harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { m u l t i } } ( \theta ) = \: } & { { } \mathbb { E } _ { ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , \, . . . , \, \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) } \left[ \sum _ { k = i + 1 } ^ { j - 1 } | | \mathbf { x } _ { t _ { k } } - \mathbf { x } _ { t _ { k } } ^ { \mathrm { O D E , F } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } + | | \mathbf { x } _ { t _ { k } } - \mathbf { x } _ { t _ { k } } ^ { \mathrm { O D E , B } } ( \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ { \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } \quad } & { { } \mathbf { x } _ { t _ { j } } ^ { \mathrm { O D E , F } } = \mathbf { x } _ { t _ { i } } + \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { j } } \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E , F } } ) - \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } ( t ) s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E , F } } , t ) d t , } \\ { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad } & { { } \mathbf { x } _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { O D E , B } } = \mathbf { x } _ { t _ { j } } + \int _ { t _ { j } } ^ { t _ { i } } \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E , B } } ) - \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } ( t ) s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E , B } } , t ) d t , } \end{array}
[ [ \mathrm { S } \cdot \mathrm { D } , v \cdot u ] , \chi _ { + } ] = [ [ v \cdot \mathrm { D } , \mathrm { S } \cdot u ] , \chi _ { + } ] = [ v \cdot u , [ \mathrm { S } \cdot \mathrm { D } , \chi _ { + } ] ] = [ \mathrm { S } \cdot u , [ v \cdot \mathrm { D } , \chi _ { + } ] ] = 0 .
{ \frac { \mu ( A ) } { \mu ( X ) } } = { \frac { 1 } { \mu ( X ) } } \int \chi _ { A } \, d \mu = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \; { \frac { 1 } { n } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \chi _ { A } ( T ^ { k } x )
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { A _ { \mathrm { ~ c ~ s ~ } } } \frac { \mathrm { ~ d ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } s } ( \dot { m } ) } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \mathrm { ~ d ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } s } \left( \frac { 1 } { A _ { \mathrm { ~ c ~ s ~ } } ^ { 2 } } \frac { \dot { m } ^ { 2 } } { \rho } + P \right) } & { { } = \gamma \rho g - \frac { 2 f } { D } \frac { 1 } { A _ { \mathrm { ~ c ~ s ~ } } ^ { 2 } } \frac { \dot { m } ^ { 2 } } { \rho } . } \end{array}
U = \int _ { - L / 2 } ^ { L / 2 } \! d x \, \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { ( 2 - \cos 2 \pi x / L ) ^ { 2 } } = \frac { 3 2 L \pi ^ { 2 } } { 3 \sqrt { 3 } } .
\frac { \partial \vec { u } } { \partial t } + \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { u } = - \boldsymbol { \nabla } \left( \frac { p } { \rho _ { 0 } } + V _ { F } \right) - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 \rho _ { 0 } ^ { 2 } } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { s } \cdot \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { s } ,
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { E } [ u ( w ) ] } & { = \operatorname { E } [ w ] - b \operatorname { E } [ e ^ { - a w } ] } \\ & { = \operatorname { E } [ w ] - b \operatorname { E } [ e ^ { - a \operatorname { E } [ w ] - a ( w - \operatorname { E } [ w ] ) } ] } \\ & { = \operatorname { E } [ w ] - b e ^ { - a \operatorname { E } [ w ] } \operatorname { E } [ e ^ { - a ( w - \operatorname { E } [ w ] ) } ] } \\ & { = { \mathrm { e x p e c t e d ~ w e a l t h } } - b \cdot e ^ { - a \cdot { \mathrm { e x p e c t e d ~ w e a l t h } } } \cdot { \mathrm { r i s k } } . } \end{array} }
