harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { A _ { 1 } ( j , k ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { j ^ { 2 } m _ { 3 , \alpha } ^ { \circ } ( j , j ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ j = k ~ , } } \\ { 2 j k m _ { 3 , \alpha } ^ { \circ } ( j , k ) } & { \mathrm { ~ i f ~ j \ne ~ k ~ } , } \end{array} \right. \quad A _ { 2 } ( j , k ) = \left\{ \begin{array} { l l } { j ^ { 2 } \mathtt { B } _ { 3 } ( j ) - j ^ { 2 } \mathtt { B } _ { 1 } ( j , j ) } & { \mathrm { ~ i f ~ j = k ~ } , } \\ { 2 j k \left( \frac { \alpha } 2 \mathtt { B } _ { 2 } ( j , k ) - \mathtt { B } _ { 1 } ( j , k ) \right) , } & { \mathrm { ~ i f ~ j \ne ~ k ~ , } } \end{array} \right. } \end{array}
2 \sum _ { \lambda \in \mathrm { ~ F ~ F ~ B ~ Z ~ } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } ( \epsilon _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } + n \hbar \Omega ) \left| d _ { \lambda ^ { \prime } \lambda } ^ { ( n ) } \right| ^ { 2 } = N _ { \mathrm { ~ e ~ } }
M _ { 1 2 } ^ { + } - M _ { 1 2 } ^ { - } = \mathrm { i } g \biggl ( \frac { 1 } { X _ { \mathrm { n c , + } } ^ { 2 } + g ^ { 2 } } - \frac { 1 } { X _ { \mathrm { n c , - } } ^ { 2 } + g ^ { 2 } } \biggr )
\begin{array} { r l r } { | \delta _ { A . B } | } & { \leq } & { C \sigma ^ { - 1 } \| Y \| _ { 2 } \{ R ( X _ { \mathit { A } } , X _ { \mathit { B } } ) + R ( Y , X _ { \mathit { B } } ) \} } \\ { \| \delta _ { B . A } ^ { ( 1 ) } \| _ { \infty } } & { \leq } & { \sigma ^ { - 1 } \| Y \| _ { 2 } \{ R ( X _ { \mathit { A } } , X _ { \mathit { B } } ) + R ( Y , X _ { \mathit { B } } ) \} } \\ { \| \delta _ { B . A } ^ { ( 2 ) } \| _ { \infty } } & { \leq } & { C \sigma ^ { - 1 } \| \widetilde { Y } \| _ { 2 } R ( X _ { \mathit { A } } , X _ { \mathit { B } } ) . } \end{array}
\pi ( x ) ~ = ~ \frac { \delta \, { \cal L } } { \delta \, \dot { \varphi } \, ( x ) } ~ = ~ \dot { \varphi } + \lambda \, \frac { \delta \, { \cal L } _ { i n t } } { \delta \, \dot { \varphi } } \, \left( \varphi , \vec { \bigtriangledown } \, \varphi , \dot { \varphi } \right) ~ = ~ \dot { \varphi } + \lambda \, \dot { \varphi } \, \left[ \left( \vec { \bigtriangledown } \, \varphi \right) ^ { 2 } - \dot { \varphi } ^ { 2 } \right] ,
R _ { F } = \gamma _ { f } \ln \left( \delta _ { f } { \frac { s _ { Q } + 2 K ^ { \prime } Q } { s _ { Q } } } \right) + 2 Q _ { f } ^ { 2 } \alpha \tilde { B } ( \Omega _ { I } , q _ { 1 } ^ { * } , q _ { 2 } ^ { * } ) - 2 Q _ { f } ^ { 2 } \alpha \tilde { B } ( \Omega _ { F } , q _ { 1 } ^ { * } , q _ { 2 } ^ { * } ) .
