harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \sum _ { l = 0 } ^ { t } ( k - l ) ! \binom { k } { l } \binom { N - k } { N - l } \tau ^ { k - 1 - l } h _ { 0 } ^ { 2 } \dots h _ { l - 1 } ^ { 2 } h _ { l } \dots h _ { t - 1 } + } \\ { + \sum _ { l = t + 1 } ^ { k - 1 } ( k - l ) ! \binom { k } { l } \binom { N - k } { N - l } \tau ^ { k - 1 - l } h _ { 0 } ^ { 2 } \dots h _ { t - 1 } ^ { 2 } h _ { t } \dots h _ { l - 1 } . ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta P } & { = s \delta T + n \cdot \delta \mu + n _ { \ell } \cdot \delta \mu _ { \ell } - { * \tilde { \mu } } \cdot \delta { * \tilde { n } } - { * \tilde { \mu } _ { \psi } } \cdot \delta { * \tilde { n } _ { \psi } } } \\ & { \qquad - \frac { 1 } { 2 } r ^ { \mu \nu } \mathrm { d } g _ { \mu \nu } , } \\ { \epsilon } & { = - P + T s + \mu \cdot n + \mu _ { \ell } \cdot n _ { \ell } . } \end{array}
0 = c \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } \right) { \frac { d t } { d \tau } } \delta t - \int { { \frac { d } { d q } } \left[ c \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } \right) { \frac { d t } { d \tau } } \right] \delta t d q } \, .
\begin{array} { r } { \mathcal { D } _ { 3 } ^ { \dagger } ( { \it \Delta \phi ^ { ' } } ) \mathcal { D } _ { 3 } ( { \it \Delta \phi } ) \mathcal { D } _ { 3 } ( { \it \Delta \phi ^ { ' } } ) = \mathcal { D } _ { 3 } ( { \it \Delta \phi } ) , } \end{array}
\begin{array} { c l c l } { { \mathrm { A : } } } & { { \Gamma ( N , \alpha _ { s } ) \rightarrow \Gamma ( N , \alpha _ { s } ) - \Gamma ( 1 , \alpha _ { s } ) \: \: \: \: } } & { { \mathrm { B : } } } & { { \Gamma ( N , \alpha _ { s } ) \rightarrow \Gamma ( N , \alpha _ { s } ) ( 1 - N ) } } \\ { { \mathrm { D : } } } & { { \Gamma ( N , \alpha _ { s } ) \rightarrow \Gamma ( N , \alpha _ { s } ) ( 1 - 2 N + N ^ { 3 } ) \, . } } & { { } } & { { } } \end{array}
\mathcal { N } = \mathrm { i } \, \frac { \Lambda _ { - } ^ { 1 } - \Lambda _ { - } ^ { 2 } } { \Lambda _ { - } ^ { 1 } + \Lambda _ { - } ^ { 2 } } \quad \Rightarrow \quad \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \mathrm { R e } \, \mathcal { N } = - C _ { 0 } } } \\ { { \mathrm { I m } \, \mathcal { N } = e ^ { - \phi } } } \end{array} \right. \right.
