harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { \mathrm { e d g e - g a p } } ( g ) } & { \sim N \, h _ { \alpha } ( g N ) , } \\ { h _ { \alpha } ( z ) } & { = \theta ( z ) [ A ( \alpha ) ] ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d y e ^ { - \frac { 1 } { 2 } [ ( y + z - 4 \alpha ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } ] } F _ { \alpha } ( y + 4 \alpha ) , } \end{array}
\mathcal { P } E _ { \mathcal { P } } ^ { \pm } F = \left( \begin{array} { l l } { P } & { R } \\ { S } & { Q } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { E _ { P } ^ { \pm } } & { - E _ { P } ^ { \pm } R E _ { Q - S E _ { P } ^ { \pm } R } ^ { \pm } } \\ { 0 } & { E _ { Q - S E _ { P } ^ { \pm } R } ^ { \pm } } \end{array} \right) L ^ { - 1 } F = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { S E _ { P } ^ { \pm } } & { 1 } \end{array} \right) L ^ { - 1 } F = F
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } ^ { \lambda } \big ( s , a _ { \pm } \big ) : = } & { \ \lambda ^ { d } \, \int _ { 0 } ^ { \lambda ^ { - 1 } \, T } \int _ { \lambda ^ { - 1 } \mathbb { T } ^ { d } } \Big [ L \big ( s ( t , x ) , a _ { \pm } ( t , x ) \big ) + f \big ( x , s ( t , \cdot ) \big ) - \boldsymbol \Lambda \Big ] d x \, d t } \\ & { \ + \lambda ^ { d } \int _ { \lambda ^ { - 1 } \mathbb { T } ^ { d } } g ( \lambda \, x ) \, s ( \lambda ^ { - 1 } \, T , x ) d x } \end{array}
\begin{array} { r l } { v ( \mathbf w ) } & { = v ( ( 0 0 2 ) ^ { ( k - 4 ) / 3 } ( 0 1 ) ^ { 2 } ) } \\ & { = v ( ( 0 0 2 ) ^ { ( k - 4 ) / 3 } ) + ( 1 / \beta ^ { k - 4 } ) v ( ( 0 1 ) ^ { 2 } ) } \\ & { = 1 / \beta - 1 / \beta ^ { k - 3 } + ( 1 / \beta ^ { k - 4 } ) ( 1 / \beta ^ { 2 } + 1 / \beta ^ { 4 } ) } \\ & { = 1 / \beta - 1 / \beta ^ { k - 3 } + 1 / \beta ^ { k - 2 } + 1 / \beta ^ { k } } \\ & { = 1 / \beta - 1 / \beta ^ { k + 1 } . } \end{array}
\hat { U } _ { \mathrm { e l } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } ^ { \dagger } \hat { U } _ { \mathrm { e l } } = \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } ^ { \dagger } \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ^ { \dagger } - i \sum _ { u , \alpha , \alpha ^ { \prime } } \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { * } ( { \bf R } _ { u } ) { \boldsymbol \mu } _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha ^ { \prime } }
\sum _ { g } ^ { N _ { g } } L _ { g , p q } L _ { g , r s } = \sum _ { \textbf { G } } ^ { N _ { \textbf { G } } } \frac { 4 \pi } { \textbf { G } ^ { 2 } } \; \rho _ { \textbf { G } , p q } \rho _ { \textbf { G } , r s } ~ ,
\begin{array} { r l } { c } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { a + c ^ { \prime } + e } & { \mathrm { i f ~ t h e ~ m o v e ~ i s ~ a ~ l e f t ~ s p l i t t i n g , } } \\ { a + b } & { \mathrm { i f ~ t h e ~ m o v e ~ i s ~ a ~ c e n t r a l ~ s p l i t t i n g , } } \\ { b + c ^ { \prime } + d } & { \mathrm { i f ~ t h e ~ m o v e ~ i s ~ a ~ r i g h t ~ s p l i t t i n g , } } \end{array} \right. } \\ { c } & { = a + b \qquad \mathrm { i f ~ t h e ~ m o v e ~ i s ~ a ~ s h i f t i n g } . } \end{array}
\Delta ( \rho ^ { 2 } F ) _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } = \Delta \frac { d } { d r } \left( \Delta \frac { d \widehat { \upphi } _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } } { d r } \right) + [ a ^ { 2 } m ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } \omega ^ { 2 } - 4 M r a \omega m - \Delta ( \lambda _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } + a ^ { 2 } \omega ^ { 2 } ) ] \widehat { \upphi } ^ { ( a \omega ) } .
