harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbb { E } \big [ W _ { 2 } ^ { 2 } \big ( \nu ^ { m , t } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) _ { \# } \mu ^ { n , t } \big ) \big ] \lesssim \big ( \| \rho _ { \delta } - \rho \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 ( \frac { \bar { q } } { 2 } ) ^ { \prime } } } ^ { 2 } + \| \rho _ { t } - \rho \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 ( \frac { \bar { q } } { 2 } ) ^ { \prime } } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \log ^ { \upsilon } ( n ) } \big ) \frac { \vert \log ( t ) \vert + \log ^ { \frac { 1 } { \eta } } ( n ) } { n } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { \geq \left[ \frac { \underline { { \alpha } } b } { 8 \mathrm { { R a } } } - a C \left( \left( \frac { 1 } { \mathrm { P r } } \left( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } + \underline { { \alpha } } ^ { - 1 } \mathrm { { R a } } \right) \right) ^ { 2 } + \| \dot { \alpha } \| _ { \infty } ^ { 2 } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } ^ { 2 } + 1 \right) \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { \qquad + \left[ \frac { \underline { { \alpha } } b } { 8 { \mathrm { R a } } } - C a ^ { 2 } \mathrm { { R a } } ^ { 2 } \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \right\rangle + \left( \frac { b } { 4 { \mathrm { R a } } } - C \delta ^ { 6 } a ^ { - 1 } \right) \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle , } \end{array}
{ \frac { 1 } { N } } \sum _ { i } \sqrt { g } \psi _ { i } ^ { \prime } = \int d ^ { m } \psi [ \int d ^ { m } \psi ^ { \prime } \sqrt { g } \psi ^ { \prime } f ( \psi , \psi ^ { \prime } ) ] = \int d ^ { m } \psi [ n _ { b } v _ { b } ] ,
\left( { \cal H } _ { 1 } \otimes { \cal H } _ { 2 } \right) _ { \mathrm f } : = \left( { \cal H } _ { 1 } \otimes { \cal H } _ { 2 } \right) / ( \Delta _ { z _ { 1 } , z _ { 2 } } - \widetilde { \Delta } _ { z _ { 1 } , z _ { 2 } } ) \, .
\begin{array} { r l } { \underline { { c } } } & { \leq \| \phi _ { j } \| _ { \infty } \leq \overline { { c } } , } \\ { \underline { { c } } \lambda _ { j } ^ { \frac { \alpha } { 4 \alpha + 8 } } } & { \leq \| \phi _ { j } \| _ { \mathbb { L } ^ { 2 } ( \pi ) } \leq \overline { { c } } \lambda _ { j } ^ { \frac { \alpha } { 4 \alpha + 8 } } , } \end{array}
2 \kappa ^ { 2 } { \cal L } = \sqrt { - g } \left( R + { \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } ( T ^ { 2 } - 2 T _ { i j } T ^ { i j } ) - T r ( P _ { \mu } P ^ { \mu } ) - { \frac { 1 } { 2 } } ( V _ { I } { } ^ { i } V _ { J } { } ^ { j } F _ { \mu \nu } ^ { I J } ) ^ { 2 } \right) .
