harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { x ( t ) = \frac { - e F _ { \mathrm { T H z } } } { 2 m \omega ^ { 2 } } \left[ ( \frac { 1 } { 3 } \omega t ) ^ { 3 } - ( \omega t _ { o , n , \nu } ) ^ { 2 } \omega t + \frac { 2 } { 3 } ( \omega t _ { o , n , \nu } ) ^ { 3 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { h } ^ { H O P U } ( \underline { { u } } _ { h } , \underline { { u } } _ { h } , \underline { { v } } _ { h } ) = } & { { } \sum _ { T \in \mathcal { T } _ { h } } \int _ { T } ( \nabla \underline { { u } } _ { h } \cdot \underline { { u } } _ { h } ) \cdot \underline { { v } } _ { h } \: d \underline { { x } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Psi \rangle _ { \mathrm { I I } } } & { { } \sim \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } \left[ F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \, \, \hat { a } _ { 1 } ^ { \dagger } ( \omega _ { i } ) \hat { a } _ { 1 } ^ { \dagger } ( \omega _ { s } ) + F _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \, \, \hat { a } _ { 2 } ^ { \dagger } ( \omega _ { i } ) \hat { a } _ { 2 } ^ { \dagger } ( \omega _ { s } ) \right] | \mathrm { v a c } \rangle } \end{array}
\begin{array} { c c l } { { \hat { H } } ^ { \mathrm { ~ T ~ C ~ } } } & { = } & { \sum _ { j } ^ { N } h \nu _ { j } ( \mathbf R _ { j } ) \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } \hat { \sigma } _ { j } ^ { - } + \sum _ { k _ { z } } ^ { n _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ } } } \hslash \omega _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } ( k _ { z } ) \hat { a } _ { k _ { z } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k _ { z } } + } \end{array}
\left[ - \frac { d } { d z } \left[ ( 1 - z ^ { 2 } ) \frac { d } { d z } \right] + \frac { m ^ { 2 } } { 1 - z ^ { 2 } } - \frac { \Delta \alpha _ { \mathrm { s } } E _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 B } z ^ { 2 } \right] \psi _ { \tilde { J } , m } = \left( \frac { u _ { \tilde { J } , m } } { B } + \frac { \alpha _ { \perp } E _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 B } \right) \psi _ { \tilde { J } , m } ,
{ \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } } = \left. { \frac { d n _ { \varphi } } { d \varphi } } \right| _ { \varphi = 0 } = \left[ - { \frac { d n _ { r } } { d \varphi } } + { \frac { d n _ { f } } { d \varphi } } \right] _ { \varphi = 0 } = { \frac { 1 } { \theta } } + 1
\begin{array} { r l } { u ( x , - v ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \tau _ { + } ( x , - v ) } \hat { f } ( \gamma _ { x , - v } ( t ) , \dot { \gamma } _ { x , - v } ( t ) ) \, \d t } \\ & { = ( - 1 ) ^ { m } \int _ { - \tau _ { - } ( x , v ) } ^ { 0 } \hat { f } ( \gamma _ { x , v } ( t ) , \dot { \gamma } _ { x , v } ( t ) ) \, \d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P ( Y \leq k ) = P ( x _ { i } ^ { \prime } + \tilde { Z } \leq k ) = P ( \tilde { Z } \leq \tilde { k } - \Delta ) , } \\ & { P ( Y = k ) = P ( \tilde { Z } = \tilde { k } - \Delta ) , } \\ & { P ( X > k ) = P ( x _ { i } + \tilde { Z } > k ) = P ( \tilde { Z } > \tilde { k } ) , } \\ & { P ( X = k ) = P ( x _ { i } + \tilde { Z } = k ) = P ( \tilde { Z } = \tilde { k } ) . } \end{array}
