harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { p = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \qquad } & { \Longleftrightarrow \qquad p = 2 \quad { \mathrm { ~ o r ~ } } \quad p \equiv 1 { \bmod { 4 } } } \\ { p = x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } \qquad } & { \Longleftrightarrow \qquad p = 2 \quad { \mathrm { ~ o r ~ } } \quad p \equiv 1 , 3 { \bmod { 8 } } } \\ { p = x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } \qquad } & { \Longleftrightarrow \qquad p = 3 \quad { \mathrm { ~ o r ~ } } \quad p \equiv 1 { \bmod { 3 } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { C \nabla \log p _ { t } ( x ) } & { = - \frac { 1 } { 1 - e ^ { - t } } \left( \mathbb { E } \left[ X _ { t } - e ^ { - \frac { t } { 2 } } X _ { 0 } \mid X _ { t } = x \right] \right) } \\ & { = - \frac { 1 } { 1 - e ^ { - t } } \left( x - e ^ { - \frac { t } { 2 } } \mathbb { E } [ X _ { 0 } \mid X _ { t } = x ] \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { i } \hbar \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } G _ { i j } ^ { < , \sigma } ( t ) = } & { \Big [ h ^ { \sigma } , G ^ { < , \sigma } \Big ] _ { i j } ( t ) + \Big [ I + I ^ { \dagger } \Big ] _ { i j } ^ { \sigma } ( t ) , } \\ { \mathrm { i } \hbar \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Delta G _ { i j } ^ { \lambda , \sigma } ( t ) = } & { \Big [ h ^ { \sigma } , \Delta G ^ { \lambda , \sigma } \Big ] _ { i j } ( t ) } \\ & { + \Big [ \Delta U ^ { \lambda , \sigma } , G ^ { < , \sigma } \Big ] _ { i j } ( t ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l r } & { D ( x , w ; \boldsymbol { \mu } ) + E ( w , p ; \boldsymbol { \mu } ) = \int _ { 0 } ^ { T } \langle \bar { g } ( \boldsymbol { \mu } ) , w \rangle \mathrm { d t } , \quad } & { \forall w \in \mathcal { X } , } \\ & { E ( x , q ; \boldsymbol { \mu } ) = \int _ { 0 } ^ { T } \langle f ( \boldsymbol { \mu } ) , q \rangle _ { Y ^ { * } Y } \mathrm { d t } , \quad } & { \forall q \in \mathcal { Y } _ { t } . } \end{array} } \end{array} \right.
\begin{array} { l } { { \Re ( G p q ^ { * } ) \left( e ^ { - \gamma _ { a } t } | a _ { a f } | ^ { 2 } - e ^ { - \gamma _ { b } t } | a _ { b f } | ^ { 2 } \right) } } \\ { { + 2 \, \Im ( G p q ^ { * } ) \; \Im \left( e ^ { - ( \gamma _ { + } - i \delta m ) t } a _ { a f } ^ { * } a _ { b f } \right) = 0 \; , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { ( 2 \pi ) ^ { 2 } n } { \sqrt { ( q ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 k _ { 1 } ^ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } } } \left[ m _ { s } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) + m _ { u } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) \right. } \\ & { } & { \left. + m _ { s } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 1 } ^ { 2 } } ) + m _ { u } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 1 } ^ { 2 } } ) \right] = 2 J ( m _ { u } , m _ { d } , m _ { s } ) , } \end{array}
