harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \ddot { \xi } _ { a } + k _ { a } ^ { 2 } c ^ { 2 } \left( 1 - \frac { F _ { 0 } } { g _ { 0 } } \cos ( \Omega t ) \right) \xi _ { a } } & { { } = 0 } \\ { \Rightarrow \frac { 1 } { \tilde { c } ^ { 2 } } \ddot { \xi } _ { a } + \left( k _ { a } ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } k _ { a } ^ { 2 } F _ { 0 } \sin ^ { 2 } ( \omega _ { 0 } t ) \right) \xi _ { a } } & { { } = 0 , } \end{array}
c _ { \alpha } ^ { \dagger } | \cdots , n _ { \beta } , n _ { \alpha } , n _ { \gamma } , \cdots \rangle = ( - 1 ) ^ { \sum _ { \beta < \alpha } n _ { \beta } } { \sqrt { 1 - n _ { \alpha } } } | \cdots , n _ { \beta } , 1 - n _ { \alpha } , n _ { \gamma } , \cdots \rangle .
P = \left\{ \begin{array} { l l } { P _ { \mathrm { E o S } } ( \rho ) } & { \mathrm { i f } \rho \leq \rho _ { v } } \\ { P _ { 0 } ( \rho _ { v } ) + \theta _ { m } ( \rho - \rho _ { v } ) ( \rho - \rho _ { l } ) ( \rho - \rho _ { m } ) } & { \mathrm { i f } \rho _ { v } \leq \rho \leq \rho _ { l } } \\ { P _ { \mathrm { E o S } } ( \rho ) } & { \mathrm { i f } \rho _ { l } \leq \rho } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { u _ { 0 , k } ^ { j + 1 } = 2 u _ { 1 , k } ^ { j + 1 } - u _ { 2 , k } ^ { j + 1 } , \u _ { N , k } ^ { j + 1 } = 2 u _ { N - 1 , k } ^ { j + 1 } - u _ { N - 2 , k } ^ { j + 1 } , \u _ { i , L + 1 } ^ { j + 1 } = 2 u _ { i , L } ^ { j + 1 } - u _ { i , L - 1 } ^ { j + 1 } . u _ { i , 0 } ^ { j + 1 } = 2 u _ { i , 1 } ^ { j + 1 } - u _ { i , 2 } ^ { j + 1 } . } \end{array}
4 A r ^ { 3 } \left( \sqrt { 1 - r _ { H } ^ { 4 } / r ^ { 4 } } - 1 \right) \ + \ \frac { 2 A r _ { H } ^ { 4 } } { r \sqrt { 1 - r _ { H } ^ { 4 } / r ^ { 4 } } } \ + \ 2 ( r ^ { 2 } - r r _ { 0 } ) ( 2 r - r _ { 0 } ) ,
\begin{array} { r l } { \Lambda - I = } & { { } \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 0 . 6 2 } & { 0 . 1 2 } & { - 0 . 1 4 } & { - 2 . 1 2 } & { - 0 . 6 3 } & { - 0 . 1 4 } \\ { - 1 . 7 6 } & { 1 . 7 3 } & { 2 . 5 7 } & { - 3 . 2 9 } & { - 4 . 4 9 } & { - 1 . 8 4 } \\ { - 1 . 7 6 } & { 1 . 7 3 } & { 2 . 5 7 } & { - 3 . 2 9 } & { - 4 . 4 9 } & { - 1 . 8 4 } \\ { 0 . 8 3 } & { - 0 . 3 6 } & { - 0 . 9 8 } & { 2 . 3 6 } & { 2 . 0 5 } & { 0 . 7 8 } \\ { 0 . 0 0 } & { 0 . 0 0 } & { 0 . 0 0 } & { - 1 . 0 0 } & { 0 . 0 0 } & { 0 . 0 0 } \\ { 0 . 0 0 } & { 0 . 0 0 } & { 0 . 0 0 } & { 0 . 0 0 } & { - 1 . 0 0 } & { 0 . 0 0 } \end{array} \right] , } \\ { \Sigma = } & { { } \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 0 . 5 2 } & { - 0 . 1 0 } & { 0 . 2 0 } & { 0 . 4 1 } & { - 0 . 0 8 } & { - 0 . 0 5 } \\ { 0 . 0 8 } & { 0 . 6 2 } & { - 0 . 3 0 } & { 0 . 5 4 } & { 0 . 5 9 } & { 0 . 1 9 } \\ { 0 . 0 8 } & { - 0 . 3 8 } & { 0 . 7 0 } & { 0 . 5 4 } & { 0 . 5 9 } & { 0 . 1 9 } \\ { - 0 . 0 5 } & { - 0 . 0 1 } & { 0 . 0 7 } & { 0 . 2 2 } & { - 0 . 3 2 } & { - 0 . 0 8 } \\ { - 0 . 0 5 } & { - 0 . 0 1 } & { 0 . 0 7 } & { 0 . 2 2 } & { 0 . 6 8 } & { - 0 . 0 8 } \\ { - 0 . 0 5 } & { - 0 . 0 1 } & { 0 . 0 7 } & { 0 . 2 2 } & { 0 . 6 8 } & { 0 . 9 2 } \end{array} \right] , } \end{array}
\sigma _ { \tau } ^ { 2 } : = \mathrm { v a r } ( \widehat { \tau } ) \simeq \frac { 4 \tau ^ { 2 } } { m _ { p } } \left( 2 + \frac { \sigma _ { z } ^ { 2 } } { \tau \sigma _ { x } ^ { 2 } } \right) + \mathcal { O } ( m _ { p } ^ { - 2 } ) .