\eta = - \textnormal { d } \ell ^ { 2 } + \frac { \ell ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \frac { 4 } { ( 1 - ( r / L ) ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { d + 1 } ( \textnormal { d } x ^ { i } ) ^ { 2 } = - \textnormal { d } \ell ^ { 2 } + \frac { \ell ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \frac { 4 } { ( 1 - ( r / L ) ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left( \textnormal { d } r ^ { 2 } + r ^ { 2 } \textnormal { d } \Omega _ { d } ^ { 2 } \right) \, ,
{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { c } \end{array} \right] } = x { \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { c } \end{array} \right] } } \\ { { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { b } \\ { d } \end{array} \right] } = y { \left[ \begin{array} { l } { b } \\ { d } \end{array} \right] } } \end{array} \right. }
M _ { \tilde { \chi } } = \left[ \begin{array} { l l } { { \tilde { m } _ { 2 } } } & { { \sqrt { 2 } M _ { W } \sin \beta } } \\ { { \sqrt { 2 } M _ { W } \cos \beta } } & { { \mu } } \end{array} \right] \ \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { 2 } c ( r , t ) } { \partial r ^ { 2 } } } & { \approx \frac { c ( r + \Delta ^ { \pm } , t ) - 2 c ( r , t ) + c ( r - \Delta ^ { \pm } , t ) } { ( \Delta ^ { \pm } ) ^ { 2 } } \, , } \\ { \frac { \partial c ( r , t ) } { \partial r } \Big | _ { r = R _ { s } } } & { \approx \frac { c ( R _ { s } ^ { \pm } , t ) - c ( R _ { s } ^ { \pm } - \Delta ^ { \pm } , t ) } { \Delta ^ { \pm } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { - M _ { \mathrm { M A } } \omega ^ { 2 } X _ { \mathrm { m a } } + k _ { \mathrm { m a } } X _ { \mathrm { m a } } + k _ { \mathrm { m i } } ( X _ { \mathrm { m a } } - X _ { \mathrm { m i } } ) } \\ { F } & { = } & { - M _ { \mathrm { M I } } \omega ^ { 2 } X _ { \mathrm { m i } } + k _ { \mathrm { m i } } ( X _ { \mathrm { m i } } - X _ { \mathrm { m a } } ) ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \bf b } _ { \pm } ^ { \mathrm { ( T M ) } } ( x ) = \left[ \frac { i \omega \epsilon _ { \mathrm { T i } } } { c q _ { \mathrm { T i } } } e ^ { - q _ { \mathrm { T i } } \left( x - \frac { d } { 2 } \right) } \Theta \left( x - \frac { d } { 2 } \right) + \right. } \\ & { } & { \left. - { \cal C } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { ( T M ) } } \frac { i \omega \epsilon _ { \mathrm { A l } } } { c q _ { \mathrm { A l } } } f _ { \mathrm { A l } } ^ { ( \mp ) } ( x ) \Theta _ { \mathrm { i n } } ( x ) + \right. } \\ & { } & { \left. \mp \frac { i \omega \epsilon _ { \mathrm { T i } } } { c q _ { \mathrm { T i } } } e ^ { q _ { \mathrm { T i } } \left( x + \frac { d } { 2 } \right) } \Theta \left( - x - \frac { d } { 2 } \right) \right] \hat { e } _ { y } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \iota ( \mathfrak { L } _ { k } ) \frac { 2 | \mathfrak { E } _ { k } | + k | \mathfrak { V } _ { k } | } { \operatorname* { m a x } _ { \mathfrak { v } \in \mathfrak { V } _ { k } } \mathrm { d e g } _ { k } ( \mathfrak { v } ) + k } } & { \geq 2 \operatorname* { m i n } _ { \mathfrak { v } \in \mathfrak { V } _ { k } } \mathrm { d e g } _ { k } ( \mathfrak { v } ) \frac { \mathrm { a v g \; d e g } ( \mathfrak { L } _ { k } ) + k } { \operatorname* { m a x } _ { \mathfrak { v } \in \mathfrak { V } _ { k } } \mathrm { d e g } _ { k } ( \mathfrak { v } ) + k } } \\ & { \geq \operatorname* { m i n } _ { \mathfrak { v } \in \mathfrak { V } _ { k } } \mathrm { d e g } _ { k } ( \mathfrak { v } ) \frac { \mathrm { a v g \; d e g } ( \mathfrak { L } _ { k } ) } { \operatorname* { m a x } _ { \mathfrak { v } \in \mathfrak { V } _ { k } } \mathrm { d e g } _ { k } ( \mathfrak { v } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { s } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 - f _ { a } ) Q } \\ { 0 } \end{array} \right. g _ { c } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( c ^ { i } - c ) Q / s } \\ { 0 } \end{array} \right. g _ { \Gamma } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( \Gamma ^ { i } - \Gamma ) Q / s } \\ { 0 } \end{array} \right. \mathrm { ~ a t ~ } { \bf x } = \left\{ \begin{array} { l l } { { \bf x } ^ { i } \qquad \quad \mathrm { ~ ( s o u r c e ) } } \\ { \Omega \setminus \{ { \bf x } ^ { i } \} \mathrm { ~ ( e l s e w h e r e ) } } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle f \right\vert N \left[ \, \overline { { \! { \psi } } } \left( x \right) \psi \left( x \right) \, \overline { { \! { \psi } } } \left( y \right) \psi \left( y \right) \right] \left\vert i \right\rangle } & { { } = } & { \left[ \, \overline { { \! { u } } } ^ { s ^ { \prime } } \left( p ^ { \prime } \right) u ^ { r } \left( q \right) \right] \left[ \, \overline { { \! { u } } } ^ { r ^ { \prime } } \left( q ^ { \prime } \right) u ^ { s } \left( p \right) \right] e ^ { i \cdot x \left( p ^ { \prime } - q \right) } e ^ { i \cdot y \left( q ^ { \prime } - p \right) } - } \end{array}
G _ { 4 } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f _ { 3 } , f _ { 4 } , v ) = \frac { \beta } { | V | } \, \frac { f _ { 2 } } { M _ { 2 } } - \frac { \delta _ { 4 } } { | V | } \, \frac { f _ { 4 } } { M _ { 4 } } - \frac { \rho } { | V | } \frac { f _ { 1 } } { M _ { 1 } } \frac { f _ { 4 } } { M _ { 4 } } \frac { 1 } { k _ { u _ { 1 } } + \theta \frac { f _ { 1 } } { M _ { 1 } } } .
\begin{array} { r l } { M } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { 1 - i \zeta _ { 1 } ( \omega ) } & { - i \zeta _ { 1 } ( \omega ) } \\ { i \zeta _ { 1 } ( \omega ) } & { 1 + i \zeta _ { 1 } ( \omega ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { i \Phi } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - i \Phi } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 1 - i \zeta _ { 2 } } & { - i \zeta _ { 2 } } \\ { i \zeta _ { 2 } } & { 1 + i \zeta _ { 2 } } \end{array} \right] } \end{array}
\lambda _ { i j } ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { - A _ { 5 9 } ( \gamma _ { 6 3 } ^ { \prime } + \gamma _ { 6 4 } ^ { \prime } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } ( i , j ) = ( 6 , 1 ) } \\ { \frac { 1 } { 5 } A _ { 5 9 } ( \frac { 9 } { 2 } \gamma _ { 5 3 } ^ { \prime } + 2 \gamma _ { 6 3 } ^ { \prime } + 7 \gamma _ { 6 4 } ^ { \prime } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } ( i , j ) = ( 6 , 2 ) } \\ { - 2 A _ { 5 9 } \gamma _ { 7 1 } ^ { \prime } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } ( i , j ) = ( 7 , 1 ) } \end{array} \right. .
