harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { g _ { i \leftarrow n l m } ( \mathbf { r } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { Y _ { l m } ( \mathbf { \hat { r } } ) P ( 2 n + l , r / r _ { c } ) } & { r < r _ { c } } \\ { 0 } & { r \ge r _ { c } } \end{array} \right. } \\ { P ( n , x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \cos \pi x ) } & { n = 0 } \\ { Q ( n - 1 , x ) } & { n \in \mathbb { O } } \\ { R ( n - 2 , x ) } & { n \in \mathbb { E } } \end{array} \right. } \\ { Q ( m , x ) } & { = 5 \left( \sin \frac { \pi x } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \cos \pi x \right) x ^ { m } e ^ { - m x ^ { 2 } } } \\ { R ( m , x ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \cos ( 2 \pi x ) \right) x ^ { m } e ^ { - m x ^ { 2 } } , } \end{array}
\Gamma _ { Q } = \Gamma ( Q \to \psi \; { \bar { \psi } } \; q ) = \Gamma ( Q \to \phi \; q ) = \frac { G ^ { 2 } } { 4 \pi } \cdot \frac { m _ { Q } ^ { 2 } - m _ { q } ^ { 2 } } { m _ { Q } } \; .
\begin{array} { r l } { f _ { v v } ^ { i } } & { { } \approx { \frac { f _ { i } ( { \boldsymbol { x } } + h { \boldsymbol { \delta } } ) - 2 f _ { i } ( { \boldsymbol { x } } ) + f _ { i } ( { \boldsymbol { x } } - h { \boldsymbol { \delta } } ) } { h ^ { 2 } } } } \end{array}
\mu _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = \mu _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \perp } \left( \hat { x } \hat { x } + \hat { y } \hat { y } \right) + \mu _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \parallel } \hat { z } \hat { z }
t _ { \Omega \Sigma } ^ { ( 1 ) } { } ^ { \Pi \Gamma } { } _ { \Delta \Lambda } = \delta _ { [ \Delta } ^ { [ \Pi } \delta _ { \Lambda ] [ \Omega } \delta _ { \Sigma ] } ^ { \Gamma ] } \, , \qquad t _ { \Omega \Sigma } ^ { ( 2 ) } { } ^ { \Pi \Gamma \Delta \Lambda } = 0 \, .
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathbb { P } [ \operatorname* { i n f } _ { t \in [ - 1 , 0 ] } | X ( t ) | < R \le | X ( - 1 ) | ] d R } } \\ & { \le \int _ { \bar { \Omega } } | X ( - 1 ) | - \operatorname* { i n f } _ { t \in [ - 1 , 0 ] } | X ( t ) | d \mathbb { P } } \\ & { \le \int _ { \bar { \Omega } } | X ( 0 ) - X ( - 1 ) | d \mathbb { P } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( 2 b ) } ( \omega ) = \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 c \omega } \int _ { \mathbb { R } ^ { 1 2 } } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } \b { q } _ { 1 } \ensuremath { \mathrm { d } } \b { q } _ { 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } \b { p } _ { 1 } \ensuremath { \mathrm { d } } \b { p } _ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 6 } } \; \left( \ensuremath { \mathbf { D } } V ( \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } ) \right) ^ { 2 } } \\ { \times \delta ^ { \prime \prime } \! ( \omega + E _ { 0 } ^ { \mathrm { H F } } - p _ { 1 } ^ { 2 } / 2 - p _ { 2 } ^ { 2 } / 2 - V ( \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } ) ) } \\ { \times \rho _ { \phi , \mathrm { W } } ( q _ { 1 } , p _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } _ { 1 } ) \rho _ { \phi , \mathrm { W } } ( q _ { 2 } , p _ { 2 } , \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { f } _ { \mathrm { { R F } } } = } & { { } - \frac { \omega _ { \mathrm { { p e } } } ^ { 2 } } { 8 \pi \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \cos ^ { 2 } ( \omega _ { 0 } t ) \boldsymbol \nabla { E } _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } } \\ { = } & { { } - \frac { \omega _ { \mathrm { { p e } } } ^ { 2 } } { 1 6 \pi \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \boldsymbol \nabla { E } _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } - \frac { \omega _ { \mathrm { { p e } } } ^ { 2 } } { 1 6 \pi \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \cos ( 2 \omega _ { 0 } t ) \boldsymbol \nabla { E } _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } } \\ { = } & { { } - \frac { \omega _ { \mathrm { { p e } } } ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \boldsymbol \nabla \left\langle \frac { { E } ^ { 2 } } { 8 \pi } \right\rangle - \frac { \omega _ { \mathrm { { p e } } } ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \cos ( 2 \omega _ { 0 } t ) \boldsymbol \nabla \left\langle \frac { { E } ^ { 2 } } { 8 \pi } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( t ) } & { { } = \sigma _ { \mathrm { m i n } } \bigg ( \frac { \sigma _ { \mathrm { m a x } } } { \sigma _ { \mathrm { m i n } } } \bigg ) ^ { t } \sqrt { 2 \log { \bigg ( \frac { \sigma _ { \mathrm { m a x } } } { \sigma _ { \mathrm { m i n } } } \bigg ) } } } \\ { \sigma ^ { 2 } ( t ) } & { { } = \sigma _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } \bigg [ \bigg ( \frac { \sigma _ { \mathrm { m a x } } } { \sigma _ { \mathrm { m i n } } } \bigg ) ^ { 2 t } - 1 \bigg ] \approx \sigma _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } \bigg ( \frac { \sigma _ { \mathrm { m a x } } } { \sigma _ { \mathrm { m i n } } } \bigg ) ^ { 2 t } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { \ell } } & { { } = } & { \Delta _ { \ell } ^ { - 1 } \left[ V _ { \ell } ( R ) A _ { \ell } ( L ) + V _ { \ell } ( L ) A _ { \ell } ( R ) \right] , } \\ { b _ { \ell } } & { { } = } & { \Delta _ { \ell } ^ { - 1 } \left[ W _ { \ell } ( L ) B _ { \ell } ( R ) + W _ { \ell } ( R ) B _ { \ell } ( L ) \right] , } \\ { c _ { \ell } } & { { } = } & { i \Delta _ { \ell } ^ { - 1 } \left[ W _ { \ell } ( R ) A _ { \ell } ( L ) - W _ { \ell } ( L ) A _ { \ell } ( R ) \right] , } \end{array}
f ( p , p ^ { \prime } ) = \ln \left\{ \frac { ( p _ { i } - p _ { j } ) ^ { 2 } } { ( p _ { i } + p _ { j } ) ^ { 2 } } \right\} \left[ \psi ( p _ { j } ) - g ( p _ { i } , p _ { j } ) \psi ( p _ { i } ) \right] \, .
E \left\{ \sum _ { k = 1 } ^ { i } \sum _ { m = 1 } ^ { j } \psi _ { k } \psi _ { m } \right\} = \Psi ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { i } \sum _ { m = 1 } ^ { j } \delta _ { k m } = \Psi ^ { 2 } \operatorname* { m i n } ( i , j ) \, ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi + \{ \phi , \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi \} = } & { { } v _ { \mathrm { A } } \partial _ { z } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi + \{ \psi , \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi \} , } \\ { \partial _ { t } [ \psi - d _ { e } ^ { 2 } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi ] = } & { { } v _ { \mathrm { A } } \partial _ { z } [ \phi - \rho _ { \tau } ^ { 2 } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi ] } \end{array}
