harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { { \tt O } _ { \vec { \sigma } } = \sum _ { l = 1 } ^ { r } \, \Big | \Big \{ ( \vec { p } _ { l } , \vec { p } _ { l } ^ { \, \prime } ) \in \sigma _ { l } \times \sigma _ { l } \ \Big | \ { \small \begin{array} { l } { ( p _ { l } ) _ { \alpha } \neq ( p _ { l } ^ { \prime } ) _ { \alpha } } \\ { ( p _ { l } ) _ { \alpha } - ( p _ { l } ) _ { 4 } + 1 = ( p _ { l } ^ { \prime } ) _ { \alpha } - ( p _ { l } ^ { \prime } ) _ { 4 } } \end{array} } \normalsize \ , \ \alpha \in \{ 1 , 2 , 3 \} \Big \} \Big | \ . } \end{array}
U _ { ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } \ \rightarrow \, G a m m a _ { 1 } ^ { x _ { 1 } } \Gamma _ { 2 } ^ { x _ { 2 } } U ( \Gamma _ { 2 } ^ { \dag } ) ^ { x _ { 2 } } ( \Gamma _ { 1 } ^ { \dag } ) ^ { x _ { 1 } } ,
[ L ( F ) , V _ { g } ] = - \frac { 1 } { 2 } D \{ D ( F V _ { g } ) + F D V _ { g } \} - \frac { 1 } { 2 } \bar { D } \{ \bar { D } ( \bar { F } V _ { g } ) + \bar { F } \bar { D } V _ { g } \} .
| U _ { 0 } ^ { ( k ) } | \geq \frac { 2 } { \pi R } \left( \frac { G _ { F } a _ { n } } { 8 \pi \sqrt { 2 } R ^ { 2 } } \right) ^ { k } \frac { k ! ( k - 1 ) ! } { 2 k ^ { k + 1 } } = \frac { 1 } { \pi R } \left( \frac { G _ { F } a _ { n } } { 8 \pi \sqrt { 2 } R ^ { 2 } } \right) ^ { k } \frac { ( k ! ) ^ { 2 } } { k ^ { k + 2 } } .
\begin{array} { r l r } { m } & { { } = } & { \int _ { \Omega } \rho ( \mathbf { x } , t ) \ d V } \\ { \mathbf { l } } & { { } = } & { \int _ { \Omega } \rho ( \mathbf { x } , t ) \mathbf { v } ( \mathbf { x } , t ) \ d V . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Pi ( \phi , 0 ) } & { { } = } & { \frac { { \cal N } } { - v _ { 0 } ( \phi ) } g ( \phi ) , } \\ { \Pi ( \phi , 1 ) } & { { } = } & { \frac { \cal N } { v _ { 1 } ( \phi ) } g ( \phi ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { N _ { \mathrm { p } } ^ { \mathrm { v a c } } } & { = } & { Z \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } u } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \ensuremath { \mathrm { d } } k \; \frac { B _ { k } ^ { 2 } } { ( u ^ { 2 } + \varepsilon _ { k } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \phantom { x x x x x x x x x } } \\ & { } & { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \times \left[ z _ { 1 } ( \ensuremath { \mathrm { i } } u ) w _ { k } ( - \ensuremath { \mathrm { i } } u ) + z _ { 2 } ( \ensuremath { \mathrm { i } } u ) v _ { k } ( - \ensuremath { \mathrm { i } } u ) \right] . } \end{array}
\frac { v \Delta t } { 2 \Delta x } = - \mathrm { n } ( v ) - \alpha ( v ) = \underset { \mathrm { n } ( - v ) } { \underbrace { - \mathrm { n } ( v ) - 1 } } + \underset { \alpha ( - v ) } { \underbrace { 1 - \alpha ( v ) } } \quad \Rightarrow \mathrm { n } ( - v ) = - \mathrm { n } ( v ) - 1 \; , \alpha ( - v ) = 1 - \alpha ( v ) \, .
\overline { { { S } } } = \sum _ { I } - s _ { I } e ^ { i ( \delta _ { s } ^ { I } + \phi _ { s } ^ { I } ) } \; \; \overline { { { P } } } = \sum _ { I } p _ { I } e ^ { i ( \delta _ { p } ^ { I } + \phi _ { p } ^ { I } ) } .
