harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \left\vert \theta _ { i } ^ { d } ( x _ { i } ^ { d } ; t ) - \left( 1 - \frac { t ^ { 2 } } { 2 d } v ( x _ { i } ^ { d } ) \right) \right\rvert \leq \mathbb { E } \left[ \frac { \vert t \vert ^ { 3 } } { d ^ { 3 / 2 } } \frac { \vert W _ { i } \vert ^ { 3 } } { 3 ! } \wedge \frac { 2 \vert t \vert ^ { 2 } } { d } \frac { \vert W _ { i } \vert ^ { 2 } } { 2 ! } \right] } \\ & { \qquad \leq \mathbb { E } \left[ \frac { \vert t \vert ^ { 3 } } { d ^ { 3 / 2 } } \frac { \vert W _ { i } \vert ^ { 3 } } { 3 ! } ; \vert W _ { i } \vert \leq d ^ { 1 / 2 } \varepsilon \right] + \frac { t ^ { 2 } } { d } \mathbb { E } \left[ \vert W _ { i } \vert ^ { 2 } ; \vert W _ { i } \vert > d ^ { 1 / 2 } \varepsilon \right] } \\ & { \qquad \leq \frac { \varepsilon \vert t \vert ^ { 3 } } { 6 d } \mathbb { E } \left[ \vert W _ { i } \vert ^ { 2 } \right] + \frac { t ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 2 } d ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ \vert W _ { i } \vert ^ { 4 } \right] \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \frac { \psi _ { 0 } ( a + b + k + m ) } { a + k } + \sum _ { k = 1 } ^ { m } \frac { \psi _ { 0 } ( a + b + k + m ) } { b + k } } \\ & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { b + m } \frac { \psi _ { 0 } ( a + k ) } { k } + \sum _ { k = 1 } ^ { a + m } \frac { \psi _ { 0 } ( b + k ) } { k } + \mathrm { C F } . } \\ & { = } & { \Phi _ { b + m , a } + \Phi _ { a + m , b } + \mathrm { C F } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } ( Y ) = } & { { } \bigg [ \Lambda _ { R _ { 1 } } + \Lambda _ { Q _ { 0 } } \log { ( 1 + Y ) } + \frac { \Lambda _ { R _ { 0 } } } { Y ^ { 2 } } + \frac { \Lambda _ { R _ { 0 } } } { 4 } \log ^ { 2 } { ( 1 + Y ) } + } \end{array}
\Delta _ { \alpha } = \sum _ { ( g _ { o } , h _ { o } ) \in { \cal O } } b _ { a } ^ { ( h _ { o } , g _ { o } ) } \int _ { \tilde { \cal F } } \frac { d ^ { 2 } \tau } { \tau _ { 2 } } Z _ { ( h _ { o } , g _ { o } ) } ( \tau , { \bar { \tau } } ) - b _ { a } ^ { n = 2 } \int _ { \cal F } \frac { d ^ { 2 } \tau } { \tau _ { 2 } } .
