harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { 1 } { Q _ { t } } = \frac { 1 } { Q _ { i } } + \frac { 1 } { Q _ { c } } = \frac { P _ { a b s } + P _ { r a d } } { \omega \times { U _ { c a v } } } + \frac { P _ { c o u p l i n g } } { \omega \times { U _ { c a v } } }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { k } [ \psi _ { 1 / \rho } ( z ^ { k + 1 } ) ] } \\ { = } & { \mathbb { E } _ { k } \left[ \psi ( \hat { z } ^ { k + 1 } ) + \frac { \rho } { 2 } \| \hat { z } ^ { k + 1 } - z ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } \right] } \\ { \leq } & { \mathbb { E } _ { k } \left[ f ( \hat { z } ^ { k } ) + \omega ( \hat { z } ^ { k } ) + \frac { \rho } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } \right] } \\ { \leq } & { f ( \hat { z } ^ { k } ) + \omega ( \hat { z } ^ { k } ) + \frac { \rho } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { \rho \beta } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \{ \psi ( x ^ { k } ) - \mathbb { E } _ { k } [ \psi ( x ^ { k + 1 } ) ] \} } \\ & { - \frac { \rho ( \rho - \kappa \theta ) } { 2 ( \gamma - \kappa ) \theta } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { \rho ( 2 \rho \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 1 } + \gamma \beta \theta ) } { 2 ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \{ \| x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] \} } \\ & { + \frac { 2 \rho L _ { f } ^ { 2 } } { ( \gamma - \kappa ) ^ { 2 } \theta ^ { 2 } } - \frac { \rho ( \gamma \theta ^ { 2 } - 2 \theta ( \rho + \kappa \beta ) - 2 \rho \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 1 } ) } { 2 ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { k } [ [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] + \frac { \rho \mathbb { E } _ { k } [ \varepsilon _ { k } ] } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } } \\ { = } & { \psi _ { 1 / \rho } ( z ^ { k } ) + \frac { \rho \beta } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \{ \psi ( x ^ { k } ) - \mathbb { E } _ { k } [ \psi ( x ^ { k + 1 } ) ] \} } \\ & { - \frac { \rho ( \rho - \kappa \theta ) } { 2 ( \gamma - \kappa ) \theta } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { \rho ( 2 \rho \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 1 } + \gamma \beta \theta ) } { 2 ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \{ \| x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] \} } \\ & { + \frac { 2 \rho L _ { f } ^ { 2 } } { ( \gamma - \kappa ) ^ { 2 } \theta ^ { 2 } } - \frac { \rho ( \gamma \theta ^ { 2 } - 2 \theta ( \rho + \kappa \beta ) - 2 \rho \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 1 } ) } { 2 ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] + \frac { \rho \mathbb { E } _ { k } [ \varepsilon _ { k } ] } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } , } \end{array}
\phi ( y ) = \Big [ 3 \Big ( \frac { 3 \alpha + 1 } { 3 n + 5 } \Big ) \Big ] ^ { 1 / 3 } ( 1 - y ) ^ { 1 / 3 } \Big [ 1 + \frac { 1 } { 3 2 } \frac { 9 ( n + 1 ) \alpha - 2 } { 3 \alpha + 1 } ( 1 - y ) + \mathcal { O } ( 1 - y ) ^ { 2 } \Big ] .
V = \left\{ \begin{array} { l l } { { 4 \mu ^ { 2 } - v / \rho ^ { 2 } } } & { { \mathrm { ~ \ r h o _ { + } < \ r h o , ~ } } } \\ { { \tilde { v } _ { 3 } ( x + v _ { 2 } / v _ { 3 } ) ^ { 2 } - k } } & { { \mathrm { ~ | x | \leq ~ L , ~ } } } \\ { { 4 \mu ^ { 2 } - v / \rho ^ { 2 } } } & { { \mathrm { ~ \ r h o < \ r h o _ { - } , ~ } } } \end{array} \right.
