harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { v _ { \mathrm { r m s } } } & { = { \sqrt { \langle v ^ { 2 } \rangle } } = \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } v ^ { 2 } \, f ( v ) \, d v \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = \left[ 4 \pi \left( { \frac { b } { \pi } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } v ^ { 4 } e ^ { - b v ^ { 2 } } d v \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = \left[ 4 \pi \left( { \frac { b } { \pi } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } { \frac { 3 } { 8 } } \left( { \frac { \pi } { b ^ { 5 } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } = { \sqrt { \frac { 3 } { 2 b } } } } \\ & { = { \sqrt { \frac { 3 k T } { m } } } = { \sqrt { \frac { 3 R T } { M } } } = { \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } } v _ { \mathrm { p } } } \end{array} }
\dot { D } ( t ) _ { k k } = - \gamma \int d z T _ { k i } ^ { - 1 } ( z - \Delta ) L _ { 0 } ( z ) _ { i m } T _ { m n } ( z - \Delta ) T _ { n s } ^ { - 1 } ( z - \Delta ) A _ { t } ( z ) _ { s j } T _ { j k } ( z + \Delta )
\nabla ^ { 2 } h _ { \mu \nu } = - 1 6 \pi G _ { N } ^ { D } \left( T _ { \mu \nu } ^ { m a t } - { \frac { 1 } { D - 2 } } \eta _ { \mu \nu } T ^ { m a t } \right) \equiv - 1 6 \pi G _ { N } ^ { D } \bar { T } _ { \mu \nu } ^ { m a t } ,
C _ { I } = \frac { \biggl \langle \widehat { \overline { { \rho } } \tilde { u } _ { l } \tilde { u } _ { l } } - \left( \widehat { \overline { { \rho } } \tilde { u } _ { l } } \widehat { \overline { { \rho } } \tilde { u } _ { l } } / \widehat { \overline { { \rho } } } \right) \biggr \rangle } { \biggl \langle 2 \widehat { \Delta } ^ { 2 } \widehat { \overline { { \rho } } } | \widehat { \overline { { S } } } | ^ { 2 } - 2 { \Delta } ^ { 2 } \widehat { \overline { { \rho } } | \overline { { S } } | ^ { 2 } } \biggr \rangle } \, \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r l } { \left\vert \mathcal { E } _ { j , k } ( \boldsymbol { x } ) \right\vert } & { \leq \int _ { \Omega _ { 0 , 0 } } \left\vert \mathcal { F } \left( I \right) ( \boldsymbol { \xi } ) \left( e ^ { 2 \pi i \eta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) } - e ^ { 2 \pi i \eta _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) } \right) \right\vert \, d \boldsymbol { \xi } } \\ { \qquad } & { + \int _ { \Omega _ { 0 , 0 } } \left\vert \delta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { 2 \pi i \eta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) } - \delta _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { 2 \pi i \eta _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) } \right\vert \, d \boldsymbol { \xi } \, , } \end{array}
{ \cal S } _ { 0 } = \int d x ^ { 0 } d x ^ { 3 } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \left( i \psi _ { m } ^ { ( L ) * } \partial _ { + } \psi _ { m } ^ { ( L ) } + i \psi _ { m } ^ { ( R ) * } \partial _ { - } \phi _ { m } ^ { ( R ) } \right) + ( \mathrm { m a s s i v e ~ m o d e s } ) ,
\mu _ { \uparrow } ^ { f } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } c _ { i } e _ { i } \right) = \operatorname* { m a x } \left\{ \left. \mu _ { \uparrow } ^ { f } ( e _ { i } ) \right| c _ { i } \neq 0 \right\} \quad \mathrm { a n d } \quad \mu _ { f } ^ { \downarrow } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } c _ { i } e _ { i } \right) = \operatorname* { m i n } \left\{ \left. \mu _ { \uparrow } ^ { f } ( e _ { i } ) \right| c _ { i } \neq 0 \right\} ,
