harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\varepsilon _ { 0 } = - [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { D } ^ { f } ] _ { 0 0 , 0 0 } - \frac { [ \mathrm { ~ \bf ~ K ~ } ] _ { 0 0 , 0 1 } ^ { 2 } } { [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { V C } ^ { f } ] _ { 0 1 , 0 1 } } + \frac { [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { D } ^ { f } ] _ { 0 0 , 1 0 } ^ { 2 } } { [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { V C } ^ { f } ] _ { 1 0 , 1 0 } } .
\begin{array} { r l r } { \| ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \Phi ^ { \top } U \Phi ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \| _ { 2 } } & { \leq } & { \, \, \| ( ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \Phi ^ { \top } U \Phi - I ) ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \| _ { 2 } + \| ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \| _ { 2 } } \\ & { \leq } & { \, \, \left( \| ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \Phi ^ { \top } U \Phi - I \| _ { 2 } + 1 \right) \| ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \| _ { 2 } } \\ & { \leq } & { \, \, \left( \| ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \left( \Phi ^ { \top } U \Phi - ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) \right) \| _ { 2 } + 1 \right) \| ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \| _ { 2 } } \\ & { \overset { ( i i ) } { \leq } } & { \, \, \left( 1 + \frac { \eta + \omega } { \lambda _ { 0 } } \right) \cdot \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( { \mathbf y } ) + \frac { \bar { \rho } } { 2 } \| { \mathbf y } - { \mathbf x } \| ^ { 2 } \leq } & { ~ h ( { \mathbf x } ) + \frac { \bar { \rho } } { 2 } \| { \mathbf x } - { \mathbf x } \| ^ { 2 } + \left\langle \nabla h ( { \mathbf x } ) + \bar { \rho } ( { \mathbf x } - { \mathbf x } ) , { \mathbf y } - { \mathbf x } \right\rangle + \frac { \beta + \bar { \rho } } { 2 } \| { \mathbf y } - { \mathbf x } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ \kappa + \bar { \epsilon } ^ { 2 } - \eta \left( 1 - \frac { \beta + \bar { \rho } } { 2 } \eta \right) \| \nabla h ( { \mathbf x } ) \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ \kappa + \bar { \epsilon } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { \beta + \bar { \rho } } , \frac { \kappa } { 4 \alpha ^ { 2 } } \right\} \| \nabla h ( { \mathbf x } ) \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ \kappa + \bar { \epsilon } ^ { 2 } - \frac { \underline { { q } } ^ { 2 } } { 2 } \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { \beta + \bar { \rho } } , \frac { \kappa } { 4 \alpha ^ { 2 } } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { 0 } \left( \mathbf { x } , \mathbf { q } , z , \frac { \partial } { \partial z } \right) } & { { } = - \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \varepsilon ( \mathbf { x } , z ) | \mathbf { q } | ^ { 2 } + \frac { \partial } { \partial z } \left( \varepsilon ( \mathbf { x } , z ) \frac { \partial } { \partial z } \right) , } \\ { F _ { 1 } \left( \mathbf { x } , \mathbf { q } , z , \frac { \partial } { \partial z } \right) } & { { } = \frac { i } { \hbar ^ { 2 } } \left\langle \mathbf { q } , \frac { \partial \varepsilon } { \partial \mathbf { x } } ( \mathbf { x } , z ) \right\rangle . } \end{array}
\sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( z + k ) ^ { 2 } } } \sim \underbrace { \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( z + k ) ^ { 2 } } } \, d k } _ { = 1 / z } + { \frac { 1 } { 2 z ^ { 2 } } } + \sum _ { t = 1 } ^ { \infty } { \frac { B _ { 2 t } } { z ^ { 2 t + 1 } } } .
