harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ R ~ e ~ s ~ } \left[ \Gamma ( \lambda ^ { \prime } - \nu ^ { \prime } ) , z _ { n } ^ { \prime } = \frac { \lambda ^ { \prime } + n } { \sqrt { \gamma ^ { 2 } + ( \lambda ^ { \prime } + n ) ^ { 2 } } } - \frac { \omega } { 2 } \right] } \\ { = - \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ! } \frac { \left( 1 - \frac { ( \lambda ^ { \prime } + n ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } + ( \lambda ^ { \prime } + n ) ^ { 2 } } \right) ^ { 3 / 2 } } { \gamma } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } [ E ^ { * } ( \Omega _ { \delta } ; z _ { 1 } ^ { \delta , + } , \ldots , z _ { n - 1 } ^ { \delta , + } ) ] = } & { 1 - \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { j - 1 } \sum _ { ( i _ { 1 , 1 } , \ldots , i _ { 1 , s _ { 1 } } ) , \ldots , ( i _ { j , 1 } , \ldots , i _ { j , s _ { j } } ) } \mathbb { P } [ \mathcal { A } _ { i _ { 1 , 1 } , \ldots , i _ { 1 , s _ { 1 } } } \cap \cdots \cap \mathcal { A } _ { i _ { j , 1 } , \ldots , i _ { j , s _ { j } } } ] , } \end{array}
\left[ \begin{array} { c } { { r } } \\ { { l } } \end{array} \right] = \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { R + L } { ( 1 + < R | L > ) ^ { 1 / 2 } } \pm \frac { R - L } { ( 1 - < R | L > ) ^ { 1 / 2 } } \right] .
\begin{array} { r } { T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } = \rho _ { w } = A ( r ) , ~ ~ ~ T _ { \, \, \, j } ^ { i } = \lambda \, \rho _ { w } \bigg [ \widetilde { B } \, \delta _ { \, j } ^ { i } - \left( 1 + 3 \, \widetilde { B } \right) \frac { x ^ { i } x _ { j } } { r ^ { 2 } } \bigg ] , } \end{array}
\beta _ { j } ^ { 2 ( N - 1 ) } \frac { ( \beta _ { j } - \Delta _ { + } ) ( \beta _ { j } - \Delta _ { - } ) } { ( \beta _ { j } ^ { - 1 } - \Delta _ { + } ) ( \beta _ { j } ^ { - 1 } - \Delta _ { - } ) } = \prod _ { l \neq j } ^ { M - 1 } \frac { 1 - 2 \Delta \beta _ { j } + \beta _ { j } \beta _ { l } } { 1 - 2 \Delta \beta _ { l } + \beta _ { j } \beta _ { l } } \frac { 1 - 2 \Delta \beta _ { j } + \beta _ { j } \beta _ { l } ^ { - 1 } } { 1 - 2 \Delta \beta _ { l } ^ { - 1 } + \beta _ { j } \beta _ { l } ^ { - 1 } } .
