harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \mathbb { P } \left[ \widehat { \boldsymbol { u } } _ { f , n } \in \mathcal { K } \right] } & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \sum _ { \mathfrak { p } _ { f } \in \mathfrak { P } _ { f } } \mathbb { P } \left[ \widehat { \boldsymbol { u } } _ { f , n } \in \mathcal { K } ^ { \mathfrak { p } _ { f } } \right] + \varepsilon = \sum _ { \mathfrak { p } _ { f } \in \mathfrak { P } _ { f } } \mathbb { P } \left[ \widehat { \boldsymbol { u } } _ { f } \in \mathcal { K } ^ { \mathfrak { p } _ { f } } \right] + \varepsilon \leq \mathbb { P } \left[ \widehat { \boldsymbol { u } } _ { f } \in \mathcal { K } \right] + \varepsilon , } \\ { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \mathbb { P } \left[ \widehat { \boldsymbol { u } } _ { f , n } \in \mathcal { K } \right] } & { \geq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \sum _ { \mathfrak { p } _ { f } \in \mathfrak { P } _ { f } } \mathbb { P } \left[ \widehat { \boldsymbol { u } } _ { f , n } \in \mathcal { K } ^ { \mathfrak { p } _ { f } } \right] = \sum _ { \mathfrak { p } _ { f } \in \mathfrak { P } _ { f } } \mathbb { P } \left[ \widehat { \boldsymbol { u } } _ { f } \in \mathcal { K } ^ { \mathfrak { p } _ { f } } \right] \geq \mathbb { P } \left[ \widehat { \boldsymbol { u } } _ { f } \in \mathcal { K } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma \left| \frac { 1 } { \delta _ { l j k } ( \omega _ { 1 } ) } - \frac { 1 } { \delta _ { l j k } ( \omega _ { 2 } ) } \right| \le _ { \mathtt { p e } } | \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } | \varepsilon ^ { 2 } \gamma ^ { - 2 } N ^ { 2 \tau + 1 } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | ^ { - 1 } . } \end{array}
F ^ { m m _ { 2 } \dots m _ { p + 1 } } = \Lambda \epsilon ^ { m m _ { 2 } \dots m _ { p + 1 } } = \Lambda { \frac { 1 } { \sqrt { - g } } } \delta ^ { [ \, m m _ { 2 } \dots m _ { p + 1 } \, ] } \quad ,
\bar { \beta } ^ { T } = - \frac { 1 } { 2 } \alpha ^ { \prime } D ^ { 2 } T + \frac { 1 } { 8 } \alpha ^ { 2 } ( H ^ { 2 } ) ^ { \mu \nu } D _ { \mu } \partial _ { \nu } T - 2 T + \alpha ^ { \prime } \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } T = 0
\begin{array} { r l } { 4 \left\| u ( s ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \geq \left\| 2 u ( s ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } - \left\| B _ { k } ^ { \top } \Sigma _ { k } ^ { - 1 } x _ { + } ( s ) - 2 u ( s ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = - x _ { + } ( s ) ^ { \top } \Sigma _ { k } ^ { - 1 } B _ { k } B _ { k } ^ { \top } \Sigma _ { k } ^ { - 1 } x _ { + } ( s ) + 4 x _ { + } ( s ) ^ { \top } \Sigma _ { k } ^ { - 1 } B _ { k } u ( s ) } \end{array}
