harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \langle \tilde { p } + q _ { l _ { 2 } } \rangle ^ { d + 1 } \langle \tilde { p } + q _ { \sigma _ { m ^ { * } } ^ { 2 } } \rangle ^ { d + 1 } \langle q _ { l _ { 2 } } \rangle ^ { d + 1 } \langle q _ { \sigma _ { m ^ { * } } ^ { 2 } } \rangle ^ { d + 1 } } { \langle \tilde { p } \rangle ^ { 2 d + 2 } \langle q _ { 0 } \rangle ^ { 4 d + 4 } \langle \tilde { q } \rangle ^ { 4 d + 4 } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \langle q _ { \sigma _ { i } ^ { 2 } } + \pi _ { \sigma _ { i } ^ { 2 } } ^ { 1 } ( \tilde { q } ) - q _ { \sigma _ { i - 1 } ^ { 2 } } - \pi _ { \sigma _ { i } ^ { 2 } } ^ { 2 } ( \tilde { q } ) \rangle ^ { 4 d + 4 } } \leq C ,
\begin{array} { r } { I _ { n } = \frac { n _ { s i m } } { n _ { a v e } } , } \\ { n _ { s i m } = \frac { n ( r _ { g } ) } { d V ( r _ { g } ) } , } \\ { n _ { a v e } = \frac { N ^ { a l l } } { V } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \langle [ L _ { b _ { 0 } , \gamma } , \ t _ { b _ { 0 } , * } ] ( \dot { g } _ { b _ { 0 } , v _ { 1 } } ( \mathsf { V } ) , \dot { A } _ { b _ { 0 } , v _ { 1 } } ( \mathsf { V } ) ) , ( \dot { g } _ { b _ { 0 } , v _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { V } ^ { \prime } ) , \dot { A } _ { b _ { 0 } , v _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { V } ^ { \prime } ) ) \rangle } \\ & { = \langle [ L _ { b _ { 0 } , \gamma } ^ { E } , \ t _ { b _ { 0 } , * } ] ( \dot { g } _ { b _ { 0 } , v _ { 1 } } ( \mathsf { V } ) , 0 ) , ( \dot { g } _ { b _ { 0 } , v _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { V } ^ { \prime } ) , 0 ) \rangle + \mathcal { O } ( \vert \mathbf { Q } _ { 0 } \vert ) } \\ & { = \langle [ L _ { b _ { 0 } , \gamma } ^ { E } , \ t _ { b _ { 0 } , * } ] ( \dot { g } _ { b _ { 0 } , v _ { 1 } } ( \mathsf { V } ) , 0 ) , ( 2 G _ { g } \delta _ { g } ^ { * } ( r ^ { 2 } H ( r - r _ { b _ { 0 } } ) \mathsf { V } ^ { \prime } ) , 0 ) \rangle + \mathcal { O } ( \vert \mathbf { Q } _ { 0 } \vert + \gamma ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu = } & { \frac { 1 } { | \mathcal { K } | } \left( P _ { \textsc { r f } } + \sum _ { k = 1 , k \in \mathcal { K } } ^ { | \mathcal { K } | } \frac { 1 } { \beta _ { k } } \right) , } \\ { P _ { \textsc { r f } } = \sum _ { k = 1 , k \in \mathcal { K } } ^ { | \mathcal { K } | } p _ { k } \, , \quad } & { \mathrm { w h e r e } \quad p _ { k } = \left( \mu - \frac { 1 } { \beta _ { k } } \right) ^ { + } , \forall k \in \mathcal { K } } \\ { \mathrm { a n d } } & { \quad { \bf p } = [ p _ { 1 } , p _ { 2 } , . . . , p _ { | \mathcal { K } | } ] , } \end{array}
\small \frac { E _ { \mathrm { t o t } } } { N _ { c } k _ { B } T _ { c } ^ { 0 } } = \frac { 3 \zeta ( 4 ) } { \zeta ( 3 ) } t ^ { 4 } + \alpha \frac { 1 } { 7 } \left( ( 1 - t ^ { 3 } ) ^ { 2 / 5 } ( 5 + 1 6 t ^ { 3 } ) \right) ,
