harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left[ \begin{array} { l } { \lambda _ { 1 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \| f _ { 1 } ( y ) g _ { 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { { ( f _ { 1 } ( y ) g _ { 1 } ) } ^ { T } ( f _ { 2 } ( y ) g _ { 2 } ) } \\ { ( f _ { 1 } ( y ) { g _ { 1 } } ) ^ { T } ( f _ { 2 } ( y ) g _ { 2 } ) } & { \| f _ { 2 } ( y ) g _ { 2 } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } f _ { 1 } ^ { 2 } ( y ) - \frac { 1 } { 2 } \bar { f } ^ { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } f _ { 2 } ^ { 2 } ( y ) - \frac { 1 } { 2 } \bar { f } ^ { 2 } } \end{array} \right] .
N _ { \oslash } ^ { c r i t } = \sqrt { \frac { 4 \pi } { 3 } } \{ r _ { \tilde { \nu } } ^ { 3 / 2 } \} \left[ \sqrt { \dot { N _ { \oslash } } } \right] \left( \frac { 1 } { ( \sigma \, v ) _ { a n n } } \right) ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } [ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime } } ) ] } & { \leq } & { \mathbb { E } [ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { T } _ { s , 1 } } ) ] + \mathbb { E } [ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { T } _ { s , 2 } } ) ] } \\ & { \leq } & { C L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } + C L ^ { 2 } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) . } \end{array}
\mathcal { L } _ { \boldsymbol { E } } ( \mathrm { Y } , \hat { \mathrm { Y } } ) = \frac { \| \nabla ( \hat { \mathrm { Y } } - \mathrm { Y } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| \nabla \mathrm { Y } \| _ { 2 } ^ { 2 } } .
N _ { A A } ( p _ { 0 } = p _ { s } , b = 0 ) \frac { \pi } { p _ { s } ^ { 2 } } = T _ { A A } ( 0 ) \sigma _ { h a r d } ( p _ { s } ) \frac { \pi } { p _ { s } ^ { 2 } } = \frac { \pi R _ { A } ^ { 2 } } { \beta } .
\begin{array} { r l } { \arg \left( \frac { z ^ { 3 } - 1 } { z ^ { 3 } + 1 } \right) = \frac { \pi } { 2 } } & { \iff \exists \lambda > 0 , \frac { z ^ { 3 } - 1 } { z ^ { 3 } + 1 } = \lambda i } \\ & { \iff \exists \lambda > 0 , z ^ { 3 } = \frac { 1 + \lambda i } { 1 - \lambda i } } \\ & { \iff \exists \lambda > 0 , z ^ { 3 } = \frac { ( 1 + \lambda i ) ^ { 2 } } { 1 + \lambda ^ { 2 } } } \\ & { \iff \exists \lambda > 0 , z ^ { 3 } = \frac { ( 1 - \lambda ^ { 2 } ) + 2 \lambda i } { 1 + \lambda ^ { 2 } } } \\ & { \iff | z | = 1 \wedge \Im z ^ { 3 } > 0 } \\ & { \iff | z | = 1 \wedge \arg z ^ { 3 } \in ( 0 , \pi ) } \\ & { \iff \exists \theta \in ( 0 , \pi / 3 ) \cup ( 2 \pi / 3 , \pi ) \cup ( 4 \pi / 3 , 5 \pi / 3 ) , z = e ^ { i \theta } . } \end{array}
\int r ^ { 1 + \alpha } \frac { \Delta ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } \left| W \! \left( \widehat { \mathbf { B } } _ { \mathcal { T } } ^ { \widetilde { \tau } } \! * \! ( \omega \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ) \right) - \widehat { \mathbf { B } } _ { \mathcal { T } } ^ { \widetilde { \tau } } \! * \! W ( \omega \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ) \right| ^ { 2 } \lesssim \operatorname* { s u p } _ { r , \theta } \Big ( r ^ { 1 + \alpha } \lVert \widehat { \mathbf { B } } _ { \mathcal { T } } ^ { \widetilde { \tau } } \rVert _ { { \mathbb { W } _ { \! \omega \! , m } ^ { 1 \! , 1 \! ; { - \! q } } } [ 0 ] } \Big ) ^ { 2 } \int \frac { \Delta ^ { 2 } } { r ^ { 5 + \alpha } } \lVert \omega \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } \rVert _ { { \mathbb { H } _ { \! \omega \! , m } ^ { 0 ; { q } } } [ 0 ] } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \frac { | \bigcup S _ { i } | } { n - 4 0 | \bigcup S _ { i } | } } & { \ge \sum _ { i \in [ d ] } \frac { | S _ { i } | } { n } , } \\ { \frac { | \{ x : x \in \widehat H \setminus H \} | } { n - 4 0 | \{ x : x \in \widehat H \setminus H \} | } } & { \ge \frac { \varepsilon } { 2 d } \sum _ { i = 1 } ^ { d } ( c _ { i } + c _ { i } ^ { \prime } ) . } \end{array}
g _ { i j k l } \equiv \int \frac { d ^ { 3 } { r } _ { 1 } d ^ { 3 } { r } _ { 2 } } { \left| { \bf r } _ { 1 } - { \bf r } _ { 2 } \right| } \psi _ { i } ^ { \dagger } ( { \bf r } _ { 1 } ) \psi _ { j } ^ { \dagger } ( { \bf r } _ { 2 } ) \psi _ { k } ( { \bf r } _ { 1 } ) \psi _ { l } ( { \bf r } _ { 2 } ) \, .
\begin{array} { r l } { { \lambda _ { i , j } ^ { ( i ^ { \prime } , j ^ { \prime } ) } } } & { = P _ { i ^ { \prime } , j ^ { \prime } } ( \Xi * Q ) _ { j ^ { \prime } m _ { x } + i ^ { \prime } , j m _ { x } + i } \log n , } \\ { { \hat { \lambda } _ { i , j } ^ { ( i ^ { \prime } , j ^ { \prime } ) } } } & { = P _ { i ^ { \prime } , j ^ { \prime } } ( ( 1 - \Xi ) * Q ) _ { j ^ { \prime } m _ { x } + i ^ { \prime } , j m _ { x } + i } \log n . } \end{array}
\bar { S } _ { A B } [ \Omega ] \cdot 2 \pi \delta [ \Omega + \Omega ^ { \prime } ] = \frac { 1 } { 2 } \left\langle { \{ \hat { A } ^ { \dagger } [ \Omega ] , \hat { B } [ \Omega ^ { \prime } ] \} } \right\rangle .
\frac { s _ { 0 } - s _ { \mathrm { c r o s s } } } { s _ { 0 } } \geq ( 1 - r / 2 ) \, \frac { k _ { 2 } } { k _ { 1 } } \frac { \varepsilon _ { S S l } } { K _ { M } + s _ { 0 } } ( 1 - \varepsilon _ { S S l } ) \log \left( \frac { k _ { 1 } K _ { M } } { \varepsilon _ { S S l } k _ { 2 } } \right)
\rho ( n , M ) = \sum _ { g _ { 0 } + 2 g _ { 1 } + \cdots + M g _ { M - 1 } = n - M } \frac { ( g _ { 0 } + g _ { 1 } + \cdots + g _ { M - 1 } ) ! } { g _ { 0 } ! g _ { 1 } ! \cdots g _ { M - 1 } ! } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left[ \int _ { \frac { n } { N } } ^ { \frac { n + 1 } { N } } \left| \nabla \left( \nabla \cdot V ^ { \prime } ( \nabla \phi _ { L } ) \right) ( s , e ) \right| \, d s \geq \frac { K } { 4 } \right] } & { \leq C \exp \left( - c ( N K ) ^ { \frac { r } { r - 1 } } \right) } \\ & { \leq C \exp \left( - c K ^ { r } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \langle g , 2 f + g \rangle _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } \leq } & { \Vert \Vert g \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } \Vert 2 f + g \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } } \\ { \leq } & { \Vert \Vert g \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 2 } } \Vert \Vert 2 f + g \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 2 } } } \\ { \leq } & { \Vert \Vert g \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 2 } } \bigr ( \Vert \Vert f + g \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 2 } } + \Vert \Vert f \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 2 } } \bigr ) } \\ { = } & { \Vert \Vert g \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } \bigr ( \Vert \Vert f + g \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } + \Vert \Vert f \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } \bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { n } ^ { ( 1 ) } + \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } u _ { n } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \frac { 2 \chi } { 2 - \chi } \left[ \kappa _ { 1 1 } ( w ^ { 1 } - w ^ { 1 , W } ) + \kappa _ { 1 2 } u _ { n n } ^ { ( 1 ) } + \kappa _ { 1 3 } u ^ { ( 2 ) } + \kappa _ { 1 4 } u _ { n n } ^ { ( 2 ) } \right] , } \\ { \mu _ { 1 } u _ { n n n } ^ { ( 2 ) } + \mu _ { 2 } u _ { n } ^ { ( 2 ) } - \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } \mu _ { 2 } u _ { n } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \frac { 2 \chi } { 2 - \chi } \left[ \kappa _ { 2 1 } ( w ^ { 1 } - w ^ { 1 , W } ) + \kappa _ { 2 2 } u _ { n n } ^ { ( 1 ) } + \kappa _ { 2 3 } u ^ { ( 2 ) } + \kappa _ { 2 4 } u _ { n n } ^ { ( 2 ) } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { W _ { 1 } ( \rho , \sigma ( \beta , x ) ) \, \le \, \operatorname* { i n f } _ { \ell \in \mathbb { N } } \mathcal { O } ( \ell \sqrt { n } ) \, \sqrt { D ( \rho \| \sigma ( \beta , x ) ) } + n ^ { 2 } \big ( \delta ( \mathcal { O } ( \ell ) ) + \zeta ( \mathcal { O } ( \ell ) ) + e ^ { - \mathcal { O } ( \ell ) } \big ) \, . } \end{array}
{ \cal L } = a ^ { 3 } \left[ 6 F ( \varphi ) \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { 2 } + 6 F ^ { \prime } ( \varphi ) \dot { \varphi } \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) + \frac { \gamma } { 2 } \dot { \varphi } ^ { 2 } - V ( \varphi ) \right] \ .
\begin{array} { r l } { T _ { n , 0 } ^ { 1 } ( \theta ) } & { { } = 0 , } \\ { T _ { n , 0 } ^ { 2 } ( \theta ) } & { { } = \mu _ { n , 0 } n ( n + 1 ) p _ { n } ( \theta ) , } \\ { T _ { n , 0 } ^ { 3 } ( \theta ) } & { { } = \mu _ { n , 0 } t _ { n } ( \theta ) , } \end{array}
D _ { 3 / 4 - R R E } = \left\{ \begin{array} { l l } { 3 . 4 4 3 9 1 + \frac { 0 . 9 3 7 3 9 7 \sin \left( \frac { \pi t } { 4 } + \frac { \pi } { 1 6 } \right) } { t ^ { 3 / 2 } } - \frac { 1 . 4 9 0 6 6 \cos \left( \frac { \pi t } { 2 } + \frac { \pi } { 1 6 } \right) } { \sqrt { t } } + \dots \, , x = y = 1 / 8 } \\ { 3 . 2 0 2 1 9 - \frac { 0 . 5 3 2 5 6 1 \cos \left( \frac { \pi t } { 3 } + \frac { \pi } { 1 2 } \right) } { \sqrt { t } } - \frac { 0 . 8 6 4 6 3 3 \cos \left( \frac { \pi t } { 2 } + \frac { \pi } { 8 } \right) } { \sqrt { t } } + \dots \, , x = 1 / 8 , y = 1 / 1 2 } \\ { 3 . 6 4 1 8 9 - \frac { 1 . 0 4 6 1 7 \sin \left( \frac { \pi } { 6 } - \frac { \pi t } { 2 } \right) } { \sqrt { t } } - \frac { 0 . 6 8 7 9 1 \cos \left( \frac { 2 \pi t } { 3 } + \frac { \pi } { 4 } \right) } { \sqrt { t } } + \dots \, , x = 1 / 6 , y = 1 / 8 } \end{array} \right. \, .
