harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \langle 0 | e ^ { Q ^ { \dagger } } e ^ { Q } | 0 \rangle } & { = \sum _ { m , n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( g ^ { * } ) ^ { m } g ^ { n } } { m ! n ! } \underbrace { \langle 0 | ( b _ { 1 } b _ { 2 } ) ^ { m } ( b _ { 1 } ^ { \dagger } b _ { 2 } ^ { \dagger } ) ^ { n } | 0 \rangle } _ { = 0 \mathrm { ~ i f ~ } n \ne m } } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { | g | ^ { 2 n } } { ( n ! ) ^ { 2 } } \langle 0 | ( b _ { 1 } b _ { 2 } ) ^ { n } ( b _ { 1 } ^ { \dagger } b _ { 2 } ^ { \dagger } ) ^ { n } | 0 \rangle } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } | g | ^ { 2 n } = \frac { 1 } { 1 - | g | ^ { 2 } } = u ^ { 2 } } \end{array}
\langle { \vec { p } } \; ^ { \prime } , \vec { \varepsilon } \, | j _ { \mu } ( 0 ) | \, \vec { p } \, \rangle = - i g ( q ^ { 2 } ) \epsilon _ { \mu \nu \lambda \sigma } \varepsilon ^ { * \nu } p ^ { \prime \lambda } p ^ { \sigma } ,
\begin{array} { r l } { G _ { r } ^ { \pm } } & { { } = \pm \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( q c _ { 1 } ^ { \pm } e ^ { - q | z | } + Q c _ { 2 } ^ { \pm } e ^ { - Q | z | } \right) J _ { 1 } ( q r ) \, \mathrm { d } q \, , } \\ { G _ { z } ^ { \pm } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } q \left( c _ { 1 } ^ { \pm } e ^ { - q | z | } + c _ { 2 } ^ { \pm } e ^ { - Q | z | } \right) J _ { 0 } ( q r ) \, \mathrm { d } q \, , } \\ { P ^ { \pm } } & { { } = \pm \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } c _ { 1 } ^ { \pm } e ^ { - q | z | } J _ { 0 } ( q r ) \, \mathrm { d } q \, . } \end{array}
\sigma _ { R } ( \vec { r } ) = \operatorname* { m i n } _ { \theta _ { 0 } } \sqrt { \frac { \int _ { - \frac { \pi } { 2 } } ^ { + \frac { \pi } { 2 } } \theta ^ { 2 } [ R ( \vec { r } , \theta + \theta _ { 0 } ) + R ( \vec { r } , \theta + \theta _ { 0 } - \pi ) ] d \theta } { \int _ { - \pi } ^ { + \pi } R ( \vec { r } , \theta ) d \theta } } ,
W _ { \epsilon } \, = \, \frac { \Phi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \zeta _ { * } ) } { 1 + \epsilon R } \, , \qquad \phi _ { * } - \frac { \bar { r } \dot { \bar { z } } } { 2 \Gamma } \, ( 1 + \epsilon R ) ^ { 2 } \, = \, \Phi _ { \epsilon } ( \zeta _ { * } ) + \Theta \, ,
{ \begin{array} { r c c c l } { \Gamma \left( - { \frac { 3 } { 2 } } \right) } & { = } & { { \frac { 4 { \sqrt { \pi } } } { 3 } } } & { \approx } & { + 2 . 3 6 3 2 7 \, 1 8 0 1 2 \, 0 7 3 5 4 \, 7 0 3 0 6 } \\ { \Gamma \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \right) } & { = } & { - 2 { \sqrt { \pi } } } & { \approx } & { - 3 . 5 4 4 9 0 \, 7 7 0 1 8 \, 1 1 0 3 2 \, 0 5 4 5 9 } \\ { \Gamma \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) } & { = } & { { \sqrt { \pi } } } & { \approx } & { + 1 . 7 7 2 4 5 \, 3 8 5 0 9 \, 0 5 5 1 6 \, 0 2 7 2 9 } \\ { \Gamma ( 1 ) } & { = } & { 0 ! } & { = } & { + 1 } \\ { \Gamma \left( { \frac { 3 } { 2 } } \right) } & { = } & { { \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } } } & { \approx } & { + 0 . 