harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\tilde { \mathbf { u } } \cdot \mathbf { n } = 0 , \quad a \tilde { \nabla } ( \tilde { D } ^ { 3 } \tilde { \nabla } \! \cdot \! \tilde { \mathbf { u } } ) \cdot \mathbf { n } = 0 , \quad b \tilde { \nabla } ~ \tilde { \eta } \cdot \mathbf { n } = 0 \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ \partial \Omega \ ,
\begin{array} { r l } & { ( [ X _ { \alpha } ^ { \delta } ] _ { 1 } ^ { 3 } - [ X _ { \alpha } ^ { \delta } ] _ { 0 } ^ { 2 } ) / \delta \approx \delta \left( c _ { 1 } c _ { 2 } X _ { \alpha } ^ { \delta } + ( c _ { 2 } ) _ { x } X _ { \beta } ^ { \delta } \right) ( 0 ) } \\ & { + ( \delta ^ { 2 } / 2 ) \left( c _ { 1 } c _ { 2 } Y _ { 1 } ^ { \delta } + ( c _ { 2 } ) _ { x } Y _ { 2 } ^ { \delta } + ( c _ { 2 } ( c _ { 1 } ) _ { y } + 2 c _ { 1 } ( c _ { 2 } ) _ { x } ) X _ { \alpha } ^ { \delta } + ( c _ { 1 } c _ { 2 } ^ { 2 } + ( c _ { 2 } ) _ { x x } ) X _ { \beta } ^ { \delta } \right) ( 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { o p } ( \alpha ) H _ { o p } U _ { o p } ^ { + } ( \alpha ) } & { { } = } & { U _ { o p } ( \alpha ) \left[ \int d ^ { 3 } r \; \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) h \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \right] U _ { o p } ^ { + } ( \alpha ) = } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { a } _ { \kappa } ( v , \varphi ) } & { \leq C _ { \mathrm { b n d } } \, \lvert | v \rvert | _ { H _ { \kappa } ^ { 1 } } \lvert | \varphi \rvert | _ { H _ { \kappa } ^ { 1 } } , \qquad \mathrm { a n d } \qquad \hat { a } _ { \kappa } ( \varphi , \varphi ) \geq C _ { \mathrm { c o e } } \, \lvert | \varphi \rvert | _ { H _ { \kappa } ^ { 1 } } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathrm { p o w e r } } } & { = { \frac { { \mathrm { f o r c e } } \cdot { \mathrm { l i n e a r ~ d i s t a n c e } } } { \mathrm { t i m e } } } } \\ & { = { \frac { \left( { \frac { \mathrm { t o r q u e } } { r } } \right) \cdot ( r \cdot { \mathrm { a n g u l a r ~ s p e e d } } \cdot t ) } { t } } } \\ & { = { \mathrm { t o r q u e } } \cdot { \mathrm { a n g u l a r ~ s p e e d } } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathcal { I } _ { i , j } ( k , \boldsymbol { x } , \iota , t ; \hbar ) = \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k } } ( i \lambda ) ^ { | \alpha | } \int _ { [ 0 , t ] _ { \leq } ^ { k } } \prod _ { m = 1 } ^ { k } \Theta _ { \alpha _ { m } } ( s _ { m - 1 } , { s } _ { m } , x _ { \iota ( m ) } ; V , \hbar ) \, d \boldsymbol { s } _ { k , 1 } U _ { \hbar , 0 } ( - t ) , } \end{array}