K _ { 0 } = { \frac { x _ { 0 } ^ { d - 4 } } { ( x _ { 0 } ^ { 2 } + { \bf x } ^ { 2 } ) ^ { d - 2 } } } d x ^ { i } d x ^ { j } - { \frac { x _ { 0 } ^ { d - 5 } x ^ { i } } { ( x _ { 0 } ^ { 2 } + { \bf x } ^ { 2 } ) ^ { d - 2 } } } d x ^ { 0 } d x ^ { j } + { \frac { x _ { 0 } ^ { d - 5 } x ^ { j } } { ( x _ { 0 } ^ { 2 } + { \bf x } ^ { 2 } ) ^ { d - 2 } } } d x ^ { 0 } d x ^ { i } ,
{ \tilde { \mathbf { y } } } _ { c } ^ { f , i } = { \tilde { { \cal { H } } } _ { c } } \left( { \mathbf { s } } _ { c } ^ { f , i } \right) = \phi _ { c } \left( { { \cal { H } } } _ { c } \left( { \mathbf { s } } _ { c } ^ { f , i } \right) \right)
B ( \mathbf { X } , \mathbf { Y } ) = \operatorname { t r } ( \operatorname { a d } ( \mathbf { X } ) \operatorname { a d } ( \mathbf { Y } ) ) \quad { \mathrm { w h e r e ~ } } \operatorname { a d } ( \mathbf { X } ) \mathbf { Y } = [ \mathbf { X } , \mathbf { Y } ] = \mathbf { X } \mathbf { Y } - \mathbf { Y } \mathbf { X }
\begin{array} { r l r } { \sum _ { i j } \hat { \lambda } _ { i } ^ { 2 } \hat { \lambda } _ { j } ^ { 2 } } & { { } = } & { \frac { 2 } { 3 } \sum _ { i } \hat { \lambda } _ { i } ^ { 2 } + \sum _ { i j k } D _ { i j k } \hat { \lambda } _ { i } \hat { \lambda } _ { j } \hat { \lambda } _ { k } } \end{array}
\prod _ { v \in V e r t ( \Gamma ) } \prod _ { { f l a g s } \atop { F = ( v , \alpha ) } } w _ { F } ^ { - 1 } ( \sum _ { { f l a g s } \atop { F = ( v , \alpha ) } } w _ { F } ^ { - 1 } ) ^ { v a l ( v ) + { } ^ { \sharp } S _ { v } - 3 } \prod _ { \alpha \in E d g e ( \Gamma ) } C ( [ 0 ] )
\begin{array} { r l } { y ( t , \cdot ) = } & { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( y ^ { 0 } , \phi _ { n } ) _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } E _ { \gamma , 1 } ( - \mu _ { n } t ^ { \gamma } ) \phi _ { n } } \\ & { + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \int _ { 0 } ^ { t } \langle f ( \tau , \cdot ) , \phi _ { n } \rangle _ { D ( \mathcal E ) ^ { \star } , D ( \mathcal E ) } ( t - \tau ) ^ { \gamma - 1 } E _ { \gamma , \gamma } ( - \mu _ { n } ( t - \tau ) ^ { \gamma } ) \; d \tau \right) \phi _ { n } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } { \frac { \operatorname { s g n } ( 0 + h ) - 2 \operatorname { s g n } ( 0 ) + \operatorname { s g n } ( 0 - h ) } { h ^ { 2 } } } } & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } { \frac { \operatorname { s g n } ( h ) - 2 \cdot 0 + \operatorname { s g n } ( - h ) } { h ^ { 2 } } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } { \frac { \operatorname { s g n } ( h ) + ( - \operatorname { s g n } ( h ) ) } { h ^ { 2 } } } = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } { \frac { 0 } { h ^ { 2 } } } = 0 . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { P _ { \mathrm { p } } ( \varphi _ { n } ) = \frac { \Big | \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { d _ { n } ^ { ' } } e ^ { j ( \varphi _ { n } + \omega _ { n } + \frac { 2 \pi d _ { n } ^ { ' } } { \lambda } ) } \Big | ^ { 2 } } { \Big | \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { d _ { n } ^ { ' } } \Big | ^ { 2 } } , \theta _ { \mathrm { p } } \in [ - \frac { \pi } { 2 } , \frac { \pi } { 2 } ) , } \end{array}
