harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathcal { C } _ { \Omega } ^ { I _ { { \boldsymbol { \kappa } } - 1 } ^ { \mathrm { o r } } } ( p ) = - \sum _ { i \notin I _ { { \boldsymbol { \kappa } } - 1 } } \sum _ { m _ { i } \ge 0 } \mathcal { C } _ { c _ { i } \langle \mathsf { D } _ { i } , f \rangle } ^ { ( I ^ { \mathrm { o r } } , i ) } ( \{ p + \mathbb { R } _ { \ge 0 } f \} \cap \pi _ { m _ { i } } ^ { i } ) .
\begin{array} { r l } & { ~ \frac { \hat { \rho } D ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \hat { \rho } } { 2 } \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } ^ { 2 } M ^ { 2 } + \frac { \hat { \rho } } { 2 } \operatorname* { m a x } \left\{ \sqrt { 1 2 \ln ( 8 / \delta ) } , \frac { 4 } { 3 } \ln ( 8 / \delta ) \right\} \sqrt { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } ^ { 4 } M ^ { 4 } } } \\ & { + \sqrt { 3 \ln ( 4 / \delta ) } \sqrt { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } 4 \eta _ { t } ^ { 2 } \hat { \rho } ^ { 2 } M ^ { 2 } D ^ { 2 } } } \\ { = } & { ~ \frac { \hat { \rho } D ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \hat { \rho } } { 2 } D ^ { 2 } \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \frac { 1 } { t + 1 } + \frac { \hat { \rho } } { 2 } \operatorname* { m a x } \left\{ \sqrt { 1 2 \ln ( 8 / \delta ) } , \frac { 4 } { 3 } \ln ( 8 / \delta ) \right\} D ^ { 2 } \sqrt { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \frac { 1 } { ( t + 1 ) ^ { 2 } } } } \\ & { + 2 \sqrt { 3 \ln ( 4 / \delta ) } \hat { \rho } D ^ { 2 } \sqrt { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \frac { 1 } { t + 1 } } } \\ { \leq } & { ~ \hat { \rho } D ^ { 2 } + \frac { \hat { \rho } \pi } { 2 \sqrt { 6 } } \operatorname* { m a x } \left\{ \sqrt { 1 2 \ln ( 8 / \delta ) } , \frac { 4 } { 3 } \ln ( 8 / \delta ) \right\} D ^ { 2 } + 2 \sqrt { 3 \ln ( 4 / \delta ) } \hat { \rho } D ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left\{ P _ { j } ^ { \mathrm { i n } } \left( f _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ( P _ { k } ^ { \mathrm { i n } } , P _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } , W _ { p } ^ { \mathrm { i n } } , \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } , \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } ) - \overline { { \alpha } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } P _ { k } ^ { \mathrm { i n } } \right) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ^ { \ast } } & { = A ^ { \ast } \omega ^ { \ast } + C _ { 1 } ^ { \ast } ( \gamma _ { 1 } t ) ^ { \ast } + C _ { 2 } ^ { \ast } ( \gamma _ { 2 } t ) ^ { \ast } + C _ { 3 } ^ { \ast } ( \gamma _ { 3 } t ) ^ { \ast } + C _ { 4 } ^ { \ast } ( \gamma _ { 4 } t ) ^ { \ast } + D _ { 1 } ^ { \ast } ( \delta _ { 1 } u ) ^ { \ast } + D _ { 2 } ^ { \ast } ( \delta _ { 2 } u ) ^ { \ast } + D _ { 3 } ^ { \ast } ( \delta _ { 3 } u ) ^ { \ast } + D _ { 4 } ^ { \ast } ( \delta _ { 4 } u ) ^ { \ast } } \\ & { = - A ^ { \ast } \omega - C _ { 1 } ^ { \ast } \gamma _ { 1 } t + C _ { 2 } ^ { \ast } \gamma _ { 2 } t + C _ { 3 } ^ { \ast } \gamma _ { 3 } t - C _ { 4 } ^ { \ast } \gamma _ { 4 } t - D _ { 1 } ^ { \ast } \delta _ { 1 } u + D _ { 2 } ^ { \ast } \delta _ { 2 } u + D _ { 3 } ^ { \ast } \delta _ { 3 } u - D _ { 4 } ^ { \ast } \delta _ { 4 } u } \end{array}
n _ { E 1 } ( \omega ) = \frac { 2 } { \pi } Z ^ { 2 } \alpha \left[ \xi K _ { 0 } ( \xi ) K _ { 1 } ( \xi ) - \frac { \xi ^ { 2 } } { 2 } \left( K _ { 1 } ^ { 2 } ( \xi ) - K _ { 0 } ^ { 2 } ( \xi ) \right) \right] ,
