harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { R _ { 0 } } } & { { } = \frac { S _ { \infty } - 1 } { 1 - S _ { \infty } + l n ( \frac { | e ^ { S _ { \infty } } - 1 | } { e - 1 } ) } } \end{array}
\frac { \left| \left| h ^ { j + k / 2 + l \varepsilon + m \varepsilon } u _ { n } ^ { ( j , k , l , m ) } \right| \right| _ { L ^ { 2 } } } { \Pi _ { \alpha , n } ( \rho ) \times \left| \left| \left( 1 + \frac { x ^ { 2 } } { \alpha _ { n } h } \right) ^ { m / 2 } v _ { n } \right| \right| _ { L ^ { 2 } } } \leq C _ { j , k , l , m } h ^ { j + k / 2 + l \varepsilon + m \varepsilon } n ^ { 2 j + k } \left( J _ { q _ { 0 } \dots q _ { n } } ^ { u } \right) ^ { 3 k } h ^ { - k \varepsilon }
\Delta ^ { n o n r e l } = \frac { i \tilde { g } ^ { 2 } \mu } { 1 6 M _ { * } ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int d ^ { 3 } k \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { \epsilon } - \mu / ( 2 M _ { * } ) \vec { q } \cdot \vec { \epsilon } ) ( \vec { \epsilon } ^ { \prime } \cdot \vec { k } - \mu / ( 2 M _ { * } ) \vec { \epsilon } ^ { \prime } \cdot \vec { q } ) } { ( \vec { k } - \mu / ( 2 M _ { * } ) \vec { q } ) ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) ( \vec { k } + \mu / ( 2 M _ { * } ) \vec { q } ) ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r l } & { k ( q ^ { 2 } ) = \frac { 1 - \sqrt { 1 - k ( q ) ^ { 2 } } } { 1 + \sqrt { 1 - k ( q ) ^ { 2 } } } = \frac { 1 - r } { 1 + r } , } \\ & { k ( q ^ { 4 } ) = \frac { 1 - \sqrt { 1 - k ( q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } { 1 + \sqrt { 1 - k ( q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } = \frac { ( 1 - \sqrt { r } ) ^ { 2 } } { ( 1 + \sqrt { r } ) ^ { 2 } } , } \\ & { k ( q ^ { 8 } ) = \frac { 1 - \sqrt { 1 - k ( q ^ { 4 } ) ^ { 2 } } } { 1 + \sqrt { 1 - k ( q ^ { 4 } ) ^ { 2 } } } = \frac { ( \sqrt { 1 + r } - \sqrt { 2 \sqrt { r } } ) ^ { 2 } } { ( \sqrt { 1 + r } + \sqrt { 2 \sqrt { r } } ) ^ { 2 } } = \frac { ( 1 - \sqrt { r } ) ^ { 4 } } { ( \sqrt { 1 + r } + \sqrt { 2 \sqrt { r } } ) ^ { 4 } } . } \end{array}
\hat { \mathbf { e } } _ { s } = \left( \begin{array} { l } { - \sin ( \phi _ { \mathrm { f f } } ) } \\ { \cos ( \phi _ { \mathrm { f f } } ) } \\ { 0 } \end{array} \right) \quad \mathrm { a n d } \quad \hat { \mathbf { e } } _ { p } = \left( \begin{array} { l } { - \cos ( \phi _ { \mathrm { f f } } ) \cos ( \theta _ { \mathrm { a i r } } ) } \\ { - \sin ( \phi _ { \mathrm { f f } } ) \cos ( \theta _ { \mathrm { a i r } } ) } \\ { \sin ( \theta _ { \mathrm { a i r } } ) } \end{array} \right)
\hat { \mathcal { H } } = J _ { 1 } \sum _ { \langle i , j \rangle } \Vec { \sigma _ { i } } \cdot \Vec { \sigma _ { j } } + J _ { 2 } \sum _ { \langle \langle i , j \rangle \rangle } \Vec { \sigma _ { i } } \cdot \Vec { \sigma _ { j } } ,
J _ { \parallel } = - \frac { B } { x _ { 0 } } \frac { d B _ { z } } { d x _ { 0 } } - \frac { B _ { z } } { x _ { 0 } B } \frac { d p } { d x _ { 0 } } \simeq \frac { B } { B _ { z } } \left( \frac { 1 } { 2 x _ { 0 } } \frac { d f } { d x _ { 0 } } + \frac { p ^ { \prime } } { x _ { 0 } } \frac { B _ { p } ^ { 2 } } { B ^ { 2 } } \right)
