harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { | ( V ( t ) ^ { - 1 } B _ { 3 2 } ) _ { l } | \le } & { | [ ( V ( t ) ^ { - 1 } - S ( t ) ) B _ { 3 2 } ] _ { l } | + | ( S ( t ) B _ { 3 2 } ) _ { l } | } \\ { \le } & { ( 2 n - 1 ) \| V ( t ) ^ { - 1 } - S ( t ) \| _ { \operatorname* { m a x } } \| B _ { 3 2 } ( t ) \| _ { \infty } + \operatorname* { m a x } _ { 1 \le l \le 2 n - 1 } \frac { | B _ { 3 2 , l } ( t ) | } { v _ { l l } ( t ) } } \\ & { + \| \widehat { \eta } _ { \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta ^ { * } ( t ) \| _ { \infty } ^ { 2 } \times \frac { | \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } b _ { l , i n } ( t ) | } { n v _ { 2 n , 2 n } ( t ) } } \\ { = } & { O _ { p } \Big ( ( q _ { n } + 1 ) ^ { 2 } e ^ { 3 0 q _ { n } } \kappa _ { n } ^ { 2 } \frac { \log n h _ { 1 } } { n h _ { 1 } } \Big ) = o _ { p } ( ( n h _ { 1 } ) ^ { - 1 / 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } _ { 2 } \left( \mu _ { k \eta } , \pi \right) } & { \le C \sqrt { d } \sqrt [ 4 ] { \left( d ^ { 2 } \frac { \omega _ { \nabla U } ( r ) } { r } \eta + \left( \omega _ { \nabla U } \left( r \right) \right) ^ { 2 } \right) k \eta + r \sqrt { d } } + e ^ { C d } \exp \left( - \frac { k \eta } { C \Bar { c } _ { \mathrm { P } } ( d ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } ^ { \dagger } \, \mathcal { U } ^ { \dagger } \, \hat { a } _ { c } ^ { \dagger } \hat { a } _ { c } \, \mathcal { U } \, \mathcal { S } } & { = \frac { 1 } { \hbar \omega _ { c } } \left( \mathcal { S } ^ { \dagger } \, \mathcal { U } ^ { \dagger } \, \hat { H } _ { C } \, \mathcal { U } \, \mathcal { S } \right) - \frac { 1 } { 2 } \quad , } \end{array}
M _ { y } = - q _ { 0 } \pi ^ { 2 } a ^ { 2 } \sum _ { m = 1 , 3 , 5 , . . . } ^ { \infty } m ^ { 2 } \left( \left( \left( 1 - \nu \right) A _ { m } + 2 B _ { m } \right) \cosh { \frac { m \pi y } { a } } + \left( 1 - \nu \right) B _ { m } { \frac { m \pi y } { a } } \sinh { \frac { m \pi y } { a } } - \nu G _ { m } \right) \sin { \frac { m \pi x } { a } }
\begin{array} { r l } { \Phi _ { k } ^ { ( v ) } ( x ) } & { = 1 - { \frac { 1 } { \Gamma ( k - 1 ) } } \sum _ { r = k - 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { r - k + 1 } } { \Gamma ( r - k + 2 ) } } { \frac { \langle z _ { r + 1 } \rangle ^ { ( v ) } } { \langle z \rangle ^ { ( v ) } } } { \frac { ( 1 - x ) ^ { r } } { r } } } \\ { \Phi _ { q } ^ { ( e ) } ( x ) } & { = 1 - { \frac { 1 } { \Gamma ( q - 1 ) } } \sum _ { s = q - 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { s - q + 1 } } { \Gamma ( s - q + 2 ) } } { \frac { \langle n _ { s + 1 } \rangle ^ { ( e ) } } { \langle n \rangle ^ { ( e ) } } } { \frac { ( 1 - x ) ^ { s } } { s } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \iota } = \left\langle \tilde { S } _ { \tilde { u } _ { f } | \tilde { u } _ { 0 } } \right\rangle = \frac { \tilde { u } _ { f } - \tilde { u } _ { 0 } } { \tilde { \alpha } } . } \end{array}
