harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { r ( x _ { 1 } ) } & { { } \leqslant r ( x _ { 2 } ) \leqslant \cdots \leqslant \lambda _ { \operatorname* { m a x } } } \\ { r ( y _ { 1 } ) } & { { } \geqslant r ( y _ { 2 } ) \geqslant \cdots \geqslant \lambda _ { \operatorname* { m i n } } } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \zeta } { \partial t ^ { 2 } } + i ( \Omega ^ { \left( 1 \right) } \left( k \right) + \Omega ^ { \left( 2 \right) } \left( k \right) ) \frac { \partial \zeta } { \partial t } - \Omega ^ { \left( 1 \right) } \left( k \right) \Omega ^ { \left( 2 \right) } \left( k \right) \zeta = 0 \; .
\Pi _ { \mathrm { t } } ( k , \omega ) = m ^ { 2 } x ^ { 2 } \left( 1 + \frac { 1 - x ^ { 2 } } { 2 x } \mathrm { l n } \frac { 1 + x } { 1 - x } \right) + { \frac { i \pi } { 2 } } m ^ { 2 } x ( 1 - x ^ { 2 } )
\alpha _ { s } ^ { ( \mathrm { G N ) } } ( q ^ { 2 } ) = \frac { 4 \pi } { \beta _ { 0 } \ln \left( \frac { q ^ { 2 } + M _ { \mathrm { G N } } ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) } { \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } ^ { 2 } } \right) } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } } & { { } = \mathbf { x } _ { \alpha } + \mathbf { x } _ { \beta } } \\ { \mathbf { x } _ { \alpha } } & { { } = \mathbf { I } _ { \alpha } \mathbf { x } } \\ { \mathbf { x } _ { \beta } } & { { } = \mathbf { I } _ { \beta } \mathbf { x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { a b } ^ { \mu \nu } ( n ) } & { { } = \frac { \pi _ { a b } ^ { \mu \nu } ( 0 ) } { L - ( n - 1 ) } \Pi _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \frac { L - i } { L - i + 1 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \, \mathrm { d } X _ { t } = } & { B \left( t , X _ { t } , \mathcal { L } ( X _ { t } , Y _ { t } , Z _ { t } ) , Y _ { t } , Z _ { t } \right) \, \mathrm { d } t + \sigma ( t , X _ { t } , \mathcal { L } ( X _ { t } , Y _ { t } , Z _ { t } ) , Y _ { t } , Z _ { t } ) \, \mathrm { d } W _ { t } , } \\ { \, \mathrm { d } Y _ { t } = } & { - F \Big ( t , X _ { t } , \mathcal { L } ( X _ { t } , Y _ { t } , Z _ { t } ) , Y _ { t } , \sigma ^ { \operatorname { T } } ( t , X _ { t } , \mathcal { L } ( X _ { t } , Y _ { t } , Z _ { t } ) , Y _ { t } , Z _ { t } ) Z _ { t } \Big ) \, \mathrm { d } t + Z _ { t } \, \mathrm { d } W _ { t } , } \\ { \mathcal { L } ( X _ { 0 } ) } & { = \mu _ { 0 } , \qquad Y _ { T } = G ( X _ { T } , \mathcal { L } ( X _ { T } ) ) . } \end{array} \right.
