harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
Q _ { s } = \frac { Q _ { i n } v _ { e } } { d } \Big [ \Big ( t _ { s } - t _ { e } \Big ) \theta \Big ( t _ { e } - t _ { s } \Big ) + t _ { e } \Big ] + \frac { Q _ { i n } v _ { h } } { d } \Big [ \Big ( t _ { s } - t _ { h } \Big ) \theta \Big ( t _ { h } - t _ { s } \Big ) + t _ { h } \Big ] .
S = \int d V _ { x } \lbrace ( D ^ { \mu } \Phi ) ^ { \dagger } ( D _ { \mu } \Phi ) + m ^ { 2 } \Phi ^ { \dagger } \Phi + \frac { \lambda } { 6 } ( \Phi ^ { \dagger } \Phi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } \rbrace
\begin{array} { r l } { \Theta ^ { \mathrm { D A L } } = \Big \{ \theta : \theta \in \tilde { \Theta } , \ } & { e _ { f _ { j , \ell } , d } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta e _ { i , d _ { 1 } } + e _ { f _ { i , \ell } , d } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta e _ { j , d _ { 1 } } \leq \delta _ { 2 , \ell } ( i , j ) , \ ( i , j ) \in I _ { 2 , \ell } , \ \ell \in [ \tau ] , } \\ & { e _ { f _ { j , \ell } , d } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta e _ { i , d _ { 1 } } + e _ { f _ { k , \ell } , d } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta e _ { j , d _ { 1 } } + e _ { f _ { i , \ell } , d } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta e _ { k , d _ { 1 } } \leq \delta _ { 3 , \ell } ( i , j , k ) , \ ( i , j , k ) \in I _ { 3 , \ell } , \ \ell \in [ \tau ] \Big \} , } \end{array}
Y ( \beta ) = \sum _ { k = 2 } ^ { n } ( \beta _ { k } - \bar { \beta } _ { k } ) ^ { 2 } - ( \beta _ { n + 1 } - \bar { \beta } _ { n + 1 } ) ^ { 2 } = { \frac { 4 } { | t _ { n + 2 } - t _ { 1 } | ^ { 2 } } } > 0 \ .
f _ { S H 1 } = 2 \sqrt { \left( 1 + \Gamma \right) \frac { \sigma _ { 0 , r } ^ { 2 } } { \left( g / R \right) m \operatorname { t a n h } { m h / R } } + 4 \left( 1 + \Gamma \right) ^ { 2 } \left( \frac { \Omega + \sigma _ { 0 , i } } { 2 \omega _ { 0 } } - 1 \right) ^ { 2 } } ,
{ \begin{array} { r l } { H _ { 0 } } & { = + { \left( \begin{array} { l } { 1 } \end{array} \right) } } \\ { H _ { 1 } } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { \begin{array} { r r } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} } \right) } \\ { H _ { 2 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \begin{array} { r r r r } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} } \right) } \\ { H _ { 3 } } & { = { \frac { 1 } { 2 ^ { 3 / 2 } } } \left( { \begin{array} { r r r r r r r r } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 1 } & { - 1 } \end{array} } \right) } \\ { ( H _ { n } ) _ { i , j } } & { = { \frac { 1 } { 2 ^ { n / 2 } } } ( - 1 ) ^ { i \cdot j } } \end{array} }
\sum _ { \substack { \mathrm { ~ p ~ a ~ t ~ h ~ s ~ f ~ r ~ o ~ m ~ } \, \mathrm { ~ C ~ h ~ a ~ n ~ n ~ e ~ l ~ 3 ~ } } } \mathcal { Z } _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ t ~ h ~ } } = i c \Omega ^ { 2 } \varphi _ { z , \mathrm { ~ I ~ N ~ } } \varphi _ { z , \mathrm { ~ O ~ U ~ T ~ } } .
