harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { H _ { t + 1 } } & { { } = A _ { t } } \\ { g _ { t + 1 } } & { { } = \frac { B _ { t } - H _ { t + 1 } ^ { 2 } } { C _ { t } - \bar { x } H _ { t + 1 } } } \\ { \mu _ { t + 1 } } & { { } = \bar { x } - \frac { H _ { t + 1 } } { g _ { t + 1 } } } \\ { \sigma _ { t + 1 } ^ { 2 } } & { { } = \hat { x } - \frac { B _ { t } - H _ { t + 1 } ^ { 2 } } { g _ { t + 1 } ^ { 2 } } , } \end{array}
P I _ { i } ^ { d } = 1 - [ ( 1 - P I _ { i } ^ { ' d } ) \times \prod _ { j = 1 \& j \ne i } ^ { n } ( 1 - p _ { i j } \times \beta _ { i } \times x _ { j } ^ { d } \times P I _ { j } ^ { ' d } ) ] .
\Psi ( a , \psi , \theta ) \, = \, \psi - \frac { 1 } { 2 } \, \theta ^ { \alpha \beta } \, a _ { \alpha } \mathrm { P } _ { - } \partial _ { \beta } \psi \, + \, \frac { i } { 8 } \, \theta ^ { \alpha \beta } \, [ a _ { \alpha } , a _ { \beta } ] \, \mathrm { P } _ { - } \psi \, + \, o ( \theta ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { \mathbb { E } ( \varepsilon _ { i } ^ { 2 } 1 _ { \{ \varepsilon _ { i } ^ { 2 } \geq \varepsilon n \widetilde c _ { i } / 4 \} } ) = \int _ { \varepsilon n \widetilde c _ { i } / 4 } ^ { \infty } \ensuremath { { \mathbb { P } } } ( \varepsilon _ { i } ^ { 2 } \geq s ) d s \leq 2 \int _ { \varepsilon n \widetilde c _ { i } / 4 } ^ { \infty } \exp ( - s / K _ { 1 } ) d s = 2 K _ { 1 } \exp \Big ( \frac { - \varepsilon n \widetilde c _ { i } } { 4 K _ { 1 } } \Big ) . } \end{array}
\delta a _ { e } = \frac { \alpha _ { X } } { \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { x ^ { 2 } ( 1 - x ) } { x ^ { 2 } + ( 1 - x ) \frac { m _ { X } ^ { 2 } } { m _ { e } ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = j _ { s - 1 } } ^ { j _ { s } - 1 } \| x _ { t _ { j } } \| } & { \leq \frac { 1 } { 1 - \sqrt { \gamma _ { 0 } / 2 } } \| x _ { t _ { j _ { s - 1 } } } \| + \frac { \beta w _ { \operatorname* { m a x } } } { 1 - \sqrt { \gamma _ { 0 } / 2 } } ( j _ { s } - j _ { s - 1 } - 1 ) } \\ { \sum _ { j = j _ { s - 1 } } ^ { j _ { s } - 1 } \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 1 } { 1 - \gamma _ { 0 } } \| x _ { t _ { j _ { s - 1 } } } \| ^ { 2 } + \frac { 2 \beta ^ { 2 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } } { 1 - \gamma _ { 0 } } ( j _ { s } - j _ { s - 1 } - 1 ) } \\ { \sum _ { j = j _ { s - 1 } } ^ { j _ { s } - 1 } \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 4 } } & { \leq \frac { 1 } { 1 - 2 \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } \| x _ { t _ { j _ { s - 1 } } } \| ^ { 4 } + \frac { 8 \beta ^ { 4 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 4 } } { 1 - 2 \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } ( j _ { s } - j _ { s - 1 } - 