harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { D _ { \psi ( \Gamma ) } ( \psi ( z ) , \psi ( y ) ) } & { = D _ { \Gamma } ( z , y ) } \\ & { + \underbrace { D _ { \psi ( \Gamma ) } ( \psi ( z ) , \psi ( y ) ) - \frac { ( z - y ) \cdot n ^ { \Gamma } ( y ) } { c _ { d } | \psi ( z ) - \psi ( y ) | ^ { d } } n ^ { \psi ( \Gamma ) } ( \psi ( y ) ) \cdot J \psi ( y ) n ^ { \Gamma } ( y ) } _ { V _ { 1 } ( z , y ) } } \\ & { + \underbrace { D _ { \Gamma } ( z , y ) ( n ^ { \psi ( \Gamma ) } ( \psi ( y ) ) \cdot J \psi ( y ) n ^ { \Gamma } ( y ) - 1 ) } _ { V _ { 2 } ( z , y ) } } \\ & { + \underbrace { D _ { \Gamma } ( z , y ) n ^ { \psi ( \Gamma ) } ( \psi ( y ) ) \cdot J \psi ( y ) n ^ { \Gamma } ( y ) \left[ \frac { | z - y | ^ { d } } { | \psi ( z ) - \psi ( y ) | ^ { d } } - 1 \right] } _ { V _ { 3 } ( z , y ) } . } \end{array}
t e r n a r y ( x , p _ { 1 } , p _ { 0 } , p _ { - 1 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \hfill 1 , \hfill \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ p _ { 1 } ( x ) ~ } , } \\ { \hfill 0 , \hfill \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ p _ { 0 } ~ } , } \\ { \hfill - 1 , \hfill \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ p _ { - 1 } ( x ) ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r r c l } & { e ^ { z } } & { = } & { \frac { u ( e ^ { z } - 1 ) } { z } + \frac { e ^ { z } ( z e ^ { z } - e ^ { z } + 1 ) } { z ( e ^ { z } - 1 ) } } \\ { \Rightarrow } & { \quad z ( e ^ { z } - 1 ) e ^ { z } - e ^ { z } ( z e ^ { z } - e ^ { z } + 1 ) } & { = } & { u ( e ^ { z } - 1 ) ^ { 2 } } \\ { \Rightarrow } & { e ^ { z } ( z e ^ { z } - z - z e ^ { z } + e ^ { z } - 1 ) } & { = } & { u ( e ^ { z } - 1 ) ^ { 2 } } \\ { \Rightarrow } & { u = \frac { e ^ { z } } { e ^ { z } - 1 } \left( 1 - \frac { z } { e ^ { z } - 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { X } = } & { { } \alpha _ { A } \alpha _ { B } [ \epsilon _ { m } \left( 1 - e _ { m } \right) + e _ { m } \left( 1 - \epsilon _ { m } \right) ] } \\ { e _ { Z } = } & { { } \alpha _ { A } \alpha _ { B } \epsilon _ { m } + \frac { 1 } { 2 } \left[ 1 - \alpha _ { A } \alpha _ { B } \right] } \end{array}
A _ { N } ( s , x , p _ { \perp } ) = \frac { \sin [ { \cal { P } } _ { \tilde { Q } } ( x ) \langle L _ { \{ \bar { q } q \} } \rangle ] { W _ { + } ^ { h } ( s , \xi ) } } { { [ W _ { + } ^ { s } ( s , \xi ) + W _ { + } ^ { h } ( s , \xi ) ] } } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } ( | \langle \Pi _ { t } ^ { N } , \varphi \rangle - \langle \rho _ { t } ^ { \tau } , \varphi \rangle | ^ { 2 } ) } \\ & { \quad = \mathbb { E } \bigg ( \bigg ( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \varphi ( X _ { t } ^ { i , \tau } ) - \int _ { \mathbb { R } } \rho _ { t } ^ { \tau } ( x ) \varphi ( x ) \, \mathrm { d } x \bigg ) ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { \quad = \, 2 \mathbb { E } \bigg ( \bigg ( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \varphi ( X _ { t } ^ { i , \tau } ) - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \varphi ( Y _ { t } ^ { i , \tau } ) \bigg ) ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { \quad \quad + 2 \mathbb { E } \bigg ( \bigg ( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \varphi ( Y _ { t } ^ { i , \tau } ) - \int _ { \mathbb { R } } \rho _ { t } ^ { \tau } ( x ) \varphi ( x ) \, \mathrm { d } x \bigg ) ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { \quad \le \, \frac { 2 } { N ^ { 2 } } \bigg ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \mathbb { E } ( | \varphi ( X _ { t } ^ { i , \tau } ) - \varphi ( Y _ { t } ^ { i , \tau } ) | ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \bigg ) ^ { 2 } } \\ & { \quad \quad + 2 \mathbb { E } \bigg ( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \varphi ( Y _ { t } ^ { i , \tau } ) - \int _ { \mathbb { R } } \rho _ { t } ^ { \tau } ( x ) \varphi ( x ) \, \mathrm { d } x \bigg ) ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { \quad \le \, 2 \operatorname* { s u p } _ { i = 1 , \ldots , N } \mathbb { E } ( | \varphi ( X _ { t } ^ { i , \tau } ) - \varphi ( Y _ { t } ^ { i , \tau } ) | ^ { 2 } ) + 2 \mathbb { E } \bigg ( \bigg ( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \varphi ( Y _ { t } ^ { i , \tau } ) - \int _ { \mathbb { R } } \rho _ { t } ^ { \tau } ( x ) \varphi ( x ) \, \mathrm { d } x \bigg ) ^ { 2 } \bigg ) , } \end{array}
\hat { H } = J _ { 1 } \sum _ { \langle i , j \rangle , a } \hat { \sigma } _ { i } ^ { a } \hat { \sigma } _ { j } ^ { a } + J _ { 2 } \sum _ { { \langle \langle } i , j { \rangle \rangle } , a } \hat { \sigma } _ { i } ^ { a } \hat { \sigma } _ { j } ^ { a } ,
\begin{array} { r l } & { \Big | \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \Big \langle F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } \Big | } \\ { \le } & { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \vert \vert F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \vert \vert ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } } \\ { \le } & { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } O _ { p } ( \kappa _ { k } ^ { - \frac { p } { 2 r } } ) \kappa _ { k } = O _ { p } ( 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { ( 1 + h | \xi | ) ^ { 2 t } ( \sum _ { j = 1 } ^ { d } \sin ^ { 2 } ( h \xi _ { j } ) ) ^ { k - s } } { | \xi | ^ { 2 ( k - r ) } ( 1 + 2 ^ { - a } | \xi | ) ^ { 4 r } } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { \quad \le C \int _ { | \xi | \le 1 / h } \frac { 1 \cdot ( h | \xi | ) ^ { 2 ( k - s ) } } { | \xi | ^ { 2 ( k - r ) } \cdot 1 } \, \mathrm { d } \xi + C \int _ { 1 / h < | \xi | \le 2 ^ { a } } \frac { ( h | \xi | ) ^ { 2 t } \cdot 1 } { | \xi | ^ { 2 ( k - r ) } \cdot 1 } + C \int _ { | \xi | > 2 ^ { a } } \frac { ( h | \xi | ) ^ { 2 t } \cdot 1 } { | \xi | ^ { 2 ( k - r ) } ( 2 ^ { - a } | \xi | ) ^ { 4 r } } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { \quad \le C \frac { 1 } { h ^ { d } } h ^ { 2 ( k - s ) } h ^ { 2 ( s - r ) } + C 2 ^ { a d } h ^ { 2 t } 2 ^ { 2 a ( - k + r + t ) } + C 2 ^ { a d } 2 ^ { 4 a r } h ^ { 2 t } 2 ^ { 2 a ( - k - r + t ) } } \\ & { \quad \le C 2 ^ { a ( d + 2 r - 2 s ) } h ^ { 2 ( k - s ) } \left( 2 ^ { a ( - d - 2 r + 2 