harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
P _ { \lambda } : = \left\{ g \in G : \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow 0 } \lambda ( t ) g \lambda ( t ) ^ { - 1 } \mathrm { ~ e x i s t s ~ i n ~ } G \right\} \stackrel { q _ { \lambda } } { \twoheadrightarrow } L _ { \lambda } : = \left\{ \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow 0 } \lambda ( t ) g \lambda ( t ) ^ { - 1 } : g \in P _ { \lambda } \right\} ;
\left\{ \begin{array} { l l } { P : p _ { 1 } , p _ { 2 } , \dots , p _ { i } , \dots , p _ { m - 1 } , p _ { m } } \\ { Q : q _ { 1 } , q _ { 2 } , \dots , q _ { j } , \dots , q _ { n - 1 } , q _ { n } } \end{array} \right. ,
\log P ( k _ { 1 } , l _ { 1 } , \dots , k _ { n } , l _ { n } \, | \, \rho ) \approx \log \frac { N ^ { n } } { n ! } + \log \bar { P } + \sum _ { m = 1 } ^ { n } \log \bar { I } _ { l _ { m } } + \log \sum _ { i } w _ { i } \tilde { P } _ { i } \sum _ { j } \prod _ { m = 1 } ^ { n } \tilde { I } _ { i , k _ { m } + j , l _ { m } } ,
\left( \begin{array} { l l } { \omega _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \omega _ { 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { c _ { 1 } } \\ { c _ { 2 } } \end{array} \right) = \Omega \left( \begin{array} { l l } { 1 + V _ { 1 1 } } & { V _ { 1 2 } } \\ { V _ { 1 2 } } & { 1 + V _ { 2 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { c _ { 1 } } \\ { c _ { 2 } } \end{array} \right)
i { \mathcal { M } } _ { u } = ( - i e ) ^ { 2 } { \bar { u } } ( p _ { 3 } ) \gamma ^ { \mu } u ( p _ { 2 } ) { \frac { - i } { u } } { \bar { u } } ( p _ { 4 } ) \gamma _ { \mu } u ( p _ { 1 } )
\begin{array} { r l } { J _ { ( 1 , 0 ) } } & { = \left( \begin{array} { c c } { 1 - v _ { I } } & { 0 } \\ { 0 } & { v _ { T } - \frac { ( 1 - r ) \left( w ^ { N _ { I } } - 1 \right) } { N _ { T } ( w - 1 ) } } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { c c } { 1 - v _ { I } } & { 0 } \\ { 0 } & { v _ { T } - v _ { T } ^ { * } } \end{array} \right) . } \end{array}
O _ { m l k } = \langle ( \vec { q } \cdot [ \stackrel { \leftrightarrow } { \pi } : \vec { f } _ { l } ^ { ( 1 ) } \otimes \vec { f } _ { m } ^ { ( 2 ) ^ { * } } ] ) \cdot \vec { u } _ { k } ^ { \: m l * } \rangle .
