harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left| \bar { X } _ { n \gamma } ^ { x } - \bar { X } _ { n \gamma } ^ { y } \right| ^ { 2 } } & { \le \left| x - y \right| ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\| \prod _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \mathrm { I d } _ { \mathbb { R } ^ { d } } - \gamma D ^ { 2 } U \left( \bar { X } _ { i \gamma } ^ { \lambda x + ( 1 - \lambda ) y } \right) \right\| ^ { 2 } \mathrm { d } \lambda } \\ & { \le \left| x - y \right| ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \prod _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \left\| \mathrm { I d } _ { \mathbb { R } ^ { d } } - \gamma D ^ { 2 } U \left( \bar { X } _ { i \gamma } ^ { \lambda x + ( 1 - \lambda ) y } \right) \right\| ^ { 2 } \mathrm { d } \lambda . } \end{array}
[ \partial ^ { 2 } \mathcal { S } _ { \mathrm { l o g } } ] _ { p , q } = \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \psi _ { p } \psi _ { q } } \left( - \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \ln \left| \sum _ { p ^ { \prime } } \psi _ { p ^ { \prime } } \chi _ { p ^ { \prime } } ( x _ { n } ) \right| \right) = \sum _ { n } \frac { \chi _ { p } ( x _ { n } ) \chi _ { q } ( x _ { n } ) } { \left( \sum _ { p ^ { \prime } } \psi _ { p ^ { \prime } } \chi _ { p ^ { \prime } } ( x _ { n } ) \right) ^ { 2 } } . \quad
( B _ { R , A } ( q ) C _ { R , A } ( q ) ) _ { \mu \nu } = ( C _ { R , A } ( q ) D _ { R , A } ( q ) ) _ { \mu \nu } = { \frac { \tilde { q } _ { \mu } q _ { \nu } } { q ^ { 2 } \pm 2 i q _ { o } \epsilon } } ,
\begin{array} { r l } { { 1 } \hat { U } = } & { { } e ^ { - i \int _ { \ell T + T _ { 1 } } ^ { \ell T + T - 0 ^ { + } } \hat { H } ( t ) d t } e ^ { - i \int _ { \ell T - 0 ^ { + } } ^ { \ell T + T _ { 1 } - 0 ^ { + } } \hat { H } ( t ) d t } } \\ { = } & { { } e ^ { - i \int _ { \ell T + T _ { 1 } } ^ { \ell T + T - 0 ^ { + } } \hat { H } _ { 2 } d t } e ^ { - i \int _ { \ell T - 0 ^ { + } } ^ { \ell T + T _ { 1 } - 0 ^ { + } } \hat { H } _ { 1 } d t } } \\ { = } & { { } e ^ { - i \hat { H } _ { 2 } T _ { 2 } } e ^ { - i \hat { H } _ { 1 } T _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textbf { W } } & { { } } & { = \textbf { G } - \epsilon \left[ \frac { \partial \textbf { W } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x } \left\langle v ^ { 2 } \textbf { f } \right\rangle \right] } \end{array}
\boldsymbol { q } _ { \ell } ( t _ { n } , \ell ) = \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } \boldsymbol { q } _ { m } ~ e x p \left( - \frac { ( t _ { n } - t _ { m } ) ^ { 2 } } { 2 \lambda ^ { 2 } \ell ^ { 2 } } \right) ,
\phi \geq p _ { i } ( \tau ) = ( 1 - b ) \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { n } E _ { i j } s _ { j } ( \tau ) } { n } + b \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { n } A _ { i j } s _ { j } ( \tau ) } { k _ { i } } .
