harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \langle \nu _ { x } , \phi \rangle = } & { \frac { \tilde { \lambda } } { \mu } ( x ) \int _ { e _ { G ^ { \prime } } ( \mathbb { B } ^ { d } ) } ( 1 - | z | ) ^ { p } \phi \left( \frac { z } { 1 - | z | } \right) d \tilde { \nu } _ { x } ( z ) } \\ { = } & { \frac { \tilde { \lambda } } { \mu } ( x ) \int _ { \mathbb { B } ^ { d } } ( 1 - | z | ) ^ { p } \phi \left( \frac { z } { 1 - | z | } \right) d ( e _ { G ^ { \prime } } ) _ { \# } \tilde { \nu } _ { x } ( z ) } \end{array}
Y _ { \{ 2 , 3 , 4 , 5 \} } = V _ { \{ 2 , 3 , 4 , 5 \} } \oplus B _ { \{ 2 , 3 \} , \{ 4 , 5 \} } \oplus T _ { \{ 2 , 3 \} , \{ 4 , 5 \} } \oplus B _ { \{ 2 , 4 \} , \{ 3 , 5 \} } \oplus T _ { \{ 2 , 4 \} , \{ 3 , 5 \} } \oplus B _ { \{ 2 , 5 \} , \{ 3 , 4 \} } \oplus T _ { \{ 2 , 5 \} , \{ 3 , 4 \} } \oplus B _ { \{ 3 , 4 \} , \{ 2 , 5 \} } \oplus T _ { \{ 3 , 4 \} , \{ 2 , 5 \} } \oplus B _ { \{ 3 , 5 \} , \{ 2 , 4 \} } \oplus T _ { \{ 3 , 5 \} , \{ 2 , 4 \} } \oplus B _ { \{ 4 , 5 \} , \{ 2 , 3 \} } \oplus T _ { \{ 4 , 5 \} , \{ 2 , 3 \} }
\int x ^ { m } \operatorname { a r c c o s } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { m + 1 } \operatorname { a r c c o s } ( a x ) } { m + 1 } } \, + \, { \frac { a } { m + 1 } } \int { \frac { x ^ { m + 1 } } { \sqrt { 1 - a ^ { 2 } x ^ { 2 } } } } \, d x \quad ( m \neq - 1 )
\begin{array} { r l r } { \kappa _ { \mathrm { R , K N } } } & { { } = } & { \frac { 4 \pi ^ { 4 } } { 1 5 } \kappa _ { \mathrm { T h } } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { u ^ { 4 } e ^ { - u } } { ( 1 - e ^ { - u } ) ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { 2 k _ { B } T } { m c ^ { 2 } } u \right. \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ f _ { \delta } ( x _ { m n _ { t } } ) ] } & { \le f _ { \delta } ( x _ { m ( n _ { t } - 1 ) } ) - \frac { \eta } { 2 } \sum _ { i = m ( n _ { t } - 1 ) } ^ { m n _ { t } - 1 } { \mathbb { E } } \Vert \nabla f _ { \delta } ( x _ { i } ) \Vert ^ { 2 } + \frac { m \eta \sigma _ { \delta } ^ { 2 } } { 2 b ^ { \prime } } } \\ & { \quad - \left( \frac { \eta } { 2 } - \frac { L _ { \delta } \eta ^ { 2 } } { 2 } - \frac { m \eta ^ { 3 } M _ { \delta } ^ { 2 } } { 2 b } \right) \sum _ { i = m ( n _ { t } - 1 ) } ^ { m n _ { t } - 1 } { \mathbb { E } } \Vert v _ { i } \Vert ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { 0 } } & { \sim \mathrm { N o r m a l } \left( \begingroup \left[ \begin{array} { l } { + \frac { 0 . 1 } { \sqrt { 2 } } } \\ { - \frac { 0 . 1 } { \sqrt { 2 } } } \end{array} \right] \endgroup , \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \right) } \\ { X _ { 1 } } & { \sim \mathrm { N o r m a l } \left( \begingroup \left[ \begin{array} { l } { - \frac { 0 . 1 } { \sqrt { 2 } } } \\ { + \frac { 0 . 1 } { \sqrt { 2 } } } \end{array} \right] \endgroup , \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \right) } \end{array}
g _ { n , m , \lambda , \gamma } ( \mathfrak { i } , j ; u ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l r } & { \left[ 1 + \frac { u + \lambda ( n - j - i _ { j + 1 } - 1 ) ( i _ { j + 1 } + 1 ) } { \gamma ( i _ { j + 1 } + 1 ) } \right] ^ { - 1 } \; \; } & { \mathrm { ~ f o r ~ } j < m , } \\ & { 1 \; \; } & { \mathrm { ~ f o r ~ } j = m . } \end{array} } \end{array} \right.
