harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
R _ { i } ^ { n - 1 } = - u _ { j } ^ { n - 1 } \frac { \partial u _ { i } ^ { n - 1 } } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial p ^ { n - 1 } } { \partial x _ { i } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { i } ^ { n - 1 } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } + F _ { i } ^ { n - 1 } .
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { \mathbb Q \in \mathbb W _ { \varepsilon } ( \widehat { \mathbb P } ) } \mathbb E _ { Z \sim \mathbb Q } \left[ \ell ( Z ) \right] \leq \mathbb E _ { \widehat Z \sim \widehat { \mathbb P } } [ \ell ( \widehat Z ) ] + \sum _ { k = 1 } ^ { p - 1 } \frac { \varepsilon ^ { k } } { k ! } \mathbb E _ { \widehat Z \sim \widehat { \mathbb P } } \left[ \| D ^ { k } \ell ( \widehat Z ) \| ^ { q _ { k } } \right] ^ { \frac { 1 } { q _ { k } } } + \frac { \varepsilon ^ { p } } { p ! } \operatorname* { s u p } _ { \widehat z \in \mathcal Z } \| D ^ { p } \ell ( \widehat z ) \| < \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( x ) } & { = 1 + \log \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 2 ^ { n ( n - 1 ) / 2 } } { n ! } x ^ { n } } \\ & { = 1 + \log \left( 1 + x + \frac 2 { 2 ! } x ^ { 2 } + \frac 8 { 3 ! } x ^ { 3 } + \frac { 6 4 } { 4 ! } x ^ { 4 } + \dotso \right) } \\ & { = 1 + x + \frac 1 { 2 ! } x ^ { 2 } + \frac 4 { 3 ! } x ^ { 3 } + \frac { 3 8 } { 4 ! } x ^ { 4 } + \dotso \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { 0 t } + ( u _ { 0 } h _ { 0 } ) _ { x } } & { { } = 0 , } \\ { \left( h _ { 0 } u _ { 0 x } \right) _ { x } + \hat { \gamma } ( h _ { 0 } ^ { 2 } h _ { 0 x x x } ) _ { x } } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { f ^ { ( n - 1 ) } ( z _ { 0 } ) = \frac { ( n - 1 ) ! } { 2 \pi i } \oint _ { \gamma } \frac { f ( z ) } { ( z - z _ { 0 } ) ^ { n } } \, \mathrm { d } z , } \end{array}
\Phi _ { \mathrm { i n } } ( t ) = \Phi _ { \mathrm { t l } } ( t ) + \frac { k _ { p } } { 1 + k _ { p } } \left[ - a \mathfrak { L } \left( J ( t ) - J ( 0 ) \right) - \Phi _ { \mathrm { t l } } ( t ) \right] .
F _ { \alpha \nu } \langle \theta ^ { \mu } \theta ^ { \alpha } \rangle = \left\langle \theta ^ { \mu } \frac { \partial \Phi } { \partial \theta ^ { \nu } } \right\rangle = \frac { \delta _ { \nu } ^ { \mu } } { \beta } \quad \rightarrow \quad \langle \theta ^ { \mu } \theta ^ { \nu } \rangle = F ^ { \mu \nu }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \alpha + \rho < t < \beta - \rho } \vert \vert \widetilde { F } _ { t , h } ^ { ( \alpha , \beta ] } \vert \vert _ { L _ { 2 } } } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { \alpha < t < \beta } \vert \vert \widetilde { f } _ { t } ^ { ( \alpha , \beta ] } \vert \vert _ { L _ { 2 } } + \lambda } \\ & { \leq \sqrt { e - \eta _ { k } } \kappa _ { k + 1 } + \sqrt { \eta _ { k } - s } \kappa _ { k } + \lambda } \\ & { \le 2 \sqrt { C } \log ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( T ) \sqrt { T ^ { \frac { p } { 2 r + p } } } + \lambda } \end{array}
