harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
f ( \lambda ) \triangleq \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \left( A _ { i } - B _ { i } \right) \left( \lambda A _ { i } + \left( 1 - \lambda \right) B _ { i } \right) + \left( C _ { i } - D _ { i } \right) \left( \lambda C _ { i } + \left( 1 - \lambda \right) D _ { i } \right) } { \sqrt { \left( \lambda A _ { i } + \left( 1 - \lambda \right) B _ { i } \right) ^ { 2 } + \left( \lambda C _ { i } + \left( 1 - \lambda \right) D _ { i } \right) ^ { 2 } } } = 0 .
\begin{array} { r l } { | I I _ { \delta } | } & { { } \leq \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } | \eta _ { \delta } | | u | ^ { 3 } | \nabla \chi _ { \delta } | \, \mathrm { d } y \, \mathrm { d } \tau \leq \int _ { 0 } ^ { T } | \eta _ { \delta } ( \tau ) | \| u ( \tau ) \| _ { L ^ { r } ( B _ { 2 \delta } ( x ) ) } ^ { 3 } \| \nabla \chi _ { \delta } \| _ { L ^ { \frac { r } { r - 3 } } } \, \mathrm { d } \tau } \end{array}
+ \left| \begin{array} { l l l l } { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \left( \frac { 1 - y ^ { 2 } } { 1 - y } \right) ^ { 3 } } & { 1 } & { - 2 } & { 0 } \\ { \left( \frac { 1 - y ^ { 3 } } { 1 - y } \right) ^ { 3 } } & { \left( \frac { 1 - y ^ { 2 } } { 1 - y } \right) ^ { 3 } } & { 1 } & { - 3 } \\ { \left( \frac { 1 - y ^ { 4 } } { 1 - y } \right) ^ { 3 } } & { \left( \frac { 1 - y ^ { 3 } } { 1 - y } \right) ^ { 3 } } & { \left( \frac { 1 - y ^ { 2 } } { 1 - y } \right) ^ { 3 } } & { 1 } \end{array} \right| \frac { z ^ { 4 } } { 4 ! } + e t c .
F = m { \frac { 2 \pi c k _ { \mathrm { B } } T } { \hbar } } = m { \frac { 4 \pi c } { \hbar } } { \frac { E } { N } } = m { \frac { 4 \pi c ^ { 3 } } { \hbar } } { \frac { M } { N } } = m 4 \pi { \frac { G M } { A } } = G { \frac { m M } { r ^ { 2 } } }
( \tilde { \Delta } Z ^ { M } ) \, \frac { \hat { \partial } L } { \hat { \partial } Z ^ { M } } + ( \tilde { \Delta } A _ { \mu } ) \, \frac { \hat { \partial } L } { \hat { \partial } A _ { \mu } } = \partial _ { \mu } \left[ \lambda ( \varphi ) \, j _ { \Delta } ^ { \mu } \right] \ .
\xi _ { i n } ( y ) = q _ { \Phi } \frac { \Lambda ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \Big [ \delta ( y ) + \delta ( y - \pi ) \Big ] + q _ { \Phi } \frac { \ln ( \Lambda / \mu ) } { 6 4 \pi ^ { 2 } R ^ { 2 } } \Big [ \delta ^ { \prime \prime } ( y ) + \delta ^ { \prime \prime } ( y - \pi ) \Big ] \, ,
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { C _ { \mathrm { L } } } \\ { C _ { \mathrm { R } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \phi / 2 } \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \phi / 2 } \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\sum _ { \boldsymbol { v } \in \boldsymbol { u } \mathbb { Z } _ { m } \setminus \{ \textbf { 0 } \} ; \atop ( u _ { i _ { 1 } } , u _ { i _ { 2 } } ) = ( 1 , t ) } Z _ { i j } ^ { \boldsymbol { v } } = \sum _ { k = 0 } ^ { 2 j } \sum _ { r = 1 } ^ { m - 1 } \sigma _ { r } ( \omega ^ { j - t j + k t } ) + \sum _ { k = 1 } ^ { 2 j - 1 } \sum _ { r = 1 } ^ { m - 1 } \sigma _ { r } ( \omega ^ { t j - j + k } ) .
