harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \partial n _ { e } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial z } ( n _ { e } u _ { e } ) } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial n _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial z } ( n _ { i } u _ { i } ) } & { = 0 , } \\ { m _ { e } \left( \frac { \partial u _ { e } } { \partial t } + u _ { e } \frac { \partial u _ { e } } { \partial z } \right) } & { = q _ { e } E - \frac { 1 } { n _ { e } } \frac { \partial P _ { e } } { \partial z } - \frac { R _ { e i } } { n _ { e } } , } \\ { m _ { i } \left( \frac { \partial u _ { i } } { \partial t } + u _ { i } \frac { \partial u _ { i } } { \partial z } \right) } & { = q _ { i } E - \frac { 1 } { n _ { i } } \frac { \partial P _ { i } } { \partial z } - \frac { R _ { i e } } { n _ { i } } , } \\ { \varepsilon _ { 0 } \frac { \partial E } { \partial z } } & { = n _ { i } q _ { i } + n _ { e } q _ { e } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { 1 } ( t ) } & { \geq \frac { 1 } { 2 } I _ { t } ^ { \nu } \Big ( \varrho ^ { - 1 } \int _ { \Omega } \partial _ { t } ^ { \nu } ( \varrho u ) ^ { 2 } d x \Big ) ( t ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { M } I _ { t } ^ { \nu } \Big ( \varrho _ { i } ^ { - 1 } \int _ { \Omega } \partial _ { t } ^ { \nu _ { i } } ( \varrho _ { i } u ) ^ { 2 } d x \Big ) ( t ) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } u _ { 0 } ^ { 2 } d x \Big [ \varrho ^ { 2 } ( 0 ) I _ { t } ^ { \nu } ( \varrho ^ { - 1 } \omega _ { 1 - \nu } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { M } \varrho _ { i } ^ { 2 } ( 0 ) I _ { t } ^ { \nu } ( \varrho _ { i } ^ { - 1 } \omega _ { 1 - \nu _ { i } } ) \Big ] } \\ & { \geq \frac { \delta _ { 1 } } { 2 } \int _ { \Omega } u ^ { 2 } ( x , t ) d x - \int _ { \Omega } u _ { 0 } ^ { 2 } d x \Big [ 2 \varrho ( 0 ) + \sum _ { i = 1 } ^ { M } \varrho _ { i } ( 0 ) \omega _ { 1 + \nu - \nu _ { i } } ( t ) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R } & { { } = } & { p R ^ { \mathrm { ~ ( ~ f ~ a ~ c ~ t ~ o ~ r ~ g ~ r ~ a ~ p ~ h ~ ) ~ } } , } \\ { S _ { m } } & { { } = } & { p ^ { m } S _ { m } ^ { \mathrm { ~ ( ~ f ~ a ~ c ~ t ~ o ~ r ~ g ~ r ~ a ~ p ~ h ~ ) ~ } } . } \end{array}
\Psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } \prec 1 + \frac { \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } } { N \eta } + \frac { \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } + \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { a v } } } { ( N \eta ) ^ { 1 / 2 } } + \frac { ( \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 1 / 2 } } { ( N \eta ) ^ { 1 / 4 } } + \frac { ( \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 1 / 4 } } { ( N \eta ) ^ { 1 / 8 } } \, .