K _ { 3 / 2 } ( \pi n _ { 1 } | \vec { N } | ( 1 + T ) ) = \frac { 1 + \pi n _ { 1 } | \vec { N } | ( 1 + T ) } { \pi n _ { 1 } | \vec { N } | ( 1 + T ) } \, ( 2 \pi n _ { 1 } | \vec { N } | ( 1 + T ) ) ) ^ { \frac { - 1 } { 2 } } \, e ^ { - \pi n _ { 1 } | \vec { N } | ( 1 + T ) } . \, [ 5 p t ]
\begin{array} { r l } { l _ { k + } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname { a r c c o s } \frac { \sqrt { 1 + \sin ^ { - 2 } A } } { 2 } + 2 \pi k , \quad } & { \sin ^ { 2 } A \geq \cos A \geq 0 , } \\ { \operatorname { a r c c o s } \frac { 1 + \cos A } { 2 } + 2 \pi k , \quad } & { \mathrm { и н а ч е } , } \end{array} \right. } \\ { r _ { k + } } & { = \operatorname { a r c c o s } \frac { 1 - \cos A } { 2 } + 2 \pi k , } \\ { l _ { k - } } & { = \operatorname { a r c c o s } \frac { - 1 + \cos A } { 2 } + 2 \pi k , } \\ { r _ { k - } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname { a r c c o s } - \frac { \sqrt { 1 + \sin ^ { - 2 } A } } { 2 } + 2 \pi k , \quad } & { - \sin ^ { 2 } A \leq \cos A \leq 0 , } \\ { \operatorname { a r c c o s } - \frac { 1 + \cos A } { 2 } + 2 \pi k , \quad } & { \mathrm { и н а ч е } , } \end{array} \right. } \end{array}
a ( x ) \equiv 2 \sqrt { 2 } G _ { \mathrm { F } } n _ { \mathrm { e } } ( x ) E = 7 . 5 6 \times 1 0 ^ { - 5 } \mathrm { e V ^ { 2 } } \frac { \rho ( x ) } { \rho ( x ) } { g ~ c m ^ { - 3 } } \frac { E } { E } { G e V } ,
\begin{array} { r l } & { \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { a _ { i } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } y _ { i } a _ { i } \left( \mathbf { x } _ { i } ^ { T } \mathbf { x } _ { j } \right) y _ { j } a _ { j } } \\ & { \mathrm { ~ s . t . ~ } \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } y _ { i } = 0 , \mathrm { ~ a n d ~ } 0 \leq a _ { i } \leq \frac { 1 } { 2 n C } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } i , } \end{array}
A ^ { \varepsilon } = \frac { 1 } { \varepsilon } \left( ( I + \varepsilon \nabla u _ { \varepsilon } ) ( I - \varepsilon \nabla v _ { \varepsilon } + \varepsilon Z _ { \varepsilon } ) - I \right) = \nabla u _ { \varepsilon } - \nabla v _ { \varepsilon } + Z _ { \varepsilon } - \varepsilon ( \nabla u _ { \varepsilon } \nabla v _ { \varepsilon } - \nabla u _ { \varepsilon } Z _ { \varepsilon } ) .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } \quad \tilde { f } _ { 0 } ( \textbf { x } ) = \tilde { \beta } _ { 1 0 } ^ { 2 } x _ { 1 } x _ { 2 } + \tilde { \beta } _ { 2 0 } ^ { 2 } x _ { 2 } x _ { 3 } + \tilde { \beta } _ { 3 0 } ^ { 2 } x _ { 1 } x _ { 3 } } \\ & { \mathrm { s . t . } } \\ & { \qquad \tilde { f } _ { 1 } ( \textbf { x } ) = \frac { \tilde { \beta } _ { 1 1 } ^ { 2 } } { x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } } \leq 1 , } \\ & { \qquad x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { q } + \rho _ { 0 } u ^ { \prime } = 0 , \quad \dot { u } = - \frac { p ^ { \prime } } { \rho } - \frac { H _ { 0 } } { 4 \pi \rho _ { 0 } } h ^ { \prime } + \frac { H _ { 0 } } { 4 \pi c \rho _ { 0 } } \dot { E } , } \\ { \dot { h } = - H _ { y 0 } u ^ { \prime } + \nu _ { m } ( h ^ { \prime \prime } - \frac { \ddot { h } } { c ^ { 2 } } ) . } \end{array}
M _ { 3 , x x y } ^ { \sigma , E S } = \sum _ { i } f _ { i } ^ { \sigma , E S } v _ { i x } ^ { 2 } v _ { i y } = \rho ^ { \sigma } [ 2 \lambda _ { x y } u _ { x } + u _ { y } ( \lambda _ { x x } + u _ { x } ^ { 2 } ) ] ,
