harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \delta \varphi _ { \mathrm { c } } ^ { ( 1 2 9 ) } ( t ) } & { \approx } & { \frac { \omega _ { 1 2 9 } - \omega _ { \mathrm { c a l } } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } \frac { \delta \Gamma _ { \mathrm { R b } } ( t ) } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } , } \\ { \delta \varphi _ { \mathrm { c } } ^ { ( 1 3 1 ) } ( t ) } & { \approx } & { \frac { \omega _ { 1 3 1 } + \omega _ { \mathrm { c a l } } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } \frac { \delta \Gamma _ { \mathrm { R b } } ( t ) } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d x _ { 1 } } { d t } } & { { } = \omega _ { 1 } \frac { 1 } { 1 + x _ { n } ^ { h } } - \gamma _ { 1 } x _ { 1 } } \\ { \frac { d x _ { 2 } } { d t } } & { { } = \omega _ { 2 } x _ { 1 } - \gamma _ { 2 } x _ { 2 } } \\ { : } & { { } } \\ { \frac { d x _ { n } } { d t } } & { { } = \omega _ { n } x _ { n - 1 } - \gamma _ { n } x _ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } _ { \mu \nu } ( \underline { { r } } , \underline { { r } } ^ { \prime } ) \, } & { { } = \displaystyle \int \mathrm { d } \underline { { R } } \, \rho _ { \mu \nu } ( \underline { { r } } , \underline { { r } } ^ { \prime } ; \underline { { R } } ) \, \tilde { S } _ { \mu \nu } ( \underline { { R } } , \underline { { R } } ) = \tilde { \rho } _ { \mu \nu } ^ { ( e ) } \, , } \end{array}
E _ { i \ell } = \frac { 1 } { 8 \pi \mu r ^ { 5 } } \left( - 3 x _ { j } x _ { k } \delta _ { i \ell } S _ { j k } - 3 x _ { i } x _ { k } S _ { \ell k } - 3 x _ { \ell } x _ { k } S _ { i k } + \frac { 1 5 x _ { i } x _ { j } x _ { k } x _ { \ell } S _ { j k } } { r ^ { 2 } } \right) .
\frac { 1 } { r } [ ( \eta ^ { 2 } - h ^ { 2 } ) f ] _ { r } - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } [ ( 1 - f ^ { 2 } ) ( \eta ^ { 2 } - h ^ { 2 } ) + 2 f ^ { 2 } h ^ { 2 } ] = 0 .
\begin{array} { r l r } { \oint _ { \cal C } \frac { e ^ { \tau s } } { s P _ { 2 n } ( s ) } d s } & { = } & { \oint _ { \cal \tilde { C } } \frac { e ^ { z } } { z P _ { 2 n } ( \frac { z } { \tau } ) } d z } \\ & { = } & { \tau ^ { 2 n } \oint _ { \cal \tilde { C } } \frac { e ^ { z } } { z ( z ^ { 2 n } + a _ { 2 n - 2 } \tau ^ { 2 } z ^ { 2 n - 2 } + \cdots + a _ { 0 } \tau ^ { 2 n } ) } d z } \\ & { \sim } & { \tau ^ { 2 n } \oint _ { \cal \tilde { C } } \frac { e ^ { z } } { z ^ { 2 n + 1 } } d z \qquad \tau \rightarrow 0 ^ { + } } \end{array}
C T = g ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { p ^ { + } } \! \! \! \! \! \! \! d k ^ { + } \! \! \! \! \int \! \! \frac { d ^ { 2 } k _ { \perp } } { 1 6 \pi ^ { 3 } } \frac { \! \! \frac { \lambda ^ { 2 } + { \vec { k } } _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 k ^ { + } } \! } { k ^ { + } ( p ^ { + } - k ^ { + } ) D _ { 0 } ^ { L F } } + \frac { \Delta m _ { Z M } ^ { 2 } } { 2 p ^ { + } } ,