\begin{array} { r c l } { { \psi _ { \uparrow } ^ { ( + ) } } } & { { = } } & { { \sqrt { \rho } e ^ { \gamma _ { 5 } \pi / 4 } e ^ { - \gamma _ { 2 1 } M c t / \hbar } \, ; } } \\ { { \psi _ { \downarrow } ^ { ( + ) } } } & { { = } } & { { \sqrt { \rho } e ^ { \gamma _ { 5 } \pi / 4 } \gamma _ { 3 1 } e ^ { - \gamma _ { 2 1 } M c t / \hbar } \, ; } } \\ { { \psi _ { \uparrow } ^ { ( - ) } } } & { { = } } & { { \sqrt { \rho } e ^ { \gamma _ { 5 } 3 \pi / 4 } e ^ { - \gamma _ { 2 1 } M c t / \hbar } ) \, ; } } \\ { { \psi _ { \downarrow } ^ { ( - ) } } } & { { = } } & { { \sqrt { \rho } e ^ { \gamma _ { 5 } 3 \pi / 4 } ( \gamma _ { 1 2 } e ^ { - \gamma _ { 2 1 } M c t / \hbar } ) \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( 2 r _ { \infty } - 5 ) \partial _ { y _ { r _ { \infty } - 2 } } f _ { k } } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { i } \left( \underset { s = 1 } { \overset { i } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 k + 2 s - 7 ) \right) y _ { r _ { \infty } - 2 } ^ { i - 1 } y _ { r _ { \infty } - 2 - k + i } } { ( i - 1 ) ! ( 2 r _ { \infty } - 5 ) ^ { i - 1 } } } \\ & { } & { + \frac { ( - 1 ) ^ { k } \left( \underset { s = 1 } { \overset { k - 1 } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 k + 2 s - 7 ) \right) ( 2 r _ { \infty } - 7 ) y _ { r _ { \infty } - 2 } ^ { k } } { ( k - 1 ) ! ( 2 r _ { \infty } - 5 ) ^ { k - 1 } } } \\ & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { k } \frac { ( - 1 ) ^ { i } \left( \underset { s = 1 } { \overset { i } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 k + 2 s - 7 ) \right) y _ { r _ { \infty } - 2 } ^ { i - 1 } y _ { r _ { \infty } - 2 - k + i } } { ( i - 1 ) ! ( 2 r _ { \infty } - 5 ) ^ { i - 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \beta ( t ) : = \frac { \sigma } { 4 } - 2 ^ { \frac { 5 } { 6 } } \Big ( \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + 2 \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } e ^ { \frac { t } { 3 } } t > 0 , \qquad \gamma ( t ) : = \beta ( t ) - \frac { \sigma } { 8 } > 0 , } \end{array}
q = 0 : \left( \pm 1 , \mp 1 \right) , \left( \pm \frac { 1 } { 2 } , \pm \frac { 1 } { 2 } , \right) , \left( \pm \frac { 1 } { 2 } , \mp \frac { 1 } { 2 } , \right)
\int _ { 0 } ^ { \infty } G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, \eta x \right) G _ { \sigma , \tau } ^ { \, \mu , \nu } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { c _ { \sigma } } } \\ { \mathbf { d _ { \tau } } } \end{array} } \; \right| \, \omega x \right) d x =
\begin{array} { r l } { \langle \hat { T } \rangle } & { { } = \left\langle \hat { p } ^ { T } \cdot m ^ { - 1 } \cdot \hat { p } \right\rangle / 2 = \operatorname { T r } \left( m ^ { - 1 } \cdot \left\langle \hat { p } \otimes \hat { p } ^ { T } \right\rangle \right) / 2 } \end{array}
I _ { 2 } ^ { ( 1 ) } = \int d ^ { D } k ~ d ^ { D } l \frac { 1 } { ( k - q ) ^ { 2 } k ^ { 2 } ( q - l ) ^ { 2 } l ^ { 2 } } T _ { k , l } \left[ \frac { 1 } { ( k - l ) ^ { 2 } - M ^ { 2 } } \right] .
\| \bar { D } _ { 1 , x } - \bar { D } _ { 1 , i ^ { * } , x } \| _ { 2 } \leq 2 \| \bar { D } _ { 1 , x } - \bar { D } _ { 1 , x } ^ { ( i ) } \| _ { 2 } \mathrm { ~ a n d ~ } \| \bar { \mathfrak { D } } _ { 2 } - \bar { \mathfrak { D } } _ { 2 , i ^ { * } } \| _ { 3 / 2 } \leq 2 \| \bar { \mathfrak { D } } _ { 2 } - \bar { \mathfrak { D } } _ { 2 } ^ { ( i ) } \| _ { 3 / 2 }
k = { \frac { k _ { \mathrm { { B } } } T } { h } } e ^ { - { \frac { \Delta G ^ { \ddagger } } { R T } } } = { \frac { k _ { \mathrm { { B } } } T } { h } } e ^ { \frac { \Delta S ^ { \ddagger } } { R } } e ^ { - { \frac { \Delta H ^ { \ddagger } } { R T } } } ,
\Phi _ { + } ^ { \mathrm { ( A i ) } } ( \zeta ) = \Phi _ { - } ^ { \mathrm { ( A i ) } } ( \zeta ) \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { \zeta \in \Sigma _ { 1 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { \zeta \in \Sigma _ { 2 } \cup \Sigma _ { 4 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) , } & & { \zeta \in \Sigma _ { 3 } . } \end{array} \right.
