harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
A ( p _ { 1 } ; p _ { 2 } ; p _ { 3 } ) = 2 \frac { G _ { 0 } } { \alpha ^ { ' } } ( 2 \pi ) ^ { 2 6 } \delta ^ { 2 6 } ( \sum _ { i } p _ { i } ) c o s ( \frac { p _ { 1 } \theta p _ { 2 } } { 2 } )
\begin{array} { r l } & { { \bf E } [ \Xi _ { { { { x } ^ { n } } } } ( \phi ^ { ( n ) } , \psi ^ { ( n ) } ) ] \leq \sum _ { \scriptstyle { \check { x } ^ { n } } \in B ( { { { x } ^ { n } } } ) , \atop { \scriptstyle { \check { x } ^ { n } } \neq { { x } ^ { n } } } } \operatorname* { P r } \bigl \{ \phi ^ { ( n ) } ( { \check { x } ^ { n } } ) = \phi ^ { ( n ) } ( { { x } ^ { n } } ) \bigr \} } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { \leq } \sum _ { { \check { x } ^ { n } } \in B ( { { x } ^ { n } } ) } \frac { 1 } { M } = \frac { | B ( { { x } ^ { n } } ) | } { M } \stackrel { \mathrm { ( b ) } } { \leq } \mathrm { e } ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } | } \mathrm { e } ^ { - n [ R - H ( { { { x } ^ { n } } } ) ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\vert \mathcal { E } _ { j , k } ( \boldsymbol { x } ) \right\vert } & { { } \leq \int _ { \Omega _ { 0 , 0 } } \left\vert \mathcal { F } \left( I \right) ( \boldsymbol { \xi } ) \left( e ^ { 2 \pi i \eta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) } - e ^ { 2 \pi i \eta _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) } \right) \right\vert \, d \boldsymbol { \xi } } \\ { \qquad } & { { } + \int _ { \Omega _ { 0 , 0 } } \left\vert \delta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { 2 \pi i \eta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) } - \delta _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { 2 \pi i \eta _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) } \right\vert \, d \boldsymbol { \xi } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } \left[ { } ^ { 1 } E \right] } & { { } = 2 \mathcal { E } \left[ { } ^ { m } \Phi _ { 2 } \right] - \mathcal { E } \left[ { } ^ { 3 } A _ { 2 } \right] = 2 \mathcal { E } \left[ { } ^ { m } \Phi _ { 2 } \right] - \mathcal { E } \left[ { } ^ { 3 } \Phi _ { 1 } \right] , } \\ { \mathcal { E } \left[ { } ^ { 1 } A _ { 1 } \right] } & { { } = 2 \mathcal { E } \left[ { } ^ { 1 } \Phi _ { 3 } \right] - \mathcal { E } \left[ { } ^ { 1 } E \right] = \mathcal { E } [ { } ^ { 3 } \Phi _ { 1 } ] + 2 ( \mathcal { E } [ { } ^ { 1 } \Phi _ { 3 } ] - \mathcal { E } [ { } ^ { m } \Phi _ { 2 } ] ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \vert \bar { \mathcal { O } } - \mathcal { O } ^ { * } \vert = \bar { \mathcal { O } } = \frac { 2 } { \sqrt \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } D [ \phi ] \phi ^ { 3 } e ^ { - \phi ^ { 2 } } = \frac 1 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { N } ^ { - 2 } } & { { } = } & { \frac { \hbar ^ { 3 } c ^ { 3 } } { 8 \lambda ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \Big \{ m _ { e } c ^ { 2 } \, \big [ Q _ { 1 } ^ { 2 } ( \rho ) + Q _ { 2 } ^ { 2 } ( \rho ) \big ] } \end{array}
