harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
Z ^ { \alpha } \; = \; z ^ { \alpha } \; + \; \epsilon \, G _ { 1 } ^ { \alpha } \; + \; \epsilon ^ { 2 } \left( G _ { 2 } ^ { \alpha } \; + \; \frac { 1 } { 2 } \; G _ { 1 } ^ { \beta } \frac { \partial G _ { 1 } ^ { \alpha } } { \partial z ^ { \beta } } \right) + \cdots ,
\sigma = - \left( \frac { 2 } { 3 } \nu + \frac { 1 } { 2 } \eta \right) k _ { x } ^ { 2 } + \sqrt { - 1 } k _ { x } c _ { s } \sqrt { 1 - { \left( \frac { D + 1 } { D } \nu + \frac { \eta } { \rho } \right) } ^ { 2 } \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { c _ { s } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { v \to u _ { j } } ( x ( v ) - x ( u _ { j } ) ) \hat { Q } _ { | I | + 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( z ) , x ( v ) ; I ) } \\ & { = \lambda M _ { | I | } ^ { ( 0 ) } ( x ( z ) ; u _ { j } ; I \setminus u _ { j } ) - \frac { \lambda ^ { 2 } H _ { | I | } ^ { ( 0 ) } ( x ( z ) ; u _ { j } ; I \setminus u _ { j } ) } { ( x ( u _ { j } ) - x ( z ) ) ^ { 2 } } \equiv \lambda \hat { M } _ { | I | } ^ { ( 0 ) } ( x ( z ) ; u _ { j } ; I \setminus u _ { j } ) \; . } \end{array}
- \left( 1 - \frac { w \kappa } { 4 } e ^ { 2 \phi } \right) \partial ^ { 2 } \phi + 2 ( \partial \phi ) ^ { 2 } + \frac { \kappa } { 4 } e ^ { 2 \phi } \partial ^ { 2 } Z + e ^ { 2 \rho + 2 \phi } \left( \Lambda e ^ { - 2 \phi } - 1 \right) = 0 ;
\begin{array} { r l r } & { \frac { \lambda ( 2 \kappa + \lambda ) ^ { 2 } e ^ { ( \kappa + \lambda ) u } + \lambda ^ { 2 } ( 2 \kappa + \lambda ) e ^ { - ( \kappa + \lambda ) u } } { \lambda ^ { 2 } e ^ { - ( \kappa + \lambda ) s } - ( \lambda + 2 \kappa ) ^ { 2 } e ^ { ( \kappa + \lambda ) s } } , ~ ~ } & { \mathrm { i f } ~ \lambda + \kappa \neq 0 , } \\ & { \frac { \kappa ( \kappa u + 1 ) } { \kappa s + 2 } , ~ ~ } & { \mathrm { i f } ~ \lambda + \kappa = 0 . } \end{array}
C _ { G ^ { 2 } } ( Q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { Q ^ { 4 } } \frac { 1 } { 1 2 } \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \biggl ( 1 + \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \frac { 7 } { 6 } + O ( \alpha _ { s } ^ { 2 } ) \biggr ) ,
\begin{array} { r l } { \left| \mathcal { H } _ { 1 } \right| ^ { 2 } } & { = \left| h _ { 1 } + { \mathbf { \bar { g } } _ { 1 } \mathbf { \Phi } _ { 1 } \mathbf { g } _ { 1 } } \right| ^ { 2 } = \left( \left| h _ { 1 } \right| + \sum _ { i = 1 } ^ { M _ { 1 } } \left| \bar { g } _ { 1 } ^ { i } \right| \left| g _ { 1 } ^ { i } \right| \right) ^ { 2 } , } \\ { \left| \mathcal { H } _ { 2 } \right| ^ { 2 } } & { = \left| h _ { 2 } + { \mathbf { \bar { g } } _ { 2 } \mathbf { \Phi } _ { 2 } \mathbf { g } _ { 2 } } \right| ^ { 2 } = \left( \left| h _ { 2 } \right| + \sum _ { i = 1 } ^ { M _ { 2 } } \left| \bar { g } _ { 2 } ^ { i } \right| \left| g _ { 2 } ^ { i } \right| \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\langle s _ { 1 } \cdot \cdot \cdot s _ { N } | \Psi \rangle = e ^ { - { \frac { 1 } { 2 B } } \sum _ { i } \left( { \frac { \partial } { \partial s _ { i } } } \right) ^ { 2 } } \prod _ { i < j } ( e ^ { i 2 \pi s _ { i } / L _ { x } } - e ^ { i 2 \pi s _ { j } / L _ { x } } ) ^ { m } .
