harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
n ( k , d ) \le \operatorname* { m i n } _ { 0 \le h \le \frac { d - k - 2 } { 2 } } \operatorname* { m a x } \left\{ 2 ^ { h } \sum _ { j = 0 } ^ { k } \binom { d - h } { j } , \sum _ { j = h + 1 } ^ { \frac { d - k - 2 } { 2 } } \bigg ( \frac { 1 } { 2 ^ { j + 1 } } - \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - j } } \bigg ) \big | B _ { k + 2 j } ^ { ( d ) } \big | + 2 ^ { \frac { d + k } { 2 } } \right\} .
\begin{array} { r l r } { I _ { 2 1 } } & { { } = } & { \frac { A _ { 1 } A _ { 2 } } { 4 \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } \, e ^ { - i ( \varphi _ { 1 } + \varphi _ { 2 } - E _ { n } t _ { 2 } ) } \times } \end{array}
\left( m \omega ^ { 2 } \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 - \eta } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \eta } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] - k \left[ \begin{array} { l l l l } { 3 / 2 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 e ^ { - i \kappa } } \\ { - 1 / 2 } & { 1 + \lambda } & { - \lambda } & { - 1 / 2 } \\ { 0 } & { - \lambda } & { \lambda } & { 0 } \\ { - e ^ { i \kappa } } & { - 1 / 2 } & { 0 } & { 3 / 2 } \end{array} \right] \right) \left( \begin{array} { l } { \tilde { u } _ { 1 } } \\ { \tilde { u } _ { 2 } } \\ { \tilde { u } _ { 3 } } \\ { \tilde { u } _ { 4 } } \end{array} \right) = \textbf { 0 } .
\begin{array} { r l } { { \frac { \Delta ^ { 3 } F ( P _ { 0 } ) } { \Delta _ { 1 } P ^ { 3 } } } } & { { } = { \frac { \Delta ^ { 2 } F ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) } { \Delta _ { 1 } P ^ { 2 } } } = { \frac { \Delta F ^ { \prime \prime } ( P _ { 0 } ) } { \Delta _ { 1 } P } } = { \frac { { \frac { \Delta F ^ { \prime } ( P _ { 1 } ) } { \Delta _ { 1 } P } } - { \frac { \Delta F ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) } { \Delta _ { 1 } P } } } { \Delta _ { 1 } P } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { x } ^ { \infty } ( K _ { D } ) } & { { } = \frac { L _ { D } ^ { 2 } } { T _ { D } } \frac { \left( \frac { T _ { I } } { T _ { D } } \right) K _ { D } ^ { 2 } } { 1 + \left( \frac { T _ { I } } { T _ { D } } \right) K _ { D } ^ { 2 + \gamma } } } \\ { D _ { x } ^ { \infty } ( K _ { I } ) } & { { } = \frac { L _ { I } ^ { 2 } } { T _ { I } } \frac { K _ { I } ^ { 2 } } { 1 + \left( \frac { T _ { D } } { T _ { I } } \right) ^ { \gamma + 1 } \left( \frac { L _ { I } } { L _ { D } } \right) ^ { \gamma + 2 } K _ { I } ^ { 2 + \gamma } } . } \end{array}
P _ { + } = { \frac { m ^ { 2 } } { 4 } } { \int } _ { - { \infty } } ^ { \infty } \tilde { \Sigma } ^ { 2 } d x ^ { - } + \int _ { - { \infty } } ^ { \infty } \{ ( { \partial } _ { + } { \phi } ) ^ { 2 } - ( { \partial } _ { + } { \eta }
\mathbf { F } _ { d b } = \oint _ { \Gamma } \mathbf { f } _ { d b } d \mathbf { x } = - \frac { 1 } { 2 } ( \epsilon _ { 2 } - \epsilon _ { 1 } ) \oint _ { \Gamma } \mathbf { E } _ { 1 } \cdot \mathbf { E } _ { 2 } \mathbf { e } _ { \xi } d \mathbf { x }
