harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
c = 0 . 5 [ - 2 a ^ { 2 } - 2 + 2 \sqrt { - 3 2 a ^ { 2 } \, \Delta ^ { 1 / 2 } + 1 + a ^ { 4 } + 2 \, ( 8 \Delta + 7 ) a ^ { 2 } } ] ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r l } { f ^ { \mathcal { F } } ( L ) } & { = D \ \frac { \partial } { \partial L } \log \left( \int _ { L _ { \mathrm { t s } } } ^ { L } d L ^ { \prime } \; e ^ { - \int ^ { L ^ { \prime } } \frac { 2 f ( L ^ { \prime \prime } ) } { D } d L ^ { \prime \prime } } H ( L ^ { \prime } ) \right) } \\ & { = : D \frac { \partial } { \partial L } \log Z ( L ) } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { q } ^ { \times } ( \mathcal { P } _ { 1 } , \mathcal { P } _ { 2 } ) \leq \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { \chi \pmod q } \left| \sum _ { p \in \mathcal { P } _ { 1 } } \chi ( p ) \right| ^ { 2 } \sum _ { p \in \mathcal { P } _ { 2 } } \chi ( p ) \overline { { \sum _ { n \leq q } \chi ( n ) \sum _ { d \mid n } \lambda _ { d } ^ { + } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { G } ^ { \mathbf { \Gamma } } ( \mathcal { I } ) = - 1 } & { , \quad \rho _ { G } ^ { \mathbf { X } } ( \mathcal { I } ) = - 1 \qquad ( 1 a ) , } \\ { \rho _ { G } ^ { \mathbf { \Gamma } } ( \mathcal { I } ) = - 1 } & { , \quad \rho _ { G } ^ { \mathbf { X } } ( \mathcal { I } ) = + 1 \qquad ( 1 b ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho ( x , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { \mathrm { i n } } } & { x \in \mathcal { D } } \\ { \rho _ { \mathrm { o u t } } } & { x \notin \mathcal { D } } \end{array} \right. , \quad u ( x , 0 ) = ( 0 , 0 ) , \quad P ( x , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { P _ { \mathrm { i n } } } & { x \in \mathcal { D } } \\ { P _ { \mathrm { o u t } } } & { x \notin \mathcal { D } } \end{array} \right. \mathrm { ~ . } } \end{array}
A = \frac { d ^ { l + m } } { d x ^ { l + m } } ( 1 - x ) ^ { l ^ { - } } ( 1 + x ) ^ { l ^ { + } } = \sum _ { k = 0 } ^ { l + m } { \binom { l + m } { k } } \frac { d ^ { k } } { d x ^ { k } } ( 1 - x ) ^ { l ^ { - } } \frac { d ^ { l + m - k } } { d x ^ { l + m - k } } ( 1 + x ) ^ { l ^ { + } } .
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 4 - 2 i - j , 2 k + 8 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 4 - 2 i - j , 2 k + 7 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 4 - 2 i - j , 2 k + 4 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 4 - 2 i - j , 2 k + 3 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \psi , \omega , a , j ) } & { { } = e ^ { p t + i \ell x + i k y } \, \, \sum _ { n } \, \, \, ( F _ { n } , G _ { n } , H _ { n } , J _ { n } ) \, e ^ { i n x } + \mathrm { c . c . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( T \zeta ) _ { k } ( i ) } & { = | \{ x \in { \mathbb { N } } \ ; \ T \eta _ { k } ^ { \uparrow } ( x ) = 1 , T \xi _ { k } ( x ) = i \} | - | \{ x \in { \mathbb { N } } \ ; \ T \eta _ { k + 1 } ^ { \uparrow } ( x ) = 1 , T \xi _ { k } ( x ) = i + 1 \} | } \\ & { = | \{ x \in { \mathbb { N } } \ ; \ \eta _ { k } ^ { \downarrow } ( x ) = 1 , T \xi _ { k } ( x ) = i \} | - | \{ x \in { \mathbb { N } } \ ; \ \eta _ { k + 1 } ^ { \downarrow } ( x ) = 1 , T \xi _ { k } ( x ) = i + 1 \} | . