harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { J ^ { 2 } = j ( j + 1 ) \hbar ^ { 2 } , \qquad } & { { } j = 0 , { \frac { 1 } { 2 } } , 1 , { \frac { 3 } { 2 } } , \ldots , } \\ { J _ { z } = m \hbar , \qquad \qquad \quad } & { { } m = - j , - j + 1 , \ldots , j . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 + \log ( A ) } & { < \epsilon \sqrt { F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) \sum _ { k = \chi _ { i } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( k ) } } } \\ { \log \left( c _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) \right) } & { < \epsilon \sqrt { F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) \sum _ { k = \chi _ { j } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( k ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \Phi } \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } p _ { W } ( i ) Q _ { i , \Phi ^ { - 1 } ( i ) } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } p _ { W } ( i ) \sum _ { \Phi } Q _ { i , \Phi ^ { - 1 } ( i ) } } \\ & { = ( | \mathfrak { X } | - 1 ) ! \sum _ { j = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } p _ { W } ( i ) Q _ { i , j } } \\ & { = ( | \mathfrak { X } | - 1 ) ! \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } \sum _ { j = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } p _ { W , Y } ( i , j ) } \\ & { = ( | \mathfrak { X } | - 1 ) ! } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { f ( z ) = \sum _ { k _ { 1 } , \dots , k _ { n } = 0 } ^ { \infty } c _ { k _ { 1 } , \dots , k _ { n } } ( z _ { 1 } - a _ { 1 } ) ^ { k _ { 1 } } \cdots ( z _ { n } - a _ { n } ) ^ { k _ { n } } \ , } \\ & { c _ { k _ { 1 } \cdots k _ { n } } = { \frac { 1 } { ( 2 \pi i ) ^ { n } } } \int _ { \partial D _ { 1 } } \cdots \int _ { \partial D _ { n } } { \frac { f ( \zeta _ { 1 } , \dots , \zeta _ { n } ) } { ( \zeta _ { 1 } - a _ { 1 } ) ^ { k _ { 1 } + 1 } \cdots ( \zeta _ { n } - a _ { n } ) ^ { k _ { n } + 1 } } } \, d \zeta _ { 1 } \cdots d \zeta _ { n } } \end{array} }
\nabla ^ { 2 } = \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \varrho ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \varrho } \frac { \partial } { \partial \varrho } + \frac { 1 } { \varrho ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \vartheta ^ { 2 } } .
\sum _ { m = 0 } ^ { \ell } { \binom { \ell } { m } } ( z ) _ { \ell - m } \Big ( \frac { u _ { k } ( n ) } { \theta } \Big ) ^ { z } \sum _ { x \in \mathbb { Z } } ( x ) _ { m } \frac { \alpha _ { n } ^ { - 1 } } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { r } } \mathrm { d } w \, \frac { u _ { k } ( n ) ^ { x } } { w ^ { x + 1 } } \frac { v _ { n } - w } { w a _ { n - 1 } ( w ) } .
