harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
A = \sum _ { i \ne 0 } \left( \frac { P _ { i } ^ { 2 } } { 2 m _ { i } } - \frac { G m _ { 0 } m _ { i } } { Q _ { i } } \right) - \sum _ { 0 < i < j } \frac { G m _ { i } m _ { j } } { Q _ { i j } } \left( 1 - K ( Q _ { i j } ) \right) .
\begin{array} { r l } { ( u _ { 0 } ^ { e } ) ^ { L , n + 1 } } & { = ( u _ { 0 } ^ { e } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { w _ { 0 } \Delta x _ { e } } [ f _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { e } - F _ { e - \frac { 1 } { 2 } } ] } \\ { ( u _ { j } ^ { e } ) ^ { L , n + 1 } } & { = ( u _ { j } ^ { e } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { w _ { j } \Delta x _ { e } } [ f _ { j + \frac 1 2 } ^ { e } - f _ { j - \frac 1 2 } ^ { e } ] , \qquad 1 \le j \le N - 1 } \\ { ( u _ { N } ^ { e } ) ^ { L , n + 1 } } & { = ( u _ { N } ^ { e } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { w _ { N } \Delta x _ { e } } [ F _ { e + \frac { 1 } { 2 } } - f _ { N - \frac { 1 } { 2 } } ^ { e } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle ( N L ) J ( s ~ s _ { 3 } ) S ; } & { \mathcal { J } \mathcal { M } | \hat { s } _ { 2 , q } | ( N ^ { \prime } L ^ { \prime } ) J ^ { \prime } ( s ^ { \prime } ~ s _ { 3 } ) S ^ { \prime } ; \mathcal { J } ^ { \prime } \mathcal { M } \rangle = } \\ & { \delta _ { N , N ^ { \prime } } \delta _ { L , L ^ { \prime } } \delta _ { J , J ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { 2 \mathcal { J } - \mathcal { M } + J + 2 S ^ { \prime } + 2 s ^ { \prime } + s _ { 1 } + s _ { 2 } + s _ { 3 } + 1 } \left[ \mathcal { J } , \mathcal { J } ^ { \prime } , S , S ^ { \prime } , s , s ^ { \prime } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ & { \times \left( \begin{array} { c c c } { \mathcal { J } } & { 1 } & { \mathcal { J } ^ { \prime } } \\ { \mathcal { M } } & { q } & { \mathcal { M } ^ { \prime } } \end{array} \right) \left\{ \begin{array} { c c c } { \mathcal { J } } & { 1 } & { \mathcal { J } } \\ { S ^ { \prime } } & { J } & { S } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { c c c } { S } & { 1 } & { S ^ { \prime } } \\ { s ^ { \prime } } & { s _ { 3 } } & { s } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { c c c } { s } & { 1 } & { s ^ { \prime } } \\ { s _ { 2 } } & { s _ { 1 } } & { s _ { 2 } } \end{array} \right\} \sqrt { s _ { 2 } ( s _ { 2 } + 1 ) ( 2 s _ { 2 } + 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x , y , 0 ) = } & { 0 . 0 7 - 0 . 0 2 \cos \Big ( \frac { 2 \pi ( x - 1 2 ) } { 3 2 } \Big ) \sin \Big ( \frac { 2 \pi ( y - 1 ) } { 3 2 } \Big ) } \\ & { + 0 . 0 2 \cos ^ { 2 } \Big ( \frac { \pi ( x + 1 0 ) } { 3 2 } \Big ) \sin ^ { 2 } \Big ( \frac { \pi ( y + 3 ) } { 3 2 } \Big ) } \\ & { - 0 . 0 1 \sin ^ { 2 } \Big ( \frac { 4 \pi x } { 3 2 } \Big ) \sin ^ { 2 } \Big ( \frac { 4 \pi ( y - 6 ) } { 3 2 } \Big ) . } \end{array}
Z = - \frac { 1 } { e ^ { 2 } { \phi _ { 0 } } ^ { 2 } } \int d ^ { 2 } x \left[ \frac { e } { 2 } \epsilon ^ { i j } F _ { i j } ( \vert \Phi \vert ^ { 2 } - { \Phi _ { 0 } } ^ { 2 } ) + i \epsilon ^ { i j } ( D _ { i } \Phi ) ( D _ { j } \Phi ) ^ { * } \right]