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta ^ { k + 1 } ( x + e _ { l } ) - \delta ^ { k + 1 } ( x ) } \\ { = } & { \tilde { \mu } [ \delta ^ { k } ( x ) - \delta ^ { k } ( ( x - e _ { l } ) ^ { + } ) ] } \\ { + } & { \tilde { \mu } [ \delta ^ { k } ( ( x + e _ { l } - e _ { m } ) ^ { + } ) - \delta ^ { k } ( ( x - e _ { m } ) ^ { + } ) ] } \\ { + } & { \tilde { \lambda } [ \delta ^ { k } ( x + e _ { l } + e _ { m } ) - \delta ^ { k } ( x + e _ { m } ) ] } \\ { + } & { g ^ { k } ( x + 2 e _ { l } ) - g ^ { k } ( x + e _ { l } + e _ { m } ) - g ^ { k } ( x + e _ { l } ) + g ^ { k } ( x + e _ { m } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \small } & { { } \int _ { \Omega _ { 2 D } } \varepsilon _ { 0 } \nabla _ { 2 D } \hat { V } _ { k } ^ { n + 1 } \cdot \nabla _ { 2 D } \omega + \beta _ { k } ^ { 2 } \int _ { \Omega _ { 2 D } } \varepsilon _ { 0 } \hat { V } _ { k } ^ { n + 1 } \omega = - \int _ { \Omega _ { 2 D } } \hat { \textbf { R } } _ { k } \cdot \nabla \omega - \int _ { \Omega _ { 2 D } } \hat { f } _ { V , k } ^ { n + 1 } \omega , \quad \forall \omega ( x , y ) , } \end{array}
J _ { 1 } ( i , j , 0 , 0 ; m ) = C ^ { ( 4 ) } \; _ { 3 } F _ { 2 } \left( \left. \begin{array} { l l l } { { - i , } } & { { - j , } } & { { - i - j - \frac { D } { 2 } , } } \\ { { \quad \frac { - i - j } { 2 } , } } & { { \quad \frac { 1 - i - j } { 2 } } } \end{array} \right| \frac { t } { 4 m ^ { 2 } } \right)
\operatorname* { s u p } _ { t \in [ t _ { 0 } , \tau ] } \Vert \Delta _ { h } ( t ) \Vert _ { V } \leq ( 1 - k _ { r } ( t _ { 0 } , \tau ) ) ^ { - 1 } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ t _ { 0 } , \tau ] } \left\Vert \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } e ^ { ( t - s ) \mathcal { A } _ { U } } \mu _ { h } ( s ) d s \right\Vert _ { V } .
\left. \Delta E _ { U 6 } ^ { ( 6 ) } \right| _ { L \ge 1 } = \left\langle U _ { 6 } ( r ) \right\rangle _ { L \ge 1 } = - \alpha ^ { 6 } \mu \frac { c ^ { 2 } } { 2 N ^ { 3 } L ( L + 1 ) ( 2 L + 1 ) }
\begin{array} { r l r l r l } & { \underset { X \in \mathbb { R } _ { \mathrm { c } } ^ { \theta - 1 } } { \mathrm { m i n i m i z e } } } & & { \left\lVert g _ { \theta } ( t ) - g _ { \theta - 1 } ( t ) \right\rVert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \approx \underset { X \in \mathbb { R } _ { \mathrm { c } } ^ { \theta - 1 } } { \mathrm { m i n i m i z e } } } & & { \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } \left( g _ { j , \theta } ^ { ( \theta ) } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
2 \delta _ { 0 p } = { \frac { \Gamma ( { \frac { 6 - p } { 2 } } ) } { 4 \pi ^ { \frac { 6 - p } { 2 } } } } ~ ( { \frac { l _ { s } } { b } } ) ^ { 6 - p } ~ n _ { p } ~ F _ { p } ( v ) ~ .
