harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \big \lbrace ( 1 + \vert m \vert ) ^ { s _ { 2 } } ( 1 + \vert \xi \vert ) ^ { s _ { 1 } } } & { \vert ( \mathcal { F } _ { x , v } \widetilde { G } ) ( t , s , m , \xi ) \vert \big \rbrace ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad \leq \left( ( 1 + \vert m \vert ) ^ { s _ { 2 } } ( 1 + \vert \xi \vert ) ^ { s _ { 1 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \vert \mathcal { F } _ { x , v } ( \partial _ { s } G ) ( t , t + \tau ( s - t ) , m , \xi ) \vert \, \mathrm { d } \tau \right) ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad \leq \int _ { 0 } ^ { 1 } \big \lbrace ( 1 + \vert m \vert ) ^ { s _ { 2 } } ( 1 + \vert \xi \vert ) ^ { s _ { 1 } } \vert \mathcal { F } _ { x , v } ( \partial _ { s } G ) ( t , t + \tau ( s - t ) , m , \xi ) \vert \big \rbrace ^ { 2 } \, \mathrm { d } \tau , } \end{array}
{ \cal L } _ { 1 } = \kappa \left\{ \phantom { | } _ { a b c } ^ { \mu \nu \alpha } \right\} f _ { \mu } { } ^ { a } f _ { \nu } { } ^ { b } f _ { \alpha } { } ^ { c } , \qquad \delta _ { 1 } T _ { \alpha \beta \gamma , a } = \kappa \varepsilon _ { a b c [ \alpha \beta } f _ { \gamma ] } { } ^ { b } \eta ^ { c }
\begin{array} { r l } & { \pi _ { x _ { 1 } } ( \alpha ) \bigg ( \phi _ { x _ { 1 } } ( 1 , 1 , 1 ) F ( \theta + \alpha ) F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) - \phi _ { x _ { 1 } } ( 1 , 1 , 0 ) F ( \alpha ) F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) } \\ & { + \phi _ { x _ { 1 } } ( 1 , 0 , 1 ) [ 1 - F ( \theta + \alpha ) ] F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) - \phi _ { x _ { 1 } } ( 1 , 0 , 0 ) [ 1 - F ( \alpha ) ] F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) \bigg ) = 0 , } \\ & { \pi _ { x _ { 1 } } ( \alpha ) \bigg ( \phi _ { x _ { 1 } } ( 0 , 1 , 1 ) F ( \theta + \alpha ) [ 1 - F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ] - \phi _ { x _ { 1 } } ( 0 , 1 , 0 ) F ( \alpha ) [ 1 - F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ] } \\ & { + \phi _ { x _ { 1 } } ( 0 , 0 , 1 ) [ 1 - F ( \theta + \alpha ) ] [ 1 - F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ] - \phi _ { x _ { 1 } } ( 0 , 0 , 0 ) [ 1 - F ( \alpha ) ] [ 1 - F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ] \bigg ) = 0 . } \end{array}
\left| { \frac { 1 } { \left( z - \omega \right) ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } } } \right| = \left| { \frac { 2 \omega z - z ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } ( \omega - z ) ^ { 2 } } } \right| = \left| { \frac { z \left( 2 - { \frac { z } { \omega } } \right) } { \omega ^ { 3 } \left( 1 - { \frac { z } { \omega } } \right) ^ { 2 } } } \right| \leq { \frac { 1 0 R } { \left| \omega \right| ^ { 3 } } }
\bar { u } _ { \sigma _ { 1 } } ^ { L F } ( k _ { 1 } ) = \sum _ { \sigma _ { 1 } ^ { \prime } = \pm \frac { 1 } { 2 } } \beta _ { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { * } ( k _ { 1 } ) \bar { u } _ { \sigma _ { 1 } ^ { \prime } } ( k _ { 1 } ) , \quad \bar { u } _ { \sigma _ { 2 } } ^ { L F } ( k _ { 2 } ) = \sum _ { \sigma _ { 2 } ^ { \prime } = \pm \frac { 1 } { 2 } } \beta _ { \sigma _ { 2 } \sigma _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { * } ( k _ { 2 } ) \bar { u } _ { \sigma _ { 2 } ^ { \prime } } ( k _ { 2 } ) ,