T _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , ~ ~ T _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { 2 } } & { { 3 } } \\ { { 1 } } & { { 2 } } \end{array} \right)
{ \begin{array} { r l } { t - t _ { 0 } } & { = \operatorname { a r t a n h } \left( { \frac { 1 } { E } } \left[ s \left( P ^ { 2 } + Q ^ { 2 } \right) - { \sqrt { E ^ { 2 } - \left( P ^ { 2 } + Q ^ { 2 } \right) x _ { 0 } ^ { 2 } } } \right] \right) + } \\ & { \qquad \operatorname { a r t a n h } \left( { \frac { 1 } { E } } { \sqrt { E ^ { 2 } - ( P ^ { 2 } + Q ^ { 2 } ) x _ { 0 } ^ { 2 } } } \right) } \\ { x } & { = { \sqrt { x _ { 0 } ^ { 2 } + 2 s { \sqrt { E ^ { 2 } - ( P ^ { 2 } + Q ^ { 2 } ) x _ { 0 } ^ { 2 } } } - s ^ { 2 } ( P ^ { 2 } + Q ^ { 2 } ) } } } \\ { y - y _ { 0 } } & { = P s ; \; \; z - z _ { 0 } = Q s } \end{array} }
\mathbf { E } _ { \pm } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 ( 1 + Q ^ { 2 } ) } } \left( \begin{array} { l } { \pm \sqrt { 1 + Q ^ { 2 } } } \\ { 1 } \\ { \mathrm { i } Q e ^ { \mathrm { - i } \alpha } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l l l l l } { \tilde { \mu } _ { i \to \Psi _ { j } } ( 0 , \tau _ { j } ^ { ( i ) } , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) } & { = \mathbb { I } [ \tau _ { j } - s _ { j i } > 0 ] \sum _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } = 0 } ^ { \tau _ { j } ^ { ( i ) } - s _ { j i } } \tilde { \nu } _ { \Psi _ { i } \to j } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \sigma _ { j i } = 2 , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) } \\ { \tilde { \mu } _ { i \to \Psi _ { j } } ( 1 , \tau _ { j } ^ { ( i ) } , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) } & { = \mathbb { I } [ \tau _ { j } - s _ { j i } \geq 0 ] \tilde { \nu } _ { \Psi _ { i } \to j } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } = \tau _ { j } ^ { ( i ) } - s _ { j i } , \sigma _ { j i } = 2 , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) } \\ { \tilde { \mu } _ { i \to \Psi _ { j } } ( 2 , \tau _ { j } ^ { ( i ) } , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) } & { = \sum _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } = \zeta _ { i j } ^ { + } } ^ { { T + 1 } } \tilde { \nu } _ { \Psi _ { i } \to j } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \sigma _ { j i } = 1 + \mathrm { s g n } ( \tau _ { j } ^ { ( i ) } - \tau _ { i } ^ { j } + s _ { j i } ) , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) } \\ & { = \sum _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } = \zeta _ { i } ^ { + } } ^ { \zeta _ { i } ^ { - } } \tilde { \nu } _ { \Psi _ { i } \to j } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \sigma _ { j i } = 2 , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) } \\ & { + \mathbb { I } [ \tau _ { j } ^ { ( i ) } + s _ { j i } \leq { T + 1 } ] \tilde { \nu } _ { \Psi _ { i } \to j } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } = \tau _ { j } ^ { ( i ) } + s _ { j i } , \sigma _ { j i } = 1 , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) } \\ & { + \mathbb { I } [ \tau _ { j } ^ { ( i ) } + s _ { j i } < { T + 1 } ] \sum _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } = \tau _ { j } ^ { ( i ) } + s _ { j i } + 1 } ^ { T + 1 } \tilde { \nu } _ { \Psi _ { i } \to j } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \sigma _ { j i } = 0 , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) } \end{array} \right. } \end{array} } \end{array}
\mathrm { B S } _ { 0 } \, = \, \frac { 1 } { 2 \pi } \, L \, , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathrm { B S } _ { m } \, = \, \frac { 1 } { 2 \pi } \Bigl ( \beta _ { \epsilon } P _ { m } + L P _ { m } + Q _ { m } \Bigr ) \, , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } m \in \mathbb { N } ^ { * } \, .
