harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \partial b _ { n - 1 } ^ { * , ( s ) } } & { = \mathcal { U } ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } \mathcal { V } ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } \alpha _ { s } ^ { * } + \mathcal { V } ^ { n - s - 1 } \widetilde { \alpha } _ { s } ^ { * } , \qquad 1 \leq s \leq n - 2 } \\ { \partial b _ { n } ^ { * , ( s ) } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { U } ^ { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } - s } \mathcal { V } ^ { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } } \alpha _ { s + 1 } ^ { * } + \mathcal { U } ^ { n } \widetilde { \alpha } _ { s } ^ { * } , \qquad } & { 1 \leq s \leq n - 2 } \\ { \mathcal { U } ^ { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } } \mathcal { V } ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } - n + s + 1 } \alpha _ { s } ^ { * } + \mathcal { U } ^ { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } - s } \mathcal { V } ^ { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } } \alpha _ { s + 1 } ^ { * } , } & { n - 1 \leq s \leq n } \\ { \mathcal { U } ^ { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } } \mathcal { V } ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } - n + s + 1 } \alpha _ { s } ^ { * } + \mathcal { V } ^ { n } \widetilde { \alpha } _ { s } ^ { * } , } & { n + 1 \leq s \leq 2 n - 2 } \end{array} \right. } \\ { \partial b _ { n + 1 } ^ { * , ( s ) } } & { = \mathcal { U } ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } \mathcal { V } ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } \alpha _ { s + 1 } ^ { * } + \mathcal { U } ^ { s - n } \widetilde { \alpha } _ { s } ^ { * } , \qquad n + 1 \leq s \leq 2 n - 2 } \end{array}
\phi \frac { \partial \Gamma } { \partial t } + \left( \frac { f _ { a } } { s } { { \bf v } } + \frac { D } { s } \frac { \partial p _ { c } } { \partial s } { \bf \nabla } s + \frac { D } { s } \frac { \partial p _ { c } } { \partial \Gamma } { \bf \nabla } \Gamma \right) \cdot { \bf \nabla } \Gamma = g _ { \Gamma } .
\begin{array} { r l r } { U _ { \mu \nu } } & { = } & { \left( { \frac { \gamma _ { 1 } \, r ^ { 2 } } { 2 } } \right) ^ { - \frac { 1 } { 4 } } \left[ c _ { \mu \nu } \, \left( { \frac { \gamma _ { 1 } \, r ^ { 2 } } { 2 } } \right) ^ { - \frac { \mu } { 4 } } \; F _ { 1 } \left( \frac { ( 4 \nu + 3 - \mu ) } { 4 } , \frac { 2 - \mu } { 2 } , - \frac { \gamma _ { 1 } r ^ { 2 } } { 2 } \right) \right. \, + } \\ & { + } & { q _ { \mu \nu } \, \left( { \frac { \gamma \, r ^ { 2 } } { 2 } } \right) ^ { \frac { \mu } { 4 } } \, \left. F _ { 1 } \left( \frac { ( 4 \nu + 3 + \mu ) } { 4 } , \frac { 2 + \mu } { 2 } , - \frac { \gamma _ { 1 } r ^ { 2 } } { 2 } \right) \right] } \end{array}
{ m } ( c , \bar { \xi } ) = { m } _ { 0 } ( \bar { \xi } ) c ( 1 - \bar { c } ) , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad { m } _ { 0 } ( \bar { \xi } ) = \Big ( 1 - h ( \bar { \xi } ) \Big ) { m } _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ S ~ E ~ } } + h ( \bar { \xi } ) { m } _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ M ~ } } .
S _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { N } ( D ( \widetilde { \mathcal { R } } ) ) , } & { i \in \mathrm { P r o b e } } \\ { \mathcal { N } ( D ( \widetilde { \mathcal { R } } ) ) - S _ { i } ^ { ( 0 ) } , } & { i \in \mathrm { S o l v e n t } } \end{array} \right.
