harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \Pi _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , \bar { j } ; i } = ( - 1 ) ^ { 2 ( j _ { 1 } + j _ { 2 } ) - i } \sqrt { [ 2 j _ { 1 } + 1 ] _ { 2 } [ 2 j _ { 2 } - 1 ] _ { 2 } ( 2 j _ { 1 } + 2 j _ { 2 } - 2 ) ( 2 \bar { j } + 3 ) ( 2 j _ { 1 } + 2 \bar { j } - 2 i + 1 ) } } \\ & { \times \left\{ \begin{array} { l l l } { j _ { 2 } - 1 } & { \bar { j } + 1 } & { j _ { 2 } + \bar { j } - i } \\ { j _ { 1 } + j _ { 2 } - \bar { j } - 3 } & { j _ { 1 } } & { j _ { 1 } + j _ { 2 } - 2 } \end{array} \right\} } \\ & { + \sum _ { k } ( - 1 ) ^ { 2 ( j _ { 1 } + j _ { 2 } ) - k } \sqrt { [ 2 j _ { 1 } + 1 ] _ { 2 } ( 2 j _ { 2 } + 1 ) ( 2 j _ { 2 } + 2 \bar { j } - 2 i + 1 ) ( 2 \bar { j } - k + 3 ) ( 2 j _ { 1 } - k ) } ( 2 \bar { j } + 2 ) } \\ & { \times ( 2 j _ { 1 } + 2 \bar { j } - 2 k + 3 ) \left\{ \begin{array} { l l l } { j _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } } & { \bar { j } + \frac { 3 } { 2 } } & { j _ { 1 } + \bar { j } + 1 - k } \\ { j _ { 1 } + j _ { 2 } - \bar { j } - 3 } & { j _ { 2 } - 1 } & { j _ { 1 } + j _ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { l l l } { \bar { j } + 1 } & { j _ { 2 } - 1 } & { j _ { 1 } + \bar { j } - i } \\ { j _ { 1 } + j _ { 2 } - \bar { j } - 3 } & { j _ { 1 } } & { j _ { 1 } + \bar { j } + 1 - k } \end{array} \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \cos \theta = ( \boldsymbol { \mathrm { e } } _ { z } ^ { \prime } \cdot \boldsymbol { \mathrm { e } } _ { z } ) , \qquad \sin \theta = ( \boldsymbol { \mathrm { e } } _ { y } ^ { \prime } \cdot \boldsymbol { \mathrm { e } } _ { z } ) , \qquad \cos \psi = ( \boldsymbol { \mathrm { e } } _ { x } ^ { \prime } \cdot \boldsymbol { \mathrm { e } } _ { x } ) , \qquad \sin \psi = ( \boldsymbol { \mathrm { e } } _ { x } ^ { \prime } \cdot \boldsymbol { \mathrm { e } } _ { y } ) . } \end{array}
\frac { d W } { d \Omega } \left( t \right) \approx \sum _ { s , s ^ { \prime } = 1 } ^ { N } K _ { s s ^ { \prime } } \mathrm { t r } \left\{ \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 1 } \left( t \right) \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } \left( t \right) \hat { \rho } \right\} .
