harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\vert \partial _ { + } ^ { 2 } \Sigma _ { 1 1 } ^ { S u n , N , I } ( \tilde { k } _ { e } , \lambda ) \vert \le ( N + 1 ) \frac { K _ { 1 } ^ { \prime } \lambda ^ { 2 } } { \gamma ^ { N } T } , \ \vert \partial _ { + } ^ { 2 } \Sigma _ { 1 1 } ^ { S u n , N , I I } ( \tilde { k } _ { e } , \lambda ) \vert \le ( N + 1 ) \frac { K _ { 1 } ^ { \prime } \lambda ^ { 2 } } { \gamma ^ { N } T } .
\tilde { \vartheta } _ { 2 } ^ { 2 } = \tilde { \vartheta } _ { 3 } ^ { 2 } { \frac { \vartheta _ { 4 } ^ { 2 } } { \vartheta _ { 3 } ^ { 2 } } } \left( 1 - 4 { \frac { \vartheta _ { 2 } ^ { 4 } } { \vartheta _ { 3 } ^ { 4 } } } \right) , \; \tilde { \vartheta } _ { 4 } ^ { 2 } = \tilde { \vartheta } _ { 3 } ^ { 2 } { \frac { \vartheta _ { 2 } ^ { 2 } } { \vartheta _ { 3 } ^ { 2 } } } \left( 1 - 4 { \frac { \vartheta _ { 4 } ^ { 4 } } { \vartheta _ { 3 } ^ { 4 } } } \right) .
\begin{array} { r } { { \frac { i } { 4 \pi } } \int _ { | z - \xi _ { i } | = \epsilon } d \overline { { z } } \; \partial \varphi \, \overline { { \partial } } \varphi + { \frac { i } { 4 \pi } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \, \int _ { | z - \xi _ { j } | = \epsilon } { \frac { \partial \varphi } { \partial \xi _ { i } } } \left( \overline { { \partial } } \varphi d \overline { { z } } - \partial \varphi d z \right) = - { \frac { c _ { i } } { 2 \delta _ { i } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { A \subset N ( \epsilon , R , Q ) } \\ & { \implies } & { D _ { b } ( \Tilde { p } , R ) \leq \epsilon ~ \mathrm { a n d } ~ D _ { b } ( \Tilde { p } , Q ) \leq \epsilon ~ \mathrm { f o r ~ a l l } ~ \Tilde { p } \in P } \\ & { \implies } & { \underset { \Tilde { p } \in P } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { p } , R ) \leq \epsilon ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ \underset { \Tilde { p } \in P } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { p } , Q ) \leq \epsilon } \\ & { \implies } & { \operatorname* { m a x } \left\{ \underset { \Tilde { p } \in P } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { p } , R ) , ~ \underset { \Tilde { p } \in P } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { p } , Q ) \right\} \leq \epsilon . } \end{array}
\mathbf { B } \approx { \frac { e ^ { i ( k r - \omega t ) } } { k r } } \sum _ { l , m } ( - i ) ^ { l + 1 } \left[ a _ { E } ( l , m ) \mathbf { \Phi } _ { l , m } + a _ { M } ( l , m ) \mathbf { \hat { r } } \times \mathbf { \Phi } _ { l , m } \right]
\begin{array} { r l } { \log \frac { \operatorname* { s u p } _ { q _ { k + 1 } } | u | } { \operatorname* { s u p } _ { q _ { k } } | u | } } & { \leq \log \frac { \operatorname* { s u p } _ { B ( z _ { k } , 2 \sqrt { n } h ) } | u | } { \operatorname* { s u p } _ { B ( z _ { k } , \frac { h } { 2 } ) } | u | } , } \\ & { \leq \log [ ( 4 \sqrt { n } ) ^ { 2 \mathcal { N } ( z _ { k } , 4 \sqrt { n } h ) + C _ { 1 } } ] , } \\ & { \leq C _ { 2 } \mathcal { N } ( z _ { k } , 4 \sqrt { n } h ) + C _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \hat { S } \ [ \hat { X } ^ { \hat { \mu } } , \gamma _ { i j } ] } } & { { = } } & { { - \frac { T _ { M - 2 } } { 2 } \int d ^ { 3 } \xi \ \sqrt { | \gamma | } \left\{ \gamma ^ { i j } \partial _ { i } \hat { X } ^ { \hat { \mu } } \partial _ { j } \hat { X } ^ { \hat { \nu } } \hat { g } _ { \hat { \mu } \hat { \nu } } - 1 \right\} } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { + \frac { T _ { M - 2 } } { 3 ! } \int d ^ { 3 } \xi \ \epsilon ^ { i j k } \partial _ { i } \hat { X } ^ { \hat { \mu } } \partial _ { j } \hat { X } ^ { \hat { \nu } } \partial _ { k } \hat { X } ^ { \hat { \rho } } \hat { C } _ { \hat { \mu } \hat { \nu } \hat { \rho } } \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { \mathrm { P r } } ( X _ { n + 1 } = j \mid X _ { n } = i , \, R ^ { + } ( n + 1 ) ) } & { { } = \frac { \operatorname { \mathrm { P r } } ( X _ { n + 1 } = j , \, R ^ { + } ( n + 1 ) \mid X _ { n } = i ) } { \operatorname { \mathrm { P r } } ( R ^ { + } ( n + 1 ) \mid X _ { n } = i ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathsf { T O C } ( \operatorname* { m i n } \{ T _ { \varepsilon } , n \} ) ] \leq \; } & { { \cal O } \left( n \log _ { p / q } ( n ) \, \left( \frac { \sigma _ { f } ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 4 } } \, n ^ { 4 \log _ { q / p } \gamma } + \frac { \sigma _ { g } ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \, n ^ { 2 \log _ { q / p } \gamma } \right) \right) . } \end{array}
{ \mathcal { D } } ^ { \mu \nu } = { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { - D _ { x } c } & { - D _ { y } c } & { - D _ { z } c } \\ { D _ { x } c } & { 0 } & { - H _ { z } } & { H _ { y } } \\ { D _ { y } c } & { H _ { z } } & { 0 } & { - H _ { x } } \\ { D _ { z } c } & { - H _ { y } } & { H _ { x } } & { 0 } \end{array} \right) } .
\operatorname* { d e t } \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathbf { e } ( \mathbf { w } ) \otimes \mathbf { e } ( \mathbf { w } ) \frac { e ^ { - \frac { | \mathbf { v } | ^ { 2 } } { 2 } } } { \mathrm { i } \tau \mathbf { k } \cdot \mathbf { v } - z } \, d \mathbf { v } - \mathrm { I d } \right) = \frac { 1 } { ( \mathrm { i } | \mathbf { k } | \tau ) ^ { 5 } } ( Z ( \zeta ) - \mathrm { i } \tau | \mathbf { k } | ) ^ { 2 } \Gamma _ { \tau | \mathbf { k } | } ( \zeta ) \bigg | _ { \zeta = \frac { z } { \mathrm { i } | \mathbf { k } | \tau } } ,
\begin{array} { r l } { \| I _ { 1 } \| _ { \dot { H } _ { h } ^ { - s } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } ^ { 2 } } & { = \int _ { \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } M _ { h } ( \xi ) ^ { - 2 s } | \mathcal { F } _ { h } [ I _ { 1 } ] ( \xi ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { = \int _ { \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } M _ { h } ( \xi ) ^ { 2 s } \left| \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \mathcal { F } [ \theta _ { h } ] ( \xi + \zeta ) \mathcal { F } [ u ] ( \xi + \zeta ) \right| ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { \le \int _ { \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } M _ { h } ( \xi ) ^ { 2 s } \left( \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } | \xi + \zeta | ^ { 2 t } | \mathcal { F } [ u ] ( \xi + \zeta ) | ^ { 2 } \right) \left( \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \frac { \mathcal { F } [ \theta _ { h } ] ( \xi + \zeta ) } { | \xi + \zeta | ^ { 2 t } } \right) \, \mathrm { d } \xi . } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { X v N } = n _ { X } \biggl ( ( 1 - \alpha ) f ( E _ { X v N } | T _ { v i b } ^ { l o } , T _ { r o t } ^ { l o } ) + \alpha f ( E _ { X v N } | T _ { v i b } ^ { h i } , T _ { r o t } ^ { h i } ) \biggr ) , } \end{array}