\Gamma _ { B _ { d } \to \psi K _ { S } } \simeq \Gamma _ { d } - | \Gamma _ { 1 2 } ^ { d } | \, \cos ( 2 \beta _ { \psi K _ { S } } ) \cos ( 2 \beta _ { \psi K _ { S } } - 2 \beta ) \, = \, \Gamma _ { d } - | \Gamma _ { 1 2 } ^ { d } | \cos ( \phi _ { d } + 2 \beta ) \cos \phi _ { d } ,
\begin{array} { r l r } { G _ { l 3 , n } ( \omega , k _ { z } , r , r _ { 0 } ) } & { { } = } & { - \sum _ { p = \pm 1 } \frac { p ^ { l - 1 } } { i ^ { l } } C _ { n } ^ { ( p ) } J _ { n + p } ( \lambda _ { 0 } r ) , \; l = 1 , 2 , } \\ { G _ { 3 3 , n } ( \omega , k _ { z } , r , r _ { 0 } ) } & { { } = } & { \frac { \pi } { 2 i } \left[ J _ { n } ( \lambda _ { 0 } r _ { < } ) H _ { n } ( \lambda _ { 0 } r _ { > } ) - \frac { V _ { n } ^ { H } } { V _ { n } ^ { J } } J _ { n } ( \lambda _ { 0 } r _ { 0 } ) J _ { n } ( \lambda _ { 0 } r ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { V } _ { \mathrm { R F J } } ^ { \Omega , \, \mathrm { Q } } = - \frac { m _ { \alpha } \delta x _ { 0 } } { \Theta _ { m } w _ { 0 } } \mathrm { E } _ { 0 } ^ { 2 } ( 2 n + 1 ) } \end{array}
{ { \varphi } _ { \mathrm { s o u r c e } } } \left( x \right) = { { \varphi } _ { i } } \left[ \frac { { { \sigma } _ { L } } } { i \omega } \int _ { - \infty } ^ { 0 } { d { x } ^ { \prime } { { G } _ { { { q } _ { y } } } } \left( x - { x } ^ { \prime } \right) \left[ - q _ { y } ^ { 2 } + \frac { { { \partial } ^ { 2 } } } { \partial { { { { x } ^ { \prime } } } ^ { 2 } } } \right] { { e } ^ { i { { q } _ { i } } { x } ^ { \prime } } } } - { { e } ^ { i { { q } _ { i } } x } } \right] .
\begin{array} { r } { | \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } ^ { c } - \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { \infty } | \leq | \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } ^ { c } - \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { c } | + | \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { c } - \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { \infty } | \leq | \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { c } - \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { \infty } | + \mathcal { O } ( c ^ { - 2 } ) , } \end{array}
\mathcal { A } \nabla \mathbf { Q } _ { i } ^ { \prime } = \mathcal { B } , \qquad \mathcal { A } = \left( \Delta \mathbf { x } _ { { i j } } \right) \cdot \left( \Delta \mathbf { x } _ { { i j } } \right) ^ { T } , \qquad \mathcal { B } = \left( \Delta \mathbf { x } _ { { i j } } \right) \cdot \left( \Delta \mathbf { Q } _ { { i j } } ^ { \prime } \right) ^ { T }
\begin{array} { r } { I _ { 5 } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \mathcal { C } ( z , x ) \zeta _ { \epsilon } ( ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) _ { i } ) \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) _ { i } ) \nu ( d z ) d s = 0 . } \end{array}
P ^ { Q M } [ B ^ { 0 } ( t _ { l } ) ; \overline { { { B ^ { 0 } } } } ( t _ { r } ) ] = \frac { 1 } { 4 } E ( t _ { r } + t _ { l } ) [ 1 + c o s ( \Delta m ( t _ { r } - t _ { l } ) ) ] = P ^ { Q M } [ \overline { { { B ^ { 0 } } } } ( t _ { l } ) ; B ^ { 0 } ( t _ { r } ) ]
\hat { \mathcal { { H } } } _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \mathbf { \widetilde { P } } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \mathbf { \widetilde { P } } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \mathbf { E } _ { k , \sigma } = 4 w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \textbf { Q } _ { k , \sigma } f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) - \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \mathbf { D } _ { k , \sigma } + \mathbf { D } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \right) \textbf { Q } _ { k , \sigma } \, .