\begin{array} { r l r } { \left( d \alpha _ { A , s } \right) \left( \xi _ { 1 } , . . . , \xi _ { k } \right) } & { = } & { \alpha _ { A , s } ^ { \left( 1 \right) } \left( \xi _ { 1 } , . . . , \xi _ { k } , \theta _ { s } \right) } \\ & { } & { + \alpha _ { A , s } ^ { \left( 2 \right) } \left( \xi _ { 1 } , . . . , \xi _ { k } , \theta _ { A s } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { - [ 1 - \cos ( 2 \pi w ) ] \langle R \rangle _ { t } ^ { 2 } = v _ { 0 } \langle R \rangle _ { t } ^ { 2 } \frac { 1 - \tilde { \beta } - \cos ( 2 \pi w ) } { \sqrt { 2 ( 1 - \tilde { \beta } ) \langle R \rangle _ { t } ^ { 2 } [ 1 - \cos ( 2 \pi w ) ] + \tilde { \beta } ^ { 2 } \langle R \rangle _ { t } ^ { 2 } } } \Longrightarrow } \\ & { } & { \sqrt { 1 - \tilde { \beta } + \frac { \tilde { \beta } ^ { 2 } \langle R \rangle _ { t } ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } } = \frac { \tilde { \beta } } { 1 - \cos ( 2 \pi w ) } - 1 = \frac { 2 \tilde { \beta } \langle R \rangle _ { t } ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } - 1 , } \end{array}
K = \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } H _ { 0 } ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } c ^ { 2 } a _ { 1 } \eta _ { 1 } a _ { 2 } \eta _ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 \nu \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { 2 \pi \nu } - 1 } \right) \cos \left( \nu \ln \frac { \eta _ { 2 } } { \eta _ { 1 } } \right) \mathrm { d } \nu \, .
\mathbf { W } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) = ( { } _ { 1 } \mathbf { \Gamma } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) ) ^ { - 1 } { } _ { 1 } \mathbf { \Gamma } _ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) \frac { J _ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) \textup { d e t } ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) ) } { J _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } \mathbf { W } _ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) + ( { } _ { 1 } \mathbf { \Gamma } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) ) ^ { - 1 } \mathbf { B } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) .
{ \mathcal { M } } _ { n } = \left[ { \begin{array} { c c c c } { \mathbf { f } _ { \mathbf { x } } ( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } ) } & { \mathbf { G G } ^ { \intercal } } & { \mathbf { f } _ { t } ( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } ) } & { \mathbf { f } ( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } ) } \\ { \mathbf { 0 } } & { - \mathbf { f } _ { \mathbf { x } } ^ { \intercal } ( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } ) } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { 0 } & { 1 } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right] \in \mathbb { R } ^ { ( 2 d + 2 ) \times ( 2 d + 2 ) } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \int _ { \mathbb R _ { + } } ( y - m _ { g } ) ^ { 2 } g ( y , t ) d y = \int _ { \mathbb R _ { + } } ( y - m _ { g } ) R _ { 0 } ^ { \nu } ( g ) d x + } \\ & { \qquad \int _ { \mathbb R _ { + } ^ { 2 } } \frac { 1 + x } { \epsilon } \left\langle ( y ^ { \prime } - m _ { g } ) ^ { 2 } - ( y - m _ { g } ) ^ { 2 } \right\rangle f ( x , t ) g ( y , t ) d x \, d y = } \\ & { ( \tilde { \sigma } + 2 \gamma ( m _ { f } - \mu ) ) v _ { g } + \tilde { \sigma } m _ { f } m _ { g } ^ { 2 } + \epsilon \gamma ^ { 2 } \int _ { \mathbb R _ { + } } \frac { ( x - \mu ) ^ { 2 } y ^ { 2 } } { 1 + x } f ( x , t ) g ( y , t ) d x \, d y . } \end{array}
\sigma _ { t \bar { t } } \sim { v } \sum _ { k , i } \left( \frac { \alpha _ { s } } { v } \right) ^ { k } ( \alpha _ { s } \ln { v } ) ^ { i } \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { \mathrm { ( L L ) } } } \\ { { \alpha _ { s } , v } } & { { \mathrm { ( N L L ) } } } \\ { { \alpha _ { s } ^ { 2 } , \alpha _ { s } { v } , v ^ { 2 } } } & { { \mathrm { ( N N L L ) } } } \end{array} \right. .
