harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { { \bf U } _ { T } + { \bf A } ( { \bf U } ) { \bf U } _ { Z } = 0 \, , } \\ { \mathrm { w i t h } \quad { \bf U } = \left( \begin{array} { l } { k } \\ { \mathscr { B } } \\ { v _ { | | } } \\ { N } \end{array} \right) \, , \quad { \bf A } = } & { \left( \begin{array} { l l l l } { c _ { g } - \big ( \frac { Q } { D _ { \omega } } \big ) _ { k } N } & { 0 } & { \frac { \partial \omega _ { 0 } } { \partial v _ { | | } } - \big ( \frac { Q } { D _ { \omega } } \big ) _ { v _ { | | } } N } & { - \frac { Q } { D _ { \omega } } } \\ { \omega _ { 0 } ^ { \prime \prime } \mathscr { B } } & { c _ { g } - \frac { Q _ { k } } { D _ { \omega } } N } & { ( c _ { g } ) _ { v _ { | | } } } & { - \frac { Q _ { k } } { D _ { \omega } } \mathscr { B } } \\ { Q _ { k } \mathscr { B } } & { Q } & { 0 } & { \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { n _ { 0 } } } \\ { 0 } & { Q _ { v _ { | | } } N } & { n _ { 0 } + N - \frac { N ^ { 2 } } { n _ { 0 } } } & { Q _ { v _ { | | } } \mathscr { B } } \end{array} \right) } \end{array}
\rho _ { L S } ^ { 3 } \; = \; \frac { 1 } { 2 M _ { B } } \, \langle B | \, \bar { b } \; \vec { \sigma } \cdot \vec { E } \times \vec { \pi } \; b \, | B \rangle \; = \; - \frac { 3 } { 2 M _ { B ^ { * } } } \, \langle B ^ { * } | \, \bar { b } \; \vec { \sigma } \cdot \vec { E } \times \vec { \pi } \; b \, | B ^ { * } \rangle \; \; .
\begin{array} { r l r l } { \frac { \partial } { \partial \sigma } } & { { } = \widehat { n } \cdot \nabla , } & { \frac { \partial } { \partial s _ { i } } } & { { } = \frac { \partial p } { \partial s _ { i } } \cdot ( I + \sigma \, \nabla _ { \! \bot } \widehat { n } ) \cdot \nabla . } \end{array}
G _ { C } ( 0 , 0 , k ) = { \frac { 1 } { 2 \epsilon } } \left( { \frac { \mu } { k } } \right) ^ { 2 \epsilon } { \frac { m _ { q } \lambda _ { s } } { 2 \pi } } + \ldots = { \frac { m _ { q } \lambda _ { s } } { 2 \pi } } \left( { \frac { 1 } { 2 \epsilon } } + \ln { \frac { \mu } { k } } \right) + \ldots ,
\langle 0 | Q | 0 \rangle = \left( \begin{array} { c } { { Q _ { 0 } I _ { N _ { f } } } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) \qquad \qquad \qquad \langle 0 | \bar { Q } | 0 \rangle = \left( \begin{array} { c c } { { \bar { Q } _ { 0 } I _ { N _ { f } } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
L _ { c } ^ { - 1 } [ \psi _ { 1 } \otimes \cdots \otimes \psi _ { m } ] _ { x _ { 1 } ^ { 0 } , . . . , x _ { l } ^ { 0 } } ( \underline { { { x } } } ; \underline { { { n } } } , \underline { { { T } } } ) ) = \bigl ( \prod _ { i = 1 } ^ { l } L _ { c } ^ { - 1 } [ \psi _ { i } ] _ { x _ { i } ^ { 0 } } ( x _ { i } ; n _ { i } , T _ { i } ) \bigr ) \bigl ( \prod _ { i = l + 1 } ^ { m } \psi _ { i } ( x _ { i } ) \bigr )
\Gamma _ { \mathrm { b a d } } ^ { \mathrm { S E } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega _ { \mathrm { a } } ) \approx \Gamma _ { \mathrm { b a d } } ^ { \mathrm { n l o s s } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega _ { \mathrm { a } } )
S _ { - } ^ { \phi } = - \displaystyle \sideset { } { ' } \sum _ { s < 0 } \overline { { \phi } } _ { b } ^ { \, \ast } \left( s ^ { \prime } \right) \left\vert \widetilde { a } \left( s \right) \right\vert \overline { { \phi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right)