8 8 6 2 2 \, 6 9 2 5 4 \, 5 2 7 5 8 \, 0 1 3 6 4 } \\ { \Gamma ( 2 ) } & { = } & { 1 ! } & { = } & { + 1 } \\ { \Gamma \left( { \frac { 5 } { 2 } } \right) } & { = } & { { \frac { 3 { \sqrt { \pi } } } { 4 } } } & { \approx } & { + 1 . 3 2 9 3 4 \, 0 3 8 8 1 \, 7 9 1 3 7 \, 0 2 0 4 7 } \\ { \Gamma ( 3 ) } & { = } & { 2 ! } & { = } & { + 2 } \\ { \Gamma \left( { \frac { 7 } { 2 } } \right) } & { = } & { { \frac { 1 5 { \sqrt { \pi } } } { 8 } } } & { \approx } & { + 3 . 3 2 3 3 5 \, 0 9 7 0 4 \, 4 7 8 4 2 \, 5 5 1 1 8 } \\ { \Gamma ( 4 ) } & { = } & { 3 ! } & { = } & { + 6 } \end{array} }
\sin \left( { \frac { \pi } { 4 8 } } \right) = \sin \left( 3 . 7 5 ^ { \circ } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 3 } } } } } } } }
{ \mathbf e } _ { { \mathrm { ~ i ~ } } { \mathrm { ~ j ~ } } } ^ { \scriptscriptstyle \mathcal { H } ^ { - 1 } } = - { \mathbf e } _ { { \mathrm { ~ i ~ } } { \mathrm { ~ j ~ } } } ^ { \scriptscriptstyle \mathcal { H } }
{ \begin{array} { r l } { \pi _ { 1 } } & { = { \frac { q \varphi ( r ) } { k _ { \mathrm { B } } T } } = \Phi ( R ( r ) ) } \\ { \pi _ { 2 } } & { = \varepsilon _ { r } } \\ { \pi _ { 3 } } & { = { \frac { a k _ { \mathrm { B } } T \varepsilon _ { 0 } } { q ^ { 2 } } } } \\ { \pi _ { 4 } } & { = a ^ { 3 } I } \\ { \pi _ { 5 } } & { = z _ { 0 } } \\ { \pi _ { 6 } } & { = { \frac { r } { a } } = R ( r ) . } \end{array} }
\prod _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \left[ \int d ^ { D } x | f _ { i } ( x ) | ^ { q q _ { 1 } / q } \right] ^ { \frac { 1 } { q q _ { 1 } / q } } \; \left[ \int d ^ { D } x | f _ { n } ( x ) | ^ { p } \right] ^ { \frac { 1 } { p } } \; = \; \prod _ { i = 1 } ^ { n } \| f _ { i } \| _ { q _ { i } } \; .
\begin{array} { r } { \tilde { \bar { { \bf D } } } _ { 1 } ^ { \pm } ( { \bf s } , x _ { 3 } ) = { \bf J } _ { 2 2 } \{ { \tilde { \bf D } } _ { 1 } ^ { \mp } ( - { \bf s } , x _ { 3 } ) \} ^ { * } { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C } & { { } \propto \frac { 1 } { \beta L ^ { d } } \sum _ { \mathbf { q } } \frac { ( \lambda _ { q } ^ { 2 } \Gamma _ { 2 } ^ { q q } ) ^ { 2 } } { ( i q _ { 0 } - \Omega _ { q } ) ( i q _ { 0 } + \Omega _ { q } ) } } \\ { D } & { { } \propto \int _ { \Lambda } \frac { d ^ { d } q } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \lambda _ { q } ^ { 2 } \Gamma _ { 3 } ^ { q } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { \hat { \boldsymbol E } } _ { c } } & { = } & { - \frac { \boldsymbol J } { \epsilon _ { 0 } } + c ^ { 2 } \boldsymbol \nabla \times \hat { \boldsymbol B } - c g _ { a \gamma \gamma } \boldsymbol \nabla \times \left( \hat { a } \hat { \boldsymbol E } _ { c } \right) } \\ & { + } & { c g _ { a \gamma \gamma } \hat { a } \dot { \hat { \boldsymbol B } } + c g _ { a \gamma \gamma } \hat { a } \boldsymbol \nabla \times { \boldsymbol E } _ { c } - c ^ { 2 } g _ { a \gamma \gamma } ^ { 2 } \left( \hat { a } \hat { \boldsymbol B } \right) \times \boldsymbol \nabla \hat { a } } \\ & { = } & { - \frac { \boldsymbol J } { \epsilon _ { 0 } } + c ^ { 2 } \boldsymbol \nabla \times \hat { \boldsymbol B } + c ^ { 2 } g _ { a \gamma \gamma } \hat { a } \dot { \hat { \boldsymbol B } } } \\ & { + } & { c g \left( \hat { \boldsymbol E } _ { c } - c g _ { a \gamma \gamma } \hat { a } \hat { \boldsymbol B } \right) \times \boldsymbol \nabla \hat { a } . } \end{array}
{ \cal O } _ { M } = \frac { Z _ { M } } { 2 \Lambda ^ { 2 } } \left( { g ^ { \prime } } ^ { 2 } ( D _ { \mu } H ^ { \dagger } H ) ( H ^ { \dagger } D ^ { \mu } H ) + g ^ { 2 } H ^ { \dagger } H ( D _ { \mu } H ^ { \dagger } D ^ { \mu } H ) \right) .
\operatorname* { s u p } _ { z \geq 0 } \left\vert P \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \boldsymbol { \tilde { Z } } _ { n , ( i ) } ( \lambda ) \right\vert \leq z \right) - P \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \boldsymbol { \tilde { Z } } _ { ( i ) } ( \lambda ) \right\vert \leq z \right) \right\vert \rightarrow 0 .
\begin{array} { r l } { P _ { c d } ^ { ( 2 ) } = } & { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \int d \boldsymbol { k } \int d \boldsymbol { k } ^ { \prime } \mathcal { N } ^ { 2 } | \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ) | ^ { 2 } | \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) | ^ { 2 } \cos { \left[ 2 m \left( \tilde { \varphi } + \tilde { \varphi } ^ { \prime } \right) \right] } e ^ { i ( k _ { z } - k _ { z } ^ { \prime } ) z _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { l l l l l } { \mathcal { K } _ { \alpha } ^ { * } } & { : } & { \mathcal { D } \left( \mathcal { K } _ { \alpha } ^ { * } \right) \subset L ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathcal { O } ) } & { \longrightarrow } & { E , } \\ & & { \hfill z } & { \longmapsto } & { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } \mathcal { S } _ { \alpha } ^ { * } ( e ) C ^ { * } z ( e ) d e . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle t \rangle _ { \Omega \, | \, n _ { 0 } } } & { { } = \frac { 1 } { \mu } \left( \frac { 1 } { n _ { 0 } } + \frac { 1 } { n _ { 0 } + 1 } + \cdots + \frac { 1 } { \Omega - 1 } \right) , } \end{array}
\mathrm { D } _ { p } ( \mathrm { d } , \Lambda ^ { k } ) : = \left\{ u \in \mathrm { L } ^ { p } ( \Omega , \Lambda ^ { k } ) \, \left| \, \mathrm { d } u \in \mathrm { L } ^ { p } ( \Omega , \Lambda ^ { k + 1 } ) \right. \right\} \mathrm { ~ a n d ~ } \mathrm { D } _ { p } ( { \delta } , \Lambda ^ { k } ) : = \left\{ u \in \mathrm { L } ^ { p } ( \Omega , \Lambda ^ { k } ) \, \left| \, { \delta } u \in \mathrm { L } ^ { p } ( \Omega , \Lambda ^ { k - 1 } ) \right. \right\} \mathrm { . ~ }
d L ( \tau ) = \left( \gamma L ^ { \alpha } - \frac { \alpha D } { L } + \mathcal { O } \left( \frac { D ^ { 2 } } { L ^ { 2 + \alpha } } \right) \right) d \tau + \sqrt { D } \; d W _ { \tau } \qquad \alpha < 0 \ .