s ) } h ^ { - d - 2 r + 2 s } + 2 ^ { 2 a ( - k + s + t ) } h ^ { 2 ( - k + s + t } + 2 ^ { 2 a ( - k + s + t ) } h ^ { 2 ( - k + s + t ) } \right) } \\ & { \quad \le C 2 ^ { a ( d + 2 r - 2 s ) } h ^ { 2 ( k - s ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l l } { \xi _ { \operatorname* { m a x } } } & { = } & { \zeta + r _ { m } , \medskip } \\ { \xi _ { \operatorname* { m i n } } } & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \zeta \leq r _ { m } ( 0 ) , \medskip } \\ { \mathrm { ~ s ~ o ~ l ~ u ~ t ~ i ~ o ~ n ~ o ~ f ~ } A ( \zeta - \xi _ { \operatorname* { m i n } } , \xi _ { \operatorname* { m i n } } ) = m / \nu \; \; } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } r _ { m } ( 0 ) < \zeta < 2 r _ { m } . } \end{array} \right. } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l c l } { { { \left< T \left( z \right) T \left( z ^ { \prime } \right) \right> } _ { 0 } } } & { { = } } & { { { \frac { 1 } { 4 } } \, { \left< : \partial _ { z } f \partial _ { z } f : \; : \partial _ { z ^ { \prime } } f \partial _ { z ^ { \prime } } f : \right> } _ { 0 } = { \frac { 1 } { 4 } } \, 2 \, { \left( { \left< \partial _ { z } f \partial _ { z ^ { \prime } } f \right> } _ { 0 } \right) } ^ { 2 } } } \\ { { \ } } & { { = } } & { { { \frac { 1 } { 8 } } \, { \frac { 1 } { { \left( z - z ^ { \prime } \right) } ^ { 4 } } } } } \\ { { { \left< \overline { { T } } \left( \overline { { z } } \right) \overline { { T } } \left( \overline { { { z ^ { \prime } } } } \right) \right> } _ { 0 } } } & { { = } } & { { { \frac { 1 } { 8 } } \, { \frac { 1 } { { \left( \overline { { z } } - \overline { { { z ^ { \prime } } } } \right) } ^ { 4 } } } } } \\ { { { \left< T \left( z \right) \overline { { T } } \left( \overline { { { z ^ { \prime } } } } \right) \right> } _ { 0 } } } & { { = } } & { { 0 \; . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \| \nabla \mathrm { e n v } _ { \psi } ^ { \eta } ( x _ { \sim } ^ { K } ) \| ^ { 2 } \leq \frac { 2 ( \mathrm { e n v } _ { \psi } ^ { \eta } ( x ^ { 0 } ) - \operatorname* { i n f } \psi ) } { \alpha ( 1 - \eta ( \rho - \lambda ) ) \sqrt { K } } + \frac { \beta \theta } { \eta ( 1 - \eta ( \rho - \lambda ) ) } \frac { \alpha } { \sqrt { K } } . } \end{array}
\hat { k } _ { \theta } ^ { * } ( M ) \left( \begin{array} { c } { { \zeta _ { 1 } ( \theta ) } } \\ { { \zeta _ { 2 } ( \theta ) } } \end{array} \right) ~ = ~ \pm i \left( \begin{array} { c } { { \zeta _ { 1 } ( \theta ) } } \\ { { \zeta _ { 2 } ( \theta ) } } \end{array} \right) .
x _ { _ { N } } * y \ = \ \scriptstyle \mathrm { { D T F T } } ^ { - 1 } \displaystyle \left[ \scriptstyle \mathrm { { D T F T } } \displaystyle \{ x _ { _ { N } } \} \cdot \scriptstyle \mathrm { { D T F T } } \displaystyle \{ y \} \right] \ = \ \scriptstyle \mathrm { { D F T } } ^ { - 1 } \displaystyle \left[ \scriptstyle \mathrm { { D F T } } \displaystyle \{ x _ { _ { N } } \} \cdot \scriptstyle \mathrm { { D F T } } \displaystyle \{ y _ { _ { N } } \} \right] .