\delta S _ { 2 } ( T ) = \int \mathrm { d } ^ { 4 } x \left[ i b \Theta \Lambda ( T ) \left( \frac { F _ { r } \tilde { F } _ { r } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } + \frac { F _ { l } \tilde { F } _ { l } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \right) \right] ,
g ( E ) \sim E ^ { 4 } \int _ { r _ { E } } ^ { R } { \frac { r ^ { 3 } d r } { V ( r ) ^ { 5 / 2 } } } \sim E ^ { 4 } \int _ { r _ { E } } ^ { R } { \frac { r ^ { 3 } d r } { k ^ { 5 } r ^ { 5 } } }
\chi ( \textbf { \em x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \textbf { \em x } \in \mathrm { ~ f ~ l ~ u ~ i ~ d ~ } a } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \textbf { \em x } \in \mathrm { ~ f ~ l ~ u ~ i ~ d ~ } b . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left\langle \mathbf { F } _ { s } \right\rangle } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \Re \biggl [ \left( - \frac { i } { 4 \pi } \mathbf { k } \cdot \boldsymbol { \chi } _ { s } \cdot \mathbf { E } \right) \mathbf { E } ^ { * } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Big | L _ { 1 , l } - 2 \sqrt { n } \Big ( \int _ { Q _ { l } } \rho _ { \theta } ( x , y ) d x d y \Big ) ^ { 1 \slash 2 } \Big | } \\ & { \leq } & { C ( ( K _ { 0 } ^ { - 5 } T ^ { - 5 } + \Upsilon _ { l } ^ { 1 \slash 2 } ) n ^ { 1 \slash 2 } + M _ { \theta } ^ { 1 \slash 3 } T ^ { - 2 \slash 3 } n ^ { 1 \slash 3 } ) } \\ & { \leq } & { C _ { \theta } ^ { \prime } ( T ^ { - 5 } n ^ { 1 \slash 2 } + T ^ { - 2 \slash 3 } n ^ { 1 \slash 3 } ) } \\ & { } & { + C _ { \theta } ^ { \prime } T ^ { - 1 \slash 2 } n ^ { 1 \slash 2 } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) + y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \small \textbf { T } } & { { } = \frac { 1 } { \rho ^ { n + 1 } } \left[ f ^ { n + 1 } - \lambda ( \psi ^ { n + 1 } - \alpha \phi ^ { n + 1 } ) \nabla \phi ^ { n + 1 } - \frac { \epsilon ^ { \prime } ( \phi ^ { n + 1 } ) } { 2 } \left| \textbf { E } \right| ^ { 2 } \nabla \phi ^ { n + 1 } + \nabla \mu ^ { n + 1 } \cdot \mathcal { D } ( \textbf { u } ^ { * , n + 1 } ) \right. } \end{array}
0 = \frac { \partial } { \partial r } \int \, \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( v ) \, F ( d v ; e , r ) = \frac { \partial } { \partial r } \left[ \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( 0 ) ( 1 - e ) + e \int \, \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( v ) \, F ( d v ; r ) \right] = e \frac { \partial } { \partial r } \int \, \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( v ) \, F ( d v ; r )
{ \begin{array} { r l r l } { \operatorname { e r f c } x } & { \leq { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - 2 x ^ { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - x ^ { 2 } } \leq e ^ { - x ^ { 2 } } , } & { \quad x } & { > 0 } \\ { \operatorname { e r f c } x } & { \approx { \frac { 1 } { 6 } } e ^ { - x ^ { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - { \frac { 4 } { 3 } } x ^ { 2 } } , } & { \quad x } & { > 0 . } \end{array} }
{ \bf a } \cdot { \bf q } = g \left[ p ( s _ { 1 } ) \left. \frac { d p } { d s } \right| _ { s _ { 1 } } - p ( s _ { 3 } ) \left. \frac { d p } { d s } \right| _ { s _ { 3 } } + q \Delta \left( \frac { d p } { d s } \right) \right] .
