harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { M _ { t } ^ { G } = \langle \widehat { \pi } _ { 0 } , f \rangle } & { + \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { i \in \mathcal A _ { s - } , \, y \in V } \left( f ( i 1 , y , a ) + f ( i , X _ { s - } ^ { i } , g ) - f ( i , X _ { s - } ^ { i } , a ) \right) \widetilde { \mathcal N } _ { i } ^ { X _ { s - } ^ { i } , y } ( \mathrm { d } s ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { i \in \mathcal A _ { s - } } \left( f ( i 1 , X _ { s - } ^ { i } , a ) + f ( i 2 , X _ { s - } ^ { i } , a ) - f ( i , X _ { s - } ^ { i } , a ) \right) \widetilde { \mathcal N } _ { i } ^ { b } ( \mathrm { d } s ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \lambda } ^ { 1 } } & { : = \{ \gamma ^ { \mathcal { C } , j , \lambda } : \mathcal { C } \in C ( \mathscr { F } ^ { \ell } ) , j \in J , \lambda \in I ^ { k } \} , } \\ { F _ { \lambda } ^ { 2 } } & { : = \{ f _ { \mathcal { C } , j , \lambda } ^ { ( \alpha ) } \circ \gamma ^ { \mathcal { C } , j , \lambda } : \mathcal { C } \in C ( \mathscr { F } ^ { \ell } ) , j \in J , \lambda \in I ^ { k } \} , } \\ { F _ { \lambda } } & { : = F _ { \lambda } ^ { 1 } \cup F _ { \lambda } ^ { 2 } . } \end{array}
S = { \frac { 1 } { 2 k ^ { 2 } } } \int d z ^ { ( - 4 ) } d u [ \bar { q } _ { 1 } ^ { + } D ^ { + + } q _ { 1 } ^ { + } + \bar { q } _ { 2 } ^ { + } D ^ { + + } q _ { 2 } ^ { + } + + V ^ { + + } ( \bar { q } _ { 1 } ^ { + } q _ { 2 } ^ { + } + \bar { q } _ { 2 } ^ { + } q _ { 1 } ^ { + } + \lambda ^ { + + } ) ] \qquad .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \bigg [ \partial _ { i } U _ { i } ( \boldsymbol { r } ) } & { { } - U _ { i } ( \boldsymbol { r } ) \left( \frac { r _ { i } } { \sigma _ { i } ^ { 2 } ( t ) } \right) } \end{array}
\langle \Psi _ { 0 } | \hat { X } _ { P } \hat { X } _ { P ^ { \prime } } | \Psi _ { 0 } \rangle = \langle \Psi _ { 0 } | \prod _ { i = 1 } ^ { 1 2 } 2 \hat { S } _ { i } ^ { x } | \Psi _ { 0 } \rangle ,
\begin{array} { r l } & { { \bf E } \left[ \Delta _ { n } ( \varphi _ { 1 } ^ { ( n ) } , \varphi _ { 2 } ^ { ( n ) } , \varphi _ { \cal A } ^ { ( n ) } | p _ { X _ { 1 } X _ { 2 } } ^ { n } , { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } ^ { n } } ) \right] } \\ & { \leq \Theta ( R _ { 1 } , R _ { 2 } , \varphi _ { \cal A } ^ { ( n ) } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } ^ { n } } ) . } \end{array}
\left\vert \langle \psi _ { x \pm } \mid \psi _ { y \pm } \rangle \right\vert ^ { 2 } = \left\vert \langle \psi _ { x \pm } \mid \psi _ { z \pm } \rangle \right\vert ^ { 2 } = \left\vert \langle \psi _ { y \pm } \mid \psi _ { z \pm } \rangle \right\vert ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { V ^ { \mathrm { T M } } } \\ { V ^ { \mathrm { T E } } } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { l l } { Y _ { 1 u u } + Y _ { 0 } ^ { \mathrm { T M } } } & { Y _ { 1 u v } } \\ { Y _ { 1 v u } } & { Y _ { 1 v v } + Y _ { 0 } ^ { \mathrm { T E } } } \end{array} \right) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { i _ { \mathrm { g } } ^ { \mathrm { T M } } } \\ { i _ { \mathrm { g } } ^ { \mathrm { T E } } } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l } { V _ { i ^ { \mathrm { T M } } } ^ { \mathrm { T M } } } & { V _ { i ^ { \mathrm { T E } } } ^ { \mathrm { T M } } } \\ { V _ { i ^ { \mathrm { T E } } } ^ { \mathrm { T M } } } & { V _ { i ^ { \mathrm { T E } } } ^ { \mathrm { T E } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { i _ { \mathrm { g } } ^ { \mathrm { T M } } } \\ { i _ { \mathrm { g } } ^ { \mathrm { T E } } } \end{array} \right) \, . } \end{array}