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } } & { = \eta - c ^ { 2 } \, \eta _ { 2 } , } \\ { \phi _ { 2 } } & { = i \, ( \eta + c ^ { 2 } \, \eta _ { 2 } ) , } \\ { \phi _ { 3 } } & { = \frac { c } { 2 } \left( \frac { 1 - x ^ { 2 } } { ( z - 1 ) ^ { 2 } } + \frac { 1 - x ^ { 2 } } { ( z + 1 ) ^ { 2 } } - \frac { 1 + x ^ { 2 } } { z + 1 } + \frac { 1 + x ^ { 2 } } { z - 1 } \right) \, d z , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle X _ { n } ^ { 2 } ( 0 ) \rangle } & { = \langle X _ { n } ^ { 2 } ( t ) \rangle } \\ & { = \frac { k _ { B } T } { \kappa N } \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } \sin ^ { 2 } \left( \frac { 2 \pi n k } { N } + \frac { \pi } { 4 } \right) \frac { 1 } { \left[ 1 - \cos \left( \frac { 2 \pi k } { N } \right) \right] } } \\ & { = \frac { k _ { B } T } { 1 2 \kappa N } ( N ^ { 2 } - 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { T } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { x _ { 1 } } & { x _ { 1 } } & { \dots } & { x _ { 1 } } & { x _ { k } } & { x _ { k } } & { \dots } & { x _ { k } } \\ { 1 - x _ { 1 } } & { 1 - x _ { 1 } } & { \dots } & { 1 - x _ { 1 } } & { 1 - x _ { k } } & { 1 - x _ { k } } & { \dots } & { 1 - x _ { k } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | I _ { 1 } | \leq } & { \ C \Big ( ( \| D u _ { n } \| _ { L ^ { \infty } } + \| D w _ { n } \| _ { L ^ { \infty } } ) \| D ^ { s - 1 } v _ { n } \| + \| D v _ { n } \| _ { L ^ { \infty } } ( \| D ^ { s - 1 } u _ { n } \| + \| D ^ { s - 1 } w _ { n } \| ) \Big ) \| v _ { n } \| _ { H ^ { s } } } \\ { \leq } & { C \| u _ { n } \| _ { W ^ { 2 , \infty } } \| v _ { n } \| _ { H ^ { s } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { 0 \, a i r } \, = \, C _ { a i r } \, c \underbrace { u \, \xi } _ { P _ { 1 } \, \Xi _ { 1 } } + \alpha _ { 1 } \, P _ { 1 } [ u ] \, \Xi _ { 1 } ^ { ( a ) } [ \xi ] \ , \ } \end{array}
\gamma _ { k , i j } ^ { m } = \gamma _ { k , i j } ^ { ( 0 ) , m } \frac { g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } + \gamma _ { k , i j } ^ { ( 1 ) , m } \left( \frac { g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } + \cdots
{ \begin{array} { l l } { ( { \overline { { 1 0 } } } _ { H } 1 0 ) ( { \overline { { 1 0 } } } _ { H } 1 0 ) } & { { \overline { { 1 0 } } } _ { H \alpha \beta } 1 0 _ { i } ^ { \alpha \beta } { \overline { { 1 0 } } } _ { H \gamma \delta } 1 0 _ { j } ^ { \gamma \delta } } \\ { { \overline { { 1 0 } } } _ { H } 1 0 { \overline { { 1 0 } } } _ { H } 1 0 } & { { \overline { { 1 0 } } } _ { H \alpha \beta } 1 0 _ { i } ^ { \beta \gamma } { \overline { { 1 0 } } } _ { H \gamma \delta } 1 0 _ { j } ^ { \delta \alpha } } \end{array} }
\displaystyle { m ^ { 2 } } _ { D 0 + \tilde { D } 4 } = \frac { 1 } { \lambda } \left( { \frac { N } { 2 } } \left( 2 - \lambda + 2 { \tilde { b } } g { \tilde { b } } \right) - q \right) ^ { 2 } + 2 N ^ { 2 } { \tilde { b } } g { \tilde { b } } ,