\begin{array} { r l } { p _ { U , S } ( u , t + \Delta t ) = } & { \sum _ { r = 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d h \, p _ { U | R } ^ { \mathrm { s t } } ( u | r ) \, p _ { R | S , H } ^ { \mathrm { s t } } ( r | h , s ) \, p _ { H } ( h , t + \Delta t ) \sum _ { s ^ { \prime } = 0 } ^ { N _ { S } } \sum _ { u ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } P ( s ^ { \prime } , t \to s , t + \Delta t ) | u ^ { \prime } ) p _ { U , S } ( u ^ { \prime } , s ^ { \prime } , t ) } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \beta \to \infty } \frac { J _ { \{ m \} } } { J _ { 0 } } = \operatorname * { l i m } _ { \beta \to \infty } \frac { \int _ { G } d \mu _ { H } \, \exp ( - \beta ( 1 - 1 / N \Re \mathrm { t r } ( g ) ) ) \, \, \frac { \mathrm { t r } ( \pi ( g ) ) } { \mathrm { d i m } ( \pi ) } } { \int _ { G } d \mu _ { H } \, \exp ( - \beta ( 1 - 1 / N \Re \mathrm { t r } ( g ) ) ) } = 1
{ \frac { e ^ { 2 } } { 2 } } f ^ { a d c } f ^ { b d e } \int _ { x } \int _ { y } \sum _ { k } { \frac { \delta ^ { c e } P _ { i j } ( k ) } { 2 \omega _ { k } } } e ^ { i k ( x - y ) } G ( x , y ) E _ { 1 i } ^ { a } ( x ) E _ { 1 j } ^ { b } ( y )
\gamma _ { f i t } ^ { ( m = 4 ) } ( n _ { r } , d = 3 ) \ = \ \frac { 0 . 0 1 4 3 6 1 n _ { r } \ + \ 0 . 0 0 3 4 4 } { \sqrt { n _ { r } ^ { 4 } \ + \ 1 . 9 9 0 7 8 n _ { r } ^ { 3 } \ + \ 1 . 3 1 4 2 4 n _ { r } ^ { 2 } \ + \ 0 . 4 5 3 1 4 n _ { r } \ + \ 0 . 0 2 6 4 5 } } \ .
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } } & { = } & { | 1 _ { + } ^ { \prime } \rangle \langle 1 _ { + } ^ { \prime } | \left[ E _ { 1 } + \frac { \Delta _ { 1 } } { 2 } + \sum _ { j } \left( \langle 1 | \hat { V } _ { j } | 1 \rangle - w _ { j } ^ { z } \right) \left( \hat { b } _ { j } + \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \right) + \sum _ { j } \omega _ { j } \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } \right] } \\ & { + } & { | 1 _ { - } ^ { \prime } \rangle \langle 1 _ { - } ^ { \prime } | \left[ E _ { 1 } - \frac { \Delta _ { 1 } } { 2 } + \sum _ { j } \left( \langle 1 | \hat { V } _ { j } | 1 \rangle + w _ { j } ^ { z } \right) \left( \hat { b } _ { j } + \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \right) + \sum _ { j } \omega _ { j } \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } \right] } \\ & { - } & { \sum _ { j } \left( w _ { j } ^ { x } \sigma _ { x } ^ { \prime } + w _ { j } ^ { y } \sigma _ { y } ^ { \prime } \right) \left( \hat { b } _ { j } + \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { J _ { 0 } ( \nu ) } & { = } & { d _ { 0 } \Big ( \frac { S _ { N } ^ { 0 } } { S _ { 0 } ^ { 0 } } \Big ) ^ { 2 } \left( \mathbb { E } _ { \nu } [ X _ { 0 } ^ { 2 } ] - ( \mathbb { E } _ { \nu } [ X _ { 0 } ] ) ^ { 2 } - \frac { 2 \lambda } { d _ { 0 } S _ { N } ^ { 0 } } \mathbb { E } _ { \nu } [ X _ { 0 } ] \right) + } \\ & { } & { - \lambda ^ { 2 } \left( \frac { \ell _ { N } } { 1 - \ell _ { N } } + \frac { \ell _ { N - 1 } } { ( 1 - \ell _ { N } ) ( 1 - \ell _ { N - 1 } ) } + \ldots + \frac { \ell _ { 1 } } { ( 1 - \ell _ { N } ) \cdots ( 1 - \ell _ { 1 } ) } \right) } \\ & { = } & { d _ { 0 } ( S _ { N } ^ { 0 } ) ^ { 2 } V a r _ { \nu } [ X _ { 0 } ] - 2 \lambda S _ { N } ^ { 0 } \mathbb { E } _ { \nu } [ X _ { 0 } ] - \lambda ^ { 2 } \left( \frac 1 { d _ { 0 } } - 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { _ { 0 } ^ { C } D _ { t } ^ { \beta } u ( \mathrm { x } , t ) = } & { \frac { 1 } { \Gamma ( 2 - \beta ) } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial s ^ { 2 } } ( \mathrm { x } , s ) \frac { 1 } { ( t - s ) ^ { \beta - 1 } } d s } \\ { = } & { \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { \partial v } { \partial s } ( \mathrm { x } , s ) \frac { 1 } { ( t - s ) ^ { \alpha } } d s } \\ { = } & { _ { 0 } ^ { C } D _ { t } ^ { \alpha } v ( \mathrm { x } , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathfrak { j } } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } } & { : = - \imath _ { \xi } \overline { { \ell } } _ { \mathtt { E H } } ( \mathrm { e } ) - \imath _ { \mathrm { X } _ { \xi } } \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } } \\ & { = - \epsilon _ { I J K L } \big ( \mathrm { N } ^ { I } \wedge ( \mathcal { L } _ { \xi } - \mathcal { L } _ { X _ { \xi } } ) \mathrm { N } ^ { J } \wedge \overline { { \mathrm { e } } } ^ { K } - ( 4 \mathrm { N } ^ { I } \wedge \mathrm { d } \mathrm { N } ^ { J } - 2 \overline { { \omega } } ^ { I J } ) \wedge \imath _ { \xi } \overline { { \mathrm { e } } } ^ { K } \big ) \wedge \overline { { \mathrm { e } } } ^ { L } } \\ & { = \imath _ { \overline { { \xi } } } \overline { { \mathrm { e } } } ^ { I } \wedge \overline { { b } } _ { \mathtt { E H } } ( \mathrm { e } ) _ { I } + \jmath ^ { * } \mathcal { Q } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \ddot { x } ( t ) = } & { { } \frac { m \sin \theta ( t ) ( \ell \dot { \theta } ^ { 2 } ( t ) + g \cos \theta ( t ) ) + d a ( t ) + d W ( t ) } { M + m \sin ^ { 2 } \theta ( t ) } , } \\ { d \ddot { \theta } ( t ) = } & { { } - d a ( t ) \cos \theta ( t ) - m \ell \dot { \theta } ^ { 2 } ( t ) \cos \theta ( t ) \sin \theta ( t ) } \end{array}
{ \mathcal B } ( D ^ { 0 } \to \pi ^ { - } \mu ^ { + } \nu _ { \mu } ) / { \mathcal B } ( D ^ { 0 } \to \pi ^ { - } e ^ { + } \nu _ { e } ) = 0 . 9 2 2 \pm 0 . 0 3 0 \pm 0 . 0 2 2
\int _ { \Omega } \frac { \chi ( | \nabla \psi | ) } { | \nabla \psi | } \nabla \psi \cdot \nabla ( \tilde { \phi } - \tilde { \psi } ) + \frac { Y } { H } ( | \nabla ( \psi _ { 0 } + \tilde { \phi } ) | - | \nabla ( \psi _ { 0 } + \tilde { \psi } ) | ) ~ d \Omega \ge 0 , ~ ~ \forall \tilde { \phi } \in \mathcal { V } _ { 0 } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } [ \mathcal { M } ( \mathcal { U } _ { T } ) \in Z ] } & { \leq \mathbb { P } [ \mathcal { M } ( \mathcal { U } _ { T } ) \in Z | E ] \mathbb { P } [ E ] + 1 - \mathbb { P } [ E ] } \\ & { \leq ( e ^ { \epsilon } \mathcal { P } [ \mathcal { M } ( \mathcal { U } _ { T } ^ { \prime } ) \in Z | E ] + \delta _ { 2 } ) \mathbb { P } [ E ] + \delta _ { 1 } } \\ & { \leq e ^ { \epsilon } \mathcal { P } [ \mathcal { M } ( \mathcal { U } _ { T } ^ { \prime } ) \in Z | E ] \mathbb { P } [ E ] + \delta _ { 2 } + \delta _ { 1 } } \\ & { \leq e ^ { \epsilon } \mathcal { P } [ \mathcal { M } ( \mathcal { U } _ { T } ^ { \prime } ) \in Z | E ] \mathbb { P } [ E ] + \delta _ { 2 } + \delta _ { 1 } } \\ & { \leq e ^ { \epsilon } \mathcal { P } [ \mathcal { M } ( \mathcal { U } _ { T } ^ { \prime } ) \in Z , E ] + \delta _ { 2 } + \delta _ { 1 } } \\ & { \leq e ^ { \epsilon } \mathcal { P } [ \mathcal { M } ( \mathcal { U } _ { T } ^ { \prime } ) \in Z ] + \delta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta n _ { i n t } ( \varphi ) = } & { { } - 2 \left[ v _ { { \psi } - \varphi } v _ { { \psi } } + v _ { \varphi } ^ { 2 } \ln ( { \frac { v _ { { \psi } - \varphi } + v _ { { \psi } } } { v _ { \varphi } } } ) \right] f ^ { \prime } } \end{array}
\alpha = \frac { 1 } { 4 } \left( \sigma ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } - 2 \right) , \qquad \sigma ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } - 2 = 4 \alpha = \frac { k ^ { 2 } - \nu ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } - 1 \ge 0 .
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \mathbb { E } [ | L I S ( \sigma ) - n \sqrt { 2 \beta _ { n } } | ] } { n \sqrt { \beta _ { n } } } } \\ & { \leq } & { \frac { C L \gamma _ { n } } { n \beta _ { n } } + C L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) + C L ^ { - 1 \slash 2 } } \\ & { } & { + C _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \exp ( - c _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \slash 2 ) + C _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } } \\ & { } & { + \sqrt { 2 } \operatorname* { m a x } \{ e ^ { 4 L ^ { - 1 } } ( 1 + L ^ { - 1 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 } \slash 2 , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) - 1 , } \\ & { } & { \quad \quad 1 - e ^ { - 6 L ^ { - 1 } } ( 1 - 2 L ^ { - 1 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 } \slash 2 , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle ( x _ { j } - x _ { i } ) ^ { n } \rangle _ { c } = \frac { ( n - 1 ) ! } { c ^ { n } } \bigg ( i ^ { - n } + ( - 1 ) ^ { n } \left( 2 ^ { n } - 2 \right) \left( ( - i + j + 1 ) ^ { - n } - ( j - i ) ^ { - n } \right) } \\ & { } & { + ( - 1 ) ^ { n } ( - i + N + 1 ) ^ { - n } + ( - 1 ) ^ { n } j ^ { - n } + ( - j + N + 1 ) ^ { - n } - 2 ( - 1 ) ^ { n } - 2 \bigg ) + 4 t \delta _ { n , 2 } + 2 t { c \, ( j - i ) } \delta _ { n , 1 } \; , } \end{array}
V ^ { \nu } ( { \bf x } , t ; \mathrm { { \boldmath ~ \ v a r e p s i l o n ~ } } ) = - \frac { 2 \delta _ { k } ^ { \nu } \varepsilon ^ { k } } { i \pi ^ { 2 } { \mathrm { { \boldmath ~ \ v a r e p s i l o n ~ } } } ^ { 4 } } \ ; \ V _ { 5 } ^ { \nu } ( { \bf x } , t ; \mathrm { { \boldmath ~ \ v a r e p s i l o n ~ } } ) = \frac { e \varepsilon _ { i } } { 4 i \pi ^ { 2 } { \mathrm { { \boldmath ~ \ v a r e p s i l o n ~ } } } ^ { 2 } } { \tilde { F _ { \stackrel { { \scriptstyle { l } } } { { \scriptstyle { r } } } } } } ^ { \nu i } ( { \bf x } , t ) .
