harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left. \frac { d } { d h } \langle \mathcal { A } ( t + h u ) , v \rangle \right| _ { h = 0 } } & { { } = \left. \frac { d } { d h } \langle e ^ { - T - h U } \mathcal { H } _ { K } e ^ { T + h U } \Phi _ { 0 } , V \Phi _ { 0 } \rangle \right| _ { h = 0 } } \end{array}
\mathbf { F W } ^ { - 1 } = \Phi \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { \tilde { C } } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \Psi } \mathbf { I } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \frac { 1 } { \Gamma } \mathbf { I } } & { \frac { 1 } { \Gamma } \mathbf { I } } \end{array} \right] = \frac { \Phi } { \Gamma } \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { \tilde { C } } } & { \mathbf { \tilde { C } } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { < \sigma v > _ { C X , D _ { 2 } , e f f , E i r e n e } ( T ) } & { = < \sigma v > _ { C X , H _ { 2 } , e f f } ( T / 2 ) } \\ & { = \sum _ { \nu } f _ { \nu } ( T / 2 , . . . ) < \sigma v > _ { C X , H _ { 2 } ( \nu ) } ( T / 2 , . . . ) } \\ { < \sigma v > _ { C X , D _ { 2 } , e f f , c o r r e c t } ( T ) } & { = \sum _ { \nu } f _ { \nu } ( T , . . . ) < \sigma v > _ { C X , H _ { 2 } ( \nu ) } ( T / 2 , . . . ) } \end{array}
I ( u , p ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { s } ( \lambda _ { \mathrm { e } } + 2 \mu _ { \mathrm { e } } ) | u ^ { \prime } - p | ^ { 2 } + ( \lambda _ { \mathrm { m i c r o } } + 2 \mu _ { \mathrm { m i c r o } } ) | p | ^ { 2 } \, \mathrm { d } s - \int _ { s } u \, f + p \, m \, \mathrm { d } s \to \operatorname* { m i n } \quad \mathrm { w . r . t . } \quad \{ u , p \} \, ,
\begin{array} { r } { \left( - \frac { | \beta _ { 2 } ^ { \prime \prime } | } { 2 } \frac { \mathrm { { d } } ^ { 2 } } { \mathrm { { d } } t ^ { 2 } } + V _ { S } ( t ) \right) \, \phi _ { n } ( t ) = \kappa _ { n } \, \phi _ { n } ( t ) . } \end{array}
\hat { H } _ { 1 } = - \sum _ { i , j } \sum _ { \sigma } ( t _ { i j } c _ { i , \sigma } ^ { \dagger } c _ { j , \sigma } + \textnormal { H . c } ) + U \sum _ { i \in \Lambda } c _ { i , \uparrow } ^ { \dagger } c _ { i , \downarrow } ^ { \dagger } c _ { i , \downarrow } c _ { i , \uparrow } .
p _ { 4 } = - \nu _ { c } ( 1 + 4 \nu _ { c } ^ { 2 } ) - 4 \nu _ { c } ^ { 2 } \nu _ { 2 } - B _ { 0 } ^ { 2 } / \eta _ { 0 } ( 1 + \frac { 1 } { 2 } \delta )
\begin{array} { r l } & { X ( x , k ) = I - \int _ { x } ^ { \infty } e ^ { ( x - x ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( k ) } ( \mathsf { U } X ) ( x ^ { \prime } , k ) e ^ { - ( x - x ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( k ) } d x ^ { \prime } , } \\ & { X ^ { A } ( x , k ) = I + \int _ { x } ^ { \infty } e ^ { - ( x - x ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( k ) } ( \mathsf { U } ^ { T } X ^ { A } ) ( x ^ { \prime } , k ) e ^ { ( x - x ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( k ) } d x ^ { \prime } , } \\ & { Y ( x , k ) = I + \int _ { - \infty } ^ { x } e ^ { ( x - x ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( k ) } ( \mathsf { U } Y ) ( x ^ { \prime } , k ) e ^ { - ( x - x ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( k ) } d x ^ { \prime } , } \\ & { Y ^ { A } ( x , k ) = I - \int _ { - \infty } ^ { x } e ^ { - ( x - x ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( k ) } ( \mathsf { U } ^ { T } Y ^ { A } ) ( x ^ { \prime } , k ) e ^ { ( x - x ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( k ) } d x ^ { \prime } , } \end{array}
\left[ \delta ( \epsilon _ { 1 } ) , \delta ( \epsilon _ { 2 } ) \right] \phi = \epsilon _ { 2 } ^ { J } \epsilon _ { 1 } ^ { I } \left[ T _ { I } , T _ { J } \right\} \phi = \epsilon _ { 2 } ^ { J } \epsilon _ { 1 } ^ { I } \left( f _ { I J } { } ^ { K } T _ { K } \phi + f _ { I J } { } ^ { a } D _ { a } \phi + \eta _ { I J } \right) \, .
