harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l } { \phi _ { m } ( t , \cdot ) \in C ^ { k } } & { \implies \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m } ( t , \cdot ) \in C ^ { k - 1 } } & & { \qquad \mathrm { ( b y ~ ) , } } \\ & { \implies x \mapsto X _ { m } ^ { - 1 } ( t , x , s ) \ \mathrm { ~ i s ~ C ^ { k - 1 } ~ } } & & { \qquad \mathrm { ( r e g u l a r i t y ~ o f ~ t r a n s p o r t ~ e q u a t i o n ) , } } \\ & { \implies \phi _ { m + 1 } \in C ^ { k - 1 } } & & { \qquad \mathrm { ( b y ~ t h e ~ f i r s t ~ l i n e ~ o f ~ ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ \pi ^ { ( 0 ) } - \pi ^ { ( 1 ) } > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { \left( \frac { r } { ( k + 1 ) G } - 1 \right) s ^ { ( 0 ) } + \frac { 2 k } { ( k + 1 ) G } r s ^ { ( 1 ) } + \frac { k ^ { 2 } } { ( k + 1 ) G } r s ^ { ( 2 ) } } \\ & { - \left( \left( \frac { r } { ( k + 1 ) G } - 1 \right) s ^ { ( 1 ) } + \frac { 2 k } { ( k + 1 ) G } r s ^ { ( 2 ) } + \frac { k ^ { 2 } } { ( k + 1 ) G } r s ^ { ( 3 ) } \right) > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { \left( \frac { r } { ( k + 1 ) G } - 1 \right) \left( s ^ { ( 0 ) } - s ^ { ( 1 ) } \right) + \frac { 2 k } { ( k + 1 ) G } r \left( s ^ { ( 1 ) } - s ^ { ( 2 ) } \right) + \frac { k ^ { 2 } } { ( k + 1 ) G } r \left( s ^ { ( 2 ) } - s ^ { ( 3 ) } \right) > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { \left( \frac { r } { ( k + 1 ) G } - 1 \right) \left( N p ^ { ( 0 ) } - 1 \right) + \frac { 2 k } { ( k + 1 ) G } r \left( N p ^ { ( 1 ) } - 1 \right) + \frac { k ^ { 2 } } { ( k + 1 ) G } r \left( N p ^ { ( 2 ) } - 1 \right) > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { \left( \frac { r } { ( k + 1 ) G } - 1 \right) \left( N - 1 \right) - \frac { 2 k } { ( k + 1 ) G } r + \frac { k ^ { 2 } } { ( k + 1 ) G } r \left( \frac { N } { k } - 1 \right) > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { ~ r > \frac { ( N - 1 ) G } { N - G } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | S _ { \alpha } ( G _ { 1 } ) - S _ { \alpha } ( G _ { 2 } ) | } & { \leq \frac { 1 } { 1 - \alpha } \int _ { \alpha } ^ { 1 } | G _ { 1 } ^ { - 1 } ( u ) - G _ { 1 } ^ { - 1 } ( u ) | \, \mathrm { d } u } \\ & { \leq \frac { 1 } { 1 - \alpha } \int _ { 0 } ^ { 1 } | G _ { 1 } ^ { - 1 } ( u ) - G _ { 2 } ^ { - 1 } ( u ) | \, \mathrm { d } u } \\ & { = \frac { 1 } { 1 - \alpha } \mathcal { W } _ { 1 } ( G _ { 1 } , G _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { [ \nabla ^ { k } \ensuremath { { \bf \tilde { C } } } ( \omega ) \cdot \ensuremath { { \bf \tilde { \Delta } } } ( \omega ) ] = - \Big [ \nabla \ensuremath { { \bf \tilde { C } } } ( \omega ) \cdot \Big ( \sum _ { p + q = k - 2 } \frac { k ! } { ( p + 1 ) ! ( q + 1 ) ! } [ \nabla ^ { p + 1 } \ensuremath { { \bf \tilde { C } } } ( \omega ) \cdot \ensuremath { { \bf \tilde { \Delta } } } ( \omega ) ] [ \nabla ^ { q + 1 } \ensuremath { { \bf \tilde { C } } } ( \omega ) \cdot \ensuremath { { \bf \tilde { \Delta } } } ( \omega ) ] \Big ) \Big ] . } \end{array}
T _ { 1 } = \frac { 1 } { 4 } \left[ \begin{array} { l l l l } { 5 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 3 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 3 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 3 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 3 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 3 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 3 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 5 } \end{array} \right] , \quad T _ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } \left[ \begin{array} { l l } { 5 } & { - 1 } \\ { 3 } & { 1 } \\ { 1 } & { 3 } \\ { - 1 } & { 5 } \end{array} \right] .