\begin{array} { c c c c l } { { T _ { f U } } } & { { = } } & { { T _ { U f } } } & { { = } } & { { i ( \sigma _ { V } ^ { \ast } \sigma _ { S } - \sigma _ { S } ^ { \ast } \sigma _ { V } ) \mathrm { ~ \left| ~ { \bf ~ q } ~ \right| ~ } , } } \\ { { T _ { f V } } } & { { = } } & { { - T _ { V f } } } & { { = } } & { { M \mathrm { ~ \left| ~ { \bf ~ q } ~ \right| ~ } | \sigma _ { V } | ^ { 2 } , } } \\ { { T _ { f W } } } & { { = } } & { { - T _ { W f } } } & { { = } } & { { - i ( \sigma _ { V } ^ { \ast } \sigma _ { S } - \sigma _ { S } ^ { \ast } \sigma _ { V } ) q _ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } ( \sigma _ { V } ^ { \ast } \sigma _ { S } + \sigma _ { S } ^ { \ast } \sigma _ { V } ) M , } } \\ { { T _ { U V } } } & { { = } } & { { T _ { V U } } } & { { = } } & { { - [ \frac { i } { 2 } ( \sigma _ { V } ^ { \ast } \sigma _ { S } - \sigma _ { S } ^ { \ast } \sigma _ { V } ) M - q _ { 3 } ( \sigma _ { V } ^ { \ast } \sigma _ { S } + \sigma _ { S } ^ { \ast } \sigma _ { V } ) ] , } } \\ { { T _ { U W } } } & { { = } } & { { - T _ { W U } } } & { { = } } & { { - 2 q _ { 3 } \mathrm { ~ \left| ~ { \bf ~ q } ~ \right| ~ } | \sigma _ { V } | ^ { 2 } , } } \\ { { T _ { V W } } } & { { = } } & { { - T _ { W V } } } & { { = } } & { { ( \sigma _ { V } ^ { \ast } \sigma _ { S } + \sigma _ { S } ^ { \ast } \sigma _ { V } ) \mathrm { ~ \left| ~ { \bf ~ q } ~ \right| ~ } . } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { L \cdot ( P - M ) } & { = 0 } \\ { ( r , r , r ) \cdot ( x _ { 1 } - \ell , x _ { 2 } - \ell , x _ { 3 } - \ell ) } & { = 0 } \\ { r ( x _ { 1 } - \ell + x _ { 2 } - \ell + x _ { 3 } - \ell ) } & { = 0 } \\ { r \left( \sum _ { i } x _ { i } - 3 \ell \right) } & { = 0 } \\ { \sum _ { i } x _ { i } - 3 \ell } & { = 0 } \\ { { \frac { 1 } { 3 } } \sum _ { i } x _ { i } } & { = \ell } \\ { { \bar { x } } } & { = \ell } \end{array} }
\begin{array} { r l } { a _ { h } ( v , w ) } & { = ( c _ { h } v b _ { h } \cdot \nabla _ { \Gamma _ { h } } v , w ) _ { \mathcal { K } _ { h } } - ( \{ b _ { h } ; n _ { E } \} [ v ] , \{ w \} ) _ { \mathcal { E } _ { h } } + \frac { 1 } { 2 } ( | \{ b _ { h } ; n _ { E } \} | [ v ] , [ w ] ) _ { \mathcal { E } _ { h } } } \\ & { = I + I I + I I I , } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { F } } _ { \alpha , n } = - \frac { 1 } { N _ { \mathrm { M L P } } } \sum _ { p = 1 } ^ { N _ { \mathrm { M L P } } } \frac { \partial E _ { p } } { \partial \alpha _ { n } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C _ { i } = - \frac { \partial \left( \overline { { \rho } } \overline { { u } } _ { i } \overline { { u } } _ { j } \right) } { \partial x _ { j } } , } \\ & { G _ { i } ^ { p } = - \frac { \partial \overline { { P } } } { \partial x _ { i } } , } \\ & { G _ { i } = \frac { \overline { { \rho } } } { \mathrm { F r } ^ { 2 } } \delta _ { i 2 } , } \\ & { D _ { i } ^ { v } = \frac { \partial \overline { { \tau } } _ { i j } } { \partial x _ { j } } , } \\ & { D _ { i } ^ { t } = - \frac { \partial \overline { { \rho u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { \partial x _ { j } } , } \\ & { A _ { i } = - \frac { \partial \overline { { \rho u _ { i } ^ { \prime } } } } { \partial t } - \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \overline { { \rho u _ { i } ^ { \prime } } } \overline { { u } } _ { j } + \overline { { \rho u _ { j } ^ { \prime } } } \overline { { u } } _ { i } \right) , } \end{array}
L = \bar { \psi } ( i \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } + i G \varphi ) \psi + \frac 1 2 \partial ^ { \mu } \varphi \partial _ { \mu } \varphi - \frac { \lambda ^ { 2 } } 8 ( \varphi ^ { 2 } - \varphi _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + A ( \varphi ) .
