harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { P \left\{ \widehat { R } _ { n } ( h _ { \mathcal { H } _ { \sigma } ( L , N , B , F , S ) } ) - R ( h _ { \mathcal { H } _ { \sigma } ( L , N , B , F , S ) } ) > \varepsilon \right\} } & { \leq \exp \left( - \frac { n ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } / 2 } { A _ { n } + B _ { n } ^ { 1 / ( \mu + 2 ) } ( n \varepsilon ) ^ { ( 2 \mu + 3 ) / ( \mu + 2 ) } } \right) } \\ & { \leq \exp \left( - \frac { n ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } } { C _ { 1 } n + 2 C _ { 2 } ^ { 1 / \mu + 2 } ( 2 n M ) ^ { ( 2 \mu + 3 ) / ( \mu + 2 ) } } \right) } \\ & { \leq \exp ( - C _ { n } ^ { \prime } \varepsilon ^ { 2 } ) , } \end{array}
G = \left\{ \left( \begin{array} { c c } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } \\ { 0 } & { a _ { 2 2 } } \end{array} \right) \ \mathrm { w h e r e } \ \begin{array} { l l } { a _ { 1 1 } , a _ { 2 2 } \neq 0 } & { \mathrm { i f } \ \mathbb { K } = \mathbb { C } } \\ { a _ { 1 1 } , a _ { 2 2 } > 0 } & { \mathrm { i f } \ \mathbb { K } = \mathbb { R } } \end{array} \ \ \mathrm { a n d } \ \ a _ { 1 2 } \in W \ \right\}
\begin{array} { r } { \frac { W } { n _ { 0 e } T _ { 0 e } } = \int \frac { \mathrm { d } ^ { 3 } \vec { r } } { V } \left[ \frac { 1 } { 2 \bar { \tau } } \left( 1 + \frac { 1 } { \bar { \tau } } \right) \varphi ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } \frac { \delta T _ { e } ^ { 2 } } { T _ { 0 e } ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \cos { \theta } \cos { \psi } } & { = } & { \frac { \xi _ { 1 } \dot { \xi } _ { 2 } - \dot { \xi _ { 1 } } \xi _ { 2 } } { \sqrt { a _ { 2 } ( t ) } } , \quad \; \; \sin { \theta } \cos { \psi } = \frac { \ddot { \xi } _ { 1 } \xi _ { 2 } - \xi _ { 1 } \ddot { \xi _ { 2 } } } { \sqrt { a _ { 2 } ( t ) } } , } \\ { \sin { \psi } } & { = } & { - \frac { \dot { \xi } _ { 1 } \ddot { \xi _ { 2 } } - \ddot { \xi } _ { 1 } \dot { \xi _ { 2 } } } { \sqrt { a _ { 2 } ( t ) } } , \quad \theta ( 0 ) = 0 , \quad \psi ( 0 ) = 0 . } \end{array}
\langle H \rangle = 2 Z ^ { 2 } E _ { 1 } + 2 ( Z - 2 ) { \Bigg ( } { \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } } { \Bigg ) } \left\langle { \frac { 1 } { r } } \right\rangle + \left\langle V _ { e e } \right\rangle
\begin{array} { r l } { R } & { : = \varphi ( \tilde { \zeta } _ { s } + \tilde { \zeta } _ { s + \delta } - \tilde { \zeta } _ { s } ) - \varphi ( \tilde { \zeta } _ { s } ) + \frac { 1 } { 2 } \langle A ( \tilde { \xi } _ { s + \delta } - \tilde { \xi } _ { s } ) , \tilde { \xi } _ { s + \delta } - \tilde { \xi } _ { s } \rangle } \\ & { \mathrm { ~ \ ~ \ } + \langle A \tilde { \xi } _ { s } , \tilde { \xi } _ { s + \delta } - \tilde { \xi } _ { s } \rangle + \langle p , \tilde { \eta } _ { s + \delta } - \tilde { \eta } _ { s } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { 0 } } & { { } \sim \mathrm { ~ N ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } \left( \begingroup \left[ \begin{array} { l } { + \frac { 0 . 