harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l r l r } { t ^ { 9 } \cdot u } & { } & { t ^ { 7 } c _ { 2 } \cdot u } & { } & { t ^ { 6 } c _ { 3 } \cdot u } & { } & { t ^ { 5 } c _ { 2 } ^ { 2 } \cdot u } \\ { t ^ { 4 } c _ { 2 } c _ { 3 } \cdot u } & { } & { t ^ { 3 } c _ { 2 } ^ { 3 } \cdot u } & { } & { t ^ { 3 } c _ { 3 } ^ { 2 } \cdot u } & { } & { t ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } c _ { 3 } \cdot u } \\ { t c _ { 2 } ^ { 4 } \cdot u } & { } & { t c _ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } \cdot u } & { } & { c _ { 2 } ^ { 3 } c _ { 3 } \cdot u } & { } & { c _ { 3 } ^ { 3 } \cdot u } \end{array}
\begin{array} { r l } { | H _ { f } | } & { = \frac { h _ { 0 } ^ { 2 } C ^ { 2 } } { ( \mu - \lambda ) ^ { 5 } } \left( 2 \mu \lambda \lambda ^ { \prime \prime } - ( \mu - \lambda ) ( \lambda ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right) + ( - p \lambda ^ { \prime \prime } - 2 \lambda ^ { \prime } ) \frac { 2 h _ { 0 } C \lambda } { ( \mu - \lambda ) ^ { 3 } } + c ^ { \prime \prime } ( \mu ) \partial _ { p p } f } \\ & { \geq \frac { h _ { 0 } ^ { 2 } C ^ { 2 } } { ( \mu - \lambda ) ^ { 5 } } \left( 2 \mu \lambda \lambda ^ { \prime \prime } - ( \mu - \lambda ) ( \lambda ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right) + ( - p \lambda ^ { \prime \prime } - 2 \lambda ^ { \prime } ) \frac { 2 h _ { 0 } C \lambda } { ( \mu - \lambda ) ^ { 3 } } } \\ & { = \frac { h _ { 0 } C } { ( \mu - \lambda ) ^ { 5 } } \left[ h _ { 0 } C ( 2 \mu \lambda \lambda ^ { \prime \prime } - ( \mu - \lambda ) ( \lambda ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) + 2 \lambda ( \mu - \lambda ) ^ { 2 } ( - p \lambda ^ { \prime \prime } - 2 \lambda ^ { \prime } ) \right] } \\ & { = - \frac { h _ { 0 } C \lambda ^ { \prime } } { ( \mu - \lambda ) ^ { 4 } } \left[ h _ { 0 } C \lambda ^ { \prime } + 4 \lambda ( \mu - \lambda ) - 2 \frac { h _ { 0 } C \mu - p ( \mu - \lambda ) ^ { 2 } } { \mu - \lambda } \frac { \lambda ^ { \prime \prime } \lambda } { \lambda ^ { \prime } } \right] . } \end{array}
\check { \mathbf { F } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { v } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { - \tau _ { i + \frac { 1 } { 2 } } } \\ { - \tau _ { i + \frac { 1 } { 2 } } u _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + q _ { i + \frac { 1 } { 2 } } } \end{array} \right) ,
\frac { \partial n _ { e } ( \mathbf { r } , t ) } { \partial t } + \nabla _ { \perp } \cdot n _ { e } \mathbf { u _ { \perp } } + \nabla _ { \parallel } \cdot n _ { e } \mathbf { u _ { \parallel } } = k _ { i o n } n _ { e } ( \mathbf { r } , t )
w ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { t } | \ensuremath { \vec { \theta } } _ { t - 1 } ) = \frac { p ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { t } | y ) } { q ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { t } | \ensuremath { \vec { \theta } } _ { t - 1 } ) } .