\mathcal { E } _ { \textup { d i s c r e t e } } = \mathrm { E } \ \alpha \ l _ { 1 4 } ^ { 4 + n } \left( \ \textup { H } ^ { 2 } \ \overline { { \varepsilon } } ^ { 2 } \ \frac { 4 \left( 1 + 2 \psi ^ { 2 } + \psi ^ { n } \right) } { 1 + \psi ^ { 2 } + \psi ^ { n } } + \textup { H } ^ { 4 } \ \overline { { \chi } } ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l r l } { \mathrm { s . t . ~ } \quad } & { p _ { r } = \sum _ { k \in \mathcal { O } _ { r } } ( \beta _ { k } ^ { 0 } + \Delta _ { r k } \cdot \beta _ { k } ^ { \Delta } ) } & & { r \in \mathcal { R } \setminus \mathcal { R } ^ { D E } } \\ & { p _ { r } = ( 1 - \Lambda \cdot x _ { a } ) \cdot \left( \sum _ { k \in \mathcal { O } _ { r } } ( \beta _ { k } ^ { 0 } + \Delta _ { r k } \cdot \beta _ { k } ^ { \Delta } ) \right) } & & { a \in \mathcal { A } , r \in \mathcal { R } _ { a } } \\ & { s _ { i r } = \frac { \exp ( u _ { i r } + \alpha _ { i } \cdot p _ { r } ) } { \exp ( u _ { i 0 } ) + \sum _ { s \in \mathcal { R } _ { i } } \exp ( u _ { i s } + \alpha _ { i } \cdot p _ { s } ) } } & & { i \in \mathcal { N } , r \in \mathcal { R } _ { i } } \\ & { s _ { i 0 } = \frac { \exp ( u _ { i 0 } ) } { \exp ( u _ { i 0 } ) + \sum _ { s \in \mathcal { R } _ { i } } \exp ( u _ { i s } + \alpha _ { i } \cdot p _ { s } ) } } & & { i \in \mathcal { N } } \\ & { \beta _ { m i n } ^ { 0 } \leq \beta _ { k } ^ { 0 } \leq \beta _ { m a x } ^ { 0 } } & & { k \in \mathcal { O } } \\ & { \beta _ { m i n } ^ { \Delta } \leq \beta _ { k } ^ { \Delta } \leq \beta _ { m a x } ^ { \Delta } } & & { k \in \mathcal { O } } \\ & { \Lambda ^ { m i n } \leq \Lambda \leq \Lambda ^ { m a x } } \\ & { x _ { a } \in \{ 0 , 1 \} } & & { a \in \mathcal { A } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \le E _ { k , N } \le \widetilde C ( a , b , k ) \operatorname* { m a x } \{ \widetilde a _ { - 1 } , \widetilde a _ { 1 } , \widetilde b _ { 1 } , \widetilde c _ { 0 } \} \frac { 3 ( 2 \lambda + 5 \mu ) ( \lambda + \mu ) ^ { 2 } \, P ( N + 2 ) } { 4 \mu ^ { 3 } \, 2 ^ { N + 2 } \left( \frac { N + 1 } { 2 } \right) ! } \sum _ { m = \frac { N + 1 } { 2 } } ^ { + \infty } \frac { \left( \frac { \pi k b } { h } \right) ^ { 2 m + 1 } } { m ! } } \\ & { \le \widetilde C ( a , b , k ) \operatorname* { m a x } \{ \widetilde a _ { - 1 } , \widetilde a _ { 1 } , \widetilde b _ { 1 } , \widetilde c _ { 0 } \} \left( \frac { \pi k b } { h } \right) ^ { N + 2 } e ^ { \left( \frac { \pi k b } { h } \right) ^ { 2 } } \, \frac { 3 ( 2 \lambda + 5 \mu ) ( \lambda + \mu ) ^ { 2 } \, P ( N + 2 ) } { 1 6 \mu ^ { 3 } \, 2 ^ { N } \left[ \left( \frac { N + 1 } { 2 } \right) ! \right] ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \scriptscriptstyle \mathrm { d } , \ell } } & { \triangleq \mathbf { z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R } \scriptscriptstyle \mathrm { L } , \ell } \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R } \scriptscriptstyle \mathrm { T } } \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { T } \scriptscriptstyle \mathrm { G } } \in \mathrm { ~ \mathbb { C } ~ } ^ { 1 \times M } } \\ { \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \ell } ( \mathbf { Z } _ { \textnormal { \tiny { R I S } } } ) } & { \triangleq - \mathbf { z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R } \scriptscriptstyle \mathrm { L } , \ell } \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R } \scriptscriptstyle \mathrm { E } } \big ( \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E } \scriptscriptstyle \mathrm { E } } + \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { S C } } \big ) ^ { - 1 } \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E } \scriptscriptstyle \mathrm { T } } \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { T } \scriptscriptstyle \mathrm { G } } \in \mathrm { ~ \mathbb { C } ~ } ^ { 1 \times M } } \end{array}
g ( \rho ^ { \ast } , \theta ^ { \ast } ) = \gamma ^ { \ast } \frac { p _ { \theta } ( \rho ^ { \ast } , \theta ^ { \ast } ) } { ( \rho ^ { \ast } ) ^ { 2 } e _ { \theta } ( \rho ^ { \ast } , \theta ^ { \ast } ) \tau } \neq 0
\begin{array} { r l r l } { \left\langle \hat { a } _ { i n , k } ^ { \dagger } ( \omega ) \hat { a } _ { i n , k } ( \omega ^ { \prime } ) \right\rangle } & { { } = 0 } & { \left\langle \hat { b } _ { \mathrm { i n } } ^ { \dagger } ( \omega ) \hat { b } _ { \mathrm { i n } } ( \omega ^ { \prime } ) \right\rangle } & { { } = n _ { t h } \delta ( \omega + \omega ^ { \prime } ) } \\ { \left\langle \hat { a } _ { i n , k } ( \omega ) \hat { a } _ { i n , k } ^ { \dagger } ( \omega ^ { \prime } ) \right\rangle } & { { } = \delta ( \omega + \omega ^ { \prime } ) } & { \left\langle \hat { b } _ { \mathrm { i n } } ( \omega ) \hat { b } _ { \mathrm { i n } } ^ { \dagger } ( \omega ^ { \prime } ) \right\rangle } & { { } = ( n _ { t h } + 1 ) \delta ( \omega + \omega ^ { \prime } ) } \end{array}
\alpha + \gamma = C _ { \mu } ( \tau , \tau + \Delta \tau ) + \mathscr { O } ( ( \Delta \tau ) ^ { 3 } ) , \qquad \beta = C _ { \nu } ( \tau , \tau + \Delta \tau ) + \mathscr { O } ( ( \Delta \tau ) ^ { 3 } ) , \qquad ( \alpha - \gamma ) \beta = \mathscr { O } ( ( \Delta \tau ) ^ { 3 } ) .
m _ { 1 / 2 } \ = \ - { \frac { g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \, ( 3 T _ { G } - T _ { R } ) \, \left( m _ { 3 / 2 } + { \frac { 1 } { 3 } } K _ { i } F ^ { i } \right) ~ .
