nabla d \xi \right\vert \right) } \\ { \left\vert \nabla ^ { 2 } \theta _ { A \left( t \right) s } \right\vert } & { \leq } & { C e ^ { 3 C t \left\vert \xi \right\vert } \left( \left\vert \nabla ^ { 2 } \theta _ { s } \right\vert + \left\vert \nabla \theta _ { s } \right\vert \left\vert \theta _ { s } \right\vert + \left\vert \theta _ { s } \right\vert ^ { 3 } + t \left\vert \nabla \theta _ { s } \right\vert \left\vert d \xi \right\vert + t \left\vert \theta _ { s } \right\vert ^ { 2 } \left\vert d \xi \right\vert + t \left\vert \theta _ { s } \right\vert \left\vert \nabla d \xi \right\vert \right. } \\ & { } & { \left. + t ^ { 2 } \left\vert \theta _ { s } \right\vert \left\vert d \xi \right\vert ^ { 2 } + t ^ { 3 } \left\vert d \xi \right\vert ^ { 3 } + t \left\vert \nabla ^ { 2 } d \xi \right\vert \right) . } \end{array}
F ( 0 , p _ { f } ^ { 2 } , p _ { i } ^ { 2 } ) = \frac { ( p _ { f } ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) F ( 0 , p _ { f } ^ { 2 } , M ^ { 2 } ) - ( p _ { i } ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) F ( 0 , M ^ { 2 } , p _ { i } ^ { 2 } ) } { p _ { f } ^ { 2 } - p _ { i } ^ { 2 } } .
\Delta r | _ { \mathrm { a } _ { i } } \; = \; - 2 g ^ { 2 } a _ { 1 } ^ { b } - 2 \frac { c _ { W } ^ { 2 } } { s _ { W } ^ { 2 } } a _ { 0 } ^ { b } \; = \; - 2 g ^ { 2 } a _ { 1 } ( \mu ) - 2 \frac { c _ { W } ^ { 2 } } { s _ { W } ^ { 2 } } a _ { 0 } ( \mu ) - \frac { g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 1 } { 1 2 } \Delta _ { \epsilon } ,
\begin{array} { r l } { | y | ^ { p } D _ { y } [ \phi ] ( x ) = } & { \, J _ { p } ( \nabla \phi ( x ) \cdot y ) + J _ { p } ( - \nabla \phi ( x ) \cdot y ) } \\ & { + J _ { p } ^ { \prime } ( \nabla \phi ( x ) \cdot y ) \cdot ( \phi _ { 2 3 } ^ { + } ( y ) + O ( | y | ^ { 4 } ) ) + J _ { p } ^ { \prime } ( - \nabla \phi ( x ) \cdot y ) \cdot ( \phi _ { 2 3 } ^ { - } ( y ) + O ( | y | ^ { 4 } ) ) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } J _ { p } ^ { \prime \prime } ( \Theta _ { 1 } ^ { + } ( y ) ) ( \phi _ { 2 3 } ^ { + } ( y ) + O ( | y | ^ { 4 } ) ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } J _ { p } ^ { \prime \prime } ( \Theta _ { 2 } ^ { - } ( y ) ) ( \phi _ { 2 3 } ^ { - } ( y ) + O ( | y | ^ { 4 } ) ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } _ { p q } ^ { 0 1 , r } } & { = \left[ L _ { 1 1 } \right] _ { p r } \left[ L _ { 2 2 } \right] _ { q r } - \left[ L _ { 1 2 } \right] _ { p r } \left[ L _ { 2 1 } \right] _ { q r } , } \\ { \tilde { \kappa } _ { p q } ^ { 0 1 , r } } & { = \left[ L _ { 1 1 } \right] _ { p r } \left[ L _ { 1 2 } \right] _ { q r } - \left[ L _ { 1 2 } \right] _ { p r } \left[ L _ { 1 1 } \right] _ { q r } , } \\ { \left( \tilde { \kappa } _ { p q } ^ { 1 0 , r } \right) ^ { * } } & { = \left[ L _ { 2 2 } \right] _ { p r } \left[ L _ { 2 1 } \right] _ { q r } - \left[ L _ { 2 1 } \right] _ { p r } \left[ L _ { 2 2 } \right] _ { q r } , } \end{array}
\left[ \partial _ { \mu } \partial _ { \mu } - \frac { d } { x _ { 0 } } \partial _ { 0 } - \frac { 1 } { x _ { 0 } ^ { 2 } } \left( m ^ { 2 } - \frac { d ^ { 2 } } { 4 } - \frac { d } { 2 } - \gamma _ { 0 } m \right) \right] \psi ( x ) = 0 .
