harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sum _ { i \neq m } \mathbb { E } _ { X ^ { n } } \left\{ { \mathrm { T r } } \left\{ \Pi _ { \rho _ { X ^ { n } \left( i \right) } , \delta } \ \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \ \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } \ \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \right\} \right\}
D _ { \mathrm { { L } } } \mapsto D _ { \mathrm { { L } } } ^ { \prime } = S D _ { \mathrm { { L } } } S ^ { \dagger } \qquad D _ { \mathrm { { R } } } \mapsto D _ { \mathrm { { R } } } ^ { \prime } = ( S ^ { \dagger } ) ^ { - 1 } D _ { \mathrm { { R } } } S ^ { - 1 }
\left[ \begin{array} { l l l l l l } { g o o s e } & { ( { \frac { 1 } { 8 } } + { \frac { 1 } { 3 2 } } ) } & { h e q a t } & { + } & { ( 3 + { \frac { 1 } { 3 } } ) } & { r o } \\ { t e r p - g o o s e } & { ( { \frac { 1 } { 8 } } + { \frac { 1 } { 3 2 } } ) } & { h e q a t } & { + } & { ( 3 + { \frac { 1 } { 3 } } ) } & { r o } \\ { c r a n e } & { ( { \frac { 1 } { 8 } } + { \frac { 1 } { 3 2 } } ) } & { h e q a t } & { + } & { ( 3 + { \frac { 1 } { 3 } } ) } & { r o } \\ { s e t - d u c k } & { ( { \frac { 1 } { 3 2 } } + { \frac { 1 } { 6 4 } } ) } & { h e q a t } & { + } & { 1 } & { r o } \\ { s e r - g o o s e } & { { \frac { 1 } { 6 4 } } } & { h e q a t } & { + } & { 3 } & { r o } \\ { d o v e } & { } & { } & { } & { 3 } & { r o } \\ { q u a i l } & { } & { } & { } & { 3 } & { r o } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \mathfrak { I } } & { \lesssim \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { d \ell ^ { \prime } } { \alpha } } } \frac { 1 } { \left( 1 + \frac { | x - y | } { ( u - s ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \right) ^ { ( d + \alpha ) \ell ^ { \prime } } } \int \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { d \ell ^ { \prime } } { \alpha } } } \frac { 1 } { \left( 1 + \frac { | z - y | } { ( t - u ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \right) ^ { ( d + \alpha ) \ell ^ { \prime } } } \mathbb { 1 } _ { | x - z | \geq \frac { 1 } { 2 } | x - y | } \mathrm { d } z } \\ & { \lesssim \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - y ) ^ { \ell ^ { \prime } } \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { d } { \alpha } ( \ell ^ { \prime } - 1 ) } } \int \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { d } { \alpha } } } \frac { 1 } { \left( 1 + \frac { | z - y | } { ( t - u ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \right) ^ { ( d + \alpha ) \ell ^ { \prime } } } \mathbb { 1 } _ { | x - z | \geq \frac { 1 } { 2 } | x - y | } \mathrm { d } z } \end{array}
{ \dot { q } } _ { 6 } = \alpha _ { 1 } ( { \dot { q } } _ { 1 } , { \dot { q } } _ { 2 } , { \dot { q } } _ { 3 } , { \dot { q } } _ { 4 } , { \dot { q } } _ { 5 } ) = - \frac { { \dot { q } } _ { 1 } { \dot { q } } _ { 4 } + { \dot { q } } _ { 2 } { \dot { q } } _ { 5 } } { { \dot { q } } _ { 3 } }
\begin{array} { r l } { \delta \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } } & { : = \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { \mathtt { I J K L } } \delta ( \mathrm { e } ^ { K } \wedge \mathrm { e } ^ { \mathtt { L } } ) \wedge \delta \omega ^ { I J } , } \\ { \delta \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } } & { : = \epsilon _ { I J K L } \big ( \delta ( \overline { { \mathrm { e } } } ^ { K } \wedge \overline { { \mathrm { e } } } ^ { L } ) \wedge N ^ { I } + \overline { { \mathrm { e } } } ^ { K } \wedge \overline { { \mathrm { e } } } ^ { L } \wedge \delta N ^ { J } \big ) \wedge \delta N ^ { J } . } \end{array}
U ( \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial W } { \partial \phi _ { 1 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial W } { \partial \phi _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \qquad ; \qquad W ( \phi ) = 4 \sqrt { 2 } \left( \frac { 1 } { 3 } \phi _ { 1 } ^ { 3 } - \frac { 1 } { 4 } \phi _ { 1 } + \frac { \sigma } { 2 } \phi _ { 1 } \phi _ { 2 } ^ { 2 } \right)
F ( s ) = \int _ { 0 } ^ { s } f ( x ) \, d x = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ 1 + \operatorname { e r f } \left( { \frac { \ln s + \sigma ^ { 2 } / 2 } { \sigma { \sqrt { 2 } } } } \right) \right] , \quad s > 0 .
