harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbb { E } [ V _ { i r m s } V _ { i r m ^ { \prime } s ^ { \prime } } ] = \sum _ { j , j ^ { \prime } } \mathbb { E } [ Z _ { i j r } Z _ { m j s } Z _ { i j ^ { \prime } r } Z _ { m ^ { \prime } j ^ { \prime } s ^ { \prime } } ] = \sum _ { j , j ^ { \prime } } \mathbb { E } [ Z _ { i j r } Z _ { i j ^ { \prime } r } ] \cdot \mathbb { E } [ Z _ { m j s } ] \cdot \mathbb { E } [ Z _ { m ^ { \prime } j s ^ { \prime } } ] = 0
\mathrm { ~ { ~ H ~ F ~ E ~ N ~ } ~ } _ { C } ( \vec { u } , \, \vec { v } ) \, = \, \frac { | | \mathrm { ~ { ~ L ~ o ~ G ~ } ~ } ( \vec { u } ) - \mathrm { ~ { ~ L ~ o ~ G ~ } ~ } ( \vec { v } ) | | _ { C } } { | | \mathrm { ~ { ~ L ~ o ~ G ~ } ~ } ( \vec { v } ) | | _ { C } } ,
D _ { m n } ^ { j } ( u ) = \sqrt { \frac { ( j + m ) ! ( j - m ) ! } { ( j + n ) ! ( j - n ) ! } } \sum _ { \mu } \left( \begin{array} { l } { { j + n } } \\ { { \mu } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { j - n } } \\ { { j - \mu - m } } \end{array} \right) \cdot
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \operatorname* { s u p } _ { t \leq T } r ( \mathbf { u } , \mathbb { X } _ { t } ) | \exp ( \langle { \bf u } , { { \mathbb X } _ { t } } \rangle ) | ] } & { < \infty , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \mathbb { E } [ \operatorname* { s u p } _ { t \leq T } ( 1 + | \langle e _ { I } , { \mathbb X } _ { t } \rangle | ) | \exp ( \langle { \bf u } , { { \mathbb X } _ { t } } \rangle ) | ] } & { < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { n } ^ { 3 3 } } & { : = \sum _ { k : n \leq | \widehat { a } _ { k } | \leq 2 n + 1 \mathrm { ~ o r ~ } n \leq | \widehat { b } _ { k } | \leq 2 n + 1 } \frac { \left( \widehat { f } ( \widehat { b } _ { k } ) \varphi _ { n } ( \widehat { a } _ { k } ) - \widehat { f } ( \widehat { b } _ { k } ) \varphi _ { n } ( \widehat { b } _ { k } ) \right) ^ { 2 } } { | \widehat { b } _ { k } - \widehat { a } _ { k } | } } \\ & { \leq \frac { M ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \sum _ { k : n \leq | \widehat { a } _ { k } | \leq 2 n + 1 \mathrm { ~ o r ~ } n \leq | \widehat { b } _ { k } | \leq 2 n + 1 } | \widehat { a } _ { k } - \widehat { b } _ { k } | \rightarrow 0 . } \end{array}
\eta = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad | \Psi \rangle = \left( \begin{array} { c } { { | \psi _ { 1 } \rangle } } \\ { { | \psi _ { 2 } \rangle } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { e _ { \mathrm { { T R } } } ( z ) \equiv \frac { E _ { \mathrm { { T R } } } ( z ) } { E _ { \mathrm { { T R } } } ( 0 ) } , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad E _ { \mathrm { { T R } } } ( z ) = \int _ { - 1 0 \, t _ { 0 } } ^ { 1 0 \, t _ { 0 } } | \phi ( z , \tau ) | ^ { 2 } ~ \mathrm { { d } } \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \dot { \mathcal { P } } ( z , t ) = } & { D \partial _ { z } ^ { 2 } \delta \mathcal { P } ( z , t ) - \frac { Q _ { s } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } \partial _ { z } \delta \mathcal { P } ( z , t ) - } \\ & { - \frac { \delta Q ( t ) } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } \partial _ { z } \mathcal { P } _ { s } ( z ) - \chi \delta \mathcal { P } ( z , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } E _ { p } + \frac { c } { n } \frac { \partial } { \partial z } E _ { p } + \gamma _ { p } E _ { p } } & { { } = - K E _ { s } \varrho \mathrm { e } ^ { - j \delta t } } \\ { \frac { \partial } { \partial t } E _ { s } - \frac { c } { n } \frac { \partial } { \partial z } E _ { s } + \gamma _ { s } E _ { s } } & { { } = K ^ { * } E _ { p } \varrho ^ { * } \mathrm { e } ^ { j \delta t } } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \varrho + v _ { a } \frac { \partial } { \partial z } \varrho + \gamma _ { a } \varrho } & { { } = K ^ { * } E _ { p } E _ { s } ^ { * } \mathrm { e } ^ { j \delta t } } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { x } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \hat { a } + \hat { a } ^ { \dagger } ) , } \\ { \hat { p } = i \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \hat { a } - \hat { a } ^ { \dagger } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { j _ { 1 } = 0 } ^ { M _ { 1 } } \dots \sum _ { j _ { N } = 0 } ^ { M _ { N } } e ^ { - \sum _ { l = 1 } ^ { N } j _ { l } \theta _ { l } } \Delta _ { t _ { 1 } + s _ { 1 } - j _ { 1 } , \dots , t _ { N } + s _ { N } - j _ { N } } G } \\ { \overset { \mathrm { l a w } } { = } } & { \sum _ { j _ { 1 } = 0 } ^ { M _ { 1 } } \dots \sum _ { j _ { N } = 0 } ^ { M _ { N } } e ^ { - \sum _ { l = 1 } ^ { N } j _ { l } \theta _ { l } } \Delta _ { t _ { 1 } - j _ { 1 } , \dots , t _ { N } - j _ { N } } G } \end{array}
\begin{array} { r } { K ^ { T } U ^ { T } B U K = \left( \begin{array} { l l l } { K _ { 1 } ^ { T } B _ { 1 } K _ { 1 } } & { K _ { 1 } ^ { T } B _ { 1 } K _ { 2 } } & { K _ { 1 } ^ { T } B _ { 1 } K _ { 3 } } \\ { K _ { 2 } ^ { T } B _ { 1 } K _ { 1 } } & { K _ { 2 } ^ { T } B _ { 1 } K _ { 2 } } & { K _ { 2 } ^ { T } B _ { 1 } K _ { 3 } } \\ { K _ { 3 } ^ { T } B _ { 1 } K _ { 1 } } & { K _ { 3 } ^ { T } B _ { 1 } K _ { 2 } } & { K _ { 3 } ^ { T } B _ { 1 } K _ { 3 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { K _ { 1 } ^ { T } B _ { 1 } K _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \Gamma } _ { \bf k } ^ { A B } ( \omega ) = \frac { 1 } { \hbar } \int d q \pi \left[ \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { A } \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { B } \delta ( \omega - \omega _ { { \bf k } , q } ^ { E } ) \right] + \frac { i } { \hbar } \mathrm { ~ p ~ . ~ v ~ . ~ } \int d q \frac { \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { A } \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { B } } { \omega - \omega _ { { \bf k } , q } ^ { E } } , } \end{array}
F \left( \omega \right) = \alpha _ { J } H _ { s } ^ { 2 } \omega _ { p } ^ { 4 } \omega ^ { - 5 } \exp \left[ - \frac { 5 } { 4 } \left( \frac { \omega } { \omega _ { p } } \right) ^ { - 4 } \right] \gamma ^ { \exp \left[ - \frac { \left( \omega - \omega _ { p } \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } \omega _ { p } ^ { 2 } } \right] } ,