+ I ^ { 2 } \big [ - { \frac { 2 \sqrt 2 s g _ { 0 3 4 } I _ { 0 } } { T } } d \phi - { \frac { q s } { 2 \sqrt 2 } } { \frac { 1 - 8 f _ { 0 } \kappa _ { 0 } ^ { - 2 } } { T } } d t + d x ^ { 5 } \big ] ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { 0 } & { { } = } & { B _ { \| } ^ { * } \left\{ { \cal F } _ { \mathrm { g c } } / B _ { \| } ^ { * } , \frac { } { } { \cal H } _ { \mathrm { g c } } \right\} _ { \mathrm { g c } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { \mathrm { a c t i v e } } \! = \! \frac { { P _ { { \mathrm { B S } } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } P _ { \mathrm { A } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } { { \left| { \sum _ { n = 1 } ^ { N } \! { \left| { { f _ { n } } } \right| \left| { { g _ { n } } } \right| } } \right| } ^ { 2 } } } } { { P _ { \mathrm { A } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } \sigma _ { v } ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \! { { { \left| { { f _ { n } } } \right| } ^ { 2 } } } \! + \! { \sigma ^ { 2 } } \left( { P _ { { \mathrm { B S } } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \! { { { \left| { { g _ { n } } } \right| } ^ { 2 } } \! + \! N \sigma _ { v } ^ { 2 } } } \right) } } . } \end{array}
\lambda ^ { \mathrm { e f f } } ( q ^ { 2 } ) \, = \, - \, q ^ { 2 } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \frac { d \, s } { { ( s - q ^ { 2 } ) } ^ { 2 } } \, \lambda _ { s } ^ { \mathrm { e f f } } ( s ) \, \, .
\mathbf { b } _ { t + 1 } ^ { ( l ) } = \mathrm { R e t r } _ { \mathbf { b } _ { t } ^ { ( l ) } } \left( \mu _ { t } \cdot \mathrm { g r a d } _ { \mathcal { M } } f ( \mathbf { b } _ { t } ^ { ( l ) } ) \right) = \mathrm { v e c } \left[ \frac { \mathbf { \bar { b } } _ { t } ^ { ( l ) } ( n ) } { | \mathbf { \bar { b } } _ { t } ^ { ( l ) } ( n ) | } \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { \Gamma ( x + d ( \beta + 1 ) ) } { \Gamma ( x + d ( \beta + 1 ) + 3 + \beta ) } } & { = ( x + d ( \beta + 1 ) ) ^ { - 3 - \beta } ( 1 + O ( ( x + d ( \beta + 1 ) ) ^ { - 1 } ) ) , } \\ { l ( d ) : = \frac { ( 2 + \beta ) \Gamma ( 2 + \beta + d ( \beta + 1 ) ) } { d ^ { 2 + \beta } \Gamma ( d ( \beta + 1 ) ) } } & { = ( 2 + \beta ) ( \beta + 1 ) ^ { 2 + \beta } ( 1 + O ( d ^ { - 1 } ) ) . } \end{array}
\Omega = ( { \cal V } _ { 1 , 1 } ^ { ( 1 ) } { \cal V } _ { 2 , 2 } ^ { ( 2 ) } - { \cal V } _ { 2 , 2 } ^ { ( 1 ) } { \cal V } _ { 1 , 1 } ^ { ( 2 ) } ) \frac { 4 } { a ^ { 2 } \sqrt { 3 } }
\left[ \partial _ { \mu } \partial ^ { \mu } - \partial _ { y } ^ { 2 } + e ^ { - 2 \sigma } \left\{ m ^ { 2 } + \left( \frac { 3 } { 1 6 } - \xi \right) R \right\} \right] \tilde { \varphi } + e ^ { - \frac { 7 } { 2 } \sigma } V ^ { \prime } ( e ^ { \frac { 3 } { 2 } \sigma } \tilde { \varphi } ) = 0 .
