harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
I _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } = 8 D ( p ^ { 0 } ) ^ { 2 } \int d ^ { D } k \frac { ( k ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { k ^ { 4 } ( p - k ) ^ { 4 } ( k ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) } = - \frac { 4 I _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ( p ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { p ^ { 2 } }
E _ { 0 } ^ { \prime } = E _ { \mathrm { p h } } ^ { \prime } ( \theta = 0 ) = \frac { 2 \gamma ^ { 2 } \left( 1 + \beta \right) } { 2 \gamma ^ { 2 } \left( 1 - \beta \right) + X } E _ { \mathrm { p h } } .
\begin{array} { r l r } { \Psi ( x ) } & { = } & { \exp \left( - x ^ { 2 } \right) x ^ { \frac { 1 } { 2 } - \nu + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1 - 4 \delta \nu + 4 \nu ^ { 2 } } } \times } \\ & { \times } & { _ { 1 } F _ { 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } - E + \frac { \delta ~ \nu } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } ~ \sqrt { 1 - 4 ~ \delta ~ \nu + 4 ~ \nu ^ { 2 } } , 1 + \frac { 1 } { 2 } ~ \sqrt { 1 - 4 ~ \delta ~ \nu + 4 ~ \nu ^ { 2 } } , x ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\frac { \delta S } { \delta A _ { 0 } } = - \frac { \sqrt { 3 } } { 8 \pi } \partial _ { i } \, \mathrm { I m } \left[ \sigma _ { \alpha \beta } ^ { 0 i } \left( D ^ { \alpha \beta } { \cal F } ^ { \prime } + { \cal F } ^ { \prime \prime } D ^ { \alpha \beta } { \cal A } \right) \right] | .
S ( x _ { i } , p , { \Lambda } ^ { 2 } ) = \int \prod _ { i } \frac { d { \lambda } _ { i } } { 2 \pi } e ^ { \sum _ { i } i { \lambda } _ { i } x _ { i } } \langle h | \phi ( { \lambda } _ { 1 } n ) \phi ( { \lambda } _ { 2 } n ) \dots \phi ( { \lambda } _ { n } n ) | h \rangle .
\left( 1 + \sum _ { m } \frac { 8 } { 3 } \frac { r ^ { 2 } | A _ { m } | ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial t } = L ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial L } \left( \frac { D _ { L } L } { L ^ { 2 } } \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial L } \right)
p _ { l } ^ { \prime } , \ldots , p _ { \left\lfloor \frac { l + h } { 2 } \right\rfloor } ^ { \prime } , p _ { \left\lfloor \frac { l + h } { 2 } \right\rfloor + 1 } ^ { \prime } , \ldots p _ { h } ^ { \prime }
X L X ^ { - 1 } - X ^ { - 1 } L X = X ^ { - 1 } V X _ { 0 } \, \Big ( X _ { 0 } L _ { 0 } X _ { 0 } ^ { - 1 } - X _ { 0 } ^ { - 1 } L _ { 0 } X _ { 0 } \Big ) \, X _ { 0 } ^ { - 1 } V ^ { - 1 } X
Z [ A _ { + } ^ { \prime } ] = \int \! D \bar { \psi } ^ { \prime } D \psi ^ { \prime } e ^ { - \int \! d ^ { 2 } x \, [ \psi _ { - } ^ { \prime \dag } i \partial _ { + } \psi _ { - } ^ { \prime } + \psi _ { + } ^ { \prime \dag } i \partial _ { - } \psi _ { + } ^ { \prime } - A _ { + } ^ { \prime } j _ { - } ^ { \prime } ] } \quad .
