harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sigma _ { n } ( r ) = \sigma _ { H } \left( 1 + \frac { r _ { w } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) + \frac { \sigma _ { v } - \sigma _ { H } } { 2 } \left( \frac { r _ { w } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } - 3 \frac { r _ { w } ^ { 4 } } { r ^ { 4 } } \right)
\begin{array} { r l } { \int \hat { E } ( P ) Q _ { N } } & { = \int \partial _ { x } ^ { - 1 } \left( - u ^ { i , 1 } { \delta } _ { u ^ { i } } P + \theta _ { i } \partial _ { x } { \delta } _ { \theta _ { i } } P + u ^ { i , 1 } \theta _ { i } P _ { N } \right) Q _ { N } } \\ & { = \int - \left( - u ^ { i , 1 } { \delta } _ { u ^ { i } } P + \theta _ { i } \partial _ { x } { \delta } _ { \theta _ { i } } P + u ^ { i , 1 } \theta _ { i } P _ { N } \right) \partial _ { x } ^ { - 1 } ( Q _ { N } ) , } \\ { \int P _ { N } \hat { E } ( Q ) } & { = \int P _ { N } \partial _ { x } ^ { - 1 } \left( - u ^ { i , 1 } { \delta } _ { u ^ { i } } Q + \theta _ { i } \partial _ { x } { \delta } _ { \theta _ { i } } Q + u ^ { i , 1 } \theta _ { i } Q _ { N } \right) } \\ { = } & { \int - \partial _ { x } ^ { - 1 } ( P _ { N } ) \left( - u ^ { i , 1 } { \delta } _ { u ^ { i } } Q + \theta _ { i } \partial _ { x } { \delta } _ { \theta _ { i } } Q + u ^ { i , 1 } \theta _ { i } Q _ { N } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rVert \partial _ { \varphi } ^ { s + 1 } e ^ { \mathrm { i } A ( \cdot , k , \xi ) } \rVert _ { L _ { \varphi } ^ { 2 } } } & { = \rVert \partial _ { \varphi } ^ { s } ( \mathrm { i } \partial _ { \varphi } ( A ) e ^ { \mathrm { i } A } ) \rVert _ { L _ { \varphi } ^ { 2 } } } \\ & { \le _ { s } \sum _ { s _ { 1 } + s _ { 2 } = s } C _ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } \rVert \partial _ { \varphi } ^ { s _ { 1 } + 1 } ( A ) ( \partial _ { \varphi } ^ { s _ { 2 } } e ^ { \mathrm { i } A } ) \rVert _ { L _ { \varphi } ^ { 2 } } } \\ & { \le \sum _ { s _ { 1 } + s _ { 2 } = s } C _ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } \rVert \partial _ { \varphi } ^ { s _ { 1 } + 1 } A \rVert _ { L _ { \varphi } ^ { \infty } } \rVert \partial _ { \varphi } ^ { s _ { 2 } } e ^ { \mathrm { i } A } \rVert _ { L _ { \varphi } ^ { 2 } } } \\ & { \le \sum _ { s _ { 1 } + s _ { 2 } = s } C _ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } \rVert A \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s _ { 1 } + 1 + s _ { 0 } } } \rVert e ^ { \mathrm { i } A } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s _ { 2 } } } } \\ & { \le \sum _ { s _ { 1 } + s _ { 2 } = s } C _ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } \left( C ( \delta ) \rVert A \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s _ { 1 } + s _ { 2 } + 1 + s _ { 0 } } } \rVert e ^ { \mathrm { i } A } \rVert _ { L ^ { 2 } } + \delta \rVert A \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s _ { 0 } } } \rVert e ^ { \mathrm { i } A } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s _ { 1 } + s _ { 2 } + 1 } } \right) } \\ & { \le _ { s } C ( \delta ) \rVert { A } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s + 1 + s _ { 0 } } } + C _ { s } \delta \rVert A \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s _ { 0 } } } \rVert e ^ { \mathrm { i } A } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s + 1 } } , } \end{array}
