harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { u ( t , x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac 1 2 \alpha - \frac { 1 } { 4 } \left( 2 + \beta - \alpha \right) t , } & { x \leq x _ { 1 } ( t ) , } \\ { \frac { 4 x - 2 \alpha + \alpha t } { 2 t } , } & { x _ { 1 } ( t ) < x \leq x _ { 2 } ( t ) } \\ { \frac { 4 x - 4 \alpha - ( 2 - \beta - 2 \alpha ) t } { 2 ( t + 2 ) } , } & { x _ { 2 } ( t ) < x \leq x _ { 3 } ( t ) , } \\ { \frac { 4 x - 8 - ( 2 + \beta ) t } { 2 ( t - 2 ) } , } & { x _ { 3 } ( t ) < x \leq x _ { 4 } ( t ) , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \alpha + \frac 1 4 ( 2 + \beta - \alpha ) t , } & { x _ { 4 } ( t ) < x , } \end{array} \right. } \\ { F ( t , x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { x \leq x _ { 1 } ( t ) , } \\ { \frac { 8 x - 4 \alpha + 4 \alpha t + ( 2 + \beta - \alpha ) t ^ { 2 } } { 2 ^ { 2 } } , } & { x _ { 1 } ( t ) < x \leq x _ { 2 } ( t ) , } \\ { \frac { 8 x + 4 ( 2 \beta - \alpha ) + 4 ( 2 \beta + \alpha ) t + ( 2 + \beta - \alpha ) t ^ { 2 } } { 2 \left( t + 2 \right) ^ { 2 } } , } & { x _ { 2 } ( t ) < x \leq x _ { 3 } ( t ) , } \\ { \frac { 8 x + 4 ( 2 \beta - \alpha ) - 4 ( 4 + 2 \beta - \alpha ) t + ( 2 + \beta - \alpha ) t ^ { 2 } } { 2 \left( t - 2 \right) ^ { 2 } } , } & { x _ { 3 } ( t ) < x \leq x _ { 4 } ( t ) , } \\ { 2 + \beta - \alpha , } & { x _ { 4 } ( t ) < x , } \end{array} \right. } \end{array}
[ \lbrack M _ { i j } ] = \left( \begin{array} { c c c } { n ^ { 2 } - \mu \epsilon - n \frac { \mathrm { i } \mu } { \omega } b _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { n ^ { 2 } - \mu \epsilon - n \frac { \mathrm { i } \mu } { \omega } b _ { 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { n \frac { \mathrm { i } \mu } { \omega } b _ { 2 } } & { - \mu \epsilon } \end{array} \right) \; ,
S ^ { a } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { \tau ^ { a } } } & { { { \bf 0 } } } \\ { { { \bf 0 } } } & { { - \tau ^ { a T } } } \end{array} \right) \ , \qquad a = 1 , 2 , 3 , 4 \ .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathsf { T O C } ( \operatorname* { m i n } \{ T _ { \varepsilon } , n \} ) ] \leq \; } & { { \cal O } \left( \frac { \sigma _ { f } ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 4 } } \cdot n + \frac { M _ { c } } { \varepsilon ^ { 2 } } \cdot n + M _ { v } \cdot n \left( n ^ { \log _ { \frac { p } { q } } \left( \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } \right) } \log _ { \frac { p } { q } } ( n ) \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { s } ( y , z , y _ { c } , z _ { c } , t ) } & { { } = \hat { U } _ { s } ( \xi _ { s } , \eta _ { s } , \xi _ { s c } , \eta _ { s c } , t ) = U _ { s 0 } ( t ) g ( \xi _ { s } , \eta _ { s } ) , } \\ { \mathrm { ~ ~ ~ w h e r e ~ } } & { { } \xi _ { s } = y / W _ { s } , ~ \eta _ { s } = z / H _ { s } , ~ \xi _ { s c } = y _ { c } / W _ { s } , ~ \eta _ { s c } = z _ { c } / H _ { s } . } \end{array}
\frac { F _ { \mathrm { ~ R ~ R ~ } } } { F _ { \mathrm { ~ t ~ a ~ i ~ l ~ } } ^ { \phi } } = \frac { \omega _ { c } \omega } { \omega _ { K } ^ { 2 } } = \frac { F _ { \mathrm { ~ L ~ } } } { F _ { \mathrm { ~ N ~ } } } \, ,