\begin{array} { r l } & { \Upsilon ( R , \varphi _ { \cal A } ^ { ( n ) } | p _ { \overline { { K } } \, \overline { { Z } } } ) : = \sum _ { \scriptstyle ( a , k ^ { n } ) \atop { \scriptstyle \in { \cal M } _ { \cal A } ^ { ( n ) } \times T _ { \overline { { K } } } ^ { n } } } \textstyle \frac { \left| \left( \varphi _ { \cal A } ^ { ( n ) } \right) ^ { - 1 } ( a ) \cap T _ { \overline { { Z } } | \overline { { K } } } ^ { n } ( k ^ { n } ) \right| } { \left| T _ { \overline { { K } } \, \overline { { Z } } } ^ { n } \right| } } \\ & { \quad \times \log \left[ 1 + ( \mathrm { e } ^ { n R } - 1 ) \textstyle \frac { \left| \left( \varphi _ { \cal A } ^ { ( n ) } \right) ^ { - 1 } ( a ) \cap T _ { \overline { { Z } } | \overline { { K } } } ^ { n } ( k ^ { n } ) \right| \left| T _ { \overline { { K } } } ^ { n } \right| } { \left| \left( \varphi _ { \cal A } ^ { ( n ) } \right) ^ { - 1 } ( a ) \cap T _ { \overline { { Z } } } ^ { n } \right| \left| T _ { \overline { { K } } \, \overline { { Z } } } ^ { n } \right| } \right] . } \end{array}
\begin{array} { c c c c } { { q _ { 2 } = } } & { { q _ { 1 } + p _ { 1 } + p _ { n } + p _ { n - 1 } + } } & { { \ldots } } & { { + p _ { 3 } } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } \\ { { q _ { j } = } } & { { q _ { 1 } + p _ { 1 } + p _ { n } + p _ { n - 1 } + } } & { { \ldots } } & { { + p _ { j + 1 } } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { } } & { { } } \\ { { q _ { n } = } } & { { q _ { 1 } + p _ { 1 } } } & { { } } & { { } } \end{array}
H = \sum _ { k , \sigma } \epsilon _ { k } c _ { k \sigma } ^ { \dagger } c _ { k \sigma } + \sum _ { j , \sigma } \epsilon _ { f } f _ { j \sigma } ^ { \dagger } f _ { j \sigma } + U \sum _ { j } f _ { j \uparrow } ^ { \dagger } f _ { j \uparrow } f _ { j \downarrow } ^ { \dagger } f _ { j \downarrow } + \sum _ { j , k , \sigma } V _ { j k } ( e ^ { i k x _ { j } } f _ { j \sigma } ^ { \dagger } c _ { k \sigma } + e ^ { - i k x _ { j } } c _ { k \sigma } ^ { \dagger } f _ { j \sigma } )
{ \begin{array} { r l } & { { \mathrm { A t ~ } } x = 1 \colon \ B _ { 1 } = B _ { 2 } = 0 . 5 , \ { \frac { d B _ { 1 } } { d x } } = { \frac { d B _ { 2 } } { d x } } = 1 . } \\ & { { \mathrm { A t ~ } } x = 2 \colon \ B _ { 2 } = B _ { 3 } = 0 . 5 , \ { \frac { d B _ { 2 } } { d x } } = { \frac { d B _ { 3 } } { d x } } = - 1 . } \end{array} }
Y _ { 3 } ^ { 1 } = - { \frac { 1 } { r ^ { 3 } } } \left[ { \frac { 7 } { 4 \pi } } \cdot { \frac { 3 } { 1 6 } } \right] ^ { 1 / 2 } \left( 5 z ^ { 2 } - r ^ { 2 } \right) \left( x + i y \right) = - \left[ { \frac { 7 } { 4 \pi } } \cdot { \frac { 3 } { 1 6 } } \right] ^ { 1 / 2 } \left( 5 \cos ^ { 2 } \theta - 1 \right) \left( \sin \theta e ^ { i \varphi } \right)
j _ { \sigma _ { l } } ^ { i } ( \xi ) = \left( \left. \frac { \partial g ^ { \eta _ { k } } ( g ^ { \prime } , g ) } { \partial g ^ { \sigma _ { l } } } \right| _ { g ^ { \prime } = e } \left. \frac { \partial g _ { \rho _ { k } } ^ { \prime \prime } ( g ^ { \prime } , g ) } { \partial g ^ { \eta _ { k } } } \right| _ { g ^ { \prime } = g ^ { - 1 } } \right) \Lambda ^ { \rho _ { k } i }
B W ( s , F _ { n } , M _ { n } , \Gamma _ { n } ) \; = \; \frac { F _ { n } ^ { 2 } M _ { n } ^ { 5 } \Gamma _ { n } } { ( M _ { n } ^ { 2 } - s ) ^ { 2 } + M _ { n } ^ { 2 } \Gamma _ { n } ^ { 2 } ( s ) } \, .
\alpha _ { s } ( \mu ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { b \ln ( \mu ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) } \; \left[ 1 - \frac { b ^ { \prime } } { b } \: \frac { \ln \ln ( \mu ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) } { \ln ( \mu ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) } \right] .
