harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \rho ^ { 2 } } { \Delta _ { \chi } } d \chi ^ { 2 } + [ ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } \Delta _ { \chi } - a ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } \chi \Delta _ { r } ] \frac { \sinh ^ { 2 } \chi } { \rho ^ { 2 } } d \phi ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Sigma _ { n - 3 } .
\sigma = { \frac { \pi } { 2 } } + \frac { d _ { 3 } ^ { 1 / 2 } e } { U _ { 0 } L } \int _ { 1 } ^ { U ( \sigma ) / U _ { 0 } } \frac { d y } { y ^ { 2 } \sqrt { y ^ { 4 } - 1 } } \, .
\approx - g ^ { 2 } N \frac { \Gamma ( 2 - \epsilon ) } { ( 4 \pi ) ^ { 2 + \epsilon } } \frac { 1 } { \epsilon } \left( - t \right) ^ { \epsilon } \left( \frac { 1 } { \epsilon } + 1 + \epsilon - 4 \epsilon \psi ^ { \prime } ( 1 ) \right) ,
\begin{array} { c c c c c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { S } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { H _ { n } ^ { ( 2 ) } } { n 2 ^ { n } } = \int _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \frac { \operatorname { L i } _ { 2 } ( x ) } { x ( 1 - x ) } \ d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \frac { \operatorname { L i } _ { 2 } ( x ) } { x } \ d x + \int _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \frac { \operatorname { L i } _ { 2 } ( x ) } { 1 - x } \ d x } \\ & { = \operatorname { L i } _ { 3 } \left( \frac 1 2 \right) - \left. \ln ( 1 - x ) \operatorname { L i } _ { 2 } ( x ) \right| _ { 0 } ^ { 1 / 2 } - \int _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \frac { \ln ^ { 2 } ( 1 - x ) } { x } \ d x } \\ & { = \operatorname { L i } _ { 3 } \left( \frac 1 2 \right) + \ln 2 \operatorname { L i } _ { 2 } \left( \frac 1 2 \right) - \int _ { 1 / 2 } ^ { 1 } \frac { \ln ^ { 2 } x } { 1 - x } \ d x } \\ & { = \operatorname { L i } _ { 3 } \left( \frac 1 2 \right) + \ln 2 \operatorname { L i } _ { 2 } \left( \frac 1 2 \right) - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int _ { 1 / 2 } ^ { 1 } x ^ { n - 1 } \ln ^ { 2 } x \ d x } \\ & { = \operatorname { L i } _ { 3 } \left( \frac 1 2 \right) + \ln 2 \operatorname { L i } _ { 2 } \left( \frac 1 2 \right) - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { 2 } { n ^ { 3 } } - \frac { \ln ^ { 2 } 2 } { n 2 ^ { n } } - \frac { 2 \ln 2 } { n ^ { 2 } 2 ^ { n } } - \frac { 2 } { n ^ { 3 } 2 ^ { n } } \right) } \\ & { = \operatorname { L i } _ { 3 } \left( \frac 1 2 \right) + \ln 2 \operatorname { L i } _ { 2 } \left( \frac 1 2 \right) - 2 \zeta ( 3 ) + \ln ^ { 3 } 2 + 2 \ln 2 \operatorname { L i } _ { 2 } \left( \frac 1 2 \right) + 2 \operatorname { L i } _ { 3 } \left( \frac 1 2 \right) } \\ & { = 3 \operatorname { L i } _ { 3 } \left( \frac 1 2 \right) + 3 \ln 2 \operatorname { L i } _ { 2 } \left( \frac 1 2 \right) - 2 \zeta ( 3 ) + \ln ^ { 3 } 2 } \\ & { = \frac 5 8 \zeta ( 3 ) } \end{array}