\begin{array} { r l } & { P ( f ( \beta ) , \beta , t ) \leq P ( f ( \beta ) , f ^ { n } ( \alpha ) , \frac { t } { 2 } ) ~ o ~ P ( f ^ { n } ( \alpha ) , \beta , \frac { t } { 2 } ) ~ ~ \forall t > 0 } \\ { \implies } & { P ( f ( \beta ) , \beta , t ) \leq \underset { n \rightarrow \infty } { l i m } P ( f ( \beta ) , f ^ { n } ( \alpha ) , \frac { t } { 2 } ) ~ o ~ \underset { n \rightarrow \infty } { l i m } P ( f ^ { n } ( \alpha ) , \beta , \frac { t } { 2 } ) ~ ~ \forall t > 0 } \\ { \implies } & { P ( f ( \beta ) , \beta , t ) = 0 ~ ~ \forall t > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \times \nabla \times { \mathbf E } + \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } { \mathbf E } } { \partial t ^ { 2 } } } & { { } = - \mu _ { 0 } \frac { \partial { \mathbf J } } { \partial t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| y _ { t + 1 } ^ { ( m ) } - y _ { \hat { x } _ { t + 1 } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } ) \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 + \frac { \mu \gamma \alpha _ { t } } { 4 } ) ( 1 - \frac { \mu \gamma \alpha _ { t } } { 2 } ) \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } ) \| ^ { 2 } - ( 1 + \frac { \mu \gamma \alpha _ { t } } { 4 } ) \frac { \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t } } { 4 } \| \omega _ { t } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + ( 1 + \frac { \mu \gamma \alpha _ { t } } { 4 } ) \frac { 4 \gamma \alpha _ { t } } { \mu } \| \nabla _ { y } g ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) - w _ { t } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } + ( 1 + \frac { 4 } { \mu \gamma \alpha _ { t } } ) \kappa ^ { 2 } \| x _ { t } ^ { ( m ) } - x _ { t + 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } } \end{array}
{ \cfrac { \partial W } { \partial \lambda _ { i } } } = { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } } { \cfrac { \partial I _ { 1 } } { \partial \lambda _ { i } } } = 2 \lambda _ { i } { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } } \quad { \mathrm { a n d } } \quad { \cfrac { \partial ^ { 2 } W } { \partial \lambda _ { i } \partial \lambda _ { j } } } = 2 \delta _ { i j } { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } } + 4 \lambda _ { i } \lambda _ { j } { \cfrac { \partial ^ { 2 } W } { \partial I _ { 1 } ^ { 2 } } } \, .
\begin{array} { r l r } { \frac { d \hat { c } } { d t } } & { = } & { \dot { \hat { c } } = ( i \Delta - i G \pmb { \hat { \varphi } ^ { \dag } \hat { \varphi } } - \kappa ) \hat { c } + \eta + \sqrt { 2 \kappa } \hat { c } _ { i n } , } \\ { \frac { d \pmb { \hat { \varphi } } } { d t } } & { = } & { \dot { \pmb { \hat { \varphi } } } = ( \frac { \Omega \sigma _ { 0 } } { 2 } + \tilde { \alpha } \pmb { k _ { x } } \sigma _ { y } + \frac { \delta } { 2 } \sigma _ { y } + \frac { \Omega _ { z } } { 2 } \sigma _ { z } - \gamma + G \hat { c } ^ { \dag } \hat { c } ) \pmb { \hat { \varphi } } } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } U \pmb { \hat { \varphi } } ^ { \dag } \pmb { \hat { \varphi } } \pmb { \hat { \varphi } } + \frac { 1 } { 2 } \varepsilon U \hat { \varphi } _ { \sigma } ^ { \dag } \hat { \varphi } _ { \acute { \sigma } } \hat { \varphi } _ { \sigma } + \sqrt { \gamma } f _ { a } . } \end{array}