V _ { G } ( T ) = \frac { 2 } { 9 \pi } S _ { 1 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k k ^ { 2 } j _ { 2 } ( k r ) \left( \frac { M + m } { e _ { Q } + e _ { \bar { q } } } \right) \frac { \alpha _ { s } ( k ^ { 2 } ) } { e _ { Q } e _ { \bar { q } } } .
\begin{array} { r l } { C _ { l , m } = \int _ { r = 0 } ^ { r _ { m a x } } } & { \int _ { \theta = 0 } ^ { 2 \pi } \mathop { r } \mathop { d r } \mathop { d \theta } ~ \mathrm { E } _ { \mathrm { H G } } ( r , \theta , z _ { f } ) } \\ & { \times \mathrm { L G } _ { l , m } ^ { * } ( r , \theta , z _ { f } ) ( r , \theta , z _ { f } , r _ { 0 , o p t } , \theta _ { 0 , o p t } , w _ { 0 r } ) } \end{array}
C ^ { \Lambda , \Lambda _ { 0 } } ( k ) \equiv C ( k ) \sigma _ { \Lambda , \Lambda _ { 0 } } ( k ^ { 2 } ) : = C ( k ) \frac { \sigma _ { \Lambda _ { 0 } } ( k ^ { 2 } ) - \sigma _ { \Lambda } ( k ^ { 2 } ) } { \sigma _ { \Lambda _ { 0 } } ( 0 ) } .
B ( x , \omega ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n ! \left( - i \frac { \zeta } { 2 } F ( \omega ) \right) ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta _ { i } \sum _ { k _ { 1 } , \ldots k _ { N } \in p _ { N } ( n ) } \prod _ { j = 1 } ^ { N } \frac { \xi _ { j } ^ { k _ { j } } } { k _ { j } ! } R \left( \begin{array} { l l l l l } { q _ { 1 } } & { \ldots } & { q _ { i } } & { \ldots } & { q _ { N } } \\ { k _ { 1 } } & { \ldots } & { k _ { i } + 1 } & { \ldots } & { k _ { N } } \end{array} ; x \right) .
\frac 1 T \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \right] \le \frac 1 T \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { 1 } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \right] \le \left[ 3 K M ^ { 2 } m _ { 0 } + \frac { ( K + 1 ) M ^ { 2 } } 2 + ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) C _ { W } + 6 M ^ { 2 } \right] \cdot \frac { 1 0 } \epsilon ,
\left( \begin{array} { l l } { { { 1 - e ^ { - 2 i { \bar { \delta } } _ { 0 } } \cos 2 \kappa } } } & { { { - i e ^ { - i ( { \bar { \delta } } _ { 0 } + { \bar { \delta } } _ { 2 } ) } \sin 2 \kappa } } } \\ { { { - i e ^ { - i ( { \bar { \delta } } _ { 0 } + { \bar { \delta } } _ { 2 } ) } \sin 2 \kappa } } } & { { { 1 - e ^ { - 2 i { \bar { \delta } } _ { 2 } } \cos 2 \kappa } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { { \langle ( \pi \pi ) _ { 0 } | T | K ^ { 0 } \rangle } } } \\ { { { \langle ( \pi \pi ) _ { 2 } | T | K ^ { 0 } \rangle } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { { \langle ( \pi \pi ) _ { 0 } | T | K ^ { 0 } \rangle - \langle ( \pi \pi ) _ { 0 } | T ^ { \dagger } | K ^ { 0 } \rangle } } } \\ { { { \langle ( \pi \pi ) _ { 2 } | T | K ^ { 0 } \rangle - \langle ( \pi \pi ) _ { 2 } | T ^ { \dagger } | K ^ { 0 } \rangle } } } \end{array} \right)
f ( \overrightarrow { \nu } ) = \frac { 1 } { N } \left( e ^ { \frac { - { \nu } ^ { 2 } } { \nu _ { 0 } ^ { 2 } } } - e ^ { \frac { - \nu _ { e s c } ^ { 2 } } { \nu _ { 0 } ^ { 2 } } } \right) ,