m _ { \pi ^ { + } } ^ { 2 } - m _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } = - { \frac { 3 e ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } F _ { \pi } ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d s s l n s \left[ \rho _ { V } ( s ) - \rho _ { A } ( s ) \right] .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ } } & { { } } & { \mathbf { v } = \left\{ \frac { r ^ { 2 } \Omega ^ { 2 } \sin ( \theta ) ^ { 2 } } { 1 + r ^ { 2 } \Omega ^ { 2 } \sin ( \theta ) ^ { 2 } } , 0 , \frac { r \Omega \sin ( \theta ) } { 1 + r ^ { 2 } \Omega ^ { 2 } \sin ( \theta ) ^ { 2 } } \right\} \mathrm { ~ } } \\ { \mathrm { ~ } } & { { } } & { \mathbf { \Gamma } = \sqrt { 1 + r ^ { 2 } \Omega ^ { 2 } \sin ( \theta ) ^ { 2 } } \mathrm { ~ } } \\ { \mathrm { ~ } } & { { } } & { \mathbf { p } = \left\{ \frac { r ^ { 2 } \Omega ^ { 2 } \sin ( \theta ) ^ { 2 } } { \sqrt { 1 + r ^ { 2 } \Omega ^ { 2 } \sin ( \theta ) ^ { 2 } } } , 0 , \frac { r \Omega \sin ( \theta ) } { \sqrt { 1 + r ^ { 2 } \Omega ^ { 2 } \sin ( \theta ) ^ { 2 } } } \right\} } \end{array}
g _ { M N } = \left( \begin{array} { c c c } { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { a _ { 4 } ^ { 2 } ( t ) { \tilde { g } } _ { r s } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { a _ { 7 } ^ { 2 } ( t ) { \tilde { g } } _ { \Delta \Sigma } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \! \! a _ { i } \frac { \, \mathrm { d } x _ { i } } { \, \mathrm { d } t } } & { { } = - \nu _ { 0 } a _ { i } ^ { 2 } x _ { i } - c ( a _ { i } - a _ { k } ) x _ { j } y _ { k } + c ( a _ { i } - a _ { j } ) y _ { j } x _ { k } } \\ { \! \! a _ { i } \frac { \, \mathrm { d } y _ { i } } { \, \mathrm { d } t } } & { { } = - a _ { k } b _ { k } x _ { j } y _ { k } - a _ { j } b _ { j } y _ { j } x _ { k } + c ( a _ { k } - a _ { j } ) y _ { j } y _ { k } } \\ { \! \! \frac { \, \mathrm { d } z _ { i } } { \, \mathrm { d } t } } & { { } = g _ { 0 } a _ { i } x _ { i } - b _ { k } x _ { j } ( z _ { k } - h _ { k } ) - b _ { j } ( z _ { j } - h _ { j } ) x _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle C ^ { \prime } ( t ; T ) \rangle } & { { } = e ^ { - t } - \langle \bar { I } ^ { 2 } ( T ) \rangle + \frac { 1 } { T - t } \bigg [ \int _ { T - t } ^ { T } d t ^ { \prime } \, \langle \bar { I } ( T ) I ( t ^ { \prime } ) \rangle + \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \, \langle \bar { I } ( T ) I ( t ^ { \prime } ) \rangle \bigg ] . } \end{array}
\frac { \partial f _ { \alpha , a } } { \partial t } = \sum _ { \alpha ^ { \prime } , a ^ { \prime } } \frac { q _ { \alpha } ^ { 2 } q _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } } { m _ { \alpha } } \frac { \partial } { \v { v } } \cdot \int \mathrm { d } \boldsymbol { v } ^ { \prime } \, { \sf { Q } } ( \boldsymbol { v } , \boldsymbol { v } ^ { \prime } ) \cdot \left( \frac { \delta N _ { \alpha ^ { \prime } a ^ { \prime } } } { \partial m _ { \alpha } } f _ { \alpha ^ { \prime } , a ^ { \prime } } \frac { \partial f _ { \alpha , a } } { \partial \v { v } } - \frac { \delta N _ { \alpha , a } } { m _ { \alpha ^ { \prime } } } f _ { \alpha , a } \frac { \partial f _ { \alpha ^ { \prime } , a ^ { \prime } } } { \partial \v { v } ^ { \prime } } \right) .
