harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left[ \begin{array} { l } { y ^ { 1 } } \\ { y ^ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { y ^ { M } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l } { A _ { 1 } ^ { 1 } } & { A _ { 2 } ^ { 1 } } & { \cdots } & { A _ { N } ^ { 1 } } \\ { A _ { 1 } ^ { 2 } } & { A _ { 2 } ^ { 2 } } & { \cdots } & { A _ { N } ^ { 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { A _ { 1 } ^ { M } } & { A _ { 2 } ^ { M } } & { \cdots } & { A _ { N } ^ { M } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \xi _ { 1 } x _ { 1 } } \\ { \xi _ { 2 } x _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { \xi _ { N } x _ { N } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { w _ { n o i s e } ^ { 1 } } \\ { w _ { n o i s e } ^ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { w _ { n o i s e } ^ { M } } \end{array} \right] .
\frac { 2 7 i } { 2 0 } \int \! \! d ^ { 4 } x \, \, \, \eta _ { { \mathbf m } { \mathbf i } } [ D ^ { \mathbf m } { } _ { { \mathbf j } } { \bar { D } } _ { { \mathbf k } { \mathbf l } } + { \bar { D } } ^ { \mathbf m } { } _ { { \mathbf j } } D _ { { \mathbf k } { \mathbf l } } ] T ^ { { \mathbf i } { \mathbf j } { \mathbf k } { \mathbf l } } | .
\begin{array} { r l } { R _ { e x } ( \sigma ^ { 2 } , \rho ^ { 2 } , q ) } & { = \log ( 1 + \overline { { g } } _ { i i d , e x } ) + \sqrt { \frac { V _ { e x , i i d } } { M } } \phi ^ { - 1 } ( q ) , } \\ { R _ { i n } ( \sigma ^ { 2 } , q ) } & { = \log ( 1 + \overline { { g } } _ { i i d , i n } ) + \sqrt { \frac { V _ { i n , i i d } } { M } } \phi ^ { - 1 } ( q ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { U ( t ) = \left( \begin{array} { c c c c } { \cos ( | \Omega | t ) } & { ( \sin ( \theta ) - i \cos ( \theta ) ) \sin ( | \Omega | t ) } \\ { - ( \sin ( \theta ) + i \cos ( \theta ) ) \sin ( | \Omega | t ) } & { \cos ( | \Omega | t ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\bar { q } q ^ { \prime } = \displaystyle \frac { - i \partial ^ { \mu } ( \bar { q } \gamma _ { \mu } q ^ { \prime } ) } { m _ { q } - m _ { q ^ { \prime } } } , ~ ~ ~ \bar { q } ^ { \prime } \gamma _ { 5 } b = \displaystyle \frac { - i \partial ^ { \mu } ( \bar { q } ^ { \prime } \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } b ) } { m _ { b } + m _ { q ^ { \prime } } }