{ C N O T } \rightarrow \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { N _ { \mathrm { ~ e ~ } } ^ { \mathrm { ~ v ~ a ~ c ~ } } } & { { } = } & { - Z \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } u } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } k \; \frac { B _ { k } ^ { 2 } } { ( u ^ { 2 } + \varepsilon _ { k } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \phantom { x x x x x x x x x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \left\lvert \left( \alpha ( z ) + \beta ( z ) \right) - \left( \alpha ( w ) + \beta ( w ) \right) \right\rvert } & { \leq \displaystyle \left\lvert \alpha ( z ) - \alpha ( w ) \right\rvert + \displaystyle \left\lvert \beta ( z ) - \beta ( w ) \right\rvert } \\ & { \leq A \displaystyle \left\lvert z - w \right\rvert ^ { \lambda } + B \displaystyle \left\lvert z - w \right\rvert ^ { \mu } } \\ & { \leq M \displaystyle \left\lvert z - w \right\rvert ^ { \lambda } \left( 1 + \displaystyle \left\lvert z - w \right\rvert ^ { \varepsilon } \right) } \\ & { \leq M \left( 1 + \ell ( C ) ^ { \varepsilon } \right) \displaystyle \left\lvert z - w \right\rvert ^ { \lambda } } \end{array}
L ^ { \alpha \beta } = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { s p i n s } ( \bar { l } O ^ { \alpha } \nu _ { l } ) ( \bar { \nu } _ { l } O ^ { \beta } l ) = 2 [ p _ { l } ^ { \alpha } p _ { \nu _ { l } } ^ { \beta } + p _ { l } ^ { \beta } p _ { \nu _ { l } } ^ { \alpha } - g ^ { \alpha \beta } ( p _ { l } \cdot p _ { \nu _ { l } } ) + i \epsilon ^ { \alpha \beta \gamma \delta } p _ { l \gamma } p _ { \nu _ { l } \delta } ] ,
\begin{array} { r l } & { \langle W _ { i } ^ { 2 } W _ { j } ^ { 2 } \rangle = 8 \Big [ { - } 8 \, \delta _ { i j } \langle x _ { 0 } ^ { 2 } \rangle ^ { 2 } { - } \langle x _ { 0 } ^ { 2 } \rangle \langle W _ { i } ^ { 2 } \rangle } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } ^ { 4 } } d ^ { 4 } \mathbf { r } \, \left[ x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } \left( 4 \delta _ { i j } { - } 1 \right) - x _ { 1 } ^ { 2 } y _ { 2 } ^ { 2 } \left( 4 \delta _ { i j } { - } 3 \right) \right] } \\ & { \times \, \Gamma _ { 4 } \! \left( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ; z _ { \mathrm { a p } } \right) \Big ] . } \end{array}
r e m a i n t h e s a m e , a n d w e t r a c e o v e r p a r t s o f t h e f i n a l s t a t e i r r e l e v a n t t o t h i s m e a s u r e m e n t . T h e n K e n t ^ { \prime } s a p p r o a c h p r e d i c t s t h a t i n t h i s Q F T e x p e r i m e n t t h e p r o b a b i l i t y f o r o b t a i n i n g t h e o u t c o m e a s s o c i a t e d w i t h s t a t e
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 1 - \rho _ { f } ( t , x ) } } & { \lesssim \frac { 1 } { 1 - \Theta - T \Vert f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { H } _ { r } ^ { \ell } ) } } , } \\ { \frac { 1 } { 1 - \rho _ { f } ( t , x ) } } & { \gtrsim \frac { 1 } { \Theta + T \Vert f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { H } _ { r } ^ { \ell } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { - | b _ { l - 1 } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L \slash 2 } \sqrt { ( c _ { l } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( d _ { l } ( \Gamma ) - b _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } } \\ & { } & { \times e ^ { - 3 