harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \chi _ { \perp } ^ { \prime } ( \omega ^ { \prime } ) } & { { } = \sum _ { s } \frac { - ( \omega ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } ) \omega _ { p s } ^ { 2 } } { ( \omega ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } ) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ( 2 \Omega + \varepsilon _ { s } \Omega _ { c s } ) ^ { 2 } } , } \\ { \chi _ { \times } ^ { \prime } ( \omega ^ { \prime } ) } & { { } = \sum _ { s } \frac { \omega ^ { \prime } ( 2 \Omega + \varepsilon _ { s } \Omega _ { c s } ) \omega _ { p s } ^ { 2 } } { ( \omega ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } ) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ( 2 \Omega + \varepsilon _ { s } \Omega _ { c s } ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { l } { E _ { 3 3 } ( - l _ { 1 } ) p ( l _ { 1 } ) = - E _ { 3 1 } ( - l _ { 1 } ) o ( { \lambda } ^ { - ( \frac { \ell } { 4 } + 1 ) } ) - E _ { 3 2 } ( - l _ { 1 } ) o ( { \lambda } ^ { - \frac { \ell } { 4 } } ) - E _ { 3 4 } ( - l _ { 1 } ) o ( { \lambda } ^ { - \frac { \ell } { 4 } } ) } \\ { \displaystyle - { \lambda } ^ { - \ell } \int _ { 0 } ^ { l _ { 1 } } \left( E _ { 3 2 } ( - s ) G ^ { 1 } ( s ) + E _ { 3 4 } ( - s ) G ^ { 3 } ( s ) \right) d s - i { \lambda } ^ { 1 - \ell } \int _ { 0 } ^ { l _ { 1 } } \left( E _ { 3 2 } ( - s ) G ^ { 2 } ( s ) + E _ { 3 4 } ( - s ) G ^ { 4 } ( s ) \right) d s , } \end{array}
I _ { \mathrm { ~ H ~ M ~ } , 1 } ( u ) = \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { \lvert \mathbb { E } [ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ) \, \vert \, D _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } ] - z ( x ) \rvert } { \sqrt { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ) \, \vert \, D _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } ] + \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ \epsilon _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ s ~ } , x } ] + \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ \epsilon _ { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ } , x } ] } } : x \in \mathcal { M } ^ { * } \right\} .
\begin{array} { r l } { \underline { { E } } _ { i } ^ { \mathrm { H } } ( x , \widehat { x } , w , \widehat { w } ) } & { = \left( \lceil A \rceil ^ { \mathrm { M z l } } x + \lfloor A \rfloor ^ { \mathrm { M z l } } \widehat { x } + B ^ { + } [ \underline { { A } } ] ^ { + } ( x , \widehat { x } ) x + B ^ { + } [ \underline { { A } } ] ^ { - } ( x , \widehat { x } ) \widehat { x } _ { [ i : x ] } \right) _ { i } } \\ & { \qquad + \left( B ^ { - } [ \overline { { A } } ] ^ { + } ( x , \widehat { x } ) x + B ^ { - } [ \overline { { A } } ] ^ { - } ( x , \widehat { x } ) \widehat { x } _ { [ i : x ] } + C ^ { + } w + C ^ { - } \widehat { w } \right) _ { i } } \\ & { = \left( \lceil A \rceil ^ { \mathrm { M z l } } x + \lfloor A \rfloor ^ { \mathrm { M z l } } \widehat { x } + \lceil B ^ { + } \underline { { A } } ( x , \widehat { x } ) \rceil ^ { \mathrm { M z l } } x + \lfloor B ^ { + } \underline { { A } } ( x , \widehat { x } ) \rfloor ^ { \mathrm { M z l } } \widehat { x } \right) _ { i } } \\ & { \qquad + \left( \lfloor B ^ { - } \overline { { A } } ( x , \widehat { x } ) \rfloor ^ { \mathrm { M z l } } x + \lceil B ^ { - } \overline { { A } } ( x , \widehat { x } ) \rceil ^ { \mathrm { M z l } } \widehat { x } + C ^ { + } w + C ^ { - } \widehat { w } \right) _ { i } } \\ & { = \left( \lceil A \rceil ^ { \mathrm { M z l } } x + \lceil B ^ { + } \underline { { A } } ( x , \widehat { x } ) + B ^ { - } \overline { { A } } ( x , \widehat { x } ) \rceil ^ { \mathrm { M z l } } x \right) _ { i } } \\ & { + \left( \lfloor A + \lfloor \widehat { x } + \lfloor B ^ { + } [ \overline { { A } } ( x , \widehat { x } ) ] + B ^ { - } [ \underline { { A } } ( x , \widehat { x } ) ] \rfloor ^ { \mathrm { M z l } } \widehat { x } \right) _ { i } } \\ & { \qquad + \left( C ^ { + } w + C ^ { - } \widehat { w } \right) _ { i } } \\ & { = \left( \lceil A \rceil ^ { \mathrm { M z l } } x + \lceil R ( x , \widehat { x } ) \rceil ^ { \mathrm { M z l } } x + \lfloor A \rfloor ^ { \mathrm { M z l } } \widehat { x } + \lfloor S ( x , \widehat { x } ) \rfloor ^ { \mathrm { M z l } } \widehat { x } + C ^ { + } w + C ^ { - } \widehat { w } \right) _ { i } . } \end{array}
\Pi _ { \textrm { O t h e r } } = \Pi _ { \textrm { B P } \xrightarrow { \textrm { L P + B P } } \textrm { H P } } ^ { > } \left( m \right) + \Pi _ { \textrm { L P } \xrightarrow { \textrm { a l l } } \textrm { H P } } ^ { > } \left( m \right)
\left[ { \hat { x } } ^ { n } , { \hat { p } } ^ { m } \right] = \sum _ { k = 1 } ^ { m i n \left( m , n \right) } { { \frac { - \left( - i \hbar \right) ^ { k } n ! m ! } { k ! \left( n - k \right) ! \left( m - k \right) ! } } { \hat { x } } ^ { n - k } { \hat { p } } ^ { m - k } } = \sum _ { k = 1 } ^ { m i n \left( m , n \right) } { { \frac { \left( i \hbar \right) ^ { k } n ! m ! } { k ! \left( n - k \right) ! \left( m - k \right) ! } } { \hat { p } } ^ { m - k } { \hat { x } } ^ { n - k } }
x g ( x , Q ^ { 2 } ) \simeq r ^ { 0 } x ^ { - \lambda } \left( { \frac { Q ^ { 2 } } { Q _ { s } ^ { 2 } ( x ) } } \right) ^ { { \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } } \gamma _ { g g } ( \omega _ { 0 } ) } \; ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { m } w _ { i } \| a _ { s , i } ^ { T } x _ { s } - p _ { i } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { \rho } { 2 } \| x _ { s } - z ^ { ( k ) } + y _ { s } ^ { ( k ) } / \rho \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { = } & { \| \tilde { A } _ { s } x _ { s } - \tilde { p } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \left\| \sqrt { \frac { \rho } { 2 } } x _ { s } - \sqrt { \frac { \rho } { 2 } } ( z ^ { ( k ) } - y _ { s } ^ { ( k ) } / \rho ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { = } & { \left\| \left( \begin{array} { c } { \tilde { A } _ { s } } \\ { \sqrt { \frac { \rho } { 2 } } I } \end{array} \right) x _ { s } - \left( \begin{array} { c } { \tilde { p } } \\ { \sqrt { \frac { \rho } { 2 } } ( z ^ { ( k ) } - y _ { s } ^ { ( k ) } / \rho ) } \end{array} \right) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\Lambda = \left( \begin{array} { c c } { { X } } & { { Y } } \\ { { - Y } } & { { X } } \end{array} \right) \textrm { w i t h } \left\{ \begin{array} { c } { { X = - X ^ { T } } } \\ { { Y = Y ^ { T } , } } \end{array} \right.
\operatorname* { l i m } _ { s \to 1 } | \beta _ { p q } | ^ { 2 } = \frac { p ^ { 2 } + q ^ { 2 } } { 2 \pi \kappa p q \left( e ^ { 2 \pi ( p + q ) / \kappa } - 1 \right) ( p + q ) } .