{ \begin{array} { r l } { S ( x ) } & { = S _ { t } x ^ { t - 1 } + S _ { t - 1 } x ^ { t - 2 } + \cdots + S _ { 2 } x + S _ { 1 } } \\ { \Lambda ( x ) } & { = \Lambda _ { e } x ^ { e } + \Lambda _ { e - 1 } x ^ { e - 1 } + \cdots + \Lambda _ { 1 } x + 1 } \\ { \Omega ( x ) } & { = \Omega _ { e } x ^ { e } + \Omega _ { e - 1 } x ^ { e - 1 } + \cdots + \Omega _ { 1 } x + \Omega _ { 0 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { f = \xi _ { m , k } \bigl ( \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } - \nabla X _ { m - 1 , l _ { k } } \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \bigr ) \nabla \bigl ( \nabla \bigl ( T _ { m - 1 } \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \bigr ) , \quad \mathrm { a n d } } \\ & { g = \zeta _ { m , k } { \psi } _ { m , k } \sigma + \kappa _ { m } \nabla { \Chi } _ { m , k } \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { P } _ { \mathbf { X } } } & { = \mathbf { X } \left( \mathbf { X } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { X } \right) ^ { - 1 } \mathbf { X } ^ { \mathsf { T } } } \\ { \Longrightarrow \operatorname { t r } \left( \mathbf { P } _ { \mathbf { X } } \right) } & { = \operatorname { r a n k } ( \mathbf { X } ) . } \end{array} }
\sum _ { n = m } ^ { \infty } \frac { m ! } { n ! } C _ { m } ( n ) t ^ { n } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ! } } { \frac { \gamma _ { \mu _ { 1 } } ( m ) } { \gamma _ { \mu _ { 2 } } ( m + 2 n ) } } { \frac { 4 ^ { n } ( [ \frac { m } { 2 } ] + n ) ! } { [ \frac { m } { 2 } ] ! } } ( \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } ) _ { n } t ^ { m + 2 n } .
\begin{array} { r l } { J _ { 3 , \epsilon } } & { = - \iiint _ { Q _ { r } \cap \{ u > k \} } u _ { \epsilon } ( v , x , t ) \mathcal { T } ( ( u - k ) _ { \epsilon } \varphi ^ { p } ) ( v , x , t ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } \\ & { = \iiint _ { Q _ { r } \cap \{ u > k \} } \mathcal { T } u _ { \epsilon } ( v , x , t ) ( ( u - k ) _ { \epsilon } \varphi ^ { p } ) ( v , x , t ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } \\ & { = \iiint _ { Q _ { r } \cap \{ u > k \} } \mathcal { T } ( u - k ) _ { \epsilon } ( v , x , t ) ( ( u - k ) _ { \epsilon } \varphi ^ { p } ) ( v , x , t ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } \\ & { \geq - c \iiint _ { Q _ { r } } ( \omega _ { + } ) _ { \epsilon } ^ { 2 } \, \varphi ^ { p - 1 } \, \lvert \mathcal { T } \varphi \rvert ( v , x , t ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { G } _ { \mathrm { 2 D } } ( x , x ^ { \prime } ) = } & { { } \; \hat { G } _ { \mathrm { 2 D } } ( x , x ^ { \prime } ) \; + } \\ { + R _ { \mathrm { s t } } \bar { G } _ { \mathrm { 2 D } } ( 0 , x ^ { \prime } ) } & { { } \alpha ( x ) \sqrt { \frac { A ( 0 ) k ( 0 ) } { A ( x ) k ( x ) } } \exp { - i \int _ { 0 } ^ { x } k ( \hat { x } ) d \hat { x } } , } \end{array}
p _ { t } ( \mathbf { x } ^ { \prime } | \mathbf { x } ) \propto p _ { \mathrm { d a t a } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) G ( \mathbf { x } , t ; \mathbf { x } ^ { \prime } ) \sim p _ { \mathrm { d a t a } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) / ( t ^ { 2 } + | \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } | ^ { 2 } ) ^ { ( N + 1 ) / 2 }
\sum _ { r , s } e ^ { - i ( r - s ) \Omega _ { G } t } \frac { \partial } { \partial t } \Bigl ( b _ { ( n ) } ^ { ( r , s ) } \Bigr ) \hat { a } _ { 0 } ^ { \dagger r } \hat { a } _ { 0 } ^ { s } = i \sum _ { r , s } e ^ { - i ( r - s ) \Omega _ { G } t } b _ { ( n - 1 ) } ^ { ( r , s ) } [ \hat { a } _ { 0 } ^ { \dagger r } \hat { a } _ { 0 } ^ { s } , \hat { H } ^ { \prime } ] .
