harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \bar { \Gamma } } _ { \alpha \gamma } ^ { \beta } = { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \beta } } { \partial x ^ { \epsilon } } } { \frac { \partial x ^ { \delta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } } } { \frac { \partial x ^ { \zeta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \gamma } } } \Gamma _ { \delta \zeta } ^ { \epsilon } + { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \beta } } { \partial x ^ { \eta } } } { \frac { \partial ^ { 2 } x ^ { \eta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } \partial { \bar { x } } ^ { \gamma } } } ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { C H } _ { \mathrm { d a t a } } ( x , y ) } & { = } & { f _ { 1 } ( x , y ) - f _ { 2 } ( x , y ) + f _ { 3 } ( x , y ) + f _ { 4 } ( x , y ) } \\ & { } & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { z = - 1 , 1 } \left( f _ { 1 } ( x , z ) - f _ { 2 } ( x , z ) + f _ { 3 } ( x , z ) + f _ { 4 } ( x , z ) + f _ { 1 } ( z , y ) - f _ { 2 } ( z , y ) + f _ { 3 } ( z , y ) + f _ { 4 } ( z , y ) \right) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W } & { { } \approx \frac { 1 } { r } \left( \frac { \tilde { c } - c } { 1 - c } \right) \frac { 1 } { 1 - R _ { f } \frac { \partial \bar { i } } { \partial \eta } } \left[ 1 - \frac { \bar { i } _ { r e d } } { \bar { i } } \left( 1 - c _ { + } \right) \frac { \partial \ln { a _ { + } } } { \partial \ln { c _ { + } } } \right] . } \end{array}
\frac { V _ { i } ^ { \prime \prime } ( 0 ) } { ( V _ { i } ^ { \prime } ( 0 ) ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \left( z _ { i } - z _ { i + 1 } \right) } + \frac { 1 } { \left( z _ { i } - z _ { i - 1 } \right) } .
R _ { \mathrm { g } } ^ { 2 } \ { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ { \frac { 1 } { 2 N ^ { 2 } } } \sum _ { i , j } \left( \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \bar { v } ^ { \tau } } & { = \frac { 1 } { 2 ( - \tilde { N } ^ { 2 } + \tilde { X } _ { a } \tilde { X } ^ { a } ) } ( - 2 \tilde { X } _ { a } \tilde { v } ^ { a } + \big [ 4 ( \tilde { X } _ { a } \tilde { X } ^ { a } ) ^ { 2 } - 4 ( - \tilde { N } ^ { 2 } + \tilde { X } _ { a } + \tilde { x } ^ { a } ) ( \tilde { g } _ { a b } \tilde { v } ^ { a } \tilde { v } ^ { b } + 1 ) \big ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) } \\ & { = \frac { \tau ^ { 2 } } { X _ { a } X ^ { a } - N ^ { 2 } } ( - X _ { a } v ^ { a } + \big [ ( X _ { a } v ^ { a } ) ^ { 2 } + ( N ^ { 2 } - X _ { a } X ^ { a } ) ( g _ { a b } v ^ { a } v ^ { b } + 1 ) \big ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 4 } } & { \frac { \hbar } { 2 e } \frac { d \varphi _ { n } } { d t } = V _ { n - 1 } - V _ { n } , } \\ & { C \frac { d V _ { n } } { d t } + G V _ { n } = \partial _ { n } ^ { 2 } \left( \frac { V _ { n } } { R _ { J } } + C _ { J } \frac { d V _ { n } } { d t } \right) } \\ & { + I _ { c } \left[ \sin \left( \varphi _ { n } + \varphi _ { 0 } \right) - \sin \left( \varphi _ { n + 1 } + \varphi _ { 0 } \right) \right] . } \end{array}
p = \frac { 1 } { 3 } p _ { \mathrm { s c a t } } + p _ { \mathrm { r o t } } \simeq \frac { \pi } { 3 } \frac { \gamma _ { \mathrm { 7 p } } } { \omega _ { \mathrm { q } } \epsilon } + \frac { 5 } { 1 6 } \epsilon ^ { 2 } .
