harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { { \binom { N } { n } } ^ { - 1 } \sum _ { k = 0 . 5 , 1 . 5 , 2 . 5 , \ldots , \tilde { O } ( \sqrt N ) } k { \binom { N / 2 } { n / 2 - k } } { \binom { N / 2 } { n / 2 + k } } } \\ & { = \sum _ { k = 0 . 5 , 1 . 5 , 2 . 5 , \ldots , \tilde { O } ( \sqrt N ) } k \sqrt { \frac { 2 N n ( N - n ) } { \pi ( n ^ { 2 } - 4 k ^ { 2 } ) ( ( N - n ) ^ { 2 } - 4 k ^ { 2 } ) } } e ^ { \frac N 2 \left( H _ { b } \left( \nu - \frac { 2 k } N \right) + H _ { b } \left( \nu + \frac { 2 k } N \right) - 2 H _ { b } ( \nu ) \right) + O ( 1 / N ) } } \\ & { = \sqrt { \frac { 2 N } { \pi n ( N - n ) } } \sum _ { k = 0 . 5 , 1 . 5 , 2 . 5 , \ldots , \tilde { O } ( \sqrt N ) } k e ^ { - \frac { 2 k ^ { 2 } } { \nu ( 1 - \nu ) N } } \left( 1 + O ( k ^ { 4 } / N ^ { 3 } + k ^ { 2 } / N ^ { 2 } + 1 / N ) \right) } \\ & { = \sqrt { \frac { 2 N } { \pi \nu ( 1 - \nu ) } } \left( \sum _ { k = 0 . 5 , 1 . 5 , 2 . 5 , \ldots , \infty } \frac k { \sqrt N } e ^ { - \frac 2 { \nu ( 1 - \nu ) } \left( \frac k { \sqrt N } \right) ^ { 2 } } \frac 1 { \sqrt N } \right) + O ( 1 / \sqrt N ) . } \end{array}
\left( 2 \dot { X } _ { 0 } ^ { \mu } \dot { X } _ { 1 } ^ { \nu } + X _ { 0 } ^ { \mu } X _ { 0 } ^ { \nu } \right) G _ { \mu \nu } + G _ { \mu \nu , \alpha } \dot { X } _ { 0 } ^ { \mu } \dot { X } _ { 0 } ^ { \nu } X _ { 1 } ^ { \alpha } = 0 ,
\begin{array} { r } { I ^ { \mathrm { { c o u n t e r } } } ( \theta , \tau ) = | A _ { d _ { 2 } } ^ { \mathrm { { c o u n t e r } } } Y _ { 2 2 } ( \theta ) e ^ { - i \omega \tau + i \phi _ { d _ { 2 } } ^ { \mathrm { { c o u n t e r } } } } + A _ { d _ { 0 } } ^ { \mathrm { { c o u n t e r } } } Y _ { 2 0 } ( \theta ) e ^ { i \omega \tau + i \phi _ { d _ { 0 } } ^ { \mathrm { { c o u n t e r } } } } + A _ { s } ^ { \mathrm { { c o u n t e r } } } Y _ { 0 0 } ( \theta ) e ^ { i \omega \tau + i \phi _ { s } ^ { \mathrm { { c o u n t e r } } } } | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \bf P } _ { n } \approx 2 { \bf C } \exp [ { \frac { i } { \hbar } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( t , \tau ) } ( t _ { n } , \tau _ { n } ) } ] } \\ & { \frac { e ^ { - ( i / 2 ) [ D \arg ( \tau _ { n } ) + \arg ( { \partial _ { t _ { n } } ^ { 2 } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( t , \tau ) } } ) + \arg ( { \partial _ { \tau _ { n } } ^ { 2 } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( \tau ) } } ) ] } } { \sqrt { | ( \omega \tau _ { n } ) ^ { D } [ { \partial _ { ( \omega t _ { n } ) } ^ { 2 } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( t , \tau ) } } / \hbar ] [ { \partial _ { ( \omega \tau _ { n } ) } ^ { 2 } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( \tau ) } } / \hbar ] | } } , } \end{array}
n _ { 3 } ( q _ { B } ) = \int d ^ { D } q _ { A } \frac { 2 \chi ^ { ( B ) } \overset { * } { ( } q _ { B } ) \ \chi ^ { ( A ) } ( q _ { A } ) } { \left( q _ { A } ^ { 2 } + \textbf { q } _ { A } . \textbf { q } _ { B } + q _ { B } ^ { 2 } \frac { \mathcal { A } + 1 } { 2 \mathcal { A } } \right) ^ { 2 } } + \mathrm { c . c . } \, .