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { U _ { i } ^ { n + 1 } - U _ { i } ^ { n } } { \Delta t } = - \frac { \partial } { \partial { { x } _ { j } } } { { \left( { { u } _ { j } } { { U } _ { i } } \right) } ^ { n } } + \frac { \partial \tau _ { i j } ^ { n } } { \partial { { x } _ { j } } } - \frac { \partial { { p } ^ { n + \theta } } } { \partial { { x } _ { i } } } + Q _ { i } ^ { n } + { { \left( \frac { \Delta t } { 2 } { { u } _ { k } } \frac { \partial } { \partial { { x } _ { k } } } \left( \frac { \partial } { \partial { { x } _ { j } } } \left( { { u } _ { j } } { { U } _ { i } } \right) - \frac { \partial p } { \partial { { x } _ { i } } } + { { Q } _ { i } } \right) \right) } ^ { n } } } \end{array}
\sigma _ { B , d } = \sqrt { \frac { 1 } { N _ { \mathrm { ~ R ~ O ~ I ~ } } - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ R ~ O ~ I ~ } } } ( \mu _ { B , d , i } - \mu _ { B , d } ) ^ { 2 } } , \, N _ { \mathrm { ~ R ~ O ~ I ~ } } = 6 0 .
\begin{array} { r l r } { \hat { f } _ { i } ^ { e q } = } & { { } } & { f _ { 1 i } ^ { e q } \delta \left( v _ { 1 } - \lambda _ { 1 i } \right) \delta \left( v _ { 2 } - \lambda _ { 2 i } \right) + f _ { 2 i } ^ { e q } \delta \left( v _ { 1 } + \lambda _ { 1 i } \right) \delta \left( v _ { 2 } - \lambda _ { 2 i } \right) + } \\ { = } & { { } } & { f _ { 1 i } ^ { e q } \delta \left( v _ { n } - \left[ \lambda _ { 1 i } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 i } n _ { 2 } \right] \right) \delta \left( v _ { t } - \left[ - \lambda _ { 1 i } n _ { 2 } + \lambda _ { 2 i } n _ { 1 } \right] \right) + } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l c l } { d _ { t } \rho _ { t } ( \theta ) } & { = } & { \rho _ { t } ^ { 2 } ( \theta ) ( \partial _ { \theta } ^ { 2 } \rho _ { t } ) d t + \rho _ { t } ^ { 2 } ( \theta ) \left( ( 3 \rho _ { t } ( \theta ) - 2 h ) d t - \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) } \\ { \rho _ { 0 } ( \theta ) } & { = } & { \rho _ { 0 } ( \theta ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \delta H _ { s i } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { \frac { e } { T _ { i } } F _ { M } \frac { \omega _ { s } } { \omega _ { s } - k _ { \parallel s } v _ { \parallel } } J _ { s } \delta \phi _ { s } , } \\ { \delta H _ { s e } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { U } = } & { { } \ \int _ { 0 } ^ { t _ { e } } e ^ { - t / \tau } \left[ u ( \kappa ( t ) , k ( t ) ) - U _ { v } ( t ) \right] \, \mathrm { d } t + U _ { e } } \\ { \tilde { U } _ { e } = } & { { } \ - \alpha \frac { \psi _ { s , e } } { s _ { e } } i _ { e } M _ { 0 } ( t _ { e } , { \tau _ { e c o n } } , \eta , p ( t ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { n } ^ { N } ( t , x ) - \rho ^ { N } ( t , x ) } & { { } = \rho _ { 0 } ^ { N } \left( y _ { n } ^ { N } ( t , x ) \right) + \int _ { 0 } ^ { t } \Psi _ { n } ^ { N } \left( \tau , y _ { n } ^ { N } ( t - \tau , x ) \right) d \tau } \end{array}
P _ { V } ^ { e } = \frac { \hat { g } _ { L 2 } ^ { l } + \hat { g } _ { R 2 } ^ { e } } { \hat { g } _ { L 2 } ^ { l } - \hat { g } _ { R 2 } ^ { e } } , \ P _ { L } ^ { q } = \frac { \hat { g } _ { L 2 } ^ { q } } { \hat { g } _ { L 2 } ^ { l } - \hat { g } _ { R 2 } ^ { e } } , \ P _ { R } ^ { u , d } = \frac { \hat { g } _ { R 2 } ^ { u , d } } { \hat { g } _ { L 2 } ^ { q } } .