F = F _ { \mathrm { c v } } + \int { \mathrm { d } } A \ \Big \{ - \frac { \mu } { a _ { \mathrm { p } } } \phi + \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { a _ { \mathrm { p } } } [ \phi \ln ( \phi ) + ( 1 - \phi ) \ln ( 1 - \phi ) ] \Big \} ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { x \in I } \big | \widehat { \Gamma } _ { n } ^ { * } ( x ) - \bar { \Gamma } _ { n } ^ { * } ( x ) \big | } & { \leq \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } | W _ { i , n } | \operatorname* { s u p } _ { x \in I } \big | \widehat { \gamma } _ { n } ( x ; \mathbf { Z } _ { i } ) - \gamma _ { 0 } ( x ; \mathbf { Z } _ { i } ) \big | } \\ & { \leq \sqrt { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } | W _ { i , n } | ^ { 2 } \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname* { s u p } _ { x \in I } \big | \widehat { \gamma } _ { n } ( x ; \mathbf { Z } _ { i } ) - \gamma _ { 0 } ( x ; \mathbf { Z } _ { i } ) \big | ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \rho ( t , x ) f ( t , x ) d x d t + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } u ( t , x ) g ( t , x ) d x d t } \\ & { = \left\langle ( \rho _ { 0 } ( \cdot ) , u _ { 0 } ( \cdot ) ) , ( \sigma ( 0 , \cdot ) , v ( 0 , \cdot ) ) \right\rangle _ { L ^ { 2 } \times L ^ { 2 } } + \int _ { 0 } ^ { T } \left[ \bar { u } \overline { { \sigma ( t , 2 \pi ) } } + \bar { \rho } \overline { { v ( t , 2 \pi ) } } \right] p ( t ) d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ^ { - 1 } } & { { } \left\{ \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial \tau } - \omega ^ { 1 - 2 \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 0 } ) + \omega ^ { 1 - \gamma - \alpha } \nabla _ { \mathbf y } \cdot ( c _ { 0 } \mathbf v _ { 0 } ) \right\} + } \\ { \omega ^ { 0 } } & { { } \left\{ \left( \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial t } \right. + \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial \tau } \right) - \nabla _ { \mathbf x } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } ) - \omega ^ { - \gamma } [ \nabla _ { \mathbf x } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 0 } ) + \nabla _ { \mathbf y } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } ) ] - \omega ^ { 1 - 2 \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 1 } ) + } \\ { \omega } & { { } \left\{ \left( \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial t } \right. + \frac { \partial c _ { 2 } } { \partial \tau } \right) - \nabla _ { \mathbf x } \cdot \textbf { D } ( \nabla _ { \mathbf x } c _ { 1 } ) - \omega ^ { - \gamma } [ \nabla _ { \mathbf x } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 1 } ) + \nabla _ { \mathbf y } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf x } c _ { 1 } ) ] - \omega ^ { 1 - 2 \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 2 } ) + } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \Sigma } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \xi } ) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sigma _ { \rho , i } ^ { 2 } ( \Delta z _ { i } ) ^ { 2 } } \end{array}
\mathsf { u } _ { \tau } \left[ \mathsf { X } \right] = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } u _ { i } ^ { \mathcal { C } } \left[ \bar { r } \left[ \mathsf { X } \right] , \tau \right] \mathsf { c } _ { i } \left[ \mathsf { X } \right] ,
\begin{array} { r l } { | D ( s ) | } & { = \Biggl | \kappa \Biggl ( \sum _ { m = 1 } ^ { M } \theta _ { m } ( s ) \boldsymbol { \phi } ^ { \intercal } ( s _ { m } ) \Biggr ) \bigl ( \Phi ^ { \dagger } ( J ) - \Phi ^ { \dagger } ( J ^ { \prime } ) \bigr ) \Biggr | } \\ & { \leq \kappa \operatorname* { m a x } _ { m } \, \bigl | \boldsymbol { \phi } ^ { \intercal } ( s _ { m } ) \bigl ( \Phi ^ { \dagger } ( J ) ) - \Phi ^ { \dagger } ( J ^ { \prime } ) \bigr ) \bigr | } \\ & { = \kappa \operatorname* { m a x } _ { m } \, | D ( s _ { m } ) | } \\ & { = \kappa \operatorname* { m a x } _ { m } \, | J ( s _ { m } ) - J ^ { \prime } ( s _ { m } ) | } \\ & { \leq \kappa \, \| J - J ^ { \prime } \| _ { \infty } } \end{array}
