harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { r ( M _ { c } ) } & { = \frac { ( \kappa ^ { 2 } + 2 \kappa ) ( 2 \kappa ^ { 2 } + 2 \kappa ) } { 2 \kappa ^ { 2 } ( \kappa ^ { 2 } + 2 \kappa + 1 ) } - 2 + \tau = \frac { \kappa + 2 } { \kappa + 1 } - 2 + k _ { I } } \\ & { = - \frac { \kappa } { \kappa + 1 } + k _ { I } = k _ { I } - \frac { k _ { N } } { k _ { N } + k _ { I } } . } \end{array}
\left| B _ { X } \right\rangle \! = N _ { p } \delta ^ { \left( d _ { \bot } \right) } \left( \widehat { q } - y \right) \exp \left[ - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } A _ { n } ^ { \dagger } \cdot S \cdot B _ { n } ^ { \dagger } \right] \left| 0 \right\rangle \! ,
\begin{array} { r l } & { \mu _ { ⊗ } : 𝓝 𝓝 𝕍 ( A ; B ⊗ _ { N N } C ) = 𝓝 𝕍 ( A ; N ⊗ _ { N } B ⊗ _ { N } N ⊗ _ { N } C ⊗ _ { N } N ) \overset { \lambda \, , \, \rho } { \cong } 𝓝 𝕍 ( A ; B ⊗ _ { N } C ) , } \\ & { \mu _ { N } = \mu _ { I } : 𝓝 𝓝 𝕍 ( A ; N ) = 𝓝 𝕍 ( A ; N ) , } \\ & { \mu _ { ◁ } : 𝓝 𝓝 𝕍 ( A ; B ◁ _ { N N } C ) = 𝓝 𝕍 ( A ; ( N ⊗ _ { N } B ⊗ _ { N } N ) ◁ _ { N } ( N ⊗ _ { N } C ⊗ _ { N } N ) ) \overset { \lambda \, , \, \rho } { \cong } 𝓝 𝕍 ( A ; B ◁ _ { N } C ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle r _ { N } \rangle \equiv \sqrt { \langle r _ { N } ^ { 2 } \rangle } } & { { } \sim } & { A ^ { 1 / 3 } \, a _ { \mathrm { e f f } } \sim A ^ { 1 / 3 } \, \frac { 3 2 \pi \, m _ { \mathrm { n u c l e o n } } } { g _ { \pi N N } ^ { 2 } m _ { \pi } ^ { 2 } } } \end{array}
\langle x _ { i } x _ { j } x _ { k } \rangle = ( - i ) ^ { 3 } \left. { \frac { \partial ^ { 3 } \phi ( { \bf u } ) } { \partial u _ { i } \partial u _ { j } \partial u _ { k } } } \right| _ { { \bf u } = 0 } = B _ { i j k } + \mu _ { i } C _ { j k } + \mu _ { j } C _ { k i } + \mu _ { k } C _ { i j } + \mu _ { i } \mu _ { j } \mu _ { k } \, ,
\begin{array} { r l } { \ell ^ { \mathrm { o u t } } } & { > D _ { i } + f _ { 1 0 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { = D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F _ { i } ) - c _ { i } ( F ^ { * } ) + ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \mu \left( F ^ { * } \setminus F _ { i } \right) } { \mu \left( F _ { i } \setminus F ^ { * } \right) } } \\ { } & { = D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F _ { i } ) - c _ { i } ( F ^ { * } ) + ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot 0 } { \mu \left( F _ { i } \setminus F ^ { * } \right) } } \\ { } & { = D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F _ { i } ) - c _ { i } ( F ^ { * } ) } { \mu ( F _ { i } ) - \mu ( F ^ { * } ) } } \\ { } & { = D _ { i } + f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \epsilon \int _ { - \infty } ^ { 0 } d t ^ { \prime } \, e ^ { \epsilon t ^ { \prime } } f ( t ^ { \prime } ) = } & \\ & { \left[ f ( t ^ { \prime } ) e ^ { \epsilon t ^ { \prime } } \right] _ { - \infty } ^ { 0 } - \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \int _ { - \infty } ^ { 0 } d t ^ { \prime } \, \frac { d f } { d t ^ { \prime } } e ^ { \epsilon t ^ { \prime } } } & \\ & { = f ( 0 ) - \int _ { - \infty } ^ { 0 } d t ^ { \prime } \, \frac { d f } { d t ^ { \prime } } = f ( - \infty ) . } & \end{array}
