harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { I _ { c } = F \textrm { R e } [ E _ { t 0 } + r ^ { * } E _ { r 0 } ] - ( I _ { t 0 } + I _ { r 0 } + r _ { \textrm { E F } } \textrm { R e } [ r E _ { t 0 } E _ { r 0 } ^ { * } ] ) . } \end{array}
\Phi \, ( \log \frac { p } { \Lambda } ) = 1 + \frac { a _ { 1 } } { \log \frac { p } { \Lambda } } + \frac { a _ { 2 } + a _ { 3 } \log ( \log \frac { p } { \Lambda } ) } { \log ^ { 2 } \frac { p } { \Lambda } } + \mathcal { O } \, ( \frac { 1 } { \log ^ { 3 } \frac { p } { \Lambda } } ) \, .
g _ { \mathrm { c t } } ( \Lambda , \mu _ { r } ) ~ = ~ - { \frac { g ^ { 3 } } { 8 \pi ^ { 2 } } } \Big ( { \frac { 1 1 } { 6 } } C _ { A } - { \frac { 2 } { 3 } } N _ { f } T _ { f } \Big ) \ln { \frac { \Lambda } { \mu _ { r } } } \, .
\begin{array} { r l } { \tilde { F } [ \mathbf { x } ] } & { { } = \operatorname* { i n f } _ { \psi \mapsto \mathbf { x } } \{ \langle \psi | H _ { 0 } | \psi \rangle \} , } \\ { E [ \mathbf { v } ] } & { { } = \operatorname* { i n f } _ { \mathbf { x } } \{ \tilde { F } [ \mathbf { x } ] + f [ \mathbf { v } , \mathbf { x } ] \} . } \end{array}
\stackrel { . . } { z } ^ { \mu } = \frac { e } { m } F ^ { \mu \nu } \stackrel { . } { z } _ { \nu } + \tau ( \frac { \stackrel { . . } { z } ^ { 2 } \stackrel { . } { z } ^ { \mu } } { c ^ { 2 } } + \stackrel { . . . } { z } ^ { \mu } )
\begin{array} { r } { - \Delta _ { \mathcal { H } } u : = - \Delta u = \mathrm { d } ^ { \ast } \mathrm { d } + \mathrm { d } \mathrm { d } ^ { \ast } u = ( \mathrm { d } + \mathrm { d } ^ { \ast } ) ^ { 2 } u \mathrm { , ~ a n d ~ } \, [ \nu \mathbin { \lrcorner } u _ { | _ { \partial \Omega } } = 0 \mathrm { , ~ } \nu \mathbin { \lrcorner } \mathrm { d } u _ { | _ { \partial \Omega } } = 0 ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma ( 0 , q ) } & { { } = { \frac { \gamma - \ln q } { q } } , } \\ { \sum _ { a = 0 } ^ { q - 1 } \gamma ( a , q ) } & { { } = \gamma , } \\ { q \gamma ( a , q ) } & { { } = \gamma - \sum _ { j = 1 } ^ { q - 1 } e ^ { - { \frac { 2 \pi a i j } { q } } } \ln \left( 1 - e ^ { \frac { 2 \pi i j } { q } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \hat { \phi } _ { t } } ^ { y } ( q _ { t } ) - F _ { \hat { \phi } _ { t } } ^ { y } ( q ) \leq } & { \tau _ { t } [ \mathrm { K L } ( q \| q _ { t - 1 } ^ { * } ) - \mathrm { K L } ( q _ { t } ^ { * } \| q _ { t - 1 } ^ { * } ) ] - ( \tau _ { t } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { t } ^ { * } ) } \\ & { + \left[ \lambda _ { 2 } + \frac { 2 \lambda _ { 1 } } { \alpha _ { q _ { t } ^ { * } } } \right] \delta _ { t , 2 } + \left[ 6 + \frac { 8 \lambda _ { 1 } \sigma ( q _ { t } ^ { * } ) } { \sqrt { \alpha _ { q _ { t } ^ { * } } } } \right] \sqrt { \delta _ { t , 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \alpha , \beta } ^ { i , j } = | ( \boldsymbol { \varphi } _ { \alpha } ^ { i } , \boldsymbol { \varphi } _ { \beta } ^ { j } ) | , \quad i , j \in [ 1 : 3 ] , \, \alpha , \beta \in [ 1 : M ] , } \end{array}
T _ { i j } ^ { U R W } = \sum _ { z = 1 } ^ { N } k _ { z } \sum _ { k = 2 } ^ { N } \frac { 1 } { \sigma _ { k } } ( \mu _ { k i } \mu _ { k z } - \mu _ { k i } \mu _ { k j } - \mu _ { k j } \mu _ { k z } + \mu _ { k j } ^ { 2 } ) .