\begin{array} { l } { { \int d y _ { 1 } d y _ { 2 } d y _ { 3 } d y _ { 4 } \langle \phi ^ { 2 } ( y _ { 1 } ) h ^ { n } ( y _ { 1 } ) \partial h ( y _ { 1 } ) \partial h ( y _ { 1 } ) \phi ^ { 2 } ( y _ { 2 } ) h ^ { m } ( y _ { 2 } ) \partial h ( y _ { 2 } ) \partial h ( y _ { 2 } ) } } \\ { { \phi ^ { 2 } ( y _ { 3 } ) h ^ { r } ( y _ { 3 } ) \partial h ( y _ { 3 } ) \partial h ( y _ { 3 } ) h ( x _ { 1 } ) h ( x _ { 2 } ) \rangle } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { D } = - 2 \int \int _ { V } \frac { \partial u } { \partial t } d x d y } & { { } + 2 \oint _ { S } \Big ( u v + y v \zeta - y \frac { \partial v } { \partial t } + \frac { 1 } { R e } y \nabla ^ { 2 } u \Big ) d x } \end{array}
\big \lVert \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k - 1 } } \mathcal { I } _ { 1 , 1 } ( k , \boldsymbol { x } , \iota , t ; \hbar ) \varphi \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } = \sum _ { \alpha , \tilde { \alpha } \in \mathbb { N } ^ { k } } \sum _ { n = 0 } ^ { k - 1 } \sum _ { \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } \in \mathcal { A } ( k - 1 , n ) } \sum _ { \kappa \in \mathcal { S } _ { n } } ( i \lambda ) ^ { | \alpha | } ( - i \lambda ) ^ { | \tilde { \alpha } | } \mathcal { T } ( n , \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } , \alpha , \tilde { \alpha } , \kappa ) ,
{ \hat { v } } ( \eta , { \bf x } ) \, = \, \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } { \bf k } [ { \hat { c } } _ { \bf k } ( \eta ) e ^ { i { \bf k } \cdot { \bf x } } + { \hat { c } } _ { \bf k } ^ { \dagger } ( \eta ) e ^ { - i { \bf k } \cdot { \bf x } } ] \, ,
\widehat { \sigma } ( \widehat { s } ) = \frac { 3 e ^ { 4 } A ^ { 2 } } { 3 2 \pi } \frac { \widehat { s } ( \widehat { s } - m _ { t } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { \widehat { s } + m _ { t } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \delta \mathcal { L } ^ { \prime } } & { { } = } & { \left[ \left( \Gamma _ { r ^ { \prime \mu } } \right) _ { \mu } - \varepsilon \frac { \partial R } { \partial r ^ { \prime \mu } } \right] d r ^ { \prime \mu } + \left[ \Gamma _ { u _ { \parallel } ^ { \prime } } - \varepsilon \frac { \partial R } { \partial u _ { \parallel } ^ { \prime } } \right] d u _ { \parallel } ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { w } _ { t } + \widetilde { w w _ { z } } } & { { } = } & { - k ^ { 2 } \sqrt { \frac { P r } { R a } } \ \widetilde { w } + \tilde { \theta } } \\ { \tilde { \theta } _ { t } + \widetilde { w \theta _ { z } } } & { { } = } & { - k ^ { 2 } \frac { 1 } { \sqrt { P r R a } } \widetilde { \theta } + \tilde { w } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { n } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { n \omega _ { L } \leq \omega _ { c } } \\ { e ^ { - ( n \omega _ { L } - \omega _ { c } ) } , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. } \\ { \phi _ { n } } & { { } = - \frac { 3 \omega _ { L } } { 1 0 U _ { p } } n ^ { 2 } - n \omega _ { L } \tau } \end{array}
\bar { S } \simeq \frac { M _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } d t \int _ { 0 } ^ { R } d r \left[ \dot { \bf u } ^ { 2 } ( t , r ) \varepsilon ( r ) - { \bf u } ^ { ' 2 } ( t , r ) \right] \, { , }