\begin{array} { r l r } { \delta S _ { - } ^ { \phi } } & { { } = } & { 2 \left\vert \widetilde { a } \left( s \right) \right\vert \left[ \left( \mathrm { R e } \; \delta \overline { { \phi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) \right) ^ { 2 } + \left( \mathrm { I m } \; \delta \overline { { \phi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) \right) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { l } { Q _ { 1 } ^ { \intercal } \mathbf { x } _ { k + 1 } } \\ { ( I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } Q _ { 1 } ^ { \intercal } \hat { \mathbf { r } } _ { k + 1 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \tilde { \Lambda } _ { 1 } } & { - \tilde { \Lambda } _ { 1 } \sqrt { I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } } } \\ { \sqrt { I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } } } & { \tilde { \Lambda } _ { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { Q _ { 1 } ^ { \intercal } \mathbf { x } _ { k } + Q _ { 1 } ^ { \intercal } \eta \left( \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } ) - \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) \right) } \\ { ( I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } Q _ { 1 } ^ { \intercal } \hat { \mathbf { r } } _ { k } } \end{array} \right) } \\ & { \quad + \left( \begin{array} { l } { \tilde { \Lambda } _ { 1 } Q _ { 1 } ^ { \intercal } \eta \hat { \mathbf { g } } _ { k } - ( I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } ) Q _ { 1 } ^ { \intercal } E _ { k } } \\ { \sqrt { I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } } Q _ { 1 } ^ { \intercal } \eta \hat { \mathbf { g } } _ { k } + \sqrt { I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } } Q _ { 1 } ^ { \intercal } E _ { k } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { \mathbf { 0 } } \\ { ( I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } Q _ { 1 } ^ { \intercal } \eta \left( \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k + 1 } ^ { \intercal } ) - \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } ) \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { 2 } = \frac { \alpha _ { 2 } E _ { 2 } ^ { i n c } + G ( d ) \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } E _ { 1 } ^ { i n c } } { 1 - G ^ { 2 } ( d ) \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } , \; I _ { 1 } = \alpha _ { 1 } \left( E _ { 1 } ^ { i n c } + G ( d ) I _ { 2 } \right) . \smallskip } \end{array}
( u , w , p , \Theta , \Phi ) ^ { T } = \epsilon \left( \left( U _ { 1 } ( x ) , W _ { 1 } ( x ) , P _ { 1 } ( x ) , \Theta _ { 1 } ( x ) , \Phi _ { 1 } ( x ) \right) ^ { T } e ^ { i k z } + c . c . \right) + O ( \epsilon ^ { 2 } ) ,
\frac { g ^ { 2 } } 2 \int d ^ { 4 } x d ^ { 4 } x ^ { \prime } \left\{ - \left[ \phi ( x ) \right] D \left( x , x ^ { \prime } \right) \left\{ \phi ( x ^ { \prime } ) \right\} + i \left[ \phi ( x ) \right] N \left( x , x ^ { \prime } \right) \left[ \phi ( x ^ { \prime } ) \right] \right\}
\begin{array} { r l } { \approx \ } & { { } - \frac { 1 } { 2 \hat { \nu } } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \mathrm { d } \eta \eta ^ { 2 } \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 2 } } ( t ) | ^ { 2 } e ^ { - i p _ { 1 } \eta } \left( e ^ { - \hat { \nu } t } - e ^ { - \hat { \nu } ( 2 \eta ) } \right) } \\ { \approx \ } & { { } \frac { 1 } { 2 \hat { \nu } ^ { 4 } } \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 2 } } ( t ) | ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { 2 } e ^ { - \xi x } \mathrm { d } x \ \ \left( x = \hat { \nu } \eta \ ; \xi = 2 + \frac { p _ { 1 } } { \hat { \nu } } i \right) } \\ { = \ } & { { } b _ { 1 , 0 } \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 2 } } ( t ) | ^ { 2 } \implies b _ { 1 , 0 } = \frac { 1 } { 8 \hat { \nu } ^ { 4 } \xi ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 8 \hat { \nu } ^ { 4 } } \left( 2 + \frac { p _ { 1 } } { \hat { \nu } } i \right) ^ { - 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { 0 } ( \Psi + Q \chi ) - \mathcal { F } _ { 0 } ( \Psi ) } & { = g ( Q \chi , \tilde { { \gamma } } ) = g ( \chi , Q \tilde { { \gamma } } ) = \frac \pi 3 g ( \chi , G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \gamma } , \mu _ { 2 } ( { \gamma } , { \gamma } ) ) ) } \\ & { = - \frac \pi 3 g ( G _ { - } \chi , \mu _ { 2 } ( { \gamma } , \mu _ { 2 } ( { \gamma } , { \gamma } ) ) ) = 0 . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \{ O _ { 1 } , O _ { 2 } , O _ { 3 } , O _ { 7 } , O _ { 1 0 } \} } \\ { \{ O _ { 4 } , O _ { 5 } , O _ { 6 } , O _ { 8 } , O _ { 9 } \} } \end{array} \right.