R _ { n \ell } ( r ) = { \sqrt { { \left( { \frac { 2 Z } { n a _ { \mu } } } \right) } ^ { 3 } { \frac { ( n - \ell - 1 ) ! } { 2 n ( n + \ell ) ! } } } } e ^ { - Z r / { n a _ { \mu } } } \left( { \frac { 2 Z r } { n a _ { \mu } } } \right) ^ { \ell } L _ { n - \ell - 1 } ^ { ( 2 \ell + 1 ) } \left( { \frac { 2 Z r } { n a _ { \mu } } } \right)
\begin{array} { r l } { \left\{ { H } _ { 3 } ^ { ( 3 ) } , F ^ { ( 3 ) } \right\} } & { = \frac { 3 \alpha } { 8 } \int \left( v \Lambda ^ { \alpha - 1 } z + \Lambda ^ { \alpha - 1 } ( v z ) + z \Lambda ^ { \alpha - 1 } v - T _ { \alpha } v z \right) \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } K _ { 2 } ( v , v ) d x } \\ & { \ + \frac { 3 \alpha } { 1 6 } \int \left( 2 z \Lambda ^ { \alpha - 1 } z + \Lambda ^ { \alpha - 1 } ( z ^ { 2 } ) - T _ { \alpha } z ^ { 2 } \right) \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } K _ { 2 } ( v , v ) d x } \\ & { \ + \frac { 3 \alpha } { 8 } \int \left( 2 z \Lambda ^ { \alpha - 1 } z + \Lambda ^ { \alpha - 1 } ( z ^ { 2 } ) - T _ { \alpha } z ^ { 2 } \right) \partial _ { x } \Pi _ { S } K _ { 1 } ( v , z ) d x } \end{array}
\begin{array} { r l } { h } & { ( X _ { t \wedge T } ) - h ( X _ { 0 } ) = \int _ { 0 } ^ { t \wedge T } h _ { - } ^ { \prime } ( X _ { s - } ) d X _ { s } } \\ & { + \sum _ { 0 < s \leq t \wedge T } \left[ h ( X _ { s } ) - h ( X _ { s - } ) - h _ { - } ^ { \prime } ( X _ { s - } ) \Delta X _ { s } \right] + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb R } L ( t \wedge T , x ) h ^ { \prime \prime } ( d x ) . } \end{array}
F _ { E } ( r ) = \frac { r ^ { 4 } + \left( \ell ^ { 2 } - 6 n ^ { 2 } \right) r ^ { 2 } - 2 m \ell ^ { 2 } r + n ^ { 2 } \left( \ell ^ { 2 } - 3 n ^ { 2 } \right) } { ( r ^ { 2 } - n ^ { 2 } ) \ell ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \rho _ { 0 } \varphi = } & { { } - \int _ { 0 } ^ { c _ { \mathrm { L i } } } F U _ { 0 } \left( c _ { \mathrm { L i } } ^ { \prime } \right) \mathrm { d } c _ { \mathrm { L i } } ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { y } _ { n + 1 } = ( A + R ( n ) ) \mathbf { y } _ { n } , } \\ & { A = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { \mu + \nu + d } { \nu } } & { \underline { { 0 } } ^ { T } } & { - \frac { \mu } { \nu } } \\ { 1 } & { \underline { { 0 } } ^ { T } } & { 0 } \\ { \underline { { 0 } } } & { I _ { L - 1 } } & { \underline { { 0 } } } \end{array} \right) , R ( n ) = \mathrm { d i a g } ( - \frac { b ( - n ) } { \nu } q _ { - n } , \cdots , - \frac { b ( - n + L ) } { \nu } q _ { - n + L } ) , } \end{array}
U _ { F } ( \boldsymbol r ^ { \prime } ) = { \frac { \mathrm { i } } { \lambda D } } \, \widehat { U } _ { A } \left( { \frac { \boldsymbol r ^ { \prime } } { \lambda D } } \right) = { \frac { \mathrm { i } } { \lambda R _ { A } } } \, \widehat U _ { A } \left( { \frac { \boldsymbol r ^ { \prime } } { \lambda R _ { A } } } \right) \, .