( \Delta r ) _ { L R } ^ { t o p } = \frac { \sqrt { 2 } G _ { F } } { 8 \pi ^ { 2 } } c _ { W } ^ { 2 } \left( \frac { c _ { W } ^ { 2 } } { s _ { W } ^ { 2 } } - 1 \right) \frac { M _ { W _ { 1 } } ^ { 2 } } { M _ { W _ { 2 } } ^ { 2 } - M _ { W _ { 1 } } ^ { 2 } } 3 m _ { t } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { q } ^ { f } ( \varepsilon ) } & { : = } & { q _ { f } ( 1 / \sqrt \varepsilon ) - q _ { f } ( - 1 / \sqrt \varepsilon ) = \int _ { - \frac 1 { \sqrt \varepsilon } } ^ { \frac 1 { \sqrt \varepsilon } } \frac { d q _ { f } } { d \xi } \, d \xi = \varepsilon \int _ { - \frac 1 { \sqrt \varepsilon } } ^ { \frac 1 { \sqrt \varepsilon } } ( v _ { f } - u _ { f } ) \, d \xi } \\ & { = } & { \varepsilon \int _ { - \frac 1 { \sqrt \varepsilon } } ^ { \frac 1 { \sqrt \varepsilon } } ( v _ { 0 } - u _ { h } ( \xi , v _ { 0 } ) + o ( 1 ) ) \, d \xi } \\ & { = } & { 2 ( v _ { 0 } - \widehat { u } _ { 0 } ^ { \pm } ( v _ { 0 } ) ) \sqrt \varepsilon + o ( \sqrt \varepsilon ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \varepsilon _ { v } ( f \otimes g \otimes g ^ { c } ) } & { = \varepsilon _ { v } ( f \otimes \mathrm { a d } ^ { 0 } ( g ) ) \cdot \varepsilon _ { v } ( f ) \, , \qquad \forall v \mid N \infty \, , } \\ { \varepsilon ( f \otimes g \otimes g ^ { c } ) } & { = \varepsilon ( f \otimes \mathrm { a d } ^ { 0 } ( g ) ) \cdot \varepsilon ( f ) \, . } \end{array} } \end{array}
f _ { Y } ( y ) = \left| { \frac { d x } { d y } } \right| f _ { X } ( x ) = \left| { \frac { d } { d y } } ( x ) \right| f _ { X } ( x ) = \left| { \frac { d } { d y } } { \big ( } g ^ { - 1 } ( y ) { \big ) } \right| f _ { X } { \big ( } g ^ { - 1 } ( y ) { \big ) } = { { \big | } { \big ( } g ^ { - 1 } { \big ) } ^ { \prime } ( y ) { \big | } } \cdot f _ { X } { \big ( } g ^ { - 1 } ( y ) { \big ) } .
\begin{array} { c c c c c } { { \pi _ { \tau \tau } \approx 0 , } } & { { \pi _ { \tau \sigma } \approx 0 , } } & { { \pi _ { \sigma \sigma } \approx 0 , } } & { { \chi _ { 1 } \left( P , X ^ { \prime } \right) \approx 0 , } } & { { \chi _ { 2 } \left( P , X ^ { \prime } \right) \approx 0 . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { q } | q ( \ensuremath { { x _ { 0 } } } ) | , \quad \mathrm { s u c h ~ t h a t ~ } q ( 0 ) = 0 , ~ \int _ { 0 } ^ { 1 } ( q ^ { \prime } ( x ) ) ^ { 2 } d x } & { \leq \ensuremath { n } , \quad \mathrm { a n d } \quad \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - x ) ^ { \alpha } q ^ { 2 } ( x ) d x \leq 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { T } \simeq } & { { } \frac { \kappa _ { m } } { \kappa _ { M } } \frac { k _ { B } T _ { 0 } } { \hslash \omega _ { M } } + \left( \frac { S _ { L P } } { 2 \kappa _ { M } } \right) , } \\ { T _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = } & { { } \frac { n _ { T } \hslash \omega _ { M } } { k _ { B } } , } \\ { S _ { L P } ^ { S R M } } & { { } \simeq \frac { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { M } } \frac { \gamma _ { + } ^ { 2 } } { ( \gamma _ { + } ^ { 2 } + \omega _ { M } ^ { 2 } ) } } \\ { S _ { L P } ^ { P R M } } & { { } \simeq \frac { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { M } } \left( \mathcal { H } ^ { 2 } \frac { \gamma _ { + } ^ { 2 } } { \gamma _ { + } ^ { 2 } + \omega _ { M } ^ { 2 } } \left[ 1 + \frac { \gamma _ { 0 } } { \gamma _ { 1 } } \right] + \mathcal { X } ^ { 2 } \left[ \frac { \gamma _ { 0 } } { \gamma _ { 1 } } \right] \right) , } \\ { \mathcal { X } } & { { } = \eta \sqrt \frac { W _ { i n } } { 2 m \omega _ { 0 } \gamma _ { + } ^ { 2 } } , \quad \mathcal { H } = \xi \sqrt \frac { 2 \omega _ { 0 } W _ { i n } } { m \gamma _ { + } ^ { 4 } } , } \end{array}