\nabla _ { h } \left( h \, \psi \left( x , \frac { x ^ { \prime } } { { \varepsilon _ { h } } } \right) \right) = \left[ \; h \, \nabla _ { x ^ { \prime } } \psi \left( x , \frac { x ^ { \prime } } { { \varepsilon _ { h } } } \right) + \frac { h } { { \varepsilon _ { h } } } \, \nabla _ { y } \psi \left( x , \frac { x ^ { \prime } } { { \varepsilon _ { h } } } \right) \; \right| \left. \; \partial _ { x _ { 3 } } \psi \left( x , \frac { x ^ { \prime } } { { \varepsilon _ { h } } } \right) \; \right]
\begin{array} { r l } { \mathbb { Q } _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( t ) } } } & { = \int _ { \Sigma } \imath ^ { * } \mathcal { J } _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( t ) } } - \int _ { \partial \Sigma } \overline { { \imath } } ^ { * } \overline { { \mathfrak { j } } } _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( t ) } } } \\ & { = \int _ { \Sigma } \imath ^ { * } \big ( \mathcal { J } _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } + \frac { 1 } { \gamma } \mathcal { J } _ { \mathtt { B } } ^ { \mathtt { ( t ) } } \big ) - \int _ { \partial \Sigma } \overline { { \imath } } ^ { * } \big ( \overline { { \mathfrak { j } } } _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } + \frac { 1 } { \gamma } \; \overline { { \mathfrak { j } } } _ { \mathtt { B } } ^ { \mathtt { ( t ) } } \big ) } \\ & { = \mathbb { Q } _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } + \frac { 1 } { \gamma } \mathbb { Q } _ { \mathtt { B } } ^ { \mathtt { ( t ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { 0 } \phi _ { j } ^ { * } / \sigma _ { 0 , n } ^ { 2 } ( Y - { Q _ { n } } ) - P _ { 0 } \phi _ { j } ^ { * } / \sigma _ { 0 , n } ^ { 2 } ( Y - { Q _ { 0 , n } } ) } & { = } & { - ( P _ { n } - P _ { 0 } ) \phi _ { j } ^ { * } / \sigma _ { n } ^ { 2 } ( Y - { Q _ { n } } ) } \\ & { } & { + P _ { 0 } \phi _ { j } ^ { * } ( \sigma _ { 0 n } ^ { - 2 } - \sigma _ { n } ^ { - 2 } ) ( Y - Q _ { n } ) + r _ { n } ^ { * } ( j ) . } \end{array}
\delta x ^ { \mu } = { \dot { x } } ^ { \mu } \xi \; , \; \; \delta e = \frac { d } { d \tau } \left( e \xi \right) \; , \; \; \delta b ^ { \mu } = \frac { d } { d \tau } \left( b ^ { \mu } \xi \right) \; , \; \; \delta \psi ^ { \mu } = \dot { \psi } ^ { \mu } \xi \; , \; \; \delta \chi = \frac { d } { d \tau } \left( \chi \xi \right) \; ,
\begin{array} { r l } { ( 1 - \frac { \tilde { c } _ { \kappa } } { \tilde { C } _ { \kappa } ( M + 4 ) } 2 ^ { - 2 l } ) \| u ^ { j _ { l } } ( t ) \| _ { \tilde { s } } } & { \leq ( 1 - \frac { \tilde { c } _ { \kappa } } { \tilde { C } _ { \kappa } ( M + 4 ) } 2 ^ { - 2 l } ) ^ { \frac 1 2 } \| u ^ { j _ { l } } ( t ) \| _ { \tilde { s } } \leq \| u ^ { j _ { l } } ( t ) \| _ { s , j _ { l + 1 } } } \\ & { \leq ( 1 + \frac { \tilde { c } _ { \kappa } } { \tilde { C } _ { \kappa } ( M + 4 ) } 2 ^ { - 2 l + 