{ \frac { d x G } { d ^ { 2 } \ell } } = \int { \frac { d ^ { 2 } x } { 4 \pi ^ { 2 } } } x G ( x , 1 / { \underline { { x } } } ^ { 2 } ) e ^ { - i { \underline { { \ell } } } \cdot { \underline { { x } } } }
\begin{array} { r l } { \tau _ { s } } & { { } : = \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } \left( \frac { 4 N _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { ( 1 - 4 \rho ) } \right) ^ { 1 / 3 } \sim N _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { 1 / 3 } \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } \\ { V _ { s } } & { { } : = \Delta V \left( \frac { 4 } { ( 1 - 4 \rho ) N _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 6 } \sim N _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { - 1 / 3 } \Delta V , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I } & { : = \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } { G ( 0 , t , y , \tau ) ( \dot { \Lambda } \psi _ { 2 } \; \xi _ { \delta } ^ { 2 } ) ( y , \tau ) \; \mathrm { d } y \; \mathrm { d } \tau } } \\ & { = \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } { ( \dot { \Lambda } \psi _ { 2 } ) ( \tau ) } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } { G ( 0 , t , y , \tau ) \; \mathrm { d } y \; \mathrm { d } \tau } - \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } { G ( 0 , t , y , \tau ) ( \dot { \Lambda } \psi _ { 2 } ) ( \tau ) ( 1 - \xi _ { \delta } ^ { 2 } ) ( y ) \; \mathrm { d } y \; \mathrm { d } \tau } } \\ & { = \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } { \; \dot { \Lambda } ( \tau ) \; \psi _ { 2 } ( \Lambda ( \tau ) , \tau ) \; \mathrm { d } \tau } - \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } { G ( 0 , t , y , \tau ) ( \dot { \Lambda } \psi _ { 2 } ) ( \tau ) ( 1 - \xi _ { \delta } ^ { 2 } ) ( y ) \; \mathrm { d } y \; \mathrm { d } \tau } } \\ & { = : I _ { 1 } + I _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf E } _ { \mathrm { { t o t } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) } & { { } = } & { \sum _ { \sigma ^ { \prime } = \pm 1 } { \bf E } _ { \mathrm { { t o t } } } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( { \bf r } ) , \qquad \mathrm { i } Z { \bf H } _ { \mathrm { { t o t } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) = \sum _ { \sigma ^ { \prime } = \pm 1 } \sigma ^ { \prime } { \bf E } _ { \mathrm { { t o t } } } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( { \bf r } ) , } \end{array}
\widehat { \vartheta } _ { \mathfrak { c } } = ( 2 - \mathfrak { c } ) \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \mathbb { E } [ q _ { 1 2 } ^ { 2 } ] + \frac { 1 } { n } \mathbb { E } [ \ell _ { 1 } ^ { 2 } ] + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \big [ ( \ell _ { i } ^ { 2 } - \mathbb { E } [ \ell _ { 1 } ^ { 2 } ] ) + 4 g _ { i } \big ] + \frac { 1 } { n } 4 \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } \varphi _ { i j } + \mathcal { V } _ { \mathfrak { c } } ,
\begin{array} { r l r } { \mu _ { k , i - 1 } ^ { \Phi } ( u _ { k , i } , u _ { k , i } ) } & { = y \mu _ { k , i - 1 } ^ { \Phi } ( u _ { k , i } , w _ { i } ) } & { = y \left( \frac { \mu _ { k , i - 1 } ^ { \Phi } ( w _ { i - 1 } , w _ { i } ) } { \ell _ { i } ( w _ { i - 1 } ) } + y \mu _ { k , i - 1 } ^ { \Phi } ( w _ { i } , w _ { i } ) \right) . } \end{array}
( I ) : \quad \frac { 1 } { 6 } | g _ { A } | \left[ 1 - S ( Q _ { \mathrm { p h } } ^ { 2 } \! = \! 5 \mathrm { G e V } ^ { 2 } ) \right] = 0 . 1 7 6 \pm 0 . 0 0 8 \ .