K _ { S W } = \sqrt { \frac { \left| f ^ { ( 3 ) } \right| } { \left| f ^ { ( 1 ) } \right| } } \Delta x \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad K _ { S W } = \sqrt { \frac { \left| f ^ { ( 4 ) } \right| } { \left| f ^ { ( 2 ) } \right| } } \Delta x ,
\begin{array} { r l r } & { } & { P _ { \mathrm { o u t } } ( \nu , h ) = \int _ { h - a } ^ { h + a } \int _ { - b } ^ { b } I _ { \mathrm { o u t } } ( \nu , z ) \, \mathrm { d } y \mathrm { d } z } \\ & { } & { \qquad = \frac { A F I _ { 0 } / 4 } { 1 + F \sin ^ { 2 } \left[ \frac { 2 \pi \nu } { c } \left( 1 + \frac { g h } { c ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } L \right] } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) \, , \qquad } \end{array}
\begin{array} { r } { Y = Y _ { m } \cup Y _ { f } \cup Y _ { * } \cup \Gamma _ { Y } \; , \quad Y _ { i } \cap Y _ { j } = \emptyset \, \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } j \not = i \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } i , j \in \{ c , m , * \} \; , } \\ { Y _ { * } = \bigcup _ { \alpha } Y _ { * } ^ { \alpha } \; , \quad Y _ { * } ^ { \alpha } \cap Y _ { * } ^ { { \alpha } ^ { \prime } } = \emptyset \, \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } { \alpha } \not = { \alpha } ^ { \prime } \; , \quad Y _ { s } \equiv Y _ { m * } = Y _ { m } \cap Y _ { * } \; , } \end{array}
T _ { E N } ^ { ( 2 ) } ( \hat { r } ; \lambda , E , N ) = c _ { 2 } T _ { E N } ^ { ( 1 ) } ( \hat { r } ; \lambda , E , N ) + c _ { 1 } T _ { E N } ^ { * ( 1 ) } ( \hat { r } ; - \lambda , E , N )
f ( \phi , I , J _ { \mathrm { f } } ) = f ( \phi , - I , J _ { \mathrm { f } } ) , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ( \mathrm { l i b r a t i n g \, \, o r b i t s , } \, \, t \to \infty ) .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial p _ { 1 } } { \partial t } = } & { - \frac { \partial } { \partial x } \left( \left( I - \gamma x - w \frac { \chi _ { 1 } ^ { m } } { K ^ { m } + \chi _ { 1 } ^ { m } } \right) p _ { 1 } ( x , t ) \right) } \\ & { - \alpha p _ { 1 } ( x , t ) + \beta p _ { 2 } ( x , t ) } \\ { \frac { \partial p _ { 2 } } { \partial t } = } & { - \frac { \partial } { \partial x } \left( \left( I - \gamma x - w \frac { \chi _ { 2 } ^ { m } } { K ^ { m } + \chi _ { 2 } ^ { m } } \right) p _ { 2 } ( x , t ) \right) } \\ & { + \alpha p _ { 1 } ( x , t ) - \beta p _ { 2 } ( x , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \bar { e } _ { i } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \| \bar { e } _ { i - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 4 \alpha _ { i } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { 1 } K } + \frac { 8 ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } \eta _ { i - 1 } ^ { 2 } L ^ { 2 } } { K ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| d _ { i - 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { d } _ { i - 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { 8 ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } \eta _ { i - 1 } ^ { 2 } L ^ { 2 } } { K } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { i - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 4 \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } } { K ^ { 2 } \rho ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \big \| z _ { i } ^ { ( k ) } - \bar { z } _ { i } \big \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 4 \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } } { K ^ { 2 } \rho ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \big \| z _ { i - 1 } ^ { ( k ) } - \bar { z } _ { i - 1 } \big \| ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \| \bar { e } _ { i - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 4 \alpha _ { i } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { 1 } K } + \frac { 3 2 \lambda ^ { 2 } ( I - 1 ) ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } L ^ { 2 } } { K ^ { 2 } \rho ^ { 2 } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { i - 1 } \eta _ { \ell } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 8 ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } \eta _ { i - 1 } ^ { 2 } L ^ { 2 } } { K } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { i - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 4 \lambda ^ { 2 } ( I - 1 ) L ^ { 2 } } { K ^ { 2 } \rho ^ { 2 } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { i - 1 } \eta _ { \ell } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 4 \lambda ^ { 2 } ( I - 1 ) L ^ { 2 } ( 1 - \alpha _ { i - 1 } ) ^ { 2 } } { K ^ { 2 } \rho ^ { 2 } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { i - 2 } \eta _ { \ell } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \| \bar { e } _ { i - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 4 \alpha _ { i } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { 1 } K } + \frac { 4 0 \lambda ^ { 2 } ( I - 1 ) L ^ { 2 } } { K ^ { 2 } \rho ^ { 2 } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { i - 1 } \eta _ { \ell } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \| ^ { 2 } + \frac { 8 \eta _ { i - 1 } ^ { 2 } L ^ { 2 } } { K } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { i - 1 } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { D } = } & { \left\{ \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] + \frac { \sin ^ { 2 } | \mathbf { r } | } { | \mathbf { r } | ^ { 2 } } \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { - r _ { 3 } } & { r _ { 2 } } \\ { r _ { 3 } } & { 0 } & { - r _ { 1 } } \\ { - r _ { 2 } } & { r _ { 1 } } & { 0 } \end{array} \right] \right. } \\ & { \left. - \frac { | \mathbf { r } | - \sin | \mathbf { r } | \cos | \mathbf { r } | } { | \mathbf { r } | ^ { 3 } } \left[ \begin{array} { c c c } { r _ { 2 } ^ { 2 } + r _ { 3 } ^ { 2 } } & { - r _ { 1 } r _ { 2 } } & { - r _ { 1 } r _ { 3 } } \\ { - r _ { 1 } r _ { 2 } } & { r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 3 } ^ { 2 } } & { - r _ { 2 } r _ { 3 } } \\ { - r _ { 1 } r _ { 3 } } & { - r _ { 2 } r _ { 3 } } & { r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right] \right\} } \end{array} .
\begin{array} { r l r } { \dot { \hat { \boldsymbol B } } } & { = } & { - \boldsymbol \nabla \times \hat { \boldsymbol E } _ { c } ^ { \perp } + c g _ { a \gamma \gamma } \boldsymbol \nabla \times \left( \hat { a } \hat { \boldsymbol B } \right) , } \\ { \dot { \hat { \boldsymbol E } } _ { c } ^ { \parallel } } & { = } & { - \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } \boldsymbol J ^ { \parallel } , } \\ { \dot { \hat { \boldsymbol E } } _ { c } ^ { \perp } } & { = } & { - \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } \boldsymbol J ^ { \perp } + c ^ { 2 } \boldsymbol \nabla \times \hat { \boldsymbol B } } \\ & { } & { - \boldsymbol \nabla \times \left[ c g _ { a \gamma } \hat { a } \left( \hat { \boldsymbol E } _ { c } - c g _ { a \gamma \gamma } \hat { a } \hat { \boldsymbol B } \right) \right] . } \end{array}
\gamma _ { \mathrm { w } } = 2 3 5 . 8 \left( 1 - { \frac { T } { T _ { \mathrm { C } } } } \right) ^ { 1 . 2 5 6 } \left[ 1 - 0 . 6 2 5 \left( 1 - { \frac { T } { T _ { \mathrm { C } } } } \right) \right] ~ { \mathrm { m N / m } } ,
P _ { \mathrm { g c } \Phi } \; = \; - \; \frac { 1 } { \epsilon } \; \psi ^ { * } \; = \; - \, \frac { 1 } { \epsilon } \; \psi \; + \; P _ { \| } \, b _ { \Phi } \; - \; \epsilon \, J \, { \cal R } _ { \Phi } ^ { * } .