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { \sigma } \frac { \partial \sigma } { \partial \epsilon } } & { { } } & { = \frac { 2 ( \epsilon + Q ) ( \epsilon ^ { 2 } + 1 ) - [ { ( \epsilon + Q ) } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } ] \cdot 2 \epsilon } { [ { ( \epsilon + Q ) } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } ] ( \epsilon ^ { 2 } + 1 ) } } \end{array}
: \prod _ { q } ^ { N } U ^ { \{ r _ { q } , r _ { v _ { q } } \} } ( z _ { v _ { q } } , z _ { q } ) : = : \prod _ { q } ^ { N } \prod _ { \{ v _ { q } \} } U ^ { r _ { v _ { q } } } ( z _ { v _ { q } } ) U ^ { r _ { q } ^ { \prime } } ( z _ { q } ) :
\hat { u } _ { \mathrm { ~ R ~ G ~ B ~ } } = ( u _ { \mathrm { ~ R ~ } } , u _ { \mathrm { ~ G ~ } } , u _ { \mathrm { ~ B ~ } } ) : = \frac { \int ( u _ { x } ^ { 2 } , u _ { y } ^ { 2 } , u _ { z } ^ { 2 } ) d A } { \int ( u _ { x } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 2 } + u _ { z } ^ { 2 } ) d A } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \Sigma _ { \tau } } \mathcal { E } _ { 1 + \epsilon } [ K \phi ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r = } & { \: \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r - 1 \geq ( 1 + \tau ) ^ { - 1 } \} } \mathcal { E } _ { 1 + \epsilon } [ K \phi ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r + \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r - 1 \leq ( 1 + \tau ) ^ { - 1 } \} } \mathcal { E } _ { 1 + \epsilon } [ K \phi ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r } \\ { \leq } & { \: ( 1 + \tau ) ^ { 2 \epsilon } \int _ { \Sigma _ { \tau } } \mathcal { E } _ { 1 - \epsilon } [ K \phi ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r } \\ & { \: + ( 1 + \tau ) ^ { - 2 + \epsilon } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r - 1 \leq ( 1 + \tau ) ^ { - 1 } \} } ( r - 1 ) ^ { - 5 + \epsilon } | \underline { { L } } K \phi | ^ { 2 } \, d \sigma d r } \end{array}
{ \bf D } _ { \mu } ( \sigma ) F = { \frac { \delta F } { \delta z ^ { \mu } ( \sigma ) } } = D _ { \mu } \, f _ { \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } } { \cal D } z ^ { \prime \rho _ { 1 } } { \cal D } z ^ { \prime \rho _ { 2 } } + 2 { \cal D } ^ { 2 } ( f _ { \mu \rho _ { 2 } } { \cal D } z ^ { \prime \rho _ { 2 } } ) - 2 f _ { \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } } z ^ { \prime \kappa } z ^ { \prime \lambda } R _ { \mu \kappa \lambda } ^ { { \, \, \, \, \, \, \, \, } \rho _ { 1 } } { \cal D } z ^ { \prime \rho _ { 2 } }
{ \frac { g _ { \tiny \mathrm { U V } } ^ { ( a ) } } { g _ { \tiny \mathrm { I R } } ^ { ( a ) } } } = { \frac { \sin { \frac { \pi a } { k + l + 2 } } } { \sin { \frac { \pi } { k + l + 2 } } } } { \frac { \sin { \frac { \pi } { l + 2 } } } { \sin { \frac { \pi ( a - k ) } { l + 2 } } } } .
\varepsilon \in \{ 1 \times 1 0 ^ { 0 } , 1 \times 1 0 ^ { - 1 } , 1 \times 1 0 ^ { - 2 } , 1 \times 1 0 ^ { - 3 } , 1 \times 1 0 ^ { - 4 } , 1 \times 1 0 ^ { - 5 } \}
\frac { \mathcal { A } _ { n } [ u ] } { \mathcal { A } _ { n - 1 } [ u ] } = \sqrt { \frac { \sum _ { j \ge 0 } { \alpha ^ { j } | U _ { N - j } ^ { ( m ) } | ^ { 2 } } } { \sum _ { j \ge 0 } { \alpha ^ { j } | U _ { N - 1 - j } ^ { ( m ) } | ^ { 2 } } } } .