\begin{array} { c } { { S = - \Sigma _ { n } m _ { n } \int \sqrt { - g _ { \mu \nu } U _ { n } ^ { \mu } U _ { n } ^ { \nu } } d \tau _ { n } + \frac { 1 } { 2 } \Sigma _ { n } \int \lambda _ { n } ( \tau _ { n } ) [ g _ { \mu \nu } U _ { n } ^ { \mu } U _ { n } ^ { \nu } + 1 ] d \tau _ { n } } } \\ { { + \alpha \Sigma _ { n } m _ { n } \int \phi [ x _ { n } ( \tau _ { n } ) ] d \tau _ { n } - \frac { 1 } { 2 \beta } \int [ \nabla ^ { \mu } \phi \nabla _ { \mu } \phi - \Lambda ^ { 2 } e ^ { 2 \phi } ] \sqrt { g } d ^ { 4 } x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \zeta } { \mathrm { d } \tau } } & { { } = C _ { 1 2 } ( \eta ) + s C _ { 1 3 } ( \eta ) \equiv F _ { \zeta } ( \eta , s ) \, , } \\ { \frac { \mathrm { d } \lambda } { \mathrm { d } \tau } } & { { } = C _ { 2 2 } ( \eta ) + s C _ { 2 3 } ( \eta ) \equiv F _ { \lambda } ( \eta , s ) \, , } \\ { \frac { \mathrm { d } \eta } { \mathrm { d } \tau } } & { { } = C _ { 3 2 } ( \eta ) + s C _ { 3 3 } ( \eta ) \equiv F _ { \eta } ( \eta , s ) \, . } \end{array}
\operatorname { d i v } \mathbf { F } = \nabla \cdot \mathbf { F } = { \frac { \partial F _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } } + { \frac { \partial F _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } } + \cdots + { \frac { \partial F _ { n } } { \partial x _ { n } } } .
\left( 1 + \frac { k _ { 0 } } { \kappa } \chi _ { x x } ^ { ( L ) } \right) \left( 1 - \frac { \kappa } { k _ { 0 } } \chi _ { x x } ^ { ( R ) } \right) \beta _ { L } + \left( 1 + \frac { k _ { 0 } } { \kappa } \chi _ { x x } ^ { ( R ) } \right) \left( 1 - \frac { \kappa } { k _ { 0 } } \chi _ { x x } ^ { ( L ) } \right) \beta _ { R } = 0 .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { Q } ( { \boldsymbol { x } ^ { * } } ) ^ { \mathrm { L e q } } = \mathcal { Q } ( { \boldsymbol { x } ^ { * } } ) \cap \{ \hat { \boldsymbol { q } } : \; 0 \leq \hat { \boldsymbol { q } } < \mathbb { E } [ \boldsymbol { Q } | _ { \boldsymbol { x } ^ { * } } ] - \boldsymbol { \epsilon } \} } \\ & { \mathcal { Q } ( { \boldsymbol { x } ^ { * } } ) ^ { \mathrm { M i d } } = \mathcal { Q } ( { \boldsymbol { x } ^ { * } } ) \cap \{ \hat { \boldsymbol { q } } : \; \mathbb { E } [ \boldsymbol { Q } | _ { \boldsymbol { x } ^ { * } } ] - \boldsymbol { \epsilon } \leq \hat { \boldsymbol { q } } \leq \mathbb { E } [ \boldsymbol { Q } | _ { \boldsymbol { x } ^ { * } } ] + \boldsymbol { \epsilon } \} } \\ & { \mathcal { Q } ( { \boldsymbol { x } ^ { * } } ) ^ { \mathrm { G e q } } = \mathcal { Q } ( { \boldsymbol { x } ^ { * } } ) \cap \{ \hat { \boldsymbol { q } } : \; \mathbb { E } [ \boldsymbol { Q } | _ { \boldsymbol { x } ^ { * } } ] + \boldsymbol { \epsilon } < \hat { \boldsymbol { q } } \leq \boldsymbol { q } ^ { \mathrm { M a x } } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) \varphi ( \eta , t ) \textup { d } \eta - \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , 0 ) } & { \varphi ( \eta , 0 ) \textup { d } \eta - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , s ) \partial _ { s } \varphi ( \eta , s ) \textup { d } \eta \textup { d } s = } \\ { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , s ) \varphi ( \eta , s ) \textup { d } \eta \textup { d } s - \frac { 2 } { 3 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , s ) a } & { \partial _ { a } \varphi ( \eta , s ) \textup { d } \eta \textup { d } s - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , s ) v \partial _ { v } \varphi ( \eta , s ) \textup { d } \eta \textup { d } s } \\ { + ( 1 - \gamma ) \int _ { 0 } ^ { t } \langle \mathbb { K } [ g ] ( s ) , \varphi ( s ) \rangle \textup { d } s + ( 1 - \gamma ) } & { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } r ( \eta ) ( c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } - a ) g ( \eta , s ) \partial _ { a } \varphi ( \eta , s ) \textup { d } \eta \textup { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { B ( T ) } { N _ { \mathrm { A } } } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 V } \left( Z _ { 2 } - Z _ { 1 } ^ { 2 } \right) } \\ { \frac { C ( T ) } { N _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } } & { { } = } & { \frac { \left( Z _ { 2 } - Z _ { 1 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { V ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 3 V } \left( Z _ { 3 } - 3 Z _ { 2 } Z _ { 1 } + 2 Z _ { 1 } ^ { 3 } \right) } \\ { \frac { D ( T ) } { N _ { \mathrm { A } } ^ { 3 } } } & { { } = } & { - \frac { Z _ { 4 } - 4 Z _ { 3 } Z _ { 1 } - 3 Z _ { 2 } ^ { 2 } + 1 2 Z _ { 2 } Z _ { 1 } ^ { 2 } - 6 Z _ { 1 } ^ { 4 } } { 8 V } + } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( | \| R X \| _ { F } ^ { 2 } - \| X \| _ { F } ^ { 2 } | > \varepsilon \| X \| _ { F } ^ { 2 } ) } & { = \mathbb { P } ( | \sigma ^ { T } A _ { X , \eta } \sigma | > \varepsilon \| X \| _ { F } ^ { 2 } ) } \\ & { \leq \varepsilon ^ { - q } \| X \| _ { F } ^ { - 2 q } \| \sigma ^ { T } A _ { X , \eta } \sigma \| _ { q } ^ { q } } \\ & { \leq \delta , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { P } _ { x } ^ { \mathrm { L R } } ( { \it \Delta \phi } ) } & { { } = } & { R _ { \mathrm { L R } } ( { \it \Delta \Psi } ) \mathcal { P } _ { x } ^ { \mathrm { L R } } R _ { \mathrm { L R } } ( - { \it \Delta \Psi } ) } \end{array}
\langle \sigma _ { h } ( z , \bar { z } ) \rangle _ { \mathbb { S } } ^ { \alpha \beta } = \mathcal { J } _ { S L ( 2 , \mathbb { C } ) } \sum _ { \ell } \mathcal { A } _ { \sigma _ { h } , \Psi _ { \ell } } ^ { ( \alpha ) } \mathcal { B } _ { \Psi _ { \ell } } ^ { ( \alpha \alpha \beta ) \Psi _ { 1 2 } } { \Psi _ { 1 2 } } \widetilde { \cal F } _ { \ell } ( e ^ { 2 \pi i } \eta ) \, .