S _ { \mathrm { g h } } = \int \sum _ { \alpha \beta } \left\{ \bar { c } ^ { \alpha \beta } \left( - D _ { \mu } ^ { \alpha \beta } \right) ^ { 2 } c ^ { \beta \alpha } + i g _ { \mathrm { Y M } } \bar { c } ^ { \beta \alpha } D _ { \mu } ^ { \alpha \beta } \left[ \bar { A } _ { \mu } , c \right] \right\}
\chi ^ { 2 } = \sum \frac { ( M _ { i } ( \mathrm { t h e o r y } ) - M _ { i } ( \mathrm { e x p } ) ) ^ { 2 } } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } + \sum \frac { ( \Gamma _ { i } ( \mathrm { t h e o r y } ) / \Gamma _ { j } ( \mathrm { t h e o r y } ) - \Gamma _ { i } ( \mathrm { e x p } ) / \Gamma _ { j } ( \mathrm { e x p } ) ) ^ { 2 } } { \sigma _ { i / j } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \mathcal { P } ( \eta ; \mu , \sigma ) = \frac { 1 } { \mathcal { F } ( 1 ) } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \eta \sigma } \exp \Bigl [ - \frac { ( \ln \eta + \mu ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \Bigr ] , } \end{array}
\frac { 1 - b \cos ^ { 2 } ( \psi ) } { \sqrt { b \cos ^ { 2 } ( \psi ) + a _ { 2 } } } < \frac { 1 - b \cos ^ { 2 } ( \psi ) } { \sqrt { b \cos ^ { 2 } ( \psi ) + a _ { 1 } } } .
\hat { V } _ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } = \sum _ { i , j } ^ { N } \left( \hat { J } _ { j } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( \mathbf { x } _ { i } ) - \hat { K } _ { j } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( \mathbf { x } _ { i } ) \right)
\Vert N _ { \rho } ( t , u ) - N _ { \rho } ( t , v ) \Vert _ { V } \leq \frac { 2 C _ { 0 } C _ { \alpha , p , d } \operatorname* { m a x } \left\{ 1 , e ^ { 2 t \omega } \right\} } { 1 - \alpha } t ^ { 1 - \alpha } \rho \Vert u - v \Vert _ { V } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } t > 0 .