R _ { \beta \mu \nu } ^ { \alpha } = \partial _ { \mu } \Gamma _ { \nu \beta } ^ { \alpha } - \partial _ { \nu } \Gamma _ { \mu \beta } ^ { \alpha } + \Gamma _ { \mu \gamma } ^ { \alpha } \Gamma _ { \nu \beta } ^ { \gamma } - \Gamma _ { \nu \gamma } ^ { \alpha } \Gamma _ { \mu \beta } ^ { \gamma }
I ( s ) \equiv \int _ { 1 } ^ { \infty } { \frac { ( t ^ { 2 } - 1 ) ^ { - s } d t } { \mathrm { e } ^ { 2 \pi a t } - 1 } } = \int _ { 1 } ^ { t _ { 0 } } { \frac { ( t ^ { 2 } - 1 ) ^ { - s } d t } { \mathrm { e } ^ { 2 \pi a t } - 1 } } + \int _ { t _ { 0 } } ^ { \infty } { \frac { ( t ^ { 2 } - 1 ) ^ { - s } d t } { \mathrm { e } ^ { 2 \pi a t } - 1 } } \, ,
{ \frac { 1 } { \Theta } } \left( { \frac { \partial ^ { 2 } \Theta } { \partial \theta ^ { 2 } } } + { \frac { \cos \theta } { \sin \theta } } { \frac { \partial \Theta } { \partial \theta } } \right) + { \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } } { \frac { 1 } { \Phi } } { \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial \varphi ^ { 2 } } } \equiv - l ( l + 1 ) \, ,
R _ { i } ( \mathbf { r } ) = \mathcal { N } _ { i } \vert \mathbf { r } - \mathbf { R } _ { A _ { i } } \vert ^ { n _ { i } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ i ~ m ~ } \, i } } a _ { k i } \, f _ { k i } ( \gamma _ { k i } , p ) \, e ^ { - \gamma _ { k i } \vert \mathbf { r } - \mathbf { R } _ { A _ { i } } \vert ^ { p } } .
k _ { q } = \frac { 1 } { 1 - H _ { q } ^ { 0 } } \sum _ { l = 1 } ^ { q - 1 } k _ { q - l } f _ { l } \left\{ \frac { H _ { q } ^ { 0 } } { l } + \gamma _ { 0 } ^ { 2 } x [ \frac { h _ { 2 } } { l } + \frac { h _ { 1 1 } } { q } ] \right\} ,
G _ { \alpha \dot { \beta } } \; \; ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } ) ^ { - 1 } , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; Q _ { ( \alpha \beta ) } \; \; ( 1 , 0 ) ^ { 1 } , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; Q \; \; ( 0 , 0 ) ^ { 1 } .
\begin{array} { r l } { D ^ { 2 } G ( E _ { 1 } , m _ { T C } ) ( V , V ) } & { = \left( \begin{array} { c } { \frac { { \partial } ^ { 2 } { G } _ { 1 } } { \partial { x } ^ { 2 } } V _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { { \partial } ^ { 2 } { G } _ { 1 } } { \partial { x } \partial { y } } V _ { 1 } V _ { 2 } + \frac { { \partial } ^ { 2 } { G } _ { 1 } } { \partial { y } ^ { 2 } } V _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \frac { { \partial } ^ { 2 } { G } _ { 2 } } { \partial { x } ^ { 2 } } V _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { { \partial } ^ { 2 } { G } _ { 2 } } { \partial { x } \partial { y } } V _ { 1 } V _ { 2 } + \frac { { \partial } ^ { 2 } { G } _ { 2 } } { \partial { y } ^ { 2 } } V _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right) _ { ( E _ { 1 } , m _ { T C } ) } } \\ & { = \left( \begin{array} { c } { - \frac { 2 } { n + 1 } } \\ { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
W _ { j } ^ { - } Q _ { j } = W _ { j - 1 } ^ { + } q _ { j - 1 } + \left[ W _ { 1 } ^ { - } q _ { 1 } + W _ { N - 1 } ^ { + } \thinspace q _ { N - 1 } \right] \left( 1 - \sum _ { i = 1 } ^ { j - 1 } q _ { i } \right) .