V ( \vec { r } + \vec { q } ^ { \, ( a ) } ) = V ( \vec { r } ) + \vec { \eta } ^ { \, ( a ) } \cdot ( \vec { r } + \frac { \vec { q } ^ { \, ( a ) } } { 2 } ) ~ ~ ( \mathrm { n o ~ s u m ~ o v e r ~ \mit a ) ~ ~ . }
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } ( Y _ { n } ^ { m } ) } & { { } = \left[ - \frac { \mathrm { ~ i ~ } \, \mathfrak { L } _ { z } } { 2 } + \frac { \mathrm { ~ i ~ } \Lambda } { 2 } \left( 3 \mathrm { ~ i ~ } { Y _ { n } ^ { m } } \sin ^ { 2 } ( \theta ) \sin ( 2 \phi ) + \mathfrak { L } _ { y } \sin ( 2 \theta ) \sin ( \phi ) + \mathfrak { L } _ { z } \cos ( 2 \theta ) \sin ^ { 2 } ( \phi ) + \mathfrak { L } _ { z } \cos ^ { 2 } ( \phi ) \right) \right] + } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { L S M } } = - \partial _ { \mu } A ^ { * } \partial ^ { \mu } A ^ { \prime } - V ( A ^ { \prime } , A ^ { * } ) , \qquad V ( A ^ { \prime } , A ^ { * } ) = { \frac { 1 } { | \cosh ^ { 2 } A ^ { \prime } | ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { Q ( W | A ) } & { = \prod _ { i , j \neq i ; a _ { i j } = 1 } q _ { i j } ( w | a = 1 ) = } \\ & { = \prod _ { i , j \neq i ; a _ { i j } = 1 } \left[ \left( \beta _ { i } ^ { o u t } + \beta _ { j } ^ { i n } \right) e ^ { - ( \beta _ { i } ^ { o u t } + \beta _ { j } ^ { i n } ) w _ { i j } } \right] ^ { a _ { i j } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \langle \Psi _ { 0 } | \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { { \dagger } } \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { { } = \mathrm { T r } \big [ P _ { i } ^ { 0 } \Lambda _ { i } ^ { \dagger } \Lambda _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \big ] \dag \langle \Psi _ { 0 } | \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { { \dagger } } \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { = \mathrm { T r } \big [ P _ { i } ^ { 0 } \Lambda _ { i } ^ { \dagger } \Lambda _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \tilde { F } _ { i a } ^ { \dagger } \tilde { F } _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \big ] \dag \langle \Psi _ { 0 } | \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { { \dagger } } \dag , \hat { H } _ { l o c } ^ { i } [ c _ { i \alpha } ^ { \dagger } , c _ { i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } ] \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { { } = \mathrm { T r } \big [ P _ { i } ^ { 0 } \Lambda _ { i } ^ { \dagger } \hat { H } _ { l o c } ^ { i } [ F _ { i \alpha } ^ { \dagger } , F _ { i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } ] \Lambda _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \big ] \dag \langle \Psi _ { 0 } | \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { { \dagger } } c _ { i \alpha } ^ { \dagger } \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } f _ { i a } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { = \mathrm { T r } \big [ P _ { i } ^ { 0 } \Lambda _ { i } ^ { \dagger } F _ { i \alpha } ^ { \dagger } \Lambda _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \tilde { F } _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \big ] \dag , , } \end{array}
\Omega _ { a \nu } ( a z , b z ) = \frac { \bar { K } _ { \nu } ^ { ( b ) } ( b z ) / \bar { K } _ { \nu } ^ { ( a ) } ( a z ) } { \bar { K } _ { \nu } ^ { ( a ) } ( a z ) \bar { I } _ { \nu } ^ { ( b ) } ( b z ) - \bar { K } _ { \nu } ^ { ( b ) } ( b z ) \bar { I } _ { \nu } ^ { ( a ) } ( a z ) } .
