harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { q _ { i } ^ { 0 } } & { { } = \frac { 1 } { z _ { i } } e ^ { - \beta } \prod _ { k \in \partial i } \left( Q _ { k \rightarrow i } ^ { 0 } + \sum _ { t = 1 } ^ { H } Q _ { k \rightarrow i } ^ { 1 , t } \right) . } \end{array}
A _ { n } = A _ { 1 } \left( \frac { 2 \varepsilon } { 1 + 2 \varepsilon } \right) ^ { n - 1 } \frac { ( \lambda _ { 1 } + 2 ) _ { n - 1 } ( \lambda _ { 1 } + 3 ) _ { n - 1 } } { ( n - 1 ) ! ( 2 \lambda _ { 1 } + 1 ) _ { n - 1 } } \ ,
\begin{array} { r l } { \frac 1 B Q _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } ( \ell _ { Q ^ { j } } ) _ { l } ( V ^ { l } ) B ^ { 2 } + ( \ell _ { Q ^ { i } } ) _ { l } ( V ^ { l } ) B { \partial } _ { x } ^ { - 1 } Q _ { x } ^ { j } } & { = w _ { y } ^ { i } { \partial } _ { y } ^ { - 1 } ( \ell _ { Q ^ { j } } ) _ { l } ( V ^ { l } ) B + ( \ell _ { Q ^ { i } } ) _ { l } ( V ^ { l } ) B { \partial } _ { y } ^ { - 1 } w _ { y } ^ { j } ; } \\ { \frac 1 B Q _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } ( O _ { Q V u B } ^ { j } ) ^ { * } B + O _ { Q V u B } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } Q _ { x } ^ { j } } & { = \frac 1 B Q _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } O _ { Q V u B } ^ { j } ( 1 ) B + O _ { Q V u B } ^ { i } ( 1 ) { \partial } _ { x } ^ { - 1 } Q _ { x } ^ { j } + \mathsf { l o c } } \\ & { = w _ { y } ^ { i } { \partial } _ { y } ^ { - 1 } O _ { Q V u B } ^ { j } ( 1 ) + O _ { Q V u B } ^ { i } ( 1 ) { \partial } _ { y } ^ { - 1 } w _ { y } ^ { j } + \mathsf { l o c } ; } \\ { \frac 1 B Q _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } ( O _ { Q u V B } ^ { j } ) ^ { * } B + O _ { Q u V B } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } Q _ { x } ^ { j } } & { = \frac 1 B Q _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } O _ { Q u V B } ^ { j } ( 1 ) B + O _ { Q u V B } ^ { i } ( 1 ) { \partial } _ { x } ^ { - 1 } Q _ { x } ^ { j } + \mathsf { l o c } } \\ & { = w _ { y } ^ { i } { \partial } _ { y } ^ { - 1 } O _ { Q u V B } ^ { j } ( 1 ) + O _ { Q u V B } ^ { i } ( 1 ) { \partial } _ { y } ^ { - 1 } w _ { y } ^ { j } + \mathsf { l o c } ; } \\ { - \frac 1 B Q _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } O _ { B u V B } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } Q _ { x } ^ { j } - \frac 1 B Q _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } O _ { B V u B } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } Q _ { x } ^ { j } } & { = \frac 1 B Q _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } ( \tilde { O } ^ { * } { \partial } _ { x } + { \partial } _ { x } \circ \tilde { O } ) { \partial } _ { x } ^ { - 1 } Q _ { x } ^ { j } } \\ & { = \frac 1 B Q _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } \tilde { O } ( 1 ) Q _ { x } ^ { j } + \frac 1 B Q _ { x } ^ { i } \tilde { O } ( 1 ) { \partial } _ { x } ^ { - 1 } Q _ { x } ^ { j } + \mathsf { l o c } } \\ & { = w _ { y } ^ { i } { \partial } _ { y } ^ { - 1 } \frac 1 B \tilde { O } ( 1 ) Q _ { x } ^ { j } + \frac 1 B Q _ { x } ^ { i } \tilde { O } ( 1 ) { \partial } _ { y } ^ { - 1 } w _ { y } ^ { j } + \mathsf { l o c } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| { { { { \left\{ { - \tau \left[ \cos \left( \varphi - \theta _ { 0 } \right) + \mathrm { i } \sqrt { \frac { k ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } + 1 } \sin \left( \varphi - \theta _ { 0 } \right) \right] \tau \left( - \cos \varphi + \mathrm i \sqrt { \frac { k ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } + 1 } \sin \varphi \right) } \right\} } ^ { N + 1 } } } } \right| } \\ & { = \tau ^ { 2 N + 2 } \left| { \left[ 2 + 2 \frac { k ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } ( \varphi - \theta _ { 0 } ) \right] } ^ { N + 1 } \right| } \\ & { \leq C _ { k } \tau ^ { 2 N + 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \mathcal { W } } = } & { ( \lambda \textbf { E } + \boldsymbol { \Omega } ) \cdot ( \textbf { Q } + \frac { \textbf { I } } { 2 } ) + ( \textbf { Q } + \frac { \textbf { I } } { 2 } ) \cdot ( \lambda \textbf { E } - \boldsymbol { \Omega } ) - \lambda ( \textbf { Q } + \textbf { I } ) T r ( \textbf { Q } \cdot \textbf { E } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rightarrow } & { { } \vert \hat { \rho } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \rangle \rangle = \sum _ { k _ { \mathrm { ~ u ~ } } , k _ { \mathrm { ~ d ~ } } , k _ { \mathrm { ~ u ~ } } ^ { \prime } , k _ { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { \prime } } \rho _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } ~ k _ { \mathrm { ~ u ~ } } , k _ { \mathrm { ~ d ~ } } ; k _ { \mathrm { ~ u ~ } } ^ { \prime } , k _ { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { \prime } } \vert k _ { \mathrm { ~ u ~ } } , k _ { \mathrm { ~ d ~ } } ; k _ { \mathrm { ~ u ~ } } ^ { \prime } , k _ { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { \prime } \rangle } \\ { = } & { { } \sum _ { K _ { \mathrm { ~ u ~ } } , K _ { \mathrm { ~ d ~ } } } \rho _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } ~ K _ { \mathrm { ~ u ~ } } , K _ { \mathrm { ~ d ~ } } } \vert K _ { \mathrm { ~ u ~ } } , K _ { \mathrm { ~ d ~ } } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { S } } } & { = \displaystyle \sum _ { F \in \mathcal { F } } A _ { F } ^ { ( 0 ) } \, \left( \tilde { c } _ { 1 } \bigg | \bigg | \frac { A _ { F } ^ { ( 0 ) } } { A _ { F } } \, \left( \nabla \frac { A } { A ^ { ( 0 ) } } \right) _ { F } \bigg | \bigg | ^ { 2 } + \tilde { c } _ { 2 } | ( \nabla \mu ) _ { F } | ^ { 2 } \right) } \\ & { = \underbrace { \displaystyle \sum _ { F \in \mathcal { F } } A _ { F } ^ { ( 0 ) } \, \mathcal { H } ( \vec { \bf R } ( w [ \mu ] ) ) _ { F } } _ { \equiv \tilde { \mathcal { S } } _ { 1 } } + \underbrace { \tilde { c } _ { 2 } \displaystyle \sum _ { F \in \mathcal { F } } A _ { F } ^ { ( 0 ) } \, | ( \nabla \mu ) _ { F } | ^ { 2 } } _ { \equiv \tilde { \mathcal { S } } _ { 2 } } , } \end{array}
W ^ { [ \mu \nu ] } = - i \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } q _ { \alpha } { \frac { 1 } { M } } \left\lbrack S _ { \beta } \, G _ { 1 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) + { \frac { 1 } { M ^ { 2 } } } \, \left( \nu \; S - q \cdot S \; P \right) _ { \beta } \, G _ { 2 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) \right\rbrack \; \; ,
\begin{array} { r l } { \frac { \rho _ { \delta } } { c } \approx } & { { } \sum _ { \alpha , k } \left( \frac { q } { m c } \right) _ { \alpha } m _ { \alpha } w _ { k } S \left( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x } _ { k } \right) , } \\ { \frac { \boldsymbol { j } _ { \delta } } { c } \approx } & { { } \sum _ { \alpha , k } \left( \frac { q } { m c } \right) _ { \alpha } m _ { \alpha } w _ { k } \boldsymbol { v } _ { k } S \left( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x } _ { k } \right) , } \end{array}
h ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { c c } { \displaystyle \frac { x ^ { \nu + 1 } } { 1 - k \, \Gamma ( \nu + 3 ) t } } & { \quad x \geq 0 , \, 0 \leq t < \frac { 1 } { k \Gamma ( \nu + 3 ) } , \, \, \, \mathrm { i f } \quad \phi = 0 , } \\ { \displaystyle \frac { \phi \ x ^ { \nu + 1 } } { e ^ { \phi t } ( \phi - k \Gamma ( \nu + 3 ) ) + k \Gamma ( \nu + 3 ) } } & { \quad x \geq 0 , \, t \geq 0 , \, \, \, \mathrm { i f } \quad \phi \geq k \Gamma ( \nu + 3 ) . } \end{array} \right.
