harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sum _ { n = r + 1 } ^ { q ^ { r + 1 } - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ! } \left| \mathsf { G r } ^ { \mathsf { d c } } ( r + 1 , n ; \mathbb { F } _ { q } ) \right| = \sum _ { k = r + 1 } ^ { q ^ { r } } \left| \mathsf { G r } ^ { \mathsf { d c } } ( r , k - 1 ; \mathbb { F } _ { q } ) \right| \sum _ { n = k } ^ { q ^ { r + 1 } - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ! } \prod _ { j = k + 1 } ^ { n } ( q ^ { r + 1 } - j ) .
\begin{array} { r l r } { H _ { 0 } } & { { } = } & { \sqrt { A } H \frac { 1 } { \sqrt { A } } = i \left[ \begin{array} { c c c } { - \mathbb { G } _ { R C } } & { - \mathbb { W } } & { - \frac { 1 } { \sqrt { \mathbb { C } } } \mathbb { S } \frac { 1 } { \sqrt { \mathbb { L } _ { x } } } } \\ { \mathbb { W } } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { \mathbb { L } _ { x } } } \mathbb { S } ^ { \dagger } \frac { 1 } { \sqrt { \mathbb { C } } } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ x ( t ) ^ { \top } Q x ( t ) \right] } & { = x _ { 0 } ^ { \top } Q x _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb E \left[ x ( s ) ^ { \top } \left( - C ^ { \top } C + Q B B ^ { \top } Q \right) x ( s ) \right] d s } \\ & { \quad + 2 \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb E \left\langle B ^ { \top } Q x ( s ) , u ( s ) \right\rangle _ { 2 } d s } \\ & { = x _ { 0 } ^ { \top } Q x _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb E \left[ - \left\| y ( s ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } - \left\| u ( s ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } + \left\| B ^ { \top } Q x ( s ) + u ( s ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \right] d s } \end{array}
F ( q ^ { 2 } ) = 1 + a \alpha { \frac { q ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } \sqrt { \frac { m ^ { 2 } } { - q ^ { 2 } } } + b \alpha { \frac { q ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } \log ( - q ^ { 2 } ) + c \alpha { \frac { q ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } + \ldots
\begin{array} { r l } { h } & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { x ^ { H } \left[ \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { f } { g } \right) T _ { n } ^ { - 1 } ( g ) T _ { n } ( f ) + T _ { n } ( \bar { f } ) T _ { n } ^ { - 1 } ( \bar { g } ) \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) \right] x } { x ^ { H } x } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { x ^ { H } \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { f } { g } \right) T _ { n } ^ { - 1 } ( g ) \left[ T _ { n } ( g ) T _ { n } \left( \frac { f } { g } \right) + L _ { 1 } \right] x } { x ^ { H } x } } \\ & { \phantom { h s p a c e { 2 p c } } + \frac { 1 } { 2 } \frac { x ^ { H } \left[ T _ { n } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) T _ { n } ( \bar { g } ) + L _ { 1 } ^ { H } \right] T _ { n } ^ { - 1 } ( \bar { g } ) \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) x } { x ^ { H } x } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { x ^ { H } \left[ \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { f } { g } \right) T _ { n } \left( \frac { f } { g } \right) + T _ { n } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) \right] x } { x ^ { H } x } + \frac { 1 } { 2 } \frac { x ^ { H } L _ { 2 } x } { x ^ { H } x } , } \end{array}
