harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \left| \left[ \mathrm { r } ( q , u _ { 1 } ) + \mathrm { a } ( q , u _ { 1 } ) \right] T ^ { \mathrm { X } } ( t - s ) f ^ { \mathrm { X } } ( q ) \right| \leq \bar { \mathrm { r } } + \bar { \mathrm { a } } ( 1 + | v | ) \leq C \, , } \\ & { \left| \mathrm { b } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , u _ { 1 } ) T ^ { \mathrm { X } } ( t - s ) ( f ^ { \mathrm { X } } ( q _ { 1 } ) + f ^ { \mathrm { X } } ( q _ { 2 } ) ) \right| \leq \bar { \mathrm { b } } ( 1 + | v | ) \leq C \, , } \\ & { \left| \dot { \mathrm { d } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { \xi ^ { \mathrm { X } } } T ^ { \mathrm { X } } ( t - s ) f ^ { \mathrm { X } } ( q _ { i } ^ { \mathrm { X } } ) \right) \right| \leq C \, , } \\ & { \left| \left[ \mathrm { r } ( q , u _ { 2 } ) + \mathrm { a } ( q , u _ { 2 } ) - \mathrm { r } ( q , u _ { 1 } ) - \mathrm { a } ( q , u _ { 1 } ) \right] T ^ { \mathrm { X } } ( t - s ) f ^ { \mathrm { X } } ( q ) \right| \leq C \operatorname* { s u p } _ { \| f ^ { \mathrm { X } } \| _ { \infty } \leq 1 } \left\langle \mathbf { 1 } , u _ { 1 } ( t ) - u _ { 2 } ( t ) \right\rangle \, , } \\ & { \left| \left( \mathrm { b } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , u _ { 2 } ) - \mathrm { b } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , u _ { 1 } ) \right) T ^ { \mathrm { X } } ( t - s ) ( f ^ { \mathrm { X } } ( q _ { 1 } ) + f ^ { \mathrm { X } } ( q _ { 2 } ) ) \right| \leq C \operatorname* { s u p } _ { \| f ^ { \mathrm { X } } \| _ { \infty } \leq 1 } \left\langle \mathbf { 1 } , u _ { 1 } ( t ) - u _ { 2 } ( t ) \right\rangle \, . } \end{array}
\begin{array} { l r } { \Pi _ { A B } = \frac { ( x - 1 ) P _ { A A } + ( N - x ) P _ { A B } } { N - 1 } } \\ { \Pi _ { B A } = \frac { x P _ { B A } + ( N - x - 1 ) P _ { B B } } { N - 1 } } \end{array} ,
{ L _ { 2 - 4 } } = \sqrt { ( { L _ { 2 - 3 } } ^ { 2 } + { L _ { 3 - 4 } } ^ { 2 } - 2 \cdot { L _ { 2 - 3 } } \cdot { L _ { 3 - 4 } } \cdot \cos ( { A _ { 3 } } ) ) }
W _ { | | } ( z ) = \mathscr { F } ^ { - 1 } { \biggl [ } - i \frac { k Z _ { 0 } } { 4 \pi } \int ( a ^ { \prime } ) ^ { 2 } d z { \biggl ] } = - \frac { Z _ { 0 } } { 2 \sqrt { 2 \pi } } \delta ^ { \prime } ( z ) \int ( a ^ { \prime } ) ^ { 2 } d z .
L _ { \mathrm { e f f } } = { \frac { \mu } { 2 } } \dot { r } ^ { 2 } + { \frac { \kappa } { 4 } } \left[ { \frac { ( \dot { b } + \dot { r } ) ^ { 2 } } { b + r } } + { \frac { ( \dot { b } - \dot { r } ) ^ { 2 } } { b - r } } \right] - { \frac { b { \bf J } ^ { 2 } } { 2 r ^ { 2 } ( \kappa + \mu b ) } } - { \frac { b Q ^ { 2 } } { 2 \kappa ( b ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) } } \, \, .