\left\{ S \left( \vec { x } \right) , P _ { a } \left( \vec { x } \right) \right\} = G ^ { 2 } \int \frac { d \nu } { 2 \pi } \sum _ { \lambda } \frac { \langle \lambda _ { \nu } | r | \vec { x } \rangle \left\{ \beta , i \beta \gamma _ { 5 } \tau _ { a } \right\} \langle \vec { x } | r | \lambda _ { \nu } \rangle } { i \nu + e _ { \lambda } \left( \nu ^ { 2 } \right) } .
\begin{array} { r l } { \langle \bar { I } ( T ) I ( t ^ { \prime } ) \rangle } & { { } = \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } d t ^ { \prime \prime } \, \langle I ( t ^ { \prime } ) I ( t ^ { \prime \prime } ) \rangle = \frac { 1 } { T } \left[ \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } d t ^ { \prime \prime } \, e ^ { - t ^ { \prime } + t ^ { \prime \prime } } + \int _ { t ^ { \prime } } ^ { T } d t ^ { \prime \prime } \, e ^ { - t ^ { \prime \prime } + t ^ { \prime } } \right] = \frac { 1 } { T } \left[ 2 - e ^ { - t ^ { \prime } } - e ^ { - ( T - t ^ { \prime } ) } \right] , } \end{array}
J _ { n _ { p } n _ { r } } ( \widehat { q } _ { \perp } ) \equiv \sum _ { m = 0 } ^ { \operatorname * { m i n } ( n _ { p } , n _ { r } ) } \frac { n _ { p } ! n _ { r } ! } { m ! ( n _ { p } - m ) ! ( n _ { r } - m ) ! } [ i s g n ( e H ) \widehat { q }
\begin{array} { r l } { | W | ^ { - 2 } \Bigg ( \int _ { 1 } ^ { r _ { 0 } } } & { ( r - 1 ) ^ { \frac { q } { 2 } } \left| \frac { d } { d r } ( e ^ { i \widetilde { \omega } r _ { * } } { u } _ { \mathrm { h o r } } ) \right| \, d r \Bigg ) ^ { 2 } } \\ { = } & { \: | W | ^ { - 2 } \Bigg ( \int _ { 1 } ^ { 1 + z _ { 0 } | m | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | } ( r - 1 ) ^ { \frac { q } { 2 } } \left| \frac { d } { d r } ( e ^ { i \widetilde { \omega } r _ { * } } { u } _ { \mathrm { h o r } } ) \right| \, d r \Bigg ) ^ { 2 } } \\ & { + | W | ^ { - 2 } \Bigg ( \int _ { 1 + z _ { 0 } | m | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | } ^ { r _ { 0 } } ( r - 1 ) ^ { \frac { q } { 2 } } \left| \frac { d } { d r } ( e ^ { i \widetilde { \omega } r _ { * } } u _ { \mathrm { h o r } } ) \right| \, d r \Bigg ) ^ { 2 } . } \end{array}
\langle \gamma ^ { \prime } | \Delta B ( k ) | \gamma \rangle \equiv \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } } \langle \gamma ^ { \prime } | j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } \rangle \langle j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } | \gamma \rangle \big [ B _ { M } ( r _ { k , j _ { k } } ) - B _ { M } ( \bar { r } ) \big ]
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { v a l l e y } } ( s ) } & { { } = \frac { \hat { P } _ { s } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \omega ( s ) ^ { 2 } } { 2 } \, Q _ { s } ^ { 2 } \quad . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { \mathrm { \ n u _ { e } } } } \\ { { \mathrm { e ^ { - } } } } \end{array} \right) ~ , \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { \mu } } } \\ { { \mu ^ { - } } } \end{array} \right) ~ , \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { \tau } } } \\ { { \tau ^ { - } } } \end{array} \right) ~ .
