harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
i \hbar \partial _ { t } \psi = \frac { 1 } { 2 m } \left[ - \hbar ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } \psi + i q \hbar ( \nabla \cdot \vec { A } ) \psi + i q \hbar ( \vec { A } \cdot \nabla \psi ) + q ^ { 2 } \vec { A } ^ { 2 } - 2 i q h ( \nabla \Lambda ) ( \nabla \psi ) + q ^ { 2 } \psi ( \nabla \Lambda ) ^ { 2 } - q ^ { 2 } \psi ( \vec { A } \cdot \nabla \Lambda ) + i q \hbar ( \nabla \Lambda ) ( \nabla \psi ) + 2 q ^ { 2 } ( \vec { A } \cdot \nabla \Lambda ) \psi \right] + q V \psi
\begin{array} { r l } { \frac { \sinh ^ { 4 } } { \mu ^ { 2 } } \dot { \mathcal { E } } ( t ) } & { \leq \frac { \sinh \cosh } { \sqrt { \mu } } \left( \left\langle X - x ^ { T } , \nabla f ( X ) \right\rangle - \frac { \mu } { 2 } \left\Vert X - x ^ { T } \right\Vert ^ { 2 } \right) } \\ & { \quad + \frac { \sqrt { \mu } \sinh \cosh } { 2 } \left\Vert X - x ^ { T } \right\Vert ^ { 2 } - \frac { \sinh ^ { 2 } \operatorname { t a n h } } { 2 \sqrt { \mu } } \left\Vert \dot { X } \right\Vert ^ { 2 } - \frac { \sinh \cosh } { \sqrt { \mu } } \left\langle X - x ^ { T } , \nabla f ( X ) \right\rangle } \\ & { = - \frac { \sinh ^ { 2 } \operatorname { t a n h } } { 2 \sqrt { \mu } } \left\Vert \dot { X } \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq 0 . } \end{array}
\mathrm { w t } _ { H } ( \Phi ( u _ { 1 } , u _ { 1 } \mid u _ { 2 } , u _ { 2 } \mid u _ { 3 } , u _ { 3 } ) + ( { \mathbf { 0 } } , { \mathbf { 1 } } , { \mathbf { 0 } } , { \mathbf { 1 } } , { \mathbf { 0 } } , { \mathbf { 1 } } ) ) = \mathrm { w t } _ { H } ( \Phi ( \mathbf { u } ) ) + \alpha _ { 1 } - \mathrm { w t } _ { H } ( u _ { 1 } ) + 2 \alpha _ { 2 } - \mathrm { w t } _ { H } ( \Phi _ { 2 } ( u _ { 2 } ) ) + 4 \alpha _ { 3 } - \mathrm { w t } _ { H } ( \Phi _ { 3 } ( u _ { 3 } ) ) = \mathrm { w t } _ { H } ( \Phi ( \mathbf { u } ) ) + \alpha _ { 1 } + 2 \alpha _ { 2 } + 4 \alpha _ { 3 } - \mathrm { w t } _ { H } ( \Phi ( \mathbf { u } ) ) = N = N ^ { \prime } / 2
R _ { f } = \frac { d _ { 0 } } { 2 \eta } \left[ 2 e ^ { \tau ^ { \prime } \sqrt { p } } + \left( \frac { \sqrt { p } } { \sqrt { q } } - 1 \right) e ^ { - \tau ^ { \prime } \sqrt { q } } - \left( \frac { \sqrt { p } } { \sqrt { q } } + 1 \right) e ^ { \tau ^ { \prime } \sqrt { q } } \right] ,
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \mathrm { ~ h ~ h ~ } } ( \mathbf k ) = } & { { } A k ^ { 2 } + [ B ^ { 2 } k ^ { 4 } + C ^ { 2 } ( k _ { x } ^ { 2 } k _ { y } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } k _ { z } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } k _ { x } ^ { 2 } ) ] ^ { 1 / 2 } , } \\ { \epsilon _ { \mathrm { ~ l ~ h ~ } } ( \mathbf k ) = } & { { } A k ^ { 2 } - [ B ^ { 2 } k ^ { 4 } + C ^ { 2 } ( k _ { x } ^ { 2 } k _ { y } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } k _ { z } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } k _ { x } ^ { 2 } ) ] ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { S } ( \equiv _ { d } ) < H _ { S } ( \equiv _ { d ^ { \prime } } ) \mathrm { ~ w h e n ~ } d ^ { \prime } \mathrm { ~ i s ~ a t ~ m o s t ~ } n / 2 , \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ & { H _ { S } ( \equiv _ { d } ) = H ( \equiv _ { d ^ { \prime } } ) \mathrm { ~ w h e n ~ } d \mathrm { ~ i s ~ a t ~ l e a s t ~ } n / 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi _ { u } ( A ) } & { \geq } & { \P ( \boldsymbol R _ { T } \in ( - A ) ) } \\ & { = } & { \P ( \boldsymbol L ( T ) - T \boldsymbol p \in ( u \boldsymbol b + A ) ) } \\ & { = } & { \P ( \boldsymbol L ( T ) - T \boldsymbol p \in ( u \boldsymbol b + \boldsymbol x + R ( \boldsymbol 0 , S ) ) ) } \\ & { = } & { \P ( \boldsymbol L ( T ) - T \boldsymbol p - \boldsymbol x \in u R ( \boldsymbol b , S ) ) . } \end{array}
\mathbb { E } \left[ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > j _ { 0 } \} } \textbf { 1 } _ { \{ t \geq \tau _ { j } \} } \right] \leq \mathbb { E } \left[ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > j _ { 0 } \} } \right] \leq \epsilon ( j _ { 0 } ) \mathbb { E } \left[ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > R \} } \right] ,
{ \cal F } _ { \mu \nu } = - \frac { i } { 2 } T r \left\{ \hat { \Phi } \partial _ { \mu } \hat { \Phi } \partial _ { \nu } \hat { \Phi } \right\} + T r \left\{ \partial _ { \mu } ( \hat { \Phi } A _ { \nu } ) - \partial _ { \nu } ( \hat { \Phi } A _ { \mu } ) \right\} \ .
\Delta \zeta _ { 0 } ^ { \prime } ( 0 ) = \frac { \beta } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \left( \: \sum _ { \gamma } ^ { \infty } \delta _ { \gamma } - 2 \sqrt { \pi } B _ { 1 } k - \pi B _ { 3 / 2 } - \frac { \sqrt { \pi } B _ { 2 } } { \sqrt { ( k ^ { 2 } + M _ { I R } ^ { 2 } ) } } \right) - \frac { \beta B _ { 2 } } { \sqrt { 4 \pi } } \, \log M _ { I R } ^ { 2 } ,
n ( r ) \propto \left\{ \begin{array} { l l } { C - \frac { A } { \pi } \cos ^ { - 1 } \bigg ( ( 1 - \eta ) \sin ( \frac { 2 \pi r } { T } - \frac { \pi } { 2 } ) \bigg ) } & { r \leq r _ { p } } \\ { e ^ { - a r ^ { 2 } + b r + c } } & { r > r _ { p } } \end{array} \right.
u _ { \Omega , A } ^ { ( \sigma ) } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! d k \sum _ { M , N } \left( \alpha _ { \Omega } ^ { k \{ M , N \} ( \sigma ) } U _ { k } + \beta _ { \Omega } ^ { k \{ M , N \} ( \sigma ) } U _ { k } ^ { * } \right) \Psi _ { \{ M , N \} } \cdot \phi _ { A } \ ,
\left\{ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \xi } _ { \ast } = \widetilde { \mathbf { w } } + \left( r - \chi + \frac { m _ { \alpha } - m _ { \beta } } { 2 m _ { \beta } } q \right) \boldsymbol { \eta } } \\ { \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } = \widetilde { \mathbf { w } } + \left( r - \chi - \frac { m _ { \alpha } + m _ { \beta } } { 2 m _ { \beta } } q \right) \boldsymbol { \eta } } \end{array} \right. \mathrm { , ~ w i t h ~ } \widetilde { \mathbf { w } } \perp \boldsymbol { \eta } \mathrm { . ~ }
