harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
- \frac { 1 } { \rho } \frac { d p _ { \infty } } { d x } \langle \overline { { u } } \rangle + \frac { \partial } { \partial z } \left[ \left( - \langle \overline { { u ^ { \prime } w ^ { \prime } } } \rangle - \langle \overline { { u } } ^ { \prime \prime } \overline { { w } } ^ { \prime \prime } \rangle \right) \langle \overline { { u } } \rangle \right] = \left[ - \langle \overline { { u ^ { \prime } w ^ { \prime } } } \rangle - \langle \overline { { u } } ^ { \prime \prime } \overline { { w } } ^ { \prime \prime } \rangle \right] \frac { \partial \langle \overline { { u } } \rangle } { \partial z } - \langle \overline { { f _ { T } } } \rangle \langle \overline { { u } } \rangle .
{ \displaystyle { \cal U } ( { \bf R } , { \bf X } ) = 2 \mathrm { T r } \left[ { \bf h } { \bf D } [ { \bf X } ] \right] + \mathrm { T r } \left[ \left( 2 { \bf D } [ { \bf X } ] - { \bf X } { \bf S } ^ { - 1 } \right) { \bf G } \left( { \bf X } { \bf S } ^ { - 1 } \right) \right] - T _ { e } { \cal S } ( { \bf f } ) + V _ { n n } ( { \bf R } ) } ,
{ \cal M } ( \omega ) = \{ \omega _ { 0 } ^ { k } \vert \omega ^ { k } \in s u ( 2 ) \otimes \Omega ^ { 1 , 1 } , ~ ~ { } ^ { t . f . } F ^ { i } \wedge F ^ { j } = 0 \} / \{ S U ( 2 ) \times d i f f e o . \} \ .
\begin{array} { r l } { \Delta { X } } & { { } = \cos \phi _ { 2 } \cos \lambda _ { 2 } - \cos \phi _ { 1 } \cos \lambda _ { 1 } ; } \\ { \Delta { Y } } & { { } = \cos \phi _ { 2 } \sin \lambda _ { 2 } - \cos \phi _ { 1 } \sin \lambda _ { 1 } ; } \\ { \Delta { Z } } & { { } = \sin \phi _ { 2 } - \sin \phi _ { 1 } ; } \\ { C } & { { } = { \sqrt { ( \Delta { X } ) ^ { 2 } + ( \Delta { Y } ) ^ { 2 } + ( \Delta { Z } ) ^ { 2 } } } } \end{array}
X _ { a a } = { \frac { e ^ { 4 } } { 1 6 \, m ^ { 2 } ( p k ) ^ { 2 } } } \mathrm { T r } \left[ \gamma ^ { \beta } ( \gamma ^ { \mu } ( p + k ) _ { \mu } + m ) \gamma ^ { \alpha } ( \gamma ^ { \nu } p _ { \nu } + m ) \gamma _ { \alpha } ( \gamma ^ { \rho } ( p + k ) _ { \rho } + m ) \gamma _ { \beta } ( \gamma ^ { \lambda } { p ^ { \prime } } _ { \lambda } + m ) \right]
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { v _ { p } ^ { t } = \sum _ { r \in \mathbf { R } } \sum _ { i \in N _ { p , t } ^ { r } } W _ { r } \cdot \frac { \mathbf { h } _ { i , t } } { | N _ { p , t } ^ { m } | } , } \end{array} } \end{array}
\frac { \textrm { d } } { \textrm { d } t } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( \psi ; t ) = \tilde { Q } _ { k } ^ { i } ( \psi ; t ) q _ { j } ^ { k } ( \psi ( t ) , T - t ) , \quad \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( \psi ; 0 ) = \delta _ { j } ^ { i }
\hat { F } _ { v } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \eta _ { x } \left( { \tau } _ { x x } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { x x } \right) + \eta _ { y } { \tau } _ { x y } ^ { m o d } + \eta _ { z } { \tau } _ { x z } ^ { m o d } } \\ { \eta _ { x } { \tau } _ { x y } ^ { m o d } + \eta _ { y } \left( { \tau } _ { y y } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { y y } \right) + \eta _ { z } { \tau } _ { y z } ^ { m o d } } \\ { \eta _ { x } { \tau } _ { x z } ^ { m o d } + \eta _ { y } { \tau } _ { y z } ^ { m o d } + \eta _ { z } \left( { \tau } _ { z z } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { z z } \right) } \\ { \eta _ { x } { \beta } _ { x } + \eta _ { y } { \beta } _ { y } + \eta _ { z } { \beta } _ { z } } \end{array} \right\} \, \mathrm { , }
