harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
F ( T ) = \frac { \Delta n ^ { 2 } } { \pi a } \left( \frac { 2 3 } { 3 8 4 } - \frac { \zeta ( 3 ) } { 8 \pi ^ { 2 } } t ^ { 3 } + \frac { 7 } { 1 0 8 0 } t ^ { 4 } - \frac { 2 2 } { 1 4 1 7 5 } t ^ { 6 } + \frac { 4 6 } { 5 5 1 2 5 } t ^ { 8 } + { \cal O } ( t ^ { 1 0 } ) \right)
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } 2 \gamma _ { t } \left\Vert \xi _ { t } ^ { b } \right\Vert \leq } & { \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } 4 \cdot \gamma _ { t } M _ { t } \cdot \frac { \sigma ^ { p } } { M _ { t } ^ { p } } \leq \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } 4 \cdot \alpha _ { 2 } \cdot \frac { \log ( 4 / \delta ) } { t w _ { t } } \leq 4 \alpha _ { 2 } \log ( 4 / \delta ) W . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \frac { k _ { i } k _ { j } } { k ^ { 2 } } \right) = - \frac { 1 } { \pi } \frac { x _ { i } x _ { j } } { r ^ { 4 } } + \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { \delta _ { i j } } { r ^ { 2 } } . } \end{array}
{ \cal T } _ { n } ( E ) = \operatorname * { l i m } _ { \delta \to 0 } \operatorname * { l i m } _ { t _ { f } - t _ { i } \to \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } d X _ { f } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d y _ { f } \, \vert \langle X _ { f } , y _ { f } \vert e ^ { - \imath H ( t _ { f } - t _ { i } ) } \vert E , n \rangle _ { \delta } \vert ^ { 2 }
g ( N E C V ) = d r \otimes d r + ( { \frac { 4 \pi L ^ { 2 } P } { 3 } } ) ^ { 2 / \beta } c o s h ^ { \left( { 4 / \beta } \right) } ( { \frac { \beta r } { 2 L } } ) \, \, \eta _ { i j } d x ^ { i } \otimes d x ^ { j } .
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( \frac { 1 } { 4 ( 1 + \lambda _ { 2 } ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 4 ( 2 + \lambda _ { 2 } ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 ( 1 + \lambda _ { 2 } ) ( 2 + \lambda _ { 2 } ) } ) } & { = 4 } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( \frac { 1 } { 4 ( 1 + \lambda _ { 2 } ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 4 ( 2 + \lambda _ { 2 } ) ^ { 2 } } ) } & { = 5 } \end{array}
\underline { { \mathcal { R } } } ( a _ { 2 } ) = \underline { { \mathcal { R } } } _ { 2 2 } - \underline { { \mathcal { R } } } _ { 2 1 } \left[ \underline { { \mathcal { R } } } _ { 1 1 } + \underline { { \mathcal { R } } } ( a _ { 1 } ) \right] ^ { - 1 } \underline { { \mathcal { R } } } _ { 1 2 } .
