harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \quad \left( \frac { 1 } { 2 \sigma } + \frac { ( m - 1 ) \gamma } { 2 m } \right) \frac { 1 } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| y _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { * } \| ^ { 2 } } \\ & { \geq \left( \frac { 1 } { 2 \sigma } + \frac { \gamma } { 2 } \right) \frac { 1 } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } _ { k } \| y _ { i \tau } ^ { k + 1 } - y _ { i \tau } ^ { * } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \sigma n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } _ { k } \| y _ { i \tau } ^ { k + 1 } - y _ { i \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { n } \mathbb { E } _ { k } \left[ \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } ( \phi _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ^ { * } ( y _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ^ { k + 1 } ) - \phi _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ^ { * } ( y _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ^ { k } ) ) \right] } \\ & { \quad + \frac { 1 } { N } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( \phi _ { i \tau } ^ { * } ( y _ { i \tau } ^ { k } ) - \phi _ { i \tau } ^ { * } ( y _ { i \tau } ^ { * } ) ) - \mathbb { E } _ { k } \langle u ^ { k } - u ^ { * } + m ( u ^ { k + 1 } - u ^ { k } ) , z ^ { k } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \mathbf { z } } ( \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \pi \mathbf { v } ) ) ) } & { = p _ { \mathbf { z } } ( \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( \pi \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) ) } \\ & { = p _ { \mathbf { z } } ( \pi \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) ) } \\ & { = p _ { \mathbf { z } } ( \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) ) } \end{array}
E _ { \mathrm { { s i g } } } ( t ) = \frac { 1 } { 2 } \mathcal { E } _ { \mathrm { { s i g } } } ( t ) e ^ { - \mathrm { { i } } \omega _ { 0 } t } + \frac { 1 } { 2 } \mathcal { E } _ { \mathrm { { s i g } } } ^ { * } ( t ) e ^ { \mathrm { { i } } \omega _ { 0 } t } .
\bar { u } ( 0 , x ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { ( \rho ^ { - } , h ^ { - } , c ^ { - } ) , \quad x < 0 , } \\ { ( \rho ^ { + } , h ^ { + } , c ^ { + } ) , \quad x > 0 , } \end{array} \right.
\Delta E _ { f } ^ { \mathrm { T Z V P } } = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N ^ { \mathrm { T Z V P } } } \left\lvert E _ { i } ^ { \mathrm { T Z V P } } - E _ { i } ^ { f } \right\rvert \right) / N ^ { \mathrm { T Z V P } }
R = R _ { \mathrm { ~ c ~ c ~ } } + R _ { \mathrm { ~ c ~ d ~ } } + R _ { \mathrm { ~ d ~ d ~ } } ; \, \, \, \, T = T _ { \mathrm { ~ c ~ c ~ } } + T _ { \mathrm { ~ c ~ d ~ } } + T _ { \mathrm { ~ d ~ d ~ } }
\mathbf { A } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } & { a _ { 1 3 } } & { a _ { 1 4 } } & { a _ { 1 5 } } & { a _ { 1 6 } } & { a _ { 1 7 } } & { a _ { 1 8 } } \\ { a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } & { a _ { 2 3 } } & { a _ { 2 4 } } & { a _ { 2 5 } } & { a _ { 2 6 } } & { a _ { 2 7 } } & { a _ { 2 8 } } \\ { a _ { 3 1 } } & { a _ { 3 2 } } & { a _ { 3 3 } } & { a _ { 3 4 } } & { a _ { 3 5 } } & { a _ { 3 6 } } & { a _ { 3 7 } } & { a _ { 3 8 } } \\ { a _ { 4 1 } } & { a _ { 4 2 } } & { a _ { 4 3 } } & { a _ { 4 4 } } & { a _ { 4 5 } } & { a _ { 4 6 } } & { a _ { 4 7 } } & { a _ { 4 8 } } \\ { a _ { 5 1 } } & { a _ { 5 2 } } & { a _ { 5 3 } } & { a _ { 5 4 } } & { a _ { 5 5 } } & { a _ { 5 6 } } & { a _ { 5 7 } } & { a _ { 5 8 } } \\ { a _ { 6 1 } } & { a _ { 6 2 } } & { a _ { 6 3 } } & { a _ { 6 4 } } & { a _ { 6 5 } } & { a _ { 6 6 } } & { a _ { 6 7 } } & { a _ { 6 8 } } \\ { a _ { 7 1 } } & { a _ { 7 2 } } & { a _ { 7 3 } } & { a _ { 7 4 } } & { a _ { 7 5 } } & { a _ { 7 6 } } & { a _ { 7 7 } } & { a _ { 7 8 } } \\ { a _ { 8 1 } } & { a _ { 8 2 } } & { a _ { 8 3 } } & { a _ { 8 4 } } & { a _ { 8 5 } } & { a _ { 8 6 } } & { a _ { 8 7 } } & { a _ { 8 8 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { P _ { i } } & { { } = \cfrac { \frac { 1 } { 2 } C _ { P } \cos ^ { p } ( \gamma _ { i } ) \rho A _ { 0 } u _ { i } ^ { 3 } } { \frac { 1 } { 2 } C _ { P } \cos ^ { p } ( \gamma _ { 1 } = 0 ) \rho A _ { 0 } u _ { \infty } ^ { 3 } } , } \\ { P _ { i } } & { { } = \cos ^ { p } ( \gamma _ { i } ) \Big ( \frac { u _ { i } } { u _ { \infty } } \Big ) ^ { 3 } . } \end{array}
\hat { f } _ { 2 } + \hat { h } _ { + } \ = \ \frac 1 2 \big ( \partial _ { r } ^ { 2 } p + \partial _ { z } ^ { 2 } p + \frac 1 r \partial _ { r } p \big ) \ = \ \frac 9 4 \big ( 4 r ^ { 2 } - 3 z ^ { 2 } \big ) \, .
L = \sum _ { a = 2 , 3 } \left\{ \frac { 1 } { 2 } ( \frac { d D _ { 1 a } } { d t } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( \frac { 2 \pi } { T _ { a } } ) ^ { 2 } ( D _ { 1 a } - 1 ) ^ { 2 } \right\}
\begin{array} { r l } { \Delta t } & { = - \frac { ( \nabla H ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) ) ^ { T } \Delta \textbf { x } ( t _ { 1 } ^ { - } ) } { ( \nabla H ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) ) ^ { T } v ^ { - } ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) + \frac { \partial H ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) } { \partial t } } } \\ & { = - \frac { n ^ { T } ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) \Delta \textbf { x } ( t _ { 1 } ^ { - } ) } { n ^ { T } ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) v ^ { - } ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) + \frac { \partial H ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) } { \partial t } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } } & { \mathbf { S e t } _ { \mathbb { M } } . \Pi ( \Gamma , A , B ) } & & { \triangleq } & & { \lambda \gamma \mapsto \mathbb { M } . \Pi ( A ( \gamma ) , \lambda a \mapsto B ( \gamma , a ) ) , } \\ & { \mathbf { S e t } _ { \mathbb { M } } . \mathsf { a p p } ( \Gamma , f , a ) } & & { \triangleq } & & { \lambda \gamma \mapsto \mathbb { M } . \mathsf { a p p } ( f ( \gamma ) , a ( \gamma ) ) , } \\ & { \mathbf { S e t } _ { \mathbb { M } } . \mathsf { l a m } ( \Gamma , b ) } & & { \triangleq } & & { \lambda \gamma \mapsto \mathbb { M } . \mathsf { l a m } ( \lambda a \mapsto b ( \gamma , a ) ) . } \end{array}
f \left( \mathbf { v } _ { \perp } , \mathbf { v } _ { \| } \right) = \left( \frac { 1 } { 2 \pi } \right) ^ { 3 / 2 } \frac { 1 } { a ^ { 2 } b } \exp \left( \frac { - v _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 a ^ { 2 } } + \frac { - v _ { \| } ^ { 2 } } { 2 b ^ { 2 } } \right) ,
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \overline { { \lambda } } _ { \mathrm { { r e s } } } \! \! = \! \! \{ 0 . 0 1 , 0 . 1 1 , 0 . 0 1 , 1 . 6 1 7 \} \! \! \!