V _ { p e a k } = V _ { o u t } ( T _ { p e a k } ) _ { t > t _ { c } } = I _ { 0 } R _ { m _ { 0 } } e ^ { - \frac { e } { e - 1 } } ( e - 1 ) \approx 0 . 3 5 3 \cdot I _ { 0 } R _ { m _ { 0 } } ~ .
\begin{array} { r c l } { H } & { = } & { P _ { 1 } H P _ { 1 } ^ { T } + \{ P _ { 2 } J ^ { T } P _ { 1 } ^ { T } + P _ { 1 } J P _ { 2 } ^ { T } \} + \{ P _ { 3 } K ^ { T } P _ { 1 } ^ { T } + P _ { 1 } K P _ { 3 } ^ { T } \} + P _ { 3 } A P _ { 3 } ^ { T } } \\ { J } & { = } & { P _ { 1 } J Q _ { 1 } ^ { T } } \\ { K } & { = } & { P _ { 1 } J Q _ { 2 } ^ { T } + P _ { 1 } K Q _ { 3 } ^ { T } + P _ { 3 } A Q _ { 3 } ^ { T } . } \end{array}
\Delta x _ { i } \Delta p _ { j } \ge \frac { \hbar } { 2 } \delta _ { i j } \left( 1 + \beta \sum _ { k = 1 } ^ { n } \left( ( \Delta p _ { k } ) ^ { 2 } + \langle { \bf { p } } _ { k } \rangle ^ { 2 } \right) \right)
\begin{array} { r l } { \big | \big \langle \boldsymbol { \mathcal { G } } ( \boldsymbol { w } _ { h } + t ^ { \star } \boldsymbol { v } _ { h } ) , } & { \mathring { \boldsymbol { \chi } } _ { h } \big \rangle - \big \langle \boldsymbol { \mathcal { G } } ( \boldsymbol { w } _ { h } + t _ { i } \boldsymbol { v } _ { h } ) , \mathring { \boldsymbol { \chi } } _ { h } \big \rangle \big | } \\ & { = \big | ( y _ { h } ^ { n } ( w _ { h } + t ^ { \star } v _ { h } ) - y _ { h } ^ { n } ( w _ { h } + t _ { i } v _ { h } ) , \mathring { \chi } _ { h } ) _ { \Omega } + \tau ( t ^ { \star } - t _ { i } ) a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { v } _ { h } , \mathring { \boldsymbol { \chi } } _ { h } ) \big | . } \end{array}
m _ { \nu _ { e } } \, < \, 4 . 5 \mathrm { e V } \, ? , \, m _ { \nu _ { \mu } } \, < \, 1 6 0 \mathrm { K e V } , \, m _ { \nu _ { \tau } } \, < \, 2 3 \mathrm { M e V }
\mathbf { \partial } \cdot \mathbf { X } = \partial ^ { \mu } \eta _ { \mu \nu } X ^ { \nu } = \partial _ { \nu } X ^ { \nu } = \left( { \frac { \partial _ { t } } { c } } , - { \vec { \nabla } } \right) \cdot ( c t , { \vec { x } } ) = { \frac { \partial _ { t } } { c } } ( c t ) + { \vec { \nabla } } \cdot { \vec { x } } = ( \partial _ { t } t ) + ( \partial _ { x } x + \partial _ { y } y + \partial _ { z } z ) = ( 1 ) + ( 3 ) = 4
\begin{array} { r l } { ( \mathbb { I } _ { 2 } : \mathbb { I } _ { 1 } ) _ { a b c d } } & { = \sum _ { x = 1 } ^ { 3 } \sum _ { y = 1 } ^ { 3 } \Big ( \frac { 1 } { 2 } \delta _ { a y } \delta _ { b x } + \frac { 1 } { 2 } \delta _ { a x } \delta _ { b y } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { a b } \delta _ { x y } \Big ) \Big ( \frac { 1 } { 3 } \delta _ { x y } \delta _ { c d } \Big ) } \\ & { = \sum _ { x = 1 } ^ { 3 } \sum _ { y = 1 } ^ { 3 } \Big ( \frac { 1 } { 6 } \delta _ { a y } \delta _ { x y } \delta _ { b x } \delta _ { c d } + \frac { 1 } { 6 } \delta _ { a x } \delta _ { x y } \delta _ { b y } \delta _ { c d } - \frac { 1 } { 9 } \delta _ { a b } \delta _ { x y } \delta _ { x y } \delta _ { c d } \Big ) } \\ & { = \frac { 2 } { 6 } \delta _ { a b } \delta _ { c d } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { a b } \delta _ { c d } = 0 . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { h \to 0 + } \frac { 1 } { h } \left| \mathbb { E } \left[ \int _ { t } ^ { t + h } \Psi ( V _ { s } ) d M _ { s } \right] - { 2 } \sqrt h \mathbb { E } \left[ \Psi ( { V _ { t } } ) { \| A ^ { 1 } ( { X _ { t } } ) \| } { \cal H } ( \frac { M _ { t } - X _ { t } ^ { 1 } } { \sqrt h \| A ^ { 1 } ( { X _ { t } } ) \| } ) \right] \right| = 0 ,
