harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \footnotesize \begin{array} { r l } & { - \beta [ f ] = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow 0 } \frac { [ Z ^ { n } ] - 1 } { n N } = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow 0 } \Biggl \{ - \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } { 4 n } \sum _ { \alpha \neq \beta } q _ { \alpha \beta } ^ { 2 } - \frac { \beta \mu _ { _ { J } } } { 2 n } \sum _ { \alpha } m _ { \alpha } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { n } l o g T r e ^ { L ^ { \prime } } + \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } { 4 } + \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { \Delta } } ^ { 2 } } { 1 2 } \Biggr \} . } \end{array} }
\operatorname { R e s } _ { 0 } { \big ( } u ( 1 / V ( z ) ) { \big ) } = \operatorname { R e s } _ { 0 } \left( \sum _ { k \geq 1 } u _ { k } V ( z ) ^ { - k } \right) = \sum _ { k \geq 1 } u _ { k } \operatorname { R e s } _ { 0 } { \big ( } V ( z ) ^ { - k } { \big ) }
\begin{array} { r } { | \nabla ^ { j } \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - w ) - \nabla ^ { j } \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - z ) | \leq \left( 2 \frac { | w - z | } { ( u - s ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \right) ^ { \zeta } \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - w ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } } + \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - z ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } } . } \end{array}
{ \frac { d } { d t } } \left( \begin{array} { c } { { L _ { q } } } \\ { { L _ { g } } } \end{array} \right) = { \frac { \alpha _ { s } ( t ) } { 2 \pi } } \left( \begin{array} { r r } { { - { \frac { 4 } { 3 } } C _ { F } } } & { { { \frac { n _ { f } } { 3 } } } } \\ { { { \frac { 4 } { 3 } } C _ { F } } } & { { - { \frac { n _ { f } } { 3 } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { L _ { q } } } \\ { { L _ { g } } } \end{array} \right) + { \frac { \alpha _ { s } ( t ) } { 2 \pi } } \left( \begin{array} { r r } { { - { \frac { 2 } { 3 } } C _ { F } } } & { { { \frac { n _ { f } } { 3 } } } } \\ { { - { \frac { 5 } { 6 } } C _ { F } } } & { { - { \frac { 1 1 } { 2 } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \Delta \Sigma } } \\ { { \Delta g } } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \int _ { \partial T _ { A } ^ { \epsilon } } \left[ u ^ { s } ( y ) \frac { \partial G ( x , y ) } { \partial \nu ( y ) } - \frac { \partial u ^ { s } } { \partial \nu } G ( x , y ) \right] d s ( y ) } \\ & { = \left[ \int _ { S _ { \epsilon } ( x ) } + \int _ { \gamma ( - A ) } + \int _ { \gamma ( A ) } + \int _ { \Gamma _ { 0 } ( A ) } + \int _ { \Gamma ( A ) } \right] \left[ u ^ { s } ( y ) \frac { \partial G ( x , y ) } { \partial \nu ( y ) } - \frac { \partial