\begin{array} { l l l } { ( [ W / G _ { x } ] , w ) } & { \to } & { ( [ N _ { x } / G _ { x } ] , 0 ) } \\ { \downarrow } & { } & { \downarrow } \\ { ( U , u ) } & { \to } & { ( N _ { x } / / G _ { x } , 0 ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \rho } _ { 1 2 } ( t \rightarrow \infty ) } & { { } = } & { \operatorname* { l i m } _ { z \rightarrow 0 } z \breve { \rho } _ { 1 2 } ( z ) = \frac { - \Omega _ { p } } { \tilde { \epsilon } _ { 1 2 } - \frac { 1 } { 8 } \frac { \Omega _ { C } ^ { 2 } } { \tilde { \epsilon } _ { 1 - } } - \frac { 1 } { 8 } \frac { \Omega _ { C } ^ { 2 } } { \tilde { \epsilon } _ { 1 + } } } } \end{array}
Z = \int { \cal D } A _ { - } { \cal D } \pi ^ { - } { \cal D } \varphi { \cal D } \pi _ { \varphi } { \cal D } \theta ^ { 1 } { \cal D } \pi ^ { 1 } { \cal D } \theta ^ { 2 } { \cal D } \pi ^ { 2 } \prod _ { i , j = 1 } ^ { 2 } \delta ( \widetilde { \top } _ { i } ) \delta ( \Gamma _ { j } ) \mathrm { d e t } \mid \{ \widetilde { \top } _ { i } , \Gamma _ { j } \} \mid e ^ { i S } ,
\boldsymbol { \mathcal { Q } } \boldsymbol { \mathcal { A } } \boldsymbol { \mathcal { Q } } ^ { \dagger } \tilde { \boldsymbol { f } } = \frac { 1 } { \mathrm { K n } } \boldsymbol { \mathcal { Q } } \boldsymbol { \mathcal { L } } \boldsymbol { \mathcal { Q } } ^ { \dagger } \tilde { \boldsymbol { f } } .
{ \frac { d n _ { \varphi } } { d \varphi } } = { \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } } \left[ 1 - { \frac { \ell + 1 } { \ell } } { \frac { \ell + 2 } { \ell } } \left| \frac { \varphi } { \psi } \right| ^ { 2 / \ell } \right] .
\begin{array} { r l } { \vec { \mathcal P } } & { { } = \mathcal N ( \vec { d } _ { 1 3 } \rho _ { 1 3 } e ^ { - i \omega _ { p } t } + \vec { d } _ { 1 2 } \rho _ { 1 2 } e ^ { - i \omega _ { c } t } + \vec { d } _ { 4 2 } \rho _ { 4 2 } e ^ { - i \omega _ { q } t } } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { X } } \mathcal { X } _ { n } = n ( n + 1 ) \mathcal { X } _ { n } \, , \; \mathcal { X } _ { n } = \frac { \Xi _ { n + 1 } [ \xi ] - \Xi _ { n - 1 } [ \xi ] } { 2 n + 1 } \, , \ } \end{array}
f = 3 ( - \beta v ^ { 2 } ( v ^ { 2 } + 1 ) + \alpha v - \log I _ { 0 } ( \alpha ) ) + \beta ^ { \prime } ( - 3 v ^ { 2 } v ^ { 2 } - v ^ { 2 } ) + \alpha ^ { \prime } v ^ { \prime } - \log I _ { 0 } ( \alpha ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } & { \int _ { [ t _ { 0 } - r ^ { 2 } , t _ { 0 } + r ^ { 2 } ] \cap ( - \infty , 1 ) } \int _ { P ^ { * } ( x _ { 0 } , t _ { 0 } ; r ) \cap M \times \{ t \} } | R m | ^ { 2 - \epsilon } \, d V _ { t } d t } \\ { \leq } & { \int _ { [ t _ { 0 } - r ^ { 2 } , t _ { 0 } + r ^ { 2 } ] \cap ( - \infty , 1 ) } \int _ { P ^ { * } ( x _ { 0 } , t _ { 0 } ; r ) \cap M \times \{ t \} } r _ { \emph { R m } } ^ { - 4 + 2 \epsilon } \, d V _ { t } d t \leq C ( n , A , \epsilon ) r ^ { n - 2 + 2 \epsilon } . } \end{array}
\frac { \phi ( \omega , \zeta ) } { 2 n + 1 } = \frac { \tau _ { p } } { 1 + \zeta ^ { 2 } } \delta \omega + \frac { 2 \zeta ( \tau _ { p } ^ { 2 } + \tau _ { a } ^ { 2 } ) } { ( 1 + \zeta ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \frac { \delta \omega ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 2 ( 3 \zeta ^ { 2 } - 1 ) ( \tau _ { p } ^ { 2 } + 3 \tau _ { a } ^ { 2 } ) \tau _ { p } } { ( 1 + \zeta ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \frac { \delta \omega ^ { 3 } } { 6 } + \mathcal { O } ( \delta \omega ^ { 4 } ) .