\begin{array} { r l } { \rho ^ { - 1 } ( 1 , 1 , 1 ) } & { = \{ { \triangle } [ \pm \pi , 0 , 0 ] , { \triangle } [ 0 , \pm \pi , 0 ] , { \triangle } [ 0 , 0 , \pm \pi ] \} = \partial ( \partial ( { \sf { T } } _ { + } \sqcup { \sf { T } } _ { - } ) ) } \\ { \rho ^ { - 1 } ( e ^ { i 2 \beta } , 1 , 1 ) } & { = \{ { \triangle } [ 0 , \beta , \pi - \beta ] \in ( \partial { \sf { T } } _ { + } ) ^ { \circ } , \; { \triangle } [ 0 , - \pi + \beta , - \beta ] \in ( \partial { \sf { T } } _ { - } ) ^ { \circ } \} } \\ { \rho ^ { - 1 } ( 1 , e ^ { - i 2 \alpha } , 1 ) } & { = \{ { \triangle } [ \alpha , 0 , \pi - \alpha ] \in ( \partial { \sf { T } } _ { + } ) ^ { \circ } , \; { \triangle } [ - \pi + \alpha , 0 , - \alpha ] \in ( \partial { \sf { T } } _ { - } ) ^ { \circ } \} } \\ { \rho ^ { - 1 } ( e ^ { i 2 \beta } , e ^ { i 2 \beta } , 1 ) } & { = \{ { \triangle } [ \pi - \beta , \beta , 0 ] \in ( \partial { \sf { T } } _ { + } ) ^ { \circ } , \; { \triangle } [ - \beta , - \pi + \beta , 0 ] \in ( \partial { \sf { T } } _ { - } ) ^ { \circ } \} } \end{array}
t _ { z w } = 3 + \frac { 1 0 } 3 \rho \cos ( \alpha ) - 2 \rho _ { \circ } \cos ( \beta ) + \frac 5 3 \rho ^ { 2 } - 2 \rho \rho _ { \circ } \cos ( \alpha - \beta ) + \rho _ { \circ } ^ { 2 }
{ \cal K } ( f , h , u ) = \frac 1 2 \eta ^ { 2 } ( f ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \frac 1 2 \eta ^ { 2 } ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \frac { ( u ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { e ^ { 2 } r ^ { 2 } } \ ,
\frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \vec { \nabla } \cdot ( \rho _ { 0 } \vec { \nabla } \phi ) - ( \partial _ { t } + \vec { v } _ { 0 } \cdot \vec { \nabla } ) \frac { 1 } { c _ { 0 } ^ { 2 } } ( \partial _ { t } + \vec { v } _ { 0 } \cdot \vec { \nabla } ) \phi = 0 .
\mathcal { B } ( \eta , \sigma ) \simeq \frac { \eta _ { \mathrm { ~ a ~ t ~ m ~ } } \eta _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { \ln 2 } \frac { 2 a _ { R } ^ { 2 } } { w _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ^ { 2 } } \Lambda ( \eta , \sigma ) .