{ \begin{array} { r l } { E } & { = \left[ { \frac { \sum _ { i } N _ { X _ { i } } \mu _ { X _ { i } } } { \sum _ { i } N _ { X _ { i } } } } \right] ^ { 2 } - { \frac { \sum _ { i } \left[ N _ { X _ { i } } \mu _ { X _ { i } } ^ { 2 } \right] } { \sum _ { i } N _ { X _ { i } } } } } \\ & { = { \frac { \left[ \sum _ { i } N _ { X _ { i } } \mu _ { X _ { i } } \right] ^ { 2 } - \sum _ { i } N _ { X _ { i } } \sum _ { i } \left[ N _ { X _ { i } } \mu _ { X _ { i } } ^ { 2 } \right] } { \left[ \sum _ { i } N _ { X _ { i } } \right] ^ { 2 } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { s c } } & { { } = \sum _ { \lambda , k } ^ { 2 N _ { c } } \sqrt { \frac { 2 \omega _ { k } } { \hbar } } \, g _ { k } \biggl ( \underline { { e } } _ { \lambda k } \cdot \underline { { d } } _ { e n } \biggr ) x _ { \lambda k } \quad . } \end{array}
\mathcal { D } _ { I } = \mathrm { I d } + O \left[ \begin{array} { c c c c } { \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } } } \\ { \beta \chi } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } } & { \beta \chi } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 1 } } } \\ { \frac { 1 } { \chi } } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } } } & { \frac { 1 } { \chi } } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } } \\ { \beta \chi } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } } & { \beta \chi } & { \frac { 1 } { \chi } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { \lfloor h _ { 3 } W _ { m } \rfloor < n \le W _ { m - 1 } } n ^ { - s } \right| } & { < \lceil h _ { 3 } \rceil ( h _ { 3 } W _ { m } ) ^ { k / ( 2 K - 2 ) - 1 } } \\ & { \le \lceil h _ { 3 } \rceil \left( h _ { 3 } ^ { - ( m - 1 ) } h _ { 0 } h _ { 2 } ^ { ( k - r ) / ( k - 2 ) } t ^ { \theta _ { r } } \right) ^ { k / ( 2 K - 2 ) - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \gamma _ { j } ^ { 5 } \mp ( 3 - \mu ) \gamma _ { j } ^ { 4 } + ( 3 - 2 \mu ) \gamma _ { j } ^ { 3 } - \mu \gamma _ { j } ^ { 2 } \pm 2 \mu \gamma _ { j } - \mu } & { = 0 , \quad } & { j } & { = 1 , 2 , } \\ { \gamma _ { j } ^ { 5 } + ( 2 + \mu ) \gamma _ { j } ^ { 4 } + ( 1 + 2 \mu ) \gamma _ { j } ^ { 3 } - ( 1 - \mu ) \gamma _ { j } ^ { 2 } - 2 ( 1 - \mu ) \gamma _ { j } - ( 1 - \mu ) } & { = 0 , \quad } & { j } & { = 3 , } \end{array}
\begin{array} { c l } & { \mathscr { B } _ { 1 j } = \mathscr { A } _ { 1 j } \times N _ { 2 ^ { n _ { 2 } } } \times \cdots \times N _ { 2 ^ { n _ { k } } } , \ \ \mathscr { B } _ { k j } = N _ { 2 ^ { n _ { 1 } } } \times \cdots \times N _ { 2 ^ { n _ { k - 1 } } } \times \mathscr { A } _ { k j } , } \\ & { \mathscr { B } _ { i j } = N _ { 2 ^ { n _ { 1 } } } \times \cdots \times \mathscr { A } _ { i j } \times \cdots \times N _ { 2 ^ { n _ { k } } } , \ \ 1 < i < k . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( t ) } & { \leq \frac { 1 } { 2 } \operatorname { t a n h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \left( \left( \mu L _ { h } + L _ { f } \right) B ( t ) + \frac { \mu t ^ { 2 } } { 2 } A ( t ) \right) } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \operatorname { t a n h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \left( \left( \mu L _ { h } + L _ { f } \right) \frac { L _ { h ^ { * } } t ^ { 2 } } { 3 } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) + \frac { \mu t ^ { 2 } } { 2 } \right) A ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { X _ { \kappa } } & { = \mathcal { H } , } \\ { \mathcal { T } _ { \kappa } } & { = \Big \{ T _ { \kappa } ( m , n , l ) \colon m , n , l \in { \mathbb Z } \Big \} , } \\ { \sigma _ { \kappa } ( T _ { \kappa } ( m , n , l ) ) } & { = 2 ^ { l } , } & & { \mathrm { f o r ~ a l l ~ m ~ , ~ n ~ , ~ l ~ \in ~ { \mathbb ~ Z } ~ , } } \\ { \omega _ { \kappa } ( H ( m , n , l ) ) } & { = 2 ^ { l } , } & & { \mathrm { f o r ~ a l l ~ m ~ , ~ n ~ , ~ l ~ \in ~ { \mathbb ~ Z } ~ , } } \end{array}
\eta = \frac { \xi ^ { 2 } } { \xi ^ { 2 } + \Delta \beta ^ { 2 } } \left[ 1 + \frac { 4 e ^ { - \xi L } \sin ^ { 2 } { ( \Delta \beta L / 2 ) } } { ( 1 - e ^ { - \xi L } ) ^ { 2 } } \right] ,
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { l } { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \\ { z ^ { \prime } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \cos ( \theta ) \cos ( \varphi ) } \\ { \cos ( \theta ) \sin ( \varphi ) } \\ { - \sin ( \theta ) } \end{array} \right) \, , } & { { } } & { \left( \begin{array} { l } { x ^ { \prime \prime } } \\ { y ^ { \prime \prime } } \\ { z ^ { \prime \prime } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \sin ( \varphi ) } \\ { - \cos ( \varphi ) } \\ { 0 } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\{ v _ { 1 } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ } , t ) , v _ { 2 } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ } . t ) , \zeta ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ } , t ) \} = \{ u ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ } , t ) , v ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ } , t ) , \zeta ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ } , t ) \}
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( 2 b ) } ( \omega ) = \frac { 4 \pi } { 1 2 c \omega } \int _ { 0 } ^ { \infty } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } q \; q ^ { 2 } \Biggl [ \theta ( E ) \Biggl ( V ^ { \prime } ( q ) ^ { 2 } \frac { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { 2 } } { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } E ^ { 2 } } \tilde { \rho } _ { 1 , \mathrm { ~ W ~ } } \left( q , \sqrt { 2 E } \right) } \\ { - \frac { 1 } { 2 } \left( V ^ { \prime \prime } ( q ) + ( 2 / q ) V ^ { \prime } ( q ) \right) \frac { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { 2 } } { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } E ^ { 2 } } \tilde { \rho } _ { 3 , \mathrm { ~ W ~ } } \left( q , \sqrt { 2 E } \right) \Biggl ) \Biggl ] _ { E = \omega + E _ { 0 } - V ( q ) } , \; \; \; } \end{array}
L ( \{ { \boldsymbol { \zeta } } _ { a } \} , \{ \xi _ { a } \} , \{ \rho _ { a } \} ) = \sum _ { a } w _ { a } \bigg ( p _ { a } \dot { q } _ { a } + \bigg \langle \rho _ { a } , i \hbar \xi _ { a } - { \widehat { H } } _ { a } - i \hbar \sum _ { b } w _ { b } [ { \rho } _ { b } , { \cal I } _ { a b } ] \bigg \rangle \bigg ) .