{ L } _ { ( 3 ) } ^ { * } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \ddot { x } ^ { 2 } - 4 \omega ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } - \zeta ^ { 2 } \right) \dot { x } ^ { 2 } + \omega ^ { 4 } x ^ { 2 } \right] ,
{ \begin{array} { r c l } { \varphi ( n ) } & { = } & { \varphi ( p _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } ) \, \varphi ( p _ { 2 } ^ { k _ { 2 } } ) \cdots \varphi ( p _ { r } ^ { k _ { r } } ) } \\ & { = } & { p _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } \left( 1 - { \frac { 1 } { p _ { 1 } } } \right) p _ { 2 } ^ { k _ { 2 } } \left( 1 - { \frac { 1 } { p _ { 2 } } } \right) \cdots p _ { r } ^ { k _ { r } } \left( 1 - { \frac { 1 } { p _ { r } } } \right) } \\ & { = } & { p _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } p _ { 2 } ^ { k _ { 2 } } \cdots p _ { r } ^ { k _ { r } } \left( 1 - { \frac { 1 } { p _ { 1 } } } \right) \left( 1 - { \frac { 1 } { p _ { 2 } } } \right) \cdots \left( 1 - { \frac { 1 } { p _ { r } } } \right) } \\ & { = } & { n \left( 1 - { \frac { 1 } { p _ { 1 } } } \right) \left( 1 - { \frac { 1 } { p _ { 2 } } } \right) \cdots \left( 1 - { \frac { 1 } { p _ { r } } } \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { | \delta ( \tilde { e } ( \tau ) ) | } & { \leq { k _ { 1 } } \vert { { \tilde { e } } _ { 1 } } \vert + \cdots + { k _ { n } } \vert { { \tilde { e } } _ { n } } \vert + \vert { { \tilde { e } } _ { n + 1 } } \vert } \\ & { = { k _ { 1 } } | { \varepsilon _ { 1 } } | + \cdots + { k _ { n } } \omega _ { o } ^ { n - 1 } | { \varepsilon _ { n } } | + \omega _ { o } ^ { n } | { \varepsilon _ { n + 1 } } | } \\ & { \leq \Delta ( \omega _ { o } ) \Vert \varepsilon ( \tau ) \Vert _ { \infty } } \end{array}
\chi ( \xi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \, 1 } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; \xi \leq - \frac { d _ { \mathrm { s e p } } } { 4 } \, , } \\ { \, 0 } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; \xi \geq \frac { d _ { \mathrm { s e p } } } { 4 } \, , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathrm { K E } _ { \mathrm { i n i t i a l } } } & { = ( \gamma _ { e } - 1 ) m c ^ { 2 } = q V ( r ) } \\ { \implies \gamma _ { e } } & { = \frac { q Q } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } r m c ^ { 2 } } + 1 } \\ { \implies v _ { e } } & { = c \left( 1 - \frac { 1 } { \gamma _ { e } ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
A ( r , x , R ) = 2 \pi ( \cosh r - 1 ) - 2 \int _ { 0 } ^ { \phi _ { \operatorname* { m a x } } } d \phi \int _ { R } ^ { R _ { \operatorname* { m a x } } ( \phi ) } \sinh z d z = 2 \pi ( \cosh r - 1 ) + 2 \phi _ { \operatorname* { m a x } } \cosh R - 2 \int _ { 0 } ^ { \phi _ { \operatorname* { m a x } } } \cosh R _ { \operatorname* { m a x } } ( \phi ) d \phi ,