\left( \Bar { \varepsilon } \right) _ { w } = \biggl [ \left( \Bar { \varepsilon } \right) _ { W } + \left( \Bar { \varepsilon } \right) _ { P } \biggr ] \; \bigg / \; 2 = \biggl [ \left( \Bar { \varepsilon } \right) _ { k , i - 1 } + \left( \Bar { \varepsilon } \right) _ { k , i } \biggr ] \; \bigg / \; 2
z _ { 1 } ^ { ( A ) } \simeq 1 - { \frac { E _ { m i n } } { M } } - { \frac { | \vec { P } _ { A - 1 } | ^ { 2 } } { 2 M M _ { A - 1 } } } + \frac { \eta } { M } | \vec { P } _ { A - 1 } | c o s \theta _ { \widehat { \vec { P } _ { A - 1 } \vec { q } } } ~
\begin{array} { r l } { \mathrm { t e r m } _ { n } } & { = T \sum _ { j } w _ { j } \left( 1 + \ln \left( \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { K } { w _ { k ^ { \prime } } } S ( { { \mathbf x } } _ { j } - { { \mathbf x } } _ { k ^ { \prime } } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) \right) \right) \nabla S ( { { \mathbf x } } _ { j } - { { \mathbf x } } _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { 1 1 } ^ { s h } = \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } \int d E \bigg ( T ( f _ { 0 } - f ) + f ^ { 2 } } } \\ { { - \sum _ { \gamma , \delta } f _ { \gamma } f _ { \delta } T r ( s _ { 1 \gamma } ^ { \dagger } s _ { 1 \delta } s _ { 1 \delta } ^ { \dagger } s _ { 1 \gamma } ) \bigg ) } . } \end{array}
\left. \begin{array} { r c l c r c l } { { h \: a ^ { \frac { p - 1 } { 2 } } } } & { { \rightarrow } } & { { \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 3 } h _ { \alpha } \: a _ { \alpha } ^ { \frac { p - 1 } { 2 } } } } & { { , \; \; \; \; \; \; } } & { { h \: a ^ { \frac { p - 1 } { 2 } } \: b } } & { { \rightarrow } } & { { \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 3 } h _ { \alpha } \: a _ { \alpha } ^ { \frac { p - 1 } { 2 } } \: b _ { \alpha } } } \\ { { g \: a ^ { \frac { p } { 2 } } } } & { { \rightarrow } } & { { \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 3 } g _ { \alpha } \: a _ { \alpha } ^ { \frac { p } { 2 } } } } & { { , \; \; \; \; \; \; } } & { { g \: a ^ { \frac { p } { 2 } } \: b } } & { { \rightarrow } } & { { \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 3 } g _ { \alpha } \: a _ { \alpha } ^ { \frac { p } { 2 } } \: b _ { \alpha } } } \end{array} \right\}
{ \begin{array} { r l } { H ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { n } ) } & { = { \frac { 1 } { \displaystyle A \left( { \frac { 1 } { x _ { 1 } } } , { \frac { 1 } { x _ { 2 } } } , \ldots { \frac { 1 } { x _ { n } } } \right) } } , } \\ { A ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { n } ) } & { = { \frac { 1 } { \displaystyle H \left( { \frac { 1 } { x _ { 1 } } } , { \frac { 1 } { x _ { 2 } } } , \ldots { \frac { 1 } { x _ { n } } } \right) } } , } \end{array} }