E \{ | B _ { r } | ^ { 2 } \} = \frac { 4 g \pi ^ { 2 } } { \omega _ { r } } E \left\lbrace \frac { a _ { r } ^ { 2 } } { 2 } \right\rbrace = \frac { 4 g \pi ^ { 2 } } { \omega _ { r } } S ( \mu , \nu ) \Delta \mu \Delta \nu ,
\begin{array} { r } { a ^ { \mathrm { L H F } } ( \textbf { p } , \sigma ; \omega , t ) = \frac { 2 \hbar \gamma } { \left[ \hbar \omega - h _ { \mathbf { p } \sigma } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( t ) \right] ^ { 2 } + ( \hbar \gamma ) ^ { 2 } } \, , } \end{array}
P ( \ensuremath { \boldsymbol { x } } ( t ) , \theta = \ensuremath { \boldsymbol { v } } _ { 0 } ) = \left\| \ensuremath { \boldsymbol { x } } ( t ) - \ensuremath { \boldsymbol { x } } _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \ensuremath { \boldsymbol { g } } t ^ { 2 } - \ensuremath { \boldsymbol { v } } _ { 0 } t \right\| ^ { 2 } ,
\left. \begin{array} { r l } { \mathbf { S } _ { 0 } } & { = | E _ { A } | ^ { 2 } + | E _ { A ^ { \prime } } | ^ { 2 } \, , \phantom { Z Z Z Z } } \\ { \mathbf { S } _ { 1 } } & { = | E _ { A } | ^ { 2 } - | E _ { A ^ { \prime } } | ^ { 2 } \, , } \\ { \mathbf { S } _ { 2 } } & { = 2 \mathrm { R e } [ E _ { A } E _ { A ^ { \prime } } ^ { \ast } ] \, , } \\ { \mathbf { S } _ { 3 } } & { = 2 \mathrm { I m } [ E _ { A } E _ { A ^ { \prime } } ^ { \ast } ] \, , } \end{array} \right\}
\psi = \arctan \sqrt { \frac { 3 [ ( 1 - \nu ) \tau _ { 2 } + \tau _ { 3 } ] - ( 1 + \nu ) ( \alpha + \Lambda ) T } { ( 1 + \nu ) ( \alpha + \Lambda ) T - 3 [ ( 1 - \nu ) \tau _ { 2 } + \tau _ { 1 } ] } }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { E } _ { m , k } ^ { j } } & { = } & { \{ ( \psi _ { m , k } , \theta _ { m , k } ) \in \mathcal { R } ^ { j } \} , \ \mathrm { f o r } \ j = 1 , 2 , \mathrm { ~ w h e r e } } \\ { \mathcal { R } ^ { 2 } } & { = } & { \{ ( \psi , \theta ) : 0 \leq \psi \leq \delta _ { \psi } \mathrm { ~ a n d ~ } \theta \geq \delta _ { \theta } \} , \ \ \ \mathcal { R } ^ { 1 } = ( \mathcal { R } ^ { 2 } ) ^ { c } . } \end{array}
\Gamma ^ { i j } = \frac { 1 } { k - \lambda \alpha } \left( \begin{array} { c c } { { k \alpha \epsilon _ { i j } } } & { { - k \delta _ { i j } } } \\ { { k \delta _ { i j } } } & { { \lambda \epsilon _ { i j } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { f = 1 - \mu G _ { 2 } / r \qquad } & { { } ; } & { \qquad g = \tau - \mu G _ { 3 } } \\ { \dot { f } = - \mu G _ { 1 } / ( r \cdot r _ { \tau } ) \qquad } & { { } ; } & { \qquad \dot { g } = 1 - \mu G _ { 2 } / r _ { \tau } \ , } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { \alpha } } & { { \beta } } \\ { { \gamma } } & { { \delta } } \end{array} \right) \simeq \left( \begin{array} { c c } { { q D } } & { { B } } \\ { { A } } & { { C / q } } \end{array} \right) \; .
a \left( \partial ^ { \alpha } A ^ { \beta } - \partial ^ { \beta } A ^ { \alpha } \right) + \frac { i b } { 2 } \left( \partial _ { \rho } A _ { \sigma } - \partial _ { \sigma } A _ { \rho } \right) \epsilon ^ { \rho \sigma \alpha \beta } = \frac { 1 } { 2 } \epsilon ^ { \alpha \beta \rho \sigma } \left( \partial _ { \rho } B _ { \sigma } - \partial _ { \sigma } B _ { \rho } \right) .