\begin{array} { r l } & { \langle \mathrm { t r } ( \bar { V } i W _ { 1 } V \bar { V } i W _ { 1 } V ) \rangle _ { f } ^ { \mathrm { ( n s ) } } = - \frac { 2 } { \sigma _ { 0 } } \ln \left( \frac { L } { a } \right) \mathrm { t r } ( \bar { V } V ) \mathrm { t r } ( \bar { V } V ) , } \\ & { \langle \mathrm { t r } ( \bar { V } i W _ { 1 } V ) \mathrm { t r } ( \bar { V } i W _ { 1 } V ) \rangle _ { f } ^ { \mathrm { ( n s ) } } = - \frac { 2 } { \sigma _ { 0 } } \ln \left( \frac { L } { a } \right) \mathrm { t r } ( \bar { V } V \bar { V } V ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { v } _ { t } \left( k _ { x } , k _ { y } \right) = \frac { 1 } { L ^ { 2 } } \int _ { [ 0 , L ] \times [ 0 , L ] } d x d y \ \boldsymbol { v } _ { t } ( x , y ) \ e ^ { - i ( k _ { x } x + k _ { y } y ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { n ! \Vert \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , x ) \Vert _ { \mathcal { H } ^ { \otimes n } } ^ { 2 } \ge n ! t ^ { n ( 2 H _ { 0 } - 2 ) } \mu _ { 0 } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 n } C ^ { n } A _ { n } ( t ) } \\ & { = n ! \mu _ { 0 } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 n } C ^ { n } t ^ { n ( 2 H _ { 0 } - 2 ) } t ^ { n ( 2 \beta + 2 \gamma - \frac { \beta ( 2 - 2 H ) } { \alpha } ) } A _ { n } ( 1 ) } \\ & { \ge n ! \mu _ { 0 } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 n } C ^ { n } t ^ { n ( 2 H _ { 0 } - 2 ) } t ^ { n ( 2 \beta + 2 \gamma - \frac { \beta ( 2 - 2 H ) } { \alpha } ) } \mathbb E ^ { - 1 } \left[ \tau ^ { n ( 2 \beta + 2 \gamma - \frac { \beta ( 2 - 2 H ) } { \alpha } ) } \right] } \\ & { = n ! \mu _ { 0 } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 n } C ^ { n } t ^ { n ( 2 H _ { 0 } - 2 ) } t ^ { n ( 2 \beta + 2 \gamma - \frac { \beta ( 2 - 2 H ) } { \alpha } ) } \Gamma \left( n \left[ 2 \beta + 2 \gamma - \frac { \beta ( 2 - 2 H ) } { \alpha } \right] + 1 \right) ^ { - 1 } } \\ & { \ge \mu _ { 0 } ^ { 2 } C ^ { n } \frac { \lambda ^ { 2 n } t ^ { n ( 2 \beta + 2 \gamma - 2 - \frac { \beta ( 2 - 2 H ) } { \alpha } + 2 H _ { 0 } ) } } { ( n ! ) ^ { 2 \beta + 2 \gamma - 1 - \frac { \beta ( 2 - 2 H ) } { \alpha } } } = \mu _ { 0 } ^ { 2 } C ^ { n } \frac { \lambda ^ { 2 n } t ^ { n ( 2 H _ { 0 } \theta + 2 H _ { 0 } ) } } { ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } \theta + 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { 1 1 } ^ { 1 } } & { = \frac { 1 } { 2 } g ^ { 1 1 } \left( \frac { \partial } { \partial { x } } g _ { 1 1 } + \frac { \partial } { \partial { x } } g _ { 1 1 } - \frac { \partial } { \partial { x } } g _ { 1 1 } \right) + \frac { 1 } { 2 } g ^ { 1 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { x } } g _ { 1 2 } + \frac { \partial } { \partial { x } } g _ { 2 1 } - \frac { \partial } { \partial { x } } g _ { 1 1 } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \epsilon x ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( \frac { - 4 \epsilon x } { ( 1 + \epsilon x ^ { 2 } ) ^ { 3 } } ) + 0 } \\ & { = - \frac { 2 \epsilon x } { 1 + \epsilon x ^ { 2 } } } \\ { \Gamma _ { 1 2 } ^ { 1 } } & { = \frac { 1 } { 2 } g ^ { 1 1 } \left( \frac { \partial } { \partial { x } } g _ { 2 1 } + \frac { \partial } { \partial { y } } g _ { 1 1 } - \frac { \partial } { \partial { x } } g _ { 1 