\mathrm { ~ \cal { A } ~ } ( { \mathbf { u } } ) = \int d ^ { 1 + n } x \frac { ( 1 + { \mathbf { u } } ^ { \dag } { \mathbf { u } } ) \partial ^ { \mu } { \mathbf { u } } ^ { \dag } \partial _ { \mu } { \mathbf { u } } - \partial ^ { \mu } { \mathbf { u } } ^ { \dag } { \mathbf { u } } { \mathbf { u } } ^ { \dag } \partial _ { \mu } { \mathbf { u } } } { ( 1 + { \mathbf { u } } ^ { \dag } { \mathbf { u } } ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { { } T _ { q = 0 } ^ { 2 } ( I _ { H } , S ) | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \end{array}
{ v _ { g } ^ { ( j ) } } = \left[ \frac { d \beta _ { j } } { d \omega } \bigg \rvert _ { \omega _ { 0 } } \right] ^ { - 1 } , \qquad D _ { j } = \frac { d ^ { 2 } \beta _ { j } } { d \omega ^ { 2 } } \bigg \rvert _ { \omega _ { 0 } } ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { G } _ { n } = \{ ( z , w ) \in D f ^ { - n } ( x , u ) : w \in \Delta _ { \alpha } ^ { v } \} , } \\ & { \mathcal { B } _ { n } = D f ^ { - n } ( x , u ) \setminus \mathcal { G } _ { n } , } \\ & { g _ { n } = \# \mathcal { G } _ { n } , } \\ & { b _ { n } = \# \mathcal { B } _ { n } = k ^ { 2 n } - g _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \phi _ { m } ( t , \cdot ) \in C ^ { k } } & { { } \implies \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m } ( t , \cdot ) \in C ^ { k - 1 } } & { } & { { } \qquad \mathrm { ~ ( ~ b ~ y ~ ~ ~ ) ~ , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbf { 1 } _ { \mathcal { U } } ( u _ { s } q _ { n } ) \, d s = \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbf { 1 } _ { K ^ { c } } ( g _ { - t } u _ { s } q _ { n } ) \ d s } \\ { = } & { \frac { 1 } { T e ^ { - 2 t } } \left| \left\{ s \in \left[ 0 , T e ^ { - 2 t } \right] : u _ { s } q _ { n } ^ { \prime } \notin K \right\} \right| < \varepsilon . } \end{array}
L _ { 2 , 1 } ^ { ( 1 ) } = - \sum _ { s = 1 } ^ { n } ( 2 X _ { s } P _ { X _ { s } , 2 } ^ { ( 2 ) } \delta _ { r _ { s } = 1 } + P _ { X _ { s } , 3 } ^ { ( 2 ) } \delta _ { r _ { s } = 2 } ) + \sum _ { s = 1 } ^ { n } ( X _ { s } ^ { 2 } H _ { X _ { s } , 1 } + 2 X _ { s } H _ { X _ { s } , 2 } \delta _ { r _ { s } \geq 2 } + H _ { X _ { s } , 3 } \delta _ { r _ { s } \geq 3 } ) - \hbar \sum _ { j = 1 } ^ { g } p _ { j } q _ { j } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { j ( k _ { \pm 1 } ) } & { = 2 \exp ( - \frac 1 2 \kappa \xi \eta ( s + d ) ) j ( k _ { \pm 1 } , - d ) } \\ & { + \frac { \kappa _ { k _ { \pm 1 } } } { \beta } \int \frac { 1 + \hat { s } ^ { 2 } } { 1 + \hat { \tau } ^ { 2 } } \exp ( - \kappa _ { k _ { \pm 1 } } ( \hat { s } - \hat { \tau } + \frac 1 3 ( \hat { s } ^ { 3 } - \hat { \tau } ^ { 3 } ) ) ) ( u _ { 2 } \pm u _ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { [ 0 , T ] = \cup _ { m = 1 } ^ { M } [ t _ { m - 1 } , t _ { m } ] \quad \mathrm { w i t h } \quad t _ { m } = m \Delta t , \quad \Delta t = T / M , } \\ & { \mathbb { I } = \cup _ { j = 1 } ^ { J _ { \Gamma } } [ \alpha _ { j - 1 } , \alpha _ { j } ] \quad \mathrm { w i t h } \quad \alpha _ { j } = j \, h , \quad h = 1 / J _ { \Gamma } . } \end{array}