\begin{array} { r l } { \vert u _ { 1 } \vert } & { \le 3 L ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } M , } \\ { \vert u _ { 2 } \vert } & { \le 7 \pi L ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } M , } \\ { \vert u _ { 3 } \vert } & { \le 1 5 \pi L ( \frac 5 \eta ) ^ { 2 } ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } M + 2 M _ { 1 } , } \\ { \vert w ( k _ { n } ) \vert } & { \le 7 \pi L ( \frac 5 \eta ) ^ { \vert n \vert - 1 } ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } M + 2 M _ { n } , } \\ { \int j ( k _ { \pm 1 } ) } & { \le 7 \pi L \frac { 3 d } { \beta \eta ^ { 2 } } ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } M , } \\ { \int j ( k _ { n } ) } & { < \frac 2 \beta \frac d { \eta ^ { 2 } } ( 7 \pi L \frac 5 \eta ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } M + 2 M _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w ( x _ { i } ) } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { n } f ( y _ { j } ) + \rho } \\ & { = \left( m n + \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } \right) + \left( m n + n ^ { 2 } + \frac { m n ^ { 2 } + n } { 2 } \right) } \\ & { = \frac { ( 2 + m ) n ^ { 2 } + ( 2 + 4 m ) n } { 2 } } \\ { w ( y _ { j } ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { m } f ( x _ { i } ) + \sigma } \\ & { = \frac { m ( m + 1 ) } { 2 } + \left( m ^ { 2 } + m n + \frac { m ^ { 2 } n + m } { 2 } \right) } \\ & { = \frac { ( n + 3 ) m ^ { 2 } + ( 2 n + 2 ) m } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho ^ { N } + u ^ { N } \cdot \nabla \rho ^ { N } } & { { } = 2 \Lambda \Re ( \overline { { \psi ^ { N } } } B ^ { N } \psi ^ { N } ) } \\ { \rho ^ { N } ( 0 , x ) } & { { } = \rho _ { 0 } ^ { N } ( x ) } \end{array}
\overline { { f } } \left( \mathcal { B } , \overline { { \mathcal { B } } } \right) > \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha _ { s , n } ^ { c } - \frac { 2 } { R _ { n } } - \frac { 3 } { R _ { n + 1 } } , } & { \mathrm { i f ~ } [ w ] _ { s } \neq [ \overline { { w } } ] _ { s } , } \\ { \beta _ { n } ^ { c } - \frac { 2 } { R _ { n } } - \frac { 3 } { R _ { n + 1 } } , } & { \mathrm { i f ~ } w \neq \overline { { w } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { f ( u _ { \bar { k } j i } ^ { 1 / 2 } ) = d _ { \bar { k } j i } u _ { \bar { k } j i } ^ { 1 / 2 } = - d _ { \bar { k } j i } r _ { \bar { k } j i } \pm \sqrt { b _ { \bar { k } j i } d _ { \bar { k } j i } u _ { 0 0 \bar { k } } r _ { \bar { k } j i } } } \\ & { g ( u _ { \bar { k } j i } ^ { 1 / 2 } ) = \frac { b ( - a \pm \sqrt { \frac { b a } { d } } ) } { a - a \pm \sqrt { \frac { b a } { d } } } + c = \frac { \mp a b + b \sqrt { \frac { b a } { d } } } { \sqrt { \frac { b a } { d } } } + c = \mp \sqrt { a b d } + b + c = } \\ & { = \mp \sqrt { b _ { \bar { k } j i } d _ { \bar { k } j i } u _ { 0 0 \bar { k } } r _ { \bar { k } j i } } + b _ { \bar { k } j i } u _ { 0 0 \bar { k } } + U _ { \bar { k } j i } + c _ { \bar { k } j i } \sum _ { l \in \mathcal { N } } w _ { l \bar { k } i } u _ { l \bar { k } i } } \end{array}
