harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
e ^ { i W } = \int d g _ { \mu \nu } ~ d \bar { \Gamma } _ { ~ \mu \nu } ^ { \sigma } e ^ { i \left( S _ { c l a s } + S _ { g f } \right) } \left( d e t \omega _ { \mu \nu } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( d e t \omega _ { \mu \alpha } \triangle _ { ~ \nu } ^ { \alpha } \right) \left( d e t \zeta _ { \mu \nu } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \left( d e t \varsigma _ { \mu \nu } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } }
\begin{array} { r l } { \tilde { h } _ { p q } } & { { } = \sum _ { t u } U _ { p t } { h } _ { t u } U _ { q u } } \\ { \tilde { g } _ { p q r s } } & { { } = \sum _ { t u v w } U _ { p t } U _ { q u } { g } _ { t u v w } U _ { r v } U _ { s w } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( t ) = } & { t ^ { \theta + 1 } \left\{ ( 5 \gamma - 3 ) X ^ { 2 } - 2 ( 3 \gamma - 1 ) X + \gamma ( 3 - \gamma ) \right\} - ( 3 - \gamma ) ( \gamma - 1 ) X + 2 ( \gamma - 1 ) } \\ { \geq } & { X \left\{ ( 5 \gamma - 3 ) X ^ { 2 } - 2 ( 3 \gamma - 1 ) X + \gamma ( 3 - \gamma ) \right\} - ( 3 - \gamma ) ( \gamma - 1 ) X + 2 ( \gamma - 1 ) } \\ { = } & { ( 5 \gamma - 3 ) X ^ { 3 } - 2 ( 3 \gamma - 1 ) X ^ { 2 } + ( 3 - \gamma ) X + 2 ( \gamma - 1 ) = : g ( X ) . } \end{array}
\mathbb { E } \bigg [ \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } \sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \big ( e ^ { - t \lambda _ { k } } - 1 \big ) ^ { 2 } ( \phi _ { k } ( X _ { \ell } ) - \mathbb { E } [ \phi _ { k } ( X _ { \ell } ) ] ) ^ { 2 } \bigg ] \leq \Lambda n \sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \big ( e ^ { - t \lambda _ { k } } - 1 \big ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } ( F ( \boldsymbol { w } _ { T + 1 } ) - F ( \boldsymbol { w } ^ { * } ) ) \le \Phi ^ { T } \mathbb { E } ( F ( \boldsymbol { w } _ { 0 } ) - F ( \boldsymbol { w } ^ { * } ) ) } \\ & { + \left( \frac { 2 c _ { 1 } } { L D } \sum _ { i = 1 } ^ { N } D _ { i } e _ { i } + \frac { \eta M } { 2 L D ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } D _ { i } ( 1 - e _ { i } ) \sigma _ { i } ^ { 2 } \right) \frac { 1 - \Phi ^ { T } } { 1 - \Phi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { l ^ { \alpha } = } & { l _ { 0 } ^ { \alpha } + \frac { l _ { 1 } ^ { \alpha } } { \omega } + \frac { l _ { 2 } ^ { \alpha } } { \omega ^ { 2 } } + . . . , } \\ { m ^ { \alpha } = } & { m _ { 0 } ^ { \alpha } + \frac { m _ { 1 } ^ { \alpha } } { \omega } + \frac { m _ { 2 } ^ { \alpha } } { \omega ^ { 2 } } + . . . . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu _ { 0 , \rho } \big [ g _ { x } \, \mathcal L _ { * } g _ { y } \big ] } & { = \nu _ { 0 , \rho } \Big [ \eta ^ { k } ( x ) \cdot \eta ( x ) r ( x , y ) \big ( ( \eta ( y ) + 1 ) ^ { k } - \eta ( y ) ^ { k } \big ) \Big ] } \\ & { \quad + \nu _ { 0 , \rho } [ \eta ^ { k } ] \nu _ { 0 , \rho } \Big [ \mathcal L _ { * } ( g _ { y } ) - \eta ( x ) r ( x , y ) \big ( ( \eta ( y ) + 1 ) ^ { k } - \eta ( y ) ^ { k } \big ) \Big ] } \\ & { = c _ { 2 } ( \rho , k ) r ( x , y ) \, . } \end{array}