\begin{array} { r } { \int _ { x _ { a } } ^ { x _ { b } } t ^ { s - 1 } e ^ { - t } d t = \Gamma \left( s , x _ { a } \right) - \Gamma \left( s , x _ { b } \right) = - \Gamma \left( s , x \right) \Big | _ { x _ { a } } ^ { x _ { b } } \ . } \end{array}
i n \boldsymbol { \mathfrak { C } } , w h e r e t h e l a s t e q u a l i t y f o l l o w s b y P r o p o s i t i o n a n d b y C o r o l l a r y . B y R e m a r k , t h e a r r o w \{ | \gamma : \Gamma | \; { \vdash } _ { \textnormal { \texttt { e x t } } } \; | \gamma | , t ( | \gamma | ) : | T ( \gamma ) | \} h a p p e n s t o b e r e p r e s e n t e d b y a m o r p h i s m o f c o n t e x t s :
\begin{array} { r l } { \tilde { t } _ { \varepsilon } ( \r ( r _ { \varepsilon } ) + \delta \boldsymbol { n } ) } & { = \tilde { t } _ { \varepsilon } ( \r ( r _ { \varepsilon } ) ) - \Theta ( \delta ) , } \\ & { ( O R ) } \\ { \tilde { t } _ { \varepsilon } ( \r ( r _ { \varepsilon } ) - \delta \boldsymbol { n } ) } & { = \tilde { t } _ { \varepsilon } ( \r ( r _ { \varepsilon } ) ) - \Theta ( \delta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E V _ { p } : W ^ { k , p , \delta } ( { u _ { 0 } } ^ { * } T \mathbb { C } ^ { n } , \partial { u _ { 0 } } ^ { * } T T _ { \gamma } ) \oplus V ^ { | P | } \oplus H ^ { | P | } \to V } \\ & { E V _ { p } ( w , v _ { 1 } , \dots , v _ { p } , \dots , v _ { l } , h _ { 1 } , \dots , h _ { p } , \dots , h _ { l } ) = ( v _ { p } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { R } } _ { O _ { 2 } } ( 2 { \it \Delta \phi } ) = \left( \begin{array} { c c } { \cos ( 2 { \it \Delta \phi } ) } & { - \sin ( 2 { \it \Delta \phi } ) } \\ { \sin ( 2 { \it \Delta \phi } ) } & { \ \ \ \cos ( 2 { \it \Delta \phi } ) } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { ( { \bf 1 } + \tilde { \bf K } ) ( { \bf 1 } + { \bf K } ) } } & { { = } } & { { \frac { 4 } { ( q + q ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } ( { \bf 1 } + ( q ^ { 2 } + q ^ { - 2 } ) ( q + q ^ { - 1 } ) ^ { 2 } { \bf P } ) } } \\ { { ( { \bf 1 } + { \bf K } ) ( { \bf 1 } + \tilde { \bf K } ) } } & { { = } } & { { \frac { 4 } { ( q + q ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } ( { \bf 1 } + ( q ^ { 2 } + q ^ { - 2 } ) ( q + q ^ { - 1 } ) ^ { 2 } { \bf P } ^ { ' } ) } } \end{array}
d s ^ { 2 } = \frac { 1 } { ( 1 + k | \xi | ) ^ { 2 } } \bigl ( d t ^ { 2 } - d { \bf x } ^ { 2 } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } R _ { i } ^ { 2 } d \theta _ { i } ^ { 2 } - d \xi ^ { 2 } \bigr )
