harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { c } _ { n } = { \mathbf { V { \Sigma } ^ { - 1 } U ^ { \mathrm { ~ T ~ } } q } } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \mathbf { u } _ { i } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \mathbf { q } } { \sigma _ { i } } \mathbf { v } _ { i }
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq T } \| \partial _ { t } p ^ { * } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } \; \; } & { \leq } & { 2 \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq T } \| \partial _ { t } p ^ { * } + \sigma p ^ { * } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } } \\ & { = } & { 2 \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq T } \| \partial _ { t } p + \sigma p \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d _ { 0 } ( Q _ { n } , Q _ { 0 } ) } & { \leq } & { - ( P _ { n } - P _ { 0 } ) ( L ( Q _ { n } ) - L ( Q _ { 0 } ) ) \leq n ^ { - 1 / 2 } \operatorname* { s u p } _ { \parallel g \parallel _ { P _ { 0 } } \leq \delta , g \in D _ { C } ^ { ( k ) } ( [ 0 , 1 ] ^ { d } ) } \mid G _ { n } ( g ) \mid } \\ & { = } & { O ( n ^ { - 1 / 2 } \delta ^ { ( 2 k + 1 ) / ( 2 k + 2 ) } ) , } \end{array}
d s ^ { 2 } = - r ^ { 2 } d t ^ { 2 } + \frac { 1 } { V ( r ) } d r ^ { 2 } + V ( r ) d \phi ^ { 2 } + r ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 2 } ( d \theta ^ { i } ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { V } ^ { r } ( \chi _ { k } * f : k ) } & { \leq \mathcal { V } ^ { r } ( \mathbb { E } _ { k } f : k ) + \mathcal { V } ^ { r } ( \chi _ { k } * f - \mathbb { E } _ { k } f : k ) } \\ & { \qquad \leq \mathcal { V } ^ { r } ( \mathbb { E } _ { k } f : k ) + 2 \cdot \big ( \sum _ { k } | \chi _ { k } * f - \mathbb { E } _ { k } f | ^ { 2 } \big ) ^ { 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } } & { = \left( \mathbf { E } + \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \right) \mathbf { U } _ { i , j } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \mathbf { U } _ { i - 1 , j } ^ { 0 } } \\ & { + \left( \mathbf { E } + \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \right) \delta \mathbf { U } _ { i , j } - \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \delta \mathbf { U } _ { i - 1 , j } } \\ { \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } } & { = \left( \mathbf { E } + \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \right) \mathbf { U } _ { i + 1 , j } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \mathbf { U } _ { i + 2 , j } ^ { 0 } } \\ & { + \left( \mathbf { E } + \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \right) \delta \mathbf { U } _ { i + 1 , j } - \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \delta \mathbf { U } _ { i + 2 , j } } \end{array} ,
\mathrm { ~ E ~ } [ w _ { \boldsymbol { \mu } } ] = 2 \mathrm { ~ E ~ } [ \ell ( \hat { \boldsymbol { \mu } } ) - \ell ( \boldsymbol { \mu } ) ] = M + \epsilon _ { M } + \mathcal { O } ( n ^ { - 2 } ) \, ,