\| u \| _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { r } ) } \le \frac { C ( N , p , \mu , \alpha , \omega _ { A _ { \pm } , r ^ { * } } ) } { ( 1 - r ) ^ { \alpha } } \Bigg ( \| u \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } + \| f _ { + } \| _ { L ^ { N } ( B _ { 1 } ) } ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } + \| f _ { - } \| _ { L ^ { N } ( B _ { 1 } ) } ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } \Bigg )
\frac { \partial } { \partial t } \, g ( x , \tau , t ) \; = \; \; \left( \frac { \partial g } { \partial t } \right) _ { f r e e } \; + \; \; \left( \frac { \partial g } { \partial t } \right) _ { b r a n c h } \; + \; \; \left( \frac { \partial g } { \partial t } \right) _ { s c a t t } \; + \; \; \left( \frac { \partial g } { \partial t } \right) _ { f u s } \; \; .
\begin{array} { r c l } { { 0 } } & { { = } } & { { g \left[ \mathsf { M } \mathsf { P } \, + \, \mathsf { N } \mathsf { Q } \right] \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { = } } & { { { \cal B } _ { + } { \cal B } _ { - } \, , } } \end{array}
g = \frac { 1 } { \sqrt { f ^ { 1 } - f ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { c c } { { \exp ( \alpha ) f ^ { 1 } } } & { { \exp ( - \alpha ) f ^ { 2 } } } \\ { { \exp ( \alpha ) } } & { { \exp ( - \alpha ) } } \end{array} \right) .
\sqrt { G } = \frac { \sqrt { 2 } \pi f _ { \pi } } { m \sqrt { 5 m ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } } } \simeq \sqrt { \frac { 2 } { 5 } } \frac { \pi f _ { \pi } } { m ^ { 2 } } = 0 . 6 2 \, \mathrm { f m } ,
m _ { t } \approx \lambda _ { t } ( M _ { Z } ) \sqrt { { \frac { 2 M _ { W } ^ { 2 } } { g _ { 2 } ^ { 2 } ( M _ { W } ) } } - \left( { \frac { m _ { b } ( M _ { Z } ) } { \lambda _ { b } ( m _ { Z } ) } } \right) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { m \left( \mathbf { x } ^ { * } \right) } & { = \mu \left( \mathbf { x } ^ { * } \right) + k \left( \mathbf { x } ^ { * } \right) ^ { \mathrm { T } } \mathbf { K } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } ) , } \\ { s ^ { 2 } \left( \mathbf { x } ^ { * } \right) } & { = K \left( \mathbf { x } ^ { * } , \mathbf { x } ^ { * } \right) - k \left( \mathbf { x } ^ { * } \right) ^ { \mathrm { T } } \mathbf { K } ^ { - 1 } k \left( \mathbf { x } ^ { * } \right) . } \end{array}
w _ { i n } \frac { D _ { o p t } - w _ { i n } } { L _ { i n } } = V _ { i n } ^ { N F } = V _ { o u t } ^ { N F } = 2 n \alpha _ { s } ( 2 L _ { o u t } \alpha _ { s } ( 2 - n ) + d _ { s } ) ;
F _ { c m } ^ { ( \varepsilon ) } \sim \frac { 1 } { 2 } F _ { c m } ^ { ( p _ { 2 } ) } \sim \frac { z } { 2 x } e ^ { 2 z ( 1 - x ) } , \quad F _ { c m } ^ { ( p _ { 1 } ) } \sim - \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } } e ^ { 2 z ( 1 - x ) } .
- \frac { \mathrm { d } \varphi \langle c _ { z } ^ { 2 } c _ { x } \rangle } { \mathrm { d } z } = p _ { g } ^ { k } \frac { \mathrm { d } \langle v _ { x } \rangle } { \mathrm { d } z } - \varphi \langle a _ { x } c _ { z } \rangle - \varphi \langle a _ { z } c _ { x } \rangle ,
\begin{array} { r l } { H _ { x } ( x , y , t ) } & { { } = 0 } \\ { H _ { y } ( x , y , t ) } & { { } = - \sin ( \omega ( x - t ) ) ) \chi ( t - x ) } \\ { E _ { z } ( x , y , t ) } & { { } = \sin ( \omega ( x - t ) ) \chi ( t - x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( r ) } & { { } = \int _ { r } ^ { \infty } \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { r ^ { \prime } } \frac { s ^ { 2 } \rho ( s ) } { \epsilon _ { 0 } } d s \, d r ^ { \prime } } \end{array}
- \frac { 1 } { 2 h } \widetilde v _ { - 1 } ^ { ( l ) } + \frac { 1 } { 2 h } \widetilde v _ { 1 } ^ { ( l ) } = \phi _ { L } ^ { ( l ) } , \quad - \frac { 1 } { 2 h } \widetilde v _ { M - 1 } ^ { ( l ) } + \frac { 1 } { 2 h } \widetilde v _ { M + 1 } ^ { ( l ) } = \phi _ { R } ^ { ( l ) } .