1 } { \sqrt { 2 } } } \\ { - \frac { 0 . 1 } { \sqrt { 2 } } } \end{array} \right] \endgroup , \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \right) } \\ { X _ { 1 } } & { { } \sim \mathrm { ~ N ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } \left( \begingroup \left[ \begin{array} { l } { - \frac { 0 . 1 } { \sqrt { 2 } } } \\ { + \frac { 0 . 1 } { \sqrt { 2 } } } \end{array} \right] \endgroup , \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \hbar \frac { \partial } { \partial t } \delta _ { C } } & { { } = ( \hat { E } _ { C } - \hbar \omega _ { p } - i \hbar \gamma _ { C } ) \delta _ { C } + \frac { \hbar \tilde { \Omega } _ { R } } { 2 } \frac { \psi _ { X } ^ { s s } } { \psi _ { C } ^ { s s } } \delta _ { X } , } \\ { i \hbar \frac { \partial } { \partial t } \delta _ { C } ^ { * } } & { { } = - ( \hat { E } _ { C } - \hbar \omega _ { p } + i \hbar \gamma _ { C } ) \delta _ { C } ^ { * } - \frac { \hbar \tilde { \Omega } _ { R } } { 2 } \frac { \psi _ { X } ^ { s s } } { \psi _ { C } ^ { s s } } \delta _ { X } ^ { * } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \quad x ^ { k } } & { = \, \, \mathrm { p r o x } _ { t _ { k } f } ( p ^ { k } ) } \\ { \quad \tilde { y } ^ { k } } & { = \, \, \mathrm { p r o x } _ { s _ { k } g ^ { * } } ( \tilde { q } ^ { k } ) } \\ { \; \; \left[ \begin{array} { l } { u ^ { k } } \\ { \tilde { v } ^ { k } } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbb I } & { t _ { k } K ^ { * } } \\ { - s _ { k } K } & { \mathbb I } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { 2 x ^ { k } - p ^ { k } } \\ { 2 \tilde { y } ^ { k } - \tilde { q } ^ { k } } \end{array} \right] } \\ { \quad p ^ { k + 1 } } & { = \, \, p ^ { k } + u ^ { k } - x ^ { k } } \\ { \quad \tilde { q } ^ { k + 1 } } & { = \, \, \tilde { q } ^ { k } + \tilde { v } ^ { k } - \tilde { y } ^ { k } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { ~ a ~ s ~ y ~ } } ^ { ( 1 , 2 ) } ( \tau , \bar { n } , \bar { n } _ { B } ) } & { { } \rightarrow \frac { n } { N } R _ { \mathrm { ~ a ~ s ~ y ~ } } ^ { ( 1 , 2 ) } ( \tau ^ { \prime } , \bar { n } ^ { \prime } , \bar { n } _ { B } ^ { \prime } ) , } \\ { R _ { \mathrm { ~ a ~ s ~ y ~ } } ^ { ( 3 ) } ( \tau , \bar { n } ) } & { { } \rightarrow \frac { n } { N } R _ { \mathrm { ~ a ~ s ~ y ~ } } ^ { ( 3 ) } ( \tau ^ { \prime } , \bar { n } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { } } & { { = } } & { { [ j _ { k } - j _ { k - 1 } ] \langle j _ { k } , - j _ { k - 1 } \vert j _ { k - 1 } , - j _ { k - 1 } \rangle } } \\ { { } } & { { = } } & { { [ j _ { k } - j _ { k - 1 } ] \langle j _ { k } , - j _ { k - 1 } \vert \displaystyle \frac { f ^ { 2 j _ { k - 1 } } } { [ 2 j _ { k - 1 } ] ! } \vert j _ { k - 1 } , j _ { k - 1 } \rangle } } \\ { { } } & { { = } } & { { [ j _ { k } - j _ { k - 1 } ] \left[ \begin{array} { c } { { j _ { k } + j _ { k - 1 } } } \\ { { 2 j _ { k - 1 } } } \end{array} \right] \langle j _ { k } , j _ { k - 1 } \vert j _ { k - 1 } , j _ { k - 1 } \rangle } } \\ { { } } & { { = } } & { { \left[ \begin{array} { c } { { j _ { k } + j _ { k - 1 } } } \\ { { 2 j _ { k - 1 } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { { 2 j _ { k } } } \\ { { j _ { k } + j _ { k - 1 } + 1 } } \end{array} \right] ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { x = \sum _ { k = 1 } ^ { n } e _ { 2 k - 1 , 2 k - 1 } + e _ { 2 k + 1 , 2 k + 1 } , \; \; } \\ & { y = \sum _ { k = 1 } ^ { n } e _ { 2 k , 2 k } + e _ { 2 k + 1 , 2 k + 1 } , } \\ & { E _ { i } = \sum _ { k = 0 } ^ { n - i + 1 } ( e _ { 2 ( k + i + 1 ) , 2 ( k + 1 ) } - e _ { 2 k + 1 , 2 ( k + i ) + 1 } ) , \; \; \forall i = 1 , \ldots , n - 1 , } \\ & { A _ { i } = e _ { 2 n + 1 , 2 i - 1 } , \; \; B _ { i } = e _ { 2 n + 1 , 2 i } , \; \; \forall i = 1 , \ldots , n , } \\ & { c _ { h } = \sum _ { i = 0 } ^ { h - 2 } ( - 1 ) ^ { i + 1 } e _ { 2 ( h - i - 1 ) - 1 , 2 ( 1 + i ) } , \; \; \forall h = 3 , 5 , \ldots , n + 1 , } \\ & { b _ { h } = \sum _ { i = 0 } ^ { 2 n - h } ( - 1 ) ^ { i + 1 } e _ { 2 ( n - i ) , 2 ( h - n + i ) - 1 } , \; \; \forall h = n + 1 , n + 3 , \ldots , 2 n - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , z _ { 3 } , z _ { 4 } ) \longmapsto ( \mathrm { e } ^ { \, 2 \pi \, \mathrm { i } \, s _ { 1 } / n } \, z _ { 1 } , \mathrm { e } ^ { \, 2 \pi \, \mathrm { i } \, s _ { 2 } / n } \, z _ { 2 } , \mathrm { e } ^ { \, 2 \pi \, \mathrm { i } \, s _ { 3 } / n } \, z _ { 3 } , \mathrm { e } ^ { \, 2 \pi \, \mathrm { i } \, s _ { 4 } / n } \, z _ { 4 } ) \ , } \end{array}
\bar { d } _ { i j } = \langle d b _ { j } , b _ { i } \rangle + \langle d b _ { j } , b _ { i _ { 0 } } \rangle \langle d b _ { j _ { 0 } } , b _ { i } \rangle + \langle d b _ { j } , b _ { j _ { 0 } } \rangle \langle b _ { j _ { 0 } } , b _ { i } \rangle = d _ { i j } + \langle d b _ { j } , b _ { i _ { 0 } } \rangle \langle d b _ { j _ { 0 } } , b _ { i } \rangle ,
\left\{ \begin{array} { r l } & { p _ { \delta } = I _ { 1 } + 2 L _ { 1 } } \\ & { p _ { \sigma } = L _ { 1 } } \\ & { p _ { \phi } = I _ { 1 } + I _ { 2 } + 2 L _ { 1 } } \\ & { p _ { \theta } = L _ { 2 } + 3 L _ { 1 } } \end{array} \right. \qquad \qquad \left\{ \begin{array} { r l } & { \delta = \omega _ { 2 } - \omega _ { 1 } } \\ & { \sigma = \lambda _ { 1 } - 3 \lambda _ { 2 } + 2 \omega _ { 1 } } \\ & { \phi = - \omega _ { 2 } } \\ & { \theta = \lambda _ { 2 } } \end{array} \right. \quad .