{ K } _ { i j } ^ { k l } = \int \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 1 } } \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 2 } } \, \phi _ { k } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \phi _ { l } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \hat { K } [ u ] ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \phi _ { i } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \phi _ { j } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ \, ~ ( ~ \, ~ } \mathrm { ~ \it ~ \/ ~ d ~ \, ~ f ~ \/ ~ } \mathrm { ~ \, ~ ) ~ } ^ { \mathrm { ~ \, ~ 2 ~ \/ ~ } } } & { { } \mathrm { ~ \ = ~ \ } } & { \left( { \frac { \partial \, \mathrm { ~ \it ~ f ~ \/ ~ } } { \partial \mathrm { ~ \it ~ x ~ \/ ~ } } } \, \mathrm { ~ \it ~ d ~ \/ ~ x ~ \/ ~ } \right) ^ { \mathrm { ~ \/ ~ 2 ~ } } \mathrm { ~ + ~ } \left( { \frac { \partial \, \mathrm { ~ \it ~ f ~ \/ ~ } } { \partial \mathrm { ~ \it ~ y ~ \/ ~ } } } \, \mathrm { ~ \it ~ d ~ \/ ~ y ~ \/ ~ } \right) ^ { \mathrm { ~ \/ ~ 2 ~ } } \mathrm { ~ + ~ } \left( { \frac { \partial \, \mathrm { ~ \it ~ f ~ \/ ~ } } { \partial \mathrm { ~ \it ~ z ~ \/ ~ } } } \, \mathrm { ~ \it ~ d ~ \/ ~ z ~ \/ ~ } \right) ^ { \mathrm { ~ \/ ~ 2 ~ } } \mathrm { ~ \ . ~ } } \end{array}
\gamma _ { j i } ^ { \mathrm { c } } = \left\{ \begin{array} { c c l } { \displaystyle \frac { \log ( n _ { j } + 1 ) - \log ( n _ { i } + 1 ) } { \frac { 1 } { n _ { i } + 1 } - \frac { 1 } { n _ { j } + 1 } } } & { \mathrm { ~ i f ~ } } & { n _ { j } \not = n _ { i } , } \\ { n _ { j } + 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ } } & { n _ { j } = n _ { i } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { m ( \nu _ { 1 } ) / e V = 0 . 0 0 1 \qquad m ( \nu _ { 2 } ) / e V = 0 . 0 0 8 7 \qquad m ( \nu _ { 3 } ) / e V = 0 . 0 4 8 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big ( \varphi ( Y _ { t } ^ { i , \tau } ) \varphi ( Y _ { t } ^ { j , \tau } ) \big ) } & { = \mathbb { E } \big ( \mathbb { E } ( \varphi ( Y _ { t } ^ { i , \tau } ) \varphi ( Y _ { t } ^ { j , \tau } ) | \mathcal { F } _ { t } ^ { W } ) \big ) } \\ & { = \mathbb { E } \big ( \mathbb { E } ( \varphi ( Y _ { t } ^ { i , \tau } ) | \mathcal { F } _ { t } ^ { W } ) \mathbb { E } ( \varphi ( Y _ { t } ^ { j , \tau } ) | \mathcal { F } _ { t } ^ { W } ) \big ) } \\ & { = \mathbb { E } \bigg ( \bigg ( \int _ { \mathbb { R } } \rho _ { t } ^ { \tau } ( y ) \varphi ( y ) \, \mathrm { d } y \bigg ) ^ { 2 } \bigg ) } \end{array}
N ^ { l + 1 } = N ^ { v o l } + N _ { l + 1 } ^ { i n i } , \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } N _ { l + 1 } ^ { i n i } = \operatorname* { m a x } ( 1 , Y ^ { l } ) \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } Y ^ { l } = N _ { l } ^ { i n i } \times \left\lfloor \frac { N _ { o b j } ^ { i n i } } { N _ { l } ^ { i n i } } \right\rfloor + \mathcal { B } \left( N _ { l } ^ { i n i } , \frac { N _ { o b j } ^ { i n i } } { N _ { l } ^ { i n i } } - \left\lfloor \frac { N _ { o b j } ^ { i n i } } { N _ { l } ^ { i n i } } \right\rfloor \right) .