\begin{array} { r l } { S _ { R } ^ { ( 0 ) } ( x ) = \ } & { { } B ( x ) } \\ { = \ } & { { } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { 0 } } \ e ^ { - \frac { ( x - Q _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } } . } \end{array}
I _ { m , n } = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { \sin ^ { m - 1 } { a x } } { a ( n - 1 ) \cos ^ { n - 1 } { a x } } } - { \frac { m - 1 } { n - 1 } } I _ { m - 2 , n - 2 } } \\ { { \frac { \sin ^ { m + 1 } { a x } } { a ( n - 1 ) \cos ^ { n - 1 } { a x } } } - { \frac { m - n + 2 } { n - 1 } } I _ { m , n - 2 } } \\ { - { \frac { \sin ^ { m - 1 } { a x } } { a ( m - n ) \cos ^ { n - 1 } { a x } } } + { \frac { m - 1 } { m - n } } I _ { m - 2 , n } } \end{array} \right. } \,
\begin{array} { r l } { \mathrm { D } _ { n } } & { { } = \langle \mathrm { r } , \mathrm { s } \mid \operatorname { o r d } ( \mathrm { r } ) = n , \operatorname { o r d } ( \mathrm { s } ) = 2 , \mathrm { s r s } = \mathrm { r } ^ { - 1 } \rangle } \end{array}
j ^ { \mu } = - ( D _ { \nu } c ^ { a } ) ( F _ { a } ^ { \mu \nu } + B _ { a } \eta ^ { \mu \nu } ) - \frac { 1 } { 2 } { \varphi _ { m n } } ^ { a } c ^ { m } c ^ { n } \partial ^ { \mu } { \bar { c } } _ { a } - B _ { a } D ^ { \mu } c ^ { a } ~ ,
\Delta C _ { i j } ^ { ( 1 ) , n m } ( \frac { \mu _ { F } } { Q } , \frac { \mu _ { F } ^ { \prime } } { Q } ) \equiv \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, x ^ { n - 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d z \, z ^ { m - 1 } \Delta C _ { i j } ^ { ( 1 ) } ( x , z , \frac { \mu _ { F } } { Q } , \frac { \mu _ { F } ^ { \prime } } { Q } ) \; \; ,
{ \sqrt [ [object Object] ] { z } } = { \sqrt [ [object Object] ] { x ^ { n } + y } } = x + { \cfrac { y } { n x ^ { n - 1 } + { \cfrac { ( n - 1 ) y } { 2 x + { \cfrac { ( n + 1 ) y } { 3 n x ^ { n - 1 } + { \cfrac { ( 2 n - 1 ) y } { 2 x + { \cfrac { ( 2 n + 1 ) y } { 5 n x ^ { n - 1 } + { \cfrac { ( 3 n - 1 ) y } { 2 x + \ddots } } } } } } } } } } } } ;
( \Delta _ { 0 } \vec { n } ( \vec { x } , x _ { 0 } ) ) ^ { 2 } \equiv ( \vec { n } ( \vec { x } , x _ { 0 } + 1 ) - \vec { n } ( \vec { x } , x _ { 0 } ) ) ^ { 2 } \to ( R _ { q } ^ { - 1 } \vec { n } ( \vec { x } , x _ { 0 } + 1 ) - \vec { n } ( \vec { x } , x _ { 0 } ) ) ^ { 2 }
{ \frac { \mathrm { ~ d ~ } \Theta _ { k , q } ^ { ( v , e ) } ( x ) } { \mathrm { ~ d ~ } x } } \bigg | _ { x = 1 } = 0 \quad \mathrm { a n d } \quad { \frac { \mathrm { ~ d ~ } \Theta _ { q , k } ^ { ( e , v ) } ( x ) } { \mathrm { ~ d ~ } x } } \bigg | _ { x = 1 } = 0 .
\mathscr { R } _ { 3 } : = \mathscr { A } \! \left( q _ { 1 } , L _ { 1 } , \ell _ { 1 } \right) \cap \mathscr { A } \! \left( q _ { 2 } , L _ { 2 } , \ell _ { 2 } \right) \cap \mathscr { A } \! \left( q _ { 3 } , L _ { 3 } , \ell _ { 3 } \right)
\texttt { V a r } \left( \mathfrak { N } _ { k } \right) = \langle \mathfrak { N } _ { k } ^ { 2 } \rangle - \langle \mathfrak { N } _ { k } \rangle ^ { 2 } = \langle \mathfrak { N } _ { k } ^ { 2 } \rangle - 1 \, ,
\begin{array} { r } { g _ { 0 } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { \sigma \sigma _ { 1 } ^ { - 1 } \mathcal { D } _ { 1 } } { d _ { \Gamma } } } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Gamma ( 3 \delta ) \backslash \Gamma , } \\ { - \sigma \sigma _ { 1 } ^ { - 1 } \mathbf { n } \cdot \nabla \mathcal { D } _ { 1 } } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \kappa _ { m - 1 } = \Bigl ( 1 + \frac { a _ { m } ^ { 2 } \varepsilon _ { m } ^ { 4 } } { 2 \kappa _ { m } ^ { 2 } } \Bigr ) \kappa _ { m } \, , } \\ & { a _ { m } = \varepsilon _ { m } ^ { \alpha - 1 } \, , } \\ & { \tau _ { m } \gg \frac { \varepsilon _ { m } ^ { 2 } } { \kappa _ { m } } \, , } \\ & { \varepsilon _ { m - 1 } \gg \Bigl ( \frac { a _ { m } \varepsilon _ { m } ^ { 2 } } { \kappa _ { m } } \Bigr ) \varepsilon _ { m } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = \{ F , C \} } & { { } = - \int _ { \Omega } \frac { \delta F } { \delta \omega } \nabla \cdot \left( q \nabla ^ { \perp } \Psi ( r ) + r \nabla ^ { \perp } \frac { \delta C } { \delta b } \right) } \end{array}
r k _ { \phi , s } = \frac { \partial \arg ( \Psi ) } { \partial \phi } = \frac { l _ { 1 } + l _ { 2 } } { 2 } + \frac { l _ { 1 } - l _ { 2 } } { 2 } \frac { 1 - b ^ { 2 } } { 1 + b ^ { 2 } + 2 b \cos ( ( l _ { 1 } - l _ { 2 } ) \phi ) } .
