harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { T _ { r } } & { = { \frac { 0 . 3 4 \sigma ^ { 3 } } { G ^ { 2 } m \rho \ln \Lambda } } } \\ & { \approx 0 . 9 5 \times 1 0 ^ { 1 0 } \! \left( { \frac { \sigma } { 2 0 0 \, \mathrm { k m \, s } ^ { - 1 } } } \right) ^ { \! 3 } \! \! \left( { \frac { \rho } { 1 0 ^ { 6 } \, M _ { \odot } \, \mathrm { p c } ^ { - 3 } } } \right) ^ { \! - 1 } \! \! \left( { \frac { m _ { \star } } { M _ { \odot } } } \right) ^ { \! - 1 } \! \! \left( { \frac { \ln \Lambda } { 1 5 } } \right) ^ { \! - 1 } \! \mathrm { y r } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \left\langle g ( x ) \right\rangle , } \\ { 0 } & { { } = \left\langle \nabla g ( x ) \right\rangle , } \\ { 0 } & { { } = \left\langle \nabla \otimes \nabla ^ { T } g ( x ) \right\rangle . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c c } { { \lambda ^ { + } } } & { { { \tilde { \phi } } _ { u } ^ { + } } } & { { \lambda ^ { - } } } & { { { \tilde { \phi } } _ { d } ^ { - } } } \end{array} \right) { \frac { 1 } { 2 } } \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { M _ { 2 } } } & { { - g _ { 2 } v _ { d } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { g _ { 2 } v _ { u } } } & { { - \mu } } \\ { { M _ { 2 } } } & { { g _ { 2 } v _ { u } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - g _ { 2 } v _ { d } } } & { { - \mu } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \lambda ^ { + } } } \\ { { { \tilde { \phi } } _ { u } ^ { + } } } \\ { { \lambda ^ { - } } } \\ { { { \tilde { \phi } } _ { d } ^ { - } } } \end{array} \right) .
\left| \psi _ { 0 } ^ { m } ( k _ { 0 } ) \right> = \frac { 1 } { \sqrt { \sigma } \sqrt [ 4 ] { \pi } } e ^ { - ( m - m _ { 0 } ) ^ { 2 } / 2 \sigma ^ { 2 } } e ^ { i k _ { 0 } m } \left| \phi _ { + } ( k _ { 0 } ) \right> ,
\nu _ { 1 } = - { \frac { 1 3 \gamma ^ { 2 } - 7 \gamma + 1 2 } { ( 3 \gamma - 1 ) ( 2 \gamma + 1 ) } } , \quad \nu _ { 2 } = { \frac { 5 ( \gamma - 1 ) } { 2 \gamma + 1 } } , \quad \nu _ { 3 } = { \frac { 3 } { 2 \gamma + 1 } } , \quad \nu _ { 4 } = - { \frac { \nu _ { 1 } } { 2 - \gamma } } , \quad \nu _ { 5 } = - { \frac { 2 } { 2 - \gamma } } .
\begin{array} { r l } { x _ { k } } & { { } = F ( x _ { k - 1 } , u _ { k } ) = \left( 1 - a \Delta t \right) x _ { k - 1 } + \Delta t f ( W ^ { \mathrm { i n } } u _ { k } + W x _ { k - 1 } ) } \\ { x _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } } & { { } = g ( W ^ { \mathrm { o u t } } [ x _ { k } ; u _ { k } ] ) } \end{array}
C ( A _ { \mathrm { ~ M ~ L ~ M ~ C ~ } } ) \le \frac { 1 } { \theta \epsilon ^ { 2 } } \left( \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } \sqrt { V _ { \ell } C _ { \ell } } \right) ^ { 2 } + \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } C _ { \ell } .