\begin{array} { r } { \langle A _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } x , y \rangle _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } = \frac { 1 } { 2 } \langle \mathcal { J } _ { 0 } ( \mathcal { Q } _ { 0 } x ) , \mathcal { Q } _ { 0 } y \rangle _ { L ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 2 } \langle \mathcal { Q } _ { 0 } x , \mathcal { J } _ { 0 } ( \mathcal { Q } _ { 0 } y ) \rangle _ { L ^ { 2 } } = \langle x , - \mathcal { J } _ { 0 } ( \mathcal { Q } _ { 0 } y ) \rangle _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } . } \end{array}
N _ { \beta } ^ { \mathrm { v i r } } = T _ { \beta } ^ { 1 , m } - T _ { \beta } ^ { 2 , m } = \sum _ { j = 1 } ^ { n + { \boldsymbol { \kappa } } } \iota _ { \beta } ^ { * } ( U _ { j } ^ { \widetilde { T } } ) ^ { - 1 } \Big ( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } q ^ { - d _ { j } ( \beta ) + k } - \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } q ^ { \{ - d _ { j } ( \beta ) \} + k } \Big ) + \sum _ { d _ { j } ( \beta ) \in \mathbb { Z } _ { < 0 } } \iota _ { \beta } ^ { * } ( U _ { j } ^ { \widetilde { T } } ) ^ { - 1 }
H _ { \mathrm { ~ T ~ B ~ } } = - \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { n \in \mathbb { Z } \backslash \{ 0 \} } G ( n d ) \sigma _ { i + n } ^ { \dagger } \sigma _ { i } + h \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { j + 1 } \sigma _ { j } ^ { \dagger } \sigma _ { j }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \frac { \mu \gamma } { 2 } ) \mathbb { E } \bigg \| y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 5 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { \mu \gamma } \mathbb { E } \bigg \| v _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 3 \gamma ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } } \end{array}
\langle \mathcal { W } \rangle = \langle \mathcal { W } ^ { ( A ) } + \mathcal { W } ^ { ( B ) } \rangle \geq \langle \mathcal { W } ^ { ( A ) } \rangle + \operatorname* { m i n } _ { a } \langle \mathcal { W } ^ { ( B ) } \rangle | _ { a }
{ \begin{array} { r l r l } { A _ { x x } } & { = - a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta + b ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta , } & { B _ { x } } & { = - A _ { x x } x _ { \circ } - A _ { x y } y _ { \circ } , } \\ { A _ { y y } } & { = - a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + b ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta , } & { B _ { y } } & { = - A _ { x y } x _ { \circ } - A _ { y y } y _ { \circ } , } \\ { A _ { x y } } & { = \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) \sin \theta \cos \theta , } & { C } & { = A _ { x x } x _ { \circ } ^ { 2 } + 2 A _ { x y } x _ { \circ } y _ { \circ } + A _ { y y } y _ { \circ } ^ { 2 } - a ^ { 2 } b ^ { 2 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \int \langle f _ { s } , e ^ { - \theta } \kappa _ { \theta } \omega ^ { - 1 / 2 } e ^ { - i \beta ( \cdot ) \cdot x } \varepsilon _ { j } \rangle _ { \mathfrak { h } } \overline { { \varphi } } ( x ) \gamma ( x ) d x , } \\ & { \int \langle e ^ { - \overline { { \theta } } } \kappa _ { \overline { { \theta } } } \omega ^ { - 1 / 2 } e ^ { - i \beta ( \cdot ) \cdot x } \varepsilon _ { j } , { g } _ { l } \rangle _ { \mathfrak { h } } \overline { { \varphi } } ( x ) \gamma ( x ) d x . } \end{array}
+ \frac { q ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } f _ { a } } \sqrt { - g } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } \! \Big ( V _ { \mu \nu } { } ^ { j } + \sqrt { 2 \kappa } ( a _ { \nu } D _ { \mu } A ^ { j } - a _ { \mu } D _ { \nu } A ^ { j } + A ^ { j } f _ { \mu \nu } ) \Big )
