harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { f ( r ) } & { = \frac { L } { \sqrt { L ^ { 2 } / 4 + r ^ { 2 } } } \mathrm { e r f } \left( \frac { \sqrt { L ^ { 2 } / 4 + r ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 } \sigma _ { r } } \right) } \\ & { - 2 e ^ { - r ^ { 2 } / 2 \sigma _ { r } ^ { 2 } } \mathrm { e r f } \left( \frac { L } { 2 \sqrt { 2 } \sigma _ { r } } \right) \, . } \end{array}
\dot { x } = U _ { s } ^ { ( 2 ) } \cos ( \phi _ { 2 } ) - U _ { s } ^ { ( 1 ) } \cos ( \phi _ { 1 } ) - \frac { 3 x \left( x _ { i } S _ { i j } ^ { ( 1 ) } x _ { j } + x _ { i } S _ { i j } ^ { ( 2 ) } x _ { j } \right) } { 8 \pi \mu ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 5 / 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \sqrt { n } \big ( \hat { d } _ { 1 } ^ { * } - \hat { \hat { d } } _ { 1 } \big ) } & { = \sqrt { n } \big ( \Phi ( \{ \hat { \theta } ^ { * } ( x ) \} _ { x \in \mathcal { X } } ) - \Phi ( \{ \hat { \hat { \theta } } ( x ) \} _ { x \in \mathcal { X } } ) \big ) \xrightarrow { d } \Phi _ { \theta } ^ { ' } ( \{ G ( x ) \} _ { x \in \mathcal { X } } ) } \end{array}
k _ { x } ^ { * } = \frac { 2 } { \Delta x } \mathrm { s i n } \left( \frac { k _ { x } \Delta x } { 2 } \right) \quad \mathrm { a n d } \quad k _ { z } ^ { * } = \frac { 2 } { \Delta z } \mathrm { s i n } \left( \frac { k _ { z } \Delta z } { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { f _ { + , \omega } ^ { \mathrm { I n } } = } & { \left[ \sigma _ { s x } \sigma _ { d x } - \kappa _ { s x } \kappa _ { d x } e ^ { i \Delta \phi } \right] f _ { - , \omega } ^ { \mathrm { I n } } } \\ & { + i \left[ \sigma _ { s x } \kappa _ { d x } + \kappa _ { s x } \sigma _ { d x } e ^ { i \Delta \phi } \right] f _ { - , \omega } ^ { \mathrm { A d d } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T E } & { { } = E ( Y \mid X = 1 ) - E ( Y \mid X = 0 ) } \\ { C D E ( m ) } & { { } = E ( Y \mid X = 1 , M = m ) - E ( Y \mid X = 0 , M = m ) } \\ { N D E } & { { } = \sum _ { m } [ E ( Y | X = 1 , M = m ) - E ( Y \mid X = 0 , M = m ) ] P ( M = m \mid X = 0 ) } \\ { N I E } & { { } = \sum _ { m } [ P ( M = m \mid X = 1 ) - P ( M = m \mid X = 0 ) ] E ( Y \mid X = 0 , M = m ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Pi } _ { \mu \nu } ( \vec { r } ) } & { { } = 0 , } \\ { \hat { \Pi } _ { j k } ( \vec { r } ) } & { { } = \frac { \delta _ { j k } } { 2 I _ { g } + 1 } . } \end{array}
= - \left( 1 - \frac { 2 M G } { r } \right) \frac { d ^ { 2 } H \left( r \right) } { d r ^ { 2 } } + \left( \frac { 2 r - 3 M G } { r ^ { 2 } } \right) \frac { d H \left( r \right) } { d r } - \frac { 4 M G } { r ^ { 3 } }
\begin{array} { r l } { E \left[ \left| \tilde { F } _ { k , \, i , \, j } \right| ^ { 2 } \right] } & { = E \left[ \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { r } } \tilde { Z } _ { k , \, l , \, i } ^ { * } \tilde { Z } _ { k , \, l , \, j } \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { r } } \tilde { Z } _ { k , \, m , \, i } \tilde { Z } _ { k , \, m , \, j } ^ { * } \right] } \\ & { = \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { r } } \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { r } } 4 \sigma _ { Z , \, i } ^ { 2 } \sigma _ { Z , \, j } ^ { 2 } \delta _ { K } ( l - m ) } \\ & { = 4 N _ { r } \sigma _ { Z , \, i } ^ { 2 } \sigma _ { Z , \, j } ^ { 2 } } \end{array}