\begin{array} { r l } { \overline { { v } } \left( \eta = 0 \right) } & { { } = \frac { k _ { x } \kappa _ { z } A _ { v } } { ( 2 \overline { { x } } ) ^ { 1 / 2 } k _ { z } } \overline { { p } } \left( \eta = 0 \right) = \left( \frac { k _ { x } } { 2 \overline { { x } } \mathrm { R } _ { \lambda } } \right) ^ { 1 / 2 } A _ { v } \overline { { p } } \left( \eta = 0 \right) , } \\ { \overline { { \tau } } \left( \eta = 0 \right) } & { { } = \frac { k _ { x } A _ { \tau } } { \mathrm { R } _ { \lambda } } \overline { { p } } \left( \eta = 0 \right) . } \end{array}
\Sigma ^ { 2 } ( x ) = k ^ { f } ( x , x ) - k ^ { f } ( x , \mathcal { X } ) ^ { \top } \left( \mathcal { K } + \frac { { \sigma } ^ { 2 } } { \mathrm { ~ d ~ } t } \right) ^ { - 1 } k ^ { f } ( x , \mathcal { X } ) ,
u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } ) = \sum _ { m n o } c _ { m n o } \Delta _ { m n } ( \bar { r } _ { i A } ^ { m } \bar { r } _ { j A } ^ { n } + \bar { r } _ { i A } ^ { n } \bar { r } _ { j A } ^ { m } ) \bar { r } _ { i j } ^ { o }
{ \cal A } = V _ { p + 1 } \int \frac { d ^ { p + 1 } k } { ( 2 \pi ) ^ { p + 1 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d t } { 2 t } } \sum _ { I } e ^ { - 2 \pi { \alpha ^ { \prime } } t ( k ^ { 2 } + M _ { I } ^ { 2 } ) } .
\mathbf { R } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \left( C _ { 1 } - C _ { 2 } + \frac { i } { \sqrt { 3 } } ( C _ { 1 } + C _ { 2 } ) \right) s _ { 0 } ^ { - 1 } f _ { \infty } ^ { - 2 } } \\ { \left( C _ { 2 } - C _ { 1 } + \frac { i } { \sqrt { 3 } } ( C _ { 1 } + C _ { 2 } ) \right) s _ { 0 } f _ { \infty } ^ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) ,
\exp [ - i E ( k , h ) ] \left( \begin{array} { c } { U } \\ { V } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { \mathcal { A } } & { \mathcal { B } } \\ { \mathcal { C } } & { \mathcal { D } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { U } \\ { V } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { T _ { 1 1 } } & { = } & { \Bigg | \mathbb { E } \Bigg [ \frac { 1 } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \frac { 1 } { 2 } \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) \} \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ] ( g _ { k - 1 } ) - } \\ & { } & { [ \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } - \eta _ { k - 1 } ^ { l } ] ( g _ { k - 1 } ) \} \Bigg ] \Bigg | } \\ { T _ { 1 2 } } & { = } & { \Bigg | \mathbb { E } \Bigg [ \frac { 1 } { 2 } \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) \} [ \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } - \eta _ { k - 1 } ^ { l } ] ( g _ { k - 1 } ) \Bigg \{ \frac { 1 } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } - } \\ & { } & { \frac { 1 } { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \Bigg \} \Bigg ] \Bigg | } \\ { T _ { 1 3 } } & { = } & { \Bigg | \mathbb { E } \Bigg [ \frac { [ \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } - \eta _ { k - 1 } ^ { l } ] ( g _ { k - 1 } ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) \} \Bigg ] \Bigg | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { c } } & { { } = R _ { \mathrm { c a l } } \, \cos \left( \frac { \pi } { 2 } - \theta _ { e q } \right) } \\ { R _ { \mathrm { c a l } } - h } & { { } = R _ { \mathrm { c a l } } \, \sin \left( \frac { \pi } { 2 } - \theta _ { e q } \right) . } \end{array}
V ^ { ( 0 ) } = \frac { 1 } { 4 } \, \pi _ { i j } \pi ^ { i j } + \partial _ { i } A _ { 0 j } \pi ^ { i j } - \frac { 1 } { 4 } \, A _ { i j } \nabla ^ { 2 } A ^ { i j } + \frac { 1 } { 2 } \, A _ { i j } \, \partial ^ { j } \partial _ { k } A ^ { i k }
\chi _ { T } = \left( \frac { \partial J } { \partial \Omega } \right) _ { T } = 2 ^ { 5 / 3 } \pi ^ { 1 / 3 } \kappa ^ { - 4 / 3 } N m r _ { + } ^ { - 1 } \frac { r _ { + } ^ { 4 } + 4 l ^ { 2 } r _ { + } ^ { 2 } - l ^ { 4 } } { 3 r _ { + } ^ { 4 } + 4 l ^ { 2 } r _ { + } ^ { 2 } + l ^ { 4 } } \frac { 3 r _ { + } ^ { 2 } + l ^ { 2 } } { 3 r _ { + } ^ { 2 } - l ^ { 2 } } .