u ^ { s } } { \partial \nu } G ( x , y ) \right] d s ( y ) } \\ & { = : I _ { 1 } + I _ { 2 } + I _ { 3 } + I _ { 4 } + I _ { 5 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } u _ { i j } ^ { 2 } } & { = \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } ( q _ { i j } - \ell _ { i } / 2 - \ell _ { j } / 2 - \mathbb { E } u _ { 1 2 } ) ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } q _ { 1 2 } ^ { 2 } + \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } ( q _ { i j } ^ { 2 } - \mathbb { E } q _ { i j } ^ { 2 } ) - \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \ell _ { i } / 2 ) ^ { 2 } - ( \mathbb { E } u _ { 1 2 } ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad - \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } q _ { i j } ( \ell _ { i } + \ell _ { j } ) + 2 \mathbb { E } u _ { 1 2 } \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } ( q _ { i j } + \ell _ { i } / 2 + \ell _ { j } / 2 ) } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { 2 } \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } \ell _ { i } \ell _ { j } } \\ & { = \mathbb { E } q _ { 1 2 } ^ { 2 } + \mathcal { Q } _ { \mathfrak { c } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { 1 } - u _ { 2 } = - v _ { 2 1 } } & { \in [ Y _ { 1 } - Y _ { 2 } - B _ { 2 1 } , Y _ { 1 } - Y _ { 2 } + B _ { 2 1 } ] , } \\ { u _ { 1 } - u _ { 3 } = - v _ { 3 1 } } & { \in [ Y _ { 1 } - Y _ { 3 } - B _ { 3 1 } , Y _ { 1 } - Y _ { 3 } + B _ { 3 1 } ] ; } \\ { u _ { 2 } - u _ { 1 } = v _ { 2 1 } } & { \in [ Y _ { 2 } - Y _ { 1 } - B _ { 2 1 } , Y _ { 2 } - Y _ { 1 } + B _ { 2 1 } ] , } \\ { u _ { 2 } - u _ { 3 } = - v _ { 3 2 } } & { \in [ Y _ { 2 } - Y _ { 3 } - B _ { 3 2 } , Y _ { 2 } - Y _ { 3 } + B _ { 3 2 } ] ; } \\ { u _ { 3 } - u _ { 1 } = v _ { 3 1 } } & { \in [ Y _ { 3 } - Y _ { 1 } - B _ { 3 1 } , Y _ { 3 } - Y _ { 1 } + B _ { 3 1 } ] , } \\ { u _ { 3 } - u _ { 2 } = v _ { 3 2 } } & { \in [ Y _ { 3 } - Y _ { 2 } - B _ { 3 2 } , Y _ { 3 } - Y _ { 2 } + B _ { 3 2 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } \bar { x } _ { k } + ( \frac { \sqrt { \lambda _ { x , i _ { x } , k } } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda _ { x , i _ { x } , k } } } \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } \bar { \Sigma } _ { x _ { k } } \alpha _ { x , i _ { x } } ) \sqrt { \frac { 1 - p _ { x , i _ { x } } } { p _ { x , i _ { x } } } } } \\ & { - \beta _ { x , i _ { x } } \leq 0 , } \\ & { \alpha _ { u , i _ { u } } ^ { \top } \bar { u } _ { k } + ( \frac { \sqrt { \lambda _ { u , i _ { u } , k } } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda _ { u , i _ { u } , k } } } \alpha _ { u , i _ { u } } ^ { \top } \bar { \Sigma } _ { u _ { k } } \alpha _ { u , i _ { u } } ) \sqrt { \frac { 1 - p _ { u , i _ { u } } } { p _ { u , i _ { u } } } } } \\ & { - \beta _ { u , i _ { u } } \leq 0 , } \end{array}
