harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \ } & { \ \ell \left( \left( \mathcal F _ { t } \right) _ { \sharp } \vartheta \right) = } \\ { = \ } & { \ \frac { d } { d \lambda } \Big | _ { \lambda = 0 } \ell \left( \left( \mathcal F _ { t + \lambda } \right) _ { \sharp } \vartheta \right) } \\ { = \ } & { \ \frac { d } { d \lambda } \Big | _ { \lambda = 0 } \ell \left( \left( \mathop { \bf i d } + \lambda \, \partial _ { t } \mathcal F _ { t } \circ \mathcal F _ { t } ^ { - 1 } \right) _ { \sharp } \big ( \left( \mathcal F _ { t } \right) _ { \sharp } \vartheta \big ) \right) } \\ { = \ } & { \ \int D _ { \mu } \ell \left( \left( \mathcal F _ { t } \right) _ { \sharp } \vartheta \right) \cdot \partial _ { t } \mathcal F _ { t } \circ \mathcal F _ { t } ^ { - 1 } \d { \big ( \left( \mathcal F _ { t } \right) _ { \sharp } \vartheta \big ) } } \\ { = \ } & { \ \int D _ { \mu } \ell \big | _ { \left( \bar { X } _ { t , T } \circ X _ { t } \right) _ { \sharp } \vartheta } \circ \left( \bar { X } _ { t , T } \circ X _ { 0 , t } \right) \cdot } \\ & { \qquad \partial _ { t } ( \bar { X } _ { t , T } \circ X _ { 0 , t } ) \d \vartheta . } \end{array}
V _ { i } ^ { L } = \operatorname * { l i m } _ { \delta p _ { i } \to 0 } \frac { E _ { \kappa } ( \vec { p } + \delta \vec { p } ) - E _ { \kappa } ( \vec { p } ) } { \delta ^ { L } p _ { i } } = e ^ { - \frac { E ( \vec { p } ) } { \kappa c ^ { 2 } } } \frac { \partial E _ { \kappa } ( \vec { p } ) } { \partial p _ { i } } \ = \ e ^ { - \frac { E ( \vec { p } ) } { \kappa c ^ { 2 } } } V _ { i } \, .
\begin{array} { r } { \footnotesize \frac { \langle T \rangle } { \langle T _ { r ^ { \star } } ^ { G } \rangle } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { r ^ { \star } x _ { 0 } \alpha ( \alpha + \beta ) \mu _ { 2 } ^ { \star } } { \lambda \left[ r \beta \mu _ { 1 } ^ { \star } e ^ { \frac { x _ { 0 } } { 2 D } \left( \mu _ { 1 } ^ { \star } + \mu _ { 2 } ^ { \star } \right) } + \left( \alpha + \beta \right) \left[ e ^ { \frac { x _ { 0 } \mu _ { 1 } ^ { \star } } { 2 D } } { ( \beta \mu _ { 1 } ^ { \star } + \alpha \mu _ { 2 } ^ { \star } ) - \alpha \mu _ { 2 } ^ { \star } } \right] \right] } \; \; \mathrm { f o r } \; \; \; \; \lambda < \lambda _ { c } } \\ { \frac { x _ { 0 } \alpha \mu _ { 2 } ^ { \star } } { 2 D \beta + x _ { 0 } \alpha \mu _ { 2 } ^ { \star } } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \mathrm { f o r } \; \; \lambda \geq \lambda _ { c } . } \end{array} \right. } \end{array}
\chi ^ { * } ( 1 _ { { \mathcal O } _ { M _ { \bullet } } } ^ { * } ) = \sum _ { I _ { N _ { \bullet } } ^ { * } \in { \mathcal I } ^ { * } } \chi ^ { * } ( 1 _ { { \mathcal O } _ { M _ { \bullet } } } ^ { * } ) ( I _ { N _ { \bullet } } ) \otimes I _ { N _ { \bullet } } ^ { * } = \sum _ { I _ { N _ { \bullet } } ^ { * } \in { \mathcal I } ^ { * } } 1 _ { { \mathcal O } _ { M _ { \bullet } } } ^ { * } ( \chi _ { I _ { N _ { \bullet } } } ) \otimes I _ { N _ { \bullet } } ^ { * } .