- \left( \bigl ( P \omega ^ { - 1 } ( \delta \mathbf { k } ) ^ { * } g ( \mathbf { D } + \mathbf { k } ^ { \circ } ) \omega ^ { - 1 } + \bigl ( ( \mathbf { D } + \mathbf { k } ^ { \circ } ) \omega ^ { - 1 } P \bigr ) ^ { * } g ( \delta \mathbf { k } ) \omega ^ { - 1 } \bigr ) \Lambda ^ { p } ( \delta \mathbf { k } ) , \varsigma _ { l } \right) , \qquad p , l = 1 , \ldots , n .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \log \pi _ { \theta _ { * } } ^ { ( 1 ) } = } & { [ \log \pi ( \theta ) _ { s } ^ { ( 1 ) } ] _ { \mid \theta = \theta _ { * } } = \, [ \partial / ( \partial \theta _ { s } ) \log \pi ( \theta ) ] _ { \mid \theta = \theta _ { * } } \in \mathbb { R } ^ { d } , } \\ { \log \pi _ { \theta _ { * } } ^ { ( 2 ) } = } & { [ \log \pi ( \theta ) _ { s t } ^ { ( 2 ) } ] _ { \mid \theta = \theta _ { * } } = \, [ \partial / ( \partial \theta _ { s } \partial \theta _ { t } ) \log \pi ( \theta ) ] _ { \mid \theta = \theta _ { * } } \in \mathbb { R } ^ { d \times d } , } \end{array} } \end{array}
d s _ { A d S _ { d } } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } \mu \cos ^ { 2 } \lambda } } \big ( - d \tau ^ { 2 } + \cos ^ { 2 } \lambda d \mu ^ { 2 } + d \lambda ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \lambda d \Omega _ { d - 3 } ^ { 2 } \big ) \ ,
\begin{array} { r l r } { \widehat { S } ^ { * } \colon \mathbb R ^ { n } \to \mathcal { H } \quad \mathrm { ~ s . t . ~ } w \mapsto \frac { 1 } { \sqrt { n } } \sum _ { i \in [ n ] } w _ { i } \phi ( x _ { i } ) } & { \quad \mathrm { ~ a n d ~ } } & { \widehat { Z } ^ { * } \colon \mathbb R ^ { n } \to \mathcal { H } \quad \mathrm { ~ s . t . ~ } w \mapsto \frac { 1 } { \sqrt { n } } \sum _ { i \in [ n ] } w _ { i } \psi ( y _ { i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { p } _ { x } } & { = } & { \frac { \hbar } { 2 i } \sin \phi \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ { \hat { p } _ { y } } & { = } & { - \frac { \hbar } { 2 i } \sin \phi \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ { \hat { p } _ { z } } & { = } & { \hbar k \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \left[ w _ { t } \eta _ { t } \left( 1 - \frac { \eta _ { t } L } { 2 } \right) - v _ { t } \right] \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } + w _ { T } \Delta _ { T + 1 } } \\ { \leq } & { w _ { 1 } \Delta _ { 1 } + \left( \sum _ { t = 2 } ^ { T } ( w _ { t } - w _ { t - 1 } ) \Delta _ { t } + 3 \sigma ^ { 2 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { w _ { t } \eta _ { t } ^ { 2 } L } { 2 } \right) + \log \frac { 1 } { \delta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 4 \pi e } { \partial _ { \mathrm { t } } ^ { 2 } } E _ { \mathrm { a } } = - } & { { } { \partial _ { \mathrm { x } } \left( n _ { \mathrm { e } } v _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } \right) } - \frac { 1 } { m _ { \mathrm { e } } } { \partial _ { \mathrm { x } } P _ { x } } - \frac { e n _ { \mathrm { e } } E _ { \mathrm { a } } } { m _ { \mathrm { e } } } } \\ { + } & { { } \nu _ { \mathrm { e i } } n _ { \mathrm { e } } \left( v _ { \mathrm { i } } - v _ { \mathrm { e } } \right) + \frac { f _ { \mathrm { { R F } } } } { m _ { \mathrm { e } } } } \\ { + Z } & { { } { \partial _ { \mathrm { x } } \left( n _ { \mathrm { i } } v _ { \mathrm { i } } ^ { 