\Delta _ { \mathrm { r e t } } ( x ) = i \theta \left( x ^ { 0 } \right) \int { \frac { \mathrm { d } ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 \omega _ { k } } } \left( e ^ { - i k \cdot x } - e ^ { i k \cdot x } \right) _ { k ^ { 0 } = \omega _ { k } } \qquad \omega _ { k } = { \sqrt { \mathbf { k } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } }
f ( g , \alpha ) = \frac { \sum _ { \mathbf { c } } Q ( g , \mathbf { c } ) \kappa ( g , \mathbf { c } , \alpha ) \phi ( g , \mathbf { c } ) } { \sum _ { \mathbf { c } } Q ( g , \mathbf { c } ) } = \frac { \sum _ { \mathbf { c } } Q ( g , \mathbf { c } ) \kappa ( g , \mathbf { c } , \alpha ) \phi ( g , \mathbf { c } ) } { Q ( g ) } .
\tilde { r } ^ { 2 } = \frac { 1 } { \sqrt { p } } \hat { r } ^ { 2 } \Bigl ( \sqrt { p } \tilde { \psi } ( p ) \Bigr ) = - \frac { d ^ { 2 } \tilde { \psi ( p ) } } { d p ^ { 2 } } = - \tilde { \Delta } \tilde { \psi } ( p ) .
\frac { { \mathscr Z } _ { \beta \alpha } } { { \mathscr Z } _ { \mathrm { p e r t } } } \simeq \frac { 1 } { \sqrt { \mathsf { A } _ { \mathrm { D } } ( m , n ) } } \, \sqrt { \frac { \cos \left( \frac { 2 \pi n } { q } \right) - \cos \left( \frac { 2 \pi m } { p } \right) } { 1 6 \pi \left( p ^ { 2 } - q ^ { 2 } \right) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \pi m } { p } \right) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \pi n } { q } \right) } } \, { \mathrm { e } } ^ { - \mathsf { A } _ { \mathrm { D } } ( m , n ) } + \cdots ,
\frac { m _ { 1 } } { m _ { 3 } } - \frac { m _ { 2 } } { m _ { 3 } } \; \approx \; \frac { 4 s _ { z } c _ { \delta } } { s _ { 2 x } s _ { 2 y } } \; , ~ ~ ~ \sigma - \rho \; \approx \; \frac { 2 s _ { z } s _ { \delta } } { t _ { y } ^ { 2 } s _ { 2 x } t _ { 2 y } } \;
Y ^ { b \beta } { } _ { a \alpha } = ( ( \textstyle { \frac { 4 } { { \cal N } } } - 1 ) \kappa - \eta ) \delta ^ { b } { } _ { a } \delta ^ { \beta } { } _ { \alpha } + \delta ^ { b } { } _ { a } s _ { \alpha } { } ^ { \beta } + 2 s ^ { b } { } _ { a } \delta ^ { \beta } { } _ { \alpha } \, .
\begin{array} { r l } { \mathfrak { M } _ { \psi _ { n } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) } & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 2 } \gamma ^ { - 2 } N _ { n } ^ { 2 \tau + 1 } N _ { n - 1 } ^ { - \sigma _ { 1 } } \mathbb { M } _ { 0 } ( s ) , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { \vec { b } \in \mathbb { N } _ { 0 } ^ { \nu } , \ | \vec { b } | = \mathtt { b } _ { 0 } } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( \psi _ { n } ) } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) } & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 2 } \gamma ^ { - 2 } N _ { n } ^ { 2 \tau + 1 } N _ { n - 1 } \mathbb { M } _ { 0 } ( s ) , } \\ { \mathfrak { M } _ { d _ { i } \psi _ { n } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) } & { \le _ { \mathtt { p e } } \left( \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 3 } N _ { n } ^ { 2 \tau + 1 } N _ { n - 1 } ^ { - \sigma _ { 1 } } \mathbb { M } _ { 0 } ( s _ { 0 } ) + \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 2 } N _ { n } ^ { \tau } N _ { n - 1 } ^ { - \sigma _ { 1 } } \right) \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { \vec { b } \in \mathbb { N } _ { 0 } ^ { \nu } , \ | \vec { b } | = \mathtt { b } _ { 0 } } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( d _ { i } \psi _ { n } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] ) } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) } & { \le _ { \mathtt { p e } } \left( \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 3 } N _ { n } ^ { 2 \tau + 1 } N _ { n - 1 } \mathbb { M } _ { 0 } ( s _ { 0 } ) + \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 2 } N _ { n } ^ { \tau } N _ { n - 1 } \right) \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathsf { R } _ { F } ( t ) | } & { { } \leq 2 \pi \| F ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , 1 ) } \int _ { 0 } ^ { t } \left( \| \tilde { \psi } \| _ { L ^ { 1 } ( 0 , 1 ; L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) ) } + \| \tilde { \psi } \| _ { L ^ { 1 } ( 0 , 1 ; B V ( \mathbb { T } ) ) } \right) \mathrm { d } s } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \{ \tilde { \mathcal { F } } , \tilde { \mathcal { G } } \} _ { D } ( \eta , \phi _ { \partial } , \Sigma ) } \\ { = } & { - \int _ { \Omega } \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \eta } \wedge [ \eta , d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) ] _ { 1 } + \int _ { \Omega } d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \wedge \ast \Big ( \ast \big ( ( \ast \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \eta } + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) ) \wedge \ast d \eta \big ) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { n } d \big ( \mathrm { l i } ( \langle d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } ) \big ) + [ \eta , d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) ] _ { 1 } + d \big ( \mathrm { l i } ( E ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } ) \big ) \Big ) } \\ & { - \int _ { \Sigma } \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \Sigma } \wedge \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } - \int _ { \Gamma } E ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \Sigma } ) \wedge \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \rho _ { \chi } , N } \quad } & { { } | I _ { i j } ^ { \mu \nu } - N \mathbb { T r } [ \hat { \Pi } _ { i } ^ { \mu } \otimes \hat { ( } \tau _ { j } ^ { \nu } ) ^ { T } \rho _ { \chi } ] | ^ { 2 } } \\ { \textrm { s . t . } \quad } & { { } \rho _ { \chi } \geq 0 \, , \, \mathbb { T r } [ \rho _ { \chi } ] = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \bigg ( \mathbb { E } \| \tilde { d _ { t } } \| ^ { 2 } + \frac { \lambda ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \mathbb { E } \| \bar { e } _ { t } \| ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { \leq \bigg [ \frac { 9 6 \lambda ^ { 2 } L I ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } T } + \frac { 2 \lambda ^ { 2 } L } { \rho ^ { 2 } K ^ { 2 / 3 } T ^ { 2 / 3 } } \bigg ] ( f ( x _ { 0 } ) - f ^ { \ast } ) + \bigg [ \frac { 7 2 \lambda ^ { 2 } I ^ { 4 } } { b \rho ^ { 2 } T } + \frac { 3 \lambda ^ { 2 } I ^ { 2 } } { 2 b \rho ^ { 2 } K ^ { 2 / 3 } T ^ { 2 / 3 } } \bigg ] \sigma ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 1 9 2 ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \times \bigg ( \frac { 4 8 I ^ { 2 } } { T } + \frac { 1 } { K ^ { 2 / 3 } T ^ { 2 / 3 } } \bigg ) \times \bigg ( \frac { \sigma ^ { 2 } } { 4 b _ { 1 } } + \frac { 2 \zeta ^ { 2 } } { 2 1 } \bigg ) \log ( T + 1 ) . } \end{array}
P _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ o ~ s ~ e ~ d ~ } } = \frac { 1 } { \mathcal { N } } \int \frac { d ^ { 3 } q } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \left| \beta \left( \vec { q } \right) \right| ^ { 2 } ,
\ldots , \; \xi ^ { 6 } q ^ { - 2 } w _ { 1 } , \; \xi ^ { 4 } q ^ { - 2 } w _ { 1 } , \; \xi ^ { 2 } q ^ { - 2 } w _ { 1 } ; \; q ^ { 2 } w _ { 1 } , \; \xi ^ { - 2 } q ^ { 2 } w _ { 1 } , \; \xi ^ { - 4 } q ^ { 2 } w _ { 1 } , \; \ldots .