\frac { \partial } { \partial \lambda } \int _ { 0 } ^ { \infty } p _ { 0 } ( \lambda x ) e ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { \infty } x \dot { p } _ { 0 } ( \lambda x ) e ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = - \frac 1 { 2 \lambda } \big [ p _ { 0 } ( \lambda x ) e ^ { - x ^ { 2 } } \big ] _ { 0 } ^ { \infty } + \frac 1 { 2 \lambda } \int _ { 0 } ^ { \infty } p _ { 0 } ( \lambda x ) e ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x
\begin{array} { r l } { ( S _ { f } ( a , N ) ) ^ { 2 } } & { \le \left( N + q - 1 \right) \left( \frac { N } { q } + \frac { 2 } { q } \sum _ { r = 1 } ^ { q - 1 } \left( 1 - \frac { r } { q } \right) S _ { g _ { r } } ( a , N - r ) \right) } \\ & { \le \left( N + \eta _ { 3 } \lambda _ { 3 } ^ { - 1 / 3 } \right) \Bigg ( \frac { N } { \eta _ { 3 } \lambda _ { 3 } ^ { - 1 / 3 } } + \frac { 3 2 } { 3 \sqrt { \pi \eta _ { 3 } } } \lambda _ { 3 } ^ { - 1 / 3 } } \\ & { \qquad \qquad + h N \lambda _ { 3 } ^ { 1 / 3 } \left[ \frac { 3 2 } { 1 5 \sqrt { \pi } } \sqrt { \eta _ { 3 } + \lambda _ { 3 } ^ { 1 / 3 } } + \frac { 1 } { 3 } \left( \eta _ { 3 } + \lambda _ { 3 } ^ { 1 / 3 } \right) \lambda _ { 3 } ^ { 1 / 3 } \right] \Bigg ) } \\ & { < \left( 1 + \frac { \eta _ { 3 } \lambda _ { 3 } ^ { - 1 / 3 } } { N } \right) \left( \left( \frac { A _ { 3 } } { \delta } \right) ^ { 2 } h N ^ { 2 } \lambda _ { 3 } ^ { 1 / 3 } + \left( \frac { B _ { 3 } } { \delta } \right) ^ { 2 } N \lambda _ { 3 } ^ { - 1 / 3 } \right) , } \end{array}
2 < 1 ^ { I = 1 } | w | D ^ { 0 } > = - \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } ( \tilde { a } + 3 c + 3 e ) \stackrel { S U ( 3 ) } { \rightarrow } - \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } ( a + 3 c )
\begin{array} { r l } { \lVert F _ { \varrho } ( U ) \rVert _ { \varrho , 2 } } & { \lesssim V _ { \varrho } ( \varPhi , \varPsi ) + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \lVert \partial _ { t } ^ { j } P _ { \mathrm { n l } } ( U ) \rVert _ { \varrho , 2 } \le c \bigl ( V _ { \varrho } ( \varPhi , \varPsi ) + \lVert U \rVert _ { \varrho , 2 } ^ { \alpha + 1 } \bigr ) , } \\ { \lVert F _ { \varrho } ( U ) - F _ { \varrho } ( V ) \rVert _ { \varrho , 2 } } & { \lesssim \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \lVert \partial _ { t } ^ { j } P _ { \mathrm { n l } } ( U ) - \partial _ { t } ^ { j } P _ { \mathrm { n l } } ( V ) \rVert _ { \varrho , 2 } \le d ( \lVert U \rVert _ { \varrho , 2 } + \lVert V \rVert _ { \varrho , 2 } ) ^ { \alpha } \lVert U - V \rVert _ { \varrho , 2 } } \end{array}
\varphi _ { c l } ( z ) = \left\{ \begin{array} { c c } { { - 2 { \log } | z - z _ { k } | - 2 { \log } | { \log } | z - z _ { k } | | + { \cal O } ( 1 ) , \; } } & { { z \to z _ { k } , \; k \ne n , } } \\ { { - 2 \log | z | - 2 \log \log | z | + { \cal O } ( 1 ) , \; } } & { { z \to \infty , } } \end{array} \right.