L ^ { - 1 } } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) } \\ & { \leq } & { L I S ( \sigma | _ { \tilde { Q } _ { \Gamma , l } ^ { \prime } } ) } \\ & { \leq } & { 5 L ^ { 1 \slash 2 } e ^ { - L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ( c _ { l } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) + d _ { l } ( \Gamma ) - b _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) + 1 } \\ & { } & { + \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { - | b _ { l - 1 } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L \slash 2 } \sqrt { ( c _ { l } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( d _ { l } ( \Gamma ) - b _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } } \\ & { } & { \quad \times e ^ { 3 L ^ { - 1 } } ( 1 + C _ { L } r _ { s } ^ { - 1 \slash 1 0 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) . } \end{array}
g ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { g _ { \mathrm { 0 } } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } t < t _ { \mathrm { 0 } } , } \\ { g _ { \mathrm { 0 } } + \frac { g _ { \mathrm { 1 } } - g _ { \mathrm { 0 } } } { 2 } \left( 1 - \cos \left( \frac { \pi ( t - t _ { \mathrm { 0 } } ) } { t _ { \mathrm { L } } } \right) \right) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } t _ { \mathrm { 0 } } \leq t < t _ { \mathrm { 0 } } + t _ { \mathrm { L } } , } \\ { g _ { \mathrm { 1 } } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } t \geq t _ { \mathrm { 0 } } + t _ { \mathrm { L } } . } \end{array} \right.
| \phi _ { ( M L ) } > = \prod _ { ( \vec { p } ) ^ { + } } \; | \phi _ { M \vec { p } , L } > , \; | \phi _ { M \vec { p } , L } > = ( \beta _ { \vec { p } } { } ^ { 2 } | 1 > + ( - ) \sqrt { 2 } \; \alpha _ { \vec { p } } \beta _ { \vec { p } } | 2 > + \alpha _ { \vec { p } } { } ^ { 2 } | 3 > ) ,
\Gamma _ { \mu } = \int \frac { d ^ { 4 } k } { { 2 \pi } ^ { 4 } } \Gamma _ { \mu \alpha \beta } ( q , k , - k - q ) \int d ^ { 4 } x e ^ { i k x } < f | T ^ { * } [ J _ { W } ^ { \alpha \dagger } ( x ) J _ { W } ^ { \beta } ( 0 ) ] | i > ~ .
f ( J _ { \lambda , n } ) = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } { \frac { f ^ { ( k ) } ( \lambda ) Z ^ { k } } { k ! } } = { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { f ( \lambda ) } & { f ^ { \prime } ( \lambda ) } & { { \frac { f ^ { \prime \prime } ( \lambda ) } { 2 } } } & { \cdots } & { { \frac { f ^ { ( n - 2 ) } ( \lambda ) } { ( n - 2 ) ! } } } & { { \frac { f ^ { ( n - 1 ) } ( \lambda ) } { ( n - 1 ) ! } } } \\ { 0 } & { f ( \lambda ) } & { f ^ { \prime } ( \lambda ) } & { \cdots } & { { \frac { f ^ { ( n - 3 ) } ( \lambda ) } { ( n - 3 ) ! } } } & { { \frac { f ^ { ( n - 2 ) } ( \lambda ) } { ( n - 2 ) ! } } } \\ { 0 } & { 0 } & { f ( \lambda ) } & { \cdots } & { { \frac { f ^ { ( n - 4 ) } ( \lambda ) } { ( n - 4 ) ! } } } & { { \frac { f ^ { ( n - 3 ) } ( \lambda ) } { ( n - 3 ) ! } } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { f ( \lambda ) } & { f ^ { \prime } ( \lambda ) } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { f ( \lambda ) } \end{array} \right] } .