\nabla \cdot \boldsymbol { \sigma } ^ { ( 2 ) } = \eta _ { 0 } \boldsymbol { \nabla } ^ { 2 } \mathbf { u } ^ { ( 2 ) } - ( 0 . 5 \Psi _ { 1 , 0 } + 2 \Psi _ { 2 , 0 } ) \frac { 8 a ^ { 4 } } { r ^ { 5 } } \mathbf { e } _ { r } = \eta _ { 0 } \boldsymbol { \nabla } ^ { 2 } \mathbf { u } ^ { ( 2 ) } - \hat { \beta } \frac { 8 a ^ { 4 } } { r ^ { 5 } } \mathbf { e } _ { r }
\langle f _ { s } ^ { ( \pm ) } \! \left( \textbf { r } , \tau \right) f _ { s ^ { \prime } } ^ { ( \pm ) * } \! \left( \textbf { r } ^ { \prime } , \tau ^ { \prime } \right) \rangle = \delta _ { s s ^ { \prime } } \, \delta \! \left( z - z ^ { \prime } \right) \delta \! \left( \tau - \tau ^ { \prime } \right) F ( \textbf { r } _ { \bot } - \textbf { r } _ { \bot } ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r } { 1 - { x _ { \mathrm { { M g O } } } } - { x _ { \mathrm { { S i } } { \mathrm { { O } } _ { \mathrm { { 2 } } } } } } - { x _ { \mathrm { { M g S i } } { \mathrm { { O } } _ { \mathrm { { 3 } } } } } } - { x _ { \mathrm { { F e O } } } } - { x _ { \mathrm { { F e S i } } { \mathrm { { O } } _ { \mathrm { { 3 } } } } } } - { x _ { \mathrm { { N } } { \mathrm { { a } } _ { \mathrm { { 2 } } } } \mathrm { { O } } } } - } \\ { { x _ { \mathrm { { N } } { \mathrm { { a } } _ { \mathrm { { 2 } } } } \mathrm { { S i } } { \mathrm { { O } } _ { \mathrm { { 3 } } } } } } - x _ { { \mathrm { { H } } _ { \mathrm { { 2 } } } } } ^ { \mathrm { { s i l i c a t e } } } - x _ { { \mathrm { { H } } _ { \mathrm { { 2 } } } } \mathrm { { O } } } ^ { \mathrm { { s i l i c a t e } } } - x _ { \mathrm { { C O } } } ^ { \mathrm { { s i l i c a t e } } } - x _ { \mathrm { { C } } { \mathrm { { O } } _ { \mathrm { { 2 } } } } } ^ { \mathrm { { s i l i c a t e } } } = 0 } \end{array}
\int \cosh ^ { n } a x \, d x = - { \frac { 1 } { a ( n + 1 ) } } ( \sinh a x ) ( \cosh ^ { n + 1 } a x ) + { \frac { n + 2 } { n + 1 } } \int \cosh ^ { n + 2 } a x \, d x \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } n < 0 { \mathrm { , ~ } } n \neq - 1 { \mathrm { ) } }
\tilde { \phi } = - \log \bigl ( \frac { \tilde { \rho } ^ { 2 } + \frac { \tilde { Q } ^ { 2 } } { G M } \tilde { \rho } + A ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } { \tilde { \rho } ^ { 2 } + A ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } \bigr )
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \| x _ { i } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } = \| x _ { i - 1 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + \mathbb { E } _ { \tau _ { i } } \mathbb { E } _ { t _ { i } } \mathbb { E } _ { \ell _ { t _ { i } } } \frac { e _ { t _ { i } , \ell _ { t _ { i } } } ^ { 2 } } { \| A _ { t _ { i } } \| _ { 2 } ^ { 2 } } - \mathbb { E } _ { \tau _ { i } } \mathbb { E } _ { t _ { i } } \frac { \langle A _ { t _ { i } } ^ { T } , x _ { i - 1 } - x ^ { * } \rangle ^ { 2 } } { \| A _ { t _ { i } } \| _ { 2 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { M 1 M 1 } | _ { \omega \approx \Omega } } & { { } = \hbar ^ { - 2 } \left\vert \int _ { 0 } ^ { \mathcal { T } } \mathrm { ~ d ~ } t e ^ { - i ( \mathcal { T } - t ) ( \Omega / 2 - i \Gamma / 2 ) } e ^ { - i t ( \omega - \Omega / 2 ) } \langle \Phi | - g \mu _ { B } \mathbf { S } \cdot \mathbf { B } _ { \omega } | \Psi \rangle \right\vert ^ { 2 } } \end{array}
{ \cal R } _ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } g _ { \mu \nu } { \cal R } = \kappa ( T _ { \mu \nu } ( \mathrm { \small ~ e . m . } ) + T _ { \mu \nu } ( \mathrm { \small ~ D i r a c } ) ) + \Lambda g _ { \mu \nu } ,
\begin{array} { r l r } { { \mathbf x } _ { 0 } = ( 0 , 0 ) ^ { { \mathrm T } } } & { { } , } & { { \mathbf x } _ { N } = ( e - 1 , 2 ) ^ { { \mathrm T } } } \\ { \dot { { \mathbf x } } ( t _ { 0 } ) = { \mathbf v } ( { \mathbf x } _ { 0 } , t _ { 0 } ) = ( 1 , 1 ) ^ { { \mathrm T } } } & { { } , } & { \dot { { \mathbf x } } ( t _ { N } ) = { \mathbf v } ( { \mathbf x } _ { N } , t _ { N } ) = ( e , 3 ) ^ { { \mathrm T } } . } \end{array}
\mathbf { r } ( s ) = \mathbf { r } ( 0 ) + \left( s - { \frac { s ^ { 3 } \kappa ^ { 2 } ( 0 ) } { 6 } } \right) \mathbf { T } ( 0 ) + \left( { \frac { s ^ { 2 } \kappa ( 0 ) } { 2 } } + { \frac { s ^ { 3 } \kappa ^ { \prime } ( 0 ) } { 6 } } \right) \mathbf { N } ( 0 ) + \left( { \frac { s ^ { 3 } \kappa ( 0 ) \tau ( 0 ) } { 6 } } \right) \mathbf { B } ( 0 ) + o ( s ^ { 4 } ) .
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathcal { V } } \partial _ { \gamma } T ^ { \beta \gamma } \, c d t \, d x \, d y \, d z } & { { } = \oint _ { \partial { \mathcal { V } } } T ^ { \beta \gamma } d ^ { 3 } \Sigma _ { \gamma } = 0 } \\ { \int _ { \mathcal { V } } \partial _ { \gamma } { \mathcal { J } } ^ { \alpha \beta \gamma } \, c d t \, d x \, d y \, d z } & { { } = \oint _ { \partial { \mathcal { V } } } { \mathcal { J } } ^ { \alpha \beta \gamma } d ^ { 3 } \Sigma _ { \gamma } = 0 } \end{array}
H _ { \mathrm { c a v } } = \sum _ { c = 1 } ^ { M } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } { p } _ { c } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \omega _ { c } ^ { 2 } \left( { q } _ { c } + \sqrt { R } \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { \nu _ { i } q _ { i } } { \omega _ { c } } } \right) ^ { 2 } \right] .
\frac { 2 \nabla _ { \eta } } { \sqrt { - g } } \left( \sqrt { - g } { f _ { Q } } { P ^ { \eta } } _ { x y } \right) + \frac { 1 } { 2 } g _ { x y } f + { f _ { Q } } \left( P _ { x \eta \zeta } { { Q _ { y } } ^ { \eta \zeta } } - 2 { Q } _ { \eta \zeta x } { { P ^ { \eta } \zeta } _ { y } } \right) = - { T } _ { x y } ,
I _ { m } = { \frac { \int _ { \cos \Omega } ^ { 1 } I ( \psi ) \, d \cos \theta } { \int _ { \cos \Omega } ^ { 1 } d \cos \theta } } = { \frac { \int _ { \cos \Omega } ^ { 1 } I ( \psi ) \, d \cos \theta } { 1 - \cos \Omega } } .