\frac { \check { \check { n } } } { n a ^ { 2 } } - \frac { \check { n } \check { a } } { n a ^ { 3 } } + \frac { n ^ { \prime } a ^ { \prime } } { n a } = \frac { 1 } { a ^ { 2 } r } \left( \frac { \check { a } } { a } - \frac { \check { n } } { n } \right) ,
\Gamma ( x \to \nu \nu \nu ) / \Gamma ( x \to e ^ { - } e ^ { + } \nu _ { e } ) = [ | U _ { e x } | ^ { 2 } + | U _ { \mu x } | ^ { 2 } + | U _ { \tau x } | ^ { 2 } ] / | U _ { e x } | ^ { 2 } ,
s _ { A + B } ^ { - } = \frac { s _ { A } s _ { B } } { 4 \Omega _ { i } } \frac { | \boldsymbol { k } _ { \perp A } \times \boldsymbol { k } _ { \perp B } | ^ { 2 } } { | \boldsymbol { k } _ { \perp A } + \boldsymbol { k } _ { \perp B } | ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { \mathrm { q b } } } & { = } & { \hat { H } _ { X } + \hat { H } _ { Y } + \hat { H } _ { Z } , } \\ { \hat { H } _ { X } } & { = } & { \frac { J } { 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { L - 1 } \left( \hat { \sigma } _ { l } ^ { x } \hat { \sigma } _ { l + 1 } ^ { x } + \hat { \sigma } _ { L + l } ^ { x } \hat { \sigma } _ { L + l + 1 } ^ { x } \right) } \\ { \hat { H } _ { Y } } & { = } & { \frac { J } { 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { L - 1 } \left( \hat { \sigma } _ { l } ^ { y } \hat { \sigma } _ { l + 1 } ^ { y } + \hat { \sigma } _ { L + l } ^ { y } \hat { \sigma } _ { L + l + 1 } ^ { y } \right) } \\ { \hat { H } _ { Z } } & { = } & { \frac { V } { 4 } \sum _ { l = 1 } ^ { L - 1 } \left[ \left( 1 - \hat { \sigma } _ { l } ^ { z } \right) \left( 1 - \hat { \sigma } _ { l + 1 } ^ { z } \right) \right. } \\ & { } & { \left. + \left( 1 - \hat { \sigma } _ { L + l } ^ { z } \right) \left( 1 - \hat { \sigma } _ { L + l + 1 } ^ { z } \right) \right] } \\ & { } & { + \frac { U } { 4 } \sum _ { l = 1 } ^ { L } \left( 1 - \hat { \sigma } _ { l } ^ { z } \right) \left( 1 - \hat { \sigma } _ { L + l } ^ { z } \right) . } \end{array}
\Phi ~ \leftrightarrow ~ \left( \begin{array} { c } { { \varphi _ { 0 } } } \\ { { \varphi _ { 1 } } } \\ { { \varphi _ { 2 } } } \\ { { \varphi _ { 3 } } } \\ { { \varphi _ { 4 } } } \\ { { \varphi _ { 5 } } } \\ { { \varphi _ { 6 } } } \\ { { \varphi _ { 7 } } } \end{array} \right) \quad ,
\frac { \partial \alpha } { \partial \tau } + \frac { i \omega _ { 0 } } 2 \left( ( A - \frac 1 4 ) ( a a ^ { \dag } + a ^ { \dag } a ) + q ( a ^ { 2 } + ( a ^ { \dag } ) ^ { 2 } ) \right) \alpha ( \tau ) = 0 \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { p } \left( \mathcal C ^ { u } ( m , n , E ) \right) } & { \leq \left( \mathbb { P } _ { p } \left( \mathcal C ^ { u } ( m , k , E ) \right) \right) ^ { \left\lfloor n / k \right\rfloor - 2 s _ { E } } } \\ & { \le \exp \left( - ( 1 - 2 \varepsilon / 3 ) h _ { p } ^ { u } \left( p ^ { \alpha ( u ) } m \right) \left( k \lfloor n / k \rfloor - 2 k s _ { E } \right) \right) } \\ & { \le \exp \left( - ( 1 - \varepsilon ) h _ { p } ^ { u } \left( p ^ { \alpha ( u ) } m \right) \left( n - 3 k s _ { E } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 0 \geq \frac { \sigma } { T } - ( 8 L + 2 \sigma ) \, \partial _ { t } ^ { \tau } g _ { \varepsilon } ( t _ { 1 } - s _ { 1 } , x _ { 1 } - y _ { 1 } ) } \\ & { \qquad \qquad + H \left( s _ { 1 } + \tau , y _ { 1 } , - \frac \sigma { R } \nabla ^ { h } \phi ( y _ { 1 } ) - ( 8 L + 2 \sigma ) \nabla _ { x } ^ { h } \, g _ { \varepsilon } ( t _ { 1 } - s _ { 1 } - \tau , x _ { 1 } - y _ { 1 } ) \right) } \\ & { \qquad \qquad - N h \Delta ^ { h } \left[ \frac { \sigma } { R } \phi ( y _ { 1 } ) - ( 8 L + 2 \sigma ) g _ { \varepsilon } ( t _ { 1 } - s _ { 1 } - \tau , x _ { 1 } - y _ { 1 } ) ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( t } & { + \tau , x , u ) = T ( t ) T ( \tau ) x + T _ { - 1 } ( t ) \int _ { 0 } ^ { \tau } T _ { - 1 } ( \tau - s ) B _ { 2 } f ( \phi ( s , x , u ) , u ( s ) ) d s } \\ & { \quad + T _ { - 1 } ( t ) \int _ { 0 } ^ { \tau } T _ { - 1 } ( \tau - s ) B u ( s ) d s } \\ & { \quad + \int _ { \tau } ^ { t + \tau } T _ { - 1 } ( t + \tau - s ) B _ { 2 } f ( \phi ( s , x , u ) , u ( s ) ) d s + \int _ { \tau } ^ { t + \tau } T _ { - 1 } ( t + \tau - s ) B u ( s ) d s . } \end{array}
f _ { t t } + f _ { t } \left\{ 4 h - \frac { C _ { 2 } ( 5 h \dot { h } + \ddot { h } ) } { \left[ C _ { 0 } - C _ { 2 } ( 5 + 2 \dot { h } / h ^ { 2 } ) h ^ { 2 } / 2 \right] } \right\} - \frac { \Delta f } { a ^ { 2 } ( t ) } = 0
\left\{ \begin{array} { r l r l } { { 2 } - \Delta u } & { = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } ( 1 - | u | ^ { 2 } ) u \quad } & & { \mathrm { i n } \ \Omega , } \\ { u _ { \perp } } & { = 0 \quad } & & { \mathrm { o n } \ \Gamma , } \\ { \partial _ { n } u _ { \parallel } } & { = 0 \quad } & & { \mathrm { o n } \ \Gamma . } \end{array} \right.
N ( m , - \delta , \lambda ) = { \frac { 1 } { ( \lambda ^ { 2 } - m ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } ) } } \Big [ \pi \lambda ( \lambda ^ { 2 } + 3 m ^ { 2 } - 3 \delta ^ { 2 } ) - 2 ( 3 \lambda ^ { 2 } + m ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \, F _ { 0 } ( m , - \delta ) \Big ] \ ,
- c ( a + c + 7 b ) ^ { 3 } ( ( b + c + 7 a ) ^ { 2 } + ( b + c + 7 a ) ( a + b + 7 c ) + ( a + b + 7 c ) ^ { 2 } ) + \frac { \left( b ^ { 2 } ( a + b + 7 c ) ^ { 3 } \left( ( b + c + 7 a ) ^ { 2 } + ( b + c + 7 a ) ( a + c + 7 b ) + ( a + c + 7 b ) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - c ^ { 2 } ( a + c + 7 b ) ^ { 3 } \left( ( b + c + 7 a ) ^ { 2 } + ( b + c + 7 a ) ( a + b + 7 c ) + ( a + b + 7 c ) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right) \sqrt { ( b + c + 7 a ) ^ { 3 } } } { b \sqrt { ( a + b + 7 c ) ^ { 3 } } \left( ( b + c + 7 a ) ^ { 2 } + ( b + c + 7 a ) ( a + c + 7 b ) + ( a + c + 7 b ) ^ { 2 } \right) + c \sqrt { ( a + c + 7 b ) ^ { 3 } } \left( ( b + c + 7 a ) ^ { 2 } + ( b + c + 7 a ) ( a + b + 7 c ) + ( a + b + 7 c ) ^ { 2 } \right) } = 0