\begin{array} { r l } { ( b _ { 1 } ) } & { { } \leq \left| \left[ { \frac { h ( s y ) } { h ( 0 ) } } \right] _ { \operatorname* { m a x } } e ^ { - \pi D _ { y } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { b / s - D _ { y } } e ^ { - 2 \pi D _ { y } y } d y \right| } \end{array}
\frac { d g ( x , Q ^ { 2 } ) } { d \ln Q ^ { 2 } } \simeq \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { 2 \pi } \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d y } { y } \frac { 6 } { z } g ( y , Q ^ { 2 } )
= \; \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \; \frac { 1 } { n ! } \frac { 1 } { 2 } \Bigg \{ \sum _ { q = 0 } ^ { n } \; { \binom { n } { q } } e ^ { - i \frac { \theta } { N } 2 q } e ^ { + i \frac { \theta } { N } ( n - q ) } \left\langle \left[ \sigma _ { + } [ Q ^ { W } ] \right] ^ { q } \left[ \sigma _ { - } [ Q ^ { W } ] \right] ^ { n - q } \right\rangle _ { Q ^ { \mu } }
\begin{array} { r l r l } { { 2 } S _ { \alpha } ( 1 ) } & { = \beta - \alpha = 1 / \beta ^ { 3 } \in J _ { 0 } , } & { S _ { \alpha } ( 1 - \alpha ) } & { = \beta - \beta \alpha = - 1 / \beta \in J _ { 0 } , } \\ { S _ { \alpha } ^ { 2 } ( 1 ) } & { = 1 / \beta ^ { 2 } \in J _ { 0 } , } & { S _ { \alpha } ^ { 2 } ( 1 - \alpha ) } & { = - 1 \in J _ { - 1 } , } \\ { S _ { \alpha } ^ { 3 } ( 1 ) } & { = 1 / \beta \in J _ { 0 } , \ \ \ \ } & { S _ { \alpha } ^ { 3 } ( 1 - \alpha ) } & { = - 1 / \beta ^ { 3 } \in J _ { 0 } , } \\ { S _ { \alpha } ^ { 4 } ( 1 ) } & { = 1 \in J _ { 1 } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm { a n d } \ \ \ \ \ \ \ \ } & { S _ { \alpha } ^ { 4 } ( 1 - \alpha ) } & { = - 1 / \beta ^ { 2 } = 1 - \alpha \in J _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta ^ { 2 } \Vert g _ { t } \Vert _ { \Sigma _ { t } } ^ { 2 } = \eta ^ { 2 } D _ { t } ^ { 2 } \Vert W _ { t } \Vert ^ { 2 } \leq 3 \eta ^ { 2 } \textrm { D } _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } d \log ( 6 n ^ { 2 } ) \leq 3 \eta ^ { 2 } \textrm { D } _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } d \log ( \textrm { P } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Psi } ( \phi , \nabla \phi ) = } & { { } ~ \hat { \Psi } _ { 1 } ( \phi _ { 1 } , \nabla \phi _ { 1 } ) + \hat { \Psi } _ { 2 } ( \phi _ { 2 } , \nabla \phi _ { 2 } ) , } \\ { \rho \hat { \psi } ( \phi , \nabla \phi ) = } & { { } ~ \tilde { \rho } _ { 1 } \hat { \psi } _ { 1 } ( \phi _ { 1 } , \nabla \phi _ { 1 } ) + \tilde { \rho } _ { 2 } \hat { \psi } _ { 2 } ( \phi _ { 2 } , \nabla \phi _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { 1 } ^ { L } ( k ) = \mathcal { A } m _ { 3 } ^ { L } ( \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } = \mathcal { A } m _ { 1 } ^ { L } ( \omega k ) v _ { 2 } ^ { L } ( \omega k ) v _ { 3 } ^ { L } ( \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } = \mathcal { A } m _ { 1 } ^ { L } ( \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } v _ { 6 } ^ { L } ( k ) v _ { 1 } ^ { L } ( k ) } \end{array}
k _ { \mathrm { g / t } } ( E _ { \mathrm { c o l l } } , T ) = \sqrt { \frac { 2 E _ { \mathrm { c o l l } } } { \mu } } \sum _ { j , \tau , \Omega } p _ { \mathrm { g / t } } ( T , j , \tau , \Omega ) \; \sigma _ { \mathrm { g / t } } ( j , \tau , \Omega , E _ { \mathrm { c o l l } } )