\begin{array} { r l r } { \nabla \phi ( \boldsymbol { \mathbf { r } } _ { i } ) } & { = } & { \sum _ { j } ^ { N _ { p } } \Delta { V } _ { j } \Bigl [ \phi ( \boldsymbol { \mathbf { r } } _ { i } ) + \phi ( \boldsymbol { \mathbf { r } } _ { j } ) \Bigr ] \nabla W _ { i j } , } \\ { \nabla ^ { 2 } \phi ( \boldsymbol { \mathbf { r } } _ { i } ) } & { = } & { \sum _ { j } ^ { N _ { p } } \Delta { V } _ { j } \frac { \phi ( \vec { r } _ { i } ) - \phi ( \vec { r } _ { j } ) } { | \vec { r } _ { i } - \vec { r } _ { j } | ^ { 2 } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } _ { i } - \boldsymbol { \mathbf { r } } _ { j } ) \cdot \nabla W _ { i j } , } \end{array}
\sum _ { j = 1 } ^ { n } q ^ { \rho _ { j } - 2 ( n - j ) } \Lambda _ { j } ^ { 1 / 2 } \mu _ { j } ^ { - 1 / 2 } { \cal X } ^ { j } { \cal X } ^ { - j } = - \frac { 1 } { a ^ { 2 } } ~ .
\begin{array} { r } { p _ { f r i c } = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0 } & { , } & { \epsilon _ { s } \le \epsilon _ { s , c r i t } , } \\ & { 0 . 1 \epsilon _ { s } \frac { \left( \epsilon _ { s } - \epsilon _ { s , c r i t } \right) ^ { 2 } } { \left( \epsilon _ { s , m a x } - \epsilon _ { s } \right) ^ { 5 } } } & { , } & { \epsilon _ { s } > \epsilon _ { s , c r i t } , } \end{array} \right. } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l } { 2 \Sigma } & { - R } & { - { \bf { 1 } } } \\ { R ^ { T } } & { 0 } & { 0 } \\ { { \bf { 1 } } ^ { T } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { w } \\ { \lambda _ { 1 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { \mu } \\ { 1 } \end{array} \right] }
{ \boldsymbol { \sigma } } = { \cfrac { 1 } { J } } ~ { \boldsymbol { F } } \cdot { \boldsymbol { S } } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { T } = { \cfrac { 2 } { J } } ~ { \boldsymbol { F } } \cdot { \cfrac { \partial W } { \partial { \boldsymbol { C } } } } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { T }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \{ | \Delta Y _ { t _ { n + 1 } } | ^ { 2 } \} \geq } & { \mathbb { E } | \Delta Y _ { t _ { n } } | ^ { 2 } + \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \mathbb { E } | \Delta Z _ { t } | ^ { 2 } d t + \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \int _ { E } \mathbb { E } | \Delta U ( e ) | ^ { 2 } \lambda ( d e ) d t } \\ & { - { 1 + f _ { x } } \Delta t _ { n } \mathbb { E } \{ | \Delta Y _ { t _ { n } } | ^ { 2 } \} - [ \lambda _ { 8 } \mathbb { E } \{ | \Delta Y _ { t _ { n } } | ^ { 2 } \} + \lambda _ { 8 } ^ { - 1 } ( f _ { x } \mathbb { E } \{ | \Delta X _ { t _ { n } } | ^ { 2 } \} } \\ & { + f _ { z } \mathbb { E } \{ | \Delta Z _ { n } | ^ { 2 } \} + f _ { \Gamma } \mathbb { E } \{ | \Delta \Gamma _ { n } | ^ { 2 } ) ] \Delta t _ { n } \} . } \end{array}
{ \mathrm { I Q E } } = { \frac { \mathrm { e l e c t r o n s / s e c } } { \mathrm { a b s o r b e d ~ p h o t o n s / s e c } } } = { \frac { \mathrm { E Q E } } { \mathrm { 1 - R e f l e c t i o n - T r a n s m i s s i o n } } }
\overline { { C } } _ { K } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left| p ^ { * ( 0 ) } - p _ { K } \right| / \left| u _ { K } ^ { * ( 0 ) } - u _ { K } \right| } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad u _ { K } ^ { * ( 0 ) } \neq u _ { K } , } \\ { \rho _ { K } c _ { K } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad u _ { K } ^ { * ( 0 ) } = u _ { K } . } \end{array} \right.