{ \bf M } _ { 2 q , W } ^ { * } = m _ { 3 q } \left( - \tilde { m } _ { 2 q } + \tilde { m } _ { 1 q } + \delta _ { q } ^ { * } \right) \left( \frac { 1 } { 2 4 } \right) \left( \begin{array} { l l l } { { 1 4 } } & { { 1 4 } } & { { - 2 5 } } \\ { { 1 4 } } & { { 1 4 } } & { { - 2 5 } } \\ { { - 2 5 } } & { { - 2 5 } } & { { - 2 8 } } \end{array} \right) _ { W } .
P _ { 1 } ^ { \prime } = P _ { 1 } , \mathrm { ~ } P _ { 2 } ^ { \prime } = \left( \frac { - 2 a b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } , \frac { 2 a ^ { 2 } b } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \right) , \mathrm { ~ } P _ { 3 } ^ { \prime } = P _ { 3 } , \mathrm { ~ } P _ { 4 } ^ { \prime } = \left( \frac { 2 a b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } , \frac { - 2 a ^ { 2 } b } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \right) ,
| \omega \widetilde { \chi } _ { m } ^ { \omega } - \omega ^ { \prime } \widetilde { \chi } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } | \leq | \omega - \omega ^ { \prime } | | \widetilde { \chi } _ { m } ^ { \omega } | + | \omega ^ { \prime } | | \widetilde { \chi } _ { m } ^ { \omega } - \widetilde { \chi } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } | .
\begin{array} { r l } { \big \| \boldsymbol D ^ { * } \boldsymbol F ^ { * } \boldsymbol B _ { \mathrm { o p t } } ^ { * } \boldsymbol A - \boldsymbol I _ { | \mathcal I _ { \boldsymbol M } | } \big \| _ { \mathrm F } ^ { 2 } } & { \leq \varepsilon \, \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \frac 1 { \hat { w } ( \boldsymbol k ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ c ] } & { { } \langle \eta _ { t } ^ { H } , \mathbf { s } \mathbf { i } \left( f _ { t } ^ { \mathcal { I } } - f _ { t } \right) \rangle \leq 2 ( n _ { \operatorname* { m a x } } ) ^ { 2 } , } \end{array}
\tilde { I } _ { i , k , l } = I _ { i , k , l } / \bar { I } _ { l } , \qquad \bar { I } _ { l } = \frac 1 { i _ { \mathrm { m a x } } k _ { \mathrm { m a x } } } \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { i _ { \mathrm { m a x } } } \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { k _ { \mathrm { m a x } } } I _ { i ^ { \prime } , k ^ { \prime } , l }
\begin{array} { r l } { \| 1 - g _ { \varepsilon } \| _ { L ^ { p } ( \Omega ) } } & { \leq N ( \varepsilon ) ^ { \frac { 1 } { p } } \| \phi _ { \varepsilon , n } \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } \leq c ( \delta _ { 0 } ) \varepsilon ^ { \frac { 3 ( \alpha - \beta ) } { p } } , } \\ { \| \nabla _ { x } g _ { \varepsilon } \| _ { L ^ { p } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } } & { \leq N ( \varepsilon ) ^ { \frac { 1 } { p } } \| \nabla _ { x } \phi _ { \varepsilon , n } \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } \leq c ( \delta _ { 0 } ) \varepsilon ^ { \frac { 3 ( \alpha - \beta ) } { p } - \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \tilde { \Omega } _ { d } ( Z ) \cap \tilde { \Omega } _ { d } ( Z _ { \Delta x } ) } \left| f ( Z ) ( x ) - f ( Z _ { \Delta x } ) ( x ) \right| d x } & { \leq ( 1 - \alpha ) \| u _ { x } + u _ { \Delta x , x } \| _ { 2 } \| u _ { x } - u _ { \Delta x , x } \| _ { 2 } } \\ & { \leq 2 \sqrt { F _ { \mathrm { a c } , \infty } } \| u _ { x } - u _ { \Delta x , x } \| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { 0 } } & { { } = } & { ( 1 - \Lambda _ { 0 0 } ) ^ { - 1 } \, \sum _ { \mathfrak { n } = 1 } ^ { \infty } \, \Lambda _ { 0 \mathfrak { n } } \, \lambda _ { \mathfrak { n } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v _ { i } ^ { t + 1 } } & { { } = } & { v _ { i } ^ { t } + \delta t \frac { d v _ { i } } { d t } } \\ { w _ { i } ^ { t + 1 } } & { { } = } & { v _ { i } ^ { t } + \delta t \frac { d w _ { i } } { d t } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| ( F _ { \zeta } , \mathcal { W } ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } \right| \leq \left\| F _ { \zeta } \right\| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { - \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } \left\| \mathcal { W } \right\| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } . } \end{array}
{ \frac { d \theta _ { i } } { d t } } = \Gamma \, \sum _ { j \epsilon \Omega _ { i } } \mathrm { s i n } ( \theta _ { j } - \theta _ { i } ) \, , \; \; \; \; { \frac { d \vec { r } _ { i } } { d t } } = v _ { 0 } \, \hat { n } _ { i } \, .