\begin{array} { r l } { \mathrm { P E } _ { \mathrm { h y b } } } & { { } = \eta _ { i n , c } \kappa \frac { S _ { \mathrm { i n c , c } } } { | E _ { \mathrm { i n c , c } } | ^ { 2 } } | \chi _ { c } ^ { \prime } | ^ { 2 } \frac { 2 } { \epsilon _ { 0 } \epsilon V _ { c } } \left| 1 + i J \chi _ { a } \sqrt { \frac { V _ { c } } { V _ { a } } } \right| ^ { 2 } \simeq \eta _ { i n , c } \kappa \frac { S _ { \mathrm { i n c , c } } } { | E _ { \mathrm { i n c , c } } | ^ { 2 } } | \chi _ { c } ^ { \prime } | ^ { 2 } \frac { 2 } { \epsilon _ { 0 } \epsilon V _ { a } } \left| J \chi _ { a } \right| ^ { 2 } } \\ { \mathrm { L D O S C } _ { \mathrm { h y b } } } & { { } = \eta _ { o u t , c } \kappa \frac { 3 \pi c ^ { 3 } } { 2 n ^ { 3 } \omega ^ { 2 } } \frac { | \chi _ { c } ^ { \prime } | ^ { 2 } } { V _ { c } } \left| 1 + i J ^ { * } \chi _ { a } \sqrt { \frac { V _ { c } } { V _ { a } } } \right| ^ { 2 } \simeq \eta _ { o u t , c } \kappa \frac { 3 \pi c ^ { 3 } } { 2 n ^ { 3 } \omega ^ { 2 } } \frac { | \chi _ { c } ^ { \prime } | ^ { 2 } } { V _ { a } } \left| J ^ { * } \chi _ { a } \right| ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( i i ) } } \big ( \alpha \big ) } & { = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } | \alpha | ^ { 2 } } \sum _ { f = 0 } ^ { n - 1 } \binom { n } { f + 1 } p ^ { n - f - 1 } ( 1 { - } p ) ^ { f + 1 } } \\ & { \times \sum _ { m = 0 } ^ { f } ( f - m + 1 ) \Big \{ F _ { m } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( n + 1 ) \right] } \\ & { - 2 F _ { m } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) \right] + F _ { m } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( n - 1 ) \right] \Big \} } \end{array}
c c = \sum _ { i \in S _ { 1 } } \sum _ { j \in S _ { 2 } } C _ { i j } \ , \ \ \ C _ { i j } = \frac { 1 - \Big ( \frac { r _ { i j } } { r _ { 0 } } \Big ) ^ { n } } { 1 - \Big ( \frac { r _ { i j } } { r _ { 0 } } \Big ) ^ { m } }
T \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } f ( p _ { 3 } ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d z } { 2 \pi } [ f ( z ) + f ( - z ) ] + \int _ { - \infty + i \epsilon } ^ { \infty + i \epsilon } \frac { d z } { 2 \pi } \left( \frac { f ( z ) } { e ^ { - i \beta z + \beta \mu } - 1 } + \frac { f ( - z ) } { e ^ { - i \beta z - \beta \mu } - 1 } \right) \; ,
\nabla ^ { 2 } U = - \nabla ^ { 2 } { \frac { Z e ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } r } } = 4 \pi \left( { \frac { Z e ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \right) \delta ^ { 3 } ( { \vec { r } } ) \quad \Rightarrow \quad \delta U \approx { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 6 m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 2 } } } 4 \pi \left( { \frac { Z e ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \right) \delta ^ { 3 } ( { \vec { r } } )
\begin{array} { l } { \displaystyle \rho ( \vec { k } , \omega ) = \frac { z e } { 2 \pi } \, \delta ( \omega - \vec { k } \cdot \vec { v } ) } \\ { \displaystyle \vec { J } ( \vec { k } , \omega ) = \vec { v } \, \rho ( \vec { k } , \omega ) \, } \end{array}
