harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { H [ p ] } & { = H [ p ( s _ { 0 } ) ] + \sum _ { s _ { 0 } } \sum _ { a } p ( s _ { 0 } ) \Big ( H [ p ( s _ { 1 } ^ { a } | s _ { 0 } ) ] + \sum _ { s _ { 1 } ^ { a } } \sum _ { a ^ { \prime } } p ( s _ { 1 } ^ { a } | s _ { 0 } ) \Big ( H [ p ( s _ { 2 } ^ { a ^ { \prime } } | s _ { 1 } ^ { a } ) ] + \cdots + } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \sum _ { s _ { i } ^ { a ^ { ( n - 1 ) } } } \sum _ { a ^ { ( n ) } } p \left( s _ { i } ^ { a ^ { ( n ) } } | s _ { i - 1 } ^ { a ^ { ( n - 1 ) } } \right) \Big ( H \left[ p \left( s _ { i + 1 } ^ { a ^ { ( n + 1 ) } } | s _ { i } ^ { a ^ { ( n ) } } \right) \right] + \cdots \Big ) \Big ) \Big ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { U ( \rho , \omega , z ) } & { \propto \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } A ( \rho ^ { \prime } ) e ^ { - i { \frac { 2 \pi } { \lambda z } } ( \rho \rho ^ { \prime } \cos \omega \cos \omega ^ { \prime } + \rho \rho ^ { \prime } \sin \omega \sin \omega ^ { \prime } ) } \rho ^ { \prime } d \rho ^ { \prime } d \omega ^ { \prime } } \\ & { \propto \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } A ( \rho ^ { \prime } ) e ^ { - i { \frac { 2 \pi } { \lambda z } } \rho \rho ^ { \prime } \cos ( \omega - \omega ^ { \prime } ) } \, d \omega ^ { \prime } \rho ^ { \prime } \, d \rho ^ { \prime } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { 1 } \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } & { = \eta _ { 1 } ( - x ^ { 3 } + 9 x ^ { 2 } - 2 4 x + 2 1 - y ) x \ , } \\ { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } } & { = \eta _ { 1 } ( x - 3 ) y \ , } \\ { \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } \frac { \mathrm { d } u } { \mathrm { d } t } } & { = \eta _ { 1 } ( \epsilon _ { 1 } ( p - u ) - u v ) \ , } \\ { \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } \frac { \mathrm { d } v } { \mathrm { d } t } } & { = \eta _ { 1 } ( \epsilon _ { 1 } ( x - v ) - u v ) \ . } \end{array}
v _ { i } = \frac { N _ { i } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } - N _ { i } ^ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } { N _ { i } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } + N _ { i } ^ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } \, .
\begin{array} { r } { P _ { \lambda } : = \frac { 1 } { v _ { \lambda } ( t ) } \sum _ { w \in S _ { n } } w \left( a _ { 1 } ^ { \lambda _ { 1 } } a _ { 2 } ^ { \lambda _ { 2 } } \cdots a _ { n } ^ { \lambda _ { n } } \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } \frac { a _ { i } - t a _ { j } } { a _ { i } - a _ { j } } \right) , \quad \mathrm { w h e r e ~ } v _ { \lambda } ( t ) : = \prod _ { k \geq 0 } \prod _ { i = 1 } ^ { m _ { k } ( \lambda ) } \frac { 1 - t ^ { i } } { 1 - t } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r l } { \frac { \partial s _ { 1 } } { \partial t } } & { { } = s _ { 2 } , \qquad } & { t } & { { } \in [ 0 , T ] } \\ { \frac { \partial s _ { 2 } } { \partial t } } & { { } = - \frac { b } { m } s _ { 2 } - \frac { g } { L } \sin ( s _ { 1 } ) , \qquad } & { t } & { { } \in [ 0 , T ] } \\ { s _ { 1 } ( 0 ) } & { { } = s _ { 2 } ( 0 ) = 1 } \end{array} \right. ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \gamma _ { t } } & { = - \mathrm { d i v } _ { ( z , \tilde { z } ) , \omega } ( \gamma _ { t } v _ { \gamma } ( z , \tilde { z } , \omega ) ) , } \\ { \partial _ { t } \sigma _ { t } } & { = \mathrm { d i v } _ { \theta , \alpha } ( \sigma _ { t } v _ { \sigma } ( \theta , \alpha ) ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \pmb { \theta } ^ { k + 1 } } & { { } = \pmb { \theta } ^ { k } - \eta ^ { k } \nabla _ { \pmb { \theta } } \mathcal { L } ( \pmb { \theta } ^ { k } , \mathbf { w } ^ { k } ) } \\ { \mathbf { w } ^ { k + 1 } } & { { } = \mathbf { w } ^ { k } + \rho ^ { k } \nabla _ { \mathbf { w } } \mathcal { L } ( \pmb { \theta } ^ { k } , \mathbf { w } ^ { k } ) } \end{array}
K _ { z } ( z , M ( t ) ) = K _ { z _ { b } } + \frac { ( K _ { z _ { 0 } } - K _ { z _ { b } } ) ( \arctan ( - \gamma _ { t } ( M ( t ) - z ) ) - \arctan ( - \gamma _ { t } ( M ( t ) - D _ { z } ) ) ) } { \arctan ( - \gamma _ { t } M ( t ) ) - \arctan ( - \gamma _ { t } ( M ( t ) - D _ { z } ) ) } \; ,
< p | J _ { \mu } ^ { ( S ) V } | \Sigma ^ { + } > = \overline { { \psi } } _ { p } \left[ f _ { 1 } ^ { ( S ) } ( k ^ { 2 } ) \gamma _ { \mu } + f _ { 2 } ^ { ( S ) } ( k ^ { 2 } ) \sigma _ { \mu \nu } k ^ { \nu } + f _ { 3 } ^ { ( S ) } ( k ^ { 2 } ) k _ { \mu } \right] \psi _ { \Sigma ^ { + } } ,
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \frac { \langle { u _ { \mathrm { { B } } i } ^ { \prime } ( { \bf { k } } , { \bf { X } } ; \tau , T ) u _ { \mathrm { { B } } j } ^ { \prime } ( { \bf { k } } ^ { \prime } , { \bf { X } } ; \tau ^ { \prime } , T ) } \rangle } { \delta ( { \bf { k } } + { \bf { k } } ^ { \prime } ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathcal Q _ { \gamma _ { 1 } } ( h _ { 1 } ) } & { - \mathcal Q _ { \gamma _ { 2 } } ( h _ { 2 } ) \| _ { \mathcal B _ { 0 } ( \Omega ) } } \\ & { \leq C \| ( h _ { 1 } , h _ { 2 } ) \| _ { \mathcal B _ { 2 } ( \Omega ) } \Big ( \| \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 2 } \| _ { C ^ { 2 , \alpha } ( \Omega ) } \| ( h _ { 1 } , h _ { 2 } ) \| _ { \mathcal B _ { 2 } ( \Omega ) } + \| h _ { 1 } - h _ { 2 } \| _ { \mathcal B _ { 2 } ( \Omega ) } \Big ) . } \end{array}
6 4 = 6 4 , \quad 2 0 8 0 = 7 8 \, \, ( \tilde { J } _ { 2 } ) \oplus 2 8 6 \, \, ( \tilde { J } _ { 3 } ) \oplus 1 7 1 6 \, \, ( \tilde { J } _ { 6 } )