\begin{array} { r l } { i \hbar \frac { \partial \psi _ { 1 } } { \partial t } } & { = \epsilon _ { 2 } ( t ) \psi _ { 1 } + \left( \frac { p ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } \right) \psi _ { 1 } + \hat { H } _ { 1 } \psi _ { 1 } + \langle \psi _ { 2 } | \hat { V } | \psi _ { 2 } \rangle \psi _ { 1 } , } \\ { i \hbar \frac { \partial \psi _ { 2 } } { \partial t } } & { = \epsilon _ { 1 } ( t ) \psi _ { 2 } + \left( \frac { p ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } \right) \psi _ { 2 } + \hat { H } _ { 2 } \psi _ { 2 } + \langle \psi _ { 1 } | \hat { V } | \psi _ { 1 } \rangle \psi _ { 2 } , } \\ { \epsilon _ { 1 } ( t ) } & { = - i \hbar \langle \psi _ { 1 } | \frac { \partial \psi _ { 1 } } { \partial t } \rangle + \langle \psi _ { 1 } | \hat { H } _ { 1 } | \psi _ { 1 } \rangle , } \\ { \epsilon _ { 2 } ( t ) } & { = - i \hbar \langle \psi _ { 2 } | \frac { \partial \psi _ { 2 } } { \partial t } \rangle + \langle \psi _ { 2 } | \hat { H } _ { 2 } | \psi _ { 2 } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \int _ { 0 } ^ { T } \left( f , \partial _ { t } \zeta \right) _ { p } d t - \left( f _ { 0 } , \zeta _ { 0 } \right) _ { p } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { T } \langle \nabla _ { p } \cdot \Phi , f W \nabla _ { p } \zeta \rangle _ { p k } d t + \int _ { 0 } ^ { T } \langle \Phi , f W \nabla _ { p } \nabla _ { p } \zeta \rangle _ { p k } d t } \\ { - \int _ { 0 } ^ { T } \left( W , \partial _ { t } \xi \right) _ { k } d t - \left( W _ { 0 } , \xi _ { 0 } \right) _ { k } } & { { } = - \int _ { 0 } ^ { T } \langle \nabla _ { p } \cdot \Phi , f W \xi \nabla _ { p } E \rangle _ { p k } d t - \int _ { 0 } ^ { T } \langle \Phi , f W \xi \nabla _ { p } \nabla _ { p } E \rangle _ { p k } d t . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { A _ { \perp } } \partial _ { s } ( A _ { \perp } q _ { \parallel } ) = S _ { p w r } } \\ { \frac { 1 } { A _ { \perp } } \partial _ { s } ( A _ { \perp } m n v _ { \parallel } ^ { 2 } ) = - \partial _ { s } ( 2 n T ) + S _ { m o m } } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \left[ T _ { i j } , T _ { j k } \right] } & { = T _ { i k } } & & { { \mathrm { f o r ~ } } i \neq k } \\ { \left[ T _ { i j } , T _ { k \ell } \right] } & { = \mathbf { 1 } } & & { { \mathrm { f o r ~ } } i \neq \ell , j \neq k } \\ { \left( T _ { 1 2 } T _ { 2 1 } ^ { - 1 } T _ { 1 2 } \right) ^ { 4 } } & { = \mathbf { 1 } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \Big ( ( n + i - j ) ( d ^ { ( \nu ) } j + c ^ { ( \nu ) } ) + d ^ { ( \nu ) } ( j - 1 ) ( N - j + 1 ) + n ( d ^ { ( \nu ) } ( i - N - 1 ) - c ^ { ( \nu ) } ) \Big ) \frac { q _ { j } } { \epsilon _ { j } } } \\ { + d ^ { ( \nu ) } ( j - 1 ) ( N - j + 1 ) \frac { \mu _ { j - 1 } } { \mu _ { j } } \frac { q _ { j - 1 } } { \epsilon _ { j - 1 } } + M _ { j } \frac { q _ { j + 1 } } { \epsilon _ { j + 1 } } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta _ { 2 , \alpha } ^ { M } ( \underline { { X } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \delta _ { 2 } ( \underline { { X } } ) , } & { \mathrm { ~ i f } \quad \delta _ { 1 } ( \underline { { X } } ) \leq \delta _ { 2 } ( \underline { { X } } ) } \\ { \frac { p _ { 1 } } { p _ { 2 } } ( 1 - \alpha ) \delta _ { 1 } ( \underline { { X } } ) + ( 1 - \frac { p _ { 1 } } { p _ { 2 } } ( 1 - \alpha ) ) \delta _ { 2 } ( \underline { { X } } ) , } & { \mathrm { ~ i f } \quad \delta _ { 1 } ( \underline { { X } } ) > \delta _ { 2 } ( \underline { { X } } ) } \end{array} \right. . } \end{array}
