harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \vert J _ { 1 , 2 } ^ { \alpha , \delta } ( t , x , \widetilde { \eta } ) \vert } & { \lesssim \vert J _ { 1 , 1 } ^ { \alpha , \delta } ( t , x , \widetilde { \eta } ) \vert + \int _ { 0 } ^ { + \infty } \vert \widetilde { k } \vert \vert \mathrm { D } _ { \xi } \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { t } ^ { \delta } \mathcal { F } _ { v } \nabla _ { v } f ( t , x , \widetilde { k } s ) \vert \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { + \infty } s \vert \widetilde { k } \vert ^ { 2 } \vert \mathrm { D } _ { \xi } ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { t } ^ { \delta } \mathcal { F } _ { v } \nabla _ { v } f ( t , x , \widetilde { k } s ) \vert \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { + \infty } s ^ { 2 } \vert \widetilde { k } \vert ^ { 3 } \vert \mathrm { D } _ { \xi } ^ { 3 } \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { t } ^ { \delta } \mathcal { F } _ { v } \nabla _ { v } f ( t , x , \widetilde { k } s ) \vert \, \mathrm { d } s . } \\ & { \lesssim \Vert \partial _ { t } ^ { \delta } f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { \sigma + 3 } ^ { 5 + \vert \alpha \vert + { \frac { d } { 2 } } ^ { + } } } \left( 1 + \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \vert \widetilde { k } \vert } { 1 + \vert \widetilde { k } \vert ^ { 2 } s ^ { 2 } } \, \mathrm { d } s + \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \vert \widetilde { k } \vert ^ { 2 } s } { 1 + \vert \widetilde { k } \vert ^ { 3 } s ^ { 3 } } \, \mathrm { d } s + \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \vert \widetilde { k } \vert ^ { 3 } s ^ { 2 } } { 1 + \vert \widetilde { k } \vert ^ { 4 } s ^ { 4 } } \, \mathrm { d } s \right) } \\ & { \lesssim \Vert \partial _ { t } ^ { \delta } f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { \sigma + 3 } ^ { 5 + \vert \alpha \vert + { \frac { d } { 2 } } ^ { + } } } \left( 1 + \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { 1 + s ^ { 2 } } \, \mathrm { d } s + \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { s } { 1 + s ^ { 3 } } \, \mathrm { d } s + \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { s ^ { 2 } } { 1 + s ^ { 4 } } \, \mathrm { d } s \right) . } \end{array}
{ \frac { \pi } { 4 } } = 1 2 \arctan { \frac { 1 } { 4 9 } } + 3 2 \arctan { \frac { 1 } { 5 7 } } - 5 \arctan { \frac { 1 } { 2 3 9 } } + 1 2 \arctan { \frac { 1 } { 1 1 0 4 4 3 } }
\Phi = ( 2 \cdot n _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ r ~ a ~ m ~ e ~ t ~ e ~ r ~ } } + 1 ) \cdot n _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ m ~ p ~ l ~ e ~ x ~ } } \quad \mathrm { ~ ; ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad n _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ m ~ p ~ l ~ e ~ x ~ } } = n _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ r ~ a ~ m ~ e ~ t ~ e ~ r ~ } }
\Gamma _ { A ( T ) } ^ { \mu } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) = q ^ { - 2 } q _ { \nu } [ i S _ { F } ^ { - 1 } ( p _ { 1 } ) \sigma ^ { \mu \nu } \gamma _ { 5 } - i \sigma ^ { \mu \nu } \gamma _ { 5 } S _ { F } ^ { - 1 } ( p _ { 2 } ) + i ( p _ { 1 \lambda } + p _ { 2 \lambda } ) \varepsilon ^ { \lambda \mu \nu \rho } \Gamma _ { V \rho } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) ] .