U = P f X = X ^ { i _ { 1 } j _ { 1 } } X ^ { i _ { 2 } j _ { 2 } } X ^ { i _ { 3 } j _ { 3 } } \varepsilon _ { i _ { 1 } j _ { 1 } i _ { 2 } j _ { 2 } i _ { 3 } j _ { 3 } } ~ ,
\xi _ { x } ( a _ { x } , a _ { y } , a _ { z } ) = \frac { \Delta \nu _ { x } ( a _ { x } , a _ { y } , a _ { z } ) } { \Delta \nu _ { x , s c } } , \; \; \; \; \xi _ { y } ( a _ { x } , a _ { y } , a _ { z } ) = \frac { \Delta \nu _ { y } ( a _ { x } , a _ { y } , a _ { z } ) } { \Delta \nu _ { y , s c } }
L ^ { \prime } ( x ) = \frac 1 x - \frac { \beta } { \gamma _ { 1 } } - \beta \alpha \frac { P _ { 0 } \nu x ^ { \nu - 1 } } { \gamma _ { 2 } S _ { 0 } ^ { \nu } } = : \frac { 1 } { x } l ( x ) ,
n _ { 2 0 } = \frac { 2 \psi _ { \operatorname* { m i n } } } { \left( \Delta _ { 1 0 } + \Delta _ { 2 0 } \right) ^ { 2 } \ln \left( 1 + \frac { \Delta _ { 2 0 } } { \Delta _ { 1 0 } } \right) } .
< D ^ { \alpha \beta \, 6 } > = \sum _ { a = 1 } ^ { 5 } q ^ { 6 } { } _ { a } < ( h ^ { * a \alpha } h ^ { a \beta } + h ^ { * a \beta } h ^ { a \alpha } ) > = - 2 \, ( v ^ { * \alpha } v ^ { \beta } + v ^ { * \beta } v ^ { \alpha } ) ) \neq 0 .
\frac { \cos \left( \frac { \theta _ { 1 } + \phi } { 2 } + \frac { \pi } { 8 g } \right) } { \sin \left( \frac { \theta _ { 1 } - \phi } { 2 } + \frac { \pi } { 8 g } \right) } \in \left( - \infty , R ^ { \prime } \operatorname { t a n h } \left( \frac { a } { 2 } \right) \right) \cup \left( \frac { R ^ { \prime } } { \operatorname { t a n h } \left( \frac { a } { 2 } \right) } , \infty \right) .
X _ { i } = Y _ { i } \ \ \mathrm { f o r } \ \ i = 1 , 2 , 3 , \ \ \ X _ { 4 } ^ { 4 } = Y _ { 5 } ^ { 2 } , \ \ X _ { 5 } ^ { 2 } = Y _ { 4 } ^ { 2 } Y _ { 5 } .
\frac { \partial ^ { 2 } \bar { f } _ { \epsilon } } { \partial \bar { t } ^ { 2 } } | _ { P _ { 0 } } = \frac { \partial ^ { 2 } \bar { f } _ { \epsilon } } { \partial \bar { t } \partial \bar { x } } | _ { P _ { 0 } } = \frac { \partial ^ { 2 } \bar { f } _ { \epsilon } } { \partial \bar { x } ^ { 2 } } | _ { P _ { 0 } } = 0
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \boldsymbol { v } ) = 0 , } \\ & { \frac { \partial ( \rho \boldsymbol { v } ) } { \partial t } + \nabla \cdot \left[ \rho \boldsymbol { v } \boldsymbol { v } + \left( p + \frac { \boldsymbol { B } ^ { 2 } } { 8 \pi } \right) \boldsymbol { \underbar I } - \frac { \boldsymbol { B } \boldsymbol { B } } { 4 \pi } \right] = \rho \boldsymbol { g } , } \\ & { \frac { \partial \boldsymbol { B } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \boldsymbol { v B } - \boldsymbol { B v } ) = 0 , } \\ & { \frac { \partial e } { \partial t } + \nabla \cdot \left[ \left( e + p + \frac { \boldsymbol { B } ^ { 2 } } { 8 \pi } \right) \boldsymbol { v } - \frac { 1 } { 4 \pi } \boldsymbol { B } ( \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { B } ) \right] } \\ & { = \rho \boldsymbol { g } \cdot \boldsymbol { v } + Q _ { \mathrm { c n d } } + Q _ { \mathrm { r a d } } , } \end{array}