\begin{array} { r l r } { c ^ { \left( b \right) } \left( e , \mathbf { p } _ { + } ^ { \left( 3 , 0 \right) } + \hbar \mathbf { k } , T _ { 3 , 0 } + \tau \right) } & { = } & { S _ { e g } ^ { \left( 3 , 0 \right) } \left( \mathbf { p } _ { + , T _ { 3 , 0 } + \tau } ^ { \left( 3 , 0 \right) } + \hbar \mathbf { k } / 2 \right) c \left( g , \mathbf { p } _ { - } ^ { \left( 3 , 0 \right) } , T _ { 3 , 0 } \right) , } \\ { c ^ { \left( r \right) } \left( e , \mathbf { p } _ { + } ^ { \left( 3 , 0 \right) } + \hbar \mathbf { k } , T _ { 3 , 0 } + \tau \right) } & { = } & { S _ { e e } ^ { \left( 3 , 0 \right) } \left( \mathbf { p } _ { + , T _ { 3 , 0 } + \tau } ^ { \left( 3 , 0 \right) } + \hbar \mathbf { k } / 2 \right) c \left( e , \mathbf { p } _ { - } ^ { \left( 3 , 0 \right) } + \hbar \mathbf { k } , T _ { 3 , 0 } \right) . } \end{array}
a _ { k } ^ { \dagger } : = \sqrt { \frac { m _ { k } \omega _ { k } } { 2 } } \left( \phi _ { k } - \frac { i } { m _ { k } \omega _ { k } } \pi _ { k } \right) , a _ { k } : = \sqrt { \frac { m _ { k } \omega _ { k } } { 2 } } \left( \phi _ { k } + \frac { i } { m _ { k } \omega _ { k } } \pi _ { k } \right) , [ a _ { k } , a _ { k ^ { \prime } } ^ { \dagger } ] = \delta _ { k , k ^ { \prime } }
f ( x , y ) = - 0 . 0 0 0 1 \left[ \left| \sin x \sin y \exp \left( \left| 1 0 0 - { \frac { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \pi } } \right| \right) \right| + 1 \right] ^ { 0 . 1 }
\begin{array} { r } { b _ { i j } = b _ { j i } = \sqrt { \gamma _ { 2 , i } \gamma _ { 2 , j } } - \frac { 1 } { 2 } ( \gamma _ { 2 , i } + \gamma _ { 2 , j } ) , \; i \neq j \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \gamma _ { 2 , 0 } = 0 . } \end{array}
\mathbf { F } ^ { T } = \mathbf { F } ^ { f } + \mathbf { G } + \mathbf { F } ^ { c } = \left( \mathbf { F } ^ { b } + \mathbf { F } ^ { d } + \mathbf { F } ^ { l } + \mathbf { F } ^ { a d d } \right) + \mathbf { G } + \mathbf { F } ^ { c } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \mathrm { S } } & { = - ( B + C ) \left( \mathrm { S } - \frac { C \mathrm { S } _ { E } } { B + C } \right) \mathrm { d } t + a u \mathrm { d } t , } \\ { \mathrm { d } u } & { = - \frac { 1 } { \tau _ { d } } \left( u - \bar { u } \right) \mathrm { d } t + \sqrt { \frac { 2 } { \tau _ { d } } } \sigma _ { u } \mathrm { d } W _ { t } . } \end{array}
\boldsymbol { R } _ { l } ^ { m } = Y _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) \boldsymbol { e } _ { \rho } , \quad \boldsymbol { S } _ { l } ^ { m } = \nabla Y _ { l } ^ { m } , \quad T _ { l } ^ { m } = \nabla \times \boldsymbol { R } _ { l } ^ { m } .
\begin{array} { r } { { \bf x } _ { n } = ( 1 - \alpha _ { r } ) { \bf x } _ { n - 1 } + \alpha _ { r } \operatorname { t a n h } ( { \bf W } ^ { i n } { \bf u } _ { n } + { \bf W } { \bf x } _ { n - 1 } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } } \left\vert \frac { 1 } { \sqrt { s ^ { 2 } + x _ { \pm } ( s ) ^ { 2 } } } - \frac { 1 } { \sqrt { s ^ { 2 } + x _ { \pm } ( 0 ) ^ { 2 } } } \right\vert \, \textnormal { d } s } & { \leq C \int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } } \frac { x _ { \pm } ( 0 ) } { s ^ { 2 } + x _ { \pm } ( 0 ) ^ { 2 } } ( s ^ { \varepsilon } + \lambda ) \, \textnormal { d } s = O ( x _ { \pm } ( 0 ) ^ { \varepsilon } + \lambda ) \, . } \end{array}
{ \cal O } _ { \sigma \tau } ^ { \mu } ( x _ { 2 } , x _ { 1 } ) = T \left( \chi _ { \sigma } ^ { \alpha } ( x _ { 2 } ) \, j ^ { \mu } ( x _ { 1 } ) \, \overline { { \chi } } _ { \tau } ^ { \beta } ( 0 ) \right) \, .