\begin{array} { r } { \ \tilde { \mathcal { E } } _ { i , j } ^ { k _ { 0 } } ( \boldsymbol { x } , s _ { k _ { 0 } } , \alpha , \iota , t ; \hbar ) = \int _ { [ 0 , t ] _ { \leq } ^ { k _ { 0 } } } \boldsymbol { 1 } _ { [ s _ { k _ { 0 } } , t ] } ( s _ { k _ { 0 } - 1 } ) \prod _ { m = 1 } ^ { k _ { 0 } + 1 } \Theta _ { \alpha _ { m } } ( s _ { m - 1 } , { s } _ { m } , x _ { \iota ( m ) } ; V , \hbar ) \, d \boldsymbol { s } _ { k _ { 0 } - 1 , 1 } U _ { \hbar , 0 } ( - t ) . } \end{array}
\Gamma ^ { k , j } : \tilde { \mu } ^ { k } \mu ^ { j } \equiv \int d \tau _ { 1 } \cdots d \tau _ { k } d \tau _ { 1 } ^ { \prime } \cdots d \tau _ { j } ^ { \prime } \, \Gamma ^ { k , j } ( \tau _ { 1 } , \dots , \tau _ { k } , \tau _ { 1 } ^ { \prime } , \dots , \tau _ { j } ^ { \prime } ) \tilde { \mu } ( \tau _ { 1 } ) \cdots \tilde { \mu } ( \tau _ { k } ) \mu ( \tau _ { 1 } ^ { \prime } ) \cdots \mu ( \tau _ { j } ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } ^ { * } } & { = \underset { \mathcal { B \subseteq \mathcal { X } } } { a r g m a x } \; a _ { g l o b a l } \left( \mathcal { B } , \; \left\{ \{ \mathbf { u } _ { t } \} _ { t = 0 } ^ { T - 1 , \; * } , \{ \hat { \mathbf { x } } _ { t } \} _ { t = 1 } ^ { T } \right\} _ { i = 1 } ^ { b } \right) } \\ & { \left\{ \{ \mathbf { u } _ { t } \} _ { t = 0 } ^ { T - 1 , \; * } , \{ \hat { \mathbf { x } } _ { t } \} _ { t = 1 } ^ { T } \right\} _ { i = 1 } ^ { b } \subseteq \mathcal { X U } } \end{array}
\begin{array} { l } { { \Bigl \langle N \left( { \scriptstyle \triangle } ( X _ { l } ^ { h } ) _ { 1 \atop 2 } \right) ^ { 2 } \Bigr \rangle = \mp \, \displaystyle \frac { i \, t } { 4 } \biggl \{ \langle \alpha \, | \, [ a _ { l } ^ { h } \left( k \right) , [ a _ { l } ^ { h } \left( k \right) , V ] \, ] | \alpha \rangle - \langle \alpha \, | [ \, [ V , a _ { l } ^ { + h } \left( k \right) ] , a _ { l } ^ { + h } \left( k \right) ] \alpha \rangle \biggr \} , } } \end{array}
\frac { d \sigma ( H \bar { \nu } \nu ) } { d E _ { H } \, d \cos \theta } = \frac { G _ { F } ^ { 3 } m _ { Z } ^ { 8 } p } { \sqrt 2 \, \pi ^ { 3 } s } \left( 3 \, { \cal G } _ { S } + { \cal G } _ { I } + { \cal G } _ { W } \right)
\phi _ { e } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) = \frac { a ^ { 2 } \sigma _ { i } } { 4 \sigma _ { e } } \int - \nabla V _ { m } \cdot \Big [ \nabla \frac { 1 } { r } \Big ] \, d x \, d y \, d z \ ,
J _ { c } { = } \frac { e { \mu } _ { 0 } M _ { s } H _ { K } t } { { \hslash } { \theta } _ { S H } } \frac { { 4 } \alpha } { \sqrt { s i n ^ { { 2 } } \beta { + 1 6 } { \alpha } ^ { { 2 } } c o s ^ { { 2 } } \beta } { + } s i n \beta }