\left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu } \frac { d ^ { 2 } } { d R ^ { 2 } } + \frac { \hbar ^ { 2 } J ( J + 1 ) } { 2 \mu R ^ { 2 } } + V _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ( R ) \right] \chi ( R ) = E _ { \mathrm { ~ n ~ u ~ } } \, \chi ( R ) \ ,
\frac { \partial } { \partial t } \left( \phi \rho _ { T } z _ { c } \right) + \nabla \cdot \sum _ { \alpha = 1 } ^ { n _ { p h } } \left( { x _ { c , \alpha } \rho _ { \alpha } u _ { \alpha } } + \rho _ { T } J _ { \alpha } \right) = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { n _ { p h } } { x _ { c , \alpha } \rho _ { \alpha } q _ { \alpha } } ,
\begin{array} { r } { x ( 0 ^ { + } ) = \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } ( 0 ^ { + } ) } \\ { x _ { 2 } ( 0 ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { - \frac { 1 } { r } \left( \varphi ^ { - } ( 0 ^ { - } ; x ( a ) ) \right) _ { 2 } + \left( \varphi ^ { - } ( 0 ^ { - } ; x ( a ) ) \right) _ { 1 } } \\ { \left( \varphi ^ { - } ( 0 ^ { - } ; x ( a ) ) \right) _ { 2 } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { V ( x ^ { \prime } , z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { z } & { z \in [ 0 , J _ { \operatorname* { m a x } } ] , \ \exists t \in [ 0 , T ] , w ( \cdot ) \in \mathcal { W } : x ( t \mid x _ { 0 } , w ( \cdot ) ) \in X _ { u } , \ J ( w ( t ^ { \prime } ) ) \leq z \ \forall t ^ { \prime } \in [ 0 , t ] } \\ { \infty } & { \textrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta E ^ { \prime } } & { { } = - \, \frac { \Delta _ { B } } { 2 } \left( 1 - \frac { T } { T _ { c o r r } } \right) ^ { 2 \beta } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ A ~ F ~ M ~ } \, , } \\ { \Delta E ^ { \prime } } & { { } = + \, \frac { \Delta _ { B } } { 2 } \left( 1 - \frac { T } { T _ { c o r r } } \right) ^ { 2 \beta } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ F ~ M ~ } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { - \frac 1 2 \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \rho ^ { 2 } } - \frac 1 { 2 \rho } \frac { \partial f } { \partial \rho } + \frac { S ^ { 2 } } { 2 \rho ^ { 2 } } f + \frac 1 2 \omega ^ { 2 } \rho ^ { 2 } f + } \\ { + | f | ^ { 2 } \ln | f | ^ { 2 } f = \mu f . } \end{array}
\alpha = \frac { 3 ^ { 2 / 3 } } { 4 \pi ^ { 2 } } [ \Gamma ^ { 2 } ( 1 / 3 ) / 6 + \Gamma ^ { 2 } ( 2 / 3 ) / 2 ^ { 1 / 3 } ] \approx 0 . 1 4
\begin{array} { r } { f _ { x } ^ { \prime } ( u _ { 0 } , \hat { u } _ { 0 } ) = - \frac { n } { k } \frac { \hat { u } _ { 0 } } { u _ { 0 } - \hat { u } _ { 0 } } \frac { \gamma } { \gamma + 1 } p _ { 0 } ( u _ { 0 } ) ( 1 + o ( 1 ) ) , } \\ { f _ { y } ^ { \prime } ( u _ { 0 } , \hat { u } _ { 0 } ) = \frac { n } { k } \frac { u _ { 0 } } { u _ { 0 } - \hat { u } _ { 0 } } \frac { \gamma } { \gamma + 1 } p _ { 0 } ( u _ { 0 } ) ( 1 + o ( 1 ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \bigg [ | | \textbf { U } _ { N _ { \delta } } - \textbf { U } _ { N } | | _ { W } ^ { 2 } \bigg ] = \int _ { \Omega } | | \textbf { U } _ { N _ { \delta } } - \textbf { U } _ { N } | | _ { W } ^ { 2 } d P = } \\ & { \int _ { \boldsymbol { \Gamma } } | | \textbf { U } _ { N _ { \delta } } ( y ) - \textbf { U } _ { N } ( y ) | | _ { W } ^ { 2 } \rho ( y ) \ d y \leq \int _ { \boldsymbol { \Gamma } } \Delta _ { N } ^ { N _ { \delta } } ( y ) ^ { 2 } \rho ( y ) \ d y , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { c } } & { { } = } & { \frac { 4 \Omega _ { p } ^ { 2 } \Omega _ { C } ^ { 4 } } { \left[ \left( \gamma _ { 2 } + \frac { \omega _ { p } \sigma } { c } \Gamma \right) \left( \Omega _ { L O } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \right) + \Omega _ { C } ^ { 2 } \gamma \right] ^ { 3 } } \frac { \gamma ^ { 2 } \Omega _ { L O } ^ { 2 } } { \left( \Omega _ { L O } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \right) } \left( 1 + \Gamma ^ { \prime } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