1 } ) ^ { \frac 1 2 } \| u ^ { j _ { l } } ( t ) \| _ { \tilde { s } } \leq ( 1 + \frac { \tilde { c } _ { \kappa } } { \tilde { C } _ { \kappa } ( M + 4 ) } 2 ^ { - 2 l } ) \| u ^ { j _ { l } } ( t ) \| _ { \tilde { s } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { x \in X } \frac { | B _ { 1 } ( x ) \cap U | } { | U | } \geq \int \frac { | B _ { 1 } ( x ) \cap U | } { | U | } \, d \mu ( x ) } \\ { = \frac { 1 } { | U | } \sum _ { u \in U } \int \mathbf { 1 } _ { u \in B _ { 1 } ( x ) } \, d \mu ( x ) } \\ { = \frac { 1 } { | U | } \sum _ { u \in U } \int \mathbf { 1 } _ { x \in B _ { 1 } ( u ) } \, d \mu ( x ) } \\ { = \frac { 1 } { | U | } \sum _ { u \in U } \mu ( B _ { 1 } ( u ) ) = b . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { c o l , 2 } } } & { \le \sum _ { z ^ { \hat { k } } \in A _ { \epsilon } ( X ^ { \hat { k } } | Y _ { t } ^ { k } , \hat { S } ^ { \hat { k } } ) } \operatorname* { P r } ( X _ { 2 } ^ { n } \in T ( z ^ { \hat { k } } ) ) } \\ & { = \sum _ { z ^ { \hat { k } } \in A _ { \epsilon } ( X ^ { \hat { k } } | Y _ { t } ^ { k } , \hat { S } ^ { \hat { k } } ) } \sum _ { x ^ { n } \in T ( z ^ { \hat { k } } ) } p _ { X ^ { n } } ( x ^ { n } ) } \\ & { \le \sum _ { z ^ { \hat { k } } \in A _ { \epsilon } ( X ^ { \hat { k } } | Y _ { t } ^ { k } , \hat { S } ^ { \hat { k } } ) } \sum _ { x ^ { n } \in T ( z ^ { \hat { k } } ) } 2 ^ { - n ( H ( X ) - \epsilon ) } } \\ & { = \sum _ { z ^ { \hat { k } } \in A _ { \epsilon } ( X ^ { \hat { k } } | Y _ { t } ^ { k } , \hat { S } ^ { \hat { k } } ) } | T ( z ^ { \hat { k } } ) | 2 ^ { - n ( H ( X ) - \epsilon ) } } \\ & { \le \sum _ { z ^ { \hat { k } } \in A _ { \epsilon } ( X ^ { \hat { k } } | Y _ { t } ^ { k } , \hat { S } ^ { \hat { k } } ) } 2 ^ { - n ( H ( X ) - \epsilon ) } 2 ^ { n \left[ H _ { b } ( \frac { \hat { k } } { n } ) + ( 1 - \frac { \hat { k } } { n } ) ( H ( X ) + \tilde { \epsilon } ) \right] } } \\ & { = | A _ { \epsilon } ( X ^ { \hat { k } } | Y _ { t } ^ { k } , \hat { S } ^ { \hat { k } } ) | 2 ^ { - \left[ \hat { k } H ( X ) - n \epsilon - H _ { b } ( \frac { \hat { k } } { n } ) - ( n - \hat { k } ) \tilde { \epsilon } \right] } } \\ & { \le 2 ^ { \hat { k } \left[ H ( X ) - \frac { I ( X ; Y ^ { S } , S ) } { 1 - \delta } + \epsilon \right] } 2 ^ { - \left[ \hat { k } H ( X ) - n \epsilon - n H _ { b } ( \frac { \hat { k } } { n } ) - ( n - \hat { k } ) \tilde { \epsilon } \right] } } \\ & { = 2 ^ { - n \left[ \frac { 1 - \delta - \epsilon } { 1 - \delta } I ( X ; Y ^ { S } , S ) - H _ { b } ( \delta + \epsilon ) - ( \delta + \epsilon ) ( \epsilon + \tilde { \epsilon } ) \right] } } \\ & { = 2 ^ { - n \left[ \frac { 1 - \delta - \epsilon } { 1 - \delta } I ( X ; Y ^ { S } , S ) - H _ { b } ( \delta + \epsilon ) - 2 \epsilon \right] } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c c c } { { l _ { 1 } } } & { { l _ { 2 } } } & { { l } } \\ { { { } } } & { { { } } } & { { } } \\ { { { \frac { L } { 2 } } } } & { { { \frac { L } { 2 } } } } & { { { \frac { L } { 2 } } } } \end{array} \right\} \sim { \frac { ( - 1 ) ^ { l _ { 1 } + l _ { 2 } + l } } { \sqrt { L + 1 } } } \left( \begin{array} { c c c } { { l _ { 1 } } } & { { l _ { 2 } } } & { { l } } \\ { { { } } } & { { { } } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) + O ( L ^ { - 3 / 2 } )
\mathbf { G } = e ^ { \mathbf { F } } = { \left[ \begin{array} { l l } { \dots } & { \mathbf { A } _ { d } ^ { - 1 } \mathbf { Q } _ { d } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { A } _ { d } ^ { \top } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| } & { \leqslant ( 1 + \epsilon / 2 ) \psi ^ { \prime } ( \tilde { f } ( x _ { k } ) ) ( f ( x _ { k } ) - f ( x _ { k + 1 } ) ) } \\ & { = ( 1 + \epsilon / 2 ) \psi ^ { \prime } ( \tilde { f } ( x _ { k } ) ) ( \tilde { f } ( x _ { k } ) - \tilde { f } ( x _ { k + 1 } ) ) } \\ & { \leqslant ( 1 + \epsilon / 2 ) ( \psi ( \tilde { f } ( x _ { k } ) ) - \psi ( \tilde { f } ( x _ { k + 1 } ) ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \Omega } ^ { \mathrm { ~ F ~ P ~ } } ( t \, | \, n _ { 0 } ) = - \sum _ { i = n _ { 0 } } ^ { \Omega - 1 } \frac { \mathrm { ~ d ~ } P _ { t } ( i \, | \, n _ { 0 } ) } { \mathrm { ~ d ~ } t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } \{ f \} ( \varphi ) = } & { { } \frac { \omega _ { N } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) } \frac { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \sin \big ( \theta ^ { \prime } + \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) } { D ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ { = } & { { } \frac { \omega _ { N } } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) } \frac { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \sin \big ( \theta ^ { \prime } + \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) } { D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ { \triangleq } & { { } J _ { 1 , 1 } \{ f \} ( \varphi ) + J _ { 1 , 2 } \{ f \} ( \varphi ) + J _ { 1 , 3 } \{ f \} ( \varphi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { p q } ( \omega ) } & { { } = \sum _ { n } \frac { \langle \Psi _ { 0 } ^ { N } | a _ { p } | \Psi _ { n } ^ { N + 1 } \rangle \langle \Psi _ { n } ^ { N + 1 } | a _ { q } ^ { \dagger } | \Psi _ { 0 } ^ { N } \rangle } { \omega - E _ { n } ^ { N + 1 } + E _ { 0 } ^ { N } } } \end{array}
( \partial _ { t } + i f ) u _ { 1 / 2 } = \frac { 1 } { h _ { 1 / 2 } } \left( K _ { u , 1 } \frac { u _ { 3 / 2 } - u _ { 1 / 2 } } { h _ { 1 } } - { u _ { \star } ^ { 2 } e _ { \tau } } \right)