\begin{array} { r } { H _ { S B } = \hbar \sum _ { \mu = A , B } \int \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega g _ { \mu } ( x , \omega ) \hat { c } ( x , \omega ) \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } + \mathrm { H . a . } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { P } _ { \mathrm { f } , \rho } ( x , \gamma , \tau , k ) : = \frac { p ^ { \prime } ( \rho ( x ) ) \rho ( x ) } { 1 - \rho _ { f } ( x ) } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - ( \gamma + i \tau ) s } i k \cdot \left( \mathcal { F } _ { v } \nabla _ { v } \mathrm { f } \right) ( x , k s ) \, \mathrm { d } s , } \end{array}
\left\langle \psi _ { 1 } ( \textbf { X } _ { g y } + \boldsymbol { \rho } ) \right\rangle = \psi _ { 1 } ( \textbf { X } _ { g y } ) + \left\langle \boldsymbol { \rho } \right\rangle \boldsymbol { \cdot } \nabla \psi _ { 1 } ( \textbf { X } _ { g y } ) = \psi _ { 1 } ( \textbf { X } _ { g y } ) ,
\begin{array} { r l } { A ^ { n + 1 } } & { { } = A ^ { n } - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) } \\ { ( A u ) ^ { n + 1 } } & { { } = ( A u ) ^ { n } - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \, \partial _ { x } \left( \boldsymbol { A u ^ { 2 } } \right) - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \, \frac { \boldsymbol { A } } { \rho } \, \partial _ { x } \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { A } ) \, . } \end{array}
S _ { q f } ^ { ( \mathrm { e x } ) } \sim N _ { e f f } ~ H _ { m a x } ^ { 3 } V \sim e ^ { - \phi _ { e x i t } } l _ { s } ^ { - 2 } ~ H _ { m a x } V \sim l _ { P } ^ { - 2 } ~ H _ { m a x } V \sim S _ { H B } ^ { ( \mathrm { e x } ) } ~ .
\left( \omega _ { \mu } \left( n \right) \right) ^ { 2 } \equiv { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } } \omega _ { \mu } ^ { i } \left( n \right) \omega _ { \mu } ^ { i } \left( n \right) , \quad \widehat { \omega } _ { \mu } ^ { i } \left( n \right) \equiv \frac { \omega _ { \mu } ^ { i } \left( n \right) } { \omega _ { \mu } \left( n \right) }
{ \cal H } \psi _ { F } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = - i \frac { \partial \psi _ { F } } { \partial x _ { 1 } } - \frac { 1 } { 2 m } \frac { \partial ^ { 2 } \psi _ { F } } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } = 0
\epsilon ( z - z ^ { \prime } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { + 1 } } & { { \mathrm { i f } \ z \ge z ^ { \prime } } } \\ { { - 1 } } & { { \mathrm { i f } \ z < z ^ { \prime } } } \end{array} \right. \; \mathrm { f o r } \ 0 < z ^ { \prime } , \; \mathrm { a n d } \, \left\{ \begin{array} { l l } { { + 1 } } & { { \mathrm { i f } \ z > z ^ { \prime } } } \\ { { - 1 } } & { { \mathrm { i f } \ z \leq z ^ { \prime } } } \end{array} \right. \; \mathrm { f o r } \; z ^ { \prime } < 0 .
