harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { Q ( l , s _ { \mathrm { G M D } } ) = } & { \ln \left[ 1 + \sqrt { 1 + \left( \frac { s _ { \mathrm { G M D } } } { l } \right) ^ { 2 } } \right] - \ln \left( \frac { s _ { \mathrm { G M D } } } { l } \right) } \\ & { + \left[ \frac { s _ { \mathrm { G M D } } } { l } - \sqrt { 1 + \left( \frac { s _ { \mathrm { G M D } } } { l } \right) ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \mathrm { ( ) } \lesssim \big ( r ^ { 2 - d } \int _ { \partial B _ { R } } \bar { g } ^ { 2 } + \bar { f } ^ { 2 } \big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \big ( \| g - \tilde { g } \| + \| f - \tilde { f } \| \big ) } } \\ & { + \big ( r ^ { - d } \int _ { \partial B _ { R } } \bar { g } ^ { 2 } + \bar { f } ^ { 2 } \big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \big ( W _ { 1 } ( \tilde { g } , \bar { g } ) + W _ { 1 } ( \tilde { f } , \bar { f } ) \big ) } \\ & { + r ^ { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { \partial B _ { R } } \bar { g } ^ { 2 } + \bar { f } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { A A } ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { = - \frac { \delta _ { \tau _ { - } , \tau ^ { \prime } } } { \Delta t } \alpha k _ { 3 } \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } ) + ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } \mu _ { A } ( \tau _ { - } ) R _ { B } ( \tau _ { - } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } ) + ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } R _ { A } ( \tau _ { - } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) R _ { B } ( \tau _ { - } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } ) } \\ & { + ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 3 } \sum _ { \tau ^ { \prime \prime } } \mu _ { A } ( \tau _ { - } ) R _ { B } ( \tau _ { - } , \tau ^ { \prime \prime } ) \mu _ { A } ( \tau _ { - } ^ { \prime \prime } ) R _ { B } ( \tau _ { - } ^ { \prime \prime } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } ) + \dots } \end{array}
\partial _ { \alpha } f ( \alpha ) = \partial _ { \alpha } \tilde { f } ( \boldsymbol k \alpha ) , \qquad \partial _ { \alpha } \tilde { f } ( \boldsymbol \alpha ) = \sum _ { \boldsymbol j \neq \boldsymbol 0 } i \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle \hat { f } _ { \boldsymbol j } e ^ { i \langle \boldsymbol j , \boldsymbol \alpha \rangle } .
\{ \Pi _ { i } ( x ) , \theta ( y ) \} ^ { * } = 3 D { \frac { \partial _ { i } } { \nabla = ^ { 2 } } } \delta ( x - y ) ; ~ ~ \{ \Pi _ { i } ( x ) , \Pi _ { 0 } ( y ) \} ^ { * } = 3 D - m ^ { 2 } { \frac { \partial _ { i } } { = { \nabla ^ { 2 } } } } \delta ( x - y ) .
( \tilde { \pi } _ { g } ) _ { a b } \equiv ( \pi _ { g } ) _ { a b } + \frac 1 { 2 ( \hat { p } + \Pi _ { 1 } ) p _ { 1 } } ( p _ { \psi } \Gamma ^ { \mu } \Gamma ^ { \nu } \theta ) ( \hat { p } ^ { \mu } + \Pi _ { 1 } ^ { \mu } ) { T ^ { \nu } } _ { a b } ,
\begin{array} { r l } { | A | } & { = \left| A _ { [ \frac { 2 } { 3 } ] } \right| + \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } \\ & { \leqslant \left| A _ { [ \frac { 2 } { 3 } ] } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| + 2 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| + | Z _ { B } | - 3 \leqslant \left\lceil \frac { n } { 3 } \right\rceil , } \end{array}
\int _ { d _ { 1 } } ^ { d _ { 4 } } \mathrm { E C T } _ { \gamma _ { e } } ( v , t ) \; \mathrm { d } t - ( d _ { 3 } - d _ { 2 } ) \leq \sqrt { l _ { e } ^ { 2 } - \left( l _ { e } - \frac { M ^ { 2 } } { 2 4 } l _ { e } ^ { 3 } \right) ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } - \left( l _ { e } - \frac { M ^ { 2 } } { 2 4 } l _ { e } ^ { 3 } \right) \sin \theta .