\mathbf { E _ { \mathrm { i n c } } } ( \mathbf { r } ) = E _ { 0 } \sum _ { n , m } e _ { n m } \mathbf { M } _ { n m } ^ { ( 3 ) } ( k , \mathbf { r } ) + f _ { n m } \mathbf { N } _ { n m } ^ { ( 3 ) } ( k , \mathbf { r } ) \qquad ( r > r _ { p } ) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \tau \in \sum ^ { \mathcal { U } } X _ { i } } \lvert \tau ( ( a _ { i } ) _ { i \in I } ) \rvert } & { = \operatorname* { l i m } _ { i \to \mathcal { U } } \operatorname* { s u p } _ { \tau \in X _ { i } } \lvert \tau ( a _ { i } ) \rvert } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { i \to \mathcal { U } } \operatorname* { s u p } _ { \tau \in K _ { i } } \lvert \tau ( a _ { i } ) \rvert } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \tau \in K } \lvert \tau ( ( a _ { i } ) _ { i \in I } ) \rvert } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \tau \in \mathrm { P r o b } ( K ) } \lvert \tau ( ( a _ { i } ) _ { i \in I } ) \rvert . } \end{array}
\underline { { \underline { { A } } } } ^ { a } \sim \mathcal { O } \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l l } { M ^ { - 1 } } & { M ^ { - 1 } } \\ { M ^ { - 1 } } & { M ^ { - 1 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \underline { { \underline { { \phi } } } } _ { n n } = ( \underline { { \underline { { \phi } } } } n ) \cdot n , \quad \textrm { a n d } \quad \underline { { \underline { { \phi } } } } _ { n t } = \underline { { \underline { { \phi } } } } n - ( \underline { { \underline { { \phi } } } } _ { n n } ) n . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V ( x , t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { | \sqrt { 2 \lambda } \alpha _ { 0 } | ^ { 2 q } } \sum _ { m = 0 } ^ { q } ( - 1 ) ^ { m + q } \frac { ( 2 ^ { m } q ! ) ^ { 2 } } { ( 2 m ) ! ( q - m ) ! } \lambda ^ { q - m } x ^ { 2 m } } \end{array}
d ( \exp _ { x ^ { \prime } } ) ( t X ) : T _ { t X } \left( T _ { x ^ { \prime } } M \right) \cong T _ { x ^ { \prime } } M \rightarrow T _ { \exp _ { x ^ { \prime } } ( t X ) } M , \underset { \in T _ { x ^ { \prime } } M } { t Y } \mapsto V ( t )
\begin{array} { r } { { \mathbf { S } } = \frac { 1 } { 2 } ( { \mathbf { A } } + { \mathbf { A } } ^ { \mathrm { T } } ) \ , \ \ \ { \mathbf { R } } = \frac { 1 } { 2 } ( { \mathbf { A } } - { \mathbf { A } } ^ { \mathrm { T } } ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { 1 } } & { { } = \left( \cos \frac { \psi } { 2 } , \pm i \sin \frac { \psi } { 2 } \right) ^ { T } , } \\ { u _ { 2 } } & { { } = \left( \mp i \sin \frac { \psi } { 2 } , \cos \frac { \psi } { 2 } \right) ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta _ { s } = \tilde { \eta } _ { 0 } + \frac { \mathbf { r } \cdot \mathbf { E } ( \eta _ { 0 } ) \Lambda } { [ ( \mathbf { p } _ { m a x } + \mathbf { A } ( \eta _ { 0 } ) ) \cdot \mathbf { E } ( \eta _ { 0 } ) ] } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( P _ { n } - P _ { 0 } ) I _ { x } / p _ { 0 } ( x ) ( m _ { Q _ { n } } - m _ { Q _ { 0 , n } } ) } & { = } & { ( m _ { Q _ { n } } - m _ { Q _ { 0 , n } } ) ( x ) p _ { 0 } ( x ) ^ { - 1 } ( P _ { n } - P _ { 0 } ) ( X = x ) } \\ & { = } & { ( m _ { Q _ { n } } - m _ { Q _ { 0 , n } } ) ( x ) O ( J _ { n } ) o _ { P } ( n ^ { - 1 / 2 } J _ { n } ^ { - 1 / 2 } ) } \\ & { = } & { ( m _ { Q _ { n } } - m _ { Q _ { 0 , n } } ) ( x ) O _ { P } ( n ^ { - 1 / 2 } J _ { n } ^ { 1 / 2 } ) . } \end{array}