{ \frac { \partial Q ( c , c ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } = \underbrace { \sum _ { i : s _ { i } ( c ) = k } \frac { \partial A ( c _ { k } ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } A ( c _ { k } ^ { \prime } ) ( \phi _ { i } - c _ { k } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } _ { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ i ~ a ~ n ~ c ~ e ~ c ~ o ~ n ~ t ~ r ~ i ~ b ~ u ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } - \underbrace { \sum _ { i : s _ { i } ( c ) = k } A ( c _ { k } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( \phi _ { i } - c _ { k } ^ { \prime } ) } _ { \mathrm { ~ F ~ l ~ u ~ c ~ t ~ u ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ c ~ o ~ n ~ t ~ r ~ i ~ b ~ u ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } = 0 . }
h \left( { r } , { \rho } \right) \propto \int d { \rho } _ { 0 } P \left( { \rho } _ { 0 } \right) \exp \Bigg \{ \frac { i \pi } { \lambda } \left[ \frac { \left( { \rho } _ { 0 } - { r } \right) ^ { 2 } } { d _ { 1 } } + \frac { \left( { r } - { \rho } _ { 0 } \right) ^ { 2 } } { d _ { 2 } } - \frac { { \rho } _ { 0 } ^ { 2 } } { f } \right] \Bigg \}
\frac { \partial S } { \partial z _ { m } } = - i g _ { m } \operatorname * { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \oint _ { \gamma _ { \epsilon } } \frac { 1 } { z - z _ { m } } \partial _ { z } \left( \phi _ { M } + \alpha _ { 1 } \phi _ { B } \right) d z .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m i n f } _ { \tau \rightarrow 0 } \int _ { 0 } ^ { \overline { { t } } _ { \tau } ( t ) } \Psi \left( \underline { { y } } _ { \mathrm { v i } , \tau } , \dot { \hat { y } } _ { \mathrm { v i } , \tau } \right) } & { = \operatorname* { l i m i n f } _ { \tau \rightarrow 0 } \int _ { 0 } ^ { \overline { { t } } _ { \tau } ( t ) } \! \! \int _ { \overline { { y } } _ { \mathrm { v i } , \tau } ( s , \Omega ) } \psi ( \nabla v _ { \tau } ( s , \xi ) ) \, \mathrm { d } \xi \mathrm { d } s } \\ & { \geq \int _ { 0 } ^ { t } \! \! \int _ { { y } _ { \mathrm { v i } } ( s , \Omega ) } \psi ( \nabla v ( s , \xi ) ) \, \mathrm { d } \xi \mathrm { d } s = \int _ { 0 } ^ { t } \Psi \left( y _ { \mathrm { v i } , \tau } , \dot { y } _ { \mathrm { v i } , \tau } \right) . } \end{array}
4 | U _ { \mu 6 } U _ { \tau 6 } | ^ { 2 } = 1 , \qquad \Delta m _ { 1 6 } ^ { 2 } \simeq \left( \frac { 3 7 } { 4 } \right) ^ { 2 } \frac { v _ { R } ^ { 2 } } { s _ { M } }
{ _ { \mu } \phi _ { j } ^ { i } } \circ _ { x } { _ { \eta } \phi _ { l } ^ { k } } = q ^ { ( \epsilon _ { j } ^ { \mu } , \epsilon _ { l } ^ { \eta } - \epsilon _ { k } ^ { \eta } ) } { _ { \mu } \phi _ { j } ^ { i } } \: \overline { { \star } } \: { _ { \eta } \phi _ { l } ^ { k } } + \sum _ { s = j + 1 } ^ { m } \sum _ { t = 1 } ^ { l - 1 } \alpha _ { s t } ^ { i j k l } { _ { \mu } \phi _ { s } ^ { i } } \: \overline { { \star } } \: { _ { \eta } \phi _ { t } ^ { k } }
\Delta E _ { \mathrm { ~ t ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ a ~ p ~ p ~ a ~ r ~ e ~ n ~ t ~ } } = 2 \pi \, \frac { E } { Q } \, \bigg ( \frac { X _ { \mathrm { ~ d ~ r ~ i ~ v ~ e ~ } } ^ { \prime } } { X _ { \mathrm { ~ d ~ r ~ i ~ v ~ e ~ } } } - 1 \bigg ) .