{ \begin{array} { r l r l } { A ^ { \prime } } & { \mathrel { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \left. { \frac { V _ { 2 } } { V _ { 1 } } } \right| _ { I _ { 1 } = 0 } } & { B ^ { \prime } } & { \mathrel { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \left. { \frac { V _ { 2 } } { I _ { 1 } } } \right| _ { V _ { 1 } = 0 } } \\ { C ^ { \prime } } & { \mathrel { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \left. - { \frac { I _ { 2 } } { V _ { 1 } } } \right| _ { I _ { 1 } = 0 } } & { D ^ { \prime } } & { \mathrel { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \left. - { \frac { I _ { 2 } } { I _ { 1 } } } \right| _ { V _ { 1 } = 0 } } \end{array} }
\nabla u | _ { x = x _ { 0 } } = - c _ { 1 } \Phi ^ { \prime } [ x _ { 0 } / ( 2 \sqrt { k _ { \operatorname* { m a x } } } t ) ] / ( 2 \sqrt { k _ { \operatorname* { m a x } } } t ) = - c _ { 1 } / \sqrt { \pi k _ { \operatorname* { m a x } } t } \exp [ x _ { 0 } ^ { 2 } / ( 4 k _ { \operatorname* { m a x } } t ) ] = - c _ { 1 } / \sqrt { \pi k _ { \operatorname* { m a x } } t }
\begin{array} { r } { \epsilon = \frac { \omega _ { 2 } ^ { 2 } - \omega _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } \Gamma } , } \\ { \tan \delta = \frac { \epsilon } { \| \epsilon \| } \sqrt { \epsilon ^ { 2 } + 1 } - \epsilon , } \end{array}
\Gamma \sim \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 3 } } \left( \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { M _ { Q } } { M _ { P l } } \right) ^ { 2 } M _ { Q } \, \, \, .
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathsf { E } [ } & { U _ { i } ( T _ { n } ) ( 1 - p _ { f } ) \! + \! p _ { f } C _ { 2 } ) \! \mid T ^ { ( n ) } \! > \! 0 , \theta \! = \! i ] p _ { f } ^ { n \! - \! 1 } } \\ { = } & { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \mid T ^ { ( n ) } \! > \! 0 , \theta \! = \! i ] ( 1 \! - \! p _ { f } ) p _ { f } ^ { n \! - \! 1 } \! + \! \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } C _ { 2 } p _ { f } ^ { n } . } \end{array}
| \eta _ { 8 } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } | u \bar { u } + d \bar { d } - 2 s \bar { s } \rangle \ , \ \| \eta _ { 0 } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } | u \bar { u } + d \bar { d } + s \bar { s } \rangle \ ,
\mathcal { L } \{ C _ { l } \} = G _ { \alpha } \mathcal { L } \{ \alpha \} = \left( \pi s - \pi a s ^ { 2 } + 2 \pi \left[ C ( s ) \left( 1 + \left( \frac { 1 } { 2 } - a \right) s \right) \right] \right) \mathcal { L } \{ \alpha \} .