\begin{array} { r l } { \hat { P } _ { \textrm { I } } ( t ) } & { { } = \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { u , v , r , s } \langle \psi _ { r \mathbf { k } } | \mathcal { \hat { U } } ^ { \dagger } ( t , t _ { 0 } ) | \psi _ { u \mathbf { k } } \rangle \langle \psi _ { u \mathbf { k } } | \hat { \mathbf { e } } _ { \textrm { p } } \cdot \hat { \mathbf { p } } | \psi _ { v \mathbf { k } } \rangle \langle \psi _ { v \mathbf { k } } | \mathcal { U } ( t , t _ { 0 } ) | \psi _ { s \mathbf { k } } \rangle \hat { c } _ { r \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { s \mathbf { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \big \| \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( \tilde { x } _ { i } ) - ( 1 - \alpha _ { i } ) \big ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( \tilde { x } _ { i - 1 } ) \big ) \big \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } 2 \mathbb { E } \big \| \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( \tilde { x } _ { i } ) \big \| ^ { 2 } + 2 \mathbb { E } \big \| ( 1 - \alpha _ { i } ) \big ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( \tilde { x } _ { i - 1 } ) \big ) \big \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 L ^ { 2 } \mathbb { E } \big \| x _ { i } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i } \big \| ^ { 2 } + 2 L ^ { 2 } ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \big \| x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i - 1 } \big \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } \frac { 2 \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \mathbb { E } \big \| z _ { i } ^ { ( k ) } - \bar { z } _ { i } \big \| ^ { 2 } + \frac { 2 \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \mathbb { E } \big \| z _ { i - 1 } ^ { ( k ) } - \bar { z } _ { i - 1 } \big \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } } & { { } \approx S _ { 1 } ( t _ { o n } , m = 0 ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \frac { 1 } { \alpha } \bigg ( \frac { m ( e ^ { \alpha \tau } - r ) e ^ { - \alpha \tau } } { a e ^ { \alpha t _ { o n } } } \bigg ) \bigg ( 1 - \frac { \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) } { \beta } \ln { \bigg ( 1 + \frac { \beta } { \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) } \bigg ) } \bigg ) . } \end{array}
I _ { \mu } ^ { \ \nu } \equiv \left[ \delta _ { \mu } ^ { \nu } + \phi ^ { - 1 } \phi _ { \mu \alpha } h ^ { \alpha \nu } \right] \; , \quad I ^ { - 1 } \ _ { \mu } ^ { \ \alpha } I _ { \alpha } ^ { \ \nu } = \delta _ { \mu } ^ { \nu } \; , \quad I \equiv d e t I _ { \mu } ^ { \ \nu } \; .
{ \cal Q } _ { a } ^ { \pi ^ { - } } ( B ) = { \cal Q } _ { a } ^ { \pi ^ { - } } ( 0 ) \left( 1 + { \frac { g _ { 1 } ^ { s } } { 2 \pi ^ { 2 } } } + \cdots \right) ^ { 2 } \left( 1 + { \frac { \left| e B \right| \ln 2 } { 1 6 \pi ^ { 2 } F _ { \pi } ^ { 2 } } } + \cdots \right) ^ { - 1 / 3 } ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { P r } ( \hat { \mathcal { S } } = \mathcal { S } ) \geq \operatorname* { P r } \left[ \left( \operatorname* { m a x } _ { j \not \in \mathcal { S } } V _ { j } \leq 4 \ln d \right) \cap \left( \operatorname* { m i n } _ { i \in \mathcal { S } } V _ { i } \geq 4 \ln d \right) \right] \geq 1 - \frac { ( K + 1 ) } { d } . } \end{array}
\int d ^ { 2 } z \frac { 1 } { | z - z _ { i } | ^ { 3 } } = \int d ^ { 2 } z \frac { 1 } { r ^ { 3 } } = 2 \pi \int _ { \delta } ^ { \infty } d r \frac { r } { r ^ { 3 } } = 2 \pi \frac { 1 } { \delta } = 2 \pi \frac { r _ { i } ^ { - \chi } } { a }