I [ f ] = \int _ { \Omega } { \mathcal { L } } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } , f , f _ { 1 } , \dots , f _ { n } ) \, \mathrm { d } \mathbf { x } \, \! ~ ; ~ ~ f _ { j } : = { \cfrac { \partial f } { \partial x _ { j } } }
\varrho _ { \alpha } = \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } \vert \alpha \vert \, e ^ { \mathsf { i } \arg \alpha } \, , \quad \alpha = \operatorname { t a n h } ( \vert \varrho _ { \alpha } \vert ) \, e ^ { \mathsf { i } \arg \alpha } \, ,
\begin{array} { r l r } { a _ { \| p } ^ { 2 } } & { { } = } & { m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 2 } x ^ { 2 } ( n ^ { 2 } + \kappa _ { \| } ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) / ( x ^ { 2 } - \kappa _ { \| } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \\ { a _ { \perp p } ^ { 2 } } & { { } = } & { m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 2 } ( n ^ { 2 } + \kappa _ { \| } ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) / ( x ^ { 2 } - \kappa _ { \| } ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { Q = \frac { N } { 3 } = \frac { 1 } { 3 } ( A _ { 1 } ^ { \dagger } A _ { 1 } + A _ { 2 } ^ { \dagger } A _ { 2 } + A _ { 3 } ^ { \dagger } A _ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } ^ { \delta x _ { 0 } } } & { \approx \mathrm { E } _ { 0 } \mathcal { U } _ { n } e ^ { \mathrm { i } \omega t } - \frac { \delta x _ { 0 } } { w _ { 0 } } \mathrm { E } _ { 0 } e ^ { \mathrm { i } \omega t } \bigg ( \sqrt { n + 1 } \mathcal { U } _ { n + 1 } e ^ { - \mathrm { i } \Psi _ { 2 } } - \sqrt { n } \mathcal { U } _ { n - 1 } e ^ { \mathrm { i } \Psi _ { 2 } } \bigg ) + \mathrm { i } \frac { m _ { \alpha } } { 2 \Theta _ { m } } \mathrm { E } _ { 0 } \bigg [ \sqrt { n + 1 } \Bigg ( \mathcal { U } _ { n + 1 } - \frac { \delta x _ { 0 } } { w _ { 0 } } \Big ( \sqrt { n + 2 } \mathcal { U } _ { n + 2 } e ^ { - \mathrm { i } \Psi _ { 2 } } } \\ & { - \sqrt { n + 1 } \mathcal { U } _ { n } e ^ { \mathrm { i } \Psi _ { 2 } } \Big ) \Bigg ) e ^ { - \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } + \sqrt { n } \Bigg ( \mathcal { U } _ { n - 1 } - \frac { \delta x _ { 0 } } { w _ { 0 } } \Big ( \sqrt { n } \mathcal { U } _ { n } e ^ { - \mathrm { i } \Psi _ { 2 } } - \sqrt { n - 1 } \mathcal { U } _ { n - 2 } e ^ { \mathrm { i } \Psi _ { 2 } } \Big ) \Bigg ) e ^ { \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } \bigg ] \left( e ^ { \mathrm { i } ( \omega + \Omega ) t } + e ^ { \mathrm { i } ( \omega - \Omega ) t } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \left( \prod _ { k = j + 1 } ^ { q } \mathbf { Q } ( \mathbf { T } - z _ { k } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \right) \left( \mathsf { o p t } _ { k } ( r _ { j } ; \mathbf { A } _ { j } ) - r _ { j } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \right) \right\| _ { 2 } } & { \leq \| m _ { j + 1 , q } ( \mathbf { T } ) ^ { - 1 } \| _ { 2 } \cdot \left\| \mathsf { o p t } _ { k } ( r _ { j } ; \mathbf { A } _ { j } ) - r _ { j } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \right\| _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { c } { { U _ { { \vec { e } } _ { 3 } } ( \psi ) = e x p ( i { \sigma } _ { 3 } { \frac { \psi } { 2 } } ) , U _ { \vec { l } } ~ ( \chi ) = e x p ( i { \frac { ( { \vec { \sigma } } { \vec { l } } ) } { l } } { \frac { \chi } { 2 } } ) . } } \end{array}
{ \cal H } _ { \mathrm { 2 D } } \approx \frac { 1 } { 2 \mu } \left( p _ { r } ^ { 2 } + \frac { p _ { \phi } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) + \varepsilon ( r ) - \Omega ( t ) p _ { \phi } .
