harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { \theta _ { i } \in S } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( 1 - C _ { n } ( \theta _ { i } ) ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { K _ { i } } \left| \frac { \partial } { \partial \theta _ { i j } } C _ { n } ( \theta _ { i } ) \right| } \\ & { \leq c \operatorname* { s u p } _ { ( p , r ) \in S } \left( ( \operatorname { E } | X _ { i , t } | ^ { 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + 1 \right) \left( \frac { r } { p } + | \log ( p ) | \right) } \end{array}
S _ { j _ { \alpha } j _ { \beta } } ( \omega ) = 2 \bigg ( \frac { 2 e } { \mathcal { V } _ { 0 } } \bigg ) ^ { 2 } \Re \left[ \sum _ { \mathbf { k } } v _ { \boldsymbol { k } \alpha } g _ { \boldsymbol { k } \beta } \right] ,
\begin{array} { r l } & { 2 f _ { ( 0 , 0 , 1 ) } ( a ^ { 1 / 4 } , b ^ { 1 / 4 } , x / 2 ) + [ f _ { ( 0 , \frac { 1 } { 2 } , 1 ) } ( a ^ { 1 / 4 } , b ^ { 1 / 4 } , x / 2 ) + f _ { ( 0 , \frac { - 1 } { 2 } , 1 ) } ( a ^ { 1 / 4 } , b ^ { 1 / 4 } , x / 2 ) ] } \\ { = } & { 2 \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } a ^ { \frac { m ( m + 1 ) } { 8 } } b ^ { \frac { m ( m - 1 ) } { 8 } } e ^ { \pi i m x } + 2 \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } a ^ { \frac { m ( m + 1 ) } { 8 } } b ^ { \frac { m ( m - 1 ) } { 8 } } e ^ { \pi i m x } ( - 1 ) ^ { m } , } \\ { = } & { 2 \left[ f \left( q ^ { \frac { k _ { 1 } + 2 k _ { 2 } } { 4 } } , q ^ { \frac { k _ { 1 } - 2 k _ { 2 } } { 4 } } \right) + f \left( - q ^ { \frac { k _ { 1 } + 2 k _ { 2 } } { 4 } } , - q ^ { \frac { k _ { 1 } - 2 k _ { 2 } } { 4 } } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { \eta _ { c } T ^ { \prime } } { 2 \overline { { x } } } \overline { { u } } + \left( \gamma - 1 \right) \mathrm { M } _ { \infty } ^ { 2 } \frac { \mu F ^ { \prime \prime } } { \overline { { x } } T } \frac { \partial \overline { { u } } } { \partial \eta } + \frac { T ^ { \prime } } { T } \overline { { v } } } & { } \\ { + \left[ - \mathrm { i } + \frac { F T ^ { \prime } } { 2 \overline { { x } } T } - \left( \gamma - 1 \right) \mathrm { M } _ { \infty } ^ { 2 } \frac { \mu ^ { \prime } \left( F ^ { \prime \prime } \right) ^ { 2 } } { 2 \overline { { x } } T } - \frac { 1 } { 2 \overline { { x } } \mathrm { P r } } \left( \frac { \mu ^ { \prime } T ^ { \prime } } { T } \right) ^ { \prime } + \frac { \mu \kappa _ { z } ^ { 2 } T } { \mathrm { P r } } \right] \overline { { \tau } } } & { } \\ { + F ^ { \prime } \frac { \partial \overline { { \tau } } } { \partial \overline { { x } } } + \left( - \frac { F } { 2 \overline { { x } } } - \frac { 1 } { \mathrm { P r } } \frac { \mu ^ { \prime } T ^ { \prime } } { 2 \overline { { x } } T } + \frac { 1 } { \mathrm { P r } } \frac { \mu T ^ { \prime } } { 2 \overline { { x } } T ^ { 2 } } \right) \frac { \partial \overline { { \tau } } } { \partial \eta } + \frac { 1 } { \mathrm { P r } } \frac { \mu } { 2 \overline { { x } } T } \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { \tau } } } { \partial \eta ^ { 2 } } } & { = 0 . } \end{array}