\Omega _ { i _ { 1 } \dots i _ { 2 m - 1 } } ^ { ( 2 m - 1 ) } = f _ { [ i _ { 1 } i _ { 2 } } ^ { l _ { i } } \dots f _ { i _ { 2 m - 3 } i _ { 2 m - 2 } } ^ { l _ { m - 1 } } t _ { i _ { 2 m - 1 } ] l _ { i } \dots l _ { m - 1 } } \ .
P _ { 1 } = ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , \ P _ { 2 } = ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) , \ P _ { 3 } = ( x _ { 3 } , y _ { 3 } ) , \ P _ { 4 } = ( x _ { 4 } , y _ { 4 } )
\int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \cosh t \sinh ^ { 4 } \frac { \alpha } { 2 } t } { \sinh ^ { 3 } t } d t = \frac { \alpha ^ { 2 } } { 8 } \left( \psi \left( \frac { \alpha } { 2 } \right) + \psi \left( - \frac { \alpha } { 2 } \right) - \psi \left( \alpha \right) - \psi \left( - \alpha \right) \right) .
\begin{array} { r } { N u - 1 \sim \frac { \widetilde \epsilon _ { \theta } } { \kappa \, \Delta ^ { 2 } / L ^ { 2 } } \sim \frac { \theta ^ { 2 } } { \Delta ^ { 2 } } \frac { L } { \ell } \frac { u L } { \nu } \frac { \nu } { \kappa } . } \end{array}
C ^ { \alpha } ( \mathbf { r } - \mathbf { r ^ { \prime } } , t ) = [ \langle S _ { \mathbf { r } } ^ { \alpha } ( t ) S _ { \mathbf { r ^ { \prime } } } ^ { \alpha } ( 0 ) \rangle - \langle S _ { \mathbf { r } } ^ { \alpha } ( t ) \rangle \langle S _ { \mathbf { r ^ { \prime } } } ^ { \alpha } ( 0 ) \rangle ] .
\begin{array} { r l } { \Delta t } & { > \frac { 3 T _ { 3 } } { 4 } - t _ { 1 } , } \\ { \xi ( t _ { 2 } ) \frac { \partial ^ { j } w } { \partial x ^ { j } } ( x , t _ { 2 } ) - \xi ( t _ { 1 } ) \frac { \partial ^ { j } w } { \partial x ^ { j } } ( x , t _ { 1 } ) } & { = \xi \bigg ( \frac { 3 T _ { 3 } } { 4 } \bigg ) \frac { \partial ^ { j } w } { \partial x ^ { j } } \bigg ( x , \frac { 3 T _ { 3 } } { 4 } \bigg ) - \xi ( t _ { 1 } ) \frac { \partial ^ { j } w } { \partial x ^ { j } } ( x , t _ { 1 } ) , } \end{array}
y ^ { 2 } \sim x ^ { 2 r } ( x - \beta _ { 0 1 } ) ^ { 2 } \cdots ( x - \beta _ { 0 , n _ { c } - r - 1 } ) ^ { 2 } ( x - \gamma _ { 0 } ) ( x - \kappa _ { 0 } ) , \qquad r = 0 , 1 , 2 , \ldots , [ n _ { f } / 2 ] .