\begin{array} { r } { \psi ( R ) \sim \frac { e ^ { - i \int _ { R } k ( x ) d x } } { \sqrt { k ( R ) } } - ( 1 - P ^ { \mathrm { r e } } ) ^ { 1 / 2 } e ^ { i \phi } \frac { e ^ { + i \int _ { R } k ( x ) d x } } { \sqrt { k ( R ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { \varphi } ( g _ { f } , v _ { f } ; \varphi _ { f } ) } & { = \sum _ { \xi \in V ( \mathbf { Q } ) } \widetilde { \varphi } ( \xi ) ( \omega ( g _ { f } , v _ { f } ) \varphi _ { f } ) ( \xi ) } \\ & { = \sum _ { \xi \in V ( \mathbf { Q } ) } \varphi _ { f } \left( g _ { f } ^ { - 1 } ( \xi - v _ { f } ) \right) \widetilde { \varphi } ( \xi ) } \end{array}
\frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } \alpha } ( \hbar \omega ) \sigma ( \hbar \omega ) \ln { \left( \frac { \hbar \omega - \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } } { \hbar \omega + \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } } \right) } \approx \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } \alpha } ( \hbar \omega ) \sigma ( \hbar \omega ) \left( \frac { - 2 \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } } { \hbar \omega } \right) \approx \frac { - 1 } { 2 \pi ^ { 2 } \alpha } \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } \sigma ( \hbar \omega )
I = \int _ { r = 0 } ^ { + \infty } \left( \frac { 1 } { 1 - \frac { 3 5 \log ^ { 2 } ( b ( \delta _ { 1 } + r + 1 ) ) } { b ( \delta _ { 1 } + r ) } } \right) ( \delta _ { 1 } + r + 1 ) ^ { 1 0 } \exp \left( - \frac { 2 } { 7 } \frac { b ( \delta _ { 1 } + r ) } { \log ^ { 2 } ( b ( \delta _ { 1 } + r + 1 ) ) } \right) \, d r \leq c \epsilon .
\rho = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { p } & { { \frac { V } { 2 } e ^ { - i \phi } } } & { 0 } \\ { 0 } & { { \frac { V } { 2 } e ^ { i \phi } } } & { { 1 - p } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) ,
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { A ^ { \prime } } _ { x } } & { = { \frac { 4 R - \mathbf { A } _ { x } } { 3 } } } \\ { \mathbf { A ^ { \prime } } _ { y } } & { = { \frac { ( R - \mathbf { A } _ { x } ) ( 3 R - \mathbf { A } _ { x } ) } { 3 \mathbf { A } _ { y } } } } \\ { \mathbf { B ^ { \prime } } _ { x } } & { = \mathbf { A ^ { \prime } } _ { x } } \\ { \mathbf { B ^ { \prime } } _ { y } } & { = - \mathbf { A ^ { \prime } } _ { y } } \end{array} }
1 0 ^ { 5 } ~ { \mathrm { G e V } } < M _ { R } < 1 0 ^ { 7 } ~ { \mathrm { G e V } } { \mathrm { ~ a n d ~ } } 1 0 ^ { 1 6 } ~ { \mathrm { G e V } } < M _ { G } < 1 0 ^ { 1 9 } ~ { \mathrm { G e V } } .
\begin{array} { r } { \left| \left[ \boldsymbol E _ { \mathrm { r } } \right] _ { \boldsymbol k , \boldsymbol \ell } \, \right| = \left| \, \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j } \, \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i ( \boldsymbol \ell - \boldsymbol k ) \boldsymbol x _ { j } } - \delta _ { \boldsymbol k , \boldsymbol \ell } \, \right| \leq \varepsilon , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ( R _ { i j } ) = \frac { P \left( ( i , j ) \in { \cal D } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } \right) } { P \left( ( i , j ) \in { \cal D } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } \right) + \frac { \left| { \cal D } ^ { \mathrm { ~ r ~ a ~ n ~ d ~ } } \right| } { \left| { \cal D } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } \right| } P \left( ( i , j ) \in { \cal D } ^ { \mathrm { ~ r ~ a ~ n ~ d ~ } } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { 3 } \mu ( r , \phi , \varphi ) } { \partial r ^ { 3 } } = } & { \; \frac { 3 ( 4 \beta - 2 ) D ^ { 2 } \pi ^ { 3 } r ^ { 6 } + 1 0 D ^ { 4 } \pi ^ { 2 } r ^ { 4 } + ( 4 \beta - 2 ) D ^ { 6 } \pi r ^ { 2 } - 2 D ^ { 8 } } { 2 D ^ { 2 } \pi ^ { 4 } \sqrt { r ^ { 4 } + \frac { D ^ { 2 } ( 4 \beta - 2 ) r ^ { 2 } } { { \pi } } + \frac { D ^ { 4 } } { { \pi } ^ { 2 } } } } } \end{array}
a _ { l a t } = \frac { \omega _ { 2 } ^ { l a t } \left( M + N _ { r } \right) ^ { 2 } - \omega _ { 1 } ^ { l a t } M ^ { 2 } } { N _ { r } \left( 2 M + N _ { r } \right) } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } b _ { l a t } = \frac { M ^ { 2 } \left( N _ { r } + M \right) ^ { 2 } \left( \omega _ { 1 } ^ { l a t } - \omega _ { 2 } ^ { l a t } \right) } { N _ { r } \left( 2 M + N _ { r } \right) } ,
\phi _ { A _ { 0 } , A _ { 1 } } = \left( { \operatorname * { d e t } } _ { F r } ^ { \prime } \left( \left( 1 - p _ { E _ { 1 } } \right) A _ { 1 } A _ { 0 } ^ { - 1 } \right) \right) ^ { - 1 } \phi _ { A _ { 0 } , A _ { 1 } } \left( E _ { \bullet } \right) ,
\begin{array} { r l } { P _ { 1 } ^ { \mathrm { b } } : \quad } & { G ^ { 7 } ( 0 ) = 0 , \; G ^ { 7 } ( 1 ) = 1 , \; G ^ { 7 } ( 2 ) = 2 , \; G ^ { 7 } ( 3 ) = 3 , \; G ^ { 7 } ( 4 ) = 3 , } \\ & { G ^ { 7 } ( 5 ) = 5 , \; G ^ { 7 } ( 6 ) = 5 , \; G ^ { 7 } ( 7 ) = 7 , \; G ^ { 7 } ( 8 ) = 7 , \; G ^ { 7 } ( 9 ) = 8 , } \\ & { G ^ { 7 } ( 1 0 ) = 8 , \; G ^ { 7 } ( 1 1 ) = 9 , \; G ^ { 7 } ( 1 2 ) = 9 , \; G ^ { 7 } ( 1 3 ) = 1 0 , } \\ & { G ^ { 7 } ( 1 4 ) = 1 1 , \; G ^ { 7 } ( 1 5 ) = 1 2 , \; G ^ { 7 } ( 1 6 ) = 1 3 \; , } \end{array}
g \simeq \tilde { \Lambda } ^ { 2 } \, ( - A ^ { 2 } \eta ^ { 2 } d s ^ { 2 } + d \eta ^ { 2 } + d \rho ^ { 2 } ) + \tilde { \Lambda } ^ { - 2 } \rho ^ { 2 } d \phi ^ { 2 } , \qquad \tilde { \Lambda } \equiv 1 + \frac { B ^ { 2 } \rho ^ { 2 } } { 4 } ,
\begin{array} { r l } { \dot { E } } & { { } = p _ { t } ^ { T } \cdot m ^ { - 1 } \cdot ( \langle \hat { V } ^ { \prime } \rangle - V _ { 1 } ) \mathrm { ~ \ \ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \dot { E } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } & { { } = \dot { V } _ { 0 } - V _ { 1 } ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } = \dot { V } _ { 0 } + \dot { p } _ { t } ^ { T } \cdot m ^ { - 1 } \cdot p _ { t } } \end{array}
\bar { \alpha } _ { n } ( u ) \approx \frac { \varepsilon _ { 1 } / \varepsilon _ { 0 } + \varepsilon _ { 0 } / \varepsilon _ { 1 } + 1 + 2 \beta _ { 0 } ^ { 2 } u / \gamma _ { 0 } } { 2 \gamma _ { 0 } \left( 1 - \varepsilon _ { 1 } / \varepsilon _ { 0 } \right) u ^ { 2 } } .
\mu \phi = - \nabla ^ { 2 } \phi + i \omega \widehat { \mathbf { r } } \cdot \nabla _ { \mathbf { r } } \phi + \sigma \ln ( | \phi | ^ { 2 } ) | \phi | ^ { 2 } \phi + [ V ( \mathbf { r } ) + i W ( \mathbf { r } ) ] \phi .
K _ { H } ^ { 1 } \sim \oplus _ { j } \frac { k e r ( d _ { 3 } : H ^ { 2 j + 1 } \longrightarrow H ^ { 2 j + 4 } ) } { i m ( d _ { 3 } : H ^ { 2 j - 2 } \longrightarrow H ^ { 2 j + 1 } ) } .