Z _ { \mathbf { x } } ^ { ( \ell ) } ( { \mathbf { y } } ) = \sum _ { j = 1 } ^ { \dim ( \mathbf { H } _ { \ell } ) } { \overline { { Y _ { j } ( { \mathbf { x } } ) } } } \, Y _ { j } ( { \mathbf { y } } )
L = 2 \left( a F \left( \frac { t _ { 0 } } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } , \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) + c E \left( \frac { t _ { 0 } } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } , \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) - \sqrt { \varepsilon ^ { 2 } - h ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { p _ { 1 2 } } & { { } = \frac { \mathrm { T r } \left\{ | \psi ^ { \mathrm { o u t } } \rangle \langle \psi ^ { \mathrm { o u t } } | \hat { P } _ { 1 } \otimes \hat { P } _ { 2 } \right\} } { \mathrm { T r } \left\{ | \psi ^ { \mathrm { o u t } } \rangle \langle \psi ^ { \mathrm { o u t } } | \right\} } = \frac { \langle \psi ^ { \mathrm { o u t } } | \hat { P } _ { 1 } \otimes \hat { P } _ { 2 } | \psi ^ { \mathrm { o u t } } \rangle } { \langle \psi ^ { \mathrm { o u t } } | \psi ^ { \mathrm { o u t } } \rangle } } \end{array}
\sin ^ { 2 } 2 \theta _ { \mathrm { s o l } } \sim 0 . 6 5 \, - \, 1 \; \; , \; \; \Delta m _ { \mathrm { s o l } } ^ { 2 } \sim ( 5 \, - \, 8 ) \times 1 0 ^ { - 1 1 } \; \mathrm { e V } ^ { 2 } \; .
\phi _ { \nu _ { 1 } } ^ { a n } T _ { 0 } \left( M _ { \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } } , Z \right) = T _ { 0 } \left( M _ { 1 , \nu _ { 2 } } , Z _ { 1 } \cup N _ { 1 } \right) \otimes T _ { 0 } \left( M _ { 2 } , Z _ { 2 } \cup N _ { 1 } \right) \otimes T _ { 0 } ( N _ { 1 } ) .
\begin{array} { r } { f ( T ; t , x ) = e ^ { - \frac { \lambda } { \rho } x } \delta \left( T - t - \frac { x } { \rho } \right) + x \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( \lambda / \rho ) ^ { n } } { n ! } ( \rho ( T - t ) ) ^ { n - 1 } e ^ { - \lambda ( T - t ) } p ^ { \ast n } ( \rho ( T - t ) - x ) \cdot 1 _ { T \geq t + \frac { x } { \rho } } , } \end{array}
\left< y ^ { j } \right> = \left( \frac { c } { b } \right) ^ { j } \int _ { - a / c } ^ { \infty } \frac { d z } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { z ^ { 2 } } { 2 } } \left( z + \frac { a } { c } \right) ^ { j } = \left( \frac { c } { b } \right) ^ { j } w _ { j } \left( \frac { a } { c } \right)
\begin{array} { r } { - i \frac { \alpha _ { j } + [ \alpha _ { 4 } - \alpha \cdot \omega ( \xi ) ] \xi _ { j } } { ( | \xi | ^ { 2 } + 1 ) ( \alpha \cdot \omega ( \xi ) ) } + i \frac { \overline { { \alpha } } _ { j } + [ \overline { { \alpha } } _ { 4 } - \overline { { \alpha } } \cdot \omega ( \xi ) ] \xi _ { j } } { ( | \xi | ^ { 2 } + 1 ) ( \overline { { \alpha } } \cdot \omega ( \xi ) ) } + x _ { j } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } u _ { x x x \tau } ^ { 2 } d x d \tau } & { \leq } & { 2 \lambda _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } u _ { x x x x \tau } ^ { 2 } d x d \tau + \tilde { C } ( \lambda _ { 1 } , \ell ) \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } u _ { \tau } ^ { 2 } d x d \tau , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | u _ { 0 } ^ { ( k ) } \rangle } & { { } \equiv | ( \overline { { N = 1 , F = 1 ^ { - } , M _ { F } = 0 } } ) ^ { ( k ) } \rangle } \\ { | u _ { + 1 } ^ { ( k ) } \rangle } & { { } \equiv | ( \overline { { N = 1 , F = 1 ^ { - } , M _ { F } = + 1 } } ) ^ { ( k ) } \rangle } \\ { | u _ { - 1 } ^ { ( k ) } \rangle } & { { } \equiv | ( \overline { { N = 1 , F = 1 ^ { - } , M _ { F } = - 1 } } ) ^ { ( k ) } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } ( Y _ { j + 1 } ^ { ( n ) } | Y _ { j } ^ { ( n ) } ) } & { = \frac { \mathbb { E } ( K _ { j + 1 } ^ { ( n ) } | K _ { j } ^ { ( n ) } ) } { n - j - 1 } - \frac { j ( j + 1 ) } { n ( n - j - 1 ) } = \frac { K _ { j } ^ { ( n ) } + \frac { j + 1 } { n } + \frac { j - 1 - K _ { j } ^ { ( n ) } } { n - j } } { n - j - 1 } - \frac { j ( j + 1 ) } { n ( n - j - 1 ) } } \\ & { = \frac { K _ { j } ^ { ( n ) } } { n - j } - \frac { ( j - 1 ) j } { n ( n - j ) } = Y _ { j } ^ { ( n ) } . } \end{array}
{ \begin{array} { r } { \mathbf { L } = { \left( \begin{array} { l l l } { { \sqrt { A _ { 1 1 } } } } & { 0 } & { 0 } \\ { A _ { 2 1 } / L _ { 1 1 } } & { { \sqrt { A _ { 2 2 } - L _ { 2 1 } ^ { 2 } } } } & { 0 } \\ { A _ { 3 1 } / L _ { 1 1 } } & { \left( A _ { 3 2 } - L _ { 3 1 } L _ { 2 1 } \right) / L _ { 2 2 } } & { { \sqrt { A _ { 3 3 } - L _ { 3 1 } ^ { 2 } - L _ { 3 2 } ^ { 2 } } } } \end{array} \right) } } \end{array} }
{ \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial q ^ { j } } } = - { \dot { p } } _ { j } \quad , \quad { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial p _ { j } } } = { \dot { q } } ^ { j } \quad , \quad { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial t } } = - { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial t } }
\begin{array} { r l } { K _ { 1 } } & { { } = w _ { 1 } ^ { 2 } + w _ { 2 } ^ { 2 } + w _ { 3 } ^ { 2 } , } \\ { K _ { 2 } } & { { } = e _ { 1 } w _ { 1 } ^ { 2 } + e _ { 2 } w _ { 2 } ^ { 2 } + e _ { 3 } w _ { 3 } ^ { 2 } , } \\ { K _ { 3 } } & { { } = e _ { 1 } ^ { 2 } w _ { 1 } ^ { 2 } + e _ { 2 } ^ { 2 } w _ { 2 } ^ { 2 } + e _ { 3 } ^ { 2 } w _ { 3 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( B _ { k } } & { ( 0 ) - B _ { k } ( r ) > r ^ { 2 } - \sqrt { r } + a \mid \mathcal { F } _ { \lambda } ) } \\ & { \le \exp \left( - \frac { k r } { 6 \lambda } + \frac { k ( k - 1 ) \log ( k ^ { 2 } \lambda / ( 2 r ) ) } { 2 } \right) \mathbb { P } ( \tilde { B } _ { k } ( 0 ) - \tilde { B } _ { k } ( r ) > r ^ { 2 } - \sqrt { r } + a \mid \mathcal { F } _ { \lambda } ) } \\ & { \le \exp \left( k ^ { 2 } \log ( k \lambda / r ) \right) \mathbb { P } ( \tilde { B } _ { k } ( 0 ) - \tilde { B } _ { k } ( r ) > a - \sqrt { r } \mid \mathcal { F } _ { \lambda } ) . } \end{array}
g _ { i } ( \mathrm { \frac { ~ m ^ { 2 } ~ } { ~ p ^ { 2 } ~ } } ) { \longrightarrow } \frac 1 2 b _ { i } \ln | \mathrm { \frac { ~ m ^ { 2 } ~ } { ~ p ^ { 2 } ~ } } | \quad \mathrm { f o r } \quad p ^ { 2 } \to - \infty
