harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } ( A B ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } ) = } & { { } \sum _ { \# \beta = K } \operatorname* { d e t } ( A [ \langle K \rangle , \beta ] ) \operatorname* { d e t } ( B [ \langle K \rangle , \beta ] ) . } \end{array}
{ \cal A } _ { C P } \ \sim \ - \, \frac { 2 \widehat { \Pi } ^ { A H } ( s ) \, [ \Im m \widehat { \Pi } ^ { H H } ( M _ { H } ^ { 2 } ) - \Im m \widehat { \Pi } ^ { A A } ( M _ { H } ^ { 2 } ) ] } { ( M _ { H } ^ { 2 } - M _ { A } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + [ \Im m \widehat { \Pi } ^ { A A } ( M _ { H } ^ { 2 } ) ] ^ { 2 } + [ \Im m \widehat { \Pi } ^ { H H } ( M _ { H } ^ { 2 } ) ] ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { a ^ { \mathrm { L } } = } & { \frac { \partial v _ { 0 } ^ { \mathrm { L } } } { \partial t } } \\ { = } & { a _ { 0 } ^ { \mathrm { L } } e ^ { - { ( { r / R _ { \mathrm { w } } } ) } ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial t } \left\lbrack { \sin \left( { \omega ^ { \mathrm { L } } t - \varphi ^ { \mathrm { L } } } \right) } \Pi \left( \frac { \omega ^ { \mathrm { L } } t - \varphi ^ { \mathrm { L } } } { 2 \pi } \right) \right\rbrack . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { I \times \mathcal { Y } _ { i } } \varphi ( y ) \, H _ { r } \left( y , \frac { d P } { d | P | } \right) \, d | P | = \int _ { I \times \mathcal { Y } _ { i } } \varphi \, H _ { r } \left( y , \frac { d P } { d | \Pi | } \right) \, d | \Pi | } \\ & { \geq \int _ { I \times \mathcal { Y } _ { i } } \varphi \, \Sigma _ { n } : \frac { d P } { d | \Pi | } \, d | \Pi | = \int _ { I \times \mathcal { Y } _ { i } } \varphi \, \Sigma _ { n } : \frac { d P } { d | P | } \, d | P | = \int _ { I \times \mathcal { Y } _ { i } } \varphi \, d [ \Sigma _ { n } : P ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { n } } ( { \pmb \xi } ) } & { { } = } & { \int _ { \partial D _ { b } } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb \alpha } _ { n } } \sigma _ { \alpha b } ( { \pmb x } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) d S ( { \pmb x } ) - \mu \int _ { \partial D _ { b } } p _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { n } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) v _ { b } ( { \pmb x } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) d S ( { \pmb x } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 1 = \mathbb { E } _ { P } \left[ \widetilde { \psi } _ { P } ^ { a } ( Y _ { t } , A _ { t } , X _ { t } ) S ^ { a } ( Y _ { t } , A _ { t } , X _ { t } ) \right] \leq \sqrt { \mathbb { E } _ { P } \left[ \left( \widetilde { \psi } _ { P } ^ { a } ( Y _ { t } , A _ { t } , X _ { t } ) \right) ^ { 2 } \right] } \sqrt { \mathbb { E } _ { P } \left[ \left( S ^ { a } ( Y _ { t } , A _ { t } , X _ { t } ) \right) ^ { 2 } \right] } . } \end{array}
\mathsf Q ^ { ( 6 ) } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { - \frac { 1 } { 3 } } & { \frac { 2 2 } { 4 5 } } & { - \frac { 3 9 8 } { 9 4 5 } } & { \frac { 5 9 6 } { 2 0 2 5 } } & { - \frac { 1 0 2 6 1 4 } { 4 6 7 7 7 5 } } & { \frac { 1 3 8 7 3 4 1 2 6 } { 6 3 8 5 1 2 8 7 5 } } \\ & { \frac { 1 } { 5 } } & { - \frac { 1 1 8 } { 3 1 5 } } & { \frac { 1 5 4 3 } { 4 7 2 5 } } & { - \frac { 2 4 5 6 2 } { 1 5 5 9 2 5 } } & { \frac { 1 7 7 4 9 3 7 3 } { 4 2 5 6 7 5 2 5 0 } } \\ & & { - \frac { 1 7 } { 3 1 5 } } & { \frac { 1 5 2 } { 9 4 5 } } & { - \frac { 3 8 0 6 8 } { 1 5 5 9 2 5 } } & { \frac { 1 8 8 2 4 3 2 } { 8 5 1 3 5 0 5 } } \\ & & & { \frac { 5 } { 2 5 2 } } & { - \frac { 7 5 2 } { 1 0 3 9 5 } } & { \frac { 2 6 8 8 6 4 } { 2 0 2 7 0 2 5 } } \\ & & & & { - \frac { 1 0 1 } { 1 7 3 2 5 } } & { \frac { 6 2 4 6 4 } { 2 0 2 7 0 2 5 } } \\ & & & & & { \frac { 1 1 5 3 7 } { 4 0 5 4 0 5 0 } } \end{array} \right]
M = \left( \begin{array} { c c c c c c } { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) .
