harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( r , \theta ) = } & { \; 1 6 \cos ^ { 4 } ( \theta ) \left( \tan ^ { 2 } ( \theta ) + 1 \right) \left( 3 \tan ^ { 2 } ( \theta ) - 1 \right) r ^ { 4 } - 8 N ^ { 2 } d ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( \theta ) \left( \tan ^ { 2 } ( \theta ) + 1 \right) r ^ { 2 } - N ^ { 4 } d ^ { 4 } . } \\ { f _ { 2 } ( r , \theta ) = } & { \; \left( \left( 4 \cos ^ { 2 } \left( \theta \right) \tan ^ { 2 } \left( \theta \right) + 4 \cos ^ { 2 } \left( \theta \right) \right) r ^ { 2 } - 4 N d \cos \left( \theta \right) \tan \left( \theta \right) \, r + N ^ { 2 } d ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \\ & { \times \left( \left( 4 \cos ^ { 2 } \left( \theta \right) \tan ^ { 2 } \left( \theta \right) + 4 \cos ^ { 2 } \left( \theta \right) \right) r ^ { 2 } + 4 N d \cos \left( \theta \right) \tan \left( \theta \right) \, r + N ^ { 2 } d ^ { 2 } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { \partial A _ { i j } } { \partial q ^ { k } } - \frac { \partial A _ { k j } } { \partial q ^ { i } } = \frac 1 2 \frac { \partial } { \partial \dot { q } ^ { j } } \left( \frac { \partial B _ { i } } { \partial \dot { q } ^ { k } } - \frac { \partial B _ { k } } { \partial \dot { q } ^ { i } } \right) .
\nu _ { s } \tilde { A } _ { s } - v _ { s } \partial _ { x } \tilde { A } _ { s } = \frac { \Gamma _ { \mathrm { m a x } } } { \sqrt { 2 } } \tilde { n } _ { e } \left[ \exp \left( i \int K _ { 1 x } d x \right) + \exp \left( i \int K _ { 2 x } d x \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { \frac { d V ^ { \mathrm { l v } } \left( u _ { i } \right) } { d t } - q ^ { \mathrm { v e n } } + q ^ { \mathrm { a r t } } } & { = 0 , } \\ { C ^ { \mathrm { a r t } } \frac { d p ^ { \mathrm { a r t } } } { d t } - q ^ { \mathrm { a r t } } + q ^ { \mathrm { p e r } } } & { = 0 , } \\ { C ^ { \mathrm { v e n } } p ^ { \mathrm { v e n } } - V ^ { \mathrm { t o t } } + V ^ { \mathrm { l v } } + V ^ { \mathrm { a r t } } + V _ { \mathrm { { r e f 0 } } } ^ { \mathrm { v e n } } } & { = 0 , } \end{array}
B = \frac { \Gamma \left( 1 + n - m \alpha _ { - } ^ { 2 } \right) } { \Gamma \left( n + ( 1 - m ) \alpha _ { - } ^ { 2 } \right) \Gamma \left( 1 - \alpha _ { - } ^ { 2 } \right) } \, C _ { n m , 1 2 } ^ { n , m - 1 } A _ { n , m - 1 } ^ { \alpha }
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { \mu \nu } ^ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = - \hbar ^ { 2 } \, e ^ { 2 } \, \int _ { k , p } \, { \mathrm { e } } ^ { - { \mathrm { i } } \, p \cdot ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } \ } & { \tilde { \mathsf { D } } ( p ) ^ { 2 } \, \tilde { \mathsf { \Pi } } _ { \mu \sigma } ( p ) \, \tilde { \mathsf { \Pi } } _ { \lambda \nu } ( p ) \, \mathrm { T r } \big ( \tilde { \mathsf { S } } ^ { - } ( p - k ) \, \gamma ^ { \sigma } \, \tilde { \mathsf { S } } ^ { + } ( k ) \, \gamma ^ { \lambda } \big ) \ . } \end{array}