\begin{array} { r l } { \psi \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 0 } ( K ) \! : \, } & { \psi \circ g _ { K } = \hat { \psi } , \, \hat { \psi } \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 0 } ( \hat { K } ) , } \\ { u \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 1 } ( K ) \! : \, } & { u \circ g _ { K } = J ^ { - T } \hat { u } , \, \hat { u } \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 1 } ( \hat { K } ) , } \\ { w \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 2 } ( K ) \! : \, } & { u \circ g _ { K } = J \hat { w } / \operatorname* { d e t } J , \, \hat { w } \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 2 } ( \hat { K } ) , } \\ { \phi \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 3 } ( K ) \! : \, } & { \phi \circ g _ { K } = \hat { \phi } / \operatorname* { d e t } J , \, \hat { \phi } \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 3 } ( \hat { K } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq T } \left( \| \partial _ { t } u + \sigma u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } + \| \partial _ { t } p + \sigma p \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } + \| \partial _ { t } u ^ { * } + \sigma u ^ { * } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } \right) } \\ { \leq } & { } & { C \int _ { 0 } ^ { T } \| \partial _ { t } f + \sigma f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } \, d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { k _ { 1 } = k _ { 1 } ( \zeta ) = \frac { 1 } { 4 } \bigg ( \zeta - \sqrt { 8 + \zeta ^ { 2 } } + i \sqrt { 2 } \sqrt { 4 - \zeta ^ { 2 } + \zeta \sqrt { 8 + \zeta ^ { 2 } } } \bigg ) , } \\ & { k _ { 2 } = k _ { 2 } ( \zeta ) = \frac { 1 } { 4 } \bigg ( \zeta - \sqrt { 8 + \zeta ^ { 2 } } - i \sqrt { 2 } \sqrt { 4 - \zeta ^ { 2 } + \zeta \sqrt { 8 + \zeta ^ { 2 } } } \bigg ) , } \\ & { k _ { 3 } = k _ { 3 } ( \zeta ) = \frac { 1 } { 4 } \bigg ( \zeta + \sqrt { 8 + \zeta ^ { 2 } } + \sqrt { 2 } \sqrt { - 4 + \zeta ^ { 2 } + \zeta \sqrt { 8 + \zeta ^ { 2 } } } \bigg ) , } \\ & { k _ { 4 } = k _ { 4 } ( \zeta ) = \frac { 1 } { 4 } \bigg ( \zeta + \sqrt { 8 + \zeta ^ { 2 } } - \sqrt { 2 } \sqrt { - 4 + \zeta ^ { 2 } + \zeta \sqrt { 8 + \zeta ^ { 2 } } } \bigg ) , } \end{array}
\mathcal { N } _ { \mathrm { b i o } } ( \mathcal { D V } _ { 1 : k } ) \sim { \mathfrak { N } } \left( \mu _ { 0 } ( \mathcal { D V } _ { 1 : k } ) , \Sigma _ { 0 } ( \mathcal { D V } _ { 1 : k } , \mathcal { D V } _ { 1 : k } ) ) \right)
