harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
H _ { \ell , k } = \sum _ { m , n } x _ { m - 1 } ^ { \ell } G _ { m , n } x _ { n - 1 } ^ { k } \qquad \mathrm { a n d } \qquad j _ { \ell } = \sum _ { m , n } G _ { m , n } v _ { n } x _ { m - 1 } ^ { \ell } \ .
\begin{array} { r l r } { \phi ^ { z \rightarrow i } ( t ) } & { = } & { \phi ^ { z \rightarrow i } ( t - 1 ) - \beta ^ { ' } ( t ) \phi ^ { z \rightarrow i } ( t - 1 ) - \mu \phi ^ { z \rightarrow i } ( t - 1 ) + \mu \beta ^ { ' } ( t ) \phi ^ { z \rightarrow i } ( t - 1 ) + P _ { S } ^ { z \rightarrow i } ( t - 1 ) - P _ { S } ^ { z \rightarrow i } ( t ) } \\ & { = } & { ( 1 - \beta ^ { ' } ( t ) ) ( 1 - \mu ) \phi ^ { z \rightarrow i } ( t - 1 ) + P _ { S } ^ { z \rightarrow i } ( t - 1 ) - P _ { S } ^ { z \rightarrow i } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \omega _ { r } \otimes i d ) \circ \Delta } & { = ( ( i d \otimes \delta ) \circ \Delta ) \otimes i d ) \circ \Delta } \\ & { = ( ( i d \otimes \delta ) \otimes i d ) \circ ( \Delta \otimes i d ) \circ \Delta } \\ & { = ( i d \otimes ( \delta \otimes i d ) ) \circ ( i d \otimes \Delta ) \circ \Delta } \\ & { = ( i d \otimes ( \delta \otimes i d ) \circ \Delta ) \circ \Delta } \\ & { = ( i d \otimes \omega _ { l } ) \circ \Delta } \end{array}
\boldsymbol { M } ( \boldsymbol { \lambda } ) = \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { m } ( \Omega ) \left( 1 + \frac { \boldsymbol { \lambda } \cdot \boldsymbol { m } ( \Omega ) } { K } \right) ^ { K } \mathrm { d } \Omega .
N ^ { ( 2 ) } : = \frac { M ^ { ( 2 ) } M ^ { ( 1 , 2 ) } M ^ { ( 1 , 2 ) } } { M ^ { ( 1 , 2 ) } M ^ { ( 1 , 2 ) } - M ^ { ( 1 ) } M ^ { ( 2 ) } } \, ,
\frac { \partial ^ { k } p _ { x } ^ { \ell } ( x _ { i } ) } { \partial ^ { k } x } = \frac { \partial ^ { k } \partial ^ { \ell } p _ { y , i } ^ { k } ( y _ { j + 1 / 2 } ) } { \partial ^ { k } x \, \partial ^ { \ell } y } , \quad \frac { \partial ^ { k } p _ { x } ^ { \ell } ( x _ { i + 1 } ) } { \partial ^ { k } x } = \frac { \partial ^ { k } \partial ^ { \ell } p _ { y , i + 1 } ^ { k } ( y _ { j + 1 / 2 } ) } { \partial ^ { k } x \, \partial ^ { \ell } y } , \quad k = 0 , \dots , m .