\eta _ { + } ^ { 2 } \Delta _ { a } ^ { \prime } ( x - y ) + \eta _ { - } ^ { 2 } \Delta _ { b } ^ { \prime } ( x - y ) = g ^ { 2 } \langle \phi _ { a } ( x ) \phi _ { a } ( y ) \rangle - \ln ( x - y ) ^ { 2 } \mu ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { F _ { i } } & { = \frac { 1 } { N _ { r t } } \sum _ { k = 0 } ^ { N _ { r t } - 1 } \tilde { F } _ { k , \, i , \, i } } \\ { \tilde { U } _ { i } } & { = \frac { 1 } { N _ { r t } } \sum _ { k = 0 } ^ { N _ { r t } - 1 } \left( \tilde { I } _ { k , \, i } + \tilde { V } _ { k , \, i } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { N _ { r t } } \sum _ { k = 0 } ^ { N _ { r t } - 1 } \tilde { U } _ { k , \, i } ^ { \prime } \qquad \mathrm { ( s a y ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ( \epsilon ; s _ { 0 } , r ) = } & { \operatorname* { m i n } _ { \theta } E ( \epsilon , \theta ; s _ { 0 } , r ) } \\ { \approx } & { \operatorname* { m i n } _ { \theta } E _ { 0 } + \frac { \alpha } { 2 } ( \epsilon , s _ { 0 } , r ) \theta ^ { 2 } + \frac { \beta ( \epsilon , s _ { 0 } , r ) } { 4 } \theta ^ { 4 } + \mathcal { O } ( \theta ^ { 6 } ) } \\ { = } & { E _ { 0 } + \frac 1 2 \left( \frac { \partial ^ { 2 } E ( \theta _ { \mathrm { m i n } } ) } { \partial \epsilon ^ { 2 } } \right) \epsilon ^ { 2 } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } \varepsilon ^ { \frac { 9 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \big | f ^ { \prime \prime } ( c _ { A } ) u \Delta u \big | \mathrm { d } x \mathrm { d } t } & { { } \leq C \varepsilon ^ { \frac { 9 } { 2 } } T ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| u \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } \| \Delta u \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } } \end{array}
D _ { 1 } ( s ) = 1 - { \frac { s } { m _ { \rho } ^ { 2 } } } - { \frac { s } { 9 6 \pi ^ { 2 } F _ { \pi } ^ { 2 } } } \ln { \frac { m _ { \rho } ^ { 2 } } { m _ { \pi } ^ { 2 } } } - { \frac { m _ { \pi } ^ { 2 } } { 2 4 \pi ^ { 2 } F _ { \pi } ^ { 2 } } } F ( s )
\begin{array} { r l } { \mathscr { F } _ { \mathfrak { p } } ^ { { \boldsymbol { f } } } ( \widetilde { \mathbf { V } } _ { Q _ { 0 } } ^ { \dagger } ) } & { \simeq \bigl ( T _ { f } ^ { \vee , + } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - 1 } \Psi _ { W _ { 1 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) \oplus \bigl ( T _ { f } ^ { \vee , + } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - \mathbf { c } } \Psi _ { W _ { 2 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) , } \\ { \mathscr { F } _ { \bar { \mathfrak { p } } } ^ { { \boldsymbol { f } } } ( \widetilde { \mathbf { V } } _ { Q _ { 0 } } ^ { \dagger } ) } & { \simeq \bigl ( T _ { f } ^ { \vee , + } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - 1 } \Psi _ { W _ { 1 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) \oplus \bigl ( T _ { f } ^ { \vee , + } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - \mathbf { c } } \Psi _ { W _ { 2 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) , } \end{array}
