harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { J ^ { 2 } ( \omega ; \alpha ) } & { { } = \left( \varepsilon _ { \mathrm { H , n } } ^ { \omega , \alpha } + \mathrm { I P } _ { \mathrm { n } } ^ { \omega , \alpha } \right) ^ { 2 } + \left( \varepsilon _ { \mathrm { H , a } } ^ { \omega , \alpha } + \mathrm { I P } _ { \mathrm { a } } ^ { \omega , \alpha } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { { \cal B } ( h f ) } { h } ( x ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } a _ { i j } ( x ) \left( \partial _ { x _ { i } x _ { j } } f ( x ) + \frac { \partial _ { x _ { i } } h } { h } \partial _ { x _ { j } } f ( x ) + \frac { \partial _ { x _ { j } } h } { h } \partial _ { x _ { i } } f ( x ) \right) + \sum _ { i } b _ { i } ( x ) \partial _ { x _ { i } } f ( x ) , \quad x \in \Omega , } \\ { f ( x ) } & { = 0 , \quad x \in \partial \Omega , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { x } \ln ^ { 2 } ( t ) \frac { \ln ( 1 - t ) } { 1 - t } \, d t = + 2 \left[ \ln ( 1 - x ) \mathrm { L i } _ { 3 } ( x ) - \ln ( x ) \mathrm { L i } _ { 3 } ( 1 - x ) \right] + 2 \ln ( x ) \ln ( 1 - x ) \mathrm { L i } _ { 2 } ( 1 - x ) } \\ & { } & { - \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } \ln ^ { 2 } ( 1 - x ) + \frac { 1 } { 1 2 } \ln ^ { 2 } ( 1 - x ) \left[ 6 \ln ^ { 2 } ( x ) + 4 \ln ( x ) \ln ( 1 - x ) - \ln ^ { 2 } ( 1 - x ) \right] + 2 \mathrm { L i } _ { 3 } ( 1 ) \ln \left( \frac { 1 } { 1 - x } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { C _ { \phi } } ( z ) } & { = \langle C _ { \phi } \hat { k } _ { z } , \hat { k } _ { z } \rangle } \\ & { = ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { 2 } \langle C _ { \phi } { k _ { z } } , { k _ { z } } \rangle } \\ & { = ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { 2 } k _ { z } ( \phi ( z ) ) } \\ & { = \frac { ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( 1 - \overline { { z } } \phi ( z ) ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \psi _ { k } \, \doteq \, ( \bar { x } _ { k } ^ { \mathrm { T } } , r _ { k } ^ { \mathrm { T } } ) ^ { \mathrm { T } } \! \! , \quad } & { \psi _ { k } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { i d } } \, \doteq \, ( ( \bar { x } _ { k } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { i d } } ) ^ { \mathrm { T } } \! \! , r _ { k } ^ { \mathrm { T } } ) ^ { \mathrm { T } } \! \! . } \end{array}
\begin{array} { l } { { \varphi _ { 1 E } \left( r , \theta \right) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } f _ { n } \left( r \right) e ^ { i \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) \theta } } } \\ { { \chi _ { 1 E } \left( r , \theta \right) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } g _ { n } \left( r \right) e ^ { i \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) \theta } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { S _ { 2 } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) = - \frac { i q ^ { 4 } a \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } } { 4 \pi n \hbar } \frac { 1 } { \nu \nu _ { 0 } } \int d k \frac { K _ { B } ^ { 4 } } { \kappa ^ { 7 } } \Bigl ( \frac { 1 } { \vartheta _ { 3 } + 2 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa } + \frac { 1 } { \vartheta _ { 3 } - 2 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa } \Bigl ) , } \\ & { S _ { 4 } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) = - \frac { i q ^ { 4 } a \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } } { 2 \pi n \hbar } \frac { 1 } { \nu } \int d k \frac { K _ { B } ^ { 2 } k ^ { 2 } } { \kappa ^ { 7 } } \Bigl [ \frac { ( \vartheta _ { 3 } + 3 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa ) } { ( \vartheta _ { 0 } + 2 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa ) ( \vartheta _ { 3 } + 2 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa ) ^ { 2 } } + \frac { ( \vartheta _ { 3 } - 3 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa ) } { ( \vartheta _ { 0 } - 2 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa ) ( \vartheta _ { 3 } - 2 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa ) ^ { 2 } } \Bigl ] , } \\ & { S _ { 6 } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) = \frac { i q ^ { 4 } a \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } } { 8 \pi n \hbar } \frac { 1 } { \nu _ { 0 } } \int d k \frac { K _ { B } ^ { 4 } } { \kappa ^ { 7 } } \Bigl ( \frac { 1 } { \vartheta + 2 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa } + \frac { 1 } { \vartheta - 2 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa } \Bigl ) \Bigl ( \frac { 1 } { \vartheta _ { 3 } + 2 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa } + \frac { 1 } { \vartheta _ { 3 } - 2 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa } \Bigl ) , } \\ & { S _ { 8 } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) = \frac { i q ^ { 4 } a \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } } { 2 \pi n \hbar } \int d k \frac { K _ { B } ^ { 2 } k ^ { 2 } } { \kappa ^ { 7 } } \times } \\ & { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \Bigl [ \frac { ( \vartheta + 4 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa ) ( \vartheta _ { 3 } + 3 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa ) } { ( \vartheta + 2 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa ) ^ { 2 } ( \vartheta _ { 0 } + 2 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa ) ( \vartheta _ { 3 } + 2 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa ) ^ { 2 } } + \frac { ( \vartheta - 4 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa ) ( \vartheta _ { 3 } - 3 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa ) } { ( \vartheta - 2 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa ) ^ { 2 } ( \vartheta _ { 0 } - 2 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa ) ( \vartheta _ { 3 } - 2 \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \kappa ) ^ { 2 } } \Bigl ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { h ( \tau _ { t } ) = 1 - \alpha _ { t } ( L _ { t } + m _ { t } ) + \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } ( m _ { t } ^ { 2 } + L _ { t } ^ { 2 } ) } { 2 } + \frac { \tau _ { t } \left( L _ { t } - m _ { t } \right) ^ { 2 } } { 4 } + \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } \left( \alpha _ { t } \left( L _ { t } + m _ { t } \right) - 2 \right) ^ { 2 } } { 4 \tau _ { t } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { a } \cdot \mathbf { b } } & { = a _ { 1 } b _ { 1 } + a _ { 2 } b _ { 2 } + a _ { 3 } b _ { 3 } } \\ { \mathbf { a } \wedge \mathbf { b } } & { = ( a _ { 2 } b _ { 3 } - a _ { 3 } b _ { 2 } ) \mathbf { e } _ { 2 3 } + ( a _ { 3 } b _ { 1 } - a _ { 1 } b _ { 3 } ) \mathbf { e } _ { 3 1 } + ( a _ { 1 } b _ { 2 } - a _ { 2 } b _ { 1 } ) \mathbf { e } _ { 1 2 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { C _ { 4 } } & { \lesssim \bigg ( \sum _ { k } \sum _ { i , i ^ { \prime } \in S _ { k } } N _ { i } N _ { i ^ { \prime } } + \sum _ { k \neq k ^ { \prime } } \sum _ { i \in S _ { k } , i ^ { \prime } \in S _ { k ^ { \prime } } } N _ { i } N _ { i ^ { \prime } } \bigg ) \sum _ { j _ { 1 } \neq j _ { 2 } } \alpha _ { i i ^ { \prime } j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { 2 } \, \Omega _ { i j _ { 1 } } \Omega _ { i ^ { \prime } j _ { 2 } } } \\ & { \lesssim \sum _ { k } \sum _ { i , i ^ { \prime } \in S _ { k } } N _ { i } N _ { i ^ { \prime } } \sum _ { j _ { 1 } \neq j _ { 2 } } \big ( \frac { 1 } { M _ { k } } \Sigma _ { k j _ { 1 } j _ { 2 } } + \frac { 1 } { M } \Sigma _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } \big ) ^ { 2 } \, \Omega _ { i j _ { 1 } } \Omega _ { i ^ { \prime } j _ { 2 } } } \\ & { \quad + \sum _ { k \neq k ^ { \prime } } \sum _ { i \in S _ { k } , i ^ { \prime } \in S _ { k ^ { \prime } } } N _ { i } N _ { i ^ { \prime } } \sum _ { j _ { 1 } \neq j _ { 2 } } \big ( \frac { 1 } { M } \sum _ { a \in \{ k , k ^ { \prime } \} } ^ { 2 } \Sigma _ { a j _ { 1 } j _ { 2 } } + \frac { 1 } { M } \Sigma _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } \big ) ^ { 2 } \, \Omega _ { i j _ { 1 } } \Omega _ { i ^ { \prime } j _ { 2 } } } \\ & { \lesssim \sum _ { k } \sum _ { i , i ^ { \prime } \in S _ { k } } N _ { i } N _ { i ^ { \prime } } \sum _ { j _ { 1 } \neq j _ { 2 } } \big ( \frac { 1 } { M _ { k } ^ { 2 } } \Sigma _ { k j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \Sigma _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { 2 } \big ) \, \Omega _ { i j _ { 1 } } \Omega _ { i ^ { \prime } j _ { 2 } } } \\ & { \quad + \sum _ { k \neq k ^ { \prime } } \sum _ { i \in S _ { k } , i ^ { \prime } \in S _ { k ^ { \prime } } } N _ { i } N _ { i ^ { \prime } } \sum _ { j _ { 1 } \neq j _ { 2 } } \big ( \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \sum _ { a \in \{ k , k ^ { \prime } \} } ^ { 2 } \Sigma _ { a j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \Sigma _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { 2 } \big ) \, \Omega _ { i j _ { 1 } } \Omega _ { i ^ { \prime } j _ { 2 } } = : C _ { 4 1 } + C _ { 4 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { f ^ { \mathrm { H } } ( t ) \equiv - 3 8 4 \frac { t ^ { 5 } } { ( 1 + t ) ^ { 8 } ( 2 - t ) } { } _ { 2 } F _ { 1 } ( 4 , 2 - t , 3 - t ; \xi ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { i q _ { \rho } \widetilde { M } _ { 5 } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m ) = i q _ { \rho } M _ { 5 } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m ) - i \sum _ { j } c _ { j } q _ { \rho } M _ { 5 } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , M _ { j } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 7 } ^ { 2 } = \left[ t r ( S _ { i j } ^ { 2 } W _ { i j } ^ { 2 } S _ { i j } W _ { i j } ) \right] ^ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 6 4 } ( e _ { 2 } - e _ { 1 } ) ^ { 2 } ( e _ { 3 } - e _ { 2 } ) ^ { 2 } ( e _ { 1 } - e _ { 3 } ) ^ { 2 } w _ { 1 } ^ { 2 } w _ { 2 } ^ { 2 } w _ { 3 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { T } } { \bf { I } } _ { N _ { T } } + ( { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } + { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } ) { \bf { I } } _ { N _ { R } } } \\ & { \quad + { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { S } } { \bf { I } } _ { N _ { S } } } \\ { { \bf { I } } _ { N _ { R } } } & { = - ( { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } + { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } ) ^ { - 1 } } \\ & { \quad ( { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { T } } { \bf { I } } _ { N _ { T } } + { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { S } } { \bf { I } } _ { N _ { S } } ) } \\ & { = - ( { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } + { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } ) ^ { - 1 } ( { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { T } } ( { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } } \\ & { \quad + { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } ^ { L } ) ^ { - 1 } { \bf { V } } _ { N _ { T } } - { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { S } } ( { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } + { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } ) ^ { - 1 } } \\ & { { \bf { Z } } _ { N _ { s } \times N _ { T } } ( { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } + { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } ^ { L } ) ^ { - 1 } { \bf { V } } _ { N _ { T } } ) } \\ & { = ( { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } + { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } ) ^ { - 1 } ( - { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { T } } + { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { S } } } \\ & { \quad ( { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } + { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } ) ^ { - 1 } { \bf { Z } } _ { N _ { s } \times N _ { T } } ) } \\ & { \quad \times ( { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } + { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } ^ { L } ) ^ { - 1 } { \bf { V } } _ { N _ { T } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { R _ { p } C \partial _ { t } \psi _ { d } } & { { } = \ell _ { p } ^ { 2 } \partial _ { z } ^ { 2 } \psi _ { d } \, , } & { } & { { } z \in [ 0 , \ell _ { p } ] \, , } \\ { \psi _ { d } ( z , 0 ) } & { { } = 0 \, , } \\ { \ell _ { p } \partial _ { z } \psi _ { d } ( 0 , t ) } & { { } = \frac { R _ { p } } { R _ { r } } [ \psi _ { d } ( 0 , t ) - \Psi ( t ) ] , } \\ { \psi _ { d } ( \ell _ { p } , t ) } & { { } = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { E } _ { d i p o l e } } & { = } & { \frac { k ^ { 3 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \{ \frac { 1 } { k r } ( \hat { r } \times \vec { p } ) \times \hat { r } \quad } \\ & { + } & { \left( \frac { 1 } { k ^ { 3 } r ^ { 3 } } - i \frac { 1 } { k ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right) [ 3 \hat { r } ( \hat { r } \cdot \vec { p } ) - \vec { p } ] \} \quad . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { e ^ { - \frac { ( m - x ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 t } - \frac { \| \tilde { x } - \tilde { x } _ { 0 } \| ^ { 2 } } { 4 t } { - \frac { ( m - x _ { 0 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 t } } } } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { d + 1 } { t ^ { d + 1 } } } } { \mathbf 1 } _ { m > \operatorname* { m a x } ( x ^ { 1 } , x _ { 0 } ^ { 1 } ) } = \phi _ { d + 1 } ( m - x ^ { 1 } , m - x _ { 0 } ^ { 1 } , \tilde { x } - \tilde { x } _ { 0 } ; 2 t ) { \mathbf 1 } _ { m > \operatorname* { m a x } ( x ^ { 1 } , x _ { 0 } ^ { 1 } ) } , } \end{array}
\Gamma ( V \rightarrow P \gamma ) = \frac { \alpha g _ { \rho } ^ { 2 } } { 2 4 \pi } \, \frac { C _ { V P } ^ { 2 } } { F _ { \pi } ^ { 2 } } \left( \frac { M _ { V } ^ { 2 } - M _ { P } ^ { 2 } } { 4 \pi M _ { V } } \right) ^ { 3 } \; ,
\frac { d ^ { 2 } \sigma ^ { \mathrm { u n p } } } { d \Omega d E ^ { \prime } } = \frac { 4 \alpha ^ { 2 } E ^ { 2 } } { q ^ { 4 } } \bigg ( 2 W _ { 1 } \sin ^ { 2 } \frac { \theta } { 2 } + W _ { 2 } \cos ^ { 2 } \frac { \theta } { 2 } \bigg ) ,
\begin{array} { r l } { U _ { p } } & { : = \left\{ p \in \left( { \mathbf { P } } ^ { 1 } ( { \mathbf C } ) \right) ^ { n } \mid \left\{ \begin{array} { l l } { i \in I \Rightarrow \rho _ { i } ( p ) \neq \infty , } \\ { j \in J \Rightarrow \tilde { \rho } _ { j } ( p ) \neq \infty , } \end{array} \right. \right\} } \\ & { : = \left\{ p \in \left( { \mathbf { P } } ^ { 1 } ( { \mathbf C } ) \right) ^ { n } \mid \left\{ \begin{array} { l l } { i \in I \Rightarrow \rho _ { i } ( p ) \neq \infty , } \\ { j \in J \Rightarrow \rho _ { j } ( p ) \neq 0 , } \end{array} \right. \right\} } \end{array}
\langle A _ { \{ \alpha \} } ( x ) \, A _ { \{ \beta \} } ( 0 ) \rangle = { \frac { \Gamma \left( { \frac { n } { 2 } } \right) } { 2 ( n - 2 ) \pi ^ { \frac { n } { 2 } } } } { \frac { { \cal A } _ { \{ \alpha \} , \{ \beta \} } } { | x | ^ { n - 2 } } } .