\begin{array} { r l r } { H _ { p } } & { { } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { L - 1 } ( t e ^ { i \theta } | i \rangle \langle i + 1 | + t e ^ { - i \theta } | i + 1 \rangle \langle i | ) + t e ^ { - i \theta } | 1 \rangle \langle L | + t e ^ { i \theta } | L \rangle \langle 1 | , } \\ { V } & { { } } & { = g e ^ { i \phi } | 1 \rangle \langle 1 | + g e ^ { - i \phi } | L \rangle \langle L | . } \end{array}
J _ { \Gamma } ( x ) = \bar { \psi } ( x ) \Gamma \psi ( x ) \equiv \frac { 1 } { 8 \pi } \int d \hat { \epsilon } e ^ { i \chi _ { \Gamma } ( \hat { \epsilon } ) } \left\{ \left[ \psi ^ { \dagger } ( x + \epsilon ) , \gamma ^ { 0 } \Gamma \psi ( x - \epsilon ) \right] , e ^ { i e \int _ { x - \epsilon } ^ { x + \epsilon } d x _ { i } A _ { i } ^ { t r } } \right\} _ { | \epsilon | \propto | \eta | }
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \| \delta _ { q k + s } \| \le \mathbb { E } \sqrt { \| \delta _ { q k + s ^ { \prime } } \| ^ { 2 } + \frac { \epsilon ^ { 2 } ( s - s ^ { \prime } ) } { B ^ { \prime } } } + \frac { \epsilon } { \sqrt { B ^ { \prime } } } \sum _ { u = s ^ { \prime } } ^ { s - 1 } \mathbb { E } \| \nabla f ( w _ { q k + u } ) \| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } } & { \big [ \mathcal { T } ( k , \sigma , \alpha , \tilde { \alpha } , l ; \hbar ) \big ] = \frac { ( 2 \pi ) ^ { ( 2 k - 2 - n ) d } ( \rho \hbar ) ^ { 2 k - 4 - n } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { | \alpha | + | \tilde { \alpha } | + 2 } } f ( \boldsymbol { s } , \boldsymbol { \tilde { s } } ) \int \Lambda _ { n } ( \boldsymbol { p } , \boldsymbol { q } , \sigma ) \hat { \varphi } ( \frac { p _ { 0 } } { \hbar } ) \overline { { \hat { \varphi } ( \frac { q _ { 0 } } { \hbar } ) } } } \\ { \times } & { \delta ( \frac { t } { \hbar } - \boldsymbol { s } _ { 0 , k } ^ { + } - \tilde { s } _ { k + 1 } - \boldsymbol { t } _ { 1 , a _ { k + \beta } } ^ { + } ) \delta ( \frac { t } { \hbar } - \boldsymbol { \tilde { s } } _ { 1 , k + 1 } ^ { + } - \boldsymbol { \tilde { t } } _ { 1 , a _ { k + \beta } } ^ { + } ) \prod _ { i = 1 } ^ { a _ { k + \beta } } e ^ { i t _ { i } \frac { 1 } { 2 } \eta _ { i } ^ { 2 } } \prod _ { i = 1 } ^ { \tilde { a } _ { k + \beta } } e ^ { - i \tilde { t } _ { i } \frac { 1 } { 2 } \xi _ { i } ^ { 2 } } } \\ { \times } & { e ^ { i \hbar ^ { - 1 } s _ { k } \frac { 1 } { 2 } ( p _ { k - 2 } + \tilde { p } _ { 3 } ) ^ { 2 } } e ^ { - i \hbar ^ { - 1 } \tilde { s } _ { k } \frac { 1 } { 2 } ( q _ { k - 2 } + \tilde { q } _ { 3 } ) ^ { 2 } } e ^ { i \hbar ^ { - 1 } s _ { k - 1 } \frac { 1 } { 2 } \tilde { p } _ { 2 } ^ { 2 } } e ^ { - i \hbar ^ { - 1 } \tilde { s } _ { k - 1 } \frac { 1 } { 2 } \tilde { q } _ { 2 } ^ { 2 } } e ^ { i \hbar ^ { - 1 } s _ { k - 2 } \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { p } _ { 1 } + \tilde { p } _ { 2 } ) ^ { 2 } } e ^ { - i \hbar ^ { - 1 } \tilde { s } _ { k - 2 } \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { q } _ { 1 } + \tilde { q } _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ { \times } & { e ^ { i \hbar ^ { - 1 } s _ { k - 3 } \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { p } _ { 1 } + \tilde { p } _ { 3 } + p _ { k - 3 } ) ^ { 2 } } e ^ { - i \hbar ^ { - 1 } \tilde { s } _ { k - 3 } \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { q } _ { 1 } + \tilde { q } _ { 3 } + q _ { k - 3 } ) ^ { 2 } } \prod _ { m = 0 } ^ { k - 4 } e ^ { i \hbar ^ { - 1 } s _ { m } \frac { 1 } { 2 } ( p _ { m } + \pi _ { m } ( \tilde { p } _ { 3 } ) ) ^ { 2 } } e ^ { - i \hbar ^ { - 1 } \tilde { s } _ { m } \frac { 1 } { 2 } ( q _ { m } + \pi _ { m } ( \tilde { q } _ { 3 } ) ) ^ { 2 } } } \\ { \times } & { \mathcal { G } ( \boldsymbol { p } , \boldsymbol { \tilde { p } } , \boldsymbol { \tilde { q } } , \boldsymbol { \eta } , \boldsymbol { \xi } , \sigma ) d \boldsymbol { \eta } d \boldsymbol { \xi } d \boldsymbol { p } d \boldsymbol { q } d \boldsymbol { \tilde { p } } d \boldsymbol { \tilde { q } } d \boldsymbol { t } d \boldsymbol { \tilde { t } } d \boldsymbol { s } d \boldsymbol { \tilde { s } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { T a n } _ { \rho } ^ { \mathsf { W F R } } \mathcal { P } _ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } & { = \Big \{ \zeta : \zeta = - \mathsf { d i v } \left( \rho \nabla u \right) + \rho \left( \alpha - \int \alpha \mathrm { d } \rho \right) \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } u , \alpha : \mathbb { R } ^ { d } \to \mathbb { R } } \\ & { \qquad \quad \; \: \mathrm { s a t i s f y i n g ~ } \int ( \alpha ^ { 2 } + \Vert \nabla u \Vert _ { 2 } ^ { 2 } ) \mathrm { d } \rho < \infty \Big \} . } \end{array}
\langle \Lambda \gamma | { \cal H } _ { \mathrm { e f f } } ^ { S D } | \Lambda _ { b } \rangle = i \frac { G _ { F } } { \sqrt 2 } \frac { e } { 8 \pi ^ { 2 } } F _ { 2 } V _ { c b } V _ { c s } ^ { * } \epsilon _ { \nu } \langle \Lambda | \bar { s } [ m _ { b } \sigma ^ { \mu \nu } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) + m _ { s } \sigma ^ { \mu \nu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) ] b | \Lambda _ { b } \rangle \; .
R ( C ^ { * } ) = R ( C _ { \mathrm { i n } } ) \times R ( C _ { \mathrm { o u t } } ) = ( 1 - { \frac { \epsilon } { 2 } } ) ( 1 - H ( p ) - { \frac { \epsilon } { 2 } } ) \geq 1 - H ( p ) - \epsilon
\langle H ( v ) | { \cal O } _ { \alpha \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \beta } ^ { ( 1 ) } | H ( v ) \rangle = 2 M _ { H } \frac { 1 } { 3 } [ g _ { \alpha \beta } - v _ { \alpha } v _ { \beta } ] ( g _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } \eta _ { 1 } - v _ { \mu _ { 1 } } v _ { \mu _ { 2 } } \tau _ { 1 } )
\chi _ { m _ { 1 } , \ldots , m _ { n } } ( l _ { 1 } , \ldots , l _ { n } ) = \exp ( 2 \pi i ( \frac { m _ { 1 } l _ { 1 } } { k _ { 1 } } + \dots + \frac { m _ { n } l _ { n } } { k _ { n } } ) ) .
\begin{array} { r l } { { \frac { P } { A } } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } I ( \nu , T ) \, d \nu \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \, d \varphi \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \cos \theta \sin \theta \, d \theta } \end{array}
L _ { e f f } ^ { ( 0 ) } = \int \; d ^ { 2 } x \; [ ( \partial _ { t } \mid \phi \mid ) ^ { 2 } + ( \partial _ { t } \mid \chi \mid ) ^ { 2 } + \frac { \kappa } { q _ { 1 } } B _ { 2 } \partial _ { t } \omega _ { 1 } + \frac { \kappa } { q _ { 2 } } B _ { 1 } \partial _ { t } \omega _ { 2 } ] \; \; .