D _ { \mu } U ^ { \prime } = \partial _ { \mu } U ^ { \prime } - i g \overrightarrow { T } \cdot \overrightarrow { W _ { \mu } } U ^ { \prime } - i g ^ { \prime } Y _ { L } B _ { \mu } U ^ { \prime } + i g ^ { \prime } U ^ { \prime } Y _ { R } B _ { \mu } \; \; ,
\sqrt { < \! \! F ^ { 0 } , F _ { x } ^ { 0 } , F _ { y } ^ { 0 } \! > } = < \! \! F ( \mathbf { a } ^ { 0 } , \gamma ^ { 0 } , x , y ) , F _ { x } ( \mathbf { a } ^ { 0 } , \gamma ^ { 0 } , x , y ) , F _ { y } ( \mathbf { a } ^ { 0 } , \gamma ^ { 0 } , x , y ) , \tilde { f } ( \mathbf { a } ^ { 0 } , \gamma ^ { 0 } , x ) , \tilde { g } ( \mathbf { a } ^ { 0 } , \gamma ^ { 0 } , y ) \! \! > .
m = m _ { \mathrm { m a x } } - \frac { m _ { \mathrm { m a x } } } { h _ { \mathrm { t h r e s } } } \epsilon \log \left( 1 + \exp \left( \frac { 1 } { \epsilon } \left( h _ { \mathrm { t h r e s } } - h \right) \right) \right)
T _ { \pm \pm } = { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { \pm } { \vec { f } } ) ^ { 2 } + \partial _ { \pm } ^ { 2 } \Phi + { \frac { 1 } { \kappa } } \partial _ { \pm } \Phi \partial _ { \pm } \Sigma = 0
W _ { n } = W _ { 0 } \prod _ { l = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { g _ { m , l } } \prod _ { m = 1 } ^ { n } \prod _ { i = 1 } ^ { N _ { p } } \exp [ ( g _ { m , i } - 1 ) x _ { m } \rho \sigma _ { i } ]
\begin{array} { r l r } { a _ { 2 2 } \! \! \! } & { { } = } & { \! \! \! d \, { \frac { d ^ { \prime } - R _ { D } + R _ { B } } { R _ { D } R _ { B } } } + { \frac { n } { n ^ { \prime } } } { \frac { ( d ^ { \prime } + R _ { B } ) ( R _ { D } - d ) } { R _ { D } R _ { B } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } ( f ) } & { = \sum _ { i + j + k \ge 1 + ( r - 3 ) _ { + } } \frac { ( i + j + k + 1 ) ^ { r - 1 } \epsilon ^ { i } \tilde { \epsilon } ^ { j + 1 } \bar { \epsilon } ^ { k } } { ( i + j + k + 1 ) ! } \| t ^ { i + j + k + 2 - r } \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } ^ { j } \bar { \partial } ^ { k } f \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \quad \quad + \sum _ { i + k \ge ( r - 3 ) _ { + } } \frac { ( i + k + 2 ) ^ { r - 1 } \epsilon ^ { i } \bar { \epsilon } ^ { k + 2 } } { ( i + k + 2 ) ! } \| t ^ { i + k + 3 - r } \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } \bar { \partial } ^ { k } f \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \quad \quad \quad \quad + \sum _ { i \ge r - 1 } \frac { ( i + 1 ) ^ { r - 1 } \epsilon ^ { i + 1 } } { ( i + 1 ) ! } \| t ^ { i + 2 - r } \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } f \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { C P L E A R : } ~ ~ ~ \phi _ { \mathrm { S W } } + \phi _ { \eta } ^ { C P T } } & { { } = } & { 4 2 . 9 1 ^ { \circ } \pm 0 . 5 3 ^ { \circ } \mathrm { ( s t a t ) } \pm 0 . 2 8 ^ { \circ } \mathrm { ( s y s t ) } , } \\ { \mathrm { E 7 7 3 : ~ ~ } ~ ~ ~ \phi _ { \mathrm { S W } } + \phi _ { \eta } ^ { C P T } } & { { } = } & { 4 2 . 9 4 ^ { \circ } \pm 0 . 5 8 ^ { \circ } \mathrm { ( s t a t ) } \pm 0 . 