E _ { \mathrm { s e a } } ( \Lambda ) = { \frac { m _ { W } } { 4 \sqrt { \pi } } } \int _ { \Lambda ^ { - 2 } } ^ { \infty } { \frac { d t } { t ^ { 3 / 2 } } } \mathrm { T r } \left( e ^ { - t { \cal H } ^ { 2 } } - e ^ { - t { { \cal H } ^ { ( 0 ) } } ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \tau , h } ( \theta _ { t } , \theta _ { x } ) : = \mathrm { s p a n } \left\{ \right. } & { \left. \boldsymbol { \Phi } ( \check { \check { \theta } } _ { t } , \check { \theta } _ { x } ) , \boldsymbol { \Phi } ( \check { \hat { \theta } } _ { t } , \check { \theta } _ { x } ) , \boldsymbol { \Phi } ( \hat { \check { \theta } } _ { t } , \check { \theta } _ { x } ) , \right. } \\ & { \left. \boldsymbol { \Phi } ( \hat { \hat { \theta } } _ { t } , \check { \theta } _ { x } ) , \boldsymbol { \Phi } ( \check { \check { \theta } } _ { t } , \hat { \theta } _ { x } ) , \boldsymbol { \Phi } ( \check { \hat { \theta } } _ { t } , \hat { \theta } _ { x } ) , \right. } \\ & { \left. \boldsymbol { \Phi } ( \hat { \check { \theta } } _ { t } , \hat { \theta } _ { x } ) , \boldsymbol { \Phi } ( \hat { \hat { \theta } } _ { t } , \hat { \theta } _ { x } ) \: \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \exp \left\{ - \tilde { a } c _ { 1 } \sin ( \omega t ) \right\} } & { = I _ { 0 } ( \tilde { a } c _ { 1 } ) + 2 \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } I _ { k } ( \tilde { a } c _ { 1 } ) \cos [ k ( \omega t + \pi / 2 ) ] , } \\ { \exp \left\{ - \tilde { a } c _ { 2 } \cos ( 2 \omega t ) \right\} } & { = I _ { 0 } ( \tilde { a } c _ { 2 } ) + 2 \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } I _ { k } ( \tilde { a } c _ { 2 } ) \cos [ 2 k \omega t ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \mathcal { A } } _ { A } ^ { k } = } & { { } - q _ { k } ^ { 2 } \left[ ( \alpha + \gamma q _ { k } ^ { 2 } ) \mathcal { A } _ { A } ^ { k } + ( \kappa - \delta ) \mathcal { A } _ { B } ^ { k } \cos ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) + \mathrm { R e } ( \mathrm { K } ^ { k } e ^ { - i \theta _ { A } ^ { k } } ) - \frac { 4 \epsilon } { L \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } \right] + \xi _ { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } \, , } \\ { \dot { \mathcal { A } } _ { B } ^ { k } = } & { { } - q _ { k } ^ { 2 } \left[ \beta \mathcal { A } _ { B } ^ { k } + ( \kappa + \delta ) \mathcal { A } _ { A } ^ { k } \cos ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) - \frac { 4 \epsilon } { L \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } \right] + \xi _ { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } \, , } \\ { \dot { \theta } _ { A } ^ { k } = } & { { } \, q _ { k } ^ { 2 } \left[ \sin ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) \frac { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } ( \kappa - \delta ) - q _ { k } ^ { 2 } \mathrm { I m } ( \mathrm { K } ^ { k } e ^ { - i \theta _ { A } ^ { k } } ) \frac { 1 } { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } \right] + \xi _ { \theta _ { A } ^ { k } } \, , } \\ { \dot { \theta } _ { B } ^ { k } = } & { { } - q _ { k } ^ { 2 } \sin ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) \frac { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } ( \kappa + \delta ) + \xi _ { \theta _ { B } ^ { k } } \, , } \end{array}
\lambda _ { k } \left( \theta \right) = \frac { { \bf d } _ { \mathrm { W I N } , k } ^ { \mathrm { T } } { \bf F } _ { k } \left( \theta \right) } { { \bf d } _ { \mathrm { W I N } , k } ^ { \mathrm { T } } { \bf K } \left( \theta \right) { \bf d } _ { \mathrm { W I N } , k } } .