P _ { \mathrm { b b b } } = \frac { 1 } { \mathcal { N } } \int \frac { d ^ { 3 } \tilde { q } } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \int \frac { d ^ { 3 } \tilde { k } } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \left| \frac { \tilde { \Lambda } _ { 2 2 } \beta _ { 2 } \left( \tilde { q } \right) } { \tilde { k } ^ { 2 } + 3 \tilde { q } ^ { 2 } / 4 + \tilde { \lambda } ^ { 2 } } \right| ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \mathbb E \exp \Bigl ( i t \frac { S _ { 2 } ^ { \varepsilon } - c _ { N } } { a _ { n } } \Bigr ) = \exp \Bigl ( \beta ^ { \alpha } \int _ { 1 } ^ { \infty } ( e ^ { i t x } - 1 ) \alpha x ^ { - 1 - \alpha } d x + \beta ^ { \alpha } \int _ { \varepsilon } ^ { 1 } ( e ^ { i t x } - 1 - i t x ) \alpha x ^ { - 1 - \alpha } d x \Bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { S } _ { z } ^ { ( A ) } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { p } ( \hat { a } _ { p \alpha } ^ { \dagger } \hat { a } _ { p \alpha } - \hat { a } _ { p \beta } ^ { \dagger } \hat { a } _ { p \beta } ) , } \end{array}
\mathbf { e } \triangleq \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n } - ( \mathbf { S } \mathbf { S } ^ { T } \hat { \ensuremath { \mathbf { u } } } ^ { n } + \mathbf { S } ^ { \ast } \mathbf { S } ^ { \ast T } \Tilde { \ensuremath { \mathbf { u } } } ^ { n } )
\begin{array} { r l } { T ^ { \mu \nu } } & { = ( \epsilon + P ) u ^ { \mu } u ^ { \nu } + P \, g ^ { \mu \nu } - r ^ { \mu \nu } } \\ & { \qquad - 2 c _ { \phi } ( - ) ^ { p } { * ( \mu \wedge \tilde { \mu } ) } ^ { ( \mu } u ^ { \nu ) } + { \cal T } ^ { \mu \nu } , } \\ { J } & { = u \wedge n - \tilde { c } _ { \phi } \, { * \tilde { \mu } } + { \cal J } , } \\ { L } & { = u \wedge n _ { \ell } + { \cal L } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { 0 = } & { { } ~ \varepsilon _ { 0 } \Lambda - ( r + \mu ) y _ { 0 } ^ { * * } - \frac { \mu n ^ { * } ( r + \mu ) y _ { 0 } ^ { * * } } { \alpha [ y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) ] } , } \\ { 0 = } & { { } ~ \varepsilon _ { 1 } \Lambda - ( r + \mu ) y _ { 1 } ^ { * * } - \frac { \mu n ^ { * } ( r + \mu ) y _ { 1 } ^ { * * } } { \alpha [ y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) ] } , } \\ { 0 = } & { { } ~ \varepsilon _ { 2 } \Lambda - ( r + \mu ) y _ { 2 } ^ { * * } - \frac { \mu n ^ { * } ( r + \mu ) y _ { 2 } ^ { * * } } { \alpha ( 1 - p _ { S } ) [ y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) ] } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \rho _ { X } ( \mathbf { x } _ { 1 } | \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } ) } & { = \rho _ { X } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } | \mathbf { x } _ { 1 } ) , } \\ { \Gamma _ { X } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } | \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { 2 } ^ { \prime } ) } & { = \Gamma _ { X } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { 2 } ^ { \prime } | \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } ) = \Gamma _ { X } ( \mathbf { x } _ { 2 } , \mathbf { x } _ { 1 } | \mathbf { x } _ { 2 } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } ) = \Gamma _ { X } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { 2 } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } | \mathbf { x } _ { 2 } , \mathbf { x } _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { R } _ { \Vec { Y } } } & { = \frac { 1 } { L b } \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } u ( \boldsymbol { y } _ { \ell } ^ { \sf H } \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } \boldsymbol { y } _ { \ell } ; \cdot ) \boldsymbol { y } _ { \ell } \boldsymbol { y } _ { \ell } ^ { \sf H } = \frac { 1 } { L } \boldsymbol { Y } \boldsymbol { D } \boldsymbol { Y } ^ { \sf H } } \end{array}
\begin{array} { r l } { n ^ { - 1 / 2 } \nu _ { n } [ g ( \cdot , \beta _ { n } ) - g ( \cdot , \beta ^ { 0 } ) ] } & { = n ^ { - 1 / 2 } ( \beta _ { n } - \beta ^ { 0 } ) ^ { T } \nu _ { n } \triangle ( \cdot , \beta ^ { 0 } ) + n ^ { - 1 / 2 } \Vert ( \beta _ { n } - \beta ^ { 0 } ) \Vert \nu _ { n } r ( \cdot , \beta _ { n } ) } \\ & { = n ^ { - 1 } u _ { n } ^ { T } \nu _ { n } \triangle ( \cdot , \beta ^ { 0 } ) + o _ { p } ( n ^ { - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { Q } ^ { ( T ) } ( \alpha , \alpha ^ { * } ) \equiv \langle \alpha | \hat { H } _ { F } ^ { ( T ) } | \alpha \rangle = \sum _ { n , m } \chi _ { n m } ( \alpha ^ { * } ) ^ { n } \alpha ^ { m } . } \end{array}
( \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } ) _ { 1 } = R , \qquad ( \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } ) _ { 2 } = 1 \, , \qquad R = - \frac { b ^ { \pm } K _ { c } - \omega ^ { 2 } M _ { 1 2 } ( \omega ) } { b ^ { \pm } K - \omega ^ { 2 } M _ { 1 1 } ( \omega ) } \, ,
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { \gamma _ { i j } = } & & { 2 } \\ & { \gamma _ { i j } = } & & { 2 t _ { i k } ^ { a b } t _ { k j } ^ { a b } - 4 t _ { i k } ^ { a b } t _ { j k } ^ { a b } + 4 \tilde { \bar { t } } _ { i k } ^ { A a } \bar { \bar { t } } _ { j k } ^ { A a } - 8 \tilde { \bar { t } } _ { i k } ^ { A a } \bar { \bar { t } } _ { k j } ^ { A a } + 4 \tilde { t } _ { i k } ^ { A a } \bar { \bar { t } } _ { k j } ^ { A a } - 8 \tilde { t } _ { i k } ^ { A a } \bar { \bar { t } } _ { j k } ^ { A a } + 2 \tilde { \bar { t } } _ { i k } ^ { A B } \bar { \bar { t } } _ { j k } ^ { A B } } \\ & { } & & { - 4 \tilde { \bar { t } } _ { i k } ^ { A B } \bar { \bar { t } } _ { k j } ^ { A B } + 2 \tilde { t } _ { i k } ^ { A B } \bar { \bar { t } } _ { k j } ^ { A B } - 4 \tilde { t } _ { i k } ^ { A B } \bar { \bar { t } } _ { j k } ^ { A B } - 2 t _ { i } ^ { a } t _ { j } ^ { a } } \\ & { \gamma _ { i a } = } & & { 2 t _ { i } ^ { a } - 2 t _ { j i } ^ { a b } t _ { j } ^ { b } + 4 t _ { i j } ^ { a b } t _ { j } ^ { b } } \\ & { \gamma _ { a i } = } & & { 2 ( t _ { i } ^ { a } - t _ { j i } ^ { a b } t _ { j } ^ { b } + 2 t _ { i j } ^ { a b } t _ { j } ^ { b } ) } \\ & { \gamma _ { i A } = } & & { - 4 \tilde { \bar { t } } _ { i j } ^ { A a } t _ { j } ^ { a } + 8 \tilde { t } _ { i j } ^ { A a } t _ { j } ^ { a } } \\ & { \gamma _ { A i } = } & & { 2 ( - 2 \tilde { t } _ { i j } ^ { a A } t _ { j } ^ { a } + 4 \tilde { \bar { t } } _ { i j } ^ { a A } t _ { j } ^ { a } ) } \\ & { \gamma _ { a A } = } & & { - 4 \tilde { t } _ { i j } ^ { A b } t _ { j i } ^ { a b } + 8 \tilde { t } _ { i j } ^ { A b } t _ { i j } ^ { a b } - 4 \tilde { t } _ { i j } ^ { A B } \bar { \bar { t } } _ { i j } ^ { B a } + 8 \tilde { t } _ { i j } ^ { A B } \bar { \bar { t } } _ { j i } ^ { B a } } \\ & { \gamma _ { A a } = } & & { - 2 \bar { \bar { t } } _ { i j } ^ { A b } t _ { j i } ^ { a b } + 4 s _ { i j } ^ { A b } t _ { i j } ^ { a b } - 4 \bar { \bar { t } } _ { i j } ^ { A B } \tilde { t } _ { i j } ^ { B a } + 8 \bar { \bar { t } } _ { i j } ^ { A B } \tilde { \bar { t } } _ { i j } ^ { B a } } \\ & { \gamma _ { a b } = } & & { - 2 t _ { i j } ^ { a c } t _ { j i } ^ { b c } + 4 t _ { i j } ^ { a c } t _ { i j } ^ { b c } - 4 \bar { \bar { t } } _ { j i } ^ { A a } \tilde { t } _ { i j } ^ { A b } + 8 \bar { \bar { t } } _ { j i } ^ { A a } \tilde { \bar { t } } _ { i j } ^ { A b } + 2 t _ { i } ^ { a } t _ { i } ^ { b } } \\ & { \gamma _ { A B } = } & & { - 4 \bar { \bar { t } } _ { i j } ^ { A a } \tilde { \bar { t } } _ { i j } ^ { B a } + 8 \bar { \bar { t } } _ { i j } ^ { A a } \tilde { t } _ { i j } ^ { B a } - 4 \bar { \bar { t } } _ { i j } ^ { A C } \tilde { \bar { t } } _ { i j } ^ { B C } + 8 \bar { \bar { t } } _ { i j } ^ { A C } \tilde { t } _ { i j } ^ { B C } } \end{array}
I ( \boldsymbol { x } ) = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( e ^ { - i \phi ( \boldsymbol { \xi } ) } \mathcal { F } \left( I ^ { m } \right) ( \boldsymbol { \xi } ) \right) ( \boldsymbol { x } ) \, , \qquad \forall \, \boldsymbol { x } \in \mathbb { R } ^ { 2 } \, .
\tan \beta + \cot \alpha = - \frac { 2 M _ { Z } ^ { 2 } } { M _ { A } ^ { 2 } } \tan \beta \cos 2 \beta + \mathcal { O } \left( \frac { M _ { E W } ^ { 4 } } { M _ { A } ^ { 4 } } \right) \, .