\begin{array} { r l } { 1 } & { { } = | \exp [ \mathrm { i } ( - \tau _ { 1 } + \tau _ { 2 } ) ] \{ \exp [ \mathrm { i } \tau _ { 1 } ] ( \mathrm { i } \lambda + 1 ) - 2 \} + 2 | } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \omega c _ { \alpha } } \Im \{ \mathrm { t r } ( \mathbb { G } _ { \alpha } ( y , z _ { j } ) ) \} = \left\{ \begin{array} { r l r } & { \frac { C _ { \alpha } } { 4 \omega c _ { \alpha } } J _ { 0 } ( k _ { \alpha } | y - z _ { j } | ) , } & { d = 2 , } \\ & { \frac { C _ { \alpha } } { { 4 \pi } \omega c _ { \alpha } } \frac { \sin ( k _ { \alpha } | y - z _ { j } | ) } { | y - z _ { j } | } , } & { d = 3 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { a } _ { \sigma } | \alpha _ { \sigma } \rangle } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { - \frac { | \alpha _ { \sigma } | ^ { 2 } } { 2 } } \sum _ { n _ { \sigma } = 1 } ^ { \infty } \frac { \alpha ^ { n _ { \sigma } } } { \sqrt { n _ { \sigma } ! } } \sqrt { n _ { \sigma } } | n _ { \sigma } - 1 \rangle } \end{array}
\partial _ { \tau } P ( n , \tau ) = k _ { 1 } P ( n - 1 , \tau ) + [ k _ { 2 } ( n + 1 ) + k _ { 3 } ( n + 1 ) n ] P ( n + 1 , \tau ) - \left[ k _ { 1 } + n k _ { 2 } + k _ { 3 } n ( n - 1 ) \right] P ( n , \tau )
\begin{array} { r l r } { H _ { o p } } & { { } = } & { \sum _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } r \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \, h _ { \sigma ^ { \prime } \sigma } \, \hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \Sigma } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \xi } ) } & { { } = \Big \langle \Big ( \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \delta \rho _ { i } \Delta z _ { i } \Big ) ^ { 2 } \Big \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \overline { { \mu } } \, \overline { { \nu } } } ^ { \alpha \beta } ( \theta ) } & { { } = \left| d _ { \alpha , \overline { { \mu } } } ^ { ( a ) } ( \theta ) \, d _ { \beta , \overline { { \nu } } } ^ { ( b ) } ( \theta ) \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \overline { { \Delta t } } } } } & { = \left\{ \Delta t _ { 1 : K _ { p } } ^ { \, i = 1 } , . . . , \Delta t _ { 1 : K _ { p } } ^ { N } \right\} , } \\ { \overline { { \overline { { \mathcal { W } } } } } } & { = \left\{ \mathcal { W } _ { 1 : K _ { p } } ^ { \, i = 1 } , . . . , \mathcal { W } _ { 1 : K _ { p } } ^ { N } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \widetilde { \Sigma } } ( 4 \pi t _ { 0 } ) ^ { - { N - 1 } / 2 } e ^ { - \frac { | x - x _ { 0 } | ^ { 2 } + ( z - z _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 t _ { 0 } } } d \mathcal { H } ^ { N } ( x , z ) } \\ & { = \int _ { \tau = 2 \tau _ { 0 } } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } } ( 4 \pi t _ { 0 } ) ^ { - { N - 1 } / 2 } e ^ { \frac { - | x - x _ { 0 } | ^ { 2 } } { 4 t _ { 0 } } } \frac { 1 } { | \nabla _ { \Sigma } z | } d \mathcal { H } ^ { N - 1 } ( x ) e ^ { - \frac { ( \tau - \tau _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 t _ { 0 } } } d \mathcal { H } ^ { 1 } ( \tau ) } \\ & { \leq 2 ( \lambda [ S ] + 1 ) \int _ { \tau = 2 \tau _ { 0 } } ^ { \infty } ( 4 \pi t _ { 0 } ) ^ { - 1 / 2 } e ^ { - \frac { ( \tau - \tau _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 t _ { 0 } } } d \mathcal { H } ^ { 1 } ( \tau ) \leq 2 ( \lambda [ S ] + 1 ) . } \end{array}
\int _ { y = 0 } ^ { 1 } \left( \int _ { x = 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \, { \mathrm { d } } x \right) \, { \mathrm { d } } y = - { \frac { \pi } { 4 } }