( 1 ) \quad { \left\{ \begin{array} { l l } { L _ { 1 } u \ { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ \sum _ { i } f _ { 1 } ^ { i } ( x ) { \frac { \partial u } { \partial x ^ { i } } } = { \vec { f } } _ { 1 } \cdot \nabla u = 0 } \\ { L _ { 2 } u \ { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ \sum _ { i } f _ { 2 } ^ { i } ( x ) { \frac { \partial u } { \partial x ^ { i } } } = { \vec { f } } _ { 2 } \cdot \nabla u = 0 } \\ { \qquad \cdots } \\ { L _ { r } u \ { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ \sum _ { i } f _ { r } ^ { i } ( x ) { \frac { \partial u } { \partial x ^ { i } } } = { \vec { f } } _ { r } \cdot \nabla u = 0 } \end{array} \right. }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { I _ { h } ^ { 4 } } & { \lesssim c _ { \varepsilon } \, \big [ \| F _ { h } ( \cdot , \nabla v _ { h } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } } \\ & { \quad \quad + \| \omega _ { p } ( h _ { \mathcal { T } } ) ^ { 2 } \, ( 1 + \vert \nabla v _ { h } \vert ^ { p _ { h } ( \cdot ) s } + \vert \nabla _ { \! h } e _ { h } \vert ^ { p _ { h } ( \cdot ) s } ) \| _ { 1 , \Omega } + \mathrm { o s c } _ { h } ( f , v _ { h } ) \big ] } \\ & { \quad + \varepsilon \, \| F _ { h } ( \cdot , \nabla v _ { h } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } \, . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbf { I } ^ { - 1 } ( { \mathbf { \hat { x } } } ) } } & { = \alpha ^ { 2 } \sigma _ { n } ^ { 2 } \mathbf { W } \mathbf { W } ^ { H } + \mathbf { W } _ { S } \mathbf { \tilde { W } } _ { D } ^ { H } \mathbf { D } _ { q } ^ { 2 } \mathbf { \tilde { W } } _ { D } \mathbf { W } _ { S } ^ { H } , } \\ & { = \alpha ^ { 2 } \sigma _ { n } ^ { 2 } \mathbf { W } \mathbf { W } ^ { H } + \mathbf { W } _ { D } ^ { H } \mathbf { D } _ { q } ^ { 2 } \mathbf { W } _ { D } , } \\ & { = \mathbf { M } ( \mathbf { x } ) . } \end{array}
\begin{array} { r c l r c l r c l r c l } { { A } } & { { = } } & { { T _ { a } A ^ { a } , \quad \hat { \psi } } } & { { = } } & { { T _ { a } \hat { \psi } ^ { a } , \quad \psi } } & { { = } } & { { \Sigma _ { \alpha } \psi ^ { \alpha } , \quad \hat { A } } } & { { = } } & { { \Sigma _ { \alpha } \hat { A } ^ { \alpha } , } } \\ { { \hat { a } } } & { { = } } & { { T _ { a } \hat { a } ^ { a } , \quad \alpha } } & { { = } } & { { T _ { a } \alpha ^ { a } , \quad \hat { \alpha } } } & { { = } } & { { \Sigma _ { \alpha } \hat { \alpha } ^ { \alpha } , \quad a } } & { { = } } & { { \Sigma _ { \alpha } a ^ { \alpha } . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Hat { v } _ { n } ( x , \alpha ) : = \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } v _ { n } ( x - m L ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \alpha ( x - m L ) } , \quad \forall \, n \in \mathbb { Z } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { { \cal S } \in { \cal Q } _ { 1 } ^ { s + 1 } } | { \cal C } _ { \cal S } | } & { = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { \widetilde N ( { \bf d } _ { \cal A } ) } \binom { A - i } { s } - \sum _ { i = 1 } ^ { \widetilde N ( { \bf d } _ { { \cal A } _ { 2 } } ) } \binom { A _ { 2 } - i } { s } \right) } \\ & { \ \cdot \left( \frac { M } { N _ { 1 } F } \right) ^ { s } \left( 1 - \frac { M } { N _ { 1 } F } \right) ^ { A - s } \! \! F . } \end{array}