\begin{array} { r l } { \bigl [ \hat { W } _ { m } , \, \hat { W } _ { n } \bigr ] } & { { } = 0 , } \\ { \bigl [ \hat { C } _ { m } , \, \hat { C } _ { n } \bigr ] } & { { } = 0 , } \\ { \bigl [ \hat { W } _ { m } , \, \hat { C } _ { n } \bigr ] } & { { } = \frac { \delta _ { n m } } { \sqrt { 2 } } \left\{ \bigl ( f _ { n } , \hat { \phi } \bigr ) - \bigl ( \hat { \phi } , f _ { n } \bigr ) \right\} , } \end{array}
f ( m ) = \left\{ \begin{array} { l l } { f \left( \left\lfloor \frac { m } { 2 } \right\rfloor \right) + f \left( \left\lceil \frac { m } { 2 } \right\rceil \right) + O ( m \delta \log ^ { 3 } \tilde { n } \log \log \tilde { n } ) } & { \mathrm { i f ~ } m > \lfloor \log _ { 2 } \tilde { n } \rfloor ^ { 2 } } \\ { f ( 1 ) + f ( m - 1 ) + O ( m \delta \log ^ { 3 } \tilde { n } \log \log \tilde { n } ) } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { 2 L _ { \mathrm { m } } ( l _ { 1 } , l _ { 2 } , s ) } & { { } = L _ { \mathrm { m } } ( l _ { 2 } + l _ { 3 } , s ) + L _ { \mathrm { m } } ( l _ { 1 } - l _ { 3 } , s ) } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } } { d \tau ^ { 2 } } { \textbf { \textsf { q } } } ( \tau ) = \frac { e } { m c } { \textbf { \textsf { F } } } ( { \textbf { \textsf { q } } } ( \tau ) ) \cdot { \textbf { \textsf { u } } } ( \tau )
r E = \Delta \left( \frac { 1 } { \epsilon } \right) \approx \frac { - \Delta \epsilon } { \epsilon ^ { 2 } } = - \frac { - \chi ^ { ( 2 ) } E } { ( 1 + \chi ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } } = \frac { 3 \beta P ( \chi ^ { ( 1 ) } ) ^ { 3 } E } { ( 1 + \chi ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left[ | f ( \mathbf { x } ) - \bar { \mu } _ { l } ( \mathbf { x } ) | \geq w _ { l } ( \mathbf { x } ) \right] } \\ { \leq } & { \mathbb { P } \left[ \left| f ( \mathbf { x } ) - \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } f _ { u } ( \mathbf { x } ) \right| + \left| \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } f _ { u } ( \mathbf { x } ) - \bar { \mu } _ { l } ( \mathbf { x } ) \right| \geq w _ { l , 1 } ( \mathbf { x } ) + w _ { l , 2 } ( \mathbf { x } ) \right] } \\ { \leq } & { \mathbb { P } \left[ \left| f ( \mathbf { x } ) - \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } f _ { u } ( \mathbf { x } ) \right| \geq w _ { l , 1 } ( \mathbf { x } ) \right] + \mathbb { P } \left[ \left| \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } f _ { u } ( \mathbf { x } ) - \bar { \mu } _ { l } ( \mathbf { x } ) \right| \geq w _ { l , 2 } ( \mathbf { x } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \bf \Lambda } = \left( \begin{array} { l l } { i { \cal H } _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { - i { \cal H } _ { 1 } } \end{array} \right) , \quad { \cal H } _ { 1 } = \rho ^ { 1 / 2 } { \cal H } _ { 2 } ^ { 1 / 2 } \rho ^ { - 1 / 2 } , } \\ & { } & { { { { \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ L } ~ } } } } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { \frac { 1 } { \omega \rho } { \cal H } _ { 1 } } & { - \frac { 1 } { \omega \rho } { \cal H } _ { 1 } } \end{array} \right) , \quad { { { \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ L } ~ } } } } ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \omega { \cal H } _ { 1 } ^ { - 1 } \rho } \\ { 1 } & { - \omega { \cal H } _ { 1 } ^ { - 1 } \rho } \end{array} \right) } \end{array}