{ \frac { 2 K ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } \: \phi _ { 1 } - \sqrt 2 \left( { \frac { K } { r } } \: { \frac { d } { d r } } + { \frac { K - r K ^ { \prime } } { r ^ { 2 } } } \right) \: \phi _ { 4 } = \alpha _ { 0 } ^ { 2 } \phi _ { 1 }
\begin{array} { r l r } { \epsilon } & { = } & { \epsilon _ { \mathrm { o u t } } + \epsilon _ { \mathrm { i n } } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } } \int d { \bf S } _ { \mathrm { o u t } } \cdot [ { \bf B } + ( \nabla \lambda ^ { 2 } ) \times \mathrm { r o t } { \bf B } } \\ & { } & { + \lambda ^ { 2 } \mathrm { r o t } \, \mathrm { r o t } { \bf B } ] \varphi + \epsilon _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { ( C ) } } } \\ & { = } & { \frac { \phi _ { 0 } } { 2 \mu _ { 0 } } [ \varphi ( { \bf r } _ { \mathrm { e n t } } ) - \varphi ( { \bf r } _ { \mathrm { e x } } ) ] + \epsilon _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { ( C ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d _ { X } ( \gamma ( c t ) , \eta ( c s ) ) } \\ & { \leq d _ { X } ( \gamma ( c t ) , \omega ( c u ) ) + d _ { X } ( \omega ( c u ) , \eta ( c s ) ) } \\ & { \leq c E d _ { X } ( \gamma ( t ) , \omega ( u ) ) + C / 2 + d _ { X } ( \omega ^ { - 1 } ( ( 1 - c ) u ) , \eta ^ { - 1 } ( ( 1 - c ) s ) ) } \\ & { \leq c E d _ { X } ( \gamma ( t ) , \omega ( u ) ) + C / 2 + ( 1 - c ) E d _ { X } ( \omega ^ { - 1 } ( u ) , \eta ^ { - 1 } ( s ) ) + C / 2 } \\ & { = c E d _ { X } ( \gamma ( t ) , \eta ( s ) ) + ( 1 - c ) E d _ { X } ( \gamma ( 0 ) , \eta ( 0 ) ) + C . } \end{array}
D = \{ t _ { * } ^ { 1 } + r ^ { 1 } \in \mathbb { V } ^ { 1 } : \| r ^ { 0 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } + \| r ^ { \angle } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } < \frac { 1 } { 2 } ( \delta - \varkappa ) ^ { 2 } \}
\begin{array} { r l } { \log p _ { \theta } ( \mathcal { C } _ { 0 } \vert \mathcal { G } _ { \mathrm { r x n } } ) \ge } & { { } - \sum _ { t = 2 } ^ { T } \mathrm { K L } ( q ( \mathcal { C } _ { t - 1 } \vert \mathcal { C } _ { t } , \mathcal { C } _ { 0 } ) \Vert p _ { \theta } ( \mathcal { C } _ { t - 1 } \vert \mathcal { C } _ { t } , \mathcal { G } _ { \mathrm { r x n } } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 2 } { \alpha ^ { 2 } } \left( Q - q \right) A ( q ) J _ { 1 } ( q r ) \, \mathrm { d } q } & { = - 4 G _ { r } ^ { \infty } ( r , z = 0 ) \, , } \\ { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 2 q } { \alpha ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { q } { Q } \right) B ( q ) J _ { 0 } ( q r ) \, \mathrm { d } q } & { = - 4 G _ { z } ^ { \infty } ( r , z = 0 ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathrm { D } _ { \mathrm X } ^ { \mathrm { ( X Y ) } } \right) _ { i j l m , k n } } & { { } = \sum _ { x , x ^ { ' } } ( | x \rangle ) _ { i } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { j k } \, ( | x ^ { ' } \rangle ) _ { l } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { m n } \, \rho _ { x x ^ { ' } } } \end{array}
\delta = - \frac { V _ { p } } { ( 2 \pi ) ^ { p } } \omega _ { 1 } \prod _ { i = 1 } ^ { l } \frac { 1 } { \omega _ { i } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d s } { s } \left( \frac { \pi } { 2 s } \right) ^ { \frac { p } { 2 } } e ^ { - b ^ { 2 } s } \frac { ( \cos ( 4 \omega _ { 1 } s \sinh \epsilon ) - 4 \cos ( 2 \omega _ { 1 } s \sinh \epsilon ) + 3 ) } { \cosh \epsilon ~ \sin ( 2 \omega _ { 1 } s \sinh \epsilon ) }