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } g ^ { 1 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { x } } g _ { 2 2 } + \frac { \partial } { \partial { y } } g _ { 2 1 } - \frac { \partial } { \partial { y } } g _ { 1 2 } \right) } \\ & { = 0 = \Gamma _ { 2 1 } ^ { 1 } , } \\ { \Gamma _ { 2 2 } ^ { 1 } } & { = \frac { 1 } { 2 } g ^ { 1 1 } \left( \frac { \partial } { \partial { y } } g _ { 2 1 } + \frac { \partial } { \partial { y } } g _ { 1 2 } - \frac { \partial } { \partial { x } } g _ { 2 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } g ^ { 1 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { y } } g _ { 2 2 } + \frac { \partial } { \partial { y } } g _ { 2 2 } - \frac { \partial } { \partial { y } } g _ { 2 2 } \right) } \\ & { = 0 , } \\ { \Gamma _ { 1 1 } ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 1 } \left( \frac { \partial } { \partial { x } } g _ { 1 1 } + \frac { \partial } { \partial { x } } g _ { 1 1 } - \frac { \partial } { \partial { x } } g _ { 1 1 } \right) + \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { x } } g _ { 1 2 } + \frac { \partial } { \partial { x } } g _ { 2 1 } - \frac { \partial } { \partial { y } } g _ { 1 1 } \right) } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { 2 } \mu ^ { 2 } \cdot \partial { y } \left( \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } \mu ^ { 2 } \cdot f ^ { 2 } ( x ) } \right) } \\ & { = 0 , } \\ { \Gamma _ { 1 2 } ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 1 } \left( \frac { \partial } { \partial { x } } g _ { 2 1 } + \frac { \partial } { \partial { y } } g _ { 1 1 } - \frac { \partial } { \partial { x } } g _ { 1 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { x } } g _ { 2 2 } + \frac { \partial } { \partial { y } } g _ { 2 1 } - \frac { \partial } { \partial { y } } g _ { 1 2 } \right) } \\ & { = 0 = \Gamma _ { 2 1 } ^ { 2 } , } \\ { \Gamma _ { 2 2 } ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 1 } \left( \frac { \partial } { \partial { x } } g _ { 2 1 } + \frac { \partial } { \partial { y } } g _ { 1 1 } - \frac { \partial } { \partial { x } } g _ { 1 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { y } } g _ { 2 2 } + \frac { \partial } { \partial { y } } g _ { 2 2 } - \frac { \partial } { \partial { y } } g _ { 2 2 } \right) } \\ & { = 0 . } \end{array}
\mathrm { R e } \, \left[ \frac { 1 } { r } \cdot \frac { 1 } { r } G _ { 1 } \right] = - 1 6 m ^ { 7 } ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \cdot u \, - \, 8 m ^ { 7 } ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } ( \sigma ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } - 2 ) \, \cos \theta \cdot u ^ { 2 } \, + \, { \cal O } ( u ^ { 3 } ) ,
| \pmb { \mathrm { k } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { k } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { k } } _ { m } \rangle = \prod _ { i = 1 } ^ { m } \sqrt { 2 E _ { i } } \, \hat { a } _ { \pmb { \mathrm { k } } _ { i } } ^ { \dagger } | 0 \rangle \quad \mathrm { a n d } \quad | \pmb { \mathrm { p } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { p } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { p } } _ { m } \rangle = \prod _ { j = 1 } ^ { m } \sqrt { 2 E _ { j } } \, \hat { a } _ { \pmb { \mathrm { p } } _ { j } } ^ { \dagger } | 0 \rangle \, .