R _ { 2 1 } = \left( \begin{array} { c c c c } { { q } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { 1 } } & { { q - q ^ { - 1 } } } & { { } } \\ { { } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { - q ^ { - 1 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \delta \mathbf { b } ^ { e } } & { { } = \left( \mathbf { S ( m ) } ^ { T } \mathbf { S ( m ) } + \mu \mathbf { I } \right) ^ { - 1 } \mathbf { S ( m ) } ^ { T } \delta \mathbf { d } ^ { * } ( \mathbf { m } ) = \mathbf { H } _ { s } ( \mathbf { m } ) ^ { - 1 } \mathbf { S ( m ) } ^ { T } \delta \mathbf { d } ^ { * } ( \mathbf { m } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \left( \mathbb { E } e ^ { \lambda U _ { i } } \right) } & { = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \log \left( \mathbb { E } \exp \left( \lambda \sum _ { l = X _ { i } ( 0 ) } ^ { k } \left( \tau _ { i } ( l ) - \frac { 1 } { F ( l ) } \right) \right) \right) } \\ & { = \log \left( \prod _ { k = X _ { i } ( 0 ) } ^ { \infty } e ^ { - \lambda / F ( k ) } \mathbb { E } e ^ { \lambda \tau _ { i } ( k ) } \right) = \sum _ { k = X _ { i } ( 0 ) } ^ { \infty } \left[ \log \left( \mathbb { E } e ^ { \lambda \tau _ { i } ( k ) } \right) - \frac { \lambda } { F ( k ) } \right] } \\ & { = \sum _ { k = X _ { i } ( 0 ) } ^ { \infty } \left[ \log \left( \frac { F ( k ) } { F ( k ) - \lambda } \right) - \frac { \lambda } { F ( k ) } \right] = - \sum _ { k = X _ { i } ( 0 ) } ^ { \infty } \left[ \log \left( 1 - \frac { \lambda } { F ( k ) } \right) + \frac { \lambda } { F ( k ) } \right] } \end{array}
0 = \frac { \delta ^ { 2 } \Gamma } { \delta \chi \delta K _ { \mu } } \frac { \delta \Gamma } { \delta Q _ { \mu } } - \frac { \delta \Gamma } { \delta K _ { \mu } } \frac { \delta ^ { 2 } \Gamma } { \delta \chi \delta Q _ { \mu } } - \frac { \delta ^ { 2 } \Gamma } { \delta \chi \delta K } \frac { \delta \Gamma } { \delta c } - \frac { \delta \Gamma } { \delta K } \frac { \delta ^ { 2 } \Gamma } { \delta \chi \delta c } + \frac { 1 } { \alpha } D _ { \mu } ( A ) Q _ { \mu } \frac { \delta ^ { 2 } \Gamma } { \delta \chi \delta \overline { { { c } } } } - \frac { 1 } { 2 \alpha } \overline { { { c } } } \frac { \delta \Gamma } { \delta \overline { { { c } } } } + \frac { \delta \Gamma } { \delta \alpha } \, .
\frac { N _ { N } } { \rho _ { \phi } } \simeq \frac { 1 } { 1 0 ^ { 1 0 } \, \mathrm { { G e V } } } \, \frac { 1 . 4 \times 1 0 ^ { - 1 4 } \, q } { M _ { 1 0 } ^ { 1 / 2 } } \, \left[ \log \left( 1 . 7 \times 1 0 ^ { 3 } \, \frac { q ^ { 1 / 2 } } { M _ { 1 0 } } \right) \right] ^ { 3 / 2 } \, \, ,
( \mathcal E , \mathcal D , \mathcal D _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } } ) = \underset { ( \mathcal E , \mathcal D , \mathcal D _ { \mathrm { ~ \tiny ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } } ) } { \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ m ~ i ~ n ~ } } ~ \mathbb { E } _ { ( \mathcal X , \mathscr X ) } [ \mathcal J ( \mathcal X , \mathscr X ) ] ,