\chi _ { \mathrm { m o d } } ^ { 2 } = \sum _ { i \in \mathrm { b i n s } } ^ { } \frac { ( N _ { i } ^ { \mathrm { e x p } } - N _ { i } ^ { \mathrm { o b s } } ) ^ { 2 } } { N _ { i } ^ { \mathrm { e x p } } + ( \sigma _ { i } ^ { \mathrm { s i m } } ) ^ { 2 } } + \sum _ { j \in \mathrm { s y s t } } ^ { } \frac { ( s _ { j } - \hat { s _ { j } } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { s _ { j } } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { E = \tilde { E } _ { 0 } + E _ { \gamma } = E _ { 0 } + E _ { \gamma } \quad } \\ { E ^ { \prime } = \tilde { E } ^ { \prime } = \tilde { E } _ { 0 } ^ { \prime } + \tilde { E } _ { \gamma } ^ { \prime } \qquad } \\ { E ^ { \prime } = \tilde { E } ^ { \prime } = \tilde { E } + \tilde { K } = E + K } \\ { \tilde { E } _ { 0 } ^ { \prime } = E _ { 0 } ^ { \prime } + \tilde { K } _ { 0 } \qquad . } \end{array}
\left[ - \frac { d ^ { 2 } } { d R ^ { 2 } } + \{ 2 \pi R \sigma _ { \mathrm { e f f } } ( R ) \} ^ { 2 } \right] \; \Phi _ { m } ( R ) = { M _ { m } } ^ { 2 } \; \Phi _ { m } ( R ) ,
V _ { \mathrm { T L S } } = i \frac { 3 G } { 4 \pi Q _ { i } } \frac { \omega _ { 0 } V _ { d } } { \kappa T _ { 1 } \bar { \Omega } _ { R } ^ { 2 } ( V _ { d } ) } \langle \Psi ^ { 2 \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } } \rangle ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial S _ { 1 } } { \partial t } + c \frac { \partial S _ { 1 } } { \partial x } } & { { } = - r \frac { R _ { 2 } } { R _ { 1 } } \sqrt { 1 - ( S _ { 1 } - S _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ { \frac { \partial S _ { 2 } } { \partial t } - c \frac { \partial S _ { 2 } } { \partial x } } & { { } = - r \frac { R _ { 1 } } { R _ { 2 } } \sqrt { 1 - ( S _ { 1 } - S _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ { \frac { \partial R _ { 1 } } { \partial t } + c \frac { \partial R _ { 1 } } { \partial x } } & { { } = r R _ { 2 } \frac { S _ { 2 } - S _ { 1 } } { \sqrt { 1 - ( S _ { 1 } - S _ { 2 } ) ^ { 2 } } } } \\ { \frac { \partial R _ { 2 } } { \partial t } - c \frac { \partial R _ { 2 } } { \partial x } } & { { } = r R _ { 1 } \frac { S _ { 1 } - S _ { 2 } } { \sqrt { 1 - ( S _ { 1 } - S _ { 2 } ) ^ { 2 } } } } \end{array}
\Delta \mathrm { R } _ { b } ^ { \mathrm { A G C } } = - \frac { 4 } { 6 } \: \frac { 1 + b } { 1 + b ^ { 2 } } \left( \frac { g ^ { 2 } } { 1 2 8 \pi ^ { 2 } } \right) \left( \frac { \mathrm { m } _ { t } ^ { 2 } } { \mathrm { M } _ { W } ^ { 2 } } \right) \left( 7 y - \frac { s _ { W } ^ { 2 } } { c _ { W } ^ { 2 } } x \right) \ln \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \mathrm { M } _ { z } ^ { 2 } }
d \mu ^ { \prime } = \Lambda _ { p } [ d \mu ] , \quad d \mu ^ { \prime } ( \mathbf { x } _ { \ominus } ) = x _ { 0 } ^ { p } \, \rho ( x _ { 0 } | \mathbf { x } _ { - } ) \, d x _ { 0 } \, d \mu ( \mathbf { x } _ { - } ) .
W _ { C _ { r } } ^ { \underline { { { 2 r + 2 } } } } ( x ; u _ { 1 } , \cdots , u _ { r } ) = \left( x ^ { 2 } W _ { B C } ( x ; u _ { 1 } , \cdots , u _ { r } ) ^ { 2 } + 4 \mu ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } .
\int d ^ { 4 } y \frac { \delta } { \delta { \cal O } ( y ) } \int d ^ { 4 } x \, \underbrace { { \cal O } ( x ) \star { \cal O } ( x ) \star \ldots \star { \cal O } ( x ) } _ { n \mathrm { \; f a c t o r s } } = n \int d ^ { 4 } x \, \underbrace { { \cal O } ( x ) \star { \cal O } ( x ) \star \ldots \star { \cal O } ( x ) } _ { n - 1 \mathrm { \; f a c t o r s } } .
\begin{array} { r l } & { d ( x , \mathcal { X } _ { i } ( \lambda t , x ) ) } \\ & { \leq d ( x , \chi _ { [ i , x ] } ( \tau _ { x } + \lambda \tau ( t , x ) ) ) + d ( \chi _ { [ i , x ] } ( \tau _ { x } + \lambda \tau ( t , x ) ) , \mathcal { X } _ { i } ( \lambda t , x ) ) } \\ & { \leq 2 | \lambda \tau ( t , x ) | + d ( \chi _ { [ i , x ] } ( \tau _ { x } + \lambda \tau ( t , x ) ) , \mathcal { X } _ { i } ( \lambda t , x ) ) , } \end{array}
W _ { 2 } = \mu _ { 0 } \hat { L } \hat { \eta } ^ { \prime } + \mu _ { \eta } \hat { \eta } \hat { \eta } ^ { \prime } + \mu _ { \rho } \hat { \rho } \hat { \rho } ^ { \prime } + \mu _ { \chi } \hat { \chi } \hat { \chi } ^ { \prime } + \mu _ { S } \hat { S } \hat { S } ^ { \prime } ,
\begin{array} { r } { \log \frac { \mathrm { ~ T ~ r ~ } \rho _ { A } ^ { \alpha } } { [ \mathrm { ~ T ~ r ~ } \rho ] ^ { \alpha } } = } \\ { \int \displaylimits _ { 0 } ^ { 1 } \partial _ { \lambda } \log \Big ( \mathcal { Z } [ \lambda ] \Big ) d \lambda = - \zeta \int \displaylimits _ { 0 } ^ { 1 } \Big \langle \partial _ { \lambda } H ( \lambda ) \Big \rangle _ { \mathcal { Z } [ \lambda ] } d \lambda , } \end{array}
\lambda _ { { \cal A } _ { m } } ^ { - 1 } = \frac { \Delta m ^ { 2 } } { 4 E \pi } + \frac { E ^ { 3 } } { 2 4 \pi } \frac { \Delta m ^ { 2 } ( m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } ) } { m _ { 1 } ^ { 4 } m _ { 2 } ^ { 4 } } \frac { r _ { s } ^ { 2 } ( r _ { A } ^ { 2 } + r _ { A } r _ { B } + r _ { B } ^ { 2 } ) } { r _ { A } ^ { 3 } r _ { B } ^ { 3 } } \, .
\begin{array} { r l } { Q ^ { m i s i c } \bigcap \sum _ { l \in \textup { \textbf { b e l o w } } ( s ) } z _ { l } \leq x _ { V ( s ) C ( s ) } \bigcap } & { \sum _ { l \in \textup { \textbf { a b o v e } } ( s ^ { \prime } ) } z _ { l } \leq 1 - x _ { V ( s ^ { \prime } ) C ( s ^ { \prime } ) } } \\ & { \implies Q ^ { m i s i c } \bigcap \sum _ { l \in \textup { \textbf { r i g h t } } ( s ) } z _ { l } \leq x _ { V ( s ) C ( s ) } - x _ { V ( s ^ { \prime } ) C ( s ^ { \prime } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } ( \rho \mathbf { v } ) + \mathrm { d i v } \left( \rho \mathbf { v } \otimes \mathbf { v } \right) + \nabla p + \mathrm { d i v } \left( \nabla \phi \otimes \frac { \partial \bar { \Psi } } { \partial \nabla \phi } + ( \bar { \mu } \phi - \bar { \Psi } ) \mathbf { I } \right) } & { { } } \\ { - \mathrm { d i v } \left( \nu ( 2 \mathbf { D } + \lambda ( \mathrm { d i v } \mathbf { v } ) \mathbf { I } ) \right) - \rho \mathbf { b } } & { { } = ~ 0 , } \\ { \partial _ { t } \rho + \mathrm { d i v } ( \rho \mathbf { v } ) } & { { } = ~ 0 , } \\ { \partial _ { t } \phi + \mathrm { d i v } ( \phi \mathbf { v } ) - \mathrm { d i v } \left( \bar { \mathbf { M } } \nabla ( \bar { \mu } + \omega p ) \right) + \zeta \bar { m } ( \bar { \mu } + \omega p ) } & { { } = ~ 0 , } \\ { \bar { \mu } - \frac { \partial \bar { \Psi } } { \partial \phi } + \mathrm { d i v } \left( \frac { \partial \bar { \Psi } } { \partial \nabla \phi } \right) } & { { } = ~ 0 . } \end{array}
x y ^ { 2 } = \left[ x \prod _ { a = 1 } ^ { n _ { c } } ( x - \phi _ { a } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 2 \Lambda ^ { 2 n _ { c } + 2 - n _ { f } } m _ { 1 } \cdots m _ { n _ { f } } \right] ^ { 2 } - 4 \Lambda ^ { 2 ( 2 n _ { c } + 2 - n _ { f } ) } \prod _ { i = 1 } ^ { n _ { f } } ( x + m _ { i } ^ { 2 } ) , \quad U S p ( 2 n _ { c } ) .