R = \frac { P ( \nu _ { \mu L } \rightarrow \nu _ { \mu L } ^ { c } ) [ \sigma ^ { \nu _ { \mu L } ^ { c } N ( R R ) } + \sigma ^ { \nu _ { \mu L } ^ { c } N ( R L ) } ] } { P ( \nu _ { \mu L } \rightarrow \nu _ { \mu L } ) \sigma ^ { \nu _ { \mu L } N ( L L ) } }
\begin{array} { r l } { \ker _ { R } ( A ) } & { { } = \{ \vec { v } \in R ^ { n } \ | \ A \vec { v } = \vec { 0 } \} , \ \ \ \operatorname { i m } _ { R } ( A ) = \{ A \vec { v } \in R ^ { n } \ | \vec { v } \in R ^ { m } \} = A R ^ { n } , } \\ { \ker _ { Q } ( A ) } & { { } = \{ \vec { v } \in Q ^ { n } \ | \ A \vec { v } = \vec { 0 } \} \simeq Q \otimes _ { R } \ker _ { R } ( A ) , \ \ \ \operatorname { i m } _ { Q } ( A ) = \{ A \vec { v } \in Q ^ { n } \ | \vec { v } \in Q ^ { m } \} = A Q ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { M } \big ( \boldsymbol { \rho } , \boldsymbol { \delta } ; \boldsymbol { \Omega } ^ { ( d - 1 ) } \big ) = \mathcal { E } \big \{ \mathcal { M } ( \mathbf { K } , \mathbf { J } , \boldsymbol { \rho } , \boldsymbol { \delta } ) \big | \mathbf { F } ; \boldsymbol { \Omega } ^ { ( d - 1 ) } \big \} } \\ { = } & { h - L \big ( \log \vert \mathbf { O } \vert + \mathrm { t r a c e } \big [ \mathbf { O } ^ { - 1 } \hat { \mathbf { N } } _ { k } ^ { ( d ) } \big ] \big ) + } \\ & { f - L \big ( \log \vert \mathbf { Q } \vert + \mathrm { t r a c e } \big [ \mathbf { Q } ^ { - 1 } \hat { \mathbf { N } } _ { j } ^ { ( d ) } \big ] \big ) } \end{array}
f _ { - } ( k , r ) = \sqrt { { \displaystyle { \frac { \pi } { 2 } } } } \, \sqrt { k r } \, H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( k r ) + g \int _ { r } ^ { \infty } d r ^ { \prime } \, \tilde { G } ( k ; r , r ^ { \prime } ) V ( r ^ { \prime } ) f _ { - } ( k , r ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r } { \| u \| _ { 2 } ^ { 2 } \leq e ^ { - \frac { 1 } { 4 } \operatorname* { m i n } \lbrace 1 , \underline { { \alpha } } \rbrace \mathrm { P r } \phantom { . } t } \| u _ { 0 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + 2 5 6 \operatorname* { m a x } \left\lbrace 1 , \underline { { \alpha } } ^ { - 2 } \right\rbrace | \Omega | \mathrm { { R a } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 0 } ( z ) } & { = 1 7 - 4 4 z + 2 1 z ^ { 2 } - 2 z ^ { 3 } , } \\ { f _ { 1 } ( z ) } & { = ( 1 - z ) ( - 2 3 6 + 3 7 7 z - 1 7 3 z ^ { 2 } + 2 2 z ^ { 3 } ) , } \\ { f _ { 2 } ( z ) } & { = ( 1 - z ) ^ { 3 } ( 1 7 4 - 1 5 6 z + 3 1 z ^ { 2 } ) , } \\ { f _ { 3 } ( z ) } & { = ( 1 - z ) ^ { 5 } ( - 2 7 + 1 1 z ) , } \\ { f _ { 4 } ( z ) } & { = ( 1 - z ) ^ { 7 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbb X } _ { 1 } } & { = } & { { \mathbb K } _ { 1 } - { \mathbb L } _ { 2 } , } \\ { { \mathbb X } _ { 2 } } & { = } & { { \mathbb K } _ { 2 } + { \mathbb L } _ { 1 } , } \\ { { \mathbb X } _ { 3 } } & { = } & { { \mathbb K } _ { 3 } , } \\ { { \mathbb X } _ { 4 } } & { = } & { { \mathbb L } _ { 3 } , } \\ { { \mathbb X } _ { 5 } } & { = } & { { \mathbb L } _ { 2 } , } \\ { { \mathbb X } _ { 6 } } & { = } & { { \mathbb L } _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \pmb { H } = \pmb { X } \pmb { W } _ { 0 } + \pmb { A } \pmb { X } \pmb { W } _ { 1 } + ( \pmb { A } ^ { 2 } - \pmb { D } ) \pmb { X } \pmb { W } _ { 2 } + ( \pmb { A } ^ { 3 } - \pmb { \Sigma } \circ \pmb { A } ) \pmb { X } \pmb { W } _ { 3 } } \end{array}
