harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { P _ { 1 } ( u ^ { t + 1 } ) - P _ { 2 } ( u ^ { t + 1 } ) + \frac { 1 } { 2 } \| u ^ { t + 1 } - u ^ { t } \| _ { M _ { 0 } } ^ { 2 } \leq P _ { 1 } ( u ^ { t } ) - P _ { 2 } ( u ^ { t } ) } \\ & { \Leftrightarrow F ( u ^ { t + 1 } ) + \frac { 1 } { 2 } \| u ^ { t + 1 } - u ^ { t } \| _ { M _ { 0 } } ^ { 2 } \leq F ( u ^ { t } ) . } \end{array}
| \{ n _ { i } \} \rangle \equiv | n _ { 1 } , n _ { 2 } , \dots , n _ { k } , \dots \rangle = \prod _ { i } | n _ { i } \rangle = \prod _ { i } \frac { 1 } { \sqrt { n _ { i } ! } } ( \hat { a } _ { i } ^ { + } ) ^ { n _ { i } } | 0 \rangle
\begin{array} { r } { ( \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathring { \Delta } _ { \mathcal { J } } ) ) _ { \theta , q } \hookrightarrow ( \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ) _ { \theta , q } = \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s + 2 \theta } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { 0 } \left( x \right) } & { { } = \left( \frac { \omega } { \pi } \right) ^ { 1 / 4 } \exp \left( - \frac { \omega x ^ { 2 } } { 2 } \right) , } \\ { \psi _ { 1 } \left( x \right) } & { { } = \left( \frac { \omega } { \pi } \right) ^ { 1 / 4 } \sqrt { 2 \omega } x \exp \left( - \frac { \omega x ^ { 2 } } { 2 } \right) , } \\ { \psi _ { 2 } \left( x \right) } & { { } = \left( \frac { \omega } { \pi } \right) ^ { 1 / 4 } \frac { 2 \omega x ^ { 2 } - 1 } { \sqrt { 2 } } \exp \left( - \frac { \omega x ^ { 2 } } { 2 } \right) , } \\ { \psi _ { 3 } \left( x \right) } & { { } = \left( \frac { \omega } { \pi } \right) ^ { 1 / 4 } \sqrt { \frac { \omega } { 3 } } \left( 2 \omega x ^ { 2 } - 3 \right) x \exp \left( - \frac { \omega x ^ { 2 } } { 2 } \right) , } \\ { \psi _ { 4 } \left( x \right) } & { { } = \left( \frac { \omega } { \pi } \right) ^ { 1 / 4 } \frac { 4 \omega ^ { 2 } x ^ { 4 } - 1 2 \omega x ^ { 2 } + 3 } { 2 \sqrt { 6 } } \exp \left( - \frac { \omega x ^ { 2 } } { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { h e ^ { - \alpha _ { j } x ^ { j , * } } = \frac { w ^ { j } } { \alpha _ { j } } ; \quad h = \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { w ^ { j } } { \alpha _ { j } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ; \quad - \alpha _ { j } x ^ { j , * } = \log \frac { w ^ { j } } { \alpha _ { j } } - \frac { 1 } { 2 } \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { w ^ { j } } { \alpha _ { j } } \right) . } \end{array}
S _ { \mu } ^ { Q } = \frac { 1 } { 4 } \; \epsilon _ { \mu \nu \alpha \beta } \; v _ { Q } ^ { \nu } \sigma ^ { \alpha \beta } \; , \; \; \; \sigma ^ { \alpha \beta } = \frac { i } { 2 } [ \gamma ^ { \alpha } ; \gamma ^ { \beta } ] \; ,
\begin{array} { r l } & { \rho _ { w 1 } = - 8 . 2 4 7 \cdot 1 0 ^ { - 7 } \, x ^ { 5 } + 8 . 8 4 1 \cdot 1 0 ^ { - 9 } \, x ^ { 4 } \, y + 2 . 4 7 2 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \, x ^ { 4 } + 9 . 6 2 1 \cdot 1 0 ^ { - 9 } \, x ^ { 3 } \, y ^ { 2 } } \\ & { + 3 . 3 8 7 \cdot 1 0 ^ { - 9 } \, x ^ { 3 } \, y - 2 . 8 0 3 \cdot 1 0 ^ { - 4 } \, x ^ { 3 } + 9 . 7 8 1 \cdot 1 0 ^ { - 6 } \, x ^ { 2 } \, y ^ { 3 } - 2 . 5 2 3 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \, x ^ { 2 } \, y ^ { 2 } - } \\ & { 2 . 8 4 3 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \, x ^ { 2 } \, y + 0 . 0 0 1 5 \, x ^ { 2 } - 5 . 