harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \hat { c } _ { 1 } = } & { ~ c _ { K } \left( p ^ { ( i ) } , ~ \hat { \rho } _ { 1 } \right) , ~ \mathrm { w i t h } ~ \hat { \rho } _ { 1 } = ~ \rho ^ { ( i ) } , } \\ { \hat { c } _ { 2 } = } & { ~ c _ { K } \left( p ^ { ( i ) } + \frac { 1 } { 5 } \Delta p ^ { ( i ) } , ~ \hat { \rho } _ { 2 } \right) , ~ \mathrm { w i t h } ~ \hat { \rho } _ { 2 } = ~ \rho ^ { ( i ) } + \frac { 1 } { 5 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 1 } ^ { 2 } } \Delta p ^ { ( i ) } , } \\ { \hat { c } _ { 3 } = } & { ~ c _ { K } \left( p ^ { ( i ) } + \frac { 3 } { 1 0 } \Delta p ^ { ( i ) } , ~ \hat { \rho } _ { 3 } \right) , ~ \mathrm { w i t h } ~ \hat { \rho } _ { 3 } = ~ \rho ^ { ( i ) } + \frac { 3 } { 4 0 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 1 } ^ { 2 } } \Delta p ^ { ( i ) } + \frac { 9 } { 4 0 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 2 } ^ { 2 } } \Delta p ^ { ( i ) } , ~ } \\ { \hat { c } _ { 4 } = } & { ~ c _ { K } \left( p ^ { ( i ) } + \frac { 3 } { 5 } \Delta p ^ { ( i ) } , ~ \hat { \rho } _ { 4 } \right) , ~ \mathrm { w i t h } ~ \hat { \rho } _ { 4 } = ~ \rho ^ { ( i ) } + \frac { 3 } { 1 0 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 1 } ^ { 2 } } \Delta p ^ { ( i ) } - \frac { 9 } { 1 0 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 2 } ^ { 2 } } \Delta p ^ { ( i ) } + \frac { 6 } { 5 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 3 } ^ { 2 } } \Delta p ^ { ( i ) } , ~ } \\ { \hat { c } _ { 5 } = } & { ~ c _ { K } \left( p ^ { ( i ) } + \Delta p ^ { ( i ) } , ~ \hat { \rho } _ { 5 } \right) , ~ \mathrm { w i t h } ~ \hat { \rho } _ { 5 } = ~ \rho ^ { ( i ) } - \frac { 1 1 } { 5 4 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 1 } ^ { 2 } } \Delta p ^ { ( i ) } + \frac { 5 } { 2 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 2 } ^ { 2 } } \Delta p ^ { ( i ) } - \frac { 7 0 } { 2 7 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 3 } ^ { 2 } } \Delta p ^ { ( i ) } + \frac { 3 5 } { 2 7 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 4 } ^ { 2 } } \Delta p ^ { ( i ) } , ~ } \\ { \hat { c } _ { 6 } = } & { ~ c _ { K } \left( p ^ { ( i ) } + \frac { 7 } { 8 } \Delta p ^ { ( i ) } , ~ \hat { \rho } _ { 6 } \right) , ~ \mathrm { w i t h } ~ \hat { \rho } _ { 6 } = ~ \rho ^ { ( i ) } + \frac { 1 6 3 1 } { 5 5 , 2 9 6 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 1 } ^ { 2 } } \Delta p ^ { ( i ) } + \frac { 1 7 5 } { 5 1 2 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 2 } ^ { 2 } } \Delta p ^ { ( i ) } + \frac { 5 7 5 } { 1 3 , 8 2 4 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 3 } ^ { 2 } } \Delta p ^ { ( i ) } + \frac { 4 4 , 2 7 5 } { 1 1 0 , 5 9 2 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 