F ( \zeta ) = \sqrt { \frac { \xi _ { 1 } \operatorname { t a n h } ( \xi _ { 1 } \zeta ) } { \operatorname { t a n h } ( \zeta ) } } + \sqrt { \frac { \xi _ { 2 } \operatorname { t a n h } ( \xi _ { 2 } \zeta ) } { \operatorname { t a n h } ( \zeta ) } } - 1
\begin{array} { r l } { \langle \phi , B _ { L } \psi \rangle } & { = \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \Bar { \phi } B _ { L } \psi = \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \Bar { \phi } \left[ - \frac { 1 } { 2 } \Delta \psi + \frac { 1 } { 2 } \lvert u \rvert ^ { 2 } \psi + i u \cdot \nabla \psi \right] } \\ & { = \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \left[ - \frac { 1 } { 2 } \Delta \Bar { \phi } + \frac { 1 } { 2 } \lvert u \rvert ^ { 2 } \Bar { \phi } - i u \cdot \nabla \Bar { \phi } \right] \psi = \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } ( \overline { { B _ { L } \phi } } ) \psi = \langle B _ { L } \phi , \psi \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { L = \frac 1 2 I _ { i } ( \Omega _ { i } ) ^ { 2 } - \frac 1 2 \lambda _ { i j } \left[ R _ { k i } R _ { k j } - \delta _ { i j } \right] - b R _ { i j } ( t ) k _ { i } z _ { j } ( 0 ) , } \end{array}
{ \cal E } [ h ] = { \cal E } _ { \mathrm { c l } } [ h ] + \Gamma _ { 2 } [ h ] - \frac { 1 } { \pi } \sum _ { \ell } ( 2 \ell + 1 ) \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \: \bar { \delta } _ { \ell } ( k ) \frac { k } { E ( k ) } + \sum _ { j } ( E _ { j } - M ) \ .
\begin{array} { r l r } { \chi _ { 1 E } \! } & { { } = } & { \! \chi _ { 2 E } = 0 \; , \; \chi _ { 3 E } ( { \bf B } _ { 0 } ) = \frac { d _ { 2 } } { c _ { 1 } } \, { \bf B } _ { 0 } ^ { 2 } \; , } \\ { \chi _ { 1 M } \! } & { { } = } & { \! \chi _ { 2 M } = 0 \; , \; \chi _ { 3 M } ( { \bf B } _ { 0 } ) = \frac { 1 } { c _ { 1 } - d _ { 1 } \, { \bf B } _ { 0 } ^ { 2 } } \; , } \end{array}
y _ { i } = \underbrace { \mathbf { h } _ { i , : } ^ { ( t _ { 1 } ) } \mathbf { w } _ { : , i } ^ { ( t _ { 0 } ) } s _ { i } } _ { \mathrm { i n t e n d e d } } + \underbrace { \sum _ { \substack { \ell = 1 \, \ell \neq i } } ^ { K } \mathbf { h } _ { i , : } ^ { ( t _ { 1 } ) } \mathbf { w } _ { : , \ell } ^ { ( t _ { 0 } ) } s _ { \ell } } _ { \mathrm { i n t e r f e r i n g } } + z _ { i }
\sigma _ { \mathrm { a b s } } = \frac { ( l + 4 ) ! } { l ! [ ( l + 2 ) ! ( l + 3 ) ! ] ^ { 2 } } \frac { 1 6 \pi ^ { 4 } } { 3 \omega ^ { 5 } } \left( \frac { \omega R } { 2 } \right) ^ { 4 l + 1 2 }
1 + C _ { A } e ^ { - E _ { n r A } / k _ { B } T } + C _ { B } e ^ { - E _ { n r B } / k _ { B } T } + C _ { T R } e ^ { - E _ { T R } / k _ { B } T } + C _ { B } C _ { A } e ^ { - ( E _ { n r B } + E _ { n r A } ) / k _ { B } T } + C _ { B } C _ { T R } e ^ { - ( E _ { n r B } + E _ { T R } ) / k _ { B } T }