\sigma ( s ) = \int _ { 4 m _ { H _ { C } } ^ { 2 } / s } ^ { 1 } \; d \tau \; \int _ { \tau } ^ { 1 } \; \frac { d x } { x } \; f ( \tau / x ) \, f ( x ) \; \hat { \sigma } ( \hat { s } ) \; ,
\sigma ( e ^ { + } e ^ { - } \rightarrow X S ) = \frac { 2 \pi ^ { 2 } \alpha _ { e m } \kappa } { s } \int _ { M _ { s } ^ { 2 } / s } ^ { 1 } \frac { d x } { x } f _ { \gamma / e } ( x , \sqrt { s } / 2 ) f _ { q / \gamma } ( M _ { s } ^ { 2 } / ( x s ) , M _ { s } ^ { 2 } )
{ \mathrm P } ( \nu _ { \alpha } \to \nu _ { \alpha ^ { \prime } } ) = \frac { 1 } { 2 } { \mathrm A } _ { { \alpha ^ { \prime } } ; \alpha } \, ~ ( 1 - \cos \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } \frac { L } { 2 E } ) \, ~ ( \alpha \not = \alpha ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r l } { { \bf r } _ { V } } & { = \big \langle { { \bf w } _ { V } } \, , \partial _ { { t } } { \bf U } + \nabla \cdot { \bf F } - \nabla \cdot { \bf Q } - { \bf S } \big \rangle _ { \Omega } = { \bf 0 } } \\ { { \bf r } _ { E } } & { = \big \langle { \bf w } _ { E } \, , { \bf E } - \nabla \cdot { \bf G } \big \rangle _ { \Omega } = { \bf 0 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle z _ { i } | H | z _ { j } \rangle } \\ & { } & { = \langle z _ { i } | \mathcal { D } _ { y } ( \theta _ { \mathrm { L } } ) \mathcal { D } _ { y } ^ { \dagger } ( \theta _ { \mathrm { L } } ) H \mathcal { D } _ { y } ( \theta _ { \mathrm { L } } ) \mathcal { D } _ { y } ^ { \dagger } ( \theta _ { \mathrm { L } } ) | z _ { j } \rangle } \\ & { } & { = \langle z { ' } _ { i } | \mathcal { D } _ { y } ^ { \dagger } ( \theta _ { \mathrm { L } } ) H \mathcal { D } _ { y } ( \theta _ { \mathrm { L } } ) | z { ' } _ { j } \rangle } \\ & { } & { = \langle z { ' } _ { i } | H ^ { \prime } | z { ' } _ { j } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { m } \langle x , U _ { t , i } \rangle ^ { 4 } \leq } & { ~ \operatorname* { m a x } _ { i \in [ m ] } \langle x , U _ { t , i } \rangle ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \langle x , U _ { t , i } \rangle ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ \frac { \mu _ { 2 } ^ { 2 } k } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \langle x , U _ { t , i } \rangle ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ \frac { \mu _ { 2 } ^ { 2 } k } { m } x ^ { \top } U _ { t } ^ { \top } U _ { t } x } \\ { = } & { ~ \frac { \mu _ { 2 } ^ { 2 } k } { m } x ^ { \top } x } \\ { = } & { ~ \frac { \mu _ { 2 } ^ { 2 } k } { m } , } \end{array}
\frac { \partial E } { \partial \boldsymbol { \mu } _ { i } } = 0 \; \Longrightarrow \; \boldsymbol { \mu } _ { i } ^ { ( t + 1 ) } = \frac { 1 } { \left| S _ { i } ^ { ( t ) } \right| } \sum _ { \mathbf { x } _ { j } \in S _ { i } ^ { ( t ) } } \mathbf { x } _ { j }