4 } ^ { 2 } } \Delta p ^ { ( i ) } + \frac { 2 5 3 } { 4 0 9 6 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 5 } ^ { 2 } } \Delta p ^ { ( i ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial f } { \partial t } + \sum _ { i } v _ { i } \frac { \partial f } { \partial x _ { i } } - \frac { 1 } { m } \frac { d U } { d x _ { i } } \frac { \partial f } { \partial v _ { i } } } & { { } = 0 } \end{array}
\tilde { V } \; = \; \left( \begin{array} { l l l } { { \sqrt { 1 - \tilde { A } ^ { 2 } \tilde { \Lambda } ^ { 4 } } } } & { { \tilde { A } \tilde { \Lambda } ^ { 2 } } } & { { \tilde { B } \tilde { \Lambda } ^ { 8 } e ^ { - i \tilde { \delta } } } } \\ { { - \tilde { A } \tilde { \Lambda } ^ { 2 } \sqrt { 1 - \tilde { \Lambda } ^ { 2 } } } } & { { \sqrt { ( 1 - \tilde { \Lambda } ^ { 2 } ) ( 1 - \tilde { A } ^ { 2 } \tilde { \Lambda } ^ { 4 } ) } } } & { { \tilde { \Lambda } } } \\ { { \tilde { \Lambda } ^ { 3 } \left[ \tilde { A } - \tilde { B } \tilde { \Lambda } ^ { 5 } \sqrt { ( 1 - \tilde { \Lambda } ^ { 2 } ) ( 1 - \tilde { A } ^ { 2 } \tilde { \Lambda } ^ { 4 } ) } ~ e ^ { i \tilde { \delta } } \right] } } & { { - \tilde { \Lambda } \sqrt { 1 - \tilde { A } ^ { 2 } \tilde { \Lambda } ^ { 4 } } } } & { { \sqrt { 1 - \tilde { \Lambda } ^ { 2 } } } } \end{array} \right) \; .
L ( s ) \equiv L ( s , \mu ^ { 2 } = 0 ) = \frac { 1 } { \pi } \left[ 2 + \sigma \ln ( \frac { \sigma - 1 } { \sigma + 1 } ) \right] , ~ ~ ~ ~ \sigma = \sqrt { 1 - \frac { 4 M _ { \pi } ^ { 2 } } { s } } .
\omega _ { 1 } \sim \sigma _ { 1 } ( t - t _ { b } ) ^ { - m } \, , \qquad \omega _ { 2 } \sim \sigma _ { 2 } ( t - t _ { b } ) ^ { - m } \, , \qquad \omega _ { 3 } \sim \sigma _ { 3 } ^ { \prime } ( t - t _ { b } ) ^ { - m + 1 } \, , \qquad m = 1 , 2 , 3 \, ,
\frac { \partial ^ { 2 } h } { \partial \eta \partial p } = \frac { \partial T } { \partial p } = \frac { \partial \upsilon } { \partial \eta } \qquad \frac { \partial ^ { 2 } h } { \partial S \partial p } = \frac { \partial \mu } { \partial p } = \frac { \partial \upsilon } { \partial S } .
\vert 1 ( 2 ) \rangle = \frac { 1 } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { 3 / 2 } } e ^ { i ( \mathbf { p } _ { 1 ( 2 ) } \cdot \mathbf { r } - E _ { p _ { 1 ( 2 ) } } t ) / \hbar }
\begin{array} { r l } { \operatorname { t r } ( \mathbb A _ { n } ) = } & { { } - ( 4 + n ( n + 1 ) ) \Lambda - 2 n ( n + 1 ) - 2 + ( 2 - n ( n + 1 ) ) P } \\ { \operatorname* { d e t } ( \mathbb A _ { n } ) = } & { { } \frac { 1 } { 4 } \left( n ^ { 2 } + n - 2 \right) + 1 6 + ( 4 + 4 n ( 1 + n ) ) P + ( - 2 + n ( 1 + n ) ) P ^ { 2 } } \end{array}
\sigma ( 2 M _ { \pi } ^ { 2 } ) - \sigma ( 0 ) = { \frac { 3 \dot { g } _ { A } ^ { 2 } } { 6 4 \pi F ^ { 2 } } } \, M _ { \pi } ^ { 3 } \approx 7 . 5 \ \mathrm { M e V } .