{ \begin{array} { r l } { f ( x ) } & { = \ln { \bigl ( } 1 + ( \cos x - 1 ) { \bigr ) } } \\ & { = ( \cos x - 1 ) - { \frac { 1 } { 2 } } ( \cos x - 1 ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 3 } } ( \cos x - 1 ) ^ { 3 } + { O } \left( ( \cos x - 1 ) ^ { 4 } \right) } \\ & { = \left( - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { x ^ { 4 } } { 2 4 } } - { \frac { x ^ { 6 } } { 7 2 0 } } + { O } \left( x ^ { 8 } \right) \right) - { \frac { 1 } { 2 } } \left( - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { x ^ { 4 } } { 2 4 } } + { O } \left( x ^ { 6 } \right) \right) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 3 } } \left( - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } + O \left( x ^ { 4 } \right) \right) ^ { 3 } + { O } \left( x ^ { 8 } \right) } \\ & { = - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { x ^ { 4 } } { 2 4 } } - { \frac { x ^ { 6 } } { 7 2 0 } } - { \frac { x ^ { 4 } } { 8 } } + { \frac { x ^ { 6 } } { 4 8 } } - { \frac { x ^ { 6 } } { 2 4 } } + O \left( x ^ { 8 } \right) } \\ & { = - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } - { \frac { x ^ { 4 } } { 1 2 } } - { \frac { x ^ { 6 } } { 4 5 } } + O \left( x ^ { 8 } \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r } { f _ { 1 } ( \vec { x } , \vec { p } ) = f ^ { \mathrm { ~ M ~ B ~ } } ( \vec { x } , \vec { p } ) ( 1 + \varepsilon \chi ( \vec { x } , \vec { p } ) ) + O ( \varepsilon ^ { 2 } ) \, , } \end{array}
{ \cal D } _ { - 2 - 2 } + { \cal D } _ { 2 2 } = | \tilde { c } | ^ { 2 } \left( \frac { M _ { R } ^ { 2 } - M ^ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 } M ^ { 2 } ( 1 + c ^ { 2 } ) \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \left[ ( s ^ { * } c _ { \phi } ^ { * } c - c ^ { * } s ) ^ { 2 } + ( s ^ { * } s _ { \phi } ^ { * } ) ^ { 2 } \right] \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { \prime } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) } & { { } = \gamma \left[ \mathbf { E } ( \mathbf { r } , t ) + v \hat { \mathbf { v } } \times \mathbf { B } ( \mathbf { r } , t ) \right] } \end{array}
f = \left\{ \begin{array} { l l } { C _ { 3 } ( 1 - x ) ^ { 2 } ( 1 + o ( 1 ) ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } 0 < n < \frac 3 2 , } \\ { C _ { 4 } ( 1 - x ) ^ { 2 } \left( - \log ( 1 - x ) \right) ^ { \frac 2 3 } ( 1 + o ( 1 ) ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } n = \frac 3 2 , } \\ { C _ { 5 } ( 1 - x ) ^ { \frac 3 n } ( 1 + o ( 1 ) ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \frac 3 2 < n < 3 , } \end{array} \right. \qquad \mathrm { ~ a ~ s ~ x ~ \nearrow ~ 1 ~ , ~ }
\left\vert \tilde { I } _ { p , q } ^ { m } ( \boldsymbol { x } - \left( \boldsymbol { s } _ { j , k } + \boldsymbol { t } _ { p , q } \right) ) \right\vert \approx \left\vert \tilde { I } _ { 0 , 0 } ^ { m } ( \boldsymbol { x } - \left( \boldsymbol { s } _ { 0 , 0 } + \boldsymbol { t } _ { 0 , 0 } \right) ) \right\vert \, , \qquad \forall \, j , k \in \mathbb { Z } \, , \quad p , q \in \Delta _ { j , k } \, .