{ \begin{array} { r l } { A } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { \varphi _ { 1 } } ^ { \varphi _ { 2 } } r ( \varphi ) ^ { 2 } \, d \varphi } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { \varphi _ { 1 } } ^ { \varphi _ { 2 } } { \frac { a ^ { 2 } } { \varphi ^ { 2 } } } \, d \varphi } \\ & { = { \frac { a } { 2 } } \left( { \frac { a } { \varphi _ { 1 } } } - { \frac { a } { \varphi _ { 2 } } } \right) } \\ & { = { \frac { a } { 2 } } { \bigl ( } r ( \varphi _ { 1 } ) - r ( \varphi _ { 2 } ) { \bigr ) } . } \end{array} }
\omega _ { g c } = \left( \begin{array} { c c c c c c c } { d X _ { g c } ^ { 1 } } & { 0 } & { \frac { e } { c } B _ { 3 } } & { - \frac { e } { c } B _ { 2 } } & { - m b _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { d X _ { g c } ^ { 2 } } & { - \frac { e } { c } B _ { 3 } } & { 0 } & { \frac { e } { c } B _ { 1 } } & { - m b _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { d X _ { g c } ^ { 3 } } & { \frac { e } { c } B _ { 2 } } & { - \frac { e } { c } B _ { 1 } } & { 0 } & { - m b _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { d V _ { \parallel } } & { m b _ { 1 } } & { m b _ { 2 } } & { m b _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { d \mu } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { m \frac { c } { e } } \\ { d \theta } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - m \frac { c } { e } } & { 0 } \end{array} \right) ,
\pmb { A } _ { \nu _ { 1 } , \dots , \nu _ { \mathcal { B } } } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { N } ) : = \prod _ { t = 1 } ^ { \mathcal { B } } A _ { \nu _ { t } } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { N } ) .
\left. \frac { y _ { i } - y _ { i - 1 } } { h } \left( 1 - \frac { 1 } { \sqrt { \left( \frac { x _ { i } - x _ { i - 1 } } { h } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { y _ { i } - y _ { i - 1 } } { h } \right) ^ { 2 } } } \right) \right) = \rho q g .
\begin{array} { r l } { \widehat { R } \mathbf { A } \left( \mathbf { r } \right) } & { { } = \pm \delta \alpha \mathbf { n } \times \mathbf { A } \left( \mathbf { r } \pm \delta \alpha \mathbf { n } \times \mathbf { r } \right) } \end{array}
G _ { + - } = G _ { - + } = e ^ { i k _ { 0 } r } \left( k _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } + 3 i k _ { 0 } r - 3 \right) / \left( 8 \pi k _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 3 } \right)
W ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } , \Delta z ) = \sum _ { \nu } \lambda _ { \nu } \psi _ { \nu } ^ { \ast } ( { \bf r } _ { 1 } ) \psi _ { \nu } ( { \bf r } _ { 2 } ) e ^ { i \beta _ { \nu } \Delta z } ,
\operatorname* { l i m } _ { x _ { u , 3 } \to x _ { u , 3 ^ { + } } } \partial _ { 3 } G _ { t a r } ^ { + } ( \textbf { x } , \textbf { x } _ { u } ) = - \frac { \rho } { 2 } \delta ( \textbf { x } _ { \mathrm { H } } - \textbf { x } _ { u , \mathrm { H } } ) .