\rho _ { B \to D ^ { ( * ) } } ^ { 2 } = \rho ^ { 2 } ( \mu ) + { \frac { 4 \alpha _ { s } } { 9 \pi } } \ln { \frac { m _ { c } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } + { \frac { \alpha _ { s } } { \pi } } \, \bigg ( \delta _ { B \to D ^ { ( * ) } } ^ { ( \alpha _ { s } ) } - { \frac { 2 0 } { 2 7 } } \bigg ) + { \frac { \bar { \Lambda } } { 2 m _ { c } } } \, \delta _ { B \to D ^ { ( * ) } } ^ { ( 1 / m ) } \, .
\begin{array} { r } { \mathfrak { L } _ { y } = L _ { y } | Y _ { n } ^ { m } \rangle = - \mathrm { i } \cos \phi \frac { \partial Y _ { n } ^ { m } } { \partial \theta } + \mathrm { i } \cot \theta \sin \phi \frac { \partial Y _ { n } ^ { m } } { \partial \phi } \quad \mathrm { a n d \ } \quad \mathfrak { L } _ { z } = L _ { z } | Y _ { n } ^ { m } \rangle = - \mathrm { i } \frac { \partial Y _ { n } ^ { m } } { \partial \phi } . } \end{array}
L \equiv \left( \frac { \sqrt { 2 } G _ { F } | a _ { n } | \rho } { 3 e ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } = 1 . 7 \times 1 0 ^ { - 5 } \, \mathrm { c m } = \frac { 1 } { 1 . 1 \, \mathrm { e V } } .
{ \partial } _ { \mu } J _ { \nu } - { \partial } _ { \nu } J _ { \mu } + [ J _ { \mu } , J _ { \nu } ] = 0 ~ ~ \Longleftrightarrow ~ ~ \varepsilon ^ { \mu \nu } { \partial } _ { \mu } J _ { \nu } + \varepsilon ^ { \mu \nu } J _ { \mu } J _ { \nu } = 0 ~ ,
\begin{array} { r l r } { B ( T ) } & { = } & { B _ { \mathrm { t h } } ( T ) + B _ { \mathrm { b o u n d } } ( T ) + B _ { \mathrm { x c } } ( T ) } \\ { B _ { \mathrm { t h } } ( T ) } & { = } & { - \frac { N _ { \mathrm { A } } \Lambda _ { \mu } ^ { 3 } } { \pi } \int \mathrm { e } ^ { - \beta E } S ( E ) ~ \beta \mathrm { d } E } \\ { S ( E ) } & { = } & { \sum _ { l } ( 2 l + 1 ) f ( I , l ) \delta _ { l } ( E ) } \\ { B _ { \mathrm { b o u n d } } ( T ) } & { = } & { - \frac { N _ { \mathrm { A } } \Lambda _ { \mu } ^ { 3 } } { 2 } \sum _ { l , n } ( 2 l + 1 ) f ( I , l ) \left( \mathrm { e } ^ { - \beta E _ { n l } ^ { \mathrm { b o u n d } } } - 1 \right) } \\ { B _ { \mathrm { x c } } ( T ) } & { = } & { - N _ { \mathrm { A } } \frac { ( - 1 ) ^ { 2 I } } { 2 I + 1 } \frac { \Lambda _ { \mu } ^ { 3 } } { 1 6 } , } \end{array}