\frac { \partial P _ { \mathrm { l } } ^ { * } ( S _ { \mathrm { l } } , S _ { \mathrm { r } } ) } { \partial S _ { \mathrm { r } } } = - \frac { e ^ { L / \lambda } \eta _ { \mathrm { r ^ { \prime } } } } { \xi \left( e ^ { 2 L / \lambda } - \eta _ { \mathrm { l ^ { \prime } } } \eta _ { \mathrm { r ^ { \prime } } } \right) } \ .
\begin{array} { r l } { T ( \theta ) = } & { { } j \frac { 4 c _ { \theta } + k ^ { 2 } \chi _ { \mathrm { ~ e ~ e ~ } } ^ { y y } \chi _ { \mathrm { ~ m ~ m ~ } } ^ { x x } c _ { \theta } } { 4 j c _ { \theta } - j k ^ { 2 } \chi _ { \mathrm { ~ e ~ e ~ } } ^ { y y } \chi _ { \mathrm { ~ m ~ m ~ } } ^ { x x } c _ { \theta } } \cdots } \end{array}
W ( \Phi , \Psi ) = M _ { \Phi } \Phi ^ { 2 } + \lambda \Phi ^ { 3 } + M _ { \Psi } \overline { { { \Psi } } } ^ { m } \Psi _ { m } + h \Phi \overline { { { \Psi } } } ^ { m } \Psi _ { m }
\phi = \phi _ { q < 1 } \, = \, \frac { 1 } { \tau } \left( \lambda _ { 0 } - \frac { \varepsilon } { \alpha ^ { \prime } } \right) \qquad \mathrm { w h e r e a s } \qquad \phi = \phi _ { q > 1 } = \frac { \lambda _ { 0 } } { \tau } .
\langle \psi _ { i j k } ^ { ( 0 ) } | H _ { i \bar { \jmath } } | \psi _ { i j k } ^ { ( 0 ) } \rangle = \sum _ { n } c _ { n } ^ { 2 } \langle \psi _ { i \bar { \jmath } ( n ) } ^ { ( k ) } | H _ { i \bar { \jmath } } | \psi _ { i \bar { \jmath } ( n ) } ^ { ( k ) } \rangle .
P ^ { \mathrm { v a c } } ( { { \stackrel { ( - ) } { \nu _ { \mu } } } } \rightarrow { { \stackrel { ( - ) } { \nu _ { \mu } } } } ) = 1 - \sin ^ { 2 } ( 2 \theta ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { 1 . 2 7 \Delta m ^ { 2 } ( \mathrm { e V } ^ { 2 } ) R ( \mathrm { K m } ) } { E _ { \nu } ( \mathrm { G e V } ) } \right) \, ,
Q ^ { 2 } \frac { d } { d Q ^ { 2 } } D ( n , Q ^ { 2 } ) = ( Q ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial Q ^ { 2 } } + \beta ( \bar { \alpha } ) \frac { \partial } { \partial \bar { \alpha } } ) D ( n , Q ^ { 2 } ) = - \gamma ( n , \bar { \alpha } ) D ( n , Q ^ { 2 } ) .
{ \widehat { T } } _ { i j } ^ { ( 2 ) } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \widehat { V } } _ { i } { \widehat { W } } _ { j } + { \widehat { V } } _ { j } { \widehat { W } } _ { i } \right) - { \frac { 1 } { 3 } } { \widehat { V } } _ { k } { \widehat { W } } _ { k } \delta _ { i j } = { \widehat { V } } _ { ( i } { \widehat { W } } _ { j ) } - T _ { i j } ^ { ( 0 ) }
\frac { v ( t ) } { v _ { 0 } } = Z _ { s } + \frac { 2 } { \pi M } \int _ { \epsilon } ^ { \infty } \frac { d \omega } { \omega } \frac { \left[ - \tilde { \Gamma } _ { I m } ( \omega ) \right] \cos ( \omega t ) } { \left[ 1 + \frac { \tilde { \Gamma } _ { R m } ( \omega ) } { M } \right] ^ { 2 } + \left[ \frac { \tilde { \Gamma } _ { I m } ( \omega ) } { M } \right] ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { S _ { A B C D } | _ { \sigma } ^ { \tau ^ { a d } } } & { = S ( \sum _ { e } P _ { a d \rightarrow e } \rho _ { A B C D } ^ { ( a d e ) _ { \mathrm { m a x } } } ) - S ( \sigma _ { A B C D } ) } \\ & { = \sum _ { e } P _ { a d \rightarrow e } ( S _ { A B C D } | _ { \sigma } ^ { \tau ^ { ( a d e ) _ { \mathrm { m a x } } } } - \mathrm { l n } P _ { a d \rightarrow e } ) } \\ & { = \sum _ { e } P _ { a d \rightarrow e } ( \mathrm { l n } ( N _ { [ a d ] } ^ { e } d _ { a } d _ { d } d _ { e } ) - \mathrm { l n } P _ { a d \rightarrow e } ) ~ . } \end{array}