\int _ { \tau _ { j } } ^ { s _ { j } } d \tau _ { j } ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { \tau _ { j } } d \tau _ { j } ^ { \prime \prime } D _ { \mu \nu } ( z _ { j } ^ { \prime } - z _ { j } ^ { \prime \prime } ) p _ { j } ^ { \mu \prime } p _ { j } ^ { \nu \prime \prime }
\mathrm { R e s } _ { s = 1 / 2 - k } \ \zeta _ { G } ( s ) = \frac 1 2 \, \mathrm { r e s } \ G ^ { k - 1 / 2 } = \frac { ( 2 k - 1 ) ! ! \, q ^ { k } } { k ! \, 2 ^ { k } } , \, m b o x { R e s } _ { s = - k } \ \zeta _ { G } ( s ) = \frac 1 2 \, \mathrm { r e s } \ G ^ { k } = 0 , \ k = 0 , 1 , 2 , \ldots ,
\Delta S _ { n } = k \ \ln \Big ( { \frac { \delta _ { n } ( r ) } { \delta _ { n + 1 } ( r ) } } \Big ) = k \ln \Big ( { \frac { R _ { n + 1 } } { R _ { n } } } \Big ) = k \ln \Big ( { \frac { r \Big ( \prod _ { i = 1 } ^ { n + 1 } a _ { i - 1 } \Big ) } { r \Big ( \prod _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i - 1 } \Big ) } } \Big ) = k \ln ( a _ { n } ) ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 0 } ^ { 7 } g _ { i } ( n ) \gamma _ { n + i } = 0 , \quad \mathrm { w h e r e } } \\ & { \gamma _ { 0 } = 1 , \gamma _ { 1 } = 8 , \gamma _ { 2 } = \frac { 9 1 } { 2 } , \gamma _ { 3 } = \frac { 6 2 9 } { 3 } , \gamma _ { 4 } = \frac { 2 0 0 0 3 } { 2 4 } , \gamma _ { 5 } = \frac { 8 8 9 3 } { 3 } , \gamma _ { 6 } = \frac { 6 9 5 3 9 5 9 } { 7 2 0 } , } \end{array}
f \left( \frac { s _ { 4 } } { m ^ { 2 } } , \frac { m ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) = f _ { \mathrm { L e a d i n g } } \left( \frac { s _ { 4 } } { m ^ { 2 } } , \frac { m ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) \exp \left[ \frac { C _ { F } } { 2 \pi } \left( 3 \! + \! 4 \ln 2 - \frac { 2 C _ { A } } { C _ { F } } \right) \alpha _ { s } ( \mu ^ { 2 } ) \ln \frac { s _ { 4 } } { m ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l r } { E _ { \mathrm { X C } } } & { = } & { E _ { \mathrm { X C } } \left[ \rho _ { \textrm { p } } ( \vec { r } ) , | \vec { \rho } _ { \textrm { m } } ( \vec { r } ) | \right] = E _ { \mathrm { X C } } \left[ \rho _ { \uparrow , \downarrow } ( \vec { r } ) \right] , \quad } \\ { \rho _ { \uparrow , \downarrow } ( \vec { r } ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \rho _ { \textrm { p } } ( \vec { r } ) \pm | \vec { \rho } _ { \textrm { m } } ( \vec { r } ) | \right] . } \end{array}
P _ { s } = { \sqrt { { \frac { 1 } { 2 \alpha _ { 1 1 1 } } } \left[ - \alpha _ { 1 1 } + { \sqrt { \alpha _ { 1 1 } ^ { 2 } - 4 \alpha _ { 0 } \alpha _ { 1 1 1 } \left( T - T _ { 0 } \right) } } \right] } }
\begin{array} { r l } { \tau _ { f / b } ^ { \mathrm { d c } } } & { { } = \tau _ { 0 } ^ { \mathrm { d c } } \biggl [ 1 - \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 } \bigl [ \lambda _ { + } ( M _ { 1 1 } ^ { \mathrm { d c } , + } + M _ { 1 1 } ^ { \mathrm { d c } , - } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { k _ { 0 } , l } V _ { k _ { 0 } } \eta } & { = ( A ^ { T } A ) V _ { k _ { 0 } } \eta , } \\ { B _ { k _ { 0 } , l } ^ { 2 } V _ { k _ { 0 } } \eta } & { = ( A ^ { T } A ) ^ { 2 } V _ { k _ { 0 } } \eta , } \\ & { \vdots } \\ { B _ { k _ { 0 } , l } ^ { l } V _ { k _ { 0 } } \eta } & { = W _ { k _ { 0 } , l } W _ { k _ { 0 } , l } ^ { T } ( A ^ { T } A ) ^ { l } V _ { k _ { 0 } } \eta , } \end{array}