\begin{array} { r l } { \Psi } & { = { \frac { \partial } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } \left[ A ( c _ { k } ^ { \prime } ) \phi _ { i } - A ( c _ { k } ^ { \prime } ) c _ { s _ { i } ( c ) } ^ { \prime } \right] } } \\ & { = \frac { \partial } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } \left[ A ( c _ { k } ^ { \prime } ) \phi _ { i } \right] - \frac { \partial } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } \left[ A ( c _ { k } ^ { \prime } ) c _ { k } ^ { \prime } \right] } \\ & { = \phi _ { i } \frac { \partial A ( c _ { k } ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } - \left( c _ { k } ^ { \prime } \frac { \partial A ( c _ { k } ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } + A ( c _ { k } ^ { \prime } ) \right) } \\ & { = \frac { \partial A ( c _ { k } ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } \left( \phi _ { i } - c _ { k } ^ { \prime } \right) - A ( c _ { k } ^ { \prime } ) . } \end{array}
\mathcal { E } _ { \mathrm { t r u n c } } \leq \frac { 4 } { \sqrt { 2 \pi t } } L e ^ { - \frac { ( L / 2 - \delta ) ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } + \frac { 4 } { \sqrt { 2 \pi t } } \sqrt { \pi } \sigma \operatorname { e r f c } \Big ( \frac { L - 2 \delta } { 4 \sigma } \Big ) .
\begin{array} { r l } { \gamma ^ { * } = c _ { 2 } \left( \operatorname* { m i n } _ { i \in [ p ] } D _ { i , i } \right) ^ { - 7 } } & { \times \left\{ \frac { ( v _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + v _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ) ( 1 + v _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ) ( 1 + v _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ) } { | v _ { 0 } ^ { ( 1 ) } - v _ { 0 } ^ { ( 2 ) } | } \times \operatorname* { s u p } _ { S \subseteq [ p ] } \frac { 1 } { \left| \xi ( S ) \right| } \right\} ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \bar { y } _ { t + 1 } - y _ { \bar { x } _ { t } } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \frac { \mu \gamma \alpha _ { t } } { 2 } ) \| \bar { y } _ { t } - y _ { \bar { x } _ { t } } \| ^ { 2 } - \frac { \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t } } { 4 } \| \bar { \omega } _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { 4 \gamma \alpha _ { t } } { \mu } \| \nabla _ { y } g ( \bar { x } _ { t } , \bar { y } _ { t } ) - \bar { w } _ { t } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\sigma _ { p p } ^ { 2 } ( t ) = { \frac { 1 } { 2 } } \hbar m _ { 0 } \omega _ { 0 } \biggl ( { \frac { 1 } { ( m _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \mu _ { 2 } ^ { 2 } + \mu _ { 4 } ^ { 2 } \biggr ) \ { \bf I _ { 2 } } \ \ ,
\begin{array} { r l } & { = z _ { ( x ^ { - } ) ^ { \prime } - \delta _ { N } } + p _ { y } ( ( x ^ { - } ) ^ { \prime } ) + y _ { 5 } \delta _ { N } ^ { 2 } - y _ { 5 } \delta _ { N } ^ { 2 } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \delta \uparrow \delta _ { N } } z _ { ( x ^ { - } ) ^ { \prime } - \delta _ { N } } + p _ { y } ( ( x ^ { - } ) ^ { \prime } - \delta _ { N } + \delta ) , } \end{array}
\rho ^ { ( 3 ) } ( \tau _ { 4 } ) = \left( \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } d \mathcal { E } _ { L } \tau _ { L } \right) ^ { 3 } \mathscr { U } ( \tau _ { 4 } , \tau _ { 3 } ) \mathscr { D } \mathscr { U } ( \tau _ { 3 } , \tau _ { 2 } ) \mathscr { D } ^ { \dagger } \mathscr { U } ( \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } ) \mathscr { D } ^ { \dagger } \rho _ { 0 } .