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { C S G L } } } & { = \int d ^ { 3 } x \left[ i \hbar \Phi ^ { \dagger } D _ { t } \Phi - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } | D _ { i } \Phi | ^ { 2 } - V ( | \Phi | ^ { 2 } ) \right. } \\ & { \left. - \frac { \hbar \nu } { 4 \pi } \epsilon ^ { \mu \lambda \kappa } a _ { \mu } \partial _ { \lambda } a _ { \kappa } \right] , } \end{array}
\psi _ { s } ( r , \xi ) = \psi _ { s 0 } ( \xi ) \; \mathrm { e x p } \left[ - \frac { r ^ { 2 } } { r _ { s } ^ { 2 } ( \xi ) } + i d _ { s } ( \xi ) r ^ { 2 } + i \phi _ { s } ( \xi ) \right] ,
\bigcup _ { i = 1 } ^ { n _ { \mathcal { D } } } \mathcal { D } _ { i } = \mathcal { D } \quad \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } \quad \mathcal { D } _ { i } \cap \mathcal { D } _ { j } = \emptyset \quad \forall i , j
\begin{array} { r l } { \zeta = ~ } & { { } \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { 0 } A _ { 1 1 } ^ { \prime } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \mathrm { i } \omega _ { 0 } t ) } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } + \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } A _ { 2 2 } ^ { \prime } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } ( \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \mathrm { i } \omega _ { 0 } t ) } + \frac { 1 } { 2 } A _ { 2 0 } ^ { \prime } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } \right) , } \\ { \Phi = ~ } & { { } \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { 0 } B _ { 1 1 } ^ { \prime } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \mathrm { i } \omega _ { 0 } t ) } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } + \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } B _ { 2 2 } ^ { \prime } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } ( \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \mathrm { i } \omega _ { 0 } t ) } + \frac { 1 } { 2 } B _ { 2 0 } ^ { \prime } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } \right) , } \end{array}
R _ { 2 } = \frac { 2 \left< u _ { d } ^ { + 2 } u _ { S } ^ { + } \right> } { \sqrt { \left< E _ { 2 L } ^ { 2 } \left[ u _ { d } ^ { + } \right] \right> } \sqrt { \left< u _ { S } ^ { + 2 } \right> } } .
\begin{array} { r l } { \underbrace { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } ( r v _ { r } ) } _ { \mathcal { O } ( 1 ) } + \underbrace { \frac { \partial v _ { z } } { \partial z } } _ { \mathcal { O } ( 1 ) } } & { = 0 , } \\ { \underbrace { \rho _ { f } \frac { \partial v _ { r } } { \partial t } } _ { \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } { \alpha } ^ { 2 } ) } + \underbrace { \rho _ { f } v _ { r } \frac { \partial v _ { r } } { \partial r } } _ { \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 3 } R e ) } + \underbrace { \rho _ { f } v _ { z } \frac { \partial v _ { r } } { \partial z } } _ { \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 3 } R e ) } } & { = \underbrace { \mu _ { f } \frac { \partial } { \partial r } \left[ \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } ( r v _ { r } ) \right] } _ { \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) } + \underbrace { \mu _ { f } \frac { \partial ^ { 2 } v _ { r } } { \partial z ^ { 2 } } } _ { \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 4 } ) } - \underbrace { \frac { \partial p } { \partial r } } _ { \mathcal { O } ( 1 ) } , } \\ { \underbrace { \rho _ { f } \frac { \partial v _ { z } } { \partial t } } _ { \mathcal { O } ( { \alpha } ^ { 2 } ) } + \underbrace { \rho _ { f } v _ { r } \frac { \partial v _ { z } } { \partial r } } _ { \mathcal { O } ( \epsilon R e ) } + \underbrace { \rho _ { f } v _ { z } \frac { \partial v _ { z } } { \partial z } } _ { \mathcal { O } ( \epsilon R e ) } } & { = \underbrace { \mu _ { f } \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \frac { \partial v _ { z } } { \partial r } \right) } _ { \mathcal { O } ( 1 ) } + \underbrace { \mu _ { f } \frac { \partial ^ { 2 } v _ { z } } { \partial z ^ { 2 } } } _ { \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) } - \underbrace { \frac { \partial p } { \partial z } } _ { \mathcal { O } ( 1 ) } . } \end{array}
g ( { \bf x } _ { k } ) = \int | \Psi ( { \bf x } _ { 1 } , \ldots , { \bf x } _ { N } , t ) | ^ { 2 } d { \bf x } _ { 1 } \ldots d { \bf x } _ { k - 1 } d { \bf x } _ { k + 1 } \ldots d { \bf x } _ { N } \, ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { R } ^ { ( A ) } } & { { } = \frac { I + \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 4 ^ { m } - 1 } \langle \Sigma _ { \alpha } \rangle _ { A } ~ \Sigma _ { \alpha } } { 2 ^ { m } } } \end{array}
{ \cal L } _ { f } = i ( \alpha ^ { \prime } p ^ { + } ) \left\{ \overline { { { \Theta } } } \Gamma _ { + } \partial _ { \tau } \Theta + \overline { { { \Theta } } } \Gamma _ { 1 1 } \Gamma _ { + } \partial _ { \sigma } \Theta + ( \alpha ^ { \prime } p ^ { + } ) \overline { { { \Theta } } } \Gamma _ { + } \tilde { \Omega } \Gamma _ { - } \Gamma _ { + } \Theta \right\} .
