harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } } \left[ \left. \exp \left\lbrace \int _ { t } ^ { T } i \upsilon \psi _ { u } ^ { \lambda } ( T , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 4 } ) d g _ { u } ^ { \lambda } \right\rbrace \right\rvert { \mathcal F } _ { t } \right] } \\ & { \ \ = \exp \left\lbrace \int _ { t } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( e ^ { i \upsilon \psi _ { u } ^ { \lambda } ( T , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 4 } ) y } - 1 \right) \varphi _ { \lambda } ( y ) d y d u \right\rbrace } \\ & { \ \ = \exp \left\lbrace - \gamma _ { \tau } \int _ { t } ^ { T } \log \left( 1 + \frac { \gamma _ { \lambda } } { c _ { \tau } } \log \left( 1 - \frac { i } { c _ { \lambda } } \upsilon \psi _ { u } ^ { \lambda } ( T , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 4 } ) \right) \right) d u \right\rbrace } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \tilde { Z } _ { \mathrm { b o o t } } > x | \mathcal { F } _ { n } ) } & { \leq 1 - \prod _ { z \in \mathbb { B } } ( 1 - b ^ { - 1 } c _ { z } ^ { 2 } C _ { \kappa } \exp ( - x ^ { 2 } / 2 ) - 2 ( 1 - \Phi ( x ) ) ) + o _ { \mathbb { P } } ( 1 ) , } \\ & { \leq 1 - ( 1 - b ^ { - 1 } ( c ^ { * } ) ^ { - 1 } C _ { \kappa } \exp ( - x ^ { 2 } / 2 ) - 2 ( 1 - \Phi ( x ) ) ) ^ { | \mathbb { B } | } + o _ { \mathbb { P } } ( 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { i } \hbar \frac { \mathrm { ~ d ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } t } \mathcal { G } _ { \mathbf { k p q } } ^ { \alpha \beta } ( t ) - \left[ h ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } , ( 2 ) } ( t ) , \mathcal { G } ( t ) \right] _ { \mathbf { k p q } } ^ { \alpha \beta } } & { { } = \Psi _ { \mathbf { k p q } } ^ { \pm , \alpha \beta } ( t ) + \Pi _ { \mathbf { k p q } } ^ { \alpha \beta } ( t ) \, , } \end{array}
V _ { y } = { \frac { { x ^ { 7 } } } { 3 } } - 3 \, { x ^ { 6 } } \, { y ^ { 2 } } + 5 \, { x ^ { 5 } } \, { y ^ { 4 } } - 6 \, { x ^ { 3 } } \, { y ^ { 5 } } + { \frac { 7 \, x \, { y ^ { 6 } } } { 3 } } = 0
- \Delta \epsilon ( T _ { t } ) = ( 1 - \sqrt [ 3 ] { \frac { z _ { 0 } ^ { 2 } } { \eta } } ) \frac { k _ { 1 } t ^ { 2 } ( 1 + \nu ) } { 1 2 r ^ { 2 } } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 r ^ { 2 } } ( \sqrt [ 3 ] { \eta ^ { 2 } z _ { 0 } ^ { 2 } } - z _ { 0 } ^ { 2 } ) .
D _ { i j , k l } ^ { a b , c d } = { \frac { Q } { N \sum _ { b = 0 } ^ { K - 1 } \tilde { B } ( b ) } } \sum _ { \tilde { m } = 0 } ^ { P - 1 } \tilde { B } ( i - j - Q \tilde { m } ) \mathrm { e } ^ { i { \frac { 2 \pi } { K } } ( a - c ) ( i - j - Q \tilde { m } ) } \delta _ { a b } \delta _ { c d } \delta _ { i l } \delta _ { j k } .