\begin{array} { r } { E ( \epsilon , \theta ; s _ { 0 } , r ) \approx E _ { 0 } + \frac { \alpha } { 2 } ( \epsilon , s _ { 0 } , r ) \theta ^ { 2 } + \frac { \beta ( \epsilon , s _ { 0 } , r ) } { 4 } \theta ^ { 4 } + \mathcal { O } ( \theta ^ { 6 } ) } \end{array}
\mathrm { ~ Q ~ u ~ i ~ e ~ s ~ c ~ e ~ n ~ t ~ f ~ a ~ r ~ - ~ f ~ i ~ e ~ l ~ d ~ c ~ o ~ n ~ d ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ s ~ : ~ } ~ p = 0 ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ ~ u _ { z } = 0 ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ ~ c = 0 ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ t ~ } ~ z = \pm \infty ,
{ \frac { 1 } { \sqrt [ [object Object] ] { \tan ( { \frac { 2 \pi } { 7 } } ) } } } + { \frac { 1 } { \sqrt [ [object Object] ] { \tan ( { \frac { 4 \pi } { 7 } } ) } } } + { \frac { 1 } { \sqrt [ [object Object] ] { \tan ( { \frac { 8 \pi } { 7 } } ) } } } =
\begin{array} { r l } { \textbf { T r } \left( \frac { \partial f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) } { \partial { E } _ { k , \sigma } ^ { i j } } \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) } & { { } = \frac { \partial f _ { k , \sigma } ^ { \mu _ { \sigma } } } { \partial \epsilon _ { k , \sigma } } \psi _ { k , \sigma } ^ { ( i ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \psi _ { k , \sigma } ^ { ( j ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { { \hat { C } } } ( t ; T ) } & { { } \cong } & { \frac { 1 } { T - t } \int _ { 0 } ^ { T - t } I _ { 2 } ( t ^ { \prime } + t ) I _ { 2 } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } + { I _ { 1 } ^ { + } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { 0 , } & { \textrm { i f } } & { v \textrm { h a s d e g r e e } 2 \textrm { o r } 4 , } \\ { + } & { k , } & { \textrm { i f } } & { v \textrm { h a s o u t - d e g r e e } 2 \textrm { a n d i n - d e g r e e } 1 , } \\ { - } & { k , } & { \textrm { i f } } & { v \textrm { h a s o u t - d e g r e e } 1 \textrm { a n d i n - d e g r e e } 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { 1 } } & { { } = 1 - 5 ( y _ { 0 } + \epsilon ) = 1 - 5 y _ { 0 } - 5 \epsilon } \\ { y _ { 2 } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } - 5 ( 1 - 5 y _ { 0 } - 5 \epsilon ) = { \frac { 1 } { 2 } } - 5 + 2 5 y _ { 0 } + 5 ^ { 2 } \epsilon } \\ { \vdots } \\ { y _ { n } } & { { } = \ldots + 5 ^ { n } \epsilon } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | r ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \phi - \Pi ) | | _ { L ^ { \infty } ( \Sigma _ { \tau } ) } = } & { \: | | r ^ { \frac { 1 } { 2 } } \widehat { \phi } | | _ { L ^ { \infty } ( \Sigma _ { \tau } ) } \leq C ( 1 + \tau ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } - \frac { \nu _ { m } } { 2 } + \eta } \sqrt { \sum _ { 2 k + l \leq 2 } D ^ { ( 1 ) } [ Q ^ { l } K ^ { k } \phi ] } , } \\ { | | ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \phi - \Pi ) | | _ { L ^ { \infty } ( \Sigma _ { \tau } ) } = } & { \: | | ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \widehat { \phi } | | _ { L ^ { \infty } ( \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \geq