\begin{array} { r l r } { \rho ( r , s ) } & { { } = } & { \left[ \cot ^ { 2 } \left( \alpha \right) + r ^ { 2 } - 2 r \cot ( \alpha ) \cos ( s ) \right] ^ { 1 / 2 } , } \\ { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \theta ( r , s ) } & { { } = } & { \cos ^ { - 1 } \left[ \frac { r \cos ( s ) - \cot ( \alpha ) } { \rho ( r , s ) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma \varepsilon ^ { - 1 / 2 } ( 1 - p / 2 ) ^ { - t } \mathcal { S } _ { - n _ { i } } ( y , z _ { i } ) } & { = 2 \sigma \varepsilon ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { r } } \mathrm { d } w \, \frac { ( 1 - w ) ^ { n _ { i } } } { 2 ^ { z _ { i } - y + 1 } w ^ { z _ { i } - y + n _ { i } + 1 } } \frac { ( 1 - p + p w ) ^ { t } } { ( 1 - p / 2 ) ^ { t } } } \\ & { = 2 \sigma \varepsilon ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { r } } \mathrm { d } w \, e ^ { F _ { \varepsilon } ( w ) } = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { r } } \mathrm { d } v \, e ^ { F _ { \varepsilon } ( 1 / 2 ( 1 + \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma ) ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } } ^ { ( n ) } = } & { { } M ^ { ( n ) } \sum _ { j } \sum _ { k } \phi _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } } ^ { ( n ) } A _ { j k , j ^ { \prime } k ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } [ F _ { j } ] } & { \le \frac { c ^ { 3 } } \beta ( c _ { 1 } + \tilde { c } _ { 2 } ) + \frac { c ^ { 3 } } \beta ( \frac { s \wedge s _ { 0 } } \eta ) ^ { - \gamma } ( \tilde { c } _ { 1 } + c _ { 2 } ) + \left\{ \begin{array} { c c } { \frac { 4 c ^ { 2 + \gamma _ { 1 } } } { \kappa _ { k _ { 0 } } \eta ^ { 1 + \gamma _ { 2 } } } j ( k _ { 0 } , \tilde { s } _ { 0 } ) } & { o n \ I _ { 1 } } \\ { \eta ^ { \gamma _ { 1 } } \frac { c ^ { 4 + \gamma _ { 1 } } } { \kappa _ { k _ { 0 } } } j ( k _ { 0 } , \tilde { s } _ { 0 } ) } & { o n \ I _ { 3 } } \end{array} \right. } \\ { R _ { 2 } [ F _ { j } ] } & { \le \operatorname* { m i n } ( \frac 1 \beta \frac 1 { 2 c ^ { 1 + \gamma } } \eta ^ { - \gamma } , \frac c \beta ( \frac { s \vee \tilde { s } _ { 0 } } \eta ) ^ { \gamma } ) ( c _ { 1 } + \tilde { c } _ { 2 } ) + \frac 1 \beta c ( c _ { 2 } + \tilde { c } _ { 1 } ) } \\ & { + \frac 1 \beta c ( c _ { 2 } + \tilde { c } _ { 1 } ) + \left\{ \begin{array} { c c } { 4 \frac { c ^ { \gamma _ { 2 } } } { \kappa _ { k _ { 0 } } \eta ^ { 1 + \gamma _ { 1 } } } j ( k _ { 0 } , \tilde { s } _ { 0 } ) } & { o n \ I _ { 1 } } \\ { \eta ^ { \gamma _ { 2 } } \frac { c ^ { 2 + \gamma _ { 2 } } } { \kappa _ { k _ { 0 } } } j ( k _ { 0 } , \tilde { s } _ { 0 } ) } & { o n \ I _ { 3 } } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { t + h } ^ { 1 } } & { { } = y _ { t } + h f \left( y _ { t } , \ t \right) } \\ { y _ { t + h } ^ { 2 } } & { { } = y _ { t } + h f \left( y _ { t + h / 2 } ^ { 1 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) } \\ { y _ { t + h } ^ { 3 } } & { { } = y _ { t } + h f \left( y _ { t + h / 2 } ^ { 2 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) } \end{array}