\begin{array} { r l } { | \partial _ { r } ^ { \alpha } \partial _ { \tilde { r } } ^ { \beta } \gamma _ { \Psi } ( r , \tilde { r } ) - \partial _ { r } ^ { \alpha } \partial _ { \tilde { r } } ^ { \beta } \gamma _ { N _ { - } , L } ( r , \tilde { r } ) | } & { { } = \biggr | \sum _ { i = 1 } ^ { N - N _ { - } } \partial ^ { \alpha } \widetilde { \phi _ { i } } ( r ) \partial ^ { \beta } \overline { { \widetilde { \phi } _ { i } } } ( \tilde { r } ) \biggr | = \biggr | \sum _ { i , j , k } c _ { i j } \overline { { c } } _ { i k } \partial ^ { \alpha } \phi _ { j } ^ { L } ( r ) \overline { { \partial ^ { \beta } \phi _ { k } ^ { L } } } ( \tilde { r } ) \biggr | } \end{array}
\mathbf { y } ^ { \prime } ( t ) = \mathcal { S } \{ \mathcal { P } \{ \left. \mathbf { F } ( \mathbf { x } ( t ) ) \right| _ { \mathbf { x } ( t ) \in \mathcal { U } ( \mathbf { y } ( t ) ) } \} \} , \quad \mathbf { y } ( t _ { 0 } ) = \mathbf { x } ( t _ { 0 } ) ,
\begin{array} { r l } { 5 | C | } & { \le { \boldsymbol { T } } _ { 0 } + { \boldsymbol { T } } _ { 1 } + { \boldsymbol { T } } _ { - 1 } } \\ & { = 6 ( 2 ^ { 3 } + \cdots + 2 ^ { k + 2 } ) - 3 ( 2 ^ { k - 1 } ) + 5 ( 2 k + 6 ) } \\ & { = 4 8 ( 2 ^ { k } - 1 ) - 3 ( 2 ^ { k - 1 } ) + 1 0 k + 3 0 } \\ & { = 9 3 ( 2 ^ { k - 1 } ) + 1 0 k - 1 8 , } \end{array}
\overline { { c _ { 1 2 } } } ( \mathbf { w } _ { 1 } ) = \int \mathrm { d } \mathbf { c } _ { 1 } \int \mathrm { d } { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 2 } \, c _ { 1 2 } \phi _ { \mathbf { c } | \mathbf { w } } ( \mathbf { c } _ { 1 } | \mathbf { w } _ { 1 } ) \phi ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } & { \widetilde { L } _ { i 1 } ^ { \sharp } = \widetilde { L } _ { i 1 } - \sigma \widetilde { L } _ { i 0 } L _ { 0 0 } ^ { - 1 } \widetilde { L } _ { 0 1 } \quad \mathrm { f o r } \quad i = 1 , 2 , \quad \widetilde { L } _ { 1 2 } ^ { \sharp } = \widetilde { L } _ { 1 2 } - \widetilde { L } _ { 1 0 } L _ { 0 0 } ^ { - 1 } \widetilde { L } _ { 0 2 } , } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \widetilde { L } _ { 2 2 } ^ { \flat } = \widetilde { L } _ { 2 2 } - \sigma \widetilde { L } _ { 2 0 } L _ { 0 0 } ^ { - 1 } \widetilde { L } _ { 0 2 } . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c c c c } { \frac { 1 } { E _ { 1 } } } & { - \frac { \nu _ { 1 2 } } { E _ { 1 } } } & { - \frac { \nu _ { 1 3 } } { E _ { 1 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { \nu _ { 1 2 } } { E _ { 1 } } } & { \frac { 1 } { E _ { 2 } } } & { - \frac { \nu _ { 2 3 } } { E _ { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { \nu _ { 1 3 } } { E _ { 1 } } } & { - \frac { \nu _ { 2 3 } } { E _ { 2 } } } & { \frac { 1 } { E _ { 3 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \mu _ { 2 3 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \mu _ { 1 3 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \mu _ { 1 2 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \| \widetilde { \boldsymbol { x } } _ { j } ^ { n } - \boldsymbol { x } _ { j } ^ { * } \| } & { { } \le \| \widetilde { \boldsymbol { x } } _ { j } ^ { n } - \boldsymbol { F } ^ { - 1 } ( \widetilde { \boldsymbol { g } } _ { j } ) \| + \| \boldsymbol { F } ^ { - 1 } ( \widetilde { \boldsymbol { g } } _ { j } ) - \boldsymbol { x } _ { j } ^ { * } \| } \end{array}
C _ { \Sigma } ^ { G a } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , \dotsc , u _ { N } ) = F _ { \textbf { Z } } ( F _ { Z _ { 1 } } ^ { - 1 } ( u _ { 1 } ) , F _ { Z _ { 2 } } ^ { - 1 } ( u _ { 2 } ) , \dotsc , F _ { Z _ { N } } ^ { - 1 } ( u _ { N } ) )