\mathrm { ~ R ~ } _ { 1 } \mathrm { ~ - ~ C ~ l ~ } + \mathrm { ~ R ~ } _ { 2 } \mathrm { ~ - ~ C ~ l ~ } + 2 \mathrm { ~ N ~ a ~ } \xrightarrow [ ] { \mathrm { ~ d ~ i ~ e ~ t ~ h ~ y ~ l ~ e ~ t ~ h ~ e ~ r ~ } } \mathrm { ~ R ~ } _ { 1 } \mathrm { ~ - ~ R ~ } _ { 2 } + 2 \mathrm { ~ N ~ a ~ C ~ l ~ } ,
\frac { k } { M ^ { 4 } b ^ { 6 } } \approx 1 0 ^ { - 9 } k M ^ { 2 } \ll 1 0 ^ { - 1 1 } M ^ { 2 } \sim H _ { b } ^ { 2 } \sim 1 0 ^ { - 4 } H ^ { 2 }
\begin{array} { r } { { \mathcal A } _ { \alpha \beta , \beta \alpha } ^ { [ 0 ] } ( x , \tilde { x } ) = \widehat { { \mathcal A } } _ { \alpha \beta , \beta \alpha } ^ { [ 0 ] } ( x , \tilde { x } ) - \log \left\{ \left( x ( \upzeta _ { \alpha } ) - x ( \tilde { \upzeta } _ { \beta } ) \right) \left( x ( \upzeta _ { \beta } ) - x ( \tilde { \upzeta } _ { \alpha } ) \right) \right\} . } \end{array}
\frac { \partial ( \tilde { \rho } \; \overline { { u } } _ { i } ) } { \partial t } + \frac { \partial ( \tilde { \rho } \; \overline { { u } } _ { j } \; \overline { { u } } _ { i } ) } { \partial x _ { j } } = - \frac { \partial \tilde { p } } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial ( \mu \overline { { S ^ { d } } } _ { i j } ) } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial \tau _ { i j } ^ { s g s } } { \partial x _ { j } } ,
| \int _ { M } \nabla ^ { \ell } z ^ { a } [ \nabla ^ { \ell } , \nabla _ { a } ] \psi + \nabla ^ { \ell } \psi [ \nabla ^ { \ell } , \nabla _ { a } ] z ^ { a } | \lesssim | \int _ { M } \nabla ^ { \ell } z \ast \nabla ^ { \ell - 1 } \psi + \nabla ^ { \ell } \psi \ast \nabla ^ { \ell - 1 } z | \lesssim | \int _ { M } \nabla ^ { \ell } \psi \ast \nabla ^ { \ell - 1 } z | ,
\begin{array} { r l } { E _ { y } ( x ) } & { = e ^ { i q k _ { y } x } \sin \left( \frac { \pi n } { L } x \right) , } \\ { H _ { z } ( x ) } & { = \frac { 1 } { 2 } i e ^ { i q k _ { y } x } \Biggl [ \left( \frac { 1 } { Z _ { x + } } - \frac { 1 } { Z _ { x - } } \right) \cos \left( \frac { \pi n } { L } x \right) } \\ & { - i \left( \frac { 1 } { Z _ { x + } } + \frac { 1 } { Z _ { x - } } \right) \sin \left( \frac { \pi n } { L } x \right) \Biggr ] , } \\ { E _ { x } ( x ) } & { = - \frac { 1 } { 2 } i e ^ { i q k _ { y } x } \Biggl [ \left( \frac { Z _ { y + } } { Z _ { x + } } - \frac { Z _ { y - } } { Z _ { x - } } \right) \cos \left( \frac { \pi n } { L } x \right) } \\ & { - i \left( \frac { Z _ { y + } } { Z _ { x + } } + \frac { Z _ { y - } } { Z _ { x - } } \right) \sin \left( \frac { \pi n } { L } x \right) \Biggr ] , } \end{array}