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { O } _ { \sigma } ( X _ { l } A _ { l } ) \left( \mathcal { O } _ { \tau } ( X _ { l } A _ { l } ) \right) ^ { \dagger } \rangle } & { = \langle \mathcal { O } _ { \sigma } ( X _ { l } A _ { l } ) \mathcal { O } _ { \tau ^ { - 1 } } ( A _ { l } ^ { \dagger } X _ { l } ^ { \dagger } ) \rangle } \\ { } & { = \sum _ { \rho \in S _ { \mathbf { m } } } \sum _ { \gamma \in S _ { m _ { 1 } } \times \dots \times S _ { m _ { l } } } \mathcal { O } _ { \rho } ( B _ { l } ) \delta ( \rho ^ { - 1 } \gamma ^ { - 1 } \sigma \gamma \tau ^ { - 1 } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert \Xi _ { i } ^ { \prime } \vert ^ { 2 } } & { = ( \ensuremath { \mathrm { K n } } \tau ) ^ { 2 } \sum _ { k \neq i } \frac { \Xi _ { i } ^ { \mathrm { T } } \mathcal C _ { s } \Xi _ { k } \Xi _ { k } ^ { \mathrm { T } } \mathcal C _ { s } ^ { \dagger } \Xi _ { i } } { ( \lambda _ { k } - \lambda _ { i } ) ^ { 2 } } } \\ & { \leq \frac { ( \ensuremath { \mathrm { K n } } \tau ) ^ { 2 } } { \operatorname* { m i n } _ { k } ( \lambda _ { k } - \lambda _ { i } ) ^ { 2 } } \sum _ { k \neq i } \Xi _ { i } ^ { \mathrm { T } } \mathcal C _ { s } \Xi _ { k } \Xi _ { k } ^ { \mathrm { T } } \mathcal C _ { s } ^ { \dagger } \Xi _ { i } } \\ & { \leq \frac { ( \ensuremath { \mathrm { K n } } \tau ) ^ { 2 } } { \operatorname* { m i n } _ { k } ( \lambda _ { k } - \lambda _ { i } ) ^ { 2 } } \left[ \sum _ { k } \Xi _ { i } ^ { \mathrm { T } } \mathcal C _ { s } \Xi _ { k } \Xi _ { k } ^ { \mathrm { T } } \mathcal C _ { s } ^ { \dagger } \Xi _ { i } - \left\vert \Xi _ { i } ^ { \mathrm { T } } \mathcal C _ { s } \Xi _ { i } \right\vert ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\{ \eta _ { A B } \} = \left( \begin{array} { c c } { { g _ { a b } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { g _ { i j } } } \end{array} \right) \, , \quad \{ \eta ^ { A B } \} = \left( \begin{array} { c c } { { g ^ { a b } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { g ^ { i j } } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l r l } { \mu _ { j , s } ^ { \mathsf { n e x t } } } & { \propto \big ( \mu _ { j , s } ^ { \mathsf { c u r r e n t } } \big ) ^ { 1 - \eta } \exp \bigg ( \eta _ { \mu , j } s \Big ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } p _ { i , j } ^ { \mathsf { g r a d } } - c _ { j } \Big ) \bigg ) , \qquad } & & { s \in \{ + , - \} } \\ { p _ { i , l } ^ { \mathsf { n e x t } } } & { \propto \big ( p _ { i , l } ^ { \mathsf { c u r r e n t } } \big ) ^ { 1 - \eta } \exp \Big ( - \eta _ { p , i } r _ { i } \big ( 0 . 5 w _ { i , l } + \mu _ { l , + } ^ { \mathsf { g r a d } } - \mu _ { l , - } ^ { \mathsf { g r a d } } \big ) \Big ) , \qquad } & & { l = 1 , \cdots , n } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \underline { { t } } , \mathcal { O } , \underline { \tau } | \mathcal { D } ) } & { = \frac { 1 } { P ( \mathcal { O } ) } P ( \underline { \tau } | \mathcal { D } ) P ( \mathcal { O } | \mathcal { D } , \underline { \tau } ) P ( \mathcal { O } | \underline { { t } } ) P ( \underline { { t } } | \mathcal { D } ) } \end{array}
s = ( s _ { 0 } ^ { n + 4 } + s _ { 1 } ^ { n + 4 } ( 1 + o ( 1 ) ) ) ^ { \frac 1 { n + 4 } } = s _ { 0 } \big ( 1 + O ( s _ { 1 } ^ { n + 4 } s _ { 0 } ^ { - n - 4 } ) \big ) ,
T \sim \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { \mathrm { f o r a F u n d a m e n t a l s t r i n g } } } \\ { { 1 / g _ { s } } } & { { \mathrm { f o r a D i r i c h l e t p - b r a n e } } } \\ { { 1 / g _ { s } ^ { 2 } } } & { { \mathrm { f o r a S o l i t o n i c 5 - b r a n e } \ . } } \end{array} \right. \right.