R _ { 2 } ^ { 1 } = - ( \partial _ { 1 } \partial _ { 1 } + \partial _ { 2 } \partial _ { 2 } ) \mu ~ d x ^ { 1 } \wedge d x ^ { 2 } = - [ ( \partial _ { 1 } \partial _ { 1 } + \partial _ { 2 } \partial _ { 2 } ) ] e ^ { - 2 \mu } e ^ { 1 } \wedge e ^ { 2 }
\frac { \partial \delta { \bf { B } } } { \partial t } = \nabla \times ( { \bf { U } } \times \delta { \bf { B } } ) - \nabla \times \left[ { \beta \nabla \times \left( { \delta { \bf { B } } - \frac { \gamma } { \beta } { \bf { U } } } \right) } \right]
\begin{array} { r l r } { \int ( u - \bar { u } ) \, d x } & { { } = } & { 2 } \\ { \int ( d - \bar { d } ) \, d x } & { { } = } & { 1 } \\ { \int ( s - \bar { s } ) \, d x } & { { } = } & { = 0 } \end{array}
\mathbf { D } _ { x y } ^ { 2 } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 2 5 } & { 0 . 5 } & { 0 . 2 5 } \\ { 0 . 5 } & { - 3 } & { 0 . 5 } \\ { 0 . 2 5 } & { 0 . 5 } & { 0 . 2 5 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 0 } ^ { K } E \left[ C _ { I - i , i } \sum _ { k = i } ^ { K } \left( \prod _ { j = i } ^ { k - 1 } \widehat { f } _ { j , n } \right) \widehat \sigma _ { k , n } ^ { 2 } \left( \prod _ { h = k + 1 } ^ { K } \left( \widehat { f } _ { h , n } ^ { 2 } + \frac { \widehat \sigma _ { h , n } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { h } } \right) \right) \left( \prod _ { h = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \left( \widehat { f } _ { h , n } ^ { 2 } + \frac { \widehat \sigma _ { h , n } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { h } } \right) - \prod _ { l = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \widehat { f } _ { l , n } \right) \right] } \\ { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { K } E \left[ C _ { I - i , i } \sum _ { k = i } ^ { K } \left( \prod _ { j = i } ^ { k - 1 } \widehat { f } _ { j , n } \right) \widehat \sigma _ { k , n } ^ { 2 } \left( \prod _ { h = k + 1 } ^ { I + n - 1 } \left( \widehat { f } _ { h , n } ^ { 2 } + \frac { \widehat \sigma _ { h , n } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { h } } \right) \right) \right] } \\ & { - \sum _ { i = 0 } ^ { K } E \left[ C _ { I - i , i } \sum _ { k = i } ^ { K } \left( \prod _ { j = i } ^ { k - 1 } \widehat { f } _ { j , n } \right) \widehat \sigma _ { k , n } ^ { 2 } \left( \prod _ { h = k + 1 } ^ { K } \left( \widehat { f } _ { h , n } ^ { 2 } + \frac { \widehat \sigma _ { h , n } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { h } } \right) \right) \left( \prod _ { l = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \widehat { f } _ { l , n } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \textup { d } \sigma } { \textup { d } \Omega } = \, } & { { } \frac { 1 } { 2 } \Big [ | a | ^ { 2 } + | b | ^ { 2 } + | c | ^ { 2 } + | d | ^ { 2 } + | e | ^ { 2 } + | f | ^ { 2 } \Big ] , } \\ { \frac { \textup { d } \sigma } { \textup { d } \Omega } A _ { y } = \, } & { { } \mathrm { R e } ( a ^ { * } \, e + b ^ { * } \, f ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } R } & { { } = \hat { \rho } _ { 0 } + \epsilon \hat { \rho } _ { 1 } , } & { V } & { { } = \hat { v } _ { 0 } + \epsilon \hat { v } _ { 1 } , \; } & { P } & { { } = \hat { p } _ { 0 } + \epsilon \hat { p } _ { 1 } , } \\ { T } & { { } = \hat { \theta } _ { 0 } + \epsilon \hat { \theta } _ { 1 } + \epsilon ^ { 2 } \hat { \theta } _ { 2 } , \; } & { Y } & { { } = \hat { c } _ { 0 } + \epsilon \hat { c } _ { 1 } + \epsilon ^ { 2 } \hat { c } _ { 2 } , } & { } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { C } + p _ { D } } & { { } = 1 , } \\ { q _ { C | X } + q _ { D | X } } & { { } = 1 , } \\ { p _ { X Y } } & { { } = q _ { X | Y } p _ { Y } , } \\ { p _ { C D } } & { { } = p _ { D C } . } \end{array}
\varphi = \pm \frac { n \pi } { 2 \delta \cos { \theta } } \ \mathrm { ~ o ~ r ~ } \ \varphi = \pm \frac { ( 2 n - 1 ) \pi } { 2 } \ \mathrm { ~ o ~ r ~ } \ \theta = \frac { ( 2 n - 1 ) \pi } { 2 }
\frac { \partial c _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } { \partial \zeta } = - l \nu _ { 2 } c _ { 1 } ^ { ( 0 ) } - l \nu _ { 3 } c _ { 2 } ^ { ( 0 ) } , ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ t ~ } ~ \zeta = 0
S _ { F } ^ { - 1 } ( q ) = S _ { 0 } ^ { - 1 } ( q ) + i C _ { F } \int _ { k } g ^ { 2 } ( ( q - k ) ^ { 2 } ) i D ^ { \mu \nu } ( q - k ) \gamma _ { \mu } S _ { F } ( k ) \gamma _ { \nu }
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { c } { \hat { \mathbf B } ^ { n + 1 } } \\ { \hat { \mathbf E } ^ { n + 1 } } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { c c } { \mathbb { 1 } } & { - \Delta t \mathbb { i } K } \\ { \Delta \mathbb { i } K } & { \mathbb { 1 } + \Delta t ^ { 2 } K ^ { 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \hat { \mathbf B } ^ { n } } \\ { \hat { \mathbf E } ^ { n } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \delta \boldsymbol { u } } { \partial t } + \delta \boldsymbol { a } _ { c _ { S } } } & { { } = \delta \boldsymbol { a } _ { \nu } + \delta \boldsymbol { f } _ { S } , } \\ { \delta \boldsymbol { a } _ { c _ { I } } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho } \nabla _ { \boldsymbol { x } } \delta p + \delta \boldsymbol { f } _ { I } , } \end{array}
\mathbb { E } \left[ b ^ { ( < d ) ^ { T } } \right] = \prod _ { i = 1 } ^ { d - 1 } \mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } \otimes \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } \right] , \quad \mathbb { E } \left[ b ^ { ( > d ) } \right] = \prod _ { i = d + 1 } ^ { D } \mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } \otimes \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } \right] .
\psi _ { \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } = \iint d t _ { 1 } d t _ { 2 } e ^ { \mathrm { i } \omega _ { 1 } t _ { 1 } } e ^ { \mathrm { i } \omega _ { 2 } t _ { 2 } } \psi _ { t _ { 1 } , t _ { 2 } } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \: .