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos ( ( q - l - 1 ) ( \varphi _ { x } - \varphi _ { z } ) ) \cos ( ( q ^ { \prime } - l ^ { \prime } - 1 ) ( \varphi _ { x } - \varphi _ { z } ) ) d \varphi _ { z } } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \pi , } & { \mathrm { i f ~ q - l - 1 = q ' - l ' - 1 = 0 ~ } , } \\ { \pi , } & { \mathrm { i f ~ q - l - 1 = q ' - l ' - 1 \neq 0 ~ } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { e l s e } , } \end{array} \right. } \\ & { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sin ( ( q - l - 1 ) ( \varphi _ { x } - \varphi _ { z } ) ) \sin ( ( q ^ { \prime } - l ^ { \prime } - 1 ) ( \varphi _ { x } - \varphi _ { z } ) ) d \varphi _ { z } } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \pi , } & { \mathrm { i f ~ q - l - 1 = q ' - l ' - 1 \neq 0 ~ } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { e l s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ( n ) \geq s ( 6 k + a , k ) } & { = { \frac { F _ { 6 k + a } - F _ { 2 k + 1 } } { F _ { 6 k + a - 2 } } } } \\ & { \geq ( \alpha ^ { 2 } - { \frac { 1 } { F _ { 2 k + 2 a - 4 } } } ) - { \frac { F _ { 2 k + 1 } } { F _ { 6 k + a - 2 } } } } \\ & { \geq \alpha ^ { 2 } - ( 1 / 1 0 0 ) F _ { 6 k + 3 } ^ { - 1 / 2 } - \sqrt { 6 } F _ { 6 k + a } ^ { - 1 / 2 } \quad \mathrm { ( b y ~ L e m m a ~ ~ ( v i ) ) } } \\ & { \geq \alpha ^ { 2 } - ( 1 / 1 0 0 + \sqrt { 6 } ) n ^ { - 1 / 2 } } \\ & { \geq \alpha ^ { 2 } - 3 n ^ { - 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta Q [ Q _ { z z } ( \mathrm { { 1 0 a u } } ) ] } & { { } : = } & { \left( Q _ { z z } ( \mathrm { { S D T Q 1 5 \_ 4 a u } } ) - Q _ { z z } ( \mathrm { { S D T 1 5 \_ 4 a u } } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { c c l } { \langle \psi ^ { \alpha } | \hat { H } ^ { \mathrm { T C } } | \psi ^ { \beta } \rangle } & { = } & { \sum _ { i } \sum _ { j } \langle \psi ^ { \alpha } | \phi _ { i } \rangle \langle \phi _ { i } | \hat { H } ^ { \mathrm { T C } } | \phi _ { j } \rangle \langle \phi _ { j } | \psi ^ { \beta } \rangle } \\ & { = } & { \sum _ { i } \sum _ { j } U _ { \beta i } ^ { \dagger } \langle \phi _ { i } | \hat { H } ^ { \mathrm { T C } } | \phi _ { j } \rangle U _ { j \alpha } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial \rho ( x , t ) } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x } ( \rho ( x , t ) u ( x , t ) ) = 0 \; \; \; \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm { i n } \quad ( a , b ) \times ( 0 , T ) } \\ { \frac { \partial } { \partial t } [ \rho ( x , t ) u ( x , t ) ] + \frac { \partial } { \partial x } [ \rho ( x , t ) u ^ { 2 } ( x , t ) + p ( x , t ) ] = 0 \qquad \; \mathrm { i n } \quad ( a , b ) \times ( 0 , T ) } \\ { \frac { \partial E ( x , t ) } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x } [ ( E ( x , t ) + p ( x , t ) ) u ( x , t ) ] = 0 \qquad \qquad \qquad \mathrm { i n } \quad ( a , b ) \times ( 0 , T ) } \\ { \rho ( x , 0 ) = \rho _ { 0 } , \quad u ( x , 0 ) = u _ { 0 } , \quad p ( x , 0 ) = p _ { 0 } \qquad \qquad \qquad \mathrm { f o r } \quad x \in [ a , b ] } \\ { \rho ( a , t ) = \rho _ { a } , \quad u ( a , t ) = u _ { a } , \; \quad p ( a , t ) = p _ { a } \qquad \qquad \quad \quad \mathrm { f o r } \quad t \in [ 0 , T ) } \\ { \rho ( b , t ) = \rho _ { b } , \quad u ( b , t ) = u _ { b } , \qquad p ( b , t ) = p _ { b } \qquad \qquad \qquad \mathrm { f o r } \quad t \in [ 0 , T ) } \end{array} \right.