\gamma ^ { a \underline { { b } } } = \left( \begin{array} { l l } { { \gamma ^ { z \underline { { z } } } } } & { { \gamma ^ { z \underline { { \zeta } } } } } \\ { { \gamma ^ { \zeta \underline { { z } } } } } & { { \gamma ^ { \zeta \underline { { \zeta } } } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { ( 1 + { \frac { 1 } { 2 } } z \overline { { z } } ) ^ { 2 } } } \\ { { ( 1 + { \frac { 1 } { 2 } } z \overline { { z } } ) ^ { 2 } } } & { { ( 1 + { \frac { 1 } { 2 } } z \overline { { z } } ) ( z \overline { { \zeta } } + \overline { { z } } \zeta ) } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \partial _ { 1 } \Sigma } & { : = \left\{ ( \sigma , b ) \, : \, b = \Phi _ { \sigma } ( \alpha _ { \sigma } ) , \, \sigma \in [ \sigma _ { 0 } , \overline { \sigma } ) \right\} , } \\ { \partial _ { 2 } \Sigma } & { : = \left\{ ( \sigma , b ) \, : \, b = \Phi _ { \sigma } ( \beta _ { \sigma } ) , \, \sigma \in ( \underline { \sigma } , \sigma _ { 0 } ] \right\} , } \\ { \partial _ { 3 } \Sigma } & { : = \left\{ ( \sigma , b ) \, : \, b = \Phi _ { \sigma } ( \zeta _ { \sigma } ) , \, \sigma \in [ \underline { \sigma } , \overline { \sigma } ] \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \Big ( \| \omega \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| \nabla \omega ^ { * } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } \Big ) - \langle \mathscr { T } ( \omega ^ { * } ) , \, \omega \rangle _ { \Gamma _ { R } ^ { + } } = \Big \langle \hat { p } \cdot \hat { x } + \mathscr { T } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } \hat { u } \, d \tau \Big ) , \, \omega \Big \rangle _ { \Gamma _ { R } ^ { + } } . } \end{array}
n _ { u } ^ { * } = { \frac { 2 . 0 7 \times 1 0 ^ { - 1 6 } } { T ^ { 3 / 2 } } } { \frac { g _ { u } } { g _ { \scriptstyle \mathrm { C I V } } } } N _ { e } N _ { \scriptstyle \mathrm { C I V } } \exp { ( - \psi _ { l } / k T ) }
\begin{array} { r l } { \bigg ( \sqrt { 2 } g ^ { \prime } ( t ) + \sqrt { 2 } P g ^ { 3 } ( t ) } & { + \frac { \sqrt { 2 } l _ { d } ^ { \prime } ( t ) } { l _ { d } ( t ) } g ( t ) \bigg ) l _ { d } ( t ) A ( t ) } \\ & { = \sqrt { 2 P } \left( g ^ { \prime } ( t ) l _ { d } ( t ) + l _ { d } ^ { \prime } ( t ) g ( t ) + P g ^ { 3 } ( t ) l _ { d } ( t ) \right) e ^ { \int _ { 0 } ^ { t } P g ^ { 2 } ( s ) d s } } \\ & { = \sqrt { 2 } \frac { d } { d t } \left( g ( t ) l _ { d } ( t ) A ( t ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + x _ { m } ^ { 2 } = 1 - \sin ^ { 2 } ( \varphi _ { 1 } ) \sin ^ { 2 } ( \varphi _ { 2 } ) \cdots \sin ^ { 2 } ( \varphi _ { m } ) . } \end{array}
\frac { \sum _ { 0 \le j < k / 2 } g _ { p } ( T ^ { 2 j } ( p _ { k } / q _ { k } ) ) } { \frac { 3 } { 8 \pi } \cdot \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 \log 2 } k } \to \frac { 1 } { \frac { 3 } { 8 \pi } } \cdot \frac { 6 } { \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { h _ { p } ( x ) - \frac { 1 } { 8 } \lfloor 1 / T x \rfloor } { 1 + x } \, \mathrm { d } x \qquad \textrm { f o r a . e . } \alpha .