\begin{array} { r l } { H \; = \; } & { { } \sum _ { n _ { A } , n _ { B } } \big ( M \, | n _ { A } \rangle \langle n _ { A } | \, - \, M \, | n _ { B } \rangle \langle n _ { B } | \big ) \, - \, t \sum _ { \langle n _ { A } , m _ { B } \rangle } \big ( | n _ { A } \rangle \langle m _ { B } | \, + \, | m _ { B } \rangle \langle n _ { A } | \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } \ltimes \mathcal { B } } & { = \mathrm { f o l d } \left[ \mathrm { c i r c } \left( \mathrm { u n f o l d ( \mathcal { A } ) } \right) \cdot \mathrm { u n f o l d } \left( \mathcal { B } \otimes \mathcal { I } _ { k } \right) \right] } \\ & { = \mathrm { f o l d } \left[ \mathrm { c i r c } \left( \mathrm { u n f o l d ( \mathcal { A } ) } \right) \cdot ( \mathrm { u n f o l d } \left( \mathcal { B } \right) \otimes { I } _ { k } ) \right] } \\ & { = \mathrm { f o l d } \left[ \mathrm { c i r c } \left( \mathrm { u n f o l d ( \mathcal { A } ) } \right) \ltimes \mathrm { u n f o l d } \left( \mathcal { B } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \delta _ { 1 , + } ( \zeta , k ) = \delta _ { 1 , - } ( \zeta , k ) ( 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) ) , } & & { k \in \Gamma _ { 2 } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \delta _ { 2 , + } ( \zeta , k ) = \delta _ { 2 , - } ( \zeta , k ) ( 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) ) , } & & { k \in \Gamma _ { 5 } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \delta _ { 3 , + } ( \zeta , k ) = \delta _ { 3 , - } ( \zeta , k ) f ( k ) , } & & { k \in \Gamma _ { 5 } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \delta _ { 4 , + } ( \zeta , k ) = \delta _ { 4 , - } ( \zeta , k ) f ( k ) , } & & { k \in \Gamma _ { 1 0 } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \delta _ { 5 , + } ( \zeta , k ) = \delta _ { 5 , - } ( \zeta , k ) f ( \omega ^ { 2 } k ) , } & & { k \in \Gamma _ { 1 0 } ^ { ( 2 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { Y } _ { t + 1 } = \mathbb { Y } _ { t } + \mathbb { W } _ { t + 1 } , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \mathbf { \mathcal { H } } ^ { i j } = \left. \! \left( \begin{array} { c } { \frac { \partial \mathbf { X } _ { i } } { \partial H _ { j } } } \\ { \frac { \partial \mathbf { V } _ { i } } { \partial H _ { j } } } \end{array} \right) \right| _ { \mathbf { H } = \mathbf { 0 } } = \left( \begin{array} { c } { \mathbb { Y } } \\ { \mathbb { W } } \end{array} \right) \! , \quad ( \mathbf { Y } ^ { j } ) _ { i } = \mathbb { Y } ^ { i j } , \quad ( \mathbf { W } ^ { j } ) _ { i } = \mathbb { W } ^ { i j } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta \! \left( \frac { \mathbf { A } } { | \mathbf { A } | } \right) = \left( \mathbb { I } - \frac { \mathbf { A } \mathbf { A } ^ { T } } { | \mathbf { A } | ^ { 2 } } \right) \! \cdot \frac { \delta \mathbf { A } } { | \mathbf { A } | } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ( x , t ) } & { { } = \frac { E _ { 0 } ( x , t ) } { 2 } \left( e ^ { \mathrm { { i } } ( k x - \omega t + \phi ) } + e ^ { - \mathrm { { i } } ( k x - \omega t + \phi ) } \right) } \end{array}
\hat { T } ( F ) = \frac { i } { \hbar } \frac { \delta F } { \delta \phi ^ { A } } \frac { \delta } { \delta \bar { \phi } _ { A } } - \frac { 1 } { 2 } \varepsilon _ { a b } \frac { \delta } { \delta \phi _ { A a } ^ { * } } \frac { \delta ^ { 2 } F } { \delta \phi ^ { A } \delta \phi ^ { B } } \frac { \delta } { \delta \phi _ { B b } ^ { * } } \; ,