A _ { \mathrm { p l a n a r } } = - { \frac { 2 e ^ { 2 } p ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } } \, \left[ \left( { \frac { 1 3 } { 6 } } - { \frac { \xi } { 2 } } \right) \left( { \frac { 1 } { \epsilon } } - \log { \frac { - p ^ { 2 } } { 4 \pi \mu ^ { 2 } } } - \gamma \right) + { \frac { 3 1 } { 9 } } - ( 1 - \xi ) + { \frac { ( 1 - \xi ) ^ { 2 } } { 4 } } \right]
\begin{array} { r l } { L ^ { \mathrm { ( K F P ) } } ( \mu , u ) } & { = C ^ { \mathrm { ( K F P ) } } \left\| \displaystyle \partial _ { t } \mu - \sum _ { i , j } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial _ { x _ { i } } \partial _ { x _ { j } } } \left( D _ { i , j } \mu \right) + \mathrm { d i v } \left( \mu b \right) \right\| _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \tilde { \mathcal { Q } } ) } ^ { 2 } + C _ { 0 } ^ { \mathrm { ( K F P ) } } \left\| \mu ( 0 ) - \mu _ { 0 } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \tilde { \mathcal { Q } } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { c c } { { \left( \bar { C } _ { 0 } \, \eta _ { 0 } \, { \cal A } . . . \right) \; \, \left( \bar { C } _ { 1 } \, \eta _ { 0 } \, B . . . \right) } } \\ { { \left( \bar { C } _ { 1 } \, \eta _ { 1 } \, { \cal A } . . . \right) \; \, \left( \bar { C } _ { 1 } \, \eta _ { 0 } \, { \cal B } . . . \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { \omega } _ { p _ { i } } ^ { ( \mu ) } ( { z } , k _ { i } | u ) : = { \mu } \log \frac { p _ { { Z } | U } ( { z } | u ) } { p _ { Z } ( z ) } + \bar { \mu } \log \frac { 1 } { p _ { K _ { i } | U } ( K _ { i } | U ) } , } \\ & { \tilde { \Omega } ^ { ( \mu , \lambda ) } ( p _ { i } ) : = - \log \mathrm { E } _ { p } \left[ \exp \left\{ - \lambda \tilde { \omega } _ { p _ { i } } ^ { ( \mu ) } ( { Z } , K _ { i } | U ) \right\} \right] . } \end{array}
G _ { 2 } ( t ) = \sum _ { i } \frac { x _ { i } P _ { i } } { \cos ( \Omega t / n ) } - \frac { 1 } { 2 } x _ { i } ^ { 2 } \tan \Big ( \frac { \Omega } { n } t \Big ) - \frac { 1 } { 2 } P _ { i } ^ { 2 } \tan \Big ( \frac { \Omega } { n } t \Big ) .
\mathbb { E } \left[ \left\lvert \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \left( \sum _ { k = j + 1 } ^ { \infty } \boldsymbol { b } _ { p , k } \right) \boldsymbol { \epsilon } _ { - j } \right\rvert ^ { m } \right] \leq d _ { N } ^ { m } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \left( \sum _ { k = j } ^ { \infty } \left\lVert \boldsymbol { B } _ { k } \right\rVert _ { \infty } \right) ^ { m } = d _ { N } ^ { m } S _ { m } .