g ^ { \mu \nu } ( x ) ~ = ~ \eta ^ { \mu \alpha } \eta ^ { \nu \beta } g _ { \alpha \beta } ( x ) ~ = ~ \eta ^ { \mu \alpha } \eta ^ { \nu \beta } \eta _ { \alpha \beta } + \eta ^ { \mu \alpha } \eta ^ { \nu \beta } h _ { \alpha \beta } ( x ) ~ = ~ \eta ^ { \mu \alpha } \delta _ { \alpha } ^ { \nu } + h ^ { \mu \nu } ( x ) ~ = ~ \eta ^ { \mu \nu } + h ^ { \mu \nu } ( x )
\begin{array} { r l } { | \psi ( \frac { \pi } { 2 \lambda } ) \rangle = } & { { } ~ \mathrm { e x p } ( - i H _ { \mathrm { e f f , v a c } } \frac { \pi } { 2 \lambda } ) | \psi _ { 0 , 1 } \rangle } \\ { = } & { { } ~ | g g \rangle \otimes ( C _ { g g } | 1 \rangle - C _ { e g } | 2 \rangle - C _ { g e } | 3 \rangle + C _ { e e } | 4 \rangle ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Phi _ { J _ { 0 } } ^ { x } : = \{ \phi _ { J _ { 0 } ; 0 } ^ { L , b c 1 } , \phi _ { J _ { 0 } ; 0 } ^ { L , b c 2 } \} \cup \{ \phi _ { j ; k } : 2 \leqslant k \leqslant 2 ^ { J _ { 0 } } - 2 \} \cup \{ \phi _ { J _ { 0 } ; 2 ^ { J _ { 0 } } - 1 } ^ { R , b c 1 } , \phi _ { J _ { 0 } ; 2 ^ { J _ { 0 } } - 1 } ^ { R , b c 2 } \} , \quad \mathrm { a n d } } \\ & { \Psi _ { j } ^ { x } : = \{ \psi _ { j ; 0 } ^ { L , b c 1 } , \psi _ { j ; 0 } ^ { L , b c 2 } , \psi _ { j ; 0 } ^ { L , b c 3 } , \psi _ { j ; 0 } ^ { L , b c 4 } \} \cup \{ \psi _ { j ; k } : 4 \leqslant k \leqslant 2 ^ { j } - 5 \} \cup \{ \psi _ { j ; 2 ^ { j } - 1 } ^ { R , b c 1 } , \psi _ { j ; 2 ^ { j } - 1 } ^ { R , b c 2 } , \psi _ { j ; 2 ^ { j } - 1 } ^ { R , b c 3 } , \psi _ { j ; 2 ^ { j } - 1 } ^ { R , b c 4 } \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \mathcal { k } } { \partial t } + \overline { { u _ { j } } } \partial _ { j } \mathcal { k } = - \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \partial _ { j } \overline { { u _ { i } } } } \\ & { + \partial _ { j } \left( - \overline { { p ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } + \sqrt { \frac { P r } { R a } } \partial _ { j } \mathcal { k } - \frac { 1 } { 2 } \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \right) - \sqrt { \frac { P r } { R a } } \overline { { \left( \partial _ { j } u _ { i } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } } + \overline { { T ^ { \prime } v ^ { \prime } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { c c c c c c } { \boxed { 1 } } & { } & { 1 } & { } & { } & { } \\ { 1 } & { 1 } & { } & { } & { 1 } & { } \\ { 2 } & { 3 } & { } & { } & { } & { 1 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c c c } { \boxed { 2 } } & { } & { 1 } & { } & { } \\ { 1 } & { - 1 } & { } & { 1 } & { } \\ { 3 } & { - 2 } & { } & { } & { 1 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c c } { - 2 } & { - 1 } & { 2 } & { } \\ { - 4 } & { - 3 } & { } & { 2 } \end{array} . } \end{array}
( \sqrt { \nabla _ { \mu } l \nabla ^ { \mu } l - i \epsilon \nabla ^ { 2 } l - \epsilon ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } - 2 i \epsilon \nabla _ { \mu } l \nabla ^ { \mu } + \epsilon ^ { 2 } V ( x ) } - \lambda ) \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \epsilon ^ { m } \sigma _ { m } = \mathrm { I }