\overline { { { \vert M \vert ^ { 2 } } } } ( \theta _ { l } ) = { \frac { 4 e ^ { 2 } \sqrt { \pi } } { M ^ { 2 } } } \sum _ { l = 0 } ^ { 2 } D _ { l } Y _ { l 0 } ( \theta _ { l } ) ,
\begin{array} { r l } { f _ { ! } ( \Lambda ( \mathtt { 1 } ) ) } & { = ( \Lambda \stackrel { 1 } { \to } \Lambda \leftarrow 0 \to 0 ) , \qquad f _ { ! } ( \Lambda ( \mathtt { 2 } ) ) = ( 0 \to \Lambda \leftarrow 0 \to 0 ) , } \\ { f _ { ! } ( \Lambda ( \mathtt { 3 } ) ) } & { = ( 0 \to \Lambda \stackrel { 1 } { \leftarrow } \Lambda \stackrel { 1 } { \to } \Lambda ) , \qquad f _ { ! } ( \Lambda ( \mathtt { 4 } ) ) = ( 0 \to 0 \leftarrow 0 \to \Lambda ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { G ( \psi ) = \frac 1 2 G _ { \ell } ( 1 + \psi _ { \ell } ) + \frac 1 2 G _ { s } ( 1 + \psi _ { s } ) + \frac 1 2 G _ { a } ( 1 + \psi _ { a } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w _ { i \rightarrow \alpha } } & { { } = } & { p _ { N } \left[ 1 - \prod _ { \beta \in N ( i ) \setminus \alpha } ( 1 - v _ { \beta \rightarrow i } ) \right] , } \\ { v _ { \alpha \rightarrow i } } & { { } = } & { p _ { H } ^ { [ m _ { \alpha } ] } \left[ 1 - \prod _ { j \in N ( \alpha ) \setminus i } ( 1 - w _ { j \rightarrow \alpha } ) \right] . } \end{array}
\psi _ { k } ( x ) = e ^ { i k x } \left( \begin{array} { l } { { e ^ { i ( \tilde { \delta } _ { \ell } + \delta _ { \ell } ) } } } \\ { { i e ^ { i ( \tilde { \delta } _ { \ell } + \delta _ { \ell } + \theta ) } } } \end{array} \right) .
x ^ { \prime } + r ^ { \prime } = { \sqrt { \frac { 1 + \lambda ^ { 2 } } { 1 - \lambda ^ { 2 } } } } ( x + r ) , \quad { \frac { x ^ { \prime } - r ^ { \prime } } { x ^ { \prime } + r ^ { \prime } } } = { \frac { 1 - \lambda } { 1 + \lambda } } \cdot { \frac { x - r } { x + r } } ,
I = \int d \mu { \cal L } = \int d ^ { 4 } x \widetilde { D } _ { k _ { 1 } l _ { 1 } , \ldots k _ { q } l _ { q } } ^ { i _ { 1 } j _ { 1 } , \ldots , i _ { p } j _ { p } } L _ { i _ { 1 } j _ { 1 } , \ldots , i _ { p } j _ { p } } ^ { k _ { 1 } l _ { 1 } , \ldots , k _ { q } l _ { q } }
\left\langle \tilde { \mathcal { L } } \mathbf { O } \right\rangle = \left\langle \left[ A _ { n } ^ { ( I ) } \partial _ { n } + \frac { 1 } { 2 } B _ { n k } B _ { m k } \partial _ { n } \partial _ { m } \right] \mathbf { O } \right\rangle .