\int _ { \xi ( \pm \infty ) = 0 } { \mathcal D } \xi \, \exp \{ \frac { i } { \hbar } S [ \xi ] + i \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d t \xi ^ { j } ( t ) [ k ^ { j } \delta ( t - 1 ) + l ^ { j } \delta ( t ) ] \} = e ^ { - \frac { i \hbar } { 2 b } \epsilon _ { i j } k ^ { i } l ^ { j } } \; .
Z _ { T } ^ { d i p o l e } ( k ) = \frac { Z _ { 0 } } { 2 k \pi } { \biggl ( } \frac { 1 } { a _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { a _ { 2 } ^ { 2 } } { \biggl ) } - i \frac { Z _ { 0 } } { 2 \pi } I _ { T } ^ { ( 1 ) } ( a ) .
\begin{array} { r l } & { | \omega _ { t } ( [ m _ { \beta } ^ { N } - m _ { \beta } ( t ) ] [ m _ { \alpha } ^ { N } - m _ { \alpha } ( t ) ] ) | \le \mathcal { E } _ { N } ( t ) , } \\ & { | \omega _ { t } ( [ m _ { \beta } ^ { N } - m _ { \beta } ( t ) ] m _ { \gamma } ^ { N } [ m _ { \alpha } ^ { N } - m _ { \alpha } ( t ) ] ) | \le \mathcal { E } _ { N } ( t ) , } \\ & { | \omega _ { t } ( m _ { \gamma } ( t ) [ m _ { \beta } ^ { N } - m _ { \beta } ( t ) ] [ m _ { \alpha } ^ { N } - m _ { \alpha } ( t ) ] ) | \le \mathcal { E } _ { N } ( t ) , } \\ & { | \omega _ { t } \left( \Gamma _ { \ell } ^ { 2 } ( \Delta _ { \ell } ( t ) ) [ m _ { \beta } ^ { N } - m _ { \beta } ( t ) ] [ m _ { \alpha } ^ { N } - m _ { \alpha } ( t ) ] \right) | \le \gamma ^ { 2 } ( \delta _ { \ell } ) \mathcal { E } _ { N } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { m + 1 } } & { { } = f ( N _ { m } , P _ { m } ( N _ { m } , T _ { m } ) , T _ { m } ) } \\ { E _ { m } } & { { } = h ( N _ { m } , P _ { m } ( N _ { m } , T _ { m } ) , T _ { m } ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \mathbb { E } _ { \delta u } [ \| \hat { \boldsymbol { u } } ^ { S } - \boldsymbol { u } ^ { S } \| ] ) ^ { 2 } \le } & { \mathbb { E } _ { \delta u } [ \| \hat { \boldsymbol { u } } _ { i } ^ { S } - \boldsymbol { u } _ { i } ^ { S } \| ^ { 2 } ] } & { { \scriptstyle ( \mathrm { S c h w a r z ~ i n e q u a l i t y } ) } } \\ { = } & { \mathbb { E } _ { \delta u } \left[ \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \delta u _ { k , i } \boldsymbol { b } _ { k } \right\| ^ { 2 } \right] } & \\ { = } & { \alpha \delta ^ { 2 } N _ { t } , } \end{array}
a _ { S _ { 2 } } ( t , { \bf x } ) = ( 2 \pi ) ^ { - 3 / 2 } \, \int \d \Omega \, \d { \bf q } \, a _ { S _ { 2 } } ( \Omega , { \bf q } ) \, \exp \Big [ i { \bf q } \cdot { \bf x } - i \Omega t \Big ]
\begin{array} { r } { p ( x _ { i } ) = ( 1 - w _ { i } ) \sum _ { k } ^ { K } \phi _ { k } p _ { \mathcal N } ( x _ { i } ^ { t } , \mu _ { k } , \Lambda _ { k } ) p _ { A } ( x _ { i } ^ { a } , \mu _ { k } , \Lambda _ { k } ) + w _ { i } p _ { \mathcal { U } } ( x _ { i } ^ { t } ) p _ { A } ^ { G } ( x _ { i } ^ { a } ) , ~ ~ ~ \sum _ { k } ^ { K } \phi _ { k } = 1 } \end{array}
\exp \left( - i e \Bigg [ \frac { 1 } { \sqrt { \pi \! + \! g N } } \Big ( A _ { \mu } ^ { ( 1 ) } , \varepsilon _ { \nu \mu } \partial _ { \nu } \Phi ^ { ( 1 ) } \Big ) + \sum _ { I = 2 } ^ { N } \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \Big ( A _ { \mu } ^ { ( I ) } , \varepsilon _ { \nu \mu } \partial _ { \nu } \Phi ^ { ( I ) } \Big ) \Bigg ] \right) \Bigg \rangle _ { \{ K ^ { ( I ) } \} } \; =
