harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
( d ) \supset \gcd ( \operatorname { c o n t } ( ( f - f _ { 0 } ) g ) ) = \gcd ( \operatorname { c o n t } ( f - f _ { 0 } ) ) \gcd ( \operatorname { c o n t } ( g ) ) = \gcd ( \operatorname { c o n t } ( f - f _ { 0 } ) )
\left\{ \begin{array} { l l } { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { i } ) a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { n } ) - a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { n } ) a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { i } ) = A ( \theta , U _ { n } ) B ( \theta , U _ { i } ) C _ { 1 } ( \theta ) D _ { 1 } ( U _ { i } , U _ { n } ) } \\ { a _ { U } ( \theta , U _ { n } ) = B ( \theta , U _ { n } ) C _ { 2 } ( \theta ) D _ { 2 } ( U _ { n } ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \mathrm { U } _ { \mathrm { H } } \left( t _ { 1 } , t _ { 2 } , t _ { 3 } \right) = \frac { \sqrt { 3 } } { \sqrt [ 3 ] { 2 } } \exp \left( - \frac { i } { 2 } \, t _ { 1 } t _ { 3 } - \frac { i } { 8 } \, t _ { 3 } ^ { 3 } \right) } \\ & { \smash { \widetilde { U } } _ { H } \left( \frac { 3 \, t _ { 3 } ^ { 2 } + 4 \, t _ { 1 } - 4 \sqrt { 3 } \, t _ { 2 } } { 2 ^ { 8 / 3 } } , \frac { 3 \, t _ { 3 } ^ { 2 } + 4 \, t _ { 1 } + 4 \sqrt { 3 } \, t _ { 2 } } { 2 ^ { 8 / 3 } } , - \frac { 3 \, t _ { 3 } } { \sqrt [ 3 ] { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) - \phi ^ { \delta } ( 0 , 0 ) } & { = - ( x - x _ { i } ) t _ { 1 } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) a _ { 1 } ( 0 , 0 ) \left( X _ { \alpha } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) + \textstyle \frac { x - x _ { i } } { 2 } Y _ { 1 } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) \right) , } \\ { \xi ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) - \xi ^ { \delta } ( 0 , 0 ) } & { = ( x - x _ { i } ) t _ { 1 } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) b _ { 1 } ( 0 , 0 ) \left( X _ { \alpha } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) + \textstyle \frac { x - x _ { i } } { 2 } Y _ { 1 } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) \right) , } \\ { X _ { \beta } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) - X _ { \beta } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) } & { = ( x - x _ { i } ) t _ { 1 } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) c _ { 1 } ( 0 , 0 ) \left( X _ { \alpha } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) + \textstyle \frac { x - x _ { i } } { 2 } Y _ { 1 } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { s } ( t ) } & { = \mathbf { s } _ { 0 } + \mathbf { v } _ { 0 } t + { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { a } t ^ { 2 } = \mathbf { s } _ { 0 } + { \frac { 1 } { 2 } } \left( \mathbf { v } _ { 0 } + \mathbf { v } ( t ) \right) t } \\ { \mathbf { v } ( t ) } & { = \mathbf { v } _ { 0 } + \mathbf { a } t } \\ { { v ^ { 2 } } ( t ) } & { = { v _ { 0 } } ^ { 2 } + 2 \mathbf { a \cdot } [ \mathbf { s } ( t ) - \mathbf { s } _ { 0 } ] , } \end{array} }
\begin{array} { r } { I _ { 1 } ( \mathbf { r } , t ) = A ( \mathbf { r } , t ) + B ( \mathbf { r } , t ) \cos [ \Delta \phi ( \mathbf { r } , t ) ] } \\ { I _ { 2 } ( \mathbf { r } , t ) = A ( \mathbf { r } , t ) - B ( \mathbf { r } , t ) \cos [ \Delta \phi ( \mathbf { r } , t ) ] } \end{array}
\sum _ { n = 1 } ^ { N } \omega _ { ( n , l ) } e ^ { - \sigma \omega _ { ( n , l ) } } = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \oint _ { C _ { N } } d z e ^ { - \sigma z } z { \frac { d } { d z } } \ln \Delta _ { l } ( z )