\hat { H } _ { A F H } = \sum _ { \langle i , j \rangle } \hat { \sigma } _ { i } ^ { x } \hat { \sigma } _ { j } ^ { x } + \hat { \sigma } _ { i } ^ { y } \hat { \sigma } _ { j } ^ { y } + \hat { \sigma } _ { i } ^ { z } \hat { \sigma } _ { j } ^ { z } ,
\begin{array} { r } { \delta f _ { m } ( r , t ) = - e ^ { - i m \Omega _ { d } t } \int _ { - \infty } ^ { t } d t ^ { \prime } \ e ^ { + i m \Omega _ { d } t ^ { \prime } } \left( \frac { 8 r ^ { 2 } \dot { A } _ { m } ( t ^ { \prime } ) } { 2 1 B _ { 0 } } - i m \frac { \mu A _ { m } ( t ^ { \prime } ) } { q B _ { 0 } \gamma } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } . } \end{array}
\tan \theta = { \frac { \mathrm { o p p o s i t e } } { \mathrm { a d j a c e n t } } } = { \frac { \left( { \frac { \mathrm { o p p o s i t e } } { \mathrm { h y p o t e n u s e } } } \right) } { \left( { \frac { \mathrm { a d j a c e n t } } { \mathrm { h y p o t e n u s e } } } \right) } } = { \frac { \sin \theta } { \cos \theta } }
\begin{array} { r l } { \frac { d s } { d t _ { s } } = } & { { } \lambda \, \, \langle S _ { 1 2 } \rangle ( C , \kappa ) \big [ 1 6 ( 1 - 2 s ) ^ { 2 } F ( s ) - 1 6 ( 1 - 2 s ) G ( s ) \big ] , \, } \\ { \frac { d C } { d t _ { s } } = } & { { } \frac { \beta \, C } { 2 \pi } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { 6 } I _ { n } ( C , \kappa ) F _ { n } ^ { f } ( \kappa ) + \sum _ { n = 1 } ^ { 4 } J _ { n } ( C , \kappa ) G _ { n } ^ { f } ( \kappa ) \right) , } \end{array}
L _ { G B } = { \frac { 4 } { R ^ { 2 } } } \, \left( [ ( e ^ { 2 U } ) ^ { \prime } \, R ^ { \prime } ] ^ { 2 } - ( e ^ { 2 U } ) ^ { \prime \prime } + ( e ^ { 2 U } ) \, ( R ^ { \prime } ) ^ { 2 } \, ( e ^ { 2 U } ) ^ { \prime \prime } + 2 \, ( e ^ { 2 U } ) \, ( e ^ { 2 U } ) ^ { \prime } \, R ^ { \prime } ( r ) \, R ^ { \prime \prime } \right) \ .
\begin{array} { r l } { f \in \mathcal { T } ( \eta ^ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } , \ldots , \eta ^ { 2 } - x _ { n } ^ { 2 } ) _ { ( \ell + 1 ) n } } & { \subseteq \mathcal { Q } ( 1 - x _ { 1 } ^ { 2 } , \ldots , 1 - x _ { n } ^ { 2 } ) _ { n ( \ell + 1 ) + n ( 2 q - 2 ) } } \\ & { = \mathcal { Q } ( 1 - x _ { 1 } ^ { 2 } , \ldots , 1 - x _ { n } ^ { 2 } ) _ { n ( 2 q + \ell - 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { } } & { { T \left( \pi ( k _ { 1 } ) + \pi ( k _ { 2 } ) \to \chi ( k _ { 3 } ) + \chi ( k _ { 4 } ) \right) } } \\ { { = } } & { { \displaystyle - g _ { \pi } g _ { \chi } ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { 4 } ( k _ { 1 } + k _ { 2 } - k _ { 3 } - k _ { 4 } ) } } \\ { { } } & { { \displaystyle \times \left[ \frac { 2 \cos ( k _ { 1 + } , - p _ { + } , k _ { 2 + } ) 2 \cos ( - k _ { 3 + } , p _ { + } , - k _ { 4 + } ) } { 2 E _ { { \bf k } _ { 1 } + { \bf k } _ { 1 } } ( k _ { 1 } ^ { 0 } + k _ { 2 } ^ { 0 } - E _ { { \bf k } _ { 1 } + { \bf k } _ { 1 } } + i \epsilon ) } \right. } } \\ { { } } & { { \displaystyle + \left. \frac { 2 \cos ( - k _ { 3 + } , p _ { - } , - k _ { 4 + } ) 2 \cos ( k _ { 1 + } , - p _ { - } , k _ { 2 + } ) } { 2 E _ { { \bf k } _ { 3 } + { \bf k } _ { 4 } } ( - k _ { 3 } ^ { 0 } - k _ { 4 } ^ { 0 } - E _ { { \bf k } _ { 3 } + { \bf k } _ { 4 } } + i \epsilon ) } \right] . } } \end{array}