\begin{array} { r l } { \Dot { \Theta } } & { { } = \Omega - \boldsymbol { d } \sin ( \boldsymbol { \delta } \Theta + A _ { \uparrow } ) - \boldsymbol { \delta } \sin ( \boldsymbol { d } \Theta + A _ { \downarrow } ) \, . } \end{array}
\langle { \kappa _ { l } } \rangle \, \sim \, \frac { \langle \delta B ^ { 2 } \rangle ^ { 1 / 2 } } { B } \, \left( \frac { l } { \ell _ { \mathrm { c } } } \right) ^ { - 1 / 3 } \, \ell _ { \mathrm { c } } ^ { - 1 } \, ,
U \equiv e ^ { i \chi } \left[ \begin{array} { c c } { { e ^ { - i \alpha } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { i \alpha } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { { \cos \theta } } & { { \sin \theta } } \\ { { - \sin \theta } } & { { \cos \theta } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { { e ^ { - i \beta } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { i \beta } } } \end{array} \right]
\Gamma _ { e f f } ^ { \mathrm { P V } ( 1 ) } = { \frac { 1 } { 2 } } ( \Gamma _ { e f f } ^ { ( 1 ) } [ \hat { A } _ { 0 } , M ] - \Gamma _ { e f f } ^ { ( 1 ) } [ \hat { A } _ { 0 } , - M ] )
\langle P _ { 2 } ( k _ { 2 } ) | \eta _ { 1 } | n , { \mathrm i n } \rangle = \langle P _ { 2 } ( k _ { 2 } ) | ( P T ) ^ { - 1 } ( P T ) \eta _ { 1 } ( P T ) ^ { - 1 } ( P T ) | n , { \mathrm i n } \rangle = \langle P _ { 2 } ( k _ { 2 } ) | \eta _ { 1 } | n , { \mathrm o u t } \rangle ^ { * } \,
{ f _ { d , i } ^ { 2 \Delta } } \Delta _ { z } = \sum ^ { k _ { m a x } = \pi / 2 \Delta } \left[ \Gamma C _ { D } ( k ) \widehat { \widetilde { u } } _ { i } \left( ( \widehat { \widetilde { u } } _ { l } - c ( k ) ) \cdot \frac { \partial \widehat { \widetilde { \eta } } ( k ) } { \partial x _ { l } } \right) { \mathcal { H } \left\{ ( \widehat { \widetilde { u } } _ { l } - c ( k ) ) \cdot \frac { \partial \widehat { \widetilde { \eta } } ( k ) } { \partial x _ { l } } \right\} } + ( 1 - \Gamma ) \beta ( k ) \frac { ( a ( k ) k u _ { * } ) ^ { 2 } } { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } _ { M L M C } } & { : = \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } M _ { \ell } ( \mathcal { C } _ { \ell } + \mathcal { C } _ { \ell - 1 } ) } \\ & { \le C \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \underline { c } _ { \mathcal { K } } ^ { ( \ell - L ) 2 ( 2 - \theta ) r } w _ { \ell } ( \underline { c } _ { \mathcal { K } } ^ { - d \ell } + \underline { c } _ { \mathcal { K } } ^ { - d ( \ell - 1 ) } ) } \\ & { \le C \underline { c } _ { \mathcal { K } } ^ { - L 2 ( 2 - \theta ) r } \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \left( \underline { c } _ { \mathcal { K } } ^ { 2 ( 2 - \theta ) r - d } \right) ^ { \ell } w _ { \ell } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( v _ { i } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { i - 1 \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } i \equiv 0 ( \bmod ~ 4 ) \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ { i \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } i \equiv 1 \mathrm { ~ o r ~ } 2 ( \bmod ~ 4 ) \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ { i + 1 \quad } & { \mathrm { i f ~ } i \equiv 3 ( \bmod ~ 4 ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal K } ( \pm \rho , X _ { i } ) } & { = \frac { 1 } { \mathrm { V a r } \{ n _ { i } \} } \left| k _ { \pm \rho } \frac { \partial \langle n _ { i } \rangle } { \partial k _ { \pm \rho } } \right| , } \\ { { \mathcal B } ( \rho , X _ { i } ) } & { = \frac { 1 } { \mathrm { V a r } \{ n _ { i } \} } \left| \frac { \partial \langle n _ { i } \rangle } { \partial B _ { \rho } } \right| . } \end{array}