\begin{array} { r l r } { \tilde { a } _ { x } ( \omega ) } & { = } & { | \tilde { a } _ { x } ( \omega ) | e ^ { i \gamma _ { x } ( \omega ) } \; = \; \frac { 1 } { ( t _ { f } - t _ { i } ) \; \omega ^ { 2 } } \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } e ^ { - i \omega t } a _ { x } ( t ) \; d t } \\ { \tilde { a } _ { y } ( \omega ) } & { = } & { | \tilde { a } _ { y } ( \omega ) | e ^ { i \gamma _ { y } ( \omega ) } \; = \; \frac { 1 } { ( t _ { f } - t _ { i } ) \; \omega ^ { 2 } } \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } e ^ { - i \omega t } a _ { y } ( t ) \; d t , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \theta ( x ^ { k } ) } & { \geq } & { g _ { j ^ { * } } ( p ( x ^ { k } ) ) - g _ { j ^ { * } } ( x ^ { k } ) + \langle \nabla h _ { j ^ { * } } ( x ^ { k } ) , p ( x ^ { k } ) - x ^ { k } \rangle } \\ & { \geq } & { \frac { f _ { j ^ { * } } \left( x ^ { k } + \bar { \lambda } _ { k } [ p ( x ^ { k } ) - x ^ { k } ] \right) - f _ { j ^ { * } } ( x ^ { k } ) } { \bar { \lambda } _ { k } } - \frac { o ( \bar { \lambda } _ { k } \| p ( x ^ { k } ) - x ^ { k } \| ) } { \bar { \lambda } _ { k } } , \quad \forall k \in \mathbb { K } _ { 3 } . } \end{array}
\{ \psi _ { \alpha } ( \tau , \vec { \sigma } ) , \bar { \psi } _ { \beta } ( \tau , \vec { \sigma } ^ { \prime } ) \} _ { D } ^ { \ast } = - i \big ( \gamma ^ { \mu } b _ { \mu \tau } \big ) _ { \alpha \beta } \delta ^ { 3 } ( \vec { \sigma } - \vec { \sigma } ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r } { ( 1 + o _ { P } ( 1 ) ) \int _ { U _ { K _ { n } - 1 } } 1 _ { H ( \xi _ { 1 } , \dots , \xi _ { K _ { n } - 1 } ) \in \tilde { A } _ { n } } e ^ { \alpha _ { n } l _ { n } ( H ( \xi _ { 1 } , \dots , \xi _ { K _ { n } - 1 } ) ) } \frac { 1 } { B ( \delta ) } \prod _ { i = 1 } ^ { K _ { n } } \xi _ { i } ^ { \delta _ { i } - 1 } d \xi _ { 1 } \dots d \xi _ { K _ { n } - 1 } } \\ { \leq \int _ { A _ { n } } e ^ { \alpha _ { n } l _ { n } ( f _ { t } ) } d \Pi ( f ) \leq ( 1 + o _ { P } ( 1 ) ) \int e ^ { \alpha _ { n } l _ { n } ( f ) } d \Pi ( f ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { 3 } } & { = } & { \mathbb { E } \Bigg [ \Bigg | \Bigg \{ \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } ) } + \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ( g _ { k - 1 } ) } - \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l - 1 } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \Bigg \} - } \\ & { } & { \Bigg \{ \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) } + \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) } - \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l - 1 } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \Bigg \} \Bigg | ^ { p } \Bigg ] ^ { 1 / p } } \\ { T _ { 4 } } & { = } & { \mathbb { E } \Bigg [ \Bigg | \Bigg \{ \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } ) } + \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ( g _ { k - 1 } ) } - \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \Bigg \} - } \\ & { } & { \Bigg \{ \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) } + \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) } - \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \Bigg \} \Bigg | ^ { p } \Bigg ] ^ { 1 / p } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \alpha _ { i } } } & { { \equiv } } & { { \alpha ( { m _ { e _ { i } } } / { T } ) , } } \\ { { \Delta _ { i } } } & { { \equiv } } & { { N - \sum _ { i } \alpha _ { i } , } } \\ { { \mu } } & { { \equiv } } & { { \sum _ { i } \mu _ { i } , } } \\ { { { \bar { \mu } } } } & { { = } } & { { \sum _ { i } \alpha _ { i } \mu _ { i } , } } \\ { { \Delta \mu } } & { { = } } & { { \mu - { \bar { \mu } } , } } \\ { { \Delta _ { u } } } & { { \equiv } } & { { N - \sum _ { i } \alpha ( { m _ { u _ { i } } } / { T _ { s p h a l } } ) , } } \\ { { \Delta _ { d } } } & { { \equiv } } & { { N - \sum _ { i } \alpha ( { m _ { d _ { i } } } / { T _ { s p h a l } } ) , } } \\ { { \alpha _ { - } } } & { { \equiv } } & { { \alpha ( { m _ { \phi ^ { - } } } / { T } ) , } } \\ { { \alpha _ { 0 } } } & { { \equiv } } & { { \alpha ( { m _ { \phi ^ { 0 } } } / { T } ) , } } \\ { { \alpha _ { W } } } & { { \equiv } } & { { \alpha ( { T _ { s p h a l } } / { T } ) . } } \end{array}