\begin{array} { r l } & { k _ { r s } ^ { ( t ) } = \frac { \partial k _ { r s } } { \partial \mu _ { t } } \, , } \\ & { k _ { r s } ^ { ( t u ) } = \frac { \partial ^ { 2 } k _ { r s } } { \partial \mu _ { t } \partial \mu _ { u } } \, , } \\ & { k _ { r s t } ^ { ( u ) } = \frac { \partial k _ { r s t } } { \partial \mu _ { u } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) \Theta _ { \epsilon } ( v ) \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta - \frac { 2 } { 3 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) \tilde { \Theta } _ { \epsilon } ( a , v ) a \partial _ { a } \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta - \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } } & { g ( \eta , t ) \Theta _ { \epsilon } ( v ) v \partial _ { v } \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta } \\ { + ( 1 - \gamma ) \langle \mathbb { K } _ { \epsilon , R } [ g ] , \varphi \rangle + ( 1 - \gamma ) \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } r ( \eta ) ( c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } - a ) g ( \eta , t ) \partial _ { a } \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta = \partial _ { t } } & { \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta , } \end{array}
R _ { i j k } ^ { h } = P _ { i j k } ^ { h } - \Delta _ { i j / k } ^ { h } + \Delta _ { i k / j } ^ { h } + \Delta _ { m j } ^ { h } \Delta _ { i k } ^ { m } - \Delta _ { m k } ^ { h } \Delta _ { i j } ^ { m } = - \Delta _ { i j / k } ^ { h } + \Delta _ { i k / j } ^ { h } + \Delta _ { m j } ^ { h } \Delta _ { i k } ^ { m } - \Delta _ { m k } ^ { h } \Delta _ { i j } ^ { m }
\begin{array} { r l } { A _ { x 1 } ( \gamma _ { 1 } , \sigma _ { 1 } ^ { 2 } ) = \mathbb { E } \{ g _ { x 1 } ^ { \prime } ( R _ { 1 } , \gamma _ { 1 } ) \} , \quad } & { \mathrm { ~ a n d ~ } \quad A _ { x 2 } ( \gamma _ { 2 } , \tau _ { 2 } ) = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { \gamma _ { 2 } } { N } \mathrm { T r } \left[ \left( \tau _ { 2 } \mathbf { S } ^ { T } \mathbf { S } + \gamma _ { 2 } \right) ^ { - 1 } \right] , } \\ { A _ { z 1 } ( \tau _ { 1 } , \rho _ { 1 } ^ { 2 } ) = \mathbb { E } \{ g _ { z 1 } ^ { \prime } ( P _ { 1 } , \tau _ { 1 } ) \} , \quad } & { \mathrm { ~ a n d ~ } \quad A _ { z 2 } ( \gamma _ { 2 } , \tau _ { 2 } ) = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { \tau _ { 2 } } { M } \mathrm { T r } \left[ ( \mathbf { S } ^ { T } \mathbf { S } ) \left( \tau _ { 2 } \mathbf { S } ^ { T } \mathbf { S } + \gamma _ { 2 } \right) ^ { - 1 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 - \delta } & { \geq 1 - \frac { 1 - \omega _ { n } ^ { 2 } } { \sqrt { 1 + 2 \omega _ { n } ^ { 2 } - 3 \omega _ { n } ^ { 4 } } } = \frac { \sqrt { 1 + 2 \omega _ { n } ^ { 2 } - 3 \omega _ { n } ^ { 4 } } - 1 + \omega _ { n } ^ { 2 } } { \sqrt { 1 + 2 \omega _ { n } ^ { 2 } - 3 \omega _ { n } ^ { 4 } } } } \\ & { \geq \frac { \omega _ { n } ^ { 2 } } { \sqrt { 1 + 2 \omega _ { n } ^ { 2 } - 3 \omega _ { n } ^ { 4 } } } \gtrsim \omega _ { n } ^ { 2 } . } \end{array}
\alpha _ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } C _ { a } ^ { * } f _ { \; \; b c } ^ { a } C ^ { b } C ^ { c } - C _ { a } ^ { * \mu } f _ { \; \; b c } ^ { a } \left( C ^ { b } C _ { \mu } ^ { c } + \eta ^ { b } A _ { \mu } ^ { c } \right) .