m _ { s } \frac { \partial ( n _ { s } \mathbf { u } _ { s } ) } { \partial t } - n _ { s } q _ { s } ( \mathbf { E } + \mathbf { u } _ { s } \times \mathbf { B } ) + \frac { 1 } { N } \nabla ( 2 \mathcal { E } _ { s } - m _ { s } n _ { s } \mathbf { u } _ { s } ^ { 2 } ) + \nabla \cdot ( m _ { s } n _ { s } \mathbf { u } _ { s } \otimes \mathbf { u } _ { s } ) = 0 ,
\begin{array} { r l r } { P _ { \perp 1 } } & { { } = } & { \frac { i \gamma B _ { L } e ^ { i \phi } } { \Gamma - i \Delta \omega } ( e ^ { - t / T _ { 1 } } - e ^ { - t / T _ { 2 } } e ^ { i \Delta \omega t } ) + P _ { \perp 1 } ^ { 0 } e ^ { - t / T _ { 2 } } e ^ { i \Delta \omega t } , } \\ { P _ { \perp 2 } } & { { } = } & { \frac { i \gamma B _ { R } e ^ { - i \phi } } { \Gamma - i \Delta \omega } ( e ^ { - t / T _ { 1 } } - e ^ { - t / T _ { 2 } } e ^ { i \Delta \omega t } ) + P _ { \perp 2 } ^ { 0 } e ^ { - t / T _ { 2 } } e ^ { i \Delta \omega t } , } \end{array}
( \vec { q } ^ { \: 2 } ) ^ { 1 - \epsilon } \int \frac { d ^ { D - 2 } k } { \Gamma ( 1 - \epsilon ) \pi ^ { 1 + \epsilon } } \frac { \ln ( \vec { q } ^ { \: 2 } / \vec { k } ^ { \: 2 } ) } { ( \vec { k } - \vec { q } _ { 1 } ) ^ { 2 } ( \vec { k } + \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime } ) ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { \epsilon } \ln \left( \frac { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } } { ( \vec { q } ^ { \: 2 } ) ^ { 2 } } \right) - \frac { 1 } { 2 } \ln ^ { 2 } \left( \frac { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } } { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } } \right) + O ( \epsilon ) \; ,
\tilde { \Omega } _ { N } : = \frac { \lambda _ { 1 } } { b _ { 1 } } N ^ { \lambda _ { 1 } t } \sum _ { i _ { N } \in ( x _ { 1 } N ^ { \lambda _ { 1 } t } , x _ { 2 } N ^ { \lambda _ { 1 } t } ) } \int _ { 0 } ^ { + \infty } l _ { N } ( u ) e ^ { - 2 \lambda _ { 1 } \, t _ { N } } \; d u , \underset { N \to \infty } { \longrightarrow } K ( x _ { 1 } ) - K ( x _ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } & { \| G ^ { n , m } ( t , \tilde { u } _ { t } ^ { n , m } ) - G ^ { n } ( t , \tilde { u } _ { t } ^ { n } ) \| _ { H } } \\ & { \le \| G ^ { n , m } ( t , \tilde { u } _ { t } ^ { n , m } ) - G ^ { n } ( t , \tilde { u } _ { t } ^ { n , m } ) \| _ { H } + \| G ^ { n } ( t , \tilde { u } _ { t } ^ { n , m } ) - G ^ { n } ( t , \tilde { u } _ { t } ^ { n } ) \| _ { H } } \\ & { = I _ { 1 } ^ { m } ( t ) + I _ { 2 } ^ { m } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf x } ^ { \dagger } \Sigma ^ { - 1 } { \bf x } = { \bf x } ^ { \dagger } U ^ { - 1 } \lambda ^ { - 1 } U { \bf x } = { \bf y } ^ { \dagger } \lambda ^ { - 1 } { \bf y } = \sum _ { i } ^ { 2 D } \frac { | y _ { i } | ^ { 2 } } { \lambda _ { i } } , } \end{array}
\frac { \lambda _ { L _ { 1 } } } { \lambda _ { K } } = \frac { n _ { L _ { 1 } } q _ { L _ { 1 } } ^ { 2 } \beta _ { L _ { 1 } } ^ { 2 } B _ { L _ { 1 } } S _ { L _ { 1 } } } { n _ { K } q _ { K } ^ { 2 } \beta _ { K } ^ { 2 } B _ { K } S _ { K } } .
