harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { F ^ { \mathrm { s y m m } } = \left( \begin{array} { l l } { f _ { x } } & { 0 } \\ { 0 } & { f _ { p } } \end{array} \right) \; , \qquad f _ { i } = \int \mathrm { ~ d ~ } \alpha _ { i } \; P ( \alpha _ { i } ) \left( \frac { \partial \log P ( \alpha _ { i } ) } { \partial \alpha _ { i } } \right) ^ { 2 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { W } & { = } & { 4 \cdot ( 2 \pi ) ^ { 1 / 3 } \sigma _ { W 0 } \varepsilon ^ { - 1 / 3 } \varepsilon _ { W } k _ { \mathrm { { C } } } ^ { 2 / 3 } \int _ { s \ge 1 } \! \! \! d s \ s ^ { - 5 / 3 } } \\ & { - } & { 4 \cdot 2 \pi \frac { \sigma _ { W 0 } } { \omega _ { \mathrm { s w } } \varepsilon _ { \mathrm { { s w } } } ^ { 1 / 3 } } k _ { \mathrm { C } } ^ { 7 / 3 } \int _ { s \ge 1 } \! \! \! d s \ s ^ { - 7 / 3 } \frac { D } { D t } \left[ { \varepsilon ^ { - 1 / 3 } ( { \bf { x } } ; t ) \varepsilon _ { W } ( { \bf { x } } ; t ) k _ { \mathrm { { C } } } ^ { - 1 1 / 3 } } \right] } \\ & { + } & { 4 \cdot 2 \pi \frac { \sigma _ { W 0 } \omega _ { W 0 } } { ( \omega _ { \mathrm { s w } } \varepsilon _ { \mathrm { { s w } } } ^ { 1 / 3 } ) ^ { 2 } } \varepsilon ^ { - 1 / 3 } \varepsilon _ { W } k _ { \mathrm { C } } ^ { - 2 } \int _ { s \ge 1 } \! \! \! d s \ s ^ { - 7 / 3 } \frac { D } { D t } \left[ { \varepsilon _ { W } ^ { 1 / 3 } ( { \bf { x } } ; t ) k _ { \mathrm { { C } } } ^ { 2 / 3 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bar { P } _ { e r } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \bar { u } _ { r } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } a _ { r } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } u _ { 2 } ^ { 2 } a _ { r } ^ { 4 } + \frac { 1 } { 6 } \epsilon \left( c _ { 2 } - 2 c _ { 3 } \right) \bar { u } _ { r } ^ { 3 } + \frac { 1 } { 4 } \epsilon \left( c _ { 2 } - 2 c _ { 3 } \right) \bar { u } _ { r } a _ { r } ^ { 2 } } \end{array}
\widehat { { \cal M } } ( x , m , m _ { 0 } ) = \widehat { M } \exp \Biggl ( \int _ { m _ { 0 } } ^ { m } d m ^ { \prime } \int d ^ { 4 } x ^ { \prime } S ( x - x ^ { \prime } , m ^ { \prime } ) \Biggr ) .
S _ { \omega \omega } ^ { \mathrm { E O M } } ( \omega ) = \frac { \pi \omega ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } { 2 } \left[ \delta ( \omega - \omega _ { \mathrm { m o d } } ) + \delta ( \omega + \omega _ { \mathrm { m o d } } ) \right] .