\frac { d \nabla ^ { k } X \left( t \right) } { d t } = \left[ \xi , \nabla ^ { k } X \left( t \right) \right] ^ { A \left( t \right) s } + \sum _ { \substack { k _ { 1 } + k _ { 2 } + k _ { 3 } = k \, k _ { 3 } < k } } \left( \nabla ^ { k _ { 1 } } b _ { A \left( t \right) s } \right) \left( \nabla ^ { k _ { 2 } } \xi , \nabla ^ { k _ { 3 } } X \left( t \right) \right) + \nabla ^ { k } Y ,
w _ { p \bar { a } \bar { b } \bar { c } } = w _ { \bar { p } \bar { a } \bar { b } \bar { c } } + \varepsilon _ { p ( a d } h _ { d \bar { b } \bar { c } ) } + 5 ( 2 1 ) ^ { - 1 } \eta _ { p ( a } w _ { \bar { b } \bar { c } ) } - 2 ( 2 1 ) ^ { - 1 } w _ { p ( \bar { a } } \eta _ { b c ) } ,
\left( \begin{array} { l } { \psi _ { x } } \\ { \psi _ { y } } \end{array} \right) ^ { ( m + 1 ) } = e ^ { - \alpha } M \left( \begin{array} { l } { \psi _ { x } } \\ { \psi _ { y } } \end{array} \right) ^ { ( m ) } + \sqrt { \theta } \, S _ { \mathrm { i n } } \left( \begin{array} { l } { \cos \chi } \\ { \sin \chi } \end{array} \right) .
\sum _ { l \in \textbf { b e l o w } ( s ^ { \prime } ) } z _ { l } ^ { ( 3 ) } \geq \sum _ { l \in \textbf { l e f t } ( s ) } z _ { l } ^ { ( 3 ) } + \sum _ { l \in \textbf { l e f t } ( s ^ { \prime } ) } z _ { l } ^ { ( 3 ) } = 1 \implies \sum _ { l \in \textbf { b e l o w } ( s ^ { \prime } ) } z _ { l } ^ { ( 3 ) } \not \leq x _ { V ( s ^ { \prime } ) C ( s ^ { \prime } ) } ^ { ( 3 ) }
S = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) , ( S ^ { T } ) ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { - 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { 2 \int _ { \mathbb { B } _ { g } \setminus \mathbb { B } _ { f } } | v | ^ { 2 } \, d v } & { = 2 \frac { | \mathbb { S } _ { d - 2 } | } { d + 2 } \int _ { 0 } ^ { \tilde { \theta } } \left( r _ { g } ^ { d + 2 } - \tilde { r } ^ { d + 2 } \right) \sin ^ { d - 2 } \theta \, d \theta } \\ & { \le C \left( r _ { g } ^ { d + 2 } - \left( r _ { f } - U _ { f , g } \right) ^ { d + 2 } \right) \int _ { 0 } ^ { \tilde { \theta } } \sin ^ { d - 2 } \theta \, d \theta } \\ & { \le C \left| r _ { g } ^ { d } - r _ { f } ^ { d } - \sum _ { k = 1 } ^ { d + 2 } ( - 1 ) ^ { k } \ _ { d } C _ { k } r _ { f } ^ { d + 2 - k } U _ { f , g } ^ { k } \right| . } \end{array}
\int _ { u } ^ { t } \frac { \Vert b ^ { m } ( v , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { p , q } ^ { \beta } } } { ( v - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } \mathfrak { L } ( v , s , t , \rho ) \left[ \frac { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } { ( t - v ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } + 1 \right] \mathrm { d } v \lesssim \Vert b ^ { m } \Vert _ { L ^ { r } - \mathbb { B } _ { p , q } ^ { \beta } } .