R _ { i j h l } = \biggl \langle J _ { i j } J _ { h l } [ 1 - i \tau \beta \sigma - \frac { \tau ^ { 2 } \beta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 2 ! } + i \frac { \tau ^ { 3 } \beta ^ { 3 } \sigma ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { \tau ^ { 4 } \beta ^ { 4 } \sigma ^ { 4 } } { 4 ! } ] \biggl \rangle ,
\hat { p } _ { r } ^ { ( s ) } ( k ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { r } { r + D c ^ { \alpha n } | k | ^ { \alpha } } \prod _ { \substack { l = 0 , l \neq n } } ^ { \infty } \frac { 1 } { 1 - c ^ { \alpha ( l - n ) } } = \frac { 1 } { ( c ^ { \alpha } ; c ^ { \alpha } ) _ { \infty } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( c ^ { - \alpha } ; c ^ { - \alpha } ) _ { n } } \frac { r } { r + D c ^ { \alpha n } | k | ^ { \alpha } } ,
\begin{array} { r } { \boldsymbol { g } ^ { \top } \boldsymbol { R } _ { n } ^ { - 1 } \boldsymbol { g } = m _ { n } \boldsymbol { g } ^ { \top } ( \boldsymbol { L } _ { n } ^ { - 1 } ) ^ { \top } \boldsymbol { L } _ { n } ^ { - 1 } \boldsymbol { g } = m _ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { n } } ( g ( i / m _ { n } ) - g ( ( i - 1 ) / m _ { n } ) ) ^ { 2 } , } \end{array}
\left| \delta \varphi _ { I k 0 } \right| ^ { 2 } \equiv k ^ { 3 } \left| \delta \widetilde { \varphi } _ { I k } \right| ^ { 2 } = \frac { ( k / a ) ^ { 3 } } { 2 \pi ^ { 2 } \omega _ { I k } } \, .
\begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { H } } \big ( f _ { \smash { \hat { \boldsymbol X } _ { \ell + 1 } } } , f _ { { \boldsymbol X } _ { \ell + 1 } } \big ) } & { = D _ { \mathrm { H } } \big ( ( \mathcal { T } _ { \ell } \circ \mathcal { Q } _ { \ell + 1 } ) _ { \sharp } f _ { \boldsymbol U } , f _ { { \boldsymbol X } _ { \ell + 1 } } \big ) } \\ & { = D _ { \mathrm { H } } \big ( ( \mathcal { Q } _ { \ell + 1 } ) _ { \sharp } f _ { \boldsymbol U } , \mathcal { T } _ { \ell } ^ { \sharp } f _ { { \boldsymbol X } _ { \ell + 1 } } \big ) } \\ & { \leq \omega D _ { \mathrm { H } } \big ( f _ { \boldsymbol U } , \mathcal { T } _ { \ell } ^ { \sharp } f _ { { \boldsymbol X } _ { \ell + 1 } } \big ) } \\ & { = \omega D _ { \mathrm { H } } \big ( f _ { \smash { \hat { \boldsymbol X } _ { \ell } } } , f _ { { \boldsymbol X } _ { \ell + 1 } } \big ) } \\ & { \leq \omega \Big ( D _ { \mathrm { H } } \big ( f _ { \smash { \hat { \boldsymbol X } _ { \ell } } } , f _ { { \boldsymbol X } _ { \ell } } \big ) + D _ { \mathrm { H } } \big ( f _ { \smash { { \boldsymbol X } _ { \ell } } } , f _ { { \boldsymbol X } _ { \ell + 1 } } \big ) \Big ) } \\ & { \leq \omega \Big ( D _ { \mathrm { H } } \big ( f _ { \smash { \hat { \boldsymbol X } _ { \ell } } } , f _ { { \boldsymbol X } _ { \ell } } \big ) + \eta \Big ) , } \end{array}
\frac { \Delta m } { M } = \frac { a } { T } \, \sqrt { \frac { 2 a } { a ^ { 2 } g } } = \sqrt { 2 } \, \frac { a } { T } \, \sqrt { \frac { 1 } { a g } } \approx 0 . 9 \cdot 1 0 ^ { - 2 } .