\delta H _ { m } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { r < R , } \\ { \frac { m _ { e } } { M } ( \bar { \phi } _ { \mathrm { o u t } } - \frac { B } { r } - \frac { Q ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } M _ { \gamma } r ^ { 2 } } ) } & { r \geq R . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { g ^ { 1 } ( \pmb { \mathscr { s } } ) = \varrho _ { \pmb { x } } \mathrm { ~ , ~ } g ^ { 2 } ( \pmb { \mathscr { s } } ) = \pmb { \mathscr { u } } _ { \pmb { x } } \cdot \hat { \varphi } \mathrm { ~ , ~ } g ^ { 3 } ( \pmb { \mathscr { s } } ) = \pmb { \mathscr { u } } _ { \pmb { x } } \cdot \hat { \theta } \mathrm { ~ , ~ a ~ n ~ d ~ } g ^ { 4 } ( \pmb { \mathscr { s } } ) = \mathscr { T } _ { \pmb { x } } \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p _ { L _ { 1 } L _ { 2 } | M } ( l | a ) = \sum _ { k \in { \cal K } } p _ { K _ { 1 } K _ { 2 } | M } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } | a ) \chi _ { \varphi _ { 1 } ( k _ { 1 } ) , l _ { 1 } } \chi _ { \varphi _ { 2 } ( k _ { 2 } ) , l _ { 2 } } } \\ & { \mathrm { ~ f o r ~ } ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) \in { \cal L } _ { 1 } \times { \cal L } _ { 2 } . } \end{array}
\Gamma ( J / \psi \to l ^ { + } l ^ { - } ) = \left( \, \sum _ { k = 0 } c _ { k } ( \mu ) \left( \frac { \alpha _ { s } ( m _ { c } ) } { \pi } \right) ^ { \! k } \, \right) ^ { \! 2 } \frac { 4 \pi e _ { c } ^ { 2 } \alpha _ { e m } ^ { 2 } } { 3 M _ { J / \psi } } \, \frac { 1 2 \, | \Psi ( 0 ) | ^ { 2 } ( \mu ) } { M _ { J / \psi } } ,
\begin{array} { r } { \sum _ { j } g _ { j } ^ { 2 } = A \rho g _ { 0 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { d _ { g } } d z \, e ^ { - 2 z / z _ { 0 } } = g _ { 0 } ^ { 2 } \frac { N _ { z _ { 0 } } } { 2 } \left( 1 - e ^ { - 2 d _ { g } / z _ { 0 } } \right) , } \end{array}
d s ^ { 2 } = \exp ^ { - 2 A _ { 0 } ( y ) } \left( 1 + 2 f ( t , y ) \right) d t ^ { 2 } - a ( t ) ^ { 2 } \exp ^ { - 2 A _ { 0 } ( y ) } \left( 1 + 2 g ( t , y ) \right) d \vec { x } ^ { 2 } - b _ { 0 } ^ { 2 } d y ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { c ^ { \left( b \right) } \left( e , \mathbf { p } _ { + } ^ { \left( 3 , 0 \right) } + \hbar \mathbf { k } , T _ { 3 , 0 } + \tau \right) } & { { } = } & { S _ { e g } ^ { \left( 3 , 0 \right) } \left( \mathbf { p } _ { + , T _ { 3 , 0 } + \tau } ^ { \left( 3 , 0 \right) } + \hbar \mathbf { k } / 2 \right) c \left( g , \mathbf { p } _ { - } ^ { \left( 3 , 0 \right) } , T _ { 3 , 0 } \right) , } \\ { c ^ { \left( r \right) } \left( e , \mathbf { p } _ { + } ^ { \left( 3 , 0 \right) } + \hbar \mathbf { k } , T _ { 3 , 0 } + \tau \right) } & { { } = } & { S _ { e e } ^ { \left( 3 , 0 \right) } \left( \mathbf { p } _ { + , T _ { 3 , 0 } + \tau } ^ { \left( 3 , 0 \right) } + \hbar \mathbf { k } / 2 \right) c \left( e , \mathbf { p } _ { - } ^ { \left( 3 , 0 \right) } + \hbar \mathbf { k } , T _ { 3 , 0 } \right) . } \end{array}