\beta ( t , a ) = \left( { \frac { 1 } { ( 1 + t ^ { 2 } ) ( 1 + a ^ { 2 } ) } } , t - { \frac { 2 t } { ( 1 + t ^ { 2 } ) ( 1 + a ^ { 2 } ) } } , { \frac { t a } { ( 1 + t ^ { 2 } ) ( 1 + a ^ { 2 } ) } } \right) .
\begin{array} { r } { \bigwedge _ { \begin{array} { c } { Q _ { 1 } \in \{ \forall , \exists , \exists ^ { = 1 } , \dots , \exists ^ { = K } \} , } \\ { Q _ { 2 } \in \{ \forall , \exists , \exists ^ { = 1 } , \dots , \exists ^ { = K } \} } \end{array} } \bigwedge _ { i = 1 } ^ { M } Q _ { 1 } x Q _ { 2 } y \; \Phi _ { i } ^ { Q 1 , Q 2 } ( x , y ) \wedge } \\ { \bigwedge _ { Q \in \{ \forall , \exists , \exists ^ { = 1 } , \dots , \exists ^ { = K } \} } \bigwedge _ { i = 1 } ^ { M ^ { \prime } } Q x \; \Phi _ { i } ^ { Q } ( x ) . } \end{array}
n , \ensuremath { \mathbf { x } } _ { \mathrm { b e s t } } , f _ { \mathrm { b e s t } } , \ensuremath { \mathbf { x } } _ { n + 1 } , f _ { n + 1 } , C _ { \mathrm { f } } , C _ { \mathrm { s } } , \tau _ { \mathrm { f } } , \tau _ { \mathrm { s } } , \sigma _ { n } , \mathcal { A } _ { n }
\begin{array} { l c l } { \displaystyle E _ { 1 } ( \omega ) } & { = } & { \displaystyle - \frac { i z e \omega } { \sqrt { 2 \pi } \, v ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { \epsilon _ { r } ( \omega ) } - \beta ^ { 2 } \right] \, \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \, \, \frac { e ^ { i b k _ { 2 } } } { ( \lambda ^ { 2 } + k _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } \, d k _ { 2 } } \\ { \displaystyle } & { = } & { \displaystyle - \frac { i z e w } { v ^ { 2 } } \left( \frac { 2 } { \pi } \right) ^ { 1 / 2 } \left[ \frac { 1 } { \epsilon _ { r } ( \omega ) - \beta ^ { 2 } } \right] K _ { 0 } ( \lambda b ) } \\ { \displaystyle E _ { 2 } ( \omega ) } & { = } & { \displaystyle \frac { z e } { v } \, \left( \frac { 2 } { \pi } \right) ^ { 1 / 2 } \frac { \lambda } { \epsilon _ { r } ( \omega ) } \, K _ { 1 } ( \lambda b ) } \\ { \displaystyle B _ { 3 } ( \omega ) } & { = } & { \displaystyle \epsilon _ { r } ( \omega ) \, \beta \, E _ { 2 } ( \omega ) } \end{array}
H _ { \mathrm { X Y } } = - { \frac { J } { 2 } } \sum _ { i < j } \frac { a ^ { 3 } } { r _ { i j } ^ { 3 } } ( \sigma _ { i } ^ { x } \sigma _ { j } ^ { x } + \sigma _ { i } ^ { y } \sigma _ { j } ^ { y } ) ,
\begin{array} { r l } & { f \left( \omega _ { k _ { 0 } } , \cdots , \omega _ { K - 1 } \right) } \\ { = } & { \mathbb { E } \left[ \alpha x ^ { 2 } ( k ) + \beta u ^ { 2 } ( k ) + \gamma x ( k ) u ( k ) + \epsilon x ( k ) + \zeta u ( k ) + \psi \right] } \\ { = } & { \alpha \mathbb { E } \left[ x ^ { 2 } ( k ) \right] + \beta \mathbb { E } \left[ u ^ { 2 } ( k ) \right] + \gamma \mathbb { E } [ x ( k ) ] \mathbb { E } [ u ( k ) ] + \epsilon \mathbb { E } [ x ( k ) ] } \\ { + } & { \zeta \mathbb { E } [ u ( k ) ] + \psi } \end{array}