\begin{array} { r l } { ( \mathrm { I } ) } & { = \sum _ { \ell \in \mathbb Z ^ { d } } \vert \ell \vert ^ { 2 q } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { k \in \mathbb Z ^ { d } } ( t - s ) ^ { 2 q } \vert \widehat { H } _ { k } ( s ) \vert ^ { 2 } \vert k \vert \vert ( \mathcal { F } _ { x , v } \mathcal { G } ) ( t , s , \ell - k , k ( e ^ { t - s } - 1 ) ) \vert \, \mathrm { d } s \, \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } \sum _ { k \in \mathbb Z ^ { d } } \vert \widehat { H } _ { k } ( s ) \vert ^ { 2 } \int _ { s } ^ { T } \sum _ { \ell \in \mathbb Z ^ { d } } ( t - s ) ^ { 2 q } \vert \ell \vert ^ { 2 q } \vert k \vert \vert ( \mathcal { F } _ { x , v } \mathcal { G } ) ( t , s , \ell - k , k ( e ^ { t - s } - 1 ) ) \vert \, \mathrm { d } t \, \mathrm { d } s } \\ & { \leq \Vert H \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } ^ { 2 } \underset { k \in \mathbb Z ^ { d } } { \operatorname* { s u p } } \underset { 0 \leq s \leq T } { \operatorname* { s u p } } \int _ { s } ^ { T } \sum _ { \ell \in \mathbb Z ^ { d } } ( t - s ) ^ { 2 q } \vert \ell \vert ^ { 2 q } \vert k \vert \vert ( \mathcal { F } _ { x , v } \mathcal { G } ) ( t , s , \ell - k , k ( e ^ { t - s } - 1 ) ) \vert \, \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { w } ( x ) } & { = - \left( \frac { \lambda ^ { 2 } } { | x | \cdot | y | } \right) ^ { n - 2 s } H _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ^ { \lambda } ) + \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) ^ { n - 2 s } H _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ^ { \lambda } ) } \\ & { \quad + \left[ H _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ) - \left( \frac { \lambda } { | x | } \right) ^ { n - 2 s } H _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \binom { k } { m } } \frac { 1 } { k ^ { m } } } & { = \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { m - 1 } ( k - i ) } { m ! \cdot k ^ { m - 1 } } } \\ & { = \frac { 1 } { m ! \cdot k ^ { m - 1 } } ( k ^ { m - 1 } - e _ { 1 } ( z _ { m } ) k ^ { m - 2 } \pm \cdots + ( - 1 ) ^ { m - 1 } ( e _ { m - 1 } ( z _ { m } ) ) } \\ & { = \frac { 1 } { m ! } - \frac { 1 } { 2 ( m - 2 ) ! } \frac { 1 } { k } + \cdots + \frac { ( - 1 ) ^ { m - 1 } } { m } \frac { 1 } { k ^ { m - 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { L } ^ { \prime } [ \phi ; \mu ] = } & { { \frac { 1 } { \pi } } \left[ \; \int _ { R } d ^ { 2 } z \left( \partial \phi \, \overline { { \partial } } \phi + \pi \mu e ^ { 2 b \phi } \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { H _ { i } } d ^ { 2 } z \, \partial \phi \, \overline { { \partial } } \phi \; \right] \, . } \end{array}
{ \mathrm { s . t . } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { g _ { 1 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) = x _ { 1 } + x _ { 2 } - 2 \geq 0 } \\ { g _ { 2 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) = 6 - x _ { 1 } - x _ { 2 } \geq 0 } \\ { g _ { 3 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) = 2 - x _ { 2 } + x _ { 1 } \geq 0 } \\ { g _ { 4 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) = 2 - x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } \geq 0 } \\ { g _ { 5 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) = 4 - \left( x _ { 3 } - 3 \right) ^ { 2 } - x _ { 4 } \geq 0 } \\ { g _ { 6 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) = \left( x _ { 5 } - 3 \right) ^ { 2 } + x _ { 6 } - 4 \geq 0 } \end{array} \right. }
\bigl \{ A _ { \mu } ( \vec { x } , t ) , \dot { A } ^ { \nu } ( \vec { y } , t ) \bigr \} = - \, \Bigl ( \delta _ { \mu } ^ { \nu } + ( \alpha - 1 ) \, \eta _ { 0 \mu } \delta _ { 0 } ^ { \nu } \Bigr ) \, \delta ( \vec { x } - \vec { y } ) \, .