\left\| ( f , g ) \right\| _ { L ^ { 2 } \times L ^ { 2 } } = \left( | | f | | _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + | | g | | _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } , f , g \in L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) .
\begin{array} { r l } { \left\lvert \mathrm I + \mathrm { I I } + \mathrm { I I I } \right\rvert } & { \le \left( \frac C \gamma + \gamma \right) A ^ { 3 } T | \partial \Omega | + \frac 1 4 D _ { \nu } + \frac 1 4 F _ { \nu } + \nu ^ { \frac 4 3 } H _ { \nu } ^ { \frac 1 3 } } \\ & { \qquad + \left( 4 \log \left( \frac { 4 A L } \nu _ { + } + \frac { \nu T } { \bar { \delta } ^ { 2 } } \right) + \frac { C ( \Omega ) ( 1 + \nu ^ { 2 } ) E _ { \nu } T } { A L ^ { 4 } } \right) A \nu | \partial \Omega | . } \end{array}
\phi ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { r \leq R , } \\ { \bar { \phi } _ { \mathrm { o u t } } - \frac { B } { r } - \frac { Q ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } M _ { \gamma } r ^ { 2 } } } & { r > R . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { h } \left( T ( h ) - I \right) Z ( \lambda ) x } & { = \frac { 1 } { h } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \lambda t } \left( T ( t + h ) - T ( t ) \right) x \, d t } \\ & { = \frac { e ^ { \lambda h } } { h } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \lambda \eta } T ( \eta ) x \, d \eta - \frac { e ^ { \lambda h } } { h } \int _ { 0 } ^ { h } e ^ { - \lambda \eta } T ( \eta ) x \, d \eta } \\ & { \qquad - \frac { 1 } { h } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \lambda \eta } T ( \eta ) x \, d \eta } \\ & { = \frac { e ^ { \lambda h } - 1 } { h } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \lambda t } T ( t ) x \, d t - \frac { e ^ { \lambda h } } { h } \int _ { 0 } ^ { h } e ^ { - \lambda t } T ( t ) x \, d t } \\ & { \to \lambda Z ( \lambda ) x - x } \end{array}
{ G ^ { \mu \nu } } ^ { \prime } = \Lambda _ { \sigma } ^ { \mu } \Lambda _ { \tau } ^ { \nu } \Lambda _ { \rho } ^ { \alpha } \Lambda _ { \gamma } ^ { \beta } ( \frac { 1 } { 2 } \epsilon ^ { \sigma \tau \rho \gamma } ) \Lambda _ { \alpha } ^ { \xi } \Lambda _ { \beta } ^ { \omega } ( F _ { \xi \omega } ) = \frac { 1 } { 2 } d e t ( \Lambda ) \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } \Lambda _ { \alpha } ^ { \xi } \Lambda _ { \beta } ^ { \omega } F _ { \xi \omega } = \, \pm \frac { 1 } { 2 } \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } \Lambda _ { \alpha } ^ { \xi } \Lambda _ { \beta } ^ { \omega } F _ { \xi \omega } = \pm \frac { 1 } { 2 } \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } ( F _ { \alpha \beta } ) ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { \rho _ { K _ { \mathrm { d } } , \bar { K } _ { \mathrm { d } } } ^ { \prime } } & { = \sum _ { K _ { \mathrm { u } } } \rho _ { \mathrm { o u t } ~ K _ { \mathrm { u } } , K _ { \mathrm { d } } } ~ \rho _ { \mathrm { o u t } ~ K _ { \mathrm { u } } , \bar { K } _ { \mathrm { d } } } ^ { * } } \\ & { = \sum _ { k _ { \mathrm { u } } , k _ { \mathrm { u } } ^ { \prime } } O ( \mu ^ { \frac { k _ { \mathrm { u } } + k _ { \mathrm { d } } + k _ { \mathrm { u } } ^ { \prime } + k _ { \mathrm { d } } ^ { \prime } } { 2 } } ) O ( \mu ^ { \frac { k _ { \mathrm { u } } + \bar { k } _ { \mathrm { d } } + k _ { \mathrm { u } } ^ { \prime } + \bar { k } _ { \mathrm { d } } ^ { \prime } } { 2 } } ) } \\ & { = O ( \mu ^ { \frac { k _ { \mathrm { d } } + k _ { \mathrm { d } } ^ { \prime } + \bar { k } _ { \mathrm { d } } + \bar { k } _ { \mathrm { d } } ^ { \prime } } { 2 } } ) , } \end{array}
\left[ \frac { \displaystyle 1 } { \displaystyle \mu } + \frac { \displaystyle 1 } { \displaystyle \eta s } + \Gamma ( \alpha + 1 ) \frac { \displaystyle 1 } { \displaystyle \mu } \left( \frac { \displaystyle \eta s } { \displaystyle \mu } \right) ^ { - \alpha } \right] ^ { - 1 }
\sigma _ { p p } ^ { 0 } = 4 k ^ { 4 } L ^ { 2 } ( \Delta h ) ^ { 2 } \cos ^ { 4 } ( \theta _ { l } ) \left| f _ { p p } ( \theta ) \right| ^ { 2 } \exp \left( - k ^ { 2 } L ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \theta _ { l } ) \right)
V _ { 1 } = ( 0 ( - { \frac { 1 } { 3 } } ) ^ { 3 } \vert ( e _ { 1 } / 3 ) ^ { 3 } \vert \vert 0 ^ { 3 } \vert { \frac { 1 } { 3 } } { \frac { 1 } { 3 } } { \frac { 2 } { 3 } } 0 ^ { 5 } \vert 0 ^ { 8 } ) ~ .
\mathcal { Y } _ { 0 } \geq | { \Omega _ { 0 } } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \| ( \pi ^ { N } + B _ { \Omega _ { 0 } } ) F ( U _ { 0 } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| ( \pi ^ { N _ { 0 } } - \pi ^ { N } ) L U _ { 0 } + ( \pi ^ { N _ { \mathbb { G } } N _ { 0 } } - \pi ^ { N } ) G ( U _ { 0 } ) - \pi _ { N } \Psi \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \lambda _ { 1 } = r \ e ^ { \alpha L _ { g } N _ { 0 , g } } < 1 , } \\ { \lambda _ { 2 } = e ^ { - T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } < 1 . } \end{array} \right.
\left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - i } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { i } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } \, \Delta t ^ { 2 } \, g ( t _ { i } ) ^ { 4 } \, \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \left[ | | \nabla _ { \mathbf { x } } \log p _ { t _ { i } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) - \frac { 1 } { 2 } s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , t _ { i } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } + | | \frac { 1 } { 2 } s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , t _ { i } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\cos \left( { \frac { \pi } { 8 0 } } \right) = \cos \left( 2 . 2 5 ^ { \circ } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { \frac { 5 + { \sqrt { 5 } } } { 2 } } } } } } } } }
\mathrm { P e } = { \frac { v _ { c } \ell } { \kappa _ { T } } } \approx \left( { \frac { H _ { P } ^ { 2 } } { \kappa _ { T } } } \right) \left( { \frac { 2 F _ { X } } { \rho H _ { P } X } } \right) \nabla _ { X } ^ { - 1 } .