\displaystyle \frac { e _ { 1 } + e _ { 2 } - 2 e _ { 1 } e _ { 2 } + e _ { 2 } ^ { 2 } - 2 e _ { 1 } e _ { 2 } ^ { 2 } - 2 e _ { 2 } ^ { 3 } + 4 e _ { 1 } e _ { 2 } ^ { 3 } } { e _ { 1 } + 2 e _ { 2 } - 2 e _ { 1 } e _ { 2 } }
x \longmapsto \Psi ( \omega _ { 1 } ( x ) , \omega _ { 2 } ( x ) ) = ( V _ { 1 } ^ { d e f } ( \omega _ { 1 } ( x ) , \omega _ { 2 } ( x ) ) , V _ { 2 } ^ { d e f } ( \omega _ { 1 } ( x ) , \omega _ { 2 } ( x ) ) )
\begin{array} { r } { \sqrt { \beta _ { e } } \ll k _ { \parallel } L _ { T } \ll 1 , \quad \beta _ { e } \frac { \lambda _ { e i } } { L _ { T } } \ll k _ { \perp } \rho _ { e } \ll \frac { \lambda _ { e i } } { L _ { T } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ^ { ( 1 , \pm ) } = } & { { } \, \frac { \alpha \, m ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { \prime } } \sum _ { n \geq n _ { 0 } ^ { \pm } } ^ { \infty } \int _ { 1 } ^ { u _ { \tilde { n } ^ { \pm } } } \! \! \! \frac { d u } { u \sqrt { u ( u - 1 ) } } \Bigg [ \frac { 1 } { 2 } \bigg ( \tilde { z } ^ { \pm \, 2 } J _ { n } ^ { 2 } + \tilde { z } _ { \alpha } ^ { 2 } J _ { n \mp \sigma } ^ { 2 } - 2 \tilde { z } ^ { \pm } \tilde { z } _ { \alpha } J _ { n } J _ { n \mp \sigma } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \varphi ( t _ { 0 } + \tilde { T } + a ) - \psi ( t _ { 0 } + \tilde { T } + a ) | } & { \leq | \varphi ( t _ { 0 } + \tilde { T } + a ) - \tilde { \psi } ( t _ { 0 } + \tilde { T } + a ) | } \\ & { \quad + | \tilde { \psi } ( t _ { 0 } + \tilde { T } + a ) - \psi ( t _ { 0 } + \tilde { T } + a ) | } \\ & { < \eta } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { j e t } \simeq 2 \frac { d \, z _ { j e t } } { d \tau } \simeq \frac { 2 \, C \, q _ { \infty } } { n } \left( 1 + n \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { | \Delta \, q ( \bar { x } ) | } { \left( 1 + \bar { x } \right) ^ { n + 1 } } \, d \bar { x } \right) ^ { 1 / n } \left( C q _ { \infty } \tau \right) ^ { ( 1 - n ) / n } \, . } \end{array}
\left. \Gamma _ { 3 } ^ { ( 1 ) 0 } ( p , p - q ) \right| _ { q ^ { 0 } = 0 } \simeq \frac { - e ^ { 3 } } { 4 \pi \Theta } \left[ \frac { \epsilon _ { i j } p ^ { i } q ^ { j } } m \right]
\Theta \, \cot \left( \Theta \left[ \ln \left( \frac { z } { 2 } \right) + \gamma \right] \right) \stackrel { ( a \rightarrow 0 ) } { = } \tilde { k } a \, \frac { J _ { l } ^ { \prime } ( \tilde { k } a ) } { J _ { l } ( \tilde { k } a ) } \, \left[ 1 + O \left( [ \kappa a ] ^ { 2 } \right) \right] \; .