f _ { \overline { { i } } } ( \mathbf { x _ { b } } , t + \Delta t ) = f _ { i } ^ { * } ( \mathbf { x _ { b } } , t ) - 2 w _ { i } \rho _ { w } \frac { \mathbf { c _ { i } } \cdot \mathbf { u _ { w } } } { c _ { s } ^ { 2 } }
\frac { D \boldsymbol { \ell } } { D t } = \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { \omega } \wedge \boldsymbol { \ell } + \beta \left( \boldsymbol { \ell } \cdot \vec { E } - \boldsymbol { \ell } \cdot \vec { E } \cdot \boldsymbol { \ell } \boldsymbol { \ell } \right) ,
I _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ( r , \theta ) = ( | \mathbf { E } _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ^ { + } ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } + | \mathbf { E } _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ^ { - } ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } ) / | E _ { 0 } | ^ { 2 }
( f ( s , | \nabla s | ) = \left( \frac { 2 A ( T ) \rho ^ { n } g ^ { n } } { n + 2 } ( s - b ) ^ { n + 2 } | \nabla s | ^ { n - 1 } + \frac { \rho g } { \beta } ( s - b ) ^ { 2 } \right)
\phi = 6 J _ { 2 } ^ { \sigma } + 2 I _ { 1 } ^ { \sigma } \left( \sigma _ { \mathrm { c } } - \sigma _ { \mathrm { t } } \right) - 2 \sigma _ { \mathrm { c } } \sigma _ { \mathrm { t } } \leq 0 \quad \mathrm { a n d } \quad \Delta \varepsilon _ { i j } ^ { \mathrm { p } } = \Delta \gamma \left( 3 S _ { i j } + \frac { 1 - 2 \nu _ { \mathrm { p } } } { 1 + \nu _ { \mathrm { p } } } I _ { 1 } ^ { \sigma } \delta _ { i j } \right)
\begin{array} { r } { \mathfrak { M } _ { \partial _ { x } ^ { 2 } O p ^ { W } ( \partial _ { \varphi } ^ { \vec { \mathtt { b } } } ( \mathfrak { r } _ { - 2 , \le 3 , \sharp } ) ) } ^ { \gamma } ( 0 , s ) , \ \mathfrak { M } _ { \partial _ { x } \partial _ { \varphi } ^ { \vec { \mathtt { b } } } ( R _ { 6 } ) } ^ { \gamma } ( 0 , s ) , \ \mathfrak { M } _ { \partial _ { x } ^ { 2 } \partial _ { \varphi } ^ { \vec { \mathtt { b } } } ( W _ { 3 } ) } ^ { \gamma } ( 0 , s ) \le _ { \mathtt { p e } , s } \gamma ^ { - 1 } \left( \varepsilon ^ { 5 } + \varepsilon ^ { 3 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | n _ { s } \rangle } & { { } = | S M _ { S } \rangle | I M _ { I } \rangle = | S M _ { S } I M _ { I } \rangle } \\ { | n _ { s } ^ { ( a ) } \rangle } & { { } = | S _ { a } M _ { S _ { a } } \rangle | I _ { a } M _ { I _ { a } } \rangle = | S _ { a } M _ { S _ { a } } I _ { a } M _ { I _ { a } } \rangle . } \end{array}
D _ { \mathrm { ~ i ~ } } \sim \omega ^ { 2 } ( \omega + i \, \nu _ { \mathrm { c n } } ) ^ { 2 } - ( a _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } + c _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } ) \omega ( \omega + i \, \nu _ { \mathrm { c n } } ) k ^ { 2 } + a _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } c _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } k ^ { 4 } \cos ^ { 2 } \alpha = 0