N ( E ) = { \frac { 2 E ^ { 3 / 2 } } { 3 b \hbar ^ { 2 } } } F \! \left( { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 2 } } ; 1 ; { \frac { b ^ { 2 } - g ^ { 2 } } { 2 b ^ { 2 } } } \right) .
\begin{array} { r } { \overline { { { a } } } = a + \frac { 1 } { 2 ! } \frac { \Delta ^ { 2 } } { 1 2 } \frac { \partial ^ { 2 } a } { \partial x ^ { 2 } } + \mathcal { O } \left( \Delta ^ { 4 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \mathbb { E } _ { \delta u } [ \| \hat { \boldsymbol { u } } ^ { S } - \boldsymbol { u } ^ { S } \| ] ) ^ { 2 } \le } & { { } \mathbb { E } _ { \delta u } [ \| \hat { \boldsymbol { u } } _ { i } ^ { S } - \boldsymbol { u } _ { i } ^ { S } \| ^ { 2 } ] } & { { \scriptstyle ( \mathrm { ~ S ~ c ~ h ~ w ~ a ~ r ~ z ~ i ~ n ~ e ~ q ~ u ~ a ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } ) } } \\ { = } & { { } \mathbb { E } _ { \delta u } \left[ \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \delta u _ { k , i } \boldsymbol { b } _ { k } \right\| ^ { 2 } \right] } & { } \\ { = } & { { } \alpha \delta ^ { 2 } N _ { t } , } \end{array}
\tau _ { f } ( \mathbf { x } ; \mathbf { x } _ { 0 } ) : = \tau \cosh ( \eta - \eta _ { 0 } ) - \sqrt { ( r _ { \bot } - r _ { \bot 0 } ) ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } ( \eta - \eta _ { 0 } ) }
\mathrm { l n } ( \Lambda _ { n } ) = \frac { 1 } { 2 } \left[ \mathrm { l n } ( 1 + \frac { b _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { 2 } } { b _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { 2 } } ) - \frac { b _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { 2 } / b _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { 2 } } { 1 + b _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { 2 } / b _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { 2 } } \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ l ~ n ~ } ( \mathcal { L } \Big ( D | ( \vec { N } ) \Big ) ) } & { { } = } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { b = 1 } ^ { N _ { b } ( i ) } } & { { } \ln { ( \mathrm { ~ P ~ o ~ i ~ s ~ s ~ } ( n _ { i , b } ; f _ { i } ( E _ { b } ; \vec { N } ) ) ) } } \\ { + } & { { } \ln { ( \mathrm { ~ P ~ o ~ i ~ s ~ s ~ } ( N _ { j , i , b } ^ { M C } ; \hat { N _ { j , i , b } ^ { M C } } ) ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } k ^ { 2 } \, X _ { k } ^ { - 3 , m } X _ { k } ^ { - 3 , n } } & { { } = 9 \left( 2 X _ { 0 } ^ { - 9 , m - n } - X _ { 0 } ^ { - 8 , m - n } \right) } \end{array}
d s ^ { 2 } = - \left( d t + \sum _ { i = 1 } ^ { n } c _ { i } \rho _ { i } ^ { 2 } d \phi _ { i } \right) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( d \rho _ { i } ^ { 2 } + \rho _ { i } ^ { 2 } d \phi _ { i } ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { ( \delta \psi ^ { n } ) ( a , b , c ) = } & { e ^ { \frac { 2 \pi i } { N ^ { 2 } } n \left[ B ( c - C ) + A ( b \oplus _ { N ^ { 2 } } c - B \oplus _ { N } C ) - ( A \oplus _ { N } B ) ( c - C ) - A ( b - B ) \right] } } \\ { = } & { e ^ { \frac { 2 \pi i } { N } n A ( B + C - B \oplus _ { N } C ) / N } = \omega _ { I } ^ { n } \Big | _ { H _ { \mathrm { c o n d } } ^ { I } } ( a , b , c ) , } \end{array}