\begin{array} { l } { { \displaystyle \sum _ { i , j } \int \! \mathrm { d } ^ { 4 } x _ { 1 } \dots \mathrm { d } ^ { 4 } x _ { i } \, \mathrm { d } ^ { 4 } y _ { 1 } \dots \mathrm { d } ^ { 4 } y _ { j } \enspace f _ { i } ^ { \ast } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { i } ) \, f _ { j } ( y _ { 1 } , \dots , y _ { j } ) } } \\ { { \qquad \times { \cal S } ( \theta x _ { 1 } , \dots , \theta x _ { i } , y _ { 1 } , \dots , y _ { j } ) \ge 0 \, , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ^ { i } ( { \bf { k } } ; \tau ) } & { { } = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \delta ^ { n } f _ { n } ^ { i } ( { \bf { k } } ; \tau ) - \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \delta ^ { n + 1 } i \frac { k ^ { i } } { k ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial X _ { \mathrm { { I } } } ^ { j } } f _ { n } ^ { j } ( { \bf { k } } ; \tau ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert f \rVert _ { ( \dot { \mathrm { H } } _ { \mathfrak { t } , \sigma } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathring { \mathbb { A } } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ) _ { \theta , q } } } & { \lesssim _ { \theta } \left( \int _ { 0 } ^ { + \infty } \lVert t ^ { 1 - \theta } \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } } \mathbb { P } f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } ^ { q } \frac { \mathrm { d } t } { t } \right) } \\ & { \lesssim _ { p , n , s , \theta } \lVert f \rVert _ { ( \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathring { \Delta } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ) _ { \theta , q } } } \\ & { \lesssim _ { p , n , s , \theta } \lVert f \rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s + 2 \theta } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . ~ } } \end{array}
\delta f _ { C } = \frac { 4 \alpha } { x } \Bigl [ \tilde { f } _ { A } ^ { \prime } \tilde { f } _ { B } - \tilde { f } _ { B } ^ { \prime } \tilde { f } _ { A } - x ^ { 2 } ( \tilde { K } ^ { \prime } \tilde { H } - \tilde { H } ^ { \prime } \tilde { K } ) \Bigr ] \ ,
\begin{array} { r l } { G ( \mathbf { x } , t ) } & { { } = \frac { A _ { N - 2 } \sqrt { \pi } \Gamma ( \frac { N - 1 } { 2 } ) } { ( 2 \pi ) ^ { N } } ( \int _ { k = 0 } ^ { \infty } k ^ { N - 1 } \mathrm { e x p } ( - k ^ { 2 } t ) { } _ { 0 } \tilde { \Gamma } _ { 1 } ( \frac { N } { 2 } , - \frac { ( k x ) ^ { 2 } } { 4 } ) ) } \end{array}
\tau ^ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \ \ , \ \ \tau ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) \ \ , \ \ \tau ^ { 3 } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \ \ ,
{ \sigma _ { u \xi } ^ { ( 1 ) } - \frac { \partial _ { u } T ^ { ( 1 ) } } { h _ { u } } } + \frac { h _ { \xi } } { h _ { u } } \, ( \partial _ { u } \delta \xi [ u ] ) \, ( \sigma _ { \xi \xi } ^ { ( 0 ) } - \sigma _ { u u } ^ { ( 0 ) } - \partial _ { \xi } T ^ { ( 0 ) } ) + \delta \xi [ u ] \, \partial _ { \xi } \Big ( \sigma _ { u \xi } ^ { 0 } - \frac { \partial _ { u } T ^ { ( 0 ) } } { h _ { u } } \Big ) = 0 \mathrm { ~ a ~ t ~ } \xi = \xi _ { 0 } \ . \
\cos { \frac { \pi } { 1 5 \times 2 ^ { 3 } } } = { \frac { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { { \sqrt { { \sqrt { 0 . 7 0 3 1 2 5 } } + 1 . 8 7 5 } } + { \sqrt { 0 . 3 1 2 5 } } + 1 . 7 5 } } } } } } { 2 } }
\tilde { U } ( \phi _ { \mathrm { k i n k } } ( x ) ) = \frac { \tilde { m } ^ { 2 } } { 2 \phi _ { 0 } ( T ) ^ { 2 } } ( 3 \phi _ { \mathrm { k i n k } } ( x ) ^ { 2 } - \phi _ { 0 } ( T ) ^ { 2 } ) = \tilde { m } ^ { 2 } \left( - \frac { 3 } { 2 } \mathrm { s e c h } ^ { 2 } \frac { \tilde { m } x } { 2 } + 1 \right) \, .