b = \left( \frac { N } { A } \right) \frac { \sinh ( N \tau ) + \sqrt { 1 - \frac { A ^ { 2 } } { N ^ { 2 } } } \cosh ( N \tau ) } { \cosh ( N \tau ) + \sqrt { 1 - \frac { A ^ { 2 } } { N ^ { 2 } } } \sinh ( N \tau ) } , \; \; e ^ { - \phi } = \cosh ( N \tau ) + \sqrt { 1 - \frac { A ^ { 2 } } { N ^ { 2 } } } \sinh ( N \tau ) ,
\hat { \lambda } _ { \overline { { \mathrm { M S } } } } = \hat { \lambda } _ { \mathrm { O M S } } \left[ 1 \, + \, \left( 2 5 - 3 \pi \sqrt { 3 } + 1 2 \ln ( { \mu ^ { 2 } } / { M _ { H } ^ { 2 } } ) \right) \hat { \lambda } _ { \mathrm { O M S } } \, + \, \mathrm { O } \left( \hat { \lambda } _ { \mathrm { O M S } } ^ { 2 } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { O } \left( \sqrt { \frac { n \kappa } { s } } + \frac { n } { s } \right) \! \left( \frac { s d } { n } + 1 + c d \right) } \\ { = } & { \mathcal { O } \left( \sqrt { n \kappa } + n \right) \! \left( \frac { d } { n } + \frac { d } { n } + \frac { d } { n } \right) } \\ { = } & { \mathcal { O } \left( \frac { d \sqrt { \kappa } } { \sqrt { n } } + d \right) . } \end{array}
[ d ( p ) \Pi ( p ) d ( p ) ] ^ { \mu \nu } ~ = - { \bar { d } } _ { \mu \nu } ( p ) w _ { 1 } ( p ) + { \frac { ( p ^ { + } ) ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } } w _ { 2 } ( p ) n ^ { \mu } n ^ { \nu } .
\begin{array} { r l } { \vec { \nabla } \mu _ { N } ( t ) } & { = \delta _ { \tau , t } | \psi _ { i ( N , \tau ) } \rangle \! \langle \psi _ { i ( N , \tau ) } | , } \\ { \vec { \nabla } \mu _ { k } ( t ) } & { = \sum _ { t ^ { \prime } } \mathrm { t r } ( | \psi _ { i ( k , t ) } \rangle \! \langle \psi _ { i ( k , t ) } | M _ { t ^ { \prime } | t } ) \vec { \nabla } \mu _ { k + 1 } ( t ^ { \prime } ) + \delta _ { \tau , t } \mu _ { k + 1 } ( \tau ^ { \prime } ) | \psi _ { i ( k , \tau ) } \rangle \! \langle \psi _ { i ( k , \tau ) } | , } \\ { \vec { \nabla } e _ { I } } & { = \vec { \nabla } \mu _ { 1 } ( t _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n ( \alpha ) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \log | y _ { + } ( e ^ { i \theta } ) | \mathrm d \theta } \\ & { = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \log | y _ { + } ( e ^ { i \theta } ) | \mathrm d \theta } \\ & { = \frac { 1 } { \pi } \mathop { \mathrm { R e } } \int _ { 0 } ^ { \pi } \log \left( ( x - \alpha ) \left( \frac 1 2 + \sqrt { \frac 1 4 - \frac { 1 } { x ( x - \alpha ) ^ { 2 } } } \right) \right) \bigg \rvert _ { x = e ^ { i \theta } } \mathrm d \theta , } \end{array}
\overline { { { \omega } } } _ { r } ( \varepsilon ^ { s } ) = { \frac { \partial { \cal M } ( \tau ) } { \partial \overline { { { \cal S } } } ^ { r } } } = F _ { r s } ( \overline { { { \cal S } } } ^ { u } , q ^ { \mu } , p _ { \mu } ) \, \overline { { { \cal S } } } ^ { s } + G _ { r } ( \overline { { { \cal S } } } ^ { u } , q ^ { \mu } , p _ { \mu } ) ,