\int \frac { \partial } { \partial y } \left( \overline { { v } } _ { r } \, \overline { { c } } \right) \mathrm { ~ d ~ } y = \int \frac { \partial } { \partial y } \left( D _ { t , y } \frac { \partial \overline { { c } } } { \partial y } \right) \mathrm { ~ d ~ } y
W _ { B } = \int _ { 0 } ^ { \ell } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { - \tau _ { w } } ^ { \tau _ { w } } { \frac { \mu _ { 0 } I ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } } \, d \tau d \sigma d z .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 \mathrm { { P r } } } \frac { d } { d t } \| \omega \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { { } = \int _ { \Omega } \omega \Delta \omega + \mathrm { { R a } } \int _ { \Omega } \omega \partial _ { 1 } T } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } { \vert \Psi _ { 0 } \rangle } & { { } \rightarrow \hat { \mathcal { U } } ^ { \dagger } \left( \theta _ { 1 } , . . , \theta _ { \mathcal { N } } \right) \vert \Psi _ { 0 } \rangle \dag \vert \Phi _ { i } \rangle } & { \rightarrow \hat { U } _ { i } ^ { \dagger } \left( \theta _ { i } \right) \vert \Phi _ { i } \rangle \dag \mathcal { R } _ { i } } & { { } \rightarrow u _ { i } ^ { \dagger } \left( \theta _ { i } \right) \mathcal { R } _ { i } \dag \mathcal { D } _ { i } } & { \rightarrow { } ^ { t } u \left( \theta _ { i } \right) \mathcal { D } _ { i } \dag \Delta _ { i } } & { { } \rightarrow { } ^ { t } u _ { i } \left( \theta _ { i } \right) \Delta _ { i } { } ^ { t } u _ { i } ^ { \dagger } \left( \theta _ { i } \right) \dag \Lambda _ { i } } & { \rightarrow u _ { i } ^ { \dagger } \left( \theta _ { i } \right) \Lambda _ { i } u _ { i } \left( \theta _ { i } \right) \dag \Lambda _ { i } ^ { c } } & { { } \rightarrow u _ { i } ^ { \dagger } \left( \theta _ { i } \right) \Lambda _ { i } ^ { c } u _ { i } \left( \theta _ { i } \right) \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { 2 } \omega _ { + } + \frac { 1 } { 2 } \omega _ { - } - \omega _ { 0 } \simeq } \\ & { } & { - \frac { e ^ { 4 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 4 } R ^ { 6 } } + \frac { \mathcal { B } M _ { \gamma } ^ { 2 } e ^ { 2 } } { 6 4 \pi \omega _ { 0 } ^ { 4 } R ^ { 3 } } \left( 1 - \frac { M _ { \gamma } ^ { 2 } R ^ { 2 } } { 4 } \right) e ^ { \frac { - M _ { \gamma } ^ { 2 } R ^ { 2 } } { 8 } } \ . } \end{array}
{ \operatorname { P r i o r P r o b a b i l i t y } } ( x = p ; \alpha \operatorname { P r i o r } , \beta \operatorname { P r i o r } ) = { \frac { x ^ { \alpha \operatorname { P r i o r } - 1 } ( 1 - x ) ^ { \beta \operatorname { P r i o r } - 1 } } { \mathrm { B } ( \alpha \operatorname { P r i o r } , \beta \operatorname { P r i o r } ) } }