\begin{array} { r l } { W ( x ) \left. | \operatorname* { d e t } ( X _ { 1 } ^ { ( N ) } , \ldots , X _ { d } ^ { ( N ) } ) | \right| _ { x } } & { \int _ { E _ { N - 1 } } \left| \operatorname* { d e t } \frac { \partial ( X ^ { \alpha _ { 1 } } f ^ { j _ { 1 } } , \ldots , X ^ { \alpha _ { d } } f ^ { j _ { d } } ) } { \partial x } \right| d x } \\ & { \geq \frac { c _ { N , d } } { 2 ^ { d } } m ^ { - N d } W ( E _ { 0 } ) } \end{array}
P _ { \mathrm { t h } } = \frac { \beta } { \beta + 1 } \frac { 2 \pi f _ { 0 } } { Q _ { L } } \frac { 2 f _ { 0 } } { Q _ { 0 } } \int \mathrm { d } f \mathrm { d } f ^ { \prime } \frac { f f ^ { \prime } \, \langle u _ { 0 } ( f ) u _ { 0 } ^ { * } ( f ^ { \prime } ) \rangle } { ( f ^ { 2 } - f _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \left( f f _ { 0 } / Q _ { L } \right) ^ { 2 } } = 2 \pi \, \frac { \beta } { \beta + 1 } \, k _ { b } T \frac { f _ { 0 } } { Q _ { 0 } } .
\begin{array} { r } { I ^ { - } = \int \displaylimits _ { - \infty } ^ { + \infty } \int \displaylimits _ { - \infty } ^ { + \infty } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { + \infty } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { + \infty } Q _ { \triangle ^ { - } } ^ { - } / S _ { \triangle } \, d k _ { 1 } \, d k _ { 2 } \, d m _ { 1 } \, d m _ { 2 } , } \end{array}
\frac { P _ { e ^ { - } ; e ^ { + } } P _ { e ^ { + } } \lambda _ { R R E A } } { \lambda _ { 2 } \lambda _ { \gamma } \lambda _ { \gamma \rightarrow e ^ { - } e ^ { + } } } \left( \frac { \lambda _ { R R E A } \lambda _ { a n i h } } { \lambda _ { a n i h } - \lambda _ { R R E A } } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \widehat { \pi } _ { t } = \widehat { \pi } _ { 0 } } & { + \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { i \in \mathcal A _ { s - } , \, y \in V } \left( \delta _ { ( i 1 , y , a ) } + \delta _ { ( i , X _ { s - } ^ { i } , g ) } - \delta _ { ( i , X _ { s - } ^ { i } , a ) } \right) \mathcal N _ { i } ^ { X _ { s - } ^ { i } , y } ( \mathrm { d } s ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { i \in \mathcal A _ { s - } } \left( \delta _ { ( i 1 , X _ { s - } ^ { i } , a ) } + \delta _ { ( i 2 , X _ { s - } ^ { i } , a ) } - \delta _ { ( i , X _ { s - } ^ { i } , a ) } \right) \mathcal N _ { i } ^ { b } ( \mathrm { d } s ) } \end{array}
