harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\bar { \mathcal { S } } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l l } { 0 _ { M _ { O } \times M _ { O } } } & { \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( s ^ { \prime } ) } \\ { - \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( s ^ { \prime } ) } & { 0 _ { M _ { O } \times M _ { O } } } \end{array} \right) , \quad \mathcal { Q } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l l } { 0 _ { M _ { O } \times M _ { O } } } & { X } \\ { - Y ^ { * } } & { 0 _ { M _ { O } \times M _ { O } } } \end{array} \right) .
\epsilon ^ { 2 } \frac { \partial ( \rho ^ { \sigma } E _ { T } ^ { \sigma } ) } { \partial t _ { 2 } } + \epsilon ^ { 2 } \frac { \partial M _ { 3 , 1 , \alpha } ( f ^ { \sigma , ( 1 ) } ) } { \partial r _ { 1 \alpha } } = 0 ,
\begin{array} { r } { 2 \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \mathcal { P } _ { \chi _ { 0 } } \left( k \sigma \right) } { k } \sum _ { k ^ { \prime } < k } \frac { \mathcal { P } _ { \chi _ { 0 } } \left( k ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } \right) } { k ^ { \prime } } < 2 \mathcal { P } _ { \chi _ { 0 } } \left( \sigma ^ { \prime } \right) \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \mathcal { P } _ { \chi _ { 0 } } \left( k \sigma \right) < \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ { \mathcal { C } } [ \widehat { Q } _ { 0 , L } ^ { \mathrm { M L M C } } ] = \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } M _ { \ell } \, { \mathcal { C } } [ Q _ { \ell } - Q _ { \ell - 1 } ] \leq \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } ( 1 + M _ { \ell } ) \, { \mathcal { C } } [ Q _ { \ell } - Q _ { \ell - 1 } ] } \\ & { \ \leq c _ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } s ^ { \gamma _ { M } \ell } + \frac { c _ { 2 } c _ { 3 } } { ( 1 - b _ { w } ) \varepsilon ^ { 2 } } s ^ { \frac { \gamma _ { M } - \beta _ { M } } { 2 } } \frac { 1 - s ^ { \frac { \gamma _ { M } - \beta _ { M } } { 2 } L } } { 1 - s ^ { \frac { \gamma _ { M } - \beta _ { M } } { 2 } } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } s ^ { - \frac { \beta _ { M } + \gamma _ { M } } { 2 } \ell } s ^ { \gamma _ { M } \ell } } \\ & { \ \leq c _ { 3 } s ^ { \gamma _ { M } } \frac { s ^ { \gamma _ { M } L } - 1 } { s ^ { \gamma _ { M } } - 1 } + \frac { \, c _ { 2 } \, c _ { 3 } } { ( 1 - b _ { w } ) \varepsilon ^ { 2 } } s ^ { \gamma _ { M } - \beta _ { M } } \bigg ( \frac { 1 - s ^ { \frac { \gamma _ { M } - \beta _ { M } } { 2 } L } } { 1 - s ^ { \frac { \gamma _ { M } - \beta _ { M } } { 2 } } } \bigg ) ^ { 2 } } \\ & { \ \leq c _ { 3 } \frac { s ^ { \gamma _ { M } } } { s ^ { \gamma _ { M } } - 1 } s ^ { \gamma _ { M } L } + \varepsilon ^ { - 2 } \frac { \, c _ { 2 } \, c _ { 3 } } { ( 1 - b _ { w } ) } s ^ { \gamma _ { M } - \beta _ { M } } \bigg ( \frac { 1 } { 1 - s ^ { \frac { \gamma _ { M } - \beta _ { M } } { 2 } } } \bigg ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \bar { \mathcal { H } } _ { t } ^ { 1 - \frac { 1 } { \alpha } } } & { \geq c \mathcal { M } _ { 3 } ( t ) ^ { - \frac { 1 } { \alpha } } L ^ { - \frac { d \beta + p \gamma } { \alpha } } ( 1 + t ) ^ { \frac { ( \beta + \gamma ) d } { 2 \alpha } } \Xi _ { t } ^ { - \frac { \beta + \gamma } { \alpha } } } \\ & { \geq c \mathcal { M } _ { 3 } ( t ) ^ { - \frac { 1 } { \alpha } } \left( \frac { 1 + t } { L ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { d \beta + p \gamma } { 2 \alpha } } ( 1 + t ) ^ { - \frac { \gamma ( p - d ) } { 2 \alpha } } \Xi _ { t } ^ { - \frac { \beta + \gamma } { \alpha } } . } \end{array}
g _ { c } \approx \sqrt { \frac { \omega _ { c } \delta } { 2 } \cdot \frac { 1 } { L ( 1 - n _ { \mathrm { ~ d ~ } } ) } } \quad \xrightarrow [ \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ o ~ n ~ a ~ n ~ c ~ e ~ } ] { \; 2 \delta = \omega _ { \mathrm { ~ c ~ } } \; } \quad \frac { \omega _ { \mathrm { ~ c ~ } } } { 2 } \frac { 1 } { \sqrt { L ( 1 - n _ { \mathrm { ~ d ~ } } ) } } .