\begin{array} { l r c l } { { \pm e _ { i } \pm e _ { j } } } & { { ( 6 0 ) } } & { { \mathrm { w i t h } } } & { { i \neq j \; \mathrm { a n d } \; i , j = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } } \\ { { 1 / 2 ( \pm e _ { 1 } \pm e _ { 2 } \pm e _ { 3 } \pm e _ { 4 } \pm e _ { 5 } \pm e _ { 6 } \pm \sqrt { 2 } e _ { 7 } ) } } & { { ( 6 4 ) } } & { { \mathrm { w i t h } } } & { { \mathrm { o d d ~ n u m b e r ~ o f ~ m i n u s ~ s i g n s ~ f o r ~ e _ { 1 } ~ t o ~ e _ { 6 } ~ } } } \\ { { \pm \sqrt { 2 } e _ { 7 } } } & { { ( 2 ) } } & { { } } & { { } } \\ { { ( 0 , 0 , 0 , 0 ) _ { i } } } & { { ( 7 ) } } & { { \mathrm { w i t h } } } & { { i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } } \end{array}
{ \frac { \sigma ( 1 4 0 ) } { 1 4 0 } } = { \frac { 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 1 0 + 1 4 + 2 0 + 2 8 + 3 5 + 7 0 + 1 4 0 } { 1 4 0 } } = { \frac { 3 3 6 } { 1 4 0 } } = { \frac { 1 2 } { 5 } } .
\begin{array} { r l } { P _ { I } } & { \approx P _ { t } \kappa ^ { - 1 } \sum _ { u \in \Psi _ { U } \backslash \{ u ^ { * } \} } \frac { 1 } { | \mathbf { g } _ { u } | ^ { 2 } } \sum _ { i \in \mathcal { C } _ { u } } \bigg | \mathbf { h } _ { i u } ^ { H } \mathbf { h } _ { i u ^ { * } } r _ { i u } ^ { - \alpha / 2 } r _ { i u ^ { * } } ^ { - \alpha / 2 } \bigg | ^ { 2 } } \\ & { \approx P _ { t } \kappa ^ { - 1 } \sum _ { u \in \Psi _ { U } \backslash \{ u ^ { * } \} } \frac { 1 } { | \mathbf { g } _ { u } | ^ { 2 } } \sum _ { i \in \mathcal { C } _ { u } } \bigg | \Big ( \sum _ { k = 1 } ^ { M } h _ { i u k } ^ { * } h _ { i u ^ { * } k } \Big ) r _ { i u } ^ { - \alpha / 2 } r _ { i u ^ { * } } ^ { - \alpha / 2 } \bigg | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \mathrm { P o r t \ 4 ^ { \prime } } \rangle = } & { } & { \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 2 } } , \pi / 2 ) \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 3 } } , 2 \delta { \it \Psi } _ { \mathrm { p } } ) \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 1 } } , \pi ) \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 3 } } , - 2 \delta { \it \Psi } _ { \mathrm { p } } ) } \\ & { } & { \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 1 } } , \pi ) \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 2 } } , - \pi / 2 ) | \mathrm { P o r t \ 4 } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle z _ { + } \left( \mathbf { k } \right) z _ { - } ^ { * } \left( \mathbf { k } \right) \right\rangle } & { = \frac { 1 } { 2 } \left\langle \left( k ^ { 2 } + m ^ { 2 } \right) \hat { A } \left( \mathbf { k } \right) \hat { A } ^ { * } \left( \mathbf { k } \right) - N ^ { 2 } \hat { \zeta } \left( \mathbf { k } \right) \hat { \zeta } ^ { * } \left( \mathbf { k } \right) \right\rangle + \sqrt { k ^ { 2 } + m ^ { 2 } } N \left\langle \hat { A } \left( \mathbf { k } \right) \hat { \zeta } ^ { * } \left( \mathbf { k } \right) - \hat { \zeta } \left( \mathbf { k } \right) \hat { A } ^ { * } \left( \mathbf { k } \right) \right\rangle , } \end{array}