harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m i n f } _ { T \to \infty } \frac { \mathbb { E } [ \mathrm { R e g } ( T ) ] } { \log T } } & { \geq \sum _ { i = 2 } ^ { K } \frac { \Delta _ { i } } { \operatorname* { i n f } _ { ( { \mu , \sigma } ) : \mu > \mu _ { 1 } } \mathrm { K L } ( \mathcal { D } ( \mu _ { i } , \sigma _ { i } ) ; \mathcal { D } ( \mu , \sigma ) ) } , } \end{array}
\mathbf { d } \mathbf { c } ^ { \mathrm { T } } = { \left[ \begin{array} { l l l } { c _ { 1 } d _ { 1 } } & { c _ { 2 } d _ { 1 } } & { c _ { 3 } d _ { 1 } } \\ { c _ { 1 } d _ { 2 } } & { c _ { 2 } d _ { 2 } } & { c _ { 3 } d _ { 2 } } \\ { c _ { 1 } d _ { 3 } } & { c _ { 2 } d _ { 3 } } & { c _ { 3 } d _ { 3 } } \end{array} \right] }
\frac { d \sigma ^ { m } } { K ^ { 0 } d K ^ { 0 } d \Omega _ { K } d \Omega _ { e ^ { + } } } \; = \; \frac { ( Q ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 ^ { 9 } \pi ^ { 5 } s s ^ { \prime } } \; | A ^ { m } | ^ { 2 } \; ,
u _ { 0 } ^ { T F } = \frac { ( q ^ { 2 } - p ^ { 2 } ) } { 2 q ^ { 2 } } \left[ \frac { \mu ^ { \prime } + \frac { ( p ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) } { 2 q ^ { \prime } } - \frac { 1 } { 2 } \zeta ^ { 2 } } { \lambda _ { 0 } + \lambda _ { 1 } } - \frac { q ^ { 2 } + p ^ { 2 } } { 2 \lambda _ { 1 } q ^ { \prime } } \right] ,
5 [ 5 ] 2 = 5 [ 4 ] 5 = 5 ^ { 5 ^ { 5 ^ { 5 ^ { 5 } } } } = 5 ^ { 5 ^ { 5 ^ { 3 1 2 5 } } } \approx \exp _ { 1 0 } ^ { 4 } ( 3 . 3 3 9 2 8 )
T _ { m } = - { \frac { 1 } { 2 } } \left( \partial \phi \right) ^ { 2 } + i \alpha _ { 0 } \partial ^ { 2 } \phi T _ { L } = - { \frac { 1 } { 2 } } \left( \partial \varphi \right) ^ { 2 } + \beta _ { 0 } \partial ^ { 2 } \varphi
\alpha \cdot \beta = ( \alpha _ { L } ^ { i } \beta _ { L } ^ { i } - \alpha _ { R } ^ { j } \beta _ { R } ^ { j } ) _ { c o m p l e x } + 1 / 2 \, ( \alpha _ { L } ^ { k } \beta _ { L } ^ { k } - \alpha _ { R } ^ { l } \beta _ { R } ^ { l } ) _ { r e a l } \ .