\begin{array} { r l } { \mathrm { w i t h } \quad { \bf U } = \left( \begin{array} { l } { k } \\ { \mathscr { B } } \\ { v _ { | | } } \\ { N } \end{array} \right) \, , \quad { \bf A } = } & { { } \left( \begin{array} { l l l l } { c _ { g } - \big ( \frac { Q } { D _ { \omega } } \big ) _ { k } N } & { 0 } & { \frac { \partial \omega _ { 0 } } { \partial v _ { | | } } - \big ( \frac { Q } { D _ { \omega } } \big ) _ { v _ { | | } } N } & { - \frac { Q } { D _ { \omega } } } \\ { \omega _ { 0 } ^ { \prime \prime } \mathscr { B } } & { c _ { g } - \frac { Q _ { k } } { D _ { \omega } } N } & { ( c _ { g } ) _ { v _ { | | } } } & { - \frac { Q _ { k } } { D _ { \omega } } \mathscr { B } } \\ { Q _ { k } \mathscr { B } } & { Q } & { 0 } & { \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { n _ { 0 } } } \\ { 0 } & { Q _ { v _ { | | } } N } & { n _ { 0 } + N - \frac { N ^ { 2 } } { n _ { 0 } } } & { Q _ { v _ { | | } } \mathscr { B } } \end{array} \right) } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { n \ge 0 } \mathbb { E } _ { x } \left[ f _ { \theta } \left( \bar { X } _ { n \gamma } \right) \right] \le f _ { \theta } ( x ) + e ^ { c _ { r } \frac { \theta d ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) \bar { c } } { \underline { { c } } } } ( { d e ^ { { 4 \gamma \bar { c } \sigma ^ { 2 } \theta d } } } + 2 ) \le f _ { \theta } ( x ) + 3 d e ^ { c _ { r } \frac { \theta d ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) \bar { c } } { \underline { { c } } } }
\hat { \rho _ { 1 } } ~ { = } ~ e ^ { - i \, 2 \pi \overline { { \widehat { H } } } _ { \mathrm { r f } } t _ { \mathrm { r f } } } \hat { \rho _ { \mathrm { 0 } } } e ^ { i \, 2 \pi \overline { { \widehat { H } } } _ { \mathrm { r f } } t _ { \mathrm { r f } } } .
\begin{array} { r l r } { I _ { 2 p } ( \mathbf { r } ) } & { = } & { \iiint d \omega _ { 1 } \, d \omega _ { 2 } \, d \omega _ { 3 } \, | T ( \mathbf { r } , \omega _ { 1 } ) | \, A ( \omega _ { 1 } ) \, | T ( \mathbf { r } , \omega _ { 2 } ) | \, A ( \omega _ { 2 } ) } \\ & { } & { | T ( \mathbf { r } , \omega _ { 3 } ) | \, A ( \omega _ { 3 } ) \, | T ( \mathbf { r } , \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } + \omega _ { 3 } ) | \, } \\ & { } & { A ( \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } + \omega _ { 3 } ) \, e ^ { i [ \theta ( \omega _ { 1 } ) - \theta ( \omega _ { 2 } ) + \theta ( \omega _ { 3 } ) - \theta ( \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } + \omega _ { 3 } ) ] } } \\ & { } & { e ^ { i [ \theta _ { \mathrm { T M } } ( \mathbf { r } , \omega _ { 1 } ) - \theta _ { \mathrm { T M } } ( \mathbf { r } , \omega _ { 2 } ) + \theta _ { \mathrm { T M } } ( \mathbf { r } , \omega _ { 3 } ) - \theta _ { \mathrm { T M } } ( \mathbf { r } , \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } + \omega _ { 3 } ) ] } \, , } \end{array}
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { N } } = e J _ { \mu } ^ { \mathrm { e m } } A ^ { \mu } + { \frac { g } { \cos \theta _ { W } } } ( J _ { \mu } ^ { 3 } - \sin ^ { 2 } \theta _ { W } J _ { \mu } ^ { \mathrm { e m } } ) Z ^ { \mu } \, ,
\langle H _ { 1 } \rangle = { \binom { v _ { 1 } } { 0 } } , \quad \langle H _ { 2 } \rangle = { \binom { 0 } { v _ { 2 } } } , \quad \langle N _ { 1 } \rangle = v _ { 3 } , \quad \langle N _ { 2 } \rangle = v _ { 4 } \; .
