harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { | \langle \partial _ { t } ^ { k } B ( s ) \partial _ { t } ^ { m - 1 - k } u _ { n } ( s ) , \partial _ { t } ^ { m - 1 } u _ { n } ( s ) \rangle | \leq } & { C ( ( \| \partial _ { t } ^ { m - 1 - k } u _ { n } ( s ) \| _ { 1 } ) \| \partial _ { t } ^ { m - 1 } u _ { n } ( s ) \| _ { 1 } + \mathrm { b . ~ v . } ) } \\ { \leq } & { C ( \| \partial _ { t } ^ { m - 1 - k } u _ { n } ( s ) \| _ { 1 } ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { m - 1 } u _ { n } ( s ) \| _ { 1 } ^ { 2 } + \mathrm { b . ~ v . } ) . } \end{array}
d _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ l ~ t ~ } } \sim \sqrt { E _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ b ~ } } \, R _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ r ~ r ~ } } / ( g \, m _ { p } ) } \approx 0 . 0 0 6 R _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ r ~ r ~ } }
\mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r } { \left\langle \partial _ { \lambda _ { i } } \log \left( p ( x | c ) \right) \right\rangle = - \left\langle x ^ { i } \right\rangle - \partial _ { \lambda _ { i } } \log Z \left( \vec { \lambda } \right) = 0 \ \forall i = 1 , \ldots , k , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { \uparrow } ^ { * } u _ { \downarrow } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { i \frac { \phi } { 2 } } \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } & { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi } { 2 } } \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { - \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi } { 2 } } \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \phi } { 2 } } \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) } \end{array}
\sigma = { \frac { 8 \pi \alpha ^ { 2 } } { 9 s } } \sqrt { 1 - { \frac { 4 M _ { x } ^ { 2 } } { s } } } \left( 1 + { \frac { 2 M _ { x } ^ { 2 } } { s } } \right) \left\{ \left| 1 - { \frac { s ( 1 - 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { W } ) } { 2 \cos ^ { 2 } \theta _ { W } ( s - M _ { Z } ^ { 2 } + i M _ { Z } \Gamma _ { Z } ) } } \right| ^ { 2 } + \left| 1 + { \frac { s \tan ^ { 2 } \theta _ { W } } { s - M _ { Z } ^ { 2 } + i M _ { Z } \Gamma _ { Z } } } \right| ^ { 2 } \right\} ,
\begin{array} { r l r } & { } & { Q _ { i } ^ { \alpha } ( f , f ) } \\ & { = } & { \sum _ { \beta = 1 } ^ { s } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 2 } \times \mathbb { R } _ { + } \mathbb { \times S } ^ { 2 } } W _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \right. ) } \\ & { } & { \times \left( \frac { f _ { \alpha , k } ^ { \prime } f _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } } { \varphi _ { k } ^ { \alpha } \varphi _ { l } ^ { \beta } } - \frac { f _ { \alpha , i } f _ { \beta , j \ast } } { \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { j } ^ { \beta } } \right) \, \left\vert \mathbf { g } ^ { \prime } \right\vert ^ { 2 } \, d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } d \mathbf { G } _ { \alpha \beta } ^ { \prime } d \left\vert \mathbf { g } ^ { \prime } \right\vert d \boldsymbol { \omega } } \\ & { = } & { \sum _ { \beta = 1 } ^ { s } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } \mathbb { \times S } ^ { 2 } } \sigma _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } \left\vert \mathbf { g } \right\vert \left( f _ { \alpha , k } ^ { \prime } f _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } \frac { \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { j } ^ { \beta } } { \varphi _ { k } ^ { \alpha } \varphi _ { l } ^ { \beta } } - f _ { \alpha , i } f _ { \beta , j \ast } \right) \, d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } d \boldsymbol { \omega , } } \end{array}
\lbrack { \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } } - { \frac { \lambda } { r ^ { 2 } } } \rho _ { 3 } - { \frac { \lambda ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } + { \frac { 2 E \gamma } { r } } + k ^ { 2 } \rbrack \hat { \Phi } = 0 ,
\begin{array} { r } { \overline { N } _ { \textrm { I C } } ^ { i } ( T ) = \left\{ \begin{array} { r l } { 1 \quad } & { { } \textrm { i f } \ N _ { \textrm { I C } } ^ { i } ( T ) = 0 ; } \\ { 0 \quad } & { { } \textrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\delta Q = T \, \mathrm { d } S _ { \mathrm { e } } \, \, \, \, \, { \mathrm { a n d } } \, \, \, \, \, \mathrm { d } S _ { \mathrm { i } } \equiv \mathrm { d } S _ { \mathrm { u n c o m p e n s a t e d } } .