P _ { \mathrm { M } } ( y _ { 3 } , t _ { 3 } ; y _ { 2 } , t _ { 2 } ; y _ { 1 } , t _ { 1 } ) = P ( y _ { 3 } , t _ { 3 } | y _ { 2 } , t _ { 2 } ) P ( y _ { 2 } , t _ { 2 } ; y _ { 1 } , t _ { 1 } ) \; .
\begin{array} { r l r } { I } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } \alpha } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \sigma ( \epsilon / x ) \epsilon ^ { 2 } - \sigma ( \hbar \omega ) ( \hbar \omega ) ^ { 2 } x ^ { 2 } } { ( \hbar \omega ) ^ { 2 } x ^ { 4 } - \epsilon ^ { 2 } x ^ { 2 } } \textrm { d } x , } \end{array}
{ \frac { 1 } { g _ { 1 } ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { g _ { 2 } ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 4 \pi g _ { s } } } ; \qquad { \frac { 1 } { g _ { 1 } ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { g _ { 2 } ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } g _ { s } } } \left( \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \int _ { S ^ { 2 } } B _ { ( 2 ) } - \pi \right) .
\begin{array} { r l r } & { } & { y _ { 1 } ( z ) = z ^ { l _ { 1 } } \, e ^ { \frac { q _ { 1 } } { z } } \, \hat { \varphi } _ { 1 } ( z ) , \quad y _ { 2 } ( z ) = z ^ { l _ { 2 } } \, e ^ { \frac { q _ { 2 } } { z } } \, \hat { \varphi } _ { 2 } ( z ) , } \\ & { } & { y _ { 3 } ( z ) = z ^ { l _ { 3 } } \, e ^ { \frac { q _ { 3 } } { z } } \, \hat { \varphi } _ { 3 } ( z ) , \quad y _ { 4 } ( z ) = z ^ { l _ { 4 } } \, e ^ { \frac { q _ { 4 } } { z } } \, \hat { \varphi } _ { 4 } ( z ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \textrm { q u a s i f r e e } \; q \bar { q } \quad \longrightarrow \quad | \psi _ { n } ( 0 ) | ^ { 2 } \; \sim \; \Gamma _ { r e s } ^ { e e } \; \sim \; \textrm { a r e a o f r e s o n a n c e } \; . } \end{array}
\hat { Q } \, a ^ { \dagger } ( \vec { k } \, ) \, | 0 > = - a ^ { \dagger } ( \vec { k } \, ) \, | 0 > \ \ , \ \ \hat { Q } \, b ^ { \dagger } ( \vec { k } \, ) \, | 0 > = + b ^ { \dagger } ( \vec { k } \, ) \, | 0 > \ .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \, \mathrm { d } Y _ { t } ^ { i , \tau } = - ( k _ { \scriptscriptstyle { H K } } ^ { \tau } * \rho _ { t } ^ { \tau } ) ( Y _ { t } ^ { i , \tau } ) \, \mathrm { d } t + \sigma ( t , Y _ { t } ^ { i , \tau } ) \, \mathrm { d } B _ { t } ^ { i } + \nu \, \mathrm { d } W _ { t } , \quad Y _ { 0 } ^ { i , \tau } = X _ { 0 } ^ { i , \tau } , } \\ { \rho _ { t } ^ { \tau } \; \mathrm { i s \, t h e \, c o n d i t i o n a l \, d e n s i t y \, o f } \, Y _ { t } ^ { i , \tau } \, \mathrm { g i v e n } \, \mathcal { F } _ { t } ^ { W } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \gamma } ^ { \mathrm { I I } } = } & { { } ~ - \hat { m } \left( \left( \frac { \kappa _ { 1 } } { \varepsilon } + \frac { \kappa _ { 2 } } { \varepsilon } \right) F ^ { \prime } ( \phi ) + \left( \frac { \kappa _ { 1 } } { \varepsilon } - \frac { \kappa _ { 2 } } { \varepsilon } \right) \phi F ^ { \prime } ( \phi ) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { z } \tilde { A } ( z , \omega ) } & { = - \sqrt { d } \tilde { P } ( z , \omega ) } \\ { i \omega \tilde { P } ( z , \omega ) } & { = - \bar { \gamma } \tilde { P } ( z , \omega ) + \sqrt { d } \tilde { A } ( z , \omega ) - \frac { i } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { \tilde { \Omega } ( \omega ) } { 2 } * \tilde { B } ( z , \omega ) } \\ { i \omega \tilde { B } ( z , \omega ) } & { = - \gamma _ { B } \tilde { B } ( z , \omega ) - \frac { i } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { \tilde { \Omega } ^ { * } ( - \omega ) } { 2 } * \tilde { P } ( z , \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { L ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } ) - L ( \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) } \\ { = } & { M ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } - \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) + \tau ^ { n + 1 } B \pmb { M } ^ { - 1 } C _ { d } ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } ) \pmb { M } ^ { - 1 } B ^ { T } M ^ { - 1 } ( D ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } ) - D ( \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) ) } \\ & { + \tau ^ { n + 1 } B \pmb { M } ^ { - 1 } ( C _ { d } ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } ) - C _ { d } ( \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) ) \pmb { M } ^ { - 1 } B ^ { T } M ^ { - 1 } D ( \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { N } } & { { } = } & { \dot { N } _ { \mathrm { 1 B } } + \dot { N } _ { \mathrm { 2 B } } + \dot { N } _ { \mathrm { e v } } } \\ { \dot { E } } & { { } = } & { \dot { E } _ { \mathrm { 1 B } } + \dot { E } _ { \mathrm { 2 B } } + \dot { E } _ { \mathrm { e v } } } \end{array}
U _ { N } ^ { ( m + 1 ) } = \frac { U _ { N + 1 } ^ { ( m ) } } { \sqrt { \alpha + \big | U _ { 1 } ^ { ( m ) } \big | ^ { 2 } } } , \quad d \tau ^ { ( m + 1 ) } = 2 \sqrt { \alpha + \big | U _ { 1 } ^ { ( m ) } \big | ^ { 2 } } \, d \tau ^ { ( m ) }
\begin{array} { r l } { - m ^ { 2 } c ^ { 2 } } & { { } = m ^ { 2 } v ^ { 2 } - m _ { 0 } ^ { 2 } c ^ { 2 } } \\ { m } & { { } = { \frac { m _ { 0 } } { \sqrt { 1 + { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \rho _ { 1 , n + 1 } ( \tau ) | _ { - ( n + 1 ) \alpha , s , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le \left( 2 C _ { 1 } ( \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } ) C _ { 2 } ( \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } ) \right) ^ { n + 1 } + C _ { 1 } ( \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } ) C _ { 2 } ( \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } ) | { \rho _ { 1 , n } } ( \tau ) | _ { - n \alpha , s , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } \\ & { \le ( 2 ^ { n + 1 } + 4 ^ { n } ) \left( C _ { 1 } ( \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } ) C _ { 2 } ( \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } ) \right) ^ { n + 1 } } \\ & { \le \left( 4 C _ { 1 } ( \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } ) C _ { 2 } ( \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } ) \right) ^ { n + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \theta ( \tau _ { 2 } ^ { * } + \tau _ { 1 } ^ { * } ) } & { { } = } & { \left( \delta _ { \theta } - \frac { \eta } { a \eta + 1 } \right) e ^ { - ( a \eta + 1 ) \tau _ { 2 } ^ { * } } + \frac { \eta } { a \eta + 1 } \mathrm { ~ \normalsize ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \psi ( \tau _ { 2 } ^ { * } + \tau _ { 1 } ^ { * } ) } & { { } = } & { \delta _ { \psi } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \widehat { \gamma } _ { n } ( x ; \mathbf { Z } ) - \gamma _ { 0 } ( x ; \mathbf { Z } ) | } & { \leq C \operatorname* { s u p } _ { x \in I } | \widehat { S } _ { n } ( x | \mathbf { A } ) - S _ { 0 } ( x | \mathbf { A } ) | + C \operatorname* { s u p } _ { x \in I } | \widehat { G } _ { n } ( x | \mathbf { A } ) - G _ { 0 } ( x | \mathbf { A } ) | } \\ & { \quad + C \operatorname* { s u p } _ { x \in I } | \widehat { \Lambda } _ { n } ( x | \mathbf { A } ) - \Lambda _ { 0 } ( x | \mathbf { A } ) | , } \end{array}