( m ) \otimes ( n ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { D = 3 : } } & { { \bigoplus _ { k = 0 } ^ { n } \bigoplus _ { j = 0 } ^ { n - k } [ 0 , j , m + n - 2 k - 2 j , 0 ] } } \\ { { D = 4 : } } & { { \bigoplus _ { k = 0 } ^ { n } \bigoplus _ { j = 0 } ^ { n - k } [ j , m + n - 2 k - 2 j , j ] } } \\ { { D = 5 : } } & { { \bigoplus _ { k = 0 } ^ { n } [ m + n - 2 k ] } } \\ { { D = 6 : } } & { { \bigoplus _ { k = 0 } ^ { n } \bigoplus _ { j = 0 } ^ { n - k } [ 2 j , m + n - 2 k - 2 j ] } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } { d } & { = 1 , \quad } & & { \theta _ { l e x } ( h ) \leq 2 \left( \frac { c V a r ( \Lambda ^ { \prime } ) \beta ^ { \alpha } } { 2 \Gamma ( \alpha ) } \left( \frac { \Gamma ( \alpha - 2 ) } { ( 2 \psi ( h ) + \beta ) ^ { \alpha - 2 } } + \frac { 2 \psi ( h ) \Gamma ( \alpha - 1 ) } { ( 2 \psi ( h ) + \beta ) ^ { \alpha - 1 } } \right) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \\ { \textrm { a n d f o r } } & { } & & { } \\ { d } & { \geq 2 , \quad } & & { \theta _ { l e x } ( h ) \leq 2 \left( V _ { d } ( c ) \frac { d ! V a r ( \Lambda ^ { \prime } ) \beta ^ { \alpha } } { 2 ^ { d + 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { d } \frac { ( 2 \psi ( h ) ) ^ { k } } { k ! ( 2 \psi ( h ) + \beta ) ^ { \alpha - d - 1 + k } } \frac { \Gamma ( \alpha - d - 1 + k ) } { \Gamma ( \alpha ) } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { \mathrm { p } } ( H ) + A _ { + } t _ { 0 } ^ { k _ { + } } + A _ { - } t _ { 0 } ^ { k _ { - } } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \Delta \varphi _ { \mathrm { p } } ( \frac { L } { 2 } ) + A _ { + } + A _ { - } } & { { } = } & { A _ { 0 } , } \\ { \Delta \varphi _ { \mathrm { p } } ^ { \prime } ( \frac { L } { 2 } ) - \frac { k _ { + } A _ { + } + k _ { - } A _ { - } } { \delta } } & { { } = } & { A _ { 0 } \kappa \operatorname { t a n h } \left( \frac { \kappa L } { 2 } \right) , } \end{array}
\sum _ { x _ { i } , \alpha _ { i } } M _ { x _ { i } } ^ { \alpha _ { i - 1 } \alpha _ { i } } \left( M _ { x _ { i } } ^ { \alpha _ { i - 1 } ^ { \prime } \alpha _ { i } } \right) ^ { * } = \delta _ { \alpha _ { i - 1 } , \alpha _ { i - 1 } ^ { \prime } } ,
\begin{array} { r l r } { J ( E _ { 0 } ) } & { = } & { \left( \begin{array} { c c c c c } { r K g ^ { \prime } ( K ) } & { - q _ { 1 } K } & { - q _ { 2 } K } & { \hdots } & { - q _ { n } K } \\ { 0 } & { c _ { 1 } q _ { 1 } K - \mu _ { 1 } } & { 0 } & { \hdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { c _ { 2 } q _ { 2 } K - \mu _ { 2 } } & { \hdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \hdots } & { c _ { n } q _ { n } K - \mu _ { n } } \end{array} \right) . } \end{array}
\frac { \rho _ { a } ^ { r } ( \theta ) } { \rho _ { a } ( \theta ) } = \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { G _ { a } } k \exp \{ ( G _ { a } - k ) \epsilon _ { a } ( \theta ) \} } { \sum _ { k = 0 } ^ { G _ { a } } \exp \{ k \epsilon _ { a } ( \theta ) \} } \, .
