harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { U ( t , \xi ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \frac 2 3 t + \frac { 1 } { 1 8 } \alpha t ^ { 2 } , } & { \xi \leq - 1 , } \\ { \left( - \bigl | \bar { y } ( \xi ) \bigr | ^ { \frac { 1 } { 3 } } + \frac { t } { 3 } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 8 } \left( 2 - \alpha \right) t ^ { 2 } , } & { - 1 < \xi < \xi ( t ) , } \\ { \frac { 1 } { 9 } ( 1 - \alpha ) \left( 3 \bigl | \bar { y } ( \xi ) \bigr | ^ { \frac { 1 } { 3 } } - t \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 8 } ( 2 - \alpha ) t ^ { 2 } , } & { \xi ( t ) \leq \xi \leq \frac { 4 } { 3 } , } \\ { \left( \bigl | \bar { y } ( \xi ) \bigr | ^ { \frac { 1 } { 3 } } + \frac { t } { 3 } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 8 } \left( 2 + \alpha \right) t ^ { 2 } , } & { \frac { 4 } { 3 } < \xi \leq \frac { 1 1 } { 3 } , } \\ { 1 + \frac 2 3 t - \frac { 1 } { 1 8 } \alpha t ^ { 2 } , } & { \frac { 1 1 } { 3 } < \xi , } \end{array} \right. } \\ { y ( t , \xi ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \xi + t - \frac 1 3 t ^ { 2 } + \frac { 1 } { 5 4 } \alpha t ^ { 3 } , } & { \xi \leq - 1 , } \\ { \left( - \bigl | \bar { y } ( \xi ) \bigr | ^ { \frac { 1 } { 3 } } + \frac { t } { 3 } \right) ^ { 3 } - \frac { 1 } { 5 4 } \left( 2 - \alpha \right) t ^ { 3 } , } & { - 1 < \xi < \xi ( t ) , } \\ { - \frac { 1 } { 2 7 } \left( 1 - \alpha \right) \left( 3 \bigl | \bar { y } ( \xi ) \bigr | ^ { \frac { 1 } { 3 } } - t \right) ^ { 3 } - \frac { 1 } { 5 4 } ( 2 - \alpha ) t ^ { 3 } , } & { \xi ( t ) \leq \xi \leq \frac { 4 } { 3 } , } \\ { \left( \bigl | \bar { y } ( \xi ) \bigr | ^ { \frac { 1 } { 3 } } + \frac { t } { 3 } \right) ^ { 3 } - \frac { 1 } { 5 4 } ( 2 + \alpha ) t ^ { 3 } , } & { \frac { 4 } { 3 } < \xi \leq \frac { 1 1 } { 3 } , } \\ { \xi - \frac 8 3 + t + \frac 1 3 t ^ { 2 } - \frac { 1 } { 5 4 } \alpha t ^ { 3 } , } & { \frac { 1 1 } { 3 } < \xi , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { x _ { 1 } \in { \mathcal X } _ { 1 } } c _ { 1 } ^ { \top } x _ { 1 } + \operatorname* { m a x } _ { { \mathbb P } ^ { 2 } \in { \mathcal P } _ { \varepsilon } ^ { 2 } \left( \Xi ^ { 2 } \right) } { \mathbb E } _ { { \mathbb P } ^ { 2 } } \bigg [ \operatorname* { m i n } _ { z _ { 2 } \in { \mathcal Z } _ { 2 } \left( x _ { 1 } , \xi ^ { 2 } \right) } e _ { 2 } ^ { \top } z _ { 2 } + \operatorname* { m a x } _ { { \mathbb P } ^ { 3 } \in { \mathcal P } _ { \varepsilon } ^ { 3 } \left( \Xi ^ { 3 } \right) } { \mathbb E } _ { \mathbb P ^ { 3 } } \bigg [ \operatorname* { m i n } _ { z _ { 3 } \in { \mathcal Z } _ { 3 } \left( x _ { 1 } , z _ { 2 } , \xi ^ { 2 } , \xi ^ { 3 } \right) } e _ { 3 } ^ { \top } z _ { 3 } + \cdots } \\ & { \ \ + \operatorname* { m a x } _ { { \mathbb P } ^ { T } \in { \mathcal P } _ { \varepsilon } ^ { T } \left( \Xi ^ { T } \right) } { \mathbb E } _ { \mathbb P ^ { T } } \bigg [ \operatorname* { m i n } _ { z _ { T } \in { \mathcal Z } _ { T } \left( x _ { 1 } , z _ { 2 } , \ldots , z _ { T - 1 } , \xi ^ { 2 } , \ldots , \xi ^ { T } \right) } e _ { T } ^ { \top } z _ { T } \bigg ] \bigg ] \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { x } ^ { \infty } ( K _ { D } ) } & { = \frac { L _ { D } ^ { 2 } } { T _ { D } } \frac { \left( \frac { T _ { I } } { T _ { D } } \right) K _ { D } ^ { 2 } } { 1 + \left( \frac { T _ { I } } { T _ { D } } \right) K _ { D } ^ { 2 + \gamma } } } \\ { D _ { x } ^ { \infty } ( K _ { I } ) } & { = \frac { L _ { I } ^ { 2 } } { T _ { I } } \frac { K _ { I } ^ { 2 } } { 1 + \left( \frac { T _ { D } } { T _ { I } } \right) ^ { \gamma + 1 } \left( \frac { L _ { I } } { L _ { D } } \right) ^ { \gamma + 2 } K _ { I } ^ { 2 + \gamma } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } x _ { 1 } } & { { } = \varepsilon _ { \mathrm { w } } \, \mathrm { c } _ { } ( Z ) \cos \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( X - t \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right) , } \\ { \partial _ { t } y _ { 1 } } & { { } = 0 , } \\ { \partial _ { t } z _ { 1 } } & { { } = \varepsilon _ { \mathrm { w } } \, \mathrm { s } _ { } ( Z ) \sin \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( X - t \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right) , } \\ { \partial _ { t } { \phi _ { 1 } } } & { { } = \lambda \, \varepsilon _ { \mathrm { w } } \, \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left[ \mathrm { s } _ { } ( Z ) \cos { ( X - t ) } \cos { 2 \Phi } - \mathrm { c } _ { } ( Z ) \sin { ( X - t ) } \sin { 2 \Phi } \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right] , } \\ { \partial _ { t } { \theta _ { 1 } } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \lambda \, \varepsilon _ { \mathrm { w } } \sin 2 \Theta \, \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left[ \mathrm { s } _ { } ( Z ) \cos { ( X - t ) } \sin { 2 \Phi } + \mathrm { c } _ { } ( Z ) \sin { ( X - t ) } \cos { 2 \Phi } \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right] . } \end{array}
| \psi _ { \alpha } ^ { ( \pm ) } \rangle = | \phi _ { \alpha } \rangle + \int d \beta { \frac { T _ { \beta \alpha } ^ { ( \pm ) } | \phi _ { \beta } \rangle } { E _ { \alpha } - E _ { \beta } \pm i \epsilon } } , \quad T _ { \beta \alpha } ^ { ( \pm ) } = \langle \phi _ { \beta } | V | \psi _ { \alpha } ^ { ( \pm ) } \rangle
W = \frac { 1 } { r } \left[ 1 - \frac { \partial \ln { a _ { + } } } { \partial \ln { c _ { + } } } \frac { \bar { i } _ { r e d } } { \bar { i } } \left( 1 - c _ { + } \right) \right] + \mathcal { O } ( ( c _ { + } - 1 ) ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial f } { \partial { \bf t m } ^ { k } } } } & { = - { \frac { \partial f } { \partial { \bf F } } } { \frac { \partial { \bf F } } { \partial { \bf t m } ^ { k } } } } \\ & { = - { \frac { \partial f } { \partial { \bf F } } } { \frac { \partial \left| { \bf { Q } } { \bf { t m } } ^ { k } \right| ^ { 2 } } { \partial { \bf t m } ^ { k } } } } \\ & { = - 4 { \bf F } ^ { H } \mathrm { d i a g } ( c o n j ( { \bf { Q } } { \bf { t m } } ^ { k } ) ) { \bf { Q } } . } \end{array}