\begin{array} { r l } { | \textrm { S D } \rangle } & { { } = ( \cos \alpha \hat { a } _ { L \uparrow } ^ { \dag } + \sin \alpha \hat { a } _ { R \uparrow } ^ { \dag } ) ( \cos \beta \hat { a } _ { L \downarrow } ^ { \dag } + \sin \beta \hat { a } _ { R \downarrow } ^ { \dag } ) | \theta \rangle } \end{array}
\log { \Big ( } { \mathcal { L } } ( { \widehat { \mu } } , { \widehat { \sigma } } ) { \Big ) } = { \frac { \, - n \; \; } { 2 } } { \big ( } \, \log ( 2 \pi { \widehat { \sigma } } ^ { 2 } ) + 1 \, { \big ) }
\phi = \mathrm { ~ a ~ t ~ a ~ n ~ 2 ~ } ( \mathrm { ~ i ~ m ~ a ~ g ~ } ( \hat { u } _ { x } ( 0 , y _ { 1 } , 1 ) ) , \mathrm { ~ r ~ e ~ a ~ l ~ } ( \hat { u } _ { x } ( 0 , y _ { 1 } , 1 ) ) ) .
\begin{array} { r } { A ^ { 2 } + C ^ { 2 } - B ^ { 2 } - D ^ { 2 } = u ^ { 2 } + v ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } / 4 + v \cos k _ { x } \left( \mathrm { s g n } [ u + \gamma / 2 ] + \mathrm { s g n } [ u - \gamma / 2 ] \right) \sqrt { | u ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } / 4 | } \geqslant 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { 0 } ( z ) } & { = \epsilon _ { 0 , 0 0 } - \epsilon _ { 0 , 0 1 } \epsilon _ { 1 1 } ( z ) ^ { - 1 } \epsilon _ { 0 , 1 0 } } \\ { M _ { 1 } ( z ) } & { = z \bigl ( \chi _ { 0 0 } ( z ) - \epsilon _ { 0 , 0 1 } \epsilon _ { 1 1 } ( z ) ^ { - 1 } \chi _ { 1 0 } ( z ) - \chi _ { 0 1 } ( z ) \epsilon _ { 1 1 } ( z ) ^ { - 1 } \epsilon _ { 0 , 1 0 } - \chi _ { 0 1 } ( z ) \epsilon _ { 1 1 } ( z ) ^ { - 1 } \chi _ { 1 0 } ( z ) \bigr ) , } \end{array}
\left( \frac { \delta T } { T } \right) _ { Q - S } = \left( \frac { 3 2 \pi } { 4 5 } \right) ^ { 1 / 2 } \frac { \lambda ^ { 1 / 2 } \phi _ { \ell } ^ { \frac { \nu + 2 } { 2 } } } { \nu M _ { P } ^ { 3 } } = \left( \frac { 3 2 \pi } { 4 5 } \right) ^ { 1 / 2 } \frac { \lambda ^ { 1 / 2 } } { \nu M _ { P } ^ { 3 } } \left( \frac { \nu M _ { P } ^ { 2 } } { 4 \pi } \right) ^ { \frac { \nu + 2 } { 4 } } N _ { \ell } ^ { \frac { \nu + 2 } { 4 } } .