B _ { \| } ^ { * } \equiv \widehat { \sf z } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, { \bf B } ^ { * } \; = \; \widehat { \sf z } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla \Psi ^ { * } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \times ~ } \, \nabla \Theta \; = \; B _ { 0 } \; d \Psi ^ { * } / d \Psi ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \tau } \hat { f } ( \tau ) = } & { { } - \Theta ( \beta _ { T } - \tau ) \left[ - \hat { H } ^ { ( 0 ) } \hat { f } ( \tau ) + \hat { f } ( \tau ) \hat { H } \right] } \end{array}
\operatorname* { l i m i n f } _ { \tau \rightarrow 0 } \int _ { 0 } ^ { \overline { { t } } _ { \tau } ( t ) } \Psi \left( \underline { { y } } _ { \mathrm { v i } , \tau } , \dot { \hat { y } } _ { \mathrm { v i } , \tau } \right) \geq \operatorname* { l i m i n f } _ { \tau \rightarrow 0 } \int _ { 0 } ^ { t } \Psi { \left( \underline { { y } } _ { \mathrm { v i } , \tau } , \dot { \hat { y } } _ { \mathrm { v i } , \tau } \right) } .
\begin{array} { r l } { J ^ { B } \rho ( z , t ) } & { { } = J ^ { B } \sum _ { s } q _ { s } \int d v _ { z } d \tilde { \mu } J _ { \mu } ~ f _ { s } ( z , v _ { z } , \mu , t ) = \sum _ { p } q _ { p } w _ { p } \delta ( z - z _ { p } ( t ) ) , } \\ { J ^ { B } j _ { z } ( z , t ) } & { { } = J ^ { B } \sum _ { s } q _ { s } \int d v _ { z } d \tilde { \mu } J _ { \mu } ~ v _ { z } f _ { s } ( z , v _ { z } , \mu , t ) = \sum _ { p } q _ { p } w _ { p } v _ { z , p } ( t ) \delta ( z - z _ { p } ( t ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { n | k } ^ { \mathrm { ( i i ) } } = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } } & { } \\ { \times \sum _ { l = k - n + 1 } ^ { k } } & { \binom { k } { l } \left[ B _ { n \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } , ( n + 1 ) \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } } \left( l + 1 , k - l + 1 \right) \right. } \\ & { \left. - B _ { ( n - 1 ) \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } , n \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } } \left( l + 1 , k - l + 1 \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { U } _ { t + 1 } } & { = \operatorname* { m i n } _ { \nu _ { t } > 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \tau _ { t } \ge 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } \ge 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \rho _ { t } ^ { 2 } \ge h \left( \nu _ { t } , \tau _ { t } , \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } \right) } \left( \rho _ { t } ^ { 2 } \hat { U } _ { t } + F ( \nu _ { t } , \tau _ { t } ) \right) \right) \right) \right) } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { \nu _ { t } > 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \tau _ { t } \ge 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } \ge 0 } \, \left( h ( \nu _ { t } , \tau _ { t } , \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } ) \hat { U } _ { t } + F ( \nu _ { t } , \tau _ { t } ) \right) \right) \right) } \\ & { = \left( \sqrt { \hat { \rho } _ { t } \hat { U } _ { t } + 2 \alpha _ { t } ^ { 2 } G _ { t } ^ { 2 } } + \sigma _ { t } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { i } ( t ) } & { { } = \mu _ { i } ( 0 ) + \sum _ { j } \mu _ { i j } ^ { ( 1 ) } ( t ) \mathcal { E } _ { j } + \sum _ { j k } \mu _ { i j k } ^ { ( 2 ) } ( t ) \mathcal { E } _ { j } \mathcal { E } _ { k } + \sum _ { j k l } \mu _ { i j k l } ^ { ( 3 ) } ( t ) \mathcal { E } _ { j } \mathcal { E } _ { k } \mathcal { E } _ { l } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \varepsilon } ( w ) } & { = - \left( \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } ( \mathbf { x } _ { i } - \mathbf { x } _ { j } ) + q ^ { 1 / 4 } \sigma \varepsilon ^ { - 1 / 2 } ( u _ { i } - u _ { j } ) \right) \left( \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma - \frac { \varepsilon ( v / \sigma ) ^ { 2 } } { 2 } \right) } \\ & { \qquad - \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } ( \mathbf { x } _ { i } - \mathbf { x } _ { j } ) \Bigl ( - \varepsilon ^ { 1 / 2 } ( a + b ) v / \sigma + \frac { \varepsilon ( b ^ { 2 } - a ^ { 2 } ) ( v / \sigma ) ^ { 2 } } { 2 } \Bigr ) + O ( \varepsilon ^ { 1 / 2 } v ) . } \end{array}
p = g T \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, \ln \left( 1 + \exp ( - \frac { q ^ { 2 } } { 2 m T } - \frac { m } { T } \varphi + \frac { \mu _ { N R } } { T } ) \right) \, ,
\left\langle { { \left( \delta { { a } ^ { \mathrm { ~ U ~ S ~ P ~ } } } \right) } ^ { 2 } } \right\rangle = \left\langle { { \left( \delta { { a } ^ { \mathrm { ~ D ~ N ~ S ~ } } } \right) } ^ { 2 } } \right\rangle + \left\langle { { \left( \delta { { a } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } } \right) } ^ { 2 } } \right\rangle
\begin{array} { r l } { { } ^ { n } q ^ { ( \ell + 1 ) } } & { { } = { } ^ { n } q ^ { ( \ell ) } ( T ) + \frac { 1 } { | \mathcal { N } ( n ) | } \sum _ { m \in \mathcal { N } ( n ) } { } ^ { m } q ^ { ( \ell ) } ( T ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { F _ { - 1 } = F _ { + 2 } } \\ { F _ { - 2 } = F _ { + 1 } + F _ { + 3 } } \\ { F _ { - 3 } = F _ { + 4 } } \\ { F _ { - 4 } = F _ { + 1 } + F _ { + 3 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n \left\| \nabla _ { \theta _ { i } } C _ { n } ( \theta _ { i } ) \right\| _ { 1 } } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n ( \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left\| \nabla _ { \theta _ { i } } C _ { n } ( \theta _ { i } ) \right\| _ { 1 } } \\ & { \leq ( \operatorname { E } | X _ { i , t } | ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left\| \nabla _ { \theta _ { i } } C _ { n } ( \theta _ { i } ) \right\| _ { 1 } } \\ & { = ( \operatorname { E } | X _ { i , t } | ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { K _ { i } } \left| \frac { \partial } { \partial \theta _ { i j } } \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] \right| < \infty , } \end{array}