4 9 ^ { \circ } \mathrm { ( s y s t ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { { { \partial } ^ { 2 } } { { B } _ { u } } } { \partial { { X } ^ { 2 } } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { a \left\{ \left( { { { V } ^ { 2 } } } / { c _ { 0 , u } ^ { 2 } } \; \right) - 1 \right\} } { { B } _ { \theta } } \frac { \partial { { B } _ { \theta } } } { \partial X } } \\ { \kappa \frac { { { \partial } ^ { 2 } } { { B } _ { \theta } } } { \partial { { X } ^ { 2 } } } } & { { } = } & { - 6 { { K } _ { \theta } } { { B } _ { \theta } } - 2 \left( 1 + 1 2 { { { { C } ^ { \prime } } } _ { 4 } } \right) B _ { \theta } ^ { 3 } - 9 6 { { { C } ^ { \prime } } _ { 6 } } B _ { \theta } ^ { 5 } - 4 a { { B } _ { \theta } } \frac { \partial { { B } _ { u } } } { \partial X } + \frac { 2 a } { 3 } B _ { \theta } ^ { 3 } \frac { \partial { { B } _ { u } } } { \partial X } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 0 } ( t ) = } & { { } \operatorname* { l i m } _ { N \to + \infty } \rho _ { 0 } ^ { ( N ) } ( t ) } \\ { = } & { { } \operatorname* { l i m } _ { N \to + \infty } \exp \left\{ t \left( \sum _ { k = 1 } ^ { N } \frac { c _ { k } d _ { k } } { \alpha _ { k } } - \gamma \right) + \sum _ { k = 1 } ^ { N } c _ { k } d _ { k } \frac { e ^ { - \alpha _ { k } t } - 1 } { \alpha _ { k } ^ { 2 } } \right\} } \\ { = } & { { } \exp \left\{ t \left( \sum _ { k \geq 1 } \frac { c _ { k } d _ { k } } { \alpha _ { k } } - \gamma \right) + \sum _ { k \geq 1 } c _ { k } d _ { k } \frac { e ^ { - \alpha _ { k } t } - 1 } { \alpha _ { k } ^ { 2 } } \right\} } \\ { = } & { { } \exp \left\{ \sum _ { k \geq 1 } c _ { k } d _ { k } \frac { e ^ { - \alpha _ { k } t } - 1 } { \alpha _ { k } ^ { 2 } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathsf K } _ { a } ^ { \circ } ( x , y ) = { \mathsf K } _ { a } ( x , y ) - \mathbb { E } _ { X \sim P } { \mathsf K } _ { a } ( X , y ) - \mathbb { E } _ { X ^ { \prime } \sim P } { \mathsf K } _ { a } ( x , X ^ { \prime } ) + \mathbb { E } _ { X , X ^ { \prime } \sim P } { \mathsf K } _ { a } ( X , X ^ { \prime } ) } \end{array}
{ \cal H } = { \frac { 1 } { 2 } } P ^ { 2 } + m _ { L } ^ { 2 } \left( \sum _ { \alpha _ { i } \in \Pi \cap \Delta _ { L } } e ^ { \alpha _ { i } \cdot Q } + e ^ { \alpha _ { 0 } \cdot Q } \right) + m _ { S } ^ { 2 } \sum _ { \alpha _ { i } \in \Pi \cap \Delta _ { S } } e ^ { 2 \alpha _ { i } \cdot Q } ,
n ^ { \alpha } ( \xi , \varphi ) \; = \; g ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( \xi , \varphi ) \epsilon ^ { \alpha \beta \lambda } \partial _ { 0 } X ^ { \beta } ( \xi , \varphi ) \, \partial _ { 1 } X ^ { \lambda } ( \xi , \varphi )
\begin{array} { r } { R _ { n } ^ { [ 1 ] } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] + \alpha _ { n } ^ { \ell } \bar { Z } _ { 1 } , } \end{array}
\Re \, f = { \frac { \eta V } { 1 + \sigma ^ { 2 } V ^ { 2 } } } , \qquad \Im \, f = { \frac { \sigma \eta V ^ { 2 } } { 1 + \sigma ^ { 2 } V ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 \sigma } } ( 1 - \eta ) .