\begin{array} { r l } { \bar { \omega } } & { { } = \omega _ { j } ^ { \circ } , } \\ { 0 } & { { } = \omega ^ { \mathrm { d } } - \omega _ { j } ^ { \circ } + \kappa _ { j } P _ { j } ^ { \mathrm { d } } - \kappa _ { j } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } B _ { j , \ell } E _ { j } ^ { \circ } E _ { \ell } ^ { \circ } \sin ( \delta _ { j , \ell } ^ { \circ } ) , } \\ { 0 } & { { } = E _ { j } ^ { \mathrm { d } } - E _ { j } ^ { \circ } + \chi _ { j } Q _ { j } ^ { \mathrm { d } } + \chi _ { j } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } B _ { j , \ell } E _ { j } ^ { \circ } E _ { \ell } ^ { \circ } \cos ( \delta _ { j , \ell } ^ { \circ } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \{ \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \} = \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \} } & { \equiv } & { ( f _ { i } + 1 ) \, \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } - f _ { i } \, \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } } \\ & { = } & { \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } - f _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { \mathbf { p } + } ^ { ( 0 ) } } & { { } = } & { - i \int d ^ { 3 } \mathbf { r } { \cal M } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } ) } \\ { { \cal M } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } ) } & { { } = } & { \frac { \left( 2 I _ { p } \right) ^ { 1 / 4 } } { 4 \pi ^ { 2 } } { \cal S } ( \eta _ { 0 } ) { \cal P } _ { + } \sqrt { \frac { - 2 i \pi \Lambda } { \left( \mathbf { p } _ { m a x } + \mathbf { A } ( \eta _ { 0 } ) \right) \cdot \mathbf { E } ( \eta _ { 0 } ) } } \frac { \mathbf { r } \cdot \mathbf { E } ( \eta _ { 0 } ) } { r } \exp \Big \{ - i \left[ \mathbf { p } _ { m a x } + \mathbf { A } ( \eta _ { 0 } ) + \frac { \varepsilon - c ^ { 2 } + I _ { p } } { c } \hat { \mathbf { k } } \right] \cdot \mathbf { r } } \end{array}
\Gamma = { \frac { 2 G _ { F } ^ { 2 } \alpha E _ { 1 } ^ { 5 } } { 1 3 5 ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \sin ^ { 6 } \theta \left[ { \frac { 1 } { 5 0 } } ( { \frac { B } { B _ { c } } } ) ^ { 6 } - \left( { \frac { 8 } { 1 0 5 } } - { \frac { 1 } { 4 9 } } { \frac { E _ { 1 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } { m ^ { 2 } } } \right) ( { \frac { B } { B _ { c } } } ) ^ { 8 } + \cdots \right] .
\begin{array} { r l r } { \nu } & { { } \equiv } & { \delta \left( \mathbf { P } \right) = \nu ^ { \left( 0 \right) } + \nu ^ { \left( 1 \right) } , } \\ { \nu ^ { \left( 0 \right) } } & { { } \equiv } & { \delta ^ { \left( 0 \right) } \left( \mathbf { P } \right) = \delta - \mathbf { k \cdot } \frac { \mathbf { P } } { M } , } \\ { \nu ^ { \left( 1 \right) } } & { { } = } & { - \left( \mathbf { k \cdot g } - \alpha \right) T , } \\ { \phi \left( \mathbf { P } \right) } & { { } = } & { \phi + \nu ^ { \left( 0 \right) } T - \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { k \cdot g } - \alpha \right) T ^ { 2 } . } \end{array}
u _ { i _ { 0 } } ^ { \mathcal { G } } = 1 - \frac { \Delta _ { H } ( x _ { V _ { H } } ) } { \Delta _ { H ^ { \prime } } ( x _ { V ^ { \prime } } ) } = 1 - \frac { \Delta _ { H ^ { \prime } } ( x _ { V ^ { \prime } } ) - x _ { i _ { 0 } } \Delta _ { H ^ { \prime \prime } } ( x _ { V ^ { \prime \prime } } ) } { \Delta _ { H ^ { \prime } } ( x _ { V ^ { \prime } } ) } ,
\mathcal { S } _ { [ 0 , n - 1 ] } ^ { \ell , m } = \left\{ \begin{array} { l l } { \gamma { \mathchoice { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 . 5 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 5 m u l } } } _ { \mathcal { H } } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \ell - m \mathrm { ~ i s ~ e v e n } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ } \ell - m \mathrm { ~ i s ~ o d d } } \end{array} \right. , \mathrm { ~ w h e r e ~ } \gamma \in { \mathord { \mathbb C } } .