m _ { \nu _ { l i g h t } } = \left[ \begin{array} { c c } { { \left( \frac { a ^ { 2 } } { M _ { 1 } } + \frac { b ^ { 2 } } { M _ { 2 } } e ^ { 2 i \delta _ { 1 } } \right) } } & { { \left( \frac { a c } { M _ { 1 } } e ^ { i \delta _ { 2 } } + \frac { b d } { M _ { 2 } } e ^ { i \delta _ { 1 } } \right) } } \\ { { \left( \frac { a c } { M _ { 1 } } e ^ { i \delta _ { 2 } } + \frac { b d } { M _ { 2 } } e ^ { i \delta _ { 1 } } \right) } } & { { \left( \frac { c ^ { 2 } } { M _ { 1 } } e ^ { 2 i { \delta } _ { 2 } } + \frac { d ^ { 2 } } { M _ { 2 } } \right) } } \end{array} \right] \times \left( 1 + { \cal O } ( m _ { D } ^ { 2 } m _ { M } ^ { - 2 } ) \right) \ ,
\tau ( x _ { 1 } x _ { 2 } . . . | y _ { 1 } y _ { 2 } . . . ) = \langle 0 | T [ { \hat { \psi } } ( x _ { 1 } ) { \hat { \psi } } ( x _ { 2 } ) . . . { \hat { \bar { \psi } } } ( y _ { 1 } ) { \hat { \bar { \psi } } } ( y _ { 2 } ) . . . ] | \Phi \rangle
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { 2 } y } { \partial x ^ { 2 } } } & { = \frac { \partial } { \partial x } \left[ v _ { 1 } w _ { 1 } f ^ { \prime } \big ( w _ { 1 0 } + w _ { 1 } x \big ) + v _ { 2 } w _ { 2 } f ^ { \prime } \big ( w _ { 2 0 } + w _ { 2 } x \big ) \right] } \\ & { = v _ { 1 } w _ { 1 } ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } \big ( w _ { 1 0 } + w _ { 1 } x \big ) + v _ { 2 } w _ { 2 } ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } \big ( w _ { 2 0 } + w _ { 2 } x \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { j \to \Psi _ { i } } ^ { 0 } ( t _ { i } , t _ { j } , 0 ) } & { { } = \sum _ { \tau _ { j } } m _ { \Psi _ { j } \to i } ( t _ { j } , t _ { i } , \tau _ { j } , 0 ) } \\ { m _ { j \to \Psi _ { i } } ^ { 1 } ( t _ { i } , t _ { j } , \tau _ { i } ) } & { { } = \sum _ { \tau _ { j } \geq \tau _ { i } - s _ { j i } } m _ { \Psi _ { j } \to i } ( t _ { j } , t _ { i } , \tau _ { j } , \tau _ { i } ) = } \\ { m _ { j \to \Psi _ { i } } ^ { 2 } ( t _ { i } , t _ { j } , \tau _ { i } ) } & { { } = \sum _ { \tau _ { j } > \tau _ { i } - s _ { j i } } m _ { \Psi _ { j } \to i } ( t _ { j } , t _ { i } , \tau _ { j } , \tau _ { i } ) = } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \tau \to 0 } \left\| \mathcal { L } _ { m } ^ { \tau } \varphi - \mathcal { P } _ { m } ^ { \mu } \mathcal { L } \varphi \right\| _ { L _ { \mu } ^ { 2 } } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \tau \to 0 } \left\| \mathcal { P } _ { m } ^ { \mu } \mathcal { L } ^ { \tau } \varphi - \mathcal { P } _ { m } ^ { \mu } \mathcal { L } \varphi \right\| _ { L _ { \mu } ^ { 2 } } } \\ & { \leq \operatorname* { l i m } _ { \tau \to 0 } \left\| \mathcal { L } ^ { \tau } \varphi - \mathcal { L } \varphi \right\| _ { L _ { \mu } ^ { 2 } } } \\ & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 3 c } ^ { ( 1 ) } } & { { } = 9 6 0 i D p ^ { 4 } \int \cdots \int d \varphi _ { 1 } d \varphi _ { 2 } \cdots d \varphi _ { D - 1 } \sin ^ { D - 2 } \varphi _ { 1 } \sin ^ { D - 3 } \varphi _ { 2 } \cdots \sin \varphi _ { D - 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { 1 \le t \le T } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } = } & { \mathcal { O } \Big ( \frac { ( f ( \overline { { { \bf x } ^ { 1 } } } ) - f ^ { * } ) + \sigma _ { l } ^ { 2 } } { \sqrt { K T } } + \frac { K ( \beta ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) } { T } + \frac { L ^ { 2 } } { K ^ { 1 / 2 } T ^ { 3 / 2 } } + \frac { \beta ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } } { K ^ { 1 / 2 } T ^ { 3 / 2 } ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathcal { L } } & { { } = R , } & { \mathcal { U } } & { { } = \frac { \rho g h _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu } = \frac { \rho g R ^ { 2 } } { \mu } ( 1 - \beta ) ^ { 2 } , } \\ { \mathcal { P } } & { { } = \frac { \gamma } { R } , } & { \mathcal { T } } & { { } = \frac { \mathcal { L } } { \mathcal { U } } = \frac { \mu } { \rho g R } ( 1 - \beta ) ^ { - 2 } , } \end{array}
- 2 i k _ { c } \langle U ^ { \dagger } , U _ { 1 } \rangle - 2 i k _ { c } \langle W ^ { \dagger } , W _ { 1 } \rangle + \langle W ^ { \dagger } , P _ { 1 } \rangle - \langle P ^ { \dagger } , W _ { 1 } \rangle - 2 i k _ { c } \langle \Theta ^ { \dagger } , \Theta _ { 1 } \rangle = 0 ,
\begin{array} { r l } { C _ { a b } } & { = \mathbb { E } \left[ r _ { a b } \left( t \right) \right] , } \\ { r _ { a b } \left( t \right) \exp \left[ \mathsf { i } \psi \left( t \right) \right] } & { = \frac { 1 } { 2 } \left\{ \exp \left[ \mathsf { i } \theta _ { a } \left( t \right) \right] + \exp \left[ \mathsf { i } \theta _ { b } \left( t \right) \right] \right\} , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { L _ { 0 } } & { = 1 } \\ { L _ { 1 } } & { = { \frac { 1 } { 3 } } p _ { 1 } } \\ { L _ { 2 } } & { = { \frac { 1 } { 4 5 } } \left( 7 p _ { 2 } - p _ { 1 } ^ { 2 } \right) } \\ { L _ { 3 } } & { = { \frac { 1 } { 9 4 5 } } \left( 6 2 p _ { 3 } - 1 3 p _ { 1 } p _ { 2 } + 2 p _ { 1 } ^ { 3 } \right) } \\ { L _ { 4 } } & { = { \frac { 1 } { 1 4 1 7 5 } } \left( 3 8 1 p _ { 4 } - 7 1 p _ { 1 } p _ { 3 } - 1 9 p _ { 2 } ^ { 2 } + 2 2 p _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 2 } - 3 p _ { 1 } ^ { 4 } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { A } & { { } = } & { ( 3 \Delta E _ { 1 } ^ { 2 } \Delta E _ { 2 } ^ { 2 } ( \Delta E _ { 1 } - \Delta E _ { 2 } ) - 2 \Delta E _ { 1 } ^ { 2 } \Delta E _ { 3 } ^ { 2 } ( \Delta E _ { 1 } - \Delta E _ { 3 } ) \strut } \\ { B } & { { } = } & { ( - 3 \Delta E _ { 1 } \Delta E _ { 2 } ( \Delta E _ { 1 } ^ { 2 } - \Delta E _ { 2 } ^ { 2 } ) + 2 \Delta E _ { 1 } \Delta E _ { 3 } ( \Delta E _ { 1 } ^ { 2 } - \Delta E _ { 3 } ^ { 2 } ) \strut } \\ { C } & { { } = } & { ( 3 \Delta E _ { 1 } \Delta E _ { 2 } ( \Delta E _ { 1 } - \Delta E _ { 2 } ) - 2 \Delta E _ { 1 } \Delta E _ { 3 } ( \Delta E _ { 1 } - \Delta E _ { 3 } ) \strut } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } = \frac { \left[ \hat { \boldsymbol { p } } + e \boldsymbol { A } _ { s } ( \hat { \boldsymbol { r } } ) + e \hat { \boldsymbol { A } } ( \hat { \boldsymbol { r } } ) \right] ^ { 2 } } { 2 m } + \hat { H } _ { \mathrm { p o l } } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { \operatorname* { m i n } } & { ( x _ { 1 } + \sqrt { 2 } + 1 ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } \\ { \mathit { s . t . } } & { g ( x , u ) = u \geq 0 \quad \forall u \in U ( x ) , } \\ & { x \in X = \mathbb { R } ^ { 2 } , } \\ & { U ( x ) = \{ u \in \mathbb { R } : x _ { 1 } \leq u \leq x _ { 2 } \} . } \end{array} \right.