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } ( \Sigma ) } & { \ge } & { ( n - 1 ) \, \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \operatorname* { i n f } _ { \Sigma _ { t } ^ { * } } \frac { \langle X , \nu _ { t } \rangle _ { g } } f \, \mathcal { H } ^ { n - 1 } ( \Sigma _ { t } ^ { * } ) ^ { 2 } \, \Big ( \int _ { \Sigma _ { t } ^ { * } } \frac { H _ { \Sigma _ { t } ^ { * } } } { f } \, \langle X , \nu _ { t } \rangle _ { g } \, \Big ) ^ { - 1 } } \\ & { \ge } & { \lambda \, h ( 0 ) \, \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \, \mathcal { H } ^ { n - 1 } ( \Sigma _ { t } ^ { * } ) \ge \lambda h ( 0 ) ^ { n } \, \mathrm { v o l } \, ( N ) \, , } \end{array}
\mathcal { U } _ { \mathrm { I } } ( \mathbf { x } ) = \mathcal { U } _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { x } ) + \mathcal { U } _ { \mathrm { B } } ( \mathbf { x } ) + \mathcal { U } _ { \mathrm { p l } } ( \mathbf { x } )
\begin{array} { r l } { Z _ { 5 } } & { = 2 \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \eta _ { i } ( \eta _ { j } - \tilde { \eta } _ { j } ) \eta _ { j } ( \eta _ { k } - \tilde { \eta } _ { k } ) \widetilde { \Omega } _ { k \ell } \widetilde { \Omega } _ { \ell i } + \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \eta _ { i } ( \eta _ { j } - \tilde { \eta } _ { j } ) ^ { 2 } \eta _ { k } \widetilde { \Omega } _ { k \ell } \widetilde { \Omega } _ { \ell i } } \\ & { \qquad + \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } ( \eta _ { i } - \tilde { \eta } _ { i } ) \eta _ { j } ^ { 2 } ( \eta _ { k } - \tilde { \eta } _ { k } ) \widetilde { \Omega } _ { k \ell } \widetilde { \Omega } _ { \ell i } } \\ & { \equiv Z _ { 5 a } + Z _ { 5 b } + Z _ { 5 c } . } \end{array}
L = 2 . 7 \times 1 0 ^ { 4 } c ^ { 2 } \, \mathrm { e r g / s } \, \frac { B ^ { 2 } } { ( 1 0 ^ { 1 2 } \mathrm { G } ) ^ { 2 } } \, \frac { M ^ { 4 } } { ( 1 0 ^ { - 1 2 } M _ { \odot } ) ^ { 4 } } \, \frac { ( 1 0 ^ { 6 } \mathrm { c m } ) ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \quad ,
S h o c k _ { t } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { ~ ~ { \mathrm { i f } } ~ \Delta I m p ( t ) > 0 ~ { \mathrm { a n d } } ~ d _ { t } > d _ { c } } \\ { 0 , } & { ~ ~ { \mathrm { i f } } ~ \Delta I m p ( t ) \le 0 } \end{array} \right. ,
\int \csc ^ { 3 } { x } \, d x = - { \frac { 1 } { 2 } } \csc x \cot x - { \frac { 1 } { 2 } } \ln | \csc x + \cot x | + C = - { \frac { 1 } { 2 } } \csc x \cot x + { \frac { 1 } { 2 } } \ln | \csc x - \cot x | + C
\begin{array} { r l } { g _ { \mu \nu } ( X ( \sigma ) ) d ( X ^ { \mu } ( \sigma ) ) d ( X ^ { \nu } ( \sigma ) ) } & { = g _ { \mu \nu } ( X ( \sigma ) ) \partial _ { a } X ^ { \mu } ( \sigma ) \partial _ { b } X ^ { \nu } ( \sigma ) d \sigma ^ { a } d \sigma ^ { b } } \\ & { = \gamma _ { a b } ( \sigma ) d \sigma ^ { a } d \sigma ^ { b } } \end{array}
\chi _ { n } ( z ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } n ! } } \left( \frac { 1 } { \pi a _ { z } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } H _ { n } ( z / a _ { z } ) e ^ { - \frac { z ^ { 2 } } { 2 a _ { z } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } ^ { 2 } } & { { } \leq ( 1 + \epsilon ) \operatorname* { m i n } \lbrace u _ { - } ^ { 2 } , u _ { + } ^ { 2 } \rbrace + \frac { 1 + \epsilon ^ { - 1 } } { 2 } \| \partial _ { 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } ^ { 2 } } \end{array}