\begin{array} { r l } { d ( k _ { \mathcal { X } } , k _ { \mathcal { X } } ( r ) ) } & { { } = r ( 1 - p _ { l a y e r } ) N \sqrt { M } \sqrt { p ( 1 - p ) } } \\ { d ( k _ { \mathcal { Y } } , k _ { \mathcal { Y } } ( r ) ) } & { { } = r ( 1 - p _ { n o d e } ) N \sqrt { M } \sqrt { 2 p ( 1 - p ) } } \\ { d _ { \mathcal { Y } } } & { { } = \sqrt { 2 } \frac { 1 - p _ { n o d e } } { 1 - p _ { l a y e r } } d _ { \mathcal { X } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } } & { { } = \partial _ { 0 } + \epsilon \omega _ { 1 } \partial _ { 0 } + \epsilon ^ { 2 } ( \omega _ { 2 } \partial _ { + } \partial _ { 2 } ) + \epsilon ^ { 3 } ( \omega _ { 3 } \partial _ { 0 } + \partial _ { 3 } ) + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 4 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { T } ^ { N } = \frac { 1 } { v _ { 1 } - v _ { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { v _ { 1 } } & { v _ { 2 } } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \lambda ^ { N } } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda ^ { - N } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { - v _ { 2 } } \\ { - 1 } & { v _ { 1 } } \end{array} \right] . } \end{array}
c _ { 2 } ( Q , t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = \frac { \langle I ( Q , t _ { 1 } ) I ( Q , t _ { 2 } ) \rangle _ { \mathrm { ~ p ~ i ~ x ~ } } } { \langle I ( Q , t _ { 1 } ) \rangle _ { \mathrm { ~ p ~ i ~ x ~ } } \langle I ( Q , t _ { 2 } ) \rangle _ { \mathrm { ~ p ~ i ~ x ~ } } } \, ,
\begin{array} { c c l } { H _ { j , p } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } & { = } & { - { \boldsymbol { \upmu } } _ { j } ^ { \mathrm { ~ T ~ D ~ M ~ } } ( { \bf { R } } _ { j } ) \cdot { \bf { u } } _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } \sqrt { \frac { \hslash \omega _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } ( 2 \pi p / L _ { z } ) } { 2 \epsilon _ { 0 } V _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } } } \langle \phi _ { 0 } | \hat { \sigma } _ { j } \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } \hat { a } _ { p } e ^ { i 2 \pi p z _ { j } / L _ { z } } \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } | \phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle Q _ { i } ^ { 4 } \rangle _ { 2 } \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { - 2 } \right] } & { { } = } & { \left( \frac { f _ { i } } { f _ { i } + 1 } \right) ^ { 2 } \left[ \langle Q _ { i } ^ { 4 } \rangle _ { - 2 } \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { \alpha \beta } ( \vec { r } , \vec { r } ^ { \prime } , \omega ) = \frac { - 1 } { \mu _ { 0 } } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { \widetilde { E } _ { m , \alpha } ( \vec { r } ) \times \widetilde { E } _ { m , \beta } ( \vec { r } ^ { \prime } ) } { ( \omega - \widetilde { \omega } _ { m } ) \widetilde { \omega } _ { m } } } \end{array}
\langle P _ { \mu } \rangle \; = \; \int \tilde { d k } J _ { \lambda } ( k ) J ^ { \lambda } ( k ) k _ { \mu } \; = \; F _ { 1 } \left( { \frac { p _ { \mu } } { m } } \right) + F _ { 2 } \left( { \frac { p _ { \mu } ^ { \prime } } { m } } \right) .
