harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { g ^ { \prime } ( x ) } & { = \frac { r } { x ^ { 3 } } \frac { ( d + r - 2 ) } { d } { _ 2 F _ { 1 } } ( \frac { 2 - r } { 2 } , - \frac { d + r - 4 } { 2 } ; \frac { d + 2 } { 2 } ; \frac { 1 } { x ^ { 2 } } ) } \\ & { \quad + \big ( ( 2 - r ) x ^ { 1 - r } - \frac { 2 } { x ^ { 3 } } \big ) \frac { ( d + r - 2 ) } { d } { _ 2 F _ { 1 } } ( \frac { 2 - r } { 2 } , - \frac { d + r - 4 } { 2 } ; \frac { d + 2 } { 2 } ; 1 ) } \\ & { \geq \frac { r } { x ^ { 3 } } \frac { ( d + r - 2 ) } { d } { _ 2 F _ { 1 } } ( \frac { 2 - r } { 2 } , - \frac { d + r - 4 } { 2 } ; \frac { d + 2 } { 2 } ; 1 ) } \\ & { \quad + \big ( ( 2 - r ) x ^ { 1 - r } - \frac { 2 } { x ^ { 3 } } \big ) \frac { ( d + r - 2 ) } { d } { _ 2 F _ { 1 } } ( \frac { 2 - r } { 2 } , - \frac { d + r - 4 } { 2 } ; \frac { d + 2 } { 2 } ; 1 ) } \\ & { = ( 2 - r ) \big ( x ^ { 1 - r } - \frac { 1 } { x ^ { 3 } } \big ) \frac { ( d + r - 2 ) } { d } { _ 2 F _ { 1 } } ( \frac { 2 - r } { 2 } , - \frac { d + r - 4 } { 2 } ; \frac { d + 2 } { 2 } ; 1 ) \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { E } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { A } ( \tilde { A _ { i } } - \tilde { A _ { 0 } } ) ^ { 2 } + K _ { P } ( \tilde { P _ { i } } + \frac { \lambda ^ { ( c ) } } { 2 K _ { P } } ) ^ { 2 } + ( \lambda ^ { ( n ) } - \lambda ^ { ( c ) } ) \tilde { L _ { i } } ^ { ( n ) } - ( \frac { \lambda ^ { ( c ) } } { 2 K _ { P } } ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { V } ^ { \textrm { X C } } \left[ \rho _ { \textrm { p } } ( \vec { r } ) , | \vec { \rho } _ { \textrm { m } } ( \vec { r } ) | \right] = } & { { } \frac { \delta E _ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \delta \rho _ { \textrm { p } } ( \vec { r } ) } \boldsymbol { \sigma } _ { 0 } + \sum _ { u = \{ x , y , z \} } \frac { \delta E _ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \delta \rho _ { \textrm { m } , u } ( \vec { r } ) } \boldsymbol { \sigma } _ { u } } \\ { = } & { { } \frac { \delta E _ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \delta \rho _ { \textrm { p } } ( \vec { r } ) } \boldsymbol { \sigma } _ { 0 } + \frac { \delta E _ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \delta | \vec { \rho } _ { \textrm { m } } ( \vec { r } ) | } \frac { \vec { \rho } _ { \textrm { m } } ( \vec { r } ) \cdot \vec { \boldsymbol { \sigma } } } { | \vec { \rho } _ { \textrm { m } } ( \vec { r } ) | } . } \end{array}
\begin{array} { r } { S = \frac { \pi r _ { + } } { 2 } - \frac { \pi l _ { 0 } \sqrt { 1 4 } } { 5 6 } \arctan \left( \frac { 2 r _ { + } \sqrt { 1 4 } } { 7 l _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } ( h ) ( u , v ) } & { = - \mu \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \Big \{ \int _ { D } ( h \cdot \nabla u _ { j } ) \Delta \bar { v } _ { j } + ( h \cdot \nabla \bar { v } _ { j } ) \Delta { u } _ { j } \, \mathrm { d } x } \\ & { - \int _ { S } ( h \cdot \nabla u _ { j } ) ( n \cdot \nabla \bar { v } _ { j } ) + ( h \cdot \nabla \bar { v } _ { j } ) ( n \cdot \nabla { u } _ { j } ) - ( h \cdot n ) ( \nabla \bar { v } _ { j } \cdot \nabla u _ { j } ) \, \mathrm { d } s \Big \} . } \end{array}
\hat { C } ( \vec { x } ) \hat { C } ( \vec { y } ) = \sum _ { r = 1 } ^ { N } x _ { r } y _ { r } ( \hat { p } _ { r } \cdot \hat { p } _ { r } ) + \sum _ { \mu , \nu = 1 } ^ { N } x _ { \mu } y _ { \nu } ( \hat { p } _ { \mu } \wedge \hat { p } _ { \nu } ) .