R _ { 1 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } = - R _ { 0 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 0 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } + \sum _ { k } R _ { 1 ^ { \prime } k 1 ^ { \prime } k } = R _ { 1 1 } + \sinh ^ { 2 } \alpha \sum _ { k } ( R _ { 0 k 0 k } + R _ { 1 k 1 k } ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { M ^ { 2 } } { \kappa } \left. \frac { \partial u _ { 1 , r } } { \partial r } \right| _ { r = 1 } } & { { } = \left. \frac { \partial v _ { 0 , r } } { \partial r } \right| _ { r = 1 } } \\ { \frac { M ^ { 2 } } { \kappa } \left. \left( \frac { 1 } { r } \frac { \partial u _ { 1 , r } } { \partial \theta } + \frac { \partial u _ { 1 , \theta } } { \partial r } - \frac { u _ { 1 , \theta } } { r } \right) \right| _ { r = 1 } } & { { } = \left. \left( \frac { 1 } { r } \frac { \partial v _ { 0 , r } } { \partial \theta } + \frac { \partial v _ { 0 , \theta } } { \partial r } - \frac { v _ { 0 , \theta } } { r } \right) \right| _ { r = 1 } , } \end{array}
f _ { 3 } \simeq - \frac { c _ { 1 ; 1 } \rho ^ { 2 } } { 2 } \frac { m ^ { 2 } } { 4 } \left( \log \frac { m ^ { 2 } \rho ^ { 2 } } { 4 t } + 2 \gamma - 1 \right) .
\begin{array} { r l } { N } & { { } = I _ { \mathrm { 1 } } f _ { \mathrm { 1 } } + I _ { \mathrm { 1 } } f _ { \mathrm { 2 } } + I _ { \mathrm { 1 } } f _ { \mathrm { 3 } } + . . . } \\ { N } & { { } = I _ { \mathrm { 1 } } ( f _ { \mathrm { 1 } } + f _ { \mathrm { 2 } } + f _ { \mathrm { 3 } } ) + . . . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \Phi _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } } & { = \bigg ( \int _ { 0 } ^ { 1 } | \Phi _ { k } ( t , y ) | ^ { 2 } d y \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } = \bigg ( \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big | \int _ { 0 } ^ { y } \partial _ { y } \Phi _ { k } ( t , z ) d z \Big | ^ { 2 } d y \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \leq \bigg ( \int _ { 0 } ^ { 1 } y \int _ { 0 } ^ { y } \Big | \partial _ { y } \Phi _ { k } ( t , z ) \Big | ^ { 2 } d z d y \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leq \frac { 1 } { 2 } \bigg ( \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big | \partial _ { y } \Phi _ { k } ( t , z ) \Big | ^ { 2 } d z \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leq \| \partial _ { y } \Phi _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { 3 } [ \ell ] = \mathbb { E } \left[ | \mathcal { U } _ { i } ( x + \ell , t ) - \mathcal { U } ( x , t ) | ^ { 3 } \right] = - \frac { 4 } { 5 } \epsilon \ell } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { 0 } } & { { } = \varphi , } \\ { \theta _ { n + 1 } } & { { } = \theta _ { n } - { \frac { 2 \theta _ { n } + \sin 2 \theta _ { n } - \pi \sin \varphi } { 2 + 2 \cos 2 \theta _ { n } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \downarrow ^ { ( k ) } \rangle } & { \approx \left| \left( N = 0 , M _ { N } = 0 , M _ { s } = - \frac { 1 } { 2 } , M _ { I } = + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { ( k ) } \right\rangle , } \\ { | \uparrow ^ { ( k ) } \rangle } & { \approx \left| \left( N = 1 , M _ { N } = 0 , M _ { s } = - \frac { 1 } { 2 } , M _ { I } = + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { ( k ) } \right\rangle . } \end{array}
\mathbf { F } _ { \mathrm { A B } } = - G M _ { \mathrm { A } } M _ { \mathrm { B } } { \frac { { \hat { \mathbf { R } } } _ { \mathrm { A B } } } { | \mathbf { R } _ { \mathrm { A B } } | ^ { 2 } } }
W _ { Y u k a w a } = M ( \overline { { { { \bf 1 6 } } } } { \bf 1 6 } ) + a _ { i } ( \overline { { { { \bf 1 6 } } } } { \bf 1 6 } _ { i } ) { \bf 4 5 } _ { H } + b _ { i } ( { \bf 1 6 } { \bf 1 6 } _ { i } ) { \bf 1 0 } _ { H } .