\sqrt { \frac { 5 } { 1 3 } } \frac { 1 } { 1 3 } \frac { ( \alpha ) ^ { 3 } } { ( \alpha ^ { 2 } + 1 ) } + \frac { 1 } { 1 3 } \frac { ( y ) ^ { 2 } } { ( y ^ { 2 } + 1 ) } + \sqrt { \frac { 1 3 } { 5 } } \frac { 1 } { 1 3 ( y ) } \frac { ( \frac { \beta } { y } ) ^ { 2 } } { ( ( \frac { \beta } { y } ) ^ { 2 } + 1 ) } \geq \frac { 1 + \sqrt { \frac { 5 } { 1 3 } } \alpha + \sqrt { \frac { 1 3 } { 5 } } \frac { 1 } { y } } { 1 8 }
\partial _ { y } \left[ { \cal W } ^ { - { \frac { p + 1 } { 2 ( n - 1 ) } } - q } \partial _ { y } u _ { m } \right] = m ^ { 2 } { \cal W } ^ { - { \frac { p + 1 } { 2 ( n - 1 ) } } - q - 1 } u _ { m } ,
( b ) \qquad | K ( x , y ) - K ( x ^ { \prime } , y ) | \leq { \frac { C | x - x ^ { \prime } | ^ { \delta } } { { \bigl ( } | x - y | + | x ^ { \prime } - y | { \bigr ) } ^ { n + \delta } } } { \mathrm { ~ w h e n e v e r ~ } } | x - x ^ { \prime } | \leq { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname* { m a x } { \bigl ( } | x - y | , | x ^ { \prime } - y | { \bigr ) }
\begin{array} { r l } { ( i i ) } & { \le - \frac { \lambda _ { k } T \mu _ { g } \gamma _ { k } } { 4 } \mathcal { J } _ { k } + O ( \xi ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } ) \frac { \alpha _ { k } \beta _ { k } } { T \mu _ { g } \gamma _ { k } } \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } + O ( \xi ^ { 2 } \lambda _ { k } l _ { * , 0 } ^ { 2 } ) ( \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } ) + O ( \lambda _ { k } ) T \gamma _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } . } \end{array}
\left( \frac { \partial } { \partial t } + \boldsymbol { v \cdot \nabla } \right) f _ { e 1 } + \frac { e } { m _ { e } } ( \boldsymbol { \nabla } \varphi ) \boldsymbol { \cdot } \frac { \partial f _ { e 0 } } { \partial \boldsymbol { v } } = 0 \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { 3 2 1 1 } ^ { ( 5 ) } } & { = ( s _ { 7 } + s _ { 3 2 } + s _ { 4 1 } + s _ { 5 1 } + s _ { 2 1 1 } ) \otimes s _ { 1 1 1 1 1 } } \\ & { \qquad + ( s _ { 3 } + s _ { 4 } + s _ { 5 } + 2 s _ { 2 1 } + s _ { 3 1 } ) \otimes s _ { 2 2 1 } + ( s _ { 2 } + s _ { 3 } + s _ { 1 1 } ) \otimes s _ { 3 2 } } \\ & { \qquad + ( e _ { 1 } ^ { \perp } \mathcal { A } _ { 3 2 1 1 } ) \otimes s _ { 2 1 1 1 } + ( e _ { 2 } ^ { \perp } \mathcal { A } _ { 3 2 1 1 } ) \otimes s _ { 3 1 1 } + ( e _ { 3 } ^ { \perp } \mathcal { A } _ { 3 2 1 1 } ) \otimes s _ { 4 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dim ( { \bf V } _ { 2 } ( { \mathcal T } _ { { A } } ) ) } & { = 2 ( V _ { A } + E _ { A } ) = 2 ( V + E + 4 T ) } \\ & { = 2 4 V - 1 0 V _ { b } - 2 2 \chi + 1 0 \chi _ { b } \approx 2 4 V , } \\ { \dim ( \Pi _ { 1 } ( { \mathcal T } _ { { A } } ) ) } & { = 3 T _ { A } = 9 T = 1 8 V - 9 V _ { b } - 1 8 \chi + 9 \chi _ { b } \approx 1 8 V , } \end{array}
\begin{array} { r } { - \frac { d } { d r } \left[ \frac { r } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } ( V - c ) ^ { 2 } D f \right] + \frac { 1 } { r } ( V - c ) ^ { 2 } f = 0 . } \end{array}
\Sigma _ { \mathrm { g e n } } ( t ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { t _ { i } } ^ { t } \frac { \dot { T } ( \zeta ) } { T ^ { 2 } ( \zeta ) } \left( k _ { \mathrm { B } } T ( \zeta ) - \kappa s ( \zeta ) \right) d \zeta ,