A _ { 1 / 2 } ( { \bf p } ; { \bf n } ) = B \, \left( \begin{array} { c c c } { { ( p _ { 0 } + m - p _ { 3 } ) e ^ { - i \varphi / 2 } \cos ( { \theta } / 2 ) - p _ { - } e ^ { i \varphi / 2 } \sin ( { \theta } / 2 ) } } \\ { { ( p _ { 0 } + m + p _ { 3 } ) e ^ { i \varphi / 2 } \sin ( { \theta } / 2 ) - p _ { + } e ^ { - i \varphi / 2 } \cos ( { \theta } / 2 ) } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \dot { y } _ { 1 } } & { = y _ { 2 } , } \\ { \dot { y } _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { m } \left[ - c y _ { 2 } - k y _ { 1 } + F _ { p } \left( y _ { 3 } \right) + F _ { m } \left( y _ { 1 } , y _ { 3 } \right) + F _ { i } \left( y _ { 1 } \right) - F _ { 0 } \right] , } \\ { \dot { y } _ { 3 } } & { = \frac { 1 } { \beta V } \left[ Q - Q _ { v } \left( y _ { 1 } , y _ { 3 } \right) - Q _ { b } \left( y _ { 3 } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 9 2 0 } } & { = \{ ( 0 , - 2 ) , ( 0 , - 1 ) , ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 0 , 2 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 4 , 2 ) , ( 4 , 3 ) , ( 8 , 4 ) , ( 1 6 , 6 ) \} } \\ { C _ { 7 2 0 } } & { = \{ ( 0 , 1 ) , ( 0 , 0 ) , ( 4 , 3 ) , ( 1 , 1 ) , ( 1 6 , 6 ) , ( 0 , 2 ) , ( 1 , 0 ) , ( 3 , 2 ) , ( 0 , - 2 ) \} } \end{array}
A _ { 4 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 4 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 8 } \end{array} \right] = L _ { 4 } U _ { 4 }
\begin{array} { r l } { S = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } \int _ { \mathcal { M } } } & { { } { D } \bigg [ \frac 1 2 | { \mathbf { u } } ^ { L } | ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \widetilde { \omega } ^ { 2 } | { \mathbf { a } } | ^ { 2 } - \rho g z + { \mathbf { u } } ^ { L } \cdot \boldsymbol { \Omega } \times { \mathbf { x } } + 2 i \alpha ^ { 2 } \widetilde { \omega } \boldsymbol { \Omega } \cdot ( \boldsymbol { a } \times \boldsymbol { a } ^ { * } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } \left( R _ { i i } \sum _ { \mu } R _ { \alpha \mu } ^ { ( i ) } H _ { \mu i } R _ { i \beta } { \texttt A } _ { i \beta } \right) = - s ( z ) \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } \left( \sum _ { \mu } R _ { \alpha \mu } ^ { ( i ) } H _ { \mu i } R _ { i \beta } ^ { ( \alpha ) } { \texttt A } _ { i \beta } \right) + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) } \\ & { = - s ( z ) \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } \left( \sum _ { \mu : \mu \neq \alpha } R _ { \alpha \mu } ^ { ( i ) } H _ { \mu i } R _ { i \beta } ^ { ( \alpha ) } { \texttt A } _ { i \beta } \right) - s ( z ) \sum _ { \alpha \neq \beta } ( H _ { i \alpha } ) ^ { 2 } R _ { \alpha \alpha } ^ { ( i ) } R _ { i \beta } ^ { ( \alpha ) } { \texttt A } _ { i \beta } + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) . } \end{array}
\mathcal { P } _ { \mathrm { r a d } } = \frac { n _ { \mathrm { i } } I } { c } \cos ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { i } } \left[ 1 + R ( \theta _ { \mathrm { i } } ) - \frac { \tan \theta _ { \mathrm { i } } } { \tan \theta _ { \mathrm { t } } } T ( \theta _ { \mathrm { i } } ) \right] ,
\int [ d \delta { \hat { g } } ] e ^ { - | \delta { \hat { g } } | ^ { 2 } / 2 } \equiv \prod _ { \sigma } \int [ d \delta { \hat { g } } ] _ { \sigma } e ^ { - | \delta { \hat { g } } | _ { \sigma } ^ { 2 } / 2 } = 1 = J _ { M } ( { \cal \phi } , { \hat { g } } ) \int [ d \delta { \cal \phi } ] _ { e ^ { \phi } { \hat { g } } } \int [ d \delta \eta ] _ { \hat { g } } ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { \infty } d l e ^ { - | \delta { \hat { g } } | ^ { 2 } / 2 } \quad ,
k _ { z } \! = \! k _ { + } + \frac { \omega - \omega _ { + } } { \widetilde { v } } \! = \! \frac { 1 } { \beta _ { v } } ( \frac { \omega } { c } - \frac { k _ { \mathrm { o } } ^ { 2 } } { k _ { 1 } } )