1 0 2 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \, x \, y ^ { 4 } + 4 . 9 0 1 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \, x \, y ^ { 3 } } \\ & { + 8 . 3 9 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \, x \, y ^ { 2 } + 9 . 3 5 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \, x \, y - 0 . 0 0 3 6 \, x + 1 . 4 9 \cdot 1 0 ^ { - 4 } \, y ^ { 5 } - 2 . 3 8 3 \cdot 1 0 ^ { - 4 } \, y ^ { 4 } } \\ & { + 1 . 3 4 1 \cdot 1 0 ^ { - 4 } \, y ^ { 3 } - 1 . 7 5 8 \cdot 1 0 ^ { - 4 } \, y ^ { 2 } - 1 . 6 0 1 \cdot 1 0 ^ { - 4 } \, y + 0 . 0 0 7 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { 3 } } & { { } = C v _ { 3 } \Longleftrightarrow a _ { 2 } a _ { 1 } a _ { 0 } = C a _ { 2 } a _ { 1 } b _ { 0 } + C a _ { 2 } b _ { 1 } + C b _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho } & { = \partial _ { t } \langle T , \partial _ { s } \nu \rangle = \langle T , \partial _ { t } \partial _ { s } \nu \rangle = \langle T , \partial _ { s } \partial _ { t } \nu + \rho ( \rho - 2 h ) \partial _ { s } \nu \rangle } \\ & { = \langle T , \partial _ { s } ( \partial _ { s } ( \rho ) T ) + \rho ^ { 2 } ( \rho - 2 h ) T \rangle } \\ & { = \partial _ { s } ^ { 2 } \rho + \rho ^ { 2 } ( \rho - 2 h ) . } \end{array}
\frac { D } { D t } \left( \frac { 1 } { 2 } \widetilde { u } _ { i } \widetilde { u } _ { i } \right) = - \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \widetilde { u _ { j } } \widetilde { p } + \widetilde { u } _ { i } \tau _ { i j } - 2 \nu \widetilde { u } _ { i } \widetilde { S } _ { i j } \right) - 2 \nu \widetilde { S } _ { i j } \widetilde { S } _ { i j } - \Pi + \widetilde { u } _ { i } { \widetilde { f _ { i } } } ,
\begin{array} { r l } { \mathfrak { q } _ { \le \mathtt { N } _ { \alpha } } ( \tau ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } } \frac { 1 } { n ! } \tau ^ { n } \mathfrak { q } _ { n } , \quad \mathfrak { q } _ { 0 } : = \mathfrak { p } , \quad \mathfrak { q } _ { n } : = \mathfrak { q } _ { n - 1 } \star \mathfrak { a } , \mathrm { ~ f o r ~ n = 1 , \ldots , ~ \mathtt { N } _ \alpha ~ . } } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l } { | V _ { u d } | } & { | V _ { u s } | } & { | V _ { u b } | } \\ { | V _ { c d } | } & { | V _ { c s } | } & { | V _ { c b } | } \\ { | V _ { t d } | } & { | V _ { t s } | } & { | V _ { t b } | } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 9 7 4 2 7 \pm 0 . 0 0 0 1 5 } & { 0 . 2 2 5 3 4 \pm 0 . 0 0 0 6 5 } & { 0 . 0 0 3 5 1 _ { - 0 . 0 0 0 1 4 } ^ { + 0 . 0 0 0 1 5 } } \\ { 0 . 2 2 5 2 0 \pm 0 . 0 0 0 6 5 } & { 0 . 9 7 3 4 4 \pm 0 . 0 0 0 1 6 } & { 0 . 0 4 1 2 _ { - 0 . 0 0 0 5 } ^ { + 0 . 0 0 1 1 } } \\ { 0 . 0 0 8 6 7 _ { - 0 . 0 0 0 3 1 } ^ { + 0 . 0 0 0 2 9 } } & { 0 . 0 4 0 4 _ { - 0 . 0 0 0 5 } ^ { + 0 . 0 0 1 1 } } & { 0 . 9 9 9 1 4 6 _ { - 0 . 0 0 0 0 4 6 } ^ { + 0 . 0 0 0 0 2 1 } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { S ^ { u } = } & { { } { \nu } \omega \omega ^ { \dagger } + } \\ { \overline { { d ^ { r } } } { \alpha _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + } & { { } \overline { { d ^ { g } } } { \alpha _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + \overline { { d ^ { b } } } { \alpha _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + } \\ { u ^ { r } { \alpha _ { 3 } ^ { \dagger } } { \alpha _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + } & { { } u ^ { g } { \alpha _ { 1 } ^ { \dagger } } { \alpha _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + u ^ { b } { \alpha _ { 2 } ^ { \dagger } } { \alpha _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + } \end{array}