\begin{array} { r l } & { \quad \mathbb { E } [ \mathcal { W } _ { 2 } ( \mu _ { n } , \mu ) ^ { 2 } ] } \\ & { \leq \mathbb { E } [ \mathcal { W } _ { 2 } ( \mu ^ { n } , \mu _ { k } ^ { n } ) ^ { 2 } ] + \mathbb { E } [ \mathcal { W } _ { 2 } ( \mu _ { k } ^ { n } , \mu _ { k } ) ^ { 2 } ] + \mathbb { E } [ \mathcal { W } _ { 2 } ( \mu _ { k } , \mu ) ^ { 2 } ] } \\ & { \leq C k ^ { - 1 } + C k ^ { - 1 } \mathbb { E } [ \mathcal { W } _ { 2 } ( \bar { \mu } _ { k } ^ { n } , \bar { \mu } _ { k } ) ^ { 2 } ] . } \end{array}
g \bar { g } = 1 + 2 \bigl ( \sum _ { j } \frac { d \psi _ { 1 } ^ { ( j ) } } { d t } \bigr ) r + 2 \bigl ( \sum _ { j } \frac { d \psi _ { 1 } ^ { ( j ) } } { d t } \bigr ) ^ { 2 } r ^ { 2 } + O ( r ^ { 3 } )
E _ { \mathrm { c } } ^ { ( \mathrm { R P A } ) } = \operatorname* { l i m } _ { q _ { \mathrm { c } } \rightarrow 0 } E _ { \mathrm { c } } ^ { ( \mathrm { R P A } ) } ( q _ { \mathrm { c } } ) , \ \ \ \ \ E _ { \mathrm { c } } ^ { ( \mathrm { R P A } ) } ( q _ { \mathrm { c } } ) = \frac { \hbar } { 2 \pi n } \int _ { q _ { \mathrm { c } } } ^ { \infty } \frac { 4 \pi q ^ { 2 } d q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \Big \{ \ln \left[ 1 - v ( q ) \chi ^ { ( 0 ) } ( q , i \omega ) \right] + v ( q ) \chi ^ { ( 0 ) } ( q , i \omega ) \Big \} ,
\begin{array} { r } { d L ( \tau ) = \left( - f ( L ) + D \frac { \partial } { \partial L } \log \left( P ^ { \mathrm { f w } } ( L , T - \tau | L _ { f } , 0 ) \right) \right) d \tau + \sqrt { D } \ d W _ { \tau } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \langle v _ { k } , \nabla y ^ { * } ( x _ { k } ) ( x _ { k + 1 } - x _ { k } ) \rangle | \mathcal { F } _ { k } ] } & { = - \xi \alpha _ { k } \mathbb { E } [ \langle v _ { k } , \nabla y ^ { * } ( x _ { k } ) q _ { k } ^ { x } \rangle | \mathcal { F } _ { k } ] } \\ & { \le \xi \alpha _ { k } \eta _ { k } \mathbb { E } [ \| v _ { k } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] + \frac { \xi \alpha _ { k } } { 4 \eta _ { k } } \mathbb { E } [ \| \nabla y ^ { * } ( x _ { k } ) q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } \\ & { \le \xi \alpha _ { k } \eta _ { k } \mathbb { E } [ \| v _ { k } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] + \frac { \xi \alpha _ { k } l _ { * , 0 } ^ { 2 } } { 4 \eta _ { k } } \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] , } \end{array}