\begin{array} { r l r } { \nu } & { = } & { \delta _ { 1 , 2 m - 1 } \left( \mathbf { p } _ { + , T _ { 1 , 2 m - 1 } + \tau \left( 1 , 2 m - 1 , \ell _ { 1 , 2 m - 1 } \right) } ^ { \left( 1 , 2 m - 1 \right) } - \hbar \mathbf { k } / 2 \right) } \\ & { = } & { \left\{ \delta _ { 1 , 2 m - 1 } + \frac { \mathbf { k } } { M } \mathbf { \cdot p } _ { + , T _ { 1 , 2 m - 1 } + \tau \left( 1 , 2 m - 1 , \ell _ { 1 , 2 m - 1 } \right) } ^ { \left( 1 , 2 m - 1 \right) } \right\} - \omega _ { k } + \left( \mathbf { k \cdot g } - \alpha \right) T _ { 1 , 2 m - 1 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \frac { d \rho _ { i } } { d t } } & { = 2 { \rho _ { i } } \sum _ { j } ( \textbf { v } - \textbf { v } ^ { * } ) \cdot V _ { j } \nabla _ { i } W _ { i j } } \\ { \frac { d \textbf { v } _ { i } } { d t } } & { = - 2 \sum _ { j } \frac { { P } ^ { * } } { \rho _ { i } } V _ { j } \nabla _ { i } W _ { i j } + 2 \sum _ { j } \frac { \nu } { \rho _ { i } } \textbf { v } _ { i j } V _ { j } \nabla _ { i } W _ { i j } + \textbf { g } _ { i } , } \end{array} \right.
\hat { g } _ { i j } = \left( \begin{array} { c c } { \left( \partial _ { s } \phi _ { x } \right) ^ { 2 } + \left( \partial _ { s } \phi _ { y } \right) ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \gamma ( s ) : = } & { \operatorname* { m i n } _ { \psi \in L ^ { 2 } ( ( - \pi , \pi ] ) , \| \psi \| = 1 } \langle \psi | I - \cos Q + s P ^ { 2 } | \psi \rangle } \\ { = } & { \operatorname* { m i n } _ { \psi \in L ^ { 2 } ( ( - \pi / 2 , \pi / 2 ] ) , \| \psi \| = 1 } \langle \psi | I - \cos Q + s P ^ { 2 } | \psi \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { P V } = } & { { } - \sum _ { \substack { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } } v _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \} | N \rangle \right] } & { { } = } & { \Big [ n _ { i } \Big ] \Big [ n _ { j } \Big ] - f _ { j } \Big [ n _ { i } \Big ] - f _ { i } \Big [ n _ { j } \Big ] + f _ { i } f _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf r } _ { 1 } } & { { } = ( x + d _ { s } ) \hat { \bf x } + ( z - z _ { 0 } ) \hat { \bf z } , } \\ { { \bf r } _ { 2 } } & { { } = ( x - d _ { s } ) \hat { \bf x } + ( z - z _ { 0 } ) \hat { \bf z } , } \end{array}
i \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \{ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ldots \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! n \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\eta ( z ) \overline { { { \xi } } } ( w ) \sim \frac { 1 } { z - w } \; , \; \overline { { { \eta } } } ( z ) { \xi } ( w ) \sim \frac { 1 } { z - w } \; , \; \mu ( z ) { \phi } ( w ) \sim \frac { 1 } { z - w } \; .
{ \frac { d } { d x } } \left( f _ { 1 } ( x ) ^ { f _ { 2 } ( x ) ^ { \left( . . . \right) ^ { f _ { n } ( x ) } } } \right) = \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { \partial } { \partial x _ { k } } } \left( f _ { 1 } ( x _ { 1 } ) ^ { f _ { 2 } ( x _ { 2 } ) ^ { \left( . . . \right) ^ { f _ { n } ( x _ { n } ) } } } \right) \right] { \biggr \vert } _ { x _ { 1 } = x _ { 2 } = . . . = x _ { n } = x } , { \mathrm { ~ i f ~ } } f _ { i < n } ( x ) > 0 { \mathrm { ~ a n d ~ } }
( \Phi , T \Psi ) = \int d A \int d ^ { 3 } x \; ( g _ { 0 } ^ { 2 } / 2 ) \; \delta \Phi ^ { * } ( A ) / \delta A _ { i } ^ { a } ( x ) \; \delta \Psi ( A ) / \delta A _ { i } ^ { a } ( x ) .