\begin{array} { r } { ( z - h ^ { 2 } P _ { m } ^ { \kappa } ) ^ { - 1 } \chi _ { \kappa } ^ { \prime } = \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } h ^ { j } \tilde { \chi } _ { \kappa } ^ { \prime } \mathrm { O p } _ { h } ( p _ { h } ^ { ( j ) } ( z ) ) \chi _ { \kappa } ^ { \prime } - h ^ { N } ( z - h ^ { 2 } P _ { m } ^ { \kappa } ) ^ { - 1 } \mathrm { O p } _ { h } ( r _ { N } ^ { \prime } ( z , h ) ) \chi _ { \kappa } ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla T ( \mathbf x , t ) = - \frac { 1 } { \tau _ { T } } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - s / \tau _ { T } } \lambda \mathbf q ( \mathbf x , t - s ) \textrm { d } s , } \end{array}
- \partial _ { \beta } \partial ^ { \beta } F + F ^ { \prime \prime } + \frac { 1 } { r } F ^ { \prime } + \left[ \big ( A _ { \beta } + \partial _ { \beta } \vartheta \big ) ^ { 2 } + \frac 1 2 \big ( 1 - F ^ { 2 } \big ) - \left( \frac { \chi ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + \vartheta ^ { \prime } { } ^ { 2 } \right) \right] F = 0 ,
\begin{array} { r l } { \| Q ^ { k + 1 } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } \leq } & { \left( 1 - ( 1 - \gamma ) \beta \right) \| Q ^ { k } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } + \frac { \beta \sigma _ { k } } { \lambda _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } \cdot \left( \frac { 2 \omega } { \lambda _ { 0 } } + \sqrt { \frac { 3 \log ( 1 / \delta _ { 0 } ) } { | \mathcal { D } _ { k } | } } \right) . } \end{array}
\Delta T _ { \mathrm { G W } } = \Bigl ( 1 - \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } \Bigr ) \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + T } \bigl ( h _ { \theta \phi \psi } ( t , \alpha ( t ) ) - h _ { \theta \phi \psi } ( t _ { 0 } , \alpha _ { 0 } ) \bigr ) d t ,
\mathcal { L } _ { K L D } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \left( \sigma _ { k } ^ { 2 } + \mu _ { k } ^ { 2 } - \left( \log \left( \sigma _ { k } ^ { 2 } \right) + 1 \right) \right)
\begin{array} { r l } { K _ { t } ( x , y ) } & { : = K _ { 0 } ( x , y ) + \int _ { 0 } ^ { t } Q _ { s } ( x , y ) \mathrm { d } s } \\ & { = K _ { 0 } ( x , y ) + \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } ( 1 - \eta _ { 1 } e ^ { - \eta _ { 2 } s } ) \kappa ( e ^ { s } ( x - y ) ) \mathrm { d } s = : K _ { 0 } ( x , y ) + \overline { K } _ { t } ( x , y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { i \phi _ { \pm } ^ { L } } \cos \frac { \theta _ { \pm } ^ { L } } { 2 } } & { \sin \frac { \theta _ { \pm } ^ { L } } { 2 } } \end{array} \right) } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { - e ^ { i \phi _ { \mp } ^ { R } } \sin \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } & { \cos \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \sqrt { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \psi _ { \pm } ^ { L } \rangle } } \sqrt { \frac { h _ { - } ^ { * } } { h _ { - } } } \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | . } \end{array}
\phi _ { 1 a } = E _ { 1 a } T _ { 1 } - p _ { 1 a } L _ { 1 } \cong E _ { \scriptscriptstyle D _ { 1 } } T _ { 1 } - p _ { \scriptscriptstyle D _ { 1 } } L _ { 1 } + ( v _ { 1 } T _ { 1 } - L _ { 1 } ) \left( \delta p _ { 1 a } + \frac { \delta m _ { 1 a } ^ { 2 } } { 2 p _ { 1 } } \right) + \frac { \delta m _ { 1 a } ^ { 2 } } { 2 p _ { 1 } } \, L _ { 1 } \, ,
\frac { 1 } { n ^ { 3 } } \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \mathbb { E } \big [ N _ { k + 1 } ( u ) ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { n } \big ] \leq \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { k } \mathbb { E } \big [ N _ { k + 1 } ( u ) ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } \big ] \to 0 \quad \mathrm { a s } \quad n \to \infty \quad \mathbb { P } \mathrm { - a . s . }
T ( q , p ) \sim \int d ^ { 4 } z \, e ^ { - i q _ { 1 } z } \, \frac { z ^ { \mu } } { ( z ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \langle p | \bar { q } ( 0 ) \gamma _ { \mu } e ^ { i g z ^ { \nu } \int _ { 0 } ^ { 1 } A _ { \nu } ( t z ) d t } q ( z ) | p \rangle .
| P _ { N , h } ( \eta _ { n } ) | \leq \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq z \leq \eta _ { N } } | U ^ { \prime } ( z ) | \frac { \eta ^ { \frac { 1 - \alpha } { B } } } { B \Gamma ( 1 - \alpha ) } \sum _ { i = n } ^ { N - 1 } \int _ { \eta _ { i } } ^ { \eta _ { i + 1 } } ( \eta ^ { - \frac { 1 } { B } } - z ^ { - \frac { 1 } { B } } ) ^ { - \alpha } z ^ { - \frac { 1 } { B } - 1 } ( \eta _ { i + 1 } - z ) d z .