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( \mathbf { u } ) } & { { } = \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( T _ { r o t } T _ { r o t } ^ { - 1 } \mathbf { u } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { { \vec { r } } _ { 0 , i } ( t + \Delta t ) = { \vec { r } } _ { 0 , i } ( t ) + { \vec { v } } _ { 0 , i } ( t ) \Delta t } \\ { { \vec { r } } _ { a , i } ( t + \Delta t ) = { \vec { r } } _ { a , i } ( t ) + { \vec { v } } _ { a , i } ( t ) \Delta t } \end{array}
\varepsilon ^ { \mu \nu \lambda } \partial _ { \mu } X ^ { 9 } \bar { S } \gamma _ { 9 } \gamma _ { \nu } \psi _ { \lambda } + \sqrt { - G } \partial _ { \mu } X ^ { 9 } \bar { S } \gamma _ { 9 } \psi ^ { \mu } = - 2 \partial _ { i } X ^ { 9 } S ^ { T } \gamma _ { 9 } \psi _ { j } \varepsilon ^ { i j } ,
\begin{array} { r l } { E _ { D } ( x , t ) } & { \approx A \cos k x \cdot 2 \int _ { - k v _ { F } } ^ { k v _ { F } } \frac { d \omega } { 2 \pi } \frac { \chi _ { k } i \omega e ^ { - i \omega t } } { \sqrt { k ^ { 2 } v _ { F } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } } } \\ & { = \chi _ { k } \ k v _ { F } A \cos k x J _ { 1 } ( k v _ { F } t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { \mathfrak { p } _ { 2 } } [ \mathfrak { d } ] ( x , \xi ) : = \sum _ { k \in \mathbb { Z } } \widehat { \mathfrak { d } } ( k , \xi ) e ^ { \mathrm { i } ( ( \xi - \frac { k } { 2 } ) \mathfrak { p } _ { 2 } ( \varphi , \xi - \frac { k } { 2 } ) - ( \xi + \frac { k } 2 ) \mathfrak { p } _ { 2 } ( \varphi , \xi + \frac { k } 2 ) ) } e ^ { \mathrm { i } k x } , \mathrm { ~ w h e r e ~ } \widehat { \mathfrak { d } } ( \varphi , k , \xi ) : = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \mathbb { T } } \mathfrak { d } ( \varphi , x , \xi ) e ^ { \mathrm { i } k x } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { L } } ( \tau ) } & { = \left[ D ^ { \frac { 1 } { 2 - \beta } } \right] M _ { 1 } ( \tau ) \quad \mathrm { a n d } } \\ { ( \sigma _ { L } ) ^ { 2 } ( \tau ) } & { = \left[ D ^ { \frac { 2 } { 2 - \beta } } \right] M _ { 2 } ( \tau ) - \left[ D ^ { \frac { 1 } { 2 - \beta } } \right] ^ { 2 } M _ { 1 } ^ { 2 } ( \tau ) \ . } \end{array}
\widehat { R } _ { \mathrm { { b } } } ( 0 , 1 ) , \widehat { R } _ { \mathrm { { b } } } ( 0 , 2 ) , \widehat { R } _ { \mathrm { { b } } } ( 0 , 3 ) , \widehat { Z } _ { \mathrm { { b } } } ( 0 , 1 ) , \widehat { Z } _ { \mathrm { { b } } } ( 0 , 3 ) , \widehat { Z } _ { \mathrm { { b } } } ( 0 , 5 )