\mathscr { F } _ { p } ^ { \mathrm { b a l } } ( { \mathbf { V } ^ { \dagger } } ) / \mathscr { F } _ { p } ^ { 3 } ( { \mathbf { V } ^ { \dagger } } ) \cong \mathbf { V } _ { { \boldsymbol { f } } } ^ { { \boldsymbol { g } } { \boldsymbol { h } } } \oplus \mathbf { V } _ { { \boldsymbol { g } } } ^ { { \boldsymbol { f } } { \boldsymbol { h } } } \oplus \mathbf { V } _ { { \boldsymbol { h } } } ^ { { \boldsymbol { f } } { \boldsymbol { g } } } ,
\widehat { R } _ { \mu \nu } ^ { a b } = R _ { \mu \nu } ^ { a b } + i \theta ^ { \rho \tau } R _ { \mu \nu \rho \tau } ^ { a b } + \theta ^ { \rho \tau } \theta ^ { \kappa \sigma } R _ { \mu \nu \rho \tau \kappa \sigma } ^ { a b } + O ( \theta ^ { 3 } )
\begin{array} { r l r } { \mathbf { B } ( \mathbf { k } ) } & { { } = } & { \frac { \Omega _ { R } ^ { 2 } } { 4 E ^ { 2 } } \Bigg [ \hat { k } _ { x } \sin ( k _ { y } ) \sin ( k _ { z } ) \left( \mathrm { T r } \{ \rho _ { n } \sigma _ { x } \} - \frac { \Omega _ { R } \sin ( k _ { x } ) } { E } \right) - \hat { k } _ { y } \cos ( k _ { x } ) \sin ( k _ { z } ) \left( \mathrm { T r } \{ \rho _ { n } \sigma _ { y } \} - \frac { \Omega _ { R } \cos ( k _ { y } ) } { E } \right) } \end{array}
\mathcal { E } = \frac { L \lambda ( e B ) ^ { 3 / 2 } } { 8 \sqrt { 2 } \pi } \left[ \zeta ( 3 / 2 ) - \frac { 1 5 } { 1 6 \pi } \zeta ( 5 / 2 ) \frac { 1 } { e B \lambda ^ { 2 } } + \cdots \right] .
\begin{array} { r } { r ( \omega ) = r _ { \mathrm { e x t } } t _ { \mathrm { L } } ^ { 2 } e ^ { - i \Phi _ { \mathrm { e x t } } } e ^ { - i ( \omega - \omega _ { 0 } ) \tau _ { \mathrm { e x t } } } } \end{array}
\hat { \omega } = \left( 1 + \frac { 3 i \beta } { 2 \alpha } - \frac { 3 \beta ^ { 2 } } { 2 \alpha ^ { 2 } } \right) \omega + \mathcal O ( \alpha ^ { - 2 } ) , \; \; \; \mathrm { f o r } \; \; \; \alpha \gg 1 .
\log A = \log { \frac { F _ { 0 } } { m + 1 } } + \log \left( { \frac { x _ { 1 } ^ { m + 1 } - x _ { 0 } ^ { m + 1 } } { x _ { 0 } ^ { m } } } \right) = \log { \frac { F _ { 0 } } { m + 1 } } + \log \left( { \frac { x _ { 1 } ^ { m } } { x _ { 0 } ^ { m } } } \cdot x _ { 1 } - { \frac { x _ { 0 } ^ { m + 1 } } { x _ { 0 } ^ { m } } } \right)
F _ { i , j } ( x , y ; \alpha , \nu _ { x } , \nu _ { y } ) = \frac { \tilde { F } _ { i , j } ( x , y ; \alpha , \nu _ { x } , \nu _ { y } ) } { \sum _ { i ^ { \prime } , j ^ { \prime } } \tilde { F } _ { i ^ { \prime } , j ^ { \prime } } ( x , y ; \alpha , \nu _ { x } , \nu _ { y } ) } .
p _ { \mathrm { ~ S ~ H ~ G ~ } } ( \boldsymbol { \mathbf { u } } , \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { \prime } , \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { \prime \prime } , \omega ) \propto \exp \left[ - \frac { q ^ { 2 } \ell ^ { 2 } } { 2 } \right]
\operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t < \infty } \operatorname* { m a x } _ { i , j } | \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } ( t ) - \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { j } ( t ) | \leq \overline { { r } } , \qquad \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \operatorname* { m a x } _ { i , j } | \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { j } ( t ) - \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } ( t ) | = 0 .