\begin{array} { r l } { Q [ \Sigma _ { d - q } ] } & { { } = \int _ { \Sigma _ { d - q } } - c _ { \phi } \left( f _ { s } \, { \star \xi } - { \star \cal M } \right) - c _ { \phi } \tilde { A } , } \\ { \tilde { Q } [ \Sigma _ { d - p } ] } & { { } = \int _ { \Sigma _ { d - p } } ( - ) ^ { p q + p + q } \xi - \tilde { c } _ { \phi } A . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { \mathrm { ~ T ~ } } } & { { } = ( 1 + B _ { \mathrm { ~ M ~ } } ) ^ { \phi } - 1 , } \\ { \phi } & { { } = ( C _ { \textup { p , l } } / C _ { \textup { p , f } } ) ( \widetilde { \textup { S h } } / \widetilde { \textup { N u } } ) ( 1 / \textup { L e } ) . } \end{array}
R _ { y } ( \theta ) = \left( \begin{array} { l l } { \cos { \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } } & { - \sin { \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } } \\ { \sin { \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } } & { \cos { \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \vert F ^ { * } ( x , \, } & { \boldsymbol { \mathcal { A } } ( x , a ) ) - F ^ { * } ( x , \boldsymbol { \mathcal { A } } ( y , a ) ) \vert ^ { 2 } \lesssim ( \varphi _ { \vert a \vert } ) ^ { * } ( x , \vert \boldsymbol { \mathcal { A } } ( x , a ) - \boldsymbol { \mathcal { A } } ( y , a ) \vert ) } \\ & { \lesssim ( ( 1 + \vert \ln ( \delta + \vert a \vert ) \vert ) \, ( 1 + ( \delta + \vert a \vert ) ^ { p ( y ) - p ( x ) } ) ) ^ { \operatorname* { m a x } \{ 2 , p ^ { \prime } ( x ) \} } \, ( \varphi _ { \vert a \vert } ) ^ { * } ( x , \vert p ( x ) - p ( y ) \vert \, \varphi ^ { \prime } ( x , \vert a \vert ) ) } \\ & { \lesssim \vert p ( x ) - p ( y ) \vert ^ { 2 } \, ( ( 1 + \vert \ln ( \delta + \vert a \vert ) \vert ) \, ( 1 + ( \delta + \vert a \vert ) ^ { p ( y ) - p ( x ) } ) ) ^ { \operatorname* { m a x } \{ 2 , p ^ { \prime } ( x ) \} } \, \varphi ( x , \vert a \vert ) } \\ & { \lesssim \vert p ( x ) - p ( y ) \vert ^ { 2 } \, ( 1 + \vert a \vert ^ { p ( x ) s } ) \, , } \end{array}
P ( { \bar { R } } , { \bar { \theta } } ) \, d { \bar { R } } \, d { \bar { \theta } } = { \frac { 1 } { ( 2 \pi I _ { 0 } ( \kappa ) ) ^ { N } } } \int _ { \Gamma } \prod _ { n = 1 } ^ { N } \left( e ^ { \kappa \cos ( \theta _ { n } - \mu ) } d \theta _ { n } \right) = { \frac { e ^ { \kappa N { \bar { R } } \cos ( { \bar { \theta } } - \mu ) } } { I _ { 0 } ( \kappa ) ^ { N } } } \left( { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { N } } } \int _ { \Gamma } \prod _ { n = 1 } ^ { N } d \theta _ { n } \right)
\begin{array} { c } { { \theta _ { i j } ^ { s } ( \tau ) \Im _ { i } ( R , \tau ) = \theta _ { i j } ^ { s } ( \tau ) ( \Im _ { i } ( R , \tau ) - \Im _ { i } ( R , \tau _ { s } ) ) + \theta _ { i j } ^ { s } ( \tau ) \Im _ { i } ( R , \tau _ { s } ) , } } \\ { { \theta _ { i j } ^ { p } ( \tau ) \Im _ { i } ( R , \tau ) = \theta _ { i j } ^ { p } ( \tau ) ( \Im _ { i } ( R , \tau ) - \Im _ { i } ( R , \tau _ { p } ) ) + \theta _ { i j } ^ { p } ( \tau ) \Im _ { i } ( R , \tau _ { p } ) , } } \end{array}
Q _ { 1 } = \bar { s } _ { L } ^ { i } \gamma _ { \mu } c _ { L } ^ { j } \, \bar { c } _ { L } ^ { j } \gamma ^ { \mu } b _ { L } ^ { i } \, , \quad Q _ { 2 } = \bar { s } _ { L } \gamma _ { \mu } c _ { L } \, \bar { c } _ { L } \gamma ^ { \mu } b _ { L } \, , \quad Q _ { 7 \gamma } = m _ { b } O _ { 7 } ^ { L R } \, , \quad Q _ { 8 g } = m _ { b } O _ { 8 } ^ { L R } \, .