\begin{array} { r l } { \left| \mathbb { F } _ { \tilde { S } _ { \Xi _ { \epsilon } ^ { c } } } ( x ) - \mathbb { F } _ { \hat { S } _ { \Xi _ { \epsilon } ^ { c } } } ( x ) \right| } & { \leq \frac { \left| \{ b \in \Xi _ { \epsilon } ^ { c } : \hat { S } _ { b } \in ( x - \delta _ { n } , x + \delta _ { n } ] \right| } { | \Xi _ { \epsilon } ^ { c } | } } \\ & { \leq \frac { \left| \{ b : \hat { S } _ { b } \in ( x - \delta _ { n } , x + \delta _ { n } ] \right| } { | \Xi _ { \epsilon } ^ { c } | } } \\ & { = \frac { \left| \{ b : \hat { S } _ { b } \in ( x - \delta _ { n } , x + \delta _ { n } ] \right| } { B ( 1 - \rho _ { \epsilon } ) } } \\ & { = \frac { 1 } { 1 - \rho _ { \epsilon } } \left[ \hat { G } _ { m , n , P } ( x + \delta _ { n } ) - \hat { G } _ { m , n , P } ( x - \delta _ { n } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma } & { { } = \frac { 4 \eta _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ^ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } \Lambda _ { 1 } ( \eta _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ^ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ) } { 1 - \Lambda _ { 0 } ( \eta _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ^ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ) } \left[ \ln \frac { 2 \eta _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } } { 1 - \Lambda _ { 0 } ( \eta _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ^ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ) } \right] ^ { - 1 } , } \\ { r _ { 0 } } & { { } = a _ { R } \left[ \ln \frac { 2 \eta _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } } { 1 - \Lambda _ { 0 } ( \eta _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ^ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ) } \right] ^ { - \frac { 1 } { \gamma } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { [ \hat { R } ^ { * } I ] _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } } & { = } & { \int d y d z \sum _ { \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } = 1 } ^ { 2 } \ [ S _ { 2 } ( x , y ) ] _ { \alpha \alpha _ { 1 } } } \\ & { } & { \cdot [ C ( y , z ) - e ^ { i k _ { F } ^ { 0 } ( x _ { 0 } - y _ { 0 } ) + i { \bf k } _ { F } \cdot ( { \bf x } - { \bf y } ) } C ( x , z ) ] _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } [ R ( z , x , P _ { e } ) ] _ { \alpha _ { 2 } , \alpha ^ { \prime } } , } \end{array}
\langle \lambda ^ { \prime } | \partial / \partial E _ { t } | \lambda \rangle = \langle \lambda ^ { \prime } | \partial \hat { H } _ { I } / \partial E _ { t } | \lambda \rangle / ( \mathcal { E } _ { \lambda ^ { \prime } } - \mathcal { E } _ { \lambda ^ { \prime } } )
- { \frac { a } { 4 } } B _ { \mu \nu } B ^ { \mu \nu } + { \frac { \alpha } { 2 } } \epsilon _ { \mu \nu \lambda } B ^ { \mu } B ^ { \nu \lambda } - { \frac { 1 } { 2 g } } B _ { \mu } B ^ { \mu } + B _ { \mu } L ^ { \mu } ] .
u _ { n _ { x } , n _ { y } } ^ { \pm } \left( x , y \right) = \psi ( x , y ) _ { n _ { x } , n _ { y } } ^ { \mathrm { H O } } \exp \left[ \mp i k \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 2 R } \right] \exp \left[ \pm i ( n _ { x } + n _ { y } + 1 ) \Psi _ { G } \right] .