\tilde { x } _ { 1 } ^ { \prime } = \frac { x ^ { \prime } ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + \frac { x ^ { \prime } ( x ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) } { x ^ { 2 } + z ^ { 2 } } , \ \ \ \mathrm { c y c l i c } ,
\begin{array} { r } { i \frac { \partial \psi _ { i } } { \partial t } = [ - \frac { \nabla ^ { 2 } } { 2 } + g _ { i i } | \psi _ { i } | ^ { 2 } - g _ { 1 2 } | \psi _ { j } | ^ { 2 } + g _ { L H Y } | \psi _ { i } | ^ { 3 } + V _ { 0 } | \Psi ( r ) | ^ { 2 } ] \psi _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ( r ) } & { = N \sum _ { \sigma _ { 1 } , \cdots , \sigma _ { N } \in \mathbb { Z } _ { 2 } } \int \big | \Psi ( r , \sigma _ { 1 } , r _ { 2 } , \sigma _ { 2 } , \dots , r _ { N } , \sigma _ { N } ) \big | ^ { 2 } \mathrm { d } r _ { 2 } \dots ~ \mathrm { d } r _ { N } , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \rho _ { 2 } ( r , r ^ { \prime } ) } & { = \binom { N } { 2 } \sum _ { \sigma _ { 1 } , \cdots , \sigma _ { N } \in \mathbb { Z } _ { 2 } } \int \big | \Psi ( r , \sigma _ { 1 } , r ^ { \prime } , \sigma _ { 2 } , r _ { 3 } , \sigma _ { 3 } , \dots , r _ { N } , \sigma _ { N } ) \big | ^ { 2 } \mathrm { d } r _ { 3 } \dots ~ \mathrm { d } r _ { N } . } \end{array}
\Delta A = \frac { 3 2 \pi L } { \sqrt { 4 - \beta ^ { 2 } } } \mathrm { a r c t a n h } \sqrt { \frac { 2 - \beta } { 2 + \beta } } \to 8 \pi L \log \frac { 4 } { \beta } \, \, \, \mathrm { a t } \, \, \, \beta \to 0 .
\begin{array} { r l } { \log Z _ { x , y } ^ { 0 , n } } & { \le - n M _ { F } + \log \int e ^ { - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } V ( \Delta _ { k } \gamma ) } \mathcal { M } _ { x , y } ^ { 0 , n } ( d \gamma ) } \\ & { \le - n M _ { F } + \log \| p \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } + ( n - 1 ) \log \| p \| _ { L ^ { 1 } ( \mathbb { R } ) } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { j } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } { \frac { \partial L } { \partial { \dot { x } } _ { i } } } Q [ x _ { i } ] - L } \\ & { = m \sum _ { i } { \dot { x } } _ { i } ^ { 2 } - \left[ { \frac { m } { 2 } } \sum _ { i } { \dot { x } } _ { i } ^ { 2 } - V ( x ) \right] } \\ & { = { \frac { m } { 2 } } \sum _ { i } { \dot { x } } _ { i } ^ { 2 } + V ( x ) . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \xi _ { i } ( \tau ) = \xi _ { i } ^ { \mathrm { ~ ( ~ e ~ q ~ ) ~ } } ( \tau ) + \sum _ { j = 1 } ^ { 8 } \tilde { \mathcal { L } } _ { i , j } ( \tau ) q _ { j } , \quad i = 1 , \ldots , 8 \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta _ { k } ^ { \dag } \Gamma _ { k } \eta _ { k } = \left( \begin{array} { l l } { \gamma _ { k } ^ { ( 1 ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { \gamma _ { k } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \pm \mu = \frac { 1 } { \Delta t } \mathbb { E } _ { \xi } \Bigg [ \log { \frac { f _ { + } ( \xi _ { i , t } ) } { f _ { - } ( \xi _ { i , t } ) } } \mid H ^ { \pm } \Bigg ] ; } \\ { \rho _ { 1 - c , \Delta t } ^ { 2 } ( t ) = \frac { ( 1 - c ) } { \Delta t } \mathrm { V a r } _ { \xi } \Bigg [ \log { \frac { f _ { + } ( \xi _ { i , t } ) } { f _ { - } ( \xi _ { i , t } ) } } \mid H ^ { \pm } \Bigg ] ; } \\ { \rho _ { c , \Delta t } ^ { 2 } ( t ) = \frac { c } { \Delta t } \mathrm { V a r } _ { \xi } \Bigg [ \log { \frac { f _ { + } ( \xi _ { i , t } ) } { f _ { - } ( \xi _ { i , t } ) } } \mid H ^ { \pm } \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \varphi _ { 1 } ( 1 , y ^ { \prime } ) = I _ { 1 } ( 1 ) + I _ { 2 } ( 1 ) + I _ { 3 } ( 1 ) = - \phi _ { 1 } ( 0 , y ^ { \prime } , k ) \phi _ { 1 } ( 1 , y ^ { \prime } , k ) J _ { 1 } ( y ^ { \prime } , k ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { 1 } } & { { } = \frac { - ( a + b ) - \sqrt { ( a + b ) ^ { 2 } + 4 b } } { 2 } , } \\ { r _ { 2 } } & { { } = \frac { - ( a + b ) + \sqrt { ( a + b ) ^ { 2 } + 4 b } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \ensuremath { { \mathchoice { \mathrm { \boldmath ~ \displaystyle ~ A ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \textstyle ~ A ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \scriptstyle ~ A ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \scriptscriptstyle ~ A ~ } } } } \approx \ensuremath { { \mathchoice { \mathrm { \boldmath ~ \displaystyle ~ W ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \textstyle ~ W ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \scriptstyle ~ W ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \scriptscriptstyle ~ W ~ } } } } \ensuremath { { \mathchoice { \mathrm { \boldmath ~ \displaystyle ~ C ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \textstyle ~ C ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \scriptstyle ~ C ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \scriptscriptstyle ~ C ~ } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \Pi } _ { N } ^ { \mathrm { ( i ) } } ( \tau _ { 2 } ) = 1 - \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \hat { F } _ { k } \left[ \eta _ { \mathrm { i r } } ( \tau _ { 2 } ; N - 1 ) \right] . } \end{array}
\delta _ { \varepsilon } \Xi _ { a } = \varepsilon ^ { i } { ( C _ { i } ) _ { a } } ^ { b } \Phi _ { b } , \quad \delta _ { \varepsilon } \Phi _ { a } = \varepsilon ^ { i } { ( \tilde { C } _ { i } ) } _ { a } ^ { b } \frac { d } { d \tau } { \Xi } _ { b } .
\langle 0 | \Psi ^ { \dagger } ( x ) \Psi ( x ^ { \prime } ) | 0 \rangle = 0 , \; \; \; \langle 0 | \Psi ( x ) \Psi ^ { \dagger } ( x ^ { \prime } ) | 0 \rangle = W ( x , x ^ { \prime } ) ,
\mathcal { R } _ { h } ^ { \mathbf { z } } ( \mathbf { z } ) \equiv \left( \left. \frac { \partial \mathcal R _ { h } } { \partial \mathbf { u } _ { h } } \right| _ { \mathbf { u } _ { h } ^ { H } } \right) ^ { T } \mathbf { z } - \left( \left. \frac { \partial \mathcal J _ { h } } { \partial \mathbf { u } _ { h } } \right| _ { \mathbf { u } _ { h } ^ { H } } \right) ^ { T } .