Q ( R ) = \frac { g } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t \int _ { 0 } ^ { R } d r \, \left( - \partial _ { t } ^ { 2 } + \partial _ { r } ^ { 2 } - \frac { 2 } { r ^ { 2 } } \right) \psi \ ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { v } } & { { } = \frac { ( 1 - \mathbf k ^ { T } ( \mathbf x _ { t ^ { * } } ) \mathbf { \tilde { K } } ^ { - 1 } \mathbf 1 _ { n } ) \mathbf { 1 } _ { n } ^ { T } { \mathbf { \tilde { K } } } ^ { - 1 } } { \left( \mathbf { 1 } _ { n } ^ { T } { \mathbf { \tilde { K } } } ^ { - 1 } \mathbf { 1 } _ { n } \right) } + \mathbf k ^ { T } ( \mathbf x _ { t ^ { * } } ) \mathbf { \tilde { K } } ^ { - 1 } , } \\ { \mathbf { w } _ { j } } & { { } = \left( \mathbf { y } _ { j } - \hat { \mu } _ { j } \mathbf { 1 } _ { n } \right) ^ { T } \mathbf { \tilde { K } } ^ { - 1 } , } \end{array}
f _ { \mu } { } ^ { a } = \frac { 1 } { 2 4 } \varepsilon ^ { a b c d e } \Omega _ { \mu } { } ^ { b c d e } , \qquad \eta ^ { a } = \frac { 1 } { 2 4 } \varepsilon ^ { a b c d e } \eta _ { b c d e }
\begin{array} { r } { { \bf Y } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = \left( \begin{array} { l l } { \bar { F } ^ { p * } } & { F ^ { p } } \\ { - \bar { F } ^ { v * } } & { F ^ { v } } \end{array} \right) ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { r } F _ { \natural } } & { = ( r _ { \natural } - M ) \gamma _ { \natural } ^ { 2 } + ( 4 r + 2 r _ { \natural } ) \Delta , } \\ { \partial _ { r } ^ { 2 } F _ { \natural } } & { = 2 ( r _ { \natural } - M ) ( r + r _ { \natural } ) + 4 \Delta + ( 8 r + 4 r _ { \natural } ) ( r - M ) , } \\ { \partial _ { r } ^ { 3 } F _ { \natural } } & { = 2 ( r _ { \natural } - M ) + 1 6 ( r - M ) + 8 r + 4 r _ { \natural } , } \\ { \partial _ { r } ^ { 4 } F _ { \natural } } & { = 2 4 } \end{array}
\mathbf { D } ^ { 2 } = \omega ^ { 2 } \left( \begin{array} { l l l l l l } { - 2 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 2 } & { - 1 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { \vdots } & { } & { \ddots } & { \ddots } & { } & { \vdots } \\ { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { - 1 } & { 2 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 2 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { H } & { { } = } & { \frac { p ^ { 2 } } { 2 M } + \frac { 1 } { 2 } M \omega ^ { 2 } x ^ { 2 } - \sum _ { k = 1 } ^ { N } \tilde { C } _ { k } x _ { k } x } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { n } ^ { ( \varepsilon ) } ( u , v ) } & { { } = k _ { n } \left[ ( 1 - \varepsilon ) u _ { n + 2 } v _ { n + 1 } ^ { \ast } + ( 2 + \varepsilon ) u _ { n + 1 } ^ { \ast } v _ { n + 2 } \right] + } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { D } = { } } & { { } \cos ^ { 2 } ( \beta ) \frac { 2 x \left( \sin { ( \beta ) } - \frac { 1 } { 2 } \omega \right) } { \sin { ( \beta ) } + \frac { 1 } { 2 } x } - \sin { ( \beta ) } \left( \sin { ( \beta ) } - \frac { 1 } { 2 } \omega \right) ^ { 2 } \theta ( s ) f ( R e _ { n } , \beta ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| D ^ { k } \ell ( z ) \| } & { = \operatorname* { s u p } _ { \xi _ { 1 } , \ldots , \xi _ { k } } \left\{ \left| D ^ { k } \ell ( z ) [ \xi _ { 1 } , \ldots , \xi _ { k } ] \right| : \| \xi _ { i } \| \leq 1 ~ \forall i \in [ k ] \right\} = \operatorname* { s u p } _ { \xi } \left\{ \left| D ^ { k } \ell ( z ) [ \xi ] ^ { k } \right| : \| \xi \| \leq 1 \right\} , } \end{array}