\begin{array} { r l } { P ( b , \sigma ) f } & { = ( \sigma ^ { - 2 } ( \dot { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 1 } ) - i \sigma ^ { - 1 } ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) ) + i \sigma ^ { - 1 } \big ( ( \dot { g } _ { 2 } , \dot { A } _ { 2 } ) + ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime } , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime } ) \big ) + i \sigma ^ { - 1 } ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( \sigma ) , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( \sigma ) ) } \\ & { : = \sigma ^ { - 2 } P ^ { 2 } ( b ) f + \sigma ^ { - 1 } P ^ { 1 } ( b ) f + \sigma ^ { - 1 } P ^ { e } ( b , \sigma ) f } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n \geq 1 } n ( 1 - \beta ) ^ { n - 1 } v _ { g , n } } & { = \frac { 2 ^ { g - 1 } } { p ( 1 - \beta ) } \sum _ { n \geq g } [ ( 1 - \beta ) p ( 1 - p ) ] ^ { n } \gamma _ { g , n } } \\ & { = \frac { 2 ^ { g - 1 } } { p ( 1 - \beta ) } \sum _ { n \geq g } \sum _ { i = 1 } ^ { n - g + 1 } \alpha _ { i } [ ( 1 - \beta ) p ( 1 - p ) ] ^ { i } \gamma _ { g - 1 , n - i } [ ( 1 - \beta ) p ( 1 - p ) ] ^ { n - i } , } \\ & { = \frac { 2 ^ { g - 1 } } { p ( 1 - \beta ) } \left( \sum _ { n \geq 1 } \alpha _ { n } [ ( 1 - \beta ) p ( 1 - p ) ] ^ { n } \right) \left( \sum _ { n \geq g - 1 } \gamma _ { g - 1 , n } [ ( 1 - \beta ) p ( 1 - p ) ] ^ { n } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d C _ { K - C a - C a - C a } } { d t } } & { { } = k _ { k 3 } C _ { K - C a - C a } C _ { C a } + k _ { d 4 } C _ { K - C a - C a - C a - C a } - k _ { d 3 } C _ { K - C a - C a - C a } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Gamma \left( \nu , z \right) = z ^ { \nu - 1 } e ^ { - z } \left( 1 + \frac { \nu - 1 } { z } + \mathcal { O } ( z ^ { - 2 } ) \right) \qquad \mathrm { f o r } \ \left| z \right| \to \infty \ . } \end{array}
\mathrm { [ } \hat { \Lambda } _ { n } , \hat { \Lambda } _ { m } ] = [ \hat { \Lambda } _ { n } ^ { \dagger } , \hat { \Lambda } _ { m } ^ { \dagger } ] = 0 ; \, \, \, [ \hat { \Lambda } _ { n } \, \, , \, \, \hat { \Lambda } _ { m } ^ { \dagger } ] = \frac { R } { \pi } \delta _ { n , m } .
\begin{array} { r l } { \Tilde { f } ( t , \mathbf { x } , \mathbf { u } ) } & { { } = n \exp \left( \frac { \operatorname* { P r } v _ { x } } { A } \psi _ { 1 } ( \mathbf { u } ) - \frac { \operatorname* { P r } } { 2 A } \psi _ { 2 } ( \mathbf { u } ) - \frac { \operatorname* { P r } } { B } \psi _ { 3 } ( \mathbf { u } ) + \log \left( \frac { \operatorname* { P r } ^ { 3 } } { 2 A B ^ { 2 } \pi ^ { 3 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } - \frac { \operatorname* { P r } v _ { x } ^ { 2 } } { 2 A } \right) } \\ { A } & { { } = \frac { k _ { B } n \operatorname* { P r } T + ( \operatorname* { P r } - 1 ) \sigma _ { x x } } { n m } ; \quad B = \frac { 2 k _ { B } n \operatorname* { P r } T + ( 1 - \operatorname* { P r } ) \sigma _ { x x } } { n m } , } \end{array}
d \tau = \sum _ { I \in { \mathcal { J } } _ { k , n } } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \frac { \partial a _ { I } } { \partial x ^ { j } } } \, d x ^ { j } \right) \wedge d x ^ { I } \in \Omega ^ { k + 1 } ( M )
| \psi ^ { \prime } \rangle = { \left( \begin{array} { l } { \cos \theta \exp \left( i \alpha _ { x } \right) } \\ { \sin \theta \exp \left( i \alpha _ { y } \right) } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { \exp \left( i \alpha _ { x } \right) } & { 0 } \\ { 0 } & { \exp \left( i \alpha _ { y } \right) } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { \cos \theta } \\ { \sin \theta } \end{array} \right) } \ { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ { \hat { U } } | \psi \rangle .