\begin{array} { r l r } { \bar { G } _ { 0 } ( \mathbf { x } _ { j } , k _ { a } ) } & { { } = } & { \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { a } r _ { j } } } { 4 \pi k _ { a } ^ { 2 } r _ { j } ^ { 3 } } \left[ ( k _ { a } ^ { 2 } r _ { j } ^ { 2 } + \mathrm { i } k _ { a } r _ { j } - 1 ) \mathbb { 1 } \right. } \end{array}
\frac { \mu } { \rho _ { 0 } } \bigg \{ - \frac { u _ { \theta } } { r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { d } { d r } \left( r \frac { d u _ { \theta } } { d r } \right) \bigg \} + \alpha r g = 0 ,
\begin{array} { r l } { \newline } & { { } E _ { \mathrm { ~ X ~ Y ~ } } [ \boldsymbol { \gamma } _ { \mathrm { ~ e ~ m ~ b ~ } } ^ { \mathrm { ~ A ~ } } ] + E _ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } } [ \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { ~ A ~ } } + \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } ] - E _ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } } [ \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { ~ A ~ } } ] } \\ { \newline } & { { } + \mathrm { ~ t ~ r ~ } [ ( \boldsymbol { \gamma } _ { \mathrm { ~ e ~ m ~ b ~ } } ^ { \mathrm { ~ A ~ } } - \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { ~ A ~ } } ) \, \boldsymbol { v } _ { \mathrm { ~ e ~ m ~ b ~ } } [ \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { ~ A ~ } } , \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } ] ] + \alpha \, \mathrm { ~ t ~ r ~ } [ \boldsymbol { \gamma } _ { \mathrm { ~ e ~ m ~ b ~ } } ^ { \mathrm { ~ A ~ } } \mathbf { P } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } ] } \end{array}
\lambda _ { P } ^ { ( \mathrm { t f } ) } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } | s _ { k } ^ { ( P _ { A _ { 1 } } ) } | + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { l } | s _ { l } ^ { ( P _ { B _ { 1 } } ) } | + \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { n } s _ { n } \right) ^ { 2 } .
v _ { 0 } > \sqrt { 1 + v _ { 1 } ^ { 2 } } , ~ ~ ~ - \sqrt { 1 + v _ { 1 } ^ { 2 } } < v _ { 0 } < \sqrt { 1 + v _ { 1 } ^ { 2 } } , ~ ~ ~ v _ { 0 } < - \sqrt { 1 + v _ { 1 } ^ { 2 } } ,
\left\{ \begin{array} { r l r } & { \left( \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } + ( k ^ { n } ) ^ { 2 } \right) v _ { f , n } ^ { \alpha } = 0 } & { \mathrm { i n ~ } \mathbb { R } \backslash ( D + L \mathbb { Z } ) , } \\ & { v _ { f , n } ^ { \alpha } ( x _ { i } ^ { \pm } ) = f _ { i } ^ { \pm } } & { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } 1 \leq i \leq N , } \\ & { v _ { f , n } ^ { \alpha } ( x + L ) = \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \alpha L } v _ { f , n } ^ { \alpha } ( x ) } & { \mathrm { i n ~ } \mathbb { R } \setminus ( D + L \mathbb { Z } ) . } \end{array} \right.
N _ { \mathrm { T } } ( \nu ) \propto \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \epsilon _ { \mathrm { r } } F ( \epsilon _ { \mathrm { r } } ) g ( \epsilon _ { \mathrm { r } } ) e ^ { - ( h \nu - E _ { \mathrm { b } } - \epsilon _ { \mathrm { r } } ) ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } }
{ \bf Y } = ( Y _ { 1 } , Y _ { 2 } , \cdots , Y _ { 8 } ) = ( U , V , \partial _ { x } U , \partial _ { x } V , \partial _ { x } ^ { 2 } U , \partial _ { x } ^ { 2 } V , \partial _ { x } ^ { 3 } U , \partial _ { x } ^ { 3 } V ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { { \mathscr Z } _ { \alpha \beta , \ldots , \alpha \beta } } { { \mathscr Z } _ { \mathrm { p e r t } } } } & { \simeq \frac { 1 } { \ell ! } \int _ { { \mathcal C } _ { m n } } \prod _ { i = 1 } ^ { \ell } \frac { \mathrm { d } x _ { i } } { 2 \pi } \, \prod _ { i < j } \left( x _ { i } - x _ { j } \right) ^ { 2 } \times } \\ & { \times \exp \left( \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } { \mathcal A } _ { \alpha \beta } ^ { [ - 1 ] } ( x _ { i } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } { \mathcal A } _ { \alpha \beta } ^ { [ 0 ] } ( x _ { i } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \sum _ { j = i + 1 } ^ { \ell } \widehat { { \mathcal A } } _ { \alpha \beta , \alpha \beta } ^ { [ 0 ] } ( x _ { i } , x _ { j } ) + \cdots \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \eta ^ { n + 1 } } & { = } & { \eta ^ { n } - \Delta t \, \nabla \cdot \mathbf { q } ^ { n + 1 } , } \\ { \mathbf { q } ^ { n + 1 } } & { = } & { \mathbf { q } ^ { n } - \Delta t \, \nabla \cdot \left( \mathbf { v } ^ { n } \otimes \mathbf { q } ^ { n } \right) - \Delta t \, g \, h ^ { n } \, \nabla \eta ^ { n + 1 } - \Delta t \, \gamma ^ { n } \mathbf { q } ^ { n + 1 } , } \end{array}
f _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { n , n ^ { \prime } = - \infty } ^ { \infty } g _ { n , n ^ { \prime } } e ^ { i n \varphi _ { p } } e ^ { i n ^ { \prime } \varphi _ { s } } e ^ { i ( k z - \omega t ) }
\begin{array} { r l r l } { \operatorname* { m i n } \ } & { G ( x ) + ( \beta ^ { + } ) ^ { \top } u _ { \beta } ^ { + } + ( \beta ^ { - } ) ^ { \top } u _ { \beta } ^ { - } + b _ { \Omega } ^ { \top } u _ { \Omega } + c ^ { \top } y } \\ & { - \sum _ { i \in I , j \in J } \left( h _ { i } ^ { - } \beta _ { j } ^ { - } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 1 } + h _ { i } ^ { + } \beta _ { j } ^ { + } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 2 } + h _ { i } ^ { + } \beta _ { j } ^ { - } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 3 } + h _ { i } ^ { - } \beta _ { j } ^ { + } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 4 } \right) } \\ { \mathrm { s . t . } \ } & { A y \geq b , } \\ & { B y + u _ { \beta } ^ { + } + u _ { \beta } ^ { - } - h _ { i } ^ { - } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i } ^ { 1 } - h _ { i } ^ { + } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i } ^ { 2 } - h _ { i } ^ { + } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i } ^ { 3 } - h _ { i } ^ { - } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i } ^ { 4 } \geq B _ { x } x + b _ { 0 } } & & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i \in I } \\ & { u _ { \beta } ^ { + } \geq 0 , \ - u _ { \beta } ^ { - } \geq 0 , } \\ & { ( A _ { \Omega } u _ { \Omega } ) _ { i } - \sum _ { j \in J } \left( \beta _ { j } ^ { - } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 1 } + \beta _ { j } ^ { + } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 2 } + \beta _ { j } ^ { - } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 3 } + \beta _ { j } ^ { + } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 4 } \right) \geq 0 } & & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i \in I , } \\ & { B _ { \Omega } u _ { \Omega } \geq 0 , } \\ & { ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 1 } + ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 2 } + ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 3 } + ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 4 } \geq ( B _ { h } ) _ { i j } } & & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i \in I , j \in J , } \\ & { - ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 1 } , - ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 2 } \geq 0 } & & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i \in I , j \in J , } \\ & { ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 3 } , ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i j } ^ { 4 } \geq 0 } & & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i \in I , j \in J , } \\ & { x \in \mathcal { X } . } \end{array}
