harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { r l } { d u _ { i } - \nu _ { i } \Delta u _ { i } \, d t } & { = \Big [ \normalfont { \mathrm { d i v } } ( F _ { i } ( \cdot , u ) ) + f _ { i } ( \cdot , u ) \Big ] \, d t + \sum _ { n \geq 1 } \Big [ ( b _ { n , i } \cdot \nabla ) u _ { i } + g _ { n , i } ( \cdot , u ) \Big ] \, d w _ { t } ^ { n } , } \\ { u _ { i } ( 0 ) } & { = u _ { i , 0 } , } \end{array} \right.
\rho ^ { ( N + l ) } = \operatorname * { l i m } _ { L \rightarrow \infty } \rho ^ { ( N + l ) } ( L ) = \left\{ \begin{array} { c l } { { \mathrm { c o n s t } \; \; \neq 0 } } & { { \; \; \; \mathrm { f o r } \; \; l = 0 , N } } \\ { { 0 } } & { { \; \; \; \mathrm { f o r } \; \; 0 < l < N \; \; \; . } } \end{array} \right.
A _ { m } ^ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \sigma _ { 0 } ( 2 - \sigma _ { 1 } ) h \nu } { 2 } } & { \textrm { f o r } ( n , m ) = ( 2 , 0 ) , } \\ { \displaystyle \frac { ( 2 - \sigma _ { 1 } ) h \nu } { 2 } } & { \textrm { f o r } ( n , m ) = ( 1 , 1 ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta v _ { n } \Delta v _ { n } ^ { * } | / \overline { { \mathcal { Q } } } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) \leq | \Delta v _ { n } | / | \Delta \mu _ { n } | ^ { 2 } \to 0 , } \\ { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta v _ { n } ( \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) ^ { 2 } | / \overline { { \mathcal { Q } } } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) \leq | \Delta v _ { n } | / | \Delta \mu _ { n } | ^ { 2 } \to 0 , } \\ { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta v _ { n } ^ { * } ( \Delta \mu _ { n } ) ^ { 2 } | / \overline { { \mathcal { Q } } } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) \leq | \Delta v _ { n } ^ { * } | / | \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { { \mathsf { p } } m } ( \rho , \theta , \mathrm { Z } ) = } & { { } { \sqrt { \frac { 2 ^ { { \mathsf { p } } + | m | + 1 } } { \pi \Gamma ( { \mathsf { p } } + | m | + 1 ) } } } \; { \frac { \Gamma ( 1 + | m | + { \frac { \mathsf { p } } { 2 } } ) } { \Gamma ( | m | + 1 ) } } \, \, i ^ { | m | + 1 } \; \; \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \alpha } _ { 0 } } & { { } = \frac { 1 } { D _ { 2 0 } } \left\{ - J _ { 3 0 } \left( n _ { 0 } \theta + \partial _ { \mu } n ^ { \mu } \right) + J _ { 2 0 } \left[ \left( \varepsilon _ { 0 } + P _ { 0 } + \Pi \right) \theta - \pi ^ { \mu \nu } \sigma _ { \mu \nu } \right] \right\} , } \\ { \dot { \beta } _ { 0 } } & { { } = \frac { 1 } { D _ { 2 0 } } \left\{ - J _ { 2 0 } \left( n _ { 0 } \theta + \partial _ { \mu } n ^ { \mu } \right) + J _ { 1 0 } \left[ \left( \varepsilon _ { 0 } + P _ { 0 } + \Pi \right) \theta - \pi ^ { \mu \nu } \sigma _ { \mu \nu } \right] \right\} , } \\ { \dot { u } ^ { \mu } } & { { } = \frac { 1 } { \varepsilon _ { 0 } + P _ { 0 } } \left( \nabla ^ { \mu } P - \Pi \dot { u } ^ { \mu } + \nabla ^ { \mu } \Pi - \Delta _ { \nu } ^ { \mu } \partial _ { \lambda } \pi ^ { \nu \lambda } \right) , } \end{array}
p _ { c } ^ { I I } = \frac { T _ { c } ^ { I I } } { \sum _ { k } \frac { k p ( k ) } { \langle k \rangle } \sum _ { n = 0 } ^ { k - 1 } \binom { k - 1 } { n } ( T _ { c } ^ { I I } ) ^ { k - n - 1 } ( 1 - T _ { c } ^ { I I } ) ^ { n } \prod _ { i = 0 } ^ { n } [ 1 - f ( \alpha , b , i ) ] } .