S = - \gamma \int d \tau \int d \sigma \sqrt { { \dot { x } \acute { x } } ^ { 2 } - { \dot { x } } ^ { 2 } { \acute { x } } ^ { 2 } } - \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } m _ { i } \int d \tau \sqrt { { \left( \frac { d x ^ { \mu } ( { \tau } _ { i } , { \sigma } _ { i } ( \tau ) ) } { d \tau } \right) } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \prod _ { n } d \bar { b } _ { n } ^ { \prime } d a _ { n } ^ { \prime } } & { = \left( \operatorname* { d e t } [ M ] ^ { - 1 } \prod _ { n } d \bar { b } _ { n } \right) \! \left( \operatorname* { d e t } [ M ] ^ { - 1 } \prod _ { n } d a _ { n } \right) } \\ & { = \left[ \exp \left( - i \sum _ { n } \int d ^ { 2 } x \phi _ { n } ^ { \dagger } \alpha \gamma _ { 5 } \phi _ { n } \right) \prod _ { n } d \bar { b } _ { n } \right] } \\ & { \times \left[ \exp \left( - i \sum _ { n } \int d ^ { 2 } x \phi _ { n } ^ { \dagger } \alpha \gamma _ { 5 } \phi _ { n } \right) \prod _ { n } d a _ { n } \right] } \\ & { = \exp \left( - 2 i \sum _ { n } \int d ^ { 2 } x \phi _ { n } ^ { \dagger } \alpha \gamma _ { 5 } \phi _ { n } \right) \prod _ { n } d \bar { b } _ { n } d a _ { n } } \\ & { \equiv J _ { 5 } ( \alpha ) \prod _ { n } d \bar { b } _ { n } d a _ { n } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { x \notin N S _ { G } } \int _ { y \in N S _ { G } } \mathrm { e } ^ { - 2 ( d ( x , N S _ { G } ) + d ( y , N S _ { G } ) ) } } & { \Big ( K \frac { d ( y , N S _ { G } ) } { N } \Big ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } y \, \mathrm { d } x } \\ & { \leq c _ { 1 } N ^ { - 2 } \int _ { x \notin N S _ { G } } \mathrm { e } ^ { - 2 d ( x , N S _ { G } ) } N ^ { n - 1 } \, \mathrm { d } x \leq c _ { 2 } N ^ { d - 3 } } \end{array}
\sum _ { e \in \mathcal { E } _ { h } } h _ { e } \| J _ { 2 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } \right) \| _ { 0 , e } ^ { 2 } \lesssim C _ { 2 } \Big ( \| \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } \| _ { 0 , \Omega } ^ { 2 } + \| \boldsymbol { f } - \boldsymbol { f } _ { h } \| _ { 0 , \Omega } ^ { 2 } + \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } h _ { \tau } ^ { 2 } \| \nabla \cdot \left( \boldsymbol { f } - \boldsymbol { f } _ { h } \right) \| _ { 0 , \Omega } ^ { 2 } \Big ) ,
\begin{array} { r } { \mathbf { W } _ { 1 } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) , \quad \mathbf { W } _ { 2 } = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { l _ { 1 } } \mathbf { c } ( \delta ^ { 1 } ) \mathbf { c } ( \delta ^ { 0 } ) \sigma _ { \hbar } ( \mathbf { w } ^ { 1 } , \mathbf { w } ^ { 0 } , \delta ^ { 1 } \triangleleft _ { 0 } ^ { n } \delta ^ { 0 } ) } & { = \sum _ { a \in A _ { 0 } } \sum _ { \iota \in \{ 0 , \ldots , \delta _ { a } ^ { 0 } \} } \mathbf { c } ( \delta ^ { 1 } \triangleleft _ { \iota } ^ { a } \delta ^ { 0 } ) \sigma _ { \hbar } ( \mathbf { w } ^ { 1 } , \mathbf { w } ^ { 0 } , \delta ^ { 1 } \triangleleft _ { \iota } ^ { a } \delta ^ { 0 } ) } \\ & { = \sum _ { \delta \in \Delta ( \delta ^ { 0 } , \delta ^ { 1 } ) } \mathbf { c } ( \delta ) \sigma _ { \hbar } ( \mathbf { w } ^ { 1 } , \mathbf { w } ^ { 0 } , \delta ) , } \end{array}
\mathrm { G } _ { 6 } = - \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma \tau \xi } \varepsilon _ { \alpha \beta \gamma \delta \epsilon \zeta } R _ { \mu \nu } ^ { \alpha \beta } R _ { \rho \sigma } ^ { \gamma \delta } R _ { \tau \xi } ^ { \epsilon \zeta } ,
\ddot { \xi } + \frac { 1 } { 2 } g ( T ) e ^ { \frac { 1 } { 2 } \Phi + \frac { 1 } { 2 } \xi - 5 \eta } + 2 \frac { Q ^ { 2 } } { f ( T ) } e ^ { - 2 \xi } = 0