\begin{array} { r } { - \frac { 1 } { 8 } \omega ^ { 4 } \theta ( s ) f ( R e _ { n } , \beta ) + \omega ^ { 2 } \left( 8 \gamma _ { 0 } + \theta ( s ) f ( R e _ { n } , \beta ) - 2 \right) - 4 \omega - 2 \theta ( s ) f ( R e _ { n } , \beta ) = 0 . } \end{array}
{ \cal F } _ { \mu \nu } = \hat { \Phi } ^ { a } F _ { \mu \nu } ^ { a } - \frac { 1 } { g } \varepsilon _ { a b c } \hat { \Phi } ^ { a } D _ { \mu } \hat { \Phi } ^ { b } D _ { \nu } \hat { \Phi } ^ { c } \ ,
\begin{array} { r } { { E } _ { B } \Big [ p ( a | b ) \Big | b ^ { \prime } \Big ] = \sum _ { b } p ( a | b ) p ( b | b ^ { \prime } ) = \sum _ { b } p ( a | b ) \delta _ { b , b ^ { \prime } } = p ( a | b ^ { \prime } ) = p ^ { \prime } ( a ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { e } ^ { \Sigma ( \cdot ) z } \left( \begin{array} { l } { x } \\ { \xi _ { 0 } } \\ { \zeta _ { 0 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \mathbf { e } ^ { - \alpha ( \cdot ) z } ( x ) } \\ { \displaystyle \xi _ { 0 } \exp \Big ( - \int _ { 0 } ^ { 1 } \beta ( \mathbf { e } ^ { - r \alpha ( \cdot ) z } ( x ) ) z \, \mathrm { d } r \Big ) } \\ { \displaystyle \zeta _ { 0 } - \xi _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \exp \Big ( - \int _ { 0 } ^ { s } \beta ( \mathbf { e } ^ { - r \alpha ( \cdot ) z } ( x ) ) z \, \mathrm { d } r \Big ) \sigma ( \mathbf { e } ^ { - r \alpha ( \cdot ) z } ( x ) ) \, \mathrm { d } s } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } ( F ( \boldsymbol { w } _ { T + 1 } ) - F ( \boldsymbol { w } ^ { * } ) ) \le \prod _ { t = 1 } ^ { T } \Phi _ { t } \mathbb { E } ( F ( \boldsymbol { w } _ { 0 } ) - F ( \boldsymbol { w } ^ { * } ) ) } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } ( J _ { t } + K _ { t } ) \prod _ { \tau = t + 1 } ^ { T } \Phi _ { \tau } + ( J _ { T } + K _ { T } ) . } \end{array}
\left( \nabla ^ { 2 } + \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \right) \vec { E } = \frac { 4 \pi } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \vec { \mathcal P } } { \partial t ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { \left\Vert p _ { j - 1 } \right\Vert _ { L ^ { r } } } & { \lesssim } & { \sum _ { J _ { j - 1 } } \prod _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { j - 1 } \left\Vert \nabla ^ { i ^ { \prime } - 1 } \theta _ { s } \right\Vert _ { W ^ { k - i ^ { \prime } , r } } ^ { i _ { i ^ { \prime } } } \prod _ { i ^ { \prime \prime } = 1 } ^ { j } \left\Vert \nabla ^ { i ^ { \prime \prime } - 1 } d \xi \right\Vert _ { W ^ { k - i ^ { \prime \prime } , r } } ^ { k _ { i ^ { \prime \prime } } } } \\ & { = } & { \sum _ { J _ { j - 1 } } \left\Vert \theta _ { s } \right\Vert _ { W ^ { k - 1 , r } } ^ { i _ { 1 } } . . . \left\Vert \nabla ^ { j - 1 } \theta _ { s } \right\Vert _ { W ^ { k - \left( j - 1 \right) , r } } ^ { i _ { j - 1 } } \left\Vert d \xi \right\Vert _ { W ^ { k - 1 , r } } ^ { k _ { 1 } } . . . \left\Vert \nabla ^ { j - 1 } d \xi \right\Vert _ { W ^ { k - j , r } } ^ { k _ { j } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( s , f ) } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \lambda _ { f } ( n ) } { n ^ { s } } = \prod _ { p } \left( 1 - \frac { \lambda _ { f } ( p ) } { p ^ { s } } + \frac { 1 } { p ^ { 2 s } } \right) ^ { - 1 } = \prod _ { p } \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \alpha _ { f } ( p , j ) } { p ^ { s } } \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