\left( { \boldsymbol { u } } \cdot { \boldsymbol { \nabla } } \right) { \boldsymbol { u } } = { \frac { 1 } { 2 } } { \boldsymbol { \nabla } } \left( { \boldsymbol { u } } \cdot { \boldsymbol { u } } \right) - { \boldsymbol { u } } \times { \boldsymbol { \nabla } } \times { \boldsymbol { u } } = { \frac { 1 } { 2 } } { \boldsymbol { \nabla } } \left( { \boldsymbol { u } } \cdot { \boldsymbol { u } } \right) \qquad ( 1 )
{ \begin{array} { r l } { 4 \arctan { \frac { 1 } { 5 } } } & { = 2 \arctan { \frac { 1 } { 5 } } + 2 \arctan { \frac { 1 } { 5 } } } \\ & { = \arctan { \frac { 5 } { 1 2 } } + \arctan { \frac { 5 } { 1 2 } } } \\ & { = \arctan { \frac { 5 \cdot 1 2 + 5 \cdot 1 2 } { 1 2 \cdot 1 2 - 5 \cdot 5 } } } \\ & { = \arctan { \frac { 1 2 0 } { 1 1 9 } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { l = 0 } ^ { n _ { \varphi } - 1 } \sum _ { n = 0 } ^ { n _ { \varphi } - 1 } \exp { \left( \frac { 2 \pi i } { n _ { \varphi } } n l \right) } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( \varphi ) \Lambda _ { l } ( \varphi ) \mathrm { d } \varphi } \\ & { \sum _ { j } \sum _ { k } \phi _ { j k } ^ { ( n ) } \int \Lambda _ { j ^ { \prime } } ( r ) \Lambda _ { k ^ { \prime } } ( \theta ) \Lambda _ { j } ( r ) \Lambda _ { k } ( \theta ) J ( r , \theta ) \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta } \\ & { = \int \Phi ( r , \theta , \varphi ) \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( \varphi ) \Lambda _ { j ^ { \prime } } ( r ) \Lambda _ { k ^ { \prime } } ( \theta ) J ( r , \theta ) \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta \mathrm { d } \varphi } \end{array}
\phi _ { 2 } \, = \, \frac { 1 } { 2 \pi } \Bigl ( L \eta _ { 2 } + \bigl ( \beta _ { \epsilon } P _ { 1 } + L P _ { 1 } + Q _ { 1 } \bigr ) \eta _ { 1 } + \bigl ( \beta _ { \epsilon } P _ { 2 } + L P _ { 2 } + Q _ { 2 } \bigr ) \eta _ { 0 } \Bigr ) \, ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \bigg ( \sigma _ { \tau - } ^ { 2 } \in \bigg [ \Psi _ { n } ^ { - 1 } \Big ( \hat { \sigma } _ { \tau - } ^ { 2 } - \frac { \sqrt { \widehat { { \sigma _ { \tau } ^ { 4 } } } _ { - } ( 7 \pi ^ { 2 } / 4 - 2 \pi / 3 - 1 2 ) } } { \pi - 2 } K _ { n } ^ { - 1 / 2 } \Phi ^ { - 1 } ( 1 - q / 2 ) \Big ) \, , } \\ & { \quad \quad \quad \Psi _ { n } ^ { - 1 } \Big ( \hat { \sigma } _ { \tau - } ^ { 2 } + \frac { \sqrt { \widehat { { \sigma _ { \tau } ^ { 4 } } } _ { - } ( 7 \pi ^ { 2 } / 4 - 2 \pi / 3 - 1 2 ) } } { \pi - 2 } K _ { n } ^ { - 1 / 2 } \Phi ^ { - 1 } ( 1 - q / 2 ) \Big ) \bigg ] \bigg ) \to 1 - q \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf I } \delta ( { { \bf x } _ { \mathrm { H } } ^ { \prime } } - { { \bf x } _ { \mathrm { H } , F } } ) } & { = } & { \int _ { { { \partial \mathbb { D } } } } { \bf W } ( { \bf x } _ { \mathrm { H } } ^ { \prime } , x _ { 3 , F } , { \bf x } ) { \bf W } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p \{ w _ { 1 } ^ { 3 } , h \{ w _ { 2 } ^ { 3 } , \epsilon \} \} } & { = p \{ w _ { 1 } ^ { 3 } , h ( 6 w _ { 2 } ^ { 2 } \bar { w } _ { 1 } \epsilon ) \} = p \{ w _ { 1 } ^ { 3 } , - 3 w _ { 2 } \bar { w } _ { 1 } ^ { 2 } \} } \\ & { = p ( - 9 w _ { 1 } ^ { 2 } ( \bar { w } _ { 1 } ^ { 2 } - 2 w _ { 2 } \bar { w } _ { 2 } \bar { w } _ { 1 } ^ { 2 } ) ) } \\ & { = - \frac { 3 } { 2 } } \end{array}
\phi _ { ( a ) } = \sqrt { { \frac { N \, V } { g _ { 0 } ^ { 2 } } } \, \mathbf { F ^ { ( 0 ) } } { } _ { c d \, \mu \nu } \mathbf { F } ^ { ( 0 ) } { } ^ { c d \, \mu \nu } } \equiv \sqrt { \, { \frac { N \, V } { g _ { 0 } ^ { 2 } } } \, \mathrm { T r } \, \mathbf { F ^ { ( 0 ) } } { } _ { \mu \nu } \mathbf { F } ^ { ( 0 ) } { } ^ { \mu \nu } }
\begin{array} { r l } { c _ { \textrm { i } } ^ { \textrm { C } } } & { { } = \overline { { c _ { i } ^ { \textrm { o u t } } } } + \frac { I } { F Q } \quad \textrm { f o r } \quad i = \{ { \sf I I } , { \sf V } \} , } \\ { c _ { \textrm { i } } ^ { \textrm { C } } } & { { } = \overline { { c _ { i } ^ { \textrm { o u t } } } } - \frac { I } { F Q } \quad \textrm { f o r } \quad i = \{ { \sf I I I } , { \sf I V } \} , } \end{array}
\langle t _ { 2 } | { \cal O } ( t _ { 1 } ) | t _ { 2 } \rangle = \sum _ { i , i ^ { \prime } } \langle t _ { 2 } | i \rangle \langle i | { \cal O } ( t _ { 1 } ) | i ^ { \prime } \rangle \langle i ^ { \prime } | t _ { 2 } \rangle
\nu _ { t } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \tilde { \nu } < 0 , } \\ { f _ { v 1 } \tilde { \nu } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \tilde { \nu } \geq 0 , } \end{array} \right.
A = I _ { 0 } \frac { R _ { f } G _ { 0 } } { 1 + G _ { 0 } } ~ ~ ~ ; ~ ~ ~ B = ( e ^ { \frac { t _ { c } } { \tau } } - 1 ) \Bigg ( \frac { \tau _ { z } + \tau } { \tau } \Bigg ) ~ ~ ~ ~ ; ~ ~ ~ C = \frac { e ^ { \frac { t _ { c } } { \tau } } ( \tau ^ { 2 } - t _ { c } ( \tau - \tau _ { z } ) ) } { \tau ^ { 2 } } - 1 ~ ~ .