\phi _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { s i g n } ( ( [ a _ { i } , a _ { i + 1 } ] , b _ { i } ) ) \operatorname { a r c c o s } ( ( \overline { { [ a _ { i } , a _ { i + 1 } ] } } , \overline { { [ a _ { i } , b _ { i } ] } } ) ) , \mathrm { ~ i f ~ } i = 1 , 3 } \\ { \mathrm { s i g n } ( ( [ a _ { i - 1 } , a _ { i } ] , c _ { i - 1 } ) ) \operatorname { a r c c o s } ( ( \overline { { [ a _ { i - 1 } , a _ { i } ] } } , \overline { { [ c _ { i - 1 } , a _ { i } ] } } ) ) , \mathrm { ~ i f ~ } i = 2 , 4 } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \Delta _ { \mathcal { G } } ^ { \mathrm { n l o c } } } & { { } = \Delta _ { \mathcal { G } } ^ { \mathrm { N S F } } + \Delta _ { \mathcal { G } } ^ { \mathrm { l i n } } + \Delta _ { \mathcal { G } } ^ { \mathrm { n l i n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| F ( x ) \| _ { X } ^ { 2 } } & { \leq } & { \int _ { 0 } ^ { \pi } 2 | x ^ { \prime } ( z ) | ^ { 2 } \pi \| x \| _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 } + 2 | h ( z ) | ^ { 2 } | g ( | x ( z ) | ) | ^ { 2 } d z } \\ & { \leq } & { 2 \pi \| x \| _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 4 } + 2 \int _ { 0 } ^ { \pi } | h ( z ) | ^ { 2 } | g ( \sqrt { \pi } \| x \| _ { \frac { 1 } { 2 } } ) | ^ { 2 } d z } \\ & { = } & { 2 \pi \| x \| _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 4 } + 2 \| h \| _ { X } ^ { 2 } | g ( \sqrt { \pi } \| x \| _ { \frac { 1 } { 2 } } ) | ^ { 2 } . } \end{array}
\left[ F _ { \pi } ^ { E M } ( s ) \right] ^ { \mathrm { I I } } = \frac { \left[ F _ { \pi } ^ { E M } ( s ) \right] ^ { \mathrm { I } } } { 1 + 2 i \left[ A _ { 1 } ^ { 1 } ( s ) \right] ^ { \mathrm { I } } }
p _ { + + } ( \tilde { t } , t ) = \mathrm { p r o b } ( a _ { i j } = 1 \; \mathrm { a t } \; \mathrm { t i m e } \; \tilde { t } \; \mathrm { A N D } \; a _ { i j } = 1 \; \mathrm { a t } \; \mathrm { t i m e } \; t )
P _ { \textrm { l o w } } ^ { ( \textrm { P C B } ) } \sim \frac { v _ { \textrm { m a x } } - v _ { 0 } } { 1 + Q ( \vec { x } _ { 0 } ) } \left( \frac { 1 } { v _ { 0 } } - \frac { 1 } { v _ { \textrm { m a x } } } \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { \{ \kappa \in S _ { n } : \kappa ( s ) \geq \mathscr { B } _ { s } \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } s \in \{ I _ { 1 } , \cdots , I _ { M } \} , } \\ & { } & { \quad \kappa ( s ) = \sigma _ { 0 } ( s ) \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } s \in [ n ] \backslash \{ I _ { 1 } , \cdots , I _ { M } \} , } \\ & { } & { \quad \kappa ^ { - 1 } ( s ) = \mathscr { Y } _ { s } \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } s \in \{ s _ { 3 } , \cdots , s _ { 1 } ^ { \prime } - 1 \} \cap \{ J _ { 1 } , \cdots , J _ { M } \} , } \\ & { } & { \quad S ( \kappa ) \cap ( \mathcal { S } _ { 1 , l } \times \{ s _ { 1 } ^ { \prime } , \cdots , s _ { 2 } ^ { \prime } \} ) = \{ ( i _ { s } , j _ { \eta ( s ) } ) : s \in [ r ] \} \} . } \end{array}
\tilde { J _ { e x } } ^ { ( 2 ) } = - \frac { n _ { e } e ^ { 3 } } { 2 m ^ { 2 } c } \frac { E _ { m w 0 } ^ { 2 } } { ( \omega _ { m w } ^ { 2 } - \omega _ { c } ^ { 2 } ) } ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) e x p ( - 2 i \omega _ { m w } t )