K = { \frac { 1 } { 3 } } { \left[ \begin{array} { l l l l } { Q _ { x x } - Q _ { y y } - Q _ { z z } } & { Q _ { y x } + Q _ { x y } } & { Q _ { z x } + Q _ { x z } } & { Q _ { z y } - Q _ { y z } } \\ { Q _ { y x } + Q _ { x y } } & { Q _ { y y } - Q _ { x x } - Q _ { z z } } & { Q _ { z y } + Q _ { y z } } & { Q _ { x z } - Q _ { z x } } \\ { Q _ { z x } + Q _ { x z } } & { Q _ { z y } + Q _ { y z } } & { Q _ { z z } - Q _ { x x } - Q _ { y y } } & { Q _ { y x } - Q _ { x y } } \\ { Q _ { z y } - Q _ { y z } } & { Q _ { x z } - Q _ { z x } } & { Q _ { y x } - Q _ { x y } } & { Q _ { x x } + Q _ { y y } + Q _ { z z } } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { P } : = } & { { } \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } \left( \mathcal { I } _ { 1 \times 3 } , \mathcal { I } _ { 1 \times 3 } , \mathcal { I } _ { 1 \times 3 } \right) , } \\ { \boldsymbol { \widehat { u } } _ { \Xi , c } : = } & { { } \mathcal { I } _ { 3 \times 3 } \otimes \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } \left( - \widehat { u } _ { \xi } , - \widehat { v } _ { \xi } , - \widehat { w } _ { \xi } \right) ， } \end{array}
H _ { s } = \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { 3 1 0 } & { - 8 0 . 3 } & { 3 . 5 } & { - 4 . 0 } & { 4 . 5 } & { - 1 0 . 2 } & { - 4 . 9 } & { 2 1 . 0 } \\ { - 8 0 . 3 } & { 2 3 0 } & { 2 3 . 5 } & { 6 . 7 } & { 0 . 5 } & { 7 . 5 } & { 1 . 5 } & { 3 . 3 } \\ { 3 . 5 } & { 2 3 . 5 } & { 0 } & { - 4 9 . 8 } & { - 1 . 5 } & { - 6 . 5 } & { 1 . 2 } & { 0 . 7 } \\ { - 4 . 0 } & { 6 . 7 } & { - 4 9 . 8 } & { 1 8 0 } & { 6 3 . 4 } & { - 1 3 . 3 } & { - 4 2 . 2 } & { - 1 . 2 } \\ { 4 . 5 } & { 0 . 5 } & { - 1 . 5 } & { 6 3 . 4 } & { 4 5 0 } & { 5 5 . 8 } & { 4 . 7 } & { 2 . 8 } \\ { - 1 0 . 2 } & { 7 . 5 } & { - 6 . 5 } & { - 1 3 . 3 } & { 5 5 . 8 } & { 3 2 0 } & { 3 3 . 0 } & { - 7 . 3 } \\ { - 4 . 9 } & { 1 . 5 } & { 1 . 2 } & { - 4 2 . 2 } & { 4 . 7 } & { 3 3 . 0 } & { 2 7 0 } & { - 8 . 7 } \\ { 2 1 . 0 } & { 3 . 3 } & { 0 . 7 } & { - 1 . 2 } & { 2 . 8 } & { - 7 . 3 } & { - 8 . 7 } & { 5 0 5 } \end{array} \right) ,
\frac { 1 } { \tilde { \kappa } _ { c } ^ { 2 \ell + 1 } } = \left[ 1 - ( 2 \ell + 1 ) \frac { K _ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } ( \kappa _ { c } ^ { ( 0 ) } ) } { \kappa _ { c } ^ { ( 0 ) } K _ { \ell + \frac { 3 } { 2 } } ( \kappa _ { c } ^ { ( 0 ) } ) } \right] ^ { - 1 } ,
S ^ { \prime } = - \frac { 1 } { g _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { 2 \alpha ^ { \prime } } \int \Psi \star Q ^ { \prime } \Psi + \frac { 1 } { 3 } \int \Psi \star \Psi \star \Psi \right) \ ,
