harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { r _ { 2 a } ^ { \prime } } & { { } = \left( a + h \tan { \frac { \phi } { 2 } } \right) \sqrt { 2 \left( 1 - \cos \theta \right) } , } \\ { r _ { 2 b } ^ { \prime } } & { { } = r _ { 2 } \sqrt { 2 \left[ 2 + 2 \left( \frac { a + h \tan { \frac { \phi } { 2 } } } { r _ { 2 } } \right) \left( 1 - \cos \theta \right) + \left( \frac { a + h \tan { \frac { \phi } { 2 } } } { r _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \cos \theta \right) \right] } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P } & { : = } & { \frac { 1 } { ( \alpha - \beta ) } \left[ 2 ( \alpha - 1 ) \lambda _ { 1 } + 2 \alpha \lambda _ { 1 } ^ { f } + \alpha ( 1 - 2 \alpha ) \right] , } \\ { Q } & { : = } & { \frac { 1 } { ( \alpha - \beta ) } \left[ ( 6 \alpha ^ { 2 } - 8 \alpha \beta - 2 \alpha + 4 \beta ) ( \lambda _ { 1 } ^ { f } ) ^ { 2 } + 2 \alpha ( \alpha - 1 ) \lambda _ { 1 } \lambda _ { 1 } ^ { f } \right. } \\ & { + } & { \left. 2 \alpha ( - 2 \alpha - 2 \beta + 1 ) ( \alpha - \beta ) \lambda _ { 1 } ^ { f } - 4 \beta ( \alpha - 1 ) ( \alpha - \beta ) \lambda _ { 1 } \right. } \\ & { - } & { \left. \alpha \beta ( \alpha - \beta ) \lambda _ { 2 } ^ { f } + 2 \beta ( 2 \alpha ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } - \alpha ) ( \alpha - \beta ) - \beta ( \alpha - 2 \beta ) ( 1 - 2 \beta ) \right] , } \\ { R } & { : = } & { - \beta , \mathrm { ~ a n d } } \\ { S } & { : = } & { \frac { P } { \beta } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { o } ( \mathbf { x } ^ { 0 } , \boldsymbol { \Theta } ) = ( \mathcal { A } _ { L } \circ \sigma \circ \mathcal { A } _ { L - 1 } \circ \cdots \circ \sigma \circ \mathcal { A } _ { 1 } ) ( \mathbf { x } ^ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( r , \theta , z ) } & { { } = \sum _ { n = - N } ^ { N } S ^ { ( n ) } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } n \theta } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } n \theta _ { 1 } } } { 4 \pi R } \, \mathrm { d } \theta _ { 1 } , } \\ { R ^ { 2 } } & { { } = r ^ { 2 } + r _ { 1 } ^ { 2 } - 2 r r _ { 1 } \cos \theta _ { 1 } + ( z - z _ { 1 } ) ^ { 2 } . } \end{array}
- \frac { e ^ { i \frac { 3 } { 4 } \pi \mathrm { s i g n } \left( \frac { H } { P } \right) } } { 2 \sqrt { | P | } } \mathrm { s i g n } ( P ) e ^ { - \frac { i \pi } { 2 K } \phi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \beta \, e ^ { - \frac { i \pi } { 2 K } \frac { H } { P } \beta ^ { 2 } } \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } 2 i \sin \frac { \pi \beta } { p _ { i } } } { 2 i \sin \frac { \pi \beta } { K } } .