\chi = \Omega = - \lambda ^ { 2 } x ^ { + } x ^ { - } - x ^ { + } \widetilde { P } _ { + } ( x ^ { + } ) + \widetilde { \Delta } _ { + } ( x ^ { + } ) + m _ { 0 } - { \frac { 1 } { 4 } } \log [ - 4 \lambda ^ { 2 } x ^ { + } x ^ { - } ]
\begin{array} { r } { A = \left. - \frac { 2 m _ { e } } { ( \hbar q ) ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial \tau } \frac { \mathcal { L } \left[ I ( \mathbf { q } , \omega ) \right] } { \mathcal { L } \left[ R ( \omega ) \right] } \right| _ { \tau = 0 } \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega _ { s } = \frac { 1 } { 4 } \frac { \omega _ { p 0 } ^ { 2 } } { \omega _ { L } } \frac { \delta n _ { s } } { n _ { 0 0 } } \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ 1 ~ D ~ } } \\ { \langle \mathrm { ~ H ~ G ~ } _ { 0 } | e ^ { - 2 x ^ { 2 } / w _ { 0 } ^ { 2 } } | \mathrm { ~ H ~ G ~ } _ { 0 } \rangle = 1 / \sqrt { 2 } } & { \mathrm { ~ 2 ~ D ~ } } \\ { \langle \mathrm { ~ L ~ G ~ } _ { 0 0 } | e ^ { - 2 r ^ { 2 } / w _ { 0 } ^ { 2 } } | \mathrm { ~ L ~ G ~ } _ { 0 0 } \rangle = 1 / 2 } & { \mathrm { ~ 3 ~ D ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { A } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { x _ { B } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ( \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } - \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { q _ { 1 } } & { { } = \frac { m _ { 1 } - m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } p _ { 1 } + \frac { 2 m _ { 1 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } p _ { 2 } , } \\ { q _ { 2 } } & { { } = \frac { 2 m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } p _ { 1 } + \frac { m _ { 2 } - m _ { 1 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } p _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { { U } } _ { \mathrm { Q M } } } & { { } = } & { \frac { V } { 2 } \left\langle \overline { { \hat { { \bf E } } \cdot \hat { { \bf D } } } } + \overline { { \hat { { \bf B } } \cdot \hat { { \bf H } } } } \right\rangle = \epsilon V \left\langle \overline { { \hat { { \bf E } } \cdot \hat { { \bf E } } } } \right\rangle } \end{array}
{ \psi } ^ { D - K } = \left[ \begin{array} { c } { { \sum _ { j , m } \xi _ { m } ^ { j + } < j m | { \psi } _ { - } ^ { ( j ) } > } } \\ { { \sum _ { j , m } \xi _ { m } ^ { j - } < j m | { \psi } _ { + } ^ { ( j ) } > } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { z \in \mathcal { F } _ { C } ( J u ) \quad \Leftrightarrow \quad } & { 0 \leq \langle J u , z - x \rangle , \quad \mathrm { f o r ~ a l l } \ x \in C } \\ { \quad \Leftrightarrow \quad } & { 0 \leq \langle J ( u + z - z ) , z - x \rangle , \quad \mathrm { f o r ~ a l l } \ x \in C . } \\ { \quad \Leftrightarrow \quad } & { z = P _ { C } ( u + z ) } \\ { \quad \Leftrightarrow \quad } & { z \in \{ y \in C : \ y = P _ { C } ( u + y ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial r } \binom { k + r - 1 } { r - 1 } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { k } \frac { 1 } { k ! } \prod _ { i \in \{ 1 , \dots , k \} / \{ j \} } ( k + r - i ) } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { k } \frac { 1 } { k ! } \frac { k + r - j } { k + r - j } \prod _ { i \in \{ 1 , \dots , k \} / \{ j \} } ( k + r - i ) } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { k } \frac { 1 } { k + r - j } \binom { k + r - 1 } { r - 1 } \leq \frac { k } { r } \binom { k + r - 1 } { r - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { y = } & { \underbrace { \sqrt { \rho \varrho _ { \mathrm { t } } \varrho _ { \mathrm { r } } } \overline { { \mathbf { z } } } \hat { \mathbf { h } } s } _ { \mathrm { D e s i r e d ~ s i g n a l ~ o v e r ~ e s t i m a t e d ~ c h a n n e l } } + \underbrace { \sqrt { \rho \varrho _ { \mathrm { t } } \varrho _ { \mathrm { r } } } ( \mathbf { z } - \overline { { \mathbf { z } } } ) \hat { \mathbf { h } } s } _ { \mathrm { R I S ~ p h a s e ~ n o i s e ~ o v e r ~ e s t i m a t e d ~ c h a n n e l } } } \\ & { + \underbrace { \sqrt { \rho \varrho _ { \mathrm { t } } \varrho _ { \mathrm { r } } } \mathbf { z } \tilde { \mathbf { h } } s } _ { \mathrm { S i g n a l ~ o v e r ~ u n k n o w n ~ c h a n n e l } } + \underbrace { \sqrt { \varrho _ { \mathrm { r } } } \mathbf { z } \mathbf { v } } _ { \mathrm { T h e r m a l ~ n o i s e ~ f r o m ~ R I S ~ r e f l e c t i o n ~ a m p l i f i e r s } } } \\ & { + \underbrace { w } _ { \mathrm { R e c e i v e r ~ a d d i t i v e ~ n o i s e } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \langle f , T ^ { * } \varphi \rangle | } & { \leq \int _ { \mathcal { D } } | f ( x ) | | T ^ { * } \varphi ( x ) | d x } \\ & { \leq \bigg ( \int _ { K } | f ( x ) | d x \times \operatorname* { m a x } _ { | k | \leq n } \operatorname* { s u p } _ { x \in K } | f _ { k } ( x ) | \bigg ) \sum _ { | k | \leq n } | | \partial ^ { k } \varphi | | _ { \infty } < + \infty } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \phi ( x _ { k } + \alpha _ { k } \bar { d } _ { k } , \bar { \tau } _ { k } ) - \phi ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } ) } \\ { \leq \ } & { - \alpha _ { k } \Delta l ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } , \bar { g } _ { k } , \bar { d } _ { k } ) + \alpha _ { k } \bar { \tau } _ { k } ( \nabla f _ { k } - \bar { g } _ { k } ) ^ { T } \bar { d } _ { k } + \frac { \bar { \tau } _ { k } L + \Gamma } { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } \| \bar { d } _ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
| A | _ { S } ^ { 2 } \; = \; \frac { e ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } { 2 } \cdot \frac { \xi ^ { 2 } + 1 } { ( \xi - 1 ) ^ { 2 } } \cdot \frac { ( Q _ { e } \upsilon - Q _ { q } \tau ) ^ { 2 } } { \upsilon \tau } .
\begin{array} { r l } { A ( x , y ) } & { = \frac { \Bigl [ \alpha _ { 1 } y ^ { 2 } + \bigl ( c h + ( 1 - x ) \bigr ) \bigl ( \alpha _ { 1 } ( 1 - x ) + \alpha _ { 2 } c h \bigr ) \Bigr ] } { \bigl ( c h + ( 1 - x ) \bigr ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , } \\ { B ( x , y ) } & { = \frac { ( \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 1 } ) c h y } { \bigl ( c h + ( 1 - x ) \bigr ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } . } \end{array}
\gamma _ { g } ^ { ( 1 ) } ( \xi ) = \frac { 2 3 } { 4 } C _ { A } ^ { 2 } - N _ { f } \left( 2 C _ { F } + \frac { 5 } { 2 } C _ { A } \right) - \left( \frac { C _ { A } } { 2 } \right) ^ { 2 } ( \xi - 1 ) \left( \xi + \frac { 1 3 } { 2 } \right) ,
