harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
( { \mathcal N } ^ { R } ) _ { m } ( x _ { \perp } ) = \int \, d x _ { - } d y _ { - } \partial _ { i } R _ { + } ^ { a } ( x _ { - } , x _ { \perp } ) D ( x _ { - } - y _ { - } ) \partial _ { i } R _ { + } ^ { b } ( y _ { - } , x _ { \perp } ) C _ { m b a } ,
\begin{array} { r } { \small \left[ \begin{array} { l l l } { - 1 / \bar { V } _ { 2 } ^ { * } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 / \bar { V } _ { 3 } ^ { * } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 / \bar { V } _ { 4 } ^ { * } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { S _ { 2 } ^ { * } } \\ { S _ { 3 } ^ { * } } \\ { S _ { 4 } ^ { * } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { I _ { 1 2 } } \\ { I _ { 2 3 } } \\ { I _ { 2 4 } } \end{array} \right] = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \sqrt { I + n + 1 } ( R _ { I , n } - \widehat { R } _ { I , n } ) _ { 2 } ^ { ( 2 ) } | \mathcal { Q } _ { I , n } \overset { d } { \longrightarrow } \left\langle \mathcal { Q } _ { I , \infty } , \mathbf { Y } _ { \infty } ^ { ( 2 ) } \right\rangle | \mathcal { Q } _ { I , \infty } \sim \mathcal { G } _ { 2 } ^ { ( 2 ) } | \mathcal { Q } _ { I , \infty } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \vec { Q } _ { L i } = \langle \vec { Q } _ { L i } \rangle + \, \vec { \delta } _ { L i } \qquad \qquad \qquad \vec { Q } _ { R i } = \langle \vec { Q } _ { R i } \rangle + \, \vec { \delta } _ { R i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \partial \omega } { \partial k _ { x } } , \frac { \partial \omega } { \partial k _ { y } } \right) } & { = \pm k \left( \left( \nu _ { o } - 2 \nu _ { 4 } \right) \cos ^ { 2 } \theta + \nu _ { o } - \nu _ { 4 } \right) \sin \theta \cos \theta ( \cos \phi , \sin \phi ) , } \\ { \frac { \partial \omega } { \partial k _ { z } } } & { = \pm k \left( \left( \nu _ { o } - 2 \nu _ { 4 } \right) \cos ^ { 4 } \theta + \left( - 2 \nu _ { o } + 5 \nu _ { 4 } \right) \cos ^ { 2 } \theta + \nu _ { o } - \nu _ { 4 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { m i s } } = } & { ~ H _ { \mathrm { 0 , m i s } } + H _ { \mathrm { I } } , } \\ { H _ { \mathrm { 0 , m i s } } = } & { ~ \omega _ { \mathrm { A } } ( \sigma _ { A } ^ { \dagger } \sigma _ { A } + | 3 \rangle \langle 3 | + | 4 \rangle \langle 4 | ) + \omega _ { \mathrm { o p } } a ^ { \dagger } a } \\ & { ~ + \omega _ { B } ( \sigma _ { B } ^ { \dagger } \sigma _ { B } + | 2 \rangle \langle 2 | + | 4 \rangle \langle 4 | ) + \omega _ { \mathrm { o p } } b ^ { \dagger } b , } \\ { H _ { \mathrm { I } } = } & { ~ g _ { A } ( a ^ { \dagger } D _ { A } + D _ { A } ^ { \dagger } a ) + g _ { B } ( b ^ { \dagger } D _ { B } + D _ { B } ^ { \dagger } b ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \forall | \eta | \leq \eta _ { * } , \qquad \left| \int _ { \mathcal { X } } \mathcal { A } ^ { k - 1 } \varphi \, \psi _ { \eta } \right| } & { \leq \left\| \mathcal { A } ^ { k - 1 } \varphi \right\| _ { B _ { m _ { k } } ^ { \infty } } \int _ { \mathcal { X } } \mathcal { K } _ { m _ { k } } \, \psi _ { \eta } } \\ & { \leq \left\| \mathcal { A } ^ { k - 1 } \varphi \right\| _ { B _ { m _ { k } } ^ { \infty } } \| \mathcal { K } _ { m _ { k } } \| _ { L ^ { 2 } ( \psi _ { \eta } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E _ { \mathrm { t o t a l } } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = E _ { 0 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \bigg ( \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \mathcal { P } _ { j } ^ { - } ( \kappa , \alpha ) \Phi _ { j } ^ { - } ( \kappa , \alpha | \mathrm { r } ) \bigg ) \mathrm { d } ^ { 2 } \mathbf { k } _ { | | } } \end{array}