\begin{array} { r l } { \dot { \Sigma } _ { t } } & { = - \Sigma _ { t } \left( \Sigma _ { t } + I _ { d } \right) ^ { - 1 } \Sigma _ { t } \left( \Sigma _ { t } + I _ { d } \right) ^ { - 1 } - \left( \Sigma _ { t } + I _ { d } \right) ^ { - 1 } \Sigma _ { t } \left( \Sigma _ { t } + I _ { d } \right) ^ { - 1 } \Sigma _ { t } } \\ & { = - \Sigma _ { t } \left( \Sigma _ { t } + I _ { d } \right) ^ { - 1 } + 2 \left( \Sigma _ { t } + I _ { d } \right) ^ { - 1 } \Sigma _ { t } \left( \Sigma _ { t } + I _ { d } \right) ^ { - 1 } - \left( \Sigma _ { t } + I _ { d } \right) ^ { - 1 } \Sigma _ { t } } \\ & { = - 2 I _ { d } + 2 \left( \Sigma _ { t } + I _ { d } \right) ^ { - 1 } + 2 \left( \Sigma _ { t } + I _ { d } \right) ^ { - 1 } \Sigma _ { t } \left( \Sigma _ { t } + I _ { d } \right) ^ { - 1 } } \\ & { = - 2 \left( \Sigma _ { t } + I _ { d } \right) ^ { - 1 } \Sigma _ { t } ^ { 2 } \left( \Sigma _ { t } + I _ { d } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
\boldsymbol \Delta _ { L } = \frac { \mathbf { W } _ { i + 1 } - \mathbf { W } _ { i } } { \mathbf { W } _ { i } - \mathbf { W } _ { i - 1 } + \epsilon } , \qquad \boldsymbol \Delta _ { R } = \frac { \mathbf { W } _ { i } - \mathbf { W } _ { i - 1 } } { \mathbf { W } _ { i + 1 } - \mathbf { W } _ { i } + \epsilon }
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { = } & { \langle \Psi _ { f } ^ { ( 0 , 0 ) } | \Psi _ { i } ^ { ( 1 , 1 ) } \rangle + \langle \Psi _ { f } ^ { ( 0 , 0 ) } | D | \Psi _ { i } ^ { ( 1 , 0 ) } \rangle } \\ & { } & { + \langle \Psi _ { f } ^ { ( 0 , 0 ) } | H _ { W } | \tilde { \Psi } _ { i } ^ { ( 0 , 1 ) } \rangle } \\ & { = } & { \langle \Phi _ { f } | \Omega _ { f } ^ { ( 0 , 0 ) \dagger } \Omega _ { i } ^ { ( 1 , 1 ) } | \Phi _ { i } \rangle + \langle \Phi _ { f } | \Omega _ { f } ^ { ( 0 , 0 ) \dagger } D \Omega _ { i } ^ { ( 1 , 0 ) } | \Phi _ { i } \rangle } \\ & { + } & { \langle \Phi _ { f } | \Omega _ { f } ^ { ( 0 , 0 ) \dagger } H _ { W } \tilde { \Omega } _ { i } ^ { ( 0 , 1 ) } | \Phi _ { i } \rangle } \end{array}
\phi _ { \mathrm { { \scriptsize ~ D } } } ^ { ( f ) } = \left\{ \begin{array} { c c } { { - 2 \gamma } } & { { \mathrm { f o r ~ d o m i n a n t ~ \bar { ~ } b \to \bar { ~ } u \, u \, \bar { ~ } r ~ C K M ~ a m p l i t u d e s i n ~ B _ { q } \to ~ f ~ } } } \\ { { 0 } } & { { \, \mathrm { f o r ~ d o m i n a n t ~ \bar { ~ } b \to \bar { ~ } c \, c \, \bar { ~ } r \, ~ C K M ~ a m p l i t u d e s i n ~ B _ { q } \to ~ f ~ . } } } \end{array} \right.
{ \dot { \hat { b } } } ( t ) = ( - i \omega _ { 0 } - \beta + i \gamma ) { \hat { b } } ( t ) - ( \beta + i \gamma ) { \hat { b } } ^ { \dagger } ( t ) + 2 ( \omega _ { 0 } / \hbar ) [ { \hat { R } } _ { k } ( t ) { \vec { \mu } } \cdot { \hat { \vec { A } } } _ { f r e e } ^ { ( + ) } ( 0 , t ) + H . c . ]
\chi ^ { 2 } = \sum _ { i , j = 1 , 1 8 } \left( X _ { n } R _ { i } ^ { t h } - R _ { i } ^ { e x p } \right) \sigma _ { i j } ^ { - 2 } \left( X _ { n } R _ { j } ^ { t h } - R _ { j } ^ { e x p } \right)
\{ v _ { t } : \mathbf { D _ { t } } \xrightarrow { } \mathcal { R } ^ { d _ { v _ { t } } } \} \xrightarrow { } \{ v _ { t + 1 } : \mathbf { D _ { t + 1 } } \xrightarrow { } \mathcal { R } ^ { d _ { v _ { t + 1 } } } \}
\displaystyle g _ { j , 0 } ( x , w ) = { \cal F } _ { \xi } ^ { - 1 } \left[ P . V . \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } t ^ { \nu - j - 2 } \ \tilde { d } _ { - 1 - j } ( x , t ; \xi / \vert \xi \vert , t ; 0 ) \ d t - M _ { j } ( x ) \right] \vert \xi \vert ^ { - ( \nu - 1 ) } \right] ( w ) .