F _ { \alpha } ( a , t ) = \frac { \sinh ( b a _ { \alpha } t ) \, \sinh ( b a _ { \alpha } - 2 b Q _ { \alpha } + h ( 1 + b ^ { 2 } ) ) t ) } { \sinh t \, \sinh ( \alpha ^ { 2 } b ^ { 2 } t / 2 ) \, \sinh ( ( 1 + b ^ { 2 } ) h t ) }
\begin{array} { r l } { \langle \boldsymbol { p } _ { N } | V ( \boldsymbol { r } ) | \Psi _ { 0 } \rangle } & { = - \frac { 2 ^ { \frac { 3 } { 2 } } I _ { p } ^ { \frac { 5 } { 4 } } } { \pi } \frac { 1 } { \frac { \boldsymbol { p } _ { N } ^ { 2 } } { 2 } + I _ { p } } , } \\ { \langle \boldsymbol { p } _ { N } | \Psi _ { 0 } \rangle } & { = \frac { 2 I _ { p } ^ { \frac { 5 } { 4 } } } { \pi \sqrt { 2 } } \frac { 1 } { \left( \frac { \boldsymbol { p } _ { N } ^ { 2 } } { 2 } + I _ { p } \right) ^ { 2 } } , } \end{array}
\int r d r d \theta \tilde { T } _ { _ { ( 0 ) } x } ^ { x } = \int r d r d \theta \tilde { T } _ { _ { ( 0 ) } y } ^ { y } = \pi \int r d r [ \left( \frac { P ^ { \prime } } { q r } \right) ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } A ^ { 2 } - V ] = - W .
\begin{array} { r } { \psi _ { 1 } ( m + n ) = o \left( \frac { 1 } { m } \right) } \\ { \psi _ { 1 } ( n ) = o \left( \frac { 1 } { m } \right) } \\ { \psi _ { 0 } ( 2 n ) - \psi _ { 0 } ( m + n ) = o \left( \frac { 1 } { m } \right) } \\ { \psi _ { 0 } ( m + n ) - \psi _ { 0 } ( n ) = \ln 2 + o \left( \frac { 1 } { m } \right) } \\ { \psi _ { 0 } ( m + n ) - \psi _ { 0 } ( n - m ) = - \psi _ { 0 } ( n - m ) + \ln 2 + o ( \ln m ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { \hat { T } } } & { { } = } & { - t \sum _ { \sigma } \left( \hat { a } _ { 0 \sigma } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 1 \sigma } + \hat { a } _ { 1 \sigma } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 0 \sigma } \right) } \\ { \mathcal { \hat { U } } } & { { } = } & { U \sum _ { i = 0 , 1 } \hat { n } _ { i \uparrow } \hat { n } _ { i \downarrow } } \\ { \mathcal { \hat { V } } } & { { } = } & { \sum _ { i = 0 , 1 } v _ { i } \hat { n } _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \Delta v ) ^ { 2 } } & { = \frac { \hbar \omega _ { 0 } } { 2 C } \left[ 2 \langle n \rangle + 1 \right] = \frac { \hbar \omega _ { 0 } } { 2 C } \coth ( \hbar \omega _ { 0 } / 2 k T _ { \mathrm { p } } ) } \\ { ( \Delta i ) ^ { 2 } } & { = \frac { \hbar \omega _ { 0 } } { 2 L } \left[ 2 \langle n \rangle + 1 \right] = \frac { \hbar \omega _ { 0 } } { 2 L } \coth ( \hbar \omega _ { 0 } / 2 k T _ { \mathrm { p } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \left\langle \mathbf { U } \right\rangle } { \partial t } + \left( \left\langle \mathbf { U } \right\rangle \cdot \nabla \right) \left\langle \mathbf { U } \right\rangle = } & { - \nabla \left\langle \Pi \right\rangle - 2 \boldsymbol { \Omega } \times \langle \mathbf { U } \rangle + \left( \left\langle \mathbf { B } \right\rangle \cdot \nabla \right) \left\langle \mathbf { B } \right\rangle + \nu \nabla ^ { 2 } \left\langle \mathbf { U } \right\rangle } \\ & { - \nabla \cdot \left( \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime } \mathbf { u } ^ { \prime } \right\rangle - \left\langle \mathbf { b } ^ { \prime } \mathbf { b } ^ { \prime } \right\rangle \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 2 N \theta _ { 1 } ( \lambda _ { j } ) + \phi _ { b } ( \lambda _ { j } ) + \mathcal { O } ( 1 ) } & { = } & { 2 \pi j + [ \sum _ { l \neq 0 , j } \theta _ { 2 } ( \lambda _ { j } - \lambda _ { l } ) + \theta _ { 2 } ( \lambda _ { j } + \lambda _ { l } ) ] } \\ & { } & { + \mathrm { R e } [ \theta _ { 2 } ( \lambda _ { j } - x _ { 0 } ) + \theta _ { 2 } ( \lambda _ { j } + x _ { 0 } ) ] , } \\ { ( 2 \theta _ { 1 } ^ { \prime } ( \lambda _ { j } ) + \frac { 1 } { N } \phi _ { b } ^ { \prime } ( \lambda _ { j } ) ) \sigma _ { j } + \mathcal { O } ( \frac { 1 } { N } ) } & { = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { l \neq 0 , j } \theta _ { 2 } ^ { \prime } ( \lambda _ { j } - \lambda _ { l } ) ( \sigma _ { j } - \sigma _ { l } ) + \theta _ { 2 } ( \lambda _ { j } + \lambda _ { l } ) ( \sigma _ { j } + \sigma _ { l } ) ] } \\ & { } & { + \mathrm { I m } [ \theta _ { 2 } ( \lambda _ { j } - x _ { 0 } ) + \theta _ { 2 } ( \lambda _ { j } + x _ { 0 } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi } & { : Y \times ( \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) ^ { 2 } , - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) ^ { 2 } ) \to Y \times ( \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) ^ { 2 } , - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) ^ { 2 } ) } \\ { \Phi ( s , t ) } & { : = F \left( s , t + \eta ( s ) \zeta \left( \frac { - 4 t } { \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) ^ { 2 } } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { m } v _ { 0 } ^ { a , d , \mu } } & { = C G ( \frac { a } { 2 } , \frac { a } { 2 } ; \, \frac { c + m } { 2 } , \frac { c + m } { 2 } \, | \, \frac { \mu } { 2 } , \frac { \mu } { 2 } ) \, C G ( \frac { c } { 2 } , \frac { c } { 2 } ; \, \frac { c + m } { 2 } , - \frac { c + m } { 2 } \, | \, \frac { m } { 2 } , - \frac { m } { 2 } ) \, v _ { 0 } ^ { a } \otimes v _ { 0 } ^ { c } } \\ & { = \sqrt { \frac { m + 1 } { c + m + 1 } } \; v _ { 0 } ^ { a } \otimes v _ { 0 } ^ { c } } \end{array}
H = 2 S _ { z } \sum _ { i } ( A _ { | | } ^ { ( i ) } I _ { z } ^ { i } + A _ { \perp } ^ { ( i ) } I _ { x } ^ { i } ) + \sum _ { i } \omega _ { L , W } I _ { z } ^ { i } + \sum _ { i , j } H _ { n n } ^ { ( i , j ) } ,
\small \left\{ \begin{array} { r l } & { X _ { h } = \{ \ v \in H ^ { 1 } ( \Omega _ { h } ) \ : \ v | _ { \Omega _ { h } ^ { e } } \in \Pi _ { K } ( \Omega _ { h } ^ { e } ) , \ 1 \leqslant e \leqslant N _ { e } \ \} , } \\ & { X _ { h 0 } ^ { E } = \{ \ v \in X _ { h } \ : \ v | _ { \partial \Omega _ { s e h } } = 0 \ \} , } \\ & { X _ { h 0 } ^ { P } = \{ \ v \in X _ { h } \ : \ v | _ { \partial \Omega _ { o h } } = 0 \ \} , } \\ & { X _ { h 0 } ^ { u } = \{ \ v \in X _ { h } \ : \ v | _ { \partial \Omega _ { s h } } = 0 \ \} . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathbf p _ { j } = \boldsymbol \alpha _ { \mathrm { p } } \left[ \mathbf E _ { \mathrm { i n } } ( \mathbf r _ { j } ) + \sum _ { j ^ { \prime } \neq j } \mathbf G ( \mathbf r _ { j } - \mathbf r _ { j ^ { \prime } } ) \mathbf p _ { j ^ { \prime } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathop { \mathbb { E } } \| \bar { e } _ { x } ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { c _ { 1 } ^ { 2 } } { n } \mathop { \mathbb { E } } \| \hat { { \mathbf { x } } } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 - \frac { \alpha \mu } { 2 } ) ^ { k } \tilde { a } _ { 0 } + \left\| ( I - A ) ^ { - 1 } b \right\| _ { 1 } } \\ & { \leq ( 1 - \frac { \alpha \mu } { 2 } ) ^ { k } \tilde { a } _ { 0 } + \frac { 2 \sigma ^ { 2 } } { \mu n } \alpha } \\ & { \quad + \frac { 6 c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } ( L / \mu ) \lambda ^ { 4 } \sigma ^ { 2 } + 4 c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } \lambda ^ { 4 } \sigma ^ { 2 } } { 1 - \gamma } \alpha ^ { 2 } + \frac { 8 c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } L ^ { 2 } \lambda ^ { 4 } \sigma ^ { 2 } } { \mu n ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } } \alpha ^ { 3 } . } \end{array}
\bar { a } ^ { \mathrm { e f f } } ( 0 ) = \bar { a } _ { s } ^ { \mathrm { e f f } } ( 0 ) = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \sigma } { \sigma } \rho ( \sigma ) = \frac { 1 } { \beta _ { 0 } } ,
\Delta ^ { ( + ) } ( x ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d p ^ { + } } { 2 p ^ { + } } e ^ { - i p ^ { - } x ^ { + } - i p ^ { + } x ^ { - } + i p ^ { \bot } x ^ { \bot } } = \frac { m } { 4 \pi ^ { 2 } \sqrt { - x ^ { 2 } } } K _ { 1 } ( m \sqrt { - x ^ { 2 } } ) ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { P ^ { ( v ) } ( { 1 } { t + 1 } ) \simeq } & { { } P ^ { ( v ) } ( { 1 } , { t } ) \, , } \\ { P ^ { ( e ) } ( { 1 } , { t + 1 } ) \simeq } & { { } P ^ { ( e ) } ( { 1 } , { t } ) \, . } \end{array} } \end{array}
d _ { f } ( Q ^ { 2 } ) = a _ { f } ( Q ^ { 2 } ) \bigl [ 1 + d _ { f } ^ { ( 1 ) } a _ { f } ( Q ^ { 2 } ) + d _ { f } ^ { ( 2 ) } a _ { f } ^ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) \bigr ] ,
\begin{array} { r l } { | \partial _ { t } } & { I _ { t } ^ { ( \alpha , \beta , \alpha , \beta , \alpha , \beta ) } ( n , m ) | \le \frac { C } { | n - m | ^ { 3 } } \Bigg ( t ^ { 2 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } e ^ { - t ( 1 - x ) } ( 1 - x ) ( 1 + x ) d x } \\ & { \quad + t \int _ { - 1 } ^ { 1 } e ^ { - t ( 1 - x ) } ( 1 + x ) d x + t \int _ { - 1 } ^ { 1 } e ^ { - t ( 1 - x ) } ( 1 - x ) d x + \int _ { - 1 } ^ { 1 } e ^ { - t ( 1 - x ) } d x \Bigg ) } \\ & { \le \frac { C } { | n - m | ^ { 3 } } \Bigg ( \int _ { 0 } ^ { 2 t } e ^ { - u } u \; d u + \int _ { 0 } ^ { 2 t } e ^ { - u } d u + \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { 2 t } e ^ { - u } u \; d u + \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { 2 t } e ^ { - u } \; d u \Bigg ) } \\ & { \le \frac { C } { | n - m | ^ { 3 } } , \quad t > 0 . } \end{array}