\hat { \tilde { p } } _ { r } ( k , s | x _ { 0 } ) = \hat { \tilde { p } } _ { 0 } ( k , r + s ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( \frac { r } { r + s } \right) ^ { n } = \frac { r + s } { s } \hat { \tilde { p } } _ { 0 } ( k , r + s ) ,
\begin{array} { r l } { \left| \psi \right\rangle } & { { } = \left| \psi _ { 0 } \right\rangle e ^ { - { \frac { i } { 2 \delta } } \omega _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } \tau } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } i ^ { n } J _ { n } \left( { \frac { \omega _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } } { 2 \delta } } \tau \right) e ^ { i 2 n k z } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { \tau \uparrow 1 } Q ( x + i y ) = V ( x ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 2 } - 2 c \log | x | , } & { \mathrm { i f ~ } y = 0 , \smallskip } \\ { + \infty } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { \tau \uparrow 1 } \widehat { Q } ( x + i y ) = \widehat { V } ( x ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x - 2 c \log | x | , } & { \mathrm { i f ~ } y = 0 , \, x > 0 , \smallskip } \\ { + \infty } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \varepsilon ( { \boldsymbol { E } } - { \boldsymbol { E } } _ { h } ) , \nabla \psi ) } & { = } & { b ( { \boldsymbol { E } } - { \boldsymbol { E } } _ { h } , \psi ) } \\ & { = } & { b ( { \boldsymbol { E } } - { \boldsymbol { E } } _ { h } , \psi - \pi _ { h } ( \psi ) ) + c ( \varphi _ { h } , \pi _ { h } ( \psi ) ) . } \end{array}
T _ { \delta } ^ { \mathbf { p } ^ { n } } \equiv \left\{ a ^ { n } : \left\vert - { \frac { 1 } { n } } \log _ { 2 } \left( \operatorname* { P r } \left\{ E _ { a ^ { n } } \right\} \right) - H \left( \mathbf { p } \right) \right\vert \leq \delta \right\} ,
\frac { \partial } { \partial t } P ( x , t ) = - \langle u _ { \mathrm { ~ S ~ } } \rangle \frac { \partial } { \partial x } P ( x , t ) + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } P ( x , t ) - \Lambda P ( x , t ) + \Lambda \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } x ^ { \prime } P ( x ^ { \prime } , t ) J ( x - x ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } & { \partial _ { \delta } v _ { \delta } \epsilon _ { \alpha \beta \gamma } ( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } ) _ { \beta } ( \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ) _ { \gamma } - \partial _ { \alpha } v _ { \lambda } \epsilon _ { \lambda \beta \gamma } ( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } ) _ { \beta } ( \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ) _ { \gamma } = ( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } ) _ { \delta } \partial _ { \delta } \epsilon _ { \alpha \lambda \gamma } v _ { \lambda } ( \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ) _ { \gamma } + ( \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ) _ { \delta } \partial _ { \delta } \epsilon _ { \alpha \beta \lambda } ( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } ) _ { \beta } v _ { \lambda } } \\ { \Leftrightarrow \ } & { \nabla \cdot \mathbf { v } \, ( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \times \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ) - \nabla \mathbf { v } \cdot ( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \times \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ) = \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \cdot \nabla ( \mathbf { v } \times \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ) + \boldsymbol { \ell } _ { 2 } \cdot \nabla ( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \times \mathbf { v } ) . } \end{array}
R _ { A R } = \frac { e ^ { 2 } } { \epsilon _ { r } ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m ^ { * } } \frac { 1 } { A } \frac { 2 \Gamma N _ { S } f _ { 1 2 } n ( T _ { e } ) } { \left( \omega ^ { * 2 } - \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + 4 \omega ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } }
j _ { \mu } ^ { m a t t e r } = \bar { \varphi } _ { 2 } \partial _ { \mu } \bar { \varphi } _ { 1 } - ( \bar { \varphi } _ { 1 } + \mathrm { ~ \frac ~ m e ~ } ) \partial _ { \mu } \bar { \varphi } _ { 2 } + e A _ { \mu } ( \bar { \varphi } _ { 2 } ^ { 2 } + ( \bar { \varphi } _ { 1 } + \mathrm { ~ \frac ~ m e ~ } ) ^ { 2 } ) + O ( \hbar )
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { t \le k } \mathbb { E } \left[ \| \nabla F ( x ^ { t } ) \| ^ { 2 } \right] } & { \le \frac { 4 } { \beta k } \mathbb { E } \left[ F ( x ^ { 0 } ) - F ^ { * } \right] + 4 ( \alpha L ) ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + 3 2 \beta ( \alpha L ) ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { | T _ { k } | } + ( \alpha L ) ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \right) \sigma ^ { 2 } . } \end{array}
\{ { \mathrm { t r b } } _ { \mathrm { s c } \mathrm { - } \mathrm { b } } , { \mathrm { t f } } _ { \mathrm { s c } \mathrm { - } \mathrm { b } } , { \mathrm { r b } } _ { \mathrm { s c } \mathrm { - } \mathrm { b } } , { \mathrm { s c f } } _ { \mathrm { s c } \mathrm { - } \mathrm { b } } , { \mathrm { b f } } _ { \mathrm { s c } \mathrm { - } \mathrm { b } } \}
\langle R ^ { 4 } ( s ) \rangle = 6 0 D ^ { 2 } \sum _ { \alpha = a , b , c , d } \langle \tilde { s } _ { \alpha } ^ { 2 } [ s , \{ A \} _ { \alpha } ] \rangle _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ o ~ p ~ s ~ } } .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { ( \gamma , \tilde { \gamma } ) \sim Q } \left[ \left| f ( x ( \gamma ) ) - \mu \cdot b ( x ( \gamma ) ) - \left\{ \tilde { f } ( x ( \gamma ) ) - \mu \cdot \tilde { b } ( x ( \gamma ) ) \right\} \right| \right] } \\ { \leq } & { \mathbb { E } _ { ( \gamma , \tilde { \gamma } ) \sim Q } \left[ \left| f ( x ( \gamma ) ) - \tilde { f } ( x ( \gamma ) ) \right| + \mu \cdot \left| b ( x ( \gamma ) ) - \tilde { b } ( x ( \gamma ) ) \right| \right] } \\ { \leq } & { \mathcal { W } ( \mathcal { P } , \tilde { \mathcal { P } } ) + \kappa \cdot \mathcal { W } ( \mathcal { P } , \tilde { \mathcal { P } } ) } \\ { = } & { ( 1 + \kappa ) \cdot \mathcal { W } ( \mathcal { P } , \tilde { \mathcal { P } } ) \, . } \end{array}
s { \frac { d ^ { 2 } \sigma } { d t d M _ { X } ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 1 6 \pi s } } { \frac { 4 } { s i n ^ { 2 } ( { \frac { \pi } { 2 } } \alpha _ { P } ( t ) ) } } g _ { b } ^ { 2 } ( t ) \left( { \frac { s } { M _ { x } ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 \alpha _ { P } ( t ) } A _ { P b ; P b } ( M _ { X } ^ { 2 } , t )
\Delta V _ { \mathrm { a } } ( r ) = - \Delta V _ { 0 } ^ { \mathrm { N P } } ( r ) - { \frac { 4 } { 3 } } g ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } { \frac { d ^ { 2 } } { d x _ { j } d x _ { j } ^ { \prime } } } G ^ { \mathrm { N P } } ( { \bf x } , { \bf x } ^ { \prime } ) \Bigg \vert _ { { \bf x } = { \bf x } ^ { \prime } = { \bf z } _ { i } } ,
\begin{array} { r l r l } { { 3 } \sum _ { i \in I } \sum _ { j \in J } c _ { i j } x _ { i j } } & { = \sum _ { i \in I } s _ { i } u _ { i } + \sum _ { j \in J } d _ { j } v _ { j } , } \\ { u _ { i } + v _ { j } } & { \le { c } _ { i j } , } & & { \forall i \in I , j \in J , } \\ { u _ { i } } & { \le 0 , } & & { \forall i \in I , } \\ { \underline { { c } } _ { i j } \le c _ { i j } } & { \le \overline { { c } } _ { i j } , } & { \quad } & { \forall i \in I , j \in J , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \psi _ { \pm } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { d _ { 1 } + i d _ { 2 } } \left( \begin{array} { c } { d _ { 3 } \mp t _ { 0 } } \\ { d _ { 1 } + i d _ { 2 } } \end{array} \right) , } \\ { \langle \chi _ { \pm } | } & { { } = \frac { 1 } { d _ { 1 } - i d _ { 2 } } ( d _ { 3 } \mp t _ { 0 } , d _ { 1 } - i d _ { 2 } ) , } \end{array}
\Delta _ { 1 } ( k ) = { \frac { 1 } { k ^ { 2 } - | M _ { 2 } | ^ { 2 } } } , \qquad \Delta _ { 2 } ( k ) = { \frac { 1 } { k ^ { 2 } - | M _ { 1 } | ^ { 2 } } } , \qquad \Delta _ { \mu } ( k ) = { \frac { 1 } { k ^ { 2 } - | \mu | ^ { 2 } } } .