A = - \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 } \, \frac { p _ { 1 1 } ^ { ( 1 ) } p _ { 1 1 } ^ { ( 2 ) } } { \left( p _ { \perp } ^ { ( 1 ) } - p _ { \perp } ^ { ( 4 ) } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { p _ { \perp } ^ { ( 1 ) } } { p _ { 1 1 } ^ { ( 1 ) } } - \frac { p _ { \perp } ^ { ( 2 ) } } { p _ { 1 1 } ^ { ( 2 ) } } \right) ^ { 4 }
\tilde { R } = \frac { \tilde { a } M ^ { 2 } ( \gamma - 1 ) ^ { 2 } e ^ { \phi _ { 0 } } } { \rho ^ { 4 } } \; \left( 1 - \frac { \rho _ { 0 } } { \rho } \right) ^ { - \frac { 1 + 3 k ^ { 2 } - 2 l } { 1 + k ^ { 2 } } } \; .
( Z , Z ) \equiv \frac { 1 } { 2 } t r ( \bar { Z } Z ) = z ^ { 1 } z ^ { 3 } - q ^ { 2 } z ^ { 2 } z ^ { 4 } \qquad ( \, \bar { Z } = \left( \begin{array} { c c } { { z ^ { 3 } } } & { { - q ^ { 2 } z ^ { 4 } } } \\ { { - q ^ { 2 } z ^ { 2 } } } & { { z ^ { 1 } } } \end{array} \right) \, ) \; .
\rho = 1 + \frac { 3 \alpha _ { Z } } { 1 6 \pi } ( \frac { m _ { t } } { m _ { Z } } ) ^ { 2 } = 1 + \frac { 3 \alpha _ { W } } { 1 6 \pi } ( \frac { m _ { t } } { m _ { W } } ) ^ { 2 } = 1 + \frac { 3 G _ { \mu } m _ { t } ^ { 2 } } { 8 \sqrt { 2 } \pi ^ { 2 } } \; \; .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i } \bigg [ } & { { } \frac { 1 } { 2 } p _ { i } ^ { 2 } \frac { d \mathrm { ~ } f _ { 2 } } { d t } + p _ { i } \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial t } + p _ { i } ^ { 2 } c \, \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial x _ { i } } + p _ { i } c \, \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial x _ { i } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { \geq \left[ \frac { \underline { { \alpha } } b } { 8 \mathrm { { R a } } } - a C \left( \left( \frac { 1 } { \mathrm { P r } } \left( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } + \underline { { \alpha } } ^ { - 1 } \mathrm { { R a } } \right) \right) ^ { 2 } + \| \dot { \alpha } \| _ { \infty } ^ { 2 } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } ^ { 2 } + 1 \right) \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { \qquad + \left[ \frac { b } { 2 { \mathrm { R a } } } - a ^ { 2 } \mathrm { { R a } } ^ { 2 } \right] \langle | \omega | ^ { 2 } \rangle + \left( \frac { b } { 8 { \mathrm { R a } } } - C \delta ^ { 6 } a ^ { - 1 } \right) \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { j k } ^ { i } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \mathrm { d e v } ( \boldsymbol \sigma ) _ { i 1 } } { \partial \overline { { V } } _ { e , j k } } } \\ { B _ { i } ^ { l } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \mathrm { d e v } ( \boldsymbol \sigma ) _ { i 1 } } { \partial ( \rho ^ { l } \phi ^ { l } ) } } \\ { C _ { i } ^ { l } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \mathrm { d e v } ( \boldsymbol \sigma ) _ { i 1 } } { \partial \phi ^ { l } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { H } ^ { \mathrm { A T } } = } & { 4 \sqrt { 2 } \mathcal { U } ^ { ( 4 ) } \mathbf { I } _ { 1 , 0 } { \mathcal { U } ^ { ( 4 ) } } ^ { \dag } = \sum _ { m = 1 } ^ { L } \left[ \mathbf { Z } _ { m } + \mathbf { Z } _ { m } ^ { \dag } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \mathbf { Z } _ { m } ^ { 2 } \right. } \\ & { \left. + \mathbf { X } _ { m } ^ { \dag } \mathbf { X } _ { m + 1 } + \mathbf { X } _ { m } \mathbf { X } _ { m + 1 } ^ { \dag } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \mathbf { X } _ { m } ^ { 2 } \mathbf { X } _ { m + 1 } ^ { 2 } - \big ( 2 + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \big ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq \frac { k ^ { 3 } + 2 k - 2 } { 4 } - 2 c _ { k } \sqrt { k ^ { 3 } } - k ^ { 2 } - 2 k - 1 } \\ & { < \frac { k ^ { 3 } + 2 k - 2 } { 4 } - 2 \sqrt { k ^ { 3 } } \cdot \sqrt { k ^ { 3 } } - k ^ { 2 } - 2 k - 1 } \\ & { = - \frac { 7 k ^ { 3 } + 4 k ^ { 2 } + 6 k + 6 } { 4 } } \\ & { < 0 , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { n \to \infty } \mathcal { I } _ { n } ^ { \alpha , a } = \operatorname * { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } d u \ n ^ { ( 1 + a ) - \alpha } L _ { n } ^ { \alpha } ( \frac { u ^ { 2 } } { n } ) u ^ { 2 a + 1 } n ^ { - a - 1 } 2 ^ { - a } \exp ( - \frac { u ^ { 2 } } { 2 n } ) .
d s ^ { 2 } = e ^ { 2 A ( x ) } \sum _ { \mu , \nu = 0 } ^ { q - 1 } \eta _ { \mu \nu } d y ^ { \mu } d y ^ { \nu } + \sum _ { i = q } ^ { D - s - 3 } e ^ { 2 F _ { i } ( x ) } d y ^ { i } d y ^ { i } + e ^ { 2 B ( x ) } \sum _ { \gamma = D - s - 2 } ^ { D - 1 } d x ^ { \gamma } d x ^ { \gamma } ,
\scriptstyle \operatorname { d i v i d e } = \lambda n . ( ( \lambda f . ( \lambda x . x \ x ) \ ( \lambda x . f \ ( x \ x ) ) ) \ ( \lambda c . \lambda n . \lambda m . \lambda f . \lambda x . ( \lambda d . ( \lambda n . n \ ( \lambda x . ( \lambda a . \lambda b . b ) ) \ ( \lambda a . \lambda b . a ) ) \ d \ ( ( \lambda f . \lambda x . x ) \ f \ x ) \ ( f \ ( c \ d \ m \ f \ x ) ) ) \ ( ( \lambda m . \lambda n . n ( \lambda n . \lambda f . \lambda x . n \ ( \lambda g . \lambda h . h \ ( g \ f ) ) \ ( \lambda u . x ) \ ( \lambda u . u ) ) m ) \ n \ m ) ) ) \ ( ( \lambda n . \lambda f . \lambda x . f \ ( n \ f \ x ) ) \ n )
\begin{array} { r } { R _ { n } ^ { [ 1 ] } = \left( \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \otimes \Gamma _ { n } \right) + \Tilde { Z } ^ { [ 1 ] } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } \\ { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \end{array} \right] + \tilde { Z } ^ { [ 1 ] } . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \mathbb { N } \times \mathbb { Z } _ { m } ) _ { \mathrm { o r d } } ^ { n } : = \Big \{ \pmb { \nu } = ( \nu _ { 1 } , \cdots , \nu _ { n } ) \in ( \mathbb { N } \times \mathbb { Z } _ { m } ) ^ { n } : ~ \nu _ { 1 } \leq \nu _ { 2 } \leq \cdots \leq \nu _ { n } \Big \} . } \end{array}
{ \Omega } = w ^ { 0 } I _ { k } + w ^ { a } \gamma _ { a } , \quad 2 w ^ { 0 } = \omega - b + q ^ { n } v ^ { n } , \quad w ^ { n } = - q ^ { n } , \quad 2 w ^ { p + 1 } = \omega + b - q ^ { n } v ^ { n } .