\frac { \partial \ln M _ { n } ( Q ^ { 2 } ) } { \partial \ln Q ^ { 2 } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } d x x ^ { n - 1 } \left( \tilde { P } _ { q q } ( x , \alpha ( Q ^ { * } ( x ) ) ) \pm \tilde { P } _ { \bar { q } q } ( x , \alpha ( Q ^ { * } ( x ) ) \right) ,
V _ { 3 } = ( 2 \pi ) ^ { 3 } \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } \sqrt { n ^ { i 2 } \left( R _ { 1 } ^ { i } \right) ^ { 2 } + \hat { m } ^ { i 2 } \left( R _ { 2 } ^ { i } \right) ^ { 2 } } ,
\left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { A } ^ { \mathrm { B S E } } } & { \boldsymbol { B } ^ { \mathrm { B S E } } } \\ { - \boldsymbol { B } ^ { \mathrm { B S E } } } & { - \boldsymbol { A } ^ { \mathrm { B S E } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { X } _ { m } ^ { \mathrm { B S E } } } \\ { \boldsymbol { Y } _ { m } ^ { \mathrm { B S E } } } \end{array} \right) = \Omega _ { m } ^ { \mathrm { B S E } } \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { X } _ { m } ^ { \mathrm { B S E } } } \\ { \boldsymbol { Y } _ { m } ^ { \mathrm { B S E } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \mathbf { J } ( t ) = \frac { e } { \Omega } \left[ \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } Z _ { \ell } \mathbf { V } _ { \ell } ( t ) - 2 \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \mathrm { e l } } / 2 } \dot { \mathbf { R } } _ { j } ^ { \mathrm { ( W ) } } \right] , } \end{array}
E _ { y } = \frac { 1 } { 3 } ( \mathcal { I } _ { 2 , y } + \mathcal { I } _ { 3 , y } - 2 \mathcal { I } _ { 1 , y } ) - \frac { i } { \sqrt { 3 } } ( \mathcal { I } _ { 2 , y } - \mathcal { I } _ { 3 , y } ) .
T _ { ( X _ { 1 } , \hdots , X _ { N } ) } ( \mathcal { B } _ { 1 } \times \cdots \times \mathcal { B } _ { N } ) \cong T _ { X _ { 1 } } \mathcal { B } _ { 1 } \oplus \cdots \oplus T _ { X _ { N } } \mathcal { B } _ { N }
\begin{array} { r l } { A _ { \pm } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \, \sqrt { \left| f ( \omega ) \right| \left( \sqrt { 1 + \frac { \mu ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } } { { f ( \omega ) } ^ { 2 } } } \pm \mathrm { s i g n } [ f ( \omega ) ] \right) } \; , } \end{array}
\Gamma _ { \mu } ^ { r } ( p , q ) = \Gamma _ { \mu } ^ { i n v } ( p , q ) + ( z _ { 2 } - 1 ) \gamma _ { \mu } - [ \Gamma _ { \mu } ^ { i n v } ( p , 0 ) + ( z _ { 2 } - 1 ) \gamma _ { \mu } - e \partial _ { \mu } \Sigma ^ { i n v , r } ( p ) ]
\begin{array} { r } { { \Delta } _ { \mathrm { H V } } ( { \it \Delta \phi } , \pi ) = - i \left( \begin{array} { c c } { \cos ( { \it \Delta \phi } ) } & { \ \ \ \sin ( { \it \Delta \phi } ) } \\ { \sin ( { \it \Delta \phi } ) } & { - \cos ( { \it \Delta \phi } ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \delta } + \boldsymbol { d } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { B ^ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { B ^ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { D ^ { 0 