\tilde { H } _ { \mathrm { ~ T ~ B ~ } } ( k ) = \left( \begin{array} { l l } { h - \tilde { G } _ { 2 d } ( k ) } & { - e ^ { - i k d } \left( \tilde { G } _ { d } ( k ) - \tilde { G } _ { 2 d } ( k ) \right) } \\ { - e ^ { i k d } \left( \tilde { G } _ { d } ( k ) - \tilde { G } _ { 2 d } ( k ) \right) } & { - h - \tilde { G } _ { 2 d } ( k ) } \end{array} \right) .
X ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , . . . , k _ { r } ) = \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { N _ { 1 } - 1 } \sum _ { n _ { 2 } = 0 } ^ { N _ { 2 } - 1 } \dots \sum _ { n _ { r } = 0 } ^ { N _ { r } - 1 } x ( n _ { 1 } , n _ { 2 } , . . . , n _ { r } ) \mathrm { { c a s } } ( { \frac { 2 \pi n _ { 1 } k _ { 1 } } { N _ { 1 } } } + \dots + { \frac { 2 \pi n _ { r } k _ { r } } { N _ { r } } } ) ,
{ \bf D } { \bf u } _ { \theta } \! = \! \left( \begin{array} { l l } { A _ { - \theta } \ { \bf D } ^ { \prime } u ^ { \prime } \Big ( R _ { \theta } ( x , y ) , z \Big ) A _ { \theta } } & { A _ { - \theta } \frac { \partial u ^ { \prime } } { \partial z } \Big ( R _ { \theta } ( x , y ) , z \Big ) \! + \! \left[ \nabla ^ { \prime } u _ { 3 } \Big ( R _ { \theta } ( x , y ) , z \Big ) A _ { \theta } \right] ^ { T } } \\ { \left[ A _ { - \theta } \frac { \partial u ^ { \prime } } { \partial z } \Big ( R _ { \theta } ( x , y ) , z \Big ) \right] ^ { T } \! \! \! + \! \! \nabla ^ { \prime } u _ { 3 } \Big ( R _ { \theta } ( x , y ) , z \Big ) A _ { \theta } } & { \quad \frac { \partial u _ { 3 } } { \partial z } \Big ( R _ { \theta } ( x , y ) , z \Big ) } \end{array} \right)
M _ { \psi } ^ { W } = { \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { c c c } { { { \frac { 3 \Lambda ^ { 4 } } { \langle A _ { S } \rangle } } } } & { { { \frac { \Lambda ^ { 3 } } { \langle A _ { X } \rangle } } } } & { { { \frac { \Lambda ^ { 3 } } { \langle A _ { Y } \rangle } } } } \\ { { { \frac { \Lambda ^ { 3 } } { \langle A _ { X } \rangle } } } } & { { - { \frac { \Lambda ^ { 2 } \langle A _ { S } \rangle } { \langle A _ { X } \rangle ^ { 2 } } } } } & { { 0 } } \\ { { { \frac { \Lambda ^ { 3 } } { \langle A _ { Y } \rangle } } } } & { { 0 } } & { { - { \frac { \Lambda ^ { 2 } \langle A _ { S } \rangle } { \langle A _ { Y } \rangle ^ { 2 } } } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \left\Vert \sum _ { i > i ^ { \prime } } \mathcal { X } _ { \varpi _ { i } ( t ) } - \mathcal { X } _ { \varpi _ { i - 1 } ( t ) } \right\Vert _ { \alpha } } & { \leq } & { \sum _ { i > i ^ { \prime } } \left\Vert \mathcal { X } _ { \varpi _ { i } ( t ) } - \mathcal { X } _ { \varpi _ { i - 1 } ( t ) } \right\Vert _ { \alpha } } \\ & { \leq } & { \sum _ { n = 1 } ^ { m } u ^ { 1 / n } \sum _ { i > i ^ { \prime } } 2 ^ { i / n } d _ { n } ( \varpi _ { i } ( t ) , \varpi _ { i - 1 } ( t ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { n } = } & { { } { \bf C } i ^ { n / 2 - 1 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { d ( \omega \tau ) } { ( \omega \tau ) ^ { D / 2 } } J _ { n / 2 } [ \sqrt { \kappa } \Lambda ^ { 2 } \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } \omega \tau \gamma ( \omega \tau ) \alpha ( \omega \tau ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { A , x } S _ { B , y } } & { { } \mapsto } & { - S _ { A , x } S _ { B , y } , } \\ { S _ { A , x } S _ { B , z } } & { { } \mapsto } & { - S _ { A , x } S _ { B , z } , } \\ { S _ { A , y } S _ { B , z } } & { { } \mapsto } & { + S _ { A , y } S _ { B , z } . } \end{array}
