harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \mathcal { Z } _ { n , k } ^ { ( \ell | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } _ { n , k } ^ { ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } } & { \simeq \frac { G _ { 2 } \left( \ell + 1 \right) } { \left( 2 \pi \right) ^ { \ell / 2 } } \, { \mathrm { e } } ^ { - \frac { \ell } { g _ { \mathrm { s } } } A _ { n , k } } \left( g _ { \mathrm { s } } \, \frac { ( - 1 ) ^ { n + k } \cot \frac { n \pi } { 2 k - 1 } } { 1 6 \left( 2 k - 1 \right) \sin ^ { 2 } \frac { n \pi } { 2 k - 1 } } \right) ^ { \frac { \ell ^ { 2 } } { 2 } } + \cdots , } \\ { \frac { \mathcal { Z } _ { n , k } ^ { ( 0 | \bar { \ell } ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } _ { n , k } ^ { ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } } & { \simeq \frac { G _ { 2 } \left( \bar { \ell } + 1 \right) } { \left( 2 \pi \right) ^ { \bar { \ell } / 2 } } \, { \mathrm { e } } ^ { \frac { \bar { \ell } } { g _ { \mathrm { s } } } A _ { n , k } } \left( g _ { \mathrm { s } } \, \frac { ( - 1 ) ^ { n + k + 1 } \cot \frac { n \pi } { 2 k - 1 } } { 1 6 \left( 2 k - 1 \right) \sin ^ { 2 } \frac { n \pi } { 2 k - 1 } } \right) ^ { \frac { \bar { \ell } ^ { 2 } } { 2 } } + \cdots . } \end{array}
S _ { ( L - P , - Q ) } = T _ { ( L - P , - Q ) } { \Omega } _ { p } { \int } _ { t _ { - } } ^ { 0 } d t { \rho } ^ { p } \sqrt { 1 + { \dot { \rho } } ^ { 2 } } - \frac { Q { \Phi } } { p + 1 } { \Omega } _ { p } { \int } _ { t _ { - } } ^ { 0 } d t { \rho } ^ { p + 1 } ,
J _ { { \frac { p } { \bar { n } } } } ( x ) ~ \sim ~ { \frac { \cos ( { \frac { p } { \bar { n } } } \tan \beta - n \beta - \pi / 4 ) } { ( { \frac { p } { \bar { n } } } \pi \tan \beta ) ^ { ( 1 / 2 ) } } }
M ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) = ( - 1 ) ^ { J - \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } } \, \left. M ( \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 1 } ) \right| _ { K _ { 1 } \leftrightarrow K _ { 2 } } \ .
\begin{array} { r l } { I _ { 6 } } & { = \int _ { h / ( \lambda _ { 2 } \delta ) } ^ { \delta } e ( \lambda x ^ { 2 } ) ( e ( g ( x ) ) - 1 ) \, d x = \int _ { h / ( \lambda _ { 2 } \delta ) } ^ { \delta } 4 \pi i \lambda x e ^ { 2 \pi i \lambda x ^ { 2 } } \frac { e ( g ( x ) ) - 1 } { 4 \pi i \lambda x } \, d x } \\ & { = \left[ e ( \lambda x ^ { 2 } ) \frac { e ( g ( x ) ) - 1 } { 4 \pi i \lambda x } \right] _ { h / ( \lambda _ { 2 } \delta ) } ^ { \delta } - \int _ { h / ( \lambda _ { 2 } \delta ) } ^ { \delta } e ( \lambda x ^ { 2 } ) \frac { \, d } { \, d x } \left( \frac { e ( g ( x ) ) - 1 } { 4 \pi i \lambda x } \right) \, d x } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k ^ { 2 } Q _ { \mathrm { { e x t } } } ^ { \sigma } } & { = } & { \sum _ { \ell = 1 } ^ { \ell = \infty } | C _ { \ell m } ^ { \sigma } | ^ { 2 } \Re \{ \tilde { a } _ { \ell , \sigma } + \tilde { b } _ { \ell , \sigma } \} , } \\ { k ^ { 2 } Q _ { \mathrm { s c a } } ^ { \sigma } } & { = } & { \sum _ { \ell = 1 } ^ { \ell = \infty } | C _ { \ell m } ^ { \sigma } | ^ { 2 } \left( | \tilde { a } _ { \ell , \sigma } | ^ { 2 } + | \tilde { b } _ { \ell , \sigma } | ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 2 } A ^ { * } \left( \hat { { \bf p } } + \hat { { \bf p } } ^ { \dagger } \right) A } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( A ^ { * } \hat { { \bf p } } A + A ^ { * } ( \hat { { \bf p } } ) ^ { \dagger } A \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } _ { 2 } ( \zeta ^ { ( i ) } , \zeta ^ { ( j ) } , \zeta ^ { ( k ) } , \zeta ^ { ( l ) } ) } & { = - \beta _ { 2 } ^ { 3 } ( \zeta _ { 0 } ) ^ { 2 } \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( i ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( j ) } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { ( i ) } } + { \zeta ^ { ( j ) } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( k ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( l ) } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { ( k ) } } + { \zeta ^ { ( l ) } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } . } \end{array}
\scriptstyle A = { \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { - 1 } & { 3 } & { - 1 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 } \\ { - 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 1 } & { - 2 } & { - 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { - 2 } & { - 6 } & { 4 } & { 3 } & { - 8 } & { - 4 } & { - 2 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 8 } & { - 3 } & { - 1 } & { 5 } & { 2 } & { 3 } & { - 3 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 4 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { q _ { j } ^ { F } ( t + 1 ) = ~ } & { q _ { j } ^ { F } ( t ) + a _ { j } ( t ) - \sum _ { i \in \Omega _ { j } ^ { F } } m _ { i j } ( t ) } \\ { \ge ~ } & { \sum _ { i \in \Omega _ { j } ^ { F } } m _ { i j } ( t ) - \sum _ { i \in \Omega _ { j } ^ { F } } m _ { i j } ( t ) = 0 , } \\ { q _ { j } ^ { F } ( t + 1 ) = ~ } & { q _ { j } ^ { F } ( t ) + a _ { j } ( t ) - \sum _ { i \in \Omega _ { j } ^ { F } } m _ { i j } ( t ) } \\ { \le ~ } & { Q _ { j } ^ { F } - A _ { j , \operatorname* { m a x } } + A _ { j , \operatorname* { m a x } } = Q _ { j } ^ { F } . } \end{array}
E _ { L } = A _ { L } e ^ { j \varphi _ { L } } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { - j } \end{array} \right) , E _ { R } = A _ { R } e ^ { j \varphi _ { R } } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { j } \end{array} \right) .
\langle n \mid m , \theta \rangle = ( c h ( \theta ) ) ^ { - 2 \lambda } ( - t h ( \theta ) ) ^ { n - m } \big ( \frac { \Gamma ( n + 2 \lambda ) m ! } { \Gamma ( m + 2 \lambda ) n ! } \big ) ^ { 1 / 2 } P _ { m } ^ { ( n - m , 2 \lambda - 1 ) } ( 1 - 2 t h ^ { 2 } ( \theta ) ) ,
R e \int \frac { d ^ { 4 } k } { i \pi ^ { 2 } } \frac { 1 , \ k ^ { \mu } , \ k ^ { 2 } } { ( k ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } ) ( ( k - p ) ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) ( ( k - p _ { e } ) ^ { 2 } - m _ { e } ^ { 2 } ) } = I , \ I ^ { \mu } , \ J \ .