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } \Big ( \mathbb { E } \Big \| \tilde { f } _ { n } ( \theta ) - \tilde { f } ( \theta ) { \Big \| } _ { \mathrm { H S } } ^ { 2 } { \Big ) } ^ { 1 / 2 } = \mathcal { O } \left( \delta _ { n } ^ { \gamma } + B _ { 1 } ( \Delta _ { n } ) + B _ { 2 } ( \Delta _ { n } ) + \sqrt { \frac { \Delta _ { n } ^ { d } } { | T _ { n } | } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| d _ { i } \delta _ { l j k } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \right| } & { \le \left| d _ { i } ( \mathfrak { m } _ { \alpha } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] ) ( \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) ) \right| + \left| \int _ { j } ^ { k } \partial _ { \xi } ( d _ { i } \mathfrak { m } _ { 1 } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] ) ( \xi ) d \xi \right| + | d _ { i } r ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] ( j ) | + | d _ { i } r ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] ( k ) | } \\ & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Sigma _ { 0 } \setminus K } r ^ { s + 2 } | { \partial } \widecheck R | ^ { 2 } } & { \lesssim \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } + \int _ { \Sigma _ { 0 } \setminus K } r ^ { s + 2 } | \widecheck { { \partial } R } | ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } + \int _ { \Sigma _ { 0 } \setminus K } r ^ { s + 2 } | \widecheck { ( { \partial } R ) ^ { \prime } } | ^ { 2 } + r ^ { s + 2 } \frac { M ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } } { r ^ { s + 7 } } + | { \partial } f | ^ { 2 } r ^ { s + 2 } | R ^ { \prime } | ^ { 2 } + | f | ^ { 2 } r ^ { s + 2 } | { \partial } ^ { \prime } R ^ { \prime } | ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } + \int _ { \Sigma _ { 0 } \setminus K } r ^ { s } | \widecheck R ^ { \prime } | ^ { 2 } + r ^ { s + 2 } | \widecheck { ( { \partial } R ) ^ { \prime } } | ^ { 2 } + r ^ { s + 2 } | f | ^ { 2 } | ( { \partial } ^ { \prime } R ^ { \prime } ) _ { K } | ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } + \int _ { \Sigma _ { 0 } \setminus K } r ^ { s + 2 } \frac { \epsilon ^ { 2 } } { r ^ { s - 1 } } \frac { M ^ { 2 } } { r ^ { 8 } } } \\ & { \lesssim \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { - n ^ { 1 / 2 } \pi ^ { 1 / 2 } \delta _ { c } L _ { P E ; c l } \epsilon _ { A 0 } ^ { 1 / 2 } } { 2 \sqrt { 2 } S \delta _ { a } ^ { 1 / 2 } \delta { \hat { W } } _ { n k u 0 } ^ { 1 / 2 } } \left( 1 - \frac { F + \frac { 2 \delta _ { a } } { \pi } \delta { \hat { W } } _ { n k u 0 } } { \epsilon _ { A 0 } } \right) = 2 L + 1 , { \quad \mathrm { ~ L ~ = ~ 0 ~ , ~ 1 ~ , ~ 2 ~ , ~ 3 ~ . ~ . ~ . ~ } }
\int _ { - \infty } ^ { \infty } \, d ^ { 3 } \vec { x } \ e ^ { - i \vec { a } \vec { x } } \ e ^ { - \vec { x } ^ { 2 } / \delta x ^ { 2 } } \ = \ \pi ^ { 3 / 2 } \, \delta x ^ { 3 } \, e ^ { - \frac { 1 } { 4 } \delta x ^ { 2 } \vec { a } ^ { 2 } } \ .