\tilde { \ell } _ { \infty } = \overline { { \delta ^ { - 1 } ( \tilde { p } _ { \infty } ) \tilde { p } _ { \infty } } } \bullet \overline { { \tilde { p } _ { \infty } \delta ( \tilde { p } _ { \infty } ) } } = \overline { { \delta ^ { - 1 } ( \tilde { p } _ { \infty } ) \tilde { p } _ { \infty } } } \bullet \delta \Big ( \overline { { \delta ^ { - 1 } ( \tilde { p } _ { \infty } ) \tilde { p } _ { \infty } } } \Big ) .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { H e } ( 1 s ^ { 2 } ) } & { \xrightarrow { h \nu } } & { \mathrm { H e } ^ { + } ( 1 s ) + e _ { \varepsilon { p } } ^ { - } \xrightarrow { h \nu } \mathrm { H e } ^ { 2 + } + e _ { \varepsilon { p } } ^ { - } + e _ { \varepsilon ^ { \prime } p } ^ { - } } \\ { \mathrm { H e } ( 1 s ^ { 2 } ) } & { \xrightarrow { h \nu } } & { \mathrm { H e } ^ { + } ( 2 s ) + e _ { \varepsilon { p } } ^ { - } \xrightarrow { h \nu } \mathrm { H e } ^ { 2 + } + e _ { \varepsilon { p } } ^ { - } + e _ { \varepsilon ^ { \prime } p } ^ { - } } \\ { \mathrm { H e } ( 1 s ^ { 2 } ) } & { \xrightarrow { h \nu } } & { \mathrm { H e } ^ { + } ( 2 p ) + e _ { \varepsilon \, { s / d } } ^ { - } \xrightarrow { h \nu } \mathrm { H e } ^ { 2 + } + e _ { \varepsilon \, { s / d } } ^ { - } + e _ { \varepsilon ^ { \prime } \, { s / d } } ^ { - } . } \end{array}
\langle O \rangle \simeq \frac { 1 } { Z N ! } \sum _ { \mathcal { P } } \int d R _ { 1 } \ldots d R _ { M } O ( R _ { 1 } ) \prod _ { i = 1 } ^ { M } G ( R _ { i } , R _ { i + 1 } ; \varepsilon )
\begin{array} { r l } { U _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j } ) } & { = U _ { \Delta x , - \infty } ( t ) + \sum _ { k = - \infty } ^ { j - 1 } U _ { k , \xi } ( t ) \left( \hat { \xi } _ { k + 1 } - \hat { \xi } _ { k } \right) } \\ & { = U _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j - 1 } ) + U _ { j - 1 , \xi } ( t ) \left( \hat { \xi } _ { j } - \hat { \xi } _ { j - 1 } \right) . } \end{array}
{ \cal H } = \frac { 1 } { 2 \mathcal { C _ { R } } } \sum _ { \mu \in \mathcal { R } } \ell _ { \mu } ^ { + } \ell _ { \mu } ^ { - } + \sum _ { \rho \in \Delta _ { + } } g _ { | \rho | } \left( \omega + \frac { 1 } { 2 } { \frac { | \rho | ^ { 2 } } { ( \rho \cdot q ) ^ { 2 } } } \right) ( \check { s } _ { \rho } - 1 ) ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { i } x _ { i } ^ { 2 } } & { = \sum _ { i } ^ { r } ( \sum _ { j = i } ^ { r } x _ { j } - x _ { j + 1 } ) ^ { 2 } = \sum _ { i } ^ { r } ( \sum _ { j = i } ^ { r } ( x _ { j } - x _ { j + 1 } ) w _ { j } ^ { 1 / 2 } R _ { j } ^ { 1 / 4 } \frac { 1 } { w _ { j } ^ { 1 / 2 } R _ { j } ^ { 1 / 4 } } ) ^ { 2 } } \\ & { \leq \sum _ { i } ^ { r } \sum _ { j = i } ^ { r } ( x _ { j } - x _ { j + 1 } ) ^ { 2 } w _ { j } R _ { j } ^ { 1 / 2 } \sum _ { j = i } ^ { r } \frac { 1 } { w _ { j } R _ { j } ^ { 1 / 2 } } } \\ & { = \sum _ { i } ^ { r } \sum _ { j = i } ^ { r } ( x _ { j } - x _ { j + 1 } ) ^ { 2 } w _ { j } R _ { j } ^ { 1 / 2 } \sum _ { j = i } ^ { r } \frac { R _ { j } - R _ { j + 1 } } { R _ { j } ^ { 1 / 2 } } } \\ & { \leq 2 \sum _ { i } ^ { r } \sum _ { j = i } ^ { r } ( x _ { j } - x _ { j + 1 } ) ^ { 2 } w _ { j } R _ { j } ^ { 1 / 2 } R _ { i } ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq \frac { 2 } { \sigma } \sum _ { i = 1 } ^ { r } \sum _ { j \geq i } ^ { r } ( x _ { j } - x _ { j + 1 } ) ^ { 2 } w _ { j } \frac { 1 } { \sqrt { j } } \frac { 1 } { \sqrt { i } } } \\ & { = \frac { 2 } { \sigma } \sum _ { j = 1 } ^ { r } ( x _ { j } - x _ { j + 1 } ) ^ { 2 } w _ { j } \frac { 1 } { \sqrt { j } } \sum _ { i = 1 } ^ { j } \frac { 1 } { \sqrt { i } } } \\ & { \leq \frac { 4 } { \sigma } \sum _ { j = 1 } ^ { r } ( x _ { j } - x _ { j + 1 } ) ^ { 2 } w _ { j } } \\ & { = \frac { 4 } { \sigma } f _ { w } ( x ) } \\ & { = \frac { 4 } { \sigma } \langle x , L x \rangle } \\ { \frac { \sigma } { 4 } } & { \leq \frac { \langle x , L x \rangle } { \langle x , x \rangle } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P r o b } ( { \boldsymbol w } \mathrm { ~ i s ~ t h e ~ l u c k y ~ n e u r o n } ) = } & { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 1 } { 2 \pi } \cdot \bigg ( \frac { 2 \pi - \theta _ { 1 } - \Delta \theta } { 2 \pi } \bigg ) ^ { L - 1 } d \theta _ { 1 } } \\ { \simeq } & { \frac { 1 } { L } \cdot \bigg ( \frac { 2 \pi - 2 \Delta \theta } { 2 \pi } \bigg ) ^ { L } } \\ { \simeq } & { \frac { 1 } { L } \cdot \bigg ( 1 - \frac { L \sigma } { \pi \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } } \bigg ) . } \end{array}
\mathbf { P } = { \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } } & { \mathbf { B } } \\ { \mathbf { C } } & { \mathbf { D } } \end{array} \right] } ^ { - 1 } = { \left[ \begin{array} { l l } { \left( \mathbf { A } - \mathbf { B D } ^ { - 1 } \mathbf { C } \right) ^ { - 1 } } & { - \left( \mathbf { A } - \mathbf { B D } ^ { - 1 } \mathbf { C } \right) ^ { - 1 } \mathbf { B D } ^ { - 1 } } \\ { - \mathbf { D } ^ { - 1 } \mathbf { C } \left( \mathbf { A } - \mathbf { B D } ^ { - 1 } \mathbf { C } \right) ^ { - 1 } } & { \quad \mathbf { D } ^ { - 1 } + \mathbf { D } ^ { - 1 } \mathbf { C } \left( \mathbf { A } - \mathbf { B D } ^ { - 1 } \mathbf { C } \right) ^ { - 1 } \mathbf { B D } ^ { - 1 } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r } { \nu _ { \mathrm { e f f } } ( k ) = \sqrt { \frac { K _ { j , \boldsymbol { k } } } { K _ { j , \mathrm { d e s i r e d } } } } \left( \nu _ { \mathrm { f } } + \nu _ { \mathrm { t } } ^ { \prime } ( k ) \right) . } \end{array}
