harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
I ( 0 ; \zeta ) = V _ { g } ( \omega ) Y _ { 0 } \left[ \frac { 1 - \Gamma _ { \mathrm { i n } } ( \zeta ) } { 1 + \Gamma _ { \mathrm { i n } } ( \zeta ) } \right] = - j V _ { g } ( \omega ) Y _ { 0 } \frac { F _ { e l } ( \zeta ) } { F ( \zeta ) } .
\mathbf { T } ^ { ( \mathbf { e } _ { 3 } ) } = T _ { 1 } ^ { ( \mathbf { e } _ { 3 } ) } \mathbf { e } _ { 1 } + T _ { 2 } ^ { ( \mathbf { e } _ { 3 } ) } \mathbf { e } _ { 2 } + T _ { 3 } ^ { ( \mathbf { e } _ { 3 } ) } \mathbf { e } _ { 3 } = \sigma _ { 3 1 } \mathbf { e } _ { 1 } + \sigma _ { 3 2 } \mathbf { e } _ { 2 } + \sigma _ { 3 3 } \mathbf { e } _ { 3 } ,
S = \int d \tau L = \int d \tau \left( P _ { \alpha \beta } \, \Pi _ { \tau } ^ { \alpha \beta } + { \frac { 1 } { 2 } } e _ { \alpha \beta } \, P ^ { \alpha \gamma } \, C _ { \gamma \delta } \, P ^ { \delta \beta } \right) \, ,
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \kappa } \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial { t } ^ { 2 } } = - \mu _ { s } D _ { 1 } ( \mu _ { s } ) K _ { s } \sin { \left( \Phi \right) } - \mu _ { s } D _ { 1 } ( { \mu } _ { 0 } ) K _ { N L } + \mu _ { s } \omega _ { \mathrm { r e p } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { i j } } & { { } = } & { - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { i } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { i j } ^ { 2 } } + \frac { k _ { i } } { 2 } x _ { i j } ^ { 2 } - \frac { \hbar \omega _ { i } } { 2 } } \end{array}
{ \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial t ^ { 2 } } } = - \left( i { \frac { 2 m c ^ { 2 } } { \hbar } } { \frac { \partial \phi } { \partial t } } + \left( { \frac { m c ^ { 2 } } { \hbar } } \right) ^ { 2 } \phi - { \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial t ^ { 2 } } } \right) e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } m c ^ { 2 } t } \approx - \left( i { \frac { 2 m c ^ { 2 } } { \hbar } } { \frac { \partial \phi } { \partial t } } + \left( { \frac { m c ^ { 2 } } { \hbar } } \right) ^ { 2 } \phi \right) e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } m c ^ { 2 } t }
\boldsymbol { e } _ { c } ^ { n } = ( \boldsymbol { \Pi } _ { h } \boldsymbol { c } ) ^ { n } - \boldsymbol { c } _ { h } ^ { n } = ( e _ { c } ^ { n } , \hat { e } _ { c } ^ { n } ) , \quad \boldsymbol { e } _ { \mu } ^ { n } = ( \boldsymbol { \pi } _ { h } \mu ) ^ { n } - \boldsymbol { \mu } _ { h } ^ { n } = ( e _ { \mu } ^ { n } , \hat { e } _ { \mu } ^ { n } ) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m i n f } _ { h \to 0 } \int _ { \Omega } ( b + a ( \bar { y } _ { h } ) ) \nabla \bar { y } _ { h } \cdot \nabla \bar { y } _ { h } \, \mathrm { d } x } & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { h \to 0 } \int _ { \Omega } ( b + a ( \bar { y } _ { h } ) ) \nabla \bar { y } _ { h } \cdot \nabla \bar { y } _ { h } \, \mathrm { d } x } \\ & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { h \to 0 } \int _ { \Omega } \bar { u } _ { h } \bar { y } _ { h } \, \mathrm { d } x = \int _ { \Omega } \bar { y } \bar { u } \, \mathrm { d } x } \\ & { = \int _ { \Omega } ( b + a ( \bar { y } ) ) \nabla \bar { y } \cdot \nabla \bar { y } \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { * } ^ { ( + ) } } & { { } = \operatorname* { m i n } _ { x \in \ker B ^ { k + 1 } } \left\lVert \beta ^ { ( + ) } + x \right\rVert _ { \infty } } \\ { \sigma _ { * } ^ { ( - ) } } & { { } = \operatorname* { m i n } _ { x \in \ker D ^ { k - 1 } } \left\lVert \beta ^ { ( - ) } + x \right\rVert _ { \infty } \, , } \end{array}