c _ { \mathrm { ~ s ~ h ~ a ~ r ~ p ~ } } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { c _ { + } \, , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } x \in [ - R , R ] \, , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { c _ { - } \, , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { M ( e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } - \frac { i } { 2 } , \bar { j } _ { 1 } - \frac { i } { 2 } ) } , \bar { e } _ { m _ { 2 } } ^ { ( \bar { j } _ { 2 } ) } ) = \sum _ { l } \lambda _ { j _ { 1 } , \bar { j } _ { 1 } , i } ^ { - 1 } \sqrt { \frac { ( 2 \bar { j } _ { 1 } + 1 ) ( 2 \bar { j } _ { 2 } + 1 ) } { ( 2 \bar { j } _ { 1 } + 2 \bar { j } _ { 2 } + 1 ) } } C _ { m _ { 1 } - l , l ; m _ { 1 } } ^ { j _ { 1 } , \bar { j } _ { 1 } ; j _ { 1 } + \bar { j } _ { 1 } - i } C _ { l , m _ { 2 } ; l + m _ { 2 } } ^ { \bar { j } _ { 1 } , \bar { j } _ { 2 } ; \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } } M ( e _ { m _ { 1 } - l } ^ { ( j _ { 1 } ) } , \bar { e } _ { l + m _ { 2 } } ^ { ( \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } ) } ) } \\ & { = \sum _ { k \geq 0 } \sum _ { l } \lambda _ { j _ { 1 } , \bar { j } _ { 1 } , i } ^ { - 1 } \lambda _ { j _ { 1 } , \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } ; k } \sqrt { \frac { ( 2 \bar { j } _ { 1 } + 1 ) ( 2 \bar { j } _ { 2 } + 1 ) } { ( 2 \bar { j } _ { 1 } + 2 \bar { j } _ { 2 } + 1 ) } } C _ { m _ { 1 } - l , l ; m _ { 1 } } ^ { j _ { 1 } , \bar { j } _ { 1 } ; j _ { 1 } + \bar { j } _ { 1 } - i } C _ { l , m _ { 2 } ; l + m _ { 2 } } ^ { \bar { j } _ { 1 } , \bar { j } _ { 2 } ; \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } } C _ { m _ { 1 } - l , m _ { 2 } + l ; m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { j _ { 1 } , \bar { j _ { 1 } } + \bar { j } _ { 2 } ; j _ { 1 } + \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } - k } e _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 1 } - \frac { k } { 2 } , \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } - \frac { k } { 2 } ) } } \\ & { = \sum _ { k \geq 0 } ( - 1 ) ^ { 2 ( j _ { 1 } + \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } ) - k } \lambda _ { j _ { 1 } , \bar { j } _ { 1 } , i } ^ { - 1 } \lambda _ { j _ { 1 } , \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } ; k } \sqrt { ( 2 \bar { j } _ { 1 } + 1 ) ( 2 \bar { j } _ { 2 } + 1 ) ( 2 j _ { 1 } + 2 \bar { j } _ { 1 } - 2 i + 1 ) } } \\ & { \times \left\{ \begin{array} { l l l } { \bar { j } _ { 1 } } & { j _ { 1 } } & { j _ { 1 } + \bar { j } _ { 1 } - i } \\ { j _ { 1 } + \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } - k } & { \bar { j } _ { 2 } } & { \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } } \end{array} \right\} C _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } ; m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { j _ { 1 } + \bar { j } _ { 1 } - i , \bar { j } _ { 2 } ; j _ { 1 } + \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } - k } e _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 1 } - \frac { k } { 2 } , \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } - \frac { k } { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \left| \phi f _ { i } ( S ) u _ { i } \right| + \left| \phi g _ { i } ( S ) v _ { i } \right| \right) d x d t } & { = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \phi f _ { i } ( w _ { 1 } ) w _ { 2 i } + \phi g _ { i } ( w _ { 1 } ) w _ { 2 i + 1 } \right) d x d t } \\ & { \le \gamma _ { S } T + \| S _ { 0 } \| _ { \infty , ( 0 , 1 ) } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f ( x ; 0 , 1 ) } & { = { \frac { - x ^ { 2 } } { 6 \pi } } \left[ ~ _ { 2 } F _ { 2 } \left( 1 , { \frac { 3 } { 2 } } ; { \frac { 4 } { 3 } } , { \frac { 5 } { 3 } } ; - { \frac { 4 i x ^ { 3 } } { 2 7 } } \right) + ~ _ { 2 } F _ { 2 } \left( 1 , { \frac { 3 } { 2 } } ; { \frac { 4 } { 3 } } , { \frac { 5 } { 3 } } ; { \frac { 4 i x ^ { 3 } } { 2 7 } } \right) \right] } \\ & { + { \frac { 4 } { 3 \times 3 ^ { 2 / 3 } } } \left[ \mathrm { B i } ^ { \prime } \left( - { \frac { x ^ { 2 } } { 3 \times 3 ^ { 1 / 3 } } } \right) \cos \left( { \frac { 2 x ^ { 3 } } { 2 7 } } \right) + { \frac { x } { 3 ^ { 2 / 3 } } } ~ \mathrm { B i } \left( - { \frac { x ^ { 2 } } { 3 \times 3 ^ { 1 / 3 } } } \right) \sin \left( { \frac { 2 x ^ { 3 } } { 2 7 } } \right) \right] , } \end{array} }
\frac { \partial \varepsilon _ { + } } { \partial \theta } = \mathrm { e } ^ { \theta } \left( 1 - \frac { C } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \theta ^ { \prime } \, \mathrm { e } ^ { - \theta ^ { \prime } } \frac { \partial L _ { + } } { \partial \theta ^ { \prime } } \right)
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { \partial t } } & { { } \to } & { \frac { \partial } { \partial t } + \varepsilon ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial \tau } - \varepsilon u \frac { \partial } { \partial \xi } , } \\ { \frac { \partial } { \partial x } } & { { } \to } & { \frac { \partial } { \partial x } + \varepsilon \frac { \partial } { \partial \xi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi ^ { ( n ) } ( r _ { j } , z _ { j } ) } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } S _ { i } ^ { ( n ) } G ^ { ( n ) } ( r _ { j } , r _ { i } , z _ { j } - z _ { i } ) , } \end{array}
\lambda _ { v } = 4 \pi E / \delta m ^ { 2 } = 2 . 5 \mathrm { ~ k m } ( E / \mathrm { G e V } ) ( \delta m _ { \mathrm { L S N D } } ^ { 2 } / \mathrm { e V } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \; .
\begin{array} { r l } { x ( s , \theta , \sigma , \tau ) } & { { } = p ( s , \tau ) + \sigma \left( \cos \left( \theta + \phi ( s , \tau ) \right) \widehat { n } ( s , \tau ) + \sin \left( \theta + \phi ( s , \tau ) \right) \widehat { b } ( s , \tau ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Psi ( \vec { r } , \tau _ { p } ) } & { { } = } & { \Psi ( \vec { r } , 0 ) \exp { \Big ( - \frac { i } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { \tau _ { p } } [ { \hat { H } } _ { 0 } + \hat { V } ( t ) ] d t \Big ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta _ { k } ^ { ( 1 ) } \sim \sum _ { h = 0 } ^ { \infty } \tilde { d } _ { h } ^ { ( 2 , 0 ) } \frac { \Gamma ( k - h - \beta _ { 2 , 0 } ) } { ( 2 A _ { 1 } ) ^ { k - h - \beta _ { 2 , 0 } } } + \sum _ { h = 0 } ^ { \infty } \tilde { d } _ { h } ^ { ( 0 , 2 ) } \frac { \Gamma ( k - h - \beta _ { 0 , 2 } ) } { ( 2 A _ { 2 } ) ^ { k - h - \beta _ { 0 , 2 } } } + { \mathcal O } ( 3 ^ { - k } ) . } \end{array}
h _ { w } = \left\langle w , \dot { \zeta } \right\rangle - \frac 1 2 \int \dot { \zeta } ^ { 2 } - \alpha \zeta ^ { 2 } \, d ^ { 2 } x = \frac 1 2 \int w ^ { 2 } + \alpha \zeta ^ { 2 } \, d ^ { 2 } x \, .
P ( 1 , 0 ) = \frac { N _ { I } ( - a v _ { I } + v _ { I } - 1 ) } { N _ { I } + N _ { T } } + \frac { N _ { T } \left[ \frac { 1 - w ^ { N _ { I } } } { N _ { T } ( 1 - w ) } - a v _ { T } \right] } { N _ { I } + N _ { T } } .
l ~ = ~ \int _ { \cal C } | \mathrm { T r } _ { U ( N ) } ~ { \frac { \Delta e _ { a } ^ { \mu } } { d \lambda } } { \frac { \Delta e _ { \mu b } } { d \lambda } } d \xi ^ { a } d \xi ^ { b } | ^ { 1 / 2 } d \lambda \quad .