\begin{array} { r l } { \hat { f } ^ { 1 } ( \sigma ) } & { : = \hat { f } ( \sigma ) - \hat { P } ( \sigma ) ( \psi u _ { 0 } ) } \\ & { = ( 1 - \psi ) \hat { f } ( \sigma ) + \psi \bigl ( \hat { f } ( \sigma ) - \hat { f } ( 0 ) \bigr ) + \psi ( \hat { f } ( 0 ) - \hat { P } ( 0 ) u _ { 0 } ) } \\ & { \qquad - \psi ( \hat { P } ( \sigma ) - \hat { P } ( 0 ) ) u _ { 0 } - [ \hat { P } ( \sigma ) , \psi ] u _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } p _ { s , 4 j - 2 } } & { : = p _ { s , 4 j - 3 } + 2 n _ { s , 4 j - 3 } , \ \ \ \ \ \ \ \ } & { p _ { s , 4 j - 1 } } & { : = p _ { s , 4 j - 2 } + 4 n _ { s , 4 j - 2 } , } \\ { p _ { s , 4 j } } & { : = p _ { s , 4 j - 1 } + 2 n _ { s , 4 j - 1 } , \ \ \ \ \ \ \ \ } & { p _ { s , 4 j + 1 } } & { : = p _ { s , 4 j } + 4 n _ { s , 4 j } . } \end{array}
\sim { \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { d / 2 } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left[ a _ { n - \alpha } ~ { \frac { \lambda ^ { d / 2 - n + \alpha - 1 } } { \Gamma \left( \frac d 2 - n + \alpha \right) } } + b _ { n - \alpha } ~ { \frac { \lambda ^ { ( d - 1 ) / 2 - n + \alpha - 1 } } { \Gamma \left( { \frac { d - 1 } { 2 } } - n + \alpha \right) } } \right] ,
\left\langle { \bf u } \cdot { \bf d ^ { \prime } } + { \bf u } ^ { \prime } \cdot { \bf d } + { \frac { \rho } { \rho ^ { \prime } } } { \bf u } \cdot { \bf d ^ { \prime } } + { \frac { \rho ^ { \prime } } { \rho } } { \bf u } ^ { \prime } \cdot { \bf d } \right\rangle \simeq 0 \, .
\left( \begin{array} { l } { x ^ { k + 1 } } \\ { y ^ { k + 1 } } \end{array} \right) = \widetilde G \left( \begin{array} { l } { x ^ { k } } \\ { y ^ { k } } \end{array} \right) \quad \mathrm { w i t h } \quad \widetilde G : = \frac { 1 } { 1 + \tau } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - \tau } \\ { \sigma ( 1 - \tau ) } & { 1 + \tau - 2 \tau \sigma } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { t _ { n } } & { = t _ { 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \alpha _ { i } A _ { i } ^ { - 1 } B _ { i } } \\ & { = t _ { 0 } + \alpha _ { 1 } A _ { 1 } ^ { - 1 } B _ { 1 } + \sum _ { i = 2 } ^ { n } \Bigl ( \sum _ { j = 1 } ^ { i } \alpha _ { j } A _ { j } ^ { - 1 } - \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \alpha _ { j } A _ { j } ^ { - 1 } \Bigr ) B _ { i } } \\ & { = t _ { 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \Bigl ( \sum _ { j = 1 } ^ { i } \alpha _ { j } A _ { j } ^ { - 1 } \Bigr ) ( B _ { i } - B _ { i + 1 } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \alpha _ { j } A _ { j } ^ { - 1 } B _ { n } } \\ & { = t _ { 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \beta _ { i + 1 } ( A _ { i } ^ { - 1 } - A _ { 0 } ^ { - 1 } ) B _ { i } + \frac { 1 } { \varepsilon } ( A _ { n } ^ { - 1 } - A _ { 0 } ^ { - 1 } ) B _ { n } } \\ & { = t _ { 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \beta _ { i + 1 } A _ { i } ^ { - 1 } B _ { i } + \frac { 1 } { \varepsilon } ( A _ { n } ^ { - 1 } B _ { n } - A _ { 0 } ^ { - 1 } B _ { 1 } ) . } \end{array}