\mathrm { I m } T _ { \mu \nu } ^ { 2 } = - 2 C g ^ { 2 } \int d ^ { 4 } l \{ t _ { \mu \nu } ^ { 2 } D _ { 1 } D _ { 4 } D _ { 3 } D _ { 2 } + ( l \rightarrow q - p - l ) \} ,
\begin{array} { l } { { q ^ { H _ { 1 } } = \left( \frac { \mu _ { - 2 } \mu _ { + 1 } } { \mu _ { - 1 } \mu _ { + 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } ~ , } } \\ { { X _ { 1 } ^ { - } = \sqrt { q ^ { - 1 } \lambda } \left( \frac { \mu _ { - 1 } \mu _ { + 2 } } { \mu _ { - 2 } \mu _ { + 1 } } \right) ^ { 1 / 4 } \mu _ { + 2 } ^ { - 1 / 2 } \left( ( \mu _ { - 2 } \mu _ { + 1 } ) ^ { 1 / 2 } { \cal X } ^ { - 1 } { \cal D } _ { - 2 } - q { \cal X } ^ { + 2 } { \cal D } _ { + 1 } \right) ~ , } } \\ { { X _ { 1 } ^ { + } = \sqrt { q ^ { - 1 } \lambda } \left( \frac { \mu _ { - 1 } \mu _ { + 2 } } { \mu _ { - 2 } \mu _ { + 1 } } \right) ^ { 1 / 4 } \mu _ { + 2 } ^ { - 1 / 2 } \left( ( \mu _ { - 2 } \mu _ { + 1 } ) ^ { 1 / 2 } { \cal X } ^ { - 2 } { \cal D } _ { - 1 } - q { \cal X } ^ { + 1 } { \cal D } _ { + 2 } \right) ~ , } } \\ { { q ^ { H _ { 2 } } = \left( \frac { \mu _ { - 1 } } { \mu _ { + 1 } } \right) ^ { 1 / 2 } ~ , } } \\ { { X _ { 2 } ^ { - } = \sqrt { q ^ { 1 / 2 } \lambda } ( \mu _ { - 1 } \mu _ { + 1 } ) ^ { - 1 / 4 } \left( q ^ { - 3 / 2 } \mu _ { - 1 } ^ { 1 / 2 } { \cal X } ^ { 0 } { \cal D } _ { - 1 } - { \cal X } ^ { + 1 } { \cal D } _ { 0 } \right) ~ , } } \\ { { X _ { 2 } ^ { + } = \sqrt { q ^ { 1 / 2 } \lambda } ( \mu _ { - 1 } \mu _ { + 1 } ) ^ { - 1 / 4 } \left( q ^ { 1 / 2 } \mu _ { - 1 } ^ { 1 / 2 } { \cal X } ^ { - 1 } { \cal D } _ { 0 } - { \cal X } ^ { 0 } { \cal D } _ { + 1 } \right) ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \indent H ^ { 0 } ( Z _ { 2 } , K _ { Z _ { 2 } } + \lceil ( m + 1 - ( n - 1 ) l ) { \pi ^ { * } ( - K _ { X } ) } | _ { Z _ { 2 } } \rceil + M _ { 1 } | _ { Z _ { 2 } } ) } \\ & { \rightarrow H ^ { 0 } ( C _ { 1 } , K _ { C _ { 1 } } + D _ { 1 } ) \oplus H ^ { 0 } ( C _ { 2 } , K _ { C _ { 2 } } + D _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { e f f } } = } & { { } - } & { \frac { \Delta } { 2 } \left( \left| A T \right\rangle \left\langle A T \right| - \left| A ^ { * } T ^ { * } \right\rangle \left\langle A ^ { * } T ^ { * } \right| \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \boldsymbol { \mu } _ { v _ { k } \to c _ { p } } } { \partial \ensuremath { \mathbf { r } } _ { j } ( h ) } = \frac { \partial } { \partial \ensuremath { \mathbf { r } } _ { j } ( h ) } \frac { \operatorname * { \bigcirc } _ { c _ { \xi } \in N _ { 0 } ( v _ { k } ) \setminus c _ { p } } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \xi } \to v _ { k } } } { \left\| \operatorname * { \bigcirc } _ { c _ { \xi } \in N _ { 0 } ( v _ { k } ) \setminus c _ { p } } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \xi } \to v _ { k } } \right\| _ { 1 } } . } \end{array}