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { F } _ { \Theta } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } } & { = \sum _ { n \leq N } \int \operatorname* { s u p } _ { k \geq \mathbf { C } } | \chi _ { k } * f _ { \theta _ { n } } ( x ) | ^ { 2 } \leq \mathbf { C } \cdot \sum _ { n \leq N } \int | f _ { \theta _ { n } } ( x ) | ^ { 2 } \ d x = \mathbf { C } \cdot \sum _ { n \leq N } \int | \widehat { f _ { \theta _ { n } } } ( \xi ) | ^ { 2 } \ d \xi } \\ & { \qquad = \mathbf { C } \cdot \sum _ { n \leq N } \int | \hat { \chi } ( \xi ) | ^ { 2 } \cdot | \widehat { f } ( \xi + \theta _ { n } ) | ^ { 2 } \ d \xi = \mathbf { C } \cdot \int \sum _ { n \leq N } | \hat { \chi } ( \xi - \theta _ { n } ) | ^ { 2 } \cdot | \hat { f } ( \xi ) | ^ { 2 } \ d \xi } \\ & { \qquad \qquad \leq \mathbf { C } \cdot \operatorname* { s u p } _ { \xi } \ \sum _ { n \leq N } | \hat { \chi } ( \xi - \theta _ { n } ) | ^ { 2 } \cdot \| \hat { f } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \leq \mathbf { C } \cdot \| { f } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
G ^ { \pm } = { \frac { 1 } { \sqrt 6 } } \left( e ^ { \pm \pi i / 4 } U ^ { \mu } \otimes { \bf 1 } \otimes \epsilon _ { \mu } ^ { \pm } + e ^ { \mp \pi i / 4 } { \bf 1 } \otimes U ^ { \mu } \otimes \epsilon _ { \mu } ^ { \pm } + { \frac { 3 } { \sqrt 2 } } { \bf 1 } \otimes { \bf 1 } \otimes s ^ { \pm } \right) .
\vec { E } _ { 2 } ( x , y ) = \Bigg ( R \exp ( \phi _ { 1 } ) \vec { E } _ { 1 } ( x , y ) \Bigg ) \ast \Bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } \exp \left( - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) \Bigg ) ,
( U ( g ) e _ { r } ) ( z ) = \pm ( \alpha + \overline { { { \beta } } } \overline { { { z } } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( \overline { { { \alpha } } } + \beta z ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { \alpha z + \overline { { { \beta } } } } { \beta z + \overline { { { \alpha } } } } \right) ^ { r }
\int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathrm { d } \mathbf { s } \epsilon _ { \mathrm { I m } } ( \mathbf { s } , \omega ) \mathbf { G } ( \mathbf { r } , \mathbf { s } , \omega ) \cdot \mathbf { G } ^ { * } ( \mathbf { s } , \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega ) = \mathrm { I m } [ \mathbf { G } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega ) ] ,
\begin{array} { r l } { h ( x _ { 1 1 } x _ { 1 1 } ^ { * } x _ { 1 1 } x _ { 1 1 } ^ { * } ) } & { = h ( a a ^ { * } a a ^ { * } ) = h ( a ( e k - q \cdot f h ) a ( e k - q \cdot f h ) ) } \\ & { = h ( a e k a e k ) - q \cdot h ( a f h a e k ) - q \cdot h ( a e k a f h ) + q ^ { 2 } \cdot h ( a f h a f h ) } \\ & { = \frac { q ^ { 4 } - q ^ { 2 } + 1 } { ( q ^ { 4 } + 1 ) ( q ^ { 4 } + q ^ { 2 } + 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d _ { \delta _ { \nu } } { \cal C } _ { \nu } ^ { \lambda } = - c _ { \nu } \frac { \alpha ( ( [ \delta _ { \nu } ^ { n + 1 } ] _ { + } ) ^ { \alpha - 1 } - \widetilde \delta _ { \nu } ^ { n + 1 } ) } { 2 ( \delta _ { \nu } ^ { n + 1 } - \delta _ { \nu } ^ { n } ) } d { \delta _ { \nu } } , } \\ & { d _ { \lambda _ { \nu } } { \cal C } _ { \nu } ^ { \lambda } = d { \lambda _ { \nu } } . } \end{array}
\| \phi \| _ { k } ~ = ~ \operatorname* { m a x } _ { | \alpha | + | \beta | \leq k } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } ^ { n } } \left| x ^ { \alpha } \partial ^ { \beta } \phi ( x ) \right| , \qquad k \geq 1 .