\begin{array} { r l r l } { C _ { 1 } } & { = \pi _ { 1 } ^ { \sharp } ( C ) = \widetilde { \ell } _ { 1 2 3 } + \widetilde { \ell } _ { 1 } + \widetilde { \ell } _ { 1 } ^ { \prime } + 2 E _ { 1 } } & & { \left[ p _ { 1 } \in \ell _ { 1 2 3 } \cap \ell _ { 1 } \cap \ell _ { 1 } ^ { \prime } \; \Rightarrow \; m _ { p _ { 1 } } ( C ) = 3 \right] } \\ { C _ { 2 } } & { = \pi _ { 2 } ^ { \sharp } ( C _ { 1 } ) = \widetilde { \ell } _ { 1 2 3 } + \widetilde { \ell } _ { 1 } + \widetilde { \ell } _ { 1 } ^ { \prime } + 2 \widetilde { E } _ { 1 } + 2 E _ { 2 } } & & { \left[ p _ { 2 } \in \widetilde { \ell } _ { 1 2 3 } \cap E _ { 1 } \; \Rightarrow \; m _ { p _ { 2 } } ( C _ { 1 } ) = 3 \right] } \\ { C _ { 3 } } & { = \pi _ { 3 } ^ { \sharp } ( C _ { 2 } ) = \widetilde { \ell } _ { 1 2 3 } + \widetilde { \ell } _ { 1 } + \widetilde { \ell } _ { 1 } ^ { \prime } + 2 \widetilde { E } _ { 1 } + 2 \widetilde { E } _ { 2 } + 2 E _ { 3 } } & & { \left[ p _ { 3 } \in \widetilde { \ell } _ { 1 2 3 } \cap E _ { 2 } \; \Rightarrow \; m _ { p _ { 3 } } ( C _ { 2 } ) = 3 \right] } \\ { C _ { 4 } } & { = \pi _ { 4 } ^ { \sharp } ( C _ { 3 } ) = \widetilde { \ell } _ { 1 2 3 } + \widetilde { \ell } _ { 1 } + \widetilde { \ell } _ { 1 } ^ { \prime } + 2 \widetilde { E } _ { 1 } + 2 \widetilde { E } _ { 2 } + 2 \widetilde { E } _ { 3 } + E _ { 4 } } & & { \left[ p _ { 4 } \in E _ { 3 } \; \Rightarrow \; m _ { p _ { 4 } } ( C _ { 3 } ) = 2 \right] } \\ { C ^ { \sharp } } & { = \pi _ { 5 } ^ { \sharp } ( C _ { 4 } ) = \widetilde { \ell } _ { 1 2 3 } + \widetilde { \ell } _ { 1 } + \widetilde { \ell } _ { 1 } ^ { \prime } + 2 \widetilde { E } _ { 1 } + 2 \widetilde { E } _ { 2 } + 2 \widetilde { E } _ { 3 } + \widetilde { E } _ { 4 } } & & { \left[ p _ { 5 } \in E _ { 4 } \; \Rightarrow \; m _ { p _ { 5 } } ( C _ { 4 } ) = 1 \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { C } ^ { ( Q ) } ( \mathcal { N } _ { G _ { M P P } } ^ { ( 1 , \eta ) } ) } & { { } = } & { n } \\ { \mathcal { C } ^ { ( Q ) } ( \mathcal { N } _ { G _ { M P P } } ^ { ( \eta , 0 ) } ) } & { { } = } & { n - f ( 2 ^ { n } , \eta ) . } \end{array}
\tilde { p } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 } , \omega ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } p ( { \bf x } , t ) \mathrm { e x p } \{ i \omega ( t - { \bf s } _ { H } \cdot { \bf x } _ { H } ) \} \mathrm { d } t \mathrm { d } { \bf x } _ { H } ,
\varphi ( p ) = \left( { \frac { 2 x _ { 0 } ^ { 2 } } { \pi \hbar ^ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 4 } \exp { \left( - { \frac { x _ { 0 } ^ { 2 } p ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } } \right) }
\tilde { \chi } ( u ; s ) \equiv \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \langle \hat { R } ( q , u ; s ) \rangle _ { E } d q = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \langle \hat { R } ( q + p , u ; s ) \rangle _ { E } d q .