\begin{array} { r l } { \sum _ { j } S _ { i j } } & { \leq C _ { 2 } N ^ { - 1 / 2 } \sum _ { j } | \theta u _ { i } u _ { j } - \gamma v _ { i } v _ { j } | } \\ & { \leq C _ { 2 } N ^ { - 1 / 2 } ( | \sqrt { \theta } u _ { i } | \sum _ { j } | \sqrt { \theta } u _ { j } - \sqrt { \gamma } v _ { j } | + | \sqrt { \theta } u _ { i } - \sqrt { \gamma } v _ { i } | \sum _ { j } \sqrt { \gamma } | v _ { j } | ) } \\ & { \leq C _ { 2 } ( \sqrt { \theta } + \sqrt { \gamma } ) \| \sqrt { \theta } u - \sqrt { \gamma } v \| _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \dot { \sigma } } { 2 \pi w _ { \mathrm { o s c i } } } } & { { } = \frac { \beta F } { n \sin \frac { 2 \pi m } { n } } \simeq \frac { \beta F } { 2 \pi m } , } \\ { \frac { \dot { \sigma } } { 2 \pi v _ { \mathrm { o s c i } } } } & { { } = \frac { \beta F n ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \frac { \pi m } { n } } { \pi ^ { 2 } \sin \frac { 2 \pi m } { n } } \simeq \frac { \beta F m } { 2 \pi } . } \end{array}
{ \frac { \sqrt { 2 } \vartheta _ { 2 } ^ { 2 } \widetilde \vartheta _ { 3 } } { \vartheta _ { 3 } } } + \sqrt { \vartheta _ { 3 } ^ { 2 } \widetilde \vartheta _ { 3 } ^ { 2 } + \vartheta _ { 2 } ^ { 2 } \widetilde \vartheta _ { 4 } ^ { 2 } - \vartheta _ { 4 } ^ { 2 } \widetilde \vartheta _ { 2 } ^ { 2 } } = 0 .
x \left[ \begin{array} { l l l l } { | } & { | } & & { | } \\ { p _ { 0 } } & { p _ { 1 } } & { \cdots } & { p _ { k - 1 } } \\ { | } & { | } & & { | } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l } { | } & { | } & & { | } \\ { p _ { 0 } } & { p _ { 1 } } & { \cdots } & { p _ { k - 1 } } \\ { | } & { | } & & { | } \end{array} \right] \mathbf { T } + \beta _ { k + 1 } \left[ \begin{array} { l l l l } { | } & & { | } & { | } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { p _ { k } } \\ { | } & & { | } & { | } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \dot { S } _ { k } } & { = - \theta _ { k } S _ { k } I _ { k } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { j \in \mathcal { J } _ { k } } ( S _ { j } - S _ { k } ) , } \\ { \dot { I } _ { k } } & { = \theta _ { k } S _ { k } I _ { k } - \nu _ { k } I _ { k } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { j \in \mathcal { J } _ { k } } ( I _ { j } - I _ { k } ) , } \\ { \dot { R } _ { k } } & { = \nu _ { k } I _ { k } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { j \in \mathcal { J } _ { k } } ( R _ { j } - R _ { k } ) , } \end{array} \right. } \end{array}
d s ^ { 2 } \, : = \, B _ { \mathrm { H } } [ \sigma ( r - r _ { \mathrm { H } } ) ] ^ { 2 ( 1 - \alpha ) } \, \bar { g } _ { \mu \nu } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } + \frac { d r ^ { 2 } } { B _ { \mathrm { H } } ( r - r _ { \mathrm { H } } ) ^ { 2 } } + r _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } d \Omega _ { n - 1 } ^ { 2 } .