- \frac { 5 } { 3 } e \epsilon _ { 3 i j } \epsilon \cdot ( p ^ { \prime } + p ) \frac { M _ { \pi , 2 } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } F _ { 0 } ^ { 2 } } \left[ R + \ln \left( \frac { M _ { \pi , 2 } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) \right] + O ( n - 4 ) ,
\begin{array} { r l } { M } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { { \bf 1 } _ { m } } & { \Phi ^ { T } } & { \Psi ( \Phi ) ^ { T } } \end{array} \right] ^ { T } \left[ \begin{array} { l l l } { { \bf 1 } _ { m } } & { \Phi ^ { T } } & { \Psi ( \Phi ) ^ { T } } \end{array} \right] + \lambda J J ^ { T } } \\ & { = A _ { 1 } + A _ { 2 } + A _ { 3 } , } \end{array}
{ \tilde { y } } = { \frac { 1 } { { \tilde { \tau } } _ { w } } } \int _ { 0 } ^ { \tilde { u } } { \tilde { \mu } } d { \tilde { u } } , \quad { \tilde { \tau } } _ { w } = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { \mu } } d { \tilde { u } } , \quad q _ { w } = - { \frac { 1 } { \mathrm { P r } } } \tau _ { w } \left( { \frac { d h } { d u } } \right) _ { w } ,
\delta _ { \hat { \chi } } \hat { L } _ { \hat { \mu } _ { 1 } \ldots \hat { \mu } _ { r } } = m \hat { \lambda } _ { \hat { \mu } _ { 1 } } \hat { k } ^ { \hat { \nu } } \hat { L } _ { \hat { \nu } \hat { \mu } _ { 2 } \ldots \hat { \mu } _ { r } } + \ldots + m \hat { \lambda } _ { \hat { \mu } _ { r } } \hat { k } ^ { \hat { \nu } } \hat { L } _ { \hat { \mu } _ { 1 } \ldots \hat { \mu } _ { r - 1 } \hat { \nu } } \, .
\begin{array} { r l } { H _ { 0 , \Gamma _ { D } } ^ { 1 } ( \Omega ) } & { : = \left\{ v \in H ^ { 1 } ( \Omega ) : \ v | _ { \Gamma _ { D } } = 0 \right\} , } \\ { H _ { 0 , * } ^ { 1 } \big ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) \big ) } & { : = \{ v \in H ^ { 1 } \big ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) \big ) : \ v ( 0 ) = 0 \ \mathrm { i n } \ L ^ { 2 } ( \Omega ) \} , } \\ { H _ { * , 0 } ^ { 1 } \big ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) \big ) } & { : = \{ v \in H ^ { 1 } \big ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) \big ) : \ v ( T ) = 0 \ \mathrm { i n } \ L ^ { 2 } ( \Omega ) \} . } \end{array}
d s ^ { 2 } = \frac { \Lambda ^ { 2 } } { z ^ { 2 } } \Big ( d z ^ { 2 } \, + ( d \vec { x } ) ^ { 2 } \, - d t ^ { 2 } \, \Big ) \, + \, \Lambda ^ { 2 } d \Omega _ { 5 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } ( z ) } & { { } = ( \mathbf { D } ^ { 2 } + z ^ { 2 } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } } \\ { \mathbf { Q } ( z ) } & { { } = \mathbf { S } _ { R } ^ { T } \mathbf { F } ( z ) \mathbf { S } _ { L } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \end{array} \right] } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { - i \omega _ { 1 } - \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } } & { - i g } \\ { - i g } & { - i \omega _ { 2 } - \frac { \kappa _ { 2 } } { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { X ( x , k ) = I - \int _ { x } ^ { \infty } e ^ { ( x - x ^ { \prime } ) \widehat { \mathcal { L } ( k ) } } ( \mathsf { U } X ) ( x ^ { \prime } , k ) d x ^ { \prime } , } \\ & { X ^ { A } ( x , k ) = I + \int _ { x } ^ { \infty } e ^ { - ( x - x ^ { \prime } ) \widehat { \mathcal { L } ( k ) } } ( \mathsf { U } ^ { T } X ^ { A } ) ( x ^ { \prime } , k ) d x ^ { \prime } , } \\ & { Y ( x , k ) = I + \int _ { - \infty } ^ { x } e ^ { ( x - x ^ { \prime } ) \widehat { \mathcal { L } ( k ) } } ( \mathsf { U } Y ) ( x ^ { \prime } , k ) d x ^ { \prime } , } \\ & { Y ^ { A } ( x , k ) = I - \int _ { - \infty } ^ { x } e ^ { - ( x - x ^ { \prime } ) \widehat { \mathcal { L } ( k ) } } ( \mathsf { U } ^ { T } Y ^ { A } ) ( x ^ { \prime } , k ) d x ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { 1 } = a _ { 1 } c o s ( 2 \pi f _ { 1 } d + \phi _ { 1 } ) } \\ { A _ { 2 } = a _ { 2 } c o s ( 2 \pi f _ { 2 } d + \phi _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { 2 } { \bf D } } { \partial t ^ { 2 } } + c ^ { 2 } \nabla \times \nabla \times \left[ { \underline { { \underline { \varepsilon } } } ^ { - 1 } ( t ) \cdot \bf D } \right] = 0 , } \end{array}
0 \; = \; t \, \frac { \partial } { \partial t } \, P ( t ) \; = \; \left( t \, \frac { \partial } { \partial t } \, \ln T ( t ) \right) \; P ( t ) \; + \; \frac { 1 } { 2 } \; \int _ { 0 } ^ { 1 } d z \; \gamma _ { g \rightarrow g g } ( z ) \; \; \frac { \overline { { { \alpha _ { s } } } } \left( t ; \mu _ { 0 } ^ { 2 } \right) } { 2 \pi } \; P ( t ) \; \; ,
\begin{array} { r l } { | \mathord { \mathrm { s c a l } } ( \mathrm { s u s p } ( g ) ) - \mathord { \mathrm { s c a l } } ( g ) | } & { = \left| \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { 3 } { 4 } ( \mathrm { t r } ( ( \partial _ { j } g ) ^ { \mathrm { o p } } ) ^ { 2 } ) - \mathrm { t r } ( \partial _ { j } ^ { 2 } g ) - \frac { 1 } { 4 } \mathrm { t r } ( \partial _ { j } g ) ^ { 2 } \right| } \\ & { < \sum _ { j = 1 } ^ { n } | \mathrm { t r } ( ( \partial _ { j } g ) ^ { \mathrm { o p } } ) ^ { 2 } ) | + | \mathrm { t r } ( \partial _ { j } ^ { 2 } g ) | + | \mathrm { t r } ( \partial _ { j } g ) ^ { 2 } | } \\ & { < \frac { 1 } { 8 } \mathord { \mathrm { s c a l } } ( g ) . } \end{array}
{ \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial k _ { y } ^ { 2 } } } \; + \; { \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial \kappa _ { y } ^ { 2 } } } \; = \; 0 \qquad \qquad \left( { \frac { \partial \; } { \partial p _ { y } } } { \frac { \partial \psi } { \partial \overline { { { p _ { y } } } } } } \; = \; 0 \right)
\operatorname * { d e t } ( 1 + V ) ^ { - 1 } = \operatorname * { d e t } ( \frac { 1 } { 2 } \otimes 1 - \frac { i } { 2 t } \epsilon \otimes \chi ) = \frac { 1 } { 2 ^ { 6 } } \operatorname * { d e t } \left[ 1 \otimes 1 - \frac { i } { t } \epsilon \otimes \chi \right] \, .