\nabla \times \mu ( \mathbf { r } , \tilde { \omega } ) ^ { - 1 } \nabla \times \tilde { \mathbf { E } } ( \mathbf { r } , \tilde { \omega } ) - \tilde { \omega } ^ { 2 } \varepsilon ( \mathbf { r } , \tilde { \omega } ) \tilde { \mathbf { E } } ( \mathbf { r } , \tilde { \omega } ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { \langle \dot { a _ { 1 } } \rangle } & { = ( - i \Delta _ { a } - \kappa _ { 1 } ) \langle a _ { 1 } \rangle - i g _ { m a } \langle m \rangle - i J \langle a _ { 2 } \rangle } \\ & { + \sqrt { 2 \eta _ { a } \kappa _ { 1 } } \varepsilon _ { l } + \sqrt { 2 \eta _ { a } \kappa _ { 1 } } \varepsilon _ { p } e ^ { - i \delta t } , } \\ { \langle \dot { m } \rangle } & { = ( - i \Delta _ { m } - \kappa _ { m } ) \langle m \rangle - i g _ { m a } \langle a _ { 1 } \rangle } \\ & { - i g _ { m b } \langle m \rangle ( \langle b ^ { \dagger } \rangle + \langle b \rangle ) , } \\ { \langle \dot { b } \rangle } & { = ( - i \omega _ { b } - \kappa _ { b } ) \langle b \rangle - i g _ { m b } \langle m ^ { \dagger } \rangle \langle m \rangle , } \\ { \langle \dot { a _ { 2 } } \rangle } & { = ( - i \Delta _ { a } + \kappa _ { 2 } ) \langle a _ { 2 } \rangle - i J \langle a _ { 1 } \rangle , } \end{array}
{ \frac { 1 } { | \mathbf { r } _ { j } - \mathbf { r } _ { i } | } } = { \frac { 1 } { | \mathbf { R } _ { A B } - ( \mathbf { r } _ { A i } - \mathbf { r } _ { B j } ) | } } = \sum _ { L = 0 } ^ { \infty } \sum _ { M = - L } ^ { L } \, ( - 1 ) ^ { M } I _ { L } ^ { - M } ( \mathbf { R } _ { A B } ) \; R _ { L } ^ { M } ( \mathbf { r } _ { A i } - \mathbf { r } _ { B j } ) ,
\begin{array} { r l } { f _ { X , S , I } ( y ) = \, } & { { } - \left[ \left( \lambda _ { X } I + \frac { \tau _ { \overline { { X } } } ( y ) } { s } + \tau _ { G } ( y ) \right) S - \gamma I \right] n _ { S , I } ^ { X } + \gamma ( I + 1 ) n _ { S , I + 1 } ^ { X } \mathbf { 1 } _ { \left\{ S + I < n _ { \operatorname* { m a x } } \right\} } } \\ { \, } & { { } + \left( \lambda _ { X } ( I - 1 ) + \frac { \tau _ { \overline { { X } } } ( y ) } { s } + \tau _ { G } ( y ) \right) ( S + 1 ) n _ { S + 1 , I - 1 } ^ { X } \mathbf { 1 } _ { \left\{ I \geq 1 \right\} } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr C _ { i , e } \circ \mathscr D _ { v ^ { \prime } } } & { \cong ( \mathscr D _ { i - 1 } \circ \cdots \circ \mathscr D _ { 1 } \circ \mathscr D _ { 0 } ) \circ ( \mathscr D _ { n - 1 } \circ \cdots \circ \mathscr D _ { e } ) \circ \mathscr D _ { v ^ { \prime } } } \\ & { \cong \mathscr D _ { v } \circ ( \mathscr D _ { n - 1 } \circ \cdots \circ \mathscr D _ { e } ) \cong \mathscr D _ { v } \circ \mathscr C _ { i , e } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \, \rho _ { { \bf k } } ( \omega ) \kappa _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { A } \kappa _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { B } e ^ { - i \omega \tau } } & { { } \simeq } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \, \rho _ { { \bf k } } ( \omega _ { 0 } ^ { X } ) \kappa _ { { \bf k } } ^ { A } \kappa _ { { \bf k } } ^ { B } e ^ { - i \omega \tau } = \rho _ { { \bf k } } ( \omega _ { 0 } ^ { X } ) \kappa _ { { \bf k } } ^ { A } \kappa _ { { \bf k } } ^ { B } \delta ( \tau ) , } \end{array}
\exp \left( \sum _ { n - m + 1 \le \mu < \nu \le n - 1 } \omega _ { 2 } ^ { \mu \nu } \cdot L _ { \mu \nu } \right) = \left( 0 , 1 , 0 , C _ { 2 } \left( \omega _ { 2 } \right) , 1 \right) \quad .