\begin{array} { l l } { { Z _ { 0 } ( t ) = e ^ { i \frac { \mu } { 3 } t } { \cal Z } _ { 0 } \, , ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ ~ Z _ { 1 } ( t ) = e ^ { - i \frac { \mu } { 6 } t } { \cal Z } _ { 1 } \, , } } \\ { { { } } } & { { { } } } \\ { { A _ { 0 } = X ^ { 3 } = X ^ { 6 } = X ^ { 7 } = X ^ { 8 } = X ^ { 9 } = 0 \, , ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ ~ { \cal Z } _ { 0 } , ~ { \cal Z } _ { 1 } ~ : ~ \mathrm { d i a g o n a l ~ m a t r i c e s } \, . } } \end{array}
c _ { 6 } = - \frac { 1 } { 6 } c _ { 1 } + \frac { 1 } { 6 } c _ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } c _ { 3 } - 5 c _ { 4 } , \quad c _ { 7 } = \frac { 1 } { 1 2 } c _ { 1 } - \frac { 1 } { 4 } c _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } c _ { 3 } + \frac { 1 5 } { 2 } c _ { 4 } .
\begin{array} { r l } { - c ^ { 2 } \, d m } & { { } = v \, d ( m v ) } \\ { - c ^ { 2 } ( 2 m ) \, d m } & { { } = 2 m v \, d ( m v ) } \\ { - c ^ { 2 } \, d ( m ^ { 2 } ) } & { { } = d ( m ^ { 2 } v ^ { 2 } ) } \\ { - m ^ { 2 } c ^ { 2 } } & { { } = m ^ { 2 } v ^ { 2 } + C } \end{array}
\sigma ( \omega ) = 4 \pi \alpha \sum _ { i } \frac { \omega _ { i o } | \langle i | \boldsymbol { \hat { e } . r } | 0 \rangle | ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } { ( \omega _ { i 0 } - \omega ) ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } }
C _ { 6 } ^ { * } = \frac { 2 } { 3 } \frac { \langle 1 | | r ( 1 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } \langle 1 | | r ( 2 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } } { \Delta ( 1 ) + \Delta ( 2 ) }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) f ( x , s , t ; Y ) \, d s } & { { } + \partial _ { x } \left( c ( x ; Y ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) V ( s ) f ( x , s , t ; Y ) \, d s \right) } \end{array}
\Phi _ { \Xi } ( \zeta , \zeta ^ { * } ) = \left\langle \exp ( \zeta + \zeta ^ { * } ) \mid \exp ( \varsigma + \tau ^ { * } ) \right\rangle e ^ { - \left\langle \tau ^ { * } \mid \varsigma \right\rangle } = e ^ { \left\langle \zeta \mid \tau ^ { * } \right\rangle + \left\langle \zeta ^ { * } \mid \varsigma \right\rangle - \left\langle \tau ^ { * } \mid \varsigma \right\rangle }
s ^ { 2 } B + s ^ { 2 } B _ { p - 1 } ^ { 1 } + . . . + s ^ { 2 } B _ { 0 } ^ { p } \, = \, \tilde { d } ^ { 2 } \tilde { B } \, = \, \tilde { D } \tilde { H } - [ \tilde { F } , \tilde { B } ] ,
\partial ^ { \boldsymbol { { \boldsymbol \alpha } } } \boldsymbol { V } = \frac { \partial ^ { | \boldsymbol { { \boldsymbol \alpha } } | } \boldsymbol { V } } { \partial x _ { 1 } ^ { \alpha _ { 1 } } \cdots \partial x _ { d } ^ { \alpha _ { d } } } = \partial _ { x _ { 1 } } ^ { \alpha _ { 1 } } \cdots \partial _ { x _ { d } } ^ { \alpha _ { d } } \boldsymbol { V } .