H _ { X X Z } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } ( \sigma _ { n + 1 } ^ { x } \sigma _ { n } ^ { x } + \sigma _ { n + 1 } ^ { y } \sigma _ { n } ^ { y } + \Delta \sigma _ { n + 1 } ^ { z } \sigma _ { n } ^ { z } ) ,
\begin{array} { r l } { A ^ { \prime \prime } ( 1 ) } & { = \left[ 6 C ^ { 2 } ( \Bar { S } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } - 1 2 C ^ { 2 } \right. ( \Bar { S } ^ { ( n ) } ) ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) + 6 C ^ { 2 } ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } - 6 C ( \Bar { S } ^ { ( n ) } ) \mathbb { E } [ ( S ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] - 6 C ( \Bar { S } ^ { ( n ) } ) \mathbb { E } [ ( Y ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } } \\ & { + 1 2 C ( \Bar { S } ^ { ( n ) } ) + 6 C \mathbb { E } [ ( S ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) + 6 C \mathbb { E } [ ( Y ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) - 1 2 C ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 3 } - ( \Bar { S } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } - 2 ( \Bar { S } ^ { ( n ) } ) \mathbb { E } [ ( S ^ { ( n ) } ) ^ { 3 } ] } \\ & { - 1 2 ( \Bar { S } ^ { ( n ) } ) \mathbb { E } [ ( Y ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) + 2 ( \Bar { S } ^ { ( n ) } ) \mathbb { E } [ ( Y ^ { ( n ) } ) ^ { 3 } ] + 1 2 ( \Bar { S } ^ { ( n ) } ) ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 3 } + 2 ( \Bar { S } ^ { ( n ) } ) ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) } \\ & { + 3 \mathbb { E } [ ( S ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } + 6 \mathbb { E } [ ( S ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] \mathbb { E } [ ( Y ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] - 1 2 \mathbb { E } [ ( S ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } + 2 \mathbb { E } [ ( S ^ { ( n ) } ) ^ { 3 } ] ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) + 3 \mathbb { E } [ ( Y ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } } \\ & { - 2 \mathbb { E } [ ( Y ^ { ( n ) } ) ^ { 3 } ] ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) - \left. ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } \right] \bigg / 6 ( \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { \mathrm { f } } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l l } { T _ { 1 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { T _ { 1 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { T } _ { 1 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { T } _ { 1 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } \\ { T _ { 4 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { T _ { 4 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { T } _ { 4 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { T } _ { 4 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } \\ { U _ { 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { U _ { 