\delta \, \gamma _ { \mathrm { R E G } } ^ { ( 1 ) , m } = 4 - \frac { 8 } { m ^ { 2 } } + \frac { 8 } { ( m + 1 ) ^ { 2 } } - \frac { 2 8 } { 3 } \frac { 1 } { m } + \frac { 4 4 } { 3 } \frac { 1 } { m + 1 } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { t ^ { 2 m } } { 2 m ( 2 m + 1 ) } \bigg | _ { t = \frac { 1 } { x } } = \int _ { 0 } ^ { 1 / x } t ^ { - 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { t ^ { 2 m + 1 } } { 2 m + 1 } \, d t } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 / x } \frac { \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } { t } - t } { t ^ { 2 } } \, d t } \\ & { = 1 - x \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } ( x ^ { - 1 } ) - \log { \sqrt { 1 - x ^ { - 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { D } p _ { \lambda } ^ { D } ( s , \eta , t , x ) \varphi ( \eta ) \mathrm { d } \eta = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } p _ { \lambda } ( s , \eta , t , x ) 1 _ { \{ \eta _ { d } > 0 \} } \varphi ( \eta ) \mathrm { d } \eta - \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } p _ { \lambda } ( s , \overline { { \eta } } , t , x ) 1 _ { \{ \eta _ { d } > 0 \} } \varphi ( \eta ) \mathrm { d } \eta } \\ { = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } p _ { \lambda } ( s , \eta , t , x ) 1 _ { \{ \eta _ { d } > 0 \} } \varphi ( \eta ) \mathrm { d } \eta - \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } p _ { \lambda } ( s , \eta , t , x ) 1 _ { \{ \eta _ { d } < 0 \} } \varphi ( \overline { { \eta } } ) \mathrm { d } \eta , } \end{array}
\Lambda ^ { ( 1 ) } ( g _ { 1 } g _ { 2 } ) ^ { \alpha \beta } \: + \: \Lambda ^ { ( 3 ) } ( g _ { 1 } , g _ { 2 } ) ^ { \alpha } \: - \: \Lambda ^ { ( 3 ) } ( g _ { 1 } , g _ { 2 } ) ^ { \beta } \: + \: d \log \lambda _ { \alpha \beta } ^ { g _ { 1 } , g _ { 2 } } \: = \: \Lambda ^ { ( 1 ) } ( g _ { 2 } ) ^ { \alpha \beta } \: + \: g _ { 2 } ^ { * } \Lambda ^ { ( 1 ) } ( g _ { 1 } ) ^ { \alpha \beta }
\begin{array} { r } { \mathcal { H } ( \ensuremath { \boldsymbol { X } } , \ensuremath { \boldsymbol { P } } , \tau ) = \mu ( \tau ) T ( \ensuremath { \boldsymbol { P } } ) + \nu ( \tau ) U ( \ensuremath { \boldsymbol { X } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | P ( D _ { n , ( m _ { 1 } , \ldots , m _ { d } ) } ( X _ { 1 } ^ { n } ) = t ) - P ( D _ { n , ( m _ { 1 } , \ldots , m _ { h } ) } ( X _ { 1 } ^ { n } ) = t ) | } \\ & { \leq \frac { 1 } { q } \vert P ( C _ { n + 1 , ( w _ { 1 } , \ldots , w _ { d } ) } = t ) - P ( C _ { n + 1 , ( w _ { 1 } , \ldots , w _ { h } ) } = t ) \vert + \frac { p } { q } \vert P ( C _ { n , ( w _ { 1 } , \ldots , w _ { d } ) } = t ) - P ( C _ { n , ( w _ { 1 } , \ldots , w _ { h } ) } = t ) \vert } \\ & { \leq 2 ( n + 1 - m _ { d + 1 } ) p ^ { m _ { d + 1 } } , } \end{array}
| p _ { ( L _ { 1 } , \cdots , L _ { k } ) } | ^ { 2 } - | p _ { ( L _ { 1 } , \cdots , L _ { k } , L _ { k + 1 } ) } | ^ { 2 } - | p _ { ( L _ { 1 } , \cdots , L _ { k } , L _ { k + 2 } ) } | ^ { 2 } + | p _ { ( L _ { 1 } , \cdots , L _ { k } , L _ { k + 1 } , L _ { k + 2 } ) } | ^ { 2 } = 0