\begin{array} { r l } { { 4 } P _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( 0 ) } & { = P _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( \ell ) , } \\ { J _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( 0 ) } & { = J _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( \ell ) , } \\ { P _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( a ) } & { = P _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( a ) , } \\ { J _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( a ) } & { = J _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( a ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { \bar { E } } _ { 3 } [ \{ \nu _ { \mathfrak { n } } \} , \{ \bar { \phi } _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } ) \} ] } & { { } = } & { 4 \, \sum _ { \mathfrak { n } } \, \nu _ { \mathfrak { n } } \, h _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n } } + 2 \, R ^ { - 3 } \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { s } ( z ) } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp { \biggl ( } - { \frac { z } { 2 } } ( u + { \frac { 1 } { u } } ) { \biggr ) } \cdot u ^ { s - 1 } d u } \end{array}
p _ { \mathrm { e q } } ( x ) = \frac { \left( \frac { \beta } { q } \right) ^ { \frac { \alpha } { q } } } { \Gamma \left( \frac { \alpha } { q } \right) } x ^ { \frac { \alpha } { q } - 1 } \exp \left[ - \frac { \beta x } { q } \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { r } _ { i } } & { { } = \mathbf { v } _ { i } = \mathbf { 0 } , } \\ { \mathbf { r } } & { { } = \mathbf { R } , } \\ { \mathbf { v } } & { { } = \mathbf { V } , } \\ { m } & { { } = M , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } W _ { 0 } \equiv } & { 4 W _ { 0 } \psi _ { 1 } ^ { 1 } + 4 W _ { 1 } \psi _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \mathrm { d } W _ { 1 } \equiv } & { W _ { 0 } \psi _ { 2 } ^ { 1 } + ( 3 \psi _ { 1 } ^ { 1 } + \psi _ { 2 } ^ { 2 } ) W _ { 1 } + 3 W _ { 2 } \psi _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \mathrm { d } W _ { 2 } \equiv } & { 2 W _ { 1 } \psi _ { 2 } ^ { 1 } + ( 2 \psi _ { 1 } ^ { 1 } + 2 \psi _ { 2 } ^ { 2 } ) W _ { 2 } + 2 W _ { 3 } \psi _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \mathrm { d } W _ { 3 } \equiv } & { 3 W _ { 2 } \psi _ { 2 } ^ { 1 } + ( \psi _ { 1 } ^ { 1 } + 3 \psi _ { 2 } ^ { 2 } ) W _ { 3 } + W _ { 4 } \psi _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \mathrm { d } W _ { 4 } \equiv } & { 4 W _ { 3 } \psi _ { 2 } ^ { 1 } + 4 W _ { 4 } \psi _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \mathrm { d } A _ { 0 } \equiv } & { ( 4 \psi _ { 0 } ^ { 0 } + 3 \psi _ { 1 } ^ { 1 } + \psi _ { 2 } ^ { 2 } ) A _ { 0 } + 2 A _ { 1 } \psi _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \mathrm { d } A _ { 1 } \equiv } & { A _ { 0 } \psi _ { 2 } ^ { 1 } + ( 4 \psi _ { 0 } ^ { 0 } + 2 \psi _ { 1 } ^ { 1 } + 2 \psi _ { 2 } ^ { 2 } ) A _ { 1 } + A _ { 2 } \psi _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \mathrm { d } A _ { 2 } \equiv } & { 2 A _ { 1 } \psi _ { 2 } ^ { 1 } + ( 4 \psi _ { 0 } ^ { 0 } + \psi _ { 1 } ^ { 1 } + 3 \psi _ { 2 } ^ { 2 } ) A _ { 2 } . } \end{array}