\pi _ { S _ { \mathrm { N S } } } \circ \varrho _ { V } ^ { 2 } \cong \pi _ { S _ { \mathrm { N S } } } \oplus \pi _ { S _ { \mathrm { N S } } } \cong \pi _ { S _ { \mathrm { N S } } } \circ \varrho _ { V ^ { \prime } } ^ { 2 }
( f \ast g ) ( x ) = \int \int d k d k ^ { \prime } \ \chi _ { \upsilon } \left( - ( k + k ^ { \prime } ) x + \frac 1 2 k _ { i } k _ { j } ^ { \prime } \theta ^ { i j } \right) \tilde { f } ( k ) \tilde { g } ( k ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { d \sigma } { d \Omega } \right) _ { l a b } } & { { } = } & { \left( \frac { d \sigma } { d \Omega } \right) _ { c m } \frac { d \Omega _ { c m } } { d \Omega _ { l a b } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle a ^ { 2 } \left( t , \mathbf { x } \right) \right\rangle } & { { } = \left\langle a ^ { 2 } \left( 0 , \mathbf { x } \right) \right\rangle + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t } \left\langle w \left( \tau , \mathbf { x } \right) w \left( \tau ^ { \prime } , \mathbf { x } \right) \right\rangle d \tau d \tau ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r } { C ( \textbf { r } _ { \perp } , z , \tau ) = \displaystyle \sum _ { i , \alpha , \beta , \gamma , \delta } \int d \textbf { r } _ { \perp } ^ { \prime } \frac { \sigma _ { \alpha \beta } ^ { ( i ) } \sigma _ { \gamma \delta } ^ { ( i ) } G _ { \alpha \beta \gamma \delta } ^ { ( 4 ) } ( \textbf { r } _ { \perp } ^ { \prime } , \textbf { r } _ { \perp } ^ { \prime } + \textbf { r } _ { \perp } , z , \tau ) } { \displaystyle \sum _ { \alpha ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } } G _ { \alpha ^ { \prime } \alpha ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( \textbf { r } _ { \perp } ^ { \prime } , z , t ) G _ { \beta ^ { \prime } \beta ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( \textbf { r } _ { \perp } ^ { \prime } + \textbf { r } _ { \perp } , z , \tau ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { j _ { 6 } ( \tau ) : } & { = \left( \frac { \eta ( 2 \tau ) \eta ( 3 \tau ) ^ { 3 } } { \eta ( \tau ) \eta ( 6 \tau ) ^ { 3 } } \right) ^ { 3 } - 3 } \\ & { = \frac { 1 } { q } \cdot \left( \frac { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ( q ^ { 3 } ; q ^ { 3 } ) _ { \infty } ^ { 3 } } { ( q ; q ) _ { \infty } ( q ^ { 6 } ; q ^ { 6 } ) _ { \infty } ^ { 3 } } \right) ^ { 3 } - 3 } \\ & { = \frac { 1 } { q } + 6 q + 4 q ^ { 2 } - 3 q ^ { 3 } - 1 2 q ^ { 4 } - 8 q ^ { 5 } + 1 2 q ^ { 6 } + 3 0 q ^ { 7 } + \cdots } \\ & { = \frac { 1 } { q } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathcal { J } _ { 6 } ( n ) q ^ { n } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \int x ^ { m } \left( A + B \, x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p } d x = { \frac { x ^ { m - n + 1 } \left( A \, b - 2 a \, B - ( b \, B - 2 A \, c ) x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p + 1 } } { n ( p + 1 ) \left( b ^ { 2 } - 4 a \, c \right) } } \, + \, { \frac { 1 } { n ( p + 1 ) \left( b ^ { 2 } - 4 a \, c \right) } } \, \cdot } \\ & { \qquad \int x ^ { m - n } \left( ( m - n + 1 ) ( 2 a \, B - A \, b ) + ( m + 2 n ( p + 1 ) + 1 ) ( b \, B - 2 A \, c ) x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p + 1 } d x } \end{array} }
\Gamma [ A ] = - \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int d ^ { 4 } x \left\{ g ^ { 2 } s ^ { 2 } { \cal F } _ { 2 } ( \frac { \Re C o s h ( g s X ) } { \Im C o s h ( g s X ) } ) - 1 \right\} e x p ( - m ^ { 2 } s )
\sum _ { a \in A _ { i } } g _ { i } ( \sigma ) ( a ) = \sum _ { a \in A _ { i } } \sigma _ { i } ( a ) + { \mathrm { G a i n } } _ { i } ( \sigma , a ) = 1 + \sum _ { a \in A _ { i } } { \mathrm { G a i n } } _ { i } ( \sigma , a ) > 0 .