2 } \right) } + \frac { Z } { m _ { \mathrm { i } } } { \partial _ { \mathrm { x } } P _ { \mathrm { i } } } - \frac { Z ^ { 2 } e n _ { \mathrm { i } } E _ { \mathrm { a } } } { m _ { \mathrm { i } } } } \\ { + Z } & { { } \nu _ { \mathrm { e i } } n _ { \mathrm { e } } \left( v _ { i } - v _ { e } \right) \frac { m _ { \mathrm { e } } } { m _ { \mathrm { i } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H } & { = \Omega ( \vec { k } , \vec { x } ) = \int d \vec { q } e ^ { i \vec { q } \cdot \vec { x } } B ( \vec { k } - \vec { q } / 2 , \vec { k } + \vec { q } / 2 ) } \\ & { = \int d \vec { q } e ^ { i \vec { q } \cdot \vec { x } } \big [ | \vec { k } + \vec { q } / 2 | ^ { 1 / 2 } \delta ( \vec { q } ) + 2 A ( \vec { k } - \vec { q } / 2 , \vec { k } + \vec { q } / 2 ) \big ] } \\ & { = | \vec { k } | ^ { 1 / 2 } + 2 \int d \vec { q } e ^ { i \vec { q } \cdot \vec { x } } \int _ { 1 , 3 \mathrm { ~ s m a l l } } T _ { \vec { k } + \vec { q } / 2 , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } - \vec { q } / 2 , \vec { k } _ { 3 } } b _ { \mathbf 1 } ^ { * } b _ { \mathbf 3 } \delta ( \vec { q } + \vec { k } _ { 1 } - \vec { k } _ { 3 } ) d \vec { k } _ { 1 } d \vec { k } _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { l } { { 3 ( 3 , 2 ) _ { \frac { 1 } { 6 } } + 3 ( \overline { { { 3 } } } , 1 ) _ { \frac { 1 } { 3 } } + 3 ( \overline { { { 3 } } } , 1 ) _ { - \frac { 2 } { 3 } } + 1 2 ( 1 , 2 ) _ { - \frac { 1 } { 2 } } + 9 ( 1 , 2 ) _ { \frac { 1 } { 2 } } } } \\ { { \ \ \ + 1 2 ( 1 , 1 ) _ { 1 } + 9 ( 1 , 1 ) _ { 0 } + 9 ( 1 , 1 ) _ { - 1 } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 1 } } & { { } \mapsto p _ { 1 } - \Delta t \, \frac { \partial \phi } { \partial q _ { 1 } } \! \left( q _ { 1 } , q _ { 2 } \right) , } \\ { p _ { 2 } } & { { } \mapsto p _ { 2 } - \Delta t \, \frac { \partial \phi } { \partial q _ { 2 } } \! \left( q _ { 1 } , q _ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha ( x \cdot ^ { ' } y ) = \alpha ( \alpha ^ { - 1 } ( x ) \cdot \alpha ^ { - 1 } ( y ) ) = } & { \alpha ( \alpha ^ { - 1 } ( x ) ) \cdot \alpha ( \alpha ^ { - 1 } ( y ) ) ) = x \cdot y , } \\ { a s ( x , y , z ) + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } a s ( y , x , z ) = } & { ( x \cdot ^ { ' } y ) \cdot ^ { ' } z - x \cdot ^ { ' } ( y \cdot ^ { ' } z ) + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \big ( ( y \cdot ^ { ' } x ) \cdot ^ { ' } z - y \cdot ^ { ' } ( x \cdot ^ { ' } z ) \big ) } \\ { = } & { \alpha ^ { - 1 } ( \alpha ^ { - 1 } ( x ) \cdot \alpha ^ { - 1 } ( y ) ) \cdot \alpha ^ { - 1 } ( z ) - \alpha ^ { - 1 } ( x ) \cdot \alpha ^ { - 1 } ( \alpha ^ { - 1 } ( y ) \cdot \alpha ^ { - 1 } ( z ) ) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } ( \alpha ^ { - 1 } ( \alpha ^ { - 1 } ( y ) \cdot \alpha ^ { - 1 } ( x ) ) \cdot \alpha ^ { - 1 } ( z ) - \alpha ^ { - 1 } ( y ) \cdot \alpha ^ { - 1 } ( \alpha ^ { - 1 } ( x ) \cdot \alpha ^ { - 1 } ( z ) ) ) } \\ { = } & { ( \alpha ^ { - 2 } ( x ) \cdot \alpha ^ { - 2 } ( y ) ) \cdot \alpha ^ { - 1 } ( z ) - \alpha ^ { - 1 } ( x ) \cdot \alpha ^ { - 2 } ( y ) \cdot \alpha ^ { - 2 } ( z ) ) ) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } ( ( \alpha ^ { - 2 } ( y ) \cdot \alpha ^ { - 2 } ( x ) ) \cdot \alpha ^ { - 1 } ( z ) - \alpha ^ { - 1 } ( y ) \cdot ( \alpha ^ { - 2 } ( x ) \cdot \alpha ^ { - 2 } ( z ) ) ) } \\ { = } & { \alpha ^ { - 2 } \big ( ( x \cdot y ) \cdot \alpha ( z ) - \alpha ( x ) \cdot ( y \cdot z ) + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } ( ( y \cdot x ) \cdot \alpha ( z ) - \alpha ( y ) \cdot ( x \cdot z ) ) \big ) } \\ { = } & { \alpha ^ { - 2 } ( a s _ { \mathcal A } ( x , y , z ) + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } a s _ { \mathcal A } ( y , x , z ) ) } \\ { = } & { 0 } \end{array}
\frac { \Delta T _ { L } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } } { D _ { L } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } } = \frac { \Delta T _ { b } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } } { \delta _ { b } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } } + H ^ { * } - \frac { 1 } { 2 } H ^ { * } D _ { L } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } .
\mathcal { L } ( X _ { 0 : T } \mid f ) = \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { t } \| f ( X _ { t } ) \| _ { \sigma ^ { 2 } } ^ { 2 } \mathrm { ~ d ~ } t + \sum _ { t } \langle f ( X _ { t } ) , X _ { t + \mathrm { ~ d ~ } t } - X _ { t } \rangle _ { \sigma ^ { 2 } } \right] ,
C _ { \theta } ( \tau ) = \langle { \cal A } ( \tau ) { \cal B } \rangle _ { 0 } \; - \; \operatorname * { l i m } _ { \tau ^ { \prime } \rightarrow \infty } \langle { \cal U } _ { \tau ^ { \prime } } ( { \scriptstyle { \cal A } } ) { \cal A } \rangle _ { 0 } \operatorname * { l i m } _ { \tau ^ { \prime \prime } \rightarrow \infty } \langle { \cal U } _ { \tau ^ { \prime \prime } } ( { \scriptstyle { \cal B } } ) { \cal B } \rangle _ { 0 } \stackrel { \tau \rightarrow \infty } { \longrightarrow }
\sigma _ { \alpha } ^ { q ^ { \prime } \pi } = \sigma _ { d } ^ { q ^ { \prime } \pi } ( x , Q ^ { 2 } ) + \left( \frac { e _ { \pi } } { e _ { q } ^ { \prime } } - 1 \right) \sigma _ { i } ^ { q ^ { \prime } \pi } ( x , Q ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { L _ { 2 } ( \Tilde { \gamma } ) = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { l } L _ { 2 } ( \zeta _ { i } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { l } L _ { 2 } ( \xi _ { i } ) } \\ { \le } & { \sum _ { i = 1 } ^ { l } L _ { 2 } ( \zeta _ { i } ) + C \sum _ { i = 1 } ^ { l } L _ { 1 } ( \eta _ { i } ) } \\ { \le } & { C L _ { 1 } ( \gamma ) } \end{array}
\int d ^ { 3 } \zeta - \sqrt { - g ( Z ( \zeta ) ) } = \int - h ^ { - 1 } \sqrt { 1 - h v ^ { 2 } } \Big [ 1 + \frac { 1 } { 2 } h ^ { 2 / 3 } \big [ 2 h ^ { - 1 / 3 } \bar { \theta } \Gamma ^ { \tilde { 1 } } \partial _ { 1 } \theta + 2 h ^ { - 1 / 3 } \bar { \theta } \Gamma ^ { \tilde { 2 } } \partial _ { 2 } \theta
{ S _ { \alpha \beta } ^ { s h } } = - 4 \frac { e ^ { 2 } } { h } \int d E \sum _ { \gamma , \delta } f _ { \gamma } f _ { \delta } T r ( s _ { \alpha \gamma } ^ { \dagger } s _ { \alpha \delta } s _ { \beta \delta } ^ { \dagger } s _ { \beta \gamma } ) .