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { \P \left( \sum _ { k = 1 } ^ { \tau } \boldsymbol Z ^ { ( k ) } \in t A \right) } { \P \left( Z _ { ( i ) } ^ { \oplus } > t \right) } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \P ( \tau = n ) f _ { i } ( n ) \frac { \mu _ { i } ( A ) } { f _ { i } ( d ) \mu _ { i } \left( \{ \boldsymbol z \in \mathbb { R } _ { + } ^ { d } : z _ { ( i ) } > 1 \} \right) } . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { n \left( \frac { 1 - k } { 1 + k } \right) = 2 G \left( U - T - J ^ { 2 } - \nu S ^ { 2 } \right) } } \\ { { B ^ { 2 } = 1 - 8 G \left( U + \frac { ( J ^ { 2 } + \nu S ^ { 2 } ) } { 2 } \right) } } \\ { { m ^ { 2 } = 4 G ( J ^ { 2 } + \nu S ^ { 2 } ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gg _ { \mathscr { O } } } & { { } = \int _ { n _ { 1 2 } } \: d x \: { A } _ { 1 2 } ^ { \mathscr { O } } ( x ) + \int _ { n _ { 2 3 } } \: d y \: { A } _ { 2 3 } ^ { \mathscr { O } } ( y ) + \int _ { n _ { 3 1 } } \: d z \: { A } _ { 3 1 } ^ { \mathscr { O } } ( z ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { j ^ { \mu } } & { = \left[ { \frac { \partial } { \partial ( \partial _ { \mu } \varphi ) } } { \mathcal { L } } \right] Q [ \varphi ] - f ^ { \mu } } \\ & { = \partial ^ { \mu } \varphi \left( x ^ { \nu } \partial _ { \nu } \varphi + \varphi \right) - x ^ { \mu } \left( { \frac { 1 } { 2 } } \partial ^ { \nu } \varphi \partial _ { \nu } \varphi - \lambda \varphi ^ { 4 } \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { V _ { 2 k } } & { { } = { \frac { \left( 2 \pi \right) ^ { k } } { ( 2 k ) ! ! } } = { \frac { \pi ^ { k } } { k ! } } } \\ { V _ { 2 k + 1 } } & { { } = { \frac { 2 \left( 2 \pi \right) ^ { k } } { ( 2 k + 1 ) ! ! } } = { \frac { 2 k ! \left( 4 \pi \right) ^ { k } } { ( 2 k + 1 ) ! } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { x } & { { } = x _ { 1 } , } \\ { y } & { { } = y _ { 1 } , } \\ { x ^ { \prime } } & { { } = \frac { x _ { 2 } - x _ { 1 } } { L _ { 1 } } , } \\ { y ^ { \prime } } & { { } = \frac { y _ { 3 } - y _ { 1 } } { L _ { 1 } + L _ { 2 } + \rho + L _ { 3 } } , } \\ { \delta } & { { } = \frac { 1 } { \rho + L _ { 3 } } \left( x _ { 3 } + \frac { L _ { 3 } } { \rho } x - \left( { \rho - \frac { ( L _ { 1 } + L _ { 2 } ) L _ { 3 } } { \rho } } \right) x ^ { \prime } \right) . } \end{array}
| \psi ^ { * } ( t ) \rangle = \left( I _ { 2 } \otimes \widehat { \mathrm { Q F T } } ^ { \dag } \right) \left( I _ { 2 } \otimes \widehat { \mathcal { P } } ( k ^ { 2 } \Delta t ) \right) \left( I _ { 2 } \otimes \widehat { \mathrm { Q F T } } \right) \left( I _ { 2 } \otimes \widehat { \mathcal { P } } ( V _ { F } \Delta t ) \right) | \psi ( t ) \rangle
h ( D , S , \psi ) = \int D \big \langle \psi , ( \widehat { H } - p \partial _ { p } \widehat { H } ) \psi + \{ i \hbar \widehat { H } , \psi \} - \nabla S \cdot { \bf X } _ { \widehat { H } } \psi \big \rangle \, \mathrm { d } ^ { 2 } z
\frac { h ( \bar { u } ( v ) ) - h ( \bar { u } ( 0 ) ) } { h ( \bar { u } ( v _ { 0 } ) ) - h ( \bar { u } ( 0 ) ) } < \frac { \bar { u } ( v ) - \bar { u } ( 0 ) } { \bar { u } ( v _ { 0 } ) - \bar { u } ( 0 ) } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } v < v _ { 0 }
h ( r , x _ { 1 1 } ) = \frac { \kappa N } { 1 6 R } \left[ \; \frac { 3 } { r ^ { 5 } } + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { 2 } { \pi } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { m ^ { 2 } m ^ { 1 / 2 } } { R ^ { 5 } } \left( \frac { R } { r } \right) ^ { 5 / 2 } K _ { 5 / 2 } ( m r / R ) 2 \cos ( m x _ { 1 1 } / R ) \; \right] .