\begin{array} { r l } { V ( r ) = } & { \: V _ { 0 } ( r ) + V _ { 1 } ( r ) , \quad \textnormal { w i t h } } \\ { V _ { 0 } ( r ) = } & { \: ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 2 } \left[ 2 m a ( 1 + a ^ { 2 } ) \omega r - a ^ { 2 } m ^ { 2 } + \Lambda \Delta \right] , } \\ { V _ { 1 } ( r ) = } & { \: ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 3 } \Delta ( 3 r ^ { 2 } - 2 ( 1 + a ^ { 2 } ) r + a ^ { 2 } ) - 3 ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 4 } \Delta ^ { 2 } r ^ { 2 } , } \\ { \Lambda : = } & { \: \lambda + a ^ { 2 } \omega ^ { 2 } . } \end{array}
\bar { L } _ { F } = \left( \begin{array} { l l l l l } { \left\langle L _ { F } e _ { 0 } , e _ { 0 } \right\rangle } & { \left\langle L _ { F } e _ { 1 } , e _ { 0 } \right\rangle } & { \left\langle L _ { F } e _ { 2 } , e _ { 0 } \right\rangle } & { \left\langle L _ { F } e _ { 3 } , e _ { 0 } \right\rangle } & { \cdots } \\ { \left\langle L _ { F } e _ { 0 } , e _ { 1 } \right\rangle } & { \left\langle L _ { F } e _ { 1 } , e _ { 1 } \right\rangle } & { \left\langle L _ { F } e _ { 2 } , e _ { 1 } \right\rangle } & { \left\langle L _ { F } e _ { 3 } , e _ { 1 } \right\rangle } & { \cdots } \\ { \left\langle L _ { F } e _ { 0 } , e _ { 2 } \right\rangle } & { \left\langle L _ { F } e _ { 1 } , e _ { 2 } \right\rangle } & { \left\langle L _ { F } e _ { 2 } , e _ { 2 } \right\rangle } & { \left\langle L _ { F } e _ { 3 } , e _ { 2 } \right\rangle } & { \cdots } \\ { \left\langle L _ { F } e _ { 0 } , e _ { 3 } \right\rangle } & { \left\langle L _ { F } e _ { 1 } , e _ { 3 } \right\rangle } & { \left\langle L _ { F } e _ { 2 } , e _ { 3 } \right\rangle } & { \left\langle L _ { F } e _ { 3 } , e _ { 3 } \right\rangle } & { \cdots } \\ { \left\langle L _ { F } e _ { 0 } , e _ { 4 } \right\rangle } & { \left\langle L _ { F } e _ { 1 } , e _ { 4 } \right\rangle } & { \left\langle L _ { F } e _ { 2 } , e _ { 4 } \right\rangle } & { \left\langle L _ { F } e _ { 3 } , e _ { 4 } \right\rangle } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \cdots } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \alpha \nu _ { 1 } \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert V _ { \bar { \theta } _ { t } } - V _ { \theta ^ { * } } \Big \rVert _ { \bar { D } } ^ { 2 } } & { \le ( 1 - \alpha \nu _ { 1 } ) \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t + 1 } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + \frac { 9 + 2 8 \tau ^ { 2 } } { N K } \alpha ^ { 2 } d _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { + \alpha ^ { 3 } \left( 3 6 L _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 0 8 \tau } { 1 - \rho ^ { 2 } } L _ { 2 } ^ { 2 } + 4 L _ { 1 } G ^ { 2 } + 2 L _ { 2 } G \right) } \\ & { + \frac { \alpha ^ { 3 } c _ { 6 } } { K } \left[ c _ { 3 } ^ { 2 } + \frac { 2 c _ { 3 } L _ { 2 } \rho } { 1 - \rho } + 8 c _ { 1 } ^ { 2 } ( K - 1 ) H ^ { 2 } \right] + 4 \alpha B ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G + \alpha \nu _ { 1 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \psi _ { 0 , 0 } } & { } \\ { = - i \chi _ { + } } & { ( 2 \psi _ { 0 } ^ { * } \psi _ { \mathrm { - } k , \mathrm { - } 1 } \psi _ { \mathrm { + } k , \mathrm { + } 1 } + \psi _ { \mathrm { + } k , \mathrm { + } 1 } ^ { * } \psi _ { 0 } \psi _ { \mathrm { + } k , \mathrm { + } 1 } + \psi _ { \mathrm { - } k , \mathrm { - } 1 } ^ { * } \psi _ { 0 } \psi _ { \mathrm { - } k , \mathrm { - } 1 } ) } \\ { - i \chi _ { - } } & { ( 2 \psi _ { 0 } ^ { * } \psi _ { \mathrm { + } k , \mathrm { - } 1 } \psi _ { \mathrm { - } k , \mathrm { + } 1 } + \psi _ { \mathrm { - } k , \mathrm { + } 1 } ^ { * } \psi _ { 0 } \psi _ { \mathrm { - } k , \mathrm { + } 1 } + \psi _ { \mathrm { + } k , \mathrm { - } 1 } \psi _ { 0 } \psi _ { \mathrm { + } k , \mathrm { - } 1 } ^ { * } ) } \\ { + \gamma _ { + } } & { ( \psi _ { \mathrm { + } k , \mathrm { + } 1 } ^ { * } \psi _ { \mathrm { + } k , \mathrm { + } 1 } \psi _ { 0 } - \psi _ { \mathrm { - } k , \mathrm { - } 1 } ^ { * } \psi _ { \mathrm { - } k , \mathrm { - } 1 } \psi _ { 0 } ) } \\ { + \gamma _ { - } } & { ( \psi _ { \mathrm { + } k , \mathrm { - } 1 } ^ { * } \psi _ { \mathrm { + } k , \mathrm { - } 1 } \psi _ { 0 } - \psi _ { \mathrm { - } k , \mathrm { + } 1 } ^ { * } \psi _ { \mathrm { - } k , \mathrm { + } 1 } \psi _ { 0 } ) } \\ { \frac { d } { d t } \psi _ { \pm k , \pm 1 } } & { = - i \frac { \omega _ { 0 } } { 2 } \psi _ { \pm k , \pm 1 } } \\ & { \pm ( \gamma _ { + } \mp i \chi _ { + } ) ( \psi _ { 0 } ^ { * } \psi _ { 0 } \psi _ { \pm k , \pm 1 } + \psi _ { \mp k , \mp 1 } ^ { * } \psi _ { 0 } \psi _ { 0 } ) } \\ { \frac { d } { d t } \psi _ { \mp k , \pm 1 } } & { = - i \frac { \omega _ { 0 } } { 2 } \psi _ { \mp k , \pm 1 } } \\ & { \pm ( \gamma _ { - } \mp i \chi _ { - } ) ( \psi _ { 0 } ^ { * } \psi _ { 0 } \psi _ { \mp k , \pm 1 } + \psi _ { \pm k , \mp 1 } ^ { * } \psi _ { 0 } \psi _ { 0 } ) } \end{array}
I = m r ^ { 2 } = m ( \mathbf { x } - ( \mathbf { x } \cdot \mathbf { \hat { n } } ) \mathbf { \hat { n } } ) ^ { 2 } = m ( \mathbf { x } ^ { 2 } - 2 \mathbf { x } ( \mathbf { x } \cdot \mathbf { \hat { n } } ) \mathbf { \hat { n } } + ( \mathbf { x } \cdot \mathbf { \hat { n } } ) ^ { 2 } \mathbf { \hat { n } } ^ { 2 } ) = m ( \mathbf { x } ^ { 2 } - ( \mathbf { x } \cdot \mathbf { \hat { n } } ) ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } f } & { { } = \frac { \partial _ { \sigma } ( | J | \partial _ { \sigma } f ) } { | J | } + \frac { \nabla _ { \bot } \cdot ( \widehat { J } J ^ { - 1 } \nabla _ { \! \bot } f ) } { | J | } . } \end{array}