\begin{array} { r l r } { \int _ { \Omega } \frac { 1 . 5 \tilde { v } ^ { s + 1 , l + 1 } - 2 v ^ { s } + 0 . 5 v ^ { s - 1 } } { \Delta t } \cdot w } & { { } + } & { 2 \int _ { \Omega } \mathbb { D } ( \tilde { v } ^ { s + 1 , l + 1 } ) \cdot \mathbb { D } ( w ) + \int _ { \Gamma } k ( \tilde { v } ^ { s + 1 , l + 1 } \cdot \tau ) ( w \cdot \tau ) } \\ { \int _ { \Omega } \nabla \phi ^ { l + 1 } \cdot \nabla q } & { { } = } & { - \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { \Omega } q ( \nabla \cdot \tilde { v } ^ { s + 1 , l + 1 } ) , \quad \forall q \in Q _ { h } , } \\ { \int _ { \Omega } p ^ { s + 1 , l + 1 } q } & { { } = } & { \int _ { \Omega } ( p ^ { s + 1 , l } + 1 . 5 \phi ^ { l + 1 } - \nabla \cdot \tilde { v } ^ { s + 1 , l + 1 } ) q , \quad \forall q \in Q _ { h } , } \\ { \int _ { \Omega } v ^ { s + 1 , l + 1 } \cdot w } & { { } = } & { \int _ { \Omega } \tilde { v } ^ { s + 1 , l + 1 } \cdot w - \Delta t \phi ^ { l + 1 } ( \nabla \cdot w ) , \quad \forall w \in V _ { h } . } \end{array}
\phi \left( s \right) = \left\{ \! \! \! \begin{array} { l } { a s ^ { \xi } + b , \smallskip } \\ { a s ^ { 1 + \xi } + b , } \end{array} \ \right. \quad \phi \left( s \right) = \left\{ \! \! \! \begin{array} { l } { a s ^ { \xi } + b s ^ { \zeta } + c , \smallskip } \\ { a s ^ { 1 + \xi } + b s ^ { \zeta } + c , } \end{array} \ \right. \quad \mathrm { a n d } \quad \phi \left( s \right) = a s ^ { 2 \xi } + b s ^ { \xi } + c ,
\int T _ { n } \, \mathrm { d } x = { \frac { 1 } { 2 } } \, \left( \, { \frac { \, T _ { n + 1 } \, } { n + 1 } } - { \frac { \, T _ { n - 1 } \, } { n - 1 } } \, \right) = { \frac { \, n \, T _ { n + 1 } \, } { n ^ { 2 } - 1 } } - { \frac { \, x \, T _ { n } \, } { n - 1 } } ~ .
N _ { e } \ln ( V T _ { e } ^ { 3 / 2 } ) \approx N _ { e } \ln ( V { T _ { e } ^ { ( 0 ) } } ^ { 3 / 2 } ) + \frac { 3 } { 2 } N _ { e } \frac { T _ { e } ^ { ( 1 ) } } { T _ { e } ^ { ( 0 ) } } .
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } m _ { \mathrm { c h } } } { \mathrm { d } x } } & { { } = } & { Q m _ { \mathrm { d } } n _ { \mathrm { d } } \pi a _ { \mathrm { c h } } ^ { 2 } \frac { v _ { \mathrm { i m p } } } { v _ { \mathrm { c h } } } , } \end{array}
\dot { \widehat { C } } _ { \tau _ { i } ^ { j } } = { L } _ { \tau _ { i } ^ { j } } [ \widehat { C } _ { \tau _ { i } ^ { j } } \times _ { 1 } U _ { \tau _ { 2 i - 1 } ^ { j + 1 } } ^ { \prime } \times _ { 2 } U _ { \tau _ { 2 i } ^ { j + 1 } } ^ { \prime } ] \times _ { 1 } U _ { \tau _ { 2 i - 1 } ^ { j + 1 } } ^ { \dagger } \times _ { 2 } U _ { \tau _ { 2 i } ^ { j + 1 } } ^ { \dagger } .