{ \mathrm { R e s } } _ { z = 0 } \frac { H _ { \mu } ^ { ( 1 ) } ( \lambda z ) } { H _ { \nu } ^ { ( 1 ) } ( z ) } F ( z ) = { \mathrm { R e s } } _ { z = 0 } \frac { J _ { \nu } ( z ) J _ { \mu } ( \lambda z ) + Y _ { \nu } ( z ) Y _ { \mu } ( \lambda z ) } { J _ { \nu } ^ { 2 } ( z ) + Y _ { \nu } ^ { 2 } ( z ) } F ( z )
{ \cal M } _ { \tilde { f } } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { m _ { \tilde { f } _ { L } } ^ { 2 } } } & { { a _ { f } \, m _ { f } } } \\ { { a _ { f } \, m _ { f } } } & { { m _ { \tilde { f } _ { R } } ^ { 2 } } } \end{array} \right)
{ \frac { \partial ^ { 2 } V ( \phi _ { c } , T ; P ) } { \partial \phi _ { c } ^ { 2 } } } = - { \frac { \partial j } { \partial \phi _ { c } } } { \frac { \partial P _ { c } } { \partial \phi _ { c } } } - j { \frac { \partial ^ { 2 } P _ { c } } { \partial \phi _ { c } ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \int _ { \partial \Omega } \partial _ { z } ^ { 2 } f _ { j , N } ( z , w ) \operatorname { d } \mu _ { 1 } } & { + \int _ { \partial \Omega } \partial _ { w } ^ { 2 } f _ { j , N } ( z , w ) \operatorname { d } \mu _ { 2 } } \\ & { = \alpha \partial _ { z } ^ { 2 } f _ { j , N } ( z _ { 0 } , w _ { 0 } ) + \int _ { \partial \Omega } \partial _ { z } ^ { 2 } f _ { j , N } ( z , w ) \operatorname { d } \tilde { \mu } _ { 1 } } \\ & { \; \; + \beta \partial _ { w } ^ { 2 } f _ { j , N } ( z _ { 0 } , w _ { 0 } ) + \int _ { \partial \Omega } \partial _ { w } ^ { 2 } f _ { j , N } ( z , w ) \operatorname { d } \tilde { \mu } _ { 2 } \stackrel { N \to \infty } { \rightarrow } \alpha x _ { j } ^ { 2 } + \beta y _ { j } ^ { 2 } . } \end{array}
\int d ^ { 2 } z \frac { ( z - z _ { i } ) ^ { 1 / 2 } } { ( \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } ) ^ { 1 / 2 } } \frac { 1 } { \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } } \frac { 1 } { z ^ { 2 } } = \int d ^ { 2 } z \frac { z ^ { 1 / 2 } } { \bar { z } ^ { 1 / 2 } } \frac { 1 } { \bar { z } } \frac { 1 } { ( z + z _ { i } ) ^ { 2 } } = \int d ^ { 2 } z \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { z ^ { 1 / 2 } } { \bar { z } ^ { 1 / 2 } } \frac { 1 } { z + z _ { i } } = 2 \pi \int _ { \delta } ^ { \infty } d r \frac { r } { r ^ { 3 } } = 2 \pi \frac { r _ { i } ^ { - \chi } } { a }