2 \frac { \ddot { b } } { b } + \frac { { \dot { b } } ^ { 2 } - 1 } { b ^ { 2 } } + \frac { f ^ { \prime \prime \prime } ( R ) } { f ^ { \prime } ( R ) } \dot { R } ^ { 2 } + \frac { f ^ { \prime \prime } ( R ) } { f ^ { \prime } ( R ) } \ddot { R } + 2 \frac { f ^ { \prime \prime } ( R ) } { f ^ { \prime } ( R ) } \frac { \dot { b } } { b } \dot { R } - \frac { 1 } { 2 } \frac { f ( R ) } { f ^ { \prime } ( R ) } + \frac { 1 } { 2 } R = 0 .
\begin{array} { r l } { \sum _ { \mathrm { a l l ~ f o u r } \; \hat { \mu } ^ { \mathrm { ' } } \mathrm { s } } e ^ { i ( \mathcal { D } \cdot V _ { 1 2 } ) _ { m _ { x } ^ { 1 } + m _ { y } ^ { 1 } + m _ { x } ^ { 2 } + m _ { y } ^ { 2 } } } } & { } \\ { ( \lambda _ { 1 x } ) ^ { m _ { x } ^ { 1 } } ( \lambda _ { 1 y } ) ^ { m _ { y } ^ { 1 } } ( \lambda _ { 2 x } ) ^ { m _ { x } ^ { 2 } } ( \lambda _ { 2 y } ) ^ { m _ { y } ^ { 2 } } } & { } \\ { \left( i \frac { \mathcal { D } \cdot \hat { \mu } _ { 2 } } { \hat { \mu } _ { 1 } \cdot \hat { \lambda } _ { 2 } } \right) ^ { m _ { x } ^ { 1 } + m _ { y } ^ { 1 } } \left( i \frac { \mathcal { D } \cdot \hat { \mu } _ { 1 } } { \hat { \mu } _ { 2 } \cdot \hat { \lambda } _ { 1 } } \right) ^ { m _ { x } ^ { 2 } + m _ { y } ^ { 2 } } } & { } \\ { \frac { W \cdot \hat { \lambda } } { W \cdot \mathcal { D } } ( - \Delta ( f _ { 1 } f _ { 2 } ) _ { \hat { \mu } } ) \frac { 1 } { \mathcal { D } \cdot \hat { \mu } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { M } _ { P } ^ { ( n ) } ( P , u , S , \tau _ { m } ) } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N - m } \left( \Delta _ { \tau _ { m } } P _ { i } \right) ^ { n } \cdot \frac { K _ { \mathrm { ~ a ~ } , \mathrm { ~ b ~ } , \mathrm { ~ b ~ o ~ o ~ l ~ } } \left( \frac { P _ { i } - P } { h _ { P } } , \frac { u _ { i } - u } { h _ { u } } , S _ { i } - S \right) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N - m } K _ { \mathrm { ~ a ~ } , \mathrm { ~ b ~ } , \mathrm { ~ b ~ o ~ o ~ l ~ } } \left( \frac { P _ { i } - P } { h _ { P } } , \frac { u _ { j } - u } { h _ { u } } , S _ { j } - S \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { r ( x ) } & { = \phi ( F _ { 1 } , x ) - \phi ( F , x ) } \\ & { = x ^ { n - 5 } ( n _ { 4 } - n _ { 2 } + 1 ) ( x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } - ( n _ { 3 } + n _ { 3 } n _ { 5 } ) x - 2 n _ { 3 } n _ { 5 } ) } \\ & { = x ^ { n - 5 } ( n _ { 4 } - n _ { 2 } + 1 ) \left( x ( x ^ { 2 } - n _ { 3 } ( n _ { 5 } + 1 ) ) + 2 ( x ^ { 2 } - n _ { 3 } n _ { 5 } ) \right) . } \end{array}
S ^ { \left( \Sigma _ { 1 + 1 } \right) } = - 2 \pi i \theta f \left( \overline { { { t _ { * } } } } \right) g \left( t _ { * } \right) \int _ { \Sigma _ { 1 + 1 } } \left[ i \overline { { { \psi } } } ^ { L } \sigma ^ { a } D _ { a } \psi ^ { L } - \overline { { { \psi } } } ^ { L } m \psi ^ { L } \right] ,
P \left( \lambda \right) = \lambda ^ { 2 } \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] + \lambda \left[ \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 . 4 } & { 0 . 8 9 } \\ { 0 . 1 5 } & { - 0 . 0 2 } & { 0 } \\ { 0 . 9 2 } & { 0 . 1 1 } & { 0 . 0 6 } \end{array} \right] .