T _ { B } ^ { ( i ) } ( z ) = \displaystyle \sum _ { \mu = 0 } ^ { n - 1 } \phi _ { ( a , a + \bar { \varepsilon } _ { \mu } ) } ( z ) K ^ { ( i ) } \left( \left. a + \bar { \varepsilon } _ { \mu } \begin{array} { c } { { a } } \\ { { a } } \end{array} \right| z \right) \phi ^ { ( a + \bar { \varepsilon } _ { \mu } , a ) } ( z )
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { b c } ^ { a } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } g ^ { k a } \left( \frac { \partial g _ { c k } } { \partial x ^ { b } } + \frac { \partial g _ { k b } } { \partial x ^ { c } } - \frac { \partial g _ { b c } } { \partial x ^ { k } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } e ^ { - \alpha } h ^ { k a } \left[ \frac { \partial ( e ^ { \alpha } h _ { c k } ) } { \partial x ^ { b } } + \frac { \partial ( e ^ { \alpha } h _ { k b } ) } { \partial x ^ { c } } - \frac { \partial ( e ^ { \alpha } h _ { b c } ) } { \partial x ^ { k } } \right] } \\ & { = \tilde { \Gamma } _ { b c } ^ { a } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } h ^ { k a } \left( \frac { \partial \alpha } { \partial x ^ { b } } h _ { c k } + \frac { \partial \alpha } { \partial x ^ { c } } h _ { k b } - \frac { \partial \alpha } { \partial x ^ { k } } h _ { b c } \right) . } \end{array}
\vec { a } _ { 2 } ^ { * } = \cos ( R _ { 3 } ) \left( \begin{array} { l } { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \\ { z ^ { \prime } } \end{array} \right) + \sin ( R _ { 3 } ) \left( \begin{array} { l } { x ^ { \prime \prime } } \\ { y ^ { \prime \prime } } \\ { z ^ { \prime \prime } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \hat { \gamma } = \hat { \gamma } _ { 1 } - \hat { \gamma } _ { 2 } , \quad \quad \hat { \gamma } _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \hat { \gamma } , \quad \quad \hat { \gamma } _ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } \hat { \gamma } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } { \delta E ( w , f ) [ ( \dot { w } , \dot { f } ) ] = } & { - \frac 1 2 \operatorname { I m } \int _ { \partial \mathcal { D } _ { \rho } } \left[ - \overline { \sigma } \overline { { w _ { z } } } w _ { \zeta } + \overline { \sigma } | w _ { z } | ^ { 2 } f _ { \zeta } \right] \, d \zeta , } \\ { \delta p ( w , f ) [ ( \dot { w } , \dot { f } ) ] = } & { - \frac 1 2 \operatorname { I m } \int _ { \partial \mathcal { D } _ { \rho } } \left[ - \overline { \sigma } \overline { { w _ { z } } } f _ { \zeta } + \overline { \sigma } \left( w _ { z } + \overline { { w _ { z } } } \right) f _ { \zeta } \right] \, d \zeta . } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { \alpha f ^ { \prime } ( 0 ) } { f ( s ) } - \frac { \alpha } { s } = \frac { \alpha f ^ { \prime } ( 0 ) s - \alpha f ( s ) } { s f ( s ) } = \frac { \alpha f ^ { \prime } ( 0 ) s - \alpha f ^ { \prime } ( 0 ) s + f ^ { \prime \prime } ( 0 ) / 2 s ^ { 2 } + o ( s ^ { 2 } ) } { f ^ { \prime } ( 0 ) s ^ { 2 } + o ( s ^ { 2 } ) } \underset { s \to 0 } \longrightarrow - \frac { \alpha f ^ { \prime \prime } ( 0 ) } { 2 f ^ { \prime } ( 0 ) } ,
