harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \chi _ { m a } } & { { } \equiv \frac { Z _ { m a } ^ { \mathrm { R P A } } } { \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { m } + \omega } \, , } \\ { \eta _ { m a } ^ { * } } & { { } \equiv \frac { Z _ { a m } ^ { \mathrm { R P A } } } { \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { m } - \omega } \, , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { T _ { c } } } & { { = } } & { { \displaystyle + [ 3 D _ { m } ( k _ { 1 } ) D _ { m } ( k _ { 2 } ) + D ( k _ { 1 } ) D ( k _ { 2 } ) ] D _ { m } ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) ( 1 + K _ { 1 2 } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + 4 ( N - 1 ) D ( k _ { 1 } ) D ( k _ { 2 } ) D _ { m } ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) . } } \end{array}
u ( x , y , z ) = { \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } - 2 x + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } + 1 } } } { \mathrm { ~ a n d ~ } } u ( x , y , z ) = 2 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } - z ^ { 2 }
\begin{array} { r l r l r l } & { c _ { 1 2 3 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = b _ { 0 0 } ^ { p } \boldsymbol { \vartheta } _ { 3 } ^ { I } \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = b _ { 0 p } ^ { p } \boldsymbol { \vartheta } _ { 2 } ^ { I } \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = b _ { 0 j } ^ { p } ( \boldsymbol { \vartheta } _ { 3 } ^ { I } - \boldsymbol { \vartheta } _ { 2 } ^ { I } ) \, , } & & { 0 < j < p \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = b _ { i 0 } ^ { p } ( \boldsymbol { \vartheta } _ { 1 } ^ { I } + \boldsymbol { \vartheta } _ { 3 } ^ { I } ) \, , } & & { 0 < i < p \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = b _ { i , p - i } ^ { p } ( \boldsymbol { \vartheta } _ { 1 } ^ { I } - \boldsymbol { \vartheta } _ { 2 } ^ { I } ) \, , } & & { 0 < i < p \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = b _ { i j } ^ { p } ( \boldsymbol { \vartheta } _ { 1 } ^ { I } - \boldsymbol { \vartheta } _ { 2 } ^ { I } + \boldsymbol { \vartheta } _ { 3 } ^ { I } ) \, , } & & { 0 < i < p \, , \quad 0 < j < p - i \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = \nabla _ { \xi } b _ { i j } ^ { p + 1 } \, , } & & { 0 < i < p + 1 \, , \quad 0 < j < p + 1 - i \, , } \end{array}
S _ { \mathrm R } = { \frac { E ( \sigma { _ \phi } ^ { 2 } ) _ { \mathrm R } } { E ( \sigma { _ { \mathrm P } } ^ { 2 } ) _ { \mathrm R } } } = { \frac { N ( N + 3 ) } { 1 5 ( N + 1 ) } }