\frac { \partial T } { \partial t } + \boldsymbol { \nabla } \cdot ( \boldsymbol { u _ { c p } } T ) = \sqrt { \frac { 1 } { R a P r } } \boldsymbol { \nabla } \cdot ( { \tilde { \lambda _ { c p } } \boldsymbol { \nabla } T } ) ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } C _ { x x } ( t ) } & { { } = - w _ { r } \, C _ { x x } ( t ) + \mu \, { \cal F } \, C _ { \theta x } ( t ) \, , } \\ { \partial _ { t } C _ { x \theta } ( t ) } & { { } = - w _ { r } \, C _ { x \theta } ( t ) + \mu \, { \cal F } \, C _ { \theta \theta } ( t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underline { { \mathrm { A r t i f i c i a l ~ D i s s i p a t i o n ~ ( A D ) } } } : \quad \hat { \mathcal { G } } _ { \mathrm { A D } } } & { = \hat { \mathcal { G } } _ { \mathrm { R K } } \left( \beta _ { \mathrm { o } } \Delta t + \beta _ { \mathrm { A D } } \Delta t \right) , \ \mathrm { w i t h } \ \beta _ { \mathrm { A D } } = \frac { \lvert \lambda ^ { \prime } \rvert } { ( \Delta x ) } \cdot \overbrace { \left[ \hat { \mathcal { G } } _ { \mathrm { f i l } } - 1 \right] } ^ { \hat { \mathcal { D } } _ { \mathrm { f i l } } } } \\ { \underline { { \mathrm { R e s i d u a l ~ F i l t e r i n g ~ ( R F ) } } } : \quad \hat { \mathcal { G } } _ { \mathrm { R F } } } & { = \hat { \mathcal { G } } _ { \mathrm { R K } } \left( \hat { \mathcal { G } } _ { \mathrm { f i l } } \cdot ( \beta _ { \mathrm { o } } \Delta t ) \right) } \\ { \underline { { \mathrm { S o l u t i o n ~ F i l t e r i n g ~ ( S F ) } } } : \quad \hat { \mathcal { G } } _ { \mathrm { S F } } } & { = \hat { \mathcal { G } } _ { \mathrm { f i l } } \cdot \hat { \mathcal { G } } _ { \mathrm { R K } } \left( \beta _ { \mathrm { o } } \Delta t \right) } \end{array}
V ( x , y , z ) = k V _ { e n d } \frac { z ^ { 2 } - \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 2 } } { z _ { 0 } ^ { 2 } } \ - \ V _ { R F } \frac { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { 2 r _ { 0 } ^ { 2 } } \ \cos ( \Omega _ { R F } t )
\begin{array} { r l } { H ( t _ { 1 } + \Delta t , \textbf { y } _ { 1 } ) } & { \approx H ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) + \frac { \partial H ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) } { \partial t } \cdot \Delta t + ( \nabla H ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) ) ^ { T } \Big ( \Delta \textbf { x } ( t _ { 1 } ^ { - } ) + v ^ { - } ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) \cdot \Delta t \Big ) } \\ & { = ( \nabla H ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) ) ^ { T } \Big ( \Delta \textbf { x } ( t _ { 1 } ^ { - } ) + v ^ { - } ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) \cdot \Delta t \Big ) + \frac { \partial H ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) } { \partial t } \cdot \Delta t } \\ & { = 0 , } \end{array}
\exp \left( \sum _ { \rho } \mathcal { A } _ { \rho } ^ { \ast } \right) = S _ { - N } ^ { 1 } \sum _ { i } a _ { i } \left( \mathbb { S } _ { - } \right) \prod _ { j } ( e ^ { \mathcal { A } _ { j } ^ { \ast } } ) ^ { \alpha _ { i j } } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { K - 2 } \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| + \sum _ { k = K - 1 } ^ { \infty } \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| } \\ & { \leqslant 4 m ~ \psi \left( \frac { 1 } { 2 m } \left( \operatorname* { s u p } _ { X _ { 0 } } f - \operatorname* { m i n } _ { B ( \overline { { \Phi } } _ { 0 } , \epsilon ) } f \right) \right) + 2 m L \bar { \alpha } + \operatorname* { m a x } \{ 0 , \sigma ( X _ { 1 } , \bar { \alpha } ) \} . } \end{array}
I ( k , j , N ) \, = \, \delta _ { j k } \, \frac { k ( k - 1 ) \cdots 1 } { ( N + 1 ) \cdots ( N + 2 - k ) } \ I ( 0 , 0 , N - k ) \, = \, \frac { k ! ( N - k ) ! } { ( N + 1 ) ! } \, \pi \, \delta _ { j k } \ \ .