f ( t ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \hat { f } } ^ { c } ( \nu ) \cos ( 2 \pi \nu t ) \, d \nu + \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \hat { f } } ^ { s } ( \nu ) \sin ( 2 \pi \nu t ) \, d \nu ,
\begin{array} { r } { \langle T _ { r } ^ { G } \rangle = \frac { \beta \left( \sqrt { 4 D r + \lambda ^ { 2 } } - \lambda \right) e ^ { \frac { x _ { 0 } \left( \sqrt { 4 D r + \lambda ^ { 2 } } - \lambda \right) } { 2 D } } } { \alpha r \left( \sqrt { 4 \beta D + \lambda ^ { 2 } } - \lambda \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ( n , t , | w _ { 1 } | , \ldots , | w _ { d } | ) : } & { = \{ ( r , k _ { 1 } , \ldots , k _ { d } ) \in { \mathbb { Z } } _ { \geq 0 } ^ { d + 1 } \mid \sum _ { 1 \leq i \leq d } k _ { i } | w _ { i } | \leq n , r \leq \sum _ { i = 1 } ^ { d } k _ { i } \mathrm { , ~ a n d ~ } 0 \leq \sum _ { i = 1 } ^ { d } i k _ { i } - r \leq t \} } \\ & { = \{ ( r , k _ { 1 } , \ldots , k _ { d } ) \in { \mathbb { Z } } _ { \geq 0 } ^ { d + 1 } \mid \sum k _ { i } | w _ { i } | \leq n , \sum i k _ { i } - t \leq r \leq \sum k _ { i } \} . } \end{array}
\textup { R e s } _ { w = a } \Big [ \sqrt { \overline { { f ( 1 / \bar { w } ) } } f ( w ) } \, \frac { f ^ { \prime } ( w ) } { f ( w ) } \Big ] = - \frac { 1 } { a } \Big [ \Big ( \frac { 1 + a ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } { a } r _ { 1 } + r _ { 2 } \Big ) \Big ( \frac { a ^ { 4 } \tau ^ { 2 } - a ^ { 2 } + 2 } { a } r _ { 1 } + r _ { 2 } \Big ) \Big ] ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \| y ( t ) \| _ { H } ^ { 2 } \leq - 2 \nu _ { \operatorname* { m i n } } ( \omega ) \| y ( t ) \| _ { V } ^ { 2 } + 2 | \langle a ( t ) y ( t ) , y ( t ) \rangle _ { V ^ { \prime } , V } | } \\ & { + 2 | ( b ( t ) y ( t ) , \nabla y ( t ) ) _ { H } | + 2 \lambda \langle P _ { \mathcal { O } _ { N } } ^ { \mathcal { E } _ { N } ^ { \perp } } \Delta P _ { \mathcal { E } _ { N } } ^ { \mathcal { O } _ { N } ^ { \perp } } y ( t , \omega ) , y ( t , \omega ) \rangle _ { V ^ { \prime } , V } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal G ^ { + } ( \mathcal O ) } & { : = \{ x \in \mathcal G ( \mathcal O ) \mid x \mathrm { ~ i s ~ m i n i m u m ~ o f ~ } \mathcal G ( \mathcal O ) \mathrm { ~ o r ~ } x \mathrm { ~ i s ~ m a x i m u m ~ o f ~ } T _ { r } \mathrm { ~ w h e n ~ } r \in \eta \} , } \\ { \mathcal G ^ { - } ( \mathcal O ) } & { : = \{ x \in \mathcal G ( \mathcal O ) \mid x \mathrm { ~ i s ~ m a x i m u m ~ o f ~ } \mathcal G ( \mathcal O ) \mathrm { ~ o r ~ } x \mathrm { ~ i s ~ m i n i m u m ~ o f ~ } T _ { r } \mathrm { ~ w h e n ~ } r \in \eta \} , } \\ { \mathcal G ^ { 0 } ( \mathcal O ) } & { : = \mathcal G ( \mathcal O ) \setminus ( \mathcal G ^ { + } ( \mathcal O ) \cup \mathcal G ^ { - } ( \mathcal O ) ) = \{ T _ { r } \mid r \in \vartheta \} . } \end{array}
\left\langle \hat { \sigma } ^ { \dagger } \hat { \sigma } - \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } \right\rangle = c o n s t \mathrm { ~ \ a ~ n ~ d ~ \ } \left\langle \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 1 } \right\rangle = c o n s t .