\begin{array} { r l r } { U _ { 0 } } & { { } \equiv } & { \int _ { \omega - \omega _ { M } } ^ { \omega - \omega _ { L } } d \omega _ { s } V ( \omega _ { s } ) \simeq \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega _ { s } V ( \omega _ { s } ) \rightarrow 0 , } \\ { U _ { 1 } } & { { } \equiv } & { \int _ { \omega - \omega _ { M } } ^ { \omega - \omega _ { L } } d \omega _ { s } \omega _ { s } V ( \omega _ { s } ) \simeq \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega _ { s } \omega _ { s } V ( \omega _ { s } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { W ( R , P ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int \psi _ { 0 } ^ { * } \left( R + \frac { R ^ { \prime } } { 2 } \right) \, \psi _ { 0 } \left( R - \frac { R ^ { \prime } } { 2 } \right) \, e ^ { \mathrm { i P R ^ { \prime } } } \, \mathrm { d } R ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Big ( - ( 1 + \phi ^ { \prime \prime } ) | u | ^ { 2 } - \phi ^ { \prime } \left( u _ { \tau } u ^ { * } + u _ { \tau } ^ { * } u \right) + \mathrm { R e } ( u ) u _ { \mathrm { i n } } \Big ) d \tau = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E d _ { \mathrm { B L } } ( \mu _ { \mathcal { Y } } , \nu ) } & { = \mathbb E \operatorname* { s u p } _ { \| f \| _ { \mathrm { L i p } } \leq 1 } \left| \int f \mathrm { d } \mu _ { \mathcal { Y } } - \int f \mathrm { d } \nu \right| } \\ & { = \mathbb E \operatorname* { s u p } _ { \| f \| _ { \mathrm { L i p } } \leq 1 } \left| \sum _ { i = 1 } ^ { m } f ( y _ { i } ) \left( \frac { n _ { i } } { n } + \frac { \lambda _ { i } } { n } - \frac { n _ { i } } { n } \right) \right| = \frac { m } { \varepsilon n } \widetilde L _ { m } ( \mathcal F ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { \hat { E } } \left[ \varphi \left( z + ( s / n ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } S _ { n } ^ { 3 } \right) \right] } \\ & { \leq \mathbb { \hat { E } } \left[ \varphi \left( z + ( s / n ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } S _ { n - 1 } ^ { 3 } \right) \right] + \frac { s } { n } \epsilon ( z ) + \frac { s } { n } l \left( \frac { s } { n } \right) + C M _ { z } s ^ { 1 + \frac { 1 } { \alpha } } \frac { 1 } { n } \left( \frac { n - 1 } { n } \right) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { 2 } ( B _ { 1 } ^ { \prime } + B _ { 2 } ^ { \prime } t - s ) ^ { 2 } } & { = B _ { 2 } ^ { \prime } ( B _ { 1 } + B _ { 2 } s - t ) ^ { 2 } , \quad \mathrm { ~ o r ~ e q u i v a l e n t l y } } \\ { B _ { 2 } ( B _ { 1 } ^ { 2 } + B _ { 2 } ^ { 2 } t ^ { 2 } + s ^ { 2 } + 2 B _ { 1 } ^ { \prime } B _ { 2 } ^ { \prime } t - 2 B _ { 1 } ^ { \prime } s - 2 B _ { 2 } ^ { \prime } s t ) } & { = B _ { 2 } ^ { \prime } ( B _ { 1 } ^ { 2 } + B _ { 2 } ^ { 2 } s ^ { 2 } + t ^ { 2 } + 2 B _ { 1 } B _ { 2 } s - 2 B _ { 1 } t - 2 B _ { 2 } s t ) . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { E _ { n } ^ { ( 1 ) } = \hbar g \omega \left( 2 n + \frac { 9 } { 2 } \right) \ \ \ } } & { { , } } & { { \ \ \ d _ { n } ^ { ( 1 ) } = \frac { 1 } { 1 2 0 } ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) ( n + 5 ) \ \ \ , } } \\ { { E _ { n } ^ { ( 2 ) } = \hbar g \omega \left( 2 n + \frac { 1 5 } { 2 } \right) \ \ \ } } & { { , } } & { { \ \ \ d _ { n } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { 1 2 0 } ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) ( n + 5 ) \ \ \ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \star { \star \mu } } } & { { } = \pm ( - 1 ) ^ { q ( d + 1 - q ) } \mu , } \\ { \iota _ { \partial } { \star \mu } } & { { } = ( - 1 ) ^ { q } \, { \star \mathrm { d } \mu } , } \\ { \iota _ { \partial } \mathrm { d } \mu } & { { } = \partial ^ { 2 } \mu - \mathrm { d } \iota _ { \partial } \mu , } \\ { \mathrm { d } { \star \mu } } & { { } = ( - 1 ) ^ { q + 1 } { \star { \iota _ { \partial } \mu } } , } \\ { \iota _ { X } { \star \mu } } & { { } = ( - 1 ) ^ { q } \, { \star ( X \wedge \mu ) } , } \\ { { \star ( \mu \wedge \nu ) } } & { { } = \nu \cdot { \star \mu } , } \\ { { \star ( \nu \wedge \star \mu ) } } & { { } = \pm ( - 1 ) ^ { ( q - r ) ( d + 1 - q ) } \nu \cdot \mu . } \end{array}
\begin{array} { r } { K _ { \mathrm { v } } ^ { R _ { \mathrm { v } } } ( r ^ { 2 } , r ^ { 2 } ) : = \int _ { 0 } ^ { r ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { r ^ { 2 } } k _ { \mathrm { v } } ^ { 0 , R _ { \mathrm { v } } } ( s , s ^ { \prime } ) d s d s ^ { \prime } = K _ { \mathrm { v } } \Big ( \operatorname* { m i n } \big ( r ^ { 2 } , R _ { \mathrm { v } } ^ { 2 } \big ) , \operatorname* { m i n } \big ( r ^ { 2 } , R _ { \mathrm { v } } ^ { 2 } \big ) \Big ) } \end{array}
J = \frac { 1 } { 3 L _ { z } } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } { \int _ { z } \frac { \iint _ { x , y } { \left| \tilde { u } _ { i } - u _ { i } \right| } ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \mathrm { d } y } { \iint _ { x , y } u _ { i } ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \mathrm { d } y } \mathrm { d } z } .
\begin{array} { r } { \partial _ { t } q ^ { * } = \tilde { A } \, \left[ - ( { B ^ { i } } ) ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \partial _ { x _ { i } } q ^ { * } - \partial _ { x _ { i } } ( { C ^ { i } } ) ^ { \mathrm { ~ T ~ } } q ^ { * } + \tilde { C } ^ { i } \partial _ { x _ { i } } c - g \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { r _ { \pm } } & { = } & { \frac { 1 } { v _ { c m } ^ { 2 } } \left( v _ { 1 } \cos \alpha - v _ { 1 } ^ { ' } \right) C \pm \frac { v _ { 1 } \sin \alpha } { v _ { c m } ^ { 2 } \sqrt { 2 m _ { 3 } E _ { 3 } ^ { * } } } \sqrt { 4 E _ { 3 } E _ { 3 } ^ { * } - \left( E _ { 3 } ^ { * } + E _ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } m _ { 3 } v _ { c m } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\frac { 1 } { G } = \frac { 2 ^ { [ \frac { D + 1 } { 2 } ] } N } { ( 4 \pi ) ^ { D / 2 } } \int _ { 1 / \Lambda ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { d s } { s ^ { D / 2 - [ ( D - 1 ) / 2 ] } } e ^ { - s \rho ^ { 2 } } \prod _ { k = 1 } ^ { [ ( D - 1 ) / 2 ] } e H _ { k } \coth ( e H _ { k } s ) ~ .
V = e ^ { f ( \eta ) + g ( y ) } \left[ \left( \frac { f ^ { \prime 2 } } { f ^ { \prime \prime } } - 3 \right) | W | ^ { 2 } - \frac { 1 } { f ^ { \prime } } | W _ { i } | ^ { 2 } + g _ { a } ( g ^ { - 1 } ) _ { b } ^ { a } g ^ { b } | W | ^ { 2 } \right] .