\varepsilon _ { \delta } e \frac { 1 } { c } \int d ^ { 3 } x d t d v _ { g y , \parallel } d \mu _ { g y } v _ { g y , \parallel } \left\langle F _ { e } ( \mathbf { x } - \mathbf { \mathbf { \rho } } ) \right\rangle \hat { \chi } ( \textbf { x } ) .
\begin{array} { r l r l } { { 3 } \hat { \nabla } ^ { 2 } \hat { p } } & { { } = 0 , } & { \hat { \boldsymbol { x } } } & { { } \in \mathbb { R } ^ { 2 } \backslash \Omega ( \hat { t } ) , } \\ { \hat { v } _ { n } } & { { } = - \frac { 1 } { 1 - f _ { 1 } } \mathrm { ~ \boldmath ~ \nabla ~ } \hat { p } \cdot \boldsymbol { n } , } & { \hat { \boldsymbol { x } } } & { { } \in \partial \Omega ( \hat { t } ) , } \\ { \hat { p } } & { { } = \hat { p } _ { g } ( t ) - \textrm { C a } ^ { - 1 } \left( \frac { \pi } { 4 } \hat { \kappa } + 2 \alpha f _ { 2 } \right) , \qquad \qquad } & { \hat { \boldsymbol { x } } } & { { } \in \partial \Omega ( \hat { t } ) , } \\ { \hat { p } } & { { } = \mathcal { P } , \qquad \qquad } & { | \hat { \boldsymbol { x } } | } & { { } \in 1 , } \end{array}
i \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { L } } } \\ { { \psi _ { R } } } \\ { { \psi _ { \nu } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { \phi ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { \overline { { { \phi ^ { 2 } } } } } } & { { 0 } } & { { \overline { { { \phi ^ { 1 } } } } } } \\ { { 0 } } & { { \phi ^ { 1 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { L } } } \\ { { \psi _ { R } } } \\ { { \psi _ { \nu } } } \end{array} \right) .
\int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d x } { ( \gamma + x ^ { 2 } ) ( \delta + x ^ { 2 } ) } = \frac { \pi } { \sqrt { \gamma \delta } ( \sqrt { \gamma } + \sqrt { \delta } ) } = \frac { \pi } { \sqrt { \gamma \delta } } \frac { \sqrt { \delta } - \sqrt { \gamma } } { \delta - \gamma } ,
\mathrm { A R E } ( R _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) , R _ { n , \beta = 0 } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta = 0 } ) ) = \frac { 8 ( \beta + 1 ) ^ { 5 } } { ( \beta ^ { 2 } + 2 ) ^ { 2 } } \left( \frac { 2 \beta ^ { 2 } + 1 } { 2 ( 2 \beta + 1 ) ^ { 5 / 2 } } - \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 ( \beta + 1 ) ^ { 3 } } \right) , \quad \beta > 0 .