< \Lambda _ { c } ( v ^ { \prime } ) | \mathrm { T } \bar { h } _ { v ^ { \prime } } ^ { ( c ) } \Gamma h _ { v } ^ { ( b ) } i \int d ^ { 4 } x \frac { { \cal L } ^ { \prime } ( x ) } { 2 m _ { Q } } | \Lambda _ { b } ( v ) > = \frac { \bar { \Lambda } } { m _ { Q } } \chi ( y ) \bar { u } _ { \Lambda _ { c } } ( v ^ { \prime } ) \Gamma u _ { \Lambda _ { b } } ( v ) ~ . \, [ 3 m m ]
\begin{array} { r l r } & { } & { G _ { 2 } ( m ) = m ^ { 2 } \sum _ { s = 0 } ^ { L } ( - 1 ) ^ { s } \sum _ { l _ { 1 } < l _ { 2 } \dots < l _ { s } } \frac { 1 } { p ^ { 2 } ( l _ { 1 } ) p ^ { 2 } ( l _ { 2 } ) \dots p ^ { 2 } ( l _ { s } ) } = } \\ & { } & { m ^ { 2 } \prod _ { l = 1 } ^ { L } \left( 1 - \frac { 1 } { p _ { l } ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \mathcal { U } } _ { k } ^ { O } = } & { \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { o } } A _ { O } ^ { ( n ) } e ^ { - \frac { f _ { o } ^ { ( n ) } ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { o } _ { k } ) } { 2 } } , \forall n \in \mathbb { Z } ^ { + } } \\ { f _ { o } ^ { ( n ) } = } & { \left[ \begin{array} { l l } { x _ { k } - \widehat { x } _ { k } ^ { ( n ) } } & { y _ { k } - \widehat { y } _ { k } ^ { ( n ) } } \end{array} \right] R \Sigma ^ { - 1 } R ^ { \intercal } \left[ \begin{array} { l } { x _ { k } - \widehat { x } _ { k } ^ { ( n ) } } \\ { y _ { k } - \widehat { y } _ { k } ^ { ( n ) } } \end{array} \right] } \\ { \Sigma = } & { \left[ \begin{array} { l l } { { ( \sigma _ { x } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { { ( \sigma _ { y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } } } \end{array} \right] , \quad R = \left[ \begin{array} { l l } { \cos \widehat { \theta } _ { k } ^ { ( n ) } } & { - \sin \widehat { \theta } _ { k } ^ { ( n ) } } \\ { \sin \widehat { \theta } _ { k } ^ { ( n ) } } & { \cos \widehat { \theta } _ { k } ^ { ( n ) } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { D _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { \ t e x t i t { i d e a l g a s } } } } { D _ { 0 } } } & { { } = 1 + \frac { h _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 H ^ { 2 } } \frac { 3 \mathrm { P e } ^ { 2 } - 1 } { ( \mathrm { P e } ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } , } \\ { \frac { V _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { \ t e x t i t { i d e a l g a s } } } } { v _ { \mathrm { w a l l } } } } & { { } = \frac { h _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 H ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 + \mathrm { P e } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Psi ( r , \vartheta ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { r } \frac { u \, d u } { h ( u , \vartheta ) } = \frac { 1 } { \cos { \vartheta } } \left( r - \frac { \ln h ( r , \vartheta ) } { \cos \vartheta } \right) , } \\ { \psi ( r ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { r } \frac { u \, d u } { q ( u ) } = \frac { 1 } { \sigma } \, \ln \left( \frac { q ( r ) } { q _ { 0 } } \right) , } \end{array}
{ \frac { 1 } { P ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } { \mit \Pi } _ { t , \ell } ( P ) } } = \int \! d x \, x \, { \frac { \rho _ { t , \ell } ^ { ( \lambda ) } ( x , p ) } { P _ { 0 } ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \; \; , \; \;
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \varepsilon } _ { j ^ { \prime } } ( \boldsymbol { m } ^ { F W I } , \mathcal { P } , \boldsymbol { m } ^ { \prime } ) } & { = u ( \boldsymbol { m } ^ { \prime } ; p _ { j ^ { \prime } } ) - u ( \boldsymbol { m } ^ { F W I } ; p _ { j ^ { \prime } } ) , \quad \mathrm { f o r } \quad j ^ { \prime } = 1 , \ldots , N _ { r } . } \end{array}