\begin{array} { r } { \frac { \dot { \omega } _ { f } ^ { \prime } / W _ { f } } { - a } = \frac { \dot { \omega } _ { \mathrm { ~ a ~ i ~ r ~ } } ^ { \prime } / W _ { \mathrm { ~ a ~ i ~ r ~ } } } { - b } = \frac { \dot { \omega } _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ d ~ } } ^ { \prime } / W _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ d ~ } } } { c } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { c _ { 0 } = 0 , \quad c _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 b _ { 0 } } , \quad c _ { k } = \frac { 1 } { 2 b _ { 0 } } + \sum _ { i = 2 } ^ { k } \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { i - 1 } } { 2 b _ { 0 } b _ { 1 } \cdots b _ { i - 1 } } , \; k \geq 2 ; } \\ & { \mathfrak { m } ( [ 0 , 1 ) ) = 1 , \quad \mathfrak { m } ( [ k , k + 1 ) ) = \frac { b _ { 0 } b _ { 1 } \cdots b _ { k - 1 } } { a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { k } } , \; k \geq 1 , \quad \mathfrak { m } ( \{ \infty \} ) = \infty . } \end{array}
\lambda _ { \hat { T } , i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { - 1 } { H ^ { 2 } } ( 2 - \omega _ { I } ^ { i } - \omega _ { I } ^ { ( I - 1 ) i } ) , } & { i = 0 , \ldots , I - 1 , } \\ { 0 } & { I < i \leq N . } \end{array} \right.
= | \alpha | ^ { 2 } { \frac { 1 } { Z } } { \mathrm { T r } } \{ e ^ { - \beta \hbar \omega a ^ { \dagger } a } \} + { \frac { 1 } { Z } } { \mathrm { T r } } \{ a ^ { \dagger } a e ^ { - \beta \hbar \omega a ^ { \dagger } a } \} = | \alpha | ^ { 2 } + { \frac { 1 } { Z } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n e ^ { - n \beta \hbar \omega } ,
\begin{array} { r l } { U _ { P } } & { { } = \mu _ { m a x } f ( N ) f ( I ) P , \quad f ( N ) = \frac { N } { N + K _ { N } } , } \\ { f ( I ) } & { { } = ( 1 - \exp ( \alpha I / \mu _ { m a x } ) ) \exp ( - \beta I / \mu _ { m a x } ) } \\ { I ( z ) } & { { } = I _ { 0 } \exp ( - k _ { W } z ) , \quad G _ { Z } = \frac { g _ { m a x } Z P ^ { 2 } } { P ^ { 2 } + K _ { P } ^ { 2 } } \; , } \end{array}
\begin{array} { l l l l l } { \mathcal { Q } _ { f } } & { : } & { \mathbb { R } ^ { 2 } } & { \longrightarrow } & { \left[ 0 , 1 \right] } \\ & & { x } & { \longmapsto } & { \operatorname* { m a x } _ { y \in \mathbb { R } ^ { 2 } } \left( \frac { q _ { f } } { q _ { 0 } } - \frac { d ( x , y ) } { d _ { m a x } } - \sqrt [ n ] { \frac { \rho _ { c r i t , f } } { \rho _ { f } ( y ) } } \right) , } \end{array}
\mathcal { M } _ { \mathrm { A } } \doteq \langle \delta u _ { \perp } ^ { 2 } \rangle ^ { 1 / 2 } / v _ { \mathrm { A 0 } } \approx \langle \delta B _ { \perp } ^ { 2 } \rangle ^ { 1 / 2 } / B _ { 0 }
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ e ~ r ~ r ~ o ~ r ~ } ( N _ { c } ) = \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { | d ( t ) - d _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( t ) | } { d _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( t ) } d t \approx \frac { 1 } { \mathcal { N } } \sum _ { i } ^ { \mathcal { N } } \frac { | d ( t _ { i } ) - d _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( t _ { i } ) | } { d _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( t _ { i } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { b _ { i j k } ^ { p } ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 } , \lambda _ { 4 } ) = \left( \begin{array} { l } { p } \\ { i } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { p - i } \\ { j } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { p - i - j } \\ { k } \end{array} \right) \lambda _ { 1 } ^ { p - i - j - k } \lambda _ { 2 } ^ { k } \lambda _ { 3 } ^ { j } \lambda _ { 4 } ^ { k } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M ( t ) = } & { \left( \begin{array} { l l } { m _ { 1 } ( t ) } & { m _ { 2 } ( t ) } \\ { m _ { 3 } ( t ) } & { m _ { 4 } ( t ) } \end{array} \right) } \\ { u ( t ) = } & { u _ { 0 } \cos ( w _ { 0 } t ) + v _ { 0 } w _ { 0 } \sin ( w _ { 0 } t ) } \\ { v ( t ) = } & { v _ { 0 } \cos ( w _ { 0 } t ) - u _ { 0 } w _ { 0 } \sin ( w _ { 0 } t ) } \\ { w ( t ) = } & { w _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \mathbb Q ( E _ { [ n ] , R } \cap D _ { 1 } \cap D _ { 2 } \cap D _ { 3 } ) } \quad } & { } \\ & { \leq \frac { C ( M - n ) T ^ { d } } { \rho _ { 0 } ^ { - 1 } T ^ { d } - n } \mathbb Q ( E _ { [ n + 1 ] , R } ) + \frac { C T ^ { d } } { ( \rho _ { 0 } ^ { - 1 } T ^ { d } - n ) ( M - n + 1 ) } \mathbb Q ( E _ { \{ 2 , \ldots , n \} , R } ) } \\ & { \leq C M \mathbb Q ( E _ { [ n + 1 ] , R } ) + \frac { C } { M - n + 1 } \mathbb Q ( E _ { \{ 2 , \ldots , n \} , R } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 4 \pi R L + 2 \pi R _ { \mathrm { n e c k } } L _ { \mathrm { n e c k } } } & { , } & { \mathrm { C y l i n d e r } } \\ { 8 \pi R ^ { 2 } + 2 \pi R _ { \mathrm { n e c k } } L _ { \mathrm { n e c k } } } & { , } & { \mathrm { S p h e r e } } \\ { 1 6 \pi R ^ { 2 } + 2 \pi R _ { \mathrm { n e c k } } L _ { \mathrm { n e c k } } } & { , } & { \mathrm { V e s i c l e } } \end{array}
\ast \downarrow ( - ) : \boldsymbol { \Sigma } \to \boldsymbol { \Sigma } ^ { \prime } , \qquad \ast \downarrow \mathtt { H } _ { F } : = u _ { 1 , 0 } ( \mathtt { H } _ { F } ) = \sum _ { 1 \leq m \leq k } - \mathtt { H } _ { ( S _ { 1 } , \dots , \ast , S _ { m } , \dots , S _ { k } ) } + \mathtt { H } _ { ( S _ { 1 } , \dots , \ast S _ { m } , \dots , S _ { k } ) } .
\langle \hat { A } \rangle = \frac { \langle \Psi _ { T } | e ^ { - \beta _ { L } \hat { H } } \hat { A } e ^ { - \beta _ { R } \hat { H } } | \Psi _ { I } \rangle } { \langle \Psi _ { T } | e ^ { - \beta _ { L } \hat { H } } \, e ^ { - \beta _ { R } \hat { H } } | \Psi _ { I } \rangle } \, ,
\begin{array} { r l } { 1 = } & { ~ z ^ { \top } z } \\ { = } & { ~ z ^ { \top } ( A ^ { \top } A + A _ { \bot } ^ { \top } A _ { \bot } ) z } \\ { = } & { ~ z ^ { \top } A ^ { \top } A z + z ^ { \top } A _ { \bot } ^ { \top } A _ { \bot } z } \\ { = } & { ~ \| A z \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| A _ { \bot } z \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { = } & { ~ \| A z \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| A _ { \bot } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { ~ \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 } ( A ) + \| A _ { \bot } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle = } & { \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { d } } } d t _ { 1 } \, \int _ { t _ { 1 } } ^ { \tau _ { \mathrm { d } } } d t _ { 2 } \, 2 \, k _ { \mathrm { f } } ( t _ { 1 } ) \, k _ { \mathrm { f } } ( t _ { 2 } ) \, e ^ { - 2 \, \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } d t ^ { \prime } k _ { \mathrm { f } } ( t ^ { \prime } ) } } \\ & { \times e ^ { - \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } d t ^ { \prime \prime } k _ { \mathrm { f } } ( t ^ { \prime \prime } ) } } \end{array}