G _ { \mathrm { E M } } ( t ) = \frac { \displaystyle \int _ { u _ { \mathrm { m i n } } ( t ) } ^ { u _ { \mathrm { m a x } } ( t ) } d u \, D ( t , u ) \, \Delta ( t , u ) } { \displaystyle \int _ { u _ { \mathrm { m i n } } ( t ) } ^ { u _ { \mathrm { m a x } } ( t ) } d u \, D ( t , u ) } ~ ,
\begin{array} { r l r } { f _ { i } } & { = } & { f _ { i } ^ { ( 0 ) } + \varepsilon f _ { i } ^ { ( 1 ) } + \varepsilon ^ { 2 } f _ { i } ^ { ( 2 ) } + O ( \varepsilon ^ { 3 } ) , } \\ { { f _ { i } ^ { * } } } & { = } & { { f _ { i } ^ { * } } ^ { ( 0 ) } + \varepsilon { f _ { i } ^ { * } } ^ { ( 1 ) } + \varepsilon ^ { 2 } { f _ { i } ^ { * } } ^ { ( 2 ) } + O ( \varepsilon ^ { 3 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { C } _ { \phi _ { \alpha } } ( z ) } & { = \langle C _ { \phi } \hat { k } _ { z } , \hat { k } _ { z } \rangle } \\ & { = ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { 2 } \langle C _ { \phi _ { \alpha } } { k _ { z } } , { k _ { z } } \rangle } \\ & { = ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { 2 } k _ { z } ( \phi _ { \alpha } ( z ) ) } \\ & { = \frac { ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( 1 - \overline { { z } } \phi _ { \alpha } ( z ) ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \mathrm { C P } } } & { { } \equiv \sin \theta _ { 1 3 } \cos ^ { 2 } \theta _ { 1 3 } \sin \theta _ { 1 2 } \cos \theta _ { 1 2 } \sin \theta _ { 2 3 } \cos \theta _ { 2 3 } \sin \delta _ { \textrm { C P } } } \end{array}
\bar { B } _ { 0 : m } = \left[ \begin{array} { l l } { s _ { 0 } ^ { T } \bar { y _ { 0 } } } & { s _ { 0 } ^ { T } \bar { Y } _ { 1 : m } } \\ & { s _ { 0 } ^ { T } \bar { B } _ { 1 : m } } \end{array} \right] , \bar { C } _ { 0 : m } = \left[ \begin{array} { l l } { { s _ { 0 } ^ { T } \bar { y _ { 0 } } } } & \\ & { \bar { C } _ { 1 : m } } \end{array} \right] .
\frac { \partial L _ { C } ^ { ( R R ) } } { \partial r ^ { k } } = \frac { q ^ { 2 } } { c } \frac { d r ^ { \mu } } { d s } \left\{ \frac { 1 } { \left\vert \widetilde { R } ^ { \alpha } u _ { \alpha } ( s ^ { \prime } ) \right\vert } \frac { d } { d s ^ { \prime } } \left[ \frac { d r _ { \mu } ^ { \prime } } { d s ^ { \prime } } \frac { \widetilde { R } _ { k } } { \widetilde { R } ^ { \alpha } u _ { \alpha } ( s ^ { \prime } ) } \right] \right\} _ { s ^ { \prime } = s - s _ { r e t } } .
\begin{array} { r l } { W ^ { + } ( \Delta ) \equiv } & { { } \, W ^ { + + } + W ^ { + - } } \\ { = } & { { } \, \frac { N } { 2 } \left( q - \Delta \right) \left( 1 - q + \Delta \right) } \\ { W ^ { - } ( \Delta ) \equiv } & { { } \, W ^ { - + } + W ^ { -- } } \\ { = } & { { } \, \frac { N } { 2 } \left( q - \Delta \right) \left( 1 - q + \Delta \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { | | } ^ { \mathrm { ~ R ~ } } ( \mathrm { ~ f ~ } \leftarrow \mathrm { ~ i ~ } ) } & { { } = 4 5 a _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ } } ^ { 2 } + 4 \gamma _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ } } ^ { 2 } \; , } \\ { A _ { \perp } ^ { \mathrm { ~ R ~ } } ( \mathrm { ~ f ~ } \leftarrow \mathrm { ~ i ~ } ) } & { { } = 3 \gamma _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ } } ^ { 2 } \; , } \\ { A ^ { \mathrm { ~ R ~ } } ( \mathrm { ~ f ~ } \leftarrow \mathrm { ~ i ~ } ) } & { { } = 4 5 a _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ } } ^ { 2 } + 7 \gamma _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ } } ^ { 2 } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( r + a s ) ( t + a w ) } & { = ( r t + a ^ { 2 } s w ) + ( s t + r w ) a } \\ & { = a ^ { 2 } s w + r t - 2 r _ { 1 } s _ { 1 } t _ { 1 } w _ { 1 } a + 2 r _ { 1 } s _ { 1 } t _ { 1 } w _ { 1 } a + ( s t + r w ) a } \\ & { = ( a ^ { 2 } s w - 2 r _ { 1 } s _ { 1 } t _ { 1 } w _ { 1 } a + r t ) + ( s t + 2 r _ { 1 } s _ { 1 } t _ { 1 } w _ { 1 } + r w ) a } \\ & { = ( a ^ { 2 } s _ { 1 } ^ { 2 } w _ { 1 } ^ { 2 } - 2 r _ { 1 } s _ { 1 } t _ { 1 } w _ { 1 } a + r _ { 1 } ^ { 2 } t _ { 1 } ^ { 2 } ) + ( s _ { 1 } ^ { 2 } t _ { 1 } ^ { 2 } + 2 r _ { 1 } s _ { 1 } t _ { 1 } w _ { 1 } + r _ { 1 } ^ { 2 } w _ { 1 } ^ { 2 } ) a } \\ & { = ( a s _ { 1 } w _ { 1 } - r _ { 1 } t _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( s _ { 1 } t _ { 1 } + r _ { 1 } w _ { 1 } ) ^ { 2 } a . } \end{array}
| \textrm { R H F } \rangle = \frac { 1 } { 2 } ( \hat { a } _ { L \uparrow } ^ { \dag } + \hat { a } _ { R \uparrow } ^ { \dag } ) ( \hat { a } _ { L \downarrow } ^ { \dag } + \hat { a } _ { R \downarrow } ^ { \dag } ) | \theta \rangle .
\begin{array} { r l r } & { } & { | y ( \zeta _ { t } ) - y ( t ) | } \\ & { } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { [ \frac { t } { \tau } ] + 1 } | y ( \zeta _ { t } ) - y ( t ) | \mathbb { I } _ { \Omega _ { k , \tau } } + \sum _ { k = 1 } ^ { [ \frac { t } { \tau } ] + 1 } | y ( \zeta _ { t } ) - y ( t ) | \mathbb { I } _ { \Omega _ { k } \setminus \Omega _ { k , \tau } } } \\ & { } & { \leq \int _ { t - \tau } ^ { t } | x _ { 2 } ( s ) | d s + L _ { 1 } \int _ { t - \tau } ^ { t } | x _ { 1 } ( s ) | d s + \kappa _ { 1 } r ^ { - ( n + \frac { 1 } { 2 } ) } . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \mathbb { E } _ { n } [ \langle \mathcal { N } ^ { n } ( \overrightarrow { \varphi } ) \rangle _ { t } ] = t \| \partial _ { x } \varphi _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \frac { 2 \lambda ^ { 2 } + 1 } { 2 } t \| \partial _ { x } \varphi _ { 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + 2 \lambda t \langle \partial _ { x } \varphi _ { 1 } , \partial _ { x } \varphi _ { 2 } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } .
F ( x , y , z ) = \det \left( \mathbf { x } , \mathbf { f } _ { 2 } , \mathbf { f } _ { 3 } \right) ^ { 2 } + \det \left( \mathbf { f } _ { 1 } , \mathbf { x } , \mathbf { f } _ { 3 } \right) ^ { 2 } + \det \left( \mathbf { f } _ { 1 } , \mathbf { f } _ { 2 } , \mathbf { x } \right) ^ { 2 } - \det \left( \mathbf { f } _ { 1 } , \mathbf { f } _ { 2 } , \mathbf { f } _ { 3 } \right) ^ { 2 } = 0
I = \int d x ( \Omega ^ { \prime } \rho ^ { \prime } + \frac { 3 } { 4 } e ^ { 2 \rho } \Omega ^ { - 1 / 3 } - \frac { 1 } { 4 } \Omega f ^ { \prime 2 } - \frac { 1 } { 4 } \Omega f _ { 1 } ^ { \prime 2 } - \frac { 1 } { 4 } \Omega f _ { 2 } ^ { \prime 2 } - \frac { 1 } { 4 } \Omega f _ { 1 } ^ { \prime } f _ { 2 } ^ { \prime }