\mathrm { ~ W ~ a ~ s ~ s ~ 1 ~ } = \frac { 1 } { d } \sum _ { m } ^ { d } \int \big | \mathrm { ~ C ~ D ~ F ~ } _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } , d } ( z ) - \mathrm { ~ C ~ D ~ F ~ } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } , d } ( z ) \big | \; d z ,
\operatorname* { l i m } _ { \lambda \rightarrow \infty } \displaystyle \frac { \beta _ { k } ( \lambda ) } { \left( \lambda d \right) ^ { k / 2 } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { d ^ { k / 2 } } | \widetilde { W } _ { \frac { k } { 2 } + d } ^ { k } | } & { \mathrm { ~ f o r ~ } k \mathrm { ~ e v e n } , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ f o r ~ } k \mathrm { ~ o d d . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \tilde { \wp } _ { 0 , 3 } \leq p _ { M _ { \cal A } ^ { ( n ) } Z ^ { n } K _ { 1 } ^ { n } K _ { 2 } ^ { n } } \Biggl \{ ( M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , Z ^ { n } , K _ { 1 } ^ { n } , K _ { 2 } ^ { n } ) \in { \cal T } _ { i } , } \\ & { \qquad \quad \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { Q _ { { Z } _ { t } } ( Z _ { t } ) } { p _ { Z _ { t } } ( Z _ { t } ) } , } \\ & { R _ { \cal A } + \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { \tilde { Q } _ { Z _ { t } | U _ { t } } ( Z _ { t } | U _ { t } ) } { p _ { Z _ { t } } ( Z _ { t } ) } , } \\ & { \qquad 2 \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { \mathrm { e } ^ { - ( R _ { 1 } + R _ { 2 } ) } } { p _ { K _ { 1 , t } K _ { 2 , t } | U _ { 3 , t } } ( K _ { 1 , t } , K _ { 2 , t } | U _ { 3 , t } ) } \Biggr \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \tt M } _ { \ell } } & { \le \tilde { C } h _ { 0 } ^ { - d } \gamma ^ { - d \ell } \left( | \log h _ { 0 } | ^ { d } \sum _ { k = 0 } ^ { \ell - 1 } ( \tau \gamma ^ { d } ) ^ { k } + | \log \gamma | ^ { d } \ell ^ { d } \sum _ { k = 0 } ^ { \ell - 1 } ( 1 - k / \ell ) ^ { d } ( \tau \gamma ^ { d } ) ^ { k } \right) + \tau ^ { \ell } { \tt M } _ { 0 } } \\ & { \le \tilde { C } h _ { 0 } ^ { - d } \gamma ^ { - d \ell } \left| \log h _ { 0 } + \log \gamma ^ { \ell } \right| ^ { d } + \tau ^ { \ell } { \tt M } _ { 0 } \le \tilde { C } h ^ { - d } ( | \log h | ) ^ { d } + \tau ^ { \ell } { \tt M } _ { 0 } . } \end{array}
A _ { 3 } ^ { \ast } \underset { n \longrightarrow \infty } { \overset { \mathcal { P } } { \longrightarrow } } - ( \tau + 1 ) \frac { \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \frac { \tau } { 2 } } } { \left( 2 \pi \right) ^ { m \tau / 2 } \left( 1 + \tau \right) ^ { m / 2 } } \left( \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } .
\hat { \mathbf { e } } _ { s } = \left( \begin{array} { l } { - \sin ( \phi _ { \mathrm { f f } } ) } \\ { \cos ( \phi _ { \mathrm { f f } } ) } \\ { 0 } \end{array} \right) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \hat { \mathbf { e } } _ { p } = \left( \begin{array} { l } { - \cos ( \phi _ { \mathrm { f f } } ) \cos ( \theta _ { \mathrm { ~ a ~ i ~ r ~ } } ) } \\ { - \sin ( \phi _ { \mathrm { f f } } ) \cos ( \theta _ { \mathrm { ~ a ~ i ~ r ~ } } ) } \\ { \sin ( \theta _ { \mathrm { ~ a ~ i ~ r ~ } } ) } \end{array} \right)
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial } { \partial t } \rho _ { i } ( q , t ) = D _ { i } \Delta _ { q } \rho _ { i } ( q , t ) + f _ { i } ( \rho ) + G _ { i } ( q ) \, , } & { \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \mathrm { Q } \times [ 0 , T ] \, , } \\ { \nabla _ { q } \rho _ { i } \cdot n ( q ) = 0 \, , } & { \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \partial \mathrm { Q } \times ( 0 , T ) \, , } \\ { \rho _ { i } ( 0 , q ) = \rho _ { 0 ; i } ( q ) \, , } & { \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \mathrm { Q } \, . } \end{array} \right.
\bigg | \frac { \kappa _ { 2 \lambda x } } { \kappa _ { \lambda ( \mu + 1 ) } \sqrt { \gamma ( x ) } } - \sqrt { \frac { 2 ^ { \alpha _ { 2 } } } { ( \mu + 1 ) ^ { \alpha _ { 2 } } } } \bigg | \le \sqrt { 2 ^ { \alpha _ { 2 } } } \frac { ( | \log { 2 x } | + | \log { ( \mu + 1 ) } | ) ^ { 1 / 2 } } { | \log { \lambda ( \mu + 1 ) } | ^ { 1 / 2 } \, | \log { | \log { \lambda ( \mu + 1 ) } | } | ^ { 1 / 2 } } .
\begin{array} { r l } { a _ { 1 } ( x , y ; a , b ) } & { = 1 - b x , } \\ { a _ { 2 } ( x , y ; a , b ) } & { = y + a , } \end{array} \quad \begin{array} { r l } { b _ { 1 } ( x , y ; a , b ) } & { = 1 + b y , } \\ { b _ { 2 } ( x , y ; a , b ) } & { = x - a , } \end{array} \quad \begin{array} { r l } { c _ { 1 } ( x , y ; a , b ) } & { = 1 - a b , } \\ { c _ { 2 } ( x , y ; a , b ) } & { = x + y . } \end{array}
\tilde { \Psi } _ { K _ { Y } } ( Y , T ) = \frac { 1 } { L } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } e ^ { \frac { \pi ^ { 2 } n } { H _ { 5 } L } } H _ { 2 i \pi n / H _ { 5 } L } ^ { ( 2 ) } ( m t ) e ^ { i { \frac { 2 \pi n } { L } } ( y - H _ { 5 } ^ { - 1 } \sinh ^ { - 1 } ( \frac { K _ { Y } } { m } ) ) } .