\operatorname* { l i m } _ { a _ { n } \to 0 } \ E ( a _ { 1 } , \dots , a _ { n } ) = E ( a _ { 1 } , \dots , a _ { n - 1 } ) \, { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } \, \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } \, ,
\begin{array} { r l } { \left\| \Xi _ { R } \right\| ^ { 2 } \geq } & { \frac { 1 } { 2 } \left\| 2 c \mathbf { M } ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { r } _ { k + 1 } - \mathbf { r } ^ { \ast } ) \right\| ^ { 2 } - c ^ { 2 } \left\| \mathbf { L } ( \mathbf { e } _ { k + 1 } - \mathbf { e } _ { k } ) \right\| ^ { 2 } } \\ { \geq } & { 4 c ^ { 2 } \lambda _ { 2 } \| \mathbf { r } _ { k + 1 } - \mathbf { r } ^ { \ast } \| ^ { 2 } - 2 c ^ { 2 } \lambda _ { n } ^ { 2 } ( \left\| \mathbf { e } _ { k } \right\| ^ { 2 } + \left\| \mathbf { e } _ { k + 1 } \right\| ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \lambda , \phi \rangle } & { = \operatorname* { l i m } _ { n } \, \langle \lambda _ { n } , \phi \rangle } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n } \, \Big [ - \int _ { \Omega \times \mathcal { Y } } \varphi ( x ^ { \prime } ) \, \Sigma _ { n } : E \, d x d y + \int _ { \omega } \varphi \, \bar { \sigma } _ { n } : E \bar { w } \, d x ^ { \prime } - \frac { 1 } { 1 2 } \int _ { \omega } \varphi \, \hat { \sigma } _ { n } : D ^ { 2 } w _ { 3 } \, d x ^ { \prime } } \\ & { \, \quad \, \quad \, \quad - \int _ { \omega } \bar { \sigma } _ { n } : \left( ( \bar { u } - \bar { w } ) \odot \nabla \varphi \right) \, d x ^ { \prime } - \frac { 1 } { 6 } \int _ { \omega } \hat { \sigma } _ { n } : \big ( \nabla ( u _ { 3 } - w _ { 3 } ) \odot \nabla \varphi \big ) \, d x ^ { \prime } } \\ & { \, \quad \, \quad \, \quad - \frac { 1 } { 1 2 } \int _ { \omega } ( u _ { 3 } - w _ { 3 } ) \, \hat { \sigma } _ { n } : \nabla ^ { 2 } \varphi \, d x ^ { \prime } \Big ] } \\ & { = - \int _ { \Omega \times \mathcal { Y } } \varphi ( x ^ { \prime } ) \, \Sigma : E \, d x d y + \int _ { \omega } \varphi \, \bar { \sigma } : E \bar { w } \, d x ^ { \prime } - \frac { 1 } { 1 2 } \int _ { \omega } \varphi \, \hat { \sigma } : D ^ { 2 } w _ { 3 } \, d x ^ { \prime } } \\ & { \, \quad - \int _ { \omega } \bar { \sigma } : \left( ( \bar { u } - \bar { w } ) \odot \nabla \varphi \right) \, d x ^ { \prime } - \frac { 1 } { 6 } \int _ { \omega } \hat { \sigma } : \big ( \nabla ( u _ { 3 } - w _ { 3 } ) \odot \nabla \varphi \big ) \, d x ^ { \prime } } \\ & { \, \quad - \frac { 1 } { 1 2 } \int _ { \omega } ( u _ { 3 } - w _ { 3 } ) \, \hat { \sigma } : \nabla ^ { 2 } \varphi \, d x ^ { \prime } . } \end{array}
\omega _ { 5 } ^ { 0 } ( A _ { L } , A _ { R } ) \ - \ { \hat { \omega } } _ { 5 } ^ { 0 } ( A _ { L } , A _ { R } ) \ \ = \ \ d \, \rho _ { 4 } \, ( 0 , A _ { L } , A _ { R } ) \, \, ,