\begin{array} { r l } { \sin \theta } & { { } = { \frac { { \sqrt { 1 - { \frac { V ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } \sin \theta ^ { \prime } } { 1 + { \frac { V } { c } } \cos \theta ^ { \prime } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i \in S ^ { \star } } \mathbb { E } _ { \Lambda _ { 1 } } [ N _ { i } ( \tau ) ] \cdot \mathrm { K L } ( \nu _ { i } ^ { ( 1 ) } , \nu _ { i } ^ { ( 2 ) } ) \geq d ( \delta , 1 - \delta ) } \\ { \Rightarrow } & { \sum _ { i \in S ^ { \star } } \mathbb { E } _ { \Lambda _ { 1 } } [ N _ { i } ( \tau ) ] \geq \frac { d ( \delta , 1 - \delta ) } { \operatorname* { m i n } _ { i \in S ^ { \star } } \mathrm { K L } ( \nu _ { i } ^ { ( 1 ) } , \nu _ { i } ^ { ( 2 ) } ) } } \end{array}
\Theta _ { 1 1 1 } ^ { 0 } ( x , x - \zeta , x - y ) = { ^ { Q Q } \! K ^ { V } } ( x , y , \zeta ) - { ^ { Q } \! K ^ { b } } ( x , y , \zeta ) - \frac { 1 } { 2 } \delta ( x - y ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \hat { A _ { 2 } } } { \mathrm { d } t } = } & { { } \hat { A _ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \mathrm { d } \eta \int _ { 0 } ^ { t - 2 \eta } \mathrm { d } \chi \cdot \bigl [ \eta ^ { 2 } \cdot \bigl ( \hat { A _ { 2 } } ( t - \eta ) \hat { A _ { 2 } } ( t - \eta - \chi ) \hat { A _ { 2 } ^ { * } } ( t - 2 \eta - \chi ) } \end{array}
G _ { 0 0 } = - 1 \, , \, G _ { i j } = \delta _ { i j } \, , \, G _ { 0 i } = G _ { i 0 } = f _ { i } ( y _ { i } , t ) = \epsilon ( \epsilon y _ { i } + u _ { i } t ) \, , \, \, i , j = 1 , . . . , d
x = \left( \begin{array} { c } { \lambda } \\ { \mu } \end{array} \right) , \; \; y = \left( \begin{array} { c } { y _ { \lambda } } \\ { z _ { \lambda } } \\ { y _ { \mu } } \\ { z _ { \mu } } \end{array} \right) , \; \; u = \left( \begin{array} { c } { u _ { \lambda } } \\ { v _ { \lambda } } \\ { u _ { \mu } } \\ { v _ { \mu } } \end{array} \right) ,
B ^ { \left( d \right) } \left( \omega , T , L \right) = \left[ \frac { \omega } { \Gamma \left( \frac { d } { 2 } + 1 \right) } - \frac { c \left( d - 3 \right) \sqrt { \pi } } { \Gamma \left( \frac { d - 1 } { 2 } + 1 \right) } \frac { 1 } { L } \right] \frac { d \left( d - 1 \right) \hbar \omega ^ { d - 1 } } { 2 ^ { d } \pi ^ { d / 2 } c ^ { d } \left[ \exp \left( \frac { \hbar \omega } { k _ { B } T } \right) - 1 \right] } \, .