\begin{array} { l c l } { { { \mathcal L } _ { 3 } ^ { ( 0 , 3 ) } } } & { { = } } & { { p ^ { 3 } + u _ { 2 } p + ( u _ { 3 } - \theta u _ { 2 } ^ { \prime } ) } } \\ { { { \tilde { \mathcal L } } _ { - 3 } ^ { ( - 3 , - 1 ) } } } & { { = } } & { { { v _ { 0 } \star p } ^ { - 3 } + v _ { - 1 } \star p ^ { - 2 } + v _ { - 2 } \star p ^ { - 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { X } & { { } \equiv { \sqrt { 1 5 3 4 7 } } - 1 2 4 } & { \equiv 8 - 1 2 4 } & { { } \equiv 3 { \pmod { 1 7 } } } \\ { X } & { { } \equiv { \sqrt { 1 5 3 4 7 } } - 1 2 4 } & { \equiv 1 1 - 1 2 4 } & { { } \equiv 2 { \pmod { 2 3 } } } \\ { X } & { { } \equiv { \sqrt { 1 5 3 4 7 } } - 1 2 4 } & { \equiv 8 - 1 2 4 } & { { } \equiv 0 { \pmod { 2 9 } } } \end{array}
V _ { 1 } ( T \neq 0 ) = \frac { T ^ { 4 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \sum _ { i } n _ { i } \int _ { 0 } ^ { \infty } d x x ^ { 2 } \ln \left( 1 \mp e ^ { - \sqrt { x ^ { 2 } + z _ { i } } } \right) ,
\langle \delta \boldsymbol { a } _ { c } ^ { 2 } \rangle \ge \langle \delta \boldsymbol { a } _ { c _ { S } } ^ { 2 } \rangle \approx \langle \delta \boldsymbol { a } _ { l } ^ { 2 } \rangle \gg \langle \delta \boldsymbol { a } _ { c _ { I } } ^ { 2 } \rangle = \langle \delta \boldsymbol { a } _ { p } ^ { 2 } \rangle \approx \langle \delta \boldsymbol { a } ^ { 2 } \rangle \gg \langle \delta \boldsymbol { a } _ { \nu } ^ { 2 } \rangle \gg \langle \delta \boldsymbol { f } ^ { 2 } \rangle ,
\begin{array} { r l } { D _ { a } ^ { \alpha } f ( x ) } & { = \frac { \Gamma ( 4 ) } { \Gamma ( 4 - \alpha ) } ( x - a ) ^ { 3 - \alpha } + \frac { \Gamma ( 3 ) } { \Gamma ( 3 - \alpha ) } c _ { 1 } ( x - a ) ^ { 2 - \alpha } + \frac { \Gamma ( 2 ) } { \Gamma ( 2 - \alpha ) } c _ { 2 } ( x - a ) ^ { 1 - \alpha } + \frac { \Gamma ( 1 ) } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } c _ { 3 } ( x - a ) ^ { - \alpha } } \\ & { = \frac { ( x - a ) ^ { - \alpha } } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } \left( \frac { 2 4 } { ( 3 - \alpha ) ( 2 - \alpha ) ( 1 - \alpha ) } ( x - a ) ^ { 3 } + \frac { 6 c _ { 1 } } { ( 2 - \alpha ) ( 1 - \alpha ) } ( x - a ) ^ { 2 } + \frac { c _ { 2 } } { ( 1 - \alpha ) } ( x - a ) + c _ { 3 } \right) } \end{array}
\Delta \varphi = - \left( 4 { \psi } f ^ { \prime } + { \frac { 2 } { 3 } } \psi ^ { 2 } f ^ { \prime \prime \prime } \right) \Big / \left( { \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } } - f ^ { \prime } + { \frac { 1 } { 1 2 } } { \psi } f ^ { \prime \prime \prime } \right) .