\delta = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { a _ { n - 1 } - a _ { n - 2 } } { a _ { n } - a _ { n - 1 } } } = 4 . 6 6 9 \, 2 0 1 \, 6 0 9 \, \ldots ,
\frac 2 3 \varepsilon _ { m } ^ { q } \leq ( 1 - 1 0 \varepsilon _ { m } ) \varepsilon _ { m } ^ { q } \leq \varepsilon _ { m + 1 } \leq ( 1 + 1 0 \varepsilon _ { m } ) \varepsilon _ { m } ^ { q } \leq \frac 4 3 \varepsilon _ { m } ^ { q }
\ensuremath { \langle 7 S _ { 1 / 2 } | | } D \ensuremath { | | 6 P _ { 3 / 2 } \rangle } / \ensuremath { \langle 7 S _ { 1 / 2 } | | } D \ensuremath { | | 6 P _ { 1 / 2 } \rangle }
w _ { 0 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; m ) = w _ { 0 } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ; m ) = \frac 1 2 \displaystyle { \int } \frac { d ^ { 2 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { e ^ { \imath k \cdot ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } } { \sqrt { k ^ { 2 } + m ^ { 2 } } }
{ \frac { d n _ { s } ( \omega | \epsilon ) } { d \omega } } = { \frac { \cal A } { 4 \pi ^ { 2 } \kappa ^ { 3 } } } \left[ { \frac { \omega ^ { 2 } } { \epsilon ^ { 2 } } } + { \frac { m ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } } { 2 } } \ln { \frac { \epsilon ^ { 2 } m ^ { 2 } } { 4 } } - { \frac { m ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } } { 2 } } \left( 1 + 2 \mathrm { R e } ~ \psi ( i \omega / \kappa ) \right) \right] ~ ~ ~ .
_ 0 \left< \right| T \left( \Psi ( x _ { 2 } ) \bar { \Psi } ( x _ { 1 } ) \right) \left| \right> _ { 0 } = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int { \mathrm d } ^ { 3 } p \frac { - i \hat { p } + m } { 2 E } e ^ { i p ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) }
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \operatorname* { d e t } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \neq \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
F _ { X _ { t _ { 1 } } , \ldots , X _ { t _ { n } } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) = F _ { X _ { t _ { 1 } } } ( x _ { 1 } ) \cdot \ldots \cdot F _ { X _ { t _ { n } } } ( x _ { n } ) \quad { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } x _ { 1 } , \ldots , x _ { n }
P _ { k } ^ { a p x } = f \left( R e _ { t } , \mathbf { u } , \nabla \mathbf { u } , \cdots \right) \cdot \nu _ { t } \left( \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ S ~ W ~ M ~ S ~ E ~ } } & { { } = ( \sum _ { s _ { i } } \theta _ { X , s _ { i } , 0 } t _ { s _ { i } } ^ { 2 } ) ( \sum _ { s _ { i } } \theta _ { X , s _ { i } , 0 } ) } \end{array}
{ \cal R } \left( \lambda , \mu \right) = \left( \begin{array} { c c c c } { { \frac { \lambda q - \mu q ^ { - 1 } } { \lambda - \mu } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { \frac \mu { \lambda - \mu } \left( q - q ^ { - 1 } \right) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \frac \lambda { \lambda - \mu } \left( q - q ^ { - 1 } \right) } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \frac { \lambda q - \mu q ^ { - 1 } } { \lambda - \mu } } } \end{array} \right)
S _ { D } = \sum _ { 0 \le j \le l } \frac { \left( l - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( l - n + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } { \left( j - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( j - n + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } \cdot \frac { e ^ { \gamma j - \gamma l - a | l | + b | j | } } { \left( j - n - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } \, .