C _ { D } ( \mathbf { u } ) \mathcal { F } ^ { - 1 } [ \psi _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { * } ] = C _ { D } ( \mathbf { u } ) A ( \mathbf { u } ) E ( \mathbf { u } ) e ^ { i \chi ( \vec { u } ) } = 0
W = h _ { t } \widehat Q _ { 3 } \widehat U _ { 3 } \widehat H _ { 2 } + h _ { b } \widehat Q _ { 3 } \widehat D _ { 3 } \widehat H _ { 1 } + h _ { \tau } \widehat L _ { 3 } \widehat R _ { 3 } \widehat H _ { 1 } - \mu \widehat H _ { 1 } \widehat H _ { 2 } + \epsilon _ { 3 } \widehat L _ { 3 } \widehat H _ { 2 } \, ,
\psi ( b ) = \int \frac { d \vec { k } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, \frac { 1 } { \sqrt { 2 \omega _ { k } } } \left\lbrace e ^ { - i \omega _ { k } t + i \vec { k } \cdot \vec { x } } a _ { \vec { k } } + h . c . \right\rbrace
\begin{array} { r l } { \underset { x \rightarrow \infty } { \mathrm { l i m } } \frac { d } { d x } \left[ \frac { 1 - F ( x ) } { f ( x ) } \right] } & { = \underset { x \rightarrow \infty } { \mathrm { l i m } } - 1 - \frac { \left[ 1 - F ( x ) \right] f ^ { \prime } ( x ) } { f ^ { 2 } ( x ) } = - 1 + \underset { x \rightarrow \infty } { \mathrm { l i m } } \left( \frac { K _ { 1 } \left( 2 \sqrt { \frac { x } { \lambda } } \right) } { K _ { 0 } \left( 2 \sqrt { \frac { x } { \lambda } } \right) } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { \alpha \beta } ( r ) } & { = } & { 4 \epsilon _ { \alpha \beta } \Big [ \Big ( \frac { \sigma _ { \alpha \beta } } { r } \Big ) ^ { 1 2 } - \Big ( \frac { \sigma _ { \alpha \beta } } { r } \Big ) ^ { 6 } + A _ { 0 } + A _ { 1 } \Big ( \frac { r } { \sigma _ { \alpha \beta } } \Big ) + A _ { 2 } \Big ( \frac { r } { \sigma _ { \alpha \beta } } \Big ) ^ { 2 } \Big ] \ , r \le r _ { c u t } } \\ & { = } & { 0 , \, ~ ~ { r \textgreater r _ { c u t } } , } \end{array}
B = \frac { \pi | \beta | ^ { 2 } } { 4 ( 4 | \lambda | ^ { 2 } - | \beta | ^ { 4 } ) ^ { 2 } } [ | \beta | ^ { 2 } ( | \beta | ^ { 4 } - 7 | \lambda | ^ { 2 } ) + | \lambda | ^ { 2 } ( 1 0 | \lambda | ^ { 2 } - | \beta | ^ { 4 } ) g ( \lambda , \beta ) ]
\begin{array} { r } { U ( R , q \prime ) \triangleq N \bar { P } \left( \frac { \lambda } { 4 \pi } \right) ^ { 4 } \frac { \gamma \prime ^ { 2 } \Psi _ { q } ^ { 2 q ^ { \prime } } \Psi _ { p } ^ { 2 q ^ { \prime } } } { d ^ { 4 } r _ { q } ^ { 2 } r _ { p } ^ { 2 } } \bigg | \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \zeta \int _ { 0 } ^ { R } \frac { r \mathrm { d } r } { \left[ 1 - \frac { 2 r } { r _ { p } } \Phi _ { p } \cos \zeta - \frac { 2 r } { r _ { p } } \Theta _ { p } \sin \zeta + \frac { r ^ { 2 } } { r _ { p } ^ { 2 } } \right] ^ { ( q ^ { \prime } + 1 ) / 2 } } \bigg | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \mathbb { E } } ( \nu _ { i } ^ { - 3 } ) { \mathbb { E } } \{ \| \Gamma S ( U _ { i } ) \| ^ { - 3 } \} } \\ & { = } & { { \mathbb { E } } \{ R _ { i } ^ { - 3 } \| U _ { i } \| ^ { 3 } { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ) \} + { \mathbb { E } } \{ R _ { i } ^ { - 3 } \| U _ { i } \| ^ { 3 } { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ^ { c } ) \} } \\ & { \leq } & { \{ p + \epsilon p ^ { ( 1 + \delta ) / 2 } \} ^ { 3 / 2 } { \mathbb { E } } \{ R _ { i } ^ { - 3 } { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ) \} + \{ { \mathbb { E } } ( R _ { i } ^ { - 4 } ) \} ^ { 3 / 4 } \{ { \mathbb { E } } \| U _ { i } \| ^ { 1 8 } \} ^ { 1 / 6 } \{ { \mathbb { P } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ^ { c } ) \} ^ { 1 / 1 2 } } \\ & { \lesssim } & { \{ p + \epsilon p ^ { ( 1 + \delta ) / 2 } \} ^ { 3 / 2 } { \mathbb { E } } ( R _ { i } ^ { - 3 } ) + \zeta _ { 4 } ^ { 3 / 4 } \times p ^ { 3 / 2 } \times c _ { 1 } ^ { 1 / 1 2 } \exp \{ - c _ { 2 } p ^ { \delta \alpha / ( 4 \alpha + 4 ) } / 1 2 \} } \\ & { \lesssim } & { \zeta _ { 3 } p ^ { 3 / 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G _ { x } } & { = } & { - 2 \; { \bf P } \int { d } x ^ { \prime } \, { d } y ^ { \prime } \, R _ { 2 } ( z , z ^ { \prime } ) \, { \frac { x - x ^ { \prime } } { | z - z ^ { \prime } | ^ { 2 } } } } \\ { G _ { y } } & { = } & { - 2 \; { \bf P } \int { d } x ^ { \prime } \, { d } y ^ { \prime } \, R _ { 2 } ( z , z ^ { \prime } ) \, { \frac { y - y ^ { \prime } } { | z - z ^ { \prime } | ^ { 2 } } } } \end{array}
\Omega _ { a _ { 1 } a _ { 2 } \ldots a _ { 2 m + 1 } } \psi _ { + } ^ { a _ { 1 } } \psi _ { + } ^ { a _ { 2 } } \ldots \psi _ { + } ^ { a _ { 2 m + 1 } } \; , \qquad \Omega _ { a _ { 1 } \ldots a _ { 2 m } a _ { 2 m + 1 } } \psi _ { + } ^ { a _ { 1 } } \ldots \psi _ { + } ^ { a _ { 2 m } } j _ { + } ^ { a _ { 2 m + 1 } } \, ,
\left[ \begin{array} { l l } { 2 ( P ^ { T } M ) ^ { T } P ^ { T } M } & { ( \boldsymbol { a } ^ { T } \Phi ^ { T } M ) ^ { T } } \\ { \boldsymbol { a } ^ { T } \Phi ^ { T } M } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { c } _ { o } } \\ { \lambda _ { o } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { 2 ( P ^ { T } M ) ^ { T } P ^ { T } C _ { h } ( \Phi \boldsymbol { a } ) } \\ { 0 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } _ { \mathrm { i n t } } ( x ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \mathcal { V } _ { \mathrm { i n t } } ( x , y ) \mathrm { d } y } \\ & { = 2 \alpha \bigg ( \frac { 1 } { 3 } \left( d _ { c } ^ { 2 } + 2 x ^ { 2 } \right) \sqrt { d _ { c } ^ { 2 } - x ^ { 2 } } + d _ { c } x ^ { 2 } \log \left( \frac { x } { \sqrt { d _ { c } ^ { 2 } - x ^ { 2 } } + d _ { c } } \right) \bigg ) \Theta ( d _ { c } > | x | ) . } \end{array}
I _ { \mathrm { m o n , i } } \frac { \mathrm { d } \vec { \omega } _ { \mathrm { i } } } { \mathrm { d } t } = \sum _ { \mathrm { j = 1 , i \neq j } } ^ { N _ { \mathrm { m o n } } } { \left( \vec { \Gamma } _ { \mathrm { S , i j } } + \vec { \Gamma } _ { \mathrm { R , i j } } + \vec { \Gamma } _ { \mathrm { T , i j } } \right) } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } _ { \mathrm { ~ C ~ } \rightarrow \mathrm { ~ V ~ } \rightarrow \mathrm { ~ D ~ } } ^ { i \rightarrow j } \left( n _ { c } ^ { o } , n _ { d } ^ { o } ; n _ { c } ^ { m } , n _ { d } ^ { m } \right) } & { { } = p _ { c } P _ { \mathrm { ~ C ~ } } \left( n _ { c } ^ { o } , n _ { d } ^ { o } \right) P _ { M \operatorname* { m a x } } ^ { ( \mathrm { ~ C ~ } ) } \left( n _ { c } ^ { m } , n _ { d } ^ { m } \right) } \end{array}