y ^ { 2 } = x ^ { 2 \tilde { n } _ { c } } \left[ \prod _ { k = 1 } ^ { n _ { c } - \tilde { n } _ { c } } ( x - \Phi _ { k } ) ^ { 2 } + 4 \Lambda ^ { 2 n _ { c } - n _ { f } } x ^ { n _ { c } - \tilde { n } _ { c } } \right] = x ^ { 2 { \tilde { n } } _ { c } } ( x ^ { n _ { c } - { \tilde { n } } _ { c } } - \Lambda ^ { 2 } ) ^ { 2 } .
\overline { { { \psi } } } ^ { ( 1 ) } ( x ) P _ { + } \psi ^ { ( 1 ) } ( x ) \; \longleftrightarrow \; \frac { 1 } { 2 \pi } c ^ { ( 1 ) } : e ^ { - i a \varphi ^ { ( 1 ) } ( x ) } : _ { M ^ { ( 1 ) } } : e ^ { - i b \varphi ^ { ( 2 ) } ( x ) } : _ { M ^ { ( 2 ) } } \; e ^ { i \frac { \theta } { 2 } } \; ,
\begin{array} { r l } { R _ { V , W } ( u ) } & { = \tau \circ S _ { V ^ { \prime } , W ^ { \prime } } ( u ) \circ \tau \circ \alpha ( u ^ { - 1 } ) \circ S _ { W ^ { \prime } , V ^ { \prime } } ^ { - 1 } ( u ^ { - 1 } ) \circ \tau } \\ & { = ( \tau \circ S _ { V ^ { \prime } , W ^ { \prime } } ( u ) \circ \tau ) \circ \tau \circ ( \tau \circ \alpha ( u ^ { - 1 } ) \circ \tau ) \circ ( \tau \circ S _ { W ^ { \prime } , V ^ { \prime } } ^ { - 1 } ( u ^ { - 1 } ) \circ \tau ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \underbrace { \left( \mathbb { E } [ \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } | { \sf K } ^ { i } - \nabla \phi ( X ^ { i } ) | ^ { 2 } ] \right) } _ { \mathrm { M S E } } \leq \underbrace { O ( \epsilon ^ { 2 } ) } _ { \mathrm { b i a s } } + \underbrace { O ( \frac { 1 } { \epsilon ^ { ( 2 + d ) } N } ) } _ { \mathrm { v a r i a n c e } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { R e } [ \Psi \left( x \right) ] = \frac { r _ { 0 } - R - E + T } { 2 \sqrt { E - T } } , } \\ { \mathrm { I m } [ \Psi \left( x \right) ] = \frac { r _ { \pi / 2 } - R - E + T } { 2 \sqrt { E - T } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { 3 } ( V , C , \lambda , \mu ) } & { { } = C \Bigg [ C ^ { 2 } \left( 1 + \frac { 2 ( \lambda - 1 ) + \mu ( \gamma - 1 ) } { 2 \gamma ( 1 + V ) } \right) } \end{array}
\sum _ { \substack { r _ { 1 } \geq s _ { 1 } \geq r _ { 2 } \geq 0 \, r _ { 1 } \geq s _ { 2 } \geq 0 } } \frac { q ^ { r _ { 1 } ^ { 2 } - r _ { 1 } s _ { 1 } + s _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } + s _ { 2 } ^ { 2 } + s _ { 1 } s _ { 2 } + r _ { 1 } + r _ { 2 } + s _ { 1 } + s _ { 2 } } } { ( q ; q ) _ { r _ { 1 } } } { r _ { 1 } \brack s _ { 1 } } _ { q } { r _ { 1 } \brack s _ { 2 } } _ { q } { s _ { 1 } \brack r _ { 2 } } _ { q } = \frac { 1 } { \theta ( q ^ { 2 } , q ^ { 3 } , q ^ { 3 } , q ^ { 4 } , q ^ { 4 } , q ^ { 5 } ; q ^ { 1 0 } ) }
\Gamma _ { \mu 5 } ( P , q ) = i \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } - \frac { 4 } { 3 } \int \frac { d ^ { 4 } K } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } g _ { s } ^ { 2 } D ( P - K ) \gamma _ { \nu } G ( K + \frac { q } { 2 } ) \Gamma _ { \mu 5 } ( K , q ) G ( K - \frac { q } { 2 } ) \gamma _ { \nu } .