\begin{array} { r l } { - k _ { - } } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { \bar { u } ^ { \prime } ( x ; s ) } \end{array} \right) \wedge \left( \begin{array} { l } { \beta _ { + } \bar { u } ( x ; s ) + k _ { + } \mathcal { U } ( x ; s ) } \\ { * } \\ { * } \end{array} \right) d x } \\ & { = - k _ { - } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } ( \beta _ { + } \bar { u } ( x ; s ) + k _ { + } \mathcal { U } ( x ; s ) ) \bar { u } ^ { \prime } ( x ; s ) d x = - k _ { - } k _ { + } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \mathcal { U } ( x ; s ) \bar { u } ^ { \prime } ( x ; s ) d x , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { \wp } _ { 0 , i } \leq p _ { M _ { \cal A } ^ { ( n ) } Z ^ { n } K _ { 1 } ^ { n } K _ { 2 } ^ { n } } \Biggl \{ ( M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , Z ^ { n } , K _ { 1 } ^ { n } , K _ { 2 } ^ { n } ) \in { \cal T } _ { i } , } \\ & { \qquad \quad \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { Q _ { { Z } _ { t } } ( Z _ { t } ) } { p _ { Z _ { t } } ( Z _ { t } ) } , } \\ & { R _ { \cal A } + \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { \tilde { Q } _ { Z _ { t } | U _ { t } } ( Z _ { t } | U _ { t } ) } { p _ { Z _ { t } } ( Z _ { t } ) } , } \\ & { \qquad 2 \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { \mathrm { e } ^ { - R _ { i } } } { p _ { K _ { i , t } | U _ { i , t } } ( K _ { i , t } | U _ { i , t } ) } \Biggr \} . } \end{array}
E _ { A } = \left( \begin{array} { c c } { { E _ { 1 } } } & { { E _ { 2 } } } \end{array} \right) \; { \cal E } _ { A } \; ; \; { \cal E } _ { A } = \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { A } ^ { c } } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) \; { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \vert \nu _ { A } \vert ^ { 2 } } } } \; ,
C _ { 1 , 2 } ( X _ { 1 , 2 } , Y _ { 1 , 2 } ) = 3 Y _ { 1 , 2 } ^ { 2 } + X _ { 1 , 2 } ^ { 2 } + B X _ { 2 , 1 } ^ { 2 } + B Y _ { 2 , 1 } ^ { 2 } - \Delta
\begin{array} { r l } { l _ { c } } & { = \frac { \pi } { 2 } \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } d k k S ( k ) } { \int _ { 0 } ^ { \infty } d k k ^ { 2 } S ( k ) } = } \\ & { = l _ { \mathrm { i s o } } \frac { 2 \pi } { 1 + \zeta } \left[ \zeta \frac { 2 C ( q = 4 , s ) } { s ( s + 2 ) } + \frac { D ( k ^ { * } , \Delta k ^ { * } ) } { 2 \sqrt { 2 \pi } } \cdot \frac { \Delta k ^ { * } + k ^ { * } \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } } { l _ { \mathrm { i s o } } { \Delta k ^ { * } } ^ { 2 } } \right] , } \end{array}
\delta f ( w ) \sim \exp ( - \frac { 2 w } { \tilde { \chi } } ) w ^ { \frac { \tilde { \eta } _ { l l } + 3 \tilde { \eta } _ { \perp } + 2 ( \tilde { \chi } _ { \perp } + \tilde { \chi } _ { l } ) } { 4 \tilde { \chi } } } \, .
{ \begin{array} { r l } { r } & { = { \sqrt { 1 + Q _ { x x } - Q _ { y y } - Q _ { z z } } } } \\ { s } & { = { \frac { 1 } { 2 r } } } \\ { w } & { = \left( Q _ { z y } - Q _ { y z } \right) s } \\ { x } & { = { \frac { 1 } { 2 } } r } \\ { y } & { = \left( Q _ { x y } + Q _ { y x } \right) s } \\ { z } & { = \left( Q _ { z x } + Q _ { x z } \right) s } \end{array} }