L = { \mathrm { m a x } } { \bigl ( } | { \frac { d } { d y } } { \bigl [ } f ( t , y ) { \bigr ] } | { \bigr ) } = \operatorname* { m a x } _ { 2 \leq t \leq 3 } { \bigl ( } | { \frac { d } { d y } } { \bigl [ } 1 + ( t - y ) ^ { 2 } { \bigr ] } | { \bigr ) } = \operatorname* { m a x } _ { 2 \leq t \leq 3 } { \bigl ( } | 2 ( t - y ) | { \bigr ) } = \operatorname* { m a x } _ { 2 \leq t \leq 3 } { \bigl ( } | 2 ( t - [ t + { \frac { 1 } { t - 1 } } ] ) | { \bigr ) } = \operatorname* { m a x } _ { 2 \leq t \leq 3 } { \bigl ( } | - { \frac { 2 } { t - 1 } } | { \bigr ) } = 2
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l c c } { \tilde { \rho } _ { t } + ( \tilde { \rho } \tilde { V } ( t , x ) ) _ { x } = { S } _ { \mathrm { o n } } \left( t , x , \tilde { q } _ { \mathrm { o n } } , \tilde { \rho } , \tilde { R } _ { \mathrm { o n } } \right) - S _ { \mathrm { o f f } } \left( t , x , \tilde { q } _ { \mathrm { o f f } } , \rho \right) } \\ { \tilde { \rho } ( 0 , x ) = \tilde { \rho } _ { 0 } ( x ) , } \end{array} \right. } \end{array}
k \left( \mathbf { x } ^ { \prime } \right) = \left[ K \left( \mathbf { x } ^ { ( i ) } , \mathbf { x } ^ { \prime } \right) \right] _ { i } - \sigma _ { n } ^ { 2 } \delta _ { \mathbf { x } ^ { ( i ) } , \mathbf { x } ^ { \prime } }
\begin{array} { r } { \mathrm { { N u } } \leq C a \| \alpha + \kappa \| _ { W ^ { 1 , \infty } } ^ { 2 } \mathrm { { R a } } ^ { 2 } + C \delta ^ { - 1 } \leq C _ { \frac { 3 } { 7 } } \mathrm { { R a } } ^ { \frac { 3 } { 7 } } , } \end{array}
{ \frac { \partial { \bar { u _ { i } } } } { \partial t } } + { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } } \left( { \overline { { u _ { i } u _ { j } } } } \right) = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial { \overline { { p } } } } { \partial x _ { i } } } + \nu { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } } \left( { \frac { \partial { \bar { u _ { i } } } } { \partial x _ { j } } } + { \frac { \partial { \bar { u _ { j } } } } { \partial x _ { i } } } \right) = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial { \overline { { p } } } } { \partial x _ { i } } } + 2 \nu { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } } S _ { i j } ,
\operatorname* { m a x } ( e ^ { - \frac { G ^ { 2 } } { 4 \alpha _ { \mu \nu } } } ( \frac { G } { 2 \alpha _ { \mu \nu } } ) ^ { n } ) = \Big ( \frac { n } { 2 e \alpha _ { \mu \nu } } \Big ) ^ { \frac { n } { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial g _ { V } } C ( t ) } & { = \frac { \partial } { \partial g _ { V } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \dot { F } ( s ) g ( t - s ) d s } \\ & { \stackrel { ( \star ) } { = } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \partial } { \partial g _ { V } } \dot { F } ( s ) g ( t - s ) d s } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } Z _ { \dot { F } } ^ { g _ { V } } ( s ) g ( t - s ) d s = ( Z _ { \dot { F } } ^ { g _ { V } } \ast g ) ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \sum _ { e ^ { \prime } \cap e \neq \emptyset } \left| V ^ { \prime } \left( \nabla \phi _ { L } \left( t , e ^ { \prime } \right) \right) \right| + V ^ { \prime \prime } \left( \nabla \phi _ { L } \left( t , e \right) \right) \geq \frac { T } { 2 } \right) } & { \leq C T \exp \left( - c T ^ { \frac { r } { r - 1 } } \right) + C T \exp \left( - c T ^ { \frac { r } { r - 2 } } \right) } \\ & { \leq C \exp \left( - c T ^ { \frac { r } { r - 1 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { R } _ { q } ^ { n } = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \textrm { e } ^ { - i ( k + 1 ) \tau \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } \left\{ \frac { \varepsilon ^ { 2 } \tau } { 2 } \left[ P _ { N _ { 0 } } G ^ { q } \left( \textrm { e } ^ { i t _ { k + 1 } \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } \left( P _ { N _ { 0 } } \xi ( t _ { k + 1 } ) \right) \right) \right. \right. } \\ & { + \left. \left. \textrm { e } ^ { i \tau \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } P _ { N _ { 0 } } G ^ { q } \left( \textrm { e } ^ { i t _ { k } \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } \left( P _ { N _ { 0 } } \xi ( t _ { k } ) \right) \right) \right] \right. } \\ & { \left. - \varepsilon ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \tau } \textrm { e } ^ { i ( \tau - s ) \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } P _ { N _ { 0 } } G ^ { q } \left( \textrm { e } ^ { i ( t _ { k } + s ) \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } \left( P _ { N _ { 0 } } \xi ( t _ { k } + s ) \right) \right) \textrm { d } s \right\} , \quad 1 \leq q \leq 4 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \frac { 1 } { g _ { 0 } ^ { 2 } ( \Lambda ) } } } & { { } = } & { \beta _ { 0 } \, \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } + { \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } } } \ln \left( \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { \mu } ^ { \mathrm { E R M } } ( \omega ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t e ^ { i \omega t } \mathrm { J } _ { \mu } ^ { \mathrm { E R M } } ( t ) = \sum _ { \mathbf { k } } R _ { \mu } ^ { \mathbf { k } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } T ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , s ) } e ^ { - i \left[ S ^ { \mu } ( \mathbf { k } , t , s ) - \omega t \right] } \mathrm { d } s + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { \mathrm { e f f } } ( \mathrm { R S } ) } & { = a _ { \mathrm { w } } ^ { - 1 } ( { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p r e } } ^ { \mathrm { \, r s f } } ( \mathrm { R S } ) \cdot { \mathrm { \boldmath ~ \hat { n } ~ \unboldmath } } _ { \mathrm { R S } } ) } \\ { M _ { \mathrm { e f f } } ( \mathrm { F S } ) } & { = a _ { \mathrm { a } } ^ { - 1 } ( { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p r e } } ^ { \mathrm { \, f s f } } ( \mathrm { F S } ) \cdot { \mathrm { \boldmath ~ \hat { n } ~ \unboldmath } } _ { \mathrm { F S } } ) } \end{array}
\prod _ { n = 0 } ^ { \infty } \left[ ( 1 - e ^ { - \alpha \epsilon n + ( \pi - \alpha ) \epsilon + i \epsilon m \beta _ { 1 2 } } ) ( 1 - e ^ { - \alpha \epsilon n + ( \pi - \alpha ) \epsilon - i \epsilon m \beta _ { 1 2 } } ) ( 1 - e ^ { - \alpha \epsilon n - \alpha \epsilon + i \epsilon m \beta _ { 1 2 } } ) ( 1 - e ^ { - \alpha \epsilon n - \alpha \epsilon - i \epsilon m \beta _ { 1 2 } } ) \right] .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \mu , V , \hat { V } } \mu } \\ { \mathrm { s u c h ~ t h a t ~ } } & { \hat { V } _ { N } ( s _ { k } , \lambda ) \geq _ { Q } \frac { \partial } { \partial x } r _ { N } ( s _ { N } , h _ { N } , \lambda , \bar { x } ) + \xi _ { N } \left( V _ { N } ( s _ { k } , \lambda ) - r _ { N } ( s _ { N } , h _ { N } , \lambda , \bar { x } ) \right) , } \\ & { \hat { V } _ { k } ( s _ { k } , \lambda ) \geq _ { Q } \frac { \partial } { \partial x } r _ { k } ( s _ { k } , h , \lambda , \bar { x } ) + \hat { V } _ { k + 1 } ( s _ { k + 1 } , \lambda ) + \sum _ { \sigma } \frac { \partial V _ { k + 1 } ( s _ { k + 1 } , \lambda ) } { \partial s _ { k + 1 } ^ { \sigma } } \frac { \partial f _ { k } ^ { \sigma } ( s _ { k } , h _ { k } , \lambda , x ) } { \partial x } + } \\ & { + \xi _ { k } \left( V _ { k } ( s _ { k } , \lambda ) - r _ { k } ( s _ { k } , h _ { k } , \lambda , \bar { x } ) - V _ { k + 1 } ( s _ { k + 1 } , \lambda ) \right) , } \\ & { \mu \geq _ { Q } \hat { V } _ { 1 } ( s _ { 1 } , \lambda ) + \xi _ { 1 } \left( \nu - V _ { 1 } ( s _ { 1 } , \lambda ) \right) , } \\ & { V _ { N } ( s _ { N } , \lambda ) \geq _ { Q } r _ { N } ( s _ { N } , h , \lambda , \bar { x } ) , } \\ & { V _ { k } ( s _ { k } , \lambda ) \geq _ { Q } r _ { k } ( s _ { k } , h , \lambda , \bar { x } ) + V _ { k + 1 } ( f _ { k } ( s _ { k } , h _ { k } , \lambda ) , \lambda ) , } \\ & { \nu ( \bar { x } ) \geq _ { Q } V _ { 1 } ( s _ { 1 } , \lambda ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathsf { o p t } _ { k } ( r _ { j } ; \mathbf { A } _ { j } ) - r _ { j } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { 2 } } & { = \left\| | \mathbf { A } - z _ { j } \mathbf { I } | ^ { - 1 / 2 } | \mathbf { A } - z _ { j } \mathbf { I } | ^ { 1 / 2 } ( \mathsf { o p t } _ { k } ( r _ { j } ; \mathbf { A } _ { j } ) - r _ { j } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } ) \right\| _ { 2 } } \\ & { \leq \| | \mathbf { A } - z _ { j } \mathbf { I } | ^ { - 1 / 2 } \| _ { 2 } \cdot \| \mathsf { o p t } _ { k } ( r _ { j } ; \mathbf { A } _ { j } ) - r _ { j } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { | \vec { A } - z _ { j } \vec { I } | } } \\ & { = \| ( \mathbf { A } - z _ { j } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \| _ { 2 } ^ { 1 / 2 } \cdot \operatorname* { m i n } _ { \mathrm { d e g } ( p ) < k } \| p ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } - r _ { j } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { | \vec { A } - z _ { j } \vec { I } | } } \\ & { \leq \| ( \mathbf { A } - z _ { j } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \| _ { 2 } ^ { 1 / 2 } \| \mathbf { A } - z _ { j } \mathbf { I } \| _ { 2 } ^ { 1 / 2 } \cdot \operatorname* { m i n } _ { \mathrm { d e g } ( p ) < k } \| p ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } - r _ { j } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { 2 } } \\ & { = \sqrt { \kappa ( \vec { A } - z _ { j } \vec { I } ) } \cdot \operatorname* { m i n } _ { \mathrm { d e g } ( p ) < k } \| p ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } - r _ { j } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } _ { n , m } ^ { \delta z _ { 0 } } } & { ( x , y , z ) \approx \mathcal { U } _ { n , m } - \mathrm { i } \frac { \lambda \delta z _ { 0 } } { 4 \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } \Big ( A _ { n } \mathcal { U } _ { n + 2 , m } + B _ { n } \mathcal { U } _ { n - 2 , m } } \\ & { + A _ { m } \mathcal { U } _ { n , m + 2 } + B _ { m } \mathcal { U } _ { n , m - 2 } - ( C _ { n } + C _ { m } ) \cdot \mathcal { U } _ { n , m } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \alpha _ { k } } { 2 } ( 1 - \eta ( \rho - \lambda ) ) \mathbb { E } \| \nabla \mathrm { e n v } _ { \psi } ^ { \eta } ( x ^ { k } ) \| ^ { 2 } \leq \mathrm { e n v } _ { \psi } ^ { \eta } ( x ^ { 0 } ) - \mathbb { E } [ \mathrm { e n v } _ { \psi } ^ { \eta } ( x ^ { K } ) ] + \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } } { 2 \eta } \theta \beta . } \end{array}