\eta _ { j } = \left. \frac { d E ^ { D F T } } { d f _ { j } } \right\rvert _ { f _ { j } = f } + \left. \frac { d \Pi _ { j } } { d f _ { j } } \right\rvert _ { f _ { j } = f } = \langle \varphi _ { j } \rvert \hat { h } ^ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } } ( f ) \lvert \varphi _ { j } \rangle + \left. \frac { d \Pi _ { j } } { d f _ { j } } \right\rvert _ { f _ { j } = f }
\begin{array} { r l } & { \psi _ { 1 } ^ { Q } ( s , n , \kappa ) = \operatorname* { m i n } \big ( \kappa ^ { 4 } , \operatorname* { m a x } ( \kappa ^ { 2 } , \overline { { \psi } } _ { 1 } ( s , n ) ) \big ) } \\ & { \asymp \operatorname* { m i n } \Big ( s ^ { 2 } \log ^ { 2 } \big ( 1 + \sqrt { n } / s \big ) , \operatorname* { m a x } \Big ( s \log \big ( 1 + \sqrt { n } / s \big ) , s ^ { 2 } \log ^ { 2 } \big ( 1 + n / s ^ { 2 } \big ) \Big ) \mathbf { 1 } ( s \leq \sqrt { n } ) } \\ & { + \operatorname* { m i n } \Big ( s ^ { 2 } \log ^ { 2 } \big ( 1 + \sqrt { n } / s \big ) , \operatorname* { m a x } \Big ( s \log \big ( 1 + \sqrt { n } / s \big ) , n \Big ) \mathbf { 1 } ( s > \sqrt { n } ) } \\ & { \asymp s ^ { 2 } \log ^ { 2 } \big ( 1 + \sqrt { n } / s \big ) \mathbf { 1 } ( s \leq \sqrt { n } ) + n \mathbf { 1 } ( s > \sqrt { n } ) } \\ & { \asymp s ^ { 2 } \log ^ { 2 } \big ( 1 + \sqrt { n } / s \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { t } } & { \leq \left( 1 + \frac { 3 3 I } { 3 2 I } \right) J _ { t - 1 } + 1 6 I \tilde { L } _ { 2 } ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } G _ { t - 1 } + 1 6 I \tilde { L } _ { 2 } ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } F _ { t - 1 } + 1 6 I \tilde { L } _ { 2 } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } D _ { t - 1 } + 1 6 I \tilde { L } _ { 2 } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } E _ { t - 1 } } \\ & { \qquad + 1 6 I L ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } Q _ { t - 1 } + 8 I c _ { u } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 4 } \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } + 1 6 I c _ { u } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 4 } \zeta _ { f } ^ { 2 } + 3 2 I c _ { u } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 4 } \frac { C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , y y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \\ & { \qquad + 6 4 I ^ { 2 } c _ { u } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 4 } \tilde { L } _ { 2 } ^ { 2 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 2 } \alpha _ { l } ^ { 2 } D _ { l } + 6 4 I ^ { 2 } c _ { u } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 4 } \tilde { L } _ { 2 } ^ { 2 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 2 } \alpha _ { l } ^ { 2 } G _ { l } + 1 6 I ^ { 2 } c _ { u } ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 4 } L ^ { 2 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 2 } \alpha _ { l } ^ { 2 } J _ { l } } \end{array}
Z ( \kappa ) = 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \frac { ( 4 k - 1 ) ! } { 2 ^ { 4 k - 1 } k ! ( 2 k - 1 ) ! } } \, \kappa ^ { k } + { \cal O } ( \kappa ^ { K + 1 } ) .