\operatorname { a r g m a x } _ { \theta } { \frac { 1 } { h } } { \mathcal { L } } ( \theta \mid x \in [ x _ { j } , x _ { j } + h ] ) = \operatorname { a r g m a x } _ { \theta } { \frac { 1 } { h } } \operatorname* { P r } ( x _ { j } \leq x \leq x _ { j } + h \mid \theta ) = \operatorname { a r g m a x } _ { \theta } { \frac { 1 } { h } } \int _ { x _ { j } } ^ { x _ { j } + h } f ( x \mid \theta ) \, d x ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \eta _ { 1 R } = k _ { 1 R } x + k _ { 2 R } y - \big ( k _ { 1 R } k _ { 1 I } + \beta k _ { 2 R } k _ { 2 I } \big ) z , } \\ & { } & { \eta _ { 1 I } = k _ { 1 I } x + k _ { 2 I } y + \frac { 1 } { 2 } \big [ k _ { 1 R } ^ { 2 } - k _ { 1 I } ^ { 2 } + \beta ( k _ { 2 R } ^ { 2 } - k _ { 2 I } ^ { 2 } ) - \lambda \big ] z , } \\ & { } & { \phi = \tan ^ { - 1 } \bigg ( \frac { ( k _ { 1 R } ^ { 2 } + \beta k _ { 2 R } ^ { 2 } ) ( k _ { 1 R } k _ { 1 I } + \beta k _ { 2 R } k _ { 2 I } ) } { ( k _ { 1 R } ^ { 2 } + \beta k _ { 2 R } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - ( k _ { 1 R } k _ { 1 I } + \beta k _ { 2 R } k _ { 2 I } ) ^ { 2 } } \bigg ) , ~ ~ e ^ { i \theta } = \sqrt { \frac { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 1 } ^ { * } } } , } \\ & { } & { A = \bigg [ 1 + \frac { \sigma \tau ^ { 2 } \gamma \big ( ( k _ { 1 } + k _ { 1 } ^ { * } ) ^ { 2 } + \beta ( k _ { 2 } + k _ { 2 } ^ { * } ) ^ { 2 } \big ) } { ( k _ { 1 } ( k _ { 1 } + k _ { 1 } ^ { * } ) + \beta k _ { 2 } ( k _ { 2 } + k _ { 2 } ^ { * } ) ) ( k _ { 1 } ^ { * } ( k _ { 1 } + k _ { 1 } ^ { * } ) + \beta k _ { 2 } ^ { * } ( k _ { 2 } + k _ { 2 } ^ { * } ) ) } \bigg ] ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle \hat { N } _ { a b } \right\rangle } & { { } = \left\langle \hat { a } _ { 3 } ^ { \dag } \hat { a } _ { 3 } - \hat { b } _ { 3 } ^ { \dag } \hat { b } _ { 3 } \right\rangle = \left\langle A _ { 1 1 } \hat { a } _ { 0 } ^ { \dag } \hat { a } _ { 0 } \right\rangle , } & { } \\ { \left\langle \hat { N } _ { a b } ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = A _ { 1 1 } ^ { 2 } \left\langle \hat { a } _ { 0 } ^ { \dag } \hat { a } _ { 0 } \hat { a } _ { 0 } ^ { \dag } \hat { a } _ { 0 } \right\rangle + A _ { 1 2 } A _ { 2 1 } \left\langle \hat { a } _ { 0 } ^ { \dag } \hat { b } _ { 0 } \hat { b } _ { 0 } ^ { \dag } \hat { a } _ { 0 } \right\rangle } & { } \\ { A _ { i j } } & { { } = k _ { i } ^ { \ast } k _ { j } - h _ { i } ^ { \ast } h _ { j } ( i , j = 1 , 2 , 3 , 4 ) . } & { } \end{array}
( \mathbf { v } _ { h } ^ { n + 1 } , \mathbf { F } _ { h } ^ { n + 1 } , \mathbf { M } _ { h } ^ { n + 1 } , \phi _ { h } ^ { n + 1 } , \mu _ { h } ^ { n + 1 } ) : = ( \mathbf { v } _ { h } ^ { n + 1 } , \mathbf { G } _ { h } ^ { n + 1 } + \mathbf { F } _ { h } ^ { n } , \mathbf { M } _ { h } ^ { n + 1 } , z _ { h } ^ { n + 1 } + \phi _ { h } ^ { n } , y _ { h } ^ { n + 1 } + \bar { \rho } ) ,
\frac { \partial \mathcal { F } } { \partial \boldsymbol { r } _ { n } } = - 2 \int d ^ { 2 } \boldsymbol { r ^ { \prime } } \mathrm { R e } \left[ \phi ^ { * } ( \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) \alpha G ( \boldsymbol { r ^ { \prime } } , \boldsymbol { r } _ { n } ) \nabla \phi ( \boldsymbol { r } _ { n } ) \right] .