F _ { { \mathbf i } { \mathbf j } } { \bar { D } } ^ { { \mathbf k } { \mathbf l } } F _ { { \mathbf k } { \mathbf l } } = { \bar { D } } _ { { \mathbf i } { \mathbf j } } ( F ^ { { \mathbf k } { \mathbf l } } F _ { { \mathbf k } { \mathbf l } } ) + \frac { 3 } { 1 0 } { \bar { D } } ^ { { \mathbf k } { \mathbf l } } ( F _ { ( { \mathbf i } { \mathbf j } } F _ { { \mathbf k } { \mathbf l } ) } ) \ ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } | ( k * \rho _ { t } ) ( \omega , 0 ) | } & { \le \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } } | ( k * \rho _ { t } ) ( \omega , x ) | } \\ & { \le \left\lVert k \right\rVert _ { L ^ { 1 } ( \mathbb { R } ) } \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \left\lVert \rho _ { t } ( \omega ) \right\rVert _ { W ^ { 1 , 2 } ( \mathbb { R } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle h _ { 3 1 } ^ { 2 } ( x ) \rangle } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { k _ { B } T u _ { 1 i } u _ { 1 j } k } { \xi ^ { 2 } ( A \sigma _ { i } + \frac { k } { \xi } ) ( A ( \sigma _ { i } + \sigma _ { j } ) ) } \phi _ { i } ( x ) \phi _ { j } ( x ) } \end{array}
{ \frac { | 0 0 \rangle + | 1 1 \rangle } { \sqrt { 2 } } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] }
\mathbf { \hat { u } } ( \mathbf { r } ) = \mathbf { \hat { u } } _ { 0 } ( \mathbf { r } ) + \sum _ { n = 1 } ^ { N } \mathbf { \hat { G } } _ { u } ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { n } ) \mathbf { \hat { F } } _ { n } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { c _ { n } ^ { + } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = \widetilde { \gamma } - \frac { \omega _ { N } } { 2 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } - \frac { \omega _ { S } } { 2 n } + \mathtt { r } _ { n } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = \widetilde { \gamma } + \frac { \omega _ { S } } { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } - \frac { \omega _ { S } } { 2 n } + \mathtt { r } _ { n } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) , } \\ { c _ { n } ^ { - } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = \widetilde { \gamma } - \frac { \omega _ { N } } { 2 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { N } } { 2 n } - \mathtt { r } _ { n } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = \widetilde { \gamma } + \frac { \omega _ { N } } { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { N } } { 2 n } - \mathtt { r } _ { n } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) . } \end{array} \right.