L \cdot { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol u } = \widehat \gamma \langle { \boldsymbol u } , Q { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol u } \rangle \cdot { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol u } + \widehat \gamma \langle { \boldsymbol u } , Q { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol u } \rangle \cdot { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol u } + \| { \boldsymbol u } \| ^ { 2 } \widehat \gamma ^ { 2 } \langle { \boldsymbol u } , Q { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol u } \rangle \cdot { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol u } .
\begin{array} { r } { \mathbf { L } \left( \theta \right) = \sum _ { t = 0 } ^ { t = T } \| \mathbf { X } \left( t + \Delta t \right) - \mathbf { H } \left[ \mathcal { N } \left( \mathbf { X } \left( t \right) , \theta \right) \right] \| _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda \mu ( \theta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( X _ { n } = 1 \ | \ D \geq \ell ) } & { = } & { \mathbb { P } ( T _ { k ^ { \prime } } = 1 \ | \ D \geq \ell ) } \\ & { = } & { \mathbb { P } ( T _ { k ^ { \prime } } = 1 \ | \ D \geq \ell \, \cap \, T _ { k } = 1 ) \times \mathbb { P } ( T _ { k } = 1 \ | \ D \geq \ell ) } \\ & { } & { \quad + \; \mathbb { P } ( T _ { k ^ { \prime } } = 1 \ | \ D \geq \ell \, \cap \, T _ { k } = 2 ) \times \mathbb { P } ( T _ { k } = 2 \ | \ D \geq \ell ) } \\ & { } & { \in \left[ \frac { 1 } { 2 } ( 1 - | 1 - 2 p | ^ { \ell } ) ; \; \frac { 1 } { 2 } ( 1 + | 1 - 2 p | ^ { \ell } ) \right] } \end{array}
\left. R _ { ( \mathrm { c , n } ) } ^ { \mathrm { m i n } } \right| _ { r _ { ( \mathrm { c , n } ) } , \delta _ { ( \mathrm { c , n } ) } } = \kappa ( \gamma , q _ { ( \mathrm { c , n } ) } ) \sin ^ { 2 } \gamma .
\begin{array} { r l } { - \nabla \cdot ( \exp ( k ) \nabla \phi ) + \nabla \cdot ( v \phi ) = 0 , } & { { } \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ \Omega , } \\ { \phi = \phi _ { D } , } & { { } \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ \Gamma _ { \mathrm { ~ w ~ e ~ s ~ t ~ } } , } \\ { - n \cdot \exp ( k ) \nabla \phi = 0 , } & { { } \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ \partial \Omega \setminus \Gamma _ { \mathrm { ~ w ~ e ~ s ~ t ~ } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \psi ( x ) - \psi ( x + ( v + R ( x _ { 1 / 2 } ) v ) \delta / 2 ) = - \frac \delta 2 \langle v + R ( x _ { 1 / 2 } ) v , \nabla \psi ( x _ { 1 / 2 } ) \rangle } \\ & { \quad + \frac { \delta ^ { 2 } } { 8 } \left( \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x _ { 1 / 2 } ) v \rangle - \langle R ( x _ { 1 / 2 } ) v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x _ { 1 / 2 } ) R ( x _ { 1 / 2 } ) v \rangle \right) + \mathcal { O } ( \delta ^ { 3 } ) . } \end{array}
\hat { H } ^ { \mathrm { r o t } } ( t ) = \hat { \mathcal { U } } ^ { \dagger } ( t ) \hat { H } ( t ) \hat { \mathcal { U } } ( t ) + i ( \partial _ { t } \hat { \mathcal { U } } ^ { \dagger } ( t ) ) \hat { \mathcal { U } } ( t )
\begin{array} { r l } & { | \mathfrak { r } _ { - 2 , \le 3 , * } | _ { - 2 , s , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \gamma ^ { - 1 } \left( \varepsilon ^ { 5 } + \varepsilon ^ { 3 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \right) , } \\ & { | d _ { i } \mathfrak { r } _ { - 2 , \le 3 , * } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { - 2 , s , \eta _ { 0 } } \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
W _ { \kappa } [ { \cal J } , \overline { { { \sigma } } } , \sigma ] \; \equiv \; W _ { \kappa } ^ { ( { \cal A } ) } [ { \cal J } ] \; + \; W _ { \kappa } ^ { ( \eta ) } [ \overline { { { \sigma } } } , \sigma ] \; \, = \; \, - i \, \left\{ \frac { } { } \ln \left( \frac { } { } Z _ { \kappa } ^ { ( { \cal A } ) } [ { \cal J } ] \right) \; \; + \; \; \ln \; \, \left( \frac { } { } Z _ { \kappa } ^ { ( \eta ) } [ \overline { { { \sigma } } } , \sigma ] \right) \right\} \; .