H _ { - } = - \frac { 1 } { 2 m } \frac { 1 } { \sqrt { g } } D _ { \mu } ^ { - } \sqrt { g } g ^ { \mu \nu } D _ { \nu } ^ { - } + \frac { 1 } { 2 m } { \mathcal { B } } ^ { - } ( x ) ,
\mu : = ( \otimes _ { \mathcal { C } } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ) _ { \star } : \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } \times \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } \nrightarrow \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } , \quad ( x , \overline { { y } } , \overline { { z } } ) \mapsto \ _ { \mathcal { C } } \langle y \otimes _ { \mathcal { C } } z , x \rangle
\begin{array} { r l } { \frac { ( t ^ { 2 n ( 2 n + 1 ) } - 1 ) ( t - 1 ) } { ( t ^ { 2 n } - 1 ) ( t ^ { 2 n + 1 } - 1 ) } = } & { \frac { t ^ { ( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 ) } + t ^ { ( 2 n - 2 ) ( 2 n + 1 ) } + \cdots + 1 } { t ^ { 2 n - 1 } + t ^ { 2 n - 2 } + \cdots + 1 } = } \\ { 1 + \sum _ { i = 0 } ^ { 2 n - 2 } \big ( t ^ { ( 2 n - i ) ( 2 n - 1 ) - i } } & { - t ^ { ( 2 n - i ) ( 2 n - 1 ) - 2 i - 1 } \big ) . } \end{array}
\theta = \frac { T - T _ { \mathrm { i n } } } { T _ { \mathrm { a d } } - T _ { \mathrm { i n } } } \in \{ 0 . 1 , \, 0 . 3 , \, 0 . 5 , \, 0 . 7 , \, 0 . 9 \}
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { C ^ { 0 } , S , R } } & { \leq C ( S , \gamma ) ( R ^ { - 1 / 2 } \| u \| _ { L ^ { 2 } , S \times [ R / 2 , 4 R ] } + R \| \eta _ { z _ { 0 } } \cdot \left( \mathscr { R } ( v ) + z ^ { - 1 } \mathscr { T } ( 0 ) \right) \| _ { C ^ { 0 } , S \times [ R / 2 , 4 R ] } ) } \\ & { \leq C ( S , \alpha , \gamma ) ( z _ { 0 } ^ { \gamma } + \delta _ { 0 } ) R ^ { \gamma } . } \end{array}
u ( x , t ) = u _ { s } ( t ) - \frac { 4 } { \pi } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( 2 n + 1 ) \pi } e ^ { - ( 2 n + 1 ) ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } / L ^ { 2 } t } \left( \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { ( 2 n + 1 ) ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } / L ^ { 2 } \tau } u _ { s } ^ { \prime } ( \tau ) d \tau + u _ { s } ( 0 ) - u _ { 0 } \right) \sin \left( \frac { ( 2 n + 1 ) \pi x } { L } \right) .
\, \, \equiv \, \, \, < K _ { T 1 2 } ( P _ { 0 } - h _ { 3 } ) > ( 1 - G _ { 0 1 } G _ { 0 2 } < K _ { T 1 2 } ( P _ { 0 } - h _ { 3 } ) > ) ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l r } { \frac { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } } { \hbar \omega _ { c } } } & { { } = } & { \frac { \hat { X } ^ { 2 } + \hat { P } ^ { 2 } } { 2 } + \sum _ { \boldsymbol { q } n } \tilde { \epsilon } _ { \boldsymbol { q } n } \frac { \hat { X } _ { \boldsymbol { q } n } ^ { 2 } + \hat { P } _ { \boldsymbol { q } n } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left[ \sum _ { \boldsymbol { q } n } \tilde { \xi } _ { \boldsymbol { q } n } \boldsymbol { e } _ { \boldsymbol { q } } \hat { X } _ { \boldsymbol { q } n } \right] ^ { 2 } - \hat { \boldsymbol { \pi } } \cdot \sum _ { \boldsymbol { q } n } \tilde { \xi } _ { \boldsymbol { q } n } \boldsymbol { e } _ { \boldsymbol { q } } \hat { X } _ { \boldsymbol { q } n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { n } ( p ) } & { = ( f _ { n - 1 } * f _ { n - 1 } ) ( p ) = \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi } \sigma _ { n - 1 } } \exp \left( - \frac { p ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { n - 1 } ^ { 2 } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { n } } \exp \left( - \frac { p ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { n } ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { T \cdot ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } ( \ell ) } \\ & { = ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } { \boldsymbol U } \Lambda ^ { 1 / 2 } ( { \boldsymbol V } ^ { T } ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } ( \ell ) ) } \\ & { \qquad + ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol V } \Lambda ^ { 1 / 2 } ( { \boldsymbol U } ^ { T } X ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } ( \ell ) ) } \\ & { \qquad + ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol V } \Lambda ^ { 1 / 2 } ( { \boldsymbol U } ^ { T } { \boldsymbol U } ) \Lambda ^ { 1 / 2 } ( { \boldsymbol V } ^ { T } ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } ( \ell ) ) } \\ & { = \sqrt { \lambda _ { \ell } } \langle { \boldsymbol v } ( \ell ) , ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } ( \ell ) \rangle ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } { \boldsymbol u } ( \ell ) } \\ & { \qquad + \lambda _ { \ell } \langle { \boldsymbol v } ( \ell ) , ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } ( \ell ) \rangle ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } ( \ell ) + { \boldsymbol \theta } _ { 2 } ( \ell ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } ^ { m } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Q _ { i } ^ { 2 } } + V _ { \mathrm { r e f } } + \sum _ { i } ^ { m } F _ { i } Q _ { i } + \frac { 1 } { 2 ! } \sum _ { i , j } ^ { m } F _ { i j } Q _ { i } Q _ { j } } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 3 ! } \sum _ { i , j , k } ^ { m } F _ { i j k } Q _ { i } Q _ { j } Q _ { k } + \frac { 1 } { 4 ! } \sum _ { i , j , k , l } ^ { m } F _ { i j k l } Q _ { i } Q _ { j } Q _ { k } Q _ { l } + \ldots , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \theta ( x ; q , a ) - \frac { x } { \varphi ( q ) } \right| } & { < \left( \frac { \log { x } } { 8 \pi \varphi ( q ) } + \left( 1 - \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \right) \frac { \log { q } } { 2 \pi } + \Omega _ { 3 } ( x _ { 0 } ) + 1 . 4 4 2 7 0 \right) \sqrt { x } \log { x } + \Omega _ { 2 } ( x _ { 0 } ) } \\ & { : = \left( \frac { \log { x } } { 8 \pi \varphi ( q ) } + \left( 1 - \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \right) \frac { \log { q } } { 2 \pi } + \Omega _ { 4 } ( x _ { 0 } ) \right) \sqrt { x } \log { x } + \Omega _ { 2 } ( x _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ddot { z } _ { t } \ddot { z } _ { t ^ { \prime } } + \frac { 1 } { \tau _ { c } } \ddot { z } _ { t } \dot { z } _ { t ^ { \prime } } + \frac { 1 } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \ddot { z } _ { t } z _ { t ^ { \prime } } + \frac { 1 } { \tau _ { c } } \dot { z } _ { t } \ddot { z } _ { t ^ { \prime } } + \frac { 1 } { \tau _ { c } ^ { 2 } } \dot { z } _ { t } \dot { z } _ { t ^ { \prime } } + \frac { 1 } { \tau _ { c } \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \dot { z } _ { t } { z } _ { t ^ { \prime } } + \frac { 1 } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } z _ { t } \ddot { z } _ { t ^ { \prime } } + \frac { 1 } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } \tau _ { c } } z _ { t } \dot { z } _ { t ^ { \prime } } + \frac { 1 } { \omega _ { 0 } ^ { 4 } } z _ { t } \, { z } _ { t ^ { \prime } } \, . } \end{array}
d s ^ { 2 } = { \frac { 1 } { \sqrt { H _ { p + r } H _ { p + s } } } } d s _ { p + 1 } ^ { 2 } - \sqrt { { \frac { H _ { p + r } } { H _ { p + s } } } } d s _ { s } ^ { 2 } - \sqrt { { \frac { H _ { p + s } } { H _ { p + r } } } } d s _ { r } ^ { 2 } - \sqrt { H _ { p + r } H _ { p + s } } d s _ { 9 - p - r - s } ^ { 2 } \ .