k _ { 1 } x _ { 1 } ^ { \nu _ { 1 1 } ^ { - } } x _ { 2 } ^ { \nu _ { 2 1 } ^ { - } } = k _ { 2 } x _ { 3 } ^ { \nu _ { 3 2 } ^ { - } } x _ { 4 } ^ { \nu _ { 4 2 } ^ { - } } \iff K : = \frac { k _ { 1 } } { k _ { 2 } } = \frac { x _ { 3 } ^ { \nu _ { 3 2 } ^ { - } } x _ { 4 } ^ { \nu _ { 4 2 } ^ { - } } } { x _ { 1 } ^ { \nu _ { 1 1 } ^ { - } } x _ { 2 } ^ { \nu _ { 2 1 } ^ { - } } }
\begin{array} { r l } { | x _ { - } - x | } & { \leq | x _ { - } - H _ { s } ( \xi _ { \operatorname* { m i n } } ) | + | H _ { s } ( \xi _ { \operatorname* { m i n } } ) - x | } \\ & { \leq | H ( 0 ) - H ( \xi _ { \operatorname* { m i n } } ) | + | | ( H ( \xi _ { \operatorname* { m i n } } ) , \xi _ { \operatorname* { m i n } } ) - ( x , \beta _ { n } x ) | | } \\ & { \leq | \xi _ { \operatorname* { m i n } } | + C \nu | x - x _ { i } | \mathrm { ~ ( r e c a l l ~ t h a t ~ } | H ^ { \prime } | \leq 1 ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { 4 } | x - x _ { - } | + C \nu | x - x _ { i } | } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \rho ( x , t ) = \partial _ { x } r ( x , t ) \quad , \quad r ( x , t ) = - \frac { 1 } { \gamma } \partial _ { x } \log \left( f ( x , t ) + f ( - x , t ) \right) } \\ & { } & { f ( x , t ) = \frac { e ^ { - \frac { \gamma x ^ { 2 } } { 4 ( { \ell } + \gamma t ) } } } { \sqrt { 1 + \frac { \gamma t } { { \ell } } } } \mathrm { e r f } \left( \frac { { \ell } + \gamma t + x } { 2 \sqrt { t } \sqrt { 1 + \frac { \gamma t } { { \ell } } } } \right) + e ^ { \frac { 1 } { 4 } \gamma ( { \ell } + \gamma t + 2 x ) } \mathrm { e r f c } \left( \frac { { \ell } + \gamma t + x } { 2 \sqrt { t } } \right) \; . } \end{array}
Q _ { 3 } = ( \bar { s } b ) _ { V - A } \sum _ { q = u , d , s , c } ( \bar { q } q ) _ { V - A } ~ ~ ~ ~ ~ ~ Q _ { 4 } = ( \bar { s } _ { \alpha } b _ { \beta } ) _ { V - A } \sum _ { q = u , d , s , c } ( \bar { q } _ { \beta } q _ { \alpha } ) _ { V - A }
\begin{array} { r l } { \sum _ { n \geq 1 } \frac { \Lambda _ { f } ( n ) } { n ^ { s } } } & { = \frac { \Lambda _ { f } ( 1 ) } { 1 ^ { s } } + \frac { \Lambda _ { f } ( 2 ) } { 2 ^ { s } } + \frac { \Lambda _ { f } ( 3 ) } { 3 ^ { s } } + \frac { \Lambda _ { f } ( 4 ) } { 4 ^ { s } } + \frac { \Lambda _ { f } ( 5 ) } { 5 ^ { s } } + \ldots + \frac { \Lambda _ { f } ( 1 6 ) } { 1 6 ^ { s } } + \ldots } \\ & { = \frac { f ( 2 ) } { h _ { f } ( 2 ) 2 ^ { s } } + \frac { f ( 3 ) } { h _ { f } ( 3 ) 3 ^ { s } } + \frac { f ( 2 ) } { h _ { f } ( 2 ) 2 ^ { 2 s } } + \frac { f ( 5 ) } { h _ { f } ( 5 ) 5 ^ { s } } + \frac { f ( 7 ) } { h _ { f } ( 7 ) 7 ^ { s } } + \frac { f ( 2 ) } { h _ { f } ( 2 ) 2 ^ { 3 s } } + \ldots + \frac { f ( 2 ) } { h _ { f } ( 2 ) 2 ^ { 4 s } } + \ldots } \\ & { = \sum _ { p } \sum _ { k \geq 1 } \frac { f ( p ) } { h _ { f } ( p ) p ^ { k s } } = \sum _ { p } \frac { f ( p ) } { h _ { f } ( p ) } \sum _ { k \geq 1 } \frac { 1 } { p ^ { k s } } } \\ & { = \sum _ { p } \frac { f ( p ) } { h _ { f } ( p ) } \sum _ { k \geq 1 } \bigg ( \frac { 1 } { p ^ { s } } \bigg ) ^ { k } = \sum _ { p } \frac { f ( p ) } { h _ { f } ( p ) } . \frac { 1 } { p ^ { s } } . \frac { 1 } { 1 - \frac { 1 } { p ^ { s } } } } \\ & { = \sum _ { p } \frac { f ( p ) } { h _ { f } ( p ) p ^ { s } - h _ { f } ( p ) } } \end{array}
M _ { \mathrm { n } } = \left( \begin{array} { l l l l } { { M _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { { \frac { g \tan \theta _ { W } } { 2 } } v _ { u } } } & { { - { \frac { g \tan \theta _ { W } } { 2 } } v _ { \alpha } } } \\ { { 0 } } & { { M _ { 2 } } } & { { - { \frac { g } { 2 } } v _ { u } } } & { { { \frac { g } { 2 } } v _ { \alpha } } } \\ { { { \frac { g \tan \theta _ { W } } { 2 } } v _ { u } } } & { { - { \frac { g } { 2 } } v _ { u } } } & { { 0 } } & { { - \mu _ { \alpha } } } \\ { { - { \frac { g \tan \theta _ { W } } { 2 } } v _ { \alpha } } } & { { { \frac { g } { 2 } } v _ { \alpha } } } & { { - \mu _ { \alpha } } } & { { 0 _ { 4 \times 4 } } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { { S R } , \ m u } } ^ { \mathrm { F o c k } } = - } & { { } \sum _ { i j } \int d \boldsymbol { r } \, d \boldsymbol { r ^ { \prime } } \psi _ { i } ^ { * } ( \boldsymbol { r } ) \psi _ { j } ( \boldsymbol { r } ) \frac { \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ c ~ } ( \mu \left| \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } \right| ) } { \left| \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } \right| } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \bar { \mu } ^ { * } \hat { R } _ { 1 } + \mu ^ { * } \hat { R } _ { 2 } \leq \operatorname* { m i n } _ { ( R _ { 1 } , R _ { 2 } ) \in { \cal R } ( p _ { X Y } ) } \left\{ \bar { \mu } ^ { * } R _ { 1 } + \mu ^ { * } R _ { 2 } \right\} - \epsilon } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { = } } & { \operatorname* { m i n } _ { p \in { \cal P } ( p _ { X Y } ) } \left\{ \bar { \mu } ^ { * } I _ { p } ( U ; X | Y ) + \mu ^ { * } H _ { p } ( Y | U ) \right\} - \epsilon } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m i n } _ { p \in { \cal P } _ { \mathrm { s h } } ( p _ { X Y } ) } \left\{ \bar { \mu } ^ { * } I _ { p } ( U ; X ) + \mu ^ { * } H _ { p } ( Y | U ) \right\} - \epsilon } \\ & { = } & { R ^ { ( \mu ^ { * } ) } ( p _ { X Y } ) - \epsilon . } \end{array}
{ \cal E } \simeq - \frac { \pi \Delta u } { u _ { b } } ( \kappa ^ { 2 } u _ { b } ^ { 2 } ) \left\{ 1 - \frac { 2 \sqrt { 2 } } { \pi \kappa u _ { b } } \operatorname { t a n h } \left( \frac { \pi \kappa u _ { b } } { \sqrt { 2 } } \right) \left[ 1 - \frac { 1 } { 3 } \operatorname { t a n h } ^ { 2 } \left( \frac { \pi \kappa u _ { b } } { \sqrt { 2 } } \right) \right] \right\} .