\sigma ^ { 2 } \leqslant \left( 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } \right) \Big [ \big ( \alpha + \beta + \gamma + \delta \big ) ^ { 2 } + \big ( \alpha - \beta + \gamma - \delta \big ) ^ { 2 } + \big ( \alpha + \beta - \gamma - \delta \big ) ^ { 2 } + \big ( \alpha - \beta - \gamma + \delta \big ) ^ { 2 } \Big ] \leqslant 1 6 \big ( \alpha ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } \big ) .
\begin{array} { r l } { \left( v _ { y } + \frac { E _ { x } } { B } \right) \bigg | _ { y = 0 } } & { { } = 0 \, , } \\ { \left( \partial _ { t } \rho + 2 \, \partial _ { x } v _ { x } + \sqrt { \frac { \nu } { 2 \pi } } \frac { E _ { x } } { B \ell _ { B } } \right) \bigg | _ { y = 0 } } & { { } = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { N , T ; \theta } } & { : = \int \left| \frac { \partial } { \partial \theta } \log \frac { \mathbb P _ { \theta , \beta } ^ { N , T } } { \mathbb P _ { \theta _ { 0 } , \beta _ { 0 } } ^ { N , T } } \right| ^ { 2 } d \mathbb P _ { \theta _ { 0 } , \beta _ { 0 } } ^ { N , T } } \\ & { = - \int \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta ^ { 2 } } \left( \log \frac { \mathbb P _ { \theta , \beta } ^ { N , T } } { \mathbb P _ { \theta _ { 0 } , \beta _ { 0 } } ^ { N , T } } \right) d \mathbb P _ { \theta _ { 0 } , \beta _ { 0 } } ^ { N , T } } \\ & { = \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 4 + 2 \gamma } \mathbb E \left[ \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ^ { 2 } ( t ) d t \right] . } \end{array}
{ \mathcal { L } } = { \frac { 1 } { 2 } } \partial ^ { \mu } \phi _ { a } \partial _ { \mu } \phi _ { a } - { \frac { m ^ { 2 } } { 2 } } \phi _ { a } \phi _ { a } + { \frac { 1 } { 2 } } F ^ { 2 } - { \frac { \sqrt { \lambda / N } } { 2 } } F \phi _ { a } \phi _ { a }
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { \rho ^ { K } ( x , t ; Y ) } \\ { z ^ { K } ( x , t ; Y ) } \end{array} \right) = \sum _ { k = 0 } ^ { K } \left( \begin{array} { l } { \hat { \rho } _ { k } ( x , t ) \phi _ { k } ( Y ) } \\ { \hat { z } _ { k } ( x , t ) \phi _ { k } ( Y ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\overline { { R } } _ { a a } = \overline { { R } } _ { a a } ^ { L } + \overline { { T } } _ { a b } ^ { L } \left( \mathbb { I } - \overline { { R } } _ { a a } \overline { { R } } _ { b b } ^ { L } \right) ^ { - 1 } \! \overline { { R } } _ { a a } \overline { { T } } _ { b a } ^ { L }
\left( \frac { S } { N } \right) ^ { 2 } = 4 \int _ { 0 } ^ { f _ { m a x } } { \frac { \tilde { s } ( f ) \left[ \tilde { h } ( f ) ^ { * } \right] _ { t _ { 0 } = 0 } } { S _ { n } ( f ) } \, e ^ { 2 \pi i f t _ { 0 } } \, d f } ,