\begin{array} { r l } & { { { \sigma _ { p } } } ( \mathcal { U } _ { 4 } ^ { ( 4 ) } ) ( y , \eta ) } \\ { = } & { \sum _ { ( i , j , k , l ) \in \Sigma ( 4 ) } 2 ( 2 \pi ) ^ { - 3 } { { \sigma _ { p } } } ( Q _ { g } ) ( y , \eta , q , \zeta ) \mathcal { C } _ { 4 } ( \zeta ^ { ( i ) } , \zeta ^ { ( j ) } , \zeta ^ { ( k ) } , \zeta ^ { ( l ) } ) \prod _ { j = 1 } ^ { 4 } { { \sigma _ { p } } } ( v _ { j } ) ( q , \zeta ^ { ( j ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { P } _ { H } ( x ) , \mathcal { P } _ { H } ( x ) \rangle } & { = \beta ^ { 2 } \langle x - \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } \langle x , h _ { k } ^ { \prime } \rangle h _ { k } ^ { \prime } , x - \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } \langle x , h _ { k } ^ { \prime } \rangle h _ { k } ^ { \prime } \rangle } \\ & { = \beta ^ { 2 } ( 1 + \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } \langle x , h _ { k } ^ { \prime } \rangle ^ { 2 } - 2 \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } \langle x , h _ { k } ^ { \prime } \rangle ^ { 2 } ) } \\ & { = \beta ^ { 2 } ( 1 - \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } \langle x , h _ { k } ^ { \prime } \rangle ^ { 2 } ) = 1 ; } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { \sigma } } \\ { { f _ { 0 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { \mathrm { c o s } \theta _ { s } } } & { { - \mathrm { s i n } \theta _ { s } } } \\ { { \mathrm { s i n } \theta _ { s } } } & { { \mathrm { c o s } \theta _ { s } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { N _ { 3 } ^ { 3 } } } \\ { { \frac { N _ { 1 } ^ { 1 } + N _ { 2 } ^ { 2 } } { \sqrt 2 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { m = \ell : } & { { } \quad u _ { 1 } ( r = 0 ) = \partial _ { r } v _ { 1 } | _ { r = 0 } = 0 , } \\ { m = - \ell : } & { { } \quad \partial _ { r } u _ { 1 } | _ { r = 0 } = v _ { 1 } ( r = 0 ) = 0 , } \\ { | m | \neq \ell : } & { { } \quad u _ { 1 } ( r = 0 ) = v _ { 1 } ( r = 0 ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathbf { b } - \mathbf { A x } _ { k } \| } & { { } = \| \mathbf { b } - \mathbf { A } \left( \mathbf { x } _ { 0 } + \mathbf { V } _ { k } \mathbf { y } \right) \| } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \rho } _ { a a } } & { { } = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { i \omega _ { C } t } \rho _ { a e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { C } t } \rho _ { a e } - \Gamma _ { 1 } \rho _ { a a } } \\ { \dot { \rho } _ { a b } } & { { } = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { i \omega _ { C } t } \rho _ { b e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { P } t } \rho _ { a e } } \\ { \dot { \rho } _ { a c } } & { { } = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { i \omega _ { C } t } \rho _ { c e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { C } t } \rho _ { a e } } \\ { \dot { \rho } _ { a e } } & { { } = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { i \omega _ { C } t } \rho _ { e e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { C } t } \rho _ { a a } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { P } t } \rho _ { a b } } \\ { \dot { \rho } _ { b b } } & { { } = \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } e ^ { i \omega _ { P } t } \rho _ { b e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } e ^ { - i \omega _ { P } t } \rho _ { b e } - \Gamma _ { 2 } \rho _ { b b } } \end{array}