\begin{array} { r l r } { x _ { 1 } } & { = } & { - \cos \varphi _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } & { = } & { - \sin \varphi _ { 1 } \cos \varphi _ { 2 } } \\ & { \vdots } & \\ { x _ { n - 1 } } & { = } & { - \sin \varphi _ { 1 } \sin \varphi _ { 2 } \cdots \cos \varphi _ { n - 1 } } \\ { x _ { n } } & { = } & { - \sin \varphi _ { 1 } \sin \varphi _ { 2 } \cdots \sin \varphi _ { n - 1 } , } \end{array}
{ L } _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ r ~ m ~ } } ( \psi ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { s _ { i } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } s _ { j } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } \big ( 1 - h _ { i } ( T , \psi ) \big ) \quad .
\kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { a + b } } = \lambda _ { a + 1 , a + 2 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { a + 1 } } \cdot \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 + b } } ) - \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } ( \kappa _ { e ^ { 2 } } \cdot \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { a } } \cdot \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { b } } ) + \frac { 1 } { \chi } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { a } e } \cdot \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { b } } + \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { a } } \cdot \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { b } e } )
p ^ { 2 } m _ { 1 } ^ { 2 } m _ { 2 } ^ { 2 } m _ { 3 } ^ { 2 } \prod \left( p ^ { 2 } - \left( m _ { 1 } \pm m _ { 2 } \pm m _ { 3 } \right) ^ { 2 } \right) = 0
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left( e ^ { - \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } 1 _ { S _ { T } > K } \right) } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } \left( e ^ { - \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } 1 _ { S _ { T } > K } | V , r \right) \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ e ^ { - \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } \mathbb { P } ( S _ { T } > K | V , r ) \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ e ^ { - \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } \Phi \left( \frac { \ln S _ { 0 } - \ln K + \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t + \left( \frac { \rho k } { \sigma } - \frac { 1 } { 2 } \right) \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t + \frac { \rho } { \sigma } \left( V _ { T } - V _ { 0 } - k \theta T \right) } { \sqrt { 1 - \rho ^ { 2 } } \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } } \right) \right] } \\ & { = : \mathbb { E } \left[ g \left( V _ { T } , \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t , \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t \right) \right] , } \end{array}
\mathbf { r } _ { p } ^ { n + 1 } = \mathbf { r } _ { p } ^ { n } + \frac { \Delta _ { t } } { 2 4 } ( 5 5 \mathbf { v } _ { p } ^ { n } - 5 9 \mathbf { v } _ { p } ^ { n - 1 } + 3 7 \mathbf { v } _ { p } ^ { n - 2 } - 9 \mathbf { v } _ { p } ^ { n - 3 } ) .
\begin{array} { r l } { \eta _ { I } ^ { \left[ \beta \right] } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } & { { } = \delta _ { \lambda , \beta } \left( \sum _ { i \in \mathcal { N } } \pi _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } z _ { i } - \mathbf { z } _ { I } \right) + \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } \sum _ { \left( R , \alpha \right) } p _ { \left( R , \alpha \right) } ^ { \circ } \left( \gamma \right) q _ { \gamma \beta } \eta _ { \widetilde { \alpha } \left( I \right) } ^ { \left[ \gamma \right] } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) ; } \\ { \sum _ { i \in \mathcal { N } } \pi _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } \eta _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } & { { } = 0 \textrm { f o r s o m e } \beta \in \mathcal { L } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B ( ( x _ { 1 } + y _ { 1 } ) \alpha , x _ { 2 } + y _ { 2 } ) } & { = B ( x _ { 1 } \sigma - x _ { 1 } \sigma \kappa + y _ { 1 } \tau , x _ { 2 } + y _ { 2 } ) } \\ & { = B ( x _ { 1 } \sigma , x _ { 2 } ) + B ( x _ { 1 } \sigma , y _ { 2 } ) - B ( x _ { 1 } \sigma \kappa , y _ { 2 } ) + B ( y _ { 1 } \tau , y _ { 2 } ) } \\ & { = Q _ { X } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) + Q _ { Y } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) } \\ & { = ( Q _ { X } \oplus Q _ { Y } ) ( x _ { 1 } + y _ { 1 } , x _ { 2 } + y _ { 2 } ) . } \end{array}
A \, [ K _ { L } ( p ) \rightarrow \gamma ( q _ { 1 } , \epsilon _ { 1 } ) \gamma ( q _ { 2 } , \epsilon _ { 2 } ) ] \, = \, i \, A _ { \gamma \gamma } \, \varepsilon _ { \mu \nu \sigma \tau } \, \epsilon _ { 1 } ^ { \mu } ( q _ { 1 } ) \, \epsilon _ { 2 } ^ { \nu } ( q _ { 2 } ) \, q _ { 1 } ^ { \sigma } \, q _ { 2 } ^ { \tau } \; .