P _ { \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } , \kappa } ^ { \cos } ( x ) = \kappa P _ { \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } } ^ { \cos } ( x ) , \quad P _ { \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } , \kappa } ^ { \sin } ( x ) = \kappa P _ { \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } } ^ { \sin } ( x ) ,
\begin{array} { r l } { 0 = } & { \frac { \partial \mathcal { E } _ { \gamma } ^ { - } ( \mathbf { x } ) } { \partial \mathbf { x } } \mathbf { f } ( \mathbf { x } ) + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial \mathcal { E } _ { \gamma } ^ { - } ( \mathbf { x } ) } { \partial \mathbf { x } } \mathbf { g } ( \mathbf { x } ) \mathbf { g } ( \mathbf { x } ) ^ { \top } \frac { \partial ^ { \top } \mathcal { E } _ { \gamma } ^ { - } ( \mathbf { x } ) } { \partial \mathbf { x } } } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \gamma ^ { - 2 } ) \mathbf { h } ( \mathbf { x } ) ^ { \top } \mathbf { h } ( \mathbf { x } ) } \end{array}
\begin{array} { l } { T = ( y _ { 5 } - y _ { 6 } - y _ { 7 } ) ( y _ { 5 } - y _ { 6 } + y _ { 7 } ) ( y _ { 5 } + y _ { 6 } - y _ { 7 } ) ( y _ { 5 } + y _ { 6 } + y _ { 7 } ) ( y _ { 3 } - y _ { 4 } - y _ { 7 } ) ( y _ { 3 } - y _ { 4 } + y _ { 7 } ) } \\ { ( y _ { 3 } + y _ { 4 } - y _ { 7 } ) ( y _ { 3 } + y _ { 4 } + y _ { 7 } ) ( y _ { 2 } - y _ { 4 } - y _ { 6 } ) ( y _ { 2 } - y _ { 4 } + y _ { 6 } ) ( y _ { 2 } + y _ { 4 } - y _ { 6 } ) ( y _ { 2 } + y _ { 4 } + y _ { 6 } ) } \\ { ( y _ { 2 } - y _ { 3 } - y _ { 5 } ) ( y _ { 2 } - y _ { 3 } + y _ { 5 } ) ( y _ { 2 } + y _ { 3 } - y _ { 5 } ) ( y _ { 2 } + y _ { 3 } + y _ { 5 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 4 } - y _ { 5 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 4 } + y _ { 5 } ) } \\ { ( y _ { 1 } + y _ { 4 } - y _ { 5 } ) ( y _ { 1 } + y _ { 4 } + y _ { 5 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 3 } - y _ { 6 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 3 } + y _ { 6 } ) ( y _ { 1 } + y _ { 3 } - y _ { 6 } ) ( y _ { 1 } + y _ { 3 } + y _ { 6 } ) } \\ { ( y _ { 1 } - y _ { 2 } - y _ { 7 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 2 } + y _ { 7 } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } - y _ { 7 } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } + y _ { 7 } ) . } \end{array}
{ \cal U } _ { \cal A } = \exp \left( - \frac { 2 \pi { \mathrm i } } { l } \frac { \delta } { 2 b } \left( \frac { l } { 2 \pi } \hat { p } \right) ^ { 2 } \right) \exp \left( - \frac { 2 \pi { \mathrm i } } { l } \frac { 1 } { 2 b } \left[ ( 1 - a ) \frac { l } { 2 \pi } \hat { p } + b \frac { l } { 2 \pi } \hat { q } \right] ^ { 2 } \right)
\frac { d \sigma _ { \mathrm { B F K L } } } { d x _ { s } d t } = \left[ g ( x _ { s } , - t ) + \frac { 1 6 } { 8 1 } \Sigma ( x _ { s } , - t ) \right] \frac { d \sigma _ { \mathrm { B F K L } } } { d t } ( \gamma g \to \gamma g ) \; ,
\overbrace { \phantom { \left. \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { \infty , k } \tilde { E } _ { k } ( \mathrm { d } _ { \rho } E _ { k } ) \right| _ { 0 } ^ { T } } } ^ { = \; 0 }
m _ { A } ^ { \phantom { A } B } = \frac { 1 } { 2 ! } ( { \cal P } _ { + } \Gamma ^ { M N } ) _ { A } ^ { \phantom { A } B } C _ { M N } + \frac { 1 } { 6 ! } ( { \cal P } _ { + } \Gamma ^ { M _ { 1 } \ldots M _ { 6 } } ) _ { A } ^ { \phantom { A } B } Z _ { M _ { 1 } \ldots M _ { 6 } } ^ { + } \; .