\begin{array} { r l } { C _ { a b } ^ { \tau } } & { { } = { \langle \varphi _ { \theta ^ { s } } ^ { a } , \mathcal { A } \varphi _ { \theta ^ { s } } ^ { b } \rangle } _ { \mu } } \\ { C _ { a b } ^ { 0 } } & { { } = { \langle \varphi _ { \theta ^ { s } } ^ { a } , \varphi _ { \theta ^ { s } } ^ { b } \rangle } _ { \mu } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { G } ^ { \bf k } ( C _ { 3 } ) } & { { } = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \rho _ { G } ^ { \bf k } ( C _ { 2 } ) } & { { } = \left( \begin{array} { c c c } { e ^ { \mathrm { i } { \bf k } \cdot { a } _ { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - \mathrm { i } { \bf k } \cdot { a } _ { 1 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { e ^ { - \mathrm { i } { \bf k } \cdot { a } _ { 3 } } } \end{array} \right) \rho ( C _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { \frac { | g _ { 1 } | + | r _ { 1 } | } { | g _ { 2 } | - | r _ { 2 } | } } - \sqrt { \frac { | g _ { 1 } | } { | g _ { 2 } | } } } & { \leq \sqrt { \frac { | g _ { 1 } | + \alpha _ { 1 } \epsilon ^ { \beta } } { | g _ { 2 } | - \alpha _ { 2 } \epsilon ^ { \beta } } } - \sqrt { \frac { | g _ { 1 } | } { | g _ { 2 } | } } . } \end{array}
\mathsf { V } = \left( \frac { | u | ^ { 2 } } { 2 } , \left( \frac { | u | ^ { 2 } } { 2 } + p \right) u \right) , \qquad \mathsf { D } : = \operatorname* { l i m } _ { \nu \to 0 } \nu | \nabla u ^ { \nu } | ^ { 2 } .
\int d x \left( \, { \frac { 1 } { 2 } } \, \tilde { g } ^ { i j } { \frac { \delta ^ { 2 } \Psi } { \delta \phi ^ { i } \delta \phi ^ { j } } } \, + \, { \frac { 1 } { 2 } } \, g _ { i j } \partial _ { x } \phi ^ { i } \partial _ { x } \phi ^ { j } \Psi \, \right) \, = \, E \Psi \, .
\langle \overline { { { n _ { m } , \ldots , n _ { 1 } } } } | = \, ( - 1 ) ^ { \sum _ { a } \bar { n } _ { a } ( a - 1 ) } \langle \bar { n } _ { m } , \ldots , \bar { n } _ { 1 } | = \langle \bar { 0 } | ( \hat { \eta } ^ { m } ) ^ { n _ { m } } \cdots ( \hat { \eta } ^ { 1 } ) ^ { n _ { 1 } }
\begin{array} { l } { { ( m ) _ { 1 i } = \mu \left( 0 , \frac 1 { \sqrt { 2 } } , \frac 1 { \sqrt { 2 } } \right) ; \quad ( m ) _ { 2 i } = \mu \left( \frac 1 { \sqrt { 2 } } , \frac 1 2 , \frac { - 1 } 2 \right) ; } } \\ { { ( m ) _ { 3 i } = \mu \left( \frac 1 { \sqrt { 2 } } , \frac { - 1 } 2 , \frac 1 2 \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { 4 2 0 } ( t ) / \Omega _ { 1 0 1 3 } } & { { } = \Omega _ { 0 } + \Omega _ { 1 } \mathrm { s e c h } [ \omega _ { \Omega } \tau ] ^ { \alpha } , } \\ { \phi ( t ) } & { { } = \delta _ { 0 } \, \tau + B \operatorname { t a n h } ( \lambda \, \tau ) , } \end{array}
[ \mathbf { a } ] _ { \times } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { c _ { 2 } d _ { 1 } - c _ { 1 } d _ { 2 } } & { c _ { 3 } d _ { 1 } - c _ { 1 } d _ { 3 } } \\ { c _ { 1 } d _ { 2 } - c _ { 2 } d _ { 1 } } & { 0 } & { c _ { 3 } d _ { 2 } - c _ { 2 } d _ { 3 } } \\ { c _ { 1 } d _ { 3 } - c _ { 3 } d _ { 1 } } & { c _ { 2 } d _ { 3 } - c _ { 3 } d _ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right] }