\begin{array} { r l } { \left( \omega + c \partial _ { k } ^ { 2 } - b k ^ { 2 } + s k ^ { 4 } \right) \hat { A } _ { s } } & { { } = 0 \, , \, \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \pm \infty } \hat { A } _ { s } ( k ) = 0 , } \end{array}
\Sigma _ { S } ( p ^ { 2 } ) = - \langle { \bar { q } } q \rangle ~ \frac { 2 \pi ^ { 2 } a } { 3 ( p ^ { 2 } + p _ { R } ^ { 2 } ) } ( \ln ( p ^ { 2 } + p _ { R } ^ { 2 } ) ) ^ { \frac { 1 2 } { 3 3 - 2 n _ { f } } - 1 } ,
\mathrm { P } { \int } _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { + } \left( \frac { 1 } { ( k _ { + } - a ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { ( k _ { + } + a ) ^ { 2 } } \right) = \mathrm { P } { \int } _ { - \infty } ^ { \infty } d k _ { + } \frac { 1 } { ( k _ { + } - a ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \mathcal { J } _ { \alpha , \rho , \beta , \xi } = \{ z ^ { \{ E \} } \in \mathbb { C } ^ { - } : | R ( z ^ { \{ F \} } , z ^ { \{ E \} } , z ^ { \{ I \} } ) | \le 1 , \ \forall z ^ { \{ F \} } \in \mathcal { S } _ { \alpha , \rho } ^ { \{ F \} } , \ \forall z ^ { \{ I \} } \in \mathcal { S } _ { \beta , \xi } ^ { \{ I \} } \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta ( \xi , t ) = } & { \phi \left( \frac { \xi _ { d } } { \varepsilon } \right) \theta _ { 0 } ( \xi _ { 1 } , \cdots , \xi _ { d - 1 } ) + \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { d } } \mathbb { E } \left[ \left. 1 _ { \{ t < \zeta ( Y ^ { \eta } ) \} } \right| Y _ { t } ^ { \eta } = \xi \right] p _ { \kappa } ( 0 , \eta , t , \xi ) \theta ^ { \varepsilon } ( \eta , 0 ) \mathrm { d } \eta } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { d } } \mathbb { E } \left[ \left. 1 _ { \left\{ s > \gamma _ { t } ( Y ^ { \eta } ) \right\} } \beta _ { \varepsilon } \left( Y _ { s } ^ { \eta } , s \right) \right| Y _ { t } ^ { \eta } = \xi \right] p _ { \kappa } ( 0 , \eta , t , \xi ) \mathrm { d } \eta \mathrm { d } t } \end{array}
\mathrm { S e l } _ { \mathrm { B K } } ( L , V _ { f , \chi } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { S e l } _ { { \mathrm { r e l } , \mathrm { s t r } } } ( L , V _ { f , \chi } ) } & { \textrm { i f j \geq k / 2 } , } \\ { \mathrm { S e l } _ { { \mathrm { o r d } , \mathrm { o r d } } } ( L , V _ { f , \chi } ) } & { \textrm { i f 0 \leq j < k / 2 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { l c r } { { \tau ^ { 2 } + k a ^ { 2 } = t _ { + } ^ { 2 } } } & { { \qquad \mathrm { f o r } \qquad } } & { { k = \pm 1 } } \\ { { a = \sqrt { 2 | t _ { + } | \tau } } } & { { \qquad \mathrm { f o r } \qquad } } & { { k = 0 \ . } } \end{array}
D _ { \mu \nu \lambda \rho } ^ { \mathrm { g r a v } } = ( \eta _ { \mu \lambda } \eta _ { \nu \rho } + \eta _ { \mu \rho } \eta _ { \nu \lambda } - \eta _ { \mu \nu } \eta _ { \lambda \rho } ) \frac { - i } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int d ^ { 4 } k \frac { { \cal E } ^ { 2 } ( k ^ { 2 } ) } { k ^ { 2 } - i \epsilon } \exp [ i k \cdot ( x - y ) ] ,