n _ { \theta } = \int \mathrm { d } \mu \int _ { \mathrm { ~ b ~ a ~ r ~ e ~ l ~ y ~ - ~ p ~ a ~ s ~ s ~ i ~ n ~ g ~ } } \mathrm { d } w \: 2 \pi B ( g ^ { t } - \langle g ^ { t } \rangle _ { \psi } ) + \int \mathrm { d } \mu \: \left[ \mathrm { ~ P ~ V ~ } \! \int \mathrm { d } v _ { \parallel } \: 2 \pi B ( g ^ { p } - \langle g ^ { p } \rangle _ { \psi } ) \right] ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial n _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x } ( n _ { i } v _ { i } ) } & { = } & { 0 , } \\ { n _ { i } \frac { d v _ { i } } { d t } } & { = } & { - \sigma \frac { \partial n _ { i } } { \partial x } - n _ { i } \frac { \partial \phi } { \partial x } , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial x ^ { 2 } } } & { = } & { n _ { e } - \delta _ { i } n _ { i } + \delta _ { d } z _ { d } , } \end{array}
\hat { H } = \sum _ { n } \epsilon _ { n } \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } + J \sum _ { n } ( \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n + 1 } + \hat { c } _ { n } \hat { c } _ { n + 1 } ^ { \dagger } )
\eta = 0 . 1 \mu M _ { 9 } ^ { - 1 / 2 } ( Z B _ { 4 } ) ^ { - 3 / 4 } ( \rho / R _ { g } ) ^ { 1 / 2 } ( h / R _ { g } ) ^ { - 7 / 4 } ; \ \ \ \ \eta \le 1 ,
\begin{array} { r l r } { f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) } & { = } & { c _ { 0 0 0 } ( 1 - x _ { 1 } ) ( 1 - x _ { 2 } ) ( 1 - x _ { 3 } ) + c _ { 0 0 1 } ( 1 - x _ { 1 } ) x _ { 2 } ( 1 - x _ { 3 } ) } \\ & { } & { + c _ { 0 1 0 } ( 1 - x _ { 1 } ) x _ { 2 } ( 1 - x _ { 3 } ) + c _ { 1 0 0 } x _ { 1 } ( 1 - x _ { 2 } ) ( 1 - x _ { 3 } ) + c _ { 0 1 1 } ( 1 - x _ { 1 } ) x _ { 2 } x _ { 3 } } \\ & { } & { + c _ { 1 0 1 } x _ { 1 } x _ { 2 } ( 1 - x _ { 3 } ) + c _ { 1 1 0 } x _ { 1 } x _ { 2 } ( 1 - x _ { 3 } ) + c _ { 1 1 1 } x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } } \end{array}
T ^ { 0 i } = B \tilde { E } _ { i } - ( \partial _ { j } E _ { j } ) A _ { i } - \frac { 2 < B ^ { 2 } > } { \Lambda ^ { 3 } \kappa } \partial _ { i } ( A E ) + \frac { M } { 8 } \partial _ { j } ( A _ { i } \tilde { A } _ { j } + A _ { j } \tilde { A } _ { i } ) ;
\begin{array} { r l } { f _ { ( 0 0 0 ) } ( t ) } & { = a _ { ( 0 0 0 ) } n _ { \mathrm { o b s } , ( 0 0 0 ) } \left( t , \left| \frac { d \vec { \mu } _ { e } } { d Q _ { 1 } } \right| , \left| \frac { d \vec { \mu } _ { e } } { d Q _ { 2 } } \right| , \tau _ { \mathrm { v a c } } \right) + a _ { \mathrm { o f f } , ( 0 0 0 ) } , } \\ { f _ { ( 0 1 0 ) } ( t ) } & { = a _ { ( 0 1 0 ) } n _ { \mathrm { o b s } , ( 0 1 0 ) } \left( t , \left| \frac { d \vec { \mu } _ { e } } { d Q _ { 1 } } \right| , \left| \frac { d \vec { \mu } _ { e } } { d Q _ { 2 } } \right| , \tau _ { \mathrm { v a c } } \right) + a _ { \mathrm { o f f } , ( 0 1 0 ) } , } \\ { f _ { ( 1 0 0 ) } ( t ) } & { = a _ { ( 1 0 0 ) } n _ { \mathrm { o b s } , ( 1 0 0 ) } \left( t , \left| \frac { d \vec { \mu } _ { e } } { d Q _ { 1 } } \right| , \left| \frac { d \vec { \mu } _ { e } } { d Q _ { 2 } } \right| , \tau _ { \mathrm { v a c } } \right) + a _ { \mathrm { o f f } , ( 1 0 0 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( F _ { 1 } , e ) } & { { } : \ensuremath { \Lambda } = 0 , \ \ensuremath { \Omega } = 0 , \ \ensuremath { \Sigma } = 0 \, ; } \\ { ( F _ { 2 } , f ) } & { { } : \ensuremath { \Lambda } = 0 , \ \ensuremath { \Omega } = 1 , \ \ensuremath { \Sigma } = 1 \, ; } \\ { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ( F _ { 3 } , e ) } & { { } : \ensuremath { \Lambda } = 0 , \ \ensuremath { \Omega } = 1 , \ \ensuremath { \Sigma } = 1 , } \end{array}
a _ { s } ^ { * } \Psi ( N _ { 1 } , N _ { 2 } , \ldots , N _ { s } , \ldots ) = ( - 1 ) ^ { N _ { 1 } + N _ { 2 } + \cdots + N _ { s } - 1 } N _ { s } \Psi ( N _ { 1 } , N _ { 2 } , \ldots , 1 - N _ { s } , \ldots ) .
\begin{array} { r l } { | f _ { y } ( \theta , \phi ) | = \left| \int _ { - \frac { b } { 2 } } ^ { \frac { b } { 2 } } { \int _ { - \frac { a } { 2 } } ^ { \frac { a } { 2 } } { } } \right. } & { { } \left\{ \sum _ { m = 1 } ^ { M } \left[ \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \alpha _ { m n } ^ { y } \sin \left( \frac { n \pi } { b } ( y ^ { \prime } + \frac { b } { 2 } ) \right) + \sum _ { n = 0 } ^ { N } \beta _ { m n } ^ { y } \cos \left( \frac { n \pi } { b } ( y ^ { \prime } + \frac { b } { 2 } ) \right) \right) \sin \left( \frac { m \pi } { a } ( x ^ { \prime } + \frac { a } { 2 } ) \right) \right] \right\} } \end{array}
\frac { 4 \pi } { \Omega } \sum _ { \mathbf { G } } \frac { \rho _ { \mu } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { G } + \mathbf { k } ) \rho _ { \xi _ { \nu } } ^ { \mathbf { k } } ( - \mathbf { G } - \mathbf { k } ) + \rho _ { \xi _ { \mu } } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { G } + \mathbf { k } ) \rho _ { \nu } ^ { \mathbf { k } } ( - \mathbf { G } - \mathbf { k } ) - \rho _ { \xi _ { \mu } } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { G } + \mathbf { k } ) \rho _ { \xi _ { \nu } } ^ { \mathbf { k } } ( - \mathbf { G } - \mathbf { k } ) } { | \mathbf { G } + \mathbf { k } | ^ { 2 } }
\left\{ \begin{array} { l l } { { r ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } ( r ) + r f ^ { \prime } ( r ) - [ \frac { \alpha ^ { 2 } r ^ { 4 } } { R ^ { 4 } } - \frac { 4 \sigma \alpha r ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } ] f ( r ) = 0 , } } & { { \qquad r < R , } } \\ { { r ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } ( r ) + r f ^ { \prime } ( r ) - \alpha ^ { 2 } f ( r ) = 0 , } } & { { \qquad r > R . } } \end{array} \right.
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } a _ { n } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } ( s _ { n } - s _ { n - 1 } ) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } s _ { n } - \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } s _ { n - 1 } = L - L = 0 .