{ S _ { 1 2 } ^ { s h } = - \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } | e V | T ( 1 - T ) \bigg ( \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - \frac { 2 k _ { B } \mathcal { T } } { e V } \bigg ) }
\begin{array} { r l } { z _ { \mathrm { m i n } } } & { { } \approx 2 w _ { 0 } = 4 \frac { \lambda f } { \pi D } = \frac { 2 n \lambda } { \pi \mathrm { N A } } , } \\ { \mathrm { F O V } } & { { } = 2 z _ { r } = 2 \frac { \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } { \lambda } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \pi } { 4 \frac { { \varepsilon } \mathfrak { s } } { 1 2 } } ( 8 N ^ { 2 } + 2 3 + N _ { \mathcal { A } } ) } \\ & { \leq 2 ^ { \frac { 1 3 } { 2 } } 3 ^ { 3 } \pi C _ { 2 } \mathfrak { c } ^ { \frac { 3 } { 2 } } d ^ { \frac { 1 9 } { 4 } } { \varepsilon } ^ { - 3 } \big [ 2 3 + 8 ( 2 3 C _ { 2 } \log _ { 2 } ( 2 ^ { 1 6 } 3 ^ { 4 } \mathfrak { c } ^ { 4 } ) d ^ { 2 } ( 1 + \log _ { 2 } ( d { \varepsilon } ^ { - 1 } ) ) ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 2 \cdot 1 5 2 6 2 C _ { 2 } ^ { 3 } C _ { 3 } ( \log _ { 2 } ( 2 ^ { 1 6 } 3 ^ { 4 } \mathfrak { c } ^ { 4 } ) ) ^ { \operatorname* { m a x } \{ 4 , 2 C _ { 3 } \} } d ^ { \operatorname* { m a x } \{ 7 , C _ { 3 } \} } ( 1 + \log _ { 2 } ( d { \varepsilon } ^ { - 1 } ) ) ^ { \operatorname* { m a x } \{ 4 , 2 C _ { 3 } \} } \big ] } \\ & { \leq 2 ^ { \frac { 1 3 } { 2 } } 3 ^ { 3 } \pi C _ { 2 } \mathfrak { c } ^ { \frac { 3 } { 2 } } d ^ { \frac { 1 9 } { 4 } } { \varepsilon } ^ { - 3 } \big [ 2 3 + 8 ( 2 3 C _ { 2 } ) ^ { 2 } + 2 \cdot 1 5 2 6 2 C _ { 2 } ^ { 3 } C _ { 3 } \big ] } \\ & { \qquad \cdot ( \log _ { 2 } ( 2 ^ { 1 6 } 3 ^ { 4 } \mathfrak { c } ^ { 4 } ) ) ^ { \operatorname* { m a x } \{ 4 , 2 C _ { 3 } \} } d ^ { \operatorname* { m a x } \{ 7 , C _ { 3 } \} } ( 1 + \log _ { 2 } ( d { \varepsilon } ^ { - 1 } ) ) ^ { \operatorname* { m a x } \{ 4 , 2 C _ { 3 } \} } } \\ & { \leq 2 ^ { \frac { 1 3 } { 2 } } 3 ^ { 3 } 2 ^ { 2 } C _ { 2 } \mathfrak { c } ^ { \frac { 3 } { 2 } } d ^ { \frac { 1 9 } { 4 } } { \varepsilon } ^ { - 3 } \cdot 3 4 7 7 9 C _ { 2 } ^ { 3 } C _ { 3 } } \\ & { \qquad \cdot ( \log _ { 2 } ( 2 ^ { 1 6 } 3 ^ { 4 } \mathfrak { c } ^ { 4 } ) ) ^ { \operatorname* { m a x } \{ 4 , 2 C _ { 3 } \} } d ^ { \operatorname* { m a x } \{ 7 , C _ { 3 } \} } ( 1 + \log _ { 2 } ( d { \varepsilon } ^ { - 1 } ) ) ^ { \operatorname* { m a x } \{ 4 , 2 C _ { 3 } \} } } \\ & { \leq 2 ^ { \frac { 1 3 } { 2 } } 3 ^ { 3 } 2 ^ { 2 } C _ { 2 } \mathfrak { c } ^ { \frac { 3 } { 2 } } d ^ { \frac { 1 9 } { 4 } } { \varepsilon } ^ { - 3 } 2 ^ { 1 6 } C _ { 2 } ^ { 3 } C _ { 3 } ( \log _ { 2 } ( 2 ^ { 1 6 } 3 ^ { 4 } \mathfrak { c } ^ { 4 } ) ) ^ { \operatorname* { m a x } \{ 4 , 2 C _ { 3 } \} } d ^ { \operatorname* { m a x } \{ 7 , C _ { 3 } \} } ( 1 + \log _ { 2 } ( d { \varepsilon } ^ { - 1 } ) ) ^ { \operatorname* { m a x } \{ 4 , 2 C _ { 3 } \} } } \\ & { \leq 2 ^ { 2 5 } 3 ^ { 3 } C _ { 2 } ^ { 4 } C _ { 3 } \mathfrak { c } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( \log _ { 2 } ( 2 ^ { 1 6 } 3 ^ { 4 } \mathfrak { c } ^ { 4 } ) ) ^ { \operatorname* { m a x } \{ 4 , 2 C _ { 3 } \} } d ^ { \operatorname* { m a x } \{ 1 2 , 5 + C _ { 3 } \} } { \varepsilon } ^ { - 3 } ( 1 + \log _ { 2 } ( d { \varepsilon } ^ { - 1 } ) ) ^ { \operatorname* { m a x } \{ 4 , 2 C _ { 3 } \} } } \\ & { = \mathfrak { C } d ^ { \operatorname* { m a x } \{ 1 2 , 5 + C _ { 3 } \} } { \varepsilon } ^ { - 3 } ( 1 + \log _ { 2 } ( d { \varepsilon } ^ { - 1 } ) ) ^ { \operatorname* { m a x } \{ 4 , 2 C _ { 3 } \} } . } \end{array}