\begin{array} { r } { U ( q ) = \frac { 2 \hbar ^ { 2 } } { N m } \sum _ { i < j } ^ { N } \left\langle R _ { i j } ( q ) ( \mathbf e _ { q } \cdot \vec { \nabla } _ { i } ) ( \mathbf e _ { q } \cdot \vec { \nabla } _ { j } ) V ( \mathbf r _ { i j } ) \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { c c c c c c c c c } { { \hat { z } _ { u c } } } & { { = } } & { { - s _ { 5 } s _ { 6 } e ^ { i \delta _ { 3 } } , } } & { { \hat { z } _ { u t } } } & { { = } } & { { - s _ { 4 } s _ { 6 } e ^ { i \delta _ { 2 } } , } } & { { \hat { z } _ { c t } } } & { { = } } & { { - s _ { 4 } s _ { 5 } e ^ { i ( \delta _ { 2 } - \delta _ { 3 } ) } } } \\ { { \hat { z } _ { u x } } } & { { = } } & { { - s _ { 6 } , } } & { { \hat { z } _ { c x } } } & { { = } } & { { - s _ { 5 } e ^ { - i \delta _ { 3 } } , } } & { { \hat { z } _ { t x } } } & { { = } } & { { - s _ { 4 } e ^ { - i \delta _ { 2 } } . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla _ { \tilde { \mathbf { x } } } \log p _ { \sigma } ( \tilde { \mathbf { x } } | \, \mathbf { x } ) = \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } ( \mathbf { x } - \tilde { \mathbf { x } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } } & { \equiv 2 \operatorname* { m a x } \left( g ( \bar { \mu } ) \frac { \lambda ^ { \prime \prime } ( p ) } { \lambda ^ { \prime } ( p ) } , g ( \underline { { \mu } } ) \frac { \lambda ^ { \prime \prime } ( p ) } { \lambda ^ { \prime } ( p ) } \right) \lambda ( p ) - \frac { 4 \lambda ( p ) ( \underline { { \mu } } - \lambda ( p ) ) } { h _ { 0 } C } , \quad C _ { 2 } \equiv - \operatorname* { m a x } \left( \sqrt { \frac { 0 \vee \left( - \lambda ^ { \prime \prime } ( p ) ( \bar { \mu } - \lambda ( p ) \right) ) } { 2 } } ~ , ~ \frac { p \lambda ^ { \prime \prime } ( p ) } { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lambda ( \epsilon ^ { \prime } , \alpha _ { i } ) = \alpha _ { i } - ( \frac { 1 } { 2 } + \epsilon ^ { \prime } + \alpha _ { i } ) \cdot \log { ( 2 ( \frac { 1 } { 2 } + \epsilon ^ { \prime } + \alpha _ { i } ) ) } - ( \frac { 1 } { 2 } - \epsilon ^ { \prime } - \alpha _ { i } ) \cdot \log { ( 2 ( \frac { 1 } { 2 } - \epsilon ^ { \prime } - \alpha _ { i } ) ) } } \\ & { = \alpha _ { i } - \frac { 1 } { 2 } \log { \left[ ( 1 + 2 \epsilon ^ { \prime } + 2 \alpha _ { i } ) ( 1 - 2 \epsilon ^ { \prime } - 2 \alpha _ { i } ) \right] } - ( \epsilon ^ { \prime } + \alpha _ { i } ) \log { \frac { 1 + 2 \epsilon ^ { \prime } + 2 \alpha _ { i } } { 1 - 2 \epsilon ^ { \prime } - 2 \alpha _ { i } } } . } \end{array}
T = \left| \frac { \Delta ( i \kappa - \Delta + \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 3 } ) \kappa + \lambda _ { 1 } ( \Delta \kappa - i \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } ) } { ( \Delta - \lambda _ { 1 } ) ( \Delta - \lambda _ { 2 } ) ( \Delta - \lambda _ { 3 } ) } \right| ^ { 2 } ,
b = 3 ( 4 \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } - 6 ( 4 \Delta ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } + 9 ( 4 \Delta ) - 1 0 ( 4 \Delta ) ^ { \frac { 4 } { 3 } } + 7 ( 4 \Delta ) ^ { \frac { 5 } { 3 } } - \frac { 2 2 } { 3 } ( 4 \Delta ) ^ { \frac { 7 } { 3 } } + { \cal { O } } ( \Delta ^ { \frac { 8 } { 3 } } ) .