d e t \hat { K } = { \frac { 4 \coth ^ { 2 } ( { \frac { \omega } { 2 } } ) \sinh \Bigl ( ( \nu - q _ { + } ) { \frac { \omega } { 2 } } \Bigr ) \sinh ( q _ { - } { \frac { \omega } { 2 } } ) \sinh ( { \frac { \omega } { 2 } } ) } { \sinh ( { \frac { \nu \omega } { 2 } } ) } } \, .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { p } } } & { \leftarrow \sigma _ { \mathrm { { p , N - 1 } } } + \frac { 1 } { 1 } { N } \left( \sigma - \sigma _ { \mathrm { { p , N - 1 } } } \right) } \\ { \beta _ { \mathrm { p } } } & { \leftarrow \beta _ { \mathrm { { p , N - 1 } } } + \frac { 1 } { 1 } { N } \left( \beta - \beta _ { \mathrm { { p , N - 1 } } } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { T S C } ^ { e } ( T ) } & { { } = } & { { \frac { 1 } { 2 } } \cdot q _ { 0 } \cdot A \cdot w ( T ) \cdot e _ { n } ( T ) \cdot n _ { t } ( T _ { 0 } ) \cdot f \left( T \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \tau | \mathbf { k } | } ( z ) } & { \sim \frac { 1 } { 6 } \left( \zeta + 6 \mathrm { i } | \mathbf { k } | ^ { 3 } \tau ^ { 3 } - \zeta ( \zeta ^ { 2 } + 5 ) | \mathbf { k } | ^ { 2 } \tau ^ { 2 } + 2 \mathrm { i } ( \zeta ^ { 2 } + 3 ) | \mathbf { k } | \tau \right. } \\ & { \qquad \left. + Z ( \zeta ) ( \zeta ^ { 2 } - ( \zeta ^ { 4 } + 4 \zeta ^ { 2 } + 1 1 ) | \mathbf { k } | ^ { 2 } \tau ^ { 2 } + 2 \mathrm { i } \zeta ^ { 3 } | \mathbf { k } | \tau - 5 ) - 4 \mathrm { i } Z ^ { 2 } ( \zeta ) ( ( \zeta ^ { 2 } + 1 ) | \mathbf { k } | \tau - \mathrm { i } \zeta ) \right) } \\ & { \sim \frac { 1 } { 6 } \left( \zeta + 6 \mathrm { i } | \mathbf { k } | ^ { 3 } \tau ^ { 3 } - \zeta ( \zeta ^ { 2 } + 5 ) | \mathbf { k } | ^ { 2 } \tau ^ { 2 } + 2 \mathrm { i } ( \zeta ^ { 2 } + 3 ) | \mathbf { k } | \tau \right. } \\ & { \qquad - \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( 2 n - 1 ) ! ! } { \zeta ^ { 2 n + 1 } } ( \zeta ^ { 2 } - ( \zeta ^ { 4 } + 4 \zeta ^ { 2 } + 1 1 ) | \mathbf { k } | ^ { 2 } \tau ^ { 2 } + 2 \mathrm { i } \zeta ^ { 3 } | \mathbf { k } | \tau - 5 ) } \\ & { \qquad \left. - 4 \mathrm { i } \left( - \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( 2 n - 1 ) ! ! } { \zeta ^ { 2 n + 1 } } \right) ^ { 2 } ( ( \zeta ^ { 2 } + 1 ) | \mathbf { k } | \tau - \mathrm { i } \zeta ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 4 } } & { = { \bf b } ^ { \{ F \} , T } { \bf A } ^ { \{ F , \sigma \} } { \bf A } ^ { \{ S , \nu \} } { \bf c } ^ { \{ S \} } } \\ & { = ( e _ { s ^ { \{ S \} } } \otimes b ^ { \{ F \} } ) ^ { T } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \Omega } - 1 } \Omega ^ { \{ k \} } \otimes A ^ { \{ F \} } c ^ { \{ F \} \times k } \right) { \bf A } ^ { \{ S , \nu \} } c ^ { \{ S \} } } \\ & { = e _ { s ^ { \{ S \} } } ^ { T } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \Omega } - 1 } \Omega ^ { \{ k \} } \frac { 1 } { ( k + 1 ) ( k + 2 ) } \right) { \bf A } ^ { \{ S , \nu \} } c ^ { \{ S \} } . } \end{array}
E _ { g s } = \textbf { p } \cdot \textbf { c } _ { * } = e \oint _ { \scriptstyle \partial \, \Sigma } \textbf { E } \, d \textbf { l } = \oint _ { \scriptstyle \partial \, \Sigma } \textbf { F } _ { i } \, d \textbf { l }
\mathrm { d } \mathbf { r } = \mathrm { d } r \, { \hat { \mathbf { r } } } + r \, \mathrm { d } \theta \, { \hat { \boldsymbol { \theta } } } + r \sin { \theta } \, \mathrm { d } \varphi \, \mathbf { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } ,
( \bar { \mathrm { ~ u ~ } } _ { I + i } + \mu _ { I + i , 1 + j } ) = ( \bar { \mathrm { ~ u ~ } } _ { I - i + 1 } + \mu _ { I - i + 1 , J - j } ) , \qquad 1 \leq i \leq k , \quad 0 \leq j \leq J - 1 ,
\begin{array} { r l } { \tau _ { g } } & { { } = \tau _ { g } ^ { k } + \tau _ { g } ^ { c } , } \\ { p _ { g } } & { { } = \varphi \langle v _ { z } ^ { 2 } \rangle p _ { g } ^ { k } + p _ { g } ^ { c } , } \end{array}
P _ { \infty } ^ { ( { \pm } N ) ( J ) } ( g ) = \operatorname * { l i m } _ { l { \rightarrow } { \infty } } P ^ { ( { \pm } N ) ( J ) } ( u ) = \left( \begin{array} { c c } { { \frac { 1 + { \gamma } } { 2 } { \cal P } ^ { ( { \pm } N ) } ( g ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \frac { 1 - { \gamma } } { 2 } { \cal P } ^ { ( { \pm } N ) } ( g ) } } \end{array} \right) .