\begin{array} { r l } { | \vec { S } _ { \mathrm { ~ p ~ - ~ p ~ o ~ l ~ } } | } & { { } = \frac { \gamma _ { 0 } } { \mu _ { 0 } } \sqrt { E _ { y } ^ { \prime 2 } B _ { z } ^ { \prime 2 } + \gamma _ { 0 } ^ { 2 } v _ { y } ^ { 2 } B _ { z } ^ { \prime 4 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { [ { \mathbb { E } } \{ \| \Gamma S ( U _ { i } ) \| ^ { - 1 } \} ] ^ { - 1 } \leq { \mathbb { E } } \{ \| \Gamma S ( U _ { i } ) \| \} \leq [ { \mathbb { E } } \{ \| \Gamma S ( U _ { i } ) \| ^ { 2 } \} ] ^ { 1 / 2 } = 1 + O ( p ^ { - 1 / 2 } ) \, , } & \\ & { [ { \mathbb { E } } \{ \| \Gamma S ( U _ { i } ) \| ^ { - 2 } \} ] ^ { - 1 } \leq { \mathbb { E } } \{ \| \Gamma S ( U _ { i } ) \| ^ { 2 } \} = 1 + O ( p ^ { - 1 / 2 } ) \, , } & \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { x } ( \theta , \phi ) } & { = \int _ { - \frac { b } { 2 } } ^ { \frac { b } { 2 } } \int _ { - \frac { a } { 2 } } ^ { \frac { a } { 2 } } E _ { \mathrm { a p e } , x } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) \cdot e ^ { j ( k _ { x } x ^ { \prime } + k _ { y } y ^ { \prime } ) } \mathrm { d } x ^ { \prime } \mathrm { d } y ^ { \prime } } \\ { f _ { y } ( \theta , \phi ) } & { = \int _ { - \frac { b } { 2 } } ^ { \frac { b } { 2 } } \int _ { - \frac { a } { 2 } } ^ { \frac { a } { 2 } } E _ { \mathrm { a p e } , y } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) \cdot e ^ { j ( k _ { x } x ^ { \prime } + k _ { y } y ^ { \prime } ) } \mathrm { d } x ^ { \prime } \mathrm { d } y ^ { \prime } } \end{array}
t _ { u } ^ { * } ( 1 ) = t _ { S S l } \left[ \log \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } + \log \frac { k _ { 1 } ( s _ { 0 } + K _ { M } ) ^ { 2 } } { k _ { 2 } K _ { M } } + \cdots \right] ,
\begin{array} { r } { \chi _ { e } ( \Omega , \mathbf { k } ) = \frac { e ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } m _ { e } k ^ { 2 } } \int \frac { \mathbf { k } \cdot \nabla _ { \mathbf { v } } f _ { e } } { \Omega - \mathbf { k } \cdot \mathbf { u } _ { f } - \mathbf { k } \cdot \mathbf { v } } d \mathbf { v } } \end{array}
\hat { V } ( \omega ) = \left( \hat { r } ^ { \alpha } - i q _ { \nu } \left( \frac { 1 } { 2 } \hat { Q } ^ { \nu \alpha } + \frac { c } { \omega } \epsilon ^ { \nu \mu \rho } \hat { M } _ { \rho } \right) \right) E _ { \alpha } ( \omega )
\left[ G _ { \mathrm { r a d } } ^ { a } ( \vec { x } ) , G _ { \mathrm { r a d } } ^ { b } ( \vec { y } ) \right] = i \epsilon ^ { a b c } G _ { \mathrm { r a d } } ^ { c } ( \vec { x } ) \delta ^ { ( 3 ) } ( \vec { x } - \vec { y } ) \ .