\begin{array} { r } { \operatorname { t r a c e } \left( \boldsymbol { A } \boldsymbol { B } \right) = \operatorname { t r a c e } \left( \boldsymbol { \Lambda } _ { 1 } \boldsymbol { \Phi } _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } \boldsymbol { \Phi } _ { 2 } \boldsymbol { \Lambda } _ { 2 } \boldsymbol { \Phi } _ { 2 } ^ { \mathrm { T } } \boldsymbol { \Phi } _ { 1 } \right) . } \end{array}
l _ { m } = \frac { 2 \pi } { V } \left[ 1 + \xi \right] ^ { - 1 / 2 } , ~ ~ ~ \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { m } = \frac { \xi } { 1 + \xi } , ~ ~ ~ ~ \xi \equiv \left[ \frac { \Delta m ^ { 2 } } { 2 E V } \right] ^ { 2 } .
S \approx \left\{ 2 \pi ^ { 2 } Q ^ { 3 } e ^ { \pi Q ^ { 2 } } T \left[ \exp { \left( { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } Q ^ { 3 } e ^ { \pi Q ^ { 2 } } T } } \right) } - 1 \right] \right\} ^ { - 1 } - \ln { \left[ 1 - \exp { \left( - { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } Q ^ { 3 } e ^ { \pi Q ^ { 2 } } T } } \right) } \right] } .
\begin{array} { r l } & { c _ { i + 1 } ( F ^ { * } ) - c _ { i + 1 } ( F _ { i } ) } \\ { } & { ~ ~ = c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - \delta _ { i + 1 } \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) - \Delta _ { i + 1 } \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } \\ { } & { ~ ~ = c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - f _ { 5 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) - f _ { 4 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } \\ { } & { ~ ~ = \big ( c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) \big ) \cdot \left( 1 - \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } + \frac { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } \right) } \\ { } & { ~ ~ = 0 . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { S _ { 1 } ^ { \dagger } S _ { 1 } = S _ { 1 } S _ { 1 } ^ { \dagger } = 1 } } \\ { { W _ { 1 } = S _ { 1 } W _ { 2 } ^ { * } } } \\ { { W _ { 2 } = S _ { 1 } W _ { 1 } ^ { * } } } \end{array} \right. \ \quad \mathrm { a n d } \quad \left\{ \begin{array} { l } { { S _ { 2 } ^ { \dagger } S _ { 2 } = S _ { 2 } S _ { 2 } ^ { \dagger } = 1 } } \\ { { Z _ { 1 } = S _ { 2 } Z _ { 2 } ^ { * } } } \\ { { Z _ { 2 } = S _ { 2 } Z _ { 1 } ^ { * } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { ( f ( y _ { h } ^ { n } ) , \mathring { \phi } _ { h } ) _ { \Omega } - ( w _ { h } ^ { n } , \mathring { \phi } _ { h } ) _ { \Omega } } & { = ( f ( y _ { h } ^ { n } ) , \phi _ { h } - \overline { { \phi _ { h } } } ) _ { \Omega } - ( \mu _ { h } ^ { n } - \overline { { f ( y _ { h } ^ { n } ) } } , \phi _ { h } - \overline { { \phi _ { h } } } ) _ { \Omega } } \\ & { = ( f ( y _ { h } ^ { n } ) - \mu _ { h } ^ { n } , \phi _ { h } ) _ { \Omega } + ( w _ { h } ^ { n } , \overline { { \phi _ { h } } } ) _ { \Omega } = ( f ( y _ { h } ^ { n } ) - \mu _ { h } ^ { n } , \phi _ { h } ) _ { \Omega } . } \end{array}