\begin{array} { r l } { \langle \delta n _ { i } ( \tau ) \delta n _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle = \langle n _ { i } ( \tau ) n _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle - \langle n _ { i } ( \tau ) \rangle \langle n _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle } & { = C _ { i } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) + \langle \phi _ { i } ( \tau ) \tilde { \phi } ( \tau _ { + } ^ { \prime } ) \phi _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle } \end{array}
\chi [ { \cal M } ] ( y , \bar { y } ) = \sum _ { q _ { \mathrm { L } } , q _ { \mathrm { R } } = 0 } ^ { \hat { c } } ( - 1 ) ^ { q _ { \mathrm { L } } + q _ { \mathrm { R } } } h _ { q _ { \mathrm { L } } , \hat { c } - q _ { \mathrm { R } } } y ^ { q _ { \mathrm { L } } } \bar { y } ^ { q _ { \mathrm { R } } } \, ,
z ( t ) = z _ { i } + \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } v _ { \mathrm { m a x } } t _ { \sigma } \left[ \mathrm { e r f } \left( \frac { t - t _ { c } } { t _ { \sigma } } \right) - \mathrm { e r f } \left( \frac { t _ { 0 } - t _ { c } } { t _ { \sigma } } \right) \right] .
T _ { p } ^ { ( \ell ) } = \sum _ { q = - \ell } ^ { \ell } D _ { p , q } ^ { \ell * } ( \Omega ) T _ { q } ^ { ( \ell ) } \, , \qquad T _ { q } ^ { ( \ell ) } = \sum _ { p = - \ell } ^ { \ell } D _ { p , q } ^ { \ell } ( \Omega ) T _ { p } ^ { ( \ell ) } \, ,
\begin{array} { r l } & { J _ { \mu } = \frac { d \alpha _ { \mu } } { d t } \qquad \mathrm { s o } } \\ & { \alpha _ { \mu } ( { \bf X } , t ) = i \sum _ { \bf K } \omega _ { \bf K } \left( \alpha _ { \mu , { \bf K } } ( t ) e ^ { i ( { \bf K } \cdot { \bf X } ) } - \alpha _ { \mu , { \bf K } } ^ { \star } ( t ) e ^ { - i ( { \bf K } \cdot { \bf X } ) } \right) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { F _ { 3 , b } ( n _ { 1 } ) } & { = d _ { 0 } ^ { 3 } + d _ { 1 } ^ { 3 } + d _ { 2 } ^ { 3 } } \\ & { = k ^ { 3 } + ( 2 k + 1 ) ^ { 3 } + 0 ^ { 3 } } \\ & { = ( k ^ { 2 } - k ( 2 k + 1 ) + ( 2 k + 1 ) ^ { 2 } ) ( k + ( 2 k + 1 ) ) } \\ & { = ( k ^ { 2 } - 2 k ^ { 2 } - k + 4 k ^ { 2 } + 4 k + 1 ) ( 3 k + 1 ) } \\ & { = ( 3 k ^ { 2 } + 3 k + 1 ) ( 3 k + 1 ) } \\ & { = ( 3 k ^ { 2 } + 4 k + 1 ) ( 3 k + 1 ) - k ( 3 k + 1 ) } \\ & { = ( k + 1 ) ( 3 k + 1 ) ( 3 k + 1 ) - k ( 3 k + 1 ) } \\ & { = k ( 3 k + 1 ) ( 3 k + 1 ) + ( 3 k + 1 ) ( 3 k + 1 ) - k ( 3 k + 1 ) } \\ & { = k ( 3 k + 1 ) ^ { 2 } + ( 2 k + 1 ) ( 3 k + 1 ) + 0 } \\ & { = d _ { 2 } b ^ { 2 } + d _ { 1 } b + d _ { 0 } } \\ & { = n _ { 1 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { x } & { { } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \cos ( 2 \varphi ) \cos \varphi , } \\ { y } & { { } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \cos ( 2 \varphi ) \sin \varphi . } \end{array}