\theta _ { \mathrm { L G } } = \operatorname* { m i n } ( \theta _ { \mathrm { l g } } ) , \quad \theta _ { \mathrm { B L } } = \operatorname* { m a x } ( \theta _ { \mathrm { b l } } ) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \theta _ { \mathrm { B G } } = \operatorname* { m i n } ( \theta _ { \mathrm { b l } } ) .
K _ { i i } = - \frac { \pi \alpha } { m ^ { 2 } } \left\{ \begin{array} { l l } { { \sqrt { \gamma } \; A _ { i i } ( \theta , \theta ^ { \prime } , \gamma ) } } & { { \mathrm { i f ~ \ g a m m a \leq ~ 1 ~ } } } \\ { { { \frac { 1 } { \sqrt \gamma } } \; A _ { i i } ( \theta , \theta ^ { \prime } , 1 / \gamma ) } } & { { \mathrm { i f ~ \ g a m m a \geq ~ 1 ~ } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \sum _ { \alpha = 1 , 2 } \tilde { \rho } _ { \alpha } \mathbf { w } _ { \alpha } \otimes \mathbf { w } _ { \alpha } = \frac { \rho \mathbf { J } \otimes \mathbf { J } } { 2 \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } ( 1 - \phi ^ { 2 } ) } . } \end{array}
A ( B _ { d } ^ { 0 } \to [ \rho ^ { + } \rho ^ { - } ] _ { f } ) = \left( 1 - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } \right) { \cal C } _ { f } \, e ^ { i \gamma } \left[ 1 - d _ { f } \, e ^ { i \Theta _ { f } } e ^ { - i \gamma } \right] ,
\mathrm { S y m } _ { \Omega } ^ { \mathrm { c } } \left( v _ { 0 } \right) = \left\{ \sigma \in \mathrm { S y m } _ { \Omega } \middle | v _ { 0 } \; \textnormal { a n d } \; \sigma \cdot v _ { 0 } \; \textnormal { i n t h e s a m e c o n n e c t e d c o m p o n e n t . } \right\} .
\begin{array} { r l } { D _ { \mathbf { P } } ^ { \boldsymbol { \alpha } } \psi } & { = \sum _ { \boldsymbol { \beta } \le \boldsymbol { \alpha } } { \binom { \boldsymbol { \alpha } } { \boldsymbol { \beta } } } D _ { \mathbf { P } } ^ { \boldsymbol { \beta } } \big ( e ^ { F } \big ) \phi _ { \boldsymbol { \alpha } - \boldsymbol { \beta } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| \mathrm { s i g n } ( A ) - \frac { 1 } { 1 + \varepsilon ^ { \prime } } P _ { \varepsilon _ { \mathrm { s i g n } } , \Delta } ^ { \mathrm { s i g n } } ( \tilde { A } ) \right\| } \\ & { \leq \frac { 1 } { 1 + \varepsilon ^ { \prime } } \left( \| \mathrm { s i g n } ( A ) - P _ { \varepsilon _ { \mathrm { s i g n } } , \Delta } ^ { \mathrm { s i g n } } ( \tilde { A } ) \| + \| \varepsilon ^ { \prime } \mathrm { s i g n } ( A ) \| \right) } \\ & { \leq \frac { \varepsilon ^ { \prime } + \varepsilon ^ { \prime } } { 1 + \varepsilon ^ { \prime } } < 2 \varepsilon ^ { \prime } , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \begin{array} { l l l } { \bar { P } _ { i } } & { \star } & { \star } \\ { A _ { i } + B \bar { K } _ { i } ( \pi _ { + } ) } & { \operatorname { H e } ( Z _ { i } ) } & { \star } \\ { 0 } & { P ( \pi _ { + } ) Z _ { i } } & { P ( \pi _ { + } ) } \end{array} } \end{array} \right] \succ 0 , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } i \in \mathcal { N } , \pi _ { + } \in \mathbb { P } ,