{ } _ { 2 } \overline { { \kappa } } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) : = \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ e ~ i ~ g ~ e ~ n ~ v ~ a ~ l ~ u ~ e ~ } [ \overline { { \mathbf { W } } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) ] ,
\begin{array} { r } { \operatorname { S m o o t h M a x } ( \{ x _ { i } \} _ { i } | \beta ) \leq \operatorname* { m a x } ( \{ x _ { i } \} _ { i } ) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \beta \to + \infty } \operatorname { S m o o t h M a x } ( \{ x _ { i } \} _ { i } | \beta ) = \operatorname* { m a x } ( \{ x _ { i } \} _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \Theta _ { h } * f \| _ { \dot { H } _ { h } ^ { - s } ( \Omega _ { h } ) } ^ { 2 } - \| f \| _ { \dot { H } ^ { - s } ( \Omega ) } ^ { 2 } } & { = ( \Theta _ { h } * f , u _ { h } ) _ { L _ { h } ^ { 2 } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } - ( f , u ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } } \\ & { = J _ { 1 } + J _ { 2 } + J _ { 3 } + J _ { 4 } + J _ { 5 } , } \end{array}
h _ { r , s } = - k + { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \left( ( 2 k + 1 ) ( r ^ { 2 } + s ^ { 2 } ) + 2 \sqrt { k ( k + 1 ) } ( r ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) - 2 r s \right)
I _ { n } ^ { ( \pm ) } ( \nu ; k ) = \frac { 1 } { ( \nu ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } ) ^ { n - 1 } } \int _ { 1 } ^ { \infty } d \alpha W _ { n } ^ { ( \pm ) } ( \alpha ; k ) [ \alpha ^ { \frac { \nu } { 2 } } + \alpha ^ { \frac { - \nu } { 2 } } ] ,
\aligned \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \frac { 1 } { \lambda ( t _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \int _ { r \geq R _ { \ast } } \frac { R _ { \ast } } { r } | \lambda \epsilon ( t , \lambda x ) | ^ { 4 } d x d t \lesssim \delta \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \frac { 1 } { \lambda ( t _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \| \epsilon ( t ) \| _ { L ^ { 4 } } ^ { 4 } d t \, \lesssim \delta \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \frac { 1 } { \lambda ( t _ { 0 } ) ^ { 2 } } } E [ \chi ( \frac { r } { R _ { \ast } } ) u ] d t + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \frac { 1 } { \lambda ( t _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \frac { 1 } { R ^ { 4 } } d t . \endaligned
\left\langle \mathbf { O } \right\rangle _ { \Omega } = \frac { \sum _ { n } \mathbf { O } \left( \mathbf { a } ^ { \left( n \right) } \right) \exp \left( \Omega ^ { \left( n \right) } \left( t \right) \right) } { \sum _ { n } \exp \left( \Omega ^ { \left( n \right) } \left( t \right) \right) } .