\biggl ( - \frac { 1 } { 2 } \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } + \frac { ( N ^ { 2 } - 1 ) ( N ^ { 2 } - 3 ) } { 8 r ^ { 2 } } + \frac { r ^ { 2 } } { 2 } + \sum _ { K = 1 } ^ { \infty } \frac { c _ { K } g ^ { K } } { N ^ { 4 K - 2 } } ( r ^ { 2 } ) ^ { 2 K } \biggr ) \rho = \epsilon _ { 0 } \rho .
\tilde { D } _ { \theta , \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ } } ( \hat { x } _ { t } , \sigma _ { t } ) = D _ { \theta , \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ } } ( \hat { x } _ { t } , \sigma _ { t } ) - \alpha ( I - V V ^ { T } ) \nabla _ { \hat { x } _ { t } } L ( D _ { \theta } ( \hat { x } _ { t } , \sigma _ { t } ) ) ,
\psi ( 2 ) _ { b = c = d = 0 } = \int _ { S } d ^ { 4 } x _ { 1 } I e ^ { i ( \Delta _ { 1 } ^ { \prime } - \Delta _ { 1 } ) } e ^ { i ( p ^ { k \; \prime } - p ^ { k } ) x _ { 1 } ^ { k } } N _ { \mu } \gamma ^ { \mu } \psi _ { 0 }
I _ { 2 } ^ { ( d ) } = - \frac { ( d - 4 ) } { ( d - 3 ) } I _ { 1 } ^ { ( d ) } + \frac { m ^ { 2 } } { ( d - 3 ) } \left( 1 - \frac { q ^ { 2 } } { 4 m ^ { 2 } } \right) \left( I _ { 1 } ^ { ( d ) } \right) ^ { \prime } + \frac { m ^ { 2 d - 1 0 } } { ( d - 3 ) ( d - 4 ) } H _ { 1 } ^ { ( d ) } ,
{ } ~ \times \frac { w ( \omega x _ { 3 } x _ { 4 } z _ { 1 } z _ { 2 } / x _ { 1 } x _ { 2 } z _ { 3 } z _ { 4 } | c + d - a - b ) } { w \bigg ( \frac { \displaystyle x _ { 4 } z _ { 1 } } { \displaystyle x _ { 1 } z _ { 4 } } | d - a \bigg ) w \bigg ( \frac { \displaystyle x _ { 3 } z _ { 2 } } { \displaystyle x _ { 2 } z _ { 3 } } | c - b \bigg ) w \bigg ( \frac { \displaystyle x _ { 3 } z _ { 1 } } { \displaystyle x _ { 1 } z _ { 3 } } | c - a \bigg ) w \bigg ( \frac { \displaystyle x _ { 4 } z _ { 2 } } { \displaystyle x _ { 2 } z _ { 4 } } | d - b \bigg ) } ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { R , Z , \Lambda } W [ R , Z , \Lambda ; p , \iota , \psi ( s = 1 ) ] , \qquad \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } R ( s = 1 ) = R _ { \mathrm { { b } } } , \ Z ( s = 1 ) = Z _ { \mathrm { { b } } } . } \end{array}
( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } - \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } + \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } ) \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } } } } } } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l r } { \bar { V } _ { 1 } ( z ) } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { \psi _ { 0 } } } J ( z ) , } \\ { \bar { V } _ { 2 } ( z ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \psi _ { 0 } } : J ( z ) ^ { 2 } : , } \\ { \bar { V } _ { 3 } ( z ) } & { = } & { \frac { 1 } { 3 \psi _ { 0 } ^ { 3 / 2 } } : J ( z ) ^ { 3 } : , } \\ { \bar { V } _ { 4 } ( z ) } & { = } & { \frac { 1 } { 4 \psi _ { 0 } ^ { 2 } } : J ( z ) ^ { 4 } : - \frac { 3 } { 2 0 \psi _ { 0 } } : J ^ { \prime } ( z ) ^ { 2 } : + \frac { 1 } { 1 0 \psi _ { 0 } } : J ^ { \prime \prime } ( z ) J ( z ) : . } \end{array}
\rho ( \eta ) = \frac { n _ { 0 } } { \eta _ { \mathrm { m a x } } \eta } G \left( \frac { \eta } { \eta _ { \mathrm { m a x } } } \right) \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \eta _ { \mathrm { m i n } } < \eta < \eta _ { \mathrm { m a x } } ,
\left( \begin{array} { c } { { \dot { \Phi } } } \\ { { \Phi ^ { \prime } } } \end{array} \right) \; \; \rightarrow \; \; \left( \begin{array} { c c } { { c o s h \, \theta } } & { { s i n h \, \theta } } \\ { { s i n h \, \theta } } & { { c o s h \, \theta } } \end{array} \right) \; \; \left( \begin{array} { c } { { \tilde { \dot { \Phi } } } } \\ { { \tilde { \Phi } ^ { \prime } } } \end{array} \right) \; \; .