\begin{array} { r l } { c _ { \lambda ( n ) } ^ { \nu } ( q , t ) } & { = \psi _ { T } ( q , t ) \prod _ { ( j , k , m ) \mathrm { ~ a d } } \left( \frac { X _ { k } - q ^ { - a _ { j , k } ^ { m } + b _ { j , k } ^ { m } - 1 } t X _ { j } } { X _ { k } - q ^ { - a _ { j , k } ^ { m } + b _ { j , k } ^ { m } } \ X _ { j } } \cdot \frac { X _ { k } - q ^ { - a _ { j , k } ^ { m } } t ^ { - 1 } X _ { j } } { X _ { k } - \ q ^ { - a _ { j , k } ^ { m } - 1 } X _ { j } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } d _ { 1 } + \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \pm } \cdot \nabla d _ { 1 } + \frac { \mathbf { v } _ { 1 } ^ { + } + \mathbf { v } _ { 1 } ^ { - } } { 2 } \cdot \nabla d _ { \Gamma } - \hat { \phi } _ { 0 } d _ { 1 } + D _ { \frac { 1 } { 2 } } = 0 \ \ \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ \Gamma . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { \psi _ { 1 } } } & { = \sigma _ { + } \left( \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } + \frac { \tau \omega _ { * i } \Gamma _ { + } } { \omega _ { 0 } \sigma _ { + } } \right) \left[ \Gamma _ { 0 } - \Gamma _ { z } - \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \left( F _ { 1 } - \Gamma _ { z } \right) \right] } \\ & { - \sigma _ { 0 } \left( 1 - \Gamma _ { + } \right) \left[ \left( \frac { 2 \omega _ { z } - \omega _ { * i } } { \omega _ { 0 } } \right) \left( 1 + \frac { \tau \omega _ { * i } } { \omega _ { z } } \right) - \frac { \tau \omega _ { * i } \left( \omega _ { z } - \omega _ { * i } \right) F _ { 1 } } { \omega _ { 0 } \omega _ { z } \sigma _ { 0 } } \right] , } \end{array}
\gamma _ { p } ^ { m } \simeq \gamma _ { 0 } \left( e B _ { l c } / ( 2 m _ { p } \Omega c ) \right) ^ { 2 / 3 } \simeq 1 . 2 \times 1 0 ^ { 7 } \times L _ { 4 2 } ^ { 1 / 3 }
\begin{array} { r l } { g \left( R \left( X , Y \right) Z , V \right) + g \left( R \left( Z , X \right) Y , V \right) + g \left( R \left( Y , Z \right) X , V \right) } & { = 0 } \\ { g \left( R \left( X , Y \right) Z , V \right) + g \left( R \left( Y , X \right) Z , V \right) } & { = 0 } \\ { g \left( R \left( X , Y \right) Z , V \right) + g \left( R \left( X , Y \right) V , Z \right) } & { = 0 } \\ { g \left( R \left( Z , X \right) Y , V \right) - g \left( R \left( Y , V \right) Z , X \right) } & { = 0 . } \end{array}
- { \frac { c ^ { 4 } } { 8 \pi G } } { \frac { v _ { s } ^ { 2 } \left( y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) } { 4 g ^ { 2 } r _ { s } ^ { 2 } } } \left( { \frac { d f } { d r _ { s } } } \right) ^ { 2 } ,
H _ { 0 } = \sqrt { \frac { 3 \eta \, v _ { 0 } } { \rho g \sin \beta } } = \sqrt { \frac { v _ { 0 } } { a _ { 0 } } } = \sqrt { \frac { 2 \rho _ { \mathrm { ( s t i f f ) } } } { | \rho _ { \mathrm { ( r a d ) } } | } } \, .