\begin{array} { r l } { T ^ { \mathsf { b l o } } } & { = 1 + 2 ( \exp ( T _ { \mathrm { n o t } \oplus } ) - 1 ) T _ { \mathrm { n o t } \oplus } ^ { \mathsf { b l o } } + P ^ { \bullet } T ^ { \mathsf { b l o } } ; } \\ { T _ { \mathrm { n o t } \oplus } ^ { \mathsf { b l o } } } & { = 1 + ( \exp ( T _ { \mathrm { n o t } \oplus } ) - 1 ) T _ { \mathrm { n o t } \oplus } ^ { \mathsf { b l o } } + P ^ { \bullet } T ^ { \mathsf { b l o } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { r e d , 2 e l , l a d - S } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { m _ { a } } \sum _ { b } \sum _ { P } ( - 1 ) ^ { P } \frac { i } { \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega } \end{array}
N _ { 0 } = \operatorname * { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 ^ { + } } - \frac 4 3 \frac { i R } { \epsilon } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \bar { \Omega } _ { n } e ^ { - \epsilon S _ { n } \bar { \Omega } _ { n } } =
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { t } ( \partial _ { s } + \theta ( n ) \alpha _ { n } A ) \mathcal { V } _ { s } ^ { n } ( \varphi ) d s = \frac { \theta ( n ) \alpha _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \bigg ( 2 \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) - \frac { f _ { 1 } ( n ) } { \theta ( n ) \alpha _ { n } } \overline { { \eta } } _ { j } ( s ) \bigg ) \partial _ { x } T _ { f _ { 1 } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s + E _ { t } ^ { 1 , n } , } \end{array}
\rho _ { m } ( t + \Delta t ) = \rho _ { m } ( t ) \exp \left[ - \gamma _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } \sum _ { p } ^ { n _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ } } } | \alpha _ { p } ^ { m } ( t ) | ^ { 2 } \Delta t \right]
f _ { \mathrm { F M R } } = \frac { \gamma } { 2 \pi } \mathrm { ~ \textbar ~ } { \mu _ { 0 } H _ { \mathrm { 0 } } + \mu _ { 0 } H _ { \mathrm { a n i } } - \mu _ { 0 } M _ { S } \mathrm { ~ \textbar ~ } }
J _ { B } \vert _ { \mathcal { M } } = - \left( \begin{array} { c c } { \medskip 0 } & { \delta ( z - \zeta ) \rho _ { _ { \Delta } } ( \zeta _ { x } \partial _ { z } + \partial _ { x } ) } \\ { \delta ( z - \zeta ) \rho _ { _ { \Delta } } ( \zeta _ { x } \partial _ { z } + \partial _ { x } ) } & { \delta ( z - \zeta ) \, \sigma _ { x } \partial _ { z } - \delta ^ { \prime } ( z - \zeta ) \sigma \, ( \zeta _ { x } \partial _ { z } + \partial _ { x } ) } \end{array} \right) \, .
\biggl ( { \frac { 1 } { 2 } } W _ { n p } ^ { ( 2 ) } - { \frac { \partial } { \partial t _ { n p + 1 } } } - a _ { 1 , n , c } \biggr ) \tau = 0 \, , \quad n = 0 , 1 , 2 , \ldots .
{ \cal M } _ { S } = e _ { * } ^ { 2 } \gamma ^ { \mu } Q \frac { 1 } { - p ^ { 2 } } \Gamma _ { \mu \alpha \beta } ^ { \gamma * } + \frac { e _ { * } ^ { 2 } } { s _ { * } ^ { 2 } } \gamma ^ { \mu } ( I _ { 3 } - s _ { * } ^ { 2 } Q ) \frac { 1 } { - p ^ { 2 } + M _ { Z * } ^ { 2 } } \Gamma _ { \mu \alpha \beta } ^ { Z * } .
\left\vert \mathcal { F } ( I ) ( \tilde { T } _ { p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) ) \right\vert = \left\vert \mathcal { F } ( I ) ( \boldsymbol { \xi } ) \right\vert + \gamma _ { p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) \, , \qquad \forall \, \boldsymbol { \xi } \in \tilde { \Omega } _ { 0 , 0 } \, .
F _ { i } ( \mathbf { k } , \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { P ( \mathbf { k } , \omega ) } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | k - k _ { i } | \leq \delta k } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. .
\hat { \gamma } _ { \mu } \equiv \gamma _ { \mu } [ F _ { 1 } ^ { L } ( q ^ { 2 } ) P _ { L } + F _ { 1 } ^ { R } ( q ^ { 2 } ) P _ { R } ] + \frac { i \sigma _ { \mu \nu } q ^ { \nu } } { q ^ { 2 } } [ F _ { 2 } ^ { L } ( q ^ { 2 } ) P _ { L } + F _ { 2 } ^ { R } ( q ^ { 2 } ) P _ { R } ] .