\begin{array} { l } { { \left[ : X ^ { - } \, P ^ { + } X ^ { - } : \, - i k \partial _ { z } X ^ { - } + 2 X ^ { - } S \right] ( z ) \, \times \frac { T ^ { \prime } ( w ) } { P ^ { + } ( w ) } } } \\ { { \rightarrow \, \quad \, \frac { - 2 i T ^ { \prime } ( w ) } { \left( z - w \right) } \left( : X ^ { - } \frac 1 { P ^ { + } } : \, + S \right) ( w ) } } \\ { { \quad \quad \quad + \frac { k - 2 } { ( z - w ) ^ { 2 } } \frac { T ^ { \prime } ( w ) } { \left( P ^ { + } ( w ) \right) ^ { 2 } } + \cdots } } \end{array}
M _ { g } = C _ { \nu \rho } ^ { + } C _ { \gamma \delta } ^ { + } \frac { \partial } { \partial P _ { \alpha _ { 1 } } } \frac { \partial } { \partial P _ { \alpha _ { 2 } } } \frac { \partial } { \partial Q _ { \beta _ { 1 } } } \frac { \partial } { \partial Q _ { \beta _ { 2 } } } ( P \cdot Q ) ^ { \alpha }
\frac { \delta B ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \Lambda _ { 0 } \left( r / r _ { 0 } \right) ^ { \alpha _ { 1 } } } & { r \leq r _ { 1 } = 0 . 5 \mathrm { ~ a ~ u ~ } } \\ { \Lambda _ { 1 } \left( r / r _ { 0 } \right) ^ { \alpha _ { 2 } } } & { r _ { 1 } < r \leq r _ { 2 } = 2 . 0 \mathrm { ~ a ~ u ~ } } \\ { \Lambda _ { 2 } } & { r _ { 2 } < r } \end{array} \right.
h _ { n } = - \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \lambda _ { n } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \{ g ^ { 2 } \lambda _ { n } ^ { 4 } - 2 g \lambda _ { n } ^ { 3 } + \lambda _ { n } ^ { 2 } + 2 g \lambda _ { n } - 1 \}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \phi ( v , w , c ) f ( v , w , c , t ) d c d v d w } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } G ( c , c _ { * } ) \left[ \phi ( v ^ { \prime } , w ^ { \prime } , c ) - \phi ( v , w , c ) \right] f ( v , w , c , t ) f ( v _ { * } , w _ { * } , c _ { * } , t ) d c d c _ { * } d v d v _ { * } d w d w _ { * } \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \beta } _ { G } ^ { \intercal } \widehat { \Sigma } _ { G , G } \widehat { \beta } _ { G } - \beta _ { G } ^ { \intercal } \Sigma _ { G , G } \beta _ { G } = } & { 2 \widehat { \beta } _ { G } ^ { \intercal } \widehat { \Sigma } _ { G , G } ( \widehat { \beta } _ { G } - \beta _ { G } ) + \beta _ { G } ^ { \intercal } ( \widehat { \Sigma } _ { G , G } - \Sigma _ { G , G } ) \beta _ { G } } \\ & { - ( \widehat { \beta } _ { G } - \beta _ { G } ) ^ { \intercal } \widehat { \Sigma } _ { G , G } ( \widehat { \beta } _ { G } - \beta _ { G } ) . } \end{array}
{ \mathrm { M i n } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { f \left( 1 . 3 4 9 4 1 , - 1 . 3 4 9 4 1 \right) } & { = - 2 . 0 6 2 6 1 } \\ { f \left( 1 . 3 4 9 4 1 , 1 . 3 4 9 4 1 \right) } & { = - 2 . 0 6 2 6 1 } \\ { f \left( - 1 . 3 4 9 4 1 , 1 . 3 4 9 4 1 \right) } & { = - 2 . 0 6 2 6 1 } \\ { f \left( - 1 . 3 4 9 4 1 , - 1 . 3 4 9 4 1 \right) } & { = - 2 . 0 6 2 6 1 } \end{array} \right. }