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( t ) ) } & { { } = \mathcal { J } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( 0 ) ) + \int _ { 0 } ^ { t } \langle \mathcal { A } u _ { \epsilon } ^ { \theta } + \mathcal { F } _ { \epsilon } ^ { \theta } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) , \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) \rangle _ { \mathbb { H } \times \mathbb { H } } d s } \end{array}
M _ { Z } ^ { 2 } \int { \frac { \delta ( s - M ^ { 2 } ) ( s - M _ { Z } ^ { 2 } ) d s } { s [ ( s - M _ { Z } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \epsilon ^ { 2 } ] } } = { \frac { M _ { Z } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } { \frac { \Delta } { \Delta ^ { 2 } + \epsilon ^ { 2 } } } = { \frac { \Delta } { \Delta ^ { 2 } + \epsilon ^ { 2 } } } + \ldots
\begin{array} { r l } { \mathfrak m _ { 1 } \overline { \omega } } & { = \overline { d } \, \overline { \omega } } \\ { \mathfrak m _ { 2 } \big ( \overline { W } | \overline { \omega } \big ) } & { = - ( - ) ^ { | W | } \mathcal L _ { \overline { W } } \overline { \omega } + \iota _ { [ R , \overline { W } ] ^ { \mathrm { n r } } } \overline { \omega } } \\ { \mathfrak m _ { 3 } \big ( \overline { W } , \overline { U } | \overline { \omega } \big ) } & { = - \iota _ { [ [ R , \overline { W } ] ^ { \mathrm { n r } } , \overline { U } ] ^ { \mathrm { n r } } } \overline { \omega } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 + \| \kappa \| _ { \infty } ) \| u \| _ { p } } & { { } \leq C \| \nabla u \| _ { p } + C \left( 1 + \| \kappa \| _ { \infty } ^ { \frac { 1 } { 1 - \theta } } \right) \| u \| _ { q } } \end{array}
\boldsymbol { \mathrm { b } } _ { t } = \frac { 1 } { N } \left( \begin{array} { l l l l l } { \frac { 1 } { \Delta _ { 1 1 } } ( f _ { t } ^ { g ( 1 ) } ) ^ { \prime } ( x _ { 1 } ^ { t } ) } & { + } & { \ldots } & { + } & { \frac { 1 } { \Delta _ { 1 N } } ( f _ { t } ^ { g ( N ) } ) ^ { \prime } ( x _ { N } ^ { t } ) } \\ { \vdots } & & { \vdots } & & { \vdots } \\ { \frac { 1 } { \Delta _ { N 1 } } ( f _ { t } ^ { g ( 1 ) } ) ^ { \prime } ( x _ { 1 } ^ { t } ) } & { + } & { \ldots } & { + } & { \frac { 1 } { \Delta _ { N N } } ( f _ { t } ^ { g ( N ) } ) ^ { \prime } ( x _ { N } ^ { t } ) } \end{array} \right) = \frac { 1 } { N \boldsymbol { \Delta } } f _ { t } ^ { ' } ( x ^ { t } ) \in \mathbb { R } ^ { N } .
\begin{array} { r l } & { \bar { P } ( \hat { \theta } _ { \alpha } \mid y ) = 2 e ^ { 1 } e ^ { O ( n ^ { - 1 / 2 } ) } \cdot \frac { 1 } { e ^ { - 2 \alpha } + e ^ { 2 \alpha } } = 2 e ^ { 1 } e ^ { O ( n ^ { - 1 / 2 } ) } \cdot \frac { 1 } { e ^ { - \sqrt { ( 2 I ( \hat { \theta } ) n } ( \theta - \hat { \theta } ) } + e ^ { + \sqrt { ( 2 I ( \hat { \theta } ) n } ( \theta - \hat { \theta } ) } } } \\ & { D ( \hat { \theta } \| \hat { \theta } _ { \alpha } ) = ( 1 + O ( n ^ { - 1 / 2 } ) ) ( \hat { \theta } - \hat { \theta } _ { \alpha } ) ^ { 2 } I ( \hat { \theta } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { x { \mathbf i } + y { \mathbf j } + z { \mathbf k } = } & { x \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) + y \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) + k \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) . } \end{array}
L _ { e f f } ^ { ( 1 ) } = \frac { 2 \pi \kappa \sigma _ { 1 } } { q _ { 1 } } \sum _ { p _ { 1 } } \dot { R } _ { p _ { 1 } } ^ { i } v _ { i } ^ { ( 2 ) } ( \vec { R } _ { p _ { 1 } } ) + \; \; \; ( \; 1 \leftrightarrow 2 \; ) \; \; .