c ^ { 2 } = \mathrm { c o n s t . } \times \frac { ( \hat { y } _ { u } + \hat { y } _ { d } ) v { ( M ^ { \prime } ) } ^ { 6 / 2 7 } e ^ { 6 \pi / 2 7 \alpha _ { 3 } ( M ^ { \prime } ) } } { M ^ { \prime } ( y _ { c } ( m _ { c } ) y _ { b } ( m _ { b } ) y _ { t } ( m _ { t } ) v ^ { 3 } ) ^ { 2 / 2 7 } }
I _ { F _ { \xi } } : = \sqrt { \mathcal { N } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - 2 ( \frac { \xi } { w _ { p } } ) ^ { 2 } } F _ { \xi } ( \xi ) h _ { l _ { i } } \left( \frac { \xi } { w _ { p } } \right) h _ { l _ { s } } \left( \frac { \xi } { w _ { p } } \right) d \xi
\begin{array} { r } { W ( s , h ) = C _ { D } \frac { 1 } { h ^ { D } } \left\{ \begin{array} { l l } { ( 3 - s ) ^ { 5 } - 6 ( 2 - s ) ^ { 5 } + 1 5 ( 1 - s ) ^ { 5 } , } & { 0 \leq s < 1 ; } \\ { ( 3 - s ) ^ { 5 } - 6 ( 2 - s ) ^ { 5 } , } & { 1 \leq s < 2 ; } \\ { ( 3 - s ) ^ { 5 } , } & { 2 \leq s < 3 ; } \\ { 0 , } & { s \geq 3 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( x ) } & { = } & { f ( p ) + \sum _ { i } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \partial f } { \partial x ^ { i } } ( \gamma ( t ) ) ( x ^ { i } - p ^ { i } ) d t } \\ & { = } & { f ( p ) + \sum _ { i } ( x ^ { i } - p ^ { i } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \partial f } { \partial x ^ { i } } ( \gamma ( t ) ) d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 } & { = h ( 1 ) = \sum _ { \sigma _ { j } \in S _ { n } } ( - q ) ^ { l ( \sigma _ { j } ) } h ( \Pi _ { k = 1 } ^ { n } x _ { k , \sigma _ { j } ( k ) } ) } \\ & { = \left( \sum _ { \sigma _ { j } \in S _ { n } } ( - q ) ^ { 2 l ( \sigma _ { j } ) - \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } \right) h ( \Pi _ { k = 1 } ^ { n } x _ { k , n + 1 - k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \{ \textbf { k } _ { j } ^ { G } \} } & { = } & { \{ \textbf { k } _ { j } + n \cdot \textbf { G } _ { 1 } + m \cdot \textbf { G } _ { 2 } \} \subset \{ \textbf { k } _ { i } \} ~ , } \\ { \{ \textbf { k } _ { j } ^ { Q } \} } & { = } & { \{ \textbf { k } _ { j } + k \cdot \textbf { Q } _ { 1 } + l \cdot \textbf { Q } _ { 2 } \} \subset \{ \textbf { k } _ { i } \} ~ , } \end{array}
\partial _ { t } \mathcal { B } - 4 \nu \partial _ { \xi } ^ { 2 } \mathcal { B } - \mu _ { 1 } g ( t ) \partial _ { \xi } \left[ h ( \xi ) \mathcal { B } ( t , \xi ) \right] + \sqrt { 8 \nu } \dot { W } ( t ) \partial _ { \xi } \mathcal { B } ( t , \xi ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { P _ { n } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , \dots , z _ { r } ) } & { = \frac { E _ { n } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , \dots , z _ { r } ) } { n ^ { n - 2 } } } \\ & { = \prod _ { i = 1 } ^ { r } \Bigl ( 1 - \frac { j _ { r } } { n } + \frac { j _ { i } } { n } z _ { i } + \sum _ { h = i + 1 } ^ { r } \frac { j _ { h } - j _ { h - 1 } } { n } z _ { h } \Bigr ) ^ { j _ { i } - j _ { i - 1 } } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \Pi _ { r r } | _ { r = a } = - p + 2 \mu \frac { \partial v _ { r } } { \partial r } , } \\ { \displaystyle \Pi _ { r z } | _ { r = a } = \mu \left( \frac { \partial v _ { r } } { \partial z } + \frac { \partial v _ { z } } { \partial r } \right) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { m _ { 1 } \frac { d ^ { 2 } x _ { 1 } } { d t ^ { 2 } } } & { { } = } & { k _ { 1 } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) - m _ { 1 } g + N } \\ { m _ { j } \frac { d ^ { 2 } x _ { j } } { d t ^ { 2 } } } & { { } = } & { k _ { j - 1 } ( x _ { j - 1 } - x _ { j } ) + k _ { j } ( x _ { j + 1 } - x _ { j } ) - m _ { j } g , \qquad j = 2 , \cdots , n - 1 } \\ { m _ { n } \frac { d ^ { 2 } x _ { n } } { d t ^ { 2 } } } & { { } = } & { k _ { j - 1 } ( x _ { n - 1 } - x _ { n } ) - m _ { n } g } \end{array}
S = \frac { r _ { h } ^ { 2 } } { 9 0 } { \tilde { \epsilon } } ^ { - 2 } + \left[ \frac { \Delta _ { h } ^ { \prime \prime } r _ { h } ^ { 2 } } { 1 8 0 } + \frac { r _ { h } ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } { 6 } \right] \log { \tilde { \epsilon } } + { \mathrm { t e r m s ~ f i n i t e ~ a s ~ } } { \tilde { \epsilon } } \rightarrow 0 .
\delta m \sim g _ { I i } M _ { P } ^ { ( 4 ) } \sim M _ { P } ^ { ( 4 ) } g _ { s } \frac { \left| k _ { i } ^ { 1 } + k _ { i } ^ { 2 } \right| } { M _ { s } } \left( \frac { t _ { s } } { g _ { s } t _ { \mathrm p h y s } } \right) ^ { 1 / 2 }
\frac { \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } x \right) } { 2 ^ { ( n + 1 ) / 2 ) } \Gamma ( n / 2 ) \Gamma ( 1 / 2 ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( u x ) ^ { n / 2 - 1 } ( x - u x ) ^ { - 1 / 2 } ( x \d u ) = \frac { x ^ { ( n + 1 ) / 2 - 1 } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } x \right) } { 2 ^ { ( n + 1 ) / 2 ) } \Gamma ( n / 2 ) \Gamma ( 1 / 2 ) } \mathcal { B } \left( \frac { n } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { s _ { v } \, \alpha _ { v } \wedge \mathrm { d } \alpha _ { v } } & { { } = \frac { 1 } { s _ { v } } \, \mathrm { d } ( \pounds _ { v } \log s _ { v } ) \wedge \, ( \iota _ { v } \, \omega _ { \xi } ) \wedge v ^ { \flat } } \end{array}
l o g i t ( p _ { i j } ) = \beta _ { 0 } + \beta _ { 1 } l o g ( G D P _ { i } ) + \beta _ { 2 } l o g ( G D P _ { j } ) + \beta _ { 3 } l o g ( d _ { i j } ) + \beta _ { 4 } C _ { i j } + \beta _ { 5 } L _ { i j } + \beta _ { 6 } S _ { i j } ,
E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } = E - T _ { s } - E _ { \mathrm { ~ H ~ } } [ \rho ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ] - \sum _ { \sigma } \int \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) v _ { \mathrm { ~ N ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \, d \boldsymbol { \textbf { r } }