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( A _ { [ j ] } = a ) } & { = \frac { b ^ { s ( \xi - 2 ) } } { 1 - b ^ { - s } } \left( \tau _ { s } ( a b ^ { - 1 } + b ^ { j - 2 } ) - \tau _ { s } ( ( a + 1 ) b ^ { - 1 } + b ^ { j - 2 } ) \right) } \\ & { - \frac { b ^ { s ( \xi - 1 ) } } { 1 - b ^ { - s } } \left( \tau _ { s } ( a b ^ { - 1 } + b ^ { j - 1 } ) - \tau _ { s } ( ( a + 1 ) b ^ { - 1 } + b ^ { j - 1 } ) \right) } \\ & { + b ^ { s ( \xi - 1 ) } \Big ( \tau _ { s } ( a b ^ { - 1 } + \eta _ { a } ) - \tau _ { s } ( ( a + 1 ) b ^ { - 1 } + \eta _ { a + 1 } ) \Big ) } \\ & { + \eta _ { a } - \eta _ { a + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A ( y , z ) = \sum _ { m , n = 0 } ^ { N } \big [ } & { { } a _ { m n } } & { \cos ( m k _ { 0 } y ) \cos ( n k _ { 0 } z ) + b _ { m n } \cos ( m k _ { 0 } y ) \sin ( n k _ { 0 } z ) } \\ { + } & { { } c _ { m n } } & { \sin ( m k _ { 0 } y ) \cos ( n k _ { 0 } z ) + d _ { m n } \sin ( m k _ { 0 } y ) \sin ( n k _ { 0 } z ) \big ] , } \end{array}
\omega _ { 0 } = \lambda ^ { 1 / 3 } ( 0 . 4 2 0 5 4 + 2 \times 1 0 ^ { - 6 } i ) , \quad \omega _ { 2 } = \lambda ^ { 1 / 3 } ( 2 . 9 4 3 2 8 - . 0 2 2 0 2 9 i ) ,
\begin{array} { r l } & { f _ { 1 } = \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 3 } ^ { 2 } + x _ { 2 } - 1 2 x _ { 3 } + 1 2 } { 1 4 } , } \\ & { f _ { 2 } = \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 3 } ^ { 2 } + 8 x _ { 1 } - 4 4 . 8 x _ { 2 } + 8 x _ { 3 } + 4 4 } { 5 7 } , } \\ & { f _ { 3 } = \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 3 } ^ { 2 } - 4 4 . 8 x _ { 1 } + 8 x _ { 2 } + 8 x _ { 3 } + 4 3 . 7 } { 5 6 } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 2 6 8 5 3 6 } & { 0 } & { 0 } \\ { 8 8 4 4 0 } & { 5 0 3 0 4 0 } & { - 5 9 1 4 8 0 } & { - 4 2 5 4 } & { - 6 5 7 2 8 } \\ { - 7 7 5 8 6 } & { - 2 4 9 6 4 8 } & { 3 2 7 2 3 4 } & { 2 3 6 1 } & { 6 5 8 9 6 } \\ { 4 1 8 0 8 } & { - 1 9 4 4 0 } & { - 2 2 3 6 8 } & { - 2 4 3 0 } & { - 9 0 7 6 } \\ { - 4 0 2 } & { 2 6 4 } & { 1 3 8 } & { 3 3 } & { 6 8 } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r } { E _ { x } } & { { } = } & { \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left\{ \psi e ^ { - i \omega _ { 0 } t ^ { \prime } } \right\} , \, \, \, \, E _ { z } = \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left\{ \frac { i } { k _ { 0 } } \partial _ { x } \psi e ^ { - i \omega _ { 0 } t ^ { \prime } } \right\} , } \\ { B _ { y } } & { { } = } & { \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left\{ \frac { 1 } { c } \psi e ^ { - i \omega _ { 0 } t ^ { \prime } } \right\} , B _ { z } = \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left\{ \frac { i } { k _ { 0 } c } \partial _ { y } \psi e ^ { - i \omega _ { 0 } t ^ { \prime } } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \boldsymbol { u } + \left( \omega + \frac { 1 } { \mathrm { R o } } f \right) \boldsymbol { u } ^ { \perp } } & { = - \frac { \alpha } { \mathrm { F r } ^ { 2 } } \nabla ( ( 1 + \mathfrak { s } b ) \zeta ) - \frac { 1 } { 2 } \nabla | \boldsymbol { u } | ^ { 2 } + \frac { \mathfrak { s } } { 2 \, \mathrm { F r } ^ { 2 } } ( \alpha \zeta - h ) \nabla b , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \eta + \nabla \cdot ( \eta \boldsymbol { u } ) } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } b + ( \boldsymbol { u } \cdot \nabla ) b } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 \ } & { { } = \left< \int _ { - d } ^ { \eta } \left[ u \frac { \partial v } { \partial x } + v \frac { \partial v } { \partial y } \right] \mathrm { d } y \right> = \left< \int _ { - d } ^ { \eta } \frac { \partial } { \partial y } \left[ \frac { u ^ { 2 } + v ^ { 2 } } { 2 } + \omega \psi \right] \mathrm { d } y \right> } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ^ { 1 } P ^ { 1 } ( u _ { - \gamma _ { 4 } } ) } & { = - \big ( P ^ { 1 } ( c _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 2 } ) \cdot u _ { - \gamma _ { 4 } } + ( c _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 2 } ) P ^ { 1 } ( u _ { - \gamma _ { 4 } } ) \big ) } \\ & { = - \big ( - c _ { 1 } ^ { 4 } + c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } + c _ { 2 } ^ { 2 } - c _ { 1 } c _ { 3 } + c _ { 4 } - ( c _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 2 } ) ^ { 2 } ) \big ) \cdot u _ { - \gamma _ { 4 } } } \\ & { = - ( c _ { 1 } ^ { 4 } - c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } - c _ { 1 } c _ { 3 } + c _ { 4 } ) \cdot u _ { - \gamma _ { 4 } } . } \end{array}
\left[ \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } + \vec { k } ^ { 2 } + m ^ { 2 } ( t ) + \frac { \lambda } { 2 } \langle \Phi ^ { 2 } ( t ) \rangle \right] { \cal { U } } _ { k } ^ { \pm } = 0
\begin{array} { r l } { Z _ { G _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { ( - ) } } & { = Z ( W ^ { \boxminus } ) = 1 - \epsilon \leq Z _ { G _ { 2 } } ^ { ( - ) } = Z ( W ^ { - } ) = 1 - 2 \epsilon + \epsilon ^ { 2 } , } \\ { Z _ { G _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { ( + ) } } & { = Z ( W ^ { \boxplus } ) = 1 - \epsilon ^ { 2 } = Z _ { G _ { 2 } } ^ { ( + ) } = Z ( W ^ { + } ) . } \end{array}
\mathop { S } _ { \ r T } ^ { \ d = 2 } \mathrm { \LARGE \ s l ~ S } _ { \ n r T } ^ { \ d = 2 } = { \frac { 1 } { \lambda } } \int d ^ { 3 } x \, \varepsilon ^ { \mu \nu \rho } \, E _ { \mu } ^ { \underline { { { \alpha } } } } \, T _ { \nu \rho } ^ { \underline { { { \beta } } } } \, \eta _ { \alpha \beta } .
\mathrm { R e } ~ a _ { i } = \mathrm { R e } ~ d _ { i } , ~ ~ \mathrm { I m } ~ a _ { i } = - \mathrm { I m } ~ d _ { i } , ~ ~ \mathrm { R e } ~ b _ { i } = \mathrm { R e } ~ c _ { i } , ~ ~ \mathrm { I m } ~ b _ { 3 } = - \mathrm { I m } ~ c _ { i } ~ ~ ~ ( i = 2 , 3 )
p ( y , x ) = \bigg ( \frac { m } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { F } } \bigg ) ^ { T - 1 } \bigg ( \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } \bigg ) ^ { T } e ^ { - \big ( \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } | | y - x | | ^ { 2 } + \frac { m ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { F } ^ { 2 } } | | \Delta A x | | ^ { 2 } \big ) } .
\frac { d \sigma _ { \mathrm { e l } } ^ { g g } } { d q _ { \perp } ^ { 2 } } = \frac { 9 } { 4 } \frac { 2 \pi \alpha _ { s } ^ { 2 } } { ( q _ { \perp } ^ { 2 } + \mu _ { D } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } .
{ \cal Z } = \int _ { p e r i o d i c } D \Phi D \Phi ^ { \ast } \exp \left\{ - \int _ { 0 } ^ { \beta } d \tau \int d ^ { N } x \ \Phi ^ { \ast } [ ( \partial _ { 0 } + A _ { 0 } + i \mu ) ^ { 2 } - \partial _ { i } ^ { 2 } + M ^ { 2 } ] \Phi \right\}
V ( \mathbf { r } ) = - A \left| E _ { 1 } e ^ { i \mathbf { k } _ { 1 } \mathbf { \cdot r } } \boldsymbol { \epsilon } _ { 1 } + E _ { 2 } e ^ { i \mathbf { k } _ { 2 } \mathbf { \cdot r } } \boldsymbol { \epsilon } _ { 2 } + E _ { 3 } e ^ { i \mathbf { k } _ { 3 } \mathbf { \cdot r } } \boldsymbol { \epsilon } _ { 3 } \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } e ^ { ( 1 - \epsilon ) s } \| f _ { 1 } ^ { n + 1 } ( s ) \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } } & { \leq \| f _ { 0 } \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } + C \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } e ^ { ( 1 - \epsilon ) s } \left( \| f _ { 1 } ^ { n } ( s ) \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } ^ { 2 } \right) + C C _ { q } ^ { 2 } \delta ^ { 2 } . } \end{array}
\Psi \left( x , y \right) = \frac { e ^ { i x y } } { \sqrt { \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - i \sqrt { 2 } y \eta } \widetilde { \Psi } \left( \xi , \eta \right) \; d \eta , \quad \xi = \sqrt { 2 } x - \eta \; .
\left\langle \phi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \cdots \phi _ { n } ( x _ { n } ) \right\rangle = { \frac { \displaystyle \int e ^ { - S } \phi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \cdots \phi _ { n } ( x _ { n } ) \, D \phi } { \displaystyle \int e ^ { - S } \, D \phi } } \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial p } A ( p , q ) = } & { \, \frac { p ^ { 2 } + 9 p + 1 2 } { ( p + 3 ) ^ { 2 } \sqrt { p + 2 } } - \frac { ( p + q ) ^ { 2 } + 1 2 ( p + q ) + 2 4 } { ( p + q + 4 ) ^ { 2 } \sqrt { p + q + 3 } } } \\ { \geq } & { \, \frac { p ^ { 2 } + 9 p + 1 2 } { ( p + 3 ) ^ { 2 } \sqrt { p + 2 } } - \frac { ( p + 2 ) ^ { 2 } + 1 2 ( p + 2 ) + 2 4 } { ( p + 6 ) ^ { 2 } \sqrt { p + 5 } } . } \end{array}
\prod _ { l = 1 } ^ { d } \hat { C } ( \vec { A } _ { l } ) = \sum _ { \mu , \nu , \ldots , r = 1 } ^ { N } A _ { \mu 1 } A _ { \nu 2 } \dots A _ { r d } \underset { d \textrm { o p e r a t o r s } } { \underbrace { ( \hat { p } _ { \mu } \wedge \hat { p } _ { \nu } \wedge \ldots \wedge \hat { p } _ { r } ) } } .
\mathcal { O } ( T ) = \frac { 1 } { \mathcal { Z } } \sum _ { \mathbf { s } } \langle \chi _ { \mathbf { s } } ( \mathbf { u } ) | \mathcal { O } ( \mathbf { u } ) | \chi _ { \mathbf { s } } ( \mathbf { u } ) \rangle e ^ { - E _ { \mathbf { s } } / k _ { \mathrm { B } } T } ,
{ \cal I } ( A ) = c _ { 1 } a _ { 2 } ^ { i j } \partial _ { i } \partial _ { j } + ( c _ { 2 } a _ { 1 } ^ { k } + c _ { 3 } \partial _ { j } a _ { 2 } ^ { k j } ) \partial _ { k } + c _ { 4 } \partial _ { i } \partial _ { j } a _ { 2 } ^ { i j } + c _ { 5 } \partial _ { i } a _ { 1 } ^ { i } + c _ { 6 } a _ { 0 }
P _ { m , q u a d } ^ { - } = \frac { L } { 2 \pi } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n } \left\{ m _ { b } ^ { 2 } A _ { i j } ^ { \dag } ( n ) A _ { i j } ( n ) + m _ { f } ^ { 2 } B _ { i j } ^ { \dag } ( n ) B _ { i j } ( n ) \right\} ,