r _ { I } \} ) } } \\ { \leq } & { \: C ( 1 + \tau ) ^ { - 1 - \frac { \nu _ { m } } { 4 } + \eta } \sqrt { \sum _ { 2 k + l \leq 2 } D _ { 2 } ^ { ( 1 ) } [ Q ^ { l } K ^ { k } \phi ] } , } \\ { | | r ( \phi - \Pi ) | | _ { L ^ { \infty } ( \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \geq r _ { I } \} ) } = } & { \: | | r \widehat { \phi } | | _ { L ^ { \infty } ( \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq r _ { I } \} ) } } \\ { \leq } & { \: C ( 1 + \tau ) ^ { - 1 - \frac { \nu _ { m } } { 4 } + \eta } \sqrt { \sum _ { 2 k + l \leq 2 } D _ { 2 } ^ { ( 1 ) } [ Q ^ { l } K ^ { k } \phi ] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } _ { \alpha } ( \mathbf { r } ) } & { { } \approx \sum _ { l = 1 } ^ { L _ { \alpha } } \sum _ { m = - l } ^ { l } \alpha _ { l m } \mathbf { B } _ { \alpha _ { l m } } ( \mathbf { r } ) } \\ { \mathbf { B } _ { \beta } ( \mathbf { r } ) } & { { } \approx \sum _ { l = 1 } ^ { L _ { \beta } } \sum _ { m = - l } ^ { l } \beta _ { l m } \mathbf { B } _ { \beta _ { l m } } ( \mathbf { r } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { z } ( \rho ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { 1 - \frac { 2 a \rho } { a ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } } } , } & { 0 \leq \rho \leq a , } \\ { 0 , } & { a \leq \rho \leq \widehat { R } , } \end{array} \right. } \end{array}
{ { \ldots \leftarrow \widetilde { H } ^ { k + 1 } \left( \Sigma \left( * \sqcup \bigsqcup _ { 1 \leq j < n } M _ { n - 2 , j } \right) , \mathbb Z \right) \leftarrow H ^ { k } ( M _ { n - 1 } , \mathbb Z ) \leftarrow H ^ { k } ( { Q } _ { n } , \mathbb Z ) \leftarrow \widetilde { H } ^ { k } \left( \Sigma \left( * \sqcup \bigsqcup _ { 1 \leq j < n } M _ { n - 2 , j } \right) , \mathbb Z \right) \leftarrow \ldots , } }
\begin{array} { r } { \Omega ^ { C P D F - } = \sum _ { i , j } ( \langle f ^ { P V } | u _ { f } ^ { - } | i \rangle + \langle f ^ { - } | u _ { f } ^ { P V } | i \rangle } \\ { + \langle f | u _ { f } ^ { P V - } | i \rangle ) a _ { j } ^ { \dagger } a _ { i } } \end{array}
R \geq \frac { n p _ { \Delta } p _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } } { N } \left( R _ { \mathrm { ~ L ~ B ~ } } - \frac { \Delta _ { \mathrm { ~ a ~ e ~ p ~ } } } { \sqrt { n p _ { \Delta } } } + \frac { \Theta } { n p _ { \Delta } } \right) ,
\begin{array} { r l } { S ^ { \prime } ( \nu _ { 1 S / 2 S } ) } & { = \frac { 2 5 6 x ^ { 2 } } { 3 \sqrt { 2 } } \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \frac { n ( n ^ { 2 } - 1 ) \left[ n ^ { 2 } - n ( x + 9 / 4 ) + 1 / x ^ { 2 } + 2 \right] } { n - 1 / x } \left( \frac { 1 - x } { 1 + x } \right) ^ { n - 3 } \left( \frac { 1 / 2 - x } { 1 / 2 + x } \right) ^ { n - 4 } } \\ & { \times \frac { 1 } { \left( 1 / 2 + x \right) ^ { 8 } \left( 1 + x \right) ^ { 6 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } \Big [ { { \bf 1 } } _ { \{ \tau _ { 0 } ^ { ( n ) } > t \} } \operatorname* { s u p } _ { s \in ( 0 , t ] } \big ( s ^ { \mu } \| u ^ { ( n ) } ( s ) \| _ { L ^ { \zeta _ { 0 } } } ^ { r } \big ) \Big ] } & { \leq C _ { 1 } , } \\ { { \mathbb E } \Big [ { { \bf 1 } } _ { \{ \tau _ { 0 } \wedge \tau _ { 0 } ^ { ( n ) } > t \} } \operatorname* { s u p } _ { s \in ( 0 , t ] } \big ( s ^ { \mu } \| u ( s ) - u _ { 0 } ^ { ( n ) } ( s ) \| _ { L ^ { \zeta _ { 0 } } } ^ { r } \big ) \Big ] } & { \leq C _ { 1 } { \mathbb E } \| u _ { 0 } - u _ { 0 } ^ { ( n ) } \| _ { \mathcal { Y } _ { r } } ^ { r } , } \\ { { \mathbb P } ( \tau _ { 0 } \wedge \tau _ { 0 } ^ { ( n ) } \leq t ) } & { \leq C _ { 1 } \big [ { \mathbb E } \| u _ { 0 } - u _ { 0 } ^ { ( n ) } \| _ { \mathcal { Y } _ { r } } ^ { r } + { \mathbb P } ( \tau _ { 1 } \leq t ) \big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf { I } } _ { N _ { S } } } & { { } = ( { \bf { U } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } + { \bf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } ) ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \int _ { V C ( t ) } f ( r , t ) d \tau = \int _ { V C ( t ) } \partial _ { t } f ( r , t ) d \tau + \oint _ { S C ( t ) } f ( r , t ) v ( r , t ) \cdot n ( r , t ) d S } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega = } & { { } 1 + \frac { 3 } { 2 } \hat { k } ^ { 2 } + \frac { 1 5 } { 8 } \hat { k } ^ { 4 } + \frac { 1 4 7 } { 1 6 } \hat { k } ^ { 6 } + 7 3 6 . 4 3 7 \hat { k } ^ { 8 } - 1 4 7 2 9 . 3 \hat { k } ^ { 1 0 } } \\ { \gamma = } & { { } - \sqrt { \frac { \pi } { 8 } } \left( \frac { 1 } { \hat { k } ^ { 3 } } - 6 \hat { k } - 4 0 . 7 1 7 3 \hat { k } ^ { 3 } + 3 9 0 0 . 2 3 \hat { k } ^ { 5 } - 2 4 6 2 . 2 5 \hat { k } ^ { 7 } - 2 7 4 . 9 9 \hat { k } ^ { 9 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \{ Q ( t ) ^ { T } \xi \xi ^ { T } R ( t ) \} = \frac { c _ { s } \lambda _ { 1 } } { l ^ { ( s ) } } \xi \tilde { \xi } ^ { T } - \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 r _ { 0 } n l ^ { ( s ) } } \tilde { M } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \nabla _ { y } \Psi | } & { = | - \zeta + \nabla _ { y } \varphi - \nabla _ { x } \varphi | \leq 2 C _ { 2 } ( | \zeta | + { \langle { \xi } \rangle } ) , \quad \mathrm { a n d } } \\ { | \nabla _ { y } \Psi | } & { \geq | \zeta | - | \nabla _ { y } \varphi - \nabla _ { x } \varphi | \geq \frac { 1 } { 2 } | \zeta | + \Big ( \frac { \kappa _ { 1 } } { 4 } - C _ { 0 } | x - y | \Big ) { \langle { \xi } \rangle } \geq C ( | \zeta | + { \langle { \xi } \rangle } ) . } \end{array}
{ \cal H } _ { \mathrm { e f f } } = \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \sum _ { p = u , c } \lambda _ { p } ^ { ( s ) } \left[ C _ { 1 } Q _ { 1 } ^ { p } + C _ { 2 } Q _ { 2 } ^ { p } + \sum _ { i = 3 , \ldots , 8 } C _ { i } Q _ { i } \right]
( m _ { 5 } \kappa ^ { 2 } - r _ { 1 } \vartheta ^ { 2 } ) [ 2 ( m _ { 3 } + m _ { 4 } ) \kappa ^ { 2 } - r _ { 3 } \vartheta ^ { 2 } + m _ { 5 } ] - m _ { 5 } ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } = 0 .
\operatorname* { l i m } _ { { \Delta \alpha } \rightarrow 0 } { \frac { \Delta \varphi } { \Delta \alpha } } = { \frac { d \varphi } { d \alpha } } = \int _ { a } ^ { b } { \frac { \partial } { \partial \alpha } } f ( x , \alpha ) \, d x .