{ \textbf { I } } = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } { \frac { 1 } { \left( a \cos ^ { 2 } x + b \sin ^ { 2 } x \right) ^ { 2 } } } \, d x = { \frac { \pi } { 4 { \sqrt { a b } } } } \left( { \frac { 1 } { a } } + { \frac { 1 } { b } } \right) ,
\begin{array} { r l } { { \Psi } ( u _ { \nu ( k ) } ) } & { \leq ( 1 - \lambda ) { \Psi } ( u _ { \nu ( k - 1 ) } ) + \lambda { \Psi } ^ { * } + \frac { { \alpha } _ { \nu ( k ) - 1 } \lambda ^ { 2 } } { 2 } \| u _ { \nu ( k ) - 1 } - u ^ { * } \| _ { H } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { { L _ { { \mathcal { F } } ^ { \prime } } } } { 2 { \alpha } _ { \operatorname* { i n f } } { \alpha } _ { \nu ( k ) - 1 } } \| { \mathcal { G } } _ { { \alpha } _ { \nu ( k ) - 1 } } ( u _ { \nu ( k ) - 1 } ) \| _ { H } ^ { 2 } . } \end{array}
\sigma _ { \Phi ^ { \prime } g } = \frac { 1 6 g ^ { 2 } } { N _ { c } ^ { 2 } } a _ { 0 } ^ { 2 } \frac { ( \lambda / \varepsilon _ { 0 } - \textstyle \frac 1 4 ) ^ { 3 / 2 } ( \lambda / \varepsilon _ { 0 } - \textstyle \frac 3 4 ) ^ { 2 } } { ( \lambda / \varepsilon _ { 0 } ) ^ { 7 } } ,
\begin{array} { r l } { | \lambda _ { + } | ^ { 2 } - | \lambda _ { - } | ^ { 2 } } & { { } \geq \sqrt { \frac { 4 \omega R C + ( \omega R C ) ^ { 3 } } { 2 } } \big [ 1 6 + ( \omega R C ) ^ { 2 } \big ] ^ { 1 / 4 } } \end{array}
\chi ^ { I } = \sum _ { a = 1 } ^ { a = 2 s } \frac { q ^ { I } { } _ { a } } { | \vec { x } - \vec { x } _ { a } | } \ , \qquad \chi ^ { \alpha } = { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } n ^ { \alpha } \ , \qquad ( n ^ { \alpha } ) ^ { 2 } = 1 \ ,
M _ { L } ( [ u _ { 1 } , \dots , u _ { 9 } ] , [ v _ { 2 } ~ v _ { 4 } ~ v _ { 5 } ~ v _ { 6 } ~ v _ { 8 } ] , [ w _ { 2 } ~ w _ { 4 } ~ w _ { 5 } ~ w _ { 6 } ~ w _ { 8 } ] , \xi , \eta ) : = P _ { 0 } ( x ( \xi ) , y ( \eta ) ) = \sum _ { s = 0 } ^ { 4 - r } \sum _ { r = 0 } ^ { 4 } a _ { s , r } ^ { 0 } \xi ^ { s } \eta ^ { r }
\begin{array} { r l } { \delta _ { 3 / 4 } ^ { \prime } = } & { { } ( \frac { 2 \hbar \omega } { 9 U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 3 / 4 } \frac { 1 } { 1 2 0 ( \zeta _ { n } - \zeta _ { 0 } ) ^ { 3 / 2 } } } \\ { \delta _ { 3 / 4 } = } & { { } - ( \frac { 2 \hbar \omega } { 9 U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 3 / 4 } \frac { 1 } { 1 2 0 ( \zeta _ { n } - \zeta _ { 0 } ) ^ { 3 / 2 } } } \end{array}
Z _ { ( \mathrm { A } _ { 4 } , \mathrm { D } _ { 4 } ) } = \frac 1 2 \left( \sum _ { p = 0 } ^ { 3 } | \chi _ { p , 0 } + \chi _ { p , 4 } | ^ { 2 } + 2 \, | \chi _ { p , 2 } | ^ { 2 } \right) \, .
{ \cal G } ( \vec { n } ) = g ^ { 2 } \int _ { C _ { \mathrm { e } ^ { + } \mathrm { e } ^ { - } } } \! d z _ { 1 } ^ { \mu } \int _ { C _ { \mathrm { e } ^ { + } \mathrm { e } ^ { - } } } \! d z _ { 2 } ^ { \nu } \ \langle 0 | \, A _ { \mu } ^ { ( - ) } ( z _ { 1 } ) { \cal E } ( \vec { n } ) A _ { \nu } ^ { ( + ) } ( z _ { 2 } ) \, | 0 \rangle + { \cal O } \left( g ^ { 4 } \right) .
\langle { \alpha } | I | { \beta } \rangle = \delta _ { \alpha \beta } , \quad \langle { \alpha } | \tilde { T } | { \beta } \rangle = \tilde { T } _ { \alpha \beta } , \quad \langle { \alpha } | { \tilde { T } } ^ { 2 } | { \beta } \rangle = { ( { \tilde { T } } ^ { 2 } ) } _ { \alpha \beta } , \quad \langle { \alpha } | { \tilde { T } } ^ { 3 } | { \beta } \rangle = { ( { \tilde { T } } ^ { 3 } ) } _ { \alpha \beta } \nonumber .