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { D ^ { 1 } } & { 0 } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\! \! \! \! I \! = \! \int _ { \Sigma } \! d ^ { 3 } \! x \! \sqrt { \gamma } \left( \! R ( \gamma ) \! - \! { \frac { 1 } { 2 } } \! \left( \left( \! D U \right) ^ { 2 } \! - \! e ^ { - 2 U } \! \! \left( \! D V \right) ^ { 2 } \right) \! - \! { \frac { 1 } { 2 } } \! \left( \left( \! D \Phi \! \right) ^ { 2 } \! - \! e ^ { - 2 \Phi } \! \left( \! D \Psi \! \right) ^ { 2 } \right) \! - \! \left( \! D T \right) \! ^ { 2 } \! + \! e ^ { - ( U \! + \Phi ) } V ( T ) \! \right)
{ \begin{array} { r l } { \gamma } & { = - \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - x } \log x \, d x } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { 1 } \log \left( \log { \frac { 1 } { x } } \right) d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { 1 } { e ^ { x } - 1 } } - { \frac { 1 } { x \cdot e ^ { x } } } \right) d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 1 - e ^ { - x } } { x } } \, d x - \int _ { 1 } ^ { \infty } { \frac { e ^ { - x } } { x } } \, d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( { \frac { 1 } { \log x } } + { \frac { 1 } { 1 - x } } \right) d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { 1 } { 1 + x ^ { k } } } - e ^ { - x } \right) { \frac { d x } { x } } , \quad k > 0 } \\ & { = 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { e ^ { - x ^ { 2 } } - e ^ { - x } } { x } } \, d x , } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } H _ { x } \, d x , } \end{array} }
\psi ( r , z ) = - { \frac { 1 } { 2 } } \, u \, r ^ { 2 } \, \left[ 1 - { \frac { 3 } { 2 } } { \frac { R } { \sqrt { r ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } + { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { R } { \sqrt { r ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } \right) ^ { 3 } \; \right] .
\begin{array} { r l } { \dot { r } } & { { } = - 0 . 0 0 1 0 5 r + 9 . 2 3 r ^ { 3 } , } \\ { \dot { \vartheta } } & { { } = 0 . 4 0 9 + 5 2 . 4 r ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \mathbf { K } _ { X } \right] ( r , s ) } & { { } = k ( x _ { r } , x _ { s } ) , } \\ { \left[ \mathbf { K } _ { X } ^ { t } \right] ( r , s ) } & { { } = k ( x _ { r + 1 } , x _ { s } ) , } \\ { \left[ \mathbf { K } _ { X } ^ { L } \right] ( r , s ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } a ( i , j ) ( x _ { r } ) \frac { \partial ^ { 2 } } { x ^ { i } } { \partial x ^ { j } } k ( x _ { r } , x _ { s } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { d } F _ { i } ( x _ { r } ) \frac { \partial \partial x ^ { i } } k ( x _ { r } , x _ { s } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Big | \left( { a _ { N } } { e ^ { \mathrm i N \theta } } + { b _ { N } } { e ^ { - \mathrm i N \theta } } \right) { \frac { { k ^ { N } } } { { 2 ^ { N } } N ! } } \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } { \left[ { { \frac { { { ( - 1 ) } ^ { p } } N ! } { p ! ( N + p ) ! } } { { \left( { { \frac { k } { 2 } } } \right) } ^ { 2 p } } { r ^ { 2 p + N } } } \right] } } \\ & { \qquad + \sum _ { n = N + 1 } ^ { \infty } { \left( { a _ { n } } { e ^ { \mathrm i n \theta } } + { b _ { n } } { e ^ { - \mathrm i n \theta } } \right) { J _ { n } } ( k r ) } \Big | } \\ & { \leq r ^ { N + 1 } \ \left( | { a _ { N } } | + | { b _ { N } } | \right) { \frac { { k ^ { N } } } { { 2 ^ { N } } N ! } } \left| \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } { \left[ { { \frac { N ! } { p ! ( N + p ) ! } } { { \left( { { \frac { k } { 2 } } } \right) } ^ { 2 p } } { r ^ { 2 p - 1 } } } \right] } \right| } \\ & { \qquad + r ^ { N + 1 } \ \sum _ { n = N + 1 } ^ { \infty } { \left( | { a _ { n } } | + | { b _ { n } } | \right) } \left| \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } { { \frac { { { ( - 1 ) } ^ { p } } } { p ! ( n + p ) ! } } { { \left( { { \frac { k r } { 2 } } } \right) } ^ { n + 2 p - N - 1 } } } \right| } \\ & { \leq C _ { 5 } ( | a _ { N } | + | b _ { N } | ) \ r ^ { N + 1 } + C _ { 6 } \sum _ { n = N + 1 } ^ { \infty } ( | a _ { n } | + | b _ { n } | ) \ r ^ { N + 1 } } \\ & { \leq ( 2 C _ { 4 } C _ { 5 } + C _ { 6 } C _ { 7 } ) \ r ^ { N + 1 } } \\ & { \leq \mathcal R \ r ^ { N + 1 } , } \end{array}
\int d q ^ { 4 } [ \alpha ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) q ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) ] | \chi _ { 0 } ^ { P } ( q ^ { 2 } ) | ^ { 2 } = ~ f i n i t e \; a n d \; n o n z e r o \qquad ( 8 )
\operatorname* { P r } \left\{ \left( A _ { 1 } \cap \cdots \cap A _ { N } \right) ^ { c } \right\} = \operatorname* { P r } \left\{ A _ { 1 } ^ { c } \cup \cdots \cup A _ { N } ^ { c } \right\} \leq \sum _ { i = 1 } ^ { N } \operatorname* { P r } \left\{ A _ { i } ^ { c } \right\} ,
\begin{array} { r l } & { \eta _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R } = \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } { \partial \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R , 0 } } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R } } \\ & { \beta _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R } = \frac { \partial \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } { \partial \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R , 0 } } \left( \mathbf { E } + \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { x x } = } & { { } \cos [ \Phi ( t ) ] \cos [ \Phi ( t ^ { \prime } ) ] + \sin [ \Phi ( t ) ] \sin [ \Phi ( t ^ { \prime } ) ] , } \\ { M _ { y y } = } & { { } \cos [ \Phi ( t ) ] \cos [ \Phi ( t ^ { \prime } ) ] , } \\ { M _ { y z } = } & { { } - \cos [ \Phi ( t ) ] \sin [ \Phi ( t ^ { \prime } ) ] , } \\ { M _ { z y } = } & { { } - \sin [ \Phi ( t ) ] \cos [ \Phi ( t ^ { \prime } ) ] , } \\ { M _ { z z } = } & { { } \sin [ \Phi ( t ) ] \sin [ \Phi ( t ^ { \prime } ) ] . } \end{array}
\hat { H } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { H } _ { 1 } } & { t \in [ \ell T , \ell T + T _ { 1 } ) } \\ { \hat { H } _ { 2 } } & { t \in [ \ell T + T _ { 1 } , \ell T + T _ { 1 } + T _ { 2 } ) } \end{array} \right. ,
m _ { \mathrm { ~ b ~ o ~ u ~ n ~ d ~ s ~ t ~ a ~ t ~ e ~ } } ^ { 2 } < s - N _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ i ~ t ~ u ~ e ~ n ~ t ~ } } ^ { 2 } m _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ i ~ t ~ u ~ e ~ n ~ t ~ } } ^ { 2 } \ll v ^ { 2 }
N _ { h } ( \theta _ { N } ) = \Delta t | \vec { v } _ { \alpha } | n _ { \beta } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \theta _ { N } } ^ { \pi } \frac { b _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } \frac { 1 } { \sin ^ { 4 } ( \theta / 2 ) } \sin ( \theta ) \mathrm { d } \theta \mathrm { d } \varphi .