H _ { Y } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right] \otimes H _ { X } + \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 1 } & { \cdots } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right] \otimes I _ { n } .
\left\{ \begin{array} { r l r } & { \partial _ { t t } u ( x , y , t ) - \alpha ^ { 2 } \Delta u ( x , y , t ) = 0 , } & { \quad ( x , y ) , t \in \Omega \times [ 0 , T ] , } \\ & { u ( x , y , 0 ) = \phi ( x , y ) , } & { \quad ( x , y ) \in \Omega , } \\ & { \partial _ { t } u ( x , y , 0 ) = \psi ( x , y ) , } & { \quad ( x , y ) \in \Omega , } \\ & { u ( x , y , t ) = 0 , } & { \quad ( x , y ) \in \partial \Omega \times [ 0 , T ] , } \end{array} \right.
\delta ( \gamma ^ { \mu _ { n } \cdots \mu _ { 1 } } \nabla _ { \mu _ { n } \cdots \mu _ { 1 } } \psi ) = i g ( \epsilon c ) \gamma ^ { \mu _ { n } \cdots \mu _ { 1 } } \nabla _ { \mu _ { n } \cdots \mu _ { 1 } } \psi
\mathcal { A } _ { p } ^ { \pm } = \frac { J _ { - p - 1 } ( \eta ) J _ { - 1 } ( \eta ) } { \delta \pm x - i } + \sum _ { n \neq 0 } \frac { J _ { n - p - 1 } ( \eta ) J _ { n - 1 } ( \eta ) } { n \zeta + \delta \pm x - i } .
\begin{array} { r l } { n _ { 1 } ( \mathbf { x } ) = \, } & { { } n _ { 1 , \mathrm { a } } ( \mathbf { x } ) e ^ { i S ( \mathbf { x } ) / \hbar } } \\ { n _ { 1 , \mathrm { a } } ( \mathbf { x } ) = \, } & { { } \Pi _ { 0 } \left( \mathbf { x } , \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } \right) \varphi _ { 1 } ( \mathbf { x } ) + \Pi _ { 1 } \left( \mathbf { x } , \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } \right) \varphi _ { 0 } ( \mathbf { x } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H | + \rangle } & { { } = } & { ( U - 2 J ) \times \left( - \frac { \sqrt { 2 } t } { U } , - \frac { \sqrt { 2 } t } { U } , \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } , \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \right) ^ { T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 - y w ) A ( x , y ) \widehat { A } ( z , w ) + ( z + w ) C ( x , y ) \widehat { C } ( z , w ) } & { = ( 1 - y w ) \widehat { A } ( z , w ) A ( x , y ) + ( x + y ) \widehat { B } ( z , w ) B ( x , y ) , } \\ { ( 1 - x z ) \widehat { A } ( z , w ) A ( x , y ) + ( z + w ) \widehat { C } ( z , w ) C ( x , y ) } & { = ( 1 - x z ) A ( x , y ) \widehat { A } ( z , w ) + ( x + y ) B ( x , y ) \widehat { B } ( z , w ) , } \\ { ( 1 - x z ) D ( x , y ) \widehat { D } ( z , w ) + ( z + w ) \widehat { C } ( z , w ) C ( x , y ) } & { = ( 1 - x z ) \widehat { D } ( z , w ) D ( x , y ) + ( x + y ) B ( x , y ) \widehat { B } ( z , w ) , } \\ { ( 1 - y w ) \widehat { D } ( z , w ) D ( x , y ) + ( z + w ) C ( x , y ) \widehat { C } ( z , w ) } & { = ( 1 - y w ) D ( x , y ) \widehat { D } ( z , w ) + ( x + y ) \widehat { B } ( z , w ) B ( x , y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( { \texttt A } { \mathcal G } ^ { ( \mathbb { T } ) } { \texttt B } ^ { T } ) _ { a a } - w _ { { \texttt A } { \texttt B } } \mathfrak { s } ( z ) } & { = \sum _ { \mu \neq \nu } { \texttt A } _ { a \mu } ( { \mathcal G } ^ { ( \mathbb { T } ) } ) _ { \mu \nu } { \texttt B } _ { a \nu } + \sum _ { \mu } { \texttt A } _ { a \mu } { \texttt B } _ { a \mu } \left( ( { \mathcal G } ^ { ( \mathbb { T } ) } ) _ { \mu \mu } - \mathfrak { s } ( z ) \right) } \\ & { ~ ~ ~ + \mathfrak { s } ( z ) \left( \frac 1 { N } \sum _ { \mu } ( N { \texttt A } _ { a \mu } { \texttt B } _ { a \mu } - w _ { { \texttt A } { \texttt B } } ) \right) \prec N ^ { - 1 / 2 } , } \end{array}