{ \begin{array} { r l } { \star ( d x ^ { \mu } ) } & { = \eta ^ { \mu \lambda } \varepsilon _ { \lambda \nu \rho \sigma } { \frac { 1 } { 3 ! } } d x ^ { \nu } \wedge d x ^ { \rho } \wedge d x ^ { \sigma } \, , } \\ { \star ( d x ^ { \mu } \wedge d x ^ { \nu } ) } & { = \eta ^ { \mu \kappa } \eta ^ { \nu \lambda } \varepsilon _ { \kappa \lambda \rho \sigma } { \frac { 1 } { 2 ! } } d x ^ { \rho } \wedge d x ^ { \sigma } \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { G _ { \ell } = 2 \bigg ( 1 - \Phi \big ( \sqrt { \ell K } \big ) \bigg ) \underset { K \longrightarrow + \infty } { \longrightarrow } 0 , } \\ & { H _ { \ell } = 2 \bigg ( \Phi \big ( \sqrt { \ell K } \big ) - \Phi \big ( \sqrt { K } \big ) \bigg ) \underset { K \longrightarrow + \infty } { \longrightarrow } 0 ; } \end{array}
\eta = \frac { T _ { \mathrm { H } } - T _ { \mathrm { C } } } { T _ { \mathrm { H } } } \frac { \sqrt { 1 + \overline { { Z T } } } - 1 } { \sqrt { 1 + \overline { { Z T } } } + \frac { T _ { \mathrm { C } } } { T _ { \mathrm { H } } } }
d e t A ^ { ( i _ { 1 } , \dots , i _ { n } ) } = \prod _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \{ \prod _ { ( j _ { 1 } , \dots , j _ { k + 1 } ) } [ 1 - \prod _ { \alpha } \prod _ { \beta } | q _ { j _ { \alpha } j _ { \beta } } | ^ { 2 } ] \} ^ { ( k - 1 ) ! ( n - k ) ! }
\operatorname { E S } _ { \alpha } ( X ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - { \frac { e ^ { \mu } ( 2 \alpha ) ^ { b } } { b + 1 } } } & { { \mathrm { i f ~ } } \alpha \leq 0 . 5 , } \\ { 1 - { \frac { e ^ { \mu } 2 ^ { - b } } { \alpha ( b - 1 ) } } \left[ ( 1 - \alpha ) ^ { ( 1 - b ) } - 1 \right] } & { { \mathrm { i f ~ } } \alpha > 0 . 5 . } \end{array} \right. }
\phi ( \mathbf { x } , 0 ) = \bigg ( \frac { x - x _ { c } } { r } \bigg ) ^ { n } + \bigg ( \frac { y - y _ { c } } { r } \bigg ) ^ { n } + \bigg ( \frac { z - z _ { c } } { r } \bigg ) ^ { n } - 1 \quad ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { j } _ { i } \cdot \boldsymbol { n } = g _ { i } ( \tilde { \mu } _ { i } - \tilde { \mu } _ { i , e x } ) , i = 1 \cdots N , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \partial \Omega , } \\ { \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } = 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \partial \Omega . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { R ^ { ( v ) } ( t ) \simeq \frac { P ^ { ( v ) } ( { 1 } , { t } ) } { \langle z ( t ) \rangle ^ { ( v ) } } = \frac { P ^ { ( v ) } ( { 1 } , { t } ) } { 2 P ^ { ( v ) } ( { 2 } , { t } ) } \simeq \frac { a _ { 1 } } { 2 a _ { 2 } } t ^ { - ( b _ { 1 } - b _ { 2 } ) } \, . } \end{array} } \end{array}
G _ { 1 i } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { 2 } \ v _ { 1 } \hat { f } _ { i } ^ { e q } = \left\langle v _ { 1 } \hat { f } _ { i } ^ { e q } \right\rangle
\boldsymbol { M } _ { i } \boldsymbol { M } _ { j } ^ { - 1 } = \boldsymbol { A } \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { - \gamma ( l _ { i } - l _ { j } ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { \gamma ( l _ { i } - l _ { j } ) } } \end{array} \right] \boldsymbol { A } ^ { - 1 } .