\begin{array} { r } { \delta V _ { k , \pm } = \langle | \delta V _ { k , \parallel } \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \cdot \hat { \mathbf { \xi } } _ { \pm } \pm \delta V _ { k , \perp 2 } \hat { \mathbf { e } } _ { \perp 2 } \cdot \hat { \mathbf { \xi } } _ { \pm } | \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { o } } & { \ge } & { \operatorname* { m a x } _ { x \in [ 0 , L ] } \frac { { \rho } \, g \sin ( \alpha ) } { \sqrt { 2 } } \frac { \left| h _ { 0 } \left( x - L / 2 \right) - \sin ( \pi x ) / \pi + \sin ( \pi L ) / \pi \right| } { h _ { 0 } - \cos ( \pi x ) } \, . } \\ { \sigma _ { o } } & { \ge } & { \frac { { \rho } \, g \, \sin ( \alpha ) \, h _ { 0 } \, L } { 2 \sqrt { 2 } ( h _ { 0 } - 1 ) } \approx 9 . 0 3 4 1 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac 1 { \beta ^ { p _ { 2 s - 1 } + 1 } } v ( \mathbf X _ { s } ) = } & { \frac 1 \beta \sum _ { j = 1 } ^ { r _ { s } } \bigg ( \frac 1 { \beta ^ { p _ { s , 4 j - 3 } } } v ( \mathbf w _ { 2 } ^ { n _ { s , 4 j - 3 } } ) + \frac 1 { \beta ^ { p _ { s , 4 j - 2 } } } v ( ( \mathbf w _ { 2 } \mathbf w _ { 0 } ) ^ { n _ { s , 4 j - 2 } } ) } \\ & { + \frac 1 { \beta ^ { p _ { s , 4 j - 1 } } } v ( \mathbf w _ { 0 } ^ { n _ { s , 4 j - 1 } } ) + \frac 1 { \beta ^ { p _ { s , 4 j } } } v ( ( \mathbf w _ { 0 } \mathbf w _ { 2 } ) ^ { n _ { s , 4 j } } ) \bigg ) } \\ { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { r _ { s } } \bigg ( \frac 1 { \beta ^ { p _ { s , 4 j - 3 } } } \frac 1 { \beta ^ { 2 } } ( 1 - 1 / \beta ^ { 2 n _ { s , 4 j - 3 } } ) + \frac 1 { \beta ^ { p _ { s , 4 j - 2 } } } \frac 1 { \beta ^ { 2 } + 1 } ( 1 - 1 / \beta ^ { 4 n _ { s , 4 j - 2 } } ) } \\ & { + \frac 1 { \beta ^ { p _ { s , 4 j } } } \frac 1 { \beta ^ { 2 } ( \beta ^ { 2 } + 1 ) } ( 1 - 1 / \beta ^ { 4 n _ { s , 4 j } } ) \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \int _ { a } ^ { b } e _ { 1 } ^ { 1 } ( \mathbf { d } _ { 0 } \epsilon _ { 2 } ) + \epsilon _ { 2 } ( - \mathbf { d } _ { 0 } ^ { \ast } e _ { 1 } ^ { 1 } ) \, d z + e _ { I } ^ { 1 } \phi _ { I } } \\ & { = \epsilon _ { 2 } ( 0 ) \left[ e _ { 1 } ^ { 1 } ( 0 ^ { + } ) - e _ { 1 } ^ { 1 } ( 0 ^ { - } ) \right] + e _ { I } ^ { 1 } \phi _ { I } } \\ & { = - e _ { I } ^ { 1 } \epsilon _ { 2 } ( 0 ) + e _ { I } ^ { 1 } \phi _ { I } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ 1 - \frac { 1 } { \Gamma } \exp ( v _ { p } / c _ { s } ) \right] \left[ \left( \frac { v _ { p } } { c _ { s } } \right) ^ { 2 } - \frac { 2 v _ { p } } { c _ { s } } - 2 \log \left( \frac { 1 } { \Gamma } \right) \right] } \\ { - 2 \left( \frac { v _ { p } } { c _ { s } } \right) ^ { 2 } = 0 \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x } & { { } = - \sin \left( \phi _ { \mathrm { o } } \right) \cos \left( \delta \right) \cos \left( h \right) + \cos \left( \phi _ { \mathrm { o } } \right) \sin \left( \delta \right) } \\ { y } & { { } = \cos \left( \delta \right) \sin \left( h \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { = - 2 \beta \alpha ^ { 3 } \left( 6 + 6 \alpha + \alpha ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } + \alpha ^ { 4 } \right) \, , } \\ { B } & { = \beta \alpha ^ { 3 } \left( 8 + 8 \alpha + 8 \alpha ^ { 2 } + 3 \alpha ^ { 3 } + 3 \alpha ^ { 4 } \right) \, , } \\ { C } & { = - \beta \alpha ^ { 5 } \left( 4 + \alpha + \alpha ^ { 2 } \right) \, , } \\ { D } & { = 2 \beta \alpha ^ { 3 } \left( 2 + 2 \alpha - \alpha ^ { 2 } \right) \, , } \\ { E } & { = - 2 \beta \alpha ^ { 2 } \left( 2 0 + 1 1 \alpha + 1 1 \alpha ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } + \alpha ^ { 4 } + \alpha ^ { 5 } \right) \, , } \\ { H } & { = 2 \beta \left( 8 + 2 \alpha + 2 \alpha ^ { 2 } + 2 \alpha ^ { 3 } + 2 \alpha ^ { 4 } - \alpha ^ { 5 } \right) \, , } \end{array}
L _ { S O ( 5 ) / S O ( 4 ) } ^ { 0 } = \frac { { r } ^ { 2 } } { 2 } \mathrm { T r } \left( G _ { 5 } ^ { - 1 } D G _ { 5 } \left( G _ { 5 } ^ { - 1 } D G _ { 5 } \right) ^ { \dag } \right) \; ,
\begin{array} { r l } { \frac 1 { 2 V _ { R } } \int _ { \tilde { V } - V _ { R } } ^ { \tilde { V } + V _ { R } } [ A ( V - \tilde { V } - \Delta V ) ^ { 2 } - A ( V - \tilde { V } + \Delta V ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } d V } & { = \frac 1 { V _ { R } } \int _ { \tilde { V } } ^ { \tilde { V } + V _ { R } } [ A ( V - \tilde { V } - \Delta V ) ^ { 2 } - A ( V - \tilde { V } + \Delta V ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } d V } \\ & { = \frac 1 { V _ { R } } \int _ { \tilde { V } } ^ { \tilde { V } + V _ { R } } [ 4 A ( V - \tilde { V } ) \Delta V ] ^ { 2 } d V = \frac { 1 6 A ^ { 2 } \Delta V ^ { 2 } V _ { R } ^ { 2 } } { 3 } . } \end{array}
\sum _ { i \in N } \varphi _ { i } ( v ) = { \frac { 1 } { | N | ! } } \sum _ { R } \sum _ { i \in N } v ( P _ { i } ^ { R } \cup \left\{ i \right\} ) - v ( P _ { i } ^ { R } ) = { \frac { 1 } { | N | ! } } \sum _ { R } v ( N ) = { \frac { 1 } { | N | ! } } | N | ! \cdot v ( N ) = v ( N )
S = \int d ^ { d } \! x \left\{ i \overline { { { \psi } } } \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } \psi - { \frac { N } { 2 \lambda } } ( \sigma ^ { 2 } + \pi ^ { 2 } ) - \overline { { { \psi } } } ( \sigma + i \pi \gamma _ { 5 } ) \psi \right\} .