\begin{array} { r l } { \tilde { \sigma } _ { r r } ( \tilde { r } _ { 0 } , \tilde { t } ) } & { { } = - \frac { \tilde { P } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ j ~ } } ( \tilde { t } ) M } { K } , } \\ { \tilde { q } _ { t } ( \tilde { r } _ { 0 } , \tilde { t } ) } & { { } = \tilde { q } _ { w } ( \tilde { r } _ { 0 } , \tilde { t } ) = \frac { \tilde { Q } R } { \tilde { r } _ { 0 } h } - \frac { c _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ s ~ } } V _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ s ~ } } M } { 2 \pi r _ { 0 } k h } , } \\ { \tilde { p } ( 1 , \tilde { t } ) } & { { } = \tilde { u } _ { r } ( 1 , \tilde { t } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } [ ( a - \sigma ) U W + q U R ] \, d x } \\ { \leq } & { \, \int _ { \Omega } \left[ \frac { b } { 2 } W ^ { 2 } ( t , x ) + \frac { 1 } { 2 b } | a - \sigma | ^ { 2 } U ^ { 2 } ( t , x ) \right] d x + \int _ { \Omega } \left[ \frac { r } { 4 } R ^ { 2 } ( t , x ) + \frac { q ^ { 2 } } { r } U ^ { 2 } ( t , x ) \right] d x } \\ { = } & { \, \frac { b } { 2 } \| W ( t ) \| ^ { 2 } + \frac { r } { 4 } \| R ( t ) \| ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { 2 b } | a - \sigma | ^ { 2 } + \frac { q ^ { 2 } } { r } \right) \| U ( t ) \| ^ { 2 } , \quad t > 0 . } \end{array}
{ \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial \tau ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial r ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { r } } { \frac { \partial \varphi } { \partial r } } = { \frac { \partial U ( \varphi , T ) } { \partial \varphi } } ,
\begin{array} { r } { \Gamma _ { s } ( \textbf { r } _ { \perp } , z , \tau ) : = \int \Omega _ { s } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } ^ { \prime } , z , \tau ) \Omega _ { s } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } _ { \perp } ^ { \prime } + \textbf { r } _ { \perp } , z , \tau ) d \textbf { r } _ { \perp } ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { c } \dot { q } _ { a b } } & { = \nabla _ { c } \left( \frac { D } { D t } { q } _ { a b } \right) = \nabla _ { c } \partial _ { t } q _ { a b } + \nabla _ { c } v _ { d } \nabla _ { d } q _ { a b } + v _ { d } \nabla _ { c } \nabla _ { d } q _ { a b } } \\ & { = \frac { D } { D t } \left( \nabla _ { c } q _ { a b } \right) + \nabla _ { c } v _ { d } q _ { a b } = \frac { D } { D t } \left( \nabla _ { c } q _ { a b } \right) + d _ { d c } \nabla _ { d } q _ { a b } + w _ { d c } \nabla _ { d } q _ { a b } . } \end{array}
\begin{array} { r } { [ \hat { \rho } _ { 0 } ] _ { \mathrm { ~ W ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) \equiv \rho _ { 0 , \mathrm { ~ W ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N } } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \ensuremath { \mathbf { s } } \; e ^ { - i \b { p } \cdot \b { s } } \ensuremath { \langle \b { q } + \b { s } / 2 \vert } \hat { \rho } _ { 0 } \ensuremath { \vert \b { q } - \b { s } / 2 \rangle } , \; \; } \end{array}
\psi _ { e c 2 } ( t + \tau ) = e ^ { \frac { \tau } { 2 } S _ { 1 } } e ^ { \frac { \tau } { 2 } S _ { 2 } } e ^ { \tau S _ { 3 } } e ^ { \frac { \tau } { 2 } S _ { 2 } } e ^ { \frac { \tau } { 2 } S _ { 1 } } \psi ( t ) .
\mathbf { U } ( x ) = \mathbf { U } _ { i } + \frac { \mathbf { U } _ { i } ^ { \prime } } { \Delta x } ( x - x _ { i } ) + \frac { 3 \mathbf { U } _ { i } ^ { \prime \prime } } { 2 \Delta x _ { i } ^ { 2 } } \mathscr { K } \left[ ( x - x _ { i } ) ^ { 2 } - \frac { \Delta x _ { i } ^ { 2 } } { 1 2 } \right] ,