S _ { F } ^ { f } = \frac { 5 W _ { m i n } ^ { 2 } \tau _ { \eta } } { 8 \nu \ln { ( 2 \kappa ) } } = \frac { 5 } { 8 \ln { ( 2 \kappa ) } } \left( \frac { W _ { m i n } } { u _ { \eta } } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { \dot { x } _ { 1 d } } \\ { \dot { x } _ { 2 d } } \end{array} \right] } & { = \left( J _ { n } - R _ { n } \right) \left[ \begin{array} { l } { Q _ { 1 } x _ { 1 d } } \\ { Q _ { 2 } x _ { 2 d } } \end{array} \right] + B _ { b } u _ { b } + \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { B _ { 0 d } } \end{array} \right] \mathbf { u } _ { d } , } \\ { y _ { b } } & { = B _ { b } ^ { T } \left[ \begin{array} { l } { Q _ { 1 } x _ { 1 d } } \\ { Q _ { 2 } x _ { 2 d } } \end{array} \right] + D _ { b } u _ { b } , } \\ { \mathbf { y } _ { d } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { B _ { 0 d } ^ { T } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { Q _ { 1 } x _ { 1 d } } \\ { Q _ { 2 } x _ { 2 d } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \phi _ { k , \beta } \| _ { \infty } } & { \leq \| e ^ { i \beta k f } \| _ { \infty } \| 1 - e ^ { i \beta f } \| _ { \infty } \| g \| _ { \infty } \leq \beta \| f \| _ { \infty } \| g \| _ { \infty } , } \\ { | \phi _ { k , \beta } | _ { \mathcal { C } ^ { \epsilon } } } & { \leq | e ^ { i \beta k f } | _ { \mathcal { C } ^ { \epsilon } } \| 1 - e ^ { i \beta f } \| _ { \infty } \| g \| _ { \infty } + \| e ^ { i \beta k f } \| _ { \infty } | 1 - e ^ { i \beta f } | _ { \mathcal { C } ^ { \epsilon } } \| g \| _ { \infty } + \| e ^ { i \beta k f } \| _ { \infty } \| 1 - e ^ { i \beta f } \| _ { \infty } | g | _ { \mathcal { C } ^ { \epsilon } } } \\ & { \leq k \beta ^ { 2 } | f | _ { \mathcal { C } ^ { \epsilon } } \| f \| _ { \infty } \| g \| _ { \infty } + \beta | f | _ { \mathcal { C } ^ { \epsilon } } \| g \| _ { \infty } + \beta \| f \| _ { \infty } | g | _ { \mathcal { C } ^ { \epsilon } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { i \frac { \partial } { \partial s } \hat { U } _ { j } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } \hat { U } _ { j } + 2 \left( \sum _ { l = 1 , 2 } \hat { U } _ { l } ^ { \dag } \hat { { U } } _ { l } \right) \hat { U } _ { j } = R _ { j } ( \hat { U } _ { 1 } , \hat { U } _ { 2 } ) , } \end{array}
\boldsymbol { v } _ { 0 } ( \boldsymbol { r } , t ) \simeq \underbrace { \omega _ { x } ( t ) \boldsymbol { e } _ { x } + \omega _ { y } ( t ) \boldsymbol { e } _ { y } + \omega _ { z } ( t ) \boldsymbol { e } _ { z } } _ { \boldsymbol { U } ( \boldsymbol { r } , t ) } + E ^ { 1 / 2 } \widetilde { \boldsymbol { U } } ( \boldsymbol { r } , t )
\begin{array} { r } { L _ { \mathbf { k } } ( \omega ) = - \omega ^ { 2 } \left[ 1 + \sum _ { \zeta } \frac { \tilde { c } _ { \mathbf { k } , \zeta } ^ { 2 } } { \tilde { \omega } _ { \mathbf { k } , \zeta } ^ { 2 } ( - \omega ^ { 2 } + \tilde { \omega } _ { \mathbf { k } , \zeta } ^ { 2 } ) } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { 1 } } & { { } = } & { - 2 u ^ { 2 } \mathrm { I n t K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) \left\{ ( { \bf S } _ { i } \cdot \hat { \bf a } ) { \bf S } _ { f } \cdot \left[ \hat { \bf n } \times \hat { \bf a } \right] + ( { \bf S } _ { f } \cdot \hat { \bf a } ) { \bf S } _ { i } \cdot \left[ \hat { \bf n } \times \hat { \bf a } \right] \right\} + } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { u _ { H } } ^ { n } ( \mu ) = \frac { u _ { H } ^ { m - 2 } ( \mu ) } { ( \widetilde { t } ^ { m } - \widetilde { t } ^ { m - 2 } ) ( \widetilde { t } ^ { m - 2 } - \widetilde { t } ^ { m - 1 } ) } \big [ - ( t ^ { n } ) ^ { 2 } + ( \widetilde { t } ^ { m - 1 } + \widetilde { t } ^ { m } ) t ^ { n } - t ^ { m - 1 } t ^ { m } \big ] } \\ { + \frac { u _ { H } ^ { m - 1 } ( \mu ) } { ( \widetilde { t } ^ { m - 2 } - \widetilde { t } ^ { m - 1 } ) ( \widetilde { t } ^ { m - 1 } - \widetilde { t } ^ { m } ) } \big [ - ( t ^ { n } ) ^ { 2 } + ( \widetilde { t } ^ { m } + \widetilde { t } ^ { m - 2 } ) t ^ { n } - t ^ { m } t ^ { m - 2 } \big ] } \\ { + \frac { u _ { H } ^ { m } ( \mu ) } { ( \widetilde { t } ^ { m - 1 } - \widetilde { t } ^ { m } ) ( \widetilde { t } ^ { m } - \widetilde { t } ^ { m - 2 } ) } \big [ - ( t ^ { n } ) ^ { 2 } + ( \widetilde { t } ^ { m - 2 } + \widetilde { t } ^ { m - 1 } ) t ^ { n } - t ^ { m - 2 } t ^ { m - 1 } \big ] . } \end{array}
\prod _ { ( e m ; f n ) \neq ( e ^ { \prime } m ^ { \prime } ; f ^ { \prime } n ^ { \prime } ) } \left( \frac { \chi _ { e m ; f n } < r ( e m ) , \mathcal M > < r ( f n ) , \mathcal M > } { \chi _ { e ^ { \prime } m ^ { \prime } ; f ^ { \prime } n ^ { \prime } } < r ( e ^ { \prime } m ^ { \prime } ) , \mathcal M > < r ( f ^ { \prime } n ^ { \prime } ) , \mathcal M > } + \mu \right)
\begin{array} { r l } { W _ { 0 } ^ { \varepsilon } ( x ) } & { = \omega _ { 0 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) - \theta _ { + } ( \tau ^ { + } , 0 ) \phi ( n ^ { + } / \varepsilon ) 1 _ { \{ \arg x \in [ \alpha , \alpha + \frac { \pi } { 2 } ] \} } } \\ & { - \theta _ { - } ( \tau ^ { - } , 0 ) \phi ( n ^ { - } / \varepsilon ) 1 _ { \{ \arg x \in [ \frac { 3 \pi } { 2 } - \alpha , 2 \pi - \alpha ] \} } } \\ & { - \theta ( 0 ) \phi ( | x | / \varepsilon ) 1 _ { \{ \arg x \in ( \alpha + \frac { \pi } { 2 } , \frac { 3 \pi } { 2 } - \alpha ) \} } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \Gamma _ { 0 } \sin ( \varphi | z _ { 2 } - z _ { 1 } | / d ) } , } \\ { w } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \Gamma _ { 0 } \sin ( \varphi | z _ { 3 } - z _ { 2 } | / d | ) } , } \\ { C } & { = } & { - \frac { 1 } { 2 \Gamma _ { 0 } } \left[ \cot ( \varphi | z _ { 2 } - z _ { 1 } | / d ) + \cot ( \varphi | z _ { 3 } - z _ { 2 } | / d ) \right] , } \\ { D } & { = } & { \frac { i } { 2 \Gamma _ { 0 } } - \frac { 1 } { 2 \Gamma _ { 0 } } \cot ( \varphi | z _ { 2 } - z _ { 1 } | / d ) . } \end{array}
P = - { \frac { \partial E _ { \mathrm { { T } } } } { \partial V } } = { \frac { 2 } { 5 } } { \frac { N } { V } } E _ { \mathrm { F } } = { \frac { ( 3 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 / 3 } \hbar ^ { 2 } } { 5 m } } \left( { \frac { N } { V } } \right) ^ { 5 / 3 } ,