\begin{array} { r l } { \| \Sigma ^ { - 1 / 2 } \hat { v } \| } & { = ( 1 - \alpha _ { \mathrm { c o r r u p t } } ) \operatorname* { m a x } _ { \| v \| = 1 } \Sigma ^ { - 1 / 2 } \left\langle v , \frac { 1 } { ( 1 - \alpha _ { \mathrm { c o r r u p t } } ) n } \sum _ { i \in G } x _ { i } z _ { i } \right\rangle } \\ & { \leq ( 1 - \alpha _ { \mathrm { c o r r u p t } } ) C _ { 2 } K ^ { 2 } \alpha \log ^ { 2 a } ( 1 / \alpha ) \sigma } \\ & { \leq C _ { 2 } K ^ { 2 } \alpha \log ^ { 2 a } ( 1 / \alpha ) \sigma \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| { { \varphi } _ { \alpha } ^ { \ell + 1 } } \| ^ { 2 } = \frac { \| { { \varphi } _ { \alpha } ^ { \ell } } \| ^ { 2 } } { n _ { \ell } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \ell } } 2 { \varphi } ^ { 2 } ( G _ { i } ) , \quad } & { \quad \| { { \varphi } _ { \beta } ^ { \ell + 1 } } \| ^ { 2 } = \frac { \| { { \varphi } _ { \beta } ^ { \ell } } \| ^ { 2 } } { n _ { \ell } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \ell } } 2 { \varphi } ^ { 2 } ( \hat { G } _ { i } ) , } \\ { \langle { { \varphi } _ { \alpha } ^ { \ell + 1 } } , { { \varphi } _ { \beta } ^ { \ell + 1 } } \rangle } & { = \frac { \| { { \varphi } _ { \alpha } ^ { \ell } } \| \| { { \varphi } _ { \beta } ^ { \ell } } \| } { n _ { \ell } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \ell } } 2 { \varphi } ( G _ { i } ) { \varphi } ( \hat { G } _ { i } ) , } \\ { \frac { \| { { \varphi } _ { \alpha } ^ { \ell + 1 } } \| ^ { 2 } \| { { \varphi } _ { \beta } ^ { \ell + 1 } } \| ^ { 2 } } { \| { { \varphi } _ { \alpha } ^ { \ell } } \| ^ { 2 } \| { { \varphi } _ { \beta } ^ { \ell } } \| ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } ( \theta ^ { \ell + 1 } ) } & { = \frac { 2 } { n _ { \ell } ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n _ { \ell } } \left( { \varphi } ( G _ { i } ) { \varphi } ( \hat { G } _ { j } ) - { \varphi } ( G _ { j } ) { \varphi } ( \hat { G } _ { i } ) \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \mathcal { V } \left[ \frac { 1 + \frac { 1 } { \nu } { \bf x } ^ { \prime } { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ^ { - 1 } ) { \bf x } } { 1 + \frac { 1 } { \nu } { \bf x } ^ { \prime } { \bf C } ^ { - 1 } { \bf x } } \right] = 0
= \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \int d ^ { 2 } k \left[ n _ { \omega } ~ \phi _ { \omega , k } ^ { * } ( x ) \phi _ { \omega , k } ( x ^ { \prime } ) + ( n _ { \omega } + 1 ) \phi _ { \omega , k } ( x ) \phi _ { \omega , k } ^ { * } ( x ^ { \prime } ) \right] ~ ~ ~ .
\begin{array} { r } { \sum _ { k } u _ { j , k } \widetilde { m } _ { k } = \beta _ { j } \sum _ { k } \frac { \partial u } { \partial m _ { k } } ( \boldsymbol { m } ) \widetilde { m } _ { k } + \widetilde { m } \frac { \partial u } { \partial m _ { j } } ( \boldsymbol { m } ) = \ \beta _ { j } v ( \boldsymbol { m } , \boldsymbol { m } ^ { \prime } ) + \widetilde { m } \frac { \partial u } { \partial m _ { j } } ( \boldsymbol { m } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d } & { { } \in \{ 1 2 , 1 5 , 1 8 , 2 0 \} \mathrm { ~ , ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { l r } & { { } \in \{ 0 . 1 , 0 . 3 , 0 . 5 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { N } ^ { + } = } & { { } } & { ( i N _ { 1 0 } ^ { i + } + N _ { 1 0 } ^ { + } + i \textbf { N } _ { 1 } ^ { i + } + \textbf { N } _ { 1 } ^ { + } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \rho ( \rho - 2 \lambda - \kappa ) } { 2 } \mathbb { E } [ \| \hat { x } ^ { k ^ { \ast } } - x ^ { k ^ { \ast } } \| ^ { 2 } ] } \\ { = } & { \frac { \rho ( \rho - 2 \lambda - \kappa ) } { 2 K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } [ \| \hat { x } ^ { k } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] } \\ { \leq } & { \frac { \gamma - 2 \lambda - \kappa } { K } \{ \psi _ { 1 / \rho } ( x ^ { 1 } ) - \mathbb { E } [ \psi _ { 1 / \rho } ( x ^ { K + 1 } ) ] \} - \frac { \rho ( \gamma - \rho ) } { 2 K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] } \\ & { + \frac { \rho } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } [ \lambda \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } + 2 L _ { f } \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ] } \\ { \leq } & { \frac { ( \gamma - 2 \lambda - \kappa ) D } { K } - \frac { \rho ( \gamma - \rho ) } { 2 K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] } \\ & { + \frac { \rho } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } [ - \frac { \gamma - \rho } { 2 } \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } + \lambda \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } + 2 L _ { f } \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ] , } \end{array}
\phi _ { k } ^ { \mathrm { ~ u ~ } } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \psi _ { i } \; s _ { i } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \; \delta _ { p _ { i } , k } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } s _ { i } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \; \delta _ { p _ { i } , k } } , \qquad \phi _ { k } ^ { \mathrm { ~ d ~ } } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \psi _ { i } \; s _ { i } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \; \delta _ { p _ { i } , k } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } s _ { i } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \; \delta _ { p _ { i } , k } } \quad .