\hat { H } _ { 1 a } = \frac { 1 } { 4 } \, \frac { 1 } { x ^ { \prime } s } \, \mathrm { T r } \left[ \gamma \cdot ( x ^ { \prime } p ^ { \prime } + k _ { T } ) \gamma \cdot p \, \gamma \cdot ( x ^ { \prime } p ^ { \prime } + k _ { T } ) R _ { 1 a } ^ { \beta \nu } \gamma \cdot p \, L _ { 1 a } ^ { \alpha \mu } \right] \left( - g _ { \alpha \beta } \right) \left( - g _ { \mu \nu } \right) \ ,
\begin{array} { r l } { ( Q \eta _ { R } u ) | _ { M _ { ( - R , R ) } } } & { = Q \eta _ { R } ( u | _ { M _ { ( - R , R ) } } ) = P _ { 1 } \eta _ { R } ( u | _ { M _ { ( - R , R ) } } ) } \\ & { = \eta _ { R } P _ { 1 } ( u | _ { M _ { ( - R , R ) } } ) + [ P , \eta _ { R } \cdot ] ( u | _ { M _ { ( - R , R ) } } ) } \\ & { = ( \eta _ { R } Q u ) | _ { M _ { ( - R , R ) } } + i ^ { - 1 } \mathrm { s y m b } _ { 1 } ( P _ { 1 } ) ( \mathrm { -- } , \eta _ { R } ^ { \prime } \mathrm { d } t ) ( u ) | _ { M _ { ( - R , R ) } } . } \end{array}
{ \cal E } _ { \pi } ( t , { \bf k } _ { \perp } ) = { \textstyle { \frac { \tau } { 2 } } } \Bigl ( \vert \dot { \tilde { \pi } } ( t , { \bf k } _ { \perp } ) \vert ^ { 2 } + \omega _ { k } ^ { 2 } \vert \tilde { \pi } ( t , { \bf k } _ { \perp } ) \vert ^ { 2 } \Bigr ) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { h _ { i } h _ { i + 2 } \cdots h _ { j - 1 } ( h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) ^ { \frac { j - i + 1 } { 2 } } } \\ & { = } & { h _ { i } h _ { i + 2 } \cdots h _ { j - 5 } \underline { { h _ { j - 3 } ( h _ { j - 1 } h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) } } ( h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) ^ { \frac { j - i - 1 } { 2 } } } \\ & { \overset { \mathrm { ( 1 ) ( a ) } } { \underset { \mathrm { ( 2 ) ( c ) } } { = } } } & { h _ { i } h _ { i + 2 } \cdots h _ { j - 5 } ( h _ { j - 1 } h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) h _ { j - 1 } ( h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) ^ { \frac { j - i - 1 } { 2 } } } \\ & { = } & { h _ { i } h _ { i + 2 } \cdots h _ { j - 7 } \underline { { h _ { j - 5 } ( h _ { j - 1 } h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) ^ { 2 } } } ( h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) ^ { \frac { j - i - 3 } { 2 } } } \\ & { \overset { \mathrm { ( 1 ) ( a ) } } { \underset { \mathrm { ( 2 ) ( c ) } } { = } } } & { h _ { i } h _ { i + 2 } \cdots h _ { j - 7 } ( h _ { j - 1 } h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) ^ { 3 } ( h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) ^ { \frac { j - i - 5 } { 2 } } } \\ & { \vdots } & \\ & { \overset { \mathrm { ( 1 ) ( a ) } } { \underset { \mathrm { ( 2 ) ( c ) } } { = } } } & { h _ { i } ( h _ { j - 1 } h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) ^ { \frac { j - i - 1 } { 2 } } ( h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) } \\ & { \overset { \mathrm { ( 1 ) ( a ) } } { \underset { \mathrm { ( 2 ) ( c ) } } { = } } } & { ( h _ { j - 1 } h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) ^ { \frac { j - i + 1 } { 2 } } } \end{array}