\mathcal { V } _ { \textbf { q } } ^ { - } = \bigcap _ { i = 0 } ^ { n - 1 } F ^ { - i n _ { 0 } } \left( \mathcal { V } _ { q _ { i } } \right) \quad ; \quad \mathcal { V } _ { \textbf { q } } ^ { + } = F ^ { n n _ { 0 } } \left( \mathcal { V } _ { \textbf { q } } ^ { - } \right) = \bigcap _ { i = 0 } ^ { n - 1 } F ^ { ( n - i ) n _ { 0 } } \left( \mathcal { V } _ { q _ { i } } \right)
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } \lbrace \alpha _ { - } , \alpha _ { + } \rbrace \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { i } ^ { 2 } } & { { } \leq \frac { 5 } { 1 6 } \| \partial _ { 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } ^ { 2 } + ( 2 \alpha _ { - } + \kappa _ { - } ) \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { - } ^ { 2 } } \end{array}
I _ { L M I S } = \frac { 3 \pi \left( 2 q / m \right) ^ { 1 / 2 } r _ { 0 } \gamma \cos { \varphi } } { 2 V ^ { 1 / 2 } } \left( \left( \frac { V } { V _ { 0 } } \right) ^ { 2 } - 1 \right) \left( 1 + \frac { 3 \pi r _ { 0 } ^ { 2 } Z } { 4 \rho V ^ { 1 / 2 } \left( q / 2 m \right) ^ { 1 / 2 } } \right) ^ { - 1 }
J _ { \alpha \lambda } = - \frac { 4 8 \pi } { m _ { b } ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 3 } s } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } \, 2 s ^ { 0 } } \frac { d ^ { 3 } k _ { \gamma } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } \, 2 k _ { \gamma } ^ { 0 } } ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { 4 } ( P - s - k _ { \gamma } ) k _ { \gamma \, \alpha } k _ { \gamma \, \lambda } I ( k _ { \gamma } , k _ { g } ) ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho _ { m , l } } & { { } ( x , t ) = \frac { 1 } { 2 } \sigma ^ { 2 } \Delta \rho _ { m , l } ( x , t ) - \nabla \cdot \left( \rho _ { m , l } ( x , t ) \, \mathcal F ( x , y _ { m } , z _ { l } , \rho ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { r r } } & { = \frac { 3 K \nu } { 1 + \nu } \epsilon _ { k k } + \frac { 3 K ( 1 - 2 \nu ) } { 1 + \nu } \epsilon _ { r r } - b p , } \\ { \sigma _ { \theta \theta } } & { = \frac { 3 K \nu } { 1 + \nu } \epsilon _ { k k } + \frac { 3 K ( 1 - 2 \nu ) } { 1 + \nu } \epsilon _ { \theta \theta } - b p , } \\ { \epsilon _ { r r } } & { = \frac { \partial u _ { r } } { \partial r } , \quad \epsilon _ { \theta \theta } = \frac { u _ { r } } { r } , \quad \epsilon _ { z z } = 0 , } \\ { \epsilon _ { k k } } & { = \epsilon _ { r r } + \epsilon _ { \theta \theta } + \epsilon _ { z z } . } \end{array}
C _ { d , l } = \operatorname* { m a x } \left[ 0 . 4 4 , \frac { 2 4 } { \mathrm { R e } _ { l } } \left( 1 + 0 . 1 5 \mathrm { R e } _ { l } ^ { 0 . 6 8 7 } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { W \hat { W } } ( \ell ( W , \hat { W } ) < \rho ) } & { \leq \left( \operatorname* { s u p } _ { \hat { w } \in \mathcal { \hat { W } } } \mathcal { P } _ { W } ( \ell ( W , \hat { w } ) < \rho ) \right) ^ { \frac { \alpha - 1 } { \alpha } } \exp \left( \frac { \alpha - 1 } { \alpha } I _ { \alpha } ( W , \hat { W } ) \right) } \\ & { = \exp \left( \frac { \alpha - 1 } { \alpha } \left( I _ { \alpha } ( W , \hat { W } ) + \log ( L _ { W } ( \rho ) ) \right) \right) } \\ & { \leq \exp \left( \frac { \alpha - 1 } { \alpha } \left( I _ { \alpha } ( W , X ) + \log ( L _ { W } ( \rho ) ) \right) \right) . } \end{array}