\begin{array} { c } { { | 0 \rangle \quad \bar { R } ( \lambda , \bar { \eta } , \Theta ) } } \\ { { M \cos ( \nu _ { 0 } ) } } \end{array} \dots \begin{array} { c } { { | n \rangle \quad \bar { R } ( \lambda , \bar { \eta } , \Theta ) a _ { n } ( \eta , \theta ) } } \\ { { M \cos ( \nu _ { n } ) } } \end{array} \quad .
\{ \mathrm { { \bf L } } \stackrel { \otimes } { , } \mathrm { { \bf L } } \} = \left[ r _ { 1 2 } , \mathrm { { \bf L } } \otimes \mathrm { { \bf 1 } } \right] - \left[ r _ { 2 1 } , \mathrm { { \bf 1 } } \otimes \mathrm { { \bf L } } \right] .
\sigma ( q \bar { q } \to c \bar { c } ( \underline { { { 8 } } } , { } ^ { 3 } S _ { 1 } ) ) = \int \frac { d ^ { 3 } { \bf q } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \left( \; \; \frac { F _ { 8 } ( { } ^ { 3 } S _ { 1 } ) } { m _ { c } ^ { 2 } } \; + \; \frac { G _ { 8 } ( { } ^ { 3 } S _ { 1 } ) } { m _ { c } ^ { 2 } } \; \frac { { \bf q } ^ { 2 } } { m _ { c } ^ { 2 } } + \cdots \right) \; \xi _ { s } ^ { \dagger } \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } T _ { m \bar { m } } ^ { a } \eta _ { \bar { s } } \; \; \eta _ { \bar { s } } ^ { \dagger } \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } T _ { \bar { m } m } ^ { a } \xi _ { s } \; .
{ \psi } _ { 2 } \left( x \right) = { f } _ { 0 } \left( x \right) + { q } _ { 0 } \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } { \psi } _ { 0 } \left( x \right) } { \mathrm { d } { x } ^ { 2 } } \, , \quad { \widetilde R } _ { 2 } \left( x , { \tau } \right) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { { \tau } } { { \left( { \tau } - t \right) } ^ { 2 } { u } ^ { { \prime } { \prime } { \prime } } \left( x , t \right) } { \mathrm { d } t } \, ,
\begin{array} { r } { \mathrm { S p i n } [ x , A ] = \int { \cal D } \psi ( \tau ) \, \exp \Biggl \lbrack - \int _ { 0 } ^ { T } d \tau \Biggl ( { \frac { 1 } { 2 } } \psi \cdot \dot { \psi } - i e \psi ^ { \mu } F _ { { \mu \nu } } \psi ^ { \nu } \Biggr ) \Biggr \rbrack } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { n } } & { { } = } & { \int _ { V _ { j } } f ( \mathbf x , \mathbf v , t ^ { n } ) d \mathbf x \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { F _ { n + 1 / 2 } } & { { } = } & { \int _ { V _ { j } } \mathbf v \cdot \frac { \partial f } { \partial \mathbf x } ( \mathbf x , \mathbf v , t ^ { n } + \frac { \Delta t } { 2 } ) d \mathbf x . } \end{array}
\tilde { z } _ { \pm } = - Q _ { \pm } ^ { - 1 } \displaystyle \displaystyle \frac { \partial } { \partial \overline { { { z } } } _ { \pm } } - z _ { \pm } ~ , ~ ~ ~ \tilde { p } _ { \pm } = \displaystyle \displaystyle \frac { \partial } { \partial z _ { \pm } } - Q _ { \pm } ^ { - 1 } \displaystyle \frac { \partial p _ { \pm } } { \partial z _ { \pm } } \displaystyle \displaystyle \frac { \partial } { \partial \overline { { { z } } } _ { \pm } } ~ .