\begin{array} { r } { \rho _ { i } ( t ) = \int _ { 0 } ^ { t } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } h _ { j i } ( \tau ) - \sum _ { j = 1 } ^ { N } h _ { i j } ( \tau ) + J _ { i } ^ { i n } ( \tau ) - J _ { i } ^ { o u t } ( \tau ) \right) d \tau } \end{array}
\frac { i } { 2 } \mathrm { T r } \, \log \widehat { \cal H } = \left. \frac { i } { 2 } \mathrm { T r } \, \log \left( \widehat { 1 } \Delta + 2 \widehat { E } ^ { \lambda } \nabla _ { \lambda } + \widehat { \Pi } \right) \right| _ { d i v } = \frac { 1 } { 2 \epsilon } \int d ^ { 2 } x \, \sqrt { g } \, \mathrm { T r } \, \left( \widehat { \Pi } + \frac { R } { 6 } \widehat { 1 } - \widehat { E } ^ { \lambda } \widehat { E } _ { \lambda } - \nabla _ { \lambda } \widehat { E } ^ { \lambda } \right) ,
\delta K _ { \textrm { D } } = \sum _ { i } ^ { N } \frac { 1 } { 2 } m _ { i } [ \frac { \textbf ( \textbf { r } _ { i } ( t + \delta t ) - \textbf { r } _ { i } ( t ) ) ^ { 2 } } { \delta t ^ { 2 } } - \frac { \textbf ( \textbf { r } _ { i } ( t ) - \textbf { r } _ { i } ( t - \delta t ) ) ^ { 2 } } { \delta t ^ { 2 } } ] .
\mu _ { \phi _ { p } } = \frac { \delta E } { \delta \phi _ { p } } = \sum _ { q \neq p } 2 \beta _ { p q } \left[ g ^ { \prime } \left( \phi _ { p } \right) - g ^ { \prime } \left( \phi _ { p } + \phi _ { q } \right) \right] - \sum _ { q \neq p } k _ { p q } \nabla ^ { 2 } \phi _ { q } .
\begin{array} { r } { \Delta _ { k } ^ { \varepsilon } = \theta ( Y _ { \tau _ { k - 1 } } ^ { \varepsilon } ) \Big ( ( X _ { \tau _ { k } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - X _ { \tau _ { k - 1 } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) - \mathbf { E } \Big [ X _ { \tau _ { k } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - X _ { \tau _ { k - 1 } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } \Big | \mathscr { F } _ { \tau _ { k - 1 } ^ { \varepsilon } } \Big ] \Big ) } \end{array}
\chi _ { j , k } ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \frac { ( f _ { i } ( \mathbf { V } _ { j , i } ) - f _ { i } ( \mathbf { R } _ { k , i } ) ) ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathbf { n } _ { i } } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { H ^ { * } ( v , \mathrm { e n d } \, u _ { n } ^ { ( n ) } ) } & { = \operatorname* { m a x } \{ \operatorname* { s u p } _ { ( x , \gamma ) \in v \cap ( X \times ( \alpha _ { k } , 1 ] } \overline { { d } } ( ( x , \gamma ) , \, \mathrm { e n d } \, u _ { n } ^ { ( n ) } ) , \ H ^ { * } ( v \cap ( X \times [ 0 , \alpha _ { k } ] ) , \, \mathrm { e n d } \, u _ { n } ^ { ( n ) } ) \} } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } \{ H ^ { * } ( v ^ { k } , \, \mathrm { e n d } _ { \alpha _ { k } } \, u _ { n } ^ { ( n ) } ) , \ \alpha _ { k } \} . } \end{array}