\begin{array} { r l r } { \overline { { \psi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) } & { { } = } & { a \left( s \right) ^ { 1 / 2 } \overline { { \phi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) = \left( a _ { 1 } \left( s \right) + a _ { 2 } \left( s \right) \right) ^ { 1 / 2 } \overline { { \phi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) } \\ { \overline { { \psi } } _ { b } \left( s \right) } & { { } = } & { a \left( s \right) ^ { - 1 / 2 } \overline { { F } } _ { b } \left( s \right) = \left( a _ { 1 } \left( s \right) + a _ { 2 } \left( s \right) \right) ^ { - 1 / 2 } \overline { { F } } _ { b } \left( s \right) } \end{array}
k = { \left\{ \begin{array} { l l } { j + m : } & { a = m ^ { \prime } - m ; \quad \lambda = m ^ { \prime } - m } \\ { j - m : } & { a = m - m ^ { \prime } ; \quad \lambda = 0 } \\ { j + m ^ { \prime } : } & { a = m - m ^ { \prime } ; \quad \lambda = 0 } \\ { j - m ^ { \prime } : } & { a = m ^ { \prime } - m ; \quad \lambda = m ^ { \prime } - m } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } } & { ( w _ { 1 } ^ { 2 } + w _ { 2 } ^ { 2 } + w _ { 3 } ^ { 2 } - 3 ) ^ { 2 } e ^ { - \frac { w _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { w _ { 3 } ^ { 2 } } { 2 } } \, d w _ { 2 } d w _ { 3 } } \\ & { \qquad = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } ( w _ { 1 } ^ { 4 } + w _ { 2 } ^ { 4 } + w _ { 3 } ^ { 4 } + 9 - 6 w _ { 1 } ^ { 2 } - 6 w _ { 2 } ^ { 2 } - 6 w _ { 3 } ^ { 2 } + 2 w _ { 1 } ^ { 2 } w _ { 2 } ^ { 2 } + 2 w _ { 2 } ^ { 2 } w _ { 3 } ^ { 2 } + 2 w _ { 1 } ^ { 2 } w _ { 3 } ^ { 2 } ) e ^ { - \frac { w _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { w _ { 3 } ^ { 2 } } { 2 } } \, d w _ { 2 } d w _ { 3 } } \\ & { \qquad = 2 \pi \Big ( w _ { 1 } ^ { 4 } + 3 + 3 + 9 - 6 w _ { 1 } ^ { 2 } - 6 - 6 + 2 w _ { 1 } ^ { 2 } + 2 + 2 w _ { 1 } ^ { 2 } \Big ) } \\ & { \qquad = 2 \pi \Big ( w _ { 1 } ^ { 4 } - 2 w _ { 1 } ^ { 2 } + 5 \Big ) . } \end{array}
\frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \tilde { \psi } ^ { * } } = \left[ \frac { m + M } { I + M } - \frac { m } { I } \right] \tilde { \psi } , \; \; \; \textrm { ( n e g a t i v e - b i n o m i a l g r a d i e n t ) }
\mathbf { M } = ( \mathbf { r } _ { A } - \mathbf { r } _ { X } ) \times \mathbf { F } + ( - \mathbf { r } _ { X } ) \times \mathbf { R } _ { O } = \left[ ( x _ { A } - x ) \mathbf { e } _ { x } \right] \times \left( - F \mathbf { e } _ { y } \right) + \left( - x \mathbf { e } _ { x } \right) \times \left( R _ { O } \mathbf { e } _ { y } \right) \, .
\begin{array} { r l } { \| v - b \| } & { = \operatorname* { m a x } \{ \| v _ { 1 } - b _ { 1 } \| , \| v _ { 2 } - b _ { 2 } \| \} } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } \{ r ( v _ { 1 } , B ( 1 ) ) , r ( v _ { 2 } , B ( 2 ) ) \} } \\ & { = \operatorname* { m a x } \{ r _ { 1 } ( B ) , r _ { 2 } ( B ) \} = \emph { r a d } _ { V } ( B ) . } \end{array}
3 3 { \cal M } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { l l l } { { d _ { 8 } } } & { { r a } } & { { 0 } } \\ { { } } & { { M _ { 0 } ^ { 2 } + \beta _ { 0 } d _ { 0 } } } & { { q } } \\ { { \mathrm { ~ s y m m . } } } & { { } } & { { M _ { G } ^ { 2 } } } \end{array} \right) .