= \sum _ { i j } \psi _ { i } ^ { * } \psi _ { j } \varphi _ { j } ^ { * } \varphi _ { i } = \sum _ { i } | \psi _ { i } | ^ { 2 } | \varphi _ { i } | ^ { 2 } + \sum _ { i j ; i \neq j } \psi _ { i } ^ { * } \psi _ { j } \varphi _ { j } ^ { * } \varphi _ { i }
\begin{array} { r l } { \langle N _ { 1 } ( \tau ) f ( s ) \rangle } & { { } = \langle \frac { 1 } { \xi } e ^ { - k / \xi \tau } \int _ { 0 } ^ { \tau } e ^ { k / \xi r } f ( r ) d r f ( s ) \rangle } \end{array}
{ \frac { m ^ { 2 } ( S ) } { m ^ { 2 } ( V ) } } = { \frac { 1 } { 6 ( 4 \pi ) ^ { 2 } } } \left[ 3 6 e ^ { 2 } + { \frac { \lambda ^ { 2 } \xi ^ { 2 } } { e ^ { 2 } } } \left( 1 5 + { \frac { 3 } { 4 \omega ^ { 2 } } } - { \frac { 9 \xi } { \omega ^ { 2 } } } + { \frac { 2 7 \xi ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } } \right) \right] .
{ \cal E } ( r ) { \cal T } = - 2 \kappa _ { ( 1 0 ) } ^ { 2 } \int d ^ { 1 0 } x \int d ^ { 1 0 } { \tilde { x } } \ \Bigl [ 4 j _ { \Phi } \Delta { \tilde { j } _ { \Phi } } - j _ { C } \Delta { \tilde { j } _ { C } } + T _ { \mu \nu } \Delta ^ { \mu \nu , \rho \tau } { \tilde { T } } _ { \rho \tau } \Bigr ]
\begin{array} { r l } { { 2 } } & { { } \ensuremath { \varepsilon } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \left( | \nabla u | ^ { 2 } + \frac { f ^ { \prime \prime } ( c _ { A } ) } { \ensuremath { \varepsilon } ^ { 2 } } u ^ { 2 } \right) \mathrm { d } x \mathrm { d } t \leq \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } u ( x , 0 ) ^ { 2 } \mathrm { d } x } \end{array}
\begin{array} { c } { \mathbf { u } _ { \mathrm { B } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) : = \left( \begin{array} { r } { \cos ( \pi x _ { 1 } ) \sin ( \pi x _ { 2 } ) } \\ { - \sin ( \pi x _ { 1 } ) \cos ( \pi x _ { 2 } ) } \end{array} \right) , \quad \mathbf { u } _ { \mathrm { D } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) : = \left( \begin{array} { r } { \cos ( \pi x _ { 1 } ) \exp ( x _ { 2 } ) } \\ { \exp ( x _ { 1 } ) \cos ( \pi x _ { 2 } ) } \end{array} \right) , } \\ { p _ { \star } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) : = \sin ( \pi x _ { 1 } ) \sin ( \pi x _ { 2 } ) { \quad \mathrm { i n } \quad } \Omega _ { \star } , \quad \mathrm { ~ w i t h ~ } \star \in \{ \mathrm { B } , \mathrm { D } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { i j } } & { = c \pi _ { i } \pi _ { j } \frac { \frac { p _ { i } } { \pi _ { i } } - \frac { p _ { j } } { \pi _ { j } } } { \frac { \partial E ( p ) } { \partial p _ { i } } - \frac { \partial E ( p ) } { \partial p _ { j } } } } \\ & { = c \frac { \pi _ { j } p _ { i } - \pi _ { i } p _ { j } } { \phi ^ { \prime } ( \frac { p _ { i } } { \pi _ { i } } ) - \phi ^ { \prime } ( \frac { p _ { j } } { \pi _ { j } } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] } & { = } & { \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 0 } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 1 } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] } \\ & { } & { + \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 2 } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 3 } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] } \\ & { } & { + \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 4 } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] } \end{array}
h _ { A } ^ { \Delta } = { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } ( h _ { A } ^ { n \Delta ^ { 0 } \pi ^ { + } \pi ^ { - } } + h _ { A } ^ { p \Delta ^ { + } \pi ^ { - } \pi ^ { + } } ) + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } ( h _ { A } ^ { n \Delta ^ { + } \pi ^ { 0 } \pi ^ { - } } - h _ { A } ^ { p \Delta ^ { 0 } \pi ^ { 0 } \pi ^ { + } } ) - h _ { A } ^ { n \Delta ^ { + + } \pi ^ { - } \pi ^ { - } } - h _ { A } ^ { p \Delta ^ { - } \pi ^ { + } \pi ^ { + } } \; .