\begin{array} { r l } & { u ^ { \prime } ( \mathbf 0 ) \int _ { { \Gamma ^ { \pm } } } { { \frac { \partial { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) } { \partial \nu } } } \mathrm d \sigma = \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } { { u _ { 0 } ( \mathbf x ) } { \frac { \partial [ u ^ { \prime } ( \mathbf x ) - u ( \mathbf x ) ] } { \partial \nu } } } \mathrm d \sigma - \eta ( \mathbf 0 ) \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } { { u _ { 0 } ( \mathbf x ) } [ u ( \mathbf x ) - u ^ { \prime } ( \mathbf x ) ] } \mathrm d \sigma } \\ & { \quad - \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } \delta \eta ( \mathbf x ) { { u _ { 0 } ( \mathbf x ) } ( u - u ^ { \prime } ) } \mathrm d \sigma - \eta ( \mathbf 0 ) u ^ { \prime } ( \mathbf 0 ) \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } { { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) } \mathrm d \sigma - u ^ { \prime } ( \mathbf 0 ) \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } \delta \eta ( \mathbf x ) { { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) } \mathrm d \sigma } \\ & { \quad - \eta ( \mathbf 0 ) \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } \delta { u ^ { \prime } } ( \mathbf x ) { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) \mathrm d \sigma - \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } \delta \eta ( \mathbf x ) \delta { u ^ { \prime } } ( \mathbf x ) { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) \mathrm d \sigma - \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } \delta { u ^ { \prime } ( \mathbf x ) { \frac { \partial { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) } { \partial \nu } } } \mathrm d \sigma } \\ & { \quad + u ^ { \prime } ( \mathbf 0 ) \int _ { { \Gamma ^ { \pm } \setminus \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } { { \frac { \partial { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) } { \partial \nu } } } \mathrm d \sigma + \int _ { \Lambda _ { h } } \left( { { u _ { 0 } ( \mathbf x ) } { \frac { \partial u ^ { \prime } ( \mathbf x ) } { \partial \nu } } - u ^ { \prime } } { \frac { \partial { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) } { \partial \nu } } \right) \mathrm d \sigma . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ \left. \eta _ { t } ^ { - 1 } D _ { \Psi } ( x _ { t } , \widetilde { z } _ { t } ) \right\rvert \mathcal F _ { t - 1 } \right] } & { \le \frac { e \eta _ { t } } 2 \sum _ { i = 1 } ^ { K } g _ { t , i } ^ { 2 } \frac { x _ { t , i } } { p _ { t , i } } } \\ & { \le e \eta _ { t } \sum _ { i = 1 } ^ { K } g _ { t , i } ^ { 2 } } \end{array}
\hat { I } [ a _ { c l } + \delta a ] \approx \hat { I } _ { c l } + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } d t \delta a ( t ) \left[ - 2 \Lambda a _ { c l } - 2 \ddot { a } _ { c l } - 2 \dot { a } _ { c l } \frac { d } { d t } - 2 a _ { c l } \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \right] \delta a ( t )
\lambda ( \phi _ { i } ) = c _ { 0 } + c _ { 4 } \phi _ { \mathrm { i } } ^ { 4 } + c _ { 8 } \phi _ { \mathrm { i } } ^ { 8 } + c _ { 1 2 } \phi _ { \mathrm { i } } ^ { 1 2 } + O ( \phi _ { \mathrm { i } } ^ { 1 6 } ) \, .