\begin{array} { r } { \Gamma = \operatorname* { l i m } _ { \varphi \to \infty } \mathcal { R } ^ { 2 } ( \varphi ) - 1 = \nu \operatorname* { l i m } _ { \varphi \to \infty } X ( \varphi ) \left[ 2 + \nu X ( \varphi ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 1 2 } ( t , \Omega ) = } & { - \frac { \Omega ^ { 2 } } { 2 \Gamma } \sum _ { l = 1 } ^ { N } \left( \prod _ { k = l + 1 } ^ { N } \exp \left( - \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } \tau _ { k } \right) \right) } \\ & { \times \exp \left( - \int _ { t _ { l } + \tau _ { l } } ^ { t } \mathrm { i } \delta ( u ) d u \right) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \Phi _ { l } } } \\ & { \times \int _ { t _ { l } } ^ { t _ { l } + \tau _ { l } } \exp \left( - \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t _ { l } + \tau _ { l } } \left( \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } + \mathrm { i } \delta ( u ) \right) d u \right) d t ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { O r d e r ~ } \delta ^ { 2 } \mathrm { ~ o f ~ } + + = \delta ^ { 2 } \lambda ( z ) \Bigg ( \int \Big ( - Q ( z , d \tilde { z } ) \mathcal { L } f _ { k } ( \tilde { z } , 0 ) + Q ( z , d \tilde { z } ) \frac { 1 } { 2 } D _ { \Phi } ( f _ { k } ) ( \Tilde { z } , 0 ) \Big ) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \int Q ( z , d \tilde { z } ) f _ { k } ( \tilde { z } , 0 ) \lambda ( \tilde { z } ) + \frac { 1 } { 2 } \int Q ( z , d \tilde { z } ) Q ( \tilde { z } , d z _ { 2 } ) f _ { k } ( z _ { 2 } , 0 ) \lambda ( \tilde { z } ) + \frac { 1 } { 2 } \int Q ( z , d \tilde { z } ) \mathcal { L } f _ { k } ( \tilde { z } , 0 ) \Bigg ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \delta ^ { 2 } \lambda ( z ) \Bigg ( \int Q ( z , d \tilde { z } ) \Big ( - \mathcal { L } f _ { k } ( \tilde { z } , 0 ) + D _ { \Phi } ( f _ { k } ) ( \Tilde { z } , 0 ) + \lambda ( \tilde { z } ) \int Q ( \tilde { z } , d z _ { 2 } ) [ f _ { k } ( z _ { 2 } , 0 ) - f _ { k } ( \tilde { z } , 0 ) ] \Big ) \Bigg ) } \\ & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q _ { z z } } & { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \, \left< \Psi \left| \sum _ { i = 1 } ^ { n } \, \left( 2 z ^ { 2 } ( i ) - x ^ { 2 } ( i ) - y ^ { 2 } ( i ) \right) \right| \Psi \right> } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \, \left\{ \left< \Psi \left| \sum _ { i = 1 } ^ { n } \, 2 z ^ { 2 } ( i ) \right| \Psi \right> - \left< \Psi \left| \sum _ { i = 1 } ^ { n } \, x ^ { 2 } ( i ) \right| \Psi \right> - \left< \Psi \left| \sum _ { i = 1 } ^ { n } \, y ^ { 2 } ( i ) \right| \Psi \right> \right\} } \end{array}
f ( { \boldsymbol { x } } ) = f ( { \boldsymbol { a } } ) + \sum _ { 1 \leq | \alpha | \leq k } { \frac { 1 } { \alpha ! } } ( D ^ { \alpha } f ) ( { \boldsymbol { a } } ) ( { \boldsymbol { x } } - { \boldsymbol { a } } ) ^ { \alpha } + \sum _ { | \alpha | = k + 1 } { \frac { k + 1 } { \alpha ! } } ( { \boldsymbol { x } } - { \boldsymbol { a } } ) ^ { \alpha } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - t ) ^ { k } ( D ^ { \alpha } f ) ( { \boldsymbol { a } } + t ( { \boldsymbol { x } } - { \boldsymbol { a } } ) ) \, d t .