\ensuremath { \widetilde { \varepsilon } } = - u p _ { F } + \frac { f _ { \parallel } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { f _ { \perp \vphantom { \parallel } } ^ { 2 } w } { 2 p _ { F } } = - u p _ { F } + \frac { g ^ { 2 } } { 2 m } ,
\begin{array} { r l } { \sigma \mathbf { E } - \nabla \times \mathbf { H } } & { { } = - \mathbf { J } , } \\ { \nabla \times \mathbf { E } + i \omega \mu _ { 0 } \mathbf { H } } & { { } = - \mathbf { M } , } \end{array}
( 1 \! - \! X ) ^ { - 3 } \! = \! \sum _ { 1 } ^ { \infty } \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } X ^ { n - 1 } \! = \! \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { ( m \! + \! 1 ) ( m \! + \! 2 ) } { 2 } X ^ { m }
\begin{array} { l c c } { { e ^ { + } e ^ { - } \rightarrow \gamma ^ { * } / Z ^ { 0 } \rightarrow ( b \bar { b } ) / ( c \bar { c } ) } } & { { + } } & { { \gamma ^ { * } / Z ^ { 0 } } } \\ { { } } & { { } } & { { \downarrow } } \\ { { } } & { { } } & { { ( c \bar { c } ) / ( b \bar { b } ) . } } \end{array}
\mathbf { X } _ { t e s t , \ i } = \left[ \begin{array} { l l l } { x _ { 1 } ( 0 ) } & { \hdots } & { u _ { 3 } ( 0 ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { x _ { 1 } ( n - 1 ) } & { \hdots } & { u _ { 3 } ( n - 1 ) } \\ { x _ { 1 } ( n ) } & { \hdots } & { u _ { 3 } ( n ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { x _ { 1 } ( 1 0 * n - 1 ) } & { \hdots } & { u _ { 3 } ( 1 0 * n - 1 ) } \end{array} \right] ,
G ( \mathbf { x } , t ; \mathbf { x } ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { N + 1 } { 2 } } } ( \frac { m } { \sqrt { t ^ { 2 } + r ^ { 2 } } } ) ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } K _ { \frac { N - 1 } { 2 } } ( m \sqrt { t ^ { 2 } + r ^ { 2 } } ) , \quad r \equiv | \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } |
\mathbf { v } ( x , t ) \in \left[ C ^ { \infty } ( \mathbb { T } ^ { 3 } \times [ 0 , \infty ) ) \right] ^ { 3 } \, , \qquad p ( x , t ) \in C ^ { \infty } ( \mathbb { T } ^ { 3 } \times [ 0 , \infty ) )
\begin{array} { r l } & { \Psi _ { \mathrm { S J } } \left( \{ \mathbf { r } ^ { \uparrow } \} , \{ \mathbf { r } ^ { \downarrow } \} \right) } \\ & { = e ^ { J ( \{ \mathbf { r } ^ { \uparrow } \} , \{ \mathbf { r } ^ { \downarrow } \} ) } \operatorname* { d e t } [ \phi _ { i } ^ { \uparrow } ( \mathbf { r } _ { j } ^ { \uparrow } ) ] \operatorname* { d e t } [ \phi _ { i } ^ { \downarrow } ( \mathbf { r } _ { j } ^ { \downarrow } ) ] , } \end{array}
R ( t ) = R _ { 0 } \left[ \frac { 9 H _ { 0 } ^ { 4 } \Omega _ { M } \Omega _ { \Lambda } } { 8 } \left( t ^ { 2 } + \frac { 4 t } { 3 H _ { 0 } ^ { 2 } \Omega _ { \Lambda } } \right) \right] ^ { \frac { 1 } { 3 } } ,
\begin{array} { r l } { \left< H [ p ( s _ { i + 1 } ^ { a ^ { \prime \prime } } ) ] \right> } & { { } = \sum _ { s _ { i } ^ { a ^ { \prime } } } p ( s _ { i } ^ { a ^ { \prime } } ) H [ p ( s _ { i + 1 } ^ { a ^ { \prime \prime } } | s _ { i } ^ { a ^ { \prime } } ) ] } \end{array}
\cos { \frac { \pi } { 3 } } + \cos { \frac { \pi } { 5 } } \times \cos { \frac { 2 \pi } { 5 } } + \cos { \frac { \pi } { 7 } } \times \cos { \frac { 2 \pi } { 7 } } \times \cos { \frac { 3 \pi } { 7 } } + \dots = 1 .