\begin{array} { r l } { a _ { k , 1 } } & { \! = \! \frac { 2 p _ { k } [ t _ { k } \delta \Delta _ { k } ( t _ { k } \gamma _ { k } + \sigma ^ { 2 } ( 1 + t _ { k } \delta _ { k } ) \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ) ] } { ( t _ { k } \gamma _ { k } + \sigma ^ { 2 } ( 1 + t _ { k } \delta _ { k } ) ^ { 2 } \gamma _ { k } ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ) ^ { 2 } \widetilde { \gamma } _ { k } ( { \mathbf { P } } _ { k } ) } , a _ { k , 2 } \! = \! \frac { - p _ { k } t _ { k } ^ { 2 } \delta _ { k } ^ { 2 } \Delta _ { k } ^ { 2 } } { ( t _ { k } \gamma _ { k } + \sigma ^ { 2 } ( 1 + t _ { k } \delta _ { k } ) ^ { 2 } \gamma _ { k } ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ) \widetilde { \gamma } _ { k } ( { \mathbf { P } } _ { k } ) ^ { 2 } } , a _ { k , 3 } \! = \! \frac { - 2 p _ { k } t _ { k } \overline { { d } } \gamma _ { k } ( { \mathbf { C } } ) } { \rho ^ { 2 } \widetilde { \gamma } _ { k } ( { \mathbf { P } } _ { k } ) \gamma _ { k } ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ( 1 + t _ { k } \delta _ { k } ) ^ { 3 } } , } \\ { a _ { k , 4 } } & { \! = \! \frac { p _ { k } \Delta _ { k } } { \rho ^ { 2 } \widetilde { \gamma } _ { k } ( { \mathbf { P } } _ { k } ) \gamma _ { k } ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ( 1 + t _ { k } \delta _ { k } ) ^ { 2 } } , a _ { k , 5 } \! = \! \frac { - 2 p _ { k } t _ { k } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { I } } _ { N } ) \gamma _ { k } } { \sigma ^ { 2 } \widetilde { \gamma } _ { k } ( { \mathbf { P } } _ { k } ) \gamma _ { k } ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ( 1 + t _ { k } \delta _ { k } ) ^ { 3 } } , a _ { k , 6 } \! = \! \frac { p _ { k } \Delta _ { k } } { \sigma ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } _ { k } ) \gamma _ { k } ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ( 1 + t _ { k } \delta _ { k } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E \left[ \tilde { V } _ { k , \, i } \tilde { V } _ { k , \, m } ^ { * } \right] } & { = E \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { r } } \tilde { Z } _ { k , \, j , \, i } ^ { * } \tilde { W } _ { k , \, j } \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { r } } \tilde { Z } _ { k , \, l , \, m } \tilde { W } _ { k , \, l } ^ { * } \right] } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { r } } \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { r } } E \left[ \tilde { Z } _ { k , \, l , \, m } \tilde { Z } _ { k , \, j , \, i } ^ { * } \right] E \left[ \tilde { W } _ { k , \, j } \tilde { W } _ { k , \, l } ^ { * } \right] } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { r } } \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { r } } 2 \sigma _ { Z , \, i } ^ { 2 } \delta _ { K } ( i - m ) \delta _ { K } ( j - l ) } \\ & { \qquad \times 2 \sigma _ { W } ^ { 2 } \delta _ { K } ( j - l ) } \\ & { = 4 N _ { r } \sigma _ { Z , \, i } ^ { 2 } \sigma _ { W } ^ { 2 } \delta _ { K } ( i - m ) } \end{array}