\begin{array} { r l } { c _ { s } ^ { + } } & { { } = u _ { x } + \frac { \partial _ { u _ { x } } P _ { x x } ^ { * } } { 2 \rho } + \sqrt { { \left( \frac { \partial _ { u _ { x } } P _ { x x } ^ { * } } { 2 \rho } \right) } ^ { 2 } + { \varsigma } ^ { 2 } + \partial _ { \rho } P _ { x x } ^ { * } } , } \\ { c _ { s } ^ { - } } & { { } = u _ { x } + \frac { \partial _ { u _ { x } } P _ { x x } ^ { * } } { 2 \rho } - \sqrt { { \left( \frac { \partial _ { u _ { x } } P _ { x x } ^ { * } } { 2 \rho } \right) } ^ { 2 } + { \varsigma } ^ { 2 } + \partial _ { \rho } P _ { x x } ^ { * } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m i n f } _ { \varepsilon \searrow 0 } \operatorname* { l i m i n f } _ { T \to \infty } \frac { \log ( \operatorname* { m a x } \{ 2 r _ { 1 } - \theta _ { i } , \, \theta _ { i } \} ) } { T } } & { \geq \operatorname* { l i m i n f } _ { \varepsilon \searrow 0 } \operatorname* { l i m i n f } _ { T \to \infty } \frac { \log ( \operatorname* { m a x } \{ r _ { 1 } , \, \theta _ { i } \} ) } { T } } \\ & { \geq \operatorname* { l i m i n f } _ { \varepsilon \searrow 0 } \operatorname* { l i m i n f } _ { T \to \infty } \frac { \log r _ { 1 } } { T } = 0 , } \end{array}
E _ { \mathrm { S W M } } ^ { \pm } = - \frac { E _ { \mathrm { 2 P E } } ^ { \pm } } { 2 } \sin ^ { 2 } \left( A _ { C } ^ { \pm } \right) \mathrm { e } ^ { i \left( \phi _ { C 2 } ^ { \pm } - \phi _ { C 1 } ^ { \pm } \right) + i \nu \tau _ { c } } ,
{ \left( \begin{array} { l l l } { 6 } & { 2 4 } & { 1 } \\ { 1 3 } & { 1 6 } & { 1 0 } \\ { 2 0 } & { 1 7 } & { 1 5 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 0 } \\ { 1 9 } \end{array} \right) } \equiv { \left( \begin{array} { l } { 3 1 } \\ { 2 1 6 } \\ { 3 2 5 } \end{array} \right) } \equiv { \left( \begin{array} { l } { 5 } \\ { 8 } \\ { 1 3 } \end{array} \right) } { \pmod { 2 6 } }
\begin{array} { r l } { \left\langle \Delta p _ { 1 } \Delta p _ { 2 } \right\rangle } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N } \left( \left( \Delta p _ { 1 } \Delta p _ { 2 } \right) _ { \alpha } ^ { \left( + + \right) } + \left( \Delta p _ { 1 } \Delta p _ { 2 } \right) _ { \alpha } ^ { \left( -- \right) } \right. } \end{array}
{ \bigl ( } c _ { 1 } | \psi _ { 1 } \rangle + c _ { 2 } | \psi _ { 2 } \rangle { \bigr ) } ^ { \dagger } = c _ { 1 } ^ { * } \langle \psi _ { 1 } | + c _ { 2 } ^ { * } \langle \psi _ { 2 } | \, .
\begin{array} { r l } { 8 \pi \, T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } = } & { { } R _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } R } \\ { = } & { { } 3 \, g ^ { 0 0 } \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { 2 } + 2 \, g ^ { i i } \frac { \partial _ { i } ^ { 2 } R } { R } - g ^ { i i } \left( \frac { \partial _ { i } R } { R } \right) ^ { 2 } } \\ { = } & { { } 3 \, g ^ { 0 0 } \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { 2 } - \frac { 2 } { a ^ { 2 } R ^ { 2 } } \frac { \partial _ { i } ^ { 2 } R } { R } + \frac { 1 } { a ^ { 2 } R ^ { 2 } } \left( \frac { \partial _ { i } R } { R } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
t _ { 0 n } ^ { \ell } = ( - 1 ) ^ { n } \left( \frac { ( n - 2 \ell - 1 ) ! } { n ! { ( - 2 \ell - 1 ) ! } } \right) ^ { 1 / 2 } \, e ^ { - i \ell \psi } \frac { t ^ { n } } { ( 1 - | t | ^ { 2 } ) ^ { \ell } } \, ,
S = i \int d ^ { 2 } \sigma d \theta ^ { + } \overline { { { \theta } } } ^ { + } d \theta ^ { - } \left( k _ { \alpha } D _ { - } \varphi ^ { \alpha } - \overline { { { k } } } _ { \overline { { { \alpha } } } } D _ { - } \overline { { { \varphi } } } ^ { \overline { { { \alpha } } } } \right)
\mathrm { M } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l l l l } { \mathbb { D } + | \mathbb { F } | } & { \mathbb { C } ^ { * } } & { 0 } & { 0 } \\ { \mathbb { C } } & { - ( \mathbb { D } - | \mathbb { F } | ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \mathbb { D } - | \mathbb { F } | } & { \mathbb { C } ^ { * } } \\ { 0 } & { 0 } & { \mathbb { C } } & { - ( \mathbb { D } + | \mathbb { F } | ) } \end{array} \right)
\delta \boldsymbol { \theta } \in \mathbb { R } ^ { 2 n \times 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \mathbf { H } ^ { T } \mathbf { R } ^ { - 1 } \mathbf { H } \right) ^ { - 1 } \mathbf { H } ^ { T } \mathbf { R } ^ { - 1 } \boldsymbol { \xi } , } & { \quad \mathrm { o v e r - d e t e r m i n e d : ~ } T m > 2 n , } \\ { \mathbf { R } ^ { - 1 } \mathbf { H } ^ { T } \left( \mathbf { H } \mathbf { R } ^ { - 1 } \mathbf { H } ^ { T } \right) ^ { - 1 } \boldsymbol { \xi } , } & { \quad \mathrm { u n d e r - d e t e r m i n e d : ~ } T m < 2 n . } \end{array} \right.