P _ { \mathrm { S } } = \frac { - ( \delta ( ( \delta - 1 0 ) \delta - 1 2 ) + 8 ) \cos ( 2 \theta ) + 1 6 \delta \sin ^ { 2 } ( \theta ) \cos ( 2 \phi ) + 3 2 \delta \sin ( 2 \theta ) \cos ( \phi ) + \delta ( \delta ( \delta + 2 2 ) + 2 0 ) + 8 } { 4 ( \delta + 2 ) ^ { 3 } }
\begin{array} { r l } { \delta a _ { 1 } ( t ) } & { = A _ { 1 + } e ^ { - i \delta t } + A _ { 1 - } e ^ { i \delta t } , } \\ { \delta m ( t ) } & { = M _ { + } e ^ { - i \delta t } + M _ { - } e ^ { i \delta t } } \\ { \delta b ( t ) } & { = B _ { + } e ^ { - i \delta t } + B _ { - } e ^ { i \delta t } , } \\ { \delta a _ { 2 } ( t ) } & { = A _ { 2 + } e ^ { - i \delta t } + A _ { 2 - } e ^ { i \delta t } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \Big ( \frac { \partial ( u - \hat { u } ) } { \partial t } , \, v \Big ) _ { \Omega _ { R } ^ { + } } - ( p - \hat { p } , \, \nabla v ) _ { \Omega _ { R } ^ { + } } - \Big \langle \mathscr { T } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } ( u - \hat { u } ) \, d \tau \Big ) , \, v \Big \rangle _ { \Gamma _ { R } ^ { + } } } \\ { = } & { \Big \langle \hat { p } \cdot \hat { x } + \mathscr { T } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } \hat { u } \, d \tau \Big ) , \, v \Big \rangle _ { \Gamma _ { R } ^ { + } } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \mathrm { d } r \, r \, \psi _ { 0 } ^ { 2 } ( \boldsymbol { r } ) \, = \, \pi \, \left[ 1 \, - \, \frac { \Gamma \left( N + \frac 1 2 \right) } { \sqrt \pi \, \Gamma ( N + 1 ) } \right] \, , } \end{array}
I _ { O E S } = \frac { I _ { Z n } } { I _ { Z n } + I _ { T i } } , \ I _ { Z n } = \int _ { 3 0 6 } ^ { 3 1 0 } I \, d \lambda , \ I _ { T i } = \int _ { 4 9 6 } ^ { 5 1 0 } I \, d \lambda ,
F _ { i j } ^ { N P } ( b , Q , x _ { A } , x _ { B } ) = \exp \left[ - \ln ( Q ^ { 2 } / Q _ { 0 } ^ { 2 } ) \, g _ { 1 } ( b ) - g _ { i / A } ( x _ { A } , b ) - g _ { j / B } ( x _ { B } , b ) \right]
K _ { 0 } ^ { \prime } = { \frac { 1 } { 2 } } | \vec { v } \, ^ { \prime } \cdot \vec { p } ^ { \prime } | = { \frac { 1 } { 2 } } | \vec { v } \, ^ { \prime } \cdot m { \vec { v } } \, ^ { \prime } | = { \frac { 1 } { 2 } } | ( \vec { v } - \vec { v } ) \cdot m ( \vec { v } - \vec { v } ) | = 0 . \eqno ( 3 6 )
E _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ a ~ x ~ i ~ a ~ l ~ } } ( x = 0 , y , z ) = \ensuremath { \mathrm { ~ A ~ i ~ } } \left( \frac { z } { z _ { 0 } } \right) \cdot \exp \left( \frac { a z } { z _ { 0 } } - \frac { y ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \ensuremath { \circledast } \delta \left( z - \frac { y ^ { 2 } } { 2 r _ { d } } \right) .