\begin{array} { r l } { z ^ { 2 S D } } & { = \sum _ { i \in \mathcal { N } } N _ { i } \cdot \Big [ \mu ^ { P A X } \cdot ( u _ { i 0 } + \sum _ { r \in \mathcal { R } _ { i } } ( u _ { i r } + \alpha _ { i } \cdot p _ { r } ^ { 2 S D } ) + \mu ^ { R E V } \cdot \sum _ { r \in \mathcal { R } _ { i } } w _ { i r } ^ { 2 S D } - \mu ^ { V M T } \cdot ( \Delta _ { i 0 } \cdot s _ { i 0 } ^ { 2 S D } ) \Big ] } \\ & { = \sum _ { i \in \mathcal { N } } N _ { i } \cdot \Big [ \mu ^ { P A X } \cdot ( u _ { i 0 } + \sum _ { r \in \mathcal { R } _ { i } } ( u _ { i r } + \alpha _ { i } \cdot p _ { r } ^ { 2 S D } ) + \mu ^ { R E V } \cdot \sum _ { r \in \mathcal { R } _ { i } } p _ { r } ^ { 2 S D } \cdot s _ { i r } ^ { 2 S D } - \mu ^ { V M T } \cdot ( \Delta _ { i 0 } \cdot s _ { i 0 } ^ { 2 S D } ) \Big ] } \\ & { = \sum _ { i \in \mathcal { N } } N _ { i } \cdot \Big [ \mu ^ { P A X } \cdot ( u _ { i 0 } + \sum _ { r \in \mathcal { R } _ { i } } ( u _ { i r } + \alpha _ { i } \cdot p _ { r } ^ { F S } ) + \mu ^ { R E V } \cdot \sum _ { r \in \mathcal { R } _ { i } } p _ { r } ^ { F S } \cdot s _ { i r } ^ { F S } - \mu ^ { V M T } \cdot ( \Delta _ { i 0 } \cdot s _ { i 0 } ^ { F S } ) \Big ] } \\ & { = z ^ { F S } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { | 1 - \tau ^ { 2 \, s - 1 } | ^ { 2 } } { | 1 - \tau | ^ { 1 + 2 \, s } } \, \left( 1 + \tau ^ { 1 - 2 \, s } \right) \, d \tau } & { = \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { | 1 - \tau ^ { 2 \, s - 1 } | ^ { 2 } } { | 1 - \tau | ^ { 1 + 2 \, s } } \, \left( 1 + \tau ^ { 1 - 2 \, s } \right) \, d \tau } \\ & { + \int _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 1 } \frac { | 1 - \tau ^ { 2 \, s - 1 } | ^ { 2 } } { | 1 - \tau | ^ { 1 + 2 \, s } } \, \left( 1 + \tau ^ { 1 - 2 \, s } \right) \, d \tau } \\ & { \le C \, \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } | 1 - \tau ^ { 2 \, s - 1 } | ^ { 2 } \, \left( 1 + \tau ^ { 1 - 2 \, s } \right) \, d \tau } \\ & { + C \, \int _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 1 } \frac { | 1 - \tau ^ { 2 \, s - 1 } | ^ { 2 } } { | 1 - \tau | ^ { 1 + 2 \, s } } \, d \tau = : \mathcal { I } _ { 1 , 1 } + \mathcal { I } _ { 1 , 2 } . } \end{array}
{ } ^ { I } E _ { p , q } ^ { 0 } = T _ { n } ( C _ { \bullet , \bullet } ) _ { p } ^ { I } / T _ { n } ( C _ { \bullet , \bullet } ) _ { p + 1 } ^ { I } = \bigoplus _ { i + j = n \atop i > p - 1 } C _ { i , j } { \Big / } \bigoplus _ { i + j = n \atop i > p } C _ { i , j } = C _ { p , q } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u } { \partial t } } & { = r u ( 1 - u ) + \frac { 2 k } { M } \frac { \partial M } { \partial x } \frac { \partial u } { \partial x } + k \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } } \\ { \frac { \partial M } { \partial t } } & { = k \frac { \partial ^ { 2 } M } { \partial x ^ { 2 } } } \\ { u ( 0 ) } & { = 1 \quad u ( 1 ) = 0 . } \\ { M ( 0 ) } & { = b \quad M ( 1 ) = a + b } \\ { u ( x , 0 ) } & { = u _ { 0 } ( x ) \quad M ( x , 0 ) = M _ { 0 } ( x ) . } \end{array}
f ( \tilde { \gamma } _ { 1 1 } , | \tilde { \gamma } _ { 1 2 } | ) = 4 \tilde { \gamma } _ { 1 1 } ( 1 - \tilde { \gamma } _ { 1 1 } ) + c _ { + } ^ { 2 } ( c _ { + } ^ { 2 } - 2 )
\ln 2 = { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 \cdot 3 } } + { \frac { 1 } { 2 \cdot 3 \cdot 7 } } + { \frac { 1 } { 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 9 } } + \cdots .