P = \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cos { \theta } } & { \sin { \theta } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \sin { \theta } } & { \cos { \theta } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { \partial } { \partial ( N ( M ^ { - 1 } ) \vec { z } ) _ { 0 } } \theta ( \tau , \boldsymbol { z } ) , \dots , \frac { \partial } { \partial ( N ( M ^ { - 1 } ) \vec { z } ) _ { k - 2 } } \theta ( \tau , \boldsymbol { z } ) \right) _ { ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) } ^ { \mathrm { t } } } \\ & { \quad = N ( M ) \left( \frac { \partial } { \partial z _ { 0 } } \theta ( \tau , \boldsymbol { z } ) , \dots , \frac { \partial } { \partial z _ { k - 2 } } \theta ( \tau , \boldsymbol { z } ) \right) _ { ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) } ^ { \mathrm { t } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( C _ { 1 } \| a \| ^ { 2 } + 2 C _ { 2 } a ^ { T } b + C _ { 3 } \| b \| ^ { 2 } - \sqrt { ( C _ { 1 } \| a \| ^ { 2 } + 2 C _ { 2 } a ^ { T } b + C _ { 3 } \| b \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 ( C _ { 1 } C _ { 3 } - C _ { 2 } ^ { 2 } ) ( \| a \| ^ { 2 } \| b \| ^ { 2 } - ( a ^ { T } b ) ^ { 2 } ) } \right) } \\ { \lambda _ { i } } & { = 0 , \qquad \mathrm { f o r ~ } i = 2 , . . . , n - 1 } \\ { \lambda _ { n } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( C _ { 1 } \| a \| ^ { 2 } + 2 C _ { 2 } a ^ { T } b + C _ { 3 } \| b \| ^ { 2 } + \sqrt { ( C _ { 1 } \| a \| ^ { 2 } + 2 C _ { 2 } a ^ { T } b + C _ { 3 } \| b \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 ( C _ { 1 } C _ { 3 } - C _ { 2 } ^ { 2 } ) ( \| a \| ^ { 2 } \| b \| ^ { 2 } - ( a ^ { T } b ) ^ { 2 } ) } \right) . } \end{array}
\log \Lambda \, = \, \operatorname* { m a x } _ { \{ { \cal O } ( x ) , P _ { 0 } ( x ) \} } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \log \left| \int { \cal O } ( x ) \delta P _ { n } ( x ) d x \right|
\begin{array} { r l } { \# [ J ] _ { j } } & { = \sum _ { \{ s _ { 1 } , \ldots , s _ { j } \} \in S _ { j } ^ { k } } { \binom { k + 1 } { s _ { 1 } } } { \binom { k + 1 - s _ { 1 } } { s _ { 2 } - s _ { 1 } } } \cdots { \binom { k + 1 - s _ { j - 1 } } { s _ { j } - s _ { j - 1 } } } } \\ & { = \sum _ { \{ s _ { 1 } , \ldots , s _ { j } \} \in S _ { j } ^ { k } } \frac { ( k + 1 ) ! } { s _ { 1 } ! \cdots ( s _ { j } - s _ { j - 1 } ) ! ( k + 1 - s _ { j } ) ! } . } \end{array}
\Psi _ { \mathrm { c } } ( \lambda , \hbar ) : = G _ { \mathrm { c } } ( \lambda , \hbar ) \check { \Psi } ( \lambda , \hbar ) \, \mathrm { ~ w i t h ~ } \, G _ { \mathrm { c } } ( \lambda , \hbar ) : = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - \frac { Q ( \lambda , \hbar ) } { \underset { i = 1 } { \overset { n } { \prod } } ( \lambda - q _ { i } ) } } & { 1 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \sigma _ { x } } & { { } = \left( c _ { 1 } ^ { \dagger } c _ { 2 } + c _ { 2 } ^ { \dagger } c _ { 1 } \right) } \\ { \sigma _ { y } } & { { } = - i \left( c _ { 1 } ^ { \dagger } c _ { 2 } - c _ { 2 } ^ { \dagger } c _ { 1 } \right) } \\ { \sigma _ { z } } & { { } = \left( c _ { 1 } ^ { \dagger } c _ { 1 } - c _ { 2 } ^ { \dagger } c _ { 2 } \right) } \end{array}