\begin{array} { c } { { \Phi _ { n } = \frac { ( \sqrt { z } - \frac { 1 } { \sqrt { z } } ) ^ { n } } { ( - z ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } } \frac { \sqrt { \prod _ { i } x _ { i } \prod _ { i } y _ { i } } } { \Delta ( x ) \Delta ( y ) } \prod _ { p , q } ( z x _ { p } - y _ { q } ) \times } } \\ { { \times \operatorname * { d e t } _ { i , j } \left| \left| \frac { 1 } { ( z x _ { i } - y _ { j } ) ( x _ { i } - y _ { j } ) } \right| \right| = } } \\ { { = \prod _ { p , q } h ( \mu _ { p } , \lambda _ { q } ) \prod _ { i < j } [ g ( \mu _ { j } , \mu _ { i } ) g ( \lambda _ { i } , \lambda _ { j } ) ] \operatorname * { d e t } _ { i , j } \left| \left| \frac { g ^ { 2 } ( \mu _ { i } , \lambda _ { j } ) } { f ( \mu _ { i } , \lambda _ { j } ) } \right| \right| } } \end{array}
\Pi _ { 1 } = \frac { \widehat { y } \, \widehat { U _ { y } } } { \widehat { u } _ { \tau } } ~ , \quad \Pi _ { 2 } = - \widehat { \mathcal { L } } \, \frac { \widehat { p _ { x } } } { \widehat { \tau } _ { w } } \equiv \beta ~ , \quad \Pi _ { 3 } = \frac { \beta \, \widehat { y } } { \widehat { \mathcal { L } } } ~ .
\begin{array} { r l } { F \left[ e \right] \left( u \left( 0 \right) \right) } & { = \left( F \left[ \gamma \right] \right) \left( u \left( 0 \right) \right) } \\ & { = F \left[ e _ { 3 } ^ { * } \left( \gamma \right) \right] \circ F \left[ e _ { 2 } ^ { * } \left( \gamma \right) \right] \circ F \left[ e _ { 1 } ^ { * } \left( \gamma \right) \right] \left( u \left( 0 \right) \right) } \\ & { = F \left[ e _ { 3 } ^ { * } \left( \gamma \right) \right] \circ F \left[ e _ { 2 } ^ { * } \left( \gamma \right) \right] \left( u \left( 1 \right) \right) } \\ & { = F \left[ e _ { 3 } ^ { * } \left( \gamma \right) \right] \left( u \left( 2 \right) \right) } \\ & { = u \left( 3 \right) } \end{array}
\hat { H } _ { \frac { 1 } { 2 } } = \sum _ { i } ( \hat { S } _ { i } ^ { x } \hat { S } _ { i + 1 } ^ { x } + \hat { S } _ { i } ^ { y } \hat { S } _ { i + 1 } ^ { y } + \Delta \hat { S } _ { i } ^ { z } \hat { S } _ { i + 1 } ^ { z } )
\begin{array} { r l } & { S _ { s , z } ^ { 2 } ( x \mathbf { D } _ { i } , x \mathbf { D } _ { i } y ) } \\ & { \quad = S _ { s , z } ^ { 2 } ( x , x ) D _ { i } ^ { 2 } y + S _ { s , z } ^ { 2 } ( x \mathbf D _ { i } , x ) D _ { i } y + S _ { s , z } ^ { 2 } ( x , x \mathbf D _ { i } ) D _ { i } y + S _ { s , z } ^ { 2 } ( x \mathbf D _ { i } , x \mathbf D _ { i } ) y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } \left( Y _ { i } ^ { T } = y ^ { T } , X _ { i } ^ { 2 : T } = x ^ { 2 : T } \, | \, X _ { i 1 } = x _ { 1 } \right) } & { = \bigg [ \int _ { { \cal { S } } } \, \prod _ { t = 1 } ^ { T } F ( \theta x _ { t } + \alpha ) ^ { y _ { t } } [ 1 - F ( \theta x _ { t } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { t } } \pi _ { x ^ { T } } ( \alpha ) d \mu ( \alpha ) \bigg ] } \\ & { \quad \quad \quad \times \operatorname* { P r } \left( X _ { i } ^ { 2 : T } = x ^ { 2 : T } \, | \, X _ { i 1 } = x _ { 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { \Theta } } & { = t _ { R } , } \\ { \delta _ { \Theta \Theta } } & { = - \frac { 1 } { 3 } \tau _ { \Theta } \left( \gamma _ { - 2 } ^ { \Theta } m ^ { 2 } + 6 \right) , } \\ { \tau _ { \Theta \Theta } } & { = - \frac { 4 } { 1 1 } \tau _ { \Theta } \left( 2 \gamma _ { - 2 } ^ { \Theta } m ^ { 2 } + 9 \right) , } \\ { \ell _ { \Theta \Omega } } & { = - \frac { 4 } { 9 } \tau _ { \Theta } \left( m ^ { 2 } \gamma _ { - 1 } ^ { \Omega } - \gamma _ { 1 } ^ { \Omega } \right) , } \\ { \ell _ { \Theta \pi } } & { = - \frac { 4 } { 2 1 } \tau _ { \Theta } \left( \gamma _ { - 2 } ^ { \pi } m ^ { 4 } + 7 m ^ { 2 } - 8 \gamma _ { 2 } ^ { \pi } \right) , } \\ { \lambda _ { \Theta \Omega } } & { = - \frac { 4 } { 9 } \tau _ { \Theta } \left[ m ^ { 2 } \left( \frac { \partial \gamma _ { - 1 } ^ { \Omega } } { \partial \alpha _ { 0 } } + h _ { 0 } ^ { - 1 } \frac { \partial \gamma _ { - 1 } ^ { \Omega } } { \partial \beta _ { 0 } } \right) - \left( \frac { \partial \gamma _ { 1 } ^ { \Omega } } { \partial \alpha _ { 0 } } + h _ { 0 } ^ { - 1 } \frac { \partial \gamma _ { 1 } ^ { \Omega } } { \partial \beta _ { 0 } } \right) \right] , } \\ { \tau _ { \Theta \Omega } } & { = - 4 \tau _ { \Theta } \left[ \gamma _ { 1 } ^ { \Omega } - \frac { \beta _ { 0 } } { 9 } \left( m ^ { 2 } \frac { \partial \gamma _ { - 1 } ^ { \Omega } } { \partial \alpha _ { 0 } } - \frac { \partial \gamma _ { 1 } ^ { \Omega } } { \partial \beta _ { 0 } } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \alpha _ { 0 } ^ { \mathrm { F N M } } = \frac { 1 } { 2 M _ { \mathrm { n u c } } } \partial _ { \varepsilon } ^ { 2 } \big | _ { \varepsilon = 0 } \langle \Psi _ { 0 } | \nabla _ { \mathrm { n u c } } ^ { 2 } | \Psi _ { 0 } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { - \xi \pi } ^ { \xi \pi } y | y | ^ { - \alpha } f ( y / \xi ) e ^ { - \mathrm { i } y } d y = \int _ { \pi } ^ { j \pi } y | y | ^ { - \alpha } f ( y / \xi ) e ^ { - \mathrm { i } y } d y + \int _ { - j \pi } ^ { - \pi } y | y | ^ { - \alpha } f ( y / \xi ) e ^ { - \mathrm { i } y } d y + \mathfrak { b } _ { 2 } ( \xi ) , } \end{array}
( \delta _ { L L } ^ { d } ) _ { 1 3 } = \frac { 1 } { \tilde { m } ^ { 2 } } ( \tilde { m } _ { 1 } ^ { 2 } K _ { 1 1 } K _ { 1 3 } ^ { \dag } + \tilde { m } _ { 2 } ^ { 2 } K _ { 1 2 } K _ { 2 3 } ^ { \dag } + \tilde { m } _ { 3 } ^ { 2 } K _ { 1 3 } K _ { 3 3 } ^ { \dag } )
t - t _ { 0 } = \int \left( 9 V ^ { 4 / 3 } + 3 \Lambda V ^ { 2 } + 3 k _ { 4 } ^ { 2 } \rho _ { 0 } V ^ { 2 - \gamma } + \frac 1 4 k _ { 5 } ^ { 4 } \rho _ { 0 } ^ { 2 } V ^ { 2 - 2 \gamma } + C \right) ^ { - 1 / 2 } d V ,
\begin{array} { r l r } { \langle r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n } \rangle } & { { } = } & { \frac { 3 X ^ { 2 } + 3 X + 2 } { 1 - X ^ { 3 } } \left( \frac { k _ { B } T } { \kappa } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, { \cal R } _ { 4 } } \\ { \langle r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n + 1 } \rangle } & { { } = } & { \frac { 2 X ^ { 3 } + 3 X ^ { 2 } + 2 X + 1 } { 1 - X ^ { 3 } } \left( \frac { k _ { B } T } { \kappa } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } { \cal R } _ { 4 } } \\ { \langle r ^ { n } r ^ { n + 1 } r ^ { n + 1 } \rangle } & { { } = } & { \frac { X ^ { 4 } + 2 X ^ { 3 } + 2 X ^ { 2 } + 2 X + 1 } { 1 - X ^ { 3 } } \left( \frac { k _ { B } T } { \kappa } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } { \cal R } _ { 4 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal E ( J ( \mathrm { H e a p } ( \mathsf { s o r t } _ { \mathsf { c } ^ { ( n ) } } ( w _ { 0 } ) ) ) ) } & { \leq \mathcal E ( J ( R _ { ( 4 n - 2 r ( c ^ { ( n ) } ) ) \times ( 2 n + 2 r ( c ^ { ( n ) } ) ) } ) ) } \\ & { = \frac { 1 } { p } \left( 6 + 4 \sqrt { ( 1 - p ) ( 2 - \overline { r } ) ( 1 + \overline { { r } } ) } \right) n + o ( n ) . } \end{array}