\frac { d N _ { \mathrm { { t o t } } } } { d t } = - \beta _ { \mathrm { { i n t r a } } } \frac { N _ { \mathrm { { t o t } } } ^ { 3 } } { V _ { \mathrm { { e f f } } } ^ { 2 } } - \beta _ { \mathrm { { i n t e r } } } \frac { N _ { \mathrm { { t o t } } } ^ { 3 } } { V _ { \mathrm { { e f f } } } ^ { 2 } } e ^ { - \frac { 1 } { 3 } ( \frac { s } { \sigma _ { z } } ) ^ { 2 } }
{ \bar { m } } = { \frac { \sum _ { M _ { J } = - J } ^ { J } { M _ { J } g _ { J } \mu _ { \mathrm { B } } e ^ { M _ { J } g _ { J } \mu _ { \mathrm { B } } H / k _ { \mathrm { B } } T \; } } } { \sum _ { M _ { J } = - J } ^ { J } e ^ { M _ { J } g _ { J } \mu _ { \mathrm { B } } H / k _ { \mathrm { B } } T \; } } } \simeq g _ { J } \mu _ { \mathrm { B } } { \frac { \sum _ { M _ { J } = - J } ^ { J } M _ { J } \left( 1 + M _ { J } g _ { J } \mu _ { \mathrm { B } } H / k _ { \mathrm { B } } T \; \right) } { \sum _ { M _ { J } = - J } ^ { J } \left( 1 + M _ { J } g _ { J } \mu _ { \mathrm { B } } H / k _ { \mathrm { B } } T \; \right) } } = { \frac { g _ { J } ^ { 2 } \mu _ { \mathrm { B } } ^ { 2 } H } { k _ { \mathrm { B } } T } } { \frac { \sum _ { - J } ^ { J } M _ { J } ^ { 2 } } { \sum _ { M _ { J } = - J } ^ { J } { ( 1 ) } } } ,
n v \cos { \theta } d A d t { \times } \left( { \frac { m } { 2 \pi k _ { B } T } } \right) ^ { 3 / 2 } \, e ^ { - { \frac { m v ^ { 2 } } { 2 k _ { B } T } } } ( v ^ { 2 } \sin { \theta } d v { d \theta } d \phi )
\begin{array} { r l } { E _ { \pm } } & { { } = E _ { 0 } + \frac { \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 2 m } - i \gamma ( \mathbf { k } ) \pm \sqrt { ( \alpha - i a ) ^ { 2 } + 2 ( \alpha - i a ) ( \beta - i b ) ( k _ { x } ^ { 2 } - k _ { y } ^ { 2 } ) + ( \beta - i b ) ^ { 2 } k ^ { 4 } + \Delta ^ { 2 } } } \end{array}
t _ { c } = - \frac { \sqrt { A + B } } { A } + \frac { B \, } { ( - A ) ^ { 3 / 2 } } \left[ \frac { \pi } { 2 } + \mathrm { a r c t a n } \left( \frac { \sqrt { A + B } } { \sqrt { - A } } \right) \right] \, ,
d ^ { 2 } q _ { 2 } = d q _ { 2 } ^ { ( 0 ) } d q _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , \; \; q _ { 2 } ^ { \: 2 } = ( q _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } - ( q _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } ~ ,
F _ { p u l l } = f \cdot \underbrace { \frac { 1 } { 2 } } _ { g e o m e t r y } \cdot \underbrace { \frac { 2 \pi ( 2 / C _ { 0 } ) ^ { 2 } } { s _ { 0 } } } _ { \# v e r t i c e s }
| \Phi \rangle = a _ { _ { A _ { 1 } } } \ldots a _ { _ { A _ { s } } } \Phi ^ { { \scriptstyle A _ { 1 } \ldots A _ { s } } } | 0 \rangle \, , \qquad \bar { a } _ { _ A } | 0 \rangle = 0 \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \overline { { \omega } } } { \partial t } + \frac { \partial \overline { { u } } _ { j } \overline { { \omega } } } { \partial x _ { j } } } & { { } = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \left( \nu + \frac { \nu _ { t } } { \sigma _ { \omega } } \right) \frac { \partial \overline { { \omega } } } { \partial x _ { j } } \right] + \gamma \left\Vert \overline { { S } } \right\Vert ^ { 2 } - \beta \overline { { \omega } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B _ { 1 } } & { { } = } & { \sqrt { ( 1 + \beta l _ { 