{ \cal H } _ { t } ( \bar { { \bf x } } , \bar { { \bf w } } ) = \frac { 1 } { 2 } v ^ { 2 } \left( \bar { { \bf x } } , \hat { \bf n } ( \bar { \bf w } ) \right) \| \bar { \bf w } \| ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { ( i i i ) } & { \le ( 2 \delta _ { k } / \lambda _ { k } + T \beta _ { k } \mu _ { g } / 8 + 2 M \xi ^ { 2 } l _ { * , 1 } ^ { 2 } \beta _ { k } ^ { 2 } ) \mathbb { E } [ \| y _ { k + 1 } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } \\ & { \quad + \xi ^ { 2 } \left( \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 8 \alpha _ { k } ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { g } T \beta _ { k } } \right) \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } + \frac { \xi ^ { 2 } } { 2 } ( \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } ) + \frac { 2 \delta _ { k } } { \lambda _ { k } ^ { 3 } } \frac { l _ { f , 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { g } ^ { 3 } } . } \end{array}
\langle E _ { e f f } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ) \rangle \; = \; \frac { 1 } { 6 } \left[ \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { 0 } \partial x _ { 1 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y _ { 0 } \partial y _ { 1 } } \right] \Delta _ { \varphi } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ; y _ { 0 } , y _ { 1 } ) | _ { y _ { \mu } \to x _ { \mu } } \; ,
k _ { \dot { A } B } = \sigma _ { \dot { A } B } ^ { \mu } k _ { \mu } = \left( \begin{array} { c c } { { k _ { 0 } + k _ { 3 } } } & { { k _ { 1 } + i k _ { 2 } } } \\ { { k _ { 1 } - i k _ { 2 } } } & { { k _ { 0 } - k _ { 3 } } } \end{array} \right) ,
\vec { d } _ { \ell } \, = \, \frac { 1 } { N _ { c } - 1 } \sum _ { i = \mathrm { l i g h t } } \, \int \, d ^ { 3 } x \, q _ { i } ^ { \dagger } ( \vec { x } ) \, \vec { x } \, q _ { i } ( \vec { x } ) \, ,
\begin{array} { r } { f ( t ) \propto t ^ { - 2 - \frac { a T _ { x } } { b T _ { s } } } \int _ { \theta _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { \theta _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \frac { \theta ^ { 1 + \frac { a T _ { x } } { b T _ { s } } } e ^ { - \theta } } { \left( - \log \left( \frac { \theta } { \omega _ { o } t } \right) \right) ^ { 1 - \frac { 1 } { n } } } \, d \theta \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } _ { i j , k } ^ { R } } & { = \left( \delta _ { i k } r _ { j } - \delta _ { i j } r _ { k } \right) J _ { 3 } ^ { 0 } + \left( \delta _ { i j } p _ { k } - \delta _ { i k } p _ { j } \right) J _ { 3 } ^ { 1 } } \\ { \mathcal { Q } _ { i j , k } ^ { S } } & { = \delta _ { j k } r _ { i } J _ { 3 } ^ { 0 } - \delta _ { j k } p _ { i } J _ { 3 } ^ { 1 } - 3 r _ { i } r _ { j } r _ { k } J _ { 5 } ^ { 0 } } \\ & { + 3 ( p _ { i } r _ { j } r _ { k } + p _ { j } r _ { i } r _ { k } + p _ { k } r _ { i } r _ { j } ) J _ { 5 } ^ { 1 } } \\ & { - 3 ( r _ { i } p _ { j } p _ { k } + r _ { j } p _ { i } p _ { k } + r _ { k } p _ { i } p _ { j } ) J _ { 5 } ^ { 2 } + 3 p _ { i } p _ { j } p _ { k } J _ { 5 } ^ { 3 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { x } & { = R \left( \cos { \frac { \theta } { 2 } } \cos v - \sin { \frac { \theta } { 2 } } \sin 2 v \right) } \\ { y } & { = R \left( \sin { \frac { \theta } { 2 } } \cos v + \cos { \frac { \theta } { 2 } } \sin 2 v \right) } \\ { z } & { = P \cos \theta \left( 1 + \varepsilon \sin v \right) } \\ { w } & { = P \sin \theta \left( 1 + { \varepsilon } \sin v \right) } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { U ( x , y , z ) } & { \propto \iint _ { \mathrm { A p e r t u r e } } \, A ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) e ^ { - i { \frac { 2 \pi } { \lambda z } } ( x ^ { \prime } x + y ^ { \prime } y ) } \, d x ^ { \prime } \, d y ^ { \prime } } \\ & { \propto \iint _ { \mathrm { A p e r t u r e } } \, A ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) e ^ { - i { \frac { k ( x ^ { \prime } x + y ^ { \prime } y ) } { z } } } \, d x ^ { \prime } \, d y ^ { \prime } } \end{array} }