\begin{array} { r l } { [ f _ { j } , f _ { \varphi } ] = [ f _ { j } , ( 1 + r \kappa _ { R } ) ^ { - 1 } \partial _ { \varphi } ] } & { = - ( 1 + r \kappa _ { R } ) ^ { - 1 } \partial _ { f _ { j } } ( r ) \cdot \kappa _ { R } \partial _ { \varphi } } \\ & { = - ( 1 + r \kappa _ { R } ) ^ { - 1 } \partial _ { f _ { j } } ( r ) \kappa _ { R } f _ { \varphi } } \end{array}
z _ { 1 } = 1 - \frac { t + \mathrm { i } \epsilon } { m _ { 4 } ^ { 2 } + \mathrm { i } \epsilon } , ~ ~ ~ ~ z _ { 2 } = 1 - \frac { m _ { 2 } ^ { 2 } + \mathrm { i } \epsilon } { s + \mathrm { i } \epsilon } \; \cdot
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } _ { 1 } } & { = \frac { 2 } { \alpha ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } q ^ { 2 } \mathcal { S } _ { 1 } ( q , z ) \sin ( q t ) J _ { 1 } ( q r ) \, \mathrm { d } q \, , } \\ { \mathcal { K } _ { 2 } } & { = \frac { 2 } { \alpha ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } q ^ { 2 } \mathcal { S } _ { 2 } ( q , z ) \cos ( q t ) J _ { 1 } ( q r ) \, \mathrm { d } q \, , } \\ { \mathcal { K } _ { 3 } } & { = \frac { 2 } { \alpha ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } q ^ { 2 } \mathcal { S } _ { 2 } ( q , z ) \sin ( q t ) J _ { 0 } ( q r ) \, \mathrm { d } q \, , } \\ { \mathcal { K } _ { 4 } } & { = \frac { 2 } { \alpha ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } q ^ { 2 } \mathcal { S } _ { 3 } ( q , z ) \cos ( q t ) J _ { 0 } ( q r ) \, \mathrm { d } q \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathcal { L } _ { 2 } } = i { { \gamma } _ { 2 } } { { I } _ { { { n } ^ { 2 } } } } \otimes { { I } _ { { { n } _ { N H E O M } } } } \otimes M } \\ & { = i { { \gamma } _ { 2 } } \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { } & { } & { } \\ { } & { 1 } & { } & { } \\ { } & { } & { 1 } & { } \\ { } & { } & { } & { 1 } \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { } & { } & { } \\ { } & { 1 } & { } & { } \\ { } & { } & { \ddots } & { } \\ { } & { } & { } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { \otimes \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { } & { } & { } \\ { } & { 1 } & { } & { } \\ { } & { } & { \ddots } & { } \\ { } & { } & { } & { { { n } _ { m a x } } } \end{array} \right) } \end{array}
p ( { \mathbf { y } \vert { \mathbf { x } } } ) \sim \frac { 1 } { ( { 2 \pi } { { \sigma _ { n _ { 1 } } ^ { 2 } } } ) ^ { \frac { N } { 2 } } } \mathrm { e x p } \bigg \{ - \frac { 1 } { 2 { \sigma _ { n _ { 1 } } ^ { 2 } } } ( { \mathbf { y } } - { \mathbf { K } } { \mathbf { x } } ) ^ { H } ( { \mathbf { y } } - { \mathbf { K } } { \mathbf { x } } ) \bigg \} .