K = \pm \frac { 1 } { 2 } \left| \beta _ { 2 } \Omega \right| \left[ \Omega ^ { 2 } + s g n ( \beta _ { 2 } ) \Omega _ { c } ^ { 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } , \; \Omega _ { c } = 2 / \sqrt { \left| \beta _ { 2 } \right| L _ { N L } }
| z > = e ^ { - \frac { 1 } { 2 } | z | ^ { 2 } } \, e ^ { z a ^ { \dagger } } | 0 > \ \ \ , \ \ \| p , q > = e ^ { - \frac { i } { \hbar } q \hat { p } } \, e ^ { \frac { i } { \hbar } p \hat { q } } \, | 0 > \ \ \ .
+ \sum _ { i \neq j = 1 } ^ { 2 } C _ { \widetilde { q } i j } ^ { A ^ { 0 } } [ m _ { q } ( a _ { \widetilde { q } _ { j } } b _ { \widetilde { q } _ { i } } - a _ { \widetilde { q } _ { i } } b _ { \widetilde { q } _ { j } } ) C _ { 0 } ( \widetilde { q _ { i } } , \widetilde { q _ { j } } ) - 2 m _ { \widetilde { \chi ^ { 0 } } } ( a _ { \widetilde { q } _ { i } } b _ { \widetilde { q } _ { j } } + a _ { \widetilde { q } _ { j } } b _ { \widetilde { q } _ { i } } ) C _ { 1 } ^ { - } ( \widetilde { q _ { i } } , \widetilde { q _ { j } } ) ]
{ \cal L } = - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } ^ { a } F ^ { a \mu \nu } + \frac { 1 } { 2 } ( { \cal D } _ { \mu } ^ { a b } H ^ { b } ) ^ { 2 } + \tilde { \mu } ^ { 2 } H ^ { 2 } - \tilde { \lambda } ( H ^ { 2 } ) ^ { 2 } \, ,
\left. H _ { \mathrm { m a t t e r } } ^ { \mathrm { d i a g } } \right| _ { N _ { e } = N _ { e } ^ { \mathrm { c r i t } } } = - \frac { \Delta m ^ { 2 } } { 4 | p | } \sin 2 \theta \sigma _ { 3 } ~ .