\begin{array} { r } { \mathrm { i } \hbar \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } G _ { i j } ^ { < } ( t ) = \Big [ h ^ { \mathrm { H } } , G ^ { < } \Big ] _ { i j } ( t ) + \Big [ I + I ^ { \dagger } \Big ] _ { i j } ( t ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { f } \colon \xi x _ { 3 } + x _ { 4 } s ^ { r } u + f _ { d _ { 1 } } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ) + u f _ { d _ { 1 } } ^ { \prime } ( u , x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 4 } , x _ { 3 } , s ^ { 2 } ) = 0 } \\ { \widetilde { g } \colon \xi x _ { 4 } + x _ { 3 } ^ { \alpha } u + g _ { d _ { 2 } } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ) + u g _ { d _ { 2 } } ^ { \prime } ( u , x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 4 } , x _ { 3 } , s ^ { 2 } ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \frac { \operatorname* { s u p } _ { x \in [ x _ { * } , x _ { 0 } ] } | F ^ { \prime \prime } ( x ) | } { \operatorname* { i n f } _ { x \in [ x _ { * } , x _ { 0 } ] } | F ^ { \prime } ( x ) | } = } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { \operatorname* { s u p } _ { x \in [ 1 / 2 , z ] } | ( 1 - x ) ^ { - ( r + 1 ) } \big ( r \sin ( \pi ( 1 - \alpha ) ) - \pi \alpha ( 1 - \alpha ) \cos ( \pi \alpha ) ( 1 - r ) ( 1 - x ) \big ) | } { \operatorname* { i n f } _ { x \in [ 1 / 2 , z ] } | ( 1 - x ) ^ { - r } \big ( \sin ( \pi ( 1 - \alpha ) ) + \pi \alpha ( 1 - \alpha ) \cos ( \pi \alpha ) ( 1 - x ) \big ) | } } \\ { \leqslant } & { \frac { ( 1 - z ) ^ { - ( r + 1 ) } ( r \sin ( \pi ( 1 - \alpha ) ) + \pi \alpha ( 1 - \alpha ) \cos ( \pi \alpha ) ( 1 - r ) ) } { ( 1 - 1 / 2 ) ^ { - r } \big ( \sin ( \pi ( 1 - \alpha ) ) + \pi \alpha ( 1 - \alpha ) \cos ( \pi \alpha ) ( 1 - z ) \big ) } = M ( x _ { 0 } , k ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { \langle W ^ { ( \varepsilon ) } \rangle _ { \infty } } { 2 v ( \varepsilon , \theta , \gamma ) ^ { 2 } } \mathbf { 1 } _ { \bigcup _ { q \ge 1 } \mathcal A _ { q , R } } } & { = M ^ { \prime } ( e ^ { | \gamma | ^ { 2 } L } | f | ^ { 2 } ) , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { \langle W ^ { ( \varepsilon ) } , W ^ { ( \varepsilon ) } \rangle _ { \infty } } { v ( \varepsilon , \theta , \gamma ) ^ { 2 } } \mathbf { 1 } _ { \bigcup _ { q \ge 1 } \mathcal A _ { q , R } } } & { = 0 . } \end{array}
V = \frac { 1 } { 2 { b } _ { 1 1 } } \left( \tilde { m } ^ { \dagger } \tilde { m } - m ^ { \dagger } m \right) ^ { 2 } + \frac { 2 } { { b } _ { 1 1 } } \left| a _ { D } \right| ^ { 2 } \left( m m ^ { \dagger } + \tilde { m } \tilde { m } ^ { \dagger } \right) + \frac { { b } _ { 0 1 } } { { b } _ { 1 1 } } D _ { 0 } \left( m m ^ { \dagger } - \tilde { m } ^ { \dagger } \tilde { m } \right)