\begin{array} { r } { a _ { 1 , 1 } a _ { 2 , 2 } \cdots a _ { n , n } - \sum _ { \emptyset \neq S \subseteq [ n ] } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \ell _ { i } = a _ { 1 , 1 } a _ { 2 , 2 } \cdots a _ { n , n } - \sum _ { \emptyset \neq S \subseteq [ n ] } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle - \sum _ { j \in S , j \neq i } a _ { i , j } , } & { \mathrm { i f ~ i ~ \in ~ S ~ } } \\ { \displaystyle a _ { i , i } + \sum _ { j \in S } a _ { i , j } , } & { \mathrm { i f ~ i ~ \notin ~ S ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \textbf { A } } _ { P } = { \frac { d } { d t } } ( { \dot { R } } { \textbf { e } } _ { r } + R { \dot { \theta } } { \textbf { e } } _ { \theta } + { \dot { Z } } { \hat { k } } ) = ( { \ddot { R } } - R { \dot { \theta } } ^ { 2 } ) { \textbf { e } } _ { r } + ( R { \ddot { \theta } } + 2 { \dot { R } } { \dot { \theta } } ) { \textbf { e } } _ { \theta } + { \ddot { Z } } { \hat { k } } .
\begin{array} { r l } { | \psi _ { 1 } ( \frac { \pi } { 2 \lambda } ) \rangle } & { { } = \mathrm { e x p } ( - i H _ { \mathrm { e f f , v a c } } \frac { \pi } { 2 \lambda } ) | \psi _ { 0 , 1 } \rangle } \end{array}
W _ { \mu \nu } | _ { \mathrm { s p i n - d e p e n . } } = - i \epsilon _ { \mu \nu \alpha \beta } q ^ { \alpha } \left( { \frac { G _ { 1 } } { M ^ { 2 } } } S ^ { \beta } + { \frac { G _ { 2 } } { M ^ { 4 } } } \left( S ^ { \beta } \nu M - P ^ { \beta } ( S \cdot q ) \right) \right)
\begin{array} { r l } { \pi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { N } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , - 1 . 5 , 0 , 0 . 4 , 0 . 4 , + 0 . 6 ) } \\ { + } & { { } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { N } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , + 1 . 5 , 0 , 0 . 2 , 0 . 2 , - 0 . 6 ) , } \end{array}
\Gamma ( \Upsilon _ { n } \rightarrow \ell ^ { + } \ell ^ { - } ) \ge \frac { e _ { b } ^ { 2 } } { e _ { c } ^ { 2 } } \cdot \frac { m _ { b } } { m _ { c } } \cdot \frac { M ( \psi _ { n } ) ^ { 2 } } { M ( \Upsilon _ { n } ) ^ { 2 } } \Gamma ( \psi _ { n } \rightarrow \ell ^ { + } \ell ^ { - } ) \; .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { j } \mathcal { I } ( x ) } & { : = \frac { \partial \mathcal { I } ( x ) } { \partial x _ { j } } = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \Big ( \sum _ { i = 0 } ^ { 2 m } - y _ { i } \log ( x * x ) _ { i } + ( x * x ) _ { i } \Big ) } \\ & { = 2 \sum _ { i = j } ^ { j + m } \Big ( - x _ { i - j } \frac { y _ { i } } { ( x * x ) _ { i } } + x _ { i - j } \Big ) = 2 \sum _ { \ell = 0 } ^ { m } \Big ( - x _ { \ell } \frac { y _ { \ell + j } } { ( x * x ) _ { \ell + j } } + x _ { \ell } \Big ) \, . } \end{array}
A ^ { k } ( \ell ) : = \left( \begin{array} { l l } { - \frac { k \cos ( k \ell ) } { \sin ( k \ell ) } } & { \frac { k } { \sin ( k \ell ) } } \\ { \frac { k } { \sin ( k \ell ) } } & { - \frac { k \cos ( k \ell ) } { \sin ( k \ell ) } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r l } { d _ { i j } } & { { } = \left( { \frac { \partial D _ { i } } { \partial T _ { j } } } \right) ^ { E } } & { } & { { } = \left( { \frac { \partial S _ { j } } { \partial E _ { i } } } \right) ^ { T } } \\ { e _ { i j } } & { { } = \left( { \frac { \partial D _ { i } } { \partial S _ { j } } } \right) ^ { E } } & { } & { { } = - \left( { \frac { \partial T _ { j } } { \partial E _ { i } } } \right) ^ { S } } \\ { g _ { i j } } & { { } = - \left( { \frac { \partial E _ { i } } { \partial T _ { j } } } \right) ^ { D } } & { } & { { } = \left( { \frac { \partial S _ { j } } { \partial D _ { i } } } \right) ^ { T } } \\ { h _ { i j } } & { { } = - \left( { \frac { \partial E _ { i } } { \partial S _ { j } } } \right) ^ { D } } & { } & { { } = - \left( { \frac { \partial T _ { j } } { \partial D _ { i } } } \right) ^ { S } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \left( \eta _ { \epsilon } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) + \mathcal { G } _ { \epsilon } ( z , x , u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) ) - \eta _ { \epsilon } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) - \langle \mathcal { G } _ { \epsilon } ( z , x , u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) , \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) ) \rangle _ { \mathbb { H } \times \mathbb { H } } \right) \nu ( d z ) d s } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \left( \eta _ { \epsilon } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) + \mathcal { G } _ { \epsilon } ( z , x , u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) ) - \eta _ { \epsilon } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) \right) \nu ( d z ) d s } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \langle \mathcal { G } _ { \epsilon } ( z , x , u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) , \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) ) \rangle _ { \mathbb { H } \times \mathbb { H } } \nu ( d z ) d s } \\ & { = : I _ { 4 } - I _ { 5 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { f ( \mathbf { x } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } ) } & { = n _ { f } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } ) f _ { 0 } } & { \theta ( \mathbf { x } _ { 1 } , \ldots \mathbf { x } _ { N } ) } & { = n _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \ldots \mathbf { x } _ { N } ) \theta _ { 0 } } \end{array}
\bar { v } _ { 1 } ^ { 2 } + \bar { v } _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + \bar { v } _ { N } ^ { 2 } = N \frac { \alpha ^ { 2 } } { 4 \pi } \sum _ { m = - 2 } ^ { 2 } \dot { a } _ { m } ^ { 2 }
{ \begin{array} { r l } { \langle v ^ { 2 } \rangle } & { = { \frac { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { + \infty } v ^ { 2 } \cdot v ^ { n - 1 } \exp \left( - { \frac { m v ^ { 2 } } { 2 k T } } \right) \, d v } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { + \infty } v ^ { n - 1 } \exp \left( - { \frac { m v ^ { 2 } } { 2 k T } } \right) \, d v } } } \\ & { = \left[ { \frac { 2 k T } { m } } \right] { \frac { \Gamma ( { \frac { n + 2 } { 2 } } ) } { \Gamma ( { \frac { n } { 2 } } ) } } } \\ & { = \left[ { \frac { 2 k T } { m } } \right] { \frac { n } { 2 } } = { \frac { n k T } { m } } } \end{array} }
\big | b _ { i , j } ^ { ( k ) } - a _ { i , j } ^ { ( k ) } \big | \le \operatorname* { m a x } _ { \operatorname* { m i n } \{ i , j \} \le \ell \le n - 1 } \frac { \displaystyle { \bigg [ \bigg ( \frac { 1 + \varepsilon _ { \ell } } { 1 + \delta _ { \ell } } \bigg ) ^ { 2 } - 1 \bigg ] \big | a _ { \ell , \ell } ^ { ( \ell ) } \big | } } { \displaystyle { \prod _ { p = \operatorname* { m i n } \{ i , j \} } ^ { \ell - 1 } 1 + \delta _ { p } } } + \sum _ { m = \operatorname* { m i n } \{ i , j \} } ^ { \ell - 1 } \frac { \displaystyle { ( \varepsilon _ { m } - \delta _ { m } ) \big | a _ { m , m } ^ { ( m ) } \big | } } { \displaystyle { \prod _ { p = \operatorname* { m i n } \{ i , j \} } ^ { m } 1 + \delta _ { p } } } .