f _ { j } ^ { \overline { { { ( 2 ) } } } \alpha } ( \vec { k } , t ) = \int _ { 0 } ^ { t } \! \mathrm { d } t ^ { \prime } \Delta _ { j , \mathrm { r e t } } ( \vec { k } , t - t ^ { \prime } ) e ^ { i \omega _ { j 0 } t } g _ { j n } V _ { n l } ( t ^ { \prime } ) e ^ { - i \omega _ { l 0 } t ^ { \prime } } f _ { l } ^ { \overline { { { ( 1 ) } } } \alpha } ( \vec { k } , t ^ { \prime } )
\frac { \partial R _ { i j } ^ { V } } { \partial \left( \frac { \partial u _ { l } } { \partial x _ { k } } \right) } \mathbf { e } _ { i } \mathbf { e } _ { j } \mathbf { e } _ { k } \mathbf { e } _ { l } = \frac { \partial \left( - \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } + \frac { 2 } { 3 } k \delta _ { i j } \right) } { \partial \left( \frac { \partial u _ { l } } { \partial x _ { k } } \right) } \mathbf { e } _ { i } \mathbf { e } _ { j } \mathbf { e } _ { k } \mathbf { e } _ { l } = \zeta _ { i j k l } \mathbf { e } _ { i } \mathbf { e } _ { j } \mathbf { e } _ { k } \mathbf { e } _ { l } ,
t = - { \frac { { \boldsymbol { \delta _ { s d } } } ^ { \top } { \boldsymbol { J } } ^ { \top } { \boldsymbol { f } } ( { \boldsymbol { x } } ) } { \left\| { \boldsymbol { J } } { \boldsymbol { \delta _ { s d } } } \right\| ^ { 2 } } } = { \frac { \left\| { \boldsymbol { \delta _ { s d } } } \right\| ^ { 2 } } { \left\| { \boldsymbol { J } } { \boldsymbol { \delta _ { s d } } } \right\| ^ { 2 } } } .
\mathbf { h } = { \left( \begin{array} { l l l l } { \mathbf { a } _ { 1 } } & { \mathbf { a } _ { 2 } } & { \dots } & { \mathbf { a } _ { d } } \end{array} \right) } ^ { \operatorname { T } } = { \left( \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 , x _ { 1 } } } & { a _ { 1 , x _ { 2 } } } & { \dots } & { a _ { 1 , x _ { d } } } \\ { a _ { 2 , x _ { 1 } } } & { a _ { 2 , x _ { 2 } } } & { \dots } & { a _ { 2 , x _ { d } } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { d , x _ { 1 } } } & { a _ { d , x _ { 2 } } } & { \dots } & { a _ { d , x _ { d } } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { I _ { \textrm { s c a t t e r e d } } } & { { } ( x , y ; \delta x , \delta y ) \propto \exp \Bigg [ - \frac { k ^ { 2 } } { 2 \Delta ^ { 2 } } ( \delta x , \delta y ) \mathcal { R } _ { \psi ( x , y ) } } \end{array}
n ( g , \mathrm { \boldmath ~ A ~ } ) = - \frac { 1 } { 3 2 \pi } \int _ { S ^ { 2 } } \mathrm { T r } g [ d g , d g ] - \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { S ^ { 2 } } \mathrm { T r } [ d ( g \mathrm { \boldmath ~ A ~ } ) ]
\cdots \to \hat { \tau } ^ { - 1 } \mathcal { M } \xrightarrow { f _ { - 1 } } \hat { \tau } ^ { - 1 } \mathcal { R } \xrightarrow { g _ { - 1 } } \hat { \tau } ^ { - 1 } \mathcal { E } \xrightarrow { h _ { - 1 } } M \xrightarrow { f _ { 0 } } R \xrightarrow { g _ { 0 } } E \xrightarrow { h _ { 0 } } \hat { \tau } \mathcal { M } \xrightarrow { f _ { 1 } } \hat { \tau } \mathcal { R } \xrightarrow { g _ { 1 } } \hat { \tau } \mathcal { E } \xrightarrow { h _ { 1 } } \hat { \tau } ^ { 2 } \mathcal { M } \to \cdots ,