\delta _ { \epsilon } \mathrm { { \bf ~ A } } = \left[ \begin{array} { c c } { { \epsilon ^ { k } \bar { \psi } _ { k } - \psi ^ { k } \bar { \epsilon } _ { k } } } & { { D \epsilon _ { j } } } \\ { { - D \bar { \epsilon } ^ { i } } } & { { \bar { \epsilon } ^ { i } \psi _ { j } - \bar { \psi } ^ { i } \epsilon _ { j } } } \end{array} \right] ,
\mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \bigg | \frac { 2 \theta ( n ) \alpha _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \overline { { \xi } } _ { j } - \overline { { \eta } } _ { j } ) ( s ) \partial _ { x } T _ { f _ { 1 } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s \bigg | ^ { 2 } \bigg ] \lesssim T ^ { 2 } \frac { \beta _ { n } ^ { 2 } \theta ( n ) ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \| \partial _ { x } \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } ,
\left\{ \begin{array} { r l } { \alpha ( t ) = } & { \left( \cos \left( \frac { w _ { 0 } t } { 2 } \right) - \mathrm { i } \sin \left( \frac { w _ { 0 } t } { 2 } \right) \right) \left( \cos \left( \frac { | \lambda _ { 0 } | t } { 2 } \right) + \mathrm { i } \frac { w _ { 0 } } { | \lambda _ { 0 } | } \sin \left( \frac { | \lambda _ { 0 } | t } { 2 } \right) \right) } \\ { \beta ( t ) = } & { \frac { 1 } { | \lambda _ { 0 } | } ( u _ { 0 } + \mathrm { i } v _ { 0 } ) \sin \left( \frac { | \lambda _ { 0 } | t } { 2 } \right) \left( \cos \left( \frac { w _ { 0 } t } { 2 } \right) + \mathrm { i } \sin \left( \frac { w _ { 0 } t } { 2 } \right) \right) } \\ { u ( t ) = } & { u _ { 0 } \cos ( w _ { 0 } t ) - v _ { 0 } w _ { 0 } \sin ( w _ { 0 } t ) } \\ { v ( t ) = } & { v _ { 0 } \cos ( w _ { 0 } t ) + u _ { 0 } w _ { 0 } \sin ( w _ { 0 } t ) } \\ { w ( t ) = } & { w _ { 0 } } \end{array} , \right.
\begin{array} { r l } & { \! \! \! \! n _ { e f f } \approx n _ { t h } ( 1 - G / 4 + G ^ { 2 } / 1 6 - G ^ { 3 } / 6 4 + . . . ) } \\ & { \! \! \! \! n _ { e f f , e n v } \approx n _ { t h } ( 1 - G / 4 + G ^ { 2 } / 1 6 - 5 G ^ { 3 } / 3 8 4 + . . . ) } \\ & { \! \! \! \! \Gamma _ { a S } = \Gamma _ { 0 } ( 1 + G / 4 ) } \\ & { \! \! \! \! \Gamma _ { a S , e n v } \approx \Gamma _ { 0 } ( 1 + G / 4 + G ^ { 2 } / 3 2 + . . . ) . } \end{array}
\chi ^ { 2 } ( \epsilon ) = \sum _ { n } \frac { \left[ \Delta \sigma _ { \mu , n } ^ { \mathrm { e x } } ( z ^ { * } ) - \Delta \sigma _ { \mu } ^ { \mathrm { t h } } ( z ^ { * } ) \right] ^ { 2 } } { \delta \sigma _ { \mu , n } ^ { \mathrm { e x } } ( z ^ { * } ) ^ { 2 } } ,
I \; = \; \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } d t \, \exp \left( \frac { t } { 2 } - \frac { t ^ { 2 } } { \lambda ^ { \prime \prime } [ - 2 y + T - t + \log ( 1 / x ) ] } - \frac { ( t - T ) ^ { 2 } } { \lambda ^ { \prime \prime } [ 2 y - T + t + \log ( 1 / x ) ] } \right)
G ( f ) _ { \beta } ^ { ( n ) } = \Sigma _ { m = 0 } ^ { n } \{ \tilde { \Theta } _ { \beta } ^ { ( n - m ) } , \tilde { f } ^ { ( m ) } \} _ { ( q ) } + \Sigma _ { m = 0 } ^ { ( n - 2 ) } \{ \tilde { \Theta } _ { \beta } ^ { ( n - m ) } , \tilde { f } ^ { ( m + 2 ) } \} _ { ( \phi ) } + \{ \tilde { \Theta } _ { \beta } ^ { ( n + 1 ) } , \tilde { f } ^ { ( 1 ) } \} _ { ( \phi ) }