\begin{array} { r l } & { \frac { d f ^ { c } } { d \mu ^ { c } } ( x ) , \quad \widehat { x } = \mathbf { s } ( x ) \mathrm { ~ w i t h ~ } x \in ( l , r ) \setminus H \mathrm { ~ a n d ~ t h e ~ d e r i v a t i v e ~ e x i s t s } , } \\ & { \frac { \widehat { h } ( \widehat b _ { k } ) - \widehat { h } ( \widehat a _ { k } ) } { \widehat { b } _ { k } - \widehat { a } _ { k } } , \quad \widehat { x } \in ( \widehat { a } _ { k } , \widehat { b } _ { k } ) , k \geq 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho ^ { n + 1 } } & { = } & { \frac { \phi _ { \rho } ( \rho ^ { \star } , \mathbf { u } ^ { \star } ) } { a _ { \rho } } } \\ { \mathbf { ( \rho u ) } ^ { \star \star } } & { = } & { \frac { \phi _ { \mathbf { u } } ^ { \prime } ( ( \rho \mathbf { u } ) ^ { \star } ) } { a _ { \mathbf { u } } } - \frac { \mathbf { g r a d } p ^ { \star } } { a _ { \mathbf { u } } } } \\ { \mathbf { ( u ) } ^ { \star \star } } & { = } & { \mathbf { ( \rho u ) } ^ { \star \star } / \rho ^ { n + 1 } } \\ { \rho ^ { n + 1 } \mathbf { u } ^ { n + 1 } } & { = } & { \rho ^ { n + 1 } \mathbf { u } ^ { \star \star } + \frac { \phi _ { \mathbf { u } } ( \rho ^ { \star } , \mathbf { u } ^ { \star } ) } { a _ { \mathbf { u } } } - \frac { \phi _ { \mathbf { u } } ^ { \prime } ( ( \rho \mathbf { u } ) ^ { \star } ) } { a _ { \mathbf { u } } } + \frac { \mathbf { f } } { a _ { \mathbf { u } } } } \\ { ( \rho { e _ { t } } ) ^ { \star \star } } & { = } & { \frac { \phi _ { e _ { t } } ^ { \prime } ( ( \rho { e _ { t } } ) ^ { \star } , \mathbf { u } ^ { \star \star } ) } { a _ { e _ { t } } } - \frac { d i v ( p ^ { \star } \mathbf { u } ^ { \star } ) } { a _ { e _ { t } } } } \\ { { e } ^ { \star \star } } & { = } & { ( \rho { e _ { t } } ) ^ { \star \star } / \rho ^ { n + 1 } - 0 . 5 ( \mathbf { ( u ) } ^ { \star \star } . \mathbf { ( u ) } ^ { \star \star } ) } \\ { { \theta } ^ { \star \star } } & { = } & { { e } ^ { \star \star } / c _ { v } } \\ { \rho ^ { n + 1 } e ^ { n + 1 } } & { = } & { \rho ^ { n + 1 } e ^ { \star \star } + \frac { \phi _ { e } ( \rho ^ { n + 1 } , \mathbf { u } ^ { n + 1 } , e ^ { n } ) } { a _ { e } } - \frac { d i v ( \lambda ( \theta ^ { \star \star } ) \mathbf { g r a d } ( \theta ^ { \star \star } ) ) } { a _ { e } } } \\ & { - } & { \frac { \phi _ { e _ { t } } ^ { \prime } ( ( \rho { e _ { t } } ) ^ { \star } , \mathbf { u } ^ { \star \star } ) } { a _ { e _ { t } } } + \frac { q } { a _ { e } } } \end{array}
g = 1 - { \frac { 3 } { 2 } } { \frac { \alpha } { \pi } } - { \frac { 9 } { 1 6 } } \left( 1 - { \frac { 8 } { 9 } } N _ { f } \right) \left( { \frac { \alpha } { \pi } } \right) ^ { 2 } .
{ _ { - \infty } } ^ { C } D _ { x _ { j } ^ { + } } ^ { \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) } ( \overline { { U _ { i } ^ { + } } } ) = \frac { \partial \overline { { U _ { i } ^ { + } } } } { \partial x _ { j } ^ { + } } - \overline { { u _ { i } u _ { j } } } ^ { + } ~ ; ~ i , j = 1 , 2 , 3 ~ ; ~ \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) \in ( 0 , 1 ]
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { \mathrm { m a x } } \, } & { { } = } & { \, \frac { 8 m _ { e } c } { h } \, \ell _ { \star } ^ { 2 } \, \frac { \left( N _ { \star } - 1 \right) ^ { 2 } } { N _ { \star } + 1 } } \end{array}
\| \partial _ { t } ^ { \ell } \mathbf { K } _ { m } ^ { \kappa } \| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ) } \leq C ( \tau _ { m } ^ { \prime } ) ^ { - \ell } \biggl ( \kappa + \frac { a _ { m } ^ { 2 } \varepsilon _ { m } ^ { 4 } } { \kappa } \biggr ) \, , \qquad \forall \ell \in \ensuremath { \mathbb { N } } \, .