\sigma ( r , t ) \equiv \frac { \rho ( r , t ) - \rho _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } } { \rho _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } } = \sigma _ { \infty } - \frac { \alpha } { \alpha + \alpha _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ f ~ f ~ } } } \left[ \sigma _ { \infty } - 2 \left( \frac { \xi } { R } \right) \right] \left( \frac { R } { r } \right) , \quad R < r < R _ { \mathrm { ~ d ~ r ~ o ~ p ~ } } .
a _ { 0 } ( t ) \sim t ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 - \frac { \kappa ^ { 4 } } { 3 6 } \frac { \rho ^ { 2 } ( t _ { i } ) a _ { 0 } ( t _ { i } ) ^ { 8 } } { t ^ { 2 } } + \ldots \right) .
\begin{array} { r l } & { r _ { i , - 1 } : = \frac { \varepsilon _ { \rho , i } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi _ { \rho , i } } } { 2 } , \quad r _ { i , 0 } : = 1 , \quad r _ { i , 1 } : = \frac { \varepsilon _ { \rho , i } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \phi _ { \rho , i } } } { 2 } , } \\ & { k _ { i , - 1 } : = \frac { \varepsilon _ { \kappa , i } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi _ { \kappa , i } } } { 2 } , \quad k _ { i , 0 } : = 1 , \quad k _ { i , 1 } : = \frac { \varepsilon _ { \kappa , i } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \phi _ { \kappa , i } } } { 2 } . } \end{array}
\overline { { E } } = \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } \tilde { u } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } ^ { 2 } + \overline { { p } } - { \tau } _ { x x } ^ { m o d } + \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { x x } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } \tilde { v } - { \tau } _ { x y } ^ { m o d } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } \tilde { w } - { \tau } _ { x z } ^ { m o d } } \\ { \left( \check { e } + \overline { { p } } - { \tau } _ { x x } ^ { m o d } + \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { x x } \right) \tilde { u } - { \tau } _ { x y } ^ { m o d } \tilde { v } - { \tau } _ { x z } ^ { m o d } \tilde { w } + q _ { x } ^ { m o d } } \end{array} \right\} \, \mathrm { , }
\begin{array} { r l } { \nabla Q _ { 0 } } & { { } = \left( \partial \varphi + i \partial \alpha _ { 0 } \right) Q _ { 0 } } \\ { \bar { \nabla } Q _ { 0 } } & { { } = \left( - \bar { \partial } \varphi + i \bar { \partial } \alpha _ { 0 } \right) Q _ { 0 } } \\ { v } & { { } = \zeta \nabla Q _ { 0 } } \\ { \partial v } & { { } = [ \partial ^ { 2 } \varphi + i \partial ^ { 2 } \alpha _ { 0 } ] Q _ { 0 } - [ ( \partial \varphi ) ^ { 2 } + ( \partial \alpha _ { 0 } ) ^ { 2 } ] Q _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { \mathrm { ( C T 1 ) } } \quad } & { \cos b \, \cos C = \cot a \, \sin b - \cot A \, \sin C , \qquad } & { ( a C b A ) } \\ { { \mathrm { ( C T 2 ) } } } & { \cos b \, \cos A = \cot c \, \sin b - \cot C \, \sin A , } & { ( C b A c ) } \\ { { \mathrm { ( C T 3 ) } } } & { \cos c \, \cos A = \cot b \, \sin c - \cot B \, \sin A , } & { ( b A c B ) } \\ { { \mathrm { ( C T 4 ) } } } & { \cos c \, \cos B = \cot a \, \sin c - \cot A \, \sin B , } & { ( A c B a ) } \\ { { \mathrm { ( C T 5 ) } } } & { \cos a \, \cos B = \cot c \, \sin a - \cot C \, \sin B , } & { ( c B a C ) } \\ { { \mathrm { ( C T 6 ) } } } & { \cos a \, \cos C = \cot b \, \sin a - \cot B \, \sin C , } & { ( B a C b ) . } \end{array}
S = \int d ^ { 4 } x \, \sqrt { - g } \left( \frac { R } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \phi + \frac { \alpha ^ { \prime } e ^ { \phi } } { 8 g ^ { 2 } } { \cal R } _ { G B } ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { j } } & { = \Big \{ \left| G _ { j } \right| \geq b _ { j } K \Big \} \bigcap \left( \bigcap _ { k \in [ j - 1 ] } \mathcal { G } _ { k } ^ { c } \right) } \\ & { = \Big \{ \left| G _ { j } \right| \geq b _ { j } K \Big \} \bigcap \left( \bigcap _ { k \in [ j - 1 ] } \Big \{ \left| G _ { k } \right| < b _ { k } K \Big \} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( z ( \omega ) ) } & { { } = f ( 0 ) + \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \frac { r _ { k } } { z _ { k } } + \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \frac { r _ { k } } { z - z _ { k } } } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { { f _ { \eta } ^ { 8 } } } & { { f _ { \eta } ^ { 1 } } } \\ { { f _ { \eta ^ { \prime } } ^ { 8 } } } & { { f _ { \eta ^ { \prime } } ^ { 1 } } } \end{array} \right) \, = \, U ( \phi ) \; { \mathcal F } \; U ^ { \dagger } ( \theta _ { i d e a l } )
+ \left| \begin{array} { l l l l } { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \left( \frac { 1 - y ^ { 2 } } { 1 - y } \right) ^ { 2 } } & { 1 } & { - 2 } & { 0 } \\ { \left( \frac { 1 - y ^ { 3 } } { 1 - y } \right) ^ { 2 } } & { \left( \frac { 1 - y ^ { 2 } } { 1 - y } \right) ^ { 2 } } & { 1 } & { - 3 } \\ { \left( \frac { 1 - y ^ { 4 } } { 1 - y } \right) ^ { 2 } } & { \left( \frac { 1 - y ^ { 3 } } { 1 - y } \right) ^ { 2 } } & { \left( \frac { 1 - y ^ { 2 } } { 1 - y } \right) ^ { 2 } } & { 1 } \end{array} \right| \frac { z ^ { 4 } } { 4 ! } + e t c .