\begin{array} { r l r } { \mathbf { W } _ { 0 } } & { = } & { \left( h _ { x } h _ { z } \partial _ { z } V _ { x } + \left( \frac { 2 } { 3 } - h _ { x } ^ { 2 } \right) \partial _ { z } V _ { z } \right) \left( \begin{array} { l l l } { 3 h _ { x } ^ { 2 } - 1 } & { 0 } & { 3 h _ { x } h _ { z } } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 3 h _ { x } h _ { z } } & { 0 } & { 3 h _ { z } ^ { 2 } - 1 } \end{array} \right) , } \\ { \mathbf { W } _ { 1 } } & { = } & { h _ { x } \left( h _ { z } \partial _ { z } V _ { x } - h _ { x } \partial _ { z } V _ { z } \right) \left( \begin{array} { l l l } { - h _ { z } ^ { 2 } } & { 0 } & { h _ { x } h _ { z } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { h _ { x } h _ { z } } & { 0 } & { - h _ { x } ^ { 2 } } \end{array} \right) + \left( h _ { x } \partial _ { y } V _ { x } - h _ { z } \partial _ { y } V _ { z } \right) \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { h _ { z } } & { 0 } \\ { h _ { z } } & { 0 } & { - h _ { x } } \\ { 0 } & { - h _ { x } } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \mathbf { W } _ { 2 } } & { = } & { \left( \left( 1 - 2 h _ { x } ^ { 2 } \right) \partial _ { z } V _ { x } - 2 h _ { x } h _ { z } \partial _ { z } V _ { z } \right) \left( \begin{array} { l l l } { 2 h _ { x } h _ { z } } & { 0 } & { 1 - 2 h _ { x } ^ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 - 2 h _ { x } ^ { 2 } } & { 0 } & { - 2 h _ { x } h _ { z } } \end{array} \right) + \left( h _ { x } \partial _ { y } V _ { x } + h _ { z } \partial _ { y } V _ { z } \right) \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { h _ { x } } & { 0 } \\ { h _ { x } } & { 0 } & { h _ { z } } \\ { 0 } & { h _ { z } } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \| \partial _ { t } u + \sigma u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \| \partial _ { t } u ^ { * } + \sigma u ^ { * } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \left( \nabla \cdot ( \partial _ { t } p + \sigma p ) , \, \partial _ { t } u + \sigma u \right) _ { \Omega _ { \rho } ^ { + } } } \\ & { + \left( ( \sigma + \hat { \sigma } ) ( \partial _ { t } u + \sigma u ) , \, ( \partial _ { t } u + \sigma u ) \right) _ { \Omega _ { \rho } ^ { + } } = \left( \partial _ { t } f + \sigma f , \, \partial _ { t } u + \sigma u \right) _ { \Omega _ { \rho } ^ { + } } . } \end{array} } \end{array}
\mathcal { I } ( { { { \tilde { X } } } _ { 1 } } , \! { { { X } } _ { 2 } } ; \! { { { \tilde { R } } } _ { 1 } } , \! { { { R } } _ { 2 } } ) \! \! = \! \! \mathcal { I } ( \tilde { A } _ { { { \tilde { X } } } } , L _ { \tilde { X } } ; \tilde { A } _ { { { \tilde { X } } } , \tilde { W } , \tilde { Z } , N } , L _ { \tilde { X } , \tilde { W } , \tilde { Z } , N } ) ,
\delta _ { \epsilon , \epsilon ^ { \prime } } \theta ^ { \alpha ^ { \prime } } = \left( - A ^ { \alpha ^ { \prime } } { } _ { \beta } [ ( 1 + C ) ^ { - 1 } ] ^ { \beta } { } _ { \alpha } \epsilon ^ { \alpha } \right) _ { \mathrm { c l } } + \epsilon ^ { \alpha ^ { \prime } }
\left( \mathbf { w } _ { i } , { \frac { \partial \mathbf { u } _ { j } } { \partial t } } \right) = - { \bigl ( } \mathbf { w } _ { i } , \left( \mathbf { u } \cdot \nabla \right) \mathbf { u } _ { j } { \bigr ) } - \nu \left( \nabla \mathbf { w } _ { i } : \nabla \mathbf { u } _ { j } \right) + \left( \mathbf { w } _ { i } , \mathbf { f } ^ { S } \right) .