\begin{array} { r l } { \hat { \mu } _ { \mathrm { M L M C } } } & { = \frac { 1 } { n _ { 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { 1 } } \left( p _ { 1 } ( \omega _ { i } ^ { 1 } ) - p _ { 2 } ( \omega _ { i } ^ { 1 } ) \right) + \frac { 1 } { n _ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { 2 } } \left( p _ { 2 } ( \omega _ { i } ^ { 2 } ) - p _ { 3 } ( \omega _ { i } ^ { 2 } ) \right) + \frac { 1 } { n _ { 3 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { 3 } } p _ { 3 } ( \omega _ { i } ^ { 3 } ) , } \\ { \hat { \mu } _ { \mathrm { M F M C } } } & { = \frac { 1 } { m _ { 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { 1 } } p _ { 1 } ( \omega _ { i } ) + \alpha _ { 2 } \left( \frac { 1 } { m _ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { 2 } } p _ { 2 } ( \omega _ { i } ) - \frac { 1 } { m _ { 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { 1 } } p _ { 2 } ( \omega _ { i } ) \right) + \alpha _ { 3 } \left( \frac { 1 } { m _ { 3 } } \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { 3 } } p _ { 3 } ( \omega _ { i } ) - \frac { 1 } { m _ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { 2 } } p _ { 3 } ( \omega _ { i } ) \right) , } \end{array}
\frac { d } { d \nu } \left. s \right\vert _ { \tau _ { b } = \tau ^ { \left( 2 \right) } \left( j , \nu \right) } = s ^ { \prime } + \left. \frac { \partial s } { \partial \tau _ { b } } \right\vert _ { \tau _ { b } = \tau ^ { \left( 2 \right) } \left( j , \nu \right) } \frac { d \tau ^ { \left( 2 \right) } \left( j , \nu \right) } { d \nu } .
O _ { C } ( \lambda _ { k } ) = \left( \frac { \lambda _ { k - 1 } } { \lambda _ { k } } \right) ^ { N _ { C } } \left( \frac { 1 - \lambda _ { k - 1 } } { 1 - \lambda _ { k } } \right) ^ { N _ { A } - N _ { C } }
\begin{array} { r } { \mathrm { P } = 1 - \prod _ { i = 1 } ^ { N } \mathrm { P } _ { i } ^ { \mathrm { u n i t } } = 1 - \prod _ { i = 1 } ^ { N } \prod _ { j = 1 } ^ { K _ { i } } \mathrm { P } _ { i , j } ^ { \mathrm { c h a n } } } \end{array}
{ \bf K } _ { i } = \bigcup _ { \mathrm { e } = 1 } ^ { n _ { e } } \left( { \bf k } _ { C } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } \left( { \bf G } _ { i } \right) + { \bf k } _ { S } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } \left( { \bf G } _ { i } \right) \right) \in \mathbb { R } ^ { n \times n }
{ \cal L } _ { \pi ^ { 0 } \gamma \gamma } ( T ) = \left( { \frac { e ^ { 2 } N _ { c } } { 4 8 \pi ^ { 2 } } } \right) \; { \frac { 1 } { f _ { \pi } ( T ) } } \; \pi ^ { 0 } F _ { \alpha \beta } \widetilde { F } ^ { \alpha \beta }
= \sum _ { \boldsymbol { R _ { n } } } b _ { m } ^ { * } ( { \boldsymbol { R _ { n } } } ) \sum _ { \boldsymbol { R _ { \ell } } } b _ { m } ( { \boldsymbol { R _ { \ell } } } ) \int d ^ { 3 } r \ \varphi _ { m } ^ { * } ( { \boldsymbol { r - R _ { n } } } ) \varphi _ { m } ( { \boldsymbol { r - R _ { \ell } } } )
g = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] } \quad { \mathrm { o r } } \quad g = { \left[ \begin{array} { l l l l } { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \, .
