harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \bigg \langle \frac { 4 } { n } \sum _ { j \neq j ^ { \prime } } \Psi _ { j } ( \eta ) \overline { { \xi } } _ { j ^ { \prime } } h _ { j , j ^ { \prime } } , f ( \eta ) \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \nu _ { n } ) } } \\ & { \quad = \frac { 2 } { n } E _ { \nu _ { n } } \bigg [ \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \Psi _ { j } ( \eta ) \nabla _ { j , j + 1 } f ( \eta ) \sum _ { j ^ { \prime } \in \mathbb { Z } } \overline { { \xi } } _ { j ^ { \prime } } h _ { j , j ^ { \prime } } \bigg ] } \\ & { \quad \le \frac { A } { n } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } E _ { \nu _ { n } } [ ( \nabla _ { j , j + 1 } f ( \eta ) ) ^ { 2 } ] + \frac { 1 } { A n } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } E _ { \nu _ { n } } \bigg [ \Psi _ { j } ( \eta ) ^ { 2 } \bigg ( \sum _ { j ^ { \prime } \in \mathbb { Z } } \overline { { \xi } } _ { j ^ { \prime } } h _ { j , j ^ { \prime } } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] , } \end{array}
\frac { \mathrm { B R } ^ { \mathrm { H S } } ( B _ { c } ^ { + } \to \psi ( 2 S ) \pi ^ { + } ) } { \mathrm { B R } ^ { \mathrm { H S } } ( B _ { c } ^ { + } \to \psi \pi ^ { + } ) } = \frac { \mathrm { B R } ^ { \mathrm { H S } } ( B _ { c } ^ { + } \to \eta _ { c } ( 2 S ) \pi ^ { + } ) } { \mathrm { B R } ^ { \mathrm { H S } } ( B _ { c } ^ { + } \to \eta _ { c } \pi ^ { + } ) } \approx 0 . 3 6 .
\begin{array} { r l } { \Psi _ { \mathbb { P } } ^ { C , \sharp } ( X ) } & { = \mathbb { E } _ { \mathbb { P } } [ Y ( 1 ) \mid X ] - \mathbb { E } _ { \mathbb { P } } [ Y ( 0 ) \mid X ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \mathbb { P } } [ Y ( 1 ) \mid A = 1 , X ] - \mathbb { E } _ { \mathbb { P } } [ Y ( 0 ) \mid A = 0 , X ] \mathrm { ~ ( a s s u m p t i o n s ~ a n d ~ ) } } \\ & { = \mathbb { E } _ { P } [ Y \mid A = 1 , X ] - \mathbb { E } _ { P } [ Y \mid A = 0 , X ] \mathrm { ~ ( a s s u m p t i o n ~ ) } } \\ & { = \Psi _ { P } ^ { \sharp } ( X ) . } \end{array}
C N _ { i } ^ { \alpha } = \frac { M _ { 2 , 1 } ^ { \alpha } } { ( t _ { n n } ^ { \alpha , \infty } ) ^ { 2 } } = \frac { \sum _ { j } ^ { r _ { i j } < r _ { c } } ( t _ { i j } ^ { \alpha } ) ^ { 2 } } { ( t _ { n n } ^ { \alpha , \infty } ) ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l } { | \mathrm { ~ v ~ a ~ c ~ } \rangle } & { { } \mapsto | { 0 } \rangle ^ { \otimes 2 M } , } \\ { { c } _ { p } ^ { \dagger } } & { { } \mapsto \sigma _ { p } ^ { + } \: \prod _ { n } { Z } _ { n } , } \\ { { c } _ { \bar { p } } ^ { \dagger } } & { { } \mapsto \sigma _ { \bar { p } } ^ { + } \: \prod _ { n } { Z } _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r } { m ^ { n + 1 } = \underline { { K } } ( \Omega ^ { n + 1 } , \underline { { \Omega } } ) \underline { { K } } ( \underline { { \Omega } } , \underline { { \Omega } } ) ^ { - 1 } \underline { { \phi } } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \alpha \leq \rho \leq \beta , } \\ { \rho \in C ( [ 0 , T ] ; H ^ { 1 } ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { 2 } ) , \quad \rho _ { t } \in L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ) , } \\ { \left\{ \begin{array} { l l } { u \in L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { \omega } ^ { 1 } ) , \quad \, \, \mathrm { c a s e ~ } , } \\ { u \in L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { n d } ^ { 1 } ) , \quad \mathrm { c a s e ~ } , } \end{array} \right. } \end{array} \right.