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { e r f c } \left( x \right) } & { = \left( { \frac { 0 . 5 6 4 1 8 9 5 8 3 5 4 7 7 5 6 2 9 } { x + 2 . 0 6 9 5 5 0 2 3 1 3 2 9 1 4 1 5 1 } } \right) \left( { \frac { x ^ { 2 } + 2 . 7 1 0 7 8 5 4 0 0 4 5 1 4 7 8 0 5 x + 5 . 8 0 7 5 5 6 1 3 1 3 0 3 0 1 6 2 4 } { x ^ { 2 } + 3 . 4 7 9 5 4 0 5 7 0 9 9 5 1 8 9 6 0 x + 1 2 . 0 6 1 6 6 8 8 7 2 8 6 2 3 9 5 5 5 } } \right) } \\ & { \left( { \frac { x ^ { 2 } + 3 . 4 7 4 6 9 5 1 3 7 7 7 4 3 9 5 9 2 x + 1 2 . 0 7 4 0 2 0 3 6 4 0 6 3 8 1 4 1 1 } { x ^ { 2 } + 3 . 7 2 0 6 8 4 4 3 9 6 0 2 2 5 0 9 2 x + 8 . 4 4 3 1 9 7 8 1 0 0 3 9 6 8 4 5 4 } } \right) \left( { \frac { x ^ { 2 } + 4 . 0 0 5 6 1 5 0 9 2 0 2 2 5 9 5 4 5 x + 9 . 3 0 5 9 6 6 5 9 4 8 5 8 8 7 8 9 8 } { x ^ { 2 } + 3 . 9 0 2 2 5 7 0 4 0 2 9 9 2 4 0 7 8 x + 6 . 3 6 1 6 1 6 3 0 9 5 3 8 8 0 4 6 4 } } \right) } \\ & { \left( { \frac { x ^ { 2 } + 5 . 1 6 7 2 2 7 0 5 8 1 7 8 1 2 5 8 4 x + 9 . 1 2 6 6 1 6 1 7 6 7 3 6 7 3 2 6 2 } { x ^ { 2 } + 4 . 0 3 2 9 6 8 9 3 1 0 9 2 6 2 4 9 1 x + 5 . 1 3 5 7 8 5 3 0 5 8 5 6 8 1 5 3 9 } } \right) \left( { \frac { x ^ { 2 } + 5 . 9 5 9 0 8 7 9 5 4 4 6 6 3 3 2 7 1 x + 9 . 1 9 4 3 5 6 1 2 8 8 6 9 6 9 2 4 3 } { x ^ { 2 } + 4 . 1 1 2 4 0 9 4 2 9 5 7 4 5 0 8 8 5 x + 4 . 4 8 6 4 0 3 2 9 5 2 3 4 0 8 6 7 5 } } \right) e ^ { - x ^ { 2 } } } \end{array} }
\frac { d \tilde { \mathbf { u } } } { d t } = \texttt { v e c } \left( \gamma ( \mathcal { G } _ { \tilde { \mathbf { u } } } , T \hat { \mathcal { G } } ) \right) \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \tilde { \mathbf { u } } ( 0 ) = T _ { r o t } \mathbf { z }
w _ { n e w } = { \frac { { \cal A } ( \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } { { \cal A } ( 0 , 0 ) } } = 1 + { \cal A } _ { 1 } + { \cal A } _ { 2 } + o ( \eta _ { 1 , 2 } ^ { 2 } )
\tilde { \rho } _ { \mathrm { s } } ( x ) \; = \; { \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } \beta } } \int _ { a ^ { 2 } } ^ { b ^ { 2 } } { \frac { d y } { x + y } } \sqrt { { \frac { x ( b ^ { 2 } - x ) ( y + a ^ { 2 } ) } { y ( b ^ { 2 } + y ) ( x - a ^ { 2 } ) } } } \; .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho ^ { 1 } + \mathbf { \nabla } \cdot ( \rho ^ { 1 } \mathbf { u } ^ { 1 } ) = } & { \, 0 , } \\ { \rho ^ { 1 } [ \partial _ { t } \mathbf { u } ^ { 1 } + \mathbf { u } ^ { 1 } \cdot \mathbf { \nabla } \mathbf { u } ^ { 1 } ] = } & { - \phi \mathbf { \nabla } \cdot \mathbf { \sigma } ^ { t h } + \phi \mathbf { G } + \mathbf { F } ^ { v i s c , 1 } } \\ & { + \mathbf { \nabla } \cdot \mathbf { \sigma } ^ { n e m } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | U | = \sum _ { \boldsymbol { v } \in \{ 0 , 1 \} ^ { d } } f ( \boldsymbol { v } ) } & { \le | V ^ { ( 0 ) } | + \frac { 1 } { 2 ^ { d - k } } \cdot | V ^ { ( 0 ) } | + \frac { 1 } { 2 } \cdot | V ^ { ( 1 ) } | + \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - 1 } } \cdot | V ^ { ( 1 ) } | + \cdots + \frac { 1 } { 2 ^ { i } } | V ^ { ( i ) } | + \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - i } } \cdot | V ^ { ( i ) } | } \\ & { + \bigg ( \frac { 1 } { 2 ^ { i + 1 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - i - 1 } } \bigg ) \cdot \frac { 1 } { 2 } \big ( 2 ^ { d } - 2 | V ^ { ( 0 ) } | - 2 | V ^ { ( 1 ) } | - \cdots - 2 | V ^ { ( i ) } | \big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { G } _ { 2 } ( \tilde { t } , s ) = \sum _ { a , b , c } \frac { 1 } { \tilde { Z } ( s , t , N ) } \int [ d \tilde { T } ] \frac { \tilde { T } _ { a b c } \tilde { T } _ { a b c } } { N ^ { 3 } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } s ^ { - 1 } \sum _ { i , j , k } \tilde { T } _ { i j k } \tilde { T } _ { i j k } + \frac { \tilde { t } N ^ { - 3 } } { 6 } I _ { p } ( \tilde { T } ) } \mathrm { ~ , } } \end{array}
\delta = \int \frac { d s } { s } e ^ { - b ^ { 2 } s } \frac { 2 + 2 \cos 2 v s + 4 \cosh 2 c s - 4 \cos v s - 4 \cos v s \cosh 2 c s } { 8 \sinh ^ { 2 } c s \sin v s }
\begin{array} { r l } { R ( s ) } & { { } = ( s - z _ { 3 } ) ( s - z _ { 4 } ) ( s - z _ { 7 } ) ( s - z _ { 8 } ) } \\ { D ( s ) } & { { } = ( s - p _ { 3 } ) ( s - p _ { 4 } ) ( s - p _ { 7 } ) ( s - p _ { 8 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { t } } & { \geq 2 \int _ { y ^ { \top } z > 0 } \frac { \left( y ^ { \top } z \right) ^ { 2 } } { \left\Vert y \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \left\Vert z \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right) \rho _ { t } \left( \mathrm { d } z \right) = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { \left( y ^ { \top } z \right) ^ { 2 } } { \left\Vert y \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \left\Vert z \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right) \rho _ { t } \left( \mathrm { d } z \right) . } \end{array}
\delta { \tt G } _ { [ \overline { { { A } } } ] } ( r , K ^ { + } , K _ { \perp } ^ { 2 } ) \; = \; - 2 g \; \frac { K ^ { + } } { K _ { \perp } } \; { \overline { { { \tt F } } } } _ { \perp + } ( r ) \; \left( K _ { \perp } ^ { 2 } \, \frac { \partial } { \partial K _ { \perp } ^ { 2 } } \, { \tt G } _ { [ \overline { { { 0 } } } ] } ( r , K ^ { + } , K _ { \perp } ^ { 2 } ) \right) \; \; + \; \; O \left( K _ { \perp } ^ { 2 } / ( K ^ { + } ) ^ { 2 } \right) \; ,
\sum _ { \gamma \in S _ { m } \times S _ { n } } \delta \left( T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } \right) = \frac { m ! n ! | T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } | } { | T _ { p _ { 1 } } ^ { \mathcal { A } } | | T _ { p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } | } C _ { p _ { 1 } p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { p _ { 3 } ^ { \prime } ; \mathcal { A } }
\int _ { 0 } ^ { 1 } d u \, ( 2 u - 1 ) ^ { n } \phi _ { \perp } ( u ) = \frac { - \langle \bar { q } q \rangle } { m _ { \rho } f _ { \rho } f _ { \rho } ^ { \perp } } \, e ^ { m _ { \rho } ^ { 2 } / M _ { \rho } ^ { 2 } } \left( 1 + ( - 1 ) ^ { n } \right) \left( 1 - \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } } { 3 M _ { \rho } ^ { 2 } } \, ( 2 n + 1 ) \right) .