\begin{array} { r l } { \widetilde { X } ^ { ( k ) } ( x ) } & { : = k \int _ { 0 } ^ { x } \widetilde { X } ^ { ( k - 1 ) } ( s ) \left( f ^ { 2 } ( s ) \right) ^ { ( - 1 ) ^ { k - 1 } } d s , } \\ { X ^ { ( k ) } ( x ) } & { : = k \int _ { 0 } ^ { x } X ^ { ( k - 1 ) } ( s ) \left( f ^ { 2 } ( s ) \right) ^ { ( - 1 ) ^ { k } } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n + 1 } \sum _ { i = n + 1 } ^ { 2 n + 1 } \left| S _ { i } - \widetilde { S } _ { i } \right| } & { = \frac { 1 } { n + 1 } \sum _ { i = n + 1 } ^ { 2 n + 1 } \left| \hat { F } _ { Y | X , Z } ( Y _ { i } | X _ { i } , \hat { Z } _ { i } ) - F _ { Y | X , Z } ( Y _ { i } \ | \ X _ { i } , Z _ { i } ) \right| } \\ { \leq \ } & { \ \frac { 1 } { n + 1 } \sum _ { i = n + 1 } ^ { 2 n + 1 } \left| \hat { F } _ { Y | X , Z } ( Y _ { i } \ | \ X _ { i } , \hat { Z } _ { i } ) - \tilde { F } _ { Y | X , Z } ( Y _ { i } \ | \ X _ { i } , Z _ { i } ) \right| } \\ & { + \frac { 1 } { n + 1 } \sum _ { i = n + 1 } ^ { 2 n + 1 } \left| \tilde { F } _ { Y | X , Z } ( Y _ { i } \ | \ X _ { i } , Z _ { i } ) - F _ { Y | X , Z } ( Y _ { i } \ | \ X _ { i } , Z _ { i } ) \right| } \\ { \leq \ } & { \ \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n + 1 } \left| \hat { F } _ { Y | X , Z } ( Y _ { n + i } \ | \ X _ { n + i } , \hat { Z } _ { n + i } ) - \hat { F } _ { Y | X , Z } ( Y _ { n + i } \ | \ X _ { n + i } , Z _ { n + i } ) \right| } \\ & { + n \cdot \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq r \leq n } \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n + 1 } \left| \hat { F } _ { Y | X , Z } ^ { ( r ) } ( Y _ { n + i } \ | \ X _ { n + i } , Z _ { n + i } ) - \hat { F } _ { Y | X , Z } ^ { ( r - 1 ) } ( Y _ { n + i } \ | \ X _ { n + i } , Z _ { n + i } ) \right| } \\ & { + \frac { 1 } { n + 1 } \sum _ { i = n + 1 } ^ { 2 n + 1 } \left| \tilde { F } _ { Y | X , Z } ( Y _ { n + i } \ | \ X _ { n + i } , Z _ { n + i } ) - F _ { Y | X , Z } ( Y _ { n + i } \ | \ X _ { n + i } , Z _ { n + i } ) \right| } \\ { = \ } & { \ o _ { P } ( 1 ) } \end{array}
I _ { L } ( p ) = ( - i ) ^ { n + 1 } \int q . d ^ { 2 \omega } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \alpha _ { 1 } \cdots d \alpha _ { n } d \beta \cdot q ^ { - } . e ^ { i [ \sum _ { 1 } ^ { n } \alpha _ { i } f _ { i } ( q , p ) + \beta q ^ { + } q ^ { - } ] } .