\begin{array} { r l r } { Q _ { B \mu \nu \kappa \lambda } \! } & { { } = } & { \! d _ { 1 } \, F _ { B \mu \nu } F _ { B \kappa \lambda } + d _ { 2 } \, \widetilde { F } _ { B \mu \nu } \widetilde { F } _ { B \kappa \lambda } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 2 \sigma _ { m } ( \mathrm { C N } ) = 1 . 1 2 } & { > } & { \sigma _ { m } ( \mathrm { C N } ) + \sigma _ { m } ( \mathrm { C O O M e } ) = 0 . 9 3 > 2 \sigma _ { m } ( \mathrm { C F ~ _ 3 ~ } ) = 0 . 8 6 > 2 \sigma _ { m } ( \mathrm { C l } ) = 0 . 7 4 } \\ { 2 \sigma _ { p } ( \mathrm { C N } ) = 1 . 3 2 } & { > } & { \sigma _ { p } ( \mathrm { C N } ) + \sigma _ { p } ( \mathrm { C O O M e } ) = 1 . 1 1 \approx 2 \sigma _ { p } ( \mathrm { C F ~ _ 3 ~ } ) = 1 . 0 8 > 2 \sigma _ { m } ( \mathrm { C l } ) = 0 . 4 6 } \\ { 2 \Delta V _ { C } ( \mathrm { C N } ) = 3 6 . 0 } & { > } & { 2 \Delta V _ { C } ( \mathrm { C F ~ _ 3 ~ } ) = 2 7 . 4 \approx \Delta V _ { C } ( \mathrm { C N } ) + \Delta V _ { C } ( \mathrm { C O O M e } ) = 2 6 . 2 > 2 \Delta V _ { C } ( \mathrm { C l } ) = 1 4 . 0 \, . } \end{array}
\delta _ { 1 } ^ { \prime } > C _ { 2 } \log ^ { 2 } ( 1 / \epsilon ^ { \prime } ) = C _ { 2 } x ^ { 2 } \geq C _ { 2 } \geq ( 1 8 b + ( 6 3 \cdot 2 2 / 2 ) ) ^ { 3 } / b
C _ { k } ^ { ( n ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ n + k \ \mathrm { ~ i ~ s ~ o ~ d ~ d ~ } } \\ { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ k = 0 \ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \ n \ \mathrm { ~ i ~ s ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } } \\ { 2 ^ { k - 1 } \frac { n } { k } { \binom { \frac { n + k } { 2 } - 1 } { k - 1 } } } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \{ \mathcal { F } , \mathcal { G } \} _ { D } ( v , \Sigma ) } & { : = [ \delta \mathcal { F } , \delta \mathcal { G } ] _ { D } } \\ & { = \int _ { \Omega } \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta v } \wedge \Big ( d \big ( \mathrm { l i } ( E ( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \Sigma } ) ) \big ) + i _ { ( \ast \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } ) ^ { \sharp } } d v \Big ) + \int _ { \Sigma } \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta \Sigma } \wedge ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { t r } _ { \Sigma } ( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } ) } \\ & { + \int _ { \Gamma } E ( \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta \Sigma } ) \wedge ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { t r } _ { \Gamma } ( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \sqrt { k ^ { 2 } + k _ { 0 } ^ { 2 } } \cos \left( \sqrt { k ^ { 2 } + k _ { 0 } ^ { 2 } } \ R \right) } { \sin \left( \sqrt { k ^ { 2 } + k _ { 0 } ^ { 2 } } \ R \right) } = } \\ { \frac { k \cot \delta _ { 0 } ( k ) \cos ( k R ) - k \sin ( k R ) } { \cot \delta _ { 0 } ( k ) \sin ( k R ) + \cos ( k R ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { z ( t ) = - z ( - t + 2 t _ { 1 } ) = - z ( t - 2 t _ { 1 } ) = z ( t + \frac { T } { 2 } - 2 t _ { 1 } ) \, , } \\ { \rho ( t ) = \rho ( - t + 2 t _ { 1 } ) = \rho ( t - 2 t _ { 1 } ) = \rho ( t + \frac { T } { 2 } - 2 t _ { 1 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \epsilon } } & { \leqslant C \| \nabla ^ { 2 } f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \int _ { B _ { \epsilon } } | \Phi ( y ) | d y } \\ & { \leqslant \left\{ \begin{array} { l l } { C \epsilon ^ { 2 } | \log \epsilon | \quad } & { \mathrm { i f } \; n = 2 } \\ { C \epsilon ^ { 2 } \quad } & { \mathrm { i f } \; n > 2 } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \left[ \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho v } \\ { E } \end{array} \right] + \frac { \partial } { \partial x } \left[ \begin{array} { l } { \rho v } \\ { \rho v ^ { 2 } + p } \\ { v ( E + p ) } \end{array} \right] = 0 .