{ \cal M } _ { \nu ^ { * } } ^ { \alpha \beta } = \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 c _ { w } s _ { w } ^ { 3 } m _ { Z } ^ { 2 } } [ A _ { 1 } ( x ) \Gamma _ { 1 } ^ { \alpha \beta } + A _ { 2 } ( y ) \Gamma _ { 2 } ^ { \alpha \beta } ] ,
\begin{array} { r l } { \mathsf { w } _ { \omega } \left( \xi \operatorname { \lrcorner } \frac { 1 } { j ! } \omega ^ { j } \wedge \alpha \right) } & { = \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { ( k - j ) ! } \omega ^ { k - j } \wedge \gamma _ { 0 } + \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { ( k - j ) ! } \omega ^ { k + 1 - j } \wedge \gamma _ { 1 } } \\ & { = \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { ( k - j ) ! } \omega ^ { k - j } \wedge \theta \wedge \alpha = \theta \wedge \mathsf { w } _ { \omega } \left( \frac { 1 } { j ! } \omega ^ { j } \wedge \alpha \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | L ( \varphi ) | } & { \leq \| \varphi ( \cdot , 0 ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } \| y ^ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } + \| f \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ^ { \star } ) } \| \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ) } } \\ & { \leq C \left( \| y ^ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } + \| f \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; ( V _ { 0 } ) ^ { \star } ) } \right) \| | \varphi \| | . } \end{array}
P _ { q } ^ { 2 } + U ( x ) + \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { P _ { q } ^ { \prime \prime } } { P _ { q } } - \frac { 3 } { 2 } \frac { \left( P _ { q } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } { P _ { q } ^ { 2 } } \right] = \epsilon _ { q }
\begin{array} { r l } { \Delta U _ { p e r } } & { { } = \sum _ { i \in \{ S _ { 1 } , S _ { 2 } , E _ { 1 } , E _ { 2 } \} } { ( p _ { i } ^ { f i n } - p _ { 0 } ) ^ { 2 } - ( p _ { i } ^ { i n } - p _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } \Psi ( x ) = { \frac { 2 m } { \hbar ^ { 2 } } } M ( x ) \Psi ( x ) = { \kappa } ^ { 2 } \Psi ( x ) , \; \; \; \; \; \; \mathrm { w h e r e } \; \; \; { \kappa } ^ { 2 } = { \frac { 2 m } { \hbar ^ { 2 } } } M .