\nabla _ { \partial _ { x } } X = \left( \begin{array} { l } { \partial _ { x } X ^ { ( 1 ) } - \frac { 1 } { u ^ { ( 2 ) } } ( X ^ { ( 1 ) } \partial _ { x } u ^ { ( 2 ) } + X ^ { ( 2 ) } \partial _ { x } u ^ { ( 1 ) } ) } \\ { \partial _ { x } X ^ { ( 2 ) } + \frac { 1 } { u ^ { ( 2 ) } } ( X ^ { ( 1 ) } \partial _ { x } u ^ { ( 1 ) } - X ^ { ( 2 ) } \partial _ { x } u ^ { ( 2 ) } ) } \end{array} \right)
\left\{ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } } + { \frac { 5 } { r } } { \frac { \partial } { \partial r } } - { \frac { l ( l + 4 ) } { r ^ { 2 } } } + \tilde { \omega } ^ { 2 } \left( 1 + { \frac { \tilde { R } _ { B } ^ { 4 } } { r ^ { 4 } } } \right) \right\} \varphi _ { B } ^ { l } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } = } & { C \int d \pi ^ { ( s ) } \, D \left[ \tilde { \pi } ^ { ( l ) } \right] \, D \left[ l \right] } \\ & { e x p \big [ - \big ( S ^ { v } [ \tilde { \pi } ^ { ( l ) } , l ] + \frac { ( \pi ^ { ( s ) } ) ^ { 2 } } { 2 m _ { s } } + S ^ { g } [ l ] + S ^ { l o g } [ l ] - S ^ { 0 } \big ) / \hbar \big ] } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { r \rightarrow 0 } G _ { i } ( r ) \sim \frac { q _ { i } } { \pi r } \frac { 1 } { 1 + \exp \varepsilon _ { i } ( 0 , r , 0 ) } \left. \frac { d \varepsilon _ { i } ( 0 , r , \mu _ { i } / 2 ) } { d \mu _ { i } } \right\vert _ { \mu _ { i } = 0 } \, .
a _ { 0 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { \infty } \frac { d t ^ { \prime } } { a _ { 0 } } > d _ { E } ( t _ { 0 } ) > a _ { 0 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { \infty } \frac { d t ^ { \prime } } { a _ { m a x } } \, .
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathcal { B } _ { < } } \sum _ { \ell } ( | u | ^ { 2 } + \omega ^ { - 2 } | u ^ { \prime } | ^ { 2 } ) ( r _ { 0 } ) \, d \widetilde { \omega } \leq } & { \: \int _ { \mathcal { B } _ { < } } \sum _ { \ell } \frac { | u _ { \mathrm { i n f } } | ^ { 2 } ( r _ { 0 } ) + \omega ^ { - 2 } | u _ { \mathrm { i n f } } ^ { \prime } | ^ { 2 } ( r _ { 0 } ) } { | W | ^ { 2 } } \left( \int _ { 1 } ^ { r _ { 0 } } u _ { \mathrm { h o r } } ( r ) \frac { H } { \Delta } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ( r ) \, d r \right) ^ { 2 } } \\ { + } & { \: \frac { | u _ { \mathrm { h o r } } | ^ { 2 } + \omega ^ { - 2 } | u _ { \mathrm { h o r } } ^ { \prime } | ^ { 2 } ( r _ { 0 } ) } { | W | ^ { 2 } } \left( \int _ { r _ { 0 } } ^ { \infty } u _ { \mathrm { i n f } } ( r ) \frac { H } { \Delta } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ( r ) \, d r \right) ^ { 2 } \, d \widetilde { \omega } . } \end{array}
I _ { S O V C } \left[ A ^ { 2 } \Pi _ { 3 / 2 } ( 0 0 0 ) \rightarrow X ^ { 2 } \Sigma _ { 1 / 2 } ^ { + } ( 0 1 0 ) \right] \propto \frac { | h _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { S O } } | ^ { 2 } | \lambda | ^ { 2 } } { ( \Delta E _ { A B } - \Delta E _ { A A } + \omega ^ { B } ( 0 1 0 ) ) ^ { 2 } ( \Delta E _ { A A } - \omega ^ { A } ( 0 1 0 ) ) ^ { 2 } } | h _ { \mathrm { A X } } ^ { \mathrm { d i p } } | ^ { 2 } ,
| \langle n _ { 1 } , \ldots , n _ { r } ; \bar { n } _ { 1 } , \ldots , \bar { n } _ { r } | \mathrm { \boldmath ~ \ e t a ~ } ; M ; C _ { r } \rangle | ^ { 2 } = { \frac { M ! } { n _ { 1 } ! \cdots n _ { r } ! \bar { n } _ { 1 } ! \cdots \bar { n } _ { r } ! } } | \eta _ { 1 } | ^ { 2 n _ { 1 } } \cdots | \eta _ { r } | ^ { 2 n _ { r } } | \eta _ { - 1 } | ^ { 2 \bar { n } _ { 1 } } \cdots | \eta _ { - r } | ^ { 2 \bar { n } _ { r } } .