\begin{array} { r } { \hat { \mathbf { E } } ( \mathbf { r } ) = \hat { \mathbf { E } } _ { \mathrm { Q N M } } ^ { \mathrm { L } } ( \mathbf { r } ) + \hat { \mathbf { E } } _ { \mathrm { Q N M } } ^ { \mathrm { G } } ( \mathbf { r } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { c o s } ( n , m ) } & { = } & { \frac { 2 } { ( m + 1 ) T } \bigg [ _ { p } F _ { q } \bigg ( \frac { m + 1 } { 2 } ; \frac { 1 } { 2 } , \frac { m + 3 } { 2 } ; - \frac { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } t _ { 2 } ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } \bigg ) t _ { 2 } ^ { m + 1 } } \\ & { \quad } & { - _ { p } F _ { q } \bigg ( \frac { m + 1 } { 2 } ; \frac { 1 } { 2 } , \frac { m + 3 } { 2 } ; - \frac { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } t _ { 2 } ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } \bigg ) t _ { 1 } ^ { m + 1 } \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \hat { p } } } & { = \hat { \mathcal { A } } ^ { - 1 } \Big [ - \boldsymbol { a } \left( p ^ { ( 1 ) } - F ( A ^ { ( 1 ) } ) + \eta \, G ( A ^ { ( 1 ) } ) \partial _ { x } ( A u ) ^ { ( 1 ) } \right) - \hat { \mathcal { A } } \, \eta \, \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } } ) \Big ] + \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \, } \\ & { = \hat { \mathcal { A } } ^ { - 1 } \Big [ - \boldsymbol { a } \left( p ^ { n } - F ( A ^ { n } ) + \eta \, G ( A ^ { n } ) \partial _ { x } ( A u ) ^ { n } \right) - \hat { \mathcal { A } } \, \eta \, \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } } ) \Big ] + \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \, } \\ & { = - \eta \, \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } } ) + \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { n } ^ { m } ( t ) } & { { } = \frac { 1 } { n ! } t ^ { - m } \mathrm { e } ^ { t } \frac { d ^ { n } } { d t ^ { n } } \left( t ^ { n + m } \mathrm { e } ^ { - t } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { U } _ { 0 } ( t ) } & { = } & { e ^ { - i \int _ { 0 } ^ { t } d \tau \hat { H } _ { 0 } ( \tau ) / \hbar } } \\ & { = } & { | 1 \rangle \langle 1 | e ^ { - i \int _ { 0 } ^ { t } d \tau E _ { 1 } ( \tau ) / \hbar } e ^ { - i t ( \hat { B } _ { 1 } + \hat { H } _ { b } ) / \hbar } } \\ & { } & { + | 2 \rangle \langle 2 | e ^ { - i \int _ { 0 } ^ { t } d \tau E _ { 2 } ( \tau ) / \hbar } e ^ { - i t ( \hat { B } _ { 2 } + \hat { H } _ { b } ) / \hbar } . } \end{array}
L _ { \mu \nu } ^ { ( 2 ) } = - 2 \eta _ { \mu \nu } \int { \frac { d ^ { D } p } { ( 2 \pi ) ^ { D } } } { \frac { d z } { ( k z ) ^ { 3 } } } D _ { q } ( 1 / k , z ) S _ { p } ( z , z ) D _ { q } ( z , 1 / k ) .
\frac { 1 } { \alpha _ { \mathrm { s } } ( Q ) } - \frac { 1 } { \alpha _ { \mathrm { s } } ( M _ { \mathrm { Z } } ) } = \frac { \beta _ { 0 } } { 2 \pi } \ln \left( \frac { Q } { M _ { \mathrm { Z } } } \right) + \beta \ln \left[ \frac { \beta + 1 / \alpha _ { \mathrm { s } } ( Q ) } { \beta + 1 / \alpha _ { \mathrm { s } } ( M _ { \mathrm { Z } } ) } \right] ,
\begin{array} { r l } & { H _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) ; z ; I ) } \\ & { : = \delta _ { g , 0 } \delta _ { I , \emptyset } - \frac { \lambda } { N } \sum _ { l = 1 } ^ { d } \frac { r _ { l } U _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( z , \varepsilon _ { l } ; I ) } { x ( v ) - x ( \varepsilon _ { l } ) } + \lambda \sum _ { j = 1 } ^ { | I | } \frac { U _ { | I | } ^ { ( g ) } ( z , u _ { j } ; I { \setminus } u _ { j } ) } { x ( v ) - x ( u _ { j } ) } - \lambda \frac { V _ { | I | + 1 } ^ { ( g - 1 ) } ( z , z ; I ) } { x ( v ) - x ( z ) } \; , } \\ & { P _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) , x ( z ) ; I ) } \\ & { : = \frac { \lambda \delta _ { | I | , 1 } \delta _ { g , 0 } } { x ( v ) - x ( u _ { 1 } ) } + \delta _ { | I | , 0 } \delta _ { g , 0 } \Big ( x ( v ) + x ( z ) - \frac { \lambda } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { d } \frac { r _ { k } } { x ( v ) - x ( \varepsilon _ { k } ) } \Big ) } \\ & { - \frac { \lambda } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { d } \frac { r _ { k } H _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) ; \varepsilon _ { k } ; I ) } { x ( z ) - x ( \varepsilon _ { k } ) } + \lambda \sum _ { j = 1 } ^ { | I | } \frac { H _ { | I | } ^ { ( g ) } ( x ( v ) ; u _ { j } ; I \setminus u _ { j } ) } { x ( z ) - x ( u _ { j } ) } \; , } \\ & { M _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) ; z ; I ) } \\ & { : = - \frac { \lambda } { N } \sum _ { l = 1 } ^ { d } \frac { r _ { l } V _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( z , \varepsilon _ { l } ; I ) } { x ( v ) - x ( \varepsilon _ { l } ) } + \lambda \sum _ { j = 1 } ^ { | I | } \frac { V _ { | I | } ^ { ( g ) } ( z , u _ { j } ; I { \setminus } u _ { j } ) } { x ( v ) - x ( u _ { j } ) } - \lambda \frac { U _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( z , z ; I ) } { x ( v ) - x ( z ) } \; , } \\ & { Q _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) , x ( z ) ; I ) } \\ & { : = - \frac { \lambda } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { d } r _ { k } \frac { M _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) ; \varepsilon _ { k } ; I ) } { x ( z ) - x ( \varepsilon _ { k } ) } + \lambda \sum _ { j = 1 } ^ { | I | } \frac { M _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) ; u _ { j } ; I { \setminus } u _ { j } ) } { x ( z ) - x ( u _ { j } ) } \; . } \end{array}
\frac { \varepsilon Q } { \Gamma } = \frac { \varepsilon c } { \Omega K } \frac { ( 2 W - 1 ) ( 2 W ^ { 2 } - 2 W - \alpha ^ { 2 } ) } { 2 W ^ { 3 } - 4 W ^ { 2 } + 2 W + \alpha ^ { 2 } } \, ,
- \int _ { \mathbb R } v _ { x } \mathscr { L } \partial _ { x } ^ { 4 } h \ d x = \int _ { \mathbb R } v _ { x } \mathscr { N } \partial _ { x } ^ { 5 } h \ d x = - \int _ { \mathbb R } \partial _ { x } ^ { 6 } v \mathscr { N } h \ d x .
p _ { \mathrm { r } } P _ { \mathrm { c } } = { \frac { R \, T _ { \mathrm { r } } T _ { \mathrm { c } } } { V _ { \mathrm { r } } V _ { \mathrm { c } } - b } } - { \frac { a \alpha \left( \omega , T _ { \mathrm { r } } \right) } { V _ { \mathrm { r } } V _ { \mathrm { c } } \left( V _ { \mathrm { r } } V _ { \mathrm { c + } } b \right) } } = { \frac { R \, T _ { \mathrm { r } } T _ { \mathrm { c } } } { V _ { \mathrm { r } } V _ { \mathrm { c } } - { \frac { \Omega _ { b } \, R T _ { \mathrm { c } } } { P _ { \mathrm { c } } } } } } - { \frac { { \frac { \Omega _ { a } \, R ^ { 2 } T _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } { P _ { \mathrm { c } } } } \alpha \left( \omega , T _ { \mathrm { r } } \right) } { V _ { \mathrm { r } } V _ { \mathrm { c } } \left( V _ { \mathrm { r } } V _ { \mathrm { c } } + { \frac { \Omega _ { b } \, R T _ { \mathrm { c } } } { P _ { \mathrm { c } } } } \right) } } =
\begin{array} { r l } { g ( a ) } & { \leq \varphi ( q ) \mathbb { E } _ { b _ { 1 } , b _ { 2 } \in B } \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } \nu ( n ) \mathbf { 1 } _ { n \equiv a b _ { 1 } b _ { 2 } ^ { - 1 } \pmod { q } } } \\ & { = \sum _ { \chi \pmod { q } } \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } \nu ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) \chi ( a ) \left| \mathbb { E } _ { b \in B } \chi ( b ) \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\int \operatorname { t a n h } ^ { n } a x \, d x = - { \frac { 1 } { a ( n - 1 ) } } \operatorname { t a n h } ^ { n - 1 } a x + \int \operatorname { t a n h } ^ { n - 2 } a x \, d x \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } n \neq 1 { \mathrm { ) } }