[ \hat { \pi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) , \hat { \phi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) ] = \hat { \pi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \, \hat { \phi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) - \hat { \phi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) \, \hat { \pi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = - i \hbar \frac { \delta \phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) } { \delta \phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } = - i \hbar \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } & { - ( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ) - \eta _ { k } \mathrm { K L } ( p _ { k } \| p _ { k - 1 } ) - \iint ( p _ { k } - p _ { k - 1 } ) ( x ) f ( x , y ) ( q _ { k } - q ) ( y ) d x d y } \\ { \leq } & { - ( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ) - \eta _ { k } \mathrm { K L } ( p _ { k } \| p _ { k - 1 } ) + \sqrt { \mathrm { K L } ( p _ { k } \| p _ { k - 1 } ) } \sqrt { \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ) } } \\ { \leq } & { - \left( \eta _ { k } - \frac { 1 } { 4 ( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } ) } \right) \mathrm { K L } ( p _ { k } \| p _ { k - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| e ^ { i ( \tau - s ) \Delta } P _ { N } B ( e ^ { i s \Delta } v _ { 0 } ) - e ^ { i \tau \Delta } I _ { N } B ( P _ { N } v _ { 0 } ) \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { = \| P _ { N } B ( e ^ { i s \Delta } v _ { 0 } ) - e ^ { i s \Delta } I _ { N } B ( P _ { N } v _ { 0 } ) \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq \| P _ { N } B ( e ^ { i s \Delta } v _ { 0 } ) - P _ { N } B ( v _ { 0 } ) \| _ { L ^ { 2 } } + \| P _ { N } B ( v _ { 0 } ) - P _ { N } B ( P _ { N } v _ { 0 } ) \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \| P _ { N } B ( P _ { N } v _ { 0 } ) - e ^ { i s \Delta } P _ { N } B ( P _ { N } v _ { 0 } ) \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \| e ^ { i s \Delta } P _ { N } B ( P _ { N } v _ { 0 } ) - e ^ { i s \Delta } I _ { N } B ( P _ { N } v _ { 0 } ) \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq \| B ( e ^ { i s \Delta } v _ { 0 } ) - B ( v _ { 0 } ) \| _ { L ^ { 2 } } + \| B ( v _ { 0 } ) - B ( P _ { N } v _ { 0 } ) \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \| ( I - e ^ { i s \Delta } ) P _ { N } B ( P _ { N } v _ { 0 } ) \| _ { L ^ { 2 } } + \| ( P _ { N } - I _ { N } ) B ( P _ { N } v _ { 0 } ) \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { = : \| e _ { 3 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } } + \| e _ { 3 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { 2 } } + \| e _ { 3 } ^ { 3 } \| _ { L ^ { 2 } } + \| e _ { 3 } ^ { 4 } \| _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sqrt { \left( 1 + \frac { 1 } { \gamma } \right) } \, \textrm { R e } \left\{ \sum _ { m \in \mathcal { M } _ { t } } { \mathbf { h } } _ { m u } ^ { H } { \mathbf { f } } _ { m u } \right\} \geq \left\Vert \begin{array} { l } { \sum _ { m \in \mathcal { M } _ { t } } { \mathbf { h } } _ { m u } ^ { H } { \mathbf { f } } _ { m 1 } } \\ { \vdots } \\ { \sum _ { m \in \mathcal { M } _ { t } } { \mathbf { h } } _ { m u } ^ { H } { \mathbf { f } } _ { m S } } \\ { \sigma _ { u } } \end{array} \right\Vert . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho : \mathcal { P } _ { k } ( X _ { n } ) \to \mathcal { P } _ { k + 1 } ( X _ { n } ) \, , \quad \rho ( Q ) ( x ) : = \gamma ( x ) Q ( x ) } \\ & { \pi : \mathcal { P } _ { k + 1 } ( X _ { n } ) \to \mathcal { P } _ { k } ( X _ { n } ) \, , \quad \pi ( P ) ( x ) : = \, \sum _ { j = 1 } ^ { k + 1 } \binom { k + 1 } { j } ( - 1 ) ^ { j + 1 } \gamma ( x ) ^ { j - 1 } \overset { \vee } { P } ( e ^ { ( j ) } , x ^ { ( k + 1 - j ) } ) \, . } \end{array}
( p ^ { 0 } ) ^ { 2 } = \tilde { E } ^ { c } \tilde { E } ^ { d } F _ { a c } F _ { b d } \delta ^ { a b } + \tilde { E } ^ { a } \tilde { E } ^ { b } G _ { a b } + e ^ { - 2 \phi } d e t ( G _ { a b } + F _ { a b } ) .