\left| B _ { 2 } ^ { \operatorname { L } } \right| \leqslant \frac { n } { 1 8 } + 1 - \operatorname* { m i n } \left( \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { i ( 4 ) } \right| } { 3 } \! - \! 1 , \operatorname* { m a x } \left( 2 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { i ( 4 ) } \right| - \! \frac { n } { 1 8 } \! - \! 2 , 0 \right) \right) .
f _ { \mathrm { s t a b } } = \sum _ { m = 1 } ^ { M } \left[ h _ { m } \sum _ { j , i > j } ^ { N } \left( | \mathcal { B } _ { i } | ^ { 2 } | \eta _ { i } | ^ { 2 } - | \mathcal { B } _ { j } | ^ { 2 } | \eta _ { j } | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right] .
{ \left[ \begin{array} { l l } { a } & { \mathbf { v } } \\ { \mathbf { w } } & { b } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { a ^ { \prime } } & { \mathbf { v } ^ { \prime } } \\ { \mathbf { w } ^ { \prime } } & { b ^ { \prime } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { a a ^ { \prime } + \mathbf { v } \cdot \mathbf { w } ^ { \prime } } & { a \mathbf { v } ^ { \prime } + b ^ { \prime } \mathbf { v } + \mathbf { w } \times \mathbf { w } ^ { \prime } } \\ { a ^ { \prime } \mathbf { w } + b \mathbf { w } ^ { \prime } - \mathbf { v } \times \mathbf { v } ^ { \prime } } & { b b ^ { \prime } + \mathbf { v } ^ { \prime } \cdot \mathbf { w } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } & { = \frac { 1 } { J _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } \left( \begin{array} { l l } { \langle ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { u } ) \times ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { v } ) , \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { u u } \rangle } & { \langle ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { u } ) \times ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { v } ) , \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { u v } \rangle } \\ { \langle ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { u } ) \times ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { v } ) , \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { v u } \rangle } & { \langle ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { u } ) \times ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { v } ) , \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { v v } \rangle } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \partial _ { s } \Big [ \nabla _ { x } \mathrm { J } _ { \varepsilon } h ( s , x - ( t - s ) v ) \Big ] \cdot \nabla _ { v } f ( t , x , v ) \, \mathrm { d } v \mathrm { d } s } & { = - \int _ { \mathbb R ^ { d } } \nabla _ { x } \mathrm { J } _ { \varepsilon } h ( 0 , x - t v ) \cdot \nabla _ { v } f ( t , x , v ) \, \mathrm { d } v . } \end{array}
O \left( d ^ { \frac 1 3 } \kappa ^ { \frac 2 3 } \log ^ { 3 } \left( d \kappa \right) + \kappa ^ { 2 } \log ^ { 4 } \left( d \kappa \right) \right) \mathrm { ~ d e p t h ~ a n d ~ } O \left( \left( d ^ { \frac 1 3 } \kappa ^ { \frac 2 3 } \log ^ { 3 } \left( d \kappa \right) + \kappa ^ { 2 } \log ^ { 4 } \left( d \kappa \right) \right) \cdot d \right) \mathrm { ~ w o r k } .