u = \frac { x _ { 1 4 } ^ { 2 } x _ { 2 3 } ^ { 2 } } { x _ { 1 2 } ^ { 2 } x _ { 3 4 } ^ { 2 } } , \quad v = \frac { x _ { 1 3 } ^ { 2 } x _ { 2 4 } ^ { 2 } } { x _ { 1 2 } ^ { 2 } x _ { 3 4 } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathcal { B } _ { < } } } & { \sum _ { \ell } \int _ { 1 + \delta } ^ { \infty } r ^ { - 1 - \delta ^ { \prime } } ( | u ^ { \prime } | ^ { 2 } + \Lambda | u | ^ { 2 } ) \, d r \leq C \operatorname* { s u p } _ { r \geq 1 + \delta } \int _ { \mathcal { B } _ { < } } \sum _ { \ell } m ^ { 2 } ( | u | ^ { 2 } + \omega ^ { - 2 } | u ^ { \prime } | ^ { 2 } ) ( r ) } \\ { \leq } & { \: C B _ { \mathrm { h o m } } ^ { 4 } W _ { 0 } m ^ { 2 } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Sigma _ { \tau } } \Delta ^ { \frac { 1 - \epsilon } { 2 } } r ^ { - 1 + \epsilon } r ^ { 2 } | F _ { \xi } | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau + \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } } ( 1 + \tau ) ^ { 1 + \delta } \Delta ^ { \frac { 1 - \epsilon } { 2 } } r ^ { - 1 + \epsilon } r ^ { 2 } | G _ { \xi } | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ^ { + } ( T _ { 1 } = T _ { 2 } = t | d _ { 1 } = H ^ { + } , T > t - 2 ) } & { = c ^ { 2 } + 2 c ( 1 - c ) p + ( 1 - c ) ^ { 2 } ( p ^ { 2 } + q ^ { 2 } ) , } \\ { P ^ { - } ( T _ { 1 } = T _ { 2 } = t | d _ { 1 } = H ^ { + } , T > t - 2 ) } & { = c ^ { 2 } + 2 c ( 1 - c ) q + ( 1 - c ) ^ { 2 } ( q ^ { 2 } + p ^ { 2 } ) . } \end{array}
\Gamma _ { \mathrm { t r e e } } \left( H \rightarrow f \bar { f } \, \right) = { \frac { N _ { c } m _ { f } ^ { 2 } M _ { H } } { 8 \pi v ^ { 2 } } } \left( 1 - { \frac { 4 { m _ { f } ^ { 2 } } } { M _ { H } ^ { 2 } } } \right) ^ { 3 / 2 } .
\begin{array} { r } { P _ { c } ( \vec { r } | s , t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = \int d ^ { 3 } r _ { 0 } G _ { \mathrm { ~ b ~ r ~ i ~ d ~ g ~ e ~ } } ( \vec { 0 } , 0 | \vec { r } _ { 0 } , - t _ { 1 } ; \vec { r } _ { 0 } , t _ { 2 } ) G _ { \mathrm { ~ b ~ r ~ i ~ d ~ g ~ e ~ } } ( \vec { r } , s | \vec { 0 } , 0 ; \vec { r } _ { 0 } , t _ { 2 } ) = } \\ { = \frac { 1 } { ( 4 \pi D \tilde { s } _ { c } [ s , t _ { 1 } , t _ { 2 } ] ) ^ { 3 / 2 } } \exp \left( - \frac { r ^ { 2 } } { 4 D \tilde { s } _ { c } [ s , t _ { 1 } , t _ { 2 } ] } \right) , } \end{array}
S _ { t } = - \sum _ { v _ { i _ { 0 } } , e _ { j _ { 1 } } , \dots , v _ { i _ { t } } } \mathbb { P } \left( v _ { i _ { 0 } } , e _ { j _ { 1 } } , \dots , v _ { i _ { t } } \right) \ln \mathbb { P } \left( v _ { i _ { 0 } } , e _ { j _ { 1 } } , \dots , v _ { i _ { t } } \right) .