\begin{array} { r l r } { g _ { x } } & { { } = } & { g _ { x 0 } \, e ^ { - \nu _ { k e } t } \, , } \\ { g _ { y } } & { { } = } & { g _ { y 0 } \, e ^ { - \nu _ { k e } t } - \frac { q _ { k } E } { m _ { k } \nu _ { k e } } \, \left( 1 - e ^ { - \nu _ { k e } t } \right) } \\ { g _ { z } } & { { } = } & { g _ { z 0 } \, e ^ { - \nu _ { k e } t } + \frac { q _ { k } ^ { 2 } E B } { m _ { k } ^ { 2 } \nu _ { k e } ^ { 2 } } \left( 1 - e ^ { - \nu _ { k e } t } - \nu _ { k e } t \, e ^ { - \nu _ { k e } t } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F ( x ) } & { { } = } & { \int { { p _ { a } } ( x ) d x } } \\ { = } & { { } } & { 2 x + \ln ( { 1 - x } ) - x \ln \left[ { \beta ( { 1 - x } ) ( { 1 + x + \delta x } ) } \right] } \end{array}
\langle S _ { 1 } \rangle = \epsilon _ { 1 } \sim \lambda ^ { 2 } \, \, \, \, \, \, \, \, \mathrm { ~ a n d ~ } \, \, \, \, \, \, \, \, \langle S _ { 2 } \rangle = \epsilon _ { 2 } \sim \lambda ^ { 3 } \, \, \, .
\langle l ^ { \prime } | q ^ { { \frac { 1 } { 2 } } \left( L _ { 0 } ^ { \mathrm { W Z W } } + { \tilde { L } } _ { 0 } ^ { \mathrm { W Z W } } \right) } | l \rangle = \delta _ { l ^ { \prime } l } q ^ { - S _ { l , k } } \chi _ { l } ^ { ( k ) } ( q )
- { \cal A } _ { \alpha } i \Omega = { \cal D } _ { \alpha } { \cal V } \Omega { \cal V } ^ { T } = \left( \begin{array} { l l } { { \langle { \cal D } _ { \alpha } U _ { \beta } , U _ { \gamma } \rangle } } & { { \langle { \cal D } _ { \alpha } U _ { \beta } , \bar { U } ^ { \gamma } \rangle } } \\ { { \langle { \cal D } _ { \alpha } \bar { U } ^ { \beta } , U _ { \gamma } \rangle } } & { { \langle { \cal D } _ { \alpha } \bar { U } ^ { \beta } , \bar { U } ^ { \gamma } \rangle } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \sum _ { s _ { i } \in S _ { 1 } } t _ { s _ { i } } ^ { n } } & { = \sum _ { s _ { i } } \theta _ { X , s _ { i } , 0 } t _ { s _ { i } } ^ { n } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; ( n = 1 , 2 , . . ) , } \\ { \sum _ { s _ { i } \in S _ { 0 } } t _ { s _ { i } } ^ { n } } & { = \sum _ { s _ { i } } ( 1 - \theta _ { X , s _ { i } , 0 } ) t _ { s _ { i } } ^ { n } \; \; \; ( n = 1 , 2 , . . ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { | s | } \overline { { \mathbb { E } } } _ { 0 } [ \tilde { \upphi } _ { k } ] ( \tau ) + \sum _ { k = 0 } ^ { | s | } \int _ { 0 } ^ { \tau } \overline { { \mathbb { E } } } _ { 0 } [ \tilde { \upphi } _ { k } ] ( \tau ^ { \prime } ) d \tau ^ { \prime } } & { \leq B \sum _ { k = 0 } ^ { | s | } \int _ { 0 } ^ { \tau } { \mathbb { E } } _ { 0 } [ \tilde { \upphi } _ { k } ] ( \tau ^ { \prime } ) d \tau ^ { \prime } + B \sum _ { k = 0 } ^ { | s | } \overline { { \mathbb { E } } } _ { 1 } [ \tilde { \upphi } _ { k } ] ( 0 ) } \\ & { \leq B \tau \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq \tau ^ { \prime } \leq \tau } \sum _ { k = 0 } ^ { | s | } \mathbb { E } _ { 0 } [ \tilde { \upphi } _ { k } ] ( \tau ^ { \prime } ) + B \sum _ { k = 0 } ^ { | s | } \overline { { \mathbb { E } } } _ { 1 } [ \tilde { \upphi } _ { k } ] ( 0 ) \, , } \end{array}
p \left( { \frac { S ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } \mid S ^ { 2 } \right) = p \left( { \frac { S ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } \mid \sigma ^ { 2 } \right) = g \left( { \frac { S ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } \right)