\begin{array} { r } { ( T _ { i } ^ { ( 1 ) } ) _ { \alpha } = \frac { 1 } { N _ { c } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { c } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } ( \mathcal G ^ { i } ) _ { j m } ( \mathcal R ^ { i } ) _ { j , \alpha + 1 } ( \mathcal F _ { 1 } ( \mathcal D ^ { i } ) ) _ { m } , \ \alpha = 1 , 2 , 3 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \mathbf x _ { b } , \mathbf v , t _ { n + 1 / 2 } ) } & { { } = f ^ { t } ( \mathbf x _ { b } , \mathbf v , t _ { n } ) - \tau D _ { t } f ^ { t } ( \mathbf x _ { b } , \mathbf v , t _ { n } ) } \end{array}
- \pi \left( 3 t ^ { 2 } - \pi ^ { 2 } \right) F _ { 1 } ( t ) \left. + t \left( t ^ { 2 } - 3 \pi ^ { 2 } \right) F _ { 2 } ( t ) + \pi \kappa \left( 3 t ^ { 2 } - \pi ^ { 2 } \right) \right] ,
{ \bf x } _ { n + 1 } ^ { \mathrm { T } } . { \bf x } _ { n + 1 } = { \bf x } _ { 0 } ^ { \mathrm { T } } { \bf S } ^ { n } { \bf x } _ { 0 } = { \bf x } _ { 0 } ^ { \mathrm { T } } ( { \bf R } \mathbf { \Sigma } ^ { n } { \bf R } ^ { - 1 } ) { \bf x } _ { 0 } \, ,
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { x } ( t ) } & { { } = } & { R \left( \cos ( \omega t ) \, , \, \sin ( \omega t ) \, , \, 0 \right) \, , } \\ { \boldsymbol { v } ( t ) } & { { } = } & { \frac { d \vec { x } ( t ) } { d t } \approx R \omega \left( - \sin ( \omega t ) \, , \, \cos ( \omega t ) \, , \, 0 \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } & { } & { \tilde { w } _ { 0 } = } & { \tilde { x } ^ { \frac { 5 } { 1 2 } } \tilde { y } ^ { \frac { 1 } { 3 } } \tilde { z } ^ { \frac { 1 } { 3 } } ( 1 + \cdots ) , } & { \tilde { w } _ { 1 } = } & { \tilde { x } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \tilde { y } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \tilde { z } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 + \cdots ) , } & { \tilde { w } _ { 2 } = } & { \tilde { x } ^ { \frac { 7 } { 1 2 } } \tilde { y } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \tilde { z } ^ { \frac { 2 } { 3 } } ( 1 + \cdots ) } \\ & { } & { \tilde { w } _ { 3 } = } & { \tilde { x } ^ { \frac { 1 1 } { 1 2 } } \tilde { y } ^ { \frac { 4 } { 3 } } \tilde { z } ^ { \frac { 1 } { 3 } } ( 1 + \cdots ) , } & { \tilde { w } _ { 4 } = } & { \tilde { x } ^ { \frac { 1 3 } { 1 2 } } \tilde { y } ^ { \frac { 5 } { 3 } } \tilde { z } ^ { \frac { 2 } { 3 } } ( 1 + \cdots ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { j } } & { > \tilde { \gamma } _ { j i } \circ \tilde { \gamma } _ { i j _ { 1 } } \circ \tilde { \gamma } _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } \circ \cdots \circ \tilde { \gamma } _ { j _ { k } j } ( s _ { j } ) \geq \tilde { \gamma } _ { j i } \circ \gamma _ { i j _ { 1 } } \circ \gamma _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } \circ \cdots \circ \gamma _ { j _ { k } j } ( s _ { j } ) } \\ & { = ( \gamma _ { j i } + \omega ) \circ \gamma _ { i j _ { 1 } } \circ \gamma _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } \circ \cdots \circ \gamma _ { j _ { k } j } ( s _ { j } ) \geq \| s \| _ { \ell _ { \infty } } \geq s _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( 1 - \lambda _ { s } ^ { 2 } \nabla \nabla \cdot + \lambda ^ { 2 } \nabla \times \nabla \times \right) \tau \partial _ { t } \vec { w } - 2 \lambda _ { d } ^ { 2 } \nabla \nabla \cdot \vec { w } } \\ & { \quad \quad = \frac { f \rho } { \zeta } \tau \partial _ { t } \vec { m } } \\ & { \tau \partial _ { t } \vec { m } = 2 ( \vec { m } _ { e q } ( \vec { w } ) - \vec { m } ) } \\ & { \vec { m } _ { e q } = \frac { \vec { w } \tau } { 3 a } \left( 1 - \frac { 3 } { 5 } \left( \frac { \vec { w } \tau } { 3 a } \right) ^ { 2 } \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { L I } ( Z ( \Delta ) , Z ( \mathfrak { m } ) ) } & { \quad \Longleftrightarrow \quad Z ( \mathfrak { m } + \Delta ) \hookrightarrow Z ( \Delta ) \times Z ( \mathfrak { m } ) , } \\ { \mathrm { R I } ( Z ( \Delta ) , Z ( \mathfrak { m } ) ) } & { \quad \Longleftrightarrow \quad Z ( \mathfrak { m } + \Delta ) \hookrightarrow Z ( \mathfrak { m } ) \times Z ( \Delta ) . } \end{array}
j _ { \mathrm { e x , 0 } } ( x ) = q ( \delta ( x - x _ { 0 } ) - \delta ( x - y _ { 0 } ) ) = \frac { q } { q } { L } \sum _ { p \in \cal Z } j _ { p } ^ { \mathrm { e x } } e ^ { - i \frac { 2 \pi p } { 2 \pi p } { L } x } ,
M _ { L , R } ^ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } P ^ { \mu } P _ { \mu } = \frac { 1 } { 2 } ( P _ { L , R } ^ { 2 5 } ) ^ { 2 } + \frac { 2 } { \alpha ^ { \prime } } ( N _ { L , R } - 1 ) .
( f _ { \pi } ^ { T } ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left[ ( f _ { \pi } ^ { T = 0 } ) ^ { 2 } + f _ { \pi } ^ { T = 0 } \sqrt { ( f _ { \pi } ^ { T = 0 } ) ^ { 2 } - \frac { T ^ { 2 } } { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { \Delta _ { 1 } ( \mathbf { r } ) } & { = \frac { { \left( \lambda r _ { 1 2 } ^ { 3 } + 2 \right) } m _ { 1 } m _ { 2 } } { r _ { 1 2 } ^ { 3 } } > 0 } \\ { \Delta _ { 2 } ( \mathbf { r } ) } & { = \frac { { \left( \lambda r _ { 1 2 } ^ { 3 } + 2 \right) } { \left( \lambda r _ { 1 3 } ^ { 3 } + 2 \right) } m _ { 1 } ^ { 2 } m _ { 2 } m _ { 3 } } { r _ { 1 2 } ^ { 3 } r _ { 1 3 } ^ { 3 } } > 0 } \\ { \Delta _ { 3 } ( \mathbf { r } ) } & { = \frac { { \left( \lambda r _ { 1 2 } ^ { 3 } + 2 \right) } { \left( \lambda r _ { 1 3 } ^ { 3 } + 2 \right) } { \left( \lambda r _ { 1 4 } ^ { 3 } + 2 \right) } m _ { 1 } ^ { 3 } m _ { 2 } m _ { 3 } m _ { 4 } } { r _ { 1 2 } ^ { 3 } r _ { 1 3 } ^ { 3 } r _ { 1 4 } ^ { 3 } } > 0 . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \left( \frac { \mathbf { Q } } { J } \right) + \frac { \partial \hat { \mathbf { F } } } { \partial \xi } + \frac { \partial \hat { \mathbf { G } } } { \partial \eta } + \frac { \partial \hat { \mathbf { H } } } { \partial \zeta } = 0