\mathrm { f } _ { W W } = \frac { O _ { 3 3 } ^ { 2 } } { v _ { 3 } ^ { 2 } } \left( O _ { 1 3 } v _ { 1 } + O _ { 2 3 } v _ { 2 } + O _ { 3 3 } v _ { 3 } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { a } & { = } & { \pi [ ( 1 - p ) q ] = \frac { ( 2 n + 1 ) ! } { ( n ! ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { ( 1 - p ) q } x ^ { n } ( 1 - x ) ^ { n } d x \sim ( 1 - p ) ^ { \frac { r + 1 } { 2 } } q ^ { \frac { r + 1 } { 2 } } , } \\ { b } & { = } & { \pi [ ( 1 - p ) ( 1 - q ) ] \sim ( 1 - p ) ^ { \frac { r + 1 } { 2 } } ( 1 - q ) ^ { \frac { r + 1 } { 2 } } , } \end{array}
+ \left[ 2 i { \left( - 1 \right) } ^ { n - 1 } { \epsilon } _ { 2 } \cdot p _ { 1 } P ^ { n - 1 } \left( p _ { 1 } ^ { 2 } , q ^ { 2 } \right) \right] \frac { { \left( - 1 \right) } ^ { n } i } { q ^ { 2 n } - { \left( - m ^ { 2 } \right) } ^ { n } } \left[ 2 i { \left( - 1 \right) } ^ { n } { \epsilon } _ { 1 } \cdot p _ { 2 } P ^ { n - 1 } \left( q ^ { 2 } , p _ { 2 } ^ { 2 } \right) \right] +
\begin{array} { r l } { \left\langle w , u ^ { n + 1 } - u ^ { n } \right\rangle + \Delta t \left\langle w , q ^ { n + 1 / 2 } ( \overline { { m } } ^ { n + 1 / 2 } ) ^ { \perp } \right\rangle } & { { } } \\ { \qquad - \Delta t \left\langle \nabla \cdot w , \pi ^ { n + 1 / 2 } \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall w \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } , } \\ { \left\langle \phi , D ^ { n + 1 } - D ^ { n } \right\rangle + \Delta t \left\langle \phi , \nabla \cdot \overline { { m } } ^ { n + 1 / 2 } \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \phi \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \left\langle \gamma , D ^ { n + 1 / 2 } q ^ { n + 1 / 2 } \right\rangle + \left\langle \nabla ^ { \perp } \gamma , u ^ { n + 1 / 2 } \right\rangle - \left\langle \gamma , f \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle v , \overline { { m } } ^ { n + 1 / 2 } - m ^ { n + 1 / 2 } \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall v \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } , } \end{array}
\widetilde { I } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } , n _ { 4 } ; n _ { 0 } ) \equiv - \frac { 1 } { \pi ^ { d } } \left. \int \frac { \mathrm { d } ^ { d } k \, \mathrm { d } ^ { d } l \; \; \mathcal { N } ^ { n _ { 0 } } } { \mathcal { D } _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } \mathcal { D } _ { 2 } ^ { n _ { 2 } } \mathcal { D } _ { 3 } ^ { n _ { 3 } } \mathcal { D } _ { 4 } ^ { n _ { 4 } } } \right| _ { p ^ { 2 } = M ^ { 2 } } \, .