{ \frac { a ^ { 3 } } { T ^ { 2 } } } = { \frac { G ( M + m ) } { 4 \pi ^ { 2 } } } \approx { \frac { G M } { 4 \pi ^ { 2 } } } \approx 7 . 4 9 6 \cdot 1 0 ^ { - 6 } \left( { \frac { { \mathrm { A U } } ^ { 3 } } { { \mathrm { d a y s } } ^ { 2 } } } \right) { \mathrm { ~ i s ~ c o n s t a n t } }
\{ 1 \times 1 0 ^ { - 5 } , 2 . 5 \times 1 0 ^ { - 5 } , 5 \times 1 0 ^ { - 5 } , 7 . 5 \times 1 0 ^ { - 5 } , 1 \times 1 0 ^ { - 4 } \}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , t _ { 1 } ] } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla \phi _ { m } | ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } | \nabla \mathbf { F } _ { m } | ^ { 2 } \right) + \nu \int _ { 0 } ^ { t _ { 1 } } \int _ { \Omega } \left| \nabla \mathbf { v } _ { m } \right| ^ { 2 } + \gamma \int _ { 0 } ^ { t _ { 1 } } \int _ { \Omega } \left| \mathbf { M } _ { m } \right| ^ { 2 } } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t _ { 1 } } \int _ { \Omega } b ( \phi _ { m } ) \left| \nabla \mu _ { m } \right| ^ { 2 } \leq C ( \mathbf { F } _ { 0 } , \phi _ { 0 } ) + C , } \end{array}
L ( X , F , g _ { m } ^ { 2 } , l _ { s } ) = \sum _ { I , L } c _ { I , L } ( N , l _ { s } X ) { \frac { F ^ { 2 } } { g _ { m } ^ { 2 } } } \left( { \frac { g _ { m } ^ { 2 } F ^ { 2 } } { X ^ { 7 } } } \right) ^ { L } \left( { \frac { F } { X ^ { 2 } } } \right) ^ { I - 2 L - 2 } .
\begin{array} { r l } { g _ { 3 } g _ { i } } & { = g _ { i } g _ { 3 } , \ \ \ \ \qquad \mathrm { { f o r } } \qquad i = 0 , 1 , 2 , } \\ { g _ { 3 } ^ { r } } & { = g _ { 1 } ^ { - 1 } g _ { 2 } ^ { - 1 } g _ { 1 } g _ { 2 } } \\ { g _ { 0 } g _ { 1 } g _ { 0 } ^ { - 1 } } & { = g _ { 1 } ^ { n _ { 1 1 } } g _ { 2 } ^ { n _ { 1 2 } } g _ { 3 } ^ { p } , } \\ { g _ { 0 } g _ { 2 } g _ { 0 } ^ { - 1 } } & { = g _ { 1 } ^ { n _ { 2 1 } } g _ { 2 } ^ { n _ { 2 2 } } g _ { 3 } ^ { q } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } ( R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } , \varepsilon ) = \big \{ ( L _ { 1 } , L _ { 2 } ) : } \\ { * } & { \quad ( 1 + \xi ^ { * } ) L _ { 1 } + L _ { 2 } \geq \sqrt { \mathrm { V } ( R _ { 1 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X } ) } \mathrm { Q } ^ { - 1 } ( \varepsilon ) \big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho _ { w 4 } = 2 . 6 1 \cdot 1 0 ^ { - 4 } x ^ { 5 } + 1 . 6 7 \cdot 1 0 ^ { - 4 } x ^ { 4 } y - 0 . 0 0 7 9 x ^ { 4 } + 2 . 7 8 \cdot 1 0 ^ { - 5 } x ^ { 3 } y ^ { 2 } , } \\ & { - 0 . 0 0 3 x ^ { 3 } y + 0 . 0 9 1 4 x ^ { 3 } + 8 . 0 4 \cdot 1 0 ^ { - 4 } x ^ { 2 } y ^ { 3 } - 0 . 0 0 2 5 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 0 . 0 2 5 x ^ { 2 } y - 0 . 5 1 x ^ { 2 } , } \\ & { - 0 . 0 0 3 8 x y ^ { 3 } + 0 . 0 1 1 3 x y ^ { 2 } - 0 . 0 7 4 4 x y + 1 . 3 5 2 0 x + 0 . 0 0 2 1 y ^ { 3 } - 0 . 0 0 7 2 y ^ { 2 } } \\ & { + 0 . 0 6 1 6 y - 2 . 5 8 9 0 , } \end{array}
{ H } _ { \mathrm { { R } } } = \Omega _ { \mathrm { ~ R ~ 0 ~ } } \cos [ k _ { 0 } ( x + y ) - \Delta \varphi ] \sigma _ { x } + \Omega _ { \mathrm { ~ R ~ 0 ~ } } \sin [ k _ { 0 } ( x + y ) - \Delta \varphi ] \sigma _ { y }