\begin{array} { r l } { \bar { \bf F } \frac { d \bar { \bf r } } { d s } } & { = \bar { \bf F } \left( \frac { \cos \psi } { v ^ { 2 } } \frac { \partial v } { \partial \bar { \bf w } } + ( \cos \psi + { \bf h } \cdot { \bf q } ) \hat { \bf n } + \sum _ { \mathrm { i } = 1 } ^ { 2 } \hat { \bf e } _ { i } \frac { d q _ { i } } { d s } \right) \, ; } \\ { \frac { d \bar { \bf q } } { d s } } & { = \left[ \dot { \bf q } + \sin \psi { \bf a } _ { \phi } , 1 \right] + \frac { \cos \psi } { v ^ { 2 } } \frac { \partial v } { \partial \bar { \bf p } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \kappa ^ { 2 } \delta \chi \lambda + \chi ( 4 \eta + \lambda - \chi ) + ( \lambda + \chi ) \chi _ { \perp } \ge 0 } \\ & { } & { \kappa ^ { 4 } \delta \chi ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } - 2 \kappa ^ { 2 } \lambda \chi \delta \chi ( - 4 \eta + \lambda + \chi ) + 2 ( \lambda + \chi ) \chi _ { \perp } \left[ \kappa ^ { 2 } \delta \chi \lambda + \chi ( 4 \eta + \lambda - \chi ) \right] } \\ & { } & { + \chi \left[ 1 6 \eta ^ { 2 } \chi + 8 \eta \left( 2 \lambda ^ { 2 } + \lambda \chi - \chi ^ { 2 } \right) + \chi \left( - 3 \lambda ^ { 2 } - 2 \lambda \chi + \chi ^ { 2 } \right) \right] + ( \lambda + \chi ) ^ { 2 } \chi _ { \perp } ^ { 2 } \ge 0 , } \\ & { } & { \chi \ge 4 \eta - \kappa ^ { 2 } \delta \chi , } \\ & { } & { - \kappa ^ { 2 } \lambda \delta \chi + \chi ( - 4 \eta + 5 \lambda + \chi ) - ( \lambda + \chi ) \chi _ { \perp } > 0 , } \\ & { } & { - 2 \kappa ^ { 2 } \delta \chi \lambda - 4 \eta \lambda - 1 2 \eta \chi + 7 \lambda \chi - 3 ( \lambda + \chi ) \chi _ { \perp } + 3 \chi ^ { 2 } > 0 , } \end{array}
T _ { i _ { 1 } \cdots i _ { l } } ^ { n } = \frac { 1 } { \mathrm { K n } } \sum _ { n ^ { \prime } = 0 } ^ { + \infty } a _ { l n n ^ { \prime } } w _ { i _ { 1 } \cdots i _ { l } } ^ { n ^ { \prime } }
\frac { \langle 0 | 0 _ { V } \rangle _ { n } ( \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 0 } ) } { \langle 0 | 0 _ { V } \rangle _ { n } ( { \lambda } _ { 2 } ^ { \prime } , { \lambda } _ { 0 } ^ { \prime } ) } = \frac { 1 } { n ! } \left( R V \right) ^ { n } .
\begin{array} { r l } { C _ { k } ^ { i } } & { : = \big ( q _ { k } ^ { i } + \sum _ { j \in - i } r _ { k } ^ { i j } ( \eta _ { k } ^ { j } ) ^ { 2 } \big ) + \alpha _ { k + 1 } ^ { i } \big ( a _ { k } + \sum _ { j \in - i } b _ { k } ^ { j } \eta _ { k } ^ { j } \big ) ^ { 2 } - \alpha _ { k } ^ { i } - \frac { ( B _ { k } ^ { i } ) ^ { 2 } } { A _ { k } ^ { i } } , } \\ { D _ { k } ^ { i } } & { : = r _ { k } ^ { i i } + \bar { r } _ { k } ^ { i i } + \bar { \alpha } _ { k + 1 } ^ { i } ( b _ { k } ^ { i } + \bar { b } _ { k } ^ { i } ) ^ { 2 } , } \\ { F _ { k } ^ { i } } & { : = \bar { \alpha } _ { k + 1 } ^ { i } \big ( a _ { k } + \bar { a } _ { k } + \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \delta _ { k } ^ { j } \big ) ( b _ { k } ^ { i } + \bar { b } _ { k } ^ { i } ) , } \\ { G _ { k } ^ { i } } & { : = ( b _ { k } ^ { i } + \bar { b } _ { k } ^ { i } ) \Big ( \bar { \alpha } _ { k + 1 } ^ { i } \big ( \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \bar { \delta } _ { k } ^ { j } + c _ { k } \big ) + \beta _ { k + 1 } ^ { i } \Big ) - { \mu _ { k } ^ { i \star } } ^ { \prime } \bar { n } _ { k } ^ { i i } , } \\ { L _ { k } ^ { i } } & { : = ( q _ { k } ^ { i } + \bar { q } _ { k } ^ { i } ) + \sum _ { j \in - i } ( r _ { k } ^ { i j } + \bar { r } _ { k } ^ { i j } ) ( \delta _ { k } ^ { j } ) ^ { 2 } - \bar { \alpha } _ { k } ^ { i } } \\ & { + \bar { \alpha } _ { k + 1 } ^ { i } \big ( a _ { k } + \bar { a } _ { k } + \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \delta _ { k } ^ { j } \big ) ^ { 2 } - \frac { ( F _ { k } ^ { i } ) ^ { 2 } } { D _ { k } ^ { i } } , } \\ { M _ { k } ^ { i } } & { : = \sum _ { j \in - i } ( r _ { k } ^ { i j } + \bar { r } _ { k } ^ { i j } ) \delta _ { k } ^ { j } \bar { \delta } _ { k } ^ { j } - { \mu _ { k } ^ { i \star } } ^ { \prime } \big ( \bar { m } _ { k } ^ { i } + \sum _ { j \in - i } \bar { n } _ { k } ^ { i j } \delta _ { k } ^ { j } \big ) } \\ & { + \big ( a _ { k } + \bar { a } _ { k } + \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \delta _ { k } ^ { j } \big ) \big ( \bar { \alpha } _ { k + 1 } ^ { i } \big ( \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \bar { \delta } _ { k } ^ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { E _ { 2 } , \Bar 3 } ( \vec { R } , \vec { r } ) = \, } & { \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { B } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 0 } } + \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { A } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 0 } } } \\ { - \, } & { \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { C } } \Big ( \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 1 } } + \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 2 } } \Big ) . } \end{array}
V _ { 1 } = ( 0 ( - { \frac { 1 } { 3 } } ) ^ { 3 } \vert \theta ^ { 3 } \vert \vert \theta ^ { 3 } \vert { \frac { 1 } { 3 } } { \frac { 1 } { 3 } } { \frac { 2 } { 3 } } 0 ^ { 5 } \vert 0 ^ { 8 } ) ~ .
{ \cal L } _ { F } ^ { ( 2 ) } = \frac { \mathrm { i } } { 2 } ( \theta _ { i } \tilde { { \cal D } } _ { 0 } \theta ^ { i } + \eta _ { i } \tilde { { \cal D } } _ { 0 } \eta ^ { i } - 2 \mathrm { i } \eta _ { i } e _ { 0 } ^ { i } { } _ { j } \eta ^ { j } ) + e ^ { 2 \phi } \eta ^ { i } C _ { i j } ^ { \prime } \tilde { { \cal D } } _ { 1 } \theta ^ { j } + h . c . \ ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial { \bf u } } { \partial t } + ( { \bf u } \cdot \nabla ) { \bf u } } & { { } = } & { - \nabla ( { p } / { \rho } ) + \nu \nabla ^ { 2 } { \bf u } + { \bf F } _ { u } ( { \bf B , B } ) + { \bf F } _ { \mathrm { e x t } } , } \\ { \frac { \partial { \bf B } } { \partial t } + ( { \bf u } \cdot \nabla ) { { \bf B } } } & { { } = } & { \eta \nabla ^ { 2 } { { \bf B } } + { \bf F } _ { B } ( { \bf B , u } ) , } \\ { \nabla \cdot { \bf u } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \nabla \cdot { \bf B } } & { { } = } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { p q } = } & { { } \phantom { + } ~ \frac { 1 } { V _ { \mathrm { ~ U ~ C ~ } } } \sum _ { \vec { L } } \sum _ { I } \left[ \frac { \partial E _ { \textrm { T } } } { \partial R _ { I , p } ^ { \vec { L } } } + \frac { \partial E _ { \textrm { J } } } { \partial R _ { I , p } ^ { \vec { L } } } + \frac { \partial E _ { \textrm { N N } } } { \partial R _ { I , p } ^ { \vec { L } } } \right] R _ { I , q } ^ { \vec { L } } } \end{array}
M _ { 1 / 2 } \geq 1 . 8 \times 1 0 ^ { 5 } \frac { \lambda ^ { 1 . 7 5 } R \sqrt { \psi _ { 2 } ( \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } ) } } { ( \eta _ { D } + \psi _ { 1 } R ) ^ { 1 . 5 } } .
0 \leq \frac { T _ { 2 } N ^ { 2 r } h _ { n } - u _ { 2 } N q p _ { n + 1 } ^ { \prime } h _ { n } } { T _ { 2 } N ^ { 2 r } h _ { n } } \leq \frac { N q p _ { n + 1 } ^ { \prime } h _ { n } } { T _ { 2 } N ^ { 2 r } h _ { n } } \leq \frac { \int f \, \mathrm { d } \mu } { N ^ { 2 ( r - \tilde { r } ) - 1 } } \leq \frac { \int f \, \mathrm { d } \mu } { N } .