\delta _ { 1 } \left( \frac { m _ { \alpha } m _ { \beta } } { 2 \left( m _ { \alpha } + m _ { \beta } \right) } \left( \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } - \left\vert \mathbf { g } ^ { \prime } \right\vert ^ { 2 } \right) - \Delta I _ { k l , i j } ^ { \alpha \beta } \right) = \delta _ { 1 } \left( E _ { i j } ^ { \alpha \beta } - E _ { k l } ^ { \alpha \beta } \right) ,
\left\{ \, \begin{array} { r l } { \int _ { Y } C e _ { y } ( w _ { i j } ) : e _ { y } ( \phi ) d { y } + \int _ { Y } C e _ { i j } : e _ { y } ( \phi ) d { y } = 0 \qquad } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \qquad Y , } \\ { y \mapsto w _ { i j } ( { y } ) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } & { { } \mathit { Y - p e r i o d i c } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { a = - \frac { 2 } { 2 - \frac { 3 \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } { 2 b _ { 0 } } } \left( b _ { 0 } + \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) - \frac { 2 b _ { 0 } ^ { 2 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } \right) } \\ & { b = \frac { 2 } { 2 - \frac { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } { 2 b _ { 0 } } } \left( 1 - \frac { 2 b _ { 0 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } \right) } \\ & { c = - \frac { 4 b _ { 0 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } \left( \frac { 2 b _ { 0 } ^ { 2 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } - \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) - b _ { 0 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \pi } \mathrm { p . v . } \, \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { G _ { \tau } ( x , \tau ) } { s - \tau } d \tau } & { = \frac { 1 } { 4 \pi } ( s x - 1 ) ( x ^ { 2 } - 1 ) + \frac { 1 } { 2 \pi } ( s - x ) ^ { 2 } \log | x - s | } \\ & { \quad - \frac { 1 } { 8 \pi } ( x - 1 ) ^ { 2 } ( - x + 2 s + s x ) ( 1 + s ) \log ( 1 + s ) } \\ & { \quad - \frac { 1 } { 8 \pi } ( x + 1 ) ^ { 2 } ( x - 2 s + s x ) ( 1 - s ) \log ( 1 - s ) . } \end{array}
\frac { \partial \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } } { \partial t } = \frac { \delta H _ { f } } { \delta ( - \epsilon _ { 0 } \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } ) } = - \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } \; \; \; , \; \; \; \frac { \partial ( - \epsilon _ { 0 } \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } ) } { \partial t } = - \frac { \delta H _ { f } } { \delta \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } } = - \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } \nabla \times \nabla \times \mathrm { ~ \bf ~ A ~ }
\rho _ { \mathrm { i n t } } ( \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { x } _ { j } ) = \eta _ { A } \eta _ { B } \int \mathrm { d } \mathbf { x } _ { 2 , \eta _ { A } } ^ { A } \mathrm { d } \mathbf { x } _ { 2 , \eta _ { B } } ^ { B } \Psi _ { A } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { i } ^ { A } , \mathbf { x } _ { 2 , \eta _ { A } } ^ { A } ) \Psi _ { B } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { j } ^ { B } , \mathbf { x } _ { 2 , \eta _ { B } } ^ { B } ) P _ { c } \Psi _ { A } ( \mathbf { x } _ { i } ^ { A } , \mathbf { x } _ { 2 , \eta _ { A } } ^ { A } ) \Psi _ { B } ( \mathbf { x } _ { j } ^ { B } , \mathbf { x } _ { 2 , \eta _ { B } } ^ { B } ) .