G \simeq G ( \psi , w _ { f } = 0 , \mu ) + \int _ { w _ { \mathrm { ~ t ~ p ~ b ~ } } } ^ { w _ { f } } \mathrm { d } w _ { f } ^ { \prime } \frac { w _ { f } ^ { \prime } } { \langle w ^ { \prime } \rangle _ { \psi } } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { j } \| x _ { i + 1 } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \left( 1 - \frac { \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 } ( A ) } { \| A \| _ { F } ^ { 2 } } \right) \| x _ { i } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \| A \| _ { F } ^ { 2 } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { k } q _ { \ell } \| e _ { \ell } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { c \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \widetilde { \Theta } _ { k } - \Theta _ { 0 k } | | _ { F } ^ { 2 } + \lambda \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { - } | | _ { 1 } + \rho \sum _ { k < k ^ { \prime } } | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { - } - \widetilde { \Theta } _ { k ^ { \prime } } ^ { - } | | _ { 1 } } \\ { \leq } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\{ \lambda _ { 0 } | | \Delta _ { k } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \widehat { \Sigma } _ { k } ^ { + } - \Sigma _ { 0 k } ^ { + } | | _ { F } | | \Delta _ { k } ^ { + } | | _ { F } \right\} + \lambda \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \Theta _ { 0 k } ^ { - } | | _ { 1 } + \rho \sum _ { k < k ^ { \prime } } | | \Theta _ { 0 k } ^ { - } - \Theta _ { 0 k ^ { \prime } } ^ { - } | | _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \nu _ { 1 , 0 } } ^ { \omega } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \frac { 1 } { N ^ { n } } \sum _ { x \in V } \eta _ { t } ^ { N } ( x ) H ( \frac x N ) > A \Big ) \leq 2 P _ { \nu _ { 0 , \log 2 } } ^ { \omega } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \frac { 1 } { N ^ { n } } \sum _ { x \in V } \eta _ { t } ^ { N } ( x ) H ( \frac x N ) > A / 2 \Big ) \, . } \end{array}
\frac { - i ( g _ { \mu \nu } - v _ { \mu } v _ { \nu } ) } { 2 ( v \cdot p - \frac { 1 } { 4 } \Delta ) } \frac { i } { 2 ( v \cdot p - \frac { 1 } { 4 } \Delta ) } \frac { 6 g ^ { 2 } } { f _ { \pi } ^ { 2 } } X _ { 1 } ,
r \left( \frac { \alpha + \hat { S } _ { t } } { \alpha + \beta + \hat { S } _ { t } + \hat { F } _ { t } } \right) - c \left( 1 - \frac { \alpha + \hat { S } _ { t } } { \alpha + \beta + \hat { S } _ { t } + \hat { F } _ { t } } \right) \geq 0 .
\begin{array} { r l } { \Big \| D ^ { \alpha _ { 1 } } \nabla _ { \mathcal T _ { \theta } } \ell ( \mathcal T _ { \theta } \circ \mathcal A , g ) \cdot } & { D ^ { \alpha _ { 2 } } \frac { \partial ( \mathcal T _ { \theta } \circ \mathcal A ) } { \partial \theta _ { i } } \Big \| _ { L ^ { 1 } } \leq \big \| D ^ { \alpha _ { 1 } } \nabla _ { \mathcal T _ { \theta } } \ell ( \mathcal T _ { \theta } \circ \mathcal A , g ) \big \| _ { L ^ { 1 } } \Big \| D ^ { \alpha _ { 2 } } \frac { \partial ( \mathcal T _ { \theta } \circ \mathcal A ) } { \partial \theta _ { i } } \Big \| _ { L ^ { \infty } } . } \end{array}
\mathrm { d } V = \left| { \frac { \partial ( x , y , z ) } { \partial ( r , \theta , \varphi ) } } \right| = r ^ { 2 } \sin \theta \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } \theta \, \mathrm { d } \varphi = r ^ { 2 } \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } \Omega ~ .