\| u ^ { \tau } \| _ { X ^ { s _ { 0 } , b _ { 0 } } } \leq 2 \| u ^ { \tau } \| _ { X ^ { s _ { 0 } , b _ { 0 } } ( T ) } \lesssim C _ { T } , \qquad \| u ^ { \tau } \| _ { X ^ { s _ { 0 } , 1 - b _ { 0 } + b _ { 1 } } } \leq 2 \| u ^ { \tau } \| _ { X ^ { s _ { 0 } , 1 - b _ { 0 } + b _ { 1 } } ( T ) } \lesssim C _ { T , \sigma } \tau ^ { - \frac { 3 \sigma } 2 }
\begin{array} { r l } { a _ { i j } ( \omega , \pi ) } & { = \omega _ { i j } ^ { 2 } \Big ( \frac { 1 } { \pi _ { i } } + \frac { 1 } { \pi _ { j } } \Big ) + \sum _ { k \not = i , j } \Big ( \frac { \omega _ { i j } \omega _ { i k } } { \pi _ { i } } + \frac { \omega _ { i j } \omega _ { j k } } { \pi _ { j } } - \frac { \omega _ { i k } \omega _ { j k } } { \pi _ { k } } \Big ) . } \end{array}
\pmb { H } ^ { ( l + 1 ) } = \sigma ( \pmb { H } ^ { ( l ) } \pmb { W } _ { 0 } + \pmb { D } ^ { - \frac 1 2 } \pmb { A } \pmb { D } ^ { - \frac 1 2 } \pmb { H } ^ { ( l ) } \pmb { W } _ { 1 } ) ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \psi _ { c } ( z , t , \widehat { \mathbf { e } } _ { 3 } ) } { \partial t } + \frac { \partial \psi _ { c } ( z , t , \widehat { \mathbf { e } } _ { 3 } ) } { \partial z } = - \mathsf { A } \psi _ { c } ( z , t , \widehat { \mathbf { e } } _ { 3 } ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( z , t ) \in \mathbb { I \! D } \times \mathbb { R } ^ { + } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { F } ( t _ { \mathrm { b } } ) = ( 1 - p ) \mathcal { F } _ { \mathrm { p h o t } } ( t _ { \mathrm { b } } ) + p \mathcal { F } _ { \mathrm { a f t e r } } ( t _ { \mathrm { b } } ) . } \end{array}
\log ( 1 + z ) = z + ( z ) \left( { \frac { - z } { 2 } } \right) + ( z ) \left( { \frac { - z } { 2 } } \right) \left( { \frac { - 2 z } { 3 } } \right) + ( z ) \left( { \frac { - z } { 2 } } \right) \left( { \frac { - 2 z } { 3 } } \right) \left( { \frac { - 3 z } { 4 } } \right) + \cdots
\begin{array} { r l r } { \rho _ { t } + \nabla \cdot ( \rho v ) } & { { } = } & { 0 , } \\ { ( \rho v ) _ { t } + \nabla \cdot ( \rho v \otimes v ) } & { { } = } & { - \nabla \cdot p , } \\ { ( \rho E ) _ { t } + \nabla \cdot ( \rho E v ) } & { { } = } & { - \nabla \cdot ( p v ) - \nabla \cdot q , } \end{array}