\Delta S _ { 1 1 } = \frac { 1 } { 2 } \int A \wedge ( - \frac { 1 } { 7 6 8 } ( \mathrm { T r } R ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 9 2 } ( \mathrm { T r } R ^ { 4 } ) ) .
\begin{array} { r l } { \omega \tilde { t } _ { n } = } & { { } ( \frac { 2 \hbar \omega } { 9 U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 1 / 4 } \frac { 2 \zeta _ { n } - \zeta _ { 0 } } { \sqrt { \zeta _ { n } - \zeta _ { 0 } } } - ( \frac { 2 \hbar \omega } { 9 U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 3 / 4 } } \end{array}
V _ { 0 } + V _ { v ^ { 2 } } \rightarrow - \frac { 4 \alpha _ { S } } { 3 r } \left[ 1 - \frac { 1 } { 2 } \; \left( \bf v _ { \mathrm { 1 } } \cdot v _ { \mathrm { 2 } } + v _ { \mathrm { 1 } } \cdot \hat { r } \; v _ { \mathrm { 2 } } \cdot \hat { r } \right) \right] .
\begin{array} { r l r } { d S ^ { 2 } = } & { { } } & { - d t ^ { 2 } + \bigl ( 1 + h _ { + } ( t ) \bigr ) d x _ { p } ^ { 2 } + \bigl ( 1 - h _ { + } ( t ) \bigr ) d y _ { p } ^ { 2 } + } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = - \frac { \partial p } { \partial x } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { \mathrm { ~ P ~ e ~ } } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } + \epsilon ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial z ^ { 2 } } , } \\ { 0 } & { { } = - \mathrm { ~ P ~ e ~ } \frac { \partial p } { \partial y } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { \mathrm { ~ P ~ e ~ } } \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial x ^ { 2 } } + \epsilon ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial z ^ { 2 } } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { 0 } & { { } = - \mathrm { ~ P ~ e ~ } \frac { \partial p } { \partial z } + \frac { \epsilon ^ { 4 } } { \mathrm { ~ P ~ e ~ } } \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial x ^ { 2 } } + \epsilon ^ { 4 } \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial y ^ { 2 } } + \epsilon ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial z ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { R ( t ) : = \frac { t ^ { 4 } } { \vartheta ^ { 4 } n ^ { 3 } } \mathbb { E } | \ell _ { 1 } ^ { 2 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } | + \frac { | t | ^ { 5 } } { \vartheta ^ { 5 } n ^ { 4 } } \mathbb { E } | \ell _ { 1 } ^ { 2 } \ell _ { 2 } ^ { 2 } q _ { 1 2 } | + \frac { | t | ^ { 3 } } { \vartheta ^ { 2 } n ^ { 3 } } \mathbb { E } | \ell _ { 1 } q _ { 1 2 } ^ { 2 } | + \frac { | t | ^ { 5 } } { \vartheta ^ { 5 } n ^ { 4 } } \mathbb { E } | \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } \ell _ { 3 } q _ { 1 3 } q _ { 2 3 } | } \\ { + \frac { | t | ^ { 7 } } { \vartheta ^ { 7 } n ^ { 5 } } ( \mathbb { E } \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } ) ( \mathbb { E } | \ell _ { 1 } ^ { 2 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } | ) + \frac { | t | ^ { 8 } } { \vartheta ^ { 8 } n ^ { 6 } } ( \mathbb { E } \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } ) ( \mathbb { E } | \ell _ { 1 } ^ { 2 } \ell _ { 2 } ^ { 2 } q _ { 1 2 } | ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { H } } } & { { } = - \frac { \Omega } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \hat { \sigma } _ { i } ^ { x } - \delta \sum _ { i = 1 } ^ { N } \hat { n } _ { i } + \sum _ { i , j } V _ { i , j } \hat { n } _ { i } \hat { n } _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } _ { n , m } ^ { \epsilon } ( x , y , z ) } & { \approx \mathcal { U } _ { n , m } - \mathrm { i } \frac { \epsilon } { 2 } \Big ( A _ { n } \mathcal { U } _ { n + 2 , m } + B _ { n } \mathcal { U } _ { n - 2 , m } } \\ & { + A _ { m } \mathcal { U } _ { n , m + 2 } + B _ { m } \mathcal { U } _ { n , m - 2 } \Big ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } X _ { n } } & { = \operatorname* { s u p } \, \{ \, \operatorname* { i n f } \, \{ X _ { m } : m \in \{ n , n + 1 , \ldots \} \} : n \in \{ 1 , 2 , \dots \} \} } \\ & { = \bigcup _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( { \bigcap _ { m = n } ^ { \infty } } X _ { m } \right) \! . } \end{array} }
\begin{array} { r } { i ) \, \frac { \partial D } { \partial t } + \operatorname { d i v } ( D G ^ { - 1 } \nabla S ) = 0 , \quad \, \, i i ) \, \frac { \partial S } { \partial t } + \frac 1 2 \| \nabla S \| _ { g ^ { - 1 } } ^ { 2 } = - E , \quad \, \, i i i ) \, \widehat H _ { e } \phi = E \phi . } \end{array}
{ \begin{array} { l l l l l l l l l } { \ell _ { 1 , 1 } x _ { 1 } } & & & & & & & { = } & { b _ { 1 } } \\ { \ell _ { 2 , 1 } x _ { 1 } } & { + } & { \ell _ { 2 , 2 } x _ { 2 } } & & & & & { = } & { b _ { 2 } } \\ { \vdots } & & { \vdots } & & { \ddots } & & & & { \vdots } \\ { \ell _ { m , 1 } x _ { 1 } } & { + } & { \ell _ { m , 2 } x _ { 2 } } & { + } & { \dotsb } & { + } & { \ell _ { m , m } x _ { m } } & { = } & { b _ { m } } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { g _ { J } \langle J , J _ { z } | { \vec { J } } \cdot { \vec { J } } | J , J _ { z } \rangle } & { = \langle J , J _ { z } | g _ { L } { { \vec { L } } \cdot { \vec { J } } } + g _ { S } { { \vec { S } } \cdot { \vec { J } } } | J , J _ { z } \rangle } \\ & { = \langle J , J _ { z } | g _ { L } { ( { \vec { L } } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( { \vec { J } } ^ { 2 } - { \vec { L } } ^ { 2 } - { \vec { S } } ^ { 2 } ) ) } + g _ { S } { ( { \vec { S } } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( { \vec { J } } ^ { 2 } - { \vec { L } } ^ { 2 } - { \vec { S } } ^ { 2 } ) ) } | J , J _ { z } \rangle } \\ & { = { \frac { g _ { L } \hbar ^ { 2 } } { 2 } } ( J ( J + 1 ) + L ( L + 1 ) - S ( S + 1 ) ) + { \frac { g _ { S } \hbar ^ { 2 } } { 2 } } ( J ( J + 1 ) - L ( L + 1 ) + S ( S + 1 ) ) } \\ { g _ { J } } & { = g _ { L } { \frac { J ( J + 1 ) + L ( L + 1 ) - S ( S + 1 ) } { 2 J ( J + 1 ) } } + g _ { S } { \frac { J ( J + 1 ) - L ( L + 1 ) + S ( S + 1 ) } { 2 J ( J + 1 ) } } } \end{array} }
\frac { k _ { \perp } ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \omega _ { c e } ^ { 2 } } \approx \frac { \omega ^ { 2 } - \omega _ { c o } ^ { l 2 } } { \omega _ { c e } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } - \frac { \omega _ { e } ^ { 2 } } { \omega _ { c e } ^ { 2 } }
\mathcal { V } ^ { - + + } ( \kappa _ { 1 } , \kappa _ { 2 } ) = \mathcal { V } ^ { + -- } ( \kappa _ { 1 } , \kappa _ { 2 } ) = M _ { 3 } ( \kappa _ { 1 } , \kappa _ { 2 } , - \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 2 } ; \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } ) M _ { 3 } ( \kappa _ { 1 } ^ { * } , \kappa _ { 2 } ^ { * } , - \kappa _ { 1 } ^ { * } - \kappa _ { 2 } ^ { * } ; \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } ) .