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \frac { \partial w } { \partial t } ( x , t ) \varphi _ { i } ( x ) d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \frac { d N _ { 1 } } { d t } ( t ) ( 1 - \frac { x } { L } ) ^ { 2 } \varphi _ { i } ( x ) d x } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d N _ { 1 } } { d t } ( t ) \frac { L _ { x } ^ { 2 } } { 2 0 } , \; \mathrm { f o r ~ i = 0 ~ } } \\ { - \frac { d N _ { 1 } } { d t } ( t ) \frac { 4 } { L _ { x } \lambda _ { i } ^ { 1 / 2 } } \tan \left( \frac { L _ { x } \lambda _ { i } ^ { 1 / 4 } } { 2 } \right) , \; \mathrm { f o r ~ o d d ~ i ~ } } \\ { \frac { d N _ { 1 } } { d t } ( t ) \frac { 4 } { L _ { x } ^ { 2 } \lambda _ { i } ^ { 3 / 4 } } \left[ - 2 + L _ { x } \lambda _ { i } ^ { 1 / 4 } \cot \left( \frac { L _ { x } \lambda _ { i } ^ { 1 / 4 } } { 2 } \right) \right] , \; \mathrm { f o r ~ e v e n ~ i ~ } } \end{array} \right. } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { N } \beta _ { 1 j } ( t ) \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \phi _ { j } ( x ) \phi _ { i } ( x ) d x } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { N } \beta _ { 1 j } ( t ) G _ { i j } , } \end{array}
( \rho , U , V , W , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 , 0 , 0 , 0 , 1 ) , } & { 0 < x < 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 1 2 5 , 0 , 0 , 0 . 1 ) , } & { 0 . 5 < x < 1 . } \end{array} \right.
\Gamma _ { i \to f } = { \frac { 2 \pi } { \hbar } } | \langle f | H ^ { \prime } | i \rangle | ^ { 2 } \delta ( E _ { f } - E _ { i } - h \nu ) \propto | \langle f | \mathbf { A } \cdot \mathbf { p } | i \rangle | ^ { 2 } \, \delta ( E _ { f } - E _ { i } - h \nu )
\begin{array} { r l } { f ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) + \widehat \lambda _ { t } g ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) = } & { ~ f ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) + \frac { \hat { \rho } } { 2 } \| { \mathbf x } ^ { ( t ) } - { \mathbf x } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } + \widehat \lambda _ { t } \left( g ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) + \frac { \hat { \rho } } { 2 } \| { \mathbf x } ^ { ( t ) } - { \mathbf x } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } \right) } \\ { \geq } & { ~ f ( \widehat { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) + \frac { \hat { \rho } } { 2 } \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( t ) } - { \mathbf x } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } + \widehat \lambda _ { t } \left( g ( \widehat { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) + \frac { \hat { \rho } } { 2 } \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( t ) } - { \mathbf x } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } \right) } \\ & { + \frac { ( 1 + \widehat \lambda _ { t } ) ( \hat { \rho } - \rho ) } { 2 } \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( t ) } - { \mathbf x } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a } & { = \{ \frac { 1 } { 8 } , \frac { 3 } { 8 } , \frac { 3 } { 8 } , \frac { 1 } { 8 } \} _ { [ - 1 , 2 ] } , \quad b = \{ \frac { 3 } { 6 4 } , \frac { 9 } { 6 4 } , - \frac { 7 } { 6 4 } , - \frac { 4 5 } { 6 4 } , \frac { 4 5 } { 6 4 } , \frac { 7 } { 6 4 } , - \frac { 9 } { 6 4 } , - \frac { 3 } { 6 4 } \} _ { [ - 3 , 4 ] } , } \\ { \tilde { a } } & { = \{ \frac { 3 } { 6 4 } , - \frac { 9 } { 6 4 } , - \frac { 7 } { 6 4 } , \frac { 4 5 } { 6 4 } , \frac { 4 5 } { 6 4 } , - \frac { 7 } { 6 4 } , - \frac { 9 } { 6 4 } , \frac { 3 } { 6 4 } \} _ { [ - 3 , 4 ] } , \quad \tilde { b } = \{ \frac { 1 } { 8 } , - \frac { 3 } { 8 } , \frac { 3 } { 8 } , - \frac { 1 } { 8 } \} _ { [ - 1 , 2 ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \Tilde { G } ^ { L , \mathrm { s p h } } ( \omega ) } & { = \frac { D ^ { 2 } } { 3 \eta L ^ { 3 } } \left[ \frac { \lambda ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } } \frac { \mathrm { e } ^ { - \lambda D m _ { 0 } } [ - m _ { 0 } + e ^ { \lambda D } ( 1 + m _ { 0 } ) ] } { ( { e } ^ { \lambda D } - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { \alpha ^ { 2 } D ^ { 2 } } \right] \, . } \end{array}