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { T } _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \texttt { s a } } } ^ { \pi } v ) ( s ) = } & { \sum _ { a } \pi ( a | s ) \Bigm [ - \alpha _ { s , a } - \gamma \beta _ { s , a } \kappa _ { q } ( v ) + R _ { 0 } ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { 0 } ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) \Bigm ] , \quad \mathrm { a n d } } \\ { ( \mathcal { T } _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \texttt { s a } } } ^ { * } v ) ( s ) = } & { \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } \Bigm [ - \alpha _ { s , a } - \gamma \beta _ { s , a } \kappa _ { q } ( v ) + R _ { 0 } ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { 0 } ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) \Bigm ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P } & { { } = a _ { 0 } x ^ { m } + a _ { 1 } x ^ { m - 1 } y + \cdots + a _ { m } y ^ { m } } \\ { Q } & { { } = b _ { 0 } x ^ { n } + b _ { 1 } x ^ { n - 1 } y + \cdots + b _ { n } y ^ { n } } \end{array}
\begin{array} { r } { \ensuremath { \mathcal L } ^ { \alpha } \varphi ( \eta ) = \sum _ { x \in { \mathbb Z } ^ { d } } \eta ( x ) \, \alpha _ { x } ^ { a - 1 } \sum _ { y \, : \, | x - y | = 1 } \alpha _ { y } ^ { a } \left( 1 - \eta ( y ) / \alpha _ { y } \right) \left( \varphi ( \eta ^ { x , y } ) - \varphi ( \eta ) \right) \ , \qquad \eta \in \Xi \ , } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { J } } & { { \rightarrow } } & { { J - { \frac { i m \pi } { 2 } } } } \\ { { J _ { 1 } } } & { { \rightarrow } } & { { J _ { 1 } + { \frac { i m \pi } { 4 } } } } \\ { { \varepsilon } } & { { \rightarrow } } & { { \varepsilon } } \\ { { A } } & { { \rightarrow } } & { { A + { \frac { i m \pi } { 4 } } } } \end{array}
\begin{array} { l } { \mathrm { f o r ~ e a c h ~ } i = 1 , . . . , m , \mathrm { ~ i f ~ } S \in \mathbb { R } _ { + } \mathrm { ~ a n d ~ } u , v \in \mathbb { R } _ { + } ^ { m } , \mathrm { ~ t h e n ~ e i t h e r } } \\ { - \frac { 1 } { y _ { u , i } } \alpha _ { i } ( u , v ) u _ { i } + \beta _ { i } ( u , v ) v _ { i } \le K \left( \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( u _ { i } + v _ { i } ) ^ { r } + 1 \right) } \\ { \mathrm { o r } } \\ { \alpha _ { i } ( u , v ) u _ { i } - \frac { 1 } { y _ { v , i } } \beta _ { i } ( u , v ) v _ { i } \le K \left( \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( u _ { i } + v _ { i } ) ^ { r } + 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { c } ( r , \theta ) } & { = } & { - \, 2 \, { \bf P } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta ^ { \prime } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } r ^ { \prime } \, C ( r , \theta , r ^ { \prime } , \theta ^ { \prime } ) \, R _ { 2 } ( r , \theta , r ^ { \prime } , \theta ^ { \prime } ) } \\ { I _ { d } ( r , \theta ) } & { = } & { - \, 2 \, { \bf P } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta ^ { \prime } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } r ^ { \prime } \ \, D ( r , \theta , r ^ { \prime } , \theta ^ { \prime } ) \, R _ { 2 } ( r , \theta , r ^ { \prime } , \theta ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } - \int _ { 0 } ^ { f _ { i } } \langle \varphi _ { i } | \hat { H } ^ { \mathrm { D F T } } ( s ) | \varphi _ { i } \rangle d s + f _ { i } \int _ { 0 } ^ { 1 } \langle \varphi _ { i } | \hat { H } _ { i } ^ { \mathrm { D F T } } ( s ) | \varphi _ { i } \rangle d s - f _ { i } \int _ { 0 } ^ { 1 } \langle \varphi _ { i } | v _ { \mathrm { H x c } } [ s n _ { i } ] | \varphi _ { i } \rangle d s } \\ { = } & { { } \Pi _ { i } ^ { \mathrm { K I } } - f _ { i } E _ { \mathrm { H x c } } [ n _ { i } ] } \end{array}
\langle a , s , t | \hat { X } | a ^ { \prime } , s ^ { \prime } , t ^ { \prime } \rangle = \langle a , t | \hat { x } | a ^ { \prime } , t ^ { \prime } \rangle \langle s | 0 _ { d } \rangle \langle 0 _ { d } | s ^ { \prime } \rangle
\rho \left[ \frac { \partial \vec { v } } { \partial t } + ( \boldsymbol { v } \cdot \mathrm { ~ \boldmath ~ \nabla ~ } ) \boldsymbol { v } \right] = - \mathrm { ~ \boldmath ~ \nabla ~ } P + \boldsymbol { J } \times \boldsymbol { B } + \mathrm { ~ \boldmath ~ \nabla ~ } \cdot ( 2 \nu \rho \boldsymbol { S } ) + \boldsymbol { F } ,
\rho _ { t r a p s } = \frac { N _ { t r a p s } } { N _ { s e r } + N _ { p a r } } < \frac { 2 . 7 \times 1 0 ^ { 2 } } { 2 3 3 6 } \simeq 0 . 1 2 \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ p ~ s ~ / ~ p ~ i ~ x ~ } .
\begin{array} { r l } { \hat { \Pi } _ { \mathbf { k } } } & { = \sum _ { j } \mu _ { j } ( \hat { R } _ { j } ) \cdot \cos \varphi _ { j } \cdot \sin ( \mathbf { k } \cdot \bar { \boldsymbol x } _ { j } ) , } \\ { \hat { \mathcal { S } } _ { \mathbf { k } } } & { = \sum _ { j } \mu _ { j } ( \hat { R } _ { j } ) \cdot \cos \varphi _ { j } \cdot \cos ( \mathbf { k } \cdot \bar { \boldsymbol x } _ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Gamma _ { i j } ^ { L , i n c o } = \Gamma ( \delta _ { i 1 } + \delta _ { i , N + 1 } ) \delta _ { i j } , } \\ { \Gamma _ { i j } ^ { R , i n c o } = \Gamma ( \delta _ { i N } + \delta _ { i , 2 N } ) \delta _ { i j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \omega , \omega _ { a } ) } & { { } = \sqrt { \left( \vec { A } ( \omega _ { a } ) \cdot \vec { C } ( \omega ) + \vec { B } ( \omega _ { a } ) \cdot \vec { D } ( \omega ) \right) ^ { 2 } + { \left( \vec { B } ( \omega _ { a } ) \cdot \vec { C } ( \omega ) - \vec { A } ( \omega _ { a } ) \cdot \vec { D } ( \omega ) \right) ^ { 2 } } } \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d S } { d t } } & { { } = - \frac { \beta I } { N } S \; , } \\ { \frac { d I } { d t } } & { { } = \frac { \beta I } { N } S - \gamma I \; , } \\ { \frac { d R } { d t } } & { { } = \gamma I \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 2 } ^ { 3 } \left( \sum _ { i = 2 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { n - i } \binom { n } { i } \frac { \binom { i } { 2 } ^ { \overline { { p } } } } { p ! } \right) } & { = ( - 1 ) ^ { 0 } \binom { 2 } { 2 } \frac { \binom { 2 } { 2 } ^ { \overline { { 3 } } } } { 3 ! } + ( - 1 ) ^ { 1 } \binom { 3 } { 2 } \frac { \binom { 2 } { 2 } ^ { \overline { { 3 } } } } { 3 ! } + ( - 1 ) ^ { 0 } \binom { 3 } { 3 } \frac { \binom { 3 } { 2 } ^ { \overline { { 3 } } } } { 3 ! } } \\ & { = 1 - 3 + 1 0 = 8 . } \end{array}
f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { 1 } ( x ) = 2 7 4 4 \frac { x _ { A } x _ { B } ^ { 2 } } { ( 1 + x _ { A } ) ( 1 + 1 3 x _ { b } ) ^ { 2 } } } \\ { f _ { 2 } ( x ) = 4 9 \frac { x _ { B } } { 1 + 6 x _ { B } } } \\ { f _ { 3 } ( x ) = 4 9 \frac { x _ { C } } { 1 + 6 x _ { C } } } \\ { f _ { 0 } ( x ) = 9 6 \frac { x _ { A } } { 1 + 6 x _ { A } } } \\ { f _ { F _ { B } } \equiv 1 4 } \end{array} \right. .
\mathrm { O E } [ \hat { M } ] ( t _ { i } , t _ { 1 } ) \approx \exp { \left( \frac { 1 } { 2 } ( \hat { M } ( t _ { i } ) + \hat { M } ( t _ { i - 1 } ) ) \Delta t \right) } \ldots \exp { \left( \frac { 1 } { 2 } ( \hat { M } ( t _ { 2 } ) + \hat { M } ( t _ { 1 } ) ) \Delta t \right) } .
\boldsymbol { \rho } _ { \Sigma _ { 2 } } ^ { ( i _ { 1 } , S , i _ { 2 } ) } = [ \boldsymbol { \rho ^ { \prime } } _ { \Sigma _ { 2 } } ^ { ( i _ { 1 } , S , i _ { 2 } ) } ] \colon ( i _ { 1 } , S , i _ { 2 } ) \bullet ( \iota _ { 0 } ^ { \Sigma _ { 2 } } , \Sigma _ { 2 } \times I , \iota _ { 1 } ^ { \Sigma _ { 2 } } ) \implies ( i _ { 1 } , S , i _ { 2 } ) .
u ( x ) = \sum _ { i = 1 } ^ { r } \prod _ { j = 1 } ^ { d } \sum _ { k = 1 } ^ { b } a _ { i j k } P _ { k } ( x _ { j } ) , \quad x = ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { d } ) \in \Omega \subset \mathbb { R } ^ { d } ,
\left( 8 ^ { \frac { 8 } { 3 - 2 \beta + \sqrt { 9 + 8 4 \beta + 4 \beta ^ { 2 } } } } - \frac { 7 } { 4 } \right) \beta + \frac { 1 } { 8 } \left( 5 - \sqrt { 9 + 8 4 \beta + 4 \beta ^ { 2 } } \right) = - \frac { 5 } { 7 } .