| | \mathcal { R } ( \mathbf { U } ^ { \eta } , \tilde { \mathbf { G } } ^ { \eta } ) - \hat { \mathcal { R } } ( \mathbf { U } ^ { \eta } , \tilde { \mathbf { G } } ^ { \eta } ) | | _ { l ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { M } ) } = | | \mathcal { R } ( \mathbf { U } ^ { \eta } , \tilde { \mathbf { G } } ^ { \eta } ) - S \sigma ( B [ \mathbf { U } ^ { \eta } , \tilde { \mathbf { G } } ^ { \eta } ] ^ { \mathrm { T } } + A ) | | _ { l ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { M } ) } \leq { \hat { \varepsilon } = } \frac { m \varepsilon } { 2 ( 1 + m ) ^ { L } } ,
{ \cal L } _ { g + m } = \frac { 1 } { 4 \pi G } \left( \eta _ { a } \dot { e } _ { 1 } ^ { a } + \eta _ { 2 } \dot { \omega } _ { 1 } + \eta _ { 3 } \dot { a } _ { 1 } \right) + p _ { a } \dot { q } ^ { a } + \Pi \dot { \varphi } + e _ { 0 } ^ { a } G _ { a } + \omega _ { 0 } G _ { 2 } + a _ { 0 } G _ { 3 } - u { \cal E } - v { \cal P } \, ,
W ( { \vec { k } } _ { 1 } , { \vec { k } } _ { 2 } ) = \sum _ { M _ { i } , M _ { f } , \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } } \left| \sum _ { M } \langle M _ { f } | { \mathcal { H } } _ { 2 } | M \rangle \langle M | { \mathcal { H } } _ { 1 } | M _ { i } \rangle \right| ^ { 2 }
v ( t ) = \frac { P _ { i n c } } { S _ { d } Z _ { m s } } \textrm { e } ^ { - \frac { R _ { m s } } { 2 M _ { m s } } t } \cos \left( \sqrt { 1 - ( \frac { R _ { m s } } { 2 M _ { m s } \omega _ { \infty } } ) ^ { 2 } } \omega _ { \infty } t \right)
\begin{array} { r l } { ( \varepsilon \partial _ { t } \vec { A } , \partial _ { t } \vec { A } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ^ { 0 } ) } + } & { ( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { A } , \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { A } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ^ { 0 } ) } } \\ { \leq } & { 4 T \| \vec { \psi } \| _ { L _ { \epsilon } ^ { 2 } ( \Omega ^ { 0 } ) } ^ { 2 } + 4 T \| \operatorname { c u r l } _ { x } \phi \| _ { L _ { \mu } ^ { 2 } ( \Omega ^ { 0 } ) } ^ { 2 } + T ^ { 2 } \| j _ { a } \| _ { L _ { \epsilon } ^ { 2 } ( Q ^ { 0 } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { c } _ { \mathrm { ~ I ~ S ~ M ~ F ~ A ~ I ~ R ~ } } ^ { ( k ) } = \hat { c } _ { \mathrm { ~ M ~ F ~ A ~ I ~ R ~ } } ( \widetilde { F } ^ { ( k ) } , \widetilde { F } ^ { ( k - 1 ) } , \widetilde { G } ^ { ( k ) } , \tilde { \pi } ^ { ( k ) } , \tilde { \pi } ^ { ( k - 1 ) } ) \times c _ { \mathrm { ~ I ~ S ~ } } ^ { ( k ) } , } \end{array}
- \nabla _ { \tilde { \theta } } \cdot ( \tilde { \rho } \tilde { f } ) + \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { \tilde { \theta } } \cdot ( \nabla _ { \tilde { \theta } } \cdot ( \tilde { h } \tilde { h } ^ { T } \tilde { \rho } ) ) = - M ( \tilde { \rho } ) ^ { - 1 } \frac { \delta \mathcal { E } ( \tilde { \rho } ; \tilde { \rho } _ { \mathrm { p o s t } } ) } { \delta \tilde { \rho } } .