\begin{array} { r l } { \hat { m } _ { \pmb { \mathscr { G } } _ { k , j _ { d } , l } ^ { ( d ) } } } & { = \hat { v } _ { \pmb { \mathscr { G } } _ { k , j _ { d } , l } ^ { ( d ) } } \left( \frac { m _ { \pmb { \mathscr { G } } _ { k , j _ { d } , l } ^ { ( d ) } } } { v _ { \pmb { \mathscr { G } } _ { k , j _ { d } , l } ^ { ( d ) } } } + \tau \sum _ { \mathbf { j } \in \Omega _ { t } ^ { j _ { d } } } \left( x _ { \mathbf { j } } \mathbb { E } \left[ e _ { k } ^ { ( < d ) ^ { T } } \right] \mathbb { E } \left[ e _ { l } ^ { ( > d ) } \right] - \right. \right. } \\ & { \left. \left. \sum _ { k ^ { \prime } = 1 , k ^ { \prime } \neq k } ^ { r _ { d - 1 } } \sum _ { l ^ { \prime } = 1 , l ^ { \prime } \neq l } ^ { r _ { d } } \mathbb { E } \left[ b _ { ( k - 1 ) r _ { d - 1 } + k ^ { \prime } } ^ { ( < d ) ^ { T } } \right] m _ { \pmb { \mathscr { G } } _ { k ^ { \prime } , j _ { d } , l ^ { \prime } } ^ { ( d ) } } \mathbb { E } \left[ b _ { ( l - 1 ) r _ { d } + l ^ { \prime } } ^ { ( > d ) } \right] \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \exp \left( \lambda \frac { \hat { \tau } _ { t } ( w , w ^ { \prime } ) } { m } + \frac { \hat { \tau } _ { t } ( w , w ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } h ( \lambda ) \right) \leq 1 + \lambda \frac { \hat { \tau } _ { t } ( w , w ^ { \prime } ) } { m } } \\ & { E \left[ \exp \left( \frac { \lambda \hat { \tau } _ { t } ( w , w ^ { \prime } ) } { m } + \frac { \hat { \sigma } _ { t } ^ { 2 } ( w , w ^ { \prime } ) } { m ^ { 2 } } h ( \lambda ) \right) \mid \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] \leq 1 + \lambda \frac { \tau _ { t } ( w , w ^ { \prime } ) } { m } } \\ & { E \left[ \exp \left( \frac { \lambda ( \hat { \tau } _ { t } ( w , w ^ { \prime } ) - \tau _ { t } ( w , w ^ { \prime } ) ) } { m } + \frac { \hat { \sigma } _ { t } ^ { 2 } ( w , w ^ { \prime } ) } { m ^ { 2 } } h ( \lambda ) \right) \mid \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] \leq 1 } \end{array}
\mathbf { F } _ { \mathrm { ~ O ~ } } ( t ) = | \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } | \cos ( \omega t + \phi _ { \mathrm { ~ O ~ } } ) = \frac { 1 } { 2 } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } \mathrm { e } ^ { i \omega t } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } , \qquad \mathbf { F } _ { \mathrm { ~ I ~ } } ( t ) = | \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } | \cos ( \omega t + \phi _ { \mathrm { ~ I ~ } } ) = \frac { 1 } { 2 } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } \mathrm { e } ^ { i \omega t } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } \, ,
K _ { 3 } = \left( \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } \right) ^ { \epsilon } , \ \ \ \ K _ { 4 } = \frac { 1 } { 6 } \left( \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } \right) ^ { \epsilon } , \ \ \ \ K _ { 4 \perp \perp } ^ { \mu \nu } = \frac { 1 } { 6 } \frac { q _ { 1 \perp } ^ { \mu } q _ { 1 \perp } ^ { \nu } } { q _ { 1 \perp } ^ { 2 } } \left( \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } \right) ^ { \epsilon } ~ .