\frac { I _ { c i r c } } { I _ { i n c } } \approx \frac { T } { ( 1 - R ) ^ { 2 } } \times \frac { ( \kappa / 2 ) ^ { 2 } } { ( \kappa / 2 ) ^ { 2 } + ( \omega - \omega _ { c } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \tau _ { Q } ^ { x } } & { { } = \frac { \mathrm { ~ t ~ r ~ } \{ \tau _ { Q } ^ { x } \} } { \mathrm { ~ t ~ r ~ } \{ \tilde { \tau } _ { Q } ^ { x } \} } \tilde { \tau } _ { Q } ^ { x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { w } ( n , t _ { l - 1 } ) } & { \le \delta _ { n , k _ { 0 } } + \int _ { 0 } ^ { t _ { l - 1 } } a ( n \pm 1 , \tau ) w ( n \pm 1 , \tau ) } \\ & { \le \delta _ { n , k _ { 0 } } + c ( 4 ( 2 c ) ^ { \vert n + 1 - k _ { 0 } \vert } + 2 ( 2 c ) ^ { \vert n - 1 - k _ { 0 } \vert } ) } \\ & { < 2 ( 2 c ) ^ { \vert n - k _ { 0 } \vert } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textit { f o r } m _ { o } > 0 : } \\ & { \left( \begin{array} { l } { ( \mathbf { w } _ { s t , l _ { i } } ^ { ( l _ { o } ) } ) _ { m _ { o } } } \\ { ( \mathbf { w } _ { s t , l _ { i } } ^ { ( l _ { o } ) } ) _ { - m _ { o } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \tilde { \mathbf { h } } _ { m _ { o } } ^ { ( l ^ { \prime } , l ) } } & { - \tilde { \mathbf { h } } _ { - m _ { o } } ^ { ( l ^ { \prime } , l ) } } \\ { \tilde { \mathbf { h } } _ { - m _ { o } } ^ { ( l ^ { \prime } , l ) } } & { \tilde { \mathbf { h } } _ { m _ { o } } ^ { ( l ^ { \prime } , l ) } } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { l } { ( \tilde { \mathbf { x } } _ { s } ^ { ( l _ { i } ) } ) _ { m _ { o } } } \\ { ( \tilde { \mathbf { x } } _ { s } ^ { ( l _ { i } ) } ) _ { - m _ { o } } } \end{array} \right) } \\ & { \textit { f o r } m _ { o } = 0 : } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad ( \mathbf { w } _ { s t , l _ { i } } ^ { ( l _ { o } ) } ) _ { 0 } = \tilde { \mathbf { h } } _ { 0 } ^ { ( l _ { i } , l _ { o } ) } ( \tilde { \mathbf { x } } _ { s } ^ { ( l _ { i } ) } ) _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { U } _ { n } ^ { [ 1 ] } = \left[ \begin{array} { l } { U _ { n } ^ { [ 2 , 1 ] } \cdot 1 _ { \ell } } \\ { 0 \cdot 1 _ { \ell } } \\ { U _ { n } ^ { [ 4 , 1 ] } \cdot 1 _ { \ell } } \\ { 0 \cdot 1 _ { \ell } } \\ { 0 \cdot 1 _ { \ell } } \end{array} \right] , \quad \hat { U } _ { n } ^ { [ 2 ] } = \left[ \begin{array} { l } { 0 \cdot 1 _ { \ell } } \\ { 0 \cdot 1 _ { \ell } } \\ { U _ { n } ^ { [ 2 , 2 ] } \cdot 1 _ { \ell } } \\ { 0 \cdot 1 _ { \ell } } \\ { 0 \cdot 1 _ { \ell } } \end{array} \right] , \quad \hat { U } _ { n } ^ { [ 3 ] } = \left[ \begin{array} { l } { U _ { n } ^ { [ 5 , 3 ] } \cdot 1 _ { \ell } } \\ { 0 \cdot 1 _ { \ell } } \\ { 0 \cdot 1 _ { \ell } } \\ { 0 \cdot 1 _ { \ell } } \\ { 0 \cdot 1 _ { \ell } } \end{array} \right] . } \end{array}
A _ { N } ( \mu ) = \sum _ { k = 1 } ^ { S } \theta _ { k } ( \mu ) A _ { N } ^ { k } = \sum _ { k = 1 } ^ { S } \theta _ { k } ( \mu ) \mathbb { V } ^ { \top } A _ { h } ^ { k } \mathbb { V } , \quad M _ { h } ( \mu ) = \sum _ { k = 1 } ^ { Q } \Theta _ { k } ( \mu ) M _ { N } ^ { k } = \sum _ { k = 1 } ^ { Q } \Theta _ { k } ( \mu ) \mathbb { V } ^ { \top } M _ { h } ^ { k } \mathbb { V } .