0 \subseteq { \mathbb { T L } } _ { n _ { 2 } ^ { k - 1 } } ^ { \! { \mathbb Z } _ { ( p ) } } \subseteq { \mathbb { T L } } _ { n _ { 2 } ^ { k - 2 } } ^ { \! { \mathbb Z } _ { ( p ) } } \subseteq \cdots \subseteq { \mathbb { T L } } _ { n _ { 2 } ^ { 0 } } ^ { \! { \mathbb Z } _ { ( p ) } } = { \mathbb { T L } } _ { n } ^ { \! { \mathbb Z } _ { ( p ) } }
\begin{array} { r l r l } { \hat { \mathbf { e } } _ { p } } & { { } = \left( \begin{array} { l } { \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( \theta ) \, \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( \phi ) } \\ { \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( \theta ) \, \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \phi ) } \\ { \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \theta ) } \end{array} \right) \equiv \frac { 1 } { k \, k _ { t } } \left( \begin{array} { l } { k _ { x } \, k _ { z } } \\ { k _ { y } \, k _ { z } } \\ { - k _ { t } ^ { 2 } } \end{array} \right) , } & { \hat { \mathbf { e } } _ { s } } & { { } = \left( \begin{array} { l } { - \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \phi ) } \\ { \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( \phi ) } \\ { 0 } \end{array} \right) \equiv \frac { 1 } { k _ { t } } \left( \begin{array} { l } { - k _ { y } } \\ { k _ { x } } \\ { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\boldsymbol { B _ { t \mathrm { ~ , ~ i ~ n ~ s ~ i ~ d ~ e ~ t ~ o ~ r ~ u ~ s ~ v ~ o ~ l ~ u ~ m ~ e ~ } } } ( r , \theta , z ) = \frac { \mu _ { r } \mu _ { 0 } N I _ { t } } { 2 \pi r } \hat { \theta }
\rho ( q _ { 0 } , \vec { q } ) \equiv M ^ { + } ( q _ { 0 } , \vec { q } ) - M ^ { - } ( q _ { 0 } , \vec { q } ) \nonumber \, = \int d ^ { 4 } z e ^ { i q z } \langle [ O ( x ) , O ( 0 ) ] \rangle ~ ,
\begin{array} { r l } { \widetilde { D } _ { x x } ( x , y ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \Big \{ [ \theta _ { 1 } ^ { \textrm { ( e f f ) } } ( x , y ) ] ^ { 2 } \cos ^ { 2 } [ \psi ( x , y ) ] } \\ { \widetilde { D } _ { y y } ( x , y ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \Big \{ [ \theta _ { 1 } ^ { \textrm { ( e f f ) } } ( x , y ) ] ^ { 2 } \sin ^ { 2 } [ \psi ( x , y ) ] } \\ { \widetilde { D } _ { x y } ( x , y ) } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \sin [ 2 \psi ( x , y ) ] \Big \{ [ \theta _ { 1 } ^ { \textrm { ( e f f ) } } ( x , y ) ] ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \mathcal { E } } _ { t } } & { = \int _ { t } ^ { \infty } K _ { s - t } \left\| P _ { \mathbf { a } } ( s , \cdot ) \right\| _ { L ^ { 2 } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } ^ { 2 } \, d s } \\ & { = \int _ { t } ^ { t + 1 } K _ { s - t } \left\| P _ { \mathbf { a } } ( s , \cdot ) \right\| _ { L ^ { 2 } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } ^ { 2 } \, d s + \int _ { t + 1 } ^ { \infty } K _ { s - t } \left\| P _ { \mathbf { a } } ( s , \cdot ) \right\| _ { L ^ { 2 } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } ^ { 2 } \, d s } \\ & { \leq \int _ { t } ^ { t + 1 } K _ { s - t } \left\| P _ { \mathbf { a } } ( s , \cdot ) \right\| _ { L ^ { 2 } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } ^ { 2 } d s + \left\| P _ { \mathbf { a } } ( t + 1 , \cdot ) \right\| _ { L ^ { 2 } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } ^ { 2 } \int _ { 1 } ^ { \infty } K _ { s } \, d s . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial { \bf H } } { \partial t } = \mathrm { r o t } { \bf [ u \times H ] } - \mathrm { r o t } ( \nu _ { m } \mathrm { r o t } { \bf H } ) - \frac { \nu _ { m } } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } { \bf H } } { \partial t ^ { 2 } } \qquad \qquad } \\ { + \frac { \mathrm { g r a d } ( \nu _ { m } ) } { c } \times \frac { \partial { \bf E } } { \partial t } , \qquad \qquad } \\ { { { \mathrm { w h e r e } } } \; \; \mathrm { r o t } ( \nu _ { m } \, \mathrm { r o t } { \bf H } ) = - \nu _ { m } \Delta { \bf H } \qquad \qquad } \\ { + \mathrm { g r a d } ( \nu _ { m } ) \times \mathrm { r o t } { \bf H } \qquad \qquad } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { P } _ { \sigma = \pm } } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \mathbf { k } s _ { \sigma } \dot { E } _ { \sigma } \left( \mathbf { k } \right) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \beta , \gamma } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \mathbf { k } s _ { \sigma } \left( \mathbf { k } \right) \sigma _ { \left( \sigma , \mathbf { k } \right) } ^ { \beta \gamma } \Re \left( z _ { \beta } ^ { * } z _ { \gamma } ^ { * } z _ { \left( \sigma , \mathbf { k } \right) } ^ { * } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { 0 } \circ \phi _ { 1 } ^ { - 1 } = } & { \varepsilon ^ { 6 } c _ { 0 } h _ { 0 } ^ { 1 2 } \circ \phi _ { 1 } ^ { - 1 } + \varepsilon ^ { 7 } \alpha _ { 1 } ^ { 1 2 } h _ { 1 } ^ { 1 2 } \circ \phi _ { 1 } ^ { - 1 } + \varepsilon ^ { 2 } \mu ^ { 6 } \alpha _ { 0 } ^ { 2 3 } H _ { 0 } ^ { 2 3 } \circ \phi _ { 1 } ^ { - 1 } } \\ { = } & { \varepsilon ^ { 6 } c _ { 0 } h _ { 0 } ^ { 1 2 } + \varepsilon ^ { 7 } \alpha _ { 1 } ^ { 1 2 } \left( h _ { 1 } ^ { 1 2 } - \{ h _ { 1 } ^ { 1 2 } , J _ { 1 } \} \right) + \varepsilon ^ { 2 } \mu ^ { 6 } \alpha _ { 0 } ^ { 2 3 } H _ { 0 } ^ { 2 3 } + \cdots } \\ { = } & { \varepsilon ^ { 6 } c _ { 0 } h _ { 0 } ^ { 1 2 } + \varepsilon ^ { 7 } \alpha _ { 1 } ^ { 1 2 } h _ { 1 } ^ { 1 2 } + \varepsilon ^ { 2 } \mu ^ { 6 } \alpha _ { 0 } ^ { 2 3 } \left( H _ { 0 } ^ { 2 3 } - \left\{ h _ { 1 } ^ { 1 2 } , \hat { J } _ { 1 } \right\} \right) + \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( k , t ) } & { { } = } & { A _ { c } \left\{ \exp \left[ \beta _ { c } \left( \frac { \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 2 m } - \mu _ { c } \right) \right] + 1 \right\} ^ { - 1 } } \end{array}
\mathbf M _ { 1 } \left( \begin{array} { c } { E _ { 0 x } + E _ { r x } } \\ { ( E _ { 0 x } - E _ { r x } ) / Z _ { 0 } } \end{array} \right) = \mathbf M _ { 2 } \left( \begin{array} { c } { E _ { 0 y } + E _ { r y } } \\ { ( E _ { 0 y } - E _ { r y } ) / Z _ { 0 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 , 2 } \nabla \phi _ { \alpha } \otimes \frac { \partial \hat { \Psi } _ { \alpha } ^ { \mathrm { I } } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } = \rho \kappa \varepsilon \nabla \phi \otimes \nabla \phi . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \Psi _ { 0 } | \dag , a _ { i } ^ { \dagger } b _ { j } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { = [ \Delta ( \mathbf { 1 } - \Delta ) ] _ { i j } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \dag \langle \Psi _ { 0 } | \dag , b _ { i } ^ { \dagger } b _ { j } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { = [ \mathbf { 1 } - \Delta ] _ { i j } \dag , . } \end{array}
\tilde { Z } = \left( \begin{array} { c c c c } { { \tilde { z } _ { + + } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \tilde { z } _ { -- } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \tilde { z } _ { Z Z } } } & { { \tilde { z } _ { Z A } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \tilde { z } _ { A Z } } } & { { \tilde { z } _ { A A } } } \end{array} \right)
\kappa = \frac { \sqrt { 2 \nu } } { \ell } \, , \quad \beta = \frac { \nu } { 2 } + \frac { d } { 4 } \, , \, \quad \tau ^ { 2 } = \frac { \Gamma ( \nu ) } { \sigma ^ { 2 } \Gamma ( \nu + d / 2 ) ( 4 \pi ) ^ { d / 2 } \kappa ^ { 2 \nu } } \, .