\theta _ { i } = \frac { \left| - p _ { i - 2 } + 1 6 p _ { i + 1 } - 3 0 p _ { i } + 1 6 p _ { i + 1 } - p _ { i + 2 } \right| } { \left| p _ { i - 2 } + 1 6 p _ { i + 1 } + 3 0 p _ { i } + 1 6 p _ { i + 1 } + p _ { i + 2 } \right| } ,
\begin{array} { r l } & { v ( s ) + \lambda + \mu p \lvert c ^ { * } ( s ) \rvert ^ { p - 1 } \frac { c ^ { * } ( s ) } { \lvert c ^ { * } ( s ) \rvert } = 0 } \\ { \implies } & { \sum _ { s } c ^ { * } ( s ) [ v ( s ) + \lambda + \mu p \lvert c ^ { * } ( s ) \rvert ^ { p - 1 } \frac { c ^ { * } ( s ) } { \lvert c ^ { * } ( s ) \rvert } ] = 0 , \qquad \mathrm { ( m u l t i p l y ~ w i t h ~ c ^ * ( s ) ~ a n d ~ s u m m i n g ~ ) } } \\ { \implies } & { \sum _ { s } c ^ { * } ( s ) v ( s ) + \lambda \sum _ { s } c ^ { * } ( s ) + \mu p \sum _ { s } \lvert c ^ { * } ( s ) \rvert ^ { p - 1 } \frac { ( c ^ { * } ( s ) ) ^ { 2 } } { \lvert c ^ { * } ( s ) \rvert } = 0 } \\ { \implies } & { \langle c ^ { * } , v \rangle + \mu p \sum _ { s } \lvert c ^ { * } ( s ) \rvert ^ { p } = 0 \qquad \mathrm { ( u s i n g ~ \sum _ { s } c ^ * ( s ) ~ = 0 ~ a n d ~ ( c ^ * ( s ) ) ^ 2 ~ = ~ \lvert ~ c ^ * ( s ) \rvert ^ 2 ~ ) } } \\ { \implies } & { \langle c ^ { * } , v \rangle = - \mu p \epsilon ^ { p } , \qquad \mathrm { ( u s i n g ~ \sum _ { s } \lvert ~ c ^ * ( s ) \rvert ^ p = ~ \epsilon ^ p ~ ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { S } } & { { } = \hbar \sum _ { \mu = A , B } \omega _ { \mu } \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mu } , } \\ { H _ { B } } & { { } = \hbar \int \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \omega \hat { c } ^ { \dagger } ( x , \omega ) \hat { c } ( x , \omega ) , } \\ { H _ { S B } } & { { } = \hbar \sum _ { \mu = A , B } \int \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega g _ { \mu } ( x , \omega ) \hat { c } ( x , \omega ) \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } + \mathrm { H . a . } } \end{array}
{ \cal F } _ { i } ^ { P V } = F _ { i } \left\{ e ^ { 2 } e _ { l } e _ { q } g _ { z } ^ { 2 } \frac { C _ { V } ^ { l } \pm C _ { A } ^ { l } } { 2 } C _ { A } ^ { q } \mathrm { R e } D + g _ { z } ^ { 4 } \frac { ( C _ { V } ^ { l } \pm C _ { A } ^ { l } ) ^ { 2 } } { 8 } C _ { V } ^ { q } C _ { A } ^ { q } \mid D \mid ^ { 2 } \right\} ,
\begin{array} { r l } { Q ( 1 / 1 ) } & { { } = 0 , } \\ { Q ( 2 / 1 ) } & { { } = 1 , } \\ { Q ( 3 / 1 ) } & { { } = 0 , } \\ { Q ( 4 / 1 ) } & { { } = 0 . } \end{array}
\left( \frac { \partial \mathbf { g } } { \partial \mathbf { q } } \right) _ { i , j + 1 / 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \frac { \partial \mathbf { g } } { \partial \mathbf { q } } \right) _ { i , j } + \left( \frac { \partial \mathbf { g } } { \partial \mathbf { q } } \right) _ { i , j + 1 } \right] - \left( \mathbf { R } \left| \boldsymbol { \Lambda } \right| \mathbf { L } \right) _ { i , j + 1 / 2 } .