g ^ { \pi } ( n , \mu ^ { 2 } ) = \frac { v ^ { \pi } ( n , \mu ^ { 2 } ) } { v ^ { p } ( n , \mu ^ { 2 } ) } \, g ^ { p } ( n , \mu ^ { 2 } ) , \quad \quad \bar { q } \, ^ { \pi } ( n , \mu ^ { 2 } ) = \frac { v ^ { \pi } ( n , \mu ^ { 2 } ) } { v ^ { p } ( n , \mu ^ { 2 } ) } \, \bar { q } \, ^ { p } ( n , \mu ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } ( z _ { 1 } , . . . , z _ { n } ) } & { = \alpha _ { 1 } z _ { 1 } + P _ { 1 } ( z _ { 2 } , . . . , z _ { n } ) } \\ { A _ { 2 } ( z _ { 1 } , . . . , z _ { n } ) } & { = \alpha _ { 2 } z _ { 2 } + P _ { 2 } ( z _ { 3 } , . . . , z _ { n } ) } \\ { . . . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ . . . } \\ { A _ { n } ( z _ { 1 } , . . . , z _ { n } ) } & { = \alpha _ { n } z _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi _ { \ell } = \frac { \exp \left( \displaystyle \frac { \eta } { 4 } \left( 3 x _ { 1 } S _ { - 1 } ^ { ( 1 ) , \ell } + 2 x _ { 2 } S _ { - 1 } ^ { ( 2 ) , \ell } \right) \right) } { \left( \eta \left( 6 \left( S _ { - 1 } ^ { ( 1 ) , \ell ) } \right) ^ { 2 } + x _ { 2 } \right) \right) ^ { 1 / 2 } } \exp \left( - \sum _ { j \geq 1 } \frac { \eta ^ { - j } } { 4 j } \left( 3 x _ { 1 } S _ { j } ^ { ( 1 ) , \ell } + 2 x _ { 2 } S _ { j } ^ { ( 2 ) , \ell } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \delta d s \lambda \Re \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \overline { { w } } \theta \nabla _ { \Gamma } ( \partial _ { \nu } \psi ) \cdot \nabla _ { \Gamma } w \, d \sigma d t } \\ { = } & { \delta d s \lambda \Re \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } w \nabla _ { \Gamma } ( \overline { { w } } \theta ) \nabla _ { \Gamma } ( \partial _ { \nu } \psi ) \, d \sigma d t + \delta d s \lambda \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \Delta _ { \Gamma } ( \partial _ { \nu } \psi ) \theta | w | ^ { 2 } \, d \sigma d t } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } \delta d s \lambda \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \Delta _ { \Gamma } ( \partial _ { \nu } \psi ) \theta | w | ^ { 2 } \, d \sigma d t , } \end{array}
\delta \Psi _ { M } = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \hat { \nabla } _ { M } \epsilon ( x , y ) = 0 \Longrightarrow \left( \begin{array} { l } { { \hat { \nabla } _ { \mu } \eta ( x ) = 0 } } \\ { { \hat { \nabla } _ { \alpha } \varsigma ( y ) = 0 } } \end{array} \right) \ .