\begin{array} { r l r } { T _ { 5 } } & { = } & { \mathbb { E } \Bigg [ \Bigg | \Bigg \{ \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } ) } - \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) } \Bigg | ^ { p } \Bigg ] ^ { 1 / p } } \\ { T _ { 6 } } & { = } & { \mathbb { E } \Bigg [ \Bigg | \Bigg \{ \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ( g _ { k - 1 } ) } - \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) } \Bigg | ^ { p } \Bigg ] ^ { 1 / p } } \\ { T _ { 7 } } & { = } & { \mathbb { E } \Bigg [ \Bigg | \Bigg \{ \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l - 1 } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } - \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l - 1 } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \Bigg | ^ { p } \Bigg ] ^ { 1 / p } . } \end{array}
T _ { a } ^ { L } = \left( \begin{array} { c c c } { { N _ { a } } } & { { E _ { a } ^ { \dagger } } } & { { F _ { a } ^ { \dagger } } } \\ { { E _ { a } } } & { { P _ { a } } } & { { G _ { a } ^ { \dagger } } } \\ { { F _ { a } } } & { { G _ { a } } } & { { b _ { a } } } \end{array} \right) ~ , ~ ~ ~ ~ ~ v = \left( \begin{array} { c } { { u } } \\ { { w } } \\ { { z } } \end{array} \right) ~ ,
\begin{array} { r l } { \left\langle - \mathbf { A } _ { : j } , u _ { t } - u \right\rangle + \left\langle \mathbf { A } _ { i : } , v _ { t } - v \right\rangle } & { \le \frac 1 \eta \left( V _ { u _ { t } } ( u ) - V _ { u _ { t + 1 } } ( u ) + V _ { v _ { t } } ( v ) - V _ { v _ { t + 1 } } ( v ) \right) } \\ & { + \left( \left\langle - \mathbf { A } _ { : j } , u _ { t } - u _ { t + 1 } \right\rangle - \frac { 1 } { \eta } V _ { u _ { t } } ( u _ { t + 1 } ) \right) } \\ & { + \left( \left\langle \mathbf { A } _ { i : } , v _ { t } - v _ { t + 1 } \right\rangle - \frac { 1 } { \eta } V _ { v _ { t } } ( v _ { t + 1 } ) \right) } \\ & { \le \frac 1 \eta \left( V _ { u _ { t } } ( u ) - V _ { u _ { t + 1 } } ( u ) + V _ { v _ { t } } ( v ) - V _ { v _ { t + 1 } } ( v ) \right) } \\ & { + \frac { \eta } { 2 } \left\lVert \mathbf { A } _ { : j } \right\rVert _ { \infty } ^ { 2 } + \frac { \eta } { 2 } \left\lVert \mathbf { A } _ { i : } \right\rVert _ { \infty } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { \pi \in \Pi _ { \tilde { c } } ^ { \star } ( \tilde { \mu } , \tilde { \nu } ) } \pi ( \tilde { c } - c ) \leq O T ( \tilde { \mu } , \tilde { \nu } , { \tilde { c } } ) - O T ( \tilde { \mu } , \tilde { \nu } , c ) } & { \leq \operatorname* { i n f } _ { \pi \in \Pi _ { c } ^ { \star } ( \tilde { \mu } , \tilde { \nu } ) } \pi ( \tilde { c } - c ) , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { f \in S \! _ { c } ( \mu , \nu ) } ( \tilde { \mu } - \mu ) f ^ { c c } + ( \tilde { \nu } - \nu ) f ^ { c } \leq O T ( \tilde { \mu } , \tilde { \nu } , c ) - O T ( \mu , \nu , c ) } & { \leq \operatorname* { s u p } _ { f \in S \! _ { c } ( \tilde { \mu } , \tilde { \nu } ) } ( \tilde { \mu } - \mu ) f ^ { c c } + ( \tilde { \nu } - \nu ) f ^ { c } , } \\ { O T ( \mu , \nu , { \tilde { c } } ) - O T ( \mu , \nu , c ) } & { \leq \operatorname* { i n f } _ { \pi \in \Pi _ { c } ^ { \star } ( \mu , \nu ) } \pi ( \tilde { c } - c ) , } \\ { O T ( \tilde { \mu } , \tilde { \nu } , { \tilde { c } } ) - O T ( \mu , \nu , { \tilde { c } } ) } & { \leq \operatorname* { s u p } _ { f \in S _ { \! \tilde { c } } ( \tilde { \mu } , \tilde { \nu } ) } ( \tilde { \mu } - \mu ) f ^ { \tilde { c } \tilde { c } } + ( \tilde { \nu } - \nu ) f ^ { \tilde { c } } . } \end{array}
\ln n ! = n \ln \left( { \frac { n } { e } } \right) + { \frac { 1 } { 2 } } \ln n + y + \sum _ { k = 2 } ^ { m } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } B _ { k } } { k ( k - 1 ) n ^ { k - 1 } } } + O \left( { \frac { 1 } { n ^ { m } } } \right) .