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { + } } & { { } = \{ ( S , P ) \in \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } : S + P \le 1 , \ L ( S , P ) > 0 \} , } \\ { \Lambda _ { - } } & { { } = \{ ( S , P ) \in \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } : S + P \le 1 , \ L ( S , P ) < 0 \} } \\ { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \Lambda _ { 0 } } & { { } = \{ ( S , P ) \in \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } : S + P \le 1 , \ L ( S , P ) = 0 \} . } \end{array}
\left( 1 - \frac { i \pmb { p } \cdot d \pmb { x } } { \hbar } \right) | \alpha \rangle = \int { d \pmb { x } | \pmb { x } \rangle } \langle \pmb { x } - d \pmb { x } | \alpha \rangle = \int { d \pmb { x } | \pmb { x } \rangle } \left( \langle \pmb { x } | \alpha \rangle - d \pmb { x } \frac { \partial } { \partial \pmb { x } } \langle \pmb { x } | \alpha \rangle \right)
{ \cal L } ~ = ~ { \frac { 1 } { 1 6 \pi G ^ { 2 } } } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - d e t | g | } ( { \cal L } _ { k i n } ~ + ~ { \cal L } _ { 2 } ~ + ~ { \cal L } _ { 4 } ~ + ~ { \cal L } _ { h i g h } ~ + ~ c o n s t ) ,
| \partial _ { R } \bigl ( \phi _ { * } - \phi _ { \mathrm { a p p } } ^ { E } \bigr ) | + | \partial _ { Z } \bigl ( \phi _ { * } - \phi _ { \mathrm { a p p } } ^ { E } \bigr ) | \, \le \, C \bigl ( \epsilon \delta + \epsilon ^ { 3 } \beta _ { \epsilon } \bigr ) \, ( 1 + \rho ) ^ { 5 } \, , \qquad \rho \le \epsilon ^ { - \sigma _ { 0 } } \, .
d _ { 5 } = - { \frac { 1 } { 6 r ^ { 2 } r ^ { \prime } } } + { \frac { m _ { s } ^ { 2 } } { 4 r r ^ { \prime 3 } } } + { \frac { m _ { b } ^ { 2 } } { 4 r ^ { 3 } r ^ { \prime } } } + { \frac { 2 m _ { b } ^ { 2 } + 2 m _ { s } ^ { 2 } - 2 q ^ { 2 } - m _ { b } m _ { s } } { 1 2 r ^ { 2 } r ^ { \prime 2 } } } \; .
h ^ { ( 1 ) } ( b , a ) \ = \ - 2 J ^ { 0 } J ^ { - } + 2 J ^ { 0 } - 2 ( p + \frac { 1 } { 2 } ) J ^ { - } \ = \ - 2 b a ^ { 2 } + 2 ( b - p - \frac { 1 } { 2 } ) a \ ,
\tilde { A } ( p ) = 3 g ^ { 2 } N ( N ^ { 2 } - 1 ) \delta _ { a b } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } d ^ { 4 } \theta \, \left\{ \frac { m ^ { 2 } \left[ V ^ { a } ( p , \theta , { \overline { { \theta } } } ) V ^ { b } ( - p , \theta , { \overline { { \theta } } } ) \right] } { ( k ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) [ ( p - k ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } ] } \right\} .