\pi _ { n } ^ { n + 1 } ( \Theta _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { n + 1 } / F ) ( e _ { v , p } + ( 1 - e _ { v , p } ) b _ { n + 1 } ) x _ { n + 1 } ^ { - 1 } ) = \Theta _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { n } / F ) ( e _ { v , p } + ( 1 - e _ { v , p } ) b _ { n } ) .
\begin{array} { r l } { K ^ { + } \setminus \ell ( K ^ { + } ) } & { = \{ y ^ { \prime } \in K ^ { + } \setminus \{ 0 \} \mid \exists \, k \in \mathrm { i c o r } \, K : \; y ^ { \prime } ( k ) > 0 \} } \\ & { \subseteq \{ y ^ { \prime } \in E ^ { \prime } \mid \forall \, k \in \mathrm { i c o r } \, K : \; y ^ { \prime } ( k ) > 0 \} , } \end{array}
\psi _ { m _ { 1 } , \cdots , m _ { \Omega } } ^ { R } ( z _ { 1 } , \dots , z _ { \Omega } ; e _ { 1 } , \dots , e _ { N } ) = \sum _ { \cal P } \prod _ { k = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { z _ { l _ { k } } - e _ { { \cal P } k } }
\begin{array} { r l } { { 2 } \frac { \partial P _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial t } } & { = D \frac { \partial ^ { 2 } P _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial x ^ { 2 } } - \left( v - f - U ^ { [ i ] } \right) \frac { \partial P _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial x } - \gamma \left( P _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) - P _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) \right) , } \\ { \frac { \partial P _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial t } } & { = D \frac { \partial ^ { 2 } P _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial x ^ { 2 } } - \left( - v - f - U ^ { [ i ] } \right) \frac { \partial P _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial x } - \gamma \left( P _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) - P _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { A _ { n } } & { = { \frac { 1 } { \pi } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } x \cos { n x } \, d x = 0 , \quad n \geq 0 . } \\ { B _ { n } } & { = { \frac { 1 } { \pi } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } x \sin { n x } \, d x } \\ & { = - { \frac { x } { n \pi } } \cos { n x } + { \frac { 1 } { n ^ { 2 } \pi } } \sin { n x } { \Bigg \vert } _ { x = - \pi } ^ { \pi } } \\ & { = { \frac { 2 \, ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { n } } , \quad n \geq 1 . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \xi _ { 2 } } & { { } = } & { A \xi _ { 1 } \cos ( k \xi _ { 1 } / L - 2 \pi f _ { 0 } t ) } \\ { \xi _ { 3 } } & { { } = } & { - \alpha A \xi _ { 1 } \sin ( k \xi _ { 1 } / L - 2 \pi f _ { 0 } t ) , } \end{array}
\mu \frac { \partial } { \partial \mu } f _ { i } ^ { P } ( z , \mu ) = \sum _ { j } \int _ { z } ^ { 1 } \frac { d y } { y } P _ { i \rightarrow j } \left( \frac { z } { y } , \mu \right) f _ { j } ^ { P } ( y , \mu ) ,
\begin{array} { r l } { F } & { \sim \left| \sum _ { t } \sum _ { t ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } x \ \left[ \textbf { v } _ { t } ( x ) \textbf { v } _ { t ^ { \prime } } ^ { * } ( x ) + z ^ { * } + z \right] \right| ^ { 2 } } \\ & { \sim \left| \sum _ { t } \sum _ { t ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } x \ \left[ \textbf { v } _ { t } ( x ) \textbf { v } _ { t ^ { \prime } } ^ { * } ( x ) + 2 \mathrm { R e } [ z ] \right] \right| ^ { 2 } } \\ & { \sim \left| \sum _ { t } \sum _ { t ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } x \ \left( \textbf { v } _ { t } ( x ) \textbf { v } _ { t ^ { \prime } } ^ { * } ( x ) + 2 \mathrm { R e } \left[ \delta \textbf { v } _ { t } \textbf { v } _ { t ^ { \prime } } ^ { * } ( x ) \right] \right) \right| ^ { 2 } } \\ & { \sim \left| M + 2 \mathrm { R e } \left[ \sum _ { t } \sum _ { t ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } x \ \delta \textbf { v } _ { t } \textbf { v } _ { t ^ { \prime } } ^ { * } ( x ) \right] \right| ^ { 2 } , } \end{array}
\mathbb { P } \left[ \frac { 1 } { \tau _ { i _ { k } } } \sum _ { t = 1 } ^ { \tau _ { i _ { k } } } r _ { t } ( a _ { 0 } , X _ { t } ) - r _ { t } ( \hat { a } _ { t } , X _ { t } ) \geq 1 \mid \mathcal { E } _ { 0 } , \mathcal { E } , k \geq \hat { k } , d ( \hat { a } _ { \tau _ { i _ { k } } } , a _ { 0 } ) \geq \frac { d ( a _ { 0 } , a _ { 1 } ) } { 2 } \right] \geq \frac { 1 } { 2 } .