\int _ { - \infty } ^ { \infty } C ( x , t ) d x = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f _ { 0 } \frac { 1 } { \sqrt { t } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 D t } } d x = f _ { 0 } \, 2 \sqrt { \pi D } .
\begin{array} { r l } { ( \mathsf { c } ( \eta ) _ { < \infty } ^ { 1 } ) _ { k } } & { \leq _ { \mathrm { W } } \mathsf { c R T } _ { k } ^ { 1 } \times \mathsf { c R T } _ { k - 1 } ^ { 1 } \times \ldots \times \mathsf { c R T } _ { 2 } ^ { 1 } } \\ & { \leq _ { \mathrm { W } } ( \mathsf { c R T } _ { 2 } ^ { 1 } ) ^ { k - 1 } \times ( \mathsf { c R T } _ { 2 } ^ { 1 } ) ^ { k - 2 } \times \ldots ( \mathsf { c R T } ) _ { 2 } ^ { 1 } } \\ & { \equiv _ { \mathrm { W } } ( \mathsf { c R T } _ { 2 } ^ { 1 } ) ^ { k ( k - 1 ) / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { O T ( \mu _ { \infty } , \nu _ { \infty } , { c _ { \infty } } ) } & { \geq \mu _ { \infty } ( f _ { \infty } ^ { c _ { \infty } c _ { \infty } } ) + \nu _ { \infty } ( f _ { \infty } ^ { c _ { \infty } } ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } \mu _ { n _ { k } } ( f _ { \infty } ^ { c _ { \infty } c _ { \infty } } ) + \nu _ { n _ { k } } ( f _ { \infty } ^ { c _ { \infty } } ) } \\ & { \geq \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } \mu _ { n _ { k } } ( f _ { n _ { k } } ^ { c _ { n _ { k } } c _ { n _ { k } } } ) + \nu _ { n _ { k } } ( f _ { n _ { k } } ^ { c _ { n _ { k } } } ) - \left\| f _ { \infty } ^ { c _ { \infty } c _ { \infty } } - f _ { n _ { k } } ^ { c _ { n _ { k } } c _ { n _ { k } } } \right\| _ { \infty } - \left\| f _ { \infty } ^ { c _ { \infty } } - f _ { n _ { k } } ^ { c _ { n _ { k } } } \right\| _ { \infty } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } O T ( \mu _ { n _ { k } } , \nu _ { n _ { k } } , { c _ { n _ { k } } } ) - \left\| f _ { \infty } ^ { c _ { \infty } c _ { \infty } } - f _ { n _ { k } } ^ { c _ { n _ { k } } c _ { n _ { k } } } \right\| _ { \infty } - \left\| f _ { \infty } ^ { c _ { \infty } } - f _ { n _ { k } } ^ { c _ { n _ { k } } } \right\| _ { \infty } } \\ & { = O T ( \mu _ { \infty } , \nu _ { \infty } , { c _ { \infty } } ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { a = } & { { } ~ \frac { \alpha } { \mu n ^ { * } } ( 1 - p _ { S } ) , } \\ { b = } & { { } ~ 1 - p _ { S } + 1 - \mathcal { R } _ { 0 } + \frac { \alpha } { r + \mu } p _ { S } ( \varepsilon _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) \varepsilon _ { 1 } ) , } \\ { c = } & { { } ~ \frac { \mu n ^ { * } } { \alpha } ( 1 - \mathcal { R } _ { 0 } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \mathbf x \in \Gamma _ { h } } | u _ { ( K , \eta ) } ( \mathbf x ) - u _ { ( K , \eta ^ { \prime } ) } ( \mathbf x ) | } & { \leq C _ { f } ( \ln | \ln \phi ( \varepsilon ) | ) ^ { - \alpha } , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { \mathbf x \in \Gamma _ { h } } \left| \nabla u _ { ( K , \eta ) } ( \mathbf x ) - \nabla u _ { ( K , \eta ^ { \prime } ) } ( \mathbf x ) \right| } & { \leq C _ { f } ( \ln | \ln \phi ( \varepsilon ) | ) ^ { - \alpha } . } \end{array}