\begin{array} { r l } { I I = } & { | ( 1 - \frac { \varepsilon } { 2 } ( 1 - \theta ^ { 2 } ) \Delta ) ^ { - 1 } ( 1 - \frac { \varepsilon } { 2 } ( 1 - \underline { { \theta } } ^ { 2 } ) \Delta ) ( \mathbf { u } _ { \Sigma } ^ { \varepsilon } ( 1 - \frac { \varepsilon } { 2 } \eta _ { \Sigma } ^ { \varepsilon } ) ) - \mathbf { u } _ { E } ^ { \varepsilon } | _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] \times H ^ { s } ) } } \\ & { + | \eta _ { \Sigma } ^ { \varepsilon } - \eta _ { E } ^ { \varepsilon } | _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] \times H ^ { s } ) } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p ^ { + } ( { \bf x } ) } & { { } = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } \bar { F } ^ { - * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) p ^ { + } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } F ^ { + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) p ^ { - } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } , } \\ { p ^ { - } ( { \bf x } ) } & { { } = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } \bar { F } ^ { + * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) p ^ { + } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } F ^ { - } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) p ^ { - } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { I } ( t ) } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big [ f _ { \mathrm { c a r } , i } ( t ) + f _ { \mathrm { s d f } , i } ( t ) } \\ & { } & { \times \sum _ { m = 1 } ^ { N } \eta _ { i , m } \left( \hat { a } _ { m } e ^ { - i \omega _ { m } t } + \hat { a } _ { m } ^ { \dag } e ^ { i \omega _ { m } t } \right) \Big ] \hat { \sigma } _ { i } ^ { \alpha } , } \end{array}
{ \cal V } _ { \mu \nu } ^ { \prime } = d _ { \mu } v _ { \nu } ^ { \prime } - d _ { \nu } v _ { \mu } ^ { \prime } - i [ v _ { \mu } ^ { \prime } , v _ { \nu } ^ { \prime } ] - i [ a _ { \mu } ^ { \prime } , a _ { \nu } ^ { \prime } ] ,
{ } _ { a } ^ { b } D ^ { \nu } f ( t ) = \int _ { a } ^ { b } \phi ( \nu ) \left[ D ^ { ( \nu ) } f ( t ) \right] \, d \nu = \int _ { a } ^ { b } \left[ { \frac { \phi ( \nu ) } { \Gamma ( 1 - \nu ) } } \int _ { 0 } ^ { t } \left( t - u \right) ^ { - \nu } f ^ { \prime } ( u ) \, d u \right] \, d \nu
\begin{array} { r l } { \frac { ( \widehat B ^ { z } ) ^ { n + 1 } - ( \widehat B ^ { z } ) ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \left( ( \widehat E ^ { y } ) ^ { n } \frac { t _ { x } - 1 } { \Delta x } \frac { t _ { y } + 1 } { 2 } - ( \widehat E ^ { x } ) ^ { n } \frac { t _ { y } - 1 } { \Delta y } \frac { t _ { x } + 1 } { 2 } \right) } \\ { \frac { ( \widehat E ^ { x } ) ^ { n + 1 } - ( \widehat E ^ { x } ) ^ { n } } { \Delta t } } & { = ( \widehat B ^ { z } ) ^ { n + 1 } \frac { t _ { y } - 1 } { t _ { y } \Delta y } \frac { t _ { x } + 1 } { 2 t _ { x } } } \\ { \frac { ( \widehat E ^ { y } ) ^ { n + 1 } - ( \widehat E ^ { y } ) ^ { n } } { \Delta t } } & { = - ( \widehat B ^ { z } ) ^ { n + 1 } \frac { t _ { x } - 1 } { t _ { x } \Delta x } \frac { t _ { y } + 1 } { 2 t _ { y } } } \end{array}
\dot { \alpha } _ { 0 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { l ^ { 2 } } \left( \frac { f ( t / l ) ^ { \prime } - g ( t / l ) ^ { \prime } } { f ( t / l ) - g ( t / l ) } \right) ^ { 2 } = \alpha _ { 1 } ^ { 2 } - 1 / l ^ { 2 } = \frac { \kappa ^ { 2 } } { 3 l } \rho + \frac { \kappa ^ { 4 } \rho ^ { 2 } } { 3 6 } \ .