M _ { L } ^ { 2 } = - c _ { L } + 1 / 8 \, \alpha _ { L } \cdot \alpha _ { L } + \sum _ { L - m o v . } ( \mathrm { f r e q u e n c i e s } ) = - c _ { R } + 1 / 8 \, \alpha _ { R } \cdot \alpha _ { R } + \sum _ { R - m o v . } ( \mathrm { f r e q . } ) = M _ { R } ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { u _ { 1 } ^ { \mathcal { C } } \left[ r , \tau \right] } & { { } : = r \left( \cos \circ ~ \Omega \left[ \tau \right] - 1 \right) - \sin \circ ~ \Omega \left[ \tau \right] U _ { 2 } ^ { \mathcal { C } } \left[ r , \tau \right] , } \\ { u _ { 2 } ^ { \mathcal { C } } \left[ r , \tau \right] } & { { } : = r \sin \circ ~ \Omega \left[ \tau \right] + \cos \circ ~ \Omega \left[ \tau \right] U _ { 2 } ^ { \mathcal { C } } \left[ r , \tau \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { E ^ { - } ( t ) = \sum _ { p } \mathcal { E } _ { L } ( t - \tau _ { p } ) e ^ { - \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } \omega _ { L } ( t - \tau _ { p } ) + \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } \phi _ { p } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { c } { P _ { * } } \\ { E _ { * } } \end{array} \right] \mid { \mathbf { X } } , { \mathbf { X } } _ { * } , P , E \sim G P \left( \left[ \begin{array} { c } { \mu _ { P } \left( \mathbf { X } _ { * } \right) } \\ { \mu _ { E } \left( \mathbf { X } _ { * } \right) } \end{array} \right] + \mathbf { K } _ { 2 1 } \left( \mathbf { K } _ { 1 1 } \right) ^ { - 1 } \bigg ( \left[ \begin{array} { c } { P } \\ { E } \end{array} \right] - \left[ \begin{array} { c } { \mu _ { P } \left( \mathbf { X } \right) } \\ { \mu _ { E } \left( \mathbf { X } \right) } \end{array} \right] \bigg ) , \ \mathbf { K } _ { 2 2 } - \mathbf { K } _ { 2 1 } \left( \mathbf { K } _ { 1 1 } \right) ^ { - 1 } \mathbf { K } _ { 1 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu ^ { \prime } } & { = - \frac 1 2 \nu , } \\ { \mu _ { 2 } ^ { \prime } } & { = - \mu _ { 2 } l _ { 2 2 2 } \left( 2 \delta + \nu ^ { 6 } l _ { 2 2 2 } - \nu ^ { 1 2 } l _ { 2 2 2 } ^ { 3 } \mu _ { 2 } ^ { 2 } \right) , } \\ { l _ { 2 2 2 } ^ { \prime } } & { = l _ { 2 2 2 } \left( 1 + \delta l _ { 2 2 2 } + \nu ^ { 6 } l _ { 2 2 2 } ^ { 2 } - \nu ^ { 1 2 } l _ { 2 2 2 } ^ { 4 } \mu _ { 2 } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\tilde { { \mathbf { c } } } _ { t t ^ { \prime } } = \left[ \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } r _ { z } ( \tilde { Q } _ { t , t ^ { \prime } + 1 , z } ( \tilde { \omega } ^ { i } ) - \tilde { Q } _ { t t ^ { \prime } z } ^ { x } ( \tilde { \omega } ^ { i } ) ) \right] _ { z \in { \cal Z } } - c ^ { f a i l } \mathbb { I } _ { t t ^ { \prime } }
S = { \frac { 1 } { 2 } } ( { \frac { 1 } { 6 } } + | \xi | ) r _ { + } ^ { 2 } \sum _ { i = 0 } ^ { 5 } \Delta _ { i } M _ { i } ^ { 2 } \ln M _ { i } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 4 5 } } { \frac { 1 } { 8 } } r _ { + } ^ { 2 } C \sum _ { i = 0 } ^ { 5 } \Delta _ { i } \ln M _ { i } ^ { 2 } ~ ~ .