1 } ) ( 1 + \beta l _ { 2 } ) + 4 \alpha ( 1 2 k _ { 1 } k _ { 2 } - 8 ( k _ { 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 } ^ { 2 } ) + l _ { 1 } l _ { 2 } ) - \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } , } \\ { B _ { 2 } } & { { } = } & { \sqrt { ( 1 + \beta l _ { 1 } ) ( 1 + \beta l _ { 2 } ) - 4 \alpha ( 1 2 k _ { 1 } k _ { 2 } + 8 ( k _ { 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 } ^ { 2 } ) - l _ { 2 } l _ { 2 } ) - \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial { \bf u } } { \partial t } + ( \bf { u } \cdot { \bf \nabla } ) { \bf u } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho } { \bf \nabla } p + \nu \nabla ^ { 2 } { \bf u } + 2 \Omega { \bf u } \times { \bf e } _ { z } + { \bf f } } \\ { { \bf \nabla } \cdot { \bf { u } } } & { { } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ | S _ { 2 } - \sigma ^ { 2 } | ^ { 1 + \epsilon } ] } & { = \int _ { 1 } ^ { \infty } \int _ { 1 } ^ { \infty } \left| \frac { 1 } { 2 } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) - ( \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 2 } ) ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } \right| ^ { 1 + \epsilon } \frac { 1 } { x ^ { 2 + \epsilon } y ^ { 2 + \epsilon } } \frac { 1 } { ( 1 + \epsilon ) ^ { 2 } } d x d y } \\ & { = \int _ { 1 } ^ { \infty } \int _ { 1 } ^ { \infty } \left| \frac { ( x - y ) ^ { 2 } } { 4 } - \sigma ^ { 2 } \right| ^ { 1 + \epsilon } \frac { 1 } { x ^ { 3 + \epsilon } y ^ { 3 + \epsilon } } \frac { 1 } { ( 2 + \epsilon ) ^ { 2 } } d x d y = \infty . } \end{array}
\stackrel { 1 } { \bar { M } } _ { \pm } \stackrel { 2 } { \bar { M } } _ { \pm } R ^ { \varepsilon } = R ^ { \varepsilon } \stackrel { 2 } { \bar { M } } _ { \pm } \stackrel { 1 } { \bar { M } } _ { \pm } \ , \ \ \varepsilon = + , - \,
\begin{array} { r } { U ( a , b , z ) = \frac { \Gamma ( 1 - b ) } { \Gamma ( a + 1 - b ) } M ( a , b , z ) + \frac { \Gamma ( b - 1 ) } { \Gamma ( a ) } z ^ { 1 - b } M ( a + 1 - b , 2 - b , z ) } \end{array}
n ( q _ { 0 } ) = { \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { \beta q _ { 0 } } - 1 } } \ , \qquad { \tilde { n } } ( k _ { 0 } ) = { \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { \beta ( k _ { 0 } - \mu ) } + 1 } } \ .
\frac { \partial \, { { \theta } _ { L } } } { \partial t } \left[ 1 + \frac { \alpha { { N } _ { T } } K } { \beta { { N } _ { L } } { { ( 1 + K { { \theta } _ { L } } ) } ^ { 2 } } } \right] = { { D } _ { L } } \frac { { { \partial } ^ { 2 } } { { \theta } _ { L } } } { \partial { { x } ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l r l } { { 3 } \mathrm { F l u i d ~ N o - s l i p : } } & { \qquad \mathbf { v } = 0 } & { \quad \mathrm { o n ~ } } & { \mathit { \Gamma } _ { \mathbf { v } _ { 0 } } , } \\ { \mathrm { F l u i d ~ I n l e t : } } & { \qquad \mathbf { v } = \mathbf { v } _ { \mathrm { i n } } } & { \quad \mathrm { o n ~ } } & { \mathit { \Gamma } _ { \mathbf { v } _ { \mathrm { i n } } } , } \\ { \mathrm { F l u i d ~ O u t l e t : } } & { \qquad p = 0 } & { \quad \mathrm { o n ~ } } & { \mathit { \Gamma } _ { \mathbf { v } _ { \mathrm { o u t } } } . } \end{array}
N _ { s } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \Omega _ { s } \rho _ { s } \leq m _ { \operatorname* { m i n } } , } \\ { 2 \lceil \frac { \rho _ { s } N _ { r } } { 2 ( \rho - \rho ^ { h } + \rho ^ { h } e ^ { - \Delta t / \tau } ) } \rceil , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \Omega _ { s } \rho _ { s } > m _ { \operatorname* { m i n } } , } \end{array} \right.