\mathrm { ~ S ~ W ~ } _ { i } \equiv \int _ { 0 } ^ { \infty } \sigma _ { 1 i } ( \omega ) \, d \omega = \frac { \pi } { 2 } \varepsilon _ { 0 } \omega _ { p i } ^ { 2 } = \frac { \pi N _ { i } e ^ { 2 } } { 2 m _ { i } } .
\begin{array} { r l } { M _ { N - Q } = } & { \Big \| \prod _ { t = N } ^ { Q + 1 } ( I - \lambda \nabla _ { y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { t } ) ) - ( I - \lambda \nabla _ { y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { N } ) ) ^ { N - Q } \Big \| } \\ { = } & { \Big \| ( I - \lambda \nabla _ { y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { N } ) ) \Big [ \prod _ { t = N } ^ { Q + 2 } ( I - \lambda \nabla _ { y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { t } ) ) - ( I - \lambda \nabla _ { y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { N } ) ) ^ { N - Q - 1 } \Big ] } \\ & { + ( \lambda \nabla _ { y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { N } ) - \lambda \nabla _ { y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { Q + 1 } ) ) \prod _ { t = N } ^ { Q + 2 } ( I - \lambda \nabla _ { y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { t } ) ) \Big \| } \\ { \overset { ( i ) } { \leq } } & { ( 1 - \lambda \mu ) \underbrace { \Big \| \prod _ { t = N } ^ { Q + 2 } ( I - \lambda \nabla _ { y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { t } ) ) - ( I - \lambda \nabla _ { y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { N } ) ) ^ { N - Q - 1 } \Big \| } _ { \mathrm { ~ M _ { N - Q - 1 } ~ } } } \\ & { + \lambda \rho ( 1 - \lambda \mu ) ^ { N - Q - 1 } \| y ^ { N } - y ^ { Q + 1 } \| } \\ { \overset { ( i i ) } { \leq } } & { ( 1 - \lambda \mu ) ^ { N - Q } M _ { 0 } + \lambda \rho ( 1 - \lambda \mu ) ^ { N - Q - 1 } \sum _ { \tau = Q + 1 } ^ { N } \| y ^ { \tau } - y ^ { N } \| } \\ { \overset { ( i i i ) } { \leq } } & { \lambda \rho ( 1 - \lambda \mu ) ^ { N - Q - 1 } \sum _ { \tau = Q + 1 } ^ { N } \| y ^ { \tau } - y ^ { N } \| , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \nabla \cdot ( \mathbf { A } \times \mathbf { B } ) } & { \ = \ ( \nabla { \times } \mathbf { A } ) \cdot \mathbf { B } \, - \, \mathbf { A } \cdot ( \nabla { \times } \mathbf { B } ) } \\ { \nabla \times ( \mathbf { A } \times \mathbf { B } ) } & { \ = \ \mathbf { A } ( \nabla { \cdot } \mathbf { B } ) \, - \, \mathbf { B } ( \nabla { \cdot } \mathbf { A } ) \, + \, ( \mathbf { B } { \cdot } \nabla ) \mathbf { A } \, - \, ( \mathbf { A } { \cdot } \nabla ) \mathbf { B } } \\ & { \ = \ \mathbf { A } ( \nabla { \cdot } \mathbf { B } ) \, + \, ( \mathbf { B } { \cdot } \nabla ) \mathbf { A } \, - \, ( \mathbf { B } ( \nabla { \cdot } \mathbf { A } ) \, + \, ( \mathbf { A } { \cdot } \nabla ) \mathbf { B } ) } \\ & { \ = \ \nabla { \cdot } \left( \mathbf { B } \mathbf { A } ^ { \textsf { T } } \right) \, - \, \nabla { \cdot } \left( \mathbf { A } \mathbf { B } ^ { \textsf { T } } \right) } \\ & { \ = \ \nabla { \cdot } \left( \mathbf { B } \mathbf { A } ^ { \textsf { T } } \, - \, \mathbf { A } \mathbf { B } ^ { \textsf { T } } \right) } \\ { \mathbf { A } \times ( \nabla \times \mathbf { B } ) } & { \ = \ \nabla _ { \mathbf { B } } ( \mathbf { A } { \cdot } \mathbf { B } ) \, - \, ( \mathbf { A } { \cdot } \nabla ) \mathbf { B } } \\ & { \ = \ \mathbf { A } \cdot \mathbf { J } _ { \mathbf { B } } \, - \, ( \mathbf { A } { \cdot } \nabla ) \mathbf { B } } \\ & { \ = \ ( \nabla \mathbf { B } ) \cdot \mathbf { A } \, - \, \mathbf { A } \cdot ( \nabla \mathbf { B } ) } \\ & { \ = \ \mathbf { A } \cdot ( \mathbf { J } _ { \mathbf { B } } \, - \, \mathbf { J } _ { \mathbf { B } } ^ { \textsf { T } } ) } \\ { ( \mathbf { A } \times \nabla ) \times \mathbf { B } } & { \ = \ ( \nabla \mathbf { B } ) \cdot \mathbf { A } \, - \, \mathbf { A } ( \nabla { \cdot } \mathbf { B } ) } \\ & { \ = \ \mathbf { A } \times ( \nabla \times \mathbf { B } ) \, + \, ( \mathbf { A } { \cdot } \nabla ) \mathbf { B } \, - \, \mathbf { A } ( \nabla { \cdot } \mathbf { B } ) } \\ { ( \mathbf { A } \times \nabla ) \cdot \mathbf { B } } & { \ = \ \mathbf { A } \cdot ( \nabla { \times } \mathbf { B } ) } \end{array} }
P = f R \quad \mathrm { w i t h } \quad \partial _ { z } f + i a _ { z } f = 0 , \qquad \mathrm { a n d } \qquad Q = h R \quad \mathrm { w i t h } \quad \partial _ { \bar { z } } h - i a _ { \bar { z } } h = 0 .
\begin{array} { r } { \mathrm { S N C R } = \sum _ { i j } 2 \frac { \bar { \lambda } _ { i } \lambda _ { j } } { \bar { \lambda } _ { i } + \lambda _ { j } } \frac { \tilde { C } _ { i j } } { \vert \operatorname* { d e t } \tilde { T } \vert ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { p } _ { b } ( E , s ) = } & { { } - \frac { \rho ( E ) C ( s ) } { s / \Gamma _ { 0 } + e ^ { - \beta E } } + \frac { p _ { b } ( E , 0 ) / \Gamma _ { 0 } } { s / \Gamma _ { 0 } + e ^ { - \beta E } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { P D M L ~ f i t ~ e r r o r } } & { = } & { \sum _ { \mathrm { i n s t r u m e n t s } } \left( \mathrm { P D M L a p p r o x i m a t i o n } - \mathrm { M C ~ e s t i m a t e } \right) ^ { 2 } } \\ { \mathrm { M o d e l ~ e r r o r } } & { = } & { \sum _ { \mathrm { i n s t r u m e n t s } } \left( \mathrm { M C ~ e s t i m a t e } - \mathrm { t a r g e t ~ p r i c e } \right) ^ { 2 } } \end{array}
0 ~ \mathrm { ~ V ~ } , 1 5 ~ \mathrm { ~ G ~ H ~ z ~ } ) \rightarrow ( - 2 0 0 ~ \mathrm { ~ V ~ } , 2 2 ~ \mathrm { ~ G ~ H ~ z ~ } ) \rightarrow ( 0 ~ \mathrm { ~ V ~ } , - 1 6 ~ \mathrm { ~ G ~ H ~ z ~ } )
\begin{array} { r l } { \phi _ { \mu , \nu } ( H ) } & { { } = - z _ { 1 } { \frac { \partial } { \partial z _ { 1 } } } + z _ { 2 } { \frac { \partial } { \partial z _ { 2 } } } - { \overline { { z _ { 1 } } } } { \frac { \partial } { \partial { \overline { { z _ { 1 } } } } } } + { \overline { { z _ { 2 } } } } { \frac { \partial } { \partial { \overline { { z _ { 2 } } } } } } } \\ { \phi _ { \mu , \nu } ( X ) } & { { } = - z _ { 2 } { \frac { \partial } { \partial z _ { 1 } } } - { \overline { { z _ { 2 } } } } { \frac { \partial } { \partial { \overline { { z _ { 1 } } } } } } } \\ { \phi _ { \mu , \nu } ( Y ) } & { { } = - z _ { 1 } { \frac { \partial } { \partial z _ { 2 } } } - { \overline { { z _ { 1 } } } } { \frac { \partial } { \partial { \overline { { z _ { 2 } } } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa \leq } & { \| G ( \gamma ( \tau _ { 2 n } ) ) - G ( \gamma ( \tau _ { 2 n + 1 } ) ) \| } \\ { \leq } & { \| G ( \gamma ( \tau _ { 2 n } ) ) - G ^ { * } ( \gamma ( \tau _ { 2 n } ) ) \| } \\ { + } & { \| G ^ { * } ( \gamma ( \tau _ { 2 n } ) ) - G ^ { * } ( \gamma ( \tau _ { 2 n + 1 } ) ) \| } \\ { + } & { \| G ^ { * } ( \gamma ( \tau _ { 2 n + 1 } ) ) - G ( \gamma ( \tau _ { 2 n + 1 } ) ) \| } \\ { \leq } & { 2 \alpha + \| G ^ { * } ( \gamma ( \tau _ { 2 n } ) ) - G ^ { * } ( \gamma ( \tau _ { 2 n + 1 } ) ) \| . } \end{array}