\begin{array} { r l } { u ( t ; x , \xi _ { 0 } , \zeta _ { 0 } ) } & { = \Theta ( Y _ { t } ( x , \xi _ { 0 } , \zeta _ { 0 } ) ) } \\ & { = \xi _ { t , 0 } ( x , \xi _ { 0 } ) u _ { 0 } ( \varphi _ { t , 0 } ( x ) ) + \zeta _ { t , 0 } ( x , \xi _ { 0 } , \zeta _ { 0 } ) , \quad x \in \mathbb { R } ^ { d } , \ \xi _ { 0 } , \zeta _ { 0 } \in \mathbb { R } . } \end{array}
N _ { \ell } \; : = \int d \underline { { { x } } } \; \widehat { { \mathcal J } } _ { \ell } ^ { 0 } \left( t , \underline { { { x } } } \right) ~ , ~ ~ N _ { r } \; : = \int d \underline { { { x } } } \; \widehat { { \mathcal J } } _ { r } ^ { 0 } \left( t , \underline { { { x } } } \right) ~ ,
\begin{array} { l } { { ( \gamma p - m ) \Psi ( x ) - \lambda \left( \bar { \Psi } ( x ) \Psi ( x ) \right) \Psi ( x ) = 0 , } } \\ { { \bar { \Psi } ( x ) ( \gamma \overleftarrow { p } + m ) + \lambda \bar { \Psi } ( x ) \left( \bar { \Psi } ( x ) \Psi ( x ) \right) = 0 , } } \end{array}
1 , { \frac { 2 } { 3 } } , { \frac { 3 } { 7 } } , { \frac { 4 } { 1 7 } } , { \frac { 5 } { 3 1 } } , { \frac { 6 } { 1 0 9 } } , { \frac { 7 } { 2 5 3 } } , { \frac { 8 } { 9 7 } } , { \frac { 9 } { 2 7 1 } } , \dots
\begin{array} { r } { x _ { 2 } ( 0 ^ { + } ) = \frac { Q _ { 1 1 } ^ { + } ( 0 ) } { ( Q _ { 1 2 } ^ { + } ( 0 ) ) ^ { 2 } + Q _ { 1 1 } ^ { + } ( 0 ) Q _ { 2 2 } ^ { + } ( 0 ) } \left( f _ { I } - \frac { Q _ { 1 2 } ^ { + } ( 0 ) } { Q _ { 1 1 } ^ { + } ( 0 ) } \left( - \frac { 1 } { r } f _ { I } + \left( \mathcal { Q } ^ { - } ( 0 ) \varphi ^ { - } ( 0 ^ { - } ; x ( a ) ) \right) _ { 1 } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { h } ( U _ { h } \circ f _ { h } ) \mid _ { h = 0 } [ g ] \left( e ^ { i \varphi } \right) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } 2 \mathrm { \normalfont ~ R e } \left[ \hat { g } _ { n } \int _ { \mathbb { D } } \left( ( n + 1 ) y ^ { n } \ln | x - y | + \frac { 1 } { 2 } \frac { x ^ { n + 1 } - y ^ { n + 1 } } { x - y } \right) \, d y \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { ( 1 , 0 ) } } & { { } = \left( \begin{array} { c c } { 1 - v _ { I } } & { 0 } \\ { 0 } & { v _ { T } - \frac { ( 1 - r ) \left( w ^ { N _ { I } } - 1 \right) } { N _ { T } ( w - 1 ) } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } _ { { \left| 0 \right\rangle } _ { L } } ( \omega ) } & { = \frac { ( 2 N + 1 ) e ^ { - \frac { | \omega | } { 2 } } - e ^ { - \left( \frac 1 2 + \xi + i \chi \right) | \omega | } - e ^ { - \left( \frac 1 2 + \xi - i \chi \right) | \omega | } - 1 } { 2 \left( e ^ { - | \omega | } + 1 \right) } + \Delta \tilde { \rho } _ { L } ( \omega ) , } \\ & { \quad \mathrm { w h e r e ~ } ~ \Delta \tilde { \rho } _ { L } ( \omega ) = - \frac { e ^ { - \left( \frac { 1 } { 2 } - \xi - i \chi \right) | \omega | } + e ^ { - \left( \frac { 3 } { 2 } + \xi + i \chi \right) | \omega | } } { 2 \left( e ^ { - | \omega | } + 1 \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { n } ( i \mathcal { L } z _ { l } ) } & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left( B _ { j } ^ { ( 1 ) } a _ { j } - A _ { j } ^ { ( 1 ) } b _ { j } \right) P _ { n - 1 } ( i \mathcal { L } z _ { l } ) - \lambda _ { n - 1 } P _ { n - 1 } ( i \mathcal { L } z _ { l } ) } \\ & { = } & { \mathcal { P } _ { l } ^ { ( n ) } ( B _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , \dots , B _ { M } ^ { ( 1 ) } , B _ { 1 } ^ { ( 2 ) } , \dots , B _ { M } ^ { ( 2 ) } , \{ A _ { \nu _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } , A _ { \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } \dots , A _ { \nu _ { 1 } , \dots , \nu _ { n } } ^ { ( n ) } \} ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \beta _ { l p } } & { { } = } & { \sqrt { k ^ { 2 } n _ { \mathrm { c o } } ^ { 2 } - \frac { 2 k n _ { \mathrm { c o } } ( | l | + 2 p + 1 ) } { b } } } \end{array}
z ^ { - \Delta _ { 0 } } e ^ { d ^ { \dagger } \bar { A } ( z ) e ^ { \dagger } } e ^ { d ^ { \dagger } ( 1 + \bar { B } ( z ) ) \bar { D } ( z ) ( 1 + \bar { C } ( z ) ) ^ { T } e ^ { \dagger } } \chi ( \chi _ { 0 } ) \, .
\begin{array} { r } { v ( \xi ) \simeq ( 1 \! - \! \cos 2 k \xi ) \, v _ { a } ( \xi ) , \qquad v _ { a } ( \xi ) \simeq \frac 1 2 \left[ \frac { q \, \epsilon ( \xi ) } { k m c ^ { 2 } } \right] ^ { 2 } . } \end{array}
[ \delta _ { \chi } ^ { ( 1 ) } , \delta _ { h } ^ { ( 1 ) } ] \, m _ { A } ^ { \phantom { A } B } \, = \, i \left( \Psi _ { A } ( \chi ^ { \top } h ^ { \top } C ) ^ { B } - ( h \chi ) _ { A } ( \Psi ^ { \top } C ) ^ { B } \right) \; ,
\Rightarrow { \frac { 1 } { 7 } } = - { \frac { 6 } { 7 } } + 1 = \dots 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 3 = { \overline { { 2 8 5 7 1 4 } } } 3 .
n = \mathrm { ~ F ~ l ~ o ~ o ~ r ~ } \left[ \left( \sqrt { 0 . 1 9 6 2 0 2 + \left( \frac { f _ { 0 } } { f _ { s } } \right) ^ { 2 } } \right) \cdot \frac { f _ { s } } { f _ { 0 } } \right]
\begin{array} { r l } { 0 } & { \in x _ { 1 } + a _ { 2 } x _ { 2 } + a _ { 3 } x _ { 3 } + a _ { 4 } x _ { 4 } } \\ { 0 } & { \in ( b _ { 2 } - a _ { 2 } ) x _ { 2 } + ( b _ { 3 } - a _ { 3 } ) x _ { 3 } + ( b _ { 4 } - a _ { 4 } ) x _ { 4 } } \\ { 0 } & { \in ( c _ { 2 } - a _ { 2 } ) x _ { 2 } + ( c _ { 3 } - a _ { 3 } ) x _ { 3 } + ( c _ { 4 } - a _ { 4 } ) x _ { 4 } } \end{array}
| \mathsf { R } _ { F } ( t ) | \leq 2 \pi \| F ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , 1 ) } \int _ { 0 } ^ { t } \| u _ { 2 } \| _ { L ^ { 1 } ( \mathbb { T } \times \mathrm { s u p p } ( F ) ) } \mathrm { d } s .
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = { \frac { \partial } { \partial \mu } } \log { \Big ( } { \mathcal { L } } ( \mu , \sigma ) { \Big ) } = 0 - { \frac { \; - 2 \! n ( { \bar { x } } - \mu ) \; } { 2 \sigma ^ { 2 } } } . } \end{array}