\begin{array} { r l r } { \displaystyle \frac { \partial \Phi } { \partial s } } & { = } & { p - \lambda e ^ { s + t } = 0 } \\ { \displaystyle \frac { \partial \Phi } { \partial t } } & { = } & { q - \lambda e ^ { s + t } + \lambda e ^ { t } = 0 } \\ { \displaystyle \frac { \partial \Phi } { \partial \lambda } } & { = } & { e ^ { s + t } - e ^ { t } - 1 = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \nu _ { \mathrm { ~ c ~ m ~ } } } { d E _ { l } } \Big | _ { E _ { a } } } & { { } = } & { \frac { d \nu _ { \mathrm { ~ c ~ m ~ } } } { d ( y ^ { 2 } ) } \Big | _ { y _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ } } } \frac { d ( y ^ { 2 } ) } { d E _ { l } } \Big | _ { E _ { a } } } \\ { \frac { d t _ { \mathrm { ~ c ~ m ~ } } } { d E _ { l } } \Big | _ { E _ { a } } } & { { } = } & { \frac { d t _ { \mathrm { ~ c ~ m ~ } } } { d ( y ^ { 2 } ) } \Big | _ { y _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ } } } \frac { d ( y ^ { 2 } ) } { d E _ { l } } \Big | _ { E _ { a } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \mathcal { R } ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) ) ^ { \prime } } & { = } & { ( R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) ) ^ { \prime } + \delta ^ { 2 } ( g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta J ) ) ^ { \prime } R ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta } ) + \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta J ) ( R ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta } ) ) ^ { \prime } } \\ & { = } & { R ^ { \prime } ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) + R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) + R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } ) + \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime \prime } , \vartheta J ) R ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta } ) } \\ & { } & { + \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta ^ { \prime } J ) R ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta } ) + \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta J ) R ^ { \prime } ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta } ) } \\ & { } & { + \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta J ) R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , J \widetilde { \vartheta } ) + \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta J ) R ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } ) } \\ & { = } & { R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) + \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime \prime } , \vartheta J ) R ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta } ) + \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta J ) R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , J \widetilde { \vartheta } ) } \\ & { } & { + \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta J ) R ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } & { { } = 1 - \cos ( \theta - \theta ^ { \prime } ) + \sin ( \theta ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) \big ( 1 - \cos ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { T _ { r , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } \log ( u + \varepsilon ) ( \gamma ) \xrightarrow { r \to \infty } T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } \log ( u + \varepsilon ) ( \gamma ) \, \, \mathrm { , } \; \, } \\ & { \log ( T _ { r , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u ( \gamma ) + \varepsilon ) \xrightarrow { r \to \infty } \log ( T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u ( \gamma ) + \varepsilon ) \, \, \mathrm { . } } \end{array}