F x ( K _ { 1 } , K _ { 2 } , \ldots , K _ { r } ) = \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { N _ { 1 } - 1 } \sum _ { n _ { 2 } = 0 } ^ { N _ { 2 } - 1 } \cdots \sum _ { n _ { r } = 0 } ^ { N _ { r } - 1 } f x ( n _ { 1 } , n _ { 2 } , \ldots , n _ { r } ) \cos { \frac { \pi ( 2 n _ { 1 } + 1 ) K _ { 1 } } { 2 N _ { 1 } } } \cdots \cos { \frac { \pi ( 2 n _ { r } + 1 ) K _ { r } } { 2 N _ { r } } }
\begin{array} { r l } & { \mathcal { \hat { H } } _ { \mathrm { G T C } } = \sum _ { { \boldsymbol k } } \hat { a } _ { \boldsymbol k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \boldsymbol k } \omega _ { c } ( { \boldsymbol k } ) + \omega _ { 0 } \sum _ { u } \hat { d } _ { u } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u } + \sum _ { \langle u , v \rangle } \tau _ { u v } ( \hat { d } _ { u } ^ { \dagger } \hat { d } _ { v } + \hat { d } _ { u } \hat { d } _ { v } ^ { \dagger } ) + \sum _ { { \boldsymbol k } , u } \mu _ { 0 } \lambda _ { \boldsymbol k } \big ( e ^ { - i { \boldsymbol k _ { \parallel } } \cdot { \bf R } _ { u } } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { u } + e ^ { i { \boldsymbol k _ { \parallel } } \cdot { \bf R } _ { u } } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } \hat { d } _ { u } ^ { \dagger } \big ) \sin ( { k _ { y } } ( \hat { \bf y } \cdot { \bf R } _ { u } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { \rho } ^ { * } } | T _ { a } ^ { \varphi } \mathfrak { a } ( x ) | ^ { p } \, \, \mathrm { d } x \leq \sum _ { j = 1 } ^ { \operatorname* { m a x } \{ k _ { Q } , 0 \} } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { \rho } ^ { * } } | T _ { j } \mathfrak { a } ( x ) | ^ { p } \, \, \mathrm { d } x } \\ & { \qquad + \sum _ { j = \operatorname* { m a x } \{ k _ { Q } + 1 , 1 \} } ^ { \infty } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { \rho } ^ { * } } | T _ { j } \mathfrak { a } ( x ) | ^ { p } \, \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \stackrel [ ( i , l , k ) \in \mathbb { B } ] { \operatorname* { s u p } } \underset { t \in \mathcal { T } } { \operatorname* { m a x } } \left| \tilde { \beta } _ { k } ^ { i , l } ( t ) - \beta _ { k } ^ { i , l } ( t ) - \frac { 1 } { n b _ { k } ^ { i , l } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } K _ { b _ { k } ^ { i , l } } ( t _ { j } - t ) \tilde { e } _ { j , k } ^ { i , l } \right| ^ { q } } \\ & { \leq \underset { ( i , l , k ) \in \mathbb { B } } { \sum } \underset { t \in \mathcal { T } } { \operatorname* { s u p } } \left| \tilde { \beta } _ { k } ^ { i , l } ( t ) - \beta _ { k } ^ { i , l } ( t ) - \frac { 1 } { n b _ { k } ^ { i , l } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } K _ { b _ { k } ^ { i , l } } ( t _ { j } - t ) \tilde { e } _ { j , k } ^ { i , l } \right| ^ { q } . } \end{array}
p _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } \mathrm { P r o b } ( \tilde { l } ^ { n } \neq l ^ { n } ) \leq p _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } 2 ^ { - \left\lceil - \log _ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ } } \right\rceil } \leq \varepsilon _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ } } .
\begin{array} { r l } { \ln x _ { 0 } [ \phi ( r ; \lambda _ { G } ) ] } & { { } = - \beta \left( \int _ { 0 } ^ { 2 \; \mathrm { ~ \AA ~ } } \langle F _ { \mathrm { { W a l l } } } ( \lambda ) \rangle \; d \lambda + \int _ { 2 \; \mathrm { ~ \AA ~ } } ^ { \lambda _ { G } } \langle F _ { \mathrm { { W a l l } } } ( \lambda ) \rangle \; d \lambda \right) } \end{array}
\varphi - \int ^ { r } { \frac { p _ { \varphi } d r } { r ^ { 2 } { \sqrt { { \frac { p _ { t } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } - \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } \right) \left( c ^ { 2 } + { \frac { p _ { \varphi } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } \right) } } } } = \mathrm { c o n s t a n t }
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( t , x , y ) } & { { } = \frac { \partial u } { \partial t } + \beta \left( u \frac { \partial u } { \partial x } + v \frac { \partial u } { \partial y } \right) + \frac { \partial p } { \partial x } - \nu \left( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } \right) } \\ { f _ { 2 } ( t , x , y ) } & { { } = \frac { \partial v } { \partial t } + \beta \left( u \frac { \partial v } { \partial x } + v \frac { \partial v } { \partial y } \right) + \frac { \partial p } { \partial y } - \nu \left( \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial y ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\phi _ { U V } = 1 - { \frac { 1 } { 4 } } y ^ { 2 } \log { \frac { Y } { y } } + y ^ { 4 } [ { \frac { 1 } { 4 8 } } \log ^ { 3 } { \frac { Y } { y } } + { \frac { 1 } { 6 4 } } \log ^ { 2 } { \frac { Y } { y } } + { \frac { 1 } { 1 2 8 } } \log { \frac { Y } { y } } + C ] + . . .
G ( z ) = c \, \exp \left( { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } { \frac { e ^ { i \theta } + z } { e ^ { i \theta } - z } } \log \! \left( \varphi \! \left( e ^ { i \theta } \right) \right) \, \mathrm { d } \theta \right)
\begin{array} { r l } { \mathrm { L i p } _ { V \to L _ { \sigma } ^ { p } } ( F _ { \rho } ) } & { { } = \mathrm { L i p } _ { V \to L _ { \sigma } ^ { p } } ( F _ { \rho } \, | \, \overline { { B _ { \rho } ( 0 ) } } ) } \end{array}
N _ { \pm } ( X ; E _ { p } , \pm \hat { \bf p } ) = \int \frac { d ^ { \, 3 } q } { 2 | p _ { 0 } | } \, e ^ { - i { \bf p } \cdot { \bf q } X _ { 0 } / p _ { 0 } + i { \bf q } \cdot { \bf X } } F _ { \pm } ( \pm { \bf p } - { \bf q } / 2 ; \pm { \bf p } + { \bf q } / 2 ) .