\begin{array} { r } { \hat { X } _ { \bf n } ^ { ( n ) } ( t ) = \sum _ { \{ m _ { k } = 0 \} } ^ { \{ \lfloor n _ { k } / 2 \rfloor \} } c _ { \bf n m } \rho _ { { \bf n } - 2 { \bf m } } ^ { ( n - 2 m ) } ( t ) , } \end{array}
\gamma _ { \mathrm { s y n } } ^ { i } \approx 1 0 ^ { 1 0 } ~ \frac { A } { Z ^ { 3 / 2 } } \left( \frac { P _ { \star } } { 1 ~ \textrm { s } } \right) ^ { 3 / 2 } \left( \frac { B _ { \star } } { 1 0 ^ { 1 2 } ~ \textrm { G } } \right) ^ { - 1 / 2 } ,
\Phi _ { 0 } = a _ { 0 } ^ { - 1 } \sum _ { M \geq 0 } \frac { x ^ { M } } { \Gamma ^ { 2 } ( M + 1 ) } \; \frac 1 { 2 \pi i } \int _ { C } \frac { \Gamma ( 4 s + 1 ) \Gamma ( 2 M - s ) } { \Gamma ^ { 3 } ( s + 1 ) } ( e ^ { - \pi i } y ) ^ { s } \, d s ,
{ \cal L } _ { e f f } ^ { p z m } = \frac { 1 } { 2 L } \pi \partial _ { + } a _ { - } - { \cal H } _ { D } ^ { p z m } = \frac { 1 } { 2 L } \pi \partial _ { + } a _ { - } + \frac { 1 } { 2 L } \pi \frac { 1 } { \Delta _ { \perp } } \ast \partial _ { i } J _ { p z m } ^ { i } + a _ { - } J _ { p z m } ^ { - } - \frac 1 2 J _ { p z m } ^ { i } \frac { 1 } { \Delta _ { \perp } } \ast J _ { p z m } ^ { i } \; ,
\begin{array} { r l } { \cfrac { d } { d t } L ^ { 2 } } & { { } = - 2 ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s ) ) L ^ { 2 } - 2 g ^ { \prime } ( s ) \dot { s } ( c - g ( s ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { T _ { f } - T _ { 0 } } { \alpha a } = \left( 1 + \frac { a ^ { 3 } } { r ^ { 3 } } \xi _ { f } \right) \frac { r } { a } \cos \theta , \quad \xi _ { f } \equiv \frac { \kappa _ { f } - \kappa _ { s } } { 2 \kappa _ { f } + \kappa _ { s } } , } \\ & { \frac { T _ { s } - T _ { 0 } } { \alpha a } = \xi _ { s } \frac { r } { a } \cos \theta , \quad \xi _ { s } \equiv \frac { 3 \kappa _ { f } } { 2 \kappa _ { f } + \kappa _ { s } } ( = \xi _ { f } + 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { j } ( u ) = } & { \int _ { \mathbb { S } _ { - } ^ { n } } h _ { K ^ { u } } \, d S _ { n } ( L _ { j } ) - \int _ { \mathbb { S } _ { - } ^ { n } } h _ { K ^ { u } } \, d S _ { n } ( W _ { j } ) } \\ { = } & { \int _ { \mathrm { d o m } ( \ell _ { j } ) } u ^ { * } ( \nabla \ell _ { j } ( x ) ) \, d x - \int _ { \mathrm { d o m } ( w _ { j } ) } u ^ { * } ( \nabla w _ { j } ( x ) ) \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { A _ { t , j } ^ { k } } f ( y ) } & { = \int _ { \mathbb { R } } e ^ { i \tau t } \psi ( 2 ^ { - j } ( c 2 ^ { d k } + 1 ) ^ { - 1 } \tau ) \int _ { \mathbb { R } } e ^ { - i \tau s } \rho ( s ) \widetilde { A _ { s , j } ^ { k } } f ( y ) d s d \tau } \\ { \quad \quad } & { + \int _ { \mathbb { R } } e ^ { i \tau t } [ 1 - \psi ( 2 ^ { - j } ( c 2 ^ { d k } + 1 ) ^ { - 1 } \tau ) ] \int _ { \mathbb { R } } e ^ { - i \tau s } \rho ( s ) \widetilde { A _ { s , j } ^ { k } } f ( y ) d s d \tau } \\ & { : = I + I I . } \end{array}
( \ensuremath { { \textstyle \int } } { f } ) \ensuremath { { \textstyle \int } } { g } = \ensuremath { { \textstyle \int } } { f } \ensuremath { { \textstyle \int } } { g } + \ensuremath { { \textstyle \int } } ( \ensuremath { { \textstyle \int } } { f } ) g + \ensuremath { { \mathrm { E } } } ( \ensuremath { { \textstyle \int } } { f } ) \ensuremath { { \textstyle \int } } { g }
\begin{array} { r l r } { p } & { { } = } & { K \varepsilon _ { k k } , } \\ { \sigma _ { i j } } & { { } = } & { ( K - 2 G / 3 ) \varepsilon _ { k k } \delta _ { i j } + 2 G \varepsilon _ { i j } , } \end{array}
\frac { 8 \pi ^ { 2 } } { g _ { h } ^ { 2 } } ( M ^ { \prime } ) = \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { g _ { h } ^ { 2 } } ( M ) + b _ { 0 } \ln \frac { M } { M ^ { \prime } } - \sum _ { i } T _ { F } ^ { i } \ln Z _ { i } ( M ^ { \prime } , M )
