harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left( \sum _ { j } V _ { j } \right) ^ { * } \left( \sum _ { j } V _ { j } \right) } & { = \left( \sum _ { j } V _ { j } ^ { * } \right) \left( \sum _ { j } V _ { j } \right) } \\ & { = \sum _ { j } V _ { j } ^ { * } \left( \sum _ { k } V _ { k } \right) } \\ & { = \sum _ { j } \sum _ { k } \left( V _ { j } ^ { * } V _ { k } \right) } \\ & { = \sum _ { j } V _ { j } ^ { * } V _ { j } } \\ & { = P . } \end{array}
D _ { a } ^ { ( 0 ) } \phi = ( \frac { \partial } { \partial u ^ { a } } + i q A _ { a } ^ { ( 0 ) } ) \phi , \; \; D _ { k } ^ { ( 0 ) } \phi = ( \frac { \partial } { \partial s ^ { k } } + i q A _ { k } ^ { ( 0 ) } ) \phi .
\Gamma _ { \gamma \gamma } ^ { X } \; = \; \left( \sum _ { \mathrm { c o l o u r } } \, < e _ { q } ^ { 2 } > \right) ^ { 2 } \, \frac { \alpha ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 3 } } \, \frac { m _ { X } ^ { 3 } } { f _ { X } ^ { 2 } } \; \; \; \ ,
F _ { M } = - \frac { m _ { a } ^ { - 1 } N _ { d } 2 \log 2 \, \ \sqrt { 2 m m _ { a } } } { 2 \pi \beta } = - \frac { e B S \log 2 \, \ \sqrt { 2 m / m _ { a } } } { 2 \pi ^ { 2 } \beta }
\delta _ { i } ^ { * } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( 1 - \frac { u } { U _ { \infty } } \right) \mathrm { d } y \quad \mathrm { a n d } \quad \theta _ { i } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { u } { U _ { \infty } } \left( 1 - \frac { u } { U _ { \infty } } \right) \mathrm { d } y
\tilde { \Gamma } _ { t } ^ { ( 4 ) } ( { \bf { q } } _ { 1 } , { \bf { q } } _ { 2 } , { \bf { q } } _ { 3 } , { \bf { q } } _ { 4 } ) = \tilde { \Gamma } _ { t , s = 0 } ^ { ( 4 ) } ( { \bf { q } } _ { 1 } , { \bf { q } } _ { 2 } , { \bf { q } } _ { 3 } , { \bf { q } } _ { 4 } ) \; ,
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial R _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( \widehat { L } , t ; t _ { f } | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) } { \partial t } } & { { } = \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \left[ f ( \widehat { L } ) R _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( \widehat { L } , t ; t _ { f } | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) - \ \rho _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( t _ { f } | \widehat { L } , t ) \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } D ( \widehat { L } ) P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 0 } ^ { T } } & { \| x _ { t } \| ^ { 2 } \leq \sum _ { j = 0 } ^ { J - 1 } \sum _ { t = t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } - 1 } \| x _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \sum _ { j = 0 } ^ { J - 1 } \left[ \frac { 2 \kappa ^ { 2 } } { 1 - \rho ^ { 2 } } \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 2 } + 2 \beta ^ { 2 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } ( t _ { j + 1 } - t _ { j } - 1 ) \right] } \\ & { \leq \frac { 2 \kappa ^ { 2 } } { 1 - \rho ^ { 2 } } \sum _ { j = 0 } ^ { J - 1 } \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 2 } + 2 \beta ^ { 2 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } T } \\ & { \leq \frac { 2 \kappa ^ { 2 } } { 1 - \rho ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { 1 - \gamma _ { 0 } } \frac { \gamma _ { 1 } ^ { \mathbb M + 1 } - 1 } { \gamma _ { 1 } - 1 } ( \| x _ { 0 } \| ^ { 2 } + \frac { \alpha _ { 9 } } { \gamma _ { 1 } - 1 } ) + \frac { 2 \beta ^ { 2 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } } { 1 - \gamma _ { 0 } } J \right) + 2 \beta ^ { 2 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } T } \\ & { \leq 2 \beta ^ { 2 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } ( T + \alpha _ { 1 1 } J ) + \alpha _ { 1 2 } ( L _ { f } ( 1 + L _ { \pi } ) \kappa ) ^ { 2 \mathbb M } \| x _ { 0 } \| ^ { 2 } + \alpha _ { 1 3 } ( L _ { f } ( 1 + L _ { \pi } ) \kappa ) ^ { 2 \mathbb M } ( \beta ^ { 2 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } + \bar { \pi } _ { 0 } ^ { 2 } ) } \\ { \sum _ { t = 0 } ^ { T } } & { \| x _ { t } \| ^ { 4 } \leq \sum _ { j = 0 } ^ { J - 1 } \sum _ { t = t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } - 1 } \| x _ { t } \| ^ { 4 } } \\ & { \leq \sum _ { j = 0 } ^ { J - 1 } \left[ \frac { 8 \kappa ^ { 4 } } { 1 - \rho ^ { 4 } } \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 4 } + 8 \beta ^ { 4 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 4 } ( t _ { j + 1 } - t _ { j } - 1 ) \right] } \\ & { \leq \frac { 8 \kappa ^ { 4 } } { 1 - \rho ^ { 4 } } \sum _ { j = 0 } ^ { J - 1 } \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 4 } + 8 \beta ^ { 4 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 4 } T } \\ & { \leq \frac { 8 \kappa ^ { 4 } } { 1 - \rho ^ { 4 } } \frac { 1 } { 1 - 2 \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { ( 2 \gamma _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { \mathbb M + 1 } - 1 } { 2 \gamma _ { 1 } ^ { 2 } - 1 } ( \| x _ { 0 } \| ^ { 4 } + \frac { \alpha _ { 1 0 } } { 2 \gamma _ { 1 } ^ { 2 } - 1 } ) + \frac { 8 \kappa ^ { 4 } } { 1 - \rho ^ { 4 } } \frac { 8 \beta ^ { 4 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 4 } } { 1 - 2 \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } J + 8 \beta ^ { 4 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 4 } T } \\ & { \leq 8 \beta ^ { 4 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 4 } ( T + \alpha _ { 1 4 } J ) + \alpha _ { 1 5 } ( L _ { f } ( 1 + L _ { \pi } ) \kappa ) ^ { 4 \mathbb M } \| x _ { 0 } \| ^ { 4 } + \alpha _ { 1 6 } ( L _ { f } ( 1 + L _ { \pi } ) \kappa ) ^ { 4 \mathbb M } ( \beta ^ { 4 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 4 } + \bar { \pi } _ { 0 } ^ { 4 } ) } \end{array}
G = - 1 2 \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { \frac { 1 } { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 3 } } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r l } & { t _ { i + 1 , i + 2 } ^ { - 1 } h _ { i } h _ { i + 2 } h _ { i } = t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { - 1 } h _ { i + 2 } h _ { i } h _ { i + 2 } , \quad h _ { i } h _ { i + 2 } h _ { i } t _ { i + 1 , i + 2 } ^ { - 1 } = h _ { i + 2 } h _ { i } h _ { i + 2 } t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { - 1 } , } \\ & { t _ { i + 1 , i + 2 } ^ { - 1 } h _ { i } h _ { i + 2 } h _ { i } = h _ { i + 2 } h _ { i } h _ { i + 2 } t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { - 1 } , \quad h _ { i } h _ { i + 2 } h _ { i } = t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { - 1 } h _ { i + 2 } h _ { i } h _ { i + 2 } t _ { i + 1 , i + 2 } , } \\ & { h _ { i } h _ { i + 2 } h _ { i } = t _ { i + 1 , i + 2 } h _ { i + 2 } h _ { i } h _ { i + 2 } t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { - 1 } , \quad h _ { i } h _ { i + 2 } h _ { i } = t _ { i + 1 , i + 2 } t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { - 1 } h _ { i + 2 } h _ { i } h _ { i + 2 } , } \\ & { h _ { i } h _ { i + 2 } h _ { i } = h _ { i + 2 } h _ { i } h _ { i + 2 } t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { - 1 } t _ { i + 1 , i + 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \delta } ( \mathcal { G } _ { t } ^ { \ast } B _ { t } P B _ { t } ^ { \ast } \mathcal { G } _ { t } , P ) } & { \leq \hat { \delta } ( \mathcal { G } _ { t } ^ { \ast } B _ { t } P B _ { t } ^ { \ast } \mathcal { G } _ { t } , \mathcal { G } _ { t } ^ { \ast } B _ { t } P ) + \hat { \delta } ( \mathcal { G } _ { t } ^ { \ast } B _ { t } P , P ) } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } \{ | | B _ { t } ^ { \ast } - \mathcal { G } _ { \gamma _ { t } , \gamma _ { 0 } } | | _ { 0 , 0 } , | | ( B _ { t } ^ { \ast } ) ^ { - 1 } - \mathcal { G } _ { \gamma _ { 0 } , \gamma _ { t } } | | _ { 0 , 0 } \} + | | B _ { t } - \mathcal { G } _ { \gamma _ { 0 } , \gamma _ { t } } | | _ { 0 , 0 } } \\ & { \leq \mu _ { 0 } / 8 \cdot ( 1 - \mu _ { 0 } / 8 ) ^ { - 1 } + \mu _ { 0 } / 8 < \mu _ { 0 } / 3 < \delta , } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { I I } = \int _ { \mathbb { B } _ { f } \setminus \mathbb { B } _ { g } } ( 1 + | v | ^ { 2 } ) M [ f ] \, d v + \int _ { \mathbb { B } _ { g } \setminus \mathbb { B } _ { f } } ( 1 + | v | ^ { 2 } ) M [ g ] \, d v + \int _ { \mathbb { B } _ { f } \cap \mathbb { B } _ { g } } ( 1 + | v | ^ { 2 } ) \left| M [ f ] - M [ g ] \right| d v . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \nabla F ( x ) - \nabla _ { x } \mathcal { L } _ { \lambda } ( x , y ) + \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ) \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } \mathcal { L } ( x , y ) \| } \\ & { \qquad \le l _ { f , 1 } ( 1 + l _ { g , 1 } / \mu _ { g } ) \| y - y ^ { * } \| + \lambda ( 1 + l _ { g , 1 } / \mu _ { g } ) \| y - y ^ { * } \| \operatorname* { m i n } ( l _ { g , 2 } \| y - y ^ { * } \| , 2 l _ { g , 1 } ) . } \end{array}
\frac { R _ { 2 } ^ { P a d \acute { e } } - R _ { 2 } } { R _ { 2 } } = \frac { R _ { 1 } ^ { 2 } - R _ { 2 } } { R _ { 2 } } = \frac { - A } { 1 + ( a + b ) } \equiv \delta _ { 2 }
\begin{array} { r } { u _ { \mathrm { a t t } } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , \quad } & { r < \sigma , } \\ { - \epsilon _ { 1 } \frac { e ^ { - \lambda _ { 1 } ( r / \sigma - 1 ) } } { r / \sigma } - \epsilon _ { 2 } \frac { e ^ { - \lambda _ { 2 } ( r / \sigma - 1 ) } } { r / \sigma } , } & { r > \sigma , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \quad \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { x } } \quad } & { \Psi \sum _ { p \in \mathcal { P } } \sum _ { r \in \mathcal { R } _ { p } } - x _ { p , r } \cdot V _ { p , r } + \mathbb { E } _ { \boldsymbol { Q } | _ { \boldsymbol { x } } } [ S T T ( \boldsymbol { Q } | _ { \boldsymbol { x } } ) ] } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \mathrm { C o n s t r a i n t s ~ } ( ) - ( ) } \end{array}
\begin{array} { c } { q ^ { n } = q ^ { n } } \\ { \dot { q } ^ { n } = \frac { \partial H } { \partial p _ { n } } + u ^ { m } \frac { \partial \phi _ { m } } { \partial p _ { n } } } \\ { \phi _ { m } ( q , p ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \Re } & { \int _ { D _ { H } } g \cdot ( x _ { 2 } - m ) \partial _ { 2 } \bar { u } \, \mathrm { d } x } \\ & { = \int _ { D _ { H } } \mathcal { E } ( u , \bar { u } ) - 2 \Re \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \mathcal { E } ( u , ( x _ { 2 } - m ) e _ { j } ) \partial _ { 2 } \bar { u _ { j } } - \omega ^ { 2 } | u | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x } \\ & { + \left( \int _ { S } + \int _ { \Gamma _ { H } } \right) \{ 2 \Re ( \mathcal { T } u \cdot \partial _ { 2 } \bar { u } ) - \mathcal { E } ( u , \bar { u } ) + \omega ^ { 2 } | u | ^ { 2 } \} ( x _ { 2 } - m ) \, \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ^ { \omega } \Big [ } & { \operatorname* { s u p } _ { t \leq T } ( M _ { t } ^ { N , a ^ { \prime } } - M _ { t } ^ { N , a } ) ^ { 2 } \Big ] } \\ { \leq } & { \frac { 4 N ^ { 2 } } { N ^ { 2 n } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { x , y \in V } E ^ { \omega } \big [ \eta _ { s } ^ { N } ( x ) - \eta _ { s } ^ { N , a } ( x ) \big ] r ( x , y ) \left( G _ { N } ^ { \lambda } ( y / N ) - G _ { N } ^ { \lambda } ( x / N ) \right) ^ { 2 } \mathrm { d } s } \\ & { + \frac { 4 } { N ^ { 2 n } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { x \in V } b E ^ { \omega } \big [ \eta _ { s } ^ { N } ( x ) - \eta _ { s } ^ { N , a } ( x ) \big ] G _ { N } ^ { \lambda } ( x / N ) ^ { 2 } \mathrm { d } s } \end{array}
v ^ { r e n } ( q ) \, \simeq \, - \frac { \pi } { 2 4 } \, + \, \frac { \ln 2 } { \pi } \, q \, + \, \frac { 1 } { 2 \pi q } \, { , } \quad q \, = \, \frac { M _ { 0 } ^ { 2 } \, R } { m } \, { , } \quad q \to \infty \, { . }
\begin{array} { l } { { q _ { 0 } = \sqrt { \frac { 2 5 - D } { 6 } - \vec { q } ^ { \; 2 } } \ , } } \\ { { p _ { 0 _ { \pm } } = q _ { 0 } \pm \sqrt { q _ { 0 } ^ { 2 } - \vec { p } ^ { \; 2 } + 2 \vec { q } \vec { p } - 4 } = \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \left( \sqrt { 2 5 - D - 6 \vec { q } ^ { \; 2 } } \pm \sqrt { 1 - D - 6 ( \vec { q } - \vec { p } ) ^ { 2 } } \right) \ . } } \end{array}
\Psi _ { E } = \frac { 1 } { \sqrt { r } } \left( \begin{array} { c } { { e ^ { - i \frac { \theta } { 2 } } \varphi _ { 1 E } \left( r , \theta \right) } } \\ { { e ^ { i \frac { \theta } { 2 } } \chi _ { 1 E } \left( r , \theta \right) } } \end{array} \right)
\dot { \sigma } _ { z } ( t ) = w _ { s } ( \mathcal { R } _ { \textrm { m a x } } ) - ( \dot { z } _ { e } ( t ) + w _ { s } ( \mathcal { R } _ { \textrm { m i n } } ) ) = \Delta w _ { s } - \dot { z } _ { e } ( t ) .
\alpha _ { S } = - \frac { ( a - l _ { s } ) ^ { 2 } } { 2 ( \sigma ^ { 2 } + \sigma _ { s } ^ { 2 } ) } + \ln \left( \frac { z \sigma _ { s } } { \sqrt { \sigma ^ { 2 } + \sigma _ { s } ^ { 2 } } } \right) \ ,
\begin{array} { r l r } & { } & { U _ { 1 } ( x ) = 1 + x , \qquad U _ { 2 } ( x ) = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } , \qquad U _ { 3 } ( x ) = \frac { 1 } { 6 } - \frac { 1 7 } { 1 8 0 } x - \frac { 1 7 } { 1 8 0 } x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } x ^ { 3 } , } \\ & { } & { U _ { 4 } ( x ) = \frac { 1 } { 2 4 } - \frac { 1 7 } { 3 1 5 } x - \frac { 2 3 } { 7 5 6 } x ^ { 2 } - \frac { 1 7 } { 3 1 5 } x ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 4 } x ^ { 4 } } \end{array}
{ \tilde { X } } _ { \bf K } ^ { \mu } = \sqrt { \frac { 2 } { { \slash \! \! \! k } _ { \! { B } } \omega _ { \bf K } } } X _ { \bf K } ^ { \mu } \qquad ; \qquad { \tilde { \alpha } } _ { \mu , { \bf K } } = \sqrt { \frac { 2 \omega _ { \bf K } } { { \slash \! \! \! k } _ { \! { B } } } } \alpha _ { \mu , { \bf K } }
\Phi ^ { \prime } \ = \ \Phi ( \chi ^ { \prime } , \chi ^ { * } ) \ = \, s u m a _ { m _ { 1 } m _ { 2 } n _ { 1 } n _ { 2 } } { \chi ^ { \prime } } _ { 1 } ^ { * m _ { 1 } } { \chi ^ { \prime } } _ { 2 } ^ { * m _ { 2 } } { \chi ^ { \prime } } _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } { \chi ^ { \prime } } _ { 2 } ^ { n _ { 2 } } \ .