[ K _ { ~ \nu } ^ { \mu } ] = - \kappa _ { 5 } ^ { 2 } \, b _ { o } \, \left( ^ { ( l o c ) } T _ { ~ \nu } ^ { \mu } - \frac { ^ { ( l o c ) } T } { 3 } \delta _ { \nu } ^ { \mu } \right) \, ,
{ \frac { \overline { { \alpha } } ( Q ) } { Q ^ { 2 } } } \Longrightarrow { \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { \overline { { \alpha } } ( Q _ { q } ) \overline { { \alpha } } ( Q _ { \bar { q } } ) } \left( { \frac { 1 } { Q _ { q } ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { Q _ { \bar { q } } ^ { 2 } } } \right) \, ,
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k - 1 } p _ { k } { \frac { t ^ { k } } { k } } } & { = \ln \left( 1 + e _ { 1 } t + e _ { 2 } t ^ { 2 } + e _ { 3 } t ^ { 3 } + \cdots \right) } \\ & { = e _ { 1 } t - { \frac { 1 } { 2 } } \left( e _ { 1 } ^ { 2 } - 2 e _ { 2 } \right) t ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 3 } } \left( e _ { 1 } ^ { 3 } - 3 e _ { 1 } e _ { 2 } + 3 e _ { 3 } \right) t ^ { 3 } + \cdots , } \end{array} }
\begin{array} { r } { { \frac { \partial g } { \partial \phi } } ^ { H } = \sum _ { n } \mathrm { ~ r ~ e ~ a ~ l ~ } ( - 4 \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( - j e ^ { - j \phi } ) { { \bf A } _ { n } } ^ { H } \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( { { \bf A } _ { n } } e ^ { j \phi } ) ( { \bf { I } } _ { n } ^ { z _ { d } } - \left| { { \bf A } _ { n } } e ^ { j \phi } \right| ^ { 2 } ) ) . } \end{array}
{ \frac { \mathrm { d } \ \operatorname { R e } \{ V _ { c } \cdot e ^ { i \omega t } \} } { \mathrm { d } t } } + { \frac { 1 } { R C } } \operatorname { R e } \{ V _ { c } \cdot e ^ { i \omega t } \} = { \frac { 1 } { R C } } \operatorname { R e } \{ V _ { s } \cdot e ^ { i \omega t } \}
\frac { 1 } { Z _ { ( 3 ) } } = \frac { S } { 4 } \left[ \frac { 1 } { 1 + ( 2 \omega \tau ) ^ { 2 } } - i \frac { 2 \omega \tau } { 1 + ( 2 \omega \tau ) ^ { 2 } } \right] .
\begin{array} { r l } { a _ { n - k } ^ { ( n ) } - \omega _ { 1 - \alpha } ( t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } - t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } ) = } & { \frac { 1 } { \tau _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } \int _ { t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } } ^ { t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } \big [ \omega _ { 1 - \alpha } ( t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } - s ) - \omega _ { 1 - \alpha } ( t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } - t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } ) \big ] d s } \\ { = } & { - \frac { 1 } { \tau _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } \int _ { t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } } ^ { t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } \Big ( \int _ { t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } } ^ { s } \omega _ { - \alpha } ( t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } - \mu ) d \mu \Big ) d s } \\ { = } & { \int _ { t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } } ^ { t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } \frac { \mu - t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } { \tau _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } \omega _ { - \alpha } ( t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } - \mu ) d \mu . } \end{array}
\theta \in \{ 0 . 0 1 , 0 . 0 2 , 0 . 0 3 , 0 . 0 4 , 0 . 0 5 , 0 . 0 6 , 0 . 0 7 , 0 . 0 8 , 0 . 0 9 , 0 . 1 0 \}
t _ { p s } = \left. \frac { E _ { t , p _ { N } } } { E _ { i , p _ { 1 } } } \right\vert _ { E _ { i , s _ { 1 } } = 0 } = Q _ { 1 3 } + \frac { Q _ { 1 2 } ( Q _ { 2 4 } Q _ { 4 3 } - Q _ { 2 3 } Q _ { 4 4 } ) + Q _ { 1 4 } ( Q _ { 2 3 } Q _ { 4 2 } - Q _ { 2 2 } Q _ { 4 3 } ) } { Q _ { 2 2 } Q _ { 4 4 } - Q _ { 2 4 } Q _ { 4 2 } } .