\begin{array} { r l } { L _ { t } f ( x ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { A } \frac { D G _ { i } ( Z ( t ) ) \cdot x } { 1 + t } \cdot 2 x _ { i } + \sum _ { i = 1 } ^ { A } \frac { p _ { i } ( Z ( t ) ) ( 1 - p _ { i } ( Z ( t ) ) ) } { ( 1 + t ) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 2 } { 1 + t } \langle D G ( Z ( t ) ) x , x \rangle + \frac { b ( t ) } { ( 1 + t ) ^ { 2 } } } \end{array}
\sigma ( s ) = \frac 1 { \beta _ { 0 } } \theta ( \Lambda ^ { 2 } + s ) \theta ( - s ) + \frac 1 { \pi \beta _ { 0 } } \theta ( s ) \operatorname { a r c c o s } \left( \frac { \ln ( s / \Lambda ^ { 2 } ) } { \sqrt { \pi ^ { 2 } + \ln ^ { 2 } ( s / \Lambda ^ { 2 } } ) } \right) .
\phi ( \boldsymbol x ) = \mathrm { ~ A ~ r ~ g ~ } \sum _ { \boldsymbol { \alpha } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \tilde { \psi } ^ { \alpha _ { i - 1 } , \alpha _ { i } } ( x _ { i } | \boldsymbol x _ { < i } ) = \mathrm { ~ A ~ r ~ g ~ } \ \tilde { \psi } _ { L } ^ { \alpha _ { n } } ( \boldsymbol x _ { \le n } ) ,
\sqrt { \xi _ { 1 } \operatorname { t a n h } ( \xi _ { 1 } \zeta ) } + \sqrt { \xi _ { 2 } \operatorname { t a n h } ( \xi _ { 2 } \zeta ) } - \sqrt { \operatorname { t a n h } ( \zeta ) } \sim \sqrt { \zeta } \bigg [ \Big ( \xi _ { 1 } + \xi _ { 2 } - 1 \Big ) - \frac { \zeta ^ { 2 } } { 6 } \Big ( \xi _ { 1 } ^ { 3 } + \xi _ { 2 } ^ { 3 } - 1 \Big ) + O ( \zeta ^ { 4 } ) \bigg ]
\Phi ( \mathbf { x } , t ) = \Phi ( x _ { 1 } , t ) \Phi ( x _ { 2 } , t ) \dots \Phi ( x _ { n } , t ) = { \frac { 1 } { \sqrt { ( 4 \pi k t ) ^ { n } } } } \exp \left( - { \frac { \mathbf { x } \cdot \mathbf { x } } { 4 k t } } \right) .
\ddot { \phi } + 3 H \dot { \phi } + { \frac { \dot { \phi } ^ { 2 } } { \phi } } = { \frac { 1 } { ( 1 + 6 \epsilon ) \phi } } [ 4 V - \phi V ^ { \prime } ] - { \frac { 1 } { ( 1 + 6 \epsilon ) H \phi } } [ \dot { K } + 4 H K ] .
[ { L } _ { u ^ { \alpha ( i , j ) } } ] \Delta _ { \nu } u ^ { \alpha } ( x ) ^ { ( i , j ) } + \Sigma _ { \mu = 1 , 2 } \{ \Delta _ { \mu } E _ { \mu } ^ { - 1 } { { T } _ { D } } _ { \nu } ^ { \mu ( i , j ) } + \frac { \partial { { L } _ { D } } ^ { ( i , j ) } } { \partial x ^ { \nu ( i , j ) } } \} = 0 .
Z ( J , B ) = \int D a ~ d e t ( \frac { \delta G ^ { a } } { \delta \omega ^ { b } } ) \exp \int d ^ { 4 } x [ L _ { 0 } + L ( a ) - \frac { 1 } { 2 \xi } ( G ^ { a } ) ^ { 2 } + J _ { \mu } ^ { a } a _ { \mu } ^ { a } ] .
\psi _ { \mathrm { { b o x } } } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | x | > \gamma / 2 , } \\ { A / 2 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | x | = \gamma / 2 , } \\ { A } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | x | < \gamma / 2 , } \end{array} \right.