\underset { \beta _ { j } } { \operatorname* { m i n } } \sum _ { l = 1 } ^ { k ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \sum _ { j = 0 } ^ { m } \beta _ { j } x _ { i j } ^ { l } - y _ { i } ^ { l } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { \boldsymbol { \rho } , \boldsymbol { \alpha } , \boldsymbol { \beta } } \, \, \mathcal { I } ( { { { \tilde { X } } } } ; { { { \tilde { R } } } _ { 1 } } , { { { R } } _ { 2 } } ) } \\ { s . t . } & { \begin{array} { r r l l } & { \boldsymbol { \rho } \in [ 0 , 1 ] ^ { K } \backslash \{ \mathbf { 0 } , \mathbf { 1 } \} . } \end{array} } \end{array}
a _ { P } T _ { P } = a _ { E } \left[ { \frac { T _ { E } + { T _ { E } } ^ { 0 } } { 2 } } \right] + a _ { W } \left[ { \frac { T _ { W } + { T _ { W } } ^ { 0 } } { 2 } } \right] + \left[ { a _ { P } } ^ { 0 } - { \frac { a _ { E } } { 2 } } - { \frac { a _ { W } } { 2 } } \right] { T _ { P } } ^ { 0 } + b
\begin{array} { r l r } { { \rho _ { f } } } & { { } { = } } & { { \rho _ { \infty } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { u _ { f } } } & { { } { = } } & { { u _ { \infty } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { v _ { f } } } & { { } { = } } & { { v _ { \infty } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { w _ { f } } } & { { } { = } } & { { w _ { \infty } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { e _ { f } } } & { { } { = } } & { { e _ { \infty } \, \mathrm { ~ . ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { g } ( x ) = } & { { } \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { x } \mathbf { 1 } \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } ^ { T } D _ { x } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } \, . } \end{array}
\prod ( u ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ | ~ u ~ | ~ > ~ 1 ~ / ~ 2 ~ } } \\ { 1 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ | ~ u ~ | ~ < ~ 1 ~ / ~ 2 ~ } } \\ { \frac { 1 } { 2 } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ | ~ u ~ | ~ = ~ 1 ~ / ~ 2 ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { i _ { n , p _ { w } } = j _ { n , p _ { w } } e = i _ { w } ( k _ { w } , c _ { n , p _ { w } } , c _ { n } ^ { l } ) \left[ \mathrm { e x p } \left( - \frac { \alpha _ { w } e \eta _ { n , p _ { w } } ^ { \mathrm { e f f } } } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) - \mathrm { e x p } \left( \frac { ( 1 - \alpha _ { w } ) e \eta _ { n , p _ { w } } ^ { \mathrm { e f f } } } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| \Phi \left( \cdot , r _ { n } \right) - I _ { N } \Phi ^ { n } \right\| _ { \alpha / 2 } + \varepsilon ^ { 2 p } \left\| \partial _ { r } \Phi \left( \cdot , t _ { n } \right) - I _ { N } \mu ^ { n } \right\| } \\ & { \lesssim h ^ { m } + \frac { \lambda ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 2 p } } , \quad 0 \leq n \leq T / { \lambda } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \Vec { e ^ { \prime } } _ { x } } & { = \cos { \varphi } \, \Vec { e } _ { \theta } - \sin { \varphi } \, \Vec { e } _ { \varphi } } \\ { \Vec { e ^ { \prime } } _ { y } } & { = \sin { \varphi } \, \Vec { e } _ { \theta } + \cos { \varphi } \, \Vec { e } _ { \varphi } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \sin ( \phi _ { 1 } ) } & { = \frac { \omega _ { 1 } - \Omega } { \sigma \left( k _ { 1 } + 1 \right) r } \left( \frac { k _ { 1 } } { k _ { j } } \right) ^ { \alpha } ; } \\ { \cos ( \phi _ { j } ) } & { = \frac { \left( \omega _ { j } - \Omega \right) \sin ( \phi _ { 1 } ) \pm \sqrt { \left( 1 - \sin ^ { 2 } ( \phi _ { 1 } ) \right) \left( \sigma ^ { 2 } \left( \frac { k _ { 1 } } { k _ { j } } \right) ^ { 2 \alpha } - \left( \omega _ { j } - \Omega \right) ^ { 2 } \right) } } { \sigma \left( \frac { k _ { 1 } } { k _ { j } } \right) ^ { \alpha } } . } \end{array}
f ( r ) = 1 - \frac { \mu } { r ^ { 4 } } + r ^ { 2 } l ^ { - 2 } H _ { 1 } H _ { 2 } , \ \ \ H _ { i } = 1 + \frac { q _ { i } } { r ^ { 4 } } , \ \ i = 1 , 2 .