\begin{array} { r } { S _ { \Lambda } = 4 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \alpha ^ { 2 } p _ { 1 } ^ { 2 } } { \left( \Lambda + p _ { 1 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \, d p _ { 1 } = \frac { \pi ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { \sqrt { \Lambda } } . } \end{array}
W ( \boldsymbol { \mathbf { r } } - \boldsymbol { \mathbf { \acute { r } } } ) = C _ { \mathrm { s p h } } / h ^ { d } \mathrm { e x p } [ - | \boldsymbol { \mathbf { r } } - \boldsymbol { \mathbf { \acute { r } } } | ^ { 2 } / h ^ { 2 } ]
\displaystyle { \frac { d w } { d \omega } \simeq \frac { \alpha } { \pi \omega } \left[ r _ { 1 } + \left( \ln \nu _ { 0 } - 1 - C - \ln 2 \right) r _ { 2 } \right] + \frac { \alpha T } { \pi \omega } r _ { 2 } \frac { \nu _ { 0 } } { \sqrt { 2 } } , ~ \frac { \alpha T } { \pi \omega } = \frac { \alpha a l } { 2 \pi \omega } = \frac { \alpha } { 2 \pi \gamma ^ { 2 } } \frac { \varepsilon } { \varepsilon ^ { \prime } } l } .
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { v } } _ { \mathrm { N S } } } & { = \frac { 1 } { 8 \pi \hat { \eta } ^ { \mathrm { e } } } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { N S } } - \frac { 1 } { 4 \pi \hat { \eta } ^ { \mathrm { e } } } \left( \mathbf { g } + \frac { a ^ { 2 } } { 2 } \mathbf { d } \right) \cdot \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { N S } } , } \end{array}
K ( x _ { b } , \Delta t | x _ { a } , 0 ) = \frac { \left< \delta ( x ( t + \Delta t ) - x _ { b } ) \delta ( x ( t ) - x _ { a } ) e ^ { \beta V ( t + \Delta t ) } \right> } { \left< \delta ( x ( t ) - x _ { a } ) e ^ { \beta V ( t ) } \right> } ,
\begin{array} { r l } { \forall N > \kappa _ { \varepsilon } } & { { } \quad \sum _ { n = N } ^ { \infty } \| a _ { n } \| < { \frac { \varepsilon } { 2 } } } \\ { \forall N > \lambda _ { \varepsilon } } & { { } \quad \left\| \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n } - A \right\| < { \frac { \varepsilon } { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { P } _ { e } \left( m \right) } & { \approx \frac { 4 \left( N _ { r } - 1 \right) } { M } \mathrm { P E P } \left( m \rightarrow \hat { m } | x ^ { \mathcal { R } } = d _ { 0 } \sqrt { E _ { s } } , \delta = \delta _ { \operatorname* { m i n } } \right) } \\ & { \approx \frac { 4 \left( N _ { r } - 1 \right) ^ { 2 } } { M N _ { r } } \mathrm { I } _ { 1 } \left( \mu _ { 1 } , \rho _ { 1 } , \sigma _ { 1 } \right) . } \end{array}
\ln Z _ { 0 } = \frac { L \pi } { 3 \beta } + \ln \left[ \frac { 1 } { 4 \sqrt { \pi x } } \left( \mathrm { e r f } ( 2 \pi \sqrt { x } ) - e ^ { - \frac { 1 } { 4 x } } \left( \mathrm { R e ~ e r f } ( 2 \pi \sqrt { x } + \frac { i } { 2 \sqrt { x } } ) - \mathrm { R e ~ e r f } ( \frac { i } { 2 \sqrt { x } } ) \right) \right) \right]