\begin{array} { r l } { P _ { 0 } ( x , y ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { p \to 0 } P _ { p } ( x , y ) = \sqrt { L ( x , y ) L _ { \pi } ( x , y ) } , } \\ { P _ { \infty } ( x , y ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { p \to \infty } P _ { p } ( x , y ) = \operatorname* { m a x } \{ L ( x , y ) , L _ { \pi } ( x , y ) \} , } \\ { P _ { - \infty } ( x , y ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { p \to - \infty } P _ { p } ( x , y ) = \operatorname* { m i n } \{ L ( x , y ) , L _ { \pi } ( x , y ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m a x } \quad } & { \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( \nu _ { i } - \tau _ { i } ) f _ { i } } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { f _ { i } - f _ { j } \leq \| y _ { i } - y _ { j } \| _ { \infty } , } & { { \forall i , j \leq m , i \not = j } , } \\ & { - f _ { i } + f _ { j } \leq \| y _ { i } - y _ { j } \| _ { \infty } , } & { \forall i , j \leq m , i \not = j , } \\ & { - 1 \leq f _ { i } \leq 1 , } & { \forall i \leq m . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho ^ { s } \phi \left[ \frac { \partial \mathbf { u ^ { s } } } { \partial t } + \mathbf { \nabla } \cdot \left( \mathbf { u ^ { s } } \otimes \mathbf { u ^ { s } } \right) \right] = \phi ( \rho ^ { s } - \rho ^ { f } ) \mathbf { g } + \frac { ( 1 - \phi ) \rho ^ { f } \nu ^ { f } } { K } ( \mathbf { u ^ { f } } - \mathbf { u ^ { s } } ) - \nabla p ^ { s } + \nabla \cdot \boldsymbol { \tau ^ { s } } - \phi \nabla p ^ { f } , } \end{array}
{ \overline { { g } } } _ { \alpha \beta } = { \overline { { \varphi } } } _ { \alpha } \circ { \overline { { \varphi } } } _ { \beta } ^ { - 1 } : { \overline { { \varphi } } } _ { \beta } \left( { \overline { { U } } } _ { \alpha } \cap { \overline { { U } } } _ { \beta } \right) \rightarrow { \overline { { \varphi } } } _ { \alpha } \left( { \overline { { U } } } _ { \alpha } \cap { \overline { { U } } } _ { \beta } \right)
J _ { \alpha \dot { \alpha } } = D _ { \alpha } \Phi \overline { { { D } } } _ { \dot { \alpha } } \overline { { { \Phi } } } + 2 i \Phi { \stackrel { \leftrightarrow } { \partial } } _ { \alpha \dot { \alpha } } \overline { { { \Phi } } }
\mathcal { H } _ { X Y } ^ { \, l } = \sum _ { i = 1 } ^ { L } \frac { p _ { i } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \langle i , j \rangle } \left[ 1 - \cos ( \theta _ { i } - \theta _ { j } ) \right] + \epsilon _ { l } \sum _ { i = 1 } ^ { L } \sin ^ { 2 } { \theta _ { i } } \, ,
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { W } \rangle } & { { } = \mathrm { V a r } [ \hat { x } _ { E } ] + \mathrm { V a r } [ \hat { p } _ { E } ] = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathrm { V a r } [ \hat { x } _ { \alpha ^ { \prime } } ] + \mathrm { V a r } [ \hat { p } _ { \alpha ^ { \prime } } ] + \mathrm { V a r } [ \hat { x } _ { \beta } ] + \mathrm { V a r } [ \hat { p } _ { \beta } ] \right) } \end{array}