\Gamma = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { 2 E } \sum _ { \mathrm { p o l s . } } \int \frac { d ^ { 3 } { \bf k } } { 2 \omega } \frac { d ^ { 3 } { \bf p } ^ { \prime } } { 2 E ^ { \prime } } \, \delta ^ { 4 } ( p - p ^ { \prime } - k ) \, | { \cal M } | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { n } } \frac { \partial ( \rho \textbf { u } ) _ { n } } { \partial t } \varphi _ { i } d \Omega } & { { } - \int _ { \Omega _ { n } } ( \rho _ { n } \textbf { u } _ { n } \otimes \textbf { u } _ { n } + P _ { n } \mathbb { I } ) \cdot \nabla \varphi _ { i } d \Omega + \oint _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { ( \rho _ { n } \textbf { u } _ { n } \otimes \textbf { u } _ { n } + P _ { n } \mathbb { I } ) } \cdot \widehat { \textbf { m } } \varphi _ { i } d S = } \end{array}
\begin{array} { r l } & { g _ { b } ( \partial _ { 0 } , \partial _ { 0 } ) , \ ( g _ { b } - g _ { b _ { 1 } } ) ( \partial _ { 0 } , \partial _ { 1 } ) , \ g _ { b } ( \partial _ { 0 } , r ^ { - 1 } \partial _ { c } ) , } \\ & { \quad g _ { b } ( \partial _ { 1 } , \partial _ { 1 } ) , \ g _ { b } ( \partial _ { 1 } , r ^ { - 1 } \partial _ { c } ) , \ ( g _ { b } - g _ { b _ { 1 } } ) ( r ^ { - 1 } \partial _ { b } , r ^ { - 1 } \partial _ { c } ) \in \rho ^ { 2 } C ^ { \infty } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { + } = } & { { } \ \frac { ( m - \ell ) ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } - 2 ( 1 - g _ { 1 2 } n _ { 2 , 0 } - \omega ) + g _ { 1 2 } n _ { 2 , 0 } ^ { \prime \prime } r ^ { 2 } } \end{array}
z ( \vec { f } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \theta \int _ { 0 } ^ { f _ { i } } { C _ { i } } \mathrm { ~ d ~ } x + \sum _ { i = 1 } ^ { N } f _ { i } \mathrm { ~ l ~ n ~ } ( P _ { i } f _ { i } )
S = \frac { 1 } { 2 \rho _ { 0 } } \int d t \int d ^ { 2 } x \left[ E ^ { 2 } - 2 B \rho _ { 0 } \partial _ { 0 } \tilde { \mu } - k \epsilon ^ { \mu \nu \rho } A _ { \mu } \partial _ { \nu } A _ { \rho } \right] \; ,
\begin{array} { r l r } { t _ { 0 } Z _ { 0 } i _ { g } ( \tau ) } & { { } = } & { \Theta ( \tau ) \frac { V _ { 0 } \tau ^ { 2 \alpha } } { 2 } \sum _ { \zeta _ { 0 } } \frac { j q _ { 0 } ^ { 2 } } { G ( \zeta _ { 0 } ) } e ^ { q _ { 0 } ( \tau + 2 ) } } \\ { t _ { 0 } r { \mathcal E } _ { \theta } ( { \bf r } ; \tau ) } & { { } = } & { \frac { V _ { 0 } C _ { 0 } ( \tau - R ) ^ { 2 \alpha } } { 2 j } \sum _ { \zeta _ { 0 } } Q _ { e } ( { \bf r } ; \zeta _ { 0 } ) e ^ { q _ { 0 } ( \tau - R + 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ S ] _ { \mathrm { K V P } } ^ { \mathrm { ( m i x e d ) } } } & { { } = \sum _ { \mathrm { ( L _ { 1 } , L _ { 2 } ) } \in \mathcal { P } } \omega ( L _ { 1 } , L _ { 2 } ) \frac { S ( L _ { 1 } ) + S ( L _ { 2 } ) } { 2 } , } \\ { \omega ( L _ { 1 } , L _ { 2 } ) } & { { } = \frac { \gamma _ { \mathrm { r e l } } ( L _ { 1 } , L _ { 2 } ) ^ { - 1 } } { \sum _ { \mathrm { ( L _ { 1 } ^ { \prime } , L _ { 2 } ^ { \prime } ) } \in \mathcal { P } } \gamma _ { \mathrm { r e l } } ( L _ { 1 } ^ { \prime } , L _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { - 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { B } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { 1 + \gamma _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } } \\ & { \leq } & { c \Bigg [ 1 + \int _ { B } f _ { i } ^ { \prime \prime } ( \partial _ { i } u ) | \partial _ { i } \partial _ { i } u | ^ { 2 } \Gamma ^ { \beta _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x \Bigg ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { c c l l l l } { \mathbf { X } } & { : = } & { [ x ( 0 ) } & { x ( 1 ) } & { \ldots } & { x ( T - 1 ) ] } \\ { \mathbf { U } } & { : = } & { [ u ( 0 ) } & { u ( 1 ) } & { \ldots } & { u ( T - 1 ) ] } \\ { \mathbf { X } _ { \delta } } & { : = } & { [ \delta x ( 0 ) } & { \delta x ( 1 ) } & { \ldots } & { \delta x ( T - 1 ) ] } \\ { \mathbf { S } } & { : = } & { [ S ( 0 ) } & { S ( 1 ) } & { \ldots } & { S ( T - 1 ) ] . } \end{array} } \end{array}
\Sigma _ { \rho } ^ { \mu \nu } ( q _ { 0 } , \vec { q } ) = \Sigma _ { \rho } ^ { L } ( q _ { 0 } , \vec { q } ) \P _ { L } ^ { \mu \nu } + \Sigma _ { \rho } ^ { T } ( q _ { 0 } , \vec { q } ) \ P _ { T } ^ { \mu \nu } \ ;
\psi _ { k } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { N } ) = \sum _ { \sigma \in \mathcal { S } _ { N } } ( - 1 ) ^ { \mathrm { s g n } ( \sigma ) } \exp \Big ( \mathrm { i } \sum _ { j = 1 } ^ { N } k _ { \sigma ( j ) } x _ { j } \Big ) \prod _ { 1 \leq i < j \leq N } \Big ( k _ { \sigma ( i ) } - k _ { \sigma ( j ) } + \mathrm { i } c \, \mathrm { s g n } ( x _ { i } - x _ { j } ) \Big )
\left\{ i \omega \gamma ^ { 0 } - i \vec { \gamma } \left( \vec { \partial } _ { \vec { r } } - i e \vec { A } ( \vec { r } ) \right) - m + \gamma ^ { 0 } \mu \right\} \widetilde { G } _ { \omega } ( \vec { r } , \vec { r } ^ { \prime } ) = \delta ( \vec { r } - \vec { r } ^ { \prime } ) ,
\theta _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } i \sum _ { k = 1 } ^ { K } L _ { k } \ln \left[ \frac { z - z _ { k } } { z ^ { * } - z _ { k } ^ { * } } \right] \ + \, f r a c { 1 } { 4 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { n _ { k } = 1 } ^ { N _ { k } } \left[ \theta _ { k , n _ { k } } ( z ) + \theta _ { k , n _ { k } } ^ { * } ( z ^ { * } ) \right] .
\operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } { \frac { 1 } { n } } D ^ { \epsilon } ( \rho ^ { \otimes n } | | \sigma ^ { \otimes n } ) = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } { \frac { - 1 } { n } } \log \operatorname* { m i n } { \frac { 1 } { \epsilon } } \operatorname { T r } ( \sigma ^ { \otimes n } Q )