\begin{array} { r l r l r } { \Omega _ { 1 } } & { { } = } & { \sum _ { m , n , k } \int \delta \left( \frac { \hbar \beta _ { 2 } } { t _ { 0 } } [ n + m - k ] - \frac { \boldsymbol { p } _ { 1 } \boldsymbol { p } _ { 2 } } { \mu _ { 0 } } \right) \times \ } & { { } \times } & { \hat { \boldsymbol { \mathfrak a } } ^ { + } ( \boldsymbol { p } _ { 1 } ; n ) \hat { \boldsymbol { \mathfrak a } } ^ { + } ( \boldsymbol { p } _ { 2 } ; m ) \hat { \boldsymbol { \mathfrak a } } ( \boldsymbol { p } _ { 1 } + \boldsymbol { p } _ { 2 } ; k ) d ^ { 3 } \boldsymbol { p } _ { 1 } d ^ { 3 } \boldsymbol { p } _ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } _ { 3 } \left( \frac { \pi } { 2 } \right) } & { { } = } & { \exp \left( + \frac { i \sigma _ { z } \pi } { 4 } \right) = \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \pi } { 4 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \pi } { 4 } } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \theta } _ { Y : \mathit { E } } } & { = } & { ( X _ { \mathit { E } } ^ { T } X _ { \mathit { E } } ) ^ { - 1 } X _ { \mathit { E } } ^ { T } P _ { \mathit { K } } Y + ( X _ { \mathit { E } } ^ { T } X _ { \mathit { E } } ) ^ { - 1 } X _ { \mathit { E } } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { K } } ) Y } \\ & { = } & { ( X _ { \mathit { E } } ^ { T } X _ { \mathit { E } } ) ^ { - 1 } X _ { \mathit { E } } ^ { T } P _ { \mathit { K } } Y } \\ & { = } & { ( X _ { \mathit { E } } ^ { T } X _ { \mathit { E } } ) ^ { - 1 } X _ { \mathit { E } } ^ { T } X _ { \mathit { K } } \hat { \theta } _ { Y : \mathit { K } } } \\ & { = } & { ( I , ( X _ { \mathit { E } } ^ { T } X _ { \mathit { E } } ) ^ { - 1 } X _ { \mathit { E } } ^ { T } X _ { \mathit { F } } ) \hat { \theta } _ { Y : \mathit { K } } } \\ & { = } & { \hat { \theta } _ { Y : \mathit { E } . \mathit { F } } + ( \hat { \theta } _ { \mathit { F } : \mathit { E } } ) ^ { T } \hat { \theta } _ { Y : \mathit { F } . \mathit { E } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( \psi ) = } & { \sum _ { i \in I } d \omega _ { i } \otimes e _ { i } } \\ & { + \sum _ { j \in J \setminus I } d \omega _ { j } \otimes e _ { j } + ( - 1 ) ^ { n - 1 } \omega _ { j } \otimes d e _ { j } } \\ & { + \sum _ { r \in J \setminus I } d \alpha _ { r } \otimes d e _ { r } } \\ & { + \sum _ { r \in J \setminus I , s \in J ^ { \prime } } d ( \alpha _ { r , s } ) \otimes e _ { s } d e _ { r } + ( - 1 ) ^ { n - 2 } \alpha _ { r , s } \otimes d e _ { s } \wedge d e _ { r } } \\ & { + d \psi ^ { \prime } . } \end{array}
{ \cal A } _ { \mathrm Z M S } = \int { \mathrm d } ^ { 2 } x \left[ \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \nu } \Phi \partial ^ { \nu } \Phi + \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } } { \gamma } \Big ( \exp \left( 2 i \sqrt { \gamma } \Phi \right) + 2 \exp \left( - i \sqrt { \gamma } \Phi \right) \Big ) \right] \, .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { F ( \omega ) } & { { } = \frac { G ^ { \prime } ( a ) } { G ( a ) } + \sum _ { z _ { \ell } } \left( \frac { \nu _ { z _ { \ell } } } { \omega - z _ { \ell } } - \frac { \nu _ { z _ { \ell } } } { a - z _ { \ell } } \right) } \end{array} } \end{array}
\mathcal { \tilde { C } } ( \kappa , \omega ) : = \left| a \mathbf { Z } ^ { - 1 } - \left[ \begin{array} { c c c c } { \mathbf { \tilde { G } } ( \kappa - P \kappa _ { m } , \omega - P \omega _ { m } ) } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbf { \tilde { G } } ( \kappa - P \kappa _ { m } + \kappa _ { m } , \omega - P \omega _ { m } + \omega _ { m } ) } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \mathbf { \tilde { G } } ( \kappa + P \kappa _ { m } , \omega + P \omega _ { m } ) } \end{array} \right] \right| = 0 .