\begin{array} { r l r } { \beta _ { - } } & { = } & { \tau ( \Gamma _ { s } - \Gamma _ { 0 } ) + \tau \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { s } } \\ & { \times } & { \left[ F _ { -- } \Gamma _ { s } - \left( \frac { k _ { \parallel } b k _ { \parallel } } { \omega ^ { 2 } } \right) _ { - } \frac { \tau V _ { A } ^ { 2 } F _ { - } } { ( 1 - \omega _ { * e } / \omega ) _ { - } } \right] . } \end{array}
\{ \mathsf { L _ { 1 } } , \mathsf { L _ { 2 } } \} = [ \mathsf { L _ { 2 } } , \mathsf { \mathcal { C } _ { 1 2 } } ] , \qquad \{ \mathsf { R _ { 1 } } , \mathsf { R _ { 2 } } \} = [ \mathsf { R _ { 2 } } , \mathsf { \mathcal { C } _ { 1 2 } } ] .
b ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \gets \left( \xi _ { k } ^ { \mathrm { ~ d ~ } } \: s ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } , k } \; - \; \sum _ { i = 1 } ^ { n } d _ { i } \; s _ { i } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \right)
\begin{array} { r l } { \int _ { V } \boldsymbol { r } \times ( \rho _ { 0 } \nabla \Phi ) \, \mathrm { d } V } & { { } = - \int _ { V } \Phi \, ( \boldsymbol { r } \times \nabla \rho _ { 0 } ) \, \mathrm { d } V - \int _ { V } \nabla \times \left( \rho _ { 0 } \Phi \, \boldsymbol { r } \right) \, \mathrm { d } V , } \end{array}
L _ { m } = P ^ { + } ( m ) \alpha _ { m } ^ { - } + P ^ { - } ( m ) \alpha _ { m } ^ { + } + \sum _ { k \ne 0 , m } \alpha _ { m - k } ^ { + } \alpha _ { k } ^ { - } + \sum _ { s } ( s + \frac { 1 } { 2 } ) \psi _ { m - s } ^ { + } \psi _ { s } ^ { - }
\begin{array} { r l } { H _ { 2 D } ^ { \prime } = } & { { } \int d ^ { 2 } \vec { r } \Big [ \sum _ { s = \uparrow \downarrow } | \vec { r } s \rangle \bigr ( - \frac { \hbar ^ { 2 } \vec { \nabla } ^ { 2 } } { 2 m } + V ( \vec { r } ) + \frac { \delta } { 2 } ( \sigma _ { z } ) _ { s s } \bigr ) \langle \vec { r } s | } \\ { - } & { { } i \gamma _ { \downarrow } | \vec { r } \downarrow \rangle \langle \vec { r } \downarrow | + \bigr ( M _ { R } ( \vec { r } ) | \vec { r } \uparrow \rangle \langle \vec { r } \downarrow | + h . c . \bigr ) \Big ] , } \end{array}
E ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { E ( 0 ) \, e ^ { - i k z } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ z ~ < ~ 0 ~ } , } \\ { E ( L ) \, e ^ { i k ( z - L ) } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ z ~ > ~ L ~ } . } \end{array} \right.
[ r _ { 1 2 } , r _ { 1 3 } ] + [ r _ { 1 2 } , r _ { 2 3 } ] + [ r _ { 3 2 } , r _ { 1 3 } ] + \{ L _ { 2 } , r _ { 1 3 } \} - \{ L _ { 3 } , r _ { 1 2 } \} = 0 .