\begin{array} { r l } { P _ { N | k } ^ { \mathrm { ( i r ) } } = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } \sum _ { f = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( k , N ) } } & { \binom { k } { f } \binom { N } { f } p ^ { N - f } ( 1 - p ) ^ { f + 1 } } \\ & { \times B _ { N \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } , 1 } \left( k - f + 1 , f + 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \Omega _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ( t , \xi ) d \sigma ( \xi ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \Omega _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ( t , \theta , \varphi ) \sin ( \theta ) d \theta d \varphi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { f _ { 4 } } ( x ) } & { = \bigg ( \left( 1 + \frac { \log { x } } { \sqrt { x } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } + 1 \bigg ) \left( \frac { 1 } { \pi } + \frac { 0 . 4 9 4 \log { x } } { \sqrt { x } } \right) + \widetilde { \nu _ { 1 } } ( x ) + \nu _ { 3 } ( x ) , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \widetilde { f _ { 5 } } ( x ) } & { = ( \omega + \widetilde { \nu _ { 2 } } ( x ) + \nu _ { 4 } ( x ) ) \left( 1 + \frac { \log { x } } { \sqrt { x } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } - 0 . 5 3 3 4 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { X } \mathbf { w } _ { i } = \phi _ { i } \mathrm { w } _ { i } \quad i = { 1 , 2 , 3 } } \\ { \mathbf { Y } \mathbf { w } _ { i } = \psi _ { i } \mathrm { w } _ { i } \quad i = { 1 , 2 , 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { f } _ { 1 } ^ { + } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , F } , - \tau ) = } & { \tilde { f } _ { 1 , d } ^ { + } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , F } , - \tau ) + } \\ { \tilde { \theta } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , F } , x _ { 3 , S } ) \int _ { - \infty } ^ { \tau } } & { \tilde { R } ^ { \cup } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , S } , \tau - \tau ^ { \prime } ) \tilde { f } _ { 1 } ^ { - } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , F } , - \tau ^ { \prime } ) \mathrm { d } \tau ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { n } } & { = \frac { 2 } { B } \mathbb E _ { \varepsilon } \operatorname* { s u p } _ { w \in \mathcal W [ 0 , r ] } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \varepsilon _ { i } \big ( f ( w , Z ) - f ( w ^ { * } , Z ) \big ) + \frac { 1 } { B ^ { 2 } } \operatorname* { s u p } _ { w \in \mathcal W [ 0 , r ] } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \big ( f ( w , Z ) - f ( w ^ { * } , Z ) \big ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad \leqslant \frac { 2 } { B } \mathbb E _ { \varepsilon } \operatorname* { s u p } _ { w \in \mathcal W [ 0 , r ] } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \varepsilon _ { i } \big ( f ( w , Z ) - f ( w ^ { * } , Z ) \big ) + \frac { n L ^ { 2 } r ^ { 2 } } { B ^ { 2 } } . } \end{array}
\sigma ^ { c t } = { \frac { \alpha _ { s } } { 4 s } } ~ { \frac { 1 } { 3 } } ~ \lambda _ { R } ^ { 2 } { \frac { 1 } { \Gamma \left( 1 + { \frac { \epsilon } { 2 } } \right) } } ~ \Bigg ( { \frac { M ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \Bigg ) ^ { \frac { \epsilon } { 2 } } ~ \left( { \frac { 1 } { 4 \pi } } \right) ^ { \frac { \epsilon } { 2 } } ~ \left[ - { \frac { 1 } { \epsilon } } ~ \Bigg ( \tau ^ { 2 } + ( 1 - \tau ) ^ { 2 } \Bigg ) \right] \ ,