\begin{array} { r l } { \hat { \psi } ( Z ) } & { \approx \int _ { p _ { 0 } - 2 \hbar k } ^ { p _ { 0 } } \hat { \psi } ( p ) e ^ { i p Z / \hbar } \, d p + \int _ { p _ { 0 } } ^ { p _ { 0 } + 2 \hbar k } \hat { \psi } ( p ) e ^ { i p Z / \hbar } \, d p } \\ & { = e ^ { i p _ { 0 } Z / \hbar } \int _ { - \hbar k } ^ { + \hbar k } e ^ { i p Z / \hbar } \left( \hat { \psi } _ { \downarrow } ( p ) e ^ { - i k Z } + \hat { \psi } _ { \uparrow } ( p ) e ^ { i k Z } \right) \, d p . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { \{ \sigma _ { 1 } \} , \cdots , \{ \sigma _ { d _ { Q } } \} } \prod _ { v = 1 } ^ { d _ { Q } } \chi _ { v } ( \{ \sigma _ { v } \} ) \chi _ { Q } ( \{ \sigma \} ) e ^ { - [ l _ { v } ^ { 1 } + l _ { v } ^ { 2 } + l _ { v } ^ { 3 } + l _ { v } ^ { 4 } ] / 4 } \le K _ { 1 } ^ { d _ { Q } - 1 } { r } ^ { d _ { Q } - 1 } , } \end{array}
T ^ { \mu \nu } = \int d ^ { 4 } k \, { \mathrm { T r } } \left[ S ^ { \mu \nu } ( k ; m ) \Gamma ( k ) \right] + \int d ^ { 4 } k _ { 1 } d ^ { 4 } k _ { 2 } \, { \mathrm { T r } } \left[ S _ { \alpha } ^ { \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; m ) \Gamma _ { A } ^ { \alpha } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \right] + \ldots ,
F _ { O _ { 2 } l o o p } = { \frac { ( K _ { d o s a g e } * K _ { E } * V _ { O _ { 2 } } * F _ { O _ { 2 } f e e d } - V _ { O _ { 2 } } ) } { ( K _ { d o s a g e } * K _ { E } * V _ { O _ { 2 } } - V _ { O _ { 2 } } ) } }
R \geq \frac { n p _ { \Delta } p _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } } { N } \left( R _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ } } ^ { ( k ) } - \frac { \Delta _ { \mathrm { ~ a ~ e ~ p ~ } } } { \sqrt { n p _ { \Delta } } } + \frac { \Theta } { n p _ { \Delta } } \right) ,
\star \left( d x ^ { i _ { 1 } } \wedge \dots \wedge d x ^ { i _ { k } } \right) \ = \ { \frac { \sqrt { \left| \operatorname* { d e t } [ g _ { i j } ] \right| } } { ( n - k ) ! } } g ^ { i _ { 1 } j _ { 1 } } \cdots g ^ { i _ { k } j _ { k } } \varepsilon _ { j _ { 1 } \dots j _ { n } } d x ^ { j _ { k + 1 } } \wedge \dots \wedge d x ^ { j _ { n } } .