d \kappa _ { 1 } / d t \approx \langle \boldsymbol { \hat { e } } _ { \perp } \cdot \boldsymbol { S } \cdot \boldsymbol { \hat { e } } _ { \perp } - 2 \boldsymbol { \hat { e } } _ { \parallel } \cdot \boldsymbol { S } \cdot \boldsymbol { \hat { e } } _ { \parallel } \rangle \kappa _ { 1 }
\begin{array} { r } { | \mu _ { T } ( A \times \mathbb { U } ) - \mu _ { T } P ( A ) | = E _ { \mu _ { 0 } } ^ { \gamma } { \frac { 1 } { T } } \bigg [ \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } 1 _ { \{ \pi _ { t } , u _ { t } ) \in ( A \times \mathbb { U } ) \} } - \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } 1 _ { \{ \pi _ { t + 1 } , u _ { t + 1 } ) \in ( A \times \mathbb { U } ) \} } \bigg ] \leq { \frac { 1 } { T } } \to 0 , } \end{array}
\frac { \partial Y _ { i } ^ { * } } { \partial t ^ { * } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { { m } } } } { L _ { \mathrm { c e l l } } / V _ { \mathrm { i n } } } } \vec { V } ^ { * } \cdot \nabla ^ { * } Y _ { i } ^ { * } - D ^ { * } \left( \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { W _ { \mathrm { c e l l } } ^ { 2 } / D _ { 0 } } } \frac { \partial ^ { 2 } Y _ { i } ^ { * } } { \partial x ^ { * 2 } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { L _ { \mathrm { c e l l } } ^ { 2 } / D _ { 0 } } } \frac { \partial ^ { 2 } Y _ { i } ^ { * } } { \partial y ^ { * 2 } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { H _ { \mathrm { c h } } ^ { 2 } / D _ { 0 } } } \frac { \partial ^ { 2 } Y _ { i } ^ { * } } { \partial z ^ { * 2 } } \right) = 0
J _ { \lambda / \nu } ( 1 ; \beta ) = \prod _ { s \in C _ { \lambda / \nu } } \left( \frac { \beta l ( s ) + a ( s ) + 1 } { \beta ( l ( s ) + 1 ) + a ( s ) } \right) _ { \lambda } \left( \frac { \beta ( l ( s ) + 1 ) + a ( s ) } { \beta l ( s ) + a ( s ) + 1 } \right) _ { \nu } .