\mathbf { P } \cdot \mathbf { n } = \left( \epsilon E _ { \xi } E _ { \xi } - \frac { 1 } { 2 } \epsilon | E | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \epsilon \kappa ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \lambda \right) \mathbf { e } _ { \xi } + \epsilon E _ { \xi } E _ { \eta } \mathbf { e } _ { \eta } + \epsilon E _ { \xi } E _ { \tau } \mathbf { e } _ { \tau }
\begin{array} { r l } { S : \hat { X } \to X , \quad S : w } & { = \left[ \begin{array} { l } { w _ { 1 } } \\ { w _ { 2 } } \end{array} \right] \mapsto x : = \frac { 1 } \eta c ^ { - } w _ { 1 } ( \eta ^ { - 1 } \cdot + b ) + c ^ { + } w _ { 2 } , } \\ { S ^ { - 1 } : X \to \hat { X } , \quad S ^ { - 1 } : x } & { = c ^ { - } x ^ { - } + c ^ { + } x ^ { + } \mapsto w : = \left[ \begin{array} { l } { \eta x ^ { - } ( \eta \cdot + a ) } \\ { x ^ { + } } \end{array} \right] . } \end{array}
\mathbf { S } ^ { \ast T } \hat { \ensuremath { \mathbf { u } } } ^ { n } = ( \mathbf { S } ^ { \ast T } \mathbf { B } ^ { \ast } \mathbf { S } ^ { \ast } ) ^ { - 1 } ( \mathbf { S } ^ { \ast T } \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n - z _ { s } } - \mathbf { S } ^ { \ast T } \mathbf { B } ^ { \ast } \mathbf { S } \mathbf { S } ^ { T } \hat { \ensuremath { \mathbf { u } } } ^ { n } )
\psi = ( a _ { 1 } ) ( a _ { 2 } ) \dots ( a _ { r _ { 1 } } ) ( b _ { 1 } c _ { 1 } ) ( b _ { 2 } c _ { 2 } ) \dots ( b _ { s _ { 1 } } c _ { t _ { 1 } } ) \dots ( 3 - c y c l e s ) \dots ( 4 - c y c l e s ) \dots
Z ^ { ( 1 ) } [ \eta ] = \mathrm { S d e t } ^ { - \frac 1 2 } { \sf Y } [ \eta ] = \mathrm { S d e t } ^ { - \frac 1 2 } \left( \begin{array} { c c } { { p ^ { 2 } } } & { { \lambda \bar { \eta } } } \\ { { \lambda \eta } } & { { i p \llap / } } \end{array} \right) .
I _ { \mathrm { P } } ^ { \mathrm { ( L i ) } } ( R ) = \frac { 1 } { 2 } P _ { \mathrm { p i c k u p } } ( R ) \int _ { 0 } ^ { \pi } P _ { \mathrm { P } } ^ { \mathrm { ( L i ) } } ( R , \theta ) \sin \theta d \theta .
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } _ { \vartheta } [ \Phi _ { T } [ u ] ] } & { { } = \mathcal { F } ^ { - 1 } [ \tilde { \kappa } _ { \vartheta } \cdot \mathcal { F } [ \Phi _ { T } [ u ] ] ] = \mathcal { F } ^ { - 1 } [ \tilde { \kappa } _ { \vartheta } \cdot \exp ( i 2 \pi k a ) \exp ( i 2 \pi l b ) \, \mathcal { F } [ u ] ] } \end{array}
f _ { \alpha \beta } ^ { ( 1 ) } = { \frac { \partial A _ { \beta } ^ { ( 1 ) } } { \partial \xi _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } } } - { \frac { \partial A _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } } { \partial \xi _ { \beta } ^ { ( 1 ) } } } .