\begin{array} { r l } & { \mu \sigma ^ { 2 } \partial _ { t } \tilde { \Phi } - \mu \sigma ^ { 2 } \vec { s } \cdot \vec { \nabla } \tilde { \Phi } = - \frac { \mu \sigma ^ { 4 } } { 2 } \Delta \tilde { \Phi } - V [ m ] \tilde { \Phi } + \gamma \mu \sigma ^ { 2 } \tilde { \Phi } \log { \tilde { \Phi } } , } \\ & { \mu \sigma ^ { 2 } \partial _ { t } \tilde { \Gamma } - \mu \sigma ^ { 2 } \vec { s } \cdot \vec { \nabla } \tilde { \Gamma } = \frac { \mu \sigma ^ { 4 } } { 2 } \Delta \tilde { \Gamma } + V [ m ] \tilde { \Gamma } - \gamma \mu \sigma ^ { 2 } \tilde { \Gamma } \log { m } + \gamma \mu \sigma ^ { 2 } \tilde { \Gamma } \log { \tilde { \Gamma } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Omega _ { K S } [ \{ { \bf R } \} , \tau _ { e } ] } & { { } = } & { \operatorname* { m i n } _ { \hat { \rho } , \mu , \{ \Lambda \} } ~ ~ ~ F _ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } [ \hat { \rho } ; \{ { \bf R } \} , \tau _ { e } ] } \end{array}
\frac { \textrm { \% R M S E } } { 1 0 0 } = \sqrt { \frac { \frac { 1 } { N } \sum _ { A } ^ { N } \int _ { u . c . } d \mathbf { r } \left| \tilde { \rho } _ { A \beta } ^ { ( 1 ) , \mathrm { M L } } ( \mathbf { r } ) - \tilde { \rho } _ { A \beta } ^ { ( 1 ) , \mathrm { R I } } ( \mathbf { r } ) \right| ^ { 2 } \, } { \frac { 1 } { N - 1 } \sum _ { A } ^ { N } \Delta \bar { \mathbf { c } } _ { A \beta } ^ { T } \Delta \bar { \mathbf { w } } _ { A \beta } ^ { ( 1 ) } } } .
R e \, I _ { 1 _ { \beta } } \approx \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } f _ { n } ( \beta ) \Bigg ( \frac { \: 1 } { - p ^ { 2 } } \Bigg ) ^ { n / 2 } ,
\Omega _ { \gamma } = t r \{ d P \, i \, u ^ { - 1 } \, d u - \frac { 1 } { 2 \gamma } ( e ^ { i \gamma P } u ^ { - 1 } \, d u \, e ^ { - i \gamma P } \, u ^ { - 1 } \, d u + L _ { + } ^ { - 1 } d L _ { + } L _ { - } ^ { - 1 } d L _ { - } ) \} .