\ensuremath { \mathbf { H ^ { \mathrm { X 2 C A M F } } } } = \sum _ { i j } ( h _ { i j } ^ { \mathrm { X 2 C - 1 e } } + h _ { i j } ^ { \mathrm { 2 c , A M F } } ) E _ { i j } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j k l } g _ { i j k l } ^ { \mathrm { N R } } E _ { i j k l }
\left[ \delta ^ { a b } + C . \frac { \delta ^ { 2 } \Gamma [ \phi ] } { \delta \phi ^ { a } \delta \phi ^ { b } } \right] ^ { - 1 } ( \mathbf { q } , \mathbf { - q } ) = \left[ \delta ^ { a b } + 2 q ^ { 2 } \left\{ \delta ^ { a b } V ^ { \prime } + 2 \phi ^ { a } \phi ^ { b } V ^ { \prime \prime } + q ^ { 2 } \delta ^ { a b } \right\} \right] ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } & { \left| \mathbb { E } \left[ \Psi ( V _ { t } ) [ ( M _ { t + h } - M _ { t } ) - \mathbb { E } [ ( M _ { t , h } - M _ { t } + X _ { t } ^ { 1 } ) _ { + } \left| \right. { \mathcal F } _ { t } ] \right] \right| \leq } \\ & { \| \Psi \| _ { \infty } \left| \mathbb { E } \left[ M _ { t + h } - M _ { t } - \mathbb { E } [ ( M _ { t , h } - M _ { t } + X _ { t } ^ { 1 } ) _ { + } | { \mathcal F } _ { t } ] \right] \right| { \leq C h \| \Psi \| _ { \infty } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \kappa _ { - } } & { = \kappa ( y _ { 1 } , h ( y _ { 1 } ) ) , } & { \alpha _ { - } } & { = \alpha ( y _ { 1 } , h ( y _ { 1 } ) ) , } & { u _ { - } } & { = u _ { \tau } ( y _ { 1 } , h ( y _ { 1 } ) ) , } \\ { \kappa _ { + } } & { = \kappa ( y _ { 1 } , 1 + h ( y _ { 1 } ) ) , } & { \alpha _ { + } } & { = \alpha ( y _ { 1 } , 1 + h ( y _ { 1 } ) ) , } & { u _ { + } } & { = u _ { \tau } ( y _ { 1 } , 1 + h ( y _ { 1 } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { l } { { \rho ^ { \mu } \partial _ { \mu } x ^ { A A ^ { \prime } } o _ { A } = 0 , } } \\ { { \partial _ { \mu } x ^ { A A ^ { \prime } } o _ { A } \bar { o } _ { A ^ { \prime } } = 0 , } } \\ { { \partial _ { \mu } ( \rho ^ { \mu } o _ { A } \bar { o } _ { A ^ { \prime } } ) + 3 \kappa \varepsilon ^ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } \partial _ { \mu _ { 1 } } x ^ { A _ { 1 } { A ^ { \prime } } _ { 1 } } \partial _ { \mu _ { 2 } } x ^ { A _ { 2 } { A ^ { \prime } } _ { 2 } } \partial _ { [ A A ^ { \prime } } B _ { A _ { 1 } A _ { 2 } { A ^ { \prime } } _ { 1 } { A ^ { \prime } } _ { 2 } ] } = 0 , } } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { u } = c \sqrt { \frac { \xi ^ { 2 } + u ^ { 2 } } { 1 - u ^ { 2 } } } \ , h _ { \xi } = c \sqrt { \frac { \xi ^ { 2 } + u ^ { 2 } } { 1 + \xi ^ { 2 } } } \ , \ } \\ { h _ { \varphi } = c \sqrt { 1 + \xi ^ { 2 } } \sqrt { 1 - u ^ { 2 } } \ . \ } \end{array}
\Omega ^ { \alpha \beta } = v _ { ~ \gamma } ^ { \alpha } ( y ) v _ { ~ \delta } ^ { \beta } ( y ) \left[ ( \gamma _ { a } ) ^ { \gamma \delta } e ^ { a } ( x ) + R ( \gamma _ { a b } ) ^ { \gamma \delta } \omega ^ { a b } ( x ) + \theta ^ { ( \gamma } { \cal D } \theta ^ { \delta ) } + ( d v v ^ { - 1 } ) ^ { \gamma \delta } \right] ,