\nabla ^ { 2 } \phi = \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \frac { \partial \phi } { \partial r } \right) + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial z ^ { 2 } } = 0
D = c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \left( \tau _ { \mathrm { A D } } ^ { + } - \frac { 1 } { 2 } \right) , \qquad \qquad \Lambda = \left( \tau _ { \mathrm { A D } } ^ { + } - \frac { 1 } { 2 } \right) \left( \tau _ { \mathrm { A D } } ^ { - } - \frac { 1 } { 2 } \right) .
\left[ \begin{array} { l } { p _ { i } } \\ { m _ { i } } \\ { Q _ { i l } } \\ { S _ { i l } } \end{array} \right] \propto \left[ \begin{array} { l l l l } { \alpha _ { \mathrm { ~ e ~ e ~ } } ^ { i j } } & { \alpha _ { \mathrm { ~ e ~ m ~ } } ^ { i j } } & { \alpha _ { \mathrm { ~ e ~ e ~ } } ^ { ' i j k } } & { \alpha _ { \mathrm { ~ e ~ m ~ } } ^ { ' i j k } } \\ { \alpha _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ } } ^ { i j } } & { \alpha _ { \mathrm { ~ m ~ m ~ } } ^ { i j } } & { \alpha _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ } } ^ { ' i j k } } & { \alpha _ { \mathrm { ~ m ~ m ~ } } ^ { ' i j k } } \\ { Q _ { \mathrm { ~ e ~ e ~ } } ^ { i l j } } & { Q _ { \mathrm { ~ e ~ m ~ } } ^ { i l j } } & { Q _ { \mathrm { ~ e ~ e ~ } } ^ { ' i l j k } } & { Q _ { \mathrm { ~ e ~ m ~ } } ^ { ' i l j k } } \\ { S _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ } } ^ { i l j } } & { S _ { \mathrm { ~ m ~ m ~ } } ^ { i l j } } & { S _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ } } ^ { ' i l j k } } & { S _ { \mathrm { ~ m ~ m ~ } } ^ { ' i l j k } } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { l } { E _ { j } } \\ { H _ { j } } \\ { \partial _ { k } E _ { j } } \\ { \partial _ { k } H _ { j } } \end{array} \right] ,
\vert n \rangle _ { j } \rightarrow \sum _ { k _ { j } = 0 } ^ { n } \sqrt { \binom { n } { k _ { j } } } \cos ^ { k _ { j } } { \theta _ { j } } \sin ^ { n - k _ { j } } { \theta _ { j } } \vert k _ { j } \rangle _ { \mathrm { ~ u ~ } , j } \vert n - k _ { j } \rangle _ { \mathrm { ~ d ~ } , j } ,
\begin{array} { r } { \bar { V } ( s _ { 0 } , g , \bar { s } ) : = \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } V ^ { i n i t } \big ( { s } _ { 0 } ( z ) , \bar { s } ( 0 , z ) \big ) d z + \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } V ^ { e n d } \big ( \bar { s } ( T , z ) , g ( z ) \big ) d z + \int _ { \Sigma } \bar { L } \big ( \nu ( \tau , z ) \big ) d \mathcal { H } ^ { d } . } \end{array}
\rho _ { E } [ \varphi _ { t } ] = \exp { [ - H [ \varphi _ { t } ] / k _ { \mathrm { B } } T ] } = \exp { \left[ - { \frac { 1 } { k _ { \mathrm { B } } T } } \int { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \tilde { \varphi } } _ { t } ^ { * } ( k ) { \scriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ( | k | ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) \; { \tilde { \varphi } } _ { t } ( k ) \right] } ~ .
\frac { d W } { d \Omega } \left( t \right) = \frac { c \epsilon _ { 0 } r ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \mathrm { t r } \left\{ \hat { \mathbf { E } } ^ { \dagger } \left( \mathbf { r } , t \right) \cdot \hat { \mathbf { E } } \left( \mathbf { r } , t \right) \hat { \rho } \right\} .
\frac { \partial H } { \partial t } = \int d \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } \; \frac { \delta H } { \delta \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) } \; \frac { \partial \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) } { \partial t } \; .