= { \frac { e ^ { 4 } } { ( k - k ^ { \prime } ) ^ { 4 } } } { \Big ( } ( { \bar { v } } _ { k } \gamma ^ { \mu } v _ { k ^ { \prime } } ) ( { \bar { u } } _ { p ^ { \prime } } \gamma _ { \mu } u _ { p } ) { \Big ) } ^ { * } { \Big ( } ( { \bar { v } } _ { k } \gamma ^ { \nu } v _ { k ^ { \prime } } ) ( { \bar { u } } _ { p ^ { \prime } } \gamma _ { \nu } u _ { p } ) { \Big ) }
I _ { E } = 2 \pi \beta \, e ^ { ( \Gamma - \Lambda ) / 2 } \, [ \, ( \Gamma ^ { \prime } - \phi ^ { \prime } ) \, r ^ { 2 } + \frac { \alpha ^ { \prime } e ^ { \phi } } { g ^ { 2 } } \, ( 1 - e ^ { - \Lambda } ) \, ( \Gamma ^ { \prime } + \phi ^ { \prime } ) - \frac { \alpha ^ { \prime } e ^ { \phi } } { g ^ { 2 } } \, r e ^ { - \Lambda } \Gamma ^ { \prime } \phi ^ { \prime } \, ] \, | _ { r _ { h } } ^ { \infty }
U \frac { \partial U } { \partial x } + V \frac { \partial U } { \partial y } = - \frac { \partial { \overline { { u v } } } } { \partial { y } } - \frac { \partial } { \partial x } ( \overline { { u ^ { 2 } } } - \overline { { v ^ { 2 } } } ) + \nu \frac { \partial ^ { 2 } U } { \partial y ^ { 2 } } ,
{ \begin{array} { r l } { { \frac { F } { G } } } & { = { \frac { F ( C G _ { 1 } + D G _ { 2 } ) } { G _ { 1 } G _ { 2 } } } = { \frac { D F } { G _ { 1 } } } + { \frac { C F } { G _ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { F _ { 1 } + G _ { 1 } Q } { G _ { 1 } } } + { \frac { F _ { 2 } - G _ { 2 } Q } { G _ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { F _ { 1 } } { G _ { 1 } } } + { \frac { F _ { 2 } } { G _ { 2 } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \langle \Lambda ; S , \Sigma ; J , \Omega , M | e ^ { 2 i q \theta } T _ { 2 q } ^ { 2 } ( J , S ) | } & { { } \Lambda ^ { \prime } ; S , \Sigma ^ { \prime } ; J ^ { \prime } , \Omega ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \end{array}
\{ v _ { 1 } ^ { + } , v _ { 1 } ^ { - } , v _ { 2 } ^ { + } , v _ { 2 } ^ { - } , v _ { 3 } ^ { + } , v _ { 3 } ^ { - } , \{ v _ { 4 } , v _ { 6 } \} , v _ { 5 } ^ { + } , v _ { 5 } ^ { - } , \{ v _ { 7 } , v _ { 8 } \} , \{ v _ { 9 } , v _ { 1 2 } \} , \{ v _ { 1 0 } , v _ { 1 1 } \} , \{ v _ { 1 3 } , v _ { 1 5 } \} , \{ v _ { 1 4 } , v _ { 1 4 } \} , \{ v _ { 1 7 } , v _ { 1 8 } \} , \{ v _ { 1 9 } , v _ { 2 1 } \} , v _ { 2 0 } ^ { + } , v _ { 2 0 } ^ { - } , v _ { 2 2 } ^ { + } , v _ { 2 2 } ^ { - } , v _ { 2 3 } ^ { + } , v _ { 2 3 } ^ { - } , v _ { 2 4 } ^ { + } , v _ { 2 4 } ^ { - } \}
\begin{array} { l } { { [ { H } _ { \pi _ { \alpha } } ] : = { \dot { u } } ^ { \alpha } ( x ) - \frac { \partial { H } } { \partial \pi _ { \alpha } } , } } \\ { { [ { H } _ { u ^ { \alpha } } ] : = { \dot { \pi } } _ { \alpha } ( x ) + \frac { \partial { H } } { \partial u ^ { \alpha } } - \nabla _ { a } ( \frac { \partial { H } } { \partial ( \nabla _ { a } u ^ { \alpha } ) } ) . } } \end{array}
\Delta ^ { ( m , n ) } = \frac { 1 } { m + n } \sum _ { i = 1 } ^ { N } u _ { i } Q _ { u _ { i } } ^ { ( n ) } [ A _ { i } ^ { ( m ) } + \sum _ { j \neq i } B _ { i j } ^ { ( m ) } u _ { j } ] \, .