\begin{array} { r l } { W [ \tilde { \phi } ] } & { = \frac { 1 } { 8 \sqrt { \pi ^ { 3 } } \sigma _ { \mathrm { h P F } } ^ { 3 } \phi _ { 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { K } \sum _ { j = i + 1 } ^ { K } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { i } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N _ { j } } \tilde { \chi } _ { i j } \exp \left[ \frac { - ( \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } _ { \ell } ) ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { \mathrm { h P F } } ^ { 2 } } \right] , } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 1 } { 1 6 \sqrt { \pi ^ { 3 } } \sigma _ { \mathrm { h P F } } ^ { 3 } \kappa \phi _ { 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { K } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { k } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N _ { k } } \exp \left[ \frac { - ( \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } _ { \ell } ) ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { \mathrm { h P F } } ^ { 2 } } \right] } \\ & { \qquad \qquad - \frac { N } { 2 \kappa } , } \end{array}
D = \dot { X } _ { i } \Bigg [ \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { ( k + 1 ) ! } \mathbf { Q } ^ { k } \Bigg ] _ { i j } E _ { j } \equiv \dot { X } _ { i } d _ { i j } E _ { j } .
\begin{array} { r } { \hat { y } _ { n : i } ^ { t } = \{ \lambda f _ { \theta ^ { t - 1 } } ( x _ { n : i } ^ { t } ) + ( 1 - \lambda ) f _ { \theta ^ { t } } ( x _ { n : i } ^ { t } ) [ : t - 1 ] \} \cup s _ { n : i } ^ { t } , ~ \lambda = \lambda ^ { 0 } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( - I ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \nu _ { x } ( 0 , 0 , a _ { z } ) | _ { L o n g , r o u n d } } & { { } = } & { \Delta \nu _ { x , S C } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; \exp [ - \frac { a _ { z } ^ { 2 } u } { 4 } ] I _ { 0 } \left( \frac { a _ { z } ^ { 2 } u } { 4 } \right) \equiv f _ { z } \Delta \nu _ { x , S C } } \\ { f _ { z } } & { { } = } & { \exp [ - \frac { a _ { z } ^ { 2 } } { 4 } ] \left( I _ { 0 } ( \frac { a _ { z } ^ { 2 } } { 4 } ) + I _ { 1 } ( \frac { a _ { z } ^ { 2 } } { 4 } ) \right) } \end{array}
\left\langle f \right\vert = \sqrt { 2 E _ { \mathbf { p } ^ { \prime } } } \sqrt { 2 E _ { \mathbf { q } ^ { \prime } } } \left\langle 0 \right\vert a _ { \mathbf { q } ^ { \prime } } ^ { r ^ { \prime } } a _ { \mathbf { p } ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } .
R _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ l ~ a ~ r ~ , ~ K ~ M ~ } } , R _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ l ~ a ~ r ~ , ~ F ~ F ~ } } , R _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ l ~ a ~ r ~ , ~ L ~ M ~ } } , \epsilon _ { \mathrm { ~ A ~ T ~ W ~ , ~ K ~ M ~ } } , \epsilon _ { \mathrm { ~ A ~ T ~ W ~ , ~ F ~ F ~ } } , \epsilon _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ l ~ a ~ r ~ , ~ L ~ M ~ } }
\mathrm { R e } \chi _ { T \rightarrow \infty } ^ { \mathrm { ( T M ) } } ( \omega ) = { \frac { \zeta ( 3 ) } { 2 \pi } } { \frac { ( k _ { B } T ) ^ { 3 } } { \hbar ^ { 2 } } } A \omega ^ { 2 } .
a _ { 1 } = a _ { 4 } = \frac { 1 } { 2 ( 2 - 2 ^ { 1 / 3 } ) } , a _ { 2 } = a _ { 3 } = - \frac { 2 ^ { 1 / 3 } - 1 } { 2 ( 2 - 2 ^ { 1 / 3 } ) } , b _ { 1 } = b _ { 3 } = 2 a _ { 1 } , b _ { 2 } = - 2 ^ { 1 / 3 } b _ { 1 } , b _ { 4 } = 0 .