\begin{array} { r l r } { | A | } & { \leqslant } & { \mathbb { E } \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { \varepsilon } } \left[ | D \psi ( X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) | \left| \mathbb { E } ( X _ { t _ { n } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } - X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } | \mathcal { F } _ { n - 1 } ) - \mathbb { E } \left( W _ { t _ { n } } ^ { \tau , t _ { n - 1 } , X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } } - X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } | \mathcal { F } _ { n - 1 } \right) \right| \right. } \\ & { \leqslant } & { \| D \psi \| _ { \infty } \quad \mathbb { E } \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { \varepsilon } } \theta c ( \varepsilon ) \leqslant \| D \psi \| _ { \infty } N ^ { 4 } \theta c ( \varepsilon ) \lesssim c _ { \psi } ( \varepsilon ) T = c _ { \psi , T } ( \varepsilon ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { \| } \partial _ { \| } F = } & { \frac { v _ { 0 } \partial _ { \| } \ln B } { B / B _ { 0 } } f _ { 0 } \Biggl [ \left( 2 \hat { P } ^ { 0 0 } - 2 \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \hat { P } ^ { 0 1 } + \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \hat { P } ^ { 2 0 } \right) \hat { p } _ { 0 , \psi } } \\ & { + \left( - 5 \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \hat { P } ^ { 0 1 } + 2 \sqrt { \frac { 1 0 } { 3 } } \hat { P } ^ { 0 2 } + \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \hat { P } ^ { 2 0 } - \sqrt { \frac { 7 } { 6 } } \hat { P } ^ { 2 1 } \right) \hat { T } _ { 0 , \psi } \Biggr ] , } \end{array}
{ V _ { T } } ^ { G } ( \psi , z ) = : \left( \prod _ { a = 1 } ^ { M } { \frac { i } { ( n _ { a } - 1 ) ! } } { \frac { d ^ { n _ { a } } } { d z ^ { n _ { a } } } } C ^ { i _ { a } } ( z ) \right) e ^ { i \lambda \cdot C ( z ) } : \gamma _ { \lambda } \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathbf { m } _ { \eta } } { d t } } & { = - \gamma \left( \mathbf { m } _ { \eta } \times \mathbf { H } _ { \eta } \right) - \frac { \gamma \alpha } { 1 + \alpha ^ { 2 } } \mathbf { m } _ { \eta } \times \left( \mathbf { m } _ { \eta } \times \mathbf { H } _ { \eta } \right) + \frac { \gamma \tilde { \alpha } _ { \parallel } } { 1 + \alpha ^ { 2 } } m _ { \eta } ^ { 2 } \left[ m _ { \eta } ^ { 2 } - 1 \right] \mathbf { m } _ { \eta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ( t ) = } & { \int _ { t _ { o , n , \nu } } ^ { t } d t ^ { \prime \prime } \frac { \hbar k ( t ^ { \prime \prime } ) } { m } } \\ { = } & { \frac { - e F _ { \mathrm { T H z } } } { m \omega ^ { 2 } } [ \omega ( t - t _ { o , n , \nu } ) \cos ( \omega t _ { o , n , \nu } ) } \\ & { + \sin ( \omega t _ { o , n , \nu } ) - \sin ( \omega t ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } a ( \vec { \, u } _ { h } , \vec { \, v } _ { h } ) + b ( \vec { \, v } _ { h } , p _ { h } ) } & { = ( \vec { \, f } , \vec { \, v } _ { h } ) } & { \quad } & { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } \vec { \, v } _ { h } \in \boldsymbol { V } _ { h } , } \\ { b ( \vec { \, u } _ { h } , q _ { h } ) } & { = 0 } & { \quad } & { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } q _ { h } \in Q _ { h } , } \end{array}