\begin{array} { r l } { F _ { C S , k \rightarrow \infty } ( N ) = } & { \frac { 1 } { 2 } \log ( \lambda ^ { \prime } ) + N ^ { 2 } ( \frac { 3 } { 4 } - \frac { 1 } { 2 } \log ( 2 \pi \lambda ^ { \prime } ) ) + \frac { B _ { 1 } } { 2 } \log ( N ) } \\ & { + \sum _ { l = 2 } ^ { \infty } N ^ { 2 - 2 l } ( - 1 ) ^ { l } \frac { B _ { l } } { 2 l ( 2 l - 2 ) } , } \end{array}
\Delta ^ { ( \pm ) } = D \left( 1 - \exp \left[ - \frac { ( x ^ { ( \pm ) } ) ^ { 2 } + ( y ^ { ( \pm ) } ) ^ { 2 } } { w _ { e } ^ { 2 } } \right] \right) - \frac { ( x ^ { ( \pm ) } ) ^ { 2 } + ( y ^ { ( \pm ) } ) ^ { 2 } } { 2 R } ,
N = - \left( { \frac { \partial \Omega } { \partial \mu } } \right) _ { T , V } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } D ( \varepsilon ) { \mathcal { f } } \left( { \frac { \varepsilon - \mu } { k _ { \mathrm { { B } } } T } } \right) \, \mathrm { d } \varepsilon
\textbf { P } _ { i } \widetilde { \Lambda } _ { i } \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } = \widetilde { \lambda } _ { i } \widetilde { f } _ { 1 i } ^ { e q } - \widetilde { \lambda } _ { i } \widetilde { f } _ { 2 i } ^ { e q } = G _ { i }
\sum _ { \lambda = 1 } ^ { \mu - 1 } ( k _ { i - \hat { \lambda } , \lambda , \mu } - k _ { i \lambda \mu } ) + \sum _ { \nu = \mu + 1 } ^ { d } ( - k _ { i - \hat { \nu } , \mu , \nu } + k _ { i \mu \nu } ) = 0 .
\begin{array} { r l } { S _ { \tau , h } \boldsymbol { \Phi } ( \theta _ { t } , \theta _ { x } ) } & { = \left( 1 - \omega + \frac { \omega } { c _ { x } } e ^ { - i \theta _ { t } } \right) \boldsymbol { \Phi } ( \theta _ { t } , \theta _ { x } ) } \\ & { = : \hat { S } _ { \tau , h } ( \theta _ { t } , \theta _ { x } ) \boldsymbol { \Phi } ( \theta _ { t } , \theta _ { x } ) \; . } \end{array}
| n , m > = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \chi _ { n \uparrow } ( a ^ { ( i ) } ) \chi _ { m \downarrow } ( a ^ { ( s ) } ) - \chi _ { n \downarrow } ( a ^ { ( i ) } ) \chi _ { m \uparrow } ( a ^ { ( s ) } ) \right) .
\begin{array} { r l } { \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } } \left( e ^ { d \left( \overline { K } _ { t } ( 0 , e ^ { - t } z ) - t \right) } - e ^ { - d t } \right) \mathrm { d } z } & { = ( 1 + o ( 1 ) ) \int \mathbf { 1 } _ { \{ 1 \le | z | \le e ^ { t } \} } e ^ { d \left( \overline { K } _ { t } ( 0 , e ^ { - t } z ) - t \right) } \mathrm { d } z } \\ & { = ( 1 + o ( 1 ) ) e ^ { - d \mathfrak j } \int \mathbf { 1 } _ { \{ 1 \le | z | \le e ^ { t } \} } | z | ^ { - d } \mathrm { d } z } \\ & { = ( 1 + o ( 1 ) ) e ^ { - d \mathfrak j } \Sigma _ { d - 1 } t . } \end{array}
\gamma _ { 1 , 1 } ^ { 6 } = 7 2 0 , \gamma _ { 2 , 1 } ^ { 6 } = 6 9 8 4 , \gamma _ { 3 , 1 } ^ { 6 } = 2 3 3 2 8 , \gamma _ { 4 , 1 } ^ { 6 } = 3 9 6 7 2 , \gamma _ { 5 , 1 } ^ { 6 } = 4 5 9 3 6 \nonumber
\mathcal { J } _ { t } ^ { i } = \big \{ x \in \{ 0 , 1 , \ldots , t \} \, | \, \mathbb { E } _ { \theta \sim \mathcal { D } _ { t } ( x ) } [ \theta ] \geq \theta _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ i ~ t ~ } } \big \} .