d = { \frac { - 2 [ \mathbf { u } \cdot ( \mathbf { o } - \mathbf { c } ) ] \pm { \sqrt { ( 2 [ \mathbf { u } \cdot ( \mathbf { o } - \mathbf { c } ) ] ) ^ { 2 } - 4 \left\Vert \mathbf { u } \right\Vert ^ { 2 } ( \left\Vert \mathbf { o } - \mathbf { c } \right\Vert ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) } } } { 2 \left\Vert \mathbf { u } \right\Vert ^ { 2 } } } = { \frac { - [ \mathbf { u } \cdot ( \mathbf { o } - \mathbf { c } ) ] \pm { \sqrt { ( \mathbf { u } \cdot ( \mathbf { o } - \mathbf { c } ) ) ^ { 2 } - \left\Vert \mathbf { u } \right\Vert ^ { 2 } ( \left\Vert \mathbf { o } - \mathbf { c } \right\Vert ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) } } } { \left\Vert \mathbf { u } \right\Vert ^ { 2 } } }
\left\{ \begin{array} { r l } { a _ { 0 } } & { = \left( \sqrt { x _ { 0 } ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } } - \rho \right) q } \\ { z _ { 0 } } & { = z _ { i n i t } - 2 \rho \cot { \theta } \arcsin { \sqrt { \frac { x _ { i n i t } ^ { 2 } + y _ { i n i t } ^ { 2 } - a _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \rho ^ { 2 } + 4 q a _ { 0 } \rho } } } } \\ { \varphi _ { 0 } } & { = \arctan { y _ { 0 } / x _ { 0 } } + \frac { 1 } { 2 } q \pi } \\ { \cot } & { \theta = \frac { p _ { z } } { p _ { T } } } \\ { q _ { p _ { T } } } & { = \frac { q } { p _ { T } } } \end{array} \right. ,
( \theta ^ { i j } ) = \left( \begin{array} { c c c c } { { \theta _ { 1 } { \bf \epsilon } } } & { { 0 } } & { { \dots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \theta _ { 2 } { \bf \epsilon } } } & { { \dots } } & { { 0 } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \dots } } & { { \theta _ { p } { \bf \epsilon } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \alpha _ { n , 0 } } & { = 1 } \\ { \alpha _ { n , 1 } } & { = \alpha _ { n - 1 , 1 } + \alpha _ { n - 1 , 0 } } \\ { \alpha _ { n , k } } & { = \alpha _ { n - 1 , k } + \alpha _ { n - 1 , k - 1 } + \alpha _ { n - 1 , k - 2 } - \alpha _ { n - 2 , k - 2 } \mathrm { ~ \ f o r ~ 1 < k < n - 1 ~ } } \\ { \alpha _ { n , n - 1 } } & { = \alpha _ { n - 1 , n - 1 } + \alpha _ { n - 1 , n - 2 } + \alpha _ { n - 1 , n - 3 } - \alpha _ { n - 2 , n - 3 } + 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { k ^ { ( 2 ) } \mathrm { m a x } \left( \nu _ { ( i + 1 , j , k ) } ^ { d } , \nu _ { ( i , j , k ) } ^ { d } \right) \, \mathrm { , } } \\ { \epsilon _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } ^ { ( 4 ) } } & { = } & { \mathrm { m a x } \left[ 0 , k ^ { ( 4 ) } - \epsilon _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } ^ { ( 2 ) } \right] \, \mathrm { ~ . } } \end{array}
\langle O \rangle _ { \beta } = \frac { 1 } { Z _ { \sigma } ( \beta ) Z _ { \tau } ( \beta ) } \sum _ { i , x , y } \frac { O _ { i x y } } { \sum _ { j } n _ { j } Z _ { \sigma , j } ^ { - 1 } Z _ { \tau , j } ^ { - 1 } \exp [ - ( \beta - \beta _ { j } ) ( E _ { i x } + E _ { i y } ) ] } ,