\begin{array} { r l r } { \| e _ { H } ^ { k } \| _ { 1 , \infty } } & { \leq } & { \| e _ { H } ^ { k } - \hat { P } _ { H } E _ { k } \| _ { 1 , \infty } + \| \hat { P } _ { H } E _ { k } \| _ { 1 , \infty } } \\ & { \lesssim } & { H + \mid \log H \mid \| E _ { k } \| _ { 1 , \infty } } \\ & { \lesssim } & { H + \mid \log H \mid \mid \log h \mid H ^ { 2 } , } \end{array}
\bar { Q } _ { a R } Q _ { L } ^ { \dot { b } } \rightarrow c N _ { T C } \Lambda _ { T C } ^ { 3 } \Sigma _ { a } ^ { \dot { b } } \qquad \qquad \Sigma _ { a } ^ { \dot { b } } \equiv \exp ( i \pi ^ { c } \tilde { T } ^ { c } / F _ { T } ) _ { a } ^ { \dot { b } }
- ( F _ { \alpha , \beta } ^ { ( ) } + F _ { \alpha , \beta } ^ { ( 1 2 ) } ) + ( r _ { \alpha } - r _ { \alpha , \beta } ) ( F _ { \alpha , \beta } ^ { ( ) } z _ { 2 } + F _ { \alpha , \beta } ^ { ( 1 2 ) } z _ { 1 } ) + \frac { r _ { \alpha } } { r _ { \beta } } r _ { \beta , \alpha } ( F _ { \beta , \alpha } ^ { ( ) } z _ { 2 } + F _ { \beta , \alpha } ^ { ( 1 2 ) } z _ { 1 } ) = 0
\int _ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - R _ { s } / 2 } ^ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } + R _ { s } / 2 } \int _ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - R _ { s } / 2 } ^ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } + R _ { s } / 2 } | P _ { \mathrm { I N T } _ { 1 } } ( f _ { 1 } ) | ^ { 2 } P _ { \mathrm { I N T } _ { h } } ( f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { I N T } _ { h } } ^ { \ast } ( f - f _ { 1 } - f _ { 2 } + 2 f _ { \mathrm { c } } ^ { h } ) P _ { \mathrm { I N T } _ { h } } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { I N T } _ { h } } ^ { \ast } ( 2 f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - f _ { 2 } ) \mu ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f )
\rho = | { \mathrm { a f t e r } } \rangle \langle { \mathrm { a f t e r } } | = \sum _ { i , j } \psi _ { i } \psi _ { j } ^ { * } | i , \epsilon _ { i } \rangle \langle j , \epsilon _ { j } | = \sum _ { i , j } \psi _ { i } \psi _ { j } ^ { * } | i \rangle \langle j | \otimes | \epsilon _ { i } \rangle \langle \epsilon _ { j } | .
j _ { M } ^ { 0 } = \delta _ { M } \phi ^ { K } \cdot \Lambda _ { K } + \frac 1 { \left( q - 1 \right) ! } \delta _ { M } A _ { \nu _ { 2 } \ldots \nu _ { q } } \cdot \Lambda ^ { \nu _ { 2 } \ldots \nu _ { q } } \quad .