\begin{array} { r l } { { 2 } \boldsymbol U _ { n , m } } & { = \big ( u _ { n , m } ^ { ( 1 ) } , \ldots , u _ { n , m } ^ { ( R ) } \big ) ^ { \top } \, , \; \; \boldsymbol V _ { n , m } = \big ( v _ { n , m } ^ { ( 1 ) } , \ldots , v _ { n , m } ^ { ( R ) } \big ) ^ { \top } \quad \mathrm { a n d } } \\ { \boldsymbol P _ { n , m } } & { = \big ( p _ { n , m } ^ { ( 1 ) } , \ldots , p _ { n , m } ^ { ( S ) } \big ) ^ { \top } \, , \quad \mathrm { f o r } \; \; m = 1 , \ldots , k + 1 \, , } \end{array}
S = \int _ { 0 } ^ { \infty } \sum _ { n _ { p } = 0 } ^ { \infty } \phi _ { n _ { p } } k ^ { n _ { p } + l } d ^ { n _ { p } } \prod _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 ^ { a _ { j } } } \sum _ { n _ { j } = 0 } ^ { \infty } \phi _ { n _ { j } } \frac { ( k R _ { j } ) ^ { 2 n _ { j } + 1 } } { 2 ^ { 2 n _ { j } } \Gamma ( a _ { j } + n _ { j } + 1 ) } d { k }
\begin{array} { r l } { D _ { 1 } ^ { \pm } = } & { { } \ - \frac { 1 } { 2 } \left[ \nabla _ { r } ^ { 2 } - \frac { ( \ell \pm m ) ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right] + V + 2 n _ { 1 } + g _ { 1 2 } n _ { 2 } - \mu _ { 1 } , } \\ { D _ { 2 } = } & { { } \ - \frac { 1 } { 2 M _ { 2 } } \left[ \nabla _ { r } ^ { 2 } - \frac { m ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right] + V + 2 g _ { 2 } n _ { 2 } + g _ { 1 2 } n _ { 1 } - \mu _ { 2 } , } \end{array}
r _ { \mathrm { p e a k } , I } ( t ; \mathrm { ~ B ~ o ~ } ) = 1 - \frac { \psi ( \mathrm { ~ B ~ o ~ } ) ^ { 2 } } { 4 \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { t } ^ { 2 } \chi ^ { 2 } } , \quad m _ { \mathrm { p e a k } , I } ( t ; \mathrm { ~ B ~ o ~ } ) = \frac { 1 6 \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { t } ^ { 2 } \mathcal { N } ( t ; \mathrm { ~ B ~ o ~ } ) \chi ^ { 2 } } { 3 \mathrm { ~ e ~ } ^ { 2 } \psi ( \mathrm { ~ B ~ o ~ } ) ^ { 2 } } ,
\textbf { G } _ { n w , i } ^ { - } = \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \Psi _ { i } f ^ { e q } ( - v _ { n } , v _ { t } )
p _ { \mathrm { e } } ( \delta _ { 0 } ) = \frac { \Omega _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 ( \Omega _ { 0 } ^ { 2 } + \delta _ { 0 } ^ { 2 } ) } \left[ 1 - \cos { \left( \sqrt { \Omega _ { 0 } ^ { 2 } + \delta _ { 0 } ^ { 2 } } \tau \right) } \right] ,
2 \rho _ { \left| - \frac 1 2 \right\rangle } ( \mu ) = ( 2 N + 1 ) a _ { \frac 1 2 } ( \mu ) - a _ { \frac { 1 } { 2 } + \xi + i \chi } ( \mu ) - a _ { \frac { 1 } { 2 } + \xi - i \chi } ( \mu ) - \sum _ { \upsilon = \pm } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \mu ~ a _ { 1 } ( \mu + \upsilon \mu ^ { \prime } ) \rho _ { \left| - \frac 1 2 \right\rangle } ( \mu ^ { \prime } ) - \delta ( \mu ) .