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { U } _ { 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { U } _ { 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } \end{array} \right] , } \\ { Y _ { \mathrm { f } } } & { { } = \left[ \begin{array} { l } { - H _ { n } ^ { ( 1 ) } ( \omega R ^ { ( N ) } / c ) } \\ { 0 } \\ { \frac { 1 } { c \rho \omega } H _ { n } ^ { ( 1 ) \prime } ( \omega R ^ { ( N ) } / c ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \chi _ { j } } > \; } & { { } B _ { j , j } E _ { j } ^ { \circ } + \sum _ { k } B _ { j , k } \cos ( \delta _ { k } ^ { \circ } - \delta _ { j } ^ { \circ } ) E _ { k } ^ { \circ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \nabla } ( Z ) ( \partial _ { x ^ { c } } ) } & { = \sum _ { a b } \nabla _ { \partial _ { x ^ { c } } } ( Z ^ { a b } \partial _ { x ^ { a } } \otimes \partial _ { x ^ { b } } ) } \\ & { = \sum _ { a b } \frac { \partial Z ^ { a b } } { \partial _ { x ^ { c } } } \partial _ { x ^ { a } } \otimes \partial _ { x ^ { b } } + \sum _ { a b } Z ^ { a b } ( \nabla _ { \partial _ { x ^ { c } } } \partial _ { x ^ { a } } ) \otimes \partial _ { x ^ { b } } ) + \sum _ { a b } Z ^ { a b } \partial _ { x ^ { a } } \otimes \nabla _ { \partial _ { x ^ { c } } } \partial _ { x ^ { b } } } \\ & { = \sum _ { a b } \frac { \partial Z ^ { a b } } { \partial _ { x ^ { c } } } \partial _ { x ^ { a } } \otimes \partial _ { x ^ { b } } + \sum _ { a b d } \Gamma _ { k c a } ^ { d } Z ^ { a b } \partial _ { x ^ { d } } \otimes \partial _ { x ^ { b } } + \sum _ { a b d } \Gamma _ { c b } ^ { d } Z ^ { i j } \partial _ { x ^ { a } } \otimes \partial _ { x ^ { d } } } \\ & { = \sum _ { a b } \frac { \partial Z ^ { a b } } { \partial _ { x ^ { c } } } \partial _ { x ^ { a } } \otimes \partial _ { x ^ { b } } + \sum _ { a b d } \Gamma _ { c d } ^ { a } Z ^ { d b } \partial _ { x ^ { a } } \otimes \partial _ { x ^ { b } } + \sum _ { a b d } \Gamma _ { c d } ^ { b } Z ^ { a d } \partial _ { x ^ { a } } \otimes \partial _ { x ^ { b } } } \\ & { = \sum _ { a b } \Big ( \frac { \partial Z ^ { a b } } { \partial _ { x ^ { c } } } + \sum _ { l } \Gamma _ { c d } ^ { i } Z ^ { d b } + \sum _ { l } \Gamma _ { c d } ^ { b } Z ^ { a d } \Big ) \partial _ { x ^ { a } } \otimes \partial _ { x ^ { b } } . } \end{array}
\deg _ { T } ( o ) = \sum _ { t , t ^ { \prime } \in \Xi \times \bar { \mathcal { T } } _ { * } ^ { 0 } } E _ { 1 } ( t , t ^ { \prime } ) ( [ T , o ] ) = \sum _ { t , t ^ { \prime } \in \mathcal { F } ^ { ( \delta , h ) } } E _ { 1 } ( t , t ^ { \prime } ) ( [ T , o ] ) = \sum _ { t , t ^ { \prime } \in \mathcal { F } ^ { ( \delta , h ) } } D _ { t , t ^ { \prime } } ( [ T , o ] ) + \widetilde { D } _ { t , t ^ { \prime } } ( [ T , o ] ) .
\operatorname { L i } _ { s } ( z ) = { \frac { \pm i \pi } { \Gamma ( s ) } } [ \ln ( - z ) \pm i \pi ] ^ { s - 1 } - \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } ( 2 \pi ) ^ { 2 k } { \frac { B _ { 2 k } } { ( 2 k ) ! } } { \frac { [ \ln ( - z ) \pm i \pi ] ^ { s - 2 k } } { \Gamma ( s + 1 - 2 k ) } } ,
\Delta D _ { \mathrm { r e n } } = { \frac { \Lambda _ { V } ^ { 2 } } { \beta _ { 0 } \, Q ^ { 2 } } } \, \widehat w _ { D } ( \Lambda _ { V } ^ { 2 } / Q ^ { 2 } ) \simeq { \frac { 6 C _ { F } } { \beta _ { 0 } } } \, \bigg ( { \frac { \Lambda _ { V } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } \bigg ) ^ { 2 } \, .