\qquad = a _ { 1 } b _ { 1 } + \langle a _ { 1 } b _ { 2 } + a _ { 2 } b _ { 1 } , \ a _ { 1 } b _ { 3 } + a _ { 3 } b _ { 1 } , \ a _ { 1 } b _ { 4 } + a _ { 4 } b _ { 1 } \rangle - a _ { 2 } b _ { 2 } - a _ { 3 } b _ { 3 } - a _ { 4 } b _ { 4 } + \langle a _ { 3 } b _ { 4 } - a _ { 4 } b _ { 3 } , \ a _ { 4 } b _ { 2 } - a _ { 2 } b _ { 4 } , \ a _ { 2 } b _ { 3 } - a _ { 3 } b _ { 2 } \rangle
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } ( s M o n _ { i } ( \chi ( 0 ) , N ) ) \ge 1 - \sum _ { j \ne i } \Big ( 1 - \mathbb { P } \big ( T _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) < T _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) \big ) \Big ) } \\ & { \ge 2 - A + \sum _ { j \ne i } \mathbb { P } \left( \frac { T _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) } { \sum _ { k = \chi _ { i } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( k ) } } > 1 - ( d _ { j } - \epsilon ) \right) \cdot \mathbb { P } \left( \frac { T _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) } { \sum _ { k = \chi _ { j } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( k ) } } < 1 + ( d _ { j } - \epsilon ) \right) } \\ & { \ge 2 - A + \left( 1 - e \cdot \exp \left( - ( d _ { i } - \epsilon ) \sqrt { F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) \sum _ { k = \chi _ { i } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( k ) } } \right) \right) } \\ & { \quad \cdot \sum _ { j \ne i } \left( 1 - c _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) \exp \left( - ( d _ { j } - \epsilon ) \sqrt { F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) \sum _ { k = \chi _ { j } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( k ) } } \right) \right) } \\ & { \ge 1 - A \cdot \exp \left( 1 - ( d _ { i } - \epsilon ) \sqrt { F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) \sum _ { k = \chi _ { i } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( k ) } } \right) } \\ & { \quad - \sum _ { j \ne i } c _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) \exp \left( - ( d _ { j } - \epsilon ) \sqrt { F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) \sum _ { k = \chi _ { j } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( k ) } } \right) } \end{array}
I ^ { \mu } ( \tau ) = \frac { 1 } { 2 } \left( n ^ { \mu } \; \bar { n } I ( \tau ) + \bar { n } ^ { \mu } \; n I ( \tau ) - \ell ^ { \mu } \; \bar { \ell } I ( \tau ) - \bar { \ell } ^ { \mu } \; \ell I ( \tau ) \right) \; .
\begin{array} { r l r } { \hat { R } _ { 2 } ^ { ( + 2 ) } } & { = } & { \sum _ { D ( + 2 ) } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { | \Phi _ { D ( + 2 ) } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { D ( + 2 ) } ^ { ( 0 ) } | } { E _ { \gamma } ^ { ( 0 ) } - E _ { D ( + 2 ) } ^ { ( 0 ) } } , } \\ { \hat { R } _ { 2 } ^ { ( \pm 0 ) } } & { = } & { \sum _ { D ( \pm 0 ) } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { | \Phi _ { D ( \pm 0 ) } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { D ( \pm 0 ) } ^ { ( 0 ) } | } { E _ { \gamma } ^ { ( 0 ) } - E _ { D ( \pm 0 ) } ^ { ( 0 ) } } , } \\ { \hat { R } _ { 2 } ^ { ( - 2 ) } } & { = } & { \sum _ { D ( - 2 ) } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { | \Phi _ { D ( - 2 ) } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { D ( - 2 ) } ^ { ( 0 ) } | } { E _ { \gamma } ^ { ( 0 ) } - E _ { D ( - 2 ) } ^ { ( 0 ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } + \gamma \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { = \gamma \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } \\ { \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \partial _ { t } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \partial _ { x } \ensuremath { p ^ { ( 2 ) } } + \ensuremath { \rho u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { = \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } \ensuremath { p ^ { ( 2 ) } } + \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } \\ { \partial _ { t } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } } & { = \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } } \\ { \partial _ { t } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } } & { = \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { F i t t } _ { R _ { n } ^ { \chi } } ( S e l _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { n } ) _ { R _ { n } ^ { \chi } } ) } & { \subseteq } & { \mathrm { F i t t } _ { R _ { n } ^ { \chi } } ( S e l _ { \Sigma \cup J } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { n } ) _ { R _ { n } ^ { \chi } } = } \\ & { = } & { ( \Theta _ { \Sigma \cup J } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { n } / F ) \cdot u _ { 1 } ) _ { R _ { n } ^ { \chi } } ( N I _ { v } , 1 - \sigma _ { v } ^ { - 1 } e _ { v } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 1 1 1 } ^ { ( 4 ) } } & { = 2 C _ { 1 1 1 2 } ^ { ( 4 ) } = 2 C _ { 1 1 2 2 } ^ { ( 4 ) } = 2 C _ { 1 1 5 5 } ^ { ( 4 ) } = 2 C _ { 1 2 6 6 } ^ { ( 4 ) } = 2 C _ { 4 4 4 4 } ^ { ( 4 ) } } \\ { C _ { 1 1 2 3 } ^ { ( 4 ) } } & { = C _ { 1 1 4 4 } ^ { ( 4 ) } = C _ { 1 2 5 5 } ^ { ( 4 ) } = C _ { 1 4 5 6 } ^ { ( 4 ) } = C _ { 4 4 5 5 } ^ { ( 4 ) } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { 2 } ( \tau ) \propto 1 + 2 \exp { \left( - \left( \frac { \tau } { \tau _ { g } } \right) ^ { 2 } \right) } } & { + 4 \exp { \left( - \frac { a ^ { 2 } + 3 } { 4 } \left( \frac { \tau } { \tau _ { g } } \right) ^ { 2 } \right) } \cos { \left( \frac { a } { 2 } \left( \frac { \tau } { \tau _ { g } } \right) ^ { 2 } \right) } \cos { ( 2 \pi f _ { 0 } \tau ) } } \\ & { + 4 \exp { \left( - ( a ^ { 2 } + 1 ) \left( \frac { \tau } { \tau _ { g } } \right) ^ { 2 } \right) } \cos { ( 4 \pi f _ { 0 } \tau ) } , } \end{array}
{ C _ { 7 } } \mathrm { { = } } [ ( i { C _ { 1 } } { C _ { 4 } } { C _ { 5 } } { C _ { 6 } } - \Omega _ { c } ^ { 2 } ) { \Omega _ { m } } + i { C _ { 1 } } { C _ { 5 } } { \Omega _ { m } } ( \Omega _ { p } ^ { 2 } - \Omega _ { m } ^ { 2 } ) ]
\begin{array} { r l } { 0 \leq Q ( \Bar { w } _ { T } , \bar { w } _ { T } ^ { * } ) \leq } & { \frac { \lambda _ { 2 } \mu ^ { T } } { 1 - \mu } \left[ \mathrm { K L } ( \bar { p } _ { T } ^ { * } \| p _ { 0 } ) + \mathrm { K L } ( \bar { q } _ { T } ^ { * } \| q _ { 0 } ) \right] } \\ & { + 8 \epsilon + ( 1 0 \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 3 2 ) T ^ { - J } . } \end{array}
= \frac { \delta } { \delta \phi _ { 1 } ( \textbf { x } ) } \left[ \int d ^ { 3 } x \phi _ { 1 } ( \textbf { x } ) \delta ^ { 3 } ( X _ { g y } + \rho - x ) \right] \circ \hat { \chi } _ { } ( \textbf { x } )
\begin{array} { r l } { \gamma _ { r } ^ { \prime } ( v ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \gamma _ { r } ( v ) } & { \mathrm { f o r ~ a l l ~ v \neq ~ u ~ } , } \\ { \gamma _ { r } [ b _ { u } ] _ { + } - \gamma _ { r } ( u ) + [ \delta ( u ) ] _ { + } + [ { \epsilon } ( u ) ] _ { + } - [ r _ { \epsilon } ( \delta ) ( u ) ] _ { + } } & { \mathrm { f o r ~ a l l ~ v = u ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\Hat { u } ( x , t _ { k + 1 } ) = \sum _ { ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) \in D } A _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \omega _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } K _ { \delta } ( x , X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) 1 _ { \{ t _ { k } < \zeta ( X ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \circ \tau _ { t _ { k } } ) \} } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { x \in D _ { d } } \left| \int _ { D _ { p } } \psi ( x , y ) d K ( x , \cdot ) ( y ) - \sum _ { j \in J _ { n } } \psi ( x , y _ { j } ^ { n } ) K ( x , I _ { j } ^ { n } ) \right| } & { = \operatorname* { s u p } _ { x \in D _ { d } } \left| \sum _ { j \in J _ { n } } \int _ { I _ { j } ^ { n } } \left( \psi ( x , y ) - \psi ( x , y _ { j } ^ { n } ) \right) d K ( x , \cdot ) ( y ) \right| } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { x \in D _ { d } } \sum _ { j \in J _ { n } } \underbrace { \operatorname* { s u p } _ { y \in I _ { j } ^ { n } } | \psi ( x , y ) - \psi ( x , y _ { j } ^ { n } ) | } _ { \leq \epsilon \| K \| _ { D _ { d } , D _ { p } , \varepsilon } ^ { - 1 } } | K | ( x , I _ { j } ^ { n } ) } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { x \in D _ { d } } \epsilon \| K \| _ { D _ { d } , D _ { p } , \varepsilon } ^ { - 1 } \underbrace { \sum _ { j \in J _ { n } } | K | ( x , I _ { j } ^ { n } ) } _ { = | K | ( x , D _ { p } ) } = \epsilon } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla _ { x } P ( x _ { \pi } ( t ) , t ) \| \le } & { \| \nabla _ { x } P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + T ) , t _ { 0 } + T ) \| } \\ & { + \| \nabla _ { x } P ( x _ { \pi } ( t ) , t ) - \nabla _ { x } P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + T ) , t _ { 0 } + T ) \| } \\ { \le } & { \frac { \rho } { 2 } + L _ { 2 P x } \| x _ { \pi } ( t ) - x _ { \pi } ( t _ { 0 } + T ) \| + L _ { 2 P t } \| t - T \| . } \end{array}
e ^ { 2 } = 1 + { \cfrac { 4 } { 0 + { \cfrac { 2 ^ { 2 } } { 6 + { \cfrac { 2 ^ { 2 } } { 1 0 + { \cfrac { 2 ^ { 2 } } { 1 4 + \ddots \, } } } } } } } } = 7 + { \cfrac { 2 } { 5 + { \cfrac { 1 } { 7 + { \cfrac { 1 } { 9 + { \cfrac { 1 } { 1 1 + \ddots \, } } } } } } } }
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { x y } [ h ( x , y ) - \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \Psi ( i ) x ^ { i } ] } & { = } & { \frac { a } { y } [ h ( x , y ) - \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \Psi ( i ) x ^ { i } ] + \frac { b } { x } h ( x , y ) + c h ( x , y ) , } \\ { h ( x , y ) [ 1 - ( a x + b y + c x y ) ] } & { = } & { \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \Psi ( i ) x ^ { i } - a \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \Psi ( i ) x ^ { i + 1 } } \\ & { = } & { \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } [ \Psi ( k ) - a \Psi ( k - 1 ) ] x ^ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { A } _ { ( \ell _ { 1 } m _ { 1 } n _ { 1 } ) ( \ell _ { 2 } n _ { 2 } m _ { 2 } ) } } & { { } = A _ { ( \ell _ { 1 } n _ { 1 } ) ( \ell _ { 1 } n _ { 2 } ) } \delta _ { \ell _ { 1 } - \ell _ { 2 } } \delta _ { m _ { 1 } - m _ { 2 } } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \tilde { B } _ { ( \ell _ { 1 } m _ { 1 } n _ { 1 } ) ( \ell _ { 2 } n _ { 2 } m _ { 2 } ) } } & { { } = B _ { ( \ell _ { 1 } n _ { 1 } ) ( \ell _ { 1 } n _ { 2 } ) } \delta _ { \ell _ { 1 } - \ell _ { 2 } } \delta _ { m _ { 1 } - m _ { 2 } } , } \end{array}