\hat { H } _ { \mathrm { N H } } = \hat { H } _ { 0 } - \cfrac { i \hslash } { 2 } \left( G _ { 1 } \hat { S } _ { 2 1 } \hat { S } _ { 2 1 } ^ { \dagger } + G _ { 2 } \hat { S } _ { 3 2 } \hat { S } _ { 3 2 } ^ { \dagger } + G _ { 3 } \hat { S } _ { 3 4 } ^ { \dagger } \hat { S } _ { 3 4 } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \small { \left( \! \! \left( \begin{array} { l l l l l l } { \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \{ 4 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! } \end{array} \right) \! \! , \! \! \left( \begin{array} { l l l l l l } { \! \{ 0 \! \sim \! 3 \} \! \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 3 \} \! \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 3 \} \! \! } & { \{ 2 \} } & { \{ 2 \} } & { \{ 2 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 2 \} } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 3 \} \! \! } & { \{ 2 \} } & { \{ 2 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 2 \} } & { \{ 2 \} } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 3 \} \! \! } & { \{ 2 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 2 \} } & { \{ 2 \} } & { \{ 2 \} } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 3 \} \! } \end{array} \right) \! \! \right) \! . } } \end{array}
\frac { G _ { F } ^ { 2 } \, f _ { \pi } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } \, m _ { \pi } } \, \int _ { m _ { l } } ^ { m _ { \pi } + 1 / ( 2 \Delta t ) } \, d \omega \, ( 1 - \frac { m _ { l } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } ) ^ { 2 } < O [ 1 ] \, .
\begin{array} { r l } { a b a b } & { { } = - a b a ( 1 - b ) - a b ( 1 - a ) - a ( 1 - b ) - ( 1 - a ) + 1 , } \\ { b a b a } & { { } = - b a b ( 1 - a ) - b a ( 1 - b ) - b ( 1 - a ) - ( 1 - b ) + 1 , } \\ { a b ^ { 2 } a } & { { } = - a b ^ { 2 } ( 1 - a ) - a b ( 1 - b ) - a ( 1 - b ) - ( 1 - a ) + 1 , } \\ { b a ^ { 2 } b } & { { } = - b a ^ { 2 } ( 1 - b ) - b a ( 1 - a ) - b ( 1 - a ) - ( 1 - b ) + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( 1 - \theta ) \left[ f _ { x ^ { k - \tau _ { k } } } ( x ^ { k } , \xi ^ { k - \tau _ { k } } ) + \omega ( x ^ { k } ) \right] + \theta f ( x ^ { k + 1 } ) - f _ { x ^ { k - \tau _ { k } } } ( x ^ { k + 1 } , \xi ^ { k - \tau _ { k } } ) - ( 1 - \theta ) \omega ( x ^ { k + 1 } ) } \\ { \leq } & { ( 1 - \theta ) [ f ( x ^ { k } , \xi ^ { k - \tau _ { k } } ) + \omega ( x ^ { k } ) - f ( x ^ { k + 1 } ) - \omega ( x ^ { k + 1 } ) ] + f ( x ^ { k + 1 } ) - \mathbb { E } _ { \xi } \left[ f _ { x ^ { k - \tau _ { k } } } ( x ^ { k + 1 } , \xi ) \right] } \\ & { + \mathbb { E } _ { \xi } \left[ f _ { x ^ { k - \tau _ { k } } } ( x ^ { k + 1 } , \xi ) \right] - f _ { x ^ { k - \tau _ { k } } } ( x ^ { k + 1 } , \xi ^ { k - \tau _ { k } } ) + \frac { ( 1 - \theta ) \lambda } { 2 } \| x ^ { k } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ( 1 - \theta ) [ f ( x ^ { k } , \xi ^ { k - \tau _ { k } } ) + \omega ( x ^ { k } ) - f ( x ^ { k + 1 } ) - \omega ( x ^ { k + 1 } ) ] + \frac { 2 L _ { f } ^ { 2 } } { \gamma - \kappa } } \\ & { + \frac { \lambda } { 2 } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } + ( 1 - \theta ) \| x ^ { k } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } ] , } \end{array}
( X _ { c - 1 } , Y _ { c - 1 } ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { ( g _ { c } z _ { i _ { c } } ( t _ { c } ^ { \prime } ) U _ { + } , g _ { c } ^ { \prime } U _ { + } ) , } & { \mathrm { i f ~ i _ c > 0 ~ , } } \\ { ( g _ { c } U _ { + } , g _ { c } ^ { \prime } \bar { z } _ { | i _ { c } | ^ { * } } ( t _ { c } ^ { \prime } ) U _ { + } ) , } & { \mathrm { i f ~ i _ c < 0 ~ , } } \end{array} \right.