V = { \frac { 1 } { 4 } } \lambda \phi ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 2 } } g _ { 1 } ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \chi ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } g _ { 2 } ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } h ^ { 2 } \chi ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } .
b _ { T } ^ { > } ( p _ { 0 } ) = - \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { m _ { G } ( T ) } ^ { \infty } \frac { d q _ { 0 } } { q _ { 0 } } \sqrt { q _ { 0 } ^ { 2 } - m _ { G } ^ { 2 } ( T ) } \left[ \frac { n ( q _ { 0 } ) } { 2 q _ { 0 } - p _ { 0 } } + \frac { n ( q _ { 0 } ) } { 2 q _ { 0 } + p _ { 0 } } \right] , \qquad \textrm { I m } ~ p _ { 0 } > 0 .
\begin{array} { r l } { \| A \| _ { 1 , q } } & { = \| A ^ { * } \| _ { q ^ { \prime } , \infty } } \\ & { = \operatorname* { m a x } \{ | 8 x + 3 y + 4 z | , | x + 5 y + 9 z | , | 6 x + 7 y + 2 z | : } \\ & { \qquad \qquad | x | ^ { q ^ { \prime } } + | y | ^ { q ^ { \prime } } + | z | ^ { q ^ { \prime } } = 1 \} } \\ & { = ( \operatorname* { m a x } \{ 8 ^ { q } + 3 ^ { q } + 4 ^ { q } , 1 + 5 ^ { q } + 9 ^ { q } , 6 ^ { q } + 7 ^ { q } + 2 ^ { q } \} ) ^ { 1 / q } } \\ & { = ( 9 ^ { q } + 5 ^ { q } + 1 ) ^ { 1 / q } . } \end{array}
0 . 7 7 7 7 \ldots \; = \; { \frac { a } { 1 - r } } \; = \; { \frac { 7 / 1 0 } { 1 - 1 / 1 0 } } \; = \; { \frac { 7 / 1 0 } { 9 / 1 0 } } \; = \; { \frac { 7 } { 9 } } .
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } s } R _ { i } ^ { j } ( \eta , t ; s ) = R _ { i } ^ { l } ( \eta , t ; s ) 1 _ { D } ( Y _ { s } ^ { \eta } ) A _ { l } ^ { j } ( Y _ { s } ^ { \eta } , s ) , \quad R _ { i } ^ { j } ( \eta , t ; t ) = \delta _ { i j }
\begin{array} { r l } & { { \delta _ { i } ^ { * } } \equiv b _ { i } - { \langle } p ^ { * } , s { x _ { i } ^ { * } } { \rangle } \; , \quad { \bar { \mu } _ { i } ^ { * } } \equiv { \langle } v _ { i } , s { x _ { i } ^ { * } } { \rangle } \; , } \\ & { { u _ { i } ^ { * } } \equiv { \bar { \mu } _ { i } ^ { * } } + { \delta _ { i } ^ { * } } = u _ { i } ( { x _ { i } ^ { * } } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \eta _ { \operatorname* { m i n } } ^ { - } ( \mu ) = \operatorname* { m i n } \{ \eta _ { 1 } ^ { ( - ) } ( \mu ) , \eta _ { 2 } ^ { ( - ) } ( \mu ) \} , } \\ & { \eta _ { \operatorname* { m a x } } ^ { - } ( \mu ) = \operatorname* { m a x } \{ \eta _ { 1 } ^ { ( - ) } ( \mu ) , \eta _ { 2 } ^ { ( - ) } ( \mu ) \} . } \end{array}
\cos \left( \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \theta _ { i } \right) = \sum _ { { \mathrm { e v e n } } \ k \geq 0 } ~ ( - 1 ) ^ { \frac { k } { 2 } } ~ ~ \sum _ { \begin{array} { l } { A \subseteq \{ \, 1 , 2 , 3 , \dots \, \} } \\ { \left| A \right| = k } \end{array} } \left( \prod _ { i \in A } \sin \theta _ { i } \prod _ { i \not \in A } \cos \theta _ { i } \right) \, .