J _ { o r b } ( \vec { R } ) = 2 \pi \kappa \frac { \sigma _ { 1 } } { q _ { 1 } } R ^ { i } \varepsilon _ { i j } v _ { j } ^ { ( 2 ) } ( \vec { R } ) - 2 \pi \kappa \frac { \sigma _ { 2 } } { q _ { 2 } } R ^ { i } \varepsilon _ { i j } v _ { j } ^ { ( 1 ) } ( - \vec { R } ) \; \; ,
\begin{array} { r l } { \big | \big ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ^ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } } & { G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } ^ { w _ { 2 } , w _ { 3 } } G _ { 3 } E _ { - } G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } ^ { w _ { 2 } , w _ { 3 } } G _ { 3 } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \big | \prec \frac { 1 } { \eta ^ { 3 / 2 } } \left( 1 + \frac { \psi _ { 3 } ^ { \mathrm { i s o } } } { \sqrt { N \eta } } \right) } \\ & { + \int _ { \mathbf { B } _ { ( \ell + \frac { 1 } { 2 } ) \kappa _ { 0 } } } \frac { \big | \big ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ^ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } ^ { w _ { 2 } , w _ { 3 } } G ( x + \mathrm { i } \tilde { \eta } ) \mathring { ( E _ { - } A _ { 2 } ) } ^ { - w _ { 2 } , w _ { 3 } } G _ { 3 } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \big | } { \big ( | x - e _ { 3 } | + \eta _ { 3 } \big ) \, \big ( | x + e _ { 2 } | + \eta _ { 2 } \big ) } \mathrm { d } x \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac 1 D | \! | X ( \boldsymbol { \beta } - \hat { \boldsymbol { \beta } } ) | \! | _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leq } & { \frac 1 D | \! | X ( \boldsymbol { \beta } - \boldsymbol { \alpha } ) | \! | _ { 2 } ^ { 2 } + \frac 2 D \mathcal N _ { \star } ( X ^ { \top } \boldsymbol { U } ) \mathcal N ( \hat { \boldsymbol { \beta } } - \boldsymbol { \alpha } ) + \lambda ( \mathcal N ( { \boldsymbol { \alpha } } ) - \mathcal N ( \hat { \boldsymbol { \beta } } ) ) } \\ & { \leq } & { \frac 1 D | \! | X ( \boldsymbol { \beta } - \boldsymbol { \alpha } ) | \! | _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda \mathcal N ( \hat { \boldsymbol { \beta } } - { \boldsymbol { \alpha } } ) + \lambda ( \mathcal N ( { \boldsymbol { \alpha } } ) - \mathcal N ( \hat { \boldsymbol { \beta } } ) ) } \end{array}
V _ { \mathrm { o u t } } = V _ { \mathrm { i n } } + i R _ { \mathrm { f } } = V _ { \mathrm { i n } } + \left( { \frac { V _ { \mathrm { i n } } } { R _ { \mathrm { g } } } } R _ { \mathrm { f } } \right) = V _ { \mathrm { i n } } + { \frac { V _ { \mathrm { i n } } R _ { \mathrm { f } } } { R _ { \mathrm { g } } } } = V _ { \mathrm { i n } } \left( 1 + { \frac { R _ { \mathrm { f } } } { R _ { \mathrm { g } } } } \right)
| \mathbb { E } [ I _ { \mathrm { { D L Q } } } ] - I | \leq \underbrace { | \mathbb { E } [ I _ { \mathrm { D L Q } } - I _ { \mathrm { { D L Q } } } ^ { \mathrm { e x } } ] | } _ { \mathrm { d i s c r e t i z a t i o n ~ b i a s } } + \underbrace { | \mathbb { E } [ I _ { \mathrm { { D L Q } } } ^ { \mathrm { e x } } ] - I | } _ { \mathrm { i n n e r ~ s a m p l i n g ~ b i a s } } .
\partial _ { t } N _ { s } + \frac { 1 } { B } [ \phi _ { s } , N _ { s } ] + \frac { N _ { s } } { B } [ B , \phi _ { s } ] + \frac { N _ { s } T _ { s } } { q _ { s } B ^ { 2 } } [ B , N _ { s } ] = \Lambda _ { c s } ,