\begin{array} { r l } { \operatorname { h } ^ { 0 } ( { \mathbb P } ^ { N } , \mathcal { L } _ { N , k } ( \Lambda , 2 ^ { h } ) ) } & { = \operatorname { h } ^ { 0 } ( { \mathbb P } ^ { N } , \mathcal { L } _ { N , k - 1 } ( 2 ^ { h } ) ) + \operatorname { h } ^ { 0 } ( H , \mathcal { L } _ { N , k } ( \Lambda , 2 ^ { h } ) | _ { H } ) } \\ & { \le { \binom { N + k } { N } } - { \binom { n + k } { n } } - h ( N + 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } _ { u } ^ { * } \Phi _ { n } ^ { p } } & { = b \xi _ { n } ^ { p } ( 2 \pi ) + \bar { u } \eta _ { n } ^ { p } ( 2 \pi ) + \mu _ { 0 } ( \eta _ { n } ^ { p } ) _ { x } ( 2 \pi ) } \\ & { = b \beta _ { 1 } ^ { n } + ( \bar { u } + \mu _ { 0 } i n ) \beta _ { 2 } ^ { n } = \nu _ { 1 } ^ { n } \beta _ { 2 } ^ { n } \neq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { j } \dot { P } _ { j } ^ { \mathrm { m e s } } } & { { } = - P _ { j } ^ { \mathrm { m e s } } + P _ { j } ^ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } , } \\ { \tau _ { j } \dot { Q } _ { j } ^ { \mathrm { m e s } } } & { { } = - Q _ { j } ^ { \mathrm { m e s } } + Q _ { j } ^ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } , } \end{array}
\mathfrak { F } _ { a } : = \bigoplus _ { N \ge 0 } \mathfrak { h } _ { a } ^ { N } = \mathfrak { h } _ { a } ^ { 0 } \oplus \mathfrak { h } _ { a } ^ { 1 } \oplus \mathfrak { h } _ { a } ^ { 2 } \oplus \ldots
\begin{array} { r l } { s _ { v _ { 0 } v _ { H } } } & { { } = \sum _ { I = 1 } ^ { H } \left[ \omega _ { I H } \prod _ { J = I } ^ { H } \omega ( J \to v _ { J } ) \times \sum _ { K = 0 } ^ { I - 1 } \left( \sum _ { m = 0 } ^ { | K | - 1 } \omega ( K \to v _ { K _ { m } } ) \omega _ { 0 K } \omega _ { I - 1 , K } \prod _ { J = 0 , J \neq K } ^ { I - 1 } \omega ( J \to v _ { J } ) \right) \right] = } \end{array}
h ( t ) = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ^ { * } ( \tau - t ) g ( \tau ) d \tau } { \sqrt { \int _ { - \infty } ^ { \infty } | f ( \tau ) | ^ { 2 } d \tau . \int _ { - \infty } ^ { \infty } | g ( \tau ) | ^ { 2 } d \tau } }
\begin{array} { r l } { O p t ( D _ { 1 } ^ { \epsilon } ) = } & { \{ [ \gamma _ { \sigma ( 1 ) } ^ { \epsilon } | \gamma _ { \sigma ( 2 ) } ^ { \epsilon } | \gamma _ { \sigma ( 3 ) } ^ { \epsilon } ] ^ { T } \in \mathbb { R } _ { c } ^ { 3 \times 3 } | \sigma \in S _ { 3 } \} , } \\ { O p t ( D _ { 2 } ^ { \epsilon } ) = } & { \{ [ - \gamma _ { \sigma ( 1 ) } ^ { \epsilon } | - \gamma _ { \sigma ( 2 ) } ^ { \epsilon } | - \gamma _ { \sigma ( 3 ) } ^ { \epsilon } ] ^ { T } \in \mathbb { R } _ { c } ^ { 3 \times 3 } | \sigma \in S _ { 3 } \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { V } _ { n } \psi - \mathcal { V } \psi \| _ { p + 2 } } & { \leq \| \mathcal { N } _ { n } \mathcal { D } _ { n } \psi - \mathcal { N } \mathcal { D } \psi \| _ { p + 2 } + \| \mathcal { D } _ { n } \mathcal { N } _ { n } \psi - \mathcal { D } \mathcal { N } \psi \| _ { p + 2 } } \\ & { \quad + \| \mathcal { D } _ { n } ^ { 2 } \psi - \mathcal { D } ^ { 2 } \psi \| _ { p + 2 } } \\ & { \preceq 1 / n \| \psi \| _ { p } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 1 , 2 } } & { = \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , \mathcal { B } _ { y } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) - \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \big ( \nabla _ { y } g ^ { ( j ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( j ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( j ) } , \mathcal { B } _ { y } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( j ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( j ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( j ) } ) \big ) } \\ & { \qquad + \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) - \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \nabla _ { y } g ^ { ( j ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( j ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( j ) } ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } 2 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , \mathcal { B } _ { y } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 4 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \nabla g ^ { ( m ) } ( \bar { x } _ { t - 1 } , \bar { y } _ { t - 1 } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( j ) } ( \bar { x } _ { t - 1 } , \bar { y } _ { t - 1 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 4 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \big \| \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( \bar { x } _ { t - 1 } , \bar { y } _ { t - 1 } ) + \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \nabla _ { y } g ^ { ( j ) } ( \bar { x } _ { t - 1 } , \bar { y } _ { t - 1 } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( j ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( j ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( j ) } ) \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
D \alpha - { \bar { \delta } } \varepsilon = ( \rho + { \bar { \varepsilon } } - 2 \varepsilon ) \alpha + \beta { \bar { \sigma } } - { \bar { \beta } } \varepsilon - \kappa \lambda - { \bar { \kappa } } \gamma + ( \varepsilon + \rho ) \pi + \Phi _ { 1 0 } \, ,
g _ { ( 2 ) } : = \left( \begin{array} { c c c } { { \langle \eta _ { + } ^ { \mu } \wedge \eta _ { + } ^ { \nu } , \eta _ { + } ^ { \lambda } \wedge \eta _ { + } ^ { \rho } \rangle } } & { { \langle \eta _ { + } ^ { \mu } \wedge \eta _ { + } ^ { \nu } , \eta _ { + } ^ { \lambda } \wedge \eta _ { - } ^ { \rho } \rangle } } & { { \langle \eta _ { + } ^ { \mu } \wedge \eta _ { + } ^ { \nu } , \eta _ { - } ^ { \lambda } \wedge \eta _ { - } ^ { \rho } \rangle } } \\ { { \langle \eta _ { + } ^ { \mu } \wedge \eta _ { - } ^ { \nu } , \eta _ { + } ^ { \lambda } \wedge \eta _ { + } ^ { \rho } \rangle } } & { { \langle \eta _ { + } ^ { \mu } \wedge \eta _ { - } ^ { \nu } , \eta _ { + } ^ { \lambda } \wedge \eta _ { - } ^ { \rho } \rangle } } & { { \langle \eta _ { + } ^ { \mu } \wedge \eta _ { - } ^ { \nu } , \eta _ { - } ^ { \lambda } \wedge \eta _ { - } ^ { \rho } \rangle } } \\ { { \langle \eta _ { - } ^ { \mu } \wedge \eta _ { - } ^ { \nu } , \eta _ { + } ^ { \lambda } \wedge \eta _ { + } ^ { \rho } \rangle } } & { { \langle \eta _ { - } ^ { \mu } \wedge \eta _ { - } ^ { \nu } , \eta _ { + } ^ { \lambda } \wedge \eta _ { - } ^ { \rho } \rangle } } & { { \langle \eta _ { - } ^ { \mu } \wedge \eta _ { - } ^ { \nu } , \eta _ { - } ^ { \lambda } \wedge \eta _ { - } ^ { \rho } \rangle } } \end{array} \right)
M _ { Q } ^ { - 1 } \langle H _ { Q } | { \hat { T } } | H _ { Q } \rangle = \frac { 1 } { 2 m _ { Q } ^ { 2 } } \left\{ ( 1 - v _ { 0 } ^ { 2 } ) \frac { 1 } { E - E _ { 0 } ^ { p h y s } } + v _ { 0 } ^ { 2 } \frac { 1 } { ( E - E _ { 0 } ^ { p h y s } + \overline { { { \Lambda } } } ) } + . . . \right\} \, .