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) } { \partial t } } & { { } = \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \left[ \left( f ( \widehat { L } ) - \frac { D } { P ( \widehat { L } , t ) } \frac { \partial P ( \widehat { L } , t ) } { \partial \widehat { L } } \right) P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) \right] } \end{array}
\hat { H } ( { G } ) = \sum _ { ( j , k ) \in E ( G ) } U \hat { n } _ { j } \hat { n } _ { k } - \sum _ { j \in V ( G ) } \left( \Delta \hat { n } _ { j } - \frac { \Omega } { 2 } \hat { \sigma } _ { x } ^ { ( j ) } \right) ,
\sigma ( h e p ) = \frac { ( 2 \pi ) ^ { 7 } } { E } \, G _ { F } ^ { 2 } \, e ^ { 2 } \, m _ { e } ^ { 5 } \, \mu \sum _ { \mathrm { s p i n s } } \left| \langle { ^ 4 { \mathrm { H e } } } | \vec { J } \, ^ { ( - ) } | p \, { ^ 3 { \mathrm { H e } } } \rangle \right| ^ { 2 } f ( - 2 , \varepsilon _ { 0 } ) \, e ^ { { - 4 \pi e ^ { 2 } } / { v } } \, .
\begin{array} { r l } & { D ^ { \pi } ( \Theta ( t ) ) - V \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } [ R _ { m } ^ { \pi } ( t ) | \Theta ( t ) ] } \\ & { \leq C + \sum _ { m = 1 } ^ { M } G _ { m } ( t ) \mathbb { E } \left[ P _ { m } ^ { \pi } ( t ) - P _ { m , \mathrm { a v g } } | \Theta ( t ) \right] + \sum _ { m = 1 } ^ { M } B _ { m } ( t ) \mathbb { E } \left[ a _ { m } ( t ) - R _ { m } ^ { \pi } ( t ) - d _ { m } ^ { \pi } ( t ) | \Theta ( t ) \right] } \\ & { \; \; \; \; - V \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } [ R _ { m } ^ { \pi } ( t ) | \Theta ( t ) ] } \\ & { \leq C + \sum _ { m = 1 } ^ { M } G _ { m } ( t ) \mathbb { E } \left[ P _ { m } ^ { \omega ^ { * } } ( t ) - P _ { m , \mathrm { a v g } } | \Theta ( t ) \right] + \sum _ { m = 1 } ^ { M } B _ { m } ( t ) \mathbb { E } \left[ a _ { m } ( t ) - R _ { m } ^ { \omega ^ { * } } ( t ) - d _ { m } ^ { \omega ^ { * } } ( t ) | \Theta ( t ) \right] } \\ & { \; \; \; \; - V \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } [ R _ { m } ^ { \omega ^ { * } } ( t ) | \Theta ( t ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { l m } ^ { \mathrm { ~ F ~ } } ( k _ { 0 } ) } & { { } = f \mathrm { ~ E ~ } _ { 0 } \sqrt { \pi } \, \left[ P _ { l - 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ E ~ } } ( k _ { 0 } ) \sqrt { 2 l - 1 } - M _ { l + 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ E ~ } } ( k _ { 0 } ) \sqrt { 2 l + 3 } \right] \, i ^ { l } \, \left[ \delta _ { m , 1 } - \delta _ { m , - 1 } \right] } \\ { \mathcal { B } _ { l m } ^ { \mathrm { ~ F ~ } } ( k _ { 0 } ) } & { { } = f \frac { \mathrm { ~ E ~ } _ { 0 } \sqrt { \pi } } { c } \, \left[ P _ { l - 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } ( k _ { 0 } ) \sqrt { 2 l - 1 } - M _ { l + 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } ( k _ { 0 } ) \sqrt { 2 l + 3 } \right] \, i ^ { l - 1 } \, \left[ \delta _ { m , 1 } + \delta _ { m , - 1 } \right] } \end{array}