\begin{array} { r l } { \operatorname { P } [ | \ensuremath { { \boldsymbol { \mathsf { a } } } ^ { \mathsf { T } } } { \boldsymbol { X } } { \boldsymbol { \mathsf { b } } } | \leq \delta ] } & { \leq \frac { D _ { m , n } } { s ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { s } \operatorname* { m i n } \Bigg \{ s , \frac { \delta } { \sigma _ { 1 } ( { \boldsymbol { X } } ) a _ { 1 } } \Bigg \} \, \mathrm d \lambda ( a _ { 1 } ) } \\ & { = \frac { \delta D _ { m , n } } { \sigma _ { 1 } ( { \boldsymbol { X } } ) s ^ { 2 } } \Bigg ( 1 + \log \Bigg ( \frac { s ^ { 2 } \sigma _ { 1 } ( { \boldsymbol { X } } ) } { \delta } \Bigg ) \Bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c } & { { } = \arctan { \frac { \sqrt { ( \sin a \cos b - \cos a \sin b \cos \gamma ) ^ { 2 } + ( \sin b \sin \gamma ) ^ { 2 } } } { \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos \gamma } } , } \\ { \alpha } & { { } = \arctan { \frac { \sin a \sin \gamma } { \sin b \cos a - \cos b \sin a \cos \gamma } } , } \\ { \beta } & { { } = \arctan { \frac { \sin b \sin \gamma } { \sin a \cos b - \cos a \sin b \cos \gamma } } , } \end{array}
\int _ { - 1 } ^ { 1 } d x x ^ { n - 1 } F _ { a } ( x , \xi , t ) = a _ { n } ( \xi , t ) = { \frac { 1 } { 2 } } n ^ { \mu _ { 1 } } n ^ { \mu _ { 2 } } \cdots n ^ { \mu _ { n } } \langle P ^ { \prime } | \overline { { \psi } } i \stackrel { \leftrightarrow } { D } ^ { \mu _ { 1 } } \cdots i \stackrel { \leftrightarrow } { D } ^ { \mu _ { n - 1 } } \gamma ^ { \mu _ { n } } \psi | P \rangle .
\begin{array} { r l r } { \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt G P S } ) ^ { 3 } } P _ { 2 2 } ( \cos \theta ) \Big \{ C _ { 2 2 } \cos 2 \phi , ~ S _ { 2 2 } \sin 2 \phi \Big \} } & { { } \lesssim } & { \Big \{ 1 . 5 1 \times 1 0 ^ { - 1 7 } \cos 2 \phi , ~ 8 . 6 9 \times 1 0 ^ { - 1 8 } \cos 2 \phi \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { x } , \mathbf { y } } \quad } & { f ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \mathbf { c } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) \leq \mathbf { 0 } } \\ & { \mathbf { x } \in \mathcal { X } \subseteq \mathbb { R } ^ { n _ { x } } , \mathbf { y } \in \mathcal { Y } \subseteq \mathbb { Z } ^ { n _ { y } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } \ni } & { D _ { u } \Big ( ( x ( v ) + y ( z ) ) \cdot \frac { 1 } { ( x ( v ) + y ( z ) ) } \Big ) - D _ { u } 1 } \\ & { = ( x ( v ) + y ( z ) ) \Big ( \frac { \lambda W _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( z ; u ) } { ( x ( v ) + y ( z ) ) ^ { 2 } } + D _ { u } \Big ( \frac { 1 } { x ( v ) + y ( z ) } \Big ) \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\lVert ( T _ { k } + \lambda I ) ( T _ { k , N } + \lambda I ) ^ { - 1 } \right\rVert _ { \mathrm { O p } ( L ^ { 2 } ( \mathcal { X } ) ) } } \\ & { \le \frac { 1 } { \lambda } \left\lVert ( T _ { k } + \lambda I ) ^ { - \frac 1 2 } ( T _ { k } - T _ { k , N } ) \right\rVert _ { \mathrm { O p } ( L ^ { 2 } ( \mathcal { X } ) ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \sqrt { \lambda } } \left\lVert ( T _ { k } + \lambda I ) ^ { - \frac 1 2 } ( T _ { k } - T _ { k , N } ) \right\rVert _ { \mathrm { O p } ( L ^ { 2 } ( \mathcal { X } ) ) } + 1 } \\ & { \le \left( \frac { C _ { 1 } ( N , \lambda ) \log ( 4 / \delta ) } { \sqrt { \lambda } } + 1 \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { u _ { 1 } } \\ { u _ { 2 } } \end{array} \right) = \frac { \kappa + 1 } { 2 \mu } B _ { 2 } \left( \begin{array} { l } { - r \sin \theta } \\ { r \cos \theta } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { c } _ { 1 } + C _ { 1 } \boldsymbol { c } _ { M } = } & { \left( a _ { j } \cdot \frac { \lambda - 1 } { 1 - \lambda ^ { - n _ { j } } } + a _ { i } \cdot \frac { 1 - \lambda } { 1 - \lambda ^ { n _ { i } } } , \right. } \\ & { \quad \quad \left. b _ { j } \cdot \frac { \lambda ^ { - 1 } - 1 } { 1 - \lambda ^ { n _ { j } } } + b _ { i } \cdot \frac { 1 - \lambda ^ { - 1 } } { 1 - \lambda ^ { - n _ { i } } } \right) } \\ { = } & { \left( ( \lambda - 1 ) d _ { i j a } , ( 1 - \lambda ^ { - 1 } ) d _ { i j b } \right) } \\ { \in } & { \operatorname { C e l l } ( \boldsymbol { d } _ { i j } ) . } \end{array}
w ( M _ { 5 0 0 } , z = 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { M _ { 5 0 0 } \leq M _ { 5 0 0 , \mathrm { p e a k } } } \\ { w _ { \mathrm { G } } } & { M _ { 5 0 0 } > M _ { 5 0 0 , \mathrm { p e a k } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \hat { P } _ { 0 } ~ \boldsymbol { \Phi } _ { \mathbf { k } } ^ { \lambda } ( \mathbf { r } , t ) } & { = \omega \boldsymbol { \Phi } _ { \mathbf { k } } ^ { \lambda } ( \mathbf { r } , t ) } \\ { k ^ { \scriptscriptstyle { - 1 } } \hat { \mathbf { J } } \cdot \hat { \mathbf { P } } ~ \boldsymbol { \Phi } _ { \mathbf { k } } ^ { \lambda } ( \mathbf { r } , t ) } & { = \lambda \boldsymbol { \Phi } _ { \mathbf { k } } ^ { \lambda } ( \mathbf { r } , t ) } \\ { \hat { \mathbf { P } } ^ { 2 } ~ \boldsymbol { \Phi } _ { \mathbf { k } } ^ { \lambda } ( \mathbf { r } , t ) } & { = k ^ { 2 } \boldsymbol { \Phi } _ { \mathbf { k } } ^ { \lambda } ( \mathbf { r } , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { \rho } _ { 1 } } & { { } = \vec { r } _ { 2 } - \vec { r } _ { 1 } ~ , } \\ { \vec { \rho } _ { 2 } } & { { } = \vec { r } _ { 3 } - \vec { R } _ { C M 1 2 } ~ , } \\ { \vec { \rho } _ { C M } } & { { } = \frac { m _ { 1 } \vec { r } _ { 1 } + m _ { 2 } \vec { r } _ { 2 } + m _ { 3 } \vec { r } _ { 3 } } { M } ~ , } \end{array}
R _ { \mu \nu } ^ { \quad i j } = e _ { \mu } ^ { k } e _ { \nu } ^ { l } R _ { k l } ^ { \quad i j } = \left( e _ { \mu } ^ { i } e _ { \nu } ^ { j } - e _ { \mu } ^ { j } e _ { \nu } ^ { i } \right) = \epsilon ^ { i j k } R _ { \mu \nu } ^ { k }
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \rho ^ { ( n ) } } & { = \rho ^ { 2 } \rho ^ { ( n + 2 ) } + 2 n \rho \rho ^ { \prime } \rho ^ { ( n + 1 ) } + \bigr [ 2 \rho \rho ^ { \prime \prime } + 3 \rho ^ { 2 } - 4 h \rho } \\ & { + ( n ) ( n - 1 ) ( \rho ^ { \prime } + \rho \rho ^ { \prime \prime } ) \bigl ] \rho ^ { ( n ) } + P \left( h , \rho , \rho ^ { \prime } , . . . , \rho ^ { ( n - 1 ) } \right) } \end{array}