\begin{array} { r l r } & { \int _ { R \mathbb S ^ { d - 1 } } \| x - y \| _ { 2 } ^ { r } \, \mathrm { d } \mathcal U _ { R \mathbb S ^ { d - 1 } } ( y ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { R ^ { r } \; _ { 2 } F _ { 1 } \left( - \frac { r } { 2 } , \frac { 2 - r - d } { 2 } ; \frac { d } { 2 } ; \frac { \| x \| _ { 2 } ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \right) , } & { \| x \| _ { 2 } \le R , } \\ { \| x \| _ { 2 } ^ { r } \; _ { 2 } F _ { 1 } \left( - \frac { r } { 2 } , \frac { 2 - r - d } { 2 } ; \frac { d } { 2 } ; \frac { R ^ { 2 } } { \| x \| _ { 2 } ^ { 2 } } \right) , } & { R \le \| x \| _ { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\omega \, \epsilon ( \rho ) = \alpha \, \chi ( \frac i 2 \, \rho \, \partial ) \, \epsilon ( \rho ) \, , \, \, \, \, \chi ( \nu ) = \frac { 2 \, N _ { c } } \pi \, R e \, \left( \psi ( 1 ) - \psi ( \frac 1 2 + i \nu ) \right) .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } - \Delta v _ { k } } & { = \frac { 1 } { ( t _ { k } \varepsilon _ { k } ) ^ { 2 } } ( 1 - | v _ { k } | ^ { 2 } ) v _ { k } \quad } & & { \mathrm { i n } \ t _ { k } [ \Omega - x _ { k } ] , } \\ { \partial _ { n } v _ { k } } & { = - \frac { 1 } { t _ { k } \varepsilon _ { k } ^ { s } } \langle v _ { k } , h ^ { \perp } \rangle h ^ { \perp } \quad } & & { \mathrm { o n } \ t _ { k } [ \Gamma - x _ { k } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \epsilon } _ { c r } \left( s \right) } & { { } = s \tilde { \varepsilon } _ { c r } \left( s \right) = \frac { 1 } { s ^ { \beta + \nu } } \left( \frac { a _ { 1 } } { b _ { 2 } } \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } } + \frac { a _ { 3 } } { b _ { 2 } } s ^ { \alpha + \beta } \frac { s ^ { \alpha + \beta } + \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } } { s ^ { \alpha + \beta } + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } } \right) } \end{array}
\Delta _ { a b } ^ { ( 0 ) } ( k ) = \left( \begin{array} { c c } { { \frac { 1 } { k ^ { 2 } + i \epsilon } } } & { { - 2 \pi i \delta ( k ^ { 2 } ) \theta ( - k \cdot u ) } } \\ { { } } & { { } } \\ { { - 2 \pi i \delta ( k ^ { 2 } ) \theta ( k \cdot u ) } } & { { \frac { - 1 } { k ^ { 2 } - i \epsilon } } } \end{array} \right) \, ,
\partial _ { p _ { 1 } ^ { \nu } } \Gamma _ { A _ { \mu } \varphi _ { 1 } \varphi _ { 2 } } ( - p _ { 1 } - p _ { 2 } , p _ { 1 } , p _ { 2 } ) \Big | _ { \{ p _ { i } \} = p _ { n o r m } } = - i e \eta ^ { \mu \nu } \quad \mathrm { f i x e s } \quad z _ { e }
\begin{array} { r l } { a _ { \mathrm { x } } } & { { } = 0 , } \\ { v _ { \mathrm { x } } } & { { } = v _ { 0 } \cos \left( \theta \right) , } \\ { x } & { { } = x _ { 0 } + v _ { 0 } \cos \left( \theta \right) t , } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { 1 , \alpha } ( j ) = m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) = \mathcal { C } _ { \alpha } \left( \frac { \Gamma \left( | j | + \frac { \alpha } { 2 } \right) } { \Gamma \left( 1 + | j | - \frac { \alpha } { 2 } \right) } - \frac { \Gamma \left( \frac { \alpha } { 2 } \right) } { \Gamma \left( 1 - \frac { \alpha } { 2 } \right) } \right) , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ j \in ~ \mathbb { Z } \backslash \left\{ ~ 0 ~ \right\} ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { V } ( t , x ) = } & { \overline { { \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 ^ { + } } } } \frac { 1 } { h } \{ V ( t + h , x ( t + h ) ) - V ( t , x ( t ) ) \} } \\ { = } & { \overline { { \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 ^ { + } } } } \frac { 1 } { h } \{ V ( t + h , x + h f ( t , x ) ) - V ( t , x ) \} \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathbb { E } [ \mathcal { R } _ { n } ( \mathcal { H } _ { i j } ) ] } { M ( i , j ) } \leq \frac { A _ { 8 } n ^ { - 1 / 2 } | \Theta | ^ { 1 / 2 } \mathbb { E } ^ { \frac { 1 } { 2 ( 1 + \gamma ) } } \big [ \Psi _ { u } ^ { \gamma } \big ] } { ( 2 ^ { i } \delta _ { n } ) ^ { \frac { \gamma + 2 } { 2 ( \gamma + 1 ) } } } + \frac { A _ { 9 } n ^ { - 1 } | \Theta | } { 2 ^ { i } \delta _ { n } } \leq 1 / 4 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho } { \partial t } } & { = \nabla \cdot \left( \rho \nabla \left( - \kappa \Delta \rho - \alpha \Delta \eta - \gamma \rho - \beta \eta \right) \right) , } \\ { \frac { \partial \eta } { \partial t } } & { = \nabla \cdot \left( \eta \nabla \left( - \alpha \Delta \rho - \Delta \eta - \beta \rho - \eta \right) \right) . } \end{array}
t ( { \bf q } ) = \int _ { 0 } ^ { s _ { * } } \left( \sqrt { \chi ^ { 2 } + 2 \sin \psi \left( \dot { \bf q } \cdot { \bf a } _ { \phi } \right) + \dot { \bf q } \cdot \dot { \bf q } } \right) \frac { d s } { v } \, ,
^ { 3 } H e ; ~ ~ ^ { 4 0 } C a ^ { 1 9 } F _ { 2 } ; ~ ~ ^ { 7 6 } G e + ^ { 7 3 } G e ; ~ ~ ^ { 7 1 } G a ^ { 7 5 } A s ; { } ~ ~ ^ { 2 3 } N a ^ { 1 2 7 } I ; ~ ~ ^ { 2 0 7 } P b
\sum _ { t \in T } \sum _ { w _ { 1 } , \ldots , w _ { n - 1 } \in W } ( - 1 ) ^ { | w _ { 1 } | + \cdots + | w _ { n - 1 } | } \Delta _ { t ( w _ { 1 } ( \Lambda _ { 1 } ) + \cdots + w _ { n - 1 } ( \Lambda _ { n - 1 } ) ) } ^ { ( n - 2 ) } = \sum _ { \Lambda _ { n } \in \Delta _ { \Lambda _ { 1 } , \ldots , \Lambda _ { n - 1 } } } \Delta _ { \tilde { W } ( \Lambda _ { n } ) } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } u _ { y } + u _ { x } \partial _ { x } u _ { y } } & { = 0 , } \\ { \left[ \frac { c _ { s } ^ { + } - u _ { x } } { \rho } \partial _ { t } \rho + \partial _ { t } u _ { x } \right] + c _ { s } ^ { + } \left[ \frac { c _ { s } ^ { + } - u _ { x } } { \rho } \partial _ { x } \rho + \partial _ { x } u _ { x } \right] } & { = 0 , } \\ { \left[ \frac { c _ { s } ^ { - } - u _ { x } } { \rho } \partial _ { t } \rho + \partial _ { t } u _ { x } \right] + c _ { s } ^ { - } \left[ \frac { c _ { s } ^ { - } - u _ { x } } { \rho } \partial _ { x } \rho + \partial _ { x } u _ { x } \right] } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( \mathcal { X } _ { j } ( t , x ) , \chi _ { [ j , x ] } ( \tilde { t } ) ) } & { = d ( \iota ( \mathcal { X } _ { j } ( t , x ) ) , \iota ( \chi _ { [ j , x ] } ( \tilde { t } ) ) ) = d ( \tilde { \mathcal { X } } _ { j } ( t , x ) , \iota ( \chi _ { [ j , x ] } ( \tilde { t } ) ) ) } \\ & { = d ( \Pi _ { \iota ( U ) } \mathfrak { e } ( \tilde { t } , \tilde { J } _ { j } ( x ) ) , \iota ( \chi _ { [ j , x ] } ( \tilde { t } ) ) ) = d ( \Pi _ { \iota ( U ) } ( \iota ( \chi _ { [ j , x ] } ( \tilde { t } ) ) ) , \iota ( \chi _ { [ j , x ] } ( \tilde { t } ) ) ) } \\ & { = \mathrm { d i s t } ( \iota ( U ) , \iota ( \chi _ { [ j , x ] } ( \tilde { t } ) ) ) = \mathrm { d i s t } ( U , \chi _ { [ j , x ] } ( \tilde { t } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z \left( \omega \right) } & { { } = H \left( \omega \right) X \left( \omega \right) + \Xi \left( \omega \right) , } \\ { \hat { X } \left( \omega \right) } & { { } = G \left( \omega \right) Z \left( \omega \right) . } \end{array}