\{ ( H _ { x } ) _ { i ^ { \prime } - 1 , j ^ { \prime } - 1 } , ( H _ { x } ) _ { i ^ { \prime } , j ^ { \prime } - 1 } , ( H _ { x } ) _ { i ^ { \prime } + 1 , j ^ { \prime } - 1 } , \ldots , ( H _ { x } ) _ { i ^ { \prime } - 1 , j ^ { \prime } + 1 } , ( H _ { x } ) _ { i ^ { \prime } , j ^ { \prime } + 1 } , ( H _ { x } ) _ { i ^ { \prime } + 1 , j ^ { \prime } + 1 } \}
\begin{array} { r l r } { \langle { X } _ { j } \rangle _ { \mathrm { F } } } & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \sum _ { k } \left( 1 - { F } _ { i } \frac { \theta } { n } \right) _ { j k } ^ { n } \langle { X } _ { k } \rangle _ { \mathrm { I } } = \sum _ { k } \left( \mathrm { e } ^ { - { F } _ { i } \theta } \right) _ { j k } \langle { X } _ { k } \rangle _ { \mathrm { I } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } ( l , m , p ) } & { = \frac { l \phi \{ ( p { - } 2 { + } l ) / 2 \} { - } l \phi \{ ( p { - } 2 { - } l ) / 2 \} { - } m \phi \{ ( p { - } 2 { + } m ) / 2 \} { + } m \phi \{ ( p { - } 2 { - } m ) / 2 \} } { 4 l ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } } } \\ { R _ { 2 } ( l , m , p ) } & { = \frac { l \phi \{ ( p { - } 3 { + } l ) / 2 \} - l \phi \{ ( p { - } 3 { - } l ) / 2 \} { - } m \phi \{ ( p { - } 3 { + } m ) / 2 \} { + } m \phi \{ ( p { - } 3 { - } m ) / 2 \} } { 4 l ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 1 } ( x , y ; a , b ) } & { = \langle e _ { 0 } \otimes e _ { 0 } | T ( x , y ; a , b ) | e _ { 0 } \otimes e _ { 0 } \rangle = 1 - b x , } \\ { a _ { 2 } ( x , y ; a , b ) } & { = \langle e _ { 1 } \otimes e _ { 1 } | T ( x , y ; a , b ) | e _ { 1 } \otimes e _ { 1 } \rangle = y + a , } \\ { b _ { 1 } ( x , y ; a , b ) } & { = \langle e _ { 0 } \otimes e _ { 1 } | T ( x , y ; a , b ) | e _ { 1 } \otimes e _ { 0 } \rangle = 1 + b y , } \\ { b _ { 2 } ( x , y ; a , b ) } & { = \langle e _ { 1 } \otimes e _ { 0 } | T ( x , y ; a , b ) | e _ { 0 } \otimes e _ { 1 } \rangle = x - a , } \\ { c _ { 1 } ( x , y ; a , b ) } & { = \langle e _ { 0 } \otimes e _ { 1 } | T ( x , y ; a , b ) | e _ { 0 } \otimes e _ { 1 } \rangle = 1 - a b , } \\ { c _ { 2 } ( x , y ; a , b ) } & { = \langle e _ { 1 } \otimes e _ { 0 } | T ( x , y ; a , b ) | e _ { 1 } \otimes e _ { 0 } \rangle = x + y . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \langle g ^ { 2 } \rangle - \langle g \rangle ^ { 2 } = f _ { 1 } ( 1 - f _ { 1 } ) T + f _ { 2 } ( 1 - f _ { 2 } ) T } } \\ { { + T ( 1 - T ) ( f _ { 1 } - f _ { 2 } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
- \frac { 1 } { p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } \, d p _ { 2 } \otimes d p _ { 2 } + \frac { p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } { \mathsf { A } ^ { 2 } } \, d \psi _ { 2 } \otimes d \psi _ { 2 }
\delta \Omega _ { \alpha } ^ { \Lambda } = 2 \gamma ^ { \mu } \nabla _ { \mu } X ^ { \Lambda } \epsilon _ { \alpha } + { \frac { 1 } { 2 } } \gamma ^ { \nu \lambda } { \cal F } _ { \nu \lambda } ^ { + \Lambda } \epsilon _ { \alpha \beta } \epsilon ^ { \beta } + 2 i \gamma ^ { \mu } A _ { \mu } \epsilon _ { \alpha } \ .