\mathrm { I m } { \cal N } _ { \Lambda \Sigma , \Gamma \Delta } f _ { ~ ~ A B } ^ { \Gamma \Delta } = - { \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } } \left( e ^ { - \Phi _ { + } } \tau ^ { \left( + \right) \Lambda \Sigma } \tau ^ { \left( + \right) A B } + e ^ { - \Phi _ { - } } \tau ^ { \left( - \right) \Lambda \Sigma } \tau ^ { \left( - \right) A B } \right) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq T } \left( \| \partial _ { t } u + \sigma u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } + \| \partial _ { t } p + \sigma p \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } + \| \partial _ { t } u ^ { * } + \sigma u ^ { * } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } \right) } \\ { \leq } & { } & { C \int _ { 0 } ^ { T } \| \partial _ { t } f + \sigma f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } \, d t . } \end{array}
\sin { \frac { \pi } { 1 0 } } = \sin 1 8 ^ { \circ } = { \frac { { \sqrt { 5 } } - 1 } { 4 } } = { \frac { \varphi ^ { - 1 } } { 2 } } = { \frac { 1 } { 2 \varphi } }
\tilde { G } _ { 1 } ( S , P , T ) = G _ { 1 } ( S , P + T ) , \qquad \tilde { G } _ { 2 } ( S , P , T ) = G _ { 2 } ( S , P + T ) , \qquad \tilde { G } _ { 3 } ( S , P , T ) = 0 .
I _ { m n } ( x , y , z ) = I _ { 0 } \left( { \frac { w _ { 0 } } { w } } \right) ^ { 2 } \left[ H _ { m } \left( { \frac { { \sqrt { 2 } } x } { w } } \right) \exp \left( { \frac { - x ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } } \right) \right] ^ { 2 } \left[ H _ { n } \left( { \frac { { \sqrt { 2 } } y } { w } } \right) \exp \left( { \frac { - y ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } } \right) \right] ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \lfloor K + X \rfloor ( x ) = } & { \operatorname* { i n f } \{ s \in \mathbb { R } : ( x , s ) \in K + X \} = \operatorname* { i n f } \{ s \in \mathbb { R } : ( x - v , s - c ) \in K \} } \\ { = } & { \operatorname* { i n f } \{ s + c : s \in \mathbb { R } , ( x - v , s ) \in K \} } \\ { = } & { \lfloor K \rfloor ( x - v ) + c . } \end{array}
\mathbb { E } | \mathcal { Z } _ { { \texttt A } { \texttt B } } | ^ { p } = \mathbb { E } \sum _ { b _ { 1 1 } \neq b _ { 1 2 } } \cdots \sum _ { b _ { p 1 } \neq b _ { p 2 } } \left( \prod _ { k = 1 } ^ { p / 2 } x _ { b _ { k 1 } } ( { \texttt A } { \mathcal G } { \texttt A } ^ { T } ) _ { b _ { k 1 } b _ { k 2 } } x _ { b _ { k 2 } } \right) \left( \prod _ { k = p / 2 + 1 } ^ { p } x _ { b _ { k 1 } } ( { \texttt A } { \mathcal G } { \texttt A } ^ { T } ) _ { b _ { k 1 } b _ { k 2 } } x _ { b _ { k 2 } } \right) .