H _ { 0 } t ( \tau ) = \mathrm { a r c c o s h } \sqrt { \frac { l ^ { 2 } + [ H _ { 0 } ^ { 2 } ( k ^ { 2 } + l ^ { 2 } ) \tau + | k | ] ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + l ^ { 2 } } } ,
{ { f } _ { t } } ^ { \mathrm { ~ S ~ - ~ B ~ G ~ K ~ } } = { { f } _ { M } } \left[ 1 + ( 1 - P r ) \frac { { { C } _ { i } } { { q } _ { i } } } { 5 P R T } \left( \frac { { { C } ^ { 2 } } } { 2 R T } - \frac { 5 } { 2 } \right) \right] ,
H ( i ( z _ { 1 2 } ) ) = \left( \frac { \operatorname * { d e t } L _ { 1 } } { \operatorname * { d e t } L _ { 2 } } \right) ^ { \frac { \eta _ { 1 } - \eta _ { 2 } } { 4 } } L _ { 2 } H ( i ( z _ { 1 2 } ^ { \prime } ) ) L _ { 2 } ^ { - 1 }
( f _ { \lambda } , f _ { \lambda ^ { \prime } } ) = \Omega _ { N - 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { \lambda } ^ { * } f _ { \lambda ^ { \prime } } ( \sinh \sigma ) ^ { N - 1 } d \sigma = \Omega _ { N - 1 } \int _ { 1 } ^ { \infty } v _ { \lambda } ^ { * } v _ { \lambda ^ { \prime } } d x \: , \nonumber
\begin{array} { r l } & { \Sigma _ { e } ( E + i \, 0 ^ { + } ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { i } { 2 v w \, \sin { k } } \frac { 1 } { f _ { k } } g _ { L } ^ { 2 } v ^ { 2 } \big ( 1 - e ^ { i 2 k } \big ) + \frac { g _ { L } ^ { 2 } } { f _ { k } } , ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ f o r ~ } v > w , } \\ { \frac { i } { 2 v w \, \sin { k } } \frac { 1 } { f _ { k } } g _ { L } ^ { 2 } v ^ { 2 } \big ( 1 - e ^ { i 2 k } \big ) + \frac { v ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } \frac { g _ { L } ^ { 2 } } { f _ { k } } , ~ \mathrm { ~ f o r ~ } v < w . } \end{array} \right. } \end{array}
\psi ( \mathbf { r } , t ) = \big \{ \phi ( \mathbf { r } ) + \nu \lbrack F ( \mathbf { r } ) e ^ { - i \varepsilon t } + G ^ { \ast } ( \mathbf { r } ) e ^ { i \varepsilon ^ { \ast } t } ] \big \} e ^ { - i \mu t } ,
\begin{array} { r l r } { \phi _ { \lambda } ^ { 1 ; \kappa } ( q _ { \kappa } ^ { 1 } , t ) } & { = } & { \phi _ { \lambda } ^ { 2 ; \kappa } ( Q _ { 1 } ^ { 2 ; \kappa } , \ldots , Q _ { d _ { \kappa } } ^ { 2 ; \kappa } , t ) } \\ & { = } & { \sum _ { j _ { 1 } } ^ { n _ { \kappa , 1 } } \ldots \sum _ { j _ { d _ { \kappa } } } ^ { n _ { \kappa , d _ { \kappa } } } A _ { \lambda ; j _ { 1 } \ldots j _ { d _ { \kappa } } } ^ { 2 ; \kappa } ( t ) \, \phi _ { j _ { 1 } } ^ { 2 ; \kappa ; 1 } ( Q _ { 1 } ^ { 2 ; \kappa } , t ) \ldots \phi _ { j _ { d _ { \kappa } } } ^ { 2 ; \kappa ; d _ { \kappa } } ( Q _ { d _ { \kappa } } ^ { 2 ; \kappa } , t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { X _ { k } } \\ { - Y _ { k } } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { X _ { k } } \\ { 0 } \\ { - Z _ { k } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| L | _ { \mathcal { F } _ { e } } \| } & { = \operatorname* { s u p } _ { \| g \| = 1 } \left\| \frac { \mathrm { d } g } { \mathrm { d } t } \right\| = \operatorname* { s u p } _ { \| g \| = 1 } \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left| \frac { \mathrm { d } g ( t ) } { \mathrm { d } t } e ^ { - \alpha t } \right| ^ { 2 } \mathrm { d } t \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \| g \| = 1 } \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left| \int _ { - c } ^ { c } ( \alpha + i \omega ) h ( \omega ) e ^ { i \omega t } \mathrm { d } \omega \right| ^ { 2 } \mathrm { d } t \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\langle x , p | \left( { \hat { x } } - x \right) ^ { 2 } | x , p \rangle = \left( \Delta x \right) ^ { 2 } \qquad \qquad \langle x , p | \left( { \hat { p } } - p \right) ^ { 2 } | x , p \rangle = \left( \Delta p \right) ^ { 2 } ~ .