\begin{array} { r l } { S _ { 3 } } & { \le \frac { N ( t , \eta _ { 0 } ) } { ( 1 - \eta _ { 0 } ) ^ { 2 } } + \int _ { \eta } ^ { \eta _ { 0 } } \frac { \mathrm { d } N ( t , u ) } { u ^ { 2 } } = \frac { 1 } { ( 1 - \eta _ { 0 } ) ^ { 2 } } N ( t , \eta _ { 0 } ) + \left[ \frac { N ( t , u ) } { u ^ { 2 } } \right] _ { \eta } ^ { \eta _ { 0 } } + 2 \int _ { \eta } ^ { \eta _ { 0 } } \frac { N ( t , u ) } { u ^ { 3 } } \mathrm { d } u } \\ & { = 2 \nu _ { 0 } N ( t , \eta _ { 0 } ) - \frac { N ( t , \eta ) } { \eta ^ { 2 } } + 2 \int _ { \eta } ^ { \eta _ { 0 } } \frac { N ( t , u ) } { u ^ { 3 } } \mathrm { d } u } \\ & { = \nu _ { 0 } | Z _ { 3 } | + \left( \nu _ { 0 } - \frac { 1 } { \eta ^ { 2 } } \right) N ( t , \eta ) + 2 \int _ { \eta } ^ { \eta _ { 0 } } \frac { N ( t , u ) } { u ^ { 3 } } \mathrm { d } u } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k + 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 3 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 4 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
a _ { S _ { 2 } } ( t , { \bf x } _ { 2 } ) = \frac { ( 2 \pi ) ^ { 1 / 2 } } { \lambda _ { S } \, f } \, \int \d \Omega \, a _ { S _ { 2 } } \left( \Omega , \frac { 2 \pi } { \lambda _ { S } \, f } \, \mathrm { ~ \textbf ~ { ~ x ~ } ~ } _ { 2 } \right) \, \exp \left( - i \, \Omega \, t \right) ,
\frac { \sqrt { \mathrm { V a r } [ \hat { E } ] } } { \mathrm { E } [ \hat { E } ] } = \frac { \sqrt { \mathrm { E } ^ { 2 } [ Q ] \lambda _ { N } + \lambda _ { N } \mathrm { V a r } [ Q ] } } { \lambda _ { N } \mathrm { E } [ Q ] } = \frac { \sqrt { 1 + \frac { \mathrm { V a r } [ Q ] } { \mathrm { E } ^ { 2 } [ Q ] } } } { \sqrt { K \epsilon E } } .
S = - \frac { 1 } { 2 \kappa _ { 5 } ^ { 2 } } \int _ { { \cal M } _ { 5 } } d ^ { 5 } x \sqrt { - g } \left[ R + \frac { 1 } { 2 V ^ { 2 } } \partial _ { \alpha } V \, \partial ^ { \alpha } V + \frac { 1 } { 3 V ^ { 2 } } \alpha ^ { 2 } \right] - \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \frac { \sqrt { 2 } } { \kappa _ { 5 } ^ { 2 } } \alpha _ { i } \int _ { { \cal M } _ { 4 } ^ { ( i ) } } d ^ { 4 } \xi _ { ( i ) } \sqrt { - g } \, V ^ { - 1 } \, ,
\mathbb { S } = \{ ( 2 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , \dots , ( n _ { \operatorname* { m a x } } , 0 ) , ( n _ { \operatorname* { m a x } } - 1 , 1 ) , \dots , ( 1 , n _ { \operatorname* { m a x } } - 1 ) \} .