D ( z ) = \frac { 8 \alpha _ { s } ^ { 2 } } { 2 7 \pi } \; \frac { | R ( 0 ) | ^ { 2 } } { M ^ { 3 } r ^ { 2 } ( 1 - r ) ^ { 2 } } \; \frac { z ^ { 2 } ( 1 - z ) ^ { 2 } } { ( 1 - ( 1 - r ) z ) ^ { 6 } } [ ( 1 + r ^ { 2 } ) ( 1 + ( 1 - r ) ^ { 2 } z ^ { 2 } ) - 2 ( 1 - r ) ^ { 2 } ( 1 + r ) z ] ,
\Theta ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \cos ( \frac { \pi } { 2 } t / t _ { \mathrm { m a x } } ) } & { t \leq t _ { \mathrm { m a x } } } \\ { 0 } & { t > t _ { \mathrm { m a x } } } \end{array} \right.
S _ { s e l f } = - \frac { e ^ { 2 } c } { 2 } \overline { { { \sum } } } _ { n , m , r , s } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t ^ { \prime } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x _ { 1 } ^ { \prime } [ j _ { n m } ^ { \mu } ( x _ { 1 } ) D ^ { c } ( x _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } ; t - t ^ { \prime } ) j _ { r s , { \mu } } ( x _ { 1 } ^ { \prime } )
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { E W } } = \sum _ { \psi } { \bar { \psi } } \gamma ^ { \mu } \left( i \partial _ { \mu } - g ^ { \prime } { \frac { 1 } { 2 } } Y _ { \mathrm { W } } B _ { \mu } - g { \frac { 1 } { 2 } } { \boldsymbol { \tau } } \mathbf { W } _ { \mu } \right) \psi
\begin{array} { r l } { \frac { \omega } { 2 } \left< h ^ { 2 } \right> } & { { } = \left< \int _ { - d } ^ { \eta } \left[ \frac { \partial v } { \partial x } - \frac { \partial u } { \partial y } \right] ( y + d ) \mathrm { d } y \right> = - \left< h \eta _ { x } { v } _ { \mathrm { s } } \right> - \left< h { u } _ { \mathrm { s } } \right> + { \psi } _ { \mathrm { s } } - { \psi } _ { \mathrm { b } } } \end{array}
u _ { 1 } ^ { \prime } ( \alpha _ { 1 } , 0 ) = \frac { r ^ { \gamma _ { p } } } { ( 1 - \alpha _ { 1 } ) ^ { \gamma _ { p } } + r ^ { \gamma _ { p } } } \left( 1 - \left( 1 + \frac { r } { 1 - \alpha _ { 1 } } \right) \frac { \gamma _ { p } ( 1 - \alpha _ { 1 } ) ^ { \gamma _ { p } } } { ( 1 - \alpha _ { 1 } ) ^ { \gamma _ { p } } + r ^ { \gamma _ { p } } } \right) \; ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { g r a d } _ { \mathsf { W F R } } \ell _ { N } \left( \rho \right) } & { = - \mathsf { d i v } \left( \nabla \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) \rho \right) + \rho \left( \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) - \int \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) \mathrm { d } \rho \right) } \\ & { = - \mathsf { d i v } \left( \nabla \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) \rho \right) + \rho \left[ 1 + \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { * } ^ { i } ( s _ { t } , a _ { t } ^ { 1 } , a _ { t } ^ { 2 } ) } & { = r ^ { i } ( s _ { t } , a _ { t } ^ { 1 } , a _ { t } ^ { 2 } ) + \gamma _ { i } \mathbb E _ { s _ { t } , a _ { t } ^ { 1 } , a _ { t } ^ { 2 } } \overline { \pi } _ { * } ^ { 1 } \overline { \pi } _ { * } ^ { 2 } Q _ { * } ^ { i } ( s _ { t + 1 } ) \ . } \end{array}
\epsilon _ { k i n } ( r , t ) = \frac { 1 } { 2 } \rho ( r , t ) u ^ { 2 } ( r , t ) , \qquad \Phi ( r , t ) = h ( r , t ) , \qquad \epsilon _ { t o t } ( r , t ) = \epsilon _ { k i n } ( r , t ) + \Phi ( r , t ) .