\left\{ \frac { \partial } { \partial s } - \frac { b ^ { 2 } } { 6 } \nabla ^ { 2 } + i \left[ w _ { \mathrm { p } j } ( \mathbf { r } ) - \frac { \mathbf { f } _ { j } } { N } \cdot ( \mathbf { r } - \boldsymbol { \xi } _ { j } ) \right] \right\} q _ { j } ( \mathbf { r } , s ) = 0
\begin{array} { r l } { P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + \varepsilon ) , t _ { 0 } + \varepsilon ) \le P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) } & { - \varepsilon \gamma \| \nabla _ { x } P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) \| ^ { 2 } \big ( 1 - \sqrt { \varepsilon \gamma } c _ { p 1 } \big ) } \\ & { + \varepsilon ^ { 3 / 2 } \sqrt \gamma \| \nabla _ { x } P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) \| c _ { p 2 } + L _ { P t } \varepsilon , } \end{array}
\Delta ( z ) = { \cal B } _ { 1 } ( 1 - \chi _ { 2 } z ) ^ { ( 1 + | K _ { S S } K ^ { S S ^ { * } } | ) } + { \cal B } _ { 2 } ( 1 - \chi _ { 2 } z ) ^ { ( 1 - | K _ { S S } K ^ { S S ^ { * } } | ) } ,
\Delta _ { 0 } = r _ { 0 } ( r _ { 0 } - 2 M ) + a ^ { 2 } - N _ { 0 } ^ { 2 } , \quad \Sigma _ { 0 } = r _ { 0 } ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } , \quad \delta = a \cos \theta + N _ { 0 } ,
\begin{array} { r l } { \left\| \mathcal { L } ( \xi ^ { n } ( \Pi _ { N } \widetilde { \xi } _ { 0 } ; \widehat { W } ) ) - \mathcal { L } ( \xi ^ { n } ( \Pi _ { N } \widetilde { \xi } _ { 0 } ; W ) ) \right\| _ { \mathrm { T V } } } & { = \left\| \xi ^ { n } ( \Pi _ { N } \widetilde { \xi } _ { 0 } ; \cdot ) ^ { * } \mathcal { L } ( \widehat { W } ) - \xi ^ { n } ( \Pi _ { N } \widetilde { \xi } _ { 0 } ; \cdot ) ^ { * } \mathcal { L } ( W ) \right\| _ { \mathrm { T V } } } \\ & { \leq \left\| \mathcal { L } ( \widehat { W } ) - \mathcal { L } ( W ) \right\| _ { \mathrm { T V } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \small } & { \int _ { \Omega _ { h } } \varepsilon _ { 0 } \nabla V _ { h } ^ { n + 1 } \cdot \nabla e _ { h } = - \int _ { \Omega _ { h } } ( \epsilon ( \phi _ { h } ^ { * , n + 1 } ) - \varepsilon _ { 0 } ) \nabla V _ { h } ^ { * , n + 1 } \cdot \nabla e _ { h } - \int _ { \Omega _ { h } } f _ { V h } ^ { n + 1 } e _ { h } , \quad \forall e _ { h } \in X _ { h 0 } ^ { E } ; } \\ & { V _ { h } ^ { n + 1 } = \mathcal V _ { e } , \quad \mathrm { o n } \ \partial \Omega _ { s e h } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \; \left( \mu _ { p } I _ { m } + { \nu } \mathcal { A } \left[ ( 1 + \mu _ { c } ) \mathcal { I } - V \right] ^ { - 1 } V \mathcal { A } ^ { * } \right) \Delta y } \\ { = } & { \; R _ { 1 } - \mathcal { A } \left[ ( 1 + \mu _ { c } ) \mathcal { I } - V \right] ^ { - 1 } ( { \nu } V R _ { 2 } + R _ { 3 } ) . } \end{array}
\Phi ( { \bf k } , t ) = [ \Delta \rho ( { \bf k } , t ) , \Delta P _ { 1 } ( { \bf k } , t ) , \Delta P _ { 2 } ( { \bf k } , t ) , \Delta Q _ { 1 1 } ( { \bf k } , t ) , \Delta Q _ { 1 2 } ( { \bf k } , t ) ]