{ \cal K } ( \vec { q } _ { 1 } , \vec { q } _ { 2 } ) = 2 \omega ( - { \vec { q } } _ { 1 } ^ { ~ 2 } ) \delta ( \vec { q } _ { 1 } - \vec { q } _ { 2 } ) + { \cal K } _ { r e a l } ( \vec { q } _ { 1 } , \vec { q } _ { 2 } ) ~ .
\begin{array} { r l } { \| u _ { - 1 } \| _ { H ^ { s + 1 } } } & { \leq \| L \phi u _ { 0 } \| _ { H ^ { s + 1 } } + \| L \eta _ { - } u _ { 1 } \| _ { H ^ { s + 1 } } + \| L \left( ( X + \pi ^ { * } \phi ) u \right) _ { 0 } \| _ { H ^ { s + 1 } } } \\ & { \leq C \left( \| u _ { 0 } \| _ { H ^ { s + 1 } } + \| u _ { 1 } \| _ { H ^ { s + 1 } } + \| ( X + \pi ^ { * } \phi ) u \| _ { H ^ { s } } \right) , } \end{array}
M O = \sum _ { p = 1 } ^ { | N | } \bigg [ \frac { | E _ { i n } ^ { p } | } { | E _ { I } | } - \bigg ( \frac { \sum _ { v \in V _ { p } } d e g ( v ) } { 2 | E _ { I } | } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ]
\begin{array} { r } { R _ { l j k } ( i _ { n } ) : = \left\{ \omega \in \mathcal { G } _ { n } : | \mathrm { i } \omega \cdot l - ( d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , k ) ) | < 2 \gamma _ { n } \langle l \rangle ^ { - \tau } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathbf g _ { T _ { 0 } + \tau } , \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } \rangle } & { = \langle \mathbf g _ { T _ { 0 } + \tau } , \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } ^ { \prime } \rangle + \langle \mathbf g _ { T _ { 0 } + \tau } , \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } - \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } ^ { \prime } \rangle } \\ & { \le \langle \mathbf g _ { T _ { 0 } + \tau } , \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } ^ { \prime } \rangle + \lVert \mathbf g _ { T _ { 0 } + \tau } \rVert _ { \infty } \cdot \lVert \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } - \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } ^ { \prime } \rVert _ { 1 } } \\ & { \le \langle \mathbf g _ { T _ { 0 } + \tau } , \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } ^ { \prime } \rangle + m ^ { \frac \delta 3 } M \lVert \mathbf Q _ { T _ { 0 } } \rVert _ { \infty } \cdot \lVert \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } - \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } ^ { \prime } \rVert _ { 1 } } \\ & { \le \langle \mathbf g _ { T _ { 0 } + \tau } , \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } ^ { \prime } \rangle + m ^ { \frac \delta 3 } M \cdot 2 M m \cdot \lVert \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } - \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } ^ { \prime } \rVert _ { 1 } } \\ & { \le \langle \mathbf g _ { T _ { 0 } + \tau } , \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } ^ { \prime } \rangle + 2 M ^ { 2 } m ^ { 1 + \frac \delta 3 } \cdot 2 K \beta _ { \tau } } \\ & { = \langle \mathbf g _ { T _ { 0 } + \tau } , \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } ^ { \prime } \rangle + 4 M ^ { 2 } m ^ { \frac \delta 3 - 2 } } \\ & { \le \langle \mathbf g _ { T _ { 0 } + \tau } , \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } ^ { \prime } \rangle + 4 M ^ { 2 } m ^ { - 1 } . } \end{array}