\begin{array} { r l r } { \left[ \left( \Gamma _ { r ^ { \prime \mu } } \right) _ { \mu } - \varepsilon \frac { \partial R } { \partial r ^ { \prime \mu } } \right] ^ { \sim } } & { = } & { 0 , } \\ { \left[ \Gamma _ { u _ { \parallel } ^ { \prime } } - \varepsilon \frac { \partial R } { \partial u _ { \parallel } ^ { \prime } } \right] ^ { \sim } } & { = } & { 0 , } \\ { \left[ \Gamma _ { \phi ^ { \prime } } - \frac { \partial R } { \partial \phi ^ { \prime } } - \varepsilon \frac { \partial R _ { 1 } } { \partial \phi ^ { \prime } } \right] ^ { \sim } } & { = } & { 0 , } \end{array}
\left( { \frac { d ^ { 2 } } { d r _ { * } ^ { 2 } } } + \omega ^ { 2 } - { \frac { 2 \Delta } { r ^ { 4 } } } - { \frac { 4 Q ^ { 2 } \Delta } { r ^ { 6 } } } \right) Z ( r ) = 0
\begin{array} { r l r } { \partial _ { x } } & { { } = } & { \cos \phi \partial _ { r } - \frac { 1 } { r } \sin \phi \partial _ { \phi } , } \\ { \partial _ { y } } & { { } = } & { \sin \phi \partial _ { r } + \frac { 1 } { r } \cos \phi \partial _ { \phi } . } \end{array}
= 4 \pi \frac { \partial \beta _ { n } } { \partial M } - P _ { n z } \sum _ { B } \frac { \partial \beta _ { B } } { \partial M } \frac { { \cal P } ( z _ { B } ) } { ( z _ { n } - z _ { B } ) ^ { 2 } \prod _ { C \neq B } ( z _ { B } - z _ { C } ) } + P _ { n z } ~ p _ { 1 } ^ { \prime } ( z _ { n } ) .
\phi _ { \mathrm { 9 0 } } ^ { \mathrm { l i m i t } } = \frac { N _ { 9 0 } } { \bar { \sigma } _ { \mathrm { I B D } } \cdot N _ { p } \cdot T \cdot \bar { \varepsilon } _ { \mathrm { s i g } } \cdot d E } .