\begin{array} { r l } { \varepsilon } & { { } < \sum _ { | \mathbf { R } | > R _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } I _ { \mu \nu } \approx \frac { 4 \pi } { \Omega } \int _ { R > R _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } R ^ { 2 } I _ { \mu \nu } d R \approx \frac { 2 \pi R _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } { \Omega \theta _ { \mu \nu } } I _ { \mu \nu } < \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| U ( \widehat \gamma ( t ) ) - U ( \gamma ^ { * } ( t ) ) \| = } & { \| \widehat Q _ { c } ( \widehat \gamma ( t ) ) - \{ \widehat Q _ { c } ( \widehat \gamma ( t ) ) - U ( \widehat \gamma ( t ) ) \} \| } \\ { = } & { O _ { p } \left( ( q _ { n } + 1 ) e ^ { 7 q _ { n } } \kappa _ { n } ^ { 2 } \sqrt { \frac { \log n h _ { 1 } } { n h _ { 1 } } } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } h _ { 2 } } \right) = o _ { p } ( 1 ) , } \end{array}
y _ { i } ( t ) = \Psi _ { i } \epsilon _ { i } \frac { 2 } { c } \int _ { 0 } ^ { t } w ( t ^ { \prime } , y ) U ( t ^ { \prime } ) e ^ { - \epsilon _ { i } \frac { 2 } { c } \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t } U ( \tau ) d \tau } d t ^ { \prime }
\begin{array} { r } { E _ { \perp } ^ { T } ( k _ { \perp } ) = \int \mathrm { d } k _ { \parallel } \: E _ { 2 \mathrm { ~ D ~ } } ^ { T } ( k _ { \perp } , k _ { \parallel } ) \sim \int _ { 0 } ^ { k _ { \perp } ^ { 2 / 3 } } \mathrm { d } k _ { \parallel } \: k _ { \perp } ^ { - c } k _ { \parallel } ^ { d } \sim k _ { \perp } ^ { - c + 2 ( 1 + d ) / 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } \, [ \, \sigma _ { 2 , i } ^ { ( k ) } } & { \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \ \big \vert \ t \, ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) \, ] } \\ & { = \, \left\{ \begin{array} { l l } { \varepsilon \, u \, \vert \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \vert , \quad } & { 0 < p _ { \varepsilon } < 1 , } \\ { \vert \lfloor t \, ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) \rfloor - t \, ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) + u \vert \, \, \vert \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \vert , } & { p _ { \varepsilon } = 0 , } \\ { \vert \lfloor t \, ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) \rfloor - t \, ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) \vert \, \, \vert \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \vert , } & { p _ { \varepsilon } = 1 , } \end{array} \right. } \end{array}
m _ { c c , 1 } \left( X _ { \mathrm { ~ c ~ } } / X _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ i ~ } } , f _ { \mathrm { ~ o ~ v ~ } } \right) / M = m _ { c c , 2 } \left( X _ { \mathrm { ~ c ~ } } / X _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ i ~ } } , \alpha _ { \mathrm { ~ o ~ v ~ } } \right) / M
E ( x ) = \frac { 1 } { { \partial } _ { - } ^ { 2 } } D ( x ) - \frac { 1 } { { \partial } _ { \bot } ^ { 2 } + n ^ { 2 } { \partial } _ { + } ^ { 2 } } D _ { s } ( x ) - \frac { \mathrm { s i n } 2 { \theta } { \partial } _ { + } + { \partial } ^ { - } } { ( { \partial } _ { \bot } ^ { 2 } + n ^ { 2 } { \partial } _ { + } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { \partial } _ { - } D _ { s } ( x )
\begin{array} { r l r } { b _ { 2 } ^ { \prime } } & { { } = } & { c _ { 1 } \, \beta _ { 0 } \quad \implies \quad b _ { 2 } = c _ { 1 } \beta _ { 0 } \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } + c _ { 2 } } \\ { b _ { 3 } ^ { \prime } } & { { } = } & { ( b _ { 1 } \beta _ { 1 } + 2 b _ { 2 } \beta _ { 2 } ) = c _ { 1 } \beta _ { 1 } + 2 c _ { 1 } \beta _ { 0 } \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } + 2 c _ { 2 } \beta _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\langle \Delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } \right\rangle = - d ^ { - } \gamma \left\langle t _ { \mathrm { ~ A ~ P ~ } } ( V _ { \frac { 1 } { 2 } } ) \right\rangle + d ^ { + } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho \, \ddot { u } - \mathrm { ~ D ~ i ~ v ~ } \widehat { \sigma } = \mathrm { ~ D ~ i ~ v ~ } \widetilde { \sigma } \, , } & { { } } & { \overline { { \sigma } } = \widetilde { \sigma } - s \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { j } ^ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } } & { { } = \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } E _ { j } E _ { \ell } \left[ B _ { j , \ell } \sin ( \delta _ { j , \ell } ) + G _ { j , \ell } \cos ( \delta _ { j , \ell } ) \right] , } \\ { Q _ { j } ^ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } } & { { } = \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } E _ { j } E _ { \ell } \left[ - B _ { j , \ell } \cos ( \delta _ { j , \ell } ) + G _ { j , \ell } \sin ( \delta _ { j , \ell } ) \right] , } \end{array}
Q _ { f } = f _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { r } } \Pi ^ { \mu _ { 1 } } \psi ^ { \mu _ { 2 } } \dots \psi ^ { \mu _ { r } } + \frac { i } { r + 1 } ( - 1 ) ^ { r + 1 } f _ { [ \mu _ { 1 } \dots \mu _ { r } ; \mu _ { r + 1 } ] } \psi ^ { \mu _ { 1 } } \dots \psi ^ { \mu _ { r + 1 } } .