\mathcal { G } \sim \left( \begin{array} { l l l } { \mathcal { G } _ { 1 , 1 } } & { \mathcal { G } _ { 1 , j + 1 } } & { \mathcal { G } _ { 1 , 4 } } \\ { \mathbb { O } } & { \mathcal { G } _ { i , j + 1 } ^ { ( 2 ) } } & { \mathbb { O } } \\ { 0 } & { \mathcal { G } _ { 4 , j + 1 } ^ { ( 2 ) } } & { \nu _ { 4 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { s _ { h } ^ { a } ( v , w ) = \frac { \gamma _ { 0 } ^ { b } b _ { \infty } } { h } ( [ v ] , [ w ] ) _ { \mathcal { F } _ { h } } + \gamma _ { 1 } ^ { b } h b _ { \infty } ( [ n _ { F } \cdot \nabla v ] , [ n _ { F } \cdot \nabla w ] ) _ { \mathcal { F } _ { h } } + \gamma _ { n } ^ { b } b _ { \infty } ( n _ { \Gamma _ { h } } \cdot \nabla v , n _ { \Gamma _ { h } } \cdot \nabla w ) _ { \mathcal { T } _ { h } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N \tilde { l } ^ { \alpha { ' } } ( \theta _ { 1 } ) + 2 \gamma N \tilde { l } ^ { \alpha { ' } } ( \theta _ { 1 } \gamma - \theta _ { 2 } \gamma ) } & { + N \gamma \tilde { l } ^ { \alpha { ' } } ( \theta _ { 1 } \gamma + 5 \theta _ { 2 } \gamma ) } \\ & { = \tilde { l } ^ { \alpha { ' } } ( - \theta _ { 1 } ) + 2 \gamma \tilde { l } ^ { \alpha { ' } } ( - \theta _ { 1 } \gamma + \theta _ { 2 } \gamma ) + \gamma \tilde { l } ^ { \alpha { ' } } ( - \theta _ { 1 } \gamma - 5 \theta _ { 2 } \gamma ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } _ { 1 } ^ { 2 } ( t _ { 0 } ) = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } \sum _ { j = \operatorname* { m i n } ( 1 , i ) } ^ { i } \sum _ { k = k _ { i j } } ^ { k _ { 0 } } \sum _ { \iota \in \mathcal { Q } _ { k , i , j } } \sum _ { ( \boldsymbol { x } ^ { 1 } , \boldsymbol { x } ^ { 2 } ) \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k - i } } \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } = k } \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k _ { 1 } } } \sum _ { \tilde { \alpha } \in \mathbb { N } _ { 0 } } \left( \frac { i \lambda } { \hbar } \right) ^ { | \alpha | + \tilde { \alpha } } } \\ & { \times \int _ { [ 0 , t _ { 0 } ] _ { \leq } ^ { | \alpha | + \tilde { \alpha } } } \prod _ { m = 1 } ^ { k _ { 1 } } \prod _ { i = \beta _ { m - 1 } + 1 } ^ { \beta _ { m } } V _ { \hbar , x _ { \iota ( m ) } } ^ { t _ { i + \tilde { \alpha } } } \prod _ { i = 1 } ^ { \tilde { \alpha } } V _ { \hbar , x _ { \iota ( k _ { 2 } ) } ^ { 2 } } ^ { t _ { i } } \, d \boldsymbol { t } _ { | \alpha | + \tilde { \alpha } , 1 } U _ { \hbar , 0 } ( - t _ { 0 } ) \mathcal { T } ( \iota , k _ { 2 } , \boldsymbol { x } ^ { 2 } , t _ { 0 } ; \hbar ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { \delta u } [ \| \hat { u } _ { M } ^ { B } ( \boldsymbol { x } , t ) - u _ { e } ( \boldsymbol { x } , t ) \| _ { L ^ { 2 } } ] \ge } & { \mathbb { E } _ { \delta u } [ \| \hat { u } _ { M } ^ { B } ( \boldsymbol { x } , t ) - u _ { M } ^ { B } ( \boldsymbol { x } , t ) \| _ { L ^ { 2 } } ] - \| u _ { M } ^ { B } ( \boldsymbol { x } , t ) - u _ { e } ( \boldsymbol { x } , t ) \| _ { L _ { 2 } } } & { \quad { \scriptstyle ( \mathrm { T r i a n g l e ~ i n e q u a l i t y } ) } } \\ { \ge } & { \alpha \mu \sqrt { N _ { t } } \beta ( N _ { t } ) - \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { t } } \epsilon ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } & { \quad { \scriptstyle ( \mathrm { L e m m a ~ ~ a n d ~ L e m m a ~ } ) } } \\ { = } & { \alpha \mu \sqrt { N _ { t } } \beta ( N _ { t } ) - \epsilon \sqrt { N _ { t } } . } & \end{array}
\sum _ { j = 1 } ^ { p - 1 } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { 3 } ^ { 2 } } \dots \frac { \partial ^ { p - 2 } } { \partial x _ { p - 1 } ^ { p - 2 } } f \biggr | _ { x _ { 1 } = x _ { 2 } = \dots = x _ { p - 1 } } = 0 .