\begin{array} { r } { P _ { p p ^ { \prime } } ( \theta _ { \mathbf { a } } , \theta _ { \mathbf { b } } ) = \frac { 1 } { 2 } | \delta _ { p , p ^ { \prime } } - \cos ^ { 2 } \theta _ { \mathbf { a b } } | , } \end{array}
\Delta r ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) = - \frac { F ( s ) ^ { 2 } } { \partial _ { s } F ( s ) } \int _ { s } ^ { t _ { r } } \partial _ { k } ^ { 2 } \omega _ { g } ^ { k ( k _ { l } , t ^ { \prime } , s ) } d t ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { { \sf D } = \left[ \begin{array} { c c c c } { \mathbf { 1 } _ { 2 } } & { } & { } & { } \end{array} \right] , \ \ { \sf P } } & { { } = i \left[ \begin{array} { c c c c } { \mathbf { 0 } _ { 2 } } & { } & { } & { } \end{array} \right] , } \end{array}
\boldsymbol { M } \Ddot { \boldsymbol { y } } ( t ) = \boldsymbol { F } _ { e } ( t ) + \boldsymbol { F } _ { r a d } ( t ) + \boldsymbol { F } _ { b } ( t ) + \boldsymbol { F } _ { \nu } ( t ) + \boldsymbol { F } _ { m d } ( t ) + \boldsymbol { F } _ { P T O } ( t ) ,
\begin{array} { r l } { { \bf r } _ { V e } } & { = \big \langle { { \bf w } _ { V } } \, , \partial _ { { t } } { \bf U } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } + \big \langle { { \bf w } } _ { V } ^ { \, \, \, - } \, , \overline { { { \bf F } } } \, \cdot { { \bf n } } _ { e } \big \rangle _ { \Gamma _ { e } ^ { h } } - \big \langle \nabla { { \bf w } _ { V } } \, , { \bf F } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } } \\ & { \quad - \big \langle { { \bf w } } _ { V } ^ { \, \, \, - } \, , \overline { { { \bf Q } } } \, \cdot { { \bf n } } _ { e } \big \rangle _ { \Gamma _ { e } ^ { h } } + \big \langle \nabla { { \bf w } _ { V } } \, , { \bf Q } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } - \big \langle { { \bf w } _ { V } } \, , { \bf S } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } = { \bf 0 } } \\ { { \bf r } _ { E e } } & { = \big \langle { { \bf w } _ { E } } \, , { \bf E } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } - \big \langle { { \bf w } } _ { E } ^ { \, \, \, - } \, , \overline { { { \bf G } } } \big \rangle _ { \Gamma _ { e } ^ { h } } + \big \langle \nabla { { \bf w } _ { E } } \, , { \bf G } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } = { \bf 0 } \, . } \end{array}
B _ { \mathrm { S L } } = { \frac { \Gamma ( B \to X \, e \, \bar { \nu } ) } { \sum _ { \ell } \Gamma ( B \to X \, \ell \, \bar { \nu } ) + \Gamma _ { \mathrm { N L } } + \Gamma _ { \mathrm { r a r e } } } } \, ,
\begin{array} { l l } { { \exp - \left( E ( \bar { \theta } ) V T \right) = } } & { { \int { \cal D } G _ { \mu } \operatorname * { d e t } ( \rlap / D + m ) } } \\ { { } } & { { \cdot \exp - \int d ^ { 4 } x \left( \frac 1 2 G _ { \mu \nu } G _ { \mu \nu } - i \bar { \theta } G _ { \mu \nu } \tilde { G } _ { \mu \nu } \right) } } \end{array}
\frac { 4 \pi } { \beta _ { 0 } } \frac { l i ( \lambda ^ { n } ) } { \lambda ^ { n } } \simeq 4 \pi \sum _ { m = 1 } ^ { M } \left[ \frac { \alpha _ { \mathrm { s } } ( Q ^ { 2 } ) } { 4 \pi } \right] ^ { m } \beta _ { 0 } ^ { m - 1 } \frac { ( m - 1 ) ! } { n ^ { m } } .