\begin{array} { r } { \biggr [ ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) \| \Delta \Sigma _ { n } ^ { * } \| ^ { 2 } + \lambda _ { n } \| \Delta \Sigma _ { n } - \Delta \Sigma _ { n } ^ { * } \| ^ { 2 } \biggr ] / \mathcal { D } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) \to 0 , } \\ { \lambda _ { n } \| \Delta \Sigma _ { n } \| \| \Delta \Sigma _ { n } - \Delta \Sigma _ { n } ^ { * } \| / \mathcal { D } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) \to 0 , \ \lambda _ { n } ^ { * } \| \Delta \Sigma _ { n } ^ { * } \| \| \Delta \Sigma _ { n } - \Delta \Sigma _ { n } ^ { * } \| / \mathcal { D } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) \to 0 , } \\ { \lambda _ { n } \| \Delta \mu _ { n } \| \| \Delta \Sigma _ { n } - \Delta \Sigma _ { n } ^ { * } \| / \mathcal { D } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) \to 0 , \ \lambda _ { n } ^ { * } \| \Delta \mu _ { n } ^ { * } \| \| \Delta \Sigma _ { n } - \Delta \Sigma _ { n } ^ { * } \| / \mathcal { D } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \Omega } ( t \, | \, n _ { 0 } ) } & { { } = 1 - \sum _ { i = n _ { 0 } } ^ { \Omega - 1 } P _ { t } ( i \, | \, n _ { 0 } ) = \int _ { 0 } ^ { t } P _ { \Omega } ^ { \mathrm { ~ F ~ P ~ } } ( \tau \, | \, n _ { 0 } ) \, \mathrm { ~ d ~ } \tau . } \end{array}
D _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha } \bigg \{ { x ^ { n } \bigg \} } = \frac { 1 } { D _ { 0 } } D ^ { \alpha } \bigg \{ { x ^ { n } \bigg \} } = \frac { 1 } { D _ { 0 } } \frac { \Gamma ( n + 1 ) x ^ { ( n - \alpha ) } } { \Gamma ( n - \alpha + 1 ) } = x ^ { ( n - \alpha ) } ,
\begin{array} { r l } { L _ { k } ^ { s } ( x _ { k + 1 } ) } & { = L _ { k } ^ { s } ( \delta _ { k } S _ { k } ( x _ { k } ) + ( 1 - \delta _ { k } ) x _ { k } ) } \\ & { \leq \delta _ { k } L _ { k } ^ { s } ( S _ { k } ( x _ { k } ) ) + ( 1 - \delta _ { k } ) L _ { k } ^ { s } ( x _ { k } ) } \\ & { = \delta _ { k } ( L _ { k } ^ { s } ( S _ { k } ( x _ { k } ) ) - L _ { k } ^ { s } ( x _ { k } ) ) + L _ { k } ^ { s } ( x _ { k } ) } \\ & { \leq L _ { k } ^ { s } ( x _ { k } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \Gamma \left( h , h \right) , \mathcal { M } ^ { 1 / 2 } g \right) } & { = } & { \left( \mathcal { M } ^ { - 1 / 2 } Q ( \mathcal { M } ^ { 1 / 2 } h , \mathcal { M } ^ { 1 / 2 } h ) , \mathcal { M } ^ { 1 / 2 } g \right) } \\ & { = } & { \left( Q ( \mathcal { M } ^ { 1 / 2 } h , \mathcal { M } ^ { 1 / 2 } h ) , g \right) = 0 \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { e } ^ { t g _ { 0 } \sigma _ { 3 } } B \left( t ^ { 1 / 2 } ( g ( \lambda ) - g _ { 0 } ) ^ { 1 / 2 } \right) } & { = \mathrm { e } ^ { t g _ { 0 } \sigma _ { 3 } } \left( I + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { B _ { k } } { t ^ { k + \frac { 1 } { 2 } } ( g ( \lambda ) - g _ { 0 } ) ^ { k + \frac { 1 } { 2 } } } \right) \mathrm { e } ^ { t ( g ( \lambda ) - g _ { 0 } ) \sigma _ { 3 } } } \\ & { = \left( I + \mathrm { e } ^ { 2 t g _ { 0 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { B _ { k } } { t ^ { k + \frac { 1 } { 2 } } ( g ( \lambda ) - g _ { 0 } ) ^ { k + \frac { 1 } { 2 } } } \right) \mathrm { e } ^ { t g ( \lambda ) \sigma _ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \theta _ { l } , \phi _ { l } ; \theta _ { y } , \phi _ { y } \rangle } & { { } = } & { \hat { \mathcal D } _ { 8 } \left( \phi _ { y } \right) \hat { \mathcal D } _ { 3 } \left( \phi _ { l } \right) \hat { \mathcal D } _ { 2 } \left( \theta _ { l } \right) \hat { \mathcal D } _ { 5 } \left( \theta _ { y } \right) | \psi _ { 1 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \vert \underline { { g } } \vert ^ { 2 } } \le \left( c \int \frac { s t \mathrm { d } H ( s , t ) } { \vert 1 + s \underline { { g } } + t \underline { { m } } _ { 1 } \vert ^ { 2 } } \cdot c \int \frac { s t \mathrm { d } H ( s , t ) } { \vert 1 + s \underline { { g } } + t \underline { { m } } _ { 2 } \vert ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } < \frac { 1 } { \vert \underline { { g } } \vert ^ { 2 } } . } \end{array}