{ } \begin{array} { r l } { \Sigma _ { A A } ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { { } = ( - \alpha k _ { 3 } ) \left[ \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) + \alpha k _ { 3 } ( \mu _ { A } ( \tau ) R _ { B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) + R _ { A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) ) R _ { B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \right] ^ { - 1 } \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } ) } \end{array}
\mathbf { W } \mathbf { u } ^ { \prime } = \mathbf { W } \mathbf { u } - \underbrace { \mathbf { W } \mathbf { R } } _ { = \mathbf { I } } \bar { \mathbf { u } } = \bar { \mathbf { u } } - \bar { \mathbf { u } } = \mathbf { 0 } _ { \Omega } ,
{ _ { [ 0 , ~ 2 R e _ { \tau } ] } } ^ { T } D _ { y ^ { + } } ^ { ( \alpha ( y ^ { + } ) , { \xi } ) } ~ \overline { { U ^ { + } } } ~ = ~ \frac { d \overline { { U ^ { + } } } } { d y ^ { + } } - ( \overline { { u v } } ) ^ { + } ~ = 1 ~ ; ~ \alpha ( y ^ { + } ) \in ( 0 , 1 ]
{ } _ { 2 } F _ { 1 } ( a , b ; 1 + a - b ; - 1 ) = { \frac { \Gamma ( 1 + a - b ) \Gamma ( 1 + { \frac { 1 } { 2 } } a ) } { \Gamma ( 1 + a ) \Gamma ( 1 + { \frac { 1 } { 2 } } a - b ) } }
1 = { \frac { \sum _ { i } ( Y _ { i } - { \hat { Y } } _ { i } ) ^ { 2 } } { \sum _ { i } ( Y _ { i } - { \bar { Y } } ) ^ { 2 } } } + { \frac { \sum _ { i } ( { \hat { Y } } _ { i } - { \bar { Y } } ) ^ { 2 } } { \sum _ { i } ( Y _ { i } - { \bar { Y } } ) ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r } { \bar { v } _ { e x t } ^ { 2 } = \eta _ { e x t } ^ { \dagger } \, v _ { \mu } v _ { \mu } \, \eta _ { e x t } \quad , \quad P _ { e x t } = - \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } } n _ { e x t } ^ { - 1 / 2 } \partial _ { \mu } \partial _ { \mu } n _ { e x t } ^ { 1 / 2 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s [ { \phi } , t , t + T ] = ~ } & { { } \frac { 1 } { \epsilon } \int _ { V } \mathrm { d } \boldsymbol { r } \int _ { t } ^ { t + T } \mathrm { d } t \, \sum _ { i } \big [ { \boldsymbol { J } } _ { i } ^ { \mathrm { d } } ( \boldsymbol { r } , t ) + \sqrt { 2 \epsilon } { \boldsymbol { \Lambda } } _ { i } ( \boldsymbol { r } , t ) \big ] \cdot { \boldsymbol { J } } _ { i } ^ { \mathrm { d } } ( \boldsymbol { r } , t ) } \end{array}