\left[ a _ { j } ( \underline { { { P } } } _ { n } ) , a _ { j ^ { \prime } } ^ { + } ( \underline { { { P } } } _ { m } ) \right] = i \delta _ { j j ^ { \prime } } \delta _ { \underline { { { P } } } _ { n } \underline { { { P } } } _ { m } }
\mathcal { O } ( \operatorname* { m a x } ( \sigma ^ { - 1 } \sqrt { \log { 1 / \epsilon ^ { \prime \prime } } } , \log \left( 1 / \epsilon ^ { \prime \prime } \right) ) ) = \tilde { \mathcal { O } } ( \Delta ^ { - 1 } \log ( \eta ^ { - 1 } \Delta \epsilon ^ { - 1 } ) )
\begin{array} { r l } { \mathsf { E } [ \tau ] } & { \le \frac { \log _ { 2 } ( M - 1 ) } { C } + \frac { \log _ { 2 } ( 2 q ) } { q \cdot C } + \left\lceil \frac { \log _ { 2 } ( \frac { 1 - \epsilon } { \epsilon } ) } { C _ { 2 } } \right\rceil \frac { C _ { 2 } } { C _ { 1 } } = + 2 ^ { - C _ { 2 } } \left( \frac { C _ { 2 } + \frac { \log _ { 2 } ( 2 q ) } { q } } { C } - \frac { C _ { 2 } } { C _ { 1 } } \right) \frac { 1 - \frac { \epsilon } { 1 - \epsilon } 2 ^ { - C _ { 2 } } } { 1 - 2 ^ { - C _ { 2 } } } \, . } \end{array}
2 A \left[ \phi \tau _ { 1 } t + \phi \tau _ { 1 } ^ { 2 } \left( e ^ { - t / \tau _ { 1 } } - 1 \right) + ( 1 - \phi ) \tau _ { 2 } t + ( 1 - \phi ) \tau _ { 2 } ^ { 2 } \left( e ^ { - t / \tau _ { 2 } } - 1 \right) \right]
\begin{array} { r } { \bigg ( \theta _ { 0 } ( \rho ) - \big ( \pm 1 \big | _ { \Omega ^ { \pm } ( t ) } \big ) \bigg ) \nabla ( \zeta \circ d _ { \Gamma } ) = O ( e ^ { - \frac { \alpha \delta } { 2 \varepsilon } } ) , } \end{array}
M _ { 3 } ^ { 3 , 3 , 2 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0 } = \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \underline { { \mathbf { 1 } } } } & { \mathbf { 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \underline { { \mathbf { 1 } } } } & { \mathbf { 1 } } & { \mathbf { 1 } } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { \underline { { \mathbf { 1 } } } } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { \underline { { \mathbf { 1 } } } } & { \mathbf { 1 } } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { \underline { { \mathbf { 1 } } } } & { \mathbf { 1 } } & { \mathbf { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \underline { { \mathbf { 1 } } } } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \underline { { \mathbf { 1 } } } } & { \mathbf { 1 } } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \underline { { \mathbf { 1 } } } } \end{array} \right)
\left( \begin{array} { c c } { { \hat { h } + \Sigma } } & { { \beta \Delta ^ { \dagger } \beta C } } \\ { { - C \, \Delta } } & { { \hat { h } + \Sigma } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { u } } \\ { { v } } \end{array} \right) = E \left( \begin{array} { c } { { u } } \\ { { v } } \end{array} \right)
\int \xi ^ { n } \; d ^ { p } \xi \; d ^ { p } \xi ^ { * } \; e ^ { - \frac 1 2 [ \xi ^ { * } , \xi ] } \; ( \xi ^ { * } ) ^ { n } = ( n ! ) ^ { 2 } { \binom { p } { n } } = \frac { n ! p ! } { ( p - n ) ! } = \{ n \} ! .
\{ m _ { ( i ) ( j ) } , \ Z _ { ( k ) } ^ { \alpha } \} = 0 \qquad \qquad \{ { \bar { m } } _ { ( i ) ( j ) } , \ Z _ { ( k ) } ^ { \alpha } \} = 2 i I ^ { \alpha \mu } { \bar { Z } } _ { \mu [ ( i ) } \delta _ { ( j ) ] ( k ) }
\dot { \varepsilon } _ { H \! W \! F } = \partial _ { x } V _ { x } \sin ^ { 2 } \alpha + 0 . 5 \, \partial _ { y } V _ { y } \cos ^ { 2 } \alpha + 0 . 5 \, \partial _ { z } V _ { z } \cos ^ { 2 } \alpha .