\begin{array} { r l r } { m \frac { d ^ { 2 } x } { d t ^ { 2 } } } & { { } = } & { - k ( x - y ) f ( x - y ) - m g } \\ { m \frac { d ^ { 2 } x } { d t ^ { 2 } } } & { { } = } & { k ( x - y ) f ( x - y ) - m g } \\ { x ( 0 ) } & { { } = } & { 0 , \quad y ( 0 ) = \frac { - m g } { k } , \quad x ^ { \prime } ( 0 ) = y ^ { \prime } ( 0 ) = 0 } \end{array}
\exp \left\{ \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { { z } ^ { k } } { k ^ { u } } \right\} \prod _ { \substack { ( a , b , c , d ) = 1 \, a , b , c < d \, a , b , c > 0 , d > 1 } } \left( \frac { 1 } { 1 - { w } ^ { a } { x } ^ { b } { y } ^ { c } { z } ^ { d } } \right) ^ { \frac { 1 } { { a } ^ { r } { b } ^ { s } { c } ^ { t } { d } ^ { u } } } = \exp \left\{ \mathrm { P } _ { 3 } ( r , w ; s , x ; t , y ; u , z ) \right\}
V = \left[ \begin{array} { l l } { { x _ { 4 } + i x _ { 3 } } } & { { x _ { 2 } - i x _ { 1 } } } \\ { { - x _ { 2 } - i x _ { 1 } } } & { { x _ { 4 } - i x _ { 3 } } } \end{array} \right] = { \bf Q } _ { 1 } { \bf Q } _ { 2 } ^ { \dagger } ,
{ \begin{array} { r l } { u } & { = { \sqrt { u _ { x } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 2 } } } = { \frac { \sqrt { ( u _ { x } ^ { \prime } + v ) ^ { 2 } + ( 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } ) u _ { y } ^ { 2 } } } { 1 + { \frac { v } { c ^ { 2 } } } u _ { x } ^ { \prime } } } = { \frac { \sqrt { u _ { x } ^ { 2 } + v ^ { 2 } + 2 u _ { x } ^ { \prime } v + ( 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } ) u _ { y } ^ { 2 } } } { 1 + { \frac { v } { c ^ { 2 } } } u _ { x } ^ { \prime } } } } \\ & { = { \frac { \sqrt { u ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta ^ { \prime } + v ^ { 2 } + 2 v u ^ { \prime } \cos \theta ^ { \prime } + u ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ^ { \prime } - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } u ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ^ { \prime } } } { 1 + { \frac { v } { c ^ { 2 } } } u _ { x } ^ { \prime } } } } \\ & { = { \frac { \sqrt { u ^ { 2 } + v ^ { 2 } + 2 v u ^ { \prime } \cos \theta ^ { \prime } - ( { \frac { v u ^ { \prime } \sin \theta ^ { \prime } } { c } } ) ^ { 2 } } } { 1 + { \frac { v } { c ^ { 2 } } } u ^ { \prime } \cos \theta ^ { \prime } } } } \end{array} }
J = \operatorname* { d e t } { \frac { \partial ( x , y ) } { \partial ( r , \varphi ) } } = { \left| \begin{array} { l l } { { \frac { \partial x } { \partial r } } } & { { \frac { \partial x } { \partial \varphi } } } \\ { { \frac { \partial y } { \partial r } } } & { { \frac { \partial y } { \partial \varphi } } } \end{array} \right| } = { \left| \begin{array} { l l } { \cos \varphi } & { - r \sin \varphi } \\ { \sin \varphi } & { r \cos \varphi } \end{array} \right| } = r \cos ^ { 2 } \varphi + r \sin ^ { 2 } \varphi = r .