\begin{array} { r l } & { \quad + \sum _ { s = 2 } ^ { n _ { 0 } } \frac { ( - 1 ) ^ { n _ { 0 } - s } a _ { s } } { ( s - 1 ) ! \times ( s + 1 ) ( s + 2 ) \dots ( n _ { 0 } - 1 ) n _ { 0 } ( n _ { 0 } + 1 ) } \left( \frac { 1 } { s } \sum _ { r | s } \mu ( s / r ) ( - n _ { 0 } ) d ^ { r } \right) } \\ & { = \sum _ { s = 2 } ^ { n _ { 0 } } \frac { ( - 1 ) ^ { n _ { 0 } - s } a _ { s } } { ( s - 1 ) ! \times ( s + 1 ) ( s + 2 ) \dots ( n _ { 0 } - 1 ) n _ { 0 } ( n _ { 0 } + 1 ) } \left( \frac { 1 } { s } \sum _ { r | s } \mu ( s / r ) d ^ { r + 1 } \right) } \\ & { \quad + \sum _ { s = 2 } ^ { n _ { 0 } } \frac { ( - 1 ) ^ { n _ { 0 } - s } ( - n _ { 0 } ) a _ { s } } { ( s - 1 ) ! \times ( s + 1 ) ( s + 2 ) \dots ( n _ { 0 } - 1 ) n _ { 0 } ( n _ { 0 } + 1 ) } \left( \frac { 1 } { s } \sum _ { r | s } \mu ( s / r ) d ^ { r } \right) } \\ & { = \sum _ { s = 2 } ^ { n _ { 0 } } \frac { ( - 1 ) ^ { n _ { 0 } - s } a _ { s } } { ( s - 1 ) ! \times ( s + 1 ) ( s + 2 ) \dots ( n _ { 0 } - 1 ) n _ { 0 } ( n _ { 0 } + 1 ) } \left( \frac { 1 } { s } \sum _ { r | s } \mu ( s / r ) d ^ { r + 1 } \right) } \\ & { \quad - \sum _ { s = 2 } ^ { n _ { 0 } } \frac { ( - 1 ) ^ { n _ { 0 } - s } n _ { 0 } a _ { s } } { ( s - 1 ) ! \times ( s + 1 ) ( s + 2 ) \dots ( n _ { 0 } - 1 ) n _ { 0 } ( n _ { 0 } + 1 ) } l _ { d } ( s ) } \\ & { = \sum _ { s = 2 } ^ { n _ { 0 } + 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { n _ { 0 } - s + 1 } b _ { s } } { ( s - 1 ) ! \times ( s + 1 ) ( s + 2 ) \dots ( n _ { 0 } - 1 ) n _ { 0 } ( n _ { 0 } + 1 ) } l _ { d } ( s ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \xi } & { = \left( \left[ \begin{array} { l l } { A } & { 0 } \\ { 0 } & { A _ { r } } \end{array} \right] \xi + \left[ \begin{array} { l } { B } \\ { B _ { r } } \end{array} \right] u \right) \, d t + \left[ \begin{array} { l l } { N _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { N _ { 1 , r } } \end{array} \right] \xi \, d W , \quad y _ { \xi } = \left[ \begin{array} { l l } { C } & { - C _ { r } } \end{array} \right] \xi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ^ { \omega } \Big [ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \widehat { \pi } _ { t } ( \mathcal I , K , \{ a , g \} ) \Big ] } & { = E ^ { \omega } [ \widehat { \pi } _ { T } ( \mathcal I , K , \{ a , g \} ) ] } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } E ^ { \omega } [ \widehat { \pi } _ { T , N } ( \mathcal I , K , \{ a , g \} ) ] \stackrel { \leq } C _ { K } M \mathrm { e } ^ { b T } < \infty \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \sigma } _ { - } } & { { } = - \gamma _ { \perp } \sigma _ { - } + \mathrm { i } \Omega ( t ) \sigma _ { z } \, , } \\ { \dot { \sigma } _ { z } } & { { } = 2 \mathrm { i } \left( \Omega ( t ) \sigma _ { - } - \Omega ^ { \ast } \! ( t ) \sigma _ { + } \right) , } \end{array}
{ \boldsymbol { \sigma } } = 2 \left[ \left( { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } + I _ { 1 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } \right) ~ { \bar { \boldsymbol { B } } } - { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } ~ { \bar { \boldsymbol { B } } } \cdot { \bar { \boldsymbol { B } } } \right] - p ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } ~ .