{ \frac { d } { d t } } \left( \begin{array} { l } { { p } } \\ { { q } } \end{array} \right) = { \frac { 1 } { \hbar } } \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { - { \cal H } } } \\ { { { \cal H } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { { \frac { \delta H _ { 0 } } { \delta p } } } } \\ { { { \frac { \delta H _ { 0 } } { \delta q } } } } \end{array} \right)
\mathbf { R } _ { \mathrm { ~ { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ~ - ~ 1 ~ } } ^ { + } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { D } _ { 0 } ^ { + } } & { \mathbf { D } _ { 1 } ^ { + } } & { \cdots } & { \mathbf { D } _ { N - 1 } ^ { + } } \end{array} \right]
\begin{array} { l } { \! \! \! \! \gamma _ { 1 } \displaystyle \int _ { \Omega } \bar { n } \displaystyle \frac { ( \nabla n ) ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } d \Omega \! + \! \beta \gamma _ { 2 } \displaystyle \int _ { \Omega } \bar { p } \displaystyle \frac { ( \nabla p ) ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } d \Omega \! \geq \! \displaystyle \frac { \alpha _ { 1 } \gamma _ { 1 } } { C _ { 1 } ( \gamma ) } \| n \! - \! \bar { n } \| ^ { 2 } \! + \! \displaystyle \frac { \alpha _ { 1 } \beta \gamma _ { 2 } } { C _ { 2 } ( \gamma ) } \| p \! - \! \bar { p } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\| u \| _ { L _ { t } ^ { p } L _ { x } ^ { q } ( I ) } + \| u \| _ { L _ { t } ^ { \infty } H _ { x } ^ { \gamma } ( I ) } + \| u _ { t } \| _ { L _ { t } ^ { \infty } H _ { x } ^ { \gamma - 1 } ( I ) } \lesssim _ { p , q , \gamma } \| u _ { 0 } \| _ { H _ { x } ^ { \gamma } } + \| u _ { 1 } \| _ { H ^ { \gamma - 1 } } + \| f \| _ { L _ { t } ^ { p ^ { \prime } } L _ { x } ^ { q ^ { \prime } } ( I ) }
\rho = \sum _ { a ^ { \prime } } \left[ \frac { i \omega _ { a ^ { \prime } } } { \sqrt { \Im _ { a ^ { \prime } } } } \lambda _ { a ^ { \prime } } \pi _ { a ^ { \prime } } + \left( \omega _ { a ^ { \prime } } ^ { 2 } G _ { a ^ { \prime } } + \frac { i } { 2 } b _ { a ^ { \prime } } \right) \bar { \eta } _ { a ^ { \prime } } \right] ,
\begin{array} { r l r } { w _ { L } } & { = } & { \kappa \frac { w _ { j } + w _ { k } ^ { \prime } } { 2 } + ( 1 - \kappa ) \left[ w _ { j } + \overline { { \bf g } } _ { T } \cdot ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { j } ) \right] , } \\ { w _ { R } } & { = } & { \kappa \frac { w _ { j } ^ { \prime } + w _ { k } } { 2 } + ( 1 - \kappa ) \left[ w _ { k } + \overline { { \bf g } } _ { T } \cdot ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { k } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf { A } ) = 0 } & { { } \Rightarrow \overline { { \mathbf { D } } } _ { 2 } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 2 } ^ { - 1 } \cdot \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { 1 } = 0 } \\ { \nabla \times \nabla f = 0 } & { { } \Rightarrow \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } ^ { - 1 } \cdot \overline { { \mathbf { E } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { f } _ { 1 } } \end{array}