\begin{array} { r l } { \hat { f } _ { \mathcal { D } } : = } & { - \frac { 1 } { 2 | \mathcal { D } _ { + } | } \sum _ { v \in \mathcal { D } _ { + } } y _ { v } \cdot g \big ( { \boldsymbol W } ; { \boldsymbol X } _ { \mathcal { N } ( v ) } \big ) - \frac { 1 } { 2 | \mathcal { D } _ { - } | } \sum _ { v \in \mathcal { D } _ { - } } y _ { v } \cdot g \big ( { \boldsymbol W } ; { \boldsymbol X } _ { \mathcal { N } ( v ) } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { s } ( x , t ) } & { { } = \frac { 1 } { N _ { A } ( x , t ) } \sum _ { A \in \mathcal { A } ( x , t ) } r _ { s } ( t ) | A } \\ { P _ { \mathrm { O N } , s } ( x , t ) } & { { } = \frac { 1 } { N _ { A } ( x , t ) } \sum _ { A \in \mathcal { A } ( x , t ) } n _ { s } ( t ) | A , } \end{array}
p ( n ) = \frac { 1 } { 2 } \bigg ( \frac { \gamma _ { N S } ^ { ( 1 ) } ( n ) } { \beta _ { 1 } } - \frac { \gamma _ { N S } ^ { ( 0 ) } ( n ) } { \beta _ { 0 } } \bigg ) \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } }
P ( \omega _ { e g } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { D } ^ { \prime } } \exp \left( - \frac { ( \omega _ { e g } - \omega _ { e g } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 ( \sigma _ { D } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \right) ,
q _ { k } ^ { \mathrm { Q E D } } ( x , 0 , P ^ { 2 } , M ^ { 2 } ) = f _ { k } ( x ) \ln \left( \frac { M ^ { 2 } } { x P ^ { 2 } } \right) - f _ { k } ( x ) + \frac { h _ { k } ( x ) } { x } .
\int _ { \sqrt { 2 } / 2 } ^ { \infty } d ( a q ) \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { ( a q ) \left[ ( a q ) ^ { 2 } + 2 \right] ^ { 2 } } \left[ 1 + \frac { ( a q ) ^ { 2 } } { ( a q ) ^ { 2 } + 2 } \right] = \pi ^ { 2 } \frac { - 3 + 8 \ln 2 } { 8 N ^ { 2 } } \sim 0 . 7 8 5 \; .
\xi ^ { 4 } = \cos | \pi | \ , \ \xi ^ { \alpha } = \sin | \pi | \frac { \pi ^ { \alpha } } { | \pi | } \ , \ D _ { i } \xi ^ { \alpha } = \partial _ { i } \xi ^ { \alpha } + \varepsilon ^ { \alpha \beta \gamma } A _ { i } ^ { \beta } \xi ^ { \gamma } \ , \ \ D _ { i } \xi ^ { 4 } = \partial _ { i } \xi ^ { 4 } \ , \nonumber
\begin{array} { r l } & { \mathsf { P } \biggl [ \operatorname* { i n f } _ { \tau \in [ t - x , t ] , } \{ A ( t - x , \tau ) + S _ { P _ { L } } ( \tau , t ) \} \le 0 \biggr ] } \\ { \le } & { \mathsf { P } [ Z _ { A } + Z _ { S } ^ { \prime } > x - l _ { \operatorname* { m a x } } / \rho _ { S } - \epsilon ] } \\ { \le } & { 1 - [ 1 - \underline { { \varepsilon } } _ { A } ] _ { + } \ast [ 1 - \varepsilon _ { T } ] _ { + } ( x - l _ { \operatorname* { m a x } } / \rho _ { S } ^ { \prime } - \epsilon ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { b ( \pm r ) = a ( \pm r ) \mathrm { ~ i f ~ r ~ \neq ~ p ~ a n d ~ r ~ \neq ~ p + 1 ~ ; } } } \\ { { b ( \pm p ) = a ( \pm ( p + 1 ) ) \mathrm { ; ~ a n d } } } \\ { { b ( \pm ( p + 1 ) ) = a ( \pm p ) . } } \end{array} \right.