\begin{array} { r l } { \Big ( \mathfrak { m } _ { p } ( \mathbb { R } ^ { N } ) \Big ) ^ { \frac { 1 } { p } } \le \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \frac { \| \nabla u _ { n } \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { N } ) } } { [ u _ { n } ] _ { C ^ { 0 , \alpha _ { p } } ( \mathbb { R } ^ { N } ) } } } & { \le \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \frac { ( N \, \omega _ { N } ) ^ { \frac { 1 } { p } } \, \left( \frac { p - N } { p - 1 } \right) ^ { \frac { p - 1 } { p } } } { [ u _ { n } ] _ { C ^ { 0 , \alpha _ { p } } ( \overline { { B _ { 1 } } } ) } } \le ( N \, \omega _ { N } ) ^ { \frac { 1 } { p } } \, \left( \frac { p - N } { p - 1 } \right) ^ { \frac { p - 1 } { p } } . } \end{array}
H _ { 1 } \ = \ - 2 \omega \Dot { A } - \frac { \omega ^ { 2 } F } { 2 } B + \frac { \omega ^ { 2 } } { 8 } ( B ^ { 3 } + A ^ { 2 } B ) + \frac { \omega ^ { 2 } F } { 1 2 } B ^ { 3 }
\begin{array} { r } { T ^ { k , \alpha } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { - \frac { k \cos ( k s _ { N } ) } { \sin ( k s _ { N } ) } } & & & & & { \frac { k } { \sin ( k s _ { N } ) } e ^ { - \i \alpha L } } \\ & { A ^ { k } ( s _ { 1 } ) } & & & & \\ & & { A ^ { k } ( s _ { 2 } ) } & & & \\ & & & { \ddots } & & \\ & & & & { A ^ { k } ( s _ { ( N - 1 ) } ) } & \\ { \frac { k } { \sin ( k s _ { N } ) } e ^ { \i \alpha L } } & & & & & { - \frac { k \cos ( k s _ { N } ) } { \sin ( k s _ { N } ) } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { S ( x ) = \left( \ w \alpha e ^ { - \alpha x } + \frac { ( 1 - w ) } { g _ { N } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } e ^ { - \frac { ( x - Q ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \ \right) H ( x ) . } \end{array}
\Xi ( - \lambda _ { y } ) ^ { - q } \sum _ { \Phi ^ { \prime } \in \mathcal { P } _ { q } } f ( \mathcal { M } , q , \Phi \cdot \Phi ^ { \prime } ) = \sum _ { \Phi ^ { \prime } \in \mathcal { P } _ { q } } \left( g ( \mathcal { M } ) c _ { \mathcal { M } , \Phi \cdot \Phi ^ { \prime } } + ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) \sum _ { m \in \bar { \mathcal { M } } } ( - \lambda _ { y } ) ^ { m } \sum _ { \Phi ^ { \prime \prime } \in \mathcal { P } _ { m } } f ( \mathcal { M } , m , \Phi \cdot \Phi ^ { \prime } \cdot \Phi ^ { \prime \prime } ) \right) ,
n = \frac { 3 - \sqrt { 3 \Omega _ { 0 } } } { 3 ( 1 - \sqrt { 3 \Omega _ { 0 } } ) } \; , \; \; \; \; m = \frac { - 2 } { 1 - \sqrt { 3 \Omega _ { 0 } } } \; .