\begin{array} { r l } { \vert \mathcal { R } _ { k } \rangle } & { { } = R _ { 0 } ^ { k } \vert \mathrm { H F } \rangle + \vert R _ { k } \rangle } \\ { \langle \mathcal { L } _ { k } \vert } & { { } = \langle \mathrm { H F } \vert L _ { 0 } ^ { k } + \langle L _ { k } \vert . } \end{array}
c _ { p _ { 1 } } = - c _ { f } - i \beta _ { 1 } / k , \quad c _ { p _ { 2 } } = - c _ { s } - i \beta _ { 2 } / k , \quad c _ { p _ { 3 } } = c _ { s } - i \beta _ { 3 } / k , \quad c _ { p _ { 4 } } = c _ { f } - i \beta _ { 4 } / k ,
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { c } = \frac { 1 } { 2 \tan { ( \theta ) } ^ { 2 } } , } & { { } } & { \langle \boldsymbol { a } ^ { 2 } \rangle = b ^ { 2 } \bigg ( \frac { 2 } { 3 } \sin { ( \theta ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } \cos { ( \theta ) } ^ { 2 } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu _ { 2 } \left( \operatorname* { g c d } \left( \frac { 1 } { 2 } ( B _ { k } - k ) , P _ { k } \right) \right) } & { = \operatorname* { m i n } \left( \nu _ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } ( B _ { k } - k ) \right) , \nu _ { 2 } ( P _ { k } ) \right) } \\ & { = \nu _ { 2 } ( P _ { k } ) } \\ & { = \operatorname* { m i n } \left( \nu _ { 2 } ( P _ { k } ) , \nu _ { 2 } ( k ) \right) } \\ & { = \nu _ { 2 } ( \operatorname* { g c d } ( P _ { k } , k ) ) . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { { \cal A } _ { i p q l } ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } ) = } } & { { { \displaystyle \left( 2 \epsilon _ { i j k } \epsilon _ { a b p } ~ T _ { l b } ^ { ( 1 ) } ~ R _ { j a } ^ { ( 1 ) } ~ R _ { q k } ^ { ( 2 ) } - T _ { l p } ^ { ( 1 ) } ~ \alpha _ { i q } ^ { ( 2 ) } \right) / 4 \pi ^ { 2 } ~ ~ , } } } \\ { { { \cal A } _ { i p q l } ^ { \prime } ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } ) = } } & { { { \displaystyle \left( 2 \epsilon _ { i j k } \epsilon _ { a b p } ~ R _ { l b } ^ { ( 1 ) } ~ R _ { j a } ^ { ( 1 ) } ~ R _ { q k } ^ { ( 2 ) } - R _ { l p } ^ { ( 1 ) } ~ \alpha _ { i q } ^ { ( 2 ) } \right) / 4 \pi ^ { 2 } ~ ~ , } } } \\ { { { \cal B } _ { i p q l } ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } ) = } } & { { { \displaystyle \left( - 2 \epsilon _ { i j k } \epsilon _ { a b q } ~ T _ { b l } ^ { ( 2 ) } ~ R _ { k p } ^ { ( 1 ) } ~ R _ { a j } ^ { ( 2 ) } + T _ { q l } ^ { ( 2 ) } ~ \alpha _ { p i } ^ { ( 1 ) } \right) / 4 \pi ^ { 2 } = - { \cal A } _ { i q p l } ( - { \bf r } _ { 2 } , - { \bf r } _ { 1 } ) ~ ~ , } } } \\ { { { \cal B } _ { i p q l } ^ { \prime } ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } ) = } } & { { { \displaystyle \left( 2 \epsilon _ { i j k } \epsilon _ { a b q } ~ R _ { b l } ^ { ( 2 ) } ~ R _ { k p } ^ { ( 1 ) } ~ R _ { a j } ^ { ( 2 ) } - R _ { q l } ^ { ( 2 ) } ~ \alpha _ { p i } ^ { ( 1 ) } \right) / 4 \pi ^ { 2 } = { \cal A } _ { i q p l } ^ { \prime } ( - { \bf r } _ { 2 } , - { \bf r } _ { 1 } ) ~ ~ , } } } \end{array}