J _ { + } ^ { \mu } \equiv \bar { { \tilde { \chi } } _ { a } ^ { 0 } } \gamma ^ { \mu } \left[ { \cal P } _ { L } { \cal P } _ { a i } ^ { L } + { \cal P } _ { R } { \cal P } _ { a i } ^ { R } \right] \tilde { \chi } _ { i } \; \; a = 1 . . . 4 , \; \; i = 1 , 2 \, ,
\begin{array} { r l } { \phi _ { \mathrm { f } } ( x , y ) = } & { { } \sum _ { i , j } ^ { 0 , 1 } \frac { 1 - ( - 1 ) ^ { j } 2 } { 8 } \phi ( x - \frac { \delta } { 2 } - ( - 1 ) ^ { i + j } \frac { 1 + ( - 1 ) ^ { i } 2 } { 2 } \delta , y ) } \\ { = } & { { } \delta \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } ( - 1 ) ^ { j } \frac { 2 - | j - 2 | } { 8 } \frac { \partial } { \partial x } \phi ( x + \frac { 3 } { 2 } \delta - j \delta , y ) } \\ { = } & { { } \delta ^ { 2 } [ \frac { 1 } { 8 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \phi ( x , y ) - \frac { 1 } { 8 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \phi ( x - \delta , y ) ] } \\ { = } & { { } \frac { 1 } { 8 } \delta ^ { 3 } \frac { \partial ^ { 3 } } { \partial x ^ { 3 } } \phi ( x + \frac { 1 } { 2 } \delta , y ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \mathscr E } _ { - , \alpha } } & { \sim _ { M } \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| g _ { \alpha + 1 } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ { \widetilde { \mathscr D } _ { - , \alpha } } & { \sim _ { M } \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } \cap \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } ^ { 2 } + \| g _ { \alpha + 1 } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } \cap \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } ^ { 2 } } \end{array}
A = \left( \begin{array} { l l } { \lambda \sigma _ { t } } & { 0 } \\ { 0 } & { i \omega \mu \lambda ^ { \prime } } \end{array} \right) , \quad C = \left( \begin{array} { l l } { \sigma _ { x } } & { 0 } \\ { 0 } & { i \omega \mu } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \ln f _ { \mathrm { { M } } } } & { { } = } & { ( { \bf v } _ { \| } + { \bf \dot { R } } _ { d } + \delta { \bf \dot { R } } _ { E _ { n c } } ) \cdot \left[ { \vec { \kappa } } _ { n } + \left( \frac { m v _ { \| } ^ { 2 } } { 2 T } + \frac { m \mu B } { T } - \frac { 3 } { 2 } \right) \vec { \kappa } _ { T } - \frac { m \mu B } { T } \vec { \kappa } _ { B } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { f l o o r } } } & { { } = \rho _ { \mathrm { a t m o } } \, \operatorname* { m a x } ( r _ { \mathrm { m i n } } , r ) ^ { - 1 . 5 } } \\ { P _ { \mathrm { f l o o r } } } & { { } = ( \Gamma - 1 ) ( \rho \epsilon ) _ { \mathrm { f l o o r } } } \end{array}
p = \rho R T + \left( B _ { 0 } R T - A _ { 0 } - { \frac { C _ { 0 } } { T ^ { 2 } } } + { \frac { D _ { 0 } } { T ^ { 3 } } } - { \frac { E _ { 0 } } { T ^ { 4 } } } \right) \rho ^ { 2 } + \left( b R T - a - { \frac { d } { T } } + { \frac { c } { T ^ { 2 } } } \right) \rho ^ { 3 } + \alpha \left( a + { \frac { d } { T } } \right) \rho ^ { 6 }