\begin{array} { r l r l } { \frac { \partial \vec { v } } { \partial t } + ( \vec { v } \cdot \nabla ) \vec { v } } & { { } = - \nabla \big ( \frac { p } { \rho } + \Phi \big ) \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega , } \\ { \nabla \cdot \vec { v } } & { { } = 0 \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega , } \\ { \frac { \partial \Sigma } { \partial t } } & { { } = \langle \vec { v } , \vec { n } \rangle \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ t ~ } \Sigma , } \\ { p - \bar { p } } & { { } = \tau k \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ t ~ } \Sigma , } \\ { \langle \vec { v } , \vec { n } \rangle } & { { } = g \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ t ~ } \Gamma . } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { r } ( \vec { a } , \vec { \epsilon } , \vec { m } ^ { \prime } ) = - \frac { r \, m \, \epsilon _ { 1 2 } \, \epsilon _ { 1 3 } \, \epsilon _ { 2 3 } } { \epsilon _ { 1 } \, \epsilon _ { 2 } \, \epsilon _ { 3 } \, \epsilon _ { 4 } } \qquad \mathrm { a n d } \qquad G _ { r } ^ { ( 1 ) } ( \vec { a } , \vec { \epsilon } , \vec { m } ^ { \prime } ) = 0 \ . } \end{array}
\mathrm { p g h } \left( V _ { \alpha ( \lambda ) } \right) = \mathrm { p g h } \left( A _ { \alpha } ^ { \; \; ( \lambda ) } \right) = 0 , \; \mathrm { p g h } \left( \eta _ { ( \lambda ) } \right) = \mathrm { p g h } \left( C ^ { ( \lambda ) } \right) = 1 ,
\left\{ \begin{array} { l l } { [ q _ { 2 } ( z ) + q _ { 3 } ( z ) + z ] q _ { 1 } ( z ) + \frac 1 3 = 0 } \\ { \left( q _ { 1 } ( z ) + z - \left[ \gamma \kappa ^ { 2 } - 1 + \kappa ( \gamma - 1 ) \right] q _ { 3 } ( z ) \right) q _ { 2 } ( z ) + \frac 1 3 = 0 } \\ { \left( q _ { 1 } ( z ) + z - \left[ \gamma \kappa ^ { 2 } - 1 + \kappa ( \gamma - 1 ) \right] q _ { 2 } ( z ) \right) q _ { 3 } ( z ) + \frac 1 3 = 0 } \\ { q ( z ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } q _ { i } ( z ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \| f _ { 1 } ( y ^ { \prime } ) f _ { 2 } ( y ^ { \prime } ) ( f _ { 3 } ( y ) - f _ { 3 } ( y ^ { \prime } ) ) \| } & { = \| c ^ { T } y ^ { \prime } \frac { ( A ^ { T } A y - A ^ { T } A y ^ { \prime } ) } { \| A y ^ { \prime } \| } \| } \\ & { = \| c ^ { T } y ^ { \prime } \frac { A ^ { T } A ( y - y ^ { \prime } ) } { \| A y ^ { \prime } \| } \| } \\ & { \leq \frac { r ^ { 2 } \| c \| } { \sqrt { r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } } } \| y - y ^ { \prime } \| } \end{array}
\left\{ \frac { \delta x } { x _ { 0 } } , \frac { \delta L _ { i } } { L _ { 0 , i } } , \frac { \delta n _ { i } } { n _ { 0 , i } } , \frac { \delta \omega _ { \mathrm { ~ L ~ } } } { \omega _ { 0 , \mathrm { ~ L ~ } } } \right\} \ll 1 .
\phi _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { ( k , \varepsilon ) } ( t ) = 2 \sqrt { \pi \kappa _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } } \Big ( \delta _ { k j _ { 1 } } \mathrm { s i g n } ( a _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } ( x , t ) ) \cos { \frac { 2 \pi \kappa _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } } { \varepsilon } } t + \delta _ { k j _ { 2 } } \sin { \frac { 2 \pi \kappa _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } } { \varepsilon } } t \Big ) ,