\begin{array} { r l } & { D _ { s } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { r } _ { 1 } , t _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , t _ { 2 } ; \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime } } ^ , t _ { 1 ^ { \prime } } ^ , \mathbf { r } _ { 2 ^ { \prime } } ^ , t _ { 2 ^ { \prime } } ^ ; \mathbf { r } _ { 2 ^ { \prime \prime } } ^ , t _ { 2 ^ { \prime \prime } } ^ , \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ , t _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ ) } \\ & { = D _ { s } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { 1 } , t _ { 1 } ; \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime } } ^ , t _ { 1 ^ { \prime } } ^ ) D _ { s } ^ { ( 1 ) , * } ( \mathbf { r } _ { 1 } , t _ { 1 } ; \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ , t _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ ) \times D _ { s } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { 2 } , t _ { 2 } ; \mathbf { r } _ { 2 ^ { \prime } } ^ , t _ { 2 ^ { \prime } } ^ ) D _ { s } ^ { ( 1 ) , * } ( \mathbf { r } _ { 2 } , t _ { 2 } ; \mathbf { r } _ { 2 ^ { \prime \prime } } ^ , t _ { 2 ^ { \prime \prime } } ^ ) } \\ & { + D _ { s } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { 1 } , t _ { 1 } ; \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime } } ^ , t _ { 1 ^ { \prime } } ^ ) D _ { s } ^ { ( 1 ) , * } ( \mathbf { r } _ { 1 } , t _ { 1 } ; \mathbf { r } _ { 2 ^ { \prime \prime } } ^ , t _ { 2 ^ { \prime \prime } } ^ ) \times D _ { s } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { 2 } , t _ { 2 } ; \mathbf { r } _ { 2 ^ { \prime } } ^ , t _ { 2 ^ { \prime } } ^ ) D _ { s } ^ { ( 1 ) , * } ( \mathbf { r } _ { 2 } , t _ { 2 } ; \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ , t _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ ) } \\ & { + D _ { s } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { 1 } , t _ { 1 } ; \mathbf { r } _ { 2 ^ { \prime } } ^ , t _ { 2 ^ { \prime } } ^ ) D _ { s } ^ { ( 1 ) , * } ( \mathbf { r } _ { 1 } , t _ { 1 } ; \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ , t _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ ) \times D _ { s } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { 2 } , t _ { 2 } ; \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime } } ^ , t _ { 1 ^ { \prime } } ^ ) D _ { s } ^ { ( 1 ) , * } ( \mathbf { r } _ { 2 } , t _ { 2 } ; \mathbf { r } _ { 2 ^ { \prime \prime } } ^ , t _ { 2 ^ { \prime \prime } } ^ ) } \\ & { + D _ { s } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { 1 } , t _ { 1 } ; \mathbf { r } _ { 2 ^ { \prime } } ^ , t _ { 2 ^ { \prime } } ^ ) D _ { s } ^ { ( 1 ) , * } ( \mathbf { r } _ { 1 } , t _ { 1 } ; \mathbf { r } _ { 2 ^ { \prime \prime } } ^ , t _ { 2 ^ { \prime \prime } } ^ ) \times D _ { s } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { 2 } , t _ { 2 } ; \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime } } ^ , t _ { 1 ^ { \prime } } ^ ) D _ { s } ^ { ( 1 ) , * } ( \mathbf { r } _ { 2 } , t _ { 2 } ; \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ , t _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( x _ { \pi } ( t ) , t ) } & { \le P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) + \| P ( x _ { \pi } ( t ) , t ) - P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) \| } \\ & { \le P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) + L _ { P x } \| x _ { \pi } ( t ) - x ^ { 0 } \| + L _ { P t } | t - t _ { 0 } | } \\ & { \le P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) + \sqrt { \varepsilon \gamma { M _ { F } } } e ^ { L _ { f x } \varepsilon } c _ { u } M _ { f } L _ { P x } ^ { 3 / 2 } + \varepsilon L _ { P t } , } \end{array}