\tilde { Z } ^ { ( n ) } ( \{ q _ { N _ { s } } \} , L ) = \tilde { Z } _ { 0 } ^ { ( n ) } ( \{ q _ { N _ { s } } \} , L ) \Upsilon _ { m } ^ { ( n ) } ( \{ q _ { N _ { s } } \} , L ) \Upsilon _ { g h } ^ { ( n ) } ( \{ q _ { N _ { s } } \} , L )
\begin{array} { r } { \| x _ { t _ { j } } \| \leq \sqrt { \frac { \gamma _ { 0 } } { 2 } } \| x _ { t _ { j - 1 } } \| + \beta w _ { \operatorname* { m a x } } \leq \left( \sqrt { \frac { \gamma _ { 0 } } { 2 } } \right) ^ { j - j _ { s - 1 } } \| x _ { t _ { j _ { s - 1 } } } \| + \frac { \beta w _ { \operatorname* { m a x } } } { 1 - \sqrt { \gamma _ { 0 } / 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { u } = ( } & { \underbrace { U ( a _ { 1 } , b _ { 1 } ) , \cdots , U ( a _ { 1 } , b _ { 1 } ) } _ { \times m ^ { 2 n - 2 } } , \underbrace { U ( a _ { 1 } , b _ { 2 } ) , \cdots , U ( a _ { 1 } , b _ { 2 } ) } _ { \times m ^ { 2 n - 2 } } , } \\ & { \cdots , \underbrace { U ( a _ { m } , b _ { m } ) , \cdots , U ( a _ { m } , b _ { m } ) } _ { \times m ^ { 2 n - 2 } } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( { \mathcal { L } } _ { X } T ) } & { = ( { \mathcal { L } } _ { X } T ) _ { a b } d x ^ { a } \otimes d x ^ { b } } \\ & { = X ( T _ { a b } ) d x ^ { a } \otimes d x ^ { b } + T _ { c b } { \mathcal { L } } _ { X } ( d x ^ { c } ) \otimes d x ^ { b } + T _ { a c } d x ^ { a } \otimes { \mathcal { L } } _ { X } ( d x ^ { c } ) } \\ & { = ( X ^ { c } \partial _ { c } T _ { a b } + T _ { c b } \partial _ { a } X ^ { c } + T _ { a c } \partial _ { b } X ^ { c } ) d x ^ { a } \otimes d x ^ { b } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } { y ^ { \alpha } \Big [ ( 1 + y ) ^ { \mu } \| \nabla \mathcal { U } ( y ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } + ( 1 + y ) ^ { \mu } \| \rho ( \cdot , y ) ^ { - 1 } \mathcal { U } ( y ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \Big ] \, d y } \leq C \left\| f \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } . } \end{array}
p ^ { \mu } A _ { \mu } = \eta _ { \mu \nu } p ^ { \mu } A ^ { \nu } = \eta _ { \mu \nu } p ^ { \mu } { \frac { d } { d \tau } } { \frac { p ^ { \nu } } { m } } = { \frac { 1 } { 2 m } } { \frac { d } { d \tau } } p \cdot p = { \frac { 1 } { 2 m } } { \frac { d } { d \tau } } \left( - m ^ { 2 } c ^ { 2 } \right) = 0 .