| | \bar { \mathbf { c } } | | _ { 2 } ^ { 2 } = | | \bar { \mathbf { V } } \mathbf { c } | | _ { 2 } ^ { 2 } = \mathbf { c } ^ { T } \bar { \mathbf { V } } ^ { T } \bar { \mathbf { V } } \mathbf { c } = \mathbf { c } ^ { T } \bar { \mathbf { V } } \mathbf { c } \leq | | \mathbf { c } | | _ { 2 } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \Big \langle \frac { R _ { k } \rho _ { k } } { p + p _ { * k } } \Big \rangle \theta = 1 , } \\ { \rho ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } ) = \Big ( \rho c _ { V } + \Big \langle \frac { R _ { k } \rho _ { k } p _ { * k } } { p + p _ { * k } } \Big \rangle \Big ) \theta . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { \lambda } _ { k } \left( r \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \pi \lambda _ { \mathrm { b } } r , } & { r \ge H _ { \mathrm { b } } , k = \mathrm { b } , } \\ { 2 \pi \lambda _ { \mathrm { u } } r p _ { k } \left( r \right) , } & { r \ge H _ { \mathrm { u } } , k \in \left\{ \mathrm { L } , \mathrm { N } \right\} , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 2 } = { } } & { { } ( \mathfrak { D } \lambda _ { e } \lambda _ { \mu } ) ^ { - 1 } \, , } \\ { \lambda _ { 1 } = { } } & { { } \frac { 1 } { \mathfrak { D } } \bigg ( \frac { A _ { 2 } } { \lambda _ { e } } + \frac { A _ { 1 } } { \lambda _ { \mu } } \bigg ) \, , } \\ { \zeta = { } } & { { } \frac { [ C _ { 1 } A _ { 2 } - C _ { 2 } ( A _ { n } + A _ { p } ) ] ^ { 2 } } { \mathfrak { D } ^ { 2 } \lambda _ { e } } + \frac { [ C _ { 2 } A _ { 1 } - C _ { 1 } ( A _ { n } + A _ { p } ) ] ^ { 2 } } { \mathfrak { D } ^ { 2 } \lambda _ { \mu } } \, , } \\ { \chi = { } } & { { } \frac { A _ { 2 } C _ { 1 } ^ { 2 } + A _ { 1 } C _ { 2 } ^ { 2 } - 2 ( A _ { n } + A _ { p } ) C _ { 1 } C _ { 2 } } { \mathfrak { D } ^ { 2 } \lambda _ { e } \lambda _ { \mu } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( \cdot ) , \beta , \lambda , \mu ; e , r ) } & { { } = \int \, \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( v ) \, F ( d v ; e , r ) - c ( e ) + \beta \left[ \bar { B } ( e , r ) - \int \, h ( \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( v ) ) \, F ( d v ; e , r ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \frac { \partial c _ { + } } { \partial t } + \nabla \cdot \boldsymbol { N } _ { + } } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ \Omega _ { \mathrm { ~ S ~ E ~ } } , } \\ { \frac { \partial q } { \partial t } + \nabla \cdot \left( z _ { + } F \boldsymbol { N } _ { + } - \epsilon _ { 0 } \chi \frac { \partial \nabla \Phi } { \partial t } \right) } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ \Omega _ { \mathrm { ~ S ~ E ~ } } , } \\ { - \nabla \cdot ( \epsilon \nabla \Phi ) } & { { } = q _ { \mathrm { F } } } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ \Omega _ { \mathrm { ~ S ~ E ~ } } , } \\ { \boldsymbol { N } _ { + } } & { { } = - D _ { + } \nabla c _ { + } - \frac { \sigma } { z _ { + } F } \nabla \Phi \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ \Omega _ { \mathrm { ~ S ~ E ~ } } . } \end{array}
T _ { \mathrm { n } } = \sum _ { A } \sum _ { \alpha = x , y , z } { \frac { P _ { A \alpha } P _ { A \alpha } } { 2 M _ { A } } } \quad { \mathrm { w i t h } } \quad P _ { A \alpha } = - i { \frac { \partial } { \partial R _ { A \alpha } } } .