\begin{array} { r } { \boldsymbol H _ { t + r } = [ H _ { t + r } ^ { 1 } , H _ { t + r } ^ { 2 } ] \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \boldsymbol C _ { t + r } = [ C _ { t + r } ^ { 1 } , C _ { t + r } ^ { 2 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi _ { 3 } \left( r _ { i j l } , r _ { i k l } , \theta _ { i j k l } \right) = } & { { } } & { \lambda _ { i j k l } \epsilon _ { i j k l } \left[ \cos \theta _ { i j k l } - \cos \theta _ { 0 i j k l } \right] ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { n } ( p _ { A } , p _ { B } ) } & { = \mathrm { P } ( \mathrm { \textnormal { T e a m ~ A ~ w i n s ~ g a m e ~ t o } ~ n ~ } \mid \mathrm { \textnormal { T e a m ~ A ~ s e r v e s ~ f i r s t } } ) } \\ & { \qquad - \mathrm { P } ( \mathrm { \textnormal { T e a m ~ A ~ w i n s ~ g a m e ~ t o } ~ n ~ } \mid \mathrm { \textnormal { T e a m ~ B ~ s e r v e s ~ f i r s t } } ) } \\ & { \; = 1 - \mathrm { P } ( \mathrm { \textnormal { T e a m ~ B ~ w i n s ~ g a m e ~ t o } ~ n ~ } \mid \mathrm { \textnormal { T e a m ~ A ~ s e r v e s ~ f i r s t } } ) } \\ & { \qquad - [ 1 - \mathrm { P } ( \mathrm { \textnormal { T e a m ~ B ~ w i n s ~ g a m e ~ t o } ~ n ~ } \mid \mathrm { \textnormal { T e a m ~ B ~ s e r v e s ~ f i r s t } } ) ] } \\ & { \; = \mathrm { P } ( \mathrm { \textnormal { T e a m ~ B ~ w i n s ~ g a m e ~ t o } ~ n ~ } \mid \mathrm { \textnormal { T e a m ~ B ~ s e r v e s ~ f i r s t } } ) } \\ & { \qquad - \mathrm { P } ( \mathrm { \textnormal { T e a m ~ B ~ w i n s ~ g a m e ~ t o } ~ n ~ } \mid \mathrm { \textnormal { T e a m ~ A ~ s e r v e s ~ f i r s t } } ) } \\ & { \; = f _ { n } ( p _ { B } , p _ { A } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf p _ { 1 } = \epsilon _ { 0 } \hat { \alpha } \mathbf E _ { 0 , 1 } + k _ { 0 } ^ { 2 } \hat { \alpha } \hat { G } \mathbf p _ { 2 } , } \\ { \mathbf p _ { 2 } = \epsilon _ { 0 } \hat { \alpha } \mathbf E _ { 0 , 2 } + k _ { 0 } ^ { 2 } \hat { \alpha } \hat { G } \mathbf p _ { 1 } , } \end{array}
P _ { \mathrm { e x } } ^ { ( 2 \mathrm { s t ) } } = \frac { \Gamma g _ { m } } { 2 \kappa } \biggl [ \frac { \kappa x _ { 1 } + 2 } { \exp ( - \kappa x _ { 1 } ) } - \frac { g _ { m } - 1 } { g _ { m } } \frac { \kappa x _ { 2 } + 2 } { \exp ( \kappa x _ { 2 } ) } \biggr ] .