\begin{array} { r l } { \Dot { x } _ { 6 } } & { = \, \frac { \alpha } { x _ { 2 } + x _ { 3 } + x _ { 4 } } \biggl [ u _ { 2 } \left( g _ { 5 } + \frac { u _ { 2 } u _ { 5 } } { 2 6 2 0 g _ { 2 } } \right) } \\ & { \, \; - k _ { 9 } \frac { x _ { 6 } - x _ { 7 } } { k _ { 1 0 } + k _ { 1 1 } k _ { 0 } x _ { 1 } } } \\ & { \, \; - \left( k _ { 7 } ( x _ { 6 } - g _ { 1 } ) ^ { 2 } - k _ { 8 } \frac { ( x _ { 6 } - g _ { 1 } ) ( g _ { 1 } - x _ { 7 } ) } { k _ { 0 } x _ { 1 } } \right) \biggr ] } \end{array}
R _ { n \kappa } ^ { \kappa ^ { \prime } L } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ f _ { n \kappa } { ( r ) } f _ { \varepsilon \kappa ^ { \prime } } { ( r ) } + g _ { n \kappa } { ( r ) } g _ { \varepsilon \kappa ^ { \prime } } { ( r ) } \right] j _ { L } { ( q r ) } d r \, .
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } ( n _ { \mathrm { ~ v ~ } } u _ { \mathrm { ~ v ~ } } + n _ { \mathrm { ~ l ~ } } u _ { \mathrm { ~ l ~ } } ) = - \dot { n } _ { \mathrm { ~ o ~ } } h _ { \mathrm { ~ o ~ } }
\frac { \partial h } { \partial t } = - \frac { \gamma } { 3 \mu } \nabla \cdot \left( h ^ { 3 } \nabla \nabla ^ { 2 } h \right) + \sqrt { \frac { 2 k _ { B } T } { 3 \mu } } \nabla \cdot \left( h ^ { 3 / 2 } \boldsymbol { \mathcal { N } } \right) ,
\begin{array} { r l } { | u ( x , y ) | } & { \leq | u ( x , 1 ) | + \left( \int _ { y } ^ { 1 } s ^ { ( - \beta - m ) p ^ { \prime } } s ^ { m } \ d s \right) ^ { \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } \left( \int _ { y } ^ { 1 } | f ( x , s ) | ^ { p } s ^ { m } \ d s \right) ^ { \frac { 1 } { p } } } \\ & { \leq | u ( x , 1 ) | + | \log y | ^ { \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } \| f ( x , \cdot ) \| _ { L ^ { p } \left( ( 0 , 1 ) , y ^ { m } d y \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \theta _ { 0 } \longrightarrow \theta ( x , y ) = \sqrt { \theta _ { 0 } ^ { 2 } + F ( x , y ) [ \theta _ { s } ( x , y ) ] ^ { 2 } } , \quad \quad \quad \quad \quad } \\ { \quad \quad \quad \quad \textrm { w h e r e } \quad 0 \le F ( x , y ) \ll 1 \quad \textrm { ( C a s e ~ \# 2 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widetilde { \eta } _ { k } = \underset { s _ { k } < \eta < e _ { k } } { \arg \operatorname* { m i n } } \ \widehat { Q } _ { k } ( \eta ) } \\ { = } & { \underset { s _ { k } < \eta < e _ { k } } { \arg \operatorname* { m i n } } \Big \{ \sum _ { t = s _ { k } + 1 } ^ { \eta } \vert \vert F _ { t , h _ { 1 } } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , h _ { 1 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ { + } & { \sum _ { t = \eta + 1 } ^ { e _ { k } } \vert \vert F _ { t , h _ { 1 } } - F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , h _ { 1 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } \Big \} , } \end{array}
\langle O \rangle = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \sigma } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \tau } } O _ { \sigma _ { i } \tau _ { j } } \exp [ \beta \epsilon V q _ { \sigma _ { i } \tau _ { j } } ) ] } { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \sigma } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \tau } } \exp [ \beta \epsilon V q _ { \sigma _ { i } \tau _ { j } } ) ] } .