\begin{array} { r l } { \jmath _ { \mathrm { K } } ( x , y | D _ { 1 } , D _ { 2 } , P _ { X Y } ) } & { = \log \frac { P _ { \hat { X } _ { 1 } | X Y } ^ { * } ( \hat { x } _ { 1 } | x , y ) } { P _ { \hat { X } _ { 1 } } ^ { * } ( \hat { x } _ { 1 } ) } + \log \frac { P _ { \hat { X } _ { 2 } | X Y \hat { X } _ { 1 } } ^ { * } ( \hat { x } _ { 2 } | x , y , \hat { x } _ { 1 } ) } { P _ { \hat { X } _ { 2 } | Y \hat { X } _ { 1 } } ^ { * } ( \hat { x } _ { 2 } | y , \hat { x } _ { 1 } ) } } \\ & { \qquad + \lambda _ { 1 } ^ { * } ( d _ { 1 } ( x , \hat { x } _ { 1 } ) - D _ { 1 } ) + \lambda _ { 2 } ^ { * } ( d _ { 2 } ( X ^ { n } , \hat { X } _ { 2 } ^ { n } ) - D _ { 2 } ) . } \end{array}
( A - 2 I ) \mathbf { y } _ { 3 } = { \left( \begin{array} { l l l l l } { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 3 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 6 } & { 3 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 0 } & { 6 } & { 3 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 5 } & { 1 0 } & { 6 } & { 3 } & { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { - 2 } \\ { 0 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 3 } \\ { 0 } \end{array} \right) } = \mathbf { y } _ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { V _ { 3 } ( z ) } & { = } & { h _ { 1 } ^ { 2 } h _ { 2 } ^ { 2 } \left( - U _ { 3 } ( z ) + U _ { 1 } U _ { 2 } ( z ) - \frac { 1 } { 3 } U _ { 1 } U _ { 1 } U _ { 1 } ( z ) + \frac { ( N - 2 ) \alpha _ { 0 } } { 2 } U _ { 2 } ^ { \prime } ( z ) \right. } \\ & { } & { - \frac { \alpha _ { 0 } ^ { 2 } ( N - 1 ) ( N - 2 ) } { 1 2 } U _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( z ) \left. - \frac { ( N - 1 ) \alpha _ { 0 } } { 2 } U _ { 1 } ^ { \prime } U _ { 1 } ( z ) \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left( Q _ { 1 } Q _ { 2 } \right) ^ { \mathsf { T } } \left( Q _ { 1 } Q _ { 2 } \right) } & { = Q _ { 2 } ^ { \mathsf { T } } \left( Q _ { 1 } ^ { \mathsf { T } } Q _ { 1 } \right) Q _ { 2 } = I } \\ { \operatorname* { d e t } \left( Q _ { 1 } Q _ { 2 } \right) } & { = \left( \operatorname* { d e t } Q _ { 1 } \right) \left( \operatorname* { d e t } Q _ { 2 } \right) = + 1 . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \mu _ { t , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \bar { \mu } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } - ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \bigg ( \mu _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \mu _ { t , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \bar { \mu } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } - \bigg ( \mu _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } + 2 ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \mu _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \mu _ { t , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \mu _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \mu _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
v _ { j + 1 } ^ { * } w _ { j + 1 } ^ { \prime } = v _ { j + 1 } ^ { * } w _ { j + 1 } = \| w _ { j + 1 } \| v _ { j + 1 } ^ { * } v _ { j + 1 } = \| w _ { j + 1 } \| .