C _ { \epsilon } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } - \boldsymbol { \mathbf { r } } ^ { \prime } , \omega ) = \left\langle \delta \epsilon ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , \omega ) \delta \epsilon ^ { * } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } ^ { \prime } , \omega ) \right\rangle = | \Delta \epsilon ( \omega ) | ^ { 2 } C ( \boldsymbol { \mathbf { r } } - \boldsymbol { \mathbf { r } } ^ { \prime } )
\mathrm { I M A } = { \frac { F _ { \mathrm { o u t } } } { F _ { \mathrm { i n } } } } = { \frac { \mathrm { R a d i u s } _ { \mathrm { w h e e l } } } { \mathrm { R a d i u s } _ { \mathrm { a x l e } } } }
\begin{array} { r l } { \overline { { \psi } } _ { + } ^ { ( \digamma ) } ( U ) = } & { \left( \psi _ { - , 0 } ^ { ( \digamma ) } \right) ^ { 2 } \left( \psi _ { + , 0 } ^ { ( \digamma ) } - \frac { \psi _ { + , 1 } ^ { ( \digamma ) } } { U } - \frac { \psi _ { + , 2 } ^ { ( \digamma ) } - \left( \psi _ { + , 1 } ^ { ( \digamma ) } \right) ^ { 2 } \psi _ { - , 0 } ^ { ( \digamma ) } } { U ^ { 2 } } \right. } \\ & { \qquad \qquad \quad \left. - \frac { \psi _ { + , 3 } ^ { ( \digamma ) } + \left( \psi _ { + , 1 } ^ { ( \digamma ) } \right) ^ { 3 } \left( \psi _ { - , 0 } ^ { ( \digamma ) } \right) ^ { 2 } } { U ^ { 3 } } - \dots \right) , } \\ { \overline { { \psi } } _ { - } ^ { ( \digamma ) } ( U ) = } & { \left( \psi _ { + , 0 } ^ { ( \digamma ) } \right) ^ { 2 } \left( \psi _ { - , 0 } ^ { ( \digamma ) } - \psi _ { - , 1 } ^ { ( \digamma ) } U - \left( \psi _ { - , 2 } ^ { ( \digamma ) } - \left( \psi _ { - , 1 } ^ { ( \digamma ) } \right) ^ { 2 } \psi _ { + , 0 } ^ { ( \digamma ) } \right) U ^ { 2 } \right. } \\ & { \qquad \qquad \quad \left. - \left( \psi _ { - , 3 } ^ { ( \digamma ) } + \left( \psi _ { - , 1 } ^ { ( \digamma ) } \right) ^ { 3 } \left( \psi _ { + , 0 } ^ { ( \digamma ) } \right) ^ { 2 } \right) U ^ { 3 } - \dots \right) . } \end{array}
\{ { \cal P } _ { \Lambda } , { \cal P } _ { \Sigma } \} ^ { x } \equiv 2 K ^ { x } ( \Lambda , \Sigma ) - { \o { 1 } { \lambda } } \, \varepsilon ^ { x y z } \, { \cal P } _ { \Lambda } ^ { y } \, { \cal P } _ { \Sigma } ^ { z }
\begin{array} { r l } & { \Pi ( { \mathbf { P } } ) = \frac { \gamma ^ { 2 } ( \widetilde { \eta } ( { \mathbf { P } } ^ { 2 } ) - \delta \widetilde { \zeta } ( { \mathbf { P } } ^ { 2 } ) ) } { \Delta ^ { 2 } } + \frac { 2 \gamma ^ { 3 } \widetilde { \eta } ( { \mathbf { P } } ) ^ { 2 } + 2 \gamma ^ { 3 } \widetilde { \zeta } ( { \mathbf { P } } ) \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) } { \Delta ^ { 3 } } + \frac { ( \zeta + \gamma ^ { 4 } \widetilde { \zeta } ) \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) ^ { 2 } - 4 ( \eta - \gamma ^ { 3 } \widetilde { \eta } ) \gamma \widetilde { \eta } ( { \mathbf { P } } ) \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) } { \Delta ^ { 4 } } } \\ & { + \frac { 2 \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) ^ { 2 } ( \widetilde { \gamma } \eta ^ { 2 } + \gamma ^ { 5 } \widetilde { \eta } ^ { 2 } - 2 \gamma ^ { 2 } \eta \widetilde { \eta } ) } { \Delta ^ { 5 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { C } } _ { \hat { w } } = } & { \; \frac { \hat { \mathcal { C } } _ { \hat { w } _ { 1 } } } { t ^ { 1 / 3 } } + \frac { \hat { \mathcal { C } } _ { \hat { w } _ { 2 } } } { t ^ { 1 / 2 } } + \frac { \hat { \mathcal { C } } _ { \hat { w } _ { 3 } } \ln t } { t ^ { 2 / 3 } } + \frac { \hat { \mathcal { C } } _ { \hat { w } _ { 4 } } } { t ^ { 2 / 3 } } + \frac { \hat { \mathcal { C } } _ { \hat { w } _ { 5 } } \ln t } { t ^ { 5 / 6 } } + \frac { \hat { \mathcal { C } } _ { \hat { w } _ { e r r } } } { t ^ { 5 / 6 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla } & { { } = \widehat { t } _ { s } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( \varepsilon \xi \kappa \operatorname { c } ) ^ { k } \right) \nabla _ { s } + \frac { \hat { t } _ { \sigma } } { \varepsilon } \partial _ { \xi } + \frac { \hat { t } _ { \theta } } { \varepsilon \xi } \partial _ { \theta } , } \\ { \partial _ { t } } & { { } = \partial _ { \tau } - \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( \varepsilon \xi \kappa \operatorname { c } ) ^ { k } \right) { \left( v _ { t } - \varepsilon \xi \alpha ^ { \prime } \right) } \nabla _ { s } - \frac { v _ { \sigma } } { \varepsilon } \partial _ { \xi } - \frac { \left( v _ { \theta } + \varepsilon \xi \gamma ^ { \prime } \right) } { \varepsilon \xi } \partial _ { \theta } } \end{array}
\frac { 4 t _ { 2 } w _ { 1 } + 2 \nu _ { 1 } } { 2 w _ { 1 } - \nu _ { 1 } t _ { 2 } } \cdot \frac { 2 w _ { 3 } + 4 t _ { 3 } } { 2 - t _ { 3 } w _ { 3 } } = \nu _ { 2 } \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { 4 t _ { 4 } w _ { 3 } + 2 \nu _ { 3 } } { 2 w _ { 3 } - \nu _ { 3 } t _ { 4 } } \cdot \frac { 2 w _ { 1 } + 4 t _ { 1 } } { 2 - t _ { 1 } w _ { 1 } } = \nu _ { 4 } ,
\begin{array} { r l r } { \hat { a } _ { \mathrm { L } } ^ { \dagger } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } + i \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \right) } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { R } } ^ { \dagger } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } - i \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int ( \mathrm { r a d i a l \; p a r t ) } } & { { } = e \sqrt { \frac { 4 \pi } { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 2 } d r R _ { n ^ { \prime } l ^ { \prime } } ^ { * } ( r ) r R _ { n l } ( r ) } \\ { \int ( \mathrm { a n g u l a r \; p a r t ) } } & { { } = \int \; Y _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { * } ( \theta , \phi ) Y _ { 1 \mu } ( \theta , \phi ) Y _ { l m } ( \theta , \phi ) \; \sin \theta d \theta d \phi } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathcal X } \left| \frac 1 2 h ^ { T } s \sqrt { p _ { 0 } } ( \sqrt { p _ { 1 } } - \sqrt { p _ { 0 } } ) \right| d \mu } \\ & { \le \frac 1 2 \sqrt { \int _ { \mathcal X } \left| h ^ { T } s \sqrt { p _ { 0 } } \right| ^ { 2 } d \nu } \sqrt { \int _ { \mathcal X } \left| \sqrt { p _ { 1 } } - \sqrt { p _ { 0 } } \right| ^ { 2 } d \mu } } \\ & { \le \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \| h \| \sqrt { c } \sqrt { \int _ { \mathcal X } \left| \sqrt { p _ { 1 } } - \sqrt { p _ { 0 } } - \frac 1 2 h ^ { T } s \sqrt { p _ { 0 } } \right| ^ { 2 } d \mu + \int _ { X } \left| \frac 1 2 h ^ { T } s \sqrt { p _ { 0 } } \right| ^ { 2 } d \mu } } \\ & { \le \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \| h \| \sqrt { c } \sqrt { \Psi ( h ) + \frac 1 4 \| h \| ^ { 2 } c } . } \end{array}
= \left( \frac { y ^ { 1 } } { 1 ^ { a } } \right) \frac { z ^ { 1 } } { 1 ^ { b } } + \left( \frac { y ^ { 1 } } { 1 ^ { a } } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 ^ { a } } \right) \frac { z ^ { 2 } } { 2 ^ { b } } + \left( \frac { y ^ { 1 } } { 1 ^ { a } } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 ^ { a } } + \frac { y ^ { 3 } } { 3 ^ { a } } \right) \frac { z ^ { 3 } } { 3 ^ { b } } + \left( \frac { y ^ { 1 } } { 1 ^ { a } } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 ^ { a } } + \frac { y ^ { 3 } } { 3 ^ { a } } + \frac { y ^ { 4 } } { 4 ^ { a } } \right) \frac { z ^ { 4 } } { 4 ^ { b } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \rho _ { 1 } \otimes \rho _ { 2 } \otimes \cdots \otimes \rho _ { N } ) } & { = ( \mathcal { L } ^ { ( 1 ) } ( \rho _ { 1 } ) \otimes \rho _ { 2 } \otimes \cdots \otimes \rho _ { N } ) + ( \rho _ { 1 } \otimes \mathcal { L } ^ { ( 2 ) } ( \rho _ { 2 } ) \otimes \cdots \otimes \rho _ { N } ) } \\ & { + \cdots + ( \rho _ { 1 } \otimes \rho _ { 2 } \otimes \cdots \otimes \mathcal { L } ^ { ( N ) } ( \rho _ { N } ) ) , } \end{array}