\sum _ { j = 1 } ^ { N _ { e ^ { - } } } \mathcal { L } ( E _ { \mathrm { ~ k ~ } , j } ^ { \mathrm { ~ F ~ E ~ P ~ } } ) / \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { e ^ { - } } } E _ { \mathrm { ~ k ~ } , j } ^ { \mathrm { ~ F ~ E ~ P ~ } }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { \pi } W _ { 2 } ^ { 2 } ( \pi , \gamma _ { \delta } ^ { n , t } ) \lesssim } & { \, W _ { 2 } ^ { 2 } \big ( \nu ^ { m , t } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) _ { \# } \mu ^ { n , t } \big ) + W _ { 2 } \big ( \nu ^ { m , t } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) _ { \# } \mu ^ { n , t } \big ) W _ { 2 } ( \mu ^ { n } , \nu ^ { m } ) } \\ & { + W _ { 2 } ^ { 2 } ( \nu ^ { m , t } , \nu ^ { m } ) + W _ { 2 } ^ { 2 } ( \mu ^ { n , t } , \mu ^ { n } ) + \big ( W _ { 2 } ( \nu ^ { m , t } , \nu ^ { m } ) + W _ { 2 } ( \mu ^ { n , t } , \mu ^ { n } ) \big ) W _ { 2 } ( \mu ^ { n } , \nu ^ { m } ) , } \end{array}
N ( t ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } { n ( a , t ) \, \mathrm { ~ d ~ } a = \underbrace { \int _ { 0 } ^ { t } { R ( t - a ) S ( a ) \, \mathrm { ~ d ~ } a } } _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ e ~ a ~ t ~ e ~ d ~ a ~ f ~ t ~ e ~ r ~ } t = 0 } + \underbrace { \int _ { t } ^ { \infty } { { { n } _ { 0 } } ( a - t ) \tilde { S } ( { a , t } ) \, \mathrm { ~ d ~ } a } } _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ o ~ m ~ i ~ n ~ o ~ c ~ u ~ l ~ u ~ m ~ } } } ,
\begin{array} { r l } { s ( e , \rho , q _ { i } , \Pi , \Pi _ { \langle i j \rangle } ) } & { = s _ { \textrm { e q } } ( e , \rho ) - \frac { 3 \hat { c } _ { v } } { 2 ( 2 \hat { c } _ { v } - 3 ) p T } \Pi ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 \rho T } \Pi _ { \langle i j \rangle } \Pi _ { \langle i j \rangle } - \frac { \rho } { 2 p ^ { 2 } T ( 1 + \hat { c } _ { v } ) } q _ { i } q _ { i } + \mathcal { O } ( 3 ) , } \\ { J _ { k } } & { = \frac { 1 } { T } q _ { k } - \frac { 1 } { p T ( 1 + \hat { c } _ { v } ) } \Pi q _ { k } - \frac { 1 } { p T ( 1 + \hat { c } _ { v } ) } q _ { i } \Pi _ { \langle i k \rangle } + \mathcal { O } ( 3 ) , \quad 2 \hat { c } _ { v } - 3 > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { i } m _ { i } ^ { 2 } e _ { i i } = \sum _ { i , \nu ^ { \prime } , \mu ^ { \prime } , ( \nu \mu ) } \mathscr { T } _ { i \nu ^ { \prime } } \mathscr { T } _ { i \mu ^ { \prime } } \mathscr { T } _ { i \nu } \mathscr { T } _ { i \mu } m _ { \nu ^ { \prime } } m _ { \mu ^ { \prime } } e _ { \nu \mu } . } \end{array}
E _ { z + f s } = E _ { z } + { \frac { m _ { e } c ^ { 2 } \alpha ^ { 4 } } { 2 n ^ { 3 } } } \left\{ { \frac { 3 } { 4 n } } - \left[ { \frac { l ( l + 1 ) - m _ { l } m _ { s } } { l ( l + 1 / 2 ) ( l + 1 ) } } \right] \right\} .
\begin{array} { r l } { b ^ { \prime } ( x ) } & { = ( x \log x ) ^ { - 1 } ( 1 - ( \log \log x ) ^ { - 1 } + \sin \log \log x + \cos \log \log x ) , } \\ { b ^ { \prime \prime } ( x ) } & { = ( x \log x ) ^ { - 2 } ( ( 1 + \log x ) ( 1 - ( \log \log x ) ^ { - 2 } + \sin \log \log x + \cos \log \log x ) + 2 ( \log \log x ) ^ { - 3 } ) , } \end{array}
\frac { d ^ { p } H _ { \lambda } ( z ) } { d z ^ { p } } = ( - 1 ) ^ { p } p ! \frac { i } { 2 \pi } \oint _ { { \Gamma } _ { 1 } } \oint _ { { \Gamma } _ { 2 } } d k _ { 1 } \; d k _ { 2 } \; \frac { k _ { 1 } ^ { \Lambda } F ( k _ { 1 } ) k _ { 2 } ^ { \Lambda } G ( k _ { 2 } ) } { ( z - k _ { 1 } - k _ { 2 } ) ^ { p } }
\begin{array} { r } { \mathrm { L o W } ( y ^ { + } ) = \frac { 1 } { \kappa } \ln ( 1 + k y ^ { + } ) + A _ { 1 } \left[ 1 - \exp \left( - \frac { y ^ { + } } { A _ { 2 } } \right) - \left( \frac { y ^ { + } } { A _ { 2 } } \right) \exp \left( - A _ { 3 } y ^ { + } \right) \right] \, , } \end{array}
\langle q 2 ^ { \prime } , t ^ { \prime } \mid q , t \rangle = \left( \frac { - i } { 2 \pi \Delta t } \right) ^ { 1 / 2 } \exp \left\{ i \frac { ( q ^ { \prime } - q ) ^ { 2 } } { 2 \Delta t } \right\} \left\{ 1 - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( i \Delta t ) ^ { n } Y _ { n } ( q ^ { \prime } , q ) \right\}
\psi ( t ; x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = e ^ { - i ( { E t } / { \hbar } ) } e ^ { i ( { P } / { \hbar } ) { ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) } / { 2 } } u ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) .