\left\{ \begin{array} { l l l } { \partial _ { t } \rho _ { 1 } = } & { d _ { 1 } \Delta \rho _ { 1 } - ( b _ { 1 } + b _ { 2 } + \delta _ { 1 } ) \rho _ { 1 } + \gamma ( t ) \rho _ { 4 } + b _ { 3 } \rho _ { 3 } + b _ { 4 } \rho _ { 2 } } & \\ & { - \mathcal { F } ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 3 } ) - \mathcal { G } ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) \; } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , \ t \geq 0 , } \\ { \partial _ { t } \rho _ { 2 } = } & { d _ { 2 } \Delta \rho _ { 2 } - ( b _ { 4 } + c _ { 1 } + \delta _ { 2 } ) \rho _ { 2 } + b _ { 2 } \rho _ { 1 } + c _ { 2 } \rho _ { 3 } } & \\ & { - \nabla \cdot ( \rho _ { 2 } \vec { v } _ { 2 } ( \rho ) ) + \mathcal { G } ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) - \mathcal { H } ( \rho _ { 2 } , \rho _ { 3 } ) \; } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , \ t \geq 0 , } \\ { \partial _ { t } \rho _ { 3 } = } & { d _ { 3 } \Delta \rho _ { 3 } - ( b _ { 3 } + c _ { 2 } + \delta _ { 3 } ) \rho _ { 3 } + b _ { 1 } \rho _ { 1 } + c _ { 1 } \rho _ { 2 } } \\ & { - \phi ( t ) \rho _ { 3 } - \nabla \cdot ( \rho _ { 3 } \vec { v } _ { 3 } ( \rho ) ) + \mathcal { F } ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 3 } ) + \mathcal { H } ( \rho _ { 2 } , \rho _ { 3 } ) \; } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , \ t \geq 0 , } \\ { \partial _ { t } \rho _ { 4 } = } & { d _ { 4 } \Delta \rho _ { 4 } - \gamma ( t ) \rho _ { 4 } \; } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , \ t \geq 0 } \\ { \partial _ { t } \rho _ { 5 } = } & { d _ { 5 } \Delta \rho _ { 5 } + \phi ( t ) \rho _ { 3 } \; } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , \ t \geq 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { p _ { 2 } \in \mathcal { P } } { g _ { i } ^ { T } p _ { 2 } } = \delta ^ { * } ( g _ { i } | \mathcal { P } ) } \\ { = \operatorname* { m i n } _ { \phi _ { i 1 } , \phi _ { i 2 } } \{ \delta ^ { * } ( \phi _ { i 1 } | \mathcal { P } _ { 1 } ) + \delta ^ { * } ( \phi _ { i 2 } | \mathcal { P } _ { 2 } ) ) \big | \phi _ { i 1 } + \phi _ { i 2 } = g _ { i } \} } \\ { = \operatorname* { m i n } _ { \phi _ { i 1 } , \phi _ { i 2 } } \{ \sum _ { j } ( u _ { j } ^ { T } \phi _ { i j } + \delta ^ { * } ( U _ { j } ^ { T } \phi _ { i j } | \mathcal { Y } _ { j } ) ) \big | \sum _ { j } \phi _ { i j } = g _ { i } \} } \\ { = \operatorname* { m i n } _ { \phi _ { i 1 } , \phi _ { i 2 } } \{ \sum _ { j } u _ { j } ^ { T } \phi _ { i j } + \rho _ { 1 } | | U _ { 1 } ^ { T } \phi _ { i 1 } | | _ { 1 } + \rho _ { 2 } | | U _ { 2 } ^ { T } \phi _ { i 2 } | | _ { * } ) } \\ { \big | \sum _ { j } \phi _ { i j } = g _ { i } \} \le t _ { i } - \bar { e } ^ { T } H _ { i } ( A _ { 1 } p _ { 1 } + B q - b ) } \end{array}
\int d ^ { p } x \, \sqrt { g } \, C ^ { i } \Psi _ { \omega } ^ { * } \partial _ { i } \Psi _ { \omega } = \Omega _ { H } \int d ^ { p } x \, \sqrt { g } \, \Psi _ { \omega } ^ { * } \partial _ { \phi } \Psi _ { \omega } \nonumber = { \cal O } ( \omega ^ { 2 } )