\left( \widehat { \mathcal { P } } ( \omega _ { I } ) \right) _ { W } [ x , p ] = \frac { j } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { d } \tau \, e ^ { - \Gamma \tau } e ^ { j \omega _ { I } \tau } M _ { s } ( x ) M _ { I } \left( x _ { - \tau } \right) \varphi _ { \tau , b w d } ^ { b - a } \left( x , p \right)
\Phi = \left\{ \Phi _ { i } \right\} \big | _ { i = 1 } ^ { N } = \left\{ k _ { i } ^ { \mathrm { n e a r } } , k _ { i } ^ { \mathrm { f a r } } \right\} \big | _ { i = 1 } ^ { N } , \quad \Psi = \left\{ r _ { d } , r _ { g } , \alpha , \beta , \gamma , \delta \right\} ,
\begin{array} { r l } { \int _ { t } ^ { \infty } K _ { s - t } \left\| w ( s , \cdot ) \nabla P _ { \mathbf { a } } ( s , \cdot ) \right\| _ { L ^ { 2 } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } ^ { 2 } \, d s } & { \leq C \int _ { t } ^ { \infty } K _ { s - t } \int _ { s } ^ { \infty } K _ { s ^ { \prime } - s } \| \mathbf { a } ( s ^ { \prime } , \cdot ) ^ { 1 / 2 } \nabla P _ { \mathbf { a } } ( s ^ { \prime } , \cdot ) \| _ { L ^ { 2 } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } ^ { 2 } \, d s ^ { \prime } d s } \\ & { \leq C \int _ { t } ^ { \infty } K _ { s - t } \| \mathbf { a } ( s , \cdot ) ^ { 1 / 2 } \nabla P _ { \mathbf { a } } ( s , \cdot ) \| _ { L ^ { 2 } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } ^ { 2 } \, d s } \\ & { \leq C \bar { \mathcal { D } } _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } u _ { i } + \partial _ { j } \left( u _ { i } u _ { j } \right) } & { { } = - \partial _ { j } p \delta _ { i j } + 2 \nu \partial _ { j } S _ { i j } + f _ { i } \ , } \\ { \partial _ { j } u _ { j } } & { { } = 0 \ , } \end{array}
\delta \mathbf { Y } ( s ) = \left( \begin{array} { l } { \theta ( s ) - \theta ^ { \mathrm { H } } } \\ { a _ { 2 0 } ( s ) - a _ { 2 0 } ^ { \mathrm { H } } } \\ { a _ { 0 2 } ( s ) - a _ { 0 2 } ^ { \mathrm { H } } } \\ { a _ { 1 1 } ( s ) - a _ { 1 1 } ^ { \mathrm { H } } } \end{array} \right) .