\varphi ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { 2 } \sum e ( x _ { i } x _ { j } - \frac { 1 } { 3 } r ^ { 2 } \delta _ { i j } ) \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial X _ { i } \partial X _ { j } } \frac { 1 } { R _ { o } }
\begin{array} { r l } { { \frac { d y } { d x } } + { \frac { d x } { d x } } + { \frac { d } { d x } } ( 5 ) } & { { } = 0 \, ; } \\ { { \frac { d y } { d x } } + 1 + 0 } & { { } = 0 \, . } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { p ^ { 2 } \rightarrow 0 } \, \mathrm { I m } \, \Pi _ { 2 } ^ { \mathrm { ( n o n \mathrm { - } p l a n a r ) } } = \operatorname * { l i m } _ { p ^ { 2 } \rightarrow 0 } \, \mathrm { I m } \, \Pi _ { 2 } = 0 .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \Lambda } } & { \mathcal { K } _ { W } ( \Psi _ { 1 } , \Psi _ { 2 } ) = \frac { d } { d \Lambda } g ( \Psi _ { 1 } , e ^ { \Lambda \{ Q _ { W } + z G _ { - } , L \} } \Psi _ { 2 } ) = g ( \Psi _ { 1 } , \{ Q _ { W } + z G _ { - } , L \} e ^ { \Lambda \{ Q _ { W } + z G _ { - } , L \} } \Psi _ { 2 } ) } \\ & { = g ( \Psi _ { 1 } , ( Q _ { W } + z G _ { - } ) L e ^ { \Lambda \{ Q _ { W } + z G _ { - } , L \} } \Psi _ { 2 } ) + g ( \Psi _ { 1 } , L ( Q _ { W } + z G _ { - } ) e ^ { \Lambda \{ Q _ { W } + z G _ { - } , L \} } \Psi _ { 2 } ) } \\ & { = - ( - 1 ) ^ { | \Psi _ { 1 } | } g ( ( Q _ { W } - z G _ { - } ) \Psi _ { 1 } , L e ^ { \Lambda \{ Q _ { W } + z G _ { - } , L \} } \Psi _ { 2 } ) + g ( \Psi _ { 1 } , L e ^ { \Lambda \{ Q _ { W } + z G _ { - } , L \} } ( Q _ { W } + z G _ { - } ) \Psi _ { 2 } ) } \\ & { = 0 . } \end{array}
\mathcal { A } ^ { 2 } \mathcal { B } \mathcal { C } \sim ( \bar { \rho } - 1 ) ^ { 3 } ( A _ { q } ^ { * } - A _ { p } ^ { * } ) / [ ( 1 + A _ { p } ^ { * } ) ^ { 2 } ( 1 + A _ { q } ^ { * } ) ( J _ { q } ^ { * } + D _ { p } ^ { * } ) ]
\begin{array} { r } { \displaystyle \sum _ { \alpha , { \beta } } R _ { \alpha { \beta } } ( \mathbf { w } _ { \beta } - \mathbf { w } _ { \alpha } ) \cdot \mathbf { w } _ { \alpha } = - \frac { 1 } { 2 } \displaystyle \sum _ { \alpha , { \beta } } R _ { \alpha { \beta } } \| \mathbf { w } _ { \alpha } - \mathbf { w } _ { \beta } \| ^ { 2 } . } \end{array}
M \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! [ d \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \alpha \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \theta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ] \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { \frac { U } { U _ { p } } = } & { { } - \frac { 2 h ^ { 2 } } { \nu } \sum _ { n h = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { e ^ { \left( - v _ { n h } ^ { 2 } \nu / h ^ { 2 } \right) t } - e ^ { \left( - v _ { n h } ^ { 2 } \nu / h ^ { 2 } \right) \left( t - t _ { o } \right) } } { t _ { o } } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( - 2 ) } = \mathcal { B } \overline { { \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( - 2 ) } } } \mathcal { B } v _ { 1 } ( 0 ) , } \\ & { \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( - 1 ) } = \mathcal { B } \overline { { \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( - 1 ) } } } \mathcal { B } v _ { 1 } ( 0 ) + \mathcal { B } \overline { { \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( - 2 ) } } } \mathcal { B } v _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) , } \\ & { \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } = \mathcal { B } \overline { { \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } } } \mathcal { B } v _ { 1 } ( 0 ) + \mathcal { B } \overline { { \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( - 1 ) } } } \mathcal { B } v _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) + \mathcal { B } \overline { { \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( - 2 ) } } } \mathcal { B } \frac { v _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( 0 ) } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau _ { i j } = \frac { \overline { { \Delta } } ^ { 2 } } { 1 2 } \frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial x _ { k } } \frac { \partial \overline { { u } } _ { j } } { \partial x _ { k } } , } \end{array}