\tau _ { a b } = \frac { U _ { 0 } ^ { 7 - p } \Omega _ { 8 - p } } { ( 2 \pi ) ^ { 7 } g _ { \mathrm { Y M } } ^ { 4 } } \; \mathrm { d i a g } \left[ \frac { 9 - p } { 2 } , \frac { 5 - p } { 2 } , \cdots , \frac { 5 - p } { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { \xi } H _ { p } \rho _ { \xi } } & { = - \rho _ { b } ^ { - 2 } \Big ( \frac { \partial \Delta _ { b } } { \partial r } + 2 r \rho _ { \xi } ^ { 2 } p \Big ) ( \mathrm { s g n \, } \xi _ { r } ) \rho _ { \xi } , } \\ { \rho _ { \xi } H _ { p } \hat { \xi } _ { \varphi } } & { = - \rho _ { b } ^ { - 2 } \Big ( \frac { \partial \Delta _ { b } } { \partial r } + 2 r \rho _ { \xi } ^ { 2 } p \Big ) ( \mathrm { s g n \, } \xi _ { r } ) \hat { \xi } _ { \varphi } , } \\ { \rho _ { \xi } H _ { p } \Delta _ { b } } & { = - 2 \rho _ { b } ^ { - 2 } \frac { \partial \Delta _ { b } } { \partial r } \Big ( ( \mathrm { s g n \, } \xi _ { r } ) \Delta _ { b } + a \hat { \xi } _ { \varphi } \Big ) , } \\ { \rho _ { \xi } H _ { p } ( \rho _ { \xi } ^ { 2 } \tilde { p } ) } & { = - \rho _ { b } ^ { - 2 } \Big ( 2 \frac { \partial \Delta _ { b } } { \partial r } + 4 r \rho _ { \xi } ^ { 2 } p \Big ) ( \mathrm { s g n \, } \xi _ { r } ) \rho _ { \xi } ^ { 2 } \tilde { p } - 2 \rho _ { b } ^ { - 2 } a ^ { 2 } \sin ( 2 \theta ) ( \rho _ { \xi } ^ { 2 } p ) \hat { \xi } _ { \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } = \frac { 4 u _ { 1 } \alpha \lceil \frac { R } { T } \rceil } { n _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } P ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { D P } } } \mathrm { , ~ } \sigma _ { 2 } ^ { 2 } = \frac { 4 u _ { 2 } \alpha ( R - \lceil \frac { R } { T } \rceil ) } { n _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } P ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { D P } } } \mathrm { ~ a n d ~ } 2 K \left\lceil \frac { R } { P } \right\rceil \varepsilon ^ { \prime } ( \alpha ) \leq \left( 1 - \frac { 1 } { u _ { 1 } } - \frac { 1 } { u _ { 2 } } \right) \varepsilon _ { \mathrm { D P } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { m } ( x _ { t + 1 } ) } & { \leqslant \gamma V _ { m } ( x _ { t } ) + c _ { 3 } \left\| g ( x _ { t } ) \tilde { u } _ { t } \right\| \leqslant \gamma V _ { m } ( x _ { t } ) + c _ { 3 } \frac { c _ { 1 } } { c _ { 2 } } \bar { c } } \\ & { = ( 1 - \frac { c _ { 1 } } { c _ { 2 } } ) V _ { m } ( x _ { t } ) + \frac { c _ { 1 } } { c _ { 2 } } \bar { c } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { * } ( e _ { 1 } , e _ { 2 } , e _ { 3 } ) : = \operatorname* { m i n } } & { \ \varepsilon } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { Y _ { i } = ( 1 - \lambda _ { i } ) o _ { e _ { i } } + \lambda _ { i } f _ { e _ { i } } , i = 1 , 2 , 3 , } \\ & { \| X - Y _ { i } \| \leq R + \varepsilon , i = 1 , 2 , 3 , } \\ & { X \in \mathbb { R } ^ { 2 } , } \\ & { \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 } \in [ 0 , 1 ] , } \\ & { \varepsilon \in \mathbb { R } . } \end{array}