f ( \mathbf { x } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { x } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A } \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { b } , \qquad \mathbf { x } \in \mathbf { R } ^ { n } \, .
\begin{array} { r l } { | \mathfrak { a } \mathfrak { b } | _ { m + m ^ { \prime } , s , \eta _ { 0 } } ^ { \operatorname* { s u p } } } & { \le _ { m , m ^ { \prime } , s , \eta } | \mathfrak { a } | _ { m , s , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s _ { 0 } , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } + | \mathfrak { a } | _ { m , s _ { 0 } , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \tau + 1 } ^ { 2 } + \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } 2 \eta _ { t } \Delta _ { t } \leq } & { \mathfrak { D } _ { \tau } \left( d _ { 1 } + h ( \tau ) + 4 ( \sigma / M ) ^ { p } \alpha \log ( e \tau ) + 4 6 \left( \log \frac { 4 } { \delta } + \sqrt { ( \sigma / M ) ^ { p } \log ( e T ) \log \frac { 4 } { \delta } } \right) \alpha \right) } \\ { \overset { ( c ) } { \leq } } & { \mathfrak { D } _ { \tau } \left( d _ { 1 } + 2 \alpha \log ( e T ) + 8 4 ( \sigma / M ) ^ { p } \alpha \log ( e T ) + 4 6 \left( \log \frac { 4 } { \delta } + \sqrt { ( \sigma / M ) ^ { p } \log ( e T ) \log \frac { 4 } { \delta } } \right) \alpha \right) } \\ { \leq } & { \mathfrak { D } _ { \tau } \left( d _ { 1 } + 2 \alpha \log ( e T ) + 1 0 7 ( \sigma / M ) ^ { p } \alpha \log ( e T ) + 6 9 \alpha \log \frac { 4 } { \delta } \right) } \\ { \leq } & { \frac { \mathfrak { D _ { \tau } ^ { 2 } } + \left( d _ { 1 } + 2 \alpha \log ( e T ) + 1 0 7 ( \sigma / M ) ^ { p } \alpha \log ( e T ) + 6 9 \alpha \log \frac { 4 } { \delta } \right) ^ { 2 } } { 2 } } \\ { \overset { ( d ) } { \leq } } & { \frac { D _ { \tau } ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } + \left( d _ { 1 } + 2 \alpha \log ( e T ) + 1 0 7 ( \sigma / M ) ^ { p } \alpha \log ( e T ) + 6 9 \alpha \log \frac { 4 } { \delta } \right) ^ { 2 } } { 2 } } \\ { \overset { ( e ) } { = } } & { \frac { D _ { \tau } ^ { 2 } + K } { 2 } } \end{array}
4 \lambda _ { 1 } \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } m _ { q ^ { a } } ( P _ { a \mu } ^ { * + } P _ { a } ^ { * \mu } - P _ { a } ^ { + } P _ { a } ) + 4 \lambda _ { 1 } ^ { \prime } \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } m _ { q ^ { a } } \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } ( P _ { a \mu } ^ { * + } P _ { a } ^ { * \mu } - P _ { a } ^ { + } P _ { a } ) ,
\begin{array} { r } { \ensuremath { \mathcal { W } } ^ { ( 0 ) } ( x , k , t ) = \sum _ { i , j = 1 } ^ { 2 } a _ { i j } ^ { + } B _ { + } ^ { i , j } + a _ { i j } ^ { - } B _ { - } ^ { i , j } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { 2 } a _ { i j } ^ { + } b _ { + } ^ { ( i ) } b _ { + } ^ { ( j ) ^ { T } } + a _ { i j } ^ { - } b _ { - } ^ { ( i ) } b _ { - } ^ { ( j ) ^ { T } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \tilde { W } } _ { i } \Big ( \sum _ { j = i } ^ { n } { \tilde { W } } _ { j } \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } { \tilde { W } } _ { j } \Big ) - W _ { i } \Big ( \sum _ { j = i } ^ { n } W _ { j } \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } W _ { j } \Big ) } \\ { = } & { W _ { i } \Big ( \sum _ { j = i } ^ { n } W _ { j } + 1 \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } W _ { j } - 1 \Big ) - W _ { i } \Big ( \sum _ { j = i } ^ { n } W _ { j } \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } W _ { j } \Big ) } \\ { = } & { W _ { i } \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } W _ { j } - \sum _ { j = i } ^ { n } W _ { j } - 1 \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \nu \to 0 } \frac { \nu } { \left( x _ { \nu 1 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \nu \to 0 } \left( \frac { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } } { 2 } \right) ^ { \nu } = 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mu ( \Omega _ { R } ) \geq e ^ { - \ell _ { N } ( \rho ) } / [ 2 \bar { \phi } ( 0 ) ] , } \\ & { \operatorname* { i n f } _ { x \in \Omega } ( \mu * \phi ) ( x ) \geq e ^ { - \ell _ { N } ( \rho ) } \underline { { \phi } } ( R + \mathrm { d i a m } ( \Omega ) ) / [ 2 \bar { \phi } ( 0 ) ] , } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { y \in \Omega _ { r } ^ { c } } | \delta \ell _ { N } ( \mu ) ( y ) | \leq \frac { 2 e ^ { \ell _ { N } ( \rho ) } \bar { \phi } ( 0 ) } { \underline { { \phi } } ( R + \mathrm { d i a m } ( \Omega ) ) } \cdot \bar { \phi } ( r ) , \qquad \forall r \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal M _ { i j } } & { = \frac { 1 } { 8 } ( p \sigma _ { i } ) ( p \sigma _ { j } ) \int d ^ { 2 } z ( z \bar { z } ) ^ { - \chi } \frac { 1 } { \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } } \frac { 1 } { z - z _ { j } } } \\ { \mathcal N _ { i j } } & { = \frac { 1 } { 8 } ( p \sigma _ { i } ) ( p \sigma _ { j } ) \int d ^ { 2 } z ( z \bar { z } ) ^ { - \chi } \frac { 1 } { \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } } \frac { 1 } { \bar { z } - \overline { { z _ { j } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| { ( A _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) ( I _ { n } - U ^ { * } U ^ { * T } ) U } \right\| } & { \leq \left\| { ( \tilde { A } _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) ( I _ { n } - U ^ { * } U ^ { * T } ) ( U - \bar { U } ) } \right\| } \\ & { \quad + \left\| { ( \tilde { A } _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) ( I _ { n } - U ^ { * } U ^ { * T } ) ( \bar { U } - \bar { U } ^ { ( i ) } W ^ { ( i ) } ) } \right\| } \\ & { \quad + \left\| { ( \tilde { A } _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) ( I _ { n } - U ^ { * } U ^ { * T } ) \bar { U } ^ { ( i ) } W ^ { ( i ) } } \right\| + \sqrt { \frac { k } { \beta n } } \sum _ { j \in S } A _ { i j } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { t r } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } [ ( \partial _ { t } \hat { f } _ { k } ) _ { \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } \rho _ { \mathrm { ~ \tiny ~ T ~ } } ( t ) ] = - \gamma _ { k } \mathrm { t r } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } \big [ \hat { f } _ { k } \rho _ { \mathrm { ~ \tiny ~ T ~ } } ( t ) \big ] . } \end{array}