V ( H _ { 1 } , H _ { 2 } ) = | \mu | ^ { 2 } ( | H _ { 1 } | ^ { 2 } + | H _ { 2 } | ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 8 } ( g ^ { 2 } + g ^ { 2 } ) ( | H _ { 1 } | ^ { 2 } - | H _ { 2 } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } | H _ { 1 } ^ { * } H _ { 2 } | ^ { 2 }
\left\lbrace \begin{array} { l } { d _ { z } \psi ( z ) - g \vert S ( z ) \vert ^ { 2 } \psi ( z ) = 0 , } \\ { 0 \le z \le L \ \mathrm { a n d } \ \psi ( 0 ) = 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \! \! f ( \Delta , \eta _ { w } ) \! \! } & { = } & { \! \! - \frac { 1 \! + \! ( \! \Delta \! - \! 1 \! ) \eta _ { w } } { \Delta } \! \log \! \frac { 1 \! + \! ( \! \Delta \! - \! 1 \! ) \eta _ { w } } { \Delta } \! - \! ( \! \Delta \! - \! 1 \! ) \frac { 1 \! - \! \eta _ { w } } { \Delta } \! \log \! \frac { 1 \! - \! \eta _ { w } } { \Delta } , } \\ { \! \! f ( \Delta , \eta _ { l } ) \! \! } & { = } & { \! \! - \frac { 1 \! + \! ( \! \Delta \! - \! 1 \! ) \eta _ { l } } { \Delta } \! \log \! \frac { 1 \! + \! ( \! \Delta \! - \! 1 \! ) \eta _ { l } } { \Delta } \! - \! ( \! \Delta \! - \! 1 \! ) \frac { 1 \! - \! \eta _ { l } } { \Delta } \! \log \! \frac { 1 \! - \! \eta _ { l } } { \Delta } . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } { \bf S } } { \mathrm { d } t } = \left( \frac { \mathrm { d } { \bf S } } { \mathrm { d } t } \right) _ { T } + \left( \frac { \mathrm { d } { \bf S } } { \mathrm { d } t } \right) _ { R } ,
\frac { 1 } { v _ { j } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } X ^ { i } } { \partial t ^ { 2 } } - \frac { \partial ^ { 2 } X ^ { i } } { \partial x ^ { 2 } } = 0 , \quad j = 1 , 2 , \quad i = 2 , 3 , \dots , D \, { . }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial r ^ { k } } Q _ { W } ( L ) } & { = 2 \pi i \frac { \partial W } { \partial Y _ { k } } = 0 , \; \; \; \frac { \partial } { \partial Y _ { m } } Q _ { W } ( L ) = 2 \pi i \sum _ { k = 1 } ^ { N } r ^ { k } \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial Y _ { k } \partial Y _ { m } } = 0 , } \\ { \frac { \partial } { \partial \psi _ { \Phi } ^ { k } } Q _ { W } ( L ) } & { = \psi _ { R } ^ { k } = 0 , \; \; \; \frac { \partial } { \partial \psi _ { R } ^ { k } } Q _ { W } ( L ) = - \psi _ { \Phi } ^ { k } = 0 . } \end{array}