\begin{array} { r } { \mathcal F ( \mu ) = \mathcal D _ { K } ^ { 2 } ( \mu , \nu ) = \underbrace { - \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 d } } K ( x , y ) \mathrm { d } \nu ( y ) \mathrm { d } \mu ( x ) } _ { \mathrm { p o t e n t i a l ~ e n e r g y } } + \underbrace { \frac 1 2 \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 d } } K ( x , y ) \, \mathrm { d } \mu ( x ) \mathrm { d } \mu ( y ) } _ { \mathrm { i n t e r a c t i o n ~ e n e r g y } } \, + \, \mathrm { c } , } \end{array}
g ^ { \mu \nu } = g ^ { \nu \mu } = \left( \begin{array} { l l l l } { { 1 } } & { { \; \; \; 0 } } & { { \; \; \; 0 } } & { { \; \; \; 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { \; \; \; 0 } } & { { \; \; \; 0 } } \\ { { 0 } } & { { \; \; \; 0 } } & { { - 1 } } & { { \; \; \; 0 } } \\ { { 0 } } & { { \; \; \; 0 } } & { { \; \; \; 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \qquad \mathrm { ( m e t r i c ~ t e n s o r ) . }
\begin{array} { r l } { - } & { s ( z ) \sum _ { \alpha \neq \beta } ( H _ { i \alpha } ) ^ { 2 } R _ { \alpha \alpha } ^ { ( i ) } R _ { i \beta } ^ { ( \alpha ) } X _ { i \beta } = z s ( z ) \mathfrak { s } ( z ) \sum _ { \alpha \neq \beta } ( H _ { i \alpha } ) ^ { 2 } R _ { i i } ^ { ( \alpha ) } \sum _ { \nu : \nu \neq \alpha } H _ { i \nu } ^ { ( \alpha ) } R _ { \nu \beta } ^ { ( i \alpha ) } X _ { i \beta } + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) } \\ & { = z s ( z ) ^ { 2 } \mathfrak { s } ( z ) \sum _ { \alpha \neq \beta } ( H _ { i \alpha } ) ^ { 2 } \sum _ { \nu : \nu \neq \alpha , \beta } H _ { i \nu } R _ { \nu \beta } ^ { ( i \alpha ) } X _ { i \beta } + z s ( z ) ^ { 2 } \mathfrak { s } ( z ) \sum _ { \alpha \neq \beta } ( H _ { i \alpha } ) ^ { 2 } H _ { i \beta } R _ { \beta \beta } ^ { ( i \alpha ) } X _ { i \beta } + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) } \\ & { = z ^ { 2 } s ( z ) ^ { 2 } \mathfrak { s } ( z ) ^ { 2 } \sum _ { \alpha \neq \beta } ( H _ { i \alpha } ) ^ { 2 } H _ { i \beta } X _ { i \beta } + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) , } \end{array}
\gamma _ { J } ^ { I } s ^ { L } = \delta _ { J } ^ { L } s ^ { I } + \sum _ { L _ { 1 } L _ { 2 } = L } \delta _ { J } ^ { L _ { 1 } } s ^ { I L _ { 2 } } + \sum _ { L _ { 1 } L _ { 2 } = L } \delta _ { J } ^ { L _ { 2 } } s ^ { L _ { 1 } I } + \sum _ { L _ { 1 } L _ { 2 } L _ { 3 } = L } \delta _ { J } ^ { L _ { 2 } } s ^ { L _ { 1 } I L _ { 3 } } .