B _ { \tau n m j } ( x ) = \frac { - 1 } { \mathrm { i } ^ { n + 1 } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 n ( n + 1 ) } } ( \mathrm { i } \delta _ { j 1 } + \delta _ { j 2 } ) \bigg ( \delta _ { \tau j } \tilde { \tau } _ { n } ^ { | m | } ( x ) + ( 1 - \delta _ { \tau j } ) m \pi _ { n } ^ { | m | } ( x ) \bigg ) .
\begin{array} { r l } { | h ( x ) | | x - \operatorname { p r o x } _ { u } ^ { \epsilon } ( x ) | } & { \geq \langle h ( x ) , x - \operatorname { p r o x } _ { u } ^ { \epsilon } ( x ) \rangle } \\ & { \geq m | x - \operatorname { p r o x } _ { u } ^ { \epsilon } ( x ) | ^ { 2 } + \langle h ( \operatorname { p r o x } _ { u } ^ { \epsilon } ( x ) ) , x - \operatorname { p r o x } _ { u } ^ { \epsilon } ( x ) \rangle } \\ & { = ( \frac { 1 } { \epsilon } + m ) | x - \operatorname { p r o x } _ { u } ^ { \epsilon } ( x ) | ^ { 2 } } \\ & { \geq \frac { 1 } { \epsilon } | x - \operatorname { p r o x } _ { u } ^ { \epsilon } ( x ) | ^ { 2 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } = \boldsymbol { \xi } _ { \ast } + \mathbf { w } + \chi _ { - } \mathbf { n } } \\ { \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } = \boldsymbol { \xi } + \mathbf { w } + \chi _ { + } \mathbf { n } } \end{array} \right. \mathrm { , ~ w i t h ~ } \chi _ { \pm } = \frac { \Delta I _ { i k , j l } ^ { \alpha \beta } } { m _ { \alpha } \left\vert \mathbf { g } \right\vert } \pm \frac { m _ { \alpha } - m _ { \beta } } { 2 m _ { \beta } } \left\vert \mathbf { g } \right\vert \mathrm { , }
\mathbf { X } = [ \mathbf { x } ^ { 1 } , \mathbf { x } ^ { 2 } , \mathbf { x } ^ { 3 } , \dots , \mathbf { x } ^ { n - 1 } ] , \ \ \ \ X ^ { \prime } = [ \mathbf { x } ^ { 2 } , \mathbf { x } ^ { 3 } , \mathbf { x } ^ { 4 } , \dots , \mathbf { x } ^ { n } ]
\begin{array} { r l r } { R } & { = } & { H _ { 1 } q _ { 1 } = x ^ { 1 1 } - 2 2 x ^ { 1 0 } + 2 2 0 x ^ { 9 } - 1 3 2 0 x ^ { 8 } + \frac { 5 2 2 7 9 } { 1 0 } x ^ { 7 } - 1 4 1 9 1 x ^ { 6 } + \frac { 2 9 3 7 4 9 } { 1 1 } x ^ { 5 } - \frac { 1 7 3 1 6 6 } { 5 } x ^ { 4 } + \frac { 2 7 2 0 5 1 } { 9 } x ^ { 3 } } \\ & { } & { - \frac { 3 3 7 4 9 } { 2 } x ^ { 2 } + \frac { 3 7 9 1 6 } { 7 } x - \frac { 3 7 8 6 } { 5 } . } \end{array}
C _ { h f } = \left\{ \begin{array} { r l } { { 0 . 5 6 \quad } } & { { ; \mathrm { t h i s ~ w o r k } } } \\ { { \frac { 7 } { 1 2 } \simeq 0 . 5 8 \quad } } & { { ; \mathrm { E T P T [ ~ { \cal ~ O } ( \ a l p h a ^ { 4 } ) ~ ] } , } } \end{array} \right.