\dot { \sigma } ^ { y } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { y , y ^ { \prime } , x } J _ { y ^ { \prime } y } ^ { x } \mathrm { l n } \frac { p \left( y ^ { \prime } , x \right) w _ { y ^ { \prime } y } ^ { x } } { p \left( y , x \right) w _ { y y ^ { \prime } } ^ { x } }
\frac { \partial ^ { 2 } \Psi ( r ) } { \partial r _ { * } ^ { 2 } } + \left\lbrack m ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } - V ( r ) \right\rbrack \Psi ( r ) = S _ { l } \delta ( r - r _ { 0 } ) \, ,
\begin{array} { r } { S _ { p } = \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \cdots \sum _ { n _ { N } = 0 } ^ { \infty } \phi _ { 1 , 2 , \cdots , N } \frac { d ^ { - ( l + 1 ) - \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( 2 n _ { j } + a _ { j } ) } \prod _ { j = 1 } ^ { N } ( R _ { j } ) ^ { ( 2 n _ { j } + a _ { j } ) } } { 2 ^ { \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( 2 n _ { j } + a _ { j } ) } \prod _ { j = 1 } ^ { N } \Gamma ( a _ { j } + n _ { j } + 1 ) } } \\ { \times \frac { \Gamma \Big ( \frac { l + 1 } { 2 } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \Big ( n _ { j } + \frac { a _ { j } } { 2 } \Big ) \Big ) \Gamma \Big ( \frac { l } { 2 } + 1 + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \Big ( n _ { j } + \frac { a _ { j } } { 2 } \Big ) \Big ) } { \sqrt { \pi } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \sf M } = { \sf D } - } & { { } i { \sf P } , } \\ { { \sf D } = \frac { 1 } { 2 } \left( { \sf M } + \sigma _ { x } { \sf M } ^ { \top } \sigma _ { x } \right) , \quad } & { { } { \sf P } = \frac { i } { 2 } \left( { \sf M } - \sigma _ { x } { \sf M } ^ { \top } \sigma _ { x } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau ( t ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { t } \alpha ( s ) d s , } \\ { \phi ( t ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } k ^ { 2 } ( t ^ { \prime } ) \exp \left( - \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t } \alpha ( s ) d s \right) d t ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sqrt { \frac { 2 ( t \bar { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + 1 ) } { t ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } \mathrm { l o g } \Bigg ( \frac { \sqrt { t \bar { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + 1 } } { \alpha } \Bigg ) } } \\ & { = \sqrt { \left( \frac { t \tilde { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + 1 } { t ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } + o ( V _ { t } / t ^ { 2 } ) \right) \left[ \mathrm { l o g } \Bigg ( \frac { t \tilde { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + 1 } { \alpha ^ { 2 } } \Bigg ) + o ( 1 ) \right] } } \\ & { = \sqrt { \frac { t \tilde { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + 1 } { t ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } \mathrm { l o g } \Bigg ( \frac { t \tilde { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + 1 } { \alpha ^ { 2 } } \Bigg ) + o ( V _ { t } / t ^ { 2 } ) + o ( V _ { t } \log V _ { t } / t ^ { 2 } ) + o ( V _ { t } / t ^ { 2 } ) } } \\ & { = \sqrt { \frac { t \tilde { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + 1 } { t ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } \mathrm { l o g } \Bigg ( \frac { t \tilde { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + 1 } { \alpha ^ { 2 } } \Bigg ) + o ( V _ { t } \log V _ { t } / t ^ { 2 } ) } } \\ & { = \sqrt { \frac { t \tilde { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + 1 } { t ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } \mathrm { l o g } \Bigg ( \frac { t \tilde { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + 1 } { \alpha ^ { 2 } } \Bigg ) } + o ( \sqrt { V _ { t } \log V _ { t } } / t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \mathrm { ~ s ~ - ~ p ~ o ~ l ~ } } ^ { \mu \nu } } & { { } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - E _ { z } / c } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { B _ { y } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - B _ { x } } \\ { E _ { z } / c } & { - B _ { y } } & { B _ { x } } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { F _ { \mathrm { ~ p ~ - ~ p ~ o ~ l ~ } } ^ { \mu \nu } } & { { } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { - E _ { x } / c } & { - E _ { y } / c } & { 0 } \\ { E _ { x } / c } & { 0 } & { - B _ { z } } & { 0 } \\ { E _ { y } / c } & { B _ { z } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \; . } \end{array}
\frac { \partial { { u } _ { i } } } { \partial t } = - \frac { \partial } { \partial { { x } _ { j } } } \left( { { u } _ { j } } { { u } _ { i } } \right) + \frac { 1 } { \operatorname { R e } } \frac { { { \partial } ^ { 2 } } { { u } _ { i } } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } - \frac { \partial p } { \partial { { x } _ { i } } }
\begin{array} { r l } { \bigg | \sum _ { y _ { \alpha } \in B _ { 1 } \setminus B _ { r } } } & { \int _ { Q _ { \alpha } } ( J _ { p } ( \phi ( x + y ) - \phi ( x ) ) - J _ { p } ( \phi ( x + y _ { \alpha } ) - \phi ( x ) ) ) \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p } } \bigg | } \\ & { \leq C h \sum _ { y _ { \alpha } \in B _ { 1 } \setminus B _ { r } } \int _ { Q _ { \alpha } } ( | \phi ( x + y ) - \phi ( x ) | ^ { p - 2 } + | \phi ( x + y _ { \alpha } ) - \phi ( x ) | ^ { p - 2 } ) \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p } } } \\ & { \leq C h \int _ { B _ { 3 / 2 } \setminus B _ { r / 2 } } \ | y | ^ { p - 2 } \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p } } \leq C h ( 1 + r ^ { p - 2 - s p } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { s h o r t } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } t ( p ( t , m = 0 ) - p _ { s h o r t } ( t , m ) ) d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t _ { o n } } t ( p ( t , m = 0 ) - p _ { s h o r t } ( t , m ) ) d t + \int _ { t _ { o n } } ^ { t _ { e n d } } t ( p ( t , m = 0 ) - p _ { s h o r t } ( t , m ) ) d t + \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } t ( p ( t , m = 0 ) - p _ { s h o r t } ( t , m ) ) d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t _ { o n } } t ( p ( t , m = 0 ) - p ( t , m ) ) d t + \int _ { t _ { o n } } ^ { t _ { e n d } } t ( p ( t , m = 0 ) - p ( t , m ) ) d t + \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } t ( p ( t , m = 0 ) - p ( t , m = 0 ) \frac { S ( t _ { e n d } , m ) } { S ( t _ { e n d } , m = 0 } ) d t } \end{array}
G \equiv G _ { 1 } + i G _ { 2 } = \frac { 1 } { \pi } \oint d \sigma _ { i } ^ { \prime } \ln | \sigma ^ { \prime } - \sigma | \epsilon _ { i j } \partial _ { j } G _ { 1 } + \frac { i } { \pi } \oint d \sigma _ { i } ^ { \prime } \ln | \sigma ^ { \prime } - \sigma | \partial _ { i } G _ { 1 } + \mathrm { c o n s t . }
u _ { a } ^ { A } u _ { a } ^ { B } = \delta ^ { A B } \; , \quad w _ { \dot { a } } ^ { \dot { A } } w _ { \dot { a } } ^ { \dot { B } } = \delta ^ { \dot { A } \dot { B } } \; , \quad v _ { i } ^ { I } v _ { i } ^ { J } = \delta ^ { I J } \; .