\begin{array} { r } { r _ { 0 } = \frac { \psi _ { L } e ^ { i q } - \psi _ { L + 1 } } { e ^ { i q } - e ^ { - i q } } , ~ r _ { 1 } = \frac { - \psi _ { L } e ^ { - i q } + \psi _ { L + 1 } } { e ^ { i q } - e ^ { - i q } } . } \end{array}
\nu _ { b i } = ( n _ { \mathrm { S i } } Z _ { \mathrm { S i } } ^ { 2 } + n _ { \mathrm { O } } Z _ { \mathrm { O } } ^ { 2 } ) e ^ { 4 } \ln \Lambda _ { b i } / 4 \pi \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { e } ^ { 2 } u _ { 0 } ^ { 3 } \sim 2 . 5 \times 1 0 ^ { 1 2 } \mathrm { H z }
\mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \bigg | \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { n } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \big ( ( \overline { { \xi } } _ { j } ) ^ { 2 } \overline { { \xi } } _ { j + 1 } - ( \overline { { \xi } } _ { j + 1 } ) ^ { 2 } \overline { { \xi } } _ { j } \big ) ( s ) h _ { j , j + 1 } ( t ) d t \bigg | ^ { 2 } \bigg ] \lesssim \frac { T } { \theta ( n ) n ^ { 2 } } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } h _ { j , j + 1 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \frac { \partial \Phi } { \partial t } + \frac { 1 } { 2 } \nabla \Phi \cdot \nabla \Phi + \eta = } \\ { r \frac { f } { 2 } \left( \alpha _ { _ A } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( \Omega t - \theta \right) } + \alpha _ { _ B } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( \Omega t + \theta \right) } \right) + c . c . \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { u } \left( x , { t } _ { 1 } \right) } & { = { u } \left( x , 0 \right) + { { t } _ { 1 } } { u } ^ { { \prime } } \left( x , 0 \right) + \frac { { t } _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } { u } ^ { { \prime } { \prime } } \left( x , 0 \right) + { \widetilde R } _ { 2 } \left( x , { t } _ { 1 } \right) } \\ & { = { \psi } _ { 0 } \left( x \right) + { \tau } { \psi } _ { 1 } \left( x \right) + \frac { { \tau } ^ { 2 } } { 2 } { \psi } _ { 2 } \left( x \right) + { \widetilde R } _ { 2 } \left( x , { \tau } \right) \, , } \end{array}
\left( | H \rangle _ { 1 } | V \rangle _ { 2 } + | V \rangle _ { 1 } | H \rangle _ { 2 } \right) \otimes \left( | + m \rangle _ { 1 } | + m \rangle _ { 2 } - | - m \rangle _ { 1 } | - m \rangle _ { 2 } \right) / 2
\begin{array} { r l } { \left\{ \begin{array} { c c c } { a } & { b } & { c } \\ { R } & { R } & { R } \end{array} \right\} } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 R + 1 } } ( - 1 ) ^ { ( a + b + c ) } \left( \begin{array} { c c c } { a } & { b } & { c } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { + O ( ( 2 R + 1 ) ^ { - 3 / 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \langle U ( t ) F - \overline { { F } } , G \rangle | } & { \leq } & { | \langle U ( t ) ( F - F _ { n } ) , G \rangle + | \langle U ( t ) F _ { n } - \overline { { F } } _ { n } , G \rangle | + | \langle \overline { { F } } _ { n } - \overline { { F } } , G \rangle | } \\ & { \leq } & { 2 \| F - F _ { n } \| _ { L ^ { p } } \| G \| _ { L ^ { q } } + | \langle U ( t ) F _ { n } - \overline { { F } } _ { n } , G \rangle | . } \end{array}
\mathcal { L } = \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sqrt { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { x } } \frac { 1 } { N _ { x } } ( u ^ { p r e d } ( x _ { j } , T _ { i } ) \allowbreak - u ^ { t r u e } ( x _ { j } , T _ { i } ) ) ^ { 2 } }
F ( q , t , r ) \Bigl | _ { r = \rho ( t ) } = \frac { 1 } { 4 } \log ( - 2 q ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } c _ { n } ( t ) ( - 2 q ) ^ { n / 2 } \; , \qquad q \to 0 \; .