\begin{array} { r l r } { \dot { y } _ { 2 } } & { = } & { \frac { 2 } { 3 } \, t \, y _ { 2 } - \frac { 4 } { 3 } \, t \, p _ { 2 } + 2 \, u - v } \\ { \dot { p } _ { 2 } } & { = } & { \frac { 4 } { 3 } \, t \, y _ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } \, t \, p _ { 2 } + 2 \, u - w } \\ { \dot { u } } & { = } & { \frac { 4 } { 3 } \, t \, v - \frac { 4 } { 3 } \, t \, w } \\ { \dot { v } } & { = } & { - \frac { 8 } { 3 } \, t \, u + \frac { 4 } { 3 } \, t \, v } \\ { \dot { w } } & { = } & { \frac { 8 } { 3 } \, t \, u - \frac { 4 } { 3 } \, t \, w \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { P } } _ { \mathrm { f \rightarrow v } } ( \mathbf { X } ) _ { i , j , k } = ~ } & { \frac { 1 } { 4 } \left( ( \mathbf { X } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } , k + \frac { 1 } { 2 } } + \mathbf { X } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } , k + \frac { 1 } { 2 } } + \mathbf { X } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } , k - \frac { 1 } { 2 } } + \mathbf { X } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } , k - \frac { 1 } { 2 } } ) \cdot \mathbf { e } _ { R } \right) \mathbf { e } _ { R } } \\ { + ~ } & { \frac { 1 } { 4 } \left( ( \mathbf { X } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j , k - \frac { 1 } { 2 } } + \mathbf { X } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k - \frac { 1 } { 2 } } + \mathbf { X } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j , k + \frac { 1 } { 2 } } + \mathbf { X } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k + \frac { 1 } { 2 } } ) \cdot \mathbf { e } _ { \phi } \right) \mathbf { e } _ { \phi } } \\ { + ~ } & { \frac { 1 } { 4 } \left( ( \mathbf { X } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j - \frac { 1 } { 2 } , k } + \mathbf { X } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j - \frac { 1 } { 2 } , k } + \mathbf { X } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j + \frac { 1 } { 2 } , k } + \mathbf { X } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j + \frac { 1 } { 2 } , k } ) \cdot \mathbf { e } _ { Z } \right) \mathbf { e } _ { Z } , } \end{array}
F _ { 2 } ( \frac { Q ^ { 2 } } { 2 \nu } , Q ^ { 2 } ) = a ( Q ^ { 2 } ) \log ^ { 2 } \left( \frac { 2 \nu } { 2 \nu _ { 0 } ( Q ^ { 2 } ) } \right) + c ( Q ^ { 2 } ) + d ( Q ^ { 2 } ) ( 2 \nu ) ^ { - 0 . 4 7 }
{ \begin{array} { r l } { ( f \circ g ) ^ { \prime \prime \prime \prime } ( x ) = } & { f ^ { \prime \prime \prime \prime } ( g ( x ) ) g ^ { \prime } ( x ) ^ { 4 } + 6 f ^ { \prime \prime \prime } ( g ( x ) ) g ^ { \prime \prime } ( x ) g ^ { \prime } ( x ) ^ { 2 } } \\ & { + \; 3 f ^ { \prime \prime } ( g ( x ) ) g ^ { \prime \prime } ( x ) ^ { 2 } + 4 f ^ { \prime \prime } ( g ( x ) ) g ^ { \prime \prime \prime } ( x ) g ^ { \prime } ( x ) } \\ & { + \; f ^ { \prime } ( g ( x ) ) g ^ { \prime \prime \prime \prime } ( x ) . } \end{array} }
\left\{ \begin{array} { r l } & { 3 U ^ { j + 1 } - 2 \tau \delta _ { u } \triangle _ { { \mathcal { M } } , h } U ^ { j + 1 } = 4 \tau f _ { u } \Big ( U ^ { j } , V ^ { j } \Big ) - 2 \tau f _ { u } \Big ( U ^ { j - 1 } , V ^ { j - 1 } \Big ) + 4 U ^ { j } - U ^ { j - 1 } , } \\ & { 3 V ^ { j + 1 } - 2 \tau \delta _ { v } \triangle _ { { \mathcal { M } } , h } V ^ { j + 1 } = 4 \tau f _ { v } \Big ( U ^ { j } , V ^ { j } \Big ) - 2 \tau f _ { v } \Big ( U ^ { j - 1 } , V ^ { j - 1 } \Big ) + 4 V ^ { j } - V ^ { j - 1 } , } \end{array} \right.
\mathrm { T r } b ( \sum _ { \mu } ( U _ { \mu } ^ { 0 } ) ^ { 2 } c ( U _ { \mu } ^ { 0 \dagger } ) ^ { 2 } + ( U _ { \mu } ^ { 0 \dagger } ) ^ { 2 } c ( U _ { \mu } ^ { 0 } ) ^ { 2 } - 2 c ) .