\begin{array} { r l } { f _ { r _ { x } } } & { = e ^ { - \alpha U t } \left( W _ { 1 } P _ { 1 } - W _ { 2 } P _ { 2 } + \alpha ^ { 2 } L _ { 2 } \right) } \\ { f _ { i _ { x } } } & { = e ^ { - \alpha U t } \left( W _ { 1 } P _ { 2 } + W _ { 2 } P _ { 1 } - \alpha ^ { 2 } L _ { 1 } \right) } \\ { g _ { r _ { x } } } & { = e ^ { - \alpha U t } \left( R _ { 1 } Y _ { 1 } - R _ { 2 } Y _ { 2 } \right) } \\ { g _ { i _ { x } } } & { = e ^ { - \alpha U t } \left( R _ { 1 } Y _ { 2 } + R _ { 2 } Y _ { 1 } \right) , } \end{array}
B ^ { a } = \left( \begin{array} { c c c c } { { c _ { 1 } ^ { a } } } & { { \ldots } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \ldots } } & { { c _ { l } ^ { a } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { Y _ { n } ^ { a } } } \end{array} \right) .
V ( m ) = \frac { \left( 1 - p \right) N ^ { 2 } m ^ { 4 } + \left( \left( 6 \, p - 2 \right) N ^ { 2 } - 1 2 p \, N + 8 \, p \right) m ^ { 2 } } { 4 \left( N - 1 \right) \left( N - 2 \right) } .
d s ^ { 2 } = ( \rho ^ { 2 } - \rho _ { + } ^ { 2 } ) \left( - ( - \frac { \rho _ { + } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } R ^ { 2 } - k ) d T ^ { 2 } + \frac { d R ^ { 2 } } { - \frac { \rho _ { + } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } R ^ { 2 } - k } \right) + \frac { d \rho ^ { 2 } } { \frac { \rho ^ { 2 } - \rho _ { + } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } } + \rho ^ { 2 } d \phi ^ { 2 }
\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle _ { a } ^ { C } D _ { t } ^ { \nu } X _ { t } ^ { \alpha } = f \left( t , X _ { t } ^ { \alpha } \right) + g ( t , X _ { t } ^ { \alpha } ) \frac { \mathrm d C _ { t } } { \mathrm d t } , ~ \alpha \in ( 0 , 1 ) } \\ { \left. [ X _ { t } ^ { \alpha } ] ^ { ( i ) } \right| _ { t = a } = x _ { i } ^ { \alpha } , i = 0 , 1 , \ldots , n - 1 , } \end{array} \right.
( { \hat { x } } - x _ { 0 } { \hat { I } } ) { \hat { p } } \, | \psi \rangle = ( { \hat { x } } - x _ { 0 } { \hat { I } } ) p _ { 0 } \, | \psi \rangle = ( x _ { 0 } { \hat { I } } - x _ { 0 } { \hat { I } } ) p _ { 0 } \, | \psi \rangle = 0 .
{ \cal L } _ { \mathrm { B I } } = - \sqrt { - \mathrm { d e t } \, \big ( \eta _ { \mu \nu } + F _ { \mu \nu } + \bar { \chi } \Gamma _ { \mu } \partial _ { \nu } \chi + { \textstyle { \frac { 1 } { 4 } } } \bar { \chi } \Gamma ^ { a } \partial _ { \mu } \chi \bar { \chi } \Gamma _ { a } \partial _ { \nu } \chi \big ) } \, \, .
\operatorname { v o l } ( \vec { X } ^ { m + 1 } ) - \operatorname { v o l } ( \vec { X } ^ { m } ) = 2 \pi \big \langle \vec { X } ^ { m + 1 } - \vec { X } ^ { m } , ~ \vec { f } ^ { m + \frac { 1 } { 2 } } \big \rangle ,
\psi _ { n } ( Y ) \sim \left\{ \begin{array} { r l } { \bigg [ Q _ { 0 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \log ^ { 2 } { ( n ) } + Q _ { 1 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \log ( n ) + Q _ { 2 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \bigg ] } & { \Gamma \Big ( \frac { n - 1 } { 2 } \Big ) \quad \mathrm { f o r ~ n ~ e v e n , } } \\ { \bigg [ R _ { 1 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \log ( n ) + R _ { 2 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \bigg ] } & { \Gamma \Big ( \frac { n } { 2 } \Big ) \quad \qquad \mathrm { f o r ~ n ~ o d d . } } \end{array} \right.