\operatorname* { l i m s u p } _ { | x | \to \infty } \operatorname* { s u p } _ { | r | \le 1 } \frac { V ^ { \prime \prime } ( x + r ) } { V ( x ) } \le \operatorname* { l i m s u p } _ { | x | \to \infty } \operatorname* { s u p } _ { | r | \le 1 } \frac { V ^ { \prime \prime } ( x + r ) } { V ( x + r ) } \cdot \operatorname* { s u p } _ { | r | \le 1 } \frac { V ( x + r ) } { V ( x ) } < \infty ,
\begin{array} { r l } { E ( t ) } & { = E _ { 0 } f _ { \mathrm { e n v } } ( t ) \sin ( \omega t ) } \\ { f _ { \mathrm { e n v } } ( t ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \omega t } { 2 \pi } } & { ( 0 \leq \omega t \leq 2 \pi ) } \\ { \displaystyle \frac { 4 \pi - \omega t } { 2 \pi } } & { ( 2 \pi \leq \omega t \leq 4 \pi ) } \end{array} \right. , } \end{array}
\Pi _ { { \mathcal { C } } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } d t \, \partial _ { t } \Theta ( t ) = \Theta ( 1 ) - \Theta ( 0 ) = \mathrm { a r g } \Big [ \langle \Psi ( 0 ) \vert \Psi ( 1 ) \rangle \Big ] ,
m _ { \mathrm { d o w n } } \sim K _ { D } \left( \begin{array} { l l l } { { \l ^ { 4 } } } & { { \l ^ { 3 } } } & { { \l ^ { 4 } } } \\ { { x } } & { { \l ^ { 2 } } } & { { \l ^ { 2 } } } \\ { { y } } & { { z } } & { { 1 } } \end{array} \right) \quad \mathrm { w i t h } \quad \l = 0 . 2 2 \ .
( 1 - \frac { 1 } { r ^ { p } } ) ( \frac { 1 } { r ^ { 2 } } ) ^ { j } \frac { t _ { j + 1 } } { t _ { \ell } } | \Omega | \leq | \{ D v _ { I + \ell } \in \mathcal { W } _ { I + j , t _ { \ell } } ^ { 1 } \cup \mathcal { W } _ { I + j , t _ { \ell } } ^ { 2 } \} | \leq ( 1 - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } ) ( \frac { 1 } { r ^ { p + \delta _ { \ell } } } ) ^ { j } | \Omega |
\begin{array} { r l r } { D _ { \mu \nu } } & { { } = } & { - \frac { \partial ^ { 2 } S ( \mathbf { Q } ( 2 \tau ) , \mathbf { Q } ( \tau ) ; \tau ) } { \partial { Q } ^ { \mu } ( 2 \tau ) \partial { Q } ^ { \nu } ( \tau ) } , } \\ { \operatorname* { d e t } | | D _ { \mu \nu } | | } & { { } = } & { D ( \mathbf { Q } ( 2 \tau ) , \mathbf { Q } ( \tau ) ; \tau ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \kappa _ { \mathrm { s c a t t } } } & { { } = } & { \kappa _ { R , \mathrm { s c a t t } } = \frac { 8 \pi } { 3 } \left( \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } m c ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \frac { 1 0 ^ { 4 } ~ Z ^ { * } } { A [ \mathrm { g } ] } \mathcal { N } _ { A } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { y } ^ { \prime } } & { { } = \underset { \mathbf { y } } { \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ m ~ i ~ n ~ } } L ( \mathbf { y } ) , } \\ { \underset { \mathbf { y } \in \mathcal { Y } } { \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ m ~ i ~ n ~ } } L ( \mathbf { y } ) } & { { } = \underset { \mathbf { y } \in \mathcal { Y } } { \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ m ~ i ~ n ~ } } \lVert \mathbf { y } - \mathbf { y } ^ { \prime } \rVert _ { 2 } , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { Z } } \\ { { Z ^ { \prime } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { c _ { \phi } } } & { { s _ { \phi } } } \\ { { - s _ { \phi } } } & { { c _ { \phi } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { Z _ { 0 } } } \\ { { Z _ { 1 } } } \end{array} \right) .