\begin{array} { r l r } { c _ { \pm , \mathrm { i n } } ( r ) } & { { } = } & { c _ { \pm , \mathrm { i n } } ^ { R } \mathrm { e } ^ { \mp ( \Psi ^ { \mathrm { e q } } ( r ) - \Psi _ { R } ) } , } \\ { c _ { \pm , \mathrm { o u t } } ( r ) } & { { } = } & { c _ { \mathrm { o u t } } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { \mp \Psi ^ { \mathrm { e q } } ( r ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \alpha = 1 , 2 } \tilde { \nu } _ { \alpha } \left( 2 \mathbf { D } _ { \alpha } + \lambda _ { \alpha } ( \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } ) \mathbf { I } \right) = } & { ~ \nu \left( 2 \mathbf { D } + \lambda \mathrm { d i v } \mathbf { v } \right) } \\ & { ~ + \hat { \nu } \left( 2 \mathbf { A } + \lambda \left( \mathrm { d i v } \mathbf { J } \right) \mathbf { I } \right) } \\ & { ~ + \breve { \nu } \left( 2 \mathbf { B } + \lambda \left( \mathbf { J } \cdot \nabla \phi \right) \mathbf { I } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vartheta _ { \iota _ { j } } ( \partial _ { y } f _ { i - 1 } ^ { \ell } ) } & { = \vartheta _ { \iota _ { j } } ( f _ { i - 1 } ^ { \ell - 1 } ) + \vartheta _ { \iota _ { j } } ( \partial _ { y } f _ { i - 1 } ) = ( \ell - 1 ) \gamma _ { i } ^ { ( j ) } + \gamma _ { i } ^ { ( j ) } - e _ { j } \lambda _ { i } = } \\ & { = \vartheta _ { \iota _ { j } } ( f _ { i - 1 } ^ { \ell } ) - e _ { j } \lambda _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { - 1 } ^ { 1 } f ( x ) g ( x ) d x } & { = } & { \int _ { - 1 } ^ { 1 } g ( x ) \big [ f _ { 0 } ( x ) + A \cosh \frac { x } { 2 \sqrt { \lambda } } + B \sinh \frac { x } { 2 \sqrt { \lambda } } \big ] d x } \\ & { = } & { \frac { 2 } { \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 - b } { 2 \sqrt { \lambda } } + 2 A \sqrt { \lambda } \big [ \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } - \sinh \frac { b } { 2 \sqrt { \lambda } } \big ] + 2 B \sqrt { \lambda } \big [ \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } - \cosh \frac { b } { 2 \sqrt { \lambda } } \big ] } \\ & { = } & { \frac { 2 } { \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 - b } { 2 \sqrt { \lambda } } + \frac { 1 } { \sqrt { \lambda } } \frac { \big [ \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 - b } { 2 \sqrt { \lambda } } - \cosh \frac { 1 - b } { 2 \sqrt { \lambda } } \big ] } { \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } + \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } } \big [ \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } - \sinh \frac { b } { 2 \sqrt { \lambda } } \big ] } \\ & { } & { + \frac { 1 - \frac { 1 } { \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 - b } { 2 \sqrt { \lambda } } } { \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } } \big [ \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } - \cosh \frac { b } { 2 \sqrt { \lambda } } \big ] , } \end{array}
d \sigma ^ { \mathrm { C S M } } ( \chi _ { J } + X ) = d \hat { \sigma } ( Q \overline { { { Q } } } \, [ 1 , { } ^ { 3 } P _ { J } ] + X ) \, ( 2 J + 1 ) \, \frac { 3 N _ { C } } { 2 \pi } \, | R ^ { \prime } ( 0 ) | ^ { 2 } .
\left[ \begin{array} { c l c r } { { } } & { { m } } \\ { { } } & { { n } } \end{array} \right] _ { Q _ { i } } = \frac { \lbrack m \rbrack _ { Q _ { i } } ! } { \lbrack m - n \rbrack _ { Q _ { i } } ! ~ ~ ~ \lbrack n \rbrack _ { Q _ { i } } ! }
\frac { \partial \hat { p } } { \partial L _ { k } } = \frac { 2 A _ { k } ^ { 2 } } { L _ { k } ^ { 3 } } | \mathbf x - \mathbf c _ { k } | ^ { 2 } \exp \left[ - \frac { | \mathbf x - \mathbf c _ { k } | ^ { 2 } } { L _ { k } ^ { 2 } } \right] ,