[ \widehat { J } _ { \mu } , \tilde { \cal R } _ { \nu } ] = - i \epsilon _ { \mu \nu \lambda } \tilde { \cal R } { } ^ { \lambda } , \quad [ p _ { \mu } , \tilde { \cal R } _ { \nu } ] = [ \Pi _ { - } , p _ { \mu } ] = [ \Pi _ { - } , \widehat { J } _ { \mu } ] = 0 .
\begin{array} { r l } & { \left\langle \tilde { E } _ { - } ( \tau ) \tilde { E } _ { + } ( \tau ) \right\rangle \propto \left\langle \tilde { \sigma } _ { + } ^ { ( a ) } ( \tau ) \tilde { \sigma } _ { - } ^ { ( a ) } ( \tau ) \right\rangle } \\ & { = \rho _ { e e } ^ { ( a ) } ( \tau ) = \left| \rho _ { g e } ^ { ( a ) } ( \tau ) \right| ^ { 2 } + \left( \rho _ { e e } ^ { ( a ) } ( \tau ) - \left| \rho _ { g e } ^ { ( a ) } ( \tau ) \right| ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \exp \left[ i \int _ { \eta _ { s } } ^ { \eta _ { 0 } - i \delta } \frac { Z \tilde { \varepsilon } ( s ) d s } { \tilde { \Lambda } c ^ { 2 } | \mathbf { r } + ( \mathbf { p } ( s - \eta _ { s } ) + \boldsymbol { \alpha } ( s ) - \boldsymbol { \alpha } ( \eta _ { s } ) ) / \tilde { \Lambda } + \mathbf { r } _ { k } ( s , \eta _ { s } ) | } \right] } \\ { \approx } & { } & { \left( \frac { \sqrt { 3 } \lambda \kappa \delta } { \sqrt { ( 4 - \lambda ^ { 2 } ) } r _ { E } } \right) ^ { \nu } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { \mathfrak { I } _ { N } } ( \rho , x ) } & { = \widetilde { u } ( \rho , x ) + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \alpha _ { k } \widetilde { u } ( \rho , x _ { k } ) H ( x - x _ { k } ) \widehat { s } _ { k } ( \rho , x - x _ { k } ) } \\ & { \; \; \; \; + \sum _ { J \in \mathcal { J } _ { N } } \alpha _ { J } H ( x - x _ { j _ { | J | } } ) \widetilde { u } ( \rho , x _ { j _ { 1 } } ) \left( \prod _ { l = 1 } ^ { | J | - 1 } \widehat { s } _ { j _ { l } } ( \rho , x _ { j _ { l + 1 } } - x _ { j _ { l } } ) \right) \widehat { s } _ { j _ { | J | } } ( \rho , x - x _ { j _ { | J | } } ) , } \end{array}
A _ { c c } \sim [ ( p _ { 1 } ^ { + } \cdot p _ { 2 } ^ { - } ) ^ { 2 } u + ( p _ { 1 } \cdot ( D p _ { 2 } ) ^ { - } ) ^ { 2 } t ] \frac { \Gamma ( s ) \Gamma ( t ) } { \Gamma ( s + t + 1 ) } .