\chi \alpha _ { 2 } \: ( T _ { \infty } - T _ { \mathrm { i } } ) ^ { 2 } + \left( \chi \alpha _ { 1 } - 1 \right) \: ( T _ { \infty } - T _ { \mathrm { i } } ) + \chi \left( 1 - \mathcal { R } _ { \mathrm { H } } \right) = 0 .
\phi _ { k , m } \left( \frac { a \tau + b } { c \tau + d } , \frac { z } { c \tau + d } \right) = ( c \tau + d ) ^ { k } { \bf e } \left[ \frac { m c ( z , z ) } { 2 ( c \tau + d ) } \right] \phi _ { k , m } ( \tau , z ) \, .
\mathcal { N } \left( \lambda _ { 1 } \left( \frac { u _ { 2 } ^ { \star } - u _ { 1 } ^ { \star } } { 2 } \right) + \lambda _ { 2 } \left( \frac { 2 u _ { 2 } ^ { \star } - u _ { 1 } ^ { \star } - u _ { 3 } ^ { \star } } { 3 } \right) , \ \left( \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } + \frac { \lambda _ { 2 } } { 3 } \right) ^ { 2 } + \left( 1 - \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } - \frac { 2 } { 3 } \lambda _ { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \lambda _ { 2 } } { 3 } \right) ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \Delta } & { { } = } & { A ^ { 2 } - 4 B \, , } \\ { A } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } T r \left( [ { \mathcal { J } } _ { c } ( D ^ { 2 } { \mathcal { H } } ) ( \xi _ { e } ) ] ^ { 2 } \right) \, , } \\ { B } & { { } = } & { d e t \left( { \mathcal { J } } _ { c } ( D ^ { 2 } { \mathcal { H } } ) ( \xi _ { e } ) \right) \, , } \end{array}
Z ( \omega ) \approx Z _ { \mathrm { e x p } } ( \omega ) = \frac { T _ { 2 } Z _ { 0 } ( \omega ; T _ { 2 } ) - T _ { 1 } Z _ { 0 } ( \omega ; T _ { 1 } ) } { T _ { 2 } - T _ { 1 } } .
\begin{array} { r } { \left\| \mathcal { C } _ { \ell } \right\| _ { L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) \to L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) } \le \left\| \mathcal { C } _ { \mathrm { T G } _ { \ell } } \right\| _ { L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) \to L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) } + C \left\| \mathcal { C } _ { \ell - 1 } \right\| _ { L _ { 2 } \to L _ { 2 } } ^ { \tau } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { R i e m } [ \gamma ] _ { i j k l } } & { = - \frac { \mathrm { R } [ \gamma ] } { 6 } ( \gamma _ { i l } \gamma _ { j k } - \gamma _ { i k } \gamma _ { j l } ) = \frac { 1 } { 9 } ( \gamma _ { i l } \gamma _ { j k } - \gamma _ { i k } \gamma _ { j l } ) , } \\ { \mathrm { R i e m } [ g ] _ { i j k l } } & { = - \frac { \mathrm { R } [ g ] } { 6 } ( g _ { i l } g _ { j k } - g _ { i k } g _ { j l } ) + ( V _ { i l } g _ { j k } - V _ { j l } g _ { i k } - V _ { i k } g _ { j l } + V _ { j k } g _ { i l } ) , } \end{array}
\mathcal X ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ s ~ u ~ b ~ j ~ e ~ c ~ t ~ } } = \{ \boldsymbol x _ { 1 0 \times i \mathrm { ~ \tiny ~ ( ~ m ~ s ~ ) ~ } } : i = - 1 9 9 9 , - 1 9 9 8 , \cdots , - 1 \}