\begin{array} { r } { \operatorname* { P r } _ { \{ \tilde { \gamma } \} _ { t } \sim \prod _ { t } \tilde { \mathcal { P } } _ { t } } \left( \operatorname* { s u p } _ { \mu \geq 0 } \left| \sum _ { t = 1 } ^ { T } \tilde { b } _ { t } ^ { * } ( \mu ) - \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } _ { \hat { \gamma } _ { t } \sim \tilde { \mathcal { P } } _ { t } } \left[ \hat { b } _ { t } ^ { * } ( \mu ) \right] \right| \geq r ( T ) \right) \leq \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { e } } & { \triangleq \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n } - ( \mathbf { S } \mathbf { S } ^ { T } \hat { \ensuremath { \mathbf { u } } } ^ { n } + \mathbf { S } ^ { \ast } \mathbf { S } ^ { \ast T } \Tilde { \ensuremath { \mathbf { u } } } ^ { n } ) } \\ & { = \mathbf { B } ^ { - 1 } \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n - 1 } - \mathbf { S } ( \mathbf { S } ^ { T } \mathbf { B } \mathbf { S } ) ^ { - 1 } ( \mathbf { S } ^ { T } - \mathbf { S } ^ { T } \mathbf { B } \mathbf { S } ^ { \ast } \mathbf { S } ^ { \ast T } \mathbf { B } _ { v } ^ { - 1 } ) \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n - 1 } - \mathbf { S } ^ { \ast } \mathbf { S } ^ { \ast T } \mathbf { B } _ { v } ^ { - 1 } \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n - 1 } } \\ & { \mathrm { w i t h } \ \mathbf { B } _ { s } ^ { - 1 } \triangleq \mathbf { S } ( \mathbf { S } ^ { T } \mathbf { B } \mathbf { S } ) ^ { - 1 } \mathbf { S } ^ { T } } \\ & { = ( \mathbf { B } ^ { - 1 } - \mathbf { B } _ { s } ^ { - 1 } + \mathbf { B } _ { s } ^ { - 1 } \mathbf { B } \mathbf { S } ^ { \ast } \mathbf { S } ^ { \ast T } \mathbf { B } _ { v } ^ { - 1 } - \mathbf { S } ^ { \ast } \mathbf { S } ^ { \ast T } \mathbf { B } _ { v } ^ { - 1 } ) \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n - 1 } } \\ & { = ( \mathbf { B } ^ { - 1 } - \mathbf { B } _ { s } ^ { - 1 } ) ( \mathbf { I } - \mathbf { B } \mathbf { S } ^ { \ast } \mathbf { S } ^ { \ast T } \mathbf { B } _ { v } ^ { - 1 } ) \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n - 1 } . } \end{array}
{ \cal D } _ { \mathrm { e r r } } ^ { Q } = \frac { \sum _ { p } \big | { n } _ { p } ^ { \mathrm { e x p } , Q } - { n } _ { p } ^ { \mathrm { R J } } \big | } { \sum _ { p } { n } _ { p } ^ { \mathrm { e x p } , Q } + { n } _ { p } ^ { \mathrm { R J } } } .