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { n { \alpha _ { n } } \lambda _ { k } } { 1 + n { \alpha _ { n } } \lambda _ { k } } \psi _ { k } f _ { 0 , k } - \psi _ { k } f _ { 0 , k } \right) \right| ^ { 2 } } & { = \left| \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \psi _ { k } f _ { 0 , k } } { 1 + n { \alpha _ { n } } \lambda _ { k } } \right| ^ { 2 } \leq = \| f _ { 0 } \| _ { \beta } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \psi _ { k } ^ { 2 } k ^ { - 2 \beta } } { ( 1 + n \alpha _ { n } k ^ { - 1 - 2 \gamma } ) ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \| f _ { 0 } \| _ { \beta } ^ { 2 } \cdot \| ( l _ { i } ) \| _ { \mu } ^ { 2 } \cdot ( n \alpha _ { n } ) ^ { - \left( \frac { 2 \beta + 2 \mu } { 1 + 2 \gamma } \wedge 2 \right) } \lesssim \varepsilon _ { n } ^ { 2 } , } \end{array}
\widehat { u } _ { R } = \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { \int _ { z = 0 } ^ { z = H } \rho _ { 0 } \int _ { \phi = 0 } ^ { \phi = 2 \pi } u d \phi d z } { \int _ { z = 0 } ^ { z = H } \rho _ { 0 } d z }
M ( \alpha ) { : = } ( 2 ^ { 1 / 3 } \pi ^ { 2 } ) \left( \left( \mathrm { ~ A ~ } _ { 1 } [ { - } 2 ^ { 2 / 3 } \alpha ] \right) ^ { 2 } + \left( \mathrm { ~ A ~ } _ { 2 } [ { - } 2 ^ { 2 / 3 } \alpha ] \right) ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { s _ { v _ { 0 } v _ { H } } } & { = \sum _ { I = 1 } ^ { H } \left[ \omega _ { I H } \prod _ { J = I } ^ { H } \omega ( J \to v _ { J } ) \times \sum _ { K = 0 } ^ { I - 1 } \left( \sum _ { m = 0 } ^ { | K | - 1 } \omega ( K \to v _ { K _ { m } } ) \omega _ { 0 K } \omega _ { I - 1 , K } \prod _ { J = 0 , J \neq K } ^ { I - 1 } \omega ( J \to v _ { J } ) \right) \right] = } \\ & { = \sum _ { I = 1 } ^ { H } \sum _ { K = 0 } ^ { I - 1 } \left[ \omega _ { I H } \omega _ { 0 K } \omega _ { I - 1 , K } \frac { \prod _ { J = 0 } ^ { H } \omega ( J \to v _ { J } ) } { \omega ( K \to v _ { K } ) } \sum _ { m = 0 } ^ { | K | - 1 } \omega ( K \to v _ { K _ { m } } ) \right] } \end{array}
I ( A _ { 0 } ) = \left[ 1 + \left( - 1 + \frac { 1 } { N ^ { 3 } \langle \mathrm { A R G } \rangle } \sum _ { x } \frac { \sin \left( \beta _ { \mathrm { L } } Q \sqrt { A _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) } \right) } { \beta _ { \mathrm { L } } Q \sqrt { A _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) } } \right) \right] ^ { N _ { \mathrm { p } } } \, .
{ \cal I } _ { n } ^ { \mathrm { r e g } } = - { \frac { \pi ^ { n } } { 2 ^ { n + 1 } } } \int _ { \Delta } \mathrm { d } ^ { n } x ( p ^ { 2 } ) ^ { n - 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( n + i ) \cdots ( i + 1 ) } } \left( { p ^ { 2 } \beta } \right) ^ { i + 1 } \ \ .