S \to S + { \frac { i [ ( \hat { U } ^ { T } ) ^ { - 1 } ] _ { 1 } ^ { \ \Sigma } ( H _ { \Sigma } ^ { ( 1 ) } + { \cal C } _ { \Sigma \Delta } \hat { X } ^ { \Delta } ) } { \hat { U } _ { \Lambda } ^ { 0 } \hat { X } ^ { \Lambda } } } .
\boldsymbol { L } _ { \mathrm { i r } } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \frac { \partial } { \partial v _ { i } } \left[ - \frac { F _ { \mathrm { f r } , i } ( v _ { i } , t ) } { m } + \frac { \partial } { \partial v _ { i } } D _ { i i } ( v _ { i } , t ) \right] \, .
\left[ { } ^ { u + d } G _ { M } ^ { p - n } ( 0 ) \right] _ { \mathrm { D m i P } } = \left[ { } ^ { u - d } G _ { M } ^ { p + n } ( 0 ) \right] _ { \mathrm { D m i P } } \approx 0 . 0 0 8 ~ ~ ~ \Rightarrow ~ ~ ~ \left[ G _ { M } ^ { u , d } ( 0 ) \right] _ { \mathrm { D m i P } } = 0 .
\begin{array} { r l } { \sum _ { T \cap S = \{ i \} , T \neq \{ i \} } I ( Y _ { T \setminus \{ i \} } | Y _ { \bar { T } } , Z ) - I ( Y _ { T \setminus \{ i \} } | Y _ { \bar { T } \cup \{ i \} } , Z ) } & { = H ( Y _ { [ n ] \setminus S } \mid Y _ { S \setminus \{ i \} } , Z ) - H ( Y _ { [ n ] \setminus S } | Y _ { S } , Z ) } \\ & { = H ( Y _ { [ n ] \setminus S } \mid Y _ { S \setminus \{ i \} } , Z ) } \\ & { - H ( Y _ { ( [ n ] \setminus S ) \cup \{ i \} } \mid Y _ { S \setminus \{ i \} } , Z ) + H ( Y _ { i } \mid Y _ { S \setminus \{ i \} } , Z ) } \\ & { = - H ( Y _ { i } | Y _ { \bar { i } } , Z ) + H ( Y _ { i } \mid Y _ { S \setminus \{ i \} } , Z ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g _ { x x } } & { = } & { \frac { 1 } { x _ { s } ^ { 2 } } \big ( g _ { s s } - \frac { 2 y _ { s } } { y _ { t } } g _ { s t } + \frac { y _ { s } ^ { 2 } } { y _ { t } ^ { 2 } } g _ { t t } \big ) = \frac { h ^ { 2 } + ( 1 - h ^ { 2 } ) z ^ { 2 } } { 1 + h ^ { 2 } } , } \\ { g _ { x y } } & { = } & { \frac { 1 } { x _ { s } y _ { t } } \big ( g _ { s t } - \frac { y _ { s } } { y _ { t } } g _ { t t } \big ) = 0 , } \\ { g _ { y y } } & { = } & { \frac { 1 } { y _ { t } ^ { 2 } } g _ { t t } = \frac { h ^ { 2 } + ( 1 - h ^ { 2 } ) z ^ { 2 } } { 1 + h ^ { 2 } } . } \end{array}
\varepsilon _ { , t } + [ U _ { j } \varepsilon - ( \nu + \frac { \nu _ { t } } { \sigma _ { \varepsilon } } ) ] _ { , j } = C _ { 1 } \frac { \varepsilon } { k } P - C _ { 2 } \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { k } \, + C _ { 1 } ( 1 - C _ { 3 } ) \frac { \varepsilon } { k } B
S _ { j i } ^ { ( { \widehat G } / H ) } ( \theta , q ) ~ = ~ \left( x ^ { - \rho _ { H } \cdot h } \otimes x ^ { - \rho _ { H } \cdot h } \right) ~ S _ { j i } ^ { ( { \widehat G } ) } ~ \left( x ^ { \rho _ { H } \cdot h } \otimes x ^ { \rho _ { H } \cdot h } \right) \ ,
\mathcal { G } \left( \mathrm { i } ^ { 1 / 2 } K _ { v } \right) = \left[ \left( 1 - \mathcal { F } \left( \mathrm { i } ^ { 1 / 2 } K _ { v } \right) \right) \left( 1 + \left( \gamma - 1 \right) \mathcal { F } \left( \left( \mathrm { i } \mathrm { P r } \right) ^ { 1 / 2 } K _ { v } \right) \right) \right] ^ { 1 / 2 } .
F ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , \ldots , z _ { m } ) = \sum _ { n _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty } \cdots \sum _ { n _ { m } = - \infty } ^ { \infty } f ( n _ { 1 } , n _ { 2 } , \ldots , n _ { m } ) z _ { 1 } ^ { - n _ { 1 } } z _ { 2 } ^ { - n _ { 2 } } \ldots z _ { m } ^ { - n _ { m } }
\begin{array} { r l } { C _ { \mathbb H } ^ { - 1 } C _ { \mathbb H } ^ { t } \phi } & { = C _ { \mathbb H } ^ { - 1 } \mathcal E K ^ { t } \mathcal E ^ { * } \phi = ( \mathcal E \mathcal E ^ { * } ) ^ { - 1 } \mathcal E \mathcal E ^ { * } ( \mathcal E ^ { * } ) ^ { - 1 } K ^ { t } \mathcal E ^ { * } \phi = ( \mathcal E ^ { * } ) ^ { - 1 } K ^ { t } \mathcal E ^ { * } \phi . } \end{array}
{ \cal R } _ { 0 } = q ^ { - \frac 1 2 } \left( \begin{array} { c c c c } { { q } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { q } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } & { A _ { a | 0 } = \frac 1 2 P _ { a } B _ { 0 , 0 } + \frac 1 2 P _ { g ( a ) } B _ { 0 , 1 } , } & { A _ { a | 1 } = \frac 1 2 P _ { g ( a ) } B _ { 1 , 0 } + \frac 1 2 P _ { a } B _ { 1 , 1 } , } \\ & { A _ { g ( a ) | 0 } = \frac 1 2 P _ { g ( a ) } B _ { 0 , 0 } + \frac 1 2 P _ { a } B _ { 0 , 1 } , } & { A _ { g ( a ) | 1 } = \frac 1 2 P _ { a } B _ { 1 , 0 } + \frac 1 2 P _ { g ( a ) } B _ { 1 , 1 } , } \\ & { A _ { s | 0 } = \frac 1 2 P _ { s } ( B _ { 0 , 0 } + B _ { 0 , 1 } ) , } & { A _ { s | 1 } = \frac 1 2 P _ { s } ( B _ { 1 , 0 } + B _ { 1 , 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \zeta _ { q , n } } \left( t \right) } & { = \sqrt { { { \tilde { p } } _ { q , n } } } \left[ { { \bf { h } } _ { q , n } ^ { H } { { \bf { f } } _ { q , n } } - { \mathbb E } \left( { { \bf { h } } _ { q , n } ^ { H } { { \bf { f } } _ { q , n } } } \right) } \right] { c _ { q , n } } \left( t \right) , } \\ { { { \tilde { \zeta } } _ { q , n } } \left( t \right) } & { = { \bf { h } } _ { q , n } ^ { H } \sum _ { i \ne q } ^ { Q } { \sqrt { { { \tilde { p } } _ { i , n } } } { { \bf { f } } _ { i , n } } { c _ { i , n } } \left( t \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal P } _ { L R } ( s , z ) = \frac { e ^ { s z } \sqrt { 1 - z } } { 2 } \, } & { { } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k } ( 4 k + 3 ) } { ( 2 k + 1 ) ( k + 1 ) } ~ \frac { ( 2 k + 1 ) ! ! } { ( 2 k ) ! ! } \frac { I _ { 2 k + 3 / 2 } ( s ( 1 - z ) ) } { I _ { k + 3 / 2 } ( s ) } , } \end{array}
\mathsf { A C V } _ { \mathcal P } ^ { 2 } \hat { P } _ { \mathrm { o p t } } ^ { - 1 } \to \frac { \mathsf { A R B } _ { \mathcal P } \hat { P } _ { \mathrm { o p t } } ^ { - 1 } } { ( \sqrt 2 \, \mathcal D ( \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { - 1 } / \sqrt 2 ) ) ^ { 2 } } - 1 .