{ \begin{array} { r l } { q _ { \mu } ^ { * } ( \mu ) } & { \sim { \mathcal { N } } ( \mu \mid \mu _ { N } , \lambda _ { N } ^ { - 1 } ) } \\ { \mu _ { N } } & { = { \frac { \lambda _ { 0 } \mu _ { 0 } + N { \bar { x } } } { \lambda _ { 0 } + N } } } \\ { \lambda _ { N } } & { = ( \lambda _ { 0 } + N ) \operatorname { E } _ { \tau } [ \tau ] } \\ { { \bar { x } } } & { = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { K _ { 1 } } & { = \operatorname* { l i m } _ { z \rightarrow z _ { 0 } } \frac { 1 } { z - z _ { 0 } } Q ( z ) K ( z ) Q ( z ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { z \rightarrow z _ { 0 } } Q ( z ) \Big ( \frac { 1 } { z - z _ { 0 } } Q ( z ) K ( z ) Q ( z ) \Big ) Q ( z ) } \\ & { = Q ( z _ { 0 } ) K _ { 1 } Q ( z _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { \tau } ^ { - 1 } \| \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } + \| \nabla \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } \lesssim h _ { \tau } \| \boldsymbol { v } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \tau } ) } , } \\ { h _ { \tau } ^ { - 1 } \| \boldsymbol { z } \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } + \| \nabla \boldsymbol { z } \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } \lesssim h _ { \tau } \| \nabla \times \boldsymbol { v } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \tau } ) } , } \end{array}
\mathcal { C N } \big ( \sum _ { k = 1 } ^ { K } \alpha _ { k } { { \tilde { x } } } + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \alpha _ { k } \frac { { { \tilde { w } _ { k } } } } { \sqrt { P } | \tilde { h } _ { k } | } , \, \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } } { \rho _ { k } P | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } \big )
W _ { e f f } = \Gamma \cdot ( N _ { c } - N _ { f } ) \left( \frac { \Lambda _ { h } ^ { \Gamma ( 3 N _ { c } - N _ { f } ) } } { \operatorname * { d e t } M } \right) ^ { \frac { 1 } { \Gamma ( N _ { c } - N _ { f } ) } } \; ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \nu } _ { \mathrm { S } } = \frac { z _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { H } } } { z _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { G } } } } & { { } = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \, \exp [ - E _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { H } } ( x ) / k _ { \mathrm { B } } T ] \, \mathrm { d } x } { N _ { \mathrm { c s } } \int _ { - R / 2 } ^ { R / 2 } \, \exp [ - E _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { G } } ( x ) / k _ { \mathrm { B } } T ] \, \mathrm { d } x } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } ) } \\ { * } & { \leq \operatorname* { P r } \Big \{ R _ { 1 } ^ { * } + \frac { L _ { 1 } } { \sqrt { n } } < \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } , D _ { 1 } | P _ { X } ) + O ( \xi _ { n } ) \Big \} } \\ { * } & { \qquad + \frac { 2 | \mathcal { X } | } { n ^ { 2 } } + \kappa _ { 1 , n } + \kappa _ { 2 , n } } \\ & { \leq \mathrm { Q } \Bigg ( \frac { L _ { 1 } + O ( \sqrt { n } \xi _ { n } ) } { \sqrt { \mathrm { V } ( P _ { X } , D _ { 1 } ) } } \Bigg ) + \frac { 6 \mathrm { T } ( P _ { X } , D _ { 1 } ) } { \sqrt { n } \mathrm { V } ( P _ { X } , D _ { 1 } ) } + \frac { 2 | \mathcal { X } | } { n ^ { 2 } } + \kappa _ { 1 , n } + \kappa _ { 2 , n } , } \end{array}
{ M _ { N , T } } : = \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathbb { R } } \left\lvert \mathbb { P } \left( \left\lVert \frac { 1 } { \sqrt { T } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathcal { B } ( 1 ) \boldsymbol { \epsilon } _ { t } \right\rVert _ { \infty } \leq y \right) - \mathbb { P } \left( \left\lVert \boldsymbol { z } \right\rVert _ { \infty } \leq y \right) \right\rvert ,