\begin{array} { r l } & { \eta _ { t } + \nabla \cdot [ ( D + \eta ) \mathbf { u } ] = 0 \ , } \\ & { { \bf u } _ { t } + g \nabla \eta + ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } - \frac { 1 } { 2 } D \nabla ( \nabla \cdot ( D \mathbf { u } _ { t } ) ) + \frac { 1 } { 6 } D ^ { 2 } \nabla ( \nabla \cdot \mathbf { u } _ { t } ) = 0 \ , } \end{array} \qquad \mathrm { ( P e r e g r i n e ) }
\begin{array} { r l } { \tau _ { 2 } } & { \leq \sum _ { \ell = 0 } ^ { K - 1 } \left[ C _ { 5 } \left( \sqrt { n _ { 1 } n _ { 2 } } + n _ { 1 } \right) \omega _ { \sf m a x } ^ { 2 } \log ^ { 2 } n \right] ^ { \ell + 2 } \cdot C _ { 3 } \sqrt { \frac { \mu r } { n _ { 2 } } } \left( C _ { 3 } \left( \sqrt { n _ { 1 } n _ { 2 } } + n _ { 1 } \right) \omega _ { \sf m a x } ^ { 2 } \log ^ { 2 } n \right) ^ { K - 1 - \ell } \sqrt { n _ { 2 } } \omega _ { \sf m a x } \log n } \\ & { \leq \sum _ { \ell = 0 } ^ { K - 1 } \frac { 1 } { 2 ^ { \ell + 2 } } C _ { 3 } \sqrt { \frac { \mu r } { n _ { 2 } } } \left( C _ { 3 } \left( \sqrt { n _ { 1 } n _ { 2 } } + n _ { 1 } \right) \omega _ { \sf m a x } ^ { 2 } \log ^ { 2 } n \right) ^ { K + 1 } \sqrt { n _ { 2 } } \omega _ { \sf m a x } \log n } \\ & { \leq \frac { C _ { 3 } } { 2 } \sqrt { \frac { \mu r } { n _ { 2 } } } \left( C _ { 3 } \left( \sqrt { n _ { 1 } n _ { 2 } } + n _ { 1 } \right) \omega _ { \sf m a x } ^ { 2 } \log ^ { 2 } n \right) ^ { K + 1 } \sqrt { n _ { 2 } } \omega _ { \sf m a x } \log n , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { d , w \in \mathbb { Z } _ { + } ^ { m } } } & { \operatorname* { m i n } \{ \mathcal { P } _ { a } ( d ) \mathcal { P } _ { \hat { a } } ( w ) p , \mathcal { P } _ { b } ( d ) \mathcal { P } _ { \hat { b } } ( w ) \hat { p } \} } \\ { \leq } & { \operatorname* { m a x } \{ p , \hat { p } \} \sum _ { d , w \in \mathbb { Z } _ { + } ^ { m } } \operatorname* { m i n } \{ \mathcal { P } _ { a } ( d ) \mathcal { P } _ { \hat { a } } ( w ) , \mathcal { P } _ { b } ( d ) \mathcal { P } _ { \hat { b } } ( w ) \} } \\ { \leq } & { \operatorname* { m a x } \{ p , \hat { p } \} \exp \bigg ( - \sum _ { i } \big [ t a _ { i } + ( 1 - t ) b _ { i } - a _ { i } ^ { t } b _ { i } ^ { 1 - t } \big ] \bigg ) } \\ & { \times \exp \bigg ( - \sum _ { i } \big [ t \hat { a } _ { i } + ( 1 - t ) \hat { b } _ { i } - \hat { a } _ { i } ^ { t } \hat { b } _ { i } ^ { 1 - t } \big ] \bigg ) , } \end{array}
{ a _ { 1 } } = { \left( { \frac { { { J _ { 2 0 } } } } { { { I _ { 2 0 } } } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } , { a _ { 2 } } = { \left( { \frac { { { J _ { 0 2 } } } } { { { I _ { 0 2 } } } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) } & { { } = } & { \frac { 1 + K _ { 1 } x _ { 1 } + K _ { 2 } x _ { 2 } + K _ { 3 } x _ { 3 } + K _ { 4 } x _ { 4 } } { 1 6 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { i } ( x , y , z , t ) } & { = \overline { { \rho } } _ { i } ( z ) + \rho _ { i } ^ { \prime } ( x , y , z , t ) , \qquad i \in \{ d , v , c , m , r \} , } \\ { E ( x , y , z , t ) } & { = \overline { { E } } ( z ) + { E } ^ { \prime } ( x , y , z , t ) , } \\ { p ( x , y , z , t ) } & { = \overline { { p } } ( z ) + p ^ { \prime } ( x , y , z , t ) , } \end{array}