\mathrm { ~ d ~ i ~ m ~ } _ { \mathrm { ~ E ~ } } ( \mathbb { E } \left[ \mathcal { F } \right] , \epsilon _ { R } ) = \mathcal { O } \left( ( n + m ) \log \left[ \frac { \| \vec { \omega } \| _ { 2 } \| \{ \vec { x } , \vec { u } \} \| _ { \operatorname* { m a x } } } { \epsilon _ { R } } \right] \right)
\begin{array} { r } { i \frac { \partial \psi _ { n } } { \partial t } = \mathcal { H } _ { 1 } \psi _ { n } + \sum _ { i = 1 , 2 } \left( \mathcal { J } _ { i } \, \psi _ { n - r _ { i } } + \mathcal { J } _ { i } ^ { \dagger } \, \psi _ { n + r _ { i } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } ( j , k ) = } & { { } \displaystyle \sum _ { l = 0 } ^ { j - 2 k } \exp [ \hat { \nu } ( l - j ) \Delta t ] \hat { A _ { 1 } } ( k + l ) \hat { A _ { 1 } ^ { * } } ( l ) } \\ { S _ { 2 } ( j , k ) = } & { { } \displaystyle \sum _ { l = 0 } ^ { j - 2 k } \exp [ \hat { \nu } ( l - j ) \Delta t ] \hat { A _ { 2 } } ( k + l ) \hat { A _ { 2 } ^ { * } } ( l ) } \\ { S _ { 3 } ( j , k ) = } & { { } \displaystyle \sum _ { l = 0 } ^ { j - 2 k } \exp [ ( \hat { \nu } + i p _ { 1 } ) ( l - j ) \Delta t ] \hat { A _ { 1 } } ( k + l ) \hat { A _ { 2 } ^ { * } } ( l ) } \\ { S _ { 4 } ( j , k ) = } & { { } \displaystyle \sum _ { l = 0 } ^ { j - 2 k } ( j - 2 k - l ) \exp [ ( \hat { \nu } + i p _ { 1 } ) ( l - j ) \Delta t ] \hat { A _ { 1 } } ( k + l ) \hat { A _ { 2 } ^ { * } } ( l ) } \end{array}
J ^ { 0 } = - \frac { 1 } { 2 } i \left[ \psi ^ { * } ( \partial _ { \tau } \psi - i \varphi \psi ) - ( \partial _ { \tau } \psi ^ { * } + i \varphi \psi ^ { * } ) \psi \right] \ , \ \vec { J } = \frac { 1 } { 2 } i \left[ \psi ^ { * } ( \vec { \partial } \psi + i \vec { a } \psi ) - ( \vec { \partial } \psi ^ { * } - i \vec { a } \psi ^ { * } ) \psi \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \mathcal { G } _ { 1 } ^ { ( \alpha ) } + \dots + \mathcal { G } _ { k } ^ { ( \alpha ) } \geq ( 1 + \varepsilon ) k \frac { \alpha } { 1 - \alpha } \right) } & { \leq \exp \left( - \frac { 1 } { 4 } \varepsilon ^ { 2 } k \frac { \alpha } { 1 - \alpha } \right) , } \\ { \mathbb { P } \left( \mathcal { G } _ { 1 } ^ { ( \alpha ) } + \dots + \mathcal { G } _ { k } ^ { ( \alpha ) } \leq ( 1 - \varepsilon ) k \frac { \alpha } { 1 - \alpha } \right) } & { \leq \exp \left( - \frac { 1 } { 4 } \varepsilon ^ { 2 } k \frac { \alpha } { 1 - \alpha } \right) . } \end{array}
x = \frac { \nu ^ { 3 } } { \lambda ^ { 2 } D } y , \ \ \ t = \frac { \nu ^ { 5 } } { \lambda ^ { 4 } D ^ { 2 } } s , \ \ \ \phi = \frac { \nu ^ { 5 } } { \lambda ^ { 4 } D ^ { 2 } } \varphi ,
{ \frac { 1 } { 1 } } + { \frac { 1 } { n } } + { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { n ^ { 3 } } } + { \frac { 1 } { n ^ { 4 } } } + { \frac { 1 } { n ^ { 5 } } } + \cdots = { \frac { n } { n - 1 } } .