\left( { \tilde { \beta } } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \pm { \tilde { \beta } } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \right) ( { \bar { p } } ^ { 2 } ; { \sigma } ^ { 2 } ) = \frac { N _ { \mathrm { \footnotesize ~ c } } } { 8 \pi ^ { 2 } } \left[ { \bar { p } } ^ { 2 } + 2 \left( 1 \pm 1 \right) { \sigma } ^ { 2 } \right] \int _ { 0 } ^ { 1 } d z \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d { \tau } } { { \tau } } \rho _ { \mathrm { \scriptsize ~ f } } \left( { \tau } \right) \exp { \Big \{ } - { \tau } \left[ { \bar { p } } ^ { 2 } z \left( 1 - z \right) + { \sigma } ^ { 2 } \right] { \Big \} } \ ,
\begin{array} { r l } & { Q _ { A } V _ { k } = U _ { k } B _ { k } , \ \ Q _ { A } ^ { T } U _ { k } = V _ { k } B _ { k } ^ { T } + \beta _ { k } v _ { k + 1 } ( e _ { k } ^ { ( k ) } ) ^ { T } , } \\ & { Q _ { B } \widehat { V } _ { k } = \widehat { U } _ { k } \widehat { B } _ { k } , \ \ Q _ { B } ^ { T } \widehat { U } _ { k } = \widehat { V } _ { k } \widehat { B } _ { k } ^ { T } + \hat { \beta } _ { k } \hat { v } _ { k + 1 } ( e _ { k } ^ { ( k ) } ) ^ { T } , } \end{array}
\varepsilon \lesssim \frac { 2 \pi ^ { 4 } N _ { \mu } N _ { \nu } e ^ { - \theta _ { \mu \nu \omega } R _ { \mathrm { c u t } } ^ { 2 } } ( \theta _ { \mu \nu \omega } R _ { \mathrm { c u t } } ) ^ { l _ { \mu \nu } - 1 } } { \Omega \sqrt { \pi \theta _ { \mu \nu \omega } } \alpha _ { \mu } ^ { l _ { \mu } + 3 / 2 } \alpha _ { \nu } ^ { l _ { \nu } + 3 / 2 } } < \tau .
\delta { \widetilde A } _ { 0 1 } = - \frac { \mathrm { e } ^ { \varphi _ { 0 } } \, ( m - \chi _ { 0 } \, n ) } { { \widetilde \Delta } _ { m , n } ^ { 1 / 2 } } \, \frac { { \widetilde Q } _ { 1 } } { r ^ { 6 } } ~ ~ ~ , ~ ~ ~ \delta { \widetilde C } _ { 0 1 } = - \frac { \mathrm { e } ^ { \varphi _ { 0 } } \, ( | \lambda _ { 0 } | ^ { 2 } \, n - \chi _ { 0 } \, m ) } { { \widetilde \Delta } _ { m , n } ^ { 1 / 2 } } \, \frac { { \widetilde Q } _ { 1 } } { r ^ { 6 } }
\begin{array} { r l r } & { c _ { 0 } = 1 \, \, ( \mathrm { C f . } \, ( 7 ) ) \, \, \, } & { d _ { 1 } = - 2 . 3 8 4 8 5 6 3 5 } \\ & { c _ { 1 } = - 1 . 2 5 6 4 7 7 1 8 \, \, \, } & { d _ { 2 } = 2 . 5 1 6 0 8 1 3 7 } \\ & { c _ { 2 } = 8 . 2 5 0 5 9 1 5 8 \times 1 0 ^ { - 1 } \, \, \, } & { d _ { 3 } = - 1 . 5 2 5 7 9 0 4 0 } \\ & { c _ { 3 } = - 3 . 1 9 3 0 0 1 5 7 \times 1 0 ^ { - 1 } \, \, \, } & { d _ { 4 } = 5 . 7 5 9 2 2 6 9 3 \times 1 0 ^ { - 1 } } \\ & { c _ { 4 } = 7 . 6 3 1 9 1 6 0 5 \times 1 0 ^ { - 2 } \, \, \, } & { d _ { 5 } = - 1 . 3 5 7 4 0 7 0 9 \times 1 0 ^ { - 1 } } \\ & { c _ { 5 } = - 1 . 0 4 6 9 7 9 3 8 \times 1 0 ^ { - 2 } \, \, \, } & { d _ { 6 } = 1 . 8 5 6 7 8 0 8 3 \times 1 0 ^ { - 2 } } \\ & { c _ { 6 } = 6 . 4 4 8 7 8 6 5 2 \times 1 0 ^ { - 4 } \, \, \, } & { d _ { 7 } = - 1 . 1 4 2 4 3 6 9 4 \times 1 0 ^ { - 3 } } \end{array}