\begin{array} { r l r } { \Sigma } & { { } = } & { \frac { \Delta } { 1 - 2 q + 2 \Delta } + \frac { 2 a } { h \varepsilon } , } \\ { \Sigma } & { { } = } & { \frac { - 2 \Delta ^ { 2 } \varepsilon + 2 q ( 1 + \varepsilon ) ( 1 - q ) - \Delta ( 1 + 2 \varepsilon ) ( 1 - 2 q ) + \frac { 2 a } { h } } { 1 + \frac { 4 a } { h } } . } \end{array}
\left\langle \left\vert \mathcal { M } \right\vert ^ { 2 } \right\rangle = \lambda ^ { 4 } \left[ \frac { t ^ { 2 } } { \left( t - m ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } + \frac { t u } { \left( t - m ^ { 2 } \right) \left( u - m ^ { 2 } \right) } + \frac { u ^ { 2 } } { \left( u - m ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \right]
{ \begin{array} { r l } { 0 \leq \psi ( x ) - \vartheta ( x ) } & { \leq \sum _ { 2 \leq n \leq \log _ { 2 } x } x ^ { 1 / n } \log ( x ^ { 1 / n } ) } \\ & { \leq ( \log _ { 2 } x ) { \sqrt { x } } \log { \sqrt { x } } } \\ & { = { \frac { \log x } { \log 2 } } { \frac { \sqrt { x } } { 2 } } \log x } \\ & { = { \frac { { \sqrt { x } } \, ( \log x ) ^ { 2 } } { 2 \log 2 } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \widehat { D } ^ { \ast } F ( x , y ) ( y ^ { \ast } ) } & { : = \big \{ x ^ { \ast } \in { \mathbb { R } ^ { n } } \; \big | \; ( x ^ { \ast } , - y ^ { \ast } ) \in \Hat { N } \big ( ( x , y ) ; \operatorname { g p h } F \big ) \big \} , } \\ { { D } ^ { \ast } F ( x , y ) ( y ^ { \ast } ) } & { : = \big \{ x ^ { \ast } \in { \mathbb { R } ^ { n } } \; \big | \; ( x ^ { \ast } , - y ^ { \ast } ) \in N \big ( ( x , y ) ; \operatorname { g p h } F \big ) \big \} , } \end{array}
\xi = \left( q E x ^ { 0 } - p _ { D } \right) / \sqrt { q E } , \smallskip \ \nu = i \lambda / 2 , \smallskip \ C = ( 4 \pi q E ) ^ { - 1 / 2 } \exp \{ ( - \pi / 2 + i \ln 2 ) \lambda / 4 \} ( - i ) ,
\begin{array} { r l } { H _ { 1 D } = } & { { } \sum _ { j } \Big [ ( m _ { z } + i \gamma _ { \downarrow } / 2 ) \bigr ( | j \uparrow \rangle \langle j \uparrow | - | j \downarrow \rangle \langle j \downarrow | \bigr ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { ~ d ~ \, ~ \, ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } t } x _ { - } ( T ) = \sum _ { j = 1 } ^ { N } M _ { - j } ( x _ { j } ( T ) - x _ { - } ( T ) ) \geq 0 . } \end{array}
\alpha = 2 : \quad \operatorname { E } \left[ - { \frac { 1 } { N } } { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta , a , c \mid Y ) } { \partial a ^ { 2 } } } \right] = { \mathcal { I } } _ { a , a }
V _ { x } ( x , t ) = - V _ { 0 } ( t ) \sin { \left[ \frac { 2 \pi ( x - x _ { c } ) } { W } \right] } \exp { \left[ - \frac { ( x - x _ { c } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right] } \, ,