\displaystyle \mathop { { \mathcal A } } ^ { \; \, \mathrm { o } } \ = \ \left\{ a \in { \mathcal A } \bigm | \; \Big \| \ \frac 1 2 \, \left( \triangle a ^ { 2 } + a ^ { 2 } \triangle \right) - \; a \triangle a \, \Big \| < \infty \right\} \ ,
[ u _ { x } , \, u _ { y } , \, u _ { z } ] = [ 0 , \, 0 , \, 0 . 0 3 8 8 7 7 7 6 \, ( 1 - ( x ^ { 2 } + ( y - 0 . 0 2 ) ^ { 2 } ) / r ^ { 2 } ) ]
\begin{array} { r l r } & { } & { k _ { \alpha \beta , i j } ^ { \left( \beta , 2 \right) } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ) } \\ & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \left\vert \widehat { \mathbf { g } } \right\vert \left( M _ { \alpha , k } ^ { \prime } M _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \frac { \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { l } ^ { \beta } } { \varphi _ { k } ^ { \alpha } \varphi _ { j } ^ { \beta } } \right) ^ { 1 / 2 } \sigma _ { i l , k j } ^ { \alpha \beta } \left( \left\vert \widehat { \mathbf { g } } \right\vert , \cos \theta \right) \mathbf { 1 } _ { \left\vert \widehat { \mathbf { g } } \right\vert ^ { 2 } > 2 \widetilde { \Delta } I _ { k j , i l } ^ { \alpha \beta } } d \boldsymbol { \omega } \mathrm { , ~ } } \\ & { } & { \mathrm { w i t h ~ } \cos \theta = \boldsymbol { \omega } \cdot \frac { \widehat { \mathbf { g } } } { \left\vert \widehat { \mathbf { g } } \right\vert } \mathrm { ~ a n d ~ } \widetilde { \Delta } I _ { k j , i l } ^ { \alpha \beta } = \frac { m _ { \alpha } + m _ { \beta } } { m _ { \alpha } m _ { \beta } } \Delta I _ { k j , i l } ^ { \alpha \beta } \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r } { P ^ { \pm } ( d _ { F D } = H ^ { + } ) = N \cdot P ^ { \pm } ( d _ { 1 } = H ^ { + } ) \int _ { \mathbb { R } _ { + } } G ^ { \pm } ( t _ { 1 } | d _ { 1 } = H ^ { + } ) \, d t _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { 1 } ( i , j , k ) } & { = \frac { u _ { 1 } ( i + 1 , j , k ) - u _ { 1 } ( i - 1 , j , k ) } { 2 h } } \\ { \epsilon _ { 2 } ( i , j , k ) } & { = \frac { u _ { 2 } ( i , j + 1 , k ) - u _ { 2 } ( i , j - 1 , k ) } { 2 h } } \\ { \epsilon _ { 3 } ( i , j , k ) } & { = \frac { u _ { 3 } ( i , j , k + 1 ) - u _ { 3 } ( i , j , k - 1 ) } { 2 h } } \\ { \epsilon _ { 4 } ( i , j , k ) } & { = \frac { 1 } { 2 h } \left[ u _ { 2 } ( i , j , k + 1 ) - u _ { 2 } ( i , j , k - 1 ) + u _ { 3 } ( i , j + 1 , k ) - u _ { 3 } ( i , j - 1 , k ) \right] } \\ { \epsilon _ { 5 } ( i , j , k ) } & { = \frac { 1 } { 2 h } \left[ u _ { 1 } ( i , j , k + 1 ) - u _ { 1 } ( i , j , k - 1 ) + u _ { 3 } ( i + 1 , j , k ) - u _ { 3 } ( i - 1 , j , k ) \right] } \\ { \epsilon _ { 6 } ( i , j , k ) } & { = \frac { 1 } { 2 h } \left[ u _ { 1 } ( i , j + 1 , k ) - u _ { 1 } ( i , j - 1 , k ) + u _ { 2 } ( i + 1 , j , k ) - u _ { 2 } ( i - 1 , j , k ) \right] } \end{array} .
A ( p , p ) e ^ { \alpha q } * B ( p , p ) e ^ { \beta q } = A ( p _ { 0 } , \bar { p } _ { 0 } ) e ^ { \alpha ( q _ { 0 } + \bar { q } _ { o } ) } * B ( p _ { 0 } , \bar { p } _ { 0 } ) e ^ { \beta ( q _ { 0 } + \bar { q } _ { o } ) } | _ { p _ { 0 } = \bar { p } _ { 0 } = p , q _ { 0 } + \bar { q } _ { 0 } = q } .