K _ { p } = \sum _ { k = p } ^ { \infty } \frac { ( k - 1 ) ! } { ( k - p ) ! } \frac { ( \nu \lambda _ { 0 } ) ^ { k } } { [ 1 - ( 1 - \lambda _ { x } ) ^ { k } ] [ 1 - ( 1 - \lambda _ { y } ) ^ { k } ] [ ( 1 - \lambda _ { z } ) ^ { k } ] } ,
\frac { d { \sigma } _ { 2 1 } ( N ) } { d \Omega } = \frac { k _ { f } ( N ) } { k _ { i } } J _ { N } ^ { 2 } ( X _ { q } ) \frac { 2 8 8 } { ( 9 / 4 + q ^ { 2 } ) ^ { 6 } } \frac { 1 } { q ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { F ( x _ { k + 1 } ) - F ( x _ { k } ) \le - \xi \alpha _ { k } \langle \nabla _ { x } F ( x _ { k } ) , q _ { k } ^ { x } \rangle - \xi \alpha _ { k } \langle \nabla _ { x } F ( x _ { k } ) , \tilde { e } _ { k } ^ { x } \rangle + \frac { l _ { F , 1 } } { 2 } \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \le - \frac { \xi \alpha _ { k } } { 2 } ( \| \nabla F ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } + \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } - \| \nabla F ( x _ { k } ) - q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } ) - \xi \alpha _ { k } \langle \nabla _ { x } F ( x _ { k } ) , \tilde { e } _ { k } ^ { x } \rangle + \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } l _ { F , 1 } ( \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle q _ { a } q _ { b } \rangle _ { \mathrm { c l } } } & { { } = \left( \boldsymbol { S } \boldsymbol { I } \boldsymbol { \Omega } ^ { - 1 } \boldsymbol { S } ^ { \intercal } \right) _ { a b } \, , } \\ { \langle q _ { a } p _ { b } \rangle _ { \mathrm { c l } } } & { { } = \left( \boldsymbol { S } \boldsymbol { I } \boldsymbol { \Omega } ^ { - 1 } \boldsymbol { S } ^ { \intercal } \boldsymbol { Y } \right) _ { a b } \, , } \\ { \langle p _ { a } p _ { b } \rangle _ { \mathrm { c l } } } & { { } = \left( \boldsymbol { S } \boldsymbol { I } \boldsymbol { \Omega } \boldsymbol { S } ^ { \intercal } + \boldsymbol { Y } \boldsymbol { S } \boldsymbol { I } \boldsymbol { \Omega } ^ { - 1 } \boldsymbol { S } ^ { \intercal } \boldsymbol { Y } \right) _ { a b } \, , } \\ { \langle q _ { a } \rangle _ { \mathrm { c l } } } & { { } = \langle p _ { a } \rangle _ { \mathrm { c l } } = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E ( V a r ^ { * } ( B _ { 2 , K , I , n } ^ { * } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } ) ) } \\ & { \leq 2 \sum _ { i _ { 2 } = 0 } ^ { K } \sum _ { i _ { 1 } = 0 } ^ { i _ { 2 } } \mu _ { i _ { 1 } } \mu _ { i _ { 2 } } \left( \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { i _ { 2 } - 1 } f _ { j _ { 1 } } \right) } \\ & { \quad \times \left\{ \sum _ { j _ { 3 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \frac { ( I + n + 1 ) \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { ( I + n - j _ { 3 } ) \epsilon ^ { j _ { 3 } } } \left( \prod _ { j _ { 4 } = i _ { 2 } } ^ { j _ { 3 } - 1 } \left( f _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } + \frac { \sigma _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 4 } } } \right) \right) \left( \prod _ { j _ { 2 } = j _ { 3 } + 1 } ^ { I + n - 1 } \left( f _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 2 } } } \right) \right) \right. } \\ & { \qquad + \sum _ { j _ { 3 } = i _ { 2 } } ^ { K } \frac { ( I + n + 1 ) \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { ( I + n - j _ { 3 } ) \epsilon ^ { j _ { 3 } } } \left( \prod _ { j _ { 4 } = i _ { 2 } } ^ { j _ { 3 } - 1 } \left( f _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } + \frac { \sigma _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 4 } } } \right) \right) \left( \prod _ { j _ { 2 } = j _ { 3 } + 1 } ^ { I + n - 1 } \left( f _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { j _ { 2 } , n } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 2 } } } \right) \right) \left( \prod _ { j _ { 4 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } f _ { j _ { 4 } } - 1 \right) } \\ & { \qquad + \sum _ { j _ { 3 } = i _ { 2 } } ^ { K } \frac { ( I + n + 1 ) \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { ( I + n - j _ { 3 } ) \epsilon ^ { j _ { 3 } } } \left( \prod _ { j _ { 4 } = i _ { 2 } } ^ { j _ { 3 } - 1 } \left( f _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } + \frac { \sigma _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 4 } } } \right) \right) } \\ & { \qquad \qquad \times \left[ \prod _ { j _ { 2 } = j _ { 3 } + 1 } ^ { K } \left( f _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { j _ { 2 } , n } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 2 } } } \right) \left( \prod _ { j _ { 2 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \left( f _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 2 } } } \right) - 1 \right) \right] \left( \prod _ { j _ { 4 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } f _ { j _ { 4 } } \right) } \\ & { \qquad + \left. \sum _ { j _ { 3 } = i _ { 2 } } ^ { K } \frac { ( I + n + 1 ) \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { ( I + n - j _ { 3 } ) \epsilon ^ { j _ { 3 } } } \left( \prod _ { j _ { 4 } = i _ { 2 } } ^ { j _ { 3 } - 1 } \left( f _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } + \frac { \sigma _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 4 } } } \right) \right) \left( \prod _ { j _ { 2 } = j _ { 3 } + 1 } ^ { K } \left( f _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 2 } } } \right) \right) \left( \prod _ { j _ { 4 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } f _ { j _ { 4 } } - 1 \right) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \rho \vec { u } ^ { 2 } } { 2 } } & { { } = } & { \frac { \vec { E } ^ { 2 } } { 2 B } \; , } \\ { \beta _ { a } \frac { D \alpha ^ { a } } { D t } } & { { } = } & { ( \rho ) \beta _ { a } \partial _ { t } \alpha ^ { a } + ( \rho u ^ { j } ) \beta _ { a } \partial _ { j } \alpha ^ { a } } \end{array}
T _ { \mathrm { t o t } } = \frac { 1 } { L _ { x } } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \left( \int _ { 0 } ^ { L _ { y } } \int _ { - H ( x , y ) } ^ { 0 } \overline { { u } } \; \mathrm { d } z \; \mathrm { d } y \right) \; \mathrm { d } x ,
\begin{array} { r } { \alpha ^ { 2 } \Vert \widehat { g } _ { \alpha } ^ { \prime } - g _ { \alpha } ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } \leq C _ { \alpha } ( \kappa _ { 0 } ) \Vert \widehat { g } _ { \alpha } ^ { \prime } - g _ { \alpha } ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } + \frac { T ^ { 4 } \ell ^ { 6 } } { 9 r _ { 0 } \kappa _ { 0 } } \exp ( T ) ( 1 + T ) \Vert \delta \nu ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l } { \wp ( u ) } & { \wp ^ { \prime } ( u ) } & { 1 } \\ { \wp ( v ) } & { \wp ^ { \prime } ( v ) } & { 1 } \\ { \wp ( w ) } & { \wp ^ { \prime } ( w ) } & { 1 } \end{array} \right] } = 0 { \mathrm { ~ i f ~ } } u + v + w = 0 .