d { \cal B } ( B \to X _ { s } \ell ^ { + } \ell ^ { - } ) = { \cal B } _ { s l } \frac { d \Gamma ( B \to X _ { s } \ell ^ { + } \ell ^ { - } ) } { \Gamma ( B \to X _ { c } \ell \nu _ { \ell } ) } ,
\begin{array} { r l r } { r \frac { \partial \phi ( r , \cos \theta ) } { \partial r } _ { | _ { \cos \theta = 0 } } } & { { } = } & { \frac { 2 } { x } - \frac { 8 } { x ^ { 2 } } - \frac { 1 2 ( \alpha - 1 ) } { x ^ { 3 } } + \frac { 6 4 \alpha } { x ^ { 4 } } + \cdots } \end{array}
= \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } d t \, \left[ L \left( A _ { p } ^ { \prime } \right) - L \left( A _ { p } \right) \right] + \int _ { t _ { 2 } } ^ { t _ { 2 } ^ { \prime } } d t \, L \left( A _ { p } ^ { \prime } \right) - \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 1 } ^ { \prime } } d t \, L \left( A _ { p } ^ { \prime } \right)
\begin{array} { r } { \mathrm { R H S } ( z ^ { * } ) \leq \frac { \alpha U _ { 2 } ^ { 2 } / E } { 2 ( T + 1 ) } + \frac { 2 } { E T ( T + 1 ) } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { e = 1 } ^ { E } \Big \{ \frac { t } { \alpha ( t + 2 ) } \sum _ { p = 1 } ^ { P } \| f _ { p } ^ { \prime } ( z _ { p } ^ { t } ) + \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } + t \langle \tilde { \xi } ^ { t , e } , z ^ { * } - z ^ { t , e } \rangle \Big \} . } \end{array}
P _ { \lambda , q } ^ { ( d s ) } ( k ) = S P _ { \lambda , q } ( k - 1 ) - S P _ { \lambda , q } ( k ) = ( 1 + ( q - 1 ) ( k - 1 ) \lambda ) ^ { \frac { 2 - q } { 1 - q } } - ( 1 + ( q - 1 ) k \lambda ) ^ { \frac { 2 - q } { 1 - q } } .
d \hat { s } ^ { 2 } = \epsilon ^ { 2 } d s ^ { 2 } = - \hat { n } ^ { 2 } \hat { c } ^ { 2 } d \hat { t } ^ { 2 } + \hat { a } ^ { 2 } \hat { \gamma } _ { i j } d \hat { x } ^ { i } d \hat { x } ^ { j } + \hat { b } ^ { 2 } d \hat { y } ^ { 2 } ,
f _ { i j } = { \frac { E _ { j i } } { 3 g _ { i } } } { \bf S } , ~ ~ A _ { j i } ( s e c ^ { - 1 } ) = \left[ 0 . 8 0 3 2 \times 1 0 ^ { 1 0 } { \frac { E _ { j i } ^ { 3 } } { 3 g _ { j } } } \right] { \bf S }
\begin{array} { r l r } { \eta ( t ) = } & { { } } & { \Theta ( t ) \Bigl \{ \sum _ { j = I } ^ { N } \frac { \eta _ { 0 , j } \tau _ { n , j } } { \tau _ { o , j } ^ { 2 } } e ^ { - t / 2 \tau _ { n , j } } \Bigl [ \frac { 1 } { \kappa _ { j } } \sin { \Bigl ( \frac { \kappa _ { j } } { 2 \tau _ { n , j } } t \Bigr ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { C ^ { 0 } , S , R } \leq } & { \ C ( S ) \left( R ^ { - 1 / 2 } \| | u - w | + | w | \| _ { L ^ { 2 } , S \times ( R / 2 , 4 R ) } + R \| \eta _ { z _ { 0 } } ( \mathscr { R } ( v ) + z ^ { - 1 } \mathscr { T } ( 0 ) ) \| _ { C ^ { 0 } , S \times ( R / 2 , 4 R ) } \right) } \\ { \leq } & { \ C ( S , \gamma , \alpha , \beta ) ( \delta _ { 1 } + z _ { 0 } ^ { \gamma } ) R ^ { \gamma } , } \end{array}