\begin{array} { r l } { \vert \langle v \rangle ^ { q } f ( t , x , v ) \vert } & { \leq e ^ { - t } \Vert f _ { 0 } \Vert _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } } \\ & { \quad + C _ { q } e ^ { - t / 2 } \Vert f _ { 0 } \Vert _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } + \bar { B } } \\ & { \quad + C _ { q } M _ { 0 } ^ { n } e ^ { C \nu _ { f _ { 0 } } ^ { m a x } t _ { e q } } \left( e ^ { - t } \int _ { 0 } ^ { t } \Vert f ( s ) \Vert _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } d s \Vert f _ { 0 } \Vert _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } + \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq t } \Vert f ( s ) \Vert _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } \bar { B } \right) . } \end{array}
\frac { d F } { d p _ { 2 } } F = p _ { 2 } \frac { - \mathrm { s g n } ( \mathsf { A } ) \mathsf { A } ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } + F } { p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l r } { \delta U } & { = } & { - \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \Delta U e ^ { - \gamma t } } { \int _ { 0 } ^ { \infty } d t e ^ { - \gamma t } } } \\ & { = } & { - \frac { \gamma m ( \omega _ { e } ^ { 2 } - \omega _ { g } ^ { 2 } ) } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \left[ x ^ { 2 } ( t ) - x _ { 0 } ^ { 2 } \right] e ^ { - \gamma t } , } \end{array}
\langle N _ { \mathrm { C } } \rangle = \langle N _ { \mathrm { D } } \rangle \cdot \langle \delta t \rangle \cdot k = \frac { k } { \lambda _ { 1 } } \frac { \Gamma ( 1 - \alpha , \: \lambda _ { 2 } \tau _ { \mathrm { m i n } } ) } { \Gamma \left( 1 - \alpha , \: \lambda _ { 2 } \frac { 2 n _ { 6 } } { k } \right) } .
D _ { f ^ { - 1 } } ( - s ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { n \in \mathbb { N } ; } \\ { - { \frac { s + 1 } { 1 - \Gamma ( - s ) } } { \mathcal { M } } [ G _ { F } ^ { - 1 } ] ( s ) , } & { { \mathrm { o t h e r w i s e . } } } \end{array} \right. }
\lVert \tilde { { \boldsymbol { \theta } } } _ { t } - { \boldsymbol { \theta } } _ { t } ^ { * } \rVert \leq \| \delta \tilde { { \boldsymbol { \theta } } } _ { t } \| + \| { \boldsymbol { \theta } } _ { t } ^ { * } - { \boldsymbol { \theta } } _ { t + \Delta t } ^ { * } \| .
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in T } \left\Vert \mathcal { X } _ { t } \right\Vert _ { \alpha } ^ { p } \leq \sum _ { t \in T } \mathbb { E } \left\Vert \mathcal { X } _ { t } \right\Vert _ { \alpha } ^ { p } \leq | T | \operatorname* { s u p } _ { t \in T } \mathbb { E } \left\Vert \mathcal { X } _ { t } \right\Vert _ { \alpha } ^ { p } \leq 2 ^ { p } \operatorname* { s u p } _ { t \in T } \mathbb { E } \left\Vert \mathcal { X } _ { t } \right\Vert _ { \alpha } ^ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to + \infty } \left[ \int _ { J _ { u _ { n } } } \left[ | u _ { n } ^ { + } \cdot \nu _ { u _ { n } } | + | u _ { n } ^ { - } \cdot \nu _ { u _ { n } } | \right] \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } + 2 \varepsilon { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } ( J _ { u _ { n } } ) \right] } \\ & { \geq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to + \infty } \int _ { J _ { u _ { n } } } f _ { \varepsilon } ( u _ { n } ^ { + } , u _ { n } ^ { - } , \nu _ { u _ { n } } ) \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } \geq \int _ { J _ { u } } f _ { \varepsilon } ( u ^ { + } , u ^ { - } , \nu _ { u } ) \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } } \\ & { \ge \int _ { J _ { u } } \left[ | u ^ { + } \cdot \nu _ { u } | + | u ^ { - } \cdot \nu _ { u } | \right] \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { G ( X ) } { \epsilon _ { 0 } } = \frac { \epsilon ( X ) } { \epsilon _ { 0 } } - \frac { B } { B _ { \phi } } \frac { 8 } { W ^ { 2 } } \int _ { - W / 2 } ^ { W / 2 } \! \! \! \! d x \tilde { \psi } _ { X } ( x , 0 ) } \end{array}