\begin{array} { r l } { \int _ { I } \bigg | G _ { g } ( s , \xi , u ) \bigg | ^ { 2 d } } & { \lesssim L ^ { d - 1 + \eta } + \sum _ { L ^ { 2 - 2 \gamma - \eta / ( 1 0 d ) } \leq B \leq K } \sum _ { 1 \leq 2 ^ { n } \lesssim \frac { K } { B } } \sum _ { q \in [ B , 2 B ) } \sum _ { 1 \leq a < q L ^ { 2 \gamma - 2 + \eta / ( 1 0 d ) } , \operatorname* { g c d } ( a , q ) = 1 } \frac { ( K 2 ^ { n } \log L ) ^ { d } } { 2 ^ { n } B K } } \\ & { \lesssim L ^ { d - 1 + \eta } + L ^ { 2 \gamma - 2 + \eta / ( 1 0 d ) } \sum _ { L ^ { 2 - 2 \gamma - \eta / ( 1 0 d ) } \leq B \leq K } \sum _ { 1 \leq 2 ^ { n } \lesssim K B ^ { - 1 } } B K ^ { d - 1 } 2 ^ { n ( d - 1 ) } ( \log L ) ^ { d } } \\ & { \lesssim L ^ { d - 1 + \eta } + K ^ { 2 ( d - 1 ) } L ^ { ( d - 1 ) ( 2 \gamma - 2 ) + \eta } , } \end{array}
\mathcal V _ { f f ^ { \prime } } ^ { \{ o _ { i } \} } ( \vec { Q } ) = \int _ { \mathrm { ~ B ~ Z ~ } } \! \! \! \mathrm { d } \vec { k } \mathrm { d } \vec { k } ^ { \prime } V ^ { \{ o _ { i } \} } ( \vec { Q } , \vec { k } , \vec { k } ^ { \prime } ) \phi _ { f } ( \vec { k } ) \bar { \phi } _ { f ^ { \prime } } ( \vec { k } ^ { \prime } ) \, \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r l r } { { \bf e } _ { N , 1 } } & { = } & { [ \cos ( L _ { N } ^ { 1 / 2 } \Delta t ) - S _ { N , 1 1 } ( \Delta t ) ] { \bf f } _ { N , 1 } + [ L _ { N } ^ { - 1 / 2 } \sin ( L _ { N } ^ { 1 / 2 } \Delta t ) - S _ { N , 1 2 } ( \Delta t ) ] { \bf f } _ { N , 2 } , } \\ { { \bf e } _ { N , 2 } } & { = } & { [ - L _ { N } ^ { 1 / 2 } \sin ( L _ { N } ^ { 1 / 2 } \Delta t ) - S _ { N , 2 1 } ( \Delta t ) ] { \bf f } _ { N , 1 } + [ \cos ( L _ { N } ^ { 1 / 2 } \Delta t ) - S _ { N , 2 2 } ( \Delta t ) ] { \bf f } _ { N , 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d s _ { l } ( t ) } { d t } } & { { } = - s _ { l } ( t ) k \sum _ { m = 1 } ^ { n } { A _ { l m } p _ { m } \int _ { 0 } ^ { t } { \omega _ { \mathrm { i n f } } ( t - t ^ { \prime } ) \Psi _ { \mathrm { r e m } } ( t - t ^ { \prime } ) d c _ { m } ( t ^ { \prime } ) } } , } \\ { i _ { l } ( t ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { t } { \Psi _ { \mathrm { r e m } } ( t - t ^ { \prime } ) d c _ { l } ( t ^ { \prime } ) } , } \\ { r _ { l } ( t ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { t } { [ 1 - \Psi _ { \mathrm { r e m } } ( t - t ^ { \prime } ) ] d c _ { l } ( t ^ { \prime } ) } , } \end{array}
\int _ { x _ { i } ^ { 0 } } ^ { 1 } d x _ { i } f ( x _ { i } ) \frac { 1 } { ( x _ { i } - x _ { i } ^ { 0 } ) _ { + } } \equiv \int _ { x _ { i } ^ { 0 } } ^ { 1 } d x _ { i } \frac { f ( x _ { i } ) - f ( x _ { i } ^ { 0 } ) } { x _ { i } - x _ { i } ^ { 0 } } \, .
\begin{array} { r l } { ( \partial \overrightarrow { x } / \partial \zeta ) | _ { i , j , k } = 0 . 1 2 5 * ( } & { + \overrightarrow { x } | _ { i + 1 , j + 1 , k } + \overrightarrow { x } | _ { i + 1 , j , k } + \overrightarrow { x } | _ { i + 1 , j + 1 , k + 1 } + \overrightarrow { x } | _ { i + 1 , j , k + 1 } } \\ & { - \overrightarrow { x } | _ { i - 1 , j + 1 , k } - \overrightarrow { x } | _ { i - 1 , j , k } - \overrightarrow { x } | _ { i - 1 , j + 1 , k + 1 } - \overrightarrow { x } | _ { i - 1 , j , k + 1 } ) } \\ { ( \partial \overrightarrow { x } / \partial \eta ) | _ { i , j , k } = 0 . 5 * ( } & { + \overrightarrow { x } | _ { i , j + 1 , k } + \overrightarrow { x } | _ { i , j + 1 , k + 1 } - \overrightarrow { x } | _ { i , j , k } - \overrightarrow { x } | _ { i , j , k + 1 } ) } \\ { ( \partial \overrightarrow { x } / \partial \xi ) | _ { i , j , k } = 0 . 5 * ( } & { + \overrightarrow { x } | _ { i , j + 1 , k + 1 } + \overrightarrow { x } | _ { i , j , k + 1 } - \overrightarrow { x } | _ { i , j , k } - \overrightarrow { x } | _ { i , j + 1 , k } ) . } \end{array}