P \to e ^ { + } \nu _ { L } \nu _ { L } \; \; \; \; \mathrm { o r } \; \; \; \; P \to e ^ { + } { \nu _ { L } } ^ { c } { \nu _ { L } } \; \; \; \; \mathrm { o r } \; \; \; \; P \to e ^ { + } { \nu _ { L } } ^ { c } { \nu _ { L } } ^ { c } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } } & { P _ { q } \left( \Delta \right) = \left\{ \begin{array} { l c c } { 0 } & { \mathrm { i f } } & { q < \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } } & { \mathrm { i f } } & { q = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 1 } & { \mathrm { i f } } & { q > \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right. . } \end{array}
\Xi _ { l , n } ^ { ( \pm ) } = \epsilon _ { l } ^ { ( + ) } J _ { n + 1 } ( k \rho ) e ^ { i ( n + 1 ) \varphi } \pm \epsilon _ { l } ^ { ( - ) } J _ { n - 1 } ( k \rho ) e ^ { i ( n - 1 ) \varphi } ,
\mathbb { E } _ { \Theta } \big [ \nabla _ { \Theta } \mathcal { L } _ { 1 } \big ] = \frac { 1 } { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { \mathcal { D } ^ { \Omega } } \big [ \mathcal { F } ( u _ { \Theta } ) \mathbb { E } _ { \Theta } \big [ \nabla _ { \Theta } \mathcal { F } ( u _ { \Theta } ) \big ] \big ]
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { E } [ \varsigma ^ { 2 } ( t ) \mathbb { I } _ { \Omega _ { \tau } } ] = \sum _ { k = 1 } ^ { [ \frac { t } { \tau } ] + 1 } \mathbb { E } [ \varsigma ^ { 2 } ( t ) \mathbb { I } _ { \Omega _ { k , \tau } } ] } \\ & { } & { = r ^ { 2 n } \sum _ { k = 1 } ^ { [ \frac { t } { \tau } ] + 1 } \mathbb { E } \left[ \left( \int _ { t _ { k } } ^ { t } x _ { 2 } ( s ) d s \right) ^ { 2 } \mathbb { I } _ { \Omega _ { k , \tau } } \right] } \\ & { } & { \leq r ^ { 2 n } \tau \int _ { t - \tau } ^ { t } \mathbb { E } \| \varrho ( s ) \| ^ { 2 } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { r } \left[ { \sf X } \right] } & { { } = \sqrt { X _ { 1 } ^ { 2 } + X _ { 2 } ^ { 2 } } , } \\ { \bar { \theta } \left[ \sf X \right] } & { { } = { \sf a t a n 2 } \left[ X _ { 2 } , X _ { 1 } \right] , } \\ { \bar { z } \left[ \sf X \right] } & { { } = X _ { 3 } . } \end{array}
\mathcal { H } _ { t } : = e ^ { \frac { 1 } { C _ { 0 } L ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { M } _ { 4 } ( s ) ^ { - 1 } \, d s } \mathcal { E } _ { t } , ~ ~ \bar { \mathcal { H } } _ { t } : = e ^ { \frac { 1 } { C _ { 0 } L ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { M } _ { 4 } ( s ) ^ { - 1 } \, d s } \bar { \mathcal { E } } _ { t } ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ \Xi _ { t } : = \operatorname* { s u p } _ { s \leq t } ( 1 + s ) ^ { \frac { d } { 2 } } \mathcal { H } _ { s } .
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathrm { H } [ q ] } { d t } } & { = - \frac { d } { d t } \int _ { \Omega } q \log q \, d S } \\ & { = - \frac { 1 } { h } \frac { d } { d t } \int _ { D } q \log q \, d V } \\ & { = - \frac { \nu } { h } \int _ { \partial D } \left[ { \nabla ( q \log q ) + \mathbf { A } ^ { q } \times \nabla ( q \log q ) } \right] \cdot \mathbf { n } \, d S + \frac { \nu } { h } \int _ { D } q | \nabla \log q | ^ { 2 } \, d V } \\ & { = - \nu \int _ { \partial \Omega } \nabla \left( { q \log q } \right) \cdot \mathbf { n } ^ { \prime } \, d l + \nu \int _ { \Omega } \left( { 1 + \log q } \right) \left( { \frac { \nabla \omega \cdot \nabla q } { \omega } - \Delta q } \right) \, d S + { \nu } \int _ { \Omega } q | \nabla \log q | ^ { 2 } \, d S , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 \pi } e ^ { \log P ( r ) - n \log r } } & { \sim \frac { 1 } { 2 \pi } \exp \left( \frac { \log ^ { 2 } ( \operatorname { W } ( e ^ { \gamma } n ) / n ) } { 2 } \right) ( \operatorname { W } ( e ^ { \gamma } n ) / n ) ^ { - \gamma } e ^ { \pi ^ { 2 } \! / 1 2 - \gamma ^ { 2 } \! / 2 - 2 \gamma _ { 1 } } \exp \big ( \operatorname { W } ( e ^ { \gamma } n ) \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } { \mathbf V } ( x , y , z , t ) - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } { \mathbf V } ( x , y , z , t ) } { \partial t ^ { 2 } } } & { { } = 0 . } \end{array}