\ll \Big ( \frac { V } { \log R } \Big ) ^ { 2 } \cdot e ^ { 2 c \sqrt { \log \log x - \log \log R } } \cdot \int _ { \frac { V } { \log x } \le | t | \le \frac { 1 } { \log R } } \frac { 1 } { t ^ { 2 } } \mathbb E [ \mathbf { 1 } _ { L ( 0 ) } \prod _ { p \in \mathcal { P } _ { 2 } } G ( p , 0 ) \prod _ { p \in \mathcal { M } ( t ) } G ( p , t ) ] d t .
0 . 0 5 { \frac { m _ { u } ^ { 2 } } { m _ { I } } } : 0 . 0 8 { \frac { m _ { c } ^ { 2 } } { m _ { I } } } : 0 . 2 8 { \frac { m _ { t } ^ { 2 } } { m _ { I } } } = m _ { \nu _ { 1 } } : m _ { \nu _ { 2 } } : m _ { \nu _ { 3 } } \, ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } e ^ { - \lambda _ { i } H } \bigg [ \lambda _ { i } ^ { 4 } } & { { } - ( s R e + 2 ) \lambda _ { i } ^ { 2 } \bigg ] C _ { i } ( s ) = - \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } e ^ { - \lambda _ { i } H } \mathscr { E } _ { i } ( s ) \bigg [ ( D + \lambda _ { i } ) ^ { 4 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \ t _ { i } ^ { o } \leq T _ { i j } ( o _ { i } ) \leq t _ { i } ^ { o } + \mu ; } \\ { t _ { j } ^ { o } \leq T _ { i j } ( o _ { i } ) + c ( T _ { o _ { i } o _ { j } } ) \leq t _ { j } ^ { o } + \mu ; } \\ { T _ { i j } ( o _ { i } ) + c ( T _ { o _ { i } o _ { j } } ) + c ( T _ { o _ { j } d _ { i } } ) \leq t _ { i } ^ { d } + \mu ; } \\ { T _ { i j } ( o _ { i } ) + c ( T _ { o _ { i } o _ { j } } ) + c ( T _ { o _ { j } d _ { i } } ) + c ( T _ { d _ { i } d _ { j } } ) \leq t _ { j } ^ { d } + \mu , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { 3 } ^ { ( n ) } } & { = \frac { g _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } ( 2 \pi ) ^ { D } } \int d ^ { D } k \frac { 1 } { k ^ { 4 n - 2 } ( p - k ) ^ { 4 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } } \\ & { \sim \frac { 2 ^ { 1 - D } g _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } \sqrt { \pi ^ { D } } \Gamma \big ( \frac { D } { 2 } \big ) } \int ^ { \Lambda } \frac { k ^ { D - 1 } d k } { k ^ { 8 n + 2 } } } \\ & { = \frac { 2 ^ { 1 - D } g _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } \sqrt { \pi ^ { D } } \Gamma \big ( \frac { D } { 2 } \big ) ( D - 8 n - 2 ) } \Lambda ^ { D - 8 n - 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( \mathbf { w } ^ { ( n + 1 ) } ) \leq } & { \: F ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) + \frac { 1 } { \xi | \mathcal { K } ^ { ( n ) } | } \sum _ { k \in \mathcal { K } ^ { ( n ) } } \Big [ G _ { k } ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } , \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) } ) - F _ { k } ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) - \frac { ( u - M \xi ) } { 2 } \| \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) } \| ^ { 2 } \Big ] , } \end{array}
\left[ A ^ { ( 1 , q ) } ( 0 , p ^ { 2 } ; p ^ { 2 } ) - B ^ { ( 1 , q ) } ( 0 , p ^ { 2 } ; p ^ { 2 } ) \right] = A ^ { ( 1 , q ) } ( p ^ { 2 } , p ^ { 2 } ; 0 ) = \frac { g ^ { 2 } \; \eta } { ( 4 \pi ) ^ { n / 2 } } \; 2 N _ { f } T _ { R } \; \frac { n - 2 } { n - 1 } \; \kappa ,