\frac { \partial f _ { 0 } } { \partial x _ { i } } = \left( \frac { \ddot { f } _ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } - \frac { \dot { f } _ { 2 } \dot { c } } { 2 c ^ { 3 } } \right) x _ { i } + \frac { f _ { 2 } } { c } \, \frac { \partial V } { \partial x _ { i } } \, .
\mathrm { R I N } = \frac { \langle \Delta n _ { p } ^ { 2 } \rangle } { \langle n _ { p } \rangle ^ { 2 } } , \ \: F _ { F } = \frac { \langle \Delta n _ { p } ^ { 2 } \rangle } { \langle n _ { p } \rangle } , \ \: g ^ { ( 2 ) } ( 0 ) = \frac { \langle n _ { p } ( n _ { p } - 1 ) \rangle } { \langle n _ { p } \rangle ^ { 2 } }
( { \bf J } \cdot { \bf n } ) \, \Theta _ { [ j ] } \left[ \phi _ { _ { L , R } } ^ { h } ( p ^ { \mu } ) \right] ^ { * } = - \, h \, \Theta _ { [ j ] } \left[ \phi _ { _ { L , R } } ^ { h } ( p ^ { \mu } ) \right] ^ { * } \quad .
\int d { \sigma } _ { \gamma } < \alpha | T _ { 1 } | \gamma > < \gamma | T _ { 1 } ^ { + } | \beta > = \frac { \delta \left( p - p ^ { ' } \right) } { 1 6 \left( 2 \pi \right) ^ { 2 \nu - 4 } \sqrt { { \omega } _ { 1 } { \omega } _ { 2 } { \omega } _ { 1 } ^ { ' } { \omega } _ { 2 } ^ { ' } } }
\varepsilon _ { \alpha } ^ { \pm } ( { { q } _ { x } } ) = \varepsilon _ { a p p } ^ { \pm } ( { { q } _ { x } } ) \exp \left\{ \pm \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } { \frac { d u \, \ln \frac { { { \varepsilon } _ { \alpha } } ( u ) } { { { \varepsilon } _ { \mathrm { ~ a ~ p ~ p ~ } } } ( u ) } } { u - { { q } _ { x } } \pm i { { 0 } ^ { + } } } } \right\} = \frac { \pm { { q } _ { x } } + \sqrt { q _ { p \alpha } ^ { 2 } - q _ { y } ^ { 2 } } } { { { q } _ { p \alpha } } } \exp \left\{ \pm \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } { \frac { d u \, \ln \left[ 1 + \sqrt { \frac { { { u } ^ { 2 } } + q _ { y } ^ { 2 } } { q _ { p \alpha } ^ { 2 } } } \right] } { u - { { q } _ { x } } \pm i { { 0 } ^ { + } } } } \right\} ,
\left( \rho _ { 1 } \right) _ { 0 } = c _ { 0 } \rho _ { 0 } , \quad \left( T _ { 1 } \right) _ { 0 } = T _ { 0 } , \quad v _ { 0 } = \left( v _ { 1 } \right) _ { 0 } = 0 , \quad \Pi _ { 0 } = \left( \Pi _ { 1 } \right) _ { 0 } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { i } } & { = p _ { i } ( x _ { i } , u _ { i } ) } \\ { \dot { u } _ { i } } & { = - \alpha _ { 1 } \nabla h _ { i } ( u _ { i } ) \Bigg ( \nabla _ { 1 } f _ { i } ( x _ { i } , w _ { i } + \phi _ { i } ( x _ { i } ) ) + \nabla \phi _ { i } ( x _ { i } ) \left( z _ { i } + \nabla _ { 2 } f _ { i } ( x _ { i } , w _ { i } + \phi _ { i } ( x _ { i } ) ) \right) \Bigg ) } \\ { \dot { w } _ { i } } & { = - \frac { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 2 } } \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } a _ { i j } \left( w _ { i } + \phi _ { i } ( x _ { i } ) - w _ { j } - \phi _ { j } ( x _ { j } ) \right) } \\ { \dot { z } _ { i } } & { = - \frac { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 2 } } \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } \! a _ { i j } ( z _ { i } \! + \! \nabla _ { 2 } f _ { i } ( x _ { i } , w _ { i } + \phi _ { i } ( x _ { i } ) ) ) + \frac { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 2 } } \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } \! a _ { i j } ( z _ { j } \! + \! \nabla _ { 2 } f _ { j } ( x _ { j } , w _ { j } + \phi _ { j } ( x _ { j } ) ) ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \hat { \boldsymbol { \rho } } } } & { = { \frac { x { \hat { \mathbf { x } } } + y { \hat { \mathbf { y } } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } } \\ { { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } & { = { \frac { - y { \hat { \mathbf { x } } } + x { \hat { \mathbf { y } } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } } \\ { { \hat { \mathbf { z } } } } & { = { \hat { \mathbf { z } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \quad \operatorname { \mathbb P } \left( \frac 1 2 \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta _ { r _ { n } } ( \theta _ { \star } ) } \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { V } _ { 1 / 4 } } \left| v ^ { \top } G _ { \star } ^ { - 1 / 2 } [ G _ { n } ( \pi ( \theta ) ) - G ( \pi ( \theta ) ) ] G _ { \star } ^ { - 1 / 2 } v \right| > t \right) } \\ & { \le 2 \left| \mathcal { N } _ { \tau } \right| \left| \mathcal { V } _ { 1 / 4 } \right| \exp \left( - c \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 4 t ^ { 2 } } { K _ { 1 } ^ { 4 } ( 1 + M r _ { n } ) ^ { 2 } } , \frac { 2 t } { K _ { 1 } ^ { 2 } ( 1 + M r _ { n } ) } \right\} \right) } \\ & { \le 2 ( 3 6 r _ { n } / \tau ) ^ { d } \exp \left( - c \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 4 t ^ { 2 } } { K _ { 1 } ^ { 4 } ( 1 + M r _ { n } ) ^ { 2 } } , \frac { 2 t } { K _ { 1 } ^ { 2 } ( 1 + M r _ { n } ) } \right\} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( L , \tau ) } & { { } = } \\ { = \int _ { L _ { \mathrm { t s } } } ^ { \infty } } & { { } d L _ { f } P ^ { \mathrm { i n } } ( L _ { f } ) \int _ { \tau } ^ { \infty } d T \ R ( L , \tau | T ; L _ { f } ) \rho ( T | L _ { f } ) \ \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { 1 } } & { { } = { \frac { a _ { 1 , 0 } + a _ { 1 , 1 } x _ { 1 } + \dots + a _ { 1 , n } x _ { n } } { a _ { 0 , 0 } + a _ { 0 , 1 } x _ { 1 } + \dots + a _ { 0 , n } x _ { n } } } } \\ { y _ { n } } & { { } = { \frac { a _ { n , 0 } + a _ { n , 1 } x _ { 1 } + \dots + a _ { n , n } x _ { n } } { a _ { 0 , 0 } + a _ { 0 , 1 } x _ { 1 } + \dots + a _ { 0 , n } x _ { n } } } } \end{array}