\frac { f _ { + } ^ { D K } ( 0 ) ( m _ { D } ^ { 2 } - m _ { K } ^ { 2 } ) } { f _ { + } ^ { D \pi } ( 0 ) ( m _ { D } ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } ) } = \frac { m _ { c } - m _ { s } } { m _ { c } - m _ { u } } \frac { < K ( p ^ { \prime } ) | { \bar { s } } c | D ( p ) > } { < \pi ( p ^ { \prime } ) | { \bar { u } } c | D ( p ) > } | _ { q ^ { 2 } = 0 } \; .
e ^ { \phi } \approx \left( { \frac { \bar { \mu } } { \bar { r } } } \right) ^ { \frac { ( D - 2 ) ( D - 3 ) a } { 4 ( D - 3 ) - 2 \Delta } } , \ \ \ \ \ A _ { t } = - \left( { \frac { \bar { r } } { \bar { \mu } } } \right) ^ { \frac { ( D - 3 ) \Delta } { 2 ( D - 3 ) - \Delta } } ,
\Gamma _ { P ^ { \prime } P } ^ { c \left( 1 \right) } \omega ^ { \left( 1 \right) } \left( t \right) + \Gamma _ { P ^ { \prime } P } ^ { c \left( { \mathrm { \scriptsize { B } } } \right) } \frac { 1 } { 2 } \left[ \omega ^ { \left( 2 \right) } \left( t \right) - \left( \omega ^ { \left( 1 \right) } \left( t \right) \right) ^ { 2 } \mathrm { l n } \left( \frac { \vec { q } ^ { ~ 2 } } { s _ { 0 } } \right) \right] \mathrm { \ . }
\hat { \cal R } = Q ^ { 2 \left( \hat { \zeta } \otimes \hat { H } + \hat { H } \otimes \hat { \zeta } \right) } \lambda ^ { 2 \left( \hat { \zeta } \otimes \hat { H } - \hat { H } \otimes \hat { \zeta } \right) } \left( 1 \! \mathrm { l } \otimes 1 \! \mathrm { l } + \sigma Q ^ { \hat { \zeta } } \lambda ^ { \hat { \zeta } } \hat { X } _ { + } \otimes Q ^ { - \hat { \zeta } } \lambda ^ { \hat { \zeta } } \hat { X } _ { - } \right)
\tilde { T } \left[ \Phi \left( x \right) \Phi \left( x ^ { \prime } \right) \right] = \Phi \left( x ^ { \prime } \right) \Phi \left( x \right) \theta \left( t - t ^ { \prime } \right) + \Phi \left( x \right) \Phi \left( x ^ { \prime } \right) \theta \left( t ^ { \prime } - t \right)
\begin{array} { r l r } { \mathbb E [ R ( t + 1 ) - R ( t ) \mid H _ { t } ] } & { = } & { - \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { t + 1 } ^ { c } ) + \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { t + 1 } ^ { d } ) } \\ & { } & { - \left( 2 \cdot \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { t + 1 } ^ { b } ) + \left( 1 + \frac { Y ( t ) } { n - X ( t ) } \right) \cdot \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { t + 1 } ^ { c } ) \right) \cdot \frac { R ( t ) + \mathcal { O } ( 1 ) } { n - X ( t ) } } \\ & { = } & { - \frac { 2 R ( t ) } { n - X ( t ) } \cdot \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { t + 1 } ^ { b } ) } \\ & { } & { - \left( \frac { ( n - X ( t ) + Y ( t ) ) \cdot ( R ( t ) + \mathcal { O } ( 1 ) ) } { ( n - X ( t ) ) ^ { 2 } } + 1 \right) \cdot \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { t + 1 } ^ { c } ) + \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { t + 1 } ^ { d } ) . } \end{array}