\widetilde { C } _ { - \omega } ( k , \tau ) = \frac { c _ { 0 } \, \mathrm { e } ^ { - \epsilon k } } { 2 \tilde { \omega } _ { d } B ( k ) } \left[ \frac { \mathrm { e } ^ { - \frac { \lvert \tau \rvert } { \tau _ { s } ( k ) } } } { \tau _ { f } ( k ) } - \frac { \mathrm { e } ^ { - \frac { \lvert \tau \rvert } { \tau _ { f } ( k ) } } } { \tau _ { s } ( k ) } \right] \, .
\begin{array} { r l } { c _ { t } f _ { 0 } ^ { 2 } ( T _ { b } ) } & { { } = \epsilon _ { 0 } + \Delta \epsilon ( T _ { b } ) + \frac { c _ { 2 } z ( T _ { b } ) ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + \frac { c _ { 3 } t ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } , } \end{array}
I _ { 3 } ^ { ( n ) } = \frac { 1 } { M _ { W } ^ { 2 } } \int d ^ { D } k \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } ) ^ { 2 n - 1 } [ ( p - k ) ^ { 2 } ] ^ { 2 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } \, .
\mathcal { E } ( D , B , \phi ) = \big ( \phi , D \phi \big ) _ { \Omega } + \frac { 1 } { 2 } \big ( \phi , \big ( n ^ { T } \dot { x } \big ) \phi \big ) _ { \partial \Omega } + \big ( \delta \phi , B \phi \big ) _ { \partial \Omega } .
D _ { 1 } ^ { \mathrm { p e r t } } ( x ^ { 2 } ) = { \frac { 1 6 \alpha _ { \mathrm { s } } } { 3 \pi } } { \frac { 1 } { x ^ { 4 } } } + ~ \mathrm { h i g h e r ~ ~ o r d e r s } .
\begin{array} { r l } { R _ { k \setminus i } ^ { t t ^ { \prime } } = R _ { k \setminus i } ^ { t t ^ { \prime } } [ \boldsymbol { \mathcal { O } } ] } & { = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { k } } \int D \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] x _ { k } ^ { t } \left( - \mathrm { i } \hat { h } _ { k } ^ { t ^ { \prime } } \right) } \\ & { = \left. \frac { \delta } { \delta { s } _ { k } ^ { t ^ { \prime } } } \sum _ { \boldsymbol { x } _ { k } } x _ { k } ^ { t } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \boldsymbol { s } _ { k } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] \right| _ { s _ { k } = 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { w _ { i + 1 } ^ { \mathrm { ~ L ~ A ~ T ~ } } = \frac { L _ { i + 1 } } { L _ { i } } w _ { i } ^ { \mathrm { ~ L ~ A ~ T ~ } } + ( n - n _ { i } ) L _ { i } + \sigma _ { w } R _ { i + 1 } - \left\lfloor \frac { w _ { i } ^ { \mathrm { ~ L ~ A ~ T ~ } } } { L _ { i } } + ( n - n _ { i } ) \frac { L _ { i } } { L _ { i + 1 } } + \frac { \sigma _ { w } R _ { i + 1 } } { L _ { i + 1 } } + \frac { 1 } { 2 } \right\rfloor L _ { i + 1 } \, , } \end{array}
\frac { \partial c } { \partial t ^ { * } } = D _ { \mathrm { ~ s ~ a ~ t ~ } } \frac { 1 } { r ^ { * } } \frac { \partial } { \partial r ^ { * } } \left( r ^ { * } \frac { \partial c } { \partial r ^ { * } } \right) ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } ~ ~ ~ ~ \frac { \partial c } { \partial r ^ { * } } \biggr | _ { r ^ { * } = 0 } = 0 ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ ~ ~ c ( r ^ { * } = R ) = c _ { \mathrm { ~ s ~ a ~ t ~ } } .