f ( \eta _ { 3 } ) = h ( M _ { d } ) - h ( M _ { 1 2 } ) = ( 4 \pi ) ^ { - 2 } \ln { \frac { 6 m _ { q } ^ { 2 } + \eta _ { 3 } ^ { 2 } - 4 M _ { B } ^ { 2 } / 9 } { 6 m _ { q } ^ { 2 } - M _ { d } ^ { 2 } } } ,
\frac { d E _ { r a d } } { d z } = \frac { \Delta E _ { r a d } } { \lambda } \approx \frac { C _ { 2 } \alpha _ { s } } { \pi } \langle q _ { \perp } ^ { 2 } \rangle \left[ \ln \left( \xi + \sqrt { 1 + \xi ^ { 2 } } \right) + \xi \ln \left( \frac { 1 } { \xi } + \sqrt { 1 + \frac { 1 } { \xi ^ { 2 } } } \right) \right] ,
\begin{array} { r l r l } { \hat { \eta } _ { 2 , 0 } ^ { ( 2 ) } } & { { } = - g \hat { \eta } _ { 1 , 0 } ^ { 2 } \frac { ( 2 k - 1 ) / k } { \hat { S } _ { 2 , 0 } } , \qquad \qquad } & { \hat { \eta } _ { 0 , 2 } ^ { ( 2 ) } } & { { } = g \hat { \eta } _ { 0 , 1 } ^ { 2 } \frac { k ( k - 2 ) } { \hat { S } _ { 0 , 2 } } , } \\ { \hat { \eta } _ { 1 , 1 } ^ { ( 2 ) } } & { { } = - g \hat { \eta } _ { 1 , 0 } \hat { \eta } _ { 0 , 1 } \frac { ( k + 1 ) } { \hat { S } _ { 1 , 1 } } , \qquad \qquad } & { \hat { \eta } _ { 1 , - 1 } ^ { ( 2 ) } } & { { } = - g \hat { \eta } _ { 1 , 0 } \hat { \eta } _ { 0 , 1 } \frac { ( k + 1 ) } { \hat { S } _ { 1 , - 1 } } , } \end{array}
c = \frac { 1 } { L } \int _ { 0 } ^ { L } d x \ A ( x ) , \quad A _ { m } = \frac { 1 } { L } \int _ { 0 } ^ { L } d x \ A ( x ) \ \mathrm { e } ^ { - \frac { 2 \pi i m } { L } x } , \ m \neq 0 ,
\begin{array} { r l } { ( C _ { x } J _ { D } ) ^ { 2 n } v } & { = ( C _ { x } J _ { D } ) ^ { 2 n - 2 } ( C _ { x } J _ { D } ) ( C _ { x } J _ { D } ) V \alpha = ( C _ { x } J _ { d } ) ^ { 2 n - 2 } ( C _ { x } J _ { D } ) V J _ { D } \Lambda \alpha } \\ & { = ( C _ { x } J _ { D } ) ^ { 2 n - 2 } V \Lambda ^ { 2 } \alpha = V \Lambda ^ { 2 n } \alpha . } \end{array}
\zeta _ { T } ( \nu | \beta ) = { \frac { \nu \varrho ^ { - 2 \nu } } { \pi i } } \int _ { \mu } ^ { \infty } d \omega \int _ { C _ { + } } d z { \frac { 2 z } { ( z ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } ) ^ { \nu + 1 } } } \ln \left( 1 - e ^ { i \beta z } \right) \breve { \Psi } ( \omega ; z ) ,
\rho _ { n } ( \vec { p } _ { 1 } , \ldots , \vec { p } _ { n } ) = \frac { 1 } { n ! } \sum _ { \sigma , \tau } \rho _ { n } ^ { ( 0 ) } ( \vec { p } _ { \sigma 1 } , \ldots , \vec { p } _ { \sigma n } ; \vec { p } _ { \tau 1 } , \ldots , \vec { p } _ { \tau n } ) ,