\frac { 1 } { 2 } ( \mathbf { I } _ { 2 } \pm \lambda \hat { n } . \sigma ) = \frac { 1 + \lambda } { 4 } ( \mathbf { I } _ { 2 } \pm \hat { n } . \sigma ) + \frac { 1 - \lambda } { 4 } ( \mathbf { I } _ { 2 } \mp \hat { n } . \sigma )
\begin{array} { r l r } { \overline { { \frac { \Delta \beta } { \beta _ { x } } } } } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } d J _ { x } \int _ { 0 } ^ { \infty } d J _ { y } \frac { \Delta \beta _ { x } } { \beta _ { x } } ( J _ { x } , J _ { y } ) e ^ { - J _ { x } - J _ { y } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 < \mathord { \mathrm { s c a l } } ( \mathrm { s u s p } ( \gamma ) ) } & { = \mathord { \mathrm { s c a l } } ( \gamma ) + \sum _ { j = 2 } ^ { p + 1 } \frac { 3 } { 4 } \mathrm { t r } ( ( \partial _ { j } \gamma ^ { o p } ) ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { 4 } \mathrm { t r } ( \partial _ { j } \gamma ) ^ { 2 } - \mathrm { t r } ( \partial _ { j } ^ { 2 } \gamma ) } \\ & { = : \mathord { \mathrm { s c a l } } ( g ) + \mathfrak { e r r } ( g ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } } & { \theta ( x , t _ { k } ) = \frac { T _ { w } } { \pi } \left( \frac { x _ { 2 } } { x _ { 2 } ^ { 2 } + ( L + x _ { 1 } ) ^ { 2 } } - \frac { x _ { 2 } } { x _ { 2 } ^ { 2 } + ( L - x _ { 1 } ) ^ { 2 } } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { i _ { 1 } } \sum _ { i _ { 2 } \geq 0 } h h _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { k } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( Y _ { t _ { j } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } \varLambda _ { 2 , \epsilon } ( Y _ { t _ { k } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x ) \cdot R ( x ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k } ; 0 ) \varTheta _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } . } \end{array}
\omega ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \bigg ( N ^ { 2 } - \omega _ { d } ^ { 2 } + \sqrt { N ^ { 4 } - 2 N ^ { 2 } \omega _ { d } ^ { 2 } + ( 1 + 2 l ) ^ { 2 } \omega _ { d } ^ { 4 } } \bigg ) .
\langle M _ { i j } M _ { k l } \rangle = \frac { 1 } { N } [ \delta _ { i l } \delta _ { k j } + \mathrm { e } ^ { - \frac { 3 } { 2 } \beta } L _ { i l } ( L ^ { 2 } ) _ { k j } + \mathrm { e } ^ { - \frac { 3 } { 2 } \beta } ( L ^ { 2 } ) _ { i l } L _ { k j } ] ,
\eta ( t ) = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } \lambda ( s , \omega ) \mathrm { d } \mu _ { \omega } \mathrm { d } s , \quad \left| \tilde { \phi } _ { \Xi } ( t ) \right\rangle = \mathrm { e } ^ { - \eta ( t ) } \left| \phi _ { \Xi } ( t ) \right\rangle ,