d s ^ { 2 } = ( H _ { 1 } H _ { 2 } . . . H _ { n } ) ^ { - 4 t / r } \eta _ { \mu \nu } d y ^ { \mu } d y ^ { \nu } + ( H _ { 1 } H _ { 2 } . . . H _ { n } ) ^ { 4 u / r ) } [ \sum _ { i = 1 } ^ { n } H _ { i } ^ { - 2 / r } d z _ { i } ^ { m _ { i } } d z _ { i } ^ { m _ { i } } + d x ^ { \gamma } d x ^ { \gamma } ] ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { C o v } ( \xi _ { j k } ( s | x ) , \xi _ { l m } ( t | x ) ) } & { = \phi ( x ) p _ { j k , l m } ^ { \texttt { c } } ( s , t | x ) , } \\ { \mathrm { C o v } ( \xi _ { j k } ( s | x ) , \xi _ { l } ( t | x ) ) } & { = \phi ( x ) p _ { j k , l } ^ { 3 , \texttt { c } } ( s , t | x ) , } \\ { \mathrm { C o v } ( \xi _ { j } ( s | x ) , \xi _ { l } ( t | x ) ) } & { = \phi ( x ) p _ { j , l } ^ { \texttt { c } } ( s , t | x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Vert \big [ \hat { R } ^ { r } ( k , \lambda ) \big ] _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } \Vert _ { L ^ { \infty } } } & { : = } & { \Vert \big [ { \cal E } ^ { r } ( k , \lambda ) \hat { C } ^ { r } ( k ) \big ] _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } + \cdots + [ \big [ { \cal E } ^ { r } ( k , \lambda ) \hat { C } ^ { r } ( k ) \big ] _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ] ^ { n } + \cdots \Vert _ { L ^ { \infty } } } \\ & { } & { \le 2 K _ { 3 } | \lambda | \gamma ^ { - r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) , } & { { } i = 0 , \cdots , 8 \} = \{ 1 , { u } _ { x } , \frac { { u } _ { x } ^ { 2 } - 1 } { \sqrt { 2 } } , \frac { { u } _ { r } ^ { 2 } } { 2 } - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { t } ( h u ) + \nabla \cdot ( h u \mathbf { v } ) + \frac { 1 } { R \cos \theta } \partial _ { \lambda } \left( \frac { g h ^ { 2 } } 2 \right) = \left( f + \frac u R \tan \theta \right) h v } \\ & { } & { \partial _ { t } ( h v ) + \nabla \cdot ( h v \mathbf { v } ) + \frac { 1 } { R } \partial _ { \theta } \left( \frac { g h ^ { 2 } } 2 \right) = - \left( f + \frac u R \tan \theta \right) h u . } \end{array}
\dot { M } \sim \rho _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ o ~ n ~ a ~ } } \, v \, 4 \pi \, R _ { \star } ^ { 2 } = 7 . 0 \times 1 0 ^ { - 5 } \, \frac { \lambda ^ { 1 1 / 1 0 } \, m _ { e } ^ { 2 } \, M _ { p l } } { \alpha ^ { 2 } \, m _ { p } }
\langle \Phi \rangle = \frac { M } { \lambda } \left( \begin{array} { c c c c c c } { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { - 2 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { - 2 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { K _ { 1 } = } & { \frac { \beta ^ { 2 } } { ( a ( \beta + 1 ) - \beta ) ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad \; K _ { 2 } = \frac { a \beta } { ( 1 - a ) ( a ( \beta + 1 ) - \beta ) ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ & { \quad \; K _ { 3 } = \frac { a ^ { 2 } ( \beta + 1 ) ^ { 2 } } { ( 1 - 2 a ( \beta + 1 ) + 2 \beta ) ( a ( \beta + 1 ) - \beta ) ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { \partial \psi } { \partial z } } & { { } - \frac { \beta _ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial t ^ { 2 } } + \frac { \beta _ { 4 } } { 2 4 } \frac { \partial ^ { 4 } \psi } { \partial t ^ { 4 } } - \frac { \beta _ { 6 } } { 7 2 0 } \frac { \partial ^ { 6 } \psi } { \partial t ^ { 6 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { i } ^ { ( x ) } \| x - y \| ^ { 2 } \equiv \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \| x - y \| ^ { 2 } = 6 ( x - y ) _ { i } } \\ & { \nabla _ { j } ^ { ( y ) } \| x - y \| ^ { 2 } \equiv \frac { \partial } { \partial y _ { j } } \| x - y \| ^ { 2 } = - 6 ( x - y ) _ { j } = 6 ( y - x ) _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 _ { n _ { t } } } & { ( R _ { 1 } X _ { 1 } ) _ { n _ { t } } + ( 1 _ { n _ { t } } - ( R _ { 1 } ) _ { n _ { t } } ) \cdot \left( - \frac { \tilde { \gamma } _ { t 1 } ( 0 ) } { \tilde { \beta } _ { t 1 } ( 0 ) } \right) } & { \dots } & { ( R _ { 1 } ) _ { n _ { t } } } & { \dots } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } } { d \varepsilon ^ { 2 } } \mathcal { B } _ { p } [ \gamma _ { \varepsilon } ] \Big | _ { \varepsilon = 0 } } & { = 2 \int _ { 0 } ^ { L } p | \gamma ^ { \prime \prime } | ^ { p - 2 } \big ( \gamma ^ { \prime \prime } , \dot { m } \big ) ( \gamma ^ { \prime } , \eta ^ { \prime } ) \, d s } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { L } | \gamma ^ { \prime \prime } | ^ { p } \big ( \eta ^ { \prime } - ( \gamma ^ { \prime } , \eta ^ { \prime } ) \gamma ^ { \prime } , \eta ^ { \prime } \big ) \, d s } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { L } p ( p - 1 ) | \gamma ^ { \prime \prime } | ^ { p - 2 } | \dot { m } | ^ { 2 } \, d s + \int _ { 0 } ^ { L } p | \gamma ^ { \prime \prime } | ^ { p - 2 } ( \gamma ^ { \prime \prime } , \ddot { m } ) \, d s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { \mathcal { E } } ^ { - 1 } ( \psi _ { \mathcal { E } } ( a ) ) } & { = \psi _ { \mathcal { E } } ^ { - 1 } ( \mathsf { q } ( a ) ) = a } \\ { \psi _ { \mathcal { E } } ^ { - 1 } \left( \psi _ { \mathcal { E } } \left( \mathsf { D } _ { \lambda } ( x ) \right) \right) } & { = \psi _ { \mathcal { E } } ^ { - 1 } ( \mathsf { D } _ { \lambda } ( x ) ) = \mathsf { D } _ { \lambda } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 q } \frac { d } { d t } \int _ { \Omega } u ^ { 2 q } } & { = \int _ { \Omega } u ^ { 2 q - 1 } u _ { t } } \\ & { = \int _ { \Omega } u ^ { 2 q - 1 } \left[ \nabla \cdot ( D ( v ) \nabla u ) - \nabla \cdot ( S ( v ) u \nabla v ) + r u - \frac { \mu u ^ { 2 } } { \ln ^ { p } ( u + e ) } \right] } \\ & { : = I + J + K . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { E } _ { 1 } - \tilde { F } _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { 4 } \int _ { e ^ { \frac { \pi i } { 3 } } } ^ { \infty e ^ { \frac { \pi i } { 3 } } } \frac { s \tilde { B } ( \mu ) / \tilde { A } ( \mu ) } { ( s ^ { 3 } + 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( s - \tilde { A } ( \mu ) ) } d s - \frac { 1 } { 4 } \int _ { e ^ { - \frac { \pi i } { 3 } } } ^ { \infty e ^ { - \frac { \pi i } { 3 } } } \frac { s \tilde { B } ( \mu ) / \tilde { A } ( \mu ) } { ( s ^ { 3 } + 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( s - \tilde { A } ( \mu ) ) } d s } \\ & { = - \frac { 2 \pi i \tilde { B } ( \mu ) } { 4 ( \tilde { A } ( \mu ) ^ { 3 } + 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } - \frac { 1 } { 4 } \int _ { e ^ { - \frac { \pi i } { 3 } } } ^ { e ^ { \frac { \pi i } { 3 } } } \frac { s \tilde { B } ( \mu ) / \tilde { A } ( \mu ) } { ( s ^ { 3 } + 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( s - \tilde { A } ( \mu ) ) } d s } \\ & { = - \pi i + \mathcal { O } ( \mu ^ { - 1 } ) } \end{array}
A _ { \mathrm { ~ D ~ Q ~ } } = \int _ { 2 \omega _ { 0 } - 2 \Delta \omega } ^ { 2 \omega _ { 0 } + 2 \Delta \omega } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \omega _ { 2 } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \omega _ { 3 } \ | S _ { \mathrm { ~ D ~ Q ~ } } ( \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) | ,