\theta _ { m , 2 0 } ( q ) = \sum _ { p = - \infty } ^ { + \infty } ~ \sum _ { \ell = 0 } ^ { 9 } q ^ { 2 0 ( 1 0 p + \ell ) ^ { 2 } + ( 1 0 p + \ell ) m + \frac { m ^ { 2 } } { 8 0 } } = \sum _ { \ell = 0 } ^ { 9 } \theta _ { 1 0 m + 4 0 0 \ell , 2 0 0 0 } ( q ) ,
\begin{array} { r l } { { 2 M _ { h ^ { 0 } } ^ { 2 } } } & { { = M _ { Z } ^ { 2 } + M _ { A } ^ { 2 } + 2 \epsilon - \sqrt { ( M _ { Z } ^ { 2 } + M _ { A } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 \epsilon ^ { 2 } } } } \\ { { \epsilon } } & { { = \frac { 3 g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } } m _ { t } ^ { 4 } \log ( \frac { m _ { \tilde { t } _ { L } } ^ { 2 } m _ { \tilde { t } _ { R } } ^ { 2 } } { m _ { t } ^ { 4 } } ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \left( \left( \eta _ { 0 } - b \right) \, \mathbf { v } _ { 0 } \right) } & { = 0 , } \\ { \partial _ { t } \mathbf { q } _ { ( 0 ) } + \nabla \cdot \left( \mathbf { v } _ { ( 0 ) } \otimes \mathbf { q } _ { ( 0 ) } \right) + \left( \eta _ { ( 0 ) } - b \right) \nabla \eta _ { ( 2 ) } } & { = \mathbf { 0 } . } \end{array}
A = \frac { 3 G _ { F } Q ^ { 2 } } { 5 \sqrt 2 \pi \alpha } \left[ \left( - \frac { 3 } { 4 } + \frac { 5 } { 3 } \sin ^ { 2 } \vartheta _ { W } \right) + \left( - \frac { 3 } { 4 } + 3 \sin ^ { 2 } \vartheta _ { W } \right) \frac { 1 - ( 1 - y ) ^ { 2 } } { 1 + ( 1 - y ) ^ { 2 } } \right]
c _ { G r } ( D ^ { * } \mathcal { E } ( 1 , 1 , c ) , \omega _ { c a n } ) = \left\{ \begin{array} { r l } { \alpha ( c ) , } & { \mathrm { ~ f o r ~ } 0 < c < 1 / 2 , } \\ { 2 \pi , } & { \mathrm { ~ f o r ~ } 1 / 2 \le c \le 1 , } \\ { \beta ( c ) , } & { \mathrm { ~ f o r ~ } 1 < c < c _ { 0 } , } \\ { 4 \pi , } & { \mathrm { ~ f o r ~ } c \ge c _ { 0 } . } \end{array} \right.
\mathsf { p } _ { j k l m } ^ { c } = - \delta _ { j k } \delta _ { l m } + \delta _ { j l } \delta _ { k m } + \delta _ { j m } \delta _ { k l } + p _ { l } p _ { m } \delta _ { j k } + p _ { j } p _ { k } \delta _ { l m } - p _ { j } p _ { m } \delta _ { k l } - p _ { k } p _ { m } \delta _ { j l } - p _ { j } p _ { l } \delta _ { k m } - p _ { k } p _ { l } \delta _ { j m } + p _ { j } p _ { k } p _ { l } p _ { m } .
m \rightarrow e ^ { - g ^ { 2 } \zeta _ { 1 } ( N ) / 2 \pi } \; \xi \; m \; , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \xi \equiv \left( \frac 2 { g ^ { 2 } } \, \sin ( g ^ { 2 } / 2 ) \right) .