{ \cal E } _ { \mathrm { M } } = { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \sum _ { n = 0 } ^ { N } | B _ { n } | ^ { 2 } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad { \cal E } _ { \mathrm { K } } = { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \sum _ { n = 0 } ^ { N } | u _ { n } | ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \alpha _ { i } \rightarrow 0 } \mathrm { M } _ { D u n k l } = \frac { r _ { H } } { 2 } - \frac { \Lambda \, r _ { H } ^ { 3 } } { 6 } , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \operatorname* { l i m } _ { \alpha _ { i } , \Lambda \rightarrow 0 } \mathrm { M } _ { D u n k l } = \frac { r _ { H } } { 2 } . } \end{array}
{ \cal M } _ { \sigma } = { \cal T } _ { \sigma } / { \cal M } \times { \cal M } _ { X } \times { \cal M } _ { Y } = O ( 4 , 2 0 ; { \bf Z } ) \backslash O ( 4 , 2 0 ) / O ( 4 ) \times O ( 2 0 ) ,
\tilde { \cal L } _ { \kappa = 0 } = - 8 ( D - 2 ) ^ { 2 } \int d r \left( { \frac { \partial W } { \partial \phi } } \right) ^ { 2 } \left( 1 + { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } \tilde { r } \partial ^ { \mu } \tilde { r } \ - { \frac { 1 } { 2 } } \bar { \tilde { \eta } } _ { - i } \tilde { \Gamma } ^ { \mu } \partial _ { \mu } \tilde { \eta } _ { - } ^ { i } \right) \ .
\frac { \delta \mathcal { S } ^ { f } } { \delta \phi _ { 1 } ( \textbf { x } ) } \circ \hat { \chi } ( \textbf { x } ) = - \int \left\{ \frac { \varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } } { 4 \pi } \int _ { v } d ^ { 3 } x \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } ( \textbf { x } ) \hat { \chi } ( \textbf { x } ) \right\} d t .
\frac { g _ { R } } { \sqrt { g _ { 1 } ^ { 2 } + g _ { R } ^ { 2 } } } = \cos \theta _ { R } , \, f r a c { g _ { 1 } } { \sqrt { g _ { 1 } ^ { 2 } + g _ { R } ^ { 2 } } } = \sin \theta _ { R } .
\left( \widehat { \mathcal { P } } ( \omega ) \right) _ { W } [ x , p ] = \frac { j } { \hbar } \sum _ { b } M _ { s } M _ { I } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \! \! \! \! d t \, e ^ { - \Gamma t } e ^ { j \omega t } \varphi _ { t } ( x , p )
\begin{array} { r l r } { \langle u \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { h } \int _ { 0 } ^ { h } u ( x + \mathrm { i } y ) \, \mathrm { d } y , } \\ & { = } & { U + \frac { 1 } { h } \int _ { 0 } ^ { h } G _ { S } ( z - z _ { 0 } , F ) \, \mathrm { d } y + \frac { 1 } { h } \int _ { 0 } ^ { h } G _ { D } ( z - z _ { 0 } , R ^ { 2 } D ) \, \mathrm { d } y } \\ & { } & { + \frac { 1 } { h } \int _ { 0 } ^ { h } G _ { Q } ( z - z _ { 0 } , R ^ { 4 } Q ) \, \mathrm { d } y + \frac { 1 } { h } \int _ { 0 } ^ { h } G _ { O } ( z - z _ { 0 } , R ^ { 6 } O ) \, \mathrm { d } y + \mathcal { O } \left( R ^ { 4 } , \frac { R ^ { 4 } } { h ^ { 4 } } \right) } \end{array}
s _ { i } ( \mathbf { u } ) = w _ { i } \left( \frac { \textbf { c } _ { i } \cdot \textbf { u } } { c _ { s } ^ { 2 } } + \frac { ( \textbf { c } _ { i } \cdot \textbf { u } ) ^ { 2 } } { 2 c _ { s } ^ { 4 } } - \frac { \textbf { u } \cdot \textbf { u } } { 2 c _ { s } ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l r } { \! \! \! \! \! \! \! \! \mathcal { A } _ { 1 } } & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \frac { 1 } { h _ { k } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left( \left( \frac { 1 + x } { 2 } \right) ^ { 2 } \ln ^ { 2 } \frac { 1 + x } { 2 } + \left( \frac { 1 - x } { 2 } \right) ^ { 2 } \ln ^ { 2 } \frac { 1 - x } { 2 } \right) } \\ & { } & { \times \left( \frac { 1 - x } { 2 } \right) ^ { a } \left( \frac { 1 + x } { 2 } \right) ^ { b } J _ { k } ^ { ( a , b ) } ( x ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } x } \\ { \! \! \! \! \! \! \! \! \mathcal { A } _ { 2 } } & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \frac { 2 } { h _ { k } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 - x } { 2 } \right) ^ { a + 1 } \left( \frac { 1 + x } { 2 } \right) ^ { b + 1 } \ln \frac { 1 - x } { 2 } \ln \frac { 1 + x } { 2 } J _ { k } ^ { ( a , b ) } ( x ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta V ( z ^ { r } , k ) } & { { } \leq \frac { 1 } { 2 } ( z ^ { r } ) ^ { \top } \big ( M _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } M _ { f } ^ { r } ( k ) - I \big ) z ^ { r } } \end{array}
C _ { q } = \sqrt { \pi } q ! \Big [ \frac { 1 + ( - 1 ) ^ { q } } { \Gamma ( \frac { q } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ) } + \frac { 1 - ( - 1 ) ^ { q } } { \Gamma ( \frac { q } { 2 } + 1 ) } \Big ] = \frac { 2 \sqrt { \pi } q ! } { \Gamma [ ( 2 q + 3 - ( - 1 ) ^ { q } ) / 4 ] }
\begin{array} { r l } { \mathbf { I } _ { \mathcal { E } _ { \mathbf { A } } } ( \mathbf { x } ) } & { = \int _ { S ^ { \prime } } \mathbf { J } _ { \mathrm { M S } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) d S ^ { \prime } , } \\ { \mathbf { I } _ { \mathcal { E } _ { \Phi } } ( \mathbf { x } ) } & { = \int _ { S ^ { \prime } } \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { J } _ { \mathrm { M S } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \nabla ^ { \prime } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) d S ^ { \prime } , } \\ { \mathbf { I } _ { \mathcal { M } } ( \mathbf { x } ) } & { = \int _ { S ^ { \prime } } \mathbf { J } _ { \mathrm { M S } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \times \nabla ^ { \prime } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) d S ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \omega _ { 1 } , } & { 2 \omega _ { P } - \omega _ { 1 } ) = \ell ( \omega _ { 1 } ) \ell ( 2 \omega _ { P } - \omega _ { 1 } ) } \\ & { \approx \left[ \frac { \frac { \Gamma _ { 2 , S } ^ { 2 } } { 4 } } { \frac { \Gamma _ { 2 , S } ^ { 2 } } { 4 } + ( \omega _ { 1 } - \omega _ { S } ) ^ { 2 } } \frac { \frac { \Gamma _ { 2 , I } ^ { 2 } } { 4 } } { \frac { \Gamma _ { 2 , I } ^ { 2 } } { 4 } + ( \omega _ { 1 } - \omega _ { S } ) ^ { 2 } } \right] } \\ & { + \left[ \frac { \frac { \Gamma _ { 2 , S } ^ { 2 } } { 4 } } { \frac { \Gamma _ { 2 , S } ^ { 2 } } { 4 } + ( \omega _ { 1 } - \omega _ { I } ) ^ { 2 } } \frac { \frac { \Gamma _ { 2 , I } ^ { 2 } } { 4 } } { \frac { \Gamma _ { 2 , I } ^ { 2 } } { 4 } + ( \omega _ { 1 } - \omega _ { I } ) ^ { 2 } } \right] } \\ & { = \mathcal { C } _ { 1 } ( \omega _ { 1 } ) + \mathcal { C } _ { 2 } ( \omega _ { 1 } ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { F } ( \varepsilon _ { S } ; \varepsilon , \gamma ) } & { : = E _ { N _ { s } } ( \varepsilon - \varepsilon _ { S } ) - \frac { 1 } { \beta } \log { \Omega _ { N _ { s } } ( \varepsilon _ { S } , \gamma ) } } \\ & { = D V ^ { \ast } \bigg ( \frac { \kappa _ { E } } { 2 } \big ( \varepsilon - \varepsilon _ { S } \big ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad - \kappa _ { S } T \log { \Big [ - ( \varepsilon _ { S } + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } ) \Big ] } \bigg ) } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { t \in ( 0 , T ) } \left\Vert e ^ { - \mu t } P _ { \Sigma _ { 2 } } \left( \varphi _ { t } ^ { \rho } ( v ) - \varphi _ { t } ^ { \rho } ( w ) \right) \right\Vert _ { V } \leq C _ { 0 } ( 1 - k _ { \rho } ) ^ { - 1 } \Vert v - w \Vert _ { V } .