\varpi = \frac { n _ { i } m _ { i } } { B } \left( \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi + \frac { 1 } { n _ { i } } \boldsymbol { \nabla } _ { \perp } \phi \cdot \boldsymbol { \nabla _ { \perp } } n _ { i } + \frac { 1 } { Z e n _ { i } } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } P _ { i } \right) ,
\begin{array} { r l r } { m _ { \mathbf { p } } ^ { ( 0 ) } } & { = } & { - \frac { i \sqrt { \kappa } } { 4 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } \mathbf { r } \int d t \frac { \mathbf { r } \cdot \mathbf { E } ( t ) } { r } \exp \left[ - i \left( \mathbf { p } + \mathbf { A } ( t ) \right) \cdot \mathbf { r } \right. } \\ & { - } & { i \left. \int _ { t } d s \frac { \left( \mathbf { p } + \mathbf { A } ( s ) \right) ^ { 2 } } { 2 } + i \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 } t - \kappa r \right] . } \end{array}
f _ { x _ { 0 } } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l c l } { 2 ( \tau ( x ) - \tau ( x _ { 0 } ) - \gamma ( \delta _ { \tau _ { 0 } } ( x ) ^ { \alpha } + \delta _ { \tau _ { 0 } } ( x ) ) } & & { \mathrm { ~ i f ~ } \, \, | \tau ( x ) - \tau ( x _ { 0 } ) | \leq 2 \gamma [ \delta _ { \tau _ { 0 } } ( x ) ^ { \alpha } + \delta _ { \tau _ { 0 } } ( x ) ] } \\ { \tau ( x ) - \tau ( x _ { 0 } ) } & & { \mathrm { ~ i f ~ } \, \, \tau ( x ) - \tau ( x _ { 0 } ) > 2 \gamma [ \delta _ { \tau _ { 0 } } ( x ) ^ { \alpha } + \delta _ { \tau _ { 0 } } ( x ) ] } \\ { 3 ( \tau ( x ) - \tau ( x _ { 0 } ) ) } & & { \mathrm { ~ i f ~ } \, \, \tau ( x ) - \tau ( x _ { 0 } ) < - 2 \gamma [ \delta _ { \tau _ { 0 } } ( x ) ^ { \alpha } + \delta _ { \tau _ { 0 } } ( x ) ] } \end{array} \right.
\mathbb { E } _ { t , \vec { x } ( 0 ) , \vec { x } ( t ) } = \mathbb { E } _ { t \sim U ( 0 , 1 ] , \vec { x } ( 0 ) \sim p ( \vec { x } ( 0 ) ) , \vec { x } ( t ) \sim p ( \vec { x } ( t ) | \vec { x } ( 0 ) ) } ,
\begin{array} { r } { { \bf S } = S _ { 0 } \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { \langle \sigma _ { z } \rangle } \\ { \langle \sigma _ { x } \rangle } \\ { \langle \sigma _ { y } \rangle } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi _ { T } ( q , t ) = \frac { ( q ; q ) _ { n } } { ( t ; q ) _ { n } } \cdot \left( \prod _ { i = 1 } ^ { N } \prod _ { j = 0 } ^ { e _ { i } - 1 } \frac { 1 - q ^ { j } t } { 1 - q ^ { j + 1 } } \right) = \frac { ( q ; q ) _ { n } } { ( t ; q ) _ { n } } \cdot \prod _ { i = 1 } ^ { N } \frac { ( t ; q ) _ { e _ { i } } } { ( q ; q ) _ { e _ { i } } } . } \end{array}
\begin{array} { c } { { \left( T ^ { a } \right) _ { b c } = f _ { b c } ^ { a } = f _ { c } ^ { a b } = f _ { a b c } } } \\ { { \left[ T ^ { a } , T ^ { b } \right] = i f _ { c } ^ { a b } T ^ { c } } } \end{array} { } .