\varPi _ { p } \left( \mathbf { r } , t \right) = \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \dot { A } _ { p } } = \varepsilon \left( t \right) \, \dot { A } _ { p } \left( \mathbf { r } , t \right) = - D _ { p } \left( \mathbf { r } , t \right)
{ \chi } _ { q u o t i e n t } = 2 \sqrt { \bar { z } _ { + } ^ { M } z _ { + } ^ { M } \bar { z } _ { - } ^ { N } z _ { - } ^ { N } - \bar { z } _ { + } ^ { M } z _ { - } ^ { M } \bar { z } _ { - } ^ { N } z _ { + } ^ { N } } \ ,
\psi _ { 1 } = \frac { \Psi ^ { 1 } - i \Psi ^ { 2 } } { \sqrt 2 } \ , \ \ \ \ \ \ \ \, p s i _ { 2 } = \frac { \Psi ^ { 0 } - i \Psi ^ { 3 } } { \sqrt 2 } \ ,
\begin{array} { r l } { \| \partial _ { i } u \| _ { C ^ { m + 1 , \alpha } ( B _ { 1 / 2 } ) } } & { \le C \left( \| \partial _ { i } u \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 3 / 4 } ) } + \| \partial _ { i } f \| _ { C ^ { m - 1 , \alpha } ( B _ { 3 / 4 } ) } \right) } \\ & { \le C \left( \| u \| _ { C ^ { 2 , \alpha } ( B _ { 3 / 4 } ) } + \| f \| _ { C ^ { m , \alpha } ( B _ { 3 / 4 } ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { x } } & { { } = - q \left( { \frac { \partial \phi } { \partial x } } + { \frac { \partial A _ { x } } { \partial t } } \right) + q \left[ { \dot { y } } \left( { \frac { \partial A _ { y } } { \partial x } } - { \frac { \partial A _ { x } } { \partial y } } \right) + { \dot { z } } \left( { \frac { \partial A _ { z } } { \partial x } } - { \frac { \partial A _ { x } } { \partial z } } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { 2 D } = { \frac { \pi ^ { 2 } \omega \mu \eta } { | E _ { z } ^ { i n c } | ^ { 2 } } } \Big | \sum _ { p = 1 } ^ { P } a ^ { p } A _ { p } ( \phi ^ { 0 } ) B _ { p } ( \phi ^ { 0 } ) \Big | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } W ( \phi , t ) } & { { } = \partial _ { \phi } \biggl ( \frac { \alpha } { \tau _ { 0 } } \sin \phi + \frac { 1 } { \tau _ { 0 } } \partial _ { \phi } \biggr ) W ( \phi , t ) } \end{array}
\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } T _ { n } ( x ) \, { \frac { \; t ^ { n } \, } { n ! } } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \, e ^ { \, t \, \left( \, x - { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 \, } } \, \right) \, } + e ^ { t \, \left( \, x + { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 \, } } \, \right) } \, \right) = e ^ { t \, x } \, \cosh \left( \, t \, { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 \, } } \, \right) ~ .
\begin{array} { r l r } { \delta \pi ^ { t t } } & { = } & { - \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } N _ { \ast s } 4 \pi e ^ { - \frac { q \Phi } { T } } T ^ { 4 } } \\ & { } & { \left[ \frac { 8 } { 3 } K _ { 2 } \left( \frac { 1 } { T } \right) - \frac { 2 } { T } K _ { 3 } \left( \frac { 1 } { T } \right) + \frac { 2 } { T ^ { 2 } } K _ { 4 } \left( \frac { 1 } { T } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { e x c h - i n d } } ^ { ( 2 ) } ( \mathrm { a V T Z ) = E _ { \mathrm { e x c h - i n d } } ^ { ( 2 ) } ( \mathrm { a V D Z ) \times \frac { E _ { \mathrm { i n d } } ^ { ( 2 ) } ( \mathrm { a V T Z ) } } { E _ { \mathrm { i n d } } ^ { ( 2 ) } ( \mathrm { a V D Z ) } } , } } } \\ { E _ { \mathrm { e x c h - d i s p } } ^ { ( 2 ) } ( \mathrm { a V T Z ) = E _ { \mathrm { e x c h - d i s p } } ^ { ( 2 ) } ( \mathrm { a V D Z ) \times \frac { E _ { \mathrm { d i s p } } ^ { ( 2 ) } ( \mathrm { a V T Z ) } } { E _ { \mathrm { d i s p } } ^ { ( 2 ) } ( \mathrm { a V D Z ) } } . } } } \end{array}