\frac { F _ { S , g } ^ { l } ( R T ) } { T } \simeq - 8 \frac { ( 2 l + 1 ) ( 2 \pi ) ^ { 2 l + 1 } } { 2 l + 2 } \, \alpha _ { g } ( l ) \, ( R T ) ^ { 2 l + 1 } \, B _ { l + 1 }
\begin{array} { r l } { \Delta { { A _ { \, \mathrm { { t g t } } } } } ( Q _ { \mathrm { { w e a k } } } ) \sim } & { { } \Delta { { A _ { \, \mathrm { { t g t } } } } } ( G 0 ) \times L _ { \mathrm { { t g t } } } \left( \frac { Q _ { \mathrm { { w e a k } } } } { G 0 } \right) \times R _ { \mathrm { { w i d t h } } } \left( \frac { G 0 } { Q _ { \mathrm { { w e a k } } } } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\mathbf { z } = \mathbf { H r } = { \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 3 } \\ { 4 } \\ { 3 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { \mathbf { T } ^ { ( 1 ) } } & { = \mathbf { S } , \qquad \mathbf { T } ^ { ( 2 ) } = \mathbf { S W } - \mathbf { W S } , } \\ { \mathbf { T } ^ { ( 3 ) } } & { = \mathbf { S } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \{ \mathbf { S } ^ { 2 } \} \mathbf { I } , \qquad \mathbf { T } ^ { ( 4 ) } = \mathbf { W } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \{ \mathbf { W } ^ { 2 } \} \mathbf { I } , } \\ { \theta _ { 1 } } & { = \{ \mathbf { S } ^ { 2 } \} , \qquad \theta _ { 2 } = \{ \mathbf { W } ^ { 2 } \} \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { k ^ { 2 } } } \left( 1 + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 3 } } + \cdots + { \frac { 1 } { k } } \right) ^ { 2 } = { \frac { 1 7 \pi ^ { 4 } } { 3 6 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { = \frac { D ( \alpha - K _ { p c } ) } { V ( \alpha - \beta ) } } \\ { B } & { = \frac { D ( K _ { p c } - \beta ) } { V ( \alpha - \beta ) } } \\ { \alpha } & { = \frac { K + K _ { c p } + K _ { p c } + \sqrt { ( K + K _ { c p } + K _ { p c } ) ^ { 2 } - 4 K \times K _ { p c } } } { 2 } } \\ { \beta } & { = \frac { K + K _ { c p } + K _ { p c } - \sqrt { ( K + K _ { c p } + K _ { p c } ) ^ { 2 } - 4 K \times K _ { p c } } } { 2 } } \\ { D } & { = 2 0 . } \end{array}
\frac { 1 } { e } d _ { \tilde { \chi } ^ { 0 } } ^ { f } = - \frac { Q _ { f } } { 8 \pi } \frac { \alpha } { \sin ^ { 2 } \theta _ { W } } \sum _ { k = 1 } ^ { 4 } \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } \eta _ { m k } ^ { f } \times \frac { m _ { \tilde { \chi } _ { k } ^ { 0 } } } { m _ { \tilde { f } _ { m } } ^ { 2 } } F _ { 4 } ( \frac { m _ { \tilde { \chi } _ { k } ^ { 0 } } ^ { 2 } } { m _ { \tilde { f } _ { m } } ^ { 2 } } )
\begin{array} { r l } & { \geq \operatorname* { s u p } _ { \alpha \in ( 1 , + \infty ) } \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { \gamma + 1 } \sqrt { \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } \pi } { 2 \left( 1 + n \alpha \frac { \sigma _ { w } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) } } } \\ & { \geq \frac { 1 } { 8 } \sqrt { \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } \pi } { \left( 1 + 2 n \frac { \sigma _ { w } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) } } . } \end{array}
m _ { 0 } \equiv \left| H _ { 0 } \right| = N \; \frac { V ^ { ( N ) } } { \overline { { { V } } } _ { 0 } ^ { ( N - 1 ) } } = \left( \prod _ { i = 1 } ^ { N } m _ { i } \right) \; \sqrt { \frac { D ^ { ( N ) } } { \Lambda ^ { ( N ) } } } .
\begin{array} { r l } { \psi _ { E \hat { \Omega } } ^ { - } ( \vec { r } ) } & { { } = \sqrt { \frac { 2 k } { \pi } } \sum _ { \ell m } i ^ { \ell } e ^ { - i \sigma _ { \ell } } F _ { \ell } ( k r ) Y _ { \ell m } ^ { * } ( \hat { k } ) Y _ { \ell m } ( \hat { r } ) } \end{array}
n _ { F } ^ { \mathrm { e f f } } ( \theta ) = \frac { \big ( \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { s } } \mathsf { r } _ { F } ^ { i } ( \theta ) \big ) ^ { 2 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { s } } \mathsf { r } _ { F } ^ { i } ( \theta ) ^ { 2 } } ,