\begin{array} { r l } & { \int _ { \alpha } ^ { \infty } \left( \log N ( \varepsilon , \mathscr { F } _ { \boldsymbol { \mathscr { N } } } , \left\| \cdot \right\| _ { \mathrm { S } } ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } d \varepsilon } \\ & { \leq \underbracket { \frac { 4 } { \hat { d } - 1 } \left( \operatorname* { m a x } \left[ 2 C _ { w } , 8 | D | C _ { \alpha } \operatorname* { m a x } \left\{ C _ { \beta } \mathrm { d i a g } ( D \times D ) , 2 \right\} \right] ( L C _ { d } ^ { 2 } ) ^ { \frac { \hat { d } + 2 } { \hat { d } + 1 } } \rho \left\{ ( C _ { w } + C _ { k } ) C _ { \sigma } \right\} ^ { L } C _ { a } \right) ^ { \frac { \hat { d } + 1 } { 2 } } } _ { = : K } \ \alpha ^ { - \frac { \hat { d } - 1 } { 2 } } } \end{array}
\bar { w } \int _ { \bar { w } } ^ { w } \bar { w } ^ { \beta } \left( { \frac { w } { \bar { w } } } \right) ^ { \alpha } { \frac { d w } { w ^ { 2 } } } = \bar { w } ^ { 1 + \beta - \alpha } { \frac { w ^ { \alpha - 1 } } { \alpha - 1 } } - { \frac { w ^ { \beta } } { \alpha - 1 } } ,
\begin{array} { r l } { H _ { ( 5 , 1 , 4 ) } ( z , q ) } & { = S _ { 1 3 } ( ( - 1 , 0 , 1 ) | ( 0 , 0 , 0 ) ) - q S _ { 1 3 } ( ( - 1 , 1 , 1 ) | ( 0 , 0 , 1 ) ) - S _ { 1 3 } ( ( 0 , 0 , 0 ) | ( 0 , 0 , 0 ) ) } \\ & { + ( 1 - z ) S _ { 1 3 } ( ( 0 , 0 , 0 ) | ( 0 , 0 , 1 ) ) - ( 1 - q ) S _ { 1 3 } ( ( 0 , 0 , 1 ) | ( 0 , 0 , 1 ) ) } \\ & { - q ( 1 - z ) S _ { 1 3 } ( ( 0 , 0 , 1 ) | ( 0 , 1 , 1 ) ) + q S _ { 1 3 } ( ( 0 , 1 , 1 ) | ( 0 , 1 , 1 ) ) } \\ & { + ( 1 - z ) S _ { 1 3 } ( ( 1 , 0 , 0 ) | ( 0 , 0 , 1 ) ) - q ( 1 - z ) z S _ { 1 3 } ( ( 1 , 0 , 0 ) | ( 0 , 1 , 1 ) ) } \\ & { - ( 1 - z ) S _ { 1 3 } ( ( 1 , 0 , 1 ) | ( 0 , 0 , 0 ) ) - q ( 1 - z ) S _ { 1 3 } ( ( 1 , 0 , 1 ) | ( 0 , 1 , 1 ) ) } \\ & { + q ^ { 2 } ( 1 - z ) z S _ { 1 3 } ( ( 1 , 0 , 1 ) | ( 1 , 1 , 1 ) ) + ( 1 - z ) S _ { 1 3 } ( ( 1 , 1 , 1 ) | ( 0 , 0 , 0 ) ) } \\ & { + q ( 1 - z ) S _ { 1 3 } ( ( 1 , 1 , 1 ) | ( 0 , 0 , 1 ) ) + ( 1 - z ) ( 1 - q z ) S _ { 1 3 } ( ( 2 , 0 , 0 ) | ( 0 , 0 , 0 ) ) } \\ & { - q ^ { 2 } z ( 1 - z ) ( 1 - q z ) S _ { 1 3 } ( ( 2 , 0 , 0 ) | ( 1 , 1 , 1 ) ) - ( 1 - z ) ( 1 - q z ) S _ { 1 3 } ( ( 2 , 0 , 1 ) | ( 0 , 0 , 0 ) ) } \\ & { - q ( 1 - z ) ( 1 - q z ) S _ { 1 3 } ( ( 2 , 0 , 1 ) | ( 0 , 0 , 1 ) ) - q ^ { 2 } z ( 1 - z ) S _ { 1 3 } ( ( 2 , 1 , 1 ) | ( 0 , 0 , 1 ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { t _ { * } = \sqrt { \frac { - c _ { 2 , * } } { c _ { 1 , * } - c _ { 2 , * } } } = \sqrt { \frac { - v _ { 2 , * } ^ { H } C v _ { 2 , * } } { v _ { 1 , * } ^ { H } C v _ { 1 , * } - v _ { 2 , * } ^ { H } C v _ { 2 , * } } } , \quad s _ { * } = \sqrt { \frac { c _ { 1 , * } } { c _ { 1 , * } - c _ { 2 , * } } } = \sqrt { \frac { v _ { 1 , * } ^ { H } C v _ { 1 , * } } { v _ { 1 , * } ^ { H } C v _ { 1 , * } - v _ { 2 , * } ^ { H } C v _ { 2 , * } } } . } \end{array}
u _ { r 0 } = \frac { \Gamma _ { w } r ( - 1 + r ^ { 2 } ) } { D _ { s } 2 c _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \left( \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial z } \right) ^ { 2 } - c _ { 0 } \frac { \partial ^ { 2 } c _ { 0 } } { \partial z ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l } & { \frac { \Delta _ { 3 3 } ( \zeta , k ) } { \Delta _ { 2 2 } ( \zeta , k ) } = \frac { \delta _ { 2 } ( \zeta , k ) ^ { 2 } \delta _ { 4 } ( \zeta , k ) } { \delta _ { 3 } ( \zeta , k ) \delta _ { 5 } ( \zeta , k ) ^ { 2 } } \mathcal { D } _ { 2 } ( k ) \frac { \mathcal { P } ( k ) } { \mathcal { P } ( \omega ^ { 2 } k ) } = d _ { 2 , 0 } ( \zeta , t ) d _ { 2 , 1 } ( \zeta , k ) z _ { 2 } ^ { i ( 2 \nu _ { 5 } - \nu _ { 4 } ) } z _ { 2 , ( 0 ) } ^ { i ( 2 \nu _ { 2 } - \nu _ { 4 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { U U } ( f ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } R _ { U U } ( \tau ) e ^ { - 2 \pi i f \tau } d \tau = g _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \langle \hat { S } _ { y , \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \rangle ^ { 2 } \chi ^ { 2 } S _ { z z } ( f ) + \frac { 1 } { 2 } g _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } ^ { 2 } \eta \cos ^ { 2 } \alpha \langle \hat { S } _ { 0 , \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \ln \frac { \bigl ( x + 0 . 5 \sin \phi _ { 0 } \bigr ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { \bigl ( x - 0 . 5 \sin \phi _ { 0 } \bigr ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , } \\ { \phi } & { { } = \pi - 2 \arctan \frac { \sin \phi _ { 0 } y } { 0 . 2 5 \sin ^ { 2 } \phi _ { 0 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } + \bigl [ \bigl ( 0 . 2 5 \sin ^ { 2 } \phi _ { 0 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \bigr ) ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \phi _ { 0 } y ^ { 2 } \bigr ] ^ { 0 . 5 } } } \end{array}
\frac { \partial p _ { r } ( x , t | x _ { 0 } ) } { \partial t } = D \frac { \partial ^ { \alpha } } { \partial | x | ^ { \alpha } } p _ { r } ( x , t | x _ { 0 } ) - r p _ { r } ( x , t | x _ { 0 } ) + \frac { r } { c } p _ { r } \left( \frac { x } { c } , t | x _ { 0 } \right) ,
w ( z ) = { \frac { \hbar } { 2 \pi ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { z } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { \| } { \frac { k _ { \| } } { k } } \left[ \left( k ^ { 2 } + k _ { \| } ^ { 2 } \right) \sin ^ { 2 } ( k _ { z } z ) + k _ { z } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( k _ { z } z ) \right] \left[ { \frac { 1 } { 2 } } + { \overline { { n } } } ( k ) \right] .
\begin{array} { r } { z ( t ) = - z ( - t + 2 t _ { 1 } ) = - z ( t - 2 t _ { 1 } ) \, , } \\ { \rho ( t ) = \rho ( - t + 2 t _ { 1 } ) = \rho ( t - 2 t _ { 1 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { r } } & { { } \rightarrow \tilde { \mathbf { r } } = \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { t } } \\ { \mathbf { r } ^ { \prime } } & { { } \rightarrow \tilde { \mathbf { r } } ^ { \prime } = \mathbf { r } ^ { \prime } - \mathbf { r } _ { t } } \end{array}
h ( t , s , s ^ { \prime } ) = - 2 \rho ^ { \prime } ( s ^ { \prime } ) \partial _ { s ^ { \prime } } \bar { k } _ { B , 1 } ( t , s , s ^ { \prime } ) - \rho ^ { \prime \prime } ( s ^ { \prime } ) \bar { k } _ { B , 1 } ( t , s , s ^ { \prime } ) + \rho ( s ^ { \prime } ) V _ { T , + } ( s ^ { \prime } ) \bar { k } _ { B , 1 } ( t , s , s ^ { \prime } ) ,
\left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { \frac { 2 r } { r - 2 } } \lesssim \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { 2 } ^ { \frac { r - 2 } { r } } \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { W ^ { 1 , 3 } ( \Omega ) } ^ { \frac { 2 } { r } } \leq c _ { 1 1 } \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { 2 } ^ { \frac { r - 2 } { r } } \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { W ^ { 1 , r } ( \Omega ) } ^ { \frac { 2 } { r } } .