\langle s _ { i } \rangle = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \langle w _ { i j } \rangle = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { s _ { i } ^ { * } \, s _ { j } ^ { * } } { 2 W ^ { * } } = s _ { i } ^ { * } \quad \forall i .
\begin{array} { r l } { V _ { x y } ( t ) = } & { { } \frac { I _ { 0 } \Delta R _ { A H E } \left( H _ { \mathrm { d l } } H _ { x } \mp H _ { \mathrm { f l } } H _ { y } \right) } { 2 { H _ { k } } ^ { 2 } } } \end{array}
\hat { \mathbf { G } } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } , k } = \mathbf { f } _ { H L L C } \left\{ \mathbf { P } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } , k } ^ { L } , \mathbf { P } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } , k } ^ { R } , ( \hat { \eta } _ { t } ) _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } , k } , ( \hat { \eta } _ { x } ) _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } , k } , ( \hat { \eta } _ { y } ) _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } , k } , ( \hat { \eta } _ { z } ) _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } , k } \right\} .
\begin{array} { r l } { \psi _ { \lambda } ( x ) - v _ { 1 } ( x ) } & { = { \psi _ { \lambda } ( 1 ) - v _ { 1 } ( 1 ) } + \int _ { z = 1 } ^ { x } \psi _ { \lambda } ^ { \prime } ( z ) - v _ { 1 } ^ { \prime } ( z ) d z } \\ & { = \underbrace { \psi _ { \lambda } ( 1 ) - v _ { 1 } ( 1 ) } _ { = O ( \xi L ) } + \int _ { z = 1 } ^ { x } \left( \underbrace { \psi _ { \lambda } ^ { \prime } ( 1 ) - v _ { 1 } ^ { \prime } ( 1 ) } _ { = O ( \xi L ) } + \int _ { y = 1 } ^ { z } ( \psi _ { \lambda } ^ { \prime \prime } ( y ) - v _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( y ) ) \; d y \right) d z } \\ & { = O ( \xi L ) + \int _ { z = 1 } ^ { x } \int _ { y = 1 } ^ { z } ( 2 \lambda - f ( y ) ) ( \psi _ { \lambda } ( y ) - v _ { 1 } ( y ) ) d y \, d z . } \end{array}
\left( | H \rangle _ { 1 } | H \rangle _ { 2 } + | V \rangle _ { 1 } | V \rangle _ { 2 } \right) \otimes \left( | + m \rangle _ { 1 } | + m \rangle _ { 2 } + | - m \rangle _ { 1 } | - m \rangle _ { 2 } \right) / 2
\begin{array} { r } { \chi ( \omega ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \chi ( t ) e ^ { i \omega t } \, \mathrm { d } t = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \chi ( t ) e ^ { i \omega t } \, \mathrm { d } t . } \end{array}
C _ { \theta } ( \tau ) = \langle { \cal A } ( \tau ) { \cal B } \rangle \; - \; \langle { \cal A } \rangle \operatorname * { l i m } _ { \tau ^ { \prime } \rightarrow \infty } \langle { \cal U } _ { \tau ^ { \prime } } ( { \scriptstyle { \cal B } } ) { \cal B } \rangle \stackrel { \tau \rightarrow \infty } { \longrightarrow } 0 \; ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u + \nabla P = \Delta u + f } & { \mathrm { ~ i n ~ } ( - 4 , 0 ) \times \mathsf C _ { 2 } } \\ { \operatorname { d i v } u = 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } ( - 4 , 0 ) \times \mathsf C _ { 2 } } \\ { u = 0 } & { \mathrm { ~ o n ~ } ( - 4 , 0 ) \times \mathsf T _ { 2 } \; , } \end{array} \right. } \end{array}
\exp \left( \frac { \theta } { 2 } T ( x ) \right) \exp \left( \frac { \theta } { 2 } T ( y ) \right) \mathbf { h } ( y ) = \exp \left( \frac { \theta } { 4 } F ( x ) \right) \exp \left( \frac { \theta } { 4 } F ( y ) \right) \hat { \mathbf { h } } ( y ) \exp \left( \frac { \theta } { 4 } F ( y ) \right) \exp \left( \frac { \theta } { 4 } F ( x ) \right) .