+ \chi _ { 2 } ^ { h } E _ { \mu \nu } - \frac { 1 - y } { x _ { 1 } } E _ { \mu \nu } ( Q , h ) \bigr ] \ , \ \ N ^ { h } = \chi _ { 1 } + \chi _ { 2 } ^ { h } \ , \ \ \chi _ { 1 } = \frac { 2 p _ { 1 } h } { t _ { 1 } } \ , \ \ \chi _ { 2 } ^ { h } = \frac { 2 p _ { 2 } h } { s _ { 1 } } \ ,
\begin{array} { r l } { g ( Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } ) \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > R \} } } & { \leq \left( g ( Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } ) + \bar { c } ^ { \prime } \eta _ { k } ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \log \eta _ { k } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \right) \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > R \} } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Omega ^ { ( 0 ) } } & { { } = } & { V _ { \mathrm { r e f } } - \sum _ { i } ^ { m } \frac { \omega _ { i } } { 2 } - \frac { 1 } { \beta } \sum _ { i } ^ { m } \ln f _ { i } , } \\ { U ^ { ( 0 ) } } & { { } = } & { V _ { \mathrm { r e f } } + \sum _ { i } ^ { m } \omega _ { i } ( f _ { i } + 1 / 2 ) , } \\ { S ^ { ( 0 ) } } & { { } = } & { k _ { \mathrm { B } } \sum _ { i } ^ { m } \left\{ - f _ { i } \ln f _ { i } + \left( f _ { i } + 1 \right) \ln \left( f _ { i } + 1 \right) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { l } { \; \; \; { \frac { d } { d x } } { \frac { 1 } { x } } } \\ { = { \frac { d } { d } } { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } } \\ { = { \frac { d \! \! \! \backslash } { d \! \! \! \backslash } } { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } } \\ { = - { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } } \end{array}
P ( t \, ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) \in \{ S _ { 2 } \cup S _ { 3 } \} ) = P ( t \, ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) \in S _ { 2 } ) + P ( t \, ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) \in S _ { 3 } )
\begin{array} { r } { \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ( x , y , t ) \sim - A ( t ) \left\{ \mathbf { e } _ { x } \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } - \frac { 2 ( x - t ) ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } \right] + \mathbf { e } _ { y } \left[ - \frac { 2 ( x - t ) y } { r ^ { 4 } } \right] \right\} , } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } ) + \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } - \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } }
\frac { d } { d t } \left\Vert \psi \left( t \right) \right\Vert ^ { 2 } = \frac { d } { d t } \langle \hat { 1 } \rangle = \frac { 1 } { i \hbar } \langle \lbrack \hat { 1 } , \hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \psi ) ] \rangle = 0 ,
\mathrm { ~ a ( \bar { a } ) ~ - b r a n c h } : \left[ - \frac { \Lambda } { 2 } + K , \frac { \Lambda } { 2 } - K \right] , \; \; \; \mathrm { ~ b ( \bar { b } ) ~ - b r a n c h } : \left[ - \frac { \Lambda } { 2 } - K , \frac { \Lambda } { 2 } + K \right] .
C _ { D } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 4 } { \mathrm { R e } _ { p } } \left[ \, 1 + 0 . 1 5 \mathrm { R e } _ { p } ^ { 0 . 6 8 7 } \, \right] } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; \mathrm { R e } _ { p } \leq 1 0 0 0 , } \\ { 0 . 4 4 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; \mathrm { R e } _ { p } \geq 1 0 0 0 . } \end{array} \right.