\xi _ { f } = \frac { q } { p } \frac { A ( \bar { B } ^ { 0 } \to f ) } { A ( B ^ { 0 } \to f ) } = \exp ( i 2 \phi _ { M } ) \frac { A ( \bar { B } ^ { 0 } \to f ) } { A ( B ^ { 0 } \to f ) }
\begin{array} { r } { { \dot { Q } } _ { u } = { \dot { m } } _ { a } C _ { a } ( T _ { 0 } - T _ { f i } ) ( 1 - e ^ { - \frac { 2 { \pi r } _ { 1 } h } { { \dot { m } } _ { a } C _ { a } } L } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { - K _ { F _ { \lambda } } } & { \sim \mathcal { O } \Big ( a _ { 3 } + 1 + \frac { a _ { 1 } } { \iota _ { X } } + \frac { a _ { 4 } - a _ { 3 } } { \iota _ { X } } - \frac { d _ { 2 } } { \iota _ { X } } \Big ) } \\ & { = \mathcal { O } \Big ( \frac { a _ { 3 } ( \iota _ { X } - 1 ) - a _ { 2 } + \iota _ { X } } { \iota _ { X } } \Big ) } \\ & { = \mathcal { O } ( 1 ) } & & { a _ { 3 } ( \iota _ { X } - 1 ) - a _ { 2 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { { l } } ( \mathfrak { a } _ { i } ^ { ( n _ { i + 1 } ) } ) = \mathbf { { l } } ( \eta _ { i , i + 1 } ) + n _ { i + 1 } \mathbf { { l } } ( C _ { i + 1 } ) , } \\ { \mathbf { { l } } ( \mathfrak { c } _ { i } ^ { ( n _ { i - 1 } ) } ) = \mathbf { { l } } ( \eta _ { i , i - 1 } ) + n _ { i - 1 } \mathbf { { l } } ( C _ { i - 1 } ) , } \end{array}
u _ { 1 } = { \frac { \sqrt { z _ { \beta } - z _ { \alpha } } \vartheta _ { 3 } } { 2 \pi \vartheta _ { 2 } \sqrt { 4 \vartheta _ { 2 } ^ { 4 } - 3 \vartheta _ { 3 } ^ { 4 } } } } .
\ensuremath { \boldsymbol { v } } ( \ensuremath { \boldsymbol { { x } } } ) = \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { d o f } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { g } } \exp \left( - \frac { ( \ensuremath { \boldsymbol { { x } } } - \ensuremath { \boldsymbol { { x } } } _ { i j } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) \mathbf { e } _ { j } .
\begin{array} { r l } { T ( f ) = } & { T \left( \sum _ { k = 1 } ^ { n } \lambda _ { k } \chi _ { A } ( x _ { k } ) \otimes \chi _ { B } ( u _ { k } ) \right) } \\ { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \lambda _ { k } \psi \left( \chi _ { A } ( x _ { k } ) , \chi _ { B } ( u _ { k } ) \right) } \\ { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \lambda _ { k } \hat { \chi } ( \epsilon _ { A } ( x _ { k } ) \wedge \epsilon _ { B } ( u _ { j } ) ) } \\ { \neq } & { 0 . } \end{array}
\sigma ( q \bar { q } \to H ) = \frac { G _ { F } \pi } { 3 \sqrt { 2 } } m _ { f } ^ { 2 } \sqrt { ( 1 - 4 m _ { f } ^ { 2 } / M _ { h } ^ { 2 } ) } \; \delta ( M _ { H } ^ { 2 } - \hat { s } )
\tilde { \Gamma } ^ { ( 1 ) } = \mathrm { t r } \ln ( 1 - 4 \dot { r } ^ { n } \Delta \dot { r } ^ { n } \Delta ) - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } \ln ( { \bf 1 } + \dot { r } \! \! \! / \Delta ) .
G ( \rho ) \epsilon ( k _ { R } , \lambda ) = \epsilon ( k _ { R } , \lambda ) + \left\{ \begin{array} { c } { { - \frac { 1 } { 2 } \left( \bar { \rho } , 0 , 0 , \bar { \rho } \right) , \, \, \, \, \, \, \lambda = + } } \\ { { + \frac { 1 } { 2 } \left( \rho , 0 , 0 , \rho \right) , \, \, \, \, \, \, \, \lambda = - } } \end{array} \right. \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \rho = \alpha + i \beta
I _ { \mathrm { s t e p } } ( t ) = \frac { \Psi _ { 0 } } { R _ { p } } \Theta ( t ) \sum _ { j \ge 1 } \frac { 4 \alpha _ { j } \sin ^ { 2 } \alpha _ { j } } { 2 \alpha _ { j } + \sin 2 \alpha _ { j } } \exp { \left( - \frac { \alpha _ { j } ^ { 2 } t } { R _ { p } C } \right) } \, .