\mathbf { H } _ { \mathrm { v a c } } = \frac { 1 } { 2 E } \mathbf { U } ~ \mathrm { d i a g } ( 0 , \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } , \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } ) ~ \mathbf { U } ^ { \dagger } \; ,
p ( \theta ) = \sum _ { \ell } \lambda _ { \ell } e ^ { - \lambda _ { \ell } \theta } { \bf 1 } \left( { \bf w } _ { \ell } ^ { R } \otimes { \bf w } _ { \ell } ^ { L } \right) \boldsymbol { \sigma } _ { \mathcal { S } } ( 0 ) ,
\begin{array} { r l } { I _ { t } ^ { ( \alpha , \beta , \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 1 , \beta + 1 ) } } & { ( n , m - 1 ) = \frac { ( n + \alpha + \beta + 1 ) ( m + \alpha + \beta + { 2 } ) } { 2 ( ( n - m ) ( n + m + \alpha + \beta + 1 ) + ( \alpha + \beta + 2 ) ) } } \\ & { \Bigg ( \frac { t } { m + \alpha + \beta + 2 } I _ { t } ^ { ( \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 2 , \beta + 2 ) } { ( n - 1 , m - 1 ) } } \\ & { - \frac { 1 } { m + \alpha + \beta + 2 } I _ { t } ^ { ( \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 1 , \beta + 2 ) } { ( n - 1 , m - 1 ) } } \\ & { + \frac { 1 } { { m } + \alpha + \beta + 2 } I _ { t } ^ { ( \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 2 , \beta + 1 ) } { ( n - 1 , m - 1 ) } } \\ & { - \frac { t } { n + \alpha + \beta + 1 } I _ { t } ^ { ( \alpha , \beta , \alpha + 2 , \beta + 2 , \alpha + 2 , \beta + 2 ) } { ( n , m - 2 ) } \Bigg ) . } \end{array}
( 1 - \frac { 1 } { \theta } ) ^ { r - 1 } \cdot ( 1 - \frac { 1 } { \theta ^ { k _ { 1 } } } ) \cdot \sum _ { i _ { 1 } = k _ { r } } ^ { \infty } \frac { 1 } { \theta ^ { i _ { 1 } } - 1 } \sum _ { i _ { 2 } = k _ { r - 1 } } ^ { i _ { 1 } - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i _ { 2 } } - 1 } \sum \cdots \sum _ { i _ { r - 1 } = k _ { 2 } } ^ { i _ { r - 2 } - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i _ { r - 1 } } - 1 } .
i \hbar \frac { \partial } { \partial t } \varphi _ { 0 } ( u , t ) = \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 M _ { n } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial u ^ { 2 } } + V _ { M } ( u ) + u g ( t ) - \frac { \alpha _ { 1 } F _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } u \right] \varphi _ { 0 } ( u , t ) ,
{ \cal S } _ { 5 D } = \int d ^ { 4 } x d y \, \sqrt { G } \, [ 2 M _ { 5 } ^ { 3 } R - \Lambda ( y ) ] - \sum _ { i } \int d ^ { 4 } x \sqrt { \hat { g } } V _ { i } + \int d ^ { 4 } x d y \sqrt { \hat { g } } { \cal L } _ { m } ( \Phi _ { i } , \hat { g } )
\begin{array} { r l } & { \eta _ { m - 1 } \le s \le \eta _ { m } \le \ldots \le \eta _ { m + q } \le e \le \eta _ { m + q + 1 } , \quad q \ge - 1 ; } \\ & { \mathrm { ~ e i t h e r ~ } \eta _ { m } - s \le \Upsilon _ { m } \quad \mathrm { o r } \quad s - \eta _ { m - 1 } \le \Upsilon _ { m - 1 } ; } \\ & { \mathrm { ~ e i t h e r ~ } \eta _ { m + q + 1 } - e \le \Upsilon _ { m + q + 1 } \quad \mathrm { o r } \quad e - \eta _ { m + q } \le \Upsilon _ { m + q } . } \end{array}
\hat { \mathcal { H } } _ { k } ^ { \mathrm { s } } = - \left( \begin{array} { l l l l } { \Delta } & { g _ { A } ( k ) } & { 0 } & { t _ { y } } \\ { g _ { A } ^ { * } ( k ) } & { - \Delta } & { t _ { y } } & { 0 } \\ { 0 } & { t _ { y } } & { - \Delta } & { g _ { A } ^ { * } ( k ) } \\ { t _ { y } } & { 0 } & { g _ { A } ( k ) } & { \Delta } \end{array} \right) \mathrm { , }
E = { \frac { 1 } { 2 } } \int d x ^ { a } \sqrt { g } \left( | g ^ { 0 0 } | \dot { \varphi } ^ { 2 } + g ^ { a b } \partial _ { a } \varphi \partial _ { b } \varphi + m ^ { 2 } \varphi ^ { 2 } \right) \ .