{ \ddot { w } } + \frac { 1 } { 2 g } \frac { \partial g } { \partial w } { \dot { w } } ^ { 2 } + \biggl ( \frac { \dot { \lambda } } { \lambda } + \frac { 1 } { g } \frac { \partial g } { \partial \sigma } \dot { \sigma } \biggr ) \dot { w } + \frac { 1 } { 2 g } \frac { w + 1 } { ( w - 1 ) ^ { 3 } } = 0 ,
\begin{array} { r } { \psi _ { q } ^ { ( e v e n ) } ( x ) = \sqrt { \frac { 2 } { L } } \cos ( q x ) , \qquad \psi _ { q } ^ { ( o d d ) } ( x ) = \sqrt { \frac { 2 } { L } } \sin ( q x ) , } \end{array}
H _ { 3 } = \Re { \sum _ { j , k = 1 } ^ { 2 } { ( V _ { j } ^ { e } V _ { k } ^ { e * } + A _ { j } ^ { e } A _ { k } ^ { e * } ) ( V _ { j } ^ { f } A _ { k } ^ { f * } + A _ { j } ^ { f } V _ { k } ^ { f * } ) \chi _ { j } \chi _ { k } ^ { * } } }
\frac { \partial A _ { 2 } } { \partial T _ { 2 } } = \mathrm { ~ i ~ } \, \frac { \zeta _ { _ { D C } } } { 4 } \Lambda F ^ { 2 } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } 2 \Lambda T _ { 1 } } + \mathrm { ~ i ~ } \, \frac { \chi _ { _ { D C } } } { 4 } A _ { 2 } F ^ { 2 } + \mathrm { ~ i ~ } \, \nu _ { _ { D C } } | A _ { 2 } | ^ { 2 } A _ { 2 } + \mathrm { ~ i ~ } \, \xi _ { _ { D C } } | B _ { 2 } | ^ { 2 } A _ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { f _ { 0 } ( z ) } & { = f _ { 1 } ( z ) ( z - b ) + g _ { 0 } ( b ) \ln \frac { z - b } { z - a } + C _ { 0 } } \\ & { = \Big ( f _ { 2 } ( z ) ( z - b ) + g _ { 1 } ( b ) \ln \frac { z - b } { z - a } + C _ { 1 } \Big ) ( z - b ) + g _ { 0 } ( b ) \ln \frac { z - b } { z - a } + C _ { 0 } = \cdots } \\ & { = f _ { \mathcal { N } } ( z ) ( z - b ) ^ { \mathcal { N } } + \sum _ { n = 0 } ^ { \mathcal { N } - 1 } g _ { n } ( b ) ( z - b ) ^ { n } \ln \frac { z - b } { z - a } + \sum _ { n = 0 } ^ { \mathcal { N } - 1 } C _ { n } ( z - b ) ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathfrak { L } _ { y } = L _ { y } | Y _ { n } ^ { m } \rangle = - \mathrm { ~ i ~ } \cos \phi \frac { \partial Y _ { n } ^ { m } } { \partial \theta } + \mathrm { ~ i ~ } \cot \theta \sin \phi \frac { \partial Y _ { n } ^ { m } } { \partial \phi } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ \ } \quad \mathfrak { L } _ { z } = L _ { z } | Y _ { n } ^ { m } \rangle = - \mathrm { ~ i ~ } \frac { \partial Y _ { n } ^ { m } } { \partial \phi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } H ( x ( t ) ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \langle x ( t ) , \mathcal { Q } _ { l } x ( t ) \rangle _ { L ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \langle \mathcal { J } _ { l } ( \mathcal { Q } _ { l } x ( t ) ) , \mathcal { Q } _ { l } x ( t ) \rangle _ { L ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \langle \mathcal { Q } _ { l } x ( t ) , \mathcal { J } _ { l } ( \mathcal { Q } _ { l } x ( t ) ) \rangle _ { L ^ { 2 } } } \\ & { = \langle e _ { \partial } ( t ) , f _ { \partial } ( t ) \rangle - e _ { I } ( t ) f _ { I } ( t ) . } \end{array}