A _ { ( b ) } = \frac { g ^ { 4 } } { \alpha ^ { 4 } } \int d ^ { 2 6 } k ~ \frac { 1 } { ( P _ { 1 } + P _ { 4 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { \alpha ^ { \prime } } } \, \frac { 1 } { k ^ { 2 } - \frac { 1 } { \alpha ^ { \prime } } } \, \frac { 1 } { ( P _ { 1 } + P _ { 4 } - k ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { \alpha ^ { \prime } } } \, \frac { 1 } { ( P _ { 1 } + P _ { 4 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { \alpha ^ { \prime } } } ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { x x } ^ { \mathcal { R } } } & { { } = 2 ( \sigma _ { x y } \dot { \omega } _ { x y } + \sigma _ { x z } \dot { \omega } _ { x z } ) , } \\ { \sigma _ { y y } ^ { \mathcal { R } } } & { { } = - 2 ( \sigma _ { x y } \dot { \omega } _ { x y } - \sigma _ { y z } \dot { \omega } _ { y z } ) , } \\ { \sigma _ { z z } ^ { \mathcal { R } } } & { { } = - 2 ( \sigma _ { x z } \dot { \omega } _ { x z } + \sigma _ { y z } \dot { \omega } _ { y z } ) , } \\ { \sigma _ { x y } ^ { \mathcal { R } } } & { { } = \dot { \omega } _ { x y } ( \sigma _ { y y } - \sigma _ { x x } ) + \sigma _ { y z } \dot { \omega } _ { x z } + \sigma _ { x z } \dot { \omega } _ { y z } , } \\ { \sigma _ { y z } ^ { \mathcal { R } } } & { { } = \dot { \omega } _ { y z } ( \sigma _ { z z } - \sigma _ { y y } ) - \sigma _ { x y } \dot { \omega } _ { x z } - \sigma _ { x z } \dot { \omega } _ { x y } , } \\ { \sigma _ { x z } ^ { \mathcal { R } } } & { { } = \dot { \omega } _ { x z } ( \sigma _ { z z } - \sigma _ { x x } ) + \sigma _ { y z } \dot { \omega } _ { x y } - \sigma _ { x y } \dot { \omega } _ { y z } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { S ( t , a = 0 , y ) } & { = } & { S _ { b } ( t , y ) } \\ { I ( t , a = 0 , y ) } & { = } & { 0 } \\ { H ( t , a = 0 , y ) } & { = } & { 0 } \\ { R ( t , a = 0 , y ) } & { = } & { 0 } \end{array} \right. \qquad \mathrm { ~ a n d ~ } \qquad \left\{ \begin{array} { r c l } { S ( t = 0 , a , y ) } & { = } & { S _ { o } ( a , y ) } \\ { I ( t = 0 , a , y ) } & { = } & { I _ { o } ( a , y ) } \\ { H ( t = 0 , a , y ) } & { = } & { H _ { o } ( a , y ) } \\ { R ( t = 0 , a , y ) } & { = } & { R _ { o } ( a , y ) \, . } \end{array} \right.
{ \sigma } _ { ^ { 2 S _ { i } + 1 } L _ { i } ; ^ { 2 S _ { f } + 1 } L _ { f } } ^ { { M } _ { { L } _ { i } } ; { M } _ { { L } _ { f } } } ( n l , { \omega } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ) / { \sigma } _ { ^ { 2 S _ { i } + 1 } L _ { i } } ^ { { M } _ { { L } _ { i } } } ( n l , { \omega } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ) .
\begin{array} { r } { \xi _ { n } = U _ { n } ^ { - 1 } ( R _ { 0 } ^ { n } ) + \int _ { 0 } ^ { T } Z _ { t } ^ { n } \cdot d X _ { t } + \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { T } \mathrm { T r } \left[ ( \Gamma _ { t } ^ { n } + \eta _ { n } Z _ { t } ^ { n } ( Z _ { t } ^ { n } ) ^ { \top } ) d \langle X \rangle _ { t } \right] - \int _ { 0 } ^ { T } \mathcal { H } _ { n } ( X _ { t } , Z _ { t } , \Gamma _ { t } ) d t \; . } \end{array}
\mathbf { A } \circ \mathbf { B } = \left( \mathbf { A } _ { i j } \circ \mathbf { B } \right) _ { i j } = \left( \left( \mathbf { A } _ { i j } \otimes \mathbf { B } _ { k l } \right) _ { k l } \right) _ { i j }
\begin{array} { r l } { \chi \left( \vec { r } \right) } & { = \frac { i \, n _ { a t } \left( \vec { r } \right) \Gamma \sigma \lambda _ { P } / 4 \pi } { \frac { \Gamma } { 2 } - i ( \Delta _ { P } - \delta _ { 1 } ) + \frac { \Omega _ { C , e f f } ^ { 2 } / 4 } { \gamma - i \left[ \Delta _ { P } + \Delta _ { C } - \delta _ { 2 } - \delta _ { S t a r k } \left( \vec { r } \right) \right] } } , } \end{array}