u _ { \mu } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } ) = \frac { 1 } { \sqrt { N _ { k } } } \sum _ { \mathbf { R } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot ( \mathbf { R } - \mathbf { r } ) } \tilde { \phi } _ { \mu } ( \mathbf { r } - \mathbf { R } )
T _ { \mu \nu } ( p _ { + } , p _ { - } , Q ) = i \int d ^ { 4 } x \, e ^ { i q x } \, \langle p _ { 2 } , S _ { 2 } \, | T ( J _ { \mu } ( x / 2 ) J _ { \nu } ( - x / 2 ) ) | \, p _ { 1 } , S _ { 1 } \rangle ,
{ \frac { 1 } { \hat { t } _ { i } } } \rightarrow { \frac { 1 } { \hat { t } _ { i } } } \left( - { \frac { \hat { s } _ { i - 1 , i } } { \hat { t } _ { i } } } \right) ^ { \alpha ( \hat { t } _ { i } ) } \, ,
\begin{array} { r l } & { \gamma \beta \mu ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } \left\langle x ( t ) - x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } , \nabla \Phi _ { \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) \right\rangle \ \leq \ \gamma \beta \mu ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } \| x ( t ) - x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } \| \| \nabla \Phi _ { \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) \| } \\ { \leq \ } & { \frac { \gamma ^ { 2 } \mu ( t ) \varepsilon ( t ) } { 2 } \| x ( t ) - x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } \| ^ { 2 } + \frac { \beta ^ { 2 } \mu ( t ) } { 2 } \| \nabla \Phi _ { \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) \| ^ { 2 } . } \end{array}
Z ^ { I } = \sum _ { a = 1 } ^ { 1 6 } { \frac { q ^ { I } { } _ { a } } { | \vec { x } - \vec { x } _ { a } | } } \, \ , \qquad \sum _ { a = 1 } ^ { 1 6 } q ^ { I } { } _ { a } = 0 \ ,
\begin{array} { r l r } { \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 2 a ) } \right> _ { c } } & { = } & { \frac { 1 } { \left( 4 \pi i \right) } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d q _ { 0 } \int d ^ { 4 } x _ { 2 } \int d ^ { 4 } x _ { 1 } e ^ { - \epsilon \left( \left| t _ { 2 } \right| + \left| t _ { 1 } \right| \right) } e ^ { - i q _ { 0 } \left( t _ { 2 } - t _ { 1 } \right) } \frac { e ^ { - b x _ { 2 1 } } } { 4 \pi x _ { 2 1 } } } \\ & { } & { \bigg \{ \sum _ { m _ { 2 } n _ { 2 } m _ { 1 } n _ { 1 } } e ^ { i \left( E _ { n _ { 2 } } - E _ { m _ { 2 } } \right) t _ { 2 } } e ^ { i \left( E _ { n _ { 1 } } - E _ { m _ { 1 } } \right) t _ { 1 } } } \\ & { } & { \times \phi _ { n _ { 2 } } ^ { \dag } \left( \vec { x } _ { 2 } \right) \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { \mu } \phi _ { m _ { 2 } } \left( \vec { x } _ { 2 } \right) \phi _ { n _ { 1 } } ^ { \dag } \left( \vec { x } _ { 1 } \right) \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { \nu } \phi _ { m _ { 1 } } \left( \vec { x } _ { 1 } \right) } \\ & { } & { \times \left< N _ { q } ; 0 \right| : a _ { n _ { 2 } } ^ { \dag } a _ { m _ { 2 } } a _ { n _ { 1 } } ^ { \dag } a _ { m _ { 1 } } : \left| N _ { q } ; 0 \right> } \\ & { } & { - 2 T r \left[ \gamma ^ { \mu } \frac { - i } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d z G \left( \vec { x } _ { 2 } , \vec { x } _ { 2 } , z ( 1 + i \delta ) \right) \gamma ^ { 0 } \right] } \\ & { } & { \times \sum _ { n \, m } e ^ { i \left( E _ { n } - E _ { m } \right) t _ { 1 } } \phi _ { n } ^ { \dag } \left( \vec { x } _ { 1 } \right) \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { \nu } \phi _ { m } \left( \vec { x } _ { 1 } \right) \left< N _ { q } ; 0 \right| a _ { n } ^ { \dag } a _ { m } \left| N _ { q } ; 0 \right> } \\ & { } & { + \frac { - i } { \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d z \sum _ { n \, m } e ^ { i \left( E _ { n } t _ { 2 } - E _ { m } t _ { 1 } - i z \left( t _ { 2 } - t _ { 1 } \right) \right) } } \\ & { } & { \times \phi _ { n } ^ { \dag } \left( \vec { x } _ { 2 } \right) \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { \mu } G \left( \vec { x } _ { 2 } , \vec { x } _ { 1 } , z ( 1 + i \delta ) \right) \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { \nu } \phi _ { m } \left( \vec { x } _ { 1 } \right) } \\ & { } & { \times \left< N _ { q } ; 0 \right| a _ { n } ^ { \dag } a _ { m } \left| N _ { q } ; 0 \right> \bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int ( \ldots ) \delta ( - 2 { \bf p } _ { 1 } \cdot { \bf p } _ { 2 } ) p _ { 1 } \, d \theta \, d p _ { 1 } = \int ( \ldots ) \frac { 1 } { p _ { 2 } } \, d p _ { 1 } , } \end{array}
\eta = \left( \begin{array} { c c c } { { \eta _ { 1 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \eta _ { 2 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \eta _ { 3 3 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { r ( \boldsymbol { \phi } _ { r } ) + \underbrace { \begin{array} { r l } & { 2 C \sum _ { n = 1 } ^ { N } \mathcal { R } ( ( [ \boldsymbol { \phi } _ { t } ] _ { n } ^ { ( j - 1 ) } ) ^ { H } ( [ \boldsymbol { \phi } _ { t } ] _ { n } - [ \boldsymbol { \phi } _ { t } ] _ { n } ^ { ( j - 1 ) } ) } \\ & { + ( [ \boldsymbol { \phi } _ { r } ] _ { n } ^ { ( j - 1 ) } ) ^ { H } ( [ \boldsymbol { \phi } _ { r } ] _ { n } - [ \boldsymbol { \phi } _ { r } ] _ { n } ^ { ( j - 1 ) } ) ) , } \end{array} } _ { f ( \boldsymbol { \phi } _ { t } , \boldsymbol { \phi } _ { r } ) } } \end{array}
\Lambda ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f _ { 3 } ) = \frac { 1 } { q ^ { d } | S _ { t } | ^ { 2 } } \sum _ { x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , x ^ { 3 } \in \mathbb F _ { q } ^ { d } } S _ { t } ( x ^ { 1 } - x ^ { 2 } ) S _ { t } ( x ^ { 2 } - x ^ { 3 } ) f _ { 1 } ( x ^ { 1 } ) f _ { 2 } ( x ^ { 2 } ) f _ { 3 } ( x ^ { 3 } ) \lesssim | | f _ { 1 } | | _ { p _ { 1 } } | | f _ { 2 } | | _ { p _ { 2 } } | | f _ { 3 } | | _ { p _ { 3 } } .
\begin{array} { r l r } { { \bf T } _ { \mathrm { g c } k } \; \equiv \; \mathbb { T } _ { \mathrm { g c } } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \partial _ { k } { \bf X } } & { { } = } & { \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \, \dot { \bf X } \, \Pi _ { \mathrm { g c } k } \; - \; \left( \mathrm { ~ \boldmath ~ \cal ~ P ~ } _ { \mathrm { g c } } \, E _ { k } + \frac { \bf B } { 4 \pi } \, { \sf H } _ { \mathrm { g c } k } \right) \; + \; \frac { 1 } { 4 \pi } \partial _ { k } { \bf X } \left( { \bf B } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, { \bf H } _ { \mathrm { g c } } \; - \; \frac { 1 } { 2 } \, | { \bf B } | ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E } { \partial \tau } } & { = - 2 t \cos \tau \cos \sigma - U \sin \tau \cos \tau = 0 , } \\ { \frac { \partial E } { \partial \sigma } } & { = + 2 t \sin \tau \sin \sigma - U \cos \sigma \sin \sigma - \mu \sin 2 \sigma = 0 , } \\ { \frac { \partial E } { \partial \mu } } & { = - \sin ^ { 2 } \sigma + S ( S + 1 ) = 0 . } \end{array}
[ \Sigma _ { j } ^ { I } , \Sigma _ { k } ^ { I I } ] = 0 , \; [ \Sigma _ { j } ^ { I } , \Sigma _ { k } ^ { I } ] = 2 i \epsilon _ { j k l } \Sigma _ { l } ^ { I } , \; [ \Sigma _ { j } ^ { I I } , \Sigma _ { k } ^ { I I } ] = 2 i \epsilon _ { j k l } \Sigma _ { l } ^ { I I } , \; \; \; \; j , k , l = 1 , 2 , 3 .