\begin{array} { r l } { c \lambda ^ { m } - C ^ { \prime } \lambda ^ { m - 1 } } & { \leq C \biggr ( \left\| ^ { \mathrm { b } } \upsigma ^ { m } ( P ) ( \rho , y ; \lambda \xi , \lambda \eta ) \phi \left( \frac { \rho } { \delta } \right) \psi ( y ) \right\| _ { L ^ { 2 } ( M ; F ) } + C ^ { \prime } \lambda ^ { m - 1 } + C ^ { \prime } \delta ^ { - \alpha } \lambda ^ { m ^ { \prime } } \biggr ) . } \end{array}
G _ { 4 } ^ { \mu \nu \alpha \beta } ( x ) = \int { \frac { d p ^ { 4 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( g ^ { \mu \alpha } g ^ { \nu \beta } + g ^ { \mu \beta } g ^ { \nu \alpha } ) - { \frac { 1 } { 3 } } g ^ { \mu \nu } g ^ { \alpha \beta } + { \cal O } ( p ) \right) D ( p ^ { 2 } , m _ { 0 } ^ { 2 } , \Gamma ) e ^ { - i p ( x ) } ,
\begin{array} { r l } { T _ { \mathrm { e M M } } } & { { } \approx \frac { m \Omega ^ { 2 } } { 1 6 k _ { B } } q _ { x } ^ { 2 } ( x _ { 0 } , 0 , 0 ) x _ { 0 } ^ { 2 } } \end{array}
\Phi _ { 1 } \rightarrow \frac { \eta ^ { 1 / 2 } } { i \pi \nu } \left( \frac { ( k _ { x } \eta ) ^ { \nu } } { 2 ^ { \nu } } e ^ { i \pi \nu } \Gamma ( 1 - \nu ) - 2 ^ { \nu } \Gamma ( \nu + 1 ) ( k _ { x } \eta ) ^ { - \nu } \right)
h ( i , x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } { \mathrm { p r o g r a m ~ } } i { \mathrm { ~ h a l t s ~ o n ~ i n p u t ~ } } x , } \\ { 0 } & { { \mathrm { o t h e r w i s e . } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \left< L _ { z } \right> } & { = \left< r \times m v \right> = \alpha \left< \frac { m } { m ^ { * } } y ^ { 2 } - x ^ { 2 } \right> = \frac { \left< y ^ { 2 } - x ^ { 2 } \right> \left< \frac { m } { m ^ { * } } y ^ { 2 } - x ^ { 2 } \right> } { \left< \frac { m } { m ^ { * } } y ^ { 2 } + x ^ { 2 } \right> } \Omega } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 - \mathbb { 1 } _ { P } ) \, \theta + \mathbb { 1 } _ { P } \, \theta _ { y } = 0 } \\ { \mathbb { 1 } _ { P } \, u + ( 1 - \mathbb { 1 } _ { P } ) \, u _ { y } = u _ { p } \quad \quad \mathrm { ~ a ~ t ~ } y = 1 , } \\ { v = 0 } \end{array} \right.