\begin{array} { r l } { Q ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) } & { { } = \frac { e ^ { - H ( \mathbf { W } ) } } { Z _ { \mathbf { A } } } = \frac { e ^ { - H ( \mathbf { W } ) } } { \int _ { \mathbb { W } _ { \mathbf { A } } } e ^ { - H ( \mathbf { W } ) } d \mathbf { W } } = } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mu _ { t z } } & { = } & { \mathbb { E } [ r _ { z } Q _ { t z } ] = r _ { z } \eta _ { z } \bar { p } _ { t z } ^ { Q } , } \\ { \sigma _ { t z } } & { = } & { r _ { z } \sqrt { \mathbb { E } [ Q _ { t z } ^ { 2 } ] - \mathbb { E } [ Q _ { t z } ] ^ { 2 } } = r _ { z } \sqrt { \eta _ { z } \bar { p } _ { t z } ^ { Q } ( 1 - \bar { p } _ { t z } ^ { Q } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { h } _ { \mathrm { R y d } } } & { = \mathcal { E } _ { \Uparrow } | \Uparrow \rangle \langle \Uparrow | + \mathcal { E } _ { \Downarrow } | \Downarrow \rangle \langle \Downarrow | } \\ & { = c _ { 0 } \hat { S } _ { z } ^ { ( 0 ) } + \frac { \mathcal { E } _ { \Uparrow } + \mathcal { E } _ { \Downarrow } } { 2 } \hat { 1 } ^ { ( 0 ) } , } \\ { \hat { h } _ { \mathrm { m o l } } ^ { ( k ) } } & { = \mathcal { E } _ { \uparrow } | \uparrow ^ { ( k ) } \rangle \langle \uparrow ^ { ( k ) } | + \mathcal { E } _ { \downarrow } | \downarrow ^ { ( k ) } \rangle \langle \downarrow ^ { ( k ) } | } \\ & { = c _ { S } \hat { S } _ { z } ^ { ( k ) } + \frac { \mathcal { E } _ { \uparrow } + \mathcal { E } _ { \downarrow } } { 2 } \hat { 1 } ^ { ( k ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { \Delta } ^ { j } ( t ) \equiv \frac { 1 } { 1 2 } \Bigg [ \frac { U _ { x } ^ { k j } ( t ) \Delta _ { k } ( t ) - 2 \Delta _ { j } ( t ) + U _ { x } ^ { i j } ( t ) \Delta _ { i } ( t ) } { a _ { x } ^ { 2 } } + } \\ { + \frac { U _ { y } ^ { m j } ( t ) \Delta _ { m } ( t ) - 2 \Delta _ { j } ( t ) + U _ { y } ^ { g j } ( t ) \Delta _ { g } ( t ) } { a _ { y } ^ { 2 } } - } \\ { - ( 1 - T ) ( | \Delta _ { j } ( t ) | ^ { 2 } - \nu _ { j } ) \Delta _ { j } ( t ) \Bigg ] + \tilde { f } _ { j } ( t ) , } \end{array}
\frac { k ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \sqrt { \left( 1 + 4 \xi \sqrt { \xi ^ { 2 } + 1 } \right) ^ { 2 } + 1 6 \xi ^ { 2 } } \, + \, \left( 1 + 4 \xi \sqrt { \xi ^ { 2 } + 1 } \right) \right] ,
( \frac { \partial { { L } _ { D } } ^ { ( k ) } } { \partial q ^ { i ( k ) } } - \Delta ( \frac { \partial { { L } _ { D } } ^ { ( k - 1 ) } } { \partial \Delta q ^ { i ( k - 1 ) } } ) ) \Delta q ^ { i ( k ) } + \Delta { { H } _ { D } } ^ { ( k - 1 ) } - \frac { \partial { H _ { D } } ^ { ( k ) } } { \partial t _ { k } } = 0 .
E _ { \epsilon } [ \eta ] \, = \, E _ { \epsilon } [ \eta _ { 1 } ] + \frac 1 2 \| \eta _ { 2 } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } + \mathcal { O } \bigl ( \epsilon ^ { \infty } \| \eta \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } \bigr ) \, .
\begin{array} { r l r } { A ^ { \left( e x t \right) \mu } } & { { } \sim } & { O \left( \varepsilon ^ { k } \right) , k \geq 0 , } \\ { A ^ { \left( p l \right) \mu } } & { { } \sim } & { O \left( \frac { 1 } { \varepsilon } \right) , } \\ { A ^ { \left( R R \right) \mu } } & { { } \sim } & { O \left( \varepsilon ^ { k _ { s } } \right) , k _ { s } > k , } \end{array}
\int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } ( p _ { i } \dot { q } ^ { i } - H _ { 0 } \dot { t } ) d \tau = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } ( p _ { i } \frac { d q ^ { i } } { d t } - H _ { 0 } ) d t