\dot { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ y Ḍ Ḍ } ( t ) = \left( \begin{array} { l } { \dot { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ q Ḍ Ḍ } ( t ) } \\ { \dot { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ p Ḍ Ḍ } ( t ) } \end{array} \right) = \ensuremath { \mathbf Ḋ A Ḍ } \left( \begin{array} { l } { \ensuremath { \mathbf Ḋ q Ḍ } ( t ) } \\ { \ensuremath { \mathbf Ḋ p Ḍ } ( t ) } \end{array} \right) , \quad \mathrm { w i t h ~ } \ensuremath { \mathbf Ḋ A Ḍ } : = \left( \begin{array} { l l } { \ensuremath { \mathbf Ḋ 0 Ḍ } } & { \mathbf I _ { n } } \\ { 0 . 2 5 \mathbf { D } _ { \mathrm { Ḋ } f d Ḍ } } & { \ensuremath { \mathbf Ḋ 0 Ḍ } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \lambda _ { r } ^ { \star } } { \omega ^ { 2 } } } & { \geq C _ { 1 } r ^ { 2 } \bigg [ \bigg ( \frac { d } { n } \bigg ) ^ { 1 / 2 } + \frac { d } { n } \bigg ] \log ^ { 2 } ( n + d ) , } \\ { \mu _ { \sf p c } \vee \log ( n + d ) } & { \leq c _ { 1 } \frac { d } { r ^ { 3 } } , } \\ { r \vee \log ( n + d ) } & { \leq c _ { 1 } n } \end{array}
{ \mathbf { H } } ( { \mathbf { r } } ) = - \nabla \psi = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \left[ { \frac { 3 \mathbf { \hat { r } } ( \mathbf { m } \cdot \mathbf { \hat { r } } ) - \mathbf { m } } { r ^ { 3 } } } \right] = { \frac { \mathbf { B } } { \mu _ { 0 } } } .
\vec { A } ( \vec { r } ) = \frac { \mu e ^ { i n _ { 1 } k _ { 0 } r } } { 4 \pi r } \oint e ^ { - i n _ { 1 } k _ { 0 } \hat { r } \cdot \vec { r } } J ( \vec { r ^ { \prime } } ) h ( \vec { r ^ { \prime } } ) d S ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { r } \setminus B _ { \varepsilon } } ( p - 1 ) | \nabla \phi ( x ) \cdot y | ^ { p - 2 } y ^ { T } D ^ { 2 } \phi ( x ) y \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p } } } & { = \Delta _ { p } \phi ( x ) \int _ { \partial B _ { 1 } } | y _ { 1 } | ^ { p } \, \mathrm { d } \sigma ( y ) \int _ { \varepsilon } ^ { r } \rho ^ { - 1 + p ( 1 - s ) } \, \mathrm { d } \rho } \\ & { = a _ { d , p , s } ^ { - 1 } \Delta _ { p } \phi ( x ) r ^ { p ( 1 - s ) } + o _ { \varepsilon } ( 1 ) . } \end{array}
\frac 1 2 \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \| \tilde { v } \| ^ { 2 } + \varepsilon \| \tilde { v } _ { x } \| ^ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { v } \tilde { u } _ { x } \mathrm { d } x - \varepsilon \beta _ { x } \| \tilde { v } \| ^ { 2 } - \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 2 \varepsilon \beta \beta _ { x } + \beta _ { t } ) \tilde { v } \mathrm { d } x .
u _ { z 0 } = \frac { \Gamma _ { w } } { D _ { s } c _ { 0 } } \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial z } + \frac { 1 } { 4 } ( - 1 + r ^ { 2 } ) \frac { \partial p _ { 0 } } { \partial z } .