Q _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p } } ^ { \mathrm { R } } \equiv { \frac { Q _ { p } ^ { \mathrm { R } } } { v _ { p } } } \int _ { { \cal M } _ { p } } d X ^ { \mu _ { 1 } } \wedge \cdots d X ^ { \mu _ { p } } \ , \quad \mathrm { w i t h } \quad Q _ { p } ^ { \mathrm { R } } = { \frac { 1 } { \mathrm { V o l } \, S ^ { 8 - p } } } \int _ { S ^ { 8 - p } } \! \! { } ^ { * } G ^ { ( p + 2 ) } \ .
\begin{array} { r l } { \langle \hat { n } _ { \mathrm { { T } } } \rangle } & { = \langle \hat { n } _ { a } ^ { \mathrm { o u t } } \rangle + \langle \hat { n } _ { b } ^ { \mathrm { { o u t } } } \rangle } \\ & { = \langle \hat { a } ^ { \mathrm { o u t } \dagger } \hat { a } ^ { \mathrm { { o u t } } } \rangle + \langle \hat { b } ^ { \mathrm { o u t } \dagger } \hat { b } ^ { \mathrm { { o u t } } } \rangle . } \end{array}
\frac { N - 1 } { 1 + 2 V ^ { \prime } q ^ { 2 } + q ^ { 4 } } + \frac { 1 } { 1 + ( 2 V ^ { \prime } + 4 \phi ^ { 2 } V ^ { \prime \prime } ) q ^ { 2 } + q ^ { 4 } }
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } \mathrm { ~ L ~ D ~ A ~ } } : = \int n ( \boldsymbol { r } ) [ \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ } } ( r _ { s } ) f _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( \bar { f } ) + \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { { \mathrm { ~ S ~ D ~ } } , \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } , \bar { f } ) ] \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { S } _ { \mu \nu } ( \underline { { R } } , \underline { { R } } ) } & { { } = \displaystyle \int \mathrm { d } \underline { { x } } \, \tilde { \chi } _ { \mu } ( \underline { { R } } , \underline { { x } } ) \, \tilde { \chi } _ { \nu } ^ { \star } ( \underline { { R } } , \underline { { x } } ) = \tilde { S } _ { \mu \nu } ^ { ( n ) } \quad , } \end{array}
E _ { \mathrm { c x } } I \frac { \partial ^ { 3 } { X } } { \partial { y ^ { 3 } } } ( L _ { \mathrm { m i } } ) - \sigma \frac { \partial { X } } { \partial { y } } ( L _ { \mathrm { m i } } ) - M _ { \mathrm { M I } } \omega ^ { 2 } X ( L _ { \mathrm { m i } } ) = F ~ ,
T _ { i } ( j ) = \left( d _ { i } \cos \left( \frac { 2 \pi j } { k _ { i } } + t _ { i } ^ { \prime } \right) \sin \left( \operatorname { a r c c o s } ( \xi _ { i } ) \right) , d _ { i } \sin \left( \frac { 2 \pi j } { k _ { i } } + t _ { i } ^ { \prime } \right) \sin \left( \operatorname { a r c c o s } ( \xi _ { i } ) \right) , d _ { i } \xi _ { i } \right)
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k + 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
\mathcal { L } _ { I } ( s | S _ { t h } , \phi _ { 0 } ^ { r } ) = \mathrm { { e x p } } \Big ( - \lambda _ { b s } \int _ { \mathbf { \Omega } } \Big ( 1 - \Big ( 1 + \frac { s \, p \, K \, g _ { m a x } \, g _ { 3 g p p } ( | \phi _ { 0 } ^ { r } - \phi _ { x } | ) \, r _ { x } ^ { - \alpha _ { L } } } { m _ { x } } \Big ) ^ { - m _ { x } } \Big ) r _ { x } \mathrm { d } \mathbf { \Omega } \Big ) ,
\omega ^ { 2 } = k ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } ( 1 - \delta _ { \nu z } ) + { \cal O } \left( \frac { \rho ^ { 2 } k _ { z } ^ { 2 } } { M _ { W } ^ { 2 } } \right) + { \cal O } \left( \frac { \rho ^ { 4 } } { | \Phi | ^ { 2 } } \right) .