S _ { 4 * } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \left[ R - \frac { 1 } { 2 } \left( \nabla y \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \mathrm { T r } \left( \nabla N \nabla N ^ { - 1 } \right) \right] ,
\begin{array} { r } { \left( \omega ^ { 2 } - k _ { \parallel } ^ { 2 } v _ { A } ^ { 2 } \frac { b _ { k } } { 1 - \Gamma _ { k } } \right) \delta \psi _ { k } = \omega ^ { 2 } \frac { \tau \left( 1 - \Gamma _ { k } \right) } { \epsilon _ { s { k } } } \delta \psi _ { k } , } \end{array}
S _ { a } = \log ( 1 / a ^ { 2 } ) + { \frac { A a } { 1 - a ^ { 2 } } } + { \frac { B a } { 1 - a b } } + { \frac { A } { a } } + { \frac { A } { a ^ { 2 } } } { \frac { Z ^ { \prime \prime } ( 1 / a ) } { 2 Z ^ { \prime } ( 1 / a ) } } + { \frac { B } { b - a } } .
( 2 { \pi } i ) ^ { 2 } G ( q , q ^ { \prime } ) = D ( { \hat { q } } ) { \Delta _ { 1 } } ^ { - 1 } { \Delta _ { 2 } } ^ { - 1 } { \hat { G } } ( { \hat { q } } , { \hat { q } } ^ { \prime } ) D ( { \hat { q } } ^ { \prime } ) { { \Delta _ { 1 } } ^ { \prime } } ^ { - 1 } { { \Delta _ { 2 } } ^ { \prime } } ^ { - 1 }
S _ { I I } + S _ { I I I } ~ \sim ~ M ^ { 2 } \tau _ { f } \left\{ 1 - \frac { 2 } { \pi r ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \sigma _ { 0 } } + \frac { 1 } { 2 \pi - \sigma _ { 0 } } \right) { \sin } ^ { 2 } \, \left( \frac { r \sigma _ { 0 } } { 2 } \right) \right\}
\left\{ \begin{array} { l l } { ( n ^ { 2 } - 1 ) \widetilde a _ { n } + 2 n \widetilde b _ { n } + \beta ( n - 1 ) \widetilde c _ { n - 1 } + \widetilde \beta \widetilde d _ { n - 1 } = \widetilde \alpha \widetilde a _ { n - 2 } } \\ { ( n ^ { 2 } - 1 ) \widetilde b _ { n } + \widetilde \beta ( n - 1 ) \widetilde d _ { n - 1 } = \widetilde \alpha \widetilde b _ { n - 2 } } \\ { ( n - 1 ) ^ { 2 } \widetilde c _ { n - 1 } + 2 ( n - 1 ) \widetilde d _ { n - 1 } = \widetilde \delta ( n - 1 ) \widetilde a _ { n - 2 } + \widetilde \delta \widetilde b _ { n - 2 } + \widetilde \gamma \widetilde c _ { n - 3 } } \\ { ( n - 1 ) ^ { 2 } \widetilde d _ { n - 1 } = \widetilde \delta ( n - 1 ) \widetilde b _ { n - 2 } + \widetilde \gamma \widetilde d _ { n - 3 } } \end{array} \right.