t ^ { 2 } - \left( \frac { 4 } { 3 } u _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 5 } { 3 } u _ { 2 } ^ { 2 } \right) t + \frac { 1 } { 3 } u _ { 1 } ^ { 4 } + \frac { 1 } { 3 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } u _ { 2 } ^ { 4 } + 2 = 0 \, ,
\begin{array} { r } { g _ { u v } ^ { i } ( r ) = \frac { 1 } { 4 \pi \rho r ^ { 2 } } \sum _ { j } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \delta ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { ( r - r _ { i j } ) ^ { 2 } } { 2 \delta ^ { 2 } } } , } \end{array}
\Pi _ { 0 0 } ^ { \Sigma } = { \frac { 4 \alpha } { \beta } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int { \frac { d | { \bf l } | } { ( 2 \pi ) } } \left[ | { \bf l } | S _ { 1 } ^ { \Sigma } + ( | { \bf l } | ^ { 2 } + \Sigma ^ { 2 } ) { \frac { \partial S _ { 1 } ^ { \Sigma } } { \partial | { \bf l } | } } + { \frac { p _ { 0 } ^ { 2 } } { p } } { \frac { \partial S _ { 1 } ^ { \Sigma } } { \partial p } } | { \bf l } | - ( 1 - 2 x ) { \frac { \beta p _ { 0 b } } { 2 } } { \frac { \partial S _ { 1 } } { \partial \omega } } \right]
\hat { h } _ { v } ^ { - 1 } \frac { \sinh m x } { \cosh ^ { 2 s _ { 0 } + 2 } m x } = \int \frac { d k } { k ^ { 2 } + m ^ { 2 } } \mid \varphi _ { k } > < \varphi _ { k } \mid \frac { \sinh m x } { \cosh ^ { 2 s _ { 0 } + 2 } m x } >
\begin{array} { r } { \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g _ { \epsilon , R , \delta } ( a , v , t ) \varphi ( a , v ) \textup { d } v \textup { d } a = \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } \textup { e } ^ { h _ { \epsilon } ( V , t ) } G _ { \epsilon , R , \delta } ( A , V , t ) \varphi ( \phi _ { t } ( A , V ) ) \textup { d } V \textup { d } A , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \mathcal { L } _ { k + 1 } ^ { v } } & { \leq \mathbb { E } \mathcal { L } _ { k } ^ { v } - \frac { \eta } { 4 } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \nabla f ( \bar { x } _ { k } ) \right\Vert ^ { 2 } \right] + \frac { L \eta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 2 n } + \frac { 4 2 L ^ { 2 } \eta ^ { 3 } \sigma ^ { 2 } } { 1 - \tilde { \lambda } _ { 2 } } . } \end{array}
\left( \ensuremath { \frac { \partial n _ { s } } { \partial t } } \right) _ { \mathrm { E n d L o s s e s } } = - \left( \frac { 2 n _ { s } \Sigma } { \sqrt { \pi } } \right) \nu _ { s } \frac { 1 } { \ln \left( R _ { \mathrm { m i r r o r } } \Sigma \right) } \frac { \exp \left( - \Xi _ { s } / T _ { s } \right) } { \Xi _ { s } / T _ { s } } ,
{ \begin{array} { r l } { c ^ { 2 } d \tau ^ { 2 } = } & { \left( 1 - { \frac { r _ { s } r } { \rho ^ { 2 } } } \right) c ^ { 2 } d t ^ { 2 } - { \frac { \rho ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } } d r ^ { 2 } - \rho ^ { 2 } d \theta ^ { 2 } } \\ & { - \left( r ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } + { \frac { r _ { s } r \alpha ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } } \sin ^ { 2 } \theta \right) \sin ^ { 2 } \theta \ d \phi ^ { 2 } + { \frac { 2 r _ { s } r \alpha c \sin ^ { 2 } \theta } { \rho ^ { 2 } } } d \phi d t } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { T _ { 1 / 2 } ^ { \mathrm { m a x } } } & { { } = } & { \frac { \ln 2 } { \lambda ^ { \mathrm { m a x } } } = \frac { \ln 2 \times N _ { \mathrm { A } } } { L _ { \mathrm { D } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { H } _ { 3 } ( f ) = \frac { \alpha } { 1 6 } \int f ^ { 2 } \Lambda ^ { \alpha - 1 } f d \theta - \frac { \alpha } { 4 8 } T _ { \alpha } \int f ^ { 3 } d \theta } \\ & { \mathcal { H } _ { 4 } ( f ) = - \frac { \alpha ( \alpha + 4 ) } { 1 9 2 } \int f ^ { 3 } \Lambda ^ { \alpha - 1 } f d \theta - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 5 6 } \int f ^ { 2 } \Lambda ^ { \alpha - 1 } ( f ^ { 2 } ) d \theta + \frac { \alpha } { 3 8 4 } \int M _ { 4 } ( f ) d \theta + \frac { \alpha } { 3 8 4 } ( 2 + \alpha ) T _ { \alpha } \int f ( \theta ) ^ { 4 } d \theta , } \end{array}
\begin{array} { r } { M = \left[ \begin{array} { l l l } { A _ { 1 , 1 } } & { A _ { 1 , 2 } } & { A _ { 1 , 3 } } \\ { A _ { 2 , 1 } } & { A _ { 2 , 2 } } & { A _ { 2 , 3 } } \\ { A _ { 3 , 1 } } & { A _ { 3 , 2 } } & { A _ { 3 , 3 } } \\ { A _ { 1 , 1 } - A _ { 2 , 1 } } & { A _ { 1 , 2 } - A _ { 2 , 2 } } & { A _ { 1 , 3 } - A _ { 2 , 3 } } \\ { A _ { 1 , 1 } - A _ { 3 , 1 } } & { A _ { 1 , 2 } - A _ { 3 , 2 } } & { A _ { 1 , 3 } - A _ { 3 , 3 } } \\ { A _ { 2 , 1 } - A _ { 3 , 1 } } & { A _ { 2 , 2 } - A _ { 3 , 2 } } & { A _ { 2 , 3 } - A _ { 3 , 3 } } \\ { A _ { 1 , 1 } + A _ { 2 , 1 } } & { A _ { 1 , 2 } + A _ { 2 , 2 } } & { A _ { 1 , 3 } + A _ { 2 , 3 } } \\ { A _ { 1 , 1 } + A _ { 3 , 1 } } & { A _ { 1 , 2 } + A _ { 3 , 2 } } & { A _ { 1 , 3 } + A _ { 3 , 3 } } \\ { A _ { 2 , 1 } + A _ { 3 , 1 } } & { A _ { 2 , 2 } + A _ { 3 , 2 } } & { A _ { 2 , 3 } + A _ { 3 , 3 } } \end{array} \right] \in \mathbb { R } ^ { 9 \times 3 } } \end{array}
k \left( a ( q ^ { 2 } ) , { \tilde { u } } _ { i } \right) = a ( p _ { i } ^ { 2 } ) / a ( q ^ { 2 } ) \qquad \mathrm { w h e r e : ~ } \ \ln ( p _ { i } ^ { 2 } / q ^ { 2 } ) = { \tilde { u } } _ { i } ( q ^ { 2 } ) \ .
- \epsilon ^ { \prime } < \operatorname* { i n f } _ { \tilde { \mu } \in \mathfrak { M } ( { L ^ { 0 } } ) } \int _ { T M } \frac { \partial L } { \partial u } ( x , v , 0 ) \, \mathrm { d } \tilde { \mu } \leq \operatorname* { s u p } _ { \tilde { \mu } \in \mathfrak { M } ( { L ^ { 0 } } ) } \int _ { T M } \frac { \partial L } { \partial u } ( x , v , 0 ) \, \mathrm { d } \tilde { \mu } < - \epsilon .
\phi ( \rho ) = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \phi ^ { ( 1 ) } ( \rho ) } } & { { i n r e g i o n 1 } } \\ { { \bar { \phi } ^ { ( 1 ) } ( \rho ) } } & { { i n r e g i o n 1 ^ { * } } } \\ { { ( - 1 ) ^ { - d _ { \phi } } \, \phi ^ { ( 2 ) } ( - \rho ) } } & { { i n r e g i o n 2 } } \\ { { ( - 1 ) ^ { - d _ { \phi } } \, \bar { \phi } ^ { ( 2 ) } ( - \rho ) } } & { { i n r e g i o n 2 ^ { * } . } } \end{array} \right. \right.
J _ { f w } = \frac { \operatorname* { m i n } \left( \Delta \lambda , \lambda _ { g } ^ { A C C } - \lambda _ { g } ^ { D O N } \right) + \Delta \lambda } { 2 } \left( \lambda _ { g } ^ { D O N } F ( \lambda _ { g } ^ { D O N } ) + \lambda _ { g } ^ { A C C } F ( \lambda _ { g } ^ { A C C } ) \right) \, .