| \mathbf { a } _ { 1 } \times \cdots \times \mathbf { a } _ { k } | ^ { 2 } = \operatorname* { d e t } ( \mathbf { a } _ { i } \cdot \mathbf { a } _ { j } ) = { \left| \begin{array} { l l l l } { \mathbf { a } _ { 1 } \cdot \mathbf { a } _ { 1 } } & { \mathbf { a } _ { 1 } \cdot \mathbf { a } _ { 2 } } & { \cdots } & { \mathbf { a } _ { 1 } \cdot \mathbf { a } _ { k } } \\ { \mathbf { a } _ { 2 } \cdot \mathbf { a } _ { 1 } } & { \mathbf { a } _ { 2 } \cdot \mathbf { a } _ { 2 } } & { \cdots } & { \mathbf { a } _ { 2 } \cdot \mathbf { a } _ { k } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathbf { a } _ { k } \cdot \mathbf { a } _ { 1 } } & { \mathbf { a } _ { k } \cdot \mathbf { a } _ { 2 } } & { \cdots } & { \mathbf { a } _ { k } \cdot \mathbf { a } _ { k } } \end{array} \right| }
\begin{array} { r l } { \mathbf { a } ( \mathbf { b } + \mathbf { c } ) } & { { } = \mathbf { a b } + \mathbf { a c } } \\ { ( \mathbf { b } + \mathbf { c } ) \mathbf { a } } & { { } = \mathbf { b a } + \mathbf { c a } } \end{array}
\frac { 1 } { \nu ( 0 ) U _ { 0 } } = \int _ { 0 } ^ { \omega } d \xi \frac { 1 } { \sqrt { \xi ^ { 2 } + \Delta _ { t r } ^ { 2 } } } \operatorname { t a n h } \left( \frac { \sqrt { \xi ^ { 2 } + \Delta _ { t r } ^ { 2 } } + \lambda } { 2 T } \right) .
\begin{array} { r } { s _ { k } \mapsto s _ { k } \quad \mathrm { a n d } \quad s _ { m } \mapsto s _ { m } - s _ { m + 1 } \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ m \in \{ 1 , , \dots , k - 1 \} ~ } } \\ { \tilde { s } _ { r } \mapsto \tilde { s } _ { r } \quad \mathrm { a n d } \quad \tilde { s } _ { m } \mapsto \tilde { s } _ { m } - \tilde { s } _ { m + 1 } \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ m \in \{ 1 , , \dots , r - 1 \} ~ } . } \end{array}
\sigma _ { u \bar { d } \to \pi ^ { + } \pi ^ { 0 } } ( s , T ) = \int d t \frac { d \sigma _ { u \bar { d } \to \pi ^ { + } \pi ^ { 0 } } } { d t } ( 1 + f _ { B } ( \frac { 1 } { 2 } \sqrt { s } ) ) ^ { 2 } \quad .
( x _ { 1 1 } , x _ { 1 2 } ; ~ . . . ~ ; x _ { n 1 } , x _ { n 2 } ) \in \mathcal { W } _ { G } \subset \mathcal { X } _ { 1 1 } \times \mathcal { X } _ { 1 2 } \times ~ . . . ~ \times \mathcal { X } _ { n 1 } \times \mathcal { X } _ { n 2 }
{ \frac { \partial L } { \partial q _ { i } } } ( t , { \boldsymbol { q } } ( t ) , { \dot { \boldsymbol { q } } } ( t ) ) - { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \frac { \partial L } { \partial { \dot { q } } _ { i } } } ( t , { \boldsymbol { q } } ( t ) , { \dot { \boldsymbol { q } } } ( t ) ) = 0 \quad { \mathrm { f o r ~ } } i = 1 , \dots , n .