R _ { \mathrm { ~ a ~ c ~ t ~ u ~ a ~ l ~ } } = \frac { \mathrm { s i z e } ( \mathrm { ~ i ~ n ~ p ~ u ~ t ~ f ~ i ~ l ~ e ~ } ) } { \mathrm { s i z e } ( \mathrm { ~ d ~ e ~ c ~ o ~ m ~ p ~ r ~ e ~ s ~ s ~ e ~ d ~ f ~ i ~ l ~ e ~ } + \mathrm { ~ a ~ u ~ x ~ i ~ l ~ i ~ a ~ r ~ y ~ f ~ i ~ l ~ e ~ ( ~ s ~ ) ~ } ) }
\begin{array} { r } { \| \mathbb { E } _ { \delta } ( \varphi ) - \mathbb { E } _ { \delta , N , h } ( \varphi ) \| _ { \mathcal { X } } \le 2 \left( 2 \frac { \| \rho \| _ { L ^ { \infty } ( \mathcal { D } ) } } { c ( \lambda ) } \right) ^ { 1 / 2 } \| \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega , \mathbb { P } ; \mathcal { X } ) } d _ { \mathrm { H e l l } } ( \mathbb { P } _ { \delta } , \mathbb { P } _ { \delta , N , h } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = - k _ { R } \hat { V } \hat { P } + g _ { V } \hat { W } _ { V } + k _ { U } \hat { R } } \\ { 0 } & { = k _ { F } \hat { R } - g _ { V } \hat { W } _ { V } } \\ { 0 } & { = k _ { F } \hat { R } - g _ { P } \hat { W } _ { P } } \\ { 0 } & { = k _ { R } \hat { V } \hat { P } - k _ { U } \hat { R } - k _ { F } \hat { R } } \\ { 0 } & { = - k _ { R } \hat { V } \hat { P } + g _ { P } \hat { W } _ { P } + k _ { U } \hat { R } } \end{array}
S = \int d t \left[ n ^ { - 1 } e ^ { - \varphi } \left( 3 \dot { \alpha } ^ { 2 } - \dot { \varphi } ^ { 2 } + 6 k n ^ { 2 } e ^ { - 2 \alpha } + 6 \dot { \beta } ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 n } e ^ { \varphi + 6 \alpha } \dot { \sigma } ^ { 2 } - \frac { n } { 2 } Q ^ { 2 } e ^ { - 6 \beta + 3 \alpha } \right] ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { m i n i m i z e } \quad \operatorname* { l i m s u p } _ { t \rightarrow \infty } \, \, \frac { 1 } { t } \, \, E \left[ \int _ { 0 } ^ { t } \left[ c \left( \theta ( s ) \right) + h \, W ( s ) \right] \, d s + r L ( t ) \right] } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } \\ & { W ( t ) = \chi ( t ) - \eta \int _ { 0 } ^ { t } W ( s ) \, d s - \int _ { 0 } ^ { t } \theta ( s ) \, d s + L ( t ) , \quad t \ge 0 , } \\ & { W ( t ) \ge 0 \mathrm { ~ f o r ~ } t \ge 0 , } \\ & { L \mathrm { ~ i s ~ n o n d e c r e a s i n g ~ w i t h ~ } L ( 0 ) = 0 , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \nabla } } \mathbf { v } } & { = \left[ { \cfrac { \partial v ^ { i } } { \partial q ^ { k } } } + \Gamma _ { l k } ^ { i } ~ v ^ { l } \right] ~ \mathbf { b } _ { i } \otimes \mathbf { b } ^ { k } } \\ & { = \left[ { \cfrac { \partial v _ { i } } { \partial q ^ { k } } } - \Gamma _ { k i } ^ { l } ~ v _ { l } \right] ~ \mathbf { b } ^ { i } \otimes \mathbf { b } ^ { k } } \end{array} }
( x ^ { i } [ k _ { 1 } , . . . , k _ { n } ] ) _ { a c t } = \sum _ { l = 1 } ^ { n } ( \tilde { \zeta } _ { j } ^ { i } [ k _ { 1 } , . . . k _ { l - 1 } ] ) v ^ { j k _ { l } } [ k _ { l + 1 } , . . . , k _ { n } ]