{ \begin{array} { r l } { { \hat { H } } | \psi \rangle } & { = { \hat { H } } ( c _ { 1 } | \psi _ { 1 } \rangle + c _ { 2 } | \psi _ { 2 } \rangle ) } \\ & { = c _ { 1 } { \hat { H } } | \psi _ { 1 } \rangle + c _ { 2 } { \hat { H } } | \psi _ { 2 } \rangle } \\ & { = E ( c _ { 1 } | \psi _ { 1 } \rangle + c _ { 2 } | \psi _ { 2 } \rangle ) } \\ & { = E | \psi \rangle } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \| \nabla _ { \bar { g } } u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } } & { = 2 E _ { f } ( u ( t ) ) - \int _ { M } ( 2 \bar { K } u ( t ) - f \mathrm { e } ^ { 2 u ( t ) } ) d \mu _ { \bar { g } } } \\ & { = 2 E _ { f } ( u ( t ) ) + \int _ { M } ( 2 | \bar { K } | u ( t ) + f \mathrm { e } ^ { 2 u ( t ) } ) d \mu _ { \bar { g } } } \\ & { \le 2 E _ { f } ( u _ { 0 } ) + | \bar { K } | \log ( A ) + A \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } } \\ & { \le \| \nabla u _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } + | \bar { K } | \Bigl ( \log ( A ) + 2 \| u _ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( M , \bar { g } ) } \Bigr ) + 2 A \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } } \\ & { \le c _ { 0 } + c _ { 1 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } \qquad \mathrm { f o r ~ t ~ \in ~ [ 0 , T ) ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { L e f t } _ { \psi } ( x , n ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { L e f t } _ { \Delta } ( x , n ) \quad } & { \mathrm { i f ~ } x \not \in \mathrm { I m } ( \psi ) { \downarrow } } \\ { \mathrm { T h e ~ \preceq _ { l e x } ~ - l e a s t ~ } y \in \mathrm { S u c c } _ { \Delta } ( x , n ) \cap \mathrm { I m } ( \psi ) { \downarrow } \quad } & { \mathrm { i f ~ } x \in \mathrm { I m } ( \psi ) { \downarrow } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { B _ { 3 , K , I , n } ^ { * } | ( \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { D } _ { I , n } ) = \sqrt { I + n + 1 } \sum _ { i = K + 1 } ^ { I + n } C _ { I - i , i } ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \widehat { f } _ { j , n } ^ { * } - \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \widehat { f } _ { j , n } \right) | ( \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { D } _ { I , n } ) . } \end{array}
C _ { \mathrm { O S } } ^ { ( 2 ) } = - i \alpha _ { 1 } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \lambda } v _ { \rho } \mathrm { S } _ { \lambda } - \alpha _ { 2 } ( v \cdot u ) ^ { 2 } - \alpha _ { 5 } u ^ { 2 } - \alpha _ { 6 } \chi _ { + } ,
\{ \theta _ { \mathrm { i n , 0 } } , \phi _ { \mathrm { i n , 0 } } , \theta _ { \mathrm { b m , 0 } } , \phi _ { \mathrm { b m , 0 } } , \theta _ { \mathrm { t r , 0 } } , \phi _ { \mathrm { t r , 0 } } \}
\begin{array} { r l } & { \Omega _ { u } ^ { q G } ( 0 ; q > 1 ) = \frac { 1 } { \sqrt { 1 - q } \sqrt { 5 - 3 q } \, \sigma _ { 2 u } ^ { q G } { C ^ { q G } } ^ { 2 } } } \\ & { \times B e t a \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 5 - q } { 2 q - 1 } \right) \ _ { 2 } F _ { 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { q - 1 } ; \frac { 2 } { q - 1 } ; 1 - \left( \frac { \sigma _ { 1 u } ^ { q G } } { \sigma _ { 2 u } ^ { q G } } \right) ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \widetilde \mathbf { x } ^ { \prime \prime } ( t ) \| \leq \| \sum _ { k = 0 } ^ { n } \beta ^ { n - k } \nabla ^ { 2 } E _ { k } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \widetilde \mathbf { x } ^ { \prime } ( t ) \| + \frac { h } { 2 ( 1 - \beta ) } \| ( I ) \| + \frac { h \beta } { 2 ( 1 - \beta ) } \| ( I I ) \| \leq c _ { 2 } . } \end{array}