\begin{array} { r l } & { A \left[ n , \{ n _ { i } \} , \phi \right] \ = \ T _ { \mathrm { k i n } } ^ { \mathrm { \, n i } } [ n ] \, - \, T S ^ { \mathrm { n i } } [ n ] \, + \, F _ { \mathrm { x c } } [ n ] } \\ & { \qquad + \sum _ { i } \left\{ T _ { \mathrm { k i n } , i } ^ { \mathrm { \, n i } } [ n _ { i } ] \, - \, T S _ { i } ^ { \mathrm { n i } } [ n _ { i } ] \, + \, F _ { \mathrm { x c } } ^ { i i } [ n _ { i } ] \right\} + F _ { \mathrm { c } } ^ { e I } [ n , \{ n _ { i } \} ] } \\ & { \qquad + \int \phi \, \left( \rho _ { \mathrm { e x t } } - e \, n + \sum _ { i } e Z _ { i } \, n _ { i } \right) \mathrm { d } \mathbf { r } \, - \, \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int | \nabla \phi | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \mathbf { r } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textbf { i } _ { \{ L 1 i + \} } \circ \mathbb { L } ^ { + } = } & { { } } & { ( L _ { 1 0 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ L 1 i + \} } - i L _ { 1 } ^ { i + } + L _ { 1 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ L 1 i + \} } \circ \textbf { i } _ { \{ L 1 + \} } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left( \lambda _ { \mathrm { ~ P ~ B ~ C ~ } } \right) } & { { } = \mathrm { ~ R ~ e ~ } ( \eta _ { y y } ) \left[ t ^ { 2 } - \left\{ \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left( q k _ { y } \right) \right\} ^ { 2 } \right] } \\ { \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left( \lambda _ { \mathrm { ~ P ~ B ~ C ~ } } \right) } & { { } = \mathrm { ~ I ~ m ~ } ( \eta _ { y y } ) \left[ t ^ { 2 } - \left\{ \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left( q k _ { y } \right) \right\} ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { { 1 } \mathbf { u } _ { c } ^ { n + 1 } = \hat { \mathbf { u } } _ { c } - \Delta t \left( \frac { \nabla p } { \rho } + \frac { \nabla \tilde { p } } { \rho } \right) _ { f \rightarrow c } ^ { n + 1 } } \end{array}
{ \cal L } \supset \frac { g _ { X } } { \sin \theta _ { W } } [ \bar { \psi } _ { i } ^ { \prime } q _ { i j } ^ { \psi ^ { \prime } } \gamma ^ { \mu } \psi _ { j } ^ { \prime } ] X _ { \mu } = \frac { g _ { X } } { \sin \theta _ { W } } [ \bar { \psi } _ { i } Q _ { i j } ^ { \psi } \gamma ^ { \mu } \psi _ { j } ] X _ { \mu } .
\begin{array} { r } { \dot { \textbf { p } } ^ { * } = - \kappa ^ { * } \textbf { q } ^ { * } - \textbf { p } ^ { * } + \textbf { f } ^ { * } \left( t ^ { * } \right) } \\ { \kappa ^ { * } \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \kappa \frac { \Delta _ { 0 } } { \gamma _ { 0 } } , } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { F _ { \alpha , \beta } ^ { ( 1 2 ) } } & { F _ { \beta , \alpha } ^ { ( 1 2 ) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { ( r _ { \alpha } - r _ { \alpha , \beta } ) z _ { 1 } - 1 } \\ { \frac { r _ { \alpha } } { r _ { \beta } } r _ { \beta , \alpha } z _ { 1 } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l } { F _ { \alpha , \beta } ^ { ( ) } } & { F _ { \beta , \alpha } ^ { ( ) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { ( r _ { \alpha } - r _ { \alpha , \beta } ) z _ { 2 } - 1 } \\ { \frac { r _ { \alpha } } { r _ { \beta } } r _ { \beta , \alpha } z _ { 2 } } \end{array} \right) = 0
\left\Vert \frac { \partial \eta } { \partial x } \right\Vert _ { L ^ { \infty } ( \kappa ) } ^ { 2 } \le \left\{ \begin{array} { r l } & { C \varepsilon ^ { - 2 } N ^ { - 2 \sigma } + C N ^ { - 2 k } , \quad \kappa \subset \Omega _ { 1 1 } } \\ & { C \varepsilon ^ { - 2 } N ^ { - 2 \sigma } + C N ^ { - 2 k } ( \ln N ) ^ { 2 k } , \quad \kappa \subset \Omega _ { 2 1 } } \\ & { C \varepsilon ^ { - 2 } N ^ { - 2 k } ( \ln N ) ^ { 2 k } , \quad \kappa \subset \Omega _ { 1 2 } \cup \Omega _ { 2 2 } } \end{array} \right.