\tilde { m } _ { D _ { R } } ^ { 2 } ( t = 6 6 ) = m _ { 0 } ^ { 2 } + 6 . 0 m _ { 1 / 2 } ^ { 2 } - 0 . 0 7 \cos { 2 \beta } M _ { Z } ^ { 2 } \, ,
\langle h \vert _ { \omega = r } , \varphi \rangle = \sum _ { k \ge m } r ^ { k } \langle u _ { k } , \varphi _ { k } \rangle \xrightarrow { r \rightarrow 1 } \langle u , \varphi \rangle \quad \mathrm { a n d } \quad \langle \sum _ { k = m } ^ { P } u _ { k } , \varphi \rangle = \sum _ { k = m } ^ { P } \langle u _ { k } , \varphi _ { k } \rangle \xrightarrow { P \rightarrow \infty } \langle u , \varphi \rangle ,
K _ { \mathrm { c o n d } } ( T , \omega _ { 0 } , y ) = { \frac { \alpha _ { s } \langle \bar { q } q \rangle \, T } { 6 \pi } } \, \Big [ 2 - r ( y ) \Big ] \, \delta _ { 0 } \Big ( { \frac { \omega _ { 0 } } { T } } \Big ) + { \frac { \langle \alpha _ { s } G G \rangle } { 9 6 \pi } } \bigg ( { \frac { 2 } { y + 1 } } \bigg ) - { \frac { \langle \bar { q } \, g _ { s } \sigma _ { \alpha \beta } G ^ { \alpha \beta } q \rangle } { 4 8 T } } \, ,
\begin{array} { r l r } { \mathcal { R } ( \tau ^ { \prime } ) } & { = } & { \mathcal { M } _ { \bf u } e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf d } \tau ^ { \prime } } - \mathcal { M } _ { \bf d } e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } ( \tau _ { c } - \tau ^ { \prime } ) } } \\ & { = } & { \mathcal { C } _ { \bf u d } e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf d } \tau ^ { \prime } } - \mathcal { C } _ { \bf d u } e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } ( \tau _ { c } - \tau ^ { \prime } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( x _ { 1 } y _ { 1 } + \cdots + x _ { n } y _ { n } ) ^ { 2 } } & { \leq ( x _ { 1 } ^ { 2 } y _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + x _ { n } ^ { 2 } y _ { n } ^ { 2 } ) + \left( 1 - \frac 1 n \right) ( x _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + x _ { n } ^ { 2 } ) ( y _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + y _ { n } ^ { 2 } ) } \\ & { = x _ { 1 } ^ { 2 } y _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + x _ { n } ^ { 2 } y _ { n } ^ { 2 } + 1 - \frac 1 n } \end{array}
\Delta = \nabla \xi ^ { m } \cdot \nabla \xi ^ { n } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \xi ^ { m } \, \partial \xi ^ { n } } } + \nabla ^ { 2 } \xi ^ { m } { \frac { \partial } { \partial \xi ^ { m } } } = g ^ { m n } \left( { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \xi ^ { m } \, \partial \xi ^ { n } } } - \Gamma _ { m n } ^ { l } { \frac { \partial } { \partial \xi ^ { l } } } \right) ,
\mathrm { P r o b } ( \hat { \mathbf { s } } \neq \mathbf { s } | T _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } ) \leq \mathrm { P r o b } ( \hat { \mathbf { l } } \neq \mathbf { l } | T _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } ) ,
H ^ { 2 } = \frac { \rho _ { m } ^ { 2 } } { 3 6 } + \frac { U _ { B } \rho _ { m } } { 1 2 } - \frac { 1 } { 1 6 a ^ { 4 } } \int d \tau \frac { d a ^ { 4 } } { d \tau } ( \dot { \phi } ^ { 2 } - 2 U ) - \frac { 1 } { 1 2 a ^ { 4 } } \int d \tau a ^ { 4 } \rho _ { m } \frac { d U _ { B } } { d \tau } ,
\boldsymbol { \mathbb { E } } _ { ( a , u ) \sim \mathbb { Q } } \left[ \ell ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ( a ) , u ) \right] - \bar { L } \, \boldsymbol { \mathbb { E } } _ { ( a , u ) \sim \mu ^ { N } } \left[ \ell ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ( a ) , u ) \right] \le \bar { L } \, \big ( \varepsilon + C _ { \mu } \psi ^ { - 1 } \big ( \log ( N ) \big ) + \frac { \Sigma \sqrt { - 2 \log ( \delta ) } } { \sqrt { N } } \big ) ,
\begin{array} { r l r } { g _ { \mathbb { X } } ( x ) } & { { } = } & { \frac { n } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { 2 } \pi \left( x - \frac { n } { 2 } \right) , } \\ { f _ { \mathbb { X } } ( x ) } & { { } = } & { \frac { n } { 2 } + \frac { 1 } { \pi } \arcsin \sqrt { 2 x - n } , } \end{array}
\overset { \nabla } { \boldsymbol { \sigma } } _ { p } = \frac { D \boldsymbol { \sigma } _ { p } } { D t } - \boldsymbol { \sigma } _ { p } \cdot \nabla \mathbf { u } - \nabla \mathbf { u } ^ { T } \cdot \boldsymbol { \sigma } _ { p } .