\partial _ { t } f _ { \varepsilon } ^ { k + 1 } + v \cdot \nabla _ { x } f _ { \varepsilon } ^ { k + 1 } = M ^ { \varepsilon } [ f _ { \varepsilon } ^ { k } ] - f _ { \varepsilon } ^ { k + 1 } , \quad \mathrm { w h e r e } \quad M ^ { \varepsilon } [ f _ { \varepsilon } ^ { k } ] = c \left( \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } ( \rho _ { f _ { \varepsilon } ^ { k } } ^ { \varepsilon } ) ^ { \gamma - 1 } - | v - u _ { f _ { \varepsilon } ^ { k } } ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } \right) _ { + } ^ { n / 2 }
\mathbf { L } _ { \mathrm { n e w } } \leftarrow \texttt { s c a t t e r } _ { c } \left( \mathbf { W } ^ { \top } \mathcal { D } \mathbf { M } _ { : , c } - \mathbf { L } \mathbf { D } \mathbf { U } \mathbf { W } ^ { \top } \mathbf { M } _ { : , c } \right)
\begin{array} { c } { { E _ { N \, b u l k } = E _ { N , \, b u l k } ^ { + } + E _ { N , \, b u l k } ^ { - } = \displaystyle \frac { N ^ { 2 } } { L } \left[ \displaystyle \int \displaystyle \frac { d x } { \pi } \left[ \displaystyle \frac { \phi ( x , 1 / 2 ) } { \cosh ( 2 \Theta - x ) } \right] - 2 \pi \right] = - \displaystyle \frac { N ^ { 2 } } { L } ( \pi + \gamma ) } } \\ { { P _ { N \, b u l k } = E _ { N \, b u l k } ^ { + } - E _ { N \, b u l k } ^ { - } = 2 \omega } } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l } { L } & { M } \\ { M } & { N } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { { \frac { c _ { 1 } ^ { \prime } ( s ) c _ { 2 } ^ { \prime \prime } ( s ) - c _ { 2 } ^ { \prime } ( s ) c _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( s ) } { \sqrt { c _ { 1 } ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } + c _ { 2 } ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { { \frac { c _ { 1 } ( s ) c _ { 2 } ^ { \prime } ( s ) } { \sqrt { c _ { 1 } ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } + c _ { 2 } ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } } } } } \end{array} \right) }
\frac { d x ^ { 1 } } { d t } \mid _ { ( t ^ { * } , \vec { z } _ { i } ) } = \frac { D ^ { 1 } ( \frac { \vec { \phi } } x ) | _ { ( t ^ { * } , \vec { z } _ { i } ) } } { D ( \frac { \vec { \phi } } x ) | _ { ( t ^ { * } , \vec { z } _ { i } ) } }
\begin{array} { r l } { \overline { { p } } _ { i , j } ^ { t + 1 } } & { \le \frac { p _ { i , j } ^ { t } \exp \big ( 1 . 5 \eta _ { p , i } r _ { i } + \eta B \big ) + \exp \big ( - ( 1 - \eta ) B + 1 . 5 \eta _ { p , i } r _ { i } \big ) } { \sum _ { k = 1 } ^ { n } p _ { i , k } ^ { t } \exp \big ( - 1 . 5 \eta _ { p , i } r _ { i } \big ) } } \\ & { = \big ( p _ { i , j } ^ { t } + e ^ { - B } \big ) \exp \big ( 3 \eta _ { p , i } r _ { i } + \eta B \big ) \le 2 \big ( p _ { i , j } ^ { t } + e ^ { - B } \big ) } \end{array}
\int \mathbf { A } ^ { 2 } ( \mathbf { r } , t ) \operatorname { d } \! ^ { 3 } \mathbf { r } = \int \int { \frac { \mathbf { B } ( \mathbf { r } , t ) \cdot \mathbf { B } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ) } { 4 \pi R } } \operatorname { d } \! ^ { 3 } \mathbf { r } \operatorname { d } \! ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime }
\vec { \xi } _ { i } = \left[ \mathbf { x } _ { i - 1 } ^ { \mathrm { T } } , \mathbf { x } _ { i } ^ { \mathrm { T } } , \mathbf { x } _ { i + 1 } ^ { \mathrm { T } } \right] ^ { \mathrm { T } } \in \mathbb { R } ^ { 9 }
\begin{array} { r l r l r l } & { R _ { 1 } = E _ { 1 } - E _ { 4 } , } & & { R _ { 2 } = E _ { 2 } - E _ { 5 } , } & & { R _ { 3 } = E _ { 3 } - E _ { 6 } , } \\ & { R _ { 1 } ^ { \prime } = E _ { 0 } - E _ { 1 } - E _ { 2 } - E _ { 4 } , } & & { R _ { 2 } ^ { \prime } = E _ { 0 } - E _ { 2 } - E _ { 3 } - E _ { 5 } , } & & { R _ { 3 } ^ { \prime } = E _ { 0 } - E _ { 1 } - E _ { 3 } - E _ { 6 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d P ( x _ { 1 } , t ) } { d t } } & { { } = \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } \left[ f \left( a ( x _ { 1 } ) \right) \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } \left\{ f \left( a ( x _ { 1 } ) \right) P ( x _ { 1 } , t ) \right\} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \pi } ( s _ { t + 1 } | s _ { t } , a _ { t } , h _ { t - 1 } ) } & { = \int _ { \mathcal { U } } P _ { \pi } ( s _ { t + 1 } | s _ { t } , u _ { t } , a _ { t } , h _ { t - 1 } ) P _ { \pi } ( u _ { t } | s _ { t } , a _ { t } , h _ { t - 1 } ) d u } \\ & { = \int _ { \mathcal { U } } P _ { \pi } ( s _ { t + 1 } | s _ { t } , u _ { t } , a _ { t } ) P _ { \pi } ( u _ { t } | s _ { t } , a _ { t } ) d u } \\ & { = P _ { \pi } ( s _ { t + 1 } | s _ { t } , a _ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D ( \mu _ { t } | \tilde { \mathcal { P } } , \beta _ { t } ) - D ( \mu _ { t } | \mathcal { P } , \beta _ { t } ) } \\ { = } & { \mathbb { E } _ { \tilde { \gamma } \sim \tilde { \mathcal { P } } } [ \tilde { f } ( x ^ { * } ( \tilde { \gamma } , \mu _ { t } ) ) - \mu _ { t } \cdot \tilde { b } ( x ^ { * } ( \tilde { \gamma } , \mu _ { t } ) ) + \mu _ { t } \cdot \beta _ { t } ] - \mathbb { E } _ { \gamma \sim \mathcal { P } } [ f ( x ^ { * } ( \gamma , \mu _ { t } ) ) - \mu _ { t } \cdot b ( x ^ { * } ( \gamma , \mu _ { t } ) ) + \mu _ { t } \cdot \beta _ { t } ] } \\ { = } & { \mathbb { E } _ { \tilde { \gamma } \sim \tilde { \mathcal { P } } } [ \tilde { f } ( x ^ { * } ( \gamma , \mu _ { t } ) ) - \mu _ { t } \cdot \tilde { b } ( x ^ { * } ( \gamma , \mu _ { t } ) ) + \mu _ { t } \cdot \beta _ { t } ] - \mathbb { E } _ { \gamma \sim \mathcal { P } } [ f ( x ^ { * } ( \gamma , \mu _ { t } ) ) - \mu _ { t } \cdot b ( x ^ { * } ( \gamma , \mu _ { t } ) ) + \mu _ { t } \cdot \beta _ { t } ] } \\ { \leq } & { \mathbb { E } _ { ( \gamma , \tilde { \gamma } ) \sim Q } \left[ \left| f ( x ^ { * } ( \gamma , \mu _ { t } ) ) - \mu _ { t } \cdot b ( x ^ { * } ( \gamma , \mu _ { t } ) ) - \left\{ \tilde { f } ( x ^ { * } ( \gamma , \mu _ { t } ) ) - \mu _ { t } \cdot \tilde { b } ( x ^ { * } ( \gamma , \mu _ { t } ) ) \right\} \right| \right] } \\ { \leq } & { ( 1 + \kappa ) \cdot \mathcal { W } ( \mathcal { P } , \tilde { \mathcal { P } } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ( \omega ) } & { { } = \rho _ { 1 1 } R e [ \frac { \gamma _ { 2 } + \Gamma _ { 3 2 } - i \delta } { ( - i \delta + \gamma _ { 0 } ) ^ { 2 } } ] } \\ { \gamma _ { 0 