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m a x } \quad } & { z } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \sum _ { j \in \delta ^ { + } ( q ) } y _ { i j } ^ { q } \le 1 } & { \forall i \in \delta ^ { - } ( q ) , ~ \forall q \in \bar { V } } \\ & { \sum _ { i \in \delta ^ { - } ( q ) } y _ { i j } ^ { q } \le 1 } & { \forall j \in \delta ^ { + } ( q ) , ~ \forall q \in \bar { V } } \\ & { y _ { i j } ^ { q } \in \{ 0 , 1 \} } & { \forall ( i , j ) \in \delta ^ { - } ( q ) \times \delta ^ { + } ( q ) , ~ \forall q \in \bar { V } , } \end{array}
{ \cal F } _ { \epsilon } ^ { i } ( \vec { x } , t ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int d ^ { 2 } \vec { p } \; \mathrm { e } ^ { i \vec { p } \vec { x } } \, \tilde { \cal F } _ { \epsilon } ^ { i } ( \vec { p } , t ) , \qquad \overline { { { \tilde { \cal F } } } } { } _ { \epsilon } ^ { i } ( \vec { p } , t ) = \tilde { \cal F } _ { \epsilon } ^ { i } ( - \vec { p } , t ) ,
{ \left( \begin{array} { l l l l } { w } & { x } & { y } & { z } \\ { x } & { { \frac { x ^ { 2 } } { w + 1 } } + 1 } & { { \frac { y x } { w + 1 } } } & { { \frac { z x } { w + 1 } } } \\ { y } & { { \frac { x y } { w + 1 } } } & { { \frac { y ^ { 2 } } { w + 1 } } + 1 } & { { \frac { z y } { w + 1 } } } \\ { z } & { { \frac { x z } { w + 1 } } } & { { \frac { y z } { w + 1 } } } & { { \frac { z ^ { 2 } } { w + 1 } } + 1 } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l r } { f ( t ) } & { { } = } & { f ( t - T ) + \varepsilon \left( g ( t ) f ( t ) - \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } f ( t - T ) \right) , } \\ { \frac { \mathrm { d } g ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { { } = } & { I \left( 1 - f ^ { 2 } ( t ) \right) + \mathcal { O } ( \varepsilon ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { E _ { 2 } , \Bar 3 } ( \vec { R } , \vec { r } ) = \, } & { { } \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { B } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 0 } } + \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { A } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 0 } } } \\ { - \, } & { { } \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { C } } \Big ( \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 1 } } + \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 2 } } \Big ) . } \end{array}
( \rho _ { \mathrm { \ u p p e r c a s e \ e x p a n d a f t e r { \ r o m a n n u m e r a l 3 } } } = 1 , P _ { \mathrm { \ u p p e r c a s e \ e x p a n d a f t e r { \ r o m a n n u m e r a l 3 } } } = 0 . 1 )
\begin{array} { l l l } { \displaystyle \| y ( \cdot , T ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { C \left( \| y ^ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } + \| f \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ^ { \star } ) } ^ { 2 } \right) } \\ { \| y \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { C \left( \| y ^ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } + \| f \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ^ { \star } ) } ^ { 2 } \right) } \\ { \| y _ { t } \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ^ { \star } ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { C \left( \| y ^ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } + \| f \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ^ { \star } ) } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathcal { J } _ { W } | } & { = ( 1 \pm \beta ) d _ { a } d _ { b } m ^ { k - 1 } , } \\ { | \mathcal { J } _ { W ^ { \prime } } | } & { = ( 1 \pm \beta ) d _ { a } m ^ { k - 2 } \mathrm { ~ a n d } } \\ { | \mathcal { Q } _ { \mathcal { J } } | } & { = ( 1 \pm \beta ) d _ { a } d _ { b } ^ { k } m ^ { 2 k - 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G = \frac { 1 } { V ^ { \ast } } \Bigg [ } & { { } \frac { \partial ^ { 2 } \bar { F } ( \hat { \varepsilon } _ { S } ( \varepsilon , \gamma ) ; \varepsilon , \gamma ) } { \partial \gamma ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| w _ { h } \| _ { 1 } } & { \lesssim } & { \operatorname* { s u p } _ { v _ { h } \in V _ { h } } \frac { B ( u ; w _ { h } , v _ { h } ) - B \left( \Psi ; w _ { h } , v _ { h } \right) } { \| v _ { h } \| _ { 1 } } + \operatorname* { s u p } _ { v _ { h } \in V _ { h } } \frac { B \left( \Psi ; w _ { h } , v _ { h } \right) } { \| v _ { h } \| _ { 1 } } } \\ & { \lesssim } & { \| u - \Psi \| _ { 1 , \infty } \| w _ { h } \| _ { 1 } + \operatorname* { s u p } _ { v _ { h } \in V _ { h } } \frac { B \left( \Psi ; w _ { h } , v _ { h } \right) } { \| v _ { h } \| _ { 1 } } } \\ & { \lesssim } & { H \| w _ { h } \| _ { 1 } + \operatorname* { s u p } _ { v _ { h } \in V _ { h } } \frac { B \left( \Psi ; w _ { h } , v _ { h } \right) } { \| v _ { h } \| _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 3 } } ^ { \quad 1 } \left( n \right) } & { = \frac { 2 } { \mathcal { \ell } ^ { 2 } } \left( A _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 3 } } B _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } - A _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 1 } } B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } + B _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 3 } } ^ { 2 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 1 } } ^ { 3 } \left( n \right) - B _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 1 } } ^ { 2 } \left( n \right) \right) } \\ { R _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 3 } } ^ { \quad 2 } \left( n \right) } & { = \frac { 2 } { \mathcal { \ell } ^ { 2 } } \left( A _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 3 } } B _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 3 } } ^ { 2 } - A _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 1 } } B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 1 } } ^ { 2 } + B _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } \left( n \right) - B _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 1 } } ^ { 3 } \left( n \right) \right) } \\ { R _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 3 } } ^ { \quad 3 } \left( n \right) } & { = \frac { 2 } { \mathcal { \ell } ^ { 2 } } \left( A _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 3 } } B _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } - A _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 1 } } B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 1 } } ^ { 3 } + B _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 1 } } ^ { 2 } \left( n \right) - B _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 3 } } ^ { 2 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } \left( n \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \hat { X } _ { b } \rangle _ { \mathrm { F } } } & { { } = } & { \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \sum _ { c } \left( 1 - \hat { F } _ { a } \frac { \theta } { N } \right) _ { b c } ^ { N } \langle \hat { X } _ { c } \rangle _ { \mathrm { I } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 3 } = } & { \langle u ^ { d } \cdot \nabla \phi _ { 1 } + u _ { 2 } \cdot \nabla \phi ^ { d } + \gamma \lambda [ f ^ { \prime } ( \phi _ { 1 } ) - f ^ { \prime } ( \phi _ { 2 } ) ] , \Delta \phi ^ { d } \rangle } \\ & { + \frac { \gamma } { 2 } \langle [ \rho ^ { \prime } ( \phi _ { 1 } ) - \rho ^ { \prime } ( \phi _ { 2 } ) ] | u _ { 1 } | ^ { 2 } + \rho ^ { \prime } ( \phi _ { 2 } ) ( u _ { 1 } + u _ { 2 } ) \cdot u ^ { d } , \Delta \phi ^ { d } \rangle \, . } \end{array}