\sum _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { k ^ { s } } } \approx { \frac { 1 } { s - 1 } } + { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { ( s - 1 ) n ^ { s - 1 } } } + { \frac { 1 } { 2 n ^ { s } } } + \sum _ { i = 1 } { \frac { B _ { 2 i } } { ( 2 i ) ! } } \left[ { \frac { ( s + 2 i - 2 ) ! } { ( s - 1 ) ! } } - { \frac { ( s + 2 i - 2 ) ! } { ( s - 1 ) ! n ^ { s + 2 i - 1 } } } \right] .
\Phi ( \omega ; \lambda ) \simeq { \frac { 2 \omega ^ { D - 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { ( D - 1 ) / 2 } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left[ { \frac { a _ { n } ( \lambda ) } { \Gamma \left( { \frac { D - 1 } { 2 } } - n \right) } } \omega ^ { - 2 n } + { \frac { b _ { n } ( \lambda ) } { \Gamma \left( { \frac { D - 2 } { 2 } } - n \right) } } \omega ^ { - ( 2 n + 1 ) } \right] ~ ~ ~ .
\begin{array} { r } { \varsigma ^ { 2 } ( V _ { \frac { 1 } { 2 } } ) = \mathrm { V a r } \left( \Delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } \right) = \left( d ^ { - } \right) ^ { 2 } \left( \gamma \left\langle t _ { \mathrm { A P } } ( V _ { \frac { 1 } { 2 } } ) \right\rangle + \gamma ^ { 2 } \mathrm { V a r } \left( t _ { \mathrm { A P } } ( V _ { \frac { 1 } { 2 } } ) \right) \right) + \sigma ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { K } = } & { { } ~ \displaystyle \sum _ { \alpha } \mathscr { K } _ { \alpha } , } \\ { \mathscr { G } = } & { { } ~ \displaystyle \sum _ { \alpha } \mathscr { G } _ { \alpha } , } \\ { \mathscr { S } = } & { { } ~ \sum _ { \alpha } \tilde { \rho } _ { \alpha } \epsilon _ { \alpha } . } \end{array}
\chi = \frac { \gamma _ { e } } { E _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ i ~ t ~ } } } \sqrt { \left( \vec { E } + \left( \vec { v } / c \right) \times \vec { B } \right) ^ { 2 } - \left( \vec { E } \cdot \vec { v } / c \right) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } & { \frac { \gamma _ { k } - \kappa } { 2 } \mathbb { E } _ { k } [ \| \hat { x } ^ { k } - x ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } ] } \\ { \leq } & { \frac { \gamma _ { k } - \rho } { 2 } \| \hat { x } ^ { k } - x ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } \| \hat { x } ^ { k } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } } \\ & { + 2 L _ { f } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ] - \frac { \gamma _ { k } - \rho } { 2 } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] } \\ { \leq } & { \frac { \gamma _ { k } - \rho } { 2 } \| \hat { x } ^ { k } - x ^ { k } \| ^ { 2 } + \lambda \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } ] + \lambda \mathbb { E } _ { k } [ \| \hat { x } ^ { k } - x ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } ] } \\ & { + 2 L _ { f } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| - \frac { \gamma _ { k } - \rho } { 2 } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] } \end{array}