\displaystyle \frac { ( x _ { 1 } x _ { 4 } - x _ { 2 } x _ { 3 } ) ^ { 2 } } { ( x _ { 1 } x _ { 4 } + x _ { 2 } x _ { 3 } ) ^ { 2 } } , \displaystyle \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 3 } ^ { 2 } + 4 x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } x _ { 4 } + x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 4 } ^ { 2 } + x _ { 3 } ^ { 2 } x _ { 4 } ^ { 2 } } { ( x _ { 1 } x _ { 4 } + x _ { 2 } x _ { 3 } ) ^ { 2 } }
\tilde { F } ^ { * } = \bigcap _ { q \geq 0 } \tilde { F } _ { q } = ( F - \tilde { \beta } ) \setminus \bigcup _ { \substack { k \in \mathbb { Z } ^ { n } \setminus \{ 0 \} \, | k | _ { 1 } \leq K } } \Delta _ { c , \hat { q } } ( k , \frac { \tilde { \beta } } { | k | _ { 1 } ^ { \tau } } ) , \quad \tilde { G } ^ { * } = \bigcap _ { q \geq 0 } \tilde { G } _ { q } .
\begin{array} { r } { 2 \alpha \beta = 2 d _ { n + 1 } \| s _ { n + 1 } \| \le \frac { \theta d _ { n + 1 } ^ { 2 } } { \gamma _ { n + 1 } } + \frac { \gamma _ { n + 1 } } { \theta } \| s _ { n + 1 } \| ^ { 2 } \le \frac { \theta d _ { n + 1 } ^ { 2 } } { \gamma _ { n + 1 } } + \frac { 2 } { \theta } d _ { n + 1 } \| s _ { n + 1 } \| + \frac { 1 } { \theta } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \gamma _ { k } d _ { k } ^ { 2 } \| g _ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { t _ { \mathrm { ~ n ~ l ~ } } ^ { - 1 } \sim \Omega _ { e } \left( \frac { \varepsilon } { \Omega _ { e } } \right) ^ { 1 / 3 } ( k _ { \perp } \rho _ { e } ) ^ { 4 / 3 } . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } y ( t ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } h ( \tau ) \sin \left( \omega ( t - \tau ) \right) d \tau \; = \int _ { 0 } ^ { \infty } h ( \tau ) \mathrm { I m } \left( e ^ { \mathrm { j } \omega ( t - \tau ) } \right) d \tau \; .
\tilde { T } _ { j } ( m , m ^ { \prime } ) = ( v _ { j } ^ { 2 } + a _ { j } ^ { 2 } ) \tilde { \cal C } _ { j } ( m , m ^ { \prime } ) + 2 v _ { j } a _ { j } \tilde { \cal S } _ { j } ( m , m ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } { u ( x , y , z , 0 ) } & { { } = \sin ( x ) \cos ( y ) \cos ( z ) , } \\ { v ( x , y , z , 0 ) } & { { } = - \cos ( x ) \sin ( y ) \cos ( z ) , } \\ { w ( x , y , z , 0 ) } & { { } = 0 . } \end{array}
\boldsymbol { \pi } _ { a ^ { \prime } + a _ { } } = \mathbf { v } _ { b ^ { \prime } } ^ { a _ { } / 2 } \left( a _ { } \Delta t { } \mathbf { f } _ { b ^ { \prime } } + \left[ \mathbf { 1 } { } + \frac { a _ { } } { 2 } \Delta t { } \mathbf { w } _ { b ^ { \prime } } \right] \boldsymbol { \pi } _ { a ^ { \prime } } \right)
\begin{array} { r l } { \langle \tilde { \vec { w } } ( \mathbf { k } , 0 ) , \tilde { \vec { w } } ( \mathbf { k } ^ { \prime } , t ) \rangle } & { { } = \langle \tilde { \vec { w } } _ { R } ( \mathbf { k } , 0 ) , \tilde { \vec { w } } _ { R } ( \mathbf { k } ^ { \prime } , t ) \rangle - \langle \tilde { \vec { w } } _ { I } ( \mathbf { k } , 0 ) , \tilde { \vec { w } } _ { I } ( \mathbf { k } ^ { \prime } , t ) \rangle } \end{array}