\left( P _ { \cal E } \right) _ { \mu \nu } = \frac { 1 } { 2 } \left( \bar { n } _ { \mu } n _ { \nu } + n _ { \mu } \bar { n } _ { \nu } \right) , \qquad \left( P _ { \cal H } \right) _ { \mu \nu } = \frac { 1 } { 2 } \left( \bar { m } _ { \mu } m _ { \nu } + m _ { \mu } \bar { m } _ { \nu } \right)
\begin{array} { r l r } { \left[ \xi , \xi , \xi \right] ^ { \left( s \right) } } & { = } & { 0 } \\ { \lbrack \xi , \xi , \exp _ { s } \left( t \xi \right) ] ^ { \left( s \right) } } & { = } & { 0 } \\ { \left[ \xi , \exp _ { s } \left( t \xi \right) , \exp _ { s } \left( \tau \xi \right) \right] ^ { \left( s \right) } } & { = } & { 0 , } \end{array}
{ \cal J } _ { 1 0 1 } ( \omega , p ) \simeq - \frac { 1 6 \, p } { ( p ^ { 2 } + 1 ) ^ { 3 } } \left( 1 - \frac { \omega } { 2 } \, \frac { p ^ { 2 } - 9 } { p ^ { 2 } + 1 } \right) ,
\begin{array} { r l } { < \Vert u _ { t } ^ { ( m ) } - u _ { t } ^ { ( n ) } \Vert _ { \mu } > } & { = < \Vert \sum _ { k = n } ^ { m - 1 } u _ { t } ^ { ( k + 1 ) } - u _ { t } ^ { ( k ) } \Vert _ { \mu } > \leq \sum _ { k = n } ^ { m - 1 } < \Vert u _ { t } ^ { ( k + 1 ) } - u _ { t } ^ { ( k ) } \Vert _ { \mu } > } \\ & { \leq \sum _ { k = n } ^ { m - 1 } \sum _ { x \in Z ^ { d } } \mu ( x ) \frac { A _ { 1 } A _ { 2 } ^ { k } t ^ { k + 1 } } { ( k + 1 ) ! } = \sum _ { x \in Z ^ { d } } \mu ( x ) \sum _ { k = n } ^ { m - 1 } \frac { A _ { 1 } A _ { 2 } ^ { k } t ^ { k + 1 } } { ( k + 1 ) ! } \rightarrow 0 } \end{array}
\nabla ^ { 2 } p = \boldsymbol { \nabla } \cdot \left( \boldsymbol { u } \times \boldsymbol { \omega } - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { s } \cdot \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { s } \right) - \nabla ^ { 2 } \left( V _ { F } + \frac { | \vec { u } | ^ { 2 } } { 2 } \right) ,
A ( s , t ) \sim 2 \pi g _ { s } ^ { 2 } { \frac { N ^ { 2 } } { N - \alpha ^ { \prime } s / 4 - i \epsilon } } + ( { \mathrm t e r m s ~ a n a l y t i c ~ a t } ~ N = \alpha ^ { \prime } s / 4 ) \, .