\frac { d \tilde { m } _ { L } ^ { 2 } } { d t } = ( 3 \tilde { \alpha } _ { 2 } M _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 5 } \tilde { \alpha } _ { 1 } M _ { 1 } ^ { 2 } ) \, ,
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial { \mathcal { E } } } { \partial x _ { \ell } } } } & { = { \frac { \partial { \mathcal { E } } } { \partial x _ { L } } } { \frac { \partial x _ { L } } { \partial x _ { \ell } } } } \\ & { = { \frac { \partial { \mathcal { E } } } { \partial x _ { L } } } \left( 1 + { \frac { \partial } { \partial x _ { \ell } } } \sum _ { i = l } ^ { L - 1 } F ( x _ { i } ) \right) } \\ & { = { \frac { \partial { \mathcal { E } } } { \partial x _ { L } } } + { \frac { \partial { \mathcal { E } } } { \partial x _ { L } } } { \frac { \partial } { \partial x _ { \ell } } } \sum _ { i = l } ^ { L - 1 } F ( x _ { i } ) } \end{array} }
\dot { z } _ { i } = - 3 \gamma ^ { - 1 } ( K + K ^ { \prime } ) \chi \frac { 1 } { ( p \sigma _ { i } ) ^ { 2 } \left( \delta ^ { - 2 \chi } - R ^ { - 2 \chi } \right) } \frac { r _ { i } ^ { 2 \chi } } { \overline { { z _ { i } } } } ,
1 + ( z + w ) \sum _ { p , q = 0 } ^ { \infty } s _ { ( p | q ) ; a , b } ( x / y ) ( 1 - a _ { p + 1 } b _ { p + 1 } ) \frac { ( z | b ) ^ { p } } { ( z ; a ) ^ { p + 1 } } \frac { ( w | b ^ { \prime } ) ^ { q } } { ( w ; a ^ { \prime } ) ^ { q + 1 } } = \prod _ { i } \frac { 1 + y _ { i } z } { 1 - x _ { i } z } \frac { 1 + x _ { i } w } { 1 - y _ { i } w } .
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { j } - G ( \omega ) } & { \geq ( 1 - p ( \tau ( \Delta _ { j } - \omega ) ) ) \Gamma _ { j } - \operatorname* { m a x } _ { i \neq j } p ( \tau ( \Delta _ { i } - \omega ) ) } \\ & { \geq ( 1 - e ^ { - \tau ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } ) } \Gamma _ { j } - e ^ { - \tau ^ { 2 } ( 0 . 9 \gamma ) ^ { 2 } } } \\ & { \geq 0 . 8 5 \tau ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } \Gamma _ { j } - 0 . 0 5 \tau ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } \Gamma _ { j } = 0 . 8 \tau ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } \Gamma _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \overline { { z _ { S } ( t , e ) } } = } & { { } \int _ { 0 } ^ { L _ { S } } \frac { \tilde { \gamma } _ { S } ( e ^ { \prime } ) z _ { S , e } ( e ) - \tilde { \gamma } _ { S } ( e ) z _ { S , e } ( e ^ { \prime } ) } { z _ { S , e } ( e ) } \frac 1 { 2 L \mathrm { i } } \cot \Big ( \frac { z _ { S } ( e ) - z _ { S } ( e ^ { \prime } ) } { L / \pi } \Big ) \, \mathrm { d } e ^ { \prime } } \end{array}
p = F ( A ) - \eta G ( A ) \frac { \partial ( A u ) } { \partial x } = p _ { 0 } + \frac { E _ { \infty } } { W } \left( \alpha ^ { m } - \alpha ^ { n } \right) - \frac { \eta } { W A } \left( m \alpha ^ { m } - n \alpha ^ { n } \right) \frac { \partial ( A u ) } { \partial x } ,
\begin{array} { r } { f ( \textbf { r } , t ) = 1 - \frac { \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ t ~ } ( \textbf { r } , t ) - \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ t ~ } _ { \operatorname* { m i n } } ( t ) } { \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ t ~ } _ { \operatorname* { m a x } } ( t ) - \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ t ~ } _ { \operatorname* { m i n } } ( t ) } } \end{array}