\begin{array} { r l } { n ( \vec { k } , \vec { x } , t ) } & { = n \Big ( \vec { k } - \int _ { t - T } ^ { t } \dot { \vec { k } } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } , \vec { x } - \int _ { t - T } ^ { t } \dot { \vec { x } } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } , t - T \Big ) } \\ & { = \bar { n } ( \vec { k } - \int _ { t - T } ^ { t } \dot { \vec { k } } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } , t _ { d } - \epsilon ^ { 2 } T ) + \tilde { n } \Big ( \vec { k } - \int _ { t - T } ^ { t } \dot { \vec { k } } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } , \vec { x } - \int _ { t - T } ^ { t } \dot { \vec { x } } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } , t - T \Big ) } \\ & { = \bar { n } ( \vec { k } , t _ { d } ) - \int _ { t - T } ^ { t } \dot { \vec { k } } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \cdot \nabla _ { \vec { k } } \bar { n } ( \vec { k } , t _ { d } ) - \epsilon ^ { 2 } T \partial _ { t } \bar { n } ( \vec { k } , t _ { d } ) } \\ & { \ \ \ \ \ \ + \tilde { n } \Big ( \vec { k } - \int _ { t - T } ^ { t } \dot { \vec { k } } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } , \vec { x } - \int _ { t - T } ^ { t } \dot { \vec { x } } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } , t - T \Big ) . } \end{array}
H _ { J } = J \sum _ { x = 1 } ^ { N } \left\{ S _ { x } ^ { 3 } S _ { x + 1 } ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } ( S _ { x } ^ { + } S _ { x + 1 } ^ { - } + S _ { x } ^ { - } S _ { x + 1 } ^ { + } ) \right\}
\frac { \partial \eta _ { i } } { \partial \theta } = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { \partial \eta _ { i } } { \partial U _ { j } } \frac { \partial U _ { j } } { \partial \theta } = - \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { \partial \eta _ { i } } { \partial U _ { j } } \frac { \partial g _ { j } / \partial \theta } { \partial g _ { j } / \partial U _ { j } } = 0 \quad i = 1 , \cdots , n - 1 .
\left. \begin{array} { c } { { \Delta m ^ { 2 } \simeq \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } \simeq \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } } } \\ { { \frac { \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } } { 2 E } L < < 1 } } \end{array} \right\}
\nabla _ { \mathbf { e } _ { \beta } } \mathbf { e } _ { \alpha } = \left\langle \omega ^ { \gamma } { } _ { \alpha } , \mathbf { e } _ { \beta } \right\rangle \mathbf { e } _ { \gamma } = \omega ^ { \gamma } { } _ { \beta \alpha } \, \mathbf { e } _ { \gamma }
c ^ { i } c ^ { j } = - c ^ { j } c ^ { i } \quad ( \{ c ^ { i } , c ^ { j } \} = 0 \, , \quad \{ c ^ { i } , { \frac { \partial } { \partial c ^ { j } } } \} = \delta _ { j } ^ { i } ) \quad , \quad i , j = 1 , \dots , r \quad ,
\begin{array} { r l r } & { \mathrm { E x t } ^ { k } ( \mathbf { L } g ^ { * } \mathbf { R } \pi _ { * } ( \mathbf { L } u ^ { * } \mathbb { L } _ { [ W / G ] } ^ { \log } \otimes \omega _ { \pi } ) , J ) } & \\ { = \, } & { \mathrm { E x t } ^ { k } ( \mathbf { L } u ^ { * } \mathbb { L } _ { [ W / G ] } ^ { \log } \otimes \omega _ { \pi } , \mathbf { L } \pi ^ { ! } \mathbf { R } g _ { * } J ) } \\ { = \, } & { \mathrm { E x t } ^ { k } ( \mathbf { L } u ^ { * } \mathbb { L } _ { [ W / G ] } ^ { \log } , \mathbf { R } \tilde { g } _ { * } p ^ { * } J ) } \\ { = \, } & { \mathrm { E x t } ^ { k } ( \mathbf { L } u _ { T } ^ { * } \mathbb { L } _ { [ W / G ] } ^ { \log } , p ^ { * } J ) } \end{array}