{ \zeta _ { P \bar { \cal K } } } ( s ) = \zeta _ { \bar { \cal V } } ( s ) + \frac { \Gamma ( s + \frac { 1 } { 2 } ) } { \sqrt { \pi } \, \Gamma ( s ) } \left[ \frac { 2 } { 3 ^ { s + \frac { 1 } { 2 } } } { } _ { 2 } F _ { 1 } [ { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } , { s + \textstyle \frac { 1 } { 2 } } , { \textstyle \frac { 3 } { 2 } } , - { \textstyle \frac { 1 } { 3 } } ] - \frac { 1 } { 4 ^ { s } } \frac { 1 } { s } \right]
\Gamma _ { i } ^ { ( { \cal S } ) } [ N _ { \bf k } ^ { l } ] = \sum _ { n , m } \int \frac { \mathrm { d } { \bf p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int \mathrm { d } { \cal T } _ { n m } ^ { ( { \cal S } ) } \, { \it w } ( { \bf p } ^ { \prime } \vert { \bf k } _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , { \bf k } _ { m } ^ { \prime } ; { \bf k } , { \bf k } _ { 1 } , \ldots , { \bf k } _ { n } ) \, N _ { { \bf k } _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { l } \ldots N _ { { \bf k } _ { m } ^ { \prime } } ^ { l }
\begin{array} { r } { a _ { k } ( t ) \approx \frac { i d _ { 1 k } } { \hbar } \int _ { - \infty } ^ { t } E ( t ^ { \prime } ) e ^ { i \omega _ { k 1 } t ^ { \prime } } d t ^ { \prime } , \ \ k > 1 . } \end{array}
\Delta \tau = \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } = \frac { 4 m T \overrightarrow { R } . ( ( \overrightarrow { v } _ { 1 } + ( \overrightarrow { \Omega } \times \overrightarrow { R } ) ) \times \overrightarrow { \omega } ) } { c ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { ( a _ { 1 } { \mathbf { e } } _ { 1 } + a _ { 2 } { \mathbf { e } } _ { 2 } + a _ { 3 } { \mathbf { e } } _ { 3 } + a _ { 4 } { \mathbf { e } } _ { 4 } ) } & { { } + ( b _ { 1 } { \mathbf { e } } _ { 1 } + b _ { 2 } { \mathbf { e } } _ { 2 } + b _ { 3 } { \mathbf { e } } _ { 3 } + b _ { 4 } { \mathbf { e } } _ { 4 } ) = } \\ { ( a _ { 1 } + b _ { 1 } ) { \mathbf { e } } _ { 1 } + ( a _ { 2 } + b _ { 2 } ) { \mathbf { e } } _ { 2 } } & { { } + ( a _ { 3 } + b _ { 3 } ) { \mathbf { e } } _ { 3 } + ( a _ { 4 } + b _ { 4 } ) { \mathbf { e } } _ { 4 } . } \end{array}
\hat { \epsilon } _ { + } ( w ) = - 4 p _ { 0 } I ( \hat { \rho } _ { + } ^ { ( 0 ) } ( w ) + \hat { \rho } _ { + } ^ { ( 1 ) } ( w ) + \dots ) + \frac { \tilde { z } h } { i ( w - i \epsilon ) } \frac { \hat { J } _ { - } ( 0 ) } { \hat { J } _ { + } ( w ) } + \sum _ { j } \frac { \tilde { b } _ { j } \tilde { z } H \hat { J } _ { - } ( 0 ) \hat { J } _ { - } ( i w _ { j } ) } { i w _ { j } \hat { J } _ { + } ( w ) i ( w - i w _ { j } ) } e ^ { - 2 B w _ { j } } + \dots
\begin{array} { r l } { \sum _ { P \in { \mathcal M } } \big \| E _ { P } \big [ \widehat \theta _ { S ( P ) } \big ] - E _ { P _ { 0 } } \big [ \widehat \theta _ { S ( P ) } \big ] \big \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \sum _ { P \in { \mathcal M } } \sum _ { i \in S ( P ) } \big ( E _ { P } \big [ \widehat \theta _ { i } \big ] - E _ { P _ { 0 } } \big [ \widehat \theta _ { i } \big ] \big ) ^ { 2 } } \\ & { \leq M \frac { 1 } { 1 - ( 1 / 2 ) ^ { 0 . 0 1 } } \Big ( \frac n { s ^ { 2 } } \Big ) ^ { \alpha } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname { V a r } _ { 0 } \big ( \widehat \theta _ { i } \big ) . } \end{array}
T ^ { \mu \nu } = i \int d ^ { 4 } z ~ e ^ { - i q \cdot z } \langle P ^ { \prime } S ^ { \prime } | T \left[ J ^ { \nu } ( - \frac { 1 } { 2 } z ) J ^ { \mu } ( \frac { 1 } { 2 } z ) \right] | P S \rangle \ .