\omega ^ { \pm } ( k ) = \frac { \omega _ { F P } ( k ) + \omega _ { E N Z } ( k ) } { 2 } \pm \, \frac { 1 } { 2 } \left[ \Omega _ { R } ^ { 2 } + \left( \omega _ { F P } ( k ) - \omega _ { E N Z } ( k ) \right) ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r l } { \| G ( t ) - G _ { \Delta x } ( t ) \| _ { 1 } } & { = \int _ { \mathbb { R } } | G ( t , y ( t , \xi ) ) - G _ { \Delta x } ( t , y ( t , \xi ) ) | y _ { \xi } ( t , \xi ) d \xi } \\ & { \leq \int _ { \mathbb { R } } | H ( t , \xi ) - H _ { \Delta x } ( t , \xi ) | y _ { \xi } ( t , \xi ) d \xi } \\ & { \qquad + \int _ { \mathbb { R } } | H _ { \Delta x } ( t , \xi ) - G _ { \Delta x } ( t , y _ { \Delta x } ( t , \xi ) ) | y _ { \xi } ( t , \xi ) d \xi } \\ & { \qquad + \int _ { \mathbb { R } } | G _ { \Delta x } ( t , y ( t , \xi ) ) - G _ { \Delta x } ( t , y _ { \Delta x } ( t , \xi ) ) | y _ { \xi } ( t , \xi ) d \xi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } H ^ { p } ( ( u _ { * } ) ^ { \prime } ) } & { - \int _ { 0 } ^ { k } H ^ { p } ( ( ( u _ { 1 } ) _ { * } ) ^ { \prime } ) - \int _ { 0 } ^ { 1 - k } H ^ { p } ( ( ( u _ { 2 } ) _ { * } ) ^ { \prime } ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } H ^ { p } ( ( v _ { * } ) ^ { \prime } ) - \int _ { 0 } ^ { 1 } H ^ { p } ( v ^ { \prime } ) = 0 . } \end{array}
( a _ { k } , b _ { k } ) = { \underset { a , b } { \operatorname { a r g m a x } } } \operatorname { c o r r } ( a ^ { T } X , b ^ { T } Y ) \quad { \mathrm { ~ s u b j e c t ~ t o ~ } } \operatorname { c o v } ( a ^ { T } X , a _ { j } ^ { T } X ) = \operatorname { c o v } ( b ^ { T } Y , b _ { j } ^ { T } Y ) = 0 { \mathrm { ~ f o r ~ } } j = 1 , \dots , k - 1
\begin{array} { r } { { H ^ { 4 D } = 0 . 6 7 7 \cdot \frac { B _ { R } } { \sigma \sqrt [ 3 ] { Y } } - 0 . 1 3 3 \cdot \frac { Y } { D } \cdot \log { R _ { X } } + 0 . 0 4 1 \cdot \frac { F r } { R _ { N } \log { e l } } } } \\ { { - 1 3 . 2 2 8 \cdot \frac { I _ { W } } { I _ { X } \sqrt { R _ { W } } } - 1 . 4 7 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d V _ { 2 } ( \eta ( t ) ) } { d t } = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { d V _ { 2 i } ( \eta _ { i } ( t ) ) } { d t } } \\ & { \leq - \frac { r } { \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( G ) } V _ { 2 } ( \eta ( t ) ) + \frac { 2 \sqrt { m } \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( G ) \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq m } D _ { 1 i } } { \sqrt { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( G ) } } \sqrt { V _ { 2 } ( \eta ( t ) ) } , } \end{array}
\dot { a } _ { j k } = \frac { 1 } { \Delta x _ { j } \langle \psi _ { k } | \psi _ { k } \rangle } \Big ( - f _ { j + \frac { 1 } { 2 } } \psi _ { k } ^ { + } + f _ { j - \frac { 1 } { 2 } } \psi _ { k } ^ { - } + \int _ { I _ { j } } f \frac { \partial \psi _ { k } } { \partial x } \mathop { d x } \Big ) .