C ^ { \infty } ( U , F ) \to \prod _ { c \in C ^ { \infty } ( \mathbb { R } , U ) , \ell \in F ^ { * } } C ^ { \infty } ( \mathbb { R } , \mathbb { R } ) , \quad f \mapsto ( \ell \circ f \circ c ) _ { c , \ell } \, .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 0 } + \beta _ { 0 } } & { = 2 \sqrt [ 3 ] { \| \zeta \| } \cos { \left( \frac { \theta } { 3 } \right) } , } \\ { \alpha _ { 2 } + \beta _ { 1 } } & { = - 2 \sqrt [ 3 ] { \| \zeta \| } \cos { \left( \frac { \theta + \pi } { 3 } \right) } , } \\ { \alpha _ { 1 } + \beta _ { 2 } } & { = - 2 \sqrt [ 3 ] { \| \zeta \| } \sin { \left( \frac { \theta + 2 \pi } { 3 } \right) } . } \end{array}
\phi _ { \mathbf { w } } ^ { \mathrm { H } } ( \mathbf { w } ) \approx \mathcal { A } _ { w } w ^ { - \gamma _ { w } } , \quad \gamma _ { w } = { d _ { r } } + \gamma _ { c } \langle \! \langle c _ { 1 2 } \rangle \! \rangle ^ { \mathrm { H } } ,
\begin{array} { r l r l } { \lfloor x \rfloor = m } & { { } \; \; { \mathrm { ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } } } & { m } & { { } \leq x < m + 1 , } \\ { \lceil x \rceil = n } & { { } \; \; { \mathrm { ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } } } & { n - 1 } & { { } < x \leq n , } \\ { \lfloor x \rfloor = m } & { { } \; \; { \mathrm { ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } } } & { x - 1 } & { { } < m \leq x , } \\ { \lceil x \rceil = n } & { { } \; \; { \mathrm { ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } } } & { x } & { { } \leq n < x + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N } & { { } = \frac { 4 } { \epsilon _ { 3 } ^ { 2 } } \left( 2 ^ { \mathcal { O } ( \mathrm { p o l y l o g } ( 1 / \epsilon _ { 1 } ) ) } \right) ^ { 2 } \left( \sqrt { \mathcal { O } ( \mathrm { p o l y l o g } ( 1 / \epsilon _ { 1 } ) ) + \mathcal { O } ( \log ( n ) ) } + \sqrt { \log \frac { 1 } { \delta } } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\frac { d \hat { \sigma } } { d \hat { t } } = \frac { \pi \alpha \alpha _ { s } e _ { q } ^ { 2 } } { \hat { s } ^ { 2 } } \frac { 8 } { 9 } \left[ \left( \frac { \hat { u } } { \hat { t } } \right) + \left( \frac { \hat { t } } { \hat { u } } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } \left( \hat { \rho } \right) = } & { \frac { \kappa } { 2 } \left( 2 \hat { a } \hat { \rho } \hat { a } ^ { \dagger } - \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \hat { \rho } - \hat { \rho } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \right) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \gamma } { 2 } \left( \bar { n } _ { i } ^ { m } + 1 \right) \left( 2 \hat { b } _ { i } \hat { \rho } \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } - \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } \hat { b } _ { i } \hat { \rho } - \hat { \rho } \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } \hat { b } _ { i } \right) } \\ & { + \frac { \gamma } { 2 } \bar { n } _ { i } ^ { m } \left( 2 \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } \hat { \rho } \hat { b } _ { i } - \hat { b } _ { i } \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } \hat { \rho } - \hat { \rho } \hat { b } _ { i } \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| T ( t _ { n } ) x _ { n } - T ( t _ { 0 } ) x _ { 0 } \| _ { X } } & { \leq \| T ( t _ { n } ) ( x _ { n } - x _ { 0 } ) \| _ { X } + \| T ( t _ { n } ) x _ { 0 } - T ( t _ { 0 } ) x _ { 0 } \| _ { X } } \\ & { \leq M e ^ { \omega t _ { n } } \| x _ { n } - x _ { 0 } \| _ { X } + M e ^ { \omega \operatorname* { m i n } \{ t _ { n } , t _ { 0 } \} } \| T ( \vert t _ { n } - t _ { 0 } \vert ) x _ { 0 } - x _ { 0 } \| _ { X } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ^ { ( 2 ) } ( t , \omega ) } & { = \left| A _ { a a } \right| ^ { 2 } } \\ & { = \left| 1 - \frac { i } { \hbar } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } \left\langle \Psi _ { a } \left| \hat { H } _ { \textrm { p , I } } \left( t _ { 1 } \right) \right| \Psi _ { a } \right\rangle \right| ^ { 2 } } \\ & { = 1 + \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \left| \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } \left\langle \Psi _ { a } \left| \hat { H } _ { \textrm { p , I } } \left( t _ { 1 } \right) \right| \Psi _ { a } \right\rangle \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { p } : } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \dot { x } = \left[ \begin{array} { l l } { x _ { 2 } } & { - \theta } \end{array} \right] ^ { \top } } & { x \in \mathbb { R } _ { \geq 0 } \times \mathbb { R } } \\ { x ^ { + } = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { - \frac { \theta } { 1 2 . 2 6 2 5 } x _ { 2 } + u } \end{array} \right] } & { x \in \left\{ x _ { 1 } = 0 , ~ x _ { 2 } \leq 0 \right\} , } \end{array} \right. } \end{array}
\epsilon _ { n } \Psi _ { n } ( t ) \; = \; \frac { m ^ { 2 } \! - \! \beta ^ { 2 } } { 2 t } \Psi _ { n } ( t ) + \frac { t } { 2 } \Psi _ { n } ( t ) \; - \; \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \: \frac { \Psi _ { n } ( s ) } { ( t \! - \! s ) ^ { 2 } } \; \; .
\begin{array} { r } { X _ { \gamma \delta \varepsilon } = ( \Sigma \times \triangle ) \cup _ { \Sigma \times e _ { \gamma } } ( U _ { \gamma } \times e _ { \gamma } ) \cup _ { \Sigma \times e _ { \delta } } ( U _ { \delta } \times e _ { \delta } ) \cup _ { \Sigma \times e _ { \varepsilon } } ( U _ { \varepsilon } \times e _ { \varepsilon } ) , } \end{array}
H _ { \mu \nu } = 2 \left( R R _ { \mu \nu } - 2 R _ { \mu \alpha } R _ { ~ \nu } ^ { \alpha } - 2 R _ { \mu \alpha \nu \beta } R ^ { \alpha \beta } - R _ { \mu \alpha \beta \gamma } R _ { ~ ~ ~ \nu } ^ { \alpha \beta \gamma } \right) - \frac { 1 } { 2 } { \cal L } _ { G B } g _ { \mu \nu } ,
\vec { B } \left( \vec { r } \right) = \frac { \mu _ { 0 } J } { 4 \pi } \int _ { R _ { 1 } } ^ { R _ { 2 } } d r ^ { \prime } \int _ { Z _ { 1 } } ^ { Z _ { 2 } } d z ^ { \prime } \vec { \hat { H } } \left( \vec { r } \right) ,
\hat { H } _ { \mathrm { S D F } } ^ { \delta = 0 } = \eta \frac { \hbar } { 2 } \Omega \left( \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \phi _ { \mathrm { m } } } + \hat { a } e ^ { - i \phi _ { \mathrm { m } } } \right) \hat { \sigma } ^ { \phi _ { \mathrm { S } } } ,
\{ Q ^ { \prime } , \bar { Q } ^ { \prime } \} = \frac { 4 q ^ { 2 } } { m } ( \frac { \Gamma ^ { a } } { p } J _ { a } ^ { \prime } + \frac { \Gamma ^ { a b c d e } } { k } J _ { a b c d e } ^ { \prime } ) .