\begin{array} { r l } { R _ { w \omega _ { y } } ^ { + } ( \Delta z ) } & { { } = \frac { R _ { w \omega _ { y } } ( \Delta z ) } { u _ { \tau } ^ { 2 } / \delta _ { \nu } } = \frac { 1 } { u _ { \tau } ^ { 2 } / \delta _ { \nu } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \phi _ { w \omega _ { y } } ( k _ { z } ) e ^ { i k _ { z } \Delta z } d k _ { z } } \\ { R _ { v \omega _ { z } } ^ { + } ( \Delta z ) } & { { } = \frac { R _ { v \omega _ { z } } ( \Delta z ) } { u _ { \tau } ^ { 2 } / \delta _ { \nu } } = \frac { 1 } { u _ { \tau } ^ { 2 } / \delta _ { \nu } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \phi _ { v \omega _ { z } } ( k _ { z } ) e ^ { i k _ { z } \Delta z } d k _ { z } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \frac { i } { 2 } \Big \langle - \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) + \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime } , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime } ) + \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 2 } , \dot { A } _ { 2 } ) - 2 i \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \tilde { \dot { g } } , \tilde { \dot { A } } ) , \ ( \dot { g } _ { 1 } ^ { * } , \dot { A } _ { 1 } ^ { * } ) \Big \rangle } \\ & { = \frac { i } { 2 } \Big \langle - \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) + \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 2 } , \dot { A } _ { 2 } ) + 2 i \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \bar { \dot { g } } , \bar { \dot { A } } ) , \ ( \dot { g } _ { 1 } ^ { * } , \dot { A } _ { 1 } ^ { * } ) \Big \rangle } \\ & { \quad + \frac { i } { 2 } \Big \langle \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime } , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime } ) - 2 i \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \check { g } _ { 1 } ^ { \prime } , \check { A } _ { 1 } ^ { \prime } ) , \ ( \dot { g } _ { 1 } ^ { * } , \dot { A } _ { 1 } ^ { * } ) \Big \rangle + i \langle ( \dot { g } ^ { \prime \prime \prime } , \dot { A } ^ { \prime \prime \prime } ) , \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ^ { * } ( \check { g } _ { 1 } ^ { * } , \check { A } _ { 1 } ^ { * } ) \rangle } \end{array}
\mathcal { T } _ { C _ { l } } = \prod _ { i = m _ { l - 1 } } ^ { m _ { l } - 1 } \mathcal { T } _ { a _ { i } \leftrightarrow a _ { i + 1 } } = \mathcal { T } _ { a _ { m _ { l } - 1 } \leftrightarrow a _ { m _ { l } } } \cdots \mathcal { T } _ { a _ { m _ { l - 1 } + 1 } \leftrightarrow a _ { m _ { l - 1 } + 2 } } \mathcal { T } _ { a _ { m _ { l - 1 } } \leftrightarrow a _ { m _ { l - 1 } + 1 } } ,
w ^ { \prime \prime } ( x ) = \left( - \frac { \lambda ^ { 2 } } { ( 1 - x ^ { 3 } ) ^ { 2 } } + \frac { l ( l + 6 ) } { 4 x ^ { 2 } ( 1 - x ^ { 3 } ) } + \frac { 5 - 4 6 x ^ { 3 } + 5 x ^ { 6 } } { 1 6 x ^ { 2 } ( 1 - x ^ { 3 } ) ^ { 2 } } \right) w ( x ) \,