\begin{array} { r l } { \dot { \mathbf { V } } _ { j } } & { { } = \frac { 1 } { h _ { j } ^ { 2 } } \mathbf { G } _ { 1 } \mathbf { V } _ { j } + \frac { 1 } { h _ { j } } \mathbf { G } _ { 2 } \mathbf { V } _ { j } + u _ { m , j } \textrm { \boldmath { g } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } u } h ( u ; w ( u ; y ) ) } & { = \frac { \partial } { \partial u } h ( u ; w ( u ; y ) ) + \frac { \partial } { \partial x } h ( u ; w ( u ; y ) ) \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } u } w ( u ; y ) } \\ & { = \varphi ( h ( u ; w ( u ; y ) ) ; r , z ) } \\ & { - \frac { \partial } { \partial x } h ( u ; w ( u ; y ) ) \Big ( \frac { \partial } { \partial x } h ( u ; w ( u ; y ) ) \Big ) ^ { - 1 } \cdot \varphi ( h ( u ; w ( u ; y ) ) ; r , z ) } \\ & { \equiv 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { d e t } \left( \tilde { \omega } \right) = \left[ h _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( \Phi _ { 1 } ) + h _ { 2 } ^ { \prime \prime } ( \Phi _ { 2 } ) \right] ^ { 2 } \, . } \end{array}
\left( \frac { i \omega h } { 6 } + \frac { a } { 2 } - \frac { k } { h } \right) U _ { A + 1 } + \left( \frac { 2 i \omega h } { 3 } + \frac { 2 \kappa } { h } \right) U _ { A } + \left( \frac { i \omega h } { 6 } - \frac { a } { 2 } - \frac { k } { h } \right) U _ { A - 1 } = 0 .
\begin{array} { r l } { \| P _ { 2 } ^ { * } - \tilde { P } _ { 2 } \| } & { \leq \operatorname* { m i n } \bigg \{ \| P ^ { * } \| , \frac { \| P ^ { * } \| } { C _ { 2 } } , \frac { \epsilon } { 4 C _ { 1 } C _ { 2 } } \cdot \bigg \} } \\ { \| \delta _ { 1 } \| } & { \leq \operatorname* { m i n } \bigg \{ \sqrt { \frac { \| P ^ { * } \| } { C _ { 3 } } } , \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { \epsilon } { C _ { 1 } C _ { 3 } } } \bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r } { T ( x , z , t = 0 ) = T _ { p h o } + \frac { T _ { c o r } - T _ { p h o } } { 2 } \left[ \operatorname { t a n h } \left( \frac { z - z _ { c o r } } { w _ { t r } } \right) + 1 \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl | ( H ^ { t } } & { V ) ( x , y ) - ( \tilde { H } ^ { t } V ) ( \tilde { x } , \tilde { y } ) \bigr | } \\ & { \leq \bigl \| ( x , y ) - ( \tilde { x } , \tilde { y } ) \bigl \| _ { 2 } \biggl ( L _ { r } \sum _ { i = 0 } ^ { t - 1 } ( \gamma L _ { f } ) ^ { i } + L _ { V } ( \gamma L _ { f } ) ^ { t } \biggr ) + \alpha d _ { \mathcal { Y } } \biggl ( L _ { r } \sum _ { i = 1 } ^ { t - 1 } \gamma ^ { i } \, \sum _ { j = 0 } ^ { i - 1 } L _ { f } ^ { j } + L _ { V } \gamma ^ { t } \sum _ { j = 0 } ^ { t - 1 } L _ { f } ^ { j } \biggr ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \varepsilon = \sum _ { x , x ^ { * } \in \{ ( s , s ^ { * } ) , ( i , i ^ { * } ) , ( r , r ^ { * } ) \} } { \frac { \Vert x ^ { * } - x \Vert _ { 2 , T } } { \Vert x \Vert _ { 2 , T } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { q c _ { 1 } - \frac { \sigma _ { 2 } } { 2 } - \frac { \sigma _ { 2 } \mod 2 } { 2 } + c _ { 2 } + 1 + \frac { \sigma _ { 2 } \mod 2 } { 2 } + \frac { \alpha _ { 1 } } { \Delta _ { 2 } - 1 } < \frac { q \sigma _ { 1 } } { 2 } + \frac { q ( \sigma _ { 1 } \mod 2 ) } { 2 } - } \\ & { - q c _ { 1 } - q - c _ { 2 } - \frac { q ( \sigma _ { 1 } \mod 2 ) } { 2 } - 1 } \end{array}
\frac 1 2 \int _ { \Omega } \nabla \cdot ( v _ { w _ { 0 } } - \varrho ^ { \prime } / \mathfrak { g } e _ { 1 } ) \eta ^ { 2 } = \int _ { \Omega } \nabla \cdot ( ( v _ { w _ { 0 } } - \varrho ^ { \prime } / \mathfrak { g } e _ { 1 } ) \eta ) \eta = \int _ { \mathbb { R } ^ { n - 1 } } \Big ( ( \nabla _ { \| } , 0 ) \cdot \int _ { 0 } ^ { b } ( v _ { w _ { 0 } } - \varrho ^ { \prime } / \mathfrak { g } e _ { 1 } ) \eta \Big ) \eta .