V \left( \sigma , \pi \right) = \frac { 1 } { 2 \lambda } \left( \sigma ^ { 2 } + \pi ^ { 2 } \right) + i \, \mathrm { S p } \ \log < x \mid \left[ i \gamma ^ { \mu } \left( x \right) \nabla _ { \mu } - \left( \sigma + i \gamma _ { 5 } \pi \right) \right] \mid x >
\begin{array} { r l } { E ^ { 1 } } & { \lesssim \lvert | e _ { h } \rvert | _ { H _ { \kappa } ^ { 1 } } \lvert | z - \textup { R } _ { \kappa , h } ^ { \perp } z \rvert | _ { H _ { \kappa } ^ { 1 } } \lesssim C _ { \textup { s o l } } ( u , \kappa ) h \lvert | e \rvert | _ { H _ { \kappa } ^ { 1 } } \lvert | e _ { h } \rvert | _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { t } ^ { R } V ( x , v ) } & { = V ( x , v ) e ^ { - t \gamma ( x ) } + \frac { 1 } { 2 ^ { d } } ( 1 - e ^ { - t \gamma ( x ) } ) \sum _ { w \neq v } V ( x , w ) } \\ & { = V ( x , v ) e ^ { - t \gamma ( x ) } + ( 1 - e ^ { - t \gamma ( x ) } ) V ( x , v ) \frac { 1 } { 2 ^ { d } } \sum _ { w \neq v } \frac { V ( x , w ) } { V ( x , v ) } } \\ & { = V ( x , v ) \Big ( e ^ { - t \gamma ( x ) } + ( 1 - e ^ { - t \gamma ( x ) } ) \frac { 1 } { 2 ^ { d } } \sum _ { w \neq v } \prod _ { j : v _ { j } \neq w _ { j } } ( 1 + \lvert \partial _ { j } \psi ( x ) \rvert ) \Big ) } \\ & { \leq V ( x , v ) \left( e ^ { - t \gamma ( x ) } + t \gamma ( x ) \prod _ { j = 1 } ^ { d } ( 1 + \lvert \partial _ { j } \psi ( x ) \rvert ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \int _ { B _ { 1 } } | \nabla U _ { \infty } | ^ { q } \, d x \right) ^ { \frac { 1 } { q } } } & { \le \operatorname* { l i m i n f } _ { p \to \infty } \left( \int _ { B _ { 1 } } | \nabla U _ { p } | ^ { q } \, d x \right) ^ { \frac { 1 } { q } } } \\ & { \le \operatorname* { l i m i n f } _ { p \to \infty } \, \omega _ { N } ^ { \frac { 1 } { q } - \frac { 1 } { p } } \left( \int _ { B _ { 1 } } | \nabla U _ { p } | ^ { p } \, d x \right) ^ { \frac { 1 } { p } } } \\ & { = \omega _ { N } ^ { \, \frac { 1 } { q } } \, \operatorname* { l i m i n f } _ { p \to \infty } \Big ( \mu _ { p } ( B _ { 1 } ; \{ z \} ) \Big ) ^ { \frac { 1 } { p } } , \qquad \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } q \ge p _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { L } } & { { } = \sum _ { \lambda \kappa } ( L \vert \lambda \kappa ) D _ { \lambda \kappa } , } \\ { D _ { K } } & { { } = \sum _ { L } ( \ensuremath \mathbf { V } ^ { - 1 } ) _ { K L } V _ { L } , } \\ { J _ { \mu \nu } } & { { } \overset { \mathrm { D F } } { \approx } \sum _ { K } ( \mu \nu \vert K ) D _ { K } , } \end{array}