\frac { \partial x _ { \alpha } ^ { T } ( \xi ) } { \partial \xi } \ = \ - f ( r ( \xi ) ) x _ { \alpha } ^ { T } ( \xi ) \ , \ \ \ \ \ \ \ \, f r a c { \partial r ( \xi ) } { \partial \xi } \ = \ - f ( r ( \xi ) ) r ( \xi ) \ .
\begin{array} { r l r } { P ( x , y | Z ) } & { { } = } & { \frac { 1 + x \, E _ { 1 } ( Z ) + y \, E _ { 2 } ( Z ) + x \, y \, E _ { 1 2 } ( Z ) } { 4 } = \frac { 1 + x \, E _ { 1 } ( Z ) } { 2 } \frac { 1 + y \, E _ { 2 } ( Z ) } { 2 } + x \, y \, \frac { E _ { 1 2 } ( Z ) - E _ { 1 } ( Z ) \, E _ { 2 } ( Z ) } { 4 } } \end{array}
\mathrm { S N R } = \langle A _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \rangle / \langle n _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } } \rangle = \eta \langle A _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \rangle / \langle n _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } } \rangle = \eta / \langle n _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } } \rangle
\mathcal { L } = \frac { 1 } { 2 } \, \sum _ { p } \left( \varepsilon \left( t \right) \dot { A } _ { p } ^ { 2 } \left( \mathbf { r } , t \right) - \frac { 1 } { \mu \left( t \right) } \, \left( \nabla \times \mathbf { A } \left( \mathbf { r } , t \right) \right) _ { p } ^ { 2 } \right)
\mathbf { D } ( m , n ) = \left( \begin{array} { l l l } { \mathrm { D } ( 0 , 0 ) } & { \ldots } & { \mathrm { D } ( 0 , N _ { \mathrm { t } } - 1 ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathrm { D } ( N _ { \mathrm { f } } - 1 , 0 ) } & { \ldots } & { \mathrm { D } ( N _ { \mathrm { f } } - 1 , N _ { \mathrm { t } } - 1 ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { s u p } _ { \tau \leqslant s } \| Y _ { r } - \tilde { Y } _ { r } \| } & { \leqslant } & { L _ { s } ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { s } \operatorname* { s u p } _ { r \leqslant t } \| Y _ { r } - \tilde { Y } _ { r } \| \mathrm { d } t + \int _ { 0 } ^ { s } \| \nabla _ { U } \log p _ { T - t } ( Y _ { t } ) - \nabla _ { U } \log p _ { T - \lfloor t \rfloor } ( Y _ { \lfloor t \rfloor } ) \| \mathrm { d } t } \\ & { } & { + \int \left\| \nabla _ { U } \log \frac { p _ { T - \lfloor t \rfloor } } { \nu } ( Y _ { \lfloor t \rfloor } ) - \tilde { s } ( \lfloor t \rfloor , Y _ { \lfloor t \rfloor } ) \right\| \mathrm { d } t , } \end{array}
m _ { h } ^ { S M } > 1 2 7 . 9 + 1 . 9 2 [ m _ { t } - 1 7 4 ] - 4 . 2 5 \left[ \frac { \alpha _ { s } ( M _ { Z } ) - 0 . 1 2 4 } { 0 . 0 0 6 } \right] ,
\sum _ { i = - 1 } ^ { 3 } A _ { i } ^ { \prime } ( 0 ) = - { \frac { 1 } { 3 } } \ln ( r _ { + } / r _ { - } ) - { \frac { 1 } { 2 } } \ln ( 4 \pi ^ { 2 } r _ { + } r _ { - } ) .