\begin{array} { r l } { p _ { j , k } ^ { n } \geq } & { - 2 w ( 0 ) m ^ { - 1 } [ ( \gamma _ { 1 3 } + \gamma _ { 1 4 } ) r _ { j } ^ { n } + ( \gamma _ { 2 3 } + \gamma _ { 2 4 } ) r _ { j + 1 } ^ { n } ] + c m ^ { - 2 } ( \theta _ { j } ^ { n , ( 3 ) } + \theta _ { j } ^ { n , ( 4 ) } ) } \\ { \geq } & { - 2 w ( 0 ) m ^ { - 1 } L h + c m ^ { - 2 } \rho _ { \mathrm { m i n } } \geq m ^ { - 2 } ( c \rho _ { \mathrm { m i n } } - 2 w ( 0 ) \delta L ) \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ - \partial _ { \tau } - h ] G ^ { \mathrm { M } } ( \tau ) } & { = \delta ( \tau ) + \int _ { 0 } ^ { \beta } d \Bar { \tau } \Sigma ^ { \mathrm { M } } ( \tau - \Bar { \tau } ) G ^ { \mathrm { M } } ( \bar { \tau } ) , } \\ { i \partial _ { t _ { 1 } } G ^ { \rceil } ( t _ { 1 } , - i \tau ) } & { = h ^ { \textrm { H F } } ( t _ { 1 } ) G ^ { \rceil } ( t _ { 1 } , - i \tau ) + I ^ { \rceil } ( t _ { 1 } , - i \tau ) , } \\ { - i \partial _ { t _ { 2 } } G ^ { \lceil } ( - i \tau , t _ { 2 } ) } & { = G ^ { \lceil } ( - i \tau , t _ { 2 } ) h ^ { \textrm { H F } } ( t _ { 2 } ) + I ^ { \lceil } ( - i \tau , t _ { 1 } ) , } \\ { i \partial _ { t _ { 1 } } G ^ { \lessgtr } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) } & { = h ^ { \textrm { H F } } ( t ) G ^ { \lessgtr } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) + I _ { 1 } ^ { \lessgtr } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) , } \\ { - i \partial _ { t _ { 2 } } G ^ { \lessgtr } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) } & { = G ^ { \lessgtr } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) h ^ { \textrm { H F } } ( t _ { 2 } ) + I _ { 2 } ^ { \lessgtr } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) , } \end{array}
{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \mathrm { M e s h ~ 1 : ~ } } - V _ { s } + R _ { 1 } I _ { 1 } + R _ { 3 } ( I _ { 1 } - I _ { 2 } ) = 0 } \\ { { \mathrm { M e s h ~ 2 : ~ } } R _ { 2 } I _ { 2 } + 3 I _ { x } + R _ { 3 } ( I _ { 2 } - I _ { 1 } ) = 0 } \\ { { \mathrm { D e p e n d e n t ~ v a r i a b l e : ~ } } I _ { x } = I _ { 1 } - I _ { 2 } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { ( \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ) ^ { \prime } = } & { \dot { \mathrm { H } } _ { 0 } ^ { - s , p ^ { \prime } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \mathrm { , ~ } \, ( \dot { \mathrm { B } } _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { - s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ) ^ { \prime } = \dot { \mathrm { B } } _ { p , q , 0 } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \mathrm { , ~ } } \\ { ( \dot { \mathrm { H } } _ { 0 } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ) ^ { \prime } = } & { \dot { \mathrm { H } } ^ { - s , p ^ { \prime } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \mathrm { , ~ } \, ( \dot { \mathrm { B } } _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } , 0 } ^ { - s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ) ^ { \prime } = \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \mathrm { . ~ } } \end{array}
{ \frac { ( - g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } ) { \frac { d } { d \tau } } ( g _ { \lambda \nu } { \dot { x } } ^ { \nu } + g _ { \mu \lambda } { \dot { x } } ^ { \mu } ) + { \frac { 1 } { 2 } } ( g _ { \lambda \nu } { \dot { x } } ^ { \nu } + g _ { \mu \lambda } { \dot { x } } ^ { \mu } ) { \frac { d } { d \tau } } ( g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } ) } { - g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } } } = g _ { \mu \nu , \lambda } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } \qquad \qquad ( 5 )