( \bar { 3 } , 2 ) _ { \frac { 5 } { 6 } } + ( 3 , 2 ) _ { - \frac { 5 } { 6 } } + ( 1 , 2 ) _ { \frac { 1 } { 2 } } + ( 1 , 2 ) _ { - \frac { 1 } { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } _ { t } u _ { z } = } & { - \frac { 1 } { n } c _ { s } ^ { 2 } \cos \theta \partial _ { x } n - \frac { 1 } { 2 n } \cos \theta \partial _ { x } b _ { y } ^ { 2 } } \\ & { - \cos \theta \mathrm { d } _ { t } u _ { x } + \frac { Z m _ { e } } { m _ { i } } d _ { i } \mathrm { d } _ { t } \frac { \partial _ { x } b _ { y } } { n } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { P } _ { \mathcal { S } } \Big ( \Pi _ { 1 2 } ( \mathcal { S } ) > N / 2 \Big ) \geq C _ { 0 } \frac { \exp ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } ) + 1 } { \exp ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } ) - 1 } \sqrt { \frac { 2 } { \pi N } } \exp \Big ( - N D _ { K L } ( 1 / 2 \Vert p _ { \epsilon , \Omega } ) \Big ) , } \end{array}
f ^ { \prime } ( x ) = e ^ { x } \sin x + e ^ { x } \cos x = \overbrace { \underbrace { ( e ^ { x } \sin x - 1 ) } _ { 2 ) . \mathrm { ~ n o ~ r o o t ~ i n } \ ( a , b ) } + \underbrace { ( e ^ { x } \cos x + 1 ) } _ { 1 , 2 \implies \mathrm { ~ n o ~ r o o t ~ i n } \ ( a , b ) } } ^ { \mathrm { 1 ) . ~ a t ~ l e a s t ~ o n e ~ r o o t ~ i n } \ ( a , b ) } = 0 , \ x \in ( a , b )
\sum _ { m = 1 } ^ { M } \frac { \mathbf { x } _ { m + 1 } ^ { \mathrm { { N M } } } + \mathbf { x } _ { m - 1 } ^ { \mathrm { { N M } } } - 2 \mathbf { x } _ { m } ^ { \mathrm { { N M } } } } { \Delta r ^ { 2 } } \chi _ { m } ( r )
\times \Biggl . \Biggl . \Biggl ( \frac { ( 2 { \vec { k } } _ { 1 } ^ { 2 } - \vec { q } _ { 1 } ^ { ~ 2 } - \vec { q } _ { 2 } ^ { ~ 2 } ) } { ( \vec { q } _ { 1 } ^ { ~ 2 } - \vec { q } _ { 2 } ^ { ~ 2 } ) ^ { 2 } } \left( \frac { \vec { q } _ { 1 } ^ { ~ 2 } \vec { q } _ { 2 } ^ { ~ 2 } } { ( \vec { q } _ { 1 } ^ { ~ 2 } - \vec { q } _ { 2 } ^ { ~ 2 } ) } \ln { ( \frac { \vec { q } _ { 1 } ^ { ~ 2 } } { \vec { q } _ { 2 } ^ { ~ 2 } } ) } - \frac { ( \vec { q } _ { 1 } ^ { ~ 2 } + \vec { q } _ { 2 } ^ { ~ 2 } ) } 2 \right) + \frac 1 2 \Biggr ) \Biggr ] \Biggr ) .
W ( \varepsilon , \varepsilon ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { N ( \varepsilon ) N ( \varepsilon ^ { \prime } ) } \sum _ { k , k ^ { \prime } } W _ { k , k ^ { \prime } } \delta ( \varepsilon _ { k } - \varepsilon ) \delta ( \varepsilon _ { k ^ { \prime } } - \varepsilon ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r l r } { { \mathbb { E } } ( \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 4 } ) } & { = } & { { \mathbb { E } } \left\{ \left( \sum _ { j = 1 } ^ { p } \sum _ { \ell = 1 } ^ { p } \Lambda _ { j \ell } U _ { i , j } U _ { i , \ell } \right) ^ { 2 } \right\} } \\ & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { p } \Lambda _ { j j } ^ { 2 } { \mathbb { E } } ( U _ { i , j } ^ { 4 } ) + 2 \sum _ { 1 \leq j _ { 1 } \neq j _ { 2 } \leq p } \Lambda _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { 2 } { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 1 } } ^ { 2 } ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 2 } } ^ { 2 } ) } \\ & { } & { + \sum _ { 1 \leq j _ { 1 } \neq j _ { 2 } \leq p } \Lambda _ { j _ { 1 } j _ { 1 } } \Lambda _ { j _ { 2 } j _ { 2 } } { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 1 } } ^ { 2 } ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 2 } } ^ { 2 } ) } \\ & { = } & { { \mathbb { E } } ( U _ { i , j } ^ { 4 } ) \sum _ { j = 1 } ^ { p } \Lambda _ { j j } ^ { 2 } + 2 \sum _ { 1 \leq j _ { 1 } \neq j _ { 2 } \leq p } \Lambda _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { 2 } + \sum _ { 1 \leq j _ { 1 } \neq j _ { 2 } \leq p } \Lambda _ { j _ { 1 } j _ { 1 } } \Lambda _ { j _ { 2 } j _ { 2 } } } \\ & { = } & { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { p } \Lambda _ { j j } \right) ^ { 2 } + \{ { \mathbb { E } } ( U _ { i , j } ^ { 4 } ) - 1 \} \sum _ { j = 1 } ^ { p } \Lambda _ { j j } ^ { 2 } + 2 \sum _ { 1 \leq j _ { 1 } \neq j _ { 2 } \leq p } \Lambda _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { = } & { \{ \mathrm { t r } ( \Omega ) \} ^ { 2 } + O \{ \mathrm { t r } ( \Omega ^ { 2 } ) \} } \end{array}
\widetilde { \cal H } _ { 2 D , \mathrm { r e d } } = \frac { \widetilde { p } _ { \phi } ^ { 2 } } { 2 \mu r ^ { 2 } } - \frac { F _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } \Delta \alpha ( r ) \cos ^ { 2 } \widetilde { \phi } + \mu r ^ { 2 } \dot { \Omega } ( t ) \widetilde { \phi } .
\frac { d n _ { e x } ^ { S } } { d t } = D _ { e x } ^ { S } \nabla _ { r } ^ { 2 } n _ { e x } ^ { S } - \left( k _ { r } ^ { S } + k _ { n r } ^ { S } + k _ { e } ^ { S } n + k _ { h } ^ { S } p + k _ { T S } n _ { e x } ^ { T } \right) n _ { e x } ^ { S } + \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { T S } { n _ { e x } ^ { T } } ^ { 2 } + G _ { e x } ^ { S } ,
L _ { + } ^ { D } = \left( \begin{array} { l l } { { ( q t ^ { - 1 } ) ^ { S ^ { 3 } } t ^ { Z } } } & { { \Omega S ^ { - } } } \\ { { 0 } } & { { ( q t ) ^ { - S ^ { 3 } } t ^ { - Z } } } \end{array} \right) \ \ \ , \ \ \ L _ { - } ^ { D } = \left( \begin{array} { l l } { { ( q t ) ^ { - S ^ { 3 } } t ^ { Z } } } & { { 0 } } \\ { { - \Omega S ^ { + } } } & { { ( q t ^ { - 1 } ) ^ { S ^ { 3 } } t ^ { - Z } } } \end{array} \right) \ ,
\begin{array} { r l } { P ( \vec { k } _ { 1 } , \dots , \vec { k } _ { l } \, | \, \rho ) } & { { } = \frac { N ^ { l } } { l ! } \int _ { \mathrm { S O } ( 3 ) } \exp \left( - N \! \int _ { D } I ( \vec { R } \vec { k } ) \, \mathrm d \vec { k } \right) \left( \prod _ { i = 1 } ^ { l } I ( \vec { R } \vec { k } _ { i } ) \right) \, \mathrm d \vec { R } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \frac { { \Gamma } _ { A } + { \Gamma } _ { B } } { \Gamma _ { A } \Gamma _ { B } } } = \frac { \beta ^ { 2 } + ( \delta + \kappa ) ^ { 2 } } { 4 \pi ( \delta + \kappa ) ^ { 2 } \left( \frac { \kappa ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } } { \beta } + \gamma - \alpha \right) } \, , } \end{array}
R _ { p } = \frac { 1 } { \kappa } \frac { \ell _ { p } } { A _ { p } ^ { c } } , \qquad R _ { r } = \frac { 1 } { \kappa } \frac { \ell _ { r } } { A _ { r } ^ { c } } , \qquad C = c _ { \mathrm { E D L } } A _ { p } ^ { s } ,
\begin{array} { r l r } { \delta \mathbf { B } _ { o b s } } & { { } } & { = \langle | \delta B _ { k , \parallel } \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \cdot ( \mathbf { \hat { k } } \times ( \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \times \mathbf { \hat { k } } ) ) - } \end{array}
( \xi _ { t } , \xi ^ { * } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { l = 0 } ^ { k } \frac { \sigma _ { i } ^ { l } } { h _ { i } } \Vert \xi - P _ { h } ^ { l - 1 } \xi \Vert _ { 0 } ^ { 2 } \le a _ { h } ^ { S V } ( \eta , \xi ^ { * } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { l = 0 } ^ { k } \frac { \sigma _ { i } ^ { l } } { h _ { i } } \left( \tilde { u } _ { I } - P _ { h } ^ { l - 1 } \tilde { u } _ { I } , \xi ^ { * } \right) _ { i } .