T ( z ) = - \frac { 1 } { 2 } \partial \bar { Z } \cdot \partial Z - \frac { 1 } { 4 } \partial { \psi } ^ { - } \cdot \psi ^ { + } - \frac { 1 } { 4 } \partial \psi ^ { + } \cdot { \psi } ^ { - } , \nonumber
Z _ { G S O } ( \tau , \bar { \tau } ) = \frac { 1 } { | \eta ( \tau ) | ^ { 8 } } \sum _ { \ell , \bar { \ell } = 0 } ^ { N - 2 } N _ { \ell , \bar { \ell } } \: F _ { \ell } ( \tau ) \: F _ { \bar { \ell } } ( \bar { \tau } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { T r } \left( \left( \mathbb { I } _ { q } + \mathbf { R } _ { 0 } ^ { - 1 } \mathbf { R } \right) ^ { - 1 } \mathbf { D } \mathbf { R } \right) = \mathrm { T r } \left( \mathbf { J } \mathbf { D } \right) } & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { k } \mathrm { T r } \left( \mathbf { J } _ { i i } \mathbf { R } _ { i i } ^ { - 1 } \mathbf { H } _ { i i } \mathbf { R } _ { i i } ^ { - 1 } \right) } \\ & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { k } \mathrm { T r } \left( \mathbf { J } _ { i i } \mathbf { R } _ { i i } ^ { - 1 } \mathbf { P } _ { i } \mathbf { H } \mathbf { P } _ { i } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { R } _ { i i } ^ { - 1 } \right) } \\ & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { k } \mathrm { T r } \left( \mathbf { P } _ { i } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { R } _ { i i } ^ { - 1 } \mathbf { J } _ { i i } \mathbf { R } _ { i i } ^ { - 1 } \mathbf { P } _ { i } \mathbf { H } \right) } \\ & { = - \mathrm { T r } \left( \boldsymbol { \gamma \mathbf { H } } \right) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { h _ { i } = w _ { i } \left[ \rho \left( 1 + c _ { i a } u _ { i a } + Q _ { i a b } u _ { a } u _ { b } \right) + Q _ { i a b } ( P _ { a b } - P _ { a b } ^ { e q } ) \right] } \\ { g _ { i } = 0 } \end{array} \right.
\Delta _ { \mathrm { S O } ( 2 N ) } ( E , x ) = \prod _ { i < j } ^ { N } \Big [ ( x _ { i } - x _ { j } ) ^ { 2 } - E ^ { 2 } \Big ] \Big [ ( x _ { i } + x _ { j } ) ^ { 2 } - E ^ { 2 } \Big ]
\begin{array} { r } { \textnormal { W S S E } = \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } \frac { 1 } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } ( y _ { i , \textnormal { s i m } } - y _ { i , \textnormal { e x p } } ) ^ { 2 } , } \end{array}