{ \frac { d \lambda _ { t } } { d t } } = { \frac { \lambda _ { t } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \left[ - \sum c _ { i } g _ { i } ^ { 2 } + 6 \lambda _ { t } ^ { 2 } + \lambda _ { b } ^ { 2 } \right] \; ,
\begin{array} { r l } { \Big | \widehat { \sigma } _ { \infty } ^ { 2 } ( k ) - \breve { \sigma } _ { \infty } ^ { 2 } ( k ) \Big | = } & { \Big | \frac { 1 } { R } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \Big ( \frac { 1 } { \sqrt { S } } \sum _ { i \in { \mathcal { S } _ { r } } } \breve { Y } _ { i } \Big ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { R } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \Big ( \frac { 1 } { \sqrt { S } } \sum _ { i \in { \mathcal { S } _ { r } } } Y _ { i } \Big ) ^ { 2 } \Big | } \\ { = } & { \Big | \frac { 1 } { R } \sum _ { r = 1 } ^ { R } I _ { 1 } I _ { 2 } \Big | } \\ { = } & { S \Big ( O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { 4 r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { 4 - \frac { p } { r } } } \log ^ { \frac { 4 r } { 2 r + p } } ( T ) ) O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { 2 r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { r } + 1 } } \log ^ { \frac { 2 r } { 2 r + p } } ( T ) ) O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } } } \log ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ( T ) ) \kappa _ { k } } \\ { + } & { O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { 2 r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { 2 - \frac { p } { 2 r } } } \log ^ { \frac { 2 r } { 2 r + p } } ( T ) ) O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } } } \log ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ( T ) ) O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } } } \log ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ( T ) ) } \\ { + } & { O _ { p } ( \kappa _ { k } ^ { - 1 } ) O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } } } \log ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ( T ) ) } \\ { + } & { O _ { p } ( \kappa _ { k } ^ { - 1 } ) O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } } } \log ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ( T ) ) O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { 2 r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { 2 - \frac { p } { 2 r } } } \log ^ { \frac { 2 r } { 2 r + p } } ( T ) ) O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } } } \log ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ( T ) ) \kappa _ { k } \Big ) . } \end{array}
R _ { j , m } ( \omega ) = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \, \, P _ { j } ^ { ( n ) } ( \mathbf { x } _ { R } ) \, \, D ^ { ( n ) } ( \omega ) \, \, P _ { m } ^ { ( n ) } ( \mathbf { x } _ { S } ) \ \ \ .