N _ { \alpha , \mathrm { B } } = \frac { 1 } { 2 } { \cal L } _ { \mathrm { i n t } } \, \epsilon \int _ { - 1 } ^ { 0 } ( \mathrm { d } \sigma _ { \alpha } / \mathrm { d } \cos \theta ) \mathrm { d } \cos \theta ,
\partial _ { \kappa } \Gamma _ { \kappa } = \frac 1 2 \mathrm { T r } \int \, \partial _ { \kappa } { \cal R } _ { \kappa } \cdot G _ { \kappa } \, , \qquad G _ { \kappa } \equiv \Big [ \Gamma _ { \kappa } ^ { ( 2 ) } + { \cal R } _ { \kappa } \Big ] ^ { - 1 } \, ,
\begin{array} { r l } { \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } } & { | K ( x ) F ( u ( x ) ) | ^ { l } d x \leq 2 ^ { l - 1 } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } ( \epsilon ( { \Psi _ { x } } ( x , u ( x ) ) ) ^ { l } + c _ { \epsilon } ^ { l } { \mathcal { H } _ { x } ^ { * } } ( x , u ( x ) ) ) d x } \\ & { \leq c _ { 1 } { \epsilon } ^ { l } \operatorname* { m a x } \left\lbrace \| u \| _ { L ^ { \psi _ { 1 } l } ( { \mathbb R } ^ { N } ) } ^ { \psi _ { 1 } l } , \| u \| _ { L ^ { \psi _ { 2 } l } ( { \mathbb R } ^ { N } ) } ^ { \psi _ { 2 } l } \right\rbrace + c _ { 2 } c _ { \epsilon } ^ { l } \operatorname* { m a x } \left\lbrace \| u \| _ { L ^ { \mathcal { H } _ { x } ^ { * } } ( { \mathbb R } ^ { N } ) } ^ { h _ { 1 } ^ { * } } , \| u \| _ { L ^ { \mathcal { H } _ { x } ^ { * } } ( { \mathbb R } ^ { N } ) } ^ { h _ { 2 } ^ { * } } \right\rbrace , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { i j } ( r , \theta ) } & { { } = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { r ^ { \frac { n } { 2 } - 1 } \ \left( A _ { n } f _ { \mathrm { ~ I ~ } , i j } ( \theta , n ) + B _ { n } f _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } , i j } ( \theta , n ) \right) } , } \\ { u _ { i } ( r , \theta ) } & { { } = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \frac { r ^ { \frac { n } { 2 } } } { 2 \mu } \ \left( A _ { n } g _ { \mathrm { ~ I ~ } , i } ( \theta , n ) + B _ { n } g _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } , i } ( \theta , n ) \right) , } \\ { \hat { \sigma } _ { i j } ( r , \theta ) } & { { } = \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } { r ^ { \frac { m } { 2 } - 1 } \ \left( \hat { A } _ { m } f _ { \mathrm { ~ I ~ } , i j } ( \theta , m ) + \hat { B } _ { m } f _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } , i j } ( \theta , m ) \right) } , } \\ { \hat { u } _ { i } ( r , \theta ) } & { { } = \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \frac { r ^ { \frac { m } { 2 } } } { 2 \mu } \ \left( \hat { A } _ { m } g _ { \mathrm { ~ I ~ } , i } ( \theta , m ) + \hat { B } _ { m } g _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } , i } ( \theta , m ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { c } { { S _ { 0 } \sim 3 _ { 0 } \sim \mathbf { 7 5 } } } \\ { { A _ { 0 } \sim 1 _ { 0 } \sim \mathbf { 1 } } } \\ { { \phi _ { 0 } \sim 2 _ { 0 } \sim \mathbf { 1 } } } \end{array}
\Omega = \frac { 2 i } { \pi } \left( \frac { \delta m ^ { 2 } } { 4 E \hbar } \right) \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } ^ { * } } { d t \sqrt { \sin ^ { 2 } { 2 \theta _ { v } } + ( \zeta ( t ) - \cos { 2 \theta _ { v } } ) ^ { 2 } } } \, .