B _ { 1 , j } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\{ \begin{array} { l l } { p [ k ] } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; 1 \leq ( v [ j ] - s + k ) \leq K } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { ( \nabla ^ { 3 } f ) _ { Q } ( W , U , U ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \lambda \, \sum _ { k , l , m } \tilde { W } _ { k l } \tilde { U } _ { l m } \tilde { U } _ { m k } \left( \frac { q _ { k } } { ( q _ { k } + \lambda ) ( q _ { m } + \lambda ) } \left( 1 - \frac { q _ { l } + q _ { m } } { q _ { l } + \lambda } \right) + \frac { q _ { l } } { ( q _ { l } + \lambda ) ( q _ { m } + \lambda ) } \left( 1 - \frac { q _ { k } + q _ { m } } { q _ { k } + \lambda } \right) \right) . } \end{array}
\Delta P ^ { ( q ) } \equiv \left| \Delta P ^ { ( q ) } \right| \, e ^ { i \delta _ { \Delta P } ^ { ( q ) } } \equiv \frac { P _ { c u } ^ { ( q ) } } { P _ { t u } ^ { ( q ) } } = \frac { P _ { c } ^ { ( q ) } - P _ { u } ^ { ( q ) } } { P _ { t } ^ { ( q ) } - P _ { u } ^ { ( q ) } }
\sigma \left( 2 \tau \right) = \left( \begin{array} { c c } { 2 i \tau \nu _ { r } ^ { \left( 1 \right) } / \pi } & { - i \exp \left( i \arg \Omega \right) } \\ { - i \exp \left( - i \arg \Omega \right) } & { - 2 i \tau \nu _ { r } ^ { \left( 1 \right) } / \pi } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \gamma } & { { } \in \{ 0 . 1 , 0 . 3 , 0 . 5 ^ { * } \} } \\ { \delta } & { { } \in \{ 0 . 3 ^ { * } , 0 . 5 , 0 . 7 ^ { * } \} } \\ { c _ { 0 } } & { { } \in \{ 0 . 1 , 0 . 2 , 0 . 3 , 0 . 4 , 0 . 5 , 0 . 6 , 0 . 7 , 0 . 8 , 0 . 9 \} } \\ { \mu } & { { } \in \{ 0 . 1 , 0 . 3 , 0 . 5 \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { p G _ { 0 } ^ { \prime } } & { { } = - \nu k ^ { 2 } G _ { 0 } ^ { \prime } + { k } ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { - 1 } G _ { - } + i k \tilde { B } _ { 0 } H _ { + } , } \\ { p G _ { - } } & { { } = - \nu ( 1 + k ^ { 2 } ) G _ { - } + \frac { 1 } { 2 } k ( 1 - k ^ { 2 } ) G _ { 0 } ^ { \prime } + i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { + } , } \\ { p H _ { + } } & { { } = - \eta ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { + } + i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { - 1 } G _ { - } + \frac { 1 } { 2 } i k \tilde { B } _ { 0 } G _ { 0 } ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathop { \mathbb { E } } \| \bar { e } _ { x } ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \mu \alpha ) \mathop { \mathbb { E } } \| \bar { e } _ { x } ^ { k } \| ^ { 2 } - 2 \alpha ( 1 - 2 L \alpha ) \mathop { \mathbb { E } } \big ( f ( \bar { x } ^ { k } ) - f ( x ^ { \star } ) \big ) } \\ & { \quad + \frac { \alpha L } { n } \left( 1 + 2 \alpha L \right) \mathop { \mathbb { E } } \| { \mathbf { x } } ^ { k } - \mathbf { 1 } \otimes \bar { x } ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { \alpha ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { n } } \\ & { \leq ( 1 - \mu \alpha ) \mathop { \mathbb { E } } \| \bar { e } _ { x } ^ { k } \| ^ { 2 } - \alpha \big ( \mathop { \mathbb { E } } f ( \bar { x } ^ { k } ) - f ( x ^ { \star } ) \big ) } \\ & { \quad + \frac { 3 L \alpha } { 2 n } \mathop { \mathbb { E } } \| { \mathbf { x } } ^ { k } - \mathbf { 1 } \otimes \bar { x } ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { \alpha ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { n } , } \end{array}