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( \gamma _ { 1 } + \gamma _ { 2 } + 3 \Lambda ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { = } & { 2 r _ { 1 } x + r _ { 1 } x ^ { 2 } + 2 r _ { 1 } x y - 3 r _ { 1 } x z - r _ { 1 } x ^ { 3 } - r _ { 1 } x ^ { 2 } y , } \\ { \dot { y } } & { = } & { 2 r _ { 2 } y + 2 r _ { 2 } x y + r _ { 2 } y ^ { 2 } - 3 r _ { 2 } y z - r _ { 2 } x y ^ { 2 } - r _ { 2 } y ^ { 3 } , } \\ { \dot { z } } & { = } & { \left( m - c _ { 1 } \left( r _ { 1 } + r _ { 2 } \right) \right) z + \left( m + c _ { 1 } \left( 2 r _ { 1 } - r _ { 2 } \right) \right) x z } \\ & { } & { + \left( m + c _ { 1 } \left( 2 r _ { 2 } - r _ { 1 } \right) \right) y z - m z ^ { 2 } - m x z ^ { 2 } - m y z ^ { 2 } . } \end{array}
\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + \frac 1 6 \left( \begin{array} { l } { f _ { n n n } n ^ { 3 } + 3 f _ { n n p } n ^ { 2 } p + f _ { n p p } n p ^ { 2 } + f _ { p p p } p ^ { 3 } } \\ { g _ { n n n } n ^ { 3 } + 3 g _ { n n p } n ^ { 2 } p + g _ { n p p } n p ^ { 2 } + g _ { p p p } p ^ { 3 } } \end{array} \right) ,
\Gamma _ { t } [ \phi ] = \int d ^ { D } x \left\{ V ( \phi ^ { 2 } , t ) + \frac { 1 } { 2 } \left( K ( \phi ^ { 2 } , t ) + \phi ^ { 2 } Z ( \phi ^ { 2 } , t ) \right) \left( \partial _ { \mu } \phi \right) ^ { 2 } \right\}
g a i n = \frac { ( ( M C A ~ c h a n n e l ~ n o ~ \times ~ 0 . 0 0 1 4 ~ + ~ 0 . 1 4 2 8 ~ V ) / 2 ~ m V ) ~ f C } { N o . ~ o f ~ p r i m a r y ~ e l e c t r o n s ~ \times ~ e ~ C }
\begin{array} { c c c } { { g _ { 1 } ^ { W ^ { - } } = \Delta u + \Delta c + \Delta \bar { d } + \Delta \bar { s } , } } & { { \mathrm { ~ } } } & { { g _ { 1 } ^ { W ^ { + } } = \Delta d + \Delta s + \Delta \bar { u } + \Delta \bar { c } , } } \\ { { g _ { 5 } ^ { W ^ { - } } = \Delta u + \Delta c - \Delta \bar { d } - \Delta \bar { s } , } } & { { \mathrm { ~ } } } & { { g _ { 5 } ^ { W ^ { + } } = \Delta d + \Delta s - \Delta \bar { u } - \Delta \bar { c } , } } \\ { { F _ { 1 } ^ { W ^ { - } } = u + c + \bar { d } + \bar { s } , } } & { { \mathrm { ~ } } } & { { F _ { 1 } ^ { W ^ { + } } = d + s + \bar { u } + \bar { c } , } } \\ { { F _ { 3 } ^ { W ^ { - } } = 2 ( u + c - \bar { d } - \bar { s } ) , } } & { { \mathrm { ~ } } } & { { F _ { 3 } ^ { W ^ { + } } = 2 ( d + s - \bar { u } - \bar { c } ) . } } \end{array}
{ } I _ { 1 } = \frac { 1 } { N - 3 } \, { d ^ { 3 - N } } { Y ^ { - 1 } } \left( \cos ^ { 2 } \frac { \phi _ { x } } { 2 } \right) ^ { \frac { 3 - N } { 2 } } { } _ { 2 } F _ { 1 } \left( \frac { N - 3 } { 2 } , \frac { 5 - N } { 2 } ; \frac { N - 1 } { 2 } ; \sin ^ { 2 } \frac { \phi _ { x } } { 2 } \right) .
\begin{array} { r } { u = \left( \frac { r } { 2 m } - 1 \right) ^ { 1 / 2 } e ^ { \frac { r } { 4 m } } \cosh \left( \frac { t } { 4 m } \right) } \\ { v = \left( \frac { r } { 2 m } - 1 \right) ^ { 1 / 2 } e ^ { \frac { r } { 4 m } } \sinh \left( \frac { t } { 4 m } \right) } \end{array}
{ \bar { B } } ^ { 1 1 } = \sin ^ { 2 } \delta B ^ { 2 2 } \quad ; \quad { \bar { B } } ^ { 1 2 } = \sin \delta \cos \delta B ^ { 2 2 } \quad ; \quad { \bar { B } } ^ { 2 2 } = \cos ^ { 2 } \delta B ^ { 2 2 }