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { \parallel } ^ { \mathrm { M R } } ( r ) } & { { } = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { 5 } a _ { k } r ^ { k } , } \\ { \alpha _ { \bot } ^ { \mathrm { M R } } ( r ) } & { { } = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { 5 } b _ { k } r ^ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { c ^ { n } ( s ) } & { = } & { \mathbb { E } \left[ \overline { { B } } ^ { n } \left( s , R _ { s } ^ { n , 0 , X _ { 0 } ^ { n } } \right) \right] - \int _ { c _ { 0 } ^ { n } ( s ) } ^ { 1 } \mathbb { E } \left[ \overline { { B } } ^ { n } \left( s , R _ { s } ^ { n , ( c _ { 0 } ^ { n } ) ^ { - 1 } ( u ) , 0 } \right) \right] \mathrm { d } u , \quad \forall s \in [ 0 , T ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma } { d \theta } } & { { } = \int \frac { d \sigma } { d \Omega } d \phi = 1 6 \pi ^ { 2 } \alpha I _ { \mathrm { L } } \frac { k _ { f } } { k _ { i } } \left\vert \frac { a _ { i f } } { 3 } \right\vert ^ { 2 } \left[ \frac { k _ { f } \sin \theta } { k _ { i } ^ { 2 } ( 1 + \frac { k _ { f } ^ { 2 } } { k _ { i } ^ { 2 } } - 2 \frac { k _ { f } } { k _ { i } } \cos \theta ) } \right] ^ { 2 } . } \end{array}
\mathcal { \Dot { I } } = \frac { \lambda _ { 0 } } { T ^ { 2 } } ( 1 + f _ { 2 } ( \textbf { U } _ { x } ; \theta ) ) \left( \frac { \partial T } { \partial x } \right) ^ { 2 } + \frac { 4 } { 3 T } \mu _ { 0 } ( 1 + f _ { 1 } ( \textbf { U } _ { x } ; \theta ) ) \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) ^ { 2 } \ge 0 .
R _ { l m n } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) = \langle q _ { l } ( \boldsymbol { x } ) q _ { m } ( \boldsymbol { x } + \boldsymbol { r } ) q _ { n } ( \boldsymbol { x } + \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) \rangle _ { \boldsymbol { x } } ,
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { \leq \sqrt { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \int _ { D \setminus D _ { w } } P _ { s } ^ { D } f ( w ) ^ { 2 } \nu ( z - w ) \, d z \, d w \, d s } \sqrt { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \int _ { D \setminus D _ { w } } P _ { t - s } ^ { D } f ( z ) ^ { 2 } \nu ( z - w ) \, d z \, d w \, d s } } \\ & { \lesssim \sqrt { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } P _ { s } ^ { D } f ( w ) ^ { 2 } \kappa _ { D } ( w ) \, d w \, d s } \sqrt { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } P _ { t - s } ^ { D } f ( z ) ^ { 2 } \kappa _ { D } ( z ) \, d z \, d s } } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { E } ^ { D } [ P _ { s } ^ { D } f ] \, d s = \| f \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } ^ { 2 } - \| P _ { t } ^ { D } f \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } ^ { 2 } < \infty . } \end{array}
\bar { \epsilon } _ { | | } = \frac { 1 + 6 b \bar { h } ^ { 2 } \arctan ^ { 2 } \left[ \operatorname { t a n h } \left( \frac { \bar { z } } { 2 } \right) \right] } { \left[ 2 \cosh ( \bar { z } ) \right] ^ { b } } .