| \Psi _ { f } | _ { f i t } ^ { 2 } = ( C _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( C _ { 2 } ) ^ { 2 } + 2 \, C _ { 1 } \, C _ { 2 } \, c o s [ 2 \, \phi + C _ { 1 2 } ] ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { Q F T } _ { n } ^ { \dagger } P _ { \lambda } \mathrm { Q F T } _ { n } | \psi \rangle } & { = \mathrm { Q F T } _ { n } ^ { \dagger } P _ { \lambda } \sum _ { \omega \vdash n } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d _ { \omega } } ( \hat { f } ( \omega ) ) _ { i j } | \omega , i , j \rangle } \\ & { = \mathrm { Q F T } _ { n } ^ { \dagger } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d _ { \lambda } } ( \hat { f } ( \lambda ) ) _ { i j } | \lambda , i , j \rangle = \sqrt { \frac { d _ { \lambda } } { n ! } } \sum _ { \beta \in S _ { n } } { \mathrm { T r } { \left( \hat { f } ( \lambda ) \rho _ { \lambda } ( \beta ) ^ { \dagger } \right) } } | \beta \rangle , } \end{array}
A = \sum _ { i \ne 0 } \left( \frac { P _ { i } ^ { 2 } } { 2 m _ { i } } - \frac { G m _ { 0 } m _ { i } } { Q _ { i } } \right) - \sum _ { 0 < i < j } \frac { G m _ { i } m _ { j } } { Q _ { i j } } \left( 1 - K ( Q _ { i j } , V _ { i j } ) \right) .
\operatorname { R e } \chi ( x , y , z ) = \frac { 1 } { \pi } P \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { \operatorname { I m } \chi ^ { 0 } \left( x , y ^ { \prime } , z \right) } { y ^ { \prime } - y } \mathrm { ~ d } y ^ { \prime } .
\begin{array} { r } { \mathbf { u } _ { 0 } ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \mathbf { v } _ { 0 } ^ { + } ( x , t ) - \mathbf { v } _ { 0 } ^ { - } ( x , t ) } { d _ { \Gamma } ( x , t ) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } ( x , t ) \in \Gamma ( 3 \delta ) \backslash \Gamma , } \\ { \mathbf { n } \cdot \nabla \big ( \mathbf { v } _ { 0 } ^ { + } ( x , t ) - \mathbf { v } _ { 0 } ^ { - } ( x , t ) \big ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } ( x , t ) \in \Gamma . } \end{array} \right. } \end{array}
W ( a ) = { ( 8 \pi \chi _ { 0 } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } \left[ a \left( a - a _ { 0 } - \frac { \alpha } { 4 \pi \chi _ { 0 } ^ { 3 } } \right) - \frac { k ^ { 2 } } { 4 \pi \chi _ { 0 } ^ { 3 } a ^ { 2 } } \right]
f _ { i } ( \mathbf { x } + \mathbf { e } _ { i } \Delta t , t + \Delta t ) = f _ { i } ( \mathbf { x } , t ) - \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { N S } } } \left( f _ { i } ( \mathbf { x } , t ) - f _ { i } ^ { \mathrm { e q } } ( \mathbf { x } , t ) \right) ,