\dot { \boldsymbol { r } } _ { 1 } ( 0 ) = ( - 0 . 0 7 8 9 6 4 4 4 0 7 7 7 1 4 9 5 5 , 0 . 0 1 5 1 9 6 7 1 3 7 1 3 0 3 1 8 5 1 ) ;
\frac { \partial \, V } { \partial \, p } \rvert _ { p = i } = \frac { V \rvert _ { p = i - 2 } - 8 \, V \rvert _ { p = i - 1 } + 8 \, V \rvert _ { p = i + 1 } - V \rvert _ { p = i + 2 } } { 1 2 \, d }
\begin{array} { r l } & { \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { y y } ( \omega , r , / ) ~ ~ = ~ ~ \overbrace { \sqrt { \frac \pi 2 } ~ \mathcal { L } ( \omega ) } ^ { L o r e n t z i a n } ~ ~ \times } \\ & { \Big [ \underbrace { P _ { 1 } ( r , \omega ) } _ { p r o p a g . } \underbrace { U ( r ) } _ { u n i d i r . } \underbrace { - 2 L ( r ) + L ( r + w ) + L ( r - w ) } _ { l o c a l } \Big ] } \end{array}
\frac { \partial p ( t , x ) } { \partial t } = \frac { \partial } { \partial x } \left[ \left( \langle a \rangle + \frac { \partial \langle a ^ { 2 } \rangle } { \partial x } \right) p + \langle a ^ { 2 } \rangle \frac { \partial p } { \partial x } \right] .
\begin{array} { r } { f _ { 1 } ( \boldsymbol { a } ) = \alpha g _ { 1 } ( \boldsymbol { a } ) , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f _ { 2 } ( \boldsymbol { a } ) = \beta g _ { 2 } ( \boldsymbol { a } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { C ( t ) = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \Big [ \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { l i m } _ { \bar { r } \longrightarrow \infty } \left( \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { \Gamma ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \bar { r } } \xi \left( v ^ { ( 0 ) } \right) ^ { 2 } \; d \xi - \ln \bar { r } \right) } \\ { - \frac { 1 } { 4 } - \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { \Gamma ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \bar { r } } \xi \left( w ^ { ( 0 ) } \right) ^ { 2 } \; d \xi \Big ] \quad \quad \quad } \end{array}
\psi _ { S } ( x , t ; \alpha , \beta , \theta , X ) = \frac { \cos ( \alpha ) } { \lambda } \frac { \exp \left[ i \theta + i m \sin ( \alpha ) ( \cosh ( \beta ) x - \sinh ( \beta ) t ) \right] } { \cosh \left[ m \cos ( \alpha ) ( \cosh ( \beta ) ( x - X ) - \sinh ( \beta ) t ) \right] } .
\begin{array} { r c l r c l r c l r c l } { { A } } & { { = } } & { { T _ { a } A ^ { a } , \quad \hat { \psi } } } & { { = } } & { { T _ { a } \hat { \psi } ^ { a } , \quad \psi } } & { { = } } & { { \Sigma _ { \alpha } \psi ^ { \alpha } , \quad \hat { A } } } & { { = } } & { { \Sigma _ { \alpha } \hat { A } ^ { \alpha } , } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \hat { a } } } & { { = } } & { { T _ { a } \hat { a } ^ { a } , \quad \alpha } } & { { = } } & { { T _ { a } \alpha ^ { a } , \quad \hat { \alpha } } } & { { = } } & { { \Sigma _ { \alpha } \hat { \alpha } ^ { \alpha } , \quad a } } & { { = } } & { { \Sigma _ { \alpha } a ^ { \alpha } . } } & { { } } & { { } } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) l _ { 1 } ^ { 2 } \ddot { \alpha } _ { 1 } + m _ { 2 } l _ { 1 } l _ { 2 } \ddot { \alpha } _ { 2 } + ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) g l _ { 1 } \alpha _ { 1 } } & { { } = 0 , } \\ { m _ { 2 } l _ { 2 } ^ { 2 } \ddot { \alpha } _ { 2 } + m _ { 2 } l _ { 1 } l _ { 2 } \ddot { \alpha } _ { 1 } + m _ { 2 } g l _ { 2 } \alpha _ { 2 } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 2 b _ { i j } \gamma _ { i j } } & { { } = } & { 2 b _ { i j } \bigg ( - \frac { 1 } { 2 } b _ { i j } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } - b _ { p q } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \frac { K _ { i j k l } } { A ^ { 3 / 2 } } + \frac { 3 } { 2 } b _ { i j } b _ { p q } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } b _ { m n } \frac { K _ { m n k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \bigg ) } \end{array}