\phi ( x , y , \theta ) = \left( \frac { - ( x - x c ) c o s ( \theta ) + ( y - y c ) s i n ( \theta ) } { a } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { ( x - x c ) s i n ( \theta ) + ( y - y c ) c o s ( \theta ) } { b } \right) ^ { 2 } - 1
\begin{array} { r } { \frac { d \overline { { U _ { z } ^ { + } } } } { d ( 1 - r ) ^ { + } } - \overline { { u _ { ( 1 - r ) ^ { + } } ^ { + } u _ { z } ^ { + } } } = - { \frac { ( 1 - r ) ^ { + } } { R ^ { + } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \hat { S } _ { x } \rangle } & { = } & { \hbar \left( { \alpha } _ { \mathrm { L } } ^ { * } { \alpha } _ { \mathrm { R } } + { \alpha } _ { \mathrm { R } } ^ { * } { \alpha } _ { \mathrm { L } } \right) } \\ & { = } & { \hbar { \mathcal N } \left( \mathrm { e } ^ { i \phi } \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \right. } \\ & { } & { \left. + \mathrm { e } ^ { - i \phi } \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \right) } \\ & { = } & { \hbar { \mathcal N } \cos { \phi } \sin \theta } \\ { \langle \hat { S } _ { y } \rangle } & { = } & { \hbar \left( - i { \alpha } _ { \mathrm { L } } ^ { * } { \alpha } _ { \mathrm { R } } + i { \alpha } _ { \mathrm { R } } ^ { * } { \alpha } _ { \mathrm { L } } \right) } \\ & { = } & { \hbar { \mathcal N } \left( - i \mathrm { e } ^ { i \phi } \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \right. } \\ & { } & { \left. + i \mathrm { e } ^ { - i \phi } \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \right) } \\ & { = } & { \hbar { \mathcal N } \sin { \phi } \sin \theta } \\ { \langle \hat { S } _ { z } \rangle } & { = } & { \hbar \left( { \mathcal N } _ { \mathrm { L } } - { \mathcal N } _ { \mathrm { R } } \right) } \\ & { = } & { \hbar { \mathcal N } \left( \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) - \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \right) } \\ & { = } & { \hbar { \mathcal N } \cos \theta . } \end{array}
\begin{array} { r } { z ^ { 2 } \beta ( \widetilde { \omega } - \frac { 1 } { z } ) ^ { 2 } \widetilde { \omega } + \frac { N } { M } \widetilde { \omega } + z \widetilde { \omega } - 1 + z ( 1 + \gamma ) \widetilde { \omega } ^ { 2 } - ( 1 + \gamma ) \widetilde { \omega } } \\ { = z ^ { 2 } \beta \widetilde { \omega } ^ { 3 } + ( 1 + \alpha \beta - 2 \beta ) z \widetilde { \omega } ^ { 2 } + ( \beta + \alpha - 1 - \alpha \beta + z ) \widetilde { \omega } - 1 = 0 } \end{array}
= \left( \delta _ { \lambda \nu } \delta _ { \mu \rho } - \delta _ { \nu \rho } \delta _ { \mu \lambda } \right) { \cal G } ( x ) + \left( \delta _ { \mu \lambda } \partial _ { \rho } \partial _ { \nu } + \delta _ { \nu \rho } \partial _ { \mu } \partial _ { \lambda } - \delta _ { \mu \rho } \partial _ { \lambda } \partial _ { \nu } - \delta _ { \lambda \nu } \partial _ { \mu } \partial _ { \rho } \right) g ( x ) ,