{ \mathscr Y } _ { \alpha } ( \xi ) = \displaystyle { \frac { 1 } { \sqrt { a _ { k , \ell } } } ( \sin \chi ) ^ { \ell } T _ { k + 1 } ^ { ( \ell + 1 ) } ( \cos \chi ) Y _ { \ell , m } ( \phi , \theta ) , } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \alpha = ( k , \ell , m ) \in \Lambda .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ D ~ e ~ t ~ } | _ { ( y _ { i } , 0 ) } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \mathrm { ~ T ~ r ~ } | _ { ( y _ { i } , 0 ) } } & { { } = } & { \frac { ( r - 1 ) \left( [ ( w - 1 ) y _ { i } + 1 ] ^ { N _ { I } } - 1 \right) } { N _ { T } ( w - 1 ) } + v _ { T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { 1 } ( u ; X ) } & { : = ( | d u | _ { g } ^ { 2 } + \mathcal { F } _ { \varepsilon } ( u ) ) \mathrm { d i v } _ { g } X + [ L _ { X } \bar { g } ] ( d u , d u ) , } \\ { V _ { 2 } ( u ; X ) } & { : = ( | d u | _ { g } ^ { 2 } + \mathcal { F } _ { \varepsilon } ( u ) ) \mathrm { d i v } _ { g } \left( ( \mathrm { d i v } _ { g } X ) X \right) + 2 [ L _ { X } \bar { g } ] ( d u , d u ) \mathrm { d i v } _ { g } X + [ L _ { X } ^ { 2 } \bar { g } ] ( d u , d u ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { m _ { n } } { n ^ { 3 } \bar { F } ( \sqrt { n } ) ^ { 3 } } } & { \rightarrow \frac 1 6 \int _ { u = 0 } ^ { \infty } \int _ { v = 0 } ^ { \infty } \int _ { w = 0 } ^ { \infty } h ( u , v , w ) u ^ { - \alpha } v ^ { - \alpha } w ^ { - \alpha } d u d v d w } \\ & { = \frac { \alpha ^ { 3 } } { 6 } \int _ { u = 0 } ^ { \infty } \int _ { v = 0 } ^ { \infty } \int _ { w = 0 } ^ { \infty } f _ { 1 } ( u , v , w ) u ^ { - \alpha - 1 } v ^ { - \alpha - 1 } w ^ { - \alpha - 1 } d u d v d w . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \hat { z } } \times \Delta \mathbf { H } } & { = - \nabla \times \mathbf { H } _ { 0 } - j \omega \mathbf { D } _ { 0 } + \mathbf { J } _ { 0 } } \\ { \mathbf { \hat { z } } \times \Delta \mathbf { E } } & { = - \nabla \times \mathbf { E } _ { 0 } + j \omega \mathbf { B } _ { 0 } } \\ { \mathbf { \hat { z } } \cdot \Delta \mathbf { D } } & { = \rho _ { 0 } - \nabla \cdot \mathbf { D } _ { 0 } } \\ { \mathbf { \hat { z } } \cdot \Delta \mathbf { J } } & { = \rho _ { 0 } - \nabla \cdot \mathbf { D } _ { 0 } \ \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { H } } & { { } = - \sum _ { i \neq j } J _ { i j } \mathbf { S } _ { i } \cdot \mathbf { S } _ { j } - \sum _ { i \neq j } \mathbf { D } _ { i j } \cdot \left( \mathbf { S } _ { i } \times \mathbf { S } _ { j } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { j } } & { { } = ( j - 1 + \alpha ) ( j - 1 + \beta ) , } \\ { Q _ { j } } & { { } = j \left( ( j - 1 + \gamma ) ( 1 + a ) + a \delta + \epsilon \right) , } \\ { R _ { j } } & { { } = a ( j + 1 ) ( j + \gamma ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta _ { A } ^ { \widehat { \mathbb { G } } } = F _ { * } ( u ) = K K _ { * } ( \mathbb { C } , u \underset { r } { \rtimes } \widehat { \mathbb { G } } ) = ( \ \cdot \ ) \underset { L ( A ) \underset { r } { \rtimes } \widehat { \mathbb { G } } } { \otimes } u \underset { r } { \rtimes } \widehat { \mathbb { G } } : K K ( \mathbb { C } , L ( A ) \underset { r } { \rtimes } \widehat { \mathbb { G } } ) \rightarrow K K ( \mathbb { C } , A \underset { r } { \rtimes } \widehat { \mathbb { G } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \Psi ( \{ T _ { i l } \} _ { l \in \partial i } ; } & { { } \mathcal { D } _ { i } ) = } \\ { \times } & { { } \psi ( t _ { i } ^ { ( j ) } , \underline { { t } } _ { \partial i } ^ { ( i ) } ) \prod _ { l \in \partial i \setminus j } \delta _ { t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { i } ^ { ( l ) } } \delta _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \tau _ { i } ^ { ( l ) } } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \! \! \! \left\{ \begin{array} { l } { \! \! \! { \theta _ { k , n } } \! = \! { \theta _ { k , n - 1 } } + d _ { k , n - 1 } ^ { - 1 } { v _ { k , n - 1 } } \widetilde T \sin ( { \tilde { \theta } _ { k , n - 1 } } ) \! + \! u _ { k , n } ^ { \theta } , } \\ { \! \! \! { d _ { k , n } } \! = \! { d _ { k , n - 1 } } - { v _ { k , n - 1 } } \widetilde T \cos ( { \tilde { \theta } _ { k , n - 1 } } ) \! + \! u _ { k , n } ^ { d } , } \\ { \! \! \! { v _ { k , n } } \! = \! { v _ { k , n - 1 } } \! + \! u _ { k , n } ^ { v } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( \sigma _ { n } ; \mathbf { X } } & { , \mathbf { Y } , \mathbf { G } ^ { ( 1 ) } , \mathbf { G } ^ { ( 2 ) } , S ^ { n } ) } \\ & { = I ( \sigma _ { n } ; \mathbf { X } | \mathbf { Y } , \mathbf { G } ^ { ( 1 ) } , \mathbf { G } ^ { ( 2 ) } , S ^ { n } ) } \\ & { \le I ( \sigma _ { n } , \mathbf { Y } , \mathbf { G } ^ { ( 1 ) } , \mathbf { G } ^ { ( 2 ) } , S ^ { n } ; \mathbf { X } ) } \\ & { \le I ( \sigma _ { n } , \mathbf { Y } , S ^ { n } ; \mathbf { X } ) } \\ & { = I ( \sigma _ { n } , \mathbf { Y } ; \mathbf { X } | S ^ { n } ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { n } } I ( X _ { i } ^ { n } ; Y _ { \sigma _ { n } ( i ) } ^ { K _ { n } } | S ^ { n } ) } \\ & { = m _ { n } I ( X ^ { n } ; Y ^ { K _ { n } } | S ^ { n } ) } \\ & { = m _ { n } I ( X ^ { n } ; Y ^ { K _ { n } } , S ^ { n } ) } \end{array}
g ( \phi _ { i } ) = m ^ { 2 } ( \phi _ { 1 } - \frac { { \sqrt { 2 } } \kappa ^ { 2 } } { 3 } \phi _ { 1 } ^ { 2 } \phi _ { 2 } ) + \sum _ { i = 3 } ^ { 2 5 } \lambda _ { i } \phi _ { i } ^ { 2 } \phi _ { 2 } .