\begin{array} { r } { \Sigma _ { c } ^ { \varepsilon , \kappa ^ { \prime } = 0 , \nu = 0 } \, : \, \left\{ \begin{array} { r l } { \dot { x } } & { = \left( 1 - \frac { \kappa } { 4 } \left( x ^ { 2 } - \varepsilon y ^ { 2 } \right) \right) \, c _ { \varepsilon } ( w ) } \\ { \dot { y } } & { = \left( 1 - \frac { \kappa } { 4 } \left( x ^ { 2 } - \varepsilon y ^ { 2 } \right) \right) \, s _ { \varepsilon } ( w ) } \\ { \dot { w } } & { = \frac { - \kappa } { 2 } \left( y \, c _ { \varepsilon } ( w ) - x \, s _ { \varepsilon } ( w ) \right) + u } \end{array} \right. , } \end{array}
X \equiv \int _ { r _ { + } } ^ { 2 r _ { + } } d r \, r ^ { 2 } \: \biggl [ \frac { 4 \partial _ { q } r } { r } - \frac { 2 \partial _ { q } F } { F } \biggr ] \, \langle T _ { \theta } ^ { \theta } \rangle ,
\begin{array} { r l } { { \overline { { \Omega } } _ { t } ^ { \mathrm { R H } } } } & { { = \overline { { \Omega } } _ { t } ^ { \mathrm { R A } } \cup \overline { { \Omega } } _ { t } ^ { \mathrm { T V } } \cup \overline { { \Omega } } _ { t } ^ { \mathrm { R V } } \cup \overline { { \Omega } } _ { t } ^ { \mathrm { P V } } \cup \overline { { \Omega } } _ { t } ^ { \mathrm { P T } } , } } \\ { { \overline { { \Omega } } _ { t } ^ { \mathrm { L H } } } } & { { = \overline { { \Omega } } _ { t } ^ { \mathrm { L A } } \cup \overline { { \Omega } } _ { t } ^ { \mathrm { M V } } \cup \overline { { \Omega } } _ { t } ^ { \mathrm { L V } } \cup \overline { { \Omega } } _ { t } ^ { \mathrm { A V } } \cup \overline { { \Omega } } _ { t } ^ { \mathrm { A O } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { O } \big ( \log ( 1 / ( 1 - z ) ) + | \log ( 1 - \alpha ) | + \log N \big ) } & { \leqslant \mathcal { O } \bigg ( \log \bigg ( \frac { 4 \alpha ^ { 1 - \alpha } s ^ { \alpha } } { \sin ( \alpha \pi ) } \bigg ) + | \log ( 1 - \alpha ) | + \log N \bigg ) } \\ & { = \mathcal { O } \big ( \alpha \log _ { 2 } ^ { + } ( s ) + | \log ( 1 - \alpha ) | + \log N \big ) . } \end{array}
\underline { { \boldsymbol \chi } } _ { \dagger s } ^ { \prime } = - \omega _ { p s } ^ { 2 } \frac { \omega ^ { 2 } \underline { { \mathbf I } } - \boldsymbol \Omega _ { s } ^ { * } \boldsymbol \Omega _ { s } ^ { * } - i \omega ^ { \prime } \boldsymbol \Omega ^ { * } \times \underline { { \mathbf I } } } { \omega ^ { 2 } - { \Omega _ { s } ^ { * } } ^ { 2 } } ,
I _ { ( - 2 , 3 , 7 ) } ^ { \mathrm { r o t } } ( q ) [ 6 ] = \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { - q ^ { - 9 / 2 } } & { q ^ { - 1 9 } } & { - q ^ { - 8 7 / 2 } } & { q ^ { - 7 8 } } & { - q ^ { - 2 4 5 / 2 } } \\ { - q ^ { 9 / 2 } } & { 6 q ^ { 2 } } & { - q ^ { - 2 7 / 2 } } & { q ^ { - 3 8 } } & { - q ^ { - 1 4 5 / 2 } } & { q ^ { - 1 1 7 } } \\ { q ^ { 1 7 } } & { - q ^ { 2 7 / 2 } } & { q } & { - q ^ { - 4 5 / 2 } } & { q ^ { 5 7 } } & { - q ^ { - 2 0 3 / 2 } } \\ { - q ^ { 7 5 / 2 } } & { q ^ { 3 4 } } & { - q ^ { 4 5 / 2 } } & { q ^ { 4 } } & { - q ^ { - 6 3 / 2 } } & { q ^ { - 7 6 } } \\ { q ^ { 6 6 } } & { - q ^ { 1 2 5 / 2 } } & { q ^ { 5 1 } } & { - q ^ { 6 3 / 2 } } & { q ^ { 2 } } & { - q ^ { - 8 1 / 2 } } \\ { - q ^ { 2 0 5 / 2 } } & { q ^ { 9 9 } } & { - q ^ { 1 7 5 / 2 } } & { q ^ { 6 8 } } & { - q ^ { 8 1 / 2 } } & { q ^ { 6 } } \end{array} \right)