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega \setminus B _ { R _ { \varepsilon } + 1 } } | u _ { { p _ { n } } } | ^ { p _ { n } } \, d x = \int _ { \Omega \setminus B _ { R _ { \varepsilon } + 1 } } | u _ { p _ { n } } \eta _ { R _ { \varepsilon } } | ^ { p _ { n } } \, d x } & { \le \| d _ { \Omega } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega \setminus B _ { R _ { \varepsilon } } ) } ^ { \, p _ { n } } \int _ { \Omega } \frac { | u _ { p _ { n } } \, \eta _ { R _ { \epsilon } } | ^ { p _ { n } } } { d _ { \Omega } ^ { \, p _ { n } } } \, d x } \\ & { \le \| d _ { \Omega } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega \setminus B _ { R _ { \varepsilon } } ) } ^ { \, p _ { n } } \, \frac { 1 } { \mathfrak { h } _ { p _ { n } } ( \Omega ) } \int _ { \Omega } | \nabla ( u _ { p _ { n } } \, \eta _ { R _ { \varepsilon } } ) | ^ { p _ { n } } \, d x } \\ & { \le \varepsilon ^ { \, p _ { n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \beta } _ { p , t } ^ { c , 1 } } & { = \boldsymbol { \beta } [ u ] \left( \boldsymbol { \xi } _ { p , t + \Delta t } , t + \Delta t \right) \Delta t ; } \\ { \boldsymbol { \beta } _ { p , t } ^ { c , 2 } } & { = \boldsymbol { \beta } [ u ] \left( \boldsymbol { \xi } _ { p , t } ^ { c , 1 } + \boldsymbol { \beta } _ { p , t } ^ { c , 1 } , t \right) \Delta t ; } \\ { \boldsymbol { \xi } _ { p , t } ^ { c } } & { = \boldsymbol { \xi } _ { p , t + \Delta t } + \frac { 1 } { 2 } \left( \boldsymbol { \beta } _ { p , t } ^ { c , 1 } + \boldsymbol { \beta } _ { p , t } ^ { c , 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { r } _ { j } ( t ) = } & { \left[ \lambda - r _ { j } ( t ) ^ { 2 } \right] r _ { j } ( t ) } \\ & { + K r _ { j + 1 } ( t - \tau ) \cos \left[ \varphi _ { j + 1 } ( t - \tau ) - \varphi _ { j } ( t ) \right] , } \\ { \dot { \varphi } _ { j } ( t ) = } & { \omega - \gamma r _ { j } ( t ) ^ { 2 } } \\ & { + K \frac { r _ { j + 1 } ( t - \tau ) } { r _ { j } ( t ) } \sin \left[ \varphi _ { j + 1 } ( t - \tau ) - \varphi _ { j } ( t ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { U } _ { 2 } ( y ) } & { { } = - 2 A \sigma _ { 2 } ^ { 2 } \eta _ { 2 x } ( y ) , \quad 1 \leq y \leq 1 + 2 d _ { 2 } } \\ { { U } ( y ) } & { { } = A y ^ { 2 } + B y + C , \quad - 1 \leq y \leq 1 } \\ { { U } _ { 1 } ( y ) } & { { } = - 2 A \sigma _ { 1 } ^ { 2 } \eta _ { 1 x } ( y ) , \quad - 1 - 2 d _ { 1 } \leq y \leq - 1 } \\ { P ( x ) } & { { } = P _ { 1 } ( x ) = P _ { 2 } ( x ) = \frac { 1 } { R e } \left( \frac { 1 } { 1 / 6 + C / A } \right) x + \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ t ~ a ~ n ~ t ~ } } \end{array}
C _ { 0 0 } = \frac { 1 } { 4 } \left[ B _ { 0 } ( { ( p _ { 1 } - p _ { 2 } ) ^ { 2 } } , m _ { 2 } ^ { 2 } , m _ { 1 } ^ { 2 } ) + ( m _ { 0 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 1 } ^ { 2 } ) C _ { 1 } + ( m _ { 0 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } + p _ { 2 } ^ { 2 } ) C _ { 2 } + 2 m _ { 0 } ^ { 2 } C _ { 0 } \right] .