- \varphi _ { 2 } ^ { 1 } = \varphi _ { 2 } ^ { 2 } = \phi , \qquad \varphi _ { 1 } ^ { 1 } = - \varphi _ { 1 } ^ { 2 } = \theta ~ , \qquad m _ { 2 } ^ { 1 } = m , \quad m _ { 2 } ^ { 2 } = n ~ ,
\begin{array} { r l } & { U _ { A _ { p } } ^ { \mathrm { v } } ( p - 1 ) > r \bar { \sigma } ^ { 2 } } \\ { \overset { ( a ) } { \Rightarrow } \quad } & { \hat { \sigma } _ { A _ { p } } ^ { 2 } ( p - 1 ) + \sum _ { i \in A _ { p } } \beta _ { \mathrm { u } } ( T _ { i } ( p - 1 ) ) > r \bar { \sigma } ^ { 2 } } \\ { \overset { ( b ) } { \Rightarrow } \quad } & { \sigma _ { A _ { p } } ^ { 2 } + 2 \sum _ { i \in A _ { p } } \beta _ { \mathrm { u } } ( T _ { i } ( p - 1 ) ) > r \bar { \sigma } ^ { 2 } } \\ { \Rightarrow \quad } & { 2 \sum _ { i \in A _ { p } } 3 \cdot \mathrm { l i l } ( T _ { i } ( p - 1 ) , \omega _ { \mathrm { v } } ) > ( r - 1 ) \bar { \sigma } ^ { 2 } + ( \bar { \sigma } ^ { 2 } - \sigma _ { A _ { p } } ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } ^ { T } ( \mathbf { A } ^ { * } - \mathbf { A } ) \mathbf { x } } & { = - \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ w \} } x _ { r } x _ { j } + \sum _ { i \in K _ { m } \setminus \{ w \} } \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ r , w \} } x _ { i } x _ { j } } \\ & { > - \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ w \} } x _ { r } x _ { j } + \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ w \} } x _ { p } x _ { j } } \\ & { = \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ w \} } ( x _ { p } - x _ { r } ) x _ { j } } \\ & { \ge 0 , } \end{array}
\widetilde { E } = \frac { - 1 - \frac { \psi } { \widetilde { v } ^ { 2 } } \widetilde { N } + \sqrt { \left( 1 + \frac { \psi } { \widetilde { v } ^ { 2 } } \widetilde { N } \right) ^ { 2 } + 4 \frac { \psi } { \widetilde { v } ^ { 2 } } } } { 2 \frac { \psi } { \widetilde { v } ^ { 2 } } } ,
m \frac { { \bf x } _ { t + \Delta t } - 2 { \bf x } _ { t } + { \bf x } _ { t - \Delta t } } { \Delta t ^ { 2 } } + \mu \frac { { \bf x } _ { t + \Delta t } - { \bf x } _ { t } } { \Delta t } = - \nabla F ( { \bf x } _ { t } ) - \phi ( t ) { \bf x } _ { t } ,
\chi ( { \bf r } , { \bf r } ^ { \prime } ) = 2 \sum _ { i } \sum _ { \alpha } \frac { \phi _ { i } ( { \bf r } ) \phi _ { i } ( { \bf r } ) \phi _ { \alpha } ( { \bf r } ^ { \prime } ) \phi _ { \alpha } ( { \bf r } ^ { \prime } ) } { \epsilon _ { i } - \epsilon _ { \alpha } } \, .