\int _ { y } \Delta _ { \varphi } ( x _ { 1 } , y ) \frac { \delta ^ { 2 } S _ { B } } { \delta \varphi ( y ) \delta \varphi ( x _ { 2 } ) } = \int _ { y } \frac { \delta ^ { 2 } S _ { B } } { \delta \varphi ( x _ { 1 } ) \delta \varphi ( y ) } \Delta _ { \varphi } ( y , x _ { 2 } ) = \delta ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \; .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 2 } ^ { \tt m } ( Q ; B , d ) } & { \leq \alpha _ { 2 } ^ { \tt m } ( Q _ { \tt a } ; B , 1 ) \cdot \alpha _ { 2 } ( Q _ { { \tt a t } , R } ; 1 , d ) } \\ & { \leq \alpha _ { 2 } ^ { \tt m } ( Q _ { \tt a } ; B , 1 ) \cdot \sqrt { \frac { 9 + 3 \ln s } { ( k - 1 ) ^ { 2 } } + 1 } } \\ & { \leq B \sqrt { \frac { 1 } { 4 ( k _ { g } - 1 ) ^ { 2 } } + { \frac { a _ { g } ( h _ { g } - 1 ) } { 4 ( k _ { g } - 1 ) ^ { 2 } } } + 1 } \cdot \sqrt { \frac { 9 + 3 \ln s } { ( k - 1 ) ^ { 2 } } + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { M F } ( \pmb { \theta } ) } & { = \mathcal { L } _ { H } ( \pmb { \theta } ) + \mathcal { L } _ { L } ( \pmb { \theta } ) } \\ & { = \underbrace { \frac { 1 } { N _ { H R } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { H R } } { \left\| \mathcal { N } ( \mathbf { y } _ { H } ( \mathbf { x } _ { H R } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } + \frac { 1 } { N _ { H B } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { H B } } { \left\| \mathcal { B } ( \mathbf { y } _ { H } ( \mathbf { x } _ { H B } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } } _ { \mathrm { H i g h - f i d e l i t y ~ p h y s i c s } } } \\ & { + \underbrace { \frac { 1 } { N _ { L D } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { L D } } { \left\| \mathbf { y } _ { L } ( \mathbf { x } _ { L D } ^ { i } ) - \mathbf { y } _ { L } ^ { i , * } \right\| ^ { 2 } } } _ { \mathrm { L o w - f i d e l i t y ~ l a b e l e d ~ d a t a } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { c _ { n + 1 } ( t ) } & { { } = c _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } R H S [ c _ { n } ] d \tau } \\ { d _ { n + 1 } ( t ) } & { { } = d _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } R H S [ d _ { n } ] d \tau } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { T \otimes S \colon \underbrace { \Omega ^ { 1 } ( M ) \times \cdots \times \Omega ^ { 1 } ( M ) } _ { p } \times \underbrace { \mathfrak { X } ( M ) \times \cdots \times \mathfrak { X } ( M ) } _ { q } } \\ & { \qquad \times \underbrace { \Omega ^ { 1 } ( M ) \times \cdots \times \Omega ^ { 1 } ( M ) } _ { r } \times \underbrace { \mathfrak { X } ( M ) \times \cdots \times \mathfrak { X } ( M ) } _ { s } \rightarrow C ^ { \infty } ( M ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { 2 } = } & { 2 q \gamma k _ { 2 } , } \\ { m _ { 4 } = } & { 2 q \gamma ( 2 \gamma + 2 ) ( 2 q \gamma + 2 ) k _ { 4 } + [ ( 2 q \gamma ) ^ { 2 } + 2 q \gamma ( 2 \gamma + 2 ) ] k _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ { m _ { 6 } = } & { \Big [ 2 q \gamma ( 2 \gamma + 2 ) ( 2 q \gamma + 2 ) ( 2 \gamma + 4 ) ( 2 q \gamma + 4 ) \Big ] k _ { 6 } } \\ { + } & { \Big [ 2 q \gamma ( 2 \gamma + 2 ) ( 2 q \gamma + 2 ) ( 3 \times 2 q \gamma + 2 \gamma + 2 + 2 q \gamma + 2 + 2 \gamma + 4 + 2 q \gamma + 4 ) \Big ] k _ { 4 } k _ { 2 } } \\ { + } & { \Big [ ( 2 q \gamma ) ^ { 3 } + 2 ( 2 q \gamma ) ^ { 2 } ( 2 \gamma + 2 ) + 2 q \gamma ( 2 \gamma + 2 ) ( 2 q \gamma + 2 ) \Big ] k _ { 2 } ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \Pi } _ { N + 1 } ^ { \mathrm { ( i ) } } ( \tau _ { 2 } ) = 1 - \sum _ { k = 0 } ^ { N } \hat { F } _ { k } \left[ \eta _ { \mathrm { i r } } ( \tau _ { 2 } ; N ) \right] . } \end{array}