\mid K _ { e 4 } \mid \simeq \frac { 1 } { M _ { 4 } } > \mid K _ { e 5 } \mid \simeq \frac { 1 } { M _ { 5 } } > \mid K _ { e 6 } \mid \simeq \frac { 1 } { M _ { 6 } }
{ \frac { 1 } { \pi } } = { \frac { 2 { \sqrt { 2 } } } { 9 8 0 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( 4 k ) ! ( 1 1 0 3 + 2 6 3 9 0 k ) } { ( k ! ) ^ { 4 } 3 9 6 ^ { 4 k } } } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { D } } & { = \epsilon _ { 0 } \mathbf { E } + \{ \mathbf { P } \} + \mathbf { P } _ { 0 } \delta ^ { ( 0 ) } ( z ) - \frac { 1 } { 2 } \left[ \overline { { \overline { { Q } } } } _ { 0 } \delta ( z ) ^ { ( 0 ) } \right] \cdot \nabla } \\ { \mathbf { B } } & { = \mu _ { 0 } \left( \mathbf { H } + \{ \mathbf { M } \} + \mathbf { M } _ { 0 } \delta ^ { ( 0 ) } ( z ) - \frac { 1 } { 2 } \left[ \overline { { \overline { { S } } } } _ { 0 } \delta ^ { ( 0 ) } ( z ) \right] \cdot \nabla \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \delta _ { 1 } } ^ { k _ { 1 } } \dots \partial _ { \delta _ { n } } ^ { k _ { n } } I ( \vec { X } ^ { \vec { y } } ; \sqrt { \vec { \delta } } \odot \vec { X } ^ { \vec { y } } + \vec { Z } ^ { \prime } ) | _ { \vec { \delta } = \vec { 0 } } = } & { \tau ( k _ { 1 } \circ X _ { 1 } ^ { \vec { y } } , \dots , k _ { n } \circ X _ { n } ^ { \vec { y } } ) } \\ { = } & { \tau ( k _ { 1 } \circ X _ { 1 } , \dots , k _ { n } \circ X _ { n } | \vec { Y } = \vec { y } ) } \end{array}
\dot { q } _ { a } = w _ { a } ^ { - 1 } { \partial _ { p _ { a } \! } h } , \qquad \ \ \dot { p } _ { a } = - w _ { a } ^ { - 1 } { \partial _ { q _ { a } \! } h } , \qquad \ \ i \hbar { \dot { \rho } _ { a } } = w _ { a } ^ { - 1 } [ { \partial _ { \rho _ { a } \! } h } , \rho _ { a } ] ,
\begin{array} { r l r } & { } & { | y _ { 0 } - x _ { 0 } | \le O ( 1 ) \gamma ^ { j _ { r } } , \ | y ^ { ( a ) } - x ^ { ( a ) } | \cdot | y ^ { ( b ) } - x ^ { ( b ) } | \le \gamma ^ { s _ { j _ { r } } ^ { ( a ) } + s _ { j _ { r } } ^ { ( b ) } } , } \\ & { } & { \Vert [ \partial _ { x _ { 0 } } C ( ( x _ { 0 } , { \bf y } ) , z ) ] _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } \Vert _ { L ^ { \infty } } \le K _ { 1 } \gamma ^ { - j _ { e } } \Vert [ C ( ( x _ { 0 } , { \bf y } ) , z ) ] _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } \Vert _ { L ^ { \infty } } , } \\ & { } & { \ \Vert [ \partial _ { x ^ { ( a ) } } \partial _ { { x } ^ { ( b ) } } C ( ( x _ { 0 } , { \bf x } ) , z ) ] _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } \Vert _ { L ^ { \infty } } \le K _ { 2 } \gamma ^ { - s _ { j _ { e } } ^ { ( a ) } - s _ { j _ { e } } ^ { ( b ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { ( 1 ) } = } & { - \frac { 8 \pi ^ { 2 } | \lambda | ^ { 2 } } { 3 } \exp ( \mp 2 x _ { 0 } ) \left[ \sin ( \frac { \xi } { 2 } ) \right] ^ { 4 } } \\ & { \pm \pi | \lambda | x _ { 0 } \xi \exp ( \mp x _ { 0 } ) \cos ( \xi ) } \\ & { \mp \frac { \pi | \lambda | x _ { 0 } } { 2 } \exp ( \mp x _ { 0 } ) \left[ 3 \pm x _ { 0 } \right] \sin ( \xi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \rho } _ { \mathrm { c c b o } } ^ { ( n ) } ( \underline { { R } } , \underline { { R } } ^ { \prime } ) } & { { } = \tilde { S } _ { 0 0 } ^ { ( n ) } \, O _ { 0 0 } ^ { ( n ) } \quad . } \end{array}