{ \sqrt { \pi } } x e ^ { x ^ { 2 } } \mathrm { { e r f c } } ( x ) \sim 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } { \frac { ( 2 n - 1 ) ! ! } { n ! ( 2 x ^ { 2 } ) ^ { n } } } \ ( x \to \infty )
\begin{array} { r l r } { \ensuremath { \mathbf { D } } ^ { 2 } A _ { \mathrm { W } } ^ { ( 0 ) } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) } & { = } & { - \left( \ensuremath { \mathbf { D } } ^ { 2 } V ( \ensuremath { \mathbf { q } } ) \right) \; \delta ^ { \prime } \! \left( \omega + E _ { 0 } - H ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) \right) } \\ & { } & { + \left( \ensuremath { \mathbf { D } } V ( \ensuremath { \mathbf { q } } ) \right) ^ { 2 } \; \delta ^ { \prime \prime } \! \left( \omega + E _ { 0 } - H ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) \right) . } \end{array}
{ \frac { \Gamma _ { B ^ { - } } } { \Gamma _ { B ^ { 0 } } } } = \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 . 0 2 \; \; \; \; \; \; \; \; } } & { { \delta = 0 } } \\ { { 0 . 9 9 \; \; \; \; \; \; \; \; } } & { { \delta = - 0 . 5 } } \\ { { 0 . 9 8 } } & { { \delta = - 1 } } \end{array} \right.
\operatorname* { m i n } _ { \lambda _ { i } \in \mathbb { R } } Q \left( y , \left( \begin{array} { l l } { \begin{array} { l } { \xi } \end{array} } & { \begin{array} { l } { \lambda _ { 1 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \end{array} } \\ { \begin{array} { l l } { \lambda _ { 1 } } & { \lambda _ { 2 } } \end{array} } & { \lambda _ { 3 } } \end{array} \right) \right) .
\begin{array} { r } { [ \partial _ { t } \rho _ { k } ^ { X } ( t ) ] _ { \mathrm { c o r r } } = - \frac { \rho _ { k } ^ { X } ( t ) - \rho _ { \mathrm { e q } } ^ { X } ( k ( t ) , T ( t ) ) } { T _ { 1 } } . } \end{array}
\frac { E _ { V } } { A } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d k _ { y } d k _ { z } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( ( \frac { n \pi } { a \mu } ) ^ { 2 } + ( \frac { k _ { y } } { \mu } ) ^ { 2 } + ( \frac { k _ { z } } { \mu } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac 1 2 } e ^ { - ( ( \frac { n \pi } { a \mu } ) ^ { 2 } + ( \frac { k _ { y } } { \mu } ) ^ { 2 } + ( \frac { k _ { z } } { \mu } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac 1 2 } t } \rfloor _ { t = 0 } \, .
\mathrm { d } ^ { 3 } N \sim | \mathcal { I } _ { 1 2 } + \mathcal { I } _ { 2 1 } | ^ { 2 } = | \mathcal { I } _ { 1 2 } | ^ { 2 } + | \mathcal { I } _ { 2 1 } | ^ { 2 } + \mathcal { I } _ { 1 2 } \mathcal { I } _ { 2 1 } ^ { * } + \mathcal { I } _ { 1 2 } ^ { * } \mathcal { I } _ { 2 1 }
\begin{array} { r l } { L _ { \theta } } & { = \frac { \lambda _ { r e s } } { N _ { d m } ^ { \prime } } \sum _ { i } ^ { N _ { d m } ^ { \prime } } L _ { r e s } + \sum _ { j } ^ { N _ { b d } ^ { \prime } } \lambda _ { b d } L _ { b d } } \\ & { = \frac { \lambda _ { r e s } } { N _ { d m } ^ { \prime } } \sum _ { i } ^ { N _ { d m } } | \mathcal { L } \hat { t } _ { \theta } ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { \xi } _ { i } ) | ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { b d } } { N _ { b d } ^ { \prime } } \sum _ { j } ^ { N _ { b d } } | \hat { t } _ { r , \theta } ( \boldsymbol { r } _ { j } , \boldsymbol { \xi } _ { j } ) - g ( \boldsymbol { r } _ { j } , \boldsymbol { \xi } _ { j } ) | ^ { 2 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { B ( k ) = } & { - \cos \left( { \frac { \pi } { 2 } } \left( { \frac { k } { 1 0 0 0 0 } } \right) ^ { 7 } \right) \left( 1 + { \frac { 3 } { 2 } } \cos ^ { 6 } \left( { \frac { \pi k } { 2 0 0 0 0 } } \right) \cos ^ { 6 } \left( { \frac { 3 \pi k } { 2 0 0 0 0 } } \right) \right) \cos ^ { 6 } \left( { \frac { 4 1 \pi k } { 1 0 0 0 0 } } \right) } \\ & { + { \frac { 1 } { 2 } } \cos ^ { 1 0 } \left( { \frac { 3 \pi k } { 1 0 0 0 0 0 } } \right) \cos ^ { 1 0 } \left( { \frac { 9 \pi k } { 1 0 0 0 0 0 } } \right) \cos ^ { 1 0 } \left( { \frac { 1 8 \pi k } { 1 0 0 0 0 0 } } \right) , } \end{array} }
\left| \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } \right\rangle \otimes . . . \otimes \left| \alpha _ { 2 N - 1 } , \alpha _ { 2 N } \right\rangle = \left| \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , . . . , \alpha _ { 2 N } \right\rangle \in { \cal H } _ { N } .