{ \begin{array} { r l } { 0 = { \frac { d I ^ { \prime } } { d \varepsilon } } [ 0 ] = } & { L [ \mathbf { q } [ t _ { 2 } ] , { \dot { \mathbf { q } } } [ t _ { 2 } ] , t _ { 2 } ] T - L [ \mathbf { q } [ t _ { 1 } ] , { \dot { \mathbf { q } } } [ t _ { 1 } ] , t _ { 1 } ] T } \\ & { + \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } { \frac { \partial L } { \partial \mathbf { q } } } \left( - { \frac { \partial \varphi } { \partial \mathbf { q } } } { \dot { \mathbf { q } } } T + { \frac { \partial \varphi } { \partial \varepsilon } } \right) + { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } \left( - { \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { ( \partial \mathbf { q } ) ^ { 2 } } } { \dot { \mathbf { q } } } ^ { 2 } T + { \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial \varepsilon \partial \mathbf { q } } } { \dot { \mathbf { q } } } - { \frac { \partial \varphi } { \partial \mathbf { q } } } { \ddot { \mathbf { q } } } T \right) \, d t . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \tau _ { n } } & { = \frac { 3 } { \pi B } \bigl [ ( \phi _ { 1 } + k _ { 1 } 2 \pi ) ( - ( 1 / 2 ) ^ { 2 } + ( \alpha _ { 1 } - 1 / 2 ) ^ { 2 } ) } \\ & { \quad \quad + ( \phi _ { 2 } + k _ { 2 } 2 \pi ) ( - ( \alpha _ { 1 } - 1 / 2 ) ^ { 2 } + ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } - 1 / 2 ) ^ { 2 } ) } \\ & { \quad \quad \cdots ( \phi _ { D } + k _ { D } 2 \pi ) ( ( \sum _ { \ell = 1 } ^ { D } \alpha _ { \ell } - 1 / 2 ) ^ { 2 } - ( \sum _ { \ell = 1 } ^ { D - 1 } \alpha _ { \ell } - 1 / 2 ) ^ { 2 } ) \bigr ] } \\ & { = \frac { 3 } { \pi B } \bigl [ ( \phi _ { 1 } + k _ { 1 } 2 \pi ) ( \alpha _ { 1 } ( \alpha _ { 1 } - 1 ) ) } \\ & { \quad \quad + ( \phi _ { 2 } + k _ { 2 } 2 \pi ) ( \alpha _ { 2 } ( 2 \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } - 1 ) ) } \\ & { \quad \quad \cdots ( \phi _ { D } + k _ { D } 2 \pi ) ( \alpha _ { D } ( \sum _ { \ell = 1 } ^ { D - 1 } 2 \alpha _ { \ell } + \alpha _ { D } - 1 ) ) \bigr ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \rho } { \partial t } = } & { { } i [ H _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } , \rho ] + \frac { \kappa } { 2 } \mathcal { L } _ { \mathcal { A } } [ \rho ] + \frac { ( n _ { v } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } + 1 ) \gamma _ { r } } { 2 } \mathcal { L } _ { b } [ \rho ] + } & { } \end{array}
r _ { \mathrm { 3 b } } = \frac { s _ { 1 3 } + s _ { 2 3 } } { s _ { 1 3 } } = \frac { y + z } { y } , \qquad s _ { \mathrm { 3 b } } = \frac { s _ { 1 2 } } { s _ { 1 3 } } = \frac { 1 - y - z } { y } \; ,
f _ { a b } ( x ) = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { p } y \, G ^ { ( p ) } ( x , y ) \left( \frac { \partial } { \partial y ^ { a } } v _ { b } ( y ) - \frac { \partial } { \partial y ^ { b } } v _ { a } ( y ) \right) ,
\cot { \frac { \theta } { 2 } } = \pm \, { \sqrt { \frac { 1 + \cos \theta } { 1 - \cos \theta } } } = { \frac { 1 + \cos \theta } { \sin \theta } } = { \frac { \sin \theta } { 1 - \cos \theta } } = \csc \theta + \cot \theta .