\begin{array} { r } { 0 \rightarrow \mathrm { H } ^ { i } ( X , \mathcal { O } _ { X } ) \otimes d ( \mathfrak { m } _ { A } ) \rightarrow \left( \mathrm { H } ^ { i } ( X , \Omega _ { X / k } ^ { 1 } ) \otimes d ( \mathfrak { m } _ { A } ) \right) \oplus \left( \mathrm { H } ^ { i } ( X , \mathcal { O } _ { X } ) \otimes \Omega _ { A / k } ^ { 1 } \right) } \\ { \rightarrow \mathrm { H } ^ { i } ( X , K ) \rightarrow 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phantom { \omega _ { \rho \sigma } \eta ^ { \rho \mu } \delta _ { \nu } ^ { \sigma } } } & { = \frac { 1 } { 2 } \Big ( \omega _ { \rho \sigma } \eta ^ { \rho \mu } \delta _ { \nu } ^ { \sigma } - \omega _ { \rho \sigma } \eta ^ { \sigma \mu } \delta _ { \nu } ^ { \rho } \Big ) } \\ & { } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \omega _ { \rho \sigma } \Big ( \eta ^ { \rho \mu } \delta _ { \nu } ^ { \sigma } - \eta ^ { \sigma \mu } \delta _ { \nu } ^ { \rho } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tau _ { 1 } ( e _ { 1 } ) \leq \cdots \leq \tau _ { 1 } ( e _ { l } ) < \tau _ { 1 } ( e _ { l + 1 } ) = \cdots = \tau _ { 1 } ( e _ { m - 1 } ) < \tau _ { 1 } ( e _ { m } ) < \tau _ { 1 } ( e _ { m + 1 } ) \leq \cdots \leq \tau _ { 1 } ( e _ { n } ) , } \\ & { \tau _ { 2 } ( e _ { 1 } ) \leq \cdots \leq \tau _ { 2 } ( e _ { l } ) < \tau _ { 2 } ( e _ { l + 1 } ) = \cdots = \tau _ { 2 } ( e _ { m - 1 } ) = \tau _ { 2 } ( e _ { m } ) < \tau _ { 2 } ( e _ { m + 1 } ) \leq \cdots \leq \tau _ { 2 } ( e _ { n } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \rho _ { i j } ( t ) \right| } & { = \left| \sum _ { k } | c _ { i k } ( t ) | | c _ { j k } ( t ) | e ^ { i ( \phi _ { i k } - \phi _ { j k } ) } \right| } \\ & { \leq \left| \sum _ { k } | c _ { i k } ( t ) | | c _ { j k } ( t ) | \right| } \\ & { \leq \sqrt { \sum _ { k } | c _ { i k } ( t ) | ^ { 2 } \sum _ { k } | c _ { j k } ( t ) | ^ { 2 } } } \\ & { = \sqrt { \rho _ { i i } ( t ) \rho _ { j j } ( t ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { m } ( z , \bar { z } ) } & { \sim \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \ell ^ { 2 } } } \, \frac { 1 } { ( 2 \pi m ) ^ { 1 / 4 } } \, \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } m \theta } } { \sqrt { \cosh ( \lambda ) - \mathrm { e } ^ { - 2 \mathrm { i } \theta } \sinh ( \lambda ) } } } \\ & { \quad \; \times \exp \left( - \frac { \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } \theta } + \operatorname { t a n h } ( \lambda ) } { \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } \theta } - \operatorname { t a n h } ( \lambda ) } a ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } \tilde { J } ( \alpha ) } { ( d \alpha ) ^ { 2 } } = \sum _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \frac { d ^ { 2 } \pi _ { 1 } ^ { \alpha } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) } { ( d \alpha ) ^ { 2 } } Q ^ { \alpha } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } & { + 2 \sum _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \frac { d \pi _ { 1 } ^ { \alpha } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) } { d \alpha } \frac { d Q ^ { \alpha } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } { d \alpha } } \\ & { + \sum _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \pi _ { 1 } ^ { \alpha } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) \frac { d ^ { 2 } Q ^ { \alpha } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } { ( d \alpha ) ^ { 2 } } } \end{array}
T _ { p } ^ { \mu } \in Y _ { n } \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } \left( \nabla T _ { p } ^ { \mu } q _ { h } , \nabla \textbf { v } _ { h } \right) _ { \Omega } = b ( q _ { h } , \textbf { v } _ { h } ; \mu ) \quad \forall \textbf { v } _ { h } \in Y _ { h } .