\mu ^ { \prime \rho } = - \left( \partial _ { \sigma } \eta ^ { * \alpha ( \rho ) } \right) B _ { \alpha } ^ { \; ( \sigma ) } + \eta ^ { * \alpha ( \sigma ) } \partial _ { \sigma } B _ { \alpha } ^ { \; ( \rho ) } + \varepsilon ^ { \alpha \beta \gamma \delta } A _ { \alpha \beta } ^ { * \; \; ( \sigma ) } \partial _ { \sigma } A _ { \gamma \delta } ^ { * \; \; ( \rho ) } ,
e ^ { - T } \mathcal { F } _ { K } e ^ { T } = \mathcal { F } _ { K } + [ \mathcal { F } _ { K } , T ] , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad [ \mathcal { F } _ { K } , X _ { \alpha } ] = \varepsilon _ { \alpha } X _ { \alpha } ,
s _ { n } ( \ensuremath { \mathbf { y } } ; \ensuremath { \mathbf { x } } , \boldsymbol { \lambda } , \mathbf { l } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lambda _ { i } \phi \left( r ( \ensuremath { \mathbf { y } } , \ensuremath { \mathbf { x } } _ { i } , \textbf { l } ) \right) ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol \rho ( t _ { k + 1 } ) \approx \boldsymbol \rho _ { k + 1 } } & { = \mathrm { e } ^ { \tau _ { k + 1 } A _ { \mathrm { F } } ( t _ { k } ) } \boldsymbol \rho _ { k } + \tau _ { k + 1 } \varphi _ { 1 } ( \tau _ { k + 1 } A _ { \mathrm { F } } ( t _ { k } ) ) \boldsymbol g _ { \mathrm { F } } ^ { k } ( t _ { k } , \boldsymbol \rho _ { k } ) } \\ & { = \mathrm { e } ^ { \tau _ { k + 1 } A _ { \mathrm { F } } ( t _ { k } ) } \boldsymbol \rho _ { k } + \tau _ { k + 1 } \varphi _ { 1 } ( \tau _ { k + 1 } A _ { \mathrm { F } } ( t _ { k } ) ) \boldsymbol g _ { \mathrm { F } } ( t _ { k } , \boldsymbol \rho _ { k } ) , } \end{array}
\bar { Y } _ { i } = \frac { \langle F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { \kappa } , F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \rangle _ { L _ { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } - \mathbb { E } ( \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { [ \eta _ { k } + 1 , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ) } { \mathbb { E } ( \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } .
\begin{array} { r l } & { \pi _ { \bigstar } ^ { C _ { 2 ^ { n } } } H ^ { h } = \mathbb { F } _ { 2 } [ a _ { \alpha } , u _ { \alpha } ^ { \pm } ] \quad \mathrm { i f ~ n = 1 ~ } } \\ & { \pi _ { \bigstar } ^ { C _ { 2 ^ { n } } } H ^ { h } = \mathbb { F } _ { 2 } [ a _ { \alpha } , a _ { \lambda _ { 0 } } ] / ( a _ { \alpha } ^ { 2 } ) [ u _ { \alpha } ^ { \pm } , u _ { \lambda _ { 0 } } ^ { \pm } , \cdots , u _ { \lambda _ { n - 2 } } ^ { \pm } ] \quad \mathrm { i f ~ n \geq ~ 2 ~ } . } \end{array}
< \mathrm { t r } [ A _ { \mu } , A _ { \nu } ] ^ { 2 } > \simeq 2 { < \mathrm { t r } [ X _ { \mu } , \tilde { A } _ { \nu } ] [ X _ { \mu } , \tilde { A } _ { \nu } ] > - < \mathrm { t r } [ X _ { \mu } , \tilde { A } _ { \nu } ] [ X _ { \nu } , \tilde { A } _ { \mu } ] > } .