\left( \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 3 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 2 } \\ { 2 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 1 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { = } & { { } \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq r } \Bigg \vert \left( - 1 \right) ^ { i } \left( \sum _ { M \in \mathcal { P M } _ { i } \left( \widehat { \mathcal { C } } \right) } M - \sum _ { M \in \mathcal { P M } _ { i } \left( \mathcal { C } \right) } M \right) \Bigg \vert , } \\ { = } & { { } 0 . } \end{array}
V ( r ) = \Big [ \pm \frac { g ^ { 2 } } { 8 \pi r _ { \phi } } \Big ( | \zeta _ { s } ^ { + } \cdot \zeta _ { q } | ^ { 2 } - \frac { 1 } { N _ { c } } \Big ) + m \xi \Big ] \frac { r } { r _ { \phi } } .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { S } _ { l , i } ^ { \prime \prime } } & { : = } & { \mathcal { S } _ { l } ^ { \prime } \cap ( \{ j \in \{ s _ { 3 } , \cdots , s _ { 4 } \} : \mathscr { B } _ { j } \leq i \} \backslash \{ \mathscr { Y } _ { s _ { 3 } } , \cdots , \mathscr { Y } _ { i - 1 } \} ) } \\ & { = } & { \{ j \in \{ s _ { 1 } , \cdots , s _ { 2 } \} : s _ { 1 } ^ { \prime } \leq \mathscr { B } _ { j } \leq i \} \backslash \{ \mathscr { Y } _ { s _ { 3 } } , \cdots , \mathscr { Y } _ { i - 1 } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { x } } _ { 0 \mid t } } & { = \mathbf { x } _ { 0 \mid t } - \gamma _ { t } \mathbf { A } ^ { \dagger } ( \mathbf { A } \mathbf { x } _ { 0 \mid t } - \mathbf { A } \mathbf { x } - \mathbf { n } ) } \\ & { = \mathbf { x } _ { 0 \mid t } - \gamma _ { t } \mathbf { A } ^ { \dagger } ( \mathbf { A } \mathbf { x } _ { 0 \mid t } - \mathbf { A } \mathbf { x } ) + \sigma _ { \mathbf { n } } \gamma _ { t } \epsilon _ { \mathbf { n } } , \quad \epsilon _ { \mathbf { n } } \sim \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { I } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \mathbb { P } [ \boldsymbol { \hat { u } } _ { n } \in \mathbf { p a t t } ^ { - 1 } ( \mathfrak { p } ) ] } & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \mathbb { P } [ \boldsymbol { \hat { u } } _ { n } \in D ^ { \mathfrak { p } } ] + \varepsilon = \mathbb { P } [ \boldsymbol { \hat { u } } \in D ^ { \mathfrak { p } } ] + \varepsilon , } \\ { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \mathbb { P } [ \boldsymbol { \hat { u } } _ { n } \in \mathbf { p a t t } ^ { - 1 } ( \mathfrak { p } ) ] } & { \geq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \mathbb { P } [ \boldsymbol { \hat { u } } _ { n } \in D ^ { \mathfrak { p } } ] = \mathbb { P } [ \boldsymbol { \hat { u } } \in D ^ { \mathfrak { p } } ] , } \end{array}
| | { \textbf { a } } | | _ { 2 } = | | \operatorname* { l i m } _ { j \to \infty } { \tilde { \textbf { x } } } _ { k _ { j } } | | _ { 2 } = \operatorname* { l i m } _ { j \to \infty } | | { \tilde { \textbf { x } } } _ { k _ { j } } | | _ { 2 } = 1
\frac { 3 } { 2 } \tau ^ { 2 } \partial _ { t } ^ { 2 } \mathbf { m } - 1 2 \tau \partial _ { t } \mathbf { m } - \left( 1 8 + \frac { 6 } { 5 } \alpha ^ { 2 } \right) \vec { m } = - 6 \alpha \hat { \vec { z } }
W _ { \lambda \to 0 } ^ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } [ n ] = E _ { x } [ \{ \psi _ { i } ^ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } [ n ] \} ] + \sum _ { \mathrm { ~ n ~ } = 2 } ^ { \infty } \mathrm { ~ n ~ } \, E _ { c } ^ { \mathrm { ~ G ~ L ~ n ~ } } \lambda ^ { \mathrm { ~ n ~ } - 1 } ,