\delta c _ { m } ^ { ( k ) } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { \alpha _ { m } } { 4 \pi D ^ { ( k ) } } \frac { 1 } { r } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ k ~ = ~ m ~ } , } \\ { \frac { \alpha _ { m } } { 4 \pi D ^ { ( k ) } } \frac { 1 } { r } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ k ~ = ~ m ~ + ~ 1 ~ } , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial n } { \partial t } ( t , x ) = \left[ r ( x ) - d ( x ) \rho ( t ) - \mu ( x ) \varphi ( t ) \right] n ( t , x ) , \quad \mathrm { f o r } \quad t > 0 , \; x \in [ 0 , 1 ] , } & \\ { \frac { \partial \ell } { \partial t } ( t , y ) = p ( t , y ) - \left( \nu ( y ) \rho ( t ) + k _ { 1 } \right) \ell ( t , y ) , \quad \mathrm { f o r } \quad t > 0 , \; y \in [ 0 , 1 ] , } & \\ { \frac { \partial p } { \partial t } ( t , y ) = \chi ( t , y ) p ( t , y ) - k _ { 2 } p ^ { 2 } ( t , y ) , \quad \mathrm { f o r } \quad t > 0 , \; y \in [ 0 , 1 ] , } \end{array} \right.
\cos \phi _ { 2 3 } = \frac { k _ { 1 } ^ { 2 } ( \textbf { k } _ { 2 } \cdot \textbf { k } _ { 3 } ) - ( \textbf { k } _ { 1 } \cdot \textbf { k } _ { 2 } ) ( \textbf { k } _ { 1 } \cdot \textbf { k } _ { 3 } ) } { \sqrt { k _ { 1 } ^ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } - ( \textbf { k } _ { 1 } \cdot \textbf { k } _ { 2 } ) ^ { 2 } } \sqrt { k _ { 1 } ^ { 2 } k _ { 3 } ^ { 2 } - ( \textbf { k } _ { 1 } \cdot \textbf { k } _ { 3 } ) ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r } { \partial _ { x } ^ { m } \partial _ { \rho } ^ { \ell } \bigg ( A ( \pm \rho , x ) - A ^ { \pm } ( x ) \bigg ) = O ( e ^ { - \alpha \rho } ) \quad \mathrm { ~ a ~ s ~ } ~ \rho \rightarrow \infty } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } \{ Z < | P _ { \mathrm { c } } - D | \} } & { = \operatorname* { P r } \bigg \{ \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } X _ { i } ^ { 2 } < | \sigma ^ { 2 } - 2 D | \bigg \} } \\ & { \leq \frac { 6 T } { \sqrt { n } \, \mathrm { V } ^ { 3 / 2 } } + \mathrm { Q } \bigg ( \big ( \sigma ^ { 2 } - | \sigma ^ { 2 } - 2 D | \big ) \sqrt { \frac { n } { n } { V } } \bigg ) } \\ & { \leq \frac { 6 T } { \sqrt { n } \, \mathrm { V } ^ { 3 / 2 } } + \exp \bigg \{ - \frac { 2 n \big ( \sigma ^ { 2 } - | \sigma ^ { 2 } - 2 D | \big ) ^ { 2 } } { 2 n \big ( \sigma ^ { 2 } - | \sigma ^ { 2 } - 2 D | \big ) ^ { 2 } } { V } \bigg \} } \\ & { = O \bigg ( \frac { 1 } { \sqrt { n } } \bigg ) , } \end{array}
{ Q _ { \pm } ^ { ( j ) } } ^ { B } = \int d x ^ { 1 } \sum _ { a , b } \left[ \left[ f ^ { B } \right] ^ { a b } ( \partial _ { 0 } \phi ^ { ( j ) a } \mp \partial _ { 1 } \phi ^ { ( j ) a } ) \psi _ { \pm } ^ { ( j ) b } \pm \frac { \partial W ^ { ( j ) 1 } } { \partial \phi ^ { ( j ) a } } \psi _ { \mp } ^ { ( j ) b } \right] ,