F _ { i , p } ^ { \mathrm { d r a g } } = m _ { p } \frac { u _ { i , @ x _ { p } } ^ { u , p } - u _ { i , p } } { \tau _ { r } } , ~ ~ \tau _ { r } = \frac { 1 } { f } \frac { \rho _ { p } D _ { p } ^ { 2 } } { 1 8 \mu } , ~ ~ ~ f = 1 + 0 . 1 6 R e _ { p } ^ { 0 . 6 8 7 } ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i } \Bigl [ - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { i } ^ { 2 } } \cos \Bigl ( \Bigl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) ( t - t ^ { \prime } ) \Bigr ) ( t - t ^ { \prime } ) } \\ & { + \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { i } ^ { 3 } } \sin \Bigl ( \Bigl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) ( t - t ^ { \prime } ) \Bigr ) \Bigr ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { \parallel } ^ { \prime } ( \omega ^ { \prime } ) } & { = - \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } - \omega _ { k } ^ { 2 } } , } \\ { { \chi _ { \perp } ^ { \prime } } ( \omega ^ { \prime } ) } & { = \frac { - ( \omega ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } - \omega _ { k } ^ { 2 } ) \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \left( \omega ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } - \omega _ { k } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \left( 2 \Omega - \Omega _ { c e } \right) ^ { 2 } } , } \\ { { \chi _ { \times } ^ { \prime } } ( \omega ^ { \prime } ) } & { = \frac { \omega ^ { \prime } ( 2 \Omega - \Omega _ { c e } ) \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \left( \omega ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } - \omega _ { k } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \left( 2 \Omega - \Omega _ { c e } \right) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \overline { { \mathscr { R } } } } & { = \mathbf { Z } ( E _ { 1 } - E _ { 2 } ) \oplus \mathbf { Z } ( E _ { 3 } - E _ { 4 } ) , } & { \overline { { \mathscr { R } } } ^ { \perp } } & { = \left\{ a _ { 0 } E _ { 0 } + a _ { 1 } E _ { 1 } + a _ { 2 } E _ { 2 } + a _ { 3 } E _ { 3 } + a _ { 4 } E _ { 4 } \mid a _ { 1 } = a _ { 2 } , \; a _ { 3 } = a _ { 4 } \right\} } \\ & { } & & { = \mathbf { Z } E _ { 0 } \oplus \mathbf { Z } ( E _ { 1 } + E _ { 2 } ) \oplus \mathbf { Z } ( E _ { 3 } + E _ { 4 } ) . } \end{array}
S O ( 1 , 1 ) \times \frac { S O ( 1 , p ) } { S O ( p ) } \times \frac { S O ( 4 , 5 - p ) } { S O ( 4 ) \times S O ( 5 - p ) } \qquad ( n _ { V } = p + 1 \, , \, n _ { H } = 5 - p ) , \quad 0 \leq p \leq 5 .
\begin{array} { r } { \gamma _ { i } ^ { { \scriptscriptstyle M } } ( z _ { i } ) \: \simeq \: M \left| \Delta _ { { \scriptscriptstyle m } } \right| \, z _ { i } \: = \: \sqrt { 2 M \, \big ( \bar { h } - \mu \big ) } \: z _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { 2 } ^ { ( N ) } } & { = } & { \left| u _ { 2 } [ \tau + ( N - 1 ) T ] \right| ^ { 2 } = 0 . 2 5 \; P _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \; e ^ { - ( N - 1 ) \gamma T } } \\ & { \times } & { \left| \left[ \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \cosh ^ { 2 } \beta + i \sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \cosh ^ { 2 } \beta } \right] ^ { N } \right. } \\ & { - } & { \left. \left[ \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \cosh ^ { 2 } \beta - i \sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \cosh ^ { 2 } \beta } \right] ^ { N } \right| ^ { 2 } } \\ & { \times } & { \left| 1 - \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \cosh ^ { 2 } \beta \right| ^ { - 1 } \quad ( \gamma \ll \Omega _ { 0 } ) . } \end{array}
\bar { \mathbf { x } } ( s ) = x _ { 1 } ( s ) \hat { \mathbf { i } } _ { 1 } + x _ { 2 } ( s ) \hat { \mathbf { i } } _ { 2 } + x _ { 3 } ( s ) \hat { \mathbf { i } } _ { 3 } \, ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { 1 } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \otimes \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , } \\ { \rho _ { 2 } } & { = \cfrac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right] \otimes \cfrac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right] . } \end{array}
\tilde { g } _ { q } = g _ { q } - \frac { 1 } { \Omega } \, \frac { \xi _ { q } ^ { 2 } \; \mathrm { e } ^ { - 2 \mathrm { i } \chi _ { q } } } { \omega _ { q } ^ { \mathrm { p h } } - \omega _ { 0 } } ,
\lambda ^ { E } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { \sqrt { 2 } \lambda _ { 1 2 } ^ { D } } } & { { 0 } } \\ { { \sqrt { 2 } \lambda _ { 1 2 } ^ { D } } } & { { 3 \lambda _ { 2 2 } ^ { D } \sqrt { 2 } / \sqrt { 5 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)