\begin{array} { r l } { \dot { X } ( t ) } & { = A X ( t ) + B w ( 0 , t ) , } \\ { { z _ { t } } ( x , t ) } & { = - q _ { 1 } { z _ { x } } ( x , t ) + { d _ { 1 } } z ( x , t ) + { d _ { 2 } } w ( x , t ) , } \\ { { w _ { t } } ( x , t ) } & { = q _ { 2 } { w _ { x } } ( x , t ) + { d _ { 3 } } z ( x , t ) + { d _ { 4 } } w ( x , t ) , } \end{array}
i \frac { \partial } { \partial t } \mathbf { P } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } = \left[ \mathbf { F } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } + \sum _ { k , \lambda } \varepsilon _ { k , \lambda } q _ { k , \lambda } \hat { \mu } _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } , \mathbf { P } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } \right]
\Sigma _ { \gamma \gamma \ C E S } ^ { L } = - \frac { 1 } { 8 } \biggl ( \frac { \alpha } { \pi } \biggr ) ^ { 2 } \biggl \{ \int _ { \ \ \ \rho _ { 2 } ^ { 2 } } ^ { \rho _ { 4 } ^ { 2 } } \frac { d z } { z ^ { 2 } } L ^ { 2 } F _ { 2 } ( x _ { c } ) + \int _ { \ \ \ 1 } ^ { \rho _ { 4 } ^ { 2 } } \frac { d z } { z ^ { 2 } } L ^ { 2 } \biggl [ F _ { 2 } \biggl ( \frac { \sqrt { z } } { \rho _ { 4 } } \biggr ) - F _ { 2 } ( x _ { c } ) \biggr ] \overline { { \theta } } _ { 4 } ^ { ( x _ { c } ) } -
\begin{array} { r l } & { \lesssim \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \Big ( \sum _ { n = 1 } ^ { d _ { j } } 2 ^ { - p \alpha ( m + k _ { j } - n ) } \| \Delta _ { m + k _ { j } } g \| _ { \textup { L } ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } ^ { p } \Big ) ^ { 1 / p } } \\ & { \lesssim \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \Big ( \sum _ { n = 1 } ^ { d _ { j } } 2 ^ { - p \alpha ( m + k _ { j } - n ) } \| g \| _ { \textup { L } ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } ^ { p } \Big ) ^ { 1 / p } } \\ & { \lesssim 2 ^ { \alpha ( d _ { j } - k _ { j } ) } \| g \| _ { \textup { L } ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } = \varrho ^ { \alpha } \| g \| _ { \textup { L } ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\Delta \Phi _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { \mathrm { ~ D ~ M ~ } } \approx \sqrt { 2 S _ { \Delta \Phi } ^ { \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } } } ( \tau _ { \mathrm { ~ D ~ M ~ } } \tau _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } ) ^ { - 1 / 4 }
K ^ { ( N , G ) } \left( \frac { i } { N } \right) = K ^ { ( N + 1 , G ) } \left( \frac { i } { N + 1 } \right) + \frac { i } { N } p _ { i + 1 } ^ { ( N + 1 , G ) } , i = 1 , \dots , N - 1 .