R _ { 2 } ( y _ { i } , y _ { j } ) = f _ { 1 , 1 } ( y _ { i } , y _ { j } ) + { \frac { \kappa } { 2 } } \left( f _ { 2 , 1 } ( y _ { i } , y _ { j } ) + f _ { 1 , 2 } ( y _ { i } , y _ { j } ) \right) + O ( \kappa ^ { 2 } ) ,
C _ { 7 } ^ { e f f } ( m _ { b } ) = C _ { 2 } ( M _ { W } ) + \eta ^ { \frac { 1 6 } { 2 3 } } C _ { 7 } ( M _ { W } ) + { \frac { 8 } { 3 } } ( \eta ^ { \frac { 1 4 } { 2 3 } } - \eta ^ { \frac { 1 6 } { 2 3 } } ) C _ { 8 } ( M _ { W } )
\begin{array} { l } { \displaystyle \mathrm { L i G } _ { N } ( \xi ) \, = \, \sum _ { m = 1 } ^ { N } \, ( - 1 ) ^ { m - 1 } \, \left( { { N } \atop { m } } \right) \, \exp ( - m \xi ^ { 2 } ) \, = \, } \\ { \, = \, \frac { \left\{ 1 - \left[ 1 - \exp \left( - \xi ^ { 2 } \right) \right] ^ { N } \right\} } N \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } ^ { ( n ) } } & { { } = \alpha \exp ( \mathrm { i } q n W ) \mathbf { A } ^ { + } + \beta \exp ( - \mathrm { i } q n W ) \mathbf { A } ^ { - } + \mathbf { C } ^ { ( n ) } } \\ { \mathbf { B } ^ { ( n ) } } & { { } = \alpha \exp ( \mathrm { i } q n W ) \mathbf { B } ^ { + } + \beta \exp ( - \mathrm { i } q n W ) \mathbf { B } ^ { - } + \mathbf { D } ^ { ( n ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { - c _ { 1 } \frac { | x - z | ^ { 2 } + | x ^ { \prime } - z ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t - s } } e ^ { - c _ { 1 } \frac { | z - y | ^ { 2 } + | z ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } { 2 s } } } & { = e ^ { - c _ { 1 } \frac { | x - y | ^ { 2 } + | x ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t + s } } e ^ { - c _ { 1 } \frac { | ( z - x ) - \frac { t ^ { \prime } - s ^ { \prime } } { t ^ { \prime } } ( y - x ) | ^ { 2 } + | ( z ^ { \prime } - x ^ { \prime } ) - \frac { t ^ { \prime } - s ^ { \prime } } { t ^ { \prime } } ( y ^ { \prime } - x ^ { \prime } ) | ^ { 2 } } { \tau ^ { \prime } } } } \\ & { \le e ^ { - \frac { 2 c _ { 1 } } { 3 } \frac { | x - y | ^ { 2 } + | x ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t } } e ^ { - c _ { 1 } \frac { | ( z - x ) - \frac { t ^ { \prime } - s ^ { \prime } } { t ^ { \prime } } ( y - x ) | ^ { 2 } + | ( z ^ { \prime } - x ^ { \prime } ) - \frac { t ^ { \prime } - s ^ { \prime } } { t ^ { \prime } } ( y ^ { \prime } - x ^ { \prime } ) | ^ { 2 } } { \tau ^ { \prime } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d p _ { 2 } ^ { 2 } ( t ) = } & { \ \biggl [ A ^ { ' } ( t , \alpha ( t - ) ) X _ { 2 } ^ { - 1 } ( t ) + A ( t , \alpha ( t - ) ) X _ { 2 } ^ { - 1 } ( t ) \biggl ( - u ( t ) + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } ( t , \alpha ( t - ) ) } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \left\{ ( 1 + \eta ( t - , \alpha ( t - ) , z ) ) ^ { - 1 } - 1 + \eta ( t - , \alpha ( t - ) , z ) \right\} \nu ( d z ) \biggr ) } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { N } X _ { 2 } ^ { - 1 } ( t ) \left\{ A ( t , e _ { j } ) - A ( t , \alpha ( t - ) ) \right\} \mu _ { j } ( t ) \biggr ] d t } \\ & { + A ( t , \alpha ( t - ) ) X _ { 2 } ^ { - 1 } ( t ) \biggl [ - \sigma _ { 2 } ( t , \alpha ( t - ) ) d W _ { 2 } ( t ) } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \left\{ ( 1 + \eta ( t - , \alpha ( t - ) , z ) ) ^ { - 1 } - 1 \right\} \tilde { N } ( d t , d z ) \biggr ] } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { D } X _ { 2 } ^ { - 1 } ( t ) \left\{ A ( t , e _ { j } ) - A ( t , \alpha ( t - ) ) \right\} d \tilde { \Phi } _ { j } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { \mathrm { e l e c } } ^ { \mathrm { W 1 } } } & { { } = } & { E _ { \mathrm { U H F } } + \Delta E _ { \mathrm { C C S D } } + \Delta E _ { \mathrm { T } } + \Delta E _ { \mathrm { C V , R e l } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ I ~ m ~ } \, \chi ( \omega _ { p } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { t _ { \mathrm { ~ m ~ } } N } \frac { \rho _ { N } \left| \boldsymbol d _ { 1 , 2 } \right| ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } \hbar } \left< \hat { \mathcal X } ^ { 2 } \right> , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { P ( a + b \varepsilon ) } & { = p _ { 0 } + p _ { 1 } ( a + b \varepsilon ) + \cdots + p _ { n } ( a + b \varepsilon ) ^ { n } } \\ & { = p _ { 0 } + p _ { 1 } a + p _ { 2 } a ^ { 2 } + \cdots + p _ { n } a ^ { n } + p _ { 1 } b \varepsilon + 2 p _ { 2 } a b \varepsilon + \cdots + n p _ { n } a ^ { n - 1 } b \varepsilon } \\ & { = P ( a ) + b P ^ { \prime } ( a ) \varepsilon , } \end{array} }
d s ^ { 2 } = - \left( 1 - { \frac { 2 M } { r } } \right) \, d v ^ { 2 } + ( \, d v \, d r + \, d r \, d v ) + r ^ { 2 } \left( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta \, d \varphi ^ { 2 } \right) .
\theta _ { 1 } ( \tau ) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } q ^ { ( n + 1 / 2 ) ^ { 2 } / 2 } , \quad \theta _ { 2 } ( \tau ) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } q ^ { n ^ { 2 } / 2 } , \quad \theta _ { 3 } ( \tau ) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } q ^ { n ^ { 2 } / 2 } .
V ( \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } ) = - Z / q _ { 1 } - Z / q _ { 2 } + 1 / | | \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } - \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } | |
{ \frac { d { \tau _ { \alpha } } } { d t } } = \frac { \partial \tau _ { \alpha } } { \partial t } + \{ \tau _ { \alpha } , H \} _ { p , q , \Phi } \approx \{ \tau _ { \alpha } , H + \pi _ { t } \} _ { p , q , \Phi , t , \pi _ { t } } \approx 0 ,
\vec { v } _ { S } = \frac { \hbar } { m _ { e } } \vec { \nabla } \phi - \frac { e } { m _ { e } } \vec { A } = \frac { m \hbar } { m _ { e } r \sin \theta ^ { \prime } } \hat { \varphi } , \qquad \vec { A } = 0 ,