\begin{array} { r l } { \tilde { \psi } _ { n _ { i } } ( R , \mathbf { r } ) } & { { } = - u _ { 0 n _ { i } } ( R ) \phi _ { n _ { i } } ( \mathbf { r } ) + u _ { 1 n _ { i } } ( R ) \phi _ { n _ { i } } ( \mathbf { r } ) } \\ { \tilde { \psi } _ { n _ { f } } ( R , \mathbf { r } ) } & { { } = - u _ { 0 n _ { f } } ( R ) \phi _ { n _ { f } } ( \mathbf { r } ) + u _ { 1 n _ { f } } ( R ) \phi _ { n _ { f } } ( \mathbf { r } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { h _ { \hphantom { ( } k } ^ { ( d _ { r } ) } } & { = \frac { 1 } { \delta x ^ { d _ { r } } } ( i \tilde { \eta } ) ^ { d _ { r } } h _ { \hphantom { ( } k } ^ { ( 0 ) } , } & { ( i \tilde { \eta } ) ^ { d _ { r } } } & { : = \left( \boldsymbol { \alpha } ^ { ( d _ { r } ) } \cdot \mathbf { E } ^ { ( d _ { r } ) } \right) ^ { - 1 } \sum _ { I \in \mathcal { I } } ( i \eta ) ^ { d _ { I } } \boldsymbol { \alpha } ^ { ( d _ { I } ) } \cdot \mathbf { E } ^ { ( d _ { I } ) } . } \end{array}
\widehat { R } _ { i \: \nu \rho \sigma } ^ { \mu } = \kappa _ { i \: \rho } ^ { \mu } \kappa _ { \nu \sigma } ^ { i } - \kappa _ { i \: \sigma } ^ { \mu } \kappa _ { \nu \rho } ^ { i } + h _ { i \: \nu } ^ { \alpha } h _ { i \: \rho } ^ { \beta } h _ { i \: \sigma } ^ { \gamma } R _ { \: \: \alpha \beta \gamma } ^ { \mu }
\begin{array} { r } { V _ { \mathrm { B E } } = \sum _ { B } \sum _ { p , q } ( \lambda _ { B } ^ { ( A ) } ) _ { p q } a _ { p } ^ { ( A ) \dagger } a _ { q } ^ { ( A ) } + \mu \sum _ { p ^ { \prime } } a _ { p ^ { \prime } } ^ { ( A ) \dagger } a _ { p ^ { \prime } } ^ { ( A ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { \mu \nu } ^ { \beta } ( x , x ^ { \prime } ) = g _ { \mu \nu } \int _ { C _ { 1 } } \frac { d ^ { 4 } K } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { e ^ { \mathrm { i } K ( x - x ^ { \prime } ) } } { K ^ { 2 } } n _ { \beta } ( E _ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi _ { 3 } = \int _ { 4 . 8 \mathrm { ~ e ~ V ~ } } ^ { 1 3 . 6 \mathrm { ~ e ~ V ~ } } \frac { F _ { \nu } } { h \nu } \sigma _ { 3 } ( \nu ) d \nu \approx \frac { F _ { \overline { { \nu } } } } { \overline { { h \nu } } } \sigma _ { 3 } ( \overline { { \nu } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { 2 } } & { { } = \mathbb { K } ^ { \prime } V _ { 4 } } \\ { V _ { 3 } } & { { } = \alpha _ { 2 } V _ { 1 } + \beta V _ { 2 } } \\ { V _ { 4 } } & { { } = \beta V _ { 1 } + \alpha _ { 1 } V _ { 2 } } \end{array}
{ \cal S } = { \cal S } ( A _ { \mu } ^ { p } , B _ { \mu \nu } ^ { p } ) = \int { d ^ { 4 } } x \{ - \frac { 1 } { 4 } { \varepsilon } ^ { \mu \nu \rho \sigma } G _ { \mu \nu } ^ { p } B _ { \rho \sigma } ^ { p } + \frac { 1 } { 2 } A _ { \mu } ^ { p } A ^ { p \mu } \} ,
{ \cal S } _ { \mathrm { p r o b e } } = - M _ { 1 } \int d ^ { 2 } \sigma \left[ \frac { R _ { 9 } } { \sqrt { 2 \alpha ^ { \prime } } } - \frac { R _ { 9 } ^ { 2 } } { 2 \alpha ^ { \prime } } \frac { Q _ { 1 } } { r ^ { 2 } } + \frac { 2 V } { ( 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \frac { Q _ { 1 } } { r ^ { 2 } } \right] .