\begin{array} { r l r } & { l ( \tau ) \partial _ { \tau } u + u ( \partial _ { s } u + \sqrt { \mathrm { W e } } ) = - p _ { s } } \\ & { p = \frac { l ( \tau ) } { h \sqrt { l ( \tau ) ^ { 2 } + h _ { s } ^ { 2 } } } - \frac { l ( \tau ) h _ { s s } } { ( l ( \tau ) ^ { 2 } + h _ { s } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } } \\ & { l ( \tau ) \partial _ { \tau } h + u \partial _ { s } h = - \frac { h } { 2 } ( \partial _ { s } u + \sqrt { \mathrm { W e } } ) } \\ & { h ( \tau , \pm 1 ) = 1 \qquad } & { u ( \tau , \pm 1 ) = 0 } \end{array}
d s _ { n o \ c h a r g e \ v o l c a n o } ^ { 2 } = - d t ^ { 2 } + \frac { d r ^ { 2 } } { 1 - ( r _ { 0 } / r ) ^ { 2 p - 2 } } + r ^ { 2 } ( d \theta ^ { 2 } + s i n ^ { 2 } \theta d \Omega _ { p - 2 } ^ { 2 } )
\left\{ \begin{array} { r l } { V } & { { } = \frac { 4 \pi } { 3 } R _ { 0 } ^ { 3 } } \\ { V } & { { } = \frac { \pi } { 3 } h ^ { 2 } ( 3 R _ { \mathrm { c a l } } - h ) } \end{array} \right.
R _ { i } ( t + 1 ) = a _ { i } E _ { \textrm { F F I } } ( t ) \alpha ( t ) \tau _ { i } \left( 1 - \exp \left( - \frac { \Delta t } { \alpha \tau _ { i } } \right) \right) + R _ { i } ( t ) \exp \left( - \frac { \Delta t } { \alpha \tau _ { i } } \right)
\begin{array} { r l } & { \widetilde { L } _ { 1 0 } ^ { e } ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , \ ( \dot { g } _ { 1 } ^ { * } , \dot { A } _ { 1 } ^ { * } ) \rangle } \\ & { \quad = - \Big \langle ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , i ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ) ^ { * } ( \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) + \frac { \sigma } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ) ^ { * } \big ( I - ( \check { L } _ { b } ( 0 ) ^ { - 1 } ) ^ { * } V _ { b } ^ { * } \big ) ( \check { g } _ { 2 } ^ { * } , \check { A } _ { 2 } ^ { * } ) \Big \rangle } \\ & { \quad \quad + \Big \langle ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , \frac { 1 } { 2 } ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ) ^ { * } ( \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ) ^ { * } ( \dot { g } _ { 2 } ^ { * } , \dot { A } _ { 2 } ^ { * } ) \Big \rangle } \end{array}
\mathbf { k } = k _ { r } \hat { \mathbf { r } } + k _ { \theta } \hat { \boldsymbol { \theta } } + k _ { z } \hat { \mathbf { z } } = k _ { r } \hat { \mathbf { r } } - \hat { \boldsymbol { \theta } } m / r + \hat { \mathbf { z } } n / R
\begin{array} { r l } { B _ { \mu \nu } ^ { i } \left( n \right) } & { = \left( \widehat { \omega } _ { \mu } ^ { i } \left( n \right) \sin \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \mu } \left( n \right) \cos \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \nu } \left( n + \widehat { \mu } \right) + \widehat { \omega } _ { \nu } ^ { i } \left( n + \widehat { \mu } \right) \sin \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \nu } \left( n + \widehat { \mu } \right) \cos \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \mu } \left( n \right) \right. } \\ & { \left. - \epsilon ^ { i j k } \widehat { \omega } _ { \mu } ^ { j } \left( n \right) \sin \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \mu } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \nu } ^ { k } \left( n + \widehat { \mu } \right) \sin \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \nu } \left( n + \widehat { \mu } \right) \right) . } \end{array}