\begin{array} { r } { { q _ { 2 } } = \left[ \begin{array} { l } { \left( { { D _ { 2 1 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 1 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 1 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } } \right) } \\ { + \left( { { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 1 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 1 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 1 } } } \right) } \\ { - \left( { { D _ { 2 1 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 1 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 1 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } } \right) } \\ { - \left( { { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 1 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 1 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 1 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } } \right) } \end{array} \right] { D _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { 2 \nu } ( r , z ) = \rho _ { S } V _ { S P } ^ { 0 } \pi \left( \frac { 1 } { R _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { 2 } - r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } - ( R _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } + T ) ^ { 2 } } \right) } \\ { \bigg \lvert \frac { 3 \left( ( R _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } - r ) ^ { 2 } + ( H - z ) ^ { 2 } \right) ( z - H ) - ( z - H ) ^ { 3 } } { 3 \left( ( R _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } - r ) ^ { 2 } + ( H - z ) ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } } \\ { + \frac { z ^ { 3 } - 3 z \left( ( R _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } - r ) ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) } { 3 \left( ( R _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } - r ) ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } \bigg \rvert , } \end{array}
\frac { \gamma _ { n } ^ { \prime } ( K ( p _ { n } ) / r _ { n } ) } { | \gamma _ { n } ^ { \prime } ( K ( p _ { n } ) / r _ { n } ) | } = e ^ { i ( \pi + \arctan \left( \frac { \mathrm { I m } ( \gamma _ { n } ^ { \prime } ( K ( p _ { n } ) / r _ { n } ) ) } { \mathrm { R e } ( \gamma _ { n } ^ { \prime } ( K ( p _ { n } ) / r _ { n } ) ) } \right) ) } ,
C _ { k } ( \lambda M ) = \frac 1 { \lambda ^ { k - 1 } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } ( \Delta { q _ { m } } ) ^ { k } \sum _ { l _ { m } = 1 } ^ { \lambda } \frac 1 { \lambda } \left[ \Phi ( q ^ { ( 1 ) } ( m , l _ { m } ) , . . . , q ^ { ( N ) } ( m , l _ { m } ) ) \right] ^ { k } .
\begin{array} { r l } { \frac { \textrm { d } F ( \lambda ) } { \textrm { d } \lambda } } & { = \sum _ { \sigma \alpha } \mathbb { E } \left[ \frac { \partial H _ { J } ( \sigma , \alpha ; \lambda ) } { \partial \lambda } \frac { w ( \sigma , \alpha ) \exp { \big [ - \beta H _ { J } ( \sigma , \alpha ; \lambda ) \big ] } } { \sum _ { \rho \gamma } w ( \rho , \gamma ) \exp { \big [ - \beta H _ { J } ( \rho , \gamma ; \lambda ) \big ] } } \right] } \\ & { = \sum _ { \sigma \alpha } \sum _ { \sigma ^ { \prime } \alpha ^ { \prime } } \mathbb { E } \left[ \frac { \partial H _ { J } ( \sigma , \alpha ; \lambda ) } { \partial \lambda } H _ { J } ( \sigma ^ { \prime } , \alpha ^ { \prime } ; \lambda ) \right] } \\ & { \qquad \qquad \qquad \cdot \mathbb { E } \left[ \frac { \partial } { \partial H _ { J } ( \sigma ^ { \prime } , \alpha ^ { \prime } ; \lambda ) } \frac { w ( \sigma , \alpha ) \exp { \big [ - \beta H _ { J } ( \sigma , \alpha ; \lambda ) \big ] } } { \sum _ { \rho \gamma } w ( \rho , \gamma ) \exp { \big [ - \beta H _ { J } ( \rho , \gamma ; \lambda ) \big ] } } \right] } \\ & { = - \beta \sum _ { \sigma \alpha } \sum _ { \sigma ^ { \prime } \alpha ^ { \prime } } \mathbb { E } \left[ \frac { \partial H _ { J } ( \sigma , \alpha ; \lambda ) } { \partial \lambda } H _ { J } ( \sigma ^ { \prime } , \alpha ^ { \prime } ; \lambda ) \right] } \\ & { \qquad \qquad \qquad \cdot \mathbb { E } \left[ \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \delta _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } \frac { w ( \sigma , \alpha ) \exp { \big [ - \beta H _ { J } ( \sigma , \alpha ; \lambda ) \big ] } } { \sum _ { \rho \gamma } w ( \rho , \gamma ) \exp { \big [ - \beta H _ { J } ( \rho , \gamma ; \lambda ) \big ] } } \right. } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left. - \frac { w ( \sigma , \alpha ) w ( \sigma ^ { \prime } , \alpha ^ { \prime } ) \exp { \big [ - \beta H _ { J } ( \sigma , \alpha ; \lambda ) - \beta H _ { J } ( \sigma ^ { \prime } , \alpha ^ { \prime } ; \lambda ) \big ] } } { \big ( \sum _ { \rho \gamma } w ( \rho , \gamma ) \exp { \big [ - \beta H _ { J } ( \rho , \gamma ; \lambda ) \big ] } \big ) ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { M } \Bigl ( \mathbf { u } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } - \mathbf { u } ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } \Bigr ) } & { { } = \frac { h } { 2 } \, \mathbf { F } ( \mathbf { x } ^ { n } ) \Bigl ( \mathbf { u } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } + \mathbf { u } ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } \Bigr ) } \\ { \mathbf { x } ^ { n + 1 } } & { { } = \mathbf { x } ^ { n } + h \mathbf { u } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { P r } [ W _ { t + 1 } = a \, | \, W _ { t } = s ] \quad = \quad \left\{ \begin{array} { l l } { p _ { s , 0 } } & { \mathrm { i f ~ } a = s } \\ { p _ { s , - 1 } } & { \mathrm { i f ~ } a = s - 1 } \\ { p _ { s , + 1 } } & { \mathrm { i f ~ } a = s + 1 } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right. } \end{array}
T = A \omega + \Big ( \frac { C _ { 1 } } { 2 } \gamma _ { 1 } + \frac { C _ { 2 } } { 2 } \gamma _ { 2 } + \frac { C _ { 3 } } { 2 } \gamma _ { 3 } + \frac { C _ { 4 } } { 2 } \gamma _ { 4 } \Big ) t + \Big ( D _ { 1 } \delta _ { 1 } + \frac { D _ { 2 } } { 2 } \delta _ { 2 } + D _ { 3 } \delta _ { 3 } + \frac { D _ { 4 } } { 2 } \delta _ { 4 } \Big ) u
\begin{array} { r } { R _ { n } ^ { V } = - ( 1 - \epsilon ) P _ { L } \sum _ { p = 1 } ^ { P } \widetilde { V } _ { n , p } \left( \sum _ { m = 1 } ^ { M } \widetilde { \rho } _ { m } \frac { \partial \overline { { c } } _ { n , p , m } } { \partial t } \right) } \end{array}
M _ { Y , T } ^ { X | K } ( f ) = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { U _ { Y } } \frac { 1 } { K _ { X } } \mathcal { I } _ { Y } ( t - , u ) f _ { t , u } ^ { X } \widetilde { Q } _ { Y } ( d t , d u ) .
w ^ { ( a ) } = w _ { \mathrm { f l a t } } ^ { ( a ) } \equiv - \sum _ { A } \left( \frac { 1 } { 2 r _ { A } } \epsilon ^ { a b c } d r _ { A } ^ { b } \wedge d r _ { A } ^ { c } + d r _ { A } ^ { a } \wedge ( d \psi _ { A } + \cos \theta _ { A } d \phi _ { A } ) \right) ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \Big ( \bigcup _ { R ^ { \prime } } \left( N \cdot D _ { N } ^ { * } \left( Y _ { 1 } , Y _ { 2 } , \ldots , Y _ { N } ; R ^ { \prime } \right) > \lambda \right) \Big ) } \\ & { \leq ( 2 e ) ^ { d } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi d } } \cdot ( N + 1 ) ^ { d } \cdot \exp ( - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 \Sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { 2 \lambda } { 3 } } ) , } \end{array}