{ \mathrm P } ^ { ( 1 , 2 ) } ( \nu _ { \alpha } \to \nu _ { \alpha } ) = 1 - \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { 2 } 2 \overline { { { \theta } } } _ { 1 2 } ( 1 - \cos ^ { 2 } \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } \, \frac { L } { 2 p } )
\omega _ { B } ^ { A } = \epsilon ^ { A C D E F } \epsilon _ { B G H I J } \Sigma _ { L M } ^ { G H } \Sigma _ { C D } ^ { P Q } ( \delta _ { P } ^ { L } \delta _ { E } ^ { I } \delta _ { Q } ^ { M } \delta _ { F } ^ { J } + \cdots ) \, .
\begin{array} { r l } & { \| ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } \mathbf { F } _ { n } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } \mathbf { F } _ { n } \| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { \quad \quad \leq \| ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } \| _ { F } ^ { 2 } \| \mathbf { F } _ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\left( \nu ( \frac { \partial \omega _ { x } ^ { h } } { \partial z } - \frac { \partial \omega _ { z } ^ { h } } { \partial x } ) + \omega _ { z } ^ { h } u _ { x } ^ { h } - \omega _ { x } ^ { h } u _ { z } ^ { h } + \frac { \partial P ^ { h } } { \partial y } \right) ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { y } } ) = f _ { y } ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { y } } ) \quad \forall \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { y } } \in \Omega \cup \partial \Omega
V _ { C o u l . } ( x ^ { - } , x _ { \bot } ) = - { \frac { g _ { \lambda } ^ { 2 } } { 4 \pi } } C _ { f } { \frac { \overline { { { \Lambda } } } } { K ^ { + } } } { \frac { 1 } { \sqrt { x _ { \bot } ^ { 2 } + \Big ( { \frac { \overline { { { \Lambda } } } } { K ^ { + } } } \Big ) ^ { 2 } ( x ^ { - } ) ^ { 2 } } } } = - { \frac { g _ { \lambda } ^ { 2 } } { 4 \pi } } C _ { f } { \frac { \overline { { { \Lambda } } } } { K ^ { + } } } { \frac { 1 } { r _ { l } } } ,
P ( E = G { \bar { D } } \mid C = c ) = ( 0 . 0 1 + { \frac { 0 . 8 1 - 0 . 0 1 } { 1 6 - 1 1 } } ( c - 1 1 ) ) ( 0 . 5 + { \frac { 0 . 5 - 0 . 0 5 } { 1 6 - 1 1 } } ( c - 1 1 ) )
f ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { \frac { c } { a } } \tan ( \sqrt { a c } z ) } & { \mathrm { f o r ~ a , c > 0 ~ , } } \\ { - \sqrt { \frac { c } { a } } \cot ( \sqrt { a c } z ) } & { \mathrm { f o r ~ a , c < 0 ~ , } } \\ { \sqrt { - \frac { c } { a } } \operatorname { t a n h } ( \sqrt { - a c } z ) } & { \mathrm { f o r ~ a c < 0 ~ , } } \\ { \frac { 1 } { a z } } & { \mathrm { f o r ~ c = 0 , a \neq ~ 0 ~ , } } \\ { c z } & { \mathrm { f o r ~ c \neq ~ 0 , ~ a = 0 ~ } . } \end{array} \right.