I _ { 4 a } ^ { ( n ) } = \frac { p ^ { 4 } } { 4 M _ { W } ^ { 4 } } \int d ^ { D } k \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } ) ^ { 2 n } [ ( p - k ) ^ { 2 } ] ^ { 2 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } [ ( D _ { \mathfrak { F } } ^ { \alpha } ) ^ { n } h ( \theta ) ] } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { \Gamma ( 1 - J ( s ) + k ) } { \Gamma ( 1 - J ( s ) ) } [ D _ { \mathfrak { F } } ^ { \alpha } ) ^ { n - k - 1 } h ( \theta ) J ( \theta ) ^ { J ( s ) - k - 1 } \bigg | _ { 0 } ^ { \infty } + \frac { \Gamma ( 1 - J ( s ) + n ) } { \Gamma ( 1 - J ( s ) ) } H ( J ( s ) - n ) , } \end{array}
I _ { \alpha } ( R _ { 1 } ; { \xi } _ { 2 } , { \xi } _ { 3 } ) \simeq 2 { \epsilon } \cdot \int _ { 0 } ^ { { \beta } _ { 0 } } { \beta } d { \beta } [ t _ { 0 } ^ { 2 } ( { \omega } , { \beta } ) + t _ { 1 } ^ { 2 } ( { \omega } , { \beta } ) ] I _ { \alpha } ^ { ( { \bf 2 3 } ) } ( { \beta } _ { 0 } , { \beta } )
\begin{array} { r l } { \Delta g _ { \bar { i } } } & { = \left| g _ { \bar { i } } ^ { \ ( \mathrm { A B B } ) } - g _ { \bar { i } } ^ { \ ( \mathrm { R B C } ) } \right| } \\ & { = 2 \mathrm { w } _ { i } C _ { \mathrm { w } } - g _ { i } ^ { \ ( \mathrm { A B B } ) } - \left( \frac { k _ { \bar { i } } } { 1 + k _ { \bar { i } } } 2 \mathrm { w } _ { i } C _ { \mathrm { e q } } + \frac { 1 - k _ { \bar { i } } } { 1 + k _ { \bar { i } } } g _ { i } ^ { \ ( \mathrm { R B C } ) } \right) } \\ & { = \frac { 2 \mathrm { w } _ { i } } { 1 + k _ { \bar { i } } } ( C _ { \mathrm { w } } + k _ { i } ( C _ { \mathrm { w } } - C _ { \mathrm { e q } } ) ) - g _ { i } ^ { \ ( \mathrm { A B B } ) } - \frac { 1 - k _ { \bar { i } } } { 1 + k _ { \bar { i } } } g _ { i } ^ { \ ( \mathrm { R B C } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w ^ { \prime } + \varphi w } & { = } & { x ( r ( 1 - x / K ) ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } c _ { i } ^ { - 1 } \mu _ { i } y _ { i } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } m _ { i j } y _ { i } y _ { j } \right) + \varphi x + \sum _ { i = 1 } ^ { n } c _ { i } ^ { - 1 } \varphi y _ { i } } \\ & { \leq } & { x \left( r + \varphi - \left( \frac { r } { K } \right) x \right) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } c _ { i } ^ { - 1 } ( \mu _ { i } - \varphi ) y _ { i } } \\ & { \leq } & { x \left( r + \varphi - \left( \frac { r } { K } \right) x \right) } \\ & { \leq } & { \frac { K ( r + \varphi ) ^ { 2 } } { 4 r } } \\ & { = } & { \rho . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \| \partial _ { t } \tilde { \hat { u } } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \Gamma _ { \rho } ^ { + } ) ) } ^ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { T } \| \partial _ { t } \tilde { u } \| _ { H _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \Gamma _ { \rho } ^ { + } ) ) } ^ { 2 } \, d t } \\ { = } & { } & { \int _ { 0 } ^ { T } \frac { \pi } { 2 } \rho \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 + n ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \mathscr { L } ^ { - 1 } \left( \frac { K _ { n } ^ { \prime } ( s \tilde { \rho } ) } { K _ { n } ( s R ) } \right) * \partial _ { t } \hat { u } _ { n } ( R , t ) \right] ^ { 2 } \, d t } \\ { = } & { } & { \frac { \pi } { 2 } \rho \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 + n ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Big \| \mathscr { L } ^ { - 1 } \left( \frac { K _ { n } ^ { \prime } ( s \tilde { \rho } ) } { K _ { n } ( s R ) } \right) * \partial _ { t } \hat { u } _ { n } ( R , t ) \Big \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { } & { \frac { \pi } { 2 } \rho \, e ^ { 2 s _ { 1 } T } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 + n ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname* { m a x } _ { - \infty < s _ { 2 } < + \infty } \left| \frac { K _ { n } ^ { \prime } ( s \tilde { \rho } ) } { K _ { n } ( s R ) } \right| ^ { 2 } \| \partial _ { t } \hat { u } _ { n } ( R , t ) \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { } & { \frac { \rho } { R } \, e ^ { 2 s _ { 1 } T } \operatorname* { m a x } _ { - \infty < n < + \infty } \operatorname* { m a x } _ { - \infty < s _ { 2 } < + \infty } \left| \frac { K _ { n } ^ { \prime } ( s \tilde { \rho } ) } { K _ { n } ( s R ) } \right| ^ { 2 } \| \partial _ { t } \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \Gamma _ { R } ^ { + } ) ) } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { } & { \frac { \rho } { R } \, e ^ { 2 s _ { 1 } T } e ^ { - 2 \rho \hat { \sigma } ( \rho ) \left( 1 - \frac { R ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \right) } \| \partial _ { t } \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \Gamma _ { R } ^ { + } ) ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { } } & { { < n _ { k } | m _ { k } > } } \\ { { } } & { { = \left\{ \begin{array} { l l } { { \delta _ { n _ { k } m _ { k } } } } & { { \mathrm { f o r } \ n _ { k } , m _ { k } = 0 , 1 , 2 , \ldots } } \\ { { i \delta _ { n k m _ { k } } ( - 1 ) ^ { n _ { k } } } } & { { \mathrm { f o r } \ n _ { k } , m _ { k } = - 1 , - 2 \ldots } } \\ { { \infty } } & { { \mathrm { f o r } \ n _ { k } \ \mathrm { a n d } \ m _ { k } \ \mathrm { i n \ d i f f e r e n t \ s e c t o r s } \ . } } \end{array} \right. } } \end{array}
\sum _ { s = 0 } ^ { \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( k + s + 1 ) ^ { m } a _ { s } b _ { k } \leq \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( k + 1 ) ^ { m } ( s + 1 ) ^ { m } a _ { s } b _ { k } = \left( \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } ( i + 1 ) ^ { m } a _ { i } \right) \left( \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } ( i + 1 ) ^ { m } b _ { i } \right) ,