\begin{array} { r l r } { \bar { A } _ { j j } } & { = } & { \left( S _ { 1 1 } ( l _ { 2 , j } ) \right) ^ { 2 } ( \overline { { p } } j ^ { 2 } + \overline { { q } } ) + \left( S _ { 2 1 } ( l _ { 2 , j } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \cos ^ { 2 } \left( \sqrt { \overline { { p } } j ^ { 2 } + \overline { { q } } } \Delta t \right) \left( \overline { { p } } j ^ { 2 } + \overline { { q } } \right) + \left( - \left( \overline { { p } } j ^ { 2 } + \overline { { q } } \right) ^ { 1 / 2 } \sin \left( \sqrt { \overline { { p } } j ^ { 2 } + \overline { { q } } } \Delta t \right) \right) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \overline { { p } } j ^ { 2 } + \overline { { q } } , } \end{array}
\tilde { \tau } _ { Q } = \left( \frac { \pi ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { R _ { 1 } } { R _ { 0 } } \frac { | \tilde { \xi } _ { 1 } | } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 / 2 } ,
\begin{array} { r } { \mathrm { d } \mathbf { Z } = \left( \begin{array} { c c c c } { 0 } & { 1 } & & \\ & { \vdots } & { \vdots } & \\ & & { 0 } & { 1 } \\ { - a _ { 0 } } & { - a _ { 1 } } & { \dots } & { - a _ { k - 1 } } \end{array} \right) \mathbf { Z } \; \mathrm { d } x + \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \mathrm { d } \mathcal { W } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { i ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x t } + ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x x x } } } \\ & { = } & { ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { 2 p } u ^ { j } ) _ { x } + \beta ( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } u ^ { j } ) _ { x } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { \mathcal { N } _ { u } ^ { \prime } ( 0 , r ) } { \mathcal { N } _ { u } ( 0 , r ) } } & { = \frac { 1 } { r } + \frac { D ^ { \prime } ( r ) } { D ( r ) } - \frac { H ^ { \prime } ( r ) } { H ( r ) } } \\ & { \geq \frac { 2 \int _ { \partial B _ { r } \cap \Omega } \mu ^ { - 1 } ( \frac { \partial u } { \partial \nu } ) ^ { 2 } \, d \sigma } { \int _ { \partial B _ { r } \cap \Omega } u \frac { \partial u } { \partial \nu } d \sigma } - \frac { 2 \int _ { \partial B _ { r } \cap \Omega } u \frac { \partial u } { \partial \nu } d \sigma } { \int _ { \partial B _ { r } \cap \Omega } \mu u ^ { 2 } \, d \sigma } + O ( \gamma ) } \\ & { \geq - C \gamma , } \end{array} } \end{array}
i \hbar \frac { \partial | \psi ( t ) \rangle } { \partial t } = \hat { h } | \psi ( t ) \rangle \; \; \mathrm { w i t h } \; \; \; \; \hat { h } = \frac { 1 } { 2 } \left( \hat { p } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \hat { q } ^ { 2 } \right)
\tilde { G } _ { \sigma } ^ { ( n ) } ( \zeta ) = ( \sqrt { - 1 } ) ^ { - n } \sum _ { k _ { 0 } , k _ { 1 } , \cdots k _ { 2 n } } t _ { k _ { 1 } } ^ { k _ { 0 } } ( u _ { 1 } - u _ { 0 } ) \otimes \cdots \otimes t _ { k _ { 2 n } } ^ { k _ { 2 n - 1 } } ( u _ { 2 n } - u _ { 0 } ) \tilde { F } _ { \sigma } ^ { ( n ) } ( \zeta ) ^ { k _ { 0 } k _ { 1 } \cdots k _ { 2 n } } .