\epsilon ^ { \alpha \mu \nu \beta } \gamma _ { 5 } \gamma _ { \mu } \partial _ { \nu } \Psi _ { \beta } ^ { i } - { \frac { \kappa \epsilon ^ { i j } } { \sqrt 2 } } \big [ F ^ { \alpha \beta } + { \scriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \gamma _ { 5 } \epsilon ^ { \alpha \beta \rho \sigma } F _ { \rho \sigma } \big ] \Psi _ { \beta } ^ { j } = 0 \, .
\mathcal { C } = \left( \mathbb { A } _ { p _ { 1 } } ^ { m _ { 1 } } \times \mathbb { A } _ { p _ { 2 } } ^ { m _ { 2 } } \times \dots \times \mathbb { A } _ { p _ { a } } ^ { m _ { a } } \right) \times \left( \mathbb { A } _ { q _ { 1 } } ^ { n _ { 1 } } \times \mathbb { A } _ { q _ { 2 } } ^ { n _ { 2 } } \times \dots \times \mathbb { A } _ { q _ { b } } ^ { n _ { b } } \right) .
F [ n _ { e } + \delta n ] = { \frac { 1 } { m c ^ { 2 } } } \left( m c ^ { 2 } \int ( n _ { e } + \delta n ) \, d \tau - { \sqrt { m ^ { 2 } c ^ { 4 } + e m c ^ { 2 } \int V ( n _ { e } + \delta n ) \, d \tau } } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { C _ { k } } & { { } = \sqrt { \sum _ { q = - 1 } ^ { + 1 } \left| \langle \Downarrow ; u _ { q } ^ { ( k ) } | V _ { \mathrm { a t o m - m o l } } ^ { ( k ) } | \Uparrow ; \downarrow ^ { ( k ) } \rangle \right| ^ { 2 } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { F } } \{ g _ { _ { P } } * h \} [ k ] } & { \triangleq { \frac { 1 } { P } } \int _ { P } \left( \int _ { P } g _ { _ { P } } ( \tau ) \cdot h _ { _ { P } } ( x - \tau ) \ d \tau \right) e ^ { - i 2 \pi k x / P } \, d x } \\ & { = \int _ { P } g _ { _ { P } } ( \tau ) \left( { \frac { 1 } { P } } \int _ { P } h _ { _ { P } } ( x - \tau ) \ e ^ { - i 2 \pi k x / P } d x \right) \, d \tau } \\ & { = \int _ { P } g _ { _ { P } } ( \tau ) \ e ^ { - i 2 \pi k \tau / P } \underbrace { \left( { \frac { 1 } { P } } \int _ { P } h _ { _ { P } } ( x - \tau ) \ e ^ { - i 2 \pi k ( x - \tau ) / P } d x \right) } _ { H [ k ] , \quad { \mathrm { d u e ~ t o ~ p e r i o d i c i t y } } } \, d \tau } \\ & { = \underbrace { \left( \int _ { P } \ g _ { _ { P } } ( \tau ) \ e ^ { - i 2 \pi k \tau / P } d \tau \right) } _ { P \cdot G [ k ] } \ H [ k ] . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \vert w ( k _ { \pm 2 } ) \vert } & { \le \vert w ( k _ { \pm 2 } , - d ) \vert + \frac 2 \eta ( \vert u _ { 2 } \vert _ { L _ { s } ^ { \infty } } + \vert u _ { 3 } \vert _ { L _ { s } ^ { \infty } } + \vert w ( k _ { \pm 3 } ) \vert _ { L _ { s } ^ { \infty } } ) } \\ & { < 7 \pi L \frac 5 \eta ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } M + 2 M _ { \pm 2 } . } \end{array}
\frac { \partial L _ { v _ { x } } } { \partial \boldsymbol { \Theta } _ { g } } = \frac { \partial L _ { v _ { x } } } { \partial f _ { v _ { x } } } \frac { \partial f _ { v _ { x } } } { \partial g } \frac { \partial g } { \partial \boldsymbol { \Theta } _ { g } } ,
\sum _ { \mathbf { a } } \sum _ { \mathbf { b } } = \sum _ { a _ { 1 } = 0 } ^ { 1 } \dots \sum _ { a _ { s } = 0 } ^ { 1 } \sum _ { b _ { 1 } = 0 } ^ { 1 } \dots \sum _ { b _ { s } = 0 } ^ { 1 } .