H _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } ^ { ( m ) } = E _ { m } + \mu _ { \mathrm { ~ B ~ } } g _ { J } \left( \begin{array} { c c } { \langle m | \mathbf { B } \cdot \hat { \mathbf { J } } | m \rangle } & { \langle m | \mathbf { B } \cdot \hat { \mathbf { J } } | \bar { m } \rangle } \\ { \langle \bar { m } | \mathbf { B } \cdot \hat { \mathbf { J } } | m \rangle } & { \langle \bar { m } | \mathbf { B } \cdot \hat { \mathbf { J } } | \bar { m } \rangle } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial \theta _ { j } } \mathcal { L } ( \boldsymbol { \theta } | \mathbf { X } _ { 1 : N } , \tilde { \mathbf { f } } _ { 1 : N } ) } \\ & { = - \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \Bigg ( \frac { 1 } { 2 } \Big ( \tilde { \mathbf { f } } _ { n } - \boldsymbol { \mu _ { \theta } } ( \mathbf { X } _ { n } ) \Big ) ^ { \sf T } \Big ( \tilde { \mathbf { K } } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \mathbf { X } _ { n } ) \Big ) ^ { - 1 } } \\ & { \frac { \partial \tilde { \mathbf { K } } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \mathbf { X } _ { n } ) } { \partial \theta _ { j } } \Big ( \tilde { \mathbf { K } } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \mathbf { X } _ { n } ) \Big ) ^ { - 1 } \Big ( \tilde { \mathbf { f } } _ { n } - \boldsymbol { \mu _ { \theta } } ( \mathbf { X } _ { n } ) \Big ) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { t r } \bigg ( \tilde { \mathbf { K } } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \mathbf { X } _ { n } ) ^ { - 1 } \frac { \partial \tilde { \mathbf { K } } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \mathbf { X } _ { n } ) } { \partial \theta _ { j } } \bigg ) \Bigg ) \frac { 1 } { T _ { n } } } \\ & { = - \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 T _ { n } } \mathrm { t r } \bigg ( \Big ( \boldsymbol { \Lambda \Lambda } ^ { \sf T } - \tilde { \mathbf { K } } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \mathbf { X } _ { n } ) ^ { - 1 } \Big ) \frac { \partial \tilde { \mathbf { K } } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \mathbf { X } _ { n } ) } { \partial \theta _ { j } } \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) } & { = } & { \frac { 1 + K _ { 1 } x _ { 1 } + K _ { 2 } x _ { 2 } + K _ { 3 } x _ { 3 } + K _ { 4 } x _ { 4 } } { 1 6 } } \\ & { } & { + \frac { K _ { 1 2 } x _ { 1 } x _ { 2 } + K _ { 1 3 } x _ { 1 } x _ { 3 } + K _ { 1 4 } x _ { 1 } x _ { 4 } + K _ { 2 3 } x _ { 2 } x _ { 3 } + K _ { 2 4 } x _ { 2 } x _ { 4 } + K _ { 3 4 } x _ { 3 } x _ { 4 } } { 1 6 } } \\ & { } & { + \frac { K _ { 1 2 3 } x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } + K _ { 1 2 4 } x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 4 } + K _ { 1 3 4 } x _ { 1 } x _ { 3 } x _ { 4 } + K _ { 2 3 4 } x _ { 2 } x _ { 3 } x _ { 4 } + K _ { 1 2 3 4 } x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } x _ { 4 } } { 1 6 } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \rho } _ { \dagger } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) = } & { { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) , } \\ { { v } _ { \dagger } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) = } & { { v } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) - \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } \zeta \left( { u } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) \right) d y + \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } \eta _ { \ast } \left( { u } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) \right) d y } \\ & { - \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } a _ { j } ^ { n + 1 } { \rho } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) d y + \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } K d y . } \end{array}