\begin{array} { r l } { \big ( ( x ^ { n } - 1 ) / f _ { i } ( x ) \big ) s ( x ) } & { g _ { 2 } ( x ^ { - 1 } ) - \big ( ( x ^ { n } - 1 ) / f _ { i } ( x ) \big ) g _ { 1 } ( x ^ { - 1 } ) \equiv \big ( ( x ^ { n } - 1 ) / f _ { i } ( x ) \big ) s ( x ) \big ( ( x ^ { n } - 1 ) / f _ { i } ( x ) \big ) } \\ & { - \big ( ( x ^ { n } - 1 ) / f _ { i } ( x ) \big ) \big ( ( x ^ { n } - 1 ) / f _ { i } ( x ) \big ) s ( x ) \equiv 0 \pmod { x ^ { n } - 1 } . } \end{array}
i \delta _ { i j } \, f ^ { B } { } _ { 0 A } \, \chi _ { B } + \frac { i } \kappa \, \epsilon _ { i j k } \, [ \chi _ { A } , M _ { k } ] - [ x _ { j } , [ \chi _ { A } , N _ { i } ] ] = f ^ { B } { } _ { j A } \, [ N _ { i } , \chi _ { B } ] ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { G _ { * } \in \Xi } \mathbb { E } _ { p _ { G * } } \biggr ( ( \lambda ^ { * } ) ^ { 2 } \| ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) \| ^ { 2 } \| ( \widehat { \mu } _ { n } , \widehat { \Sigma } _ { n } ) - ( \mu ^ { * } , \Sigma ^ { * } ) \| ^ { 2 } \biggr ) \lesssim \frac { \log ^ { 2 } n } { n } , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { G _ { * } \in \Xi } \mathbb { E } _ { p _ { G * } } \biggr ( \| ( \Delta \widehat { \mu } _ { n } , \Delta \widehat { \Sigma } _ { n } ) \| ^ { 2 } \| ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) \| ^ { 2 } | \widehat { \lambda } _ { n } - \lambda ^ { * } | ^ { 2 } \biggr ) \lesssim \frac { \log ^ { 2 } n } { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \omega _ { \gamma } ^ { D } - \omega _ { \gamma } ^ { S } } { \omega _ { \gamma } ^ { D } } } & { = h _ { + } c _ { \vartheta \! / \! 2 } ^ { 2 } \Big \{ \cos \varphi _ { 0 } - \cos \! \big [ \omega _ { g } L ( 1 \! - \! c _ { \vartheta } ) + \varphi _ { 0 } \big ] \Big \} } \\ & { = 2 h _ { + } c _ { \vartheta \! / \! 2 } ^ { 2 } \sin \big [ \varphi _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \omega _ { g } L \big ] \sin \big [ \frac { 1 } { 2 } \omega _ { g } L \big ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { t } ( z ) } & { = t ( z w _ { t } ) ^ { - \alpha } L _ { 1 } ( z w _ { t } ) \geq C _ { 1 } t ( z w _ { t } ) ^ { - \alpha - \delta } = C _ { 1 } z ^ { - \alpha - \delta } t ^ { - \delta / \alpha } L ( t ) ^ { - \alpha - \delta } } \\ & { \geq C _ { 2 } z ^ { - \alpha - \delta } t ^ { - \delta / \alpha - \delta ( \alpha + \delta ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( n - 1 ) _ { \mathrm { ~ s ~ } } \times 1 0 ^ { 8 } } & { { } = } & { 8 3 4 2 . 5 4 + 2 4 0 6 1 4 7 \left[ 1 3 0 - ( 1 / \lambda ) ^ { 2 } \right] ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { H \left( t \right) = i \left[ \begin{array} { c c c c c } { - \frac { 1 } { C _ { 1 } R _ { 1 } } } & { 0 } & { - \frac { 1 } { C _ { 1 } } } & { 0 } & { - \frac { 1 } { C _ { 1 } } } \\ { 0 } & { - \frac { 1 } { C _ { 2 } R _ { 2 } } } & { 0 } & { - \frac { 1 } { C _ { 2 } } } & { \frac { 1 } { C _ { 2 } } } \\ { \frac { 1 } { L _ { 1 } \left( t \right) } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { L _ { 2 } \left( t \right) } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { L _ { 1 2 } } } & { - \frac { 1 } { L _ { 1 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\frac { H ( k _ { \nu + 1 } ) } { H ( k _ { \nu } ) } = \left( \frac { k _ { \nu + 1 } } { k _ { \nu } } \right) ^ { 1 + \log \tau _ { \nu } / \log \sigma _ { \nu } } \quad , \quad 0 \leq \nu \leq n - 1