M _ { t } = \left[ \begin{array} { l l } { M _ { x , 2 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { M _ { y , 2 } } \end{array} \right] T _ { s } \left[ \begin{array} { l l } { M _ { x , 1 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { M _ { y , 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { C } & { D } \end{array} \right]
\langle \bar { x } , x _ { e } , p _ { e } | L _ { e } ^ { \alpha } | \psi \rangle = L _ { e } ^ { \beta } A , \; \; \langle \bar { x } , x _ { e } , p _ { e } | L _ { o } ^ { \alpha } | \psi \rangle = L _ { o } ^ { \beta } A
\sum _ { r = 0 } ^ { k - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { r } \Gamma ( \mu ) } { 2 ^ { r + \lambda } r ! \Gamma ( \mu - r ) ( r + \lambda ) } + \sum _ { r = 0 } ^ { s - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { r } \Gamma ( \lambda ) } { 2 ^ { r + \mu } r ! \Gamma ( \lambda - r ) ( r + \mu ) }
\begin{array} { r l } { R _ { 2 } [ F _ { j _ { 2 } } ] } & { = \frac { \kappa _ { k _ { 0 } } } \beta \eta ^ { 1 - \gamma _ { 1 } } \int _ { s _ { 0 } } ^ { s } \ d \tau _ { 1 } \int _ { s _ { 0 } } ^ { \tau _ { 1 } } \ d \tau _ { 2 } \ \tau _ { 1 } ^ { \gamma _ { 1 } - 1 } \frac { 1 + \tau _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } + \frac 1 3 ( \tau _ { 1 } ^ { 3 } - \tau _ { 2 } ^ { 3 } ) ) ) u _ { 1 } ( \tau _ { 2 } ) } \\ & { = \frac { \kappa _ { k _ { 0 } } } \beta \eta ^ { 1 - \gamma _ { 1 } } \int _ { s _ { 0 } } ^ { s } \ d \tau _ { 1 } \int _ { s _ { 0 } } ^ { \tau _ { 1 } } \ d \tau _ { 2 } \ \tau _ { 1 } ^ { - \gamma _ { 2 } } \frac { 1 + \tau _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { \qquad \qquad \cdot \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } + \frac 1 3 ( \tau _ { 1 } ^ { 3 } - \tau _ { 2 } ^ { 3 } ) ) ) ( ( c _ { 1 } + \tilde { c } _ { 2 } ) ( \frac { \tau _ { 2 } } \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } + ( c _ { 2 } + \tilde { c } _ { 1 } ) ( \frac { \tau _ { 2 } } \eta ) ^ { \gamma _ { 2 } } ) } \\ & { \le \frac 1 \beta \eta ^ { \gamma _ { 2 } } \int _ { s _ { 0 } } ^ { s } \ d \tau _ { 2 } \ \frac { ( ( c _ { 1 } + \tilde { c } _ { 2 } ) ( \frac { \tau _ { 2 } } \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } + ( c _ { 2 } + \tilde { c } _ { 1 } ) ( \frac { \tau _ { 2 } } \eta ) ^ { \gamma _ { 2 } } ) \tau _ { 2 } ^ { - \gamma _ { 2 } } } { 1 + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { \qquad \qquad \cdot \int _ { s _ { 0 } } ^ { \tau _ { 2 } } \ d \tau _ { 1 } \ \kappa _ { k } ( 1 + \tau _ { 1 } ^ { 2 } ) \exp ( - \kappa _ { k } ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } + \frac 1 3 ( \tau _ { 1 } ^ { 3 } - \tau _ { 2 } ^ { 3 } ) ) ) } \\ & { = \frac { 1 } \beta \int _ { s _ { 0 } } ^ { s } \ d \tau _ { 2 } \ ( ( c _ { 1 } + \tilde { c } _ { 2 } ) \tau _ { 2 } ^ { \gamma - 2 } \eta ^ { - \gamma } + ( c _ { 2 } + \tilde { c } _ { 1 } ) \tau _ { 2 } ^ { - 2 } \eta ^ { - \gamma _ { 2 } } ) } \\ & { \qquad \qquad \cdot [ \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } + \frac 1 3 ( \tau _ { 1 } ^ { 3 } - \tau _ { 2 } ^ { 3 } ) ) ) ] _ { \tau _ { 1 } = \tau _ { 2 } } ^ { \tau _ { 1 } = s } } \\ & { \le \frac { 1 } \beta \int _ { s _ { 0 } } ^ { s } \ d \tau _ { 2 } \ ( ( c _ { 1 } + \tilde { c } _ { 2 } ) \tau _ { 2 } ^ { \gamma - 2 } \eta ^ { - \gamma } + ( c _ { 2 } + \tilde { c } _ { 1 } ) \tau _ { 2 } ^ { - 2 } \eta ^ { - \gamma _ { 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { X _ { 0 } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } = x ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , \quad X _ { t _ { k } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } = X _ { t _ { k - 1 } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } + \delta u \left( X _ { t _ { k - 1 } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k - 1 } \right) + \sqrt { 2 \nu } ( B _ { t _ { k } } ^ { 1 , m } - B _ { t _ { k - 1 } } ^ { 1 , m } ) , } \\ & { Y _ { 0 } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } = x ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , \quad Y _ { t _ { k } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } = Y _ { t _ { k - 1 } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } + \delta u \left( Y _ { t _ { k - 1 } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k - 1 } \right) + \sqrt { 2 \kappa } ( B _ { t _ { k } } ^ { 2 , m } - B _ { t _ { k - 1 } } ^ { 2 , m } ) , } \end{array}
\boldsymbol { \nabla } \times \boldsymbol { \nabla } \times \tilde { \mathbf { f } } _ { { \mu } } \left( \mathbf { r } \right) - \left( \frac { \tilde { \omega } _ { { \mu } } } { c } \right) ^ { 2 } \epsilon ( \mathbf { r } , \tilde { \omega } _ { \mu } ) \, \tilde { \mathbf { f } } _ { { \mu } } \left( \mathbf { r } \right) = 0 ,
\theta _ { \beta } = \Psi _ { \beta \alpha } ( z _ { \alpha } , \theta _ { \alpha } ) = \psi _ { \beta \alpha } ( z _ { \alpha } ) + \theta _ { \alpha } \sqrt { f _ { \beta \alpha } ^ { \prime } ( z _ { \alpha } ) + \psi _ { \beta \alpha } ( z _ { \alpha } ) \psi _ { \beta \alpha } ^ { \prime } ( z _ { \alpha } ) } .
G ( w _ { 1 } , w _ { 0 } ) = \left( \begin{array} { l l l } { g ^ { \nu ( 1 , 1 ) } ( w _ { 1 } , w _ { 0 } ) } & { \cdots } & { g ^ { \nu ( 1 , q ) } ( w _ { 1 } , w _ { 0 } ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { g ^ { \nu ( q , 1 ) } ( w _ { 1 } , w _ { 0 } ) } & { \cdots } & { g ^ { \nu ( q , q ) } ( w _ { 1 } , w _ { 0 } ) } \end{array} \right) ,
\frac { \partial \lambda } { \partial \boldsymbol { p } } = X ^ { \mathrm { T } } \left( \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial \boldsymbol { p } } - \lambda \frac { \partial \mathcal { B } } { \partial \boldsymbol { p } } \right) X \Big / { X ^ { \mathrm { T } } \mathcal { B } X } ,
\begin{array} { r l } & { \Delta E _ { a } ^ { \mathrm { L , \, V i T } } = \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \sum _ { \pm } \sum _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { 1 } k _ { 1 } ^ { 3 } n _ { \beta } ( k _ { 1 } ) \times } \\ & { \frac { \langle \phi _ { a } | r _ { i } | \phi _ { n _ { 1 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 1 } } | r _ { j } | \phi _ { n _ { 2 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 2 } } | r _ { j } | \phi _ { n _ { 3 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 3 } } | r _ { i } | \phi _ { a } \rangle } { ( E _ { a } - E _ { n _ { 1 } } \pm k _ { 1 } ) ( E _ { a } - E _ { n _ { 3 } } \pm k _ { 1 } ) } \times } \\ & { \left\lbrace \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } ( E _ { n _ { 2 } } - E _ { a } \pm k _ { 1 } ) ^ { 3 } \left( \frac { 5 } { 6 } - \log [ 2 | E _ { n _ { 2 } } - E _ { a } \pm k _ { 1 } | ] \right) \right\rbrace . } \end{array}
\mathrm { V a r } \left[ Y \right] = \underbrace { \mathbb { E } \left[ \mathrm { V a r } \left[ Y | X \right] \right] } _ { \mathrm { ~ a ~ l ~ e ~ a ~ t ~ o ~ r ~ i ~ c ~ } } + \underbrace { \mathrm { V a r } \left[ \mathbb { E } \left[ Y | X \right] \right] } _ { \mathrm { ~ e ~ p ~ i ~ s ~ t ~ e ~ m ~ i ~ c ~ } } \ .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \rho \mid x _ { 1 } , x _ { 2 } \right] } & { = \sum _ { b \ge 0 } \operatorname* { P r } [ a \ge b ] ( F ( x _ { 2 } ) - F ( x _ { 1 } ) ) ^ { b } } \\ & { = \sum _ { b \ge 0 } \frac { 1 } { b ! } ( F ( x _ { 2 } ) - F ( x _ { 1 } ) ) ^ { b } = \exp \left( F ( x _ { 2 } ) - F ( x _ { 1 } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { c o r r } _ { L } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 \left( - 4 \sqrt { \tau \tau ^ { \prime } } + 3 \sqrt { \tau ( \tau ^ { \prime } - \tau ) } + ( 2 \tau + \tau ^ { \prime } ) \sin ^ { - 1 } \left( \sqrt { \frac { \tau } { \tau ^ { \prime } } } \right) \right) } { ( 3 \pi - 8 ) \sqrt { \tau \tau ^ { \prime } } } \qquad \quad \, } & { \mathrm { f o r } \ \tau < \tau ^ { \prime } } \\ { 1 \quad \ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, } & { \mathrm { f o r } \ \tau = \tau ^ { \prime } } \\ { \frac { 2 \left( - 4 \sqrt { \tau ^ { \prime } \tau } + 3 \sqrt { \tau ^ { \prime } ( \tau - \tau ^ { \prime } ) } + ( 2 \tau ^ { \prime } + \tau ) \sin ^ { - 1 } \left( \sqrt { \frac { \tau ^ { \prime } } { \tau } } \right) \right) } { ( 3 \pi - 8 ) \sqrt { \tau ^ { \prime } \tau } } \qquad } & { \mathrm { f o r } \ \tau > \tau ^ { \prime } \ . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { i \sim \pi ( x _ { s } ; \phi ) } \mathbb { E } _ { { \mathbf { y } } , { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } } \big [ \big ( f ( x _ { s } \cup { \mathbf { x } } _ { i } ; \theta ^ { * } ) - { \mathbf { y } } \big ) ^ { 2 } \big ] } & { = \sum _ { i \in [ d ] } \pi _ { i } ( x _ { s } ; \phi ) \mathbb { E } _ { { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } } [ \mathrm { V a r } ( { \mathbf { y } } \mid { \mathbf { x } } _ { i } , x _ { s } ) ] . } \end{array}
\chi _ { n i _ { 1 } . . . i _ { n } } = \sum _ { m \ge n } { \frac { 1 } { ( m - n ) ! } } J _ { m i _ { 1 } . . . i _ { n } j _ { n + 1 } . . . j _ { m } } \phi ^ { j _ { n + 1 } } . . . \phi ^ { j _ { m } }