P _ { \nu _ { \mu } \rightarrow \nu _ { \mu } } ^ { \mathrm { a t m } } = ( 1 - c _ { \mu } ) ^ { 2 } + c _ { \mu } ^ { 2 } P _ { \nu _ { \mu } \rightarrow \nu _ { \mu } } ^ { ( 1 ; 2 ) } \; .
\begin{array} { l c r } { { M ^ { + { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } } } = ( \eta ^ { + } ) ^ { { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } } } = N ^ { + { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } } } } } \\ { { S ^ { + ( n + 1 ) } = ( \eta ^ { + } ) ^ { n + 1 } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bullet \ } & { \eta ^ { t } = 2 / ( \alpha ( t + 2 ) ) , } \\ { \bullet \ } & { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { e = 1 } ^ { E } t \frac { \eta ^ { t } } { 2 } \| f ^ { \prime } ( z ^ { t , e } ) + \tilde { \xi } ^ { t , e } \| ^ { 2 } = \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { e = 1 } ^ { E } \frac { t } { \alpha ( t + 2 ) } \| f ^ { \prime } ( z ^ { t , e } ) + \tilde { \xi } ^ { t , e } \| ^ { 2 } , } \\ { \bullet \ } & { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { e = 1 } ^ { E } t \Big \{ ( \frac { 1 } { 2 \eta ^ { t } } - \frac { \alpha } { 2 } ) \| z ^ { * } - z ^ { t , e } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \eta ^ { t } } \| z ^ { * } - z ^ { t , e + 1 } \| ^ { 2 } \Big \} = \frac { \alpha } { 4 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { e = 1 } ^ { E } \Big \{ t ^ { 2 } \| z ^ { * } - z ^ { t , e } \| ^ { 2 } - ( t ^ { 2 } + 2 t ) \| z ^ { * } - z ^ { t , e + 1 } \| ^ { 2 } \Big \} } \\ & { = \frac { \alpha } { 4 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \Big \{ t ^ { 2 } \Big ( \| z ^ { * } - z ^ { t , 1 } \| ^ { 2 } - \| z ^ { * } - z ^ { t , E + 1 } \| ^ { 2 } \Big ) - 2 t \| z ^ { * } - z ^ { t , E + 1 } \| ^ { 2 } \underbrace { - 2 t \sum _ { e = 1 } ^ { E - 1 } \| z ^ { * } - z ^ { t , e + 1 } \| ^ { 2 } } _ { \leq 0 } \Big \} } \\ & { \leq \frac { \alpha } { 4 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \Big \{ t ^ { 2 } \| z ^ { * } - z ^ { t , 1 } \| ^ { 2 } - t ( t + 2 ) \| z ^ { * } - z ^ { t , E + 1 } \| ^ { 2 } \Big \} } \\ & { = \frac { \alpha } { 4 } \Big \{ \| z ^ { * } - z ^ { 1 , 1 } \| ^ { 2 } + \sum _ { t = 2 } ^ { T } t ^ { 2 } \| z ^ { * } - \underbrace { z ^ { t , 1 } } _ { = z ^ { t - 1 , E + 1 } } \| ^ { 2 } - \underbrace { \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } t ( t + 2 ) \| z ^ { * } - z ^ { t , E + 1 } \| ^ { 2 } } _ { = \sum _ { t = 2 } ^ { T } ( t ^ { 2 } - 1 ) \| z ^ { * } - z ^ { t - 1 , E + 1 } \| ^ { 2 } } \underbrace { - T ( T + 2 ) \| z ^ { * } - z ^ { T , E + 1 } \| ^ { 2 } } _ { \leq 0 } \Big \} } \\ & { \leq \frac { \alpha } { 4 } \Big \{ \| z ^ { * } - z ^ { 1 , 1 } \| ^ { 2 } + \sum _ { t = 2 } ^ { T } \| z ^ { * } - z ^ { t - 1 , E + 1 } \| ^ { 2 } \Big \} \leq \frac { \alpha } { 4 } T U _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}