\varrho = \frac { 2 } { \Delta ^ { 2 } } [ I _ { \Delta } ^ { ( m ) } - I _ { \Delta } ^ { ( s + m ) } + M ( T - 1 ) ] + \theta _ { 0 } ^ { 2 } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } [ ( T - 1 ) M ]
\begin{array} { r l } { l _ { F , 1 } } & { \le l _ { * , 0 } \left( l _ { f , 1 } + \frac { l _ { f , 0 } l _ { g , 2 } + l _ { g , 1 } ^ { 2 } } { \mu _ { g } } + \frac { l _ { f , 0 } l _ { g , 1 } l _ { g , 2 } } { \mu _ { g } ^ { 2 } } \right) } \\ & { \le l _ { * , 0 } \left( l _ { f , 1 } + \frac { l _ { g , 1 } ^ { 2 } } { \mu _ { g } } + \frac { 2 l _ { f , 0 } l _ { g , 1 } l _ { g , 2 } } { \mu _ { g } ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } ( \mathcal { Y } | \boldsymbol { \theta } ) \propto \prod _ { m } \frac { 1 } { \sqrt { | \boldsymbol { \Sigma } | } } \exp \Big ( - \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { \epsilon } _ { m } ^ { \mathbf { T } } \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } \boldsymbol { \epsilon } _ { m } \Big ) , } \end{array}
\frac { d y } { d s } \left( 1 - \frac { 1 } { \sqrt { \left( \frac { d x } { d s } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { d y } { d s } \right) ^ { 2 } } } \right) = \frac { \gamma } { L } ~ \! \left( s - s _ { \mathrm { m i n } } \right)
\begin{array} { l l } { { D = 4 \nu } } & { { \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { { \cal N } = \theta - \mathrm { i } \gamma } } \\ { { { \bar { \cal N } } = \theta + \mathrm { i } \gamma } } \end{array} \right. \right. } } \\ { { D = 4 \nu + 2 } } & { { \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { { \cal N } = \theta + \gamma } } \\ { { - { \cal N } ^ { T } = \theta - \gamma } } \end{array} \right. \right. } } \end{array}
[ V _ { 0 } ] _ { t h r e s h } = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m a ^ { 2 } } } \left( { \frac { \pi } { 2 } } \right) ^ { 2 } C _ { 1 } ; \qquad C _ { 1 } = 1 . 0 ,
T _ { l } = \int _ { \Gamma _ { l , \epsilon _ { 1 } } } d t = \int _ { 1 } ^ { 2 } \frac { 1 } { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } d x = \int _ { 1 } ^ { 2 } \frac { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } } d x = \int _ { 1 } ^ { 2 } \frac { ( \varphi ^ { \prime } ( x ) - \frac { \partial \psi _ { 1 } } { \partial x } ( x , \epsilon _ { 1 } ) ) d x } { \eta _ { 1 } ( x - \ell ) ( \varphi ( x ) - \psi _ { 1 } ( x , \epsilon _ { 1 } ) ) } \ .
\phi _ { 1 } = - \frac { g } { \delta m ^ { 2 } } \int \Sigma _ { i } ( \vec { q } \, ^ { \prime } , p ^ { 2 } ) \Gamma _ { 2 } ( \vec { q } \, ^ { \prime } , \vec { n } ) \frac { d ^ { 3 } q ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \ .
\begin{array} { r l } { K _ { \mathrm { S M S } } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \langle \psi _ { 0 } | V _ { \mathrm { S M S } } | \psi _ { 0 } \rangle \ , } \\ { K _ { \mathrm { S M S } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = { \sum _ { n \neq 0 } } \frac { | \langle \psi _ { 0 } | V _ { \mathrm { S M S } } | \psi _ { n } \rangle | ^ { 2 } } { E _ { 0 } - E _ { n } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r c c c l c l } { E ( \Delta F ) } & { = } & { p _ { 0 } \Delta F ( 0 ) + p _ { 1 } \Delta F ( 1 ) } & { = } & { p _ { 0 } } & { = } & { 1 - q } \\ { E ( \Delta V ) } & { = } & { p _ { 0 } \Delta V ( 0 ) + p _ { 1 } \Delta V ( 1 ) } & { = } & { 2 p _ { 0 } } & { = } & { 2 - 2 q } \\ { E ( \Delta N ^ { \star } ) } & { = } & { p _ { 0 } \Delta N ^ { \star } ( 0 ) + p _ { 1 } \Delta N ^ { \star } ( 1 ) } & { = } & { 3 p _ { 0 } + 1 } & { = } & { 4 - 3 q . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | c _ { g } | = } & { { } k \left[ - 5 \left( \nu _ { o } - 2 \nu _ { 4 } \right) ^ { 2 } \cos ^ { 6 } \theta + \left( 7 \nu _ { o } - 1 6 \nu _ { 4 } \right) \left( \nu _ { o } - 2 \nu _ { 4 } \right) \cos ^ { 4 } \theta \right. } \end{array}
v _ { \alpha } ( \mathbf { R } ) \equiv \left( { \frac { \partial v ( \mathbf { r } - \mathbf { R } ) } { \partial r _ { \alpha } } } \right) _ { \mathbf { r } = \mathbf { 0 } } \quad { \mathrm { a n d } } \quad v _ { \alpha \beta } ( \mathbf { R } ) \equiv \left( { \frac { \partial ^ { 2 } v ( \mathbf { r } - \mathbf { R } ) } { \partial r _ { \alpha } \partial r _ { \beta } } } \right) _ { \mathbf { r } = \mathbf { 0 } } .
\frac { \omega _ { s } } { \Omega _ { \star } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \xi g ( \theta ) , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \theta _ { b a n d } - \Theta \le \theta \le \theta _ { b a n d } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
f _ { \mathscr P + \mathscr D } ( x ) = \phi ( x ; \mu _ { \mathscr D } , \sigma _ { \mathscr D } ) e ^ { - \mu _ { e \mathrm { ~ - ~ } } } E _ { s q } ( e ^ { - 1 / 2 \sigma _ { \mathscr D } ^ { 2 } } , \mu _ { e \mathrm { ~ - ~ } } e ^ { ( x - \mu _ { \mathscr D } ) / \sigma ^ { 2 } } , 1 ) ,
\frac { d \boldsymbol { q } ( \boldsymbol { x } , t ) } { d t } = \mathcal { N } ( \overline { { \boldsymbol { q } } } ( x ) + \boldsymbol { q } ( \boldsymbol { x } , t ) ) \approx \boldsymbol { A } \boldsymbol { q } ( \boldsymbol { x } , t ) \mathrm { ~ , ~ }
\frac { h } { R } = \frac { 1 . 3 4 \mathrm { C a } ^ { 2 / 3 } } { 1 + 2 . 5 3 \mathrm { G o } ^ { 1 . 8 5 } / \left[ 1 + 1 . 7 9 \mathrm { G o } ^ { 0 . 8 5 } \right] } ,
\begin{array} { r } { \langle E _ { + } G ^ { * } E _ { + } G A \rangle \langle E _ { + } G E _ { + } ( G A ) ^ { * } \rangle - \langle E _ { + } G ^ { * } E _ { - } G A \rangle \langle E _ { + } G E _ { - } ( G A ) ^ { * } \rangle } \\ { - \langle E _ { - } G ^ { * } E _ { + } G A \rangle \langle E _ { - } G E _ { + } ( G A ) ^ { * } \rangle + \langle E _ { - } G ^ { * } E _ { - } G A \rangle \langle E _ { - } G E _ { - } ( G A ) ^ { * } \rangle \, . } \end{array}
K _ { G } ( \alpha , \beta ) = \frac { \Gamma ( | \alpha _ { \overline { { \mathfrak { p a } } } ( i _ { 0 } ) } | + \beta ) } { \Gamma ( | \alpha _ { \mathfrak { p a } ( i _ { 0 } ) } | + \beta ) \Gamma ( \alpha _ { i _ { 0 } } ) } \prod _ { i \in V ^ { \prime } } \frac { \Gamma ( | \alpha _ { \overline { { \mathfrak { p a } } } ( i ) } | + \beta ) } { \Gamma ( | \alpha _ { \mathfrak { p a } ( i ) } | + \beta ) \Gamma ( \alpha _ { i } ) } .