D _ { \mu } \psi _ { \mu } + \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } } { m } \psi _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \kappa _ { 2 } - \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 3 } \right) { \cal F } _ { \mu \nu } \psi _ { [ \mu \nu ] } = 0 ,
\begin{array} { r l r } { V _ { a b } ^ { ( n ) } } & { { } \equiv } & { \left\langle \frac { 1 } { r _ { a b } ^ { n } } ( E - V ) \right\rangle , } \\ { \tilde { V } _ { a b } ^ { ( n ) } } & { { } \equiv } & { \left\langle \frac { \ln r _ { a b } } { r _ { a b } ^ { n } } ( E - V ) \right\rangle , } \\ { R _ { a b } ^ { ( n ) } } & { { } \equiv } & { - \sum _ { i = 1 , 2 } \left\langle \vec { \nabla } _ { i } \frac { 1 } { r _ { a b } ^ { n } } \vec { \nabla } _ { i } \right\rangle , } \\ { \tilde { R } _ { a b } ^ { ( n ) } } & { { } \equiv } & { - \sum _ { i = 1 , 2 } \left\langle \vec { \nabla } _ { i } \frac { \ln r _ { a b } } { r _ { a b } ^ { n } } \vec { \nabla } _ { i } \right\rangle , } \end{array}
\delta _ { L } ^ { ( e x t ) } \, \, \Gamma _ { s t r o n g } \ \ = \ \ - \, \, \int \, \, \mathrm { t r } \, \, \, \theta _ { L } \, \, \{ \, D ^ { \mu } ( { \cal L } ) \, \, j _ { \mu } ^ { L } \ - \ \frac { M _ { V } ^ { 2 } } { g _ { V } ^ { 2 } } \, \, \partial ^ { \mu } \, { \cal L } _ { \mu } \, \} \, \, ,
\begin{array} { r l } { H _ { s 4 } ( { \bf k } ) } & { { } = \left[ \begin{array} { c c } { H _ { 2 } ( { \bf k } , g _ { 0 } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { H _ { 2 } ( { \bf k } , g _ { 0 } ) } \end{array} \right] ; } \\ { H _ { s 5 } ( { \bf k } ) } & { { } = \left[ \begin{array} { c c } { H _ { 3 } ( { \bf k } , g _ { 0 } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { H _ { 1 } ( { \bf k } , g _ { 0 } ) } \end{array} \right] , } \end{array}
- 0 . 1 3 3 \pm 0 . 0 6 6 \simeq \Bigg [ { \frac { \kappa t } { 1 0 ^ { - 2 } } } \Bigg ] ~ [ | V _ { u d } ^ { R } | \cos \Delta _ { d } + 0 . 2 2 | V _ { u s } ^ { R } | \cos \Delta _ { s } ] \, ,
\begin{array} { r } { T ( \lambda ) \tiny { = } \small { e ^ { - j \varphi ( \lambda ) } } \left[ \begin{array} { l l } { t ( \lambda ) } & { - j q ( \lambda ) } \\ { - j q ( \lambda ) } & { t ( \lambda ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { - j \theta _ { 2 1 } ( \lambda ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - j \theta _ { 2 2 } ( \lambda ) } } \end{array} \right] } \\ { \times \small { e ^ { - j \varphi ( \lambda ) } } \left[ \begin{array} { l l } { t ( \lambda ) } & { - j q ( \lambda ) } \\ { - j q ( \lambda ) } & { t ( \lambda ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { - j \theta _ { 1 1 } ( \lambda ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - j \theta _ { 1 2 } ( \lambda ) } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { M } } { \mathrm { d } t } } & { { } = \gamma \boldsymbol { M } \times \boldsymbol { B } + \frac { \left( M _ { 0 } - M _ { z } \right) \hat { \boldsymbol { z } } } { T _ { 1 } } - \frac { M _ { x } \hat { \boldsymbol { x } } + M _ { y } \hat { \boldsymbol { y } } } { T _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac 1 2 \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \| { \tilde { v } } _ { x x } \| ^ { 2 } + \frac { \alpha } { 2 } \| \tilde { v } _ { x x } \| \le C \| { \tilde { u } } _ { x } \| ^ { 2 } \| { \tilde { v } } _ { x x } \| ^ { 2 } + C \big ( \| { \tilde { u } } _ { x t } \| ^ { 2 } + \| { \tilde { u } } _ { x x } \| ^ { 2 } \big ) , } \end{array}