\delta T _ { N } ^ { M } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \delta \rho } } & { { - ( \rho + p ) e ^ { \alpha _ { 0 } } v _ { , i } } } \\ { { 0 } } & { { ( \rho + p ) e ^ { - \alpha _ { 0 } } v _ { , i } } } & { { \delta p \: \delta _ { i j } } } \end{array} \right) \: \delta ( y ) ,
\begin{array} { r l } { 1 = ( \Phi \Psi ) ^ { m } } & { = ( \Phi \Psi \Phi ^ { - 1 } ) ( \Phi ^ { 2 } \Psi \Phi ^ { - 2 } ) \cdots ( \Phi ^ { m } \Psi \Phi ^ { - m } ) \Phi ^ { m } } \\ & { = ( \Phi \Psi \Phi ^ { - 1 } ) ( \Phi ^ { 2 } \Psi \Phi ^ { - 2 } ) \cdots ( \Phi ^ { m } \Psi \Phi ^ { - m } ) } \\ & { = \left( T _ { \Phi ( S _ { 1 } ) } ^ { 2 k _ { 1 } } \cdots T _ { \Phi ( S _ { \ell } ) } ^ { 2 k _ { \ell } } \right) \left( T _ { \Phi ^ { 2 } ( S _ { 1 } ) } ^ { 2 k _ { 1 } } \cdots T _ { \Phi ^ { 2 } ( S _ { \ell } ) } ^ { 2 k _ { \ell } } \right) \cdots \left( T _ { \Phi ^ { m } ( S _ { 1 } ) } ^ { 2 k _ { 1 } } \cdots T _ { \Phi ^ { m } ( S _ { \ell } ) } ^ { 2 k _ { \ell } } \right) . } \end{array}
X = 4 \, { \left( { \tau } ^ { 3 } - { \left( { \chi } ^ { 2 } - 1 \right) } { \tau } \right) } \sqrt { { \chi } ^ { 2 } + 2 \, { \chi } { \tau } + { \tau } ^ { 2 } + 1 } \sqrt { { \chi } ^ { 2 } - 2 \, { \chi } { \tau } + { \tau } ^ { 2 } + 1 }
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \mathrm { e f f } , i } } & { { } = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \xi ^ { 2 } \partial _ { \xi } C _ { i } ( \xi ) \mathrm { d } \xi - \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } \xi \partial _ { \xi } C _ { i } ( \xi ) \mathrm { d } \xi \right) ^ { 2 } } { 2 \int _ { - \infty } ^ { \infty } \partial _ { \xi } C _ { i } ( \xi ) \mathrm { d } \xi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 0 \leq \langle P _ { t } ^ { D } f - \hat { P } _ { t } ^ { D } f , g \rangle _ { L ^ { 2 } ( D ) } } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \int _ { D \setminus D _ { w } } \hat { p } _ { D } ( s , x , w ) \nu ( z - w ) p _ { D } ( t - s , z , y ) f ( y ) g ( x ) \, d z \, d w \, d s \, d x \, d y } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \int _ { D \setminus D _ { w } } \hat { P } _ { s } ^ { D } g ( w ) \nu ( z - w ) P _ { t - s } ^ { D } f ( z ) \, d z \, d w \, d s } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \int _ { D \setminus D _ { w } } \left( \hat { P } _ { s } ^ { D } g ( w ) ^ { 2 } + P _ { t - s } ^ { D } f ( z ) ^ { 2 } \right) \nu ( z - w ) \, d z \, d w \, d s } \\ & { \leq c \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } P _ { s } ^ { D } g ( w ) ^ { 2 } \kappa _ { D } ( w ) \, d w \, d s + c \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } P _ { t - s } ^ { D } f ( z ) ^ { 2 } \kappa _ { D } ( z ) \, d z \, d s } \\ & { \leq c \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { E } ^ { D } [ P _ { s } ^ { D } g ] \, d s + c \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { E } ^ { D } [ P _ { s } ^ { D } f ] \, d s } \\ & { = c \left( \| f \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } ^ { 2 } - \| P _ { t } ^ { D } f \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } ^ { 2 } + \| g \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } ^ { 2 } - \| P _ { t } ^ { D } g \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } ^ { 2 } \right) \to 0 \quad \mathrm { a s } \quad t \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { | a ( r , \xi , \tau ) | ^ { 2 } } { | a _ { 0 } | ^ { 2 } f ^ { 2 } ( \xi ) } = \left\{ 1 - 2 \left( \epsilon _ { w } + \frac { \Omega _ { s } \cos ( k _ { p 0 } \xi ) } { \omega _ { w } } \right) \left( \cos [ \Omega _ { s } \tau \cos ( k _ { p 0 } \xi ) ] - 1 \right) \right\} } & { { } \mathrm { ~ L ~ G ~ } _ { 0 0 } ^ { 2 } ( r ) } \\ { + \left\{ 2 \epsilon _ { w } \cos \left[ \Omega _ { s } \tau \cos ( k _ { p 0 } \xi ) - \omega _ { w } \tau \right] + \frac { 2 \Omega _ { s } \cos ( k _ { p 0 } \xi ) } { \omega _ { w } } \left( \cos \left[ \Omega _ { s } \tau \cos ( k _ { p 0 } \xi ) - \omega _ { w } \tau \right] - 1 \right) \right\} } & { { } \mathrm { ~ L ~ G ~ } _ { 0 0 } ( r ) \mathrm { ~ L ~ G ~ } _ { 1 0 } ( r ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ( \beta , \mu ) } & { = \sum _ { p q } w _ { p q } \tilde { a } _ { q } ( \beta , \mu ) a _ { p } ( \beta , \mu ) } \\ { + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { p q r s } } & { w _ { p q r s } \tilde { a } _ { r } ( \beta , \mu ) \tilde { a } _ { s } ( \beta , \mu ) a _ { q } ( \beta , \mu ) a _ { p } ( \beta , \mu ) , } \\ { Z ( \beta , \mu ) } & { = \sum _ { p q } z _ { p q } \tilde { a } _ { q } ( \beta , \mu ) a _ { p } ( \beta , \mu ) } \\ { + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { p q r s } } & { z _ { p q r s } \tilde { a } _ { r } ( \beta , \mu ) \tilde { a } _ { s } ( \beta , \mu ) a _ { q } ( \beta , \mu ) a _ { p } ( \beta , \mu ) . } \end{array}
\frac { d \rho _ { B } } { d \ln { \omega } } \simeq \frac { g ^ { 2 } ( \eta ) \omega ^ { 4 } } { 2 \pi ^ { 2 } } [ 2 \sinh ^ { 2 } { r _ { k } } + \sinh { 2 r _ { k } } \cos { 2 \phi _ { k } } ]
{ \cal L } = - { ( S _ { o } { \bar { S } } _ { o } ) } ^ { 3 / 2 } ( \frac { \hat { L } } { 2 } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - \frac { G ^ { ( o ) } } { 2 } } + ( \frac { \hat { L } } { 2 } ) G ^ { ( 1 ) } + { ( S _ { o } ^ { 3 } w ) _ { F } } ,
\frac { R _ { c } } { R _ { 0 } } = \frac { 1 } { f ( \theta _ { e q } ) } = \sin \theta _ { e q } \left( \frac { ( 2 + \cos \theta _ { e q } ) ( 1 - \cos \theta _ { e q } ) ^ { 2 } } { 4 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 3 } } .
\begin{array} { r l } & { | a _ { k , l } ( x , D ) f _ { k } ( x ) | ^ { r } = \Big | \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } K _ { k , l } ( x , y ) \, f _ { k } ( x - y ) \, \mathrm { d } y \Big | ^ { r } } \\ & { = \Big | \int { \mathbb { R } ^ { n } } K _ { k , l } ( x , y ) \, \sigma ( y ) \frac { 1 } { \sigma ( y ) } \, f _ { k } ( x - y ) \, \mathrm { d } y \Big | ^ { r } , } \end{array}
\phi ( k , t ) \simeq - \frac { 1 8 } { 7 \pi } \biggl ( \frac { \psi _ { \mathrm { e } } } { M _ { \mathrm { P } } } \biggr ) \biggl [ \frac { v _ { \psi } ( k , t _ { \mathrm { e } } ) } { M _ { \mathrm { P } } } \biggr ] ( m t ) .