\Delta \psi = \sqrt { \frac { ( n / 2 - w _ { 1 } - \varepsilon f _ { 0 } \cos \zeta ) ^ { 2 } } { ( w _ { 2 } + \varepsilon f _ { 1 } \cos \zeta ) ^ { 2 } } - \frac { ( n / 2 - w _ { 1 } - \varepsilon f _ { 0 } ) ^ { 2 } } { ( w _ { 2 } + \varepsilon f _ { 1 } ) ( w _ { 2 } + \varepsilon f _ { 1 } \cos \zeta ) } } ,
\left( { \frac { d Q } { d s } } \right) Q ^ { T } = \left[ { \begin{array} { l l l } { 0 } & { \kappa } & { 0 } \\ { - \kappa } & { 0 } & { \tau } \\ { 0 } & { - \tau } & { 0 } \end{array} } \right]
\begin{array} { r l } { { \frac { d ^ { 3 } F ( P ) } { d P ^ { 3 } } } } & { { } = { \frac { d ^ { 2 } F ^ { \prime } ( P ) } { d P ^ { 2 } } } = { \frac { d F ^ { \prime \prime } ( P ) } { d P } } = { \frac { F ^ { \prime \prime } ( P _ { 1 } ) - F ^ { \prime \prime } ( P _ { 0 } ) } { d P } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \varphi ^ { \prime } ( \bar { x } ; d ) = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { g ( \bar { x } + t d ) - g ( \bar { x } ) } { t } + \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { - h ( \bar { x } + t d ) + h ( \bar { x } ) } { t } } \\ { = \langle \nabla g ( \bar { x } ) , d \rangle + \operatorname* { i n f } \big \{ \langle w , d \rangle \; \big | \; w \in - \partial h ( \bar { x } ) \big \} \leq \langle \nabla g ( \bar { x } ) + v , d \rangle \leq - \zeta \| d \| ^ { 2 } , } \end{array} } \end{array}
C _ { \Omega } = T \left( \frac { \partial S } { \partial T } \right) _ { \Omega } \sim \left\{ \begin{array} { l l } { { \epsilon _ { T } ^ { - \alpha } } } & { { \ \ \mathrm { f o r } \ \ \epsilon _ { \Omega } = 0 } } \\ { { \epsilon _ { \Omega } ^ { - \varphi } } } & { { \ \ \mathrm { f o r } \ \ \epsilon _ { T } = 0 , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \epsilon ^ { - 1 / 2 } ( f _ { \epsilon } ^ { \mathrm { r e c - 2 } } ( x _ { 0 } + \epsilon \check { x } ) - f _ { \epsilon } ^ { \mathrm { r e c - 2 } } ( x _ { 0 } ) ) } \\ & { = O ( \epsilon ^ { 1 / 2 } ) + O ( \epsilon ^ { 1 / 2 } ) \biggl [ \epsilon ^ { 1 / 2 } + \sum _ { 1 \le k \le O ( 1 / \epsilon ) } \frac { \epsilon } { ( k \epsilon ) ^ { 1 / 2 } } \biggr ] = O ( \epsilon ^ { 1 / 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \left| \int _ { 0 } ^ { T } \left( \int _ { \eta ( t ) } ^ { t } \phi ( u , r _ { u } ) \mathrm { d } W _ { u } ^ { 3 } \right) \mathrm { d } t \right| ^ { q } \right] } \\ & { = h ^ { q } \mathbb { E } \left[ \left| \int _ { 0 } ^ { T } \left( 1 + \frac { \eta ( u ) - u } { h } \right) \phi ( u , r _ { u } ) \mathrm { d } W _ { u } ^ { 3 } \right| ^ { q } \right] } \\ & { \leq c _ { q } h ^ { q } \mathbb { E } \left[ \left| \int _ { 0 } ^ { T } \phi ^ { 2 } ( u , r _ { u } ) \mathrm { d } u \right| ^ { q / 2 } \right] \leq c _ { q } h ^ { q } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbb { E } [ | \phi ( u , r _ { u } ) | ^ { q } ] \mathrm { d } u = O ( h ^ { q } ) . } \end{array}
S = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m } \int d t \, \left( | v _ { m } ( t ) | ( \partial _ { t } \phi _ { m } ( t ) ) ^ { 2 } - \frac { ( D \phi _ { m } ( t ) ) ^ { 2 } } { | v _ { m + 1 } ( t ) + v _ { m } ( t ) | / 2 } \right)