\begin{array} { r l } { X _ { 1 } ^ { + } } & { : = \sqrt { 1 - \psi _ { 1 } ^ { 2 } } \partial _ { \zeta _ { 1 } } - \psi _ { 1 } \partial _ { \zeta _ { 2 } } , } \\ { X _ { 2 } ^ { + } } & { : = \partial _ { z } + \sqrt { \psi _ { 1 } + 1 } \partial _ { \psi _ { 1 } } - \frac { \psi _ { 1 } } { \sqrt { 1 - \psi _ { 1 } } } \partial _ { \psi _ { 2 } } + \left( \frac { - \zeta _ { 1 } \sqrt { \psi _ { 1 } + 1 } } { \psi _ { 1 } } + \frac { \zeta _ { 2 } } { \sqrt { 1 - \psi _ { 1 } } } \right) \partial _ { \zeta _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big \| \chi _ { \leq N } \big \| _ { X ^ { - \delta _ { 1 } , b _ { 0 } } ( [ 0 , T ] ) } } & { \leq \exp \Big ( C ( T \lambda ) ^ { C } \Big ) , } \\ { \big \| \chi _ { \leq M } - \chi _ { \leq N } \big \| _ { X ^ { - \delta _ { 1 } , b _ { 0 } } ( [ 0 , T ] ) } } & { \leq \exp \Big ( C ( T \lambda ) ^ { C } \Big ) \operatorname* { m i n } ( M , N ) ^ { - \kappa } . } \end{array}
\bar { n } _ { \mathrm { ~ L ~ L ~ O ~ } } \simeq \Theta _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } \tau , ~ \Theta _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } : = \pi \sigma _ { x } ^ { 2 } C ^ { - 1 } l _ { \mathrm { ~ W ~ } } .
m _ { \tilde { u } _ { L } } ^ { 2 } - m _ { \tilde { u } _ { R } } ^ { 2 } ; \quad m _ { \tilde { u } _ { L } } ^ { 2 } - m _ { \tilde { e } _ { R } } ^ { 2 } ; \quad m _ { \tilde { e } _ { L } } ^ { 2 } - m _ { \tilde { d } _ { R } } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { R _ { E } ( g _ { \lambda } , \tau ) } & { { } = \int _ { \mathcal { M } } d \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } g _ { \lambda } ( \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } ) \mathscr { P } ( \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } ) \left[ \int _ { \mathcal { M } } d \pmb { \mathscr { s } } g _ { \lambda } ( \pmb { \mathscr { s } } ) \mathscr { T } ^ { \tau } \delta ( \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { k } ( y , T ) } & { = v _ { T } ( y _ { i } ) \quad \mathrm { f o r ~ } y \in \left[ y _ { i } - \frac { \Delta x } { 2 } , y _ { i } + \frac { \Delta x } { 2 } \right) , } \\ { V _ { k } ( y \pm \Delta x , T ) } & { = v _ { T } ( y _ { i } \pm \Delta x ) \quad \mathrm { f o r ~ } y \in \left[ y _ { i } - \frac { \Delta x } { 2 } , y _ { i } + \frac { \Delta x } { 2 } \right) . } \end{array}
\int \operatorname { a r c c o s } ( a x ) ^ { n } \, d x = x \operatorname { a r c c o s } ( a x ) ^ { n } \, - \, { \frac { n { \sqrt { 1 - a ^ { 2 } x ^ { 2 } } } \operatorname { a r c c o s } ( a x ) ^ { n - 1 } } { a } } \, - \, n \, ( n - 1 ) \int \operatorname { a r c c o s } ( a x ) ^ { n - 2 } \, d x
\frac { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } { \theta _ { 0 } } = \frac { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } { \theta _ { 0 } ^ { \prime } } + \biggl ( \frac { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } { \theta _ { 1 } ^ { \prime } } \biggr ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \tilde { C } _ { x x } ( t ) } & { = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { J } x _ { i } ( 0 ) \ x _ { i } ( t ) \ W _ { i } ( 0 ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { J } W _ { i } ( 0 ) } \mathrm { , } } \\ { \tilde { C } _ { n n } ( t ) } & { = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { J } A _ { n i } ( 0 ) \ B _ { n i } ( t ) \ W _ { i } ( 0 ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { J } W _ { i } ( 0 ) } \mathrm { , } } \end{array}