\Theta _ { \; \nu } ^ { \mu } ( x ) = \frac { \partial { \cal L } ( x ) } { \partial ( \partial _ { \mu } \alpha ) } \partial _ { \nu } \alpha + \frac { \partial { \cal L } ( x ) } { \partial ( \partial _ { \mu } n _ { k } ) } \partial _ { \nu } n _ { k } - { \cal L } ( x ) \, \delta _ { \nu } ^ { \mu }
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { G } ^ { \tt E } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { - k r _ { g } \Big ( \ln \Big [ \frac { r + ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { r _ { 0 } + ( \vec { k } \cdot \vec { r } _ { 0 } ) } \Big ] + \sum _ { \ell = 2 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { \ell } } { \ell ! } { \cal T } ^ { < a _ { 1 } . . . a _ { \ell } > } { \cal I } _ { a _ { 1 } . . . a _ { \ell } } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) \Big ) + { \cal O } ( r _ { g } ^ { 2 } ) . } \end{array}
0 = { \frac { d } { d t } } { \Bigl ( } \langle m ( t ) | m ( t ) \rangle { \Bigr ) } = \langle { \dot { m } } ( t ) | m ( t ) \rangle + \langle m ( t ) ) | { \dot { m } } ( t ) \rangle = \langle m ( t ) ) | { \dot { m } } ( t ) \rangle ^ { * } + \langle m ( t ) ) | { \dot { m } } ( t ) \rangle = 2 \, \operatorname { R e } { \Bigl ( } \langle m ( t ) ) | { \dot { m } } ( t ) \rangle { \Bigr ) } .
\chi _ { 1 } ^ { m } \to g ^ { m \bar { n } } \frac { \partial } { \partial ( d \bar { z } ^ { \bar { n } } ) } , \quad \chi _ { 2 } ^ { m } \to d z ^ { m } , \quad \bar { \chi } ^ { \bar { m } , 1 } \to d \bar { z } ^ { \bar { n } } , \quad \bar { \chi } ^ { \bar { m } , 2 } \to g ^ { n \bar { m } } \frac { \partial } { \partial ( d z ^ { n } ) }
\begin{array} { r l } { Q _ { 1 } ^ { M \prime } = } & { \exp \left( - \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } N \tau \right) \left( 1 - \exp \left( - \left( \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } + \mathrm { i } \delta \right) \tau _ { 1 } \right) \right) } \\ & { \times \exp \left( - \mathrm { i } \delta N \left( T + \tau \right) \right) \exp \left( - \mathrm { i } \Delta \delta \Delta t + \mathrm { i } \Delta \Phi \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { N S } } = - 6 \pi \hat { \eta } ^ { \mathrm { e } } a \bigg ( \mathbf { I } + \frac { \hat { \lambda } } { 4 } \boldsymbol { \epsilon } \cdot \mathbf { e } _ { z } \bigg ) \cdot \hat { \mathbf { V } } = 4 \pi a ^ { 2 } \hat { \mathbf { f } } _ { \mathrm { N S } } . } \end{array}
\overset \leftrightarrow { \mathbf { R } } = \left( \begin{array} { l l l } { \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( \Theta ) + u _ { x } ^ { 2 } g ( \Theta ) } & { u _ { x } u _ { y } g ( \Theta ) - u _ { z } \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \Theta ) } & { u _ { x } u _ { z } g ( \Theta ) + u _ { y } \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \Theta ) } \\ { u _ { y } u _ { x } g ( \Theta ) + u _ { z } \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \Theta ) } & { \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( \Theta ) + u _ { y } ^ { 2 } g ( \Theta ) } & { u _ { y } u _ { z } g ( \Theta ) - u _ { x } \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \Theta ) } \\ { u _ { z } u _ { x } g ( \Theta ) - u _ { y } \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \Theta ) } & { u _ { z } u _ { y } g ( \Theta ) + u _ { x } \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \Theta ) } & { \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( \Theta ) + u _ { z } ^ { 2 } g ( \Theta ) } \end{array} \right)