\begin{array} { r l } { \xi _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) = } & { { } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \eta ( z , z ^ { \prime } ) \mathcal { E } ( \boldsymbol { \rho } \! + \! \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } ) \chi ( \boldsymbol { \rho } \! - \! \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A } & { \equiv } & { \left( \frac { M _ { s } c R } { Z _ { s } e } \right) ^ { 2 } V _ { \varphi } ^ { 2 } + 2 \frac { M _ { s } c R } { Z _ { s } e } \psi V _ { \varphi } + \psi ^ { 2 } , } \\ { B } & { \equiv } & { \left( \frac { M _ { s } c R } { Z _ { s } e } \right) ^ { 2 } 2 V _ { \varphi } + 2 \frac { M _ { s } c R } { Z _ { s } e } \psi , } \\ { C } & { \equiv } & { \left( \frac { M _ { s } c R } { Z _ { s } e } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
p _ { b \perp } \sim - \varepsilon ^ { b } \sim \frac { D a p _ { b } } { ( D - 1 ) ( a - r ) } \sim \frac { D \Gamma ( ( D + 1 ) / 2 ) ( \xi - \xi _ { D } ) } { 2 ^ { D } \pi ^ { ( D + 1 ) / 2 } ( a - r ) ^ { D + 1 } } \left( 1 - 2 \delta _ { B 0 } \right) .
h \left( { \frac { x } { w } } \right) = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { 2 } } } & { \left| { \frac { x } { w } } \right| < 1 , } \\ { 0 } & { \left| { \frac { x } { w } } \right| > 1 . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { T } \left\{ \mathbb { E } _ { X | T } \left[ R \left( T , a ^ { * } \left( \pi _ { X } \right) \right) \right] \right\} } & { = k \mathbb { E } _ { T } \left\{ \mathbb { E } _ { X | T } \left[ \mathbb { E } _ { D | T } \left[ \left( D - a ^ { * } \left( \pi _ { X } \right) \right) ^ { 2 } \right] \right] \right\} } \\ & { = k \mathbb { E } _ { T } \left\{ \mathbb { E } _ { X | T } \left[ \mathbb { E } _ { D | T } \left[ \left( D - \mathbb { E } _ { D | X } \left[ D \right] \right) ^ { 2 } \right] \right] \right\} } \\ & { = k \mathbb { E } _ { X } \left\{ \mathbb { E } _ { D | X } \left[ \left( D - \mathbb { E } _ { D | X } \left[ D \right] \right) ^ { 2 } \right] \right\} } \\ & { = k \mathbb { E } _ { X } \left[ \textrm { V a r } _ { D | X } \left[ D \right] \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { d } _ { p p ^ { \prime } } = \mathbf { d } _ { p g } - \left( \frac { \mathbf { n } _ { g } } { | \mathbf { n } _ { g } | } \cdot \mathbf { d } _ { p g } \right) \frac { \mathbf { n } _ { g } } { | \mathbf { n } _ { g } | } , \quad \mathbf { d } _ { q q ^ { \prime } } = \mathbf { d } _ { q g } - \left( \frac { \mathbf { n } _ { g } } { | \mathbf { n } _ { g } | } \cdot \mathbf { d } _ { q g } \right) \frac { \mathbf { n } _ { g } } { | \mathbf { n } _ { g } | } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { b ( 4 n ) } & { = ( 4 n + 1 ) \prod _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { ( 4 k - 1 ) ^ { 2 } } { ( 4 k - 3 ) ( 4 k + 1 ) } } { \frac { \pi } { \varpi ^ { 2 } } } } \\ { b ( 4 n + 1 ) } & { = ( 2 n + 1 ) \prod _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { ( 2 k ) ^ { 2 } } { ( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 ) } } { \frac { 4 } { \pi } } } \\ { b ( 4 n + 2 ) } & { = ( 4 n + 1 ) \prod _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { ( 4 k - 3 ) ( 4 k + 1 ) } { ( 4 k - 1 ) ^ { 2 } } } { \frac { \varpi ^ { 2 } } { \pi } } } \\ { b ( 4 n + 3 ) } & { = ( 2 n + 1 ) \prod _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { ( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 ) } { ( 2 k ) ^ { 2 } } } \, \pi . } \end{array} }