\chi _ { 4 } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , q _ { 3 } ) \equiv \frac { \Omega _ { 1 } ^ { 2 } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , q _ { 3 } ) } { \Omega _ { \mathrm { o b s } } ^ { 2 } } - 1 ,
U _ { t , \mathcal { D } } ^ { N } \Psi _ { 0 } = ( { \mathchoice { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 . 5 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 5 m u l } } } _ { 2 } \otimes { \mathchoice { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 . 5 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 5 m u l } } } _ { [ - N , N ] } ) U _ { t , \mathcal { D } } ^ { N } \Psi _ { 0 } ,
\left< \mathcal { O } _ { - } ^ { i n } ( \Omega ) \mathcal { O } _ { - } ^ { i n } ( \Omega ^ { \prime } ) \right> = 0 \ , \left< \mathcal { O } _ { + } ^ { i n } ( \Omega ) \mathcal { O } _ { - } ^ { i n } ( \Omega ^ { \prime } ) \right> = 0
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } ( \partial _ { s } + \theta ( n ) \alpha _ { n } A ) \mathcal { E } _ { s } ^ { n } ( \varphi ) d s } \\ & { \quad = \frac { \theta ( n ) \alpha _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \xi _ { j } ( s ) \xi _ { j + 1 } ( s ) \nabla ^ { 1 , n } T _ { f _ { 2 } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s - \frac { 1 } { \sqrt { n } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \frac { f _ { 2 } ( n ) } { n } \overline { { \zeta } } _ { j } ( s ) \partial _ { x } T _ { f _ { 2 } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s } \\ & { \quad = \frac { \theta ( n ) \alpha _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \bigg ( \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) \overline { { \xi } } _ { j + 1 } ( s ) + \lambda ( \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) + \overline { { \xi } } _ { j + 1 } ( s ) ) \bigg ) \nabla ^ { 1 , n } T _ { f _ { 2 } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s } \\ & { \qquad - \frac { 1 } { \sqrt { n } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \frac { f _ { 2 } ( n ) } { n } \overline { { \zeta } } _ { j } ( s ) \partial _ { x } T _ { f _ { 2 } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textbf { P } = \int \epsilon _ { 0 } ( \epsilon _ { m } - 1 ) \textbf { E } ( \textbf { r } ) d \textbf { r } , } \\ & { { \textbf { T } = \frac { - i \omega } { 1 0 c } \int \epsilon _ { 0 } ( \epsilon _ { m } - 1 ) [ ( \textbf { r } \cdot \textbf { E } ( \textbf { r } ) ) \textbf { r } - 2 \textbf { r } ^ { 2 } \textbf { E } ( \textbf { r } ) ] d \textbf { r } } , } \\ & { \textbf { m } = - \frac { i \omega } { 2 } \int \epsilon _ { 0 } ( \epsilon _ { m } - 1 ) [ \textbf { r } \times \textbf { E } ( \textbf { r } ) ] d \textbf { r } , } \\ & { \textbf { Q } = 3 \int \epsilon _ { 0 } ( \epsilon _ { m } - 1 ) [ \textbf { r } \textbf { E } ( \textbf { r } ) + \textbf { E } ( \textbf { r } ) \textbf { r } - \frac { 2 } { 3 } ( \textbf { r } \cdot \textbf { E } ( \textbf { r } ) ) \hat { U } ] d \textbf { r } , } \\ & { \textbf { M } = \frac { \omega } { 3 i } \int \epsilon _ { 0 } ( \epsilon _ { m } - 1 ) [ ( \textbf { r } \times \textbf { E } ( \textbf { r } ) ) \textbf { r } + \textbf { r } ( \textbf { r } \times \textbf { E } ( \textbf { r } ) ) ] d \textbf { r } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v _ { c m } } & { = } & { m _ { 1 2 } \sqrt { \frac { v _ { 1 } ^ { 2 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { v _ { 2 } ^ { 2 } } { m _ { 1 } ^ { 2 } } + 2 \frac { \vec { v } _ { 1 } \cdot \vec { v } _ { 2 } } { m _ { 1 } m _ { 2 } } } , } \\ { v _ { r } } & { = } & { \sqrt { v _ { 1 } ^ { 2 } + v _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \vec { v } _ { 1 } \cdot \vec { v } _ { 2 } } , } \\ { \cos \alpha } & { = } & { \frac { 1 } { v _ { 1 } v _ { r } } \left( v _ { 1 } ^ { 2 } - \vec { v } _ { 1 } \cdot \vec { v } _ { 2 } \right) . } \end{array}
{ \bf D } \approx \left( \begin{array} { c c c } { { e ^ { - i \frac { \pi } { 4 } } } } & { { \sqrt { \frac { m _ { d } } { m _ { s } } } e ^ { - i \frac { 3 \pi } { 4 } } } } & { { \frac { \sqrt { 2 m _ { d } m _ { s } } } { m _ { b } } e ^ { i \frac { \pi } { 2 } } \nonumber } } \\ { { \sqrt { \frac { m _ { d } } { m _ { s } } } } } & { { e ^ { i \frac { \pi } { 2 } } } } & { { \frac { m _ { s } } { m _ { b } } e ^ { - i \frac { \pi } { 2 } } \nonumber } } \\ { { \frac { \sqrt { m _ { d } m _ { s } } } { m _ { b } } e ^ { i \frac { \pi } { 2 } } } } & { { \frac { m _ { s } } { m _ { b } } e ^ { i \frac { \pi } { 2 } } } } & { { e ^ { i \frac { \pi } { 2 } } } } \end{array} \right) .
\frac { \vec { u } ^ { 2 } } { 2 } - \partial _ { 0 } \tilde { \mu } - \frac { D \phi } { D t } = 0 \Rightarrow \frac { D \phi } { D t } = \frac { \vec { u } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \partial _ { t } P } { \rho } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { d e x p } _ { \mathbf { X } } } & { { } = \mathbf { I } + \frac { 1 } { 2 \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 2 } } \left( 4 - \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert \sin \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert - 4 \cos \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert \right) \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } + \frac { 1 } { 2 \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 3 } } \left( 4 \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert - 5 \sin \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert + \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert \cos \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert \right) \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } ^ { 2 } } \\ { \mathbf { d e x p } _ { \mathbf { X } } ^ { - 1 } } & { { } = \mathbf { I } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } + \left( \frac { 2 } { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 2 } } + \frac { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert + 3 \sin \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert } { 4 \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert \left( \cos \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert - 1 \right) } \right) \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 4 } } + \frac { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert + \sin \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert } { 4 \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 3 } \left( \cos \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert - 1 \right) } \right) \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } ^ { 4 } } \end{array}
X ( \sigma _ { 1 } + 2 \pi , \sigma _ { 2 } ) = h X ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } ) , \; X ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } + 2 \pi ) = g X ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } ) , \; 0 \leq \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } \leq 2 \pi .