\begin{array} { r } { \nabla g _ { j } ^ { G G } = \frac { 1 } { V _ { j } } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \overline { { g } } _ { i } ( - { \bf n } _ { i } ) = \frac { 1 } { 3 V _ { j } } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } g _ { i } { \bf n } _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { X _ { t } } [ 1 _ { A } f ( X _ { t } ) ] = } & { \int _ { A } \frac { \int _ { H } x _ { 0 } n ( x _ { 0 } , x _ { t } ) \mathrm { d } \mu _ { \mathrm { d a t a } } ( x _ { 0 } ) } { \int _ { H } n ( x _ { 0 } , x _ { t } ) \mathrm { d } \mu _ { \mathrm { d a t a } } ( x _ { 0 } ) } ~ \mathrm { d } \mathbb { P } _ { t } ( x _ { t } ) } \\ { = } & { \int _ { H } \int _ { A } \frac { \int _ { H } x _ { 0 } n ( x _ { 0 } , x _ { t } ) \mathrm { d } \mu _ { \mathrm { d a t a } } ( x _ { 0 } ) } { \int _ { H } n ( x _ { 0 } , x _ { t } ) \mathrm { d } \mu _ { \mathrm { d a t a } } ( x _ { 0 } ) } n ( \tilde { x } _ { 0 } , x _ { t } ) ~ \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , v _ { t } C ) ( x _ { t } ) ~ \mathrm { d } \mu _ { \mathrm { d a t a } } ( \tilde { x } _ { 0 } ) } \\ { = } & { \int _ { A } \int _ { H } x _ { 0 } n ( x _ { 0 } , x _ { t } ) \mathrm { d } \mu _ { \mathrm { d a t a } } ( x _ { 0 } ) \frac { \int _ { H } n ( \tilde { x } _ { 0 } , x _ { t } ) \mathrm { d } \mu _ { \mathrm { d a t a } } ( \tilde { x } _ { 0 } ) } { \int _ { H } n ( x _ { 0 } , x _ { t } ) \mathrm { d } \mu _ { \mathrm { d a t a } } ( x _ { 0 } ) } ~ \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , v _ { t } C ) ( x _ { t } ) } \\ { = } & { \int _ { A } \int _ { H } x _ { 0 } n ( x _ { 0 } , x _ { t } ) \mathrm { d } \mu _ { \mathrm { d a t a } } ( x _ { 0 } ) ~ \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , v _ { t } C ) ( x _ { t } ) = \mathbb { E } [ 1 _ { A } X _ { 0 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( A ) } & { { } = \frac { e ^ { - \sum _ { \alpha } \theta _ { \alpha } C _ { \alpha } ^ { * } ( A ) } } { \sum _ { A \in \mathbf { A } } e ^ { - \sum _ { \alpha } \theta _ { \alpha } C _ { \alpha } ^ { * } ( A ) } } = } \end{array}
\begin{array} { r l } & { i \hbar \frac { { d \psi ( t ) } } { { d t } } = \varepsilon \psi ( t ) , } \\ & { \left( { \sqrt { 1 - \Delta } } \right) { \Psi _ { e } } ( { \bf { r } } ) + \Phi ( { \bf { r } } ) + E { \Psi _ { e } } ( { \bf { r } } ) = 0 , } \\ & { \left( { \sqrt { 1 - \Delta } } \right) { \Psi _ { p } } ( { \bf { r } } ) - \Phi ( { \bf { r } } ) + ( E + 2 ) { \Psi _ { p } } ( { \bf { r } } ) = 0 , } \\ & { \Delta \Phi ( { \bf { r } } ) - \Gamma { \Psi _ { e } } ( { \bf { r } } ) + \sigma \Gamma { \Psi _ { e } } ( { \bf { r } } ) = 0 , } \end{array}
B = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { ( \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ s ~ i ~ d ~ e ~ b ~ u ~ i ~ l ~ d ~ i ~ n ~ g ~ s ~ } ) , } \\ { 0 } & { ( \mathrm { ~ i ~ n ~ s ~ i ~ d ~ e ~ b ~ u ~ i ~ l ~ d ~ i ~ n ~ g ~ s ~ } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { n ( r ) } & { { } = } & { \exp \left\{ - \kappa _ { n } W _ { n } \frac { a } { L _ { r e f } } \operatorname { t a n h } \left( \frac { r - r _ { c } } { W _ { n } a } \right) \right\} ; } \\ { \frac { d \ln n } { d r } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { L _ { r e f } } \kappa _ { n } \cosh ^ { - 2 } \left( \frac { r - r _ { c } } { W _ { n } a } \right) ; } \end{array}