M ( r ) ^ { 2 } = m ^ { 2 } + \frac { \l } { 2 \pi r } \left\{ \varphi ( r ) ^ { 2 } + \sum _ { \nu = - m _ { \mathrm { m a x } } } ^ { m _ { \mathrm { m a x } } } \int _ { 0 } ^ { \Lambda } d k \, k \frac { \chi _ { k } ^ { ( \nu ) } ( r ) ^ { 2 } - J _ { \nu } ( k r ) ^ { 2 } } { 2 \sqrt { k ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } \right\}
\begin{array} { r l } { h \bigg ( \frac { \sqrt { N _ { 0 } ^ { 3 } \gamma \log ( \frac { n e } { N _ { 0 } } ) } } { \gamma N _ { 0 } ^ { 2 } } \bigg ) } & { \leq \frac { N _ { 0 } ^ { 3 } \gamma \log ( \frac { n e } { N _ { 0 } } ) } { \gamma ^ { 2 } N _ { 0 } ^ { 4 } } = \frac { \log \frac { n e } { N _ { 0 } } } { \gamma N _ { 0 } } \Rightarrow } \\ { \sqrt { N _ { 0 } ^ { 3 } \gamma \log ( \frac { n e } { N _ { 0 } } ) } } & { \leq \gamma N _ { 0 } ^ { 2 } h ^ { - 1 } \bigg ( \frac { \log \frac { n e } { N _ { 0 } } } { \gamma N _ { 0 } } \bigg ) \Rightarrow } \\ { \sqrt { N ^ { 3 } \gamma \log ( \frac { n e } { N } ) } } & { \leq [ 1 + o ( 1 ) ] \gamma N ^ { 2 } h ^ { - 1 } \bigg ( \frac { \log \frac { n e } { N } } { \gamma N } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \alpha \beta \gamma } ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } ) = } & { { } S _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( { k } _ { 1 } ) S _ { \beta \beta ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( { k } _ { 2 } ) S _ { \gamma \gamma ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( | \mathbf { k } _ { 1 } + \mathbf { k } _ { 2 } | ) } \end{array}
\hat { G } = { } ^ { \star } \left\{ 7 \left[ \partial \hat { \tilde { C } } - { \textstyle \frac { 5 } { 3 } } \left( \hat { G } + { \textstyle \frac { 2 } { 3 } } \partial \hat { L } \right) \hat { L } \right] \right\} \, .
\begin{array} { r l } { \bar { F } _ { \mathcal { P } _ { \mathrm { s } } \left( \gamma \right) } \left( x \right) } & { = \sum _ { k \in \mathcal { K } } { A _ { k } ^ { \left( \varsigma \right) } F _ { Y _ { 0 , k } } \left( \dot { l } _ { k } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( \frac { \gamma N _ { 0 } } { \omega _ { k , x } } \right) \right) } , } \end{array}
\Gamma ( f _ { 0 } \to \pi \pi , t ) = \frac { g _ { f _ { 0 } \pi \pi } ^ { 2 } \sqrt { t - 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } } { 1 6 \pi t } , \qquad \Gamma ( V \to e ^ { + } e ^ { - } , s ) = \frac { 4 \pi \alpha ^ { 2 } } { 3 } ( \frac { m _ { V } ^ { 2 } } { f _ { V } } ) ^ { 2 } \frac { 1 } { s \sqrt { s } } .
1 - \frac { d _ { 1 } B _ { 0 } ^ { 2 } } { c _ { 1 } } = \frac { 2 p + ( 2 p - 1 ) \, c ^ { 2 } B _ { 0 } ^ { 2 } / \beta ^ { 2 } } { 2 p + c ^ { 2 } B _ { 0 } ^ { 2 } / \beta ^ { 2 } } \, .
H ( f , v ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { | v | ^ { 2 } } { 2 } f \qquad } & { \mathrm { f o r } \quad \displaystyle \gamma = \frac { d + 2 } { d } , } \\ { \displaystyle \frac { | v | ^ { 2 } } { 2 } f + \frac { 1 } { 2 c ^ { 2 / n } } \frac { f ^ { 1 + 2 / n } } { 1 + 2 / n } \qquad } & { \mathrm { f o r } \quad \displaystyle \gamma \in \left( 1 , \frac { d + 2 } d \right) . } \end{array} \right.
\mu ^ { 2 } = \frac { \mu _ { 1 } ^ { 2 } - \mu _ { 2 } ^ { 2 } t a n ^ { 2 } \beta } { t a n ^ { 2 } \beta - 1 } - \frac { 1 } { 2 } M _ { Z } ^ { 2 } ; ~ ~ ~ s i n ^ { 2 } \beta = \frac { - 2 B \mu } { 2 \mu ^ { 2 } + \mu _ { 1 } ^ { 2 } + \mu _ { 2 } ^ { 2 } }