Z _ { l e f t } ( \tau ) = \prod _ { I = 1 } ^ { 1 6 } Z _ { 0 , 2 n R A _ { y } ^ { I } } ^ { 0 , 2 m R A _ { y } ^ { I } } ( \tau ) + \prod _ { I = 1 } ^ { 1 6 } Z _ { 1 , 2 n R A _ { y } ^ { I } } ^ { 0 , 2 m R A _ { y } ^ { I } } ( \tau ) + \prod _ { I = 1 } ^ { 1 6 } Z _ { 0 , 2 n R A _ { y } ^ { I } } ^ { 1 , 2 m R A _ { y } ^ { I } } ( \tau ) + \prod _ { I = 1 } ^ { 1 6 } Z _ { 1 , 2 n R A _ { y } ^ { I } } ^ { 1 , 2 m R A _ { y } ^ { I } } ( \tau )
\left\{ \begin{array} { c } { f _ { 2 0 } ^ { + } = \phantom { } _ { 0 } f _ { 2 } + 2 f _ { e } , } \\ { f _ { 2 0 } ^ { - } = \phantom { } _ { 0 } f _ { 2 } - 2 f _ { e } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } { ( q _ { h } , \nabla \cdot \Pi _ { V } u ) _ { K } } & { = ( q _ { h } , \nabla \cdot u ) _ { K } } & & { \forall q _ { h } \in P _ { k - 1 } ( K ) , } \\ { \langle \bar { q } _ { h } , n \cdot \Pi _ { V } u \rangle _ { F } } & { = \langle \bar { q } _ { h } , n \cdot u \rangle _ { F } } & & { \forall \bar { q } _ { h } \in P _ { k } ( F ) , \quad \forall \mathrm { ~ f a c e s ~ } F \mathrm { ~ o f ~ } K , } \end{array}
v _ { i 2 } = \frac { \lambda ( \lambda ^ { 2 } \nu _ { e } + \sigma _ { i } ) } { 2 ( \lambda ^ { 2 } \nu _ { e } - \sigma _ { i } ) ^ { 3 } } \phi _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { \lambda } { ( \lambda ^ { 2 } \nu _ { e } - \sigma _ { i } ) } \phi _ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \gamma _ { 2 } \delta _ { 2 } } { \gamma _ { 3 } \delta _ { 3 } } = \frac { \gamma _ { 4 } \delta _ { 4 } } { \gamma _ { 1 } \delta _ { 1 } } } & { = \frac { 2 \omega _ { x } ( 1 - x ) } { ( 1 + x ) } = \frac { 2 \omega _ { x } ( 1 - x ^ { 2 } ) } { 1 + 2 x + x ^ { 2 } } = \frac { - 4 \omega _ { x } ^ { 2 } } { 2 \kappa _ { x } + 2 } = - 2 ( \kappa _ { x } - 1 ) , } \\ { \frac { \gamma _ { 1 } \delta _ { 2 } } { \gamma _ { 4 } \delta _ { 3 } } = \frac { \gamma _ { 3 } \delta _ { 4 } } { \gamma _ { 2 } \delta _ { 1 } } } & { = \frac { 2 \omega _ { x } ( 1 + x ) } { 1 - x } = - 2 ( \kappa _ { x } + 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { { \mathrm { l i g h t } } } } & { = \hbar \left( \eta _ { p } \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { - i \omega _ { p } t } + \eta _ { p } ^ { * } \hat { a } e ^ { i \omega _ { p } t } \right) + \hbar \omega _ { c } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } } \\ { \hat { H } _ { { \mathrm { a t o m } } } } & { = \sum _ { \tau = g , e } \int d z \ \hat { \psi } _ { \tau } ^ { \dagger } ( z ) \left[ \frac { p ^ { 2 } } { 2 M } + V ( z ) + \hbar \omega _ { \tau } \right] \hat { \psi } _ { \tau } ( z ) } \\ { \hat { H } _ { { \mathrm { i n t } } } } & { = \hbar \int d z \ \mathcal { G } _ { 0 } \sin k _ { c } z \left[ \hat { a } \hat { \psi } _ { e } ^ { \dagger } ( z ) \hat { \psi } _ { g } ( z ) + \hat { a } ^ { \dagger } \hat { \psi } _ { g } ^ { \dagger } ( z ) \hat { \psi } _ { e } ( z ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H [ p ] } & { { } = H [ p ( s _ { 0 } ) ] + \sum _ { s _ { 0 } } \sum _ { a } p ( s _ { 0 } ) \Big ( H [ p ( s _ { 1 } ^ { a } | s _ { 0 } ) ] + \sum _ { s _ { 1 } ^ { a } } \sum _ { a ^ { \prime } } p ( s _ { 1 } ^ { a } | s _ { 0 } ) \Big ( H [ p ( s _ { 2 } ^ { a ^ { \prime } } | s _ { 1 } ^ { a } ) ] + \cdots + } \end{array}
\Delta \varepsilon = \frac { { { \pi ^ { 2 } } } } { 2 } { \left( { \frac { { k { T _ { e m i s } } } } { { { \varepsilon _ { F } } } } } \right) ^ { 2 } } { \varepsilon _ { F } } + 2 k \pi T _ { e m i s } c t g \frac { { \pi { T _ { e m i s } } } } { { 2 { T _ { i n v e r } } } } ,
\frac { D \xi } { D t } = ( \zeta - \eta _ { o } \nabla _ { 2 } ^ { 2 } ) \partial _ { z } u , \quad \frac { D \eta } { D t } = ( \zeta - \eta _ { o } \nabla _ { 2 } ^ { 2 } ) \partial _ { z } v , \quad \frac { D \zeta } { D t } = ( \zeta - \eta _ { o } \nabla _ { 2 } ^ { 2 } ) \partial _ { z } w .
\begin{array} { r } { \chi ^ { 2 } ( H _ { 1 } , H _ { 2 } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { ( N _ { 1 } n _ { 2 i } - N _ { 2 } n _ { 1 i } ) ^ { 2 } } { N _ { 2 } ^ { 2 } \sigma _ { 1 i } ^ { 2 } + N _ { 1 } ^ { 2 } \sigma _ { 2 i } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { C 1 } } & { = \sum _ { 0 \le j \le l \le n } \frac { \left( l - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( l - n + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } { \left( j + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( j + n - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } \cdot \frac { e ^ { - \gamma ( j + l ) - a l + b j } } { \left( j + n + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } } \\ & { \le \sum _ { 0 \le j \le l \le n } \frac { \left( l - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( l - n + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } { \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( n - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } \cdot \frac { e ^ { - \gamma ( j + l ) - a l + b j } } { \left( j + n + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } } \\ & { \le \sum _ { 0 \le j \le l \le n } \frac { e ^ { - \gamma ( j + l ) - a l + b j } } { \left( j + n + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } \le \frac { 1 } { \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } \sum _ { 0 \le j \le l < \infty } e ^ { ( - \gamma + b ) j - ( \gamma + a ) l } < \frac { \textrm { c o n s t } } { \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } } \end{array}