\begin{array} { r l r } { [ [ \boldsymbol { v } ] ] } & { = } & { \boldsymbol { v } _ { 1 } \times \boldsymbol { n } _ { 1 } + \boldsymbol { v } _ { 2 } \times \boldsymbol { n } _ { 2 } , \quad \forall \boldsymbol { v } \in \boldsymbol { H } ^ { 1 } ( \Omega ; \mathcal { T } _ { h } ) , } \\ { \{ \{ \boldsymbol { v } \} \} } & { = } & { \frac { \boldsymbol { v } _ { 1 } + \boldsymbol { v } _ { 2 } } { 2 } , \quad \forall \boldsymbol { v } \in \boldsymbol { H } ^ { 1 } ( \Omega ; \mathcal { T } _ { h } ) , } \end{array}
( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 2 . 0 , 0 , - 0 . 0 2 5 \sqrt { 5 p \cos ( 8 \pi x ) / \left( 3 \rho \right) } , 2 y + 1 ) , } & { \mathrm { i f ~ } 0 \leq y < 0 . 5 , } \\ { ( 1 . 0 , 0 , - 0 . 0 2 5 \sqrt { 5 p \cos ( 8 \pi x ) / \left( 3 \rho \right) } , y + 1 . 5 ) , } & { \mathrm { i f ~ } 0 . 5 \leq y \leq 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \boldsymbol { \mathbf { D } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , t ) } { \partial t } } & { = \nabla \times \boldsymbol { \mathbf { H } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , t ) - \mathbf { J } _ { { f r e e } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , t ) , } \\ { \frac { \partial \boldsymbol { \mathbf { B } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , t ) } { \partial t } } & { = - \nabla \times \boldsymbol { \mathbf { E } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( x _ { 2 } - x _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 2 } - y _ { 3 } ) ^ { 2 } } & { = ( r _ { 2 } + r _ { 3 } ) ^ { 2 } } \\ { x _ { 2 } ^ { 2 } - 2 x _ { 2 } x _ { 3 } + x _ { 3 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } - 2 y _ { 2 } y _ { 3 } + y _ { 3 } ^ { 2 } } & { = r _ { 2 } ^ { 2 } + 2 r _ { 2 } r _ { 3 } + r _ { 3 } ^ { 2 } } \end{array}
\xi ( t ; \xi _ { f } ) = \left( \xi _ { f } + \frac { b } { a } \right) e ^ { a ( t - t _ { f } ) } - \frac { b } { a } \ \ , \ \ \gamma ( \xi _ { f } ) = \frac { 1 } { a } \left( \xi _ { f } + \frac { b } { a } \right) \left( 1 - e ^ { - a ( t _ { f } - t _ { i } ) } \right) - \frac { b } { a } ( t _ { f } - t _ { i } ) \ \ ,
\frac { \Gamma ( p \rightarrow \mu ^ { + } \pi ^ { 0 } ) } { \Gamma ( p \rightarrow e ^ { + } \pi ^ { 0 } ) } \simeq \frac { \Gamma ( p \rightarrow e ^ { + } K ^ { 0 } ) } { \Gamma ( p \rightarrow \mu ^ { + } K ^ { 0 } ) } ,
\mathbf { P } = \left[ \begin{array} { c c c c } { \mathrm { a } } & { \mathrm { d } / 2 } & { \mathrm { f } / 2 } & { \mathrm { ~ g } / 2 } \\ { \mathrm { ~ d } / 2 } & { \mathrm { ~ b } } & { \mathrm { e } / 2 } & { \mathrm { ~ h } / 2 } \\ { \mathrm { f } / 2 } & { \mathrm { e } / 2 } & { \mathrm { c } } & { \mathrm { i } / 2 } \\ { \mathrm { ~ g } / 2 } & { \mathrm { ~ h } / 2 } & { \mathrm { i } / 2 } & { \mathrm { j } } \end{array} \right] , \mathbf { Q } = \left[ \begin{array} { c c c } { \mathrm { a } } & { \mathrm { d } / 2 } & { \mathrm { f } / 2 } \\ { \mathrm { ~ d } / 2 } & { \mathrm { ~ b } } & { \mathrm { e } / 2 } \\ { \mathrm { f } / 2 } & { \mathrm { e } / 2 } & { \mathrm { c } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } } \Phi ( \| x - y \| / ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) ) \, \mathrm { d } \nu ( x , y ) } \\ & { = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } } \Phi ( \| x - y \| / ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) ) \, \mathrm { d } \mu ( x , y , z ) } \\ & { \leq } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } } \Phi ( ( \| x - z \| + \| y - z \| ) / ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) ) \, \mathrm { d } \mu ( x , y , z ) } \\ & { \leq } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } } \Phi \left( \frac { k _ { 1 } } { k _ { 1 } + k _ { 2 } } \frac { \| x - z \| } { k _ { 1 } } + \frac { k _ { 2 } } { k _ { 1 } + k _ { 2 } } \frac { \| y - z \| } { k _ { 2 } } \right) \, \mathrm { d } \mu ( x , y , z ) } \\ & { \leq } & { \frac { k _ { 1 } } { k _ { 1 } + k _ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } } \Phi \left( \frac { \| x - z \| } { k _ { 1 } } \right) \, \mathrm { d } \mu _ { 1 } ( x , z ) } \\ & { + } & { \frac { k _ { 2 } } { k _ { 1 } + k _ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } } \Phi \left( \frac { \| y - z \| } { k _ { 2 } } \right) \, \mathrm { d } \mu _ { 2 } ( y , z ) \leq 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { \delta B _ { \parallel } } { B _ { 0 } } } & { = - \nabla \cdot \delta \boldsymbol { \xi } _ { \perp } - \left( \boldsymbol { \kappa } + \frac { \nabla _ { \perp } B _ { 0 } } { B _ { 0 } } \right) \cdot \delta \boldsymbol { \xi } _ { \perp } = } \\ & { = - \nabla \cdot \delta \boldsymbol { \xi } _ { \perp } + 2 \frac { B _ { 0 \theta } ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } r } \delta \xi _ { r } , } \end{array} } \end{array}
\langle \pi ^ { + } ( \bf { p } \mathrm { ) | \bar { s } \ g a m m a _ { \ m u } d | K ^ { + } ( \bf { k } \mathrm { ) \rangle = \sqrt { 2 } \langle \ p i ^ { 0 } ( \bf { p } \mathrm { ) | \bar { s } \ g a m m a _ { \ m u } u | K ^ { + } ( \bf { k } \mathrm { ) \rangle } } } }
{ \frac { ( \Delta m _ { K } ) _ { \mathrm { p o l e } } } { \Gamma _ { K _ { S } } } } = - { \frac { ( \Delta m _ { K } ) _ { \pi \pi } } { \Gamma _ { K _ { S } } } } = - ( 0 . 2 2 \pm 0 . 0 3 ) .
{ \cal A } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , p _ { 3 } , p _ { 4 } ) ~ = ~ V _ { C K G } ^ { - 1 } \int \prod _ { i = 1 } ^ { 4 } d z _ { i } ~ < { V _ { F } ( 1 ) ~ V _ { B } ( 2 ) ~ [ V _ { B } ( 3 ) ~ V _ { F } ( 4 ) ~ + ~ V _ { B } ( 4 ) ~ V _ { F } ( 3 ) ] } > ~ ,
\left( \begin{array} { l l l l } { A ( \alpha _ { 1 , 1 } ) G _ { \mathcal { I } _ { 1 } } } & { A ( \alpha _ { 1 , 2 } ) G _ { \mathcal { I } _ { 2 } } } & { \cdots } & { A ( \alpha _ { 1 , N } ) G _ { \mathcal { I } _ { N } } } \\ { \vdots } & { \vdots } & & { \vdots } \\ { A ( \alpha _ { K , 1 } ) G _ { \mathcal { I } _ { 1 } } } & { A ( \alpha _ { K , 2 } ) G _ { \mathcal { I } _ { 2 } } } & { \cdots } & { A ( \alpha _ { K , N } ) G _ { \mathcal { I } _ { N } } } \end{array} \right) \in \mathbb { F } _ { q } ^ { K h \times M } .