R _ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } g _ { \mu \nu } R = 8 \pi G \left( \frac { V } { \sqrt { 1 + \nabla _ { \alpha } T \nabla ^ { \alpha } T } } \, \, \nabla _ { \mu } T \, \, \nabla _ { \nu } T - g _ { \mu \nu } V \, \sqrt { 1 + \nabla _ { \alpha } T \nabla ^ { \alpha } T } \right) \ ,
\begin{array} { r l } { I _ { p _ { i } } } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \; d \tau \Big ( \left( \mathcal { X } - 3 \mathcal { A } ^ { 2 } \right) \mathcal { A } _ { p _ { i } } \left[ 2 v _ { r } \cos ( \Phi ) + 2 v _ { i } \sin ( \Phi ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \pi } { 4 } } = } & { { } 3 6 4 6 2 \arctan { \frac { 1 } { 3 9 0 1 1 2 } } + 1 3 5 9 0 8 \arctan { \frac { 1 } { 4 8 5 2 9 8 } } + 2 7 4 5 0 9 \arctan { \frac { 1 } { 6 8 3 9 8 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { L o s s } = } & { \frac { W _ { 1 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ u _ { \theta t } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) - v _ { \theta } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) \right] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { W _ { 2 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ v _ { \theta t } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) - u _ { \theta x x } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) \right] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { W _ { 3 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ u _ { \theta t x } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) - v _ { \theta x } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) \right] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { W _ { 4 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ u _ { \theta } ( x _ { t b } ^ { n } , 0 ) - 2 \, \mathrm { s e c h } ^ { 3 } \left( \frac { 3 } { \delta } _ { 0 } ( x _ { t b } ^ { n } - x _ { 0 } ) \right) \right] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { W _ { 5 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ v _ { \theta } ( x _ { t b } ^ { n } , 0 ) \right] ^ { 2 } + \frac { W _ { 6 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ u _ { \theta x } ( x _ { t b } ^ { n } , 0 ) + \frac { 1 8 \sinh ( ( 3 x _ { t b } ^ { n } - 3 x _ { 0 } ) / \delta _ { 0 } ) } { \delta _ { 0 } \cosh ^ { 4 } ( ( 3 x _ { t b } ^ { n } - 3 x _ { 0 } ) / \delta _ { 0 } ) } \right] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { W _ { 7 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left| v _ { \theta } ( 0 , t _ { s b } ^ { n } ) - v _ { \theta } ( 5 , t _ { s b } ^ { n } ) \right| + \frac { W _ { 8 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left| u _ { \theta x } ( 0 , t _ { s b } ^ { n } ) - u _ { \theta x } ( 5 , t _ { s b } ^ { n } ) \right| . } \end{array}