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { 1 } } & { { } = } & { \sum _ { \mathcal { N } _ { 1 } = 0 } ^ { k _ { C } - 1 } \sum _ { \mathcal { N } _ { 2 } = 0 } ^ { k _ { C } - 1 - \mathcal { N } _ { 1 } } \mathcal { N } _ { 2 } P ( \mathcal { N } _ { 2 } | \mathcal { N } _ { 1 } ) ( 1 - f ) ^ { \mathcal { N } _ { 1 } } P ( \mathcal { N } _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { 0 } ^ { + , n } ( H _ { h , 0 } ^ { + , n } , E _ { h , 0 } ^ { + , n } ) = } & { \, \, \frac { \ell _ { 0 } } { 2 } \, \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t _ { n } } \int _ { S _ { 0 } } ( \mu ^ { + } \, \partial _ { t } H _ { h , 0 } ^ { + , n } + \partial _ { x } E _ { h , 0 } ^ { + , n } ) ^ { 2 } } \\ { + } & { \, \, ( Z ^ { + } ) ^ { 2 } ( \epsilon ^ { + } \, \partial _ { t } E _ { h , 0 } ^ { + , n } + \partial _ { x } H _ { h , 0 } ^ { + , n } ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t . } \end{array}
U _ { A N \operatorname* { m i n } } \Leftrightarrow \left( \frac { R ^ { 2 } + 2 R r } { r ^ { 2 } + Z _ { L C } } \right) _ { \operatorname* { m a x } } \Leftrightarrow Z _ { L C \operatorname* { m i n } } = 0 \Rightarrow Z _ { L } = Z _ { C _ { 0 } }
\begin{array} { r l } { \left\langle \xi ^ { ( a ) } ( \tau ) \right\rangle _ { e n } } & { { } = 0 , } \\ { \left\langle \xi ^ { ( a ) } ( \tau _ { 1 } ) \xi ^ { * ( b ) } ( \tau _ { 2 } ) \right\rangle _ { e n } } & { { } = \left( \rho _ { e e } ^ { ( a ) } ( \tau _ { 1 } ) - \left| \rho _ { g e } ^ { ( a ) } ( \tau _ { 1 } ) \right| ^ { 2 } \right) \delta _ { a b } \delta _ { \tau _ { 1 } \tau _ { 2 } } , } \end{array}
{ \mathcal { V } } _ { \mathrm { ~ H ~ } } \left[ \rho \right] \left( { \bf x } \right) = \int { \mathcal { V } _ { \mathrm { ~ e ~ e ~ } } \left( { \bf x } - { \bf x } ^ { \prime } \right) \rho ( { \bf x } ^ { \prime } ) \ \mathrm { d } { \bf x } ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l } { B _ { j } ( \mathbf { r } ) } & { = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \int _ { \mathcal { C } } \sum _ { i } d L _ { i } ^ { \prime } \left[ \frac { \delta _ { i j } } { F ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) } - \frac { r _ { i } \partial _ { r _ { j } } F ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { F ^ { 2 } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { D u ^ { \mu } } { d \tau } } & { { } = } & { \frac { q } { m } F _ { \ \ \nu } ^ { \mu } u ^ { \nu } + \frac { 2 q ^ { 2 } } { 3 m } \left( \frac { D ^ { 2 } u ^ { \mu } } { d \tau ^ { 2 } } + u ^ { \mu } u _ { \nu } \frac { D ^ { 2 } u ^ { \nu } } { d \tau ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\left[ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } } - i \frac { \varepsilon _ { o } } { 2 m } \vert \mathbf k \cdot \mathbf { \hat { R } } \vert \frac { \partial } { \partial R } + \Omega _ { c } ^ { 2 } ( R ) \right] \phi _ { A } ( t , R ) = 0 \ ,
\int _ { 0 } ^ { 1 } g _ { 1 } ^ { p - n } ( x , Q ^ { 2 } ) d x = { \frac { g _ { A } } { 6 } } \left( 1 - { \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { \pi } } - \cdots \right) + { \frac { \mu _ { 4 } ^ { p - n } ( Q ^ { 2 } ) } { Q ^ { 2 } } } + \cdots
\sum _ { \substack { \gamma \in W _ { \Delta } \, \| \gamma \| \le j } } \pi _ { \nu } ( \gamma , \Delta ) \le \sum _ { i = 1 } ^ { j } \sum _ { \substack { \gamma \in W _ { \Delta } \, i - k \le \| \gamma \| \le i } } \pi _ { \nu } ( \gamma , \Delta ) \le c _ { 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { j } e ^ { \delta ( \nu ) i } \leq c _ { 2 } e ^ { \delta ( \nu ) j }