\begin{array} { r } { \rVert D ^ { 2 } G _ { \delta } ( \bar { i } ) [ \hat { \textbf { \i } } _ { 1 } , \hat { \textbf { \i } } _ { 2 } ] ) \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \rVert \hat { \textbf { \i } } _ { 1 } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert \hat { \textbf { \i } } _ { 2 } \rVert _ { s _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \rVert \hat { \textbf { \i } } _ { 1 } \rVert _ { s _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert \hat { \textbf { \i } } _ { 2 } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert \hat { \textbf { \i } } _ { 1 } \rVert _ { s _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert \hat { \textbf { \i } } _ { 1 } \rVert _ { s _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Sigma _ { c } ^ { T , 1 } \, : \, \left\{ \begin{array} { r l } { \dot { x } } & { = F _ { c , 1 } ( w ) } \\ { \dot { y } } & { = F _ { c , 2 } ( w ) } \\ { \dot { w } } & { = u } \end{array} \right. \quad \textrm { a n d } \quad \Sigma _ { c } ^ { T , 2 } \, : \, \left\{ \begin{array} { r l } { \dot { x } } & { = 1 + \varepsilon y u } \\ { \dot { y } } & { = \left( x - \nu ( w ) y \right) u } \\ { \dot { w } } & { = u } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( k ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { h } _ { k } \prod _ { j } ^ { k - 1 } \left( 1 - \hat { h } _ { j } \right) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } k \in [ 1 , N - 1 ] } \\ { \prod _ { j = 1 } ^ { N - 1 } \left( 1 - \hat { h } _ { j } \right) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } k = N } \end{array} \right. } \end{array}
M _ { \mathrm { H } } \; = \; c \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \;
\begin{array} { r l r } { E _ { \mathrm { s h o r t } } ^ { \mathrm { t a r g e t } } ( { \textrm { e e 4 G - H D N N P } } ) } & { { } = } & { E _ { \mathrm { r e f } } - E _ { \mathrm { e l e c } } - E _ { \mathrm { 2 b } } } \end{array}
V _ { \mathrm { c l a s s i c a l } } = \lambda _ { X } A _ { X i } ^ { \dag } A _ { X } ^ { i } + \lambda _ { Y } A _ { Y } ^ { \dag i } A _ { Y i } \rightarrow \lambda _ { X } | A _ { X } | ^ { 2 } + \lambda _ { Y } | A _ { Y } | ^ { 2 } ,
R _ { a _ { 1 } , a _ { 2 } } ( \lambda / \mu ) L _ { a _ { 1 } , n } ( \lambda ) L _ { a _ { 2 } , n } ( \mu ) = L _ { a _ { 2 } , n } ( \mu ) L _ { a _ { 1 } , n } ( \lambda ) R _ { a _ { 1 } , a _ { 2 } } ( \lambda / \mu ) .
\widetilde \mathbf { x } ^ { \prime } ( t ) = - \nabla G _ { n } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) - \frac { h } { 4 } \nabla \left( \| \nabla G _ { n } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \| ^ { 2 } + 2 \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \beta ^ { n - k } \| \nabla G _ { k } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \| ^ { 2 } \right) : = \nabla \hat { E } _ { n } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) ,
{ \begin{array} { r l } { f ( \delta _ { g } - \delta _ { g } ^ { \prime } ) } & { + g ( \delta _ { f } - \delta _ { f } ^ { \prime } ) } \\ & { = \alpha \beta ( f ( \delta _ { g } - \delta _ { g } ^ { \prime } ) + g ( \delta _ { f } - \delta _ { f } ^ { \prime } ) ) - \gamma ( f ( \delta _ { g } - \delta _ { g } ^ { \prime } ) + g ( \delta _ { f } - \delta _ { f } ^ { \prime } ) ) \in I ^ { n } R [ X ] , } \end{array} }