- \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \sigma } \sum _ { i } \sum _ { j } \int \int \frac { \bar { \psi } _ { i , \sigma } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \bar { \psi } _ { j , \sigma } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ^ { \prime } ) \bar { \psi } _ { j , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \bar { \psi } _ { i , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ^ { \prime } ) } { | \boldsymbol { \textbf { r } } - \boldsymbol { \textbf { r } } ^ { \prime } | } \, d \boldsymbol { \textbf { r } } \, d \boldsymbol { \textbf { r } } ^ { \prime } = - \sum _ { \sigma } \int \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \textbf { r } } \cdot \nabla \bar { v } _ { \mathrm { ~ x ~ } , \sigma } [ \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ] ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \, d \boldsymbol { \textbf { r } } \, .
\begin{array} { r l } { \tilde { \psi } _ { n _ { i } } ( R , \mathbf { r } ) } & { = - u _ { 0 n _ { i } } ( R ) \phi _ { n _ { i } } ( \mathbf { r } ) + u _ { 1 n _ { i } } ( R ) \phi _ { n _ { i } } ( \mathbf { r } ) } \\ & { + \sum _ { l = 2 } ^ { N _ { l } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } c _ { l n _ { i } n } u _ { l n } ( R ) \phi _ { n } ( \mathbf { r } ) , } \\ { \tilde { \psi } _ { n _ { f } } ( R , \mathbf { r } ) } & { = - u _ { 0 n _ { f } } ( R ) \phi _ { n _ { f } } ( \mathbf { r } ) + u _ { 1 n _ { f } } ( R ) \phi _ { n _ { f } } ( \mathbf { r } ) } \\ & { + \sum _ { l = 2 } ^ { N _ { l } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } c _ { l n _ { f } n } u _ { l n } ( R ) \phi _ { n } ( \mathbf { r } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { i } } & { { } = { \sqrt { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } } \left( x _ { i } + { \frac { i } { m \omega } } p _ { i } \right) , } \\ { a _ { i } ^ { \dagger } } & { { } = { \sqrt { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } } \left( x _ { i } - { \frac { i } { m \omega } } p _ { i } \right) . } \end{array}
L ^ { \prime } = \sum _ { n > 0 } \left( \frac 1 2 | \partial \phi | ^ { 2 } - \frac { M ^ { 2 } n ^ { 2 } } { 2 } | \phi _ { n } | ^ { 2 } - 2 \lambda \phi _ { n } \sum _ { n > 0 } | \phi _ { n } | ^ { 2 } \right) + \frac { \lambda } { 3 ! } \sum _ { n , n ^ { \prime } } { } ^ { \prime } \phi _ { n } \phi _ { n ^ { \prime } } \phi _ { n + n ^ { \prime } } ^ { * } ,
\begin{array} { r l } { v ( \Xi ( \mathbf d ) ) } & { = v ( 1 ( 0 2 ) ^ { \ell _ { 1 } } ( 0 3 0 ) ^ { \ell _ { 2 } } \cdots ( 0 2 ) ^ { \ell _ { 2 t - 1 } } ( 0 3 0 ) ^ { \ell _ { 2 t } } 0 2 0 1 ) } \\ & { = \frac 1 \beta + \sum _ { s = 1 } ^ { t } \left( \frac 1 { \beta ^ { p _ { 2 s - 1 } } } v ( ( 0 2 ) ^ { \ell _ { 2 s - 1 } } ) + \frac 1 { \beta ^ { p _ { 2 s } } } v ( ( 0 3 0 ) ^ { \ell _ { 2 s } } ) \right) + \frac 1 { \beta ^ { m - 3 } } v ( 0 2 0 1 ) } \\ & { = \frac 1 \beta + \sum _ { s = 1 } ^ { t } \left( \frac { 2 } { \beta ^ { p _ { 2 s - 1 } + 1 } } ( 1 - 1 / \beta ^ { 2 \ell _ { 2 s - 1 } } ) + \frac 3 { 2 \beta ^ { p _ { 2 s } } } ( 1 - 1 / \beta ^ { 3 \ell _ { 2 s } } ) \right) + \frac 1 { \beta ^ { m - 3 } } ( 2 / \beta ^ { 2 } + 1 / \beta ^ { 4 } ) . } \end{array}