\overrightarrow { \xi } = \frac { 1 } { \textsf { P } _ { 0 } } \biggl ( ( c h ( l m ) P _ { 0 } + s h ( l m ) m ) \overrightarrow { \bigtriangledown } + m ^ { - 1 } s h ( l m ) \overrightarrow { P } ( \overrightarrow { P } . \overrightarrow { \bigtriangledown } ) \biggr )
\zeta \frac { \partial } { \partial \zeta } \langle \! \langle { \cal U } ( x _ { \perp } ) \rangle \! \rangle = - { \frac { \alpha _ { s } } { 4 \pi ^ { 2 } } } N _ { c } \int \! d z _ { \perp } [ { \cal U } ( x - z _ { \perp } ) + { \cal U } ( z _ { \perp } ) - { \cal U } ( x _ { \perp } ) ] { \frac { \vec { x } _ { \perp } ^ { 2 } } { ( \vec { x } - \vec { z } ) _ { \perp } ^ { 2 } \vec { z } _ { \perp } ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \phi _ { \delta _ { 1 } } } & { = \frac { \omega _ { B } \delta } { \Omega _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } } \left( 2 \epsilon _ { 1 } + \left( \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } - 1 \right) \epsilon _ { 2 } \right) = \frac { 4 \Delta ^ { 2 } \omega _ { B } \delta } { \Omega ^ { 4 } } \left( 2 \epsilon _ { 1 } + \left( \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } - 1 \right) \epsilon _ { 2 } \right) , } \\ { \phi _ { \delta _ { 2 } } } & { = \frac { \omega _ { B } \delta } { \Omega _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } } \left( 2 \epsilon _ { 2 } + \left( \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } - 1 \right) \epsilon _ { 1 } \right) = \frac { 4 \Delta ^ { 2 } \omega _ { B } \delta } { \Omega ^ { 4 } } \left( 2 \epsilon _ { 2 } + \left( \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } - 1 \right) \epsilon _ { 1 } \right) , } \end{array}
{ \binom { m } { r } } _ { q } = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { ( 1 - q ^ { m } ) ( 1 - q ^ { m - 1 } ) \cdots ( 1 - q ^ { m - r + 1 } ) } { ( 1 - q ) ( 1 - q ^ { 2 } ) \cdots ( 1 - q ^ { r } ) } } } & { r \leq m } \\ { 0 } & { r > m } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \left\langle \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial t } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } } & { + \left\langle \frac { \partial c _ { 2 } } { \partial \tau } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } - \phi ^ { - 1 } \omega ^ { - \gamma } \left[ \nabla _ { \mathbf { x } } \cdot \left( \left\langle \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol \chi \right\rangle \cdot \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } \right) \right] - \phi ^ { - 1 } \omega ^ { - \alpha } \left[ \left( \left\langle \boldsymbol \chi \mathbf k \right\rangle \cdot \nabla _ { \mathbf x } P _ { 0 } \right) \cdot \nabla _ { \mathbf x } \right] \cdot \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } } \\ & { + \omega ^ { - \alpha } \nabla _ { \mathbf x } \cdot \left( \left\langle \mathbf v _ { 0 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } \overline { { c } } _ { 1 } \right) + \omega ^ { - \alpha } \nabla _ { \mathbf x } \cdot \left( \left\langle \mathbf v _ { 1 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } c _ { 0 } \right) + \omega ^ { \beta - \gamma } \mathcal { K ^ { \star } } a c _ { 0 } ^ { a - 1 } \langle c _ { 1 } \rangle _ { \mathcal I \Gamma } = 0 . } \end{array}
R _ { \scriptscriptstyle C H _ { q } ( 2 M ) } ( u _ { 1 } , . . , u _ { M } ) = B \: R _ { \scriptscriptstyle C H _ { q } ( 2 ) ^ { \otimes M } } ( u _ { 1 } , . . , u _ { M } ) \: B ^ { - 1 } \,
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( n ^ { 2 } + p ^ { 2 } ) ^ { k } } = \frac { \sqrt { \pi } \Gamma ( k - \frac { 1 } { 2 } ) } { 2 \Gamma ( k ) p ^ { 2 k - 1 } } - \frac { 1 } { 2 p ^ { 2 k } } + \left( \frac { \pi } { p } \right) ^ { k } \frac { e ^ { - 2 \pi p } } { \Gamma ( k ) } ,