A _ { 0 } \bar { \partial } g _ { 0 } ^ { f } ( { g _ { 0 } ^ { f } } ) ^ { - 1 } + \bar { A } _ { 0 } ( { g _ { 0 } ^ { f } } ) ^ { - 1 } \partial g _ { 0 } ^ { f } + A _ { 0 } g _ { 0 } ^ { f } \bar { A } _ { 0 } ( { g _ { 0 } ^ { f } } ) ^ { - 1 } + A _ { 0 } \bar { A } _ { 0 }
\int _ { X } f \, d \mu = \operatorname* { s u p } _ { s \in \mathrm { { S F } } ( f ) } \int _ { X } s \, d \mu \leq \operatorname* { s u p } _ { s \in \mathrm { { S F } } ( g ) } \int _ { X } s \, d \mu = \int _ { X } g \, d \mu .
\begin{array} { r l } { \Omega _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } } & { = \int _ { \Sigma } \epsilon _ { I J K L } \delta \mathrm { e } ^ { K } \wedge \mathrm { e } ^ { L } \wedge \delta \widehat { \omega } ^ { I J } - \int _ { \partial \Sigma } \epsilon _ { I J K L } ( 2 \delta \overline { { \mathrm { e } } } ^ { K } \wedge \overline { { \mathrm { e } } } ^ { L } \wedge \mathrm { N } ^ { I } + \overline { { \mathrm { e } } } ^ { K } \wedge \overline { { \mathrm { e } } } ^ { L } \wedge \delta \mathrm { N } ^ { I } ) \wedge \delta \mathrm { N } ^ { J } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { c } } & { = 2 \epsilon \frac { ( 1 + \alpha ) M _ { 0 } ^ { 2 } - ( 1 + \gamma ) g ^ { 2 } } { ( 1 + \alpha ) ^ { 2 } + ( 1 + \gamma ) ^ { 2 } g ^ { 2 } } \qquad \mathrm { ( ' i n - o u t ' ) } } \\ { N _ { s } } & { = 2 \epsilon \mathrm { g } \frac { ( 1 + \alpha ) + ( 1 + \gamma ) M _ { 0 } ^ { 2 } } { ( 1 + \alpha ) ^ { 2 } + ( 1 + \gamma ) ^ { 2 } g ^ { 2 } } \qquad \mathrm { ( ' u p - d o w n ' ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rVert \hat { w } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert g \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert g \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \right) } \\ & { \ + \gamma ^ { - 1 } \left( \varepsilon ^ { 5 - 2 b } + \varepsilon ^ { 2 b - 1 } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \right) | \langle \hat { \eta } \rangle | ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { 2 } \partial _ { x } \widetilde { \rho } _ { 2 } ( a _ { 1 } ^ { + } , s ) + D _ { 1 } \partial _ { x } \widetilde { \rho } _ { 1 } ( a _ { 1 } ^ { - } , s ) ] = 2 \kappa _ { 1 } \bigg \{ \kappa _ { 1 } \widetilde { p } _ { 2 } ( a _ { 1 } , s | a _ { 1 } ) \Sigma _ { 1 } ( s ) + \kappa _ { 2 } \widetilde { p } _ { 2 } ( a _ { 1 } , s | a _ { 2 } ) \Sigma _ { 2 } ( s ) } \\ & { \qquad - \widetilde { p } _ { 1 } ( a _ { 1 } , s | x _ { 0 } ) - \kappa _ { 1 } \widetilde { p } _ { 1 } ( a _ { 1 } , s | a _ { 1 } ) \Sigma _ { 1 } ( s ) \bigg \} . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf \Lambda _ { V } ^ { \prime \prime } \succ 0 } \\ { \mathbf \Lambda _ { V } ^ { \prime \prime } - \left( \frac { \Delta t } { 2 \hbar } \right) ^ { 2 } \mathbf H ( \mathbf \Lambda _ { V } ^ { \prime \prime } ) ^ { - 1 } \mathbf H \succ 0 } \end{array} \right. .