\begin{array} { r l } & { C ( \delta ) = - \sqrt { 2 \eta _ { a } \kappa _ { a } } \varepsilon _ { p } h _ { 3 } ( h _ { 5 } h _ { 7 } h _ { 6 } ^ { * } ( J ^ { 2 } h _ { 8 } ^ { * } + h _ { 4 } ^ { * } ( g _ { m a } ^ { 2 } + h _ { 2 } ^ { * } h _ { 8 } ^ { * } ) ) } \\ & { + | G | ^ { 2 } ( h _ { 5 } - h _ { 6 } ^ { * } ) ( J ^ { 2 } ( h _ { 7 } - h _ { 8 } ^ { * } ) - h _ { 4 } ^ { * } ( g _ { m a ^ { 2 } } + h _ { 2 } ^ { * } ( h _ { 8 } ^ { * } - h _ { 7 } ^ { * } ) ) ) ) , } \\ & { D ( \delta ) = h _ { 5 } h _ { 6 } ^ { * } ( g _ { m a } ^ { 2 } h _ { 3 } + h _ { 7 } ( h _ { 1 } h _ { 3 } + J ^ { 2 } ) ) } \\ & { ( J ^ { 2 } h _ { 8 } ^ { * } + h _ { 4 } ^ { * } ( g _ { m a } ^ { 2 } + h _ { 2 } ^ { * } h _ { 8 } ^ { * } ) ) + | G | ^ { 2 } ( h _ { 5 } - h _ { 6 } ^ { * } ) } \\ & { ( J ^ { 2 } ( g _ { m a } ^ { 2 } h _ { 3 } + ( h _ { 1 } h _ { 3 } + J ^ { 2 } ) ( h _ { 7 } - h _ { 8 } ^ { * } ) ) - h _ { 4 } ^ { * } } \\ & { ( ( h _ { 1 } h _ { 3 } + J ^ { 2 } ) ( g _ { m a } ^ { 2 } - h _ { 2 } ^ { * } ( h _ { 7 } - h _ { 8 } ^ { * } ) ) - h _ { 2 } ^ { * } h _ { 3 } g _ { m a } ^ { 2 } ) ) . } \end{array}
T r [ \, Q _ { 2 } \lambda _ { S U ( 2 ) } ^ { 2 } \, ] = - \frac { 2 } { 3 } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } T r [ \, \gamma _ { k , 7 _ { 4 } , ( 0 ) } \lambda _ { U ( 1 ) _ { 2 , ( 0 ) } } \, ] \, T r [ \, \gamma _ { k , 7 _ { 4 } , ( 0 ) } ^ { - 1 } \lambda _ { S U ( 2 ) } ^ { 2 } \, ]
u ( \sigma ^ { \prime } , \langle q ^ { \prime } \rangle ) = \psi _ { \sigma } ^ { * } \big ( u ( \sigma , \langle q \rangle ) \big ) \implies u ( \sigma ^ { \prime } , \langle q ^ { \prime } \rangle ) = u ( \psi _ { \sigma } ^ { * } ( \sigma , \langle q ) \rangle ) = u ( \sigma ^ { \prime } , \psi _ { \sigma } ^ { * } \langle q \rangle ) \implies \langle q ^ { \prime } \rangle = \psi _ { \sigma } ^ { * } \langle q \rangle
\begin{array} { r l r } { w ( \mathcal { S } _ { m } ) } & { = } & { \| ( \widetilde { Q } ^ { T } J ^ { 0 } \widetilde { Q } ) ^ { - 1 / 2 } \widetilde { Q } ^ { T } U ^ { 0 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \| ( \widetilde { Q } _ { m } ^ { T } J ^ { 0 } \widetilde { Q } _ { m } ) ^ { - 1 / 2 } \widetilde { Q } _ { m } ^ { T } U ^ { 0 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + o _ { P } ( 1 ) } \\ & { = } & { ( \Sigma ^ { - 1 / 2 } Z ) ^ { T } \Gamma \Sigma ^ { - 1 / 2 } Z + o _ { P } ( 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \left( \lambda ( s ) \circ J _ { s ^ { - 1 } ( P ) \mid P } ( \sigma \otimes \cdot ) \right) \left( F _ { v , U } ^ { \prime } \right) \right) ( s ) } & { = \int _ { \left( U ( F ) \cap U _ { s } ( F ) \right) \backslash U _ { s } ( F ) } F _ { v , U } ^ { \prime } ( u ^ { \prime } ) d u ^ { \prime } } \\ & { = \int _ { \overline { { U } } ( F ) \cap U _ { s } ( F ) } F _ { v , U } ^ { \prime } ( u ^ { \prime } ) d u ^ { \prime } . } \end{array}