\begin{array} { r l } & { w _ { t + 1 } = r ^ { 1 } ( s _ { t } , a _ { t } ^ { 1 } , a _ { t } ^ { 2 } ) - \sum _ { a ^ { 2 } \in A ^ { 2 } } r ^ { 1 } ( s _ { t } , a _ { t } ^ { 1 } , a ^ { 2 } ) \overline { { \pi } } _ { t } ^ { 2 } ( s _ { t } , a ^ { 2 } ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ + \gamma _ { 1 } \left( \operatorname* { m a x } _ { \pi \in \mathcal P ( A ^ { 1 } ) } \pi \overline { { Q } } _ { t } ^ { 1 } ( s _ { t + 1 } ) - \sum _ { a ^ { 2 } \in A ^ { 2 } } \sum _ { s ^ { \prime } \in S } \operatorname* { m a x } _ { \pi \in \mathcal P ( A ^ { 1 } ) } \pi \widetilde { Q } _ { t } ^ { 1 } ( s ^ { \prime } ) p ( s ^ { \prime } | s _ { t } , a _ { t } ^ { 1 } , a ^ { 2 } ) \overline { { \pi } } _ { t } ^ { 2 } ( s _ { t } , a ^ { 2 } ) \right) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { n _ { 2 } } { n _ { 1 } } } & { { } = \frac { v _ { 1 } } { v _ { 2 } } = \frac { ( \gamma + 1 ) M _ { 1 } ^ { 2 } } { ( \gamma - 1 ) M _ { 1 } ^ { 2 } + 2 } } \\ { \frac { T _ { 2 } } { T _ { 1 } } } & { { } = \frac { \left[ 2 \gamma M _ { 1 } ^ { 2 } - ( \gamma - 1 ) \right] \left[ ( \gamma - 1 ) M _ { 1 } ^ { 2 } + 2 \right] } { ( \gamma + 1 ) ^ { 2 } M _ { 1 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { c } _ { \pm } ( \bar { \rho } , \bar { z } , \bar { t } = 0 ) } & { = 1 , } \\ { - \bar { \psi } \big | _ { \Gamma _ { 2 } } = \bar { \psi } \big | _ { \Gamma _ { 6 } } } & { = \bar { \Psi } _ { 0 } , } \\ { \partial _ { \bar { \rho } } \bar { \psi } | _ { \Gamma _ { 4 } , \Gamma _ { 8 } } = \partial _ { \bar { z } } \bar { \psi } | _ { \Gamma _ { 1 } , \Gamma _ { 3 } , \Gamma _ { 5 } , \Gamma _ { 7 } } } & { = 0 , } \\ { \bar { j } _ { \bar { \rho } , \pm } \big | _ { \Gamma _ { 2 } , \Gamma _ { 4 } , \Gamma _ { 6 } , \Gamma _ { 8 } } = \bar { j } _ { \bar { z } , \pm } \big | _ { \Gamma _ { 1 } , \Gamma _ { 3 } , \Gamma _ { 5 } , \Gamma _ { 7 } } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( \theta , \lambda ) = } & { \frac { G M } { R _ { B } } [ 1 + \sum _ { n = 2 } ^ { M } ( \frac { a } { R _ { B } } ) ^ { n } \sum _ { m = 0 } ^ { n } ( \bar { C } _ { n m } ^ { 1 } \cos m \lambda } \\ & { + \bar { S } _ { n m } ^ { 1 } \sin m \lambda ) { \bar { P } } _ { n m } ( \cos \theta ) ] } \end{array}
{ \cal L } ^ { ( 1 ) } = - \partial _ { \mu } \overline { { \psi } } _ { 1 } \gamma _ { \mu \nu } \partial _ { \nu } \psi _ { 1 } - \partial _ { \mu } \overline { { \psi } } _ { 2 } \gamma _ { \mu \nu } \partial _ { \nu } \psi _ { 2 } - m ^ { 2 } \overline { { \psi } } _ { 1 } \psi _ { 1 } + m ^ { 2 } \overline { { \psi } } _ { 2 } \psi _ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { D } Q } { \mathrm { D } t } } & { = - \eta _ { Q } Q + d _ { Q } \nabla ^ { 2 } Q , } \\ { \frac { \mathrm { D } R } { \mathrm { D } t } } & { = - \eta _ { R } R + d _ { R } \nabla ^ { 2 } R , } \\ { \rho _ { 0 } \frac { \mathrm { D } \mathbf { u } } { \mathrm { D } t } } & { = - \nabla p + \mu \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + \rho _ { 0 } g ( \beta _ { Q } Q + \beta _ { R } R ) \mathbf { e } _ { z } , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { u } } & { = 0 , } \end{array}