{ \cal F } _ { \mathrm { F } = 0 } = ( 1 - \mathrm { N } ^ { 2 } ) \frac { e _ { + } ^ { 2 } } { 2 { \pi } ^ { 2 } { \hbar } ^ { 2 } } \sum _ { n > 0 } \frac { 1 } { n } \sin ( \frac { 2 \pi } { 2 \pi } { L } n ( x - y ) ) = ( 1 - \mathrm { N } ^ { 2 } ) \frac { e _ { + } ^ { 2 } } { 2 \pi { \hbar } ^ { 2 } } ( \frac { 1 } { 2 } \epsilon ( x - y ) - \frac { 1 } { 1 } { L } ( x - y ) ) .
\begin{array} { r l r } { \mathbf { y } ( t _ { j } ) } & { { } = } & { \mathbf { W } _ { o u t } \mathbf { x } ( t _ { j } ) + \mathbf { b } , } \\ { \mathbf { x } ( t _ { j } ) } & { { } = } & { f \left[ \mathbf { W } _ { i n } \mathbf { u } ( t _ { j } ) + \mathbf { W } \mathbf { x } ( t _ { j - 1 } ) \right] , } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \mathbf { f } _ { b } \mathbf { f } _ { b } ^ { \mathsf { ^ { * } T } } \right] = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathbf { f } _ { b } \mathbf { f } _ { b } ^ { \mathsf { ^ { * } T } } D ( \theta ) d \theta
\begin{array} { r l } { \textup { m a p s } ( f ( X ) , Y ) } & { \simeq \textup { m a p s } ( ( L ^ { P \mathrm { - } \oplus } ) ^ { * } f ( X ) , ( L ^ { P \mathrm { - } \oplus } ) ^ { * } Y ) \simeq \textup { m a p s } ( y _ { ! } X , ( L ^ { P \mathrm { - } \oplus } ) ^ { * } Y ) } \\ & { \simeq \textup { m a p s } ( X , y ^ { * } ( L ^ { P \mathrm { - } \oplus } ) ^ { * } Y ) = \textup { m a p s } ( X , \bar { \jmath } ^ { * } Y ) \simeq \textup { m a p s } ( \bar { \jmath } _ { ! } X , Y ) } \end{array}
d s _ { 5 } ^ { 2 } \approx e ^ { - 2 | y | / \ell } \left[ - \rho ^ { 2 } \frac { \Delta } { \Sigma ^ { 2 } } d t ^ { 2 } + \frac { \Sigma ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \left( d \varphi + \frac { 2 G _ { 4 } J r } { \Sigma ^ { 2 } } d t \right) ^ { 2 } \sin ^ { 2 } { \theta } + \frac { \rho ^ { 2 } } { \Delta } d r ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } d \theta ^ { 2 } \right] + d y ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { \textbf { \emph { E } } } ( b , h ) \simeq W ( 0 , \sqrt { 4 \emph { b } } ) / 2 - W ( h \sqrt { 4 \emph { b } } , 0 ) I _ { 0 } ( \sqrt { 4 b } ) } \\ & { } & { + \big ( - l n ( 2 \cdot h ) + \sinh ^ { - 1 } { h } \big ) \cdot \big ( 1 + b \big ) } \\ & { } & { + { \frac { 1 } { 4 h ^ { 2 } } } \cdot \exp ( - 2 h \sqrt { b } ) \big ( 1 + 2 h \sqrt { b } \big ) } \\ & { } & { - { \frac { 1 } { 4 h ^ { 2 } } } - { \frac { b } { 2 } } \cdot \big ( 1 + { \frac { 1 } { 8 h ^ { 2 } } } \big ) + b \cdot h ^ { 2 } \big ( - 1 + \sqrt { 1 / h ^ { 2 } + 1 } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { P ^ { \omega } \big ( S _ { \ell } \leq T \big ) \leq \mathrm { e } ^ { \theta T } E ^ { \omega } [ \mathrm { e } ^ { - \theta S _ { \ell } } ] = \mathrm { e } ^ { \theta T } \prod _ { k = 1 } ^ { \ell } \Big ( 1 - \frac \theta { k b + \theta } \Big ) \leq \mathrm { e } ^ { \theta T - \sum _ { k = 1 } ^ { \ell } \frac \theta { k b + \theta } } , } \end{array}