\begin{array} { r l } & { f ( { x } ^ { t , 0 } ) - f ( { x } ^ { t , M } ) } \\ { \ge \ } & { \sum _ { k = 1 } ^ { M } \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , k } \rangle + \frac { 1 } { 2 L } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \| \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) \| ^ { 2 } } \\ { \ge \ } & { \operatorname* { m a x } \Big \{ \sum _ { k = 1 } ^ { M } \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , k } \rangle , \frac { 1 } { 2 L } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \| \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) \| ^ { 2 } \Big \} } \end{array}
\langle \cdots \rangle _ { \mid A } = \frac { 1 } { Z ( A ) } \int \mathrm { ~ \cal { D } ~ } _ { g } \phi \mathrm { ~ \cal { D } ~ } _ { g } \sigma \, d \Lambda \, \delta \left( 1 - \frac { 1 } { A } \int d ^ { 2 } z \sqrt { g } \right) \, \delta \left( \Lambda A + 4 \pi \right) \, e ^ { - S _ { g } } \left( \cdots \right) .
\begin{array} { r l } { { 1 } } & { \tilde { g } ( \tilde { R } ( T _ { 1 } , E _ { 1 } ) E _ { 1 } , N ) = T _ { 1 } ( \lambda ) , } \\ & { \tilde { g } ( \tilde { R } ( E _ { 1 } , E _ { 2 } ) E _ { 2 } , N ) = E _ { 1 } ( \lambda ) , } \\ & { \tilde { g } ( \tilde { R } ( E _ { 2 } , E _ { 1 } ) E _ { 1 } , N ) = - E _ { 2 } ( \lambda ) . } \end{array}
\hat { \psi } ( z , t ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { | \mathscr { D } ( s _ { n } ) | ^ { \prime } } \exp { ( s _ { n } t ) } \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \exp { ( \lambda _ { i } ( s _ { n } ) z ) } \Bigg [ \sum _ { j = 1 } ^ { 6 } A d j ( \mathscr { D } ( s _ { n } ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( s _ { n } ) \Bigg ] .
\begin{array} { r l r } { g B _ { 0 } \frac { \partial f } { \partial t } + \frac { 3 \mu B _ { 0 } } { q \gamma r ^ { 2 } } \frac { \partial f } { \partial \varphi } } & { + } & { \sum _ { m } e ^ { i m \varphi } \left[ \frac { \mu A _ { m } } { q \gamma r } + i \frac { r \dot { A } _ { m } } { 7 m } \right] \frac { \partial f } { \partial \varphi } = - \left[ \frac { r \dot { S } } { 2 } + \sum _ { m } e ^ { i m \varphi } \left( \frac { 8 r ^ { 2 } \dot { A } _ { m } } { 2 1 } - i m \frac { \mu A _ { m } } { q \gamma } \right) \right] \frac { \partial f } { \partial r } } \end{array}
\vec { F } _ { l } = b _ { m + 1 } \prod _ { j = 1 } ^ { m } \left( \vec { I } - d _ { j } \vec { M } ^ { - 1 } \vec { L } \right) \, , \quad \vec { F } _ { r } = a _ { m + 1 } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( \vec { I } - c _ { i } \vec { M } ^ { - 1 } \vec { L } \right) \, .
( D f ) ( a , b ) = \left[ { \begin{array} { l l l } { - 1 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \cdots } & { - 1 } \end{array} } \left| { \begin{array} { l l l } { { \frac { \partial h _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } } ( b ) } & { \cdots } & { { \frac { \partial h _ { 1 } } { \partial x _ { m } } } ( b ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { { \frac { \partial h _ { m } } { \partial x _ { 1 } } } ( b ) } & { \cdots } & { { \frac { \partial h _ { m } } { \partial x _ { m } } } ( b ) } \end{array} } \right. \right] = [ - I _ { m } | J ] .
\omega ^ { 2 } = \frac { c ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \left( k _ { \mathrm { T } } ^ { 2 } + \mu _ { \gamma } ^ { 2 } \right) \quad \mathrm { a n d } \quad \omega ^ { 2 } = c ^ { 2 } \left( k _ { \mathrm { L } } ^ { 2 } + \frac { \mu _ { \gamma } ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \right) \, .