\begin{array} { r l } { \phi _ { \mathrm { O P } } - \phi _ { \mathrm { O C } } } & { { } = 3 \pi } \\ { \phi _ { \mathrm { T r S e g 1 } } + \phi _ { \mathrm { D _ { 1 } A } } + \phi _ { \mathrm { L a r g e S e g } } + \phi _ { \mathrm { B _ { 1 } P } } } & { { } = 3 \pi } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mu _ { n } > 0 \mathrm { ~ } \forall \mathrm { ~ } n } & { { } \mathrm { ~ o ~ r ~ } } & { \mu _ { n } < 0 \mathrm { ~ } \forall \mathrm { ~ } n , } \\ { \nu _ { n } > 0 \mathrm { ~ } \forall \mathrm { ~ } n } & { { } \mathrm { ~ o ~ r ~ } } & { \nu _ { n } < 0 \mathrm { ~ } \forall \mathrm { ~ } n , } \\ { \xi _ { n } > 0 \mathrm { ~ } \forall \mathrm { ~ } n } & { { } \mathrm { ~ o ~ r ~ } } & { \xi _ { n } < 0 \mathrm { ~ } \forall \mathrm { ~ } n , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big | \Phi ^ { \varepsilon } - u ( 1 + 2 \varepsilon \beta ( v ) ) \Big | } & { = | u | \Big | \frac { 1 } { B ^ { \varepsilon } ( \Psi ^ { \varepsilon } ) } - 1 - 2 \varepsilon \beta ( \Psi ^ { \varepsilon } ) \Big | + 2 \varepsilon | u | | \beta ( \Psi ^ { \varepsilon } ) - \beta ( v ) | } \\ & { \leq 3 | u | \varepsilon ^ { 2 } \| \beta \| _ { \infty } + 2 \varepsilon | u | \| \nabla \beta \| _ { \infty } | \theta ( v ) u + h _ { 2 } ^ { \varepsilon } ( u , v ) | \lesssim \varepsilon ^ { 3 } . } \end{array}
{ \mathrm { R e l a t i v e ~ c h a n g e } } ( x , x _ { \mathrm { r e f e r e n c e } } ) = { \frac { \mathrm { A c t u a l ~ c h a n g e } } { x _ { \mathrm { r e f e r e n c e } } } } = { \frac { \Delta } { x _ { \mathrm { r e f e r e n c e } } } } = { \frac { x - x _ { \mathrm { r e f e r e n c e } } } { x _ { \mathrm { r e f e r e n c e } } } } .
C _ { 7 } ( \mu ) \simeq \eta ^ { \frac { 1 6 } { 2 3 } } C _ { 7 } ( M _ { W } ) + C _ { 2 } ( M _ { W } ) \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } h _ { i } \eta ^ { \alpha _ { i } } \; ,
M _ { l } ^ { \mathrm { H } } \; = \; c _ { l } ^ { ~ } \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \;
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { = \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { 4 } x ^ { 4 } - \frac { 1 } { 3 } | x | ^ { 3 } + \frac { 1 } { 6 } x ^ { 2 } , \frac { 2 } { 3 } x ^ { 2 } - | x | + \frac { 5 } { 1 2 } \right\} } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 4 } x ^ { 4 } - \frac { 1 } { 3 } | x | ^ { 3 } + \frac { 1 } { 6 } x ^ { 2 } , } & { \textrm { i f } | x | \le 1 , } \\ { \frac { 2 } { 3 } x ^ { 2 } - | x | + \frac { 5 } { 1 2 } , } & { \textrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \iota _ { 4 ; 2 , 1 } } & { = } & { Y _ { \mu _ { 1 } , \alpha } Y _ { 2 , 3 } = \bar { 2 } y \underline { { 2 \cdot 1 2 } } \bar { y } \bar { 2 } \bar { 1 } } \\ & { \stackrel { \mathrm { B R } } { = } } & { \bar { 2 } \underline { { y 1 } } 2 1 \bar { y } \bar { 2 } \bar { 1 } = \bar { 2 } \bar { 1 } y 2 1 \bar { y } \bar { 2 } \bar { 1 } } \\ & { \stackrel { \mathrm { i n v e r s e } } { = } } & { 1 2 y \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { y } 1 2 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \binom { n } { k } ( \psi ( \omega ) ) ^ { n - k } g ^ { ( k ) } ( z ) } } \\ & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \binom { n } { k } ( \psi ( \omega ) ) ^ { n - k } \mathrm e ^ { - z \psi ( \omega ) } } \\ & { } & { \quad \times \sum _ { \mu = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( k , n - 1 ) } \binom { k } { \mu } \frac { ( n - 1 ) ! } { ( n - 1 - \mu ) ! } z ^ { n - 1 - \mu } ( - \psi ( \omega ) ) ^ { k - \mu } } \\ & { = } & { \mathrm e ^ { - z \psi ( \omega ) } ( n - 1 ) ! \sum _ { \mu = 0 } ^ { n - 1 } \frac { z ^ { n - 1 - \mu } ( \psi ( \omega ) ) ^ { n - \mu } } { ( n - 1 - \mu ) ! } } \\ & { } & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \sum _ { k = \mu } ^ { n } \binom { n } { k } \binom { k } { \mu } ( - 1 ) ^ { k - \mu } . } \end{array}