- G _ { 1 0 e } N _ { e } + \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi + ( \Gamma _ { 0 e } - 1 ) \frac { \phi } { \rho _ { s } ^ { 2 } } + ( 1 - \Gamma _ { 0 e } - \Gamma _ { 1 e } ) B _ { \parallel } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \xi = } & { \frac { \sum _ { i } \left( N _ { i } ^ { + } - N _ { i } ^ { - } \right) + i \sum _ { i } \left( N _ { i } ^ { + } + N _ { i } ^ { - } - 2 N _ { i } ^ { R } \right) } { N _ { \mathrm { t o t } } } } \\ & { - \frac { 2 i \left( N _ { r _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { + } + N _ { r _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { - } - 2 N _ { r _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { R } \right) } { N _ { \mathrm { t o t } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d i } { d t } } & { { } = } & { i \left( \beta ( i ) ( 1 - i - r ) - \alpha \right) } \\ { \frac { d r } { d t } } & { { } = } & { \left( i \alpha p _ { r } - r l _ { i } \right) \mathrm { ~ , ~ w ~ i ~ t ~ h ~ , ~ } \beta ( i ) \ = \ \bar { \beta } + \bar { w } ( i ) \frac { \eta ( i ) } { a \eta ( i ) + 1 } . } \end{array}
\hat { v } ( b ; \Gamma ^ { * } ) = - 1 + \gamma \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } \sum _ { b ^ { \prime } \in \mathcal { B } ( b , a ) } \operatorname* { P r } ( b ^ { \prime } \! \mid \! b , a ) \hat { v } ( b ^ { \prime } ; \Gamma ^ { * } ) \qquad \forall b \neq b ^ { \Omega }
( \widetilde { \mathcal { R } } _ { i } ) _ { j a } = \left\{ \begin{array} { l l } { s ( R _ { i j } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } a = 1 } \\ { s ( R _ { i j } ) X _ { i j } / R _ { i j } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } a = 2 } \\ { s ( R _ { i j } ) Y _ { i j } / R _ { i j } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } a = 3 } \\ { s ( R _ { i j } ) Z _ { i j } / R _ { i j } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } a = 4 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \hat { h } _ { g } } & { { } = \hbar \omega _ { 0 } \left( \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } + \frac { 1 } { 2 } \right) , } \\ { \hat { h } _ { e } } & { { } = \hbar ( \omega _ { e g } + \lambda ) + \hbar \omega _ { 0 } \left[ \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } - \frac { \Delta } { \sqrt { 2 } } ( \hat { b } + \hat { b } ^ { \dagger } ) + \frac { 1 } { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( \lambda | r _ { 1 } , t , x ) } & { = } & { \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } } { j ! } \left( \frac { \lambda w } { 1 - w } \right) ^ { j } } { ( e ^ { \lambda } - 1 ) \sum _ { j = 1 } ^ { x } \binom { x - 1 } { j - 1 } \left( \frac { w } { 1 - w } \right) ^ { j } \zeta ( j + 1 ) } } \\ & { = } & { \frac { \lambda w \; _ { 1 } F _ { 1 } ( 1 - x , 2 , \frac { - \lambda w } { 1 - w } ) } { ( e ^ { \lambda } - 1 ) ( 1 - w ) \sum _ { j = 1 } ^ { x } \binom { x - 1 } { j - 1 } \left( \frac { w } { 1 - w } \right) ^ { j } \zeta ( j + 1 ) } . } \end{array}