{ \begin{array} { r l } { d s ^ { 2 } } & { = { \left[ \begin{array} { l l } { d u } & { d v } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { E } & { F } \\ { F } & { G } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { d u } \\ { d v } \end{array} \right] } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l } { d u ^ { \prime } } & { d v ^ { \prime } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { { \frac { \partial u } { \partial u ^ { \prime } } } } & { { \frac { \partial u } { \partial v ^ { \prime } } } } \\ { { \frac { \partial v } { \partial u ^ { \prime } } } } & { { \frac { \partial v } { \partial v ^ { \prime } } } } \end{array} \right] } ^ { \mathsf { T } } { \left[ \begin{array} { l l } { E } & { F } \\ { F } & { G } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { { \frac { \partial u } { \partial u ^ { \prime } } } } & { { \frac { \partial u } { \partial v ^ { \prime } } } } \\ { { \frac { \partial v } { \partial u ^ { \prime } } } } & { { \frac { \partial v } { \partial v ^ { \prime } } } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { d u ^ { \prime } } \\ { d v ^ { \prime } } \end{array} \right] } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l } { d u ^ { \prime } } & { d v ^ { \prime } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { E ^ { \prime } } & { F ^ { \prime } } \\ { F ^ { \prime } } & { G ^ { \prime } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { d u ^ { \prime } } \\ { d v ^ { \prime } } \end{array} \right] } } \\ & { = ( d s ^ { \prime } ) ^ { 2 } \, . } \end{array} }
\lambda ^ { 0 } = \frac { \sum _ { j \in \mathbb { P } _ { i } } \left( \vert \mathbf { r } _ { i j } ^ { 0 } \vert ^ { 2 } \omega _ { i j } ^ { 0 } \right) } { \sum _ { j \in \mathbb { P } _ { i } } \omega _ { i j } ^ { 0 } } \, .
\varsigma _ { 6 } ( x ) = \widetilde { k _ { 1 } } ( x _ { 0 } ) + \frac { 1 } { \sqrt { x } } + \frac { 1 } { x } + \frac { g _ { 2 } ( 1 0 ^ { 4 } ) } { \sqrt { x } \log { x } } \qquad \mathrm { a n d } \qquad \varsigma _ { 7 } ( x _ { 0 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 4 \widetilde { k _ { 2 } } ( x _ { 0 } ) \log { 1 0 } } & { \mathrm { i f ~ } \widetilde { k _ { 2 } } ( x _ { 0 } ) \geq 0 , } \\ { \widetilde { k _ { 2 } } ( x _ { 0 } ) \log { 3 } } & { \mathrm { i f ~ } \widetilde { k _ { 2 } } ( x _ { 0 } ) < 0 . } \end{array} \right.
{ \tilde { x } ^ { \alpha \beta } } { } ^ { \prime } = { \tilde { x } ^ { \alpha \beta } } - \frac { i } { 4 } \big [ \varepsilon ^ { \alpha } { \tilde { \tau } } ^ { \beta } + \xi ^ { \alpha } \tilde { \psi } ^ { \beta } ( \tilde { x } , { \tilde { \tau } } , { \tilde { \omega } } ) + \alpha \leftrightarrow \beta \big ] ,
\beta _ { i } ^ { G L } ( \mu , D ) \; = \; e ^ { - 2 \alpha ( \varepsilon ) } \! \beta _ { i } ( \mu , D ) \; = \; \frac { \beta _ { i } ^ { ( - 2 ) } } { \varepsilon ^ { 2 } } + \frac { \beta _ { i } ^ { ( - 1 ) , G L } ( \mu ) } { \varepsilon } + \beta _ { i } ^ { ( 0 ) , G L } ( \mu ) + \mathcal { O } ( \varepsilon ) \; .