\left\{ \begin{array} { r l l l } { ^ { ^ { R L } } \mathcal { D } _ { T ^ { - } } ^ { ^ \alpha } \psi _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) } & { = } & { \left( \partial _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } + \partial _ { x _ { 2 } } ^ { 2 } \right) \psi _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) } & { ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) \in Q _ { T } , } \\ & & { - \delta _ { ( b _ { 1 } , b _ { 2 } ) } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \left( \mathcal { S } _ { \alpha } ( t ) \displaystyle \sum _ { s = 1 } ^ { 2 } \partial _ { x _ { s } } ( \chi _ { _ \omega } ^ { * } h _ { s } ) \right) ( b _ { 1 } , b _ { 2 } ) , } & { \alpha \in ] 0 , 1 ] , } \\ { \psi _ { 2 } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } , t ) } & { = } & { 0 , } & { ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } , t ) \in \Sigma _ { T } , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow T ^ { - } } \mathcal { I } _ { _ { T ^ { - } } } ^ { ^ { 1 - \alpha } } \psi _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) } & { = } & { 0 , } & { ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in \Omega . } \end{array} \right.
S ^ { a } ( z ) S ^ { b } ( w ) = \frac { - \frac { 1 } { 2 } k _ { 0 } \ell ^ { 2 } \eta ^ { a b } } { ( z - w ) ^ { 2 } } + \frac { f _ { ~ ~ c } ^ { a b } S ^ { c } ( w ) } { ( z - w ) } + \cdots ,
\left[ \partial _ { x _ { 0 } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { x _ { 0 } } \partial _ { x _ { 0 } } + 4 \partial _ { + } \partial _ { - } - \frac { L ( L + 2 ) } { x _ { 0 } ^ { 2 } } \right] \phi = 0
\begin{array} { r l } { = } & { { } \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \int \prod _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \big \langle \mathbf { x } _ { \left( k + 1 \right) \varepsilon } \big \vert \mathbf { U } _ { \varepsilon } ^ { \left( n \right) } \big \vert \mathbf { x } _ { k \varepsilon } \big \rangle \mathsf { d } \mathbf { x } _ { \varepsilon } \cdots \mathsf { d } \mathbf { x } _ { \left( N - 1 \right) \varepsilon } , } \end{array}
E ( p ) w _ { 1 } \cdot w _ { 1 } + 2 F ( p ) w _ { 1 } \cdot w _ { 2 } + G ( p ) w _ { 2 } \cdot w _ { 2 } = E ( \varphi ( p ) ) \varphi ^ { \prime } ( w _ { 1 } ) \cdot \varphi ^ { \prime } ( w _ { 1 } ) + 2 F ( \varphi ( p ) ) \varphi ^ { \prime } ( w _ { 1 } ) \cdot \varphi ^ { \prime } ( w _ { 2 } ) + G ( \varphi ( p ) ) \varphi ^ { \prime } ( w _ { 1 } ) \cdot \varphi ^ { \prime } ( w _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \lambda \Phi ^ { e } } & { { } = - \frac { \mu \sigma ^ { 4 } } { 2 } \Delta \Phi ^ { e } - V [ m ^ { e } ] \Phi ^ { e } + \gamma \mu \sigma ^ { 2 } \Phi ^ { e } \log { \Phi ^ { e } } , } \\ { - \lambda \Gamma ^ { e } } & { { } = \frac { \mu \sigma ^ { 4 } } { 2 } \Delta \Gamma ^ { e } + V [ m ^ { e } ] \Gamma ^ { e } - \gamma \mu \sigma ^ { 2 } \Gamma ^ { e } \log { \Phi ^ { e } \Gamma ^ { e } } + \gamma \mu \sigma ^ { 2 } \Gamma ^ { e } \log { \Gamma ^ { e } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { n _ { i } = 1 + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { m } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } n _ { i l } ^ { ( m ) } ( \xi , \eta , \zeta , \tau ) e ^ { i ( k z - \omega t ) l } , } \\ & { u _ { i } = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { m + 1 } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } u _ { i l } ^ { ( m ) } ( \xi , \eta , \zeta , \tau ) e ^ { i ( k z - \omega t ) l } , } \\ & { v _ { i } = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { m + 1 } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } v _ { i l } ^ { ( m ) } ( \xi , \eta , \zeta , \tau ) e ^ { i ( k z - \omega t ) l } , } \\ & { w _ { i } = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { m } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } w _ { i l } ^ { ( m ) } ( \xi , \eta , \zeta , \tau ) e ^ { i ( k z - \omega t ) l } , } \\ & { \Psi = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { m } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } \Psi _ { l } ^ { ( m ) } ( \xi , \eta , \zeta , \tau ) e ^ { i ( k z - \omega t ) l } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 4 } \frac { d \theta } { d \tilde { Z } } } & { { } = - \frac { B } { 2 } \mu _ { p } \sin \theta \sin 2 \phi } \\ { \frac { d \phi } { d \tilde { Z } } } & { { } = - \frac { B } { 2 } \cos \theta \left( \mu _ { p } \cos 2 \phi - \mu _ { s } + \mu _ { i } \right) . } \end{array}
\small \begin{array} { r l } & { D _ { \mathrm { C S } } ( p ( \mathbf { y } | \mathbf { x } _ { 1 } ) ; p ( \mathbf { y } | \{ \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } \} ) \approx \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { 1 } L _ { j i } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { 1 } ) ^ { 2 } } \right) \right) } \\ & { + \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { 1 2 } L _ { j i } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { 1 2 } ) ^ { 2 } } \right) \right) - 2 \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { 1 } L _ { j i } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { 1 } ) ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { 1 2 } ) } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { 2 i } } & { = \langle u _ { 2 } , x _ { i } \rangle , \quad \rho _ { 2 i } = \langle v _ { 2 } , y _ { i } \rangle = \langle w _ { 2 } , z _ { i } \rangle , \quad \kappa = \langle u _ { 1 } , u _ { 2 } \rangle , \quad \eta = \langle v _ { 1 } , v _ { 2 } \rangle = \langle w _ { 1 } , w _ { 2 } \rangle } \end{array}
\delta _ { s t a t + g N L } ( E ) \approx \delta _ { s t a t } ( E ) \sqrt { \frac { 1 } { N _ { p } - 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { p } } \frac { \Delta _ { k } ^ { 2 } } { \delta _ { s t a t , k } ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { H _ { 1 } ( t ) / \hbar } & { { } = \sum _ { m , n = - \infty } ^ { \infty } t _ { m } \cos ( \omega t + \phi ) ( e ^ { i m \omega _ { B } t } \hat { c } _ { m + n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } + e ^ { - i m \omega _ { B } t } \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { m + n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { \scriptscriptstyle \mathbf G \mathbf G ^ { \prime } } ^ { \mathrm { R P A } } ( \mathbf k , \omega ) } & { { } = \chi _ { \scriptscriptstyle \mathbf G \mathbf G ^ { \prime } } ^ { 0 } ( \mathbf k , \omega ) } \end{array}
\begin{array} { l l } { { L _ { \Sigma + } } } & { { = \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } \bigg [ - \frac { 1 } { 4 A } ( B \Sigma _ { \mu \nu } ^ { + a b } + E G _ { \mu \nu } ^ { + a b } ) ( B \Sigma _ { \rho \sigma a b } ^ { + } + E G _ { \rho \sigma a b } ^ { + } ) } } \\ { { } } & { { + C \Sigma _ { \mu \nu } ^ { + a b } \Sigma _ { \rho \sigma a b } ^ { + } + E G _ { \mu \nu } ^ { + a b } ( \partial _ { \rho } \omega _ { \sigma a b } ^ { + } - \partial _ { \sigma } \omega _ { \rho a b } ^ { + } + { \frac { 1 } { 2 } } f _ { [ a b ] } ^ { [ c d ] [ e f ] } \omega _ { \rho c d } \omega _ { \sigma e f } \bigg ) \bigg ] . } } \end{array}