M _ { S } ^ { 2 } \equiv \left. \frac { d ^ { 2 } V } { d s ^ { 2 } } \right| _ { s = \langle s \rangle } = \left. \left( \beta _ { m ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \mu \frac { d } { d \mu } \beta _ { m ^ { 2 } } \right) \right| _ { \mu = \langle s \rangle } \simeq \beta _ { m ^ { 2 } } \sim \frac { m _ { s o f t } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { X _ { \mathrm { t r a n s } } } & { = } & { \frac { 2 \sqrt { \Gamma C } } { g _ { \mathrm { Y } } } \chi ( \omega ) \left( \frac { G f ( \omega ) } { 8 C } X _ { \mathrm { i n } } + Y _ { \mathrm { i n } } \right) } \\ { Y _ { \mathrm { t r a n s } } } & { = } & { - \frac { 2 \sqrt { \Gamma C } } { g _ { \mathrm { Y } } } \chi ( \omega ) \left( X _ { \mathrm { i n } } - \frac { G f ( \omega ) } { 8 C } Y _ { \mathrm { i n } } \right) . } \end{array}
\left[ - p ^ { 2 } + m ^ { 2 } - \alpha + i \beta _ { \mu } \frac { \partial } { \partial p _ { \mu } } + \gamma _ { \mu \nu } ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial p _ { \mu } } \frac { \partial } { \partial p _ { \nu } } \right] G ( p ) = 1
+ \frac { C ^ { 2 } \, e ^ { 2 \, \alpha + 2 \, \alpha ^ { * } } \, n ^ { 4 } \, \Theta ( y _ { 0 } - x _ { 0 } ) } { \left( \left( x _ { 0 } - y _ { 0 } - i \, \epsilon \right) ^ { 2 } - \left( x _ { s } - y _ { s } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } + \frac { C ^ { 2 } \, n ^ { 4 } \, \Theta ( y _ { 0 } - x _ { 0 } ) } { \left( \left( y _ { 0 } - x _ { 0 } - i \, \epsilon \right) ^ { 2 } - \left( x _ { s } - y _ { s } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }
\Phi = \, { \frac { - 1 } { 2 i \pi } } \, G _ { 1 } ^ { 0 } G _ { 2 } ^ { 0 } G _ { 3 } ^ { 0 } \, \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } \beta _ { 3 } \, \left[ \, V _ { 1 2 } ^ { 0 } \, \psi _ { 1 2 } \, + \, V _ { 2 3 } ^ { 0 } \, \psi _ { 2 3 } \, + \, V _ { 3 1 } ^ { 0 } \, \psi _ { 3 1 } \, \right]
\left| p \right| ^ { 3 } \, \left| x \right| = - \left| p \right| ^ { 3 } \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } \frac { d \phi } { 2 \pi } \, \, \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d \left| \overrightarrow { p } \right| } { \left| \overrightarrow { p } \right| ^ { 2 } } \, \, \exp ( - i \overrightarrow { p } \overrightarrow { x } ) = - \frac { \pi } { 4 } \, \, \delta ^ { 2 } (
\begin{array} { r l r } { \bar { B } _ { j k } } & { = } & { - j k S _ { 1 1 } ( l _ { 2 , k } ) M _ { 1 1 , k } \hat { p } ( k - j ) ( \overline { { p } } k ^ { 2 } + \overline { { q } } ) + S _ { 1 1 } ( l _ { 2 , k } ) M _ { 1 1 , k } \hat { q } ( k - j ) ( \overline { { p } } k ^ { 2 } + \overline { { q } } ) + } \\ & { } & { - j k S _ { 2 1 } ( l _ { 2 , k } ) M _ { 2 1 , k } \hat { p } ( k - j ) + S _ { 2 1 } ( l _ { 2 , k } ) M _ { 2 1 , k } \hat { q } ( k - j ) , \quad j \neq k , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C _ { i } = - \frac { \partial \left( \overline { { \rho u _ { i } ^ { \prime } } } \overline { { u } } _ { j } \right) } { \partial x _ { j } } , } \\ & { P _ { i } ^ { ( 1 ) } = - \overline { { \rho u _ { j } ^ { \prime } } } \frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } } , } \\ & { P _ { i } ^ { ( 2 ) } = - \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \frac { \partial \overline { { \rho } } } { \partial x _ { j } } , } \\ & { D _ { i } = \frac { \partial \overline { { \rho } } \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial \overline { { \rho u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { \partial x _ { j } } , } \\ & { E _ { i } = \left( \overline { { \rho } } \overline { { \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } } } - \frac { \partial \overline { { p } } } { \partial x _ { i } } \right) + \left( \frac { \partial \overline { { \tau } } _ { i j } } { \partial x _ { j } } - \overline { { \rho } } \overline { { \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \tau _ { i j } } { \partial x _ { j } } } } \right) . } \end{array}
\Tilde { b } ( { \bf x } ) = \int d { \bf r } \frac { 1 } { | { \bf r } - { \bf x } | } \int d { \bf r ^ { \prime } } \; \chi ( { \bf r } , { \bf r ^ { \prime } } ) \; V _ { \mathrm { H x c } } ( { \bf r ^ { \prime } } ) \, ,
\overline { { { P _ { D ^ { ( * ) } } ^ { \perp } } } } = \frac { \int d x d y \rho _ { D ^ { ( * ) } } ( x , y ) P _ { D ^ { ( * ) } } ^ { \perp } ( x , y ) } { \int d x d y \rho _ { D ^ { ( * ) } } ( x , y ) } ~ .
\begin{array} { r l } & { \ddot { x } _ { 1 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x _ { 1 } + V _ { 1 } \dot { x } _ { 2 } = 0 \, , } \\ & { \ddot { x } _ { 2 } + \omega _ { p } ^ { 2 } x _ { 2 } - V _ { 1 } \dot { x } _ { 1 } - V _ { 2 } \dot { x } _ { 3 } = 0 \, , } \\ & { \ddot { x } _ { 3 } + \omega _ { p } ^ { 2 } x _ { 3 } + V _ { 2 } \dot { x } _ { 2 } + V _ { 1 } \dot { x } _ { 4 } = 0 \, , } \\ & { \ddot { x } _ { 4 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x _ { 4 } - V _ { 1 } \dot { x } _ { 3 } = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } ( \phi ( \mathbf { x } ) ) } & { { } = 0 , \qquad \mathbf { x } \in \Omega } \\ { \mathcal { B } ( \phi ( \mathbf { x } ) ) } & { { } = 0 , \qquad \mathbf { x } \in \partial \Omega } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \tilde { \mathcal { M } } ^ { j } ( A ) Z ) _ { k } ( { \boldsymbol { \theta } } ) = - \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \frac { \partial } { \eta _ { i } } ( G _ { k , l } ^ { j } ( A \left( \boldsymbol { \theta } - \boldsymbol { \eta } \right) ) ) Z _ { l , i } ( { \boldsymbol { \eta } } ) d \eta _ { 1 } d \eta _ { 2 } . } \end{array}
N = \varepsilon \left( { m _ { \nu _ { 4 } } } \right) \, \int { \Phi \left( { E _ { \nu _ { 4 } } } \right) } \, P _ { \nu _ { 4 } \to \nu _ { \tau } e ^ { + } e ^ { - } } \left( { E _ { \nu _ { 4 } } } \right) \, \, d E _ { \nu _ { 4 } } \quad \ ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { \mathbb { P } } \left\{ \left| h _ { \mathrm { { F A S } } } \right| < \varOmega \right\} } & { = F _ { \left| \boldsymbol { h } \right| } \left( \varOmega , \ldots , \varOmega \right) } \\ & { \approx \stackrel [ s _ { 1 } = 0 ] { s _ { 0 } } { \sum } \sum _ { s _ { 2 } = 0 } ^ { s _ { 1 } } \ldots \sum _ { s _ { T } = 0 } ^ { s _ { T - 1 } } \frac { g \left( \boldsymbol { s } ^ { * } \right) } { \pi ^ { N } \mathrm { \mathrm { ~ { d e t } } \ensuremath { \left( \boldsymbol { J } \right) } } } \prod _ { t = 1 } ^ { T } \frac { \left( - K _ { m , n } \right) ^ { s _ { t } ^ { * } } } { s _ { t } ^ { * } ! \mathrm { \mathrm { ~ { d e t } } \ensuremath { \left( \boldsymbol { J } \right) } } ^ { s _ { t } ^ { * } } } \times } \\ & { \stackrel [ n = 1 ] { N } { \prod } \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \mathrm { \ensuremath { K _ { n , n } } } } { \mathrm { \mathrm { ~ { d e t } } \ensuremath { \left( \boldsymbol { J } \right) } } } \right) ^ { - \frac { \bar { s } _ { n } } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } } \left[ \Gamma \left( \frac { 1 + \bar { s } _ { n } } { 2 } \right) - \Gamma \left( \frac { 1 + \bar { s } _ { n } } { 2 } , \frac { \mathrm { \ensuremath { K _ { n , n } } } \varOmega ^ { 2 } } { \mathrm { \mathrm { ~ { d e t } } \ensuremath { \left( \boldsymbol { J } \right) } } } \right) \right] . } \end{array}
U _ { 5 D } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } , x _ { 5 } ) = U _ { \mathrm { M B } } ( x _ { 1 } , x _ { 3 } ) + \kappa ( x _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 4 } ^ { 2 } + x _ { 5 } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { P _ { e } } & { \le \operatorname* { P r } ( \nexists { z } ^ { \hat { k } } : { z } ^ { \hat { k } } \in A _ { \epsilon } ( X ^ { \hat { k } } | Y _ { t } ^ { k } , \hat { S } ^ { \hat { k } } ) \mathrm { ~ a n d ~ } { z } ^ { \hat { k } } \mathrm { ~ i s ~ a ~ s u b s e q u e n c e ~ o f ~ } X _ { 1 } ^ { n } . ) } \\ & { \qquad + \operatorname* { P r } ( X _ { 1 } ^ { n } \notin A _ { \epsilon } ^ { ( n ) } ( X ) ) + \sum _ { i = 2 } ^ { 2 ^ { n R } } P _ { \mathrm { c o l , i } } + \kappa _ { n } + \rho _ { n } } \\ & { \le 2 \epsilon + \sum _ { i = 2 } ^ { 2 ^ { n R } } P _ { \mathrm { c o l , i } } + \kappa _ { n } + \rho _ { n } } \\ & { \le 2 \epsilon + 2 ^ { n R } P _ { \mathrm { c o l , 2 } } + \kappa _ { n } + \rho _ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \xi _ { 1 } , \ldots , \xi _ { k - 1 } , \xi _ { k } ) \in \Xi _ { < k + 1 } } & { \Rightarrow ( \xi _ { 1 } , \ldots , \xi _ { k - 1 } ) \in \Xi _ { < k } , } \\ { ( \xi _ { k } , \xi _ { k + 1 } , \ldots , \xi _ { d } ) \in \Xi _ { > k - 1 } } & { \Rightarrow ( \xi _ { k + 1 } , \ldots , \xi _ { d } ) \in \Xi _ { > k } . } \end{array}
\left[ { \begin{array} { c c c c c } { 1 } & { 0 } & { a _ { 1 } } & { 0 } & { b _ { 1 } } \\ { 0 } & { 1 } & { a _ { 2 } } & { 0 } & { b _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { b _ { 3 } } \end{array} } \right]
f ( q , p ) \star g ( q , p ) = \mathrm { e x p } \Big \{ \frac { i \hbar } { 2 } \Pi _ { i j } \Big ( \frac { \partial } { \partial q _ { i } } \frac { \partial } { \partial p _ { j } ^ { \prime } } - \frac { \partial } { \partial p _ { i } } \frac { \partial } { \partial q _ { j } ^ { \prime } } \Big ) \Big \} f ( q , p ) g ( q ^ { \prime } , p ^ { \prime } ) | _ { q = q ^ { \prime } , p = p ^ { \prime } } .