\mathbf { S } ^ { \mathrm { { o b s } } } = \int d ^ { 3 } k \hbar \left( { \hat { a } } _ { \mathbf { k } , L } ^ { \dagger } { \hat { a } } _ { \mathbf { k } , L } - { \hat { a } } _ { \mathbf { k } , R } ^ { \dagger } { \hat { a } } _ { \mathbf { k } , R } \right) { \frac { \boldsymbol { k } } { | { \boldsymbol { k } } | } } ,
\begin{array} { r l } { \Phi ^ { ( m ) } ( x , y ; \xi _ { x } ) } & { = \nabla _ { x } f ^ { ( m ) } ( x , y ; \xi _ { f } ) } \\ & { \qquad - \tau \nabla _ { x y } g ^ { ( m ) } ( x , y ; \xi _ { g } ) \sum _ { q = - 1 } ^ { Q - 1 } \prod _ { j = Q - q } ^ { Q } ( I - \tau \nabla _ { y ^ { 2 } } g ^ { ( m ) } ( x , y ; \xi _ { j } ) ) \nabla _ { y } f ^ { ( m ) } ( x , y ; \xi _ { f } ) } \end{array}
\int \left| \sin { a x } \right| \, d x = { \frac { 2 } { a } } \left\lfloor { \frac { a x } { \pi } } \right\rfloor - { \frac { 1 } { a } } \cos { \left( a x - \left\lfloor { \frac { a x } { \pi } } \right\rfloor \pi \right) } + C
u _ { 3 } = - u _ { 1 } \frac { n _ { 1 } } { n _ { 3 } } - u _ { 2 } \, \frac { n _ { 2 } } { n _ { 3 } } = u _ { 1 } \, \partial _ { x } b + u _ { 2 } \, \partial _ { y } b
M _ { i j } = \Lambda ^ { { \frac { 3 N _ { c } - N _ { f } } { N _ { c } } } } ( d e t m ) ^ { 1 / N _ { c } } \left( { \frac { 1 } { m } } \right) _ { i j } = | M _ { i j } | e ^ { i \alpha } ~ ~ ~ .
\ell _ { \psi } ^ { \mathrm { { s h e a r } } } = \sigma _ { \psi } ( R i ) \operatorname* { m i n } \left( \frac { \sqrt { e } } { N _ { + } } , \mathbb { C } _ { } ^ { s } d \right) \, , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad N _ { + } ^ { 2 } \ensuremath { \stackrel { \r { d e f } } { = } } \operatorname* { m a x } \left( 0 , \partial _ { z } b \right)
{ \omega } _ { \varphi \; \hat { \varphi } } ^ { \; \hat { R } } = - 1 \; , \quad { \omega } _ { \varphi \; \hat { R } } ^ { \; \hat { \varphi } } = + 1 \; , \quad { \omega } _ { t \; \hat { \varphi } } ^ { \; \hat { R } } = - { \Omega } _ { 0 } \; , \quad { \omega } _ { t \; \hat { R } } ^ { \; \hat { \varphi } } = { \Omega } _ { 0 } \; ,
\begin{array} { r } { \Vert \mathcal { C } _ { 1 } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } \lesssim \Vert \nabla _ { x } u \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } \Vert \nabla _ { x } \varrho \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m - 1 } } + \Vert u \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } \Vert \nabla _ { x } \varrho \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } \lesssim \Vert u \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } \Vert \varrho \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H } & { { } = k _ { 1 } \left( ( a _ { G _ { c } } ^ { \dagger } ) ^ { 2 r } - 1 \right) ( a _ { c } ^ { \dagger } ) ^ { 2 } a _ { c } ^ { 2 } + 2 k _ { 2 } \left( ( a _ { G _ { d } } ^ { \dagger } ) ^ { \tau } ( a _ { G _ { c } } ^ { \dagger } ) ^ { s } - 1 \right) a _ { c } ^ { \dagger } a _ { d } ^ { \dagger } a _ { c } a _ { d } } \end{array}