\vec { F } _ { \mathrm { N , i j } } = 4 F _ { \mathrm { C } } \left[ \left( \frac { r } { r _ { \mathrm { 0 } } } \right) ^ { 3 } - \left( \frac { r } { r _ { \mathrm { 0 } } } \right) ^ { 3 / 2 } \right] \vec { n } _ { \mathrm { c } }
\begin{array} { r l } { m \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } \frac { \mathrm { d } C ^ { v v } ( t ^ { \prime } ) } { \mathrm { d } t ^ { \prime } } } & { { } = - \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } \mathrm { d } s \, \Gamma ( s ) C ^ { v v } ( t ^ { \prime } - s ) } \\ { m [ C ^ { v v } ( t ) - C ^ { v v } ( 0 ) ] } & { { } = - \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } \mathrm { d } s \, \Gamma ( t ^ { \prime } - s ) C ^ { v v } ( s ) } \\ { m [ C ^ { v v } ( t ) - C ^ { v v } ( 0 ) ] } & { { } = - \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } s \, K ( s ) C ^ { v v } ( t - s ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h \left( E \times X \right) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \log \left| \mathcal { P } \left( \Delta _ { n } ^ { \mathcal { G } } , E \times X \right) \right| } { \left| \Delta _ { n } ^ { \mathcal { G } } \right| } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \log \left| \mathcal { P } ( \mathbb { Z } _ { 1 } , X ) \right| ^ { a _ { n } } \left| \mathcal { P } \left( \mathbb { Z } _ { 2 } , X \right) \right| ^ { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n + 1 } a _ { i } - a _ { n } } { 2 } } } { a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { n + 1 } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { a _ { n } \log \left| \mathcal { P } ( \mathbb { Z } _ { 1 } , X ) \right| + \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n + 1 } a _ { i } - a _ { n } \right) \log \left| \mathcal { P } \left( \mathbb { Z } _ { 2 } , X \right) \right| } { a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { n + 1 } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { a _ { n } \log \left| \mathcal { P } ( \mathbb { Z } _ { 1 } , X ) \right| + \frac { 1 } { 2 } \left( a _ { n + 3 } - 2 - a _ { n } \right) \log \left| \mathcal { P } \left( \mathbb { Z } _ { 2 } , X \right) \right| } { a _ { n + 3 } - 2 } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { a _ { n } \log \left| \mathcal { P } ( \mathbb { Z } _ { 1 } , X ) \right| + \left( a _ { n + 1 } - 1 \right) \log \left| \mathcal { P } \left( \mathbb { Z } _ { 2 } , X \right) \right| } { a _ { n + 3 } - 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { \rho ^ { 3 } } \log \left| \mathcal { P } ( \mathbb { Z } _ { 1 } , X ) \right| + \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \log \left| \mathcal { P } \left( \mathbb { Z } _ { 2 } , X \right) \right| , } \end{array}
\mathrm { d e t } \left( 1 \! \! 1 \, \pm \, \hat { F } \right) = 1 \, - \, \frac { 1 } { 2 } T r ( \hat { F } ^ { 2 } ) \, + \, \frac { 1 } { 8 } \left[ T r ( \hat { F } ^ { 2 } ) \right] ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \, T r ( \hat { F } ^ { 4 } ) \, + \mathrm { d e t } \, ( \hat { F } )