\begin{array} { r l } { \hat { \chi } ( \mathbf { k } , t ) = ~ } & { { } \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \chi ( \mathbf { x } , t ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } \mathrm { d } \mathbf { x } , } \\ { \chi _ { + } ^ { [ j ] } ( \mathbf { x } , t ; \alpha , \beta ) = ~ } & { { } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } j \beta \omega _ { 0 } t } \int _ { - \infty } ^ { \infty } 2 \Theta [ ( \mathbf { k } + j \alpha \mathbf { k } _ { 0 } ) \cdot \mathbf { k } _ { 0 } ] \hat { \chi } ( \mathbf { k } + \alpha \mathbf { k } _ { 0 } , t ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } \mathrm { d } \mathbf { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \left( \frac { 1 } { s _ { 1 } } + \frac { 1 } { s _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( \ell _ { 1 } ^ { - 1 } + \ell _ { 2 } ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } - 4 \ell _ { 1 } ^ { - 1 } \ell _ { 2 } ^ { - 1 } \left[ \left( \frac { 1 } { s _ { 1 } } + \frac { 1 } { s _ { 2 } } \right) ^ { 2 } - \left| \frac { 1 } { s _ { 1 } } + \frac { 1 } { s _ { 2 } } e ^ { \i \alpha L } \right| \right] } \end{array}
{ \cal Q } _ { i } ( x ) \; = \; \psi ^ { \dagger } ( x ) \gamma _ { \mu } { P } _ { R , L } \Lambda _ { 1 } \psi ( x ) \psi ^ { \dagger } ( x ) \gamma _ { \mu } { P } _ { R , L } \Lambda _ { 2 } \psi ( x ) ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { I n d e x } L _ { [ w , \gamma ] } } & { = } & { \mathrm { I n d e x } \left( \begin{array} { l l } { \bar { \partial } ^ { \nabla ^ { \pi } } + B ^ { ( 0 , 1 ) } + T _ { d w } ^ { w , ( 0 , 1 ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \Delta _ { 0 } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \mathrm { I n d e x } ( \bar { \partial } ^ { \nabla ^ { \pi } } + B ^ { ( 0 , 1 ) } + T _ { d w } ^ { w , ( 0 , 1 ) } ) + \mathrm { I n d e x } ( - \Delta _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P \big ( \mathbf { J } ( \tau + 1 ) \big ) } & { = \sum _ { \mathbf { J } ( \tau ) } W _ { \tau } \big [ \mathbf { J } ( \tau + 1 ) ; \mathbf { J } ( \tau ) \big ] P \big ( \mathbf { J } ( \tau ) \big ) } \\ { W _ { \tau } \big [ \mathbf { J } ( \tau + 1 ) ; \mathbf { J } ( \tau ) \big ] } & { = \prod _ { k \neq j } W _ { \tau } \big [ J _ { k j } ( \tau + 1 ) ; J _ { k j } ( \tau ) \big ] } \\ { W _ { \tau } \Big [ J _ { k j } ( \tau + 1 ) ; J _ { k j } ( \tau ) \Big ] } & { = \frac { e ^ { \displaystyle \beta J _ { k j } ( \tau + 1 ) h _ { k j } ( \tau ) } } { 2 \, \mathrm { c o s h } \big [ \beta h _ { k j } ( \tau ) \big ] } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { { { \bf 1 } } _ { \Gamma } \| u _ { 2 } ^ { ( k ) } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \nu _ { 2 } \int _ { s } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } | \nabla u _ { 2 } | ^ { 2 } \, d x d r \leq { { \bf 1 } } _ { \Gamma } \| u _ { 2 } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + I _ { 1 } ( t ) + I _ { 2 } ( t ) + \mathsf { M } _ { 1 } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta V _ { L o c a l + N L } ( \pmb { r } ) } & { = } & { - \frac { e ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } \delta ^ { 3 } ( r ) - \frac { 1 1 e ^ { 4 } } { 4 8 \pi ^ { 2 } M _ { f } ^ { 2 } } \delta ^ { 3 } ( r ) } \\ & { - } & { \frac { e ^ { 4 } } { 6 0 \pi ^ { 2 } m ^ { 2 } } \biggl ( \frac { \pi } { 2 } \biggr ) ^ { 2 } \frac { M _ { \gamma } ^ { 3 } e ^ { \frac { - M _ { \gamma } ^ { 2 } r ^ { 2 } } { 8 } } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \ . } \end{array}
G ( S , z ^ { a } ) = - \log ( S + \bar { S } ) + \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 } \bar { z } ^ { \bar { a } } z ^ { b } + \log \lbrace | \frac { \kappa ^ { 3 } } { 2 } g ( z ^ { a } ) | ^ { 2 } \rbrace .