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ F ( x _ { k + 1 } ) - F ( x _ { k } ) | \mathcal { F } _ { k } ] = - \xi \alpha _ { k } \langle \nabla _ { x } F ( x _ { k } ) , q _ { k } ^ { x } \rangle + \frac { l _ { F , 1 } } { 2 } \mathbb { E } [ \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } \\ & { = - \frac { \xi \alpha _ { k } } { 2 } ( \| \nabla F ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } + \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } - \| \nabla F ( x _ { k } ) - q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } ) + \frac { l _ { F , 1 } } { 2 } \mathbb { E } [ \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle H V | G H Z \rangle } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \langle H V \otimes \mathbb { I } _ { C } ) \left( | H H H \rangle + | V V V \rangle \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \left( \langle H | H \rangle _ { A } \right) \left( \langle V | H \rangle _ { B } \right) \left( \mathbb { I } _ { C } | H \rangle _ { C } \right) + \left( \langle H | V \rangle _ { A } \right) \left( \langle V | V \rangle _ { B } \right) \left( \mathbb { I } _ { C } | V \rangle _ { C } \right) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \left( 1 \right) \left( 0 \right) \left( | H \rangle _ { C } \right) + \left( 0 \right) \left( 1 \right) \left( | V \rangle _ { C } \right) \right] = 0 . } \end{array}
d ( e _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes e _ { i _ { k } } ) = \sum _ { i _ { 1 } \leq i _ { j } \leq i _ { k } } ( - 1 ) ^ { i _ { j } } e _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes e _ { i _ { j - 1 } } \otimes e _ { i _ { j + 1 } } \otimes \cdots e _ { i _ { k } }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \tau } { \partial t } = } & { { } - \frac { 1 } { s _ { v } } \, \frac { \partial s _ { v } } { \partial t } \, \tau + \frac { 1 } { s _ { v } } \, \frac { \partial v ^ { \flat } } { \partial t } = - \frac { 1 } { s _ { v } } \, \frac { \partial s _ { v } } { \partial t } \, \tau - \frac { 1 } { s _ { v } } \, \iota _ { v } \, \omega _ { \xi } - \frac { 1 } { s _ { v } } \, \mathrm { d } \big ( p + \frac { s _ { v } } { 2 } \big ) \ . } \end{array}
A = \left[ \begin{array} { l l l } { x _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { \ldots } & { x _ { d } ^ { ( 1 ) } } \\ { \vdots } & & { \vdots } \\ { x _ { 1 } ^ { ( N ) } } & { \ldots } & { x _ { d } ^ { ( N ) } } \end{array} \right] \in \mathbb { R } ^ { N \times d } \qquad \mathrm { a n d } \qquad B = \left[ \begin{array} { l l l } { x _ { 1 } ^ { ( N + 1 ) } } & { \ldots } & { x _ { d } ^ { ( N + 1 ) } } \\ { \vdots } & & { \vdots } \\ { x _ { 1 } ^ { ( 2 N ) } } & { \ldots } & { x _ { d } ^ { ( 2 N ) } } \end{array} \right] \in \mathbb { R } ^ { N \times d } ,
\frac { H _ { Q M } [ \rho , \Pi ] } { N ^ { 2 } } ~ = ~ \frac { \gamma } { 8 } \int d \theta \left\{ \rho ( \theta ) \left( \frac { \partial } { \partial \theta } \frac { \delta ~ S } { \delta \rho ( \theta ) } \right) ^ { 2 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } \rho ^ { 3 } ( \theta ) \right\} + \frac { 1 } { N ^ { 2 } } V [ \rho ] ~ = ~ \frac { E } { N ^ { 2 } } \; .
a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 2 } ( A _ { 1 } ^ { \prime } - A _ { 2 } ^ { \prime } ) + ( a _ { 1 } ^ { 2 } - a _ { 2 } ) a _ { 3 } ^ { 2 } A _ { 3 } ^ { \prime } = 0