{ \begin{array} { r l } { \nabla ( f g ) } & { = f \nabla g + g \nabla f } \\ { \nabla ( { \vec { u } } \cdot { \vec { v } } ) } & { = { \vec { u } } \times ( \nabla \times { \vec { v } } ) + { \vec { v } } \times ( \nabla \times { \vec { u } } ) + ( { \vec { u } } \cdot \nabla ) { \vec { v } } + ( { \vec { v } } \cdot \nabla ) { \vec { u } } } \\ { \nabla \cdot ( f { \vec { v } } ) } & { = f ( \nabla \cdot { \vec { v } } ) + { \vec { v } } \cdot ( \nabla f ) } \\ { \nabla \cdot ( { \vec { u } } \times { \vec { v } } ) } & { = { \vec { v } } \cdot ( \nabla \times { \vec { u } } ) - { \vec { u } } \cdot ( \nabla \times { \vec { v } } ) } \\ { \nabla \times ( f { \vec { v } } ) } & { = ( \nabla f ) \times { \vec { v } } + f ( \nabla \times { \vec { v } } ) } \\ { \nabla \times ( { \vec { u } } \times { \vec { v } } ) } & { = { \vec { u } } \, ( \nabla \cdot { \vec { v } } ) - { \vec { v } } \, ( \nabla \cdot { \vec { u } } ) + ( { \vec { v } } \cdot \nabla ) \, { \vec { u } } - ( { \vec { u } } \cdot \nabla ) \, { \vec { v } } } \end{array} }
M _ { j } ^ { ( a ) } = - \rho \int _ { \mathcal { S } _ { B } } \Phi _ { j } \mathbf { n } \cdot \mathbf { e } _ { j } \, d S \, , \qquad F _ { \alpha , j } ^ { ( s ) } = - \rho \int _ { \mathcal { S } _ { B } } \widetilde { \Phi } _ { \alpha } \mathbf { n } \cdot \mathbf { e } _ { j } \, d S \, , \quad j = 1 , 2 , 3 \, .
X _ { L } ^ { \mu } ( \sigma _ { + } ) = \frac { 1 } { 2 } X ^ { \mu } + \frac { 1 } { 2 } P _ { L } ^ { \mu } \sigma _ { + } + \frac { i } { 2 } \sum _ { k \neq 0 } \frac { 1 } { k } \alpha _ { k } ^ { \mu } \mathrm { e } ^ { - 2 i k \sigma _ { + } } \, .
{ \cal L } _ { L - Z \gamma \gamma } ^ { C P - o d d } = f _ { L 1 } ^ { Z \gamma \gamma } F ^ { \mu \nu } F _ { \lambda \nu } \partial ^ { \lambda } Z _ { \mu } + f _ { L 2 } ^ { Z \gamma \gamma } Z _ { \lambda } F _ { \mu \nu } \partial ^ { \lambda } F ^ { \mu \nu } ,
A _ { f i x e d } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 2 } & { - 1 } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { - 1 } & { 2 } & { - 1 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 2 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { 2 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { - 1 } & { 2 } \end{array} \right] .
\mathcal { F } _ { x } \left\{ \frac { \partial } { \partial z } G _ { 2 D } ^ { - } \right\} ( \alpha , z - z ^ { \prime } ) \approx \frac { 1 } { 2 } e ^ { i k | z - z ^ { \prime } | } \exp \left( - \frac { i | z - z ^ { \prime } | } { 2 k } \alpha ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l r } { \Delta N _ { k } ^ { i } } & { { } = } & { n _ { k } ^ { i } \, \Delta V ^ { i } \, , } \\ { \Delta N _ { l } ^ { i } } & { { } = } & { n _ { l } ^ { i } \, \Delta V ^ { i } \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \lambda = \, \, { \frac { h } { \gamma m _ { 0 } v } } \, = \, { \frac { h } { m _ { 0 } v } } \, \, \, { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } \\ & { f = { \frac { \gamma \, m _ { 0 } c ^ { 2 } } { h } } = { \frac { m _ { 0 } c ^ { 2 } } { h { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } } , } \end{array} }