\begin{array} { r l } & { \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 1 + \sqrt { 3 } } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } a ^ { \frac { m ( m + 1 / 3 ) } { 2 } } b ^ { \frac { m ( m - 1 / 3 ) } { 2 } } e ^ { 2 \pi i m x } } \\ & { - \sqrt { 3 } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } a ^ { \frac { ( m + 1 / 3 ) ( m + 2 / 3 ) } { 2 } } b ^ { \frac { m ( m + 1 / 3 ) } { 2 } } e ^ { 2 \pi i ( m + 1 / 3 ) x } } \\ & { - \sqrt { 3 } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } a ^ { \frac { m ( m - 1 / 3 ) } { 2 } } b ^ { \frac { ( m - 1 / 3 ) ( m - 2 / 3 ) } { 2 } } e ^ { 2 \pi i ( m - 1 / 3 ) x } } \\ { = } & { f \left( a ^ { ( 1 / 9 ) } e ^ { 2 \pi i ( x + 1 ) / 3 } , b ^ { ( 1 / 9 ) } e ^ { - 2 \pi i ( x + 1 ) / 3 } \right) + f \left( a ^ { ( 1 / 9 ) } e ^ { 2 \pi i ( x - 1 ) / 3 } , b ^ { ( 1 / 9 ) } e ^ { - 2 \pi i ( x - 1 ) / 3 } \right) } \\ & { - \frac { 2 } { 1 + \sqrt { 3 } } f \left( a ^ { ( 1 / 9 ) } e ^ { 2 \pi i x } , b ^ { ( 1 / 9 ) } e ^ { - 2 \pi i x } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \sigma _ { X } ^ { 2 } = { \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { m \xi ^ { 2 } } } \left[ 1 + 2 \xi t - \left( 2 - e ^ { - \xi t } \right) ^ { 2 } \right] ; \qquad \sigma _ { P } ^ { 2 } = m k _ { \mathrm { B } } T \left( 1 - e ^ { - 2 \xi t } \right) } \\ & { \beta = { \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { \xi \sigma _ { X } \sigma _ { P } } } \left( 1 - e ^ { - \xi t } \right) ^ { 2 } } \\ & { { \boldsymbol { \mu } } _ { X } = \mathbf { r } ^ { \prime } + ( m \xi ) ^ { - 1 } \left( 1 - e ^ { - \xi t } \right) \mathbf { p } ^ { \prime } ; \qquad { \boldsymbol { \mu } } _ { P } = \mathbf { p } ^ { \prime } e ^ { - \xi t } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \hat { r } | \Delta G ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \} } & { = } & { \hat { r } \mathcal { U } ( \tau ) \hat { r } \hat { r } \mathcal { I } ^ { - 1 } \hat { r } \hat { r } \mathcal { R } ( \tau ^ { \prime } ) \hat { r } \hat { r } \hat { \kappa } \hat { r } \hat { r } | 0 ) } \\ & { = } & { - \mathcal { U } ( \tau _ { c } - \tau ) \mathcal { I } ^ { - 1 } \mathcal { R } ( \tau _ { c } - \tau ^ { \prime } ) \hat { \kappa } | 0 ) } \\ & { = } & { | \Delta G ( \tau _ { c } - \tau , \tau _ { c } - \tau ^ { \prime } ) \} . } \end{array}
d \Omega _ { d - 1 } ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { d } ( d \omega ^ { i } ) ^ { 2 } = d \theta _ { 1 } ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta _ { 1 } d \theta _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + \sin ^ { 2 } \theta _ { 1 } \cdots \sin ^ { 2 } \theta _ { d - 2 } d \theta _ { d - 1 } ^ { 2 } .