S _ { s o u r c e } ^ { ( 3 ) } = \int d ^ { 4 } x \left( e ^ { - \phi } \sqrt { \operatorname * { d e t } ( G + { \cal F } ) } + { \frac { i } { 4 } } \chi { \cal F } * { \cal F } + { \frac { i } { 2 } } B ^ { R } * { \cal F } + { \frac { i } { 2 4 } } \epsilon ^ { \alpha \beta \gamma \delta } A _ { \alpha \beta \gamma \delta } ^ { ( 4 ) } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { F } _ { 1 , \infty } ( { r } _ { [ 1 , \infty ] } ) = r _ { 1 } + \rho _ { 2 } ^ { s _ { 1 } } \Big ( \mathbb { F } _ { 2 , \infty } ( { r } _ { [ 2 , \infty ] } ) \Big ) } \\ & { = r _ { 1 } + \rho _ { 2 } ^ { s _ { 1 } } \Big ( \gamma r _ { 2 } + \tilde { \rho } _ { 3 } ^ { s _ { 1 } } \Big ( \gamma ^ { 2 } r _ { 3 } + \ldots + \tilde { \rho } _ { k } ^ { s _ { [ 1 , k - 2 ] } } \Big ( \mathbb { F } _ { k , \infty } ( { r } _ { [ k , \infty ] } ) \Big ) \Big ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \psi | \psi \rangle } & { = \operatorname* { l i m } _ { \mathbf { x } ^ { \prime } \to \mathbf { x } } \langle 0 | \hat { \Phi } ( \mathbf { x } , z , t ) \hat { \Phi } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z , t ) | 0 \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \, \operatorname* { l i m } _ { \mathbf { x } ^ { \prime } \to \mathbf { x } } \langle 0 | \bigl [ \hat { \phi } ( \mathbf { x } , z , t ) , \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z , t ) \bigr ] | 0 \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { l i m } _ { \mathbf { x } ^ { \prime } \to \mathbf { x } } \delta \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } \right) } \\ & { = \infty , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { C } _ { \mathbf { h } \mathbf { y } } \overset { ( a ) } { = } \sqrt { \rho \varrho _ { \mathrm { t } } \varrho _ { \mathrm { r } } } \mathbf { C } _ { \mathbf { h } \mathbf { h } } \mathbb { E } [ \mathbf { Z } ^ { \mathrm { H } } ] + \sqrt { \varrho _ { \mathrm { r } } } \mathbf { C } _ { \mathbf { h } \boldsymbol { \nu } } + \mathbf { C } _ { \mathbf { h } \mathbf { w } } \overset { ( b ) } { = } \sqrt { \rho \varrho _ { \mathrm { t } } \varrho _ { \mathrm { r } } } \eta \xi \overline { { \mathbf { Z } } } ^ { \mathrm { H } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho _ { 1 } \approx - 1 + 8 \pi i \frac { 1 + r _ { 1 } } { 1 - r _ { 1 } } \frac { r _ { 2 } } { 1 - r _ { 2 } } \frac { \Delta z _ { m } } { \lambda } } \end{array}
\sum _ { j > i } \sum _ { \pm } \int _ { B _ { i } , \pm } \big ( 1 + f _ { j } ( \partial _ { j } u ) \big ) ^ { \frac { 1 + \omega _ { i } ^ { \pm } } { \omega _ { i } ^ { \pm } - \beta _ { i } } } \Gamma ^ { ( \delta _ { i } - 1 ) \frac { 1 + \omega _ { i } ^ { \pm } } { \omega _ { i } ^ { \pm } - \beta _ { i } } } ( | \partial _ { j } u | ) \leq c \, .