\begin{array} { r l r } { \langle Q _ { e l } \rangle } & { = } & { \frac { 2 } { q _ { T } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } q Q _ { e l } e ^ { - q ^ { 2 } / q _ { T } ^ { 2 } } d q } \\ & { = } & { \frac { 6 4 \hbar } { m q _ { T } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { { d } \left( q ^ { 2 } / 2 \right) q ^ { 4 } e ^ { - q ^ { 2 } / q _ { T } ^ { 2 } } } { { \left( 1 / A _ { p } + B _ { p } q ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } + q ^ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { l } { { \delta _ { b } = 0 . 0 2 7 , \qquad \delta _ { \tau } = 0 . 0 6 2 , \qquad \delta _ { c } = 0 . 1 3 7 , \qquad \delta _ { t } = 0 . 0 5 5 , } } \\ { { \delta _ { Z } = 0 . 0 1 , \qquad \delta _ { W } = 0 . 0 5 4 , \qquad \delta _ { g } = 0 . 0 6 , \qquad \delta _ { \gamma } = 0 . 1 4 . } } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \left( \frac { 1 } { c \left( U _ { 1 } ^ { ( \ell ) } , U _ { 2 } ^ { ( \ell ) } \right) } \left( \sqrt { c \left( U _ { 1 } ^ { ( \ell ) } , U _ { 2 } ^ { ( \ell ) } \right) } - 1 \right) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right] = \int _ { \mathbb { I } ^ { 2 } } \frac { 1 } { c ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) } \left( \sqrt { c ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) } - 1 \right) ^ { 4 } d u _ { 1 } d u _ { 2 }
{ \dot { \nabla } } \left( \mathbf { A } { \cdot } { \dot { \mathbf { B } } } \right) = \mathbf { A } { \times } \! \left( \nabla { \times } \mathbf { B } \right) + \left( \mathbf { A } { \cdot } \nabla \right) \mathbf { B }
\begin{array} { r l r } { E _ { N } ^ { ( 0 ) } } & { { } = } & { \int _ { \Omega _ { L } } \ensuremath { \mathrm { ~ t ~ r ~ } } [ \ensuremath { \mathbf { D } } ( x ) \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { } ( x , x ^ { \prime } ) ] _ { x ^ { \prime } = x } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d [ Y ] _ { t } } & { = \frac 2 { \lambda ( \lambda - 1 ) Y _ { t } ^ { \lambda - 2 } } \big ( \exp ( \langle \lambda { \bf u } , { \mathbb X } _ { t } \rangle ) \langle R ( \lambda { \bf u } ) , { \mathbb X } _ { t } \rangle - \lambda Y _ { t } ^ { \lambda - 1 } \exp ( \langle { \bf u } , { \mathbb X } _ { t } \rangle ) \langle R ( { \bf u } ) , { \mathbb X } _ { t } \rangle \big ) d t } \\ & { = \left( \frac { 2 Y _ { t } ^ { 2 } } { \lambda ( \lambda - 1 ) } \langle R ( \lambda { \bf u } ) , { \mathbb X } _ { t } \rangle - \frac { 2 Y _ { t } ^ { 2 } } { ( \lambda - 1 ) } \langle R ( { \bf u } ) , { \mathbb X } _ { t } \rangle \right) d t . } \end{array}