. T o s i m u l a t e a w a l k w i t h o u r q u a n t u m W a n g t i l e w e w i l l c o n s i d e r a g r i d o f o d d w i d t h w i t h e m p t y b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n t h e l e f t a n d r i g h t s i d e . T h e l o w e r s i d e w i l l e n c o d e t h e i n i t i a l p o s i t i o n o f t h e w a l k e r w i t h e m p t y e v e r y w h e r e , e x c e p t i n t h e m i d d l e p o s i t i o n w h e r e t h e w a l k e r i s i n a u n i f o r m s u p e r p o s i t i o n o f d i r e c t i o n l e f t a n d r i g h t . T h e u p p e r e d g e o f t h e g r i d w i l l a l l o w u s t o r e a d t h e r e s u l t o f t h e w a l k , w e c a u t i o u s l y c h o o s e a w i d t h l a r g e e n o u g h t o a v o i d f o r c i n g t h e w a l k e r t o b o u n c e , t h a t i s
g _ { i , \mathrm { o p t } } \Delta _ { i , \mathrm { o p t } } ^ { \alpha } \, \underbrace { \prod _ { m } \Delta _ { m , \mathrm { o p t } } } _ { \mathcal { V } _ { \mathrm { o p t } } } = \Lambda \ , \ \ i = 1 , 2 , 3 \, ,
\begin{array} { r l } & { \quad \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { i } w _ { i , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } [ w _ { u , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } , w _ { j , j } ^ { ( 2 ) } t ] } \\ & { = - \delta ( j \leq i ) \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { j , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 1 } + \delta _ { i , j } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { u = 1 } ^ { i } w _ { i , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { u , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 1 } } \\ & { \quad + \delta ( j \leq i ) \alpha _ { 1 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } s w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } + \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } s w _ { i , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { j , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } } \\ & { \quad + \delta _ { i , j } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { x \leq m - n } s w _ { i , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { x , x } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } } \end{array}
{ \frac { T _ { Q } } { 2 . 7 3 \, \mathrm { K } } } \simeq \left( { \frac { \kappa _ { 5 } ^ { 4 } \lambda _ { 0 } ^ { 2 } - 3 6 \xi ^ { 2 } } { 2 \kappa _ { 5 } ^ { 4 } | \lambda _ { 0 } | \rho _ { 0 } } } \right) ^ { \frac { 3 } { 9 - k ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } \, k \, X _ { k } ^ { \ell , m } } & { = m ( 1 - e ^ { 2 } ) X _ { k } ^ { \ell - 2 , m } + \frac { e \, \ell } { 2 } \left[ X _ { k } ^ { \ell - 1 , m - 1 } - X _ { k } ^ { \ell - 1 , m + 1 } \right] } \\ & { = m \, X _ { k } ^ { \ell - 1 , m } + \frac { e } { 2 } \left[ ( m + \ell ) \, X _ { k } ^ { \ell - 1 , m - 1 } + ( m - \ell ) \, X _ { k } ^ { \ell - 1 , m + 1 } \right] \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log r ( z ) } & { { } = \log \tilde { q } _ { f , \theta } ( f _ { \theta } ( z ) | \chi ) + \log \left| \operatorname* { d e t } \frac { \partial f _ { \theta } ( z ) } { \partial z } \right| } \\ { \implies \log \tilde { q } _ { f , \theta } ( f _ { \theta } ( z ) | \chi ) } & { { } = \log r ( z ) - \log \left| \operatorname* { d e t } \frac { \partial f _ { \theta } ( z ) } { \partial z } \right| } \end{array}
\hat { Z } _ { f } [ A , \epsilon , \kappa ] = \int { \cal D } \psi { \cal D } \bar { \psi } e ^ { \int _ { \Sigma } d ^ { 2 } x \sqrt { g } \bar { \psi } ( - i { D \! \! \! / } + { A \! \! / } ) \psi } = d e t [ - i { D \! \! \! / } + { A \! \! / } ] ,
f _ { X } ( { \bf x } ) = f _ { X } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { N } ) \equiv \operatorname* { l i m } _ { d x _ { 1 } \to 0 , \dots , d x _ { N } \to 0 } \frac { P r \{ X _ { 1 } \in [ x _ { 1 } , x _ { 1 } + d x _ { 1 } ] , \dots , X _ { N } \in [ x _ { N } , x _ { N } + d x _ { N } ] \} } { d x _ { 1 } \cdots d x _ { N } } \mathrm { ~ . ~ }