\begin{array} { r l } { B _ { n } } & { \leq 2 \sum _ { k , \ell } \frac { n _ { k } n _ { \ell } \bar { N } _ { k } \bar { N } _ { \ell } } { n ^ { 2 } \bar { N } ^ { 2 } } { \bf 1 } _ { p } ^ { \prime } ( \Sigma _ { k } \circ \Sigma _ { \ell } ) { \bf 1 } _ { p } } \\ & { \leq 2 { \bf 1 } _ { p } ^ { \prime } \bigg ( \frac { 1 } { n \bar { N } } \sum _ { k } n _ { k } \bar { N } _ { k } \Sigma _ { k } \bigg ) \circ \bigg ( \frac { 1 } { n \bar { N } } \sum _ { \ell } n _ { \ell } \bar { N } _ { \ell } \Sigma _ { k } \ell \bigg ) { \bf 1 } _ { p } } \\ & { = 2 { \bf 1 } _ { p } ^ { \prime } ( \Sigma \circ \Sigma ) { \bf 1 } _ { p } = 2 \| \Sigma \| _ { F } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | m _ { \varepsilon } - u ^ { + } ( x _ { 0 } ) | } & { \leq \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \delta ^ { j } \varepsilon \Psi _ { \varepsilon } ^ { - 1 } \left( C \eta ( \delta ^ { j } \varepsilon ) ^ { - 1 } \right) \leq C \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \delta ^ { j } \varepsilon \Psi _ { \varepsilon } ^ { - 1 } \left( \eta ( \delta ^ { j } \varepsilon ) ^ { - 1 } \right) } \\ & { \leq \varepsilon C \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } ( \delta ^ { j } ) ^ { 1 - \frac { 1 } { \gamma } } \Psi _ { \varepsilon } ^ { - 1 } \left( \eta \varepsilon ^ { - 1 } \right) = \varepsilon C \frac { 1 } { 1 - \delta ^ { ( \gamma - 1 ) / \gamma } } \Psi _ { \varepsilon } ^ { - 1 } \left( \eta \varepsilon ^ { - 1 } \right) } \\ & { \leq \varepsilon C \Psi _ { \varepsilon } ^ { - 1 } \left( \eta \varepsilon ^ { - 1 } \right) . } \end{array}
\mathcal { D } = \int _ { z _ { m i n } } ^ { z _ { m a x } } \left[ - \langle \overline { { u ^ { \prime } w ^ { \prime } } } \rangle - \langle \overline { { u } } ^ { \prime \prime } \overline { { w } } ^ { \prime \prime } \rangle \right] \frac { \partial \langle \overline { { u } } \rangle } { \partial z } \mathrm { d } z ,
\begin{array} { r l } { \dot { a } } & { { } = - i g \sigma _ { \mathrm { + } } - i \sum _ { \mathrm { q } } g _ { \mathrm { q } } c _ { \mathrm { q } } e ^ { i ( \omega - \omega _ { \mathrm { q } } ) t } , } \\ { \dot { \sigma } _ { \mathrm { + } } } & { { } = - i g \sigma _ { \mathrm { z } } a - i \sum _ { \mathrm { k } } g _ { \mathrm { k } } b _ { \mathrm { k } } ^ { \dagger } \sigma _ { \mathrm { z } } e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } , } \\ { \dot { \sigma } _ { \mathrm { z } } } & { { } = - 2 i g ( a ^ { \dagger } \sigma _ { \mathrm { + } } - \sigma _ { \mathrm { - } } a ) + 2 i \sum _ { \mathrm { k } } g _ { \mathrm { k } } \left[ - \sigma _ { \mathrm { + } } b _ { \mathrm { k } } e ^ { i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } + b _ { \mathrm { k } } ^ { \dagger } \sigma _ { \mathrm { - } } e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } \right] , } \\ { \dot { c } _ { \mathrm { q } } } & { { } = - i g _ { \mathrm { q } } a e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { q } } ) t } , } \\ { \dot { b } _ { \mathrm { k } } } & { { } = - i g _ { \mathrm { k } } \sigma _ { \mathrm { - } } e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } . } \end{array}