\begin{array} { r l } { \Vert \zeta \Vert ^ { 2 } } & { = \left( \sum _ { n \geq N + 1 } \varphi _ { n } ( \xi _ { 1 } ) w _ { n } \right) ^ { 2 } + \left( \sum _ { n \geq N + 1 } \varphi _ { n } ( \xi _ { 2 } ) w _ { n } \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq \underbrace { \sum _ { n \geq N + 1 } \frac { \varphi _ { n } ( \xi _ { 1 } ) ^ { 2 } + \varphi _ { n } ( \xi _ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( \lambda _ { n } + \nu ) ^ { 2 } } } _ { : = S _ { \varphi , N } } \times \sum _ { n \geq N + 1 } ( \lambda _ { n } + \nu ) ^ { 2 } w _ { n } ^ { 2 } . } \end{array}
T _ { \mathrm { I } \! \mathrm { P } } ^ { h _ { 1 } h _ { 2 } } = T _ { 1 \mathrm { I } \! \mathrm { P } } ^ { h _ { 1 } h _ { 2 } } + T _ { 3 \mathrm { I } \! \mathrm { P } \! - } ^ { h _ { 1 } h _ { 2 } } + T _ { 3 \mathrm { I } \! \mathrm { P } \! + } ^ { h _ { 1 } h _ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \cos \left( \eta \sin ( \beta ) \right) = } & { J _ { 0 } \left( \eta \right) + 2 \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } J _ { 2 k } \left( \eta \right) \cos \left( 2 k \beta \right) } \\ { \sin \left( \eta \sin ( \beta ) \right) = } & { 2 \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } J _ { 2 k - 1 } \left( \eta \right) \sin \left( ( 2 k - 1 ) \beta \right) } \end{array}
\Pi _ { D } ( p ) = 2 \pi ^ { \lambda + 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \frac { p x } 2 \right) ^ { - \lambda } J _ { \lambda } ( p x ) D ( x , m _ { 1 } ) D ( x , m _ { 2 } ) D ( x , m _ { 3 } ) x ^ { 2 \lambda + 1 } d x .
\begin{array} { r l } { \mathbf { X } ( z ) } & { = \mathbf { I } + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \sigma _ { 2 } z ^ { - 1 } + \frac { \mathbf { I } } { 3 } z ^ { - 2 } + O ( z ^ { - 3 } ) , } \\ { f ( z ) } & { = 2 ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } 3 ^ { \frac { \alpha } { 2 } } e ^ { \frac { \pi i { \beta } } { 3 } } \left[ 1 - \frac { 2 } { 3 } \left( \alpha + \sqrt { 3 } i { \beta } \right) z ^ { - 2 } + O ( z ^ { - 4 } ) \right] z ^ { \alpha } . } \end{array}
\sqrt { d e t \left( 1 + M \right) } = 1 + \frac { 1 } { 2 } t r M - \frac { 1 } { 4 } t r M ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 } ( t r M ) ^ { 2 } + { \cal O } ( M ^ { 3 } )