\textbf { G } _ { n s , i } ^ { - } = \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \Psi _ { i } f ^ { e q } = \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \hat { f } _ { i } ^ { e q }
\Psi ( x , t = 0 ) = \frac { \sum _ { n } e ^ { - \frac { ( n a ) ^ { 2 } } { D ^ { 2 } } - i p ( x - n a ) / \hbar } \phi ( x - n a ) } { \sqrt { \sum _ { n } e ^ { - 2 \left( \frac { n a } { D } \right) ^ { 2 } } } } ,
I _ { \mathrm { ~ H ~ M ~ } , N } ( u ) = \left\{ \frac { \lvert \mathbb { E } [ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ) \, \vert \, D _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } ] - z ( x ) \rvert } { \sqrt { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ) \, \vert \, D _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } ] + \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ \epsilon _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ s ~ } , x } ] + \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ \epsilon _ { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ } , x } ] } } : x \in \mathcal { M } ^ { * } \right\} _ { ( N ) } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \langle a \rangle } { \mathrm { d } t } = } & { - \left( \kappa _ { a } + \mathrm { i } \Delta _ { a } \right) \langle a \rangle - \mathrm { i } G _ { a b } \langle b \rangle + \mathcal { E } _ { p } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \Delta _ { p } t } , } \\ { \frac { \mathrm { d } \langle b \rangle } { \mathrm { d } t } = } & { - \left( \gamma _ { b } + \mathrm { i } \Delta _ { b } \right) \langle b \rangle - \mathrm { i } G _ { a b } \langle a \rangle - \mathrm { i } \mathrm { g } _ { b c } | \langle c \rangle | ^ { 2 } \langle b \rangle } \\ & { - 2 \mathrm { i } \mathcal { X } _ { b } | \langle b \rangle | ^ { 2 } \langle b \rangle + \Omega _ { b } , } \\ { \frac { \mathrm { d } \langle c \rangle } { \mathrm { d } t } = } & { - \left( \gamma _ { c } + \mathrm { i } \Delta _ { c } \right) \langle c \rangle - 2 \mathrm { i } \mathcal { X } _ { c } | \langle c \rangle | ^ { 2 } \langle c \rangle - \mathrm { i } \mathrm { g } _ { b c } | \langle b \rangle | ^ { 2 } \langle c \rangle + \Omega _ { c } . } \end{array}
w _ { \varphi } = \frac { p _ { \varphi } } { { \rho } _ { \varphi } } = \frac { { \dot { \varphi } } ^ { 2 } - 2 V ( \varphi ) } { { \dot { \varphi } } ^ { 2 } + 2 V ( \varphi ) } \, .