\begin{array} { r l } { \int _ { { V _ { \mathrm { { C V } } } } } \left( \frac { D } { D t } \rho \boldsymbol { v } \right) \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { S } } d V } & { = - \int _ { { V _ { \mathrm { { C V } } } } } \boldsymbol { \nabla } p \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { S } } d V + \int _ { { V _ { \mathrm { { C V } } } } } \mu \boldsymbol { \nabla } ^ { 2 } \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { S } } d V } \\ & { + \int _ { { V _ { \mathrm { { C V } } } } } \sigma _ { 1 2 } \kappa \delta _ { \mathrm { S } } d V + \int _ { { V _ { \mathrm { { C V } } } } } \rho \boldsymbol { g } \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { S } } d V . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { P } ( n T ) } & { { } = \overbrace { { \frac { 1 } { N } } \sum _ { k } S [ k ] \cdot e ^ { i 2 \pi { \frac { k n } { N } } } } ^ { \mathrm { i n v e r s e ~ D F T } } } \end{array}
\Re \left\{ \frac { - \nu ^ { - s } } { \pi } \, e ^ { \displaystyle { - i \frac { \pi } { 2 } ( s + 1 ) } } \int _ { - i z } ^ { \infty - i z } t ^ { - s } \, \displaystyle { \frac { d \left( \ln { I _ { \nu } \left( \nu \, t \right) } \right) } { d \, t } } \, d t \right\} .
i { \frac { d } { d x } } \left[ \begin{array} { c } { { \nu _ { e } ( x ) } } \\ { { \nu _ { \mu } ( x ) } } \\ { { \nu _ { \tau } ( x ) } } \end{array} \right] = { \frac { \Delta m ^ { 2 } } { 2 E } } \left[ \begin{array} { c c c } { { A ( x ) + 1 / 3 } } & { { 1 / 3 } } & { { 1 / 3 } } \\ { { 1 / 3 } } & { { 1 / 3 } } & { { 1 / 3 } } \\ { { 1 / 3 } } & { { 1 / 3 } } & { { 1 / 3 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { { \nu _ { e } ( x ) } } \\ { { \nu _ { \mu } ( x ) } } \\ { { \nu _ { \tau } ( x ) } } \end{array} \right] ,
\mathcal { E } ( t ) : = \left\| { \Phi } _ { 1 } ( t ) - ( x _ { 1 } + t v ( \Phi _ { 2 } ( t ) ) - \int _ { 0 } ^ { t } ( u _ { 1 } - v _ { * } ) ( \Phi ( s ) , s ) \mathrm { d } s \right\| _ { L ^ { 2 } } .
\psi = \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { 1 } } } \\ { { \psi _ { 2 } } } \end{array} \right) \propto \left( \begin{array} { c } { { \exp - 2 \pi \beta ^ { - 1 } \int _ { - \infty } ^ { x } d y \left( \dot { \phi } + \frac { \beta } { 4 \pi } \phi ^ { \prime } \right) } } \\ { { \exp - 2 \pi \beta ^ { - 1 } \int _ { - \infty } ^ { x } d y \left( \dot { \phi } - \frac { \beta } { 4 \pi } \phi ^ { \prime } \right) } } \end{array} \right) ,
\mathbf { R } = ( R _ { x } , R _ { y } , R _ { z } ) , \quad \mathbf { P } = ( P _ { x } , P _ { y } , P _ { z } ) \quad { \mathrm { w i t h } } \quad P _ { \alpha } \equiv \sum _ { i = 1 } ^ { N } q _ { i } r _ { i \alpha } , \quad \alpha = x , y , z .