\mu _ { \varepsilon } \left( f \right) : = \frac { \int _ { \left[ - 1 , 1 \right] } \lambda _ { \varepsilon } \left( d \eta \right) \int _ { \mathcal { M } } \nu _ { 2 } \left( d x \right) \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \eta } \left( x \right) } d s } { \int \nu _ { 2 } \left( d x \right) \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } d s \left( 1 - F _ { \tau } ^ { \varepsilon } \left( s ; x \right) \right) \right] } f \circ \Phi _ { \eta } ^ { s } \left( x \right) \ ,
\begin{array} { r l } { \lefteqn { W ( ( \kappa _ { \lambda } - \kappa _ { f } ) d x \llcorner B _ { R } + g ^ { \prime } , ( \kappa _ { \lambda } - \kappa _ { f } + \kappa _ { g } ) d x \llcorner B _ { R } ) } } \\ & { \le W ( ( \kappa _ { \lambda } - \kappa _ { f } ) d x \llcorner B _ { R } + \bar { g } , ( \kappa _ { \lambda } - \kappa _ { f } + \kappa _ { g } ) d x \llcorner B _ { R } ) + W ( \bar { g } , g ^ { \prime } ) . } \end{array}
{ \frac { \partial ( y _ { 1 } , \ldots , y _ { k } ) } { \partial x _ { i } } } = { \frac { \partial ( y _ { 1 } , \ldots , y _ { k } ) } { \partial ( u _ { 1 } , \ldots , u _ { m } ) } } { \frac { \partial ( u _ { 1 } , \ldots , u _ { m } ) } { \partial x _ { i } } } .
S _ { Q 2 } = \frac { 1 } { N } \mathrm { T r } \, \left( \sum _ { i = 0 } ^ { L - 1 } ( M _ { 1 , i + 1 } - M _ { 1 , i } ) ^ { 2 } + ( M _ { 2 , i + 1 } - M _ { 2 , i } ) ^ { 2 } + g ( i [ M _ { 1 , i } , M _ { 2 , i } ] ) ^ { 2 } \right)
V _ { m } \equiv V ( \phi _ { m } ) = ( \epsilon ^ { 2 } / 1 6 c _ { 3 } ) [ 1 / 4 - \epsilon ^ { 2 } / 6 4 c _ { 3 } \lambda ] \phi _ { 0 } ^ { 4 } = ( \epsilon ^ { 2 } / 1 6 c _ { 3 } \lambda ) V ( 0 )
\begin{array} { r } { S _ { i i } ^ { q } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } 4 k _ { B } \mathcal { T } + \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } R T \left( \coth \left[ \frac { 1 } { 2 } \right] - 2 \right) k _ { B } \mathcal { T } , } \\ { i \in \{ 1 , 2 , 3 , 4 \} . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { k _ { \mathrm { { C } } } } & { = k _ { 1 } = k _ { \mathrm { { E } } } } \\ { \alpha _ { \mathrm { { B } } } } & { = \alpha \cdot k _ { 2 } = k _ { \mathrm { { B } } } } \\ { k _ { \mathrm { { A } } } } & { = k _ { 2 } = k _ { \mathrm { { E } } } / c ^ { 2 } } \\ { \alpha _ { \mathrm { { L } } } } & { = k _ { 3 } = k _ { \mathrm { { F } } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \Gamma _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ e ~ } } = \frac { \displaystyle n _ { \mathrm { g } } n _ { \mathrm { e f f } } - n _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ a ~ d ~ } } ^ { 2 } } { \displaystyle n _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ e ~ } } ^ { 2 } - n _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ a ~ d ~ } } ^ { 2 } } } \\ { \Gamma _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ a ~ d ~ } } = \frac { \displaystyle n _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ e ~ } } ^ { 2 } - n _ { \mathrm { g } } n _ { \mathrm { e f f } } } { \displaystyle n _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ e ~ } } ^ { 2 } - n _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ a ~ d ~ } } ^ { 2 } } , } \end{array}