\begin{array} { r l } { L _ { M E } } & { { } = \frac { \mu _ { 0 } ^ { 3 } n ^ { 2 } } { 4 \pi l } ( \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } \Big [ r _ { 1 } ^ { 4 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 4 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { i } } & { = \left( \frac { 3 \mathrm { I } _ { \circ } G } { R ^ { 5 } } \right) \frac { \alpha ^ { 2 } } { ( \gamma + \alpha ) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \eta } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \eta _ { i } } \right) \times A _ { i } , } \\ { k _ { E } } & { = \left( \frac { 3 \mathrm { I } _ { \circ } G } { R ^ { 5 } } \right) \frac { 1 } { \gamma + \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { } } & { { } } & { { { \cal V } = \{ f \in { \cal L } ( V , W ) \vert f _ { | W } ~ \mathrm { i s ~ a ~ s c a l a r ~ o p e r a t o r } \} ~ , } } \\ { { } } & { { } } & { { { \cal W } = \{ f \in { \cal L } ( V , W ) \vert f _ { | W } = 0 \} ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 0 , 0 } } & { { } = 1 , } \\ { p _ { N , N } } & { { } = 1 , } \\ { p _ { i , i - 1 } } & { { } = \frac { N - i } { r i + N - i } \cdot \frac { \binom { i } { 1 } \binom { N - i - 1 } { 1 } } { \binom { N - 1 } { 2 } } = \frac { N - i } { r i + N - i } \cdot \frac { 2 i ( N - i - 1 ) } { ( N - 1 ) ( N - 2 ) } , \quad i \in \{ 1 , \ldots , N \} , } \\ { p _ { i , i + 1 } } & { { } = \frac { r i } { r i + N - i } \cdot \frac { \binom { i - 1 } { 1 } \binom { N - i } { 1 } } { \binom { N - 1 } { 2 } } = \frac { r i } { r i + N - i } \cdot \frac { 2 ( i - 1 ) ( N - i ) } { ( N - 1 ) ( N - 2 ) } , \quad i \in \{ 0 , \ldots , N - 1 \} , } \\ { p _ { i , i } } & { { } = 1 - p _ { i , i - 1 } - p _ { i , i + 1 } , \quad i \in \{ 1 , \ldots , N - 1 \} . } \end{array}
\varphi _ { m n } = \left\{ \begin{array} { l c l } { 0 ^ { \circ } } & { } & { - 9 0 ^ { \circ } \leq \varphi _ { m n } ^ { r e q } < 9 0 ^ { \circ } } \\ { 1 8 0 ^ { \circ } } & { } & { 9 0 ^ { \circ } \leq \varphi _ { m n } ^ { r e q } < 2 7 0 ^ { \circ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathrm { s h } \frac { \rho _ { \mathbb { B } ^ { 2 } } ( f ( x ) , f ( y ) ) } { 2 } = \frac { \mathrm { t h } ( \rho _ { \mathbb { B } ^ { 2 } } ( f ( x ) , f ( y ) ) / 2 ) } { \sqrt { 1 - \mathrm { t h } ^ { 2 } ( \rho _ { \mathbb { B } ^ { 2 } } ( f ( x ) , f ( y ) ) / 2 ) } } \leq \frac { \varphi _ { K , 2 } ( \mathrm { t h } ( \rho _ { \mathbb { B } ^ { 2 } } ( x , y ) / 2 ) ) } { \sqrt { 1 - \varphi _ { K , 2 } ( \mathrm { t h } ( \rho _ { \mathbb { B } ^ { 2 } } ( x , y ) / 2 ) ) ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { S ( r _ { 0 } , \eta ) = \frac { \left\langle \Delta r _ { 0 } \Delta \eta \right\rangle } { \sqrt { \left\langle \Delta r _ { 0 } ^ { 2 } \right\rangle \left\langle \Delta \eta ^ { 2 } \right\rangle } } } \end{array}
\omega y ^ { \prime } + 4 \left( e ^ { - \bar { \omega } \bar { z } } w _ { - } + e ^ { \bar { \omega } \bar { z } } \bar { w } \right) y ^ { 2 } + 8 E y + 4 \left( e ^ { \bar { \omega } \bar { z } } w _ { + } + e ^ { - \bar { \omega } \bar { z } } w \right) = 0 .