\begin{array} { r c l c l c l } { \dot { s } } & { = } & { - k _ { 1 } e _ { 0 } s } & { + } & { ( k _ { 1 } s + k _ { - 1 } ) c , } \\ { \dot { c } } & { = } & { k _ { 1 } e _ { 0 } s } & { - } & { ( k _ { 1 } s + k _ { - 1 } + k _ { 2 } ) c } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { Q _ { A } } { Q _ { C } } = \frac { t _ { 1 } } { t _ { 3 } } \mathrm { e } ^ { - ( t _ { 1 } + t _ { 2 } + t _ { 3 } ) / \tau } \frac { ( \mathrm { e } ^ { t _ { 3 } / \tau } - 1 ) } { ( \mathrm { e } ^ { - t _ { 1 } / \tau } - 1 ) } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { L } ^ { 2 } ( \tau ) = D \langle L _ { 1 } ^ { 2 } ( \tau ) \rangle } & { { } = D \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { \tau } \left( \frac { \tau } { \tau ^ { \prime } } \right) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } \left( \frac { \tau } { \tau ^ { \prime \prime } } \right) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } d W _ { \tau ^ { \prime } } d W _ { \tau ^ { \prime \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P F I B M } _ { T } ^ { p , q } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \ldots , \alpha _ { n } ) = \gamma ^ { \frac { 1 } { p + q } } } \\ { = } & { \left\langle \tau ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { p + q } \cdot \tau \left( \mu \right) \right) \tau ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { p + q } \cdot \tau \left( \eta + \mu \right) \right) \right. } \\ & { \quad \left. - \tau ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { p + q } \cdot \tau \left( \mu \right) \right) , \zeta ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { p + q } \cdot \zeta \left( \nu \right) \right) \right\rangle , } \end{array}
G _ { k } = \left\{ \begin{array} { l l } { a _ { p } ^ { \dagger } a _ { q } - \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } , } \\ { a _ { p } ^ { \dagger } a _ { q } ^ { \dagger } a _ { r } a _ { s } - \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \mathbf { B } _ { \mathrm { r } } = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi r ^ { 3 } } \left[ 3 ( \mathbf { \hat { r } ^ { \prime } } \boldsymbol { \cdot } \mathbf { m } _ { \mathrm { r } } ) \mathbf { \hat { r } ^ { \prime } } - \mathbf { m } _ { \mathrm { r } } \right] } \\ & { \mathbf { E } _ { \mathrm { r } } = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \frac { \mathbf { \hat { r } ^ { \prime } } \times \mathbf { \dot { m } _ { \mathrm { r } } } } { r ^ { 2 } } } \end{array}
S _ { J , \Phi } = \int d ^ { 2 D } X \, T r \left( - \frac { i } { 3 } \mathcal { J } \star \mathcal { J } \star \mathcal { J } - \mathcal { J } \star \mathcal { J } \mathbf { + \, } i \mathcal { J } \star \Phi \star \bar { \Phi } - V _ { \star } \left( \Phi \star \bar { \Phi } \right) \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial w } { \partial \nu } } & { = \frac { \partial e ^ { - 2 u } } { \partial \nu } = - 2 e ^ { - 2 u } \frac { \partial u } { \partial \nu } \leqslant - 2 e ^ { - 2 u } \left( - \sigma _ { g } + \sigma e ^ { u } \right) } \\ & { = 2 w \sigma _ { g } - 2 \sigma w ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \Rightarrow } & { \frac { \partial w } { \partial \nu } - 2 w \sigma _ { g } \leqslant - 2 \sigma w ^ { \frac { 1 } { 2 } } \; \mathrm { o n } \; \partial M . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { k } \, d _ { \sigma \lambda } ^ { 1 } ( \tilde { \theta } ) } & { = \frac { \tilde { k } } { 2 } \, \big ( 1 + \sigma \lambda \cos ( \tilde { \theta } ) \big ) } \\ & { = \frac { k \big ( \cosh ( \xi ) + \cos ( \theta ) \sinh ( \xi ) \big ) } { 2 } \, \Big ( 1 + \sigma \lambda \frac { \cos ( \theta ) \cosh ( \xi ) + \sinh ( \xi ) } { \cosh ( \xi ) + \cos ( \theta ) \sinh ( \xi ) } \Big ) } \\ & { = \frac { k } { 2 } \, \big ( \cosh ( \xi ) + \cos ( \theta ) \sinh ( \xi ) + \sigma \lambda ( \cos ( \theta ) \cosh ( \xi ) + \sinh ( \xi ) ) \big ) } \\ & { = \frac { k } { 2 } \, \big ( 1 + \sigma \lambda \cos ( \theta ) \big ) \big ( \cosh ( \xi ) + \sigma \lambda \sinh ( \xi ) \big ) } \\ & { = k \, d _ { \sigma \lambda } ^ { 1 } ( \theta ) \big ( 1 + \sigma \lambda \sinh ( \xi ) \big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { P ( \boldsymbol { y } _ { t _ { j + 1 } } | \boldsymbol { y } _ { t _ { j } } ; \beta , \alpha ) = \gamma _ { t _ { j } } ^ { - 1 } \sum _ { g \in \mathcal { G } _ { k } } \beta i _ { g } ^ { \alpha } \; , } \end{array}
\beta ( g ) ~ = ~ \frac { 1 } { 2 } ( N + 4 ) g ^ { 2 } ~ - ~ 4 g ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { g N / 2 } \! d x \, G ( x ) ~ + ~ O \left( \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { X _ { 1 } } & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n , 1 } } \\ { X _ { 2 } } & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } ^ { 2 } \right] } \\ { X _ { 3 } } & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 3 } + \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } \right) \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 2 } \right) - \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } a _ { n , 2 } \right. } \\ & { \left. + \frac { 1 } { 6 } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } \right) ^ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } \right) \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 3 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } ^ { 3 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bigm \lvert \kappa _ { p } ( v ) - \hat { \kappa } _ { p } ( v ) \Bigm \rvert = } & { \Bigm \lvert \bigm \lVert v - \omega _ { p } ( v ) \mathbf { 1 } \bigm \rVert _ { p } - \bigm \lVert v - \hat { \omega } _ { p } ( v ) \mathbf { 1 } \bigm \rVert _ { p } \Bigm \rvert } \\ { \leq } & { \bigm \lVert \omega _ { p } ( v ) \mathbf { 1 } - \hat { \omega } _ { p } ( v ) \mathbf { 1 } \bigm \rVert _ { p } , \qquad \mathrm { ( r e v e r s e ~ t r i a n g l e ~ i n e q u a l i t y ) } } \\ { = } & { \bigm \lVert \mathbf { 1 } \bigm \rVert _ { p } \bigm \lvert \omega _ { p } ( v ) - \hat { \omega } _ { p } ( v ) \bigm \rvert } \\ { \leq } & { \bigm \lVert \mathbf { 1 } \bigm \rVert _ { p } \epsilon } \\ { = } & { S ^ { \frac { 1 } { p } } \epsilon \leq S \epsilon . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { B _ { j } \in S _ { k + 1 } } \mathcal { N } ( \frac { 1 } { 2 } B _ { j } ) r _ { j } ^ { n - 1 } = \sum _ { B _ { \alpha } \in S _ { k } ^ { ( 1 ) } } \mathcal { N } ( \frac { 1 } { 2 } B _ { \alpha } ) r _ { \alpha } ^ { n - 1 } + \sum _ { B _ { \alpha } \in S _ { k } ^ { ( 2 ) } } \sum _ { i } \mathcal { N } ( \frac { 1 } { 2 } B _ { \alpha , i } ) r _ { \alpha , i } ^ { n - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \Phi _ { u } ( x ) } & { ( \tau ) - w \| _ { X } } \\ & { \leq \Big \| T ( \tau ) x _ { 0 } - w \Big \| _ { X } + \Big \| \int _ { 0 } ^ { \tau } T _ { - 1 } ( \tau - s ) B u ( s ) d s \Big \| _ { X } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \Big \| \int _ { 0 } ^ { \tau } T _ { - 1 } ( \tau - s ) B _ { 2 } f ( x ( s ) , u ( s ) ) d s \Big \| _ { X } } \\ & { \leq \| T ( \tau ) ( w + a ) - w \| _ { X } + h _ { \tau } \| u \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , \tau ] , U ) } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + c _ { \tau } \| f ( x ( \cdot ) , u ( \cdot ) ) \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , \tau ] , V ) } } \\ & { \leq \| T ( \tau ) w - w \| _ { X } + \| T ( \tau ) a \| _ { X } + h _ { \tau } \| u \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , \tau ] , U ) } } \\ & { \quad + c _ { \tau } \| f ( x ( \cdot ) , u ( \cdot ) ) - f ( 0 , u ( \cdot ) ) \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , \tau ] , V ) } + c _ { \tau } \| f ( 0 , u ( \cdot ) ) \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , \tau ] , V ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta = } & { { } \ \frac { 1 - ( s _ { e } + i _ { e } ) \kappa ^ { * } + \sqrt { \left[ 1 + ( s _ { e } + i _ { e } ) \kappa ^ { * } \right] ^ { 2 } - 4 \kappa ^ { * } s _ { e } } } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { x } & { = \frac { 4 ( 1 + 2 \alpha ) \left( \alpha ( 1 - 2 \alpha ) \left( 2 - 4 \alpha + a ^ { 2 } ( 3 + 2 \alpha ) \right) + \left( 1 + 7 \alpha + 8 \alpha ^ { 2 } - 2 0 \alpha ^ { 3 } \right) \left( \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } - \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right) } { ( 1 - 2 \alpha ) ^ { 2 } ( 6 \alpha + 1 ) \left( ( 1 4 \alpha + 5 ) a ^ { 2 } + 4 \left( \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } - 1 \right) ( 2 \alpha + 1 ) \right) } , } \\ { y } & { = \frac { ( 1 + 2 \alpha ) ^ { 2 } \left( a ^ { 2 } \left( 1 - 4 \alpha ^ { 2 } \right) + 2 \left( 5 + 2 \alpha - 8 \alpha ^ { 2 } \right) \left( \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } - \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right) } { ( 1 - 2 \alpha ) ^ { 2 } ( 1 + 6 \alpha ) \left( a ^ { 2 } ( 2 \alpha - 1 ) - 2 ( 1 + 2 \alpha ) \left( \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } - \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right) } . } \end{array}
\widetilde { S } ( n ) = \sum _ { l = 1 } ^ { n } \left( \begin{array} { c } { { n } } \\ { { l } } \end{array} \right) \frac { ( - 1 ) ^ { l + 1 } } { l ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } S _ { 2 } ( n - 1 ) + \frac { 1 } { n } S _ { 1 } ( n ) + \frac { 1 } { 2 } S _ { 1 } ^ { 2 } ( n - 1 ) \, .