\begin{array} { r c l } { d x \wedge d \bar { y } } & { = } & { d r \wedge d v ( \gamma r ^ { \gamma - 1 - \beta \gamma } ) } \\ & { + } & { d r \wedge d w ( \gamma r ^ { \gamma - 1 - \beta \gamma } ) } \\ & { + } & { d r \wedge d \theta ( \gamma r ^ { \gamma - 1 - \beta \gamma } ( - i v - w ) ) } \\ & { + } & { d \theta \wedge d r ( i r ^ { \gamma - 1 - \beta \gamma } ( - \beta \gamma ) ( v - i w ) ) } \\ & { + } & { d \theta \wedge d v ( i r ^ { \gamma - \beta \gamma } ) } \\ & { + } & { d \theta \wedge d w ( i r ^ { \gamma - \beta \gamma } ( - i ) ) . } \end{array}
\{ u _ { n } ^ { ( 1 ) } , u _ { n } ^ { ( 2 ) } , u _ { t _ { 1 } n } ^ { ( 1 ) } , u _ { t _ { 2 } n } ^ { ( 1 ) } , u _ { t _ { 1 } n } ^ { ( 2 ) } , u _ { t _ { 2 } n } ^ { ( 2 ) } , u _ { n n n } ^ { ( 2 ) } , u _ { t _ { 1 } t _ { 1 } n } ^ { ( 2 ) } , u _ { t _ { 2 } t _ { 2 } n } ^ { ( 2 ) } , u _ { t _ { 1 } t _ { 2 } n } ^ { ( 2 ) } \}
\bar { \mathcal { A } } _ { n } = \bar { \mathcal { A } } _ { \mathrm { e o } } \mathcal { P } _ { \mathrm { o d d } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } + \bar { \mathcal { A } } _ { \mathrm { o e } } \mathcal { P } _ { \mathrm { e v e n } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } .
f = \frac { \gamma \mu _ { 0 } } { 2 \pi } \sqrt { [ { H _ { \mathrm { e x t } } \cos { ( \theta - \beta ) - M _ { s } \cos { 2 \theta } } ] } \times { [ H _ { \mathrm { e x t } } \cos { ( \theta - \beta ) - M _ { s } \cos ^ { 2 } { \theta } } } ] } ,
{ \frac { 4 \pi } { \alpha ( Q ^ { 2 } ) } } = \beta _ { 0 } \, \ln { \frac { Q ^ { 2 } } { \lambda _ { P } ^ { 2 } } } + { \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } } } \ln { \frac { 4 \pi } { \beta _ { 0 } \, \alpha ( Q ^ { 2 } ) } }
\begin{array} { r } { \mathbb { E } ( \varepsilon _ { i } ^ { 2 } 1 _ { \{ \varepsilon _ { i } ^ { 2 } \geq \varepsilon n c _ { i } / 4 \} } ) = \int _ { \varepsilon n c _ { i } / 4 } ^ { \infty } \ensuremath { { \mathbb { P } } } ( \varepsilon _ { i } ^ { 2 } \geq s ) d s \leq 2 \int _ { \varepsilon n c _ { i } / 4 } ^ { \infty } \exp ( - s / K _ { 1 } ) d s = 2 K _ { 1 } \exp \Big ( \frac { - \varepsilon n c _ { i } } { 4 K _ { 1 } } \Big ) . } \end{array}
{ \frac { 1 2 } { { \frac { 1 } { 1 } } + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 5 } } + { \frac { 1 } { 7 } } + { \frac { 1 } { 1 0 } } + { \frac { 1 } { 1 4 } } + { \frac { 1 } { 2 0 } } + { \frac { 1 } { 2 8 } } + { \frac { 1 } { 3 5 } } + { \frac { 1 } { 7 0 } } + { \frac { 1 } { 1 4 0 } } } } = 5