\operatorname* { m a x } \left( \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 1 ( 4 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 3 ( 4 ) } \right| , 2 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 0 ( 4 ) } \right| , 2 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 2 ( 4 ) } \right| \right) - 1 \geqslant \frac { \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } { 2 } - 1
\hat { H } _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l l } { \tilde { \omega } _ { A } } & { V _ { 1 } } & { V _ { 2 } } \\ { V _ { 1 } } & { \tilde { \omega } _ { D _ { 1 } } } & { 0 } \\ { V _ { 2 } } & { 0 } & { \tilde { \omega } _ { D _ { 2 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { L } ^ { \S } } & { : = \varepsilon _ { S S l } \left( \frac { K _ { S } + s _ { 0 } } { K _ { M } + s _ { 0 } } + \frac { ( K _ { M } + s _ { 0 } ) ^ { 2 } ( K _ { S } + s _ { 0 } ) } { K _ { M } ^ { 3 } } \right) , } \\ { \mathrm { o r } } \\ { \varepsilon _ { M } ^ { \S } } & { : = \varepsilon _ { S S l } \left( \frac { K _ { S } + s _ { 0 } } { K _ { M } + s _ { 0 } } + \exp \left( \frac { s _ { 0 } } { K _ { M } } - 1 \right) \frac { ( K _ { M } + s _ { 0 } ) } { K _ { M } } \right) . } \end{array}
{ } \Omega _ { A , A B } ^ { 1 , 2 } ( \tau ) = ( - \alpha k _ { 3 } ) \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } \left\{ \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) + \alpha k _ { 3 } \left[ R _ { A A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) R _ { B B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) + R _ { A B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) R _ { B A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \right] \right\} ^ { - 1 } \mu _ { A } ( \tau ^ { \prime } ) \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } & { \hat { H } _ { k } ( t ) = } \\ & { \left[ \begin{array} { l l } { \hat { c } _ { k R } ^ { \dagger } } & { \hat { c } _ { k L } ^ { \dagger } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \frac { \sqrt { 3 } a t _ { \mathrm { h o p } } } { 2 } k ( t ) - \mu } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { \sqrt { 3 } a t _ { \mathrm { h o p } } } { 2 } k ( t ) - \mu } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \hat { c } _ { k R } } \\ { \hat { c } _ { k L } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \Big [ \sum _ { p } w _ { p } \operatorname* { s u p } _ { f _ { p } } f _ { p } \Big [ \exp \Big ( \sqrt { l } \Delta ( \beta ) - \log ( 1 + 2 ( \| \beta _ { 1 } \| _ { 1 } + 1 ) \bar { \alpha } ) - \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) } - \log \frac { d f _ { p } } { d \bar { \rho } _ { p } } \Big ) \Big ] \Big ] \leq 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big ( \| \delta _ { t + 1 } \| ^ { 2 } \big | S _ { 1 : t } \big ) = } & { \mathbb { E } \big ( \| \nabla f _ { S _ { t + 1 } } ( w _ { t + 1 } ) - \nabla f ( w _ { t + 1 } ) \| ^ { 2 } \big | S _ { 1 : t } \big ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { | S _ { t } | } \mathbb { E } _ { \xi \sim \mathbb { P } } \big ( \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { t + 1 } ) - \nabla f ( w _ { t + 1 } ) \| ^ { 2 } \big | S _ { 1 : t } \big ) } \\ { \overset { ( i ) } { \le } } & { \frac { 1 } { B } \big ( \Gamma ^ { 2 } \| \nabla f ( w _ { t + 1 } ) \| ^ { 2 } + \Lambda ^ { 2 } \big ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { E _ { n } ^ { ( 1 ) } } & { = - { \frac { 1 } { 2 m _ { e } c ^ { 2 } } } \left( E _ { n } ^ { 2 } + 2 E _ { n } { \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { 1 } { a _ { 0 } n ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } } } { \frac { e ^ { 4 } } { ( \ell + { \frac { 1 } { 2 } } ) n ^ { 3 } a _ { 0 } ^ { 2 } } } \right) } \\ & { = - { \frac { E _ { n } ^ { 2 } } { 2 m _ { e } c ^ { 2 } } } \left( { \frac { 4 n } { \ell + { \frac { 1 } { 2 } } } } - 3 \right) } \end{array} }
\begin{array} { r } { { \mathrm { i } } \, \hbar \, { \mathsf \Delta } _ { \textrm { \tiny B V } } \, \mathsf { H } \big ( \delta _ { x _ { a } } ^ { \psi _ { s _ { a } } } \odot _ { \star } \delta _ { x _ { b } } ^ { \psi _ { s _ { b } } } \big ) = 0 = { \mathrm { i } } \, \hbar \, { \mathsf \Delta } _ { \textrm { \tiny B V } } \, \mathsf { H } \big ( \delta _ { x _ { a } } ^ { \bar { \psi } _ { s _ { a } } } \odot _ { \star } \delta _ { x _ { b } } ^ { \bar { \psi } _ { s _ { b } } } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { W _ { 1 } = ( A _ { 1 } - q _ { 1 } I ) ^ { - 1 } U } \\ { W _ { j + 1 } = ( A _ { 1 } - q _ { j + 1 } ) ^ { - 1 } ( A _ { 1 } - p _ { j } ) W _ { j } } \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array} { l l } { Y _ { 1 } = - ( A _ { 2 } + p _ { 1 } I ) ^ { - 1 } V } \\ { Y _ { j + 1 } = ( A _ { 2 } + p _ { j + 1 } ) ^ { - 1 } ( A _ { 2 } + q _ { j } ) Y _ { j } } \end{array} \right. . } \end{array}
F ( s _ { 1 } , s _ { 2 } , \ldots , s _ { n } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \cdots \int _ { 0 } ^ { \infty } f ( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \ldots , t _ { n } ) e ^ { - s _ { n } t _ { n } - s _ { n - 1 } t _ { n - 1 } \cdots \cdots s _ { 1 } t _ { 1 } } \, d t _ { 1 } \cdots \, d t _ { n }
\eta ( q ) = q ^ { 1 / 2 4 } \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { n } ) = \sum _ { - \infty } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } q ^ { \frac { 3 } { 2 } ( n - \frac { 1 } { 6 } ) ^ { 2 } } .
k _ { \sigma _ { \mathrm { o u t } } } N _ { \sigma _ { \mathrm { o u t } } } ^ { \mathrm { t r o p } } = \frac { | \gamma _ { E _ { \mathrm { o u t } } } | } { | \gamma _ { E _ { 1 } } | | \gamma _ { E _ { 2 } } | } | \omega ( \gamma _ { E _ { 1 } } , \gamma _ { E _ { 2 } } ) | k _ { \sigma _ { 1 } } N _ { \sigma _ { 1 } } ^ { \mathrm { t r o p } } k _ { \sigma _ { 2 } } N _ { \sigma _ { 2 } } ^ { \mathrm { t r o p } } \, .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \big [ f \big ( X _ { i - 1 } , \psi _ { i - 1 } ( X ^ { i - 1 } , Y ^ { i - 2 } ) \big ) \big ] } \\ { \ge } & { \mathbb { E } \big [ f \big ( X _ { i - 1 } , \bar { \psi } _ { i - 1 } ( X _ { i - 1 } ) \big ) \big ] } \\ { = } & { \mathbb { E } \Big [ \bar { \ell } ( X _ { i - 1 } , \bar { \psi } _ { i - 1 } ( X _ { i - 1 } ) \big ) + \mathbb { E } \big [ \bar { \ell } ( \bar { X } _ { i } , \bar { \psi } _ { i } ( \bar { X } _ { i } ) \big ) \big | X _ { i - 1 } , \bar { \psi } _ { i - 1 } ( X _ { i - 1 } ) \big ] \Big ] } \\ { = } & { \mathbb { E } \big [ \bar { \ell } ( X _ { i - 1 } , \bar { \psi } _ { i - 1 } ( X _ { i - 1 } ) \big ) \big ] + \mathbb { E } \big [ \bar { \ell } ( \bar { X } _ { i } , \bar { \psi } _ { i } ( \bar { X } _ { i } ) \big ) \big ] , } \end{array}