d s _ { 1 0 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { \sqrt { f _ { 1 } h _ { 5 } } } ( - d t ^ { 2 } + d x _ { 9 } ^ { 2 } + K ( \cosh \sigma d t - \sinh \sigma d x _ { 9 } ) ^ { 2 } )
\begin{array} { r l r } { \varepsilon _ { b a } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { \frac { 4 \pi A _ { - } ^ { 2 } } { \mathcal { N } _ { a } } \int _ { 0 } ^ { r _ { a } } W _ { b a } ( r ) \Big [ g _ { - } ^ { 2 } ( r ) + f _ { - } ^ { 2 } ( r ) \Big ] r ^ { 2 } d r + } \end{array}
\left| \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } \log \left( \frac { - \overline { { a _ { j } } } } { | a _ { j } | } \frac { z - a _ { j } } { 1 - \overline { { a _ { j } } } z } \right) \right| \leq \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } \left| \log \left( \frac { - \overline { { a _ { j } } } } { | a _ { j } | } \frac { z - a _ { j } } { 1 - \overline { { a _ { j } } } z } \right) \right| \leq 3 \delta
f ( x ) = \mathrm { t a n h } ( x ) = f _ { 0 } + \sigma z + \epsilon \cdot \left[ J _ { 0 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \, G _ { 1 } ( t ^ { \prime } ) x ( t ^ { \prime } ) \right] \frac { d f } { d x } | _ { x = w _ { 0 } \cdot m _ { * } + J _ { 0 } ^ { 2 } \chi x _ { * } \, + \, \, J _ { 0 } \sqrt { q } \tilde { z } }
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { 0 } } & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { \alpha : \, ( \widetilde { Q } _ { m } \alpha + v ) \in H _ { n } ^ { ( 0 ) } } \{ ( \widetilde { Q } _ { m } \alpha ) ^ { T } U ^ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } ( \widetilde { Q } _ { m } \alpha ) ^ { T } J ^ { 0 } ( \widetilde { Q } _ { m } \alpha ) \} + o _ { P } ( 1 ) } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 \pi i } } \oint _ { \bar { \omega } ^ { \prime } } { \frac { d \omega ^ { \prime } \omega ^ { \prime } } { { \omega ^ { \prime \prime } } ^ { 2 } - { \omega ^ { \prime } } ^ { 2 } } } = \theta ( \bar { \omega } ^ { \prime } - \omega ^ { \prime \prime } )
\begin{array} { r l } { k _ { 1 } } & { { } = k _ { \mathrm { N } } \cos \psi + \frac { ( k _ { z } - k _ { 3 } \cos \theta ) \sin \psi } { \sin \theta } = \frac { A _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } \sin \theta \left[ ( 1 - s _ { 1 } \cos 2 \phi ) \cos \theta \cos \psi + s _ { 1 } \sin \psi \sin 2 \phi \right] \; , } \\ { k _ { 2 } } & { { } = - k _ { \mathrm { N } } \sin \psi + \frac { ( k _ { z } - k _ { 3 } \cos \theta ) \cos \psi } { \sin \theta } = - \frac { A _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } \sin \theta [ ( 1 - s _ { 1 } \cos 2 \phi ) \cos \theta \sin \psi - s _ { 1 } \cos \psi \sin 2 \phi ] \; , } \\ { k _ { 3 } } & { { } = - \frac { A _ { 3 } ^ { 2 } } { 2 } \left[ ( 1 - s _ { 1 } \cos 2 \phi ) \sin ^ { 2 } { \theta } \sin { \psi } \cos \psi + s _ { 1 } ( \cos \theta \cos 2 \psi \sin 2 \phi + \sin 2 \psi \cos 2 \phi ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { 2 } } & { { } = - \left[ W ^ { 2 } + ( \hat { k } \cdot \vec { W } ) ^ { 2 } + 2 ( \vec { v } _ { A } \cdot \vec { k } ) ^ { 2 } \right] \; , } \\ { b _ { 4 } } & { { } = \left[ ( \vec { v } _ { A } \cdot \vec { k } ) ^ { 2 } + W ^ { 2 } \right] \left[ ( \hat { k } \cdot \vec { W } ) ^ { 2 } + ( \vec { v } _ { A } \cdot \vec { k } ) ^ { 2 } \right] \; . } \end{array}