H ( n - m ) = \int _ { B Z } \left( { \frac { d p } { 2 \pi } } \right) ^ { 4 } \ e ^ { i p ( n - m ) } \, g a m m a _ { 5 } \Bigl ( i \gamma ^ { \mu } C _ { \mu } ( p ) + B ( p ) T _ { c } \Bigr )
\begin{array} { r l } & { \frac { \rho _ { h } ^ { n + 1 } h _ { h } ^ { n + 1 } - \rho _ { h } ^ { n } h _ { h } ^ { n } } { \Delta t } + \nabla \cdot ( \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf v _ { h } ^ { * } h _ { h } ^ { n + 1 } ) + G \left( \rho _ { h } ^ { n + 1 } , K _ { \mathbf v , h } ^ { n + 1 } , q _ { h } ^ { n + 1 } , \mathbf v _ { h } ^ { n + 1 } \right) - \xi \nabla \cdot ( \overline { { \mu } } _ { h } \nabla { h } _ { h } ^ { n + 1 } ) } \\ & { \quad + \xi \nabla \cdot ( \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf v _ { h } ^ { * } ( l _ { h } ^ { n + 1 } - \overline { { l } } _ { h } ^ { n + 1 } ) ) - \xi ( 1 - \xi ) \nabla \cdot ( \overline { { \mu } } _ { h } \nabla ( \overline { { l } } _ { h } ^ { n + 1 } - { l } _ { h } ^ { n + 1 } ) ) = 0 . } \end{array}
\bar { V } ( s _ { 0 } , g , \bar { s } ; A ) : = \int _ { A _ { 0 } } [ V ^ { i n i t } \big ( { s } _ { 0 } ( z ) , \bar { s } ( 0 , z ) \big ) d z + \int _ { A _ { T } } V ^ { e n d } \big ( \bar { s } ( T , z ) , g ( z ) \big ) d z + \int _ { A \backslash ( A _ { 0 } \cup A _ { T } ) } \bar { L } \big ( \nu ( \tau , z ) \big ) d \mathcal { H } ^ { d } .
\frac { \int _ { \gamma } \lambda _ { h } ^ { i } v _ { i } d x } { | | v _ { i } | | _ { 1 , \Omega _ { i } } } \leq \kappa \frac { \int _ { \gamma } \lambda _ { h } ^ { i } \Pi _ { h } ^ { i } v _ { i } d x } { | | \Pi _ { h } ^ { i } v _ { i } | | _ { 1 , \Omega _ { i } } } \leq \kappa \operatorname* { s u p } _ { v _ { h } ^ { i } \in V _ { h } ^ { i } } \frac { \int _ { \gamma } \lambda _ { h } ^ { i } v _ { h } ^ { i } d x } { | | v _ { h } ^ { i } | | _ { 1 , \Omega _ { i } } } .
T _ { \mu \nu } = G _ { I J } \partial _ { \mu } \phi ^ { I } \partial _ { \nu } \phi ^ { J } - g _ { \mu \nu } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { \alpha \beta } G _ { I J } \partial _ { \alpha } \phi ^ { I } \partial _ { \beta } \phi ^ { J } + V \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } _ { \omega } \Phi _ { 1 } } & { = \Phi _ { 1 } \mathcal { D } _ { \omega } + \mathcal { D } _ { \omega } ( \Phi _ { 1 } ) } \\ & { = \Phi _ { 1 } \mathcal { D } _ { \omega } + \Pi _ { S ^ { \perp } } \mathcal { D } _ { \omega } ( \Psi _ { 1 } ) + \mathcal { D } _ { \omega } ( \Phi _ { 1 } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 1 } ) . } \end{array}
q _ { 1 , 2 } = q \pm \frac { p } { 2 } , \quad A _ { \mu } ( q ) = \partial _ { \mu } G ^ { - 1 } ( q ) G ( q ) \quad \mathrm { a n d } \quad \tilde { A } _ { \mu } ( q ) = G ( q ) \partial _ { \mu } G ^ { - 1 } ( q ) .