\begin{array} { r l } { \vert D ^ { ( q _ { 1 } , \nu _ { 2 } , \nu _ { 3 } , q _ { 4 } ) } \underline { R } \vert } & { \le K _ { 0 } \sum _ { p _ { s } ( ( q _ { 1 } , \nu _ { 2 } , \nu _ { 3 } , q _ { 4 } ) , \mathbf \lambda ) } \prod _ { j = 1 } ^ { s } \vert \underline { H } _ { l _ { j } } \vert ^ { k _ { j , 1 } } \vert \underline { \phi } _ { l _ { j } } \vert ^ { k _ { j , 2 } } \vert \underline { x } _ { l _ { j } } \vert ^ { k _ { j , 3 } } } \\ & { \le K _ { 0 } \sum _ { p _ { s } ( ( q _ { 1 } , \nu _ { 2 } , \nu _ { 3 } , q _ { 4 } ) , \mathbf \lambda ) } \prod _ { j = 1 } ^ { s } C _ { M } ^ { \vert k _ { j } \vert } \vert \underline { x } \vert ^ { - k _ { j , 2 } ( 1 + l _ { j , 1 } + l _ { j , 4 } ) } } \\ & { \le K _ { 0 } C _ { M } ^ { M } \vert \underline { x } \vert ^ { - q _ { 1 } - q _ { 4 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \beta _ { s } = \sum _ { q = 1 } ^ { n } \int _ { V _ { i } ^ { \prime } } \left[ \mathcal { D } ^ { q } \left( \boldsymbol { N } ^ { T } \boldsymbol { b } ^ { \prime } \right) \right] ^ { 2 } d \xi d \eta = \sum _ { q = 1 } ^ { n } \int _ { V _ { i } ^ { \prime } } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } b _ { ( i ) } ^ { \prime } b _ { ( j ) } ^ { \prime } \left( \mathcal { D } ^ { q } N _ { ( i ) } \right) \left( \mathcal { D } ^ { q } N _ { ( j ) } \right) d \xi d \eta } \\ { = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } b _ { ( i ) } ^ { \prime } b _ { ( j ) } ^ { \prime } \left( \sum _ { q = 1 } ^ { n } \int _ { V _ { i } ^ { \prime } } \left( \mathcal { D } ^ { q } N _ { ( i ) } \right) \left( \mathcal { D } ^ { q } N _ { ( j ) } \right) d \xi d \eta \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { { \bf k } , s , \sigma } ^ { \dagger } = \frac { 1 } { \sqrt { N _ { z } } } \sum _ { j _ { z } = 1 } ^ { N _ { z } } e ^ { i k _ { z } j _ { z } a _ { z } } c _ { k _ { x } , k _ { y } , j _ { z } , s , \sigma } ^ { \dagger } , ~ ~ ~ ~ c _ { { \bf k } , s , \sigma } ^ { } = \frac { 1 } { \sqrt { N _ { z } } } \sum _ { j _ { z } = 1 } ^ { N _ { z } } e ^ { - i k _ { z } j _ { z } a _ { z } } c _ { k _ { x } , k _ { y } , j _ { z } , s , \sigma } ^ { } , } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathrm { Y } } = - \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { H } } \left[ \bar { \ell } _ { R } \left( \begin{array} { c c } { { \varphi _ { j } ^ { - } , } } & { { { \varphi _ { j } ^ { 0 } } ^ { \ast } } } \end{array} \right) \Gamma _ { j } + \bar { \nu } _ { R } \left( \begin{array} { c c } { { \varphi _ { j } ^ { 0 } , } } & { { - \varphi _ { j } ^ { + } } } \end{array} \right) \Delta _ { j } \right] \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { L } } } \\ { { \ell _ { L } } } \end{array} \right) + \mathrm { h . c . }
\langle \alpha _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } ( t ) | \hat { \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \cdot \hat { \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) | \alpha _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } ( t ) \rangle = \frac { \hbar \omega _ { k } } { 2 \epsilon _ { 0 } \Omega } \left[ 1 + 4 | \alpha _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } ( 0 ) | ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \omega _ { k } t - \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \phi _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } ) \right]