\Gamma = \epsilon ^ { 2 } \left[ \begin{array} { l l l l l l l l l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 . 5 4 2 + 3 . 4 2 8 i } & { 0 } & { 0 } & { 0 . 0 1 4 + 0 . 0 4 7 i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 . 5 4 2 - 3 . 4 2 8 i } & { 0 } & { 0 } & { - 0 . 1 8 - 0 . 0 0 7 i } & { 0 } & { 0 . 1 8 + 0 . 0 0 7 i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 0 . 1 8 + 0 . 0 0 7 i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 . 0 1 4 - 0 . 0 4 7 i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 . 1 8 - 0 . 0 0 7 i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r } & { \langle N \vert \langle \Psi ^ { J M n } \vert \hat { H } \vert \Psi ^ { J ^ { \prime } M ^ { \prime } n ^ { \prime } } \rangle \vert N ^ { \prime } \rangle = E ^ { J n } \delta _ { J J ^ { \prime } } \delta _ { n n ^ { \prime } } \delta _ { M M ^ { \prime } } \delta _ { N N ^ { \prime } } } & \\ & { - \frac { g } { e a _ { 0 } } \Big ( \sqrt { N ^ { \prime } + 1 } \delta _ { N N ^ { \prime } + 1 } + \sqrt { N ^ { \prime } } \delta _ { N N ^ { \prime } - 1 } \Big ) \sum _ { k = - 1 } ^ { 1 } \langle \Psi ^ { J M n } \vert { D _ { 0 k } ^ { 1 } } ^ { * } \mu ^ { \mathrm { B F } , ( 1 , k ) } \vert \Psi ^ { J ^ { \prime } M ^ { \prime } n ^ { \prime } } \rangle } \\ & { - \frac { ( g / e a _ { 0 } ) ^ { 2 } } { \sqrt { 6 } } \Big ( \sqrt { ( N ^ { \prime } + 1 ) ( N ^ { \prime } + 2 ) } \delta _ { N , N ^ { \prime } + 2 } + ( 2 N ^ { \prime } + 1 ) \delta _ { N , N ^ { \prime } } + \sqrt { N ^ { \prime } ( N ^ { \prime } - 1 ) } \delta _ { N , N ^ { \prime } - 2 } \Big ) \times } \\ & { \Bigg [ \sum _ { k = - 2 } ^ { 2 } \langle \Psi ^ { J M n } \vert { D _ { 0 k } ^ { 2 } } ^ { * } \alpha ^ { \mathrm { B F } , ( 2 , k ) } \vert \Psi ^ { J ^ { \prime } M ^ { \prime } n ^ { \prime } } \rangle - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \langle \Psi ^ { J M n } \vert \alpha ^ { \mathrm { B F } , ( 0 ) } \vert \Psi ^ { J ^ { \prime } M ^ { \prime } n ^ { \prime } } \rangle \Bigg ] } \\ & { + \delta _ { N N ^ { \prime } } \delta _ { M M ^ { \prime } } \frac { ( g / e a _ { 0 } ) ^ { 2 } } { \hbar \omega _ { \mathrm { c } } } \sum _ { k , k ^ { \prime } = - 1 } ^ { 1 } \sum _ { J ^ { \prime \prime } , n ^ { \prime \prime } } \langle \Psi ^ { J M n } \vert { D _ { 0 k } ^ { 1 } } ^ { * } \mu ^ { \mathrm { B F } , ( 1 , k ) } \vert \Psi ^ { J ^ { \prime \prime } M n ^ { \prime \prime } } \rangle \langle \Psi ^ { J ^ { \prime \prime } M n ^ { \prime \prime } } \vert { D _ { 0 k ^ { \prime } } ^ { 1 } } ^ { * } \mu ^ { \mathrm { B F } , ( 1 , k ^ { \prime } ) } \vert \Psi ^ { J ^ { \prime } M ^ { \prime } n ^ { \prime } } \rangle , } \end{array}
\bar { g } _ { v \to x } = \int _ { 0 } ^ { \infty } K ( t ) d t = q \gamma { \tau _ { \mathrm { r } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } = \kappa N X _ { \mathrm { T } } ( 1 - p ) f ( 1 - f ) { \tau _ { \mathrm { m } } }
\begin{array} { l l l } { { \omega _ { I m } } } & { { \rightarrow \omega _ { I m } ^ { \prime } } } & { { = \omega _ { I m } + \partial _ { m } h _ { I } } } \\ { { \phi _ { I } } } & { { \rightarrow \phi _ { I } ^ { \prime } } } & { { = \phi _ { I } - h _ { I } + k _ { I } , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { \prime } } & { { } = \sum _ { j } [ \omega _ { a } a _ { j } ^ { \dag } a _ { j } - \xi ( a _ { j + 1 } ^ { \dag } a _ { j } + H . c . ) + \omega _ { b } b _ { j } ^ { \dag } b _ { j } - \xi ( b _ { j + 1 } ^ { \dag } b _ { j } + H . c . ) ] } \end{array}
\left\langle \gamma , Z _ { t } ^ { \prime } \right\rangle = \left\langle \nabla \gamma , q \frac { \delta H } { \delta u } \right\rangle = \left\langle \nabla \gamma , m q \right\rangle , \forall \gamma \in ( \mathring { \mathbb { V } } _ { h } ^ { 0 } ) ^ { \perp } .