T _ { [ 2 ] } = \frac { 1 } { 4 \pi } \int d ^ { 2 } x \left\{ 2 i \epsilon _ { i j } \partial _ { i } ( \Psi ^ { \dagger } \partial _ { j } \Psi ) + \epsilon _ { i j } \partial _ { i } \left[ ( 2 w - \Psi ^ { \dagger } \sigma ^ { 3 } \Psi ) A _ { j } \right] \right\} .
{ \begin{array} { r l r l } { A ^ { \prime } ( x ) } & { = - { \frac { 1 } { W } } u _ { 2 } ( x ) f ( x ) , } & { B ^ { \prime } ( x ) } & { = { \frac { 1 } { W } } u _ { 1 } ( x ) f ( x ) } \\ { A ( x ) } & { = - \int { \frac { 1 } { W } } u _ { 2 } ( x ) f ( x ) \, \mathrm { d } x , } & { B ( x ) } & { = \int { \frac { 1 } { W } } u _ { 1 } ( x ) f ( x ) \, \mathrm { d } x } \end{array} }
\frac { \partial Q ( c , c ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } = \sum _ { i } \left\{ \begin{array} { l l } { a ^ { 2 } ( c _ { k } ^ { \prime } - \phi _ { i } ) } & { \mathrm { i f ~ } s _ { i } ( c ) = k , } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right. \rightarrow \frac { \partial Q ( c , c ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } = \sum _ { i : s _ { i } ( c ) = k } a ^ { 2 } ( c _ { k } ^ { \prime } - \phi _ { i } ) .
\alpha _ { 0 } = \phi _ { 0 } ^ { R } - \phi _ { 0 } ^ { L } , \; \beta _ { L } = \phi _ { - 1 } ^ { L } - \phi _ { 0 } ^ { L } , \; \gamma _ { + } = \phi _ { 1 } ^ { R } - \phi _ { 0 } ^ { L } \;
\left( G \, , \, K \right) \equiv G ^ { T } K \, \equiv \, { \frac { 1 } { ( p ! ) } } \sum _ { \Lambda = 1 } ^ { \bar { n } } G _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p } } ^ { \Lambda } K ^ { \Lambda \vert \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p } }
\begin{array} { l l } { m _ { 1 } = { \mu } / { ( 1 - \lambda ) } , } & { M _ { 1 } = G ^ { * } \cdot m _ { 1 } + Q _ { 0 } , } \\ { m _ { 2 } = { \mu } / { ( 1 - \lambda ) ^ { 3 } } , } & { M _ { 2 } = \left( G ^ { * } \right) ^ { 2 } \cdot m _ { 2 } , } \\ { m _ { 3 } = { \mu \cdot ( 1 + 2 \lambda ) } / { ( 1 - \lambda ) ^ { 5 } } , } & { M _ { 3 } = \left( G ^ { * } \right) ^ { 3 } \cdot m _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial ( \partial _ { \beta } A _ { \alpha } ) } } } & { { } = - \ { \frac { 1 } { 4 \mu _ { 0 } } } \ { \frac { \partial ( F _ { \mu \nu } \eta ^ { \mu \lambda } \eta ^ { \nu \sigma } F _ { \lambda \sigma } ) } { \partial ( \partial _ { \beta } A _ { \alpha } ) } } } \end{array}
\eta = \left( \gamma L _ { \mathrm { e f f } } P _ { p } \right) ^ { 2 } \left| F E \left( \omega _ { p } \right) \right| ^ { 4 } \left| F E \left( \omega _ { s } \right) \right| ^ { 2 } \left| F E \left( \omega _ { i } \right) \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { p } & { { } : } & { p _ { x } , p _ { y } , p _ { z } } \\ { d } & { { } : } & { d _ { x x } , d _ { x y } , d _ { x z } , d _ { y y } , d _ { y z } , d _ { z z } } \\ { f } & { { } : } & { f _ { x x x } , f _ { x x y } , f _ { x x z } , f _ { x y y } , f _ { x y z } , f _ { x z z } , f _ { y y y } , f _ { y y z } , f _ { y z z } , f _ { z z z } } \\ { \vdots } \end{array}