\begin{array} { r l } { [ z ^ { m _ { 1 } } y ^ { m _ { 2 } } ] \frac { ( 1 - z ) z ^ { \ell } } { 1 - y - z } } & { = [ z ^ { m _ { 1 } - \ell } y ^ { m _ { 2 } } ] \frac { 1 } { 1 - \frac { y } { 1 - z } } = [ z ^ { m _ { 1 } - \ell } ] \frac { 1 } { ( 1 - z ) ^ { m _ { 2 } } } } \\ & { = \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } - \ell - 1 } { m _ { 2 } - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B ^ { ( 1 ) } - N ^ { ( 1 ) } - B _ { x x } ^ { ( 1 ) } } & { { } = - 2 N ^ { ( 0 ) } ( B ^ { ( 0 ) } - N ^ { ( 0 ) } - B _ { x x } ^ { ( 0 ) } ) - N ^ { ( 0 ) } B _ { x x } ^ { ( 0 ) } - B _ { x } ^ { ( 0 ) } N _ { x } ^ { ( 0 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf T _ { f } ^ { x , m } ( \mathbf B _ { 1 } , \ldots , \mathbf B _ { k - 1 } , \mathbf { B } _ { k } \mathbf { D } _ { i } , b _ { k + 1 } , \ldots , b _ { m } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad : = \mathbf T _ { f } ^ { x , m + 1 } ( \mathbf B _ { 1 } , \ldots , \mathbf B _ { k } , D _ { i } x , b _ { k + 1 } , \ldots , b _ { m } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \, + \mathbf T _ { f } ^ { x , m } ( \mathbf B _ { 1 } , \ldots , \mathbf { B } _ { k } , D _ { i } b _ { k + 1 } , b _ { k + 2 } , \ldots , b _ { m } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \, + \mathbf T _ { f } ^ { x , m } ( \mathbf B _ { 1 } , \ldots , \mathbf { B } _ { k } , b _ { k + 1 } \mathbf D _ { i } , b _ { k + 2 } , \ldots , b _ { m } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } } & { { } = \cos \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) \cos \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n \right) - { \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } } \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { j } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { j } \left( n \right) \sin \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) \sin \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n \right) } \\ { A _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 1 } } } & { { } = \cos \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) \cos \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) - { \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } } \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { j } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { j } \left( n \right) \sin \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) \sin \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) } \end{array}
\frac { d \boldsymbol { x } } { d t } = \boldsymbol { \mathcal { M } } \boldsymbol { F } + k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T \boldsymbol { \nabla } _ { x } \cdot \boldsymbol { \mathcal { M } } + \sqrt { 2 k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T } \boldsymbol { \mathcal { M } } ^ { 1 / 2 } \mathcal { Z } .