\begin{array} { r l } { t _ { \mathrm { R } } \frac { \partial E ( t , \tau ) } { \partial t } } & { = \left[ - \alpha + i ( \gamma L | E | ^ { 2 } - \delta _ { 0 } ) + i L \hat { D } _ { \mathrm { S } } \left( i \frac { \partial } { \partial \tau } \right) \right] E } \\ & { + \sqrt { \theta _ { + } } E _ { \mathrm { i n , + } } e ^ { - i \Omega _ { \mathrm { p } } \tau + i b _ { + } t / t _ { \mathrm { R } } } } \\ & { + \sqrt { \theta _ { - } } E _ { \mathrm { i n , - } } e ^ { i \Omega _ { \mathrm { p } } \tau + i b _ { - } t / t _ { \mathrm { R } } } . } \end{array}
\hat { H } ^ { \mathrm { ~ D ~ S ~ E ~ } } = \frac { 1 } { 2 \epsilon _ { 0 } V _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } } \left[ { \bf { u } } _ { \mathrm { ~ y ~ } } \cdot \left( \sum _ { i } ^ { N } \hat { { \boldsymbol { \mu } } } _ { i } \right) \right] ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } & { } & { N ^ { 2 } \sim 1 \, , \qquad \beta \sim \epsilon \, , \qquad \partial _ { x } , \partial _ { y } , \partial _ { z } \sim 1 \, , \qquad \partial _ { t } \sim \epsilon \, , } \\ & { } & { U \sim \epsilon \, , \qquad ( u , v ) \sim \epsilon \, , \qquad w \sim \epsilon ^ { 2 } \, , \qquad b \sim \epsilon \, . } \end{array}
D _ { L } \equiv D _ { L } ( \Omega _ { B } ) = \frac { V _ { 0 } ^ { \prime } ( 1 + z ) } { 2 H _ { 0 } ( \omega + 1 ) V _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 ( \omega + 1 ) } } } \int { \phi ( 0 ) } ^ { \phi ( z ) } \frac { d \phi } { V ^ { \frac { 3 \omega + 1 } { 6 ( \omega + 1 ) } } } ,
\begin{array} { r l } { f ^ { D G } ( \Delta _ { u } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \bigg [ \frac { \epsilon } { \sigma _ { 1 u } } } & { { } \exp \left( - \frac { \Delta _ { u } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 1 u } ^ { 2 } } \right) } \end{array}
F ^ { 1 3 } , \, \, \, T _ { 2 } T _ { 4 } F ^ { 7 } , \, \, \, T _ { 4 } F ^ { 9 } , \, \, \, T _ { 2 } T _ { 4 } T _ { 6 } F , \, \, \, \mathrm { e t c . }
\begin{array} { r } { { \bf \tilde { Z } } _ { i } ^ { 0 } - { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } = \big ( { \bf J } _ { \mathcal { T } } + { \bf J } _ { \Phi } - \frac { 1 } { 2 } \kappa { \bf A } \big ) ^ { - 1 } \big [ \frac { 1 } { 2 } \kappa { \bf A } { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } - { \bf \nabla } _ { i } \Phi ( { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } ) \big ] . } \end{array}
\partial _ { \mu } \langle { \mathcal J } ^ { \mu } ( x ) \rangle _ { A } \; = \; 0 ~ , ~ ~ \partial _ { \mu } \langle \widetilde { { \mathcal J } } ^ { \mu } ( x ) \rangle _ { A } \; = \; - 2 q \, { \mathcal A } ( x ) ~ .
v _ { 1 } = \left( { \frac { m _ { 1 } - m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } } \right) u _ { 1 } + \left( { \frac { 2 m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } } \right) u _ { 2 }
\begin{array} { r l r } { [ X , Y ] } & { = } & { \sum _ { i , j } \bigg [ a ^ { i } \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } , b ^ { j } \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } \bigg ] } \\ & { = } & { \sum _ { i , j } b ^ { j } \bigg [ a ^ { i } \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } , \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } \bigg ] + a ^ { i } \frac { \partial b ^ { j } } { \partial x ^ { i } } \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } } \\ & { = } & { \sum _ { i , j } - b ^ { j } \frac { \partial a ^ { i } } { \partial x ^ { j } } \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } + a ^ { i } \frac { \partial b ^ { j } } { \partial x ^ { i } } \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } } \\ & { = } & { \sum _ { i } \Big ( \sum _ { j } a ^ { j } \frac { \partial b _ { i } } { \partial x ^ { j } } - b ^ { j } \frac { \partial a ^ { i } } { \partial x ^ { j } } \Big ) \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } . } \end{array}
\mathbb { S } _ { \underline { { A } } , \underline { { M } } } ^ { \underline { { ( a ) } } \cdot \underline { { \alpha ^ { \prime } } } \cdot \underline { { \beta } } } \to \mathbb { S } _ { \underline { { A } } } ^ { \underline { { \alpha } } } \otimes _ { R } \mathbb { S } _ { \underline { { A } } , \underline { { M } } } ^ { \underline { { \beta } } }