\ddot { \varphi } _ { r n } = - \frac { 3 \rho \mu _ { E } } { 2 a _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \beta _ { n } ^ { * } - \beta _ { r } ^ { * } \right) = - \frac { 3 \rho \mu _ { E } } { 2 a _ { 0 } ^ { 2 } } \Delta \beta ^ { * }
\langle a ^ { * } f \rangle = \langle b ^ { * } g \rangle = \frac { B ( p ^ { 2 } ) } { p ^ { 2 } A ^ { 2 } ( p ^ { 2 } ) - B ^ { 2 } ( p ^ { 2 } ) } = \frac { B ( p ^ { 2 } ) } { A ( p ^ { 2 } ) } D ( p ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \nu ( \widetilde { \alpha } ) } & { = \widetilde { x } _ { k + 1 } ^ { H } C V _ { k } V _ { k } ^ { H } A \widetilde { x } _ { k + 1 } / \| C _ { k } z ( \widetilde { \alpha } ) \| ^ { 2 } \quad \mathrm { ( d u e ~ t o ~ ) } } \\ & { = \widetilde { x } _ { k + 1 } ^ { H } C V _ { k } V _ { k } ^ { H } A ( \widetilde { x } _ { * } - \Delta x ) / \| C _ { k } z ( \widetilde { \alpha } ) \| ^ { 2 } } \\ & { = \widetilde { x } _ { k + 1 } ^ { H } C V _ { k } V _ { k } ^ { H } A \widetilde { x } _ { * } / \| C _ { k } z ( \widetilde { \alpha } ) \| ^ { 2 } + h _ { 1 } \quad \mathrm { ( ~ h _ 1 ~ d e n o t e s ~ r e m a i n i n g ~ t e r m s ) } } \\ & { = \mu _ { * } \widetilde { x } _ { k + 1 } ^ { H } C V _ { k } V _ { k } ^ { H } C \widetilde { x } _ { * } / \| C _ { k } z ( \widetilde { \alpha } ) \| ^ { 2 } + \lambda _ { * } \widetilde { x } _ { k + 1 } ^ { H } C V _ { k } V _ { k } ^ { H } \widetilde { x } _ { * } / \| C _ { k } z ( \widetilde { \alpha } ) \| ^ { 2 } + h _ { 1 } } \\ & { = \mu _ { * } \widetilde { x } _ { k + 1 } ^ { H } C V _ { k } V _ { k } ^ { H } C \widetilde { x } _ { k + 1 } / \| C _ { k } z ( \widetilde { \alpha } ) \| ^ { 2 } + \lambda _ { * } \widetilde { x } _ { k + 1 } ^ { H } C V _ { k } V _ { k } ^ { H } \widetilde { x } _ { k + 1 } / \| C _ { k } z ( \widetilde { \alpha } ) \| ^ { 2 } + h _ { 2 } } \\ & { = \mu _ { * } \widetilde { x } _ { k + 1 } ^ { H } C V _ { k } V _ { k } ^ { H } C \widetilde { x } _ { k + 1 } / \| C _ { k } z ( \widetilde { \alpha } ) \| ^ { 2 } + \lambda _ { * } \widetilde { x } _ { k + 1 } ^ { H } C \widetilde { x } _ { k + 1 } / \| C _ { k } z ( \widetilde { \alpha } ) \| ^ { 2 } + h _ { 2 } } \\ & { = \mu _ { * } \widetilde { x } _ { k + 1 } ^ { H } C V _ { k } V _ { k } ^ { H } C \widetilde { x } _ { k + 1 } / \| C _ { k } z ( \widetilde { \alpha } ) \| ^ { 2 } + h _ { 2 } , } \end{array}
t _ { 0 } r \mathcal { E } _ { \theta } ^ { \delta } ( r , \theta ; \tau ) = \Theta ( \tau - R ) V _ { 0 } C _ { 0 } \sum _ { \zeta _ { 0 } } Q _ { e } ( { \bf r } ; \zeta _ { 0 } ) e ^ { q _ { 0 } ( \tau - R + 1 ) }
( 1 + \xi ^ { 2 } ) \frac { d ^ { 2 } { \Sigma ^ { \prime } } } { d \xi ^ { 2 } } + 2 \xi \frac { d \Sigma ^ { \prime } } { d \xi } + \left( \omega ^ { 2 } b _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 + \xi ^ { 2 } ) \right) \Sigma ^ { \prime } = 0
\begin{array} { r l } { g ^ { - 1 } } & { = \rho _ { b } ^ { - 2 } \bigg ( \Delta _ { b } \partial _ { r } ^ { 2 } + \frac { \chi ^ { 2 } - 1 } { \Delta _ { b } } \Big ( ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) \partial _ { t _ { \chi } } + a \partial _ { \varphi } \Big ) ^ { 2 } + \partial _ { \theta } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } \Big ( \partial _ { \varphi } + a \sin ^ { 2 } \theta \partial _ { t _ { \chi } } \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad + 2 \chi \Big ( ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) \partial _ { t _ { \chi } } + a \partial _ { \varphi } \Big ) \partial _ { r } \bigg ) . } \end{array}