\begin{array} { r l } { 2 c _ { 2 r + 1 } - c _ { k } } & { = 2 c _ { 2 r + 1 } - ( c _ { 2 r + 2 } + ( k - 2 r - 2 ) ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) ) } \\ & { = 2 c _ { 2 r + 1 } - ( c _ { 2 r + 1 } + \Delta _ { 2 } + ( k - 2 r - 2 ) ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) } \\ & { = c _ { 2 r + 1 } - \Delta _ { 2 } - ( k - 2 r - 2 ) ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) } \\ & { = c _ { 2 r + 1 - 2 ( k - 2 r - 2 ) } + ( k - 2 r - 2 ) ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) - \Delta _ { 2 } - ( k - 2 r - 2 ) ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) } \\ & { = c _ { 6 r - 2 k + 5 } - \Delta _ { 2 } } \\ & { = c _ { 6 r - 2 k + 3 } + \Delta _ { 1 } } \end{array}
C _ { 1 } = \frac { 1 } { t ^ { 2 } - 1 } ( 1 - \frac { 3 D _ { 0 } - 1 } { 2 } t ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { t ^ { 2 } - 1 } ( \delta _ { 1 } - \frac { D _ { 0 } + 1 } { 2 } \delta _ { 2 } t ^ { 2 } )
| \hat { \Theta } _ { t } ( \hat { \sigma } _ { t } ( m _ { t } ) , u _ { t } ) - \Theta _ { t } ( m _ { t } , u _ { t } ) | = | \operatorname* { m a x } _ { \hat { \pi } _ { t + 1 } \in [ [ \hat { \Pi } _ { t + 1 } | \hat { \sigma } _ { t } ( m _ { t } ) , u _ { t } ] ] } \hat { \Lambda } _ { t + 1 } ( \hat { \pi } _ { t + 1 } ) - \operatorname* { m a x } _ { m _ { t + 1 } \in [ [ M _ { t + 1 } | m _ { t } , u _ { t } ] ] } \Lambda _ { t + 1 } ( m _ { t + 1 } ) |
G ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) = \int D A D \Psi D \bar { \Psi } e ^ { \frac { i } { \hbar } ( S _ { Y M } ( A ) + S _ { f e r m } ( \bar { \Psi } , \Psi , A ) ) } { \cal O } _ { 1 } ( x _ { 1 } ) . . . { \cal O } _ { n } ( x _ { n } )
\begin{array} { r l r } { \mathbb P \Big ( \mathbf { D } _ { i } \geq \frac { A } { \sqrt { i } } \Big ) } & { = } & { \mathbb P \Big ( Z _ { i } ( 1 - B _ { i - 1 } ) \geq \frac { A } { \sqrt { i } } \Big ) } \\ & { \leq } & { \mathbb P \Big ( Z _ { i } \geq A ^ { 1 / 3 } \sqrt { i } \Big ) + \mathbb P \Big ( Z _ { i } ( 1 - B _ { i - 1 } ) \geq \frac { A } { \sqrt { i } } \mathrm { ~ a n d ~ } Z _ { i } \leq A ^ { 1 / 3 } \sqrt { i } \Big ) } \\ & { \leq } & { \mathbb P \Big ( Z _ { i } \geq A ^ { 1 / 3 } \sqrt { i } \Big ) + \mathbb P \Big ( ( 1 - B _ { i - 1 } ) \geq \frac { A ^ { 2 / 3 } } { i } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { G _ { 1 } ( x , v ) = \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { m a x } \left( 0 , \sum _ { i = 1 } ^ { d } \lambda _ { i } ( x , v ) v _ { i } \sum _ { k \neq i } v _ { k } \partial _ { i k } \psi ( x ) \right) } \\ & { G _ { 2 } ( x , v ) = \frac { 1 } { 2 4 } \operatorname* { m a x } \left( 0 , - \sum _ { \alpha : \lvert \alpha \rvert = 3 } D ^ { \alpha } \psi ( x ) v ^ { \alpha } \right) , } \end{array}
\Pi ( q ^ { 2 } ) \propto - \ln \frac { q ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \mathrm { c o n s t . } + \frac { d _ { 1 } } { \beta _ { 0 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n + 1 } { \left( - a \beta _ { 0 } \ln \frac { q ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) } ^ { n + 1 } .
\begin{array} { r } { s ^ { \ast } ( x , \sigma ) = \frac { s _ { i } } { \sigma } + \frac { ( s _ { H } - s _ { i } ) } { \sigma } \frac { \cosh [ ( 1 - x / \ell _ { p } ) \sqrt { \sigma \tau _ { D _ { s } } } ] } { \cosh ( \sqrt { \sigma \tau _ { D _ { s } } } ) } , } \end{array}