{ \cal K } = \{ ( x _ { 1 } : x _ { 2 } : x _ { 3 } : x _ { 4 } : x _ { 5 } : x _ { 6 } ) \in \mathbb { P } ^ { 5 } \, | \, x _ { 1 } x _ { 4 } + x _ { 2 } x _ { 5 } + x _ { 3 } x _ { 6 } = 0 \} .
\Sigma ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ; \omega ) = \frac { i } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int G ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ; \omega - \omega ^ { \prime } ) W ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ; \omega ^ { \prime } ) e ^ { - i \delta \omega ^ { \prime } } \, d \omega ^ { \prime } .
P _ { i + 1 } = A _ { i } \left( P _ { i } - P _ { i } C _ { i } ^ { \mathrm { T } } \left( C _ { i } P _ { i } C _ { i } ^ { \mathrm { T } } + W _ { i } \right) ^ { - 1 } C _ { i } P _ { i } \right) A _ { i } ^ { \mathrm { T } } + V _ { i } , \qquad P _ { 0 } = \mathbb { E } [ \left( { \mathbf { x } } _ { 0 } - { \hat { \mathbf { x } } } _ { 0 } \right) \left( { \mathbf { x } } _ { 0 } - { \hat { \mathbf { x } } } _ { 0 } \right) ^ { \mathrm { T } } ] .
\begin{array} { r l } & { \frac { \gamma } { \gamma - 1 } \check { \theta } _ { 1 } - \frac { 1 } { b ^ { 2 } } \frac { \gamma } { \gamma - 1 } \frac { d \check { \theta } _ { 2 } } { d \xi } + \check { \theta } _ { 1 c } } \\ & { = \frac { \check { v } _ { 1 c } } { 1 + W } + T _ { 1 + } \frac { W } { 1 + W } \left( 1 + \ln { | W | } \right) - P _ { 1 + } V _ { 0 + } \left\{ \frac { W \ln { | W | } - 1 } { 1 + W } + 2 ( 1 + W ) \right. } \\ & { \left. \quad + \ln { | W | } + \frac { P _ { 0 + } } { \nu V _ { 0 + } } \frac { \xi } { 1 + W } \right\} + b ^ { 2 } V _ { 0 + } ^ { 2 } ( 1 - B ) \left\{ \frac { 1 } { 4 ( 1 + W ) } + \frac { 3 } { 4 } W ( 3 + W ) \right. } \\ & { \left. \quad + \ln { | W | } + \frac { P _ { 0 + } } { \nu V _ { 0 + } } \frac { \xi } { 1 + W } \right\} + b ^ { 2 } V _ { 0 + } ^ { 2 } \frac { \gamma } { 4 } \left( \frac { 1 } { 1 + W } + ( W + 1 ) ( W - 4 ) \right) } \\ & { \quad + b ^ { 2 } \frac { V _ { 0 + } } { P _ { 0 + } } \nu \frac { d T _ { 0 } } { d z } \Big | _ { + } \left\{ \frac { 1 } { 1 + W } - W + \frac { W \ln { | W | } } { 1 + W } \left( W + \frac { \ln { | W | } } { 2 } \right) - \ln { | W | } \right. } \\ & { \left. \quad + \frac { P _ { 0 + } } { \nu V _ { 0 + } } \frac { W \ln { | W | } + W - 1 } { 1 + W } \xi \right\} + b ^ { 2 } V _ { 0 + } \nu \frac { d V _ { 0 } } { d z } \Big | _ { + } \left( 3 + 2 W + \frac { 2 W \ln { | W | } } { 1 + W } \right) . } \end{array}
M ^ { 6 } r _ { c } ^ { 4 } \sim \frac { M _ { s } ^ { 2 } } { T _ { 2 } } E _ { 2 } ( U , \bar { U } ) = \frac { M _ { s } ^ { 2 } } { T _ { 2 } } \sum _ { ( m , n ) \in ( Z , Z ) - ( 0 , 0 ) } \frac { U _ { 2 } ^ { 2 } } { | m + n U | ^ { 4 } } \, .