A ( p ^ { 2 } ) m ( p ^ { 2 } ) = - { \frac { 4 } { 3 } } i ( 2 \pi ) ^ { - 4 } \int d ^ { 4 } k { \frac { D ( { \hat { k } } ) A ( q ^ { \prime } ) m ( q ^ { 2 } ) } { A ^ { 2 } ( q ^ { \prime } ) ( m ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) + q ^ { 2 } ) } }
\begin{array} { r l r } { d _ { t } S _ { i } ( t ) } & { = } & { - \Lambda _ { i } ( t ) S _ { i } ( t ) , } \\ { d _ { t } E _ { i } ( t ) } & { = } & { \Lambda _ { i } ( t ) S _ { i } ( t ) - \Psi E _ { i } ( t ) , } \\ { d _ { t } I _ { i } ( t ) } & { = } & { \Psi E _ { i } ( t ) - \Gamma I _ { i } ( t ) , } \\ { d _ { t } R _ { i } ( t ) } & { = } & { \Gamma I _ { i } ( t ) . } \end{array}
\nabla \cdot \mathbf { u } ^ { t + 1 } = \nabla \cdot \left[ \varepsilon ^ { t } ( \mathbf { x } ) ( \mathbf { u } _ { s } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } _ { c } ^ { t + 1 } ) \right] \approx \nabla \cdot \left[ \varepsilon ^ { t } ( \mathbf { x } ) ( \mathbf { u } ^ { * } - \mathbf { u } _ { c } ^ { t } ) \right]
r ^ { ( \alpha _ { \mathrm { G } } ) } = r \cos \alpha _ { \mathrm { G } } + z \sin \alpha _ { \mathrm { G } } , \quad z ^ { ( \alpha _ { \mathrm { G } } ) } = z \cos \alpha _ { \mathrm { G } } - r \sin \alpha _ { \mathrm { G } } .
\varphi _ { z } ^ { 2 } \left[ { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \right] = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \neq { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) }
- i T _ { f i } = ( i b _ { c o r e } ) _ { \mu } G ^ { \mu \nu } ( i b _ { c o r e } ^ { \prime } ) _ { \nu } + ( i b _ { c o r e } ) _ { \mu } G _ { T } ^ { \mu \nu } ( i \overline { { { J ^ { \prime } } } } ) _ { \nu } + ( i \overline { { J } } ) _ { \mu } G _ { T } ^ { \mu \nu } ( i b _ { c o r e } ^ { \prime } ) _ { \nu } + ( i \overline { { J } } ) _ { \mu } G _ { T } ^ { \mu \nu } ( i \overline { { { J ^ { \prime } } } } ) _ { \nu } ,
\mathbf { A } = \left[ { \begin{array} { c c c c } { \mathbf { A } _ { 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbf { A } _ { 2 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \mathbf { A } _ { N } } \end{array} } \right] \; .
\frac { 1 } { 2 \pi { \tilde { \alpha } } ^ { \prime } } { \tilde { H } } _ { 3 } = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } { \tilde { \beta } } ^ { \prime } } \int _ { K 3 } { \tilde { K } } _ { 7 } \ ,
\begin{array} { r l } { \mathfrak { D } } & { { } = \frac { \gamma ^ { 2 } R } { 4 \Gamma _ { 1 } \left( \omega ^ { 2 } + \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \right) \left( \omega ^ { 2 } + \left( \Gamma _ { 1 } - \Gamma _ { 2 } \right) ^ { 2 } \right) } \left\{ \vphantom { \int _ { 0 } ^ { 0 } } \left( \omega \Gamma _ { y z } + \Gamma _ { 2 } \Gamma _ { z x } \right) \left( \omega ^ { 2 } + \left( \Gamma _ { 1 } - \Gamma _ { 2 } \right) ^ { 2 } \right) \right. } \end{array}
\mathrm { d } \mathrm { S } = \left[ - ( B + C ) \left( \mathrm { S } - \frac { 2 C \mathrm { S } _ { E } - A ^ { 2 } } { 2 ( B + C ) } \right) \right] ( 1 + \mathrm { S } ) \mathrm { d } t + A \bar { u } ( 1 + \mathrm { S } ) \mathrm { d } t + A ( 1 + \mathrm { S } ) \mathrm { d } W _ { t } .
e ^ { \rho } = 2 r ^ { - \gamma / 2 } [ C + \int _ { r _ { 0 } } ^ { r } x ^ { ( 6 - \gamma ) / 2 } ( V ( x ) - f _ { 0 } ^ { 2 } x ^ { \epsilon - 4 } ) d x ] \partial _ { + } X ^ { + } \partial _ { - } X ^ { - } .