H _ { p } = - \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \operatorname { P } [ p _ { j } ] \ln \operatorname { P } [ p _ { j } ] = - \operatorname { P } [ p _ { 0 } ] \ln \operatorname { P } [ p _ { 0 } ] - 2 \cdot \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \operatorname { P } [ p _ { j } ] \ln \operatorname { P } [ p _ { j } ] \approx 0 . 5 3
V _ { u d } ^ { \ast } V _ { u b } ~ = ~ A \lambda ^ { 3 } ( \overline { { { \rho } } } - i \overline { { { \eta } } } ) , ~ V _ { c d } ^ { \ast } V _ { c b } ~ = ~ - ~ A \lambda ^ { 3 } , ~ V _ { t d } ^ { \ast } V _ { t b } ~ = ~ A \lambda ^ { 3 } ( 1 - \overline { { { \rho } } } + i \overline { { { \eta } } } )
\frac { 1 } { p } \left| \sum _ { \substack { j \in I ( i , x ( t ) ) \, j \neq i } } ( x ^ { i } - x ^ { j } ) \right| = \frac { 1 } { p } \sum _ { \substack { j \in I ( i , x ( t ) ) \, j \neq i } } ( x ^ { j } - x ^ { i } ) \geq \frac { 1 } { d } \operatorname* { m i n } _ { x ^ { m } \neq x ^ { n } } | x ^ { m } - x ^ { n } | \, .
X = ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } , \xi _ { 3 } , \xi _ { 4 } ) \leftrightarrow { \overrightarrow { ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } , \xi _ { 3 } , \xi _ { 4 } ) } } = ( x , y , z , t ) = { \overrightarrow { X } } .
\begin{array} { r l } { p _ { \theta } ( u _ { n } | D ) } & { = \int _ { z } p _ { \theta } ( u _ { n } \vert z , D ) p _ { \theta } ( z \vert D ) d z , } \\ { p _ { \theta } ( u _ { n } \vert z , D ) } & { = p _ { \mathcal { N } } ( u _ { n } | \mu _ { n } , \sigma _ { n } ^ { 2 } ) , } \\ { p _ { \theta } ( z | \mu _ { z } , \Sigma _ { z } ) } & { = p _ { \mathcal { N } } ( z | \mu _ { z } , \Sigma _ { z } ) , } \\ { \mu _ { n } , \sigma _ { n } } & { = f _ { \theta } ^ { u } ( x _ { n } , z , f _ { \theta } ^ { r } ( x _ { n } , D ) ) , } \\ { \mu _ { z } , \Sigma _ { z } } & { = f _ { \theta } ^ { z } ( D ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle E ^ { \prime \prime } ( u _ { h } ) v _ { h } , w _ { h } \rangle = \left( \begin{array} { l } { \mathbf { w } ^ { \mathrm { \tiny \mathrm { ~ R e } } } } \\ { \mathbf { w } ^ { \mathrm { \tiny \mathrm { ~ I m } } } } \end{array} \right) ^ { \top } \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { A } ( u _ { h } ) ^ { \mathrm { \tiny \mathrm { ~ R R } } } } & { \mathbf { A } ( u _ { h } ) ^ { \mathrm { \tiny \mathrm { ~ I R } } } } \\ { \mathbf { A } ( u _ { h } ) ^ { \mathrm { \tiny \mathrm { ~ R I } } } } & { \mathbf { A } ( u _ { h } ) ^ { \mathrm { \tiny \mathrm { ~ I I } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mathbf { v } ^ { \mathrm { \tiny \mathrm { ~ R e } } } } \\ { \mathbf { v } ^ { \mathrm { \tiny \mathrm { ~ I m } } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Q _ { \mathrm { W } - 1 } = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } Q _ { \mathrm { W } + j } ( 1 - \mu _ { + j , \mathrm { W } } ) \le \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } Q _ { \mathrm { W } + j } \le \frac { 1 } { e _ { 2 } } , } \\ & { \Rightarrow Q _ { \mathrm { W } - j } = Q _ { \mathrm { W } - 1 } \prod _ { k = 1 } ^ { j - 1 } ( 1 - \mu _ { - k , \mathrm { W } } ) \le \frac { 1 } { e _ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j - 1 } , } \\ & { \Rightarrow \sum _ { j = j _ { \operatorname* { m a x } } + 1 } ^ { \infty } ( Q _ { \mathrm { W } - j } - \hat { Q } _ { \mathrm { W } - j } ) = \sum _ { j = j _ { \operatorname* { m a x } } + 1 } ^ { \infty } Q _ { \mathrm { W } - j } \le \sum _ { j = j _ { \operatorname* { m a x } } + 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { e _ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j - 1 } = \frac { 1 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ^ { * } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \underline { { \tau } } _ { \partial i } ^ { ( i ) } , \{ s _ { l i } \} _ { l \in \partial i } , x _ { i } ^ { 0 } ) } & { = \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , I } \delta _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } , 0 } + \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \prod _ { l \in \partial i } \mathbb { I } [ \tau _ { i } ^ { ( j ) } \leq \tau _ { l } ^ { ( i ) } + s _ { l i } ] - \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \mathbb { I } [ \tau _ { i } ^ { ( j ) } < T + 1 ] \prod _ { l \in \partial i } \mathbb { I } [ \tau _ { i } ^ { ( j ) } < \tau _ { l } ^ { ( i ) } + s _ { l i } ] } \end{array}
\left. e ^ { - \tilde { E } _ { \beta } \, ( a , q ) } \leq e ^ { - E _ { \beta } \, ( a , q ) } \ \ \ \ \ \ \mathrm { w i t h } \ \ \ \ \ \ \ E _ { \beta } \, ( a , q ) = q a - \frac { n _ { b } } { \beta } \, c \, e ^ { 2 \pi | a | } \ . \right.
\begin{array} { r l r } { \pi _ { 0 , 1 } ^ { \top } } & { = } & { [ 0 . 0 0 8 , 0 . 4 9 3 , 0 , 0 . 4 9 3 , 0 . 0 0 7 ] } \\ { \pi _ { 0 , 2 } ^ { \top } } & { = } & { [ 0 . 1 \bar { 6 } , 0 . \bar { 3 } , 0 , 0 . \bar { 3 } , 0 . 1 \bar { 6 } ] } \\ { \pi _ { 0 , 3 } ^ { \top } } & { = } & { [ 0 . 1 \bar { 6 } , 0 . 0 8 \bar { 3 } , 0 . 2 5 , 0 . 1 \bar { 6 } , 0 . \bar { 3 } ] } \\ { \pi _ { 0 , 4 } ^ { \top } } & { = } & { [ 0 . 2 8 4 , 0 . 0 7 2 , 0 . 2 1 5 , 0 . 1 4 3 , 0 . 2 8 7 ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v - \frac { c \sigma \hat { \lambda } _ { n } } { 2 } - \frac { 2 \ell ^ { 2 } \sigma } { c \lambda _ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 \eta } \geq 0 , } \\ & { r - r ( 1 + \sigma ) \sqrt { \delta } - \frac { 2 \lambda _ { n } ^ { 2 } c \sigma ( 1 + \sqrt { \delta } ) } { \lambda _ { 2 } } - \sqrt { \delta } c \lambda _ { n } - \frac { c \lambda _ { n } } { 2 } \geq 0 } \\ & { \frac { c \hat { \lambda } _ { 1 } } { 2 } - \frac { \eta \gamma ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 2 \delta \lambda _ { n } ^ { 2 } c \sigma } { ( 1 - \sqrt { \delta } ) \lambda _ { 2 } } - \frac { 4 c ^ { 2 } \sigma \hat { \lambda } _ { n } ^ { 2 } + 4 \sigma \gamma ^ { 2 } } { c \lambda _ { 2 } } , } \\ & { - \frac { ( 1 + \sigma ) r \delta } { 1 - \sqrt { \delta } } - \frac { \delta c \lambda _ { n } } { 1 - \sqrt { \delta } } \geq 0 } \end{array}
d s ^ { 2 } = - { \frac { ( r ^ { 2 } - r _ { + } ^ { 2 } ) } { \ell ^ { 2 } } } d t ^ { 2 } + { \frac { \ell ^ { 2 } d r ^ { 2 } } { ( r ^ { 2 } - r _ { + } ^ { 2 } ) } } + r ^ { 2 } d \phi ^ { 2 } ,