\begin{array} { r l } { d H _ { \operatorname { M c G } } \left( Y + \widetilde { V } \right) } & { = \left( z ^ { 2 } d H _ { 0 } + 2 \psi ^ { T } B \psi d P _ { r } + z ^ { 2 } \psi B \Psi d \eta \right) \left( Y + ( P _ { r } + 1 ) \partial _ { P _ { r } } + \eta \partial _ { \eta } \right) } \\ & { = z ^ { 2 } d H _ { 0 } ( Y ) + 2 ( P _ { r } + 1 ) \psi ^ { T } B \psi + z ^ { 2 } \psi B \Psi \eta } \\ & { = H _ { \operatorname { M c G } } + z ^ { 2 } ( d H _ { 0 } ( Y ) - H _ { 0 } ) + \psi ^ { T } ( B + B ^ { T } ) \psi . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal D } _ { h } } & { = } & { \Bigg \{ \phi : ( - \infty , 0 ] \rightarrow { \cal Z } , \; \mathrm { f o r \; \, a n y } \; a > 0 , \; ( \mathbb { E } | \phi ( \theta ) | ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \; \mathrm { { i s ~ a ~ m e a s u r a b l e ~ a n d ~ b o u n d e d ~ f u n c t i o n ~ o n } ~ } } \\ & { } & { \; [ - a , 0 ] \; \mathrm { w i t h } \; \phi ( 0 ) = 0 , \; \mathrm { a n d } \; \int _ { - \infty } ^ { 0 } h ( e ) \operatorname* { s u p } _ { e \leq \theta \leq 0 } ( \mathbb { E } | \phi ( \theta ) | ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } d e < \infty \Bigg \} . } \end{array}
{ \cal L } = \frac { g m _ { t } } { \sqrt { 2 } M } { \bar { t } } _ { R } b _ { L } \frac { c _ { 1 } c _ { 2 } s _ { 3 } - s _ { 2 } c _ { 3 } e ^ { i \delta } } { s _ { 1 } c _ { 2 } } H ^ { + } - \frac { g m _ { \tau } } { \sqrt { 2 } M } { \bar { \nu } } _ { L } \tau _ { R } \frac { c _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 3 } + c _ { 2 } c _ { 3 } e ^ { i \delta } } { s _ { 1 } c _ { 2 } } H ^ { + } + h . c . ~ ~ ,
\nabla _ { \boldsymbol { \theta } } \mathcal { L } ( \hat { u } ( \boldsymbol { \hat { \gamma } } ( \boldsymbol { \theta } ) ) ) = \underbrace { \nabla _ { \boldsymbol { \hat { \gamma } } } \mathcal { L } ( \hat { u } ( \boldsymbol { \hat { \gamma } } ) ) } _ { \mathrm { \normalfont ~ a d j o i n t ~ m e t h o d } } \quad \cdot \underbrace { \nabla _ { \boldsymbol { \theta } } \boldsymbol { \hat { \gamma } } ( \boldsymbol { \theta } ) } _ { \mathrm { \normalfont ~ a u t o m a t i c ~ d i f f e r e n t i a t i o n } }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial f _ { k , N } ( G ) } { \partial G } } & { { } < 0 \; \; \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } G < \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \frac { \partial f _ { k , N } ( G ) } { \partial G } } & { { } > 0 \; \; \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } G > \frac { 1 } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ | X _ { t } ^ { y } - X _ { t } ^ { x } | ^ { 2 } ] } & { \le | x - y | ^ { 2 } \left( e ^ { - 2 \phi ( t ) } + \frac { \phi ( t ) } { \underline { { c } } t } \operatorname* { s u p } _ { t \ge 0 ] \} } \mathbb { E } \left[ U ^ { r } \left( X _ { t } ^ { ( 1 - \lambda ) x + \lambda y } \right) \right] \right) } \\ & { \lesssim _ { u c } | x - y | ^ { 2 } \left( e ^ { - 2 \phi ( t ) } + \frac { \phi ( t ) } { \underline { { c } } t } ( U ^ { r } ( x ) + U ^ { r } ( y ) + \Psi ^ { r } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\lVert \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Psi ( F ( s _ { j } ) ) \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] } & { = \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\lVert \sum _ { \alpha } c _ { \alpha } \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Psi ( F ( Z _ { j } ) ) ^ { a _ { j } } \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \sum _ { \alpha } c _ { \alpha } \left\lVert \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Psi ( F ( Z _ { j } ) ) ^ { a _ { j } } \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] } \\ & { = \sum _ { \alpha } \mathbb { E } [ c _ { \alpha } ] \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\lVert \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Psi ( F ( Z _ { j } ) ) ^ { a _ { j } } \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { F = \int _ { \Omega } \Bigg [ \underbrace { \gamma _ { \mathrm { l g } } { \sqrt { 1 + | \nabla ( h + \zeta ) | ^ { 2 } } } } _ { \mathrm { l i q u i d - g a s \, i n t e r f a c e \, e n e r g y } } + \underbrace { \gamma _ { \mathrm { b l } } ( \zeta ) \sqrt { 1 + | \nabla \zeta | ^ { 2 } } } _ { \mathrm { l i q u i d - b r u s h \, i n t e r f a c e \, e n e r g y } } + \underbrace { f _ { \mathrm { w e t } } ( h , \zeta ) \sqrt { 1 + | \nabla \zeta | ^ { 2 } } } _ { \mathrm { w e t t i n g ~ p o t e n t i a l } } } \\ { + \underbrace { f _ { \mathrm { b r u s h } } ( \zeta ) } _ { \mathrm { b r u s h ~ e n e r g y } } + \underbrace { ( h + \zeta ) f _ { \mathrm { l i q } } ( \rho _ { \mathrm { l i q } } ) } _ { \mathrm { l i q u i d ~ b u l k ~ e n e r g y } } + \underbrace { ( d - h - \zeta ) f _ { \mathrm { v a p } } ( \rho _ { \mathrm { v a p } } ) } _ { \mathrm { v a p o u r ~ e n e r g y } } + \underbrace { ( d - h - \zeta ) f _ { \mathrm { a i r } } ( \rho _ { \mathrm { a i r } } ) } _ { \mathrm { a i r ~ e n e r g y } } \Bigg ] \mathrm { d } ^ { 2 } x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H } & { { } = \omega _ { + } c _ { 1 } ^ { \dagger } c _ { 1 } + \omega _ { - } c _ { 2 } ^ { \dagger } c _ { 2 } + g \left[ V _ { x } ( t ) \cos \left( \omega _ { m } t + \Delta ( t ) \right) + V _ { y } ( t ) \sin \left( \omega _ { m } t + \Delta ( t ) \right) \right] \, ( c _ { 1 } ^ { \dagger } c _ { 2 } + c _ { 2 } ^ { \dagger } c _ { 1 } ) } \end{array}
G ( \omega ^ { k + 1 } ) = \frac { b _ { 2 } \bar { d } _ { 2 } - c _ { 2 } \bar { a } _ { 2 } \omega ^ { k + 1 } } { b _ { 1 } \bar { d } _ { 1 } - c _ { 1 } \bar { a } _ { 1 } \omega ^ { k + 1 } } G ( \omega ^ { k } ) .
\frac { \partial u _ { 1 } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) } { \partial \alpha _ { 1 } } = 0 \; , \; \; \; \; \frac { \partial u _ { 2 } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) } { \partial \alpha _ { 2 } } = 0 \; .
\langle p _ { J / \psi } | j _ { q \lambda } ^ { + } ( 0 ) | P _ { B _ { c } } \rangle = \langle p _ { J / \psi } | V _ { \lambda } | P _ { B _ { c } } \rangle - \langle p _ { J / \psi } | A _ { \lambda } | P _ { B _ { c } } \rangle ,
\begin{array} { r } { Z = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { \omega } & { \bar { \omega } } \\ { 1 } & { \bar { \omega } } & { \omega } \end{array} \right] \qquad \qquad Z ^ { \dagger } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { \bar { \omega } } & { \omega } \\ { 1 } & { \omega } & { \bar { \omega } } \end{array} \right] } \end{array}
\Omega ( y _ { m i n } , y _ { m a x } ) \approx \Omega ( - y _ { m i n } , - y _ { m a x } ) \approx \frac { 8 } { 9 } \beta \sqrt { N _ { q \bar { q } } } \sqrt { \alpha _ { s } } \langle q _ { \perp } \rangle ( \vec { B } \cdot \vec { l } ) / \Lambda .
\frac { \partial \textbf { f } _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial ( \widetilde { \Lambda } _ { 1 i } \textbf { f } _ { i } ) } { \partial x _ { 1 } } + \frac { \partial ( \widetilde { \Lambda } _ { 2 i } \textbf { f } _ { i } ) } { \partial x _ { 2 } } = - \frac { 1 } { \epsilon } \left[ \textbf { f } _ { i } - \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } \right]