\tilde { \cal H } _ { Q , \mathrm { k i n } } = { \frac { \vec { P } _ { Q } ^ { 2 } } { 2 m _ { Q } } } + { \cal O } ( \lambda ^ { 2 } ) , \qquad \tilde { \cal H } _ { \ell , \mathrm { k i n } } = { \frac { \vec { P } _ { \ell } ^ { 2 } } { 2 m _ { N } } } + { \cal O } ( \lambda ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { E _ { a } ( x + 1 ) } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { a } \binom { a } { j } \frac { E _ { j } } { 2 ^ { j } } \left( x + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { a - j } } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { a } \binom { a } { j } \frac { E _ { j } } { 2 ^ { j } } \sum _ { \ell = 0 } ^ { a - j } \binom { a - j } { \ell } \frac { x ^ { \ell } } { 2 ^ { a - j - \ell } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { 8 , 1 } ^ { \{ 3 \} } } & { = - \left( \Omega _ { 8 , 5 } ^ { \{ 3 \} } + \Omega _ { 8 , 6 } ^ { \{ 3 \} } + \Omega _ { 8 , 7 } ^ { \{ 3 \} } \right) , \ \Omega _ { 8 , 5 } ^ { \{ 3 \} } = c _ { 8 } ^ { \{ S \} \times 2 } \gamma _ { 5 } , \ \Omega _ { 8 , 6 } ^ { \{ 3 \} } = c _ { 8 } ^ { \{ S \} \times 2 } \gamma _ { 6 } , \ \Omega _ { 8 , 7 } ^ { \{ 3 \} } = c _ { 8 } ^ { \{ S \} \times 2 } \gamma _ { 7 } } \\ { \Omega _ { 9 , 1 } ^ { \{ 3 \} } } & { = - \left( \Omega _ { 9 , 5 } ^ { \{ 3 \} } + \Omega _ { 9 , 6 } ^ { \{ 3 \} } + \Omega _ { 9 , 7 } ^ { \{ 3 \} } \right) , \ \Omega _ { 9 , 5 } ^ { \{ 3 \} } = c _ { 9 } ^ { \{ S \} \times 2 } \gamma _ { 5 } , \ \Omega _ { 9 , 6 } ^ { \{ 3 \} } = c _ { 9 } ^ { \{ S \} \times 2 } \gamma _ { 6 } , \ \Omega _ { 9 , 7 } ^ { \{ 3 \} } = c _ { 9 } ^ { \{ S \} \times 2 } \gamma _ { 7 } } \\ { \Omega _ { 1 0 , 1 } ^ { \{ 3 \} } } & { = - \left( \Omega _ { 1 0 , 5 } ^ { \{ 3 \} } + \Omega _ { 1 0 , 6 } ^ { \{ 3 \} } + \Omega _ { 1 0 , 7 } ^ { \{ 3 \} } \right) , \ \Omega _ { 1 0 , 5 } ^ { \{ 3 \} } = c _ { 1 0 } ^ { \{ S \} \times 2 } \gamma _ { 5 } , \ \Omega _ { 1 0 , 6 } ^ { \{ 3 \} } = c _ { 1 0 } ^ { \{ S \} \times 2 } \gamma _ { 6 } , \ \Omega _ { 1 0 , 7 } ^ { \{ 3 \} } = c _ { 1 0 } ^ { \{ S \} \times 2 } \gamma _ { 7 } } \\ { \Omega _ { 1 1 , 1 } ^ { \{ 3 \} } } & { = - \left( \Omega _ { 1 1 , 8 } ^ { \{ 3 \} } + \Omega _ { 1 1 , 9 } ^ { \{ 3 \} } + \Omega _ { 1 1 , 1 0 } ^ { \{ 3 \} } \right) , \ \Omega _ { 1 1 , 8 } ^ { \{ 3 \} } = \gamma _ { 8 } , \ \Omega _ { 1 1 , 9 } ^ { \{ 3 \} } = \gamma _ { 9 } , \ \Omega _ { 1 1 , 1 0 } ^ { \{ 3 \} } = \gamma _ { 1 0 } } \end{array}
{ \hat { w } } _ { n } = A _ { 1 } \cosh ( \beta _ { n } x ) + A _ { 2 } \sinh ( \beta _ { n } x ) + A _ { 3 } \cos ( \beta _ { n } x ) + A _ { 4 } \sin ( \beta _ { n } x ) \quad { \mathrm { w i t h } } \quad \beta _ { n } : = \left( { \frac { \mu \omega _ { n } ^ { 2 } } { E I } } \right) ^ { 1 / 4 } \, .
\begin{array} { r } { \phi ( z ) = - 2 \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } { \frac { T ( z ) } { \lambda ^ { 2 } } } \, = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ - { \frac { \alpha _ { i } ^ { 2 } } { ( z - \xi _ { i } ) ^ { 2 } } } + { \frac { \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \left( - 2 c _ { i } / \lambda ^ { 2 } \right) } { z - \xi _ { i } } } \right] \, . } \end{array}