\left( \begin{array} { l l l l l l } { { N R _ { a } } } & { { 0 } } & { { - \frac { 2 } { N } R _ { d } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { R _ { d } \, \left( \frac { 4 } { N ^ { 2 } } - 1 \right) } } \\ { { \frac { 2 } { N } R _ { d } } } & { { N R _ { b } } } & { { \frac { 2 } { N } R _ { d } } } & { { R _ { d } \, \left( \frac { 4 } { N ^ { 2 } } - 1 \right) } } & { { 0 } } & { { R _ { d } \, \left( \frac { 4 } { N ^ { 2 } } - 1 \right) } } \\ { { - \frac { 2 } { N } R _ { d } } } & { { 0 } } & { { N R _ { a } } } & { { R _ { d } \, \left( \frac { 4 } { N ^ { 2 } } - 1 \right) } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { R _ { d } } } & { { \frac { N } { 4 } \left( 3 R _ { a } + R _ { b } \right) } } & { { 0 } } & { { R _ { d } \left( \frac { 2 } { N } - \frac { N } { 4 } \right) } } \\ { { R _ { d } } } & { { 0 } } & { { R _ { d } } } & { { - R _ { d } \left( \frac { 2 } { N } - \frac { N } { 4 } \right) } } & { { \frac { N } { 2 } \left( R _ { a } + R _ { b } \right) } } & { { - R _ { d } \left( \frac { 2 } { N } - \frac { N } { 4 } \right) } } \\ { { R _ { d } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { R _ { d } \left( \frac { 2 } { N } - \frac { N } { 4 } \right) } } & { { 0 } } & { { \frac { N } { 4 } \left( 3 R _ { a } + R _ { b } \right) } } \end{array} \right)
\bar { a } _ { j } = a _ { j } + ( - 1 ) ^ { j - 1 } \frac { D - 1 } { 2 } \sigma ^ { \prime } ( z _ { j } ) e ^ { \sigma ( z _ { j } ) } b _ { j } , \quad \bar { b } _ { j } = b _ { j } e ^ { \sigma ( z _ { j } ) } .
| 0 0 \rangle \rightarrow | 0 \rangle \otimes H | 0 \rangle = \frac { | 0 0 \rangle + | 0 1 \rangle } { \sqrt { 2 } } \rightarrow C N O T _ { 0 1 } \frac { | 0 0 \rangle + | 0 1 \rangle } { \sqrt { 2 } } =
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \kappa } \frac { \partial } { \partial \kappa } \left[ \kappa \frac { \partial \tilde { \psi } _ { 1 } } { \partial \kappa } \right] - \frac { \tilde { \psi } _ { 1 } } { \kappa ^ { 2 } } \approx - \frac { r _ { b } ^ { 3 } g } { 4 \kappa } . } \end{array}
G _ { 1 , 1 , { \frac { 1 } { 3 } } } ^ { ( 1 0 ) } \, \left| \, { p \; \, q \; \; i \atop p \; p \; ( p + 2 q ) / 3 } \, \right\rangle = \sqrt { \frac { ( p + 1 ) \, ( p + q + 2 ) } { p + 2 } } \; \sum _ { i ^ { \prime } } \; \left| \, { p + 1 \; \, q \; \; i ^ { \prime } \atop p \; p \; ( p + 2 q - 2 ) / 3 } \, \right\rangle \; A _ { i ^ { \prime } \; , i } \; .
\begin{array} { r } { G ( A , B ) = A ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( A ^ { - \frac { 1 } { 2 } } B A ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } A ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { c c c c } { { \mathrm { l o n g ~ r o o t s : } } } & { { \pm \, 2 \! e _ { k } } } & { { } } & { { ( 1 \leq k \leq 3 ) } } \\ { { \mathrm { s h o r t ~ r o o t s : } } } & { { \pm \, e _ { k } \pm e _ { l } } } & { { } } & { { ( 1 \leq k < l \leq 3 ) } } \end{array} ~ .