R _ { \mathrm { ~ G ~ o ~ v ~ } } ( s , \mathrm { ~ C ~ E ~ } ) = E _ { \mathrm { ~ P ~ V ~ } } ( s ) \cdot ( \mathrm { ~ F ~ i ~ T ~ } _ { \mathrm { ~ P ~ r ~ o ~ d ~ } } ( \mathrm { ~ C ~ E ~ } ) + \mathrm { ~ F ~ i ~ T ~ } _ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } ( \mathrm { ~ C ~ E ~ } ) + \mathrm { ~ F ~ i ~ T ~ } _ { \mathrm { ~ B ~ o ~ n ~ } } ( \mathrm { ~ C ~ E ~ } ) )
\left\{ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } } + { \frac { 5 } { r } } { \frac { \partial } { \partial r } } + \tilde { \omega } ^ { 2 } \left( 1 + { \frac { R _ { 0 } ^ { 4 } } { r ^ { 4 } } } \right) \right\} \varphi ^ { 0 } = 0
\begin{array} { r l } & { \partial _ { \alpha } \mathrm { K } ( \mathbf { X } _ { A } , \mathbf { X } _ { B } ) = } \\ & { \Big ( - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \alpha } \Big [ \big ( ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { A } - ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { B } \big ) ^ { \mathrm { T } } \Big ] \ \mathbf { P } } \\ & { \qquad \big ( ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { A } - ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { B } \big ) \Big ) \mathrm { K } ( \mathbf { X } _ { A } , \mathbf { X } _ { B } ) + } \\ & { \Big ( - \frac { 1 } { 2 } \big ( ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { A } - ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { B } \big ) ^ { \mathrm { T } } \ \mathbf { P } } \\ & { \qquad \partial _ { \alpha } \Big [ \big ( ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { A } - ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { B } \big ) \Big ] \Big ) \mathrm { K } ( \mathbf { X } _ { A } , \mathbf { X } _ { B } ) } \\ { = } & { \Big ( \big ( \frac { \mathbf { X } _ { A } } { 2 \alpha ^ { 2 } } ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { A } - \frac { \mathbf { X } _ { B } } { 2 \alpha ^ { 2 } } ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { B } \big ) ^ { \mathrm { T } } \ \mathbf { P } } \\ & { \qquad \big ( ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { A } - ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { B } \big ) \Big ) \mathrm { K } ( \mathbf { X } _ { A } , \mathbf { X } _ { B } ) + } \\ & { \Big ( \big ( ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { A } - ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { B } \big ) ^ { \mathrm { T } } \ \mathbf { P } } \\ & { \qquad \big ( \frac { \mathbf { X } _ { A } } { 2 \alpha ^ { 2 } } ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { A } - \frac { \mathbf { X } _ { B } } { 2 \alpha ^ { 2 } } ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { B } \big ) \Big ) \mathrm { K } ( \mathbf { X } _ { A } , \mathbf { X } _ { B } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 1 } ^ { 2 } } & { = 1 , } \\ { \rho _ { i } ^ { 2 } } & { = 1 \quad \textrm { f o r } \quad 1 \le i \le n - 1 , } \\ { \rho _ { i } \rho _ { j } } & { = \rho _ { j } \rho _ { i } \quad \textrm { f o r } \quad | i - j | \geq 2 , } \\ { \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } \rho _ { i } } & { = \rho _ { i + 1 } \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } \quad \textrm { f o r } \quad 1 \le i \le n - 2 , } \\ { \rho _ { i } s _ { 1 } } & { = s _ { 1 } \rho _ { i } \quad \textrm { f o r } \quad i \geq 3 , } \\ { ( s _ { 1 } \rho _ { 2 } \rho _ { 1 } \rho _ { 3 } \rho _ { 2 } ) ^ { 4 } } & { = 1 . } \end{array}
\mathrm { ~ v ~ e ~ r ~ y ~ h ~ i ~ g ~ h ~ h ~ u ~ m ~ i ~ d ~ i ~ t ~ y ~ } \rightarrow \mathrm { ~ u ~ n ~ i ~ q ~ u ~ e ~ r ~ e ~ l ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ s ~ h ~ i ~ p ~ b ~ e ~ t ~ w ~ e ~ e ~ n ~ } T \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } p \rightarrow \mathrm { ~ l ~ o ~ w ~ c ~ o ~ n ~ v ~ e ~ c ~ t ~ i ~ v ~ e ~ v ~ i ~ g ~ o ~ r ~ } .
g _ { i } ( \mathbf { x } + \mathbf { e } _ { i } \delta _ { t } , t + \delta _ { t } ) - g _ { i } ( \mathbf { x } , t ) = - \left( \mathbf { N } ^ { - 1 } \mathbf { Q } \right) _ { i j } \left[ \mathbf { n } _ { j } ( \mathbf { x } , t ) - \mathbf { n } _ { j } ^ { ( \mathrm { ~ e ~ q ~ } ) } ( \mathbf { x } , t ) \right] ,