\begin{array} { r l } { B _ { n } ( s , t ) } & { = \left\Vert I _ { n } ( \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , x ) { \mathrm { 1 \ m k e r n - 1 . 5 m u } \! \mathrm { I } } _ { [ 0 , s ] ^ { n } } ) - I _ { n } ( \tilde { f _ { n } } ( \cdot , s , x ) ) \right\Vert _ { 2 } , } \\ { C _ { n } ( s , t ) } & { = \left\Vert I _ { n } ( \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , x ) { \mathrm { 1 \ m k e r n - 1 . 5 m u } \! \mathrm { I } } _ { [ 0 , t ] ^ { n } \setminus [ 0 , s ] ^ { n } } ) \right\Vert _ { 2 } . } \end{array}
L _ { 2 } ( \mathcal { E } _ { 1 } , \mathcal { E } _ { 2 } ) = \sqrt { \frac { 1 } { \kappa _ { c } } \int _ { 0 } ^ { \kappa _ { c } } ( \mathcal { E } _ { 1 } ( \kappa ) - \mathcal { E } _ { 2 } ( \kappa ) ) ^ { 2 } d \kappa } ,
\begin{array} { r l } { j _ { e , \mathrm { c h } } } & { { } = j _ { e , \mathrm { t i p } } , } \\ { v \epsilon _ { 0 } ( E _ { \mathrm { m a x } } - E _ { \mathrm { c h } } ) } & { { } = \int _ { z _ { \mathrm { c h } } } ^ { z _ { \mathrm { t i p } } } e ( j _ { e , \mathrm { t i p } } - j _ { e } ) \, d z , } \\ { R ( E _ { \mathrm { m a x } } - E _ { \mathrm { b g } } ) } & { { } = L \left( E _ { \mathrm { b g } } - E _ { \mathrm { c h } } \right) , } \\ { \frac { n _ { e , \mathrm { t i p } } } { n _ { i , \mathrm { c h } } } } & { { } = F ( v , R , E _ { \mathrm { m a x } } , E _ { \mathrm { b g } } ) . } \end{array}
{ \vec { r } } = { \vec { r } } _ { 0 } + { \vec { v } } _ { 0 } t + { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { a } } _ { 0 } t ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 } } { \vec { \jmath } } _ { 0 } t ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 2 4 } } { \vec { s } } t ^ { 4 } ,
\mathrm { P r } ( \mathbf { a } , \mathbf { b } ) = \prod _ { i = 1 } ^ { s } \left[ \kappa ^ { a _ { i } } ( 1 - \kappa ) ^ { 1 - a _ { i } } \phi \delta _ { b _ { i } , 1 } + \delta _ { a _ { i } , 0 } ( 1 - \phi ) \delta _ { b _ { i } , 0 } \right] ,
= - \frac { ( 1 - \delta _ { i j } ) \cot ( N \theta ) \sin ( \theta ) d \theta } { \pi ( x - \phi _ { i } ) ( x - \phi _ { j } ) } - \frac { \cot ^ { 3 } ( N \theta ) \sin ( \theta ) d \theta } { \pi ( x - \phi _ { i } ) ( x - \phi _ { j } ) } .
\frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \, \frac { \sinh ( 1 + \nu ) t } { \sinh t \sinh 2 \nu t } \left( \cos \pi \nu \Bigl ( \frac { t - \pi i } { \cosh \nu ( t - \pi i ) } + \frac { t + \pi i } { \cosh \nu ( t + \pi i ) } \Bigr ) - \frac { 2 t } { \cosh \nu t } \right) .
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { R } } = - H _ { \mathrm { L } } = - { \bf h } \cdot { \bf \sigma } = - \left( \begin{array} { c c } { \xi } & { \Delta \mathrm { e } ^ { - i \phi } } \\ { \Delta \mathrm { e } ^ { i \phi } } & { - \xi } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k _ { \alpha \beta , i j } ^ { \left( \beta , 1 \right) } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ) } & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } \frac { w _ { \beta \alpha } ( \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , \boldsymbol { \xi } , I _ { j } ^ { \beta } , I _ { i } ^ { \alpha } \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , I _ { l } ^ { \beta } , I _ { k } ^ { \alpha } \right. ) } { \left( M _ { \alpha , i } M _ { \beta , j \ast } \right) ^ { 1 / 2 } } \, d \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } } \\ & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \beta } } \sum _ { l = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } \frac { w _ { \beta \alpha } ( \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , \boldsymbol { \xi } , I _ { j } ^ { \beta } , I _ { i } ^ { \alpha } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \beta } , I _ { l } ^ { \alpha } \right. ) } { \left( M _ { \alpha , i } M _ { \beta , j \ast } \right) ^ { 1 / 2 } } \, d \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } } \\ & { = } & { k _ { \beta \alpha , j i } ^ { \left( \alpha , 1 \right) } ( \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , \boldsymbol { \xi } ) \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { H } \left( \frac { X _ { 0 } f } { \left\| \nabla _ { H } f \right\| } \right) } & { = \nabla _ { H } ( X _ { 0 } \delta ) + ( X _ { 0 } h ) N - ( X _ { 0 } \delta ) \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { H } ( 1 + 2 \delta N h + \delta ^ { 2 } \left\| \nabla _ { H } h \right\| ^ { 2 } ) } \\ & { = \nabla _ { H } ( X _ { 0 } \delta ) + ( X _ { 0 } h - ( X _ { 0 } \delta ) N h ) N . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { h ( d , 2 , f _ { t } , \eta _ { t } L ) } \\ & { = \int _ { \overline { { \mathcal { B } _ { 2 } } } ( 0 , \eta _ { t } L ) } \frac { 1 } { ( 2 \pi \sigma _ { t } ^ { 2 } ) ^ { \frac { d } { 2 } } } \exp \left\lbrace - \frac { ( \| w _ { t } \| _ { 2 } - \eta _ { t } L ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { t } ^ { 2 } } \right\rbrace \mathrm { d } w _ { t } . } \\ & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi \sigma _ { t } ^ { 2 } ) ^ { \frac { d } { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \ldots \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { \eta _ { t } L } ^ { \infty } e ^ { \frac { - ( \rho - \eta _ { t } L ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { t } ^ { 2 } } } \rho ^ { d - 1 } \sin ^ { d - 2 } ( \phi _ { 1 } ) \sin ^ { d - 3 } ( \phi _ { 2 } ) \ldots \sin ( \phi _ { d - 2 } ) \mathrm { d } \rho \mathrm { d } \phi _ { 1 } ^ { d - 1 } } \\ & { = \frac { 2 \pi } { ( 2 \pi \sigma _ { t } ^ { 2 } ) ^ { \frac { d } { 2 } } } \left( \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ^ { d - 2 } ( \phi _ { 1 } ) \mathrm { d } \phi _ { 1 } \right) \! \ldots \! \left( \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ( \phi _ { d - 2 } ) \mathrm { d } \phi _ { d - 2 } \right) \! \! \left( \int _ { \eta _ { t } L } ^ { \infty } e ^ { \frac { - ( \rho - \eta _ { t } L ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { t } ^ { 2 } } } \rho ^ { d - 1 } \mathrm { d } \rho \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } ^ { \delta z _ { 0 } } } & { \approx \mathrm { E } _ { 0 } \mathcal { U } _ { n , m } e ^ { \mathrm { i } \omega t } + \mathrm { E } _ { 0 } \frac { \mathrm { i } \lambda \delta z _ { 0 } } { 4 \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } e ^ { \mathrm { i } \omega t } \Big ( A _ { n } \mathcal { U } _ { n + 2 , m } + B _ { n } \mathcal { U } _ { n - 2 , m } + A _ { m } \mathcal { U } _ { n , m + 2 } + B _ { m } \mathcal { U } _ { n , m - 2 } + ( C _ { n } + C _ { m } ) \mathcal { U } _ { n , m } \Big ) - \mathrm { i } \frac { k w _ { 0 } ^ { 2 } m _ { S } } { 1 6 } \mathrm { E } _ { 0 } \bigg ( A _ { n } \Big ( \mathcal { U } _ { n + 2 , m } } \\ & { + \frac { \mathrm { i } \lambda \delta z _ { 0 } } { 4 \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } \big ( A _ { n + 2 } \mathcal { U } _ { n + 4 , m } + B _ { n + 2 } \mathcal { U } _ { n , m } + A _ { m } \mathcal { U } _ { n + 2 , m + 2 } + B _ { m } \mathcal { U } _ { n + 2 , m - 2 } + ( C _ { n + 2 } + C _ { m } ) \mathcal { U } _ { n + 2 , m } \big ) \Big ) e ^ { - 2 \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } + B _ { n } \Big ( \mathcal { U } _ { n - 2 , m } + \frac { \mathrm { i } \lambda \delta z _ { 0 } } { 4 \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } \big ( A _ { n - 2 } \mathcal { U } _ { n , m } } \\ & { + B _ { n - 2 } \mathcal { U } _ { n - 4 , m } + A _ { m } \mathcal { U } _ { n - 2 , m + 2 } + B _ { m } \mathcal { U } _ { n - 2 , m - 2 } + ( C _ { n - 2 } + C _ { m } ) \mathcal { U } _ { n - 2 , m } \big ) \Big ) e ^ { 2 \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } + A _ { m } \Big ( \mathcal { U } _ { n , m + 2 } + \frac { \mathrm { i } \lambda \delta z _ { 0 } } { 4 \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } \big ( A _ { n } \mathcal { U } _ { n + 2 , m + 2 } + B _ { n } \mathcal { U } _ { n - 2 , m + 2 } + } \\ & { A _ { m + 2 } \mathcal { U } _ { n , m + 4 } + B _ { m + 2 } \mathcal { U } _ { n , m } + ( C _ { n } + C _ { m + 2 } ) \mathcal { U } _ { n , m + 2 } \big ) \Big ) e ^ { - 2 \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } + B _ { m } \Big ( \mathcal { U } _ { n , m - 2 } + \frac { \mathrm { i } \lambda \delta z _ { 0 } } { 4 \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } \big ( A _ { n } \mathcal { U } _ { n + 2 , m - 2 } + B _ { n } \mathcal { U } _ { n - 2 , m - 2 } + A _ { m - 2 } \mathcal { U } _ { n , m } } \\ & { + B _ { m - 2 } \mathcal { U } _ { n , m - 4 } + ( C _ { n } + C _ { m - 2 } ) \mathcal { U } _ { n , m - 2 } \big ) \Big ) e ^ { 2 \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } + ( C _ { n } + C _ { m } ) \Big ( \mathcal { U } _ { n , m } + \frac { \mathrm { i } \lambda \delta z _ { 0 } } { 4 \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } \big ( A _ { n } \mathcal { U } _ { n + 2 , m } + B _ { n } \mathcal { U } _ { n - 2 , m } + A _ { m } \mathcal { U } _ { n , m + 2 } + B _ { m } \mathcal { U } _ { n , m - 2 } } \\ & { + ( C _ { n } + C _ { m } ) \mathcal { U } _ { n , m } \big ) \Big ) \bigg ) \left( e ^ { \mathrm { i } ( \omega + \Omega ) t } + e ^ { \mathrm { i } ( \omega - \Omega ) t } \right) } \end{array}
V _ { Z } = { \frac { 2 ( n + 1 ) r ^ { 3 } + 3 r _ { o } r ^ { 2 } + 9 r r _ { o } ^ { 2 } / 2 n + 9 r _ { o } ^ { 3 } / 4 n ^ { 2 } } { r ^ { 4 } ( r + 3 r _ { o } / 2 n ) ^ { 2 } } } ( r - r _ { o } ) .
\begin{array} { r l } { \rho ^ { - \frac 1 2 } \partial _ { \rho } \rho \partial _ { \rho } \rho ^ { - \frac 1 2 } u _ { c } } & { { } = \rho ^ { - \frac 1 2 } \partial _ { \rho } \left[ \rho ( \partial _ { \rho } \rho ^ { - \frac 1 2 } ) + \rho ^ { + \frac 1 2 } \partial _ { \rho } \right] u _ { c } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \mathcal { L } _ { \omega } , H _ { 1 } \} } & { = V - R _ { 1 } ^ { \prime } , } \\ { \{ \mathcal { L } _ { \omega } , H _ { 2 } \} } & { = [ H _ { 1 } , V - R _ { 1 } ^ { \prime } ] _ { \hbar } - R _ { 2 } ^ { \prime } , } \\ { \{ \mathcal { L } _ { \omega } , H _ { 3 } \} } & { = \frac { 1 } { 2 } [ H _ { 1 } , [ H _ { 1 } , V - R _ { 1 } ^ { \prime } ] _ { \hbar } ] _ { \hbar } + \frac { 1 } { 2 } [ H _ { 2 } , V - R _ { 1 } ^ { \prime } ] _ { \hbar } - [ H _ { 1 } , R _ { 2 } ^ { \prime } ] _ { \hbar } - R _ { 3 } ^ { \prime } , } \end{array}