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { P P P } [ \lambda , \nu _ { 1 , \alpha } ^ { + } ] } & { \mathrm { ~ i f ~ } \operatorname* { l i m } _ { \gamma \downarrow 0 } \nu _ { \star , \gamma } = \nu _ { 1 , \alpha } ^ { + } \, , } \\ { \mathrm { P P P } [ \lambda , \nu _ { 1 , \alpha } ] } & { \mathrm { ~ i f ~ } \operatorname* { l i m } _ { \gamma \downarrow 0 } \nu _ { \star , \gamma } = \nu _ { 1 , \alpha } \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { C _ { n } ( M ) } & { \hookrightarrow M ^ { n } \times ( S ^ { d - 1 } ) ^ { \binom { n } { 2 } } } \\ { ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) } & { \mapsto \bigl ( ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) , \, ( v _ { i j } ) _ { i < j } \bigr ) } \\ & { : = \left( ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) , \, \left( \frac { x _ { i } - x _ { j } } { | x _ { i } - x _ { j } | } \right) _ { i < j } \right) . } \end{array}
P _ { s p } = \sum _ { l = 1 , l \neq p } ^ { N _ { b } } \frac { 1 } { d _ { n l } } \left( R _ { l } ^ { 2 } \ddot { R } _ { l } + 2 R _ { l } { \dot { R } _ { l } } ^ { 2 } \right) \, ,
\tilde { d } _ { F } ^ { \prime } ( \omega ) = i a _ { X } \int _ { \tau } ^ { \infty } \Big [ a _ { \delta } ( t ) \mu _ { \beta \alpha } e ^ { - i \theta _ { T } ( t ) } e ^ { i [ \omega - ( \mathcal { E } _ { \beta } ^ { 0 } - \mathcal { E } _ { \alpha } ^ { 0 } ) ] t } + a _ { \gamma , 1 } ( t ) \mu _ { \gamma \alpha } \Big ] W ( t ) d t
\overline { { { \frac { \partial U _ { i } } { \partial t } } + { \frac { \partial U _ { i } U _ { j } } { \partial x _ { j } } } } } = - \overline { { { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial P } { \partial x _ { i } } } + \nu { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } } } } ~ ~ ; ~ i , j = 1 , 2 , 3
\begin{array} { r l r l } { { 2 } - \Delta u ( \vec { x } ) } & { { } = \overline { { f } } ( \vec { x } ) + s ( \vec { x } ) \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega \, , } \\ { u ( \vec { x } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sin \left( \pi x _ { 2 } \right) + s ( \vec { x } ) \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \partial \Omega _ { 1 } \, , } \\ { u ( \vec { x } ) } & { { } = 0 \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \partial \Omega _ { 2 } \, . } \end{array}
\lambda _ { 1 } = - \gamma _ { 2 } , \quad \lambda _ { 2 } = - \gamma _ { 1 } ( 1 - \mathcal { R } _ { 0 } ) , \quad \lambda _ { 3 } = - \varepsilon , \quad \lambda _ { 4 } = \lambda _ { 5 } = - \delta \varepsilon .