( \mathbf { a } \times [ \mathbf { b } \times \mathbf { c } ] ) _ { i } = \varepsilon _ { i j k } a ^ { j } \varepsilon _ { k \ell m } b ^ { \ell } c ^ { m } = \varepsilon _ { i j k } \varepsilon _ { k \ell m } a ^ { j } b ^ { \ell } c ^ { m }
\begin{array} { r c l } { { \delta c _ { \mu \nu \rho \sigma } } } & { { = } } & { { 2 \, \partial _ { [ \mu } \chi _ { \nu ] \rho \sigma } + 2 \, \partial _ { [ \rho } \chi _ { \sigma ] \mu \nu } - 4 \, \partial _ { [ \mu } \chi _ { \nu \rho \sigma ] } } } \\ { { \delta d _ { \mu \nu \rho } } } & { { = } } & { { 2 \, \partial _ { [ \mu } \alpha _ { \nu ] \rho } - 2 \, \partial _ { [ \mu } \alpha _ { \nu \rho ] } + \partial _ { \rho } \beta _ { \mu \nu } - \partial _ { [ \rho } \beta _ { \mu \nu ] } } } \\ { { \delta h _ { \mu \nu } } } & { { = } } & { { 2 \, \partial _ { ( \mu } \xi _ { \nu ) } } } \end{array}
{ \hat { H } } = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ { \frac { { \mathcal { P } } _ { x } ^ { 2 } } { I _ { 1 } } } + { \frac { { \mathcal { P } } _ { y } ^ { 2 } } { I _ { 2 } } } + { \frac { { \mathcal { P } } _ { z } ^ { 2 } } { I _ { 3 } } } \right] .
a _ { n } = a _ { 0 } + { \frac { n } { 2 } } , \qquad b _ { n } = b _ { 0 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( \mathbf { y } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { y } + { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } ^ { \mathsf { T } } { \boldsymbol { \Lambda } } _ { 0 } { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } - { \boldsymbol { \mu } } _ { n } ^ { \mathsf { T } } { \boldsymbol { \Lambda } } _ { n } { \boldsymbol { \mu } } _ { n } ) .
p _ { w } \propto \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { T _ { w } } { T _ { i } } } \left[ \frac { \gamma \sqrt { \pi } } { s } ( 1 + \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } ( \gamma s ) ) + \frac { 1 } { s ^ { 2 } } e ^ { - \gamma ^ { 2 } s ^ { 2 } } \right] ,
\begin{array} { r l r } & { } & { E [ f ( X _ { 0 } ) | y _ { ( - \infty , 0 ] } ^ { n } , u _ { ( - \infty , - 1 ] } ^ { n } ] - E [ f ( X _ { 0 } ) | y _ { ( - \infty , 0 ] } , u _ { ( - \infty , - 1 ] } ] } \\ & { } & { = E [ f ( X _ { 0 } ) | y _ { ( - \infty , 0 ] } ^ { n } , u _ { ( - \infty , - 1 ] } ^ { n } ] - E [ f ( X _ { 0 } ) | ( y , u ) _ { ( - \infty , - N ] } ^ { n } , y _ { ( - N + 1 , 0 ] } , u _ { ( - N + 1 , - 1 ] } ] } \\ & { } & { + E [ f ( X _ { 0 } ) | ( y , u ) _ { ( - \infty , - N ] } ^ { n } , y _ { ( - N + 1 , 0 ] } , u _ { ( - N + 1 , - 1 ] } ] - E [ f ( X _ { 0 } ) | y _ { ( - \infty , 0 ] } , u _ { ( - \infty , - 1 ] } ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { E } [ | L I S ( \sigma ) - n \sqrt { 2 \beta _ { n } } | ] } \\ & { \leq } & { \sum _ { s \in \mathcal { S } _ { 1 } } \mathbb { E } [ | L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) - \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } | ] + | n \sqrt { 2 \beta _ { n } } - \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } | \mathcal { S } _ { 1 } | | } \\ & { } & { + \sum _ { s \in \mathcal { S } _ { 2 } } \mathbb { E } [ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) ] + \sum _ { s = 2 } ^ { \lfloor n \beta _ { n } \slash L \rfloor } \mathbb { E } [ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime } } ) ] + \sum _ { s = 2 } ^ { \lfloor n \beta _ { n } \slash L \rfloor } \mathbb { E } [ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime \prime } } ) ] . } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { r l } { - ( a + b \alpha ) } & { { } = - a + ( - b ) \alpha } \\ { ( a + b \alpha ) + ( c + d \alpha ) } & { { } = ( a + c ) + ( b + d ) \alpha } \\ { ( a + b \alpha ) ( c + d \alpha ) } & { { } = ( a c + r b d ) + ( a d + b c ) \alpha } \\ { ( a + b \alpha ) ^ { - 1 } } & { { } = a ( a ^ { 2 } - r b ^ { 2 } ) ^ { - 1 } + ( - b ) ( a ^ { 2 } - r b ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \alpha } \end{array}
s R _ { p } C \hat { \psi } _ { d } = \ell _ { p } ^ { 2 } \partial _ { z } ^ { 2 } \hat { \psi } _ { d } - \frac { R _ { p } } { R _ { F } } \hat { \psi } _ { d } \, , \qquad z \in [ 0 , \ell _ { p } ] \, .
\begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { ~ C ~ B ~ M ~ } } ( r ) = D _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ n ~ } } \qquad } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ \ r _ { 0 } \leq r \leq r _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ n ~ } } } \\ { D _ { \mathrm { ~ C ~ B ~ M ~ } } ( r ) = D _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ n ~ } } \exp \left[ \frac { - 2 ( r - r _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ n ~ } } ) } { f _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ n ~ } } H _ { \mathrm { ~ p ~ , ~ p ~ e ~ n ~ } } } \right] \qquad } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ \ r _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ n ~ } } < r \leq r _ { \mathrm { ~ C ~ B ~ M ~ } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle t ^ { 2 } \rangle _ { n \, | \, n _ { 0 } } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } t ^ { 2 } \, P _ { n } ^ { \mathrm { ~ F ~ P ~ } } ( t \, | \, n _ { 0 } ) \, \mathrm { ~ d ~ } t } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \xi } _ { x } : = \frac { \hat { x } _ { A } ^ { \prime \prime } + \hat { x } _ { B } ^ { \prime } } { \sqrt { 2 \eta \nu } } \; , \quad \hat { \xi } _ { p } : = \frac { \hat { p } _ { A } ^ { \prime \prime } - \hat { p } _ { B } ^ { \prime } } { \sqrt { 2 \eta \nu } } \; . } \end{array}
V ( t ) \triangleq { \left[ \begin{array} { l } { v _ { 1 } ( t ) } \\ { v _ { 2 } ( t ) } \\ { v _ { 3 } ( t ) } \\ { \vdots } \\ { v _ { i } ( t ) } \\ { \vdots } \\ { v _ { n } ( t ) } \end{array} \right] } \triangleq { \left[ \begin{array} { l } { y ( t ) } \\ { \{ m _ { 1 } ( { \hat { x } } ) \operatorname { s g n } ( v _ { 1 } ( t ) - h _ { 1 } ( { \hat { x } } ( t ) ) ) \} _ { \mathrm { e q } } } \\ { \{ m _ { 2 } ( { \hat { x } } ) \operatorname { s g n } ( v _ { 2 } ( t ) - h _ { 2 } ( { \hat { x } } ( t ) ) ) \} _ { \mathrm { e q } } } \\ { \vdots } \\ { \{ m _ { i - 1 } ( { \hat { x } } ) \operatorname { s g n } ( v _ { i - 1 } ( t ) - h _ { i - 1 } ( { \hat { x } } ( t ) ) ) \} _ { \mathrm { e q } } } \\ { \vdots } \\ { \{ m _ { n - 1 } ( { \hat { x } } ) \operatorname { s g n } ( v _ { n - 1 } ( t ) - h _ { n - 1 } ( { \hat { x } } ( t ) ) ) \} _ { \mathrm { e q } } } \end{array} \right] }
\left\{ \begin{array} { l l l } { \operatorname* { m i n } } & { - 0 . 5 x _ { 1 } ^ { 4 } + 2 x _ { 1 } x _ { 2 } - 2 x _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \mathit { s . t . } } & { g ( x , u ) = - x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 1 } + x _ { 2 } - u _ { 1 } ^ { 2 } - u _ { 2 } ^ { 2 } \geq 0 \quad \forall u \in U ( x ) , } \\ & { x \in X = [ 0 , 1 ] ^ { 2 } , } \\ & { U ( x ) = \{ u \in \mathbb { R } ^ { 3 } : 0 \leq u \leq e , x _ { 1 } - u ^ { T } u \geq 0 \} . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \nu ^ { \textrm { { e m b } } } [ \rho _ { \textrm { s y s } } ^ { \textrm { W F T } } , \rho _ { \textrm { e n v } } ^ { \textrm { D F T } } ] ( r ) } & { = \nu _ { \textrm { e n v } } ^ { \textrm { n u c } } ( r ) + \int d r ^ { \prime } ~ ~ \frac { \rho _ { \textrm { e n v } } ^ { \textrm { D F T } } ( r ^ { \prime } ) } { | r - r ^ { \prime } | } } \\ & { + \frac { \delta E _ { \textrm { X C } } ^ { \textrm { n a d d } } [ \rho _ { \textrm { s y s } } ^ { \textrm { W F T } } , \rho _ { \textrm { e n v } } ^ { \textrm { D F T } } ] } { \delta \rho _ { \textrm { W F T } } } } \\ & { + \frac { \delta T _ { s } ^ { \textrm { n a d d } } [ \rho _ { \textrm { s y s } } ^ { \textrm { W F T } } , \rho _ { \textrm { e n v } } ^ { \textrm { D F T } } ] } { \delta \rho _ { \small { \textrm { W F T } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } } & { \approx S _ { 1 } ( t _ { o n } , m = 0 ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \frac { 1 } { \alpha } \bigg ( \frac { m ( e ^ { \alpha \tau } - r ) e ^ { - \alpha \tau } } { a e ^ { \alpha t _ { o n } } } \bigg ) \bigg ( 1 - \frac { \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) } { \beta } \ln { \bigg ( 1 + \frac { \beta } { \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) } \bigg ) } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { T } _ { i } = \left( \begin{array} { l l l l } { e ^ { I n _ { i } ^ { + } P } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - I n _ { i } ^ { + } P } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { e ^ { I n _ { i } ^ { - } P } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { e ^ { - I n _ { i } ^ { - } P } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { + + } ( { \bf k } ) } & { = } & { T _ { -- } ( { \bf k } ) = \frac { T _ { p p } ( { \bf k } ) + T _ { s s } ( { \bf k } ) } { 2 } , } \\ { T _ { + - } ( { \bf k } ) } & { = } & { T _ { - + } ( { \bf k } ) = \frac { T _ { p p } ( { \bf k } ) - T _ { s s } ( { \bf k } ) } { 2 } , } \\ { R _ { + + } ( { \bf k } ) } & { = } & { R _ { -- } ( { \bf k } ) = \frac { R _ { p p } ( { \bf k } ) + R _ { s s } ( { \bf k } ) } { 2 } , } \\ { R _ { + - } ( { \bf k } ) } & { = } & { R _ { - + } ( { \bf k } ) = \frac { R _ { p p } ( { \bf k } ) - R _ { s s } ( { \bf k } ) } { 2 } . } \end{array}
E = - a _ { 1 } a _ { 2 } \int { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \; \; { \frac { { \vec { v } } _ { 1 } \cdot \left[ 1 - { \hat { k } } { \hat { k } } \right] \cdot { \vec { v } } _ { 2 } } { { \vec { k } } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } \; \exp \left( i { \vec { k } } \cdot \left( x _ { 1 } - x _ { 2 } \right) \right)
p \left( \mathbf { a } _ { k } \left| \mathbf { a } _ { 1 : ( k - 1 ) } , N , V , E , \hat { G } \right. \right) = \mathbf { a } _ { k } ^ { T } \texttt { M L P } \left( \texttt { c o n c a t } \left( \boldsymbol { \xi } _ { h } , \boldsymbol { \xi } _ { e } , \boldsymbol { \xi } _ { a , k } \right) \right)