\begin{array} { r l } { \mathrm i \dot { c } _ { 1 s } } & { = [ E _ { 1 s } + \delta _ { 1 s } I _ { \mathrm { I R } } ( t ) ] c _ { 1 s } , } \\ { \mathrm i \dot { c } _ { 3 p } } & { = [ E _ { 3 p } + ( \delta _ { 3 p } - \mathrm i \gamma _ { 3 p } / 2 ) I _ { \mathrm { I R } } ( t ) ] c _ { 3 p } + \mu _ { 1 s , 3 p } A _ { \mathrm { H 1 5 } } ( t ) c _ { 1 s } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { { d s ^ { 2 } } } & { { = } } & { { V ^ { - 2 } d t ^ { 2 } - V ^ { 2 } d \vec { x } ^ { 2 } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { A ^ { ( 1 ) 1 } { } _ { t } = \mp A ^ { ( 2 ) } { } _ { 1 t } } } & { { = } } & { { n \ V ^ { - 1 } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { A ^ { ( 1 ) 2 } { } _ { \underline { { { i } } } } = \mp A ^ { ( 2 ) } { } _ { 2 \underline { { { i } } } } } } & { { = } } & { { m \ V _ { \underline { { { i } } } } \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left\lbrace \begin{array} { l } { w _ { 1 } \in W ^ { 1 , \infty } ( ( \sigma , 1 ] , \mathbb { R } ^ { + } ) \textrm { s . t . } \int _ { \sigma } ^ { 1 } w _ { 1 } = 1 } \\ { w _ { - 1 } \in W ^ { 1 , \infty } ( [ - 1 , - \sigma ) , \mathbb { R } ^ { + } ) \textrm { s . t . } \int _ { - 1 } ^ { - \sigma } w _ { - 1 } = 1 } \end{array} \right. } \\ { g \in W ^ { 1 , \infty } ( \mathbb { R } ^ { + } , ( 0 , f ( \bar { \rho } ) ] ) \textrm { i s n o n - i n c r e a s i n g . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { x , y \in \overline { { \Omega } } _ { h } } \left\lvert \log \left( \frac { f ( x ) } { f ( y ) } \right) \right\rvert } & { = \operatorname* { m a x } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { x , y \in \overline { { \Omega } } _ { h } } \log \left( \frac { f ( x ) } { f ( y ) } \right) , - \operatorname* { m i n } _ { x , y \in \overline { { \Omega } } _ { h } } \log \left( \frac { f ( x ) } { f ( y ) } \right) \right\} } \\ & { = \operatorname* { m a x } \left\{ \log \left( \operatorname* { m a x } _ { x , y \in \overline { { \Omega } } _ { h } } \frac { f ( x ) } { f ( y ) } \right) , - \log \left( \operatorname* { m i n } _ { x , y \in \overline { { \Omega } } _ { h } } \frac { f ( x ) } { f ( y ) } \right) \right\} } \\ & { = \operatorname* { m a x } \left\{ \log \left( \frac { \operatorname* { m a x } _ { x \in \overline { { \Omega } } _ { h } } f ( x ) } { \operatorname* { m i n } _ { y \in \overline { { \Omega } } _ { h } } f ( y ) } \right) , - \log \left( \frac { \operatorname* { m i n } _ { x \in \overline { { \Omega } } _ { h } } f ( x ) } { \operatorname* { m a x } _ { y \in \overline { { \Omega } } _ { h } } f ( y ) } \right) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ c _ { \Delta } ( \cdot , \xi _ { \Delta } ) f ( \cdot ) g ( \xi _ { \Delta } \cdot _ { \Delta ^ { c } } ) \lvert \mathcal { F } _ { \Delta ^ { c } } \right] ( \omega ) } & { = g ( \xi _ { \Delta } \omega _ { \Delta ^ { c } } ) \mathbb { E } \left[ c _ { \Delta } ( \cdot , \xi _ { \Delta } ) f ( \cdot ) \lvert \mathcal { F } _ { \Delta ^ { c } } \right] ( \omega ) } \\ { \ } & { = g ( \xi _ { \Delta } \omega _ { \Delta ^ { c } } ) \int _ { \Omega _ { \Delta } } \gamma _ { \Delta } ( \zeta _ { \Delta } | \omega _ { \Delta ^ { c } } ) c _ { \Delta } ( \zeta _ { \Delta } \omega _ { \Delta ^ { c } } , \xi _ { \Delta } ) f ( \zeta _ { \Delta } \omega _ { \Delta ^ { c } } ) \lambda _ { \Delta } ( d \zeta _ { \Delta } ) } \\ { \ } & { = g ( \xi _ { \Delta } \omega _ { \Delta ^ { c } } ) \int _ { \Omega _ { \Delta } } \gamma _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } | \omega _ { \Delta ^ { c } } ) \hat { c } _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \omega _ { \Delta ^ { c } } , \zeta _ { \Delta } ) f ( \zeta _ { \Delta } \omega _ { \Delta ^ { c } } ) \lambda _ { \Delta } ( d \zeta _ { \Delta } ) . } \end{array}