\begin{array} { r l } { I _ { k } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \omega _ { k } } ( P _ { k } ^ { 2 } + \omega _ { k } ^ { 2 } Q _ { k } ^ { 2 } ) \; \; , \; \; \tan \alpha = - P _ { k } / \omega _ { k } Q _ { k } } \end{array}
P ^ { f } \; \equiv \; \left( { k ^ { ' } \, + \, q ^ { ' } } \right) \, ( 1 - x _ { 3 } ) \; + \; \left( { k ^ { ' } \, + \, q } \, x _ { 1 } \right) \, x _ { 2 } \, x _ { 3 } \; ,
\left| \nu _ { n + 1 } ^ { \prime } - \nu _ { n } ^ { \prime } \right| = ( q ^ { \prime } ) ^ { b } \nu _ { m } \left| ( q ^ { \prime } ) ^ { a - b } - \frac { \nu _ { l } } { \nu _ { m } } \right| \gg \nu _ { l } ^ { - C _ { 0 } } \nu _ { m } ^ { - C _ { 0 } + 1 } ( q ^ { \prime } ) ^ { b } \gg \left( \nu _ { n + 1 } ^ { \prime } \right) ^ { - C ^ { ' } } .
\begin{array} { r l } & { \Delta \psi ( a _ { k } + R _ { k } ) - \Delta \psi ( a _ { k } ) } \\ & { = \bigl [ \psi ( a _ { k } + u _ { 0 } \cdot \check { x } + R _ { k } ) - \psi ( a _ { k } + u _ { 0 } \cdot \check { x } ) \bigr ] - \bigl [ \psi ( a _ { k } + R _ { k } ) - \psi ( a _ { k } ) \bigr ] } \\ & { = O ( \epsilon ) , \ | k - k _ { \star } | \le c . } \end{array}
s ^ { 2 } \left[ ( \vec { V } ^ { * } \vec { k } ) ( 1 - 2 z ) + i \lambda [ \vec { V } ^ { * } \vec { k } ] \right] \left[ ( \vec { e } \vec { k } _ { 1 } ) ( 1 - 2 z ) - i \lambda [ \vec { e } \vec { k } _ { 1 } ] \right]
\begin{array} { r l } { \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } \bar { x } _ { k } } & { + \sqrt { \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } \Sigma _ { x _ { k } } \alpha _ { x , i _ { x } } } \sqrt { \frac { 1 - p _ { x , i _ { x } } } { p _ { x , i _ { x } } } } - \beta _ { x , i _ { x } } \leq 0 , } \\ { \alpha _ { u , i _ { u } } ^ { \top } \bar { u } _ { k } } & { + \sqrt { \alpha _ { u , i _ { u } } ^ { \top } \Sigma _ { u _ { k } } \alpha _ { u , i _ { u } } } \sqrt { \frac { 1 - p _ { u , i _ { u } } } { p _ { u , i _ { u } } } } - \beta _ { u , i _ { u } } \leq 0 , } \\ { \Sigma _ { x _ { N } } } & { \preceq \Sigma _ { F } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { S } _ { n } \mathbf { m } , \mathbf { m } ) } & { = ( \mathbf { A } ^ { - 1 / 2 } \mathbf { B } _ { n } ^ { T } \mathbf { m } , \mathbf { A } ^ { - 1 / 2 } \mathbf { B } _ { n } ^ { T } \mathbf { m } ) = \operatorname* { s u p } _ { \mathbf { w } \in \mathbb { R } ^ { N } } \left( \frac { ( \mathbf { w } , \mathbf { A } ^ { - 1 / 2 } \mathbf { B } _ { n } ^ { T } \mathbf { m } ) } { \| \mathbf { w } \| _ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \mathbf { v } \in \mathbb { R } ^ { N } } \left( \frac { ( \mathbf { v } , \mathbf { B } _ { n } ^ { T } \mathbf { m } ) } { \| \mathbf { A } ^ { 1 / 2 } \mathbf { v } \| _ { 2 } } \right) ^ { 2 } = \operatorname* { s u p } _ { \mathbf { v } _ { h } \in \mathbb { V } _ { h } ^ { k } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } ) } \frac { b _ { h } ( \mathbf { y } _ { h } ^ { n } ; \mathbf { v } _ { h } , \boldsymbol { \mu } _ { h } ) ^ { 2 } } { A _ { h } ( \mathbf { v } _ { h } , \mathbf { v } _ { h } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \cal { L } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 4 } \mathrm { t r } W _ { \mu \nu } W ^ { \mu \nu } + ( D _ { \mu } X ) ^ { \dagger } D ^ { \mu } X + V ( \operatorname* { d e t } X ) } \\ { W _ { \mu \nu } } & { { } = } & { \partial _ { \mu } W _ { \nu } - \partial _ { \nu } W _ { \mu } + i g \left[ W _ { \mu } , W _ { \nu } \right] } \\ { D _ { \mu } } & { { } = } & { \partial _ { \mu } + g W _ { \mu } } \end{array}
{ \frac { \pi } { 2 } } E _ { 1 } ( z _ { 3 } , i \tau _ { 2 } ) \Big | _ { | c | , | d | \leq 1 } = - { \frac { 1 + \tau _ { 2 } ^ { 4 } } { \tau _ { 2 } + \tau _ { 2 } ^ { 3 } } } \; , \quad { \frac { \pi } { 2 } } E _ { 1 } ( \tilde { z } _ { 3 } , i / \tau _ { 2 } ) \Big | _ { | c | , | d | \leq 1 } = - { \frac { 1 + \tau _ { 2 } ^ { 4 } } { \tau _ { 2 } + \tau _ { 2 } ^ { 3 } } } \; ,
{ \ddot { R } } - R \frac { 1 + { \dot { R } } ^ { 2 } } { R ^ { 2 } + D ^ { 2 } } + h R ( 1 + { \dot { R } } ^ { 2 } ) \sqrt { \frac { 1 + { \dot { R } } ^ { 2 } } { R ^ { 2 } + D ^ { 2 } } } = 0 .
\int _ { 0 } ^ { t } H \, d X = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \sum _ { t _ { i - 1 } , t _ { i } \in \pi _ { n } } H _ { t _ { i - 1 } } ( X _ { t _ { i } } - X _ { t _ { i - 1 } } ) .
\int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! d r \, \exp \left[ - v _ { _ { F } } ( r ; x ) \right] \simeq ( 2 \pi ) ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } \exp \left[ - \left\{ v _ { _ { F } } ( r _ { 0 } ( x ) ; x ) + { \frac { 1 } { 2 } } \ln \left[ v _ { _ { F } } ^ { \prime \prime } ( r _ { 0 } ( x ) ; x ) \right] \right\} \right] ,
\begin{array} { r } { b _ { i j } ^ { k } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \qquad i \in S _ { 1 } , j \in S _ { 2 } \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ i ~ n ~ t ~ e ~ r ~ a ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } , } \\ { 0 \qquad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \rho _ { { g e } } ( \textbf { r } , \tau ) } & { = i \Delta \omega _ { { e g } } \rho _ { { g e } } ( \textbf { r } , \tau ) + i \sum _ { s } \Omega _ { s } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } , \tau ) \left( \sum _ { e ^ { \prime } } T _ { { g e ^ { \prime } } s } \rho _ { { e ^ { \prime } e } } ( \textbf { r } , \tau ) - \sum _ { g ^ { \prime } } \rho _ { { g g ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , \tau ) T _ { { g ^ { \prime } e } s } \right) } \\ & { + \sum _ { e ^ { \prime } , \, s } f _ { s } ^ { ( + ) * } ( \textbf { r } , \tau ) T _ { { g e ^ { \prime } } s } \rho _ { { e ^ { \prime } e } } ( \textbf { r } , \tau ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { I } + [ S , H _ { 0 } ] } & { { } = 0 } \\ { U ( H _ { 0 } + H _ { I } ) U ^ { \dagger } } & { { } = H _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } [ S , H _ { I } ] + . . . } \end{array}
\langle \theta \otimes \theta ^ { T } \rangle _ { N _ { s } \to \infty } = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 1 } \end{array} \right) = I