\begin{array} { r } { E _ { F } = \int d ^ { 6 } x _ { i } d ^ { 6 } x _ { j } \Phi _ { F } ^ { * } ( x _ { i } , x _ { j } ) U _ { F } ( | x _ { i } - x _ { j } | ) \Phi _ { F } ( x _ { i } , x _ { j } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ v _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } \right] _ { \mu \nu } } & { { } = \langle \chi _ { \mu } | v _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } } | \chi _ { \nu } \rangle + M _ { \mu \nu } } \\ { \mathbf { v } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } } & { { } = \mathbf { v } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } } + \mathbf { M } } \end{array}
\begin{array} { r } { ( p r | q s ) \equiv g _ { r s } ^ { p q } \approx \sum _ { R S } ( X ^ { ( p r ) } ) _ { p } ^ { R } ( X ^ { ( p r ) } ) _ { r } ^ { R } V _ { R S } ( X ^ { ( q s ) } ) _ { q } ^ { S } ( X ^ { ( q s ) } ) _ { s } ^ { S } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { E x a m p l e \ ( 0 ) : } \qquad K ( \tau , z ) = \frac { 2 \sqrt { z } \bigl ( \cos ( l ^ { ( 2 ) } \sqrt { z } ) - \cos \tau \bigr ) } { l ^ { ( 1 ) } \sin ( l ^ { ( 2 ) } \sqrt { z } ) } , } \\ & { \mathrm { E x a m p l e \ ( 1 ) : } \qquad K ( \tau , z ) = \frac { 1 } { l ^ { ( 1 ) } + l ^ { ( 3 ) } } \Biggl \{ 2 \sqrt { z } \biggl ( \cot ( l ^ { ( 2 ) } \sqrt { z } ) - \frac { \Re \theta ( \tau ) } { \sin ( l ^ { ( 2 ) } \sqrt { z } ) } \biggr ) + \biggl ( \frac { \sigma \tau } { \varepsilon } \biggr ) ^ { 2 } \Biggr \} , } \\ & { \mathrm { E x a m p l e \ ( 2 ) : } \qquad K ( \tau , z ) = \frac { 2 \sqrt { z } } { l ^ { ( 3 ) } } \Biggl \{ a _ { 1 } ^ { 2 } \frac { \cos ( l ^ { ( 1 ) } \sqrt { z } ) - \cos \tau } { \sin ( l ^ { ( 1 ) } \sqrt { z } ) } - a _ { 2 } ^ { 2 } \tan \biggl ( \frac { l ^ { ( 2 ) } \sqrt { z } } { 2 } \biggr ) \Biggr \} , } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { j } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \lambda _ { c } ( x ) \xi _ { j } ( x ) d x = \int _ { 0 } ^ { 1 } \lambda _ { c } \delta _ { 0 } ( x ) \xi _ { j } ( x ) d x = \lambda _ { c } \xi _ { j } ( 0 ) = \lambda _ { c } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ j ~ \geq ~ 1 ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { \mu \nu } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , \vec { L } \vec { L } \, ^ { \prime } } = \frac { 1 } { V _ { \textrm { F B Z } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \textrm { F B Z } } ^ { \epsilon _ { i } ^ { \vec { k } } < \epsilon _ { \textrm { F } } } e ^ { \mathrm { i } \vec { k } \cdot \left[ \vec { L } - \vec { L } \, ^ { \prime } \right] } \left( c _ { \mu i } ^ { \sigma , \vec { k } } ~ c _ { \nu i } ^ { * \sigma ^ { \prime } , \vec { k } } \right) ~ \textrm { d } ^ { 3 } k . \quad } \end{array}