\begin{array} { r l } { { h } _ { \bar { v } + i } = } & { P ( v ( t ) = \bar { v } + i ) } \\ { = } & { P ( v ( t ) = \bar { v } + i | v ( t - 1 ) = \bar { v } + i - 1 ) { h } _ { \bar { v } + i - 1 } } \\ { = } & { P ( v ( t ) = \bar { v } + i | v ( t - 1 ) = \bar { v } + i - 1 , \lambda ( t - 1 ) = 1 ) } \\ & { \cdot P ( \lambda ( t - 1 ) = 1 ) { h } _ { \bar { v } + i - 1 } + P ( \lambda ( t - 1 ) = 0 ) { h } _ { \bar { v } + i - 1 } } \\ & { \cdot P ( v ( t ) = \bar { v } + i | v ( t - 1 ) = \bar { v } + i - 1 , \lambda ( t - 1 ) = 0 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu ( \mathbf { X } ) } & { { } = \left( \begin{array} { l } { \mu ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { X } ) } \\ { \mu ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { X } ) } \end{array} \right) \, \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \, } \\ { k ( \mathbf { X } , \mathbf { X ^ { \prime } } ) } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { k ( \mathbf { X } , \mathbf { X ^ { \prime } } ) _ { 1 , 1 } } & { k ( \mathbf { X } , \mathbf { X ^ { \prime } } ) _ { 1 , 2 } } \\ { k ( \mathbf { X } , \mathbf { X ^ { \prime } } ) _ { 2 , 1 } } & { k ( \mathbf { X } , \mathbf { X ^ { \prime } } ) _ { 2 , 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\mathbf { H } _ { \mathrm { r } } = ( \mathbf { Z } _ { \mathrm { t o t } } + \mathbf { Z } _ { 0 } ) ^ { - 1 } \cdot ( \mathbf { Z } _ { 0 } - \mathbf { Z } _ { \mathrm { t o t } } ) \cdot \mathbf { H } _ { \mathrm { i } } = \mathbf { \Gamma } _ { \mathrm { T M } } \cdot \mathbf { H } _ { \mathrm { i } } .
H = { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { 3 } x \Bigl [ ( \nabla \varphi _ { \alpha } ) ^ { 2 } + m _ { 0 } ^ { 2 } \varphi _ { \alpha } ^ { 2 } + { \frac { 2 } { 4 ! } } \lambda ( \varphi _ { \alpha } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \Bigr ] \ \ ,
V _ { c = 0 } ^ { \mathrm { ( M N S ) } } = \left( \begin{array} { c c c c } { { - 0 . 1 2 } } & { { - 0 . 9 8 } } & { { 0 . 1 6 } } & { { - 0 . 1 2 \sin \gamma + 0 . 1 6 \sin \delta } } \\ { { 0 . 5 9 } } & { { - 0 . 2 0 } } & { { - 0 . 7 8 } } & { { 0 . 5 9 \sin \gamma - 0 . 7 8 \sin \delta } } \\ { { 0 . 8 0 } } & { { 0 } } & { { 0 . 6 0 } } & { { 0 . 8 0 \sin \gamma + 0 . 6 0 \sin \delta } } \\ { { - \sin \gamma } } & { { 0 } } & { { - \sin \delta } } & { { 1 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r c l l } { \left\{ \begin{array} { l l } { ( s ^ { 2 \nu } + \kappa \xi ^ { 2 } ) \widehat { \mathcal { F } \{ u _ { 1 } \} } ^ { ( k ) } = \kappa \partial _ { x x } \widehat { \mathcal { F } \{ u _ { 1 } \} } ^ { ( k ) } , } \\ { \widehat { \mathcal { F } \{ u _ { 1 } \} } ^ { ( k ) } ( - a , s , \xi ) = 0 , } \\ { \widehat { \mathcal { F } \{ u _ { 1 } \} } ^ { ( k ) } ( 0 , s , \xi ) = \widehat { \mathcal { F } \{ w \} } ^ { ( k - 1 ) } ( s , \xi ) , } \end{array} \right. } \end{array} \! \! \begin{array} { r c l l } { \left\{ \begin{array} { l l } { ( s ^ { 2 \nu } + \kappa \xi ^ { 2 } ) \widehat { \mathcal { F } \{ u _ { 2 } \} } ^ { ( k ) } = \kappa \partial _ { x x } \widehat { \mathcal { F } \{ u _ { 2 } \} } ^ { ( k ) } , } \\ { \widehat { \mathcal { F } \{ u _ { 2 } \} } ^ { ( k ) } ( 0 , s , \xi ) = \widehat { \mathcal { F } \{ w \} } ^ { ( k - 1 ) } ( s , \xi ) , } \\ { \widehat { \mathcal { F } \{ u _ { 2 } \} } ^ { ( k ) } ( b , s , \xi ) = 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { k ^ { l } ( \mathbf { x } _ { I a } , \mathbf { x } _ { J b } ) = \mathbf { \delta } _ { Z _ { a } , Z _ { b } } \exp { \left( - \frac { \vert \vert \mathbf { x } _ { I a } - \mathbf { x } _ { J b } \vert \vert _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) } ~ } \end{array}
\gamma _ { n - j , n } = \sum _ { p _ { 1 } = 0 } ^ { j - 1 } \sum _ { p _ { 2 } = 0 } ^ { p _ { 1 } - 1 } . . . \sum _ { p _ { j } = 0 } ^ { p _ { j - 1 } - 1 } \tilde { F } ( n , p _ { 1 } , j ) \tilde { F } ( n , p _ { 2 } , p _ { 1 } ) . . . \tilde { F } ( n , p _ { j } , p _ { j - 1 } ) ,
\begin{array} { r l } { f ( R ) } & { = - \frac { 1 } { N \beta } \mathbb { E } \log { { \sum _ { \vec { \sigma } \vec { \alpha } } } ^ { ( R , R ) } w ( \vec { \alpha } ) \exp { \left[ - \beta \sum _ { i \tau } h _ { i } ( \vec { \alpha } ; \tau ) \sigma _ { i } ( \tau ) - \beta \sum _ { i } H _ { 0 } ( \vec { \sigma } _ { i } ) \right] } } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + \frac { 1 } { N \beta } \mathbb { E } \log { { \sum _ { \vec { \alpha } } } ^ { ( R ) } w ( \vec { \alpha } ) \exp { \Big [ - \beta U ( \vec { \alpha } ) \Big ] } } . } \end{array}
\varepsilon ( E _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } ) = \frac { 1 } { \Omega } \sum _ { | \mathbf { G } | ^ { 2 } > 2 E _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } \frac { 4 \pi } { G ^ { 2 } } \rho _ { \mu \nu } ( \mathbf { G } ) \rho _ { \kappa \lambda } ( - \mathbf { G } ) < 1 6 \pi ^ { 2 } \int _ { \sqrt { 2 E _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } } ^ { \infty } \rho _ { \mu \nu } ( G ) \rho _ { \kappa \lambda } ( G ) d G .
\nu _ { k } ^ { * } ( \operatorname { H } ^ { 0 } ( \mathcal { O } _ { \mathbb { P } ^ { N _ { d } ^ { k } } } ( 1 ) \otimes \mathcal { I } _ { \mathbb { P } ( \operatorname { S y m } ^ { d k } ( W ^ { \ast } ) ) } ) ) \cong \operatorname { H } ^ { 0 } ( \mathcal { O } _ { \mathbb { P } ^ { N _ { d } } } ( k ) \otimes \mathcal { I } _ { V _ { n , d } } )
\frac { A ^ { \mu } } { T } = { \slash \! \! \! k } _ { \! { B } } q ^ { \mu \nu } { \bf K } _ { \nu } \qquad ; \qquad v _ { \mu } = { \slash \! \! \! k } _ { \! { B } } L _ { \mu \rho } q ^ { \rho \nu } { \bf K } _ { \nu } = { \slash \! \! \! k } _ { \! { B } } q _ { \mu } ^ { \nu } { \bf K } _ { \nu }
V ^ { a { \mu } _ { 1 } { \cdots } { \mu } _ { q + 1 } } = \frac { ( - 1 ) ^ { p } } { ( 2 p - q + 1 ) ! } { \Gamma } ^ { a b } { \epsilon } ^ { { \mu } _ { 1 } { \cdots } { \mu } _ { q + 1 } { \nu } _ { 1 } { \cdots } { \nu } _ { 2 p - q + 1 } } { \partial } _ { [ { \nu } _ { 1 } } Z _ { { \nu } _ { 2 } { \cdots } { \nu } _ { 2 p - q + 1 } ] } ^ { b } ,