\begin{array} { r l } & { = \left( \frac { \displaystyle { \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - \omega } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \omega - \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } \omega + \frac { 2 } { \gamma - 1 } } \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } \omega } d x } } { \displaystyle { \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } \omega } d x } } \right) ^ { \theta + 1 } } \\ & { \quad \times \left( \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } \omega } d x \right) \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { \frac { \gamma + 1 } { 2 } \omega } } \\ & { \quad + o ( { \varDelta } x ) { \displaystyle { \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x } } } \\ & { \leq \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } ( \hat { \rho } ( x , T ) ) ^ { \theta + 1 } \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } } d x } \\ & { \quad + o ( { \varDelta } x ) { \displaystyle { \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { I B } = \underbrace { \mathcal { I } \left( \mathbf { X } _ { k } ^ { \left( p \right) } ; \mathbf { X } _ { 1 } ^ { \left( p \right) } \right) } _ { \mathrm { ~ P ~ r ~ e ~ s ~ e ~ r ~ v ~ e ~ d ~ i ~ n ~ f ~ o ~ r ~ m ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } - \psi \underbrace { \mathcal { I } \left( \mathbf { X } _ { k } ^ { \left( p \right) } ; \mathbf { X } _ { i } ^ { \left( p \right) } \right) } _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ m ~ p ~ l ~ e ~ x ~ i ~ t ~ y ~ } } , \; \forall \psi > 0 } \end{array}
E _ { D } : = \{ \frac { u _ { ( i + 1 , j ) } - 2 u _ { ( i , j ) } + u _ { ( i - 1 , j ) } } { { \Delta x _ { 1 } } ^ { 2 } } + \frac { u _ { ( i , j + 1 ) } - 2 u _ { ( i , j ) } + u _ { ( i , j - 1 ) } } { { \Delta x _ { 2 } } ^ { 2 } } - f ( u _ { ( i , j ) } ) \} d u _ { ( i , j ) } ,
\begin{array} { r l r } { H ( u , t ) } & { { } = } & { H _ { 0 } + V ( u , t ) , } \\ { H _ { 0 } } & { { } = } & { - B _ { s } S _ { z } + N _ { z } S _ { z } ^ { 2 } + N _ { x y } ( S _ { x } ^ { 2 } - S _ { y } ^ { 2 } ) , } \\ { V ( u , t ) } & { { } = } & { - g _ { x } ( t ) B _ { d } S _ { x } - g _ { y } ( t ) B _ { d } S _ { y } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { \mathrm { t r d } } } & { { } \approx \frac { 1 } { \gamma _ { \mathrm { r t } } ( F ) } \left( \frac { \pi \alpha } { \sin \pi \alpha } \right) \left( \frac { \alpha \Gamma ( \alpha / 2 ) } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } \right) ^ { 2 \alpha / 3 } \left( \sqrt { \frac { B ( F ) } { 2 } } \frac { 4 L } { A ( F ) ^ { 2 } } \right) ^ { 2 \alpha / 3 } \propto \frac { \left[ ( L / b ) \cosh ( q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) ) \right] ^ { 2 \alpha / 3 } } { \gamma _ { \mathrm { r } } \left[ \sinh ( q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) ) \right] ^ { 4 \alpha / 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \gamma ^ { 0 } } & { { } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \sigma ^ { 2 } } \\ { \sigma ^ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) } , } & { \gamma ^ { 1 } } & { { } = { \left( \begin{array} { l l } { i \sigma ^ { 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { i \sigma ^ { 3 } } \end{array} \right) } , } & { \gamma ^ { 2 } } & { { } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - \sigma ^ { 2 } } \\ { \sigma ^ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) } , } \\ { \gamma ^ { 3 } } & { { } = { \left( \begin{array} { l l } { - i \sigma ^ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { - i \sigma ^ { 1 } } \end{array} \right) } , } & { \gamma ^ { 5 } } & { { } = { \left( \begin{array} { l l } { \sigma ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \sigma ^ { 2 } } \end{array} \right) } , } & { C } & { { } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - i \sigma ^ { 2 } } \\ { - i \sigma ^ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { 2 } \Big ( \mathbf { D } _ { u , k } \big ( \tilde { \chi } _ { 2 } \mathcal { F } _ { 1 } f ( t , k , \cdot ) \big ) \Big ) ( t , k , \xi _ { 1 } ) = \int \mathcal { D } ( t , k , \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) \hat { f } _ { k } ( t , \xi _ { 2 } ) d \xi _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ F ~ } ~ } = \left( \begin{array} { l l l } { { \bar { r } } / { R } + \varepsilon ^ { 2 } { u ^ { * } } / { R } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda ( { a } ( S ) ) + \varepsilon ^ { 2 } v _ { S } ^ { * } } & { \varepsilon v _ { R } ^ { * } } \\ { 0 } & { \varepsilon \bar { r } _ { a } { a } ^ { \prime } ( S ) } & { \bar { r } _ { R } + \varepsilon ^ { 2 } u _ { R } ^ { * } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { { \mathcal { B } _ { < } } } } & { \mathbf { 1 } _ { | \widetilde { \omega } | \geq z _ { 0 } ^ { - 1 } | m | ( r _ { 0 } - 1 ) } | m | | \widetilde { \omega } | ^ { - 1 } \sum _ { \ell } \left| \int _ { 1 } ^ { r _ { 0 } } e ^ { - i \widetilde { \omega } r _ { * } } \frac { H } { \Delta } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) \, d r \right| ^ { 2 } \, d \widetilde { \omega } } \\ { \leq } & { \: C ( r _ { 0 } - 1 ) ^ { - 1 } \int _ { \mathbb { R } _ { \tau } } \int _ { \mathbb { R } _ { u } } \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \mathbf { 1 } _ { r \leq r _ { 0 } } ( | F _ { \xi } | ^ { 2 } + ( 1 + \tau ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 + \delta } { 2 } } \xi ^ { 2 } | G | ^ { 2 } ) \Delta ^ { 2 } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 4 } \, d \sigma d u d \tau } \\ { \leq } & { \: C ( r _ { 0 } - 1 ) ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq r _ { 0 } \} } \Delta ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 1 } | F _ { \xi } | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau } \\ & { + C ( r _ { 0 } - 1 ) ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq r _ { 0 } \} } \Delta ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 1 } ( 1 + \tau ) ^ { 1 + \delta } | G | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau } \\ { \leq } & { \: C ( r _ { 0 } - 1 ) ^ { q } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq r _ { 0 } \} } \Delta ^ { \frac { 1 - q } { 2 } } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 1 } | F _ { \xi } | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau } \\ & { + C ( r _ { 0 } - 1 ) ^ { q } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq r _ { 0 } \} } \Delta ^ { \frac { 1 - q } { 2 } } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 1 } ( 1 + \tau ) ^ { 1 + \delta } | G | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \rho _ { \mathfrak { a } } ( M ) \right) _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) } & { = M _ { 1 1 } x _ { 1 } + M _ { 2 1 } x _ { 2 } } \\ { \left( \rho _ { \mathfrak { a } } ( M ) \right) _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) } & { = M _ { 1 2 } x _ { 1 } + M _ { 2 2 } x _ { 2 } } \\ { \left( \rho _ { \mathfrak { b } } ( M ) \right) _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) } & { = 2 M _ { 1 1 } x _ { 3 } - M _ { 1 2 } } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } f _ { + , 1 / 2 } ^ { 2 } e ^ { - { \bar { \Lambda } _ { + , { \frac { 1 } { 2 } } } / T } } = \frac { 3 } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } } \omega ^ { 2 } e ^ { - \omega / { T } } d \omega + \frac { 1 } { 2 } \langle \bar { q } q \rangle - { \frac { 1 } { 3 2 T ^ { 2 } } } m _ { 0 } ^ { 2 } \langle \bar { q } q \rangle - { \frac { g ^ { 2 } < ( { \bar { q } } \gamma _ { \mu } { \frac { \lambda ^ { a } } { 2 } } q ) ^ { 2 } > } { 2 3 0 4 T ^ { 3 } } } \; ,
\begin{array} { l } { { \langle 0 \vert \rho ( x ) \vert 0 \rangle = \langle \rho \rangle _ { 0 } = v } } \\ { { { } } } \\ { { \langle 0 \vert A _ { \mu } ( x ) A ^ { \mu } ( x ) \vert 0 \rangle = \langle A _ { \mu } A ^ { \mu } \rangle _ { 0 } } } \\ { { { } } } \\ { { \langle 0 \vert J ^ { 2 } ( x ) \vert 0 \rangle = \langle J ^ { 2 } \rangle _ { 0 } = l ^ { 2 } } } \end{array}