\alpha ( k ^ { 2 } ) = \pi D \frac { k ^ { 4 } } { \omega ^ { 6 } } \mathrm { e } ^ { - k ^ { 2 } / \omega ^ { 2 } } + \frac { \pi \gamma _ { m } ( 1 - \exp ( - k ^ { 2 } / 4 m _ { t } ^ { 2 } ) } { \frac { 1 } { 2 } \ln \left[ \tau + \left( 1 + k ^ { 2 } / \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right] } \, ,
\mathbf { b } \wedge \mathbf { a } = { \frac { 1 } { 2 } } ( \mathbf { b a } - \mathbf { a b } ) = - { \frac { 1 } { 2 } } ( \mathbf { a b } - \mathbf { b a } ) = - \mathbf { a } \wedge \mathbf { b }
\begin{array} { r l } { \| \widetilde A y - \widetilde b \| _ { 2 } ^ { 2 } = } & { ~ \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \widetilde A _ { i , : } ^ { \top } y - \widetilde b _ { i } ) ^ { 2 } } \\ { = } & { ~ \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( D _ { \sqrt { W _ { i } } } A _ { i , : } ^ { \top } y - D _ { \sqrt { W _ { i } } } b _ { i } ) ^ { 2 } } \\ { = } & { ~ \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( D _ { \sqrt { W _ { i } } } ( A _ { i , : } ^ { \top } y - b _ { i } ) ) ^ { 2 } } \\ { = } & { ~ \sum _ { i = 1 } ^ { n } D _ { W _ { i } } ( A _ { i , : } ^ { \top } y - b _ { i } ) ^ { 2 } } \\ { = } & { ~ \| A y - b \| _ { w } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \hat { c } } { d t } } & { { } = } & { \dot { \hat { c } } = ( i \Delta - i G ( \hat { \varphi } _ { \uparrow } ^ { \dag } \hat { \varphi } _ { \uparrow } + \hat { \varphi } _ { \downarrow } ^ { \dag } \hat { \varphi } _ { \downarrow } ) - \kappa ) \hat { c } + \eta + \sqrt { 2 \kappa } \hat { c } _ { i n } } \\ { \frac { d } { d t } \binom { \hat { \varphi } _ { \uparrow } } { \hat { \varphi } _ { \downarrow } } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l l } { \frac { \Omega } { 2 } + \frac { \Omega _ { z } } { 2 } + G \hat { c } ^ { \dag } \hat { c } + \frac { 1 } { 2 } U N - \gamma + \sqrt { \gamma } f _ { a } } & { - i ( \alpha + \frac { \delta } { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } U ( \varepsilon - 1 ) \hat { \varphi } _ { \downarrow } ^ { \dag } \hat { \varphi } _ { \uparrow } } \\ { i ( \alpha + \frac { \delta } { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } U ( \varepsilon - 1 ) \hat { \varphi } _ { \uparrow } ^ { \dag } \hat { \varphi } _ { \downarrow } } & { \frac { \Omega } { 2 } - \frac { \Omega _ { z } } { 2 } + G \hat { c } ^ { \dag } \hat { c } + \frac { 1 } { 2 } U N - \gamma + \sqrt { \gamma } f _ { a } } \end{array} \right) \binom { \hat { \varphi } _ { \uparrow } } { \hat { \varphi } _ { \downarrow } } , } \end{array}
e _ { \xi , \zeta , \lambda } \left( t \right) = t ^ { \zeta - 1 } E _ { \xi , \zeta } \left( - \lambda t ^ { \xi } \right) , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad E _ { \xi , \zeta } \left( z \right) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { z ^ { n } } { \Gamma \left( \xi n + \zeta \right) } ,
I _ { 4 d } ^ { \mathrm { M C S } } = - { \frac { 1 } { 2 \kappa _ { ( 4 ) } ^ { 2 } } } \int d ^ { 4 } x \; \left( { \frac { 1 } { 4 } } F ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( d a ) ^ { 2 } + { \frac { k } { 2 } } \; a \; F \wedge F \right) \ ,