\Xi _ { n , m } ( - \frac { 1 } { \tau } ) = \widetilde { \Xi } _ { n , m } ( \tau ) = \sqrt { \frac { - i \tau } { 2 m } } \sum _ { n ^ { \prime } \, \mathrm { m o d } \, 2 m } \sin ( - 2 \pi \frac { n n ^ { \prime } } { 2 m } ) \Xi _ { n ^ { \prime } , m } ( \tau ) \, ,
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { i } } & { : = } & { \rho _ { i } \rho _ { 1 } = \gamma ( 1 , \rho _ { i } ) = \gamma ( \rho _ { 1 } , \rho _ { i } ) ^ { - 1 } , } \\ { \beta _ { i } } & { : = } & { y _ { 1 } \rho _ { i } \rho _ { 1 } y _ { 1 } = \gamma ( y _ { 1 } , \rho _ { i } ) = \gamma ( y _ { 1 } \rho _ { 1 } , \rho _ { i } ) ^ { - 1 } , } \\ { \delta } & { : = } & { ( \rho _ { 1 } y _ { 1 } ) ^ { 2 } = \gamma ( \rho _ { 1 } , y _ { 1 } ) = \gamma ( y _ { 1 } \rho _ { 1 } , y _ { 1 } ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { i } } & { = \Tilde { E } _ { i } \Tilde { E } _ { i } ^ { * } = I _ { 1 } \tau _ { i h } ^ { 2 } + I _ { 2 } \tau _ { i k } ^ { 2 } + \Tilde { E } _ { 1 } \Tilde { E } _ { 2 } ^ { * } U _ { i h } U _ { i k } ^ { * } + \Tilde { E } _ { 1 } ^ { * } \Tilde { E } _ { 2 } U _ { i h } ^ { * } U _ { i k } } \\ { I _ { j } } & { = \Tilde { E } _ { j } \Tilde { E } _ { j } ^ { * } = I _ { 1 } \tau _ { j h } ^ { 2 } + I _ { 2 } \tau _ { j k } ^ { 2 } + \Tilde { E } _ { 1 } \Tilde { E } _ { 2 } ^ { * } U _ { j h } U _ { j k } ^ { * } + \Tilde { E } _ { 1 } ^ { * } \Tilde { E } _ { 2 } U _ { j h } ^ { * } U _ { j k } } \end{array}
z ^ { 2 } \! = \! R \sqrt { \frac { r ^ { 2 } - r _ { - } ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } - r _ { - } ^ { 2 } } } \sinh \left( \frac { r _ { + } } { R } \phi \! - \! \frac { r _ { - } } { R ^ { 2 } } t \right) \; \; \; z ^ { 3 } \! = \! R \sqrt { \frac { r ^ { 2 } - r _ { - } ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } - r _ { - } ^ { 2 } } } \cosh \left( \frac { r _ { + } } { R } \phi \! - \! \frac { r _ { - } } { R ^ { 2 } } t \right) ,
h ( \mathrm { S } ) = \frac { A ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { \mathrm { S } } ( 1 + \mathrm { S } ) ^ { 2 } - \frac { A ^ { 2 } } { 2 } ( 1 + \mathrm { S } ) \partial _ { \mathrm { S } } ( 1 + \mathrm { S } ) = \frac { A ^ { 2 } } { 2 } ( 1 + \mathrm { S } ) .
\begin{array} { r l } & { P \bigg ( n ^ { - 1 / 2 } \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } | \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) ( Y _ { i } - m ( x ) ) | > \varepsilon \sqrt { \mathrm { V a r } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ( Y - m ( x ) ) ) } \bigg ) } \\ & { \leq \mathrm { ( c o n s t . ) } \frac { \mathrm { E } ( | \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ( Y - m ( x ) ) | ^ { 2 + \delta } ) } { n ^ { \delta / 2 } ( \mathrm { V a r } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ( Y - m ( x ) ) ) ) ^ { 1 + \delta / 2 } } } \\ & { \rightarrow 0 , } \end{array}
\frac { N _ { C } } { 2 \pi ^ { 2 } g ^ { 2 } } \varepsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } \{ \omega _ { \nu } \partial _ { \alpha } \rho _ { \beta } ^ { i } + \rho _ { \nu } ^ { i } \partial _ { \alpha } \omega _ { \beta } \} .