N _ { a d s } \dot { \theta } _ { a d s } - ( \nu _ { V a } - \nu _ { V a } ^ { \prime } ) + \nu _ { H a } + 2 \nu _ { T } + ( \nu _ { A } - \nu _ { A } ^ { \prime } ) - ( \nu _ { V b } - \nu _ { V b } ^ { \prime } ) + \nu _ { H b } = 0
\begin{array} { r l r } { \langle r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n } \rangle } & { = } & { \frac { 2 } { 1 + c _ { 2 } ^ { 3 } } \left( \frac { k _ { B } T } { \kappa } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, { \cal R } _ { 4 } } \\ { \langle r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n + 1 } \rangle } & { = } & { \frac { 1 - c _ { 2 } } { 1 + c _ { 2 } ^ { 3 } } \left( \frac { k _ { B } T } { \kappa } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, { \cal R } _ { 4 } } \\ { \langle r ^ { n } r ^ { n + 1 } r ^ { n + 1 } \rangle } & { = } & { \frac { 1 + c _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 + c _ { 2 } ^ { 3 } } \left( \frac { k _ { B } T } { \kappa } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, { \cal R } _ { 4 } \, , } \end{array}
u _ { t } = - 1 . 6 0 0 7 u _ { x } + 1 . 4 3 2 8 u u _ { x x } - 0 . 5 4 0 9 u ^ { 2 } u _ { x x } - 0 . 5 8 1 4 u _ { x x x } + 0 . 8 9 5 2 u u _ { x x x } + 0 . 5 7 4 1 u u _ { x x x x }
\boldsymbol z _ { t + r } = [ \mathrm { ~ F ~ C ~ } ^ { \boldsymbol Z } ( \boldsymbol Z _ { t + r } ) , \boldsymbol C _ { t + r } ] \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \boldsymbol h _ { t + r } = [ \boldsymbol H _ { t + r } , \boldsymbol C _ { t + r } ] .
\begin{array} { r l } & { T _ { r o t } \frac { d \Breve { \mathbf { u } } } { d t } = T _ { r o t } \texttt { v e c } \left( \gamma ( G _ { \Breve { \mathbf { u } } } , \hat { G } ) \right) \quad \mathrm { w i t h } \quad \Breve { \mathbf { u } } ( 0 ) = \mathbf { z } } \\ & { \Rightarrow \quad \frac { d \Breve { \mathbf { u } } } { d t } = \texttt { v e c } \left( \gamma ( G _ { \Breve { \mathbf { u } } } , \hat { G } ) \right) \quad \mathrm { w i t h } \quad \Breve { \mathbf { u } } ( 0 ) = \mathbf { z } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { - x } u _ { i j } ^ { n , - x } + u _ { i j } ^ { \ast \ast { y x } } + \mu _ { + x } u _ { i j } ^ { n , + x } = } & { 2 \left( 2 u _ { i j } ^ { n } - ( \mu _ { - y } u _ { i j } ^ { n , - y } + \mu _ { + y } u _ { i j } ^ { n , + y } ) \right) } \\ { \mu _ { - y } u _ { i j } ^ { n , - y } + u _ { i j } ^ { \ast \ast { y y } } + \mu _ { + y } u _ { i j } ^ { n , + y } = } & { 2 \left( 2 u _ { i j } ^ { n } - ( \mu _ { - y } u _ { i j } ^ { n , - y } + \mu _ { + y } u _ { i j } ^ { n , + y } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d E } { d t } = 0 , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \qquad E = \frac 1 2 \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } \dot { \bf x } _ { N } ^ { 2 } + b ( { \bf k } , { \bf z } ( t ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } ^ { k + 1 / 2 } \leq } & { \left( c _ { 1 } + \sqrt { \| M _ { 2 } \| } c _ { 3 } \right) \big \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \big \| + \left( \| K \| + \sqrt { \| M _ { 2 } \| } c _ { 3 } \right) \big \| x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \big \| } \\ { } & { + \sqrt { \| M _ { 2 } \| } \, \big \| M _ { 2 } ^ { - \frac 1 2 } ( K x ^ { k + 1 } - u ^ { k + 1 } ) \big \| . } \end{array}